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Full text of "Das Relativitätsprinzip"

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Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig/i-J fa 

n I C \A/ IQQCIMQPUA CT Sammlung naturwissenschaftlicher u. 
UIL TT lOOLINOV/rlnr I mathematischer Einzeldarstellungen. 

* 

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Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig. 

HUT WIQQCNQPU A CT Sammlung naturwissenschaftlicher u. 
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DIE WISSENSCHAFT 

SAMMLUNG 
NATURWISSENSCHAFTLICHER UND MATHEMATISCHER 

MONOGRAPHIEN 



ACHTUNDDREISSIGSTES HEFT 



DAS KELATIVITATSPKINZIP 

VON 

De. M. LAUE 

PEIVATDOZENT FÜR THEORETISCHE PHYSIK 
AN DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 



MIT 14 IN DEN TEXT EINGEDRUCKTEN ABBILDUNGEN 




BEAUNSCHWEIG 

DRUCK UND VERLAG VON PRIEDR. VIEWEG & SOHN 

19 1 1 



DAS 



RELATIVITÄTSPKIMIP 



Von 



Dr. m/lATJE 

PRIVATDOZENT FÜR THEOBETISCHE PHYSIK 
AN DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN 



MIT 14 IN DEN TEXT EINGEDRUCKTEN ABBILDUNGEN 




BRAUNSCHWEIG 

DRUCK UND VERLAG VON FRIEDE. VIEWEG & SOHN 

19 11 



Alle Hechte, 
namentlich das Hecht der Übersetzung in fremde Sprachen, vorbehalten 



Copyright, 1911, by Friedr. Vieweg & Sohn, 
Braunschweig, Gtermany. 



VORWORT. 



In den 5 Y 2 Jahren, welche seit Einsteins Begründung 
der Relativitätstheorie vergangen sind, hat diese Theorie in 
immer wachsendem Maße Beachtung gefunden. Freilich ist 
diese Beachtung nicht durchweg Zustimmung. Manche 
Forscher, darunter auch Träger sehr bekannter Namen, halten 
ihre empirische Begründung für nicht hinreichend fest. 
Bedenken dieser Art ist natürlich nur durch weitere Ver- 
suche abzuhelfen; immerhin legt das vorliegende Büchlein 
Wert auf den Nachweis, daß z. B. kein einziger empirischer 
Grund gegen diese Theorie vorhanden ist. Weit größer 
aber ist die Zahl derjenigen, welche sich mit ihrem gedank- 
lichen Inhalt nicht befreunden können, denen namentlich 
die Relativität der Zeit mit ihren manchmal in der Tat 
recht paradox aussehenden Eonsequenzen unannehmbar 
erscheint Und hier ist vielleicht mit einer zusammen- 
fassenden Darstellung der Theorie gedient, wie sie dies 
Büchlein geben will. 

Freilich ist die einschlägige Literatur schon zu sehr 
angewachsen, als daß jede Veröffentlichung hätte berück- 
sichtigt werden können. Sollte der Umfang nicht über das 
beabsichtigte Maß wachsen, so konnten manche wertvolle 
Untersuchungen nicht oder nur im Ergebnis aufgenommen 
werden. Dagegen dürfte in den grundlegenden Arbeiten 
von Einstein, Planck, Minkowski nichts von Belang 
enthalten sein, was nicht auch in der einen oder anderen 



23X"J 3 



— VI — 

Form in die gegenwärtige Darstellung übergegangen wäre. 
Eingehend berücksichtigt ist auch der mathematische Aus- 
bau, den in jüngster Zeit Sommerfeld der Theorie 
gegeben hat. Neu dürfte die Behandlung der Dynamik 
(Abschnitt VII) sein, bei welcher der Einfluß der elastischen 
Spannungen auf den Impuls und die Energie, sowie die 
Transformation der Spannungen von einem Bezugssystem 
auf das andere in vollster Allgemeinheit untersucht werden. 

Bei dem Leser setzt die Darstellung außer dem gebräuch- 
lichen mathematischen Rüstzeug des theoretischen Physikers, 
der Infinitesimalrechnung und der Vektoranalysis *) nur noch 
eine gewisse Kenntnis der Maxwellschen Theorie voraus, 
deren wichtigste Gesetze übrigens in § 4 kurz abgeleitet 
sind. Die von Minkowski eigens für die Relativitätstheorie 
geschaffenen Methoden dagegen werden in den § 9 bis 13 
entwickelt. Dabei habe ich mir, während ich mich sonst 
streng an die gebräuchlichen Bezeichnungen gehalten habe, 
manche Neuerung in der Bezeichnungsweise erlaubt. Das 
dabei zugrunde gelegte System wird, hoffe ich, zur Erleich- 
terung des Verständnisses beitragen. 

Bei der Korrektur unterstüzte mich in liebenswürdigster 
Weise Herr Dr. A. Rosen thal, dem ich dafür zu vielem 
Dank verpflichtet bin. 

München, im Mai 1911. 

Dr. M. Laue. 



l ) Eine kurze Eekapitulation der Vektorrechnung findet sich im 
Anhang. 



INHALTSVERZEICHNIS. 



Seite 

Vorwort V 

Inhaltsverzeichnis YII 

I. Die Problemstellung. 

§ 1. Die Belativitätsprinzipe der klassischen Mechanik und der 

Elektrodynamik 1 

§ 2. Die empirischen Grundlagen für die Elektrodynamik bewegter 

Körper 8 

Induktion 8 

Wilsonscher Versuch 9 

Bowlandscher Versuch 9 

Versuche von Röntgen und Eichenwald 10 

Fizeauscher Versuch 10 

Aberration 12 

Dopplereffekt 12 

Michelsonscher Versuch 13 

Andere Versuche über den Einfluß der Erdbewegung .... 15 

Dynamik des Elektrons 16 

II. Die älteren Theorien 

der Elektrodynamik bewegter Körper. 

§ 3. Historische Übersicht 18 

§ 4. Die Theorie von Heinrich Hertz 20 

a) Buhende Körper 20 

b) Bewegte Körper 22 

c) Der Wilsonsche Versuch 23 

d) Der Eichen waldsche Versuch 24 

e) Der Eizeausche und Michels onsche Versuch 25 

f) Der Induktionsvorgang 26 

g) Die Erhaltung des Impulses 26 

§ 5. Die Elektronentheorie 26 



— vm — 

Seite 

OL Die BelatMtltstkeorle, kinematischer TeU. 

6. Die Lorentz- Transformation 33 

7. Die Einsteingehe Kinematik . . . 40 

§ 8. Minkowskis geometrische Interpretation der Lorentz- 

Transformation 46 

§ 9. Die Lorentz-Transformation als imaginäre Drehung ... 53 

IT. Weltrektoren und -tensoren. 

§ 10. Vierer- und Sechservektoren 60 

a) Vierervektoren 61 

b) Sechservektoren 64 

§ 11. Die algebraischen Vektoroperationen 65 

a) Addition und Subtraktion 65 

b) Die skalare Multiplikation 66 

c) Vektorprodukte 66 

§ 12. Vektorielle Differentialoperationen 69 

§ 13. Welttensoren 73 

V. Die Elektrodynamik des leeren Baumes 
nach dem Belativitätsprinzip. 

§ 14. Die Transformation des elektromagnetischen Feldes im leeren 

Baume 76 

§ 15. Die Transformation der Kraftdichte, Energie und Impulssatz 79 

a) Die Viererkraft 79 

b) Der Welttensor T 82 

c) Der Energiesatz 82 

d) Die Erhaltung des Impulses . 83 

e) Die Erhaltung des Drehimpulses 85 

f) Transformation der Energie, des Energiestromes und der 

Spannungen 86 

§ 16. Anwendungen 89 

a) Aberration und Dopplersches Prinzip 89 

b) Die Reflexion am bewegten Spiegel 92 

§17. Gleichförmige Bewegung geladener Körper 94 

a) Das elektromagnetische Feld 94 

b) Das Feld eines bewegten Elektrons 95 

c) Die Bückwirkung des Feldes auf bewegte Träger von 

Ladungen 96 

d) Energie und Impuls des Feldes 97 

e) Beispiel des kugelförmigen Elektrons 98 

f) Der Trouton-Noblesche Versuch 99 



— IX — 

Seite 

§ 18. Ungleichförmig bewegte Ladungsträger 99 

a) Das Yiererpotential 99 

b) Die retardierten Potentiale 104 

c) Die Hyperbelbewegung 105 

d) Das Viererpotential bei der Hyperbelbewegung .... 108 

e) Das elektromagnetische Feld bei der Hyperbelbewegung 111 

f) Die Rückwirkung des Feldes auf das Elektron .... 112 

g) Näherung für kleine Beschleunigung 114 

TL Die Minkowskische Elektrodynamik 
der ponderablen Körper. 

§ 19. Die Transformation der Feldgleichungen I bis IV 116 

a) Die Feldvektoren @, % #, 33 116 

b) Leitungs- und Eonvektionsstrom 119 

c) Die Invarianz der Elektrizitätsmenge 120 

§ 20. Die Transformation der Gleichungen V bis VII 123 

a) Der Zusammenhang zwischen (£,£,£), s # 128 

b) Elektromotorische Kraft und Leitungsstrom 125 

§ 21. Anwendungen 126 

a) Das Ohmsche Gesetz 126 

b) Induktion 127 

c) Grenz bedingungen 127 

d) Der Wilson sehe Versuch 129 

e) Der Eichenwaldsehe Versuch 132 

§ 22. Energie und ponderomotorische Kraft 135 

a) Die Unzulänglichkeit der Max well sehen Theorie ... 135 

b) Die Transformation beliebiger ponderomotorischer Kräfte 135 

c) Die Bedeutung der Komponenten des Welttensors T . . 136 

d) Anwendung auf die Elektrodynamik 138 

e) Die Joule sehe Wärme 139 

§ 23. Der Strahlungsdruck 142 

VII. Dynamik. 

§ 24. Die mechanische Trägheit als Wirkung der Energie ... 147 

a) Zweck und Ausgangspunkt der Betrachtungen 147 

b) Impuls und Energie 149 

c) Diskussion von XXVI 151 

§ 25. Impuls, Energie und Spannung in ihrer Abhängigkeit von 

der Geschwindigkeit und dein inneren Zustand .... 153 

a) Ableitung der Gleichungen 153 

b) Diskussion ' 155 

c) Vergleich mit der klassischen Mechanik 157 



— X — 

Seite 
§ 26. Die Bedeutung der dynamischen Viererkraft F, und die ab- 
soluten und relativen Spannungen 158 

§ 27. Beispiele für die quasistationäre, adiabatische, isopieistisehe 

Dynamik 162 

a) Der Massenpunkt 162 

b) Die Dynamik einer elektrisch geladenen Kugel .... 164 

c) Körper mit beliebigen Spannungen 167 

d) Vollständiges statisches System 168 

§ 28. Thermodynamik 171 

a) Transformation der Entropie 171 

b) Transformation der Temperatur 172 

c) Bestätigung von XXX . . 173 

d) Das dynamische Potential H 175 

e) Isotherm -isochore Dynamik 178 

f) Das Prinzip der kleinsten Wirkung 178 

§ 29. Die Dynamik der Hohlraumstrahlung 179 

a) Die Hohlraumstrahlung in der Buhe 180 

b) Die Hohlraumstrahlung in gleichförmiger Bewegung . . 182 

c) Isotherm -isochore Dynamik 188 

d) Historische Bemerkungen 184 

§ 30. Bückblicke und Ausblicke 184 

Anhang* 

a) Geometrische Bezeichnungen 189 

b) Vektor- und Tensorbezeichnungen 189 

c) Die verschiedenen Arten der Zeitdifferentiation .... 195 

d) Bezeichnung und Maßsystem der physikalischen Größen 198 

Literatur 201 

Namenregister 206 

Sachregister 207 



I. Die Problemstellung. 

§ 1. Die Relativitätsprinzipe der klassischen Mechanik 

und der Elektrodynamik. 

Die klassische Mechanik geht aus von dem Bewegungsgesetz 
des Massenpunktes, welches in vektorieller Schreibweise lautet: 

Hier bedeutet m die Masse, Ä die Kraft, welche auf den mate- 
riellen Punkt wirkt, t die Zeit, q die Geschwindigkeit*). Der 
Geltungsbereich dieser Gleichung ist ein sehr bedeutenden Nicht 
nur die eigentliche Mechanik mit Einschluß der Elastizitätstheorie 
und Hydrodynamik fußt auf ihr, auch die Thermodynamik der 
Materie steht infolge der kinetischen Auffassung der Wärme 
mit ihr in engster Verbindung. Diese Gleichung erhält aber erst 
dadurch einen Inhalt, daß man das Koordinatensystem angibt, 
auf das sie sich bezieht. Dabei kommt es nicht auf die Lage 
des Anfangspunktes und die Richtung der Achsen an; haben wir 
ein passendes Koordinatensystem , so läßt eine Veränderung des 
Anfangspunktes oder der Achsenrichtungen die Vektoren q und 
$ und damit die Gleichung (1) unverändert. Es drückt sioh 
hierin die Homogenität und Isotropie des Baumes aus, d. h. daß 
der Baum in allen seinen Punkten gleichwertig ist und keine 
mechanisch ausgezeichneten Richtungen hat. Nur der Bewegungs- 
zustand des Koordinatensystems muß gegeben sein, denn wenn 
sich zwei Systeme beliebig gegeneinander bewegen, so kann die 
Gleichung (1), wie eine leichte Bechnung zeigt, höchstens für das 



*) Alle Bezeichnungen sind im Anhang nochmals zusammengestellt. 
Laue, Relativitätaprinzip. 2 



— 2 — 

eine gelten, nicht einmal die erwähnte Homogenitat und Isotropie 
bleiben beim Übergange von dem einen zum anderen gewahrt. 

Für die meisten Zwecke ist es eine genügende Annäherung, 
das fragliche System mit der Erde fest verbunden zu denken; 
aber das Foucaultsche Pendel, dessen Schwingungsebene sich 
gegen die Erdoberfläche dreht, und die Abweichungen eines 
ohne Anfangsgeschwindigkeit fallenden Körpers von der Richtung 
des Lotes beweisen, daß es nur eine Annäherung ist. Dazu 
kommen als Gegenbeweise noch die bekannten geographischen 
und astronomischen Tatsachen, die Abplattung der Erde und die 
scheinbare tägliche Drehung des gesamten Fixsternsystems. Auch 
diese wären, auf das genannte System bezogen, mechanisch nicht 
zu verstehen. Man muß vielmehr, wie man schon vor Galileis 
Grundlegung der Mechanik einsah, ein anderes System zugrunde 
legen, in welchem der Schwerpunkt unseres Sonnensystems ruht, 
und dessen Achsenrichtungen durch die Richtungen nach sehr 
entfernten Fixsternen festgelegt sind. Es geschah das beim Über- 
gang vom ptolemäischen zum kopernikanischen Weltsystem. Auf 
dies System beziehen die Astronomen ihre ausgedehnte Theorie 
der Planetenbewegung, und der Erfolg gibt ihnen recht, denn 
außer einigen wenigen Einzelheiten, deren Erklärung noch aus- 
steht, hat sich diese Theorie in Übereinstimmung mit den Beob- 
achtungen gezeigt. 

Dennoch ist kaum anzunehmen, daß es „das ruhende System tf 
ist; wenn, wie wir wohl voraussetzen dürfen, auch zwischen ver- 
schiedenen Planetensystemen die Gravitation wirkt, so muß das 
Fixsternsystem auf unser Sonnensystem eine Kraft ausüben, die 
seinen Bewegungszustand ändert. Tatsächlich sprechen auch 
Beobachtungen über die scheinbare Bewegung der Fixsterne dafür, 
daß das Sonnensystem sich mit einer Geschwindigkeit von 
1,8. 10 6 cm sec" 1 einem bestimmten Punkte im Sternbilde des 
Herkules nähert. Erwähnt sei schließlich noch, daß der Theorie 
der Bewegung der Doppelsterne nicht das genannte System zu- 
grunde gelegt wird, sondern eins, welches im Schwerpunkt des 
betreffenden Sternsystems ruht und aus diesem Grunde gegen das 
erstgenannte eine manchmal recht beträchtliche Geschwindig- 
keit hat. 

Diese letzte Bemerkung legt die Frage nahe, ob es überhaupt 
nur ein passendes Bezugssystem für die Mechanik gibt (Systeme, 



— 3 ■ — 

welche sich nur durch den Anfangspunkt und die Richtung des 
Achsenkreuzes unterscheiden, zählen dabei nach dem Obigen als 
ein einziges). Wir sagten schon, daß von zwei beliebig gegen- 
einander bewegten Systemen höchstens das eine ein passendes 
sein kann. Untersuchen wir aber den speziellen Fall, daß ihre 
relative Bewegung mit gleichförmiger Geschwindigkeit ohne Dre- 
hung vor sich geht. Sind x, y, z die Koordinaten in dem einen, 
x', y' z' die in dem anderen System, legen wir ferner die x- und 
die x'- Achse beide parallel zu der Geschwindigkeit u, welche der 
Nullpunkt des „gestrichenen 11 Systems x\ y', z' gegen das „un- 
gestrichene" x,y,z hat, so lauten die Transformationsgleichungen: 

x' = x-vt, tf = y,£=£ (2) 

Der Analogie mit der später auseinander zu setzenden Lorentz- 
Transformation wegen fügen wir noch die identische Transfor- 
mation für die Zeit 

t' = t (2 a) 

hinzu und bezeichnen die Gesamtheit dieser vier Glei- 
chungen, als eine Galilei-Transformation. Die Geschwin- 
digkeitskomponenten finden wir, indem wir die Koordinaten eines 
Massenpunktes nach der Zeit differentiieren ; es gelten daher 
nach (2) die Transformationsformeln: 

, dx' dx 

*■= dt' = Tt~ v = *■-*• 

, dy' dy ■__ 

q " _ ä¥ ~ dl — q! " 

, de' _ dz 

q * — dt' - dt ~ q ' 

für die Geschwindigkeitskomponenten, die wir auch in die Vektor- 
gleichung 

q' = q-» (3) 

zusammenfassen können. Sie enthält das Additionstheorem 
der Geschwindigkeit. Durch nochmalige Differentiation folgt 
aus ihr die Transformationsgleichung der Beschleunigung: 

., da' da 

" = d? = 5? = * 



— 4 — 

In Gleichung (1) bleibt daher die linke Seite von der Trans- 
formation unberührt. Die Kraft aber ist eine Funktion der 
relativen Lage des Massenpunktes m zu anderen derartigen 
Punkten und eventuell auch seiner Relativgeschwindigkeit da- 
gegen. Man sieht nun leicht, daß diese beiden Bestimmungsstücke 
bei einer Galilei- Transformation unverändert bleiben; dasselbe 
gilt daher auch für die Kraft, so daß die Gleichung 

«* = « (4) 

besteht. Haben wir also ein passendes Bezugssystem für 
die Grundgleichung der Mechanik, so gilt diese auch in 
allen denjenigen, welche sich aus dem ersteren durch 
eine Galilei-Transformation ableiten lassen. Diesen Satz 
bezeichnen wir aus später zu erörternden Gründen als das Rela- 
tivitätsprinzip der Mechanik. Wir wollen gleich darauf 
hinweisen, daß die Gesamtheit aller Galilei -Transformationen 
eine Gruppe bildet; wendet man zwei von ihnen hintereinander 
an, so erhält man ein Resultat, das auch durch eine einzige zu er- 
reichen wäre. 

Es wird nun auch klar, weshalb die genannten Koordinaten- 
systeme alle mit besserer oder schlechterer Annäherung brauchbar 
sind. Auf ihre translatorischen Geschwindigkeiten zu einem 
streng richtigen kommt es überhaupt nicht an, und ihre Be- 
schleunigungen und Drehgeschwindigkeiten sind so gering, daß 
sie für die fraglichen Erscheinungen keine Rolle spielen. 

Fragen wir, um einige Anwendungen dieses Prinzips zu 
geben, nach den Transformationsformeln für den Impulsvektor: 

® = 2Jmi(\i (5) 

und die kinetische Energie: 

L= Jl?miq? (6) 

eines Systems von Massenpunkten m<. Wenden wir die ent- 
sprechenden Gleichungen auf das gestrichene System an, so finden 
wir, daß nach (3): 

®' = ® — <o2mi (7) 

# 

U = L — (*®) + ifz;rn (8) 



— 5 — 

ist. Wir können an ihnen eine Probe auf die Gleichwertigkeit 
beider Koordinatensysteme machen. Diese Gleichungen müssen 
nämlich (wie alle Transformationsgleichungen) in ihre Auflösungen 
nach den angestrichenen Größen übergehen, wenn man die ge- 
strichenen mit den angestrichenen Größen vertauscht und zugleich 
das Vorzeichen von v wechselt. In der Tat findet man aus (7) 
und (8): 

@ = ®' + t)2Jmi (7 a) 

L = L' + (*<§>') + ^Zmi .... (8a) 

Dem Energieprinzip zufolge muß im ungestrichenen System 
die Zunahme der kinetischen Energie gleich der von den Kräften 
geleisteten Arbeit, d. h. 

!F = 2(*q,> 

sein, wobei $ t die auf den Massenpunkt m t - wirkende Kraft ist. 
Im gestrichenen System gilt entsprechend: 

Da t) jede beliebige Richtung haben kann, so folgt (3), (4) und (8) 
leicht der Impulssatz: 

£=** ■■■» 

Er enthält als Spezialfall eines Massenpunktes die Gleichung (1); 
man sieht also, daß man aus dem Energieprinzip und dem Rela- 
tivitätsprinzip die Grundgleichung und damit die ganze Mechanik 
ableiten kann *). 

Ganz ähnlich wie in der klassischen Mechanik liegen nun die 
Verhältnisse in der Elektrodynamik. Die Max well sehe Theorie 
liefert für sie gewisse vektorielle Grundgleichungen, in denen die 
Differentialquotienten der Feldvektoren nach den Koordinaten und 
der Zeit vorkommen. Auch diese erhalten einen Sinn erst durch 
Angabe eines Bezugssystems. Da sie aber Differentialgleichungen 
sind, hat eine Verlegung des Anfangspunktes, da sie Vektor- 
gleichungen sind, haben Änderungen der Achsenrichtungen keinen 
Einfluß auf ihre Form, alle Koordinatensysteme, welche durch 
diese Operationen auseinander hervorgehen, zählen hier wie in 



— 6 — 

der Mechanik als ein einziges. Aber der Bewegungszustand ist 
wesentlich; ebensowenig wie in der Mechanik können hier die 
Grundgleichungen für zwei beliebig gegeneinander bewegte Systeme 
gelten. Den Gegenstand des vorliegenden Heftes können wir 
daher in die folgenden Fragen zusammenfassen: Gibt es ein 
ausgezeichnetes Koordinatensystem, auf welches die 
Maxwellschen Gleichungen bezogen werden müssen? 
Oder, wenn es mehrere solcher Systeme gibt, wie lauten 
die Transformationsgleichungen, durch welche man von 
dem einen zu dem anderen gelangt? Diese letzteren 
würden dann für die Elektrodynamik eine ähnliche Rolle spielen, 
wie die Galilei- Transformation in der klassischen Mechanik. 

Ist die erste Frage zu bejahen*, so müssen sich Körper, 
welche sich gegen das ausgezeichnete System bewegen, offenbar 
in elektrodynamischer Beziehung prinzipiell anders verhalten, als 
solche, die in ihm ruhen. Es muß sich dann durch Versuche 
feststellen lassen, ob und wie sich ein Körper zu ihm bewegt, es 
muß also einen physikalischen Sinn haben, von der absoluten 
Bewegung eines Körpers zu reden*). Trifft dagegen die andere 
Möglichkeit zu, so müssen sich auch in einem bewegten Körper, 
wenn dieser nur in einem passenden System ruht, die Vorgänge 
— wenigstens von diesem System aus betrachtet — genau so 
abspielen, wie in einem ruhenden; es hat dann keinen physika- 
lischen Sinn, von der Geschwindigkeit als etwas Absolutem zu 
reden. Ein Prinzip, welches das letztere behauptet, bezeichnet 
man daher passend als ein Relativitätsprinzip. (Aus diesem 
Grunde nannten wir auch den Satz auf S. 4 das Relativitäts- 
prinzip der Mechanik.) — Die Entscheidung der gestellten Frage 
liegt offenbar bei Versuchen über die Elektrodynamik bewegter 
J vor per. 

Eng zusammen hängt damit die Frage nach der Existenz 
des Äthers. Ist die Faraday- Max well sehe Auffassung von 
der Übertragung des elektromagnetischen Feldes durch einen 



*) Daß die Erkenntnistheorie dem Begriff der absoluten Bewe- 
gung keinen Sinn zu geben weiß, spielt hier keine Bolle, denn wir 
hüben auch unsere „absoluten" Geschwindigkeiten in bezug auf ein 
Koordinatensystem definiert, dessen Festlegung auf empirischem Wege 
und zwar etwa so zu geschehen hätte, daß man die Bewegung der 
Planeten relativ zu ihm angibt. 



— 7 — 

materiellen Träger desselben auch für den leeren Raum richtig, 
so muß dasjenige Koordinatensystem ausgezeichnet sein, in 
welchem der Äther ruht. Stellt sich aber heraus, daß es viele 
gleichberechtigte Systeme gibt, so kann man offenbar keines 
davon mit mehr Recht als das im Äther ruhende betrachten, als 
jedes andere; es ist dann prinzipiell unmöglich, dem Äther einen 
bestimmten Bewegungszustand zuzuschreiben, man muß daher 
die Äther Vorstellung ganz fallen lassen. So gerät die Relativitäts- 
frage in den engsten Zusammenhang mit der alten Streitfrage: 
Fernwirkung oder Übertragung mit endlicher Geschwindigkeit 
durch, ein Zwischenmedium? Man sieht schon aus dieser An- 
deutung, wie tief die Frage in die Auffassung vom Wesen des 
elektromagnetischen Feldes eingreift. 

Um aber ihre ganze Tragweite zu übersehen, wollen wir 
hier die Antwort zum Teil vorwegnehmen. Es wird sich zeigen, 
daß es in der Tat eine dreifach unendliche Schar verschieden be- 
wegter Systeme gibt, welche für die Elektrodynamik gleichberech- 
tigt sind. Aber diese Schar kann mit der durch das Relativitäts- 
prinzip der Mechanik bestimmten nur ein einziges System ge- 
meinsam haben. Wären beide Relativitätsprinzipe, das eine für 
die elektrodynamischen, das andere für die mechanischen Er- 
scheinungen gültig, so definierten beide zusammen doch wieder 
ein ausgezeichnetes System; sie höben daher ihre Bedeutung 
gegenseitig auf. An Vorgängen, welche weder rein mechanische 
noch rein elektrodynamische sind — rein elektrodynamische gibt 
es überhaupt nur im leeren Raum, sonst sind immer irgend welche 
Körper mit ihren mechanischen Eigenschaften daran beteiligt — , 
müßte sich dann eine absolute Bewegung erkennen lassen*). Es 
kann daher in der ganzen Physik nur ein Relativitäts- 
prinzip geben, wenn es diesen Namen wirklich ver- 
dienen soll. 

Tatsächlich liegt aber gar kein Zwiespalt vor. Die mecha- 
nischen Versuche, einschließlich der astronomischen Beobachtungen, 
haben nämlich ausnahmslos mit so geringen Geschwindigkeiten zu 



*) Besonders lehrreich dafür ist der Nachweis W. Wiens, daß 
sich die Erdgeschwindigkeit durch Messung der Lichtgeschwindigkeit 
relativ zur Erde parallel und entgegengesetzt der Erdgeschwindigkeit 
feststellen läßt, wenn für die Mechanik das Relativitätsprinzip der 
Galilei- Transformation gilt a ). 



— 8 — 

tun, daß ihre Genauigkeit zur Entscheidung zwischen den beiden 
Relativitätsprinzipen nicht ausreicht. Wir kommen mit keinem 
empirischen Ergebnis in Widerspruch, wenn wir das Relativitäts- 
prinzip der Elektrodynamik auf die Mechanik übertragen. Das 
Umgekehrte wäre hingegen nicht möglich (§ 4). Es ist daher 
das Relativitätsprinzip der Elektrodynamik, dem wir 
universelle Gültigkeit zuschreiben müssen, wenn wir 
nicht überhaupt auf ein solches verzichten wollen. Wir 
nennen es deswegen auch von jetzt an das Relativitätsprinzip 
schlechthin. Freilich bedürfen dann die Grundgleichungen der 
Mechanik einer Abänderung, und auch die Thermodynamik. Auch 
hierauf müssen wir am Schlüsse dieses Buches eingehen, um die 
Vereinbarkeit der Relativitätstheorie mit den mechanischen Er- 
fahrungen darzutun. 

§ 2. Die empirischen Grundlagen für die Elektrodynamik 

bewegter Körper. 

Gehen wir zunächst kurz auf das empirische Material ein, 
an dem wir eine elektromagnetische Theorie der bewegten Körper 
zu prüfen haben. Seitdem das Licht als elektromagnetische Er- 
scheinung erkannt ist, versteht es sich von selbst, daß dazu auch 
optische Experimente gehören. 

Induktion. Die bekanntesten Versuche dieser Art sind die 
Far ad ay sehen Versuche über die Induktion elektrischer Ströme 
in geschlossenen, leitenden Bahnen bei der relativen Verschiebung 
solcher gegen Magnete oder andere Stromsysteme. Da jedes 
Lehrbuch der Experimentalphysik über sie ausführlich berichtet, 
dürfen wir uns hier mit der Angabe des Resultates begnügen. 
Unter der Annahme, daß der elektrische Widerstand eines Strom- 
systems eine durch Bewegung nicht zu beeinflussende Eonstante 
ist, läßt es sich dahin aussprechen, daß das Linienintegral der 
elektromotorischen Kraft E* gegeben ist durch die zeitliche Ände- 
rung des magnetischen Induktionsflusses durch die umschlungene 
Fläche, d. h. *): 

*) Alle Bezeichnungen, Vektor- und Tensorregeln sind im Anhang 
zusammengestellt; die letzteren zum Teil auch bewiesen. Die Glei- 
chungen des Anhanges sind zum Unterschied von denjenigen des Textes 
mit griechischen Buchstaben «, ß, y usw. bezeichnet. 



— 9 — 

g*ds = — ii-f s,!!* 

ü 
oder nach Ä, tf, ö\ da dit; 33 = ist: 

[rot n ®*dö = - i- f 33 M dö = — I f (33« + ro* ro L33q])dtf. 

Die Anwendung dieser Gleichung auf ein unendlich kleines Flächen- 
stück liefert: 

rot (g* = — - (33 + rot [33 q]). 

q ist die auf dem Flächenstück d0 herrschende Geschwindigkeit 
der Materie. Wie man sieht, ist der Bewegungseffekt von der 
ersten Ordnung, d. h. proportional zu dem Quotienten q/c. 

Wilsonscher Versuch. In engem Zusammenhange damit 
steht ein von Wilson 1 ) durchgeführtes Experiment über den 
Einfluß eines bewegten Dielektrikums. Bei ihm bewegt sich 
zwischen den leitend verbundenen Platten eines Kondensators 
parallel zu diesen eine planparallele, dielektrische, unmagnetisier- 
bare Schicht in einem homogenen Magnetfelde von der Feld- 
stärke £>, welches zur Geschwindigkeit q senkrecht, zu den Platten 
aber parallel ist. Beobachtet wird eine Aufladung der Platten von 

der Flächendichte + (s — 1) - #. Schon früher hatte Blondlot 2 ) 

den entsprechenden Versuch mit Luft gemacht; da ihre Dielektri- 
zitätskonstante sich nur unmerklich von 1 unterscheidet, so fand 
er in Übereinstimmung mit dem Obigen keinen Effekt. 

Während diese Versuche sich mit den elektrischen Folge- 
erscheinungen bei der Bewegung von Körpern im Magnetfelde 
beschäftigen, kommen wir jetzt zu solchen, welche die magneti- 
schen Wirkungen von Bewegungen im elektrischen Felde unter- 
suchen. 

Rowlandscher Versuch. Schon die Bezeichnung „elek- 
trischer Strom u ist aus der Vorstellung entsprungen, daß sich in 
einem durchströmten Leiter Elektrizität bewegt, wie Wasser in 
einer Röhre. Ist sie richtig, so muß sich die Stromdichte 3 wie 
in der Hydrodynamik aus der Raumdichte p und der Geschwindig- 
keit q berechnen nach der Gleichung: 

3 = Q q. 



— 10 — 

Ein elektrischer Strom hat aber ein Magnetfeld um sich. Row- 
land 3 ) untersuchte nun, ob von Materie konvektiv mitgeführte 
Elektrizität die nach dieser Gleichung entsprechende magnetische 
Wirkung hervorruft, indem er eine elektrisch geladene Platte 
rotieren ließ. Der Versuch bestätigte das erwartete Ergebnis, 
welches neuerdings von Eichenwald 4 ) nachgeprüft und als 
richtig befunden worden ist. Da nach den Maxwell sehen 
Gleichungen (vgl, § 4) 

rot$> = - 3 
c 

ist, so ist auch hier die Wirkung proportional zu q'c. 

Versuche von Röntgen und Eichenwald. Die Elek- 
trizitätslehre kennt aber neben den „ wahren u Ladungen, um die 
es sich beim Eo wl and sehen Versuch handelt, auch noch „schein- 
bare", d.h. durch die Polarisation des Dielektrikums vorge- 
täuschte, welche im elektrischen Felde überall dort auftreten, wo 
sich die Dielektrizitätskonstante stetig oder unstetig ändert. Zum 
Beispiel ist an den Grenzen eines Dielektrikums zwischen' den ge- 
ladenen Platten eines Kondensators die Dichte der scheinbaren 
Flächenladuhg gleich +(£ — 1) |S|. Die älteren Untersuchungen 
von Röntgen 5 ) und die neueren und genaueren von Eichen- 
wald 6 ), bei welchen dies Dielektrikum rotierte, haben gezeigt, 
daß auch hier das Produkt aus der Dichte und Geschwindig? 
keit die Stromdichte eines äquivalenten Leitungstromes angibt. 
Dabei, wie auch beim Rowland sehen Versuch, ist freilich zu 
beachten, daß die Ladungen flächenhaft Verteilt sind, Und daß 
daher die Stromdichte auch als Dichte eines Flächen Stromes, d. hl 
als Elektrizitätsmenge, welche iri der Zeiteinheit durch eine zur 
Strömrichtung senkrechte Längeneinheit hindurchfließt, zu 
deuten ist. Für die Theorie ist dieser Unterschied belanglos, da 
Flächenstrom und Flächenladung nur Grenzfälle räumlicher Ströme 
und Ladungen sind. 

Fizeauscher Versuch. Damit ist die Reihe der Unter- 
suchungen über die im engeren Sinne elektromagnetischen Wir- 
kungen relativ zur Erde bewegter Körper beendet. Von den opti- 
schen besprechen wir zuerst den Fi zeau sehen Versuch über die 
Mitführung des Lichtes durch bewegte Körper. Ware das Relati- 
vitätsprinzip der Mechanik gültig, so müßte die Lichtf örtpflanzuhg 
im bewegten Körper geradeso- mit der Geschwindigkeit c/n vor sich 



— 11 — 

gehen, wie im ruhenden; und nach dem Additionstheorem der Ge- 
schwindigkeiten [Gleichung (3)] müßten die Phasen des Lichtes 
relativ zu einem Beobachter, gegen den der Körper die Geschwin- 
digkeit q besitzt, mit einer Geschwindigkeit vom Betrage 

c _L 

n 

fortschreiten, je nachdem die Lichtfortpflanzung in der Richtung 
von q oder entgegengesetzt erfolgt. Durch ein Experiment, bei 
welchem zwei Lichtstrahlen miteinander interferieren, welche 
beide eine strömende Flüssigkeit, der eine in der Bewegungsrich- 
tung, der andere entgegengesetzt, durchsetzt haben, konnten 
Fizeau 7 ) und später Michelson und Morley s ) zeigen, daß die 
Geschwindigkeit q nicht ganz zu eil hinzuzufügen ist, sondern 
versehen mit dem Fresnelschen Mitführungskoeffizienten 
1 — 1/w 2 , so daß die obige Gleichung umzuändern ist in 



-i±«( i -s) 



Bei Gasen, deren Brechungsexponent sich von 1 nur sehr wenig 
unterscheidet, ist infolgedessen überhaupt kein Einfluß zu be- 
merken. — Man hat diesen Versuch während eines halben Jahr- 
hunderts als den direkten experimentellen Beweis für die Existenz 
eines die Körper durchdringenden, aber doch stets ruhenden 
Äthers angesehen. Denn wie sollte man ihn anders deuten, als 
daß nicht alles, was im Körper Träger der Lichtfortpflanzung ist, 
an der Geschwindigkeit desselben teilnimmt, solange man an das 
Additionstheorem (3) glaubte, welches die klassische Mechanik für 
die Geschwindigkeit aufstellt? Im Sinne der Relativitätstheorie 
dagegen bestätigt er nur das berühmte Ein st ein sehe Additions- 
theorem der Geschwindigkeit. 

Bei allen diesen Versuchen ist, wie wir sehen, der Effekt 
.von der ersten Ordnung. Stets ist ihre wesentlichste Schwierig- 
keit in der Größe der Lichtgeschwindigkeit (c = 3 . 10 10 emsee - *) 
begründet. Nun sind aber die Geschwindigkeit, mit welcher sich 
die Erde um die Sonne bewegt (q e = 3 . 10 6 emsee -1 ), und ebenso 
die Geschwindigkeiten der anderen Himmelskörper weit größer, als 
alle diejenigen, welche wir Körpern relativ zur Erde geben können. 
Man muß daher weit leichter zu beobachtende Effekte erwarten, 
wenn man derartige Geschwindigkeiten benutzen kann. 



— 12 — 

Aberration. In der Tat liegen nun schon seit 1727 
(Bradley) hierhergehörige astronomische Beobachtungen vor. 
Sieht man nach sehr entfernten Fixsternen in der Nähe des Poles 
der Ekliptik, so muß man die Richtung des Fernrohres (bezogen 
auf das Sonnensystem) im Laufe eines Jahres so ändern, als be- 
schrieben diese Sterne am Himmel Kreise mit einem Durchmesser 
von 41" = 2 . 10 — 4 in absolutem Bogenmaß. Sterne in der Ekliptik 
durchlaufen scheinbar gerade Strecken von dieser Länge, alle 
anderen Ellipsen, deren große Achse diesen Betrag hat. Die 
elementare Erklärung dieser Tatsache (welche von den Brechungen 
im Fernrohr absieht) ist die, daß man das Fernrohr um einen 
Winkel q n /c gegen die Richtung der Lichtstrahlen neigen muß, 
um diesen ungehinderten Durchgang zu gestatten; q„ ist die Ge- 
schwindigkeit der Erde senkrecht zum Lichtstrahl. Bemerkens- 
wert ist die Unabhängigkeit dieses Winkels von dem Mittel, in 
welchem man beobachtet; er ändert sich nicht, wenn man das 
Fernrohr mit Wasser füllt (Airy 9 ). Die Abweichung der Rohr- 
richtung von der Richtung nach dem gleichzeitigen Orte des Sterns 
ist aber keineswegs allein durch die Erdgeschwindigkeit bedingt, 
vielmehr überlagert sich dazu noch ein Effekt, welcher von der 
Bewegung der Lichtquelle abhängt, und der daher rührt, daß der 
Lichtstrahl von dem Orte herkommt, an welchem sie sich zur Zeit 
seiner Aussendung befand. Infolgedessen bildet der Strahl 
mit der Richtung nach dem gleichzeitigen Orte einen Winkel, 
dessen Größe durch die Geschwindigkeit der Lichtquelle senkrecht 

zum Strahl q tn bestimmt und zwar gleich — ist. Die Abweichung 

c 

zwischen Fernrohrachse und der letzteren Richtung hängt infolge- 
dessen, wie eine einfache trigonometrische Betrachtung zeigt, nur 
von der Relativgeschwindigkeit der Erde zur Lichtquelle ab, und 
die Erscheinung der Aberration beweist deshalb nur, daß die 
Relativgeschwindigkeit sich im Laufe eines halben Jahres um den 
Betrag 2q e /c = 2.10 -4 ändert, lehrt aber nichts über den Be- 
wegungszustand der Erde zum „Äther". 

Dopplereffekt. Eine zweite, auch schon seit 1850 be- 
kannte Beobachtung dieser Art ist der Dopplereffekt. Wie sich 
spektroskopisch durch die Verschiebung der Emissions- oder Ab- 
sorptionslinien im Spektrum der Fixsterne nachweisen läßt, wird 
die Schwingungszahl des Lichtes durch die der Entfernung 



— 13 — 

parallele Komponente der Relativgesch windigkeit zwischen Erde 
und Lichtquelle (q r ) um den Faktor (1 -J- q r /c) geändert. Die 
elementare Erklärung dafür ist, daß die Zahl der Lichtwellen, 
welche pro Zeiteinheit in unser Auge gelangen, vergrößert wird, 
wenn wir uns ihr nähern, verkleinert, wenn wir uns von ihr ent- 
fernen. Das akustische Analogon dieser Erscheinung ist hin- 
reichend bekannt. — Der Dopplereffekt ist von der größten 
Wichtigkeit für die Astronomie zur Erkennung der in sehr ent- 
fernten Doppelsternsystemen stattfindenden Bewegungen. Die 
Physik verdankt ihm den experimentellen Nachweis, daß die bei 
der Entladung in verdünnten Gasen auftretenden Kanalstrahlen 
bewegte Korpuskeln sind (Stark 10 ). Neuerdings ist es auch 
gelungen, ihn durch Bewegung eines Spiegels relativ zur Erde 
nachzuweisen (Galitzin n ). 

MichelsonscherVersuch 12 ). Bei allen bisher beschriebenen 
Experimenten hängt der Erfolg von der ersten Potenz des Ver- 
hältnisses g/cab; die Genauigkeit ist zu gering, um über Glieder 
höherer Ordnung Rechenschaft zu geben. Im Gegensatz dazu 
handelt es sich beim Michelsonschen Versuch um einen Effekt 
zweiter Ordnung. Gerade hierauf beruht seine Bedeutung. Denn 
die anderen Beobachtungen konnte z. B. auch die Lorentzsche 
Theorie des ruhenden Äthers erklären; der negative Ausfall des 
Michelsonschen Versuches dagegen zwang sie zu einer neuen, 
schon zur Relativitätstheorie hinüberleitenden Hypothese. So 
wurde dieser Versuch geradezu der Fundamentalversuch für die 
Relativitätstheorie; wie man auch von ihm fast unmittelbar zur 
Ableitung der das Relativprinzip enthaltenden „Lorentz- Trans- 
formation u gelangt (§ 6). Diese große Bedeutung mag eine ein- 
gehendere Beschreibung rechtfertigen; immerhin gestatten wir 
uns auch so noch vielerlei idealisierende Vereinfachungen. 

Zunächst denken wir uns den Apparat in Ruhe. Der Licht- 
strahl L (Fig. 1, s. S. 14) trifft unter 45° Einfallswinkel auf eine 
sehr dünne, halbdurchlässig versilberte Glasplatte P; er wird 
zum Teil gespiegelt, zum Teil hindurchgelassen. Der gespiegelte 
Strahl trifft senkrecht auf einen Spiegel S x , der andere ebenso 
auf einen Spiegel jS 2 , 8 X und jS 2 befinden sich in nahezu gleichem 
Abstände 7 von P. Beide Strahlen kehren dann auf den Wegen, 
auf welchen sie gekommen sind, nach P zurück und erfahren 
hier wiederum Spiegelung und Brechung. Je ein gespiegelter 



— 14 — 



und ein gebrochener Strahl überdecken sich jetzt und geben dabei 
zu Interferenzerscheinungen Anlaß, von denen man die eine in 
der Brennebene des Fernrohres F beobachtet. 

Fragen wir nach der Gestalt der Streifen. Für das Inter- 
ferenzphänomen ist alles so, als wäre der eine der interferierenden 
Strahlen nicht an S 2 , sondern an dem Spiegelbilde S'2 von S 2 an 
P reflektiert. Da Si nach den obigen Annahmen zu S'2 parallel 
ist, sieht man das bekannte System von konzentrischen Ringen, 
wie es an planparallelen Platten entsteht. Dreht man aber den 
Spiegel S 1 ein wenig aus seiner bisherigen Lage heraus, so 
verschwinden die Planparallelitätsringe, dafür treten gerade, 

äquidistante Interferenz- 



Fi*. 1. 

s 2 



1 



(ZZfr 



1 



s, 



s: 



streifen gleicher Dicke 
auf, wenn man das 
Fernrohr auf S 2 einstellt. 
Diesen Apparat bezeich- 
net man als Michels on- 
sches Interf erometer. 
Denken wir uns nun 
diese Anordnung parallel 
dem Strahl PS^ in Be- 
wegung gesetzt und 
sie so eingerichtet, daß 
der Strahlengang rela- 
tiv zu dem mitbewegten 
System (Erde) der gleiche 
bleibt. Die Relativgeschwindigkeit des Lichtes c r ist nach (3) 
die Vektorsumme aus der Lichtgeschwindigkeit c im Vakuum und 
der Erdgeschwindigkeit q; also in dem Falle, daß beide in der 
Richtung miteinander zusammenfallen oder entgegengerichtet sind, 

c r = c i q, 
im Falle, daß c r senkrecht zu q steht, 

c r = Vc 2 — q*. 



*L 



Die Strecke PS X = l wird also von P nach S x in der Zeit 

l 



l 



umgekehrt in der Zeit 
in der Zeit 



c—q 



c + q' 
durchlaufen, hin und zurück daher 



— 15 



U = 



^ = KrP7 + ^ = 5rr? = T( 1+ 5r + ---) (10) 

Die Strecke P/S 2 dagegen legt das Licht in beiden Eich tun gen in 
der Zeit 

_jj = = iv M 44 + ..: ) . . . (11) 

y c s_ g s c V 2 e« T ) K ' 

zurück. -Die Differenz 

# / - l a2 

ist bestimmend für die Lage der Interferenzmaxima und -minima. 
Dreht man nun den Apparat in seiner Ebene um 90°, so ver- 
tauschen die Strahlen PS t und P S 2 ihre Rollen, die Differenz 
ihrer Durchlaufungszeiten wird also 

Es müssen sich daher bei der Drehung die Streifen verschieben, 
und zwar ist die Verschiebung, gemessen in Bruchteilen eines 
Streifenabstandes , gleich der Änderung von (^ — 1 2 ) , dividiert 
durch die Periode r des Lichtes, also gleich 

ü £! — ?i ?! 

CTC 2 "" A c 2 ' 

wo A = er die Wellenlänge ist. 

Trotz der Kleinheit von q 2 /c* (= 10~ 8 ) konnte die Genauig- 
keit des Versuches durch Vergrößerung der Strecke l bis auf 
3,2 . 10 3 cm (l/k rund = 10 8 ) schließlich so weit getrieben werden, 
daß ein Hundertstel der erwarteten Verschiebung hätte wahr- 
genommen werden müssen, trotzdem zeigte sich keine Spur einer 
solchen ; es ist durchaus so, als pflanzte sich das Licht trotz der 
Bewegung längs der Strecken PS X und PS 2 stets mit der gleichen 
Geschwindigkeit fort. 

Andere Versuche über den Einfluß der Erd- 
bewegung. Nur nebenbei soll hier erwähnt werden, daß 
Trouton und Noble 1S ) vergeblich nach einem von der Lorentz- 
schen Theorie vorausgesagten, zu q 2 /c 2 proportionalen Drehmoment 
gesucht haben, welches ein geladener Plattenkondensator infolge 



— 16 — 

der Bewegung erfahren sollte*). Ebenso ergebnislos verliefen die 
Versuche einer Reihe von Physikern 14 ), eine Doppelbrechung der 
Körper, Änderungen der Rotationspolaxisation und des Spiege- 
lungs- und Brechungsvorganges als Folgen der Erdbewegung 
nachzuweisen. Nach Des Coudres 15 ) ist ferner kein Einfluß 
davon auf die Induktionserscheinungen, nach Trouton und 
Bankine 16 ) keine Änderung der Stromverteilung zu bemerken, 
wenn man eine Wheatstonesche Brücke verschieden gegen die 
Erdgeschwindigkeit orientiert. Die Liste der Experimente, bei 
welchen nach einem Einfluß der Erdbewegung gesucht wurde, 
ließe sich sogar noch erheblich verlängern. Bei keinem hat sich 
das Gesuchte beobachten lassen, und darin liegt die festeste Stütze 
für die Überzeugung von der Existenz eines Relativitätsprinzips. 
Freilich muß man ja bei der Verallgemeinerung negativer Er- 
fahrungen sehr vorsichtig zu Werke gehen ; kann doch ein ein- 
ziger Versuch mit positivem Ergebnis sie als unzulässig erweisen. 
Dennoch stützt sich der allgemeine feste Glaube an die Gültigkeit 
der beiden Hauptsätze der Thermodynamik auch auf keine sicherere 
Basis, als die Häufung gewisser negativer Erfahrungen, daß es 
nämlich auf keine Weise gelingt, ein Perpetuum mobile erster 
oder zweiter Art zu konstruieren. Und wenn sich die Zahl der 
vollgültigen Experimente in unserem Falle auch nicht mit der- 
jenigen Fülle exakter Versuche messen kann, die in den beiden 
anderen Fällen vorliegt, so bilden sie doch immerhin schon eine 
Instanz von erheblichem Gewicht. 

Dynamik des Elektrons. Zum Schluß müssen wir noch 
auf eine hochinteressante, wenn auch wohl noch nicht abge- 
•ohloBsene Reihe von Versuchen über die Dynamik des Elektrons 
eingehen. In den Kathoden strahlen bewegen sich bekanntlich 
die freien Atome der negativen Elektrizität, die sog. Elektronen. 
Dieselben bilden auch einen Teil der von radioaktiven Substanzen 
ausgehenden Strahlung (ß-Strahlen) und treten außerdem bei der 
Bestrahlung von Metallen mit ultraviolettem Licht - aus diesen 
heraus. Ihre Geschwindigkeit kommt in den /J-Strahlen nahe an 
die des Lichtes heran, doch kann man auch die bei den Kathoden- 
strahlen und den liohtelektrischen Vorgängen auftretenden Elek- 



*) Die Theorie dieses Versuches kann erst später (in § 17 f) ge- 
geben werden. 



— 17 — 

tronen durch elektrische Felder bis über die halbe Lichtgeschwin- 
digkeit beschleunigen (Hupka). 

Ein bewegtes Elektron repräsentiert eine elektrische Strömung; 
es ist gemäß dem Rowland sehen Versuch von einem magnetischen 
Feld umgeben, dessen Stärke mit der Geschwindigkeit wächst. 
Ändert man die letztere nach Größe oder Richtung, so übt dies 
Feld eine der Selbstinduktion eines Stromes ähnliche Wirkung 
aus, welche sich als Widerstand gegen die Beschleunigung, d. h. 
als Trägheit des Elektrons äußert, so daß man diesem, auch wenn 
ihm wirkliche Masse fehlt, wie zurzeit allgemein angenommen 
wird, eine „ elektromagnetische Trägheit tt zuzuschreiben hat (§ 18). 
Nur ist diese Trägheit nicht einer skalaren Masse äquivalent. 
Vielmehr ist die Trägheit gegenüber einer Beschleunigung in der 
Bewegungsrichtung -eine andere, als wenn diese auf der Ge- 
schwindigkeit senkrecht steht. Man unterscheidet deshalb die 
„longitudinale" von der „transversalen" Masse. 

Soweit stimmen alle Theorien für die Dynamik des Elektrons 
überein, doch unterscheiden sie sich in quantitativer Beziehung. 
Nach der Lorentzschen Theorie ist, wie Abraham 17 ), Schwarz- 
schild 18 ) und Sommerfeld 19 ) zeigten, die longitudinale Masse 

3 c 2 f 2 c 2 c 7 /e + q\~\ 

die transversale Masse 

nach dem Kelativitätsprinzip dagegen ist, wie wir in § 26 sehen 

werden : 

m 

m i= -, -. j » 



m t = 



Vi — q*/c* 
m 

, , • 

Vi — 3 2 A 2 ' 



m ist dabei die Kuhmasse des Elektrons. Nun erfährt ein be- 
wegtes Elektron sowohl im elektrischen als im magnetischen 
Feld Kräfte, so daß man seine Dynamik experimentell unter- 
suchen kann. Kaufmann 20 ), der zuerst an diese Versuche 
herantrat, konnte auch die Abhängigkeit der transversalen Träg- 

Laue, ReLativit&tsprinsip. o 



— 18 — 

heit von der Geschwindigkeit bei den /J-Strahlen nachweisen. Zu 
einer Entscheidung zwischen beiden Theorien reichte aber die 
Genauigkeit nicht aus. Und wenn auch spätere, sehr bedeutende 
Experimente von Bucherer 21 ) und Hupka 32 ) zugunsten der 
Relativitätstheorie zu sprechen scheinen, so sind doch die 
Meinungen über ihre Beweiskraft noch so geteilt, daß die Rela- 
tivitätstheorie von dieser Seite eine unbedingt zuverlässige Stütze 
wohl noch nicht erhalten hat 28 ). 

Dies mannigfaltige Material soll nur zur Beurteilung der 
Relativitätsfrage herangezogen werden. Das Induktionsgesetz 
spricht für die Möglichkeit eines Relativitätsprinzips, denn nur 
von der relativen Verschiebung hängt die Veränderung des Inte- 
grals J 93 n do* (innerhalb der durch die Versuchsgenauigkeit ge- 
zogenen Grenzen) ab. Das gleiche gilt für die Aberration und den 
Dopplereffekt, sowie für alle elektromagnetischen und optischen 
Erscheinungen auf der Erdoberfläche mit Ausnahme des Fizeau- 
schen Versuches, welcher geradezu handgreiflich die Existenz eines 
ruhenden Äthers zu demonstrieren scheint. Auch können wir 
aus der Dynamik des Elektrons wegen der Veränderlichkeit der 
Trägheit jedenfalls den Schluß ziehen, daß die klassische Mechanik 
und ihr Relativitätsprinzip nicht allgemein gültig ist. Man er- 
kennt schon hier, daß es eine wissenschaftliche Tat ersten Ranges 
sein muß, diese so widerspruchsvoll erscheinenden Ergebnisse aus 
einem Gesichtspunkte heraus zu erklären; man darf sich aber 
auch nicht wundern, daß diese Tat tief in unser ganzes physika- 
lisches Weltbild eingreift und bis: an die erkenntnistheoretischen 
Grundlagen dieser Wissenschaft rührt. 



IL Die älteren Theorien der Elektrodynamik 

bewegter Körper. 

§ 3. Historische Übersieht. 

Da die Relativitätstheorie eine so tiefgehende Wandlung in 
den Grundanschauungen der Physik erforderlich macht, bedarf 
sie vielleicht mehr wie andere Theorien des Beweises ihrer Not- 
wendigkeit. Nun kann natürlich jede physikalische Theorie ihre 



— 19 — 

eigentliche Stütze nur in sich selbst und in der Bezugnahme auf 
die Tatsachen finden. Immerhin gibt es auch auf diesem Gebiet 
eine Art historischer Notwendigkeit, die in dem Fehlschlagen 
aller anderen Versuche liegt, zu einem befriedigenden Verständnis 
der Tatsachen zu gelangen. Aus diesem Grunde wollen wir von 
den älteren Theorien der bewegten Körper wenigstens zwei vorher 
besprechen, die Hertzsche Theorie und die Elektronentheorie 
von H. A. Lorentz. Wir wählen gerade diese aus, weil sie vom 
Standpunkt der Relativitätsfrage besonders interessant sind. Ver- 
sucht doch die eine von ihnen das Relativitätsprinzip der 
Mechanik auf die Elektrodynamik zu übertragen, während die 
andere die Möglichkeit eines solchen Prinzips von Grund aus 
leugnet. Unserem Zweck entsprechend müssen wir natürlich 
mehr ihre Mängel als ihre Vorzüge hervortreten lassen; darum 
soll zunächst auf ihre hohe Bedeutung in der Geschichte der 
Wissenschaft hingewiesen werden. Die Gedanken , auf denen sie 
beruhen, lagen weit näher als die Grundidee der Relativitäts- 
theorie ; man wäre nie zu der letzteren gelangt, wenn nicht zuvor 
die Durchführung der ersteren versucht und der Versuch als 
aussichtslos erkannt worden wäre. Zudem hat namentlich die 
Lorentz sehe Theorie durch Einführung gewisser neuer funda- 
mentaler Begriffe der Relativitätstheorie so vorgearbeitet, daß 
deren schnelle Entwickelung zum großen Teil dieser ihrer Vor- 
läuferin zu verdanken ist. 

Nicht unerwähnt darf bleiben, daß H. A. Lorentz 1904 
seine Theorie in Rücksicht auf den Michel so n sehen Versuch so 
modifiziert hat, daß sie von allen Beobachtungen Rechenschaft 
gibt [in ihr tritt schon die „Lorentz-Transformation" auf 1 )], und 
daß E. Gohn eine Elektrodynamik aufgestellt hat, welche, abge- 
sehen von dem Fehlen einer Atomistik, dasselbe leistet 3 ). Doch 
wiegt dieser Mangel angesichts der Erscheinungen der Strom- 
leitungen in Elektrolyten und Gasen, der Kathoden- und Radium- 
strahlen so schwer, daß die Gohn sehe Theorie nie weitere 
Verbreitung gefunden hat. Eine eigentliche experimentelle Ent- 
scheidung zwischen der erweiterten Lorentz sehen und der Rela- 
tivitätstheorie ist dagegen wohl überhaupt nicht zu erbringen, 
und wenn die erstere trotzdem in den Hintergrund getreten ist, 
so liegt dies hauptsächlich daran, daß ihr, so nahe sie auch der 
Relativitätstheorie kommt, doch das große, einfache, allgemeine 

2* 



— 20 — 

Prinzip mangelt, dessen Besitz der Relativitätstheorie schon in 
ihrer jetzigen, noch sehr der weiteren Entwickelung bedürftigen 
Gestalt etwas Imposantes verleiht. 

§ 4. Die Theorie von Heinrich Uertz. 

a) Ruhende Körper. Ende der 80er Jahre des 19. Jahr- 
hunderts gelangte eine große Epoche der Elektrodynamik zum 
Abschluß, indem Hertz die Max well sehe Theorie experimentell 
bewies und sie auf das folgende einfache System von Grund- 
gleichungen brachte *) : 

(!) rot® = — i- » (II) rot§ = i-(ä) + 3) 

(III) div 2) = Q (IV) div 33 = 

(V) » = «(£ (VI) 93 = |u£ 

(VII) 3 = 0- <£. 

Dazu tritt noch ein Ansatz für die Dichte der elektromagnetischen 
Energie : 

TT=J (««•+!»««) (VIII) 

Als Grenzbedingung für Unstetigkeitsflächen kommt die Forderung 
hinzu, daß die Tangentialkomponenten beider Feldstärken (£ und 
6 und die Normalkomponenten beider Verschiebungen 2) und 33 
stetig sein sollen ; sie ist durch Grenzübergang aus den Gleichungen 
(I) bis (IV) abzuleiten. Nur wo elektrische Flächenladung auf- 
tritt, hat die Normalkomponente von 3) einen Sprung, dessen 
Betrag gleich der Dichte dieser Ladung ist. 

In diesen wenigen Zeilen ist der Inbegriff aller elektromagne- 
tischen und — wenn man von der Dispersion usw. absieht — 
auch optischen Erfahrung für ruhende Körper enthalten. Wir 
wollen zunächst einige allgemeine Schlüsse aus ihnen ziehen. 

Bildet man an beiden Seiten der Gleichung (II) die Diver- 
genz, so findet man in Rücksicht auf (III) und t: 

Q+div3 = (12) 



*) Wir beschränken uns auf isotrope, nicht permanent magne- 
tisierte und nicht ferromagnetische Körper. Wegen der Bezeichnungen 
und des Maßsystems vgl. den Anhang. 



— 21 — 

eine Gleichung, die wir nach ihrer hydrodynamischen Analogie 
als die Kontinuitätsgleichung der Elektrizität bezeichnen. 
Integriert man sie über einen Kaum, dessen Grenzfläche ganz im 
Dielektrikum verläuft, so findet man mit Hilfe des Gaußschen 
Satzes x: 

l'Qdt = —^divSät = jSndct = 0, 

d. h. die in einem solchen Raum enthaltene Elektrizitätsmenge 
ist zeitlich unveränderlich; das Gesetz von der Erhaltung der 
Elektrizität spricht sich in ihr aus. 

An zweiter Stelle wollen wir eine nur die elektrische Feld- 
stärke enthaltende, auf homogene nicht geladene Dielektrika 
(q = 0, 3 = 0) bezügliche Beziehung ableiten. Vollziehen wir 
an (I) die Operation rot, so findet man in Berücksichtigung von 
Rechnungsregel $ und Gleichung (III) und (VI) : 

rot rot g = — z/g = — — rot 33 = — — rot ©. 

c c ^ 

Differentiieren wir ferner (II) nach der Zeit, so folgt gemäß (V): 

rot © = — g, 

v c 

also gilt für die elektrische Feldstärke die Differentialgleichung: 

z/g — i£g =0 (13) 

Ganz analog leitet man für die magnetische Feldstärke 

^£-^f£ = (13a) 

ab. Diese für beide Feldstärken geltende Differentialgleichung 
bezeichnet man bekanntlich als Wellengleichung. 

Schließlich wollen wir noch das Energieprinzip für die 
Maxwellsche Theorie formulieren: Multiplizieren wir (I) skalar 
mit £, (II) mit — g, so folgt durch Addition unter Berücksichti- 
gung von (V) und (VI): 

c[(£, «*©-(«, rotm = -j§- t («<S 2 + f*S 2 )-(3<S); 

nach Rechnungsregel & und (VIII) kann man diese Gleichung in 
die Form 



— 22 — 

W+(3<£) + cdiv[<£$] = (14) 

bringen. (3>(£) ist hier die pro Zeit- und Volumeinheit erzeugte 
Joule sehe Wärme Q\ TT+(3@) infolgedessen die Zunahme 
der gesamten Energiedichte pro Zeiteinheit. Vergleicht man (14) 
unter diesem Gesichtspunkte mit der Kontinuitätsgleichung (12), 
so leuchtet ein, daß man den „Pointingschen Vektor" 

@ = c[(£|)] (l^a) 

als die Dichte der Energieströmung deuten kann, in dem Sinne, 
daß (B n d6 die Energie ist, welche durch das Flächenelement dö 
in der Zeit 1 hindurchströmt. 

Eine periodische ebene Welle ist durch die Gleichungen 



& = 2itv\t— !—*-[xcos(<Sx) + ycos(<&y) -f zcos{fg>z)~\ 



(15) 



gegeben, wobei 



= **? } 



äw - > ' (15a) 

ist; durch Einsetzen dieser Werte in die Gleichungen (I) bis (IV) 
sowie in (13) und (13a) überzeugt man sich, daß diese identisch 
erfüllt sind. Die Vektoren S, £j und @ liegen dabei zueinander 
wie die x-, die y- und die z- Achse; die Welle schreitet mit der 

Geschwindigkeit ° fort. 

b) Bewegte Körper. Hertz ging aber sogleich einen 
Schritt über Maxwell hinaus, indem er nach den Grundgleichun- 
gen für bewegte Körper fragte. Wie schon erwähnt, ist seine 
Theorie im gewissen Sinne eine Übertragung des mechanischen 
Relativitätsprinzips 1 ). Daraus folgt für die gesuchten Gleichungen: 
Erstens dürfen sie ihre Form bei einer Galilei -Transformation 
des Koordinatensystems nicht ändern, zweitens aber müssen sie 
in die Gleichungen für ruhende Körper übergehen, wenn wir von 
allen nach diesem Relativitätsprinzip gleichberechtigten Systemen 
dasjenige der Betrachtung zugrunde legen, in welchem der Körper 
gerade ruht. Beiden Forderungen genügt es, wenn wir an Stelle 
von (I) und (II) die folgenden Gleichungen treten lassen: 



— 23 — 



1 - 1 

rot® = ——33 = — - 
c — c 



39 +ro*[33q] 



(I') 



rot§ = — (g> + 3f) = — ® + q dto 2) + rot [3> q] + 3 ) (II') 
oder nach der Definition der Differentiation QD bzw. S (vgl.ö* und ö'): 

]«•'• = "7 s(l»» w ) (I "> 

J^S = i(|-(f®ndö) + j3n^|. • (II") 

o 

Die Gleichungen (III) bis (VIII) bleiben unverändert. Bei der 
Ausführung einer Galilei- Transformation ändern sich die rechten 
Seiten von (I") und (II") überhaupt nicht, da die Integration über 
mit der Materie bewegte Flächen zu erstrecken ist und in allen 
Bezugssystemen zu denselben Werten führt; und das gleiche gilt 
von den linksstehenden Linienintegralen. Zugleich aber gehen 
die Beziehungen (V) und (II') offenbar, wenn man ein System, in 
welchem der Körper ruht (q == 0), zu- 
grunde legt („auf Buhe transformiert u ), in 
die Maxwell sehen Gleichungen über. In 
einer Hinsicht freilich geht Hertz über 
das Relativitätsprinzip hinaus« Wir 
nahmen soeben stillschweigend an, daß 
sich die Körper als starre Körper und 
mit einer gleichförmigen, geradlinigen 
Geschwindigkeit bewegen, Hertz aber 
legt der Geschwindigkeit q keinerlei Be- 
schränkung auf. 

c) Der Wilsonsche Versuch. 
Prüfen wir diese Theorie zunächst an 
einigen der in § 2 aufgezählten Versuche. 
Nach (VII) ist hier die elektromotorische 
Kraft ©* mit der elektrischen Feldstärke 
(£ identisch; infolgedessen enthält (I') bzw. (I") das Induktions- 
gesetz. Die Übereinstimmung mit dem Experiment hört aber auf, 
wenn wir den Wilson sehen Versuch erklären wollen. In Fig. 2 
soll die schraffierte Fläche ein Querschnitt des Dielektrikums sein y 




— 24 — 

welches sich zwischen den leitenden und durch den Draht D 
leitend verbundenen Platten P 1 und P 2 nut ^ er Geschwindigkeit 
q bewegt. Der Abstand der Platten ist l, die magnetische Feld- 
stärke soll auf der Zeichenebene senkrecht stehen, und zwar von 
unten nach oben weisen. Als mitbewegte Fläche, auf die wir die 
Gleichung (I") anwenden, wählen wir das vom Draht D und der 
materiellen Linie AB berandete Stück der Zeichenebene. Nach 
Ablauf der Zeit dt hat sich diese Linie um die Strecke qdt nach 
A! B' verschoben; die Berandung ist jetzt durch den Draht D 
und den Linienzug AA! B 1 B gebildet. Die Fläche hat sich also 
um qldt, der Induktionsfluß durch sie um |93|gZd£ vergrößert; 

also ist » 

\® 8 ds = \%\ql 

Im stationären Zustande kann in dem Drahte D kein Strom 
fließen, weil sich sonst der Kondensator immer weiter aufladen 
müßte. Infolgedessen ist in D und ebenso auf den Linien AA! 
und BB' d = 0. Daher muß 

B' 

\<S 9 d8 = \<&\.l = |8|flf, 

und nach (V) zwischen den Platten eine elektrische Verschiebung 
Tom Betrage . ||a>| = ,|8| g 

vorhanden sein , während im Innern der Platten 2) = ist. An 
den Platten tritt daher eine Unstetigkeit der elektrischen Ver- 
schiebung und damit eine Flächenladung von der Dichte + £ | 93 1 q 
auf. Beobachtet aber wurde (§ 2) nur die Dichte +■(« — 1) |33|#. 
(Da in = 1, sind 33 und ^ identisch.) 

d) Der Eichenwaldsche Versuch. Eine Abweichung 
ganz ähnlicher Art besteht zwischen dem Ergebnis des Eichen- 
wald sehen Versuches und der Hertz sehen Theorie. Auf der 
rechten Seite der Gleichung (II') treten neben dem Verschiebungs- 
ström 2) und dem Leitungsstrom 3> noch die von q abhängigen 
Glieder [vgl. (III)]: 

qdiv® = pq und ro<[3)q], 

von welchen das erste in Übereinstimmung mit dem Rowland- 
schen Versuch den Konvektionsstrom angibt, während das zweite, 



— 25 — 

welches man als die Dichte des Röntgenstromes bezeichnet, 
die Erklärung des Eichenwald sehen Experimentes enthält. 
Bei diesem haben wir zwischen den Platten des Kondensators ein 
zeitlich und, wenn wir von den Komplikationen am Rande der 
Platte absehen, auch räumlich unveränderliches elektrisches Feld; 
die Verschiebung ÜD steht, wie auch (§, senkrecht zu den Platten. 
Infolgedessen ist das Vektorprodukt [2) q] ebenfalls räumlich kon- 
stant und rot [3)q] = 0. Nur an der Grenzfläche springt der 
Vektor [®q] unstetig von dem Werte, den er im Innern hat, auf 
Null; da er an der Grenzfläche tangential ist, tritt ein Flächen- 
rotor und damit ein flächenhafter Röntgenstrom von der Dichte 
|[£)q]| = |3)| |q| = a|g| |q| auf. Wir erwähnten oben, daß 
das Experiment dafür nur den Wert (e — 1)|S| |q| ergeben hat* 
Die Hertzsche Theorie widerspricht daher sowohl dem 
Wilsonschen als dem Eichenwaldschen Versuch. (Die 
hier gegebene Erklärung ist nur eine erste Annäherung; denn 
wegen des Auftretens eines magnetischen Feldes als Folge des 
Röntgenstromes ist [93 q], also nach (F) auch rotdi, nicht mehr 
gleich Null und (£ nicht mehr, wie angenommen wurde, räumlich 
konstant. Da aber 33 selbst proportional zu q/c ist, so gibt dies 
nur einen Fehler zweiter Ordnung. Entsprechendes gilt für die 
Theorie des Wilsonschen Versuches.) 

e) Der Fizeausche und Michelsonsche Versuch. Daß 
die Hertzsche Theorie dem Fi ze auschen Versuch widerspricht, 
liegt nach dem Obigen auf der Hand und war auch ihrem Urheber 
bekannt. Besonders interessant ist aber ihre Stellung zum 
Michels on sehen Versuch. Das Mittel, in welchem er ausgeführt 
wird, ist natürlich Luft, die sich mit der Erde bewegt; und da 
in einem Körper, der sich wie ein starrer bewegt, die elektro- 
dynamischen Vorgänge wie in einem ruhenden verlaufen sollen, 
so erklärt die Hertzsche Theorie in der Tat das Ausbleiben der 
Streifen Verschiebung. Ganz anders wäre es, wenn man ihn im 
Vakuum angestellt hätte. Auch dort muß man nach Hertz 
offenbar etwas Substantielles, den Äther, annehmen, um überhaupt 
entscheiden zu können, ob eine Fläche sich mit ihm bewegt. Da 
die Erde relativ zum Äther nicht ruht, so müßte man in diesem 
nicht realisierten Falle beim Michels on sehen Versuch ein positives 
Ergebnis finden. Diese Erklärung ist aber trotz ihrer empirischen 
Unwiderlegbarkeit höchst unbefriedigend. Wir sind die Vorstellung 



— 26 — 

gewohnt, daß sich die Luft vom Vakuum elektromagnetisch nur 
sehr wenig unterscheidet, umsoweniger, je weiter wir sie ver- 
dünnen. Nach Hertz aber müßten hei immer weiter fortgesetzter 
Verdünnung seihst die letzten Gasreste für den Ausfall des Ver- 
suches entscheidend sein. (Derselbe Einwand trifft übrigens auch 
die Cohnsche Theorie.) 

f) Der Induktionsvorgang. Den Einfluß des Bewegungs- 
zustandes des Äthers zeigt auch eine nähere Betrachtung der Induk- 
tion in einem Drahtkreise bei seiner Bewegung gegen einen Magneten. 
Beobachtungstatsache ist, daß nur die relative Lagenänderung in 
Frage kommt. Trotzdem Gleichung (I'), wie erwähnt, damit in 
Einklang steht, sind es nach Hertz wesentlich verschiedene Fälle, 
ob der Magnet allein oder die Drahtschleife allein zum Äther be- 
wegt wird. Im ersten Falle haben wir im Äther ein zeitlich 
variables magnetisches Feld, welches nach (I) ein elektrisches Feld 
hervorruft. Im anderen Falle aber haben wir im Äther primär 
kein solches, sondern nur im Draht selbst [nach (I')], da dort 
das Produkt [q SB] von Null verschieden ist. Es gibt eben in 
dieser Theorie für den von Materie freien Raum wie für jeden 
ponderablen Körper ein ausgezeichnetes System, in welchem „der 
Äther u ruht, und dies findet seine Begründung in der Tatsache, 
daß nicht die Gleichungen (I) und (II) (auch nicht für £ = 1, 
p =3= 1), sondern nur (I') und (II') gegen eine Galilei-Trans- 
formation invariant sind; ohne einen solchen Äther ließe sich 
die Theorie für Räume außerhalb der Materie überhaupt nicht an- 
wenden. 

g) Die Erhaltung des Impulses. Aber noch aus anderen 
Gründen braucht Hertz einen substantiellen Träger für das elek- 
tromagnetische Feld im Vakuum. Es zwingt dazu die endliche 
Ausbreitungsgeschwindigkeit in Verbindung mit dem Impulssatz 
der Mechanik, welcher seinerseits nach § 1 eine notwendige Folge- 
rung aus dem Energie- und dem Relativitätsprinzip der Mechanik 
ist. Geht nämlich von einem Körper A eine elektromagnetische 
Wirkung, etwa ein Lichtstrahl, aus, so erfährt A im allgemeinen 
eine Kraft, beim Licht den experimentell nachweisbaren Licht- 
druck. Es ändert sich daher sein Impuls. Bis ein anderer Körper 
B von dieser Wirkung erreicht wird, können beliebig lange Zeiten 
vergehen. Bis dahin tritt an ponderablen Körpern sicherlich kein 
Äquivalent für die Impulsänderung von A ein. Soll dennoch der 



— 27 — 

Impulssatz gelten, so muß offenbar außerhalb der ponderablen 
Materie ein Zwischenmedium vorhanden sein, welches vom Feld 
Kräfte erfährt und infolgedessen sofort die nötige Kompensation 
für die Impulsänderung von A liefert. Dies geht auch tatsächlich 
aus dem Hertz sehen Ansatz für die ponderomotorische Kraft 
hervor. Er führt nämlich die pro Volumeinheit wirkende Kraft 
§ („Kraft dichte") auf den Max well sehen Spannungstensor p 
vermöge der Gleichung 

g = -biüp (IX) 

zurück, dessen Komponenten die Werte 

p*x = \ [(«©) + ($»)] -«,©.- ©.8. 1 ^ N 

Px V = p yx = -\ (g y 2)* + CS), + £„33* + $.8,) j 

haben*). Die Durchrechnung ergibt eine resultierende Kraft 

1 o 

g = — — [@|)] auf das Vakuum **). Damit aber erhält die 

Frage nach den mechanischen Eigenschaften des Äthers einen 
Sinn, da sie mit der erwähnten Kraft zusammen die Bewegungen 
des Äthers bestimmen, welche für die Anwendung der Gleichungen 
(I') und (II') von Wichtigkeit sind 2 ). So wird die Theorie ins 
Unendliche kompliziert, ohne daß dem irgend etwas Beobachtbares 
entspräche. 

Man sieht schon aus dieser kurzen Darstellung, daß der Ver- 
such, das Relativitätsprinzip der Mechanik auf die Elektrodynamik 
zu übertragen, aus empirischen Gründen und solchen, die in der 
Theorie selbst liegen, als mißglückt anzusehen ist. 

. § 5* Die Elektronentheorie. 

Die Elektronentheorie ist das Ergebnis der folgenden drei 
Gedanken : 

1. Die Elektrizität ist atomistisch konstituiert. 2. Elektro- 
magnetische Felder werden nur von Elektronen erregt und wirken 



*) Da sich das dielektrische Verhalten der Körper bei einer De- 
formation ändert, so treten genau genommen noch gewisse kleine, aber 
in ihren Wirkungen gelegentlich doch beobachtbare Zusatzglieder hinzu 
[vgl. Encyklop. d. math. Wiss. V, 13, Nr. 22 u. 23 (H. A. Lorentz) 
und V, 15, Nr. 3 u. 4 (F. Pockels)]. Wir sehen im Interesse der Ein- 
fachheit von ihnen ab* 

**) Vgl. § 15, Anm. S. 85. 



— 28 — 

nur auf Elektronen; sie haben ausschließlich im Äther ihren Sitz. 
Die ponderablen Körper kommen nur in zweiter Linie in Betracht, 
insofern sie Elektronen enthalten*). 3. Der Äther ist ein 
alles durchdringender, starrer Körper und definiert so 
ein bestimmtes System, auf welches die Feldgleichungen 
zu beziehen sind. 

Die Feldgleichungen selbst gehen aus den Max well sehen 
hervor, wenn man die Dielektrizitätskonstante £ und die Permea- 
bilität ft gleich 1 setzt und an die Stelle des Leitungsstromes 3 
den Kon vektions ström pq der Elektronen treten läßt. Die Elek- 
tronen werden in manchen Teilen der Theorie als starre Kugeln 
gedacht, doch ist in vielen anderen Teilen keine Annahme über 
ihre Gestalt nötig. Ihre Ladungsdichte Q denken wir zunächst 
als stetige Funktion des Ortes; zu Unstetigkeiten kann man dann 
noch immer durch Grenzübergänge gelangen. Der Satz 1. ist für 
die ßelativitätsfrage unwesentlich l ). 

Nimmt man die erwähnten Veränderungen an den Gleichungen 
(I) bis (VIII) vor, so findet man: 

(Ia) ro*g = — -£ (IIa) r<rf£ = - (g + pq) 

c c 

(III a) divd = Q (IV a) div§ = 

W= $(& + $*) '(Villa) 

Dazu tritt noch der Ansatz für die auf die Volumeinheit be- 
zogene ponderomotorische Kraft (die Kraftdichte) : . 

8 = e(e+~M>l) (ixa) 

Er ist von den obigen Gleichungen nur zum Teil unabhängig, 
weil er mit ihnen zusammen dem Energieprinzip genügen muß 
(vgl. § 15). Man sieht an dem Faktor Q, daß der freie Äther keine 
Kraft erfährt. 



*) Vielfach ist es üblich, den Ausdruck „Elektron" auf die von 
den Atomen der Materie freien Elementarquanta einzuschränken, 
welche uns negativ geladen in den Eathodenstrahlen entgegentreten, 
und deren positives Gegenstück sich bisher nicht hat nachweisen lassen. 
Wir setzen uns über diese für die mathematische Theorie unwesentliche 
Unterscheidung hinweg. 



— 29 — 

Wir wollen aus diesen Gleichungen hier nur zwei Folgerungen 
ziehen; alles andere verschieben wir auf §14 u. f. Zunächst ist 
nach (13) und (13 a) klar, daß für die Ausbreitung eines elektro- 
magnetischen Feldes im Vakuum die Wellengleichung 



4 l 



Ay — \v ==o (i6) 



c 2 



gilt, wo unter q> jede der drei Komponenten von (£ oder ^ ver- 
standen werden kann. Zweitens gilt in Analogie zu (12) die Kon- 
tinuität Sgl ei chun g 

<* + du; (p q) = (17) 

In dieser Form gibt sie an, wie in einem im Raum festen Punkt 
die Änderung der Dichte mit dem Konvektionsstrom zusammen- 
hängt. Wollen wir dagegen ein bestimmtes Elektron auf seiner 
Bahn verfolgen, so müssen wir die zeitlichen Veränderungen in 
einem materiellen Punkt (welcher die Bewegung des Elektrons 
mitmacht) [vgl. Gleichung (q) des Anhangs] berechnen. Nun ist 
nach ((>') und (17) 

Q = Q -\-div(Qc\) = 0. 

Infolgedessen nach Q: 

d(Qdv) 



öt 



= (18) 



Jedes Volum element dv des Elektrons und ebenso das ganze Elek- 
tron behält seine Ladung unverändert bei. 

Diese Gleichungen vermögen alle Beobachtungen, bei welchen 
nur einzelne Elektronen gebunden eventuell an einige wenige 
Atome vorkommen, befriedigend zu erklären*). Z. B. wird die 
Ablenkbarkeit aller Korpuskularstrahlen im magnetischen Felde 

durch das Auftreten des Gliedes — [q^)] in (IX a) gedeutet. Um 

c 

aber die Elektrodynamik der ponderablen Körper zu begründen, 
braucht man noch Annahmen über die Kräfte, welche die Elek- 
tronen von seiten der Atome erfahren. Man unterscheidet zwei 
Arten, Leitungs- und Polarisationselektronen. Die ersteren be- 
wegen sich frei zwischen den Atomen mit derselben mittleren 



") Über die Dynamik des Elektrons vgl. § 2. 



— 30 — 

kinetischen Energie wie die Atome selbst. Nur wenn ein elektro- 
magnetischer Antrieb auf sie wirkt, wächst die Energie über dies 
Maß, doch wird der Überschuß nie erheblich, weil die Zusammen- 
stöße mit den Atomen im Sinne des Ausgleichs wirken und daher 
nach Art eines Widerstandes gegen geordnete Bewegungen der 
Elektronen in Rechnung gezogen werden können. Aus diesen 
Vorstellungen folgerte Drude, daß sie nicht nur die Träger des 
elektrischen Stromes sind, sondern auch den Temperaturausgleich 
zum überwiegenden Teil vermitteln; er konnte so z. B. die an 
vielen Metallen beobachtete Proportionalität zwischen der elek- 
trischen und der thermischen Leitfähigkeit theoretisch . ableiten. 

Die Polarisation selektronen hingegen haben Gleichgewichts- 
lagen in den Atomen und werden nach diesen durch „quasi- 
elastische*', d. h. derElongation proportionale Kräfte zurückgezogen; 
unter ihrem Einfluß können sie periodische Schwingungen aus- 
führen, deren Strahlung (jedes beschleunigte Elektron strahlt 
Energie aus) wir in den Spektral linien vor uns haben. Außer 
der durch die Ausstrahlung bedingten Dämpfung muß allerdings 
noch eine andere, vielleicht kinetisch zu deutende Reibung ange- 
nommen werden. 

Mit diesen Vorstellungen kann man die elektrisch - optischen 
Eigenschaften der Dielektrika qualitativ befriedigend erklären. Die 
Existenz einer von 1 verschiedenen Dielektrizitätskonstanten ist 
die Folge des elektrischen Moments, welches die Atome unter dem 
Einfluß der Feldstärke durch die Verschiebung der Polarisations- 
elektronen annehmen, die Dispersion und selektive Absorption 
werden auf die Resonanz der Elektronenschwingungen zugeführt; 
namentlich die Anomalien, welche in den der Eigenschwingung 
benachbarten Spektralbereichen auftreten, kommen ungezwungen 
heraus. Eine epochemachende Bestätigung fanden diese Anschau- 
ungen ferner in der Entdeckung, daß sich die Spektrallinien im 
Magnetfeld aufspalten. Den einfachsten Fall dieses nach seinem 
Entdecker benannten Zee man -Phänomens konnte Lorentz ohne 
weiteres theoretisch deuten. Aber auch bei den später entdeckten, 
komplizierteren Zerlegungen ist der Zusammenhang mit den Elek- 
tronen, wie wir sie in den: Kathodenstrahlen vor uns haben, 
zweifellos festgestellt. 

Doch es würde zu weit führen, wollten wir die Gründe auch 
nur einigermaßen vollzählig hier aufführen, aus denen hervorgeht, 



— 31 — 

daß die Elektronentheorie an Wahrheitswert der Max well sehen 
weit überlegen ist. Dagegen darf nicht verschwiegen werden, 
daß sich ihrem weiteren Ausbau gerade von Seiten der Elektro- 
dynamik ponderabler Körper erhebliche Schwierigkeiten in den 
Weg stellen. Zunächst ist die Theorie der metallischen Leitung 
keineswegs mit allen einschlägigen Beobachtungen in Einklang 
gebracht, und bei den Dielektriken läßt die quantitative' Über- 
einstimmung mit der Erfahrung ebenfalls noch zu wünschen 
übrig. Gar nicht aufgeklärt ist, wie man sich das Nebeneinander- 
bestehen der vielen Spektrallinien denken soll, welche uns die 
Spektra der Gase zeigen, noch weniger, wie wir die einfachen 
Gesetze zwischen den Schwingungszahlen aller einer Serie ange- 
hörigen Linien, die Beziehungen zwischen verschiedenen Serien 
desselben und zwischen analogen Serien verschiedener chemischer 
Elemente zu deuten haben. Auch ist noch keine befriedigende 
Theorie des Magnetismus auf elektronentheoretischer Grundlage 
gegeben worden. Einleuchtend ist nur, daß die Magnetisierbar- 
keit auf kreisende Bewegungen der Elektronen in den Atomen 
nach Art der Am pereschen Magnetismushypothese zurückgeführt 
werden muß; die Proportionalität aber zwischen der magnetischen 
Feldstärke und Induktion ist noch nicht erklärt. Schließlich führt 
die Elektronentheorie bei ihrer Anwendung auf die Thermodynamik 
der Wärmestrahlung zu Schlüssen, welche mit der Beobachtung 
im schärfsten Widerspruch stehen. 

Trotz dieser enormen Schwierigkeiten besteht wohl begründete 
Hoffnung, die elektromagnetischen Grundgleichungen aufrecht er- 
halten zu können. Denn alle Unstimmigkeiten lassen sich auf die 
Annahmen über den Zusammenhang von Elektronen und Atomen 
— in der Strahlungstheorie auf die dort angewandte statistische 
Methode — schieben, welche durchaus provisorischen Charakter 
tragen. Das Problem, sie zu verbessern, führt freilich sogleich 
mitten in die Kar dinalf rage der ganzen Physik und Chemie, die 
nach der Konstitution des Atominnern, und es besteht anscheinend 
wenig Aussicht, daß ein durchgreifender Fortschritt auf diesem 
Gebiete bald erreicht werden wird*). 



*) Neuerdings ist von verschiedenen Seiten angeregt worden, man 
sollte die Wellentheorie des Lichtes durch eine a touristische (Licht" 
quanten-) Theorie ersetzen, was eine Aufgabe oder zum mindesten 



— 32 — 

Zum Glück sind diese Mängel der Elektrodynamik ruhender 
Körper für die Relativitätsfrage von geringerer Bedeutung. Wir 
werden uns zur Begründung einer Elektrodynamik der bewegten 
Körper damit begnügen, die Max well sehen Gleichungen mit Di- 
elektrizitätskonstante und Permeabilität anzuwenden, solange es 
sich um im engeren Sinne elektromagnetische Erscheinungen bei 
ponderablen Körpern handelt, und bei optischen Problemen als 
einzige Abänderung ft = 1 und für s die Wurzel aus dem 
Brechungsindex zu setzen, wie er für die betreffende Schwin- 
gungszahl gemessen ist. Für die Dynamik des Elektrons aber, 
die Wechselwirkungen verschiedener Elektronen aufeinander und 
ähnliche atomistische Probleme, sowie für die Elektrodynamik 
des leeren Raumes bilden die Gleichungen (Ia), (IIa) usw. die zu- , 
verlässige Grundlage. 

Wir müssen nun noch die Stellung der Elektronentheorie zur 
.Relativitätsfrage ins Auge fassen. Nach dem dritten der grund- 
legenden Sätze (S. 27/28) ist es klar, daß sie die Relativität der 
elektromagnetischen Vorgänge im Prinzip leugnet. Gerade durch 
die Unbeweglichkeit des Äthers erklärt sie. und zwar quantitativ 
richtig, den Fr esn eischen Mitführungskoeffizienten, den Wilson- 
schen und Eichenwald sehen Versuch. Um so bemerkenswerter ist, 
daß die absolute Bewegung gegeneinander ruhender Körper erst 
in Gliedern zweiter Ordnung in ihre Formeln eingeht. Alle Ver- 
suche über die Erdbewegung, welche das Fehlen eines Einflusses 
erster Ordnung zeigen, konnte H. A. Lorentz (189 Ö) in seinem 
berühmten „Versuch einer Theorie der elektrischen und optischen 
Erscheinungen in bewegten Körpern" deuten. Nur der Michel- 
sonsche Versuch blieb unerklärt; denn daß die mitbewegte Luft 
nicht als Grund für das Ausbleiben der Streifen Verschiebung her- 
angezogen werden darf, folgt aus dem von 1 kaum verschiedenen 
Wert ihrer Dielektrizitätskonstanten; er beweist nämlich, daß 
ihre Molekeln elektromagnetische Vorgänge nicht erheblich be- 
einflussen. 

Später kam als Gegenbeweis noch der Trouton -Noble sehe 
Versuch hinzu. Diese beiden Experimente ließen die Relativitäts- 



eine wesentliche Veränderung der Feldgleichungen (Ia) usw. erforderte. 
Doch scheinen die Gründe dafür nicht schwerwiegend genug, um die 
sehr großen entgegenstehenden Bedenken zu überwinden 1 ). 



— 33 — 

frage nicht zur Ruhe kommen. Immerhin blieb das Vertrauen 
zu den Feldgleichungen so stark, daß man nicht an ihnen, sondern 
an der Kinematik und Mechanik zu reformieren begann, indem 
man auch für sie einen physikalischen Einfluß der absoluten Be- 
wegung annahm , welcher den Einfluß auf die Elektrodynamik 
gerade kompensieren sollte. Nach diesem Standpunkt, auf 
welchem die in § 3 erwähnte Lorentzsche Arbeit vom Jahre 1904 
steht, gibt es daher einen Äther, doch bleiben die physikalischen 
Einwirkungen der „ absoluten tt Bewegung gegen ihn stets uner- 
kennbar. Genau umgekehrt verfährt die Relativitätstheorie. Auch 
sie behält die Elektrodynamik bei, ordnet aber beide Gebiete 
einem Relativitätsprinzip, und zwar demselben unter. Man wird 
wohl kaum umhin können, das letztere Verfahren als das weit 
befriedigendere zu bezeichnen; denn es widerspricht allen er- 
kenntnistheoretischen Prinzipien, einem Körper physikalische 
Wirklichkeit zuzusprechen, wenn er niemals nachgewiesen werden 
kann. Dies um so mehr, als die Lorentzsche Theorie an 
vielen Stellen der Mechanik Abänderungen vornehmen mußte; 
es blieb A. Einsteins grundlegender Arbeit „Zur Elektrodynamik 
bewegter Körper" im 17. Bande der Annalen der Physik (1905) 
vorbehalten, durch eine tiefgreifende Kritik des Zeitbegriffes bis 
zu dem entscheidenden Punkt vorzudringen und so des Rätsels 
Lösung auf einen Schlag zu bringen. 



III. Die Relativitätstheorie, kinematischer Teil. 

§ 6. Die Lorentz-Transformation. 

Das Relativitätsprinzip behauptet: Man kann aus der Ge- 
samtheit der Naturerscheinungen durch immer weiter 
gesteigerte Annäherung immer genauer ein Bezugs- 
system x, y, #, t bestimmen, in welchem die Naturgesetze 
in bestimmten, mathematisch einfachen Formen gelten. 
Dies Bezugssystem ist aber durch die Erscheinungen 
keineswegs eindeutig festgelegt. Vielmehr gibt es eine 
dreifach unendliche Mannigfaltigkeit gleichberechtigter 
Systeme, welche sich gegeneinander mit gleichförmigen 
Geschwindigkeiten bewegen. 

Laue, Relativitätsprinzip. 3 



— 34 — 

Aus diesem Prinzip wollen wir die Transformations- 
gleichungen ableiten, welche von einem berechtigten Bezugssystem 
zu einem anderen führen. Wir bedürfen dazu der Kenntnis 
irgend eines Naturgesetzes ; welches wir auswählen,. muß prinzipiell 
gleichgültig sein. Gelangte man nämlich bei verschiedener Wahl 
zu verschiedenen Resultaten, so wären nicht alle Gesetze der- 
selben Transformation gegenüber unveränderlich, das Relativitäts- 
prinzip also falsch. Am einfachsten sind offenbar solche Gesetze, 
die sich auf physikalische Vorgänge im leeren Raum beziehen. 
Denn bei den anderen geht die Geschwindigkeit der Materie 
zum Bezugssystem in ihre mathematische Formulierung ein und 
muß bei einer Transformation mit transformiert werden; im 
Vakuum aber, wo wir nichts Bewegtes kennen, fällt diese Kom- 
plikation fort. Wir kennen nun zwei verschiedene Wirkungen, 
welche sich durch das Vakuum fortpflanzen, die Gravitation und 
die elektromagnetischen Vorgänge. Von der Ausbreitung der 
ersteren wissen wir nichts weiter, als daß ihre Geschwindigkeit 
selbst gegen die astronomischen Geschwindigkeiten sehr groß ist. 
Daß sie größer als die des Lichtes wäre, wird zwar vielfach be- 
hauptet, findet aber in der Erfahrung keine Stützpunkte. Um so 
besser kennen wir das Gesetz der Lichtfortpflanzung im Vakuum, 
ist doch durch den Micrhetson sehen Versuch mit einer bei 
sonstigen physikalischen Messungen kaum erreichten Genauigkeit 
festgestellt, daß sie, bezogen auf alle Systeme, nach allen Rich- 
tungen gleichmäßig erfolgt. Wir fügen als eine über den expe- 
rimentellen Befund hinausgehende, aber vom Relativitätsprinzip 
notwendig geforderte Annahme hinzu, daß die Lichtgeschwindig- 
keit in allen Systemen denselben Wert c = 3 . 10 10 cm sec"" 1 hat. 
Dies Gesetz legen wir der folgenden Betrachtung zugrunde. 

Betrachten wir zunächst ein Beispiel. Von einem materiellen 
Punkt A, welcher in einem berechtigten Bezugssystem K im 
Anfangspunkt der Koordinaten ruht, geht zur Zeit t = ein 
kurzes Lichtsignal nach allen Seiten aus. Zur Zeit t^>0 liegen 
die das Signal empfangenden Punkte auf einer Kugel, deren 
Gleichung lautet: 

x 2 + y 2 + z 2 — c 2 t* = o. 

Auf dieser Kugel mögen zwei andere, in K ruhende, materielle 
Punkte B und C liegen; diese erhalten das Signal demnach gleich- 
zeitig, d. h. für denselben Wert von t. 



— 35 — 

Denselben Vorgang beziehen wir nun auf ein anderes be- 
rechtigtes. System, K\ welches sich zum ersteren mit der Ge- 
schwindigkeit v in der Richtung BG bewegt. Die materiellen 

Punkte A, B, G haben dann in K' die Geschwindigkeit v parallel CB. 
Die Anfangspunkte der Koordinaten x', y\ z 1 sowie der Zeit t' 
können wir offenbar so festlegen, daß das Lichtsignal zur Zeit 
t f — im Anfangspunkt der gestrichenen Koordination vom 
materiellen Punkt A ausgesandt wird. Nach Ablauf der Zeit t' 
werden alle Punkte der Kugel 

a' 2 + y' 2 + *' 2 — c 2 1'* = 

vom Signal erreicht. Da aber A sich inzwischen aus um die 
Strecke vt' bis nach AI entfernt hat, so gibt es keinen Wert t\ 
für den die von A gleich weit ent- * F j 3 

fernten materiellen Punkte B und 
G auf einer derartigen Kugel liegen ; 
sie werden also nicht gleichzeitig B + 
vom Signal erreicht, vielmehr trifft 
dies wie die Fig. 3 zeigt, in G früher 
ein, als in B. Zwei Ereignisse, 
welche im System K gleich- 
zeitig sind, sind es also im 
System K' im allgemeinen 
nicht. Die identische Transfor- 
mation für die Zeit, welche einen Teil der Galilei- Trans- 
formation bildete, kann hier nicht aufrecht erhalten bleiben. 

Dies nötigt uns, den Begriff der Zeit einer kritischen Be- 
trachtung zu unterziehen. Wir messen die Zeit an einem Ort 
mit Uhren, brauchen dabei aber nicht an die gebräuchlichen 
mechanischen Instrumente zu denken, bei welchen die Periode 
elastischer Schwingungen als Zeitmaß dient, sondern wir können 
die Zeit an dem Fortschreiten jedes physikalischen Vorganges 
ablesen, wenn wir nur seine Ursachen so genau beherrschen, daß 
keine unbekannte oder quantitativ unkontrollierbare Ursache mit- 
wirken kann. Derartige vollkommen gleiche Uhren stellen wir 
uns an verschiedenen Stellen des Raumes, alle in einem und dem- 
selben berechtigten Systeme K ruhend, auf. Dann ist die Gleich- 
heit des Zeitmaßes für alle diese Orte gewährleistet. Um aber 




— 36 — 

zu einer für das ganze System K einheitlich definierten Zeit zu 
gelangen, müssen wir noch die Nullpunkte dieser verschiedenen 
Zeitangaben in passende Beziehung zueinander setzen. Dazu ver- 
hilft uns die Forderung, daß im System K die Lichtgeschwindig- 
keit den Wert c haben soll. Haben zwei Uhren die Entfernung l 
voneinander, so soll nämlich die Zeitangabe der ersten beim 
Ablassen eines Lichtsignales von ihrem Orte und die Zeitangabe 
der zweiten bei seinem Eintreffen an ihrem Orte um den Betrag 
l/c differieren. Diese Definition führt nicht zum Widerspruch 
mit sich selbst, wenn man die Uhren auf verschiedene Arten 
paarweise zusammenfaßt. Sind nämlich die Uhren in den be- 
liebig gewählten Punkten B und G mit der in einem beliebigen 
dritten Punkt A synchron gestellt, und senden wir von A zur 
Zeit ein Lichtsignal nach B, welches von dort ohne Zeitverlust 
nach C und dort ebenso nach A zurück weitergegeben wird, so 
ist die Zeit seiner Rückkehr t± = l/c (AB -\- B G -\- GA\ da es 
die Strecke AB -\- B G -\- CA durchlaufen hat. Es hat nach 
der Voraussetzung des Synchronismus der Uhren in A und B 
die Zeit B erreicht, als die Uhr in B die Zeit tß = AB je wies, 
und wegen des Synchronismus der Uhren in A und G den Punkt 
G verlassen, als die Uhr in G die Zeit tc = ^a — -^ C/c anzeigte. 
Beim Abgang des Signals in B und bei seiner Ankunft in G 
besteht also zwischen den Zeitangaben der Uhren in G und B die 
Differenz tc — iß = BC/c, d. h. die Uhren in B und G gehen 
auch miteinander synchron. — Gleichzeitig sind Ereignisse, wenn 
sie sich bei gleicher Stellung der an ihren Orten befindlichen 
Uhren abspielen. 

Daß man so für jedes berechtigte System zu einer besonderen 
Zeit kommt, durch die es sich von den anderen berechtigten 
Systemen unterscheidet, zeigt schon das obige Beispiel. Darin 
liegt gerade die Kühnheit und die hohe philosophische Bedeutung 
des Einstein sehen Gedankens, daß er mit dem hergebrachten 
Vorurteil einer für alle Systeme gültigen Zeit aufräumt. So ge- 
waltig die Umwälzung auch ist , zu welcher er . unser ganzes 
Denken zwingt, so liegt doch nicht die mindeste erkenntnis- 
theoretische Schwierigkeit in ihm. Denn die Zeit ist wie der 
Raum in Kants Ausdrucksweise eine reine Form unserer An- 
schauung; ein Schema, in welches wir die Ereignisse einordnen 
müssen, damit sie im Gegensatz zu subjektiven, in hohem Maße 



— 37 — 

zufälligen Wahrnehmungen objektive Bedeutung gewinnen. Diese 
Einordnung kann nur auf Grund der empirischen Kenntnis der 
Naturgesetze vollzogen werde p. Ort und Zeit der beobachteten 
Veränderung an einem Himmelskörper z. B. kann nur auf Grund 
der optischen Gesetze festgestellt werden. Baß zwei verschieden 
bewegte Beobachter, wenn jeder sich selbst als ruhend betrachtet, 
diese Einordnung auf Grund derselben Naturgesetze verschieden 
vornehmen, enthält keine logische Unmöglichkeit. Objektive Be- 
deutung haben beide Einordnungen dennoch, da sich aus jeder 
von ihnen vermittels der abzuleitenden Transformationsformeln 
die für anders bewegte Beobachter gültige eindeutig ableiten läßt. 
Um zu den Transformationsformeln zu gelangen, fragen wir 
nach denjenigen linearen Beziehungen zwischen x\ y\ z\ t' und 
x, Vi ßi U welche die Wellengleichung (16) 

in sich selbst überführen; d. h. für welche die Identität gilt: 

dx' 2 + dy' 2 + dz' c 2 dt' 2 ~ dx 2 + dy 2 + dz 2 c 2 dt 2 ( ' 

Denn Gleichung (16) ist die mathematische Formulierung des 
Gesetzes der Lichtfortpflanzung. Linear wählen wir diese Sub- 
stitutionen, weil anderenfalls der Anfangspunkt der Koordinaten 
und der Nullpunkt der Zeit wenigstens in einem von beiden 
Systemen ausgezeichnete Punkte würden, welche man nicht ohne 
wesentliche Änderungen verlegen kann. Wir betrachten aber 
die Gleichwertigkeit aller Raum punkte und Zeitmomente als 
ein empirisch festgestelltes, nach dem Relativität sprin zip für 
beide Systeme geltendes Naturgesetz. Ferner setzen wir fest, 
daß entsprechende Koordinatenachsen in beiden Systemen einander 
parallel, und zwar die x- und x'- Achse der Geschwindigkeit u 
parallel sein sollen, mit welcher das gestrichene System K' sich 
gegen das ungestrichene £ bewegt; und daß schließlich den Werten 
x = 0, y = 0, z = 0, t = die Werte x* = 0, y' = 0, z' = 0, 
V = entsprechen sollen. Die allgemeinsten Gleichungen, welche 
diesen Bedingungen genügen, lauten: 

x' = x (v) (x — v i) y' = X (v)y z' == k(v)z [ 

ff = p(v)t — v(v)x J 



— 38 — 

wo x(t/), A(#), p(v) und v(v) noch zu bestimmende Funktion 
von v sind. Zunächst ist nämlich einleuchtend, daß es nur eine 
ausgezeichnete Richtung, die der #-Achse gibt. Schon aus diesem 
Grunde können y und z in der Gleichung für t' nicht auftreten, 
da sonst die Richtung bevorzugt wäre, deren Richtungskosinus 
sich wie die Koeffizienten von x % y, z verhalten. Ferner muß die 
Ebene x' = mit der Ebene x = vt, die Ebene y' = mit 
y = und z' = mit z = identisch sein. Die Proportio- 
nalität sfaktoren zwischen y' und y sowie zwischen z' und z müssen 
schließlich wegen der Gleichwertigkeit aller zu x senkrechten 
Richtungen dieselben sein. 

Durch die Substitutionen (20) wird eine Funktion 

<p(#\ y\ &' *') = <p(x(# — vt\ ly, kz, fit — v%) 
daraus folgt: 

dqp d<p d(p d<p dq) dq> 



dx "" *M~ V M' dt-~* v dx~' + ll dt 



ü » 



8*y_ ^ y 8 , y 8 ^ 8^p _ c*y 

dx* ~ dx'* dx'dt' ^ dt*' dy 2 ~~ dy'*' 

1 d*(p 2 v*d*jp__*iiv d*(p p*d*<p d*<p _ lQ d*<p 

7* dt* ~~ X 7*dx'*~ ~c*~dx'dt' + 7* W*' d7*~ "dl* 

Soll also Gleichung (19) als Identität gelten, so müssen bei der 
Summation der letzten vier Gleichungen die Koeffizienten von 

d*cp d*tp c*<p 1 d*tp 



/o> 



dx'* 1 dy 1 *' dz*" c*dt'* 

d*q> 
alle gleich 1 werden, der von , , dagegen verschwinden, d. h. 

es muß 

+ 1 v 

k(v) = ± 1, %{v) = [i(v) = ,— . , v (v) = 11 (v) — 

c 



V'-5 



sein. Für x, l und f* wählen wir wegen der Parallelität von 
x und x\ y und y\ sowie z und z\ und damit für v = t' in t 
und nicht in — t übergeht, das positive Vorzeichen. Die Glei- 
chungen (20) nehmen dann die Form an: 



— 39 — 

t x 

x' = , y' = #, * ' = *, *' = . . . (XI) 

1/ V 2 AI V 2 

Wegen der Gleichwertigkeit beider Systeme muß gestattet sein, 
in diesen Gleichungen die gestrichenen und ungestrichenen Größen 
miteinander zu vertauschen, wenn man nur zugleich das Vor- 
zeichen von v umkehrt, weil das System K gegen K' die Ge- 
schwindigkeit — v parallel zur x'- Achse hat. Man findet also : 

x' + vt f tf ^"^ X ' 
x = . , y = y\ z = z\ t = = . .(XIa) 

Fl )/-? 

Die Rechnung zeigt, daß (XIa) tatsächlich die Umkehrung von (XI) 
ist. Die Gesamtheit der Gleichungen (XI) oder (XIa) bezeichnen 
wir als eine Lorentz-Transf ormation; das Relativitäts- 
prinzip behauptet, daß alle Bezugssysteme, welche durch eine 
solche aus einem berechtigten System hervorgehen, dem ersteren 
nicht nur für die Fortpflanzung elektromagnetischer Wirkungen 
im Vakuum, sondern für alle physikalischen Vorgänge völlig gleich- 
berechtigt sind. 

Ebenso wie die Gesamtheit aller Galilei-Transformationen, 
bildet die Gesamtheit aller Lore ntz - Transformationen eine 
Gruppe; wendet man zwei von ihnen mit beliebig gerichteten 
Relativgeschwindigkeiten t) hintereinander an, so erhält man ein 
Ergebnis, das auch durch eine einzige zu erreichen ist. Denn 
bleibt sowohl bei dem linearen Übergang von einem System K zu 
K' als bei dem linearen Übergang von K' zu K" der Ausdruck 

1 d 2 q> 
v c 2 dt 2 

unverändert, so ist dieses auch bei dem dann ebenfalls linearen 
unmittelbaren Übergang von K zu K" der Fall. Wir bemerken 
ferner, daß 

v<c (21) 

sein muß; anderenfalls würden die Koeffizienten von (XI) imaginär 
oder unendlich. Man überzeugt sich leicht, daß man statt der 



— 40 — 

Invarianz der Wellengleichung auch die des Ausdrucks x 2 -(- y 2 
-\- z 2 — c 2 t 2 als Kennzeichen einer Loren tz- Transformation be- 
nutzen kann; bestimmt man nämlich die Koeffizienten x, A, ft, v 
in (20) aus der letzteren Forderung, so findet man genau die- 
selben Werte wie oben. 

§ 7. Die Einsteinsche Kinematik. 

Zur Diskussion untersuchen wir zunächst den Gang einer im 
gestrichenen System ruhenden Uhr (#' = const) vom ungestrichenen 
System aus. Dem Zeitintervall dt\ welches ein mitbewegter Be- 
obachter an ihr abliest, entspricht nach (XI a) das Intervall 

dt 



dt = 



FI 



welches von einem Beobachter im System K durch Vergleich der 
Zeitangaben ermittelt wird, welche zwei in dem Anfangs- und 
Endpunkt der inzwischen zurückgelegten Strecke ruhende Uhren 
beim Abgang und Eintreffen der bewegten liefern. Man kann 
dies auch aus (XI) ableiten ; denn in der Zeit d 1 legt die Uhr im 
System K die Strecke d x == vdt zurück, woraus 



dt = dt l/l- j 2 • (22) 

folgt. Eine mit der Geschwindigkeit q bewegte Uhr geht 

l/ 0* 
also im Verhältnis l/l langsamer als dieselbe Uhr, 

wenn sie ruht. Dieser Satz gilt selbstverständlich unabhängig 
davon, auf welches der berechtigten Systeme man die Begriffe 
Buhe und Bewegung bezieht. 

Ganz ähnliche Verhältnisse finden sich bei der Messung der 
Länge eines bewegten Stabes. Buht dieser in K' und liegt er 
parallel zur x f - Achse, so ist seine Buhlänge s bestimmt durch 
die Differenz der #'- Koordinaten seiner Endpunkte, also: 



So = x[ — V, 



diese kann man durch Anlegen eines ebenfalls in K' ruhenden 
Maßstabes feststellen. Seine Länge, bezogen auf K, ist hingegen 



— 41 — 

gleich der Differenz der x- Koordinaten, welche seinen Endpunkten 
für gleiche Werte von t zuzuschreiben sind; daher folgt 
aus (XI): 

i I v 2 1 1 v 2 

s = x,—x 2 = (x} — x})yi—- r2 = s yi — - r2 (23) 



V 



Die Abmessung eines Körpers parallel zur Bewegungs- 
richtung wird also vom mitbewegten System aus größer 
beurteilt als von jedem anderen. Bringen wir einen 
Stab unterAufrechterhaltung seines inneren Zustandes*) 
(etwa im leeren Raum und ohne Wärmezufuhr) von der Ruhe 
auf die Geschwindigkeit q, so zieht er sich im Verhältnis 

1 - zusammen; nennen wir nämlich das System, in welchem 

c a 

er anfangs ruhte, K, das andere, in welchem er nach seiner Be- 
schleunigung ruht, K', so muß seine Länge im zweiten Zustande, 
bezogen auf K\ s' 2 , gerade so den Wert s haben, wie die Länge s v 
welche er im ersten Zustande in K besaß. — Dieser Satz ist eine 
Folge der verschiedenartigen Anwendung des Zeitschemas durch 
verschieden bewegte Beobachter; er rechtfertigt die von Fitz- 
gerald 1 ) und Lorentz 2 ) schon vor der Relativitätstheorie zur 
Erklärung des Michelson sehen Versuches herangezogene Kon- 
traktionshypothese und wird in der Tat notwendig ge- 
braucht, wenn man die Theorie dieses Experiments für ein nicht 
mitbewegtes System geben will. Verkürzt sich nämlich in Fig. 1 
(S. 14) die Strecke PS 1 bei der Bewegung parallel zu ihr auf die 



vh;. 



Länge l |/ 1 — — , so wird nach (10) und (11): 

t -_**_-* 

y C 2— q* 

Bei einer Drehung des Apparats, welche die Vertauschung der 
Rollen von PSx und PS 2 zur Folge hat, tritt dann keine Ver- 
schiebung der Interferenzstreifen ein. 

Die Dimensionen seukrecht zur Bewegung werden nach (XI) 
nicht verändert. Das Volumen V eines Körpers ist deswegen bei 



*) Im Abschnitt VII werden wir solche Beschleunigungen als 
adiabatisch-isopieistisch bezeichnen. 



— 42 — 

der Lorentz-Transformation wie die Abmessung parallel der Ge- 

V 
schwindigkeit umzurechnen. Da somit in jedem System 



M 



gleich dem Volumen V im mitbewegten System ist, so dient als 
Umrechnungsformel für das Volumen eines Körpers, der zu K die 
Geschwindigkeit q, zu K' die Geschwindigkeit q' hat, die Gleichung 

V V 

t = . ...... (24) 

\c 2 — q 2 \c 2 — q' 2 

Eine weitere Folge der Kontraktion ist, daß die Form der Körper 
von verschiedenen Systemen aus verschieden beurteilt wird. Ein 
Körper z. B., der, vom mitbewegten System aus untersucht, 
Kugelgestalt hat, ist in allen anderen Systemen ein abgeplattetes 
Rotationsellipsoid. 

Als letzte kinematische Folgerung soll hier die Transforma- 
tionsformel für die Geschwindigkeit eines materiellen Punktes ab- 
geleitet werden. Sind dessen Koordinaten x, y, z im System K 
Funktionen der Zeit t, so sind die Geschwindigkeitskomponenten: 

dx dy dz 

* x -dt' * y -dt' q '~Tt' 

Die entsprechende Definition gilt für seine Geschwindigkeit q' in 
bezug auf K'. Aus (XI) folgt aber: 

dx 
— v 



dx' _ 


dt 


dt 


d y' dy dt 
dt' — dt dt' 1 


dz' 
dt' 


dz dt 


dt' 


l/, 


V 2 dt" 


dt dt' 1 




V 


~"c~ 2 


v dx 










dt' 
dt 


~~7 2 U 








+ 1 1)2 





also: 



y 



Fs ,_*f^ 



q; = J*_?- f qj, = — i -, q; = — '- (25) 



— 43 — 
oder wenn man umgekehrt q durch q' ausdrückt: 

l + -% x + -f * + -£ 

Multipliziert man die auf die y- oder ^-Komponenten bezüglichen 
Gleichungen in (25) und (25a) miteinander, so findet man: 

Weiter zeigt eine einfache Rechnung, indem man die Gleichungen 
(25) quadriert und addiert und vc\ m vc\' x durch die skalaren Pro- 
dukte (t> q), (t) q') ersetzt : 

c >- q > _^L (25c) 

c 2 — (öq) c 2 + (t>q') ' 

Aus (24), (25b) and (25c) folgt: 

j/ cs-g'ä c y c 2_„ a _ c a + (t> qQ _ -i f^+^) = V 

y c *-. q 2 C 2_( öq ) c y^zrp — y«»-(»q) V K } 

Bezeichnet man schließlich mit #' den Winkel zwischen der Ge- 
schwindigkeit q' und der x- Achse, so gilt nach (25 a): 

a 'a _|_ V 2 + 2 q'vcos fr' — (— sin &\ 

da 

q* 

ist. Biese Gleichungen geben an, wie sich, vom System K aus 
betrachtet, die Geschwindigkeiten t) und q zusammensetzen; sie 
enthalten das berühmte Einsteinsche Additionstheorem der 
Geschwindigkeit*). 



*) Es sei darauf hingewiesen, daß die Geschwindigkeit q' auf ein 
anderes System bezogen ist wie t>. Sind beide auf dasselbe System zu 
beziehen, so muß natürlich die gewöhnliche Vektoraddition für sie 
gelten. Die Geschwindigkeit des Lichtes gegen einen bewegten Stab, 



— 44 — 



Das merkwürdigste ist dabei, daß die beiden zu addierenden 
Geschwindigkeiten nicht gleichberechtigt auftreten. Ist z. B. q' 
parallel zu y, t> wie bisher parallel zu x, so wird nach (2 5 a) unter 
der Annahme, daß man q' zu t> addiert, 



wenn aber umgekehrt ö zu q' addiert wird, 



(\2x = 



-V'-S 



<|2y 



Der absolute Wert q ist in beiden Fällen derselbe [vgl. auch die 
in q' und v symmetrische Beziehung (25 e)], aber die Richtungen 
sind verschieden (Fig. 4). Denken wir uns ein materielles recht- 



q:: 






Fig. 4. 




« 



winkliges Dreieck mit 
der Geschwindigkeit v 
parallel der ersten Ka- 
thete verschoben, und 
führen an der zweiten 
Kathete einen Zeichen- 
stift mit der Geschwin- 
digkeit q' entlang, so 
beschreibt dessen Spitze 
auf der Zeichenebene 
die Strecke q x in der 



Zeiteinheit. Verschieben wir aber das Dreieck parallel der zweiten 
Kathete mit der Geschwindigkeit q f und den Zeichenstift längs 
der ersten mit der Geschwindigkeit v, so beschreibt seine Spitze 
die Strecke q 2 8 ). 

Nach (21) ist v<^c. Lassen wir q f von an wachsen: wie 
auch die Richtung von q sein mag, der Nenner c a + 0> qO in (25 c) 
kann nicht verschwinden, solange q'^c bleibt. Die rechte Seite 
bleibt daher positiv und endlich, bis sie für q* = c verschwindet. 



bezogen auf ein nicht mitbewegtes System, ist z. B. nach wie vor die 
Vektorsumme aus seiner Geschwindigkeit gegen das System und der 
des Stabes; die Erklärung des Mich eis on sehen Versuches, wie wir 
sie in § 2 gegeben haben, bleibt daher (abgesehen von der Modifi- 
kation durch die Kontraktionshypothese) auch in der Belativitäts- 
theorie richtig. 



«« 



— 45 — 

Bis dahin muß auch die linke Seite positiv und endlich, also q<^c 
sein; die Werte q' = c und q = c entsprechen einander. Zwei 
Unterlichtgeschwindigkeiten addiert geben daher immer 
eine Unterlichtgeschwindigkeit. Die Addition der Licht- 
geschwindigkeit zu einer Unterlichtgeschwindigkeit 
liefert die Lichtgeschwindigkeit. Die letztere spielt in der 
Physik durchaus die Rolle der unendlich großen Geschwindigkeit, 
insofern man sie durch keine Häufung von Unterlichtgeschwindig- 
keiten jemals erreichen kann. Darum bildet auch die Festsetzung 
v<^c keine Einschränkung der Allgemeinheit. 

Aber nicht nur die Geschwindigkeiten der Körper, sondern 
auch die physikalischer Wirkungen aller Art, mögen sie sich im 
Vakuum oder in der Materie fortpflanzen, können die Licht- 
geschwindigkeit c nicht überschreiten. Pflanzte sich nämlich die 
Wirkung eines zur Zeit t im Punkte A (x = Xa, y = z = 0) 
eintretenden Ereignisses im System K mit der Geschwindigkeit 
V^>c nach dem Punkt B (x = Xb, y = z = 0) fort, so träfe 
sie dort um die Zeit 

A . xb — Xa 

später ein. Nach den letzten der Gleichungen (XI) wäre dann 
die Zeitdauer dieser Fortpflanzung, bezogen auf K': 



v vV 

J*—Zk*B — *A) ! — -& 

JÜ = % = At 



V'-s r 7 ? 



Man könnte somit durch Wahl eines hinreichend großen Wertes 
für die Unterlichtgeschwindigkeit v erreichen, daß <dt' Null und 
selbst negativ wird, d. h. es gäbe berechtigte Systeme, in welchen 
die Wirkung in B zeitlich der Ursache in A vorausgeht; das ist 
aber unmöglich, weil das in Frage kommende Naturgesetz im 
Widerspruch zum Relativitätsprinzip beim Übergang vonÄzuX' 
nicht unverändert bliebe, wenn Ursache und Wirkung in zeitlicher 
und deshalb auch in kausaler Beziehung dabei ihre Rollen ver- 
tauschten. Nur scheinbar wird diese Folgerung aus dem Rela- 
tivitätsprinzip durch die Tatsache widerlegt, daß in dispergierenden 



— 46 — 

Körpern für manche. Spektralbereiche der Brechungsindex w<l, 

c c 

also die „Lichtgeschwindigkeit" — ^>c ist. — ist nämlich die 

Geschwindigkeit, mit welcher die Phasen periodischer Wellen im 
stationären Zustande, d. h. wenn diese sich über den ganzen Raum 
ausgebreitet haben, fortschreiten. Für die Ausbreitung einer 
plötzlich auftretenden elektromagnetischen Störung hat sie keine 
unmittelbare Bedeutung. Der erste Vorläufer solcher Störung, der 
Wellenkopf, pflanzt sich vielmehr der Elektronentheorie zufolge 
stets mit der Lichtgeschwindigkeit c fort [Sommerfeld 4 )]. Daß 
jede Wirkung durch das Vakuum, also auch die Gravitation, mit 
Lichtgeschwindigkeit c fortschreiten muß, wenn anders das Rela- 
tivitätsprinzip richtig sein soll, folgt aus der Überlegung, daß 
man sonst durch Übertragung der zur Gleichung (XI) führenden 
Betrachtung eine Substitution erhielte, welche sich durch den Wert 
von c von (XI) unterschiede, mit (XI) zusammen daher wieder 
ein ausgezeichnetes System definierte. 



§ 8. Minkowskis geometrische Interpretation der 

Lorentz- Transformation. 

Das Relativitätsprinzip, wie es im § 6 ausgesprochen und in 
der Loren tz -Transformation (XI) mathematisch formuliert wurde, 
enthält die Grundlagen der Relativitätstheorie vollständig; alle 
Folgerungen, die wir später ziehen werden, lassen sich aus dem 
Obigen ableiten. Doch werden die Rechnungen dabei zum Teil, 
wenig elegant und umständlich, vor allem, weil man bei jedem 
Vektor die Komponente parallel zur Geschwindigkeit d anders 
umrechnen muß, als die dazu senkrechten. Es ist das große 
Verdienst des so früh verstorbenen Göttinger Mathematikers 
Hermann Minkowski, eine geometrische Interpretation ge- 
schaffen zu haben, welche diese Schwierigkeit umgeht und wegen 
der Eleganz, welche sie den Rechnungen der Relativitätstheorie 
verleiht, ein fast unentbehrliches Hilfsmittel für deren sichere 
Handhabung bildet. 

Im allgemeinen werden von einer Lorentz -Transformation 
alle drei Koordinaten betroffen. Nur unsere spezielle Annahme 
über die Lage der Achsenkreuze in den Systemen K und K' brachte 
für y- und z- Koordinate die identische Transformation in (XI) 



— 47 — 

hervor. Da aber auch die Zeit verändert werden muß, so sieht 
man leicht, daß eine geometrische Analogie nur in einer vier- 
dimensionalen Mannigfaltigkeit bestehen kann. Daß eine solche 
unserer Anschauung unzugänglich ist, darf uns nicht schrecken; 
es handelt sich dabei nur um die symbolische Darstellung gewisser 
analytischer Beziehungen zwischen vier Variablen. Wir bezeichnen 
diese Mannigfaltigkeit als „die Welt" und wählen als „Welt- 
koordinaten 14 die Raumkoordinaten x> y, z und die Zeitkoordinate 

u = et (26) 

Die #, y, #- Achsen sollen aufeinander senkrecht stehen; die Vr Achse 
vorläufig auch auf den drei genannten Achsen, d. h. in der xu- 
Ebene sollen zunächst x und u gewöhnliche rechtwinklige Koor- 
dinaten sein, und Entsprechendes soll in der yu- und zu- Ebene 
gelten. Es gibt dann sechs paarweise aufeinander senkrecht 
stehende Koordinatenebenen und vier aufeinander senkrechte 
(dreidimensionale) Koordinatenräume. Einen Punkt (x, y, z, u) 
dieser Mannigfaltigkeit nennen wir einen „Weltpunkt"; er re- 

Ol 

präsentiert ein am Ort x y y, z zur Zeit t = — stattfindendes 

Ereignis. ' 

Für jeden materiellen Punkt sind die Raumkoordinaten 
Funktionen der Zeit; er bestimmt also eine Kurve in der Welt, 
eine „Weltlinie". Bei gleichförmiger Geschwindigkeit q ist sie 

eine Gerade, deren Winkel gegen die u- Achse gleich aretg — , 

c 

also, weil q <T c, kleiner als -— ist; im allgemeinen ist sie eine be- 
liebige krumme Linie, deren Neigung gegen die w- Achse aber nie 
den angegebenen Betrag erreicht. 

In dem speziellen Fall des § 6, daß die x- und x'- Achse der 
Translationsgeschwindigkeit parallel ist, spielt sich die Trans- 
formation allein in der zw -Ebene ab, welche wir als Zeichenebene 
benutzen wollen (Fig. 5). In dieser zeichnen wir die gleichseitigen 
Hyperbeln: 

x* — u* = — 1 (27) 

x 2 — u*=+l (27a) 

sowie ihr gemeinsames Asymptotenpaar: 

x* — ■ u* = (27b) 



— 48 — 



Vom Nullpunkt ziehen wir nach irgend einem Punkte ü 1 des- 
jenigen Astes der ersteren, für welchen u positiv ist, die Gerade; 
sodann eine zweite Gerade nach einem Punkte X' des Astes x ^> 
der zweiten Hyperbel; X' bestimmen wir so, daß die Asymptote 
x = u die Winkelhalbierende wird, d. h. daß U f und OX' kon- 
jugierte Durchmesser der Hyperbel (27) werden. Fällt V auf die 
u -Achse nach U, so fällt X' mit X zusammen. Die Lorentz- 
Transformation XI besteht darin, daß man an Stelle der 

Fig. 5. 




Geraden OU und OX als Achsen OU 1 und OX', und statt 
der Strecken OU und OX als Einheiten die Strecken 
Oü' und OX' verwendet. 

In der Tat: Die Geraden V und OXl haben die Gleichungen 
x = ßu, u = ßx, \ß\ <1. 
Die Koordinaten von ü' und X' sind infolgedessen nach (27) und 
(27a): 1 _ ß 

Vl-0 2 



ujp = 



ux> = 



ß 

Vi-/* 2 ' 



Xü' = -1= 



Xjj = 



ii-p 



(27 c) 



— 49 — 
Nun soll aber im gestrichenen System 

Uü' = x'x' = 1> Ux' = Xjjt = 

werden. Die vier bei einer linearen Transformation von x,u auf 
x',u' verfügbaren Konstanten sind hierdurch eindeutig bestimmt; 
die Transformationsgleichungen müssen also lauten: 

x , = x-ß JL M , = «z^£ .... (28) 
Vi — /3* Vi — 0» 

sie gehen nach (26) in (XI) über, wenn man 

= 7 ■ • • (29) 

setzt. Der Ausdruck x 2 — u 2 f und ebenso x 2 -\- y 2 + z 2 — w 2 , 
bleibt daher bei der Substitution (28) invariant. Die Gleichungen 
der beiden Hyperbeln und ihres Asymptotenpaares lauten im ge- 
strichenen System ebenso wie im ungestrichenen. Der Winkel ty 
in Fig. 5 ist durch die Gleichung 

tgty = ß = — (30) 

c 

bestimmt. 

Offenbar kann man nach jedem Weltpunkt W der ETX-Ebene, 
für welchen u 2 ^>x 2 ist, von aus eine Zeitachse ziehen, mit 

der Richtung OW, wenn u^> 0, mit der Richtung WO, wenn 
u<C ist; denn es gibt stets einen zu W konjugierten Durch- 
messer als #'-Achse. Umgekehrt kann man jeden Weltpunkt, für 
welchen u 2 <^x 2 ist, mit „gleichzeitig" machen, indem man die 
Gerade OW mit passender Richtung zur #'-Achse und den ihr 
konjugierten Durchmesser zur u f - Achse wählt. 

Um die allgemeine Lorentz -Transformation darzustellen, 
bei welcher das räumliche Achsenkreuz x, y, z beliebig zur Rela- 
tivgesehwindigkeit b orientiert ist, haben wir diese Konstruktion 
vierdimensional auszugestalten. An Stelle der Hyperbeln treten 
dann der zweischalig-hyperbolische Raum 

x 2 + y 2 + z 2 — u 2 = — 1 (31) 

und der einschalig-hyperbolische Raum 

x 2 + y 2 + z 2 — u 2 = +1 (31 a) 

Laue, Belativitatsprinzip. 4. 



— 50 — 

beide werden von dem Kegelraum 

x 2 -f y 2 + z 2 — u 2 = (31b) 

asymptotisch berührt. Die Hyperbeln in Fig. 5 und ihre Asymp- 
toten sind die Schnitte dieser dreidimensionalen Räume mit der 
tt£-Ebene. 

Jetzt wählen wir auf der positiven Schale des zweischaligen 
Hyperbelraumes (31) einen beliebigen Punkt Z7' mit den Koordi- 
naten Xu*, yu f i Zü', Uw und ziehen nach ihm von aus die 
Gerade. Wir konstruieren sodann den diesem Durchmesser kon- 
jugierten Durchmesserraum 

xxjj* ^-yyw -\-exxr — uuu> = . . . .(31c) 

welcher den einschaligen Hyperbelraum (31a) in einem Ellipsoid 
schneidet. Fällt U' in den Scheitel U des ersteren Hyperbel- 
raumes, so wird der konjugierte Durchmesserraum zum xyz- 
Raum (u = 0) und das Ellipsoid zur Kugel 

x 2 +y 2 + z 2 =1 . (31d) 

alle Strecken von nach einem Punkte dieser Kugel haben die 
gleiche Länge 1; sie ist die Maßfläche für Strecken im Räume 
xyz. Die allgemeine Lorentz-Transformation besteht 
nun darin, daß man statt der Geraden OU als tt-Achse 
und der Strecke OU als Einheit, sowie statt des xyz- 
Raumes mit der Kugel (31 d) als Maßfläche die Gerade 
OU' mit OU 1 als Einheitsstrecke zur u' -Achse und den 
ihr konjugierten Durchmesserraum mit dem genannten 
Ellipsoid* als Maßfläche zum zugehörigen ^V^-Raum 
macht. (Die letztere Bedingung drückt aus, daß die Gleichung 
des Ellipsoids 

x' 2 + y' 2 + z' 2 = 1 
lauten soll). 

Verändern wir zum Beweise zunächst das Koordinatensystem 
x'y'z' so, daß x' 2 -\- y' 2 -\- z' 2 invariant bleibt; dasselbe gilt dann 
auch für den Ausdruck x' 2 -f- y' 2 + z' 2 — u 2 . Wir können es so 
erreichen, daß der Schnitt des x' y' z'- Raumes mit der durch die 
u und u- Achse gelegten Ebene zur x f - Achse wird. Durch eine 
analoge Drehung des Koordinatensystems xyz verlegen wir die 
#- Achse in dieselbe Ebene. Dann aber haben wir dieselben Ver- 
hältnisse wie in Fig. 5; OX' und OU' sind nach Konstruktion 



— 51 — 

konjugierte Durchmesser der Hyperbel x 2 — u 2 = — 1 geworden, 
und da x 2 -\- y 2 -\- z 2 — u 2 gegen die dort dargestellte spezielle 
Transformation invariant ist, so gilt dies auch für die soeben 
beschriebene verallgemeinerte Konstruktion, welche sich dadurch 
als eine Loren tz-Transformation erweist. Es gibt daher so viel 
berechtigte Systeme, wie Punkte in der positiven Schale des 
Hyperbelraumes (31), d. h. dreifach unendlich viele, wie schon 
oben erwähnt. Die Geschwindigkeit beider Systeme gegeneinander 
wird durch den Winkel ty zwischen der w-.und der u f - Achse gemäß 
Gleichung (30) bestimmt. 

Der Kegelraum (31b) teilt die Welt in drei Teile: 

1. u 2 > x 2 + y 2 + z\ u>0. Nach jedem WeLtpunkt W 

dieses Gebietes kann man eine Zeitachse v! mit der Richtung W 
legen, es enthält die Weltpunkte „jenseits von 0", d. h. die- 
jenigen, welche in allen berechtigten Systemen später als sind. 

2. u 2 >x 2 + y 2 + z 2 , u<iO. Die Weltpunkte dieses Ge- 
bietes sind in allen Systemen früher als 0, liegen „diesseits 
von 0". Man kann nach ihnen Zeitachsen mit der Richtung 

WO ziehen. 

3. u 2 <ix 2 -\- y 2 + £ 2 « Von den Punkten dieses „Zwischen- 
gebietes u kann man drei beliebige mit gleichzeitig machen, 
denn sie bestimmen mit zusammen einen ebenen Raum, welcher 
mit dem ihm in bezug auf den Hyperbelraum (31) konjugierten 
Durchmesser ein berechtigtes Bezugssystem bildet. In diesen 
haben dann die drei Weltpunkte mit die Zeit t = u/c = 
gemeinsam. 

An dem Kegelraum (31b) selbst unterscheiden wir den 
„Vorkegel", für welchen w<0, und den „Nachkegel", für 
welchen u^> ist. Der erstere umfaßt diejenigen Weltpunkte, 
welche Ereignisse darstellen, von denen eine etwaige, mit Licht- 
geschwindigkeit fortschreitende Wirkung im Punkt x = 0, 
y = 0, z = zur Zeit t = ankommt. Der Nachkegel stellt 
dagegen die Gesamtheit der Ereignisse dar, welche sich mit dem 
Eintreffen einer etwaigen, vom Ereignis ausgehenden Licht- 
wirkung gleichzeitig abspielen. Wir sagen, die ersteren „senden 
Licht nach 0", die letzteren „empfangen Licht von dort". 

Kehren wir noch einmal zu der speziellen Transformation 
(28) zurück. Die Endpunkte eines in K ruhenden, der x- Achse 

4* 



— 52 — 

parallelen Stabes beschreiben geradlinige, der w- Achse parallele 

Weltlinien (P^ und P 2 P^ in Fig. 6). Das Verhältnis ^-|r 2 

gibt seine Ruhlänge s an. Ruht ein zweiter Stab in I', so 

Fig. 6. 




sind die Weltlinien seiner Endpunkte zwei zur u f ~ Achse parallele 

Gerade (Q 1 Q\ und Q? Q' 2 ) und seine Ruhlänge s wird durch den 

0' 0' 
Quotienten l^ t dargestellt. Die Länge des ersten Stabes in K! 



OX 



ist aber s' = 



, denn -ztzl,- und sind die a/-Koordinaten 

seiner Endpunkte für den gleichen Wert (0) von t\ Die Länge 

des zweiten Stabes in K ist analog s = 21 • Nun ist nach 

U JL 

(27 c) : . 

OX' . , , i/ l + ^' 

__ = Va;i , + ^ = y__, 

ferner nach Fig. 6 und (30) : 



iin \J + *) 



1— ^ 



— 53 
Also ist für den ersten Stab 

s' P'tP'2 OX , + 1 7ä 



So 

und für den zweiten 

QiQ% ox' 



PiF 2 ox . - ij V i 

ör'Äp 2 = vi-^=yi-^- • (32) 



Wir bestätigen so den schon in § 7 gefundenen Satz, daß ein 
Körper, von dem mitbewegten System aus betrachtet, länger 
erscheint, als von jedem andern. Da in Fig. 6 Q'iQ'ziOX' 
= PiP 2 '-OX gewählt ist, so ist, wie man sieht, Q x Q 2 < Pi P 2 - 
Jetzt mögen die Weltpunkte und B in Fig. 6 zwei in K 
ruhende, materielle Punkte A und B darstellen, den ersteren zur 
Zeit t (= 0), in welchem von ihm irgend eine physikalische 
Wirkung ausgeht, den letzteren zu der Zeit t&, in welcher diese 
Wirkung B erreicht. Könnte nun die Geschwindigkeit 7, mit der 
sie fortschreitet, größer sein wie c, so wäre 



Ur = Ctß = 



%R 



c 



v< 



%R 



B gehörte dem Zwischengebiet von an, wie dies auch in Fig. 6 
gezeichnet ist. Es gäbe dann stets berechtigte Systeme, in denen 
dann wie im System K' der Figur u'r <C , d. h. 22 früher als 
wäre; die Wirkung käme also in B an, bevor sich ihre Ursache 
in A zugetragen hat. Diese geometrische Überlegung widerlegt 
somit nochmals die Möglichkeit einer Überlichtgeschwindigkeit 
(vgl. S. 45). Es liegen eben alle Weltpunkte, welche 
kausal beeinflussen kann, jenseits oder auf dem Nach- 
kegel, alle, von denen einen solchen Einfluß erleiden 
kann, diesseits oder auf dem Vorkegel von 0. Punkte 
des Zwischengebietes können dagegen nie mit in 
kausalem Zusammenhang stehen. 

§ 9. Die Lorentz -Transformation als imaginäre Drehung. 

Analytisch eleganter noch ist es, wenn man als Zeitvariable 
die imaginäre Größe 

l = iu = ict (33) 



— 54 — 

benutzt, wobei freilich jedem reellen Weltpunkt ein imaginärer 
Punkt der x, y 9 z y Z-Mannigfaltigkeit entspricht. Dabei wird 

« 2 + 2/ a +^ 2 - c 2 < 2 = # 2 H-0 2 -f* 2 + l 2 • .(33a) 

Eine Lorentz- Transformation ist, wie wir in § 6 sahen, durch 
die Invarianz dieses Ausdruckes gekennzeichnet. 

Betrachten wir zunächst wieder den einfachen Fall der in 
den (XI) und (28) ausgedrückten Transformation, von der nur x 
und t betroffen wird. Führen wir statt u in (28) l ein, so 
finden wir: 

j = z + ißl r = l-iß* .... (34) 

yi_ ß2 Vi-0 2 

Nun können wir einen imaginären Winkel cp so definieren, daß 

1 *ß 

cos w = , , sin w = , • • • (35) 

Vi — /J» ^ yi— 2 

wird. Mit dem Winkel ty der Fig. 5 und 6 hängt er nach (30) 
zusammen durch die Beziehung 

tgq) = iß = i — = iigi\> (35 a) 

c 

Ersetzt man in (34) ß durch cp, so findet man die Gleichungen: 
x' — x cos <p + l tin cp, V = — x sin cp -{-Icoscp (34 a) 

und als ihre Umkehrungen: 

x = x 1 coscp — V sin cp, l = x' sin cp + V cos cp (34b) 

Wären l und cp reelle Größen, so bedeutete dies, daß das Koor- 
dinatensystem x\ V aus dem System x, l durch Drehung (im posi- 
tiven Sinne) um den Winkel cp hervorgeht. Aber auch hier 
können wir diese Ausdrucksweise unbedenklich beibehalten. Die 
spezielle Lorentz-Transformation (XI) ist eine Drehung 
des Achsenkreuzes in der zZ-Ebene um den durch (35) 
definierten, imaginären Winkel <)p*). 



*) Der Unterschied der Geometrien im x,y,z,l- und im x,y,z,u- 
Eaume i«t im Grunde der folgende: Im ersteren haben wir mit der 
euklidischen Geometrie, aber mit einer imaginären Koordinate zu tun; 
im letzteren sind die Koordinaten reell, dafür aber wird die Geometrie 
nichteuklidisch [Klein] 1 ). Der imaginären, euklidischen Drehung um 
<p entspricht die reelle, nichteuklidische Drehung um \f>. 



— 55 — 

Führt man mehrere solche Transformationen in der x Z-Ebene 
mit den Drehwinkeln (p lt (p 2 . . . (p n .... hintereinander aus , so 
resultiert eine einzige Drehung um den Winkel 

(p = 1 <Pn- 

Die Geschwindigkeit des wten gegen das (n — l)te System, ist 
nach (35 a): 

v n = — ictgtp n , 

die des letzten gegen das erste entsprechend 

v = — ictgQ<p n ). 
Die Funktion 

>* — e~ ix 

tax = — % - — : — 

* fx + e-tx 

wächst aber, wenn ihr Argument die rein imaginären Werte von 
Null bis icc durchläuft, von Null nur bis zum Werte i. Daher 
ist unter allen Umstanden /<7(£<jP w )<C* un ^ v<^c. Die Licht- 
geschwindigkeit bleibt, wie wir schon in § 7 sahen, unerreichbar. 
Beschränkt sich £ <JP* auf zwei Glieder, so folgt: 

• j. / . x tff <Pi + tg Wo, v x 4- v 2 



l—tg<Pi-tg<P% i > v i v 



1 + 



'2 



C* 



Das Ein stein sehe Additionstheorem für gleichgerichtete Ge- 
schwindigkeiten [ygl. die erste der Beziehungen (25a)] geht so 
unmittelbar aus dem Additionstheorem der Tangensfunktion 
hervor a ). 

Schon in § 8 (S. 52) sahen wir, daß sich die allgemeinste 
Loren tz-Tr an sformation auf Drehungen der räumlichen Achsen- 
kreuze in den Systemen K und K\ sowie auf die spezielle Trans- 
formation (28) zurückführen läßt, welche mit (XI) und (34) 
identisch ist. Alle Eigentümlichkeiten der allgemeinen können 
wir daher auch schon an der letzteren Transformation erkennen; 
so maß z. B. auch die allgemeine sich stets als imaginäre Drehung 
in der durch die l- und Z'-Achse bestimmten Ebene auffassen 
lassen, zu welcher nur noch die unwesentlichen reellen Drehungen 
der Koordinatensysteme x, y, z und x\ y\ *' hinzutreten. 

Analytisch eleganter aber ist es, ganz allgemein diejenigen 
linearen Transformationen des Weltkoordinatensystems x, y, 0, l 



— 56 — 



zu untersuchen, welche eine Loren tz- Transformation darstellen, 
d. h. bei denen der Ausdruck (33 a) x 2 -f- y 2 -\~ z 2 -f- 1 2 invariant 
bleibt. Diese Aufgabe entspricht durchaus der Frage nach den 
Substitutionen, welche eine Drehung des Raumkoordinatensystems 
#, y, z darstellt. Denn diese sind durch die Invarianz von 
# a + V 2 4" % % gekennzeichnet. (Vgl. den Anhang unter b.) 
Soll bei der linearen Substitution 



x' = aWx + af>y + afz + «<*> l ] 
y' = «(« x + a< 2) y + a< 8 > * + «<*> l 
z' = a$) x + afy + af z + a<*> l 
V = «(Dz-f af y + a< 8 > z + a^l 



• • 



(36) 



a 2 + # 2 + ** + l 2 = d 2 4- y' 2 + tf' 2 4- V 2 werden, so müssen, wie 
die Rechnung zeigt, die Gleichungen 




n«L m)2 = 1 



m = 1,2,3,4 




lu™Ct(o) = nh0 = 123f4 



m 



.i 



(36 a) 



erfüllt sein, welche durchaus den Orthogonalitätsbedingungen 
(S. 190) analog gebaut sind. Von den 16 Koeffizienten sind also 
nur 6 willkürlich*). Fassen wir die Gleichungen (36) einmal mit 
«I 1 *» <**\ a 8 1} ' a i 1} zusammen, dann mit a< 2 >, a< 2 \ a®\ a< 2 > usw., 
so findet man als ihre Auflösungen nach den un gestrichenen 
Größen : 

x = «<J> x' -f «£> y' + af ) z' 4- a<?> V 

y = af x' + «(?> y' + a<?> z' + afpj' 

z = af ) a' + « J> ?' + af z' + « J> V 

i = «w o?' 4- <> y + «< 8 4 > / 4- «<*> r 



(36 b) 



so daß nach Analogie von (36 a) auch 




n «T = 1, 




• a ( w n) 4 n) 







(36 c) 



ist. 



*) Von diesen sechs Freiheitsgraden kommen drei auf Drehungen 
des räumlichen Achsenkreuzes xyz, so daß nur drei für den Übergang 
von einem berechtigten System zum anderen übrig bleiben. (Vgl. 
§ 6 und 8.) 



— 57 — 



A = 



= ± «?> af> «<?> a< 4 4 > 



(37) 



Die Determinante der Koeffizienten nennen wir A: 

«?) «J) «§> «£> 
<> a<?> af > af 
af a<?> a»> aj> 

« ( i 4) «i 4) a( 3 4) «i 4) 

ihre Unterdeterminanten bezeichnen wir, wie üblich, mit J.^ . Die 
Auflösung von (36) nach x, y, z, l muß nun die Form haben: 

Ä x = Ap x' + Alp y' + A$> z' + A<p V usw., 
daher muß nach (36 b) 

<£> = A2»:A (38) 

sein. Setzt man diese Werte in (37) ein, so folgt für die Deter- 
minante der Unterdeterminanten: 

± A<f> Af Af Af = A\ 

Nach einem bekannten Satze ist diese aber, wenn die Zahl der 
Zeilen und Kolonnen n ist, A n—1 , in unserem Falle also A s , des- 
halb muß 



A = 1 



(39) 



sein ; denn A = — 1 ist ausgeschlossen , weil A eine stetige 
Funktion der Koeffizienten ist und bei der identischen Trans- 
formation x 1 = x usw. offenbar den Wert -\- 1 hat. Nach (38) 
ist dann 



a 



(n) An) 



(40) 

Wir können die Transformationen (36) und (36 b) zusammen- 
fassen in das ohne weitere Erklärung verständliche Schema: 





X 


y' 


* 

z 


V 


X 


af 


af 


af 


af 


y 


af 


«f> 


af 


af 


z 


af 


af 


af 


af 


i 


af 


af 


«<<> 


af 



(XII) 



Soll die Substitution (XII) eine Lorentz-Transformation 
darstellen, so müssen die Koeffizienten 1. den Ortho- 



— 58 — 

gonalitätsbedingungen (36a) genügen; 2. müssen die- 
jenigen, welche den Index 4 einmal enthalten, rein 
imaginär, alle anderen reell sein; 3. muß ihre Deter- 
minante und a 44 positiv sein. Die Bedingungen 2. haben wir 
hinzugefügt, damit aus reellen Werten x, y, z und einem imagi- 
nären Wert von l immer wieder für x\ y\ d reelle und für V 
imaginäre Werte hervorgehen. af aber muß positiv sein, weil 
af stets der Kosinus des imaginären Winkels <p zwischen der l- 
und der Z'-Achse ist, also 

af = cosw — , • 

4 ^ yi_ ß2 

Man sieht dies am leichtesten ein, wenn man die allgemeine 
Transformation in der oben ausgeführten Weise auf die spezielle 
Substitution (34) zurückführt. Die spezielle Transformation (34), 
bei welcher die y- und #- Koordinate un geändert bleiben, findet 
man, wenn man: 

af = af = 1, «<'> = «W = l 



Vi-/» 



2 



— «W = «<*) = 



iß 



(41) 



im n' 
Lm n 



gelten 
(Die 



alle anderen Koeffizienten gleich Null setzt. 

Für die Unterdeterminanten zweiter Ordnung A] 
den Formeln (36 a und c) entsprechende Beziehungen, 
oberen Indices beziehen sich stets auf die Zeilen, die unteren auf 
die Kolonnen von A.) Wie die Koeffizienten selbst sind diese 
Unterdeterminanten reell, wenn der Index 4 in ihnen keinmal 
oder zweimal, rein imaginär, wenn er einmal auftritt. 

Nach einem bekannten Satze ist für eine beliebige Deter- 
minante A 



Af Af 
Af Af 



= A 



af af 
af af 



Nach (39) und (40) folgt hieraus: 

A12 J3*. 

■ ZL 12 -^84» 

oder allgemeiner, wenn wir mit B mn &ieA mn ergänzende Unter- 
determinante bezeichnen : 



im' n' 

L-m n 



= # 



m' n' 
m n 



(42) 



— 59 — 



Weiter sagt ein bekannter Satz über die Darstellbarkeit einer 
Determinante als Summe aus Produkten der Unterdeterminanten : 



A = 




m 




i m' n' 



m' n' 



4 m- #§- 73"* n 

Am n -£>m n • 




m 




Gemäß (39) und (42) schließen wir hieraus: 

■» AZ? =1 (43) 

Denken wir uns ferner die Determinante 91 so aus A ab- 
geleitet, daß man die Glieder der zweiten Zeile durch die ent- 
sprechenden der dritten ersetzt; sie ist natürlich Null. Also gilt 
nach dem soeben benutzten Satz: 




m 




n äi 2 „ 9& 2 „ = 0. 
QJ12 ,412 «112 ül3 



Nun ist aber 
also nach (42): 

2 2 Ä "» Ä »» = ° (44 > 

Endlich denken wir uns die Determinante 31 so gebildet, daß in 
A nicht nur die Glieder der zweiten durch die der dritten Zeile, 
sondern auch die der ersten durch die entsprechenden der vierten 
ersetzt werden. Dann ist: 

W12 A12 s»12 JD43 

also 

S 2 ii! • ^ = ° (45) 

Man kann wegen der Gleichwertigkeit an Zeilen und Kolonnen in 

(43), (44), (45) die oberen mit den unteren In die es vertauschen. 

Ordnet man die Unterdeterminanten nach dem Schema: 



A 14) 

^14 


A 1 * 

-»24 


A l * 
-^34 


A 1 * 
^28 


A 14, 
-»81 


-»12 


A 2 * 

^14 


A 24, 


A 2A 


A 2 * 


A 2A 


J24 


A 3A 

^14 


AS* 
-»24 


A SA 

-»84 


A 3A 
^23 


A S4t 


J84 
-»12 


A23 
1* 


A23 
-»24 


A23 
-^34 


A23 
■^23 


A23 
^31. 


-»12 


A S1 
^14 


A 31 
-»24 


ASl 
^3 4 


A S1 
^28 


A 81 
-»81 


t4 81 
-^12 


A 12 

^14 


A 12 
^24 


A 12 
^34 


A l%i 


^81 


^4 la 



— 60 — 

so sagen die Gleichungen (43), (44) und (45) und ihre (nicht 
hingeschriebenen) Verallgemeinerungen aus: Quadriert und 
addiert man die Glieder einer Zeile oder Kolonne, so 
erhält man den Wert 1; multipliziert man entsprechende 
Glieder zweier verschiedener Zeilen oder Kolonnen, so 
findet man bei der Addition den Wert Null. 

Die Koeffizienten a^ und die Unterdeterminanten -4JH' n w 
werden im folgenden bei der Definition der Vierer- und Sechser- 
vektoren Verwendung finden. 

Bei der speziellen Transformation (34) sind [vgl. (41)] die 
Unterdeterminanten : 



(46) 



All J23 i 

■^14 -^28 1 » 

A\\ = AH = AH = A\\ = ^===cos<p 

iß 

Al2 AB4 J24 J31 •** „j„ m 

^24 — A Z\ A l! ^34 ^ „ 2 — Sm V 

alle anderen Null. Man bestätigt an diesen Werten leicht die 
angegebenen Regeln. 



IV. Weltvektoren und -tensoren. 

§ 10. Vierer- und Sechservektoren. 

Im dreidimensionalen Raum ist ein Vektor 31 durch die drei 
Komponenten 31*, 3ty, 3t* definiert, welche sich bei der Drehung 
des Achsenkreuzes wie die Koordinaten selbst transformieren. 
Doch gibt es zwei durch ihre Symmetrie voneinander verschie- 
dene Arten. Ein polarer Vektor wird durch eine Strecke mit 
Richtungssinn dargestellt; jede Ebene durch diese Strecke ist 
Symmetrieebene; ein axialer dagegen durch ein ebenes Flächen- 
stück mit Umlaufssinn; er hat als einzige Symmetrieebene diese 
Ebene selbst. Infolgedessen sollten eigentlich für die Transfor- 
mation des letzteren Formeln gelten, in denen statt der Koef- 
fizienten der Koordinatentransformation die Unterdeterminanten 
aus diesen auftreten; und nur weil nach den Orthogonalitäts- 
bedingungen jede Unterdeterminante gleich dem entsprechenden 
Koeffizienten ist, tritt dieser Unterschied nicht hervor. Die ein- 



— 61 — 



fachsten Repräsentanten beider Arten sind die Translation s- und 
die Drehgeschwindigkeit. Außer den Vektoren treten noch als 
Tensoren bezeichnete gerichtete Größen auf (vgl. den Anhang). 
Es gilt jetzt, den Vektor- und Tensorbegriff vierdimensional zu 
erweitern. Der Leitstern dabei ist die formale Analogie der 
Lorentz -Transformation (XII) mit einer Drehung des Achsen- 
kreuzes in drei Dimensionen. 

a) Vierervektoren. Wir legen zunächst die Mannigfaltig- 
keit x, y, z, l zugrunde und bezeichnen als Vierervektor P den 
Inbegriff von vier Komponenten P x , P yy P Xi Pi, welche sich bei 
der Substitution (XII) wie die entsprechenden Koordinaten trans- 
formieren sollen, also: 





Px- 


Py 


iV 


Pv 


Px 


«(,!> 


«?) 


< 


«f> 


Py 


af 


«?> 


«P 


af 


P, 


«<»> 


< 


«<?> 


uf 


Pi 


«(*> 


< 


«(/) 


««) 



(47) 



Von diesen Komponenten sollen entweder die drei räumlichen 
P x , P yi P g reell und Pi rein imaginär sein, oder umgekehrt. Die 
Transformation ändert wegen der Eealitäts Verhältnisse der Koef- 
fizienten a%* nichts an dieser Festsetzung. Alle Vierervektoren 
und nur solche werden mit großen griechischen Buchstaben be- 
zeichnet. 

Bei zwei Vierer vektoren Pund O ist das skalare Produkt 

(P0) = P,0 x +P v y + P,O, + P l ® l . . (48) 

gegen die Lorentz- Transformation wegen der Orthogonalitäts- 
bedingungen (36a) invariant; dasselbe gilt von dem absoluten 
Betrage eines Vierer vektors P 

\P\ = )/P*+P* + Pi + P? (49) 

Offenbar ist der Vierervektor durch eine gerichtete Strecke in vier 
Dimensionen dargestellt und bildet so das Analogon zum polaren 
Vektor in drei Dimensionen. 



— 62 



Wir werden im folgenden meist mit Vierervektoren zu tun 
haben, bei denen die l -Komponente imaginär, die drei anderen 
demnach reell sind. Gehen wir nach (33) zu der reellen Zeit- 
variablen u = — il über, so haben wir statt Pi die reelle Kom- 
ponente 

p u = -iP t (50) 

einzuführen. Das Quadrat des absoluten Wertes von P ist dann 



P2=p2 + pa + p2_p2 



(49 a) 



je nachdem es positiv oder negativ ist, nennen wir den Vektor 
„raumartig" oder „zeitartig". Stellen wir ihn nämlich als eine 
vom Punkte in Fig. 5 gezogene Strecke dar, so weist er im 
ersten Falle nach einem Weltpunkte des Zwischengebietes, im 
zweiten nach einem Punkte diesseits oder jenseits von 0. Ein 
räum artiger Vektor hat den Setrag R, wenn er bei dieser Dar- 
stellung bis zu einem Punkte 
s * ' ' des Hyperbelraumes x 2 -\- y 2 

^-z 2 — u 2 = B 2 reicht; ein 
zeitartiger hat den Betrag 
iR, wenn er nach einem Welt- 
punkte des Hyperbelraumes 
x 2 + y 2 + e 2 — u 2 = — R 2 
weist. 

Ist das skalare Produkt 
(P<2>) = 0, so sagen wir, die 
Vektoren P und & stehen 
aufeinander senkrecht. 
Doch ist dieser Ausdruck 
keineswegs im Sinne der Eu- 
klidischen Geometrie zu ver- 
stehen; deuten wir beide als von ausgehende Strecken, so sagt 
diese Bedingung vielmehr nach (31c), daß O in dem zu P be- 
züglich der Hyperbelräume (31) und (31 a) konjugierten Durch- 
messerraum liegt. Im Sinne dieser Festsetzung ist somit jedes 
berechtigte System x, y % z, u orthogonal. Zwei aufeinander senk- 
rechte Vektoren können nicht beide zeitartig, wohl aber beide 
raumartig sein. In Fig. 7 stehen P 1 , <&j sowie P a , 2 auf- 
einander senkrecht. P, und P 2 sind zeitartig, <P a und <ß s raum- 
artig. 




— 63 — 

Als Beispiel eines zeitartigen Vierervektors fähren wir hier 
die Vierergesch windigkeit Y an, deren Komponenten durch 
die Gleichungen: 






r2 



(51) 



y C 2_ ö 2 v y c 2 — q* Vc 2 — q} 

T, = -Jl= (oder Y u = -r^A 
Vc 2 — q* \ V c 2 — 2 2 / 

auf die Geschwindigkeit q eines materiellen Punktes zurückgeführt 
sind. Sie ist geometrisch als eine Strecke auf der Weltlinie dieses 
Punktes definiert; denn für die Komponenten ä%, dy, dz, du 
einer solchen gilt wegen u = et die Proportion: 

dx : dy : dz : du = q x : q v : q, : c = Y x : Y y : Y M : Y u . 

Sein absoluter Wert ist nach (49) oder (49 a): 

\Y\ = i (51a) 

Der Vektorcharakter von Y spricht das Ein stein sehe Ad- 
ditionstheorem der Geschwindigkeit für die allgemeinste Loren tz- 
Transf ormation (XII) aus ; die spezielle, auf (XI) bezügliche Form 
(25) findet man daraus durch Benutzung der Gleichungen (41). 

Durchaus singulär ist ein Vektor 77, welcher von aus nach 
einem Punkte x, y, z, l des Vor- oder Nachkegels hinweist. Für 
diesen ist nämlich nach (31b) der absolute Wert: 



n\ = V* 2 + y* + z* + J 2 = 0. 

Da 17 a zugleich das skalare Produkt von 77 mit sich selbst ist, 
so steht 77 auf sich selbst senkrecht *). Ist ferner & der Vektor, 
der auf dem genannten Kegel (31b) 

f = x* + y* + z* + l* = 

in dem erwähnten Punkte senkrecht steht, so ist 

Q x : Sl y : & g : Sli = -^ : -±- : ^- : -!■ ■ = x: y : Z : l 

" ex dy dz dl 

= n x: n y :n z :n h 



*) Derartige Strecken entsprechen den Minimalgeraden der drei- 
dimensionalen Geometrie. Der Schnitt des Kegels (31b) mit dem un- 
endlich Fernen stellt das absolute Gebilde unserer „vierdimensionalen 
Welt" dar. 



— 64 



Sl und TL haben somit dieselbe Richtung , infolgedessen gibt das 
Verhältnis zweier entsprechender Komponenten das Verhältnis 
der absoluten Werte an, welche selbst beide Null sind. 

b) Sechservektoren. Als Sechservektor bezeichnen wir 
den Inbegriff der sechs Komponenten 

t$xl, 1$yh Sslt 

Uyzi Vfzxi Vfxyf 

denen sechs weitere: fax, 3fj y , ffo*, t$ zy , % xgi % yx durch die Be- 
ziehung 

8»* = — 8hy (52) 

zugeordnet sind, wenn sie sich nach dem Schema: 





fftafV 


$f*v 


9*1' 


Sfyv 


tjfg'af 


ifcr'y' 


3f«i 


A 1A 


A 1 * 
-^24 


A 14 

Ä 34 


>4 14 
-^23 


A 1A 


A 1A 


ftn 


^24 
-^14 


A 24c 
-^24 


>4 24 
-^34 


A24 

-^■28 


>4 24 

^81 


>4 24 

^12 


3r*i 


j34 
-^14 


A SA 


-^■3 4 


-^28 


J84 
-^81 


>1 84 
-^12 


8f y « 


A28 
-^"14 


A2S 
-^24 


J23 
-^34 


J28 
-^23 


J28 
-^31 


A 28 


%« 


A 31 


A 31 
-^24 


A* 1 
^34 


>4 31 


A 31 


^4 81 
-^12 


9xy 


A 12 
-*14 


A 12 
^24 


A 12 
-^34 


>t 12 
-^■23 


-^81 


A 12 

-^12 



(53) 



transformieren. Daß die beiden hierin enthaltenen Gleichungs- 
systeme miteinander identisch sind, folgt aus den auf S. 60 an- 
gegebenen Beziehungen zwischen den Unterdeterminanten A™£[ 
Außerdem sollen entweder die drei Komponenten, welche den 
Index l besitzen, rein imaginär und die drei anderen reell sein, 
oder umgekehrt. Diese Festsetzung bleibt bei einer Lorentz- 
Transformation wegen der Realitäts Verhältnisse der Unter- 
determinanten Ann (ß m 68) erhalten. Insofern die Unterdeter- 
minanten in die Transformation eingehen, ist der Sechservektor 
das Gegenstück zum axialen Vektor in drei Dimensionen. Damit 
hängt zusammen, daß sich die Komponenten 9jk nicht auf die 
Koordinatenachsen, sondern auf die Koordinatenebenen beziehen. 



— 65 — 

Dreht man z. B. wie in (34) das Achsenkreuz in der XL -Ebene, 
so bleibt diese selbst erhalten und dementsprechend wird nach 
(53) und (46) fj^i = Stai'« Aus formalen Gründen ist es manch- 
mal zweckmäßig, Komponenten mit zwei gleichen Indices ($ X x usw.) 
einzuführen; diese sollen stets identisch Null sein. 

Zu jedem Sechservektor f$f gehört der duale Vektor fjr*, 
der ihm durch die Definition 

SS» = 8fop (54) 

zugeordnet ist. Die Indices mnop müssen dabei alle voneinander 
verschieden und so gewählt sein, daß die Anordnung m n op durch 
eine gerade Zahl von Yertauschungen aus der Reihenfolge x,y,z,l 
hervorgeht, z. B. ist 

3S = 3fy* dagegen nach (52) gfjj = — % xz 

Wegen (42) gilt für f$f* dieselbe Transformation (53) wie für %. 
Ist © ein zweiter Sechservektor, so sind Invarianten der 
Transformation nach (53) und S. 60 das skalare Produkt: 

(&«) = &i« xl + S w «,, + &,«., ] ^ 

+ %yz®yz + $Ftx®zx + %xy ®xy \ 

und ebenso 

(9*0) = (9«*) = »„ ® yi + % yl ® tx + &„«„„ |_ 

+ 9„* «.i + 8f« «»i + 8r.» «.i I 

Der einzelne Vektor f$f hat infolgedessen zu Invarianten seinen 
absoluten Wert: 

191 = V&S» + 9Ü* + »Ji + 9,% + 9L + 9x\ = 191 (55b) 

und das skalare Produkt: 

(59*) = 2(9x«9^ + 9 y «9»x + 9,j9^) • • (55 c) 

Man könnte zunächst daran denken, eine dritte Vektorart 
einzuführen, in deren Transformationsformeln die dreireihigen 
Unterdeterminanten A" n als Koeffizienten eingehen. Wegen (40) 
würden diese aber wieder Vierervektoren. 

§ 11. Die algebraischen Vektoroperationen. 

a) Addition und Subtraktion. Vektoren gleicher Art 
werden addiert und subtrahiert, indem man diese Operationen an 
ihren Komponenten vornimmt. Bei Vierervektoren ist dies das- 

Laue, Relativitätsprinzip. g 



— 66 — 



selbe, wie wenn man die sie darstellenden Strecken geometrisch 
addiert bzw.. subtrahiert. In einer Vektorsumme ist die Reihen- 
folge der Summanden gleichgültig (kommutatives Gesetz). Auch 
kann man sie beliebig in Teilsummen zusammenfassen und diese 
addieren (assoziatives Gesetz). 

b) Die skalare Multiplikation ist schon im § 10 be- 
sprochen. 

c) Vektorprodukte. 

a) Aus zwei Vierervektoren. Ein Sechservektor ist das 
Vektorprodukt 



» = [P0] 

aus P und <ß, dessen Komponenten 

PjPu 



(56) 



** = 



®i®k 



(j, Je — x, y, *, J) 



(56 a) 



sein sollen, 
nach (47): 



Daß dem so ist, überzeugt man sich leicht, da z. B. 



8*1' = 






+ ■■■ + 



«(2) ««) 



«<») «») 



PyP. 



+ 



P*Pl 

wird, was mit der Transformation (53) übereinstimmt. Dieser 
Sechservektor ist aber insofern ein spezieller, als das skalare 
Produkt (SJSJ*), wie die Ausrechnung nach (55 c) zeigt, identisch 
Null ist. 

Das kommutative Gesetz gilt hier nicht. Vielmehr ist 

[P0] = — [0P] (57) 

Wählt man die Ebene durch P und als eine der Koordi- 
natenebenen, so sieht man, daß [PO] das Parallelogramm aus P 
und nach Flächeninhalt und Umlaufssinn darstellt — genau so, 
wie auch das Produkt [2193] aus zwei Baumvektoren. Wählt 
man in der zu der genannten Ebene senkrecht stehenden Ebene 
(es gibt deren stets eine und nur eine, z.B. zur xy- Ebene die 
zl- Ebene) zwei andere Vierer Vektoren W und X, so stellt die 

Summe V& = [P&] + [W X] (57a) 

einen Sechservektor dar, für den (SB SB*) von Null verschieden 
ist, dessen sechs Komponenten also keiner einschränkenden 



— 67 — 

Bedingung mehr unterworfen sind. Der allgemeine Sechservektor 
wird demnach durch zwei zueinander senkrechte Flächenstücke, 
jedes nach Inhalt und Umlaufssinn ge wertet, dargestellt. Diese 
geometrische Darstellung hat Sommerfeld weiter ausgebaut. 

ß) Aus einem Vierervektor P und einem Sechser- 
vektor % kann man ein Produkt [Pft] bilden, welches zum 
Typus der Vierervektoren gehört. Seine ft- Komponente soll sein: 

[P%]k = Pxfaoc + Pyfhy + P*%*z + Pl%kl(lc = X^Z.V) (58) 

Seine ^'-Komponente hat also den Wert: 

C5]x' ~ Py'%x>y' + Pz'l&x'*' + Pl'fffxl' 

Wendet man nämlich rechts die Transformationen (47) und (53) 
an, so findet man als Faktor von P x %xi z.B. die Summe: 

^ 1) ^ + «< 1) ^ + «i' ) ^ = -4 4) = -«i 4) • • (59) 
als Faktor von P y % y v. 

«P A% + «?> A% + «f. Alt = - A<? = - o?» 
usw., so daß 

[P%] x , = «f> [P&J, + «f [P$]„ 4. «<8> [P$], + «(<> [Pg], 

ist. Damit ist der Charakter als Vierervektor bewiesen. 

Ebenso ist der umgekehrte Schluß zulässig: Sollen in (58) 
sowohl die Größen P X1 P y , P e , Pi als die vier Ausdrücke [P8f]fc 
die Komponenten von Vierervektoren sein, so müssen die 3^ die 
Komponenten eines Sechservektors bilden; denn soll wie in (59) 
a< 4 > linear durch u§\ a ( p, «^ ausgedrückt» werden, so sind die 
Koeffizienten der letzteren notwendigerweise die Unterdetermi- 
nanten zweiter Ordnung von A. — Man bestätigt leicht, daß sich 
in dem skalaren Produkt der Vierervektoren P und [Pft] je 
zwei Summanden wegen (52) aufheben, so daß 

(P[P»]) = (60) 

ist. Das Vektorprodukt [-P?$f] steht somit auf P senkrecht. 
y) Ein Vierer vektor ist ferner das Vektorprodukt 

P = [9VX] (61) 

aus den drei Vierer vektoren &, W und X, dessen Kom- 
ponenten 

5* 



— 68 



P* = — 



Oy & g Ol 
Wy W S W X 

Xy Xg X\ 



usw. 



p, = -i 



<&* *„ ®, 

W x Wy W, 
Ä.fr. -Ati Si* 



(61a) 



lauten sollen. Setzen wir nämlich nach (56) [W X] = 3$ und 
schreiben wir (61a) und (54) in die Form: 



= -<(*! 



+ *, 



yf t w 



X, X., 



+ 0, 



w. 



x, 



) 



W, Vi 

X, Xi 

= — «■ (0> y »*» + *. »j« +•»«:,) U8w. 

so sieht man, daß 

[Q>WX\ = —i [*»*], 

d. h. gleich dem Vektorprodukt aus dem Vierervektor ( — iO) 
und dem Sechservektor SJ* ist. Darin liegt der Beweis der Vektor- 
eigenschaft von [0 *FX]. 

Das Vektorprodukt [<P V X] entspricht in mancher Hinsicht 
dem Vektorprodukt [SIS] aus zwei Raumvektoren ä und 33. 
Deuten wir die letzteren als Strecken, so stellt [3133] das aus 
ihnen gebildete Parallelogramm nach Größe, Lage und Umlaufs- 
sinn dar, insofern die. Komponenten [3133]* = 9ly33* — 91* 33 y usw. 
(vom Vorzeichen abgesehen) die Größe der Parallelogramme an- 
geben, welche man durch Projektion des ersteren auf die Koor- 
dinatenebenen erhält. Ebenso ist z. B. (vgl. 50): 



Px = 



®y ®z <?>u 
W y W z W u 



(61b) 



Xy Xg X u 

gleich dem Inhalt des Parallelepipeds, welches aus den Projek- 
tionen der Vektoren <P, *P, X auf den t/£U-Raum gebildet ist, 
und welches daher die Projektion des aus den Strecken V X 
selbst gebildeten Parallelepipedes darstellt. Das letztere ist dem- 
nach durch Lage und Größe der geometrische Repräsentant des 
Vektorproduktes [& W X]. Das Vektorprodukt P steht auf den 
Vektoren, aus denen es«gebildet ist, in dem obigen, nichteuklidischen 
Sinne senkrecht; denn berechnet man die skalaren Produkte. (P0), 
(PyF) und (PX), so wird man auf vierreihige Determinanten 
geführt, in denen zwei Zeilen übereinstimmen, so daß diese Pro- 
dukte identisch Null sind. Nun gibt es aber noch zwei derartige 



— 69 — 

Richtungen, welche einander entgegengesetzt sind. Ebenso wie 
man dem Dreieck aus 31 und 33 einen Umlauissinn geben muß, um 
[31 33] eindeutig zu definieren, so muß man hier zu dem analogen 
Zweck dem Parallelepiped einen Schraubensinn zuordnen. Wir 
setzen fest, daß P zu <2>, ? f, X so liegen soll, wie die u~ Achse 
zu den x-, y~, £- Achsen. Da wir im Räume stets Rechtssysteme 
als Achsenkreuze benutzen, bedeutet dies: Es sollen die Vek- 
toren <2>, W, X in dieser Reihenfolge eine Rechtsschraub ung um 
P darstellen. 

Da man einen beliebigen Raum mit beliebiger Annäherung 
in (hinreichend kleine) Parallelepipede zerlegen kann, so können 
wir jeden dreidimensionalen Raum mit Schraubensinn als einen 
Vierervektor auffassen. 

Wie unter a erwähnt, ist 3$ = [^"A"] nur ein spezieller 
Sechservektor. Da man aber nach (57 a) den allgemeinen Vektor 
SB als Summe aus zwei derartigen 8$ und 3$ a darstellen kann, so 
ist das Vektorprodukt — i [O SB*] = — i [O 8*] — i [0> 8*] auf- 
zufassen als vektorielle Summe aus zwei Räumen mit Schrauben- 
sinn, d. h. ebenfalls als ein derartiges dreidimensionales Gebilde. 
Da man — i3B* = % setzen kann, so ist hiermit eine geo- 
metrische Darstellung für das Vektorprodukt [PtJf] gewonnen. 

§ 12. Vektorielle Differentialoperationen. 

a) Ist <p eine skalare Funktion von x, y, z, l, so geht sie 
durch die Substitutionen (XII) über in eine Funktion der Argu- 
mente 

a<» x' + «£> y' + «J> / + <> V, «w x' + - • •, 

af z' -f • • •, <>*' + ... 
Infolgedessen ist 

d Jt = „(i) d JE. + «w if + „(8) ®£ + B w *2 

dx' x dx + l dy +Bl dz +Bl dV 

d. h. man kann im Schema (47) P x durch -^, P^ durch -^— usw. 

dx dx 

ersetzen. 

d<p d(p b(p d<p 

dx' öy' dz y dl 



— 70 



sind somit die Komponenten eines Vierervektors, den man als 
den Gradienten von <p (Fpadqp) bezeichnet. Er gibt wie 
der dreidimensionale Gradient Richtung und Größe des stärksten 
Anstieges der Funktion (p an. 

b) Man kann das Ergebnis von a) dahin aussprechen, daß 
die Operationen 

JL A JL JL 
a?' dy' dz' dl 

die Komponenten eines symbolischen Vierervektors V bilden. 
Die Divergenz von P 



Div P = 



dP x . dP y , dP, , dPt) 



dx 



8y 



dz + dl 



_dP x dP y dP, dP u 

dx dy dz du 



> • 



(62) 



[vgl. (33) und (50)] ist dann dessen skalares Produkt mit dem 
Vierervektor P. Das bedeutet nur, daß der rechnerische Nach- 
weis der Invarianz dieses Ausdruckes genau so verläuft wie bei 
dem Produkt (PO). 

c) Bilden wir aus V un< ^ ©inem Vektor P das Vektor- 
produkt, so finden wir einen Sechservektor, die Rotation von 
P (9tötP), deren Komponenten nach (56 a) 

iL iL 

dj dk 



motjjc p = 



dP k d Pi 



dj 



dk 



P, ft 



j, k = x, y, e, l (63) 



sind. Den dazu dualen Vektor bezeichnen wir als 9tot* P. 

d) Dem Vektorprodukt aus dem Vierervektor 4 und dem 
Sechservektor f$f entspricht die „Divergenz" von 3f, divfy, d.h. 
diese ist ein Vierer vektor, dessen ^-Komponente nach (58) lautet: 



öx 



dy ■*" 



d%it* , d%ki 



de 



dl 



k = x t y, z, l (64) 



Wie aus der Vektoreigen schaft von [Pf$] zwingend ge- 
schlossen werden kann, daß % ein Sechservektor ist, so auch hier: 
Haben wir vier Ausdrücke von der Form (64), die sich als Kom- 
ponenten eines Vierervektors transformieren, so müssen sich die 



— 71 — 

f* nach dem Schema (53) umrechnen. — Man bestätigt durch 
Einsetzen der Definitionen (63) und (64) unmittelbar die Rech- 
nungsregeln : 

Div(4iv%) = (65) 

4iv(Slot*P) = (66) 

e) Der Laplacesche Operator in vier Dimensionen 

d 2 d 2 d 2 d 2 

° = dx~ 2 + dV 2 + d7 2 + dl 2 • • • • (67) 

(„Delta") entspricht durchaus dem Quadrat des symbolischen 
Vektors V- Er ist daher eine gegen die Lorentz- Transformation 
invariante Operation, d. h. Dop ist ein Skalar, O P ein Vierer- 
vektor. Dies zeigt sich auch an den Rechnungsregeln 

Div(rQadq>) = D m (68) 

4iv(SlütP) = rQad(DivP)—uP . . . . (69) 

welche man ohne Schwierigkeiten rechnerisch nachprüfen kann. 

f) Umrechnung von $Rßt P auf hyperbolische Koordinaten *). 

Wir deuten für den Augenblick x, l, y als reelle, recht- 
winkelige Koordinaten in drei Dimensionen. Die x-, Z-, t/- Kom- 
ponente des Vektors rot % sind dann gleich 

dl öy y dy dx' dx dl ' 

Führt man statt jr und l nun die Polarkoordinate jß, (p durch die 
Substitutionen 

x = Rcos<p, l = Rsincp (70) 

ein, so sind die Richtungen der wachsenden R und (p in einem 
beliebigen Punkt P identisch mit den Richtungen der x'- und 
7'- Achse eines Systems, welches gegen das ursprüngliche um den 
Winkel qp gedreht ist, so daß 

% B = ^cosop + %sin(f %tp = — äUsinqp + %cos(p (71) 

sind. Dai'aus folgt dann bekanntlich, daß die Komponenten von 
rot 91 nach 22, (p, y die Werte haben: 



*) Diese Umrechnung wird erst in § 18 gebraucht und kann vom 
Leser vorläufig übergangen werden. 



— 72 



rot B 31 == 



rot«, % = 



1 d% d% 
R dq> 

d%R 



<p 



"<P 



dy 



dy 
dR 



rot 



y 



B \ dB o<p ) 



(72) 



Nun legen wir den Bezeichnungen x, 1, y wieder die bisherige 
Bedeutung bei. Die Substitutionen (70) führen dann auf die 
„hyperbolischen" Koordinaten R, qp, so genannt, weil R = const 
die Gleichung einer Hyperbel x 2 — u 2 = const ist. Nur ist qp wie 
l rein imaginär , wenn wir R als reell voraussetzen , die Be- 
trachtung also auf Punkte beschränken, für die R 2 = x 2 — u 2 > 
ist. Dennoch sind auch hier die Richtungen der wachsenden 
R und (p in einem beliebigen Punkte P identisch mit den Rich- 
tungen der x'- und V- Achse eines Systems K\ das im Sinne von 
§ 9 um den imaginären Winkel (p gegen das System K gedreht 
ist. Denn ziehen wir durch P die Hyperbel x 2 — u 2 = R 2 , so 
gibt ihre Tangente die Richtung an, in der bei konstantem R 

der Winkel <p wie V (imaginär) wächst, während OP offenbar die 
#'- Achse ist. Infolgedessen gelten nach (47), (41) und (35) für 
die Komponente eines Vierervektors P die zu (71) bzw. (34a) 
analogen Gleichungen: 

P R = P x cos q> + Pi sin op P<p = — P x sin q> + Pi cos (p (73) 

Nun sind nach (63) die ly-, yx-, scJ-Komponenten von 9lotP 
unmittelbar die Komponenten von rot % nach x, l. y, wenn man % 
als die Projektion von P auf den #Z#-Rauin auffaßt, also 

P* = 3L, P, = X„ Pi = %, 

Pr=%r, P q > = % 
setzt. Die Anwendung der Gleichungen (72) lehrt dann, daß 

p _ ldPy dP V 

B dtp dp 
dP s dP y 



also auch 



ttti 



9V 



ttOtyzP = 



dy 



dB 



a 1/ 8 (JP») dP S \ 



(74) 



(76) 



— 73 — 

ist. Es versteht sich von selbst, daß zu den beiden ersteren die 
Analoga 

bestehen, während 

«Ot,,P=^-^ ...... (75a) 

" oy dz 

bleibt. 

§ 13. Welttensoren. 

Als Welttensor bezeichnen wir den Inbegriff von 16 Kom- 
ponenten 

J-xz -*-xy J-xg J-xl 

■Lyv -*-yy -*-y* -Lyi 

J-zx J-gy J-gg J-zl 

Ti x Ti y Tiz Tu 

mit den 6 Bedingungsgleichungen 

T jh = T kj (76a) 

wenn sie mit den Komponenten eines beliebig gewählten Vierer- 
vektors P in der folgenden Art zusammengesetzt: 

T kx P x + T ky P y + T ks P, + T*iPi = ®*\ m (77y 

(h = x,y y Zyl) J 

wieder die Komponenten eines Vierervektors Q> ergeben. Es folgt 
aus dieser Definition, daß nach (47) 

&X = T XX P X -(- T X yPyf + T Xg Pg -|- T X lPl> 

= afp 9^ + a<p9 y , + «£>«, + up9 v 

sein muß; wendet man nun auf 9 X > usw. die Gleichung (77) an, 
und setzt man ebenfalls nach (47): 

P x , = of>P. + *<?>P y + afP, + a«P, usw., 

so findet man die Gleichheit von zwei linearen Funktionen der 
vier unabhängigen Veränderlichen P a , P y , P Z1 P%\ die Koeffizienten 
müssen in beiden übereinstimmen. Die Durchführung dieser ein- 
fachen Rechnung ergibt die Transformationsgleichungen: 



— 74 — 

T xx = < 2W + afp Tyy + dp T,,, + a< 4 '> 8 ZW 

+ «§>«§) r„ v + ««>«?> t,,. + <><) T, r } 

T xy = «p«f> 3V«. + <)«f T,v + «0)««) 2V, + «<»«<» T rP 

+ («ff»*?» + «W j 2W + ««?> + <>«?>) T,, 

usw. 

d. h. die Tensorkomponenten transformieren sich wie die Qua- 
drate x 2 usw. und Produkte xy.. yz.. aus den Weltkoordinaten. 
Daraus folgt unter anderem, daß die Summe der Diagonalkom- 
ponenten 

eine Invariante der Lorentz- Transformation ist. Die Analogie 
zum symmetrischen Tensor p in drei Dimensionen ist voll- 
kommen. 

Da die Operationen -r— , •%— , -r— , -^-r nach § 12 einen sym- 

ox oy de öl 

bolischen Vektor bilden, so kann man die Definition (77) durch 
die Forderung ersetzen, daß 4ivT, d. h. der Inbegriff der vier 
Größen 

JtVkT= ^d7 + -W + -jr + ^r (* = «.».*.*) -(78) 

einen Vierer vektor darstellen soll. Hiervon machen wir Gebrauch, 
um zu zeigen, daß wir zu einem Tensor T gelangen, wenn wir die 
Komponenten von zwei Sechservektoren % und © in der folgenden 
Art zusammensetzen: 

Tjk = { { (%i. ®** + $» ®ky + $, ®** + &!««) 

j, fc = z, «/, *, z. 



(80) 



— 75 — 

Denn es ist dann: 
4 4iv x T 



= 2 4[ 8f«if«-!t+8-.»« + 8f-i«-i-8fs»^-8f:.«:.-Wi«:i] 

] 



+ 



ö ' l+ «. «9.» + «n 5,i - «2, m v - m t m 



,d_\ &.„«!, +8f«.»i. -^yfA-5*«®»* ] 

Führt man hier nämlich die Differentiation an den einmal unter- 
strichenen Größen ans, so findet man bei ihrer Addition nach (64) : 

die zweimal unterstrichenen geben analog 

Damit ist aber gerade ein Sechstel aller auftretenden Summanden 
verbraucht; die anderen lassen sich entsprechend zusammenfassen. 
Bezeichnet man den durch (80) definierten Tensor T als das 

Tensorprodukt |[3f®]L so gilt nach (58) die Rechnungsregel: 

— [z/ivft*,®*] — [Jiv®*,%*]} j 

Da aber die Elammerausdrücke rechts Vektorprodukte aus je 
einem Vierervektor und einem Sechservektor, d. h. selbst Vierer- 
vektoren sind, so ist, wie zu beweisen war, T = |[3r®] ©in 
Tensor; allerdings ein spezieller, denn es ist die Invariante 

T ax + T yy -f- T t9 4- Tu = 0, 

weil sich in ihr von den 48 Summanden je zwei paarweise auf- 
heben. 



— 76 — 

Die in diesem Abschnitt begründete vierdimensiouale Vektor- 
und Tensoranalysis läßt sich noch sehr viel weiter ausbauen. Es 
lassen sich z. B. die Integralsätze von Gauß und Stokes über- 
tragen und der vermehrten Zahl der Dimension entsprechend 
neue auf Vektoren bezügliche Integralsätze aufstellen (vgl. die 
im Anhang zitierten Arbeiten von Sommerfeld). In diesem 
Heft können wir jedoch auf alle weiteren Hilfsmittel verzichten. 



V. Die Elektrodynamik des leeren Raumes nach 

dem ßelativitätsprinzip. 

§ 14. Die Transformation des elektromagnetischen Feldes 

im leeren Räume. 

Wir haben im Abschnitt III die L o r e n t z - Transformation 
aus der Forderung der Unveränderlichkeit der Wellengleichung 
(16) abgeleitet. Das Relativitätsprinzip behauptet, daß alle 
Naturgesetze ihre Form dabei behalten. Wir machen eine erste 
Probe, darauf, indem wir untersuchen, ob die Grundgleichungen 
(Ia)bis(IYa) der Elektronentheorie bei passender Transformation 
der Feldstärken (2 und $ in allen Systemen die gleiche Gestalt 
haben. Der Nachweis ihrer Invarianz ist erbracht, wenn es ge- 
lingt, sie in eine vierdimensional-vektorielle Form zu kleiden. 
Dies ist trotz des Zusammenhanges zwischen der Wellengleichung 
(16) und den Gleichungen (Ia) usw. keineswegs nur eine Schein- 
probe, da zwar die Wellengleichung aus ihnen, nicht aber um- 
gekehrt diese aus jener abzuleiten sind. 

Den Ausgangspunkt bildet die Transformation der Ladung e 
eines Elektrons oder eines Teiles von ihm. Beschleunigen wir 
ein solches vom Ruhezustand im berechtigten System K auf die 
Geschwindigkeit q, so gerät es dabei in den Ruhezustand, bezogen 
auf ein anderes berechtigtes System K'. Wegen der Gleich- 
wertigkeit beider muß dann die Ladung e' bezogen auf K' den- 
selben Wert haben, welchen sie vor der Beschleunigung im System 
K hatte. Nach § 5 [Gleichung (18)] ist aber e bezogen auf K 
unverändert geblieben. Daher gilt stets: 

e = e' (82) 



77 — 



Die Elektrizitätsmenge bleibt bei der Lorentz -Trans- 
formation unverändert. (Dasselbe gilt natürlich für jedes 
Bestimmungsstück für den Zustand eines Körpers, welches bezogen 
auf ein und dasselbe berechtigte System durch die Geschwindig- 
keit nicht verändert wird.) 

Die Dichte Q ist der Quotient aus der Ladung und ihrem 
Volumen; infolgedessen transformiert sie sich wie der reziproke 

V 



Wert des Volumens, oder da nach (24) 



Vc 2 — 



invariant ist, 



wie \(c 2 — q 2 )~~\ Ersetzt man daher in der Vierergeschwindig- 
keit Y [vgl. (51)] den Nenner ^c 2 — q 2 durch den Faktor q/c im 
Zähler, so muß man wiederum zu einem Vierervektor gelangen; 
dieser, der „Viererstrom" P, hat die Komponenten 

_ Q<\* p _ Q<\y 

C v C C 



P.= 



P,= °± 



Pi = iQ . . (83) 



Für den Fall der speziellen Transformation (XI) ergibt sich daraus 
nach (47) und (41), daß 

C\x+ V 

y x _ ^ 9<\v = *'*(* 

V<\x 



Q<\x 



Q<\z = q'c\'m 



1 + 



c 2 



(83 a) 



Vi-/* 2 

ist. Der Viererstrom fällt in der Richtung mit der Weltlinie der 
Ladung zusammen, ist also zeitartig. Die Kontinuitätsgleichung 
(17) sagt aus: Biv P = t . (84) 

Die Grundgleichungen (IIa) und (III a) kann man folgender- 
maßen schreiben: 

did, 



~ l ~ dy dz 



1 



dx 

dx dy 



, d$ x ciüy 1 
dz dl c ™ 



8tg, 
cJ 



dx 



di(£ y 



diQ g 

dz 



c ^ 



= tQ 



(84 a) 



— 78 — 

Die linken Seiten haben die Gestalt der Komponenten der Di- 
vergenz eines Sechservektors (64), die rechten bilden die Kom- 
ponenten eines Vierer vektors. Sollen die Gleichungen (84 a) gegen 
die Lorentz -Transformation invariant sein, so müssen nach 
§ 12, d) notwendigerweise die sechs Größen: 



m x i = — i® x , f m y i = —i^ m g i = —a i 
m y , = $., m zx = &, m xy 






(85) 



die Komponenten eines Sechservektors, des „Feldvektors" 3W, 
bilden; dessen absoluter Wert [(55b)]: 

äß2 = £2_g2 (85a) 

und das skalare Produkt [(55 c)]: 

(SR SR*) = — 2»(g$) (85b) 

sind Invarianten. Die Gleichungen (84 a) nehmen dann die Form 

4ivm = p (xiii) 

an. Durch (85) ist nach (53) die Transformation für @ und 
Jp festgelegt. Sollen die Gleichungen (Ia) bis (IVa) gegen die 
Lorentz- Transformation invariant sein, so müssen auch die 
bisher nicht benutzten Formeln (Ia) und (IVa) durch die Ein- 
führung an SR nach (85) eine vierdimensional-vektorielle Gestalt 
annehmen. In der Tat lassen sie sich zusammenfassen in : 

z/iuSR* = (XIV) 

Damit ist der Beweis der Invarianz der Feldgleichungen 
(Ia) bis (IVa) gegen die Lorentz -Transformation ge- 
liefert. 

Die aus (85) und (53) folgenden Transformationsformeln 
für die Feldstärken (5 und $ wollen wir für den speziellen Fall 
der Transformation (XI), daß nämlich die x'- und x -Achse beide 
der Relativgeschwindigkeit t) des Systems K f gegen K parallel 
sind, hinschreiben ; die Unterdeterminanten Am n haben dann die 
in (46) angegebenen Werte, also*): 

*) Bei der Transformation (XI) fallen die Richtungen von x' 
und x, y' und y, z 1 und z zusammen, so daß man statt (Sa', ($« usw. 
schreiben kann. Im allgemeinen ist dagegen zwischen den Indices x f 
und x zu unterscheiden. 



— 79 — 

S* = @i §* = §i 

y yi — ^ v " Vi — j8 a 

Vi — 0* v Vi — 2 



(85 o) 



Die Zerlegung des elektromagnetischen Feldes in einen 
elektrischen und einen magnetischen Anteil hat danach 
nur relative Bedeutung; für jedes berechtigte System ist sie 
anders vorzunehmen. Z. B. sind Felder, welche von einem System 
aus betrachtet rein elektrisch oder rein magnetisch sind, für alle 
anderen Systeme gemischter Natur. Der physikalische Grund 
dafür ist, daß man bei Untersuchung eines elektromagnetischen 
Feldes mit elektrisch geladenen Probekörpern und Magnetnadeln 
deren Bewegungszustand mit in Betracht ziehen muß; der letztere 
aber wird von verschiedenen Systemen aus natürlich verschieden 
beurteilt. 

§ 15. Die Transformation der Kraftdichte, Energie- 

und Impulssatz. 

a) Die Viererkraft. Die Dichte der ponderomotorischen 
Kraft ist nach (IX a): 

fc = p(<5+-kq£]) (IXa) 

Auch diese Gleichung soll in jedem berechtigten Bezugssystem 
gelten. Die Transformation der Feldstärken (S und £), sowie die 
der Dichte Q und der Geschwindigkeit q kennen wir. Wir können 
also hieraus die Transformationsförmeln für § ableiten. Von dem 
Vektorprodukt [P8R] lautet nach (58), (83) und (85) die ^-Kom- 
ponente : 

[P 2R] X = P y W xy + P, m x , + P, w xl 

= 9 (®x + — [<\y& — q« $»]), 
c 

es sind daher die räumlichen Komponenten: 

[Pm] x = % x , [P»],= &„ [PW], = $,. . (86) 



— 80 — 

dagegen ist die vierte, zeitliche Komponente nach Rechnungs- 
regel y\ 

[PS»], = P x m lx + PyWtiy + P,W„ = -i(qg) = -*- (qg) (86a) 

9 c 

Die „Viererkraft" *) 

F = [Pm] (86 b) 

stellt also in ihren drei räumlichen Komponenten die Kraftdichte 
§:, in ihrer w- Komponente dagegen die Leistung der Kraftdichte 
dividiert durch c dar; dies gilt in allen Systemen. Die Vektor- 
eigenschaft von F regelt somit das Verhalten der Kraft- 
dichte § bei einer Lorentz-Transformation. Aus der 
Rechnungsregel (60) folgt: 

(PF) = (P[PVt]) = (86 c) 

Die Viererkraft steht also auf dem Viererstrom und damit auf der 
Weltlinie der Ladung senkrecht, sie ist daher ein raumartiger 
Vektor [vgl. § 10 a)]. 

Aus der Vektoreigenschaft von F folgt für die spezielle 
Transformation (XI) nach (47) und (41): 



9'. + %<*'%') 

5* = — <\l 1 _ß% ' ^ y == ^ ^ ==== ^ 

(qg) = (q # 80 + ^9» _ (q > +^g) 



(87) 



ii—ß* ' Vi — /3 2 

Für die Gesamtkraft 

£ = $%dV (88) 

welche auf ein System gegeneinander ruhender Ladungen aus- 
geübt wird**), gehen daraus nach (25 d) wegen 

dV _ c* + vq x 



dV c^c* — v' 
die Formeln hervor: 



*) F soll das griechische Digamina sein. 

") Wenn q' bei der Integration nicht als konstant zu betrachten 
ist, so gelten die Gleichungen (87 a) und (87 b) offenbar nicht. 



**> 



— 81 — 



v 



<f£x — 



®* + ~ 2 W®') 



1 + 



V<\x 



Vi — ö* 



vtz — ov*' 



, Vi-/* 



i + 



v q 



X 



(87 a) 



und für ihre Leistung: 



, . (q' *') + »& (q'+to,fl) 
vqwj — — i — = , • • • 



1 + 



»q* 



1 + 



c 2 



(87 b) 



Die Gesamtkraft Ä hat nach (88) nicht die Eigenschaft, sich zu 
einem vierdimensionalen Vektor ergänzen zu lassen, weil d V keine 
Invariante der Transformation ist. 

Bei der Anwendung der Formeln (87 a und b) ist aber die 
folgende Einschränkung zu beachten: Die Integration in (88) 



Fig. 8. 



ist für denselben Zeitpunkt t zu 
vollziehen. Stellen in Fig. 8 die 
parallelen Geraden X^ X[ und 
X 2 X 2 die Weltlinien der End- 
punkte eines Stabes dar, so 
findet man die Kraft $ im System 
K durch Integration längs einer 
zu Xj X 2 parallelen Geraden von 
ihrem Schnitt mit X^X'i bis zu 
dem mit X 2 X 2 (z. B. AB), da- 
gegen bezieht sich 9t' im System 
K' auf eine Parallele zu X[ X' 2 
(z. B. A' B'). Im allgemeinen, 

wenn die Viererkraft F eine beliebige Funktion der Weltpunkte 
ist, besteht demnach überhaupt keine Beziehung zwischen $ und 
$'. Nur im stationären Falle, wenn sich der Zustand in einem 
materiellen Punkte nicht ändert, d. h. wenn F auf den (zu X a X{ 
parallelen) Weltlinien der letzteren konstant bleibt, gelten die 
Transformationen (87a und b) streng; angenähert auch dann, 
wenn man über zwei sich schneidende Querschnitte (wie AB 

Laue, Helativitätsprinzip. Q 




*-x 



— 82 — 

und A' B') integriert, und F sich auf Strecken von der Größen- 
ordnung von AA' und BB' nur unmerklich ändert. 

b) Der Welttensor T. Wir erwähnten in § 5, daß der 
Kraftansatz (IX a) von dem Ausdruck der Energiedichte (THIa) 
des Energieprinzips wegen nicht unabhängig ist. Wir wollen 
jetzt zeigen, daß dies Prinzip erfüllt ist, und fassen zu diesem 
Zweck den Welttensor 

T=[\mm\\ (XV) 

(vgl. § 13) ins Auge. Daß die Viererkraft mit ihm durch die 
Gleichung 

g = —4ivT (XVI) 

verbunden ist, geht nach der Rechnungsregel (81) aus den Feld- 
gleichungen (XIII) und (XIV) unter Berücksichtigung von (86 b) 
hervor, da aus ihnen 

— 4ivT= \PW\ 
folgt. 

Wir stellen zunächst die Werte der Komponenten von T, 
wie sie sich aus (80), (85) und (54) ergeben, zusammen. Unter 
Berücksichtigung von (14a) und (X) finden wir z.B.: 

T X y = — ((g X Üy "f $ X £)y) = ß X y 

T U =— £(«» + $«) = — w 



T X l = i (gj, $ B — a g $ y ) 
oder schematisch geschrieben: 

pxx Pxy pxz 



©* 



T = 



Pyx Pyy Pyz ^y 



pzx pzy pzz w£ 





-©* -<&y -S, 

c c y c 



— —<5 X 
c 



W 



(89) 



c) Der Energiesatz. Zur Diskussion beginnen wir mit 
der ?-Komponente der Gleichung (XVI). Führen wir statt l nach 



— 83 — 

(33) die Zeit t und statt Fi die Leistung (qg) nach (86 a) ein, 
so finden wir: 

YT+(q&) + *•© = <> (90) 

Die beiden ersten Summanden geben die Zunahme der gesamten 
Energiedichte pro Zeiteinheit an, da die Arbeit (qft) in andere 
Energiearten umgesetzt wird. Das Energieprinzip ist also 
erfüllt, wenn man die Bedeutung des Pointingschen 
Vektors als Dichte der Energieströmung beibehält. 
Der Energieansatz (Villa) gilt in allen berechtigten 
Systemen. 

d) Die Erhaltung des Impulses. Doch enthält Gleichung 
(XVI) mehr; ihre drei räumlichen Komponenten kann man nach 
(89) in die dreidimensionale Vektorgleichung 

S = -bi»p-i^J (91) 

zusammenfassen. Die Gesamtkraft, welche auf die in einem ab- 
gegrenzten Raum vorhandenen Ladungen von den außerhalb be- 
findlichen ausgeübt wird, ist daher 

« = — fbtopdS— j 2 j- t \®d8 . . • (91a) 

Wir zerlegen sie in zwei Anteile: 

«, = — fbtopdS, $ 2 = — -^{©dS . . (92) 

Bezeichnen wir ferner mit $ a die Kraft, welche umgekehrt die 
Ladungen des Integrationsgebietes auf alle anderen ausüben und 
nehmen wir an ihr die entsprechende Zerlegung in $J und ģ 
vor, so folgt, daß 

^+«5 = (93) 

ist. Nach Rechnungsregel £ findet man nämlich: 

Äx =jp n dtf (92a) 

und die entsprechende Komponente von §t a erhält man offenbar, 
wenn man die Richtung der Normale n, d. h. nach v' das Vorzeichen 
von p n , umkehrt. $ a gehorcht also dem dritten Newtonschen 
Axiom, der Gleichheit von Wirkung und Gegenwirkung. 

6* 



— 84 — 

Die Kraft $ möge durch die Elektronen auf ponderable 
Körper übertragen werden, deren mechanischer Impuls @ ist. 
(Wir wollen annehmen, daß diese Körper nicht über den abge- 
grenzten Bereich hinausragen.) Wir behalten nun in der Rela- 
tivitätstheorie wie das Energieprinzip so auch den Impulssatz: 
Die Kraft ist gleich der Zunahme des Impulses des Körpers, auf 
den sie wirkt, d. h. J/tt 

[ygl. (9)], als ein gesichertes Ergebnis der empirischen Forschung 
bei. Wie sich @ berechnet, ist freilich noch eine offene Frage 
(Abschnitt VII). Jedenfalls folgt, daß in allen Fällen, in denen 
nur $1 in Frage kommt, z. 6. bei allen stationären Vorgängen, 
die Summe aus @ und dem Impuls ® a der außerhalb des Inte- 
grationsbereiches liegenden Körper 

® + ®« = const (93a) 

ist, d. h. der gesamte Impuls bleibt konstant. 

Ganz anders verhält es sich mit der Kraft $ 2 - Sie läßt sich 
nicht durch ein Oberflächenintegral ausdrücken, verletzt deshalb 
im allgemeinen das genannte Newton sehe Axiom und den Satz 
von der Erhaltung des mechanischen Impulses 1 ). Das erstere ist 
in der Tat in der Elektrodynamik nicht aufrecht zu erhalten 
(vgl. § 4). Den Impulssatz dagegen kann man retten, wenn man 
dem Felde einen „elektromagnetischen Impuls 14 ® e mit der 
Dichte 

j /vr 

zuschreibt. Denn ersetzt man in Gleichung (91 a) $ durch -7— 

und — — I <3dS durch -7-A so findet man nach (92): 
c 2 dtj dt 

*i = Tl(® + ®e) 
dt 

oder nach (93): 

® + ® e + ®° + @e = const .... (93 b) 

d. h. die Summe aus mechanischem und elektromagneti- 
schem Impuls ist konstant (Abraham 2 ). Die Kraft Ä 2 hat 



— 85 — 

nach dieser Auffassung nicht nur die mechanische Trägheit 
zu überwinden, welche sich der Vergrößerung des mechanischen 
Impulses © widersetzt, sondern auch die elektromagnetische, 
welche der Veränderung des elektromagnetischen Impulses ® e ent- 
gegenwirkt. Die ponderomotorische Wirkung ist die Summe von 

d® e 
$1 und der „elektromagnetischen Trägheit skraft tt — *). 

(X z 

Gleichung (91) nimmt nach (95) die Gestalt an: 

g = — btop— g e (95 a) 

Zwischen der Kraftdichte 5 un & der mechanischen Impuls- 
dichte g besteht aber die Beziehung: 

g = £ (94a) 

(vgl. den Anhang, Absatz c), die mit (94) identisch ist. Somit ist 

i+9e = — W *P ( 9öb ) 

e) Die Erhaltung des Drehimpulses. Inder klassischen 
Mechanik hat der Impulssatz sein Analogon in dem „Flächensatz", 
der die Konstanz des Drehimpulses £ ausspricht. Nennen wir r 
den Radiusvektor von einem beliebigen festen Anfangspunkte 
nach dem Orte des materiellen Volumelementes d V, und be- 
zeichnen wir die Massen dichte mit d, so ist dort 

8 = jd[x<)]dV= J[tg]e*7 (96) 

da die Impulsdichte g = dc\ ist. Das Drehmoment 

K = J[t$]«IF ....... (97) 

welches auf die Körper des Integrationsbereiches ausgeübt wird, 
steht mit 2 in dem zu (94) analogen Zusammenhang 



9? 



= f =!{N]^=JNJ<*7 • • • m 



*) Im leeren Baum ist die Gesamt Wirkung, wie aus (IX a) hervor- 
geht, wegen q = stets gleich Null. Die Maxwell- Hertz sehe 
Theorie kannte nach (IX) nur die Kraft St lt behielt also eine pondero- 

1 3© 
motorische Kraft vom Werte — -—- auf die Volumeinheit des Vakuums 

übrig (vgl. § 4). 



— 86 — 

Übrigens sind diese beiden Erhaltungssätze insofern nicht gleich- 
wertig, als man den zweiten aus dem ersteren ableiten kann. 
Nach (94 a) ist nämlich (98) eine Folgerung aus (97). 

Wir wollen hier die Definition (97) für das Drehmoment ■}? 
übernehmen und finden dann nach (91) und (95)*): 

5K = - f[t,btop]<*S — ^j[rg e ]ö[S . . . (99) 

Das erstere Integral ist nach £' 

% = — J [r,bfo p]<JS = j[rö„]do- ... (100) 

es ist das Drehmoment der zu $ 2 (92) zusammengefaßten Flächen- 
kräfte. Wie $i wechselt 9?! nur sein Vorzeichen, wenn wir nach 
der Gegenwirkung auf die außerhalb des Integrationsbereiches 
liegenden Körper fragen. Soweit der zweite Summand in (99) 
fortfällt, gilt also nach (98) analog zu (93a) der „Flächensatz" 

8 -f g« = Const 

Im allgemeinen aber muß diese Gleichung durch Einführung 
des „elektromagnetischen Drehimpulses" 

2e = j[r9e]<*S (101) 

ergänzt werden. Da nach (99) und (101) 

ist, gilt nun, daß die Summe aus beiden Drehimpulsen 

8 + 8 e + 8 a +8e = Const 
ist. 

f) Transformation der Energie, des Energiestromes 
und der Spannungen. Die Gleichungen für die Transformation 
des Tensors p, des P oint in g sehen Vektors und der Energiedichte 
ergeben sich nach (89) aus den in § 13 angeführten Regeln für 
die Transformation des Welttensors T. Im Falle der speziellen 
Transformation (XI) gelten folgende Formeln: 



*) Die Bezeichnungen dS und dV können in (97) und (99) mit- 
einander vertauscht werden. (Vgl. den Anhang, S. 189.) 



87 — 



^ x — 1-/^2 



_ ©j, + Vpxy 

i&y = 

* Vi — 02 



@, 



yr=j 2 



v 



w= 



W' + ^pt. +2-5©; 



1—02 

py# — Py* Pyy — Pyy Pee — pzz 



V 



pxx — 



Pix + 2 y 2 @; + pw 
i — p* 



V 



pxy — 



Vi-0 2 



PXM + — 2 <5, 



PXM 



V 

7 



Vi-p 



(102) 



Man bestätigt sie am einfachsten, indem man nach (34) die 
Quadrate x 2 usw. und Produkte xy usw. der Weltkoordinaten 
transformiert, und dann jedes Produkt oder Quadrat jk (j.k 
= Xiy,z,l) durch 2}* ersetzt*). 

Blicken wir auf die Entwickelungen dieser beiden Para- 
graphen zurück, so können wir sagen: Schon die ursprüngliche 
Elektronentheorie hatte sich trotz ihrer Ätherhypothese in ihren 
elektromagnetischen Grrundgleichungen eine dem Ein st einschen 
Relativitätsprinzip gehorchende Grundlage geschaffen; darauf be- 
ruht ihr bleibendes Verdienst um die Elektrodynamik der bewegten 



*) Die formale Abhängigkeit von der speziellen Wahl der Achsen- 
kreuze in K und K' fällt fort, wenn wir schreiben: 



W= r z^{(w r, + (0fl')) + ?(».©'+ [0P'])} 

© = T^?{(©'+ [»p']) + »(V'+0>ß')) 

^53f»,[»,e'+[>.p']]]} 



+ 



(102 a) 



Die Richtigkeit dieser Beziehungen bestätigt man, indem man die 
Achsen wie oben wählt und für das Vektorprodukt [üp'] den aus i! 
folgenden Wert einsetzt. 



— 88 — 

Körper. Nur muß man, um dies voll hervortreten zu lassen, 
noch die Ein stein sehe Kinematik und, wie wir später sehen 
werden, die dazu gehörige Mechanik hinzunehmen*). So ist die 
Auffassung berechtigt, daß der Mich eis on sehe Versuch gar 
nicht eine elektromagnetisch-optische Frage entscheidet, sondern 
eine rein kinematische, nämlich, ob die Dimensionen eines Körpers 
durch die Bewegung verändert werden. Eine analoge Auffassung 
läßt sich auch bei dem Trouton-Nobleschen Versuch durch- 
führen (§ 17f). 

Zu der Streitfrage: Beruht die gegenseitige elektrodyna- 
mische Beeinflussung der Körper durch den leeren Raum auf 
Fern Wirkung oder auf Übertragung durch einen „Äther"? aber 
ist zu sagen : Die zweite Alternative widerspricht dem Relativitäts- 
prinzip (vgl. § 1); dennoch können wir auch der ersteren nicht 
zustimmen, zwischen den Körpern besteht vielmehr etwas 
physikalisch Wirkliches, das elektromagnetische Feld, 
welches trotz seiner Loslösung von aller Materie Ener- 
gie, Bewegungsgröße und Spannungskräfte**) enthält 
und ihre Übertragung von einem Körper zum anderen 
vermittelt. Jene viel umstrittene Frage umfaßt also gar nicht 
zwei konträre Gegensätze, sie übersieht vielmehr die dritte, tat- 
sächlich zutreffende Möglichkeit. 

Zugleich zeigt sich der Wert des von Minkowski ge- 
schaffenen mathematischen Rüstzeuges im hellen Lichte. Ent- 
halten doch die vier Gleichungen (XIII) bis (XVI) 

4iv<m = P f 4iv<m* = 0, F= -JivT, T= [[9K3W]] 

die ganze atomistische Elektrodynamik einschließlich 
des Nachweises, daß sie den Sätzen von der Erhaltung- 
der Energie und des Impulses, sowie dem Relativitäts- 
prinzip genügt. 



*) Darin, daß die neue Kinematik und Mechanik von der älteren 
nur in Größen zweiter Ordnung abweicht, liegt der Grund, daß die 
Elektronentheorie alle Versuche über Einflüsse erster Ordnung er- 
klären konnte. 

**) Die Elektronentheorie betrachtete die Maxwellschen Span- 
nungen als eine nur mathematisch zweckmäßige Fiktion. Die Rela- 
tivitätstheorie hat nach (102) allen Grund, ihnen dieselbe Realität zu- 
zuschreiben, wie der elektromagnetischen Energie und Bewegungsgröße 
[Planck 8 )]. 



— 89 — 

§ 16. Anwendungen. 

a) Aberration und Dopplersches Prinzip. Setzt man 
in den Gleichungen (15) und (15 a) £ = ft = 1 f so findet man 
die folgende Darstellung einer ebenen Welle von der Schwingungs- 
zahl v im leeren Baume, bezogen auf ein berechtigtes System K': 

& = gi sin @, $' = $i sin & 1 

® = 2nv'lt' — -fecosd''+ sind' (yfcosy'+z' sin 

<£'2=§'2, (g'$') = 0, ) 

wobei die Richtung des Strahles durch seine Neigung #' gegen 
die #'- Richtung und das Azimut (p' bestimmt ist, indem 

cös(©V) = cosfr\ cos(&y r ) = 
cos (@V) = sin 

gesetzt worden ist. Schreiben wir (103) nach (85), (85 a) und 
(85b) in die gegen die Lorentz- Transformation invariante Form 

9Z = 9ffo8m0 9 3» 2 = 0, (aH3R*) = o. . (103 b) 

so sieht man einmal, daß die von Ort und Zeit abhängige Funk- 
tion S eine Invariante sein muß, und zweitens, daß der Charakter 
des Vorganges als ebene Welle bei der Transformation nicht ver- 
loren geht. 

Ersetzt man in der Gleichung für S gemäß (XI) x\ y', z\ t' 
durch x, y, z, t, so findet man: 

t ( x cos # -|- sin ft (y cos (p -f- z sin <p) ) \ 

1 +ßcos&' 



■@V) = sind' cos w f \ 

. L . , ( 103a ) 

in v sin qp ) 



= 2 7CV 



— 2tcv' 



)/T=ß> 



j (ß + cos ft') x + sin fr' Vi — fl» (y cos (p'+z sin y ') \ 
\ c(l + ßcosV) ) 

Die Koeffizienten der vier unabhängigen Variablen #, y, z, t müssen 
beiderseits übereinstimmen. Daraus folgt: Die Schwingungszahl, 
bezogen auf das System K, ist 

A+ßcos&' ,^ Ä . 

v — v' i (104) 



— 90 — 

die Richtung des Strahles © aber ist in demselben System durch 

die Gleichungen 

<p = <p f 

cosfr' + ß } (105) 



cos fr = 



l+ßcosfr' 



bestimmt. Andere Formen dieser Beziehung sind: 



stnfr = l -£-, tgfr = 1 f . . (105a) 

1 + ß cos 9' * cos fr 1 + ß v ' 

Die letztere eignet sich zur geometrischen Konstruktion. 

Ist nämlich in der Fig. 9 2£ B A C = fr', AB = 1, so ist 
AC = cos fr', BG_ = BE = sin fr' . Wäh lt man ferner CE = ß *), 

EF = ED \l — ß 2 = sind' Vi—/? 2 , so ist 2£ FAE = fr. 

Verändert sich ß, so be- 
schreibt der Punkt F eine 
Ellipse K, deren Scheitel B 
ist. Sendet ein im Bezugs- 
system E! ruhender Fixstern 
der Erde (System K) Licht 

zu in der Richtung AB, so 
hat dieser Strahl für den 
Beobachter auf der Erde die 

Richtung AF. So findet die 
Aberration ihre Erklärung. 
Mit der elementaren, der 
Beobachtung angepaßten 
Theorie stimmt diese Kon- 
struktion überein, wenn man zwischen den Punkten D und F 
nicht zu unterscheiden braucht; d.h. wenn man ß 2 gegen 1 ver- 
nachlässigen kann. Die Besonderheit des Instrumentes, mit dem 
man fr bestimmt, ob man z. B. das Fernrohr mit Luft oder Wasser 
füllt, spielt gar keine Rolle dabei. Ferner wird die wahrgenom- 
mene Schwingungszahl v durch die Richtung des Strahles beein- 
flußt. Vernachlässigt man Glieder zweiter Ordnung, so kann man 




*) ß > ist vorausgesetzt, anderenfalls liegt E zwischen A und C. 



— 91 — 

in (104) ßcos&' = — cos& = — setzen, wenn r die Richtung 

w c 

AF bedeutet, und findet dann: 

Die Theorie steht daher in Übereinstimuiung mit den 
Beobachtungen. Der Dopplereffekt verschwindet nicht — darin 
liegt ein vielleicht noch einmal experimentell nachzuprüfender 
Unterschied gegen die älteren Theorien — , wenn man senkrecht 
auf die Bahn der Lichtquelle blickt (cos fr = 0, cosft' = — ß)\ 

vielmehr ist dann v = v' |/l — ß 2 . 

Um die Transformationsgleichung für die Amplitude zu 
finden, läßt sich jede der Gleichungen (102) anwenden, da jede 
Komponente des Welttensors T in S und $ quadratisch, daher 
hier zu (£ 2 proportional ist. Z. B. ist nach (X) : 

p yg = <£„<£* + $ y £, = (e 0y So* + $oy£o,) sin 2 @ 

= @ 2 sin 2 & { cos (d y) cos ((£ z) -f cos (§ #) cos ($ e) }. 

Nun liegen aber die Richtungen von S , Jp » © gemäß (14a) zu- 
einander wie die sc-, y-,#- Achse; infolgedessen ist nach den Ortho- 
gonalitatsbedingungen und (103 a): 

cos (@ #) cos ((£<>*) + cos (§ y) cos ($ e) = — cos (&y) cos ((Bis) 

= — sin 2 fr cos <» sin <jp. 

Die entsprechende Formel gilt im gestrichenen System. Da aber 
p yg =Py B ist, folgt unter Berücksichtigung von (105a) und (104): 

_<§£ _ TT _ [©] _ sin 2 fr' _ 1 — ß* 
6? "" W ~~ j©'| ~ sin*fr ~ (l — ßcos&) 2 

_ (1 + ßcosfr') 2 __ V 2 

— i — ß 2 ~ V 2 

Ruht in K' eine nach allen Seiten gleichmäßig strahlende Licht- 
quelle, d. h. ist die Intensität |©'| ihrer Strahlung von der Rich- 
tung unabhängig, so strahlt sie, bezogen auf das System K, in 
welchem sie sich bewegt, in der Richtung ihrer Geschwindigkeit 
(cosfr'>0) mehr Energie aus als in der entgegengesetzten. 



> • 



(106) 



— 92 — 



b) Die Reflexion am bewegten Spiegel. Auf einen 
ebenen, im System K° ruhenden Spiegel fällt aus dem leeren 
Raum eine ebene Welle unter dem Einfallswinkel i^ . Das Re- 
flexionsgesetz sagt bekanntlich aus, daß der gespiegelte Strahl 
der Einfallsebene liegt, und daß der Reflexionswinkel il> 2 {) 



in 



= t^ ist. Die Schwingungszahl v° ist in beiden Strahlen die- 
selbe; die Intensität |© 2 °l des gespiegelten berechnet sich aus 
der des einfallenden | (S/* | und dem Reflexions vermögen U gemäß 
der Gleichung 



© 



U\<5? 



(107) 



Wir fragen, wie sich diese Gesetze ändern, wenn man den Spiegel 
bewegt, und zwar wollen wir ihm zur Vereinfachung der Rech- 
nung eine Geschwindigkeit q parallel seiner Normalen zuschreiben. 
Wir führen dazu die Transformation auf ein anderes berechtigtes 
System K durch; es sollen sowohl die x- als die x°- Achse die 
Richtung der in den leeren Raum hinausweisenden Normalen 
haben, so daß die Voraussetzungen der Transformation (XI) erfüllt 
sind, wenn man K° an die Stelle von K' setzt. Dabei ist t> = q, 
also ß = (\x/c. 

Die Neigung des einfallenden Strahles gegen die x°- und 
X' Achse ist bestimmt durch die Winkel d"® = % — &£ und 
d' 1 = % — t^j, die des gespiegelten durch die Reflexionswinkel 
t/> 2 ° und t/> 2 selbst. Infolgedessen gilt nach (105), (105 a) und 
(106): 



C0S1\) X 


cos i/j, — ß 

1 — ßcos V? 


. cos t/> 9 ° + ß 
cosii> 2 = * 

l + ßcos # 2 Ü 


cos tf>,° 


cos tl>i -f- ß 

1 -f" ß COS tyj 


cosil> 2 — ß 

COS * 2 ° = TT T 

1 1 — ßCOS #2 


l@ll 


(l — ßcosty*) 2 
~~ 1 — ß 2 


_ l—ß 2 


l®l°l 


— (l 4 ßcos VJ 2 






sin 2 il>^ v 2 
sin 2 ^ v 2 


l@il 


(1 -l- ßcosil>2) 2 

~ l — ß 2 


l — ß 2 


l(S°l 


~ {\ — ßcosil> 2 ) 2 






sin 2 ^ 2 ° v 2 2 



(108) 



sin 2 il>< 



v t 



— 93 — 
Aus den ersten dieser Formeln schließen wir: 

^! 1 — cosi> x 1 — cost? 14-/8 

9 ~2 ~~ 1 + cos ^ — 1 + cos 4>? ' 1 — /J' 

^ 2 1 — COS 1/^2 1 — COS ^ 2 ° 1 — ß 

^ Y ~~ 1 4- COS ^ 2 _ 1 + COS » " 1 + /?' 

also lautet das geometrische Gesetz der Spiegelung: 

tyy:f0Y = (c--q«):(c + q*) . . . .(108a) 

Der Reflexionswinkel ist kleiner als der Einfallswinkel, wenn c\ x 
positiv ist, d. h. wenn der Spiegel sich dem einfallenden Strahl 
entgegen bewegt. Ferner folgern wir durch Division aus (108): 

v 2 :v 1 =r sinil> 1 :sinit> 2 (108b) 

Die Schwingungszahl wird durch die Spiegelung verändert, und 
zwar in dem soeben erwähnten Falle vergrößert. Auf diese Abart 
des Doppler sehen Prinzips bezieht sich der in § 2 erwähnte Versuch 
von Galitzin. Endlich aber folgt aus denselben Gleichungen und 
aus (107): 

|© 2 |= 17*5^13,1 (108c) 

also auch die Intensität des gespiegelten Strahles wird in dem 
genannten Falle vergrößert Im Grenzfall, daß der Einfalls- und 
damit der Reflexionswinkel verschwindet, wird nach (l()8a): 



, . sin ti 
hm 



y 1= o sint 2 



(SEK • • • < 108d > 



*) (108 a) und (108b) gelten unverändert, wenn die Geschwindig- 
keit q eine beliebige Richtung hat; einfacher als durch Transformation 
auf Ruhe sieht man dies folgendermaßen ein: Ist 

sin Vi { t — 1/c ( — x cos *l\ 4- y sin i/^) } 

der allen Feldgrößen der einfallenden Welle gemeinsame Faktor, und 
spielt sin v 9 {t — 1/c (x cos i/' 2 + y sin ^ 8 ) } dieselbe Rolle für die ge- 
spiegelte, so müssen an der Grenzebene des Spiegels vermöge der Grenz- 
bedingungen (§ 21) beide einander gleich werden; diese Ebene hat 
aber die Gleichung x = q x t. 



— 94 — 

§ 17. Gleichförmige Bewegung geladener Körper. 

a) Das elektromagnetische Feld. Auch die Aufgabe, 
das Feld eines gleichförmig bewegten Ladungsträgers zu er- 
mitteln, lösen wir durch „Transformation auf Ruhe". Im Ruh- 
system K° haben wir nämlich ein gewöhnliches elektrostatisches 
Feld (£";. $° ist gleich Null. Daraus folgt nach (85 c), wenn wir 
wiederum die Transformation (XI) zugrunde legen: 

Vi — ß 2 Vi — ß 2 \ 

' >• -(109) 

9x -0, &- - ^Tp V« - y^qp 

Die Gleichungen der zweiten Zeile kann man zusammenfassen in: 

$ = -kq«] (109a) 

da q || x und ß = q/c ist. 

Bezeichnet man ferner den Winkel zwischen der elektrischen 
Feldstärke und der Geschwindigkeit mit #, so gilt: 

g3 = t^f = ^. (10)b) 

Verkürzt man daher in der das elektrostatische Feld (§° dar- 
stellenden Kraftlinienfigur alle der Geschwindigkeit q parallelen 

Strecken im Verhältnis yi — /3 2 , so erhält man die Kraftlinien- 
figur für das System K. Denn einmal entspricht diese Verkürzung 
der Lorentz-Kontraktion (§ 7), so daß wir zu jedem Punkt in 
K° dabei den entsprechenden Punkt in K finden , zugleich aber 
vergrößern alle Kurven ihre Neigung gegen die genannte Rich- 
tung in dem von der letzten Gleichung geforderten Maße. 

Auch die Niveauflächen des elektrostatischen Potentiales 
(p°(x°, y°, z°) in Ä° behalten bei dieser Konstruktion eine Be- 
deutung. Die Kraft S, welche auf eine mitbewegte Punktladung 
e ausgeübt wird, transformiert sich nämlich nach Gleichung (87 a), 
deren Vorbedingung hier erfüllt ist, wie folgt: 

St x = &*, ® y = «j Vi — 02, £* = jy yi— ß* . . (no) 



— 95 — 
Nun ist aber im statischen Felde des Systems K° 

$° = — egradip'>(x a ,!/o,2'>), 
wo <f° das elektrostatische Potential bedeutet, also nach (82) 
und (ILO): 

$ = — egradty (110a) 

wobei ip das „dynamische Potential" 

-at 




ist Die Niveaunachen <p° = const gehen also in Flächen ty = < 
über. Jede Begrenzung eines Fig. 10. 

leitenden Körpers ist eine 
solche. Aber statt der elektri- 
schen Feldstärke steht jetzt die 
ponderumut orische Kraft auf 
ihnen senkrecht , denn die 
rechten Winkel zwischen den 
elektrischen Kraftlinien und 
Niveaunachen bleiben bei der 
Verzerrung nicht erhalten. 

b) Das Feld eines be- 
wegten Elektrons. Das 
Kraftfeld einer ruhenden Kugel 
mit gleichförmiger Oberflächen- 
ladung ist der Gleichwertigkeit 
aller Richtungen wegen durch 
eine Reihe radialer Kraftlinien 
mit konstantem Winke) abstand 
bestimmt. Die Potentialflächen 
sind Kugeln, deren Radien wie 
die reziproken Werte der ab- 
nehmenden Reihe der ganzen Zahlen wachsen , wenn man 
Potential stets um den gleichen Betrag verkleinert, denn f 



— 96 — 

9 ~ In^xP + tf + d* 2 ' 

Verzerrt man nun die Figur in der angegebenen Art, so entsteht 
als Schnitt mit einer zur Geschwindigkeit q parallel durch den 
Mittelpunkt gelegten Ebene Fig. 10, welche demnach das Kraftfeld 
eines bei Ruhe kugelförmigen, bewegten Elektrons (q = 0,ö66 c) 
darstellt. Seiner Form nach ist es wegen der Lorentz-Kon- 
traktion ein abgeplattetes Rotationsellipsoid Die Dichte der Kraft- 
linien ist hier, wie in der Potentialtheorie, ein Maß für die Stärke 
des elektrischen Feldes, da jede Kraftröhre an der gleichen Flächen- 
ladung endigt, wie aus der Konstruktion hervorgeht ; der Abstand 
der Niveauflächen des dynamischen Potentials 

e(l — q*ic*) 



* 



4 tc y(a - qt)* + (1 — q 2 /c*) (#2 + Z 2) 



bestimmt dagegen den Betrag der Kraft $. Man sieht, jenes ist 
am stärksten in der Äquatorialebene des Ellipsoids, diese hingegen 
in der Achse. Die Linien der magnetischen Feldstärke sind wegen 
der Rotationssymmetrie und nach (109a) Kreise, deren Mittel- 
punkte in der Achse liegen; die Linien der Kraft $ dagegen sind 
als die orthogonalen Trajektorien der Niveauflächen ^ = const 
parabolische Kurven mit den Gleichungen: 



yjz = const, x — qt = const . fy 2 -\- z 21 — <i 2 l c2 . 

c) Die Rückwirkung des Feldes auf bewegte 
Träger von Ladungen. Da die Gesamtkraft, welche ein in 
K° ruhender Körper in seinem elektrostatischen Felde erfährt, 
Null ist, so gilt dies nach (87a) auch für die gesamte Kraft, die 
er bei gleichförmiger Bewegung von seinem Felde erleidet. Es 
bedarf also keiner äußeren Kraft, um die stationäre Be- 
wegung zu unterhalten. Von Null verschieden dagegen ist 
im allgemeinen das Drehmoment der elektromagnetischen Kräfte. 
Wählen wir nämlich in (99) als Grenze des Integrationsbereiches 
eine Kugel um irgend einen Punkt im Ladungsgebiet, deren 
Radius R wir dann immer weiter wachsen lassen, so verschwinden 
schließlich, wie man aus (109) und (109 a) ersieht, @ und |) gleich 
& wie R~ 2 ; da der Tensor p in 2 und ^ quadratisch ist, konver- 
giert das Oberflächenintegral in Gleichung (100) dann gegen Null. 



» 



— 97 — 

d f 
In dem zweiten Integral — — I [r g J d S wollen wir neben 

dem im Räume festen Anfangspunkt V des Radiusvektors r einen 
im Körper ruhenden materiellen Punkt P als Anfang eines Radius- 
vektors 9t einführen, so daß 

r = dt + r 

ist, wenn r die Strecke VP bezeichnet. Dann ist 

= ~Tt \ [ro9<]dS = -^ [r °'j9' dS] = -[*«-®J. 

da J [$t$ e ]dS zeitlich unveränderlich ist; in jedem die Bewegung 
mitmachenden Punkt des ganzen unendlichen Feldes ist nämlich 
sowohl 9t wie g e konstant. t ist aber nichts anderes als die Ge- 
schwindigkeit q. Somit wird 

» = — [q@J (111) 

Liegt der elektromagnetische Impuls ® e des Feldes 
eines bewegten geladenen Körpers nicht in der Rich- 
tung der Geschwindigkeit, so üben die elektromagne- 
tischen Kräfte ein Drehmoment auf ihn aus [Abraham 1 )]. 
Trotzdem darf keine Drehung eintreten, da in K° die elektro- 
statischen Kräfte keine Änderung der Lage bewirken. Es wird 
die Aufgabe der Mechanik sein, nachzuweisen, wodurch dies 
elektromagnetische Drehmoment aufgehoben wird. Wir wollen 
schon hier bemerken, daß dies die mechanischen Spannungen sind, 
welche im Körper den elektromagnetischen Kräften das Gleich- 
gewicht halten. 

d) Energie und Impuls des Feldes. Zur Berechnung 
der Energie und ihrer Stromdichte im Felde des bewegten Körpers 
dienen die Gleichungen (102); in ihnen ist nach (X), (14a) und 
(Villa) 







& = 0, 


W ° = 


= 1 <s° 2 , 


ß = 


qjc, v 


=z 


zu 


setzen, 


also wird 














@.= 


__ q (2 W° 
~~~ 1 — 


g2/c 2 


'1 «.- 


Vi- 


- q*/c* 




©. 


Vi 


— q*/c* 


W = 


W°(l + 


q*jc % ) 
l-«i 


— q*/c* 

\, C 2 


©2 2 




Laue, Relativitätsprin 


zip. 


% 









(112) 



— 98 — 

Den Gesamtimpuls © c = — I © d 8 und die Gesamtenergie 

E = [ Wd S findet man hieraus durch Integration über das ge- 
samte Feld. Dabei wird nach (24) 

j W°dS= il — ß*$W»dS = yi — ß*E°. 

e) Beispiel des kugelförmigen Elektrons. Führt man 
diese Rechnung für das in Euhe kugelförmige Elektron aus, so 
wird aus Symmetriegründen 

= $il — ß 2 $(£ ( *dSo = | Vi — ß* E\ 

dagegen 

jd° x &ydS = Vi — ß*\ gJgJdS = 0; 

denn es gibt in K° zu jedem Volum element d S° ein ihm in bezug 
auf die y°#° -Ebene symmetrisch gelegenes, in welchem (££(§£ 
den entgegengesetzt gleichen Wert hat. Ebenso ist 

Also wird 



(113) 



e 2 



' ' 4 Jg., E= * + t* E . 

3(?Vc 2 — q % c\c 2 — q* 

Bei gleichmäßiger Oberflächenladung ist die Energie E° = , 

wenn a den Radius bezeichnet; und bei gleichmäßiger Volum- 

3 e 
ladung hat sie den nur wenig größeren Wert E° = — — — • 

ZU 7v CL 

Ein Drehmoment tritt nach (111) und (113) nicht auf, was 
ja auch aus Symmetriegründen einleuchtet. Die hier berechneten 
Werte von ® e und E gelten streng nur für völlig unbeschleunigte 
Bewegung. Doch wird man sie als brauchbare Näherung an- 
wenden können, wenn die Beschleunigung so gering ist, daß sie 
keinen erheblichen Einfluß auf das Feld hat. Man spricht in 
diesem Falle von „quasistationärer" Bewegung. 



— 99 — 

f) Der Trouton-Noblesche Versuch. Der bewegte 
Ladungsträger besteht hier aus einem Plattenkondensator. Bildet 
die Normale der Platten, mit der #- Richtung den Winkel & bzw. 
#°, so ist in K°, wenn wir außerdem z senkrecht zu ihr an- 
nehmen : 

g° = | <E°| cos #°, gg = | (go| sin #°, (gj = 0, 

wobei |(5°| zwischen den Platten räumlich konstant ist. Bei der 
Ausführung der Integration in (112) finden wir somit: 

c Vc 2 — g 2 c2 

Wegen der Lorentz -Kontraktion bildet die Plattennormale 
im System K einen anderen Winkel ft mit der x- Achse als in K9; 
doch ist der Unterschied eine Größe zweiter Ordnung. Die 
Komponente von ® e in der Richtung der Normale ist somit bis 
auf Größen zweiter Ordnung; 

®en = ®e x COS #° + ® ey SU» &° = 0. 

Mit dieser Genauigkeit liegt daher der Impuls ® parallel den 
Platten. Das Drehmoment, welches gemäß (111) auf den Kon- 
densator um eine in der z- Richtung liegende Achse ausgeübt wird, 
hat nach (114) den Betrag 



C 

Trouton und Noble befestigten nun den Kondensator, zu- 
nächst ungeladen, an einer äußerst empfindlichen bifilaren Auf- 
hängung. Sie erwarteten dann bei seiner Ladung als Folge der 
Erdbewegung eine Drehung aus der Anfangslage. Diese blieb 
aus, wie es nach dem Relativitätsprinzip sein muß. Doch beweist 
dies keineswegs das Fehlen des hier berechneten Drehungs- 
momentes, sondern nur, daß die Theorie noch durch die Berück- 
sichtigung der Mechanik der elastisch gespannten Körper zu er- 
gänzen ist. 

§ 18. Ungleichförmig bewegte Ladungsträger. 

a) Das Viererpotential. Die Form der Gleichung (XIV) 
legt es nahe, zur Untersuchung des Feldes beliebig bewegter 
Elektrizitäts mengen einen neuen Vierervektor , das Vierer- 
potential <Z> durch die Definition 

7* 



— 100 — 

2K = 9tot0 (115) 

einzuführen. Denn dann wird nach § 12, c) 

SR* = »ot* 0; 

also wird (XIV) nach Rechnnngsregel (66) identisch erfüllt. Die 
Gleichung (XIII) dagegen geht nach (69) über in 

D0- rQad(Biv0) = — P .... (115a) 

Indessen ist durch den Ansatz (115) bei gegebenem 9R der 
Vektor <P noch nicht vollständig bestimmt; man kann ihm noch 
einen Vektor V hinzufügen, welcher sich als Gradient einer 
skalaren Funktion TJ(x y y, z, l) darstellt. Denn dann ist 9tot 7 J r z=0. 
Wir wollen nun noch die Nebenbedingung hinzufügen, daß 

DivO = (116) 

sein soll, so daß & der Potentialgleichung in vier Di- 
mensionen 

U0 = — P (116 a) 

genügt. Jener eventuell hinzutretende Vektor muß dann auch 
noch die zweite Bedingung Div *& = erfüllen , und W = 
ist zwar nicht der einzige, jedenfalls aber ein möglicher Ansatz 
dazu. Die Definitionen (115) und (116) vertragen sich also mit- 
einander *). 

Zur Integration der Potentialgleichung (116 a) fragen wir 
zunächst nach dem Viererpotential einer im System K° ruhenden 
Punktladung de für den Aufpunkt x° = 0, y° = 0, z° = 
und (was zunächst belanglos ist) für den Moment £ Q — 0; d. h. 
für den Weltpunkt ö, wenn wir die Bezeichnungsweise von Fig. 5 
(8. 48) zugrunde legen. Da q° = ist, so ist von dem Kom- 
ponenten des Viererstromes P nur die Z°- Komponente von Null 



*) Im Dreidimensionalen ist bekanntlich jeder Vektor durch An- 
gabe der Rotation und der Divergenz eindeutig bestimmt. Der Beweis 
dafür beruht darauf, daß eine skalare Funktion g> eine Konstante ist, 
wenn 

ist. Im Vierdimensionalen gilt nichts Analoges, weil die vierte Koor- 
dinate l imaginär ist. 






— 101 — 

verschieden, und wegen der Unabhängigkeit aller Größen von 1° 
geht DP in g2 ^ g a <p ga0 

über. Aus (116 a) wird demnach die Potentialgleichung für drei 
Dimensionen, deren Lösung für den vorliegenden Fall lautet: 

0^0 = 0, 0^ = 0, #jo=0, <&io=- rbzw.^uo = 



r 02 = x° 2 + y* + e° 2 



(117) 



wo x°, y°, z° der Ort von d e ist. Diese Werte genügen auch der 
Gleichung (116). Das Viererpotential hat also die Richtung der 
Weltlinie von de, d. h. es ist zur Vierergeschwindigkeit Y [vgl. 
(51)] parallel. 

Auf den Weltpunkt wirken elektromagnetisch nur Punkte 
seines Vorkegels, von der genannten Weltlinie daher nur ihr 
Schnittpunkt L mit diesem, ihr sog. Lichtpunkt bezüglich 0. 
Es gibt auch bei einer gekrümmten Weltlinie nur einen solchen 
Lichtpunkt, da die Richtung der Weltlinie nach § 8 stets zeitartig 
ist. Die (im Sinne von § 10 a) senkrechte Projektion von L auf 
den #3f£-Raum irgend eines berechtigten Systems K bezeichnen 

wir mit P. Den Vierervektor OL nennen wir 77. Seine Pro- 
jektion auf denselben Raum bildet den Raumvektor JP = xp 
mit den Komponenten Xp, yp, 8p. Die Komponenten von 77 sind 

demnacli „ ,, , „_ x 

ll x = xp usw., ll u = — Tp . . . . (117 a) 

P ist der Ort der Punktladung de, bezogen auf das System K, 
welchen sie, als sie die im Punkt x = 0, y = 0, # = zur 
Zeit t = eintreffende Wirkung absandte, d. h. zur Zeit — fp/c, 
innehatte. Im System TT ° sind die Koordinaten xp usw. mit x° usw. 
identisch. 

Das skalare Produkt aus 77 und <2> ist nach (117), (117a), (48) 
und (50): de 

(770) = n lo &io = — 77 tt o0 M o = — • 

4 7t 

Hieraus und aus der obigen Angabe über seine Richtung läßt 
sich der Vektor eindeutig bestimmen; es ist nämlich der Vektor: 

O— — Y 

~ ±71{I1Y)' 



— 102 — 

der einzige in der Richtung von Y gelegene, dessen skalares 
Produkt mit JJ den angegebenen Wert hat. Da aber nur die 
Richtung der Weltlinie im Punkte L in Frage kommt, können 
wir ihren sonstigen Verlauf beliebig abändern, die Annahme, daß 
de in K° dauernd ruht, also fallen lassen. Dann ist für Y die 
dem Punkte L entsprechende Vi er ergesch windigkeit hier einzu- 
setzen. Die Formel 

— su?),'- <»*> 

gibt also das Viererpotential einer beliebig bewegten 
Punktladung de an. 

In einem beliebigen System K ist nach (Öl), (48) und (117a): 

(Y x )l = (%-Ä ^ usw., (Y U ) L = ( . C \ 

/ ji Y \ L _ ( x *\x + y*\v + *<\' + rc )p 

Vc 2 — g 2 

- crp (i . *\ 

wobei der Index P darauf hinweisen soll, daß für x, y, z die 
Koordinaten von P, für q aber die Geschwindigkeit zu wählen 
ist, welche de besaß, als es sich in P befand. Man kann ihn 
auch durch den Index — r/c ersetzen und findet dann aus (118): 



c 

^ de 



(118 a) 



4»[r(l + q r /c)]_il 



Um sie auf endliche Elektrizitätsmengen anzuwenden, muß man 
noch die Integration über alle de ausführen. 

Eine andere Formulierung derselben Beziehung finden wir, 
wenn wir auf die räumliche Ausdehnung der Ladungen de 
Rücksicht nehmen. Denken wir uns de zunächst wieder im 
System K° ruhend, so haben wir nach (117): 



— 103 — 

0^=0 USW., 010 = ; , 

4:7er 
d. h. unter Berücksichtigung von (83) : 

$ = -^-P.- (119) 

4 7cr° v 

zu setzen. Statt von einer einzelnen Weltlinie, müssen wir 
aber jetzt von der Gesamtheit aller der Weltlinien reden, welche 
Punkte des Volumens dv repräsentieren; sie erfüllen, da sie im 
allgemeinen einander annähernd parallel verlaufen, eine Welt- 
röhre (welche im speziellen Falle gleichförmiger Bewegung in 
einen Zylinder übergeht). Diese Bohre schneidet bei dem Punkt L 
aus dem Vorkegel einen infinitesimalen Baum da aus, welcher 
sich nach § 11c), y) als ein auf dem Vorkegel senkrechter Vierer- 
vektor & auffassen läßt. £l„ ist die bei P gelegene orthogonale 
Projektion dS von deo auf den xyz-R&um. Infolgedessen ergibt 
der Schlußsatz von § 10 a), daß das Verhältnis 

a\ a u ds 



n\ n u r P 

für alle Systeme K denselben Wert hat. Im System K° aber ist : 

dS=dv° y r P = r°, 
also gilt: 

^! _ £S A — Ji lf*i — PdS 
r° r P y 4jt |7T| 4nr P 

Ersetzen wir schließlich P durch den auf dem Lichtpunkt L be- 
züglichen Viererstrom P^: 

•=7^-^ < 12 °) 

4 % Tp 

so ist auch hier die Annahme gleichförmiger Bewegung belanglos 
geworden, da das Volumen den nur von der Bichtung, nicht von 
der Krümmung der Weltröhre im Punkte L abhängt. Die Sum- 
mation über alle Ladungen ist hier durch eine Integration über 
den ganzen Vorkegel zu ersetzen; oder was dasselbe sagt, durch 
eine Integration nach dS über den ganzen #^#-Baum, wobei 
freilich dem Viererstrom P der Wert zu geben ist, welcher in dem 
d S entsprechenden Volumen des Vorkegels , d. h. zur Zeit — r/c 



— 104 — 



gilt. Wir deuten dies passend durch den Index — r/c an und 
finden so: 



•■bHt <' 



20 a) 



b) Die retardierten Potentiale. Wir wollen jetzt diesen 
Gleichungen ihre vierdimensionale Gestalt abstreifen. Man sieht 
an dem Auftreten der Geschwindigkeit q in den Formeln (118 a), 
daß die räumlichen Komponenten von O einen Raumvektor, das 
Vektorpotential 31, bilden, während die vierte Komponente 
eine im gewöhnlichen dreidimensionalen Sinne skalare Größe, das 
skalare Potential (p = £> u bestimmt. Die Differential- 
gleichungen (115), (116) und (116 a) gehen unter Berücksichtigung 
von (74) und (63) über in: 



<g = — grady % £ = rot% 

c 



div% + — <p = 
c 



(115') 
(116') 






— pq, J<p <£ = — Q (116'a) 



Die in den Gleichungen (118 a) und (120 a) steckenden Lösungen 
der letzten von ihnen aber lauten, wenn wir noch die Beschrän- 
kung auf den Moment t = aufheben und den Index — r/c 
dementsprechend durch t — r/c ersetzen : 



ä 



= — f 



de 



q ' = T*l 



(» + *) 



de 



^irjM-T 



dS 



t — 



K'+S)U 



= 7?fM-7 



dS 



(121) 



Der Radiusvektor r ist dabei als vom Aufpunkt fort weisend an- 
genommen; q r ist daher negativ, wenn de sich dem Aufpunkt 
nähert. Man bezeichnet % und q> als retardierte Potentiale, 
weil nicht der augenblickliche, sondern der um die Zeit r/c zurück- 
liegende Zustand des Raumelementes d S für sie in Frage kommt. 
Ihre Ableitung aus dem elektrostatischen Potential bürgt dafür, 



— 105 — 

daß (121) gültig bleibt, auch wenn der Auf punkt in das geladene 
Gebiet hineinrückt. — Die auf die Elektrizitätsquanten bezüg- 
liche Form der Gleichungen (121) ist von Lienard 1 ) und 
E. Wiechert 2 ), die andere, ältere, von H. A. Lorentz 8 ) ange- 
geben worden. 

c) Die Hyperbelbewegung. Wir wollen diese Formeln 
benutzen, um die Kraft Ä zu berechnen, welche ein bewegtes 
Elektron auf sich selbst ausübt. Im Falle der gleichförmigen 
Bewegung ist diese nach § 17, c) stets Null. Im allgemeinsten 
Falle hat zwar A. Sommerfeld 1904 bis 1905 die Berechnung 
durchgeführt, aber unter der damals selbstverständlichen An- 
nahme, daß die Form des Elektrons durch die Bewegung nicht 
verändert wird, was die Relativitätstheorie nicht anerkennen 
kann. Es ist auch vorläufig gar nicht möglich, diese Annahme 
durch etwas Besseres zu ersetzen; denn wenn wir auch wissen, 
daß bei gleichförmiger Geschwindigkeit Kontraktion stattfindet, 
so können wir doch den Einfluß einer Beschleunigung und noch 
dazu einer zeitlich veränderlichen nicht einmal abschätzen. Das 
allgemeine Problem ist daher bei dem jetzigen Stande der Wissen- 
schaft mathematisch gar nicht zu formulieren. Beschränken 
wir uns aber auf eine Bewegung, bei welcher die Beschleunigung 
bezogen auf das jeweils mitbewegte System K° konstant bleibt, 
so steht wenigstens fest (vgl. S. 107), daß der Zustand, be- 
zogen auf K°, immer derselbe ist, daß also Gestalt und Ladungs- 
Verteilung in K l) unverändert bleibt. Von der Gestalt selbst 
dagegen wissen wir nur, daß das nach Voraussetzung bei völliger 
Ruhe kugelförmige Elektron eine Rotationsfigur mit der Be- 
schleunigungsrichtung als ausgezeichneter Achse annimmt. Dies 
reicht aber auch aus, um ein für kleine Beschleunigungen gültiges 
Resultat zu erzielen. 

Die Transformationsformeln für die Beschleunigung ' er- 
halten wir für den speziellen Fall (XI) durch Wiederholung der 
Zeitdifferentiation an den Gleichungen (25a). Man findet so 
unter Berücksichtigung der aus (XI a) folgenden Beziehung 

dt _ ^ c* 

dt' " 



t-i 



— 106 — 



_ f eie*- g» Y- 



f^+-T ' J. • • (122) 

(die y- und ^-Komponente transformieren sieb gleichartig). Er- 
setzen wir das System E! durch K° (q' = , n = q) , so er- 
gibt sich: 8 

Wir setzen jetzt q£ als zeitlich konstant = b an, ferner 
;0 = qj = 0; ist dann noch q y = q* = 0, also q 2 = 2 2 , so 



folgt durch Integration aus (122a): 

q* b (t — * ) 

Lassen wir durch passende Wahl des Zeitanfanges die Eon- 
stante t fortfallen, so liefert die Auflösung nach q x und eine 
nochmalige Integration: 

± q x = ± — = + ( X — x ) =— yc 2 + & 2 * 2 , 

und wenn wir den Koordinatenanfang so bestimmen, daß x = 

wird: 

£2_ C 2J2 _ #2 — ^2 = C 4/^ y = rj, z = $ . (123) 

Die Weltlinie dieser Bewegung ist also eine gleichseitige Hyperbel 
in einer zur x- und vr Achse parallelen Ebene, deren Achsenlänge 

t= c a /5 (123a) 

um so kleiner ist, je größer die Beschleunigung ist. Zur Zeit 
— oo hat der Massenpunkt die Geschwindigkeit (\ x = — c, zur 
Zeit +oo q x z=z -\- c. Diese Hyperbelbewegung, wie wir sie mit 
Born nennen wollen, veranschaulicht recht deutlich den Unter- 
schied der Ein st einschen gegen die klassische Kinematik, da in 
der letzteren die gleichförmig beschleunigte Bewegung zu der 

Parabel 

x — x = \bt 2 

dx 
führte, bei welcher mit wachsendem u die Geschwindigkeit — 

(X t 

über alle Grenzen wächst. 



— 107 — 

Ein allgemeineres Interesse bietet diese Bewegung, weil sich 
jede Weltlinie, welche doch im allgemeinen eine dreifach ge- 
krümmte Kurve ist, sich auf ein kurzes Stück durch solche 
Hyperbel annähern läßt. Wir nennen die Hyperbel dann mit 
Minkovski die Krümmungshyperbel, und gelangen zu ihr 
durch eine Konstruktion, welche durchaus dem Verfahren zur 
Auffindung des Krümmungskreises einer Raumkurve nachgebildet 
ist. Ziehen wir nämlich in zwei infinitesimal benachbarten Punkten 
der Weltlinie die Tangenten, so bestimmen diese die oskulierende 
Ebene, welche wir uns unbeschadet der Allgemeinheit als xu- 
Ebene denken können, weil die Tangenten einer Weltlinie stets 
zeitartige Richtung haben (§ 8). In der oskulierenden Ebene 
gibt es nun stets eine Hyperbel, welche mit der vorgegebenen 
Kurve die beiden Tangenten und ihre Berührungspunkte ge- 
meinsam hat und deren Asymptoten den Geraden x = j^_u 
parallel sind. Die erster e Bedingung liefert nämlich drei, die 
zweite zwei von den fünf Bestimmungsstücken, welche zur ein- 
deutigen Bestimmung einer Hyperbel notwendig sind. Wie sich 
die Krümmungshyperbel einer Kurve schon weit inniger anschließt 
als ihre Tangente, so stellt die Hyperbelbewegung eine weit 
bessere Annäherung an eine beliebig vorgegebene dar, als die 
geradlinige Bewegung. 

Die Koordinaten £, rj f £ des Achsenpunktes der Hyperbel 

x 2 — u* = fr y = % z = %. . . . (123b) 

■sind Invarianten der Transformation (XI). Die Achsen punkte 
verschiedener, durch die Werte von |, i?, £ unterschiedenen Hyper- 
beln liegen daher in jedem System K*, welches sich durch (XI) 
aus K ableiten läßt , ebenso zueinander wie in K. Ein Körper, 
dessen Punkte durch derartige Hyperbeln als Weltlinien dar- 
gestellt sind, hat daher in jedem dieser Systeme, in dem Moment, 
da er in ihm ruht, genau dieselbe Form; er bewegt sich wie ein 
starrer Körper*). Bezogen auf ein und dasselbe System verändert 

*) Der in der klassischen Mechanik so überaus nützliche Grenz- 
begriff des unter allen Umständen starren Körpers läßt sich meines Er- 
achtens wegen der Unmöglichkeit unendlich großer Geschwindigkeiten 
für die Ausbreitung elastischer Störungen nicht übertragen 4 ). Das schließt 
aber nicht aus, daß sich gelegentlich ein Körper wie ein starrer be- 
wegt; kann sich doch auch nach der klassischen Hydrodynamik ein 
Flüssigkeitsteilchen unter Umständen bewegen, als wäre es starr. 



— 108 — 



er natürlich seine Form entsprechend der Lorentz- Kontraktion. 
Diese Bewegung wollen wir im folgenden dem Elektron zu- 
schreiben. 

d) Das Viererpotential bei der Hyperbelbewegung. 
Der erste Schritt zur Lösung der Aufgabe besteht in der Be- 
rechnung des Viererpotentials. Dabei beschränken wir uns aber 
auf Aufpunkte, welche mit dem Mittelpunkt der Hyperbel- 
bewegung gleichzeitig gemacht werden können (§ 8). Denn alle 
Hyperbeln (123 b) liegen, da 

notwendig im Zwischengebiet; Weltpunkte diesseits oder jenseits 
von können niemals innere Punkte des Elektrons darstellen. 
Ferner möge der Aufpunkt P vorläufig im Baume u = der 



Fig. 11. 



Fig. 11 liegen und dort die 
Koordinaten X, Y, Z haben. 
Die Hyperbel sei die Weltlinie 
eines Ladungselementes de, L 
ihr Lichtpunkt in bezug auf P. 
Im allgemeinen wird natürlich 
weder die Hyperbel, noch der 
Aufpunkt in der X U- Ebene 
selbst liegen, so daß unsere 
Figur nur als Projektion einer 
Raumfigur zu betrachten ist. 

Die Projektion der Geraden OL 
nehmen wir als die X'- Achse eines Systems K\ in welchem P 
die Koordinaten X\ Y\ Z', £' = iU' hat. Dann ist die Vierer- 
geschwindigkeit Y in L parallel zur w'- Achse, und da vom Vektor 

77 = PL die w'-Komponente 77 tt > = — TJ 1 ist, so wird: 




also nach (118): 



(rn) = -r tt ,7i tt r = y w u' 



de 



& x , = Oy, = &j = 0, &v = i®* = i -j—jj, = — 



de 



4:7t L' 



Um nun in Komponenten nach der #- und w- Achse zu 
zerlegen, wenden wir die Formeln (34) und die Regel an, daß 



— 109 — 

sich die Komponenten eines Vierervektors <Z> wie die Koordinaten 
transformieren. Dabei ist aber nach (30) 

ß = ßL = -tg«POL) = g < 0. 
So finden wir: 

Vl-/3* Vi— 0* Vi /J8 

also, wenn wir den für <ß{> gefundenen Wert einsetzen: 

... de _ . n _ — ide 

•• Ä -4¥i» *v = *, = 0, ** = TZßIX- 

Um diese Gleichungen auf Punkte außerhalb des Raumes 
u = zu übertragen, führen wir jetzt statt der geradlinigen 
Koordinaten X, L die hyperbolischen Koordinaten 2?, <p ein: 

X = Rcosy, L = Bsinq) . . . . (124) 
[vgl. (70)]; dann ist 

R* = X* + L*, tg9 — L / x . . . . (124a) 

also q> ein imaginärer Winkel. Die entsprechende Transformation 
für Punkte der Weltlinie von de lautet: 

x = £cosil>, y = r\sinil) . . . . (124 b) 

Es folgt daraus für die Koordinaten des Lichtpunktes Li 

h iuL . o . , 

— = —- = iPl = tgi\j L . 

Xjj Xl 

Da in P die Richtungen der wachsenden X und R einerseits, die 
der wachsenden L und qp andererseits übereinstimmen, und da 
wegen L = R = X ist, so kann man die letzten- Gleichungen 
für O schreiben: 

** = -l£il' *» = *. = <>. ^ = ^«,^(125) 

ipL ist dabei der negativ imaginäre Winkel, um den man das 
Weltkoordinatensystem in der xu-Ebene drehen muß, damit statt 
des Aufpunktes P sein Lichtpunkt L mit gleichzeitig wird. 

Gehen wir jetzt durch eine Drehung um den imaginären 
Winkel ( — <p") zu einem neuen System K" über, so verändert R 



— 110 — 

seinen Wert nicht, während i\)l =■ (ty'i — <p") wird. Auch bleiben 
die Richtungen der wachsenden B und qp in P dieselben, also 
gelten, bezogen auf K" die Formeln: 



On = 



6 , & y =& z = 0, % = -^ cotg(tl>L—<PL), 



4tcB 



±nB 



wobei jetzt B, Y, Z und qp" die Koordinaten des Aufpunktes 
sind. Angewandt auf das dem System K" gleichberechtigte 
System K lauten sie: 



On = 



— de 

4:7tB' 

^ de 



y = 0,= 0, 



cotg(<l>L — (p) 



(125 a) 



und gelten in dieser Form für jeden beliebigen Aufpunkt, welcher 
mit gleichzeitig gemacht werden kann. Analytisch ist (tfo — <p) 
als Funktion der Lage des Aufpunktes (X, Y t Z, L) und der 
Eonstanten der Hyperbelbewegung (£, 17, £) durch die Bedingung 

gegeben , daß der Vektor TL = PL den absoluten Wert Null 
haben soll, d. h: 



= 772 = (x L - X)2 + (# L — Y)2 4- (z L — Zf 

+ &-D 2 
= {Vl— Y)* + (* L — Z)*+ X* + L* 
+ xl+ll — 2(p L X + l L L) 

= (l ? -r)2 + (g-Z)2 + J R2 + |2 

— 2 £ B cos (il> L — <p) 



(126) 



[vgl. (124), (124 a) und (124 b)]. Setzen wir zur Abkürzung 

r» = (| — Ä)» + (q — r) 2 + (£ — Z)2 . . (126a) 



so finden wir, da tfo — <p ebenso wie früher in (125) t^i negativ 
imaginär sein muß: 

r 2 +2|E 

. . . (126 b) 



cos (ty L — <p) = 



2gÄ 



sin(tl> L — qp) = 



— ir^r* + ±£B 
2£B 



— 111 — 

Doch wallen wir diese Werte zunächst nicht einsetzen; dagegen 
bestätigen wir durch Differentiation an (126b) die Gleichungen: 

dil> L £cos(il> L — <p) — R dr\j L y—Y 

ÖR %Rsin{$ L — <p) f dY g R sin ($ L — y) ( } 

e) Das elektromagnetische Feld bei der Hyperbel- 
bewegung. Der zweite Schritt besteht in der Ableitung des 
Feld vektors 89t = 9fat<Z>; auch hierbei benutzen wir als Koor- 
dinaten R, Y, Z, qp. Nach ihnen die Komponenten von 89t zu 
bilden, ist deswegen berechtigt, weil man stets ein Achsenkreuz 
x, y, z, l den Richtungen der wachsenden R, Y, Z, qp parallel 
legen kann. (In diesem System wird P und gleichzeitig.) Es 
wird dann nach (85): 

m B(p = m xl = - i® x , m y(p = m yl = — te* ) 

»,, — m 9J = -^c. t m y , = $;, [ ' (127) 

5W#B == 3W*a? = $y, *$&R y = $5t xy = § z J 

Nach (74) und (75a) ist aber: 

m v = tot*,* = - [—*-—) = - j, 

m y(p — mot y(p 9 — __--^_ _ _, 

die drei anderen Komponenten sind nach (75) und (75 a) Null, 
da nach (125 a) & y und O z verschwinden und Or nur von R ab- 
hängt. Somit ist nach (127) und (126c): 



e* = - 



ide /dty 



-<p)\dRJ 



&,= — 



4 jr i2 sin 2 (rl>L 

ide[^ cos (iI>l — <P) — R] 
4 ?r £ A 2 siw» (t/; x — qp) • 

4 3ri2 si» 2 Q> L — qp) tfT 

irie(q — F) 
4*g.B a MW»(fe — qp)' 



— 112 — 

(Sommerfeld) oder wenn wir jetzt von den Substitutionen (126 b) 
Gebrauch machen: 

_ de plr 2 — 2R(R-m 

*£x / T -j » 

n r*\r* + 4l;R 6 
g _ 2 de pB(n-T) 
y n r 8yH-h4|U) 3 

(6, entsprechend) (Born). Bezogen auf das System, in welchem 
der Aufpunkt mit dem Mittelpunkt der Hyperbelbewegung 
gleichzeitig ist, ist also § = 0, während (£ den hier angegebenen 
Wert hat. Wegen L — ist dabei nach (124 a) R = X. 

f) Die Rückwirkung des Feldes auf das Elektron. 
£, rj, £ sind die Koordinaten des Punktes, welchen die Hyperbel 
(123b) mit dem Räume u = irgend eines Bezugssystems K 
gemeinsam hat. Infolgedessen ist d£ dr] d% ein Volumenelement 
in diesem Räume, und man kann in den Gleichungen für 6 

de = Q(l;,ri,£)dl; dr\ d% = QdV 

setzen. Läßt man dann £, rj, £ alle die Werte durchlaufen, welche 
innerhalb des vom Elektron zur Zeit t = eingenommenen 
Volumens, bezogen auf K, liegen, so findet man durch Integration 
die Feldstärke, welcbe das ganze Elektron in einem Weltpunkt 
hervorruft, welcher mit gleichzeitig ist, d. h. ebenfalls im Räume 
u = liegt. Multiplizieren wir schließlich mit 

q(X, I,Z)dXdYdZ = QdV 

und integrieren wiederum über das Volumen des Elektrons zur 
Zeit t = 0, so finden wir nach (IX a) wegen § = für die 
Kraft $, welche das Elektron zur Zeit t = auf sich selbst 
ausübt, die Gleichungen: 

($ g entsprechend). Dabei ist nach (126 a) 

r* = (£ - X)* + (17 - Y)* + (£ - Zf 
das Quadrat des Abstandes der Volumenelemente d V und d V. 



Jf 



— 113 — 

Die Integration für Ä y führt nun notwendig zum Wert 
Null, da wir die X-Achse nach dem Obigen als Symmetrieachse 
der Form und Ladungsverteilung zu betrachten haben. Denn zu 
jedem Produkt d V x dV lt welches den Werten £i,ifc, {*; X u Y lt Z 1 
entspricht, gibt es ein anderes, ihm gleiches, dV 2 d F 2 , für welches 

fe2 == »1» »2 == bl> X\ == ^2» &i == ^2» 

dagegen 

Oh - r 2 ) = - ( 9l - r,) 

ist. Die zu integrierende Funktion hat für sie entgegengesetzt 
gleiche Werte, ihre Beiträge zum Integral heben sich daher auf* 
Um die Integration für $t x auszuführen, wollen wir statt 
der auf dem Mittelpunkt der Hyperbelbewegung bezogenen 
Koordinaten |, 17, £; X, Y, Z solche einführen, welche vom Mittel- 
punkte des Elektrons aus gemessen sind; dieser selbst möge im 
ersteren System die Koordinaten a, 0, haben. Die neuen Koor- 
dinaten sind dann: 

Ä=| — «, H=ri, Z = £, 

x = X — a, y = F, z = Z. 

Nach (123 a) hängt cc auf das engste mit der Beschleunigung b 
des Mittelpunktes zusammen. Substituieren wir c 2 /b für a, so 
finden wir: 

71 JJ r* Vr 2 6 2 + 4 (c 2 + 56)(c 2 -fa;6) 

r2 = (Ä-*) 2 + (^-y) 2 + {Z-z)\ 

Der Wert dieses Integrals ändert sich nicht, wenn man S, H, Z 
mit #, y, z, vertauscht, weil beide Arten von Integrationsvariabein 
dieselben Werte durchlaufen. Addieren wir zu dem angegebenen 
den durch die Vertauschung entstehenden Ausdruck, so finden 
wir nach leichten Umrechnungen: 

Stx = — 7j- X 
2 n 

g? ' , [(c g + g&) 2 + (c 8 + *&) g ] + 2(g-^^ 

r» Vr 6»+ 4 (c 2 + Eft) (c 2 + x b) 

Dies gilt für den Moment t = 0, in welchem nach (123b) die 
Geschwindigkeit q den Wert Null hat. 

Laue, Relativitätiprinsip. g 



— 114 — 

g) Näherung für kleine Beschleunigung. Entwickeln 
wir & x nun nach steigenden Potenzen von b: 



tX = — b(M + M,b + M 2 b* + ...), 

so können wir die Koeffizienten M„ zwar nicht berechnen, so- 
lange nicht der Einfluß von b auf die Form des Elektrons und 
die Verteilung der Ladung bekannt ist. Wohl aber können wir 
aus Symmetriegründen folgern, daß alle M n mit ungeradem 
Index n Null sind ; denn bei einem bei Buhe kugelförmigen Elek- 
tron kann Ä a nur sein Zeichen, nicht aber seinen absoluten Wert 
ändern, wenn b sein Zeichen umkehrt. Der Koeffizient M Q ist aber 
der Wert des Multiplikators von b für b = 0; nach (127 a) ist 

und zwar ist hier über die unveränderte Kugelgestalt zu inte- 
grieren. Wegen der Gleichwertigkeit der #-, y- f z- Richtung ist: 

_ (Z—z)* 



die Sun™ die 8 er drei gleichen Integrale ist aber \fö ä Väf^ 

so daß jedes den Wert 4 f f — dVdV hat ^- [[ ^ dVdV 

ist nun bekanntlich die elektrostatische Energie JE des ruhenden 
Elektrons [wegen des Zahlenfaktors vgl. Anhang unter d)]. Somit 
wird a 

Ersetzen wir endlich b durch | q |, so finden wir die bis auf Glieder 
mit |q| 8 genaue Gleichung*): 



*) Schon aus dimensioneilen Gründen erkennt man, daß M 9 /M 
von der Größenordnung a*/c 4 ist, wenn a den Badius des Elektrons 
bezeichnet. Solange 6 8 klein gegen c 4 /a* ist, ist somit das zweite Glied 
zu vernachlässigen, a ist nun sicher viel kleiner als die Molekül- 
dimensionen, die rund gleich 10~ 8 cm sind. Also ist c*/a* sicher sehr 
groß gegen 10 57 cm 2 sec~*. 



— 115 — 

4JS° 



3 c 2 



q (128) 



Durch die Bewegung längs der Krümmungshyperbel können 
wir nun nach c) eine beliebige Bewegung für eine kurze Strecke 
annähern. Daher können sie Gleichung (128) als Näherung für 
beliebige Bewegungen anwenden. Sie gilt zunächst für q = 0, 
d. h. bezogen auf das mitbewegte System , das jetzt wieder K° 
heißen möge. Transformieren wir die Gleichungen 

4 E° 4 E° 

Kx ~ ~~3"^" q *' **y — ~ 3~c2~ qy 

gemäß (122 a) und (87 a) auf ein System K [die Bedingung für 
die Anwendbarkeit von (87a) ist hier streng erfüllt], so finden wir: 



3 y c 2 — <p ' ^ y C 2_ q 2 

oder vektoriell geschrieben: 

' (128 a) 



4 - E " (ä I q ^' + ^^ + ^qA | 



3 e \c* — ä 

Nach (113) ist aber der elektromagnetische Impuls des stationär 
bewegten Elektrons: 

@= 42g°q _ 4jg0q 

3 c y C 9_ 32 ScVc'-tqä+qS+qf)' 

bei einer Änderung der Geschwindigkeit q somit: 

d®__ 4^ f q d / 1 \| 

dt ~ 3c lVc2— (ql+qg+q|) q d* Vy c 2 -(q 2 +q 2 + q 2 )Jj 

= 4J *° A + q-M-V 
3c Vc 2 — 2 2 \ c 2 — gV 

Also finden wir nach (128a) für die Kraft, die das Elektron auf 
sich selbst ausübt, die wichtige Beziehung: 

® = - jf (128b) 

8* 



— 116 — 

Erfährt ein Elektron Beschleunigung, so wird ein Teil der 
beschleunigenden Kraft durch die hier berechnete innere Kraft Ä 
aufgehoben, d. h. zur Vergrößerung des elektromagnetischen 
Impulses verwandt, so daß nur der Rest zur Vergrößerung des 
etwaigen mechanischen Impulses übrig bleibt. Darin äußert sich 
die elektromagnetische Trägheit des Elektrons (§ 2). Dies ist 
nach dem Impulssatz selbstverständlich. Daß aber der Impuls @ 
unter Voraussetzung gleichförmiger Geschwindigkeit berechnet 
werden kann, beweist, daß die Bewegung innerhalb der hier er- 
reichten Annäherung eine quasistationäre Bewegung ist. 

Weil Gleichung (128 b) für alle derartigen Bewegungen eine 
notwendige Konsequenz des Impulssatzes ist, so konnte Lorentz 5 ) 
und vor ihm für das starre Elektron Abraham 6 ) umgekehrt von 
dem Impuls auf die innere Kraft $ zurückschließen. Die ge- 
nannten Autoren und ebenso Planck haben ferner die Annähe- 
rung noch weitergetrieben, indem sie zeigten, daß, bezogen auf das 

e 2 
mitbewegte System, im allgemeinen noch ein Glied - — — q° zu 

dem oben angegebenen hinzutritt. Dies hängt mit der Aus- 
strahlung zusammen, die von einem ungleichförmig bewegten 
Elektron ausgeht. Wir verweisen wegen des Näheren auf die 
Originalarbeiten *) 7 ). 



VI. Die Minkowski sehe Elektrodynamik 
der ponderablen Körper. 

§ 19. Die Transformation der Feldgleichungen I bis IV. 

a) Die Feldvektoren ®, 2), #, 33. In § 5 führten wir 
aus, daß die Theorie die Möglichkeit fordert, von der Atomistik 
der Elektrodynamik durch Mittelwertbildung zu der Theorie der 
ponderablen Körper überzugehen, ohne daß dies befriedigend 



« 2 



*) Bei der Hyperbelbewegung ist die Zusatzkraft gCJ nach 

(123) gleich Null — in Übereinstimmung mit (127 a). In der Tat strahlt 
die zeitlich unbegrenzte Hyperbelbewegung nicht aus. Wohl aber ge- 
schieht dies, wenn zwei verschiedene Bewegungen mit gleichförmiger 



— 117 — 

durchgeführt wäre. Wir kündigten auch dort schon an, daß wir 
uns wegen dieser Schwierigkeit zur Ableitung der Feldgleichungen 
für bewegte ponderable Körper auf die Maxwell sehen Gleichungen 
(1) bis (X) stützen würden, wie wenn sie eine neue Grundlage 
bildeten und nicht schon in der Elektronentheorie implizite, und 
zwar in vollkommenerer Form vorhanden wären. Immerhin 
können wir einige Anhaltspunkte aus den Erörterungen des § 14 
entnehmen. 

In einer Beziehung sind wir aber hier ganz anders gestellt 
wie in § 14. Dort wollten wir nachweisen, daß die Gleichungen 
für den leeren Baum in allen berechtigten Systemen dieselbe 
Form haben. Hier aber ist naturgemäß ein System, nämlich das 
mit der Materie bewegte, K°, bevorzugt; nur für dieses kennen 
wir die Grundgleichungen, und es ist zu erwarten, daß sie für 
alle anderen Systeme eine andere, die Geschwindigkeit berück- 
sichtigende Form annehmen. Unser Ziel muß sein, Gleichungen 
aufzustellen, welche einerseits gegen die Lorentz- Transforma- 
tion invariant sind, andererseits im System £° mit der Maxwell- 
schen Theorie identisch sind. Dann sind wir sicher, daß das 
Problem auf keine sachlich von der unsrigen verschiedene Weise 
gelöst werden kann. Um ihrer Invarianz sicher zu sein, fordern 
wir von den abzuleitenden Gleichungen, daß sie sich als Be- 
ziehungen zwischen Weltvektoren schreiben lassen. 

Die Gegenüberstellung der Gleichungen 

(I) rot <S = 1/e 33, (IV) div 33 = 0, 

(I a) rot <S = l/e $, (IV a) div £ = 0, 

zeigt, daß in der Theorie der ponderablen Körper die magne- 
tische Verschiebung 33 dieselbe Rolle spielt, wie die Feldstärke £ 
beim leeren Räume. In der Tat geht auch bei der erwähnten 
Mittelwertbildung ^ in 33 über. Aus den Erörterungen von 
§ 11 schließen wir daher, daß 

9K«l = — iSa» 3Byl = — * @|M 2R*l = — % Vi, i # (129) 

a»„, = 33*, m, x = 33 y , 3», 



>i = — i®*\ 



Geschwindigkeit durch ein Stück Hyperbelbewegung hindurch inein- 
ander überführt werden 8 ). Jene Zusatzkraft wirkt dabei während der 
beiden Zeitabschnitte, in denen die erste gleichförmige Bewegung in 
die Hyperbelbewegung und diese wieder in die zweite gleichförmige 
Bewegung übergehen. 



— 118 — 

die Komponenten eines Sechservektors sind, welchen wir auch 
hier als. den Feldvektor 3K bezeichnen. Die Gleichungen (I) 
und (IY) kann man dann analog zu (XIV) zusammenfassen in: 

4ivWt* = ....... (XVII) 

Auf der rechten Seite der Gleichungen (II) und (III) 

rot§ = l/e (2) + 3), div © = q 

tritt der elektrische Leitungsstrom 3> und die Dichte Q der wahren*, 
d.h. auf Ansammlung von Leitungselektronen beruhenden Ladung 
auf. Die elektrische Leitung beruht aber auf Konvektion der 
Elektronen, welche sich relativ zum Körper bewegen; hat dieser 
selbst Geschwindigkeit, so tritt neben den Leitungsstrom der 
Konvektionsstrom pq seiner Ladung Q. Wir wollen daher zu- 
nächst versuchsweise 

ral# = l/c(i> + 9 + Qq) (IIb) 

setzen. Die Summe 3> + Q (\ gibt dann den gesamten Strom an, 
soweit er von Leitungselektronen herrührt; es ist nach § 14 
einleuchtend, daß man als die Komponenten des Viererstromes P 
hier die Größen 

P x = i/o (&. + Q(\x) usw. Pi = ig . . . (130) 

zu betrachten hat. Schreiben wir nun die Gleichungen (IIb) und 
(III) in die Form: 

+ W ~~d7 ~~ dl "7 w,+ m 

~dt +87 ai* Ä 7 <* + ' *>• 

+ dx ~ dy dl —7M + 9W 

. 8i3)x , 8i®y . di®, 
c# oy oz 

so schließen wir wie in § 14 aus der Vektoreigenschaft von P, 
daß die sechs Größen 

»„ = — *©„ *„ = — f©*, 8,1 = -t©.! , 



— 119 — 

die Komponenten eines Sechser vektors , des Verschiebungs- 
vektors 8$ bilden. Die fraglichen Gleichungen lassen sich dann 
in die Form 

z/ivS = P (XVIII) 

zusammenfassen. Damit ist aber der Ansatz (üb) bewiesen, 
denn er läßt sich mit (III) zu der vierdimensional- vektoriellen 
Beziehung (XVIII) zusammenfassen und geht im System K°, d. h. 
für q =• in (II) über. Die Maxwellschen Gleichungen 
(I) bis (IV) gelten also unverändert auch für bewegte 
Körper, wenn man zum Leitungsstrom den Konvektions- 
strom der wahren Ladungen additiv hinzufügt. 

Für das Verhalten der Feldvektoren (£, 3), § und 93 bei 
der speziellen Transformation (XI) gelten wegen (85), (129) 
und (131) Gleichungen, welche den Formeln (85 c) analog gebaut 
sind und aus den letzteren entstehen, wenn man dort entweder 
^) mit 33, oder @ mit 2) vertauscht. 

b) Leitungs- und Konvektionsstrom. Ebenso einfach 
lassen sich die Transformationsformeln für den Gesamtstrom 
3 -J- Q q aus dem Vektorcharakter von P herleiten. Eine genaue 
Überlegung ist aber erforderlich, um die Zerlegung in Leitungs- 
strom und Konvektionsstrom vorzunehmen. Der Viererstrom P 
hat hier nicht wie in § 14 die Richtung der Weltlinien der Materie; 
er hat vielmehr im mitbewegten System K° die räumlichen Kom- 
ponenten Pgfi = 3&> usw. Wir zerlegen ihn in zwei neue Vierer- 
vektoren, die Viererkonvektion: 

K= —(YP)Y (132) 

welche die Richtung der Weltlinie hat, und die Viererleitung: 

A = P+(YP)Y (132a) 

welche auf ihr senkrecht steht, weil vermöge Y 2 = — 1 

(JA) = (YP)(1 + r») = (132 b) 

ist. Aus K+ A = P folgt nach (13G): 

= — iPi = — i(Bk + 4) .... (133) 



Im mitbewegten System K° ist nun die Z°-Komponente von A nach 
(132 b) Null, während A& = l/c3»2o usw. ist. Elektrische Raum- 



— 120 — 

dichte und Strom sind dort voneinander völlig unabhängig. In 
jedem anderen System aber liefert A einen Beitrag 

k = — %A X (134) 

zur Dichte Q. Die „Leitungsdicht e tf k ist am einfachsten 
durch die Bedingung (132 b) zu bestimmen; denn setzt man die 
Werte (134) und (134 a) ein, so findet man: 

Der Leitungsstrom an sich bedingt somit im bewegten 
Körper eine gewisse räumliche Ladung, auch wenn Q° 
verschwindet. Infolgedessen müssen wir auch den X entsprechen- 
den Teil Aq des Eonvektionsstromes mit dem Leitungsstrom zur 
Viererleitung zusammenfassen, indem wir 

J m = l/c(3x + lqz) usw (134b) 

setzen. In der Tat folgten diese Werte für A x usw. aus der 
Definition (132 a) der Viererleitung, wenn man dort nach (51) Y 
auf q und nach (130) P auf Q, 3 und q zurückführt. 

c) Die Invarianz der Elektrizitätsmenge. Dies alles 
klingt zunächst sehr paradox; denn eine Ladung tritt bei einem 
materiellen Volumelement dann auf, wenn es positive und nega- 
tive Elektronen in verschiedener Zahl enthält. Die Ladung 
eines Elektrons ist nach § 14 für alle Systeme die gleiche, und es 
scheint zunächst, als ob auch die Zahl der Elektronen gleicher Art 
in einem Stück Materie von der Wahl des Bezugssystems unab- 
hängig sein müßte. Der Fehler dieses Trugschlusses beruht 
darauf, daß man nach den Anzahlen der gleichzeitig in ihm 
vorhandenen Elektronen fragen muß, und der Begriff der Gleich- 
zeitigkeit nach § 6 etwas Relatives ist. 

Wir wollen uns dies geometrisch veranschaulichen. Es seien 
in Fig. 12 die einander parallelen Geraden OU und PP die 
Weltlinien, welche die Endpunkte eines im System K° ruhenden 
geraden Drahtes darstellen. OP stellt seine Länge im System K° 
zur Zeit t ° = dar, P hingegen seine Länge im System K zur 
Zeit ( = 0. Durchfließt ihn ein . stationärer Leitungsstrom , so 
bilden die Weltlinien der positiven Elektronen in ihm im allge- 
meinen einen kleineren Winkel mit der #-Achse als die Weltlinie 
PP , die der negativen Elektronen dagegen einen größeren, wie 



— 121 — 

dies in der Figur gezeichnet ist, oder umgekehrt*). Ist der 
Draht bezogen auf K" ohne Ladung, so schneiden gleich viel 
Weltlinien positiver und negativer Elektronen die Strecke OP , 
wie dies in der Figur gezeichnet ist. Die Anschauung lehrt, 
daß dann die Strecke OP mehr positive Weltlinien als nega- 
tive schneidet (sehn positive gegen sechs negative in Fig." 12). 
Das betrachtete Volumelement trägt also im System £ eine posi- 
tive Ladung, in Übereinstimmung mit (134a), da 3 und q hier 
parallel sind. 

Die Ladung eines etromdurchflossenen Stückes Materie ist 
also im allgemeinen keine Invariante der Lorentz-Transforma- 
tion. Fragen wir nun nach der Ladung e eines vollständigen 
Fig. 12. 



P * 

Stromgebietes, d. h. eines materiellen Systems, dessen Begrenzung 
ganz in Nichtleitern verläuft. Aus (XVIII) folgt nach der Rech- 
nungsregel (65): 

DivP = (135) 

[vgl. (84)] was nach (130) in die Beziehung 

q +div(Q()) + div3 = (136) 

*) Der Einfachheit halber sind die Weltlinien der Elektronen als 
parallele Gerade gezeichnet, obwohl die Annahme gleichförmiger Ge- 
schwindigkeit bei ihnen auch nicht annähernd zutrifft. 



— 122 — 

übergeht, welche sich als Verallgemeinerung der Kontinuitäts- 
gleichung (17) darstellt. Nehmen wir an ihr die Umformung vor, 
welche von (17) zu (18) führt, so finden wir: 

Ö(odV) 

8t +**»$ = 0. 

Und integrieren wir hier über ein beliebig großes materielles 
Kaumstück, dessen Ladung J Q d V wir mit e bezeichnen , so er- 
halten wir nach dem Gauß sehen Satz x: 

de = [S„d6. 



dt - J 3 " 



Die rechte Seite stellt die als Leitungsstrom pro Zeiteinheit durch 
die Oberfläche eintretende Elektrizitäts menge dar; bei einem voll- 
ständigen Stromgebiet verschwindet sie. Dessen Gesamtladung ist 
somit in jedem berechtigten System, daher nach dem Anfang von 
§ 14 auch bei einer Lorentz- Transformation unveränderlich. 

Während die Ladung eines stromdurchf lossenen 
Stückes Materie wegen des Auftretens der Leitungs- 
dichte A im allgemeinen von System zu System variiert, 
hat die Ladung eines vollständigen Stromgebietes in 
allen berechtigten Systemen den gleichen Wert*). Für 
nichtleitende Körper gilt der fundamentale Satz von 
der Invarianz der elektrischen Ladung ohne jede Ein- 
schränkung. 

Historisch interessant ist vielleicht, daß. der obige Wert (134 a) 
für die Leitungsdichte schon 1895 von H. A. Lorentz abgeleitet 
wurde, und zwar aus der Vorstellung heraus, daß die Bewegung 
des Stromes in seinem eigenen Magnetfelde eine Kraft 1/c [q 33] 
[vgl. (IX a)] auf die Elektronen hervorruft, welche sie zu einer 
Ladung von dieser Dichte zusammentreibt. Selbstverständlich 



*) Man darf aber hieraus nicht schließen, daß das Integral 
§XdV, erstreckt über ein vollständiges Stromgebiet, stets Null wäre. 
Das leicht auszuführende Beispiel eines unendlich langen, leitenden 
Stabes, welcher sich in seiner Längsrichtung unter einem positiv oder 
negativ geladenen Nichtleiter fortbewegt, zeigt sogleich, daß der Leitungs- 
strom 3 überall in einem Stromgebiete die der Geschwindigkeit ent- 
gegengesetzte Richtung haben, und daß infolgedessen nach (134a) 
)XdV<iO sein kann. Trotzdem behält aber der obige Satz seine 
Richtigkeit. 



— 123 — 

kann die Relativitätstheorie diese Deutung ohne Weiteres über- 
nehmen; sie veranschaulicht auch den Satz, daß die Ladung eines 
vollständigen Stromgebietes durch die Bewegung nicht verändert 
wird; denn die erwähnte Kraft kann wohl die Verteilung der 
Elektronen über das Stromgebiet verändern, nicht aber ihre Ge- 
samtzahl in diesem. 

Blicken wir auf diesen Paragraphen zurück, so sehen wir, 
daß die Feldgleichungen (I) bis (IV) durch die Geschwindigkeit 
der Körper fast gar nicht verändert werden; nur der Konvektions- 
strom tritt mit dem Werte, der vom Rowland sehen Versuche 
(§ 2) gefordert wird, hinzu. Es hat dies seinen Grund darin, 
daß sie aus den atomistischen Feldgleichungen hervorgehen, indem 
man die Unterscheidung von Leitungs- und in den Atomen ge- 
bundenen Elektronen einführt und den Viererstrom P nur auf die 
ersteren zurückführt. Der Unterschied zwischen 3) und S sowie 
33 und £) ergibt sich dann als Folge der Existenz von Polarisations- 
und Magnetisierungselektronen. Die Natur der Kräfte zwischen 
Atomen und Elektronen kommt dabei noch gar nicht in Betracht. 
Deshalb gelten die fraglichen Gleichungen jedenfalls in viel 
weiterem Umfange als die hier gegebene Ableitung, welche sich 
wegen des Relativitätsprinzips genau genommen nur auf gleich- 
förmige Bewegung und wegen der Max well sehen Theorie nur 
auf nicht - dispergierende Körper bezieht. Es ist nicht unwahr- 
scheinlich, daß sie streng allgemeingültig sind. 

§ 20. Die Transformation der Gleichungen (V) bis (VII). 

a) Der Zusammenhang zwischen (5, ÜD, <£), 33. Ganz 
anders stehen die Gleichungen (V) bis (VII) zur Atomistik; bei 
ihrer Ableitung kommen gerade die Kräfte zwischen Atomen und 
Elektronen wesentlich in Betracht und damit treten die ganzen in 
§ 5 erwähnten Schwierigkeiten auf. Wir behandeln sie hier in der 
folgerichtigen Durchführung des oben skizzierten Standpunktes 
als etwas für ruhende Körper Gegebenes und suchen ihre Über- 
tragung auf bewegte Medien. 

Wir führen zu diesem Zweck zunächst vier neue Raum- 
vektoren ein: 

e* = e + iMq»n 



— 124 — 



die wir als die „elektromotorische" und „magnetomoto- 
rische Kraft" bezeichnen, sowie 

*• = © + !/•[,« I ( 

93* = 33 — l/c[q<g]J 

Betrachten wir sodann die vier Vektorprodukte aus der 
Vierergeschwindigkeit Y und den Sechservektoren SR, 8$, SR*, S8*. 
In einem beliebigen System K haben die Komponenten von [FÜR] 
nach (51), (58) und (129) die Werte: 



[YW] X = 



»• q2 I C 



(Saj USW. 



(138) 



= -T-i 1 « +-[q»] L = -7=== 

(qg) . (q(S*) 

Analog stellen die drei anderen Produkte 

[y»l [r«*] f [r»*j, 

nach (131) und (54) in ihren räumlichen Komponenten die Raum- 
vektoren 



v< 



£>*, 



tc 



Vc' 2 — 



8*, 



«c 



Vc 2 — 



& 



(138 a) 



dar, während ihre Z-Komponenten gleich 



, (qg)*) — (qS3*) -(qfl*) 

y c 2_ ä »' y C 2__ ^2' y C 2_ 3 2 



(138 b) 



sind. Im mitbewegten System K° gehen die vier genannten 
Raumvektoren über in S°, 35°, 33°, ^j°, während die skalaren 
Produkte (q@) usw. verschwinden; da ferner nach (V) und (VI) 

£)o = £go y 23<> ==fl £o 
ist, so bestehen zwischen den Vektorprodukten die Beziehungen: 

[F»] = £[F3R] (XIX) 

[73»*] = ft[F8*] (XX) 



— 125 — 

Wendet man sie auf die räumlichen Komponenten in irgend 
einem anderen System an, so findet man: 

£)* = «(£* (XXI) 

93* = p$* (XXII) 

Ihre Anwendung auf die 7-Komponenten liefert nichts Neues. Es 
liegt dies daran, daß jedes der vier Vektorprodukte notwendiger- 
weise auf der Vierergeschwindigkeit Y senkrecht steht, so daß 
die vierte Komponente durch die drei anderen mitbestimmt ist. 

Für s = 1 und ft = 1 geht aus (XXI) und (XXII) © = ffi, 
33 = £, d. h. 8W = 8$ hervor. Ein Körper mit diesen Werten 
der Konstanten £ und ft unterscheidet sich daher auch in der 
Bewegung für elektromagnetische Vorgänge höchstens durch die 
Leitfähigkeit vom leeren Raum. 

b) Elektromotorische Kraft und Leitungsstrom. Die 
Gleichung (VII): 3° = ög° läßt sich nach (138) und (134 b) als 

P-f (YP)Y = A= ö/c[r3R] . . . (XXIII) 

schreiben; angewandt auf ihre räumlichen Komponenten in einem 
beliebigen System zeigt sie nach (134 a) und (b), daß 

3 | . (q'3) ... tf«"g* n89 . 

3 + 1 c2 _ ga -y c -^ < 139 ) 

ist. In Übereinstimmung hiermit sagt ihre /-Komponente aus: 

(q3) _ <* M0__ _ <? (qg*) 

C a — q* C y c 2_- 2 2 C y c 2__ g2 

Multipliziert man hier mit q und subtrahiert von (139), so findet 
man als Verallgemeinerung von Gleichung (VII): 

3 = -^(V-q^ • ■ • (XXIV) 

y C 2_g 2 v c2 ) ■ 

Im Gegensatz zu den Gleichungen (I) bis (IV) können die 
Formeln (XIX) bis (XXIV) strenge Gültigkeit sicherlich nur für 
den Fall beanspruchen , daß die Geschwindigkeit weder räumlich 
noch zeitlich variiert, angenäherte auch dann, wenn diese Varia- 
tionen geringe Beträge aufweisen. Als Hinweis darauf, wo ihre 
Gültigkeitsgrenze liegt, mag das Beispiel eines gleichförmig 
rotierenden Körpers betrachtet werden. Bei ihm strebt sich jeder 

Teil wegen der L o r e n t z - Kontraktion im Verhältnis yl — q*'c* 



— 126 — 

zusammenzuziehen, kann dies aber nicht, so lange nicht der Zu- 
sammenhang zwischen den Teilen des Körpers unterbrochen wircL 
Infolgedessen treten elastische Spannungen im Körper auf, welche 
ihn anisotrop und inhomogen machen. Die genannten Gleichungen 
gelten aber ebenso wie (V), (VI) und (VII) nur für isotrope, 
homogene Körper. Doch sind diese Einflüsse wie die Lorentz- 
Kontraktion selbst von der zweiten Ordnung in q/c; als erste, für 
die Diskussion aller Versuche aber völlig ausreichende Näherung 
können wir die in Rede stehenden Beziehungen daher auch auf 
rotierende Körper anwenden. 

Die Grundgleichungen der in den beiden letzten Paragraphen 
entwickelten Minkowski sehen Elektrodynamik der bewegten 
Körper stellen wir hier noch einmal zusammen. Sie lauten in 
vierdimensionaler Vektorform : 

(XVII) z/«v3R* = 0, (XVIII) z/iv8 =P, 

(XIX) [Z8] =«[F2R], (XX) [F2»*] = ft[r8*], 

(XXIII) P + (YP)Y = 0/c[Ym]. 

Gleichbedeutend sind damit die folgenden: 

(I) ro* <£ = — l/c33, (Hb) rot § = l/c(S) + 3 + eq), 
(IV) div 33 = 0, (HI) div © = q, 

(XXI) ©* = a(S*, (XXII) 33* = p$*, 

(XXIV) 3 = T= ££=(g*V^V 

§ 21. Anwendungen. 

a) Das Ohmsche Gesetz. Wie in der Elektrodynamik der 
ruhenden Körper folgt aus (XXIV) für stationäre und quasi- 
stationäre Ströme das Ohmsche Gesetz: „Widerstand X Strom- 
stärke gleich Spannungsdifferenz a , wenn man für die letztere das 
Linienintegral 

J[«-* (£)]'• 

nimmt. Der Widerstand ist dabei gleich 



V'-SJ 



— 127 — 

wenn Q den Querschnitt des Leiters bezeichnet; er hängt wegen 
der Lorentz- Kontraktion in Gliedern zweiter Ordnung auf ziem- 
lich komplizierte Art von der Richtung der Geschwindigkeit gegen 
ds ab. Vernachlässigt man q 2 /c 2 gegen 1, so wird die Spannungs- 
differenz J @*d s und der Widerstand erhält denselben Wert wie 
bei Ruhe. 

b) Induktion. Aus (I), (137), a, 6' und (IV) folgt: 

rot <£* = — 1/c {33 + rot [öq]} = — l/c& . . (140) 
oder nach 6 und dem Stok es sehen Satz X und (IV): 

(g*ds = — j jfA^ndö . • * • (UOa) 

O 
d. h. das Linienintegral der elektromotorischen Kraft 
ist durch die Änderung des magnetischen Induktions- 
flusses durch die umschlungene mitbewegte Fläche be- 
stimmt. Die übliche Berechnung der induzierten Stromstärke 
aus diesem Integral und dem Widerstand ist freilich nach ä) nur 
eine Annäherung, aber eine für die Diskussion der Induktions- 
versuche mehr wie ausreichende. Die Theorie steht daher mit 
den Induktionsversuchen (§ 2) im Einklang. 

Ganz analog findet man nach (IIb), (III) und (137): 



rot$* = 1/c {£> + rot [3)q] -f q<Zii>2) + 3} = l/c(© + 3)) 
£* ds = j{hndÖ + £j\®nd6 



(141) 



Auch hier ist die umschlungene Fläche als mit der Materie bewegt 
gedacht. 

c) Grenzbedingungen 1 ). In der Maxwellschen Theorie 
sind, wie schon in § 4 erwähnt, an den Grenzflächen der Körper 
stetig: 1. die zur Grenze normalen Komponenten der Verschie- 
bungen 3) und 33; nur wenn die wahre Ladung eine Flächen- 
dichte Q (7 hat, ist*) 

2>m + 2)« 2 = Qo (142) 



*) Wj und n 2 sind die beiden von der Grenze fortweisenden Nor- 
malen; sie haben also entgegengesetzte Richtungen. 



— 128 — 

2. die tangentiellen Komponenten der Feldstärken (S und §. 
Diese beiden Bedingungen sind aber voneinander nicht unab- 
hängig, vielmehr genügen die zweiten allein, um zusammen mit 
den Differentialgleichungen das Feld vollständig zu bestimmen; 
die ersteren werden dabei von selbst erfüllt. Wenn wir sie jetzt 
auf bewegte Körper übertragen, so setzen wir, falls zwei ponde- 
rable Körper aneinanderstoßen, voraus, daß ihre Geschwindig- 
keit zu beiden Seiten der Grenzfläche denselben Wert hat; denn 
nur in diesem Falle können wir auf Ruhe transformieren und 
das Relativitätsprinzip samt den aus ihm abgeleiteten Differen- 
tialgleichungen anwenden. Diese Einschränkung fällt um so 
weniger ins Gewicht, als ein Gleiten zweier Körper aneinander 
wahrscheinlich in der Natur überhaupt nicht vorkommt. In den- 
jenigen Fällen aber, in denen wir, um ein Problem einfach for- 
mulieren zu können, von einem Gleiten sprechen, wollen wir die 
Körper durch eine leere Schicht getrennt denken, welche so dünn 
ist, daß das elektromagnetische Feld sich nicht merklich ändert, 
wenn man sie senkrecht durchschreitet. Für die beiderseitigen 
Begrenzungen dieser Schicht kann man die abzuleitenden Stetig- 
keitsbedingungen anwenden und so auch die elektromagnetischen 
Felder in den Körpern miteinander in Beziehung setzen. 

Wir zeigen zuerst, daß die Grenzbedingungen unter 1. un- 
unverändert übertragen werden können. Wendet man nämlich 
auf einen unendlich kleinen, unendlich flachen Zylinder, dessen 
Grundflächen dö g der Grenze parallel und zu ihren beiden Seiten 
liegen, nach x die Gleichung 



f divtedt = —fandö 



an, so kann man rechts die vom Zylindermantel herrührenden Teile 
des Integrals vernachlässigen und findet: 



\div<£dt = CD^-h©«.)***; 



die linke Seite stellt aber nach (III) die gesamte Ladung des 
Zylinders dar und wird, wenn man den Zylinder flacher und 
flacher werden läßt, schließlich gleich Q a d6 g \ daraus folgt dann 
Gleichung (142). Ganz analog gilt wegen (IV): 

93n t + 93 W2 = (143) 



— 129 — 

Die normalen Komponenten der Verschiebungen 3) und 
39 sind stetig (wenn keine wahre Flächenladung vorhanden ist). 
Die Bedingungen unter 2. dagegen müssen bei bewegten 
Körpern abgeändert werden. Wir wenden die Gleichung (140 a) 
auf ein infinitesimal, schmales, mit der Materie bewegtes Rechteck 
an, dessen kurze Seiten dN 1 und dN% die Grenzfläche senkrecht 
schneiden, während die langen Seiten ds 1 und ds 2 zu ihr parallel 
sind. So finden wir: 

j gjds = (<S* - «•) d s + («Bfr t - <S& 2 ) d N 
O 

= -7d i t(*» dsdN ) 

wo n die Normale des Rechtecks bedeutet. Auf dem mitbewegten 
Flächenstück dsdN ist nun 23 n eine stetig veränderliche Funk- 
tion der Zeit, desgleichen die Größe des Flächenelementes und 
auch das Produkt $5 n dsdN*). Beim Grenzübergang zu dN = 
folgt deshalb: 

@.* = e? 2 (U4) 

Analog schließen wir aus (141): 

& = % (145) 

Die Seiten ds^ und ds 2 können nun jede Richtung parallel zur 
Grenzfläche haben. Die tangentiellen Komponenten der 
elektromotorischen und magnetomotorischen Kraft sind 
daher stetig. 

Bei Anwendung dieses Satzes auf die Grenze eines Körpers 
gegen den leeren Raum hat man für q auf beiden Seiten die 
Geschwindigkeit des Körpers zu setzen; denn auch die im leeren 
Raum gelegene Hälfte des Rechteckes dsdN, über welches wir 
integrierten, hat diese Geschwindigkeit. 

d) Der Wilson sehe Versuch 2 ). (Vgl. § 2 und 4.) Wir 
nehmen das Dielektrikum als gleichförmig bewegt an; die Über- 
tragung auf den wirklichen Fall der gleichförmigen Rotation ist 
nach § 20 eine erste, aber zur Diskussion des Versuches völlig 



*) Für einen ruhenden Punkt kann s «8 uostetig wechseln, wenn 
gerade eine Grenzfläche über ihn hin wegstreicht; deswegen wäre es 
falsch, aus (I) die Stetigkeit der tangentiellen Komponente von 6 zu 
folgern. 

Laue, Relativitätsprinzip. f) 



— 130 — 

ausreichende Näherung. Ferner denken wir uns das Dielektrikum 
als eine nach zwei Dimensionen (der x- und #- Richtung) unendlich 
ausgedehnte Scheibe von der Dicke /. Ebenso sollen die Platten 
des Kondensators unendlich ausgedehnt sein und von den Grenz- 
flächen des Dielektrikum» beiderseits durch leere Schichten von 
der Dicke a getrennt sein. Wie in § 4 soll die Geschwindigkeit 
der dielektrischen Scbeibe in der #- Richtung, das magnetische 
Feld im Außenraum in der ^-Richtung liegen. 

Es ist von vornherein wahrscheinlich, daß sich unter diesen 
Annahmen ein stationärer Zustand einstellt. Bestätigt wird diese 
Vermutung durch das aus ihr abgeleitete Ergebnis, das allen 
Feldgleichungen und Grenzbedingungen genügt. Da dann die 
Differentialquotienten d/dt Null sind, muß nach (I) rotQ, also 

nach AjS 8 öfs für jeden geschlossenen Weg verschwinden. Ist 

dies Integral für einen Weg, welcher von der Platte P x außen 
um die dielektrische Scheibe herum nach P 2 führt, gleich E, liegt 
also die Spannung E am Kondensator, so muß es für jeden durch 
die Scheibe von P a nach P 2 führenden Weg ebenfalls diesen Wert 
haben, also: 

r P2 

)®,dz -= E (146) 

Pi 
Wir genügen allen Differentialgleichungen, wenn wir überall 
zwischen den Platten das elektromagnetische Feld nicht nur als 
zeitlich, sondern auch als räumlich konstant, ferner die elektrische 
Feldstärke überall parallel zu z, die magnetische parallel y an- 
setzen. Wir haben aber das Feld in den beiden leeren Schichten 
zu unterscheiden von dem in der bewegten Scheibe; es geschieht 
dies durch die Indices a und /. Nach (XXI) und (XXII) ist dann 
in den leeren Schichten: 

©; = «g, »; = $; 

und im Innern der Platte: 

®i + q/c $» = t (ei + a/c »t), 

%l + q/c ei = p (& + q/e 2>J)- 

Nach den Grenzbedingungen ist die normale Komponente der 
elektrischen Verschiebung stetig, also: 

2>2 = 3)1; 



— 131 — 

desgleichen die tangentielle Komponente der magnetomotorischen 
Kraft, daher: 

& + 9/e ®« = {& + q/e ©J. 

Die tangentielle Komponente der elektromotorischen Kraft ist 
ebenso wie die normale der Verschiebung 33 nach dem obigen 
Ansatz auf beiden Seiten der Grenzflächen Null. Schließlich ist 
noch nach (146): 

Die Spannungsdifferenz B und die magnetische Feldstärke ^pjj 
sind experimentell gegebene Daten. Zur Bestimmung der sieben 
Unbekannten @£, S*, 2)J, 3) r , § y , 33JJ und 93 y stehen die sieben 
vorstehenden linearen Gleichungen zur Verfügung. Von ihren 
Lösungen fuhren wir nur an: 

«n« _ «xs* _ *• _ ^-g^g+gcQ^-Wy 
* *>m — v-m £ ( e *_ q * )a + ( ( *_ BIA g*) l ' 

Da im Innern der Platten P x und P 2 das elektrische Feld Null 
ist, so mißt |£)?| nach (142) die Dichte der Flächenladung auf 
ihnen. 

Beim Wilsonschen Versuch war E= 0, ferner fi = 1, 
außerdem war a sehr klein gegen l und q 2 gegen c 2 zu vernach- 
lässigen. Man findet aus der letzten Gleichung als Dichte der 
Ladung für diesen Fall: 

+ (« — i)a/c|$«|, 

in Übereinstimmung mit dem Versuchsergebnis. 

Auffallend ist an dem streng gültigen Resultat, daß für eine 
bestimmte Unterlichtgeschwindigkeit q der Nenner, die Determinante 
unseres Gleichungensystems, verschwindet; es versagt in diesem 
Falle der obige unter Annahme stationären Zustandes aufgestellte 
Ansatz. Es hängt dies damit zusammen, daß die Fortpflanzung 
einer elektromagnetischen Störung nach der Max well sehen Theorie 
mit der Unterlichtgeschwindigkeit c/\6{i vor sich geht, und die 
von uns vernachlässigten, vom Rande der Scheibe ausgehenden 
Störungen deswegen bei der fraglichen Geschwindigkeit niemals 
abklingen. Jene Folgerung aus der Maxwellschen Theorie wird 

9* 



— 132 — 

aber, wie wir schon in § 7 erwähnten, von der Elektronentheorie 

nicht bestätigt. Sie erkennt c/yfift nur als Phasengeschwindig- 
keit bei periodischen Vorgängen, nicht als Ausbreitungsgeschwin- 
digkeiten von Störungen an, so daß man füglich bezweifeln kann, 
daß man sich bei diesem Schluß noch im Gültigkeitsbereich der 
Max well sehen Theorie befindet. 

e) Der Eichenwaldsche Versuch 3 ). Für die Beschrei- 
bung des magnetischen Feldes hat man im allgemeinen die Wahl 
zwischen den Vektoren £) und 33; im leeren Raum, in welchem 
die Beobachtung beim Eichen waldschen Versuch erfolgt, werden 
aber beide miteinander identisch. Aus (XXII) folgt nun für un- 
magnetische Körper (ft = 1) 

8 = $—l/c[q(5D--e)] 

und daraus nach (IIb): 

rot® = l/c{i) + 3 + QC{ + rot[(<£) — <E),q]}. 

Da nach (IV) div%$ = 0, und jeder Raumvektor durch seinen 
Rotor und seine Divergenz eindeutig bestimmt ist, so kennt man 
das magnetische Feld vollkommen, wenn außer dem Verschiebungs- 
ström 3), dem Leitungsstrom 3 und dem Konvektionsstrom (>q 
noch der Röntgen ström rot\j& — S, q] gegeben sind. Da man 
nach (XXI) in erster Näherung hier £) = £(§ setzen kann, so 
hat der Röntgen ström die Dichte 

(a-l)ro*[gq], 

bei Eichenwalds Anordnung daher (vgl. § 4 d) eine Flächen- 
dichte vom Betrage (e — -l)|(5|q, in Übereinstimmung mit dem 
Versuchsergebnis. 

f) Der Fresnelsche Mitführungskoeffizient 4 ). Für 
die Optik der ponderablen, ruhenden Körper haben wir nach § 5 
,u = 1 und für € das Quadrat des Brechungsindex n zu setzen. 
Die Gleichungen (15) für eine ebene Welle, bezogen auf das mit- 
bewegte System K° lauten deshalb: 

(£°_ _ £° _ £)° " _ So _ . ^ 

*s " w _ s>; ~ »o° " 



= 2 7tV° X 1 

[t° — nc (x° cos #° -f sin &° (#° cos (p° -f z° sin qp )) } J 



(147) 
v \y cos <p~ -f- z~ sin y v )J / I 

wo analog zu (103a) gesetzt ist: 



— 133 — 

cos(&x°) = cos -fr , eos(<5 y°) = sin #° cos <jp°, 
cos(&z°) = sind' sin q>. 

Nach (129) und (131) drückt sich dasselbe in den Beziehungen aus: 

m = 2R sm®, » = % sin&. 

Man sieht an der letzteren Form wie bei der Theorie der Aberration 
in § 16 a, daß & für alle berechtigten Bezugssysteme denselben 
Wert haben muß. Im Gegensatz zu dort sind hier aber nicht 
alle diese Systeme gleichwertig, die Fortpflanzungsgeschwin- 
digkeit der Phasen V ist vielmehr nur für das System K° ge- 
geben, für alle anderen erst zu bestimmen. Wir setzen daher 
für ein anderes System K: 

S == 2itv{t — l/Vfxcosd' -f sind (y cos q) -f zsiny)^}- 

Führen wir nun die spezielle Transformation (XI) aus, indem wir 
unser System K° mit dem dort eingeführten K' identifizieren, so 
finden wir aus (147): 



@ — 2itv Q 



c + qncos&° 



i< 



- x 



.2 



r2 



< — 



(q -f- c n cos 0" ) x +nsin #° |/c 2 — q 2 (y cos <p° -\- z sin q>°) 



c(c -\- qn cos ft ) 
Durch Vergleich der beiden Formen von S folgt: 



<P — <P°, tg 



_ n sin fr |/c 2 — q 2 
q -\- cncosd' 



V=c 



n c 4- qncosft 

V = v° — , 

Vc 2 — q 2 

c + qncosd' 



(148) 



V (q + c n cos #°) a + n 2 (c 2 — u 2 ) sin 2 0° I 

Beim Fize au sehen Interferenzversuch fällt die Wellennor- 
male in die Richtung der Geschwindigkeit oder die ihr entgegen- 
gesetzte, so daß 0° = oder = jt, und 

7=c^ = Wl-±U... .(148.) 
cn±q n \ n 2 / 

wird. In erster Näherung tritt also die Geschwindigkeit 
des Körpers multipliziert mit dem Fresnelschen Mit- 



— 134 — 

führungskoeffizienten 1 — 1/n 2 zur Phasengeschwindig- 
keit c/n additiv hinzu, wie es der experimentelle Befund ver- 
langt. 

Um den früher angekündigten Zusammenhang mit dem Ein- 
st ein sehen Addition stheorem der Geschwindigkeit zu erkennen, 
hat man nach der Geschwindigkeit des Strahles im bewegten 
Körper zu frage u. Beim ruhenden Körper ist bekannt, daß ein 
zylindrischer Ausschnitt aus einer ebenen Welle, wenn der Zylinder- 
mantel von Strahlen gebildet ist, sich unverändert in der Strahl- 
richtung fortpflanzt, und zwar gilt dies mit jeder beliebigen An- 
näherung, wenn wir die Grundfläche des Zylinders gegen die 
Licht Wellenlänge hinreichend groß wählen. Ein materieller Punkt, 
welcher sich dauernd in diesem Zylinder befinden soll, muß daher 
Strahlgeschwindigkeit haben. Die Tatsache, daß er dauernd be- 
leuchtet wird, gilt nun aber für alle Bezugssysteme. Daher muß 
sich die Strahlgeschwindigkeit wie die eines materiellen Punktes 
transformieren. Im System K° hat sie nach der Maxwell sehen 
Theorie den Wert c/n. Nach dem Additionstheorem (Gleich. 25 e) 
hat sie mithin im System K den Betrag: 



w 



\/ C 2 -\-n 2 q 2 + 2qcn cos ft° — q 2 sin &° 

c n -\- q cos &° 

während die Neigung -9* des Strahles gegen die Richtung der Ge- 
schwindigkeit durch die aus (25 a) folgende Gleichung 

sin O-o \c 2 — q* 

ccosft°-\-nq 

bestimmt ist. Strahl und Wellennormale haben daher im 
bewegten Körper im allgemeinen verschiedene Richtung 
und Geschwindigkeit. Die Unterschiede müssen aber aus 
Symmetriegründen fortfallen, wenn wie beim Fi ze auschen Ver- 
such & = oder = % ist. Dann wird in der Tat in Überein- 
stimmung mit (148 a) 

c±nq c . / 1\ 

w = c — -r— = -±3(1 -H 

nc±q n \ n l / 

Wir haben hiermit die Erklärung aller in § 2 genannten Er- 
fahrungstatsachen über die Elektrodynamik der bewegten Körper 
mit alleiniger Ausnahme der Dynamik des Elektrons gegeben. 



— 135 — 

Das Fehlschlagen aller Versuche, auf der Erde einen Einfluß der 
Erdbewegung nachzuweisen, erklärt das Relativitätsprinzip an 
sich. Zur Deutung der Aberration, des Doppler sehen Prinzips 
sowie der sonstigen Beobachtungen über den Einfluß der Be- 
wegung der Körper gegeneinander wurden außer diesem Prinzip 
keine anderen Tatsachen oder Hypothesen herangezogen, als die 
in der Max well sehen Elektrodynamik des Vakuums und der 
ruhenden Körper enthaltenen. Alles weitere ergab sich als not- 
wendige, eindeutige Folge. Unter Vorbehalt einer Prüfung der 
Dynamik des Elektrons können wir also behaupten: Die Er- 
fahrungen auf elektromagnetischem Gebiete bestätigten 
das Relativitätsprinzip in allen seinen Folgerungen. 



§ 22« Energie und ponderomotorische Kraft. 

a) Die Unzulänglichkeit der Maxwellschen Theorie. 
Einige Überlegung erfordert die Ableitung der ponderomotori- 
schen Kraft für die Minkowskische Elektrodynamik, denn der 
Ansatz (IX) und (X) der Maxwellschen Theorie für ruhende 
Körper kann schon aus dem Grunde nicht für unbedingt richtig 
angesehen werden, weil nach ihm auch Punkte des leeren Raumes 
Kräfte erfahren können. An dieser Stelle müssen wir also die 
Maxwellsche Theorie zunächst ergänzen, doch so, daß ihre 
Übereinstimmung mit der Erfahrung dabei nicht aufgehoben 
wird. Nun haben wir schon im § 15 (S. 85, Anm.) gesehen, daß 
die Kraft auf das Vakuum dann auftritt, wenn man die elektro- 
magnetische Bewegungsgröße nicht berücksichtigt. Es kann daher 
kein Zweifel sein, daß man den Ansatz (IX) nach (95 a) zu 

zu erweitern hat. Vorläufig kennen wir die Größe der Impuls- 
dichte g freilich nur für den leeren Raum ; nach (95) ist sie 
dort gleich l/c[S$]. 

b) Die Transformation beliebiger ponderomotori- 
scher Kräfte. Nun konnten wir die Kraftdichte nach (86) und 
(86 a) unter Hinzufügung ihrer Leistung (mit dem Faktor i/c) 
als zeit artiger Komponente zu der Viererkraft F ergänzen, welche 



— 136 — 

sich wegen ihrer Vektoreigenschaft auf den Tensor T vermöge 
der Beziehung (XVI) 

F= —AivT (XVI) 

zurückführen ließ. Es müssen sich aber alle ponderomoto- 
rischen Kräfte, gleichgültig welchen Ursprunges, der 
Lorentz-Transf ormation gegenüber gleich verhalten. 
Denn ist in einem berechtigten Systeme ein Körper unter dem 
Einfluß verschiedenartiger Kräfte im dynamischen und thermischen 
Gleichgewichte, so daß sich sein Zustand im Laufe der Zeit nicht 
ändert, so bedeutet dies, daß die Resultante aus diesen Kräften 
sowie ihre Leistungen in Summa verschwinden. Der Tatbestand 
der Un Veränderlichkeit des Zustandes kann aber nicht dadurch 
aufgehoben werden, daß wir der Betrachtung ein anderes Bezugs- 
system zugrunde legen. Auch in diesem müssen sich die Kräfte 
und ihre Leistungen gegeneinander aufheben. Dies können sie 
aber nur dann in beiden Systemen tun, wenn sie sich alle gleich 
transformieren, d. h. wenn sich jede Art von Kräften mit der 
entsprechenden Leistung zu einem Vierervektor zusammenfassen 
und damit nach (XVI) auf einen Welttensor zurückführen läßt. 

c) Die Bedeutung der Komponenten des Welt- 
tensors T. Nun muß aber Gleichung (XVI), angewandt auf 
die zeitartige Komponente: 

j Fi = -Tx(j Tlx )~d~y(i: ^)~Ä(t Tl )~dt\- Tu ) 

den Energiesatz enthalten, da links die Leistung (Ä) der Kraft 
pro Volumeinheit steht. Setzen wir nämlich: 

— icT lx = <£> x usw., — T n =W (149) 

wie in (89), so lautet diese Beziehung: 

dW 

A + div<S + ^T = (150) 

dt 

durch Integration über einen abgeschlossenen Bereich geht sie 
nach dem Gaußschen Satz (x) über in 



[AdS + ^-[wdS= \<S n d6. 



Es ist aber nach dem Energieprinzip das Kennzeichen der Be- 
griffe Energiedichte und Energieströmung, daß sie zur Leistung 



ii 



— 137 — 

j-4dFin dem Zusammenhange stehen, wie hier die Größen W 

und ©. Wir werden daher den Skalar W als Energiedichte, den 
Vektor ©als Energiestrom betrachten. 

Angewandt auf die raumartigen Komponenten ergibt (XVI): 

dT xx dT xy öT xg d (\ \ 

F x — g x = r 5-2 r 5- ( — Ta-z ) USW., 

0# 0# 0£ öt\ic / 

und wenn wir 

T xx = p**, Txy = p xy usw. — t/c ^J — 9* u »w. . (149 a) 
setzen: ~ 

g = — btop — ^{ • (150a) 

oder nach derselben Integration wie oben gemäß £: 

1 

Wir wollen nun, wie schon in § 15 erwähnt, außer dem Energie- 
prinzip auch den Impulssatz als ein empirisch wohlbegründetes 

Axiom in die Relativitätstheorie übernehmen. di\%dS = $£dt 

ist der mechanische Impulszuwachs, welcher die betrachtete Kraft 
den Körpern im Integrationsgebiete in der Zeit dt verleiht. Soll 
also die letzte Gleichung für alle nur denkbaren körperlichen 

Systeme und Vorgänge gelten, so müssen wir dt — I grfS als 

den nichtmechanischen Impulszuwachs und das Oberflächenintegral 

dt\$ n dö als die von der Umgebung ausgeübte Kraft, d. h. p 

als einen räumlichen Spannungstensor deuten — genau so wie 
in § 15. 

Freilich sind diese Bestimmungen nicht eindeutig. Man kann 
als Energiedichte W vermehrt um einen zeitlich unveränderlichen 
Skalar, als Impulsdichte g vermehrt um einen solchen Vektor, 
als Energieströmung die Summe aus © und einen divergenzfreien 
Vektor und als Spannungstensor die Summe aus p und einem 
divergenzfreien Tensor ansehen, ohne daß sich etwas an den 
Gleichungen (150) und (150 a) ändert. Eine weitergehende Un- 
bestimmtheit , daß sich z. B. für W zwei wesentlich verschiedene 
Zustandsfunktionen angeben ließen, die der obigen Energie- 
gleichung genügen, widerspräche dem Energieprinzip, welches 



— 138 — 

wesentlich darauf beruht, daß die Energie nur bis auf eine 
additive Konatante unbestimmt bleibt, und Entsprechendes gilt 
für den Impuls. Wenn wir aber darüber hinaus von den an- 
gegebenen möglichen Zusätzen absehen, so ist das zweifellos eine 
neue Hypothese, welche zurzeit noch nicht einmal empirisch 
völlig zu rechtfertigen ist, sondern sich zunächst nur durch die 
außerordentliche Vereinfachung empfiehlt, welche sie in die 
Theorie, besonders auch in die Mechanik hineinbringt. Sie 
gestattet, wie der Vergleich von (149), (149a) und der Be- 
ziehung Tj]c = Tjcj unmittelbar zeigt, vor allem die bisher 
völlig unzusammenhängenden Begriffe des Impulses 
und der Energieströmung in die universelle Beziehung 

9=|" (XXV) 

zu setzen (Planck 1 ), welche wir als den Satz von der 

Trägheit der Energie bezeichnen*). Wir werden diese 

Hypothese in der vorliegenden Schrift dauernd beibehalten. 

Außer dem nichtmechanischen Impuls gibt es dann, wie wir 

schon in § 15 an dem Beispiele des elektromagnetischen Impulses 

sahen» einen gleichartigen Drehimpuls, welcher sich nach der 

Formel (101) - 

8=J[tft]<*S 

berechnet. Die dortigen Betrachtungen können unverändert 
übernommen werden. Wie die Summe aus allen Impulsarten, so 
ist auch die aller Drehimpulse zeitlich unveränderlich. 

d) Anwendung auf die Elektrodynamik. Wenden wir 
dies Ergebnis auf die Elektrodynamik, und zwar im System K° 
an, so finden wir nach (XXV), da der Energiestrom nach (14a) 
©o =r c[S°§°] ist, als die Dichte des elektromagnetischen Im- 

pulaes den Vektor tf = i /c [e .$o] ....... ( 15 1) 

Wir bleiben in Übereinstimmung mit der Erfahrung, wenn wir 
für den Spann ungstensor p° den Maxwellschen Ansatz (X) un- 
verändert übernehmen und nach (150 a) 

go = __ btop o_I^[(go£o] m . . ..(151a) 

C v 



*) Näheres vgl. § 24. 



— 139 — 

setzen. Denn die Zusatzkraft — rS°©°l entzieht sich durch 

c dt L v J 

ihre Kleinheit stets der Beobachtung *). Auch enthält in diesem 
Falle die Fortlassung eines zeitlich unveränderlichen Summanden 
in (151) keine neue Hypothese. Denn ein solches Glied bliebe 
auch dann bestehen, wenn das elektromagnetische Feld ver- 
schwindet; es entbehrte in diesem Falle aber offenbar jeder Be- 
rechtigung. 

Damit ist die oben geforderte Ergänzung der Max well sehen 
Theorie durchgeführt. Der elektrodynamische Welttensor T ist 
durch die Angabe von W° (Formel VIII), p° (IX) und g° bzw. 
& (151) eindeutig bestimmt. Will man die Energie oder Impuls- 
dichte für ein anderes System K berechnen, in welchem sich der 
Körper bewegt, so hat man nur die Komponenten von T gemäß 
der in § 13 angegebenen Regel [vgl. (102)] und die Raumvektoren 
S, 3\ ^), 33 nach § 19 zu transformieren. Wir müssen uns die 
Ausführung dieser Rechnung des Platzes wegen versagen. Abra- 
ham 2 ) findet dabei: 

(*[«$]- DD»]) 



@ = c »g e = c [(S£] + q 



e 2 — g 2 



W = i ((CS)) + ($»)) + C TZT^ (* [C$] - [*>»])• 

e) Die Joulesche Wärme. Trotz der unter b) aus- 
einandergesetzten Gemeinsamkeit des Verhaltens der Viererkraft 
F in den beiden Gebieten der Elektrodynamik besteht doch ein 
gewisser, auf der atomistischen Struktur der Materie beruhender 
Unterschied hinsichtlich der Bedeutung ihrer zeitartigen Kom- 
ponente. In § 15 war F senkrecht auf der Weltlinie des Elektrons. 



• 

*) Berechnet man den Maxwell sehen Wert der Kraftdichte 
aus (IX) und (X), so findet man dabei einen Summanden 



7*-?( e "^)' 



welcher stets unterhalb der Grenze der Meßmöglichkeit liegt (vgl. z. B. 
E. Cohn, Das elektromagnetische Feld; Leipzig 1900, S. 553). Unser 
Zusatz macht daraus « 

\ £ (<.*-« WOT) . 

was von derselben Größenordnung ist. 



— 140 — 

Hier aber haben die Weltlinien der Leitungselektronen im allge- 
meinen andere Richtungen als die Weltlinie der materiellen Punkte 
des Körpers (vgl. Fig. 12). So können wir es verstehen, daß hier 
die Viererkraft auf den letzteren nicht senkrecht steht. In der 
Tat ist die zur Weltlinie parallele Komponente von F, d. h. ihre 
zeitartige Komponente bezogen auf das System K°, nach Gleichung 
(149), (14) und (14 a): 

Fio - —4ivpT 

4 / ?>Wo\ 4 4 

= - -(*,«. + _) = - (3.^ = -«., 

also im allgemeinen von Null verschieden. Auch wenn der Körper 
ruht, leistet die elektrodynamische Kraft an den sich in ihm 
bewegenden Leitungselektronen eine Arbeit, welche sich als 
Joule sehe Wärme Q° äußert*). Bewegt sich ein Körper, so tritt 
zu dieser natürlich noch die mechanische Arbeit am Körper selbst, 
so daß im allgemeinen (q§)+ Q als die gesamte Leistung an- 
zusehen und 

F, — i/c {(qg) + Q\ (152) 

zu setzen ist. Nach (51) und (48) ist nun, in einem beliebigen 
System berechnet, das skalare Produkt: 

1 q*8* + q„S» + q.8. - {(q8) + Q\ 



{YF) = 



Vc a — q 1 



-Q 



fo* — q a 

Wegen seiner Invarienz gegen die Lorentz- Transformation gilt 
als Transformationsformel für die pro Zeit- und Volum- 
einheit erzeugte Wärme: 

^ — * = - Qo ■ ■ ■ ■ (153) 



Y< 



r'2 C 



*) Genau genommen ist unter Q° alle die Energie (pro Zeit und 
Volumeinheit) gemeint, welche das elektromagnetische Feld als Arbeit 
in den Atomen leistet, also außer der Jouleschen auch die Peltier- und 
Thomsonwärme, die Energie Vermehrung durch chemische Zersetzungen 
oder Konzentrationsänderungen. Nur weil diese alle auf Inhomo- 
genitäten der Körper beruhen, müssen wir sie im Text ausschließen 
(vgl. S. 20, Anm.). 



— 141 — 

Um Q für ein beliebiges System durch die Feldvektoren auszu- 
drücken, beachten wir, daß nach (134b) und (138) das skalare 
Produkt: 



■ (^[r»]) = -=L= 

yc 2 — 3» 

also, für K° berechnet, 



(3-Mq,<S*)-A(q<£*) 



(3@*) 
Vc» — q 



{A[YW\) 



_ O 6°) _ 1 O0 



ist. Aus den beiden letzten Gleichungen. und (153) folgt: 

fl = (3e*) = (3,e+l/e[q8]) .... (154) 

Für die Umrechnung der elektrodynamischen Kraftdichte § 
bei der speziellen Lorentz -Transformation (XI) gelten ähnliche 
Formeln wie in der Elektronentheorie ; man erhält sie unmittelbar 
aus (87), indem man entsprechend (152) dort (q§) durch 
(q 5) + Q ersetzt *) : 

yi - /3 2 

Für die Gesamtkraft fl = j g d F folgt daraus wie in § 1 5 [vgl. 
(87a)] und unter denselben Beschränkungen: 

_ a* + t>/c*((q'ff') + .R') 



tffa: 



1 + 



C 2 



a ___ ©»' V ■*• P ® e>» \_ P 



2 



6»' 



1 + 



0>q')' Ä ' ~ 



* 1 + <*> 



(155a) 



c 2 c 2 

Dabei ist R = I § d V die gesamte im materiellen Volumen F 
pro Zeiteinheit entwickelte Wärme. Für sie gilt nach (153) die 
Transformationsformel : 

(155b) 



c 2 — q 2 



« 



'2 



O 2 



*) Bei Berücksichtigung der Elektrostriktion kommt noch ein 
weiteres Glied hinzu, welches mit der zeitlichen Veränderung des 
Spannungszustandes proportional ist. Dessen Vernachlässigung erklärt 
auch den Unterschied zwischen unserer Gleichung (155 a) und der 
entsprechenden Formel (32) bei M. Planck 3 ). 



w, J 



— 142 — 

Wir ziehen aus diesen Gleichungen die ebenso wichtige 
wie merkwürdige Folgerung, daß im ungestrichenen System 
eine Kraft auch dann auftreten kann, wenn im gestrichenen 
System keine vorhanden ist; dann nämlich, wenn Joulesche 
Wärme entwickelt wird. Erleidet nun irgend ein vom Strom 
durchflössen er Leiter bei Ruhe keine Gesamtkraft, wie z. B. ein 
unendlich langer Draht von kreisförmigem Querschnitt, so behält 
er seinen Ruhezustand bei. Beziehen wir denselben Vorgang auf 
ein berechtigtes System, in welchem er sich bewegt, so heißt 
dies, er ändert seine Bewegung nicht von selbst. Dennoch er- 
fährt er in diesem System eine Kraft. Es gibt also Fälle, in 
welchen eine Kraft die Geschwindigkeit unbeeinflußt 
läßt. Dies auffallende Ergebnis wird sich in dem siebenten 
Teile dieses Buches, welcher der Mechanik der Relativitäts- 
theorie gewidmet ist, aus der Trägheit der Energie (XXV) er- 
klären lassen. 

Selbstverständlich gelten die Transformationsformeln (153), 
(153a), (155) und (155a) auch dann, wenn die Wärmemengen 
und Kräfte nicht elektrodynamischen, sondern irgend eines 
anderen Ursprunges sind. 

§ 23. Der Strahlungsdruck. 

Eine wichtige, auch der experimentellen Prüfung zugängliche 
Folgerung des Satzes (XXV) g = ®/c 2 ist die, daß jeder von 
elektromagnetischer Strahlung getroffene Körper eine pondero- 
motorische Wirkung erleitet. Trotzdem die Deutung der ein- 
schlägigen Experimente keineswegs der Relativitätstheorie vorbe- 
halten blieb, sondern die Existenz und der Wert dieses Druckes 
schon von Maxwell (1881) und Boltzmann (1884) voraus- 
gesagt wurden, mag hier kurz darauf eingegangen werden. 

Zu diesem Zweck wollen wir für den schon in §16b) unter- 
suchten Fall der Spiegelung einer ebenen Welle an einem unbe- 
grenzten ebenen Spiegel die ponderomotorischen Kräfte ableiten. 
Den Spiegel setzen wir als undurchsichtig voraus. Die Bezeich- 
nungen wählen wir wie dort, und legen zunächst das mit dem 
Spiegel bewegte System K° der Betrachtung zugrunde, wollen 
aber vorläufig die Indices beim Strahlungsvektor © und den 
Winkeln 4> 1 und i> 2 fortlassen. 






— 143 — 



Die einfallende Welle läßt auf ein Flächenstück d 6 des Spie- 
gels in der Zeit dt nach der Definition des Pointingschen Vek- 
tors © die Energie 

\ ( B l \d6cost 1 dt 

fallen. Die reflektierte Welle schafft in derselben Zeit von dort 
die Energie 



fort. Die Differenz gibt daher die durch Absorption von Strah- 
lung entwickelte Wärme an; ihr Betrag ist pro Zeit- und Flächen- 
einheit [nach (107)]: 

r = (|®,|— |®2l)cos*i = l®i| |1 — ^1 cos^ . (156) 

Von der einfallenden Welle verschwindet an dö in der ge- 
nannten Zeit ein schiefer Zylinder, der diese Fläche als Basis 

Fig. 13. 



Si 



Gespiegelter Strahl 




Einfallender Strahl 



und in der Strahlrichtung die Länge cdt, daher den Inhalt 
ccos^\d6dt hat. Er enthält nach (XXV) die Bewegungsgröße: 

Qeccostyidtidt = — costyxdödt, 

welche in Fig. 13 durch die Strecke ASi dargestellt wird. Während 
dieser Impuls verschwindet, entsteht an dö neu derjenige Impuls, 
welcher in einem zylindrischen Stück der reflektierten Welle ent- 
halten ist, dessen Grundfläche wiederum dö und dessen Länge in 
der Strahlrichtung ebenfalls cdt ist. Sein Impuls ist demnach 



— ± cos i> 2 d<S dt = — 



cos ty x dö dt t 



(157) 



— 144 — 

er wird in Fig. 13 durch die Strecke AS 2 dargestellt. Nach dem 
Gesetz von der Erhaltung des Impulses muß daher der Spiegel 
einen mechanischen Impuls gewinnen, welcher, zu dem letzteren 

Vektor addiert, den ersteren ergibt, also durch die Strecke S 2 $i 
repräsentiert wird. Seine Komponenten sind: normal zum Spiegel 

— l/c(|© a | + |© 2 |) cos 2 ^dödt, 
tangential dazu 

1/c (| ©i | — | © 2 1) cos ^ sin ip 1 d<S dt 

Da diese Impulszunahme in der Zeit dt vor sich geht, so erfährt 
er eine Kraft, welche, auf die Flächeneinheit bezogen, in ihrer 
normalen und ihrer tangentialen Komponente wegen (107) die 
Werte 

<ß n = — |(Si| <1 + TJ) cos 2 ^ : c 

5ßt = |@i|(l — U) cos i^i sin ^.c 
hat. 

Wie der Strahlvektor © x ist natürlich auch diese Kraft zeit- 
lich schnell veränderlich; bei spektral homogener Strahlung ist 
z. B. jener eine periodische Funktion der Zeit lind die Periode halb 
so läng wie die einer Schwingung, also bei allen Schwingungen 
aus dem Spektralbereich der Wärmestrahlung außerordentlich 
kurz. Zur Messung gelangt daher stets nur der Mittelwert von 
^3, gebildet über ein gegen die Lichtperiode sehr langes Zeit- 
intervall. Doch gelten die abgeleiteten Formeln auch für diesen, 
wenn man unter | @ 1 | den entsprechenden Mittelwert für die 
Energiestrahlung versteht. Dies ist der von Lebe de w, sowie 
Nichols und Hüll experimentell nachgewiesene Strahlungsdr uck. 
Er wird natürlich nicht nur auf undurchsichtige Spiegel ausgeübt, 
sondern ganz allgemein auf alle Körper, welche Licht trifft; sein 
Betrag ist nach den soeben auseinandergesetzten Prinzipien stets 
einfach zu berechnen. 

Schwieriger kann diese Aufgabe nur dann werden, wenn die 
Flächen nicht glatt, oder die Dimensionen der Körper so klein 
werden, daß die Wellenlänge des Lichtes neben ihnen nicht mehr 
zu vernachlässigen ist. In diesem Falle tritt Beugung der Strah- 
lung ein, und es ist der mathematischen Schwierigkeiten wegen 
zurzeit nur für kugelförmige Teilchen gelungen, den Strahlungs- 
druck ohne jede Einschränkung zu berechnen (Debye). Doch 



— 145 



kann man von diesem Spezialfall auch auf anders geformte kleine 
Teilchen und einzelne Moleküle den wichtigen Schluß übertragen, 
daß bei einer bestimmten Größenordnung ihrer Abmessungen die 
Abstoßung der Sonnenstrahlung die Gravitationsanziehung der 
Sonne um ein Vielfaches übertreffen kann. Daher spielt der 
Strahlungsdruck neuerdings eine wichtige Rolle, in der kosmischen 
Physik z. B. wird er zur Erklärung des merkwürdigen Phänomens 
der Kometenschweife herangezogen (Arrhenius) 

Natürlich übt die Strahlung auch im Innern eines absor- 
bierenden oder zerstreuenden Körpers Druckkräfte aus; denn auch 
hier muß der Abnahme des elektromagnetischen Impulses eine Zu- 
nahme des mechanischen entsprechen. Z. B. wächst in einem durch- 
strahlten Gase der hydrodynamische Druck in der Strahlrichtung, 
da sein Gefälle dem Strahlungs- 
druck das Gleichgewicht halten 
muß. So klein die dabei auftreten- 
den Druckdifferenzen auch sind, 
konnte sie doch Lebedew 



Fig. 14. 



so 



1909 nachweisen. 

Außer dem Druck üben die 
elektromagnetischen Wellen im 
allgemeinen auch ein Drehmoment 
auf die Körper aus. Ein besonders 
einfaches Beispiel bietet der Fall, 
daß auf eine planparallele, durch- 
sichtige Platte P eine senkrecht 
zur Einfallsebene polarisierte 
Welle unter dem Polarisationswinkel einfällt. Die Welle passiert 
dann beide Grenzflächen ohne Spiegelung; ihr Impuls bleibt nach 
Größe und Richtung erhalten, so daß sie im Mittel keine Kraft 
auf die Platte ausübt. Wohl- aber wird sie, wie der Strahlengang 
in Fig. 14 zeigt, seitwärts um die Strecke 




t = 



d sin (^ — (p) 
cos(p 



verschoben, wenn d die Dicke der Platte, fy der Einfallswinkel 
und qp der Winkel ist, den der Strahl in der Platte mit ihrer 
Normalen bildet. Betrachten wir etwa den Teil der Welle, welcher 
in dem schon oben besprochenen Zylinder von der Grundfläche dö 

Laue, Relativitätsprinzip. ja 



— 146 — 

und der Länge cdt liegt, legen wir ferner die Z- Achse senkrecht 
zur Strahlrichtung in die Einfallsebene, und nennen wir z den 
Wert dieser Koordinate für einen Punkt des Zylinders, so ist 
nach (101) und (XXV) dessen Beitrag zum elektromagnetischen 
Drehimpuls senkrecht zur Einfallsebene 



#|g e |cdtf dtcostl> = - — - #costl> dödt. 

c 

Dieser Betrag verschwindet an der Vorderfläche der Platte in der 
Zeit dt; neu entsteht dafür an der Rückfläche ein ihm gleiches 
zylindrisches Stück der austretenden Welle, in welchem die 
#- Koordinate aber den größeren Wert z -\- 1> hat, und das daher 

den Beitrag 

l@l 

- — [ (* + t)cos^dödt 
c 

liefert. Der elektromagnetische Drehimpuls wächst also pro Zeit- 
einheit um 

' ' = i — L C cos ty da. 
dt c 

Im gleichen Maße, aber im entgegengesetzten Sinne muß sich nach 
dem Satze von der Erhaltung des Drehimpulses der mechanische 
Drehimpuls verändern. Das auf die Platte pro Flächeneinheit 

ausgeübte Drehmoment ist demnach — — | © | £ cos ^ ; es sucht sie 

c 

um eine zur Ein faUs ebene senkrechte Achse in dem in der Figur 
angegebenen Sinne zu drehen. 

Zum Schluß wollen wir den zuerst betrachteten Spiegelungs- 
vorgang auf das auch schon in § 16, b) eingeführte System K 
beziehen, in welchem der Spiegel die Geschwindigkeit q in Rich- 
tung seiner Normalen hat. Da Flächenstücke, welche zur Re- 
lativgeschwindigkeit zweier berechtigten Systeme senkrecht sind, 
beim Übergang von einem zum anderen nicht verändert werden, 
so können wir die auf die Flächeneinheit bezügliche Kraft ^3 W 
und Wärmemenge r wie $ und B nach den Formeln (155 a) 
und (155b) transformieren. Die Bedingung des stationären Zu- 
standes, an welche diese Gleichungen ebenso wie (87 a) gebunden 
sind, werden hier zwar nicht von den Momentan werten des 
Strahlungsdruckes und der Wärme r erfüllt, wohl aber von den 
zeitlichen Mittelwerten, von denen im folgenden allein die Rede 



— 147 — 

sein soll. Wir finden auf die angegebene Art, wenn wir in (156) 
und (157) die Größen r, *ß m % sowie 1©^ und ^ zum Hinweis 
auf das System K° mit dem Index versehen und dann nach 
(108) statt 1©!°! und ^ die auf das System K bezogene Inten- 
sität |©i| und den Einfallswinkel i^ 1 einführen, nach leichten 
Umrechnungen : 

r = r o<LJZi! = I© 1(1 ü) (C + q C0S *** (C C0S *' + q) 

c [ c c 2 — q 2 J 

% = 9Rf = 1®l! (l — U) Sin ^ ^ CQS ^ 1 +g) 

Hier ist angenommen, daß q vom Spiegel in den leeren Raum 
hinein weist. Anderenfalls wäre q durch — q zu ersetzen. Sowohl 
die absorbierte Wärme als der Druck wachsen also bei einer Be- 
wegung des Spiegels dem einfallenden Strahl entgegen; sie nehmen 
im entgegengesetzten Falle ab. 



VTL Dynamik. 

§ 24. Die mechanische Trägheit als Wirkung der Energie. 

a) Zweck und Ausgangspunkt der Betrachtungen. 
Zur Vervollständigung unserer Betrachtungen müssen wir noch 
auf die Mechanik und Thermodynamik eingehen. Einmal näm- 
lich sahen wir, daß die Mechanik der bewegten Körper zur Er- 
klärung des Trouton-Noble sehen Versuches herangezogen 
werden muß, wenn man deren Theorie nicht auf das mitbewegte 
System, sondern auf ein anderes beziehen will; sodann fehlt uns 
noch die Theorie zu den in § 2 besprochenen Versuchen über die 
Dynamik des Elektrons. Endlich aber — und das ist vielleicht 
das Wichtigste — müssen wir noch zeigen, daß die klassische 
Mechanik und Thermodynamik als eine für die Diskussion aller ein- 
schlägigen Erfahrungen ausreichende Annäherung in der Dynamik 

10* 



— 148 — 

der Relativitätstheorie enthalten sind, daß mithin keine dieser 
Beobachtungen mit dem Einst einschen Relativitätsprinzip im 
Widerspruch steht. Die beiden genannten Gebiete, welche bisher 
gänzlich getrennt behandelt werden konnten, müssen hierbei ver- 
einigt werden, weil hier ähnliche Verhältnisse vorliegen wie in 
§ 22, wo die Joulesche Wärme in die elektrodynamische Vierer- 
kraft einging. 

Die Dynamik des Massenpunktes hat zuerst A. Einstein in 
seiner grundlegenden Arbeit (1905) nach der Relativitätstheorie 
behandelt 1 ). Er geht davon aus , daß im jeweils mitbewegten 
System JC°, -also für q = 0, die klassische Mechanik gelten muß. 
und transformiert Gleichung (1) 

m qo = «o 

gemäß (122 a) und (87 a) auf ein beliebiges System K; diese ein- 
fache Rechnung ist schon in § 18 beim Übergange von (128) zu 
(128 a) ausgeführt. Dies Vorgehen hat aber einen Nachteil. 
Wie wir schon in § 17 beim Trouton- Noble sehen Versuch 
sahen, muß der Einfluß der in einem Körper vorhandenen Span- 
nungen untersucht werden. Die klassische Dynamik weiß von 
einem solchen nichts; Gleichung (1) wird nicht anders, wenn wir 
sie auf ein elastisch gespanntes Körperelement anwenden. Man 
erfährt daher nie etwas über den Einfluß der Spannungen, wenn 
man von ihr als einer Näherung ausgeht. 

Sodann aber widerspräche es dem Prinzip, die Zahl der 
Hypothesen auf ein Minimum einzuschränken, wenn wir hier die 
klassische Mechanik als Näherung annehmen wollten. Denn sie 

d® 
enthält nichts als den Impulssatz $ = -— und die Annahme 

dt 

@ = mc\. Den ersteren haben wir schon eingeführt und in 
der Gleichung (XVI) F = — 4ivT vierdimensional formuliert, 
der Impuls aber läßt sich nach dem Satz von der Trägheit der 
Energie auf andere Größen zurückführen. Es muß also mög- 
lich sein, allein auf Gleichung (XVI) die Dynamik zu begründen. 
Da sie auch den Energiesatz , und zwar als für alle berechtigten 
Systeme gültig ausspricht, so entspricht dies Vorgehen durchaus 
der Begründung der klassischen Mechanik auf S. 5 durch das 
Energieprinzip und dessen Invarianz gegen die Galilei -Trans- 
formation. 



— 149 — 

« 

Wir knüpfen also an die Überlegung des § 22 an, wo wir 
zeigten, daß sich die ponderomotorischen Kräfte, gleichgültig, 
welchen Ursprungs, alle der Lorentz- Transformation gegenüber 
gleich verhalten müssen, d. h. daß sich dem Beispiele der elek- 
tronentheoretischen Kraftdichte zufolge die Kraftdichte stets unter 
Hinzunahme der Leistung als zeitartiger Komponente zu einem 
Vierervektor, der Viererkraft, ergänzen läßt. Die letztere muß sich 
aus rein mathematischen Gründen gemäß der Gleichung: 

F= —JivT (XVI) 

auf einen Welttensor T zurückführen lassen, und zwar muß diese 
Gleichung, angewandt auf die zeitliche Komponente, notwendiger- 
weise als Ausdruck des Energieprinzips, angewandt auf die räum- 
lichen Komponenten als Formulierung des Impulssatzes gelten, 
wenn anders wir diese beiden Prinzipien überhaupt beibehalten. 
Das führt dazu, die Komponenten T XX1 T xy usw. als die Kom- 
ponenten eines räumlichen Spannungstensors p, — Tu als die 
Energiedichte und — icT x i usw. als Komponenten der Energie- 
strömung © aufzufassen [(149) und (149 a)] und aus der Defi- 
nition des Welttensors den Satz von der Trägheit der Energie 

g=r@/c2 (XXV) 

abzuleiten. 

b) Impuls und Energie. Soll (XVI) nun auch die Dynamik 
enthalten, so müssen wir die obigen als Welttensorkomponenten 
definierten Größen als Dichte des mechanischen Impulses, als 
mechanische Spannungen usw. deuten, wobei gleich vorwegge- 
nommen werden mag , daß der Tensor p, dessen Komponenten 
T xx usw. sind, mit dem Tensor, den man gewöhnlich als den 
elastischen Spannungstensor bezeichnet, zwar nahe zusammen- 
hängt, aber nicht identisch ist. 

Am wichtigsten ist die Frage, die Dichte welcher Energie- 
arten wir unter W = — Tu verstehen wollen. Die Antwort soll 
sein: aller derjenigen, welche die Bewegung der Materie mit- 
machen, deren Strömung relativ zum Körper Null ist; als da sind 
Wärme*), chemische, elastische Energie, innere Energie der Atome. 



*) Wärmeleitung schließen wir von der Betrachtung aus, die sich 
somit nur auf gleichförmig temperierte Körper bezieht. Anderenfalls 
wäre der Wärmestrom in S mit aufzunehmen. 



— 150 — 

Ausdrücklich auszuschließen sind im allgemeinen elektromagne- 
tische und Gravitationsenergie, da diese innerhalb der Körper 
noch selbständige Bewegung besitzen. In besonderen Fällen 
können diese freilich auch die genannte Bedingung erfüllen und 
dann in W mit berücksichtigt werden ; ihre Strömung ist dann 
auch im Vektor © mit enthalten. 

Im System K°, in dem der Körper in dem zu betrachtenden 
Augenblick ruht, ist demzufolge der mechanische Energiestrom 
©° stets Null. Nach (102) gelten also die folgenden Transfor- 
mationsformeln für den Übergang von K° zu einem System K, 
in welchem die x- Achse parallel zur Geschwindigkeit q = t) des 
Körpers ist: 

qC2 (pfi. + W*) 



©05 = 



c 2 — q 2 



<By = 



qc 



v; 



-0 
Pxy\ 



@ f - 



qc 



Vc 2 — q< 



pxz 



w = 



_c*WQ + q*p xx 



c* 



> . (158) 



Pyy 



Pyyi 



pzz 



pxz 



Pyz 



Py* 



_ c 2 pL+g 2 W<> 

pXX ., o 

c l — q* 



pxy 



c Pxy 



pxz 



Cpxz 



i Hxz I 

c 2 — q 2 y c 2 — q; 

Daß dort zunächst nur von elektromagnetischen Größen die Rede 
war, hat ja auf die Gleichungen (102) keinen Einfluß. Man be- 
stätigt aus ihnen, daß 

©* (1 + Q. 2/ c 2 ) = q ( W + Pxx\ ©y = qpxy, ©* = 4P* 



*xz 



ist, d. h. vektoriell geschrieben (nach A'): 

©+q Öf^= Wq + [qp] .... (158a) 

Das erste Glied rechts zeigt hier den Konvektionsstrom der 
Energie, das zweite die Energiebewegung infolge der Arbeit 
der Spannungen an. Nach dem Satz von der Trägheit der 
Energie (XXV) schließen wir daraus: 

c 2 9 4-q(qg)= Wq-Hqp] .... (XXVI) 



— 151 — 

Führen wir endlich den unsymmetrischen Tensor der relativen 
Spannungen t durch die Definition 

t jk = p jk - mic l.( l6 9) 

(alSO Z. ±5. t X y = pxy — 9* qt/. *y* = Py* — &y q«) ) 

ein, so wird nach v 

(C 2 _ 3 2 )g + q(qg) = "^q + [qt] . . (XXVIa) 

Integrieren wir noch über dem Volumen eines gleichförmig be- 
wegten Körpers, so finden wir: 

( C 2_ 3 2)@ + q ( q ®) = Eq + $[(\t]dV . (XXVIb) 

Durch diese Gleichungen ist der mechanische Impuls 
zurückgeführt auf die Energie, den Spannungszustand 
und die Geschwindigkeit. 

c) Diskussion von (XXVI). Euer zeigt sich nun die 
außerordentliche Tragweite des Satzes von der Träghfit der 
Energie; denn in dem Impuls äußert sich die Trägheit der 
Körper, welche man bisher als eine besondere, auf nichts anderes 
zurückführbare Eigenschaft der Materie ansah. Hier aber er- 
scheint sie als eine Wirkung der Energie, welche in der im 
Strahlungsdruck nachweisbaren Trägheit der elektromagnetischen 
Energie ihr Analogon hat. Doch wollen wir zunächst nur den 
speziellen Fall t xx = t yy = t zz = p, t xy usw. = 0, ins Auge 
fassen, in welchem auf den Körper ein allseitig gleicher Druck 
wirkt. Diese Spezialisierung wird nur von geringem Belang sein. 
Denn erfahrungsgemäß ändert sich der Impuls nicht merklich mit 
den Spannungen, so daß wir schließen müssen, daß bei allen 
ponderablen Körpern der Konvektionsstrom Wq bzw. Ec\ in 
(XXVI), (XXVIa und b) den zweiten Vektor auf der rechten 
Seite weit überwiegt. Dann wird nach (/Li') das Vektorprodukt 
[qr] = o\p, also © parallel q, somit q(q@) = q 2 ® und 

= ±(E + pV) (160) 

Aus der klassischen Mechanik übernehmen wir vorbehaltlich 
genauerer Rechtfertigung, daß man als Maß der Trägheit die 
Masse m des Körpers einführen kann, welche sich durch die 

Gleichung m = Um (ff/fl) (160a) 

q=0 



— 152 — 

definieren läßt (dies ist freilich nicht die einzig dort mögliche 
Definition, wohl aber die einzige, die sich auf die Relativitäts- 
theorie übertragen läßt). Wir finden so aus (160) 

m = — (E° + p°V°) (160b) 

wobei E°, J9°, V° die Werte der betreffenden Größen für q = 
sind. Die Masse ist leicht in absolutem Maß anzugeben, des- 
gleichen p° und 7°; daher gestattet die letzte Gleichung, auch 
die Energie E° absolut zu messen. Doch läßt sich dieser abso- 
lute Wert durch mechanisch - thermodynamische Methoden nicht 
nachprüfen, weil dabei immer eine additive Konstante in der 
Energie unbestimmt bleibt. Daß wir hier über die auf dem 
Energieprinzip beruhende Definition hinauskommen, liegt wesent- 
lich an dem neu eingeführten Satz (XXV). 

Prinzipiell möglich dagegen wäre es, Gleichung (160 b) durch 
Veränderungen des En ergieinhaltes nachzuprüfen. Z. B. muß 
sich danach jede Temperatur Veränderung und die damit ver- 
bundene Wärmeaufnahme oder -abgäbe durch eine Veränderung 
der Masse bemerkbar machen. Infolge der Größenordnung des 
Faktors 1/c 2 = 1,11 . 10 — « 21 cm -2 sec 2 ist diese freilich so minimal, 
daß kaum die Aussicht besteht, jemals die Meßgenauigkeit weit 
genug zu steigern. Ein erheblich stärkerer, freilich auch zurzeit 
noch unmeßbar kleiner Einfluß wäre schon bei der Heranziehung 
chemischer Wärmetönungen zu erwarten. Berechnen wir z. B., 
um wieviel die Masse eines Gemisches aus 1 Mol Wasserstoff 
(2g) und V 2 Mol Sauerstoff (16 g) abnimmt, wenn sie sich bei 
Atmosphärendruck und Zimmertemperatur zu 1 Mol flüssigen 
Wassers vereinigen. Die Wärmeentwickelung beträgt 68 400 cal 
= 2.87. 10 12 [gern 2 sec -2 ], die Abnahme der Masse demnach 
3,2 . 10"~ 9 {g], was gegen die Gesamtmasse der Mischung (18g) ver- 
schwindend klein ist. Beachten wir nun, daß selbst bei Abkühlung 
auf die niedrigsten Temperaturen die spezifischen Wärmen und die 
Wärmetönungen der Größenordnung nach nicht wachsen, so sehen 
wir, daß alle thermisch-chemischen Energieveränderungen , denen 
wir die Körper unterwerfen können, unbeträchtlich sind gegen den 
Vorrat „latenter" Energie, welchen sie auch noch bei 0° absolut 
behalten, und welcher sich in ihrer Trägheit äußert. Da weder 
Bewegungen, noch Umlagerungen der chemischen Atome ihr etwas 



— 153 — 



anhaben können , so muß ihr Sitz im Innern der Atome sein. 
Nähere Vorstellungen können wir uns zurzeit davon noch nicht 
bilden. 

Um so wichtiger ist es, daß neuerdings eine Ellasse von 
Vorgängen entdeckt worden ist, bei welcher diese latente Energie 
unmittelbar zutage tritt. Es ist dies die Zertrümmerung der 
Atome, welche das Wesen der radioaktiven Erscheinungen aus- 
macht. Es ist eine experimentell sicher festgestellte Tatsache, 
daß z. B. beim Zerfall des Radiums andere chemische Elemente, 
unter anderem Helium entstehen, und es steht ebenfalls fest, daß 
in den radioaktiven Stoffen dauernd eine starke Wärmeentwicke- 
lung stattfindet, welche ebenso wie die zur Entsendung der ver- 
schiedenen radioaktiven Strahlen nötige Energie nur aus der 
latenten Energie der zerfallenden Radiumatome stammen kann. 
Die gesamte von einem Grammatom (225 g) pro Stunde entwickelte 
Energie beträgt 30240 Cal = 1,26. 10 l2 [gern 2 sec~ 2 ] (Precht). 
Die Massen Verminderung pro Stunde beträgt also l,41.10~~ 9 g, 
pro Jahr daher 1,2 . 10 -6 [g]. Freilich ist auch diese Massen- 
abnahme zunächst wohl kaum nachweisbar. Erwähnt sei, daß das 
hohe Atomgewicht der radioaktiven Substanzen auf eine besonders 
große latente Energie hinweist. Die hier aus der Trägheit der 
Energie gezogenen Folgerungen finden somit bei den radioaktiven 
Vorgängen eine Bestätigung. 

§ 25. Impuls, Energie und Spannung in ihrer Abhängigkeit 
von der Geschwindigkeit und dem inneren Zustand. 

a) Ableitung der Gleichungen. Die Transformations- 
formeln (158) enthalten in Verbindung mit (XXV) aber noch 
mehr als die Gleichung (XXVI). Wir wollen zunächst den 
Gleichungen für W und © ihre formale Abhängigkeit von der 
speziellen Wahl des Koordinatensystems nehmen. Sie lauten 
dann [wie man auch nach d direkt aus (102a) schließen kann]: 



w = 



9 c" c a 



+ 




V«a — q} 



W° + ^(q[qp°])} 



[qp°] ~ f a (q [W"J) } 



(xxvn) 



— 154 — 

Man bestätigt dies, indem man wieder die obige spezielle Lage 
der Achsenkreuze in K und K° einführt und die auftretenden 
Vektoren nach ihnen in Komponenten zerlegt (vgl. dabei A'). Hier 
sind Energie- und Impulsdichte angegeben als Funktionen der 
Geschwindigkeit und des „inneren" Zustandes des Körpers, d. h. 
des Zustandes bezogen auf das mitbewegte System K°. Sowohl 
TT als der absolute Wert |g| hängen außer von dem ab- 
soluten Wert q nooh von der Richtung der Geschwin- 
digkeit q ab. Von besonderem Interesse ist, daß der Vektor 

{[qp°]-^(q[qp°])} 

die auf q senkrecht stehende Komponente von [qp°] ist (sein ska- 
lares Produkt mit q verschwindet nämlich identisch). Die Impuls - 
dichte setzt sich daher 1. aus einer zur Geschwindigkeit 

parallelen und zu — proportionalen, 2. aus einer 

zur Geschwindigkeit senkrechten und zu — 1 — pro- 

portionalen Komponente zusammen. 

Schließlich können wir aus (158) und (159) noch die Trans- 
formationsformeln für den Tensor der relativen Spannungen her- 
leiten, wobei wir aber die der Formel (XI) entsprechende Wahl 
der Koordinatensysteme beibehalten. Wir finden, da in K° die 
Tensoren p und t miteinander zusammenfallen: 



fxx — Pxxi lyx — t "yxi 



# °_ -0 # _0 # _0 

Ixy ,— Pxyi lyy — Pyyj lyz — Pyz 

\c 2 — q 2 



(161) 



Die vier nicht hingeschriebenen Formeln findet man , indem man 
den Index y durch z ersetzt. 

Der einfachste Fall ist der, daß, bezogen auf K°, ein allseitig 
gleichmäßiger Druck p herrscht; dann ist p% y usw. Null, p% m 
Pyyy piz aDer haben den Wert p. Genau das entsprechende gilt 
aber nach (161) dann auch für t in jedem beliebigen System K. 
Der allseitig gleichmäßige relative Druck 

p =p' = p° (161a) 



— 155 — 

ist somit eine Invariante der Lorentz-Transformation. 
Die Formeln (XXVII) lauten dann, da [qp°] = qp° wird: 



W = 



C 2 ypp _|_ q 2 p o 
c*—q* ' 



S 



c 2 — g 2 



(XXVUa) 



Durch Addition der ersteren dieser Gleichungen und (162) geht 
hervor : 

w +P = -0=T i ( W '+l> ) • • • (XXVHb) 

Schließlich führen wir noch die Integration über einen Körper 
aus, von dem wir annehmen, daß die Geschwindigkeit sowie der 

Druck in ihm räumlich konstant sind. Da dV = dV° \l — q 2 /c 2 
ist, so finden wir dabei: 

c*E° + q2p V 



E = 



E + pV = 
® = 5 



c Vc 2 — q 2 

- — (E°+p°V°), 

y C 2 _ q 2 



Vc 2 ^" 



l {&+p*V) = ±(E+pV) 



(XXVII c) 



Die letzte Gleichung ist mit (160) identisch. 

Im allgemeinen tritt nach (XXVII) an die Stelle dieser 
Gleichungen : 



+ J 2 {[<\^P dV0]-±(^ t jp0dV0])} 



c\c* 



> (XXVII d) 



\ p°dV° ist dabei wie p° ein symmetrischer Tensor, [q, j p°d V°] 
das Vektorprodukt aus ihm und der Geschwindigkeit q. 

b) Diskussion. Hier bedeutet der Index zunächst, daß die 
betreffende Größe auf das System zu beziehen ist, in welchem der 
Körper in dem betreffenden Augenblicke ruht. Wir wollen aber 
vorläufig annehmen, daß sein innerer Zustand bei einer Geschwin- 
digkeitsänderung unverändert bleibt, d. h. daß man ihm weder 



— 156 — 

Wärme zuführt, Doch den Druck ändert. Dann spielt zwar bei 

einer beschleunigten Bewegung in jedem Augenblick ein anderes 

System die Rolle des Systems üf°, aber die mit dem Index 

versehenen Größen bleiben konstant. Die Gleichungen (XXVII c 

und d) geben also bei einem adiabatischen, isopieis tischen Vorgang 

unmittelbar die Abhängigkeit der Energie und des Impulses 

von der Geschwindigkeit an. Man braucht besonders den Wert 

d® 
von @ nur in S = -rr- einzusetzen, um die Dynamik dieser 

dt 

Vorgänge vollständig zu beherrschen, wie wir es im übernächsten 
Paragraphen weiter ausführen wollen. Es sei jedoch ausdrück- 
lich auf den wesentlichen Unterschied zwischen den Glei- 
chungen (XXVII), (XXVII a und b) einerseits, (XXVII c und d) 
andererseits aufmerksam gemacht. Die ersteren gelten gemäß 
ihrer Ableitung streng*) und ausnahmslos für jede Bewegung; 
die letztere aber nur, insofern die Geschwindigkeit im Körper als 
konstant betrachtet werden kann. Genau genommen ist sie dies 
bei einer beschleunigten Bewegung niemals; denn anderenfalls hätte 
der Körper vor und nach der Beschleunigung dieselbe Form; 
während wir doch wissen, daß diese sich der Loren tz -Kontraktion 
entsprechend ändert. Infolgedessen sind die Gleichungen (XXVII c 
und d) nur Näherungen für Vorgänge, bei welchen die Beschleu- 
nigung so geriDg ist, daß die räumliche Veränderlichkeit der Ge- 
schwindigkeit vernachlässigt werden kann. Man bezeichnet solche 
Vorgänge, bei denen der innere Zustand des Körpers noch derselbe 
wie bei stationärer Bewegung ist, passend als „quasistationäre". 
Dieser Begriff entspricht durchaus dem in § 17, e) für bewegte 
Ladungsträger eingeführten. 

Wir lassen nun die Voraussetzung des konstanten inneren 
Zustandes wieder fallen und führen dem Körper bei konstanter 
Geschwindigkeit pro Zeiteinheit die Wärmemenge jß°, bezogen auf 
das mitbewegte System, zu, verändern auch zugleich den Druck 
p°. Die Funktion E° -\- p° V° ändert sich dabei um 



*) D. h. so streng wie die Gleichung (IX a) der Elektronentheorie. 
Immerhin ist es wenig wahrscheinlich, daß eine etwa notwendig 
werdende Änderung der letzteren etwas an der Transformation der 
Kraftdichte, d. h. an der Möglichkeit, sie zur Yiererkraft zu ergänzen, 
ändert. 



— 157 — 

dt» K ^* ) dt» ^* dt» ^ dt» 
Nach dem Energieprinzip, angewandt im System K», ist aber: 

dE» , dV» 

also ist nach (XXVIIc), (149c), (153a), (22) und (24): 

d® = d® cW = q / ffn ■ yn dp»\dt» 

dt dt» dt c V C 2 — ö 2 \ dt») 






Nach dem Impulssatz ist eine Impulszunahme nur möglich, wenn 
eine Kraft $ wirkt, 

d® = _^_( R +v dp\ _ ^ 

<^ C 2_ 2 2 v ^ <**/ v ; 

Die in § 22 gefundene Tatsache, daß bei Wärme- 
zufuhr zur Aufrechterhaltung der Geschwindigkeit eine 
Kraft notwendig ist, findet ihre Erklärung somit in der 
Trägheit der Energie 2 ). 

c) Vergleich mit der klassischen Mechanik. Im Unter- 
schied zur klassischen Mechanik ist der Impuls keine lineare 
Funktion der Geschwindigkeit; dies ist er nach (XXVIIc) aber 
angenähert, solange q 2 gegen c 2 vernachlässigt werden kann. Des- 
halb dürfen wir die den Grenzfall q = benutzende Definition 
(160 a) der Masse hier übernehmen. Diese Feststellung ist natür- 
lich schon deshalb nicht auf den besonderen Fall allseitig gleichen 
Druckes beschränkt, weil der Einfluß der Spannungen auf die 
Trägheit für den empirischen Nachweis überhaupt zu klein ist 
und die klassische Mechanik deshalb völlig von ihm absieht. 
Mechanische und astronomische Beobachtungen vermöchten dem- 
nach dann erst zwischen dem Ein stein sehen Relativitätsprinzip 
und der klassischen Mechanik zu entscheiden, wenn ihre Genauig- 
keit zum Nachweis von Gliedern mit dem Faktor q 2 /c 2 ausreichte. 
Diese Bedingung ist in keinem einzigen Falle erfüllt. Aus der 
empirischen Gültigkeit der klassischen Mechanik läßt 
sich somit kein Einwand gegen die Relativitätstheorie 
herleiten. 



— 158 — 

Im engen Zusammenhang damit steht, daß die Abhängigkeit 
der Energie von der Geschwindigkeit ein anderes ist. Bisher 
trat als Folge der Bewegung die kinetische Energie 1 / 2 mq 2 
additiv zu der sonstigen hinzu. Auch dies ist hier nur als 

Näherung richtig. Entwickeln wir nämlich in (XXVII c) -== 

nach steigenden Potenzen von q 2 /c 2 f so finden wir unter Vernach- 
lässigung von p°v° [vgl. auch (160 b)]: 

E= E° + */ 2 q*/c*E° H = E° + 7 a m£ a -| 

Die kinetische Energie verliert daher ihre Bedeutung 
als besondere Energieart, und dies ist auch notwendig; denn 
führt man die Trägheit auf Energie zurück, so darf man nicht 
umgekehrt einen Teil der Energie auf Trägheit begründen. Nähert 
sich die Geschwindigkeit q der Lichtgeschwindigkeit c, so wachsen 
W und E ins Unendliche. Man kann deshalb durch keinen end- 
lichen Energieaufwand jemals einen Körper bis zur Lichtgeschwin- 
digkeit beschleunigen. Hierin liegt die mechanische Erklärung 
dafür, daß die Lichtgeschwindigkeit die unerreichbare obere 
Grenze für alle Körpergeschwindigkeiten ist. 

§ 26. Die Bedeutung der dynamischen Viererkraft F 
und die absoluten und relativen Spannungen. 

Wir haben den Impulssatz schon in § 15 und § 25 in der 

Form * - d@ 

angewandt, dabei aber stets an Körper gedacht, bei welchen die 
mechanischen Spannungen keinen Beitrag an $ liefern. Wir 
müssen uns jetzt überlegen, wie sich die notwendige Verallge- 
meinerung nach der Grundgleichung (XVI) F = — divT ergibt. 
Wenden wir diese auf die räumlichen Komponenten an, so 
finden wir zunächst analog zu (95 a): 

8 = — btop-g (163) 

also z. B. : 

%x = — bto* p — g*. 

Nach o' können wir dies aber umformen in: 



— 159 — 

, c ($ x (\x) , <Kg*%) cKg*q^) __ . 

Nach (159) ist also: 

g = — brt)*— | (163a) 

Durch Integration über einen endlichen Teil eines bewegten 
Körpers folgt daraus nach £: 



$ 



= fgdF= [t n dö — d -jj .... (163b) 



Bei einem rein elektromagnetischen Vorgang (z. B. bei eiuem 
Vorgang im Vakuum) ist nun die elektromagnetische Kraftdichte 
5e stets Null; die elektromagnetische Spannungskraft — biöp 
und die elektromagnetische Trägheitskraft — g e heben sich dabei 
auf. Ebenso haben wir die in (163) durch die Komponenten 
F X1 F yy F a der dynamischen Viererkraft F definierte dynamische 
Kraftdichte g bei einem rein dynamischen Vorgang Null zu 
setzen; die mechanische Spannkraft — btöp wird dabei durch die 
mechanische Trägheitskraft — g gerade kompensiert. Wir können 
die Gleichung g = 0, oder, da sie für alle berechtigten Systeme 
gelten soll, die daraus folgende Beziehung 

F= —JivT =0 (XXVIII) 

als die Grundgleichung für alle rein dynamischen Vor- 
gänge bezeichnen. In Übereinstimmung damit steht, daß der 
Energiesatz nach (XXVIII) lautet: 

icFi = div(&+ W— (164) 

Die aus (163a und b) mit % = folgenden Gleichungen 

j = — btof, ^=it n d6 . • • -(165) 

zeigen, daß die auf die materielle Fläche dö von den 
Spannungen ausgeübte Kraft sich aus dem unsymmetri- 
schen Tensor t der relativen Spannungen berechnet. 
Gleichung (163) (mit g = Ö) entspricht der Eulerschen, (165) 



— 160 — 

der Lagrange sehen Form der hydrodynamischen Grundglei- 
chungen. Im Falle, daß die Impulsdicht© g in die Richtung der 
Geschwindigkeit q fällt, wird auch der Tensor t symmetrisch; 
denn dann ist [vgl. (155)] z. B.: 

txy — tyx = %y<\x — (Mir = frö!* = °' 

Nach (161) tritt dieser Fall nur dann ein, wenn p% y und p% ver- 
schwinden , wobei x die Richtung der Geschwindigkeit q ist. Für 
kleine Werte von q/c ist aber in allen Fällen t xy — t yx usw. Ton 
der Größenordnung q 2 c 2 [ebenfalls nach (161)]; in Überein- 
stimmung damit läßt sich aus (XX VII) folgern, daß das Vektor- 
produkt [qg] klein von der zweiten Ordnung ist. Abgesehen von 
solchen Größen gelten demnach die Verhältnisse der klassischen 
Mechanik, in denen der Tensor der relativen Spannungen (von 
den absoluten ist dort überhaupt nie die Rede) symmetrisch ist. 
Bei Vorgängen, die nicht rein dynamisch sind, sondern bei 
denen auch noch elektromagnetische, Gravitation s- oder sonstige 
noch unbekannte Kräfte mitspielen, tritt an die Stelle von (165): 

^j = [t n d0 + Z'St (165a) 

wo in 27 über die genannten Kräfte zu summieren ist. Nach 
(163 b) können wir dies umschreiben iu 2J & = 0, wenn in 27 fi 
auch noch die dynamische Kraft aufgenommen wird. Daher ist 
die Gleichung £% = 0, oder vierdimensional geschrieben 

£F= — Jiv(ET) = . . . (XXVHIa) 

die allgemeinste Formulierung des Energie- und Impuls- 
satzes. Der Energiesatz lautet nämlich danach: 

£ W+div(i:(S) =■ 0, 
der Impulssatz: 

2Jg + bto(27p) = 0. .... .(165b) 

Hier bietet sich nun auch Gelegenheit, die wichtige, in § 24 
durch Transformation gewonnene Beziehung (XXVI) noch einmal 
auf eine andere Art zu beweisen. Die auf ein materielles Flächen- 
stück dö wirkende Kraft ist i n d<5\ ihre Leistung ist daher (qt„)dö\ 
Nach dem Energieprinzip muß bei einem rein dynamischen Vor- 
gange die Zunahme der Energie im Körper 

dE f, . s, 
_=j(qt.)^ 



— 161 — 

sein. Wenden wir diese Gleichung auf das Element dV an, so 
ist nach q, q' und 0: 

^ =WdV= (W+div(W<j))dV, 

f (qt„)c7tf = -dit;{[qfl — [q [qg]]}dF, 
also: 

W = -<Kt>{lTq + [qt]-[q[qg]]}. 

Der Vektor, dessen Divergenz rechts steht, muß aber der Energie- 
strom © sein. Daraus folgt nach d in Übereinstimmung mit 
(XXVI a): 

C 2g = © = TFq + [q*] — [q[qfl]] = ^q + [q*] — q(qg) + g<Z*. 
Ferner ist nach (165 a) der gesamte Drehimpuls 

Z8 = 2;f[tg]dS 

jedes nach außen abgeschlossenen Systems zeitlich unveränderlich ; 
denn es folgt daraus: 

iL 278 = z[ [rg] dS = — S f [r,bto p]<ZS = + f 2? [rfc] drf. 

In dem letzten Integral ist über die gesamte Oberfläche zu inte- 
grieren; an dieser muß aber, wenn das System abgeschlossen 

sein soll, jedes p n verschwinden; also ist in der Tat -7- = 0. 

0> % 

Wenden wir dies auf das Universum an, so müssen wir annehmen, 

daß bei unendlich großen Entfernungen die ß n mindestens wie 

1/JR 3 abnehmen. 

Eine Invariante der Lorentz-Transformation ist nach § 13 
die Summe der Diagonalkomponenten des Tensors T, 

T X X + Tyy + Tgg + Tu. 

Deuten wir diese Invariante mechanisch, so wird sie [vgl. auch 
(159)]: 

pxx+pyy + pMM— W= tzx + tyy + t„ — (W—(c\$)). 

Herrscht ein allseitig gleicher Druck, so ist t xx -f- tyy + tm = 3 p 
nach (161a) eine und (W — (qfl) eine zweite Invariante. 

Laue, Belativitatsprinzip. jj 



— 162 — 

§ 27. Beispiele für die quasistationäre, adiabatische, 

isopieistische Dynamik* 

a) Der Massenpunkt. Wir wollen in diesem Paragraphen 
von Körpern reden, die durch eine Kraft $ bei konstantem 
inneren Zustande (E°, p°, V°) beschleunigt werden. Wir setzen 
zunächst voraus, daß sie unter einem allseitig gleichförmigen 
(relativen) Druck p stehen. Dann ist in (165 a) 

[tnxdti = jp icosnxdö = 0, 

r d® 

also auch der Vektor \t n dö = 0, somit Ä = -r—: für den Im- 

J dt 

puls ® können wir den Wert aus (XXVII c) einsetzen. Die diesen 

Gleichungen zugrunde liegende Bedingung räumlich konstanter 

Geschwindigkeit ist bei gleichen Beschleunigungen offenbar um 

so genauer erfüllt, je kleiner der Körper ist. Wendet man sie 

an, so behandelt man ihn daher als Massen p unkt; für einen 

solchen müßte das Folgende streng gelten. 

Die auf ® bezügliche Gleichung unter (XXVII c) hat die 

Form: 

® = <\tm (166) 

wobei 

f(a 2 ) = -77?^= (167) 

c yc 2 — g 2 



ist. Zunächst machen wir aber von dieser Kenntnis über die 
Funktion f(q 2 ) keinen Gebrauch, sondern folgern aus (166), da 

dq* 
dt 



= Tt( ( * + ti + ti)' 



ist: 

Ä = ^ = q/-(ä 2 ) + 2q(qq)r(ä 2 ) • • • (168) 

f ist die Derivierte von /*. 

Wir zerlegen nun Kraft und Beschleunigung in drei zuein- 
ander senkrechte Komponenten. Die ersten, Äi und ty, sollen in 
die Richtung der Geschwindigkeit fallen, die zweiten, $e und cj«, 



— 163 — 



in die durch Geschwindigkeit und Kraft bestimmte Ebene, wäh- 
rend die dritten, $ a und q s , senkrecht auf dieser stehen. & 8 ist 
natürlich 0. Die Anwendung von (168) auf diese Komponenten 
liefert dann die Gleichungen: 



fti 



A=^/X Ä «) = q,-£ f q, = 



(168 a) 



Nennt man den Proportionalitätsfaktor zwischen den zur Ge- 
schwindigkeit parallelen Komponenten von Kraft und Beschleu- 
nigung die longitudinale, den entsprechenden Faktor für die 
dazu senkrechten Komponenten die transversale Masse (w?j 
und m*), so findet man aus (168 a): 

dG G (169) 



m\ = 



dq 



a 

rm = — 



Im vorliegenden Falle nach (167) somit: 

c(E°+p°V°) E°-\-p°V<> 

m\ = o — » m t = — , 

2 



Vc2 



Vc 2 — q 



(169 a) 



Die Beschleunigung liegt also in derselben Ebene, wie die Ge- 
schwindigkeit und die Kraft, hat aber keineswegs die Richtung 
der letzteren, sondern liegt näher als sie an der Normalen auf 
der Geschwindigkeit, da 



* 



c* 





> 





q t c 2 — q 2 

ist. Im Grenzfall q = werden beide Massen zur Buhmasse 

1 



m = - (E* + p°V°) . . 



(169 b) 



in Übereinstimmung mit (160 b). Das Energieprinzip findet man 
aus (168) durch skalare Multiplikation mit q. Nämlich im all- 
gemeinen 

(qfl) = (qq)[f(a s ) + 2 3 V , (2 2 )] 

und in dem vorliegenden Falte nach (167) und (XXVII c), da p 
konstant ist: 

11* 



— 164 — 

dV 



(q«) = f C(q ^ . (Eo+pOVo) = ^ + p 



Vc 2 — q* 



dt " dt ' ( 170 > 

dV 



(qÄ) ist die Leistung der Kraft $ bei der Beschleunigung, — p 

die Leistung des Druckes p bei der gleichzeitig stattfindenden 
Kompression. (170) stimmt daher in der Tat mit dem Energie- 
satz überein. 

b) Die Dynamik einer elektrisch geladenen Kugel« 
Ein Körper habe bei Ruhe Kugelgestalt; seine elektrische Ladung e 
8 ei gleichmäßig über die Oberfläche verteilt. Wir bezeichnen den 
Eadius mit a, mit ® und E den mechanischen Impuls und die 
Energie, mit Ä die auf sie wirkende nichtmechanische Kraft, ab- 
gesehen von der Eigenkraft Ä e , welchen ihr eigenes elektromagne- 
tisches Feld auf sie ausübt. 

Außer dieser Kraft Ä e übt aber das Feld einen gleichför- 
migen Zug (negativen Druck) aus, den wir am einfachsten be- 
rechnen, wenn wir das mit der Kugel bewegte System K° be- 
nutzen. 

Nach der Definition der quasistationären Vorgänge können 
wir nämlich die Bestimmungsstücke des inneren Zustandes unter 
der Annahme berechnen, daß die Kugel in K° dauernd ruht. 
Dann aber ist ihr Feld rein elektrostatisch, im Innern von der 
Stärke Null, während nach außen die Kraftlinien senkrecht von 
der Oberfläche ausgehen. Die Oberfläche erfährt infolgedessen 
einen Zug nach außen, der pro Flächeneinheit gleich 1 / 2 E 02 ist*); 

j(S°| aber ist gleich der Flächendichte Q a = 2 * Dieser Zug 

muß aufgehoben werden durch einen (negativen) Druck im Innern 
der Kugel**) vom Betrage 

° * 

denn es ist V° = ^ a», El = ^— (vgl. § 17 d). 

6 8 7C d 



*) In Bichtung einer Kraftlinie im leeren Baum herrscht nach 
(X) nämlich ein Zug, senkrecht dazu ein Druck vom Betrage V 2 @*. 

**) Dieser Schluß ist zwar nicht zwingend, weil der Spannungs- 
tensor p° durch die Oberflächenkräfte nicht eindeutig bestimmt ist. Diese 
Unbestimmtheit hat aber keinen Einfluß auf das Ergebnis , wie die 
Betrachtung unter d) zeigt. 



— 165 — 
Der Impulssatz ergibt: 

d® 



dt 



= « + «. -. (172) 



Nun haben wir aber in § 18 [Gleichung (128 b)] gesehen, daß bei 
quasistationärer Beschleunigung die Kraft 

_ d® e 

Äe_ dt 

ist, wobei nach (113) 

«, = !/» Ei 
3 c\c 2 — q 2 

den elektromagnetischen Impuls des Feldes bedeutet. Demnach 
können wir (172) ersetzen durch die Beziehung: 

« = £(© + ©.) (172a) 

dt 

Dabei ist analog zu (166) 

® + ®e = (\f(q 2 ), 

wenn man 

E*+p V -\-*/*E e 



f(a*) = 



Vc 2 — q} 



C VC 



setzt. Die Dynamik der geladenen Kugel ist somit völlig iden- 
tisch mit der des Massenpunktes, nur daß an die Stelle von 
(E° + p° F°) der Ausdruck 

E* + p*7* + */ 9 E2 = E° + E% . . . . (173) 

[nach (171)] tritt. So ist nach Analogie von (169 a) die longi- 
tudinale und die transversale Masse 

_ e(E* + Ej) E ° + Et ..... 

mi = — ■ g-, mt = — . • • • (174) 

y c »_ ä a 3 ci*—& 

ferner die Buhmasse 

« = £(*. + *•) =£(*. + jL). • (174a) 



— 166 — 
Der Energiesatz lautet nach Analogie zu (170): 



(q®) = ^$- ( E o + E«) (175) 

y C 2 _ q 2 



Nach (XXVII c) und (171) ist aber: 



und nach (113): 



also 



■ü = ■ (175a) 

Jb e / J^e » 

c y c 2 — ^2 

JE + E e = - ] =l=(Eo + JE}), 

y c 2 — g* 

somit wird aus (175): 

Ü®) = -^(E + E e ) (175b) 

wie es sein muß, da die Arbeit (q$) teils die mechanische, teils 
die elektromagnetische Energie steigert. 

Als elektrisch geladene Kugel fassen viele zurzeit das Elek- 
tron auf 3 ). Wir finden so (freilich unter der Einschränkung auf 
Oberflächenladung, was aber nicht wesentlich ist) diejenige Ab- 
hängigkeit der beiden Massen von der Geschwindigkeit, welche 
den Versuchen von Bucherer und Hupka (§ 2) entspricht. 
Auch bei der Dynamik des Elektrons steht die Relati- 
vitätstheorie in Übereinstimmung mit dem Experiment; 
doch mag nochmals darauf hingewiesen werden, daß das letztere 
wohl noch nicht ganz einwandfrei ausgeführt worden ist. 

Man geht zurzeit in den Annahmen über das Wesen der 
Elektronen aber noch weiter, indem man ihre Trägheit als rein 
elektromagnetisch auffaßt, d. h. den mechanischen Impuls ® 
gleich Null setzt. Dies bedeutet nach (XXVII c) und (171), 

daß man 

Eo = —poyo = i/ 3 E° e 

und die Ruhmasse nach (174 a) 

m — 4-«Ee = g 6 \ (1741)) 

3 c 2 6nc 2 a ' 



— 167 — 

setzt. Man maß also auch dann neben der elektromagnetischen 
Energie eine andersartige vom Betrage 

6 c 

[vgl. (175a)] einführen (Abraham). Aus den experimentell be- 
stimmbaren Werten des Elementarquantums e und des Verhältnisses 
e:m*) findet man nach (174 b), daß der Radius des Elektrons von 
der Größenordnung 10 —18 cm sein muß. Ein zwingender Grund 
zu jener Annahme liegt aber weder in der Dynamik des Elektrons 
noch in sonstigen Versuchen. Gibt man der nicht elektrischen 
Energie JE einen größeren Wert, so findet man nach (174 a) auch 
etwas größeres für den Radius a. Es liegt dieser Hypothese nur 
das Streben zugrunde, einem Dinge, dessen träge Masse 1600 mal 
kleiner ist, als die des leichtesten chemischen Atoms, auch eine 
Trägheit von ganz anderer Art zuzuschreiben, als der Materie. 
Im übrigen liegen unsere Kenntnisse über die Elektronen noch so 
in den Anfängen, daß ein abschließendes Urteil auf diesem Gebiete 
nicht möglich ist. — Die Stellung der Elektronentheorie zu diesen 
Fragen war eine wesentlich andere. Sie hatte keine Wahl, son- 
dern mußte dem Elektron rein elektromagnetische Masse zu- 
schreiben, um die Abhängigkeit der Masse von der Geschwindig- 
keit zu erklären. Darin, daß die Relativitätstheorie hier noch 
viele Möglichkeiten [vgl. d)] offen läßt, liegt vielleicht ein Vorzug 
gegenüber jener. 

c) Körper mit beliebigen Spannungen. Wesentlich ver- 
wickelter liegen die Verhältnisse bei einem beliebigen Spannungs- 
zustande. Nach (XXVII) liegen bei ihm die Impulsdichte g und 
deshalb im allgemeinen auch der Gesamtimpuls @ nicht in der 
Richtung der Geschwindigkeit. Was das für eme s Folge für 
die gleichförmige Bewegung hat, können wir aus § 17, c) ent- 
nehmen. Dort wurde ein statisches elektromagnetisches Feld 



*) e/m ergibt sich aus der Ablenkbarkeit der Elektronenstrahlen 
im elektrischen oder magnetischen Felde; das Elementarquantum e 
ist neuerdings auf viele verschiedene Arten in vortrefflicher Überein- 
stimmung zu 4,65 . 10— io V4 n gefunden worden, unter anderem so, 
daß man die elektrochemisch bestimmte Ladung des Grammatoms 
eines einwertigen Elektrolyten durch die Zahl der Atome im Gramm- 
atom dividiert. 



— 168 — 

gleichförmig verschoben, der elektromagnetische Drehimpnls £ 
änderte sich pro Zeiteinheit um [q®J [Gleichung (111)], hier 
ändert sich daher, wie man an der Hand der dortigen Rechnung 
Schritt für Schritt nachprüfen kann, der mechanische Drehimpuls 
um [q®]. Jede Veränderung des Drehimpulses muß aber durch 
ein Drehmoment hervorgerufen sein. Im allgemeinen bedarf 
es also zur translatorischen Bewegung eines Körpers 
eines Drehmomentes [q®]. Der Begriff der Masse verliert 
damit jede Bedeutung. Man wird sogleich vermuten , und Ab- 
schnitt d) dieses Paragraphen wird bestätigen, daß beim Tr out on - 
Noble sehen Versuch das Drehmoment der elektromagnetischen 
Kräfte gerade dem hier errechneten gleich ist 4 ). 

Völlig analog dazu ist das Drehmoment, welches in § 21 die 
planparallele Platte beim Durchgange des Lichtes erleidet. In 
beiden Fällen wird der Impuls ® seitlich verschoben, und da- 
durch der Drehimpuls verändert. 

Bei einer quasistationären Beschleunigung muß im allge- 
meinen die Kraft auch dann eine transversale (zur Geschwindig- 
keit senkrechte) Komponente haben, wenn die Beschleunigung 
longitudinal ist; denn die transversale Komponente des Impulses® 
[welche nach (XXVII d) zu q/c 2 proportional ist] ändert sich 
dabei ebenso wie die longitudinale. 

Hier zeigt sich nun auch, aus welchem Grunde der Tensor t 
den elastischen Spannungen unsymmetrisch ist. Nach einer be- 
kannten Betrachtung der Elastizitätslehre ist (t X y — t vx )dV die 
l-Komponente des Drehmoments, welches die Spannungen auf 
das parallelepipedische Volumelement d V des gespannten Körpers 
ausüben. In der klassischen Dynamik muß dies Null, daher t 
symmetrisch sein. In der Relativitätstheorie aber bedarf es der 
Aufrechterhaltung der Geschwindigkeit dieses Volumelementes 
eines Drehmomentes [qg]^F. Infolgedessen muß 

txy — tyx = [qg]# = q*9y <\y%x 

sein, was mit (159) übereinstimmt. 

d) Vollständiges statisches System. Alles dies ver- 
einfacht sich bedeutend, sobald man die Dynamik eines vollstän- 
digen statischen Systems behandelt. Wir verstehen darunter ein 
solches, welches, für sich allein betrachtet, in einem berechtigten 
Bezugssystem K° im statischen Gleichgewicht ist, z.B. ein elektro- 



— 169 — 

statisches Feld mit Einschluß aller Ladungsträger. In jedem 
anderen System K, in welchem es eine gleichförmige Bewegung 
besitzt , macht , - wenn diese Bedingung erfüllt ist , die gesamte 
Energie, auch die etwa vorhandene elektromagnetische Energie 
(und die der Gravitation) diese mit. Infolgedessen können wir 
alle bisherigen Betrachtungen, von denen die genannten Energie- 
arten zunächst ausgeschlossen waren, hier auf die Gesamtenergie 
anwenden. 

Wir betrachten zunächt den Zustand dauernder Ruhe im 
Bezugssystem K°. Da in ihm keine Energieströmung stattfindet, 
so ist auch die Impulsdichte g überall dauernd Null. Und daraus 
folgt nach (163) und (XXVIII), daß für jeden Querschnitt (gleich- 
gültig ob eben oder nicht) des Systems 

jpüdtf = (176) 

sein muß. Ergänzen wir ihn nämlich durch eine ganz außerhalb 
des vollständigen Systems verlaufende Fläche zu einer geschlossenen 
Fläche, so können wir für das eingeschlossene Volumen nach 
(165b) schließen: 

der Anteil jener Ergänzung am Oberflächenintegral verschwindet 
aber nach Voraussetzung allein für sich. 

Wählen wir den Querschnitt als Ebene x° = const (die 
#°-Richtung ist dabei ganz willkürlich), so finden wir aus (176) 
und v': 

JpSrf dy«dz» = ^pSfirfdyOdz = 

Jp2* dy«dz« = jpbtftdyodt» = 

usw. Multiplizieren wir diese Gleichungen mit dx°, und inte- 
grieren wir dann über das ganze Volumen V° des vollständigen 
Systems, so folgt: 

oder da das Entsprechende für alle anderen Komponenten des 
Tensors p° gilt: 

jp<>dF _ (176a) 



— 170 — 

Für ein vollständiges statisches System gehen somit die Glei- 
chungen (XXVIId) über in: 



E = , C E\ 

© = — -9- — e° 

c Vc 2 — g 2 



.(176 b) 



•• _____ _____ 

Ihre Übereinstimmung mit (XXVII c) (wenn man dort den Druck 
p° = setzt) beweist: Jedes vollständige statische System 
verhält sich bei quasistatiojiärer Beschleunigung wie 
ein Massenpunkt. 

Auch das Elektron mit seinem Feld ist ein System der ge- 
nannten Art; daher lehrt dies Ergebnis: Man kann aus Ver- 
suchen über quasistationäre Beschleunigungen des 
Elektrons niemals einen Bückschluß ziehen auf seine 
Gestalt und Ladungsverteilung sowie über den Anteil 
des elektromagnetischen Impulses am Gesamtimpuls. 
Über seine Dimensionen läßt sich nur das folgern, daß sie nicht 
kleiner als 10 — 18 cm sein können; denn anderenfalls wäre die 
elektrostatische Energie E$ und die Buhmasse m = l/c 2 . E° 
größer, als sich mit den Beobachtungen verträgt. (Im letzten 
Satz ist allerdings angenommen, daß die Maxwellsche Theorie 
auch in den kleinsten Bäumen streng richtig ist und daß die 
nichtelektromagnetische Masse nie negativ werden kann; ob diese 
Annahme zutrifft, mag dahingestellt bleiben.) 

Ferner ergibt sich z.B., daß die Korpuskeln der a-Strahlung 
des Badiums denselben dynamischen Gesetzen gehorchen, wie 
die Elektronen. Da es sich bei ihnen zweifellos um materielle 
(Helium?) Atome handelt, wäre eine experimentelle Entscheidung 
zwischen der klassischen Mechanik und der Belativitätstheorie 
an ihnen besonders wichtig. Vorläufig dürften dem freilich un- 
überwindliche Schwierigkeiten entgegenstehen. Hoffen wir, daß 
der rastlos fortschreitenden Experimentierkunst auch hier bald 
der Erfolg glückt. 

Ein vollständiges statisches System ist ferner der Kondensator 
des Trouton-Nobleschen Versuches mit seinem Feld. Gleichung 
(176b) zeigt, daß der gesamte Impuls stets in die Bichtung der 
Geschwindigkeit fällt, so daß die Änderung des gesamten Dreh- 
impulses [q, ® -|~ ® J verschwindet. 



— 171 — 

§ 28. Thermodynamik. 

a) Transformation der Entropie. Um nun auch noch 
die Thermodynamik dem Relativitätsprinzip anzupassen, müssen 
wir vor allem untersuchen, wie sich ihr wichtigster quantitativer 
Begriff , die Entropie , zur Lorentz- Transform ation verhält. Ob- 
wohl schlechthin jedem physikalischen System eine bestimmte 
Entropie zukommt, beschränken wir uns hier im allgemeinen 
auf Gleichgewichtszustände. Auch bei Zustandsänderungen soll 
sich jeder durchlaufene Zustand nur äußerst wenig von einem 
Gleichgewicht unterscheiden, so daß die Veränderung umkehrbar 
vor sich geht. Wir beschränken uns ferner auf rein translato- 
rische Bewegung und auf den Fall, daß der Spannungszustand 
ein allseitig gleicher Druck p ist. Ein Körper hat dann fünf 
Bestimmungsstücke; nämlich drei therm odynamis che , den abso- 
luten Wert der Geschwindigkeit und etwa Volumen und Tempe- 
ratur, und außerdem zwei die Richtung der Geschwindigkeit 
bestimmende Winkel. An Stelle des absoluten Wertes der Ge- 
schwindigkeit und der Richtungswinkel führt man natürlich besser 
ihre drei Komponenten ein. 

Den zweiten Hauptsatz, daß die Entropie aller an einem 
Prozeß beteiligten Systeme nur zunehmen kann, setzten wir dem 
Relativitätsprinzip zufolge als für alle berechtigten Bezugssysteme 
gültig an. In jedem berechtigten Bezugssystem K gilt somit der 
Schluß, daß in einem abgeschlossenen physikalischen System ein 
umkehrbarer Vorgang die Entropie unverändert läßt. Wir denken 
uns nun einen Körper, aus dem Zustand 1, in welchem er im 
System K ruht und die Entropie S Y hat, adiabatisch-isopieistisch 
in den Zustand 2 gebracht, in welchem er die Geschwindigkeit q 
und die Entropie S 2 besitzt. Diese Beschleunigung ist zweifellos 
umkehrbar, so daß die gesamte Entropie des beschleunigten und 
des ihn beschleunigenden Körpers konstant bleibt. Stellen wir 
uns den letzteren ruhend vor, so wissen wir aus der klassischen 
Thermodynamik (die wir auf ruhende Körper unbedenklich an- 
wenden können), daß seine Entropie durch die Leistung der Be- 
schleunigungsarbeit nicht verändert wird, daher gilt dasselbe für 
die des beschleunigten Körpers, d. h. es ist S a = Sj« Der letztere 
gerät nun bei dem beschriebenen Vorgang in den Ruhezustand, 
bezogen auf ein System K\ welches die Geschwindigkeit t> = q 



— 172 — 

gegen K hat, und zwar ist der Zustand 2 bezogen auf K' genau 
derselbe, wie der Zustand 1 bezogen auf K, da der innere Zustand 
bei einer adiabatisch - isopieistischen Beschleunigung konstant 
bleibt. Also ist S'2 = Sx =» ßf 2 , und da wir als Zustand 2 
schlechthin jeden wählen können, so gilt: 

* 

S= S' (XIX) 

Die Entropie ist eine Invariante der Lorentz-Transfor- 
mation (Planck). 

Der angegebene Beweis bezog sich zunächst nur auf Gleich- 
gewichtszustände. Die allgemeinste Definition der Entropie be- 
ruht aber auf ihrem Zusammenhange mit der Wahrscheinlichkeit 
(Boltzmann), wobei die letztere durch die Zahl aller derjenigen 
Komplexionen bestimmt ist, welche einen und denselben thermo- 
dynamischen Zustand ergeben. Daß deren Abzahlung für ver- 
schiedene berechtigte Systeme zu verschiedenen Resultaten führt, 
ist schon deshalb ausgeschlossen,, weil es sich dabei, genau ge- 
nommen, stets um ganze Zahlen handelt — nur wird durch die 
Benutzung von Näherungswerten diese Tatsache verdunkelt — und 
weil andererseits jede von der Relativgeschwindigkeit zweier 
Systeme abhängige physikalische Größe eine stetige Funktion 
davon sein muß. Der Satz von der Invarianz der Entropie muß 
also allgemein gelten *). 

b) Transformation der Temperatur. Die Tempe- 
ratur T definiert man bekanntlich durch die Festsetzung, daß 
bei einer umkehrbaren Zuführung der unendlich kleinen Wärme- 
menge Q 

dS = Q/T (177) 

sein soll. Wir übernehmen sie aus der klassischen Thermodynamik 
nicht nur für ruhende Körper, d. h. bezogen auf das mit der 
Materie bewegte System K° f sondern ganz allgemein. Nun haben 
wir schon in § 22, Gleichung (153 a) abgeleitet, daß sich die pro 
Zeiteinheit erzeugte Wärmemenge E nach der Formel 

R/Ro = 1 — g 2 /c 2 



*) Wendet man ihn auf ein Strahlenbündel an, so findet man 
(wohl auf dem kürzesten Wege) das Wien sehe Verschiebungsgesetz. 



— 173 — 

umrechnet; die während eines infinitesimal kurzen Vorganges zu- 
geführte ist aber Q = R dt, somit ist, da nach (22) 



dt = dt : Vi — q*/c* , 



Q Rdt _ Vc 2 — q* 

Q° ~~ R° dt c 

Setzt man aber 

dS = dS« = f = g, 
so findet man aus (178): 



(178) 



_T _ Vc 2 — g 2 
T« ~ c "' 

so daß die Transformationsformel für die Temperatur 
lautet: 

-7== = v - = _.... (XXX) 

Vc 2 — q* Vc 2 — 2 /2 « 

Die Temperatur transformiert sich also wie das Volumen, sie 
ändert sich daher auch wie das letztere in demselben Bezugs- 
system, wenn man den Körper adiabatisch und bei konstantem 
Druck aus der Ruhe heraus beschleunigt, d. h. sie sinkt dabei 
auf das yi — q 2 ,c 2 fache der Anfangstemperatur. Dies sehr para- 
doxe Ergebnis hängt auf das engste mit der in Gleichung (178) 
implizite steckenden Trägheit der Energie zusammen. 

c) Bestätigung von (XXX). Um dies zu veranschaulichen, 
denken wir uns den folgenden Kreisprozeß bei konstantem Druck 
ausgeführt. Ein beliebiger Körper befinde sich im Zustand a in 
Buhe auf der Temperatur 2\. Wir führen ihm aus einem ruhenden 
Wärmebehälter isotherm die Wärmemenge Qj zu, wodurch er in 
den Zustand b kommt. Dann beschleunigen wir ihn adiabatisch 
auf die Geschwindigkeit q (Zustande); die Temperatur wird dabei 
T 2 . Sodann führen wir ihm aus einem mitbewegten Wärme- 
bebälter isotherm die (negative) Wärmemenge Q a zu (Zustand d), 
welche so bemessen ist, daß er zuletzt bei adiabatischer Vermin- 
derung der Geschwindigkeit bis zum Werte Null gerade wieder 
in den Zustand a gerät. 

War im Zustand a seine Energie E a und sein Volumen V a , 
so ist es im Zustand b nach dem Energieprinzip: 



— 174 — 

E b +pV b = E a +pV a + Q 1 (179) 

im Zustand c ist nach (XXVII c), da E b -\-pV b an die Stelle von 
E° + p V° tritt, 

Ee+pV = - r JL=(E b +pV h )- • • • (180) 

yc* — $ l 

so daß zur Beschleunigung die Arbeitsleistung 

A x = {Ec +pV c ) — (E b + pV b ) 



Ä «, + ,n)(i-^3) 



(180 a) 



aufzuwenden ist. Bei der isothermen und isopieistischen Zu- 
führung der Wärmemenge Q 2 wächst aber, da die Geschwindig- 
keit konstant gehalten wird, wegen der Trägheit der Energie 
zugleich der Impuls, so daß nach (162) eine Kraft $ auf ihn 
ausgeübt und somit eine Arbeit geleistet werden muß, deren Be- 
trag gleich 

d d 

^ = J(qÄ)d< = ^ i jiJd« = ^ i Q a - • (181) 

C . C 

ist. Infolgedessen ist im Zustand d 



E d +pV d = E c + pV c +Q 2 + A 2 ) 
= E c +pV c +— ^— Q % 



. . . (181a) 



Endlich ist bei der adiabatischen Verminderung der Geschwindig- 
keit analog zu (180 a) die (negative) Arbeitsleistung 



A* = (E d +pV ä )( j* g2 -l) • • • . 



(181b) 



erforderlich. 

Nach dem ersten Hauptsatz muß die Summe der zugeführten 
Wärme- und Arbeitsquanten 

<h + Q» + A i . + A, + A, = 
sein. Nach (180a), (181a) und (181b) ist aber 



— 175 — 



A, + A 2 + A a = (l^— «!— l) ((E d +pr ä ) — (E e + p V c )) 



+ ^ft = (s^-0*- 



Daher 



Q 2 = - <?i J — ^ • 

Nach dem zweiten Hauptsatz ist für jeden Kreisprozeß \dS = 0, 
da der Körper in seinen Anfangszustand zurückkehrt. Also nach 

(177) 2J -£ = 0. Auf den vorliegenden Fall angewandt, zeigt 

dies, daß 

2\ ^ T a 
somit 



*, = t x y 



c 2 



1 



ist. T 2 ist aber die Temperatur, welche der Körper von der 
Anfangstemperatur T x bei adiabatisch-isopieistischer Beschleuni- 
gung auf die Geschwindigkeit q (bei der Überführung vom Zu- 
stand h in den Zustand c) annimmt. Wir bestätigen somit, daß 
die Temperatur bei einem solchen Vorgange im Verhältnis 

Ö 2 

1 : 1 sinkt. Weil infolge der Trägheit der Energie die beim 

c 

beschriebenen Kreisprozeß vom Körper geleistete Arbeit — (Ai 
+ A2 + A 3 ) nicht Null ist, sondern (Q 1 > vorausgesetzt) 
einen positiven, durch Wärmezufuhr gedeckten Betrag hat, muß 
nach dem zweiten Hauptsatz die Abgabe der Wärme — Q 2 bei 
niedrigerer Temperatur erfolgen als die Aufnahme von Qj. 

Es sei hier noch ausdrücklich darauf hingewiesen, daß die 
Transformationsformel (XXX) im Gegensatz zu (XXIX) nur für 
thermodynamische Gleichgewichtszustände gilt. Für einen Vor- 
gang, der davon so weit abweicht wie ein Wärmestrahlenbündel, 
gilt ein ganz anderes Gesetz (v. Mo sengeil). 

d) Das dynamische Potential H. Ein zwar abgeleiteter, 
aber dennoch sehr wichtiger thermodynamischer Begriff ist die 



— 176 — 

freie Energie, welche wir für einen ruhenden Körper mit .F be- 
zeichnen wollen. Bekanntlich ist 

F° = E — T<>S Q (182) 

Führt man als unabhängige Veränderliche das Volumen 7° und 
die Temperatur T° ein, so gilt: 

dF^ = dEo_ dßo_ dF^^dE^_ 8So 

Andererseits ist 

dS rö — • 

also 

dj^ = ±/dE^ \ dS^_J L cE^ 

Daraus folgt dann: 

dF° dF° 

wr = -»°> JT* = - S • • • - (183a) 

Betrachten wir nun für einen bewegten Körper die Funktion : 



H= VL t.E\ H° = —F° • • • (184) 

c 

Ist hier F° als Funktion von V° und T° gegeben, so ist H als 
Funktion von q, F, T bestimmt, da sich aus F, T und q 

c c 

V° = V 7/ : , T° = T 



Vc 2 — q* 1 i& — q* 

berechnen läßt. Und zwar findet man nach (184), (182), (183a), 
(161a) und (XXIX), da 

/8Fo\ = _g_y (dF\ __i_ T0 
\ dq Jv c*-q* ' \dqJ T c* - q* 

ist, durch leichte Umrechnung die folgenden Differentialgleichungen: 



dH\ _ \c* — q* dH»/dV°\_ dF° _ _ 



( _ 

(d_H\ _ Vc» - g' 8fl° /8T°\ _ dF^_ 
\dT) q , T ~ c dT \6Tj q dT° 



— 177 — 



\oq/T,v 



c\7^tf e IdV» \ dq )y + dT» \ dq ) T X 



(.po + jo £04.^070) 



c y^ 2 — q* 



|/c 2 — 



r2 



(E° +p°V°) 1 



Endlich ist 



/dH\ 



= (lä\ *! = ( 

r,v \dq /T t vd(\ x \ 



dH\ ^ 



\dc\x/T t v \dq/ Tt vd<\ x \dqjT,v q 
also schließen wir nach (XXVII c) auf die Gleichungen: 



(w) ff r = *' (HL =S ' 



(|*T\ = © x usw. (185) 

wo die Indizes die konstant zu haltenden Variablen angehen. 

- d® 
Der Impulssatz $ = -r- ergibt somit, angewandt auf die drei 



dt 



Koordinatenrichtungen : 

1 = ÄW *|Y^?\ 1 = «,' 



ri r/8 H\ 
dt\\dq x J Tt 



dtlidtJ^}-®' 



(186) 



Formen wir schließlich den Ausdruck 



dq* 



aq. 



8qj 



dT 



nach (182), (184), (185), (XXIX), (XXX) und (XXVII c) um, so 
finden wir für ihn den Wert: 

(q®)+TS — H 



Vc 2 — q 
also ist nach (XXVII c): 

Laue, Relativitätaprinzip. 



= -7- - (e* + ■- p° F«\ 



12 



— 178 — 

dH dH dH dH 

*'d^ + *'df v +, t'df. + T 'öT- H - E ■ * (18/) 

aas dieser Gleichung bestimmt sich die Energie E, sobald man 
die Funktion H kennt. Wir nennen H das dynamische 
Potential. 

e) Isotherm-isochore Dynamik. Als wir in § 28 
den Wert (XXVII c) für ® mit konstanten E°,p , V° in die Impuls- 

gleichung * = d # einsetzten, erhielten wir die Grundgleichung 

CL t 

der adiabatisch - isopieistischen Mechanik. Bestimmen wir hier 
nach (184) H aus der freien Energie F°, so ergeben die Glei- 
chungen (186), indem man auch bei der Zeitdifferentiation F, T 
konstant Hält, die Grundlagen der isotherm -isochoren Dynamik. 
Während dort aber die Natur des Körpers nicht weiter in Be- 
tracht kam und wir z. B. für die transversale und longitudinale 
Masse universelle Funktionen der Geschwindigkeit fanden, ist hier 
die Dynamik wesentlich durch die für den Körper charakteristische 
freie Energie F° bedingt. Denn, wie schon die obige Rechnung 
zeigte, sind bei konstantem V und T, V° und T° und damit auch 
F° Funktionen der Geschwindigkeit. Bei kleinen Geschwindig- 
keiten macht sich diese Abhängigkeit allerdings nur in Größen 
zweiter Ordnung geltend [vgl. (25) und (XXX)]; vernachlässigt 
man daher q 2 /c 2 gegen 1, so wird die isotherm-isochore mit der 
adiabatisch-isopieistischen Dynamik und beide mit der klassischen 
Mechanik identisch. — Außer den beiden genannten Arten der 
Dynamik kann man natürlich auch noch andere, z.B.. eine iso- 
therm - isopieistische aufstellen, indem man bei der Zeitdifferen- 
tiation in (186) T und p als konstant ansieht. 

f) Das Prinzip der kleinsten Wirkung. Zugleich sind 
die Beziehungen (185) die notwendigen und hinreichenden Be- 
dingungen dafür, daß das Prinzip der kleinsten Wirkung 

2 

$(ÖH + A)dt= (188) 

i 

gilt, wie es H. v. Helmholtz formuliert hat, auf dessen ein- 
schlägige Arbeiten wir hier verweisen müssen 1 ). A ist dabei der 
unendlich kleine Zuwachs, welchen die Energie bei der Variation 



— 179 — 

einer der Koordinaten erfährt, mag er nun als äußere Arbeit oder 
in Form von Wärme erfolgen. Die Funktion 

Ä(q« q» q« V, T) 

vereinigt für bewegte Körper die Rollen des kinetischen Potentials 
im Hamilton sehen Prinzip der klassischen Mechanik und der 
freien Energie. Weil aber die Energie sich in der klassischen 
Dynamik additiv aus innerer und kinetischer Energie zusammen- 
setzte, so zerfiel H bei Helmholtz auch in zwei Summanden, von 
denen der eine, von q unabhängige, die freie Energie, der andere, 
durch V und T unbeeinflußte, das kinetische Potential der 
Mechanik war. So blieb die Vereinigung ohne weitere Folgen; 
erst in der Relativitätstheorie, in welche Planck ihn eingeführt 
hat, wird dieser Helmholtz sehe Gedanke fruchtbar 2 ). Besonders 
verdient hervorgehoben zu werden, daß nach (25) sowie (184) 

Hat = H°dt» 
ist. Die Wirkungsgröße 

2 



$Hdt 



i 

ist daher eine Invariante der Lorentz-Transform ation. 
Man sieht an den Entwickelungen dieses Paragraphen, be- 
sonders an den Gleichungen (188) in Verbindung mit (184), daß 
der Einfluß der Bewegung der Körper auf die thermodynami sehen 
Vorgänge nur von der zweiten Ordnung ist, er liegt damit weit 
unter der Grenze der erreichbaren Meßgenauigkeit. Entfällt daher 
einerseits jede Möglichkeit zu einer thermodynamischen Prüfung 
der Relativitätstheorie, so steht doch andererseits die empirische 
Gültigkeit der klassischen Thermodynamik nicht im Widerspruch 
zu ihr. 

§ 29. Die Dynamik der Hohlraumstrahlung. 

Die Anwendbarkeit der im letzten Paragraphen abgeleiteten 
Formeln scheitert an der für die Körper meist recht unvoll- 
ständigen Kenntnis der freien Energie F°. Um so interessanter 
ist es, daß es ein nicht- materielles physikalisches System gibt, 
welches, wenn auch noch nicht verwirklicht, so doch zweifellos 
naturgesetzlich möglich ist, und dessen Verhalten wir mit aller 

12* 



— 180 — 

Vollständigkeit und Strenge angeben können. Es ist dies die 
Hohlraum Strahlung, wie sie sich nach dem Kirchhoff sehen Ge- 
setz mit der Zeit in jedem von gleichmäßig temperierten Wänden 
umschlossenen Hohlraum einstellt, die sich aber auch, wenn sie 
sich einmal eingestellt hat, in einem von vollkommen spiegelnden 
Wänden umgebenen Baume erhält. Unter diesen Umständen 
wollen wir sie jetzt betrachten, wobei wir als Bezugssystem zu- 
nächst dasjenige System K° wählen, in welchem die Wände ruhen. 
Doch lassen wir vorläufig den Index fort. 

a) Die Hohlraumstrahlung in der Buhe. Die Besonder- 
heit der Hohlraumstrahlung unter allen elektromagnetischen Vor- 
gängen besteht darin, daß es bei ihr weder ausgezeichnete Punkte 
noch Richtungen gibt. Dies ist natürlich nicht möglich, solange 
wir die momentanen Zustände betrachten; denn dann spielen 
wie bei jedem elektromagnetischen Vorgang die Richtungen der 
beiden Feldstärken eine besondere Bolle. Wohl aber gilt es für 
die Mittelwerte aller Größen, wenn wir diese über Zeiten bilden, 
welche gegen die Schwingungsperiode sehr groß sind. Es findet 
z. B. im Mittel keine Energieströmung statt, denn anderenfalls 
wäre ja deren Bichtung ausgezeichnet. Dasselbe gilt von den 
Mittelwerten der Maxwell sehen Spannungen, auch diese dürfen 
keine Richtungen besonders hervorheben, was nur dann der Fall 
ist, wenn im Mittel 

Pye = Pix = pxy = 0, p xx = p yy = p gg = p . (189) 

ist, d. h. wenn ein allseitig gleicher Druck p herrscht. 

Dessen Größe läßt sich nun leicht angeben. Wie aus (X) 
hervorgeht, gilt für die Momentanwerte die Gleichung: 

Pxx + pyy + pzz = W\ 

bei der Mittelwertbildung muß diese bestehen bleiben. Mit Rück- 
sicht auf (189) muß daher für den Mittelwert p gelten: 

p = \W (189 a) 

Man kann diesen Druck übrigens auch als Ergebnis des Strah- 
lungsdruckes aller die Wand treffenden Strahlenbündel auffassen 
und berechnen. 

Die Hohlraumstrahlung besitzt wie alle Wärmestrahlung 
auch Entropie und Temperatur; da sie einen Gleichgewichts- 



— 181 — 

zustand darstellt, berechnet sich die erstere wie bei einem im 
Gleichgewichte befindlichen Körper nach der Differentialgleichung : 

äE+ P dV 

Wir wollen aus dieser mit Hilfe von (189 a) S und E als Funk- 
tionen der Temperatur und des Volumens bestimmen. .Wegen der 
Gleichwertigkeit aller Punkte sind beide Größen einfach zu V 

E 
proportional, so daß die Energiedichte W = •=■ eine Funktion der 

Temperatur allein ist. Schreiben wir die letzte Gleichung in die 
Form: 



dS = ±(v^dT+(W + p)dV) 



F^dT + f WdV 



(189 b) 



dW 
dT 
so sieht man, daß 

dS^_V_dW dS _ 4 W 
dT~ T dT' dV~~~~ 3 T 

ist. Berechnet man aus jeder dieser Beziehungen , so 

findet man: 

8 2 S __ 1 dW _ 4 /dW W\ 

dVdT~ T dT ~ 3T\dT T / ' 
also 

dW_ W 

dT ~ T 

Dies ist eine Differentialgleichung zur Bestimmung der Funktion W 
von T. Aus ihrer Integration folgt: 

W=aT*, E = aT*V (190) 

wobei a die Integrationskonstante bedeutet ; und setzt man diesen 
Wert in (189b) ein, so findet man durch abermalige Integration: 

8 = \aT*V (191) 

Die additive Integrationskonstante haben wir hierbei fortgelassen, 
weil nach (190) mit der absoluten Temperatur auch die Energie, 
d. h. die Strahlung überhaupt verschwindet. Die freie Energie ist 

F= E— TS= — \ aT<V (191a) 



— 182 — 



Gleichung (190) spricht das Stef an-Boltzmannsche Gesetz 
ans. Die Eonstante a ist nach Yalentiner 

7,148 . 10- 16 [g cm" 1 sec~ a grad~ 4 ]. 

b) Die Hohlraumstrahlung in gleichförmiger Be- 
wegung. Nun betrachten wir die Hohlraumstrahlung in gleich- 
förmiger Bewegung, legen also unseren Erörterungen ein anderes 
berechtigtes System zugrunde und zeichnen die bisherigen, auf 
das mitbewegte System K° bezogenen Größen F, T, S usw. durch 
den Index aus. Dabei bleiben zwar nicht mehr alle Richtungen, 
wohl aber noch alle Punkte gleichwertig, da ja die Koordinaten 
selbst in die Transformationsformeln für die physikalischen Größen 
nicht eingehen. Die mittlere Energie der Strahlung macht also 
in diesem Falle, obwohl sie elektromagnetische Energie ist, die 
Bewegung mit, so daß wir alle unsere Betrachtungen auf sie 
anwenden können. 

Aus (184) und (191) folgt für das dynamische Potential [vgl. 
auch (25) und (XXX)]: 



r2 



c Sc 



a c A 



T*V 



3 ( c a_ g*y 
also nach (185) und (187): 



(192) 



— ( dH \ — ?£l H 

*~\\dv) q%T — 3 (c>- 

s = {dr\ v = 



a 2 ) 

T*V 



2» 



2) 



E 



3 ( C 2 __ g%) 
ä dq^ dT 3 (c*-q*f 



\0<\x/V y T 



4 ac 4 



q 



X 



3 (c 2 — q 2 f 
oder vektoriell geschrieben: 
4ac 4 q 



T*F, 



© = 



T*F, 



(193) 



3 (c2 — q*f 

Duroh diese Gleichungen ist die quasistationäre Dynamik der 
Hohlraumstrahlung vollkommen bestimmt. 



— 183 — 

c) Isotherm-isochore Dynamik. Wir wollen als Beispiel 
dafür die isotherm - isochore Beschleunigung untersuchen. Der 
Impuls ist hier wie in (166) als Funktion der Geschwindigkeit 
von der Form (\f(q 2 ). Daher können wir die Formel (169) für 
die longitudinale und transversale Masse anwenden: 

m ~ q ~ 3 (c2— q *)°' 

Die Abhängigkeit beider Massen von der Geschwindigkeit ist somit 
eine ganz andere wie bei der adiabatisch-isopieistischen Dynamik 
(169 a). Nur im Grenzfalle q = verschwindet der Unterschied 
zwischen beiden Arten der Beschleunigung , denn dann ist nach 
(189 a) und (190) in Übereinstimmung mit (160b) und (169b) 
die Ruhmasse 

tn = |^ TT» = 1(^0 + p o F o } . 
Ferner ist nach (193): 



( : 



d_S\ _ 16 ae* (qq) . 

dt) T ,v 3 V-g a ) 3 ' 



vergrößert die Beschleunigung die Geschwindigkeit, ist also 
(qq) > 0, so ist auch -=— > 0, und es muß eine Wärmemenge 

U/t 

zugeleitet werden, die pro Zeiteinheit den Betrag 

hat. Um die Tendenz zur Temperaturerniedrigung zu 
überwinden, die nach § 29 mit der Geschwindigkeits- 
vergrößerung verbunden ist, muß bei der isotherm- 
isochoren Beschleunigung Wärme zugeführt werden. 
Die gesamte bei einer Beschleunigung von der Buhe bis zur 
Geschwindigkeit q_ notwendige Wärme ist: 

Q=\Bdt= T(s q — s ) = ^r T * v - 



= Rdt = 



3 ( C 2 _ q 2f 

Der Druck steigt mit der Geschwindigkeit, da 







— 184 — 
dp\ 4ac 4 (qq) 

im Vorzeichen mit (qq) übereinstimmt. 

Ebenso leicht kann man nach (193) die adiabatisch- isochore 
und die isotherm-isopieistische Dynamik aufstellen. Man hat nur 
q, S, V bzw. g, T, p als unabhängige Variable einzuführen. 
Qualitativ lassen sich diese Ergebnisse auf beliebige Körper über- 
tragen. 

d) Historische Bemerkungen. Die Gleichungen (193) 
enthalten in gewisser Beziehung auch eine Eontrolle unserer Be- 
trachtungen. Die in ihnen enthaltene Dynamik der Hohlraum- 
strahlung läßt sich nämlich, wie der zu früh verstorbene E. von 
Mosengeil in seiner Dissertation gezeigt hat, aus der Elektro- 
dynamik des Vakuums auch ohne explizite Benutzung des Rela- 
tivitätsprinzips ableiten. Diese Arbeit spielt deswegen eine Rolle 
in der Geschichte der Wissenschaft, weil Planck zur Begründung 
der hier vorgetragenen Dynamik der bewegten Eörper einen 
dynamisch völlig bekannten Probekörper brauchte; er konnte auf 
Grund der Mosengeilschen Dissertation dazu die Hohlraum- 
strahlung benutzen. 

§ 30. Rückblicke und Ausblicke. 

Um die Annahmen, welche in diesem Buche zugrunde gelegt 
sind, klar hervortreten zu lassen, werfen wir noch einen Rück- 
blick auf sie. Wir haben in § 6 zunächst das Relativitätsprinzip 
an die Spitze gestellt, welches die Gleichwertigkeit einer dreifach 
unendlichen Schar von Bezugssystemen für alle Naturgesetze aus- 
spricht. Aus einem hinreichend bekannten Naturgesetz (dem der 
Lichtfortpflanzung im leeren Räume) leiteten wir dann die Lorentz- 
Transformation ab, welche den Übergang von einem berechtigten 
System zu allen anderen ermöglicht und zugleich die Ein st ein sehe 
Kinematik enthält (§ 7). In § 14 konnten wir dann beweisen, 
daß die (über das Gesetz der Lichtfortpflanzung hinausgehende) 
Elektrodynamik des Vakuums durch die Lorentz -Transformation 
in sich selbst überführt wird. In § 15 traten als neue Annahmen 
die Sätze von der Erhaltung der Energie und des Impulses hinzu, 
eng verknüpft in Gleichung (XVI): 

F = —JivT. 



— 185 — 

In Minkowskis Elektrodynamik der bewegten Körper wurde 
sodann die Max well sehe Theorie für ruhende Körper zugrunde 
gelegt; nur unwesentlich im Ansatz der ponderomotorischen Kraft 
entsprechend der Überlegung modifiziert, daß alle Kräfte sich 
gegen die Lorentz -Transformation gleich verhalten müssen, und 
daß daher dem Energiestrom auch ein elektromagnetischer Impuls 
zugeordnet sein muß. Auf derselben Grundlage ließ sich auch 
die Dynamik der bewegten Körper aufbauen, doch enthielt der 
Verzicht auf gewisse an sich mögliche Zusätze bei der Deutung 
der Komponenten des Welttensors T als Energiestrom, Impuls- 
dichte usw. eine neue Hypothese, deren physikalische Bedeutung 

® 
in dem Satz von der Trägheit der Energie g = — zutage trat, 

i/ 

welche unter anderem die vollständige Zurückführung der 
mechanischen Trägheit auf die Energie und die Spannungen er- 
möglicht. In den beiden letzten Paragraphen haben wir schließ- 
lich noch den zweiten Hauptsatz hinzugezogen. Als physikalische 
Grundlage der Eelativitätstheorie können wir hiermit bezeichnen: 
das Ein st ein sehe Relativitätsprinzip, die Sätze von der Erhal- 
tung der Energie und des Impulses, das Entropieprinzip, die 
Maxwell sehe Elektrodynamik, sowie jene Deutung der Trägheit. 
Sodann mag auf das durch die historische Entwickelung 
nahegelegte Mißverständnis hingewiesen werden, die Eelativitäts- 
theorie stände der Elektrodynamik näher als etwa der Mechanik. 
Wenn die Lorentz- Transformation aus der Betrachtung eines 
elektromagnetischen Vorganges abgeleitet wird, so geschieht dies 
allein aus dem Grunde, daß wir zunächst mechanische Natur- 
gesetze nicht mit der erforderlichen Genauigkeit kennen, sonst 
könnten wir genau so gut ein solches dazu benutzen. Auch daß 
die Elektrizitäts menge im Gegensatz zur Masse die wichtige Rolle 
einer Invarianten dieser Transformation spielt, weist keineswegs 
auf einen solchen Zusammenhang hin. Denkbar wären Theorien, 
die dem Relativitätsprinzip genügen und bei denen die Elektri- 
zitätsmenge keine solche Invariante ist; sie brauchte dazu nur 
in einem und demselben berechtigten System keine durch Be- 
wegung unveränderliche Größe zu sein. Tatsächlich steht das 
Relativitätsprinzip in demselben Sinne über allen Gebieten der 
Physik, wie etwa das Energieprinzip, und beansprucht ebenso 
wie dies, bei allen physikalischen Theorien ein Kriterium für 



— 186 — 

deren Zulässigkeit zu enthalten. Der einzige, zufällige Unter- 
schied zwischen den beiden genannten Gebieten ist der, daß wir 
in der Elektrodynamik infolge der außerordentlich gesteigerten 
Genauigkeit der Meßmethoden diesen Nachweis führen können, in 
der Mechanik aber nicht. 

Eng damit verknüpft ist der Irrtum, daß das gemeinsame 
Verhalten aller Kräfte gegen die L o r e n t z - Transformation auf 
einen gemeinsamen Ursprung von ihnen hinwiese, daß sich etwa 
alle auf elektrodynamische Kräfte zurückführen ließen. Die 
Frage, ob so etwas möglich ist, steht gänzlich außerhalb unserer 
Betrachtungen. Jene Gemeinsamkeit sagt nichts anderes aus, als 
daß das Relativitätsprinzip in allen Gebieten der Physik gilt; 
und dies müssen wir annehmen, wenn dies Prinzip mehr sein soll, 
als eine manchmal nützliche Rechnungsregel. Mehr daraus zu 
folgern , wäre so voreilig , als wenn man etwa aus der Allgemein- 
gültigkeit des Energieprinzips schließen wollte, daß alle Natur- 
vorgänge in letzter Linie mechanische sind. Überhaupt scheint 
die Vereinigung der beiden noch getrennten Gebiete der theore- 
tischen Physik — Elektrodynamik und Mechanik — nicht durch 
Unterordnung des einen unter das andere erreichbar zu sein, 
sondern durch gleichmäßige Unterordnung beider unter höhere 
Gesetze. Daß wir hier nicht nur das Relativitätsprinzip auf beide 
anwenden, sondern auch die Begriffe Kraft, Impuls, Spannung, 
Energiedichte und -Strömung in universelle Beziehungen zuein- 
ander setzen konnten, mag immerhin als ein Schritt in dieser 
Richtung betrachtet werden. 

Die Trägheit haben wir auf Energie zugeführt. Erfahrungs- 
gemäß sind mit ihr auf das engste die Gravitationswirkungen 
der Körper verknüpft, und damit kommen wir auf eine lange 
Reihe ganz unbeantwortbarer Fragen. Gewiß ist: Gilt das 
Relativitätsprinzip, so pflanzen sich die Gravitationswirkungen im 
leeren Raum mit der Lichtgeschwindigkeit c fort. Es gibt dann 
ferner im Gravitationsfeld eine bestimmte Energiedichte und 
einen Energiestrom, sowie einen Gravitationsimpuls und eben- 
solche Spannungen. Endlich kann das New ton sehe Attraktions- 
gesetz, welches unter anderem der Geschwindigkeit der Körper 
jeden Einfluß auf die Attraktion abspricht, keinenfalls mehr als 
eine Näherung für gegen c kleine Geschwindigkeiten, eine „Gra- 
vitationsstatik", enthalten. Wie aber werden sich die Energie- 



— 187 — 

und Impulsdichte aus den Feldgrößen bestimmen? Welcher Art 
werden diese Feldgrößen überhaupt sein? Wird man bei einer 
strengen Fassung des Gravitationsgesetzes den Begriff der pon- 
derablen Masse beibehalten können, da doch die träge Masse 
als ein sehr sekundärer und nur in besonderen Fällen anwend- 
barer Begriff erkannt ist (§ 27)? Sodann ist die Trägheit keines- 
wegs mehr eine Eigenschaft der Materie allein. Jeder Lichtstrahl 
besitzt Impuls. Beeinflußt er auch das Gravitationsfeld? Gehen 
etwa gar von dem Gravitationsimpuls selbst wieder Gravitations- 
wirkungen aus? Das alles kann zurzeit niemand beantworten, 
und gerade der sonst so segensreiche Umstand, daß das Newton- 
sehe Gesetz den Astronomen völlig ausreicht, setzt die Hoffnung 
auf eine Beantwortung in absehbarer Zeit auf ein Minimum herab. 
Die an sich sehr interessanten und scharfsinnigen Versuche von 
Poincare 1 ), Minkowski 2 ), Sommerfeld 3 ), das Attraktions- 
gesetz nach elektromagnetischen Analogien in einer dem Rela- 
tivitätsprinzip gehorchenden Art zu verallgemeinern, entbehren 
leider jeder Möglichkeit eines Vergleiches mit der Erfahrung. 

Da so außerordentlich viele Größen, denen zunächst eine ab- 
solute Bedeutung zuzukommen scheint, in der Relativitätstheorie 
diese abstreifen müssen, so wollen wir hier noch einmal die wich- 
tigsten Invarianten der L o r e n t z - Transformation zusammen- 
stellen. Von Raum - Zeitgrößen ist dies zunächst das ITdSdtf, 

genommen über einen bestimmten Weltbereich, von physikalischen 

Größen sind es die Elektrizitätsmenge, die Entropie und dieWir- 
a 

kungsgröße \ Hdt, ferner der Ausdruck 
1 

t xx +tyy + t„ — (TT— (qg)), 

daneben auch, was aber von weniger allgemeiner Bedeutung ist, 
der allseitig gleiche, relative Druck p. 

Stellen wir zum Schluß die Frage: Wie sicher ist die Rela- 
tivitätstheorie begründet? So tiefgreifende Änderungen sie uns 
auch am physikalischen Weltbild vorzunehmen zwingt, logische 
Unmöglichkeiten enthält sie nirgends. Alle Paradoxien, auf 
die man gelegentlich gestoßen ist, haben sich stets bei näherer 
Betrachtung einwandfrei aufklären lassen, und man kann wohl 



— 188 — 

bestimmt voraussagen, daß dies auch in Zukunft stets möglieb 
sein wird. Was ibre Übereinstimmung mit der Erfahrung an- 
betrifft, so können wir sagen, daß ihr zurzeit keine einzige Beob- 
achtung widerspricht, dagegen eine immerhin beträchtliche Zahl 
von Erfahrungen sie bestätigt, darunter auch solche, die den 
älteren Theorien unerklärlich waren. Immerhin scheint manchen 
ihr empirischer Beweis noch nicht hinreichend erbracht, und 
jedenfalls sind weitere Prüfungen außerordentlich wünschenswert. 
Was diese ergeben werden, muß die Zukunft lehren. Wie aber 
das Ergebnis sein mag, ein Verdienst kann die Ein stein sehe 
Relativitätstheorie auf jeden Fall beanspruchen, daß sie nämlich 
die einzig mögliche konsequente Durchführung der einen Ant- 
wort auf die Relativitätsfrage bildet, die da behauptet: „Es gibt 
kein ausgezeichnetes Bezugssystem für die Naturgesetze, viel- 
mehr eine dreifach unendlich Schar gegeneinander gleichförmig 
bewegter, völlig gleichberechtigter Systeme". Wird sie in einem 
einzigen wesentlichen Punkte endgültig widerlegt, so ist eben 
dieser ihr Grundsatz falsch und der entgegengesetzte richtig. 
Jedenfalls aber führt die Relativitätstheorie zur endgültigen Ent- 
scheidung über diese unvergleichlich wichtige physikalische Frage. 



Anhang. 

a) Geometrische Bezeichnungen. 

Das Koordinatensystem x f y, z ist stets rechtwinkelig und 
bildet ein Rechtssystem. Die Zeit nennen wir t\ benutzen aber 
an ihrer Stelle oft die Größen u = et oder l = ict , wobei c die 
Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum, i = y — 1 ist. Ein Linien- 
element bezeichnen wir mit ds, ein Flächenelement mit d(f, ein 
Raumelement mit dS; die Normale von dö ist n. Das Volumen 
eines Körpers nennen wir F, das Element davon, welches für die 
Lorentz-Transformation vom Raumelement dS zu unterscheiden 
ist, sonst aber manchmal mit ihm vertauscht werden kann, dV. 
Den Winkel zwischen zwei beliebigen Richtungen s und s' machen 
wir durch das Zeichen (ss') kenntlich. 

b) Vektor- und Tensorbezeichnungen *). 

Vektoren sind solche physikalischen Größen, die denselben 
Richtungscharakter besitzen wie eine gerichtete Strecke. Alle 
Vektoren und nur solche werden durch deutsche Buchstaben 
kenntlich gemacht; die Komponente des Vektors 91 nach einer 
Richtung s wird durch 9l s , sein absoluter Wert durch |3l| oder 
falls Zweideutigkeiten ausgeschlossen sind, durch A **), das Quadrat 
davon durch % 2 oder A 2 bezeichnet. 



*) Ausführliche Darstellungen der Vektor- und Tensoranalysis 
sind z.B.: W. v. Ignatowski, Die Vektoranalysis ; R. Gans, Einfüh- 
rung in die Vektoranalysis, beide Leipzig und Berlin 1909; ferner die 
ersten Abschnitte von Abraham-Föppl, Einführung in die Max- 
wellsche Theorie der Elektrizität, Leipzig 1904. Vgl. auch Enzyklop. 
d. mathem. Wiss. VI, 3, Art. 14 (M. Abraham). 

**) E ist stets die Energie, niemals der absolute Wert der elek- 
trischen Feldstärke @. 



— 190 — 
Eine Drehung des Achsenkreuzes ist durch die Beziehungen 

x = äff) x' + äff) y' + äff) z\ x' = äff) tf + af y 4- af 0, 

y = a f x 1 + af y' + af z\ y f = äff) * + af y + af * f 

* = af s' + af / + af *', z' = af x + af y + af z, 

dargestellt, wenn dabei die „Orthogonalitätsbedingungen" 

äff* 2 + aff )2 + äff) 2 = 1, af af + < } af + af af = 0, 
< 2)2 + « 2 2)2 + af 2 = 1, «f af 4- af äff) + af äff) = 0, 
af 2 + af 2 4- af 2 = 1, äff) af 4- äff) af + äff) atf> = 0, 

erfüllt sind. Dabei transformieren sich die Komponenten eines 
Vektors gemäß dessen Definition wie die Koordinaten selbst, d. b. 
diese Gleichungen bleiben richtig, wenn man x durch 3l<e usw., 
x 1 durch % x t usw. ersetzt. 

Aus einem Skalar <p leitet sich der Vektor grad <p ab, dessen 
Komponenten sind: 

, dq> d<p d<p 

grad x <p = -5— , grady q> = -^-, grad z <p = -^- - 

ex v öy 00 

Als skalares Produkt zweier Vektoren 31 und 33 bezeichnen wir 
die Größe: 

(2133) = (3331) = «. 33* -f 3l„33 y + 31,33, = |3l||33|cos(3l33), 
als ihr Vektorprodukt [3133] den Vektor mit den Komponenten: 

[2133]„ = 21,23* — 21*23,, 

[2133], = 2l*23„ — «,»„; 

er steht auf 21 und 33 senkrecht und ist seinem absoluten Betrage 
nach gleich 1 31 1 . 1 23| sin (21 23). Den Skalar 

** = **! + ***+**' 



dx dy dz 
nennen wir die Divergenz, den Vektor rot 31 mit den Komponenten 

ro^Sl = _*_-_, rot y % = -5—, 



roU 31 = 



31* 831, 



dy dz 



— 191 — 

nennen wir den Rotor des Vektors 31. Durch Einsetzen dieser 
Definitionsgleichungen bestätigt man ohne weiteres die folgenden 
Rechnungsregeln : 

[3133] = — [$31] (a) 

(ß) 

(Y) 

(») 

(*) 

«) 
(») 

0?) 

(0 

(0 



(3l[33S]) = ($[3133]) = (33 [<£»]) . . . 

(2l[2l33]) = . . ... .' . . 

[2l[33G]] = 33(2l<5) — <S(2133) .... 

[31 33] (31 (£) — [21 S] (31 33) = 2l(2t[33G]) — [33(S].2I 2 

div (<p 31) = <p div 31 -(- (31 grad <p) . . . 

div[%. 33] = (33, rot 21) — (%, rot 33) . . . 

82<B 8 a <p 3»op 
divgradi P = w ^ + ^ s + E? = ^q> . . 

div (rat U) = 

rof ro£ 31 = grad div% — z/ 31 . . . . 



Eine große Rolle spielen ferner die Integralsätze von Gauß 
und Stokes. Bei dem ersteren handelt es sich um die Umfor- 
mung des Integrals [ div %dS über einen geschlossenen Raum in 

ein Integral über dessen Oberfläche. Bedeutet n die in das 
Innere gerichtete Normale des Oberflächenelementes dö, so 
lautet er: 

jdiv%dS=—^d6 (x) 

Haben wir andererseits eine begrenzte Fläche, so setzt der 
Stokes sehe Satz das Flächenintegral: 

jrat n <äd<S = jn 8 ds, . (i) 

O 
wobei die rechts stehende Linienintegration in dem Sinne über die 
ganze Berandung auszuführen ist, daß der Umlauf eine Rechts- 
drehung um die Normale n darstellt. 

Ist an einer Fläche die Normalkomponente eines Vektors 31 
unstetig, so mißt die Größe ihres Sprunges die Flächendivergenz 
von 21. Ist die Tangentialkomponente unstetig, so mißt ihr 
Sprung (als Vektor betrachtet) den Flächenrotor zu 31. Wie die 
Flächen div ergenz sich als Grenzfall einer unendlich großen räum- 
lichen Divergenz auffassen läßt, so auch den Flächenrotor als 



— 192 — 

Grenzfall eines räumlichen Rotors. Den Grenzübergang führt 
man mit Hilfe des Gauß sehen und des Stok es sehen Satzes aus 
(vgl. § 21 c). 

Neben den Vektoren spielt der Tensorbegriff eine große Rolle. 
Wir verstehen unter dem symmetrischen Tensor p den Inbegriff 
von neun Größen: 

Pxxt Pxyt Pxn 

Pv*i Pyyi Pv** 

pzxi pzy » P*8i 

mit den drei Beziehungen: 

Pyi z== P*yi P*x == pxzi pry == Pyxi 

welche mit den Komponenten eines beliebigen Vektors q zu den 
Ausdrücken 

(\xpxx + <\ypxy + <\ipx* = [<\p]x = SS ... (^') 

usw. vereinigt, wieder die Komponenten eines Vektors ergeben; 
den letzteren nennt man das Vektorprodukt [qp]. Aus dieser 
Definition folgt für eine Drehung des Koordinatensystems, daß 

*. = <\*Pxx + <\«P*v + q. Jh. = a?> «U + «S> «4- + <» «, 
sein muß. Setzt man hier 

ätf = fypx'x* + ^y'px'y* + qfpx** 

usw. und ferner 

V = a ? } q* + a f % + a i 3) q* 

usw., so findet man eine Gleichung zwischen zwei linearen Funk- 
tionen der drei unabhängigen Variablen c\ m q y , q*, so daß deren 
Koeffizienten einzeln übereinstimmen müssen. Die Durchführung 
der einfachen Rechnung ergibt die Transformationsformeln :| 

Pxx = aWpafaf + a^Pyy + O^Pm'm' 

+ 2 (af af Py ,, + af afp,«, + af afp xy .) 

Pxy = afafp« x , + afafp^ + afafp,,, 

+ (af af + af af) p yV + (af af + af af) p,« 

+ (afaf + afaf)p x . y > 

usw., d. h. die Tensorkomponenten transformieren sich wie die 
aus den Koordinaten gebildeten Quadrate x 2 usw. und Produkte 
xy usw. Das System der Maxwell sehen oder der elastischen 



— 193 — 

Spannungen (in rahenden Körpern) wird durch einen Tensor p 
dargestellt. 

Neben dem symmetrischen Tensor p werden wir noch den 
„unsymmetrischen" Tensor t brauchen, welcher sich aus p 
und den beliebigen Vektoren g und q durch die Definition 

tjh = Pjk — ft; q*, j, A; = % y, z (ft) 

ableitet. Bei ihm kann man die beiden Indizes nicht miteinander 
vertauschen. Für die Transformation seiner Komponenten gelten 
die Regeln : 

txx = af tu + a£> 2 tyy + a<£* t„ 

+ afp **p W* + a( P «P tot + a( i } «? } '**' 
+ af > ajp «,, + a?> ajf> fay + afp a?> *„*, 

*,, = ap af> r** + ajp af ty y . + af af t„ 

+ af «§° 'v*' + af «P '*' v + 4 1} «P fr* 

+ a?) af t«, + af a£> r*y + «P «f V*' 

usw., wie man aus den Transformationen für p, g und q ohne 
weiteres ableitet. Das Produkt [21 r] aus dem Vektor 31 und 
dem Tensor t, definiert durch die Gleichungen 

[« t] x = 3t« fc. + *,<., + «Lt., .... (f» 1 ) 

usw., stellt auch hier einen Vektor dar; deun es ist laut Definition 
(ft) Ton t: 

[**] = [*ri-8<«q) (») 

Ist n eine beliebige Richtung, so lassen sich die drei Kosinus 
cos(nx) y cos(ny), cos(nz) als die Komponenten eines Vektors 
vom absoluten Betrage 1 auffassen. Die Vektorprodukte aus 
diesem und den Tensoren p bzw. t nennen wir ß» und t», es ist 
also 

Ux = t xx cos (nx) + t xy cos (tt y) + t xg cos (nz) . . (V) 

usw.; für p n gelten analoge Gleichungen. Ist ferner <p ein Skalar, 
so ist bei der Drehung des Achsenkreuzes 

usw. Die Differentialquotienten 

iL i. A 

9«' 8#' de 

Laue, Belativitattprinxip. 23 



— 194 — 

transformieren sich also wie die Komponenten eines Vektors; sie 
bilden, wie man sagt, einen symbolischen Vektor. Die Vektor- 
produkte aus dem letzteren und p bzw. t bezeichnen wir mit 
bit) p und bit) t Es ist also 

öx cy oz 

usw. Auch hier gilt für bit) p das Analoge. Durch partielle Inte- 
gration bestätigt man nach (f/) und {v") leicht die Gleichung: 

wobei die Integration links über einen geschlossenen Raum, rechts 
über dessen gesamte Oberfläche auszudehnen und unter n die 
nach innen gerichtete Normale des Flächenelementes dö zu ver- 
stehen ist. Man kann die letzte Gleichung mit ihren Analogen 
für die y- und ^-Richtung zusammenfassen in die vektorielle Be- 
ziehung: 

jbi*tdS= —jtndö (£) 

Diese bleibt richtig, wenn man den unsymmetrischen Tensor r 
mit dem symmetrischen p und zugleich t n mit ß n vertauscht. 

Bezeichnet r den Radiusvektor, der von einem beliebigen 
festen Punkte nach dem Volumelement dS hinweist, so kann man 
jenen festen Punkt als Anfangspunkt der Koordinaten wählen 
und dann x x = % usw. setzen. Dieselbe partielle Integration, 
welche zu (£) führt, dient auch zum Beweise der Gleichungen: 

J [r, bto i\ x dS = — J [r tj„ dö — j" (t 9y — t yt )dS. 
usw. Für den symmetrischen Tensor p vereinfachen sie sich zu 

jfoVtopjdB = -j[xpn]d6 (£') 

Nach den oben angegebenen Regeln ist der Ausdruck 

[qd-hhfl]] 

als Differenz zweier Vektoren selbst ein solcher, g und q sollen 
dieselben Vektoren wie in (ft) sein. Integrieren wir seine Diver- 
genz über einen geschlossenen Raum, so ist nach dem Gaußschen 
Satz (jc): 



— 195 — 

J^{[qfl-[q[qg]]}(IS = -Jd(j{[qfl n -[q[q g ]] n } 

= — J d 6 {cos (nx) ([q t] x — [q [q g]]^) 
+ cos (ny) ([q t] y — [[qg]] y ) + cos (nz) ([qr], — [[qg]],)}- 
Rechnen wir hier die Komponenten 

[<\t]x nnd [q[qg]]* 
aus, so finden wir als Faktor von cos(nx): 
(q* txx + q y t xy + q* txn — (<\y (S\x § y — <\y g*) — q* (q* g* — q* g*))) 

= (^a txx~{- (\ytxy-\~ (\zt X g — (<\y (txy — tyx) — q* (tg X — t X g))j 

== \<\x txx ~T q^ tyx J q* tzx)' 

. Entsprechend lauten die Faktoren von cos(ny) und cos(nz). 
Ordnet man in dem Flächenintegral nach den Komponenten von q, 
so findet man schließlich nach (y f ) für das Flächenintegral den 
Wert: 

— §dcf{<\ x t nx + <\yt ny + q*t w *} = — j((\tn)dö. 
Also ist 

J^{[qfl-[q[qg]]} = -J(qtn)^(J. . . . (o) 

c) Die verschiedenen Arten der Zeitdifferentiation. 

Ist A eine beliebige Funktion der Koordinaten x, y, z und 
der Zeit t, so bezeichnen wir den Differentialquotienten von A 

dA 
nach t bei festgehaltenen x, y, z mit -^— oder auch A. Oft aber 

haben wir unter A eine Zustandsgröße eines mit der (räumlich 
und zeitlich stetig veränderlichen) Geschwindigkeit q bewegten 
Körpers zu verstehen und uns zu fragen , wie sie sich in einem 
materiellen, d. h. mitbewegten Punkte ändert. Den so definierten 

SA 
Differentialquotienten schreiben wir -s-r* In der Zeit dt wachsen 

aber die Koordinaten des mitbewegten Punktes um dx = C\ x St usw., 

also ist 

* a ^ii x ÜA * X <)A X x dA* 
oA = -^ r Ot + -—öx+-z-öy+—-öz 
dt dx dy dz 

( a \ VA dA 9-4\a* 

mithin 

13* 



— 196 — 

-$j = Ä + (q grad Ä) (7t) 

Ferner wird manchmal nach der Veränderung des Produktes A d V 
gefragt, wobei dV ein materielles Volumenelement im bewegten 
Körper ist. Bekanntlich ändert sich dV in der Zeit dt am 

d d V = d V. div <\dt, 

also ist [vgl. Rechnungsregel (£) und (7t)] 

8 J^1 = dv(^j + Ädiv^ = d V(A + div (A<j)} 

Wir definieren nun den Differentialquotienten Jl bo, daß 



Ädr= SjAdV) 



dt (<?) 

wird, und finden dementsprechend: 

£ = Ä + div(Aq) ....... (q') 

In der klassischen Mechanik gilt z. B. für den Zusammenhang 
zwischen Kraftdichte g und Impulsdichte g die Gleichung 

i = § oder 8 J*I=%dr, 

welche man aber auch aus dieser (Lagrangeschen) in die Euler- 
sehe Form 

9« + div(§ x (\) = $x usw. 

umschreiben kann. (Vgl. G. Kirchhoff, Mechanik, 15. Vorlesung, 
Leipzig 1897.) 

Schließlich betrachten wir noch eine Fläche dö, deren Punkte 
die (stetig variierende) Geschwindigkeit q haben; ihre Normale n 
wählen wir zunächst so, daß sie mit der Geschwindigkeit q einen 
spitzen Winkel bildet. Wir untersuchen die Veränderung 

st ' 

welche der Ausdruck %„d(f in der Zeit St erleidet, wenn 31 ein 
beliebiger Vektor ist. Wir denken uns zu diesem Zwecke 31 für 
jeden festen Raumpunkt fürs erste unveränderlich , cL h. 31 = 0, 
und berechnen unter dieser Annahme das Produkt div%dS, 



— 197 — 

wobei dS = c\ n dödt der Inhalt des Zylinders ist, welchen die 
Fläche dö bei ihrer Bewegung in der Zeit dt beschreibt. Nach 
dem G auß sehen Satze ist 

divW.cindadt = div%dS = — Jä n .d<*', 

wobei die Integration nach dö' sowohl über die Grundflächen als 
den Mantel des Zylinders zu erstrecken ist. Der Anteil der Grund- 
flächen daran ist, da die Normale v! bei beiden in das Innere 
weist, also einmal dieselbe, das andere Mal die entgegengesetzte 

Richtung hat wie », gleich t£ S t. Den Mantel aber können 

wir in parallelepipedische Elemente dö 1 zerlegen, welche aus den 
Strecken qdt und den Linienelementen ds der Randkurve von dö 
gebildet sind, ds werde dabei in dem der Normalen n wie beim 
Stokes sehen Satz entsprechenden Sinne positiv gerechnet. Der 
Inhalt eines solchen Elementes ist dö' = qdssinfa ds)dt, also 
gleich dem absoluten Wert des Vektorproduktes [ds, c\]dL Letz- 
teres hat aber die Richtung der Normalen von dö' , also ist 

[vgl. (ßn 

%' n d<f' = (31 [<* s, q)] « * = (ds[q$l])«* = [q^dsdt, 

mithin der Anteil des Mantels an dem Flächenintegral nach (A) 
gleich: 

Stj[(\n] 9 ds = rot n [c{^]d6Öt 
O 
und wir finden unter der Annahme 31 = 0: 

S(!ä g^ + rot n [^]d6 = ^ n div%dö. 

Fügen wir endlich noch die von der Bewegung unabhängige Ver- 
Änderung % n dO additiv hinzu, so folgt: 

g( y g) = äß (3l n + q» div% + rot« [Slq]) . 

Wir können mithin einen Vektor 31 so definieren, daß für jede 
Orientierung der Fläche dö 

-" — Tt — * * 

ist; dann ist nämlich 



— 198 — 

g = ä + q<H*8 + r0t[Sq] (<*') 

Die beschränkende Annahme eines spitzen Winkels zwischen n 
und q spielt offenbar in Formel (6) keine Rolle mehr; beide Seiten 
wechseln ihr Vorzeichen, wenn n die Richtung umkehrt. 

d) Bezeichnung und Mafisystem der physikalischen 

Größen. 

Wir beziehen alle Größen auf das absolute Maßsystem, indem 
wir als Einheiten Gramm (g), Zentimeter (cm), Sekunde (sec) und 
Celßiusgrad (grad) zugrunde legen. Wir messen also die Kraft 
in Dyn, die Energie einschließlich der Wärme in Erg. Die Masse 
(„Ruhmasse") bezeichnen wir mit m, die longitudinale und trans- 
versale Masse mit m\ und m*, die Dichte (spezifisches Gewicht) 
mit d, die Energie mitE, ihre Dichte mit W, das Wärmequantum, 
wenn es einem Körper bei einem bestimmten physikalischen Vor- 
gänge zugeführt wird, mit Q, mit B dagegen, wenn es auf die 
Zeiteinheit, und mit Q, wenn es auf Zeit und Volumeneinheit be- 
zogen wird. T ist die absolute Temperatur, S die Entropie, 
F die freie Energie, p der (relative) Druck ; $ soll die Kraft, § die 
Kraft pro Volumeneinheit (Kraftdichte), 9? das Drehmoment, 
© den Impuls, g dessen Dichte, 8 den Drehimpuls bedeuten; 
mit © bezeichnen wir die Dichte des Energiestromes, mit q die 
Geschwindigkeit, mit q die Beschleunigung eines Körpers, t) hin- 
gegen ist stets die Geschwindigkeit des „ gestrichenen u Systems K' 
gegen das „un gestrichene" K und c = 3 . 10 10 cm sec"" 1 der 
Absolutwert der Lichtgeschwindigkeit im leeren Raum. Zur Ab- 
kürzung setzen wir häufig: v:c = ß. 

Die elektromagnetischen Größen lassen sich bekanntlich auf 
verschiedene Arten mit dem absoluten Maßsystem in Verbindung 
setzen. Wir verfahren im folgenden wie H. A. Lorentz in der 
Enzyklopädie der mathem. Wissensch. V, 1, Art. 13 und 14. Dies 
an Heaviside anknüpfende Lorentzsche Maßsystem stimmt 
mit dem gewöhnlich als elektrostatisch bezeichneten in den Dimen- 
sionen völlig überein, unterscheidet sich aber von ihm in den Ein- 
heiten und erreicht so den Vorteil , daß der Faktor 4 % aus den 
Feldgleichungen der Maxwell sehen Theorie verschwindet [vgl. 
(I) bis (X)]. Freilich tritt er dafür in allen Potentialformeln auf, 



— 199 — 

weil das elektrostatische Potential einer Punktladung e jetzt 

ist. Da aber eine solche Ladung Kugelsymmetrie aufweist, hat er 
hier eine gewisse sachliche Berechtigung; zugleich spielen diese 
Formeln eine geringere Rolle in der Theorie als die Grundglei- 
chungen, so daß man ihm weniger häufig begegnet. 

Im Lo ! rentz sehen Maßsystem sind die Dielektrizitätskon- 
stante e und die magnetische Permeabilität fi reine Zahlen und 
für den leeren Raum beide gleich 1. Die elektrische Feldstärke 
und Verschiebung, (S und 3), haben ebenso wie die entsprechenden 
magnetischen Vektoren, ^j und 33, die Dimension [g^cm^sec -1 ], 
desgleichen die den elektrischen Strom hervorrufende „elektro- 
motorische Kraft" @*, welche in der Relativitätstheorie von S 
zu unterscheiden ist ; die Elektrizitätsmenge e ist von der Dimen- 
sion [g^2 cm 3 /2 sec"" 1 ]. Über die Einheiten verfügen wir so, daß 
die Abstoßungskraft zweier ruhenden Elektrizitätsmengen e und e' 

ee' 

im Abstand r voneinander im leeren Raum ist, daß ferner 

4arr 2 

die Kraft, welche e im Felde von der Stärke |@| erfährt, e|(£| 
wird. Die Einheit der Elektrizitätsmenge ist durch das , — -fache 

der elektrostatischen Einheit, der Wert einer bestimmten Elek- 
trizitätsmenge somit y4&mal so groß wie der elektrostatische. 
Um den Vergleich mit experimentellen Daten zu erleichtern, 

empfiehlt es sich, die Multiplikation mit y4?t nicht auszuführen, 
sondern z. B. für das elektrische Elementarquantum den Wert 



4,65 . 10- 10 . V4 % [g 1 /* cm 3 /2 sec- 1 ] 

anzugeben. Wie e verhält sich auch die wahre elektrische Dichte Q 

und die elektrische Stromdichte 3>. Die Leitfähigkeit tf wird 

4^ mal so groß wie im elektrostatischen System. Ist die Ladung 

e über die Fläche einer Kugel vom Radius a gleichmäßig verteilt, 

so ist die elektrostatische Energie im elektrostatischen Maßsystem 

e 2 . 3 e 2 
— , bei gleichmäßiger Verteilung über das Volumen aber — 

2t OL 0(1 

e 2 3 e 2 

im Lorentz sehen Maßsystem daher — bzw. — r • Wo wir 

87ta 207ta 

die elektromagnetische Energie, Impuls usw. von mechanischer 



— 200 — 

Energie und Impuls zu unterscheiden haben, geschieht dies durch 
den Index e, also z.B. E e und © e . 9P ist das skalare, 21 das vekto- 
rielle retardierte Potential. 

Von den Vierervektoren ist Y die Vierergeschwindigkeit, F 
(Digamma) die Viererkraft, P der Viererstrom, K die Vierer- 
konvektion, A die Viererleitung , das Viererpotential. Zu den 
Sechservektoren gehört der Feldvektor 9K, welcher die Feldstärke 
@ und die Verschiebung 33 umfaßt, und der Verschiebungsvektor 
ÜB, dessen Komponent an die Raumvektoren 2) und $ angibt; im 
leeren Baum sind beide miteinander identisch. 



Literatur. 



§i- 

Philipp Frank, Die Stellung des Relativitätsprinzips im System 
der Mechanik und Elektrodynamik. Wiener Sitzungsber. 118, 337, 1909. 

1. B. Schütz, Das Prinzip der absoluten Erhaltung der Energie. 
Göttinger Nachr. 1897, S. 110. 

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in der Physik. Sitzungsber. d. phys.-med. Ges. Würzburg 1909; ferner 
Phys. Zeitschr. 5, 585 u. 604, 1904. 

§2. 

J. Laub, Jahrb. d. Eadioaktivität u. Elektronik 7, 405, 1910. 

1. H. A. Wilson, Phü. Trans. (A) 204, 121, 1904. 

2. E. Blondlot, C. E. 133, 778, 1901. 

3. H. y. Helmholtz, Monatsber. d. Berliner Akad., März 1876; 
Ges. Abh. I, 791, 1882. 

4. A. Eichenwald, Ann. d. Phys. 11, 1, 1903. 

5. W. O. Böntgen, Wied. Ann. 35, 264, 1888; 40, 93, 1890. 

6. A. Eichenwald, Ann. d. Phys. 11, 421, 1903. 

7. H. Fizeau, C. E. 33, 349, 1851. 

8. Michelson u. Morley. Amer. Journ. of Science 31, 377, 1886. 

9. Airy, Proc. Boy. Soc. London 20, 35, 1871; 21, 121, 1873; 
Phü. Mag. 43, 310, 1872. 

10. J. Stark, Ann. d.Phys. 21, 401, 1906. J. Stark u. K. Siegel, 
Ebend. 21, 457, 1906. J. Stark, W.Hermann, S. Kinoshita, Ebend. 
21, 462, 1906. 

11. Fürst B. Galitzin u. Wilip, Astrophys. Journ. 26, 45, 1907. 

12. A. A. Michelson, Sill. Journ. 21, 120, 1881; Phil. Mag. 8, 
716, 1904. A. A. Michelson u. E.W. Morley, Sill. Journ. 34, 333, 
1887. E. W. Morley u. D. 0. Miller, Phil. Mag. 8, 753, 1904; 9, 
680, 1905. J. Lüroth, Ber. d. Bayer. Akad. d. Wiss. 7, 1909; vgl. 
Bef. von P. Debye, Beibl. d. Ann. d. Phys. 33, 1909. E. Kohl, Ann. 
d. Phys. 28, 259 u. 662, 1909. M. Laue, Ebend. 33, 156, 1910. 

13. Fr. T. Trouton u. H. B. Noble, Proc. Boy. Soc. 72, 132, 1903. 

14. E. Mascart, Ann. 6cole norm. 3, 1874. Lord Bayleigh, 
Phil. Mag. 4, 678, 1902. D. B. Brace, Ebend. 7, 317, 1904; 10, 71 u. 
591, 1905. B. Strasser, Ann. d. Phys. 24, 137, 1907. 



— 202 — 

15. Des Coudres, Wied. Ann. 38, 71, 1889. 

16. Fr. T. Trouton u. A. O. Bankine, Proc. Boy. Soc. 8, 420, 
1908. 

17. M. Abraham, Prinzipien der Dynamik des Elektrons; ferner 
Theorie der Elektrizität, Bd. II. Leipzig u. Berlin 1908. 

18. K. Schwarzschild, Göttinger Nachr. 1903, S. 245. 

19. A. Sommerfeld, Ebend. 1904, S. 363, 999; 1905, S. 201. 

20. W. Kaufmann, Ebend. 1902, S. 291 ; Ann. d. Phys. 19, 487, 
1906; 20, 639, 1906. 

21. A. H. Bucherer, Ann. d. Phys. 28, 513; 29, 1063, 1909. 

22. E. Hupka, Ebend. 31, 169, 1910. 

23. M. Planck, Phys. Zeitschr. 7, 753, 1906; Verh. d. D. Phys. Ges. 

4, 418, 1906; 9, 301, 1907. J. Stark, Ebend. 10, 14, 1908. W.Kauf- 
mann, Ebend. 9, 667, 1907; 10, 91, 1908. W. Heil, Zur Theorie der 
Kaufmannschen Versuche über die elektromagnetische Ablenkung 
der ß- Strahlen. Berl. Diss. 1909; Ann. d. Phys. 31, 519, 1910. 
A. Bestelmeyer, Ann. d. Phys. 22, 429, 1907; 30, 166, 1909; 32, 
131, 1910. E. Hupka, Ebend. 33, 400, 1910. A. H. Bucherer, 
Ebend. 30, 974, 1909. 

§ 3. 

1. H. A. Lorentz, Electromagnetic phenomena in a system 
moving with any velocity smaller than that of light. Proc. Amsterdam 
1904, p. 809. 

2. E. Colin, Über die Gleichungen des elektromagnetischen 
Feldes für bewegte Körper, Ann. d. Phys. 7, 29, 1902. Zur Elektro- 
dynamik bewegter Körper. Berliner Ber. 1904, S. 1294 u. 1404. 

H. Hertz, Über die Grundgleichungen der Elektrodynamik für 
bewegte Körper. Wied. Ann. 41, 369, 1890. Ges. Werke 2, 256, 1894. 

1. Ph. Frank, Ann. d. Phys. 27, 897, 1908. 

2. H. v. Helmholtz, Wied. Ann. 53, 135, 1893. Ges. Abh. HI, 

5. 526, 1895. 

§5. 

H. A. Lorentz, La thäorie electromagnetique de Maxwell et 
son application aux corps mouvants. Arch näerl. 25, 363, 1892. Ver- 
such einer Theorie der elektrischen und optischen Erscheinungen in 
bewegten Körpern. Leiden 1895. Enzyklop. d. math. Wiss. V, 2, 
Art. 14, 1903. 

1. M. Planck, Ann. d. Phys. 31, 758, 1910. H. A. Lorentz, 
Phys. Zeitschr. 11, 349, 1910. 

§6. 

A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper. Ann. d. 
Phys. 17, 891, 1905; Jahrb. d. Badioaktivität u. Elektronik 4, 411, 1907. 



— 203 — 

§7. 
A. Einstein, vgl. § 6. 
1.0. Lodge, London Transact. (A) 184, 727, 1893. 

2. H. A. Lorentz, y. Amsterdam, Zittingsverlag, Acad. v. Wet. 
1, 74, 1892. 

3. A. Sommerfeld, Phys. Zeitschr. 10, 826, 1909. 

4. Derselbe, Ebend. 8, 841, 1907. 

§8. 

H. Minkowski, Baum und Zeit. Phys. Zeitschr. 10, 104, 1909. 
Auch als Broschüre erschienen. Leipzig, B. G. Teubner, 1909. 

§ 9- 
H. Minkowski, Die Grundgleichungen für die elektromagneti- 
schen Vorgänge in bewegten Körpern. Göttinger Nachr. 1907, S. 1. und 
Mathematische Ann. 68, 472, 1910, auch separat erschienen bei B. G. 
Teubner, Leipzig 1911. 

1. F. Klein, Phys. Zeitsohr. 12, 17, 1911. V. Variczak, Phys. 
Zeitschr. 11, 93, 287, 586, 1910. 

2. A. Sommerfeld, vgl. § 7, Anm. 3. 

§ 10 bis 13. 

H. Minkowski, vgl. § 8 und 9. 

A. Sommerfeld, Zur Relativitätstheorie I. u. II. Ann. d. Phys. 
32, 749, 1910; 33, 649, 1910. 

§ 14 und 15. 

A. Einstein, vgl. § 6. H. Minkowski, vgl. § 9. A. Sommer- 
feld, Vgl. § 10 bis 13. 

1. H. Poincare, Aren. n6erl. (2) 5, 252, 1900. 

2. M. Abraham, vgl. § 2, Anm. 17. 

3. M. Planck, Bemerkungen zum Prinzip der Aktion und Re- 
aktion in der allgemeinen Dynamik. Phys. Zeitschr. 9, 828, 1908; Verh. 
D. Phys. Ges. 6, 728, 1908. 

§ 16. 
A. Einstein, vgl. § 6. 

1. M. Abraham, Ann. d. Phys. 14, 236, 1904. W. Meißner, 
Zur Theorie des Strahlungsdruckes. Diss. Berlin 1907, Abschnitt 4. 

§ 17. 
1. M. Abraham, vgl. § 2, Anm. 17. 

§ 18. 
H. Minkowski, Vgl. § 8. M. Born, Ann. d. Phys. 28, 571, 
1909; 30, 1, 1909. A. Sommerfeld, vgl. § 10 bis 13. 

1. A. Liänard, L'£clairage electrique 16, 5, 53, 106, 1898. 



— 204 — 

2. E. Wiechert, Arch. n6erl. (2) 5, 549, 1900. 

3. H. A. Lorentz, vgl. § 5. 

4. M. Born, vgl. oben und Qöttinger Nachr. 1910, S. 161. Paul 
Ehrenfest, Phys. Zeitschr. 10, 918, 1909; 11, 1127, 1910. G. Herglotz, 
Ann. d. Phya. 31, 393, 1910. W. v. Ignatowsky, Ebend. 33, 607, 
1910. F. Noether, Ebend. 31, 919,1910. M. Planck, Phys. Zeitschr. 
11, 294, 1910. M. Planck, Arch. nlerl. (21) 5, 164, 1900. M. Laue, 
Phys. Zeitschr. 12, 48, 1911. 

5. H. A. Lorentz, vgl. § 3, Anm. 1. 

6. M. Abraham, vgl. § 2, Anm. 17. 

7. H. A. Lorentz, Enzyklop. d. math. Wiss. V, 2, Art. 14, Nr. 17. 
M. Abraham, vgl. § 16, Anm. 1. M. Laue, Ann. d. Phys. 28, 
436, 1909. 

§ 19 Und 20. 

H. Minkowski, vgl. § 9. A. Einstein u. J. Laub, Ann. d. 
Phys. 26, 532, 1908. Eine Ableitung der Grundgleichungen für die 
elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern vom Standpunkt 
der Elektronentheorie; aus dem Nachlaß von H. Minkowski be- 
arbeitet von M. Born, veröffentlicht in den Fortschritten der Mathem. 
Wiss. in Monographien, Heft 1. Leipzig, B. G. Teubner, 1910. 

• §• 21. 

1. A. Einstein u. J. Laub, Ann. d. Phys. 28, 445, 1909. 

2. Vgl. : Die partiellen Differentialgleichungen der mathematischen 
Physik nach Biemanns Vorlesungen, bearbeitet von H. Weber. I. 
Braunschweig 1900. § 156. 

3. A. Einstein und J. Laub, vgl. § 19 u. 20. 

4. H. Minkowski, Abschnitt 9 der unter § 9 zitierten Arbeit. 
Anton Weber, Phys. Zeitschr. 11, 134, 1910. 

5. M. Laue, Ann. d. Phys. 23, 989, 1907. A. Einstein, vgl. 
das zweite Zitat unter § 6. 

§ 22. 

1. M. Planck, vgl. § 14 u. 15, Anm. 3. 

2. M. Abraham, Bendiconti del circoli matematico di Palermo 
30, 1910. 

3. M. Planck, Zur Dynamik bewegter Systeme. Ann. d. Phys. 
26, 1, 1908. 

§ 23. 

Vgl. das umfassende Beferat von F. Hasenöhrl, Jahrb. d. 
Badioakt. u. Elektr. 2, 267, 1905. Vgl. auch § 16, Anm. 1. 

§ 24 bis 27. 

M. Planck, vgl. § 22, Anm. 1 u. 3. A. Einstein, vgl. § 6, 
zweites Zitat. Gilbert N. Lewis, Phü. Mag. 16, 705, 1908. 



— 205 — 

1. F. Hasenöhrl, Jahrb. d. Radioakt. u. Elektr. 6, 485, 1909; 
vgl. auch M. Planck, Verh. d. D. Phys. Ges. 4, 136, 1906. 

2. A. Einstein, Ann. d. Phys. 18, 639, 1905; 20, 627, 1906; 23, 
371, 1907. G. Nordström, Phys. Zeitschr. 10, 681, 1909; 11, 440, 1910. 
M. Abraham, Ebend. 10, 737, 1909; 11, 527, 1910. M. Laue, vgl. 
§ 18, Anm. 7. 

3. H. Poincare", Bendiconti del circolo matematico di Palermo 

21, 129, 1906. H. A. Lorentz, The theory of electrons. Leipzig 
1909. § 178 u. folgende. Vgl. auch § 3, Anm. 1. M. Abraham, 
Theorie der Elektrizität II, § 22. 

4. Paul Ehrenfest, Ann. d. Phys. 23, 204, 1907. 

§ 28 und 29. 

M. Planck, Vgl. § 22, Anm. 3. A. Einstein, Vgl. §6, zweites 
Zitat. K. v. Mos engeil, Theorie der stationären Strahlung in einem 
gleichförmig bewegten Hohlraum. Diss. Berlin 1906 und Ann. d. Phys. 

22, 867, 1907. 

§ 30. 

1. Poincare\ vgl. § 24 bis 27, Anm. 3. 

2. H. Minkowski, vgl. § 8 u. 9. 

3. A. Sommerfeld, vgl. § 10 bis 13. 



NAMENREGISTER. 



Abraham 17, 84, 97, 116, 

139, 167. 
Airy 12. 
Arrhenius 145. 

Blondlot 9. 
Boltzmann 142, 172. 
Born 106, 112. 
Bucherer 18, 166. 

Cohn 19, 139. 

Debye 144. 
Des Coudres 16. 

Eichenwald 10, 24, 132. 
Einstein 33, 43, 148. 

Faraday 8. 
Fitzgerald 41. 
Fizeau 11, 25, 133. 



Galitzin 13, 93. 

Heimholte, v. 178. 
Hertz 19, 20. 
Hupka 17, 18, 166. 

Kaufmann 17. 
Klein 54. 

Lebedew 144, 145. 
Lienard 105. 
Lorentz 19, 32, 33 ff., 
41, 105, 116, 122. 

Maxwell 142. 
Michelson 13, 25, 44, 88. 
Michelson u.Morley 11. 
Minkowski 43, 107, 116, 

187. 
Mosengeil, v. 175, 184. 

Nichols u. Hüll 144. 



Planck88,116,138, 141, 

172, 179, 184. 
Poincare' 187. 
Preoht 153. 

Röntgen 10, 25, 132. 
Bowland 9, 128. 

Schwarzschild 17. 
Sommerfeld 17, 46, 105, 

112, 187. 
Stark 13. 

Trouton u. Noble 15, 88, 

99, 148, 170. 
Trouton u. Bankine 16. 

Yalentiner 182. 

Wiechert 105. 

Wien 7. 

Wilson 9, 23, 129. 



SACHREGISTER. 



Aberration 12, 89. 
Additionstheorem der Geschwindig- 
keit 3, 43, 55. 

Beschleunigung, Transformation der 

106. 
Bewegungsgröße, s. Impuls. 

Dopplereffekt 12, 89, 93. 
Drehimpuls 85, 97, 138, 168. 
Drehmoment 97, 146, 168. 
Druck, Transformation des 154. 

— im Elektron 164. 

— der Hohlraumstrahlung 180, 182. 

Elektrizitätsmenge , Transformation 

der 77, 120. 
Elektromotorische Kraft 8, 124, 127, 

129. 
Elektron 27, 98. 
— , Dynamik des 16, 166, 170. 
Energie, elektromagnetische 87, 91, 

97, 139. 
— , mechanische 149, 150, 153, 160, 

167. 
— , kinetische 4, 158. 
Entropie 172. 

— der Hohlraumstrahlung 181, 182. 
Erdbewegung 12 bis 16. 

Feldstärke, Transformation der 97, 
119. 

Feldvektor 78, 118. 

Flächensatz 86, 14ö. 

F r e s n e 1 scher Mitführungskoeffi- 
zient 11, 132. 



Galilei- Transformation 3. 

Hyperbelbewegung 105. 

Impuls, Gleichbewegungsgröße 4, 26, 

83, 97, 137, 149, 159, 168. 
Induktion 8, 26, 127. 

Joulesche Wärme 22, 139. 

Kontinuitätsgleichung 21, 77, 121. 
Konvektionsstrom der Elektrizität 10, 
24, 119, 132. 

— der Energie 150. 
Körper, starrer 107. 

Kraft, Transformation der 80, 135. 
Krümmungshyperbel 107. 

Leitungsdichte 120. 
Leitungsstrom 119, 132. 
Lorentz -Kontraktion 41. 
Lorentz- Transformation 39, 48, 49, 
54, 57. 

Magnetomotorische Kraft 124, 127, 

129. 
Masse 151, 163. 

— des Elektrons 166. 

— der Hohlraumstrahlung 183. 

— , longitudinale, transversale 17, 
163, 165, 183. 

Nachkegel 51, 53. 

Pointingsoher Vektor 22, 91, 92, 

139. 
— , Transformation des 86. 
Prinzip der kleinsten Wirkung 178. 



— 208 — 



Produkt, skalares 61, 65, 66. 
— , vektorielles 66. 
— , Tensor- 75. 

Quasistationäre Bewegung 98, 116, 
156, 162, 183. 

Sechservektor 64. 

Spannungen, Max well sehe 27, 82, 

86, 88. 
— , relative 151, 154, 158, 168. 
Stefan -Boltzmannsches Gesetz 

182. 

Temperatur 173. 
Trägheit 138, 152, 157. 

Yerschiebungsvektor 119. 
Vierergeschwindigkeit 63. 



Viererkonvektion 119. 
Viererkraft 80, 158. . 
Viererleitung 119. 
Viererpotential 99. 
Viererstrom 77, 118. 
Vierervektor 61. 
Vorkegel 51, 53. 

Wärme, Transformation der 140, 141, 

149, 173. 
Wellengleichung 21. 
Welt 47. 

Weltpunkt, Weltlinie 47. 
Welttensor 73, 82, 136, 149, 159. 
Wien sches Verschiebungsgesetz 172. 

Zwischengebiet 51, 53. 



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Die Wissenschaft 

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gelehrten und historische ^Darstellungen einzelner Zeiträume hat lieh die unter 

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Dr. Otto Freiherr von und zu Aufsess, München Heft 4 

Prof. Dr. H. Baumhauer, Freiburg i. Schweiz , „ 7 

Prof. V. Bjerknes, Christiania »28 

Mme. S. Curie, Paris „ 1 

Prof. Dr. B. Dessau, Perugia „ 33 

Prof. Dr. C. Doelter, Graz „13 

Prof. Dr. B. Donath, Charlottenburg . . . „ 14 

Dr. Wilh. R. Eckardt, Aachen „31 

Privatdozent Dr. Edwin S. Faust, Straöburg „ 9 

Prof. Dr. Otto Fischer, Leipzig „18 

Dr. Otto Frölich, Berlin „ 5 

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Prof. Dr. Josef Ritter von Geitler, Czernowitz „ 6 

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Prof. Dr. G. Jäger, Wien „12 

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Dr. phil. Walter von Knebel, Groß -Lichterfelde (+) „15 

Prof. Dr. Hermann Kobold, Kiel , 11 

Prof. Dr. Edm. König, Sondershausen „ 22 

Prof. Dr. J. P. Kuenen, Leiden »20 

Privatdozent Dr. G. F. Lipps, Leipzig „ 10 

Prof. H. Mache, Wien „30 

Prof. Dr. Job. Bapt. Messerschmitt, München »27 

Dr. Rob. Pohl, Berlin „34 

Prof. E. Rutherford, Montreal „ 21 

Privatdozent Dr. Otto Sackur, Breslau „ 24 

Prof. Dr. G. C. Schmidt, Königsberg „ 2 

Prof. Dr. Julius Schmidt, Stuttgart „23 

Prof. E. v. Schweidler, Wien „30 

f. 3 

Prof. Dr. J. J. Thomson, Cambridge { 25 

Dr. P. Vageier, Königsberg i. Pr. „ 26 

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1904. Geh. tl 3.—, geb. ti 3.80. 



,tome ein allgemeines Phänomen» e) Radioaktive II 
> unter 



idlum, Aktinium , c) Spektrum dos Radium. ; d) Abscheidung der na, 

wichtee dei Radiums ; h) Kiganeohalteu der Kadlumialze; 1) Erkktioi 
irjnmebJqrtdi. — 3. Kapitel. Strahlung der neuen radioakt 
Methoden zur Unter« Wh ung dm Strahlen ; u) Energie der Strahlung; 
J.tur der Strahlung; d) Wirkung dee Magnetfeldei; e) Ablenkhare >t 



l.)VeH,ältni 


.0 von Ladung 


















Badlnm emittierten ne- 








gativ geladenen Teil. P 


















Magnetfeld. 










u-Strahlen; 










das Magnetfeldea auf die 




















uUuieii : 1) Verhaltnii der »bleu 




loa in der 




m) Durchdringungevarmogen der Strahlung i 


1er radioaktiven 


Substanz. 








i'luBBigkeiten; o) 




ene Wirkungen und 




reu der ionisierenden Wirkung ■ 


der Strahlung rt 




c Körper; p) Fluo- 








i durch BadiumsBlze; r) Che- 






äubstanieu. Eil 




Gaientwiekelung 


in Gegen« 












■| Phvniologiei:be Wirkungen; v) 








— 1. Xapi 










ureprflnglic 






leiaD; o) Solle der 


f.™ bei i 








ation; d) Kntakti- 




r Luft; e> BntaktlTiaruD 




Geiau; ■/.<■.! 








ation; g) Änderung 


der Aitivit 




radlumhaltiger 






ftadioaktiTi 






























hob; n) Aktivierung ohne Mitwirkung radioaktiv 








at radioaktiver Körper; WlrzTin| 












mg der Aktivität s- 


inderungec 








liapiteL Katur 


und Urea 


oh, de, Erscheinungen de 


rBadioaktiv 


Itat. 





Verla« von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweis 



DlC WiSSCnSChätt mathematischer Einzeldarstellungen HClt <L 

Die Kathodenstrahlen 

Von Dr. Q. G Schmidt, a. o. Prof. der Physik an der 

Universität Königsberg. Zweite verbesserte und ver- 
mehrte Auflage. Mit 50 Abbildungen. VII, 127 3. 
1907. Geh. M 3.—, geb. tl 3.60. 



Inhaltsverzeichnis. Einleitung. 1. Kapitel. Das Wesen des Lichtes. Der Äther. 
— 2. Kapitel, Neuere Ansichten über die Leitung der Elektrizität durch Elektrolyte. — 
8. Kapitel. Apparate zur Erzeugung ron Kathodenstrahlen. — 4. Kapitel. Die 
Entladung in verdünnten Gasen. Die Kathodenstrahlen. — 6. Kapitel. Altere 
Theorien über den Entladungsvorgang. — 6. Kapitel. Ladung der Kathodenstrahlen. — 
7. Kapitel. Potentialgradienten und Kathodenfall in Entladungsröhren. — 8. Kapitel. 
Kathodenstrahlen im elektrostatischen Felde. — 9. KapiteL Kathodenstrahlen im 
magnetisohen Felde. — 10. Kapitel. Energie und (iteschwindigkeit der Kathoden- 
strahlen. — 11. Kapitel. Zeeman - Effekt. — 12. Kapitel. Kathodenstrahlen ver- 
schiedenen Ursprungs. — 18. Kapitel. Bestimmung von • und m. — 14. Kapitel. 
Scheinbare Masse. — 15. Kapitel. Fluoreszenzerregung und chemische Wirkung der 
Kathodenstrahlen. — 16. KapiteL Beflexion, Absorption, Spektrum und Bahn der 
Kathodenstrahlen in einer Entladungsröhre. — 17. Kapitel. Kanalstrahlen. — 
18. KapiteL Schluß. — Literaturobersicht. 



Aus den Besprechungen. 

Allgemeines Ldteraturblatt. „Die Aufklärungen über das scheinbar so 
rätselhafte Verhalten der radioaktiven Substanzen sind vom Verfasser in 
ausnehmend interessanter und instruktiver Weise dargelegt und dürfen wohl 
das weiteste Interesse für sich in Anspruch nehmen. Die atom istische 
Theorie der Elektrizität, welche endlich verspricht, einen Einblick in das 
Wesen der elektrischen Erscheinungen zu geben und die Frage zu he« 

antworten, deren Losung 
jahrhundertelang unmög- 
lich schien : Was ist Elek- 
trizität? basiert auf der 
Untersuchung der Ka- 
thodenstrahlen. Das für 
weitere Kreise verständ- 
lich geschriebene Buch 
kann wärmstens empfohlen werden. Die Behandlung des Themas ist einfach 
und gründlich; besonders ist auch die Beigabe einer großen Anzahl höchst 
klarer, schematischer Zeichnungen zu loben, welche die textliche Klarheit des 
Buches noch bedeutend erhöhen." 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 




DiC WiSSenSChsft miS^afecherKlizcldaretcnilnSSn Heft 3 

* 

Elektrizität und Materie 

Von Dr. J. J. Thomson, Mitglied der Royal Society, 
Professor der Experimentalphysik an der Universität in Ca/n- 

bndge. Autorisierte Übersetzung von G. Siebert 
Zweite verbesserte Auflage. Mit 21 Abbildungen. 
VIII, 116 3. 1909. Geh. M 3—, geb. M 3.60. 



Inhaltsverzeichnis, 1. Kapitel. Bartteilung des elektrischen Feldes durch Kraft- 
linien. — 2. Kapitel. Elektrische und gebundene Masse. — 8. Kapitel. Wirkungen 
der Beschleunigung der Faradaysohen Bohren. — 4. KapiteL Die atoraistisohe Struktur 
der Elektrizität. — 6. Kapitel. Konstitution des Atoms. — 6. Kapitel. Badtoaktivität 
und radioaktive Substanzen» 7. Kapitel. Materie und Äther. 



Aus den Besprechungen. 

Literarisches Zentralblatt. „Eine Reihe geistvoller Vortrage, in 
welchen die Bedeutung der neuen Fortschritte in der Elektrizitätslehre für 
unsere Ansichten über die Konstitution der Materie und die Natur der Elek- 
trizität erörtert wird. Ihre Bedeutung liegt vor allem darin, daß sie eine auch 
weiteren Kreisen verständliche Verbindung zwischen den Maxwell-Faraday- 
schen Vorstellungen und der modernen Elektronentheorie darstellen und dabei 
gleichzeitig des berühmten Verfassers eigene Anschauungen über den Aufbau 
der Atome entwickeln, wobei die radioaktiven Elemente eine besonders ein- 
gehende Besprechung erfahren. Die Ausführungen enthalten nur vereinzelte 
mathematische Ableitungen und können jedem Studierenden empfohlen werden." 

Chemiker-Zeitung. . . . „Zu der Entwickelung der Elektronik, dieser neuen 
Disziplin der Physik, hat kaum jemand mehr beigetragen als J. J. Thomson... 
Es ist deshalb mit besonderer Freude zu begrüßen, daß dieser bahnbrechende 
Forscher es unternommen hat, seine „Ansichten über die Natur der Elektrizität, 
über die Vorgänge, welche im elektrischen Felde stattfinden, und über den 
Zusammenhang zwischen elektrischer und gewöhnlicher Materie" in einer so 
anschaulichen und anregenden Weise darzulegen, daß jeder Naturwissenschaftler, 
nicht nur der Physiker, das Buch verstehen kann und durch die Lektüre 
reichen Genuß und Gewinn haben wird. . .. Für den Physiker, speziell für den 
Lehrer der Physik, eine Fundgrube anschaulicher Darstellungen und Gedanken- 
gänge. Für den Nichtphysiker eine Anleitung, nicht mühelos, aber doch ohne 
das schwere Rüstzeug der höheren Mathematik, sich einen Einblick zu ver- 
schaffen in die Überlegungen, welche aus den Untersuchungen über Kathoden- 
strahlen, Röntgenstrahlen und Radioaktivität zu dem Begriffe des Elektrons, 
des Atoms der Elektrizität, geführt haben." 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



L)iC WiSSen SC hatt mathematischer Einzeldarstelluniren nett 4 



Die physikalischen 
Eigenschaften der Seen 



Von Dr. Otto Freiherr von und zu Aufsess, 

Assistent für Physik a. d. Kgl. techn. Hochschule in München. 

Mit 36 Abbildungen. X, 120 3. 1905. Geh. tl 3.—, 
geb. M 3.60. 



Inhaltsverzeichnis. Vorbemerkungen: Die Oberfläche eines Sees als Teil der 
Erdoberfläche. Dichte dea Wassers. Hydrostatischer Druck. Kompressibilität des Wassers. 
— Erster Teil. Mechanik. 1. Fortschreitende Wellen. 2. Stehende Wellen (Seiches). 
S.Strömungen. — Zweiter Teil: Akustik. 1. Fortpflanzung des Schalles im Wasser. 
2. Fortpflanzung des Schalles an der Oberfläche eines Sees. — Dritter Teil: Optik. 
1. Durchsichtigkeit des Seewassers: A. Bestimmung der Durchsichtigkeit durch Ver- 
senken eines Gegenstandes; B. Bestimmung der Durchsichtigkeit durch Aufsuchen der 
Lichtgrenze im See. 2. Erscheinungen der Reflexion, Brechung und Farbenzerstreuung: 
A. Allgemeine G-esetze j B. Eeflexionserscheinungen : C. Brechungserscheinungen; D. Dis- 
persionserscheinungen. 8. Selektive Absorption des Lichtes im Seewasser: A. All- 
gemeine Theorie ; B. Lichtabsorption im Wasser. 4. Polarisation des Lichtes im Wasser. 
5. Die Farbe der Seen, — Vierter Teil: Thermik. 1. Thermometrie : A. Allgemeine 
Thermometrie ; B. Spezielle Thermometrie: Oberflächentemperaturen; Tiefentempera- 
turen; Eisverhältnisse. 2. Kalorimetrie. Schlußbemerkung. Literaturverzeichnis. 



Aus den Besprechungen. 

Blätter für höheres Schulwesen. „Die Darstellung ist ganz elementar und 
sehr klar gehalten. Der Inhalt gliedert sich naturgemäß in die Mechanik, Akustik, 
Optik und Thermik der physikalischen See -Erscheinungen. Besonders interessant 
sind die Untersuchungen über den so viel diskutierten Grund der Verschieden- 
farbigkeit der Seen. Die Erscheinungen des Wasserschattens werden mit dem 
Brockengespenst in zutreffende Parallele gestellt. Aber von dem allergrößten Inter- 
esse sind S. 63 ff. die Ausführungen über die Brechungserscheinungen beim Über- 
gänge des Lichtes von Wasser in Luft. Es wird hier ganz elementar nachgewiesen, 
wie relativ und einseitig unsere Erkenntnis der Dinge ist. Wir sehen alle Gegen- 
stände nur durch das Medium Luft, ein Wasserbewohner sieht dieselben Gegenstände 
durch das Medium Wasser ganz anders als wir, ja er sieht sogar fachen, die 
wir als aus einem Stücke bestehend, als kontinuierliche Massen bezeichnen, in 
Stücke zerteilt ! ! Das Buch sei auch für die Schüler der obersten Klasse empfohlen. u 

Himmel und Erde. „Was der Physiker vom weitverbreitetsten Stoffe 
auf unserem Erdball, dem Wasser, zu sagen weiß, ist fast lückenlos in dem 
Aufsess sehen Buche zusammengefaßt worden. Wir erfahren etwas über 
die Wellenbewegung an der Oberfläche, die Strömungen, Fortpflanzung des 
Schalles im Wasser, über die Durchsichtigkeit und die thermischen Ver- 
hältnisse. "'Besonders eingehend behandelt der Verfasser auf Grund eigener 
Versuche die Durchsichtigkeit unjd Farbe der Gebirgsseen, wobei er die Frage 
entscheidet, ob letztere chemischer oder physikalischer Art ist. Wir emp- 
fehlen das Buch besonders allen denen, die es lieben, ihre Erholung in einer 
liebevollen Betrachtung der Natur zu suchen/ 



Verlag von Priedr. Vi e weg & Sohn in Braunschweig 



Die Wissenschaft ISSSLS^SSSSS^. Heft 5 

Die Entwickelung der 
elektrischen Messungen 

Von Dr. 0. Frölidl. Mit 124 Abbildungen. 
XII, 192 S. 1905. Geh. M 6.-, geb. n 6.80. 



vou W. Weber. Telepraphieundftpiegelgftlvanometer. D&mpfung. Sp&tero Spieyelgalva 



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«caeilsihiif-.. — Die Heilmethoden. Di« 



'orrnnCion der Spunang. 



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sehe Brooks, formen der Melibrüake. Temperalu.me«lunsl mitiole M 
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Htaflul vi« Ladung und Sulhltüiduktlon. Kinfluü Tun elektrmiiotoi 
Wideretund Ton Zeraetmn grellen, Ballarien mw. ciaumitiui. Koh 
Lulleroth. Prolich " " ■ 



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Verlag von Friedr. Viewcg & Sohn in Braunschweig 



DiC WiSSen SChSit mS^JSs^vELzd!Lniti\vmgpi ll Clt 6 

Elektromagnetische 
Schwingungen und Wellen 

Von Dr. Josef Ritter von Qeit/er, außerordent/. 

Professor der Physik an der k. k. Deutschen Universität Prag. 

Mit 86 Abbildungen. VIII, 154 6. 1905. Qeh.M4.50, 
geb. M 5.20. 



Inhaltsverzeichnis. Einleitung. L Kapitel. Theorie der Fernwir- 
kungen. Isaao Newton. — IL Kapitel. Theorie der vermittelten Fern- 
wirkung. I. Abschnitt: Michael Faraday. Das magnetische Feld. Das elektrische Feld. 
Der elektrische Strom. Das elektromagnetische Feld. Die Induktionserscheinungen. 
Die Erscheinungen der Selbstinduktion. Elektrische Schwingungen. Einige Grund- 
begriffe aus der Lehre von den Schwingungen. II. Abschnitt: James Clerk Maxwell. Die 
kritische Geschwindigkeit. Elektromagnetische Liohttheorie. III. Abschnitt: Heinrich 
Rudolf Hertz. IV. Abschnitt: Die weitere Entwicklung. Methoden zur Beobachtung 
Hertzscher Wellen. Die elektromagnetischen Wellen und die Optik, a) Längste Wärme- 
und kürzeste elektrische Wellen, b) Nachahmung optischer Versuche mit Hertzschen 
Wellen, o) Optische Analogien von Versuchen mit Hertzschen Wellen, d) Der Inter- 
ferenzversuch von V. v. Lang, e) Spektralanalyse der elektromagnetischen Strahlung, 
i) Bolle des Leiters bei Drahtwellen, g) Die drahtlose Telegraphie. — Namenverzeichnis. 



Aus den Besprechungen. 

Annalen der Elektrotechnik. ... „Die vom Verfasser gewählte Art der 
Darstellung folgt der historischen Entwickelang des Gegenstandes bis in die 

neueste Zeit und stellt an die mathe- 
matische Vorbildung seiner Leser nur 
die bescheidensten Ansprüche. Die 
Behandlung des Stoffes ist aus- 
gezeichnet, die Gliederung klar und 
deutlich, die 86 gut ausgeführten 
Texttiguren unterstützen und er- 
leichtern ganz wesentlich das Ver- 
ständnis der für den Nichtphysiker 
immerhin schwierigen Materie. Da 
auch die Ausstattung und der Druck 
in gediegener Weise ausgeführt ist, 
so kann das Buch auf das wärmste 
empfohlen werden. Für den Studenten 
der Physik und Elektrizitätslehre ist 
das Bändchen als erste Einführung 
in das genannte Gebiet von großem Nutzen, es gibt aber auch dem gebildeten 
Nichtphysiker, besonders dem praktischen Elektrotechniker und Ingenieur einen 
bequemen Überblick über die einschlägigen theoretischen Probleme und deren 
experimentelle Lösung. u 



Verlag von Friedr. Vieweg <£ Sohn in Braunschweig 




DlC WiSSenSChaft mathematischer Einzeldarstellungen Heft 7 

- 

Die neuere Entwid<elung 
der Kristallographie 

Von Dr. H. Baumhauer, Professor an der Universität 
zu Freiburg /. ct. Schwe/z. Mit 46 Abbildungen. Viii, 
184 5. 1905. Geh. M 4.—, geb. M 4.60. 



Inhaltsverzeichnis. I.Abschnitt. Einleitung. Wesen und Definition eines 
Kristalls. Fließende und flüssige Kristalle. Zonengesets und Gesetz der rationalen 
Acbsenschnitte. Kristallographische Symbole. Linearprojektion , gnomonische und 
sphärische Projektion. Kohäsionsminima innerhalb der Kristalle. — IL Abschnitt. 
Kristallklassen und Pseudosymmetrie. Einteilung der Kristalle in 82 Klassen. 
Symmetrieelemente: Zentrum der Symmetrie, Symmetrieebenen, Deck- und Spiegelachsen. 
Kristallsysteme. Spezielle Ableitung und Besprechung der einzelnen Kristallklassen. Ab- 
leitung derselben auf Grund der Deck- und Spiegelachsen. Übersicht über die 32 möglichen 
Kristallklassen. Pseudosymmetrische 
Kristalle. — III. Abschnitt. Er- 
mittelung der Symmetriever- 
hältnisse der Kristalle. Gonio- 
metrische Untersuchung, zweikrei- 
Biges Goniometer. Physikalische 
Eigenschaften der Kristalle, insbe- 
sondere optisohes Verhalten; Zir- 
kularpolarisation optisch-einachsiger 
und -zweiachsiger Kristalle. Polare 
Pyroelektrizität. Ätz- oder Lösungs- 
erscheinungen. Geometrische Ano- 
malien (vizinale Flächen). Optische 
Anomalien. Anomale Ätzfiguren. 
Allgemeinere Bedeutung der Ätz- 
erscheinungen. — - IV. Abschnitt. 
Zwillingsbildung der Kri- 
stalle. Zwillingsachsen u. Zwillings- 
ebenen. Allgemeine Zwillingsgesetze. 
Ableitung der verschiedenen mög- 
lichen Fälle von Zwillingsbildung. Deutung des Vorganges der Zwillingsbildung. 
Translationsflächen als Zwillingsebenen. Zwillinge von enantiomorphen Kristallen. 
Begünstigung der Zwillingsbildung. Polysynthetische Verwachsung pseudosymmetrischer 
Kristalle, Mimesie. — V. Abschnitt. Flächenentwickelung und Waohstum 
der Kristalle. Entwickelung der Kristallfläohen innerhalb der Zonen. Gesetz der 
Komplikation. Beobachtungen an flächenreichen Zonen; primäre Keilten, sekundäre und 
tertiäre Flächen. Raumgitter und regelmäßige Punktsysteme. Elementarparallelogramm 
und Häufigkeit einer Fläche. Einfluß des Lösungsmittels auf die Form der sich ausschei- 
denden Kristalle. Untersuchungen über das Wachstum der Kristalle. — VI. Abschnitt. 
Chemische Kristallographie. Isomorphie. Definition derselben. Morphotropie. 
Topische Achsen. P. v. Groths neuere Auffassung der Kristallstruktur, Morphotropie 
und Isomorphie. Polymorphe (monotrope und enantiotrope) Modifikationen. Mischungen 
isodimorpher Körper. Beziehungen zwischen der chemischen Formel und dem Kristall- 
systeme einer Verbindung. — Anhang. Kristallklassen, Namen und Symbole der 
Formen nach P. v. Groths physikalischer Kristallographie. 




Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



DlC wiSSCnSChSit mathematischer Einzeldarstellungen Heft ö 

Neuere Anschauungen 
auf dem Gebiete der anorg. Chemie 

Von Prof. Dr. A. Werner in Zürich. Zweite 
Auf tage. XV, 292 3. 1909. Geh. M9.— ß geb. tl 10.—. 



Inhaltsverzeichnis. I. Die Elemente. 1. Der Elementenbegriff. 2. Systematik* 
— II. Die chemischen Verbindungen. A. Allgemeiner Teil. Lehre von 
der Valenz. I. Entwicklungsgang der Wertigkeitslehre. IL Über die Valenzzahlen. 
1. Die Hauptvalenzzahl. 2. Die Nebenvalenzzahl. 3. Die Koordinationszahl. 4. Die iono- 
gene Nebenvalenzzahl. III. Über die Valenzeinheiten, l. Einleitung. 2. Definition yon 
Haupt- und Nebenvalenzen. 3. Die Valenzeinheit als gerichtete Einzelkraft. 4. Über das 
Wesen der Haupt- und Nebenvalenzen. Der Übereinstimmende Charakter von Haupt- 
und Nebenvalen/.en. 5. Der elektrochemische Begriff der Hauptvalenz. 6. Der Affini- 
tätswert der Vaienzbindungen. IV. Schlußbetrachtungen über Affinitat und Valenz. 
B. Systematischer Teil. I. Die Verbindungen erster Ordnung. 1. Einleitung. Q.Nomen- 
klatur. 8. Systematik. IL Die Verbindungen höherer Ordnung. 1. Halogenosalze und 
analoge Verbindungen. 2. Verbindungen höherer Ordnung mit Oxyden , Sulfiden usw. : 
Die Anlagerungsverbindungen ; Die Einlagerungsverbindungen. 3. Verbindungen höherer 
Ordnung mit Nitriden, Phosphiden usw.: Anlagerun gs Verbindungen ; Einlagerungs- 
verbindungen. 4. Verbindungen höherer Ordnung mit Karbiden. 5. Verbindungen 
höherer Ordnung mit verschiedenen Molekülkomponenten: Anlagerungs Verbindungen ; 
Einlagerun gs Verbindungen. 6. Über mehrkernige Metallammoniake. 7. Über koordi- 
nativ ungesättigte Einlagerungsverbindungen. -. Die Koordinationsverbindungen der 
Wasserstoffverbindungen. 9. Theorie der Basen und Säuren. 10. Über die inneren 
Metallkomplexsalze. 11. Über Komplexverbindungen mit negativen Zentralatomen. 
12. Über Nebenvalenzverbindungen von Elementen. 13. Allgemeine Betrachtungen Über 
die Bildung von Verbindungen höherer Ordnung, m. Lehre von der Isomerie bei 
anorganischen Verbindungen. 1. Polymerie. 2. Koordinationsisomerie. 3. Hydrat- 
isomerie. 4. Ionisationsmetamerie. 6. Salzisomerie. 6. Strukturisomerie. 7. Raum- 
isomerie. 8. Valenzisomerie. 9. Unaufgeklärte Isomerieerscheinungen. 



Aus den Besprechungen. 

Chemiker -Zeitung. „Die zweite Auflage des eben genannten Buches, 
dessen erste Auflage den Lesern dieser Zeitung bestens empfohlen wurde, ist 
aus dieser durch eine eingehende Umarbeitung und Durcharbeitung unter 
Berücksichtigung des inzwischen neu gefundenen Tatsachenmaterials entstanden. 
Ein Hauptunterschied beider Auflagen besteht in der Anordnung. Während 
in dem früheren zweiten Hauptteile über Verbindungen erster Ordnung und 
in dem dritten Hauptteile über Verbindungen höherer Ordnung jedesmal die 
betreffenden Valenzfragen zunächst behandelt und dann die Systematik der 
Stpffe gegeben wurde, sind jetzt beide Hauptteile vereinigt, wodurch es ermög- 
licht wurde, die Valenzfragen im Zusammenhange darzustellen. Meines Er- 
achtens hat das Werk dadurch an Klarheit und Übersichtlichkeit erheblich 
gewonnen. Und das ist gut. Werners gedankenreiche Darlegungen stürzen 
alte eingewurzelte Anschauungen und setzen Neues an ihre Stelle. Dem zu 
folgen, erfordert tüchtige Mitarbeit, und jede Erleichterung dabei wird vom 
Leser mit Dank entgegengenommen. Im speziellen Teile wird die Theorie 
der Hydrate, der Hydrolyse, der Ammoniumverbindungen besonderes Interesse 
erwecken." Heinrieh Biltz. 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



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Die WlSSenSChaft mathematischer Einzeldarstellungen nett V 

Die tierischen Gifte 

Von Edwin S. FaUSt, Dr. phif. et med, Privatdozent 
der Pharmakologie an der Universität Straßburg. XIV, 248 3, 

1906. Geh. M Ä-, geb. M 6.80. 



Inhaltsverzeichnis. Vorwort. — Einleitung. Zweck und Nutzen einer 
zusammenfassenden Behandlung der tierischen Gifte. Begriffsbestimmung. Was 
gehOrt su den tierischen Giften? -Aktiv" und „passiv" giftige Tiere, Eigentliche 
Gifte und gelegentlich die Gesundheit schädigende tierische Produkte. Zoonosen. 
Historisches über tierische Gifte. Aberglauben. Entwickelung unserer Kenntnisse 
über dieselben. Praktische Bedeutung der tierischen Gifte für die sie produzierenden 
Tiere. Praktische Bedeutung der tierischen Gifte für den Menschen: Giftmord, Selbst- 
mord, Hinrichtung von Verbrechern; Verwendung zur Herstellung von Pfeilgiften; 
Medizinale Vergiftungen durch tierische Gifte; Verwundung durch Bisse oder Stiche 
giftiger Tiere; Therapeutische Verwendung tierischer Gifte. Systematik. — Wirbel- 
tiere» Verte brata. Saugetiere , M a m m a 1 i a. Ornithorhynchus paradoxus, Piatypus. 
Das Adrenalin. Die Gallonsauren: Die pharmakologischen Wirkungen der Gallensauren. 
Schlangen, Ophidia. Giftschlangen, Thanatophidia. Übersicht. Histo- 
risches. Begriffsbestimmung. „Giftige" und „ungiftige" Schlangen. „Verdachtige 
Schlangen". Systematik und geographische Verbreitung der Giftschlangen. A. Colu- 
bridae venenosae , Giftnattern. B. Viperidae. Solenoglypha, Röhrenzähner. Die Gift- 
organe der Schlangen. Die physiologische Bedeutung des Schlangengiftes. Über die 
Natur des Schlangengiftes. Wirkungen der Schlangengifte. Natürliche Immunität ge- 
wisser Tiere gegen Schlangengifte. Künstliche oder experimentelle Immunisierung 
gegen Schlangengifte. Angebliche Immunität gewisser Kategorien von Menschen gegen 
Schlangengift. Therapie des Schlangenbisses. Prophylaxe. Eidechsen, Sauria. 
Amphibien, Lurche; Amphibia. 1. Ordnung: Anura, schwanzlose Amphibien. 
2. Ordnung: Urodela, geschwänzte Amphibien. Fische, Piacep. I. Giftfische. A.Tische, 
welche durch Bin vergiften. B. Fische, welche durch Stichwunuen vergiften. C. Fische, 
welche ein giftiges Hautsekret bereiten. II. Giftige Fische. III. Vergiftung infolge 
des Genusses durch postmortale Veränderungen gesundheitsschädlich oder giftig ge- 
wordener Fische. — wirbellose Tiere, Averte brata. Muscheltiere, Lamelli- 
branchiata. Gliederfüßer, Arthropods* l. Klasse: Spinnentiere, Arachnoidea. 
a) Ordnung Scorpionina. Arthrogastra, Gliederspinnen, b) Ordnung Araneina. c) Ordnung 
Solifugae, Walzenspinnen, d) Ordnung Acarina, Milben. 2. Klasse: Myriapoda, 
Tausendfüßler, a) Ordnung Chilopoda. b) Ordnung Ghilognatha s. Diplopoda. 8. Klasse: 
Hexapoda, Insekten, a) Ordnung Hymenoptera, Hautflügler. Familie Apidae, Bienen. 
Familie Formieidae , Ameisen, b) Ordnung Lepidoptera , Schmetterlinge, c) Ordnung 
Coleoptera, Käfer, d) Ordnung Orthoptera, Geradflügler, Sohrecken. e) Ordnung Dip- 
tera, Zweiflügler, Fliegen. Crustacea, Massenvergiftungen durch Crangon vulgaris. 
Würmer, Vermes. Plathelminthes , Plattwürmer. Nemathelminthes , Bundwürmer. 
Annelida, Ringelwürmer. Staohelhäuter, Echinodermata. Seesterne, Asteroidea. 
Seeigel, Echinoidea. Seewalzen, Seegurken, Holothurioidea. Coelenterata 
(Zoophyta), Pflanzentiere. — Namenverzeichnis. — Sachregister, 

Aus den Besprechungen. 

Repertorium der Praktischen Medizin. . . . „Wir haben bis jetzt ein Buch, 
das in dieser ausführlichen Weise vom Standpunkte des Zoologen, Pharma- 
kologen, Physiologen und Pathologen die tierischen Gifte einer Betrachtung 
unterwirft, nicht gehabt. Gans besonders wird uns das Kapitel über Schlangen 
und Schlangengifte, vor allem auch der physiologische und dann der thera- 
peutische Teil interessieren, wobei der Autor alle Methoden eingehend beschreibt 
und auf ihren Wert prüft. Einen wertvollen Beitrag bieten die Darlegungen 
über Immunität und Immunisierung." . . . 

Verlag von Friedn Vieweg & Sohn in Braunschweig 



DlC WlSSeriSChait mathematischer Einzeldarstellungen Heft 10 



Die psychischen tlaßmethoden 

Von Dr. G. F. LippS, Privatdozent der Philosophie 
an der Universität Leipzig. Mit 6 Abbildungen. X, 1513. 
1906. Geh. M 3.50, geb. M 4.10. 



Inhaltsverzeichnis. Erster Abschnitt. Psychologie undNaturwissen- 
sohaf t» 1. Die empirische und die philosophische Weltbetrachtung. 2. Die Bewußtseins« 
inhalte. — Zweiter Absohnitt. Die Wahrscheinlichkeitslehre. 3. Ge- 
wißheit und Wahrscheinlichkeit. 4. Die Wahrsoheinlichkeitsbestixnmung. — Dritter 
Abschnitt. Die Maßbestimmungen bei der Berücksichtigung subjek- 
tiver Faktoren im Bereiche der naturwissenschaftlichen Forschung. 
5. Die Beobachtungsfehler. 6. Die Ungeaauigkeit der Sinnes Wahrnehmung und die 
sonstigen subjektiven Faktoren. — Vierter Absohnitt. Die psychophy siechen 
Maßmethoden. 7. Der naturphilosophische Standpunkt Fechners und das psycho- 
physische Grundgesetz. 8. Das Maß der Empfindlichkeit. 9. Die Methode der eben 
merklichen Unterschiede. 10. Die Methode der mittleren Fehler. 11. Die Methode der 
richtigen und falschen Fälle. . 12. Die Methode der mittleren Abstufungen. IS. Die 
Beobachtungsreihen. 14. Das Fehlergesetz. 16. Die Mittelwerte der Beobachtungsreihen. 
— Fünfter Abschnitt. Das psychische Maß. 16. Die durch Fechner begründete 
Auffassungsweise des psychischen Maßes. 17. Ordnen und Messen. — Sechster Ab- 
schnitt. Die Methoden der psychischen Abhängigkeitsbestimmung. 
18. Die Bestimmung des Grades der Abhängigkeit. 19. Der Typus der Beobachtungs- 
reihe. 20. Die Zerlegung der Beobachtungsreihe in Komponenten und die Bestimmung 
der Unterschiedsechwelle. — Anhang. 21. Die Berechnung der Mittelwerte. — Literatur- 
verzeichnis. — Register. 



Aus den Besprechungen. 

Literarisches Zentralblatt. „In der Literatur begegnet man noch so oft 
unklaren und fehlerhaften Anschauungen über die psychischen Maßmethoden, 
daß eine umfassende monographische Darstellung der letzteren sicher einem 
Bedürfnis entspricht. Q. F. Lipps gibt nun in der Tat eine Monographie, 
welche auch zur ersten Einführung in das Gebiet sich recht gut eignet. Er 
hat sich dabei weiter die doppelte Aufgabe gestellt: einesteils zu zeigen, daß 
die von Fechner in Anlehnung an das gewöhnliche Fehlergesetz begründeten 
Maßmethoden unzureichend sind, und anderenteils den Weg anzugeben, auf 
dem man ohne Voraussetzung eines bestimmten Fehlergesetzes zu einer allen 
Bedürfnissen der experimentellen Psychologie genügenden Methode der Maß- 
und Abhängigkeitsbestimmung gelangt. An den Ausfall dieses letzteren Ver- 
suches knüpft sich in wissenschaftlicher Beziehung das Hauptinteresse an der 
Abhandlung des Verfassers." 

Physikalische Zeitschrift. „Wer den Wunsch hegt, einen Überblick 
über .tas Küstzeug der messenden Psychologie zu gewinnen, dem wird das 
vorliegende zehnte Heft der Viewegschen Sammlung „Die Wissenschaft" sehr 
willkommen sein. Das Buch wird sich bald einen größeren Freundeskreis 
erwerben." 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



DJ© WiSSCnSChSit matoerai?schcr Ur EinzcldarstcUangen H Clt 11 

Der Bau des Fixsternsystems 

mit besonderer Berücksichtigung der photometrischen Resultate 

Von Dr. Hermann Kobold, außerordentl. Professor 
an der Universität und Observator der Sternwarte in Klei. 

Mit 19 Abbildungen und 3 Tafeln. XI, 2563. 1906. 
Geh. M 6.50, geb. M 7.30. 



Inhaltsverzeichnis. Einleitung. Erster Abschnitt. Die Instrumente 
and Beobachtungsm&thoden. 1. Die Ortsbestimmung: Sternbilder. Sternnamen. 
Sternkoordinaten. Präzession. Relativer Ort. Verwandlung der Koordinaten. 2. Die Hellig» 
keit : Visuelle Helligkeitsbestimmung. Die photometrische Skala. Die Photometer und ihre 
Theorien. Photographische Sterngrößen. Extinktion deB Lichtes in der Atmosphäre 
und im Weltenraume. S. Die Farbe der Gestirne. Die Schmidtache Skala. Purkinje- 
Phänomen. 4. Das Spektrum, Vogels Sternklassen. Secchis , Pickerings t Lockyera 
Klassifizierung, ö. Die Entfernung: Wirkung auf den Ort der Gestirne. Absolute und 
relative Messung. Photographischo Methode. Doppelsterne. Relative und absolute 
Parallaxe. 6. Die Bewegung: J ie Eigenbewegung. Die Radialgeschwindigkeit. Die 
totale Bewegung. 7. Die Stern Verteilung: Die scheinbare Verteilung. Zusammenhang 
zwischen Sternzahl, Helligkeit und Entfernung. Anwendung der Wahrscheinlichkeits- 
lehre. — Zweiter Abschnitt. Die Einzelresultate. 1. Der Sternort: Stern- 
kataloge. Sternkarten. Die Durchmusterungen. Die photographische Himmelskarte. 2. Die 
Helligkeit. Angaben des Ptolemäus. Schätzungen Argelanders und Goulds. Die 
photometrischeu Meinungen und ihre Vergleichung. Sterngröße nach den photogra- 
phischen Aufnahmen. Photometrische Grölie der Sonne. S. Die Sternfarbe: Osthoffs 
Katalog. Potsdamer Katalog. Einfluß der Färbung auf die Helligkeitsmessung. 4. Das 
Spektrum: Spektroskopische Durchmusterungen. Verteilung der Spektra. Verteilung 
der Sterne der einzelnen Speklralklassen. 5. Die Entfernung: Die Einzelresultate. 
Sterne mit großer Parallaxe. Zusammenhang zwischen der Entfernung und der ab- 
soluten Helligkeit, bzw. dem Spektrum. 6. Die Bewegungen; Kataloge der Eigen- 
bewegungen. Werte der Radialgeschwindigkeiten. Erklärung der Bewegungen* 
Herschels Arbeiten. Bessels Methode. Die Grundgleichungen zur Bestimmung der 
Sonnenbewegung. Argelanders , Airye Methode. Kapteyns Bestimmung. Größe der 
Soiinenbewegung nach diesen Methoden. Die Resultate aus den beobachteten Radial- 
geschwindigkeiten. Resultate aus den totalen Bewegungen. Unzulänglichkeit der 
Darstellung und ihre Ursachen. Nichtgeradlinige ungleichförmige Bewegung. Systema- 
tische Kehler der Eigenbewegungen. Beziehungen der Bewegungen zur Milchstraße. 
Schoenfelds Methode und deren Resultate. Bakhuyzens Untersuchungen. Kobolds 
neue Untersuchungen nach der Beseel - Koboldschen Methode und ihre Resultate. 
Gegenüberstellung. Gesetzmäßigkeiten in den Eigenbewegungen. Engere Sternsysteme. 
Beziehungen zwischen der Bewegung und der Helligkeit bzw. dem Spektraltypus. 
7. Die scheinbare Verteilung der Sterne und ihre Beziehung zur Milchstraße: Her- 
schels Eichungen. Struves Zählungen. Littrows Bearbeitung der B. D. Houzeaus 
Zählung. Goulds KreiB. Schiaparellis und Stratonoffs Arbeiten. Pickerings Unter- 
suchungen. Seeligers Darstellung der Sternzahlen. — Dritter Absohnitt. Der Bau 
des Fixsternsystems. 1. Das Phänomen der Milchstraße: Die statistischen Resultate. 
Seeligers , Plassmanns, Eastons , Stratonoffs und Ristenparts graphische Darstellungen. 
Charakter und Struktur der Milchstraße. Lage der Milchstraße. 2. Die räumliche 
Anordnung des Universums: Herschels Sternsystem. W. Struves Theorie. Dar- 
stellung der Sternzahlen durch dieselbe. Wert für den Extinktionskoeffizienten. 
Schiaparellis Annahmen. Seeligers Lösung. Abhängigkeit der Entfernung von der 
Helligkeit und der Größe der Eigenbewegung. Gyldens und Kapteyns Ausdrücke für 
die mittlere Parallaxe. Comstocks Untersuchungen an sehr schwachen Sternen. S. Die 
Bewegungen im Universum: Argelanders und Mädlers Hypothese. Beobachtungs- 
resultate in Globularsystomen. Mathematische Darstellung. Untersuchung einzelner 
Spezialsybteme. — Schlußwort. — Anhang. 1. Tafel der Sterne mit bekannter Par- 
allaxe. 2. Tafel der Sterne mit großer Eigenbewegung. 8. Literaturverzeichnis. — 
Register. 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



r~v* iv/* i s± Sammlung naturwissenschaftl. und u oj 4i~% 

Die WiSSenSCnait mathematischer Einzeldarstellungen tleit \/L 

Die Fortschritte 
der kinetischen Gastheorie 

Von Dr. Q. Jäger, Professor der Physik an der techn. 
Hochschule in Wien. Mit 8 Abbildungen. XI, 121 3. 
1906. Geh. M 3.50, geb. M 4.10. 

Inhaltsverzeichnis« Einleitung: Grundriß der kinetischen Gastheorie. 1. Boyle- 
Cnarlessches Gesetz. 2. Avogadros und Gay-Lussacs Hegel. 3. Daltons Gesetz. 
4. Zahlenwert der Geschwindigkeit. 5. Maxwells Gesetz. 6. Mittlere Weglange und 
Stoßzahl der Molekeln. 7. Spezifische Warme. 8. Innere Beibung. 9. Wärmeleitung. 
10. Diffusion. 11. Größe der Molekeln. 12. Abweichungen vom Boyle - Charlesschen 
Gesetz. 18. Das Virial. — I. Boltzmanns ff- Theorem. II. Maxwell -Boltzmannsche* 
Gesetz. ITC. Gültigkeit des Maxwell - Boltzmannschen Gesetzes für beliebig kleine 
Kraftfelder. IV. Die Zustandsgieichung schwach komprimierter Gase. V. Der Tem- 
peraturkoeffizient der inneren Beibung. VI. Der Temperaturaprung bei der Wärme- 
leitung. VH. Die ideale Flüssigkeit. VIII. Innerer Druck der Flüssigkeiten. IX. In- 
nere Beibung idealer Flüssigkeiten und Größe der Molekeln. 



Aus den Besprechungen. 

Chemiker -Zeitung. „Die ausführliche Einleitung des Werkchens gibt 
eine ausgezeichnete klare Darstellung der kinetischen Gastheorie. Schon wegen 
derselben kann das Büchlein, das aus der Feder des durch seine „theoretische 
Physik 1 * wohlbekannten Verfassers hervorgegangen ist, bestens empfohlen werden. 
Der Hauptteil ist zunächst Boltzmanns Untersuchungen gewidmet. Das 
H -Theorem und seine Beziehung zum zweiten Hauptsatze der Wärmetheorie 
finden zuerst ihre Ableitung, sodann die Sätze über Geschwindigkeitsverteilung 
und Dichteverteilung in einem Gase, in dem innere und äußere Kräfte wirken. 
Der Verf. verfolgt hier anschauliche und originelle Methoden. Die Anwendung 
wird auf die Zustandsgieichung nicht zu stark komprimierter Gase gemacht, 
wobei der Verf. den Arbeiten von M. Reinganum folgt. Der Temperatur- 
koeffizient der inneren Reibung, der in letzter Zeit befriedigende Erklärung 
fand, wird ebenfalls besprochen. Es folgen die Untersuchungen von Smolu- 
chowski über den Temperatursprung der Wärmeleitung in Gasen und eigene 
Forschungen des Verf. über die Theorie der Flüssigkeiten. Das Büchlein kann 
daher allen , die sich für die auch in der Elektrizitätslehre immer mehr Be- v 
deutung gewinnende kinetische Theorie interessieren, wärmstens empfohlen 
werden." 

Elektrochemische Zeitschrift „Mit Bezug auf die Wichtigkeit, die 
gegenwärtig die Arbeiten über die Elektrizität in Gasen erlangt haben, dürfte 
die vorliegende kurze und dabei doch in bezug auf die Hauptmomente er- 
schöpfende Zusammenfassung der Resultate der kinetischen Gastheorie nicht 
unwillkommen sein. Die Darstellung ist eine klare und deutliche und es ist 
fast durchweg eine eingehende mathematische Begründung gegeben." 

Verlag von Friedr. Vieweg <S£ Sohn in Braunschweig 



Dj~ \Y/icc^n er» helft Samm,un 8 naturwissenschaftt, und H<=kft 1 ^ 
IC W l^bCIIoCI MI L mathematischer EinzcldarstellunEcn IICUIO 



Petrogenesis 



Von Dr. C Doefter, o. Professor der Mineralogie und 
Petrographie an der Universität Graz. Mit einer Lichtdruck- 

tafei und 5 Abbildungen. XU, 262 3. 1906. Geh. 
tl Z— , geb. M 7.80. 



Inhaltsverzeichnis. Einleitung.— Erstes Kapitel. Das Erdinnere und 
der Vulkanismus. Vulkanische Herde. Peripherische Vulkanherde. Ursachen des 
Aufdringens des Magmas. Eruptionsfähigkeit des Magmas. Verhalten des vulkanischen 
Magmas beim Erstarren. Verhalten der Gase. Temperatur der Lava. Temperatur der 
Vulkanherde. — Zweites Kapitel. Die Erscheinungsformen der vul- 
kanischen Gesteine. Die vulkanischen Gesteine. Einfluß des Druckes auf die 
Bildung von Tief engesteinen. Die Bolle der Mineralisatoren. Das Auftreten der Ge- 
steine. Eruptionsformen der Oberflächengesteine. Viskosität und Lagerungsform. Er* 
soheinungsf ormen der Tiefengesteine. Mechanismus der lntrusion. Der äußere Habitus 
der vulkanischen Gesteine. — Drittes Kapitel. Die Struktur der Eruptiv- 
gesteine. Struktur der Effusivgesteine. Struktur der Tief engesteine. Spezielle Struk- 
turen. Beziehungen zwischen dem Alter der Gesteine und ihrer Struktur. Änderungen in der 
Struktur und dem Mineralbestande in verschiedenen Teilen einer Erupttonsmasse. — 
Viertes Kapitel. Abhängigkeit der mineralogischen Zusammensetzung 
der Gesteine von ihrem chemischen Bestände. Dissoziation des Magmas. Ver- 
gleich der Gesteinsmagmen. Graphische Darstellung von Gesteinsmagmen. — Fünftes 
Kapitel. Die Differentiation der Magmen. Das Ganggetolge. Die Hypothese 
Bröggers. Differentiation bei künstlichen Schmelzen. Magmatische Differentiation durch 
das spezifische Gewicht. Verhalten fertiger Kristalle im Magma. Die Kristallisations- 
differentiation. Schlieren. Differentiation bei gleichbleibender chemischer Zusammen- 
setzung. Umschmelzungs versuche von Mineralien und Gesteinen. — Sechstes Kapitel. 
Die Alters folge der Eruptivgesteine. Unterschiede der Altersfolge bei Tiefen- 
und Effusivgesteinen. Veränderungen der vulkanischen Produkte im Laute geologischer 
Perioden. Petrographische Charakteristik und Altersbeziehungen der Gesteine eines Vul- 
kans. — Siebentes Kapitel. Die Ein Schlüsse der Gesteine. Exogene Einschlüsse. 
Endogene (homöogene) Einschlüsse. Die Olivinknollen. — Achtes Kapitel. Assimi- 
lation und Korrosion. UrBache der Korrosionen und Besorptionen. Korrosion des 
Nebengesteins am Kontakt. Assimilation. — Neuntes Kapitel. Künstliche Ge- 
steine. — Zehntes Kapitel. Die Verfestigung des vulkanischen Magmas. 
Die Aus8cheidungsf olge der Mineralien im Magma. Kristallisationsvermögen und Kristalli- 
sationsgeschwindigkeit. Unterkühlung. Einfluß der Schmelzpunkte. Das Kristallisations- 
mikroskop. Einfluß des Druckes auf die Ausscheidung. Bildung vulkanischer Tuffe. — 
Elftes Kapitel. Die Kontaktmetamorphose. Kaustische Wirkungen. Umwand- 
lung von Kalksteinen. Umwandlung von Sandsteinen, Tonschiefern und Tonen. Chemische 
Vorgänge bei der Phyllitkontaktmetamorphose. Pneumatolytisohe Metamorphose. Um- 
wandlung des Diabases und der Diabastuffe. Chemisch-physikalische Vorgange bei der 
Kontaktmetamorphose. — Zwölftes Kapitel. Die Bildung der kristallinen 
Schiefer. Allgemeines. Eruptive Gneise. Gneise als umgewandelte Granite. Diagenese. 
Dar Begionalmetamorphismus. Die chemische Zusammensetzung der kristallinen Schiefer. 
Umwandlung durch Waseer. Umwandlung durch hohe Temperatur. Die Injektions- 
hypothese. Die Dynamometamorphose. Chemische Beaktion im Pesten. Die Plasti- 
zität der Gesteine. Einfluß des Druckes auf die Löslichk.-it von Mineralien. Einseitiger 
Druck (Streß, Pressung). Zusammenhang der Metamorphose mit der Dislokation. Das 
Volumgesetz. Der Mineralbestand der kristallinen Schiefer. Struktur und Textur der 
Schiefergesteine. Ursache der Schiefrigkeit. Die Tiefenstufen. Schwierigkeiten einer 
allgemeinen Anwendung der Dynamometamorphose. Bildung von kristallinen Schiefern 
durch Kontaktmetamorphose. Vergleich der Kontaktmetamorphose und der Dynamo- 
metamorphose. — Dreizehntes Kapitel. Sedimente. Kalksteine. Dolomit. 
Magnesit. Kieselsinter, Kieselschiefer. Sandsteine. Tone, Kaolin. Äolische Sedimente. 
Alaunschiefer. Laterit. — Vierzehntes Kapitel. Chemische Absätze, Bil- 
dung von Steinsalz, Gips und Anhydrit. Absätze der Salzseen. Die Barren- 
theorie. Gips und Anhydrit. Steinsalz und Abraumsalze. Heihenfolge der Ab- 
lagerungen der Salzmineralien. Die Temperatur der Steinsalzlager. Einfluß der Zeit 
und des Druckes. Salpeter. Soda. — Nachträge. — Autorenregister. — Sachregister. 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



Dl Ä W/' 1 Sa. Sammlung naturwisscnschaftl. und it o, \ a 

IC WlSSenSCnait mathematischer Einzeldarstellungen Heil 14 

Die Grundlagen 

der Farbenphotographie 

Von Dr. B. Donath. Mit 35 Abbildungen und 
einer farbigen Ausschlagtafel. VIII, 166 5. 1906. 
Geh. M 5.—, geb. M 5.80. 



Inhaltsverzeichnis. L TeiL Die direkten Verfahren der photo- 
graphischen Farbenwiedergabe, Farbenwiedergabe. Erstes Kapitel. Die 
photugraphische Farbenwiedergabe duroh stehende Lichtwellen. Ge- 
schichtliches. Theorie des Verfahrens : Begriff des Wellenstrahles. Lichtwellen. Reflexion 
der Lichtwellen (Phasenverlust). Scheinfarben durch Interferenz. Die Zenkersche 
Theorie. Experimentelle Beweise für die Richtigkeit der Theorie (Veränderung der 
Farben mit dem Beobachtungswinkel und durch Auseinandertreten der Elementarspiegel. 
Komplementare Farben im durchlallenden Lichte. Nachweis der Elementarschichten in 
mikroskopischen Dünnschnitten)* Weitere theoretische Betrachtungen (Die Beziehungen 

des Silberkornes zur Schichtenbildung. 

T, T« Ti» Die speziellen optischen Eigenschaften 

i*i V 2 "f 3 von Chromgelatine, kohärentem u. mole- 

I i ; kularem Silber. Elementarspiegelabstand 

; ] ! und Phaaenverlust. Abhängigkeit der 

^-4-^ CT> <i> Farbenwiedergabe von der Expositions- 

7"6i |lhx «0111 "^i*- Di* Beziehungen der Tiefenwelle 

• j ) zur Oberflächenwelle. Lippmannsche 

• ; } Spektra höherer Ordnung). Praktische 
| | ! Ausübung des Lippmannschen Ver- 
Ip W |T> fahrens. — Zweites KapiteL Die 

mmmmi hmJwhi mm m/^— ~~» photographische Farbenwieder- 

*^ "^ ^ gäbe durch Körperfarben. Ge- 

1 * vp \X schichtliches. Theorie des Verfahrens. 

I H^f--—— ~ >r 84 Ausübung des Ausbleichverfahrens. — 

jf\ S II, Teil. Die indirekten Verfahren 

v n\ ! der photographischen Farben- 

81V ^vB« Wiedergabe. Erstes Kapitel. Ge- 

1 >T"" ~""~^^ schichte und Theorie des Drei- 

\ ; ^^ färben Verfahrens. Geschichtliche«. 

i Theorie : Additive u. aubtraktive Farben- 

K^ } J ^ mischung. Geometrische Konstruktion 

,• .^— ■*— >. der Mischfarben. Grundfarben. Die 

K I ^ * Theorien der Farbenwahrnehmung von 

j Young-Helmholtz und Hering. Experi- 

' mentelle Bestimmung der Grundfarben. — 

| Zweites Kapitel. Die photogra- 

XL phische Analyse nach den drei 

Grundfarben. Sensibilisatoren und 
Filter: Die Beziehungen der Aufhahmefllter zu den Reproduktionsflltern und Sensibili- 
satoren. Die praktische Durchführung der Analyse: Die Sensibilisierung der Platte. 
Aufnahme und Entwicklung. Einfluli der Schwärzungskurve auf die Richtigkeit der 
Farbenwiedergabe. - Drittes Kapitel. Die additive Synthese der Teilbilder 
(Grenzen der authentischen Reproduktion). — Viertes Kapitel. Additive Wieder- 
gabe mit Hilfe von Beugungsspektren (Theorie und Ausübung des Verfahrens). 
— Fünftes Kapitel. Additive Farbenwiedergabe mit dem Dreifarben- 
raster. — Sechstes Kapitel. Die subtraktive Synthese der Teilbilder. 
Theorie: Wahl des Farbensystems. Beziehungen zwischen dem Grundfarbensystem, 
den Aufnahmefiltern und Sensibilisatoren. Ausführung der subtraktiven Synthese: 
Die Herstellung transparenter Dreifarbenbilder. Subtraktive Bilder auf reflektierender 
Grundlage. Der Dreifarbendruck (Flachdruck und Hochdruck). — Literaturverzeichnis. — 
Namenverzeichnis. 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



DiC W i SS eilSC hält mathematischer Einzeldarstellungen Heil lb 

Höhlenkunde 

mit Berücksichtigung der Karstphänomene 

Von Dr. phil. Walter von Knebel. Mit 42 Ab- 
bildungen im Text und auf 4 Tafern. XVI t 222 S. 
. 1906. Geh. tl 5.50, geb. M 6.30. * 



Inhaltsverzeichnis. 1. Kapitel. Einführung. 2. Kapitel. Die Ursachen der 
Höhlenbildung. 3. Kapitel. Die Verteilung der Höhlen in den Gesteinsarten der Erd- 
rinde. 4. Kapitel. Verkarstung und Karstphanomene. 6. Kapitel. Grundwasser und 
Quellen in Höhlengebieten. 6. Kapitel. Die Korrosion in Karstgebirgen. 7. Kapitel. 
Die mechanische Tätigkeit des Wassers in bezug auf die Höhlenbildung. 8. Kapitel. 
Morphologie der Höhlen; natürliches System der Höhlenformen. 9. KapiteL Höhlen- 
nüsse. 10. Kapitel. Die Vaucluse und die Vauclusequellen. 11. KapiteL Die Grund- 
wassertheorie zur Erklärung der hydrographischen Probleme des Karstes. 12. Kapitel. 
Submarine Quellen und Meeresschwinden als Beweise für das Vorhandensein von Höhlen- 
flüssen. 13. Kapitel. Die Entstehung von Höhlenflüssen. 14. Kapitel. Dohnen. 
15. KapiteL Bedeutung der Dolinen für die Entstehung von Tälern. 16. Kapitel. 
Kesseltäler. 17. KapiteL Die wichtigsten Höhlengebiete. 18. Kapitel. Halbhöhlen. 
19. Kapitel. Ursprüngliche Höhlen. 20. Kapitel. Meteorologische Verhaltnisse in 
Höhlen. 21. Kapitel. Die biologischen Verhaltnisse in Höhlen. 22. Kapitel. Höhlen 
als Wohnorte der prähistorischen Menschen. 23. Kapitel. Kulturarbeit in Höhlen- 
gebieten. Geschichte der Höhlenkunde. 

Aus den Besprechungen. 

Geologisches Zentralblatt« „Verf. hat in diesem Buche die Ergebnisse 
jahrelanger Stadien in verschiedenen Höhlengebieten Deutschlands und im 
Karst unter Berücksichtigung der umfangreichen Literatur niedergelegt und 
so ein wissenschaftliches Buch über den Gegenstand verfaßt, über den bisher 
nur Einzelbeschreibungen vorhanden waren. Gleichzeitig gibt er bestimmte 
Hinweise und Anleitungen zu gewissenhaften Beobachtungen auf diesem 
interessanten Gebiet geologisch -geographischer Forschung. Die einschlägige 
Literatur wird erwähnt und kritisch behandelt. . ." 

Zeitschrift für die österreichischen Gymnasien. „ . . . Der Verfasser 
hat es verstanden, die einschlägigen Erscheinungen nicht nur in sehr licht- 
voller Weise zu beschreiben, sondern auch deren Entstehung in sachgemäßer 
Weise zu begründen. Die verschiedenen Anschauungen werden gegeneinander 
abgewogen und in vollkommen objektiver Weise beurteilt. Besonderes Interesse 
ist im vorliegenden Buche dem Karstphanomene entgegengebracht worden und 
dies in Anbetracht der Wichtigkeit der Kenntnis dieser Erscheinung für die 
Bodenkultur mit vollem Rechte. Es findet auch die kulturelle Verwertung 
verkarsteter Länder die entsprechende Erörterung." 

Mitteilungen der Geographischen Gesellschaft für Thüringen. „ . . . Der 
Verfasser gibt eine erwünschte Gesamtdarstellung der Höhlenkunde und aller 
damit zusammenhängenden Fragen. Jeder, der sich schnell orientieren will 
über ein besonderes Kapitel dieser Wissenschaft, wird gern vorliegendes Buch 
zur Hand nehmen. Die zahlreichen Abbildungen, die dem Werke beigegeben 
sind, sind recht instruktiv und klar und schließen sich der sonstigen Aus- 
stattung des Buches würdig an." 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



Di/^ W/Iccöficph oft Sammlung naturwissenschaftt. und H^ff \(~\ 
IC WiaoCllOV~1141l mathematischer Einzeldarstdluniren 1 1 C 1 1 1U 



Die Eiszeit 



Von Dr. F. E. Qeinitz, o. Professor an der UnArersrtät 

Rostock. Mit 25 Abbildungen, 3 farbigen Tafeln 
und 1 Tabelle. XIV, 198 3. Geh. M 7.—, geb. tl 7.80. 



Inhaltsverzeichnis. Einführung. Fauna und Flora des Quartärs. Gletscher- 
entwickelung im Quartär. Verbreitung des quartären Glazialphänomens. Frühere Eis- 
zeiten. Landyerteilung vor der Eiszeit. Ursache der Eiszeit. Zeitberechnungen. Die 
G-lazialablagerungen. Einfluß der Vereisung auf den Untergrund. — I. Das nord- 
europäische Glazial. 1. Gebiet Skandinavien -Bußland -Norddeutschland -Holland, 
a) Art des Vorkommens und Verbreitung: Skandinavien. Finnland. Bußland. Born- 
holm. Dänemark. Norddeutschland. Holland, b) Gliederung des nordeuropäischen 
Quartärs: Präglazial (Altquartär); Fluvioglazial oder ExtraglaziaL Interglazial, c) Die 
Verhältnisse nach dem Abschmelzen der Eisdecke (Postglazial, Spätglazial), d) Die post- 
Klazialen Niveauschwankungen. 2. Das Glazial Großbritanniens. — IL Das Glazial- 
phänomen der Alpen. — HL Das Gebiet zwischen alpiner undnordischer 
Vergletscherung. 1. Die extraglazialen Ablagerungen, ihre Gliederung und Bezie- 
hung zum prähistorischen Menschen. 2. Die vergletscherten deutschen Mittelgebirge 
ii od ihr Vorland. — IV. Eiszeitgletscher im übrigen Europa. — V. Die Eiszeit 
Nordamerikas. — VI. Die Polarländer. — VII. DieEiszeit auf den übrigen 
Kontinenten. Asien. Afrika. Südamerika. Australien. Antarktik. Grahamland. 

Aus den Besprechungen. 

Zeitschrift für Schulgeographie« „Der bekannte Mecklenburger Forscher 
auf dem Gebiete der Glazialgeologie hat hier ein Kompendium seines Forschungs- 
gebietes gegeben, wie es knapper und zutreffender kaum gegeben werden 
konnte. Der Text ist eng zusammengedrängt, nicht gerade leicht zu lesen, 
erteilt aber dafür über alles, was mit der Eiszeit irgendwie in Beziehung 
steht, genaue und zuverlässige Auskunft. Man mag sich über die Moorfrage 
mit Bezug auf Klimaschwankungen oder über die Niveauschwankungen des 
Baltikums orientieren wollen, alle diese Erscheinungen charakterisiert Geinitz 
in kurzen treffenden Worten. Das fehlende Register wird durch das eingehende 
Inhaltsverzeichnis genügend ersetzt, so daß sich das Werk auch zum Nach- 
schlagen sehr eignet. . ." 

Blätter für das bayerische Gymnasialschulwesen. „Der Verfasser 
gibt an der Hand der neueren Forschungen einen recht anschaulichen Überblick 
über unser gegenwärtiges Wissen von diesem vielumstrittenen Zeitraum der 
Erdgeschichte. Daher dürfte dieses Buch, das zum Teil ein Auszug aus seiner 
größeren Arbeit über das Quartär Nordeuropas ist, besonders dem Geographen 
willkommen sein; denn dieser Stoff ist in solcher Abrundung mit stetem Hin- 
weis auf die einschlägigen Fragen und literarischen Hilfsmittel meines Wissens 
sonst nirgends zu finden. tf 



Verlag von Friedr. Vieweg 6t Sohn in Braunschweig 



Die Wissenschaft ÄUÄSÄä Heft 17 



Die Anwendung der Interferenzen 
in der Spektroskopie und Metrologie 

Von Dr. E. Qehrd(e ß Privatdozent an der Universität 
Berlin, technischer Hilfsarbeiter an der physik.-techn. Reichs* 
anstait Mit 73 Abbildungen. IX, 160 3. 1906. 
Geh. ti 5.50, geb. M 6.20. 



Inhaltsverzeichnis. I. Teil: Allgemeine Einleitung. 1. Wellenbewegung. 
2. Lichtwellen. 8. Funktion der Linsen. 4. Das Auge als optischer Apparat. 6. Fern- 
rohr und Mikroskop. 6. Helligkeit der durch Linsen erzeugten Bilder. 7. Wellenlänge, 
Fortpflanzungsgeschwindigkeit, Schwingungdauer. 8. Sinuswellen. 9. Prinzip der 
Superposition. — II. Teil: Erzeugung und Theorie einiger ausgewählter 
Interferenzersoheinungen. 10. Fresnels Spiegel versuch. 11. Interferenzen an 
planparallelen Platten. 12. Interferenzen an keilförmigen Platten. 18. Fresnels Biprisma, 
Newtons Farbenglas, Michelsons Interferometer. 14. Überlagerung der Interferenzen 
verschiedener Wellenlängen. 15. Die Quecksilberlampe. 16. Intensitätsverteilung der 
Interferenzen an planparallelen Platten. 17. Berücksichtigung der vielfach reflektierten 
Strahlen. 18. Weitere Diskussion der berechneten Intensitätsverteilung. 19. Intensitäts- 
verteilung der Interferenzen im reflektierten Lichte. 20. Planparallele Luftplatte zwischen 
zwei rechtwinkeligen G-lasprismen. 21. Vorhandensein zweier komplementärer Inter- 
ferenzsysteme im reflektierten Licht. 22. Beugung des Lichtes an einer Öffnung. 

23. Beugung an mehreren (spaltförmigen) Öffnungen. — III. Teil: Spektralapparate. 

24. Fizeaus Modifikation des Newtonschen Farbenglases. 25. Ausbildung der Fizeauschen 
Methode durch Michelson. 26. Fraunhofers Beugungsgitter. 27. Reflexionsgitter. 
28. Interferometer von Perot und Fabry. Lummers Doppelkeil. 29. Michelsons atufen- 
gitter. 30. Interferenzspektroskop von Lummer und Gehrcke. 81. Allgemeine Theorie 
aller auf der Erzeugung von Interferenzstreifen beruhender Spektralapparate. 82. Ab- 
hängigkeit der Intensitätsverteilung der Interferenzen von der Breite des Kollimator- 
spaltes. 33. Auflösungsvermögen u. Dispersionsgebiet, 34. Interferenzpunkte. 35. „Falsche" 
Spektrallinien und ihre Erkennung mit Hilfe der Interferenzpunkte. 86. Auflösungs- 
vermögen des Prismas. 37. Einfluß der Beugung an der Öffnung einer Linse auf die 
von ihr entworfenen Bilder. Grenze der Auflösung im Fernrohr und Mikroskop, 
38. Einfluß der Beugung auf die Sichtbarkeit der Interferenzen an keilförmigen und 
planparallelen Platten. — IY. Teil: Auswahl von Besultaten der spektro- 
skopischen Forschung über den Mechanismus des Leuchtens. 39. Trabanten. 
40. Dopplersches Prinzip. „Breite" der Spektrallinien. 41. Abhängigkeit der Breite der 
Spektrallinien von der Temperatur, dem Molekulargewicht und der Erregungsart. 42. Der 
Stark -Effekt 43. Einfluß des Druckes auf die Wellenlänge. 44. Der Zeeman- Effekt 
45. Theorie des Zeeman- Effektes. 46. Anomaler Zeeman -Effekt. Dissymmetrie in 
schwachen Feldern. 47. Interferenzfähigkeit des Lichtes einzelner Spektrallinien. 
48. Serien. — V. Teil: Anwendungen der Interferenzen zu physikalischen 
Messungen und in der Metrologie. 49. Bestimmung von Variationen der optischen 
Dicke sogen, planparalleler Platten. 50. Anwendungen der Interferenzen zu verschie- 
denen physikalischen Messungen. 51. Anwendungen der Interferenzen in der Astronomie. 
52. Literferentialrefraktor von Jamin. 58. Modifikationen von Michelsons Interferometer. 
54. Lichtwellen als Längeneinheiten. 55. Michelsons Auswertung des Meters in Licht- 
wellen. 56. Methode von Benoit zur Bestimmung der Ordnungszahl von Daterferenzen. 

57. Methode von Perot und Fabry zur Bestimmung der Ordnungszahl von Diterferenzen. 

58. Einheit der Masse. 59. Methode von Mace* de Lepinay zur Messung der Dicke und des 
Brechungsexponenten planparalleler Platten. 60. WellenlJkngennormalen. 61. Interferenzen 
planparalleler Platten im kontinuierlichen Spektrum. Literaturverzeichnis. Register. 

Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



DlC WiSSCnSChSlt mathemattschcrtinzcldarstellungen nett lö 



Kinematik organischer Qe/enke 

Von Prof. Dr. Otto Fischer in Leipzig. Mit 

77 Abbildungen. XII, 261 3. 1907. (je/;, h 8—, 
geb. M9.—, 



Inhaltsverzeichnis. Einleitung. 1. Teil: Über die Formen der Gelenk- 
flachen und die aus denselben sich ergebenden möglichen Arten der 
Gelenkbewag ungen. A. Q-elenke mit ausgedehntem Mächenkontakt. 1. Gelenke 
mit starren Flächen. 2. Gelenke mit deformierbaren Flächen. B. Gelenke mit geringem 
Flächenkontakt. 3. Allgemeine Betrachtungen über die Arten der Gelenkbewegungen. 
4. Zylindergelenke. 6. Gelenke mit beliebiger Form der Gelenkflächen. 6. Die Winkel- 
geschwindigkeiten der verschiedenen Komponenten der allgemeinsten Gelenkbewegung. 
7. Einfluß der Deformierbarkeit des Gelenkknorpels auf die Bewegung in Gelenken mit 
geringem Flächenkontakt. 8. Ausfüllung der Gelenk spalten. — 2. Teil: Über die 
Bewegungsfreiheit. 9. Die Bewegungsfreiheit in einzelnen Gelenken. 10. Die 
Bewegungsfreiheit in Gelenksystemen. — S. Teil: Bewegung in speziellen Ge- 
lenken. 11. Allgemeines über die Methoden der UnterBuchung spezieller Gelenke. 
12. Empirische Ableitung spezieller Bewegungen eines ganzen Gelenksystems. 18. Spezielle 
Beispiele bestimmter zu einem Gelenk gehörender Relativbewegungen. 14. Bewegungs- 
gesetze in speziellen Gelenken von zwei Graden der Freiheit. Lehrbücher, in denen 
organische Gelenke behandelt werden. Monographien über Gelenke und Gelenkbewegung. 
Saohregister. 

Aus den Besprechungen. 

Deutsche Literaturzeitung. „Das ganze Buch ist mit beneidenswerter 
Präzision und Prägnanz geschrieben, der Aufwand an Geometrie und Algebra 
ist so bescheiden, daß man erwarten sollte, Mediziner und Zoologen werden 
sich durcharbeiten können. Jedenfalls wird es für sie die beste Einführung 
in die Gelenkmechanik 6ein. Für alle aber, die das Studium der Gelenke als 
Spezialität betreiben, wird die Fi seh ersehe Kinematik ganz unentbehrlich sein." 

Leipziger Medizinische Monatsschrift. „ • . .Wenn Fischer, der durch 
seine Forschungen auf diesem Gebiete längst bekannt ist, auch in bescheidener 
Weise sagt, daß sein Werk kein Lehrbuch der in den lebenden Körpern vor- 
kommenden speziellen Gelenke sein soll, so müssen wir es doch als ein solches 
ansehen, denn er hat es verstanden, uns in klarer und übersichtlicher Weise 
die Verhältnisse, auf die es ankommt, darzulegen. Wir haben die meisten 
Werke, die sich mit dem Gegenstande der Gelenklehre oder der Statik und 
Mechanik des menschlichen Knochengerüstes beschäftigen, in der Hand gehabt, 
müssen aber sagen, daß uns keines eine derartige präzise Auskunft und klare 
Vorstellung der Verhältnisse gegeben hat wie die Kinematik Fischers..." 

Reichs-Medizinal-Anzeiger. „Der Aufgabe der organischen Kinematik, 
die kinematischen Gesetze besonders den Zoologen, den Medizinern und dm 
gebildeten Laien klar zu machen, hat Verf. sich in dem vorliegenden Buche 
unterzogen und diese Aufgabe vorzüglich gelöst... 41 

Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



L)iC WlSSenSChäft mathematischer Einzeldarstellünsen 11611 IV 

Franz heu mann und 
sein Wirken als Forsdier und Lehrer 

Von Dr. A. WanijeHn, Professor an der Universität 

Haue a. s. Mit einer Textiigur und einem Bildnis 
Neumanns in Heliogravüre. X, 185 5. 1907. Geh. 
M 5.50, geb. N 6.20. 



Inhaltsverzeichnis. Erster Teil: Franz Neumanns Leben. — Zweiter 
Teil: Neumanna wissenschaftliche Arbeiten. 1. Die kristallographisch-minera- 
logischen Arbeiten. 2. Arbeiten zur Wärmelehre. 3. Arbeiten aus der Optik uud 
Elastizitätstheorie. 4. Arbeiten über induzierte Ströme. 5. Mathematische Arbeiten. 
6. Wissenschaftliche Untersuchungen Reumanns, die nicht von ihm selbst veröffentlicht 
sind. — Dritter Teil: Vorlesungen, Seminar, Laboratorium. 1. Die ge- 
druckten Vorlesungen. 2. Das Seminar« S. Neumanns Bestrebungen zur Errichtung 
eines physikalischen Laboratoriums. 



Aus den Besprechungen. 

Die Physikalische Zeitschrift schreibt: „DieM^aterie des letzterschienenen 
Heftes der Sammlung »Die Wissenschaft! bildet die Biographie eines großen 
Gelehrten, des Königsberger Physikers und Mathematikers Franz Neumann. 
Nicht mit Flittern äußeren Glanzes umgibt A. Wangerin die markante 
Persönlichkeit dieses Mannes, für dessen edle Bescheidenheit und herzgewinnende 
Güte er aber nicht genug Worte finden kann. In schlichten einfachen Worten 
schildert der Verfasser die harten Entwicklungsjahre mit ihren zahlreichen 
Entbehrungen, die der Lehrer und Forscher Neu mann durchzumachen hatte, 
um sich dann eingehend mit Neumanns wissenschaftlichen Arbeiten zu be- 
fassen. Neumanns erste Arbeiten liegen auf kristallographisch-mineralogischem 
Gebiet. Später sind es Beiträge zur Wärmelehre, Optik und Elastizitätstheorie. 
Aus der Elektrizitätslehre bearbeitete er die induzierten Ströme. Seine be- 
deutendste mathematische Arbeit ist diejenige über Kugelfunktionen. Das 
Buch enthält ferner Mitteilungen über Arbeiten aus Neumanns Seminar und 
Laboratorium. 

Nicht ohne ein gewisses Mitleid wird man das letzte Kapitel lesen, welche« 
von Neumanns Bestrebungen zur Errichtung eines physikalischen Labora- 
toriums berichtet. . ." 

Deutsche Literaturzeitung. „ . . . Einer der ältesten überlebenden Schüler 
Fr. Neumanns, Prof. A. Wangerin in Halle, hat sich der Aufgabe unter- 
zogen, Fr. Neu mann als Forscher und Lehrer zu schildern, und nicht nur 
die anderen Schüler des großen und trefflichen Mannes, zu denen auch der 
Ref. sich zählt, alle Physiker sind dem Verfasser dafür zu Dank verpflichtet, 
daß er mit solcher Hingabe und mit solcher Beherrschung des Stoffes seine 
Aufgabe gelöst hat. Auch bezüglich der Beurteilung der verschiedenen 
Neum annseben Leistungen kann sich der Ref. in allen wesentlichen Punkten 
dem Verl, völligr anschließen..." 



» 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



Pll£* \Y/iccpn CP helft Samm,un £ naturwissenschaftl. und l-l^ft Of\ 
Ui%Z WlaaClladIdU mathematischer Einzeldarstellungen 1 ICH £->\3 

Die Zustandsgleidiung der Gase 

und Flüssigkeiten und die Kontinuitätstheorie 

Von Prot Dr. J. P. Kuenen in Leiden. Mit 
9 Abbildungen. X, 241 3. 1907. Geh. N 6.50, 
geb. tl 7.10. 



Inhaltsverzeichnis. 1. Kapitel. Kondensationserscheinungen und Kontinuit&ts- 
prinzip. 2. Kapitel. Kinetische Theorie idealer Gase. S.Kapitel. Kinetische Theorie 
unvollkommener Gase: Zustand sgleichung. 4. Kapitel. Erklärung der Verflüssigungs- 
erscheinungen nach der Zustandsgieichung ; Erweiterung der Kontinuitätstheorie. 
6. Kapitel. Anormale Kondensations- und kritische Erscheinungen: A. Kichtkonstanz 
des Dampfdruckes. B. Kritische Erscheinungen. 6. bis 9. Kapitel. Vergleich der 
Zustandsgieichung mit der Erfahrung: A. Kritische Gleichungen. B. Homogene Zustände. 
0. Sättigungsgebiet. D. Thermische Größen. 10. Kapitel. Molekulare Dimensionen. 

11. Kapitel. Gesetz der korrespondierenden Zustände. Gleichförmigkeitsprinzip. 

12. und 18. Kapitel. Verbesserung der Zustandsgieichung; Anzuwendende Merkmale: 
A. Theorie der Volumkorrektion. B. Theorie der molekularen Attraktion: Verbesserung 
der beiden Korrektionsglieder. 14, Kapitel. Mathematische Methoden der Herleitung 
der Zustandsgieichung. 



Aus den Besprechungen. 

PhysikaL - chemisches Zentralblatt. „Der Verf. hat eine schwierige 
Aufgabe übernommen, in Form einer Monographie das im Titel bezeichnete 
Thema zu bearbeiten. Sicher vielen wird das vorliegende Buch willkommen sein. 

Die wohlgeordnete Zusammenfassung des Bekannten und die objektive 
und kritische Behandlungsweise machen es einerseits dem Fachmanne wertvoll, 
der eine Fülle von Anregungen zur weiteren theoretisch -mathematischen oder 
experimentellen Ausgestaltung des Problems rinden wird. Besonders das bis 
jetzt zutage geförderte experimentelle Material ist absolut unzulänglich, hier 
harrt noch ein großes, fruchtbares, aber auch äußerst schwieriges Gebiet der 
eingehenden experimentellen Bearbeitung. 

Anderseits sind einzelne Kapitel allgemeineren Inhalts so einfach und 
anregend geschrieben, daß diese vereint auch dem Anfänger mit mäßigen 
Kenntnissen in der höheren Mathematik ein abgerundetes Bild über das 
Wesen und die Erfolge der Zustandsgieichung und der sich ihr anschließenden 
Fragen geben können. 

Lobend sei noch der sorgfältigen Literaturangaben gedacht und deren 
zweckmäßigen systematischen Zusammenstellung am Schlüsse jedes größeren 
Kapitels." 

Jahrbuch der Chemie. „ . . . Die Darstellung der vorliegenden Monographie 
ist mustergültig und setzt, was vielen Chemikern besonders erwünscht sein 
dürfte, kein allzu großes Maß mathematischer und theoretisch - physikalischer 
Kenntnisse voraus. u 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



UlC WiSSCn SCu3tt mathematischer Einzeldarstellungen rieft 21 

Radioaktive Umwandlungen 

Von E. Rutherford, Professor der Physik an der 

Mc Gill'Unfversftät in Montreal. Übersetzt von M. Le v/n. 
tlit 53 Abbildungen. Vltl,285S. 1907. ee/?./7&— 
geb. M 8.60. 



Inhaltsverzeichnis. The Silliman Foundation. — Preface. — Vorbemerkung zur 
deutschen Ausgabe. — Kapitel 1. Historische Einleitung. — Kapitel 2. Die radio- 
aktiven Umwandlungen d. Thoriums. — Kapitel 3. Die Radiumemanation. — Kapitel 4. 
Die Umwandlungen des aktiven Niederschlages des Radiums. — Kapitel 5. Der lang- 
sam sich umwandelnde aktive Niederschlag des Radiums. — Kapitel 6. Ursprung und 
Lebensdauer des Radiums. — Kapitel 7. Die Umwandlungsprodukte des Uraniums 
und Aktiniums und der Zusammenhang zwischen den Radioelementen. — Kapitel 8. 
Die Entstehung von Helium aus Radium und die Umwandlung der Materie. — Kapitel 9. 
Die Radioaktivität der Erde und der Atmosphäre. — Kapitel 10. Die Eigenschalten 
der o-ötrahlen. — Kapitel 11, Radioaktive Prozesse im Lichte physikalischer An- 
schauungen. 

Aus den Besprechungen. 

Zeitschrift für den physikalischen und chemischen Unterricht. „ ... Im 
März 1905 hat Rutherford an der Yale University eine Reihe von Vorlesungen 
gehalten, die hauptsächlich des Verf. eigenstes Arbeitsgebiet, die radioaktiven 
Umwandlungen, zum Gegenstand hatten. In der vorliegenden Veröffentlichung 
sind indessen alle bis zum Beginn von ,1907 erschienenen Arbeiten berück- 
sichtigt. Dem Buch haftet noch in der Übersetzung etwas von der lebhaften 
Frische des Vortrages an. Meisterhaft in ihrer klaren Knappheit ist die histo- 
rische Einleitung, die uns zeigt, wie in ca. 10 Jahren durch das Handinhand- 
arbeiten von Physikern und Chemikern aller Länder unsere Kenntnisse von 
Materie und Strahlung erweitert und vertieft worden sind. Den kühnsten 
Schritt tat eben Rutherford in der Aufstellung der Umwandlungshypothet>e, 
die alle bisherigen Anschauungen von Elementen und Atomen umstieß, aber 
eine Fülle von Erscheinungen zusammenfaßte, die vorher nur verwirrten. Die 
Hypothese reicht noch jetzt aus, um alle seit ihrer Aufstellung gefundenen 
Tatsachen zu erklären, und dennoch — zum Lobe des Autors sei es besonders 
hervorgehoben — weiß Ruthe rf or d scharf zwischen Beobachtung und Spekulation, 
zwischen der Tatsache und ihrer vermutlichen Erklärung zu unterscheiden. — 
Jedes Wort der Empfehlung ist bei diesem Buche überflüssig.* 4 

Literarisches Zentralblatt.- „ . . . Die Vorträge sind in anregender und so 
anschaulicher Form niedergeschrieben, daß Physiker und Nichtfachmann, sofern 
er über einige naturwissenschaftliche Bildung verfügt, Genuß und Gewinn 
durr^ die Lektüre haben wird. Für den Fachmann ist das Heft eine Quelle 
anregender Gedanken und Anschauungen, während der Laie eine gute Ein- 
führung in unsere gegenwärtige Kenntnis der Radioaktivität vorfindet, neben 
welcher die Atomzerfallstheorie, die Elektronen theorie zur Erörterung gelangt 
und die Bedeutung für unser Wissen von der Luftelektrizität sowie für den 
Ausbau und die Bestätigung wichtiger physikalischer Grundanschauungen ge- 
bührend geltend gemacht wird/ 

Verlag von Friedr. Vieweg 6t Sohn in Braunschweig 



L)iC VviSSCnSChclit mathematischer Einzeldarstellungen 11611 <L<L 



Kant und die Naturwissensdiaft 

Von Prot Dr. Edm. König in Sondershausen. 
VI, 232 S. 1907. Geh. M 6.—, geb. M Z-> 



Inhaltsverzeichnis. 1." Kapitel. Naturwissenschaft und Natur- 
philosophie. — 2. Kapitel. Kant und die Naturwissenschaft seiner Zeit. 
1. Einfluß der Naturwissenschaft auf Kants Philosophie. 2. Kant als Naturforscher. — 
3. Kapitel. Die Leitsätze der kritischen Erkenntnislehre, l. Die kritische 
Fassung des Erkenntnisproblems. 2. Anschauung und Denken — Aposteriori und Apriori. 
3. Der Kaum. 4. Die Denkformen (Kategorien). 6. Grenzen der Erkenntnis — Endergeb- 
nisse. — 4. Kapitel. Kants Einwirkung auf die Naturwissenschaft des 
19. Jahrhunderts. — ö. Kapitel. Das Problem des Baumes und der Be- 
wegung. 1. Der Anschauungsraum. 2. Der Baum der Geometrie. 3. Der physische 
Baum. — 6. Kapitel. Erscheinung und Wesen —Erfahrung und Theorie 
(Kritik des Phänomenalismus). — 7. Kapitel. Das physikalische 
Problem. 1. Die Grundlagen der mechanischen Naturanschauung. 2. Die Prinzipien 
der Mechanik. 8. Die Konstitution der Materie. 4. Kinetik und Energetik. — 8. Kapitel. 
Das biologische und das psy chophysische Problem. 1. Gegensatz der 
mechanistischen und der teleologischen Biologie. 2. Der Zweckbegriff bei Kant. 3. Ist 
der Zweckbegriff Kategorie? 4. Die Hauptformen der naturwissenschaftlichen Teleologie. 
6. Die psychophysische Kausalität. 6. Schluß* Zusätze. 



Aus den Besprechungen. 

Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieare* „Der Verfasser sucht 
zu zeigen, daß insbesondere die erkenntnistheoretischen Anschauungen Kants, 
denen sich die Erkenntnistheorie der neueren Naturwissenschaft in verschiedenen 
wesentlichen Punkten in bemerkenswerter Weise ganz von selbst genähert hat, 
mit den Ergebnissen der naturwissenschaftlichen Forschung durchaus vereinbar 
und geeignet sind, als Grundlage für eine einheitliche Lösung der naturphilo- 
sophischen Probleme zu dienen. Das Buch wird allen denen willkommen sein, 
die sich allgemein über die Hauptströmungen in der heutigen Naturphilosophie 
unterrichten möchten. Die Ingenieure werden die Kapitel über Raum und 
Bewegung, über die Grundlagen der mechanischen Naturanschauung, über die 
Prinzipien der Mechanik und über Kinetik und Energetik besonders interessieren." 

Chemiker-Zeitung (am Schluß einer langen Besprechung). „ ... Im Rahmen 
einer Besprechung, selbst einer (mit Rücksicht auf die Schwierigkeit des Gegen- 
standes) schon ungewöhnlich langen, kann natürlich weder auf Einzelheiten 
•ingegangen, noch mit dem Verfasser über deren Autfassung und seinen Ge- 
samtstandpunkt gerechtet werden; doch dürften schon obige Andeutungen 
genügen, um die Leser dieser Zeitschrift auf die Fülle wichtiger Lebren und 
Gedanken hinzuweisen, die das Eönigsche Buch enthält, und die namentlich 
den Naturforscher anregen sollten, auch seinerseits weiter zu denken und, 
unbeirrt durch jegliche Autorität, nach fernerer Aufklärung zu streben. »Auf- 
geklärt sein«, so sagfc» Kant, »heißt: den Mut haben, sich seines eigenen Ver- 
standes zu bedienen«. 



Verlag von Fried r. Vieweg <£ Sohn in Braunschweig 



Die Wissenschaft äto%c?w^d^dhin^n Heft 23 

Synthetisch -organische Chemie 
der Neuzeit 

Von Dr. Julius Schmidt, a. o. Professor an der 
Hönigl. Technischen Hochschule in Stuttgart. X, 185 3. 
1908. Geh. M 5.50, geb. M 6.20. 



Inhaltsverzeichnis« Einleitung. Erläuterung des Begriffes Synthese. Histo- 
rische Bemerkungen. Über die Behandlungsweise des Stoßes. Kohlensuboxyd. Knallsäure. 
— 1. Kapitel. Bedeutung der Organomagnesiumhaloide für synthetische Zwecke. — 
2. Kapitel. Einige synthetische Ergebnisse aus der Zuckergruppe. Asymmetrische 
Synthese. — S.Kapitel. Synthetische Reaktionen, welche zu Aldehyden uud Ketonen 
führen. — 4. Kapitel« Dimethylsuliat als Methylierungsmittel. — 6. Kapitel. Syntheseu 
mit Hilfe von Aziden. — 6. Kapitel. Methoden von E. Fischer zur Synthese von Poly- 
peptiden. — 7. Kapitel. Synthesen durch Aufspaltung und Umwandlungen zyklischer 
Basen. — 8. KapiteJL Synthesen auf dem Gebiete der Alkaloidohemie, der künstlichen 
Arzneimittel und in der Puringruppe. — 9. Kapitel. Synthesen von Farbstoffen und 
mehrkernigen aromatischen Verbindungen. — 10. Kapitel. Synthesen von Riechstoffen, 
von hydroaromatischen und diesen nahestehenden Verbindungen. — 11. Kapitel. Syn- 
thesen verschiedener organischer Verbindungen auf elektrochemischem Wege. — Namen- 
register. — Sachregister. 

Aus den Besprechungen. 

Literarisches Zentralblatt. „Das 23. Heft der » Wissenschaft t bildet 
eine höchst willkommene Ergänzung unserer Lehrbücher der organischen 
Chemie in mehrfacher Hinsicht. Enthält es doch neben den kurz angedeuteten 
üblichen Synthesen in ausführlicher Besprechung neuere Verfahren, welche in 
den Lehrbüchern nicht oder höchstens ganz oberflächlich gestreift werden, so 
namentlich die vielseitige Anwendung der Organomagnesiumhaloide, stets unter 
eingehender Würdigung des wirtschaftlichen Wertes der betreffenden Methode. 
Da die Darstellungsverfahren der Duftstoife, Farbstoffe und Heilmittel ebenfalls 
in den Rahmen der Besprechung fallen und das Buch bei aller wissenschaft- 
lichen Strenge doch leicht faßlich geschrieben ist, so kann es unbedenklich 
nicht nur dem Fachmann, sondern auch weiteren Kreisen (Pharmazeuten, 
Physiologen, Ärzten usw.) nachdrücklich empfohlen werden." 

Zentralblatt für Pharmazie und Chemie. „Die synthetisch -organische 
Chemie hat in der Neuzeit, d. h. in den letzten 10 bis 15 Jahren Errungen- 
schaften aufzuweisen von so allgemeinem Interesse, wie sie sich nie hatten 
voraussehen lassen. Die vorliegende Schrift soll ein 'Bild derselben entwerfen. 
In ihr sind die außerordentlich zahlreichen Ergebnisse je nach ihrer größeren 
oder geringeren Bedeutung mehr oder weniger ausführlich behandelt worden. 
Dabei hat der Verfasser mit Rücksicht auf den größeren Leserkreis, für den 
das Buch bestimmt ist, für eine leicht faßlich.e, aber doch streng wissen- 
schaftliche Form des meist aus den Quellen geschöpften Materials Sorge ge- 
tragen und auch die Wichtigkeit einschlägiger Entdeckungen in wirtschaftlicher 
Hinsicht entsprechend gewürdigt. 

Gerade das vorliegende Thema mit seinen mannigfachen Beziehungen zum 
praktischen Leben dürfte verhältnismäßig leichter als manch anderes abstrakteres 
Gebiet der Naturwissenschaften das Interesse eines weiteren Kreises iesseln. . .* 



Verlag von Friedr. Vieweg £ Sohn in Braunschweig 



D» TV7* ^1 ~£j. Sammlung naturwissenschaftl. und w » o. r\ a 

IC WlSSenSChatt mathematischer Einzeldarstellungen M Clt 24 

chemische Affinität und ihre Messung 

Von Dr. OttO SäCkur, Privatdozent an der Universität 
Breslau. Mit 5 Abbildungen. VIII, 130 5. 1908. Geh. 
tl 4—, geb. M 4.80. 



Inhaltsverzeichnis. 1. Kapitel, Die historische Entwickelung des 
Affinitätsbegriffes. Ältere Anschauungen über die chemische Verwandtschaftskraft. 
Die Abhängigkeit der Affinität von der Menge der sich umsetzenden Stoffe. Die Aviditat 
der Säuren und Basen. Quantitative Messung der Affinität in mechanischem Maße. 
Definition der Affinität als maximale Arbeit nach van 'tHoff. — 2. Kapitel. Der 
Begriff der maximalen Arbeit und der zweite Hauptsatz der Thermo- 
dynamik. Das ThomBon-Berthelotsche Prinzip. Der erste Hauptsatz. Der zweite 
Hauptsatz. Die maximale Leistung einer Arbeitsmaschine. Der Carnotsche Kreisprozeß. 
Die Arbeitsleistung chemischer Vorgänge. Die Helmholtzsche Gleichung. — 3. Kapitel. 
Die Berechnung der Affinität aus dem Betrage der Umsetzung. I. Keak- 
tionen im homogenen System, a) Zwischen Oasen: Therm odynamisohe Ableitung des 
Massenwirkungsgesetzes ; Experimentelle Bestimmung von Gasgleichgewichten (Statische 
Methoden. Dynamische Methoden), b) Beaktionen in Lösungen: Die Aviditat von Säuren 
und Basen. II. Beaktionen im heterogenen System, a) Zwischen festen Stoffen und 
Gasen : Experimentelle Methoden zur Bestimmung d. Dissoziationsspannung; Berechnung 
der Affinität der Metalle zum Sauerstoff und den Halogenen, b) Beaktionen zwischen 
festen Stoffen und Lösungen, c) Affinität zwischen festen Stoffen. — 4. Kapitel. Elek- 
trische Methode der Affiaitätsmessung. Die maximale Arbeit eines galva- 
nischen Elementes. Ketten vom Typus des Daniellelementes. Konzentrationsketten. 
Affinität der Komplexbildung. Das absolute Potential. Gasketten. Oxydations- und 
Beduktionsketten. — 5. Kapitel. Affinität und Temperatur. Die Gleichung der 
Reaktionsisochore. Berechnung der Affinität aus der Wärmetönung. Die Affinität in 
der Nähe des Umwandlungepunktes. Änderung der Wärmetönung mit der Temperatur. 
Die Nernstsche Theorie zur Berechnung von Gleichgewichten aus thermischen Größen. 
6. Kapitel. Ergebnisse der Affinitätsmessung. Beaktionen zwischen Verbin- 
dungen. Beaktionen zwischen den Elementen. — Schlußbetrachtung. 



Aus den Besprechungen. 

Chemiker -Zeitung« „Die Aufgabe, die sich der Verfasser in der vor- 
liegenden Monographie gestellt hat, den großen Fortschritt, den die Chemie 
der thermodynamischen Betrachtungsweise verdankt, anschaulich darzustellen, 
hat er in sachgemäßer Weise und Form gelöst. Das Buch übermittelt trotz 
seiner kurzen Fassung die wesentlichsten Errungenschaften der chemisch ver- 
werteten Thermodynamik prägnant und zuverlässig, so daß es dem engeren 
und weiteren Kreise der Fachgenossen Belehrung und Anregung gibt. . • . Das 
Buch ist jedem zu empfehlen, der eine nicht an der Oberfläche haftende 
Kenntnis des Gegenstandes in großen Zügen sich aneignen will, zumal dem 
Studierenden als Ergänzung und Unterstützung bei therm odynamischen Vor- 
lesungen/ 

Verlag von Friedr. Vieweg 6t Sohn in Braunschweig 



LMC WlSSCnSChäit mathematischer Einzeldarstellungen Heft 25 

Die Korpuskulartheorie der Materie 

Von Dr. J. J. ThomSOn, Mitgl. der Royal Society, 
Professor der Experimentalphysik an der Universität rn 
Cambridge und Professor der Physik an der Royal Institution 

in London. Autoris. Übersetzung von <5. Siebert 
Mit 29 Abbildungen. VIII, 166 S. 1908. <je/?./75.— • 
geb. N 5.80. 



Inhaltsverzeichnis. 1. Kapitel. Einleitung. Korpuskeln in Vakuumröhren. 
S.Kapitel. Der Ursprung der Masse der KorpuakeL S.Kapitel. Eigenschaften einer 
Korpuskel. A.Kapitel. Korpuskulartheorie der Leitung in Metallen. 5. K a p i t e 1. Die 
zweite Theorie der elektrischen Leitung. 6. Kapitel. Die Anordnung der Korpuskeln 
im Atom. 7. Kapitel. Über die Anzahl der Korpuskeln im Atom. — Begister. 



Aus den Besprechungen. 

Naturwissenschaftliche Wochenschrift. „In dem vorliegenden Werke 
legt der Verfasser, der den Physikern als einer der geistreichsten Forscher auf 
dem Gebiete der Elektronik wohl bekannt ist, seine Anschauungen über den 
Aufbau der Materie in ziemlich populärer Form dar. Das Buch ist also als 
eine Fortsetzung und Erweiterung der im Jahre 1904 ebenfalls deutsch in der 
Sammlung »Die Wissenschaft (Heft 3)c erschienenen Vorträge »Elektrizität 
und Materie c anzusehen. 

In der neuen Schrift werden zunächst die grundlegenden Tatsachen der 
Elektronentheorie besprochen. Daran schließt sich ein Kapitel, in dem die 
Frage nach dem Ursprung der Masse der Elektronen mit dem Ergebnis diskutiert 
wird, daß die Masse der Elektronen nur scheinbar materiell, in Wahrheit aber 
elektromagnetischer Natur sei. Eingehend wird die Korpuskulartheorie der 
Wärme- und der Elektrizitätsleitung in Metallen behandelt und gezeigt, daß 
von den beiden konkurrierenden Theorien die eine, nach der die die Leitung 
der Wärme und Elektrizität besorgenden Elektronen insofern dauernd im 
Metall frei sind, als sie mit den Atomen ihrer Umgebung, von denen sie sich 
durch Dissoziation getrennt haben, in einer Art von Temperaturgleichgewicht 
stehen, zu einem Widerspruch mit der Erfahrung führt, indem der Wert für 
die spezifische Wärme der Metalle, wenn sie richtig wäre, viel größer (bei 
Silber zehnmal so groß) sein müßte, als er tatsächlich ist. Die andere Theorie, 
welche voraussetzt, daß die Elektronen nicht dauernd, sondern nur während 
der kurzen Zeit frei sind, die sie zur Zurücklegung des Weges von einem 
Atom zum Nachbaratom brauchen, vermeidet diese Schwieligkeit, und ihr ist, 
da sie alle anderen Beobachtungen ebensogut wie die erste Theorie erklärt, 
der Vorrang zu geben. Zwei Kapitel über den Aufbau der chemischen Atome 
aus positiver Elektrizität und negativen Elektronen und deren Anordnung im 
Atom beschließen das Buch. . . 

Die Lektüre der »Korpuskulartheorie der Materie« ist nicht leicht, aber 
sie bietet dem, der die Mühe der Durcharbeitung nicht scheut, einen großen 
Genuß." 



Verlag von Fricdr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



Die Wissenschaft math^a^y^^ Heft 26 

Die Bindung des atmosphärischen 
Stickstoffs in Natur und Technik 

Von Dr. P. Vageier in Königsberg i. Pr. Mit 
16 Abbildungen im Text und auf 5 Tafeln. VIII, 
132 3. 1908. Geh. M 4.50, geb. N 5.20. 



Inhaltsverzeichnis. I. Einleitung. — II. Die Hauptquellen des gebundenen 
Stickstoffs. — HI. Bindung von Stickstoff ohne Mitwirkung von Organismen. — IV. Die 
Bindung von atmosphärischem Stickstoff durch frei lebende Bakterien. 1. Grundlagen 
und Vorarbeiten. 2. Clostridium pasteurianum Win. und Verwandte. 3. Die Azotobakter- 
gruppe und sonstige stickstoffsammelnde Bakterien. 4. Stickstoffbindung auf künstlichen 
Nährböden. — V. Die Stickstoffbindung durch frei lebende Bakterien im Boden. — 
VI. Stickstoffbindung durch sonstige frei lebende Organismen. — VII. Stickstoffbindung 
durch Bakterien und sonstige Mikroorganismen im Verein (Symbiose) mit grünen Pflanzen. 
1. Grundlagen und Vorarbeiten. 2. Die Züchtung der KnölLchenerreger auf künstlichem 
Nährboden. S. Knöllchenbakterien und Wirtspflanzen. — VHI. Die Bodenimpfung mit 
Enöllchenbakterien* — IX. Leguminosen als Stickstoffsammler in der Praxis. — X. Die 
Bindung des atmosphärischen Stickstofis in der Technik. 1. Die Gewinnung des Luft- 
Stickstoffs mit Hilfe der Elektrizität. 2. Kalkstickstoff und Stickstoffkalk. — Schluß- 
betrachtung. — Register. 

Aus den Besprechungen. 

Monatsblätter des wissenschaftlichen Clubs in Wien. „Drohende 
Erschöpfung der Salpeterfundstätten, zunehmende Verwendung stickstoffhaltiger 
Düngmittel in der Landwirtschaft, anwachsender Bedarf von Salpetersäure in 
der chemischen Industrie machen es zu einem der wichtigsten Probleme der 
Hand in Hand arbeitenden technischen und Naturwissenschafben, sich in der 
Herstellung stickstoffhaltender und stickstoffabgebender Substanzen von dem 
gebundenen Stickstoff unabhängig und das unendliche Stickstofireservoir der 
atmosphärischen Luft der Menschheit nutzbar zu machen. 

Soviel man weiß, wird Stickstoff in der Natur von gewissen Pflanzen 
assimiliert unter Vermittlung lebender Organismen, lösliche Stickstoffverbin- 
dungen bilden sich in geringer Menge in der Luft, aber die fortgeschrittene 
Technik unserer Zeit hat ein Verfahren gefunden, den fast reaktionsunfähigen 
trägen Stickstoff der Luft durch Überleiten über erhitzte Karbide technisch 
zu verwerten und als jüngstes Glied in der Kette epochaler Erfolge der 
Elektrochemie den Stickstoff der Luft durch Durchleiten im elektrischen 
Flammenbogen zu oxydieren und sodann in lösliche Salze überzuführen. 

Das hübsch illustrierte Büchlein, das das 26. Heft der im Viewegschen 
Verlage erscheinenden Sammlung »Die Wissenschaft < bildet, legt das Haupt- 
gewicht der Darstellung auf die Assimilation des Stickstofles durch lebende 
Organismen, welcher Abteil ungefähr die Hälfte der Seitenzahl umfaßt. Die 
Darstellung ist klar, ungemein populär und gleichzeitig wissenschaftlich, für 
die Interessenten der Frage, als da sind: Chemiker, Techniker, Landwirte, 
Volkswirtschaftler und Biologen ist es bestens zu empfehlen.* 



Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



Die Wissenschaft gjfegggg^ Heft 27 

Die Schwerebestimmung 
an der Erdoberfläche 

Von Prof. Dr. Joh. ßapt liesserschmitt, 

Konservatat lies Erdmagnetisdien Observatoriums und dei 
Erdbebenhauptstation in MÜndien Mit 25 Abbildungen. 
VIII, 158 S. 1908. Geh. M 5.-, geb. M 5.80. 



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eine Bz griff e. 1. Richtung der : 


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en — III. Allgemeine Bcliwe 


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'endeL 2. Phjulichei! Pendel. . 








V. Be.Umm.um du 


rukraft. 1 
1. Staraoc 


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iwere durch ■Pendelffle.ean«*!.. - 


TL Abio 




Scliwi 


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Pendel. 3, Apparat von Dl 


■Borg. 




[Ute. -~ Till. Reduktion aui 




»hohe. — IX. Die normale gel 








- X. TuteUoDi 


( der Sehwc 


n aal 


der Erde, Konstitution der Erd 




— XI. El. 














■ der Hin 




Häuften. — Sil. Einfluß du Sc 










"'*" 


.toi. — Begista 















Aus den Besprechungen. 

Zeitschrift der Gesellschaft für Erdkunde. , Trotz der groBen Bedeu- 
tung, welche die Schwerebestimmongen an der Erdoberfläche beionden in den 
drei letzten Jan nennten in- 
folge der Vervollkommnung 



der lit 


mbn 


chtungs -Hilfsmittel 




-Methoden gewonnen 


hüben. 




: doch die Theorie 


nnd Pi 


-aiii 


i der Messungen in 




Ki 


eisen so gut wie 






geblieben. Hieran 


war i 


um 


Teil wohl Schuld, 



daß eich, so weit dem Refe- 
renten bekannt ist, In der 
vorhandenen Literatur keiu 
geeignetes Bach für eine ein- 
gehendere, dabei aber keine 
polieren Ansprüche an die 
mathematische Vorbild ungdee 

Lesen stellende Einführung In dos Gebiet der Schweremessungen findet. 
Diesem Mangel hilft das vorliegende Buch in glücklicher Weise ab. . ." 

Verlag von Friedr. Vieweg £ Sohn in Braunschweig 



w-x • \V7« 1 fj. Sammlung naturwissenschaftl. und l_f -fr. OQ 

Die WlSSenSCnait mathematischer Einzeldarstellungen 11611 Zö 

Die Kraftfelder 

Von V. BjerkneS, Professor der Mechanik und der 
mathematischen Physik an der Universität Chrfstianfa. Mit 

29 Abbildungen. XVI, 174 3. 1909. Geh. M Z—, 
geb. M 7.80. 

Inhaltsverzeichnis Einleitung. 1. Kapitel. Kinetischer Auftrieb. 
S. Kapitel. Die Kraft gegen einen pulsierenden Körper. S. Kapitel. Felder und 
Fernwirkungen pulsierender Körper. 4. Kapitel. Flüssigkeitsbewegungen, erzeugt 
durch die Impulse äußerer Kräfte. 6. Kapitel. Felder und scheinbare Fern Wirkungen 
ossiliierender Körper. 6. Kapitel. Grenzflächenbedingungen an He terogenitätss teilen. 
7. Kapitel. Heterogenes nüssiges System mit undurchdringlichen Körpern. 8. Kapitel. 
Umriß der Theorie der Vektorfelder. 9. Kapitel. Über schwingende Bewegungen. 
10. Kapitel. Die Grundgleichungen des hydrodynamischen Feldes mit undurchdring- 
lichen Körpern. 11. Kapitel. Hydrodynamische Kraftfelder mit durchströmten 
Körpern. 12. Kapitel. Kraftfelder in flüssigen Medien mit gyrostatischen Eigenschaften. 

Aus den Besprechungen. 

Annalen der Elektrotechnik. „Seit der Zeit Newtons pflegten die 
Physiker ihren Erklärungen der physikalischen Erscheinungen durch geh ends die 
Vorstellung von Fernwirkungen zugrunde zu legen. Erst Farad ay stellte 
dieser Auflassung die Idee des Kraftfeldes gegenüber. Nach ihm legte Maxwell 
in seinen berühmten Gleichungen die formalen Beziehungen des elektromagneti- 
schen Kraftfeldes zu Raum und Zeit fest. Diese Theorie Maxwells erhielt 
durch die klassischen Versuche von H. Hertz eine glänzende Bestätigung, die 
den Erfolg hatte, daß von jetzt ab die Vorstellung von Kraftfeldern die Fern- 
wirkungshypothese vollständig verdrängte. Was uns die Max well sehe Theorie 
in endgültiger Form gegeben hat, ist aber nur die formale Beziehung der 
elektrischen und magnetischen Vektorgrößen zu Raum und Zeit. Über die 
innere Natur der Kraftfelder weiß man auch durch sie nichts Näheres. Das 
hier vorliegende Buch enthält in übersichtlicher Zusammenstellung die Resultate 
einer langen Reihe von Forschungen, welche unternommen sind mit dem Ziele, 
womöglich Licht auf diese dunkle Frage zu werfen. Unmittelbarer Gegenstand 
der Untersuchung sind nicht die elektromagnetischen Kraftfelder selbst, sondern 
ihnen analoge Felder, die in bewegten Flüssigkeiten und in Medien mit gewissen 
Elastizitätseigenschaften auftreten. Für das Studium dieser Felder hat der 
Verfasser neue Methoden geschaffen, welche eine einfache Ableitung der früher 
schwer zugänglichen Resultate gestatten. In sehr einfacher Weise entwickelt 
er die Theorie zweier Klassen von hydrodynamischen Felderscheinungen, der 
C. A. Bjerknesschen, wo schwingende, und der Euler-Kelvinschen, wo 
stationäre Bewegung der Flüssigkeit zugrunde liegt. Die bekannte, in beiden 
Fällen auftretende Analogie mit elektrostatischen oder magnetischen Feldern 
wird eingehend dargelegt, und die zur Verifikation der Resultate dienenden 
Versuche werden beschrieben. Als unmittelbare Fortsetzung dieser hydro- 
dynamischen Untersuchung entwickelt der Verfasser die Theorie ähnlicher 
Kraftfelderscheinungen in Medien mit Elastizität der eigentümlichen gyrosta- 
tischen Art, welche Mac Cullagh zur Erklärung optischer, und Lord Kelvin 
zur Veranschaulichung elektrodynamischer Erscheinungen einführten und die 
nach ihnen viele Forscher benutzt haben, um mechanische Bilder der all- 
gemeinsten elektromagnetischen Felderscheinungen zu konstruieren." 



Verlag von Friede. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



p^:^ \Y/icCAn er* helft Sammlung naturwissenschaftl. und I-I^f* OQ 
U1C WlOöCIlöCIiaiL mathematischer Einzeldarstellungen 1 ICH £rJ 

Physiologie der Stimme und Sprache 

Von Prof. Dr. Hermann Gutzmann in Berlin. 

Mit 92 zum Teil farbigen Abbildungen im Text 
und auf 2 Tafeln. X, 208 3. 1909. Geh. M Ä— 
geb. tl P.— . 

Inhaltsverzeichnis. I. Physiologie der Atmung und Stimme. A. Ana- 
tomische Vorbemerkungen. 1. Atmung. 2. Stimme. B. Die Atembewegungen beim 
Sprechen. 1. Registrierung der Atembewegungen. 2. Typus der normalen Sprechatmung. 
Registrierung des Atemvolumens beim Sprechen. C. Die Stimme. 1. Bildung der Stimme. 
2. Tonhöhe und Tonstärke. 8. Register. 4. Genauigkeit der Stimme. 6. Stimmeinsatze. 
6. Stimmlage und Stimmumfang. 7. Flüsterstimme u. Bauchrednerstimme. — ILPhysio- 
logie der Spraohlaute. A. Anatomische Vorbemerkungen. Der Aufbau des Ansats- 
rohres. B. Die Physiologie des Ansatzrohres: 1. Klanganalyse der Sprachlaute: a) Analyse 
der menschlichen Stimme durch einfaches Hören, b) Graphische Analyse der Klange, 
c) Klangkuryen. d) Analyse der Klangkurven, e) Resultate der Klanganalyse, f) Theorie 
der Vokale, g) Synthese der Vokale, h) Analyse der Konsonanten. 2. Formen und 
Bewegungen des Ansatzrohres : a) Analyse der Sprachbewegungen durch Beobachten, 
b) Analyse der Sprachbewegungen durch registrierende Instrumente: Akustische Regi- 
strierung j Optische Registrierung ; Direkte Meßmethoden, c) Anwendung der Registrierung 
auf die einzelnen Bewegungen: Luftbewegung der Artikulation; Kehlkopfbewegungen ; 
Unterkieferbewegungen ; Zunge und Mundboden ; Gaumensegel ; Lippen, d) Apparate für 
die Gesamtaufnahme der Artikulationsorgane, e) Färbemethoden. S. Die bpraohlaute: 
a) Vokale und Konsonanten, b) Die Vokale, c) Die Konsonanten: Verschlußlaute, Media 
und Tenuis ; Reibelaute ; XrLaute ; jR -Laute ; Resonanten ; Laute des vierten Artikulations- 
systems; Kehlkopflaute; Schnalzlaute (Clixe). d) Die Sprachlaute in der Verbindung: 
Doppelvokale und Doppelkonsonanten; Silbe, Wort, Satz. 4. Die Akzente der Sprache. 
5. Die phonetische Schrift. — Literaturverzeichnis. 

Aus den Besprechungen. 

Berliner klinische Wochenschrift. „Wie sehr Verfasser den Gegenstand 
beherrscht, geht aus der Klarheit seiner Darstellungen hervor; die Schilderung 
der an sich oft recht schwierigen Forschungsmethoden und die Deutung der 
Resultate läßt dem Leser manches einfach und verständlich erscheinen, was in 
Wirklichkeit nur durch mühsame Arbeit klargelegt werden konnte. Das 
Literaturverzeichnis enthält 263 Kummern. Das Buch ist unentbehrlich für 
den Spracharzt, den Lary ngologen und für den Physiologen, ferner für den 
Taubstummenlehrer, für den Gesangspädagogen und den Lehrer der Rhetorik; 
aber auch für die Philologen, Linguisten und Phonetiker enthält es viel 
Wissenswertes. Vielleicht bekehrt es auch den einen oder anderen jener rück- 
ständigen Philologen, welche die experimentelle Phonetik noch nicht als 
Wissenschaftszweig anerkennen wollen. Für jeden Arzt aber wird die Lektüre 
des Buches, dem wir ein glänzendes Prognostikon stellen, belehrend und 
genußreich sein." 

Medizinische Klinik. „ . . . Durch seine eingehende, durch zahlreiche eigene 
Spezi alforschungen begründete Orientierung aut diesem Wissensgebiet ist in 
der Tat Gutzmann in hervorragender Weise berufen und befähigt, die Kern- 
punkte zu erkennen und herauszuheben und eine wirklich gute Darstellung 
dieser für den Arzt und den Psychologen, Physiologen und den Physiker gleich 
wichtigen Materie zu geben. Das Buch kann der Beachtung derjenigen, 
welche in diesem und den angrenzenden wissenschaftlichen Gebieten arbeiten, 
nur warm empfohlen werden. u 

Verlag von Friedr. Vieweg & Sohn in Braunschweig 



D\\rr» i cj Sammlung naturwissenschaftl. und tj c , o r\ 

leWlSSenSCliait mathematischer Einzeldarstellungen Meit OU 

Die atmosphärische Elektrizität 

Methoden und Ergebnisse 

der modernen luftelektrischen Forschung 

Von H. Madie, a. o. Prof. a. a. Techn. Hochschule in Wien, 

und E. V, SdlWeidler, a. o. Prof. a. d. Universität in Wien. 
Mit 20 Abbildungen. XI, 247 3. 1909. Geh. 
M fi— ; , geb. M 6.80. 



Inhaltsverzeichnis. 1. Kapitel. Das elektrische Feld der Atmosphäre. 
Allgemeine Eigenschaften des Feldes. Instrumentarium zur Messung des Potential- 
gefälles. Methode der Messung des Potentialgefälles am Erdboden. Reduktion auf die 
Ebene. Methode der Messung des Potentialgefälles im Ballon. Beobachtungsresultate. 
— 2. Kapitel. Die Elektrizitätsleitung der Atmosphäre. Coulombs Zer- 
streuungsgesetz. Der Elster -Geitelsche Zerstreuungsapparat. Grundzüge der Ionen- 
theorie. Anwendung der Ionentheorie auf die Apparate zur Bestimmung der Leitung 
der freien Atmosphäre: 1. Der Elstex-Geitelsohe Zerstreuungsapparat mit Schutzzylinder. 
2. Der Elster -Geitelsche Zerstreuungsapparat ohne Schutzzylinder. 3. Scherings Zer- 
streuungsapparat. 4. Gerdiens Aspirator. Beobaohtungsresultate : a) Zerstreuungsbeob- 
achtungen mit Schutzzylinder; b) Zerstreuungsmessungen mit freistehendem Zerstreuungs- 
körper; c) Absolute Messungen des Leitvermögens. — 3. Kapitel. Die Ionen der 
Atmosphäre. Ionenzahl, Eberts Aspirator. Ionenbeweglichkeit. Wiedervereinigung 
der Ionen (Molisierung). Adsorption und Diffusion der Ionen. — 4. Kapitel. Die 
Ionisatoren und Elektrisatoren der Atmosphäre. A. Elektrisierung und 
Ionisierung beim Zerspritzen von Wasser in Luft. B. Elektrisierung durch die Emission 
von Elektronen von belichteten Oberflächenteilen der Erde. Lichtelektrische Aktino- 
metrie. C. Ionisierung durch ultraviolettes Licht. D. Ionisierung durch Becquerel« 
Strahlung: a) Die radioaktiven Substanzen; b) Das Vorkommen radioaktiver Substanzen 
auf der Erde und in der Atmosphäre : I. Allgemeine Verbreitung radioaktiver Substanzen 
im Erdboden; Radioaktivität von Gesteins- und Erdarten; Radioaktivität der Boden- 
luft; Radioaktivität der Quellen. II. Vorkommen radioaktiver Emanationen und deren 
Zerfallsprodukte in der Atmosphäre. III. Die Bedeutung der radioaktiven Substanzen 
für die Ionisation der Atmosphäre. — 6. Kapitel. Elektrische Strömungen in 
der Atmosphäre. A. Der normale vertikale Leitungsstrom. B. Der durch die Zer- 
fallsprodukte des Radiums und Thoriums getragene Strom. C. Konvektionsströme durch 
Luftbewegung. D. Konvektionsströme durch .Niederschläge; Wilsons Kondensations* 
theorie. E. Summation der elektrischen Vertikalströme in der Atmosphäre. — 6. Kapitel. 
Leuchtende Entladungen in der Atmosphäre. A. Elektrische Gasentladungen 
im allgemeinen. B. Leuchtende Entladungen bei Gewittern: I. Die Entladungsformen 
bei Gewittern. II. Ionentheoretische Einordnung der natürlichen Entladungen. HX Die 
meteorologischen Bedingungen des Entstehens leuchtender Entladungen. G. Das Polar- 
licht. — 7. Kapitel. Theorien der atmosphärischen Elektrizität. — Lite- 
raturnachweis. 



Aus den Besprechungen. 

Elektrotechnische Zeitschrift. „In knapper, aber sehr klarer Form 
wird in diesem Bache geschildert, welcher Methoden sich die jetzige luftelek- 
trische Forschung bedient, am die elektrischen Vorgänge in der Atmosphäre 
zu untersuchen, welche Ergebnisse allgemeinen Charakters dabei gewonnen 
wurden und welche Voraussetzungen theoretischer Natur sich als heuristisch 
wertvoll erwiesen haben...* 



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DiC WiSSCnSChält mathematischer Einzeldarstellungen 11611 Ol 

Das Klimaproblem der geologischen 
Vergangenheit u. histor. Gegenwart 

Von Dr. WUh. R. Eckärdt, Assistent am meteorolog* 
Observatorium und der öffentl. Wetterdienststelle Aachen, 

Mit 18 Abbildungen und 4 Harten. XI, 183 5. 1909. 
(je/?, tl 6.50, geb. N 7.10. 



Inhaltsverzeichnis. Das Klimaproblem der geologischen Vergangen- 
heit und historischen Gegenwart. Einleitung: Zweck und Bedeutung des Gegen- 
standes. Das Verhältnis der Geographie zu den Naturwissenschaften, insbesondere zur 
Geologie. Die Bedeutung der Ergebnisse der geologischen Forschung für die Geographie. 
Die Kümatologie. — Die Bodenbildung unter dem Einflüsse des Klimm ; Die mechanische 
Zerstörung des festen Gesteins. Die ohemische Zersetzung desselben. — Das Klima 
der geologischen Vergangenheit. — Das Klima im Paläozoikum. — Die präkar- 
bonen Perioden. — Das Karbon. — Die permokarbone Eiszeit und die Glossopterisflora. 

— Das Klima im Mesozoikum, besonders in der Jura- und Kreideperiode. — Das Klima 
in der Tertiärzeit. — Die diluviale Eis- oder Schneezeit. — Die Änderungen des 
Klimas in historischer Zeit, insbesondere das Austrocknungsproblem. 

— Der Einfluß des Waldes, bzw. einer Vegetationsdecke auf das Klima und den Wasser- 
abfluß: a) Der Einfluß des Waldes auf die Temperaturverhältnisse, b) Der Einfluß des 
Waldes auf die Niederschläge. — Die Klimaschwankungen; Klima und Wirtschaft. — 
Die allgemeine Konstanz des heutigen Klimas. — Wichtige Aufgaben der Meteorologie 
und Klimatologie. — Literaturangaben. 

Aus den Besprechungen. 

Globus. „Der Verfasser hat sich die Aufgabe gestellt, die Klimate der 
geologischen Vergangenheit nicht, wie es nach seiner Ansicht seither fast nur 
geschehen, von rein geologischem Standpunkt, sondern von der allgemein 
naturwissenschaftlichen Seite zur Darstellung zu bringen. Er kommt dabei zu dem 
Schluß, daß die gesamten klimatischen Änderungen der geologischen Vorzeit, 
die in großen Zügen dargestellt werden, sich aus rein meteorologischen Ver- 
hältnissen erklären lassen, die ihrerseits wieder als Folgen von Fol Verschiebungen 
infolge geologischer Veränderungen auf der Erde aufgefaßt werden. Eine 
periodische Wiederkehr von Kältewellen im Pennokarbon, Diluvium usw. sowie 
eine gleichmäßige Temperierung in früher Zeit und erst spätere Differenzierung 
der Klimate wird abgelehnt und dagegen behauptet, daß schon von früher 
Zeit her Zonen auf der Erde bestanden, wenn ihre Unterschiede vielleicht auch 
zeitweise nicht so ausgeprägt waren wie heute. Der Abschnitt über die 
Änderungen des Klimas in historischer Zeit behandelt vor allem den Einfluß 
des Waldes auf das Klima bzw. den Zusammenhang dieser beiden. Eine 
Klimaänderung seit historischen Zeiten ist nach Eckardt nicht nachweisbar. 
Der Schlußabschnitt weist kurz auf die außerordentliche Wichtigkeit der Er- 
forschung der klimatologischen Bedingungen des Pflanzen wuchses sowie sonstiger 
klimatologischer Beobachtungen hin. ." 



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L)lC WiSSCnSCh3.Il mathematischer Einzeldarstellungen II CiL O 2* 

Lichtbiologie. Die experimentellen Grund- 
lagen der modernen Lichtbehandlung 

Zusammengestellt von Dr. med. Albert Jesionek, 

Professor an der Universität Gießen. VIII, 177 S. 1910. Geh. 
M 4.—, geb. M 4.80. 



Inhaltsverzeichnis. Einleitung. Allgemeine Bemerkungen über das Licht. — Die 
Einwirkung des Lichtes auf die Pflanzenwelt. - Die Einwirkungen des Lichtes auf die 
Bakterien. — Die Beiz wirkung des Lichtes auf Bakterien und andere Mikroorganismen. — 
Die photodynamische Erscheinung. — Einwirkungen des Lichtes auf höhere Tiere. — Ein- 
wirkung des Lichtes auf die Haut des Menschen: Sonnenbrand und Gletscherbrand« 
Erfahrungen der Polarfahrer. Hautentzündung durch elektrisches Licht. Experimentelle 
Untersuchungen von Widmarck, Hammer, Finsen. Physiologisches Verhalten der Haut. 
Hautröte. Hautpigment. Hornfarbe und. Epidermistrübung. Haare. Tiefenwirkung. 
Penetrationsfähigkeit der einzelnen Strahlen. Penetrationsfähigkeit der ultravioletten 
8trahlen. Kleidung. Hitzschlag. — Die histologischen Veränderungen im belichteten 
Hautgewebe. — Das Licht als Ursache von Hautkrankheiten: Lichtentzündung. Schutz- 
maßnahmen. Hydroa aestivalis. Xeroderma pigmentosum. Sommersprossen, Warzen. 
Pellagra. Blattern. Botlichtbehandlung. Lichtbehandlung nach Finsen. — Einwirkungen 
des Lichtes auf das Blut und auf den Stoffwechsel: Liohtregulierung. Quinckes und 
Behrings Experimente. Lumineszenz des Blutes. — Einwirkungen des Lichtes auf das 
Nervensystem: Experimente mit farbigem Licht. „Sinnlich -sittliche Wirkung" der 
Farben nach Goethe. 

Aus dem Vorworte. 

„ ... In diesem Werkchen beabsichtige ich nun keineswegs vom ärztlichen 
Standpunkte aus die verschiedenen Arten und Methoden der Lichtbehandlung 
in allen ihren Einzelheiten zu schildern und meine subjektiven Ansichten über 
den Wert und Unwert der verschiedenen lichttherapeutischen Bestrebungen 
ausführlich zu erörtern. Der Zweck meiner Ausführungen ist der, irrtüm- 
lichen Vorstellungen entgegen zu treten und denjenigen, die sich für 
diese Fragen interessieren, zu zeigen, daß sich die medizinische Forschung 
mit den Wirkungen des Lichtes auf die belebte Natur aufs eifrigste be- 
schäftigt und bestrebt ist, aus dem Studium des Lichtes und seiner Eigen- 
schaften für den kranken und für den gesunden Menschen möglichst viel 
Vorteil zu ziehen. Dabei habe ich es mir angelegen sein lassen, aus der 
reichhaltigen Fülle der Literatur nur diejenigen Arbeiten zusammenzustellen, 
welche in die Beziehungen des Lichtes zum Leben uns einen sicheren Ein- 
blick gewähren und hinsichtlich der praktischen Verwertung des* Lichtes zu 
grundlegenden Ergebnissen geführt haben. Auch mag diese Darstellung 
dazu dienen, den Leser über die weitausgebreiteten Bahnen und oft ver- 
schlungenen Pfade zu unterrichten, auf welchen sich die lichtbiologische 
Forschung bewegt. Nicht die verschiedenen Arten der Lichtbehandlung 
selbst, sondern vielmehr ihre Grundlagen, die in den verschiedenen Gebieten 
naturwissenschaftlicher Erkenntnis wurzeln, bilden den Gegenstand unserer 
Betrachtungen." 



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U16 WiSSCnSChaft maftematischer Einzeldarstellingen HClt 3ß 

Die physikalisch-chemischen 
Eigenschaften der Legierungen 

Von Bernhard DeSSaU, a. o. Professor der Physik 
an der Universität Perugia. Mit 82 Abbildungen im 

Text und auf 3 Tafeln. VIII, 208 3. 1910. Geh. 
M 7,— t g e b. li &— . 

Inhaltsverzeichnis. I. Einleitung. — n. Allgemeines über Zweistoff» 
Systeme. §1. Heterogene Gleichgewichte. §2. Gegenseitige Löslichkeit zweier Stoffe. 
§ 3. Erkaltungs- und Erwärmungskurven. Schmelzdiagramme eines Zweistoffsystems 
ohne chemische Verbindungen und polymorphe Umwandlungen, mit vollständiger Misch- 
barkeit der Komponenten im flüssigen, vollständiger Nichtmischbarkeit im kristallisierten 
Zustande. § 4. Die Komponenten des Systems bilden miteinander eine unzersetzt schmelz- 
bare chemische Verbindung, die im kristallisierten Zustande mit den Komponenten 
nicht misohbar ist. § 5. Die Verbindung schmilzt unter Zersetzung. § 6. Die Kompo- 
nenten des Systems bilden keine chemische Verbindung, sind aber sowohl im flüssigen 
wie im kristallisierten Zustande in allen Verhältnissen miteinander mischbar. § 7. Die 
Komponenten sind im kristallisierten Zustande schon bei der Schmelztemperatur nur 
beschränkt ineinander löslich. § 8. Beschränkte Mischbarkeit im flüssigen Zustande. 
§9. Polymorphe Umwandlungen. — III. Unter such ungsmeth öden. §1. Thermische 
Analyse. § 2. Metallographie. § 8. Dilatometrische und kalorimetrische Methoden. — 
IV. Binäre Legierungen. §1. Legierungen ohne chemische Verbindung der Kompo- 
nenten. § 2. Binäre Legierungen mit Verbindungen. § S. Verbindungsfähigkeit und 
Isomorphismus der Metalle. — V. Ternäre Legierungen. — VI. Die gewerblich 
wichtigsten Legierungen. § 1. Eisen und Kohlenstoff. § 2. Legierungen des 
Kupfers. — VII. Die physikalischen Eigenschaften. § 1. Mechanische und 
thermische Eigenschaften. § 2. Elektrische Leitfähigkeit. § 3. Der Magnetismus der 
Legierungen. § 4. Elektrolytische Lösungstension und elektromotorische Kraft. — Register. 

Aus dem Vorwort. 

„Die Zahl der Untersuchungen über die Konstitution und die Eigenschaften 
der Legierungen ist in den letzten Jahren so sehr angewachsen, daß der Über- 
blick für denjenigen, der sich nicht speziell mit dem Gegenstande beschäftigt, 
immer schwieriger wird. Und doch bietet gerade dieses Kapitel der physi- 
kalischen Chemie nicht nur für die Chemiker und Technologen, von denen die 
wissenschaftliche Erforschung desselben in erster Linie betrieben wurde, sondern 
auch für den Physiker ein hervorragendes Interesse. Der Versuch, das ein- 
schlägige Material zusammenfassend darzustellen, bedarf darum kaum einer 
Rechtfertigung. Der jetzige Zeitpunkt erschien hierfür um so geeigneter, als 
die Klarlegung der Konstitution der binären Legierungen dank den Arbeiten 
Tammanns und seiner Schüler gegenwärtig zu einem gewissen Abschlüsse 
gediehen und damit auch für das Studium der Legierungen von mehr als zwei 
Komponenten, sowie für die systematische Bearbeitung des Zusammenhanges 
zwischen den verschiedenen Eigenschaften und der Konstitution der Legierungen 
erst die rationelle Grundlage gewonnen ist. In dieser Hinsicht mag die vor- 
liegende Arbeit auch zu weiterer Forschung anregen, wenngleich begreiflicher- 
weise die Originaluntersuchungen weder alle berücksichtigt, noch in Form von 
Literaturangaben sämtlich erwähnt werden konnten. Vollständigkeit wurde nur 
insofern angestrebt, als die verschiedenen Typen, denen man bei der Unter- 
suchung der Konstitution der Legierungen begegnet, an charakteristischen Bei- 
spielen erläutert wurden. . , a 

Verlag von Friedr. Vieweg 6c Sohn in Braunschweig