De calcvlo integralivm exercitatic mathematica Petri Ferroni ...

Google

This is a digital copy of a book that was prcscrvod for gcncrations on library shclvcs bcforc it was carcfully scanncd by Googlc as part of a projcct

to make the world's books discoverablc onlinc.

It has survived long enough for the copyright to cxpirc and thc book to cntcr thc public domain. A public domain book is one that was never subjcct

to copyright or whose legal copyright term has expircd. Whcthcr a book is in thc public domain may vary country to country. Public domain books

are our gateways to the past, representing a wealth of history, cultuie and knowledge that's often difficult to discovcr.

Marks, notations and other maiginalia present in the original volume will appear in this flle - a reminder of this book's long journcy from thc

publishcr to a library and fmally to you.

Usage guidelines

Googlc is proud to partncr with libraries to digitize public domain materials and make them widely accessible. Public domain books belong to thc
public and wc arc mcrcly thcir custodians. Nevertheless, this work is expensive, so in order to keep providing tliis resource, we liave taken stcps to
prcvcnt abusc by commcrcial partics, including placing lcchnical rcstrictions on automatcd qucrying.
Wc also ask that you:

+ Make non-commercial use ofthefiles Wc dcsigncd Googlc Book Scarch for usc by individuals, and wc rcqucst that you usc thcsc filcs for
personal, non-commercial purposes.

+ Refrainfivm automated querying Do nol send aulomatcd qucrics of any sort to Googlc's systcm: If you arc conducting rcscarch on machinc
translation, optical character recognition or other areas where access to a laige amount of tcxt is hclpful, plcasc contact us. Wc cncouragc thc
use of public domain materials for these purposes and may be able to help.

+ Maintain attributionTht GoogXt "watermark" you see on each flle is essential for informingpcoplcabout thisprojcct and hclping thcm lind
additional materials through Google Book Search. Please do not remove it.

+ Keep it legal Whatcvcr your usc, rcmember that you are lesponsible for ensuring that what you are doing is legal. Do not assume that just
bccausc wc bclicvc a book is in thc public domain for users in the United States, that the work is also in the public domain for users in other
countrics. Whcthcr a book is still in copyright varies from country to country, and wc can'l offer guidance on whether any speciflc usc of
any speciflc book is allowed. Please do not assume that a book's appearancc in Googlc Book Scarch mcans it can bc uscd in any manncr
anywhere in the world. Copyright infringement liabili^ can be quite severe.

About Google Book Search

Googlc's mission is to organizc thc world's information and to makc it univcrsally acccssiblc and uscful. Googlc Book Scarch hclps rcadcrs
discovcr thc world's books whilc hclping authors and publishcrs rcach ncw audicnccs. You can scarch through thc full icxi of ihis book on thc wcb

at |http://books.qooqle.com/|

I

ul

^- J !■

1

r

'

EXERGITATIO

I •*<•-• »

M A T H E M A T I C A~

m

Esunre docebdnt» ct disciptiioc Kab«baiit

► *

iDi»t,UirhW,Va',)

DE CALCVLO INTEGRALIVM

EXERCITATIO MATHEMATICA

PETRI FERRONI

O L 1 M

SAC. CiES. ET AP. MAIESTATIS

LEOPOLDI IL

ROM. IMPERATORIS

GERMANl^ HVNGARliE ET BOIOHEMl^ REGIS

R. C. FERDINANDI IIL

MAGNI ETRVRIiE DVCIS
&C. &C. &c/

MATHESEOS VNIVERSM AC FRiESBRTIM REI AQVAniJE A CONSIlIs

IN PI5ANO LVCEO MATHTEMATVM PROFESSORIS

XLviRI SOCIETATIS ITALICiE

ET HVMANIORVM LITERARVM FLORENTINiE

INSTITVTI BONONIENSIS SOCl

ACADEMIiE ELECTORALIS MANHEmI

REGIiE SCIENTIARVM NEAPOLlTANiE

TAVRINENSIS MANTVANiE

ETC.

PHYSIOCRITICORVM rfENENSIS

ETRVSCiB CORTONENSIS

AVGVSTiE PERVSlNiE ETC.

AGRARIiE ET LIBERALIVM ARTIVM IN PATRIA SVA .

FLORENTIiE M.DCC.XCIL
EX TYPOGRAPHEIO petri allegrini

SEI LIBBARI^ PBJGF£CTIS ADNV£NTia\'S .

i

t

♦ !

;

JIENE SflMmS: HO^INVM WDA
VESTIGIA VIDEO .

E^miindi Halleli ex Codd. MSS. Editio -Graecolatina

Oxoniensis ( N^f, 7. ) anno Pom. MDCC.X. Apolio'

ttis Ptirgaei Coniforum lHb. octo et Senm Atttissetf

$i$ de Sectione Cyiindri et Coni Ubb. duo cum Pap-
pl Alexfl,A<lrA0A Lcmnatis ec Eucocii Ascalonitae

Comment|Bxu$ 10 «nca Tabnla Vitrnviaaa titulo
adinncta .

III

IN . AD VENT V . SOLLEMNI . ET . F A VSTISSIMO

FERDIWANDI * im A VSTRIAGI

A VG VSTOR VM . FILI . NEPOTIS . PRONEPOTIS

ETC . ETC . ETC

MAGNI . ETR VSCOR VM . DVCIS . X

PATRIS . PATRI.E

PRINCIPIS . OPTIMI . MAXIMIQ.

AD . GRANDIA . NATI
QVOD

SClENTliE . OMNES . BON-S: . ARTES

LITTERiE . ELEGANTIORES

MEDICEOB VM . TEMPORVM . REDITVM

SIBI . COMM VNyter . PL AVDENTES

VOTA . INTER . P VBLIC A . poLLICE ANT VR

SOPHI^ . GENIO . ETR VRI.EQ . N VMINI

DEVOTVS . AVCTOR
V . IDVS . APRILES . A . R . S . CIOI^V^CXCI

ANE0HKE.

^

X

>-

f-2SS0

iiifi ERRATA TYPOGRAPHICA PRATER HEIC CASTIG

SI QV/E' FVERINT

OCVtlQ. ACIEM EFFVGERINT,

SPERATVR HAVD MVLTA REPERTVM IRl

NOTATVDIGNA.

X

■

I

Pag . Lin .

46. 18. VT

50. II. A.H
119. 5. EUipticonim
136. 4. dM

Vi6. 7. 6 .

213. 8. vm

270. 30. excimat& |

A,F

HyperboUc^rum
dz

II

V

SAt

aestimat&

CETERA VEL GRAMMATICEN VEL ORTHOGRAPHICEN FORTASSE
OFFENDENTIA ERVDITVS CORRIGAT LECTOR .

s

VII

ANTELOGIVM.

*

Inter schedaram collectanea « quibus «lapso longi iam tem"
poris intervallo stadia roea consignaveram, duo potissinuim
prelo paratae erant lucubratioHes . Haram prima , instante
meritissimo Fraeside Equite Antonio - Mario Lorgna, prodiic
Veronae anno proxime praeterito. in Volumine V*°. Actorum
Societatis. Italicae (i); altera est, quae nuncin lucem publi-
cam edituc patriis typis ornata . Commune earum argumen>
tum depromptum esse liquido constat «x Calculo Integralium ,
uti technicc vocant Matheseos cultorcs ; veruntamen valde dis-
sitae ac toto ferme.caelo diversae disquisitionum species, qui-
bus utraque dclectatur. Dum etenim Veronensis ad univerr
sam spectat Calculum Integralem , quippe quae de conditioni-
bus loquitur, quibus positis aut denegatis vel Summae capax
iit vel Summa careat Aequatio quaelibet aut Functio Diff{r='
rcntialis, Florentina vicidim difficlilimam quidem,sed anicam
integralis ciusdem Calculi pattem complectitur , scilicet illam ,
quae praetcr Circulam «t Parabolen arcuum Sectionum - co-
nicarum opes quaetat atque praeddium (a). In hoc auteni
conveninnt quod utraeque sublimitatem loci, in quo a pri-
mis^ eorum auctoribus conlocata fuerant haec inventa analyr
tica, adeb complanent, ut' Elenientis rcdituta quodammodo
videantur. Eldem igitur ratione, qua conditiones, sine quibus
irrita foret inveftigatio Integralis Diflferentialium, ad rudimen-
ta re vocavi cloctrixlae Curvarum ( 3 ), non di^militer Inte*

a gralia ,

VIII

graliaj quac conseqnantur a pcrimctris Ellipscws et Hypcibo-

lac, tutissimo tramite nunc dcduccrc expcriar ab adfcctioni-

bus Circuli. Ars vero omnis ftudiumque in Scicmiarura digni-

tate promovenda non tam invcntoruni copiam y v^^xxx aptani

eorundcra scdcm & ordincm rcspiciat ncccffe eft, nc forte

quae facillima fint^ e longinquo pctantur, ncve rationaks

disciplinae principioftrm nvultitudine confutidantiir atque fa-

ti^cant . Ut enim qui probleraa tractet, ab Euclide, Apollo-

ttio , aut a primis Algebrae fomibus non difSciliter haurien*

dum , infli(uti sui munus implere ncutiquam censendus eiTet

fi ebriquos nifnium canonas et calculorum farragincm adhr-

bucrit (4), ita etiam arbitror Seientiafium syftema valdc per-

ttirbatum iri scmc! ac quae unum et idcm (int veluti diversa

fticfint agantur, quae fin>plieia ac venufta ssQpte natura fint
contorqucantur (5), neque satis conftet- de rerum eognatio*

xie et intimo focdere, quo saepei>unler6' £t) ut primoadspe^
ctantibus difiunetae vidcantur, nihilo tamen minus inter se
coniurent amice (.6). Eaproptet maximo serapcr ia pretio ha-
- bendi erunt immortalcs illi duumviri Galilaeus arque Newto-
nus, quorum primus pcrlcvibus Geomctriae principiis suftiil^
fit> sed rairum iri hibdum locupletavit, et ad vitae commo^.
da augcuda pcrdiixit abs'que« fucis et inglorio pulvere Philo-
sophiara (7), alter auspiciis felicioribus (8) atque unica vi
centripeta duce novura paene condidk Universum (p»).

Haec iampridem^ meditanti> pracftaBtiflimam non moda
mihi contigit Expane;itiali-um omnium i Logarithmorum , et
Functionum Cif culi provinciam , bactenus a Cartesii Algebra
scgrcgatam, ip(i Algebrae rcftitucrc (io),vcrum etiam Logi-
fticam Curvam describcre in Albo Parabolarum (ir), Qua-
draturas arithmeticas Brounckeri , Wallisii , Lcibnitii , alio-

rumque

rtimqiie ab tmico fontc dcrimc (12), Serics infinitas quam-
plurimas, vulgatas qtiidpm, sed per. divcrsa itinera diftractas
coniungerc in unam (13), Summnm differentialis LogaFithmici
absque pracaenria Hypcrbolac rcperirc in Galcvli pem?re'(i4),
aliaquc non admodum levia inventis adderc occafi<>ne petinfi-
gnis, in quo tum vcrsabar , argumenti , confiUique suscepti eo-
rum, quac. potiffima rei mathcmaticap capita fint, imperium
amplificandi. Quod quum nec .fioc aliqua Geomettarnm com-
mcndationc.(i5), nec sinc amicorum plausu receptum fiicrit,
non abs re forc putavi cxperimentum idem dc sublimiori «iam
Mathcsi profertc, ratus ad abftrusam valdc ac moleftam Inte-
gralis Calculi partem haud parura nitoris ct dccoris adceffu-
rnm fi ab unica tcrtii Etemcntorufn Eticjidis prpp<tfia.on^ (16)
originem dacere vidcrctur . Praeterqtiamquod ingenii vires acu-
unturj ct animiim sdbic rara volapras in conteinplan(k teruni
omnium: succeffiooc-, carumque praecipue maxima per inter-
valla diffitarom unitatc dctegenda., occurrit.etiam ut^ ii, qui
optatam metam contiitgeec satagant avldiffi.me:, nova quae-
dam , nec oppido insubidc ttaduccnda , in itinerc. conligant ,
scicritiaque ipsa promoveatiur . Stimnlis hiscc cjKcitatus sedu-
lam itaqoe navavi operam., ut qui ab aliis tradita perpolien-
do, qu^ Transalpinoruqi^t noftratium naevos emendando (i7)>
qu^ nova adiicicndo , nec ob nimiam bpnac frugis molein quod
in argumento primas tenebat in abscondip maneret , nec con-
tra ob nimiam paupertatera atquo fterili^i^m Exercitatio ift^
vilcsceret. Quibus autem subfidiis profeccrim, quo prdinc pro-
cedat resi, quae scitu utiliora , quidnan^ . novi fignantcr inter-
spersum, quae aliorum yitia caftigata (iS), non cfthuius.roci
praefari. Enimvcro mathenjatice scripta ti^n finc yulnerc con-
trahuncur ; adeo uc ne a Synppsi quideQii ia calce buius Exerr

a 2 cita-

X

citationis adpoOta exactum> et omnibus numeris absolatum
argamenti specimen expectandum Cit , sed rade potuis totius
Operis lineamentum ac promtuarium' .

Duo tamen de indufl;ria< potifCinoni curae habui , fide-
lem, scilicet» et ad rationettt temporinn auctommque iura
tuenda adprime facientem enarrationein dum hiftoricum age-
le oportebat (19), ac modeftum (imul et impavidum oratio-
nis genus dum religio erat a quorundam placttis non diilen-
tire (20). Profecto» fi quid ego iudtco, bonartim /artium et di-
sciplinarum omnium ht^yhett dicendr sunt non tam qui no*
vis illas ditaverint adceflionibus» quam qui ab erroribus do-
ctiflimorum etiam hominum, qui (brte irrepserint^easeipuT'
gatum iri curaverint. Quod tamet^ hac noAra praescrtim ae»
tate, quae scatet illittetatis litterarufti dctcactoribus (ai), pe-

ricutosae plenum opu» {Ic aleac, nihiloixunus. laadandvm arbr*

tror, dummodo vitJum biceps evitetur» a quo ptoclive ct fa-
cile effugium . Primum etenim nefas eft imitart miserrimos if-
los' nugarum insectatores, qut in severiori scientiarum cutta
incomtum mordeant vtrbum, aue captantes.tantummodo ina^*
nia (ai) aures ohinium latratibus impleant , perinde ac Ci ser-
mo eflet potius de vocum delectu , quam de apta renim di-
cendarum fignificatiorie et dignitate, nec qutdpiam exifteret
scitu digrtuih prietet veneres atque flofes etoquentiae et poii-
se«>s (35): Alterius vitii rcmedium in eo pofitum eft,utnon
contumeliis , sed riitibnum pondere dc aliorum lapsu senten-
tia feratur. Dedccet nanique virum Mathematicum futile mu-
Kerculamm dicterium, plebisve insanientis (24), vel locuto-
ris alicutus impndici labor improbus ; et contra qui rem pole-
micara agens cafte aitquc urbane obiiciat, ac ne langnida fiat
bratio , modico etiam Atticorara sale obiicienda intersper-

gat

XI

gat, omne "punctum tulifle cruditorum suiTragiis censendus

erit (as).

Qnidquid autem Ht dc temporum iniquitate, eorttmve,
qui idgenus (ludia despicatui habeant> alacri nihilominus ani-
mo et pto virili mea ad hanc Spartam ornandam adcedere
non dttbitavi. Movemur enim, nescio quo pacto, inclytorum
bominum) qui nobis praeiverunt» exemplis, iisque lociS) in
quibus eorum, quos admiramur» adsunt vedigia (26). Quum
igitur Patriae meae nec praeclara dednt Geometriae monu*
menta in aeternum duratura, nec qui a MuHs severioribus
alti laetique sublimia petant» idque in deiiciis habeant, quod
alii ftaltitiam nuncupare audent (27) > natum exinde , ut quod
in Adversariis meis brevi manu atque iuxta morem feftinan-
ter descriptum foerat > quanta potui diligentia concinnaverim ,
et advocatfs crndique subGdiis suppleverim , qno facto ita prae"
ter animi deftinationem in ampliorem molem excrevit , uc
alia varii argumenti, quae (imul in lucem emittere meditabar»
in aliud tempus diflerrem . Et sane praeHdium mihi maximum
adtulerunt Academiarum per Europam celebriorum CoIIectio*
nes nuperrimae , aliaque remotiflimarum gentium Volumina vel
ad raritatem redacta, vel ingenti numerata pecunia compa*
randa {oS) , quibus frui inter domeflicos lares flngulari equi-
dem beneficio Auguftiflilmi Caesaris LEOPOLDI 11<^. conces-
sum .mihi fuit libentiflime ex Bibliotheca olim Palatina , nunc
Phyflces et naturalis HilVoriae Musei Florentini.

Levia haec forsan, et aliquorum palato minus grata,
quae in praesens publici iuris faciendn caravi . Sed non is ego
sum, qui cedro digna promere valeat, seque et sua sola mi-
retor (129); semperqoe abftinui (nec inconsulto) a Mathema-
tum laudibus impenflu9 colendis , quandoquidem uno pene

Tersiculo

Xll

versiculo tricam illud et in ore paeris habitum Galilaei effa*
tum panegyrtcam orationem omnem concludit (30) , Ceterum
fi , quae Mathemaclcis scripsi , in eorum, cedanc comm0dum
atque utilitatem, satis ero beatus»

Utinam quae iuHu PfiiKcipis Optimi Maximi composut
Confilia , minime poenitenda , typis excudere licuiflet : nuUus
enim dubito quin communi adprobationis calcuio et me bene
aliquando de Bepublica meruisse in aperto conftaret. Pluri-
ma quidem , quae subditorum commercia et arvorum adtinent
ubertatem, aut vias demondrabant per ardua montium pate-
faciendas, aut iines Etruriae regundos, aut portus in oris
maritimis ampliHcandos, aut fofTas navigabiies ab inchoato
educendas: alia, quae populorum saluti publicae consecrantur,
vel paludibus exsiccandis providebant, vel aquaeductibus ope-

re qU3 toncamerato , qu£^ arcuato exftruendis, vel flaminum-

exundacionibus eorumque vadis aggerum et pontium mole
coercendis : pauca vero ad Hydraulicen polemicam pertine-
bant, quam a primo utique (ludiorum tempore semper sem-
perque odio habui . Sed Principe ipso in regnandi artibus phi-
losophante , publicarumque rerum propugnatore et vindice,
niaiora etiam adgrefTus de re censuali (31), de iuribus civium
servandis, de imperii maieftate tuenda,de legum ferendarum
archetypis, aut latarum vitiis, (i quae fuerant , quorum omnium
autographa in Arcfaivorum loculis iamdudum repofita prelo
subiicere nefas eflet. Quae fi quibusdam fortafle modella mi-
nus aut nimis aeftuosa visa fuerint, neutiquam ego, sed ve-
ritas ipsa obiurganda (32).

Exercitation.es aliaje , quibuscum kbor iile societatem ini-
verat , Li neas quasdam Oiidinis quarci complectentes a Bernar-
do Bragelongnio vix in iimine silutatas (33), et de Thoma

Perellio

Perellio loqucntes aliquot antc annos vita functo, necnon de
usa Logifticae in tbeoria et praxi sonormn , brevi prodlbunt .
Neque imparatt adeo sunt Tractatus duo de Cochlea et fun-
damentis Mechanices, utsolemni litteratorum ritu mihi ho*
die spondcre vetitum (it quantocius ad iinem usque perda-
crurum, dummodo et otium suppetat et infirma id iinat ocu-
lorum vis in diuturno Reipublicae servitio perquam maxime
debilitata. Adcedent excerpta Praelectionum Academicarum ,
analectaque demum ad Phylicen - mathematicam pertinentia ,
quorum poftrema) tum quia errores inludrent gravifnmos de
re praesertim aedificatoria et aquaria, in quos lapsi sunt ne-
scio quo fato , quove artis miraculo homines eruditi (34) auc
saltem maximo in pretio habiti (35), tum quia pacato sere-
noque vultu > ut pbilosophum decet , veritatis hoftium inii-
dias repellere molefiinimum plcrumque /tc, probatiores et cor-
dati viri vel me senio confectum in vulgus edere, vel ami-
cis ex teitamcnto onnmcndare hortatum conAIiumque huma-'
niffime praebuerunt (^)- Qnod si fecerim, ct impavide fe-
cerim aliquando, veritatem obtedor nihil aliud praeter amo-
rem ' Patriae praesentiiHmum habiturum , ne forte omnia ,
quae ab Italis hac tempeftate in Italia scribuntur aut fiunt ,
ii qui ultra Alpes ec Mare degunt Italis omnibus placuiffe
arbitrentur (37).

Fuit haec fludiorum meorum ratio, hi fructus sunt (38),
baec vota et promifTa solvenda. Sin autem nec honefia pau-
pertas prohibucrit , nec spem fefellerit optatus diu , sed ite-
rum iterumque intermiffus divinae Palladis cultus, confido
omnia haec amocnifnma cclcrrimc ac praetcr expcctationcm
absoluturum . Praesertim (i laborum molefliae sublcvandae adiu-
tores eos impetraverim , quoram consuetudinem et familiari-

tatem

V

XIV

tatem ubicumque mihi pergratam fuifTe memoria repeto , quos
ifiter, aut ingenii aciem spectes» aut omnigenae eruditionis
copiam ) aut eximias animi dotes , maximi facio Angelum de
ludicibus Fatricium Arretinum in Patrio Seminario Mathedn
cum omnium plausu docentem, et Aloyfium Bombiccium in
Florentina Curia Advocatum, a natura Hmul et arte ita
exornatos, ot in publica commoda peccet ni(i propitior utri*
que adrideat fortuna. Dum igitor et faftidiosae concextus ty-
porumque conlationis, et schemat«n aere sculptorum taedii,
et impiexi plerumque calcuii repetendi , et quamplurium Vo-
luminum ad doctrinae atque auctoritatis fidem pervolutando-
rum cura fuerit alterutri demandata , additaraenta non deerunt ,
nec observationes praeceptionesque novae cum iis coniungen-
daC) quae a pnma iureatute abunde satis, sed nulla dispod-
tiooe ac sede servata, nulla cemporis iactura facta, congefli,
inanumque ideo exoptant, quae recte minus scripca deleat,
soppleat omifTa, obscuris nitorem* inamoenis gratiam, difii-
cilibus explicationem , cunctisque ordinem tribuat et verita-
tem. Quo neque maius deHderare, neque onquam adsequi
poflem: sunt enim hae disciplinae, quas propius tracto,tum
satis superque periucundae inftar omnium magnarum rerum,
quarum • altitudo nbs ubique delectat, tum a priscis usque
temporibus, quum nuda veritasadhuc placeret, maximo sem-
per in honore habitae ita ut earum praetidio vigerent artes,
summumque inter homines certamen eflet ne quid profutu-
rum saeculis negligerecnr (39}.

NOTiE

XT

N O T M

m

IN ANTELOGIVM

T'
ITULO distingaitur ProdromO d' Osservazioni sopra il Trat-^
lato di Calcolo Integrale pubblicato in Parigi dal Sig. Marchese Da
Condorch V anno M.DCC.LXV. (|>ag** i3o«** et «eqq- nsqne ad
163"".) • Qaa occasione admoneo emendandum esse lapsum Prac-
fationis Volumini secundo additae Ihstitutiomim Analyticarum Vin^
centii Riccati et Hieronymi Saladini , qui pag*. X"**. editionem pri*
mam illius TrsLctatas iud ^nnum AI.DCXILLXVI"», rttulerunt. Do-
cti autem viri hunc Prodromum norunt ita potius inscriptunx
Memoria sul CaUolo Integrale pubblicata in Verona a spese della So^
cieth Italiana V anno 'M.DCC.XC. cum adiuncta epigraphe THN
nONfiN riANTA • Plora enim in VerdE,ensi editione tyjpcH^um men-
da invemuntur> quorun quae Insubriae potius/ quam Etruriae
linguam sapiunt» libenter omitto; sed tria potissimnm corri--'
gam» quae ofiendunt Analysin^ praeter S' vice S in linea 5'.
pag*^ 157™**- Ad pag'«. 150'"*". pro dG=z{dG^ddI)=o scribendum
erat dG-(dG-^ddI)-hddIz:^oi rursum in v. 14*^ pag'*. 160 est

Idi ^'^^ ~dd^"^' ^^ ^" P^S*- ^^2^ i( — Jexstatvicfi

''(v)

contra fidem autographi . Pag*^ vero 143'^ 145^*. habent

§§°*. 5. 6. pro 8. ac 9.; pag*. it^.xurva superficiz ylcc Curva , Su-
pefficie\ Notaeque in pag**. 133. 14^*1* et Jr6f. male scriptum con-
tinenc 414. pro 441., 26. pro 9<J,, atqne 547- pro 347. Adde 147.
pro 137. in Nota p'*.^)!^^"**.

b (2) Ob-

XVI

( 2 ) Obstiipui datti legerem ia Elogio Alemberti , qaod con-

tinet Historia Regiae Scientiarum Academiae Parisiensis anni
M.DCCXXXXIII": editionis M.DCCLXXXVr^, diligenter enu^
merata praeclarissimi illius Geometrae inventa de Calculo Inte*
grali p^\ 85. 86. 109. > sed ea omnia omissa vere palcherrima »
quae de Formulis agunt a rectificatione Curvarum heic memora-
tarum dependentibus.

(3) Principium revera unicam> quo innititur Prodromus an-
tea dictus> in eo situm est^ ut si quaelibet area Curvae detur
ABGD (Fig*. I*.), ipsaque varietur quomodpcunque, sed infini-
te-parum, quo facto evadat i4/3C^, sit tota variatio B|3D^, ae-
qualis Summae partium coacervatarum B/3fE,Ef(pF,F<p>G, G>)fH,
Hfi^D etc, quod resolvitut in Axioma purum Euclidis. Consu^
latur Adnotatio 3^^ ciosdem Prodromi. Qua occasione observan*

dum etiam censeo Disquisitioncm Foncciinii 5ub titulo Addition
a la Methode pour la solution des Prohlimes ^ de maximis et mi-
nimis, in Actis Academiae Parisinae etc. anni M.DCC.LXVir.
editis anno M.DCC.LXX'"^ haudquaqnam infirmavisse, uti mens
erat Auctoris, Calculum Variationum a Ludovico De La-Grange
Tourniero ingeniosissime concinnatum. Ceterum Historia mathe-
matica passim edocet celeberrimis etiam speculationibus invidiam
turpissimam reluctari. Exemplum videbis perinsigne in variatio^
mim memorato Calculo sublimiori, si totum perlegeris Disserta*
tionis Initium Sur la Methode des Variations par M. De La-Grange
ad pag'". i63""^ Voluminis IV". Miscellaneorum Academiae Tau-

rinensis .

( 4 ) Dum Pisis essem studiorum caussa vertente anno
M.DCC.LXr., perinde ac si novum fuisset, circumferebatur
Problema dc rccta ABC (Fig'. 2\) ita ducenda a dato puncto A
in Peripheria Circuiari data AGLHM , ut segmentum eius BC
sit radio aequalc Problema autem istud Quaesitorum primum
iam fuerat a Praeposito Claudio Cocnierso, homine Gallo, sed

toto

xvn
toto ierme saeculo tutn ekpso MatKematicls Italis m certaminis

formam missorum^ quemadmodum liquet ex Opusculo Vincentii
Viviani Floren^Jae edito sub annum M.E)C.LXXVIP". , cui titu-
lus Enodado Problematum Gallicorum etc. Nihilo tamen minus
idem Problema implexis atque admodum prolixis calculis alge-
braicis resolutum nonnulli studiosorum Analyseos mihi ostende-
runt decimumsextum aetatis annum agenti . Algebra reiecta illud
extemplo enodavi hunc in modum. Emissa chorda AON per-
pen,diculari ad diametrum positione datam LVM, Centro O,
Axe transverso AN describatur aequilatera Hyperbola RAQSNT;
deinde Axe GVH, ac Parametro, quae radio GV sit aequalis ,
describatur Parabola Apollonii KLGMI. A quatuor intersectio-
nis Curvarum earundem punctis P>G,K>I emissis normalibus
ad diametrum, scilicet PB,GV,KF,1E, et a puncto dato A
ductis rectis ABC> AVD, AXF, AZE, hae universaliter Problema
solvent. Revera ex Parabolae proprietatibus est PB media har*
monica inter segmenta LB^BM; ex adfectionibus autem Hyper*
bolae P3 aequalis AB: igitur AB est media harmonica inter
LB,BM, et idcirco ex natura Circuli BC media arithmetica»
nlmirum aequalis radio. Idem de ceteris; sed punctum V de-
monstrationis non eget utpote centrum Circuli. Ludus iste pue-
rilis, cuius fama in Academia Pisana percrebuit, maximum olim
mihi conciliavit honorem nescio quo pacto , nisi forte dixerim
summopere laudatum ea tempestate qui geometricam Analysin et
Synthesin nosset. Omnium denique plausu acceptus iterum fui
quum Academicos ipsos monuerim hoc Problema idem esse cum
antiquissimo Gymnasii Platonici de anguli trisectione, ideoque
facile revocaadum ad intersectionecoL unius tantummodo Conica*
rum et Circularis Circumferentiae . Quid autem dicam de sub-»
tilissimo Tinseau? Hic ut Theorema demonstret^ a quo pendec
mensura omnigenarum Superficiernm , praemittit Lemma 2^^. in
eleganti Dissertatione (pag\ 5^.) Voluminis IX*. CoIIectionis

inscriptae

xvm

inscrlptae Memoires de Mathematiques et de Physique presentis k
VAcademie Royale des Sciences par divers Savans etc. editionis Pari'
sinae anni MJDCCLXXXL, quod Lemma, Sphaericorttm ope ab
eo demonstratam , nihil aliud est quam Theorema vetustissimnm
Pythagoricura Trianguli rectanguii. Quid de fiossuto? Qui in
Collectionis eiusdem Volumine IV. de frustis disserens Conoidis
Parabolicae, praesidio Algebrae totam agit rem Synthesi facilli*
ma demonstrandam , ne omissa quidem trita et omnibus no-
ta proprietate Conoidis illius, nempe quod sectiones Basi p^r*
pendiculares Parabolae sint eaedem cum genitrice rotundi Soli*
di dati,

(5) Autumant Scriptorum quidam pu?cmui/m5 essentiam re-
posiram csse in formarum lineamentis molliter inflexis, aut un-
das aurarum spiritu agitatas imitantibus, vel ut Graeci aiebanc
J^faKoyroajQg^ In hanc sententiam iverunc qui etiam illud Hesiodi
E'/it*o(2?ii(papoc ( Winkelmannt Volumen I""". Operis celeberrimi
Storia delle Arti del Disegno etc. pag*. 367. editionis Romanae an.
M.DCCLXXXIII^. ) pro oculorum palpebris Venere dignis sunt
interpretati . Opinionis huiusce coryphaeus est Historiarum pictor
insignis Hogarthus Anglus, qui in sua Analyse du Beau, quam
legi gallice translatam , obscuros versus Plinii senioris ( Lib.
XXXV^ Cap 6^ Hist^*. NaturK) haud parum oblique intellexit,
quos ad fidem contextus Codicum antiquorum rectius interpre-
tari stndui una cum alils illustrationibus Rerum Geographicarum
Strabonis in Selectis Physico-mathematicis hactenus ineditis* Quid-
quid autem sit de pictura, statuaria, aliisque artibus delecta-
tioni ac voluptati inservientlbus , Scientiarum omnium exposi-
tio non per curva et obtorta , sed per recta et breviora proce-
dat neccsse est ad earum dignitatemj facilitatem» ixfifi&x^^ et
veram pulcritudinem consequendam •

(6) Consulantur Epistolae elegantisslmae Philalethis in
Opusculum de Papyri Herculanensis interpretatione j quo ex

Theo-

XIX

phrasto aliisqtie Graeciae scriptoribiis cnelioris notae» et icone
saepius adposita illud A. Pcrsii Flacci (Sat. III*. v* 30.) Ego tt

intus, et in cute novi exornatur .

r —

il) Sapientia, (ropfa, scientia, cognitio, contemplatio manca
quodammoda atque inchoata est si nulla rerum actio consequatur : ea
autem aCtio in aliorum commodis tuendis maxime cernitur . ( Cic. de
Officiis Lib. T. C. 43. 44.).

. (8) Ne^tonus fortasse philosophorum unicus» qui „ viris
ante fatum carus traduxerit leniter aevum „ (namque „ alii vi*
tam, dum moriuntur, ^%wnt ,, ) , \m^\xnt et laudatns veritatem
docuit , quinimmo pro veritate docenda honores divitiasque cu-
mulavit. De tous les hommes, qui ont ose voir plus loin que le
vulgaire, il est peut-itre le seul, qui dans le cours dHune longue vie
ait obtenu dans sa patrie les distinctions dues k son merite et a ses
travaux. Toute V Angleterre eut pour lui une veneration , dont il a
joui sans trouble ei sans interruption . (Londres Tome premier pag.
454* )• £x adverso Galilaeus et in prima iuventute, et in virili-
tatej et in extrema senectnte» etiam oculis captus , sustulit in-
sidias hominum maleferiatorum , occubuitque exul a Patria sua
amplexus inter et oscula Torricellii ac Vivianii.

*

Helas! la verite si souvent est cruelle,
On Vaime, et les humains sont malheureux par elle.

(Fran. Volt.)

(9) Ad rem fkctt Petrus Ludovicus Maupertuisius ita scri-
bcns. Le spectacle de VUnivers devient bien plus grand, bien plus
beau, bien plus digne de son Auteur lorsqiion sait K\uun petit nom^
bre de loix, le plus sagement etablies, suffisent a tous ces mouve--
mens. (Artic. IF. Dissertationis de legibuS lUotus et aequilibrii ad
pag**. 286. 87. Voluminis Actoruni JRegiae Berolinensis Academiae
pro anno M.DCCXLVr., in lucem editi an. M.DCC.XLVnr.).

Q Elegantius

XX

Elegantius tamen ct sublimius Alcxandcf Popius vcrftlculo idio-

xnatQ scripsit

Naturam, legeique suas nox atta tegehaii

Sit Neivtonus , ait Deus > et lux cuncta fuerunt .

(Ex vcrsione lo. Salvcmini Castillionei.)

(lo) Omnia deducuntur a notissima Forraula, quam vo-
cant Binomii Newtoniani, in mco Opere Florentlac edito an.
M.DCC.LXXXIl^ Magnituiinum Exponcmialium etc. llac autem
occasione adnotandum puto haud recte Cl. Aepinum in Demort-
stratione gencrali Theorematis Neivtoniani de Binomia ad Poten"
iiam indcjinitam elevanda , quam iuter alia continet Volumen
Yllpuin^ l^Iovorum Commentariorum Acadcmiac Pctropolitanae pco
annis M.DCC.LX^ ct LXr. editum an. M.DCC.LXIir\, adseruis-
sc (pag*. i^o.) demonstrationem ordinariam i^lius Formulae ^aZ-
va ven-rare complexam non esse eos casus, qulbus m (exponens)
non fuerit numerus integer positivus. In Algcbrae etcnim Ele-
mentis passim exstant demonstrationes per aequipollentiam eiusdem
Formulae dum exponens fuerit etiam vel integer negativus, vel
fi*actus positivus et negativus, ac sine infinite-parvi suppetiis,
quum ex adverso idgenus praesidium effugere non contigerit Ae-
pinianae. (Vid. N"°*. ii. p*. i^^O- Istud etiam latuisse miror
Franciscum Pezzium, qui occasione versionis Gallicae /rirrcrizzcr/o-
nis Euleri in Analysin Infinitorum Voluminis I'., quac versio pro-
diit Argentorati anno M.DCC.LXXXVr., ipsomct ct Krampio
curantibus , demonstrationem protulit in Tomo V^ A^emarabi-
lium SoQietatis Italicae anni M.DCC.XC'. formulae illius (pag''.^^^.

24- 25.) (Co5.2=i:\/=:i. Sin.z)^ :=iCos.'^z^\f~i.Sin.—z.{yid.

Lconardi Euleri Dissertationem in Volumine XIX"*. Imperialis
Academiae Petropolitanae pro anno M.DCC.LXXIV% ad pag'"^.

XXI

103. > atqne meum Opus Magnitudinum Exponentialium etc. ad

pag»» 203.).

(11) Sic cxposui in Capite VIIF. Operis praecitati n°. 345.
p'% 509. 510. Quod miraculo proximum videretur Evangelistae
Torricellio si ad vitae auras rediret, utpote qui Logisticam cx
advcrso Hemihyperbolen nuncupaverat in MS. Anecdotorum eins,
quae simul iuncta adservantur Florentiae in Bibliotheca Regii
Physices Musei. Logisticam ipsam prouti iimitem Parabolarum

consideranti , scilicet, Aequatione gaudentem ^^^ = — .j^, facilli-

mum etiam est mensuram invenire cuiuslibet Frusti Solidi rotun-
di inrinite-longi inter duos Circulos ad axem normalcs compre-
hensi, quam ibidem neglexeram. Revera huiuscemodi Frustura dif-

ferentia cst inter duo Solida infinite-longa, et idcirco^P.j^' . —

1 I

^V.y^ . — =P(j/*-y*). — =:medietati Aunuli Cylindrici vel Cy-

lindri , qui Basim habeat difTerentiam Basium Frusti Jar/, etAI-
titudinem Subtangenti aequalem, quemadmodum Hugenius alii-
que scripserunt. Idem de reliquis omnibus a Torricellio et Gran-
do demonstratis.

(12) Tota res pendet ab Hyperbolae proprletate, quam pri*
mus oranium. explicavi ih Capite Vr. Operis memorati §^°. 257"°.
Eo in Capite, praeter quadraturam a Cartesio datam (in Excer-
ptis, cx eius MSS.), quam summopere illustravit Leonardus Eu-
lcrus in citato Volumine Vlir. Imperialis A^ademiae Petropoli-
tanae (Vid. Annotationes in lociim quendam Cartesii ad Circidi Qua-
draturam spectantem p*. 157.), ceteras , quac mei non erant insti-
tuti, nempe syntheticas, omisi, quibus praecellit ingeniosissima
ab Outhiero tradita in IF. Volumine Collectionis Academicae,
de qua superior 4^ Adnotatio loquitur. Dum autem Eulerus de
Quadratura Cartesiana disseruit^ oblitus fortasse fuit Seriem il^

iam

zxn

lam infinltani

=i$ec. p. Sec. — ^.Sec. — ^ • &c. -_^ . 5fec. — r (p etc.= —7-^ — » quam

hoc in loco demonstrat ( ad pag*". i<J5**"* ac Num"*. III^. et IV"".)
ope Calculorum differentialis > integralis^ et logatithmici^ a se
ipso multo antca fuisse simplicius explanatam. (Legatur Disser*
tatio De variis modis Circuli quairaturam numeris proxime exprimeti"
di ( pag". 234. 35. 36. ) in Volumine IX^ pro anno M.DCC.XXX VII«\
edit. M.DCC.XLIV". veterum Commentariorum Academiae Petro-
politanae). Sua etenim antiquior Series A =

, facto A = 2(p ,

Cos. — A . Cos, — A . Cos. -TT A . Cos. — ^- A . Cos. — A . ctc. \

12 4 8 16 32

29
vertitur m recentiorem

Sin. iip

. II la Series anti-

^ I _ T ^ T ^ I

Cos» (h . Cos, — « Cos. — , Cos, -:r- ^ . Cos. —7- <p . etc.
^ a^ 4^ 8 10 ^

quior innititur solummodo Aequatione =2J/'n. — A,

Cos. — A
2

quae adeo facilis est, ut si Fig\ 3'^ inspiciatur, ubi sit arcus
BD = A, bifariam divisus in C, statim liqueat propter Trian-
gula similia FIC , EBD proportio FI:IC:;BE:BD = 2D0, vel

Cos. — A : I : : Sin. A : 2 Sin. — A , orta ( quemadmodum hlc expe-

rior) a natura ipsa quadrantis Circuli ABD, videlicet ab Eu-
clide. Sed eadem Series, ubivis gradum sistat, ipso innititur prin-
ciplo, nimirum Euclide. Exemplo sit expressio

Co^. — A.(7o5. — A.Co^.-TpA.Co^. TTf A...,Cw. •XvA,quod Produ-
24^^^ ^

ctum

r

ctum per mcthodum ipsam Euleri adaequat '-: — ^ . Casus

a"
aucem singttlarisi dum Serres abeat in infinitum , iterum oritar ia

, ,.-.-,- Stn% A Sin* A

hypothesi t5 /2=00; namque illico fic ^ = ^ =

o^.Sm. — oa. — .

-y uti superius. (Conferatur Dissertatio, quae exstat ia

A

!"**• Parte Voluminis ir. Aaorum Societatis Jtalicae ^d p^g^^. 123.
et seqq.j in lucem editorum Veronae anno M.DCC.LXXXXV'^. »
et signaiiter pag\ i^jS. la^., ubi ipsathet antiqua Euleri metho*
dus tum pro Seric Cosinuum, tuffl pro alia Secantium» Eulero
tamen innominatd> adhibetur.)

(13) Quidam Geometrarum Litteris mihi scriptis expostula-
verant communic^cionem demonscrationis Theorematis illius S^*
rierum iniinitarum, quod contiiiiet Adnotatio ia calce pag^. 396^^*
pperis Magnitudinupi Exponejuialium etc. Facillimum sane Theo-
rema^.sed .^eo ipsp iilustritis quDKl desideratur »» * Petitioni hu-*

manissimae sic satisfacio. Prima Setierum i-^^ — v~

1.3.5 25 4.4.6.6.8.8,10.10. CtC. P ,. . .

- - — ;ro etc. = ■ ' ' = — ex dictis m pag*.

2.4 0.8.9 3-3-5-S-Z-Z-9'9-ii- etc. 4 . ,. '^

• . • '

^94". Altera vero Series eadcm in pag». 35^". exposita f — ^

2.2.4.4 2.2.4.4.(S.(J 22.4.4.6.6.8.8 4*16*36*64*

4- per ibidem ostensa. Est autem ~-.4- = — .•Jgifrur ct PrO-

' r • 4 P a

F

ductum carundem Serierum > quemadmodum enunciavi. Ex meai
insuper Formulae Binomli consideratioile illud facile demonstra-
tur, quod prae ceteris legitur in Cousini Lectionibus (Cap. IV*

P. I. pag. 122. 23.), scilicet, (^n-r) =g H-mg (- J-f

d

XXIV

f9i • OT— +

Hariru Harm.

— h 00 T' OQ _

(14) Nova haec Theoria legitur in X"»*. ac postremo Capi-
te , et praesertim in §^ S^^""*- ad pag»»* 60«. 3. Operis praedicci
Magnitudinum Exponcntialium etc.Eo solummodo rera perduxi, uc
Constans^^b aliis hact^nus neglecta Calcuio restitueretur . Quo

-^=LA'-h 00 "^ -L/2H-C(ubi n ex hypothesi valo-
rem significec variabiiis x eo casn , quo A~ evanescit)=L (— )

(9C *\ » • .

— J. Ista Constantis omissio in vulgata me-

thoda AnalystaTum 'Orl^a «t caufesai fuit, propter quam intcgra-
Jia diiferentialium Logometricorutn''servitate Hyperbolae in an-
cecessum liberari nbii potuefunt^ ' . '

(15) Amicorum hortatu peranciquam Epistolam ad fideni
jantogcaphi, invicns tamea; fk-c^fero , quam mihi scripsit Romae
•die nona Maii ^n. ^ii/LDCC'.tJ}CXXllV. Franciscus Jacquterus e
^Minim6ru;mi faiaillaiSS^^^w-Tfinitaitis in Monte Pincio. lo amo

tfoppo le Matemdtichf per noo d^re h ben rneritate lodi alU e^cellenr
ze e profonda Qpera, colla quale VS. Ill^^. a arricchito leScienze.
Mi^.rallegfo.fqlla^suil Patrid^ Id qitale ,' per mezzo§uOy non solo
mantiene, ma accresce-V anttcd enon piulnterrotta gloriain questo
genere di siudj. Io[ho Ifttocon. somma' azxettzione diverse pdrti le
piu interessanti del suo Libro, che contiene molte cpse nuove fi su^
bUmi. lo ammiro il suo lalentOj ed il suo ingegno inventore . Lc sco-
perte, che io osservo nella sm^ Opera, daranno luogo ad altre bellis-
' sime invenzioni i ' ddle quali Jd' sua viente efertilissitna. Aspetto con
impazienza le ahrc sue ^roduzioni, le quali saranna nuove ricchezzc
nelle Matematiche, ed una conferma delld somma. venerazione ec. ec*
Virornm clarissimorum Sebastiani Canterzanii et Gregorii Fon-
tanae Li^t^ras huu^aniMiinas datas Bpaoaiae ec Papiae die 2*. ac

' ' 3'*. Fe-

— » ...-.-•• * -

3^. Februarii eiasdem aani M.DCCLXXXIII''. praetefmicto iibcn-
ter» non secus atque Academiarum Londinensis » Mancuanae*
Taurinensls» Palatinae-Rheni ad ,me missas vertentibus anuis
M.DCCLXXXIIK LXXXIV^ et LXXXV^ , meoque labori ,
quantuluscunque fuerit, satis abunde plaudentes. ( Vicje Adno-
tationcm 184"™* ExercUationis f quae sequitur, ubi altera recen-
setur in argumentum ^ idem Epistola anni M.DCCLXXXI";'^ ) •
Quae dum procul dubio vanitatis notam praeseferunt, veniara
precor si peculiari ratione permotus heic potius in vulgus
ed6re , quam ut par erat ab eorum communicatione abstinere
censuerim. Praeterquamquod ,, negUgere quid de se homines

sentiant /dissoluti esc animi ,,. ( Cic. de Offic. )

- • • - N^

(16) Est Propositio 35". Libri III". Elementorum. (Vide Sp*
ctioncm Iir*". huius Exercitationis in §\ 65". )•

>

(17) Mentiri nescio : librum,

Si malus est, nequeo laudare, et poscere.,^.^

(luvenaiis Satyra Iir^ v. 41 42.)

Adde^quae docte Sajmasio olim scripsic Huetius^ { Pifsertations

$ur Id Relig. et la Philosoph. T. ir. p*. 444«). AdAjersarium hunCf

si tu me audias etc. Consilium sane laudabile in eos^^qui erro*

rem passi atque monitl veritati potius, quam crrori feriasdice-

re studeant« Discant aliquando homines isfi quoQiodo sancte co*

lenda sit veritas a familiari exemplo incoqiparabilis Leonardi

Euleri, qui quum anno M.DCCLXXIX^ conjultus, a. mo> fucric

de quodam lapsu suae Introductionis in Analysin Infinitorumj Lit-

tens (quas adservoVdatis PetropoU Nonis Septembris noft modo

fnecum consens^it, verum eciam mihi humanissime gratias egic.

<Pag*. 577. A4not. (*) et (*^) Operis Magnitudifimn Exponemia-

lium etc). Idem ab .Aiemberti cpmitate ac modestia exspectan-

dam mihi equidein pollicebar dum huius Exercitdtionis §^". 43'""*

iiofldum

XXVI

nondum e vivis ereptus perlegisset: idem a CI. Gregorio Fonta-
na pluries in commercio nostro epistolico expertus sum, et exper-
turum confido a vere eruditis cordatisque omnibus viris, a quo-

rum placitis inposterum urbanissime declinare mei muneris cssc

arbitrabor.

■

(i8) Sunt profecto errorum nonnulli, quos reprehendere ne-

fas esset. Idgenus menda aut typorum negHgentia, aut Librorum

editionis defectu, aut Operum recentiorum raritate, aut rerum

sylvae iamdudum conditae minus recta fide, aut denique expres-

sionis ambiguitate inducuntur; verum taraetsi passim occurrant,

nihilominus nec mentis lapsum , nec fallaciam doctrinae ostende-

re valent. Hoc exemplis domesticis comprobandum duco, ne for-

te molestiis in me agant ii , qui aliquando naevos detexerint

nunc describendos . In meo MS. Magnitudinum Exponentialium crc.

dum Koenigium memorabam, mana exaratum erat Leibnitii suc-

cessorem Maupertuisium , loco Leibnitium ut in Opere legitur ad

num"". 320. in calce pag". 468*". vel typographi vel typis adsi-

stentium oscitationis ratione . Commata praeterea omissa in pau-

cis ipsius Operis exemplaribus ad pag*°. XXXIP"*. Prolegomenom,

et omissio litterae D' seu puncti bisectionis rectae LD in Fig\

3**. Tab*^ I". dubium movebant an de harmonica potius, quani

geometrica proportione scrmo fieret . Identidem in Proleg"'. pag*;

XVP. V. 21. est Epocha M.DCLVII. vice M.DC.XLVIL, prou-

ti recte scriptum in aitcra pag*. 397"**. Praeterea ad pag. LIV'*".

omissa fuit alterius Operis lacobi Gregoryi citatio, illius nimi-

rum, cui' titulus Geometriae pars universalis , et de quo mentio

fdcta est in alia pag*. 371*. In Prodromi superius citnti con-

textu (vid. Adnot. i*".)mea manu descripto loquebar de Calcu-

lo Differemiarunx partialium , ^tqne Functionibus discontinuis . Sed

in citationibus , quae in calce sunt Adnotationis i'^"*'. seu (b)

ad pag*". 132"*""., scriptum exstabat {Ved*'. il Tomo r. Miscella-

nca Taurinensia edito nel I759«* le Ricerche di M^ U Alembert

ed Euler

XXVII

ed Euler sulle Corde vibranti etc. etc. 7zW/'Histoirc de rAcad^mic
Royale des Scienccs ct Belles-Lettres de Berl in per ^Z/ ann/ 1747.
1748. e 1750. > /e Reflexions del primo sur la cause g^nerale des
Vents (1747.) ^ /'Essai d*une nouvelle Theorie sur la resistance
des Fluides (1752.)» /^ Memoria di M. Cousin tra quelle della R.
Accademia delle Scienze di Parigi del 1772. oltre V altra di M. De
Condorcet nel Volume del 1770., e quella di M. De La Place nel
Tomo del 1773., la Memoria XXV*. di M. D^Alemben nel Volu-
me IV^. de^suoi Opuscoli, una di M. Monge nel T. V^. delle Me-
langes delV Accademia Reale di Torino etc, la Memoria di quest^*
ultimo nel TomoVIf. e la sottilissima Dissertazione di lui mede-
simo sur les Fpnctions arbitraires contlnues ou discontinues etc»»
ch'e la IIP. del Tamo IX"". M^moires de Math^matiques et de
Physique pr^sentes etc. par divers Savans {da p*. 345. a 381.)
pubblicato a Parigi neZ 1780, etc.). Antigrapharius prima forsan
auctoritate contentus ceteras praetermisit^ non secus atque in
Adnotatione altera (fc) ad pag*". 160*"^". omiserat Cousinum, qui
post Montuclam Galilaeo iniuria succcnsuit (pag". 348^*. ^0361"*.
Partis I". Legons de Calcul differentiel et de Calcul Integral) de
Brachistochrona et Catenaria . Seriem lohannis Machinii pro CircuU
dimensione seikiel atque iterum nunciavi tum in iisdem Prolego-
menis ( pag^ LII\), tum in Capite Vr. (pag*. 339.) mei Ope-
ris Magnitudinum etc. ad iidem Synopsis Palmariorum Matheseos in
lucem editae a Wilhelmo lonesio vertente anno M.DCC.Vr.,
ac praesertim quintae editionis Londinensis anni M.DCC.LXXir.
Sherv)in^s Mathematical Tahles. Nesciebam cum Montucla in pag'*.
159"*. ac 160"**. Histoire de la quadrature du Cercle etc. illius de-
monstrationem Seriei fuisse> dum scripsi> iam typis vulgatam
jn Appendice Dissertationis De signi negativi in Algebra usu Fran-
cisci Mascresi Angli , atque in Treatise on Mensuration Caroli
Huttoni , quum ea tempestate Florentinae omnes Bibliothecae
carerent nuperrimis Voluminibus Transactionum Philosophicarum.

e Edicio

XXVIII

Edicio autem quinca Sherwini ica iallacicer Seriem exposuerac

16 4 . I i^ 4 . ' ^^ 4 '.

— - —r ^ — • rr "" % **" — • ? ^ ^^c. , in qua ncc or-

do, nec progrcssionis lex adparebanc» pro valore Circumferen-
tiae^ supposita eius Diametro;;=i . Postmodum igitur occasionem
nactus pervolutandi Parcem IP". Voluminis LXVI^'. Transactio-
num anni M.DCCLXX VI'. , in lucem emissam sequente anno»
non solum demonstratam facillime Seriem Machinii, sed etiam
eius veram expositionem cognovi. Illa etenim Scries est dua-
bus ex partibus conflaca , quarum altera primae subtrahatur >
nimirum Circumferentia =

; ^ ^-^ *-^ ^-^ ^, vel reductione facta,

-4( -^H-— ^^--^~L H-etc. }

V 239 3.^39» 5.239^ 7-239^ J

Circumf. = r {—^y-jijT-:^)^^^^ ^

etc.> quae quantum aberrec a Sherwiniana nemonon videc. Fun*

damentum vero Seriei csc altera Series notissima Leibnitii T — —

o
T* T' rr> '

^i-.-— -t-Ctc. Namque, $i ponatur tangens T=--, et po-
5 7 * .

-jgj^ __ ' ^ et in mentem rcvocetur Octantem Circumferentiae

239
peraequare diffcrentiam inter quadruplum Arcus, cuius tangens

— . et Arcum, cuius tangens —» Seriei veritas abundc pate-
5 239,

bit. Idem dicendum de aliis admodum convergentibus a Carolo
Huttono datis in Epistola ad Horsleyum Regiae Societatis Lon-
dinensis a Secretis, quam Volumen illnd complectitur , eSdem-
que ferme methodo Hutconus ipse exaravit a Leonardo Eulero
adhibita usque ab anno M.DCC.XXXVII"". in Dissertatione De
variis modis GrcuU quadraturam numeris proxime exprimendi Vo-
luminis IX'. veterum Commemariorum Academiae Petropolitanae .

Ex

XXIX

Ex dictis consequitiir nec editionibus quidem Britannicis perpe-
tuo fidendum esse > quamvis Glasguenses praesertim editioncs
Typographeii FouiJlisiorum , Virgiliusque Birminghami impres-
8us omnium eruditorum votis primas tcneant in re libraria
Transalpinorum . Eandem ob caussam^ quum Opus meum scri-
bens Magnitudinum etc. nihil aliud vidissem de egregio Theorc-
mate oLo^o, aut xLx = o dum x evanescat^ sive> quod idem
est» oLoo=o» praeser conclusionem equidem perfunctoriam a
I^eonardo Eulero tradltam in Parte !*• Miscellaneorum Berolinen-
$ium Continuationis VI". seu Voluroinis VII"™'. edita anno
M.DCC.XLIir^ (pag*. 149. etsi ergo x est infinitum, tamen eius
logarithmus Ix est ex minimo infinitorum ordine, hincque fit olx
= 0), hoc argumentum tractavi in iium". 128. 129. ac pag"- 166.
68. Capitis IV^ nescius Eulerum ipsum longe fusius atque uti-
lius rem omncm a fundamentis extulisse in pereximla Disserta-
cione Partis prioris Actorum Academiae PetropoUtanae Scientiarum
pro anno M.DCCLXXVIIP^ cdit. M.DCCXXXX. (a pag*. 102^*.
usque ad ii8^*~.), quae Dissertatio titulum habet De infinities
infinitis gradibus tam infinite- magnorum , quam infinite - parvorum .
Quantum haec doctrina profecerit a Guidone Grando, qui sae*
culo ipso ineunte (M.DCC.X.) scripsit Opellam cum titulo Di-
squisitio Geometrica de infinitis infinitorum et infinite parvorum ordi-
nibus y ad Eulerum usque , ne verbis qnidem exprimi potest .
NonnuUis fortasse obscura visa sunt quae de Hyperbola adno-
tavi uti Conchoide Trianguli in Prolegomenis antea dictis ( pag*.
XXXIIP.), proptereaquod Proportionis interpunctio proprietati
Hyperbolae non semper respondeat in versu 26'*. Hoc autem qui
dixerint aequalitatem perturbatam , quae i^idem punctorum ope
indicatur, non anim^dvertisse viderentur. Eadem Prolegomena una
cum Alemberto decernunt (pag*. XXXVI*. et seqq.) relationcm
Exponentium duarum quarumvis Rationum toto caeio diversam
esse a relatione Logarithmoruin duorum Antecedentium, si Ra-

tiones

/

/

XXX

tloncs ipsae, salva aequalitate > ad comniunein CoQsequentem
reducantur. Censores quidam clandestini emunctae naris idgenus
ratiocinationem non satis intellexerunt > perindis ac si sermo fuis-
set de sublimi Mathesi. Exemplo tamen facillimo res conficitur.
Sint duo Rationes numeri? expressae m:i, n:i. Indubium est
carum ExponenteSj vulgato sensu» esse m,n, dum contra Lm,Ln
sunt in admodum discrepante Ratione. Diversi etenim Numeri
nunquam sunt torum Logarithmis proportionales • Qui autem Ra<-
tionum Exponentes uti Indices Potestatum considerarc voluerint^
ita ut eSdera manente m': i , altera Ratio n : i vertatur in m^: i ,
tum, facto m Basi Systematis Logarithmici , i:r foret in Pro-
portione Logarithmorura pertinentiura ad Numeros m , n vel
Exponentes vulgatos Rationura datarura. Sed illa Exponentium
consideratio ab Euclideis praeccptis abcrrat. (Vid. Encydopcdiam
Parisiensem in Voc**". Raison, Exposant). Aliis denique,. qui Ad-
notationes eiusdera Operls in caice pag'*"". 170. et 367. compa-
ravcrint cura Operibus ibidcra citatis Wallisii ac Viviani>aqua
haercbit ad significationera verborura non caute adtendentibus .
Namque in earum postrema locura illum, ubi Vivianus lauda*
vit Seriem Leibnitii, adpellavi Isagogen, scilicet Introductionem >
tametsi locos ipse sit potius ad fincm , quam ad initium Opu-
sculi Vivianei De Fornicibus. Hoc sane eo animo -scripsi tura
quia Titulus a Viviano adpositus Fovmazione e Misura di tutti i
Cieli ec, tura quia arguraenti rectus ordo expostulabat id pri-
mura essc , quod postremum legitur in Opusculo ab Auctore
septuagenario in lucem emisso, quum prius de structura^ ac
deinceps de mensura Fornicum disserere oportuisset. Verba Wal-
lisii sunt ca, quae transcribo. Tota vero figura, quae contineri
supponitur {aut supponi possit) quatuor convexis Hyperbolis ( sibi
mutuo , ut ct asymptotis rcctis , post infinitam distantiam concurren-
tibus) toii figurae Ellipticae respondet , hoc autem discrimine> quod
in Ellipsi quatuor partes sibi mutuo concavitatem obvertant et

sc

XXXI

se mutuo continutntf dum Hyperbolat coniu^atae convexitatem si-
1)1 obvertunt » nejue suis asymptotis rectis, nis: posi injinitam di-'
Statitiam , occurrunt , aut occurrere supponuntur ( Prop. 43'*. De *$&-
aiohibus Conicis nova methodo expositis edit. M.DCLV, ) • Qubd
in una E?ITpseci;s'*perimetro absurdum tst ^ quum a:nalogia> si
qufte sit^ intercedat tantummodo binas inter Hyperbolas comu**
gatas et disiunctas^ atqne binas Ellipses coniugatas, forte fortn*
na' sibi invicem c6ngruentes> veluti iisdem litteris in Fig\ 4*\
exprimere stndni . De qua geminataeEllipse&ys copulatione non
ihgrata' alibt lottttus sum *in Adnotatione (211) II^^ Seetionis.
( VidieiikVofuiniiieL V*.'Tranwcr/o/ium &c. Londini editaruili
111. M.DGC.LXVr. Epistolam Tioo Tkeorems &c. Eduardi Wa-
yingit ad Carolum Mortonum Begiae Societatis ^cientiarum).
'" (i9) Mathematica recte scribere , ritequc ad sensuni aucto-
riim inteUig^6re» et dum argumenti ratio id expostulet interpre*-
tari j 'nemini'iiisi vird^Alatfiematico datum est. Quinam ieitenitii
adprobare unqiiam posset dum perlegerit pag*. 86'*. Volnniinis T.
ita inscripiti Letiere* sopra V Inghiberra , Scozia , e Olanda , ac Flb-
irfentiigie cditi anno M.DOC.XC., tutte le sue /znee ^dfeiringfcse) e
* le reiie e ie oblique, tntte son qua rivolte (airinghiherra),-perin-
ife ac^si 'obliquae Imeae linei^ rectis aeque adnumerandae nbn
essenit {Scilicet ut posseht curvo dignoscere^ rectum Horat. Epist.
II*. Lib. 11*. V. 44* )* In Elogio qnodam Galilaei hi versus dfc*
cnrrunt „ ineguale gravitazione dei corpi nei varj puriti del nosiro
globo , quindi le c&ngaturesulla figura di ^esro (globo) „•• Quam
jftiprdpria', et iii Mathematicis facultatibus peregrina 'sit haec
expressio» humanioribtis tantum litteris contenti satis hbscere
'n^queiint. Coniecturam revera» aut quaestionem movere defgu^

m

' ra Globi idem somnium esset ac de iigura Trianguli > Cireuli , Cu-

bi etc. etc. Non ita si qtiaestio, aut coniectatio de figura' Tel«

• «

'liiris, de figui^a Planetae^ in quo stimus etc» expressa fuisset*
'Rursttm idgenus dicti<>« quae legitur in Eiogio Leopoldi Medi*

• f ces

/

ces ab Etruria» scioglier teoremi solotcismns est la Mathesi • Ele*
gaatiarum harumce typis paratum elenchum habeo» nqmine ai«
men Scriptorum» Operumque titulo detectis, ad hoc cantammo*
do consequendum quod citationum yeritas pateatj mendaque ca«

stigata magis in aperto ponantur. Ex adverso Qabriel Cramc;-

_ •

rus» egregius Geometra, erudite docteque disseruit de Hippocra*
te Chio in Commentariis Berolinensis Academiae (a pagV 482'^
usque ad 499"^* ) relatis ad annum M.pCC.XLVIir*^o Bougaitt*
villius de Pythea in Volumine XX"^ Academiae Parisiensis /11«
scriptionum* Litterarumque humaniorum, Heinius dc Anaxagora ia
Berolinensibus Actis annorum M.DCC.L,Il^. ac LIII".. etc. ct&
(Vidc quoque Adnotationem 72"*". sequientis Exercitatianis).

(20) Ne monitum quidem Dictionarii Enfjdopaedici in arti^
Cttlo C^ne etc. satis fbit ad expellendum a Geqmetriac tempto
errorem perquam maximum^ hac nostra praesertim aetate tot tas^
tisque luminibus inclyta» Conum scilicet scalieniim» .juon secns
ac rectum» a revolutione Triangnli generari. Qnis ttaque Geo^
metra sanae mentis immanis hniusce mendi scriptoreq;i oon. re«
dargneret in Romana editione an^ M.DCC.LXX"^. pR^>*is Clr»
menti XIV^ dicati» et ad Tirones in Architectura recte rite«

.que instituendos conscripti» cuius titulns est // Vtgnola illustra^
to €C.$ dum pag*. 4^ Speciminis Geometriae non modo Connmt
verum ettam Cylindrum obliquum rotatione Triangnli , et Paral*
lelogrammatis genitos adfirmare audet» id fbrtasse adprobanto
Matheseos suhlimis et mixtae publico Professore? Quis a Monto*
cla non dissentiret semel ac Tiderit in pag\ 6^^\ l\. Voluminis
Mathematum Historiae nuncupatum inter antiqnos Prospectivae
scriptores Pietro del Borgo San-Stephano en Jtalie, ipsum nempe
Petrum della Francesca de Burgo Sancti^Sepulcri (quem aliqoi

, censent Biturgiam veterem in Etruria nova) laudatnm* nt ille
adserit» ab Ignatio Danto ex Dominicanorum fiimiliay Pictorem
sai temporis praestantissimnm^i pluribnsqne in Patria et per Ita*

liam

' XXXIII

Itam totam picds tabalis celeberrimnm vertente saeculo XV^»
Mftffisti^tim Lucae Pacciolit Ordinls Minoruni Sancti Francisci»
de quo ideiaf Mootucla ad pag*". 45^^% iam scripserat esse de
;Ftb-^'Saricti Sepulcri ,, parce qu*A etoit du Bourg du Saint Sepul^
cre en Italie m tnemoratumque hon slne honore ab Equite Geor*
gio Vasaro in Pictorum vitis ( Tbm*. V. pag\ 260. ), a Christia-
«0 Wolfio in Volnmine V^. Elementorum Matheseosj a Cardiiiali
Forlettb in Operd hotlssimd Z)e .3fttjfViV/aIiisque sexcentis? Pro*
lecto - Plebs Sancd Stephani > Portud ' Sancti jStephihi etc, sed
cnttquam, <)uo<l Sciam'; Burgus Saincti 'St'epha,ni ip Gebgraphia
Itaiica occurrit: " •■ • •'

iit) th &S'otrofui^ Cotlcctione fideli 'evairratur Indiaruin
M3ric^ta1ium Dybas^m itablim eloquentissime atque acutVssime
cntn Famulo Wo cbifodnututi& iesse de Philosophoruih taedip aver-
t^ndc^. MOfi' ami^ Ces geki^^l^ ioht pernicpeux* Oti nc peutse per^
niettri ta moindre injustice sans qu^ils iaremarquent. (Test envain
qti^ un; masque adroit derohe notre vrai vlsdge atix regards les plut
fper^am. Ces hommes en passant ont Vair de vous dire: Je re con^
^inois; Messieiirsles phildsdphes ,' J^eiperi kious dppfeiidre qiiil <«
dangeriux ue conmttrt' uh hqmme de ma sprte. Je ne veux pas Itrc
connu. Testantur etiam Itineraria quamplurima Luci^ni Mona*
mentum in Heliopoli aut Colonia lutia Augusta Caelesyriae
^nfatq ere concivium cxstructum hanc ipsculptam epigra^*"^

. ' . \ ' • . . • * *'

«OBOX KAI EAEOS.

^

V < •

V.'

Qttxi tste fett iuniultvs, ata qiiid omaium,

Vulttis tn unum me irucest

«_"' •

• t

• • • • Namque in malos asperrimtu
Parata lollo comua •

Ot MEAEI MOr.

(Q. Horatii Flacci EpodonQdt V" ▼. ^ 4,,tt^ue 04? V^^.
• II. i<r)(Edit. Ven. i549>)*

Plurimai

. • > • .

rxxiv
Plorimas idgenus sententia^s adtalit et recensnic aopllssiaie ftx^
bercus Woodius tam in Opere eximiQ, cui tituluot iecic Tkc
Tuines of Palmyra , othermse^ Tedmor, in the Cfcf/irt^ editipni? Lon-
dinensis anni M.DCCLIir|.» quani in altcfo. JUs yJluines >df ^fdr
hecp autremetu dite HeliopoUs dans Xa Coetosyric anni M.PCC.LVII'?^
Ceterum qui de Veritate etc« optime meriti foerint Belisarii
liunquam obliviscantur necesse est» nimirumi stir^nui .iUios exer-
cituum ducis et Gothorum. .victoria inclyti animo .semper in*
tueantur calamitatem oportet. a Marmof!teliOjdi$ertissiine;expref-

sam» et a Van-dikio depictam afte adeo mirabili^ ac nene di-

t^ " ^ ••«•i»«*«i»'*" '

vina» ut Belisarius ipse» oculis captus^ stipemque rogans^vide^**
tur haec dicere TaboUm . inspicientibus Les hornmcs ,vraimeni<
grands dpiyent j[airf des^ sacrifhcs de lcur fprtuncj.d^ Ul favpttri^
Crands^ et ntcmc de la Qonside\auoa^,foi\tmfQralnc* X CJpi^lan^ijjr
Histoirc du pds-Empirc par ^.J.e J?^a'H= fp^^^dcr^j^lfms sv^ lcfi
mdcurs dc.ic siccle var M, Duclos, et Tpm. il]i"% .Operia a Gro-
sleyb.editi verti^nte anno M . PCC. LX^I"*. jsob titttla ZjOiiiref

\par..M^)..;..,;;;'.. ., ,; .,., ;,.; ,.v ... ...^ ..:■... ••>

, (22) ... . ' ypx, vpx » fraetertaqut jLihil» I9 .•^regio O^g^
de meiisHra Baiseos ad dimett^ndum MeridiMii Qrciili,,,Gr|idufni
prope Londinumi quod sub mjtnu;; habui Kupcrrime. vfrsum ex
Anglico sn sermonem ' Gairicum ^ et sic inscriptum :Z)e^cr/fr/aft
des Moyens cmployes pour mcsurcr la Basc ^ de Hounslow ^.Hjtath
dans la Province dc Mdiilesex puhliele dans. le Volume LXXVL des
Transactions Philosophiques par le. Maje^r^ Qtneral William Roy ,,
a Paris M.DCC.LX'XXViL = var M, de Pron» = , Prae&tio tradu-
ctoris ad pag**. VIIl''***. e,t Adnotationem ( i) Beccariam Dominica*
norum Ordinis nescio cuius \le Pcrc Beccaria Chanoinc - domini^
cain) filium nuncupat» dum contra norunt omi^s Clericum-re-
gularem fuisse Scholarum-^i^rpm^ /P^rYi hoc antem momentl
aestimandum est^ quum bonarum Artium^ Scientiarumque |{eipu«
* bllcae tiilnr idterdt cuinkm fregttlarium Ihstituto Phllo^ophus

^ ■■■■■■■ ■ adscrlptiis

XXXV

adscriptns futqt . Eandem 6b ttmssam qui laseplia Plgro , in Ma-
thesl adprime versatOi. qnampkirfis errores ^ fbrtasse typtographi-
cos ) obiiceret> tam occurrerites in Praefatione, quam in conte-
xtu sui Operis Arithmetici ( Nuove Tavole degli Elementi dei Nu-
meri ec. ) Pisis inlucem emissi anno M.DCCLV1IP^, frustra ci
succehseret, pretiumque labaris, a ;Traytoren$io et 'FontenelliQ
(Histoire de V Academie Royale des Sciences de^Parisetc.^paur Van-^
neeM.DCC.XVIL ) admodum . commendaci , infirmare ' non* potis
esset. Biennio post evulgatam Theoridm novam Magnitudinum Ex^
ponentialium etc. Mathematicus quidam ( non ultra Sauromatas )
me monuit citavisse Posrz/Tna loannis BeraouUii> qnasi nesciverioi^
Collectioni hiiiusce Operum onGirniuixL Lausanaae et Gerievae edfto^
rnm anno M*DCCXLII**^ superstitem fuisse Berixoullium , quip-
pe initio anni M.DCC.XLVIIP*, c vivis ereptum^ dum octoage-
simum*primum.aetatjs annum agebat. Iterum iterumque meum
Opus pervdJutanti mihi occurrerunt iJi pag". 33^2*. 3*53^^ ^pa?**
ilheGcbra Joanhts: Bernoullil» ei in pag^. s^l. /Poimmar^F^ratris^iia-^
ttt maioris Iacobi»:quae revera publici im*is facta faeriint^ad cai-
€cm Voluminis H/. eius Operum anno-M^DCCJKLlV''^. , reccn-
sente atque inlustrarite Gabriele Cramero. Veruntamen si me
fefellerit iterata pervolutatio» ac forte fortuna semel in tanta ci^
tatioiium copia jPioifrarTki lacSbi : cum Amcdotis loskxAM permu*;
tasse niihi coaitigerit, i^odnam. Mathtisi^detrimentum adcessit? .
(^3) Si locutionis.gratiamv^^i Werum dicrarom orditriem, si
cultnm urbanumque sciib^ndl stiium>.perfcctamque Logi(^m.de<*
sideres» nuUum Opus polemicum Galilaei celeberrimo Trur/naro-.
rf cdraparandum {11 i$a^^za£ore).Romae.priraum iriipresso verteri-i
te anno M.DC.XXIII^^. iri : Haratiam IGrassinnL lesuitam y meo)
saltem iudicio/ hactenns norit/IiiaHa tocar.. :Flofida h}c equi-
dem omnia sunt» nutivoqua lepore.etfestivitaieplaudenda» Non
ita sentiendum.de leviuscnlis iJli& scriptoribuis, quorum cura fue-
rit invido morsii.pefseqia.ncxus fra//a, tralloraec., aiiaque non
*: v £r absimilia.

XXX VI

absimilia^ quae oaisseain moreaiir; Qood eo magxs etiam in re
gratnmatica vicnperafidum censnerim quum loamiis Lamii > $er«
monis Italici orthographiae peritissimi, auctoritate repelli fiicile
possent. ( Chantonis et Hippophili Hoioeporici Par. L Florentiae
M.DCC.XLI. in Ddiciis Eruditorum pag\ 260. v. 3. 4. et rursus
pag^ 284. V» 13.» qiiarma primum Vohunen locpm pupblicant
vidit v«rtente anno i4.DCC J^XXVP.
/ (24) ^Nihilo tamen mitius Hi mbtus animorumy atque haec

j _

xertamina zahta Puheris exrgai iactu compressa quiescunt. Bernar*»
dus Foncenellius a Boileavo acerrime accersitu6> et ab Academia
patriae linguae atque eioquentiae illius insidiis reiectus nunquam
iatyricis eiiis scriptis respondit* si quaedam excipiahtur in EIo-^
giis sais academicts Dangeavi :et Valincourtii admodum levia;
ac sepene inviooexaraca. Senecae.de Phiiippo Maoedonam R^ge
aurea exstat sen centia «, «fif quae alia in Philippo, virtus , ftiii et contu*
meliarum patientia , ingeas instrumentum xtd tutelam r£gni,,. Eruditos
honescosqne decet viros exempla haec imitarii scriptores eteniat
omnes ab hac animl moderatione et tranquillitate declinantes neo
doctrinafum robore> nec doctorunr anctoritate castigari meren-?
tur ( Vid. Adnot. praec. «t Q. Hor. FJac. De Arte poetica ad Pi*-
sones v. 282. 283^. 330. 331.). Ad rem facit Liber cedro dignus
Benedicti Meniini ad Franciscnni Redium archiatrum De /xrera^
torum hominum inmdia ediit . jaiii'. M.I>Cd^XXV'K Non equidem.hoc
studeo bullatis m miki nugis . Pagina turgescat^ dare pondus idonea
fumo. (Persius Satyra V*?., v. 19. 20.). Ce n^est, en tout genre,
que dans da mediocrite' de ses ialents quon trouve un azyle contre.
les poursuites des envieux. (In Prae&tione Operis De P Esprit ad
pag*«". IV^»*. editionis Parisiensis anni M.DCCLVIirL ) .

(25) Licuit> semperque licebit neque severius, neque tcm-
perantius aliorum inventa perpendere, et dubitationes exponere»
si quae fuerint. Imitabile exemplum praebuit Cl. De-La Gran-

ge, qui omi^sas a Condorceto in Sectione ll^*. Partis I"*'. Cal-

culi

XXXVll

culi IntegralU ironnuUas Tntegraliinn Jbrmas diffei^enttaribus Ae^
qoationibus . respondentes iteram . iteriunqna experi;us Candorcet
tam ipsum amicissime ad eas supplendas excitavit atqoe p^rdvxit^
quemadmodom liquido con^tat ex Opascuio Edaircissement sur
le Calcul Imegral Lutetiae Parisiorum impresso vertente anno
M.DCC.LXVII'^* Qanm primum legeDem Petropolitanae Acade^
niae Collectionem in Volumine- IX^ veterum Commeiuariorum
afacri animo pervolutayi Friderici de Mouia Dissertatioi^em De
Maximii inFiguris' rectilineis ^ Praeterquamqiiod in re simpliciS'1'
sima neque Algebrae» neque Calculo infinite - parvorum locus
erat » prouti intcr alios ostendit Opusculum cedro dignum Tho^
mae Simpsonii^ non potui qnin etiam cognoscerem ec duo prae-
sertim Lemmata (pag\ 139^-) et duo simul Theoremata tpa^'»
149*.) .elaboratis demonstratKonlbus Analyticis exornata Aihil
aliud esse nisi faciliimas Geometriae Eiementorum Propositiones.
Unum etenim horamce Theorematafli / ne de Lemmatibus Jo^

•

quar, ^st iKStissimuiii Ptolemaicum pertinens ad QuadriUtera CitT
culo insciripta i alterum aatem novum de Quadrilateris ip$is sic
breviter in FigV 5^«. demonstro^ Propter anguios BAC ac BPC«
qqi simal iuncti ex hypothesi duos rectos conficiunt> quod etiam
valet ,de angulis ABDjACDj atque^ob oppositos angulos in £
aequales ^ docet Euclides esse Triangula BACh-BDC:BDC::AD:
DE::BA.AC-^BD.DC:BD.DC,necnon ABD^ACD:ACD::BC:
CE::SA;BD-i- AC.DC: AC.DC. Sed inviceui comparat^is gemiT
nis Proportionibus constat ex Theoremate elementari alia Prar
portip DE:CE::BD:AC = BD.DC:AC.DC. Ergo AD:BC:;
BA.ACh-BD.DC:BA.BD-+.AC.DC, veluti Moula repertum
habuit. Quod additamentum Theoremati vetustissim.o Claudii Pco«
lemaei in Libro P. Almagesti editionis Venetae M.D.XXVIII.,
aut Neapolitanae ( M.DC.V. sub titulo Claudii Ptolemaei Magnae
Constructionis Liber primus cum Theonis Alexandrini Commentariis
ttc.,) loannis Baptistae Porta ubi Theorema celeberrimum maxi'-

mae

xxxvin

Tfiae superficici Polygoirorunt et Polyhcdrorum Tegalarium.iitter
isopcrimetra primum occurrit a pag*. ai*. ad 33"". ( MontocU
in T. P. ad pag*". 304*^°^ editionis hniusce epocham. haudqua';
quam cognovit ) 1 hac ratione dcmonstratum omnem rigorem ser*
vat Euclideum^ nec Geometrico penori nomen potius SyhthescMS»
quam praesidium adfcrre censendum est»- qucmadmodum ex ad*
verso contigisse mihi videtur constructionibus linearibus Proble^
matum, quae cxstant in pag'\ 217^ et 218^*. Di9sertatiQni& ce-
tcroquin sagacissimae Condorceti Essai (Tune Meihode pour trour^
ver les loix des Phenomenes d^apres les ohservations ad calcem
Libri vcre aurei sub tituio Experiences sur la resistance des Flui*
des 9 Parisiis editi anno, M.DCCLXXVII"^. auctoribus Alember-
to; Condorccto^ et Bossuto, quum nihii aliud significent nisl
Calculum ipsum Analyticum Figufarum veste decoratum . Eadem
Condorccti Dissertatio me quoque dubium aiiquot abhinc annis
dctinuit circa mcthodum ini^eniusissimanx resolutionis universalis
ab^o traditae Aequationum gradiis paris» quae vocaatur cqna^flr-
tibiles, ab iilostri trapsfuga Gaiio iAbrahamo Moivrco in Miscel-
lanei^aMlyticis' de Scriebuset Quadraturis editis an^no.M.DGC.XXX'^-

iamdudum consldcratarum sub forma j^ -^ny -^/nj •+.....

H-mj*-+njH- 1=0. Namque pracstantisshnus Auctor ad hoc con-

sequcndum animadvertit rb y esse aecessario tam e ^^ , quani)

€ "^* , idcoque ad Sinus ct Cosinus Angulorum rcferri. Rcvcra
nescire me fateor qua de caussa eodcm fundamcnto posito non

innitatur ctiam altcra hypothcsis ri y=ze , et =:e > quae ad
Cosinus ac. Sinus analogos HypGrhoUcos ducit vcl Angulorum ex
Lamberti dictione transcendcntium {^26'^. Nota) , ita ut Aequationes
omnes convertibiles potiori. iure dlci debearit resolvendae ope
Formulae generalioris , quae Thoynae Simpsonio placuit { Miscetta-

A ' — A

ncou s Tracts^n London M.DCC.LFIL „), nimirum y = M =M ,

suppo-

XXXIX

supponendo r^ M=c aut =5 . (Consulatur Theoria nova Ma^
gnitudinum Exponentialium etc. pag*. 487"*. et seqq., ubi omnia
profluunt a Formula Newtoniani Binomli, de quo generalissi-
mam dudum vidi demonstrationem posthumam lo. Andreae Se-
gneri in Historia Berolinensis Academiac a pag*. 3*2""*. usque ad
42^-". Voluminis ad annum rclati M.DCCLXXVIP'".). Imperi*
tiae fortasse meae adscribenda est altera dubitatio in demonstra-
tionem petitam ex vulgaribus Algebrae regulis ab eruditissimo
Sebastiano Canterzano Bononiensis Scientiarum Instituti a Secre*
tis, de forma» scilicet» A=t:B\/^ algebraicarum Quantitatuoi
omnium imaginariarum . Is enim ih Parte secunda Voluminis II'.
( pag. 720. et seqq. ) Actorum Societatis Italicae primum statuit
(§^ 6°. pag. 726. 27.) Quantitatem radicalibus radicalium etc.
utcunque involutam , ubi praeter magnitudines quasvis reales
aliae quoc;uomodo exsistant reales per V'--! multiplicatae, reducl
seinpcr po^se ad formam A=±B\/^. Deinceps (§^ 7^ p". 727.)
ait O^ni vdlore delC incognita d^ un* Equazione sarh sempre una quan^
iitd , o una formola, qualunque poi siane la forma , espressa in quaU
che maniera per le quantita cognite , o vogliam dire per li coefficien^
ti de'uimini dell* Equazipne sfessa. Deniqne (§°. 8'^ pag*. 728.)
principium hoc inconcussum universale ita circumscribitur, utrtt

qualunque poi siarie la forma Radicis y = orf^m-M) '^^ Aequatio-'

ne gradus paris 2r(2m-+i), nempe Quantitatis utcunque iatat
per s extr^mum Aequationis ipsius teirminum, atque per alios
terminorum coefficientes, involuti alcuni di questi in formole della
forma A=±Bv'^, revocetur ad formam in S''. 6**. expressam»
quae et minus universalis mihi videtur, dubiumque saltem hae*
rentemque Lectorem linquit, nisi prius demonstretur cuiuslibec
Aequationis Radices formam peculiarem algehraicam in eodem
$% 6'^ adsignatam induere debere , quod meo saltem iudicio

h Canter-

XL

Canterzanus non fecit in sua Lucubratione ^ de qua nunc agi«*
mus, sic inscripta Dimostrazione della riducibilita d^ogni quamita
immaginaria algebraicaalla fcrma A:± B \^^ , adattata ad un Trat-
Lato elementare della natura^delle Equazioni. Hoc ncquidem obti-
.netur (nimirum algebraice, universaliter^ ac sine praesidlo Fun-
ctionum Circuli) a laboribus Alemberti. in Actis Berolinensis Aca-
demiae ad annum M.DCC.XLVr"°., nec a studiis ccteroquin cxi-
miis Leonai:di Euleri in Commentariorum veterum Academiae Pe-
tropolitanae Volumine Vr. ad annum M.DCC.XXXII""., et in
novorum IX^ ad annum M.DCC.LXIP". , atque in Capite IX"",
Voluminis I*. Introductionis in Analysin Injinitorum', neque ab hu-
iDS Capitis AdditamentOj quod in elegantissima Commeqtatione
De Fa^etionum algebraicarum integrarum Factorihus trinomialibus
realibus Franciscus Theodorus Aepinus protulit anno M.DCC.LX"^.
aut LXl"'^ a pag. i8i»*'. usqne ad 189*". in Tomo Vlir^ Novo-
Tum Commentariorum Academiae ipsius Fetropolitanae. Pl^us aequo
religibstts atque sollicitus mihi etiam videtur ( iure dicam, an
iniuria, nescio) summus profecto et in mathematicis disciplinis
illustrandis versatissimus Antecessor Gregorius Fontana dum in-

i t I I . ^ . ^ . .
1- rr^u 2 ^ 3 ^ 5 : " '3 r I r ^

firmat Theorema e =:i-t.Y-i---.-+---f-

^-*--g-H-^ H-etc. in pag^ 133*. 34*. 35*- 3<5*- P^rtis 1« prae-

citati II'. Volumjnis Actorum Societatis Italicae. Profecto Theo-
rema istud ab Eulero evulgatum in Tomo IX^ veterum Commen^
tariorum Academiae Petropolitanae pro anno M.DCC.XXXVII°>^
(vid. Theorema 19°". (pag''. 187. 88.) Dissertationis, cuius titu-
lus est Variofi observationes circa Series infnitas), et a me post-
modum in calce pag**. 352^**. Operis Mdgnitudinum ^Exponentia-
lium etc. iisdem pene Euleri verbis transcriptum » oritur ab alio
cquidem indubitato (Theoreroa 7"". CoroII. I. pag*. 174.) i h-

JA 3 -4.5 o- 7 1.24.0.10.13. ctc. ' tr

hoc

^

xu

hoc 00= i^-iH-i-4'i-hi-+i-+i-h ttc, ( Consulatur Dissertatio
De Infiniio etc. Lhullieril Genevensis, praemio decorata die pri-
ma lunil M.DCCLXXXVI. ab Academia Scientiarum Bcrolinen*

si). Ex ista veritate consequitur altera t5 -L^-L-4.-Lh-~h — -*--^

-hetc. = LLa) ^ quam tamen Aequationem, e^dem fbrma ac va-
lore , et iisdem literis cum eruditissimo Gregorio Fontana > Eu-

Jerus ipse ita cxposuerat et demonstraveratA -+---• B -4--^ Ch-~Dh-
±E-+-~F-f-G-4-ctc.=L(L(i-+i-ri-f-l-4- 1-+- i-4-i-t-€tc.))> ad-

& o t

dideratque csse.ra L^L^L^^^L^^^ etc. ( = A) quasi L07

garithmum' ri i h- — -4-4--«--r-»"^"*'T"+"=^-^®^c. = oo ; quod evin-
cit fore etiam ad mentem Euleri et T. c^ ab Eulero desumpti

A 3 3 5 2 II 13 . I .1 . I I I

. ^ 23456

-hJL-f etc. ad hoc> nt conveniant inter se duo praedicta Theo-

remala. Pronti enim in Aequatione Logarithmica omnibus nu-

meris absolutu^ vater est AHrn=;L( i -+-^-4- — -4-— h- — h-4--^~-

. i» 3 4 5 6 7

-f- etc.)j ubi A= 00^,, n finitus et admodnm parvus, ita etiam ia
regressu ad Exponentiales omnibus numeris absolutus Valor esc

6^"**^= I H--^-hi-H--i-*-4r-+-r-+-^-*-etc*noa secus atque ad men-

^ 3 4 5 <> Z . ^

tein Fontanae > quemadmodum recta iubet verborum Euleri 5i->

gnificatio > et contractiones denotant vacuaque in Seriei calce

relicta. Scopus autem et argumentum » necnon sensus et consequen*

tia (L c.) illorum Theorematum non erant Aequatio perfecta at-

qiie numeris omnibus absoluta^sed potius demonstratio triurh di-

versi generis Infinitorum oo, od^, 00^^, quae in aperto ponitur aut n

in computationem veniat> aut n negligaturi. Meditanti mihi scru-

pulum in tractatione Infiniti haud parum admirationi fuit doctissi*

mum eundem Scriptorem in eodem Volumine Societatis Italicae

(Lem-

XLII

(Lemma P°*. pag*. 424".) dissernisse de Serle. infinica Cos.x-¥
Cos.2x-^Cos.^x-^Cos*^x-¥Co$.^X'\'etc.f eamque a se demonstra*

tam supposuisse perfecte aequalem - — » quum omnibus notum

sit, qui recte In6nitum ver3averint> falsam hanc esse aequalita-
tem ab acutissimo La-Grangio in Theoria sonorum et chorda-
rum vibrantium primum contemplatam {MiscelL Taurin. T. I.
an^. M.DCC.LIX*. ) , et toto iure ac pro virili sua oppugnatam ab
Alemberto, praesertim in Memoria P. Voluminis V. et XXV*. Vo-
Juminis IV'. Opusculorum (pftg''. 156. 57- Supplememi) , ubi futi-
litatem irridet Mathematici nescio curus, qui Calculum probabi^
lium ad Summae eius Seriei et parallelae Grandianae. veritatem
adserendam ausit experiri. Interea ad moderandum lectoris tae-
dium libet illius animum hilarare oblata comparatioae pag'"".
344"*' 372*"". 874"^* ^^ 390"*^ Capitis VIV Operis mei Magnity,*
dinum erc, .cx qua recte inita fluit 2(1-

3 5 7 9 n

X^ctc.):=.2:^^^'^';^'^. dum contra2(i-4.H.i.-i.^i--i
H-— - etc.)=4^4:5— — ?r-^ » codem manence Numeratore a nu-

13 ^ 14.4.8.12.12.»$. ecc.

meris dmni bus pr/mz^ invicem multiplicatis conflato. Erit itaque

I H -+ — -♦•--•H 1 1-— H-etc. : I — ~H H-— — — H ctc»

3 5 7 9 •" 13 3 5 Z 9 " 13

;: 1 .4.4.8. 12. 12. 16 • etc: 1.^.4^6. ip. 12. 16^ etc = cc/. i; a-*
deo ut kaec duo Producta valoris infiniti Infinita tamen prae-
beant diversi ordinis atque specici , sivc limites sint Rationis qua*
eumque data maioris ex parte Infinitiy veluti pas$im occurrunt
Geometris ex parte Infinite-parvorum.

(26) Cicero de Legibus initio Libri If., ac de F inibus Libro
V°. Consulantur quoque duo Opera celeberrima ab Humio An*
glice scripta Essais moraux et politiques = Sur C origihe et les progres
des arts et des sciences, et sur le caractere des Nations. Ceterum de
mirjibiU exemplornm ac monumentoram in concives virtute atque

e0icacia

XLIII

efficacia nemo diibitaK nmqu^m poteriti si forte excipUntur Gens
plus curieux de rescriptions pendant leur vie, que d\inscriptions apres
leur nwrtf. uti habet Aubigneus in Appendice ad Historiae suae
duo prima yolnmina.

(27) Nnrrant Alemberto adhuc puero philosophorum nomen
piaries audienti coriositatem obvehisse petendi Qu^est-ce quun
Phihsophe mediis in nubibus haerens ? responsumque habuisse Cesc
un fou, (pu se tourvxente pend<int sa vie, pour quon parle de lui lors*
qu^il rij sera plus. (Vld. Historiam Academiae Scientiarum Pa-
risinae pro anno M.DCC.LXXXIir^. ad pag*^ 78"'.). Nihilota-
men minus Peritia mxhi Jit amor =^Sl vivo et valeo, suum m.

(ad) Eruditorum petie omnium paupertas, non modo Libro*
rum collectioni', verum etlatft saepenumero otio litterario procu-
sando. impar, ab humillimae in Proceres servitutis obsequtiquc
defbctu originem duciti iuTtta illud Romanorum Toga rara. Dum
autem 'Lrbros memoro, bibliomaniam luxuriemque typographicam
nunquam optasse fkteot. Pretiosa haec etenim sunt» et potius io
ptnacothecam ,* quam bibltodhecam immictenda. Profecto quae*
nam. artis mii^cula ex BodDnia)ii& praesertim typis prodire ia
dies non videmus? Quidnam P^mensi edicione el^gantius PoSti*
eae Coronae ( Prose e Versi per cnorare la tneraoria di Livia Dorijk
Garaffa) in lucem emissae vertenrihus annis M.DCG.LXXXIV'^ ^
LXXXV^? Quid dicam de gemtn\$ ArtacrMmis editiQnibus etns*
dem temporis^ labores Stephanorum , Tournebornm f Moreioriim ,
Societatnmque typographicarum Parislensis ec Londtnensis , qua*-
rom postremae nuperrimum debemus Platonem Graeoo-Iatinunl >
exsttperantibus ? Quid de Kennikocti Angli maximae impensae
herculeo molimine sadra Biblia ad MSS. Hebraicorum iidem , va-
riantibns undique coniatis locticMiibu^ » ec Voluminibus cotam per
Europam quaesicis, restituendi?*

(29) Siculorum vererum erac in ore , dum antiquo libertatls
impetn rapiebantur» idgenus vanissitta dictio de illius Insulae

/ cive

XLIV

cive „ Nil maius generatur ipso , nec viget quidquam simile aut
secundum. ^»

(30) La Geometria . serve , se non altrc , per misurare i goffi .
( Consulatur Opus vere ludicrutn II Pecorone di Ser Giovanni Fio^
rentino editionis Mediolanensis anni M.D.LXXXl V^L )

(31) Ciim (pthsXf^vim quodam fusios olira disceptavi de vti%
significatione Gracci verbi v6focj quod ille censum et vectigalia
interpretabatur» ideoque cum sensu confundebat alterius vocabu*
li ioff^jLbg, iniuria quidem ex auctoritate .Xehophontis, Isocratis»
atque Dcmosthenis. Revera ^ipo^ idem est ac mutuatio, aut pe-»
cunia. quaesita ab iis, qui.ta,ntummodo tempus commodent , aliudve
idgenus remedium extremum pro salute tuenda Reipublicae.Haec
prima fuerunt de Censu studiorum meorum rtidimehta.. Cetera
iussu Fbincipis ia patriis grammatophylaciis adservantur ..E^deax
de re epistolas scripsi^ et accepi vicissim labente anno M.DCC«
LXXXII'^^ a meritissimo publicne oeconomes cultorcj olim Aa«
gusti Caesaris Domini mei a Consiliis sanctioribus.

(32) Plus aequo> uti arbitror, homines eruiditi •»..... Plora-
vere suis non respondere favorem Speratum meritis (Horat. Lib. U.
Epist*. P. ad Augustum v. 9. 10. )• Namque nefas est viris do-
ctis tot tantasque antiquorum sententias intermittere > aut pertur*
bare, qaot Horatius Flaocus» C.Velleius Paterculus> «C. Corne--
iitts Tacitns» Suetonius Tranquillus etc amplissime cdllegerunt»
et poctica rhetoricave arte mirum in modum exhilararunt. Qui
vero plura desideraverit de nobiiissimo hoc argumento adeac
Opusculum editum Neapoli anno M.DCC.LXXXIV^^ », Memoria
„ sulle strade pubbliche della Sicilia di Carmelo Guerra „ cum epi-
graphe Prius est esse quam esse talem. Idcirco in ore Doctorum
(quae nominis inclyti antiqua laus hodie saeculi vitio plebecu-
lam sonat) est illud olim a Persio argate dictum (Satyra Vl\

V. 57. 58. 59.) : quaere ex me, quis mihi quartus Sit pa-

ter, haud prompte, dicam tamen: adde etiam unum, Unum etiam,
terrae e&t iam fdiuf . (33)

XLV

(33) Neminem latet auctorem istum , primum omnium , Tra-
ctatum scripsisse De Lineis quarti ordinis=in Memorabilibus Regiae
Scientiarum Academiae Parisinac ad annos M.DCC.XXX""". ,
XXXP"'. relatjs (a Pa^*. 158*^ usque ad 217"*"- ct rursum a
363**. ad 434"". in Voiuminum primo, atque in altero a pag.
10"'*. ad 50"^°'.). Fundamenta doctrinae heic iecit Bragelongnus
tribus partibus ^ctionis P^ Academia Scientiarum Parisiensis
ulterius progredi pollicita fuit pag*. 70*"'. Historiae suae in Vo-
lumine anni seqqentis M.DCC.XXXII*^'. At nihil amplius usque
ad hoc aevum de Cl. illius Auctoris laboribus lucem publicam
vidit.

(34) Nullius in veria = Societatjs .Scientiarura> quae Londini
est, ceJeberrima inscriptio. Eodem redit Numisma Alaraanni Ri-
nuccini Cl. Ferdinando Fossio editore atque interprete»

(35) Q^i errores doctissimorum hominum emendare curave-
rint ilJud semper cordi habeant Newtoni efiatum Ut omnia can-
dide legantuTf et defectus in materia tam difficili non tam reprehen-*
dantur, quam novis lectorum conatibus investigentur et benigne sup-
pleantur, enixe rogo. (Vide Praefationis calcem in W editione
Principiorum Mathematicorum Philosophiae Naturalis).

(36) In vetustissimo Codice papyraceo Bibliothecae Palmy-.
renae Opus exstabat > id testante Longino rhetore , Zenobiae
Reginae Administro et ab Epistolis latinis^ olim Fabio Maximo
consecratum , atque ita inscriptum De methodo curandi morbos ex-^
pectatione •

(37) Fasciculus praelo paratus sigilloqne mnnitus titulum ha-
bet Quanto sia difficile e delicata F applicazione delle Matematiche
pure alla Fisica, et epigraphen a Satyra Vll*. luvenalis desum-

ptam (v. 51, 52.) : tenet insanabile multos Scribendi cacoethes >

et aegro in corde senescit.

(38) Si noti a la mesure des choses, au moins h la mesure de
ma vue. (Montaign. Essais VK editionis M.D.LXXX. Lib. ir.
Cap. X«~.). . (39)

XLVI

(39) La grandeur est une cause unii>erselle de plaisir ( a ) .

Tout ce qui est grande a droit de plaire aux yeux & k V imagi^
nation des kommes . ( T. I. De P Esprit ad pag**. 239. 240. 241.
Edir. Paris. an'. M.DCC.L Vlir'. ) . Qul Londiai sunc rarissimatn
illam di6m> qua Solem extra nebulam nubesve splendentem ad-
spiciuntj summo gaudio perculsi glorious day nuocupare solent.
Idem arbitror die Veritate> semet ac densam errorum caliginem
dimovere possit» ferendum esse iudicium. Nihilo tamen minus
colenda viriliter atque servanda Veritas ^ proptereaquod VIRTVS
scmper EGREDITVR VICTRIX, ut l6gi in Numismate celebri
Friderici IIl^'. Borussorum Regis, Berolini cuso^aut cudendo, ver-
tente anno M.DCC.XLV'*. {Histoire de F Academie Royale des
Sciences et Belles - Lettres de Berlin = Annee M.DCCXLVl, et rursum
Histoire etc. depuis son origine jusqu^h pre'sent = a Berlin M.DCC.LIL
in Tabula II''^)» quo praestantissiffla laborum Hercnlis Gentau-
romachia ad vivum expressa fuit.

EXER--

D I S Q^V I S I T I O

DE VERA FVNCTIONVM DIFFERENTULIVM ORIGINE

QVA RVM INTE€RALIA A RECTIFICATIONE PENDENT

ARCVVM ELLIPSEOS

ET HYPERBOLiE APOLLONIANiE .
TJ

r^i^Asivs Pascalius» vit eqnidem suiiifnus » ct ingenii acumine Ma-
^^ thematiconim sui temporis oulli secundus» usque ab incunabalis Geo-
metriae Limitum (i) aucror fuit celeberrimi huiosce Theorematis, vi^
deliceti Summam rectarum innumerarum » quae a puncto ubilibet posito
(si centrum et infinitum excipias) extra vel intra Circulum ad eius cir-
cumferentiam ducantur , aequalem esse Superficiei Cylindri circularis obli-
qui sive scakni^ ex dato puncti situ faciliime determinandi . Theorema
istud elegantissimum eo redit quod summa praedicta abElIipseos Conicac
vulgaris perimetro deriveturt tametsi Andreas Tacquetus lesuita Ceome-^
tfiam practicam scribens non viderit Cylindri scakni Superficiem eandem
esse cum Superficie Cylindri elliptici (2)» nimirnra utramque ab Elli»
pseos rectificatione, seu ut Graeci dicebant Vi;St/y0'£i pendere i Neque hoc
idem sensisse videntur Aegidius Penoonerus Robervallius et lesuica alter
Antooios Lalovera» utpote qut praeclara inventi ante omnes in Tractatu.
ie Indivisibilibus ( 3 ) > ac in Veterum Geometria promota etc. ( 4 ) de Fi*
guris Cyclocylindricis istas plerumque pares demonstraverint Superficiei
Cylindri scaleni^ sed nullam mentionem inierint complanationis (5), nec
mensurae eiusdem Superficiei ope Ellipseos ab antiquioribos Geometris con*
templatae • Quod sane miraculo proximum iure censuit Georgius Krafitius
in Volumine XIV ""• veterum Commentariorum Aeademiae Scientiarum Impe^
rialis PetropoHtanae de Superficie Cylindri et Coni scalenorum disserens (6) »

A ^ ^mvsi

4

quura iamdiff notissimum fuefit ex Sereno Antissensi (7) Cylindram cir-

cularem scalenum a plano sectum lateribus et axi quomodolibet occurren-
te> ideoque et ad normam posito» EUipsin ApoHonianam suppeditare.

In eo tamen KraiTtius erravit quod inter superioris aevi Geometras,
qui non animadverterint cognationem Superficiei Cytindrt scaUni et Elli-
pseos conicae perimetri, nec unum Pascalium exceperit (8). Iniuria eqat"
dem > quum in Epistola sub ficto nomtoe Dettonvillii ad Christtanum Ha*
genium (9) de omnigenarum Cycloidumt quae a Circuli revolutione na-^
scantur» perimetris agens, earum tion^modo dimensionemt vel protractae,
vel contractae forent, a Superficie Cylindri obliqui derivaverit, verum
autem ostenderit apertissime cuinam Ellipseos datae arcui Cycloidales ipsae
perimetri, aut illarum quaecunque partes, sint longitudine aequales (lo).
Quin etiam in e^dem Epistola Pascalius monuit ideo perimetrum Semi-
cycloidis primafiae (11) parem esse iuxta Christophorum Wrennum (la)
duplo diametri Circuli genitoris^ quia Ellipsis illa» tum evanescente Axe
coniugatOy se vertat adamussim in duplum Axeos transversi» aequalis ea
casu diametro generatoris,

Hoc dictum sit noa ut Krafftium plus aequo redarguam, nec novae
parciculam laudis accedere censeam Pascalio , de omni re litteraria tam
optime merito, ut nullum ei par elogium (13), sed ad supplendam tan-
tummodo HJstoriam Maihematum a Montucla traditam ubi memorans Pa-
scalii inventum de Cycloidum seeundariarum rectificatione silentio praetc*
rit Theorema ingeniosissimum universale, a quo ipsa dimanet, et Super*
ficiem Cylindri sealeni (14). puod silentinm quanta venia dignum existi-
massem si quaestio moveretur de omissa a Montucla tnter Robervallii re«
perta Superficiei Coni sealeni mensura (15)9 quum deperdita fuerit, et fi*
dei solum auctoris consignata fatente Leibnitio (16)» tanto magis reprehen*
dendum putem in Scriptore historico dum loquicar de Theoremate Pa-
scalii Insulas Britannicas, Leodium, atque alibi misso, et a Robervallio»
Petro Fermatio, ac Renato Francisco Slusto, Geometris illius aetatis eru-
ditissimis, labente anno M.DC.LVIIL magna cum admiratione recepto (17)*

Quidquid autem fuerit de minus nota, aut neglecta Pascalii doctri*
na in argumento pertractando Cycloidum omnimodarum , eam mulcis
abhinc annis prae oculis habens statim cognovi fontero esse geometricum,
tt quo sponte fluant lutegralia , quae ad rectificationem Ellipseos et Hy-

perbolae

5

ptrMae teferantuf. Fandamentnni igirar Integralittm, qnae luUas Caru*
lus Fflgnanus primus omnium exhibuit ad reccificaQdam Lemniscatam la-
cobi ct lohannis Bernottllii (i8), eorumque a CoUuo Maclaurino (19) ,
lohanne Alembcrto (20), Vinceotio Riccato (21), Leonardo Eulero, An*
drea Lexellio (22)^ et lohanne Francisco Malfatto (23) nuperrime pervul*
gatorum in uno Theoremate Pascalii posirum est» et adeo posicum, ac
dum oniversa haec Theoria fandamento illo deficiente contortis saepe me-
thodis , et obliquis substhutionibus innitatur , fundamento tamen suo stt«-
perstructa nativum ordinem seryet, mirumque nitorem prseseferat, ac ve«
oustatem. Nec me pudet quae ocyus inveheram, serius admodum,quam
par erat, litterariae Reipublicae consecrare. Primum etenim occurrit quod
natura slm facilis ad meditandum, sed ad gloriam scribendo aucupan-'
dam difHcilis , schedarumque potius mearum contemptor , et uno verbo
X(tiMl^irsj(yc^ ' deindeque tanta menti obversabatur argumenti huiusce foe-
cundltas» et elegantia, tanta rerum dicendarum copia, ut paucts horis
subcesivis, quibus advcrsaria mea perscrucari, et vacare Mathesi datum
cst, frequentjssime inanum operi admovere vellem, haudquaquaai possem.
Praecipue enim intererat obsoletas non solum et prolixas demonstrationes
a Pascalio datas, nonnullasve deperditas restituere, aut novo ordine con«
cinnare, verum etiam oon pauca addere de Cylindris rectis et obliquis»
4e Cylindrorum et Conorum analogia^deCycIocylindricis^de Linearum Per^
sel qoibusdam (24), de Curvis in re mathematica elegantioribus, de Co-
nicis Sectionibus, de Magnitudinum finitarum LimitibuSf de Ellipsium pe-
rimetro, aliisqae» propeer argumeoti similitudinem, aut ad Syntheseos In*
finite-parvoram pomoeria promovenda» quae sub caelo Italico Britaonica-
que sunt admodutn in 4eliciis (25)*

A a - ^ECTIO

S E C T I O 1*.

JN QVA BREVITER AC DILVCIDE DE M O U STR ATVR

T H E O R E M A P A S C A L I

CVM ALItS ADFINIBVS IN IPSIVS THEOREMATIS ORSAMENTVM.

E,
A est cuiuscanqne Cylindri scaleni singulacis afTecciot ut innumera

buius latera» utpote axi parallela» aequaliter inclincntur ad planum Ba«*

tis» efHciantque angulum inclinatiohis ^acqualem illi^ab utroque lacerund

in Flano ad Basim normaU positorum cum communi ipsius Plani etBaseos

■

sectione efFormato. Sit itaque (Fig. 6.) Cylinder scalenus cuiuslibet spe-
ciei et magnitudinis ACELBDFM, eiusque Superficiei quadrans AGCBHD,
initio sumpto a Plaqo AEFB ad Basim normali. Elementum Superficiei
cylindricae circuhxis scalenae^ sive« quod eo redic, ellipticae rectae^ eric
area ParallelogrammuU GHKI . Ednctis ;to<i«c ^ B^ H perpendicularibus
ad Planum Basis BO^HP^ erit ex pracmissis GP constans ct aequalis AO.
Ducta vero PQ^ normali ad Tangentem Baseos GIC^ Elementa docent fore
HQ altitudinem Parallelogrammuli GHKIt cuius area =:GI.HQ, sive=t
G/(\/SG*^"Gi?*), aut (ob Triangula similia orthogonia PGQ,NGR)==.

• ♦

C/(VHG*-GP2^Il*)==i^A^(V^^*^G^^ A describatur radio Baseoi

AN uti diamecro Circulus AV^NU^ ac demum = Sr{ ^/hg^-AO^. AN.Ar) 9

AN"^

posica ST ad normam diaraecri» === SV{ \/ BO^-^AO^^^jnr) .

AN

s» Nunc assumatur in diametro AN^ vel in ipsa quomodocumque
producca punccum ubilibet JT, a quo veluci foco seu umbilico ducancut
jreccae ad tocam Peripheriam AVNU^ quarum una XS* Habemus ab Ett**
dide ^^5=== VS^^^lvS^aTM^ = y/XN^^^^ZN.lO^^QXN dummo-
do Z sic Ccntrum memoratae Peripheriae , = V^AFTD^C^^^^I^ ==
VxN^^^2XT.'AN^2XZ . AT . Quod idem est ac si dicam more Pascalii elc-
mentum Summae a foco X digredientium innumcrarum reccarum esse
Sy{ VXNM-"2]f2".":5N- •

3. Igl-

t

. AN

sive =: ucrilibet medietatum integrae superficiei Cyrmdri sealeni a Pla-*

no CDML • per Axem NY Diametrumque Baseos CL perpendicularem al'*

Ceri AE transeupte, sectarum , dum fueric altitudo Cylindri BO^=^XS^

et A0i=^2XZ . Atfi quarum conJhion»m ^vvm altitudinem Cylindri quae-

siti determinat, secunda obliquitatem 9 duoque simul latus vel axem Ylt

au t BA = \rSo^^O^ = l/jfNM^Z^ = y/XJt=z XA cx Elementis .

Exinde nascitar constructio perquamfacillima > et elegans , quum rectanmi

a focB maxima XA latus, minima XN altitudinem CyVindri praebeatt

atque ^O* sic =:Jfi4* — JfJV* . Descripto autem Circulo diametri XA^

etaCentro Z minoris Circuli dati educta ad diametrum ipsam normali

ZT, eric A0 = 2ZT, quum sit AO = y/l^T^^ = 's/^iTzP = 2.ZT n

Nec modo Summa rectarum sine numero a foco X emissarum » et m mGl*

nite-parvos arcus SV ductarum par esc semissi Superficiei GyliDdricae d««

termtnatae CALMDB » verum etiam iVliu» quaeHbet partes huius homolo«

gU ec proportionalibtts parcibus peraequantur ; adeo» ut emtssa quacum*

que rectarum XS*» iunctaque NSf^m^e pvoditcra ntque ad 6- , latU9 Cylindri

GH secet Superficiem Cylindrrcam in duas partes B/lGff , GtfCD , quarum

prima par sit Summae rectarum a foto X quo ad Arcum AS^ et altera re«

siduae Summae quo. ad Arcum SN . Idem intelligendum si partes aequales

et proportionaliter sectae non a puncto ^, ec latere AB^ sed poiios a

puncto N^ seu lateribus MLyCD numerentur.

4. Hemicylindro autem secto ope Flani ad axem NY sive lateribus

i4B»£^ etc. perpendicttlafif» enasckur Semieliipsis conica AIIA®, cuiui

XH

maior Axis A© = CX = fZi4iV , et Axis rainoris dimidium ^-^^•^vj -AN^

Nam educta ^Y parallela NA^ similia sunt Triangula orthogonia Y<l>A,^BO,
ideoque Y* scu ANi^AWAB-.BOWXAiXN ex deraonstratis in §. 3*"*
Huius Semieliipseos periraeter, eiusque quaelibet partes in latus constans
AB^ aut axem NY ductae hemicylindricam Supcrficiem xtfj/tf/iJ«r, eiusque
partes dimetiuntur atque complanant; unde fit Saramam rectarum XS a
foco X in arculos SV^ eiu<(que quaflibet partes. Rectangulo AB sivo
X^.AIIA©, eiusque humologis partibus aequalcs esse . Caussa exempli
Summa rectarum ab XA usque ad XS ductarum in arcus infinite-parvos

ab

s

•b A ad 5"=: X<.An; Samma ab XS^XA.X[U\ ct sic de ccteris in
infinitiim. Quapropter Samma praedicta, quomodocumque in parces divi*
3a , dependet a rectificatione Arcus Ellipseos Apdlonianae ^ foagoitudinis
et speciei datae. Quod in epilogt formam prae ocalis ponenduoiy grapbi«
ceque explicandum censeo perquamfacillima constructione (2($).

5. Data sit Circuli circum&rentia ABCD sn arcus aequales sine na«
inero divisa^ et innumera divisionis puncta rectis a <lato puncto X emis*
ais iungautut (Fig. 7.)* ^^ centrum E ducatar recta XAEC, et a pun*
ctis extremis diametri AC normales seu tangeates ^CY' ^ AG . Secetur CH
zzriCA diametro Circuli dati, et coniuncta tecta Xff, describatur Semiaxe
rransverso CH=^CA=^CKj et Semiaxe conlugato AL=-AI EUipseos co-
iiica^ ffnediieras JULN. Erit Summa rectaTum ab X in circulates arcus in«
terpositos infinitesimos , qui totam simul concludunt Peripheriam ABCD^
aequaiti^ ftectangulo rectae roaximae JTC in periroetrum Heroiellipsis NLM.
Et ;Clitcumscripto Semicirculo NCM^ dactaque a puncto A qualibet Chor*
<la AS xn circulo .datOi ,ac protracta ;usque ad concursum r, si ab hac
Radii iextre«iitate «mittatur rFnormaiis diametro MN ^ qUae «ecet in
perimetram 'Semiellipseos, •crlt Sa-mm* xcciaxum in arculos «tc«r snitio
Mmpto ab XA tisque ad XS^ aequalis Ilectangulo JTC.NOi ita ut sit
Summa asta ^artialis ad integram in ratione Arcus .NO^NOLM; «t sic de
ceteris partlbus in Jnfinitum sibi *proportiooaIiter respondentibus , aut in
quacumqtie <deterniinata ratione «ecandis (27).

(<$• Dum .autem libeat :Summam toties citatam Eectangulo «iusdem
Rectae XC in perimetrnm integrae Ellipseos aequalem adsignare , palam
fit istud rconseqiri bisectis in P^-Q Semiaxibus .datis AM^AL EUipseos su-
perius (Contcmplatae , .4iescriptaque jitmilt /Ellipsi ^()KV . £st enim, ex Cur*
'varum .eiusdem familiae «imilitudine , perimeter NLM = 2RQP = RQPVR •
Quinimo £IlipSis ipsarnet (minor non modo 'suppeditat inte|;tam Summam
€tc. =: XC . RQPFR t verum etiam quamlibuerit cius Summae partem ab
XA ad XS aequatem Rcctatigulo XC.ZRV^ qui Arcus ZRY determiaetur
4lucta primum Recta AO^ ac deinde «Chorda ZV parallela Tangenti EI-
lipseos in ii 9 "vel JV, 'sive perpendiculari ad maiorera Axem PR^ Ne*
mo etenim non "videt per Theoriam Conicorum, ct Curvarum omnium
«imiliumt «sse Arcum NO = aRZ=:ZRr/idtoqyLQ XC.NO^XC.ZRVf
mtquc ita de ceteris «ine limite (28) •

2* Variatio

9

^. Variatio distantiae fo€s X a centro Z Circuli dati (Fig, 6. )argn-
mentum suppeditat elegantiae plenissiaium , quod aliquantisper concem*
plari non ingratum erit Geometris. Basis omnium CyUndrorum irariabiliuoi
variato situ foci X constans estf utpoce quae radium habeat UA aequaleoi
duplo radii ZA Circuli dati. Obliquitas vero cuiusque Cylindri, eiusque
Latus vel Axis variabiles sunt ea lege, ut BA = YN=^XAf ct Sinu»

XN
anguli BAO^yNE^-j^j-. Supposito ighnr foco X in infinttuai distan-

te a dato Circulo AUNV^ Cylinder fic infinite-Iongus, sed reccust quuoi

XN
eo casu ^ sic ratio aequalitatis . Dum focus X ex infinico procedena

accedac ad £, obliquitas seroper augecor» fitqne angulus ^^0 = 45'', si-
ve semireccas» qaando $it focus in JT, ec AXiTCN uc diagonalis ad la-
ttts Qaadrati . Fit angulus idem BAO-^^o^ foco X transeunte in E, Dein-
ccps progrediente foca ab £ versus N^ obliquicas crescic, fitque maxima
in N, ubi angulus BAO in nihilum abic, et Semisuperficies Cylindrica ici
Planum verticur formam habens parallelogrammi mixti LACD'NMty aequa-*
lis duplo Quadrati rcctae z^y\ Ave dfametri AN Circuli dati (29) . Qao
in casu praecipue adnocandum parcem quamlibec Summae rectarum cx foco
N \n arculos, uti ab i4 ad y» aequalem esse homoTogae parti Farallelo-
graphi, nimirum AC1SN^= NjSfiY^ = NA . C1Z= NA . AS^. Absumptis^ gra-
dibus omnibus obliquitatis Cylindri in progresstt foci X^ X\ etc« extra Cir*
culum , denuo incipit ho.mologa obliquitatum series procedente foco a pun-
cto N usque ad Z Centrum eiusdem Circuli dati AUNV. Consultis etenim
formulis univcrsalibus $. 3"^, si focus in puncto Jf statuatur, eric sem-
per AX" latus sea axis Cylindri xr/sr/rii/» quigaudeac angulo Qbliquicatis Si-

nam-reccum habentis = ^— , cc caias Saperficiei dimidiam (exsiscencc

cidem Basi ELAC) adaequet Summam rectarum innumerarum XS^\ ctc. a

puncto X' intra Circulum veluti /oca digredientium, cc in solicos arcus

SV infinite parvos ductarum. lidem obliquitatis grada:;, qui amplissimo Ito

tnitt conveniunc a foco X infinities remoto usque ad panccum N^ conve-

nianc etiam limiti arctissimo a pancto eodem N usqae ad Cencrum Z t

sed ordine Inverso . Et ea quidem lege , uc dato quolibec puncco seu /»-

co X^' inter AT ac ^T, si in protracta diametro assamatur po$c Reccai

AX'\AN tertia AX" harmonicc proportiooalis (30), futura semper sit

obliquitas

10

cbliqoitds CyUadri respondens interiori foc9 X*f eadem ac illa respon-
dens X''' foco ezteriori. Habetnr eniai propter harmonicaoi proportioneoi

^-7 = jpjTj = Sinui obliquitatis in ntroqne Cylindro. Snmina itaque

rectaram JCS per arcnlos quo ad exterior^m focum X'' ad Sammam recta-*
ram X"S per arculos etc* quo ad focum interiorem X'' erit nt latus vel
axis unius Cylindri X^^A ad latus vel axem alterias X'^ A , sive in ratio-
ne rectaram maxlmarum X^AiX^^A^ aut ex proportione harmonica mini'^
marum X^N^iX^N^ sive, ez notissimo Galilaei Problemate, cuiuslibec
X^SiX^S, vel ZX^iZN, aut ZN\ZX'\ quod cst unum Pascalii Theo-
rematum (31). Fou^ deniquc X" cadente^iu centro Z, Cylinder cva-
dit rectus y fitque Summa radiorum in arculos datae Peripheriae aequa-
lis Semissi Saperficiei Cylindricae rectafi^ cuius basis Semicircumferentia
LAC^ latus sea axis AZ ^ vel integrae Superficiei recti Cylindri basim ha-
bentis AUNV ^ et altitudinem AZ \ quod etiam Elementa suadent. Si fo-
€us Xf X\ etc. cx altera centri parte progrediatur, Sopcrficies Cylindri-
ca ijenao in scalenam se vertijt , eodem modo et ordlne renasccntibus obli-
quitatis gradjbus tam intra, qaam extra Grcolum datum, sed inverse
consideratis rectis XN^X^A etc. etc. , nec negativis ad morem Analysta*-
rum, aut positivis angulis separatim animadversis (32)«

8. Consensu vere admirando cum anteactis speculationibus prospectus
idem« sed iucundior, renovatur in Ellipsibus Superficies illas Cylindricas
repraesentantibtts (Fig. 7.)« ^c primam occurric notandum Ellipses omncs
sine numeroi variato pnncti ^situ, per universos possibiles specierum gra-
dus transire, unumque semper axem datum MN^ aut PR communem ha-
bere. Dum X infinities recedat a centro E dati Circuli, in aperto est
panctum intersectionts / confundi cum M^ et ideo Hemiellipsin MLN ean*
4em esse cnm Semicirculo circumscripto MCN% Ellipsinque PQRV c^m Cir-
calo PQR<b sibi pariter circumscripto . Promoto puncto X^X\ etc. versas
A^ diminuitur continuo tam Semiaxis Coniugatus AI^ At^ etc. Semiellipsis
inscriptae, quam Axis pariter Coniugatas Ellipsis integrae similis, donec
in A^ ob rectam HA^ Semiaxis et Axis Coniugati evanescant, et ideo
Semiellipseos Jf£iV perimeter in Axem Transversum convertatur» sive in re-
ccam lineam iIfiV= aC^ , Ellipseosque siroilis P(IRV in <xPK=iMN~^CA^

ttti superius, vel duplo diametri Circuli datit Ex quo sponte fmt j AStxz^

z==iCA.

II

r=C^.2Cif = &Cil^>Mve daplo Qaadratl diametr! Circiili ABCD^ uti iiu
nuimus $. 7^. Inter ^ et Centrum E selecto quolibec puncto X\ ducta-
que recta HX'^ f\ fit Af' Semiaxis Comugatus Ellipseos eodem fnaaeoce
TrMsverso Axe JUN=2CA^ qui Semiaxis a tiihilo incipiens in A sem*
per augetur procedente X' versus £ , et in £ fit aequalis AN sive CA 9
obi Semiellipsis in Aequilateram aut Semicirculum abit« Quae Semiellipsium
(ct ideo integrarum etiam Ellipsium similium eommuni Axe Traosverso
PR=:AC gaudentium) uova Series in tntervallo A£ Radii Circuli dati
Aomolage repetit Scriem alteram antea explicatatii in immenso iotervallo
puncti X ex Infinico prodeuntis usque ad A^ sed ordine inVerso (33)«
Constat etenim Semiellipses » CUipsesque, easdem tum ^s$c pro puncto
exteriore X^^ et interiore X', ^juum AT =^Ar\ sive quum CXiXAV\
€X'\1C'A^ scilicct, quum CX^X' X!^AX sint in fiarmonica proportione»
guod e^ Elementif eodem redit ac esse in proportione liarmonica lCC^
ACtX^^Cf et in geometrica JEX":Eii:JEAf fj(34). In hac autem constru-
ctione commodum perqiiammaxime «t elegans accidit quod traiecto a
puncto X Centro £ nQlIa cbsitec impossibilitas (35), nec desinat Semiel-
lipsiam aat Ellipsium eontinua progressio^ Hoc tantaoi discrimine quod
Semiellipses Semicirculom MCNf £Ilii>sesqoe Circulum PQR<^=2ABCD Cir-
eulo datOf non amplius circamscriptam , ^ed inscriptum habeanc. Posito
fiamque inter E et C poneto JP'', et emissa recta HX'*' P'\ erit AM=^CA
Semiaxis minor seu Coniugatus €onsf/rns novae « huiusce cuiuslibet Semiet*
lipseos, eritqae Semiaxis Ttaiwverslis sive maior variabiHs =zAI"'; quod
ip&om etiam eonnngjt similibus Ellipsibas integris, sumendo dictoram Se-
miaxium ditpidla« Semlellipsis itaqoe NAJit et Eliipsis tota RAPS con«
yenion*' puncto X**\ atque adeo conveniunt, ut suppositis punctis X*'\X'
aeqoidistantibas a Centro £,$it Semiellipsis NAM simiiis Semiellipsi NLM^
«ed inversim descripta, qaod etiam de Ellipsibas intcgris RAPS , RQPI^
sentieodom est • In ea quippe hypothesi consequirevir proporciones AA :
AM—AP^iCHVZAX^.CX^^ — CX^^xAX^^WCHiAI^^^AMiAL. Triboi
igitar modis,5i detur panctom quodlibet X extra vel iotra Circalom ABCDf

exprimi poterit 1 XS etc, cuius triplicis expressionis osom uberrimom

inferius videbimos* Sit enim panctom JC^j et primom tTitJX'S etc. =

B XC.

y

12

Xc.NLM—JPC.RQPy. Secctnr £X''ita,ut lint X^EiAEiX^^E^.Rsit^
que EX"=^EX". Qaibus omnibus apte paratis habecur fx'S ecc.=

r4/^ '^ ctc. = Y^f^^S ctc. , vcl fxs ctc. = XC . NLM —

— -|r;g— . NLM=- X*'*E ^ ^NAM. Quod postrcmum dabio caret, quum

ostcnsum iam fuerit csse perimetro^ simtlcs NLM\N£iM\\X'"C:X'C . Et
ipsa valet proportio' qao ad perimetros intcgras similium Ellipsium RQPVi
RAPE . Duae igitur Ellipses similes communem Axcm habcntcs, at in ana
maiorem, in altera minorem, cidcm Probtemati satisfaciunt. Nec tantum-

modo Ellipsis duplcxtocum )xoc Ixs ctc. repracsentat , sed etiam partes Ao'*

mohgae undequaque conscntiunt. Ad hoc obtinendum sufficit radio cuili*

bct AO perpendicularem ducere ^411; eritqttc sempct fx^S ctc. ab A^d S

AE r

Xzvsi — XCMO, quam=y,7;g. Ji:'"C.An; cademque rationc iXS ctc. ab

AP

^ ad 5 xzm^zX^C.ZRY , quam = ~^. -«"'"^.nAr, cmissa nr normali

ad AC (36}. Ellipses autcm istae NAM^RAPS ctc. co magis a Circulis
inscriptis recedunt, quo panctum X^'' ad punctam C propius acccdit , ct
in puncto C limitcm habcnt, quum vcrticcs A,A in infinico sc abscondant.
Quo in limitc nec in falsum abit inconcussa vcritas Gcometriae (37). Est
enim ultimus limes perimetri Scmiellipseos iVA^tangens infinite-Ionga A^i^,
cuius dimidiam, propccr similia sempcr Triangula HCX'"r'\AX'\ ct pro-

Ci4* aCA^
portionem oxCAiCf Tr% fit , ideoque tota = , et Summa

rectarum cgredicntiura a puncto C in arculos etc. Circumferenttae datae

CBAD, quum .m = c;?"'. iVAiW, evadit —~— = aC^S oti de puncto^

XS etc. = y:je * ^*''^'^^^ converti-

AE
tur pro puncto codem C in Summam ctc. rcctarum ab i4 = ^.2C-4* =

aC^* , puncto X tum abcuntc in A quum X'" abeat in C vcl X^inA^ ut
sarta tccta sit Harmonica proportio rcctarum XC^AC^X^C^ nccnon proportio
Geomctrica EX^iEAiEXrhf de quibus antea loqucbar. Superato extre-
mo diametri C a puncto X% Scmiellipsium Ellipsiumque eadcm scrics,

scd

13

sed retrograda, redit; qood adeo £icillimam est, Qt expUcatioois non
egeat .

9« Dignum potius existimo quod Geometrae admirentur ab uno hoc
slmpUcissimo Pascalii Theoremate, aliquantulum exornato» ea omnia deri-
variy quae ope motus repentis aut reptorii ^ ac Curvaruniy quas vocavic
multigibbas ^ loannes Bernoullius, et post longos Calcnli finitorum atqae
infinite-parvorum labores Leonardas Ealerus dedere ad proximam invenien*
dam aeqaalitatem perimetri Ellipseos conicae, ec Circularis peripheriae (38).
Libet in re amoenissima paulisper immorari. Coniungebat Bernoallius
( Fig. 8.) in eandem lineam rectam duos Semiaxes BC^CA cuiuslibet EI*
lipseos. datae , ac super AB^ eorum summam^ veluti diametrum describebac
Circuli Semicircumferentiam • Qua Semicircumferentia divisa in quosvis
numero aequales arcus 2 »4,8, i6| 32 ,64 etc.> ductisque a puncto C ad
omnia divisionis pancta rectis lineis, adfirmabat Lineam rectam Mediam
arithmeticam rectarum ad puncta imparia pertinentium (in Schematis

, Ci-+C3-+C5-+C7-4-C9-4-Cii-+Ci3-*-Ci5 ^ ^ .. _ ,.

cxemplo 2 1 — ^ 2 2.) fore radium CircuU ,

o

cuius Peripheria proxime maidr Ellipseo» datac Perimetro, Mediamque
arithmeticam Summae rectarum ad divisionis puncta paria ductarum et

j- Ai^f ^ ' ~ C2--i-C4-4-C6-t-C8-+ Cio-hCi2-»Ci4-^^i>v ,.

radii AD (nimirum — g ; esse radium

alterius Circuli Circumferentiam habentis proxime minorem Perimetro
ipsius Ellipseos, hosque Limites arctiores esse, quo magis augeatar nume-
rus divisionum descriptae Semiperipheriae . Sed universalius Eulerus Li-
mites istos in unum componens adseruit, e^dem hypothesi facta , radium
Peripheriae circularis proxime aequalis Perimetro Ellipseos Apollonianae
exprimi a Formala generali
^D-4-Ci-fC2-fC3-»-C4-hC5H"C6-fC7-fC8 H-C9-fClO'-fCl i-+Ci2-i-Ci3-f Ci4-f Ci 5-+«^:.

n
quicumque fueric divisionis numerus n» ec hoc in immensum adaucto per-
fectam haberi Perimetrorum EUipseos et Circuli aequalitatem • Cuius pul*
cherrimi Theorematis Isoperimetrici ^ et in praxi geometrica perquammaxi^
mae utilitatis (39)1 demonstratio non e longinquo petenda est , quum
sit ipsum Theorema Pascalii . Et re quidem vera > si concipiatar descripta
tota Peripheria diametrum habens AB ^ erit Q,n numerus arculorum ae-
qualiam > Summaque rectaram omnium in arcalos quo ad focum C par Sec

B a pro-

prodocfo unius arenli in Sammafn eanindem reetanim» Tgitnr (s! jr Cir*
cucnferentiam Circuli radio l gaudentem indigitet) obtinebitur ex prae*

missis fcA -+ 2Ct -4. 2Gl -4- aC^ -+ 2C4 — f aC^ -4- ctc» -4- CB in ^ •-3 ac-

qualis dimidio Perimetri Ellipseos^ cuius Semiaxis Tranaverstts AB etCon*

CA.AB . • ^o • ^rv f AD-^Ci'¥Ci-¥Cz-^C^'^C^'^ ctc>
lugatus — ^-,ducto inC5isivei<D,3r./ " -^

^==^CB in Perimetrum EUipseos similis, quae Scmiaxem maiorem habeac

AD^ ct minorem — Fn^^ Exinde oritur Proportio geometrica CBiAD\l

Circumferentia Circuli» cuius Radius / — — , ad

Perimetrum Ellipseos praedictae^Sed ut Cfi:^i)»ita est Perimeter Ellipscos

similis Semiaxe transverso CB gaudentts et Coniugsto -^^* — ^» — =CA

ad praedictae illius Ellipseos Perimctrum» DcKrTpta igitur Radio

/iiD-tCiH-CsH-CsH-C^-tC^ -+ tte. ^
Perrpheria circuTari , peraeqnabic ista Pe-

rimetrum Ellipscos» cuius Semtaxes fucrir>t cb cc cA p dummodo sit n in*
finitus, ac summopere ad longitudinem illius Perimetri adpropinquabit si
n praegrandis etc (40): quod paocis demonstrandum assumpseram»

10. Alio praeterea roodo cxponi potesc Thcorema iltud CuTerl, ut
eandem adquirat rectarum in Circulo exccntricaram Swmma untversaliifia*
tem, quam habet ipsamm Produetum in cximto Rogert Cotesii Thcoremt*
te (41). Si ctenim Ellipseos datae Semiaxes (Figi. ^.) CS9 CA in e^dem
recta iaceant , ct super ipsorum differentiam AB% veluti diametrum, dcscri-'
batnr Circuli Peripheriae mcdietas, dividaturqoe in arcus aequatcs, nu-
mcro », eductis a punctoC rcctis lineis ad divisionis puncta singulay^ crie
AD Fig»». 8". = CD Fig*«. 9"-=:Semisummac CB.CA. Vcrom Elemcnta
doccnt qoamlibet rcctam Cp cx puncto C parem tsst A^ itk conccntnco

Circnlo ex poncto A (42), sive Cj> in Fig** 8". Ergo
AD-^ Cl -»-CiH-C3"f C4-»-Cs H> etc»

in Fig^ 8»

/

/CD-4-Cl-fCa-4-C3H-C4-fC5H-ctc» . ^, ... . • -^^-
9 — 2 — 2 i^ pjgt p.^^ „n(ie Ixqoet postenorcm tor-'

mulam« aeqoc ac priorem, soppeditarc Radium Circuli aut proxime aut

vcre isoperimetrici cum edjem Ellipsi adsignata.

II. Scd

\

'5

II. Sed ettam weciidc^tio Cyctoidunt iontractapum nt proitra$tanm
(ne dicam de onmimodi»« Circulo genitis QpicycloidibttS' auc Hypocycloidi'
bus tuxta Hdpitaliutn ope eiusdeot Fascalii doctrinae rectificandi») r ^ut^
praecipuutn erar Fa$calii Theorematis argumentiim^eufm^oefttbsidio Cal**
cttli, hodie deperdicf (43)» adlaborantem valde detinnitr mira qtta4aDk
facilirate restitui poterir » Tota rea pendet a Tangentittnl Cycleldttiift
omniuip theoricei qnam ega ab unius Lineae rectae affeetionibtti dedtt*
ctam in Adversariis ni^is olim reposui (44), et nttnc pulvere excttssa tran*
scribo fideirter • Heroicycloidem primariam ABC ( Fig'.' 10. ) relttam ad
Semiperipherianv genitoris GEB omnes norttnr vicem gerere aequicrttrta
Triangttli rectiliner. Tangen» igitnr ad puactttnv Z> to tangente geajcoris

EF necesse esc ut abscindat EF=:ED\ qttapropter angttttt»FD£ =

PEH

—^ = BEH^ et tangen? ideo' DFparallela chordae genicoris EB. Eoden»

modo in Cycloidibtts> secttndariis Hemicyclois ad Semiperiph^riam relata
genitoris sttt repraesentat Triangttlttm scalenttnt specie datum. Quae spe^
cies ea est, ut m contracta (FigV 11.) sir DE ad EB in ratione constaa*
te minoris inaeqttalitatis Baseos AC ad Feripheriam genitoris BEGH^ et
in protracta (Fig^ 12.) in ratione pariter constanter sed maiori* ioaequa*
litatis • In utraqtte igicttr Cttrva Triangulnm TangentiaU DEF speae dai-
tum erit » quod fieri oequit nisi par» EF tangentis CircuU genicori» sena.*
per adaequet respondentem arcnm BEr ut in Cycloide commttnt (45)»
Diviso itaque arcu qttolibet genitoris EBH^ determinato a prodttcta recta
DE^ in pttncto /, quod ita ettm secety Qt Chorda EF zi Chordam IH
sic in illa ratione constante vef minoris vel maioris inaequalicatis, eric £/
parallcia tangenti DF^ quum similia evadant TrianguTa DEF^ EIH ex
"Euclide . Quod punctum / non idem manens ,. sed perpetuo mobile pro
qualibet DE^ et facillime determinatnr ex ETementis» et ia vfcarfum puti'-
ctttm fixttm convertitur sequente moda. Fiat Radius genitoris 0(7 ad OAT»
11 1 Genitoris circumferentia ad Bastm Cycloidis contractae sea protractae^
iunctiqtte KE^ et ad istam edttcta oormali £/» haec dividet arcum EBH
in puncto quaesito» ita, nimirum, ut sic EltIHl'OKiOG {^6). Eldem
ergo lege» qua in primaria Cycloide Chorda GE^ ab extremo Axisdttcta,
est semper perpendicttlaria Taogentr DFf non dissimilitcr in CycToidibus
secttndariis recu KE9 a puncto immobilt Axis, vel eius protractionis , K

emissa »

i6

«missa, normalis est ad Tangentem DF. Habetnr cnim Ttiangalam EOK
in centro O Genicoris simiie tam HIE^ qaam FED t ob aeqaalitacem an*
gulofrum EOKt EIH, DEF ex Elementis, ec EKO^HEI propter KE per-
pendicularem ad EI et KOB ad EH (47) . Ex qao proportioncs emerganc
AC : BEGH: \0K:0G l : OK : OE : : EI: IH: :DE:EF, methodusquc facilli-
ma oritar ducendi Tangcntem in puncto D vel edacta DF perpendica-
lari ad KE, vel parallela ad £/» quae cam KE angulum rectum effi-
ciat (48). Hisce iam positis, quum tangens DF ad FEt ideoqae ec ele-
mentamr curvae Cycloidalis omnimodae ad elementam circumferentiae Cir-
culi genitoris rationem eandem babeat, q^jam KE ad radium £0i eric
eciam cota Perimeter Cycloidalis ADBC ducta in Radium EO aequalis

f KE etc in arculos oniversae genitoris Circuli Peripheriae. Haec Summa

pro- communi Cycloide Fig**. 10"»". ex §§. 7"^ et 8^°. par est 2Ci3* =
4GB. EOf et ideo fit tota Perimeter ABC=^ \GB^ ac Scmipcrimeter AB
= 2GBf necnon ex ipso §. 7"«*. Arcas quilibec BD = 2jB£ , quum habea*

tVLv TkE ctc. ab E ad B = GB.BE=2BE .EO=BD.EO propter de-

inonstrata superius (49). In ceteris yero Cycloidibus erit per iam dicta
in §. 8*^ Perimeter cota ADBC in Radium genitoris OG aequalis Perime-
tro Semiellipseos conicae XVZ (Fig^ 13*)» cuius Semiaxis cransversus TJC

= BG axi sive diametro genitoris, ec Semiaxis coniugatus 7T=:-™.BG,

ductae in rectam A^B. Valet igitur haec proportio, nimiram, CurvaCycIoi-
dalis ADBC ad Curvam.Semiellipticam XYZ uc KB:OG, vel ut 2KB :BG
= r-X', sive uc Perimeter Semiellipseos LMN similis descriptae XYZ et
Semiaxem cransversum habentis TL=2KBf Coniugatum =Ti*/=:2JfC7»
tam in protracta^ qvLzm consracta Trochoide. Aut si incegram mavis Elli-
psin, ea quoque praesto esc in altera Ellipsi PQRV simili duabas descri-

TL

ptis ec Semiaxe cransverso gaudeoce TP = — = A:i}, sive Axe transver-

so PJR==20, ec Coniugato QV=2KG . Hemiellipsis itaque LMN, auc
Ellipsis PQRV^ partesque earum homologae iuxta §. 8^"°., Cycloidali pe-
rimetro ADBC^ eiasque partibas peraequantur . Ec Semiaxes Axesve mira
facilitate inveniantur, quum pares sinc Lineis datis 2KB, 2KG (50).

12. Multa coronidam ad instar a praecedentibus derivantur. Ac pri-

mum

17

mnni observandum redir in Cycloide prtmaria\ prdpter rectae KG cvant*
scentiam» Ellipsin PQRl^t utpote Coniugato Axe carentem» in bis Trans*
versum Axem RP commutari , ideoque longitudioem Semlcyctoidis illius
esse =^PR=iQ.KB = 2GB (Fig^ lo.) daplae diametro Genitoris* Quod
ipsam paucis immutatis et ab Hemiellipsi LAIN sponte fluit (51). Dim&*
iiat eriam Theprema» cariositate nulli secundum» quod datis duabus Cy-
f:loidibus» nna contracta^ ec alrera protracta (Fig. ii» I2<)». adeo compe*
sitis» at Basis unius AC adaeqaet Circumferenpapi BEGH genitgris altt-
rins» et vicissim» Cycloides istae ABC sint isoperimetrUae (52). PunctaiB
etenim , seu focus K in qaavis secundaria Cycloide ille erit » qai detet**'^
minet Radium OK Circularis peripheriae Basi AC longitudine aeqaalis • Hy«
pothesis autem suppeditat KO in contracta aequalem BO ifi protracta^ OB
in contracta parem KO in protracta^ et ideo KB=^KB in utraque Cycloi-
dum» et KG=^KGy nempe aequales erunt in una. alteraqae Curva Se*
miaxes Ellipseos (Fig*. 13.) PQRV eandem cum contracta et protracta
Cycloide habentis perimecrum. EUipsium denique istarum contcmplatio
pro dimetienda Cycloidum perimetro ii^ mentem revocat Ellipsim pariter
conicam pro arearum mensura (53) . Semibasi AG et . Diametro Genito*
tis BG veluti Semiaxibus circumscribatur primariae Cycloidi (Fig^. lo.)
Hemiellipsis ALBMC. Huius area ad illam ioscripti Semicirculi radiam ba-
bentis GB erit in ratione AG:GBy tn qua ratione pariter erit ad duplun^
Circuli genitoris BEGH . Eapropter area ALBMC ad triplam aream geni-
toris » sive ad aream totias Cycloidis ADBNC^ se habebit ut AG ad Axc^m
BG cum dimidio» scilicet in ratione Circumferentiae cuiasvis Circuli ad tjci";
plum Diametri» vel ut quaelibet Circuli F^ripl|eria ad Pcrjn|ttraQ(\ it\sf rb
pti Exagoni (54)» aut in ratione Baseos AC CyclpKlis. ad^ eiurArcuni
ADBN^ cuias extremum N determinetttj:. ope prdiflfttac , P/V duptae .Ot
puncto P bisectionis Radii OB^ non se(:us 9C pro obtinendo . Hageniano
Segmento quadrabili^ in quo puncto N» ob latus Exagoni BR aequ^ilf
Radio» evidenter Arcus Semicycloidis BC bbecatur. Non aequa in Cycloi-
dibus secundariis facilitas » sed nequidem dimcultas manet huiusceteo^

•■ • 9 4

di, quae Geometrae fastidiuti moveat. Area etcnim cuiusqae Cycloidii

ADBNC acqualis est inscripto (55) simul Triangulo rectilineo ABC ct Cir^

culo genitori BEGH* Ellipsis autem conicae medietas ALBMC^ quae ha*

beat Semiaxes iiG»^G» cst ad Circulum genitorcm BBGH ut AGr^AOG^

Circttlus

Circotus ipse «^enitor ad Triang^ultim ABC cnm Circalo genitore ut OG
dd 06f'-+i20iSr:<ergo<ex«equo Area Seiniellipsis ALSMC ad aream Cyclot«
dis ADBIfC 'titt at Semibasis Cycloidis AG ad Sammam genitoris Radii;
live Semiaxis^ OG^aOK. Quae nunc reperta arearam Proportio non mo*
do mirabilem «xhibet ^nalogiam inter Cllipses rectlficattnes et quadr/Hrices
Cycloidam , ^uum ntraeque ^puncto eodem K stnt innixae , verum etiam
manifeKBm facic «casum illum 'Singnlarem in Cycloide ^ontracta^ perfcctae»
irimiram, zc geometricae aeqaalitatis arearum Cydoidis et Semiellipieos»
qui tcastts contirtgtt dum OK 'sit tertia Proportionalis geometrica post dif-*
ferentiam Semiperipheriae genhoris ac <liametrf BEG — 6G, et Radium
OG, icilicet, quum ratio dcterminani AG:G£B «adem sit ac Radii cn^
iasqae Circttli et DiflTerentiae inter 'Semiperipheriam ^tque Diametrumt
^aippe tum l.anulis AD^DB^ necnon CN.NB «e fnuttio peraequantibes •
•13. :Haec omnia, ^uae parerga sunt TheorematisPascalii^ facem prae-
lerunt ad «naiora. Contemplati hactenas $xxm\is focunt ^ a qao rectae in-
flumerae iducantar ad Circult circamferentiam , in eodem huiui plano
iacentem ; nunc .autem jn Fig*. 4$*« panctum a§ extra planum Circuli posi^
fom contemplemor • Pormula $ 2^ manet «lihilomiaus incoficossa • rit nam*
^que post eiDissam a dato ]>uncto ^ ad planam Circuli 4ati AUNV ^tx*

• • •

pendlctttkrem datam ^X^ dactamque per Centrum Z rectam XNZA^
^uaellbctrectarum ^S == VIw^^^h^S* = V Jf wV^Ty/^

= \/u)/V* -h 2,XZ .AN-^ 2XZ . aT \ adeo «t foco X in focum u permotato
jiulla in for^nlae x:ompositione mutatio conseqoatar. DifFert enim tan*
fttmmcdb postrema iiaec expressio ab illa $. 2}. in Quadrato saN^^ quod
3n prlbre ^rat XN^ ^ DifFerentia autem ista patefacit Summam innumera*
^m rectarom ,6^5 , quae latera «unt Coni scalem fiasim habentii CircDlum
sAVNUt Verticem «r, Altitudinem iftiJTi ductarum in arculos S^aeqaalem
€S5e Soperficiei Hemicylindri jcaleiri ^ 'Cuios basis lic Semickcalus idem
CALf latus vel axis tcAf altitudo ib^Nf et sinos-fectus anguli obliquita*

tis ~T , eSdem tnanente longitudine rectae AO uti pro X puncto ichno-

graphico, quum Euclides itatuerit AO=z\/ZAriZIP^ = ^/XA^'^N^*
Elltpsis pariter conica, a cuius rectificatione Summa ipsa dependet, in eo
lantum discrepat, quod pro foco Jf, leu proiectione orthographica puncti
fi^i ratio Axis transversi (qui manet idem tam pro 1», quam pro Xt vi-

delicet

I

i

j

19

delicet =^^) ad conuigatum sit XAiXN^ dam pro puncto soblitni c$
€sc wA : 4^iV« iiiaii«qm maxiaii ad aiinifnom latcrum in iuperiicie Coai
obliqui i^cfncium . OmacP igitur «ircccioaqs» quas antea in $$. 3^. 4^. 5''.
et 6""^ fusius «^xposui vel ad diroeriendas ope superficiei cyUndricaet vel
ope EUtpseos Summas rectarum a focis emissarum in plano CircuU ad eius
Circumferenrlam, et quamUbec harumce partemyconveniunt eodem modo

etiam /hcis excra Circuli planum slds^ ita ixt Ja)S.SF etc.=;s€»A in Fe*

rimetrum HemieUipseos » ^eu integrae Elltpseos» et sic de partibus pro«
porcionaUbtts in infinicum » ^oemadmodum obviam fic praeterita repeten-
tibus. Qainimo, dato quoUbet Gono seateno NSFAUcOf et secco ope Plani
A^N ad Barim aorauiUsfaciUimam erit invenire in diametro Baseos, eius-
qpe prodactione« puncta ^^h-t focos vicartos suppeditantia, adeo ut ipsa*
snet specie Superficies Cylindrica , ac ipsaemet magnitudine et specie Elli^
])ses conicae (56) , qaae Sammls rectarom vS in arculos SV^ aut 65 in SV
repraesentandis stttisfaciant iuxta $$• 7^". «c 8^"*. , tnserviant qaoque ad
Sttmmam «wseqisendam , eiasve partes, tectarum a ^^ 9 xii progredientium •
Btsecto etenim angulo ^a^N epe rectae A;y, «t ad istam educca perpendi*
culari idiO; poncta occarsus i^,9 ernat foci vicarii quaesiti. Habentur quip*
pe ex Tbeoremate «lecoentari Froporriones geomerricae €^A:(i)Nl lAvivNl *

AtiiNi «t ideo ratio cransversi Axis ad coniugatum -j^ pro rectis in sii-
perficie Coni SsaJeni «adem nanet ac -^ 9 et t^ pro rectis emissis a fi*
40 V, sea 9 in CircuU plano. Suinma igitur rectarum in Cono /^5«5f^etc.

crc. isx)* Qbo rice concepro Sammae rcctarum in Cono quoUbet, nequi*
dem rectQ exoluso (58), a Suoiniis rectarum in PUbo Baseos facilUme de-
terminantar, atque unum et idem sunt duo PMbltmatafaactenQs. expli*
cata> uri fusius in §. iio^\ scbemaribas oovis adposicis palam fiet.

14. Huic commodo perinsigni accedit proprietas elegantissima , quaui
silentio praetcrire nefas foret* Fanctum idem 4 ct analogum v non uni
obliquo Cono taNUAVS vicznos fhcos praebent, sed innum^ris Conis sca-
ienis eildem Basi gaudentibas, quorum vertices ^%v^\w'\^'" etc* siri sinc

C in

io

ii) CtrcQli petipheria diametram habente vS (^9)* Per doctrinam ete-

nttn Galilaei (60) descripta peripheria est locus gcometricos occarsuum re^

ctar.am.ab extremis punctis A^N ductarum , qaae eandem servent ra*-

wj4 u)*A wM u>'»A Ad Ay

t.on«n : qaapropfcr -^=: -^ = -_ = __ „c. = -eiv = 7^. et a-

niversi hi Coni ad easdem Superficies Cylindricas» et Ellipses easdem re-
feruncur. Inter Conos istos sine numero quisque videt illum alcicudinis
maximae Jy , alterum i caius vertex A imminet perpendiculariter puncco
N^ Conorumque pariat uti 6»'^6>^^ alcitudines 6>''e , ci)'''^ aeqoales habencia.
Fons aurem hoiusce Theoriae de Conorum scaUmrum familiis onico pun^
cto vicaria respondentibos (nam aliud v ex primo dimanat, quemadmo-
jdum in $• 2°*^*) altias repetendus est, nimirum>a pulcherrima caiuslibct
cbliqui Coni proprietate, quae doctrinae a Galilaeo traditae veluti ap*
peadix toto iure ouncupari poterit, tametsi oec in veteram, nec to re*
centiorum Geometria ipsius vestiginm inveoerim. Dato quoconqtte Cono
scaleno (Fig. 14.) AODLM, cuius alcitodo AB^ maximam lacerom ALt
minimum AOt ec C ponctum in producta diametro LO adeo positam^ oc
LCzCX)::ALiAO, sl cx vercice.il ducancar latera Coni ADfAD' etcet
a puncco C rcccae CDtCD' etc. » erit semper constans ratiointer AD^CD^
seu AD\CD' etc, scilicet, aequalis rationi. ^/i^rii^ ALiCL^ vel AOiCO^
Non solum igicur Circumferencia circuli PAC locus est occursuum rectarum

•

stne numero AL^AO etc. candem rationem geometricam habentium, et
in eodem Circali plano ^itarum, sed etiam peripheria ODLM ad illam
normalis est locas alter occursuom rectarum .iD^DC etc, quarum racio sic
eadem ac AOiOC. Tota res pendet a minus noto Theorematc elemeuta*
ri, quod ad Problemata more veterum Analyseos resolveoda miram in
modum perducit. Theorema est qood dato Trianguto OAC oxygonio , si
dacatur AP perpendicularrs lateri -rfC, atque AL^ quae cum AP efEciaC
angolum PAL=:PAO f ec bisecetur OL tn puncto Z, et AB sit norma-
Ks OC, habeatur CO^iAO^y.CZiBZ; quod ipsum er de CL^iAL^, ec
de Triangulo amblygoAia LAC vicissim comprobatur . Qui demonstrationes
ItmpHcissimas capiat in Adnotatione (tft) reperret . Verontamcn obiter dicam
iscad Theorema, etusque derivata (62), aniversalem sistere canonem,qao
ceteberrimae Proposrtiones contineantur de TrianguJis orthogoniis. Singala-
ris eteaim casus en n AO cvtm AP coofandatary ideoque etiam AL% m

punctum

21

pnnctum Z cum puncto P , evadatque C?^ : F^* :\CP:PB, et CP:PA\ Pflfr »
qule proportio ad Theoreaia Fjrthagoricain recte ducit. lotere^ iuverit
prodidisse addicameDtuni ad ea, quae Galilaeus aote omnes communicavitf»
ac dete^iisse caussam ec origioem primitivam» ob qiiam Summa laterum
Coni rationem servec determinabilem ad Sammam rectarum in plano Ctr*
cult poijcarumi quum osceasum iam sic AO'.OC\\ADiDCy.AD^:D^C\\.
AL:LCll ecc. io iuiinicum« unde fiat -40—f^D— l--4D'-+^£— 4-etc. :.
QC—^DC—k^D^C^LC-^ ecc. :; ALiLC^ quemadmodum supra. Nacura
denique ipsa flK>bis suadec haudquaquam in Cono contingere posse» uc in

Flano» I AD etc. in arculos Basis c$%t geometrlcae quadtatnrae capa-'

cem (63), qQara nunquam evanescat AOt nec ideo focns vicarius.C in
transcac» Summamque ipsam in unko Cono m/o propc^er AO^^AL a
Circuli tetragmismo pendere {64) •

15. Unlversa» quae anceacco saectflo tradidcrunt Robervallius, La*
lovera » aliique (65) de Cyclocylindricis » ec Ungularibas snperflciebas (66)»
*ac epi quae proculit Fascalius jpse vel de Triaogulis Cylindricis (6;^), vel
^e Coois. obliquis agens, CoroIIaria 5unt speculacionis haccenus inscicucae«
Non pigeac hacc omnia paucis commemorare» ut Theorematis unius in
$• 3*^ ejcpHcaci co magis dignicas elucescat • Ac prlmum Robervallius so'*
lucum dedic Froblema elegancissimum dimetiendi parcem RTOLQMR Su*

•

perficiei cniuslibec /v^/i Cylindri circularis abscissam aCircini revolutione /iZ,
dummodo cruris excremum / maneac in Superficie adsignaca (Fig. i5')(68)t
Frolixa ec involuta auccoris ipsius demonscratio (69) sic brevicer absolvi*
tiir. Est JT=:JRz=zl0, scilicet, /S* -+ 5r" = /5" -f ^C* W- 0C% vel

demum ST=:OS. Snmma igitar elementorum ST. SV =: fos. Sl^ ttc. in

Cono scaUno OCSIU^ nimirum cx §. 13*'**. par cst semissi Superficiei Cy-
lindri scaleni , cuius Basis Circulus EC diametrum habcns duplam /C, axis
seu latus EB^DC adaequet lacus m^xiimam Coni 0/, et ahicudo OC lacus
minimam; sumpcisque daplis eric Area integra Cyclocylindrlca RIVLQMR
aequalis incegrae Superficier' Cylindricae EBDC ecc. in Schemace ipso de^
piccae , uci Robervallius invenic . Qdae soperficies Cylindrica , cvancsccnce
altitudine CO» nimirum, facca Cirtini apertura /B===/C diamecro Bascos»
in Superficiem planam convercitur parcm quatuor simul quadratis iC» et

C S ' Areae

tt

Areae Cycldcyliiidricae siogut&tis BCH^ quemddmodaai i<i$A RobeffvllUa»

ostendit (70}. Longiai eqoidem progremi esc Laloverat qol Areas Cy'^

ctocylindricas^ geometrice ecam quidribites iti comperto halMitt dttm. cen*

trum rbtatlo^is coUocetur exteriui in X» et Circini apertura sit »4 un^

gBeih^ JifC . UbtUbet sit enim positutn X> erit sempe^ Sv^^ssiXC* — AS% et

iw*:Si= A:*— /y*=i3=CJ:^ Ia CyclocyUndrica quadrabili RobetvaUii. Sed

X(^ -r XS" : iC^ — /S* : : CA^ -^ Ai* : CS* si prodttcta cliocda CS, ad eam du-

catur nocmaUft JrA., jcu {NiraUela IS^ ec iratia CA* — ►AS^tCS*, utpote ae-

quaUsi rationi CX* — XP:ie'\ constans* cst^ Igitar 5v* ad i^* ia ratio-

ne constaote^ et ideo etiam Su. ad 5«^» ac elementam Sv^SP^ ad alterum

Scn.Sl^ rationem habebic constantem F/:/5iqaam catianem et integrae

Areae CyclocyUndrrcae scrvabant inter $e. Area velf o fiCiV = /B • ^iC;.

erga Area YCZ^=YI.^IC (71).. Haec Cyclocylindricarum Quadratura»

earumque partium proportionaUan» ex^ $. *f^\ ^ est ipsaroec Quadratura

Arearum unguUnutn CyUndri recti il^) y quo» primMrt/t vel semiortbogo-^

AaUs Ungula sit eadem ac HemicyclocylindrtCa RobervalUi extensa ac ere*^

cta super Sbmiperipheriam > quae habeat diametrum CE^:==^^cr^ et ident

lialeat de Ungulis secundarih f qn^c 9. si pratractae isinti respondent nomine

\cnus Cyclocylindricis Laloverae» si aatem decurtatae^ respondent Cyclo*

cylindricis, quae instar exterionim Laloverae describerentur in Cylindr(»

cava ope Circini X*C\ et centri X^ interioris (73).^ Dum hasce Ungutas^

bominoi. universa etian^ complector» quae Vincentius Vivianus comments^

tus fuic de Fotnicum Superficiebus r omnis etenim eius labor Ungula estt.

sive Theorema iUad Pascalii». toties, s<^d nunqaam satis Iaudatum> ut ali*

bi densonstrabo (74). Gonversio Cyclocylindricarum in XJngulas^ quae Se-

ttxif^ docente EUipsibos conicis circuni^rtbantur, et. in planuflCi expansae

nihil aliud sunt qaam notissimae Comites Cycloidis primariae vel secunda*

Ttac (quarun» Aeqaatra universalis jr^a^^i/»; ^—)^ male ah ^UquibUi

^untupatae TroGbMdes» protract^e sive tontraetae ( Tom. It,. trttroiuttihntt

etc» Eulen ad pa^*".. 296""; — -^zSin^ A.-^Lsnea Sinuum) ^ ac in Theo-

ria sonorum ceteberritnae usque a Taylori temporibas ( M.DCC.XV. ),. de
quarum rectiiicatiene per Ellrpseos conicae pertmetrum Alembertus ipse
obiter ioquutus fuit in Commeatariis Academiae BeraiinensiS' ad annum
M.DCC.XLVII. ( pag^ 244^'*), sed nec eam demoustravii » nec fortasse tam

simpU-

»

2^

simplfcem oovit> otmiam; quoqae Cyctocylindricarani Ferimetro» suppedt*^
m > atpote aequale» perimejtrts Eilipsiam habeatiam Semiaxem transver*
saat> qui ift primariU poaslc daplttm /Cf ia prvtrtHfis' poisic /Csimttl cum
/r, et ia detmrtari$- IC simul cum 13^ r duoi Semtax»^ conitrgstus comroa*
nis s=/C(75). Poft Helicem Cyltndricam a veteribascontemplatam, Cy«.
cftocyliadricae- ecemptu» praebent io. rectntioram» Mathesl fbrtasse primom #
K peHns^de- Curvarui» duptids cmmturar^ quarum Perioietrt mensur^
ope Cu^^rUR) in eodem» ptano iaqentiam^ obtnteatur (i^d). Triangula. de*^
mum CylifKlrica coitiiUbet speciel et magnnodinis iix paries,. dum necesse
i!t ^ f ^soluta vel ope Hectaiiguloram. • aut Zbnarum CyKadrt » veV ope
Frustoram Ungulaer nirnc sommas*. ounc differentta^ sumendo ». mensurao^
Arearun» ex dHcth recipere nemonoH' Tidet. Tota erga sablimior Geo-
metrta » qtiam ela^wo^ satcolo' XVin. humanr cngetui miracula prodidisr
se fatendom> est > parufti 4best quio anica f ascalil Theoremate suatinea^

tar (2Zl -

i6. UnguTae autem> tractatta mihr quoqae invTto tn nflieatem^ revo^
eat cooMnenratibnes^ ooimaUas» quibus adolescens adhuc perqaammaxime
delectabar. LcgeBam in- Acm Eraditorum' Lipsiensibus (78) Ehrenfreidum
Walterum de Tschimhauseo Carvam mechanicam quadrabilem^ vcTuti no*
vam» et a nemiae exhibitam animadvertisse, qaae tamen nocissima Ungula
erat,. quo ad abscissas proportibnanter decurtata r qao ad ordinasas pro*
portionaliteravcta* Revera Curvae abauctore datae origohaec est (Fig. 16.).
Slt Circuli quadrani AFH% arcus quicumque abscissas HGy sinus-rectus
<?]>» quadrans coneentricus DE\ Fiat FH\HG\ lAHiHfft et perpendicu-
iariter dflcatur BCaeqlialis perinretra qoadrancis' DE; exitque punctum C
in Citrva qtiaesita*. Abscissae itaqae A8 ad Arcus FG\ aive ad abscissas*
UngoTae ^ su-nt in prc^rtione diounuta Radii ad Quadrantis^ peripberiam^
dum e ooiMra^v^Ordinatae BC «rnit ad AD^ «eu GK Suias-rectosr aut Ua-
guTae ordrnata»» itt pfopor|fone aucca perrpherlae Qaadrantls ad Radiam«
Curva igitur est ead^em^fed de£bniTata,.SemiuBg.ula ia Pfanum expansa, ec
Elemeiita docent^at» integram eius' Areamr quauii ipsias^ parteSr perae-
quare Aream» er •partes- qaadsabilis Uugolae., qaunii Rectangula homolo-^
ga et iafintte-parva uiriwque Curvae pacia sint propter basei invene al*
-titttdinibtts propof tipnaies (79) . Recentius: eremplum praebent Mtscellanea^

-BeesoHwmiss qua loci Xoattines Heprictt» HencDSteiis operosissime satagit de-

roon-

224
monstrare mensuram Solidi Ungalaris i Cylindro recio rescissi (So). Com*
plures paginas impUc ut tandem osrendat quod pene una absolvicur li-
nea , miromque est agere ilUm de superficte Ungulae expansae perinde
ac si Area haius ante ipsum incognica fuerit (8i). Veruntamen non opus
etat suo Calice Cylindrico (a Galilaeo tam nobilitef xn Dlalagis De nova
Scientiattc. exornato, et fortasse Indivisibillum ttbecrimo fQoce}« non opus
rationem quaerere Ungu^ae ad aeque alcum Cylindrum . Ungula erenim
ABEC^ quaecumque sit, icttt ocuU in Fyramidalas tctrahedras resolYitur
(Fig* I?*)» quarnm veriex commanis iii Centro D, baais unam ex elemeA*.
tis /05T, akitudo cofnmvnis D/, aeqaalis Radio D£^.SuniQ)a Isitur Pyra*
niidularum, slve totum Solidum ungulare, par tv\t uni Pyramidi, quae
pro basi liabeat Sopecficiem Ifttegtram Ungulae, mmifiin» liectangulum
AC.BE^ et pro alcitudine Radium DE. PerfectatD (nec traoscei^deatem )
hanc Solidi 4uba$iuram (eiusque partium } ii ad meoiem auccoris placeac
convcrtere in proportionem numericam proximam» consequicur facile Py-
ramidem iMami sive Sotidum Ungalae , t%^t ad Cylindrum aeque alcum

ECNABLPM uci AC^ : AECM . 4? » ^e* «« ««'^^^ P^" Diamctri ad
semissem Feripheriae circularis, videlicet in numeris ab Archimede datis ut
J- \ 11, sive 7:331 e.t in numeris Petri Metii ut ^ :^,vel 226: 1065,

quemadmodum Hertenstein ipse decernit post tot tantasque Lemmatam
praemissorum ambages • Dum hercaleas lacubrationes Gregorii a Sancto
Vincentio, et Evangelistae Torricellii MSS. pervolutabam (82) de graphi-
ca dcscriptione Sectionum Coni, ea mihi praesertim occurrit, qua Ellipsis
obclnetur hcc modo. Sit Circulus ABCD (Fig. 18.)» dttciisque norma-
Hbus innumeris EOyFO etc. ad Diametrum BD per totam Pefipheriamt
.'iiant EffFI etc. paraUelae eidem Diametro, et in /lata quacamqae ra*-
tione ad praedictas normales. Carva DIIII etc. erit Ellipsis conica (^83).
Si autem recte consideretuf , Ellipseo^ istius semis est Ungula memorata
Cylindri, vel prtmaria ^ vel i^rtf«//<7rM, quae conversis eius Ordinatis £/,/^/
ctc, dom maneat rectas angolus OEIjOFI etc. , tandem desinat in Pla-
oum baseos: nec param admiremur oportet in hac extrcma Ungulae de^
formatione illius perimecrum nihilomtnus manere eilipticam , uti iii erecta
Cylindrica , necnon aeque quadrabilem esse , videlicet Aream eius perae-
quare dimidiam.ipslus Ungulae erectae* Quod postretaam equidem coii«

stat '

L

25
ftat si Semisscm Ungnlae iaccntts DFAGID referamus ad Triangulum or-
thogontnm HAG aequicrure in primaria; nam quaelibet EI aut FI io Un-
gula par est PFf PF in Triangulo ex ipsa Ellipscos gcneratione. Et iden»
valet de altera medietate BFAGIB^ quae cura priore habet partem com-
munem AGS. Utraque ergo Semiungula iacens Triangulo HAG aeqaali»
est» dum SemiunguTa crecta ex praemissis rn §• 15^^ aequalis est duplo
Triangult» nimirum Quadrato HAGB. In setutrdariis autem Semiungula:
iacens per eandem demonstrationem aequaretur Triangulo HAKzxii HAK\
dummodo HA:AK in CQntractis ^ et HAiAK' in protractrs fucrit in pro-
portione cMem cum OE : £/, 0F\ FI etc. j quapropter Semiungula ia-
eetls semis erit areae Semiungulae erectae , quae adaequat Rectangft*
lum HA . AK Ase HA . AK\ Non eadem vero parttura homologarumr
proportio (84)-. Geteroquin dum in Ungula erccta primaria Area Ellrpseoj
ftd Girculum baseos csc in ratione sf^w^ e contra Ellipsis nanc genita
DXSGTBX' s'YT' Aream sempcr habet aequatem Ciccuk) genitori DABC^
quum ex uno latere EI^FI pares stnt EI^FI etc. e^ altero, tdeoque
EE=-II^ FF=^II etc, quod evincit Radiirm HA Circuli genrtoris esse
mtdium geon^etricum proportionalem inter Semiaxes cuiuslibet harum innu*
merarum Ellipsium. Sed praecipuam tantunrmodo Ellipsrn examini subii*
ctamuf, quae Ungulara hcentem prfmariam respicit, eiusque proprietates
eTegantipsimas brevitcr nunciemus, de altis opportuniore loco disceptatu-
u (85). Quatuor iatersectlouum puncta Ellipseos et CircuU fkcile dctcr«
minantur: nani Det J5 sunt extrema diametri ex Gurvae genesi,et ^aut

£' Urbi MS-= MN p scilictt 9 «bi diameter SHS' chordant Quadrantis AB

BA
ita secet in Z, ut AZ^:-— ex Elememis • Praeterea tara AG ^ qTtam

CF, acquales Radio H^, EHipsim tangunt in G et T, aique idco indicanr

excursus maximos Carvae quo ad Diametrura BD . Erunt igiturZ?/fD,G//ir

Diametri duo rnter se coniugatae. Quadrantum ergo Chordae AD^CB tan-

gentes sant in punctrs D^B EUtpseos genitae r Itaque quadrans unius cx

circumscriptis Paranelogrammis erit Gi4DH=G^/fB = /if -4*= Rectan^

gulo Semtaxium Ellipseos genrtae \ quod iterum confirmat Radium gcnitorrs

esse mediam geometrice proportionalera inter Semiaxes genitae Curvae.

Accedit quod puncta X, A7, in quibus Ellipsrs occurrit diametro ACf noa

pattcaa affiocnitatem ^raesefcrant» quum sint ita disposita» ut 4H'HXf,

^ivc

^6

sive CH:H2C proportione e^dem gaadeant Diagonalis ad Latui Qoadratit
nimiruin sic HXt aut HJC xertia gcometrica proportionalis posc ADfAH
Secniaxes SUipse^ Ungulae ereccie* Tali ^nteoi legt ^ibi respondent $cx
inter$e£tionufn punctat uc D«fi ^inc in perioietro Quadr^ti Circulo circum*
scriptij X^JC in perioietro Qujadrati Grculo inscripti, et S.S' tn perime*
tro Quadrati Aitrique Semicirculo inscripti. Puncta vero media X^X' de«
xermioaoc alia puncta TtV maximl excursus £llipseos quo ad xiiaaiecrttai
^enicoris AC^ €t idcirco eadem puncta TtT aianent in prodnctione late*-
Tum Qqadrati Circulo inscjripti, ad instar CtK, qaae sunt in perioiccra
circumscrlpti . Maximum jetenim Summae Vinus «t icosinus Elemeota docent
haberi .ab an^alo -semlrecto. £xcursas «rgo maximi ^r, Jl^7' ElUpticae
Curvae ab una 4iamecro ^C genitoris, sire puncca Tangenciam eidem dia«
metro paralleJaram , «unt ad excursas paricer maxim^s BG , DY ab •Itef»
diametro BP ut .doplam JacasQaadrati ad ipsias.diagonalem« Axes4emum
Eilipseos genicae sic jnveniuiicar^. Sisecetor .angalus SHB^ ab acqoatibus
diamecris JElIipseos SHS\BHD ^omprebeasas « «ope reccae iaHa/% cui norma-
lis apcecur >///; et <eranc 4tto Axes ^x ApoIIonio positione dacii^datusqae
angolas conversionis Axiqm a diajmecris BD^AC Circuli genicoris« Uc
Axes ipsi.-eciam magniindine 4encair, in comperco est gemina afTeccio sa-
perios osceusa, videticec, Rectangulom .Semiaxium.ci)^./fy = ^/f^, et iaH'
— [-Hp^^^GH* -+AG^=:^AH' t ex Ellipsiam omniam natara. Facillioiu

inde iconstructiosoppeditat ^« = Vs^y^ls . AH,etHv=y ^Z^LL . AH^

adeo ut Semiaxiom et Axiam proportio V^^H-Vlf" * V^a— VT pcrqoamroa-
xime aberret ab illa Ellipsebs Ungolae erectae v/^*: i » videlicet diagoiia-
lis iid latos 'Qaadrati .(86) • Vivianii Opuscula versans oioUis abhinc an-
xns (8^) meditabar tres simul Lineas in jSaperficie Cylindri resti ^ nempe
Helicem ApoIIonU (88), Ellipsim couicam, ac Cyclocylindricam Robervallii
ct aliprum (fig^tp*)'» Meiis erat varios 'Comparandi modoSf ijuibuseae se-
cent Superiiciem Cylindri . In Hemicylindrica soperficie .( nam eadem fo-
ret ratiocjnatio <le integra ) ABCLGM sic' alticado CO aequali^ diametro
baseos Ci4,^//205emieIUpsis Ungolae, ATISO dimidiam onius ex spiris He*
licis, et;4JfOquadrans primariae C^clocylindrica^ . Neminem latet tam EI-
Iipseos« <}aam Helicis periipetrum bifiiriam secare Cylindricam semisuperfi-
ciem ABCONP 9 ideoque Helix in Cylindro aecessc.es t ut babeat paoctum

flfXUS

27
fie^us cmfrdrii in / pnncto medio Ellipseos, ddrne ronm» qtiQm HeliK
in planum ^xtensa Linea recta sic , opas est qaoque ot Semiellipsis ezpan-
sa V sive Linea Stnuom - versorum (89) , in eodem poncto medio gaodeat
victssim flexu contrarh ^ qoi flexus hoc modo, sine Calcttlo inventi, alter*
nantur invicem elegantissime in Saperficie convexa , et in plana.Aream
'vero, sea spacium hemicy^indricum ita secat Linea Cyclocylindrtca qufed*
Vfs, aut primaria^i aut secundaria j ONXA qoemadmodum ChordaQua-
dra ntisCB secat aream ipsius Quadrantrs C^dD.Spatium etenim ONXABCO

t=zCA.CO, dum Hemicylindrica Saperficies = CBA . CO ; quaptopter ea

«

ratio eadem crit ac CBA:CA^ sive CBiCD, sive Cf^BDiCBD. Iti-tH^m
etiam' proportione ^6cator quadrans Superfici^i Cylindricae QINO ab Ellir
pseos quadrante TRO Uhgulae settiirectae^ vel quomodolibet coiftracfM j,jV0it
ffotracta&\ Ac demum ipse quadrans EIHpscos. /XO secat HemicyliflKlrijoaai
Superficiem FIQONP in proportlone Circumferentiae circuUffis ad suaqi
Diametrum, eoqtiod OQ/FPiV= Q-ZT.Q/iP, ct OQIR^QZ* ^ oode r^Dio
dimanat QIFiQZ =iQIPX:QFf quam antea nunciavi (90).

17. Redio k^ PaVcalium . Ex- hactenus deducftis evidens est. quqd.eor
dem penltas modo; quorectis jnnomeris a ceiitro.GJrcvIi ad enis cjrcaoif
ferentiam emissi» /C,/C»/T,/i5 e€c..(Fig. 8o«) ^rpetdi^olares seu later
ra singula singulis aeqaalia CDfGHyTStBA.ttfh in soperficie Cylindxj
mf/ disposita respondent» nec dissimiliter 1atf ri omnla vel lineae rectae
innumerae usque ad Baseos peripheriam in quolibet Cono recti^ OCtOG^
OTfOB etc. singulae singulis aeqoalei sunt perpcndj(;iilfi,rii;i!as; siye .lateri^*-
bus FC^VG.HTyE^B recti Cylindri, et hafcc «equaU^&jpariwp pjanet ^i
etiam -Cylindri^^in "Hemicylindros convettattur ^ qupr^ff ^aif^ f^^A^ Scmi*
circolus MNBPL radium habehs BC aequalem diametro alterijus, yel o«ici$Ii,-
bet magnitadinis (91}; ita contingat ionumeris rectis <Fi^.|2i.) a.quov^s
puncto excentrico interiore aut exteriore X vel X ad ^itxumferentiam
Circuli ABCD eductis » necnon lateribiu innumcf^is.jp supircfifie cuiu^vis
Cbni obliqui iacentibiis rABC^t yel J^^fiGD, rjitpotejquae rccye, aiat I«j*
tera singula pafik sint sirigolis perpendicularibiis f d ^periph^iam |3a$ei^8
Hemicylindri o^//{ftf/ FCNHGI 9 gapdentis pariter radio ^C aequali diamc«
tro Circuli dati vel longitudinis cuiuscunque» uti citissime pstendam^«
Qaod primum tam elementare ac.simplex^est» quam admiirabile esc alte^
rum, dttta mentem. aabeajc praesertim . discrepatuja .ufuiut/ijs Cyliiidri» et

D Coni

Coni scakmrum^ ^r analogiAm oninettr, et compamioneai* reipaere omiirr
mode videfentar . Haee nihtlo tamen minas intcr Conos, et Cylindrof
obliquos ope Theorematis Pascalii d^etegitor analogia» atqae a4eo viget» ut
cuilibet laterani rn Cono erecto sfaltm FD, vei K'D»semper adsit aequali^
LE perpendicularis latercula» seci tangenti KE peripheriae. Baseos Cylia?
dri scaUni, tali ordine servato, ut arcus NK^==^ AD , iuxta §§*"•• 3"*™. ac I3'°"*
Faradoxon etiam adparet analogiam istam haudquaqaam existere posse ni?
ii> inter Conbs integros scdknos erectos aic iaceates, et Hemicylindros
i^linas Basim vel duplam baseos Conorum > ve) cuiusvis roagnitudinis haben-
tes, nuHoque unquam modo fieri posset ur inter Conos , et Cylindros
integros okliquoSf quemadmodam inter recsost nec ideo in Basium integri-
tiite aequalitas illa laterum et aormalium iiisideat. Quod dum admiratio*
liem excicat philogeometris » videant oportet rationem potissimam» proptec
^uam ec tocus Conns iacens» et totus Conus ertctn^ scalenus analogiam
irllam servare nequeant cum toto Cjlindro oUiquo ^ in co $itam essOi qttod
in Conis unum tantommodo ionumerorum laterum sic maximum^ alteram
mfnimumt et aliorum hteruni series una solum vice repetatur» sed ex
adverso tft Cylimlris duo maximar 9 dvioqtit tninimae perpeodiculares ad Ba«
seos periphertam rfnt > et quadruplex fiat aliorum perpendiculariam repe^
titio. Aequalitas autemhiteram omniam Coni /^4i/>ii/ erecti, aut iacentis
perpendicularibus Cytindri scaleni ad innumefos, refertttr Cylindros eidem
obliquitate gaudentes . Sint enim innumeri Cylindri similes in Fig^. 22^
depicti, aut fiicillime depingendi ec coosiderandi ope rectarum OQfOP
quomodolibet productarum, horumqae capat sic /QP^» caius dimidia sU'-
perficies insisrat Semicirculo cf//3 radium iiabenti OcT^ /D diametro Bat
seos Coni iacentis, aut erecti, quorom vertices jr,K. Indubiam est equi-
dem omnes Cjflindros wiw/V^/ ^Jt»r>^i/P»eir etc. babere perpendicalares
homologas ad Basiam peripherias in^ proportione.radiorum 0/»0r,0/, Od
etc, itai Ut perpendiculares ipsae simitihus arcubus Basium respondentes
evadanc aeqaates m omnibus Cylindris., dummodo hi parilateri fuerint iti
A, Q, I, IJ, T, i4, P, ft etc*, sive aequali altitadilie ee ax^^aadeant.
Non modb igltor Hemicylinder lOUq, sed et eOHA. rOUL, gOUB etq.
perpendicalares habent iunumeras , qaarum singalae aequentor singalis
rectis innumeris a puncto JT, aut r ad circamferentiam 01 perdu*
ctis, quum cttliibet afcui simili Basiam ferpeadicalarif conveoiat eias*

dem

«9

den longicodiiiif • Qain etiam st innnmeroram horamce Cylindtoram se«
ries Plano secetar ad aO communem Axim normali» non modo perimeter
Eliipseos HD9 sed eae qaoqae EIHpsittm 5m///4^»!i F£,ZC, 57* etc. ad Sum«
mam tectarum ab X vel V in arculos Circumferentiae datae 01 obtinen*
dam perducent. Dum etenim fiat IQ=z X/ vel F/, et per Q transeac
Hyperbola scalena centrom habens in O, et lineas rectas asymptotas OQ^
0A> haec tttt hcus geometricus (jlvQUZ^ cuias ordinatae 6y » /Q» fV^gZ
erc. ea Cylindrorum latera determinabunt » quae ducta in Perimetros se^
inieUiptioas Fu % Hca» Za^, &a ecc«» eararoque parces simiUs^ peraequabunc
Sttfnmam praedicfaol » eiusqoe parces propcrcionales (92)* Namque illae
Semiperinletri.sant in proporcione Transversoram Semiaxium» scillcjet^^ tn
proportione Radibrum Basium 00» lO^rO ^gO etc. » nimiram reciprocelit
©y»/Q,K/»^L etc. , ex quo oritur aequalitas Reccangulorum cuiusvU
Semiperimetri in Latera 0y»/Q»rC/, ^S etc«» videlicet aequalicas coiusU-
bet Reccangulorum et Sammae praedictke. Problema itaqae iuveniendi Sa«
perficiem Heroicylindri scateni aequalem Summae laterum Coni iacentif
aut erecci in arculos Baseos est reapse JnJeserwinaSnm f quntn perinniimeraf
Superficies Ellipsesque similes^ tam quo ad incegram Summam» qoam quo ad
parces proporcionales , resolvi possit. Id autem commodi acctdit in unica
solutione a Pascalio traditat quod tatas Hemicylindri /Q determinatua
suapte natura sit » ucpoce aequale mascrmas linearum JT/» vel T/» ct Se-
micircumferencia Baseos J//3 par sit toti Circufnferenciae 10 Circoli da«
ti» nec ulceriori reductione sit opits (93)«

18. Hoc ipsam evincicur etiam ope Formulae inicio positae. Daco
enim Circulo NSAM (Fig. 123« )» ^t puncto X in eius plano» vel Y iii
sublimi» descripteque Seroicirculo CALt ac quoclibuerit concentricis Semi*
circuli^ BGE^ DHF etc. interioribus» vel excerioribas , erit Superficief
Heaiicyundrica seaUna , ih iisdem condrtionibat ac ih $. 1*.« ctiius Basil

CAl, Lattis .<lir ^ Ahitado KU, «zpressa per fpn . ^ 4K.* — p~ . AV*^

=fm • O^ V^^S^=/^J- C« V^^~pr7tA" etc. ,
dum ceceri Hemicyliodri candem-babeant obliquitatem ^ et alticudinem»
codemqiie- gaudeacM latere AK . Quaevis igitar «arum Formalaram eliga-

tur, aequalis tTit fsf^ y/X!P^XZ7j^ : Idcm diceodam de .

D a fsv

S>V\/ya* ^iTl . AT\ quam brcvitatw caussa praetermittere liccat. Qaae

omnia ficillima. sunt si consalantur §§'. 2". ac 13". Prima hypothesis» in

qua Pn=,y^, simplicior est, ec Theorema Fascalii suppeditat. Secunda

NP iVP

praebet ^. AKz=lXA\ tertia ^ , AK=zXA etc. ctc. » quod indicac

augeri, aut minui debcre Hemicylindroram isoperimetricorum latera reci*
proce ut Basium radii, qaemadmodam supra. Lateribas autem in ea pro-
portione reciproca auctis, vel diminutis, aagentur quoque vel minuuntar
AU in e^dem ratione propter triaiigula similia , quod alteram conditio«

nem Formularum adimplet. Namque prima hypothesis iubet esse AU =s

. - rf ' ' NP — NP

V^XZVaN; secunda vult j^ . AU=: ^2XZ. ANi tertia petit j^. AU=^

^%XZ . AN I et sic de ceteris in infinitam.

19. Accedit pulcherrima contemplatio , quae docec quomodo disponi
possint jn Plano, vel Cono iacente, omnia latera cuiusvis Coni erecti sca^
Uni* Eai.quae de focis vicariis in §§. 13«^ ct 14". disserui , ad hoc in-
yeriiendum veluti.manu ducunt. Sit enim, uti superius in Fig. 2 1 . , vertex
Y Coni ohliqui^ et 11 focus eius vicarius . Latera CF,^K,quae sunt maxi'-
mum et minimum in Superficie Coni, ita producantur, ut CT=^CX\^ AS
z=:zATl\\ quod facillime consequemur, quum recta coniuncta TS parallela
evadat altcri CU propter CYi AYy. CH : ATl'. lCTiAS cx constructione •
Systema duorum Conorum similium oppositorum ad eundem verticem K,
quorum Triangula CYAt TYS sint in Plano ad Bases parallelas normali, late-
ra habebit singula aequalia singulis rectis a puncto 11 ad Circumferentiam
ABCD etnissis. Nam ducto ubilibet latere F7p« iunct^ae TID, est FD:
TlDy. YAiAU :-: YA:AS::YD: cr, et ideo DF=TID etc. Nunc a pun-

cto T ducatur TQ parallela ad YA^ iiatque cum diametro CCl Circulus in

» •

eodem plano Circuli dati CDAB. Conus ille scalenust qui pro basi habeac

descriptum Circulum CQ, pro vertice punctum T, pro altitudine perpen-

•■

dicularem T^T» latera singula habebit aequalia singulis rectis homologis ,*
quae a puncto 11 ad Circumferentiam Circuli ABCD emittantur. Exempli
gratia erit 7^ = nB, 7Y= Flfi', atque idem dicendam de innumeris
rectis ad extrema chordarum a puncto contactus C eductarura , et similes
arcus secantium. Et revera latera huius Coni aequalia sunc (singula singu*
lis homologis) Summis laterum Conorum ad vcrticcm T oppositorum , pro-

pter

31

pter similltudinem trittm Cononim C7TD. cr/4, 7TS, ct TO = -4r— hKS.
Constructio itaque ad resolvendum Problema istud, tam directum, quam
inversum * hoc modo poterit exornari . Detar Conus quilibet sealenus
EABCD ( Fig. 24. ) . In eodem Baseos plano sitae supponantur rectae £C» EA^
aequales fnaximOf ac mtnimti lateram ; adeo« ut EF in ipso plano posita
repraesentet altitadiuem Coni . Secetur deinde CG=-CE^ et GH^r-EA^
atque diametro CH Circuks HICK describatur, solutumque erit Proble-
ma . Rectae nimirum a reperto puncto G ductae ad inventam Circurafe-*
rentiam HICK pares sunt Lateribas singulis Coni dati . Fascalius casum
unicum et facillimnm huiusce universalis Probleraatis solatum dedtt (94)»
dum sciticet Conus datas CBADL minimum LA suorum laterum habeac
altitudini aequale • Singulari hoc in casu , si eadem repetator constructio
CMz=^CL,MN=AL, erit CA* z=CL* ^LA^ =CM^ —MN^ ^CN"^
^aCN.NM^ quod mirura in modum cum Pascalio coosentit. Nunc de«
tur vicissim Circalus HICK^ punctumque G» a quo rectae emittantur ad
eius Peripheriam , ac quaeratur Conus latera habens aequalia rectis illisi
in plano iacentibus. Problema hoc inversum est equidem indeterminatum 9
quum ex adverso directum untos determinatae resoUttonis sit capaz (95)«
Inter GC^GH sumatur G/3 media harmQnica proportionalis , qua.bifariam
secta rn Y , describatur centro 'V Semickcultts /3a»G » Rursus centro C».
radio CG> descriptus sit arcus Circuli indefinitus GSU . Ducator tandem
quaelibet recta CS^ secans Semicircotum in tf arcura in 5; iunctaeque
rH paraltela sit 5S« Conus ille, qui pro basi hal>eat Circolum Diametri CZf
latus maximum SC^ minimum 5S, verticem f > altitudinem 5Q, erit anus
quaesitorum . Per doctrinam etenim Galilaei CG\GH'ACP*vHy.CS\SZ
propter parallelas. Sed CS=^CG ex constructione • Igitur et SL=^GH.
Recca autem CS secat Semicircolum ipsum eiiam in alio puncto P» ec
ideo ducta. quoqoe SY paraltela. ^A PHy. orietur Conus alter basim habent
Circulum diametri CK, . eundera verticem , eandem altitudinem » ac ea*
()em latera com priore , quum evidenter sit 5F=52f Idem arguendura
de recta CaE etc. etc. » quae praebet alios duos Conos CEA^CEX gau-
dentes communi vertice, et altitudine, atque iisdem lateribus , sed ta«
men insistentibus diverso Circulo, uno nimirum diametri CA^ altero dia-
jnetri CX. Coni igitur tot exsistunt innumeri parilateri scalem^ quot in*
nomera poncta exstant in arcu GR a tangente CDR definito» quorun&'

quilibet

3*

quilibet suuni comitem habet cnm codem vertice parilateram Conum ae«
qae altum, sed Circulo maiori insistentem» cxcepto unico Cono CRTj
cuius maximnm latus est taogeos.CDiJt et mlnimum RT confanditur cum
tpsius ahitttdine (96) , qui comite caret • Nullus autem horumce Cono-
rum sine oumero insistere unqtiam potest Circalo aequali dato HICK9
qui Basis cst Coni iacentis» cutus apex in puncto G; sed omnes pro Ba«
si maiorem Circulum habent« Ea vero lege progressio Basiam procedit»
ut inter duos iimites definltoscomprehendatur, maximum nempe Circalum
diametri GC'-hCH = CZf minimum Circulum diametri CG — GHi=CHf
videlicet Circulum datum* Circulas illc maximus Basis est alterias Coni
iacentis paxilateri quo ad iacentem datum , cuius Basis est Circulus mini^
must qui duo Coni iacentes communem verticem habent Gt limitesqae
5unt Cononim erectoram sine «lamero ^ qut ultra limites istos progredi
fliequeunt . Primus Conorum iacentiam verdcem habet intra Basim * se«
cundus extra ; et ^aod ii sint vere parilateri » confirmant praemissa iii
§". lO^^^Si enim dncantur quaelibet xectae G^^G/^tc, et j3r, j3/ etc. ,
qaibus postremis paralldae sinc G^iGQt erunt arcus ^4>, ZQ etc. simi^
les arcuhus HVtHI etc. , tiuum sit ex constructione C^:fiH\\CG\GH
^GZ. Ergo CZ — GH:G^::fiH:fiV::GH:GV,GZ = GH:Ge::
j3H:fir: : GH: GI etc, «imirum , G» = G^, G0 = G/ etc. (97) . Hacte-
ous explicata argaendi metbodus <de jiffectionibus puncti G positi extra
Circamfeirentiajn HICK convenit ctiam puncto G intra Circumferentiam
^^QCt jtat at ouUam aliud discximen intersit, tiisi quod innomeri Coni
parilateri» eorumque fiases ab iisdem iimitibus determinatae inverso ordi*
tie progrediantur«

no. Corollaria 'qoamplurima consequontar, quae saltem obiter adno«
tasse sttvahit • Trimum praecipuumque est Problemata Summae laterom iit
arcoloa fcaseos Cont Mcsteni , et Sommae rectarum in arculos Peripheriae
circalaris dum emlttantur a puncto in eodem cum i[)$a plano iacente,
talem tantamque habere inter se cognationem » • ut sint unum et idem
Problema . Aut Conus itaque detur (Fig. ^i.) ABCDY\ cuius basis ABCDt
altitudo. TX^ t aot rectae dentor emissae a poncto 11' ad Circumferentiam
eiosdem Circoli» dummodo 11' sit occursus diametriCii productae, et 1^11'
perpendicularis ad TOt^ quae bisecet angulum CY^A (98), unicae formu*
Uc et exprcsiioDi ooo oiodof verum etiam eidem Gllipsi subiicitur Pro**

blemati^

Ueteath fesototio • SS etenlm qn6 td pnhctam n^ Problemati satisfk^'

ciat Hemieyliiidrica superficies FCfilGH > ut» Utur CG = CXl\ fecto

hoc latete CG in if ita» at CM^=CV' ^ doctoqae pUno QitfP Bast pa«

raUelo« aeque catisfacit (nperficiet Hemicylindrica FCNQMP Probleaia*

ti in Coao» attllaqae expresno dispar, nec nova uoquam difficoUas exsur*

git. ProportionaJis etiam sectio saperficiei Semicylindricae hac arte po«

terit .permatari , nimirum» dato Q>no IMCr aUitudinis TZ ^ et reperto

pam:to 11 iaxta ^ 19««. ac Girculo ilSCD » Superficies tUa Hemicylindrt*

ea FCNIGH tali adamussim latere praedita» ut CG^=^llC% Problema ipsum^

resolvet qiio ad ponctum alterumrdam Utus idem CG ita prodacacur in

5, ut CAiCCmCGiCSf quuni parilateri sint Conus erectus et iaeens»-

et Summae lateram 10 arcolos Basium proportionem habeant diametrorum

earundem . Qaae methodus viam sternit ad aliam priroum a Roberirallio

explicatam (99) in resolutionem Problematis inversi> quo petitur Summa

rectarum in arculof CircuU datat Superficiei Semicylindricae aequalis ^ Si«

qoidem Auctor ille» Cylindro dato scaten^ AEDB ( Fig. 2^.), Couum in*

s^titoit pariter scaUnum CPG^ qui Utoi maximnm habeat FC aequale axi

seo lateri Cylindrti et minimum FG aeqoafe altitudini Coni et Cyiindri.

Quo facto» inter datas CG^CR mediam adsrgnat geometrice proportiona^

lem CHj quae diameter erit Baseo» alterias Coni similis CMH^ cutus Sum*

ma productorum e Uteribus in arcuTos Baseos aequabit medietatem Super*

£ciei datt Cylindri (100)» Praemissa etenim docent Summam etc. in Con6

FCG esse ad hemicylindricam Superficiem AEFC veluci CG ad CBp tiimi*

rum ex conscractione CG* ad CH^^ ^ilicet Summae ecc. in eodem Cono

FOG td Summam etc. in Cono MCH ^ propter eorum similttudinem» Pro^

blema hoc aurem inversooi universalius eciam craccart pocerit si Gonoi

«imal erectos et iacentes contempdari libaerit • Et revera» data Soperficid

Hemicytindri caiusque ABCDEF {V\%^. 26. )» in qaa latus» vel axis> vel

perpendicularium maxima bB, alntudo, aut perpendtcalarium #i/ff/f04S

DGt inscribatur priniiam in S^micirculo .^AC Circalus pro diametro habent

radium BH. Deinde in BH, si opas fuerit producta^ secetur BL=:BD%

et dum arrideat forcona» qoae donet etiam LH=:DG, erit Summa etc*

rectarum a puncto L ad Circumferenciam HOBR aequalis hemicylindricae

Saperficiet. Non favence autem forcona» tum ope centrbrum in B et H^

itque iotcrvalloratt £X>» i>G , reperiator panctum S-p eritque in Cono»

qui

34

qni Basjm habeat €ircbtttm dianetri BHf a<f TriaD^nlum BSH ips! Basi
ttormale » Samma lateram ete. aequalis datae hemicyliadricae Superficiei •
la aperto est locum esse huic dlrectae Problematis resoliitibni donec Sa«
perficies innumerae hemicylindricae» parilaterae» ee eidem Basi gauden-
t«s, sed diversimode incHnatae,'Uri in T^Uttc. non perveoerint ad aU
ritudinem minorem recta data HL. Qaod statim atqae accidat» nQltas
Conas erecta^; oec iacens; iA "ddta Basi HOBR Problemati satis6iciet. Li*
mes erit Cylindri altitado FT^=LHt in qao fkastissiiho casa soperios
iam dicto Problema resolvitar a Cono iacente» coius vertex in L. Alte*'
ram limitem nemo non videt in Hemicylindro recto ££ » cui respondet
Conus pariter rectas BQHt axem babens ©A insistentem centro A CircuIL
dati • Inter hos limites datos 6 » J^ qua^vis Hemisaperficies Cyliridrica quo^
camqae modo inclinata ,'ati fi(/A» Conum praebet ^BA^Hfacillime definien-
dam» qoalem Problema reqairit • -Qai Conus nallo etiam labore» si Geo^
metrae placeat »' converti potest in-^Conajm iacenteni » eadem maoente.
Summa laterilm innamerorum in arculos Baseos. Hoc ut fiat» sit ex. gr«
Conas erectus BSH convertendus ia Conam iacencem • Secetar primum
LI=SH:=^ DG f quo facto Circalas' describatar super diametrom £/»
vel menti descripcas obversetur« Media sic geometrica proportionalis BK
inter BI et BH\ ac super diametrum BK Circulus alter insistac. Deni«*
que sit BI: ILy.BK: KM^ reptrtnsqtxe erit Conus quaesicus» Basim habens
sn Circulo BK ^ verticem in puocto M. Est quippe ex praemissis Conus
iscens Baseos BI9 verticis £, parilaterus quo ad Conum erectum BSH^
Summa igitnr etc. in BSH ad Summam in BLI ntt BH ad £/» sive BK^ :
BI*y vel , propter sirailitudiaem Conorum iacentium ex constructione , Uti
Summa in BMK ad Summam in BLI. Methodus ipsa perducit ad Fro«
blema inversum resolvendum traiecto quoqae limite V^ quemadmodam
in Superficie data semicylindrica BYZ . Aut enim Conas iacens desideratur»
aut Conus erectus Summam laterum habens in arculos etc« parem hemi*-
cylindricae Superficiei . Priroam consequimur. ope i<I> = FZ, processusque
geometrici, qui ad anguem consonec cum soperios adhibito pro poncto /.
Obtinetor secandum eodem adamussim artificio» quo usus iam fuit Rober^
vallius» videlicet invento puncto Y ita» ut ZB^B^ViBH—, ec erectai
perpendiculari Y£ » quae. Coniim qoaesitum soppeditabit habentempro Ba*
si Circalum diametri Btf maximum latas BS^ et ^mipimum vel fltitadi?

nem

35

nem 3f . Sed innQmeri alii Coni eodem modo Froblema resoWent . Namqae

inter K ec Z* ex §°. praecedente innameri continentar parilateri Coni i qao-

ram anas, ex. gr* fJ3^, disposita KA = KZ.Deinde sit talis fiS» ot BX'.B^\

BH^\ atque edacta 0/« parallela ad Av> orietur Conus fi^e, qui super

Circulam diametri Bi insiscit, et lateribus gaudet maximo ac minimo BfJi%

fjti^ et aeque ac alcer BS^V habet Sammam lateram omnium in arculos

Baseos aequalem datae semicylindricae Superficiei CBAY. Haec vero re-

solutionum Problematis abundantia Conis quoque saperius consideratts

BSHf BXH etc aptari poterat si Geometrae placuisset solutionem dire-

ctam f quae praesto est, indirectis , minusque obviis resolutioilibus Ibcu-

pletare, Quae omnia confirmant aut indirecta methodo Problema inver*

sum, de quo nunc loquimur» plenissimam sotutionem semper^acquirer^

ad Superficiem Hemicylindri ualeni vertendam in Sammam etc. spectan-

tem ad Conum iacentem, vel erectum, et in hoc casa postremo ad li-

bitum Geometrarum eligi posse Conum compositam iuxta morem Rober-

vallii et Pascalii, videlicet ad typum eorum fiT/f, fisY' etc, qui minimum

laterum habeant Plano baseos normale. Nec de partibus proportionalibus

disputandum, quum de earom aequalitate , ducto qaolibet radio /f^'»

statim constet ob arcum HO=^ASff et arcua similes HO^ KQ^ IP etc. a

recta BO abscissos. Conversio demum, quam Pascalius ipse subiangit (loi),

Coni iacentts CHICK ( Fig. 24. ) parilateri respectu Coni erecti CRT in

duos Conos erectos , ac simul parilateros , est adeo facilis, ut solo circini

4uctu derivetur* Sit namque perpendicularis GA cuiuslibet longitudinis*,

et centro C, radio CA arcus Circali d^scribatur, donec altera perpendi-

cnlaris 772 prodacta ipsi occurrat in fi . Ernnt duo Coni CAH, CCIT pa-

'rilateri. Latera etenim maxima CA, C12 aequantar inter se ex constrtf*

ctione, minima vero A/f, flTex Elementis, quum CA* — AH^=^CG* —

Gif*=CK*~/?r*=ai*— nr*, et ideo AH = ftr. Quae constructio

facillima cum ea Pascalii concurrit, qui iubet ita produci TR, ut Rii^

— 4-ar«.m=GA*. Palam ct^uim fit essc Xir*— i!r* = CXl* — Cii* =

CA* — CG* = GA* (102).

ai. Ad theoriae complementum , atque ad arctiori fbedere coniungen"

dana analogiam Cylindri et Coni scaleni non ingratum erit EUipsim illam,

quatn Pascalius in solo Cylindro contemplabatur, in Cono qooqae experi-*

ri. Dctur ergo quilibet Couus obliquus ABC (Fig. aj.), et irt me^item

£ revocata

revocatft docrrina, de qna tnentio tn $\ i3**f diiKio caret Sammam pto*
dactorum e Coni lateribus in arculos Baseos BECD parem ease Reccanga-
\o ex lat^re maximQ AB io perimetmm Ellipseos, quae habeat Axem
transi^ersom aequalem BC dismetro Baseos , et Coniugatum» cai sit ipse
BC in ratione maximi lateris AB ad. AC minimMm latus . Omnis itaque ctt«-
ra in eo reponenda est» quod Ellipsia ipsamet, spfcie^ et magnitudine^ in
Cono dato ope Plani secantis oriatur • Discitur vero a Conicorum Elemen*
tis qaod ducta a vertice A recta qaavis AF extra Conum » sed io plaoo
Trianguli per axem BAC ad Basim normali , sit ea Elljpsittm innumerar
rum » qaae generetur a Plano ad Triahgulom ipsum BAC perpendiculari #
ac transeupte per rectam GH parallelam AF, talis spfciei, nt quadratam
unius Axis in plano iacentis BAC ad quadratum alterius rationem habeat
quadrati AF ad rectangulum BF tn FC , sive AF^ : IF* — /C*, posito in
puncto / centro Baseos . Tota fes igitur versatur in emittenda AF ita » ut
AF^ : IF^ ~ /C* : : AB* : AC* . Quod Problcma plant^m est . semperquc ge*
ntinam solucionem recipiens in Cono scalenot atque ab nniversaliore pendet
et celeberrimo in Antiquorum Analysi (103). Problema veterum Geome-
traram hoc erat ,» invenire Locum geometricum , in quo disponantor ia«
fiumera puncta , ot FfFetc.t a quoram quolibet ductis rtcM AF9FI9
^F^ ^ FI etc. ad duo poncta data Af /, sit semper quadratum priorit AF
ad difTerentiam quadratorum posterioris FI et rectae datae C/, vel AP^ :
FI'^ — CP etc. in data ratione constante „ (104). Hunc Lacum gtomtvA*
cam Circumferentiam circuli esse , cuias centram in recta AIM^ Uqui-
^o constat; ac post Apollonium,. et Pappum Petras Fermatias, Franciscoi
Schootenius, ac praecipue Robertos Simsonius eius constructionem dede«
ront (105) . Gemina igitur intersectio illius Greumferentiae ac rectae BC
determinat puncta jP, F^ rectasque AF^ AF ^ quibus parallelae dactae
G//, CiH' Ellipses suppeditant speciei quaesitae , dummodo ratio illa con*
stans eligatur AB*:AC*. Sed viara seqoeos a Fermatio et Simsooio di-
versam , hac methodo nova , tametsi disparis elegahtiae « meam constra*
ctioncm instituo • Sit AO perpendicularis ad £C, sitqae proportio geome«
trica AC^ — h CB^ — AB^ : AC^ —f CB* y.COiCQf datumque erit panctum
Q. Erigatur deinde CN perpendicularis ad BC, et secta OR = COt repe-
riatur BS media geometrica proportionalis inter CB^ BR » Denique sit
BS : CA: CNri^ ac punccum N datum erit; et facto centro in Q, radto

QN.

37

Qlf^ oft cttctni puncta qttatesita F » F detet minabtinttir . Qain imo et
tnus omniam panctorum, tametsi ad inscitatum meum non pertineat» ex
adbibita roethodo enucleatur. Bifariam est enim secta PF^ in Q, unde edu-
cca ad FP' perpendiculari * haec occurret in puncfo T rectae AlM^ quod
centram eric Circumferentiae quaesitae ILF^ZFU ctc. , intervallo TF de-
scribendae. Circumferehtia ista in Lineam rectam/veluci in Problema-
te Galilaeano, nnico casa cohvertitur tum , qoum ratio constans fueric
aequalitatis, nimirum ylfi==i4C, scilicec in Cono recto\ quae hypothesis
reddit Q7^ parallelam AlM^ et idcirc6 centrum T abit in ihfinitum. Quod
ipsum caivis mea constructio saadet, quia panctum R cadit in £, ideo-
que Media h% evanescic ex proprietatibus Circuli (io6), CS evadit infi-
nite^magna', et AF ^ AF aeqaidistantes BC, sive puncta quaesica F, F

• • • ^ •

Sn infinico ftierguntur . Uc Ellipses aucem specie nanc dacae GHfG^H' in
Ellipses etiam magnitudine datas vertantur admodum facile est. Sectis
enim AK et AY aequalibas diametro Baseos fiC, ductisqae KL parallela ad
AB ^ et y® ad -4C, ac LV parallela ad AFt ct QH ad AF ^ ac demam
secto Cono per rectas VLfH® planis normalibas ad ABC^ daae Ellipses
generabuntur, quaraoi Axts transversi pares sint diametro BC^ quae ad Con-
iugatos proporcionem habebit ABiAC (107). Nec modo Ellipses geminae
crnnt idensicaet sed acfeo dispositae» at Axes maiores in occursu X prais-
beant VX=XH^ et €>X=r:XL^ semperque parallelas inter se rectas vel
iunctas vel iungendas VH^QL {loZ). Summa igitar Laterum Coni ABC
in arculos Baseos BDCE aeqaalis est tam Rectangulo Lateris maximi AB

in Perimetrum Eilipseos LV^ quam Rectangulo eiusdem\^fi in Perime-

• • ♦•

tram Ellipseos alcerius QH in Cono ipsomet genitafum» uti proposicuin^
mihi fuerat investigare.

22. Neqae idemdeficit argumentom in tractatione Conorum iacencium,
sed imo praeter spem venusttas adparet » miramque detegit Geometrlae
fidem et vericacem*. Dum ecenim Conus scalenus BAC, ipsa Basi semper
manente » ipsaque sarta tecta proportione AB : AC Lateram maximi et
minimif eo usque inclihetar magis ad mentem §'. 14". » ut tandem desir
nat in iacentem • qaalem ostendit Fig^* 28.» basim eandem habentem cum
praeccdehte BCDEt vercicem A^ latera maximum ac minimum ABtACf
nemo non videt eadero symptomata in hoc reperiri quemadmodum in ere«
Gto . Circuli enim innumeri aequidistances Basi in Cono erecto» et ad ver«»

E 2 ticem

y

33

ticem opposito, repraesentantar i» iacente» et opposito, a Circulis innix-
meris, quoram Peripheriae tangant iiiterius utraque latera MAU ^ NAV\
centraque omnium sunt aeqoe disposica in Axe AI^ dooec oporteat pro-
ducco • Angulus laterum Circumferentias innumeras contingentium est U«*

le, qui Cosinu gaudcat = jt- = 'TBZZIr • ^"*"^*r^^ diametro baseos per

sammam laterum maximi zz minimi divisae, ideoque dafus. Arcus a pun-
ctis contactuum determinati, veluti ex una parte MDN^ OCPtQFRf SIT9
VLU etc, ex altera MEN,OBP,qGR,SFT^VKU etc, snnt, ut in Cono
erecto, similes inter se per Euclidem. Universa latera, uti fiilS etc.t
VANy proportionaliter dividontur, non dissimiliter a Cono erecto, in pun-
ctis occursuum cum innumeris Circumferentiis, quemadmodam Axis a Qr-
cumferentiarum centris, ex Elementis; et idcirco AL : A^ \ \ AN : APl^i
AY : ^6, ac sic de cetcris in itiiinitum (109). Ellipses itaque identieae
VXL^HXB in Fig^ 27., quae aucta semper obliqaitate Coni ^fiCinvicem
accedant, et Cono erecto in iacentetti verso unica Ellipsis evadunt, istam
indicant adeo positam in Cono iacente, uc gaadens eodem Axe transver-
so BCf et eodem coniugato, scilicet, qui ad BC rationem habeat ex hypo;*
thesi parem rationi datae AC : AB^ inscripta sit in angalo OAP ^ et ideo
tangat latera OA, PA positione data • Qui sitas ex Elementis Conicoram
facillime determinatus (iio) Ellipsin quaesitam praebet in Cono iacente
et specie et magnitudine et positione dstam wy9(A, ac sine subsidio Cylin*
dri scaleni suppeditat directe Sammam rectarom innumerarom AC^AP^
A^^AB^AO etc. in arcolos Peripheriae circularis CDfi£ aequalem Re*
ctangulo AB in Perimetrum miyi. Ellipseos dudum descriptae . Modus iste
considerandi afTectiones Coni cuiasque iacentis analogas illis erecti Coni
simplicior equidem est in Cylindro , de quo saltem paaca obiter deliba-
bo. Cylinder itaque rectus gradatim a rectitudine declinans, iisdem tamen
manentibos Circulo baseos TLSTK (Fig^ 29. )i et axe A0, sea latere TA^
saos innumeros aeqoales Circulos servat, quorum centra in axe disposita
sunt etiam qoum in eodem tandem iaceant plano, quo caso eorum Cir-
cumferentiae tangant extrema latera parallela in C , F, A", Z' , 11 etc.
AtT^U ^YtV etc Haec Iatera,atiet alia qaaelibet LS^BK etc, ac ipse
axis eA , proportionaliccr et aequaliter dividuntor: illa in occursu Peri-
pheriarum ABCL.TEVN ,UFXP ,YHZR,VKns etc. , Istc a centris Circu-

lorum

\

^39 -

lorun eorundeaiy qaemadmodam iti Cylindro recto et sc^tena. Ellipsis au-
tem Cyitbdri efecti orca a plano secante lateribas et axi hormali» semper
fic recca Linea geminata 0^T > lateribas item et axi perpendicularis in
Cylindro iacente (iii). Sed quomodocttmqae Superfictes recfa Cylindrica
scalena fiati habec limitem saae raensarae superficiem dupUm Ungulae
Cylindri recti^ co-ius altitudo eadem sit' cQm^"^ I&teffe vel axe Cylindri, szx^
licety habet pro limite aream Rectanguli ATUC geminatam . Minuitar er-
go Soperficies Cylifldri recti diim in ualenam vertatar» et eo magrs, quo
magis excrescat obliquitas Cylindri, sed minai nunquam potest ultra roen->
suram datam daplae Areae Ungularis» qui postremus Superfictel valor
tam obtinetor, quum ea iaceat in Flano. Terminas ipse live ultimas \\r
mes diminatae Soperficiei ad incegram datam Saperficiem Cylindricam re^
itam proportioiie ipsa gaadet Diamecri ad Semicircumferentbm Circuli;, vel
Xladii ad Quadrancem (iif2^)r qaod cst TheGirema non iniocondam; Insu^
per a Cylindro iacente nova iiietht»las dimenstonis Ungulae eruVtur* Du*
cta enim tangente DF» et ad istam normait Atut necnon DI perpendica*
lart ad diametrom UX^ et contancto radio DH» manifestumF adparet Afr
proporttonalem semper e$se srntti-rectb BI propcer similia TrianguU or-
thogonia DMv^HDI^ atqae ita proporcionalem , ut Mm\DI\\XIX*.HX^
ideoque D^|u& idem t%st ac Ungake elemencomt UngulamqM totam»
caios alttcttdo n^^ aequalem ReccanguIo-nrC/Jritantae ac-i«i«peraiae foe«
cunditatb est Cy.Undri iaceutis consideratia, qaae ptifna fronte aterilis*
sima videbatar» ....

'\

I '

SECTIO

40

S E C T I O 11'.

DE FORMVLIS INTEGRALIVM

« /

A PASGAtl THEOREMATE DERIVATIS.

d^. OfiTosiTit iis, quae potiQS ormaientt sunt qum fandamentm Pascalii
4}octFioae, etttS asos in Calctflo IntegtaK explicaodas iiccedftt a nemioey
qifod sciaof, Geometrarum ad hanc ttsqoe dt^m patefaccas« Tom res paocis
a1>s€tvjriir: ^directe ^quidem in lategraiibus detegcndis, qoae ab Ellipseos
perimetro merflttram redpianc; indirecte, scd non miiias clarct diim dif»
ferentialioio fntegtatio dependeac m perimetro Hyperbolae. Cooiaiodam au«
tem perhtben(c eximiaffl aniversae illae Formulae diiFerentiaies , qttaraok
lumma obtineator ope incegrae Ellipseos perimetrt, rel eias paniam de«
termiAatariim * ptaesertim post craditam-a^Leoisardo Eulero rfdt/ficathnem
illias ConieKe CQrvaCi, qaam compdectinir Seriet eldgantissima , ec maxi«
tme .^onvergens, in N&ihs Cowmtntariis Academiae Petropolitanae (113)«
Qaae Series, camecsi non ad sioHlitadinem Tabalarum Trigoooaiecricarum
<et Logarithmiearam , inservientiam proximae rectificationi arcuam qaorom*
libet Circuli et Parabolae ApoIIoaiaDae , traduci possit ad rectificandos ar-
cas Ellipseos, data lioram abscissa vel ordioata , liihilominus osa nbn ca«
jret in Caleulo lotegrali , si suppetlas praesertim petamus a methodo par-
tium proportionatium, sive a regalis, qaas vocaot Interpolationum . Quam
ctenim elementa perimetri Ellipseos datae proportionem sequantar ex do-
ctrina Pascalii rectaram a puncto excentrico dato ductaram ad^i/jrji» Cir-
culi peripheriam, hoc principio non difHciliter cam Euleri Serie coniun-
cto condendae Tabulae Ellipticae inniterentar .

24. Trao^ttts ab Ellipsi ad Hyperbolam familiaris iamdudum est

Analystis O14). Cadem penitus arte, qua a Circulo vel Ellipsi aeqoila*

tera (Fig. 30.) IGHF^ cuius aequatio sit jf*==tf* — *•*, factis 01 -^a

= OF, OL-=x% LN=^y invicem perpendicolaribas , et centro O, gra-

das

4'

dtit fit ^d Hyperbolam pariter aeqailaterifii ad ecMdem Axei AOB^UOV

rebuoit ideoque concentricam Circulo» dum fingatur tantilmmodo perma*

tata sptcies x ih j^v^IT» aode aeqoatio data vertatar ia alteram ^^=s

4* — h x* r respondentem Hyperbolae fl/24>/rF coordinatas babcnti OL =

x^ LR^=^yf non dissimiliter Ellipsis quaelibet scalena CGDF vel EGKF t

a*

aequatione distincta •jr •J^*^^* — ^*f dam OF fueric == ir, OC vel

0£==:*, OZrZ^r JT, iii*f iive iT=jf, flcto duotaxat jr==^\/iri eva*
dit Hyperbola /rtf/<M concentrica ACAIlDr, seu ZESQKi, iisdem Axt*

bos pcaedita, sed ttd io Schemate positis, acaeqnatione gaudeus jr^y*

==4*— l-jc*f quae respicic abscissas OL=^Xf et ordinatas LS sirtLP
£==>. Igitar qnaevis ezpressio analytica composita constantibus #,fr etc.
ac variabilibus oe^dx^ quae referatar ad arcum Ellipseos CM^IN^ETi fa«
cite tradttcitur (consideratione tamen habita ad solas Fanctiones rv x^dx
aequales y^dy) in ^rcttui HyperboUe s^cUe CS^IRtCPf et vicissiia, opt
artificii superius memoracit et intimae analogiae ac societatis inter has
CorvaSf qoam posc karmaniam resolationis Aequationam tertii gradus sub*
odoratam a Francisco ^Vietaf primus omnium in areis Sectorum detexic
Rogerus Cotesios (115). Ita ex. gr« quum a Theoremate Fascaiii iuxta
§""• ig^^. cousequatar per theoriam^UnguIae arcos Circoli iafinitc^parvua

2L /y ^. A./a^dx^ /_ . ^/7^r"r*Vr^ .

Hyperhoiae aequilaterae innnite-parvas d%=^^ dx -H ^* — { x^^iY^

:^^fd7^^^^ Dam itaque elementam Peri-

pheriae circolaris exprimitar ope Formulae ds^=s^dx '^ •r -r— ^ J =5

^*- f — =-==- y evidens est quod exprimi debeat elementum Perimetri hypcr»

dx [ —7 L • } f quae et communem onginem % et cognatiOnem cum

priorCf huius praesertim methodi adiumentOi apertilssime ac procul dubio

patefacic «

42
patefacit (ri^ . Infcritts autcm Pascano dacc ad §•*. 33'»«, gS^- ac 39«.
oncndam melioribas etiam anspiciis conversionem expressionam earam
Curvarum obttneri iacto uno Semiaxittm veUtt s=^ 4^\/^. Univer-

saliter cnim ab Aeqttatione tj >* = tf* — a^* altcra exsargit -v— >*

a^

— a^-^x* , sive j^ yz^sia^-^sc* ^ ad secandttm Axem Hyperbolae , non

^* a*

sectts ac sappo$ito fr=*\/-Ii o"tar-37Tj* = ^*~^* vel TjjF*=;r* — s*

ad primum Axism Hypeil>o1ae eiusdem«

25. Pascalii inventum , quod potissimttm cominent $$*. 2^. 5<*. ac
8^°^ anteccdentis Scctioius, sic algebraice transcribitor. Data, sit circttla-
ris .Circamferentia A£,FG ^ icentro O pracdita (Fig. ^i.)> ^i^que panctttoi
B in diametro FA , vel eius productibne, a quo rectae innumerae BDtBE etc«
ad Peripheriam emittantar. Vocatis radio OJ = 4,fiO=^,OC=:;r, eric

D£ = -TTL^r^^rexJ^.praeccdcBtej-et c« $*• a* BD^szz V^s^-t-c*— 2«Cf ideoque

BD. DE etc. = / , = (^-+49^). SJU =^ (4 — 0).

77 , qtti arctts ^imiUs SM , TP ad Ellipses conicas pertineant » descriptas
ac sectas legibas iam exposiris in l^. Sectione. Est Jgitur — ^ — .

, ■ . — == SM, et ^^/ ■- ; ^ = rP , quae

dttO Forraulae caput sttnt haiusce universae theoriae* Semiaxis transver'
Stts minoris EUipseos LKNl est Atf=2if , et Semiaxis coniugatus AK^=^

i ^-^*^ ) 2^ • Semiaxis atttem transversus inaloris Eilipseos jimilis IfFP est

Af^=^^-~\ ^a% ct vicissim Senriaxis coniagatas i4F=atf . Quum ita-

que Semiaxes homologi v.el cognomines daarttm Ellipsittm similium sint in
ratione c — aic^a^ nemo non videt csse (^— f tf).ViW=:(r — a)TPf ac
propterea daplicefn integrationem Formalae datae difTerentialis, nimiram

^ 9 in unam eandemque resolvi. Quae singularts

/

v^_-»

afTectio dam admirationem excitavit aHqoibus Analystis, ac praecipue Bou-
gainvillio (117)1 ^^^"^ admirari potius liceat quanta facilitace detecta sit

atque

43

attqae illastrata ope Syntheseos geometricae a Pascalii laboribas matuatae .

Nec difHcttltas oritar dum faerit c^a^ vel c<i($. In primo etenim casa

r — dic.ay/fid* — 2ax
fit riy*~~~7=== =2ii.il/K, ideoqae algebraice integrabile «

\/if* — - *

si ve ctiam == o . PF= a • oo , qui valor indefinitiis ut recte determinetar , ad
similituJinfm Ellipsium confugiendam est , ubi MY'.PV:\AKiAF:\oi^a^
videlicet o » PV^^^a.MV, uri soperius. Algebraicum autem Integrale na-

— dx . aV^a* — 2ax
ront omnes, quum agatur de DifFcrentiali —z=: , vcl

^ Va^^ — x^ ^

— — dx • aV**a _ -^.^ ^

, "" ■ , esse 4^1* — aaV^aWa^^x (ii8); et idcirco AtY non mo-

Va^*

do in hac hypothesi , sed universaliter ex Schemate apposito, parem Geri

fitf — Viia{a--^x), scilicet AY = Vzaf.a-^x') = VaF.FG = FD p
quemadmodam constat ab Elementisl In altera vero hypothesi , quae pun-
ctum ff contemplatar incra dati Circuli AEFG circamferentiam , nihit
< aliad oportet ex usitatis legibns Analyseos nisi mutatiorS c — a in a — c.
s,6. Prdderit interea paululum immorari in hac Formula meditanda»
utpote quae complectatar aniversitatem argamentorum ad istam Calculi
Integralis partem spectantium. Ac inprimis observandam est qaod duce

a r—dxWa^^c^ — slcx
Pascalio ipsa formula unius djmensionis ' , / - ^ adeo

'^—dxVa ^--^c\

Va^^x

servet homogeneitatis legem, tantoque nitore perducat ^d sibi parem Ar*
cum ellipticam 5M, ut omnia graphice repraesentata sint in numero ec
mensura, et quid significet Formala, quid sibi velit, quo teodat, cuius
Figarae geometricae filia sit^ qaomodo inter Circuli proprietates elemea*
tares sit nameranda , et quanam ratione novum foedus aperiat ioter Cir*
culam et. Ellipsim subiectum. oculis videatur, atque per gradas a rudi*
meotis Gepmetriae profluat et adolescat percelebrb illa expressio Analy«
tlca • Quod desideratum saepenamero , sed rarissime consequutum AIge«
brae Coilectauea passim demonstrant (ii^). Accedit altera utilitas deda*

KA ^„ c

cta ab aequalitatibus AY=^V siaia-^x)^ et 5K= — ^RV

AM

44

= . . ^ ^a{^a — at) propter Scmicirculttm LFM^ Hi dao valorcs cvi-

c-^a

denter indicant ipsius Formulae Vmites % nimirajn ^ = =fctf, ultra quos

cvadat imagtnaria^ qaam impossibilitatem et denominator eiusdem Forma-

lae, et constructio geometrica a Circulo AEFQ derivata apte confirmant •

Sed haec ipsa Formala primigenia rectificationis EUipscos Conicae, quam

pleriqae Calculi Integralis Scriptorum silentio praetcrierant» mirum in

tnodum consentit cum ca> a qua Leonardus Eulerus nuperrime Seriem

snam derivavicad recti£candam EUipsim» veluti in § • 23^^ iam monui.

Formula etenim Euleriana (120), longius a Diflfcrentiali cc Integrali Cal*

culo deducta» et ope Loct ad Parabolam conctnnata (121), est pro Arcu

cUiptico $ = — I dzil 1 » suppositis a tt b Se-

2V 2 ^ I — z ^^

miaxibus . Revera , quidquid sic de constantibas , candem formam habet

cam mea antecedcnte expressio data ab Eulero; quod co raagis cfTttlgct

cam ad hontogeneicatem servandam fiat z» qai nameras est» = — » ct r

sit ■= AD radio Circuli in Fig\ 8** descripti » in quo CB = a Semiaxi
transverso » CA = ^ Semiaxi coniugato EUipseos datae > uti fusius in §^
10"®. cxpositum . Tunc facta CD=:^Cf Formula vertitur in i =

t r ^z A/ar* -f 2C* — ^cz l r' j^r^^c^ — ^cz • . .

—7= / V 1 = — I dz\ — , m qua ri dz

r*

negativum est ob hypathesin assumptam ab Eulero (122)» et coefHciens

^a r • ' « *

— idco debet csse — » proptereaquod in mea hypothesi Se-

tf -+ 4f c — Vr 2

miaxis transvcrsas EUipseos sic =2>-, dum in hypothesi Euleri =:f-H-r

cx quo fit arcas Ellipsis Eulcrianae /= IZtT . _^ A- dx ^l ""Izl^II^fl

2r c-^rJ a^—x*

cx Ellipsium simiHtudine^ nimirum coefiiciens =— proati dcmonstran-

dum susceperam. Non modo igicur Formula Euleri adamassim congruic
«xprcssioni, quae oritur a Pascalii Theoremate, verum etiam non diflTcrc
ab alia y quam Eulcrus ipse tradlderat viginti quinque annos ance in iVo*

vis

45

vJs ComfHentarUs iisdem Academlae Petropolhanae qnxim agebat de 'Theo-
remate demonstrando loannis BernouIIii (123); adeo ut Pascalius, Bernoal-'
lius, et bis Ealeras dicendi sint eadem diversis temporibus ac diverso iti-
nere facto prodidisse de perimetro Ellipseos ApoIloDianae»

27. Cetcris omnibus manentibtts permatetur duntaxat initittm abscis^

saram x in Formula / • , ita ut sit

x=^z\ quod simplicissiraa constructione in FigS 31"*. obtinetur si erecto
radio OG normali ad diametrum FA^ et iancta BG^ iiat angulas OGQ^
= OBG t e« recta BQ bifariam secetur in H ; namque hoc crit princi-
pium abscissarum z ex £aclide« Facili substitutione facta » conseqaitur SM

= — — /- — ^v z ^ ^^lj q^ j^ forma Analystae m-

pressionem aniversalissimam DifFerentialium ab Ellipseos arcu in Summa^
tione pendentium comprehenc^unt. Veruntamen ut ad istam formam per-
veniant opus est^ ut primum ab Eliipseos Aequatione elementum Arcus
cius Curvae deducant» quo facto substitutionem operosissimam adhibent
a i^arabola mutuatam. Hanc equidem methodum sequutus est Alember-
tus (124)1 omnesque pene post eom Mathematicarum Institutionum Scri-
ptores repetentesp inter quos sub manus praesertim habeo Boagainvilliumy

Riccatamt atque Cousioum (125). Incipiunt ab Aeqaatione — -^' = 4*

x'^ t ct praesidio Calculi DifTerentialis inveniunt V^Ar* -+^^

^' V

tf* — jr*— h— jtf* , atqtte ad Formulae istius transformatio-

fiem ineundam substituunt n* — ^*-+-2. ;v» = ^2j, at tandem adipiscan-

^a

tur expressionem Analyticam consimilem illi , quam directe suppeditac
Theorema Pascalii post permutatum tantummodo in eodem Axe abscissa^
ram initium . Maclaurinus ipse, qai Alemberto praecessit in huius Formu-*
lae consideratione (126), prolixiore Synthcsi speciosa usus est ad illain
^ormulam non modo integrandam, sed et alteram simplicissimam » quae

F 21 ^^

4^

\\\ casa eiusdem siogulari consiscic per inferias dicenda » nimiruoi ■ ;

s/x^-^ I

adeo ot» si recte comparacionem instituere libeat, nullus dubito qoin pri-

ma fronte de iisdem formulis heic agi vix credibile fuerit. Occurric pa-

ricer in methodo Maclaorini substitutio variabiliam per Locum Parabolicum

« = — 9 necnon per Hyperbolicum z = — • sivc jif=— ;quaeomnia

evitantar dqm ea Formula oriatur a Circuli Peripheria (127) . Origi-
nem istam qui calteant statim vident quousqoe Formula

^s/2c r izsf% ,. ...

- / ^ ^ eztendi possit 10 valore varia-

bilis 2 quin impossibilitatem offendat» nempe ab HA ad HF % sive a limlte

\ — = ad alcerum Umitcm. ^ » videlicet»3 tertia geometrica pro*

fu a,c

porcionali post fiOB.BA osqoe ad alceram tertiam post sOff et BF. Vi-

dcnt e&dem in Formola quanam racione algebraicam incegrationem reci**

piat unico casu c'^=af vel puucti B cum A congruentts, quum Theore-

ina Pascalii vercacur tunc in Ungulae semi-rectae superficiem geometri*

ce qoadrabilem soper Hemicylindro Basim habente Semicirculum ilfFZ» ec

idcirco ih A ii D debcat esse / '■ etc. =^, tcn = AF — FD

J AF

=(34») — V atf(a» — 2), qnae uttini& expressio ad nogaem est lotegta-

I V <»^/a« r ilz\/T V T r' d% , .

le rt / ———--—. nve — ,_ / — - > quemaoinodam constat ex

Elementis Calcati iofinite • parvoram , et cum $**. 25". cohaeret. Vtdenc
denique coordioatas EUipseos rectificatrhis LOM a centro A numeratas in

exprimi posse AY=FD = ^AFi, HF—HC) — V a* i^~~^ — « ) •

et 5r= ill^ . ^D=i~i V^F(//C— «^) =

««. EIU-

47

2$. Ellipsis» cui Formula praeclpue rcferatart Setnlaxibus gaadeCf utt.
dictatn in $^. 25^*1 aequalibas 2if , ec — ; — .2«. Accedic ad eiasdeai

Forinalae iQtegrationem Ellipsis altera sintitis^ caias Semiaxes sint . 2^,

c — a

et ^ai sed neutra harumce Carvarum commodum praebec quantum fortasse
optari poteric ad summandam Formalam aniversalem

utpote quac relata ad . — ^* videatar

a

n dzy/e%

primo intuitu generantatis inops, ac plena laboris in constantium insti*
tuenda comparatione • Haic tamen iucommodo medicina paratur ab ipsa
Pascalii doctrina, quae tuxta §• iS*^*". non unam vel duas dantaxat» sed
innumeras ElVtpses . irm/^x vx prompta habec» coavmodioremque operi eli*
gendam Analystis relinquit. Quicumqae igicar comparacionem respuat For-
mularum, quae camen nec universalicatem offendic, nec adeo difficilis est,

C — hH

uc respui mereatur, utpote absoluta aequationibas /== ■ % g

■ suppedftantibus ^==— -+^» a^rr-.ll. IL » nimimm praeben*

2^ 2 a

tibus Semiaxes EUipseos dimtae ^a-^wp — 4^*> ^t . 24 s=s

{- ^ ~4^ ^ v^/* — 4^*, qai cotam concladant Figuram ec

V— ♦•3^-t'V'/* — 4^* ^
^conscructionem» qaaerac (si luagif placeac) Ellipsim» iniirictam qaidemt

sed commodiorem , ubi Semiaxis coniasacus sit =^== = --t^

*^ . 2r 2

dum a puncco B ducatur cangens Circuli BX^ et a concactu X emittatar
XZ ad diametram perpend icularis . Eric icaque in nova Ellipsi Aift » cuius

Semtaxrs minor AJt^£^=^^ Semiaxis ipse ' ad Semiaxem mioo-'

* 2 '^ 2r

rem . %a prioris Ellipicos LKMyxt tZlfL : -i -^ a« : : ifTlfL : a^,

ct

48

ct idcirco propter Ellipsim simiJim Semiaxis maior peraequabit - ^"^"^L
— HF ex §\ 22«^ Qai valor oritur etiam ab Aequatione, quam tribuit
Formulae d^neminator , oimirum r*— ^ — tJ\ -j,— ^^* ^ ^ i f_: \ ^rir q : haec

€tenim more solito ordinatar et resolvitur in w* — f . ^ p -^. riZll. )

=^*, videlic^t »= — - — :±a— L uti snpra, aecnon =

^ . Postremus hic valor Ellipsin alteram similem indicat, quae Sc-

miaxem transvcrsum habea^t — — ^ , ct comugatum -^^^^^— • , in eadem

inter se proportionc T*r if -H-iiu — ^, nempe Ellipsin ^yj in ipso schc-
mate delineatam (ia8)- Quapropter Semiaxcs gcmjnae EUip^cosi cttias .ar*

cus inscrviunt intcgrationi DifFcrentialis — '^^^ , in hac bifor-

'S/ fz — zz — gg

mi cxprcssione — db V iZ — ^^ contincbuntur , ^ communi carum El-

lipsium altero Semiaxc mancnte«

ap. NonnuIU de hac rc fusius coamcntari admodum invcrit . Ellipsis
primigenia aut directd^ cui nomen ctiam rectificatricis-natae^ rclationc
habittad Formulam *f^.^ dzy/^cz ^^^^ .^^^

dcvolutum ccnsuerim » Scmiaxcs conscquitur summa .constructionis facili-

c—ta

• - •

tate perinsignesi transvcnum tiempe fltf=^F, ct coniugatum ^ ?.2i

= i4Ar=:JFV4 — FAT, quafe JFit sit tertia contInua[ gcometrice proportio*
nalis post JBF,^Fper Euclidcm, Ex adversb Ellipsis indirectat quac or-
dine minus nativo dimanat ab invcnto Pascalii, Scmiaxes habet transvcr*

sum HF^ eMiugatum — \ quoruih constructio ticc acque simplex sit , ncc

originem suam aeque in aperto ponat, sed tantummodo inserviat maiori
commodo Analystarum. Veruntamcn, aut directae^ aut indirectae Ellipsi

fiat

49

fiat locus, iiJem deteguntur limltes Fprmulae indicati ab Ellipsibus sive
earum axibus imaginariis » In prima enim ElUpst hoaaccidit dum /*^<C4;%

vel

QC

2C

r— » aut c

a <ic^ — 4*^, quod fieri nequit* nisi

a-^s/ f^ — 4^* imaginarium fuerit> et ideo imaglnarius ettam Seipiaxis
transversus 2^» et Circulus AGFD post limitem praetergressum Radii

f ' '

a = Of sive — =^, in qxkojimite tota cessat applicatio directa doctfi-

• ' . . • '

nae Pascalii. EUipsis quoque indirecta evadit imaginaria eodem casa ri

f^<^g*f nimirum

a

2C

dratica

2C

c^—a' *

: tunc etenim in Aequatione qua*

'"(^■)-«--(^)

f=p fit V, sciI&Qet : — -- Se-

miaxis transvcrsus imaginarlus ob a imaginarium (129)» Haec, omnia mi-
rum in modum consentiunt cum iis a Bougainvillio, altlsque» protatls in
Institutionibus Calculi Summatorii (130). Selecta auteih Ellipsi primigenia
ad constructionem Integralis eiu& FormuIaCr quam aboriginem nuncupare

a ' ' dz\*ic^

Ijccat ». -r: — ^ ♦ ■ ■ ' ■ ." '??'■ • • i ■' . ' ■ - t palam cst cx iam di*

V

• Z

•-(

,a - »

2r

)

c tis fieri ( ^ — f 41 ) 5ilf = ii

^•/vz

dz^

. Hac

• z

•-(^)

c ^ 2r

constructione ad Ellipsiia indirectam traducta p qttU4n sie SM : r j(a : !

4? c

- . 2i^ : -

• •

4

, pracsto erit Aequatio (c^^a^SM

2ii • 2r . 0*/4

idcirco orietur Intcgrale / > ■ . ^ -

dz\f

V

* . a

. Z

2\/

2r

a

c\u

a.&fM

Vhf

it vel ad homogeneitatem servandam, utisemper decet^

Geometra

:° •/:

J^V

az

&Vfz

V/w*

HP

y/^fi..OF

So

\/ All DP'

— !— , a-fi» :=zz Si» arcui simili Ellipsis simiUs m¥7t% cultts Semiaxis trans*

AfJt,

versus adaequee Mediam continue geomctricam proportionalem inter HF

et OF lincas datas.

30. Universaliter » ad investigandum Pascalii methodo Integrale

^ — , vel potius — / — - — , coQstructionis

ordo hic crit, a Girculi proprietatibus, salva homogeneit^tis legc dcsumptus.
Descrtbxtur Coordinatis invicem perpcndicularibus per communem Analysin
Cartesiatiam Circulus, cuius aequatio localis est fz — z — g^=zy^^ supposita

recta BHAF axe abscissarum, et puncto H earum numerationis initio. Sic

f

eius centrum 0, et in diametro producta ex pafte /f assumatur 0B = ~

^V g. Circulus isre secet axem illum in punctis A^H^ quae valores extre-
snos HA , HF variabilis z definient , ultra quos vel ex parte ri H dimi-
nuta , vel ex adversa rZ F aucta variabili z imaginaria £eret Formula
integranda (131) • Seroiaxe transverso ^HF.g , ac coniugato, qui sic ad
transventtin 10 ratione BA ad BF, descrtbarur Quadrans Ellipsis conicae
66'/3. Quibus omnibus paratis, erit pro quolibec valore ri z=^IK{et sic
de aliis valoribus arguendum e^dem semper coustructione servata)

/ n . dzs/7z r^n dzs/7n ^ /• iz\/7%

m.\/fz—z^—g'' ~J « * iLy/fz—z^—g ~ W aV5i=?=^

3» n ,^^^ . /• dzs/t^

/• dz y iz .

• V^ , sive / — ■ j ■ = arcoi f^ . Itaqne

/

dum z=^HC par erit duplo arcus Elljptici tf^ vel aKui

s/fz-^^

ffipt tc demum si zr=iHF^ postremo eius variabilis valori» peraequabit
189^ sive 6/^1, semiperimetrum Ellipseos descriptae. Quod Integrale

dz \/ —

, si 2 fuerit = HC ctc. , typum etiam habet geometri*

/

V/z — z* — g^

cum elegantissimum in Circulo dato ac nuper descripto ad eius constru-
ctionem oculis obiiciendam. Punctum etenim B datum est ex praemissis»

V/* — 4/
et dati qutfque sunt radius OAz=a=z ^ ., necnon valor tS ^=;

B0=

51

f-^ — f^ Igitur /-— ^^£i=- -

V/z — z — g

^T r ' '"'* y/^ei aV t f

mD£

ctc. ab -4 ad £; adeo ut totum Integrale / V * ^ ^^ > » , facta ra-J

riabili z = HF^ evadat • > /"flP » P£ ctc, pe» totam

Circttli Semipcripheriam . Idem contingit dum propositum Integrale fuerit

— . — i=z==r, utpote quod adaequavent / ■* ■' •

"^ nVfz-z^-g' m{f^2g)Vf^iig

BD . DE etc. tantummodo permutato formulae coefEciente . Vel » si potiUf

lineae placeant, crit /■■■ ^^ = ~:!i . fBD.DE etc, ac si-*

mili

^ — ^

iiliter / — . =- — — — 7=r/flD.DjEetc.,utisupenus.

J ^ Vfz 2^ 17* m.AO.y^BOJ

Hoc Intcgralis quaesiti cum Cirpuli passionibus elementaribus arctissimum
foedus, praeterquamquod animum recreet, et lucem perquam maximam
difFundat mutuatam a Pascalii doctrina, admirationi etiam est quomodo
Circulum non viderint Analystae ab ipsa Formula summanda eloquentissi**^
me demonstratum .

31. Duo tanien stimulum excitant ad theorlae complementum. Inte*
grale hac nova ratione repertum quuni ab Ellipsi pendeat ad minorem
Axem relata» et cuius abscissae x non ab eius Centro At sed a puncto O
numerentur» saspicio subest ne diiFerat ab Integrali, quod passim dant
AuaTystae ab Ellipsi dependens ad maiorem Axem relata , abscissis ab
ciusdem Centro computatis (132). Nec minus fortasse ab aliquibus dubi-
tandum erit de constructionis veritate a Pascalii doctrina desumptae nisi
ab ipso Integrali, retorto itinere, eam regeneratam conspiciant. Ut a pri*
. mo exordiar, prae oculis habeo Formulam a Bougainvilllo traditam

Q Jz V«

5^

I qtiae par esc trcul dm EUjpseos ApoIIonianae^

dz\/a%

^mmtmm^m

S V^( q^a—^- a) z, — 2* — qam
cujus maior Semiaxis a^. minor a^^^ et in qoft variabilis z huiasmodi
lege procedit^ ut sic aa-^^iq — i) xx-^az^ computatis abscisJis x a
centfo Ellipseos super Axem maidtem (133)« Ad comparationem rite re*
cteque instituetniam eligo Fprmulam aiialogam §'• 29'.» nimirum

— ■ dummodo in hac formula sit tf= 4^z=Se-

^fz — z--g ^

miaxt maiori» veluti a in prima Formula» ne analogia perturbetar. For-

snularum prior> uti alibi dictura» in $**• praesertim 27°^^» Parabolam El-

lipsi coniungit hoc modo (Fig. 32.). ElUpsis est cikCA (134)» Axe trans-

vecso praedita -4« = 2df, et Centro AT, sappositis KB=^x^ AC=zff,Cc

=zjii etc» atque Axe coniugato =2izv^y » qai CoefRcieDS numericus

f unitate minor fracdonem adaequet -^, cuius numerator foerit Para«^

2tf

meter aut Latus-rectum Ellipseos ad maiorem Axenv. relatae .. Parabola
vero, quae a variabilium substitatione enascitur, ea est» qaam Aequatio

a
concludit jtf* = {a — z)^ videlicet FEDG^ suum verticem prima-

\I — q

rium habens in D remotum a centro K per intervallum DK=:AK=a^

a
Paraffletrum — , abscissas KB ^Kh ctc. = *^^ ordinatas EB^th etc.=

\—q
Ct atque earum extremaa RA^Ga=^^ vel Ellipseos leaiiparametro •
Quum X itaque excrescat diminuta 2;> et vicissim (135)9 atque z inter
duos valores aut valoram limites AF^^-^^qap et KD^=a comprc-
hendatur» quibus traiectis Formula summanda imaginaria fiat». eric

f ^^V^^ ab ilFad BB aequalis /V«= ^rC=ar-

J Q.V{qa^a)z — z''—qaa ^ -^

cuL AC . Consimiliter in aKa Formub ad aoduai P^scalii iotegratida

dzs/Ti

tr-> «W « hypothesi /=(x-H- j)tf ,^ = <fV'^ » P^*^^

2V/S — Z — g

missa

53

missa dioccnt, ac praecipue §"«. 30""*. esse HK=i AF—qa^HI—DK
= af qui sunt iidem extremi valores ri z super HI a puncto J^^ compu-

lati, idcoque KI diametrum Circuli KVIU peraequare (i — q)a^ Radius

^ ^ a _-^ HK — + HI , s. a f ^ ^

«rgo rK={i—q) — , HT— =(i-+jr)_=^^ veluti

ctiam sponte dimanat a natura ipsa Aequationis fz^z^ — g^z=:o aut
2* — fz^g^^=zOf m qua CoefRciens — fy signo tantum inverso, sum*
mae duarum Radicum HK^HI aequalitatem servet necesse est. Accedi;

€ — — — hg ex §*. 30«»*».=:fi-^^ — '•^—¥^/^\a^zthy^oi\ies\xi=zYT\

Hisce omnibus collectis describatur Semicirculus QIP^ ac Semiaxe trans*
verso KP:=::KI=^{i — •g)tf, et coniugato A^*, qui sit ad transversum

llti YK:Yi::{i-¥q)^ — l-^V^7— (I — ?)-^:(i-f?)— -fi7v7-+

(i— y)— Xjr-^-Y^y: i-f V^:;/^Y:A:24, Ellipsis concentrica QtP ,

quae ideo s/miih crit alteri Eliipsi otVA primttm delineatae (»36). Areuf
crgo shmles qaicumque duarum Eilipsium proportionem tenebunt Semi«
axium KPiKA, nimirum (!• — q')a:a^ ct simplicius t — ^/ : l . Abscinda-
tur denique HM=rzEB^z^ et iaxta §"•".2^""'. erigatur normali» ilf5
usque ad occursum Peripheriae circularis in puncto S ^ quod punctum
ope cbordae KS coniunctum cum ceniro K determinabit m productione
eiusdem chordae KSL aliud punctum in Hemiperipheria QIP y a quo du-
cta LN perpendiculari ad Axem PQ deliniet arcum Ellipticum jPi2,cuius
abscissa KN a centro A computata per §"". 2^"™. sit aequalis

V ( ^ — q )a{A — z)y et idcirco rationem habeat ad priorem abscissam Jf5

V-

(a^z)rti I — q:ii scilicet Semiaxium KPiKA. Pancta

igitur JT, iZ»C sunt in c.ldem recta propjter Ellipsium smilhudinemf et
arcus PRfACf necnon eorum elementa rRrcC sim/lia, atque ideo in ra«
tione constante 1—^^:1, uti sup«rius • Sed ex $?*- 29"*- est ay/o^ »

1 — '' '=^(c^a)PR. Ergo substitutis valo-

G a ribus

■\

54

{i^y/q)a.PRf videlicec post debitam redttctio<

iicm, quam cx iam dictls sic e^=r.KA^ crit (i — ?)(i-H-v/^).

r, i ^v'^ . = (i^v7-)Pit. attt demam f ^^^^

^ ^S/ fz—z—g J S.Vfz — z''~g'-

PK

f:

AC ( propter i — j : i : : PiJ : AC)

dz\/7z

-r • Quod itaqae poHicitus som plenissimam

2V ( (ia'-\ra)z — z^ — qaa
demonstrationcm accepit» adeo ut in aperto nunc positum sit eodem col*
limare» eundemqae adamussim concludcre arcum EKipticum duas metho^
dos inter se maxime discrepantcs» scilicet» vulgatam Analystarum t illam-
que a Pascalio deductam, tametsi earum prima abscissas numeret k^K
versus A t secunda a T versus AT, prior a triaagulo charafteristlco Ellipseos
Ccf exordium sumat» altera Circulam tantum ac Rectas adhibeat , una va«
riabilem z \\\ Parabola GDF contempletur , dum alia in solo Axe /// va«
riabilem istam considcret. Ars autem tota consistit in relatione inter HM
et KN=ISf quae relatio ex aiFectionibus Ctrculi primitivis Parabolam
implicitam continet, nimirum eam Aequatione (i — q) a {a — z)=y^
gaudentem (iSw)> ^^ Parametro =i Kl diametro Circuli in Figura de-
scripci •

32. Quod alterum adtinet, regenerationem nempe doctrinae Pasctlii
cx Integrali praecognito, pene omnia parata sunt in §^, antecedente. Est

cnim r — ^^ := , videlicct habetur f ] VT»

J 2Vfz—z^—g^ ^—9 ^ a /

— ^**^* =iPR . vel post congruai ittbstinitioaes » qaaai sic

e = AK, et Q.TK'.AK::i-^n:i , orltur - j^^ZL C ^==- =*

VR . Sed iam vidimus esse e =: ^ 1 ideoqae V^c =

= (l --4- V''^) ^^ = Sammae Scmiaxium ElUpseos datae ex Formula da-
tai quod est equidem periucundum Theorema. Eric itaque Coefliciens

nuper adsertus , nempe - ^ - = — . Fraccerea csc / =

I ■^]2TK = , proptcr ( i ^i^ ^^ — J TK .

Uti cuiribct facile cst expcrlri. Consimiliter habetur g = \/ ^ . AK =
■ ^ . 2rAr, nimtrum =: , cx co quod palam omnibus fiat

1« €J QC

aequaluas notissima i — : —- — ^ =

{l — q)^(,l-¥Vl)*'^TK 2(1—?)

^ (i-f-V'7)' '' 2(1-!?) •— i? 2

dum supra • Integrale igitur propositum ( r — //) f =

PiJ vcrtitur in — / — ^ — - p = Pi? , cc

'•'V£l--:if:.,_,._(il:z£)'

^-* |. c"

facta variabili 2;=: — x hoc ipsura Intesnle cvadit

•

2C ^ — htf

■- = VR^ nimirum evadic Thcorcma Pascalii reh-

V^' — ^*

tum ad Circulum radii TK-, abscissis x a ccntro T computatis, ec ubi

— adx^ a^'-\'c'^ — ocx C

. = I YS ccc ia arculos Circtt*

Va^ — x^ -^

li =^YI . PR. Haec vero reversio ad caput illud Theoriae, unde fuimas
digressi, magni roboris esc ad confirmandam hucasque sequuti itineris vcri-
tatem, dubiumque omne de doctrinae fidelit&te amovendum. Universali*
ter , si proponatur Integrale in Circulo qaaerenduni

\

5«

/-

iz\/

az

dz\/

> vel potius / ■ - '•

az

aVaiq-^nz — z^—ijaa ^ ^y ^^-H-» ^ ^^ ^^

a

supposicis a , b Setniaxibus Ellipseos datae , caius arcnm hoc Incegrale reprac^*
sentat iaxta notos canones Analystarum , istud Integrale in Theorema Pasca-

i zs/ az 4J*

lii sic facile vertitur

itur, Est /-

v:

b^-

z—z^ — V^

f-

.:.{£^)jW{!d^y^{±zLy ("-^'y

. ^

2a

2a

^'f qua

:ia

„1 Ll

in expressioiie Radius J? Circuli ad morem Pascalii est , ec di-

sia

stantia puncti «missionis rectarura ab eius Centroscuf =". , adco

na

uc omnia pateant ex Semiaxibus datis ^ et ^, commodumque tribuat exi-
mium Aequatio praedemonstrata r— f iJ = tf — hb. Ec re quidem vcra po-
stremum Integrale ^ quod valde involutum adparet j reductione facca

dv\/ a^-

2av

idem est cum /-

>, sive post congruam subscicu-

tionem idem cum

/-

izV

az

V.

b^

— ; qua inita gradatione Theo-

z — z' — b*

rema ipsutn Pascalii aeque ducit ad Formulam oecumenicam inveniendam

■

pro arcu Hyperbolae conicae . Sit etenim haec ad primum Axem rclata ,
ac veluti iubet §"*. 24*"*. in Formula illa Thcorematis Pascalii fiat tan-

tammodo b=b^^ . Tunc Formula cvadit

(«*-f**)(tf-f/'V'~i)

/

/

57_

Ab ista oricur post redactionem simpliciorr quum praeter spem sese

, . . ... r dW — a^-^b^^^av

invicem destruant imaginana ^ I .Acdemumpo-

{aa — bb) j. /* dz\Ja%.

sito V — 1 = 2t , procedit / »

tiimirum arcus HyperboTae,. quemadmodum alit inveticrunt. Hic igitur
arcus Hyperbolae originem etiam habec a Pascalii Circulo non secus atque
arcas EUipseos, hoc tamen dtscrimine quod £ radius Circuli sit realis> ncmpe

■ > sed punctum emlssioniS' rectarum nulUbl exsistere possit > quia

. Manet nihilominus perinsignis analogia, et eo magis-

clucescit ob ^— h£=tf—h*\/^ uti superius.-

33. Concordia autem ista itineram prima fronte discordiam investiga-
tiont diverso etiam modo concinnandae inservit alterius Formulae canoni*
cae ab arca Hyperbolae dependentis - Expressia etenim.

dz \ az- • ^t% « «

— in § . 31°*^ contemplata eadem cst ac

2 V {Qa--¥a)z — zz — qaa

dz.\JV%.* — ^~\ — dz \/^az

Q,y/ — (qa-^ a) ?i-^ zz--^ qaa 2V^ — {qa-^a^z-^k-zZ'^ qaa

quae ita primum parari debec per regulas Analyseos ( videatur praesertim

Pars I*i. Institutimum Calculi Integralis Euleri iu Sectione 1*. p*- 108. Co-

rolL a**\ atqae Volumen VI""V Opuscuhrum Alemberti pag'*. 140. 41. 42.

ne de sexcenti» loquar Algebrae scripcoribus ) ad hoCr ut limites ct qua-

litates variabilis z in oppositas convertantur . Practcrca». quum< species (/

stt cxponens rationis quadrati Semiaxis^ coniagati ad quadratum semitrans-

versiy oportet ut pcrinutetur in ncgacivamcx diccis in calcc §^ a^t^ ^d.

hoc

58

hoc, uc Forfflula respiclens Etlipsin ad prlmum Axem relatam pertiaeat ad
Hyperbolen primo paricer Axi suo accommodatam . Quo facto Formula evadit

^^* ~» et ad imaginaris tollenda quom necesse sit

a V ( qa — a )z—^zz — qaa
£eri variabilera z negativam , atque hoc negativum afHciat tantnmmodo
— </« ac V— i» et primum terminum (qa—a)z denominatoris » ipsumque
vertat in {a — qa)Zf ceteris iisdem manentibus , oritur tandem

■ arcum infinite-parvum Hyperbolae conicae

2 y/ zz -+(4? — ytf)2 — qaa

repraesentahs . Hinc est quod, quum a--qa possit esse positivum vel

negativum iuxta diversas Hypcrbolarum spccics, r\ f ^ *^ ■

J ^ zzdcfz — gg

ab arcu semper obtineatur Hyperbolae huiusmodi , ut Semiaxis coniuga-

tus sit g=^^/qaa=^ a^/ q^ ac Semiaxis eius transversus sit zfc —

12

a, !X \ r» /

a-^-qa , a — vqa
qaa~ ^ -^

a . Semiaxes isti quoque dimaoant ab illis Ellipseos iii citato §*. 28^^ de-
scriptis, quum ibi semitransversus repertus fuerit -^ — b^ r^^g^^ atque

htc, ob g^ = ^g* et f=z^f converti dcbeat in h- J^^y IL^ gg

— a 4 ^^

uti sapcrius. Discrimen unicum manet inter Formalas Semiaxittm EUipseos
et Hyperbolae analogae: iiamque in earum postrema signo duplici gaude-

re nequit r\\ vgg quemadmodum in prima ostendi de ytL^gg

iuxta %^^. a8^°°'. , ct discriminis ratio est (vid. etiam $"«*'. 43»"".) quod
in Ellipsi gerainus valor ^; l^ ^ ylL^gg positlvas sit, in Hyperbola

vero r^=fc-^ y~^gg negativum evadat . Hoc ipsum discrimen aca-

tissimus Ealerus a diversa theoria derivavit in CoroUario VP^ pag*«.ai"»^

Voluminis

\

f *

59

Volamipis X"*. Novorum Commfntariorum Imperialis Academiae Petropolitana
Duobas a nativo Pascalii fonte deductis Formtilis oeciunenicis Integraliam
rectificationem Coni-seccionum iflvolventium, totam opus absolucum esc^
quum Analyscae omnes in eas Formatas cardinales resolvant alias inname-
ras expressiones DiiTerentiales» Veruntamen in re nobilissima ociemur ali*

quaotisper. Eadem Formula primitiva

adx \/tf * — h <:* — Q.CX

{ Cr-^a ) PR

\/ a^ — X

vident omnes quomodo extendi possic ad alias quoqae inveniendas. In
§**. a6*^ admonui Integrale istud pendens a Theoremate Pascalii ima^
ginartum fieri dum x limites traiiciat r±4r, et in §''• 29°^ de limitibus
illis agens adnotavi Circulum ab ea formula cont^mplatum» ideoque et
Ellipsin» ad quam dacic, imaginariam fieri dum Radius a imaginarius eva*
dat. Fingatur primum abscissas x vagari extra limites definitos =±4> quod

— adx VT"^

Qt eveniat, r%

Q,CX

v

converti d^bet in

etdxV

QCX

Vx^ — a^

m

Ut X incipiat a valore

9 atqae haec expressio ne imaginaria fiati opus est

, nimirum iu Fig*. 31*. ab OHtJi^''. a;"*..

2r

et deinceps versus B in infinitum excurrat. Quo in casu geometrice ex*
pressa illa Formula transfertur ad Hyperbolam aequilateram Ahilm primo

Axi FAB relatam , atque idcirco /-

adx ^2.cx — c^ — a

f vel si de

•\

more fiac x

(«'-H^')

J^7

z uti in §•. 22^^.9

asj

2c

-., nve -i~ j'

a

*

dzs/l^

X

m

VT

g

(Trinomio factores reales habente ) ad normam §'. 28^'. aequiva^let Sum-
mae productorum ex rectis lineis, quae possint difTerentiam quadratorum
in^ — Bn^ 9 tr^ — Br^^ms^ — B/*, etc. in Sectorcs centricos negativos in-
iinite parvos Hyperbolicos Oii etc. divisos per dimidium Semiaxis trans-

H vcrsi

\

6o

versi — = — atque icerum per c-^a\tt idetn dicendam de tribas aliif
Hyperbolae ramis . Hi Sectores ita divisi nihil aliad sunt ex Elementis
praeterquamquod — dl {x-^yx^ — tf*)i atque adeo respondcnt

arcubus Circuli minimis DE etc. divisis pariter per r-H-^ , at isti sint

a I

eorum inverse imaginam , scilicet .— r-=rrf/(Ar— »-\/j^* — a^) ,

aut . — 7-=- *dl {x^/ — I -+\/tf* — ^^.v*)velati ex diffbrentiatione

^ — f tf V — I

— I f adx \
liquec > vel tandem . f — -^^^;;::;^:^:::^ J • Nova igitur expressio

dz\/

— ^ ^ nil novi contioet i quum et eidem ad unguero refera-

tur arcui Ellipseos PR Pigf^. 32^^^ ex eo qaod ortum ducat a primuivt

.... \/^ / — adx^a^—k-c^ — QSic ' , ,
multiplicau per — — ^ , aut v^— x . — ==- » ^ive ab ae-

V-J V— I . \/^*

A^*

r /— ^/ s/^c — xy^{a^—x^) . . . ^

quali \/— I . — tfolv — , quae pnmitivae ipsius va-

V — 1 . V a^ — x*

lorem non mutat» sed elimioatis tantum imaginariis Sammam quadcato-

rum rectarum ad Circulum in hanc Summam vertit imaginariam ^ stxi Dvi'

ferentiam reakm quadratorum ad Hyperbolam (ji^* — a^) — {c — xY^

. 4idx
Clrculique arcum minimum — ::=- converiit in eias inverse imagina'

rium ■ ' sivc in negativum Sectorem Hyperbolae etc.

V—iWa^ — x^

d^

. d^

r— . Quod et Formula ipsa dempnstrat a primitiv^ derivata

^.Vx^ — a^

dzsf^

/' — ^ % iitpote quae facto « = — // evadat

f

6i

^ns/^u r iusj^u^f-^i

r dn sj^u r

— — ■ arcum Ellipcicum repraesentans . Icaque tam
Vfu — u^—g'

— ■ f quam / — unum et idcm signincantf

Vfz — Z^—g^ J yJfz-^Z-^i-

et eosdem variabilis z positivos valores supponunt ad imagtnaria evican-

da; adeo ut, quamvis rb C — ex communi Analystarum do-

J Vfz-\'Z^-^g''

ctrina dependere videretur ab arcubus simul Ellipseos et Hyperbolae, in«
Tierso tantum signo numeratoris rb f ^ ab arcu uniasEI-

S/fz-¥Z -^g

lip$eos resolvatur : quod paradoxon in consideratione signi — inhaerentil
expressioni difTeretvtiali , sive uti alias occurrlt extra A, haud satis ani-
nadvercisse Geometras memini • E^dem ratione alterum Intes:rale

f — ^ — arcam ipsum Hyperbolae. unicam significat pronct

J Vg^ztfz — zz

f ^ ' * etsi primum illud solo numeratoris signo difTerat a

J V zzz±fz—gg

— ^ per arcum Hyperbolae simnl cum Linea recta reso-

Vg^z±fz — zz

luto quemadmodum passim docent Algcbrae Auctores. (Videatur signan-
ter Bougainvillius num°. CCIX. Voluminis T.). Ad signorum vim ulcerius

inspiciendam proponatur C '^^ '— , quod Integrat« idem est ac

r * ~ ■ • nimirum aequale ( facto / = arcui Hyperbolico )

J Vzz-dtfz — gg

y ( ^s V^ ) . Accedant insuper alia haec /" — -^ =

^ J Vgg^fz—zz

/ -TT^T ' = [{-—■) —fi — di Vrr ) , necnon

^ V^i . Vz^ztfz—g^ J V-i ' J

Ha /

62

dTs/i f dz\/^ ff d/

r , ''"' = f , " "" — = /-(^) =

*^ Vzz—fz-^gg J V— I . y/fz — zz—gg ^ ^ V-*

/ ( — ds %/'^) dum. 5"" rcpraesentet arcum EllipseoSyiiuorumonimum usa$

iofra patebit. Radio praeterea assumpto ay/'^ cessat Theorema Pascalii»
sed nihtlominus quod hac in hypothesia Formula primitiva oritur Iiuegrnle

— a sf^ .dxV — a' —^c' — vlcx r-

V^— I .dxV — a' — bc' — Qcx f — a^^i. dx^ c^ — a* — 2,cx

V—a^—x^ •' V-iVa-^x

/ — adx \r c — a — 2.cx
== — - — non fit impossibile , quinimo quum ab Ar-
Va^^x^

ca imagtnariae Curvae , in quem vercicur ille Ellipseos realis PR t ducto

in Coefficientem mixtum realem-imaginarium e-^ay/^ integrationem re«

cipiat , nii obstac qaominus reale sit , uti passim jn Algebra exerapU

habentur» et per doctrinam §'• sequentis includac Arcum realem realis

Ellipseos, ec Arcum realem HyperboUc conicae (138). Quod ne coniectu-

ra taDtom, sed veritate firmetur aliunde noca, subscitutioni solitae, proa*

ti in §**. 27"**-, locas fiac t» . — x=^z ad hoc uc Formula

— adxVc* — a* — 2cx

~ convercatar in alceram , homologam illi a do-

Va^ -^x*
ctrina Pascalii derivatae, videlicet in Formulam

»V^ f — ■ ■ ■ — - (139). Ha«c Formnla, quam

c — a

possit csse vel positivum vel negativum .propter c vel maios vct
minus a% neglecto Coefficience «V^> formam acqoiric nniversalem

/ — * ^"^ (Trinomio tamen TsLCtores imaginarios habente), quod

Vzz — Srhb-z^f^

Integrale illud esc luxta communes Analyseos Scriptores a rectificatione
simul Eilipseos ct Hyperbolae pendens (140). Revera si ad lioc illustran-

J a/ —

-/i, iam monoi ri f idcm esse cum

J Vzz — fz — h gg

arcu

dom cliiiatiir

63

arcu Elfipseos primo Axi relatae diviso per \/^i qui arcus ita divisus
generac expressionem integrabilem ope arcus Elliptici simul et Hyperboli-
ci, quemadmodum fusius' declarabo in §**. 43*^ Frucras ergo ipsius do-
ctrinae JPascalii est etiam inventio Integralls Imiusce formae, cuius origi-
nem si graphice contemplari mens fuerit» nan e longinquo petenda, sed
a proprietatibus elementaribus derivanda Hyperbolae aequilaterae , quae
vicem geric Circuli imaginarii. Videndam crgo ia Hyperbola aequilatera

Fig". SS^^^.^^quid indicet expressio f- . -A ( Vc* — a^ — SLCx)t. ab-

scissis X a centro J super Axem^secundum AB numeratlsy et Semiaxe
01= a. In Axe secando fiac IC = c, a quo puncto» eodem semper ma-
nente, egrediantar rect^e innumerae (70 , C£ , CF etc. ad perimetram us-
que quatuor .ramorum descriptae Hyperbolae, uti ad Circuli circumfereo-
tiam in doctrina Pascalii . Qaod in doctrina Pascalii erat pro Circulo
GONP recta quaelibet CL potentia aequalis summae Quadratorum CK^KL^

^cilicet {c — jir)*-H-(tf* — x')i unde briebatur CL =\/<?*-+tf* — o^cxt
convertitar pro Hyperbola in rectam , quae possit difFerentiam Quadrato-
ram CK^KM^ nimiron {c — xY — {a^^x^)^ quum Hyperbolae aequi*
laterae proprietas sic KM=KOf GE = GOt HF=zHO etc, undc oritar»

evolutis Quadratis, recta aequalis V c"" — a^ — 2cx . Qaod aatera in Cir-

"^adx
culo crat -■ nempe clementum Arcus Circuli £5, sive Sectoris

Va^—x^

dapli LIS per Radium /0, scu a divisi, cst iu Hyperbola — ,

ya —♦-X

nimirum elementum dupli Sectoris pariter centrici MIQ pcr ipsam rectam
70, aut a Semiaxem transv.crsum divisi (141). Theorema igitur in Hy-
perbola omnino Malogum Theoremati ad Circulum pertinenti obtinetur si
Summae Quadratorum Biffffrentia locum sumat, et vjce Sectoris Circuli
Sector Hyperbolae subeat. Dum itaque exponeretur doctrina Fascalii, as-
sumpto primum in Axe AB ad iilterum OP perpendiculari puncto C aut
C' ubilibet sito extra centrum 7, et ab eo numeratis abscissis, ac positis
ordinatis orthogonalibus „ Samma prodactorum, quae fiant a rectis inna-
n m^ris y qoae poaint summam Quadratorum Coordinatarum ortfaogonalium

„ a pun-

/

y

64 '

„ a puncto quovis C vel C nameratarum in Circulo Jato et a rectis in*
u finite-parvis» quae oriantur a divisione Sectorum centralium minfmo-
9y rum per Circuli Semiaxeos semissem, aequalis est ani Rectangulo rectae
n dafae (c—^^a) in arcam datum Ellipseos „• in casu analogo sic exponi de«
beret „ Summa productorum» quae fiant a rectis innumefis » quae possint
I» dlfferentiam Quadratorum Coordinataram orthogonalium a puncto quovis
M C vel C numeratarum in Hyperbola aequilatera^J/^ et a rectis infinice-
I, parvis» quae oriantur a divisione Sectoram centralium minimorum per
9, Ilyperbolae Semiaxis semissem, aequalis est uni Rettangulo imaginartae
t» rectae datae {c-^ay/^Zi) in arcum datum Curvae datae ^ sed imagina-
»1 riae^^f quae Ellipsis spurta huiusmodi est, ut eius ^cmiaxis coniugatus

• ^*— l-tf* -o ©•« • • • (^— i-^V^)* ,

sit — ex $". a8*^ , semitransversus autem sit , vel

) — f tf \/^ . Et sane , substitutionibas ri-

te factis in Formula Ellipseos conicae §\ 24".» consequitur arcus A —
BV--r» quJ ^^^ c-^ay/^ producit reale Rectangulum, veluti qui-
libet poterit experiri . Qua analogia, inter uberrimos fructus Pascalii Theo-
rematis enumeranda , uihil aptius , neque praestantiut ad medkandum
quomodo sit in veritate ad^erenda semper sibi constans Anaiysis (142).

dz \/ — '

34. Ceteroquin Fbrmula ipsamet - Geometram spon-

te revocat ad Hyperbolam aequilateram, utpote quae, ad instar Circuli
in S^. 30°*°. , denominatore suo significet Aequationem localem 2* =tfz — I-
^'=.y* ad Hyperbolam aequilateram pertinentem , cuius Semiaxis sit

~-^ • — , abscissis z supcr secundum axem computatis , ac centro ita

posito, ut distet a principio abscissarum z per intervallam aequale =t

/

— . Valores isti cum Coefficientibus comparati Formulae primigeniae

— ~ determinantur hoc modo. Seroiaxis

_1 ^ — =^^9 quod denotat in bypothesi assumpta nunquam imagh

narium

65
f

narittm ueri posse . Rcvera secetur Axis AB in H ita ^ ut sit JH =-'^

e*-^a*

i quo facto, initiutn abscissarum z cadet in puncto H, ec

palam cst ob figuraro Hyperbolicae Curvae ROFyPT ahsci$$2LS ct ordi-
natas omncs a centro /(uti .v»jf)» vel a puncto H(uti Zf>)» etiam in

infinitum excurrentes, semper esse reales . Quid sit autem c formula ipsa

f
patefacit, nimirum aeqaalis b:±—, unde facillimd enascitur determina*

tio puncti C(aut C) emissionis rectarum sine numero COt CM^ CEyCF
etc. ad perimetrum Hyperbolae > a quibus" in aperto ponitur et subiicitur
oculis analogia atque cognatio intima superioris doctrinae Pascalii' Omnia
ditigentius rimari» quae nec difficilia siint» n^c iis dissimilia in $§'\ 27"^«
28'^ 29"^ 30™^ 31"^ 32^^ dum de Circulo agebam explicatis, superva-

caneum censeo , neque immorabor in easu considcrando • tma*

gharii siMt ^equalis n^/HTi quum et facta hypothesis pcrmutetur, et uni^
ca subeat variario ab aequatione Hyperbolae aequilaterae a?* — h «*=>*»
relatae ad secundum axem AB^ ad aequationem Hyperbolae eiusdcm ae«
quilaterae x^ — a*=y^ ad primum axera relatae , prouti est in ShematQ
delineatum . Unam duntaxat silentio praeterire nefas esset qqod , quum

Jz \/*~
rb ' — praesidio artis analyticae passim adhibitae (143) sepa-

Vz*=ffz-^b^

dv\J v
retur generatim in Diffcrentialia huiusce formae — , — — > ct al-

terius — —^JL P , ideo doctrina Fascalii nos perduxeric ad demon-

strandum C i . i . — * penderc simul (exceptis casibus sapradictis in

$**• 33*^0 * rectificationc Ellipseos et Hyperbolae praeter quantitates al-
gebraicas aut rectas Lineas, quas Summa illa complectatur . Namque
dy^fj

/■

-^ est eius formae» quae ex praemissyis ab arcu tantutn

Vey —y* ~g*

EUiptico integrationem xccipiat. £t a modo argocndi in §^. 33^^ adhibi*

to

allud f'
J 1

66

«

to ceterae partcs divcrsa forma gaudentes f ab atcu

J Vv*:=tttV — JW*

tantum Hyperbolico pendent. Haec deductio^ dum consentit mirifice cam
vulgatis canonibus Calculi Summatoriif foecundicatem etiam adauget Theo*
rematis Pascalii i quippe qaod non solum ab eo dirccte flnat Integrale

/ ^ - — ' ope arcus EUipseos, sed praeterea flaant indirectt tam

Integrale- / — ■ per arcum Hyperbolae (144), qujira

* ope arctts EUipseos et Hyperbolae simul , prae-

ter casus superius exceptos* SimpUcissimus aatem valor Formulae geae*
ralis ab Hyperbola dependentis est f - ^ — , de quo in $*. fij"**. scr-

mo fttit . Oritur quippe statim ac in Integrali f . pooa*

•^ V-^ifz-^z* — g^

tar/=o. Quum vero in Formula universali Semiaxis coniugatus Hy-

perbolae , uti in Ellipsi ad §"™. £^8^*^*". , sit g^ ac Semiaxis transversus a

resolutione dertvari debeat aeqaationis :±yi— fz* — ^*=0| nempe ia

hypothesi facta «* — ^*=o, hic ctiam erit =^. Inde est quod For-

mula singularis /"■ , — summetur ope arcus Hyperbolae aequilaterae

quemadmodum habet Maclaurinus. Idem aliter, sed (ictltie, derivaretur
a Formula Semiaxium Hypcrbohm respicientium , nimirum ab

/

dz\/ 1,

r» quae Formula mediate profluit iaxta §"". 33*'*". a

y/zz^fz—g''
Pascalii Theoremate. Si etenim^fuerit /=o, et Formula evadat

r ^ -^ , dao Semiazes l*. c*. Qoiversaliter expressi / ac rb

V z^ -/

£

v^

-^gg sant ambo aequales /, ideoque pares inter sc. ac pertinente*
4
aequilatera< Hyperbolae • Similiter ope facillimae substitationis» qua ust

sunt

6r

sunt Commentatores Newtoni e Minimorum familia in Nam®. CCLXVir.

Fartis I**. Elementorum Calculi Integralis^ z=^ — exsurgit aliud Integrale

— jf*^// /* — u*Ju — i^*du r dtt^fu
— ^ = / ■■ ■ V I ." > cuius pnor

uyfu ^^/ g^ — «* "^ uy/^u W g^ — 1^^ -^ V^*~/^*
pars quum integrationis algebraicae capax sit , altera necessario ab ar-
cu Hyperbolae aequilarerae dcpendebit. Inrerim patet ex omnibus hac*
tenus demonstratis vcram Formulam primitivaai huius esse minus no-

tae spcciei / • — ■ ncglectis coefficicntibus , dummodo C =

A , quae tantopere difiert a Formula ■ — ope rectificatio*

iiis Circuli aut Ellipseos aequilaterae iamdudum resoluta , ut vix credibi*
le sit priorem pendere a rectificatione Cooicae EUipseos. Eadcm expressio

rfz ( ^ — J5z )

formam facile acquirit ^» C — ■ . . ..J

4 4

cuius aliquandb meminisse iuvabit. Constat praeterea

■■■ dtrectam Formulam essc, quae reiectis Cogfficicnti*

2"

la

bus ab Ellipseos rectificatione dependet, cuios Curvae sint a^h Semiaxes,
cam derivando (secus ac in $*". 32^^) iuxta communera methodum Analysia-

/dz V — ' /»* — p h^ I- 3 J2
^ ^ — directa expressio est arcum Hyper?

V»--('-:±£.)"

bolae significans, In quarum comparatione denuo adnotandum a primum
esse, ac b secundum Semiaxium, priorcmquc Formulam in alteram verii fa-
cto b = b^/^, veluti in §**. .24^^ aliter demonstravi, ac multiplicato de-
nominatore prioris per \/ZT atque eius numeratore per — v^Hi, qaemadmo-
duni initio §'. 33'*. ad Formulam derivatam adipiscendam consimile artifi-
cium exhibui , ct postmodum--^ in z converso. Universalius, autem, pro-
ptcr a< aut >*, primigenia Formula Hyperbolici arcus sic cxprimeiur

/

68

I ■ , aot simphcms / — ■ . vel potias

~ — ad servandam cura Circulo analogtam, sive tandem

/:

Vz'-—c

dz(BzrtA)

. Eodem ritu Formttla arcus Elliptict

V{Bz^A)(z-+Vc ){z — VC )

/

dzVBz—\-A .... ....

• expucari sic poterit ttniversaliter

Vc—z^

^ ( flz — <- ; ^ quemadmodum liqaet. Et si fiat

V{Bz-¥A){z-^Vc ){Vc—z)

/

\/C —1-2 = ^, crit Arcus Ellipticus =y ^^- — ^^ —

J - , necnon Arcas Hyperbolae peraequabit

/dv\/r±A — B's/C'-^Bv r'dv\/vT±m . . .^
— =y ; quae expressionei in infi-

v/i". V V — 2 Vc" V^* Vv — a

nhas numero formas facillime verterentur.

35. Ipsamet Pascalii doctrina extenditur qnoque ad Snmmam statuen-
dam productorum e laterlbus innumeris Coni cuiusvis scaUhi in arculos
peripheriae Circularis ad Basim suam pertinentis , prouti in §^» 13*^« fu-
sius disserui . Haec etiam Summa subsidio arcus Ellipseos conicae reperi-

dx.ay/ h^-^a^-^^c^ — ^cx

tur. Algebraice scripta Formulam praebet / -

Va^ — x^

iisdem omnibus positis, quae in $^. 125^^1 et solummodo addita specte
h pro indicanda altitudine Coni • Quum autem in prima Sectione , ac si-
gnanter in §$'«. 13^^ et ip''*. et ao^^^^nil novi suppeditaveric Geometria,
videndum nunc an Synthesis atque Analysis inter se coniurent amice.

Repetita e&dem simplicissima sabscitutione rS z= — ^t

fic

convertitur illa expressio ia

€9

quac eiusdem formae est /* ^^ cum ea superius animadver-

y/z — 2z — gg

sa ad Ellipsees arcum ducente. Formula igicur in compositione sua nec
hilum discrepan» ab anteactis non dubito quici omnium sufiragiis existi-
metur uti novitatis expers ac penituS' infoecunda . Semiaxes Ellipseos sum^
matoriae hoc in casu , qui universalior est praecedentibus» ipsosque singu-
lariter complectitur facta hypothesi A = o, inveniuntur quemadmodum
ad calcem §'. 2g^'. Coniugatus nempc eric

V( i:* — a-y -+ AM A' -H 2^* -+ acM

■ ■ : Transversas autem, qui a re-

2,€

solutione denommatoirLs Formulae oritur veluti foret Aequatio adfecta f

lecundi grados , erit • Nec solammodo ii confirinantur (145) j

€bservando quod in hypothesi rS A = o Semiaxes evadant, uti in 1*. c*.,

quales necessario essc debent, et , verum etiam con-

4.

£rmant legem latam in §"". 13 ^ a geometrica Synthesi, videlicet propor-
tionis Axium eorundem aeqaalis illi» qua gaudent inter se minimum ae

tnaximum lateramConi • Et rc quidem vera Latera ista sunt VC c — j )* — + A*

ct V (^— 4- j)*— f A* . Est autem proportio geometrica Quadratorum ho-
rumcc Laterum (r — j)*— hA* :(tf-H-tf )»— f A* =

((^^^)»«+A")((i:-+/i)*-f A*) (cr-hJ)*-+A*)* .

^ : 1 , m qua proportione

postrcmus terminus evidentissime idem est ac Quadratum r» , — ^

iam supra reperti Semiaxls transversi, et terminus tertius aliter disposi-

A V (r* — ^*)*-+A'(A*-fCr-f--i)'-H-(r — ^)*)

tus eodem redit ac ^^ ^ ~ ==

4*-

— — — , nimirum Quadratom Seraiaxis con-

I 2 iugati

1
4

\

70

lugati superlus inveiui . Consensus vere mirabilis 9 quo-nec facilior» ncc
maior in votis haberi unquam possit (146).

36. Quamvis obliqui Coni animadyersio nuUatenus locupletiorera red-
dat Analysin, uti nuper ostendi» mulcam tamen continet divitiaram im-
mediata consideratio Snperficiei Cylindri scaleni iuxta priorem Formalam
§'. i"^* , et ad mentem Pascalii • Vocatis cnim radio Baseos a-^NG
(Fig*. 6^*.), abscissis a centro N=Zy altitudine Cylindri BO=^mt ct

constante ^0 = «, Formula illa GJ \ HG^ — ^ * GR* algebraice

4/ » ^» '. » »

translata ita expnmitur dz — ■ . Ista cxpressio, quum cle-

mentum praebeat Superficici Cylindri scaleni ^ adaeqaabit ex dictis io $\

rdzV m a --^n
eodem Rectangalum BA . d l^\ et idcirco crit / _

Vfw* --+»*. AFI arcum Ellipseos , caJiJS Semiaxis transversui =1/, tx
coniugatus == -..-—. , a^ abscissis super Axem minorem a centro

fHZ

nameratis et aequalibus — , ut ex ipso Scliemate constat .

Absque praesidio igrtur vulgatae methodi DifTerentialium , ac nequidea
salutato Triangulo Ellipseos characteristico ^ Superficies Cjlindrica scalena
Formulam rectificationis illius Curvae conicae patefacit suflTultam solunv
iBodo limitibus Circuli, nimirum Elementis Euclidis (147). Rite cnim per^

pensa expressione dAU = — ct in Calculum intro-

dactis valoribas supra expositis tam Abscissaei qaam Semiaxium, ea ad-
quiret formam, sarta tecta aequalitate ,

MM^ate^^MM

Vm^ a^ , m' — \-n' n m' z

' , 10 qoa Fnnctione

V-* ' -*

iw*— i"» iw —f»

difTeren^

7»

differentiali observandum cst rb • aequalc cx hypothesi Quadra-

to Semiaxis maioris per Quadratum minoris diviso, sciliccc ex Conicis Pa*

rametro ipsius Axis minoris perAxem minorem divisae . Subrogetur nunc>

, . mz , fna p

uti uecesse est ob praemissa, x-^^ — — , a = — ■ , — ;==

V m -^ n y m — rn

^— , ct statim Formula cmerget , — rr^. P^

Arcu infinitcsimo Ellipscos » quemadmodum passim Analystac decer*
nunt (148) • Yeruntamen prior illa Formula a Superficie Cylindri orta
admbdum universalior» ct ad Calculum Integralem promovendum aptior
cxistimanda « utpote quae» unica substitutione simplicissima adhibita z=::

qx t ad Lineam rectam, formam adsumat / . =2

^ "^a^ — q^x'

JxV'

» ^a ■ „a a

4/ » . » . . ctf - 1 ^ rdx^f m' a* ^n q* x^
y m ^n m Arcura Ellipscos, vel — / - 1

-' — , in quo

Vh — kx^

ftg^h^k positivae magnitudines sint» pendet ab Ellipseos rectificationCt
atqae ita pendet, ut non modo in eius generalitate iudicari debeat refejr*
ri ad perimetrum EllipseOSi sed etiam definiri ad quam Ellipsin referatur
specie ct magnitudine datam • Quatuor etenim quantitates datae f^g^h^k
quocumque in casu singulari determinant m^nya^q dum comparatio in-

stitaatur cum formula praeccdente, nimirum «= V— , »=V^,

h k

a = VT i q^^^Vk * ^x quibus nascuntur Semiaxis Ellipseos quaesitae

ma I f^k^ Uh

— , , - =r Y TT^ — > Farameter dimidia huius Semiaxeos ^=3

Vm^—^n* hk

» , *

1 — j^^^^y — YlT^t Vli> ^^ Abscissae super illum Axem a cen-

tro

73

- — -

Vh—kx^

r=: \L i— in Arcum Ellipseos iuxta praeccdentis methodi canoncs

in nomero ac tnensura determinatum » Haec antem facillima derivatio ap-
pendix est doctrinae Pascalii^ qua rite intellecta obtinetur quoque» uti
osteosum t notissima Functia complectens directam rectificationem EN'
lipsium cum ceteris Functionibus indirectis eodetn ducentibus , ct in
quibus cnucleandis Gepmetrae celeberrimi adlaborarant nuperrime (149} •
37. Omnes norunt ex principiis Conicorum Aequationem Ellipseos
ad maiorcm Axem rclatae eodem penicus modo composicam esse atque il-
la ad Axem minorem, de qoa mentio facta in §^. aiTtecedente , ct ne-
quiviem in nullu aniversalis expressionis Coefficientium signo difTerre •

Quod qu«m ita stt, Aequatio =^x elemca*

S/a"^—x^

to arcus Elliptici eadcm manet dam abscissis x a centro similiter nume*
ratis rb a' vice Semiaxis coniugati autminoris, veluti supra, vcrtatac

in a" Semiaxem transversum . Unicum in usu Formulae , eiusque applica-*
tione adparet discrtmen , ^nimirum quod in prima Functione — ^ > i , et

idcirco CoefEciens sccandi termini Numeratoris — ; — i in concreto posi*

• 1 P' ^ P'

tivus sit, quum in altera e contra -^~r,<\% et capropter — 77 — 1 nc-
gativus. Analogae igitar Formolae in secunda hypothesi

f necnon " ■- peculiarem formam adi-

Vw* -H-»* . V^*— «" 's/h—kx^

dy\/ f — ^x*
piscuntur qaando Ellipsis ad maiorem Axem relata fucrit — ■

V h — kx'

dz\/m^ a^ — n^z ^ .,.-.• ,1

et ■ , quae postrema Functio du^cit originem ab altera

univoca

7

^y

maz fn — n ^ m 'm — n - t» • •

univoca — ■ > • — ^^ , Inicgralia igi-

-/ » » y « « s »

Vw — «» jkf m a m z

I» — n m — n

tur horamce Difrerentialiaoi aeque inveniantur ope arcus Ellipseos muUi*

plicati per V- - , ,> — ob signum matatum r5 gt aliis omnibus manenti-

hk

bus, et eSdem, aci superius» constructione paratay semperqae deducta a

Pascalii Theoremate .

38. Diversimode procedit res in Hyperbola • Haec etenim Curva ad

secandttm Axem aeqaatione gaudet — .^•=tf'*— 4-4r*, sed ad primum^

signo permatato, — ;- . j^* = — 4"* — f jr* . Ut exordiar a priorit in aperto

P

est per ea , quae innuimus in fine §*. 23". et in 33'*. i tnasci ab aequatione
ad Ellipsin ficto huius Semiaxe a' ^==\si-^/'^ * Sed arcus infinite-parvus

EIHpseof ad secnndura Axem relatae est ex § . ad". r=r— — —

= ■ » supposito h Semiaxe coniagato. Igitur ar-

V ^'^ _ ;,•

cus infinite-parvus Hyperbolae, dum referatur ad Axem secoudum» esc

^;, V- «'• - (^-4- , ) ^' i^yja'^ _+ ( -L -<- 1 ) >v'
ds = == = -' " > abscissis

X a centro pariter computatis. Formula isihacc, tametsi a Triangulo dif-

ferentiali Hvperbolico haudquaquam dcrivetur, adeo consentit cum ea

ab Analystis prolata (150), ut miraculo fere proxima videatur . Lacem

ctiam perqaam maximam ab hac Formula mutuantur DiflTerentialia , dc.

quibus sermo in §§". antecedentibus. Namque eadem Diffcrentialia hoc

in castt ita composita sunc

mdz

ix*

74

9 vcl potias

m a gfn rfc » \ m z

— — i -+ \r—i »■ -; — ;

m :±n ^ m ' m =t»

A/ fw* i± n*

m dtn mztn

Jz\/m\'^{2m^:=tn*)z* , . dxS/ f-^gx^ ... . .

— r — , ac deDique — zzi=— • Eadem igitur ra-

tione , qiia / == — pendet ab arcu conicae Eiiipseo« ad secun-

J y/h-kx* ^

— ' obtinetur ab arcu Hyperbolac coni-

y/h -^kx^

cae ad secandum Axim dispositae» iis tamen servatis limitationibus t de

quibas infra dicendum . *

39. Ut compleantur fructas colligendi a doctrina ipsa Pascalii, de

Hyperbola eciam loquendum remanet super eius primum Azem disposita*

Aequatio Ellipseos est — .y^=ia'^ — *•*, sive -rr •>*=«'* — J^*f quac

^cile convertitur ad morem §^.24". iA aequationem ad Hyperbolam dunii
ceteris omnibus manentibus, £at Semiaxis coniugatus ^ = ^\/ZI7y quuin

co casu sit — 7x .y =/j'* — x^ vel -^.j>*=a-* — a'^ . DifFerentialc ita-

qae rh ,scilicet» =r=r=: %

quod ad mentem §'. ^^t^K praebet arcum infinite-parvum Ellipseoa, sup*
pcditabit elementum perimetri Hypcrbolae statim atque ita scribatur

. Dum erso in lo

o

tf""

f t"'^{h^^y-' —

cam variabilis *• sttbcat «Ziexsurgec / • — — ■• , sive

yysr ?W(-^-+, ),•.•---

75

V» \/iz —

aut

a""

g f W«> (-^-^

Y^ a«» ..«/»

=z= • vel defflum universallai

„ . . „ - Wftf"*

»J 2 M

/•

dxy/gx^—f

^ ; qaod Integrale a reaificatione arcus Hyperbolae depen*

"^kx^—h

debit. ObservanduRi tamen est, quod prima fronte paradoxon adparet»

Integrale huiai formae / — _ reapse idem csse, permutatis si-

^ Vkx^ — h

gnis tam in Numeratore , quam in Denominatore , ac illud in $^. Zl^*

/dxy f — gx"" -j • u • • T
= , ct idcirco hac gemina cxpressione Intc-

^/h — kx''
gralia proposita onum ac idem significare, unde conseqaeretur incertum
futurum iri an ope EUipseos» an ope Hyperbolae summarentur. Tollicur
vero difiicultas omnis a Coefficientium comparatione y quac comparatio
triterium tribuit ad dignoscendum quando ab Ellipsi 9 quando ab Hyper-
bola Integrale ipsum pendeat, veluti obiter d|cam postea quam de inven*
tis Riccati* Euleri» ac Lexellii in $^. 44'^. meiuionem inierim (151).

40. Fundamenta iam posui in Superficic Cytindri scaleni (nimirum in
Elementis Geometriae (152) ) praestantissimae illius partis Calculi Summa-
torii, qaae cognationem intimam habeat cum arcubus Ellipseos et Hyper-
bolae . Ceterae omnes Functiones differentiales arcuum ipsorum praesidio
integrabiles ad primas reducuntur hactenus explicatas» ct facillima artifi-
cia analytica ad hoc consequendum cxstant in vulgatis Operibus de Cat-
culo infinite-parvorum. Nihilo tamen mtnus ordinem temporum sequens
nonnulla delibabo vel ut novis adcessionibas res suapte hatura elegantis«
sima eo magis cffulgeat, vel ut inutilibus ramis ampdtatis feliciores fra-
ctas inserat doctrina Pascalii « In hac provincia cxornanda omnibus vere
praeivit lacobus Bernoullius, tametsi lulius Carolus Fagnanus ab Aucto-
ribtts Institutionum Analyseos Bononiac editarum anno M.DCC.LXVir. pri^

K mas

/

ax f eva<

mas tencre nunciatus fiierit, queraadmodum scripserunt in Praefatione

Volaminis II». (pag*. VI*.), et rursus in Capite XIl«\ (pag». 191"».).

Ille etenim usque ab anno M.DC.XCIV*. versans Isochronam-paraceruricam

z*Jz
a Leibnitio propositam adseruit f — ■ obtineri posse ope Lineae

Hypcrbolicae (153)« Quod eqaidem recte perseDsit* Namqoe facto z^

r z*dz r^^V^^Va' VT r ^^V^

dic / - = / ; = / , y quod

J y/z.^^a^ J ^Vx^—a'' ^ J Voc^-a"

ex iam dictis in §"". 34"*. ab arcu Hyperbolae aequilaterae pendet. Summo

autem ut erat tngenii acumine praeditus aeque non vidit a rectificatione

/a dz r a "^
— -'■ » / r

V
tium ab arcubus simul eiusdem Curvae novae atque Ellipseos dcrivari

tantummodo indigitavit (154)* Linea illa percelebris (155) eodem ferme

tempore inventa fult a CI. fratribas lacobo ec loanne BernouUiis (156),

In aperto enim est Aequationem ipsius Lineae ab lacobo traditam xx

€t r — ■ » quorum duo prima ab arcabus Lcmniscatae luac, ter-
J Va^—z^

yy:=za\xx — yy ad unguem cohaerere descriptioni graphicae ab loanne

prolataeiqui vulc abscissas pares essc V^z-^zZf nimirum ordinatis ad

Hyperbolam aequilateram » ac vicissim ordinatas =\/ ^2 — zZf nempe.
ordinatis ad Ellipsin aequtlateram , sive Circulum pertinentibus . Facili

calculo inrto, cx Aequationrbus Vaz-^zz^x^ zc Vaz — s2=jf eraer»
gunt x — f> =2tfz, ct X — y =2,z , scilicct ( ^ — J =

V

p vel denique .v*-+j*=:^V3"- V*^* — y*f ^c sapposito b*

e.a* t otitur x*'^y*=:bV^'' — >* uti fuperius (154) • Haec omnia viam
eqaidem straverant Fagnano in tentamfiie pulcherrimo rectificationis Le-
mniscatae, qaod primum edidit vertente anno M.DCC^XVIir. in Diario
Litteratorim Italico (158). Sed methodum potius syntheticam, quam ana-
lyticam sequutus Fagnauus , quae postmodum Maclaurino ctiam pla«

caic

n

cuit (159)1 non potul quin dubitarfim quod inVentionis suae artificiuin
absconderit; illudque nativae simplicitati , si coniecturae locus sit post in-
vcntum simile ac pene idem lacobi Bernoullii ex Ams Lipsiensibus Fa-
gnano cognitam , aot facile cognoscendum , honc in modam restituere
satago. Arcus non unius Lemniscatae, verum etiam simplicissimae Curva*
rum Elasticarum vcl Lintearium (160) exprimitur a Formula

/a^dz ^ r a^dz ^ f dz^ a' — h z*

f:

— ! ___, uti constac ex Elementis. Habctur autem a

y/ a^'-hz'' . Va' — 2;*
Theorcmate Pascalii per §"«. 36'»«*. Integralium eorandem primum.

/

/fz y a --^z ^ praesidio arcus Elh*pseos. Resxat igitur at resolvatur se-,

dz ,z* •• z*dz

-T-r= — "= I — ■

Va^-^z^Wa^—z^ J Va^ — z^

y^- r — '^'^•^ supposito z^ = ax ad homogeneitatis legem servatt*

dam, quod postremam Integrale per §•"•. 34'"™. rcfertur ad arcum Hy-
perbolae aequilaterae cx deductis ab ipsa Fascalii doctrina (161), simal
cum Linea recta negativa algebraice data. Duobus igitar peae versiculis
tota res absolvitur de Lemniscata rectificanda, necnon de Curva Elastica

aut Lintearla, cuius Aequaiio sit rfy = ■ ^ cunctaque mi-

s/a^-^z''

rum in modum consentiunt cum iis a Fagnano et Maclaurino longius ex*t
plicatls (162). Fascalio iiaque duce non duntaxat unicum Integrale

— , quod lacobus BernouHius symbolum arcus Hyperbolae
V z^—^a^

z^^dz

ApoIIonianae esse adilrmaverat , sed cetera quoque / —

/■ „ ~ » f ; — ad constructionem fecile pcjrdacuntur

K a hoc

78

hoc ordine servato. Primum» qnod Bernoullius ipse edixerat dependere
ab arcubus simat Lemniscatae et Ellipseos, pendet tancummodo ab arctt
Hyperbolae, et Linea recta (163): secandumi quod ab arcu LemDiscatae
consequicur iuxca BernouIUuni» nocum fit praesidio arcus Ellipseos ^ Hy-
perbolae, et rectae Lineae : tertiam denique, quod pariter ope arcus
Lemniscatae dignosci adseruit idem BernoulHus, ad secandi formam reda-

a"-

citur si supponatur z== — , quo facto reapse convertitur in

/

/2* ilu

. Neque inter Fagnani inventa illud reponendum censeo

■

TH J dx . V i -+ x^ y nimirum arcus primae Parabolae cubicalis (164), pen-

dentis a Lemniscatae rectificatione , ideoque Ellipseos et Hyperbolae •
loannes enim BernouIIius multis retro annis iJipsum invenerat loquens de

Curva z = Vy^ — ^a^> et redargaens humanissimet ati deccc>Leibnitium

proptereaquod adseruerit rb j dy v/y*— fa* idem csse cum arcu Hyper-

bolae Apollonianae (165).

41. Dum Lemniscatam tracto lectorem non pigeat aliqua me corn*
mentari de hac Curva in recentiorum Geometrarum historia summis laa*
dibus praedicata ob admirailda eius symptomata (i66). Occurrit primum
disseruisse Fagnanum de Lemniscata BernouUiorum 1 veruntamen errasse

in huius Aequatione adserenda» quam ita exposuit xx-^aW xx — yy^
sive x^ — a^x^ — |-4?'j^* = o in Diario nuperrime memorato (167). HacC
ctenim Linea altera esd sed simplicior ac diversissima Lemniscata^ cuius
proprietates praecipuas ec Alembertus dedit in Encyclopedia (i68),etego
fusius alio loco explicavi (169). Istam vero prae omnibus Lemniscatis an*
tiquiorem censeo» quum ichnographla sit Curvae Cyclocylindricae prims*
riae totum Cylindrom rectum coroplectentis (170), sive Circult Cylindri-
ci uno circini ductu depicti ac dimensi a CL Robervallio ante dimidiam
praeteriti saeculi (171). Facilis etiam ope Circuli eius descriptio graphica
in Plano per puncta. Resoluta quippe Aequacione in Proportionem a^ix^ll
n* — x*:y* 9 patet quod si describatur Circulus ABCD (Fig*. 34*. )• cuias
radius IB=a^ ec ducancui^ iu Quadrance quoilibueric Ordinatae

79

£F,£'F>£"r',£'"P" etc, et haram qgaevis dividator in 0,0', 0",0"*
ctc. uti radius IB in FfF\F\F'" etc, erunt puncta OtO\0'\0'" etc ia
C urva quaesita . Quad proportionalis sectio obtinetur emissis a centro / ad
puncta R , R\ R'\ R'" etc occilrsuum rectarunt ER, E'R\ E"R", t'"R"' ctc per-
pendiculariam rangenti BG rectis lineis IR t IR\ IR"^ IR'" etc ex triangu-
lorum similitudine ; istaque dcscribendi methodus nos docet quatuor ae-
qualibus et, similiter positis partibas circa nodam / constare Curvam » tan-
gentes eius in fi ac D esse ad eius axem normales , tangentes G/£, MIK
in nodo / ad nprmam esse inter se , et ideo quo ad axem DIB ad angu^
lum semi-rectum inciinatas, Ordinatam Circuli E* F bisecantem radiam
IB bifariam secari a Curva in 0\ ac totam Curvam nodatam IO"BNIQDPI
intra angulos rectos ad verticem oppositos HIK,AJIL comprehendi, et iii
consequentibus pariter rectis HIM.KIL nullam eius partem existere.Sed
Lemniscata ipsa trigonometrice qaoque institui poterit. Dam etenim ar*?
cus Circuli AE ^ AE\ AE"y AE'" Qtc. vocetar 9, et radius aut scmiaxis IB
= !• erit Ordinata qaaelibet Lemniscatae OF,0'F',0"F',0"'P" etc =

Sin.(pXCos.^^= llf. . Aliter etiam, si placeat Aequationem Lemnisca-

tae quo ad coordinatas orthogonales convertere in Aequationem circa fo-
cum I compositam, vocatis radiis 10'" ^ 10" ^ 10' y 10 ctc ==z, angulisque
BIO"',BIO"^BIO\BIO etc==?), erit 2*. Cos.^^ — a^. Cos.^^ip-^a^ .

V Cos. 29

S/». *p = o, sive 2=:i±tf . — , qua nec simplicior , nec elegaa-

Cos. (b

• • •

tior ad Curvae proprietates iovestigandas (172). Porro qui rite tractave-
rit Lemniscatam celebriorem Bernoullianam ipsimet eius descriptioni a so«
lo Circulp derivatae obviam ibit, quam iamdudum dedlt Maclaurinus» sed

*

ab Hyperbolae aeqailaterae adfectionibus. diductam (173). Haec namque
Carva (Fig*. 35.) ad Axcs praecipaos />/{?, AT/// invicem normales rela-
ta , in qua /C=tf , IB=^Xt BA=y^ est, uti neminem latet, (at*— !->*)*
— tf*^*— f i»*j^* = o, vel potius (at* -4->* )*—«*(•*?* -*+y)-^-2tf*>*
= $ive , vocato radio quolibec /^ = 2, ct angulo C/i4 = ^, 2*-—

#*-+2tf*. 5/«. *^ = o, aut z =: z± ayi — 2 5/»*.p = dt^VCi?y. 2^,
nimirum numeratori valoris rv z aUas Lemniscatae (i74)* Dato nunc Cir-
colo quovis NGLY^ cuiua ccntrum Mf ac prodacto radio ML doncc in /

$ic

8o

sit MI ad ML Ot diagonalis ad latus Qaadrati, et ex puncto / emissis
secantibus sine numero ITR,IXS,IUY ctc, scctisquc IZ — RT, IF=^XS
=zIEy IF=^VU=zIA ctc, crunt puncta Z^V.H.F^A ctc. in Lcmni-
scata, habente diametrum Circuli NL acqualein suo Semiaxi ID aut /Ccx
constructionc • Quod ut ostcndam, sit chorda £Q parallcla altcri TR\ sit
MOP normalis ad chordas istas ; ct dacta chorda altera QAT, habebitur
/JP*=zz=QO*— hOAf* — PiW*, scilicet, ob parallelas et constructionem RP^
= QO^—OM*j cc sumptis quadroplis, J?r*= /Z* = £Q*— QA^ , ac
vocatis de more LN=ID = a, IZ=rz, atque ^angulo iVLQ = D/Z
= ^, orietur z* = a* . Cos. ^(p — a^ . Sin. *^ = 2<i* . Cos, ^(p — ^* , si-

ve 2 =: =± tf V 2Cc>j. *^ — 1 =i±/srVCoy.29 , uti superitts (175). A

dcscriptionis modo, quo utimur, liquet tangentcs a nodo / ad Circumfe-

rcntiam cmissas Circuli genitons, nimirum Air,Ain tangere quoque qua-

tuor similcs ct aequalcs Lemniscatae ramos, ac se componerc ad angulos rc-

ctos, prouti dictum de alccra simpliciorc Lcmniscata, quum per hypothesin

sit /iM*=:2A/A*, ideoquc i^/AIA Quadratum (i^^^). Duo igitur diversissi-

tjiae Lcmniscatae in communi nodo / se mutuo tangent, communcmque

adfectioncm habebunt in hoc, quod utriusque rami se mutuo secent nor-

maliter , ct angulura semircctum cfliciant cum Axe . Practcrca patct quod

genitoris CircuH Periphcria adco secet perimetrum Lemniscatae in X, X' uc

non modo secantes /A^G^/AT^G' bifariam divisae sint in punctis iisdem XfX",

verum etiam totae adaequent IM distantiam centri Gcnitoris a nodo . Re-

IM^ C /*

vcra LA* = , ec IA* = G/. /X= — — , unde consequitur tam /A/,

quam /G ^%%t radios eiusdem Circuli • Hic Circulus GMG' idem est ac
ille loannis Bernoullii (177), et idcirco puncta 4>,<1>' Lemniscatae ea erunt
maximi Curvae recessus ab Axe, tangentiumque Axi parallelarum ex iam
dictis, et cx Trianguli aequilaceri /4><I>' inscripti origlnc consequuta (i^S),
Namque /D* = LiV* = ^I^W* = a/iW* , videlicet IDiIMl :IM : MLi:
VT*. I. Punctum autem ipsum M^ aliudque Af aequidistans a nodo /
perinsigni -gaudent proprictate , in.qua contemplanda paucis immorabor*
Hacc puncta sunt umbHtci duo Lcmniscatae , a quibas si ad pcrimetruoi
Curvae gemini radii ducantur , sit semper constans Rectangulum MV iti
TiTf , nimironi aequalc Quadrato t5 ^/ semi^discantiae »/wW//V^ww co:

raadcm

8£

randemi vcl cx hypoihesi = . De puncto D aut C ne dubitandum

£&

quidem, quum MD.DM==iCM.AID==:Dl^--*MI* — 2Mf'^Mt=i
Mt = MI.MI . Pro puncto autem quolibet F, dum emittatur V£i nor-
malis ad Axem, erunt Aff^-+iWr'=tf* ( aCw.2^-H- 1 ) , ct MV^ —

MV^ =2 -^— ( ycos. 2(f> . C(?^. ^ ) per Elementa . Igitur MV^ = ^ * ( Cos. Qp

-+ -;; h \/T ( Vcos. ap . Co/. <p ) ) , atque MV* = ^* ( Ca^* 2({> -H-

\/T(V Cw.2?>.Cpx.<P)) , ct ideo oritur evidcntissicne ArF*.A^r* = a^
((Cw. 2(p— »• — )* — 2 • Ce^x. 2<p . Cos. '(p ) = tf^ ( ( 2 C<?J. *^ -^)^ —

4 ^

2(2Cw. >— I ) C(»/. 'I^ 1 = — , videlicct MV. MV= — = IM^t

y 4 2

qucmadmodum mihi demonstrandum proposui . Lemniscata crgo Bernoul*

liorum ec Fagnani species est Carvae Cassinianae (179) in Astronomiae

fastis celebratissf mae , tametsi malis avibus auspicatae (180). Quae Cas*

sini et BernouIIiorum Lineae cognatio Davidi Gregoryo de illa bis disserenr

ti incognica fuit (181), sed postmodum Abbaci de Gua (182), ct deinde

Alemberco in Encyclopcdia Parisiensi (183) patait, nemine tamen eam de-

rivante ab Aequatione Curvae Bernoullianae simplicissima ad nodum sea

centrum relata, prouti mihi contigit (184), potiusquam ab Aequatione»

quae referatur ad proprietatem praecognitam Cassinianae pertinentem ad

focos sive umbiUcos (185). Sciendum est etiam difTerre valde inter se duas

hasce Lemnlscatae Aequationes, quarum facillima et elegantissima ( x^^y^)

a' {y^ — Ar*) = o abscissis computatis a nodo^ altera (at^-H-j^*)

a\»

% \a

fl*

(afl*— a\/3.«y) (**-+y) = 0, $ive (**-H-y)"-f (4A*-— 4**-)

4

«•

(*•— fj»*) — i* = o dam, sQpposito 4* = —, abscissae namerentar a /«-

2

fo. Praeterea Aequatio illa omnium simplicissima z = :± ii a/Cp/ . 2f) recto
quoque itinere ducit ad consequendani Lemniscatae quadraturam, de qua
fusius egit Fagnanus (i86). Elementum etenim areae, eductis radiis in-^

9

a

finite proximis a ccntro /, cst — .Cos. 2p.dp% scilicet >

82

Q,

a*.Sh. *P. dp\ ideoqne Integrale ex Elementis Calcttli Sammatorii

• Sin. p, Cof.p. Medietas ergo Areae Foliiunias e daobas Lemnisca-
5a °

a

tae, facto angulo ^ = 45*'., evadit aequalis — - . — r=- . — =•== — , sive

^ ^ av2V3 4

tf*

quartae parti Quadrati Semiaxis; integram Folium = — vel Areae Re-

ctangulorum cuiusvis Ml^.VM'\ et duo simul Folia, nimirum tota Cur*
vae area par esc Semiaxis Quadrato . Et area tota prioris Lemniscatae ad
aream totam Bernoullianae in ratione erit sesqui - tenia t quum prima

sit = -^— - (187). Mea autem Formula ad indefinitam qaoque perducit
o

Lemniscatae BerjiouIIioram quadraturam , proptereaquod area cuiuslibet
Sectoris centrici Clih^Ch etc. aequeiur Triangulo orthogonio Cl^^CI^
etc. inscripto in Semicirculo IclS^C diametrum habente /C Semiaxem.
Sane Cfi, C/3 etc = ^5/«. <p j 16 ^ 1/3 ttc.=^ aCosin p\ tt CI9 9 CIj3 ctc.=:

a*

'—'.Sin.p.Cos.<f uti supra. Exinde confirmatur roensura areae totius,

quum Triangulam CA/ ob angalura iu nodo I semirectum aream habeat

/A* /C*

«equalem vel non secas ac est saperius inventum. Qaae Secto-

2 4

rum omnium centralium quadratura « Fagnano invisai adeo facilis et ele-

gans mihi videtar» ot nullam cum ea comparandam repererim in Georne**

tria • Proprietatibus ipsius Lineae adscribenda est etiam afTectio vere ia*

cundissima radiorum quorumvis a focis emissorum My^ M'V: si puncta ete-

nim occursuum (vel punctum unicum dum radius tangens Curvae fuerit)

J, e coniungantur cum foco M ope radiorum MS^.M^^ cc a J, « ducantor

<r>',ew parallelae radio MV % erit semper MV media geometrice proportio-

halis inter M^^Sy^ necnon Mi^iyi. Namque MV.VM^^ MS. SM'=z

/f € . f M\ et idcirco iWcT: MV \ \VM\SM\\MV\Sy, ac similiter Mi : MV\ \

VM':^Af'\\ MV:(yi ob parallelas. Accedit quod haec Lemniscata enascatur

invertendo proprietatem localem Circumferentiae Circuli in toties citato

Problemate Dialogorum Gaiileii, vel etiam simplicius et ad reni aptius rc-

ctae Lineae HIK perpendicularis ad alteram Dld qaae consistit in M@:

MI\\QAt:IM\ dum ex opposito in ea Curva MV: MI\\ IM : VM , ^rxtm-

admo-

8^

adinodum si proportio geometrii^a ad tJneMirffotam' bbscisMs inttr et
iordinatas |nvertatar>. ipsa recr^ eonvertioif in Hyperbolam ad isympto-
tas (i.88j» l!lec . praetereufidum cen^Q quo4 g^neratio ipsa Lemniscstae
methodp .Hacla&rinj suadeat absconditand veluti ioesse: proprtetatem Cas-
sinianae» quum rectangula iV/./tf^R/./r,5/./X', A/./A etc. aeqaalia

sint interse ex Eiementis, et ex demonstratis aequaha .=

DI' , * '

'^Artac Hemlfolii. Et geminato ex parte altera'' centro iM' ac

1 1 »

4 . c
Circulo genitore^ erunt Rectangula Nf.lL', R/.TVt SI.X"X' etc. non

modo aequalia inter se, verum etiam Rectangulo constanti Ml/.VM^
atque Areae unius Fotii . Contemplari autem licet Bipetalon istud Bec«
noulliorum utpote foret iQversae originis comparatione habita ad crtum
duorum Semicirculorum, ZiHTi^^S^Y'' concentricorum geminis Genitoribui ,
radiisqae ^/«.^/ praeditorum . Eo quippe modo, quo Semicirculi criun*
tnr a Circulis genitoribus si fiat /3 = IN-^^IL , 19^==::: IR^ ITf IJi=: IS
--f/^\/f =:/A— 4-/A=:2/A etc, quum cx constructione praemissa et
Elementis constet rectum csse angutum SM^ ^ et aequales ubique inter
se rcctas omnes MS^ MQ^ Mk% Mlf^ etc, non dissimiliter enascirur Lemni-
scata si Summarum vice Differentiae sumanCur ID:=IN — ILt,IZ=IR
— iTy IF=IS—IX'\o=:IA — /Aetc, iiti primus docuit Maclauri-
nus. In qua comparatione est admodum singulare Locum geometricum
bifariam secantem rcctas innumeras, uti DS^Zi^Vk etc, inter perime«
tros Folii unius ct Semicirculi SEY., csse Peripheriam trium Quadrantum
Circuli genitoris, rectamque IXG^^ quemadmodum in alns tribus Hemi*
foliis, esse in tres partes aequales divisam « Dum vero ad instar Cassinia-
nae 4ibeat describere Lemniscatam, praesto erit methodus simplicior illa
nuper a Malfatto vulgata (iSp). Ad hoc enim consequendum sufHciet de^
scriptio Circuli DKCH zxem Lemniscatae pro diametro habentis, in qua
dctcrminentur puncta M^ M' aeque a centro distantia ita, ut MM' sit la-
tus inscripti Quadrati. Tum per M traiecta qualibet recta ViW^, si ceu-
xx\% M ^M\ radiis M^^Mtt Circumferentiae circulares- delineentur, occur-
sus earum erunt in Lemniscata. Tribus igltur Circulis obtinetur id» quod
quatuor Circulis Malfattus univcrsaliter construendum instituerat. Constra*
ctio autem valde elegancior a Maclaurino tradita stimulos addit ad eam

L promo-

84

T)roinovert*«m. Drfta^q«)li<w Circiito AtDC (Frg** s^.), ttpiincto er-
tremo i, i«t i/ 'ubilib^t ^coUocJatc^f^^ac cansrructioM «Mefn servata /Ec=±
ADfJH:=::dKf\-Is:=^Glt «tc. / otittnr > stf mpcMiiiA ex iniMimeris Lemn?*
scatis^ e quarum familta est illa BeinoaMiorum . Gracrltora ernnt emsdem
Folia quo magis pttnctum J" recedat a T perciaente ad BernooUianan;
crassiora quo magis punctum / citra Tai A accesserit . Pancto / iafinlcie^
recedence, gracilicas accidic summa, quum Carva in rectam £/£ conver*
tatur: accedente/' ijifioicics ^d A^ crassicies evenit maxima» quum Fa*
lia duo Lemnlscatae vertantar in Circulos genitores se matao contingen*
tes xn ^. AnguTas tdngenrium In noJo vcf centro Curvafe est idem cum
C/B, vcl ClB' a tangcncxbus Circali genicoris deccrminacus . Aeqaacfo
Lemniscatartrm onanium huiusce gcneris lERIMLN invenicor at supn";
-Nansqae diicca chorda AS pardtlcTa radio Curvae /27» necnon cliorda alfa
5£), et a centro O perpendiculari OQP ^ acque vocacis IE=^IL = a9 IB
^=2r, •aiTgoto £lti==:^, ac demum I0*:AO*','n:x (iJeni intcTligatar
de pttiicto /), cric KF^ — IH* = z' = AS* ^ ^* — /^OP* =

t
M

tf* . 4OQ' =4* — n.Sjy = a* — «* . ». 5/V. p ubi »> i , et idcirc^

z=:ztaVi — n.Sin^.^t ttt qaa continetur Lemntscm Bernouniorum re-
spondens Rypotliesi rin^-^^. Nec difficilior inventio Aequacionis genera<'
lissimae Curvae ipsias rcTatae ad coordinatas orchogonaTes tam» quum ab*
scissae x a centro / compucencur . Porro facili calculo inito emerget
{x^^y^Y-^a*{x^^^y'')^na^y''=zo,v^\{x^^y^Y—a''{x^-¥y'')
--j-&*^' = o, quac deauo monscrat 1n singurari sapposicione rS »==2r
sFve ^*==aa*, Lemnrscatam ffernoulitanam . Edidem praecerea racrone^
qua per Macraarinum unrversicas harumce Lemniscatarum oricur a pun*
ctis innameris incersecnonom rectarura tangencium innumeras Hyperbo*
£as Apoironfanas , risdem verticibos , et axe transverso gaudeiues , et
perpendisurarium ad fpsas^ tangenres emrssartim a cencro commani, noa
divcrsimode quaenam Curvae ena^canrur ab ilsdem inteneccionibus in
Ellipsibus rema net invescigandum . Inter Lemnisca(as ab Hyperbolis sF-
ne numero scalenis orrginem ducencet emiiret ac media ferme iacct
■Bcmoulliana , quae nascicur ab Hypcrbofa aequilatcra : consimiliccr
in Curvis al> Eiripsibtts scalcnis orcum habeacibus discinguicur Crcu^

U

8s

K drcumfefentift deri^ata ai> EtlipH aeqailmra ^ Aeqaatia LinearutiF
ab Ellipftlms eodem aze transveno» ac 'Verctcibus v et centro Hyperbola*

rum praeditis (190), est Ipsamet superius. exposlta ;i=id:ijiVi~». ftV ^§

sive (Ji^* -+>*)* — i?*(;ir*-; +j^*')— l-M*j^' = o, ab^issis computatis pari-
ter a centro Currae» sed hoc tantum discrimine q\iod sit n<ii. Familia
itaque istaram omnium-tlurvarttm onalcygMrum cbnqprehenditur ab Aequa-^
tione universali quarti gradus. ct huius formae ( a-* — *-j^* )* — a* (x* — +-^* )
^B^y*=o: species autem sunt triplices ab hypothesibus diducendae
V; ** = ^*, b^^^a^t **<;tf*; at^ue hae pfimitivae species ratione di*
vcrsitatis figufarum ih olias subdividuntur. Eandem familiam haec etiami

brevior Aeqnatio complectitar 2; = =i:tfyi — n.Sin^.ff vcl *"==

— — — — .^i.— ^— — .4-

ztay Cos*.^ — (» — i)Sin*.p9 sive tandem i=;

— .

ztaw 1 — • — ( 1 — 4-Cof. ap)f hypothesi qaoqae triplics subiiciend^ t»«=i,

«> I » flr<:i« Bini Circult se Qimtuo tangept^t. ac Lemniscatam veluti
imitantes^ prodeunt ab hypotfaesi owiiungi £a(;illi9[ia. ;f = i seu ^* ::^ ii* 1,
quippe tam evadat Aequario z:=^^aCQsi9.p^:yfil C**— l-j^*)* = <j*jt*.
Lemniscata BeraouIIiorum adpanc 10 .hypothesi = 2, sive ^^ =:24^k

quum Aeqtiationes illae vertantur in «^HbtfVCor. a^, et (**--f jf*)*
" — a* ( x^ — y^ )= d. Linea reeta Lemniscatarum graciiisshna emergit ab
hypothesi » = 00 , aut j»^ = oo . a* ) tunc eaim« utcumque parvus assu*^
meretur angulos ^, iit r^ s; semper imaginariumt et 00 .ii*jr^:=o, sea
tf*j^* = o, vel db.y = o. Adest denique unica Ctrculi circumferentia. pro.
altero Curvarum limite in hypothesi ii=:o, sive i*=o, proptereaqaod
Aequatio verratur in z=:Hb/7, vel ;^*-H-y 7-4S*=:o. .Quemadmodum
uttimns limes Lemniscatarum ab Hypeirboiis enascentium est Linea recta
LIE (Fig'^ 36. 37« )> et ex akera parte Leipniscata spuria sive Sysftemt
dnorum Circulorum TTLX^IYEZ sese tangentiam in / na^/o pominuni Cur^
varum , ita geminatus hic Circulus , et Circulus alter L^EY radium ha*
bens aequalem semiaxi Curvarum omnium, ac centrum in puncto eodem
,.extremt sunt limites, inter quos iacent Lineae ab Ellipsibus derlvatael
Constructio istarum praesidio Circuli dati ARBDCGA obtinetur epdem mo«
do, quo supra, dummodo panctum /, quod tunc erat exteriusy in intie-^

L a . • rius

85

rias Tertitor. Dact^s etenim per panctsm. / ioouiefis chofdis. fBBptifqiie

JB' z=^ fG -r+ JR = zIG t oritar Carva io.v, rediens, plas jnioosTe rostra-:
ta axqae inflcu» plas oiDQsve compreisat ac quattior acqiiaUbus ct si«
inilibus parcibas.c^rca ceotraoi /^iispositis coaIesfeos« cnias Aeqoatio in*

ter IH atet z, et an^lnin £JH sn ^» m z=z^aV i — m.Sim^.pi

n 10*

— = --TT ; et Aeqoatio inter IM=^x^ ziout MH=zy^ sit (jr*— f »•)*
1 AO . ^ ' ^ .

— tf*i;r*— l-ji')-+»#y i=:o, proati repeti^ ^randem litteranioi auxi-
lio e^dem demonstratiooe hicaleatissime cofi&|at.**lp pr^oribas.Lineis difie*
rentiae rectarum a poncto / externo ad Circamferentiam Circoli eniissa*
ram sant Linearam earandem fadii» sammaeqae ad Grcamferentias sant
Circato generatori coocentricas . Er adverso in secundis Lineis sammse
recurom a pancco loteFoo / edactaram sui^t ^earandem radn^ ac difle*
renriae ad Circumferentias genitrici conceiitricas pertinent , qaemadmodam
Scheiiia demonstirat • D6 ceteris Ca^varam liartimce adfecrionibu^ alibi Ib**
ciis ent fa^ias loqueridi, quam sint e Linearam Persei familia (fpi).
Adnotasse tamen iaverir vniversa haec de Curvis istis obiter tradita pro-
diisse ab ipys secantibus Ctrcalii. a qaibas origioem noKit suam Theore«
ma Pascaliio

' 42. Non malto post Fsgoaoi labores optime merims est Maclaarinns
it doctrioa Integraliam ab arcabus Sectioaam Conicaram derivandoram»
h eteoim usqae.afc anno M.DCC.XLU^''. in Tractatm F/ifjr/oMiw (192) egre*
gia dedit ac cedro digna de hoc argamento» non secus ac subtiliter admo*.
dam et ingeniose ana coro Rogero Cotesio uhiversam Analysio Newtonia*
sam ditaverat, atque perfecerat. Par autem iotervallum vigintiquatuor
adamussim annorum numeratar ab inventis lacobi Berooallii ad illa Fa*
goani, prouti ab his ad inventa Maclaurini. Formulae, qaae ab ipso Ma^
ctaarino integrantur tota Calculi Difllerentialis arte in subsidium voca«
^ (193)* ^t progressa facto, uti Syntheticorum ordo poscit» a faciliori*

dx . \/T dx . y/lc

bus ad difliciliores sunt praesertim hinomialcs . _

docsf^ ftx dx dx

x"^

— ^^, -, _, ^.

y ^-^^ (l^;^»)4 (I — ;^»)4 (j^«— -1)4

87

iiC ix i:c iic

1 f - . % ————— ,

i>c ^ • • f ix.y/^ ix.\/^

9 ac trmmtaUs , '■ ^ v *

' ' ^fx^^fo^^g'^ 'V^*=±A— ;tf* '

ix .\/li ix

_ . Non aptc , wc vcre VinccBtios

RiccatQs IcsUica hasce Maclaurini Formulas cnumeravjt in' Opusculorum st*

r ■

ix \/ X

cundo II'. Volaminis (ip4). Fractcriic cienim Formulaoi . » ' , ■ . « ii<»

nulque » «^•.-«....«...«« ^ ncque in daobas primis trinomiaVthut

ttrmino /a^ g^minatom signum d: adiunxit» tametsi ex Calculo Madau*

rini r^ /"= 2r =:: <onstet esse positivum vel negatiyumt proa*

a

ti Scmiaxis transvcrsus a maior» aac minor fucric b Coniagato in Hyper*
bola iata (195)* Siluit quoque dc Formulis aliisi quas Maclaarinas czpres-
sic occasione solertissimarum substitutionam • qaemadmodum sunt» praeier

dx

dx\/a* -H- **** ^ 2«

v«'-^(^-.y

-*-^i

_____ • ( quom k cxceotricitatem

Ellipscos significct ad Axem minorcm 2tf rclatae) elemcntum Arcus ad
EUipsin conicam pcrtinentis abscissis x supcr Axcm Coniogatuqi 4 cencro

ix
iiomcratis (iptf)» cae , quas snbiongo, — — L r

ix ix ix

xs/H.^x^x^ xy/^.Vx^^fx—g^ :t*Vi'ztfx'—x^

ix ix . ix

vel

-VA*— JT^—^* V^'=±A* — AT^ Vt--9c^^Vf

^^x

/

88

"" » Kiucet f ' ■ I ae tandein

m — i

Sx .X ^ ,

— ^ t io qua r sit quilibct cx iinparibui numeris (197) • Ha-

srum formularnm fionnullae eximii adeo usus sun^i ut ab ipso Maclaurioo
exhibcantur ad Froblcmata resolvcnda Traicctoriarum , Tcmporis dcscen-^
sus gravium, Curvae Elasticae , Paracentricae, aliaque in eius Tracta*
tu Lcctorum oculis nccessario obvcrsanda (198). Quanta vcro facilitate
«Imversae istae Formulae dimancnt a doctrina Pascalii ncmo est, qui non
vidcat. De binis prioribus i^m diximus satis in calce §*. 34". quomodo
integrentur per arcum aequilaterae Hyperbolae . Trcs primae e quatuor
Formulis trinomialibus integrationem paricer rcceperunt in $$'\ 30"^ '^t!^^.
33'''* «« S^^"*- aut per arcum unius Ellipscos, aut per arcam unius scaUnae
Hyperbolae, qui arcus postrcmus satisfacit cciam incegrationi r&

— - t proptereaquod, facto x=^9 pendcat f ^^y^

Vg*^fx — x* * J S/g\^f^-^-

practer Lincam rectam ab IntegraU alterias formae praecognicae

/ — — . Sed etiam sine ista substitatione idem conseqoi pos-

nifflus ad Theoriae in $•. 33W. ezpositae suppleraentum . FormuU enini
elemenU arcus EUipseos quum sic ex §'. 31°. per doctrinam Pascalii

- . ac per $•«. 24'"'". at illud in Hyperboli-

avCj*— *-«)« — zz — qa» »

«um conve^tatur ad secundum Axem relatum, fieri debeat a — a\/Zri, et
j^=-^, evadet iz^/ •zy/-x

• •

s : n , nifflirum , supposito

^V {l—qyazV'-! — zz — qaa

zy/^i=ix crit ^^V7i _

a V^ V \t — q)ax-^x^ — qaa

^Ji^ :_ ^ Est --^ r dx s/

ergo A
J Q

.. - -,. - . -»*

f^V(qa—a)x—xxr^qaa J 2 V (^aa^^qa-^^a^x—xx

( sive

\

89

f.siyjennivefsalia»/! ^ ■ * »— prppter j.i>aut <i)ab ajcu Hypcr-

bolae dependens ex df rivatM directc a Pascalio . Cui postremae expressioni si
methodus Maclaurini adplicetur, emergit A ^-^

videlicet, arcns Hyperbolae ad secundum Axem relatae ; quod erat adhuc
cx Pascalio desiderandum (1^9) • Quinimmo in hac FornllttU clarius elucet
analogia cum exprcssionc arcus Elliptici. Ut enim dictam in §"". 28^^ noii

modo unus Semiaxium (nirairum primus} in Formula C — ^ — -^

^ V xxdtfx — gg

est =^, verum etiam alter (nimiram secundus» ad quem heic refertoc
Hypcrbola) a resolutione consequitur Aeqaationis x^ z^foc — gg=.Ot yi*

delicet Cft zzzzzif^ -I^ ^ y gg ^ L^ -^ quod per §°®. 33**". nou accidit in

Hyperbola ad primum Axem relata. Integralia pracierea Formularuro W-

nomialium . , '^ obtinentur praesidio arcus Le*

VT. Vi — AT* aJT.V x^x*

mniscatae» ideoque dimanant a Theoremate Pascalii Telutl ostendit §*^.
40"^^ t niffiirum a Linea recta et Arcubus simul Hyperbolae aequilaterae»

EUipseosquc. Reapse r^ ^f == ^^^^ ^^^ c^°^

lipseosque • Reapse t^ — / ==:

t suppositis tfz=it ac z^-^x, Alind autem Integrale

■ - eodem redit ac —7==- / ' ■ per ingenio»

dx .-.!/•<&

2X

sam qnidemysed admodum laboriosam substitutionem T5g= » (aoo)»

i-^x*

Alirari tamen non desinam quod elapso quinto ferme lustro post rectifi«
cationem Lemniscatae a Fagnano typis valgatam sn Diario VenetOt etiatn
-penes longiuquos Britannos celebratissimo, nc mentio quidem htc loci»
ubi de e^dem agit re» a Maclaarino facta fuerit Italici inventi (201)'.
Quod inventum ct ad facilem integrationcm consequendam ducebac alte«

rius

v

rius Formulae i ' — ■ t atpote qnae ad instar methodi

^«•Mi^^MW

in § « 40*^. adhibitae resolvatac in

/' V^'' - *'

. Igitur , qaum -r; / sit mul-

tiplam , aut sabmuttiplam arcus Ellipseos datae per $"". 36'°*". ex Fasca"
lii doctrina , difficultas omnis manet in investigatione ^i ■

JL / — - ' "— » ▼idelicet, facto «• = «, tS
f'*J \//=t/** — *♦

^rri C- , quod Integrale ex praemissis habetur ope arcus

a/'V Vg^^fz-^z*

scaUnae Hyperbolae ec Lineae rectae; adep ut proposita summa pendeae

a rectificatione simul Ellipseos atque Hyperbolae. Non modo itaqae du*

\ verum etiam aliud

Jx .X^

xWg^ztfx—x

— ■ ' ■ quod nec mente conceptant neqae adhue erat de-

4/ „»_»./;,» — *.♦

/0 V
' I proptereaquod

*, istad Integrale ve

dum x^

, istad Integrale vertatar in r^ — — -- C — ^ — *

2^ ^ 4/*«^A_ir*

eideiti adhibita substitutione » abit /* ^^ ia

ab arca scaUnae Hyperbolae ez praemissis dependens. Noa dissimiliter , et

xWfx'-x'-g'
~*' r ■ — , nimirum» in Integrale ab arcu Elliptico sup-

peditatum • Elegantiam vero perquammaximam sub oculos ponit considera*

/ilx
— , oecnon Integralis alterias trino^
xVx .V^*=±A— /

Piialh

9'

malis /*— — - — • Prifflum etenrm « post factam bypoihesin

^= — » statim convertitur in — / • lam supenus

co»temp1atum (202) : secandum autem conseqaicur ab illa ipsa Formula
r ■ ■ ■ — ^ _ , quam paullo ante summavi repetens facillimam

methojfum in §*. ^o™^ explicatam* Revcra, si fiat x^ = Zt postremum
Integrale cvadit — f ■ — , quod idcirco a Li-

^ ^ VT. Vg^r^ig-n z-z^

nea recta, atque arcubus Ellipscos, et scaUnac Hyperbolae dependebit,

3- — ' ad

V* .V i — ^*

Lemmscatam perttnentis vera ratio , propter quam non scaUna , sed aequi-
latera Hyperbola opus sit ad istam integrandam, quemadmodam vidimus:
deficiente etenim secundo termino in Denominatoris trinomio prostant
etiam in §^ 34'^ singularis humsce casas exempla nonnulla . Prae ceteris

expreisionibtts memoratti digna est ,. ^'V» ^ ^ atpote quae surometuff

praesidio Lineae rectae et arcus Hyperbolae aequilaterae , dum ex adver-
so protixioris et improbae foret opecae hoc integrale purum atqae arca

carens Bllipseos derivare a Formula oniversali / — ■.cuius

mentio. occurrit in eodem $'. 34"*., in qua fieret ^=1 et f evanesce-
ret (303). Illud autem ita tractandom censeo. Est C — - idemac

V

/ — ■====. > nimirom = — / —

— / '-^ — * cuius secunda pars integrarur algebraice, prou-

^ -^ xy/ x.V\-¥x*'

ti dictum de Formala simili in calcc §'. 34^, prior vero, quae ex illis
est a Maclaurino tradiiis, integratur ope arcus Hyperbolae aeqailaterae in

M modum

\

\

92

njodum facillimi algorithmi seiquentis. In expreisione ■ ^_ cubsti'

tuatur «= — — , et erit / = =ya / — ■ - : ideo-

que — / — = — =• / —^=. , videhcet , ex $*. 34«*. to.

ties citato, par submultiplo arcus aequilaterae Hyperbolae • Non solam ergo

. f dxy/T . fJxV I -H- ^* .

lategrationem recepit / — r verum ctiam / = coroni*

dum ad instar doctrinae Pascaiii % qaod postremam Integrale derivanc
alii (204) singulariter ab Hyperbola aequilatera inter asymptotas. Rell*
qua Maclauriniana sunt admodum faciliora • Namque ab eodem Integrali

dzy/z r ^ a ' r dx

/ ~ — t facto Ar= — , fluit — f

, quod idcirco

jrv^-Vi— ^*

dx

arcum Hyperbolae aequilaterae designabit. Accedic f— »

•^ xyfx • V I — h*"*
quod, quum nihil aliud sit praeter difFerentiam inter Integrale Algebcai-

/x nx "^" ax
— ___-, ec

— * '^ * . a Linea recta et arcu Hyperbolae aequilaterae peodeos
V i-+x^

ex nuper demonstratis , integracionem suam consequetnr. Alia denique sic

dz.y/

obtinentur . A f — '^ " , supposito a = V 1 — h ** » oritur

J \/a* — I

r . Fraeterea in f ^'^* , facto » *= V 1 — ** eoascitur

(l-f**)4

— r -j— , Ec a f — -- post hypothesin z = V** — ' i >

— . Haec igitor Integralia a rectificatione Hy-

(*• — O^

93

._ .. ■

eodeiD ordine derivator, dum fuerit g=y i ^;if*, / ^ ■ » t

</jB . ^ . r:- /• dx

/- « dam fiat 5; = V i — a:* , — C

%

- ; atque a

(i-Ar*)4

T— 2^ — =1 » •ttbrogato pro 2 binomio y/ x^ — i , f — t

J >/%.V i-^z' -^ (^»_x)T

adeo ut secundum^ ac tertium habeantar cx praemissis a rectificatione
simal Hyperbolac aequilaterae et Ellipseos, primum vero a rectificatione

Curvaram earundem , quum f -— __. idem sit ac

— f " statim atque vice t& z substituatar — . Itaque Intc-

/dx
■ , etsi a Maclaurino praeteritQm »
VTV*^- — I

rectificationem pariter significabit Leroniscatae BernouIIioram (205). Quin-
immo innameras alias Formulas invenire fas esset aliis substitutionibui

la subsiuium vocatis , veluti de / , aut potius

— 2V3 / -^ *- CQiquc constat, dum la / ■• nat

J -L J \/ j r*

fl-H-^*)* VI— ^

(I-H-^*)

2X

- etc. eic. ad hoc nt prima expressio Analytica evidentissi-

l'-+X

me a Linsa recta et arcu aequilaterae Hyperbolae diducatur. Fulcherrt
inum exinde sequitar Theorema a Mactaarino proditum

rn J^ j

/dx . x^ rJL > z ^ dz

— ■ - ! sivc, posito ^ ==«*, / n , > vcl

M 2

94

" - 1 -L- 1

~y — ■ — ■ , ^ — , aut — j=rj — , «ive, dam foerit

a*

r

-% = I , -— / z=:z — • pendeatis ab arcu Hyperbolae aequi-

laterae quando r numerus sit ex Serie imparium 3*7« ii> I5i 19*23 etc. ,
ct ab arca simul Hyperbolae aequilaterae atque Ellipseos quando r sit
ex reliqua imparium Serie i * 5>9i 13» 17>2I etc. » quo Theorematc vix
utilius, et elegantius in Analysi infinitorum occarrlt. lotcgratio etenicn
Formularuni binomiaUum per Elementa Calculi summatorii reducitur tan-
demi praeter expressiones algebraicas aut rectas Lineas » in istis casibus

ad formas f — ^ > /T ■ ■ ■ ■ ctc.$ ct quando EUipsis adsit ,

ca ipsamet semper est a Fagnano adhibita in rectificatione Lcmniscatac,
videlicet illa , coius descriptionem facillimam atque ad praxin clegantis*
sime accommodatam alio loco explicavi (206).

43. Ita res erat de hisce Integralibus 10 Magna Britannia quuni
Alembertus» prima adhuc iuventute florens (207)» argumentum idem ag-
gressus fuit; nec modo theoriam pene omnem complevit* vcrum ctiaro a
novis fandamentis erexir. Nondum autem facrat ex Anglico in Galtjcum
sermonem versus Tractatus Maclaurini (208) ea tempestate, qua acatissi-
mus ille Geometra in Commentariis Berolinensis Academiae relatis ad an-
no$ M.DCC.XLVP"» ac M.DCC.XLVm^""'* (209) elaboratas protalit la*
cobrationes in hanc lategralis Calculi partem amplificandam • Relicta Syn-
thesi Maclaurini, omnia saperstruuntur ab eo elementis arcuum Ellipseos
atque Hyperbolac Apollonii (210) vel ad primum vel ad secundum Axem
ordinatorum; quac arcuum elemcnta ct ipsc novit Maclaurinus (211)1 sed
nescio quo fato posthabuit. Quanta vcfo animi voluptate Alembertus idem
nuncium accepisset cuncta derivari potuissc ab unicoPascalii conterranei sui
ct perantiquo Theoremate! Quomodo hoc fiat, Bougainvilliam (212} atqae
Cousinum (213) Alemberti inventa repetentes, ct Alembertum i^sum tum
io Cimmentariis iisdem » tum iit suis Opusculis Mathematicis pracsertim sequen*

do»

95

dot breviter cxplicabo. Qaataor formalii frinomialibus Maclaariai» de
quibus sermo in §^. praecedente , Alembertas addidit primom

dx dx n j •

et . Quo ad priorem expres*

sionem Diflferentialem eias integratio vix inventionis gloriam meretur »
quum nihil aliud sit quam repetitio methodi Maclaurinianae , videlicet»

ftubstitationis facillimae rv jr = — ad hoc ut propositam Integrale

dx ' ' .'. ^ ' dz

vertatur in aliud — f

\r^.Vx^^fx — g^ J y/^^Vg^^fz — z^

MacUarino resolutum ope arcuum Hyperbolae, Ellipseos, ac Lineae re«

ctae»ideoqae per ea, quae supra diximus> adnumerandum ceteris iam de-

ductis a Pascalii Theoremate (214) . Mirari itaque potius debemus suae

methodi compotem Scriptorem Anglam vel nimis festinantem vel noo

omnia deliberato animo coUigentem illud facillinium neglexisse (215). AU

/d'x
^ • una.icum

Vx.Vfx — x" — g^

I
2

• ad coapleadaai horamce trintmit^um seriem qnam nnl-

lo alio egeaht artificio praeter Algebram Cartesianam ut &emzm indaant
quoriindam ex Integralibii^ praecognitis , liquec aeque ac praecognita fru*
ctibos doctrinae Pascalii esse adscribenda (216). Nonnulla tamen commen-
tatione digna sunt in hac Alemberti theorice. Qaanta equidem simplici-

dx 'x/lr"

tate dimanant a Formulis Alemberti Integralia DiiTerentialium

Vx^-S"
et — ' * ab arca Hyperbolae aequilaterae dependeptia (217),

tantis e contra ac fastidiosissimis Calculi molestiis obruti et plena laboris

/dx \/ X
, — v > ( ai 8 ') »
V x^^g\

faoH^tfi j!stg4:%equa ac doo .priora ab arcu aequilaterae Hyperbolae con-
se^ittaiar» qttemadmodum expertas sum an. $''• praecedeute . Quod nec

Alembertus

96

Alembertas ipse deinceps sensissft videturi tttpote qui in Opuseuhrum Vo<-^
lamine l^. edito labente anno M.DCC.LXr. (219), nimirQm tribas lastris
emensis post eius primas in Commentariis Berolinensibus meditationes , suam
denuo methodam adhibuerit arcum Hyperbolae in duas Formulas dispe-

scentcm ad idem Integrale quaercndum /* — ^_ ^ , sive universalias

/dzy/T I /• Jz\/T / X A Ai !_

— = — 7=- / — ■■ ( 220 ) . Agens Alembertus de

A

ix

uec Fagnanam (221). nec Maclaurinum (222) memorat;

de Lemniscata silet; Hyperbolam nominat atque Ellipsint verantamen ne?
qae admonet priorem esse aequilateram , 'nec posteriorem eius wt spe«
ciei, qaae Axes habeat in proportione ri ^T-i (223) semperque comi-
tetur, prouci ostendit Vinccncius Riccatas (224), universa haec Integra-
lia Ellipseos simul et Hyperbolae arcas complecteotia dum ista vertatur in
aeqailateram (225). Fagnani pariter oblitus in rectificatione primae Para*

/^dzs/ zz — h I
j= , neque

illam tractat; .prouti iam penes Italos resolutam (226) , neque in ea re-

'dz*z\/T'

solvenda dum scindit Integrale in duasparteSi videlicet /-

\/zz-H- l

fTl=

dz

, has dicit ab universali Maclaurini Formula comprehcn-

VT-Vzz-^i

sas » cuias mentio facta in calce §^ praecedentis ; Huic vero Formalae a
Maclaurino datae ferme omnia referuntur Theoremata DiflTerentialium

oc- Ux z- Uz z ^-^ ~=^^-^v/n A ^"^"

, , :, >g dz{B^Azz)

y az±L^x V B--+ Azz ybb -+ zz

etc. , qaae integrationem recipiunt ab arcubus Sectionum Coni , tametsi , velati
nova fucrinty ab Alemberto prolata. Egregium est inter alia illud Integrale

/

/

97

— r=z=:: — i q«iod Alcmbertus obtiqeri semper edocet opc Arcus
V aztxx

Hyperbolae (ec Maclaurinus addiderat aequilaterae) ^ ac quandoqoe simnl

cum Arcu Ellipseos (quos postremos casos Maclaorinus ipse apte nitidc*

que dlstinxerat) (22;;^)« Adserit A^mbertus idem (228) universaliter duo

DifFerentialia — ^t -^^^^^- ^ — ab eidcm scm»

^/ a^hk^cxx js/ M.Va-^bx—^cxx

per Ellipsi et Hyperbola integrationem acquirere, cuius praestantissimi
Theorematis indobium specimen debemus quidem lacobi simul BernouUii
et Fagnani Laboribos, quippe qui ante omnes Jn casa ri b= o ct a ne-

XX

• • y^ ilx V X /* ^X •

ganvi repererint / ^ — atque / . ita esse compa-

*^ V a-^cxx -^ \/T^'^ a-^cxx

rata , ut primam pendeat ab Arco Hyperbolae aequilaterae , alterum ab
arcu Ellipseos et eiusdem Hyperbolae (229), non secus ac ope unius Hy-

/• ix \/l?"
perbolae scalcnae ct Ellipseos satisfit duobus Integralibus / ■ . = :z=,

J Vfx — bb —

/^x
. in sjngulari exemplo Alemberti (230). Quanam
^/le.yfx — bb — XX

igitur nuione Bougainvillius iunior» fidus Alemberti interpres et ipsius

ieyfxJ%rci>y potitos, quae deinde poblici iuris facta sunt in praelaudatis

Opusculis (231), pulcherrimom illud Theorema adtolerit pro unico casa

Integraliom C^ ^ r^r-r. ==r=r > *» quibus radices

J V zz dtfz '-^■bb J \/T. ^ zzz±fz--Tbb

Trinomii zz:rtfz--¥bb imaginariae faerint (232), reliquis omnibus sileu-
tio praetericis» ignorare profiteor . Quod autem in Alemberto desideraverim
sane illud est> ut raum Theorema alterum ingeniQsissimum demonstrasset,

/» aZ Kr 9 '

dependere ab unico Ellipseos arcu (233) •
Vzz—fz^f

Dum enim et canones consulam ab eo datos , et exempla ab eo adlata »

hoc equidem difficillimum video. Si Boagainvilliom interrogem, cetera

omoia transtulit de verbo ai verbum^ hoc autem praetermisit Theore-

ma

^ /

98

ma (234)« Defflonscratiotteai quaerens istud potios in falsum abire re-
perio. Et re qQidem vera ad integraDdnm Difiereiitiale — ^ *

Alembertas illad aniversaliter trifariam divisit (235) ea in hypothesi, qua
Trinomii radices fuerint imagtnariae ^ veluti tn singulari exemplo Theore*
matis. Posito autem ^=:/\'atque signo'^^ f negativo, neatra partium
evanescit» nec tres arcns Hyperbolici ita se invieem destruuntt ut unicus

restet arcas Ellipseos. Enimvero AA=^bb — -^ = ^, et tres parces,

.4 4

in qua$ dividicar Differentiale , sunt — - J^Vj'

.^yy^fy-M

, atqae -

4 4

ubi y=:z k-V zz — f^^ ff- P^rs igitur prima integrata ( comma-

ni nunc neglecto v^7 factore Denominatoris , qui ratiocinium non infir-
mat) est arcus Hyperbolae positivus, caius reales Semiaxes secundus, ac

primui lint/V— % ~ " praemissii in §* 33^^; secanda praeter Lineam

4 ^

rectam negativam est idem arcus posttivui eiusdem Hyperbolae (236) ;

tertia demum, in qua diificultas tota coi>sistit, facto^ = — vertitar tn

.4

u

alteram — ^ ^ , quae integrata iuxta praecepta Alembcr-

4
^^ U3?) reducitar praeter Rectam negativam ad duos arcus Sectionum

Conicarum , unum scilicet |K)sitivum ab Hyperbola dependentem

\„^3i^fu^uu L^J^^fu^uu
4 a 4 "^

(238)

99

a.^.V^ = "'^-yy^ . post factam ^^y uti su-

4 4

pra (239) , alium negativum ElHpseos — 1 nempe

a " ' a

iu^ITJZ,

submaltiplum / — =2 multiplo \ arctts 4 . , auti

supposito -^^ \-u=2X9 arcum Ellipticum negativum» ad quem ducit

expressio differentialis — ■vy x Homm arcttum postremus

2 2

spectat etenim ad Ellipsin Conicam, cuius Semiaxes sint /» 2/*ex prae«
cedente §"". sS''^ (240). Omnibus hisce coUectis nemo non videt rb

— ^ — peracquarc Differentiam, quac intcrcedit inter Qua-.

V 2JZ f^-^ff • ■

druplum submuItipU ~p=z arcus Hyperbolici supradicti
r ^^ ^ sive Qaadruplum sabmaltipU

4

,— I =r- arctts veri ac directi Hypetbolae eiasdeoj

4

ad primttm Axem relatae (241) et Sttmmam conflatam ex

vj/,

dx\/x

r> videlicet, ex multiplo VT arcus Ellipticl

£^ animad'',

^y

100

animadvcrsi f ^V » ___ ^^ ^^^ potias ex labmultiplo

/ -^ ■ — - arcus veri ac directi Eliipseos et triplo

aV— /* — **— /
rectae Lineae vel Integralt Algebraico sic expresso

. — —=1 • Hac igitur calculorum niolestia superata»

evincitur tandem quod Alembertt vestigia premendo Integrale suum

/ X-^ — — ooD ab arcu solius Ellipseos » nt ipse aiebat » sed ab

arcubus simul Eliipseos et Hyperbolae dependeat» tiimiram sit

. ,- n dy^ —fy

}y/^-f.^ff \yzfJ ^^^_^f^_^l

4

i.sj.f. , _^va .V7>-^/>-4^;«i

- y 4

V4-/^-

i CUIUS

a V —/*' — *•* —j^

/

expressionis variabiles y^x ita sunt comparatae» ut jf = « ^

^22 fz~^ff veluti innulmos paullo antea , et *" =i

/ ^ z^f-¥^/zz--fz-¥ff

)qneffladmodum constat a substitutionum
, ,- .- .

• • • 2

adhibitarum regressu (242) . Neque Theorema istud . quod falsitatis ar-
guo. ab exempUs arbitror Alemberti meliorem nactum iri fortunam. 11-
lud etenim , quod legitur in Bfnlintnsibus Commentariis (343), est

r duV uu -+ npju -+ «a aliud etiam Umplicius ia Ofuscnlis (244)
J ui/ n

fdu

\

lOI

fduy/ utt^fu^bh ad rem nostram non faciantt tametsi primum unico

Hyperbolae arcu certe integrari demonstratu facile sit. Eorum autem
postremum, si verum unquam fuerit, ab Alemberto mendose resolveretur

ttti tnnscrlbo fideliter (245), i/«\/iri^=t/i—f i'^ :^ — ^ \ • ^

"^uuztfu-^bb

fdu hhdu

f quum e contra stt =

M^/ uu ztfu —{'bb *s/ u.^ uudtfu ^bb

du.uu du.fu iu.hh

-•VeruntameQ

^)/ uu i^fu-^bb ^uuz^ifu—^bb "s/ uu zt fu --¥ bb

aut Alembertus aut Typotbeta «rravit» proptereaquod non

/ du 1/ uu z±fu — f bb , sed / JL — *L — II scribi debuisset » idem

nempe antiquioris formae Integrale ab eo traditum

f-

du y/ uu -^ 2,p' au — Vaa . . , q — l . .

r/i. -* m quo rl P =^ positivum aut negati-

vura csse potesr ob q>et aIi(}uando -<!-, Qua forma correcta (34<5)i
dum / evanuerit iain docuit Maclaarinus ante Alembertum fore

-^— ^^— Integrale ab arcu soHus Hyperbolae aequilaterae depen-

u\/»

dens, ut liquet ex $% praecedente ; dum autem adsit /, sine tanta cal-
culi prolixitate, quanta in locis citatis usus fuit Alembertus (247), ea*

/

uu { bb
dem Maclaarioi methodus substitutionis j8= nos ducit ad Ae-

120

rdus/uuztfu-^bb rd^V^Zr±f

quationem 1- '— =•/ — - * QMC postertor expres-

sio primigenta per ea , qaae sunt in calce §*. 34". ^ Fescalio deprompta »
denotat arcum scalenae Hyperbolaet et facto f=o in antecedtntem
convertitur. Si meum aperire sensam nnnc ]iceat« deceptam fulsse iudico

Alembertum exeoquod in resolutionis casu rH Differeatialis

dzhj z

Vzz — fz -+ bb
N d trifa-

1

102

dt s/T AAdt

trifariam ita divisi -

* tertium termiimm sopposuerit negativo signo

s/^t^^^tt — AA-^ft
adfectum (248), q^uum c contra» rite inito calculot esse debeac — f-

fdt
^ . Fructus tamen aliquis ab hac raea investigationc

f^t-y/tt—AA-^ft

consequitur» praemiumque exantlati laboris . Revera non / — -^

^ y/zz — fz-^-ff

ut Alembertus adseruerat , sed f ■ ab unius Ellipseos recti'

J Vzz^fz^ff

ficatiQne obtincri mihi contigit reperire. Namque, iisdem posicis prouti

supcrius> enc

/dz*^ % f^ dys/y

— — — / •

■f-

•^ * V2 -y yy—fy — -

4

f—z

4 4

f

quibus in formulis j = s — f -^^ VS/zz^fz-^ff. Pri*ma ac secunda

pars membri comparationis eundem significant arcum Hyperbolac scalenaei
cuius Semiaxis sccundus sic /"V-^, primusautem — , cum Linea recta

negativai ct idcirco /". J' v j^

■/

4

4

Va >y\/f . "y yy—fy — ^

(

'03

^y yy—fy — ^ ^ 4

(lW^7==^===7^) - "^^.^'yy-^fy^^ . Tcr-

4

tia denique pars f — J«y^

yy^-fy— ,

4

2 /* ^J^ \/ *Lfx

' " /~ / ■ . per candem Alembem methodum, ad

^y -^ffc—xx — zff

3\//

a'V -

arcus yeros directosqne Conicaram tantmnmodo accpmmodatam • Camula-

dzy/ir

tis crgo partibus Hyperboltci arcus eliminantoir» fitque /*-

^/«2-+^^-+.^

2 V -^/^ — XX —

■^ » ni-

fnirum Quantitati algebraicae, aat Lineae rectae, simul cum arcu Et-
lipseos , cuius Semiaxes sint 2/ maior, /\/^- minor, atq«e ^=:

— ;;— f 7 J . Oblata occasione memoratu dignani

est ElHpses geminas, ad quas ducunt IntegraUa superius cxplicata

■ - et / — ^ , systemata Semiaxium ( ideonue

Vzz —fz ^ff J ^zz^fz^ff

ct Axium) huiusmodi habere, ut corum unus commnnis sit. In priori
cnim EUipsi Semiaxes valent 2/, /■quemadmodum supra, et in poster/ori
®/>/VT» Scd in Hyperbolis elcgantior cmicat comparatio. Unus qaip-

P5

104

ne earum Semiaxium est l^Ll. duabus communis-, alter prioris est -L/,

posterioris — /; suntque trcs isti — /: ^ — ^ : — /fft scilictt»in conti-

nua «yeometrica proportione, cuius termini secundus ac tertius medietatcs
peraequant divcrsorum Semiaxium minorum /\/"3,/duarumElIip$iam. Hy-
pcrbolae ergo, de quibus sermoncm insiituo, gaadent communi Semiaxe

secundo I^L±. , qui gcometrice medius est inter primos — /, — /.

Haec autem proprietas non solum singularia spectat Integralia

/ ^^^ ^ / ^ ^ , vcruntamen latius porrecta com-

^/zz—fz^ff J y/zz^fz^ff

plectitur universalem geminorum Integralium foroiam T'

•^-■^i

/ ^^ , et idcirca ex praemissis ( 949 ) formaoi quoquc

/! : ■ f^ '1 , / ^ — ; quod cst Theorema non

y/TWzz — fz.—^gg ^ V^* Vzz^-^^fz-^gg

equidcm aspcrnandam. Enimvcroi si praecepta eadem ab Alemberto tra-
dita scquamur» Hyperbolarnm , ad quas illae Formulae ducunt » Semiaxes

primi sunt -^ h^, = Vgy secuodas autem communis yi gg >

f I fF f

ac Bcmo non videt cssc g 't+ -^iy gg'——:g — — rr t dummodo

gg>^9 nimirum Trinomiam zzdtfz-^gg factores babeat imsginarios^
4

ff
ut in rcalibus Quantitatibus immorcmur. Dum autem gg<. — » et idco

4' " •

Trinomium zzdtfz--\-gg factores babeat rcales, ex Alemberto ipso dcdu-
citur ( 250 ) fore Scmiaxcm secundum communem duabus Hypcrbolis

T jryX—^^ — a^^ — gg^, atque primos Scmiaxcs in casu Ti-^fz

esse

»o5

csseNaV gg^ ct in opposito r» — fz esse -= V' ^^ ; qua*

4 24

propter emergit proportio a\~ — gg i^ f\ — ~gg—2{' gg)

4 4 4

f I fF
V-- gg T^ uti Elementa suradent (251). Longius tamen repe-

tenda est admirandae aifectionii huios origo, qnippe enascitur ab expres*
sione primitifa arcus Hyperbolici T =^=z—=-* i« q^a nullum aliud

. ^ Vzz:=tfz—gg

discrimen adsit praeter signum '^Sf Ex lam dictis etenim in $*". ^y\

f
quo ad casum --*-/' Semiaxes Hyperbolae sunt g secondus, et — + —

2

Vff
"T""^^^ primus, dum quo ad altcrum — /*Semiaxes secandus» ac

•

f fw^ —

priaius sunt g, ac — -¥ V- hggt qui sioial anlmadversi sqppedi-

>ant semper -^ -^ \- vgg-.gx-^l- _<. V~- -+j'^ fr continuani

•^ *x 4

Teometricam Proportioncm , quan* inconcas5am Algebra toetur etiam in

•imite t5 =t/, videlicet, quaro/=o^ et Formula venatur in

. ...

i > Ea namque in hypoihesi fit proportia ]g»g'gT7f ac. duo

^ Vzz—gg

Hyperbolae in unicam abeunt, quae reapse ex §'. 34'». aequilater» cst
non secus ac in praesentia demonstro. Quod igitur Analysis fecit (vid.

§"■". 28"«».) iq; Formulae simplicis V — ^^^' . resolaiione', quae
dttos Ellipsium arcus repraesentat, quarum Semiazis commanis sit /, ce*
terique diversi in expressione biformi contineantur — :± V — •— ^/ ,

atque proportiqn«m efficiant -^ -* V^^^-r-^:^:-^ — V— ~//rf,

cametsi

io6

tametsi /signo unico positivo gaudere po?sit, Formulamque unicam pos-
sibilcm sappeditare valeat» idipsum quoque efficere conatur ad religiose
servandam Conicarum analogiam in expressione duplici integranda

A. ^ ^ praesidio arcus duarum Hyperbolarum communi

^ Vzz:=tfz—gg

Semiaxe secando g praeditarumi et Semiaxes primos habentium compre-

hensos a Formula biformi r± — — f V— 'H-^^ • ac in geometrica pro*

a 4

portlone cum g pariter lunctos. In gemina Ellipsi» ubi rhf positivum
semper erat> hoc fecit duplicitatem expressionis in Radicali complectens

— r±.y/ — gg\ qaae Formula idonea etiam est ad demonstrandam, vel

potius confirmandam constructionis t& f — irapossibilita-

J V — fz — zz — gg

f ^ ff f ^ ff

tcm , quum Semiaxes utrique h V gg^ V -^ gg

duarum EUipsiam negativi evaderent, positivo semper manente commtt*

ni g, ideoque et Axes— /— h\/^— 4^^, ^f — Vff—Aggf positivo ma-
uente altero 2.g\ qaod moostro simile esset, quia ex traditis in Geome-
tria Eilipsis uno Axe positivo, altero nega^ivo praedita aeque imaginaria
est ac Circulas super diametrum positivam descriptus hac conditione, ut

altera ad normam posita sit negativa . In gemina vero Hyperbola idem

/
fecit Analysis ope duplicis signizt/FormuIamque biformem iosticuic =1: --*

-+ V hgg reiecto gemioo Radicalis signo, proptereaquod Semiaxes

.4

negativi fierent, ideoque «t Axes Hyperbolarum / — Vff-^^gg^ -^f

— Vff—^\gg dum communis alter Axis ^g positivus permaneret, Cur-
varamque impossibilitatem ostenderet. Sed et in hisce imaginariis casibas
suorum iurium Algebra tenax tam in Ellipsibus, quam in Hyperbolis pror

f ^# "

portionem suam sartam tectam tueturt sciliccc — — -+\^ ^ // ••/ •

a 4

V2"

ggri* atque

r

2

V2

107

f^:^:

2

4

v^

4

gg'g'

£

2

v^

f-?

/

2

v^

4

-+gg'g'

/

2

v^

— f ff ff . Fundamentum specuUtionis

analyticae , in qua nunc sumus, praesentissimum habecur si Formulam versare
noa pigeat Arcus Hyperbolae ad secundum Axem relatae. Formulam istam
nescioquoiare ab Alemberto (252)» et Leonardo Eulero (253) neglectam
postmodnm animadvertit Vincentius Riccatus (254)1 sed evolverunt et ia
nsam traduxerunt praesertim Commentatores Minimi Principiorum Newto-
^i (^55)* Censuit Alembertus totius utilitatis et commodi expertem futuram
consideratiooem analyticae expressionis arcus Hyperbolae ad secundum Axem
relatac , atpote quae in idem recidat ac expressio altera eiusdem Curvae arcus
dum primo Axi referatur (256). Quod quam verum sit in Ellipsi, e^deni
Aequatione praedita si alterutri Axi fuo comparetur, tam infirmari arbi-
tror in Hyperbola, cuius Aequatio ad Axem secundum valde difTert ab
alia, qoac primum Axem respiciat. Frofecto Theorema Pascalii suppedi-
tavit in §*. 31™°. Formulam unicam pro Ellipseos arcu

f

slV {qa

- — , sed e contra geminam» nempe

a)z — zz
dzy/ai

qaa

aV

in §•. 32^^ ac 33**. , necnou

zz

f

{a — qa)z — qaa

/IzVaz

— in §•• 42*^*». pro arcu Hyperbolae , positis

qV zz-^(qa — a)z — qaa
in Ellipsi duobus Semiaxibus a^aVY 9 ^" Hyperbola primo Semiaxe 4»
secundo aV^* ^t rursum in eSdem Curva secundo Semiaxe n, ac vicis*
sim primp aV^ ^^ praeostensis • Duae Hyperbolici arcus expressiones in
eo solum discriminantur, quod CoefHciens denominatoris trinomialis diver*
so gaudeat signo , quum in uno s\ta--qat in altero vero — (ii — 17^ ) =
qa—a. Ab unica igitur signi illius mutatione, ceteris omnibus iisdem per-
nanentibus, inversio ordinis Axium Hyperbolae oritur , Arcuumque al-
terna comparatio primo secundovc Axi huius Conicae Curyae* Dum ergo

O ^ —

I

ll

i.

IQ*

dz.\/

«-ir^^SrA i^.^—SS* *»■»« f . " ■■ '^. ' " ■ arcus HyperboUe ad pri-

f ..Jff

mum Axem, cuius Scmiaxis rprimus h V -^ ^gg % vecundus g ex

$**• 33'**- » «t vicissim ^ , ^^ ^ crii arcus .aUcritts Hypcrbolae ad

f rw —

sccuodam Axem ^ cQtos Semiaxis primus g^ sccundus -^ l-V vgg

cx §"*. 42**. , nimirum arcus Hyperbolac Comugatae. Hic autem arcus
Myperbolae Contugatae pcr Carvarum Geometriam reducitur facile ad ar*
j cam Hypcrbolarum j/f»///iyf» » quarum una ea est superius coQtemplata, Sc-

\

i

\

E^ re quidem vera si compleatar Formula » ut lex homogeneorum servc«

tur» est in Hyperbola ad primum Axein

miaxcm priinum habcns— T=^ hW — -^gi^ sccundam g^ uti patet ex

2 4

/ /'F^ f /#

iam dicta proportione hV ^gg^-g • -^ 1- v Vgg rf . Hc

* '* s 4 ^ 4

/

4Zl^Jz

jz.^-^^V^-¥gg.V7

;= arcui Curvae s, et in Hyper-

/

aVzz — fz — gg

bola ad secandam Axem ex supcrius citato $% 33'^

■ I * . ■

•j y f ^J ^-^ /-

dz. ^ \rV Vgg.Vt.

-f . ' . ». = Arcui Curvae / =

iV zz — fz — gg
r in arcum similem s*^ praedictae prioris Hyper-

a . 4 "^
bolae similis ad secundum vd primum Axem relatac , vidclicet ==

/' vcl potius

xop

xf

i/ / a/^ ^Vzz—fz—gg

a 4

/■

^ — f quemadfflodam supra • Eadera vr

ceversa recorrUnt supponendo a — 5^^ = — /*, ideoqae qa — 4=/, et

- par crit arcui Hyperbolae ad primun^

Vzz — fz — gs

Axem^ habentis Semiaxem primuffl — -^ V^ ^ — l-^^, secundum g\

peraequabit arcum Hyperbolae Coniugatae ad
/z2— h/i — gg

mundam Axem, habentis — -=^ — i- \ ^^gg pro Semjaxe secundo,
ac / pro primo • Et simrUbus pariter Hyperbolis in subsidiuffl vocacis no*

^rf«y_i:^V4^-H.// .-/

runt omnes * ^4

3V 2a-+/s! — gg

/ .y£^

X

«v

** ..

75

t, .1

a 4 ■ ^ .

■ , . jfi ( 1 . . '■ " ■ ■ ^^ ■ n ^ scuicet f = -

^s/ zz—¥ fz — gg - . - . , ^

dz .\^ — T""+V-~-rf// 4 V « . .

;^ . ■: ». . ■ ■ ■ ■ elideffl $|iperiori fflcthodo reoo-

it I •

- — ^»^^-^»^W^^^— ^^^ ■■■■ ^^^^^i»

O 2 ^^<^^

I

I

IIO
vaca. Maximam autem suscJpti huiuscc I.iboris pretium in co situm c$t
quod illam Formuhrum EUipseos et Hyperbolae in hac Intcgralium iheb-
rfce analogiam » quam hactenus Mathematici aut non vidcrunt , aut non
viJisgc visi sunt» restituere facilc possim. Aliqua de argumcnto ipso obi-
ter di^Iibavi in §**. 42**^ > pluraque cx paullo antea dictis consequuntur;
sed nunc plenius tractandam amocnissimam ipsam rem mci muncris esse
iudico . Arcum Ellipscos comprehensum a Formula univcrsali

/

dz\J z

— invcniri aeque posse aut Curvam eandem referendo ad

Vfz — zz—^g

primam et maiorem Axcm » aut potius ad sccundam ct minorcm primus
quod sciam docui in $^. 31*^^ Qain etiam si directam consulas dcrivatio-
nem Arcas illius a Pascalii thcoria» Axis^cui rcferatur EIIipsis»et io quo
abscissae computentur> coniugatus scmper cst quo ad alterum Axcm, $u«*
per quem absci^sac numerantur in communi Analystarum doctrina a Cal-
culo Integrali deducta (257). Ut hoc in Hypcrbota quoque, et quauam
ratione idgcnus harmwiam cxpertus sim, ad Conicarum intimum focdas eo
jnagis illustrandum brcvitcr cxplicabo» divcrs^ue etiam via, qua idipsaoi

confeci in Ellipsi • Expressio itaque C ^wan ^^ ^ ^^^

J « a/ ^t ^^\

52 V«z— H(i> — qa)z — qaa
ixmvcrsalitts f — ^ — - ( in qua atrum / vel positivi , vcl nega-

J y/zz-¥fz—gg
tivi valoris fuerit, nimirum aut a — qa^ aut qa — tf, nihil intcrcst) da-
plici modo pcr arcum Hyperboke construi potest, non secus atqae altera

iz a/""

9 cuius constrttctip ab EIKpscos arcu dimanat • Siqui"'

/:

y/ fz—zz — gg

dem in potestate Geometrarum est Formulam illam construere attt Hyper*'
bolam quacrendo ad Axem primum rclatam, aut alteram Hypcrbolam com«
paratam Axi secundo vel (oniugapo. Si primum spcctes, crit r\

r ^3;\/^g _^^ ^y^^j Hyperbolae (Fig*. 38.) ad Axem

J aVzz— f-(tf — qa)z — qaa

primum OAC relatae, ac praeditae Scmiaxe transverso OA = af coniugata
OD = ay/^ ex totics dictis . In hac constructione x = OCf et Aequa-
tio ad Farabolam ApoIIonii, relationem praebens inter x ^xz^ iuxta com-.

aiunep

I !I

munem mcthodutn Analystaram, est (q — }ri)^x — j^ = <72 , sciliccc Pa-

rabola xx = ( j (<7— hz) Parametro gaudens , Ordinatis at,

Abscissis z^ ec origine Abscissaram edrundem per intervallum a sabter
Verticem a Vcrtice ipso remojta (258). Dum aucem spectes Axem secuu-

dum, habebis cx praecedentibas f

yzz — I- {a — qa )z — qaa

— —r r ^ Y -f ^^ = submultiplo — — - arcus Hyper-

y ^ J 2A/22-+(tf — qa)z — qaa V^

bolae GI ad secundum Axem relatae 0£F, ac praeditae Semiaxe trans"
verso OG^^ay/^q^ comugato OK==^aq.^ztc constructio supponic Abscis-
sas jf^r^OF; et relatio i,nter x' ac z in Aequatione consistit, ex Mathe-

maticorum praeceptis (259) passim traditis in Elementis, {q-^\) oc x

qqaa=zqaz^ vqX x'x^=^( — ? — ^^ ( « — ?^)> ad Parabolara pariter

Apollonianam» cuias Parameter — ^ — » Ordinatae x'^ Abscissae Zf et

origo hararoce Abscissarum ultra Verticem per intervallum qa ab ipso
Vcrtice distans. Hyperbolae vero heic descriptae ABL^ GIM similcs sunt
propter OA ; OG \ \ OD ; OAT, videlicet a : asf^ \ \ ay/^J: aq , quemadmodum
Kquet » et pluries monui • Semiaxes insuper vel Axes cognomines Hyper-
bolarum earundem GIM%ADL sunt in ratione v^' i » uti constat . Sub-

inultiplum igitur — =• . G/ peraequat arcum in Hyperbola ABL simi*

lem arcui G/ alterius Hyperbolae GIM per Elementa . Et arcus hic simi^
lis in Hypcrbola ABL necessario idem est cum arcu AB^ ad quem per-
duxit prima constructio. Quum etenim 2 eosdem semper valores habere

debeat tam in Formula f — ^ * » , qaam in alia proposi-

•^ ^V^zz—f^tf — qa)z — qaa

ta » qnae Coefficicotis artificio adiavaute reapse identica est^
— -pr C — ^ v^tf.g ^ ncccssc fit valcrc Acquationem

'"^ i J 2Vzz-^{a — qa)z — qaa

l

n

1«

y

III

( IzHlL )xx — a = (1 L) jT V -f qa cx Acquationibus pracmissis or-

^ a ^ \ i^

tam, qua rittf rcctcque composita fit tandcm x'x=^q{xx — aa)^ $ett
XX = — — {xx — aa)=^ {xx — aa)'f si vc , posito atcunquc x

^iOC^ ncccssario crit x* = CB=^OEf ct idcirco 4B quacsitus arcus w-
mHis arcui Glt quoo^odo dcmonstrandura susccpcram . En crgo rh

— ^ gcmino itinere proscquuto consrtructum , ncmpe

2Vzz-^{a — qa)z—qaa

aut samptis x in primo Axe OAH Hyperbolac ABL ad Axem primam com«

paratic* aut sumptis x' in Axe sccundo 0£F ( scu Coordinacis rcspectu x)

eiasdem 'Hyperbolac, a qua gcmina constructionc idcm tamcn produit ar*

cus AB pro ri C. — ^^ valore detcrminando. Nec alitct

^ SL^ zz-^ia-^qa^z^qaa

dicendum de constructione gemioa Intcgralis altcrius praccogniti

f ^g \/^g (^idar. gu.; 42du«.)^ q^ippc factis a — —tt

^ 2>/ zz-^ijqa — a)z — qaa i

— =q\ multiplum indaic Integralls prioris formae

q

'^' n ==========: — ri eandcmque proptcrca cam Integrali-

J ay/zz—^-^b — q'b)z — qbb

bus ad Ellipsium perimetros duccntibus plenam ct namcris omnibus abso-
lutam communionem patefacit. Quibus omnibus demonstratis, undc lon-
giua digrcssus sum rcdeo libenter. Expcrimcnta itcravi quamplurima^ nC
forte crroris sUius supcrias perpcnsi Alcmbertam argaens )pse poti^s ineC
eius mctbodum rccte intellexis$c» n^c xite adplicuisse .yiderer. Tcntamea

Igitur rcnovare sqid^ii in altcra Fprmula 2 /^-

J A

^uu ^fu — h bb

fdu

— -- — ! ■ ■ 9 quam praelaud

\/T. s/uu ztfu — J- bb

atas Auctor ^dfirmat ^b unicb af'*

ca Hyperbolae dependere (2(5o) . Alemberti ycjtigia acquc .fidcHter se-
qucns, prouti fcccram in lapsu suo dctcgendo, hypothcsin inivi ^iy—»

=±-^ -H- V («=±-f r-K^*-^), quo posito fit 3/ '^"^'*

a i ij «^ ^

Vuu^fu-^bb

^/7=-=^-^^/—

4

v^Jiy^^i'— (**— ^) yVJ^V p^fy—\bb^^)

4 4

V 2 / — , et sicniliter partem alteram con-

4
cinnaDdo cvadit -^ ^ *'

fTl=

" t<

y/ u-y uuz±fu — h^*
=± V 2 / ; aaeo ut partibas coniunctis , quam

V7.V yy^fy—Xbb—£-)
scse^destmaat ^sfT f r ■ ■ '.-^ t — at;

: 4

s/"^ h • , remaneac soluminoda tim^plicior Ae«

s/l-y/ yy^fy—Kbh — ^)

qualitas a /" ^^^^ =t T f^" =

•^ V *» =t /i« —f ** «^ v^. '^uuzkfu—hbb

j f- r (bb — ^)Jy

H f /— ^^ -/ . * ' ) .

4 . ' 4

cuius posterius membrum ex superias ostensis rectificationem unius tan-

tum eiusderoque Hyperbolae repraesentat • Si ergo examen ipsunif quod.

suscepi, Alembertom vera scribentem veritatem scripsisse confirmaty qua-

nam ratione dubitandum erit de examinis eiusdem fide dum eum a vero

aberrasse sub Oculos ponit? Ad reni istam promovendam alia etiam moli-

tus. Qui Alemberti placita perlegat eo loci (261)» quo Differentialis

"4- ,

/ ^ ^ integrationem dqcet primum coiitemplando casnm Tri-
"^ zz -±: fz --r^ bb

nomii «rt/i— 4- W radices reales habentist non poterit quin arbitre-

tur universaliter Integrale illud nunquam obtineri » nisi praesidto ar-

cuum simul Ellipseos atque HyperboIaei« NuUa etenim ab Alember-

to facta adest inibi limitatio, nullus casus exceptus. In hoc etiam Vi-

rum iHum clarissimum aliquid humani passum esse experimento moto

adinvcni. Quum Rudimenta Calculi Integralis in Boagainvillii Tractatu

adolescens adhuc Pisis pervolararem (262), forte fortuna sub manum ha- '

bui CoHectionis Lucensis Volumen IV"*". ac postremum , quod Vincentii

Riccati lesuitae Dissertationem complectitur de Summa Formulae differen-

tialis» cuius in sequente §"• sermonem faciam (263). Eam saepenumero

Alemberti Formulis comparatus Tabulam mihi composui, qua statim di-

gnosccre possem utrum f Y * . in qualibet signorum Trino-

cnii radicibus realibus praediti combinatione ab arcu tantum Hyperbolae,
\el ab arcu tantum Ellipseos, vel tandem ab arcubus simul Ellipseos ec
Hyperbolae dependeret. Tabulae huius auctoritate protinus novi metho-
dum elaboratissimam ab Alcmberto traditam illius mentem ita. perturbai»-
se , ut casus aliquos singulares excipiendos» ac separatim tractandos baud-
quaquam viderit. Edendam nunc censeo in publicam lucem Tabulam il-
lam olim in privatos usus conscriptam, casusque exceptos et Alemberto
invisos ipsius principiis insistens postmodam conilrmabo .

r\f

115

f***

^«i

rt/

dz\J'

%

V :± zz Tkfz =t bb

I.

11.

III.

IV.

V.

VI..

VII.

1 vm.

Signa

E$t laiaginarium aat aniversalicer impossibile .
Pendet a soUus Ellipseos Arca.

a solias Hyperbolae Arcu.

a solius Hyperbolae Arcu.

a soliasHyperboIae Arca> et Ljnea recca.

a sdiusHypcrbolaeArcu.etLinearecta.

ab Arcubus sitnul Hyperbolaei et El-
lipseosi ac Linea recta.

ab unitts Arcu Ellipseos, et generallter
simul cum Linea recta»

Dntnmodo ^ zz rt/z :=t tb £ictores habeat ceales» ac variabiirssir posijtiva .

HaiK Tabulam uispiciitati cuncra fcce obviaui Y^nione, quae ck Maciau-»
riiio e( AUffibeno cpUejitnusi. Sed qaod priimiiii ac praecipuum tctu ocu«
li mihi occurrit perscrutandu?i » est casas triplicis, signi positivii nimirum

VIIP"*., Formulae / ^ ^ . » quam Alembertus indiscriminatim

yzz — Vfz — Vhb

cpe arcuum Etlipseos simul et Hyperbolae integrari docuit , et Tabula ex
adverso a solo* Elirpsebs.arcu rem coniici nosadmonet. Tabulae autem de«
cretum istud iure, ap Iniurla pronunciatum sit, ab Alemberto ipsb disce-*
re nihil vetat . Ille igitur ope Algebrae Cartesianae sclodit in duo Inte-

\/ zz — h/z — *- hb

grale propositam facto z—^-a^y^ reperitque f

f-

^yV'

/939

/■

ady

simo inito Calculo inveni esst n

_ /

Ego autem molestis*

mm

2

4

a^ 1 et mm

f

Ji6

f\ i--~bb -.£.^2bb, ac demum j=X_V^ — W . Partem
alceratn, nempe — /-— — — — - siibititatiQne de morc adhi-

bita j^ = , Tcdiicit ad Integrale /- . — ii=rzmrr • Hoc itc-

rutn artifxcii Qrtesiani opibus impctratis vertit in — /1-

tf //// \/

u

iwVi

mm-+m — uu

/•

t vidclicet, sapposico u^=i — r^ mutat Aa —

tn

tf /* dyy y ^ay yy — l-»y — ww tf riuS/m*

C iy y y ^^V yy — l-»y — mm a /*

ita ut denique fiat /^ ■ ^ ^ r == /L yV> —

1 * "^ V jsis --f/s --i- i^^ ^ ^ yy^ny — mm

; ><» \ r ^ ' dyVT^ ' . : vtf r duV^*^u ^aVyy --^.ny — mm

«' -^ V yy-vny — mm ^ "^ VT.Va'—u ^VJ

AJembttttts profecto eo pcrventus curae non habttit comparacionem vaIo«
rutn a et<fl^» quos ega fkstidib Calculi non perterritus ihter se pares

aetexi, sive *huiUscemodi ,' ut ^= i , et i(leo ob signorum oppositionem

'f • ' • i ■ • ' ' ''!*'. - ■

i3uo arcus Hyperbdlicielimincntur. Enimvero il!e Scriptor egregtus prae-
cepit. esse m aequalem negativae radicis valori posicive sampto Aeqaa«

tionis mm^nu^^juu^

= 0. seu^^-rK-^-aVfl-^^^ir-f

fl ■'4

'bb) — o^ quae resoluta praebet u — — =fc

• •

y •- mm , idcjt m'

4

\/ nn » .

— V — :r+ mm —

4 a . .

J<5 4 4 .4^4,/ ^ 4 .; a

a^>

117

424 8444 2

• • •

3.V#_

^^

3 4 _^ a ^ 4 /

42 a

ViT %, •• .... /* izsj %

■s^ — W =3= tf ex fam praetnissis . Ergo / ■ . • -

\/z2 — f yi — ♦• 46

/

- -H- — ^ • ■ , ^ , nimirum aeqoale quantitau

Algebraicae aut Lineae rectae una cnm 1 —^ — > quod Integraleest

arcus Ellipseos pec demanstraca in calce §'. 34^^ directe ex Pascalio» sine
necessitate adhibendi prolixiorem roethodum Alembertianam (264) ut ea*»
dem veriras pateat • Gemiaum itaque in hac Integraliam specutationc pe*
riculum ofTcndit doctisslmus Alembertus» et quod mirum est a veritate
per adversum iter nestio cpio fato declihavit . Dum edfm agebat 'de

» hoc integrale ab EUipseoa taotsm arcu depcfidete

/

- «■ * ■ ' p

y/zz — fz -^ff
prodidit» quaavis ab EUipseos aimul et Hyperbolae arcubas consequatur.

E cdntra rh f ^ ' > in hypothesi supradicta, Ellipscos et Hy-

J y/zz^fz-^Vb f^ - '

perbolae simul arcubus resolvi (^utaytti etsi arcu tantum Elliptico sustl*
neatur. Casus igitiir VIP"\ et VIII*'". superiorls Tabulae in unum co-
niunxrt Alembertus, tametsi peculiariter tractahdi ac dividendi fuissent»
adco ut eius 6""». Prohlema (265) sic potius exponi debuisset .
izs/

^/zz-^fsi^bb

m .

,; det filhpse&i' reBlTficiTiofte';' sed" /li-_^^i-i— ." in eadem, hypdthesi

•^ Vaa — fz-+l>b •

r .-•.,» ■ • - • • •

^y dependet siftial a rectificatione EUinseos et Flvperbolae, Iii bypothesi

P a vcro

— ' — — in hypbthesi Factoram Trindioii 'nallum asola pen«

^/ zz -^fy --^ bb

ii8

„ vero Factoram Triooinii imaginarhrum C - ' ■ ■ pendet iiai.

• *

,» versaltcer « r«««i£catione EUipseos ^itnol et Hyperbolae» excepto unico

— f quae a sola Ellipseos rt-

„ ctificatione dependet. *, Hoc ipsaoi ex Fascalii doctrina iaoidadam co-
meceramlo §°. ^3'°.» et quae turo videbantur ^tfr^i/o^ii ct io^possibilia,
nunc facile resolvuntur derecto lapsu Aleroberti. Quod enim ibt con*
ceptus Geometrarum vires snperabat^ ih praesentia despiciendum esc pp-
tius, qaam admirandam. Profecto, quum in hypothesi Factorum realiaoi

Trinomii hoc Integrale f ■ ■ ab Arcu tantum Elliptico de*

Vzz-^fz-^gg

— Jz^'

peqdere ouper osteodertm , ideoque e^iam / — ■ ■» aut per ca-

' J ^zz^fz-^gg

fiDties vulgatos ~ /■■ *^ ■ -t nil miram si haram expressio-

J \/'zz-^f^-^gg

fttim poscrema euodem signi&cec Arcom £llipsffQi Casos II^ «ti

/ ^' ■ ■ f. ■ r^ > Nec. ai6lesti4m aftertt dubitatiooemve aat signum
J S/ fz — zz — gg

joegativttm primjie Formttlae adpositum) aat Lioea recta in Caso VIIP,
cum Arca Corvae cojiiancta ^ Qoinimmo. ab hac potios comparatione de-
chicehdom erit posse ac debere negativum ArCQm EUipseos Cooicae una
cum Linea recta positivs^ parem esse alteri Arcui Eiliptico positivo, scilif
cet, Sammam duorum Arcuum Ellipticorum rec$ifi€cbilem cs&c posse ac de-
bere. Praeterea, quum ex Elem^ntis Geometriae et Eoleri auctoritate (a6d)
constet Arcus Elliptici expressionem quamcuraqae esse Functiaoem bifor*

mem non dissimiliter a VL^^ict^quadr^nca^ consjtquitor f ^

^ Wzz-^fz^gg

=— C , ''/* . .. ftimirnm Dif&reMttq^.imffr.doos Arcus El-

r \fz---zz — gg

lipticos aeqae recttficabiltm esse posse ac debere. Hoc quoque de Hyper-
bolicis Arcubus dicendam est » quorttui ^xprcssiones ad Fanctiones bifor*

ms

119

mes {0,61) pariter pertinent» vcluti pseudoparadoxon alteruni innaic. In

co enim consistit ex §**. 33'°., quod rh f — ^ eandem Ar-

^ ^/zzdtfz — gg

cus Hypcrbolae mensuram significet nti f ' » idest ex Casi-

biH 10 Tabula cpntemplatis lir- ac V. , IV**. «t Vr. sit tam Diffcrcn-
tia, quam Summa daorttm Ellipticoram Arcoum geometrice rectificabilis .
Inde pttet quod a doctrina ipsa Pctcalii recte riteque pcrpensa et divit«
facta enascantur eximia illa Thcoremata de Sunmis. aat DifTerentiis geor
metrice adsignandis Arcuum quorundam eiusdem Hyperbolae vel EUipseos
sea diversaram HyperboUram Ellipsiomve» quae primus omnium lulius
Fagnanai (a($8), ac postmodum Vinccntios Riccatus (269), Leonardus Ea«
lerus (270), loannes Alembertus (a^i), et nupcrrime Andreas Lcxel-
Vms (2*32) snagno Analyseos incrcmento protuleront> et demonstraruntt»
Cetcram Alcmbcrtus toto iure redarguit Vinccntium Riccatum eo loct»

r

qao Integralia diilcrentialinm dx

^^ ^. —r-% dx^m-^nx) /\

{m^nx) *

t k r

{a^ex^^^ % dxim—^nx)^ {a^^ex^) * ab arcubus Sectionum Co-^

nicaram dcpendere universaliter existimavit » quum hoc nisi quibusdam

exponcntium ^,r conditionibas positis verum esse nequeat (273). Non«

nulla etiam recte indigitat evttanda in isca Integralium theorice Formu*

larum Tractatus Isaati Newtoni de Qaadratura Curvarum pericula (274)1

a se adhuc atdolcscente etiam alias expeha tuni quum coram AcadccDia

Scicntiarum Tarisicnsi errores aliquot oppu^naverir, in quos lapsus fuit

de Mathesi optime meritus Rcyneaus in sua Analysi demonstrata (275) . Qua

de re nUnquam satis laodandi Commentatores Minimi Principiorum Newto-

ni , qui eo jpso Tractatu anireo scmpcr duce Elementa Calculi Integralium

scripserunt absqucoqaod nuHum oflendcrlnt scopulum, nec ideo a verita-

te abcrraverint (276). Fnndamcnta novae methodi.suae a Maclaurino

sumpsisse Alembertum nemo inficias ibit, qui animadverterit usum aliquem

ab Anglo ipso Geomctra factum fuisse formulae Arcus Ellipscos

/

\

/

120

in ir. Volamine Tractatus Fluxionum (277); neque
a\/ a^ — x.^

difficile conceptu erat eandcm usum promovere, et transferre ad formu-

lam analogam pro Arca Hyperbolico . IIlo autem fundamento posico

n

— (dammodo » $ic nume-

rus integer ac Trinomium habeat Factores reales) facillime ad Arcut Ellipti-
cos et Hyperbolicos redaci poteranc, velati diverso ab Alemberti semira» ac
breviori itinere feceriint praesertim Riccatast Eulejrusi praccitati Commen*
tatores Newtoni» atque Lexelltas (278). Nec pariim miror AJembertum
ipsum breviort huic itineri terga dedisse » quum in siiif ulari casa integra-

n P '

tionis ri x^ ^ dx{4^bx^ cxx ) ^ eaodem methodum adbibueric mal-

\ a -*4* bx -H* €xx

tiplicationis illius DifTerentlalis per — ■ (279) » quam $olam-

^a^bx — \rcxx

/ix^a -H- bxx
— " in trU
V^ ^ — 4- €xx

vemiales C — ^^ - earomque dertvatas convertendi sermo fuis-

set, quemadmodum in §^ 42^^ pluries inuui . Dam aatem Trjnomiam
careat Factoribas realibas» maiori etiam facilirate» qua usus esj: Alcmber-
tas > resolvi eae Formalae poterant tn trtnosniales Factoribus realibus prae-
ditas, velati prae ceteris clarius atque distinctius edocuit Leonardus Eu*
lerus (280). Versans Alembercus idem Formulas magis compositas

- V a--\-bx —¥ cxx --^ ex^ *^ i

Va — f bx--\' cxx -+ ex^ *^ V^ ^bx-^ cx^ -+ ex^ ^fx^

xxdx

=^ s earumque quamplurimas derivatas (281) ,

Va — I- bx —^-cx' — h ex^ — Vfx^
Qon parum admirationis expertus fuisset si in Pascalio suo illarum prima
saitem lineamenta contemplari pocuisset, ut in calce $'• 34^. mihi conci-
git explicare» et Maclaurini meminisset» qui harumce Functionum ab Ar«

cubtts

cabas Coaicaraoi depeadcntiam radimenta protalerat /-

/xxdx . . /* dx

— - , qain ctiam /

•121
dx

y/g--cfx^-x^

y ct Theorcma

celebeFrimum Alemberti ti C— ■ ex alio simpliciorc

V^* =±/** — ** -^ W =t ^' =±/*' — X'

dx

lategraii C facilUme derivandi (282), qaemadmodum fa-

sius in 42^^ S^, ostendi. Nihilo tamen minas praestantissimum Alemberti

ingenium taro ia Commentariis Berolinensibus 9 quam in Opysculis MathemA'-

ticis^ (283) hanc Analyseos partem cam perimetris Conicarum Sectionum

conianctam toc novis FiinGtionibas locopletavit , atque adeo suam fecit 9

tit-vixiaaias destderari tmqaam posse» eittsque inventis aliquid adderc

dabitaverim. Formalarum pcofecto ab^eo resolutaram uumerus ferme in

u
immeosam ex.cresceret si pro variabili z aat x Potentia qaaelibet v ( ut

# • • • 1 *

ipse aic (284)) sabstitueretur » aut Uni^erblias qaafevis Functio (pz^^x
etc. ciusdem variabilis. Maclaurinum denique imitatus vir ille nunquam
satis laudandus ad sublimiorem Physicen illustrandam inventa sua trada*
cere turac.babuit, nallamqac non movit lapldem in Investi^ationihts de
Mundi Systemate (265)»^?' *" Opusculorum Voluminibus (286) ne Theoria
ista analytica admodum sterilis videretu/. Qua praesercim in rc 'si sum*
snum spectes mentis acumen, nulli secundam censeo adplicationem For*
mularom huiuscembdi ad supputandas perturbationes mutaas lovis ct Sa*

n
ds.s *

torni» utpotcquas complectatur unica expressio f — > ubi

c>hy ex praecedentibus summanda praesidio Arcuum Conicarum Curva*
ruqci. Casum autem r» ii==:i, aut= — 3, qai ab co derivatur cx prac-
missis I ab Arcu tantam /Ellipseos dependcntem dignoscerc facillioium est ,

/*dx y.ab — + bx
quam ca Formula facto / — a^=^x vertatur in s/T j -

quae

123

quae comparata cum altcra / — ===== exposita m §*. 94«»,

praebet Aequationes »'*-+*'*=«*, »'* — i'* = i*, nimiram Semiaxes
EHipseos «'=V~* .VJ^, *' = V — * • V*— A. scilicet, in ra-

tione a/^^ — bbxa — h^ uti diversam semitam cerens Alemberttts inve-

nit (287).

44. Ne manca ac mutila sit haec IntegraliUni Calculi pars nobilissi-

. *

ma» quam uno duce Pascalio facilius tractandamac perficlendam cordi ha-

,*«dkMi*w««a

/dzy f-^gzz
— ' ' - nunc loquar , ar-

gumentum sument a §$^. 3**. .37"^ sB''^ ac 3ft"**M Jiuibas eain adum-

bravi. Tres exstanr uoiversomm^eiusdem catunm Tabulac ab erudittsd-

.mis Geometris Riccaco {288}, ^EuIero (289)1 Lexellio (290) compositae,

. indubiumque est Vincentium . Hiccatum auc pmnium primum de ista

Functione iiniversaliter integranda cogitasse^ aut certe primum cogitatio-

nes suas in lucem publicam edidisse» quum eius Disqoisitio» quemadmo-

d}im alias admonui (291)1 anno M.DCC.LVII^. vutgata fuerit, priores

autem de hoc argumento Leonardi Euleri medltationes aqno M.DCCXXIir.

typis impressae in Volumine VIIF. Novorum CoMmentariorum Academiae

. PetrofoUtanae . Quidquid vero sit de inventionis primatu» ternae Tabu*

. lae» tametsi varia methodo concinnatae» mire consentiunt inter se, idem-

que adamussim concludunt. Eulerus quidem atque Lexellius duodecim

tantuni cnsus ^numerant 1 vigintidao autem Riccatus, Venintamen de-

cem adiuncti a postreino scriptore nec locupletiorem 'faciunc Analysin»

neque pauciores casus infirmanc a primis animadversos. lare hoc dicam»

an ifiiurja , facile diiudicandum. Riccatus etenim addir casul V. ac ir.

t , . rdz\/ f-^ gzz , . rJzs/ — / — gzz

Eulcri / — ^ — altcrum geminatum / -" ^ % quoram sa-

ne postremorum Integraliam utrumque magnitudinis realh cst, sed eadem

haec mahec cunii prima si pcr == 1 multiplicetar. Iterum praetcr

casus

tMsns

123

/ 'iz\/ f-Tgzz rdz Vf—^ gzz rdzV f—^zz
^ p — qzz *^ V — p^qzz •^ ^ p^qzz

r dzsZ —f^gz z^ ^ qoi sunt in Tabuta Euleri II^*. IV« V»^ ct IX« ,

tdzs/—f—f^zz • fihV^f—gzz fdz ^—f-¥ gzz
considerat / : ■■ t / ' " % j — rzrzmzirr

^ V-^^p-^u^^ Vp — 5f«« V — p — qzz

/ ^ ^ — , eosdem tamen cum prioribas, utpote ab illorum multi-
V—p — Jzz

plicatione per . ^' = f paritet genitos •' Consimili modo praeter Intc-

V-i

gralia numeris ab Eulero distincta VIIP» ac X^, nimirum ,
^ V — p^-^^zz ' "^ V p — J2;s

• • rdzV—f-^gzz r dzVf —gzz
f%<igp% Riacatus idem enumerat / ==: — » / — —

V p — qzz ^ V — p-^qzz
1d iisdem suppositionjbus , quamvis nihil aliud siht quam Euleriana per

y^'^ =z I qiultiplicata . Ceteris deinvim ^asfbus duo etiam adscribit Ric-

/^ dzy f
t

ttzz

V — p — qzz

/dzV /*■» — ^22?
— • f inutiles autcm» quippe sempcr imaginarios. Detra-
Vp-^qzz

ctione itaque facta octo casuum geminatorum, duoramqQc inutiliam a
j}fO luper vsginti » reraatient duodecim Riccatianif quemadmodun habent
Tabolae Euleri et Lcxellii» quas ideo solas citatidas mihi proposui > ac
carttm ordioe servato 10 Qnao breviorem bcic ^trauscribeixdas » et cam
Riccati Tabala comparandas.

I. ex

124

«tovite

r.

I. cx Eulero

n.

III.

IV.

V.

VI,

VII.

vni.

IX.

X.-

XI.

XII.

d

f

rdz

J i

dzVf'

gzz

qzz

dz V f ^ gzz

r

dzV f'

gzz

V /> — qzz
dzV f-^gtz

r dzv

J a/Z

V — p H- qzz
dz V /— • ffzz

r dzVf-gzz
J Vf — qzz

dzV f—gzz
L ._V p — qzz

rdzVf-gzz

J V— . f -4- qzz

f

\

< feV— /'-fjpM

qtz

f

VdzV—f-^gzz

qzs6

VT^

V — P.-+- qzz

J vz

dzV^f^gzz

q%%

fi>gp

fi<^BP

aniversaliter

universalicer

universaliter

fi>gp

fl<gP

fq>gp

universaliter

fi<gP

fi>gP

fi<gP

Arcas Hy-

Arcas Hy-

Arcus EI-

Arcus Hy-

Arcus Hy-

Arcus EI-

Arcas Hy-

Arcus Hy^

Arcus EI-

Arcus Hy-

Arcas El-

Arcus Hy-

«*•

J25

perboIaeetElIipseos

perbolae

lipseos

perboIaeetEIIipseos

perbolae et Ellipseos

lipseos

perbolae

I. ex Lexellio

II.

V.

IX.

IIL

VL

VIL

11. XIII. ex Riccato

L XI L

III. XIV.

IV. XV.

V. XVL

VIII. XIX.

IX. XX.

-

1 •

-

perbolae et

Ellipseos

X.

XL XXIL

lipseos

■

IV.

VI. XVII.

•

perbolae

VIII.

X. XXI.

f

X

lipseps

«

•

XL

VIII. XIX.

•

perbolae

/

XII.

IX. XX.

Friina

/

12,6

Prima in hanc Tabulam animadvcrsio casus Vll"". ac X«"".j IX»»._ atqu^
XI""*. respiciat necesse est, propterca qiiod Eulerjs, ft post illum Lexellius
ArcQt Hyperbolae acqMe Elllipsco^ addiderinf etram Quanthat^fn^lg^-
Iraicam aut Lineam rectam, quam ego cara Riccato arbitror praetereun-
dam • Non modo enim algebrbicum Integrale additukn vel ablatum neque
perturbat Functionis speciem a perimetro Scctionum Conicarum depen:
dencem, nec intiniam eias nsiituram immatat, verum etiam per ea» quae
dixi in §""• antecedente» otiqsa plerumque est^atque inutilis superaddtiio,
Calculi potius defectui adscribendat quam analyticae oecessitati • Hoc ipsum
confirmant Eulerus atqpe Le^ellius, qui in eoium lucubr^tiqoibus dnm
implicatas plerumque substitutionum methodos adhibent Hiccatianis rioo
dissimiles (293)» casus praesertim VP"*, atque Xll"'"^ iaxta Tabulam Eu«
lcrianam iterum resoltrunt etiam ope Arcos £IIipieo» aat "^Hfperbblae
cum Qaantitatis algebraicae ftdditamento aut T^^f>|ifxift quamvis ptima

ac directa eorqndem casttum resolutio ab Arcu- tantummodo conseqjoatttr
Ellipseos vel Hyperbolae (294) • Quod praeterea clarius patec comparan*
do casum VIP">. cum XII"". , ac VI«", com Xl"^ ia ordine Euleri , Nam-

que Formula casus VII«^, uempc /: — ==1::=^^ cum conditione ^

•^ V /> — yzs

^ZJ , d%\/f — gzz

\/—\ • V ^ — j2«

iz^ f — h gZZ

com ipsamet conditione, Quum igitur postremum hoc

fq<igpt cadem cst atquc j

/■

Integrale ad fidem Tabularum Euleri et Lexellii ab vnico pendeat Hy-
perbolae arcu • non potest quin idem aeque veruro sit dc priori Integra-
li , quod Aucrores^ iUi ab arca Hyperbolico «t Quantitatc simul algebrai-
ca obtineri in Tabulis descripserunt (295)» Similiter Formula casus VIV

/

dzVf — gz%

cam coniMiont fq>gp t% auctoritate Tabularum Eale-

V^ -— qzz
ri et Lexellii unius arcus Ellipseos pracsidio integratur: crgo,, quum in

c^deffl conditione procul dubio sit cssc /'

dzy/ f — gzz

V p — qzz

f

/

1*7

mo non videt isrum quoqac integrari debere^ ope solias arcus Eltiptici»
tatTietsi praelaudati Scriptores Quantitacem addiderinc algebraicam (296) •
Riccati Tabub hoc ipsum ictu oculi ostendit: habet enim casibus Vl^.
ct XI"^. Tabularom Petropoli editarum oppositos eosdem numeros VIll".
ac XIX""""., non secus atque ipsos numeros IX"™. et XX""". oppositos aliis
casibus VII"'^ ac XIl*^. Argumentum alterias animadversionis sit dubium
illnd, quod in calce $'• 39"*. soluturuni poUicitus fui. Criterium ioibt

rdzy/f — gzz
optabatur» praesidio cuius statui posser an eadem exprcssio / — ■" ■

dz^ f — h £ZZ

— — — r M praemissis» ad arcum EUipscos, aut Hyper-

V — p — *- qzz

bolac pertineret . Tabula inspecta , sant haec Integralia casus VI°'. cc
XI«". Euleriani, vel VII". ac Xll™».. qui Ellipsin adtinent si fq>gp\
si y^to fq<,gpf ad Hyperbolen referuntur. Huius conditionis veritas di-
maoat facillime a doctrina ipsa Pascalii » ct signanter a demonstratis in

I rdxVf—gx^

§§ • 37"*' ac s^**". , proptereaquod in priori r6 1 — ==:- peracqua-

•^ ^h — kx''

bat Arcum EUiptlcum multiplicatum per CodfHcientem V ^ ■ , ct

idcirco fk>gh 9 sive speciebus iisdem ipoims ^ fq> gp \ in altero autcm

liqaet essc »4"* .»j*<iw(-^-^ — f Mf*.W*, scilicct /*<^A» aut po-

tias fq<gp% iisdem Htteris substitutis. Sed doctrina cadcm Pasc^lii nuN
lis opibus iafpetratis» ct.admiranda simplicitatc Tabulam conficit omnem »
absqueoquod obliquis plerumque methodis hactenus cvulgatis (297) ani-
mum adpliccmus. Hoc quomodo fiat brevi' cnarrabo. Tres c daodecim
suae Tabulae formulist nimirum, casus III'«". VP"". ac XII""". (298)»
Eulerus resolvit directa mcthodo utens, nulloque alio subsidio praeter
Functioncs clementoram Arcuum Cooicarum Curvarom, dum Riccatus
atqac Lcxellios quartam Formalam adianxeruntlP.^^xWpertinentem (299)«

R Discri-

ja8

Discriminif ratio in eo sira est, qttod. Euleras FormoUm e1eaie;ttl -Arcus
Ellipseos derivaverit ab istius Curvae Aequattone non tam ad Axem
transversum (VI.)» quam ad comugatum relata (IH. )j *'> Hyperbola vero
non item, quum sola Aequatione ad primum Axem contentus fuerit
(XII. ) 9 et idcirco indirecte obcinuerit casus 11^'. resolationem (300).
Huic tameii incommodo ferias iam dixerat multis retro annis Vincentias
Riccatus (301)» ac post Eulerum medelam afferre curavit Lexellius (302).
Ego autem quaternas formuhs primigenias ex solo Circulo ad Pascalii
morem considerato perqoam facillime sum confeqautus • In §"". etenim

^ — sine ulla limitatione ct universaliter (III. )

y/ h — iixx

ab Arcu Ellipseos snper Axem minorem repraesentatum, quum et Se-
miaxes et Semiparametrum et Cocflicientes omnes* quicumque fuerit va-
lor rStf fig ^h^k y demonstratum inibi sit nanquam in imaginarios ^^x hU

/dXy f '-^ gXX
— — (VL) ab

y/ h — kxx

Arcu Ellipseos snper Axem msiorem insistentis dependens , cum conditio'

irr tamen nuperrime exposita rifk>gh* Qua occasione observanducn

censeo deduci facile ab expressionibus §'. ^6^^.^ ob signum permatatum

/ / —g^ ^ Semiparametri \~^ /VT»

hk fk

Vfli — ah
r-,. in Arcum EUipticom. Dum igitur rc-

^ " ' h k'

/dxy f ' ^XX
■■ ■ ''' — in opposita conditionc /iK^A, qui

V^ A — kxx
est tasus ViP*. Tabulae Euleri , patet Integrale istud rcsolvi in Arcum
Ellipseos imaginariae (^quia tum Semiaxe et Semiparamctro imaginariis

^J fk — gh

\

praeditae ) per Cogfiicientem pariter imaginarium v — ^ naaltiplica-

hk

tum. Hoc autem productum imaginarii per imaginarium iani alias in cal-

• 33"* expcrtus sum realem componere magnitudinem, ct reapse in

praescnti casu cst Arcus Hyperbolae^ quemadmodam inferias ostcndam*

Fornittla

— - (II-)» qu?im Eolcras indlrecto admodum traml-

te adeptus est (303), proflait statim ex §°. 38'*^. conditione posita rS /^'<

^A; namqae significac ibi Arcum Hyperbolae ad secundum Axem com*
paratae» atque in expressione primitiva» a qua oritur ipsa Formala ani-

versalior , habetar J'* . i < ^** ( -^ — f 1 J . Si demam Hypefbola ad pri-

mum Axem relata faerit» docec $"'. 39^*. hoc Integr:ile

— ad qood pertinec castts XII"*'*^ Ealeriahu», Arcui

^ — h^ kxx

Hyperbolico par esse dummodo vera sic eadem sui^ttiov condino fJt<lghf
quum l"', c". ostendac fk = mnq*a''^f et^A=»«jV'*( i --h — r, )• An-

teqaam altra progrediar considerationes qaaedam me vocant praemissis ad-
dendae • Primum etenioi inspiciendum esc quanto maior adiic facilicas in

/Jzy f — h gzz
' , aliarumque simillum

dam a Superficie Cylindti scaleni ^ sive a Pascalii doctrina diducatur, po*
tius quam a communi methodo Analyseos cultorum • Profccto Analystao
ut Formulam illam consequantur 1 necesse habent elementa prias quaerere
Arcuum Sectionum Conicarum > praeterea pro abscissa eius multiplum
substituere, deindeque multipiam elementi ipsias computare, veluti Eu*
lerus potissimum (304)» ec paucis abhinc annis loannes Franciscus Malfac*
^us (305) protulerunt. Vernntamen a Cylitidri consideratione divcs ita et
pene numeris omnibas absolata Formala exoritur» ut solo multiplo abscis-
sae (quemadmodum dictum est in §^. ^fi^^^. ac sequentibvis) res omnis
perficiatur . Qain etiam facilius si ad morem Lcxellii (306) Formalam

dz\/ m^ a^ -^ n"^ zz

ipsam canonicam composuerimus : namque ex. gr. rb /

J y/ a^ — zz

statim ac a Cylindro natum» non modo fbraiam adquirit Lexellianam

R 3 "»f

igo

/dz\ I — «-( — ) zz
■ t sive , ncglccto Coefficicntc t

rfz\/T -^gZZ

f ^ ^^^ ' (307) , veram et nallam FormaUe Umitationem pateftr

V I — qzz
cit, eoqaod discamas a $''• eodem 36'^ rb «t quomodolibet esse posse aut

maias, aut minus m ex oatora obligui Cylindri» mirabiltter cooseotiente
cum Tabalis laudatoram Scriptornm . E contra in §*• 37°^. Integrale

est ioxta Lexe^liam , etttsqae Taba'

V *• — «2

''^^^-(^) ^^ /-^zv/T^^

=5 / "\ ' "^ r— , non compatando

CoSfficientem , qno tamen in casa t^ n prioris exempli imaginsrium evadit ,
m manente reali\ qaod denotat, confirmatque praeceptum Jllud Geome-
triae nanqaam gigni posse in Cylindri superficie scalena Ellipsin lateribus
normalem, cuius Axis lateribos ipsis perpendicularis maior sit Axe alte-

ro. Si vero ii = iw, aut v»*— f /w* :m\ \^ i\ 1 , ncmo non vidct in pri-»

/dzy \ ^^ gzz
— i' - , qaod ex dictis tam in

y/ I —gzz

§K 4*^ 36'*. 40"». ac 43'^, quam in Aduotatione 159"*. • par est Arcui

singularis Ellipseos, quae A^es habeat in proportione \/T*' l, et de qua
multa scripsit Vjjicentius Riccaius (308). Exemplom autem posterius in

=;: — • praebcrec ex

\/i — gzz

adverso 2— f C, videlicet Lineam rectam, ob p {§. 37.) eo caso cvane-

scentem, ideoque etiam Axcm minorem • Haec Linea recta-aeque oritar

dom iu exemploram primo aut fucrit — = — , aut »=0. lotcgrale

m i

etenim

eteium vertitar lo

13«

/zdz __ ^ . zdz

^/ a^ — z* J

C

*"" V-i— ^ ^** "" *'

a*

• s/a* — 2* = « ( tf — s/a* — z* ) , qaemadmodani mihi ex CyliDdro inno-
taerat (tametsi saae novae raethodi vires c^sam istum Ealerut ipse cx-
rapffrare ptofesifu rit) (309), atpote Axe minore ElIiiMeos Pascalii tonc

in nihilam abeante^ Posito demam — = — ^y vel potius ii = o, liqaec

lategralia jp$t prioris et alterios exempli formam commnnem ioduere

I

est Arcas Circali radiup habentis «^ = # , Cylindro reapse scaleuo tum

in rectnm conversot ideoqoe Ellipsi in aequilateram seii in Circalam
permatata • Qaae omnia ab Elementis Geometriae derivata miram in nio«
dam convcniont com novo ac soblimi Euleri Calcolo (310), non secoi
atqoe com recencioribps inventis Lexellii (311). Riccatos ait (312) in se*
condo etiam exemplo tom oriri Ellipsin, cuios Axes in proportione sine

T« V a • 1 , qoum Formola evadat / — , sive more meo qoom

Vi — ^gzz

~=~, aot ex %\ 37~. — (-^—1 )=—= — , videlicet-^

=; — , qoae postrema Aeqaatio Semisfxium x^era aot Axiom Qoadrata
in dopla esse proportiont luculenter ostendit. Addit Euleras (313) r\

J * in caso jf = o ab Arcu Parabolae conicae aot t Lo*

Vi — qzz

garithmis dependere ; quod meridiana loce clarios effblget inspiciendo For*

molam JdzVi '^gzz Aream Hyperbolae ad secundam Axem significan-

tem

132
t«m , non dissimiliter ab alia Formula / dt\/ \ — -g-zz repraesentante

Aream vel Arcacn Circali, in qtufft "aWt lategrale posterius

«»

~ — e^dem hypothesi facta (314). Maltominds novum ac dif^

/•

Vl — qzz
ficile fore arj^itror Theorema illud ab Eulert Catculo .sappeditatam, Tnte
gralia nimirum praenotata duos Etltpsium similjum hTCUi semper compte-
^^^ (315)* Praeterquamquod sola Synthesi geometrica id demonstraverifa
io $''. 8^^ (ac postmodam de inntimeri&£liipsifau&), cum:Riccato consen-
tio (316) non Ellipsi tantummodo, sed etiam Hyperbolae communem esse
versionis unius Arcus in alterum adfectioncm. Sent^ntia enim Euleri de-
cernit Perimetros integras, aut Yizttts sirpiles fllipsiam simt/ium^ qu,aram

Axes alterni fuerint a^ — , cc atrarumque Paramctcr r.= i, ad Axcs

a

l I

tamen alternos pertinens, prpportionem servare a^ : , sive a^s-H

* .' '■ 3

a*

quod nemo iaficias ieric cemet ac.obtervaverit Axem primam unias-El*

m y

__ m

lipscos csse iJ, secunduto V^^f Axcnf primum alterius — .-= » secundura

« *

T

— . Nam ita compositae EUipses oecessario similes sunt, exeoquod a\
\/i7;:-y=r: — , ct idcirco totarum perimetrorum , partiumve similium

ratio dimanet a : — ,— = a \/Te w=a \/T : i ob Parametros / = 1 , —

. y ac ^

= 1, qaemadmodum patet. Sed idipsum faciliter de Hyperbolis compro-

Jos

batur quum similcs acque Hyperbolae sint, quas adtineant Axes a '.,

/—11"*. .. Par. P. I II - ^

\at •' , ^ - \~!= , — , — ; adeo at facto^=i,

Sae a e

noQ tam irtfinltc-longac perimetri harumce HyperboUrum t quam similes

quottibuerit earuQdem Arctts proportione gaadcant a^ a*i=^^

4 .

3

Arctt

j*

^33

Arcaumqae unum «empcr in alteram permarare Geometrae lure optimo pos-
sint. Servato eodem ordine breviter ncinc adnotabo singalares aliquot casas
tttriosque Formalae primij^eniae Arcum Hyperboiicum inciadentis. Ac pri*

^

dz\/ f — h 2ZZ

mam ' "

f dzy — / — H ^22!
in / — - — transversum Axem respicientei seu potius iaxta

^ V — i»'-¥azz

/</2v — I — ^'gZZ
— 1 neque g^ neqae q separaum in nilulum

abire unquam pocefant ad imaginaria viranda, et simul evanescendo auc

Z\f I 2 J[

sese pcraeqxiando praebent identidem' -- 7_ = — ^ — = (ad maiorem uni-

V— I I

versalitatem ) z^C^ videlicet rectam Ltneam, coniugato Curvae Axe,
uc prias in Ellipsi, nullescence. Hyperbota vero, quo ducic eadem For-

— ^ ^^ — , veluti sta-

y — ^f^gzz

• •

tuunc RiccatJs (317) aliiqae post cam ; nam ex §§'% .24'°. ec S9°*., et
solo Circulo contemplato ostendi (ob — p—f i =2 ) Arcum Hyperbolae

aequilaterae formam peculiarem uiduere /

dz^^Q.zz — I

^dzy zz d^\ gxx ^ > — '' '^

v^y — z=^ — ^s/igj — — =y , ==:

\ zz — 1 \ gxx — m y gxx — 2/

Co^ciente neglecto. Isthuc ipsum expertus sam in altera Arcos Hyper-'
bolici expressione primigenia, qaae coniugatum rcspicic Axem, ct eflfcr*

/dz^ l — r gZZ
' — ■ si compendiaria Lcxellii Formala utaris •

V 1 — +• (JZZ

Enimvero constilris §§^ 24^*^. et 3.8^. Arcus Hyperbolae cxprimitur per

/dx^ a^ -^ ^x'
==r — statim atque aequilatera fuerit, scilicet brevius
V a •— r X . ^ I

/

134

V''''

dxM — —¥xx

V a / =: — » aut VW -> vel absque Coefficienie

y/ aa-^x^' \2f-^ gzz

ita ut, eadem condiciooe posita, atraque Formula ad

V 2/-+ ^3«

/

^ dz^/ f ZZ ""^ f

aequilateraro Hyperbolen referatur (318) . Prior exprc«io / — ^

•^ V^zz^p

« •

dum /=i=o,in Lineam rectam abit V — . V zz-^ t-C, quod in-

q q

dicat Integrale tum consequi ab Ordinatis ad primum Axem aequilate-
rae Hyperbolae, veluti antea in Ellipsi dependere invehtam est Ifitegra-
le ab Ordinatis CircuTi» seo admirabili analogia ab Ordinatis a^quilaterae'
Ellipseos, Curvamque totam in Rectam se vertere. Idem contingit etiam

— — • Nam fiicto /= o , exinde nascitur recta Li-

V p ^ qzz

„ea ^^ . VlTTT, rive ^' ^^zz^P ^ ^ uti dixit Eule-

Vq q q

rus (319)' In eodem Integrali f — ■> ubi j = 0, uemo non yU

J V p — qzz

det Hyperbolam in Parabolam verti, et ideo Arcui Parabolico» vel Areae

Hyperboticae, seu potius Logarithmis (320) locum fieri, non secus ac su-

pra in Ellipsi. Et revera Parabolam Apoltonianam noruot omnes limitem

esse tam innumerarum Ellipsium, quam innumerarum Hyperbolaram • Ce-

tera linqao, quia nec minus obvia, nec salebrosa . Uoam duntaxat prae-

terire nequeo , Eulerum , scilicet , ideo potuisse Formulam caiu$ II<i<. suae

Tabolae, quae directum complectitur Arcum Hyperbolae relatae ad se*

cundum Axem« integrare nihilominus praesidio Arcus Hyperbolae alterius

primo Axi comparatae (321), eoquod duo illae Hyperbolae ex demonstra-

tis in §*. praecedente per doctrinam Pascalii, huiuscemodi sint, ut vei

unam vcl alteram tractes eodem perducant (322). Quod dictum velim

ne forte rb T»f^h^o¥ Ealerianum Analyticis legibus subtrahi aliquis scn*

serit •

»35

lerit. In eo tamen maxlmoperc eflTulgent vis et praestantia doctrinae Pasca-
lii, quod sibi ipsi sufTiciat ad reliquos omnes Tabulae superioris casus
perquam facillime resolvendos. De primigeniis quatuor, nimirum III''.
Vr« ir. ac^XIl''. abunde iam dictum ; nunc quinam alii casus ab istis

mm

/dzy f'^ gzz

— ' (III. ) dividas per \/— 1 1 obti-*

/dzy f — hj?2z
— - sine ulla condhlone uti IIF".,

V—p-+qzz

a quo derivatur. Sed inter alia §$*• 33^*. iaro ostendi Arcura quemlibet

(r dz\/ f—¥ gzz V . .

quemadmodum est / — — 1 divisam per v— i

V p — qzz ^

Formulam generare ab Arcubus simul Ellipseos et Hyperbolae dependen*

./^•^m^^mm

tem (§§. 33. 34), Igitur f — ' unhersaliter Arcus indigitat

Hyperbolae simul et Ellipseos, atque praedictae Tabulae congruit.Vc-

/dz^ — f-^ gzz
— ■ qui casus idem e$t

\/ — p — f qzz

f ^dz . \^—f^ gzz . yzrr rdzVf--gzz . .

cum / — = / — — . nimirum cum VI ,

J V^ — p-^qzz.y/^ V p — qzz

iam resoluto» et e^dem praesupposita conditione Tifq>gp Arcam EN

/dz V f^^^gzz
— « dum Formula haec

"s/ p — qzz

dividatur per \/^, enascitur VIII"*. conditione stT\m fq>gpi quum

/dz\/ T 1 ff*^z
^ — ; quod > postremum idcirco ex
y — p--¥qzz

praccitato §"*. 33'^ ab Arcubus simul Ellipseos et Hypcrbolae integratio-

nem adquiret • Faciliter etiam ab Arcu Hyperbolae casus XIT.

/dzV — f^gzz . -. ,

— cum eadem condltione fq<gPi si pariter per y— i

V — p-^qzz

Formulam illam diviseris , proflait casus X«». Tabulac Euleri , nempc

/

136

■ ■ ■•

, quod Integralc, aeqae ac primum>ex antea citato

\/ p — qzz

§®. 33*°. ab Arcu tantum Hypcrbolico dependebit. Consimiliter ab Arctt

/dz\ ■•"— y*^ gzz
' tnultiplicato per —
\/p — ^zz

/ — ,. rdz\/f~gzz . rdxs/f — gzx

V— I dimanat — / — . , aut signo neglecto / — ^ --:

•^ Vp — qzz ^ y/ p — qzz

quod Integralc illud est, cui TabuU Euleri praefigit numeram VIl°™.
Eadem itaque conditionc sarta t^cu fq-^Zgpt docet §"*. ipse 33^"- hanc
VIP"'. Formulam soiummodo Hyperbolae Arcum complecti» quum ibi vi-

dcrimus ( posito s Arcu quocumque Hyperbolico ) fore — x\/Iir=-7=,

atquc rh -jz^ demonstraverim paulo antea Hyperbolicum sempec Arcum
indigitare. Simplicius qaoque hoc ipsam arguitur animadvertendo (VII.)

/dzy/f —gzz f dz\/ — /*— h gzz \/-i
— - ' = / ■ -: ( XII. ) pcr j ■ eadem condt*

y/ p — qz^ ^ V — p^qzz V— I

tione servata. Praeter eatus ergo quaternos primigenios III*"". VI"". II"".

XII""". fidem meam liberavi dc IV". Xl"^ Vlir^ X"°. ac VII««».. rema-

nentque tandem enodandi V"^ IX»»*. ac I"'. Dum agebam de Formulii

Maclauridi in %^. 42^^ Pascalii Tbeorema mihi suppeditavit rb

dz^/f-^gzz r fdz — gzz

Vp-^^qzz ^ V f-^gzz . Vp^qzz
r^ r dz r zzdz __

^ Vf-^gzz . V p — f qzz ^ \ f^g^^ . \/^ ~4* q'^^

f *^ Vf--gzz ^ P '^ \/p^q^z.V f^gzz

mirum itniversaiiter complectens Arcum Ellipticumy et Hyperbolicum • Sed
aeque universaliter in §°. 33'°. unius Pascalii praesidio statutum fuit hu»
iuscemodi Integrale ab Arcubus simul Ellipseos, et Hyperbolae dependeoSt
5i per vCir multipUcctur, Formulam glgnere, quac opc uuitts Arcus El"

liptici

>3?

liptlci / resolvi posjit . Igitar / ;=:r= = / — . ■ ' »

quod Eolcri <;a/0/ IX". adamussim congrait, integjrabitar per Arcum EI-
lipseos. Ncc tongias immorari necesse est tn casus I'^', resolotione, ut-

- ' — ' in conditione "^^ fq>,gp% quara iubet Jabala Eulc-

rii convcrtatur post fecttrm rh f^gzz^^^x in Fcrfflulam trinomiaUm

pote /

— L_ r \ ^^ . , secuado denominatoris ter-

^V^ J ^'x^^ ^Ufq-gp) x^ nfq—gp)

miao ex hypothesi semper negativo existente, primoque ac tertio poslci-
vis . Hoc autem Integrale si per V^ dividatur, in alcerum abit indu*

tam foxmam Alembertiaoam -L / " '^- V v ^ ^ quod ex Pascalio At-

^ '^ Vmv — vv — nn
cum indicat unius Ellipseos . Verum in comparatione Formularum V<*. ac
IX^. demonstravi Integrale iltud, quod multiplicatum per VHI aat potius
divisum per — ^/^ Formulam generaverit ab unius Eilipscos Arcu depea-
dentem iocladere Arcus simul Etlipticum et Hyperbolicum • Huiuscemodi

/dzV f -^ gzz ^ ' *

— — dummodo fq>gp\ quod in Tabulae comple*'

V P ^ qzz

mentum demonstrare susceperam . Qaae quum ita sint , opus paacls ab-
solvi , implexi ac fastidiosi plerumque.Calcull pondere. faxiscexis si vulge-
tam methodum advoces Analystarum. Ut ischuc ipsum Uquido con&tett
Tabulam novam composui» qaae meo riru servaco, cunctorum horumce
Integralium casibus propriam sedem tribuar, caussamque eorum originis a^
Pascalii Theoremate prosequatur. Oculis etiam subiiciendam curavi Ettle»
rianae ac meae Tabulae comparationem, ut qao ordine, qua ratione, qui-
busve legibus inc/edat res, cl^rias eflfulgeat, aat a Pascalio. atit ab-EuIero
proficiscatur . ladicium esto penes Geomecras an haeo difficiliima Inti&gralis
Calculi pars,'a tot tantisque viris hactenus exculta, Pascalii veluti filo
diducto meliori in lumine conlocetur. Mea quidem sententia Tabularum
hucusque in lucem pablicam editarum ac seqaentis» quam adiicio» sedu-
U et fidelis conlatio litem dirimit omnem.

138

n

13

K-W'

ExEulero.

— I I

iit:

VI.

It.

•*ifc^MMMMita

XII.

■IbkaMli^^

IV.

«-«MM

■ XI,

Vllf,

■' ii H ^

X.

fc' I III II.

Vlt.

* »

V.

i^tmt^^mmt

IX.

I.

■•■«■

«••

I

Ex Pascalio.

t.

j i I I

ir.

m.

-• -«MMAiAihMMiAfil^

IV.

■tawMri

V.

Mhta

VL

«»■««•

VII.

VIII.

tN> f

IX. ' '

X.

t».^

XI.

Xll.

•«■MMkMMMMM^te

Conditiones «

ttniversaliter

>aiMM*i«Mi*Bih^MMM

fl^gP

fq<gp

•fcM— •MMa«itai««rfMMM

fq<:gp

iritM^^Ma

ttniversalitet

fq>iP

«idfa

iM»

fi^gp

mt^mm

fl<gP

«•M^wrfMiftMAM^MftMdMB

t

fk<-'gP

universaltcet

taaia^biteMta«ilW«^i«i

ttnivetsalitet

ifaMite-i«ta

fl>gP

umt

f

d^y dtf-rtgzz

V^pttqzz

■MWtaMa

I •

iJ i ■•

Sigrta .

j

N»->irtM«N

- fa

1 1 I

ili •■!

«^

*^

^mJk

■ 1 '

Consulantur §$'. ^3*"*. 34««. 5<J<w. ^-j»». sS'"»..

■••■

»39

•«••M*«Mk*v«fel

^M*i«VMil*M«BAaMMl^M

Origines •

T

Ab Ellipsi saper Axetn tninorefn.

MiMVWIMi

Ab ^llipsi super Axem maiorem •

Ab Hyperbola ad Azem secundum.

Valores .

Arcus unius Ellipseos directus.

>MMMMirttaMM**(i«a

Ab Hyperbola ad Axem primam •

•■mmmmmmtmmmmiAmmm*

t.,' ■

I II I I ■—^wfci^— i<i

A Formula llt'*. per V— i divisa •

Mkl^MM.

\/-

A Forraula VP. per ~l multlplicata .

■■■■1 *i

■^l^a^lMwMMfiMlM

A Formula VI*. per y/^i divisa.

• «

-1 1 1 ■ II

A Formula Xll™*. per \/1^ divisa .

>*m^^t

\/^

A Formula XII"»*. per -V= multiplicata

V— I

Arcus unius Ellipseos directus

Arcas unius Hyperbolae directus

Arcos unius Hyperbolae directus

Arcus EUipseos et Hyperbolae

•

Arcus.unius Ellipseos indirectus ,

■AHMlMMIfeH

Arcus Ellipseos et Hyperbolae.

■■■WMMkM^i^^^

A Formula Maclaurini cx Pascallo.

Ab eadem Formula per \/— i muhiplicata.

^^■^M»^*MMi*MM^WM«i«M

A Formula AlembertiexFascalioper V-x divisa.

•^^^^^-^^^^^-^-mt-l-mtmmmimt

Arcus unius Hyperbolae indirectus

Arcus aniusHyperbolae indirectus .

Arcus EHipseos et Hyperbolae.

ArcQs unius Ellipseos inJirectus.

Arcus Ellipseos et Hyperbolae

39'»« 42**"'. praeter 28*«". ac sa^"''».

/

^iM^

1-40

Qualicumque huic commentario in pnesentia finis adesset nisi loanne;

Franciscus Malfatcus Parcem secundam IV. Vcluminis Memorabilium Societa-

tis Itaticae suis invescigationibus exornare» ec Spartam ipsam novis acces*

sionibus locupletare adgressus fuisset (324)« Duo potissimum in argumen-

ti huius tractatlone , quae Riccatus imp^rfecta reliquerat * perficerc stu-

det Malfatcus > reductionem nimirum Formularum quarundam ad geminos

tantum Sectionum Conicaram Arcas dum Scriptoris lesuitae methodus

ternos aliquando complcctebatur {325) , correctionemqQc molestiae qoo

loci integratio Formularum finifi valoris a difTereotia finita inter asympco^

tam infinitam et infinitam pariter HyperboUcam Curvam hauriri de-

beat (326). Cetera» quaejn praecitata perquisitione continentur» publi-

ci iuris facta vertente anno M.DCCXXXXIV**. » neque adeo nova sunt

pos( Lexellii praesertim labores in lucem editos iabeatibus annif

•M.DCC.LXXX°., LXXXr. (327) ct a Malfatto pcrluJtraros (328), tieqoe .•

adeo utilia > ut mea sententia ad incfementum Theoriae conferce quodam**

modo possjnc. Primum autem Incommodum Leonardus Eulerus plasquam

viginci annos ante in Volumine VIll'*. Novorum Commentariorum Acade*

miae Petropolitanae (329) sedulo eflugerat. Quatuor ctenim casus^ qui

inibi ab Eulero (pag. 136. 37.) numeris notantur IX^ X\ XI"<*. XII"*.,

respondentque in mea Tabula XIV. VII*. V°. ac X"**. (330), duobus $0-

lummodo Cohicarum Sectionum Arcubus resolvuntur; quamvis Riccatus

codem ferme tempore scribens , quo scripsic Eqlerus (331)» casum VIP".

X""^ XII"™. ct V"™., nimirum quatuor omnes, de quibus fit sermo , in

mcae Tabulae ordinem digestos , integraverit trium Arcuum praesidio

impetrato (332). Qaod tamen niagis admirationi mihi fuit Malfatti placi*

ta nuperrima perlegenti in eo versatur methodum ipsam a Malfatto sup-

pedicatnm, ut malo Riccatiano remedium adferret, iam in antecessum tra-

ditam faisse a-b Eulcro. Hoc sane patebit luculentissime si in tanta Lem*

matum ac Theorematum copia, quibus Eulerus suam lucubrationem dita*

verac (333)» comparaveris Lemma l"". Malfatti, a quo negotium pcn-

det omne ( pag.* 762.), cura Lemmate II**. Euleriano (pag*. 129.) una

cum Theorematc Vl^. (pag'. 131. )• Namque hac inita comparationc ha-

i

bemus ab Eulero r)» 1 '^ = -r- / 1- 2 — -^ •

•^ Vh-^ifz "''Vf-i-gzz &^

f

/

141

dx\/ XX — f

Vgh —Jk-^ kxx

r» substituto pro x valorc \/ f—^-gzz. kx

dx\/ XX — /* r zzdz

\ f dxy XX — 7 r

S -^ a/M — fk -¥ kxx -^ ^

in eadem substicu^

i -^ ^gh —fk —I- kxx "^ Vf-^gzz . Vh — f kzz

tione. Igitur ex Ealero consequicur

r dz\/f—¥gzz

Vh -H- kzz

f rdzs/h-^kzz gh — /* r zzdz

— I * !== — '^ - — r^ / — = i=rrr- Istud autetn

'^ -^ y/f^gzz ^ ^ y/f—Vgzz.\/h-^kzz

,^ . rdxS/A-^Bx^ BC — AD \y

eodem redit ac Lemma I"'". Malfatti / — ■ = X

r !>c^ dx A rdxy/C-^Dx'' ^. ^

/ — -^ h — — / ' " , quemaamoaum

in aperto est; idemque Malfattus substitutione utitur z=^Va-^Bx' ^

quam Eulerus adhibuit« Nec tam in arduo posicQtp Lemma ipsum , uc

e longinquo petendum fueric. Resolvitur etcnim facilitate perquam maxima

in Aequationem identicam t veluti expertus sum in §§'•. 40*"^ et 42^^

dum de Fagnjani , ac Maclaurihi inventis disserui. Quod attinet alteram

ipsius Malfatti additionem ne Formolae integrandae ope Arcuum Conica-

rum ab In6nito quandoque perturbentur » scitu 'dignum est non modo

Vincentium Riccatum taiu in Epistola ad Pium Fantonum labente anno

M.DCC.LVIF. (334)» quam in Epistolis ad Malfattum eundem> et lor'

danum Fratrem datis sequentibus annis M.DCC.L VIII*. (335) , LIX"°. (336)

medelam huic infortunio pro viriii sua adtulisse» veram etiam subtilius

pleniiisque viiium omne sanavisse Alembertum in Volumine Y^.Opusculo-

rsifn Mathematicorum t Lutetiae Parisiorum vuUato dum annus vertebac

M.DCC.LXVIII"^ , et rursam in Tomo IV*. Mtscellaneorum Taurinensium

pro anno M.DCC.LXVI'*** usque ad LXIX""'. (337). Discrimen totum in

eo situm est» quod Riccatus, et Alembertus aptis utentes substitutioni-

bas (338) infinitos variabilis valores effugere satagant, Arcusque ideo

Hyperbolicos infinite-longos» quum e contra Malfattus isthoc ipsum efficiit

in Seriem convergentem numero terminorum infinitam convertendo Diffc-

rentia; .

14^

rentiani inter Asymptotam infiulte productam et HyperboUcam Car-
vam (339). Profecto egregium exsistimo in Calculi praxi Serierom infini-
tarum usum accommodatum Formalis quoque ipsis» quae pendeant a re-
ctificatione Curvarum, culus utilitatis testimonium perinsignc ac nulli se-
cundum iilud cst, quod Scriptor compendii Volumini^ Vlir, antea citati
Fetropolitanae Scientiarum Academiae methodum adpropinquationis sum-
tnis laudibus celebraverit dum Eulerianam Dissertationem de Formula oe*

/dzy f — r gzz
— — = — prosequeretur (340) • Quinimo Eulerus ipse
y/h-^kzz

suis inventis ingeniosissimis de e^dem Formula univcrsaliter integranda se**

dem ncgavit in Volumine 1°. Institutionum Calculi Integralis^ quo omni-

genas unius variabilis Functionqs integrare docuit (341) * ratus fomssc

Serieram Infinitarum commodum» si oiinus Theoriae amplificandae» magis

saltem promovendae eiusdem adplicat<ooi ad enodationem Frablcmatum

profuturum (342). Veruntamen Series a Malfatto tradita ad Differentiam

inter Asymptoton ac Ferimetrum infiniti Cruris Hyperbolici determinan^

dam (pag^Z^o), mmirum, .^-f — !- ( --+'?——- h 2_— ^^

4 2 ^ 4-4-^ 4 o.tf o,8.4?'

XJ — :: h etc. 1 , in qua (p sit ratiopis exfonens Circumferentiae a4

diametrum (343)» a Semiaxis transversus Hyperbolac» h distantia Dire-
ctricis a centro Curvae, et A\B>tC etc, de more significent terminuai
proxime antecedentem , adeo caret novitati^ pretio, ut quadraginta annis
in antecessum elapsis eam pervulgayerit Maclaurinus in Caplte WV^. Libri
IP. Tractatus Fluxionumi et signanter §°. 8o8^^ Parisinac versionis. Nara

haec Maclaurini Series ita expnmitur ^ —^ f--^-- — H*

% E 2.4£ 4.o£

./L/

• ^^ • etc. (344), in qua E — — Va t supposjto b Se-

6.8£ 8.io£ * 4

miaxe coniugato, y<, B,C,D"etc. terminum pariter designant propius an^ |

tecedentem, N numerus est proportionem sistens Semicircumferentiae ad

diame^trum, et .tandem a' Semiaxis transversus. Itaquc iV= — »"^=^

«'* —

**

^» _+ ^" i

a'-

brtis, atqne

Na'.

•

b<p i'.i'

acslm

H3

Ax. ElemetuH .Coiucorun In tpechhus a Malfatto odhl-

AfZ.^11.. Practerea ^=-^ y.-^ =
JS. 4 3-4fi • a.4<»' ^ ^ 4

et sic de ccteris in iofinitoin .Ex qao luculenter conseqttiturSeriem Maclaa-
rioianaHi y (aaietsl divei^niode expositam, at meo saltem iudicio elegantio^
rem breviiDremque » cum illa reccntiori Malfatti adamussim congruere.
Neque existimandum est unquam novom in re geometrica inventum fore
duas infinite • longas Lineas finita difFerentia gaudere. Qainimo nonnullae
Curvae Hyperbola conica in hoc praestantiores exsistunt» qaas inter maxime
eminet illa a Nieuporto descripta in IP. Volumine Memorabilium Belgicae
Imperialis Academiae, typis vulgato vertente anno M.DCC.LXXX'"^. Ea
quippe Curva nodata^ et asymptotica» %tiL transcendens {Memolres deTAca^
demle Imperiale et Royale des Scicnces et Belles * Lettres de Bruxelles pag*.
141*. et seqq. Fig. 3^^)i et Aream habens finitae ac determinatae ma»
gnitudinis, non modo in infinitam producta a sua asymptoto diiTeit finita
longitudinei verum etiam hanc diiFerentiam aequalem esse Rectae geni-
trici a detexi nuperrime, dura in Hyperbola e contra difTerentia transcen*
dens exsistit. Maius quiddam de altera Serie Malfatti (pag'*. 753. 54.)

V a IX ^^ — i — rr ^ ^^ .^ '^ -^ — 71* "^ ® tc« 1 y^aaran-

fl 2 ^fi^.b^ 4*.** 6*.** 8*.fr* J

tem perimetri Ellipseos conicae complectente dicendam esset si cam e^ a

Maclaurino data (§». 8o(J'.) f?f i— il ^ g*! — etc. \

a ^ 44* 64«* 256«" /

prlmiiin recensitam comparare mens fuerie (345). Maclaarinus nuncnpat
^ iHud ipsum, quod Malfattus — nominavit, proptereaquod *• = <»*

— b'* , et tf * — *'* : tf' : *• rf ex directrhh natura . Erit ergo Maclauriuia-

4 4

na Series spectebus Malfatti exornata -^ — fz^f .^ -^ "^^ \

a a ^ 4** 6^b*

sS^J^" * a a N a*.fc* 4'.** <j».i' 8*.^*

144

N

-+ etc.J; viclelicet, Maclaurini et Malfatti Series inter se perfecte adeo

conveDiant, ut sint unum et idcm. Sed quum Ealems nsque ab anno
M.DCC.LXXIir. protalerit in Volumine XVIir. Academiac Scientiaram
Petropolitanae (346) Seriem magis convergentem ac numeris omnibas abso-
luttim pro Ellipscos perimetro determinanda , supervacaneam ceiiseo ia
Curvarum doctrina perficienda Seriem illam nupemmam a Malfatto de-
scriptam. Euleri eteniqi Series Quadrantem perimetri Ellipseos ita oculis

subncit — ;^/ I — — : — «* — ^ Q fr — : . -^-^ . -1_Jl »«

^V i ^ 4.4 4.4 o-o 4.4 8.8 12.12

— ^-^? i-2- —i-»' — etc. ) , ubi praesuppositis a.bEV

4.4 8.8 i3.ii 10.10 ^

lipseos datae Semiaxlbas, slt c=y'a^ — h/^*> atqae^» = - .Scnt%

vero Malfatti est — ^ ( i — «'* , — n'^ —

2 ^ 2.2 2.2 4.4 2.2

'i-S

, Jj1.«.-_ JLlL . JLi. .A-i. . 4ll.«.B_etc.).existen-
4.4 6.6 2.2 4.4 6.6 8«8 '^

tibus 4 Semiaxe transversoi ct i/== ex adfectionibus Conica^

rum. Indabium est autem terminoram coefficientes homologos semper ^sse
minores in Eul^ri Serie prae illa JMalfatti, necnon terminos ipsos homologos,

i*

coquod »:«';; >/a^ — i* : tf -+ -— , nimirum n<in\ Antequam Seriem suam

perimetro Ellipseos quammaxime adpropinqaflntem teperisset Ealerus lam*
dudum prodiderat in idem argumentum Seriem alteram minus convergen-
tcm uti tcstantur veteres Compientarli Academiae Fetropolitanae (34^)»
Acta Berolinensia (34^)9 Volumen IP". eias Opuscalorum Berolini editoruoi
anno M.DCC.L®*^. (349)1 ac Vplamen V^. Institutionum Cakuli IntegraHs
typis excasum Petropoli vertente anno M.DCC.LXVIII*. (350)- Nihilo
tamen minus fatendom est istam quoque antiquiorem Seriem Euleri^ ean-
dcm esse cum altera a Maclaurino suppeditata quum anno M.DCC.XLII^''.
in Ijcem edidit celeberrimum Fluxionum Tractatum (351)* Habet eniai
Scriptor Britannus in praecitato %"" . 806 ^ sic exprcssam Ellipseos Qaa-

drantem

145-

drantetn

?!?L^ I -+ — - — -^— - ■-+ -^ — etc. ^ signis t^ntummodo

a Scrie priore, quae cum ea Malfatti cohaerct, diversam. Scd ^ ~

— — est idein cnoi •—

V ^^ — PP ^

/apV a^--Tk p
—
tfV' aa — pp

in Formula Madaurini \ ZI— ^ cst idem cam •— in Formula Eu-

' 3 ^ a«a 2.2.4.4 2.2.4.4.0.0

i.T.t»3-35-g-? ^#4 _^. etg, N yjjpji Ettlergs wposait . Ab isca Maclaurini ec
2.2.4.4.6:6.8.8 ^

Euleti Serie statim deducitttr Qaadrans Peripheriae circalarii ~5 aoe
*^, dam i( et a' in nihilum abeant . Series at!tem altera Maclaurini et:'

52

Malfatci ad ipsum pertinens Quadrantem Ellipticum , quum ^=^, scili*
cet,'tum qaam in Quadrantem Circularis perimetri convertatur, praeber

similiter — ; seu potiixs allo modo exposita tribuit in hypothesi r3»'==7

~ = tf , dam secandas Seroiasis b Ellipseos datae evanescatt

— II — — — , ~.. — . ^^^^ ~etCa j.Nccais*'

12 > 2.2 2.2.4.4 2.2.4.4.0.0 2.2.4.40.0.8.8 ^

d^ — — &*

similitcr ctiam Series Eulcri facto b = ap nerope »*=r= .= Oiet

idcirco c = Va'' ^b^szsa^/^ , Qttadrantem suppeditat Circularis Peri-
pheriae — - . i = — — ; et vicissim in nihilum se vertente Semiaxe

2V 2 2

Ellipseos minore *, dat ^^( ^i_ t>T35 _ ^.1.3.5.7.9

2\/2^ 4.4 4.4.8.8 4.4.8.8.12.12

^ ^ ftg To ,^ %x,>c "^ ^'^* J , ob « = — ~ = I quum * = 0, et .-—

4.4.8.0.12. I2fl0.I0 / 41*— fi* ^ y^Y

T a

/

146

= — = -y=- . Verum evanescentia Semiaxis coniugati Qaa*

tlrantefn Ellipticum vertit in a Semiaxem transversum . Ergo Series i

a li 2.2.4.4 2'a.4.4.o.o 2.2.4.4.0.0.8.8 ^ ^

coniirmat dcmoustrationem a me alibi adlatam (353) haius elegantissimae
ac perinsignis Seriei. Eadem ratione , quam in casu t"» ^ evanescentis

Series nupcrrima Euleri verti debeat in 4, evincitur tzi^ i — ^'^- —

4.4

^^35 _ i-i>S 'S'7>9 M-3-5'7-9>Ti'T3 ,,, _ 2^/3 „ . .

-* — ^i; — — 5-i ^"^; 7~7 — ^^c* = • Exmde

4.4.0.0 4.4.0.0.12.12 4.4.0.0. 12.12.10.10 9

consequitur Quadrans Circularis Circumferentiae ( cuius Radius sic 1 )
ita expressus per^Seriem amocnlssimam -^^rr-^s

VT

— ;etNa-*

Ti T.t.3.5 T.T.3.5.7.9 _ 1.1.3.5.7.9.1^.13

4.4 4.4.8*8 4.4.8.8.12.12 4.4.8.8.t2.i2.t6.i6
meros Platonicus usqae ab incvnabulis Geometriae celeberrimas \/~2"=:

i.i i.T>3'5 M>3-5'7'9 _, y*i-3'5' 7'9'"^i3

4.4 44.8.8 4.4.8.8.12.12 4.4.8.8.i2.T2.t6.t6
^ . . q^^g

i.i 1.1.T.3 i«i>i.3'3'5 i-i'i'3* 3-5'5'7

2.2 2.2.4.4 2.2.4.4.6.6 2.2.4.4.6.6.8.8

cuncta cum Wallisiana Serie, et additamentis Euleri mirum in modam
conveniunt (354)* Ceterum quae hactenus de Ellipseos conicae rectifica«
tione sum commentatus non ad Malfatti tantummodo inventa in eorun
sede locanda valde conferre censeo, sed argumentum etiam a Pascalio de«
sumptum haud parum inlustrant» utpote Ellipsi praesertim innixum t adces*
sionemque perhibent non inutilem tam §"*. 9^., qaam ii5,qaoram obiter
in $\ 23^^ Lectorcm monui haec Geomctriae oblcctamenta ood asperoan-
tem*

SECTIO

147

S E C T I o iir*.

QVM OCCASIONE THEOREMATIS PASCAlI

VARIAS COMPLECTITVR ELEGANTIAS
DOCTRINiE CVRVARVM.

45. X^ ORMuLAM A Jfi/^ ad Cumrum quadraturam ^ vel ut Graeci aie-

bant TSTfctyofvta^iJi^lv » pertinentem in Arcum Corvae , praxi magis ido'»

neum* permutare celeberrimum Problema olim fuic ineunte hoc saeculo,
palmamque» ni fallor, omnibas praeripuit in eo resolvendo loannes Bernoul*
Iius (355). In aperto autem est Curvaram ipsas perimetros etiam directe ad
qaadraturas revertii sed quadraturas Superficierum ad Corpora auc Solida
pertinentium I et universaliter Cylindricarum • Cuius rei exemplum exstat
luculentissimum id Superficie Cylindri circularis ^^ j/^i^/ iamdudum Geometra**
rum oculis obversata • Nam huius quadratura eadem est cam mensura peri-

metri Ellipseos conicae • Omniiugis itaque VoT(a\xUejXdx a Sectionam Co«

tiicarum rectificatione dependentis constructio , non secus atque ab earum
perimetris» ab areis parallelogrammat^n Cylindricorom desumi poterit; hoc
tamen ordine» ac lege, ut dum J!f Functio sit raUonaUs ^ constructio eadem
consequatnr aat a Parallelogrammis planis (nimirum llmitibus idgenus Cylin*
drorum), aut a Parallelogrammis Cylindricis Parabolicis, aut a Parallelo-
grammis deniqae Cylindricis Circakribus (356)» quemadmodum praeter

alias sezcentas de Formala C * praedicandum esset. Quum

autem X formas induerit irrasionales » qnae nulla arte analytica raiionaU-
tatem acquirere possintt veluti ill|is ex. gr. a praecedente Sectioue de*
promtas, et a Maclaurino, Riccato, Alemberto, atque Eulero longius

promotas » Fanctionam omnium huiuscemodi constructio vel ab areis Pa-

rallelo-

\

148

rallelogrammatci^n Cylindricoram Ellipticorum (quibas adnamerandae iarc
optimo sunt areae quoque Circulariamt tam rectorumj quam scalenorfim)
vel ab areis ParaIleIogrammat4»Q Cylindricorum Hyperbolicorum i uti fo*

rct cx. gr. J - cx praeostcnsis (357). la hac «niversa

Cylindrorum stirpe id unum potissioium animadvertendum est, quod Pa-
rabolicus Cylinder singulari prae aliis omnibus propriecate gaudeac, auc
rectus aut ohliquus faeric, generandi Lineam semper Basi slmtlem qaomo-
dolibec plano secetur, excepto casu phni ipsios per latera transeantis.
Quae proprietas meridiana luce clarius adparec semel ac memoria repeta-
inus Cylindri Sectiones istas utcamque transversim genitas nihil aliad fore
Hisi Parabolas Apollonii, ec huiascemodi Parabolas sibi semper similes es-
se. Ilaec autem adfectio nedum CyUndro Hyperbolico ec Elliprico, quin
etiam omnium simplicissimo Circalari denegata, locnm qaoquc habec in
Parallelogrammate plano universorum limite Cylindrorum.

46. Nec saperiorem infirmare rectificationis Sectionum Conicarum
Theoriam potis sunc quae subtiliter invenerunc samroi eqaidera viri Leo-
nardus Ealerus, ec Ludovicus De-Ia»Grange, cam in Volamine I^ Instt-
tutionum CaUuli Integralis (358), ec in Voluminibus Vr, acqae VII"^ No-
vorum Commentariorum ac noperrime in Actis Academiae Scientiarum Petro
politanae pro anno M.DCC LXXVIII'^ (359)» quam in Tomo IV\ Atiscel
laneorum Taurinensium (360), de Aequacione diiTerencialt
Pdx Qdy

dx dy

positis PyQ^ rationalibuSi auc universalius — — ==-— =r quibasdam conJi"

tionibu/ datis in Aequationem algebraicam inter x et y craducenda •
Nam quamvis nonnullae prioris Aequationis o^cumenicae species , veluci

-^ .dx — r • ^

X y .

tx Maclaurino — iz==zz==: = — ===ir=z=r , aiit ctiam

V=tg'z±fx' — x'' V^s'"^fy—y''

x^.dx _ y^.dy ^ ^^.^^^^ g„,^ 42^«».), nec non ex

Vg^ztfx^—x^ V&''^fy—y''

Aleni-

i

149

Alemberto — - ■ - . =. — > *«»

^ ax -r^ bx^ -+ cx^ V ay —\- b'y —¥ e^^

(a-^bx )^dx (a'—h Vy f dy

» sive

V /-+ gx-^hx^dLX^ V/' — «- g'y -\- h'y* =t>«

dx dy

J— V

(3^0 •

l

ac tandem ex Eulero (362)

X

VxiJ^gx^^h-^ix)

ut ccteras Formulas praetermittam , earam

Vy{f'-¥/y){h''-¥Jk'y)
membra obferant, quae separatim integrari nequeant nisi ope tmpetrata
arcuum Sectionum Conicarumy nihil tamen obstat quominus variabiles
x^y relationem aliquando algebraicam inter se habere possint . AliqQibas
etenim substitutionibus factis Functionis algebraicae alterius variabilis y
pro variabilium una x^ atque ita cofflparatis, Qt forma eadem maneat, so*
liqoe coefficientes discriminentar, nemo non videt quod enascatar Aequa-
tio diflferentialis, cui satisfaciat relatio illa algebraica variabilium x^y^
quae in sabstitutione adhibita fuit. Tota itaque res in idonea substitutio-
ne posita est, quae diversimode parari potest, et in coefHcientium obortis
conditionibus . Hoc ut exemplis apte coniirmetur, duo facillima seligam ,
unum ex Eulero (363)» alterum ex AJemberto (364) depromptum. Si m

dxV ,{-+ gxx

V h — h kxx

- substituatur y^=iVh^ kxx 9 cnascitur

dyV Cfk—£h)-^gyy - . ^ . . dxVf-^gx^

— ^ . Instituta.ergo Aequatione ,

V — hk^" -4- k^yy ' Vh —f kxx

dyV{fk—gh)-k-gyy

oritur procul dubio y = Vh-^kxx % sive pottas

yy:z=ih—^kxx\ nimirum revertlmur ad Aequadonem eandem algebral-
cam» undc fuimus digressi. Quodi ue miraculo proximuni videatur, ex

150

$^. 44^^ sic clarlcer e^cpllcabo* Hypotliesi ad maiorem facilitatem revoca-

dx^/f^ — Vgxx

ta rifk<ight nemo non videt csse — z±izzzzzz"elementum ArcusHy-

V A — h kxx

perbolae Comcae ad ^ecundam Axem relataei cuius Semiaxes sint trans-

V gh~fk

versus -p=z — , coniugatus v^> abscissae x a centro computatae in

V *

^VV^ "^* C ^h — " fk \ —4- ^yy

Axe secundo,Patet identidcm — clementum csse

^J—hk^-^k^yy
Arcus alterius Hyperbolae conicae ad primtim Axem relatae, cuius sint

abscissae centrales y super Axem candem. Semiaxis transvtrsus y/ gh — fk,
coniugatus y/flt • Dcscriptis igitur hiscc duabus Hyperbolis (Fig*. 39. )•
eric quodlibet clemcntum Arcus prloris BC=:HI clemento postcrioris,
ideoque ctiam totus Arcns AC=^Gli ct sic de ccreTis in infinitUTn,
dummodo KL^KM ctc» = ir» tt KNtKO etc»=jr coordinatae fuerinc
tertiae Hyperbolae DEF codem ceotro K praedicac> cuius Scmiaxis /ri?;?;-

versus VTi coniugatus V~t-> atque Aequacio j» = A-+^;r* ad secun-

flx\ /--+ 2XX

dam Axem • Quibus posicis Aequacio data differencialis — ■ ■ ■

VA-+- kxx

^y^ -igh-fk)^ g yy_^^^^ ^^ formam canonicam -%:=^-%

^-hk^^k^yy ^X S/Y

rcdacca — 1 = — -^ « la qua coefficientet tara

V^L±i^ y —hk^^k ^yy
f-^gxx — {gh.'—fk)'^gyy

signis, quam magnitudine heic scripcam legem observent, si ab integratio*
ne membrorum dcpcnderet transcendens esset, quippe duos Arcus aequales
diversarum ct disstmilium Hyperbolarum complectcns. Veruntamen cius
Aequationis ordo ac lex ad relacioncm algebraicam inter variabilcs pec-
ducunt absque eo quod separatim membra integrare neccsse sit, niroirum ,
ad Locum Hyperbolac conicac j^* — kx^ — A=o; qiia relationc innititur,

ct ob quam exsistit, nequc aliter cxsiscere, nec vera csse uuquam po*

tesc

»51

test Aequatio data differentialls . Qui faciUimum optaret, simulque niti*
dissimum huiusce argumeiui specimen conteniplari, centro Ji Hyperbolam
sibi describat (Fig*/40.) aequilaceram.Of^JK; ec vocatis Semiaxe transver-
so^ ac cGTitugato a,b , cc coordinatis RS = x^ ^P=;y consequetur gemi-
na expressum forma idem elementUm FV Hyperbolici Aicus Of^, sciliccc

^d secundum Axem ^' ■ ■ - ^ ' -»■ >■■, atque

)/bb --+ ATA?

mmm

/aa -^bb^

— ^tf-H-\^ ^Jyy

"^ — — ' — ^ ad Axem primum . 5emel ac crgo daretur

V — aa-^ryy

bb-^i^ \; )xx .iIy\—aa-^{——)yy
Aeqnatio .— — = -— —

y^cbb ^ cxx V — ^^^ -+ ^yy

quae j^asits est admodum singularis Aeq[aatiouis ptcumenica^ x:omparatac

dxV f-^ gxx dys/ f —^g'yy . dx dy

^ sive

\/li^kxx y^/i'-H-i&>j^ \t h — f Axx ^ K — h k'yy

f-^gxx f -^gyy

nullus dubico quin satis constet eo perducere Aequationem illam differen-
^ialem proposicam, ut jnihil aliud significecpraeter Locum Hyperbolicum t
a quo jiata esc i jiimirum Aequationem auc relationem duarum variabi-
lium .sccundi ordinis b^y* — a*x^ — a^b*z=:o. Hic autcm lasus a prae-
cedente universaliori non differt nisi quia tres illae Hyperbolae in unaoi
jeandemque icoalescant . Ad Alembertum nunc yenio» qui quum

dx \/ *•

jelementum Arcas Hyperbolici , per «a quae cx Fascalio
V xx-:±fx — bb

fusius demonstravi in 5ectione II*. , in Elementam aliud Hyperbolici Ar*
jcus vcrterc statuisset, ingeniosa substitutionc usns cst x-^^ ■ > stve

y-9

relatione intcr variabiles Ar,.y, quae in Aequationem (a? — j)jf- — qx^
q = o Hyperbolae ad asymptocas relatae facile evolvi^ur. Omnis verq
Aactoris praestantissimi labor innicitur Theoremate» quod ante illum ec

V Riccatus

Riccatus et Eulcrus invencrant (3^5)1 xd( — ' > \

^/rxx — X "^rxx — s "^rzz — p^

A i • V pxx — q ... J Vpxx — q s

aummodo sit z = — ■ • Aequatio igitor xd\ — ) =

y/rxx — X \/rxx — x

dy\ — )- vel in forma eanontca^ factis — =\/F.et

Vryy—p y/syy-^q

\/ pxx — q ._ , ,_ dX Xdx dx

rxx^—s V4-ir V4^ A/4£

«•Air rfjf dx ^ . ,.^ .... i/AT rfy

—-=:——-—=: — — r- ^ Aequatio ditferentialis — 7=-= — ;=->

cuius coefficientes datis condhiombus satisfaciant , eadem erit atque Aequa*
tio algebraica rx^y^^^sy^ — ^;r*— l-j=:o, tametsi duo ilUvts membra
sint transcendentta^ et ideo respuant algebraicam integrationem • Nam per
Tabulam §^ 44^'« primum Aequationis ipsius xvrm^iww ( si sammaretur) ese
difFerentia inter Lineam rectam atque Arcum conicae Curvaey nimiiuin

/dx\ pxx — a
secunduM autem est Arcus alterius Lineae Coni-
"^rxx — X

/ . ■ « "
dyWsyy — q
— ■ ^ • ■ . - — ; variabilesque k %y ita iovicem connectan*

%/ryy — p
tur> iit Coordinatae sint illius Curvae» quam supnt obiter memoravi,
Quibas rite intellectisi tt in succum ac sanguinem versis via sternitur
ad maiora.

. 42- Eam vero LincAm ofdlnis 4*^, vel UniversAlius jry-+tfj'*--*'*^*
-+^ = maximi habendam «rbitror, proptereaqaod ab ipdus areae di^
mensiont rectificatio Conicatum procedat* Dum etenim rursus in censum

dx\/f^Rxx ^ V f^^S^^

veniat Formula occttmenlca — t atque fiat > — ^ — "

Vp-^qrx s/ p^qxx

sive

15,1

9 9 9 J

/dxy/ f-^ gxx . • . , • . • • ^»

— — y iigniSf ttti par cst, baadqQaquam aniinaaversis. Ncc

y/ p —4- qxx

remiciJtur ordo Lineae %i prae Formulis Eulerianis eas Alemberti potius
adhibendas aliquis cxpostalaverit • Hae quippe Formulae unica innitantar

dx\/fx ' r , r^ ixs/Tx

ita,nt consequatur Hdx=z 1 -^ statio

y/gxx—^px^q J J ^/ gxx^px-^q

ac y fueric ordioata ad Lineam Aeqaatione quarti grados praeditam x^ y'^

-H- ^^ — xy^^^y^ — '-^ AT = o • Qainimo nequidem revocatis Formulis
S g g

f implicioribus I quas praebuit in $^. 34^^ doctrina Pascalii, quidpiam or-
tdini Carvae detrahi posse Algebra docet . Namque primitiva illa Formu-

, rdxy/bx^a . . . . rdxy/bx—^a r ^

ia est / — / , aat «ignis reiectis / — ==- = l yi^ totics

.quoties x^ y'^ .--¥ cy^ — bx — igf = o. Haec mihi iamprldem meditanti oc-
xurrit excogitandum quanam de caussa Alembertus in IH'^. Disquisitio-
jium suarum Parfe de ^alculo Integralium promovendo • asque ab anno
M.DCC.XLVIU**. (366) dicaverit Academiae Scientijrum Berolinensi cla-
.boratam {Valde* egregiamqae comtnentariufn in eas Formulas determinan-
das, quarum integratio ab Arcobas simul dependeat Sectionum Conicarom
et Arearom quadratura Lineae 3''. ordinis (^d*;) , obiitos fortasse, aut in*
^isos Quadraturam Lineae ordinis tertii simplicias esse Froblema prae Recti*
ficatione .Conicarum, vel Quadratura Linearam ordinis quarti. Et re quidem
Vtrra Alembertus ideni jn Opusculorum Mathematicorum Volumine V'**. (368)
.quum ipsam antiquiorem investigationem novis inventis locopletiorem fa-
^cere cordi habuisset , Analystas moerente ferme animb admonet hactenus non

■ praesldio Arciium Conicarum in*»

^egrare, .quamvis amplissime ostcnderit Formulam ipsam facile intcgrari ope
Areae a Linea 3". prdinis .comprehensae (369) , perinde ac si Analyseos le-
ges neqiie jnversae, iicc pertarbatae fuissent qaodammodo quadraturam Li-
;ieac prdinis infcrioris illi superioris ordiais p ostbabendo* Qaidquid autem

V a **oc

«54

hoc sit, Quadfatura illias Comet cnins Aequatio qaaterois terminis constat

f
~=o, in eosdem adamassim e«s»t distriboi

*V'

^-

poterit > quos complectitnr Tabula §*. 44''. Quod ne molestius , quam pat
csset, Geometrarom oculisstthiiceretur» curavi Aequationem tpsam Lezel-

liano

Area Lioeae 4>. ordinis ^i: xr4r*>^ ztjr^

I>ttm

aoiversaliter

ttniversaliter

n

m

ttniversatkcf

ttniversaliter

s

Arcos

Arcos

Arctts

Arcof

Arcus

Arcut

Arcus

Arctts

Arcos

Arcus

Arctts

Arctts

Praetermissae signornm combinationes ant eodem

-j

Haao more tractare» nimiram snpponendo /:=p=^ i >^==i9!rr ^ = 1», ut
simpliciorem formam quadrinomialem acquirerec rt«^*>*db>*=^=!:w^*
z± 1 • Tabulam heic promissam subiungo , quam fasius explicandam super*
▼acaneam fore nemo non videt, quum nitidiores aliqttot easus suppeditet
in Elementis iam contemplatos » ac praesertim a Bougainvillio (3^30) .

tnx^ db I obtinetar a rectificattone

Elliptici .
Elliptici .
Elliptici •
Elliptict •
Hyperbolici *
Hyperbolici •
Hyperbolici •
HyperboUci *

EUiptici et Hyperbolici tioiat.

'ElHptici et Hyperbolici simal .

Elliptici et Hyperbolici simal .

Elliptici et Hyperbolici simttl .

I.

II.

XI.
VL

III.

IV.

VIII.
IX.

V.

VII.
X.

XII.

recidnnt » aut Cunram reddnnt imaginaridm

mmmmmm

48. NOD-

48. Nonnallas Carvarum haramce adfectiones , quae yelati sponte
mihi se obferunt, iniaria quidem silentio praeteritas aliquis redarguerec*
Namque nec peregrinum» nec salebrosum esc illud eas semper Lineaa
(dum reales fuerint) ex qoatuor ramis coostare similibas ec aeqaalibos
circa .duos coordinatarum Axes dispositis (quod ipsom comprobac earao-
dem quadratura, quum arcus Elliptici et Hyperbolici tam positivi^, quam
negativi sint e^dem abscissa manente),. alterumve ipsaram ramos esse ia
infinitum porrectos circa Axem et e regione rCv pc iis tantum casibust qui
numeris Tabuiae adpositis distinguuntur %i\ \W Iir- IV\ V^ XIl"*^.
esse autem in infinitum productos circa alium Axcm cc c regiouc rCv y
iis casibus, quibus respondent numeri 1"*. 1I«*. VIII". IX«. V". VI*». IV«'.
Exinde consequitur Aequationis illius casus ternos IV"". V"% ac VI°".
Curvas exhibere octo infinitis ramis compositas» nimirum» quataor e re-
gione JT , ac totidem e regione y instar Hyperbolae geminatae Apolloma-
nae nx^^y^ = i » quae singularissimas casus est Aequationis eiusdem sta-
tim aique in casu Vf^ secjundus ac tertius terminus evanuerinc lllae d^^
mum Curvae ad rcliquos binos numeros pcrtinentes VII"™. ac X"*". ramjs
carent infinitis , hoc tamen discrimine» quod Curva casus X'. in Ovalem
unicam se componat» dum e contra Linea casus VII*. duabus coalesc^l
Ovalibus coniugatis a ctntro aequidistantibus , nequalibus » similibus» ec
similiter positis.. Aiymptotae vel Axes ipsimet sunt, vel Reccae fiaico iat
tervallo distantes et Axibui parallelae» earum etiam infinitis i-amis gaa*
dentium aiiquae separatis partibus constant» ceterae in pancto interse-
ctionis Axium» quod universaliter est Centrutn Curvae» ramis omnibtts
connectuntur ; Lineaeque quaedam infinitis praeditae ramis circum Axeai
rwv X nunc ei coticavitatem » nunc ex adverso coRvexit^ein obverceodp»
Rectam geminam habeat veluti Hmitem HyperboUcorum horumc^ ramQ-'

rum nx'y^z=:mx^9 sive jf =zt^-^ in Aequatione gencrali comprcheii^

sam . Sed iterum jteramqoe profiteor inania hacc esse zz futilia posc Ctrr*
varum theoriam a tot tantisque viris excultam» et Newtooo potissimum»
Bragclongnio » Leonardo Eulero» ac Gabriele Cramero (371)» adeo ut a
meis veterlbus collectaneis transcripta fideliter ne novo quidem examini
subiicere, neque errores aliquot, si forte irrepserint ea tempcstate» nunc

cmen-

I5T

ecnendare curaverioi. Ceterum quibasnatn casibus Curvac Arca a Cir-
culi arcu aut ab arca Parabolae conicae consequacur » quibusnam aiiis
geometricae quadraturae sit capax , post dicta in §^. 44^^^ cc Aequationis
naturam indolemque perspectani quaestio est carrente calamo dirimcnda •
Si Aequationem spectes complecam, nunquam id contingere posse videbis:
si mutilan)» unoque tantam termino carentem» auc ob'» = o termino
caret sublimiori , et eo casu Linea daobas gradibus remittitur ac ia Cir*
cnlum vertitur, vel Hyperbolam ApoIIonianam , nullusque hoc aevo du-
biam movet de Circali, aut Hyperbolae area a Circularibus» vel Parabo-
licis arcubus derivanda ; sive demum propter m=^o tertius terminus
deest , abeunte Aeqaatione in trinomialem ordinis 4'*. — nx^ y^ --+>^ = i >
tumque ipsius Area ab arcu Circuli dependebit » quemadmodam inferius
ostendam . Unicae, quae in trinomialibus huiuscemodi quadraturam non
respaant geometricam, Aequatione distinguuntur rt^^r^j^^rtj'*^^*://?^*,
quarum deinceps meminisse iuvabit • Veruntamen , undenam fiat quod
Carva perfectam completamque Aequationem quadrinomialem induens
nusquam possit area potiri, quae ab arcu Circnli vel Ellipseos potias
aequilacerae mensuram recipiat, tametsi possit ex demonscratis in §^. 44^.
ab arcu aequilacerae Hyperbolae, alii quaerant meticulose, mysteriumque
dictitent Geometriae. Meo quidem iudicio nodum solvic comparabilis origo
illa, quam praebat in §^. 24^^, elementorum arcus Hyperbolae aequilate-
fae et Circuli: oam virum decet mathematicam religiose, sancteque colere
veritatem, sed nunqaam efHctis miraculis fabulisque inquinar^. Adnume-
randam potius exsistimo aliis proprietatibus universalibus eiusdem Lineae
4*. ordinis in Tabula contemplatae illam quammaxime elegantem , rotun*
dum oempe Solidum a Linea ipsa genitum revolutione circum Axem idv x^

ct a Fanctione expressum f dx ^ ^ » in Cyliadrum circula-

2 J p-^qxx

rem facile converti posse per quadraturam Conicarum Sectionum (Circulo

ctiam ac Linea recta subintellectis); quod egregie consonat Lineis, qoa-

rum Areae a rectificatione carandem Sectio^um , uti ostendimas, conse-^

quuntur.

49. Primus omnium, ni fallor, Alexis ClairautittS (adhuc puer dao-

dccim annorum supra dimidiam , id testantibas triumvitis Academiae Pa«

risiensis

I 158

risiensis Scientiarum FontenelHo, Kicolio » ac Pitoto (372)1 annufflque
Al.DCC.XXVl"". sratuentibus (373)) ia Volumine IV. vel Continuatione
Iir*. Miscellaneorum Berolinensiumy cdita vertente anno MtDCC.XXXIV**.,
de Curva loquutus fuit a^=za*x^ — ^^y' (374)» quae ipsamet est 1 =
j* — nx'^^'^ superius dcscripta, dummodo coordinatae x^y permutentur,

ct vice a^ in priore subeat generalius a^ ^* , ct — alteritts idem sit cum

/2*. Enascitar ista Linea statim ac in Pascalii Formula ^\ ^5^*.» qaae per^^

a\ a^ — Vc^ — ^cx
ducit ad rectificationem Ellipseos conicae 1 ubl y = ■ 1

Vtf^ — ^^
jiat ^ = 0, subeatque pro Ellipsi scalena EHipsis aequilatera aut Circu*
lus. Clairautii Lineam, sed Aequatione praediram universaliori a*t^=a^y*
~x'y^y quncupare soleo Hyperbolam Circuli , proptereaquod veluti Of
dinatae ad Hyperbolam Apollonii proportionem servant inversam ordinati^

ad Rectam f jf = — J (3^5)1 non secus atque flyperbolismi quatuor Hy-

perboles, bini Paraboles, ac terni Ellipseos a Newtono animadversi in sua
r.numeratione Linearum tertii ordinis Londini edita anno Al.DCC.IV*.

ab

(§"* IV. num. 9. 10. II.), ita in ea Curva sit j^ = — r==- » scilicct

ordinatae sint reciproce proportionales ordinatis in Circulo. Trigonome*
trice inspecta eadem Carva nihil aliud est nisi Linea , qaius abscissae ^
sinus sint, ordinatae autem y secantes jpsius Circuli arcus si b=:a^ aut
secantibus proportionales in ratione b i a f Exinde pritur area ipsius Cur«

ydx=- I ^- ==jj^, et m casu rvb==:a9 quo Curva

J a{Cos.(p) ^ '

aequilatera dici meretur, =j*^, videlicet dupla Sectoris Circuli genera-
toris inscripti» Hoc etiam aliter ac synthetico morb derivatur a Figurae
inspectione 4i°*\, qua Carva pingitur quataor ramis conflata Hyperbplicis
e regione rSSy y , eoquod singularem fasum constituat ad I"°. 11"°"^ ac IX""*»
univcrsalis Tabulae pertinentem (376), Nam si parameter Curvae b^a^
liquet ex Lineae gencsi, quae duabus partibus aequalibas et similibus
EADiGCF^ uti Hyperbol^ Apollonianay composita est, inter se dissiti^

pcr

159

per iutervallam in Axe rwv x aeqoale diametro Circuli generatoris ==/lC
= 2^/, quod intervallam =HI=:^^a segregat etiam duas rectas Curvae
ciusdem asymptotas Axi parallelas XHV ^ flZ ^ fore SK'.BK^=^LK aat
RS:KM\\BKiOSf et idcirco elementum areac asymptoticae RSOP =^
Q^BMKy qaemadmodum supra . Quadrans igitur areae, tametsi altitudinb
infinitae» y4£/7*D duplum peraequat ihscripti Quadrantis Circuli AKIB t
totaque infinite longa area TDAEXHVGCFZ IT duplum Circuli inscripti
AHCIB eodem Curvae centro gaudentis. Id si Evangelista Torricellius
\idisset, iater nostrates anteacti saeculi Geometras (pace dixerim Vin-
centii Viviani (377)) facile princeps, nec Solidum suum infinite-longum
HyperboUcum acutum toc tantisque laudibus extulisset (378), quod inven-
tum paulo postea uno pene calami ductu Bonaventura Cavalerias in im-
mensum adauxit (379)* nec procul dubio mirabilem analogiam inter Soli»
dum ipsum Areamque illius Carvae silentio praeteriisset . Uc enim in So-
lido illo ab Hyperbolae acquilaterae circum asymptoton roratione genico
quaelibet illius pars a quadrilineo infinite longo producta par est doplo
subiacentis et inscripti Cylindri» non secus etiam quodvis Areae nostrae
infinire-longae quadriiineum ABSO adaeqaat bis samptum atque inscriptam
subiacencem Sectorem ABK. Qaemadmodum in Solido illo Torricelliano
praedictus Cylinder saprema sua basi eius capacitatem bifariam secac » ita
Quadrans Circuli circamferentiae AKIin duas dividit aeqoales partes aream
asymptoticam ABITD\ Hemiperipheria H^/ aream DAEXHBITt et Peri-
pheria integra lAHC totam aream TDAEXHVGCFZ IT bifariam secant.
Eodem pariter modo , quo Solidum Hyperbolicum in frusta aequalia
dividitur quotlibuerit si Radius baseos in totidem aeqoales partes divida^
tur« auc, si velis, in quavis data ratione secacor secto proportionalitec
codem Radioi sic area nostra infinite longa easdem patitur divisiones se«
cando in parces aequales» aoc proportionaliter Arcum Quadrantis AKI vi«
ce Radii BI% veluti in Figura adumbravi. E:\dem ratione analogiam quo-
que servat ipsamet Area cum ea infinite-Iooga Logarithmicae Curvae re*
lacae ad Asympcotam, proptereaquod haec Area postrema Solidamqu^
acutum Hyperbolicum Frusta simul habenc proportionalia Ordinatae ex-
tremae segmentis, Torricellio ipso utrumque prac omnibas demoostrante
( MS. ^zXn^iti Hemihyperbola). Scalenae aatem Curvae posc aequilateram
inlttstratam explicationis vix egent . Vcl enim circamscriptae dum Para»

^ ineter

i6o

iiteter BY=b<.BA=^a ^ vcl inscriptae in ^eqaiUtera faerint dum Pa-

rameter BA = h:>BA = af iisdem parallclis asymptotis TIZtXHV strin-

gitur univeria haec Curvarum innumerarum familia, adeo ot et communi*

bus asymptotis gaudeant, et asymptoticae sint inter se non secus ac Hy-

perbolae conicae similes. Quo magis minaitur Curvae Parameter JSF, eo

magis illias rami expandantur usque dum b evanescente abeant Jn Diame*

trum IBH^ duoqne vertices cum centro B confundantur; et e contra quo

niagis augescit Parameter £A» eo magis eius Lineae rami contrahantut

usque dam b iafinito evadente tota Curva in infinito se abscondat • Hos

inter geminos Curvae limttes et Arcae partes , et Areae integrae aequan-

tur duplis Ellipseos conicae inscriptae subiacentibus Sectoribus, aut duplis

integrarum Ellipsiam» quae Ellipses (facile in Circulos convertendae Ra-

dios habentes ^'aF ex Conicorum doccrinat aat medios geometrice pro*

portionales inter constanteth Radium BI ac Parametrum Curvae ) Se«

miaxem unum semper habeant constantem £/= if » alteram vero BY % BA

€tc. = ^, nimiram distantiam verticis a centro communi Carvarara omniumi

sive semidistantiam duarum partiam Curvae coniugatarum . Rev.era» quum

ex praemissis quaelibet ordinataram Curvae scalenae S^ aat SH^ sir ad SO

respondentem aequilaterae in ratione data BY:BA aut BA : BAf nempe ex

Conicis uti Sector Ellipseos BYQ aut fiA4> ad Sectorem Circuli BAKf sive ac

eorum dupla, nemorde veritate Theorematis elegantissimi dubitarc unquam

poterit. Quinimo et valde admirari debemus in Curvis istis amplissimam

Geometriae catechesin tam in arcis Curvarum scalenarum perfectam nih|-

lominas servantibus analogiam cum Solido Hyperbolico acato ab Hyperbo-

lis pariter scalems generato» quam in adstruendis nitideque explicandis

huius Lineae praesidio variis gradibus Infinitorum» et Infinite-parvorumf

de quibus hucusque fastidiosa» ac saepius a veritate absona Mathematt*

ci protulernnt (380). Primas ego, quod sciam , in Prolegomenis Theoriae

Magnhudinum Exponennalium etc. ostendi (381) Solida Hypcrbolica acuta

ba^ibas conicis praedita dupla etiam esse subiacentium inscriptorum Corpo*

rum a revolatione Parallelogrammatis obliquanguli genitorum» et in par-

tes aeqaales qaotcunque, aut in data proportione secari qaoties in cas-

dem nomero partes, aut in eldem proportione secetur latus conicae ba-

seos. Non diversimode Area Carvae, quam tracto, dupla est Sectoris in-

icripti sabiacentis Ellipseosi dividiturqae aut aequaliter auc iaaequalitec

uti

i6i

ati liboerit, dttm ita secetnr Sector Elllpticus, vel, quod in idem reci-
diti Sector auc Arcus Circuli circumscripti . In eztremo Curvarum llmltet

^ ab a.to
quo Parameter BA=oo , asyroptota IT = — = non potest quin

infinities-infinitae sit longitudinis : in attero extremo limhef quo et Car*
va ec Ellipsis inscripta formam indaunt Lineae rectae IBH propter Pa-
rametrum i=:o, asymptota quoque in* nihilum abit ; $cd utpote =

^l-., nihil obstat quominus rb o Asymptoton ad o Parametron propor-
o

tionem habeac infinite magnam a : v^#*— ;r* = a:o. Itaque \n recta TlZf
suaqtie comite JraK, Infinita, nimirum extremae ordinatae, rationes omnes
possibiles exhauriunt inter se a maxima ad minimam , qoemadmodum Car«
varum omnium Parametri . Veruntamen rationes istae ri oo':qo , sive o':a
neque haec Infinita, neque has Nullitates prouti exsistentes, sed proa«
ti exsistentiam magnitudlnum iimifeSf ultimasque Finitorum proportiones
Geometrarum oculis obiicianc necesse est • Nam eadem symptomata
Dobis obferant in Elementis non modo asymptotae communes innumeris ji-
eniUbus Hyperbofis conicjs, quin etiiim Circulas ipse Euclideo more ver-
satas (382). Eapropter quod Alembertus ingeniose quidem in Opu culorum
MathematicorumVo\Mts\\{\t VI*,, typis excuso vertente anno M.DCC.LXXIII*.
(383)» de Logarithmica disseruit ABC {V\g, 42.) eandem com Hyperbola
ApoUoniana DCE asymptotam habente FGI^ nec novum esse iudico, nec
calcali indigere, neqae ab iam dictis discrimina/i • Neminem etenim la-
tet inscripto in Hyperbola quadrato CGFB^ ordinatas Logisticae YMt XK
etc. ductas in consrantem CB=^FB Subtangentem eiusdem Curvae Hy«
perbolicas semper areas CBYLtCBXH etc. peraequare. Hoc primus docuic
lacobus Bernoullius (384), quamvis hanc Curvae transcendentis generatio-
nem innuens nec Logarithmicam faisse persenserit (385), nec eius conti*
nuationem veram cognoverit» quam censait BPQ^ perinde ac si regressu
in B praedita foret, oblitus spatia CBZR.CBAS etc« negativa fieri , ideo«
que negativas ctiam ordinatas ZTt ^V etc. vice positivaram ZP, A^ etc»
ct ramum BPQ in inversum BTVC flecti debere. Nam ob inventum Ro- .
bervallii, cuius gloria vulgo tribuitur lesuttae Gregorio a Sancto Vincen-
tio (386), YM^ XK etc. arithmetice crescunt YL% XH etc. crescentibus
geometrice, aat Fr,FJf etc.geometrice decresccntibus . E« autem LY.MY

X a cx

l62

cx ista Curvae gencratione: IHITB :JJrLC, ac similiter HX\KX\ :iT<|)B:

BXHC etc^ Igitur qaam haec ratio ex natara Hyperbolae ad asymptotani

relatae, quo punctum H remotius fuerit , semper augeatur sine Umite in

infinitum versus £» A, crit tandem asymptota Hyperbolae ©F ad asympto-

tam Logarithmicae IF veluti oo:i, nimirum erit asymptotarum postrema

Infinitum , quod vocant paradoxum (387), et extremum in Hyperbola re*

ctangulam inscriptum S0F, sice JBC* , ad extremum alterqm in Logarithmi-*

ca lA.IF uti 00:1, quemadmodum Alemberto pUcuit . Ulud tamen

prae omnibus in Clairautii Linea oblectamento maximo mihi fuit, quod ea

duce detexerim mensuram Superficiei Solidi rotandi a revolutione geniti

cuiuslibet Segmenti circularis ICAB circum Chordam IB (Fig*. 43 ),Dtt-

cto etenim radio XVA ad Chordam IB perpendiculari , protractoque usqae*

dum VN^=XA^ sive AN=^XVy emissisque quotlibuerit radiis JTD , JTC,

JirOetc«, et ad IB norfnalibus Dy^CjyOQ etc. , istae adeo producantar in

LfKyHttc^ ut sint Ly=^DTfKS==CStHQ=rOR etc. Ex notissimo

Geometriae Theoremate erit Arca Curvae sic genirae IHKLAV ad Sa*

perficiem hemisolidi a Semisegmento geniti lOCDAV velati Quadratam

Radii ad duplam Circuli sai Superficiem (388). Atqai Curva descripta

eadem est cum illa Clairaotii saperius considerata . Nam si referatur ad

Axiem 2VY normalem rectae XN^ habebitar AN=^VX^ GL=^Gy — yL

= DX-^Dr=zTX, pariterque FK=:SX, eH=:RX, ac tandem IM=:

NA . AX
radio IX \ scilicct habebuntur ordinatae CZ. = rjr= ^ , FK=^

DV

NA . AX

- I et sic de ceteris in infinitum : qaod non tantom Hyperbolam

cn

Circali denotat, vcram etiam facillimam huius Lineae, quae Parametrum

datam qaamcamque habeat AN^ Asymptotamque YTA e regione 4>, de-

scriptionem aut constructionem graphicam detegit ope rectarum ab extrc-

tno hypothenusae pancto ^ ad oppositum latos IV emissaram. Area vero

XV
ALKHIMNA demonstrata iam cst aeqaalis -rrT- . flSect. JTiiDCXJ/X', Igiiar

JLA

Area VALKHIV=i XA . ly— ~ .XA.KA^XA. IV—XV. ICA=

XA

I

XV . PA^^XV . ICA (si tangens dacatar arcus genitoris ACI^^iPA-^
iCA)XV. Qoamobrem repertaXinca recta» quae mcdia sit gcometrica pror

ponio-

ICA)Xl^=i(^ rCA)o=z—^.o = XA\ nempe Supcrficics Hc-

portionalis intcr DifFerentiam Tangentis Arcas genitoris ab ipso Arca,

ec Discantlam VX Chordae eiusdem Arcus a centro Circuli > Superfi-^

cies Seroisolidi dupla erit areae Circuli media illa veluti Radio de*

scripci f et intcgra Solidi Saperficies ipsius Circuli quadrupla eric ,

quemadmodum de integra Sphaerae Superficie relata ad Aream Cir-

culi maximi Archimedes invenic • Archimedis profccto thcoria uniis,atqae

facillimus, et singularis casus esc supcrioris doctrinae, in supplcmentum

Geomctrae Sicult iamdudam a me inventis additae Torricellii, Hugeniip

Farenti, aliorumque (389), exeoquod Arca ACI convcrso in Quadrantem

XA^
ACir, &t Xl^ = o, tLQ TMgcns PA=:— — =<»i ct idcirco {PA —

o

rcA 1 o = —

o / o

«

misphaerica dupla Circuli maximi, et Sphaerica eiusdem Circuli quadru-
pla (390). Eadem nova theoria fundamenturo est quoque dimensiouis a
me alibi tradicae (391) Tholi illius in Architcctura mcdii acvi» et Ger«
jnanorum re aedificatoria praestantissimi (392) , quem Itali vulgo nuncu-
pjnt a sesfo*acuf0 9 Galli en iiers-point^ vcl ogive y augive ^ ex Germani*
co verbo aug (oeil), minusque docti Gothicum adpellare saeverant.

50. Aliae Clairaatii Lineae ab eo animadversae in usam Deliaci Pro-
blematis nec minorem elegantiam obferunt, ncc minas idoncae sunt Gco-
metriae promovendae. Hasce dtenim Curvas dum longo tempore elapso
Lineis illis compararemi qtiae a Carolo Renaldino Mediceae dictae fuerunt
in Opere Patavii edito anno M.DCLXX*"^, cai titulum fccit Geometra pro-^
tnotus (393) t non potui quin Clairautium impubcrem Renaldino admo-
dum seni, et prtmum in Pisana, deinde in Patavina Academia Antcccsso-
ri (394)1 praefcrrcm . Suis iste novis Lineis, et Mediceae stirpis rcgali
tessera decoratis, adnumerat sine nomine tam eam aequatione distinctani
x^ =tbx=^y^ f nimirum Hyperbolam conicam aequilateram vetustissimam,
quam Mam-bx — jr*==jr*, vidclicct Circalum . Reliqua perlegenti Ho-
ratianum illud facile occurrit Quid dignurn tanto fene hic promissor hiatui
Oh ! quam impar Renaldini labor prae ingeniosissimis Curvis ante ipsum,
scilicet anno M.DCXIV^. a Christiano Hugenio coBtempIatis in Opusculo
cedro digno, cut titulam fecit Ulustrium quorundam Problematum constru*
ctionesl Linearum Clairautii prima, quam medianam Parabolicam aucror ipse

vocaviti suppeditatur ab Acquationc ;v*— ^*;v*— i»V* =^i '^^ "S"** ^^"*

tam

i64

tum postremi termini discrepante ab Aequatione simplicissimi Bifolii in
$*". 41"^. conteroplati x^ — ^ V* — f ^ *jf * = o . Singalaris baiasce Lineae
proprietas est , non equidem aspernanda , qood si orthogonalium coordina*
tarum vice referatur ad eius Centrum veluti ficum ope radiorom z^ ct
angulorum (p ad Ajcem tSv x^ ondc Aequatio dafa vertatur in 2 =

" , baec analogiam eloquentem satis praeseferac 9 intimumque

{Cos. tp)

foedus cum mea Lemniscata, ilUque notissima Bernoulliornm • Dam enim
Lemniscatarum prior ex §""• 41*"^ distinguitur Aequatione z =

• L-X,. ac Bernoulliana splo numeratore contenta Aequationem

( Cos. (pY ^

habet ;s = dbtf V^Cox. 2^., Linea Clairautii vicissim denominatorem uviir

cum eligit, et Aequatione fruitar 2;=:-- ^, quemadmodum innui.

( Cos% (p )

Cognationem quoque ipsius Curvae, ac Lmeae rectae Aequatio eadeqi
cstendit; proptereaquod , ot norunt omnes, Recta» vei potius duarum
Parallelarum Rectarum Systema intervallo aa dissitarum ezprimatar hac

Aequatione 2 = - -., non secus atque in spatio nnico duo tantum

Cos. ip

indicat puncta ioniugata^ et per idem intervalinm sta distantia , altera

extremi gradas rationalis Aeqoatio «=^ — ^^^^ — —. A prima autem Ae*
^ ^ ^ (Cos. ^)^ ^

quatione perquam faciliter Theorema eximium illud ostenditur, nempe
/~ — =^Tang. o, quod praesidio Infinite-parvorum Analyseos hac-

tenus fuit demonstratom (395). Nam , vel a. Sec. ^ est Ffypo-

Cos. (p

thenusa Trianguli variabilis orthogonii , cuius altitudo constans a\ igitur

a^ ju

eios Areae elementum ■ dum ex Euclide isthuc ipsom elemen-

2(C0X.?))* ^

tum = i^ — , prouti Figura ^i", patefacit, Depressa Aeqoatione

illa

■V

i6s

illa Trigonometrica ad Rectatn Lineam g = " "~ ■, oculis staticn sa«

Cos. (p

— ^ ^

biicitar altera Trigonometrica irrationalis z = -- ^, quae ad secun*

yCos, p

dam percinet Clairautii Lineam» seo fnedianam Hyperbolicam y cuius Ae*
quatio more solito concinnata ji?*— I"X*>* — tf* = o. Paradoxoram amato*
res Analysin heic repugnantem, ec in contraria ducentem fortasse crede*
rent, quum Aeqoatio more solito expressa x^ — V oc^y^ — tf* = oquataor
ramossuppediteti nempe \/**-hy* = ^ realis va\oris quomodolibet Radius z

Axibus inclinetur, dum e contra Trigonometrica g = — ^- — > obferac z

\Cos. 9

imaginarium posito Cos. (p negativo. Veruntamen primitiva, et numeris

.»aibu. .b»la« A.,...I. ,«u« «. .♦=,-^. "i. . .au, =

s± ._!_ , quam = ^/^"^' . Postrema Formula in bypothesi rt! Cox. <>
V Ci'/. P \Cos. p

negativi realem habec valorem , et nodum solvit; sed prima nihilominus

recte perpensa quatuor sufEcic Curvae ramis describendis, alteramque pe«

nitus inutilem esse decernic . Aream huius Carvae quaerere , quam Clai-

rautias ea tempestate ignoraveratf, ludicrum potius, quam serium moli-

mentum esse patebit • Profecto huius Lineae asymptoticae , et quatuor ra*

mis composicae similibus et aequalibus (Fig\ 44.) Sector quilibet centra*

/a* J(l> a* g ^ (b K
—— * Log.(Tang. 45*^-4- — J.Est
fiCos.(p a V a ^

enim expressio illa eadem cum alia , quam vqcant Latitudinum crescentium
sive Mapparum in usum rei nauticae a Nicolao Mercatore atque Eduar*
do Wrightio constructarum (396) . Area ergo a Linea ipsa comprehensa
ez quadratura dependet Hyperbolae conicae, quemadmodum confirmatur

/* ^ d^Ki n^ III. sc^
ydx=^ J (39Z)» totaque in infi-

nitam protensa ABCDlf ideoque et quadrupla ADEF^ infinitae esc ma-
gtiicudinis, secus ab Hyperbola Circuli in praecedente $\ contemplata •
Nec pukherrima solummodo proprictate gaudet Sectorum centralium

a^

i66

j£^ f y^ — ^ fdi^ Sec. <^ Latitudinibus erescentibus ia Mappis Hy-

2 J COS. <p 2 J

drographicis proponionaliumt vcrum ctiam Locus cst geomctricas Cono*
rum rcctorum IBP.ICL ct<:. innumerorum, qui Superficics convcxas ha-
beant isoperimetras ^ ct acquales CircQlo Curvae ipsius gcnitori in Figura
depicto. Nam ducta tangente AG asymptotae FD parallcla, ct normali-
bus asymptotae eidero GH^CL^ habctur ex Curvae gcncsi JG : IC: /Sff;
qaapropter CH^IA: CLi: IC: lAt ct idcirco IC: IA:CL^^ vide-
licet ex Elementis Superficies conica a revolutione rtctae /Cgenerata ac«
quaiis est Areae Circuli radio praediti lA. Quemadmodara crgoLinea recta
LocQi cst Rectangulorum isoperimetrorum , et Hyperbola ApoUoniana Cy-
lindrorum rectorum convcxis Superficiebus isoperimetris gaudentium, iu
Parabola Apollonii ANRKt cuius praecipuus vertex in A^ focus \n /, Lo-
cum statuit Triangulorum rectangulorum, in quibus IN'-hS^O=IR^
JlQ=ietc.=:IK=Q,IA = AEr ct Clairautii Curva Locum altcrum, ubi
»ic /B . BP = /C. C£ = ctc. = /i4*, Conique omnes inscripti exccptis
(ttt in Hyperbola) basibus isoperimetri . Linearum, quas Clairautias ex-
posuit» postrema dignoscitur ab Aequatione x^-^^a^y^ — a^ = o^ cstque
omnium unica» quae instar EUipseos in se redeat. Nihilo taroen minus

*

gcnesin noscit suam, quae parum a Far^bola conica discriminetur . Reve^
ra Parabola oritur IDKN9 si Elementorum memineris » dum in Circuli
Quadrante IBGN (Fig^. 45.) et Quadrato ci circumscripto IJUNO puncta
DfK ctc ita sumantur in normalibus innumeris AEfFL etc. sapcr dia*
metrum dactis, ut sint AE s EC : £D ff , FL : LH : LK ff etc. Enascitar
vero Lineae Clairautii Quadrans IBGN dum verae fuerint proportiooes
A£: EB \ EC— ctc, FL : LG : LH -H- etc. Linea ipsa est quadrigibbat
nimiram in quatuor tumet punctis A, Y, <I>, A, imitaturqae eam Curvaoi
pariter quadrigibbam §^. 9°^ memoratam, et ab loanne Bernoullio per
motum reptorium genitam EUipseos conicae super se progredientis, inver«
so tamen ordine Axium. Unusquisque quatuor gibborum faciUim^ synthe-
si dcterminatur . Generatio etenim Curvae datae praebet Quadratum Ra-
dii cuiuslibet a Centro O educti Ofi* = 0£* -+ £B* = 0£* -+ -4E . £C
= 0£* -4- £C» — h ^C • C£ = or --f ^C . C£ . Maximus itaqac in Qua-
drante Carvae crit Radius dum AC=r-cE ex Elemcntis. Bifariara . igitur
sccto /0 in r, ductaquc perpcndiculari Tf^ usqae ad occarsam Pcriphc-

fiae

\

167

fue Circnli genitorhy ee ab oeciirsa V parallela eidem Radio 0/, liaee
gibbum A9 et Radtam maximum OA suppeditabit. Idem de reliquis tri*
bus dicendum. Haec autem constractio idem illad statuit a Clairautio

ope Calculi dlfferentlalU repertum , nempe j = 011 = Y §^ = y ^ oi\
atqoe ;^ = IIA = Vm . n V = V ^ = V "T" • Angolas ergo AOP Tan-
gentem habebit aequalem \ — > ideoque minor erit semirectOy ec /OA

o

maior, atque Radios maximus OA ad Radium Circuli genitoris O/ erit ia
ratione 's/^:^. Ista Radioram maximorum in quatuor gibbis ad Radios

minimos in quatoor compressionis punctis proportio congroit illi quadri*

n

gibbae BernouIIianae » dummodo Ellipseos genitricis Semiaxes sint a^ — ;

o

proptereaquod ^/za^ — h a** : tf -+ * ex Bernoollio (3p8) sint ut \/y: %

a

tum quum Semiaxis minor ^ = — » quemadmodum patet. In hoc tamen

3

diflTert Bernoullians quadrigibbat de qua loquimor in praesentia» quod pri-
ma Radios maximos semjrectos angulos habeat facientes semper cum 1»/-
nimis , secunda non item / Solidam illud rotunduni a nostra quadri-
gibba genitum revoluta circum PON Axem rwv.y est ad circumscriptuoi
Cylindrum natum a rotarione Rectanguli MfQPON ut Area Circuli cuiasvis.
ad sibi circamscriptum Quadratum • vel ut Quadrans Circumferentiae ad
duos simul Radios.Nam Cylinder ad Solidum proportionem servat ex Ele-
mentis, quam habet vicissim Somma quadratorum constantium /0%^£%
FL^ etc ad Sammam lO^^BE^^GL^ ctc. , scilicet ob tiaturam CurvaeSum*
ma rectarum lO^AE^FL etc, aut Quadratum lONM^ ad Sammara re-
ctarum lOfCE^tHL^ sive Aream Quadrantis Circuli lONHC. Neqae So-
lidum istad» neque Aream Curvae protalit Clairaatius, tametsi primum
geometrica Synthesi solummodo adhibita in promtu fuerit» et altera a re-
ctificatione obtineatur Ellipseos et Hyperbolae, qaod praecipuum est ar-
gumentum huiusce £xm/m/W/« Neminem latet Aream illam peraeqaare

/dxsfa^ — x^ ^ ^ r a^ dx r x^dx
, sive potius / — =: — / — » cuiw part

y prior

t68

prior ex doctrina. Pascalii tn $\ 40"^°. tradiu a rectificnttone dependet
Arcuuro simul Elliptici et Hyperbolici, atqoe pars altera » facto a:*^ = ^^; ,

ct convcrsa in Formulam — J-^ / — » per §«»• ^a**""*. Arcubus

^ "^ V^* — 2;*

simul earundem Sectionum Coni integratur. Utraque vero partium, ideo-
que et Area qyaesita, Hyperbolam aequilatcram , Ellipsinque eius spechiy
quae ad Lemniscatam pertinet BernouIIiorum » praesefert. Ezinde conse-

quitur- ctiam rbjdy (i^* — ^*>') ^ ab Arcubus Conicarum , de quibus

supra, integrationem recipere, vel, facto tf = i , 1 dy{ i- — y^) ♦ ^ quod

Integrale cst iaversUm illius a Maclaarino prodocti (uti dictum in $*.

/ilx
p-, ab Arca tantttmmodo aequiUterae Hyperbolae de>

I

pcndentis . Ec rc quidem vera fdy{\ — y^)"^ =y ?^ —

(i-y)^

I CQtus pars prima est inter Formulas Maclaarini , secun-

/

d-jr')*

V

da , 81 fiat « = ( I — y^ ) * , abit in rt /

dzs/\ — z'

/—rn — ■ — f—r=^ — ' f videlicet in ftotissimas Formulas
Vjj.yi— fli» J Vj5.vi — &* .

praecitato $"". exppsttas. Quae omuia non parum inserviunt illustrationi
Capitis XVIIF^ Partis PS Bougaiuvillii Tractatus^ abi agit de Carvarum
q^uadratura trinomiali Aequatione definitarum (399).

51. Ut .promissis fidem liberem consideranda remanet ilfa Carva
s* f^^y^ cfcj'* =F mx^ = o , cuias Aream Spatio rectilineo parem tsse in §*.
^ST^nanciayi .Ternae a combinatione sigiu)rum dimanant Lineae ordinis 4".»
nimirum nx^y^ -H- jr* — tnx^ = o , nx^^y"^ — y^ — iwj^* = o , «jir*jr* — >* — *•
•iMr<v^=:o. Haram postremaiu si spectes» analogia gaadere evidentissima U-
quido coDstabit cum Hyperbola^circuli in §0. ^j'"^ explicau. Nam in istfa

dtttn.

169
dum eitts akcbsae Sifmbns , ee ordinatae Secantibas eiasdem Arcus Circularii
aequales suiit» illa vicissim abscissas Sinabas » ordinatasqae Taagentibus ae->
quales habct • Esc igitur etiam haec nova Curva asymptotica * quinimo
idem centram» qaod heic etiam denotat verticem» easdemqve asympcotas

servat Hyperbolae-circuli ^ coius Parameter ^ = -7=-: nam Ae<3[uatio illa

7

I

pcrducit ad alteram y=^zk^m ( — V Quibus posltis Area per-

tineiis ad Hyperbolam Circttli est ad eam nunc quaesitam velati Summa
Secantium ad Summam Tangentiam per r\ VaTmuttipIicatam, sciUceti uc

Cq$. (p J Cos. p J Y 9

•^Cos.^p^ cx passtm demonstratis, ac potissimam in §§K 15^. ac 22^^. de

Ungola primaria recti Cylindri . At ^ » vel hoc in casu ob praemissa

—r=r • 9 > 'sett duplas Circuli genitoris Sector, ex $'. 49^. Aream perae*
Vn _ .

qaat spectantcm ad Hyperbolam CircuU. £rgo ^^—-( , — Co$.^\

V • ^ V » ^

= \/J!L(—^ — — \/-i x^ \ partcm Areae Curvae novae ad abscis*

^ n \\/ m ^ f

sara ^ pcrtinentem significabit; et idcirco erit Quadrana Areae to-

tius« Ceteram omnes sciunt Lineam illam Tangentiam et partialiter et tota^ ^

iiter praedictae Ungalae aream area sua peraeqaare (400) • Silentio tamea
praeterire nequeo haiuscemodi Carvarum familiae simplicissimam Aequatio*

■

ne praeditam x^y^ — a^y"^ --^a^x^^^^o ita exprimi trigonometrice «=:=4:

<> V-^Coj.a^ _, ^aV — *Cos,<i<p jt • 'c ^

^ , vel 2 ==4; — —^ 1. ; quod significat z tmapnartitm

Sin.^.Cos.<f Sin. 22 ip

csse donec 9 noo fuerit =45**; hoc in casa fieri =:o; 2=:2tf quuoi
• ^^'Z^So'» deindeque, quam <|> = 9o**, evadere 2 = 00. Linea igiturt
in qua sumus» OSITy {Vi^. 4<5. ) qaataor infinitis.ramis composita». eti nod^

Y 2 gaadens

X

!

I

H

gaudens 5*, aat duobus panctis infltxknis vel regressuit tangentes Iiabet 10
eodem nodo seu vertice CSD^ ASB sibi invicem perpeddicaUres>Curvainqae
omnem complectentes » prouti in §^ 41*^. de Qtraqne Lemiu^ata dtsserui .
Proprietas autem nuUi secunda > quae in Linea ista Tangenti&m elucec »
hactenus quod sciam a nemine Geometraram detecta > non modo elegantem
comparationem respicit Areae ipsias Curvae asymptoticae OSHG cam al-
tera pariter asymptotica FESHQ Hyperbolac*circuli, ex qu^ fit ot se-
cunda ad primam sit tn proportione Quadrantis circumferentiae genitoris
EQ^H ad Radium ES^ vel Semicircumferentiae ad Diametrum, verom etiam
consistit in elegantisstma ac perfecta ^equalitate Arearam infinite - longa-
rnm tam nostrae huiusce Lineae OSHG^ qoam Logarithmicae SNPH^ cu*
ius Sobtangens et Ordioata Radio £5=5/f pares faerint. Porro haec
ultima adfectio miraculum Geometnae redx)Iere atiqui existimabunt » eo-
quod aequalitatem sistat Arearum, saepius incomparabiltum» Carvae Cro*
metricae ac Afechatticae^ vel aptiori stilo Atgcbraicae tiTranscendenns .Vti^
mum faciliter demonstratur, quum in universum oscenderimus Quadran*
tem Areae FESHG=i2,EQHS=zES.EQH {§"". 49"^)i et Quadrantcm

Areae alterius Curvae OSHG =— — 9 nempe in postrema hypothesi — —

^=a*=^ESHC=^ES. ESi ex quo etiam consequitur» si vcUs» Area-
rnm asymptbticarum OSHG , FECG proportio aequalis ei , quae intercedic
inter Diametrum cuiusvis Circuli et Differentiam Semicircumferentiae eius-
dem ab ipsa Diametro . Secuodaro autem deducitur a notissima Logarithmi*
cae theoria > quae Aream eios infinite productam SNPH Quadrato SLMHt
aut ESHC (vel ex demonstratis OSHG) aequalem esse concludit*(40i )•
Quaestio tamen omni iure htc suboriri potest, undenaro fiat duaram Cur*
varuoi SO^SN zb eodem puncto S djgredientiuro , et communi tangeote
DSC praeditarum» ideoque se invicem contingentium » ac toto caelo dis-
sitaram, Areas aequales cum commoni asymptota HCPG claudere posse?
Qaod ut inlustrem atiquomodo > concipio primum Logarithmicara Ncperia-
nam in puncto A ordinatam habere CAi seo Numerum , cuias Logarithmut

1

hyperholicus negativus sit Sabtangens i/C=l; eritque CA==^ -#

aempe maior brdinata CA, quum Tangens EC=^CH rcspondcat Sinai

ni

KQj^SP = -7^= t Htqae ideo P/f=CA== i — ' '

V 3 V s^ i.^i^ecc»

— — li.5 1 < ^ ^ videlicet < CA • Logarlthraica igitur

I .414 etc« 2.302 etc.

5J^A inicio remotior est ab asymptota /fCCr prae Linea Tangentittm S^/SA;

sed deinceps duo Curvae ita invicem adpropinqoantur» ut tandem Loga-

rithmica ipsa secec in F Lineam Tangentiam, atque exinde asymptotae

$\X2lc vicinior fiat» Inventio haiasce intersectionis puncti F non diHiciliter

derivatur a resolutione Aeqaationis cubtcae. Nam punctum istad hoiusce-

modi est» nc ductis YR asymptotae parallela» et FZT perpendicularii esse

debeac jHZ^^/JK^Tangenti arcus Sinum babdntis SR^ aac = Logarithmo

negativo r5 zr=/fiJ = 5/f — SR=z i — x. Quibas omnibas praemissis

dx

, nempe (i — x) (i-+^)' = i, vel ap^— hflAp* — 2 = 0, ni-

oncur

IT

airaffl rb x satis proxime (at vero maius) = — ^» et idcirco (at vero

ttinus) 1 — ;^ = Hif=:— =-^ — . Ncc poterat qain contingerct eadem

20 ao *^ ^

intersectio Carvarum » proptereaquod asymptota HG pertinens ad Lineam

Tangentium Infinitam est 1*. ordinis » utpote = ex Elementis ;

asymptota aatem Logarithmicae Infinitum est i^ ordine inferias ex dt-
ctis in $*. 49**^* > qo^^ nKitkC luculentissime corroborantor • Aliae dao
Curvae Aequationibus distinctae nx^y^-^y* — mx'^ =^ o sivc >=

VflT ( — ^^ ) > ttquc ux^y^ — >* — w^* = o vcl y =

V \^x

n

I

"sTm ( — J ab Hyperbola acq^uilatcfa directam origiacm nof

icont»

^

N

1^4 _ .

icunc, f^cilesqae adeo sufir, «t post eatn» qttam snpra tractavimus ortam
a Ckculo seu Ellipsi aequilatera • ia ipsis immorari supervacaneum exsisti**
mein. Libet tantummodo, neglecta Farametro V^Ti aut facto »1=1,
Aequaciones earam addece Trigonometricas r vidcKcet pro prima jc^y^

dV — tf'^* = o valet z=:zt2a -—: — , atq« pro altcra x^y^ —

c^y^ — tf*A?*=o valec elegantior 2= — : • Origo, ngura, asympto-

tae^ aliaque Linearum harumce symptomata in promta sunt^ id autemi
quod earum Areas spectat> ope snperiorum Functionum Circuli luden*
tem potiasy quam serlo cogitanxem Geometram poscit. Unum duntaxat
pergratum faturum iri lectoribus censeo in Arearum* qaibas hactenus
operam navavi» iucunda quadam contemplatione « Sic eaim in e^dem
Fig^* 47« descrJptum trium Curvarum Systema ( aemalans fcusto sao
Equitum Cri^r^i») (400), quod complectitur Aequatio la"*. ordinis jf^ =

» uhi S centrum commnne.triplicis Lineae

( ii* — ;kr" ) ( tf * -f j^* ) ( ;^* — tf * )
hoc in §^. consideratae , et Quadrati BACM^ in quaterna divisi ope re«
ctarum ESL , DSH\ cuius Latus AB — SE=^ SF== SC = SN=: 2a . Trcs
istae Curvae, praeter commune Centram 5, communibus quoque gaadent
qttat4ior asymptotis, quae sunt Latera antea descripti Qaadrati » vacuam**
que omne tanta implent elegantia » ut quk earam una oh rmaginaria exU*
tere-nequic, subeat altera, atque vicissim, instar Systematis Circuli ec
HyperboUe , auc Hyperbolarum coniugatarum . Pulcherrimum profecto
obviam Gc Geometriae spectaculum, nimirum duas reccas iUas, sibi invi^
cem normales BSC^ ASM acque diagonales praedicci Quadraci, adeoquese-
mirecco angulo inclinacas ad Axes Curvae duplicis circa cencrum et com-
munem verticem S disposicae, dam Tan|;ences sunc geminae eiusdem Cur-
vae , versa vice Axes esse cerciae Curvae occo iniinicis ramis conflacae t
tiempe cotidem, quoc adamussim habenc duo simal Lineae interiores. Exin-
de nascitur quatuor vertices £,2V, G,F simul coniunctos Quadratum ef-
formare ENGF praefaci duplum iBiiCAf, quemadmodum hoc poscremum
aeque duplam pocesc rZ OP^ = Qfi* = FX* = ZP* . Aequalicas isca qua-
cuor recurum OP,QR,VX^ZP evidencer oscendic dtfas Curvas in 5 se

mucao

»75

mutuo contingentes spsammet esse Liaeam geminmm ; quod non 9o\vtm

confirnnatur ab Aequationlbus z =^dt2^a *- — 2- , ^; = _».

tia — : , verum etiam a vulgaribus x y — a^y*^a*x^=zOfy^x*'

Stn. 2(p

tf*;tf*-+<>*jf* = o, quam iriversis Axibas rSv x^yf ut in Figura, unam
eandemque Aeqaationem , eundemqae geometricam Locum significent . Ad-
cedit elegantissiroa methodas Areas triamCurvarum cpnstructione synthetica
adipiscendi • Nam si a puncto quolibet K Qaadrantis Circuli , centro S ec
radio ES descriptt, educaturtam recta n/CSA parallela ES^ quam secans
5A4>, erit Rectangulum nS.S/C ex iam demonstrati« aequak Trilraeo
SOAn=:SRer, alterumque Rectangulum SK.K(p aequale Trilineo SRe^iT
= 5*0^3* ^ adeo at unum ad alterum Trilineoram sit in proportione
tS ^KiK^y primaque Trilinea crescant decrescantve ut SA^, et idcircQ

semper finitae magnitadrnis sint etiam in infinitum producta ; secnnda vero
uti Bil^^K etc. , ideoque magnitudinis infinitaetttm» quum in infinitum
protensa fuerint* Revcra Trilineum SRe^f^^PE .TS—*l.K.ES — {T^l.K)

ES=<bK.ES = i^K.KS, quia. lp!i^_( i — -Cw.?))— '

Cot. p ^ Cos. p

quac proprietas mtnus nota ceteris adfectionibus Circuli est non immerito
adnunieranda. Id ipsum, qaod Circuli Quadrans eifecit in Area determi-
nanda SOAU praesidio Rectangall ns . SA:, efficit etiam Quadrans aeqaila-
terae Hyperbolae Hkye centro eodem S, ac vertice H descripcae. Area
cnim jfHfEi?); = fA.fr, j^H/Ac&£y = fA>i./xS; ita ut Areae istae, magni-
tudinis semper finitae praetet casum tH puncti f& in infinitum progressi,
proportionem servent inter se rZv iPfiie etc. ordinataram Hyperbolae.
Fancto aotem intersectlonis k id accfdit singulare, ut determinationi fa*
cillimae inserviat frusti Areae ipsius Curvae infinite-longi, aequalis Qua-
drato EBHS9 vel spatio asymptotico infinite-longo adiacentis Lineae Tan*
gentium. Haec omnia, matatis matandis,ad universaliores etiam pertioenc
Lineas quicumque fuerit valor rS f», proptereaquod rb ^'iir Parametri
vicem gerit eodem penitus modo, qao vidimus in $^. 49^^ disserentes de
Hyperbolis-circuli aequilateris et s€aUttis% non secus ac in 15^^ de Un-
galb secundariis atque primarih»

52. Dum

/

174 ...

^2. Datn haice Ctimnini «peculationes in aaditameoti specimen ad

praecitatom Caput XVIIl'"». Volominis I'. Traetatas Cakitli Integralis a Bou-

gainvillio editl e schedis meis exscribebam occurrit mihi molimentum

quiddara perantiqnum Corvas omnes distribuendi tn classes ^ genera , ac

species non Cartesiano more , uti solet (403) , sed Trigonometrico , ple-

. rumque commodiori , et Eolero omniom primo docente (404) inTentorum

pene dixerim mirabilium ultra spem foecundissima. Aliqaa, nec poeniten-

da , de hoc argumento iam delibavi in praecedentibus §$'». ^i^. 49*. 50*.

et 51*., totumque si complecti unquam vellem pecaliarem tractationem

exposceret. Pauca obiter eorum, quae multis abhinc annis meditabar, et

festinanter aperiam. Linea recta hac Aequatione distinguittir z=-^j— -,

daoque rectac paralleUe « = -7, 1 prouti dixi in §•. 5o"»*i vcl po-

tlas 2 = ^— — f z = — '^ • Universaliccr intcriai animadvertaoi

Sin, p Sitt. p

Acquatio^es omnes trigonomecrico more expressas significare Lineas eas*

dem scmel acque subscicaatur Sin.^ pro Cos.^^ et viceversa, scilicet.na-

ineratio Anguloram ip ab uno Axium ad alterum transeat illi normalem •

Qaae animadvcrsio Aeqoacionaro omniom possibiliam formas arccioribaa

coercet limicibus ad sequencia inlustranda , quam prima fronce adparerec .

Circulus aatem Aeqaacione exornacur z = a Cos. <p dam angali a diame-

tro incipianc, vel z = a Sin.p^ dum inicium sumanc a tangence ab exrre-

cno diametri edacta: Circulus deinde geminatus, vel dao simul aequales

Circali se invicem et exterias contingences , acqae Lemniscacam imicancest

Aequacicne gaudent per §^. 41«™. z =:±a Cos. p , aut potias i = =t tf Sin. P*

Adccdttnt proximc «= -~^ ■ vcl «= ./^^, pro Lineae rcctac aat

Cos. p Sin. p

antiqaoram Conchoide^ vulgo dicta Nicomedca (405), necnon 2j = * rt <>
Cos.p^ aut 2 = *=tiS Sin. p pro recenciorum vel Circuli Conchoide cum
polo in excremicace diamecri collocaco (406)9 dc qua plura in §^. 55^^
et sequencibas occasione doccrinac Pascalii eo magis amplificandae expli-
cabo* Dimananc a primis, ordinc comparacionis servacoi Lineac ica ex-

prcssac z = .."7^ - ( Mediana parabolica $L 50««. ) , « = -r S^^ ^ r t

'75 •

z = ^a{Cos.^) 9 dammodo » sit numeras integer positivas. Non se-
cus ab Aequatione Circuli profluunt analogae 2 = =±tf (G?j.<p)*, 2==

r± tf(Cp/.<I))' , 5;.=3:dbtf (Cpf.<p)^, a&t ono vcrbo z.=^z±a{Cos.<f) , usque

io

ad z = r± 4 ( Co/. ^ ) , in e^dem ri n exponentis suppositione • Eadem de
Sinuum potentiis dicenda sont praeditis exponente integro positivo vel ne-
gatiyo» neminemque latet idgenus Fotestates summa facilitate in Cosinas»
Sinusque Angulorum multiplorum converti (40^). Potentiae Sinuum, Co-
sinuumve simpliciam, aut multiplorum Arcuum exponentibus fractis, posi-
tivis sea negativis , adfectae originem praebeut pluribas aliis Lineis , quas

r±tf •

nimis molestum esset enumerare* Exemplo sint z = ■ sist Media*

VCos. p
na hyperbolica §1 $0"**., 2==tiiVcJ/.^ seu Lemniscata percelebris Ber-
noolliorum iaxta $"". 41"°*. ac §"". 49"''°'. Procedunt Lineae, quarum Ae-

qaationes fueriot reconditiores , utpote z=-z±aCos. —^, scilicet Multifolia

aut Gaidonis Grandii Rhodoneae (408), 2=:=± — vel Linea , cuius

Cos. p

Aeqnatio **— f *•*>* — ij*^* = o Clairaatii trinomialibus non absimilis, 2 =

--^ ilL.=-:^ Zi vel Cissois veterum aut Dioclea , 2J =

Cos.tp nCosp

— r- vel aequatio Corvarom Coniotomi lesuitae Thomae Cevae, de

Stn. <|>

quibtts plura disceptavi in Analectis meis hactenus ineditis (409), z=:

T

— a

— ad Farabolam ApoIIonii, sive etiam ui^ivet-

^ ( Cos. — 9 )*

salius 2=: ad ternas Coni -sectiones, z

i -H- » Cos. p

\/tf* — c*(Cos.(p)* vel z=H:V**-+tf*(5/»,^)* ad uoam e celeberrJmis
Curvis Spiricis (410), quae in Lemniscatam Bernoullianam abit si ^^ =::

Z atfS

t

f

«76

a»* , quum eo ca$u Aequatio eyadat z = zta^i-:-s.{Cofi,<^}* = :±
^^/ — C0S.2P seu f quod eodem rcdic , = r±tfVcax. a^, « =

2 \/Hh Coy. 3(2) . ^o e • t n '

rta . : — m 5 . 5' • »*» co»tempiata> ac taHdeiii , ne scrmo

Sm. 2<j>

^ ... tfCizfc^/»*®) . «

iste fastidio vertatur, g= ■ pcrtinens ad egregiam Lineam

Coj. (p

illam nodatam et daobus infinirrs ramis praeditam » quam antea raudatus

Hyerosolimitanas Eqaes Nieuportus in Actts vulgavit Caesareae Academiae

Bruxettensis (411). Haec vero Nieuporti Linea 6". ordinis eo nobilior cei>-

seri debeti quod cognattonem maximam habeat Hyperbolae aequitaterae

ad alterutram asymptotarum relatae. Qaemadmodum eutm rn prima est

AE — AC->rCB,AFr=zAD-^DE etc. ( Fig*. 48.), irecnori AE'—AC

— CB.AF^^^AD — DB etc, ita in secunda z%t CB^^LA-^ AT^ Fk

=: LO -h Or etc. , et CB' = LA~A1\ FR'=LO — OT etc. cx Conicis

Tnstitdtionibas. Diversum genus classemque adttnent Aequationes aTiae»

quae functionibus Circuli et eiusdem Arcubos simul componantur. Omni-

bus ferme istias cTassis praecellit ea Curva transcendens Aequatione distia-

cta 2;= —9 quam Gregorius Fontaua veluti novam consideravit» et

rei harmonicae utiUimam, in Parte 1°**. Voluminis II^. MemorahUium So^
tletatis Italicae ^ eandemque dixit a se prius antmadversam in Problemate
II^". Disqmsitionis .IX"^ intciP ceteras Faprae editas verteate anna
M.DCCXXXX''. Ego autcm Lineam ipsam elegantissimam Problemati etram
\^^. memoratae Disquisitionh satisfacefe.atbltror» et insuper cum Ca coit-
sentire publici iuris facta usque ab anno M.DCCLXIir^ in Volumine
VIII^^ Novtfrum Commentariorum Academiac PetropvUtanae ad pag**\ 26""li

S' (b -^^Sin.p

Nam aat Curvae Aequatio sft z=r— ! / * --^ aut z=r-^^ — --^-= — % aitt

^ ^ <2>

— * ^ * ^ supposito Q Quadrante Pcriphcriae circulari» Ra-

dio I gaudcntis, natura Lincae eadem manet, quippe sak permutata Pa-
tamctro aut Motit^^ S nonic» Curvae dc^idcre»» eam non immcrico nun^

cupandam

. t

177

cupandatn putaYerim Qnadrantariam potarem » valde diversam a Quadrafri*
€9 Spirali . Quemadmodoin enim proprietas, aut Acquatio simplicior Hy«
perbolae conicae i ac Logarithmicae ab Ordinatis Asymptctae ncrmalibus
ad Radios translata Hyperbolam Logarithmicamve spiralem genuit, non
codem iure de antiquorum sive Dinostrati Quadratrice sentiendum est illi
superius expositae comparatat ut liquido constat a conlatione praecitatae
pag. 36*»«. Summarii ct 167"*«. ac 168^". Scholii Voluminis Vlir. antea
dicti Imperialis Academiae. Vera profccto Quadratrix spiralis coiigirQic
Helict Archimedeae . Quadrantaria autem polaris hoc habet praeci*
puum (Fig*. 49.) a me noper detectum , quod vocatis i Radio IB
Circuli gehitoris, Q eius Quadrantis Pcripheria BDO, Radio vectore lA
= z, numeratisque Angiilis (p a Kadio maximo IC=^BDO^ sit ubivif
Arcus Circularis AT^ centro /, et radio lA descriptus, = Quadrantt
DSt cuius radius DI^ Sinvs • recttts anguii ^: ex quo ec nomen Corvae»
et Figura innumeris contexta fbltis circa centrum /, et eam describendi
facilitas summa, et ceterae adfectiones ipsius luculentissime derivantac*

53. Ea inter, qaae sparsim ac festinanter illa iuTenili faustissima
tempesrate adnotaveram -dum de Curvis universis novo ordine disponen-
dis excogirabam, numeris omnibus reperio a me tum absolutam Ovaliuoi
praeftantissimarum Seriem cum adiunctis r^rioribus illarnm proprietatibus»
initio Tabulae sumpto ab Aequatione z = aCos. (p sive Ctrculo cuocta*
rnm Ovalium pinguissimo, et £ne ipsius Tabulae posito in Aequatione
2; = j(Cof. 9)^, quae puncta Axis extrema , Ovaliam gracilissima , ocu-
lis subiicit. Post Circalum statim occurrant natirum ordinem proseqaenti-
bas Ovales dao, Aequationibas distinctae 2;;=r:4i(Coj. 9)^, z = tf(G0^.^ )%
eaedemqne sunt, quas loaones Baptista Villalpandus lesuita Cordubensis»
utpote duplicationi Cubi inservientes, apto nomine proportionatrices voca-
vit, exornavitque in Volumine III^^ Apparatus Vrbis ai Templi Hyerasolimi*
tani typis excuso Romae vertente anno M.DC.IV'*» (412). Quod duoi
memoria repeto, haad parum obstupesco ignotum istud fuisse Aotonio-
Mario Lorgoae , qui in III^^ Opusculorum trium ad res mathematicas ptrti'
neutium Verooae editoram anno M.DCC.LXVir« , non modo Ovalium unam
Villalpahdi (413) praeditam Aeqaatione ^*— f 2Ji?*jr*— f;^* — 9^4^' =0»
aut mea methodo «== ^'(Ctff. ^)' facto y=2tf, veluti novam prodide*
cit 9 Froblemati Deliaco aeque adplicaerit , minusque idooeo nomine

Z % Cissoidis ^

178

Cissoidis-Iemnisccroticae insignivcrit (414)1 scd ctiam praecipaas eius ad-
fecciones Calculo detexerit» quariim nonnuilas iamdudum Viiicentius Vi.
vianus liiieari Synthesi duce adseraerat ttsquc ab anno M.pc.LXXVP. ia
Appendice Continuationis Geometriei itineris (415) Italico seroione Floventiae
editae (416). Uc hoc evidentissime pateatt ct divinatione quadam utai;
in celatas a Viviano hodieque. deperditas elegantiores sistendas demonstra*
tiones» libet inprimis genesin ipsius Ovalis ab eodem Viviano repetere,
quum prae constructione a Villalpando data simplicior sic, atque admo-
dam ingeniosa (417) • Neque hac solum ratione excitatus Ovalem istan
nanc pertractare v\ animo babui, scd praesertim coquod Medianae-pa-
rabolicae Clairautii in §^. 50"^^ exposirae sit veluti supplementom , eius-
demque ordinis 4^'* (secus ac altera Villalpandi Ovalis (418)2 = 4» (Cox. 9)%
aut (j^*— 4-jf*)' — 44*x* = o ad 6'"™. ordincm pertinens, de qua sum
alibi loquuturas), ct propter insignem addnitatem argumeoti potissimi
Exercitationis huiusce, qaum ipsius Ovalis perimeter a Sectionum Conica*
rum rectificatione impetretur. Revera Ovalis cadem ita describitur. Sit
Circulus diametro praeditus AB (Fig^ 50.), cuius ab extrcmo elevetar
tangens indefinita hCD^ dum ab altero cxtremo A , y^\yxx\ foco^ ducatur
quaelibet Chorda AEC usque ad occursum tangcutis» et fiat ACiAE;
AF~t erit punctum F in Ovali quaesita • Ab ista constructione simpli-
cissima consequitur protinus Aequatio Curvae, pb pracdictam Proportio-

a'

nem ff : a^ Cos. (p '. a' { Cos. p )' = z , quemadmodum supra . Conse-

Cos, (p

quitur etiam ratio evidens analogiae quo ad Lineam memoratam Clairau-
tii : nam foco A ad centrum CircuU G translato , et Proportione ini-
ta GR : GC : G/f tti punctum H est in Curva postrema HBKLAM^ quia fr

a\ : = 2, ut in §*. antecedenre. Praeterea consequitflr

Cos.(p {Cos.py

methodos facilis inveniendi maximam Ordinataram VT: nam Ordinata quae*
Tis FZ ita est comparata per Curvae generationcm , ut FZ : EXl ; AZ t
AXy.AXiAB, nimirum AB .FZ — AX.EX, idedque FZ maxima tum
quum AX.EX maximum fuerit.Sed ex Elemeniis si Radius GB bifariam

AB
sccctur in iV, est AN.NO maximum. Igitur sumpto BN=^ — , ductisque

4

normali

179

normali NO et chprda AOS ^ panetam T in Ovali gaadebit maxima Or-
dinaca IV ^ ct tan^ente AJti i4B parallela; scilicet propter -4B:iliV:^rff,

aat I : — :-^ rf , crit.Abscissi AV'—^rAB, m BF=z-L, ab, et
4 10 10 . 10

AN. No^— . V-T • ^^' =4B. Tr, Dcmpc rr=4: V^s" • ^5 , $i-

ve TV:ABll^2Z' ^^f qo^c omnia cum Viviantf et Lo^gnae sententia
ad ungneni conveniant (419). ConseqaitQr denique Area Curvae, quac
brevi manu invenitor. MuUum equidem laboris et Calculi impendit Lor«
gna ut Aream ipsius Ovalis ad Quadrataram Circuli perduceret, nimirum

ad r — , » supposico 2a Curvae Axe> et vicc Abscissae jir sabsti-

^ ^V^az — zz

tuta Functione — (420). Ego autem sic potias sermonem syntheticam

na

ADSticuebam . Elementuro Areae Ovalis datae FZ • dAZ=: '- .

AB AB

^.XE.~-.dAX

AB

cx praemissis » sive = — , $ive duplo Solidi Cyclo - pa»

Ao

rabolici facti a Semicirculo genitorc AVB ducto in Trilineum Farabolae
conicae i4TA4>, vertice A^ parametro y4B descriptae» quod duplicatum So«
lidum per AB dividacur. At ex theoria de ductu Plani in Planum elapso
saeculo valde promota» ac pocissimam ab lesuica Grcgorio a Sancto Vin*

centio (421)» Cyclo-parabolicum illud adaequat -~- Hemicylindri » cuius

basis sit Hemiqircalus idem genitor AfB » altitudo aut axis AB (422) •

Igitur Area Semiovalis par cst ~ Semicirculi genitoris , totaque Area

-— totius Circuli genicoris et circumscripti (422] • Haec conclusio miram
in modam congruit alteri simplicissimac a Calculo derivandac. Nam EIc-.
mentum ipsius AreaCi dum Ovalis ad fQcum A referator, est =:

4**

i8o

~ . ( Cos. )(p^ d^ I ideoque tumma = ^ ^) ( 90* ) (~j^) dom 9 = ang qIo

tectot ncmpe = -^ aut -^ ijuadrantii Circuli ASZQ , vcl -|- ilYflSemi-

circuU genitorii (423). Exinde patet quanta facilitate ab Aeqnationibus

Trigonometricis Qaadratarae Carvarum saepenumero erui jpossent , Tabulac«

qae condi,si novae Linearum distributiont in $^ 52^^ explicatae locas esset,

ope Capitis V". nanqnam satis laudandi Partis V^. Sectionis l'<. Instnuti^-

num Calculi Jnsegratis Leonardi Euleri (424) iocupletiores , aptioresque

Newtonianis veteri methodo innixis ( 425 ) Quadraturarum earundem ,

aut absolatarum, ant a Circulo et Hyperbola etc. dependentium. Liqui-

do etiam constat Ovalein eam Villalpandi spatium claudere adamussim

aequale illi Ellipseos ApoUoDianae^cP6/3 super ipsum Axem maiorem AB

descriptae, sed cuius roinor Axis J)|3 ad maiorem sit in ratione r« 5:8.

Neque unquam putes Acquationem z=^z±u' {Cos. 9)' stgno ita gemina-

to Ovalem illam velatt completam perfectamqoe deootare cum adcessione

reliquae partis i^PQII, mancamque ideo et mutilam esse Curvam prouti

a Villalpando et Viviano descripta fuit • Aequatio enim z = :±a'[Cos.^y

eadem est cum «*.= J'*(C<>y.^)*, vel {x^^y^)^ — tf/*;^* = o,aut

(4^*-H-yr(^*-+yr — (j'*:') (/ArM = o, ita at nihil aliud signi-

. £cet praeter Systema eiusdem Villalpandi Ovalis binataet haud secus atque

z^^^dtaCos.^ non eandem Curvam algebraicam continuam , sed potius

bioatum Circalum indigitat. Revera idem contingeret Lineae ordinis 3".

a x^

ac generis Parabolici ita. expressae 2;= -, sive x^ ^y^ =c:

{Cos.^y a

nam 2 = — -^ ipsammet Carvaro ingeminat ex parte negativoram

9r -+>* -+ — = o , quae species est 69*"*. iuxta supputationem Newto-

ni (426), quemadmodum Parabolae accideret ApoIIonianae semel atque

hac Acqaatione >* =i r± tf Jif vel j^* = ii*4?* eam exponere libnisset (^a^).

54. Nulli tamen usui Carvarum, de quibus agere incoept §*. 42*"^f ^i

decus spectes Geometriae, comparanda est adplicatio huiasce doctrinae

ad celcberrimum , at mco saltem iadicio plasi quam par erat, ab initio

antcacii

i8i

anteacti saecuH ad nostrftm usqae letateffl elaboratvm Prcblema de dimen-
siohe Saperficiei Conitirctllari^ ^rj/^o/» Robervallius primas oooniam (Bar-
rowio haad ^xcepto, q^i idgenas argumentum tractavit oniversalicer in
Appendicttla a*. Lectlonis Geometricae XII«"*«. ad pag*", ii^"**"*. Editionis
Londinensis etc. ) ac quidern mnlto ante annam M.DC.XLVII°">. , id mo<*
licus est, et obtinuic, teste Evangelisca Tocricellio ( in Enarratione qno^
rundam Problematun ecc. nam^. 48^), quocum atque stimmis ea tcmpesta*
te florentibus Galliae Geometris» ac praesertim Robervallio ipsoi cont*
mercium erat epistolarum» mathematicamque ccrtamen (429). Dcmonstra*
tionem celatam» atque dcperditam (430) Pctrus Varignonus restituendam
curavit» sed Algebrae sub&idium impetratus occulto primum nomine in-^
▼entum suum exhibuit vertente anno M.DC.XCVIIP. Scientiarum Aca*
demiae Parisiensi (431)9 deindeque Academiae. Berolinensi , quae postumum
jllud vulgavit in Volamine 111^°. seu Continuatione IP. Atiscellaneorum typis
cdita anno M.DCC.XXVIl*'. nominc Auctoris detecto (43»). Ibidem ex-
tat qaomodo Leibnitias pro Miscellaneis ipsis mcthodum Varignoni perficere
adirressus fuerati atque dum hic obliqui Coni Superficiem ab Arcu Lineae
transcendentis ^ nitniram ope quadraturae Circuli describendae > consequutus
fuerat , ille ex adverso a rectificatione Curvae atgebraicae dependentem
ostendit (433) . Krafftius autem in XIV^. ac postremo Volamine veterum
ComDientariornm Imperiatis Academiae Petropolitanae pro annls M.DCC.XLIV^*
XLV**. ct XLVP. ( tametsi lucem publlcam vidcrtt anno M>DCC.Lr.) re-
ctiiicationem Curvaruni reiicicns^ Superficiem Coni scaleni dimetiri docuit
praesidio Lincza alge^rakae ordinis quaxci (434). Adcessic ad rem istam suo
roore cxornaptiam Leonardas EaUru;.} qui in Volumine I*. Novorum Com^
mentariorum eiusdem Academiae pro annis M*DCCXLVir. et XLVIIP. >
typis tamen excuso vertente anno M.DCC.L™^, non modo errorem, qaem
passus erat Leibnuius, modestissime castigavit, verum etiam provinciam

■

istam amplissime red^idrc locupletiojrem (435). Alembertas .denique. rcn[i
omnem a novis pcne fandamentis erexic .in Opusculorum Mathematicoru^s
anno M.DCC.LXl". editorum Volumine 1**., illiusqae labor quum institu-
tuoci hocce meam propius tangat, mei .muneris esse iadico aliqaa de eo
commentart (436) . VarignOnus et KrafTtius Problema perdaxcrunt ad
qaadrataram Lineae ordiuis 4^'. » ille quidem ad Aream Curvae x^y^ —

^rxy^

l82

^rxy^ ^ Z- . jt"* — — . Af -f = , hic vero ad Aream altcriui

•^ 4 ' a 4

Curvae ita cxpressae x^y* — o* — ^' — .4?*-+ — . iV -+ — ( r* — ^* )

424

= 0) Axi tSv ;^ non secns ac pricna refcrendae. Hae duo tamen Curvae
adamussim conveniunc inter se semel atqtie vice rS x in priori rh r — x

substituatur. Krafftias itaque nlhil longius Varignono progressus ^st; quin-
imo Varignonus , etsi mulco antc quam Kraffcius argumentum idem
tractaverit, Kraffcium ipsum superavit » quia praeter comniunis ilHus Cur-
Tae quadraturam ingeniose proposuit ac demonstravit eidem Froblemati
resolvendo parem arcum novae Curvae ab Evoluta Circuli crtum ducen-
tis, de qua plura scripserat anno M.DC.XCV*. (437). Leibnicius et Eule-
rus Superficiem Coni circularis obliqui acutissime derivaverant a rectifi-
catione Lineae 6'. ordinis, Alemberto id fatente (438)» Iquidquid sic de
Krafftio ingentem valde Lineae ipsius ordinem futurum iri depraedican-
te (439)« Formula ab Alemberto tradita Blementi ipsius Conicae Superfi-
ciei eandem iiiam quadraturam Lineae 4'^ ordinis complectitur a Varigno-

a^

no ct Kraffcio iamdudum productae,, nlmtrum» jr^jf*— >*— f — . x^ —

4

« .. . (A*-+0

X -+ ' = o ; quam. Lineam toto iure Quadratricem Coni nun^

12 4

cupare licebit (440). Casus est singularis, neque elegantia carens, ab

Alemberto tamen oeglectus, qaadraturam ncmpe illius Curvae dum Co-

nus sealenus iacens fuerit, a quadratnra unins Circuli dependere (441).

In Cono iacente fit A = o , et idcirco Aequatio Alemberti convertitur in

( ^—^^ \*
simpliciorcm y^ c= — — ^ — , nnde oritur j ydx=^ j ■/— -y ' ;

quod Integrale reapse, uti neminem latet, ct iam alibi dictum tst in $••
34^^, ab Arcu vel Area Circuli obtinetur. Conus autem lacens (Fig*. 51.)
aut verticem habeat in centro baseos O dum limitem Coni recti designat,
aut si limitem denotet scalenorum^ in puncto quolibet interiori ipsius baseos
/, aut in eius circumferentia -4, Superficie praeditus est semper aequali
cidcm Circulo bascos CEADO\ ct quacvis pars Scctori ccntrico aut cxceii-

trico

cracns Gcomctnae 'FofmuU ipsa demonstrat . Nam / .^ — =.=

i rJLJl^ ^ S. ^T^ — Sectori CGEO -+ Triangalo 0£/ vel OEA^

positis er Alembwio , tut- eios intcrpPBte Cousino (44^), radio 0C2=it
0/'=:*', 0/ sive taudem 0^=:^. Si vero vcrtcx Coni obliqai iacen*
tis,- uti B, exterior quo^ad basih evadat, observandum caute est, ne For-
mtila in falsam abeat. prbpter OB>Oi^. seu a>i^ fore rh 1 — ax=io
in punctis E aut D, extremis tangentium baseos a vertice B eductarum»
deindcque positivum ,. qaem seirvavit valorem a C usque ad E vel usque
ad D» in negatjvum cohvertere« Idgenas vitiom Formulae ita est emen*
dandum, ut ea sit potius in eius Funccionis progressu^ post trausitum per

c K A r^^^ — Tf)^^ . ^ • • DHCGEOB

E aut D versus A^ ( — — — l-C, nimiruoi — hC —

\.dx a , , DHCGEOB ^r^^'

Vi-;t»i vel ^OEB--EOK—OKB, auc

, DHCGEOB „-„ ., ,,
tandem r- \rMEKi videhcet niedietas Superficiei Coni iacentis

=^BE:GCqB^BEkA, totaque BEGCHDB ^ BEKALDB , sive a.ZBJB
— ha.GO£, factis arcubas GC, JBi4 aeqaalibas inter se . Illa tamen ipsius
Formulae permutatici vitio nequidem Algebirae vertenda erit tnm quia
Kadix secunda t^ {i^axy^=^i — ax aeque ac ax—i^ tam quia quod-
libuerit Integrale Vo^x^j;»/^!}» semper subintelligit sui moderatric^m , et a
Problematis singularibus conditionibus apte detecminandam. Ea Linea ,
qaae Area sua Superficiero tribuit Coni /^tf/w iacentis, est 3". ordinis,
ac signanter species 6;^'^. iuxta equniier^Mpnfjn. N^VV(OQli^ scilicet teriis0S

Hypef^olismus Elltpseoi syy^^ — ~ . a -+ — = ~(2 — ± )"dum 4= i,

»ca vertex Coni ia A^ et a)=Ar— f i, vcl Curvae abs»'s$9rg(n initiam
in C. Haec profecto est Corvae.Grandi Versorlae (443) analoga, ac «ola
Parametro difFeren^. (najp ayx==i^»(rf— z), fkcto * == a , *.b,it io «j^r ==

4 ( a — a) =i: *» (a — g >== — (a*-^) si h fiat =— , nimlrnin qiiaevis Or-

... 4- .a. • . ^ . ■.

. . < Aa dinata

1^4

y ad commnnefti abscissam relatae versoriae nostrae secundariae aac coii*
tractae » et Jdcirco Grandi versoriae Area quadrupla nostrae , scilicet qoa-
drupla Circuli genicoris) cuius in quadratura Areae pervestiganda iUe
admoduru desadavit» quam heic facillime ac simplicissime et totam Cir-
culo aequalem- et partes Circali &eetoriht:£s ex^entriqis laist BiliAeis Segmea-
tisve ab extreAio diametri computfttis.pares esse uno pene versiculoosten»
di (444)* Ad Laarentium Lorjen^Hnlai;£ptktoIaQk;Scripsic Caelestinus RoV
Hu5, qua ($$^» VIII''. IX''. X''« Xl"*.) universam Versoriarum famitiam (445)
non malto post Grandum satis iucunde complexus est» oculisque Geome*
trarum subiecic in Solido circa asymptotam. Axemve abscissarum x genito
ab Hyperbola mesoiabica xyy^^a^ iin qiram tandem Versoriae desinant
omnest iltud secando ope planoranLAxi eiiisdem^ parallelorum t veluti vi^
dere licet in Opere eximio» sed minas. noto, coi Lorenzinus ipse titulunf
fecic Exercitationis Geometricae ^ Ftorentiae edito anno M.DCCXXl*. post
fatum Auctoris. Versoriarum haramce ec Hyperbolae mesolabicae analogia

•

longius etiam porrtgitur • Nam ex Theoremate egregio, ec pro rotundis
Solidis universali» quod Geometris citias, quam poterim, communicabo
iil med Specimine di JJneU Spiricis^ ti in Hyperbola Fig^. 52« ducatur i
quolibec eius puncto C Ordinata CDE asymptotae IHK parallela » aliae*
que quovis numero BOF^ATGf ec iti postremis fianc semper BM.AIt\
AN.NG ctc. =:CD*, eruhc puncca D\M^N ctc. in Versoria . Isthuc

ipsnm clariter etiam evincitur ab Aequatione Hyperbolae ^y* = a^ .

,,,",. .. • "■,• ^--

Facta ehira Ordinata CD==.i^; hecnon vocatis BO, ii/ etc.=jf , OH^IH

etc. =±=Ji^, ^O, JV/etc. = z,Tiabcbiturexconstructi6ne praemissa (^— i-z)

i ' •

a

ly — 2) = ^*, sivc — ^2j*w=:** vel demum xzz=:a^ — A*4r, nimi*

rnm Atqnatio ad Versoriam universalem . Qaae constructio non modo
cpnfirmat Versorias omnes iifnumeras ita genitas gaudere e&dem asymptota
IHK Hyperbolae genitricis, sed etiam bstendic necessario /?^;riyi9sr-^^«/rtfr/«rf/f
in utrcque earundem ramornm inesse ad tnstar antiquorum Conchoidis,
•c fore asymptoticas inter se et quo ad Hyperbolen , veluti ex. gr. contin-
git Hyperbdis Hinomeris Apollonianis similibus^ quas eaedem asymptotae
complecmtt^r . In bypothesi praetfr^a riiu> aoi; <: 1 Area Lineae, nunc
ordinis ^Ct sappeditac *5aperficieai Ooni iaccntis obHquii qaamobrem ea
' ^ • Corva

J85

Curva Acqttatione gaudcns a*j^*~j^*-+ — 'x^-^ Jr— f — = vcl

4^4

* ^ -^ 4 a -4 .

tam illacn' mi ^ingohtrem r^m» compvehendic et Lineam alteram prae-
bet qaadrabilem in toto ac partibas ope Circali « Hoc tamen discrimine
quod in Hyperbola - circuli §*• i^9^* contemplata » atque huicCurvae
consimili» Areae partes Sectdribus Circali centricis Radium habentis» <jui
duplum possit Radii Circuli genitorist sint aequales; in nova vero Linea
Scctoribus Clrcuti excentricis* Conseqnitur ideo ex praemissis Saperficiem
Cylindri iacentis y^j/^ia;/ Rectangulo ^tf/o parem tsst^ Coni vero laceAtis
scaleni vel integrp Circulo vel excentricis eiusdem Sectoribus* Dam ergo
Samma prodactorum Laterum Coni iacentis scalenl per arculos Baseos de«
pendet (ex dictis in T. Sectione) a perimetro scalenae JElIipseos ApoIIo-
njanae , Samnia vicissim prodactorum Normaliam ductaram a vertice Cp-
ni ipsius super innumeras Baseos Tangentes per arculos eosdem dependec
a Circuli peripheria yel aequtlaterae EIIipseo$* Qua in harmonia fusius
^impliiicanda ioimorari supervacaneam existimo . Unum tamen silentio
praeterire nequeo. Totum Al.emberti opus concludit Saperficiem Coni
vbliqui universaliter obtineri praesidio Arcuum simul Sectionum-^onica-
rum (446) et Areae Lineae 3". ordinis, qaod idem cst ac dicere, pcr
§"ro 4^»«., praesidio quadraturae simul Lineae ordlnis 3". alteriusqne or-
dinis 4^L, dam qai Alemberto praeivexunt Superficiem illam ab unica
qoadratura Lineae 4". ordiois depeodentem ostenderant . Exinde fscillter
intelligitur Saperficiem ipsam Coni scaleni adnameran qaamitatibus tran--
scff^emiisu superioris ordinis . prae AKubns Conicarum» quema^ipoduni
fasias, subtiliusqae disserjait Ljp Gendre in §*. Vli"*. De la Surface du
Cine -obfrqne '(pagf. <$42. 43^) I^^ Di5sertationis soae^ 4]uam r^censui id
Adnotatione 113'^, illias nempe ordinis, qao Integralia plura innituntur
a Bougaiuvillio pertractata int^artis 1«*^ etc. Capite XVlI"*^Viic univer-

d(p y b^ -^{a—^c Cos* 9 y . Alembertus idem quodam in

loco adserult» excepto unico casu Cfoni m//> mensuram XSonicae Soperfiv
ciei a qaadratura Lineae $^K ordints dependere (442)» oblitus fbrtasse
(nedum Cot» iaceAti^) Arcaam Sectionum - conicarum vcl q^uadratura etiam

A a 2 ^[■^ineac

Lineae ordfnis 4*[. Ubi agit de Cono Ellipcico (448) » eias SaperfiGiem det»
terminat ope Formalae generalis

- 2, Va^ -^ X* . .. ,

miayibus -Bafieps coniu^ato et transverso^ ^ Coni altitadine, c distantia
khnographiae verticis a centro Baseos ipsias , ac jtandem x abscissa cen«
trali . Si scaUpus fuerit , prolixipri^quam par erat c^lIcuIo adfirmat (449)
ab anico. p^endere Circuli quadratura Sjpei;ficiei Conicae dimensionem sta*
tim. atque o^//2/ii[//^.C6nus Ellipticus frustum efficiat aac partem sectam a
Cono recto Circulari • Veruntamen ad hoc adstruendum innixus fuit Alem-
beVtus Thepremate Isaaci Barrowii , qaod exstat in Lectionum eius Geome''
trlcarum XII^. Londini editarum anno M. DC. LXIX". (450), ab eodem
Alemberto in calce VocabulL C6ne Parisiensis Encychpediae memorato . Bre-
vior autem^ clariorque perinsignis huiasce Coiii Elliptici proprietatts con-
cinnari poterat demonstratio dum prae Theoremate Barrowiano illud po-
tius elig[eretar ab loanne BeiriiouUio traditum in Act.is Eruditorum Lipsien-
sibus anni M.DC.XCVI". (45 1)» quo statuit partem quamlibet Superficici
Coni recti circularis (veluti Coni illius obliqui elliptrci Superficies) ad sui
^ichnographiam (nempe in eo casu ad Aream Circuli vei EUipseos coni-
cae ) seraper esse in data ratione. Lateris Coni recti ad Radium Baseos*
Ipscmet Alembertus in $\ V^^ ait (452) Integrak

dx Vb^a^ ^e^a^ — iue^^x

> a rectificarione Circbli consequi dum'
**tf*-+e*a**— ar^*^==^f»ir(4^^Af), videlivet dum' lotegrale iUtt4 convW'»

^M..

^1« . / — -dx\/m{a — x) r^/mMx •.

tttor 10./ r ■ ■ , , „ — > ♦«.t ~ / — „ --Tr-^^ quod e contr? oofl;

a Circali -rectificatione obcinenduin fore oqines norunt, sed algebraicutn

ct absolutam csse Integrale C — a\/i0(4i— hAr^^Undenam Alembertas iu
hanc inciderit scdpulum equldem nescio , quum "pa^illo' sapfa in §^. 11 •
aptc dixerJt.^4^):Siipec&ciem Cqn^. Eiliptici arec^^tion^CircijtU iin-

pccrari quando 'Forraula univcr5'alis 'abeaf in r-^^ ^^^^ — ir^qaaC

formji

i8t

forma. ab altera §^ V". maxtmopere abludic. Soperficiem denique Coni El^
lipcici tecti quum Aiembercus ostenderic (454} parem Superilciei ^ylindri

\/^* -^ ^*

Elliptici i^/ V e«iti« Axia vel LaCtt>=; (4SS) ^ive dioiidio minimi

2

••• n

Latetum Gq\\\ dati^ Basi^ aat^m sic Elllipsis conica praedita Semiaxibus a^

> nemo not> yidet inter Conos (^ylindrosqae iacundissimam

analogiam effalgere. Nam quemadmodum Coni recti circularis Superlicies in
eam JCylindri rectl circularis converti potesc cx Elementis, aut in Sammam
productoram Rectaram Circuli centricarum per arculos » ita Coni recti elliptici
Saperacies in eam Cylindri circuTaris scaleni convercitury et vicissim» vel
quod eodem redic» in Sammam productorum Rectarum Circuli excentrica*
ram per arculos ex doctrina Pascalii. Nec pauca admiratibne dignum estt
nieo saltem iadicio, unam eorum Semiaxium a eundem manere , alcerum
vcro ita esse compositum , ut sit ad coningatum e Basis ellipticae Coni dati in

proporcione \/ ^* — h/'* : ^e^ — f^* , $eu maximi ad minimum Lateram eius-
dem Coni , non secus ac passim in V. Sectione de Pascalii Theoremace praedi*
cavimus. Ceceri diversarum quarumcunque a Circulo Basium praedici Coni
ante omnes, si recte meminerim, animadversl fuerunt ab Isaaco Barrowio
in Lectionum praecitataruqi pag'*. ii;^™*. ii8^^ sub ticulo Conicorum super-
ficies dimetiendi methodus^ quo loci exemplam prodidic etiam, tametsi
alienum, in Fig*. J^^"^*. Superficiei conicae scalenae^ eiusque partium
Hyperbplam aequilateram' ApoIIonianam pro Basi habentium geometrice

quadrabilium •

55. Analogia. quoque ista ulterius progreditur, novaqae , nec minas

admira^nda , patefacit.. Quamvi^ Cylinder et Conus scaleni Corpora geome-

trica sint adeo ioter se discrepaptia , ut eae> qnas nunc collecturus sum,

propriccates atrisquc communes, impossibiles ferme videri debeant, oihilo

tamen minus alacri animo ad bas demonstrandas adgredior» tom quia in-

venta Pascalii , quae mihi poti^simum illustranda proposui, faciant locuple-

tiorat. tum qula illa onmia» quae seqaentur, Georoetriae deliciis rariori-

bus sint iure optimo adnumeranda. Nova Acta Eruditorum Ltpstensta anni

M.DCC.XXXIVV intcr Problemata Neapolitana ad CoIJectores ca- tempc-

state

y

i88

f tate transmis^a illad habent V^. (4^5) Bx Cyliniro tuper hash iati Cooi

scalfni perpendicularirer erecto ahscindere portionenSf culus SHpofficies ipsius

Coni superficiem adaequet . Si coQiectattoni locos fuerit , censeo Scriptorem

Neapolitanum Robetvallii deperdttam de Superficie Cooi ^(//(«i investiga*

tionem, cuias sapra meminii posc elapsum laeculam restituissc (456).

Quamvis etenim demonstratio , qnae in praedicto exstat Eruditorum Dia-

riot involuta et prolixa nimium sit» non modo eam ad Robervallii men-

tem componere parvi laborls existimo, verom etiam alteram imitari a Ro-

bervallio ipso traditam» et initio §\ 15*^ a me conctnnatam» qua Super*

ficiei Cylindri scaleni partem Superficiei Cylindri m^/aequalem constituit.

Hac porro imitatione innititur analogia illa, oecnon intimum foedus Cy-

Itndrorom atque Conorum» quod erat hactenas in desideratis. Expedit

aotem rem omnem synthetice proseqoi . Ac primuni sit Conus ohliquus

DRBZG in Fig\ 53. , cuius altitudo DR cadbt in R punctam Baseos pe-

ripheriae 9 qualem aoimadvertere iamdudum placuit Pascalio (457)9 in

quo si a puncto eodem R ducantur normales RM^ RN etc. ad tangenres

jiMS^ BNT etc, aliaeqae ad diametrum Baseos £Q, AP etc, erunt sem-

per pribres normalium RN^ RM etc. pares abscissis aut Sinubus-versis

RQ^RP etc. Nam a centro C emissis ClfCO etc. tangentibus paraliejis ,

sant triangula orthogonia CBQfCRI^ necnon CAP^CRO etc. similia et ae*

qualia; quamobrem i?/=OQ, unde 222Vr=/?Q, pariterque liO = CP, ni-

mirom RM=:RP etc. Interea patet ex ipsa demonstrationis huiusce me-

thodo fore etiam BN:=^BQtAM = AP etc, cuius perpetuae aequalitatis.

in §*. 57'"^ proderit meminisse . At perpendiculares a vertice Coni daccae

DNtDM etc ad ipsas tangentes (ex Klementis) possunt Summas Quadra-

torum Dii*— f RN^ , Dli*--f RM^ ctc Igitur poterunt etiam DR*^ *Q\ DR^

-4- RP^ ctc' Dam ergo centro R , ac Semiaxe Rb dcscriberetur Hyperbo-

la aeqailatera DD'D"D"\ quaelibet eius Ordinata PD\ QDf' ctc par esset

DM.DN tiz., quum ex natura Carvae sit PD'* = DiJ'--4-J?P*, QD"* =

DR^-^^-R^^ ctc Scd Coni Superficies est Summa productorum Arcuum

Baseos Infinlte • parvorum per semisses Normaliam DR^DM^DN ^DZ etc,

ac Linea . transiens per puncta JE,F,K, JT etc Ordinatas praedictas bi-

fartam secantia cst cx Elementis Contcorum Hyperbola scalena EFYK

DR
codem centro £ praedita, Semiaxe transverso RE^^ — i ac €oniugatp=^

a •

2iJ£

aREi=^iyR. luqae.ea pbrtio Superficiei recti Cylindri, quae supcr Pla-

num' DRZJC xommvini eias Basi tt dati Coni perpendiculare habeat ichuo-

graphiam i^ZATFfir adaequabic Superficiem dati Coni scaleni . Constru'-

ctio graphicia Hyperbolae illius scahnae^ quum facillime conscquatur ab

Hyperbola aequilatera, non secus atque Ellipsis a Circulo (458), obtine*

bitur ope fill atqiie ponderis alligati ea roethodo» ac lege, qua Gui-

do Graodus usus fiiic in Canstructione novi expedisissimi Mesolabi anuo

M.DCC.XXVIU^®. Florentiae vulgata (459)» ita ut, si producta ahitudine

Coni dati RD usque in H donec evadat RQ.^=DZ laterum maxi^o^ s.tatua*

tur deinde fl4>==D/J, sea D<I> = flil = DiT , eique norroalis facrit iii-

definita fill, filum $D cum pondere in D, roanens in puncto 4>, ec stilo

admoto p^r nil incedens, veluti in Y, T etc, pondcris ipsius centro ae-

quilateram Hyperbolam D D' D" D"* etc. , cuius supra mentio facta , de-

scribet. Quod valde elegantius videbitur iis»qai meminerint eHdem methodo

describi posse Curvam Cyclocylindricam primariam in Superficie Cylindri

recti ^ lioc tantum discrimine, quod heic Semiperipheria Circularis ac Se-

micirculus subeant vice Lineae rectae nTFD'" ac Trianguli <I>nD'" or-

thogonii, quemadmodum in Capitc Vlll*. mei Tractattts Nlagnitudinum

Exponentialium etc. ostendi (460). Istud vero hactenus inauditam non

modo analogiam intimam Hyperbolae ec ^rmjr/W Cyclocylindricae Rober-

vaHii patefacic, sed etiam Cylindri et Coni scalenorum ^ de qjao argumento

potissimuro loquor. Ut ceteros Conos obliquos brevius et unico Scheroate

54. coroplectar, Conos orouiroodos KMA^KGAfKQAf rectumque ipsum

KPA super eandem Basin ALKR erectos animadverto, hac etiam mente,

ut eos praesertim invicem comparem. Dum altitndo Coni dati MI cadac

intra Curculum Baseos , liquido constat, repecita superiori [ratiocinatio^

ne, et a puncto quoque /, praeter A^ ductis normalibus ad taogentes,

01 01 ^ OT OT ^ '

fore /C == ^ . ^B == ~ . dS, /C=~ . AEf^ ^ . oy «tc , ideo-

OA OA OA OA

que IN=OA'-^^.OS^IS'=zOA'-'^.OS^ etc.,vel ab extremis or-

dinatae K/£ emissis tangentibas RT f LT donec siroul occurrant pro»

tractac diametro Baieos,/iV=:0^ — ?^^ 05=?^,. ry=^ . TS cx

OT OT OA

Elerocotis, /i\r = 0.1— ^.05^=^. r5'=^ . TS" ctc Exlnde ori-

OT OT OA

tur

•

I

I

i

190

tar semisses perpcndicnlarittiii a Coni vertice M rapef rabgebtes Baseoi

cmissarum ita exprimi , ut earam Quadrata sint ——.75*-+-^ ^

OP MP
— -jr . TS»'^'^ ctc. , nimiram cx Conicis esse Ordinatas ad Hyper-

bolam Apollonii secundo Axi relatam XYZ9^^ cuius transvera$s. Semiaxis

MI
faerit — » semis altitudinis Coni» conhgatus vero ad transversum ratxo-

nem habeat Q.OA : 07» mirabili quidem consensu cam praecitatis Upshnsi^
bus Acsis . Si aatem altitado QT cadat extra Circulam Baseos» ductis a
puncto 7* tangentibas ad ipsias Circuli peripheriam TL^tT^R^ runctisque
contactibus ope ordinatae LIR » eadem Hyperbola » xjuae uni. ex Cpnis sa-
tisfacit dudum contemplatis iifi^^ >Conoetiam inservjt A^Q4.p|Rfrter 07^:0^:
O/fr» Quod ut fiat, et facilirer fiat, Hyperbola prima VIXYZ^ retroce-
dat neccsse est sibi semper parallela per inrervallum T/=Xn = QAf di-
stantiae verticomj et positionem adquirat AVfiTS. Quemadmodam iraqae
10 prima hypothesi pars iila Soperficiei recsi Cylindri, qaae super Pfanutn
AGEK communi Basi normale ichnographiam habeat supremi marginis
sui duplici curvedine praediti Hyperbolae frustum FZ4>» adaequat ex de-
monstratis Superficiem Coni scaleni KMA^ ita eiusdem Cylipdri pars ichno«
graphia gaodens in altero ipsius Hyperbolae frusto VAYl par est alce-
rius Coni scaleni KQA qaaesitae Superficiei . Conos ergo verticem habens
extra basio suam comite semper gaudet altero Cono verticem intra basin
habente, et vicissim, quorum utriusque Supcrficiei mensara ab eadem de-
pendet Hyperbola Apolloniana . Recurrit ergo pro punctis analogis 7\/
erc. ipsamet elegantissima adfectio» quam de Conis iacentibus attt ere-
ctis, et de Cylindris scalenis sive doctrina Pascalii disserens in $$'^ 7%
8^^ 13^^ etc. fusius exposui. Omnes illas Hyperbolas qui secam ipso vo*
lutet,'mu1ta colliget Coroliaria. Primum namque admiretur necesse est
Curvae verticem X extra Conum positum t%%t dam altitodo MI intra
Conum fuerit , et ex adverso H intra Conotn quum altitado istius extra
Conum • Quo roagis vertex Q a vertice G prioris Coui KG A recesserit,
eo magis vertex Ci Hyperbolae ad axem PO Coni recti KPA adcedet» et
vicissim' quo magis vertex M ab eodem vertice G distans fuerit » eo
magis vertex X Hypcrbolae ab axe PO removebirur . Postremo hocce

casu

cam panfdM09 qidddam enascitQc. Nam irertice JU incidecite in l^, ^puncto-
qne /in centram basaos 0» pmtctum alterum T abest in infinttam, fitqtie
Hjrperbola hninscemodi > qu^epro Stmigxe trsntverso habeat dimtdiam' aUi*

PO
tudinis PO<Ioni recfi, pro coniugato autera alia recta, quac sit ad -— ycluti

KAiotx praemissis , tdeoque loogitttdiQia infitutae • Videretor ergo plerisque
GeoQiecrarum , qdos bon raro Infiniti diaiestas inerrores rapit perinsignes,
jHyperboIam in Lineam rectamr tum se conve^tere aequidistantem secundo
Axi TTAK^ eodcmque intervallo ab eo Axe dissitam r-JP = rJ:=/a=:

PQ

Kfi=: — I quum universae Hyperbolae Cbnis omnibus scalenis aeque altis

superios animadversis pertinentes eodem gaudeant Axe /rM/vw^) illaramque
Ceotra in e^dem Recta XXCi^ disposita siiit ex iam demonstratis.Quodsi
unquam veranr faerit, Superficies Coni recti KPA aeqaalis esset semij^si Su^
perficiei recci Cylindrt, iisdem cum illp Basi et Alritudine praediti, contra
Archimedem. Ad hunc nodum solvendom perdocit consideratio rite institu-
ta Hyperbolae illius, quae verticem habeat in X\t infinite remotum ab
Axe POf quumqoe Ordins^tarum Qaadrata.infiaitis Abscissis T' S^ \T^S ttc»

01" PO^ OP PO*

resppndentiam dcbeant eMef. j^^ . rj'*-^-— rr > ■ ■ . , * 2^5* H* r

40-4. 4 4OA* . 4

%tQ.f «ntque nunc O/^T^S':, 01. TS 'etC. = o . 00 p=sO-4* ex §•. 49W.,

oemo non videt earom Ordinataram Qnadrata pro casu Coni recfi se ver*

. OA^ ^PO^ .-^ OA^-^PO'' . PA^ ., , .^ .^ .
tere in -T^-Ti: -H- — — , siVe , sive , ct ideo (qaidquid

Ay^ 4 ; : .4 . 4 * ^

sTt de Hyperbolae inffio p^Ties 'Vmicem X'^ Centrumque T infini^e di^

ftans ab 0) frustum illud Lineae in plalio iacens AGEK erit Recta //e

A PA ' *

parallela diametro AKt atque ita positai ut Kj= — , aat semissi Late*

fis Coni, quod perfecte congrait Geometriae. In hypothesi praeterea al-
terius timtis Conorum omniuei staienomm^ quum nempe vmex Q\ e&dem
altitudine servata QT', in infioltttm abeatr casus oppositus oculiii obyersa*
kuf . Ho<; in casu extremo Hyperbc^ae frastum eivadit Recta' vPy longita-
^inis imfinitae propter soperius demonstratam proportionein Semiaxis co*
niuggti ad transvtrsum s^OA : dr-' = o : i = i : 00 ; et re qaidem ve-
ta Conica Saperficies tam respuit dimensipnem finitam. luCundissima pro<^

B b fecto

/

\

19» .

fecto esc contenpktio Hypetbolariim siae tameroi ^taaraffl frasts origU
nem praebenc innameritf ac dlinersifflode ioaljinatii Gurvis duplhit citrva*
turse in e&dem Superficie Cylindri recH depictis % .qoas. alibii iHustrandas
mihi proposui (461). Sed prae ceteris moneodum poto in universis Conis
^^//^W^ , qoaram alcitadines auc intra Ba»n cadunc» veluti KMA etc.^aut
in cxcremo Baseos proatl KGA\ perpeiidicularium a Veftice soper taligen*
tes Basebs ductaram minimam fore L^tuBi minimum Coni M4rGA etc» mii-
ximam Larus maximum Coni /fAC« GiST.etc.,' dam e contra secus aceidit
Conis, uti KQA etc» qaorum altitado xadat extra Circukim Ba^eos. Nam
in hisce omnibus, quum vertex Hypetbolaram ft etc. positum sic inera
Rectangulum AGEK^ hinc oritar - geminam esse pcrpendicularium mlni"
mamt quaram atraqae Sinui-verso B&seos Al, aot Arcobas AR^AL con*
veniat« Hae autem geminae perperidiculares ex Elementis in unam coa-
lescunt QT. Intersectiones vero Hypcrbolarum , ex.' gt. /f,r ecfc., tam
estenduot nunquam contingere posse perpendicul«rium aequalitateQi in
Conis KGAtKMA etc. » quam reapse contingere pro Sinu-ver:>o AS!^ etc.
in Coois KGA , KQA etc. Cetera linquo libenter , ac potissimum evidentis*
ftmam adfectionem , quae a dadum ostensis fluit sponte sua , nimirum esse

^N==OC = g-T . dSf 3^iV'=0(7^=— . &s" ctc. ttc. , ut praecipuum

eiuf f quod tracco • argumenti decus exponam . Quemadmodum enim
perpendiculares antea diccae cuiusque Coni scaleni ad Locum sont Hyper^
bolicum, sic etiam Latera eiasdem Coni, nimjrum ex Fascalioet §^ 13^0.
ac 15*^« perpendiculares ad tangentes Baseos Cylindri scaUni^ ad Li^cum
func Par^bola^ ApoUooianae « Proponator namque Cylinder scaUnus qui«
ca;nqae in Fig^ 55^% ABCE^ cuiot Axis FG. Habemus in §"". 15^^ metho«
dun» facilem a Robervallio traditam abscindendi ex Cylindro recso EI
FHOLJUN ductu circini FG portionem huiuscemodi , ur non secua
ab eo» quod efTccimus pro Cono scaienOf adaequet integram Superficiem
ubtfqui CyUodrs. Linea dupiicis ^4rra«/^«r^f Cyclocylindrica , quae marginem
sapremunf constituit abscissae Cyliodricae Superficiei, ichnographia gaudec
soper Planum XFLNEZf quae composita sit duobus fruscts PQG,£sr
eiusdem;Parabolae Cooicae PQDRT^ cxAw verccx D invenicur ope re-
ctae GD perpendicularicer duccae super datam FG , paramecer aucem esc
lemper Recta ^onstaos EF^ aequalis Radio Baseos Cylindri dati scaleni«

Nam

\

t^ tx 1. c. qaaevh Ordinata r*,JK'*' ctc. potest Sammam Quadrato-
rim £if*i-f JBG*,*i!:«*-H-£G* ctc., sdlicet cx constructione FE . EY-^
FE .BDf FE . jBK'-+FJE; . ED^ aut DY . PE , DY\ FE ctc: quamobrcm
Y^*^==sFE . DY '. Y^^^^^^FE . DY^ etc. , qtiae proprietas localis cst me*
jnoratae Parabotae. Qaomodocumqae igitur magis aut minus obliqua fae«
rit Superficies oyiindrica , eadcm semper «lanet Parabola , sed frusta
ichjQOgraphica minas magisve remota sont ab eius Curvae primo vertice»
et idcirco magis minusve incHn)ata ad Attm recti Cytindri; adeo ut Fa«
rabota unica plus aut-minus promota (ct sibi ipsi asymptotica) suo ver'*
tice supcr rectam FJET Cylindris scatenis innameris satisfaciat« Qaid si-
fliile vidimus etiam in Hyperbolis Fig*«. 54^*^ XYZ^ , AfiTS, verunta*
men pro geminis tantum Curvis » dum htc pro universis • Vertex D ca*
dic ia JE, daoque frasta ciusdem Farabolae dudum animadversae in
Parabotam amtinuam vertuntar fifiEfip^ dum Cylinder scahnus fiat ia<*
cens , sive in litnitc maximae obliqaitatis f quod congrait Guidonia
Grandi Theoremati ^ ubi egit de ichnographia primariae Cyclocylin"*
dricae mque ab anno M.DC.IC^ in Geometrica Defnonsirasicne r/-
vianeorum Prohlematum ( 462 ) . Cytindro scateno in ^ctum permuta-*
to , scilicet opposito in limite minimae obliquitatis , fit GD paraltela
ad FE% et ideo Parabolae vertex D infiuitb ab f^vcrsus Y .distat inter«
vallo, fru.stumque Curvae GQP abit ia rectam * aequidisxanteni diametro
Baseos £F, quomodo iubet Enclides. Parabolae ApoIIonii sunt etiam
tchnographiae Cyclocylindricaram LaloVcrae: in eodem.§^. i^^»» explicata*^
ram, sed diversa Paramctro praeditae • Suht enioi quo ad primariam Cy'»
clocylindricam vel protractae^ vel contractaet adeo ut Fy^ sive Yvr^ ad
Yll^ eto* eandem ubique servet proportionem, ex quo fit tam EyS^
qaam EvtB Parabola, eodem vertice gaudens E Faral>oIae praccipoaf £11/3 y
tpsam fahgens exteritfs interiusvQ, parsBieti^umque habena, quae sit z^EF
in ratione dnta rHYy^ vel F^r* ai.FEl*. Gancta hacc Cylindrjs praete?
rea quomodolibuerlc scalenis^ ac;.eyem<jemper altitudine ac basi pracdi*
tis veluti praccedentes Coni in Flgl. 1.54*^, aptari facile po^stnt. Dum,
etenim Cylinder o^//^tfvx faerit A^^EyCgM Aae ilS/»sinrque C/^L^^^X
frusta Parabolae ichnograptucae , .cfMtts primQi y^rtex D'» p^ratR^tet EF^
ex praemissis invenienda, siyie^Pafaboiae ^XlEmr prcraotae pcr ^D\
neminem latet ( §. 20. ) Ordinat^s . ichnographiao^ illias aY , bY' ttc. se*

Db 2 cari

'94 .

cari sempec debere io Ctd etc. ntt G^E in Gf qvo £icto obtiiietiir um
frustum (7^,,qoam altcrum £A alios Parabolae conicae» eandem yerti*
cem D' habentis, paTamctnimqtie, -qaae $it ^d JB-F nt G'£* :(?£*, Fo-
strcma haec frasca ea sunt» a qnoram niargtife perpendicol^rcf iQnnfflefae
crcctae determioant portionem Superfi^iei in Cyliodro rfc(o ElFHOLMN
parem toti Superficiei JS^6A Cylindri scaleni eldem alticudinC G£ prae-
diti cum EABC. Idem itaque sermo recnrrit ati supra de ichnographiii
Cyclocylindricarum Laloverae a primaria derivatarttm» Sed- nallu5 fini|
adessec si omnia peryestigare» namerisqtie om^^iba^ abs^lvere in :anibie
faaberem . ;

56. ConorQm.f ac Cylindrorttm scalinoram intimom foedut nuiiqttim
magis elucet, quim in ea CurVa', in qttaponcta omnta iQceotor occor*
suara Taogentiom Baseos et Perpendioularittim a Cooi verticb, vel a pe*
ripheria supremae BasCo^ QyUbdra stlpe^ iHas innttmeras edocuramk Naoi
eandem invenio Uueam tam-in Cylindris ^ qttam in^Conis #6// jwi j , talem^
que invenio^ qnae sit A^qnetioQi^ LiiTcaruto Persei stngalaria casus ^ ac for^
tasse celebrior. Qai §"°^. iT« iaitiojhttiasceTractatue expositum rite oilliitf*
rit, poncta Lineae qnaesita^ faac simpliclssiaia constractiotte sibi in Cylindro
scalano repraeseatabit • Promoveatur Cirottlus datnsy qiii Cen tro \£ praedi^
ttts Basis faerit GyUndri:/^4l/rtti, AF'DK ifig\ $6^\) per eios diametram
ABDf-il oporteat protractam» (oomtnaneoy' sectionem Baieos » ac Plani per
Axem traoseantis^ qliod |>erpendicttIariTeff .Basi insiscat) tanto adamiusim
iotervallo jfGs=;'BC=:D£^ quanti opus est ae hoc intervallom adaie*
quet Srnam-rectam: obiiqaitatis Cylindri, eius Latere assampto pro Ra*
dio» vel Staa-toto; Deinde a Centro C promoti Circoli dacantar ad Tad-
gentes innatoer« ^Pi , Flr^ etc. Ciroali promovendi perpendicnlares CH^Cif
etc; panctaqae H,/if' etc. erant in Corva qaaesita. Nam conionctis
FG^tPG'' ctc, necnon BF.BP etc. tamob BF,CG' aatiJ/^» CG" etc. in^
vlceAt aequales ^t parallelas, utpote Tange&tibas FLtFL* etc. simnl nor-
males, tum ob FG^fFG'' ctc. quae conseqauntur aeqaales BC^AG^ ne-
iho non videt pancta H, H' etc. bac inita conrtroctione Lineam deternu-nf
nare, quam qttaerinias. Idem dicas de panctis H*'\H"\H'^ etc, ope pce-
pendiealariuffl investigafldi^ Ab eodefti>i^Cdoctaram CH!\CH'" yCW etc.
•uper Tabgl&ntes F'i'%/^*"i"\ /^"L'' etc, qoae pancta in eadem •emper.
directione sant ctt»i <S''SG'%6^ etc. ex hactcnus demonstratis ; idem.dio'

altero

»95

tkero Oame mno AMD eddem coascractiooe simpHcissima describen*
do» qoo Linea quaesica £t in se rediens* ac cuspidt iu D panctove rc*
^ressus omaca > aut penes D nodMU , aut tandem tontrariis flexibus utr«^-
qae cx parce distincta % visibiiibtts vel occultis ( points du serpentement )
quemadmodam Mathematici n^rait •

57. Facilior ctiani coostractio insticui poterit ipsius Lineae s^mel ac
pculis obiiciantur similia Triaogula hFI^ G'FH aut BPr,C"PH* etc,
a quorom consideratiQne oritur esse tam FH ad Flt qaam F'H^ ^d FP
etc. 9 nimirum parces tangentittm secandaruiB ad Sinus - r^ctos arcuum
AF^ AF* etc. Circuli daii in ratione constantt ri BC : BA . Hanc Lineam
primus omniiimi qaod sciam» Antbnius Pairentus methodo ista posteriori
descriptam, sed sola in hYpoAtsiFH=:FI^F^H*=^Fr etc.» Mathema-
ticis conteiBplandam proposuit usque ab anno M.DCC.V". in Parte IIV^.
Voluminis I^^^ Lutetiae-Parisiorum in lucem ediri Collectionis Physico-
mathematicaOt cui tuulum fecit Retlierchei de Mathematiqoe et de Physi"
que ete» (463). Veruntaqien n(ic >ea tempestate» neque in secunda Operis
ipsius editiooe locupletiori » qaae. contigit anno M.DCC.XIir^. (4^4) > il*
lius naturam geemetriemn^ nallamque. eias proprietatem > aequationemve
expiicayit^ qauoi meehaniie tantani jpsam consideraverit» idoneamque
aot aequabiliter eleVando 'embolo in Antliis, aut versatilibus subticiisve
Fontibus aeqailibrandit (465)» .Multominoi illam Corvam a Cylindro vel
Cono fcalem otiginem ducere susptcatm esc uaquam » nec totam com*'
plejtffs est» sed partem elus tantummodo H"H"'H'^D uni Qnadran*
ti Circuli rcspondentem. Innumerae porro ab eodem Circulo genitore
( Fig'« 52°^- ) dimaoant Lineae eandem cbmponences familiam , et ad
eandem Axem AD spectantes» Si. Tangemiam qaaevis BC^B'C etc. Si«
9tti-recco BG,fi'G' etc. aequalis fuerrt» Curvam primariam nuncupabo;
H BE : BG % B'E* : B^G* etc» sint in ratione qualibet data minoris ioaeqaa-
litatis, Curvam protractam'^ si cootra BF:BGtB'F*:B'G* sint in ratione qua-
libet . i/tfM ' maioris inaeqaalitatis » ^onrm/iij» adpellare, aut postremarum
alterutram setundariam oominare Hcebit« Universae istae Lineae cogna-
tae quodammodo sont celeberrioiae illias Spiralb, qaam Circuti Evolutam
passim vocant Geometrae^ primusque inlustravit Varignonus usqoe ab anno
M.DC.XCV. (466), deindeque vertente anno (ni fallor) M.DCC-XLVIIP.
praestantissimoa Dibnysias Diderotus (4(^7), antequam Eloquentiae phi*

loso-

196

losophicae illecebris rapta$ ( hctt ! fatTim ) isuWimiorl Mathesi ferias di-

xisset. Hanc autem CircuH Evolufam tam ordiMriam, quam contractam

sea protractam , ex ipso etiam Cylindro genitam contemplari quUus vetat «

Quemadmodum enim enascitur a Cylindro scaleno Linea illa occursuum Per«

pendicularlnm » Baseosque Tangentiam » ita hanc ab occursubus Tangentium

Helicis ApoUonianae (aut semirecto angalo» aut qaocumque alio inclina-

tae) soper Cylindrum rectum descriptae (468)1 eiusque Baseos Tangen*

tiam primam originem ducere dixerim • Qaod Fig*. 58^^ adeo loculenter

demonstratf et Cochleae illius (469) natura nobis suadet, ut tempus terere

frustra censuerim si praeter nadam enonciationem qaaedam addere.in ani-

roum indttcerem meum • Dam Helix primaria fuerit» vel potias primaria Cy^

clois super Circulum suum genitorem ortbogonaliter erecta,scilicet fiP'' =

CF' , AD = CP"D etc. ,» Curva CfT crit procul dubio vera Evoluta Circu-

li: protractae autem Helici, in qua B^P^^^CP^^A^DT^CP^D etc, Evoluta

Circuli eadem respondebir, noo sectts atque si Helix «ontracta fuertt, nem-

pe J5"P"<CP",i4"D<CP"D etc. Nam istae ctiam Heliccs m»»//tfr/>

Cycloidum adinstar protractarum ^ vel contractamm super Circulos orthogo*

naliter erectarum eonsiderari debcnt. Tangentibus vero proportionaliter se-

Gtis, ii\^ prodactis Evolotae Circuli innomerae secundariae C00"0^ 9 CSS''S^

etc* facile oriuntur . la hoc igitur tantom difFeruut Lineae istae transcen^

dentes ab algebraicis primittts contemplatis , quod in hisce Tangentes Cit-

culi, a quibus enascuntur, proportionales sint Sinubus-rectis P^^L^^ P"'L'^\

P"L'\P'L%PL ctc, in illis vero Arcubtts CP" .CF^.CP^^CP^CP ctc. ad

Sinus eos pertinentibus.

58. Sed Curvae ipsae in Fig^ 57. depictae considerari alio modo
etiam possunt velati Ungulae forent Cylindri recti vel primariae vel je^

»

cundariae^ quaram erectae Ordinatac super Bascos Tangentes dispositae
sint; quod et de Evolutis Circuli aut primariis aut secundariis relatiooe
habira ad Cochleas Cylindricas eodem iare intelligi debet. Consimile quid«
dam de Ungularum transformationc oculis Geometraram subieci io $*•
i6^^, at Ordinatis ad normam positis in codem Plano qno ad Sinas-re-
ctos; atque hac in hypothesi Ellipsis conica transversim descripta genera*
tur. Nunc Ordinatas Radiis Baseos normales efHngo, atque huiusce lacen-
tts Ungnlae novae, quam tangentialem inposteram nominabo, praecipua
symptomata complectar synthetice • Primum de Arca disserendiim • In pri^^

maris

^97

mria quidem liqaiclo constat Sectores infinite-parvos CIT^BOB' similes
.€5sc> ct idcirco IC=BG : CTy.OB : BB'::BG : BS. Eaproptcr CT=BSt
Scctorque CITr=^CICf sire Elemcnttiin Ungulae tangentialis aut Luna-
lae deformatac , acqaale semissi ri GBSG^ aat GBB*G' Elcmcnti ScmicircoU
gcnitoris. Est igitur non modo Arca Ungalae tangentialis ACCDMA par
mcdictati Scmicircali ABB*MDA% veram etiam qaaelibec eius pars ^fiC
a tangente quavis BC abscissa acqaalis dimidio Areae ABG Segmcnti Cir-
Cttli sabiacentis. Tora ergo Area Carvae sesquialtcra est Circuli gcnitoris
inscripti» eiasque medietas ab Axe AD dcterminata Scmicirculi paricct
sesquialtcra • Exinde flait synthcsi geomctrica dace ac summa facilitate

demonstratio illius Thcorcmatis pcrinsignis » qaod* ad '^^ Cdip^Sin.t^Y de«

terminandum tefcrtur. Vocatis enim in dat9 CircuIoRadioOJ3==i»ctArca
AB^Kp^ oriturfiSez praemi^sis = ^i^.5/».9> atque BG . BS=: d<p{Sin.fy

^d{ABG) = diA0B)-d{BGO)=:^-di^^^^^

/* , . X. ^ Sin.^.Cos.<p / , . I I -,. ^
dp { Sin. ^ )» == -i:. — -w-^ ( vd potius == — p Stff.2(p)

( vid. pag« XX* ) » qucmadaiodam Ealcrus f aliique invencrant (470) . Ne-

qae Areae Ungolaram tangentialium dcrivatarum» vcl protractae vel con^

tractae siot * maiorcm pariant difHcuItatcm . Elementa eniao homologa IFF^=z

IFT*^9 aut IEE^=^IET^ suot (singula singulis comparando) ad Elcmen*

tum primariae ICCi^=ICTitk ratione constanti sive determinantis daplica-

ta> videlicet IF^ : IC* aut lE^ : IC^ % qao postto Arcarum partcs a tan-

gcntibus quibuslibet rescissae IF%IE^ ct Arcae totae a quadratura Cir-

culi dcpendcbuot • Qaioimo, si super eodcm Axe ac diamctro gcnitoris

Circoli AD^ et alio Axe PY vel NX^ qai sit ad AD datum magnitudine

ac positione in ratione data rHy BF^-^aBC^ : 3BC*> sive fiiS*— f 2BC*:

3fiC% dcscribantur EUipscs Apollonianae» erunt partes Arearam vcl Areae

omncs, uti supfa in computationcm actae, partiumEIIipsium conicarum cum

illis Axtbas descriptarum ARG vcl AQG f aut integraram Ellipsium

APDY^ ANDJlt scsqQialtcrae. Accidit itaque isthuc ipsym,quod dudum

in $**• 49*^^ contemplati sumus de Hyperholarum - circuli familia, nccnon iti

$*• ii2**o. de omnimodis a Circulo genitis Cycloidibos • Hacc autcm poste-

tior tiailitttdo uaa cum alib miuoris prctii adfcctionibos longius promo*

vcri

198

veri non mcrctar, coquod ex inferias dicendis nostrae istae Lineae nihil
aliud sint quam Epicycloidcs a tot tantisque Gcomctris pertractatae (471).
Dicam potius de quodam maxlmo clegantissimo Ungulae caia^libet $an^
gennalis , de illo • nimiram » ac gcmino t et simlliter posito pefimetri ]Un-
gulae puncto inveniendo» in quo maxime omnium fccedat ab Axe (472)«
vel Tangentes sint eidem Axi paralleUe^ non secas ac in aliis Ungalis
iacentibus §^ i6". supra confecimus. Hoc inTcntum parvi quidem moli*
minis est in Linearum harnmce primaria ABCD Fig^^^p^^Nam Ordinata
quaeIibet-Br,C7^ ctc, constat cx ST—IH aat S^T^^TH^ et BS=HP
aut CS^ = H'P', nimirum ex IH-^HP^ vel rHf^'H*P\ quarum Sum-
ma VLtmaximum fiat, oportet maximum reperire Rectangalorum DO(/H
^jyp). DO(/'ir-+fl'P') ctc, sivc DO. IH^OH.IH, DO.Ilf^
OH' • IH' ctc. , aut denique DH . H/> Dff • H^f etc. Maximum vero ho-
ramce Rectangulorum habptar ex Euclide in puncto £, quod Radiam
OA bifariam cecet. Igitur erecta normali zr, et ab huius Ordinatae
Circali cxtremo ducta tangente VKy haec determinabit in Curvae datae
perimetro punctum A*, ad quod ma^ima Ordinatarum pertineat KZ . Hoc
ipsam consequimur si a foco D emittatur DK^ quae cam Axe DA anga*
lum cfGciat ADK:=:.6ol^ x nam ex Lineae geacsi ($$. 56. 57.) DAT paralle**
la cst ad OV % angulasque F0^ = 6o'' per Elementa. Valores etiam Re*
ctarum DAT, DZ,Zi^ in pjuncto maximi perqaam facillime dighosci possunt,
proptereaqaod inter praccipuas primariae haias Curvae humanam cor imi-
tantis adfcctiones (473) ea sic pcrpetaae aequalitatis Radii cuiusUbet a
foco emissi, veluti DB,ZX7ctc., et Abscissae sibi respondentis DH^DH!
etc. in Axe DA ab eodem fico D compiitatae , qaia ex Eiementis anga*
\\xs.HIB bifariam secatar ab /D, angalus Ifl^Cdh fD etc, ideoqae Triao-
gula orthogonia DHI^DBI, necnon DITf^DCr ctc. similia inter se
sunt, ct aequalia • Quibas omnibus collcctis crit in puncto maximi K^DK

•

== DL ^ — DA axis Curvae sea diametri Circuli genitoris, Abscissa

DZ~ — —'^DA,tt Ordinatarum maxima ^Z = -^^Dil,<iuem-

admodum inveniendom sasceperam, FauIIo aliter procedit res in Lineis
hoiusce nominis secundariis . Nam sopposita ratione determinante HIiIB^
= a\b in protractis^ aut HIi IB^ ^a^^b 19 contractisp invcntio angtt*

li

199

K 0> qucrit Radius ex Poto (cuius citissime scrmo crit iii§®. seq.) emif
tendus cfHcere debeat cam Axe DA ad^hoc, ot occarrat Curvae puncto,
cui Ordinataram maxima respondeat, dcpendet ab Aequatione aCos.q>
— 4- & Cox. 2^ = o ; qaod est Problema purum Geometriae. Illud, praestan-
cissimum quidem, Synthesecijs geometricae nunquam satis laudandae experi*
mentam puteni haec omnia cum Hdpitalianis consentire ab intimo eru-
tis Calculi reccntioris Infinitesimorum penore» ut l^ c'. in §^. 62^^* cla-
riter demonstrabant • Sed etiam elegantissimum ceoseo idgenus maximum
in primaria Ungularum tangentialium 9 vel in Curva Parenti» valde con-
ferre ad illius Lemniscatae illustrationem » cuius .mentio facca in $"• 41°^^.
sub Aequatione x^ — ^* j^^*— f ^^j^* =0. Nam, $i in Fig*. tfo*"*. Ordina-
cae r£,nF,AG erc. pares fuerint Normalibus rPtllRyAD ecc, ea ori-
tur Lemniscata AEPGOLM ^ic., ita ttt KE— FF-H- rP,5F= 511— f 115 p
A^G^XA— hAD etc. • debeatqae variabilis huiusce Kectarum Summae
maximum esse IB — ^BZ tum, quum iiinumcras inter Circali et Lemni-
scatae Tangentes 57^, FQ etc. duo sibi invicem respondentes KIN^ HCQ
fuerint inter se parallelae*, quod Problema • bifariam . secto Leraniscatae
Semiaxe AO in puncto B , ex iam demoqstratis resolvitur . Interea de-
scriptio altera simplicioris illius Leffiuiscatae omnium facillima liquido
constat .

59. Eadcm Ungula tangentialis y quam hactenus demonstravimus Li*'
neam esse occursuum ' Tangentium Baseos ac Perpendiculariam omnium
Cylindri scaleni^ luculenter ostenditur congruens etiam Lineae occursuum
Tangentium Baseos Coni scaleni ec Perpendicularium super ipsas a verti-
ee\edactarum. Ut fidem libcrem promissis in $*". 56'°., sit nunc AP" DK
in e^em Fig'. 56. Circolus Baseos Coni dati , C eius verticis ichnographia
vel proiectio orthcgraphica . Docet ■§"*. 55^". pancta quaesitae Curvae ad
Conum pertinentis reperiri dum a puncto C emittantur normales CtltCIt
etc. ad tangentes Circuli FL^F^V etc, quae esc ipsamec constructio in
praecitato $""• 56^^ adhibita pro Cylindro. Igitnr semel atque efldem obli-
quitate atqae ichnograpbica excentricitate praediti fuerint Cylinder et
CoQus obliqui super eodem Circulo veluti Basi insistentcf , eadem ad un«
guem occarsuum Carva prodibit» qaa in adfectione emicat nova, nec pa«
rum iacttnda horumce Corporum analogia . Quum itaque Robervallius
iamdttdum demonscraverit Carvam illam in Cono scaleno t%%t Circuli Con^

C c choidem

!

l aoo

I choidem {+74)» aeque erit Conchois ipsa Clrculi in Cyrindro scaleno. Ego

h ^utem isthac ipsum valde facilius Robervallio hunc in roodum ostendo.

^ Super BC veluti diametro describator Circolus BNOCR^ ducanturqne

I chordae BN.BO ctc. Erit NH — BF^BA.OH^^BF^ — BA. ct sic

de ceteris in infinitom . Ergo Corva AHH^ etc. est ea omnium stmpli-
cissima Circoli Conchois » quae polum habet in poncto C i/j// Circuli
circomferentiae, vel extremo JDiametri» intervallom BA Radium Baseos
ilafae Coni aut Cylindri» ec Circulom genitorem illum» qoi diametro gau-
deat BC . Omnia igitur /tafa sunt tam ia Cylindro, qoam in Cono ad
eam describendam • Hanc Circuli Conchoidem, quam Geometrarum non-
nolli inioria Cissoidem esse adfirmarant (475)9 vel Lineam antiquissimam
Dioclis hederae foliom aemulantem (476), David Rivaltos in Archimedc suo
Farisiis edito vertente anno M.DC.XV*., cui titulam fecit APXIMHAOYS
TIANTA ZflZOMENAj ante omnes protolit (477)9 noncupavitqoe Con-
choidem secundam (478), ne cfim antiquiori Nicomedis (479) praecogmtav
quam primam ideo vocavit, confunderetur • Nihilo tamen minus istam
Rivalti et Robervallii Conchoidem» utpote tangentiali Ungulae congruen-
tem, primariam adpellabo dum BC = BAf protractam vel oblongatam st
BC<BAf ac demum si BC>BA contractam seu decurtatam. Roberval-
lius, qui fortasse imagincm istius Lineae a Rivalto motuaverati solam
eios partem depixit SMAHH*H*\ illam nempe a poncto A distantiae
maximae a Volo C usque ad normalem WCS a Polo ipso digredientem
protensam, ratos cum eodem Rivalto Conchoidem Circuli in W ^S ob-
truncari, eique (inem imponi, nec ultra progredi posse (480). Ex adver-
so Parentos (veloti de medietate dixi ia $"*. 57"^.) Curvam describens
aequiHbrationis^ neque unquam suspicatos fore Circuli Conchoidem, reli-
. qoam tantom illius partem delineavit H"H"'H"DTS\ adeo ut Conchois
integra duabus seiunctis partibus coalescat a Robervallio, et Parento sepa»
ratim consideratis, ab diversa a^tate, diverso itinere, constructione , atque
usa in Geometriae et Mechanices commodom recensitis. Qoemadmodum
enim in Linea Robervalliana quilibet Radius CH etc. a Polo C emissus adae-
quat B^ -H- CiV etc. , sic in Linea Parenti quivis Radius CH'" ttc. =RH"'
— CR = BF'" — CR=zBA — CR etc, non secus atque in Nicomedis aot
Rcctae-Iineae vulgata Conchoide Summa in Diflerentiam versa, et vicis-
sim , duas Curvae ipsius partcs , scd onam continuam Curvam detcrminat . Vt

« autem

201

autCRi in valgata antiqaorum Conchcide duo CarYae partes, inrerior, sci-

licetf atque superior Asymptotae» simul iunguntur qu^ simol Asympto-

tae eidem ad in6nitam a Polo distantiam conveniant» unamque Lineam

componnnt Algebraicam, ita et partes duo Conchoidis-circuli se invicem

nectont in punctis H'%S^ sed finito distantibus intervallo CH*'=^CS=^

AB a Polo C, ideoque Lineam undique clausam in spatio finito per*

ficiunt.

6o. Aequatio Curvae Robervallii et Parenti * ex superias osten*

sisad Cylindrum et Conom simul scaUnum pertinentis, mira facilitate a

mea methodo profiuit. Vocatis enim AB=:ia^BC=b^ Radiis CH^CW

etc.csjs, Angolisqoe ACH^ACH' etc. = ^; consequitur statira 2=tf

— l-i Cos. p uti antea dictom in §% 52^". Nam CN.CO etc. Cosinus sunt

Angulorum BCN.BCO ecc. ad CB veluti Radium relati, ex Circuli natu-

ra , et hi Cos.(t> ultra CH" versos D evadont negativi , nimirum a==:tf-H-*

Cos. ^. in z=:a — bCos.<py salva semper eddem universali Aequatione,

convertitur. Sin vero Angulos 9 numerare potius libeat ah Ordinata

H"CS 9 Aequatio Curvae formam acqoiret z =: a ^ bSin. <p\ quum

CN,CO etc. Sinus sint Angulorum CBN=H"CH,CBO = H"CH' etc. po-

sito BC Radio, uti supra. Interea monendum est Formulam Aequationis

huiosce Trigonometricam parum differre ab ea Conchoidts Nicomedeae,

seu a Recta genitae XBZ ^ quae Curva iisdem positis, qoemadmodum io

b
Conchoide - circoli , sic exprimitur z=^a^- — r- , vel potias, si placeat

Cos.ip

b
complementa Angulorum revocare , 2 =: ^ -+ --: , Functione unica Cir-

culi a numeratore in denominatorem translata, et vicissim. Istarum Con«
choidum, uti et priorum, primariae a ceteris distinguantur ope b=iaf

unde earum sint Aequationes z=ia'^aCos.p^z=:a'^ , contra-

Cos* ^

ctis evadentibus dum b^a^ et protractis dum Kia^ aot vicissim. Nec

minori facilitate dimanat Aequatio Conchoidis - CircHli , omnium equidem

simplicissima, Coordinatis crthogonalibus CF^CV' ctc* ^zx^VH^V^H'

etc.=jr in computationem inductis niore solito Analystarum. Saperior enim

Aequatio z = 4 — f & Cox. ^ eodem rcdit atque y/x^-^y^^^a

bx

Cc 3 unde

202

ncam nostram illis ordinis 4". , aut Corvit 3". generis evidenter adscri-
bit. Inicio Abscissarum collocato in punctO D> ec DOn aliter in pol^ C
(si A^ contractts\ protractisve Curvis agatttrt quum in primaria C et D ia
unum coeant), Aeqaatio ipsius Carvae implicatior evadit, sed aeque fa*
ciliter derivatar. Facto namque 2 = ;i?— 4-(tf — b) vcl *•-■=:« — {a — b)
= 2 — r, neminem latet Aequatio snbsequens tf*((2 — ^)*— 4-jf^) =
{(2 — c)^^y^) — b{z — r))*, sivc post CalcuU suptratam molestiam
(2*_|.j,^)-_(^»-4.4ja^2te)(z*-fy-)-+ ((Ja* — 6aA-+**)a*-+
(•2tf* — Q.ab)y^ — {2,a^ — 4«*^ -+2tfA* ) 2==o . Ista Aeqoatio decernit
punctum D esse qaadruplum^ duosqae invisibiles contrarios-fiexus coniun-

gere eo casu, qao Polus C bifariam secet Radiam BDf aut sit b = — :

«

iiam, quum in D Ordinatac y valor pendeat ab Aeqaatione j*— *-a*jf* —
^aby^ = Of hy^thesis facta istam reddit ^^ = 0. Patet etiam praeter
duas Ordinatas pancti D qualibet in Conchoide aeqaales o , alias inesse daas

rtalesp sciliceti rt^/T- V5PT ^^ncc b> — , quo limite traiecto eva-

^xint imaginariae ^ LtOMrAus Ealeras totam omnimodarum Condhoidtim ge"
nerationem complexas in Capite XVIP. Voluminis ir. Introductlonis in Ana^^
fysin Infinitorum (481), ac praesertim Conchoidis-circali (482), Aequationes
ipsas supra traditas Radiis , Abscissisve a Polo nameratis invdnit • Illa ete«
tiim, quam sappeditat, ita expressa tf*(;ir*-H-jlr*) = 4(*'*— +•>' — bxYt
%\ fiat , quemadmodam ait , = fic , formam induit ( x^ — +■>* Y —
(2*4^--4-<r* ) (;^f*-+j^*) -+4*.v* = o sapcriori a me traditae congrucn-
tem(483).

61. Quaenam oriatur Aeqvatio istius Carvae dum Abscissarom ioir
tium locetur in Centro B Circali genitoris ad mentem Parenti, haud abs
re fore iadico investigandum . Itaque luppositis BV%BV^ etc. = .^ »
VHf V'H' etc. =y, nascitar Aequatio (jr*-fy )* — ( — 2^^-+.^* )
( x^ —+ jr* ) — f b^x^ — aa^^bx — a^^b^ = o . Aequatio ista tantam habet ad-
£nitatem cum aniversalissima Spiricarum Linearum Aeqaatione, ut hasce
cum Conchoidibus Circuli pent dixerit confandendais • Adfinitatts huiasce
caussa et origo patebit legentibus Analecta mea ex pura et mixta Ma-
fArj/ (484), brevi (ut diccom alibi) proditora • In araplissima vero

Spiricarum

203

Spmcarum familia prae ceterls omnibns tonge emicat simplicior illa» quae
gaudeat Aequatione (ji?*— fjf*)* — ii*( a?* — f ^* )-+**^*==o, aut po-

tius trigonpmetrica z=^ r±ya^ — /?*(Cw.9}* ( vide Notam 191*".), vel

s = =t V^*— h**(5/».p)* , et meo <altem iudicio , . propter mirabilc$
eias proprietates, quas 1*. c^. detexi » est Linea illa ab antiquissimo Geo-
metra Men^lao paradoxae nomine distincta iuxta Proclum Diadochum in
<:ommtntariis suis EI£ TO nPi2T0N TQN EYKAEIA0Y2 STOIXEION
BIBAION (485). Haec mirabUis Spirica Aequatione sua parun^ diiTert a
Lemniscata BernouIIiorum fusias animadversa in §^. 41™^» cuius Aequa*
tio morc Algebraicp. scripta \x^ -+jf* )V — .«* ( a?* -+ j^* ) — 4- aa* x^.

= (486). sive Trigonometrico « = =tV4J* — aiJ*(Cw.^)* =

r±-f \^ — Cos.Q.(p . Nam hae duo Curvae Una eademque forent $i coefficiens
postremi termini 6^ = 24^ aut 2r = tf\/ 2*1 ceteris omnibus coogruentibus,
At quum iu illa Persei Linea sit semper *<tf> ea vere congraet Cur-
vis analogis Lemniscatae BernoQlIianae ab Ellipsibus conicis ortam ducen-
tibus, et in c"*. §*. contempfatis sub Aequatione (;v*— t-jr*)*~is*(^*-Hr>*)
-^na^x^=^o ubi «<Ci> qaomodo innueram. Quae Carvae omnes quum
facillime praesidio Circuli describantur (vide §°™. ^i"*".)» mirum noii erit
si in roeo de Lineis Persei Specimine variif nec minus elegantes occarranc
tiiodi has quoque Secantibus Circuli in auxilium vocatis et ad roorem
Epicycloram graphice construendi. Interea, ut cognationes et adfinita^
tes praedictae clarius universaliusque elucescantt eas nunc in compen*
dium accas et icta oculi facile comparanda$ subiicio*

FroipectQf

ao4

Prospectus Curvaranx identicarum adfiniuraquc
inrer Lineas qaasdatn ordinis quarti (487).

1 Conchois 2^. , aat Cir-
Rivalti >culi Conchots omniam
Robervallii^ simplicissisia , et Li-
Parenti ^ nea Aequilibrationis
Hopitalii \{primaria vel secun-

\ daria )

^«

lo. Bernoalli Epicyclois a Circu*
lo super aequaleoi sibi rotan-
te genita

Linea transiens per concursoum \
puncta Tangentium Baseos et f
Perpendiculariam a Vertice f
caiusvis Coni circularis su-j

una eademque Curva sunr
Algebraica,

Linea transiens per concur^uun
puncta Tangentium Baseos e _
Perpendicalarium a supremac i
Baseos Peripheria saper ipsas \
ductarum in quolibct circu-i
lari Cylindro J

Curva illa * cordi similis , quam
Britannica Encyclopedia Car-
dioidem vqcat, teste Gregorio
Fontana in Parte V. Voluminis
IIL Actorum Societatis Italicae
( consalatur Disquisitio etc* a
pag*. 123'». ad 142^»«.) (488),

I

eadem est cum Conchoide
Circuli •

sunt eadem CircuIiConchois.

eodem redit cum Circali
Conchoide primaria , cnius
simplicior Aequatio est (x*
-+y)* — 2^;r(;^*--f/) —
aY = 6 . ( vidc N"«. X«». ).

l\
IP.
III*.
IV\

VS

VI».

VIP.

fl05

Spinca universallsycuius Aeqoatio
ex alibi demonstratis esc {x^

— f C;v* -f Dj^ -H- £ = o ( si-
gnorum. consideratione negle-
cta)

Spxrica tnirahllh Aequatione di-
stincta {x -^y ) — a {x

/)-+i*>=0

Circulus binatus.» in quem verti-
tur Spirica mirabilis dam b:=at
sive limes potius Lemniscatae
BernouIIiorQm Aequation^ prae-
ditus (jv*— +>*) — «*(^*— +>*)
--4-tfV*=o,vcl(jf*— hj^* — ay)
- ( ^* -H-y —ftfy ) =o ,

mo

Lemniscata oniversalis in §^. 41
occasione BernouUianae saperius
anicnadversa » ad quam Aequa-
tionis pertinet forma Num^ IX^
si ad Centrum suum referar
tur*

\

adfinis est Conchoidi-Circuli
ad panctam Axis medium re-
latae, cuius Aequatio (;r*— 4-
y^)^ — ia*~2bx){x'^y^)

*i *

b*x^—^2a*bx — a b
nec forma, nec terminorum
numero, et qualitate ab op-
posita diflfert*

adfinis est Conchoidi-Circali
ad Polum suum ordinatae ,
qaam huius Aeqaatio (;i;*^

y)*—{a^-+abx){x^^y^)
— f i>*;c* = o redundet tan-
tummodo in parte unica ( ni-
mirum-— 2^.v ) Coefficientis
secundi termini^ ceterisooini**
bus et numero et forma ii^-
dem manentibus.

adfinitatem habetCircuIi pri-
mariae Conchoidi, cuias Ae-
quatio (x — +•> ) — (a -+
aax )(x* -+>* ) -+ <i*;r*=o,
quum prima uno solum ab
i&ta deficic termino ~ 2ax

adiinis quoque est eSdem ra-
tione Conchoidi * Circoli .

j
».

vm».

IX*.

x\

XI».

N

'

2o6

I /

Lemniscata singulans BernoulHo-
rum Aequatione gaudens {x^

^y ) a {X -+J> J—fiitf Jlf

=:o eam ad centrutn saum re-
ferendo (489)

GarvftCa«siniana percelebris > quam
vulgo, sed iniuriay vocant ple-
rique Cassinoidem (490) , Lemni-
scatam ac Circulum habens spe-
cies inter raas , Aeqitationeque
exornata t abscissarum initio po*
fito in foGorum alterutro , ( x*' — h

— a h =0, ubi • sit focorum
distantia, ab Rectangolum* con-
stans, (vide $"». 41"°'.)»

adfinitatem servac illi singa-
lari Conchoidi - Circuli inter
contractas^ in qua b = <7\/ aT,
Aequatione > scilicet > insigni-
tae (^*^y )»_(V-f

a v/T. <»A?) (j^*--hj^*)— f 2tfV*

^'•m^^^mimmm^umm

■*■

adfinis est Spiricae num^
Vlir»., ideoquc ctiam Cir-
culi Conchoidi ad panctum
Axis medium rclatae , veluti
liquido constat*

XI1\

Xlll*.

Nec H6pit^tus, neque Bragelongnus, Eulerus, Cramerus, Montucla,
Encyclopediae Parisiensts CoIIectores etc. quibus in locis de hiice se-
paratim egerunt Lineis, earundem identitatem^ et adfinitatem suspica-
ti unquam sunt {491), practer IV"». ct V*". casus omntbus antiquiores.

62. Ut in huius Prospectus veritatem toto iare adserendam nihil deli-
deretur, oportet tantummodo congruentes ostendere, sive, quomodo aiunt
Geometrae, identicas Lineas illas num". IV**. ct V. dcscriptas. Ac pri-
mum Aequatio Curvae aequiHbrationis ^ ab H6pitaIto explicata osqae ab

enno M.DC.XCV^^ in Diario Eruditorum Lipsiensi (492), est a\/xx^yy

5=tA;-H XX ^ yy^fff siyc de more disposita (Jif* -+>*)* —

4i(a^Ttr)—bx){x*~+y)^4b*x*=f2f*bx^/^f*=:o, aat ob it

ioxu

207

ioxta Hdpitalii resolationeni ex parte negativorutn « nimirum a C vel D

•

versas E in Fig», 56. (493)» ct propter =P/* constantem percgrinam actu

Intcgratioiiis adianctam, qUae fit = o in casu Curvae primariae^ ac utri^

usque ex secundariis^ scilicet, nodatae et puacto coniugato praeditae in

Poloy vertitur in (*•*—+•>*)* — 4(rt*— f^^.)(.v*— !->*)— h4A*;i^*=o , veluti

in num*'. IX"^ j nam faciis ^ = 2<J, ^ = 2^ , formam ioduit (,r*— i-j^* )*—

(tf'-— l-ai'*')(Ar*-+y*)-H-i'*jif*-=:o . Et re quidcm vera>si consalaturSchema

jp»im ab Hdpitalio conteniplatam » nescio quo fato et Cartesianus ille Geo*

inetra» de quo loquitur Hdpitalius» diilicultacem tulerit perquam roaximam

in Aeguatione huiusce Curvae deterroinanda (494)1 nec quomodo Hdpitalius

idem Calculum nascentem advocaverit infinite-parvorum . Nam (Fig. 61.}

reperta ab Hdpitalioex finitorum Analysi et primis Staticae legibus Aequatione

Qfhz
CM=z2a -, in qua j =: CQ=:CD •Radio Circuli genitoris, z=:^

CG^b Recta data^ illico profluit» ob CG =^a .Cos.QCD=z^Cos.(pt Ac»
qudtio facillima CAf = 2J=F2&C0f. ^ ad Conchoidem*CircuIi, cuius (ex §*.
60"*^ et Fig*. 56.) intervallum constans AB = Q,a = RQ^ diameter Cir-
culi> a- quo Conchois oritur, BC=fib ut superius dixi,ac Poius in extre*
mo situs naper memoratae diametri . Quod ne difRcultatem aliquam pare-
ret> addendum cnrivi Figurae di^^ ab Hdpitalio traditae Circulos illos
Lineae Conchoidalis generatores* in quibus C5=:5r=£Q=:2i9r, ys auc
f^' 5 aut i^'''^ ( tribus diversis hypothesibus ^mm^dyenis) =z ab ^ Poiusqua
Curvae in C(punctis Fty^\ Circutisque quoad oporteat promotis) conlo*
catus. Cuncta haec mirabiliter adeo conveniunt cum Hdpitalii eiusdem
inventis, ot quae de maximis Ordinat^rnm, et Curvae Areis exposui sym-
ptomata in §''• 58*^ Elementis Geometriae in subsidium petitis, ille iam*
dndum [at minus universaliter (495)] eadem explicaverit ope Calcali In-
iinite-parvorum. Exemplam praebeat Arearum dimensio. Aic Hdpita*
lius (496) Spatium integrae Curvae {aequilibrationis) inclusum aequatur quatuor
suis Circulit generatoribus plus duobus Circulis Radio b descriptis • In Concboi«

de-CircoIi ^r//v<;r/is demonstravi (Fig*. (5i.) Spatium illaS essc — . Arcae

Circuli TNV etc.. cuius Radias SC, et idcirco 4.-^ = 6 Areis Circu-

li Hdpitaliam gtnfratoris £DQ etc, nimiram ^.JSDQ etc— fa.iti^Q ^tc.

Dd =

I

I

lo3

:=6RDQ ete, propter t^=^4ft ftd nentem quoqtie ipsius Hdpitala (49*2)«

In secundariis autem osteodi Aream Conchoidis-Circuli aequalem — . — .

2 tf*

— 2 1- L L 1 per Aream Cir»

Areae Circult TNF* ctc. — t- Areae ipsius CircuU TNf^ ctc, sire aequa-

lem 4. — = 2 Areae Circali, cuius Radias sit * Rccta ab Hdpicalio

^^1^4^, utpote semis t5 *', -+4 Areac Circuli RDQ ctc. laxta Hdpiratiam
ipsum generatoris. At non modo Arearum dimensio confirmarur, veragi
etiam ceterae omnes illius Curvae adfectiones facili doctu dimanant ex
qoo primam loannes Bernoullius eodem anno vertentc M.DC.XCV^<^« (49^)
Lineam aequilibrafiouis SLdscvipsit Epicycloidum familiac. Miror etiam id
non vidisse Hdpitaliam eundem ante DernoQUtum, quum ille ipsomet aa*
no Ittcubrjtiones protulerit suas de omnimodis Epicycloidibus contractisf pra*
tractisve ctc, quas primum omoium sc adinvenisse professus est (499)*
Quadraturam universalem Arearum Epicycloidalium H6pita\ius tnvenerat

b a^h

culi super alium immotam rotantis (500). Radius CircuH immobitis est h^
mobilis tf, ct ^ distantia puncti describenris a cenrro mobiljs CircuFt.
Qutd si Hdpitalio tn mentem vcnisset praesidio huias formulae singuldrem
€asum contcmplari Epicycloidis in se redeuntis ob aequales duos Circulos,
tiimirum a=^b} Nonne Aream totam inter Epicycloidem in sc redeun*

tcm ct Pcriphefiam Circuli immobilis cogoovisscc esse T 3 — f — '-7- \ pcr

Aream Circuli genitoris? Et addito Circulo genitorc, nonnc Area omnis
ab Epicycloidc undiquc clausa emergcbat aequalis 4 -Cfrculis gcnitoribas
<^2 Circulis Radium c habentibus, ut in sua Curva aequilibrationis re«
pcrerat? Qoo cogntto, nonnc Curvam istam Epicycloidcmquc , ct cutas*
tiam speciei % onam candcmquc Lincam forc illico pcrscnsissct ? Sed „ facc*
le cst inventis adderc „. loanncs vero Bernoullius ad Lineac aequilibra'^
fionis Eptcycloidisque identitatem sisceodam, quamvis ingeniose faciliterquc

- ^hz
noc effeccrit, usus tamen cst Acquatione Hdpitalii CM=zaa »

absqucoquod Conchoidem-Circnli siibodoraverit (501). Nec maximus
quidem actatts nostrae Mathcmaticorum Eolurus Conchoidum*CircuIi Epi-

cycloi-

209

cycloiduinqae identhatm^A^m secnel atque icerum de hoc egit argumeotOt
unquam est suspicatus. In illo etenim Introductionis Capite XVII*>^ (vide
§"« 6o»»".) Cpnchoides-Circuli» et in XXI"*. De Linfis Transcendentibus
separatim descripsit Epicycloides» nullo cum primis foedere animadverso.
Rur^as sexennio post, Dimirom in Commentariis Berolinensis Academiae
relatis ad annum M .DCCXI V^"*. » quum pag^ 189"^ et seqq. Carvam
yersaveric (2 .Courbe^ Fig'. 3.) Aequatione distinctam z = ii ( i =;=C#j. 9),
si ve ( XX '^yy )* =p tiax {xxr^yy) = aayy , Epicycloidem esse admonaic
a Circulo genitam super aequalem alterum se revolvente * baudquaquani
vero Conchoidem • Eximias profecto singularis huius Epicycloidis adfe*
ctiones conlegit , qaas inter emicant illa Lineae rectae constantis per
punctum regressus aut cuspidem Carvae transeuntis ad geminum usque
concursum cam eius perimecro (id ostenditur icta oculi si Figura in-
spiciatar 56^^, statimqae qricur ab Aequacione 2 = ^ ( 1 =7C0/.<|> ), nam
180*"-+^ Co3i(ium eundem habet at ip sed signo opposito gaodentem »
ideoque in eidem Radicram directione fit z = /1 ( i =7 Cos. (p )t z' ==
a{ I ztCos. (p), scilicet z-^z'=2ii), et altera communis Parabolae ApoN
lonianae ; qaaram postremam summopere amplificavi in peculiari Disquisi^
*tionet cui citulura feci De Sectiftnum Conicarum^ quae ad focos referantur ^
HyperboUsmis • Coogruentiam igitur simplicissimae omnium Conchoidis-Gr«
cali Bobervaliianae et Epicycloidum Bernoalli quum mihi concigerit oculis
subiicere derivaxam ex Elementis Geometriae, non ingratum idgenus de**
monscracionem proferre fucurum iri confido in huiasce Theoriae complc'-
mencum . lisdem licteris tres Figoras 62. 63. 64. compleccar» sed uni %o^
lummodo, scilicett protractae (Fig^. 64.) demonsttationem aptabo» Sit ARC
idem Circulas AF"D etc. §■• 56"., et FSD^ cuius Centram £i idem ac
BNOC etc. Bifariam secctur DC in pancco /, fiatque FG=DI^=^ABi
quod idem est ac promovere Circulum FTC etc. per incervallum CI =

CD

— ita , ut posicionem adquirat r& lOG ecc. , deindeque rS GN^ sibi ae-

qualis • Hic poscremas super primum rotetur , sicque A puoccam dia*
metri BG , qaod generet Epicycloidem ALPQC etc. In quolibet sicu mar
neat Circalus mobiiis, velaci in HORMt punccamqae descripcionis io L^
evidens est cencra E^K^ punccumque concactus in e^em recca lace*
re EOK^ angulumque GEO=HKOf ex ideo, quum £D = /CL, paralle-

Dd 2 las

las esse rectas EKtDL ex Elettientis. Angulas igitur £D5=£5D = AZ^,
nimiram ctiam ES parallela KLi quo posito SL = EK = FC=z fj ^
ut in §°. S9°° f nempc constans. Ergo Epicyclois -^IPQC est Conchois-Cir-
culi » po/tfi» habens in D , Circulam genitorem DSF etc. • intervallum con*
stans £Jf == 2£0 = F-4 , quemadmodum T. c*. expositum fuit. Quod
quum . paUcis , ec admiranda facilitate demonstravisse mihi contigerit,
non minus mirabile iudico Ungalae erectae Cylindricae perimetrum ,
Ungulae ipsius tn Plano iacentis* et Ungulae 'Ctiam pcr tangentes expan-'
sae iaxta §§^K 15""^ 16"". 58*"". universaliter consequi ab Ellipscos co-
nicae rectificatione « De primis daobus id plenissime osrendi. Postrema
vero, quum Epicyclois sit, Ellipseos ope rectificatar , ac dum primaria
fuerit (vclati in Fig*, 63. )> rectificatur geometrice (502), non secus atque
primaria Cyclois omnimodas inter alias Cycloide»'.

63. loannes Bernoalliasoptaverat Curvam atquilibrationis in re Me*"
chanica utillimam mota continuo describere , non pcr puncta uti fecerat
Hdpitalias (503). Eo desiderio cxcitatas, ut praxi praesertim id commodi
adferret, Epicycloidem esse docuit Lineam ab H6pita1io repertam, motu-
que ideo Circuli rotatorio facile dcpingcndam. Quom autem istam Epicy-
cloidem primus invcncrim csse Conchoidem-Circoli , maior etiam descriptio-
nis facilitas mihi statim occurrit , magisque idonea BernoQlIi voto adim*
plendo. Non fllad ad Conchoidem - Circali construendam motu continuo
Instrumentum proposucrim , quod Rivaltus , aut antiquos potios Archimc-
dis Opcrum Scholiastes, uullo inventionis prctio accedente , oculis Geome-
traram subiecit (564). Nam practerquamqaod nihil aliud sit Instrameu-
tum ipsum , scu, ot Graecis vocare placoit, SiccfiiiroQ (505)» nisi veta-
stissimum Nicomedis organum atque notissimum in soam vcram Conchoi*
dem dcpingcndam (506)» canali recto tantummodo in circularcm converso,
animadvcrtebam potissimum idgenus incommodum inesse , geminae scilicet
Instrumenti revolutionis pcr eundem Circulum genitorem ad hoc, ut ia-
tegra Curva pcrficcrettir, quemadmodum ex Fig*. 65. liquido constat. Or-
ganum itaque simplicissimum expertos som, quod depictam exstat in alte-
ra Fig*. 66. t cuius praesidio, atque unica veluti communis circini rota-
tione Lineae omncs describantur, quas a nuroero I**. usque ad VIII'"".
Prospectus §'. 61"». complcctitur. Instrumenti forma Parallelogrammum in
quatuor angulis instar Pantographi yersatile ope iunctararum et axiculo*

rum

211

ram» Normamque vel potius Normatt Utus Qni tateri adiunctum simul

imicatQr. Sic igitar conscruenda organice CtreuH-^CotiGfhois Polo in By-ytk

D\ vel B" praedica» Circulo genkore AQB i aut ASEfj^Vit AtB*' \ Inter-

vallo aucem AQ-^^AO. Casam unicum concfimplor Comthoi^s; • pn^r^//t^

dum AB^CAGf nam eodem modo pnmaria^ cmf^ir^f4^w dhscilh6teM\aiT'i

Farallelogrammum ACDB in punctis A^ B immocum fixumque maneac;

ec scilus in EfE'tE'%E''\G ecc«> in incersectione» scilicec, semper sltus

Uceris.cr Normae w^cnaceriiqtie Paralleldgriaiiimi BDi eiusve protr>actio«

nis, organum iohct\tris liberum atque lolscuiu revolvendo, Curvamkiuae-

sium in subiacente plaQo descrtbec. Insctaneotum jecenim^ ^ubivis in sui

revoluciooe fuerit ABMN^E ^ ABDCE\ ABE^K , ABILE"" ttc. ^^nuct^

EfE'^E'\E'" ecc. ea in Linea locabic, quae ad unguem conveniat cum il-^

la in Fig*. 56^*. ^t §*. '56*^ depicca. Dum ergo puncca mobilia C,Z>

ParallelogramBULcis descrtbunt Citculorom aeqoalium exceotYJicor&m Pertphe^

rias ONCKLG ^PMDE"IH^ nimirum Ctrcomferential eiosdem Circuli peif

intervallum OP=zAB=iGH promotiy poncta Q,EtE\E'\E'"^G sunr irf

Hemiconchoide^CircuIi » et lostrumenti revolutione onica completa omnis

reliqoa Corva constroicor . Organom iscod p eodem Pantographi arciilcio

imitato» puncta \B.,p,C soper Kegular fl^eotia > et graduum » canalicu-'

lorjom, cochieairumque ope adeo disposita praebet^ ot obn modo diversi^

inserviat Conchoidibus , qoae P$iof in B''^ B'^ etc. habeant » Circulosque

genitores ASB' ^ ATB" etc. , verum etiam intervallum aut maius aut mi^

nas coostante CA. Haec qui rite intellexerit, non dubito qaio et faci-

iitatem et venustatem Circini Conchoidographi secum ipse admireturi nal-

lisque censeat postponendum Instrumentis » quae Franciscus praesertim

Schootenius nsque ab anno M.DCXLVI^. io locem protulit ad organice

describendas Sectiooes Conicas (506J ^ Newtonusque anno M DCC. IV^.

Angulorum mobiliam praesidio advocato volgavic in conacroendas Sectio*

M% ipsas aliasque saperiorom ordihum Lineas (507)» ac postmodum addi-

dere Maclaoriaus in Geometrid otganica' sive Descriptione Linearum Curva^

rum uttiversaii edita vertence anoo M.DCC.XX»^ (5a&), loannet Baptista

Suardus de algebraicarum et transcendenttum stmul Curvar^m decrcri[(tio«

ne loquutus anno' M.DCC.Lir» (509) ^ ceterique qoaaiplurimi (510), ne

de Platooe dicam ab incu-n^bulis iisq^ue GeometHae Ilnearis inter' molioiina

varia Problematis Dcliaci solvendi (511)»

61 Tot

/

212

6^. Tjot tantoiqiie frncta» a prorootis. Circalis aliisve Carvis in ante^
cessuni collegimus , ut fandaoientis Synthcseoin.geoinetTicae haec promo*
Yendarom Figuraruin. ars adnameranda iare siti proximamque teneat se*-
dem.priiicipiofoe^andif^mo» quod vocant superpositioms Planoram (518),
vsu^qtte etiam^perquam.maximi inSoIidoram ad£ecfioaibos facile detegen*
dif mtt^uae eorum. r^tv^Mf/r^/iWJ.hypothesi adAiSsa (513) • Dam adhuc
pu.^^r delicias Math^eos aestttaote velati. animo pros^qaebar, Perseumque
Geminumqae rediyivos (.514), Eudidis Elementorbm Eui/ati^iov (515), ApoN

louji Loca Coiuc0ii?am:difficiUima:(5(6), aliaque sexcemaia Jacem aliquan*
do pa,blicam t^tst posse mente voldtabaoi^ mblta de argumeoto illo no-
bilissino^peraveram. fortn^se non pbenitenda » Tromovebam ex. gr. in Apol*
lcnio niTfo Hyperbolam conicam ( FrgS dlij. ) snper alteratra Asymptotaram
AB per intervallum quodvis AH% .et illico oriebatur .Area infinite-Ionga
FCDE finitaet itegAittidtnts^ qaippe aequalis Axeae Parallelogrammatis sub-
iacentii GAHI , qwd semel .atqoe primum iddAuht in SoUdis Triumvi*
jri illastres Torricellius» RobervalUos, et Cavalerius (517) sublimi xztigtrt
sydfrs vcrsise censnerunt • In Euctide meo promovebam ( eodem semper in
Plano Recta ac Curva manenribas ) Rectam qaamlibet sibi sempier paralle-
laiti AB. per Gurvae cuiasvis pertoietram CAD {TigK 6%.)^ er «Ireruln
quid^m eictremufli B Rectae dnttse repetebat Curvam eandem £SF, sed
nanquam ad CAD parallelam, parallelismo Curvaram in ipso Plano iacen-
tiam exoriente folummodo ab evoiutione unlas. eiasdemque Lineae, id pri«
mum demonstrante Leibnitio (518). Alibi Logarithmicam .promovebam (5 19),
Maximumque facillime reperi in Curva Caloris ab loanne Henrico Lamber-
to« usque ab anno M.DCCXV*. Helveticorum Actorum in Volumine IP.
Basileae edito, summa nieotis acie ab idiomate Physico in Mathematicum
▼ersa (520). Calculi DiflTerentialis ope isthac ipsum, quod ego Mathesin
vix in limide salutatos obtinudram, contequutus iam erat Aactor egregias»
et inventionam ubertate atque elegantia nuUi comparandasGeometrarum*
Carva Lamberti ABCD (Fig*. 69. ) ea est, quae abicissas communes
AFtAF" etc. habeac duabus Logarithmicis PGJf, P£Z. diversa Subtangen-
te praeditis,. Ordinatas veto FBtF^B' etc. aequales diflPerentiis Ordinata«
ram in Logarithmicis, ntmiram i^B=:£G, /^5' = £'C' etc. Ordinatarum
ergo maxima 10=^X5 respondet Abscissae haiascemodi AO^ nt a pan*
ctis S9T Logarithmicarum Tairgeotes ductae SRtTl^ sint inter se psral-

lelae »

213

Idaet qaomodo in $$'\ 16^. ac 58^^ dadam ostendi. Exiade fluit Ordi*
oatas OS % OT esse in Jata Subcangentiam ratione , numeros » «ciliccc,
esse commani Logarithmo gaudentes. Ad hoc itaque» uc punctam S in-
veniatur, a qao cuncca pendenc, secetur PA in Q ita , st PAiAQy.
Of^iORt nimiram, in Jafa Sabcangentiam proporcione, tantoque retro-
cedat intervallo super AH Logarithmica extcripr P7X, quantt opus est,
*ut rranseac per Q) punctumque S intersectionis eius, et interioris Logi-
sticae . PIAt cri.t quaesitam . Nam. cx Eleipefltis LQgbmctriae in e^dcm
Logistica PA:TO'. IQAiSO. Quinimo et Spatiam infinite-longum AICDNOA
a Laiiiberti Litiea ^ pbst fiexum tofHrarium in C evidenter asytnptotica ,
compreh^nsam menstorae' finitae ac detern»inatae capax esse 'simul de*
texi , proptcreaquod sit aequale Spatio aut Bilineo infinite-longo PTLMSP
ex Lineae generi, rtempe PTLNAP — PSMNAP aut PA.OV^PA.OR
^=PA. Rf^f-et sic mupath mutandis de partibus disserendum (521).

6^.' MeusiM^ paeriltter eo temporis excultus Euclides universa quo''*
.qoe coatidebic a Cifculo, et Cono*recto deducta Theoremata , quae lon*
ga inscripcione "et circumscriptione Figurarum rectiKnearam , aut Trian-
.guIo.</i^rm/jt//'R'obe^aHias, Tacquetas, Patscalias, Fermatius, Barrowiufr,
lUfacIauridiis,' prae ceterisi ad^craere conati faerunt (522). Proposirio Eu-
cKdea ( e'x. gr. ) ' XXX V^ Libri III''. Eiemeiitoram caput pene est,' snm-
masqae cardo totius Geometriae recentiorum • Rcvcra^in Fig\ 70« daae
CircuK cuiuslibet Chordae DIBtFIAf quoquomodo, ideoqae et perpendicu-
laritcr occarrentes in /, ita secantur, ut /B ://< ; :/F: /Di quum $it
IB : ID =? lA : IF. Igi tur ultima ratio IB:IA=^ ilE : *iCB = CO : CB . Frae-
terea docta • Ciiorda AB^ alilque DF, et Diametro DOH, ob Triangula
simiiia ex eldem ProporitioAt enascentia, esc AB\AI\ VDF: DI^ AB:BI[ ;
i>/^:/7«^quarum idcirco rationum limiies erunt ABi Aly.bOI^zDB=^
OBiBC; et AB:'BI::DQH:BH=:0B:BQ* Hiscc twnjugimodo fwdamen-
tis innititur non modo doctrina Pascalii, verum etiam ista omnis Mathe*
matica Exercitatio^ qua doctrinam illam , * qaoad* virer meae noo- defccis^
sent, recensendam, amplificandam, exornandamque muttis abhinc annis
f usceperam • ^am» praeter Circulum, acqae* lidfem*' //f»/m propoftionura
ttniversis Lineis Cnrvis AfMAN ad Axcs AfL\ ML etc. relatis clariter ad-
plicantuc. Circolts eniti) cohtemp\'itU-ose»iitortbtts derivatio 'patet facilli^
111& tam ^/:/B=f=CB:COx=:PB:fiCaat F'5:P'AJ', quam AB:Ar=^

0B\

214

OB\BC~BK:BP aut BA:':jBP', aecnor» AB:BI—OB:'B&^BKiKP

z\xt BK' : K'P\ sablata tandem consideratioae Crrcali eidsdem o/rWif/^-

^is (523). Circulus ip$e osculatnr ex ibdem clemeataribus proflnit principiis.

Nam Circuli Aequatio eatidem cum Arcu AB Lioeao iatae curvatQram

habentis cst necessario pcr Eaclidem -40.^/==-i47'.^B, sive Rdx=zzdsy

zds
aut R = — : at il variato z constans manet ex natura Circuli quaeshi:
dx » » . '

-^— j = o (524), qua in expressione pro </is=rf^rsabsti-

tai debet aequa]is/^=2//^5, $ea dA^^ at 4z ^zh Aequatione diffcren-
tiali^^^^. ordinis eliminetur J^^), et p a Mneae datoM eiusve Aequatio-
nis quaiititatibus tantummodo pendeat, atque dimanet. Hac ars tota Bar-
j-owii , Carraei (52($), aliorumque redit de difpensione Atearom et recti£*
catione Curvaram in eodem Plano lacentiqoi;, Uogularum, omniumque
complanatione Superficierum Corporum rotundprtim, cetetts a Theorema*
%t Fythagorico, a XLVIP., scilicet , Libri X\ Eu.clidt8 depCRdentibus (527).
Torrtcellio quippe duce in MS. praecitato Volumine (5^28) Armillae Conicae
a rectfi AB rotatione genitae sunt ad Armillas circulares a B/ geheratas
circum ML lut Ml!^ stve prioraqi icbnographlas nt AB : B/, nimiram in
limite ut BKzKP aut BK':K'P' .. SaperB^tes ergo rotundt Solidi est ad
Circulum Baseos ut Summa normaliom Curvae ad eam Subnormaliam • Ar«
^himedeam. potias, qaam Torricelliana^.dixerim idgenas argumentationemi
quam a Tropositione XV^. Lib. iK De Sphaera et Cylindro dimanet.

66. Enclidem anicnm sequutas uberrimam insuper.Curvaram geome-
trice quadrabilium segetem conlegi, qaacum frequentissime conversabar.
Principium crat in Circula simplicissimum «tqUe elementare Subnormales
citts £0, CO ctc. Aki RO normalitcr ordioatas Aream efficere aequalem

Triangulo ORQ^ vel OCD ^ nempe semper aequalem aac ,scilicet

> OR^^^CB*
semissi Quadratt ipsias Sobnormalium primae, vel generaliter

2

^z quo fit clemcntam SummM Su^norftialiam semissem peraeqaare Qaa*
drati elementi resppndentis Ordinatae • Singolaris casas istc cetcrii
cuiuscanquc ordinis Lincis , tam algcbcaJcis » qaan transcetulentibas »

cxteoditar universaliter» adeo at uno ferme teoiporis puncto quadrabiUs

Curvae

Carvae innamerae depromi possinr • Tndacta enim cseutatoris Circuli consi«

dsratione evidens esc Sabnormales Curvae datae PK aut P^K' ad eas Cir-

- culi CO proportipnem servare BP vel BP' ad flC. Erit igitur PK.Al aut

Pk: .AI ad CO.AI vcluii BP.Bt aut BP^.BI ad BC.BI. At ex prae-

oussis CO.AI=BC.BI. Ergo etiam /PAT.^/ sive /*?'*:'. ^4/ adaeqaat

CbP.BI aut /bp'. £?/, scilicet, somissem Quadrati BP* aut BP'* {Constan-

te addira aut dempta ) . . Nam ut CB.IB est medietas elementi Quadratt
' rg /ir, ita,propter constantem TS^CP etc. vel TS!^CP' etc, rb PB.BI

aut FB.5/ elementum sistit semissis Quadrati r5 ^^S vel AS' . Exempla

^a^sim, copipeque occurrunt Geometris. Sic in Logarithmica quae oritur
Linea Subnormalium hac gaudet Aequatione ^=:=^^', Subtangente posi*

^*V^= = — , unde cognoscitur d{e*')

z=:e''.2Jxt sive ^{^') = ^^Af, quod Theorema alii repetunt ex Cal-
culorum profunditate • Conicarum Subnormales nihil novi elargiuntur »
proptereaquod generent Lineas recras* Non item si Hyperbola ApoIIonia*
na ad Asymptotas referatur, quo in casu Subnormalium Linea est illa Ae*

quatione praedita ^=j^, nimirum Hyperbola altioris ordinis , cuini

Aream infinitc-longam perfecte quadrabilem esse hac theoria duce dete-

gitur, quum oriatur /4* . *•— V,v=: — ( — ) •H-C. Subnormales in

Cycloide primaria ad Axem dispositae Curvam huiusmodi ef&ciunt, cuiai
Area sit ad inscriptum Semicirculum genitorem Cycloidis • et somptis da*
plis Area tota ad inscriptum Circulum, veluti Circularis Circumferentia
ad suam Diametrum • Aequatio autem Lineae illius transcendentis est

{i-^Cos.x^j x^Sin.x) .

— — -: : ^=^t vocato x Arcu Circmi gemtonts quem*

O/lf* X

admodum in Cycloide (529) . Haec dicta sint ut satis superque constet
de Synthese^^ geometricae dignitate tc thesauris, neque idcirco miren-
tur amplius MatheseA^s cultores ab uno Pascalii Thcorcraatc me perexi-

E e miam

\

\

ai6

Oiiam Integralis Calcnli partem hae to Exerehatione promo\isie, non se-
cus atque alteram in Calculi eiasdem Tractstum loannis- Antonii- Nicolai
Condorceti nuper mihi contigeric amicis plaudentibus ab uno Leibnitii
invento facillime dcriYatam exponere (530).

IN

»17

^B

IN OPERIS CONTEXTVM

-A

A D N O T A T I O N E S.

'^^^ jL^E Alexi Fontainio narrat CondorcetHS imperltum ftiiwe prae omnibus PROOEMIVM

Geometriae ( yid*"'^ Historia Acadfmiae Rfgiae Scientiaram Parisieitsii anni

M. DCC.LXXn j, in Elogio Fontainii ) . Hoc si laudabile iudicent alii . Geometricae
Synrhesis vel potius Dialectlcae universalis ignari elegantiae ferias dtcant» et in
maximos errores labantur necesse est . Nec recentissima dcsunt «xempla« Albertu^
Girardus Sancti MichaSlis in Opere singulari ^ cm titulus esc Jmveisfi0/s uouveih em

Afgelre, edito sub anni lapsum M.DC.XXIX\» ac paullo post BonaVentura Cayale^
rius lesuata simplicissima usus finitorum Geomttria in Direetorio univers^aH Urpno*
mefrico, Bononiae edito vertente anno M.DC.XXXII^, areas Triangulorum , quo«

i

rum latera sint arcus Clrculi ;naximi , metitus est ( vld. Axioma 5 > Capitis Vin •

Partis III '^ ) .. Istud tamen.Theorema Leibnitio jpognitum > uti constat ex fivV

rio LMpsiemti anni M.DC.XCII '. pag*. 2?5^. » ignotumque auctori F. IC Schediasmatis

in Sectione II . Voluminis IX . Supplementorum ipsius Diarii p\ 45. , ac de quo
altum silentium et penes Thomam Lagnyum in eius Exercitatione ^eometrica in-

ter MemoraHlia Academiae Parisiensis Anni M.DCC.Xrv". .ct in Historia Montu-

clae ( pag^. 2(S. Volumints II.), din torsit Geometrarum poSteriorum ingenia,
hodieque torquet adiumento etiam infinite - parvorum ( Acta JSruditorum Lipsiae

anni M. DC. XCI .. pag *. 287. 88. , Elementa Fluxionum Thomae Simpsonii edita

Londini anno M.DCC.L'"^ sub titulo The Doctrine and Application of Fiuxiousp

Commentarii Beroiinenses pro. anno M.DCC.Lin °. in Problemate 111'^ ac pracsertim

• Corollario 2 ^ ( pag!'. 233: 34. 35. ) , et rursum ( pag*. 256. ) in Problemate IX"^ ,

Acta Senensis Academiae Tom. V. anni M.DCC.LXXIV", pag', $2. et seqq. , VolUmea

n"*". Curtus Mathematici a BezoUto compostti pag*. 239. edltionis 3**. Parisinae

Ee 2 anni

/

ai8,

anni ^LDCC.LXXXl\ > Memr^ilia Academiae Scientiartim Parisinae pro anno

M. DCCLXXXm'* publici iuris fecta anno M.DCC LXXXVI*^ pag*. 344. ct ^eqo.
recensente Abbate loanne Faulo De Gua in Diatriba Diversa Meturet etc, ) . Lu- «
dovicus Wentzius in Volumine I^. Actorum Helveticorum , quod Basileae anno

M. DCC. LI°^. publici iuris factum est , de Problemate Deliaco disserens ( pag^,
83. etc.) per obliquas admodum ambages excurrit ut Lemma demonstret',» difFe-

rentiolas sive incrementa rectarum (Fig . 71"**.) Ul> ///', /f/", etc angulis ad H
aequaliter crescentibus eo magis augeri , quo remotior sit recta Hl,Hi',HI'* etc.
a perpendiculari HE „ . Hoc autem facillime ostenditur animadversis similibus
triangulis characteristicis orthogoniis JOl* , I'0'I" etc. , ac in mentem revocato
Theoremate Euclideo, nimirum l"I*iVl (ideoque ob trigonorura similitudinem
I''0': I'0)::I"H:IH. Crtmen alterum laesae Matheseos perlegi nuperrime in
Opella anon> ma Liburni edita anno M.DCCXXXXVI^. ( Apfendice Idrometrica ai

' Discorso dei M. H. P. Francesco Maria Gaudio ec.) , ubi pag*. 69***. nihilum,.nc-
gativo additum , imaginario maius adseritur . NuUus dubito quin iocetur Anony*
mus . At iocus iste sale attico caret , caretque Mathesi » Absurda est enim compa-
xatio quaelibet nezativi et imapnarii .

(3) Lib. III. Cap. XVin. Probl. II; Oeometriae practicae in Volumine I'. Opera Mathe^
matica R.P. Andreae Tacquet Antmerpiendt = AntuerfiB,^ apud lacobum Meursium

. M.DCXXIX. =.nNondum inventa est ratio metiendi suj^erficicm Cylindri scaieai,
multominus eiiiptici , et aliorum „ . Infra occurrit kx^jyeu iujcta antiquissimos Co-^
dices , ex auctoritate Henrici Stepbani , haudquaquam ki6u<ryiA ut aliquando scripslt
Wallisius . ( Nota 5. ) .

(3) ^piis postumum sub titulo Traite det Udivhihiet editum inter alia ,cmrante Ga«
loisio , Lutetiae Parisiorum in Recueii de divert Ouvraget de MathematiqMc & de

Phyttque far Metsieurs de tAcademie Rojaie^ des Sciences anno M.DCJ(CIII . a

pag . 190 . usque ad 246 . , rursusque P^risiis , ct Hagae Comitum in CoUectio*
ms veterum Actojum celeberrimae elu^dem Academiae Volumine VP.

(4) Titulus integer kuic Operi adpositus Veterum Geometria promota tm septem de
Cycioide UBrif „ Tolosae M^DCXX. „*

( 5 ) Stilo eruditissimi loannis Wallisii nuncuparetur TtXttrutffjti^ • t> Tractatut duo &c •

Oxonii editi an. M. DC. LIX"®. typis acadcnvicis , quoruro Pars II^\ Christiano Hu-
genio Constantini F. dicata.

(6) Schediasma istud ,' tametsi iri Commentarist insertum relatls ad annos

M.DCC.XLIV~". XLVI'""'., rypis vulgatum foit an. M.DCC.LI®^

(7) Latina versio primaque editio Librorum de Cyiindri et Comi tectiomibut ea t%t%

quam Bononiae protulit anno M. D. LXVf **• Fridericus Commacjidinus ex typogta*

pheo

ar9

pke« Alexandri Beiiatii snb timlo Apolhmi Pergsei Conieorum Ltbri qftatuor una eum

Paffi Alexundritti Lemmatiiut ef Commentariit Eutocii Asealonitae , Sereni Antitsen*

. sit Phitosophi Litri duo etc. Serenns ipse Lesbius emendatior ec auctior rtirsus ad«

parult in Editione Oxonlensi Graeco-Iatina Afollonii an. M.pCC.X '. • doctissimo
Edmundo Halleyo recensente ac curante . Platonem id primum inrenisse LaSrtlus
testatur. Ceterum Ellipslum nomlne etiam Circulum vel Ellipsln intelllgo aegui*
Jateram, ut in subcontraria sectlone etc. Sereni vero theoria eodem redlc tam ia
rectis , quam in obliquis Cyllndris. ^

(8) Ait etenlm l^ c^. „ Quod mirum est cur non deprehenderint acuti geometrae
superloris aetatis ; cum ex Sereni Antissensis medltatlone iam cognitum diu sit
sectionem obllquam Cyiindri circularis recti efficere ellipsin . „

( 9 ) Exstat in Volumlne V*. Oeuvres Je Blaise Pascal — a la Haye chfz Detune

M . DCC . LXX. pag*. 402. Ix)cus et epocha huic Epistolae desunt . Quum au«
tem in ipsa laudentur Hugenii inventa de Horologio osclllatorio > ec de mensura
superficlerum Conoidum a Curvls conicis genltorum » dubio caret Pascalium scri-
psisse eandem eplstolam aut labente aut elapso anno MJ)C.LVII% Immo etlam se-
riuSy ut infra patebit.

(10) In Brevlario Hlstortae Cycloldis, quod anno M.DCC.XLV*. edidit Romae Roge«
rus Boscovichius lesuita , perexiraii hulusce reperti ne verbum quidem occurrit .
Nec miror : quum penes Loiolitas omnea » eorumque pedissequos male audiac Far
scalius ob suas ,; Epistolas Provinciales „ in re polemica elegantissimas •

(11) Non apte quidem Scriptor Elogii Evangelistae TorriceHii (Tom, IV. editioms
Lucensis ,, Eio^j degU Uomiui Illustri Tostani ,» ) loq^uitur de Cydoide in Adnota*

tione I . pag . 432. hisce fidellbus verbis . „ E quanto alla misura di essa (Cicloide )
e delie sue farti t attribuiscono ( gli Enciclopedisti > a*M. Wren tc, „, De quanam
mensura hlc sermo sic harlolari quidem , sed nunquam scire liceret. Areae ne ?
Perlmetrl ne? etc. etc. Auctores Dictionarii Encyclopaedici in Voce Cycloide scri-
pserunt clarissime Le fremier qui en a mesure la Itgue eourhe et ses farties% et qut
en a donni la comfaraitdn avec ia ligne droite » a cte Af. Wren . Vetustissimum ec
succi plenum eiFarum Illud „ tractent fabrilia ibbri',,*

(12) Octobris mense labentc anni M.DC.LVIII , Wrennus pascalio rectificationem a
$e reper^am Trochoidis illius, quam Vincentius Vivianus tota GalHa et Anglia

• obsistentibus Calilateam dicebat, Commuuic^t^ . Quuih igittlt Epistola Dsmenjion

• des Lfgnes Courhes de toute^ Its 'Routettes rectificatam mcmoret Cycloid^ prlma-
riam, et in altera PascaUi Lucubratione Traite generale de /a Biouiette AvLctoi ipsc

• fateatur inventum Wrenrtl a RobervalHo postmodufn , Fermatio , Auiouto , necrion
a se demonstratum ( Oeuvres etc. Tora. V. ) , tn aperto est Epistolam illam sub

finem anni M.DC.LVin''. , vel anno M.DC.LIX"^ etc. ad Hugenium missam

fuisse , quemadmodum In Adnotatiofle 9*. nunciaverani. ■

(13) -Nu-

a2o

(13) Nttpertimr in Sanetae Cruch Tetfplo Plorende, sero meflior, ftre tolteceo Ce-
notapbiiim exstruxit Nicolao Machiavello f pigraphe insculpca Ts^o 0Qmhi mmiium
far tlopum. Laudarunt aJiiqui , alii irriserunt «pigciipheo absurdtfmque xactaruiit»
perinde ac si eloquentiae genus exornarivum tantummodolicteratis-viris vulgaribus »
ne dicam homuncuKs » laudandis devoveretur . Verum quaenam in lapide digna laus
Machiavcllo post CCL. annorum a die obicus incervallum ? Quodnam in marmore

.panegyricon Operibus MachiavelU hiscorico-pollcicis unquam paressec? In Abba-
tia West-Monasterii. Epitaphium exstat ad statuam Nevvtoni cam digniifacis inops,
quam vcrborum abupdans . Ingeniosus quidam , laudis aspernatus intempes^ivam
proUxitatem , admoto stilo subscripsit Vtrum si mtscis , absto . (Legantur Tom. I.

CoUectionis Opusculorum Neutoni editorum Lausannae et Genevaf an. M.DCC.XLIV'^

in eius Vita ad p*"\ XXX. et Vol. l"™. Operis notissimi , cui citulus Londres , 2**.
edicionis Ncocomensis anni M.DCC.LXX. pag, 475. ) . Angelus Policianus , sui tem-
poris eruditissimus , xn Epigrammaceceleberrimo ad monumenmm lotti , quod Me-
tropolitanam Ecclesiam Fiorentiae exornat , bisce memoifandis versibus laudem per-
ficit „ Deniqme smm lottus : guid opus fuit illa referre ? Hoc momen longi carminis in*
star erit „. Rhetorice quidem, sed yere, quum anno M.CCCXXXVI^. ^to cesseric

lottus ^ et Monumencum ereccum a concivlbus suis anno M.CCCC.LXXXX*"**.

(14) 0>fiSttlatur Volumen 11""'; Ififtoiro. de$ Mmtkemati^ues cdic. M.DCC.LVn. pag^'.
58. 59. • •

(15) t. c. Lib. L $§. Vn. VIIL IX.

(l($) Coni scaleni suferfici^m vtteres , guod consm ^ mm attiitri^ AtpdiHS KoheroaU
lims , me iuvene , aiebat , eius exflanationem sibi esse notam , sed quaiem habuerit

non dixit , mihi/fue ea de re inter eimr schedas refertmm sccefi . ( Volumen QI*^*",

s^u Continuacia \V. Miscellaneorum Berolinensium edic. M.DCC.XXVn.| ubi exscat

Additio G. G. L. pag\ 285.),
(tt) Pascalius iipse hoc.adfirmat in. Epi^tola toties cttata, additque ad Robervallium

ec Slusium Licceras misisse ineunce Septembri .
(18) Elaboracas ac primitivas in Lemniscatam meditationes Comitis Fagnani de Seno-

gallia complectuntur Volumina Diarii Icalici ( Ciomaie de* Letterati 4* ttaiia )

XXIX*^. XXX"* et XXXIV"';'. ttro anius M , DCC . XVH». , M . DCC , XVffl". ,

M . DCC . XXI^. , et XXn***. Venetae editionis M.DCCXVffl. ac M.DCCXXni.

Caiecana Agnesia in Anaijticis Institfttionibms Mediolani editis anno M.DCC.XLVIII .
lianc tunjk nascentem Integraliufp partem versare non potuit. De illa loquor cla-
rissima Fpemin^,, quam Scriptores Praefationis ( pag. XI. ) ad Inftisutiones tn Adno-

't«i ^**-^. •.

tatione 21"*^. memoratas Marchionatus .nescio cuius insignibus nobilitare censue*

(19) Vid,

221

(ip) Vid. Caput ra'°". Librl 11*. in 11**. Volumlnc pag\ 225.5.798. ct seqq. ,,Trat'
te its Fluxions „ vcrsionis Gallicae Parisiis cditae anno M.DCCXLIX^. Editio au-
tem Anglica ipsins Tractatus , titulo adposito Treatise rffiuxions , ca est Edinbur-
gi M.DCC.XLn. , 'xorAnalystam Bcrkleyi, Cluani {.CUjn e» Irlandt) Episcopi, a
Madaurino producta,.

(•io) Histoire de tAcBiemie Ri^ale des Seie^fSf e$ Bellei • LHtret », a Berliss,^ anno-

rum M.DCC.XLVI*. ct M.DCCXLVm"*. , quac duo Volumina annis M.DCCXLVnr.

kt L"**. adparucrc ; insupcr Volumcn altcrum pro anno M.DCCL"^. , ac Volumcn I" .
Ofuseuloruns Alemberti editum Lutetiae Parisiorum anno M.DCCLXI^., necnon»

practcr Vn"". , IV"*". ct V"". typis vulgata vertentc codcm anno M.DCCLXVin'^

(21) Pracsertim in Capitibus XII^ ac Xin°. Lib. 1*. Voluminis II*. Cursus Analytici
citulo distincti Inftitutiones Analyticae a Vinceptio Riccato Societatif lesu et Hierany
mo Saiadino Monacho Coeleftino colhctae , ac Bononiae editi anno M.DCCLXVII^.
ez typograpbio Sancti Thomae Aquinatis.

(22) In Parte priori Actorum Academiae Scientiarum Impcrialis Petropolitanac pro

anno M.DCC.LXXVIII^. exstat ad pag'" 58. Schediasma de reductione Pormuiarum
iutegraiium ad rectificationem Eiiipseos et HjferMaOf auctore A. Ltxeil, editum an-
no M.DCC.LXXX^ £c Pars secunda eorundem Actorum edica poseeriori anno
M.DCCLXXXI. continet AJditamentum . Eulerus autem idem argumentum tractavt-

tat in Voluminibus Vlir". ac X*"*. Actorum corundcm pro annis M.DCCLX. , LXI. ,
LXIV. , quae Fetropoli edita fuerunt sub annocum lapsum M.DCCLXIII. et LXVI.

(23) Pars n*. Actorum Societatis Italicac, quae Veronac cst , cditionis M.DCCLXXXIV. ,

habet ad pag*™. 749*""*. Diatribam „ Deiie Formoie Diffrenziaii , ia cui intepa-
zione difende daiia rettifcatione deiU Sexioni Couiche = del Sig. Gian-Francesco Mal'
fatti Profeffore di Matematica neiC Univerfita di Ferrara = •

(24) Sunt Curvae Spiricat { oweipisccU ) , toto caclo a Spiralibus , de quibus Archi-
mcdis Libcr Trspl E'?uxup , discrcpances .

(25) Usus auttm. infinite parvorum suis finibus ctrcumscxibciidus, ne turpiter Euclide
reiecto antiquorum exulet Geomctria.. Risum moyet Torricellii £iogium legeoti,

cuius mentio fktta in Adnoutionc ll"*'., eo loci , quo adserjtur (.pag*. .431.)

„ giacche ia Geometria dei suoi tempi aitra non era che ia Geometria degii Anti^

thi ...... » V aspetio di quefta Scienza fi muth tutto in un tratto T' anno 1684. ait

apparire deiie Opere di Leikik% sui Caicoio Differen%iaie o fia degli tnfinitamoote pif

coii etc. „ Heu ! dccus Etrur^e ! Torrioclilius valde* iunior Galilaeo , iunior Cava-

lerio, novae Indivisibilium Geomettide auctoribus ccleberrimit . Torricellii Ope*

m , Florentiae edita typis Amatoris Massae et Laurentii dc Landis anno M.DCXLIV*'* ,

ferme Omnia innituntiir Geometriae. indivi^biiium , ' ^uam Bonaventura Cavalerius

usque

2212

usquc ab anno M.DCXXXV*. Bonojiiac publicam fccerat cx typographco Clcmcntlf
Ferronii , ct Galilacus pracmonstravcrat in Diaiogis Scientiae novag etc. » ac prac-

scrtim in prioris Dialogi prima Dic (l\ Giontafa), cditionis Lugduni - Batavorum
M.DC.XXXVII. XXXVllI. curantc Comite De Noaiiles . >ammo itaque iure ^bToc
ille Plato foribus Acadcmiac inscriptain voluir epigraphen ,, Q\htc cpy^ooijUrpvfrccc
Mru », . Sed ct in usu Indivisibilium • aut infinite parvorum» atque Infiniti , Ma-
thcmaticorum nonnulli nimis abund&nt. Hdpitalius, aliiquc, et iotcr rcccntiorcs

Crcgorius Fontana in V*. Difiuisitionum mathematicarum,<iVLas?eLfisLe protullt^n'

no M.DCC.LXXX''. , zi pag*°'. 122. » Problema minimi CrepuscQli solutom dederuat
ope Calculi Difiercntialis , duni Antonius Parenttts Trigonome|riam Sphacjricaqi
rccte adhibens , et animadvcrtens isochronos scmper essc arcus quoscumquc diurnos
comprchensos a duobus Circulis horariis eorum , quos vocant Bahjlonios , idem {Sb» .
cillime adeptus cst . { Essais et Recherches de' Mathematique et de Phyfique = a Pa"
m = M.DCC.Xin. , Vol. II. pag. 475.^ Prolcgomena novae Tfacoriac MasMudi*

num exfonemtiaiium etc.y quam Florentiae edidi anno M.DCC.LXXXII ^ , ad pagp LVU.)* .

Excmplum altcrum obviam fit in Problemate astronomico Godini , quo «{uaeritur
|i punctum Eclipticaci ubi Solis motus in asceisfiotte recta eius raotum adacquct in

iouptudiue. ProUema istud ope multiplicts Analogiae Triangulorum diffcrentia*
j slium' solutun praebent Mtmorahiiia Scientiarum Academiae ^arifienfis pro anno

j M.DCC.XXX^ edttionis M.DCC.XXXfI. ad pag. 26. Parentus aurcm usque ab aii*

! no M.PCCIV', iq. Actjs Rcgiac ci^s^ei^ Afademiap pag. 134. iu d^t^rmin^vcr^t

punctum quacsitum S (Fig. 72 ^) , ut fbrct TitJiij. 5C=: Sfff.PS; quemadmodum

1 pag. 28. Godinus ipsc fiitctur • Sed cx vul^ato canonc Spbacricorum habctur Analo*

V c;,^ pc
gia R : Cpfia PSC ; : Tau£. PS : Taug. SC , nipiiruiji R : Cofiu. P5C : : ' r],fi„ p c' •

Siff. PS . Igitur Cofiu. PSC=i Cofin. PS, idcoquc et Siu. PSQ = Sin. PS . Quum ica-

que Trigonometrm doccat es^e Siu.pSC^-r^. — ^^ — ,orictur Ac^uatio(5ii9i.PSj^

z=R{ Sin. PC) = R{ Cofin, CQ) p quae est ipsa Formula a Godino suppeditata . Ni-

fail ergo opus erat tot, taniisquc difFcrcntialium Analogiis. Ab una etcnim P^«

renti Formula omnia faciilimc derivantur» uti inter ccxprK Cotang. ES = Cofin. SR

' R Sin SC
= Sin. ESR , necnon ^ ^ = Sin. SPC = Sin, RQ , vcl Cofin. SC = Sin. RQ ,

aut dcnique £S-+£ll = 9o*^, ^-*- JRp=;=90*. Exinde f luit punctum S adco $i-
tum » ut Quadcans CircuU declinationis PSR suicoutrarie secct duo Quadrant^s
ESC , ERQ E^tiprUae et Acquatorii , ita nimirum . ut ES = RQ,SC=ER, Quae
proprictss clegantissima n6n modo {undamentum est Formularum Parenti • et'Go«
dini , vcrum etiam earum exsistcotipm in Doctrin^ Fiuxiomum Tfaomae Simpso-

nii ( Adnotatio i*. ) , atquc in loannis MuUeri Rcglomontani Almugefii Epito*

mes

^^3

mes Libro itf^ Propoj. XXV*., in EpUoMes loamiis Keplcri Lib. lrf*(p*. 258.) ,

ct in Cosmografhiae Simonis Stevini Parce Ilf '. dc mot. caeL ( p^i^S. ) inter alia
Voluminis I. Hypomnemat^n Mathematicorum , ad i^lem Problema de medio ^SoUs
motn solvendum . Miror praeterea acucissimum loannem Henricum Laxnbercum in
' Tentamine de vi caloris etc. , quod Actorum Helveticorum W. Voluihine concinetur
Basileae edito anno M.DCCLV*. , haudquaquam vidisse , nisi post varios longosque
Geomctriac dificrentialium -conatus (pag. 194. 195.), Logarichmicas Curvas diver-
sa paramctro aut modulo gaudentes ita essc compositas, uta^scissae aequalibus-
9rdinatis respondentes sint subtangentibus geometrice proportionales ; cuius tamen
Thcorcmatis dcmonstratio vix indigct Geometriac . Quid demum dicam de celc*
bcrrima loannis Wallisii infinita factorum Scric ad Circuli QuadrattgraiXi dutentc ?
Fam in Circuio Petri Mengoli , Bononiae cdito anno M.DC.LXXIP. , tam admiranda
simplicitatc demonstratam inveni , ut nequidem Infiniti nomeh necesse sit adhibe-
rc . Montucla autem de Mengolo , in Bononiensi Nobilium Collegio Mechanices Pro*
fcssorc ac de Iniinitis Scriebus optime merito , aeternum silet . Rectius profecto

se gessit B". Taylorus , qui in Volumine XXXI"*. Transactionsfm Phiiosofhicarum
pleraque a Torricellio «invenca dc Proiectorum gravium in vacuo Traiectoria » ac

praesertim elegantissimam Propositionem XI"^". ad pag \ 163***". eidem fere

geometrica Synthesi fuit prosequutus. (Vid.Kum ; 367. $.VltL Propt>ptiones ati'

fuot dt Pnitetilium mptu Partholieo teriftat uuuo l^lo. a pag'.. 151 . vsque ad

164"°.).
(26) Quam brcvior, simpliciotque sit demonstratio doctrinae Pascalii helc a me tra- Sectio l\

dita, luculcnter. constabit sl $^*.*confcras^aced^ntcs, atquc Proiiema » Lemmsf ^

et Propcfitiouem ipsius Auctorfs pag*. 402 ..-ac ^eqq^ Vpluminis V". CoHectionis

praecitatae in Adnotatione 9*^. Solummodo dixerim Pascalium ad praecipuum Theo«
rema suum demonstrandum methodum inversam , minusque nativam adhibuisse ,
comparationem , sciiicet, in antecessum Cylindri, et Coni ^rj/M* . ( Consulatur

(22) Problema sectionls Arcus Elli^eos conkae in dafa rfttiofte diflSctlius' equidem
cst quam in Circuli Arcu . Universaliter , casu unico excepto bisectionis, Hemiel-
lipseos, ad transcendentia Problemata pertinet, quum ex adverso multisectio Ar-
cus Circuli , vel sectio in ratione numeris salcem rationalibus expressa Problema
sic algehraicum . Non ita de Areis secandis centricorum auc excentricorum Secto-
rum LlHpseus , quod Protlema idcm unumque est ac sectio Arearum Sectorum
CircuU ut- in celd^errimo Planetatum anomailae verae e media data sistendae Pro-
blemate Kepleriano . Illud \aute;n primum sic mechanice exponi pocerit . „ Dato Cir-

„ culi Arcu , cuius partes tali cxcitentur vi gravitatis , quae crescat dccrescacve in ^

F f „ ratione

£24
>. ration^ dirtct^ 4i9(tantianim a cenero viriiim ezm centmm CircuU porito , re\ cvMt
94 ckmcnta eo magls minusve densa aut crassa sint ( i^uemadmodum contingit ge«
^ neraliori Problemari de Cateaaris ) in proportionc dis Wtiaruni earandem , Pondus
^ istud in Jafs ratione secare >» •

(28) Vide § .17 . > ia ^uo longius porrlgitor luec EUipsium similium mutua rf
latio «

(29) EXlnde oritut Theorema praestantissimum », Supefficiem , nimirum , cuiuslibet
„ Cylindri scaleni iacentis , quaecumque eius Baseos figura fuerit. semper quadrabi»
j^ iem esse geometrice „ « Fundamenta tbeoriae ParalIelogrammat(i>n universorum tam

jA PlaniSf quam in CyUndricis superficiebus iecerunt ante omnes EvangcUsta Tor«

TiCtHiiis in Attendidlus de dimenfnne CyeMdis et Cochieae (ad pag^, 85. ac 136.

• • *

2 *K numerationis , etsi harum postremae typi vitio turbatae numerus 144» affigi
debuerit ) eius Operis de Sfhaera et Seiidis Sphaeraiiins ete. » Blasiusque PascaUos
in Epistola ad Leodiensem Canonicum Renatum-Franciscum-Walterum Slusiumi
cui titulum fecit De tEscalser , des Triangies Cylindriques , et de la Sfirale autour
d^un CSne ( Opefum Tom, V. ) .

(30) De mirabiUlbedere trium Mtft//##tf /irfv 1 quas Geometrae mxnnftBLfkt geemetricam ^
arithmcti^am^ atquc harmonicam^ post Pappiun Akicandrinum {CottectiQnum Lib*.

in'^ )>.oe dkam de Tractatu vetostis^imo de Medietatiists-fiicamsLchl Fythagori-
ci« nec de Eratosthenis Locis ad Medietates aut Commentario de Mediftatibns \n

duos Libros diviso (Pappi Pracfatio ad Coilectionnm Vu ,.) » quorum significatio-

Qem interpretari haud potis fuit Montucla ad pag . 252« Voluminis 1 . , nemo tam
eleganter copioseque disseruit quam Vincentius Vivianus in Divinatione sua De
Ijocis soildit Arittaei senicrit Florctttiae pubUci iuris facta anno MDCC.P. , sed

Hyppelici Navtesii typis cxcusa veitente anno M.bCC.LXXIII^. in Parte unica Li-

hti IH*'. ad Frop . 54 35- S^- ol- 38. 39- 40- » pag*- *S * «J 93 •

(31) Consulatur frohlema PascaUi praecitatum in Adnotatione 26^\ Pappus Alezandri-

nus in Praefatione ad Libmm VII . (p&g . 162, a tergo Editionis Pisaurensis Col*
Uctionim Msthematicarum anni M.DC.D *.) idem Problcma aHnciavit, quod postea

'omnium primm ostendit GaUIaeus in pag . 507 . Voluminis II « eius Opemm Flo-
rentiae editorum anno M.DCC.XVIH*. == Discorfi e dimoftrazioni matematiche intor"
no a dui nnove Scienze etc. =^ . Hoc ipsum Problema Franciscus Schootenius anno

M.DC.LIX*,, Petnis Fcrn\atius anno M.DC.LXXIX^ (crrat Montuda p^*. 264. T*. I*.
dum aic M.DCLXXV. ) , et Robertus Simsonius anno M.DCC.XLVI'*. demoastrationi-

Ims exomwBfit iii AfolloMii Ltcit tfamstestimis . Rts pendet oinnis a 3'*. Proposidone

Lib'.

22$

Uhf, Vr. Elcmcntorum Euclidis, quam a MatthaeoStcwartouniversaliorcm rcjdi*

tam pcrleges in Nota pag * 32*"**. sccundae Editionis Sectiottum Cankarum etc.
Robcrti Simson = Edinburgi M.DCCL. = . Eiusdem demum Probiematis memi**

nerunt Montuck in Nota { 4 ) pag*\ 1 74°*^ et Num^ 3'®. Notae ( * ) pag*^ 264 * ^

Volumims I . HSfi^rist Mathcsidt • mea. ProUgametta Theoriae novae MagmtudtHUm

aM m

Expottentialium ete^ ad pag . XXXQ • » aliique permulti . Geometra quidam olim
mihi proposuit determinationem anguli» quem Quadratrix. Dinostrati eificiat in

puncto concursus A ( Fig . 73'*. ) cum Circulo genitore . Id protinus ex Problema-
te, quod nunc tracto. consequitur. Nam si fiat OBiOCiOD-t^, ducaturque AD,
et huic (si placeat) normalis AI^ erit quaesltus angulus C/45 =: 0X>^ =; O^/ •
eoquod DA tangens ^ AI Quadratrici ix>rmalis ejc inventis a Vincentio Leotaudo

lesuita in sua Cyclomathia etc^ Lugduni imprcssa vcrtente anno M.DC.LXin \

m

( Consulatur Liber IH "*. , cui cL Auctor titulum fecit Quadratricit facultates itf

,. -. _ • . . niai , aia mani v

auditae froferuntur , et signantcr Propositio 2? . ad pag .47 . } .

(32) In aperto est quod • nisi Radiorum exccntricorum ordo apte inverteretur , Sinus*

Recti Angulorum obliquicacis -p— , etc. , utpote Sinu - toto aut I maiores»

evaderent imagiuaris . In quam Formulae cuiusvi^ universaliter expressae impossi-
bilitatem efiugiendam tum , quum Problematun resolutio aeque possibilis mancat ,

r

artificium consimile passim Algcbra docet. Legatur prae ccteris ad pag . 23'*°*.

Volumen IV « OputeuUrum Mathematicorum Alembertt » quo loci agit de Integrar
li j dx V2x — XX . Patct insupcr continuitatem geometricam sartam tectam hic

X'N X**N

cite quia dum ■ etc. Sinum et Angulum indicet positivnm , ■■ ctc. nega*

X*A X"A

.tivum dcnotat , et vicissim • ex Analysecos Cartesianae Elemencis » quidquid sit de

dubitationibus ab Alemberto in Legem continuitatis oppugnandam promotis tam

in Elogio loannis Bernoulli ( Melanges de Litterature » d^HiJloire , et dt Phi/osofhie

etc^ a pag » II . ad 68^*°*. 4*^ edit . Amstaelodamensis anni M.DCCLXVII'".

tuo
T. n. ) , quam in Memorabiiibus BeroUnensis Academiae pro anno M.DCC.LI .

(33) Etiam heic, ut in Sinubus-rectis obliquitatis Cylindrorum (vid. Adnot. praec. ),
«ancte contimtitas servatur . Nam supposicis Semiaxibu& comugntis AI, AI' etc. po-
sitivis , sequuntur AV* etc. negativi in geometrica constructione .

(34) Puncta sibi inTicem respondenria X » X"^ ad harmonicas , geometricasque Pro-
portiones illas determinandas • Iiqnid6 constat inveniri praesidio Tangentis X^S a
ponto dopo ad Circumftrentiam Circuli ABCD ductae. Proportiones aurem ipsae

barmo-

^ W v/ »

harmonicae praeter Grculum , omnibtfs etl&m conveniunt Sectlon&b^ Coni , eo-
demque Tangentium fundaraento innituntur» quemadmodum Elemenca Conica
docent.

(35) Quum in hac constructione cesset Cylindri consideratlo» neque ideo locus sic

Sinubus - rectis obliquitatis etc. ut ridimus in Adnotatione 32 . , abest omnino pe«
ticulum imsginarii valoris , qui saepe Formulas FuncCionibus Citcnli invollitas per«
turbare solet , earumque nativum progresstim cohibere •

(36) Gemina haec EUipsis , quam in praesentia consequimur , diserteque mrsnm in

I

§\ 25^^. ab ore Geometriae , confirmatur a Calculi oraculo in § . 28^^
(3?) Qul Geometriae religionem erroris arguunt aliquando , a pura Geometriae
doctrina perquam maxime aberrant. Exemplo sit Jftdivifitiimm methodus Cavale-
tiana , cuius si qui fuerinc lapsus , non ipslus methodi vitio » sed Mathematlcorum
imperitiae sunt adscrlbendi . In MS. Torricellil Palatino ( Nota 47. ) aureum exstat
Opusculum^ cui Vivianus titulum fecit Di inJivifibiUum doctrina tcnurc nou tfsnr*
panda ,

(38) Miscelianea BeroUnenfia in Volumlne I^. pag*. 183 *. , lohannis Bemauili Opera in

Vobimine i\ Num". LXXVIIVXXXVin^ LXXIX.^ LXXX"^. ac pracsertim pag". 44:.
448. , Commercium Philosofhicum et Mathematicum etc. Leibnitii ac Bernoullii edi-

' tum anno M.DCC.XLV^ Lausannae et Genevae ad N . C.LXXV . If '. Volumi-

nis 9 Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropoiitanae in Volumine u ^ pro

anno M.DCC.XLIX"^ pag*. 24". et §\ 44'^ in Corollarlo ffl^

(39) Distat itaque longisslme a verirate reguia practica , qua passim utuntur Archi-
•tectonim pleriqile in Ovalium Conicarum perimetros determinandas ,' utpote quae
ipsas sratuat aequaks Circularibus Grcumferentiis » quarum Radil fuerint medii
arlthmetice proportionales inter Semiaxes Ovalium earundem , aut Semiaxium il-
lorum peraequaverint semisummam . Sed haec fortasse subtillora , et nimis sale«
brosa videbuntur vulgaribus Geometricae praxeus, ac rei Aedificatoriae magistrist
discipulos adhuc docere assuetis Peripheriam Circuli triplae Diametro parem
csse.

(40) BernouUius r. c^ In Adnotatione 38^*. Semiclrcumferentiam Circuli octlfariam
tmtum secando ad Pcrimetrum Elllpsecos datae, cuius Axes sint veluti 5 ad 4»

adeo proxlme se accessisse fassus est , ut error fractione tenulssima ' v^^^ ^^"

nor fiierit . Quodnam celerrimae adpropinquationis mlraculum dum m octonariam
divisionem exsuperaverit ?

(41) Punctum etenim, a quo rectae excentricae emanant» non modo in Diametro
Circuli (ut placuit Bougainvillio in Capite IV^ Introductionis in Calculi Integra-
Us Tractatum ) , verum ctiam in productione Diametri coUocari potest . Ita est

in

22?
in Opere Caroli Walmesleyi, edito Lntettac ParisionimannoM.DCC.XLIX°.,>''l'M*

lyse des nsesures etc. „ atque in Capite VII**. ad Num*"". 325*"". ct pag*"., ^tS^**".
nieae Theoriae magnitudsnum Exfonentialium etc, > qua primum dLvisLo Circuli in-
finities quoque iterata consideranir •

(42) Pascalius in Proliemate , cuius meminit 26 . Adnotatio . -

(43) CoUectio toties memorata Pascalii Openim ad calcem praecitatae Epistolae Hu«
genio missae Calculi istius ab auctore conscripti verba fiicit , sed eius tantummo-
4o deductiones ultimas continet . Huiusce lacturae reparandae spes omnis fracta »
eoquod neque in Operibus variis (Mesolatum etc. ad Leopoldum Mediceum etc.
Accessit fars altera de Analjsi et Miscellaneis ) Renati Slusii » Leodii Eburo-

• num leicusis anno M.DC.LXVDr*. , nec alibi , facturam illlus Calculi invenerim .
Eodrnfi etiam Calculo innituntur Perimetri Epicycloidum , atque Hypocycloidum »

^uemadmodum constat ex CoroIIario P. Propositionis IV**. Sectionis IX**. Anaiy*
se des Infmment^petits = fat M. ie Marquis de FHdfttai—, ac pf^aesertim cx

pag . 220 . edit<onis Avenionensis •

(44) A critica de Cycloidis controversiis Attorum comparatione procul dubio de«
ducitur Renatum Cartesium in Gallia , Vivianumque adhuc adolescentem in Etru-
ria tangentes eiusdem Curvae omnium primos duxisse , «ed motus legrbus in auxi-

■ lium vocatis ( Lettera ai Piiaieti ds Cario Dati occuho nomine Timauri Antiatis

Florentiae excusa anno M.DCLXIIf®.; Ciarissimo Viro Robervaiiio EvangeiiJlaTor'

ricei/iusetc.,$Ci\icet, Epistola scripta Kal. Oct. M.DC.XLIII. ad pag*"*. 283"" Ope-
xis CoUectanei Divers Ouvrages etc. pluries indicati , ubi hacc verba adnotantuc
tangenttm praedictae iineae iam oftendetat mihi Vincentius Vivianus Fiotentimss Cta*
rijjimi Gaiiiaei- aiumnus, etiam nunc adoiescens s Academiae Scientiarum Parisinae

Veterfsm Memorahiiium Volumen VI . inter alia Parisiis et Hagae-Comitum impres-
sa , ubi pariter exstant Epistolae Torricellii et Robervallii ; Traiti generaie de ia
Roulette a Pascalio compositus usque ab anno JVLDCXVm^. in Operum suorum

Coiiectioms Vohimine V^ ; Vita Cartesii a Bailleto scripta in Capitibus XIH^^ XIV**.

ac XV^**. Libri IV '. ; Historia Cycloidis a Gronlngio exatata anno M.DCC.P. ; Opu-
sculum Rogerii losephi Boscovich de Cydoide et Logistica in IP. Volumine Andreae

Tacquet editionis Romanae anni M.DCC.XLV*. ; Volumen II • Historiae Mathcma-

ticae a Montucla typis vulgatae pag*. 42 . et seqq. etc. etc. ). Fundamentum an«

tiquae flActhodi princlpiis motus innixae legitur in Propositione XIV . Sectionis II . .

praedictae Anaijseos Hopitalianae (p*. 51*.). Mca vero methodus, omnium brc"

G g vissima

/

328

vissima ac simplicissima » dum geom^tricom rigorem servat , eadem est pro taih
gentibus omnimodanim.Cycloidum determinandis , mirique praestat analogia.
(45) Idem opibiis impetratis a Calcolo differeutiali repcrtum fuit ab Hopitalio Iq

Exemplb II • ad pag . 22 . ptaecitatae editionis . Ridendus equidem Anonymus

ille ipsius editionts Scboliastes tqui in Adnotationibus XI . ac XII . Hdpitalium
las heic primariat Cycloidis tangentes contemplatum fiiisse monuit» etsi iitteraliter
ad omnigenas Cycloides , et praecipue a Circulo genitas » calctilum fbrmulamque

9Uam adplicuerit , ipseque Anonymus pag . 303 . eandem formulam universalem »
aequationemque , proprietatemque , a qua oritur » Cycloidum omnium eiusmodi
Ix == ay confessus clariter fiierit . Sed de hisce Scholiastis GalU Commentationum
rarioribus eUgantiis plura disserere inverecundum esset • nimiumque molestum .
F.ermatius Gallis ipsis fatentibus {Encyciofoidia Parisicnsis in vocabulo Cyciwda

mm^. 2^ ) tangentes Cydoidum praecer prtmariam mendose determinavit »> Qirr
// premier qui en a trouve ia tangtnte « a ete M. Descartes , et presqut en mime Ums
M. de Fermat 1 quoique tum maniere difecteuse etc. u • neque admirari unquam de-

ainam idgenus errorem non vidisse > nec castigasse Montuclam p^. 48**. n . Volu-
minis • I7t lapsus iste emendetur , expressio Montuclae > quae Cycloides secundariat
cum primaria confundit »» ie tegmeute PT est i farc AP ou t ordounie PQ „ geome*
trico sensui restituatur necesse est modo sequenti.» Comme ia csrconfireuct du cer^

ate giuirateur i ia basc ais^PT iPQ. ou AP i PQ / donc PT=AP ^ (Fig^ so.
Montttclae ) 9 quod adamussim meae deductioni cohaeret . Ceteroquin eandem si«
gnificationem tribuo Circulo Cycloidum genitori » quam » utpote faciliorem clarlo*

remque » adhibuerunt Fascalius » Encydopaedia » atque Montuda in I '. c*'. , iUurn
•cilicet nomino» cuius diameter sic axis Cydoidis . Quo universaliter posito Cy-
cloides coutractae et protractae eodem cum primaria axe gaudentes a primaria ipsa
sascuntur sine ulla motus consideratione » et absque puncti describentis Curvam aut
in Circumferentia siti » aut extra , aut intra , Circiili super Rectam revcluti discrimine «
Consimili itaque pacto > quo a Circulo oriantur Grculi protracti vel contracti 9 sive
Ellipses super eundem Axem dispositae , productis • tectisve proportionaliter OrdinatiSt
idemque de Hyperbolis , Farabolis , Curvis Cydocylindricis , Ungulis in Cylindro
xecto abscissis , Helicibus ApoIIonianis etc. etc. sentiendum sit » haud diverse a
frimaria Cydoide secundariae dimanant» si eius Ordinatae ad Circumferentiam ge*
nitoris Circuli proportionaliter augeantur , seu minuantur. Quibus exemplis satis
superque confirmatur tangentes Cydoidum onmium eiusdem Axeos ( ut in Ellipsi*
bus etc. etc. ) » qmt ab extremis Arcuum communem Abscissam habentium edu«
cantur , in eodem puncto concurrere , punctaque concursuum innumera in eftdem
communis Circuli genitoris Evoluta locari » tametsi de Cycloide taatum primaria
Geometrarum quamplurimi id adseruerint. Huic ratiocinationi illustrandae haud

parum inservient dicta in $^. 5; ^ (46) Hoc

©29

(46) Hoc fntKtimfixum fC in qualibet Cycloidum exacte congruit puncto /f Sche-

matis a Pascalio depicti inltio citatae Epistolae ad Hugenium » a quo puncto ie«

ctae emittuntur rtfraMntautts ( sive vUariae ) ab eo nuncupatae .

(42) Constructio Torricelliit quam pro Tangentibus ad Gycloides secuaJarias Auctti'

dis sine demonstratione ac figura protulit in Scholio dc CjcUidibus aliarum specie"

rum ad calcem Appendicis priorls , cuius mentio in Adnotatione 29 . , et schemate
adposito ac demonstratione mechanica exornavit in MS. Palatino Origiuali di atcu'
sse Opere del Torricelli^ fastidiosior prolixiorque ^%t^ sed nihilominus eodemredit.
lubet enim egregius ille Geometra quod a puncto dato D ducatur recta longitudi-
nis cuiuslibet DQ tangenti EF parallela Circuli genitoris , deindequ^ a puncto Q
xecta altera QF Cycloidis basi AC parallela . Quo facto abscindi debet in postre-
ma rectarum pars huiusceflEiodi QF , cui sit DQ ut radius Circuli proprii ad radium

Circuli primarii, scilicet , ut OG : OAT ( vid*'. $". I2™"'. ) , vel IH: lE -, in qua re-
vera proportione ex mea methodo constat esse debere FE : ED , sive DQ : QF
propter indubiam Triangulorum EIH,DEF similitudinem . Ceterum ex theoria
motus compositi demonstrationem suam Torricellius deduxit , non secus atque id
efiecerat de tangente Helicis Archimedeae, tametsi ab incunabulis usque Geome-
triae, id testante Piutarcho tam in MarcellOy quam in Sj^mpofiacit , mechanicarum
&cultatum in re geometrka usum Plato 0* dsTog perquam maxime reprobarerit.

fp Eudoxum atque Archytam Tarentimun ac Menechmum reprehendisse dicitur quod
„ Geometriam ad Mechanicam , quae motu exercetur > traduxissent , atque Philoso*
f9 phiam pro^tituissent ,» •
(48} A mea quoque theorice pvoicta fingulnria flexus-contrarii, nodlqut» a Cartetio

prae omnibus animadversa in Cycloidibus secundariis (Montucla T. U p^. 48.),

• • • «

facillime derivantur . Primum cnim in Cycloide cotttracta Fig . ll"**. punctnm T
variationis Curvae ex concava in convexam versus Basin AGC , aut vicissim , illud
cst ubi tangens parallela fiat Axi BG , scilicet , punctum ubi Ordinata KT ( quae
ideo maxima est) in eidem sit directione cum KX z, dato fxtticto K super Axem
EG perpendiculariter elevata. A puncto dato A si praeterea ducatur AZ Basi nor-
malis , haec in perimetro Curvae determinat punctum Z intersectionis aut nodi
xamorum confinium Cycloidis . Cuius Folii ZT^^Kaxis AZ datus est ex construcaone,
ordinatarum maxima TF= 2TR pariter ditta % punctum R , ia qua postrema axem
suum secat , etiam datum propter AR — GKp tangens in vertice A data , utpote quae
sit Basis AG perpendicularis ad GJ^^nempe ad axem ARZ , angulusque demum
ramorum in puncto duplici Z , sive angulus geminarum tangentium , facillim^ co«
gnoscitur semel atque ducta Ordtnata ZSP , et a puricto K recta KS, praemissa
de tangentibus nos doceant peraequare duplum angult dati SKXp ita ut angnlus
i^e SKX inclinationem alterutrius ramorum Folii 7Z,ZKsuper axem ^Z dime-

tiatur • Aeque simpUclter in Fig • X2 . Cydoidis protrac$ac punctum inflexionit

determi*

I
i

f230

determinatur . Etenlm si ft dato pilflcto K ad Circvm&rcntiftm gefkitoris emittfttQr
tangens KS 9 et per S transeat Ordinata Curvae ST^ ponctam eius' extremum eric
flexus quaesituSy in quo concavitas conrexitati fubesty atque vicissim. Nam can«
gens in T ^ eoquod perpcFndicuIaris rectae KS ex praeostensis, parallela erit Radio
OS . Qutim autem angulorum» quos Secantes innumerae eflBciont in K cum Axe»
maxhnus sic EKS ex Circuli natura , tangens praedicca minimum angalonim c!|m
ipso Axe conficiec, et idcirco existit in puncco T flexus * eoutrariui . Duo puncca

T", T in Fig". II . ac 12 . eo propius Ordinatis snis adcedent ad eentrum
genitoris ( ideoque et ad verdcem Curvae B ) quo magis comraetae , pratraetaeve
Cycloides fuerint • sed nunquam centro respondetmnt « quod iure dixeris adces- *
sionum asymptoton . Secans qufteltbet per punctum K ducta duo statuet pimcta in
Circulo genitore E^E'9 per quae transeuntes Ordinatae occttrrent Curvae , supe-
rius concavae , inferius convexae verfus Basim > sed in huiusmodi punctis , ut emis-
sae tangentes sint aequidistantes inter se , vel aequaliter Axi t Basique inclinacae .
Cuncca haec , pluraque alia a me praetermissa sacis sunt ad demonscrandum noa
denegacum iri Geometriae elemencari adcessum ad sublimiora doccrinae Curvarum ,
Id saepius, ec bonis avibus molicus sum in Disquisicionibus , quas adiiuc ineditas

servo , exemplaqutralia subiiciam oculis in IIl'*. Sectione .
(49) Theofemii igitur statui poferit haud inelegans „ Ferimeter Cycloidis prtmariae
. «d soata Basini est ut Perimeter Quadrati cuivis Grculo circuinscripti ad Circuli
- iiiscripti Circumftrentiam „t. Qaam autem fastidiosa elaborataque nimium sic in

communi mechodo Geometrarum rtetifcatio unius frimariae Cycloidis vide ia

Num*'. la*. ac 13*°. ad pag*'! l8i. 183. 184. praccitati O/n^r»/! Boscovichii , de quo

Adttbfatio loquitut 44**. Moritucla In II . Volumine Hifloriae Matheseos ad pag .

59 . prO rectifaandis omnimodis a Circulo genitis Cycloidibus ope Ellipsium ad
Caleulum Itsteffratem confugere Lectorem exoptat, ut a Pascalio tradita intelUgat»
et veritati consona esse sibi suadeat . On dimontre facilement ee rapport des eourhet
eyeloidaiet avee tellipse par le moyeu du ealcul integral . Car texpreffton diferew
tielle ou de feiement de eetti eouYbe » est absolument semblabte i celte de telemeut
de t are etliptique . Idgenus exp^rimentum facillimum quidem . Nam numeratis a
vertice in Axe Cydoidi^ , qui sit ts ^ , Abscissis , vocatoque m exponente rationis in-
ter Basin et Cfirculi geftitoris Peripheriim suppositam = I , Aequatio Curvae est

y = Vax — ^cjr H- iw ( Arc. ( Sia Vax^xx ) ) » ex qua suboritur V i/i * -4- ^* =

^■-

tf*(i*H-i)*

■ "^ amx

^^ , - . Ifoc autem Differentiale , dum fiat « =

yax — xx

/»»

— ( W H- I )* — 2
4

■— ^ , illico vertitur In 'Diffbrefttiale hulus formae

am

«31

■ , per ir**. Sectlonis praecepta cum illa elementi Arcus ElUpseos

conicae consentientis » Facco i» =: I emergtt Arcus primar/se Gycloidis rs ^

— > = / dxy — = 2v^j quod Wrenni invento adamussim cohae-

V ax '-'XX •/
ret, Veruntamen semcl atquc invenra Wrcnni et Pascalil faciliter clariterque sola
duce Geometria demonstrari poterant, nonne Matheseos Historicum dedecet a
Calculo Integrali praesidium exposcere in eis explicandis , quae circa dimidium an«
teacti saeculi resoluta iam fuerant feliciter ? Nonne qui itk fecerit in Historiae
Mathematicae leges, et in rem Chronologic&m peccasse censendus crit? Nonne et
Robervallius citandus fuerat , quippe qui in Opusculo suo De longttuJine Trochoh

dls (pag*. 274^\ Divirs Ouvrs£es tsc.) idipsumPiobUma &€iliter admodum entt*
cleaverit ?

(50) Ita Fascalii Calcull fhictas aine Calculo restitmnir . Alt emm Pas^alius P. c^
Semiellipsin sua perimetro Cycloidi Jasus in t^to at^e io partibus^ «equs^em. Se-
miaxes habere hac arte reperiendos . „ Fiac ut Circumfeseatia gene.rAtorifi ad istius
et Baseos Cycloidis Sunimam , sic Diameter generatoris ad quartam proportiona-
lem , quae erit maior Semiaxlum Ellipseos quaesitae . Praeterea fiat ut Summa (^ir-
cumferentiae genitoris et Baseos Cycloidis ad Di&rentiam Circumferentiae ac 6a»
seos ipsius, sic Semiaxis ijiventus ad alterum Semiaxem , qui erit minor Ellipseos „.
Prima proportio eadem est cum BO:BO-¥ OKiz BG aut 2BO : 2( BO -4- OfC) = iKB.
Secunda vero codem redit cum BO^OK:=z KBtBO-OK zut OK--OB = KG ::
2KB;2KG. Erunt igltur ex Pascalio Semiaxes EUipseos maior et mintir 2KB faKG ,
iidem scilicet a me superius deducti . ( Wallisius eandem i*jft/vn> adgressus est»

quemadmodnm Uquido patet ei Opcrum eius Ms^ummit^rum Voliumne 1*^. nA

pag . 535 . 39 • ct 40 • J .

(51) Pascalius alio etiam modo idem exprimit. „ PerlmeterHemicycloidls-iiram adae*
quat integrae Ellipseos conicae ,quae»dum Cyclois frimaria fuerit^.in. duplum ver*

tltur Axeos Curvae » sive Dlametri genicoris „ , EUipsis ista esc ABCD in Fig*.

13'*.» cuius Axls malor BD aequalis BAT Cycloidis datact minor autem AC=KG,

(52) HoQ CoroIIarium ad cal.cem Epistolae suae Pascalius protulit 9 demonstratione
tamen omissa . .

(53) Evangelista TorriccIHus in MS. Palatini &scicuIo , cui Vivianus collector titu-
^lunv fecit Agjriunta di aitri Fogli trovati , depicta Ellipsi haematite rubro isthuc

ipsum contemplatus fuit pro sola Cycloide primaria , quam semp/er cum Mathema-
ticis Italis pene omnibus nuncupat Galiiaiicam ^ tametsi Marinus Mersennus ex
Minimorum &milia Cycloidem atque EUipsin conicam unam et eandem esse Cur*
vam male fuerit auspicatus dum prtmum Cycloidem ipsam animadverterat .

(54) In loco Xorticellii citato demonstracione carens hoc exstat de Octagotio regulari

H h Theo-

Tlieorcmft. »> Altinido Octagoni constat tt duolus LaterHui Quadratuli et Dia-
metro „ . Auctorem currente calamo errasse non iniuria putaverim . Est enim
t, altitudo Octagoni par Summae LdUtris et Diametri iUius Quadratuli erecti su*

per semissem ipsius latcris Octagoni „ . Revera in Fig*. 24**- posito in / Polygo-
ni centro habetur BO:OI::BA: AD:: AC : CD ::AC:IC^AI, scilicct ob AC =
IC f quum angulus AIB semirectus sit, in ratione Lateris ad Latus cum Diagonali
Quadrati etc*

(55) Inscriptum semper adpello Trianguliim commodo verborum inserviens, quam-
vis non ira sic ad vocabuli rectam fidem secvandam in prctractis Cycloidibus . Cete-
Tum modus iste dimetiendi unius Theorematis ope Areas omnigenarum Cycloldum
Circuli exstat in MS. Torricelliano ubi agitur de Cycloidibus , nimirum earum
SpatiiSy atque Tangentibus.

(56) Eodem iure nuncupari possent ex Sereni Antissensis doctrina EHipses cylindri-
cae . Eae sunt, quas Galli vocant vernacula iingua Ovaies du Jardimer^ atque in
Fornicum Tescudinumque praxi EUipsibus spuriis postfaabere solent {Auses de pa-
nitr ) , utpoce quae sint maioris in Architectura elegantiae » faciliorisque organicae
descriptionis . EUipses veras ac spurias aliqoanttsper iUustrant Perelliana mea hac-

tenus inedita , et Commeutatio de Floreutiua Poute percelebri SS . Triuitatis •
(52) Ita universalius redditur Froblema Fascalii, cuius mentio facta in §^. lo'° . et

Aduotatioue 42 .

(58) Huc profecto redit Fxoblema perinsigne Archimedis de dimensione Superficiei

. Coni rectif memoratum in $°. 65^^ Igitur toto iure adscribenda compl&natio il-
Htts Conicae Superficiei doctrinae Fascalii .

(59) Neminem latet idem valere de Conis etiam uagativis , quorum vertices in inferio-
^i coUocareatur Semicircumferentia , etsi non depicta , quemadmodum Cylindris

parite^ ite£ativis contingere in Aduotatiom 32 • superius monui .

(60) Consulattir Aduotatio 31 •

(61) Est in Schemate eodcm adposito ei:*:-4L» ::C0*: i<0*::C£*— CO*: .^Z;*-
AO^ : : 4OZ . CZ : ^OZ .BZ::CZiBZ ex Elementis ; quod erat in desideratis . Igitut
ex praeostensis in §^, 2**. , ducta a quoUbet punctorum D ordinata DS , ut ve-
ra sit haec Froportio AO:AD::CO:CD, aut AO* : AD^ : : CO* : CD^ , vel AB* -+
£0* : AB"^ -h BO* -h 2ON. BZ : : CO^ : CO* -^ 2ON.CZ , sufficit veram cssc tantum-
modo Froportionem AO* : CO* : : BZ : CZ , quam nuperrime demonstravi .

(62) Ex. gr. iisdem positis , ac sccta bifariam C? in p, erunt ^0*=2. BZ .OQ9
AL* = iBZ . LQ , AL* : ^O* , vel LP*:PO*::LQ:QO , unde LQ : PQ : OQ ^r quemad-

modum habet $"'. S . prope signum Adnoutionis 34 . Insuper si ZI fuerit Me-
dia geometrice proportionalis inter CZ , Z£ , erit CO : AO :: CZ : IZ:: IZ : BZ . Cete-
ta linquo • Occasio.huiusce Tbeorematis alcetum mihi in mentem.ievocat eleganr

tissimum ,

*33

tissimtim , qtiod olim in MS*. inc4itonim Totricellii perlcgi ( ad Num""*. rubrum

I. pag .8 . y et rursus a^d Num . . 131. ) ^ ,» lu Tri^gulo quollbet ortliogonio

{ Fig^. 75^. ) secta iit D eius Hypothenusa BC ita , ut CA, AB^CBf BD sint in
Froportione arithmetica, et BD bifariam divisa in /» erit Area Trianguli aeq^ua*

lis Rectangulo segmentorum BI.IC,,. .

. - . . • . • ' • . ..

_ ^^ , • •

(63) Consule § - 2 • prope signum Aduotatio»h 29*^' *•

(64) Nunquam etenim in Cylindro scaleno (secus atque in Cono) Ellipsis plano gc
lutaBasibus non piralldo Circulus evadere potesc. Coni autem iacentU Superficies

• (qui taiiien vere Coiius non est) a Ctrculo pendet (Vid. ^" 54 .).

(((5) His quoque adnumerandu» esset lesuita P. Coursierus, qui Lutetiae ' Parisiomm

vertente anno M.DC.LXIII'^ typis Simeonis Pigeti Opusculum in lucem edidit
' sic inscriptiim iV sectionc SMferfciei Sfhaemae - per Superpciem Sphaericam , Cjliu*
dricam, Cofticam, hem Superfciei C^tindricae perSuperJiciem Cyli/jdricam , atque Co*
' nic^ • DeniifUt Superfieiei Conicae per Superpciem Conicam . Titulo tenus , nomini-
busque alrisonaiuibus Ellipsium Cumitegarum » perfictarum » imperfectarum etc. , Cir'
cuiorum Curvitegorum ttc. % miserrimum Opus in tres Libros divisum , cui Venusini
Poetices efiatum illud optimo iure adplicari nuUus dubito Parturiettt montei etc, etc.

(66) Legantur Vohimins praecitata in Adnofafionihuf 3'^ et 4'^ , ac praesertim pri«

mumad pag . 213. et 221., alterum passim inZiibro II . Curvam Cyclocylindri«
cam alii vocant , et potissimum Guido Grandus , Sphaerocylindricam . Lalovera
' ipsam Lineafa Cyclocyllndricam » aut marginem Ungulae semiortkogonalis Cylin-
dri recti , vel potius in plano expansam Lineam Sinuum , nuncupat CycMdem par^
vam , ne confnndatur cum vera Cydoide , cui nomen praebet Torrxcellianae . De

antiqua epocha Cyclocylindricae vide Notam in calce pag . 550 . mei Operis Ma*
tnitudinum Exponentiaiiumetc.iloheLnnisWi^lmykOperumeu^Tom, . V°^\ ad pag^'.
556"*". ac SSl""" , quo loco iterum impressi (apag*. 489 .. ad 570™*", ) fuerunt
Tractatus duo etc.f in lu^em iam editi OiOAii verteote anao M.DC.UX ).
(Consule insuper Adnotationem 5"°*.). (Ipsius Wallisii Mechanica etc. adLitteras
M,N,0, Prop. Xin. Cap.V. paguiasque 70?"^" ct loS^*". Voluminis l"*. eius

Operum in lucem editi anno M.DC.XCV'*. ) .

na

(67) Pascalii Tractatuluni iam memoravi in Adnofafione 29 .

(68) Tracer tur un Cylindre droit un espace egal a ia superfcie JPun Cytindre olliqtte

donne ; ef Sun seul traif dt Cowpas • (I. c. ) ( a pag . 221 . ad ^semissem usque

230"***.).

(69) Aucto-

^34

(6p) Auctoris methodus decm ptginas in^kc v«tetU VelmfiuuyB Academkt in filh

impressi, solaque epitome tribus absolvitur paginis,
(ro) Tractr sur un Cylindre drott un tspace igal i »n Qaarri donui i ef ce etu» seul

waip de C9Pifas( 1. e. ) • ProUleina istud absuinit paginaS Ma eivsdem Voliimiilis,

scilicet , a pag*. 2 13'. ad 221" •

ma i ' '

(71) Huc redit Proposirio XXI . Libri n.Operis Laloverae , nomenque Auctor tri-

buit hisce Cyclocylindri^is stcundl nomhiis primariarum . Demonstratio ab eo data

tac

praeter morem fastidLostssJ^a^jQraad^,^^? in $choUo Vropositi(9US^XXIV . ad

pag . 120. (?t seqg. ^eofnefrica^ demo^strAti^tti^ Vswanearum ProUema$um^ sed prin-
cipio ianixus indirecto, ^ova metbodo isthuc ipsnm ostendendi usus est, absqae
eo quod nominaverit Laloveram primum guadraturae hulusce inventorem . Cetero-

quin quo loci Montucla a4 pag*!* ^"61* H'. VcdtMinii Hifi^ri^e «uie ^ic Lalore-
sram ( Lahubere pronuociationis vitio ) dciSQnstta^se mriisvKam Ar«trum Cydocy-
lindricarum haud qua^rabiUum <>pe Superficm Cyliadri scaieni wt in. etrosem
kpsus €S£ » aut salt;em obscure )ogU9(tus » quamadmodum iu Capifc VU''. Ma^i"

fudiftttm Exponentialium etc, (ad pag . 554'**'.) et alibi fusius explicui . fcripsit
• etenim Historiographus ille de Lalovera. // montre ..'..., que si ia pointe mobile
d'un co^pas u*attfsHt pai i ce$f,$ esuremite du diaaeire ft<;.i iafsute retranciiie
de la surface du cyiindre en question » sera igale i celle d*un cytitidre phlidue dc"
rrm/»e.'Venxntarhen'demonstrationem suam a Pascalio mutuatus est Lalovera » uc

*■"*'' cf o * ' ■ i *

ips^ f^c^Xur va, iQoi^oUario II . Prppositionis 3i;?(;VI*^ sive pomcma(i \iim H • f'^*
gUKAm, <sifus difnesieiaes aequa/ef atsns rectis ejs pesncfo unp X^fMntticfi) cdsfctis es"
se aequ^iem SHperfcifi Cyiindri scaUni dsm^npravif t^tf^uniliaeuf in Epiftofa dfta
ad p. De Huggifent » stnde factum eft ut ex demcnffratione periecta iftud nos lucrum
perceperimus pro praesenti tf superiors propbsitiohe , nimirum superfciem Cyclocylittdri^
cae secundana,e ,«.... jsuc^fidi quadam rmiione aeqmaiem sstpesfdeiCjdiJndrisca"
ienis ap firoinde data' ksuus jcalenae superfciei quadratura inventum ejfe a s^Hs te*
tragonismum Cjciocylindrlcarum secundarfarum ^ de quibus agunt duae huius Libri
postremae prcpotitiones .lEjcstniit'iA V6\visnine V^« Pascalii Operum Coilecfionis nxgVL'
menta epistolica ipsLus Lalovcrae , a quibus constat anno M.DC.LVni^ PascaJio
scripsisse nondum Areas Cyclocylindricas potuisse metiri. Demonstratio posterius

rcperta fundamentum habct in tropbsitione V**. Libri 11 . ad pag *. 33. 34- 35- Op«-

ris in Adnotatione I05**. postmodum ndminati ( vide quoque Vivianum in Prop .

Vli*. Libri IIl". ad pag'*". 55**". t^e Locis Solidis etc. ) a F^rmatio restituta , ct

in Praefatione ad Lib . VII "". Pappi iamdudura expressa .

(:2) lesuita Gregorius a Sancto- Vincentio in Parte IIl'*. Lib . IXS Volumini^ll.

Frop.

»35

Prop. XLV. XLVL XLVII. ad pag*^ 991. 93. 93. Opiris gemetrUk qu4dm»rae Cir''
€u!i ef Sectionum Coni etc. Domui Austriacae semper Augustae dicatl , et Antuer-
piae impressi apud Meursios vertente anno M.DCXLVII®. , omnium Geometrarum
primus ( 4|uid:<]uid contra sentiat De La Hire id deeus tribuens Pascalio in Actis t

Academiae Parisiensis anni M.DCCVII.) quadraturam Vng^iK^ buiu^cemodi in \

lucem publicam edidit . Tractatus enim Pascalii de eodem argumento > cui titu-

nit

lum fecit Trahe det Sinus du fuart de CercU ( T. V. etc. edit . Ha^ae Comi*
tum ) , plusquam decem post annis excusus fuit . Robervallii autem Opus de ludi"
viJiUlHus , ubi de Sociae Cyrloidis , Figure des Siuus , aut Ungulae dimensione lo-

quitur, typis editum anno M.DC.XCin'*. {Adnot. 3. ) { Divers Ouvrages etc. ad

P*g • 194"™. ) . Adnotatio Pascalii Opcrum Editoris in TtiKte geuerale de la Rpw
iHte deperditam quandam Auctoris illius praestantisstmi Lucubrationem moerens
adfirmat hisce rerbis Nous n* avous pas ce Traite y heureusement il peut etre supplee
par celui des Shms du quart de Cerch , Nnllum autem deesse Tractatum censuerim ,
illumque rebus Pascalii deperditis adnumeratum Epistolam esse de Cycloidalium
omnium Curvarum dimensione Detonvillii ad Hugenium toties antea ciiatam .

(73) Lalovera , atque Gfafidus utramque corrtempJ^tr suftt C^clocyHndricartim spe^
ciem in locts paullo a^ntt^ eitatis', Et adftroduHk feeilc est deiMmstra»t«Offem # qftilim
supra dedi pro puncto X, eeiam pro altero X' iisdem pene verbis retejtere.

(;^4) Scilicet in PetelUanh hactenus ineditis , quiBus titulum fcci De Thima fenllio
a Pduto Frijio laudato Enarratio Geometrica,

I15) Montucla de linea Sinuum , aut socia et gemella Cycloidis, sive expansa iJngu-

lari ( Notam consule 60 . ) ad pag*™. 60 * . II*. Voluminls loqiiens videtur eam
Curvam limitare arctioribus quam par essct confinibus . La partie AD de la cour"
be dottt nous parlons , eft ta m^me que la courle appellCe des sinus etc. , perinde ac

si portio etiam iuferior Linea Sinuum non fiierit . In Memoria XXXVI . sive po-

strema Voluminis V". Partis l""*. ad pag^". 227 . Opusculorum Mathematicorum
Alembertus' scribit Curvadi ," cuius Abscissae sint z , Ordinatae autem A Sin. z >
€$$6 Trothcddem cdnymtmem , in Qua Ordlna^ae Sh. i augeantur vei ityinvantur
in ratione A : i . Alteram Trochoidem eodem loco adserit es&e protrac^am aut con^
tractam in ratione v : l Cutvam illam Abscissas z , Ordinatas Sin. v z Iiabentem .
Veruntamen, meo saltem iudicio, neutra Trochois est. Nam prima congruit cum
Linea Sinuum secundaria vel secundaria Trochoidis socia . Huiuscemodi cst Cur-
va , iri qua f lectitur Chorda vibrans , uti iam dixi , ex perantiqua theoria a Da-

niele Bernoullio valcfe promota in Commentariis Berolinensibus anni M.DCC.LIII .

(apag*. 147"*. ad 113^*". et itcrum a 1:3'*. ad 196'*"), ubi etsi Scriptor egre-
gius eam claritcr nuncupaverit ia compagne i une cycloUe extrememeut allongee
^" li (lin».

v.

236

( Un^. i . p^^. 148 . ) , mirandtttn est eodem ia Volumine I«eonardum Ettlerum ad
pag '. J^l . ac $ . XI . ipsam iniuria adpellavisse trochoide allongie simfle.

Qin

( Vide § . hunc , in qi»o sumus, pauUo superius ) . Altera nec Trochols seeundaria ,
nec secundaria est Socia Trocholdis • sed alia Curva transcendens sui generis , ut ex
praemissis cuilibet patet. Nam ut Socia etc^ fieret» noo Sin. Pz, sed v Siu.x^ ad-
modum diversae significationis atque valoris, deberet esse Oidinata.

(76) Quaelibet enim pars Perimetri HeHcis super Cylindrum iacentis est ad Arcum
subpositi Circuli ut Radius ad Cosinum Anguli inclinationis , et ad interceptum
Cylindri Latus ut Radius ad Sinum . In planum expansam hanc Helicem omnes
norunt in Lineam rectam se vertere . Helix ista eodem redit cum Cochlea Archi-
medis. Linea est equidem celeberrima in Graecorum veterum Geometria. Ad hoc
autem , ut eius Perimetri dimensio in promtu sit » ad reotificatiouem Arcuum Pe-

'^ripheriae circularis necessario est confugiendum , quum et ipsa Curvae constructio
ab isto pendeat Problemate . Ceterum huius Lineae antiquiorem considerationem
tribuendam esse ApoUonlo Pergaeo , aut saltem de ea vetusciorem Tractatum scri-

psisse Yl^fl ri xox>Jjd ^p&fjLfiari , auctor est Proclus in Lib . 11 . Capite Xr. Co«-
mtntariorum in primum. £ucUdiS (initittm £ . 61"".). Geminuiu lihodium candem

Lineam haud parum illustraTisse idem Proclus tescatttc L c. et rursum Lib^. IH^^

ad pag *"• 143**"^. editionis Venetae anni M.D.LX . curante Francisco Barocio ,
qui Graecum Opus latine vertit » et DanieU Barbaro consecravit . Nova de
ipsa Curva symptomata alibi protuli in Prolegomenis Magnitudiuum Exfoneth

tialium etc. ( pag*. LXIV. ) ,, et in $$**. 16^. ac 52 . huiusce Exercitationts . Plu-
ra vero conlegi in Tractatu adhuc inedito , et sic inscripto Dei Solidi Cocleari
ad alsre affinl. eiegans^ della Geometria delle Curve . Wallisius Helicem ipsam consi-
deravit geometrice in Opere , cui titulum fecit Mechanica sive de Motu Tractatus

■

Ceometricus » typis edito primum Oxoaiae vertentibus annis M.DC.LXIX'^. LXX .,
ct rursmn t Theatro Sheldoniauo a pag . 570 . usque ad 1064^^°'. Volumini» I •
cius Oferum etc. anno M.DC.XCV**. ,. in Ptop"*. praesertim I*. Capids IX'". De €0-

thha ( p". 987. 88. ) ,

(77) Unicum in Geometria recentiorum mihi constat exemplum ( etsi minus notum »
neque uti par esset commendatum ) quadraturae Spatii curvilinei , cuius mensura
a facili non dimanet arearum aejuifoUentia quemadmodum Lunulae Hippocratis

aut Oenopidis phii ( vid. DisserUC sur Oeuofidat de Chio far Af. Heinius a pag .

401"**. usque ad 425"". in Volumine Berolinenfis Academiae pro anno M.DCC.XLVP.) ,
Paralletogrammatum mixtilineorum variae speciei etc. etc. » et nihilominus conse-
quatur a Synthesi finitorum» sciUceti nuiUs opibu» impetratis ab indirecta seu ne«

g&tiva

g^tiva. Exhauitionum methoda Ar^hlmedea » multo autem minus ab IndiviJibUibus ,
aut a tationum Umitiius tixsxilnfittite ' parvorum , Qliisye ab Euclidis placito abso-
nls arguendi modis in re mathematica . Exemplum illud suppeditat Philippi De La
Hire doctissima Lucubratio de dimensione Superiiciei.Ungulae ac Sphaerae ( iVois^t;^ //^
methqde four dmontrcr U rapport de la superfcie de ia Sphesce avec la superfcie deson plus
grand Cercle 9,et avec la superficie du Cylindre q^ui a.pourbase le mime CercUf et pour hau*
teur U diametre de la Sphere y avec la quadrature de tOngU cylindrique & de ia Figure
des Sinus.) in veteribus Actii Scientiarum Academiae' Farisiensis relatis ad annum

rum

M.DCXCH . ab ea Ungularvm polyhedrarum feliciter derivata, quae rursum

.mo

cxstat ih Volumine X • Coiiectianis Hagae-Comitum in lucem edita^. Quamvis
cnim methodus a Scriptore istius Lucubxationis adhibita eam imitetur iamprldem

publici iuris &ctam a Gregorio a Sancto Vincentio tam ih Propositione. XLVIII .

Partis ni . Libri IX : ( pag . 993. ) , quam ui Propositione. LXXVI . Partis IV .

ciusdem Libri (pag*. I0I2. ) Operis praccitati in Adnotatione 72 *. ,. nunquam ta-
men Theorema vidi elegantius ,, maiorique refertum ingenii acumine prae nuper
recensita atque nova Ungulae Superficiei dimensione. Ipsi quoque procul dubio

concedit simplicissima dimensio Ungulae, quam exposui in calce f ..22 \>.etsi ab

unico Euclide originem ducat ad- fidem alterius $ . 65 ..

(28) Actorum etc. ih Volumine anni M.DC.LXXXVI' . legitur Exeerptum ix Litterit
Domini D. T. Upsiam mijjis 20. Feb. 1686. ubi agit Epistolarum scriptor de cuius-
dam Cutvae quadratura , subiungitque = TaUs vero Curva- meehanica a nuilo quod
sciam hactenus exhibita etc. = .

C79) Guido Grandus ih Prae&tione ad Opusculum de quadratura Cirauii et Hyperio*

tae^ 2"".. editiomfi Pisanac anni M.DCC.X ., pag '. Xm^*. obscrvavit ncc novam cssc
istam Curvam, nec novam eius quadr^turamt at Lineam esse candcm cum Ungula
cxpansa , iamdudum ab loannc Wallisio , lesuita lionoratc Fabrio , ac Stephano De

Angelis lesuata ( non male. Montucla T: H. p*! 69. Da Angeiis etoit de tOrdre det
fiitronymites , quum lesuatae Hieronymitac Fcsulei a Carolo c Montc Granello fun-

tllD

dati fuerint circa annum M.CCCC . ,. ct lesuatae Hieronymitaei Vcnetiarum ab
loannc Colombino instituti , quorum priores Augustini reguiam amplexi sunt,alteri
Hieronymi , utrique vcro a Clemcnce IX^. supprcssi labcntc ann6 M.DC.LXVni^. )

ad Ellipseos perimetrum et geometricum tetragonismou tcdacta. Consulantur l\ c.

in Nota 66 '. lohannis Wallisii , qui Lineam. iUam adpellat Eiiipsin expansam , Opel-
}a Fabrii , cui titulus De Linea ^inuum et fycioide in lucem emissa Lugduni anno

M.DCXXIX^ ad calcem suae Sjnopsis Geometricae (pag . 313.) typis cxcusac An-

tonii

2-38

tonii Molini , et Stefi^i^ He Aflgelis TrftCtitus Auo De Superfcie Vngmtae , e$ de
Quarth Ulioram ParaMieefrufft, etCycl^iJafiumtiiuoniiVenetsieMJDCl,XhTri^
cipi Leopoldo ab £tntria bonarvm Artium patrono amplissimo consecrati. Meo au-
tem itidicio non Ipsamet est Tschirnhausenx Linea cum notistima Ungula expan-
sa , sed potlds ad eandem speciem classemve pertinens cx demonstratis , nittiirum
verae Ungulae adfnii Euleri.sensti, atque taii arte deforntata inter ecrsdem extre-
mos p ut eandem Aream «patiumre ckudat antiquioris Ungulae aut Lineae Si-
nuum • Verba Grandii sunt quae sequuntur . An rtferam celeberrimum Tschyrnhau^^
sium in Actis Ljipfiae i686. pr^ ncvaCarvs areae fmadrabilh frop^sniffe eam^ fuae 0/-
hil aliud efi^ quam Vngula cylittdrica expansa^ dudum a Vallifio^ Fabrio^et Stepha"
nd da Angelis confiderata ?

(80) In Volumine 11**. seu Continuatione I**. impressa vertente anno M.DCC.XXni**.

lcge Diatriham sic inscriptam ( pag . 128 . ) Mensura Ungulae a CjHndro resciffae
demonsti^ata etc. Wallisii Mechanicam auctdr citat» et singulariter Fropositionem

XVI . Capitis V *. Nec modo Ungulae quadraturam nescissc videtur, quin etiam
nomlna iamdiu pervulgata Lineae Sinuum et Sociae - Cycloidis . { 5$. 8. 9. pag.

130- 3'- ac 32.).. Rectius subtiliusque in Volumine IV*^ aut Continuatione IIl'*.
typis exettsa amro M.DCC.XXXIV*. lohannes Baptista Oairautius Ungulas Conicas
metitus e$t = Maniere de toiser ies Ongleti, des Cones s: .
(81)' Soliditatis Ungulae demonstrandae ac breviter statuendae modus, quo nunc utaty
famili^is e^t Geometriae - limitum cultoribus. Ipsum fi)rtasse primus ante anni

• *

lapsum M.DC.XLVII'. Evangelista TorriceUtus adhibuk. Nam m MS. Valatino te-

perio luculentissimum ilUus methodi exemplum , quo ad pag . 61 . idemTheo-
renia et eltfeill {>enitU$ dftftionttratiohe explicavit de Solidisquibuslibetregularibus,
irregularibuf f pol^hedtis, cni-vis, mixtis etc. etc. Spbaerae circtiinfcriptis , a t^rancitco

yostUTodum Uaftotto eviilgatum (pag*. 362*. et scqq^. ) in Commentariorum Bononienfis

Scientiarum et Artium Inflituti atque Academiae Volmnine 111'^. in lucem edito la-
bente artna JV!.DCC.LV°'. t3e Corporibus quibusdam Sphaerde circumscriptis usque ad

Pftg -374 -
(83) Ihter alii 'irtril atguftieftti, quae continet Opusculum anecdoton , cuius sermo

fuit in Adnatatione 50. ., exstat manu.Torricellii delincatR Fzgxira stqaemh gc^ne*
rationis Ellipseos Apollonianae per puncta . At praeter Figuram ne verbum <iai-
denl ab AucWre, ilec Collectore exaratum occurrit.

{83) Propositio CLV". Partis V*". Libri IV". Voluminis I***. magni Operts Gregorii

a Sancto Vincentio antea citati in Adnotatione 72 *. , et signanter ad pag .326
Lineanif hoc modo destriptam Ellipsin conicam csse demonstrat » unico tamen ca-

su

«39

M c«ct»nin atqtialUm £0 tEltFO tt Fl c«c. UnimAlem dcmonstntioacm

ita in Fig*. 7^*- concipiattt , Ex Ciirvtte genesi , qmomodoctiniqve kiclinetttr CIM
super BlAy 9St DX=aT, proptcr DL=OI, ideoqoe TX=OD. Ergo TJT* ut
OD*, nimirum ut fiO, CM, vel tandem pes Elementa ut CT. Titf , in qua pro-»
prietatc Ellipsin conicam sitam esse norunt omnes CNQMSP Diametros CIMfSIN
coniugatas habentem^*

(84) Partes enim NDX Ungulae iacentis , utpote aequales Triangulis lOT ( Fig*. 76*. )
proportionales sunt ad 10* , dum e contra partes Ungulae trectae eodem niodo
computatae proportionem sequuntur IB.IO 9 sive r« 10 . Grcscunt igitur ,. decre-
scuntque iacentk Ungulae parces in dMplicata ratione partiuni Ungulae erectae , er
perquam &ciliter ex praemitiis. Ungularum alterutra in. data ratione secatur .

(85) Quibusdam in Schedis Astronomiam adtinentibus Annuli Saturnii pbases varias
( cuius Annuli rotationem divinum pene Wilhelmi Herschelii telescopium nuper de*
texit ) huius Eilipseos descriptionis praesldio , et Figuris rite adpositis ac distributif
summa facilitate ductus ad vivum olim denizl. At usus- uberriml speculationeni
istam geometricam praesertim expertus sum in Pontium Testudinumque , ovi - se-
ctionis formam plus minusve in medio adsurgentem imitantliim , concameratione apte
breviterque slgnanda . HaTUitice. Gurvaxum » quas veluti rei aedificacoriae et praxt
architectonicae maxime idoneas Graeci Geomctrae a voce n^f^afX vel ^fjMfOtiiy^i;

mineupaverunt camnricas , et peculiari eas Tractatu hodie deperdito* Heronem ,
Commentaritsque Isidorum Milesium mechanicum Eutocii Ascalonitae nragistrum
illustravisse enarrant , fusiorem habui sermonem in meo Opere typis parato Memo^

am

rie Fifico - Matematiche , cuius memlnl In Antehpo ad pag . XIII. Adnotandum tan-
tummodo aequalitatem paullo antea demonstratam arearum EUipseos scalenae , et Cir*
culi aut EUipseos acquilaterae non valde absimllem esse ab argtmiento Scho/ii, quod

cxstat in pagj . 18 • ac 19" . aurei OP^nris sk inscripti J^rancisci a. Schooten- Ley"
. dei^s de Organica Comcamm Sectionuf» ite piano descripiionc = Lugduni Batavorum

ax officina Elzeviriorum M.DC.XLVI; = . (Vide insuper Propositlonem C.LXXX

( pag • 338. ) Partls VI . Libri IV". Volumlnis I . Operis antea citati Gregorli a
Sancto Vincentio).

(86) Geometrica A\ium constructio neminem latet Elementistam . In adlato exemplo
proportio Chordae ad Sagittam {flechej sesto, rtgoglio) Pontis dvalisest ev,zXoirti

▼eluti 95: 18 in numeris integris . Maximum^ de quo supra, constat ex Proposltlo-

ne Xir*. ad pag""". 61**. Libri ni", Operis Vivianei De Locis Solidis Arifiaei
Senioris .

(87) CofJtinuazione del Diporto Ceometrico = Modl "Oari meccanicif iineari^ e solidi
tentati da V, V. per !e costruzioni^ dei due illuflri ProBlemi^ il primo della divifione
deif angolo in data proporzione ^ ii secondo deit invenzione delle dui Medie proporuo^

K k nali

y

a40

. fffili = editionis Floretitinae M.DC.LXXVI. , qiios modos latine versos mr^tiin Aa«

ctor vulgavit anno insequenti ( vide Not£m 4 . Anteicgn ) hoc tltulo inscriptos
Tentaments varia ad angufi triseetioftem , cum adiuncta solutione per Circulum et
Hypcrbolen non absimili ab ea , cuius in M5. Torricellii = Coniche varie ftano
e solide — specimen vidi •
(88) Aliqui Apoilonii Helicem aut Cochleam (Adnot. ?6*.) oonfiindunt cum Archy-
tae Tarentini Lioea super Cylindrum descripta , de qua in percelebri Eratosthenis
Eplgrammate ad Ptolcmaeum MjJ is ox/y' ipx^reo) 2v^fj(^x^'^^ ^yx KvkiuSfcoy etc.
Sed quam diversa a vera Helice Cylindrica sit , constat ex Eutocii Commentario

,001

in Librum II . Archlmedis de Sphaera tt Cylindro ubi legitur Modus Archytae quem*
admodum tradit Eudemns . Consuli quoque poterit Opusculum Vivianii in Adnota^

■

ttone 82 . praccitatum.
{%9) Haec Linea Sinuum - versorum » Linea Sinuum , Linea CQsinnum , Linea Socia -

cycloidis sunt una eademque Curva trauteeudent (Nota 75^.). Flezuosa igitur Pe-

rimctcr BIASC ( Fig . 77 . ) huiusce Curvae et in toto ct in partibus Perimetrum

• Ellipseos coBicae adaequat , quemadmodum de lAS superius vidimus in $^. 15^^ ;
ac si Socia eadem Cycloidis contracta , frotraetave faexii , nihilo tamen minus eius
Ferimetri dimensio consequitur ab EUipsi, non secus atqdc ilia Cycloidum contra»
etarum et protractarum ^ Puncta flexus I^S bifariam secant Cfaordas AB9AC9 ec
ideo respondent Ordinatae IS Axem AO in D biferiam secanti . Portlo Areae gco*
metrice quadraHlis IAS==2AD* eidem puncto Axis medio D respondet, veluti
Hugeniana Cycloidls primariae pars exactae quadraturae capax Ordlnatae per pun-
ctimi T medium ri AD transeunti refertur ex iamdiu notls. Segmenta AI^IB^

aeque ac AS fSCftt in toto et in*partibus , circa puncta flexus f , 5 inverse di*
sposita, sunt similia et aequalia per Cuivae genesin a Cylindro. Integra itaque
Area BIASC semis est.RectanguIi circumscripti BPQC (quod et de medietatibus
valet BIAO » BPAO ) , unde oritur Area ipsa dupla Circuli genitoris AGOX , et
idcirco Area Cycloidis primariae BKARC eiusdem Baseos et Axis cum Socia sua
ad Aream Sociae in sesquialtera est proportione* Gibba ergo Segmenta ^iTff/»
ARCS Semicirculi genltorls Aream AGOD, vel AXOD peraequant, scilicet , paria
sunt mixtilineis Triangulis Cycloidalibus APBK^AQCR*, quod eodem redit ac di-
cere Spatia gibba triangularia AIBP , ASCQ Sociae - cycloidis ab Hemicycloide
AKB , ARC secari bifariam » quemadmodum Triangula in avium ^ostri fbrmam
composita AKBOG , ARCOX a Perimetro flexuosa AIB , ASC Lineae Sinnum . Re-
ctangula igitur APBO , AQCO in quatuor aequales partes dividunrur ab Hemicy-
dolde AKB, eius Spcia AIRy et Semiperipheria utrarumque genitoris CircuU ^GO,
vel cx adverso ARC , ASC , AXO . Tangentes Sociae tam in vertice A , quam in
cxtremis £^C, pcrpendicttlares sunt Axi iJO, atque in flexiius 1 9 S M posixzQ ,

uc

241
* wt td Sasim Axemqne aftgulo semirecto inclinefttilr , atque ideo simul occurrehtes
angulum rectum cfficiant , parallelis cxistentibus quo ad Chordas Quadrantum
AG, AXy aut quoadaltcras OG , OJf perpendicularibus . Tangens autem in puncto
.quocumque V perpendicularis semper est rectae EN ita ductae in Circulo genito*
re, ut DN=AZ abscissae puncto dato F' respondenti . Exinde fit quod si puncta
V,F in concava, et convexa Curvae partc adeo sita sint, ut ordinatae FZ. , FF
a vertice ac btisi aeque distent, gaudeant Tangentibus parallelis. Cuncta haec ,
una cum aliis ne fusior fieretiste Commcntariolus omissis, anteacri Saeculi Geo«
metras adlaborantes valde dctinucrunt, dum heic ab inspecta tantum Cylindri re"
cfi sectione illico oriuntur.. Fitotus ipse tripliciter in Actis Academiae Parisiensis

anni M.DCC.XXIV . Sociae*cyc1oidis, Ungulaeque ^uadraturam in planum expan-
saeostendere aggressus fiiit, suborta Academicos inrer excellentissimos dubitatione >
quae Ungulam ipsam cum Apollonii Helice commiscebat*

(90) Consulatur Propositio LIII**. ad pag*". 99^. Operis herculei in jUaofatmi

da

72 . fiisius citati . Exinde patet Rectangulum IHMS circumscriptum Ungulae cx-

pansae lAS ( Fig*. 77 . ) esse ad Arcam ipsius Ungulae vel supremae partis, ver-
sus Axem concavaCj Sociae - cycloidis , aut Lineae Sinuum , ut AG : AD ^ vel Se»
micircumferentia ad Diametrum Circuli . Eadem valet proportio inter Rectangu«

' lum circumscriptum AHIL (Fig . 16 . ) Lineae Tschirnhauseni in §^. isto expli-
catae , Arcamque ACIH ipsius Lineae clausam perimetro . Quae Linea , ut apte
generetur, a Qtmdratrice Dinostrati ac Nicomedis pendct, cuius nomen penes
Graecos rtTpxymii^^ffx , lion secu« atque de ApoIIonii Helices ac Quadratricis ipshis

foedere et barmonia docuit PappusAIexandrinus in ColUctionum Mathmaticarum

Libri IV\ Propositione XXVni'*.

(91) Ab hoc etiam intuitivo Theoremate dimensio conscquitur facilis Superficiei Coni

recti . illlque profecto simplicior alias deducta in A/iuotatio»e 58^^.

(92) Hyperbola Apolloniana oritnr a recta Linea semel atque proportio directa or^
dinatarum abscissarumque postremae in inversam vertatur . Huius conceptus ad
demonstrandas faciliter sublimiores Hyperbolae proprietates summopere idonei pri-

ma inveni vpstigia in MS. Torricellii ad pag* .59 . et universalius ad 37

atque hoc idem postmodum adnotavit Newtonus in §^. 9^. Num . IV". Enumera-
tlonis Unearum tertii ordinis , ubi de variis agit Hyperboiismis , quos inter sic lo-
quitur Hac ratione Linea recta vertitur in Hjferbolam etc. ( Vide quoque Adnota"

tionem 188'*™. ) .

(93) Antiquum erat Theorema Cylindrorum rectorum exceptis Basibus isoperimetro-
rum , sed simile nunquam vidi de Cylindris scaienis expositum . Torricellius pri-
mum noverat . alterumquc elegantissimum, at ab argumento, in quo sumus, alie-

num ,

main

342

num. Cylin4rortim scjiUcct Hypcrbokf quadraticw» qaaoi sptiriam dl '

qualium •

.110 am

(94) Vide 1 . c . Epistolae ad Hagenlam in Pnfotitme slc nancapata

(95) Eadem methodo incedic res pro puncto qaolibet interiori, qwd. brevitatis
sa ( vid '. § . finis ) praetermittendum ezistimo . i

(S6) Nam RT. qaum paraUek ad DH esse debeat ex comtnictione . et DH notmalis
sitad dxametrum /3G propter C>F: Y/3:fHfi ex- propcietatiba, sectionis ham "
nicae. aut C^ :^D:YH^, et amalu,n rectum CD>F in pan«» contactas, noa
potest quift super CT perpendiculariter ae^oe tnsistat.

(92) In eoties ci»ta GaUlaei doctrimi (A^t 31"*. «t alibi) hoc eqoidem admiran
dum occurtit , quod non solom CircuH Circamfcr«ntia l3Du,i>G sit Locas rectarom'
rationem constantem habcntium C^:/3H. «mm eriam imrerse Circulus alteT
CKHVI sit panter L,cut rectanim rationem constantem servantiam GH- HB ita
sTraJtio """^ ^'"""'' ^""'"°^"* P'obIemati semper inserviat eadem co„.

(98) Huc redit constructio Problematis Galilaei etc. (Nota antec.) simpHciori mo-
do resolutx quam in DiaUgis etc. Philosophi ilUus celeberrimi . ( Vide AdMatic
nem si .).

(99) L-. C. Tractatus sui Je Jndivifibiai,,, Erratam autem aaepius corrige Aacto.
ris aut preh vitio Figuram . «"w»"-

(i«.) Totam Cylindri ,^<,/,w Superficlem (non HemicyUndri) postmodum in C*.r/«r.
Jiont Robervalhus considerat , eoqaod totam Aream dimetiri studeae clauMm a da-
^ta circipi $ai, vel a Linea Cyeloc>Undriea. (Consulatur $"»• 15"*. ac ptaesertim
inspectls rursns Fig". 15*. et 25** ) .

(lol) Perlege ac confer l"'". c"". in Adnotatione 94"

(loj) Duo igitur CircuU concentrici eidem proprietate gaadent coB.t«,ti. Rectan-
gili segmentorum caiusUbet Rectae utramque secanti. Peripheriam , quemadmodum
Hyperbola comca inter A#ymptota». Hbc est eqaidem etemmar, , congruitque cam
3". Propositione Libri n"«.(pag". 31. 32.) Fermatii Operis inferiu, citandi in i^«r*

ilorLmTnT" "'? •""'''"' fi^ndamento «axima Problematam pars. quae an-
t^quoru^ Analysi resolvuntur , Curvaramque genesia inmaneramm nativa aique fii-
cihs a Curva ^iata ( ^. 54. ) . ^

(103) Nihil unquam suavias in meorum studiorum curricalo expettos sam ad magni

ZTJ^ r , . T' """'"""^ '^'"^ '"^•°"'^ 0#*m egregii. cuius titulus Remark,
M ^r yS(v/ ^"''"' '^ ^**'"» «^ Beniamino Robina in lucem editi anno
ti Si™t„ M :' """°" Appendicis Ubrorum quinque Sectiouum Conicarum Rober-
tx Simson, Matheseos in Glasguensi Academia Professoris. Edinburgi demio inx-

prcssorum

mo

^43

pressomm verteme anno M.DCC.L"*^ , ipslusque Scriptoris ( qui fato ccssit plus-
, quam octmgenarius anno M.DCCXXVIIF. ) Collectionis postumac Glasguae cxcu^
• «NL anno M.DCC.LXXVi**. sob titulo Ra6erti Simsdn Ofera quaedam reliqua .

(104) Gaiilaei Problematis coties praecitati fons est hic primxgenius^ et caput huinsce
utillimae in re geometrica et analytica speculationis . Doctrina etenim Galilaei ca-
sum unicum statuit et singularem rv C/ = o istius universalioris Problematis . Ce-
terum de antiquorum in quaestionibus Gfeometriae resolvendis dexteritate atque
•legantia audiatur Fermatius , qui id testaote Wallisio ( Oferum MatKematicorum

' T. II. ad pag . 859 « ) ita rescripsit ut sepofitis tanthper sfetiebus Anidj'-

seos , Prohlemata geometrica via Euclideana et Apolhniana exsequantur , ne pereat
faulatim elegantia et cotiflruendi et demonflrandi , cui pfaecipue oferam dedisse vete"
res innuunt satit tt Data Euciidss , et aiii a Papfo enumerati Anaiyseos Libri .

(105) Istud Prbblema Pappus recensnit in Praefktione ad VII .UihtvLmCoilectionum

etc.,ad pag . 163**'°. editionts praecitatae anni M.DC.n . , hisce verbis transcriptis

e Locit Fianis Apollonii Pergaei ( p*. 162 0- ^' ^ duohus functis datis rectae lineae
inflectantur y et 'fit quod ab uua efficitur eo f quod-ab aitera dato maius quam in fro^
fortione , functum pofitione datam Circumferentiam continget . In Volumine eximio
ita inscripto V^ria Ofera. Mathematica D. Petri de Fervtat Senatoris Toiosani tAi-

. ta Tolosae vertente anno M«DC.LXXIX^ ( Adnotatio 31 . ) exstan^ inter cetera

Apoiionii Pergaei Libri duo de Locis Pianis restituti , ubi ad pag . 32. ac 33. con-
"struitur facile demonstraturque praecedens Problema . Quinimo xesolvitur etiam
analogum a Pappoomissum j^Si a duobus functis datis rectae iineag inflectaatur t et
fit quod ab una efficitur eo , quod ab aitera dato minus quam ifs froportione , fun*
ctum fofitiom datam Circumferentiam continget ,, quod ApoUoiiius forrasse lina cum

primo solutum dederat. Hanc 4^"". Fermatii propositionem Libri ir\ Moncttcla

indicavit num*. 3'^ Ce sera encore etc. Notae (b) ad pag. . 264 . Voluminis F. ,

correcta tamm Schematis ^7 « «umeratipne. * qvvm sit 2({. Dum autem. Problema

sic enunciatum ftrisset „ Dato Circulo OOOO , culus centrum / ( tig . 78 . ) , da-
tisque in AI punctis A^S, hivenire Lo^um gtomttricum, in qm> sha sint puncta
innumera S,S,S,S etc. huiuscemodi legera servantia, ur AS ad SO tangentem
Circuli dati sit semper in data ratlone „ quaenam resolutionis diflffcultas , quomam
f alcnli ambages experiendde statjm ocuHs obversarentur ? Nihilo tamen minus est
idem prae^tum Apollonii Prbblcma , et in GaliUeanum vettitur, ^i limitem,
casumque facillimufti , semel arque Circulus ille evanUerit, auc mAgis magisque di-
minutus in. ^entrum / tandem desieric. * r

(106) Infinitophili argueretit heic subtiliter esse ac mystcriose BC:o::o:o,sive 00; l ::
o : o, a quibtt» tamen castas Gcometrarum aures of&ndcntibusmiracolis semper sem-

L 1 perque

244

perque abstiiiebo. Plemmque enim contingit acutissimiingeniivtro»Infiniti pniesti«
gia animi aestu correptos quodammodo effingere, iisque summopere delectsri,
adeo ut e^tum illud Sallustii saeptus recurrat Vsstus ttuimus imiaodirata , ium^
dibilia , nimis alta semfer cupiebat . ( Legenda est non sine fructu Dissertatio Dt

V Infni dbsolu confidere dans la graudeur ( a pag*. i*. ad 46""*. 3 * numerationir

in T^. II . Misceliaueorum Taurinensium ) par le Ptre GerdU Baruaiitg hodienum

Hyacintho Gerdilo S« R. E. Gardinali ) . Mathematicus quidam ludum olim ingenio-

sum proposuerat , quo demonstrare pollicebatur unam eandemque fbre Curvam

' Parab6lam> et Hyperbolen Apol!onii . Alia inter ratiociniUm istud instituebat. In

Parabola CID ( Fig • 79 • ) sunt. Ordinatae /0 , 10 uti Bectangula segmentorum
CO . OIX^ CO.OD ex Conicarum doctrina. In Hyperbola C/D» cuiOs Asymptotae
fuerint AT^ASM, etOtdinatae lO^IO uni Asymptotarum ASM parallelae, ideo-
que OL , OL magnitudinis infinitae , ob proprietatcm universalem Sectionum - coni
aunt lOML.IO.OL veluti CO.GD,CO.OD, et idctrco lO^IO in proportiooe
CO .OD^CO . OD quemadmodum Parabolam adtinet . Ergo etc, Nodus solvitur sta«
i| tim ac supposltam aequalitatem infinitarum longitudinum OL » OL male supposi-

• tam .moneamus . Nam OL9OL proportionales sunt ex adverso rcctis IBylB alteri
I Asymptotae AT aequidistantibus (vel quibuslibet invicem parallelis usque ad

ipsam Asymptotam ) , adeo ut CO . OD : CO . OD ::IO.IB:IO.IB » secus atque tn

* Parabola. E contra in Apotlonii Parabola Diametrorum portiones OL^OL etc* in-
I finite - longae in ratione stmt aequalitatis , quum in hac sint propordone tespondeo-

tium Parametrorum lon^tudines infinitae , quae Diametrorum limites adtinerent
aese cum Ordinatis suis confundentium •
(loj) Si ABC Conus rectus fuerit» et ideo ex praemissis i^iST parallela et aequalis
BC , ttti etiam AVf duae Ellipses cum Basi Circulari BECD congruent eiusdem
Coniy unde profluit dimensio Conicse Superficiei quemadmodum in Elementis pas-
sim habetur.

(108) Nam per X ducta aJTi parallela BC p erit ex propiietatibus rectarum AB , AC
clementaribus LX . XV itX.Xa:: AF^ iBF.FC^ nimirum ex Problematis constru-
etione AF'*tCF.FB:=^HX.Xe:iX.Xa, unde oritur LX.XV^HX.XBi
^uod propter aequales VL^HQ in Tria^ulo coBtinga» nequit,.nisi fuerint LX^
XQ \ VX=zHX^ et porallelae VH.L^ ob- tuugulft HXV.LXQ ad verticem op-
posita ac aequicrura • —

(109) Dom Conus fuerit rectus tota Figura evidentissime in Circulareavertitur Circnmfe*

rentias amceutricas 9. q^uarum Centrum A , nuUaque Latera eas tangere possnnt » nisi

aliter Coni vertex in Infinitum rece^t* Angulum AIQ z=z AMN =: ANM Latenun

tangentium Xie quo paulo superius)', quem efEciunt cum Chorda. MN etc. defini-

CB

vi . Quem autem efficiunt cum Axe AE , Sinum habet -75 7-- » cuius Anguli

AB'+ AC

duplus est MAN, a Lateribus tangentibus simul efformatus. Circumferentiae ita.

a Late-

^45

.. a Latf ribtis taftgeiitibiis diiridiinttit , «t MD : ME ; : MDN: MEN: : iSo* — MAN :
180'' -+ MAN ctc. ctc.

(lio) Constructio baec est simplicissima in puncta invenienda Q' , R' contactuum EI-
llpseos 4atiie y Laterumque AM , AN Anguli dafi, Fiat XMiXZ veluti Axis coniu-
gatus ad transversum Ellipseos .' Ducatur AZ , et ei normalls XV, in qua secta sit
X£k = d^fo Scmittvi transverso . A puncto A eMittatar ^ A parallela ad XA usque

\ ad occursum ctam AZ-^ Dtmnm a puncto A discedat AQfCR' perpendicularis ad
AX , eruntque Q\K contactus quaesiti, Omnia pendent a Tangencium proprietati-
bus Circuli atque Ellipseos inscriptae.

(lll) Ita dictum in §*. l"^. ' , , ' .

(113) Constat hoc ex codem 5^ Z^°-» ct ex. fi?; 15^°. Edmundus Halleyus in TrsftUi''
cthnihus fhiiosophfdt ( N''. 203, ) Societatis^ Regiae Loodincnsis Mcnse Septcmbri

11

rcccnsitis Anni. MJDC.XCHI .9 dum calorcm SoKs metiretur {The profortiottal
. Htat of thi Su» ht M Latiiude» ) , peringeniosam et novam dimensionem Super*
ficiei Ungulac Cylindricae protulit » eiusque partium . Ars omnis innititur funda-
mento geometrico quod Planum UngDJlam in Cylindro cfficlens, Sphaeramque si»
mul secans inscripram, horum Corporum Superficies transversim sectas ita deter-
minet , ut prima ad sccundam sit in Ratione Tangcntis ad Arcum Circuli sui , ni-
mirum ut altitudo Ungulae in diametrum Sphaerae , aut Baseos Cylindri » ad re-
spondentem Arcum Circuli maxinri in candcm diamctrum , sive ad Sphaericae
superficiei sectam angularem portionem ; ex quo consequitur Ungulac Supcrficies

■

aequalis Rectangulo akitadinis suae in diametrum Baseos . Frincip ii buiuscemodi
dcmonstratio etsi faciHima fuerit» concedit tamen simpUcitati » qua paullo post utar
in Quadratumm ipsius Ungidae. rursum shtendam • Quae etiam Qmsdf0$t$rs iHko

. prodit a Functionc tnmsaendeuu f dp V'! -**•€##*. ^ Arcum Etiipdcum cz inven-
• tis Le Gcadar«ignifioante {^N^s 148.). Nanr evadcntfe i exeeiririeftate e, abit in

/*dp . Sift, ^ = I — . Coi. p ( non — Cot. ^ , ut ih Tabula Capitis V*\ et Problcmate

25**1 ad pag °*. 151 . ct seqq. Sectionis I^» Partis I*^. fyftitutimufm Cslettli lute^
- jpr#/ix habet Eulerus ) •

(113) Vohuncn XVm . pro anno M.DCCXXXIII'^ in lucem edkiim Petsopoli rer- Sectio 11^1^.

tcnte anno M.DCG.LXXIV**\ &i eo exstat Ditsertatio pag*. 71*. et seqq., cui do-
. ^tissioHlf Auitor titulum fccit Scw Seriet iufnita maxitue couvcrgens Perifiretrum "

Ellipsis extrimens . Vidc huius- Exercitatioms 5"'". 44^. in calce . Alcmbcrtus

etiam nonnuUa prodidit ad hanc ipsam Spartam omandam in Parte I°". Volumi-

nis V*. Opusculorum Mathcmaticorum , et signantcr in fine §\ IV. Memoriae

XXXVI . ad pag**. 24tf*". atque 347 . de rectificanda {>crin|ictro EUipscos , sed
valde gUQffgatsc ae magna ixccntricitatc pracditae , ct idcirco prope vcrticcm /n-

mfun

246

mum cum Parabola ferm« » vel maxime oUmgM Hyperbda congrtMHrif . NoTa qwe-
dam et admiranda nuperrime promlit Le Gendre in Mtmormbilf^mp Scientia-
rum Acaderaise Parisiensis pro aoflo M . DCC . LXXXVI*. , editis tamen arnio

M.DCCXXXXVin . Duo inibi exstant jD(^rttf//w« cl. Auctoris , nimirum AfJ-

moin iuf Us iMtegrations far Arc; ^TEJlipoi » .paig*..6l6" waqm ad 644**" , et
Second Mimoirc sur iot InUff^utiom far Arss J^^tUif^ « Bm Jutr im comforsisom ds

CiS Arcs a pag*. 644**. twque ad 684'*"*. Leganmr praescrtlm J***. 11*' Diffirtatio'

uis I**. (pag*. 6l8.).et $"*. III " . ( pag*. 62a) , quibus Series-infinitae pechiben-
tur pro Arcubus dimetiendis Ellipsium haud valde exdentricarum ^ Arcusque men-
snrantur valde ^;tfr^«mVx^niMi Eilipsium ope tiottssimi 'll^heorematis Comitis lulii
Fagnani . Ceterum quomodo condi possent Tahuiac Infefius memorarae Arcuum
EUipticorum in Calculi Integralk coouaodiim perinsigne .Ii)(iicto» censtat ex praeci-
tatis Dissertationihus » praesidio etiam impetrato a The^rematwa eeleberrimorum
copia I quorum mentio alibi occurret .

(l 14) Consulantur prae ceteris Caput Vl""". ad pag*'. 343 * 529 "*. eJ 536***. , ac

Tabuia pag . 564 . mei Operis Maguitudinum Expouou^iaiium eic. , ac signanter
quo loci disserui de nova Hyperbclae f«#i/nftiir« ab ea Circuli derivata, ec de
Circulari atque.Hyperbolica Trigonometria. Quinimo cuneta bitegralia, quae ab
HyperbQlae .conicae Arcubus pendeant» nec novum fmtfmiv/oiiiitfiii quantiratum
genus, hec novant . parere difficultatem ostenderunt Eulerus in Voinmine VII^
Sovorum Commentanarum Academiae Petropoiitmnae » loannes Landenhis in Trautu^

. oti^nitmA lomdfifenfitms^mAM.D€€.tXKV\ (N*^. XXVP. Partis- It^**. a pag*. 283,
ad ^,A^,ivvj{fiifmti(m ofmgenerat Thsorem firjndimg tha ieu^t ofuufAres ofConic
Hyierboia by meaus of fwo^ Eiiittic Arcs , nt^hspme o$herj^ ^mf mefui Theo'

remt dedftced tUs^isfram ) ac fasiu#^ in- Opere edito sub anmim M.DCCXXXX"™ et sic
inscripto ( Mathematicai Memoirs respecting a variety of subfects ) i atque onuuum

nuperrime Le Gendre in >. c^ , praesertim $•. V**. et p^g\ 634'*. I"...I>m/#«4-
tionis ( Rectifcation de P Hyperboie par tEiiipse) . Tabuiae Ucirco , de quibus lo-
CHtus sam ih ttnt6eessttm,'sr pro Arcubos tantummodo Elirpticis cbnderentur, usui
ctiam essent pro.'flypetbQ]icj& injreniendis. Methodbs fecillima tradiftfr a cl. Le
Gendre / innitituraue Cdf^vlo digirentiarnm iariimiium. Exoriare -igifur tfliquis
Geometrarum , qui Analyseos amore percitus Trigonometricis iamdudum condi-

. tis et Logacithmicis' Ta^iv//^ illas- aJiiciat totam hanc complectentes Magnitudinum
transceudetitium fanuHaov. . . ,

(115) Harmfwa ^ensurarum etc. (Transact. Phii. T. XXXII. N^ 3:2. §• Vlllr pag •
^39-) ' 'rraite dts Piuxions par M. Cotin Maciaurin etc. editionis Parisiensis anni

M. DCC.XilXV-(vide Notam 19. ) Volumett U*"". Liber II". Caputffl'"". pag*.

191*.

247

19^ . ac §^, 758'^. ct seqq. Huius tatnen Hyperbolafum EUipslumque harmomae
summum apicem tetigit Le Gendre , qui duo transcenJentittm Functionum species
in unam eandemqup coniunxit. {Notae 113. et 114.).
(116) Istliuc ipsum absque Trianguli diffenntialis praesidio ostendi poterit cum Eu«

clide ex posterius adsertis in 5°. 65*°.
(ll^) Traiti du Qalcul Integral = par M. de Bougainville y le jeune — a Parif

M.DCCLIV. in Partis t^ \ Caplte XIV'° ad pag*". Joi'" et $T CCV"".

(118) Natura etenim et constructio Integralis iubent ipsum evanescere dum x=:am
( Vide Notam quartamdecimam Antelogii ) . Nec locus est in hoc Integrali acutis-
simis exceptionibus ab Eulero deductis dum Prooemium scripslt Dissercationis ,
cui titulum fecit Exfofition de quelquet Paradoxes dant le Qalcul Integral in Volu-

mine Commentariorum BeroHuenfium pro anno M. DCC.LVl^®. ad pag . 300
atque sequentes. Dum ista de completa integratione ex vulgato Analyseos canone
repeto in mentem venit amoenissimae enarrationis occasio . Eram iussu PRINCIPIS
in Lacus cuiusdam viclniis Etruriae antiquae celeberrimi . Oportebat 9 si non ve-
re , saltem proxime , depressionem ipsius Lacus metiri , eius aqua per cunlculum
eff luente . Cum Viro Mathematlco rem simul agere conventio fuerat nec sine ho-
noribus , nec sine fama . Torricellii lege ad facilltatem recepta , Sociorum quidam ,
ne praestantissimi ingenli sui periculo fraudaretur , illico Calculum Tabulamque ita
disposuit, ut quamvisnocte dieque Cursum Wolfii pervolutasset , conftantis addendae
haudquaquam meminerit . Monstrum exinde natum arithmetico - hydraulicum .
Conftantis omissae amlcum ipsum Geometram monui , et monui citissimo, ne for-
te risus aut Plautlni sales Congressus dignitati, speratoque eventui quidpiam de-*
traherent . Heu ! quam miserrima humanarum est rerum oronium vicissitudo !

(119) Ex adverso namque legitlmam illam ac veram Formularum matrem aut raro
invenies in Analy^eos Iniinitorum Elementis Tractatibusve » aut semel atque in«
venerisy remotissimis derivatis ab alia Formula adnumeratam reperies» et adeo

confusam , ut matris honore penitus orbata sit . Ex. gr. Alembertus in Memoria VII

Voluminis I . Opusculorum Mathematicorum ad §§-*, V**"*. ac VI^"*". et pag**.

-39*" 240™"". Formulam tractans diferentialem -^«^^*'^ * -^^'^* -'-^^^*^ , non

Va* - «*
modo eam veluti omnium difereniialium , quarum integratio dependeat ab arcubus
Sectionum - coni , genitricem et caput esse haudquaquam cognovit, verum etiam
ad illam integrandam ope EUIpseos necesse habuit, ut reduceret substitutionis
praesidio ad alteram Formulam derivatsm , perturbata atque inversa harumce ex-

pressionum genealogia , - Js V2ce' . V j , in qua M>tf aut rt («* - Af*)

V{a^^M')-^2Ms'-s''

M m negati-

ma

248

negadTttm, sciUcct «* ^ ^ > a , quod n comparatione meae Formnlae frh

2U

ll^H-r*

migemoi scatlm adparet » quia ■ ># , »ive (m^cY aut (c — if )* > o. ( Vi-

cle quoqtie finem $ . 54* . ) • Istud Alemberti , Mathematicorum huius saecuU £a-
cile principis , ezemplum luculentissimum ad Algebrae ordinem et clariratem me-
lioribus inposterum auspiciis servandam Geometras omnes excitatum iri confido .

(120) Consulatur Dissertatio praecitata inAdnotathnc II3*. ad J. 3'"" sub finem.

(121) Eulerus enim in eodem §^. 3*°. ad pag . 73 ^™. hac utitur substicutione

X

s

* I H- X S*

r = —- vel *» = 4- ('-»-«)•

(123) Nam Eulerus in (^ 2 ^ ad pag . ?i . I. c. numeratabscissamjrabEllipseus
centro , ideoque Jx et Jz positivi sunt Elliptico Arcu crescente » dum ex adverso

in mea metbodo abscissa «(aut OC in Fig .31.) a contraria Ellipseos centri par-
te desumitur , crescit decrescente Arcu Elliptico , atque vicissim . Ut igitur
^mraeque hypotheses consonent, ri dx aut dz positivum in una fit negativum in
altera.

(123) Volumen II . Academiae Petropolitanae praecitatum in AJn^atimte 38^*., edi-
' tum anno M.DCCLI . > in Disquisitione » cui titulus est adposinis De reductiwc

Unesnm cwrvsrum ad Arcut circularet , ad annum M.DCC.XLIK . relata , dum

altera respondens anno M.DCC.LXXIII*^ in lucem prodiit vertente M.DCC.LXXIV*^
Temporis igitur intervallum vigtntiquatuor annos completos et amplius ( scilicet vi-
gintiquinque in adsueto cemputandi modo ) complectitur . Quam igitur Eulerus
Formulam posteriorem invenit elementi Arcus EUipseos, eam ipsam a primo eius
tentamine in demonstrationem consequendam doctrinae Bernoullianae adeptus ae«

que (uisSet. ( Vide §^. 9 . ac lo . intimo fbedere nexos)«

(124) Hifloire de t Acadimie Rt^ale det Sciencet etc. de Berliu in Tomo pro anno

M.DCC.XLVr. , typis cxcuso siib anni lapsum M.DCCXLVIir'. , cuius meminit Ad-

itotatio 20 . , ubi exstant Recherchet tur ie Calcul Integral par AF. D* Aiemhert
= Secoude Partie = Det Differentiellet qui te rafporteut i la rectifcatiou de t El*

iipte ou de t Hyferloie. Perlegantur prae^ertim pag'^ 200 . ac 20 1 .

(125) Bougainvillius in Tractatut praecitati {Nota ii? .) Parte I . ad pag". 198.

199., Riccatus in hftitutionum etc. superius memoratarum (Nota 21 .) Volumine

1,1***'. et signantcr Capitc Xffl*". Libri I*. ad pag*". 207. et seqq. , Cousinus ( cuius

laudes

149

biuits ab Aletnberto ipso eelebrantur in Praefatione Avmiffemeftt ad Vo«

lumen I • OpuscMlorum Mathemmtieorfm pag^. XIII \ ) in Lectiomius suis ica in«
scriptis Ltgons 4e Calcul Differeutiel et de Calcul luteiral^z a Parit^ M.DCC.LXXVQ.=

ad Partem 11 "". pag*'™'"*. 456**". ct seqq. Quibus omnibus addantar, si placeat»
Element du Calcui Integral^ Premiere Partie^far iet PP. Lt Seur etjacguier, a Parma

M.DCCLXVin. in Capite VH'"*'. , quod a pag*. incipit 448''*.
(126) De inventorum horumce epochis Maclaurini et Alemberti loquuntur Adno*

tatio 19°^. » initium $ . 42 V, aliaeque Adnotationet 20 . et 124^^ Methodus au-

n«

tem f quam sequitur Maclaurinus » perTegenda est l^. c^» in eadem Adnotatione 19 .

dxS/ X

(127) Hoc Integrale f ' ■ tribuit Maclaurinus in ^** 799'^- ai pag*'- 225"°*.

et 226**"*. Sttbstitutiones autem praedlctae occurrtmt praesertim in JJ *• 804 **► et

8o5**. ad pag**. 229"*". ac 230"^'.

(128) Ab Aequatione consimili secundi gradus Ellip.seos utriusque Semiaxes deducunt

Analystae etiam omnes praefati ( Bougainvillius P. c^. ad § . CCII °°^. et pag*'.
199. 200. ) . Qui primus autem Ellipses gemina,s timiiet eidem Problemati resolven*

do idoneas detexit» fiiit Alembertus in $®. XVr. ad pag ; 202 . Actorum , de
quibus supra , Berolinensis Scientiarum , Literarumque bumaniorum Academiae . De
binis iisdem ElUpsibus conicis in Functionum differentiaiium integratione consulatur

acutissimi Leonardi Euleri doctrina ad pag^^. lo. II. 12. 21. ^Sie^S^.VoIominisX™'.
Novorum Commentariorum Imferiaiis Academiae Petropoiitanae ^

(129) Quadratum enim r» ^-+-fiV~> sive t» w( Cw. 9 -*- VIT . Sin,p ) =:
m^ ( Cos. 2p H- ^ZIT. Sin, 2^ ) nunquam reale esse potest » si casum B=o hic non con-
templandum exceperis. Consulantur e&, quae de Formuk universali (&-^J^V~)'

= ( «• -^- >* ) * ( Cos. xp + v^rr. Sin. xp ) facto p Arcu vel Angulo , cuius Tan-
gcns sit -^, demonstravi in Capite V . et pag*. 318^*. Optxi^ Magnitudinum Ex'^

poneuttaiium . Ceterum = = l — r j -+9 v-t

in casu a:=zh tsj~ ex conununibus etiam Algebrae regulis constat *

(130) Praecipue perlege Bougainvillium in g^ CCm . pag . 200 . 1. c.

(131) Correxi Typothetae errorem paullo superius commissum in punctit A,H etc.t
ac rectius manuscripsi in punctis A ^F etc.f quemadmodum etiam alibi laborcm
hunc improbum sustuli . Umites definiti variabiiit % praesidio descripti Circu-
li perfecte congruunt cum iUis a Bougainvillio traditis sine Grculo in Num''.

CCIV*. Partis I^Vetc. ad pag". 2oo'"*". ^^20^*". (iS^)

250

(132) Vid€ prac cetcris BougaioviUIam Ntim*. CCI*.f Cousiimm 1*. c*. in AJu$t4^

m

tione 125'*. » ct si vclis Infiituthntt ctc. Riccati et Saladini , EletnentM etc. Lc Scur
ct Jacquicrii in antca mcmoratis Capitibus.

(133) Bougainvillius crrarit in pag .199 . 1 . c . , qua scripsit far ia proprtiti conmue
de VeUlfse #0 awra 2pa 4gal au quarri du demi^ axe conjugui . Nam zpa quadratum
peraequat intcgri coniugati Axis Ellipseos . Idcm rcnovatur crror ubi ait U quarri
du mCme demi^axe ionjugui sera 4qaa.

(134) Hacc Figura quo ad Scmlcllipsin iisdem literis transcrlpta cst a Schcmate 6*^
Fartis I*^ praedicti Operis Bougainvillii , quod Schema fundamentum statuit uni-
versae buluscc doctrinac ab eo traditac ez Alcmbcrto in I*^ Partis Tractatus sui

de Integraii Calculo Capitlbus XIV°. XV^ ac XVI^^

(135) Systema Ellipscos atque Farabolac heic coniunctarum nulliu& sccum adferc

imagiuarium. Ex adverso in Bougalnvlllio ad citatam pag . 199 . slc exponltur
Acquatio Parabolae aa ^{q - i)xx = az veluti supra nunciavi , scilicct ^ xx=^

«

a a

' — (« — tf ) , quae nisl apte invertcretur , ob ^ < I > ct idcirco Farametrum

f— I f— I

negativam , imaginariam Parabolam ApoUonlanam exprlmeret . ( Gabrielis Crameri

Introduction a VAnalyst des Ligues Courbes aigibriquts = M.DCCX. = passim , scd

praccipuc ad pag . 228*'**". etc. Tab. X. ) .

(136) Semiaxis enim transversus est nunc ad coniugatum ut I H- VT: 9 ^ VT ^* ^^

monstratis , vd ut I H- \/ ^" • VT" ( ^ "^" V^ V) » «ivc ^t I : VT, aut demum a\a VT»
qui sunt Semiaxes homohgt Ellipsews Bougainvillianae .

(137) Haec Farabola cxplicita cst in Figura punctis adpositis literlsque iPIQY , et
quo ad primam depictam FDG inversim iacet . Methodus eam describcndl per
puttcta ope Qrculi dati cst omnlum facillima (vide prae cctcrls Grandum in

Fropositlone I*, Vivianeorum ad pag . 32 . ct Vivianum in Fropositione

XXXIV". Partis ni**^ Libri l"", De Locit Soijdis etc. ) . Nec silcntlo praetereun-
dum censuerim geminos nostram Formulam construendi modos h?c traditos ad
Curvas semper similes perducere . Nam de duobus Ellipsibus idgenus similstudinem
iam demonstravlmus : duas autem Parabolas esse semper similes inter se Elemcnta

conica statuunt. Suntque Parametri Parabolarum , a{,\'-q) in dupHcata

ratlone TfcV a^a^i^q) Semiaxium homologorum Ellipslum.

(138) Ut aliquomodo iudicium fcratur de hac Analytica ptoprietate , quoad Algebrae
vires slnant hactenus imperfectae , molimentum qulddam proponam ceterls in cal-

ce hiiius $ . non absimilibus anlmadversionlbus aducicndum. Infinite-parvorum

Ccome-

251

Geoffletrta , et doctrida ipsa Pascalll ( vide $§"*. 36. 37. ) sistunt tUmtn$um AccuS

EUipseos conicae ' . Elementiiin Itaque Arcus EUipscos imd*

pnariae , in qua vice a subeat a V^^ a<1 mentem contextus , . eric

dxxl ^ a'' ^ x^ -¥—^— . x^ dxxl --a^^x^-^-^—.x^

, ■ — t SiV^ potiufi j ' — , Aut

cfe^/rr.ytf»-+jP»-4.^=lL.;r» ifcrV(^*-4.;r*)H-(^.** JV^

i

9

quod est Binomium classem illorum adtinens , quae una constent parte reali , altera
imaginaria » auc ad hoc Binomium , dummodo vires suppeterent » intra finitorum HmiUS

Teducendum . Hanc igitur expre$$ionem / ' ' — '

•^ V «»-+■**

qui per e ^ a ^/~ multiplicaverit ^ efficiet Produ^tum {^'^a^^) y^ .

/ /•^V(-'-^-'')-*-(i--^*)^^-N

V / , J ab eo non abslmile neque ifl Fatttrum

qualitate , neque in Intimo eorum Sensu , quod riafe ostendimus per destmctionefn

imaginartQrum ad calcem 'J . 32 *. analytico omni rigore servato . {magihariorum

eliminatio aflBsLtim ab Algebra perhibetur. At eremplum elegantia atque admira-

^ d^ I ■. *
tione nuUi comparandum «uppeditatlntegrale f .^^Lr relatum ad crs 1 ; quoj

./ V --Lft

Integrale loannes Albertiis Eulerus ostendit ;=?i/7r » sive Radici quadratae Cit'*
cumferentiae Circuli » cuius Diameter i . ( Sur U temt de la Chute ^ un Corft

attire vert un ceutre des /brces en raison reciproque des dijiances ad pag . 250 . et

.mo

seqq. Actorum Berolinetijium pro anno M.DCCLX . ) • Oblitus fuit autem inventio-

nis ipsius , quam iamdudum ediderat in Tom# V^**^ Acfordm veterum PetropoiiPauo^
rum pro annis M.DCC.XXX. ac XXXL Lepnardtts patec . eius , fuse loquutus de
^ f dx{^Lxy . De utrittsque methodorum concordia alibi edisseram .

(139) Absque subftitutionis praesidio istbuc ipsum dincte etiam. consequimur a For-

mula frjmitivac filia, superius io §^* 32™ . et alibi animadvcrsa ,

Na as/H

^V ^ / ■ ' . Nfcm vetio « In #V~ fie

•^^^— *-(^)

^a/sT-V^

2C^
d^V/5

f --

■'v/=I.V-(^) — -(^*)

V(^-^)-(^)—

(14«») E«t Ptoblem* s"". BoagaiovillU «4 P«g". ais'**". et seqq.tc Num*». CCXV"*.
CCXVr*". ae CCXVrT"". 1'. c . Et $i fbntem adire velis » consule Alembettum in
Pffoblemte VI^^ ac pag . 2o8^^ ct seqq. AcPorum Bcr$Iim4i(ft AcaJcmiac ad an*
nam M.DCC.XLVI . perttnentiam «

(141) Vide 1°'. c^*. ac potissimum Tabulam in Adnotatloui 114'*. pracmemoratamj, et

§f' 321"". S:?**""* Capitis Vnr\ ad pag". 560. 5fo. Operis Maff$itudimMm Exp^
uentialium itc^

{242} Qttid «imile ocuiis Lc;ctonim -subiecl in §^. 32 . sub finem , atque in Adnota*

. ttpnc 138 . Ctteroqain , at amea moaui » haec imagindriomm eliminatio familiaris
ianidttdttm est Analystis i quinimo usque a percelebri Formula Cardanica Aequa«

tionum cubicanmi irreditciHlinm » scilicet , usque a Saeculo XVI .

(143) Integrale Functionit dif&rentialis buiusce fbrmae elaboratissimum » ac prae

omnibus difficillimum extilbent Scriptores recensiti in Adnotationt I40 . Sed ha«

iiia pene abundantiae doctrina Pascalii non eget , eoquod superius ad calcem $ - 3'3 '

et initio 33 . idgenus Formulam Arcum Hyperbolae repraesentantem satis est la«
culenter edocuisse . Cetera enim Cartesii Algebram olent» neque ideo coniundenda
«ont cum Tbeoriae fundamentis »

(144) Carus singularis fcuiuscemodi Formolae est /^, ^ ^ ^deqaoettemtoqoan

.iU ^M

tur $ . 22 . et Adnotatio 122*. Antequam vero illum iterum versem , admoneo

vo

baud recte fuisse primicus expositiun ab Alemberto dum scripsit in Num^. XVIU .

ad

253

td pag . 203 . \ . c . teferri ad Arcnm aequilaterae Hypobobie , ciuus Axis 2s

vo

vice 2/ . Bougainvillitts tamen errorem typographiciun emendavit ia N**. CCVUI .

ad pag*'". 204""". VoUwninis aut Pattis 1"**^ etc. htegraih ^^lcnii ..
(145) Omitto Semiaicem alterum a resolutione praefatae Aequaclonis procectencenm

ro _M.... (c — ay-hh*

veluti in §^^ »8 . > icllicet ^ ' ■ . Hic etiam EUipsin adtinet timiiem ,

2c

COquod t ^ :. -rr

2C 2C 2#

r

ex Calculi speciosi Elementis .. Plenissima est igicur huiusce geminae Ellipsews in
Plano et in Cono harmossia .

(146) Calculus enim eodem semper innititur fiindiamento 9 etsi prolixior ae Eastidiosior
ob novam quantitatem adiunctam . Sed algorithmi molestiam omnes norunt cum
theoriae difficultate non confundendam .

(147) Totum semper regitut argjamentum. a Propositione. Elementorum recensita in

$*^. 65'*.. (vide AJaotatiowim. utf*".)..

(148 BougainviUius Num*. CCI"'*. pag*: 199"*. etLemmate F. Partis. 1"'*! Ista vero
Elenienti Arcus ElUptici forma , quam ex Pascalio deduxi , perfecte congruit cum nu-

perrlma ab ingeniosissimo Le Gendre (vide 1"". c"". in Adnotatione II3^\ ad p*".,
617. ) dudum tradita dp Vl — c*.Cos*. p ( seu Jp Vl-^c^.Sin^.p ,. aut

Jn — = A> V^^^^ir Sin^.tt. uti scripsir Malfatcui- 102 fi^. 6*®. et

pag*. ISt^. 1 . c . a Nota 23'*: ) , in qua Jp elementum significet Arcus Cictuli

circumscripti » cuius diameter sit Axis maior, huius medie;as sit l , atquec^xcen-

tricitas. Curvae .. Nam si Formula reperta , et per ea » quae dicemus in sequenti

I . dx /
§°. , ad maiorem Axin devoluta ,, ita exponatur . V l — c* jp* , ubi « = Cas^p^

dst

tt '■ ■ ^dp X liquido constabit adsertum .. Id porro Maclaurina notum iam

fuerat ^ quomodo patet ex calce Num \. 8o6^\ Tractatut Finxionnm », quum k exr
centricitas sit in Formula ab eo producta ..
(149) Alembertus ^ Bongainvillius >. Le Seur et Jacquierus „ Cousinus etc.. etc in

1 • c • ex Formulis. istis , quarum Denominatores. sunt iinmiaies 9 eas derivaverunt
trinomiaiibus Denominatoribus adfectas , quas supra tractavimus . Idem sentiendum
de pioxime sequentibus Formulis • Ergo Pascalii doctrina duplici modo ad postre-^
maa Formuias iutcgrandat perducere potest .

O50I

^54

(i5o) Consule Bougainvilliuffl ad Lcmma 11^"". Num''" CCVlT"". ct pag*'". 203'*",

in Remargue ctc. Partis I'"**.

(151) Formula quoq^ie heic reperta unico duce Pascalio cum ea Bougainvillii con«

gtuit in Partis I™**. Lemmate 2 . Num°. CCVF. ac p*. 2oa . explicata . No-
vam hoc in postremo S°. adhibui methodum , quae tribns etiam antecedentibus
aequo iure tractandis potis erat, ut de argumenti copia luculentius cocistaret.

(152) Hoc patebit ex §"", 65^^ , idemque admonui tam in Antelogio adpag*"*. IX*",

quam in Adnotationibus I16. et 147

(153) lacobi Bemouili Bafileenfis Opera edita Genevae vertente anno M.DCCXLIV'.

in Volumine P. ad Num • LX . et pag .611 . haec habent „ Cuius rei ra«
M tio est, quod post differentialium formulas

99 — , quae opc quadraturae Circuli et Hyperbolae integrantur , simoli-

^ ., . . «*^« <J*^/« a^dz

„ cissimae ferc videantur hae expressiones ■ - , — ■ ^ — z:i=zz= ,

V**-tf* Vj64_^4 Va^^z^

z^dz
99 — * , ct similes , quarum frima mediante Lineae Hyperbolicae » secunda et ter-

„ tia Curvae nostrae Lemniscatae , quarta eiusdem et Ellipticae rectificatione integran*
„ tur. y, ( Bernorullius Fraternatu minor id equidem ignorabat, quum eodem tempore de

Curva f/4/r/rif Jisserens (Num**. CLXXIV*^ Tomi I . ) scripserit Couftru^tio itaque
Curvae habetur nudiante jjuadratura spatti, cuius naiura exfrimitur per hauc aequationem
^^zz — x^zz == aa i^. ) . Nihilo tamen minus Alembertus ( ideoque Bougainvillius ) ,
aliique pene omnes Analystae Bernoullium ipsum inventi honore privarunt. (Con-

sulatur breve Prooemium , quod exstat in pag . 200 . Actorum Berolinenfis Acadf

miae pro anno MDCC.XLVr*. ) . Non autem id fecrt Maclaurinus . ( Vide pag .

316^*". Voluminis II '. Fluxionum Tractatus Parisinae editionis).

4181 ocn

(154) Praeter 1 . c . in Adnotatione proxlme superiori perlege Acta Eruditorum

Lipsiae Septembris M.DC.XCIV, ad pag . 536*^". atque sequentes .

(155) Lemnisciita a Graeca voce XvjfJL>i(ncc^ ( non Xs/jLyiffxog ut male scriptum in articu-
lo Lemnisque Lucensis editionis Encyclopaediae) originem ducit. Lexicographorum
plerique hoc vocabulum omiserunt, quod ex auctoritate Cehi significat implicitum

in longitudinem lineamentum . (Henrici Stephani eHLAYPOS TH£ EAAHNl-

KHS rAnilHS), , ,,

255

(156) lacobus in Acfis 9 quofum meminlt Adnotatlo 154^^., scilicec»Melisis Septembris

«nni M.DC.XCIV . TaUm ex voto sese fifiit Curva ijuatuor dimenfiomtm • ^uao

formam refert tacentis notae octmraru 00 , sen compiicatae in nadum fasciae , five

iemnisci , d*un noeud de Jtuban Galiis , Editoris Nota (b) ad pag*". <lo*". Volu-!

minis praecitati io Adnotatione 153^ Curvam ipsam LemniscatamzAig^VLBX, loannes

autem Bernoullius in Actis iisdem Lipfienfibus Mensis Octobris ad pag*". 894**"*.
Lineam eandem descripsit in formam erecti r« 8* (Johanais Bernouiii Oferum

. no

omnium T. l N°. XIX . ) •

(i5t) Vide 1°^ c^'. in praecedentibus Notis ^ ac signanter Opera lacohi Bemouiii in

Volumine 1"*^ ad pag*". 609**". Dissertationis , cui titulum fecit Confiructio Cur*
vae accejjus et recejjus aeguabilis ope rectificatijnis Curvae cmusdam aigeifraicae «
necnon lohannis Ber/JouiiiOferaomniaLsimnme etGenevae edita anno M.DCC.XLn*.

ad pag**". I2l*"l Disquisitionis ita inscriptae Confiructio faciiis Curvae receffus ae*

quabiiis a puncto dato per rectifcationem Curvae aigebratcae , in Volumine I"^. So-
lutionem Prcblematis generalissimam primus edidit Varignonus in Actis Acade-

• miae Parisiensis ad annum M.DCC.III*"" (pag*. 140. et seqq. Voluminis Acade-

mici ) .
(J58) Giornaie de* Letterati ^ Itaiia in lucem editum a celebcrrimo Apostolo Zeno

Venetiis in Tomo XXIX"''. pro anno M.DCC.XVn"'^ , sed anno ( uti dictum ) se-

quente M.DCC.XVIIT^ evulgato sub auspiciis loannis Gastonis Etruriae Principiff

«d Articulum X"". et pag**". 258^*". Ibi cxstat Diatriba sic inscripta Metodo per

misurare ia Lemniscata dei Sig, Giuiio- Cario de* Fagnani . ( Vide Adnototionem 18^'°'. )•
(159) Tottts Fagn^nt labor innititur Hjrperbola aequilatera e€ huiuscemodi ElUpsi »
quae maiorem Axem suum ad minorem habeat in proportione VT : i veluti'in
primaria Ungula Cylindri recti. Descriptio facilis iscius Ellipsews, quam ego Pisis
dctexi » haud parum elegantiae ac nitoris speculationibus addet Fagaani . Hanc igi«

tur brevi communicabo . Sit Circuli quadrans lAV^ in Fig*. 80'"*. , ductisque
quotlibuerit Ordinatis Radio normalibus SB ,TC ,VD ,UE ,XF ^YG , ZH etc. , ita a
puncto A , Radii extremo , Rectae inf lectantur , ut AL :i= SB , AM— TC , AN =: VD ,
AO = UE, APz=XF, Aq^YG, ^R = ZH etc. Puncta £ ,M,N,0 ,P, ^^Rctc.
erunt in Ellipsi Fagnani , cuius Semiaxis maior EO respondens puncto E bisectio-
nis Radii quadrantis generatoris , et AE = EI Semiaxium minor . Nam producto
Radio AI usque ad K ut sit IK=zAI, erunt B§* , CT* etc. , sive AL^ , AM"^ etc.
ve'uti KB .BA.KC.CA ctc. Ergo BL^.CM' etc. in proportione tCv KB.BA--
BA"" .KC.CA^ CA* etc. , sciliccc , 2AB . BI, 2AC . CI etc. = AB.BI,AC.CI ctc. ,
quac proprieutem sistit Eliipseos . Praeterea 0£^ = 2i4iB.£/ = 2^* , atque idcir-

Oo co

056

co 0£ ; /IJ? : : \/ 2 : I . Exantricitai huius Elllpseos Semiaxi cst aequalls , iuxta Ma-
claurini expressiorem saepius adhibitam , quemadmodum ex Conicis pat^t. Dum
itaque gignitur Parabola coniea producendo Ordinaras Quadrantis ita , ut £Y ,
Hn,/A etc. Chordas ^V, ^Z,-/40 eiusdem Quadrantis adaequent, ex adverso
oritur singularis EUipsis Lemmseatae inserviens statim atquc eius Chordae AL ,
AM , AS etc. pares fuerint SB ,TC , VD etc. Ordinatis Quadrantis . In hoc autem
consistit nova EllipsewStParabolacquc barmonia . Ccterum qui prolixiorem quam par
fuerat Fagnaui methodum ijHthitieam funditus cognosccrc cordi habuerit vel adcat

jum^ c°" in Adnotationc proxime superiori , vel eius Opcrum Collectionis Volumcn

11"". ad pag*°\ 343"". et scqq^ Maclaurini vero, qui dc Fagnano siluit, tractatio

Lemniscafae ipsius exstat praccipue in §**. 803 . ad pag*™ 228^*°*. et seq.. 11 \ Vo-
luminis Fluxionum ctc. gallicc translatarum ab lesuita Pezenas MassiliacHydrogra-
pho * Ellipsis illa cadem cst, quam summopere postmodum inlustravit egregius

Gcomctra Lc Gcndre hisce fideUbus verbis V Eiiipse don$ texcentricite est. Xf -^

eft rtmarquahie en ee que V exceiuricite eft egaie au demi-axe coniugue ; de sorte que
€ette Eiiifse tient frecisement ie miiieu entre ie Cercie & tEilipse infinimtnt appiatie

§u ia Ligna drQite . ( Vide l"*". c. ". in Adnotatione 113 . ad S"""^ XVIl"*". paginam-^

que 6l!sr^'^. ) .
(160) Quomodo rectijicatio CMtVKe Eiaftieae pcndeat ab e&dcm ForffluIa„ quaepraebcc

aft

Arcum Lcfflniscatae, vidc in praecitato Opeic Maclaurioi ad pag . 313. 314. 315%

316. H . Volufflinis. Ars innititur omnis hoc fundamcnto , quod s sit Chorda
Lemniscatae » Abscissa vcro Eiafticae aut Unteariae . De illa tamcn simpliclorl Eia^

pica loquor » cuius Acquatio fueric = , sivc potius x* =

, ant tandcm unlversalius dy = — veluti inferius admo*

V rf«* H- rfj* y/a^ '-^ *♦

neo . ( lacobus BernouUius in Diario Eruditorum Lipfiae anni M.DC.XCIV' . atque

XCV . ad pag . 262. et 537. et in Memorabiiibus Academiae Scientiarum Parisien-

sis pro anno MDCC.V . pag** 176 *. cditionis Academicae ac pracscrtim ad Pro-

blcffla n^"*. , vel potius Operum ctc. in Volufflinc I\ ad Num"". LVIH. ( pag'. 576. )

ct ad Num°". LXVL ( pag\ 639. ) , atque in H^ Volumine ad Num"'". CCIL (pag *•

916. 987. , Volumen IV""\ Operum loannis Bernoullii ad pag*"", 242. Num"".

CLXXiV. » Tomus III'* '*. Actorum vcterum Academiae PctropoUtanac ad annum

M.DCC.XXVin^°™. pag'. 64 *. ct seqq. cditionis Bononiensis anni M.DCC.XLH '. in
Disquisitione Leonardi Euleri , cui titulus Solutio Probiematis deinvenienda Curva^
quam format lamina utcumque eiaftiea in singuiis functis a fotentiis quikuscumque

soiiicitata ,

soUtcltata , sive a pag*. 70"*. usquc ad 85'**". cditionis Pctropolitanae anni

M.DCC.XXXII . , Encyclopaedia in vocc Etastique etc. ) .

(161) Nihilo tamen minus lacobus ipse Bernoullius Elafircae inventor descriptionem

/* %^d%
huiusce Curvae > quae codem redit atquc rb / — , ita depraedicavic Qk zra-

J y/a^ ^ -54

vei cauffaf susficar Curvae noftrae coypructionm amiliius Stcsionis^Conicaeseu ^ua^
dratura seu rectifcasioue fendere . ( Vide Acta Eruditorum Lipfienfia anni

M.DCXCIV". ad pag*". 2:a*^*'" , Tractatum Maclaurini citatum ad pag*"». 313'*'".

II '. Voluminls ctc.) . (Landcnius l^. c*^. Philosophicai Transactions etc. T. LXV.

pag^ 289"*» solutionis a Maclaurino datae defectus Geometras monuit ) ..

(162) Vincentius Riccatus tam in II . Voluminis II * Opuscutorum ad res phyficas et
mathematicas pertinentiuai Bononiae in lucem editorum anno M.DCCXXIP. ( ad

pag". 89. 90. ) , quam ^gnanter in I*. quatuor adiunctarum Epifiotarum missa ad

Pium Fantonumi2™ Kal. Nov. M.DCCLVII. (ad pag". 123. 124.) de hac For-

mula cgit wtegrandA . — — , = — ; sed nescio quo pacto

\ aa -4- azi • y aa — z% Va^ — »♦

tantam tantamque in rc clarissima prolixitatem ofienderit,. ut elisionis duQrum
sequalium arcuum EUipsc&JS opus habuerit ..

(163) Consulatur Adnotatio 153**. Ceterum Eulcrus ipse in Voluminc X'"^ Novorum
Commentariorum Imperialis Academiae Petropoiitanae varias inter Functionis diffe-

rentiatis ibidem animadvcrsae transformationes ,, quas complcctitur Problema V*"*.
«d pag*". 24""*. ct seqq., hanc perbibet

Vf-^gz^ .V/iH-A»*

etx

/-1. ^L\\ L i — ~ir • V 771 rrr — l admodum in adplicationc ad

LemniscatamfflcamethodQprolixiorem^IhcasacnimfacilIimo,dc quo nunc loquor,

z^dz dxVx* - a * — dxV x^^li*

tit — / : = / "" — 7 — , quorum Differentiatium po*

y/a^ — z^ V-jc*-*-2ii* V;r*-2a»

strcmum ut pracsldio Arcus Hypcrbolici integrctur „ totius opus est artificii in J*.
44 . expUcati .. Diversa autcm mcthodo ^ sed codcm ducente , Alembertus nuperri-
me usui est in Epistola ad cl. De La Gcange ^ cuius meminit Nota 265 . Idem

quoque rcperies. ia VIl"^. Ofusculorumf Mathematieorum Volumine (pag*. 76^*.

/* z*d%
r ■ ■ ■ /■ positivi* omnibus ftg>h,k cxsi-

V /-+ ^« . V fc -+ *2«i

ttentibus a rectificatione EUipsewa obtineri docmt t quam tt in aliia casitus consi-

deravit

258

deravit simul cum .Itcra occumenica Forn.uIa ——=^—= .i^e

(164) In praccitati D/Vir« fti?/W Volumine XXX"*'. anni M.DCCXVm^. ezmt ad

Articnlum IV*". ct pa^*". «:"*" Metod^ di mUutare ia Lemniseatm di Giuiia
de Fagnam. Schediasma seeondo. Heic Arcum Parabolae, cuius Aequatio fuerit

^zzx^ , sciXiQCt y JdxVx^ ^l Auctor cl. comparavit , aequalemque reperit
Arcui Lemniscatae* Completa vcro ipsius JParabolae Acquatio csc (i^VT )*>—*' »

a . Miror Alembertum in Voluminis I • Opu*

seuhrum Mathematieorum Memoria VU"*. ad pag*". 233**". ne tiominato quidem

Fagnano Arcum primae Parabolae cuhieae identidem expressum f dx V *♦ H- l ,
et ab Hyperbolac atque Ellipseos reetifieatione dependentcm post undecim ferme iu-
stra iam elapsa adseruisse . Si Scriptorem Italum memorasset et Hyperbolam ae/jui'
tateram essc et EUipsin eius ^szc speciei singularis, de qua mentio £icta in Adno'

tatione 159°^. , addere potuisset . Silentium idem invenies in Parte I°". Capite

Vn"^ Num°. CCLXXXVf^ Pag *. 483. 84, Elemeutorum CalcuU iiseegraiis PP"".
Le Seur et Jacquieri. Meditationes quaedam antiquioxes eiusdem Fagnani tam de
alteriui Parabolac x^ = a^a^y Arcubus, quam de Lemntscatae Perimetri quadrante

bifariam secando exstant in pag^*. 256. 125^. ac 258. Voluminis XXII \ praecitati

Diarii , de quo loquitur Adnotatio 268^*. ; atque de postrema Curvae bisectione

cgit iterum cl. Auctor in Articulo V". Tomi XXXIV \

(165) Verba Leibnitii sunt bacc in Lipfienfihus Actis jVfensis Augusti anni M.DC.XCIV .

„ Sane si quadranda cssetFigura ordinatarum V a^ -4- x^ ,» nimirum f dx V /»*-+- jr*,
„ per extensionem Curvae Hyperbolicae res pracstaretur „ . loannes Bernoullius io

Animadversione ete. , quae exstat in Num^. XXIII . Tomi V\ eius Operum ad p*™.

137*" ifa rescripsit. „ Verum Vir celeberrimus demonstrationem huius publicarc
., haud gravabitur : ostenderetur enim cunras Parabolae cubicalis primae et Hyper-^
„ bolae invicem dependere , et unam alteram mensurare; id quod nobile pror-
„ sus , et omnino novum esset inventiim in Geometria „ . ( Adde Diarium Li"

psiae anni M.DC.XCV*. ad pag*". 64"".). Ceterum iam supra ostenderar

cadem in *pag*« '^^ f dyVy^ H- «♦ Arcum Q^^e praedictac Parabolae, et ideo ,
quum istud Integrale ad constructionem perducat ex Leibnitio Isoehrouae - paratWf
Jtricae, ad quam cx Bernoulliis ducit etiam Arcus Lemniseatae, nemo non vitlet
Arcum postremac Lineac, iiliusque Pajrabolae unuai coniicere idemquc Problema

usque

'^59

usque. ab anno M.DC.XCIV'*. Le Sent et lacquieriis in EUmtntorttm T; paullo
antea c°. adiirmarunt „ Donc la rectification de la premiere Parabole cubique de-
,, pend de celles dc V Ellipse , ec de V Hyperbole ensemble , et non pas de V Hy-
yy perbole seule c$mme /* ont et^ ^uelquts gratids Geometres „ . Rectius Alembertus ad

pag^"*. nuper citatam ,« Ainsi la rectification de la premiere Parabole cubique
„ ne d^pend pas de la recti/ication de V Hyperbole seule , comme ie crojoit A/.
„ Leibnttz . >,
(i66j Proprietates quasdam eiusdem Lineae mechanicas , atque opticas contemplabor
in Pereiiiams, occaslone praesercim Epistolae Pauli Frisii ad Angelum Fabronium

Academiae PiSaaae Curatorem , quae exscat in Volumine LIII* . Literatorum Dia'

rii Pisis edito vertente anno M-DCC.LXXXIV'". Non autem is ego sum , qui Fri-
sio , Perelliique vitae Scripcoribus ceteri^ mordicus succensere in animo habeam .

Omitcam levia, veluci quod pag". 57. 58. enumerentur inter casus celeberrimi
( iX(X<^SiV ) tactionum Problematis a Perellio resolutos tam ille Elementorum , in
quo per tria puncta data transire debeat Circuli quaesiti Circumferentia , quam
alter Euclideus , in quo ea concingere debeac cernas rectas pariter datai ; quod
inter anecdota recenseatur Peritia de Fulginiensis agri Torrence » quem vo-

canc incolae Marrogpa , quum ex adverso impressa iam fueric in Volumine IX'^

ad pag*". 212"*" ec seqq. usque ad 229"*" Coiiectionis sccundae Florentinae de Re
aquaria Scripcorum etc: etc. Seria non perfunctorie , sed nequidem contumeliose
percingam, tacus a prima usque iuvencuce ( quemadmodum alias innui) haud pa-
rum decoris ec dignitatis scientiis omnibus defiiturum si disciplinae severiores sa-
tyricae orationis stilo , aut immoderati fiabulatoris more agerentur . Unum tamen
religiose servabo, incorruptum, scilicet, sanctumque veritatis cultum iuxta Numi-
smatis Regii in instauratione cusi Scientiarum Academiae Taurinensis vertente an-

no M.DCC.LXXXIIl'°. poscicum apdphtegma VERITAS ET VTILITAS , atque nu-

perrimam Nummariam epigraphen iubence FERDINANDO 111*^ Magno Ecrusco-
rum Duce ac Dbmino meo in subdicorum exemplum insculpum LEX TVA VERI-
TAS . Cetera nunquam curabo .

(167) Ita e$t in pag*. 259***. Voluminis XXIX'**. l}iarii ItaSci) neque emendatus fuit
error tam in eodem Volumine , quam in Tabula aut hdice correctiomm adposito

ad calcem XXX"^'. Tomi. Poscmodum Auctor ipse errorem suum , fortasse.monitus,

castigavit in Art^ -V^ a^ pag*". 2^"". Tomi XXXIV'*.

JL

*— f aa — XX ) *

(168) Ad vocabulum Lemniscate . Editio tamen Lucensis praebet Aream —

3

* . --(«*-«•)* «»

H- -- vice tk — f- — . Habet quoque in voce Elafliqiu llo^ pro 1705.

(Vide Notam 160.).

P p {169)

26o

(169) In Capite Vlir^ Novae Thcoriac MapihuJhum Expottiutialium etc. ad pag*".

(170) Perlege idem Capiit Vllf"*". ad pag*"*. 553^'". Operis praecitati. De illa rur-
sum Lincae generatione in PereWams meis disceptabo ut eam , quam Leonardus
Eulcrus in illustrandam Testudinem Florentinam protulit Curvam ichnoirafhicam

Aequatione praeditam jr- = 3*- — — »-, cum mea penitus consentire liquido con-

stet . ( Videatur Pars I', Voluminis XIV\ pro anno M.DCC.LIX"^ typis edita an.

M.DCC.LXX*"". Novorum Commeutariorum Academiae Petrof$iita»ae in Disquisitione
De Formulis Integralihus duplicatis ) .

(171) Consulatur Adnotatio 66 . Dum autem epocham sisto mensurae Superficiei

Cyclocyliftdricae a Robervallio traditae ante annum M.DC.XXXV"" , ideoque
etiamUngulae Cylindri recti, menda quamplurima castigabo de dimensionum epo-
chis Curvarum quarundam Superficierum in Dissertatione occurrentia , cui tituluf
Ratio complauattdi Superficies curvas Corporum quorumlihet Geometricorum F. K,

alias inter comprehensa a Volumine IX****. Supplemetttorum Diarii Upfienfis ad Se-

ctionem 11^*" ct Pag*". 4s"° Triangulorum a Citculorum maximorum arcubus in

Sphaera clausorum mensuram Auctor tribuit lacobo BernouUio ( an. M.DC.XCI"^ ) , ci

Thomae Lagnyo (an. M.DCC.XIV .), quum ex Adnotatione i'"*. idgenus lionor

Cavalerium adtineat ( an. M.DC.XXXn ^ ) . Nihil addo de Triangulorum Sphaeri-
corum area a minoribus Sphaerae Circulis circumscripta , quum ad Trlgonometriae
supplcmentum omnium primus nuperrime boc argumentum tractaverit Alembertus

in Volumine IV ^. Melauses de Philotophie et de Mathematique de la Societe Ro"

yale di Turittt ac signanter in $**. I^ et pag*. i2X^^.Recherches Mathematiquossur

differens sujett , cuius § . titulus sic Inscriptus Sur tes triaugles sphiriques , formis
far des arcs di fetitt eercles^ atque in calce epocha habetur ce 23. Novemhre
M.DCC.LXIX. Adserit praeterea Superficiem Conorum obliquorum dimensam fiiis-
se ab anottffmo Geometra Gallo veluti Hifioria tcstatur Regiae Scietttiamm Acadc

tniae Parisiefifis pro anno M.DC.XCVIII^^ , quum ez adverso hunc Geometram non
attonymupi > sed Fetrum Varignonum » istum non primum , sed Aegidium Roberval-

lium ante annum M.DC.XLVII"'". de Superficiebtts illis mcnsurandis ac complanan*

dis disseruissc Adnotationes 16*. ac 429*^. ct 431"*. documentis abunde adlatis
ostendant . Insuper addit portiones Superficicrum Sphaeroidum atque Conoidum

primos complanasse Bemoullios vertentibus annis M.DC.XCVf*'. ac XCVn"^,

absqueoquod dimensionis integrarum barttlUGe Sttperficicrum mcntionem Jcceric a

Crlstiano

26l

Chvisdano Hugenlo usqne ab anno M.DCLVII'"^ ct LVIinf. complanararum ,
TJt ipse farcrur in Opere suo de Horologio oscUlatorto Lutetirie rarisiorum^diro

anno M. DC. LXXIII . a pag*. p *. ad ^-j"***", Partes , subiungit, Supcrficiei Coni
rccti Grandum prae omnibus invcnisse quomoJo in Plano extcndantur anno

M.DC.XCIX''^ in Vhtaneorum dcmQfjJiratiotiis ProlUmatxn Apfcndicc Florcntinis ty-

pis excusa , quum ex adverso ipsemet Grandus adfirmet in pag . XIV . Pracfatio-

nis ad Tractatum suum i/ir Quadratura Circuliet HyptrMac, 3 *^. editionis (M.DCC.X«),

id praestitisse loanncm BernouUium anno M.DC.XCVI . Ulterius proffreditur , nun-

ciatque Vincentium Vivianum perinde ac si anno M.DC.XCII ^, simul cum Leibni-
tio primltus invenisset complanationem partium Sphaericae Supcrficiei , obiitus Pro-

positionis 30"^^*^. Libri IV' . CoUcctiofmm Mathematicarum Pappi Alexandrini , qua
idgenus complanationem , et quadraturam M,CCC. annis elapsis ante Vivianum p^r-
fecerat, adeo ut Mathesec«;s historiam haud parum offenderit Nomismatis Viviano
consecrati ab eximio Sculptore loanne Baptista Foggino epigraphe QVl PRIMVS
ET SPHiERICAS SVPERFICIES NIL RECTI HABENTES NOTIS RECTANGVLIS
OSTENDIT ^QVAS. Accedit tandem in calce Proamii Superficies Corporum

rotundorum universaliter complanavisse P*". Reyneau in Articiilo 614 . Libri VIir\
r^^ Analysc dimontrce . Sed hoc inventum ab Isiiaco potius Barrowio ante Scriptorem

illum fuisse evulgatum in Lectionum Geometricarum Xll"^. editionis Londinensis an'.

M.DC.LXIX . (pag*. 105. §§, L 11. Fig. 156. 57.) neminem latet, ne dicam de
Andrea Tacqueto lesuita , qui primus omnium fundamenta iecit dimensionis rotuh-

darum Superficierum in Propositione 26 . Libri IV . , ac praecipue in 14'*. Li-

bri V*\ CyUndricorum et Amularium editi anno M.DCXIX™'. ( Vide Volumen al-

tenim Collectionis cius Opcrtim ad peg**. 121. 122. cditionis Antucrpiae anni

M.DC-tXIX^l ) . Bonum iUum Scrlptorem , qui italice vertit Tomum XVm^"'". TY^g

Hifl^in de rEglisi Kacinii , cditionis Florentioae anni M.DCC.LXXXIII". > cxcusa-

tam libenter velim dum pag . 285 . de Pascalii stadiis mathematicis loquens no-
men RouUttey nenipe Cycloidcm» ignarus rcddidit ia Girella. Ignoscendum tamen
haud iudico de mensttra Superficierum scribcnti veram Superficicriim historiam
penitus nescivissc •
(172) Hasce equidem proprietates admodum &cile cst cxplicarc sola ctSam geometri-
ca Synthesi duce . Quod quum non cffeccrim Ln 1*. c^. Magnitudinum ExfQnentia*

lium etc, ( vide Nctum l6g . ) , nune brcvi adimplcbo . Modus duccndi tangentem

a puncto quolibet I Lenmiscatac (Fig*. 81"^.) in co» quodsequitur , continetur .
Describo supcr axem unius Folii Semicirculum 4BC y et Parabolam conicam
ADC inscriptam in Quadrato ACDE , ac frimum verticcm habcntcm in A , quae

temae

262

ternae simul Cufvae Tholum Vivianeum comitantur ex allbi demonstratis • Le-
mnlscaca AEC ea Linea esr , quae gaudeat abscissis i4f aequalibus chordis Semicircu-
li AG , sive ordinatis Parabolae HK^ ordinatis vero FI aequalibus ordinatis HG Se«
micirculi ipsius. Patet istud tam ex diescripcione Curvae superius tradita,quam ex

alrera in J°. 58^^ propc finem exposita. Si tangentes igitur GL^KM Semicirculi
ducantur atque Parabolae , Geometria docet Subtangentem pro puncto I Lemnisca-
tae quaesitam repraesentari a quarta geometrice proportionali post dlF : dFA ::IF ,
sive post dGH: dGA : : GH, zm post dGH: dHK: : GH. Sed dGH: dHK est in ra-
tione composi ta dGH : dHA = GH:HL, et dHA : dHK = HM : HK =? 2HA : HK.
Subtangens itaque Lemniscatae ad punctum I erit quarta geomctrica proportiona-

HL HK HL AF

lis post 2G//. HA : HL . HK: : GH, scillcct —-; — , aut ^ ^ ^ » vel bifitriam

2riA 2,MiA

. • ^ HL.AF HL.AN IF^.AN

secto axe in N erit Subtangens — -77:7 — » sive — -tt; — = " - p „^ , quemad-

Hn

modum Analysis speciosa suppeditat . Quod Aream adtinet » in aperto positum esse
liquido constat. Nam ex Curvae genesi P£ = Abscissae elemcnto , scilicet Elemen-
tum Areae z=:OQ . PB — OP .CQ ( prc^ter /imiiia Triangula in Circulo ) = —

CO*

jrr" • dCO = RS . — C5 in Parabola ApoUoniana CRE, Elemento nempe Trilinei

CRED. Partes iginir Areae Lemniscatae » si compiKentur a sfodo A% auc verrice C»
geometricam quadratutam admittunt ex partibus petitam Trilinei notissimi Parabolici,
totaque Semifblii Area, quum Trilineo integro par sit CB£D, trientem Quadraci
axis AC^ duorumque simul Foliorum , scilicet totum Curvae Spatium , quatnor triett-
tes Quadrati ipsius peraequabit. Cecerum patet ex ipsa Ltncae, in qua sismus,
a Circulo generatione angulum. Curvae et Axeos io A semirecnun esse, propterea-
quod Abscissa nascems AG ad Ordinatam uascentem GH sit in aequalicacis Ratione •

AC
OtAiMtATxm maxima ET == BN =: respondet Abscissae AT—AB chordae

Qjiadrantis , scilicet , CA : AT „ ( 2CA : 2AT) : : W^ 1 ; quod consonat Fig^* 168 .

iti Tab . XXn^. htroduetitmis Crameri ( vid. pag**. 495. 96. vel Exemflum r"

§ . 192"**. in Capite XI™*. ) . Intersectio autem V perimetrorum Circuli et Le-
mniscatae ep loci cadit , quo FX= OQ ,NX=NQ ,CX=AQ , AX = AO . Igi-
tur Axis AC ita sectus eric ih puncco X ^ ut CA: AX: XC-^ , nimirum in exfre-
wa ac media Ratione . Quae omnia in sepcem Numeris praecitati Oferis demonstra-
tione omissa conlegeram.

(123) Pag». ^op"**. 11'*'. Voluminis memorati in Adnotatiaue 159"*.
(134) Sic praetej: spem ope istius non equidem novae , sed ab aliis ctiam animadver-

sae

fi63

S2ie Aequationis trigonomtricai intima utrlusqtie Lemniscatae cognatio statuitur ,
quae ab Aequatibnibus more solito expressis difficilius constaret. Neque omitten«<
dum censeo Denominatorem Cos^, p yel a Cos^. 9 sistere Ordinatam trigonofmtrh

cam aut Radium unius ex Ovalibus Villalpandi , qucmadmodum iaitio $ . 53 '. di«
cturus sum » scilicet » unius ex celeberrimis Curvis illis , quas illustrare placuit

Vincentio Viviano ( vide AdnotMonem 416 . ) > et fama est ab lesuita Griember-

gero repertas fuisse . Notandum etiam Denominatoreni euhdem , sed inversum , ~i —

Los » p

vel ' , - determinare Radium unius ex Lineis medianis a Clairautio consideratis ,

ct in J5'*. 50™°' animadversis . Quibus positis et duo Lcmniscatae et Ovaiis et Me^
diana praedictae arcto focdere coniunguntur .
O25) Descriptionis Maclaurinianae facilitas beic sine Hyperbole demonstrata in men«
tem. mihi revocat cl. Petrum Paolum > nunc in Pisano Lyceo sublimioris Mathesros
Antecessorem y ingcnio praestantissimum , et de omnigena Analysi cptime meren-
tcm , eam procul dubio antelaturum fiiisse constructioni suae minus eleganti Cur"

vae ae^ualis iiluminationis 9 si Aequationem huius Curvae «* =:Cos.2z (pag . 173 .
Opuseuiorum Anaiyticorttm = Dburni M.DCC.LXXX. ex Typografhio Encjciofaediae)

ad Lemniscatara BernoulUorum ( a = ±1 VCos. -iz ) pertinere meminisset . Con-

structio ab roanne Bernoullio tradita 1®« c°. in Adnotatione 156 . ad definiendas
maximas Carvac Ordinatas absquc usu iflfinite - parvorum facile ducit . Quum cnim

cx $®. 40*"°. Ordinata y =: y az — «a = Ordinata.e Circuli , erit y maxima dum 2 =
— , eritque simul ;;= ~ , et Abscissa Ordinatac maximae rcspondens * = y ar» -4- cs

3

v^

"T^ — Tr^^S » *^ denique radius tf Ordinatae ipsi maximae conveniens =

V

ar '^^* b

— -♦■ ••2 — S5 a radio Circuli Bemoulliani , sive — r:=r , supposito h Axc nnhis

4 4 V 2

Folii. Badius igitur Ordinatam mayiimam determinans angulum cfficiet 30° cum Axe

Curvae, eoqudd — \ a\\ Sinus aj Radium ::— - : I . Triangulum crgo verticcm

.3 2

habens in Curvae centro vel nodo , basem in recta coniungcnte duo puncta maximi

recessus ab Axe in codcm Folio. est aequilaterum inscriptum in Lemniscatae se-

misse . Idem , sed diversa methodo , et infinite - parvis usus, invenit Fagnanus in

^rohiemate I™° , quod Adnotatio reccnset l^S^*. sub fincm .
(1^6) Ita dixit loannes BeLnoullius in T. pluries citato. Haec autem Tangentium in
nodo ad semirectos angulos super Axem inclinatarum proprietas liquido patet cx

Acquationc trigonometrica a = ±: a ^CosT^. Nam ri V Cos. 2p limitem habet

Qq in

\

264

in © = 45* » quo pra^stetgresso sMapftarium tvniit . Et in hoc limlfe fit Cot, a$ =
Ccs. 90* = o , scilicet Radius » = o aut enascentis Lemniscatae minimum Latus
cum Tangentis directione ideo congruens.

(17?) Ad pag*"". etenim 122^*". 1*. c*. in Adnotattone 156" Circulus Bernoullii cen-
trum habens in centro aut nodo Lemniscatae ita perimetrum secat eiusdem Lineae ,
ot intersectionum puncta sint ea maximorum recessuum ab Axe . ,» Peripheria ....
tranfit per eius punctum remotijjiinum ab Axt »».sunt verba fiernoullli. Quod ut eve-

niat, Radius Circuli ad Axem Folii ex Adnotatione 175 . rationem habeat nccessc
cst t5 I ad VT", veluti superius ostendi.

(178) Cuncta haec demonstravimus in Adnotatione l^S •» mirequtf consentiunt cwm
iis a Fagnano Infinite - parvorum Calculi ope fusius expositis in Volumine XXXIV^

Diarii Literatorum Italici , edito vcrtente anno M.DCC.XXIIl''*. , ad Articulum

V*°" , et a pag*. 192"*. «sque ad 208^*". Supposito enim unius Folii Axe a' , ipse

xeperit Ordinatam maximam y= — jzzt «t Abscissam respondentem ■■■ .__ .V^3,

scilicet in hypothesi praecitatae Adnotationis , qua statuitur «' = i, et azz ,

Ordinatarum maxima est ^ , respondens Abscissae ^ . VJ. quemadmodum so^

pra . ( Vidc eiusdem Voluminis Proilema I"". ad pag'", 203^*". ) .

(179) Circulus ille y quo BernouUius utebatur ad Lemniscatae descriptionem , eo inscio
ficot eiusdem Lineae veluti in Cassiniana Ellipsi signabat. Si Fagnanus ambo Cur*
vas hasce unam eandemque Lineam geometricam ^isq suspicatus unquam ^isset »

quamplurimas illius proprietates , ex. gr. Tangentes » Maxima etc. » facilius admo-
diim invenire atque osteader^ pocuisset absque praesidio Calculi differentialis ( vid.

Volumen superius XXXIV"". ctc in ProUemate U^^ ad pag'"'. 204'*"*. ) . Nam Va-

YigDonus usque ab anno M.DCCJIl'^ in Memoraiilitus Scientianim Academiae Pa«
tisiensis elegantissimam methodum docuit ducendi Tangentem a puncto quolibet

Cassinianae . ( Vide ad pag '• 181. 82. editionls anni M.DCC.XX. Maniere prompte
otfacile de trouver les Touchantes de tElIipse de M. Cajftni) . Etsi Varignonus de
Cassiniana loquens Lemniscatam cum ipsa consentientem haud videriti ideoque de
maximis non egerit Ordinatis , totum tamen hoc opus ab eius constructione sic
brcvi conficitur . Namque ex doctrina Varignoni si detur punctum quodiibet / •

Radiique ab ipso ad^im ducantur BI,ffI{T\g^. ^2^\), et in directione B^l sit
10 tertia continua geometrica proportionalis post Radios eosdem J87, Bl% iunga*
turque BO f liuic perpendicularis /Q erit Tangens quaesita . Exinde patct quod,
quum in punctis D , D' intersectionum Lemniscatae ac Circuli , centrum C et dia-
jnetrum BB' faabentis , ob angulum rectum ia D atque B^D : BD ; DS -H- , sit etiam

BS

(265

BS perpendictilaris ad AC , idcirca fiat Tangens DT parallela aJ AC , atque D
( vel D' ) puncrorum omnium in Semifolio remotissimum ab Axe . Malfattus iniinite-
parvis plerumque usus neque tam clegantemy neque tam simplicem adhibuic modum
ducendi Tangentes , inveniendique Maxima Lemniscatae , quia fortasse ( sciretne
postea quaeram Cassinianae et Lemniscatae algebraicam identitatem) Varignoni

laborem iamdudum vulgatum nesciebat. {{^onsxjXzsiXVit Adnotatio 6 . mei Prodromi

in Nota i*. AntclooH huius E\ercitationis citati , et Opusculum DeUa Curva CaJJt-

ttiana etc. Papiae edltum anno' M.DCC.LXXXl"^. , ac praesertim ad Propositionem

V*". Partis ."*•., pag*. II. et scqq.) ct Proposiiionem IX*". ad pag" 25*^"
atque seqq. ) .

(180) Curva cst etenim mendax in Astronomia arithmetlca^ in Astronomia vero
phyfica impossibilis et absurda . Lata iam fuit Mathematicorum omnium sententia .

(181) Videtur Malfattus hoc ignorasse die 3*'*. Aprilis M.DCC.LXXXI. , qua scriptum

£onfiolio Malvetio consecravit Opusculum memoratum in calce Adtiotationis 129 '^^.
Nunquam enim nec in Praefatione nuncupatoria , neque in contextu Lemniscatam
nominavit BernouHiorum , etsi xmica fuerit Cassinianne species ac forma idonea />/;-
chronismo suo suscipiendo. Gregoryus omnium primus proprietates Cassinianae
praecipuas adnotavit in Trantactionibus phi/osophicis Londinensibus Septembri la-

bentis Anni M.DCCIV". relatis (Num**. 293. ad Schediasma I"". De Orbita CaJJi-

niana^Bj Dr Creiory) , sed impressis anno M.DCC.VI . > rursumque in Volumi-

ue I"*^ Aftrmomiae Phyftcae et Geometricae Elementorum ad Librum III "*". sub ti-

tulo Additio (id Propofitionem Vlir^^. praecedentem excerpta etc. in f^g^ . ^i^^\ 2^^\

editionis Genevensis anni M.DCC.XXVl' . Transformationes varias Cassinianae Cur-

vae complexns est Aactor ille percelebris, de ea abunde loquutus a pag*. 326^*.

«sque ad 334'"". praecitati Voluminis Astronomici . Focos , Flexus , Ordinatas-«ri/jr/-
mas rite recteque observavit , fbrmamque Lemniscatae ( ab ipso tamen haud nomi-
natae ) acquisitum iri tum , quum focorum distantia ad totum Lineae Axem fuerit
in proportioi\e t : VT. Circulura , qui centrum habeat in centro Curvae , ac dia-
metrum distandae ,;^r0nrfl9 aequalem, Ordinatas maximas designare monuit, non
secus atque loannes Bernoulltus de sua edixerat Lemniscfita . Haec igitur Linea ,
quam loannes Dominicus Cassinus in 5uo Tractatu de origine et progreffu AftronO"
fniae , gallice De t origine et du progres de /* Aftronomie , et de son usage dans la
Ceographie et dans la Navigation ( vide Recueil d* Observations etc. avec divers Trai'

€ez APronomiques = a Paris = editionis anni M.DC.XCIIl", ad pag*". 36'™. et V6-

lumen VIII "'". cActorum veterum Academiae Parisiensis Scientiarum etc. ) rei Pla-
netariae promovendae idoneam supposuerat , a Caelesti Scientia in Geometriam
translata inventori suo palmam pene praeripuit . Qui etenim Cassini nomen in hoc

etiam

0.66

ctiam celebrarc studuerunt Lineam candcm , quam ip«e modcste descrlpserat T. c^
CetU Ligne efi une mamere d* EUipse etc. , CaJpMidem nuncupare iciuria sunt adgres-
si vel ut graece vocabulum sonat, Curvam Cassini lineamenta imltantem, quem-
admoJum Conchois Ccnchae , CiJJois ( a KiSsi^ hedera , il^g forma ) Hederae folii
ctc. Eos inter a Graeca lingua aberrantes non modo cum Moncucla obstupcsco fiiis-
se 'homines eruditos, sed, quod magis rairandum sit, etiam Mathcseos simul ct

Graecae cloquentiae peritum Eduardum Corsinum in pag . 268 . Injiitutionum Mar

themaiicarttm , quas Paperinianis typis Florentiaeedidit vertentc anno M.DCC.XXXI"°.
Qucm dum nomino, absit longissime ut imparem censeam genuinis Graecorum ver-
borum slgnificationibus inteipretandis, aut confundere audeam cum Graeculis illis,
qui nocturna diurnaque manu versaverint Litcras in Lucerna ficiili insculptas

(Fig*. S3". ) ex Insularum quadam Maris Aegei nuper advecta, quac feliciorem
Oedipum adhuc expectant, aeternumque fortasse, oblato etiam praemio , expe-

ctiibunt .
(182) Usage de PAnaljse de Detcartes ponr dicouvrlr les fntriitcs des Lisnesgeomi'*

triques de tous les Ordres editionls anni M.DCC.XL"". {Eloge deJeawPaul De Gu^

vita functi anno M.DCC.LXXXV^ a pag*. 63"" ad ::"**"*. Hijloriae Academiae
Scientlarum Parisicnsis pro anno M.DCC.LXXXVP. ) .
(1S3) In Artkulo Elltpse de M. Cajftni . Linea Cassiniana (ipsc ait) // aa = 2f* au-
raVi» figure dun 8 de chiffre , ou lenmiscata ( Voyez Lemniscate) .

(184) Adnotatio in calcc Pag**. 552"^". mei Operis Magnitudiaum Exponeffttalittm etc.

Mcnse Augusto ineunte Anni M.DCC.LXXXr*. Magno Duti Domino meo conse-

crati. (Vide Vo'umen T". Academicum sic inscriptum Memoires de t Academie

Royaie des Sciences =Anncet 1284. 1785.= a Turin etc. M.DCC.LXXXVL Premiere

Partie = Memoire Hijiorique ad pag"\ LJV**"*. , Phihsophicai Transactions VoL

LXXlrf » London M.DCC.LXXXin. in Partc Il^*. ad pag*". 485**" J«"* S) • De
MS. ipsius Operis spccimine haec mihi scripscrat Gccmctra cximius Grcgorius Fon-

tana sub die f\ Maii M.DCC.LXXXL Gii anni sono Ella mi fece leggere ma-
mscrittJ un suo Opuscoio sul Calcolo Esfonenziale , che mi parve tanto beUo , e tan-
to mi piacque , che nou mi ricordo di avet letto in molti e moli anni cosa , che fik mi
piacefje ,
(185) Alembertus T. c^ in Adnotatlone 183^ , aliique ab Aequationc Cassinianae
(A:*-3/i:H-/*-*-y)(jc*-l-2/3c-t-/*H->* )=(«*-/*)'' ^" *!"* * Abscissam
a centro numeratam , y Or^inatam orthogonalem , a Semiaxem , arque / unius
focorum a centro distantiam significent, facto ^-=2/^ Aequationem \x -4-jr )
= a* (;»*—>*) dcducunt. Ego autem vcrsa vice ab Acquationc Lemniscatae ad

' punctum quodlibet in Axe distans a centro per intcrvaUum h = .— » ^^^ ^*^

Abscist

a67

Abscissamm Inltittm et caput, relttae, i^mirum ab Aequattene (x^^y^y

a*

( 2tf * — 2v^ a . 4* ) ( «*-»->*) = — , eam cum Cassiniana congruentem inveni , quae

simplicius exposita formam habet ( ** H- >* ) ( 4/** — 4/r H- ** -4- >* ) = ( j * — /* )* ,
v^l (**■+>*)* H-(4/*-.4A)(**H-jf*) = (4*-/M% tum quum /=
_f z

(iM) G#W^ tf/ ^fyiwo Schedlasma sopra la Lmmseata hserttd nel Tomp 29. Ji fuejlo
GiorwaU / dti Sig* Conte GiuUo^aflo de* Fagnani in praecttato Volumtne » de quo

loquitur Adnotatio 178''*. ( Vid. Problema m'''**. y einsque CoroIIaria i*^. ac 2"*".

ad pag • 205. 206. etc. ) • Fagnanus Sectoris centrici cuiuscumque CIA quadratnram
aimis e longinquo petivit > et facta de more Cborda /i4 = s » aequalem reperit il«

litts Aream Funetioni algebraicae in praedicto CoroHario 2 . At hic pedem

4
sistit y et haudquaquam novit viditque Aream ipsam elegantius breviusque parem

«* xy tf* xy

t$sz -r^ . —7- $ivc — . omni irrationalitate reiecta , veluti paulo post de-

^ 21 ^* «4. 4^*

monstrabo . Quod dum ostendero consequetur ad Lemniscatam Bernoullianam ne-

Va^ — «-* ^* *'J' ,, ., , •

cessano pertinere Aequationem ■ = — . — . Et re quidcm vera eadem

4 3 «

^st cum «♦ = «♦(! - 45/«*. (p . C<?J*. (p ) = iJ*[ 1 — (r — Cw.2?) ) ( I H- CoS. 2p ) J' =

a^ ( Cd/. 2^ )* » scilicet , s = ±= 4 VCos. 2 p . Qui nori trigonometrice » sed per eano-
nes vulgatos Algebrae Cartesianae aequipollentiam ipsam demonstrare tentaverit in-
cidec in AequaJtionem ( ** h-^» ^^*— «* ( «' H-y )*-l- 44-**' >• 2: o , aut [ ( x^^^Y
-4- iS* (4P* H->* ) - 2tf*JP* ] [ C jp* H->* )* -+4»* (*» H->* ) - 2tfy 1 = 0, cuius /f-
r/^r alceruter Lemniscatam denotat Bemoulliomm , et quidem iden$ieam , quum
species x , y convertibiles sint ex Aequationis primitivae natura .

(182) Demonjtrationem vide geometricam i)i Adnotatione 172 *.

(188) In Praeleetioniltts meis mathematicis , quibus olim Ephebos Magni Ducis ad
Nobilium Institutum studiorunr caussa advenientcs erudiebam , sublimiores et ma-
gis reconditas non modo HyperbolKe » veiilrrf edam universarum Sectionum Cchic
adfectiones a Lineae rectae et Circuli passioiribus ex Euclide praecognitis mirum

quam facile et simpliciter eoualeafe mihi c<Mitigerit . ( Gonaulantur Adnotatio 92 ^

^qufi initium §\ 49". ). Novus isee et mioteseisstmus labor fbrtasae aliquando Geo-
metrarum oculis subiicietuc .

(189) Propositio l\ Partis l'^**^ Opntenli italice scripri, cuius meminit propc finem

Jdnotiatio I»"*.

(190) Subsogata Uyperbohe Ellipsi , eadem est Cttrvae genecado , quam Maclauri-

R r nus

•268

nus protultt in Num». 803". ad fag«" 228"'". ac Fig"\ 306"'". Tabulaei Vm'**.
securxli ^iuxicnum Volurainis .

(191) Perlegc Montuclae Volumcn I""". Hijloriae Matheseos , ubi in Lib". V*°. Par^s

r°**. ad pag* .311. 312. cx auctoritate Procli Dladoclu Spifrcarum Persei Geome-

trae originem tradit. Vide quoque Adnotationem 24"™. et 4"" 6l"". Cererum
quomodo Lincae Spirkae cum Functionibus quibusdam Circuli transcendcntibus conscn-
tiant a Le Gendrc exposicis in Mefuorahilitus SciQnii^tviTa i^cademioe Parifiensis

rclatis ad annum M.DCC.LXXXVl"". {Natae 113. 148. 383.) constabit cx mcoCur-
varum earundem typis parato Specimine in Analectis etc.

(192) Haec cpocha liquet ex dictis in Aduotatione 19 .

(193) CaputlU""". LLbri II \ Tomi II *. Ttaetatus Fluxiomm a pag*. 225" usqijead
•^S^"*". sive a Num?^ 798^°. usque ad 812 "™.

(194) Titulum habet D^ Sectionum Conicarum rectijicatione » eiusque usu . ( Pag*. SjS -
ct scqq. ) . Latlne versum in Editione Bononiensi anni M.DCC.LXII . cst idem ta-

• men Opusculum cum altero Italico typis cxcuso vertentc anno M.DCCXVII"**, , et

$ic inscripto Delt integrazione della Formula ■ •^ ^ — fer mezzo degU Archi

V pr¥qtsi

EUittici cdjperlplici =• Differtazionf Analitica diVincenz^ Riccati delia Compagnis

di Gest) in Voluminc IV***. (a pag*. 3*. usquc ad Sl*"*. ) CollcctionisLucensis Ca-
xolo luliano curantc in lucem publicam cditac Memorie sopru ia F\fica e Ifioria Ntf-

turaU 9 d$ dtvtffi ValmttoMai eir Typogfaphco Vinccntii luntini . Heic ad pag*"^.

'4**°*. cnumcrantur Formulac Mackurifil , ad 3 ". vcro Fagnani in liac provincia
'exofnanda primi mcmorannir labotcs; quod ultramarini Scriptores noa feceranti

(Consulator ^ArdW/tf 201 "*.).( Vide insupcr CaputXlP". Inftitutionum Analyseot

praccitatarum in Nota 21"*. ad pag*". 191*" u. Volumini$)\

(195) Vidc Numcros 804"°^. atquc 805 . Tiractatus Fluxionum etc.

(196) In Num*». 8o6'^ ad pag""*. 23i""" H"". Voluminis.
(l^;) Numerus 809""*. ad pag*". 233'*"*. Opcris praccitati .

(198) Ista huiuscc Thcoriac ad Physiccn applicatio cxstat in Capite V . etposfremo

Libri II *. Trait^ des Fiuxions , cuius Capitis titulus ( pag*. 264. T . II \) Des re^
gles ginhales pour la resolution des ProblCmes . Adnotassc obitcr iuverit tempus de-
sccnsus ctc. Corporis gravis per Circuli Quadrantem opc Arcus Lemniscatae (sci«

licet ct Elasticac , uti patet cx Nota 160™*. ) a Maclaurino recensitum in Num®.

887*"^, multo ante ab lacobo Bcrnoullio invcntum fuisse. ( Vidc prope fincm Opus

postu-

269

II

* fo^ninum Arf muectandi fSive 'TTvx^fni^-yf f'^i*i^^^ ^™i M.DCC.XIK'.,

iibi /« Tractatu de Srriebus itjfnitjs ctc. lcgitur apertissime Tetnpus desceustts Pen"

' duli f^er Quadrantem Circuli ad tewpus per Radium quemadmodum Curva tlastica
ad Axem suum ) . Quae omnia dum cogito , in admirationcm haud levcm me con-
cltatum fuisse profiteor semel atque Epistolani perlegi Vincentii RiCcati , scrrptrtm

lordano Fratri carissimo pridie Nonas lanuarli anni M.DCCLIX *. ( Tom. II. Oj)«-

sculorum etc. )• ii^ qua ad pag.""* 157""" et seqq. de eodem agic ille Problcma-
te nec Bcrnoulllum , ncc Maclaurinum , nec Lemniscatam , neque Elasticam

nominans . Ad pag^"*. 281*". eiusdcm praecitati Tractatus Bernouliius adseriC
Leibnitium fortasse omnmm primum demonstravisse in Diarh Eruditgrstm Ls"

fjteftjf Annl M,DCXXXXIV .(pag*. 4^4) Logarithmicae Subtangentem esse conflantem.
Theoremata enim Hugenii de Logisticae proprietatibus , quas inter ad Numerum

4"°. est cmftans Subtangcns, serius vulgara fuertitit , scilicet Lugduni Batavorum

vertente anno M.DC XC°. Torricellius 9.utcm ante annum M.DC.XLVII""^. id ostea-
derat inter aiia eius Curvae symptomata , quae continentur in MS. Palatino sub
titulo de Hemihyperboia , aut universaliori de novis Lineis .
(199) Elemens du Calcul hitcgral par les PP. Le Seur & Jacquier =■ Fremjere Par-

r/ff ^=: ad pag\ 455. 56. ac Nuni"". CC.LX"^". Fortasse omnium primi Sctiptores'
isti. duas F<?rmuiaf H/pcrbolici Arcus claritet universaliusque evolverunt . Nstm

Bougainvniius ( aliique perie omnes) in Num^ CC.VII"". ad pag*". 203"". sui

Tractatus Partis I ". neque alteram explicuit Formulam ita , ut termini singuli
singuUs prioris Formulae comparari invicem possent, neque lectOrem admonuit ,
eodem manente q in gem»na Formula^ discriminis aut oppositi signi Coefficien-
ti? secundi termini , scilicet , « — ^^ = ^i ( i — ^ ) quo ad primum Axem ( Num°.
CCVI". ), et e contra fa' — *' = «' (^ — l ) quo ad Axem secundum, sola conten-
tus sententia On trouvira la memi transformei , cuius ratioriem adhuc absconditam

^^ 5*« 43 • inquirere et aperire curabo .

(200) Errasse mihi videtur Madaurinus dum scripsit ad pag^^^.^vjS'^" II'^*. Fluxio-

\.\\.

num .Voluminis suam Synthesin prosequutus rb — p^ — -- —

r verti ex substitu-

tione X —

2Zsf'

- in

IH-«« \/«.\/lH-

r^ > quum ex adverso hoc contingat positivo

S2

diffenntiaH -' ■ — , - In hac Fluxionum theorice saepissime accidit ut ea.,

2V jp.Vi — ^JP / /

quae 8 simpticioribus metbodi^ deriventur » difficilioribus adnumerare, aut inter
difficlliora repetere quodammodo gestiant Ekmcentographi . Ex. gr. in N**. XLir'^
td.pag*". 84""*. Partis !"«•. Tractatus Bougainvillu resolvitur facile

/

%1o

V-

, et rursum Nom». CCXLV". ad pag**. 248'*", ceaovatw artifi-

, ctsi pofitretnum

x\/a-¥fx^
hoc IntegraU tninorem habeat prae lam rcsoluto universalitatem . Idgenus vitiutn
ab Elementorum praesertim Scriptoribus cane peius et angue vitandum esse pu-
taverim .

{201) Non modo Maclaurinus,verum etiam Alembertus, dum in pag*. Qi^"*. Act<h

rum BefoUnenfium pro anno M.DCC.XLVI . ad Num"". 3'"". 8^*. Problematis egit

-4ix
de integratione Diflferentialis -rzi — . , « Fagaani bboris oblitus fiiit . Sileotium

V X . \a±=^xx

idem invenies in Minimorum CalcuVt Integraiis Elemeutit ad Caput VIT". Partis

rQin *' .^0 ^_ __f • T* • dX

I»V, seu Num"*". CCXXXIX"". ap pag '. 478. 79. , ulji Functionera —rr ,

V X . Wbb-^xx
longius equidem, quam par fuerat, integraverunt *

(202) Est enim secunda ex quatuor Formulis trinomiaUhus Maclaurinl , iam rcsoluta

in versiculo 13'^ Pag'^ 88'**.

(203) Mettodus universaUs exsta,t in Problemate 5^^ Capitis XV". Partis I""'. 7V4-

etaaus Boufalnvillii ad Numeros CC.XV- , CC.XVI, , CC.XVHL a^ pa^". 21^. , a^
que sequentes, fx Alemberti disquisitione transcripta. In Eiementis FP. Minimo-

rum plturi^s citatis ad Caput Vn°™. Partis I»^. hop ipsum Integtrale. cum suls ana^
iogis singulariter pertractatur , sed obliquius fortass^ et molestius . ^ Vi4^ . eixisdem

Oferis Nuin"". CC.LXXII^"'". sive pag". 4(^9"". 47<^""". #« 4.1{i"*", >.

(204) Consule memoratum nuperrime Commentatorum Newtorii Vohimcn ad Num'*.
CC.LX. atque CCLXH. , et Pag". 454*'". ac 45^'"'"'.

(205) Ita etiam iidem Minimi egerunt in Num^ CC.LXXX"*. 1*. c^ ad pag'". 480*"*.

(206) 5cllicet in Adnotatione J59"*.

(207) Qnum Alembertus natuj fuerit Parisiis die Novembris ^7'"*. labentis Anni

M.DCC.XVII"\ ( videatnr Elogium , cuius meminit Nota 2^. Antelogii etc. ) , liqui-
do constat Academiae Berolinensi inveftigationes suas dicavisse dum aanum agebat

vigesimumnpnum . Sed etiam Anno vertente MDCC-^^"^^-» scilicet, aetatis suae
vigesimoquarto coram Scientiarum Academia Parisiensi erroi;fis aliquot Analyseos

is A

demonftratae P . Rey neau de Calculo Integrall emehdavetat ( Fars I . Tractatus

Bougainvillii zA pag". 125^". 129''*^. e^aUhi); quae tonti ex«imata fui« emenda-
tio , ut in Ac£(deffii.cofui^ A^bo, Vii: ^^ sumixius i4n]na.tura e^v tempi^ut^ d^cribi.
meruerit .

(208)

371

(208) Notm pcrlege I9"*"*.

(209) Signanter in 1®. c®. , de quo loquitTir AJaotatio 124. . , et rursum in Volumine
altero Academico nuper memorato, sed in lucem edito Berolini (quemadmodum

cx Nota 20°"*. patet ) anno M.DCC.L"*'. ad pag*". 249"*"*. ct seqq. Suite dtt Rc
chcrchcs sur le Calcul Iftte^ral etc, = Troifieme Partie = .

(210) Ab Eratosthenis Cyrenaei Epigrammate ad Ptolemaeum Acgyptiorum Regcm

( Commtntarii Eutocii Ascalonitae in Librum II ""*. Archimedis de Sphaera et Cy^
iifidro ) procul dubio constat Conicorum invcntionem coaevam Platonis fuissc 9 pri-
mumque , qui de illis scripserit Curvts , Mcnechmum Eudoxi Cnidii discipolum .
Octavus cnim Epigrammatis versus est M;i ^6 fjLsuexf^^i^^ zccvoroyLeiv Tptd^x^ > quem

eruditissimus Graccarum literarum interpres Antonius Salvinus ita latine vcrtic
Neque coni^sectiones et Triadas Menechmeas adhibere , veluti MS. Viviani mana
exaratum testatur, quod adscrvo, reccntiusque Dominicus - Maria Becuccius ex
Matris sotore consobrinus mcus , quem utpote Attica Romanaque eruditione prae*
Stantcm honoris caussa nomino , Neque Menechmei in C<mo secare temarios numeros , cgo
vero transtulcrim potius Neque Menechmi in Cono secare tres Lineas . Nomlna singu*
laria Conicarum harumce nequidem Archimedis tcmpcstate circumfcrcbantur . Nam
Liber cius sic inscriptus O^pOoyccviov kuvov TOfjui Ap^ifji^yjiov TBTpocyojvifffjiZ^ mpxlioXiji

tituli parrem postremam a Scholiaste adpositam noscit tcste polyhistore Fabricio »
Liberque alter ['lepi cf.fjt.\^X\jyciiVim xccvoeiieuv Kxi z^ifjLUTd^if aqMipoeiSe'm argumentum

idem evidcptissime solvit . ( Bibliotheca Graeca loannis Alberti Fabricii in Libro

ni*^ ad Pag*™. £42*« editionis Hamburgensis anni lADCCVlS^.) .(Archimedes Grae-

colatinus cditus Basileae cura loannis Hervagii vertente anno M.D.XLIV*^ in Libro
Archimedis inveuta de Conoidatibus et Sphaeroidibns figuris ) .

(211) Rursum perlege 1"'". antea citatum in Adnotatione 196 . Hoc cquldem in
sola Ellipsi expcrtus estVir egreglus,sed nemo inficias ibit Id ctiam facile potuis-
se in Hyperbola, et eo facilius post universalem , quam detexerat , methodum unius

in alteram Curvam tfff/j/>^/V/ir transformaiionis. (Consulatur Nota U5 .). Hoc (br-
tassis in animo habebat Maclaurinus, qucmadmodum Alembertus ipse suspicatur

his verbis in calce . scriptis § . XXI'"*. Commentariorum Berolinenfium ad annum

M.DCC.XLVI"™. Les difcrentielles dont on a parle dans tes art. precedens , sont da
toutes celies qui ctmtiennent etn radical de trois termes , les seules que M. Maclau^
rin ait reduites a ia rectification de tEllipse ou de VHypcrbole. Encore n^a^^t-^il
empioyc pour cetfe reduction qu* une espece de Synthcse , comme nous f avofjs deja ditf
sans montrer la route qitUi a suivie pour y parvcuir , Idgenus transitum ab EUipsi ad
Hypcrbolen loannes Wallisius iamdudum inter Britannos perspicuum BativuQique

rcddidcrat (Nota 18'*. Antclogii , Opcrum omuium Tomus II"'. ad pag'*. 374. 3:5.
ctc. ), et nescio quo pacto ab hac dcinde theorice declinaverit do^ti^imus Rober-

Ss tus

27^
tus Simsonus . Nuncupat enlm ( pag*. 56'. Operis sui SMhnum Conlcarum etc, ) duas

eiasdem Hyperbolae partes Hyperbolas offofitai » et in Definitionc ad pag**". 82*"*.
Hyperbolas duo conlugatas vocat quatuor Hyperbolas coniugatas . Iniurla quidem »
quum geminatae Curvae Syftema illae tantummodo sint , respondentes ( uti dictum)

geminae superpositae Ellipsi. Figura 4 . abunde satis ostendit ex. gr. Parallelo-
grammaca innumera circumscripta aequalia esse tam in EUipsium , quam in Hyper-
bolarum Sjftemate . Diametri vero coniugatae in Systemate Hyperbolico angulos
eiiiciunt a recto in infinlrum decrescentes » et cum asymptotis tandem sese confun-
dentes , dum illi ex adverso in Elliptico Sys^temate a recto usque ad ma^imum cre-
scunt , vel usque ad minimum decrescunt ab asymptotis ipsis constitutum » deinde-
que •regressu per eosdem gradus facto redeunt ad rectum .

(212) A pag*. 198^*- usque ad 234"". Partis I**. sui Tractatus .

(^13) la Lectioashms et T. c**. ab Aduotations 125^^. usque ad dimidiam Pag**". 472^^™.

(214) Tomus lf\ Pluxionum ad Numerum 805"". ac Pag" 230"*"°. ct 231*".

(215) Vid.Numerum CC.XI"". Partis I**. Tr/jrf ^firx Bougainvillii ad pag*". 2o7**"*

(216) Tractatut Bougainvillii in Numeris CC.Xm. CC.XIV. et CCXV.

(217) Num. CCVIII. et CC.IX. Op^eris praecitati, quorum in postremo fiat/=o.

(218) Si consulatur eiusdem Tractatus Numerus CCXV. , aliique citati in Admtatio'

ue 203 ., difEcuItas singularis huiusce facillimi casus procul dubio patebit.

(219) In Memorta VII*. , cui cl. Auctor titulum fiecit SuppUment aux Memoires de

tAcademie Royah des Scieuces de Prufe de 1746. et 1748. ad pag**, 231. 232.

(220) Duae Formulae sunt , quae sequuntur . Post molestam substitutlonem z -+

Vzz^^tt = Jf fit = jr. ^ ■ .^ J T H- -— r dont

yzz-^-bb y 2-y\/ y- yyy—bb V 2 • \'yy—bh

(pag^. 232.) la premiere dipend de la seconde ^ et dont la seconde depend de la re-
ttification de Vhyferbole teule . Quarum Formularum utraquc Arcum Hyperbolae in-
cludit .

(221) Bougainvillius etc. in $^ 3^ Numl CCXXVff. ad pag*". 226^**. Vidc huius
Exercitationis .i"". 4o"~

(222) Problema 8^"". ad Num*"". 3:'"'. et Pag*".. 216*". ac2lf''". Acto^-um Bero-

iinenfium pro anno M.DCC.XLVl'^ (Vide Notam praecedentem 211'"'""., ubi quae
sint singulariter Madaurini formulae trinomiales Alembcrtus clajriter naxrat . Non
ita de hinomiaiihus) ,

(223) Donc depend toujours de > c^eft i dire dt la recSificaiton de tHyper-

hole ( art. 20. ) , & quelquefois de celle de fEllipse in locQ nuper adserto . Neque

in articttlo 20^. , nisl ad articulum regrediaris 18*""*, , de Hyperbola constat ac-
quilatera^ species autem Dlipseos nuUo ioco.enunciatur.

(224)

»73

(224) Consulantiir Opuscuta , quorum meminit Adnotath 194 • ^ ^»g"- "* pwxime

sequenti adamussim enumeratas.
(2'>5) Opuscuium a Riccato italice editum in Corollariis ad pag". 48. 52, (typogra-

phicus oceuryit error y/ q : i vice VT: i ) 54- 59- 63. 6j. 14- i iH^d ^ero latine vul-

gatum in Corollariis aJ pag". ?!. 73« *24- 26. Z^- 80. 83.

(226) Sic en^oSMi iaAdnotatiotte 164*.

(227) Pag*. 232^*. I*. 0^»ir«^r«» Volumi^iis, Num^'. CCXXViP*». Partis I*^ Tracta-
tus bougainvilUi .' CorollarLum I"". Problematis yW^K ad pag~. 212. ^rwii^w B^
roliuenfium etc.

(228) Do«r en general r * dx(aH- bx^cxx) * ^t^^wi/ * fintegration des deux

diferentielies — ^"^~ r#' ■ ,^ ,. ^"^' ^ . ^V ^ '^^' * ^^ ^^'^/^^

VaH-bx-i-cxx V xV a-4-bx^cxx

*/«» desscctioitt conigues . ///tfH^ i>^im»f de plus qufi V imcgration de ces deux dif-
firmtUiies ue dipend fue di ia recfijieation ^ une seuie Eilipse et d' une seuie Hyper-
boie, comme ii ejl aise de U voir par ies articies precedens 15—27. Car on trouve,

pdr exempit , que tintegration de - . ^ !_ =: dipend de ia rectifcation ^ une

Vfx — bb — XX • '

Jiyperlole , & de pius de ia rectifcation Suno elii^o qui dawnt l^^intcgratfP» de

ix ' - dxVir . dx

. De mcme on trouve que —rz. — " ^ ~I^ /■ ^ tt

VTVfx-bb — XX Vxx±:fx-*-bb V x . Vxx^^fx-t-bb

dipendent f une & V autre de la rectifcation de ia mime EHipse & de la mimo ffy-
perhoie/ & ainfi def autres.{Comment. BeroHn. M.DCC.XLVI. ad p»g*" 215. Numc-
rum XXXIV. Corol. V*",).
^229) Vide Nctam 153"'". ac $"'". 40""" simul cum §' a,i*^. , qtibo» akmitat de

utraflu* Functione ■ ,^ :: , — = — ■ .,. • A prima etenim Formula ( ex ipso

y/z^-^a^ V*-V2*— I

$®. 42*^*. ) quam Fagnani labor coniplexus fuerat, ubi i = o , tf positivum , et r ne-
gativum , altera , quam nunc animadvertimus , illico derivatur •

(230) Sic a^onui in AdnotOtfdne 228^^

a

(231) Praefatio Tractatus BougaiaviUii ad calcem pag**. XVIl"**.

(232) In Capite XV^ Partis I". praclaudati Tractatus ad pag", 2l8. et 219. haec

scripsit BougainviUius ; Da;v/ le ca$' present des raci^es imaginaires , tintfgration de

dxv^T N d z

— -^ dipend des memet eiiipse & hyperhie qese , — ^

V 23t ±= fz -+ bb V a.Vzz±:fz-*-bb

faisassf

*74

faisant les mims suppofitlpnt • De qiia adfectione Fttftctionum ica comparatatiiai
nullom alibi verbum occurric in eodem Tractatu,

(233) Corollarium Problematis VI^ ad Pag'". 2lo*°*. Actorum Beroliae^fium pro anna

dzv'"^"
M. DCC. XLVr. „ excepte la diferentielU . qui depcnd dc P Ellipsi

VzZ-fe-Hff

siuU .
(334) Totum transcripsit CoroUarium ipsum Alemberti Bougainvillius In loco nuper

adserto ( Nota 232. ) praeter verba recensita in Adnotatione 233. . *

(235) Consule Num"". CC.XVIL ad pag^^.^if". Partis 1™**. Bougainvillu TracUt^
tus , sive potius Problema VI"°'. in toties citatis Commenfariis Bcrolinenfitus pro an«
no M.DCC.XLVI . ad eius casum secundum .

(236) Hoc cquidem liquido constat ex Num°. CC.IX"*. Capitis XSV'\ Partis I**. Bon-
gainvillii Tractatus ,

(23:) Numerus CCX. Tractatus BougainviUii ad pag*". 205"*". initio Capitis XV^'.

Partis 1""". vel Comm. Berolin. ^ro annd M.DCC.XLVl''*. id' pag** 204'*". Integra-

le autem istud ex illis est a Maclaurino detcctis. (Vid. pag**^. pl*". huiusf.w-

citationis in* lineis 1*. ac 6**.).

(«38) Linea a^*. Pag**. 2o6"*. l\ c*. in Bougainvillii Tr^ctdtu e% fontibus Alemberti,

f f

HIc autem — » =s t- -^- , sive m= — f proptereaquod radir negativa Aequa*

ticnis ^ ^fu '^ uu :^0 sit-^— ex Elementis. (Consule initium Num*. CC.X"**.

ipsius TractatMs).
(339) In hac reductione continetur Linea recta aut algebraicum Integrale negatlvum *

. quod memoravi superius, (Vide ipsius . Boug^invi^ii Num"*'. CC.IX.).IdgenusLi«
tegrale postmodum computabo •

' f

(240) Slne adhibita substitutione r» — r^u — x Integrale istud ad Arcum EUipti*

2

W m

cum pertinere constat.luculentissime ex Formulls, quae sunt in calcc §\ 34^ Fa*
scalii ergo doctrina breviori itinere huc pcrduxisset.

(241) Veros directosque Hyperbolae et EUipsecjt arcitf «dpeUo ^uum Formulae ope

exprimantur in $5'V 31**®. ac 5^. primum traditee. qua* wpondetNumK CCL
ac CCVI. Capitis XIV*'. Bbugainvillii Tractatus.

(242) Est enim * = -^^ M- — = -^- (> ■+ ^) • Fortasse in tanta Calculorum co-

•^ * 4 • 2 , -*

y y

^ia si aliquis error irrcpserit , honestum urbanumque Lcctorem precor mihi in*

dulgere

»75

Mgere euffts motestitfqiie nttdeqtiftqtie dismetjb. Scripris auctiii; Mwn^sfms me nun-
qiiam responsmn iri Geometrae sinttntt qmm an^ityms omnia plesumqne eciam
«petTun^ fosct ( ne dtcam stifkw/M }. ref ef itis exempli^ domesucts periculum fe-
cerim .

(243) Rtmarfui s*. ad psg*"*. ai6w praeeimti Volttminis pro aimo M.DCC.XLV1 .
BougainviQins etc. ad Numerum CCHXVIi Capms XVI^\

(244) Memom septseme T*. \\ Opusculorum Mathematicoruni , et signantcr illa , cui cl.
Auctor titulum kcit - Supphmfnt aux Mimoires de tAcademie Rifyale dei SgiencfS

* f/ir Pruffe dt 1746. tt 1748. ad pag**. 233"". ac 234***".

(245) Saltem a meo recensiti Opntculorum Voluminis Exemplari .

(246) Ut methodus dirccta Alemberti clarius parcat, meliusque cum postmodum de-
scribenda comparetur» en ipsius verba inl^. c^ post reductlonem Integralis ipsius in

2>/«« ±=^ -H hh C duy/^u r fdu

tres partes

/dUy/^U r

Vuu^fu^bh J\/u.

V « * V ^^^ ±=yi ^^^* J ^/ u* s/uu ±ifu H- hh

_ f* duvT /• fdu ,, , . •»!

Or on trouvera que 2 / ' ' . ■ ±= / ' . ■ ' - dcpend di shy^

J Vuu±=fu-i-bb y Vu-Vuu±=£u-4-bb

perloie seuUt.parceque en faissms ( pag*. 234,) Us transformasions preserises pag, 2o(S.
es 2c8. des Memoires de Berlin de I746. , les quantites , qui dependent dt la rtctifcation

f
dt feUipst f st dttruiront dans la tramfarme^ a aar saiSy par txemfU ,. u±= — = z t

cc
A A =1 bb — — ^ tt 2-4- V zz -4- A A = y > on aura pour transfirmee

. 4 •

^^>VT 2AAdy ; . . . , - ^-r ^-

V 2 . V yy— AA:qp fy V a . y V y . V yy-AA =? fy
de f hjperhoie ttc.
(24;) Vide praecedentem Adnotattonem , methodumque consule tndirectam in praaci-

taca Rtmarque 2 . ( Nota 243 \ ) . .

(248) Idcm repetttur error in pag**. 21^^". Unea 15. Partis I". Bougainvlllii Traaa*

tus . ( Videantur Commtntarii Berolinensis Academiae pro aiMio IVLDCC.XLVI^^ ad

pag . 208. 209. ) . Neque errorem istum emendatum reperlo in prolixa admodihn
vitiorum typographeii correctionumque Tahula^ cui Alembertus ipsemet titulum
ifecit Errata pour Us Memoirts dt Mr. £ AUmhtrt impfimts^ dans las Voifsmts de

I24<5. 1747. 1748. in Berolinensibus Astis anni M.DCC.L"^. a pag*. 403**. nsque

ad 412'"*"'. _

r ifcv s

(249) Consulatur Adnotatia 928^*. Ceterum. etiam in Formula / — , r=-*

J ywa ^fib -*- ilf

H> perbolam illam animadverto , cuius superins memini dum agetap de cotios Cal-

Tc culi

' culi evoltttione , tantetsl hoc tntegrale ipsius Areum non complectatur ex demon-
stratls , ne theorkes universali^ati quidptfim deesse aliquis censeat .

(250) Bougainvillius 1*. c". ad pag*''*. 2i6 • Error tamen corrigendiu Lh 4xet eCc

scribendumque Les Jnmhaxes etc. veluti exstat in pag*. 203"*.

(251) Productum etenlm extremorum Quadratum medii peraequat • .

(252) In Cowmensariis Berqlinenfibus etc. , atque in Opusculis mathematicss .

(253) Hoc ex.ceUberrimi Scriptoris O^tfr^w citatione fusius ostendi in ^^ sequen*

(254) Ad pag**. I7°*" atquc 18'^*'". Dissertatiouis Italicae mcmoratae in Adnotatio-

ca

ne 194 . ' '*

(^SS) Perlege Adttotationem 199"*"*.

(256) Acta Berolinenfia pro anno M.DCC.XLVI . ad pag . 202. 203.

(257) Id ostensum tam fuit in J$*. 25*^ ac 31**®. huiusce Sectionis H *^

(258) Haec Parabola congruit illi ab Alemberto versatae , quemadmodum constat tx

linea l . pag*^ 203***. Partis I"**. Bougainvillii Tractatus .

(259) Vide 1°°*. et p*". citatam in linea 19°*. , necnon Elementa etc. Le Seur et Ja-
cquieri in Num^. antea dicto CC . LX. Partis I"^^ ubi memorant Aequationeffl

(260) Est locus adamussim indicatns ab Adnotatione 246 .

(261) BougainvUIius in Partis I**. etc. Problemate 5'®. , vel Num^ CCXV. ad pag*".
215 . atque sequentes. Commentarii Berolinenfis Academiae in Problemate VI ^.
alias citato > et paf ^ 9o8**. atque sequentibus •

(262) Volumtna duo Bougainvillii labente anno M. DCC. LXl*'^ mihi humanissime
mutuaverat loannes Del Turco» quocum et cum Iano-AlbertoDeSorta,Physicea
ca tempestate in Pisana Academia profitente» atque ob eloquii festivitatem et co«
piam perinsigni » familiaritas summa • Quidquid alii contra senserint , grati animi
significationem publice testari erga viros praesertim eruditos ( quorum primus in«
genio praestantissimus , nunc Bibliothecae Pisanae Praefecti Adiutor , et ad erudien-
dos Equites Stephanianos Geographiae atque Historiae Praeceptor) ac mearum de
praesenti Exercitatione meditationum primam epocham sistere haud inutile duco.

Exempla passim occurrunt, Commentatoresque ipsi Newtoni inter recentiores pag\

X"**. Praefetionis Ehmentorum Calculi Inteffralis hoc habent nous fourriont

en appeller du temoignage de plusieurs Geometres , qui ont v^ le fond de cet Ouvragt
ii y a plus de vingt^cimf ans .

(263) Differtationern istam recensui in tytdnotatione 194^*. Quumautemad illam rur-
sus consulendam supervacaneam operam diutissime collocaverim eam quaerens in

Etruscis

a77

■ Emiscis penc omnibiis Bibliothecis , Tanns AttiHus Arnolfintis, Lucensis RcipubU-

. cac Patricius atque Senator amplissimus , in universa Mathesi ac praesertim Hy-

draulice adprime versatus (cuius immaturam mortem boni omnes lugcnt) praeci-

tatum Volumen initio vertentis anni mihi vix per Epistolam cxpostulanci illico

commodavit .

(264) Adnotatio 240*"'. , et EougainviUius l^ c^ ad Num**". 3 ""*. pag". 206**^

(265) Est 5"". in Bougainviim Tractatu intcr iila Cai^tis XV^*. ( Vide Notam^6l^'^. ) .
Fosteaquam hoc pcriculum feceram non pancis abhinc annis Alembertiani ProbU;-
macis t ad manus meas pervenerunt bicnnio ante Commentarii BeroUnevfis Academiae

pto anno M.DCC.LXXX'"^ editionis M.DCC.LXXxn. Summa equidem voluptate
perlegi in Extrait d^uut Lettre de M. 4f Alembert a M. de la Qrange du 14. De*
cemhre 1781. virum cl. iterato calculo (cuius tamen cxcmplum praeteriit) crro-

rem suum emendasse anni M.DCC.XLVl* . (pag*. 376. 77. ) , mecumque plenissime

consensisse. Hoc autem Dinerentiale » de.quo nunc loquor, ■ ovpn*

Vzz -^fz -+ bb

dZ\ £

ni etiam posset per — ^ — ■ , qucmadmodum Akmbcrtus ipsemet do-

V « H- a • V » -t- c

cuit , ArcTK solitts Ellipsews et l!inea recta integrandam . ( Vide Numerum l"". ad

Pag""- 377"'*"'- ct Catum VIH"» Tab**. in p*. 115.) . Casum unicum omisit ame

d^^s/l^ ^ dxstir

contemplatum , Ceterum rf — ,- — . ab unius Arcu Hy-

perbohe simul cum ^ecta depcndcre, necnon

dx^n^

ab Arcubus Hyperbolae et Ellipsecos una cum Recta Linea , ve-

V a — * • V c — X
luti Alembertus noviter statuit (Num . 2. 3. ) , scriptum est in ciusdem Tab^'. Catl-

lus v^ vr. ac vn~.

(266) Hovi Conimentarii Academiae Scicufiarum Imperialis Petropolitauae in Volumi-

ne X^ . ad pag . 8. 9. Bifbrmem adpello EUipsews Arcuum expressionem eoquod
cttiusque Arcus ad eandem Abscissam pertinentis, valorem tam positivum , quam
fiegativum htc in mei Calculi usum tantummodo animadverto, neglectis valoribus
ceteris Fuuctionis ipsius vere tnfnitiformis ad instar Circuti arcuum, Curvarumque
omnium in se redeuntium.

(267) In Hyperbola non secus atque in Farabola . ( Vide 1"*. nuperrime memo-
tatum ) •

(268) In Voluminibus XXIV'^ ( Art. XIL Giunta alto Schediamu iuserito nel XXIL
Tomo del Giornale sofra la mamera di rettifcarc la differenza di due Archi in infntte

sfecie

t78

spccit di Curve Parahttche^ cm UMa fuiova prafriefd deiia Parahois tP ArchimaJe

a pag*. 3<53^ ad s:6**~) ftc XX Vl''*. Vencti Littera$orum Diani (pag*. hnliis

266'*. ) relatis ad annos M.DCCXV"". ct M.DCC.XVI"". At potissimum perle-

gcndum postremum in Articulo Vr. usquc ad pag*". 280"^". , cui Auctor ipsc ti-
tulum fccit Teorema , da cui fi deduce una nuova mitura degii Archi Eiiittici , /^*r-
toiici , e Cicioidaii . Omriia autem incipiunt a Fagnani antiquiori Schediasmate
( Art. Vlf. ) Nuovo metodo per rettifcare ia dijferemui di due Archi ( u$$o de^ quaU h
dato ) im ihfinite specie di ParaMe irrettificaiiii , cou ia soiuziowe det ProHema pro-

poflo uei XIX. Tomo di guefio Giomaie pag. 438. = ad pag^" 229"^. Tomi XXIl^l eins-

dem Diarii impressi vertente anno M.DCC.XV . Alembertus idem Auctorls Ftali
inventum concelebravit ita scribendo in Opuscuiorum Mathematicorum Volumiais

"^^- F^g*- 244^'. Est ajbsoiument cette methode auaiogue i ceiie^ qui efi aujourd' hu$
connue des Geometres , par ies savautes recherches de MM. Faguani & Euier.
O269) Praesertim in Epifloia la.coto Mariscotto , iu qua dettrminautur arcut Secttouum

Cotticarum , quorum differentia rectificabiiis efi , data Bononiae III . Noo. Oct. anni

• • •

M.DCC.LV". (Vide Qpuscuiorum ad res Phjficas , et Mathemuticm pertiueutium

Tomum 11**""". a pag*. 36**. ad 50""". usque ) . Rursum idem occurrit in Episto- .
lis ad Fantonum , Malfattum , et lordanum Fratrem eodem Vohimtne comprehensjs .

(270) Consulatur Proamium Dtssertationis Euleci ad pag**". 3'*'^. Volnminis X'''^
N/>vorupi Commfutariorum Academiae PetropoHtanae , qua in pagina , praeter cete*
ra , id demonstrasse fatetur acutissimus Auctor , dubiumque omne Maclaurini et
Alemberti de hac geometrica rectificatioue amovisse . Quod Fagnani Itall inventum
quanta postea diligentia et acumine pvosequuci sint Eulerus , Landenius , atque Le
Gendre , liquido constat ex postremi Analystae Differtatiouiius praecitatis ( Notae

113. et 114.) , ac potissimum ad pag**. 645**". 622"^. {§^. XVF. Comparaisou des

m

Ares Eiiiptiques ) et 61^*"*, Videndae quoque sunt Ohervatioues Euleri de compa-

ratione Arcuum Curvarum irrectificaUiium a pag*. 58''". usqae ad 85***". in Volumi-

ne VP. recentiorum Academiae Petropolitanae , et pocLssimiim consulendi N° .

i''*. De Eiiipfi ( pag*. 60. ) , U" Dt Ifypertoia ( pag*. 65. ) , la "". De Curva Le-

mniscata ( pag\ 67. ) , atque De comparatione Arcuum iu Eiiipsi a pag*. 23 ..usqne

ad 4P"*". in Volumine \ll!^\ Addc Tomum VIl'^. Opuscutorum etc. Alemberti

( P^g^- 97. ct seqq. ) . Praeterea quanta laudum copia gratiqne animi significatione
summi iidcm Viri etiam pro aliis inventis Comitem lulium Fagnanum gesticntes
quodammodo nobilitaverint in totius Italiae decus , abunde satis aperiunt nuncu-
patae corum Lucubrationes , quibus antecellit Euleriana Diatriba de Lcmniscata,
qua proprierates singulae a Fagnano detectae inlustrantur , ac nova mcthodo pro-
moventur . Ex nova Lemniscatae considcrationc illud etiam neutiquam a Landenio

neglectum

2t79

neglecmm (1. c. in AdnoMhne n^^*.), scilicet Atcas ipsins Lemniscatae , ideoqne
ec Elasticae vel Linteariae et Isochxonae paracentricae constnictionem ab unica
consequi rectificatione conicae Ellipseus. ( Vide praesercim Transactionum etc. Vo«

luminis LXV". Partem 11^"'". ad Num"". XXVI"'". in calce pag". 289"*'. ) •

(2;i) Vide 1"™. c"" in Adn^tathne 268^*. ad pag**. 244, 45. ubi haec exstant ver-

ba $ d^oi^ IfS savans Geometrts , ^ue ncus venons de dter^ ont tire des mctho*

des injrenieuses four reduire la rectijiQatiot^,£ un arc d*Hyperbote a un autre arc de
fa mime Hyperbole .

(272) Volumen Academiae Petropolitanae prae aliis memoratum in Adnotatione 22 ^ t

quod ''complectitur duo huiuscemodi Thebremata novicer demonscraca ad pag .

(2:3) Perlege Opusculorum Mathematicorum Volumen IV^"". et signantcr ad pag'™-

280. Supplementi XXVI'5. Memoriae , cui titulus exstat Recherches de Calcul Inte^
gral, Supplementum autem sic inscriptum De V integration dc quelques quantites
diffierentieUes a itne seule variable , par la rectification des Sections coniques . Con-

fer Opusculum 11*""". Riccati in II'**'. Volumine ad pag*° 86'*". atque sequentes
De Formulis , guarum integratio dependet a rectiffatione Ellipfis , et Hyferbolae ,
Disquifitio aua/ytica. Ceterum Alembertus Riccato ipsi succenset in Memoria quo-

• • • I

que XXIII . eiusdem Voluminis ad pag . 6j. 62*. de Theorematis invencione auc po-
tius Problemacis I"**. rcsolucione, scilicet, incegracionis Aequalitatis Differentialis

x = ypz -+- A « , supposito z= - 9 cuius Problematis loquuntur Acta Berolinensis

dy

Academiae pro anno M.DCC.XLVIII'^ (pag*. 27^), Diarium EncyclopaedicumKo^

vembris anni M.DCC.LXVI '. , ac prae omnibus Adversaria Scientiarum Academiae

to ■

Parisiensis vertentis anni M.DCC.XL"**. Miror autem Alembertum in VI . Opuscu"

10

iorum Volumlne typis excuso Lutetiae Parisiorum anno M.DCC.LXXIII . ad pag °^.

422 • haud parum commendasse Eies^tenti di Matematjche del Padre Venini , quuin
ab Italia profecta fuerint.

(274) Remarque i. ad pag '• 215. 216. MemorabiUum Academiae Scientiarum Bero-
linensis .

(275) Adnotaiio 207*"*. Quibus adde quod in Adnotationis 273^**. calce recensui , ut re-
ctius constet quam bene Alembertus de Calculo Integvalium a prima usque aetate
meruerit .

(276) Praefatio Voluminis T*. ad pag**. Xr*". haec habet . Les demiirs Chapitres

font un Commentaire sur t excellent Traite de la quadrature des courbes de M.

NcTvton . Cet Opuscuie , peut - i-tre trop neglige , renferme de grandes viles , qui ouvriro-

ient un vafie chawp a des mithodes elegantes de CaUul.

V V (277)

280

,fO • ^ ft raZ

(2::) Nuin*. 806 . ic f ag*. 231'

(278) Vinceotiiis Riccams tam iti Dis^uifiii$»i Aiuljtlca » cuittl mtminit Adfiotatio

273'*. , quam in Capitc XIIl"*. InPlPUMnum Aua/jticarum Libri I. Tomi n^*.;Lco-
nardus Eulcrus in Volumine VIIP. Novorum CwmtmariQrum Acadtmiae Pctrop^

Utanae ad pag*" 138**" j Le Scur atquc Jacqucms in Parte l*. Elemmorum Cal-

cuH Integralis ad Num"". CC.XCVH"". Capitis VH*'. et pag" 498^** 499"*". ; et

Andreas lohannes Lexellius in pag . 74 . Additamenti etc. , de quo loquitur 22 .
Adnotatio . Postmodum ct ipse Alembcrtus haoc mcthodum sequutus est I^ c*'. in

Nota 265". ad calcem pag**. 377 *.

(2:9) EougainvUlius in Partis I". Capitc XVr. Num^ CC.XXIl^*. ac pag*.222*^.,

ct rursum in Supplcment a la fremiere Partie ad pag*"..XII. ac lincam 12*™. ,at-
que sequentes .

(280) In r, c*^. ab AJnotatione 278^., et signanter ad pag**. 13^, 140. Consulantur ia-

sMffit Additamentum inibi memoratum Lexellii ad pag*"\ 75 ., atquc Muiimorum

Elementa etc. praccitata in Casu H^^, Problcmatis VIII^'. ad Num"" CC.XCV. ,

paginasque 493"™. ct 494"". Eulerus in Tomo Vlir^ nupetrime memorato Fuu^

/dx{A-¥Bx)

ctiones ctiam huiuscc formae

/:

{A-^Bu^du

tam si Triuomii factorcs reaU$ » quam sl ex

/

V(a-i-/3a)(j.-+iu)(e-f^a)
adrcrso fuermt imaginafii » necnon [ , ■ — »

dx ( P -+ Rxx ) I '

—^ — ( pag . 139. I4a 145. ) , et in Conclu/one demum ad pag*".

VAx^-^Cx^-^E

.« •* dy(A^ nBy H- nCyy ) ...

142 • / r ingemosissime ad integrationem per-

J V Cjr*;-4- 2fijf ^ ^Dy* -f-2£j -¥ P
duxit . Argumentum idem iam inchoatum prosecutus fuerat Alembertus in Addi",

tions aux Recherches sur le Calcul Intigral (21. Juin 1752) ad Articulum I"". ac

pag*". 361*"*. Voluminis Actorum Berolinensis Academiac pro anno M.DCC.L . , ct

postea tractavit A. L Lcxcllius in 5°. 21*"^ et pag*. 76" ac seqq. Additamenti

ctc. Idem fecerant Riccatus et Saladinus in toto Capite XIII . Libri 1 . T. II . /»-
fiitutionnm Analyticarum. Idem nupcrrimc ,. noviter , et omnium acutissimc De La-

Grange l^. c*". in Adnotatione 349"*.
(281) Vide Bougainvillium in praecitato CapircXVI^**. ad Num^. CCXXIX. , CCXXXIII.

ac pag .

Q8r

ac pag**. 22Z' 229., Acta Bcrolinensis Acadcmiac pro anno M. DCC. XLVr. ad

pag* . 219. 1222. in Probl. IX"^ ac XIP°. sivc postrcmo , Opusculorum Alembercl

Volumen IV*""\ in Supphmento » de quo loquitur Adnotatio 273 . ad Nttm**".

IV°". etc.

du
(283) Formulais ipsoqife conteiDi^us fuic Ale^c^erCi^ . v^|uti^

i ♦.■4ii.ii»« *»»* ■»!* > .'»»■■ 9

uV P-^-Qu-^-Su^-^Ru^

du

etc, q^arum integratio arte hactehus nota ab Arcu-

^ny/p ^^^^ Su^-^RU^

bus Sectionum Coni neutiquam impctietur . ( Volumea Y""'. 0^«/c«r/tfr«iw Af^fcm/t-
ticorum Parisiis editura annd M.DCC.LXVIII!*: in Partis I"**. Memoire XXXf^L cou^
tenant quelques Ecritt sur differens sujets ad $°?. IV""'.,..«ii.titulus adpositus Sur
quetques difireirtieiUs reductiUks i dfs .ans de Sections coniques , a pag*. 231'. psque
ad 241**"- )• Vide quoque <$"?. yV^. ( pagl^ 63J. usque ad 642. ) ii cui titulum fecit
Le Gendre ApplieeUiou q d" autret txempleS', in Pijffertatione V^. pluries citata.
(283) Praeter locos iam memoratos consulantur etiam $ . V' . Memoriae XLIV"*. ac
postremae eas intier, quas .coniinet Volumen V • («^^^ ^^^ ProbUmes de Calcul

. Ufegtal =2 Addition^four le XXVI .. Mimoirt^^ Tpfne. IV. des Opuscules = ) ad pag".

* •'• '• '..,1. , I

506. 507. 508. , totum Caput Xyil"'". Partis I**. Tractatut Bougainviilii , aut , $i
mavis, TroifiemePartic des Difirentietler qul sc nrpphrtrntf 3 la qitadratnrtdei U"

gnes du troi/emi orrfnf • a pag*. 249"\ «sque ad^;^^'". Voluminis ^#onii»'£lfr#liimi-

J^um pro anno M.DCC.XLVIir° . etc. Quamplurimas tandem ec elegantissimas Fot-
mulas instar TahuJae Integralium Functionum dispositas ,, et ab Arcubus EUipticis

' de^endeiltes vulgiBtvk (40id«^iM in r..c% Adnptatianir fH^^V^ '^ifVff^ ^V^^ ^^f

, Wt»^ T^PCCLXXX.'"^ Ait Le Gendre ( pag*. (545. DiJTertationum recensitarum in

tf^a 113.) Landenium reperisse que tou^ a/c f^hyperhole se rectife immidiatement

par le moyen de deux arcs d^eiUpse^ deindeque (pag . 683 .) Au refl^ on trouve h
ia fn de fOuvrage cite de M, LandeUf des tAies d^intigrates phts compfetts que^cei-
ies qui ont paru jusqu* d present^ & qui contiennent sur^tout beaucoup dc formuies
integrhs tris •iii iitm tmt nt \ par ,de$' ^cf ^.eltipto » >£t re quidem vera » sl totam de-
sideres Tahuiarum b^rumce histo^iaro et fundamentum , initium sumas necesse esc
ab ipsius Landenii Disquisitione Specimen ofa new. ^ethod of comparing curviiineai
Areas ; hy 'which many such Areas maj ic tampmr€d'*a$ hlvoupt.yet appoored to he

' comparahie hy any other method % pag*. 174. usque ad l8l*". in Volumine LVIir**.

Phiiosophical Transaciions pro anno M.DCCXXVIir** , ac postmodum perlegas

pag''. 302"*° et 309"*» Voluminis LXlT , quibus primum Hyperbolae Arcus

nuncian-

Cl82
nunciantur ElUpticorum ope rectificabiles , atque demum quaterna Theoremata,

quae sunt in pag^. 286 . Voluminis LXV'\ TrausacthHum eanmdem. Quod neque
nuperrimis Alemberti meditationibus felix faustumque accidit, ut ipse fatetai in

calce l\ c . ( Nota 265. ) ad pag"\ 378''''".

(284) Commcutarii Berolinensis Academiae nuper citati in Remarqui II. ad calcem re-

censitate Dissertationis • Pars I''^. Bougainvillii Tractatut ad Nam^. CCLXL pa«

. gmamqn^ 208 • .

(285) Recherches sur diffireot poiuts importans du Syfiimc du Moude ( M.DCCLIV. ,

. et LVI. ) = Partic 11. pag**. 66.' quo ad Quantitatem specic A designatam .
<a86) Prae omnibus Volumen VI"*". Opuscfilorum 9 quo agit de Telluris figura ad

pag . 203. 4.. 6. 7;»>atque alSbi. i •

(287) Praecitatum Opuscuiorum Votumen Hi 'AppenJko { post Memorkun LI « ) conte'
uaai' quelques Additiofss aux Mimoirti .preceden^ ^ et.^ignaiitfc a pag\43l^ usque

ad 433"" Additiou pour le L. Mem(firi in jj*. 11 . prdpe finem-« .

(288) Ea Riccati in Volumine IV^. Collectiouis Lucenfis etc. {Nota}^^ .> ad pag ,
76. 77. 78. , et rursum in Tomo Opusculorum^ II . ad pag*'. 83'*"*. 84 •

(289) IUa Euleri in pag*. 134^*. Vllf '. Voluminis , atque iterum itt pag*. itf*. Voltt-

■ '■ • ' * t ' . ' '

fiii ' ' i. ' . . .

miqis X, . Noporum Commentariarum Acad.^iac' P^ropolitauai .

(290) Tertia Lexeilii in pag*. (h^*. Parci$ I**. Acu>rum Istspitialil ^A^^dimiae Petf»^
politauae pro aniio M.DCCLXXVIIl''**.

(291) In $\ 43*^. ct Adttotationihus 194*^ ac 263^: ' ^ •

(292) Titulum habetit C0»>V/fiir/V Formuhsrumy qaarssmiaiegratio per Arcut Stctio*

numConicarum alsolvi potejtf^^^g. 129^. ad 150°**"; nsque. ( Vtde instiper i4rfiw-

tatiouem 22 . ) . Akmbertus l^ c*. in Adfiotatiom 265". ex suis Formulis Trino»

mialibut casus sequentis Tabulao IX°^. et XI^. iuxta £uleri ordinem feliciter de«
rivavit .

(293) Hoc facile cbnstabit $1 tdmparentur temi Riccati liemmnta lii ptg'*i 5P- ^ ^5-

69. 70. ceteraeque substitutjione$,.et .illa praedpue ad pag**". 72 • in Opusculo la-

tine edito ( Nota 288. ) cum^LemmatametTheorematam serie«qnam connnent peg .

129. 130. 131. 132. 133, in prima Euleri Dijfertatioue , et Problemate IV'*. ad

pag*"". 19*""., V^ ad pag'*'*. 24"'. atque seqq. in altcra {Adnotatio 289.). Le>

xeliius

»83

xtllitts antem » qtram Conlcanim Aeqtiationes Ron ad axtt » sed ad foeos rdacas cofi"

templacus fiierit ( Nota 290. ) , substimtiones adhibuit in pag\ 73 . ct seqq. for«
ma tacitum spteietusque diversas , at eodem innixas principio .

(294) Ettlerus in Volumihe X°^. Petropolicano ad pag . 15. 16. S4* 35- S^- 1 LezellittS
in Tomo pariter Petropolitano , cuius meminit Adnotath 290 . ad pag . 71. 2?.

ac.79 .

* •

(295) Pag*. 134**. praecitati Voluminis VIIl'*. , pag*. vero 16. et 40. in Volumine
X"'®., necnon pag". 71. 74. in Tomo altero , quod refcrtur adannumM.D

cc . LXKvra^"".

(296) Eodem , uti superius, ordine servato consulantur pag^^ 134 .> 15* ^6. 31. 38.»
71- 75- 77- 79-

(297) In OptrituSf nimirum, de quibus loquuntur Aduotatioues ^SS^^.llHg^. 290^*,
Hisce accedat nuperrima Lucubratio Ferrariensis Geometrae » cuius sermonem ha«

bui in Adnotatione 23 \

(298) Tomus Vni'"*. Acadcmlae Petropolitanae ad pag*'. 134. 135. , ubi trcs primi
easus deducuntur immvdiate , sub ista tamen numeratiope l. II. III. ; Volumen X"". ad
pag -15 . et 16 .

(299) Opusculum italicum ad pag**. 17. 18. , latinum ad pag*". 58. ; Diprtatio prae-
citata Lexellii ad pag*"*. 69'^'^.

(300- In Tomo X*^ ad pag"\ 22^'™.

(301) Scilicet usque ab anno M.DCCXVir^ (Vide Adnotationis initium 299**".).

(302) Non tamen ante annum M.DCC.LXXVIII"'"- ( Nota 299. ) , et nomine primani-

que Riccati neglecto et hi quidem quatuor easus formuiae noftrae dtferentialit

enodo allati ii sunt » quorum itstegratio nonnifi unicum areum Sectionis Conicae » five

Ellipticum , five Hyperlolicum , supponit . ( pag*. 71. ) • Hoc in Volumine dum easum

X"*°. perlegas, errorem typographicum corrigc ad pag*" 82 *°*. »<w ittxta po*

steriorcm emendationem n>m in pag^ sequente 83 •

(303) Volumcn Vlir ". Petropolitanum in l". c '. , ac X""™. ad candem pag*".
300 • Adnotationis*

(304) Vide Tomum X""*. Petropolitanum , praesertim in Problemate 3 ^ ad ptg*™.
12"'*°*. Adde insuper Caput Xir*". Libri I""^ Tomi n^*. Inftitutionum Aaalytieit"

Tum Vinccntii Biccati ct Hicronymi Saladini De integratione Formulae dz ■ ^ »

per arcus tlljpticos rt hyperiolicos a pag*. 190"*. ad 2o8^*"

Xx (£05)

a84

(905) CoUfftio Acftdemiea prMcittta in Adm ^ ^m f SJ*, «d J^. stgmmttr ip*^.

pa^nasiqve 760*" ac 761**.
(306) Consutatur 5 ". s**, ad pag*", 59*". Dijfcrtathms mcmoratae in Adnoutione

22^*. pluriey citata .
{307) In eSdem DiJTmafim ^st Formula V\ ad paj;**, ^i"*" , ct rursum ad pag"".

(S9''*",

(308) Locos iam recensitos repcries in Aduotatioue 225'*, At videnda praeserrim pag*,
56**. Riccatiani Opuscuti latine editi . Hoc autem primum invenrum noo Riccato ,
sed Fagnano debetur ex demonstratis in $^. 40*"^ huiuscc Exercitatiouis .

(309) Irt Pag*. i8**. Differtatiottis saae, quam complectitur Volumcn X*^. etc. Aca«
demiae Fetropolitanae ,

(310) Ad pag*" 4'"*. nuper citatae Diffcrtatiouis , Et iterum ad pag*". l8^*".

(311) In Parte T*. praedicti Voluminis Petropolitani pro anao M,DCC.LXXX°^. ad
pag'*. po"**, atque sequcntium $"" 28^"™, aliosqu^, ^ui consequuntur •

(312) Opusculum etc, latine editum in pag . 55 .

(313) Confer 1"°', c*"". ad pag*". eandem j8^*" in Aduotatiom 310^

(314) Lexellius V*, c^ in 31.1"*. Aduotatiouc,

(315) Praescrtim ad pag"". n*"". Tomi X"', Petropolitani . (Vide l^otatu 128^*".}.

(316) In Pag . 34*. 35*. Opusculi etc. italice scripti. Rursum in pag*. 4*2"*.

(317) Italicum Opusculum etc. ad pag* . l^**". ac Ip***", Latinum vero ad pag*".

58»««
(318] Conferantur cuncta» quae recensuimus in praemissls ^«//y^/ j^/W^»x , addaturque

<}aod in latino Opusculo Riccatus disseruit ad pag*" 59*"

(SI9) In Pag". 19"*, ac 22^*, Tom, X"'. PetropoUtani ,

(320) Eulc^rus in T. c^. ad pag*"*. 23 • LexeUius iisdet^ tn locis^, quotum tteminr-

runt Adttotationes 311*"'. atque 314'^ Geometrarum pene ooioes Tfaeoccma cetebtt-
rimum Arearum Hyperbolae Apollonianae ad asymptoton rclatae Proportionis
arithmeticae respondcntis geowetricae Abscissarum vel Ordinatarum tribuunt le*

sultae Gregorio » a - Sancto - Vinccntio . Eius equidem Propositiones CVIII^*. ac CIX"*.

(P^.^^^S. 586.)Partis IV"*. Libri Vl'. Voluminis II^*. Operis Geometrici Quadraturae
Circttli etc, ) primum editae fuemnt vertente anno M,DC,XLVII^. At Aegidius Robcr-

vaUius id etlam repererat in pag*. 282^^ Epistolac suae ad Marinum Mersennumy qoae

scripta ante annum M.D .C.XLIV"'". exstat a pag*. 278^*. usquc ad pag'". 283 *°*.
Collectionis Acadcmiae Parisicnsis ( Divers Ouvrages de MathemaPijfue & de Phjlfi*

285

gae iU.) pcaccltatae io Adnotatioae 3 . Qui erg^ iii;imu& iavenerit la aperto non
est » silentiumque ckca Gallicam inventiopem historiographi Montuclae tam de Ro-

bervallio » quam de Gregorio-a«Sancta^ViaceiitiQ io^uentis ( pa^. 64 . Tomi

ii •. etc. ) duhitattonem istam haudqua<i«Mim movet .

feai) Hoc perle^e artificivm in pag*. 2a^^.. Voluminis X"'. Petropolltani pluries in
antecessum prqpositi .

(322) Ita explic^vi in pag . Ilo. et seqq. huiusce Extt^itaHontsi .

_ •

(323) Pagwam consuk 90™'*". Cetertmx nec de varlaUUs limitibus in qualibet Talw-
lae Functione,'nec de singularibus adfectionibus aliis agendum censeo^quum haec

*

omnia notissima sint ( vide Con^lufion^m Euleri ad pag"". 50*". Voluminis X°". etc. ) ,
et a praesenti meo muner^ aliena, Taiula^ i^s«per t^mies a me hucmsGpie exhibi*
tae in paginis I15. 124, 125. 138. 139. 154. et 155., tametsi praeter Arcus Ellipsium
' iHos qu<>que contineant HypcTbola«um , reapse per recentiorum inventa ,. ac prae-
sertim Landenii et Le Gendre , unicis EUipticis Arcubus in subsidium vocatis con-
fici poteraiit, (Vide Nofas II4. 276. 283. 344). At veterem stilum prosequi ad
€asuum omnium dis^bmioiiem ntfcesse habebana ia hac Extrcitatioua ^ cuius caput
et argiiBiencum> erat sola inlv^tratio doctrinaQ Pa^calii*^

(324) Vide Adnotationtm, 23 *■".

(325) In Opusculo italice scripto ad pag**. 57. 59. 63^ 67. 72. 73. 74- Latinum vera
«adem bafaet a* pag*' 75*. «sque ad 83"". D/^*rwri« Malfetti ad J"°. 24*"'". ia
pag*, 763"

(S26) Malfettos 1\ c»., sed furaelertim ad pag'". 750"***. et 5°". 3*"*.
(327) Sectiones etenim Conicas ipse etiam consideraverat trigonometrice ^ sed 2lSl ficos.
xelatas > nec Cosinnbus dnalogis Hyperbolae introdmrtis , prooti £nci% MjiiE^ttus.

• ( pag** 756L. $. XX* ) 9: dsQsque tantummodo Arcus in easHus dBffidlioribus , nimirum ,

iuxta eius numerationem I* IIl'°. IX°°. ac X"". ad pag**I 81. 82i practer Quanti-
tatem Algebraicam obtiiiiierat . ' v

(328) Nam inter alios Scriptocea LexeUima memorat ad pag^".. 750"^. Numerum-

dani
que 2 ^

(329) Volumen istud inftpressum fuit [ Nota (22) J anna M.DCC.LXni*^ , illud autem
praedictum. Societatis Italicae anno M.DCCXXXXIV*'.. ut alibi admonui .

(330) Consule pag*'. 138. 139. huhisce Exercitationis ^ numerosque adpositos Euleria-
nos cave. ne confundas. cum illis , quos hic recensendos curavi . Nam in Tabuls,

transctipti sunt a Volumine X™"'., Acadmiat: PetropoVtanat > ii vero nunc meniora-:

' ti a pag*. 13(5. 37. vra'\ Votominis.

(331) Eulerus annct M.DCC.LXl'"'". , Riccatus. M.DCCXVn"". ( Videsa''"". et w"'"^
4dmat'met ) .. (33aJ

a86 •

(332) Id constat tx numerofiim TaMae comparationc , qtiac in pag". cxstat 124. 125.
huiusce Exercitationis , ad hoc tantummodo statucndum ^ scllicet , quinam Eulerl
' numeris numeri Riccatiani respondeaat .

(333). Lemmata in pag* . 129. 130. , TheormaU in 131. 132. 133. , TheoremafiniuUre in 133.

praelaudatac DifferMionli. }Az\isXti Disfuifith ad pag"*. 761 "^" ct 762***"*. ( J. 2L )

etc* in Lemmate F. Secundum enim ac tertium sunt Riccatiana (pag". 762^*. ac

763**. .f$- 22. 23. ) i ut Malfettus ipse fatetur in J". 23 .

T

(334) Vdlumcn n"". Opuscuhnsm ad res Phyficas et Mathematicas pertinentium a

pag*. 120"*. usque ad 134 . habet Epistolam Bononiae scriptam XII. Kal. Nov.
Pio Fantono Sancti Petronii Ganonico , in qua et de Fagnani methodo dimensionis
pcrimetri Lemnitcatae et dc integratf^ne disscritur Functionis differentialis

ff d%

. ifl hypotheu t wmcn paiis positivi Vel negativi . Hac in Epistcla

praesertim consule pag . 12 1^*". ac 122 • > xibi de •Quadrantc loquitur Umnisca^

tae , artcmquc perhibet efRigicndi Crus Hypcrbdlicvm infnitum ( Hota 269*^^ ) . Qvi«
busdam aucem in casibus Isttegraiia^ quac gcncraliter a Conicaruffl arcuhut pen«
dent , simul combinata vel integrationem recipiunt , vel saltem ad simplicius adu^
nent genus magnitiidinum transcendentium , Praeclarujn habes exemplum in nova,

flasticac proprietate, quam detcxit Eulerus (f. 14. pag*. IL De productis ex infi^

nitis factoribus ortis in T^. XI"'^ Actorum yeterum Petropolitanorum ) , sciUcet ,

/dx r x^dx n

s = • / '■ ; — ^ = — dum jr == I , a«t Rcctangalum' cx Arcu Eiafticae

in Applicatam Abscissae l rcspondentcm Aream CircuK peraequare, cuius diame-
ter sit cadcm Abscissa . ( Vide insuper Volumen VII^" MieceUaneorum Berolirten-

fiumRA pag**". lap"*'"-).

(335) P^^ior loanni Francisco Malfatto Bononiae data. 10. Idtts Quintifis exstat in co-

dem IR Volumine a pag^. 134'*. ajd pag*"*. «sque 146""!. agitquc dc e&dem supe-
riori Functione integranda. Sed dc argumcnto^ in quo sumus, vide potissimuni

pag". T36"'". ac 138^"^

(336) Altera lordano Comiti Riccato , Fratri carissimo , data Bononiae pridie Nona»

lanuarii Funcdonem praecipue versat /- — : «sive , post substitutioncm

- _ ** . . ., /— b \/ah . dz \/<i*H-i6*
T» iV — — et multiphcationem per b\ b ^ Functionis — -. — ^ — summan-

(tf*H- **>"*"

dac

a87

dac methodum ttibmc > pag . implet a {46 . ad li^ . » f t artificium > caius
hic sermo factus, praebet in pag"*. 159*^.

(337) MemMi XXXVl^ J. IV*. a pag*. 241*. nsque ad 24^*°*. OtuifuJorum Voluminis
praecitatij et signanter in Numeris 12. 13. 14. 15. 16. Mil<mg€% ttc. Turiu, d§

PlmprimiHi Rt^ale a pag'. 151™*. usque ad 163'**'". in $^ 4^

(338) Alemberti methodus ingeniosissima valde praestat alteri a Riccato adhibitae .

Prioris specimen tradidi in §^. 46*^ ad pag*". 151*". Veruntamen usque ab anno

M.DCC.LXXI"'^. » scilicet multo ante MalfactiD/^ftJ/iW/»» de qua nunc loquimur,
hoc idem tractaverat argumentum , usus rantummodo Functionihus finitis , loannes

Landenius in Volumine LXI"*. Transactionum Phiiosofhicarum ad Num"". XXXVI*""*.

ct a pag*. 298^^ ad 310"'^°'. Totus enim est ipse Landenius in demonstrando ( ac

praecipue ad Nuna***". 5"". paginasque 301. 302. ) qua via pervestigetur limes difFe-
rentiae inter Arcum Hyperbolae eiusque Tangentem semel atque contactus ad infi"
nitam a centro ac vertice Curvae distantiam progressus fuerit . ( A Ditquifitiou
conceming eertain Fluents , txihieh are assignahle hy the 4rcs o/the Conic Sections%
' n»herein are invefligated some nero and useful Theorems for computing such Fluents ) .
Hoc autem modo scopulum illum amovere potis fuir , quem offendebant communes

methodi traditae a Maclaurino et Alemberto . ( Vide otiam Notam 344 *". ) .

(339) Vide pag''. 7(Jo*". ac 775"™. ( §§. l8. ac 39. ) II'***. Partis Voluminis Memo-
rabitium Societatis Itaiicae nuper recensiti in Adnotatione 329*^.

(340) Summarium Dijfertationum intcr Mathematica ad Num"°\ V°°*. , et signanter ad

cius N. calcem pag *. 22. et 2Q, respondentem. „ Interim laudi ac dignitati huius-
„ modi investigationum nihil detrahetur » si observaverimus « nunc quidem in cal-*
„ culi applicatione ad praxin neque curvarum quadraturam» neque rectificationem
p, magnopere desiderari , cum omnia multo facilius et accuratius per merhodos ap^
„ propinquandi expediri queant ,« . (Vide etiam AT. lohn Lauden Observations on
convergipg Series M.DCC.LXXXI. ) .

(341) Pars 1*. Sectio 1*. etc. In Capite praesertim II . ,4uod sic inscribitur Deintegra-'
tione Formuiarum irrationaiium y eas tantummodo versat Formulas cl. Auctor, quac
ad rationalitatem analytico quodam artificio reducl possint. De ceteris autem omni^
1}US ita loquitur . „ Si Xdx foerit eiusmodi fbrmula difierentialis , quae nullo pacto

n ad rationalitatem reduci queat, eius integrale / Xdx ad novum genus functio*

num transcendehtium crit referendum , in quo nihil aliud nobis relinquitur ,

ftrsi ut eius valorcm vero proxime assignare conemur „ . Silentium idem invenies

de iisdem Formulis ab Arcubus Sectionum Conicarum dependentibus in Additamen'

to ( pag". 85; 86. ) ad praecitatum Caput 11"".

Yy ^ (340

2S8

(340) Rcvera Caput III*"" hJiitutiOHum etc. Sectionis I**. Partis P*. ag\t de integra-

tioae formularum differtfitiaUum fer teries infuitas ( pag^ 87. et seqq. ) , eodemque

inniritur fiindamento etiam Caput VIII"" Sectionis ipsins ad pag*". 230. ac seqq.
De vakrtbui iutegralium • quos certit tantum casihut recipiuut .

f 343) ^^tht irrepsit , fortasse Cypographicus , in pag*. 753'*. ad J"". p""", rS p Cir-

cumferentlae aequalis dum Radlus — i , vice Semicircumferentiae ut in pag*. IS9^\

ad 5""\ 12""°". , aut sl vells Circumferentlae , sed posita Diametro =1 , veluti n
pcnes Eulerum in Capite V°. De iategrationt formularum angulos sinusve angulorum

impJicantium Sectlonis 1**. Partis I**. praecitatarum Inftitutionum . Totus hic Euleri
labor , nunquam satis laudandus, inniticur ingeniosissima ' Differtationtt cui cltulum

fecit Suhjtdium CotcuU Sinuum a pag*. 164 . usque ad 205 *". Voluminis V^*. Pe-

tropolitanl inter recentiora pro annis M.DCC LFV . et LV^ . ( editionis M.DCCXX. ) .

(344) Est in linea 6*. ac 7"**. pag**. 233***. 1 . c • Inlustrationem perquam majcimam
huiusce Theorices videre licet in Diffirtationiiut nuperrimis Le Gendre ( Nota

il3 . ) > ct signanter ad pag**. 635""*. , et 679°*"*. ubi non modo Series perhibetur
infinita pro differentia ista statuenda Hyperbolicam inter Curvam eiusque Asympto-
ton, verum etiam in casu Hyperbolae aequilaterae differeutia eadem proxime

3
exprimitur per o> 5992 etc. aut ~ Semiaxis » atque universaliter illam ab EUipseos

5
ct Circuli Arcu dependere in eldem hypothesi ostendltur , dummodo EUipsIs conica

sit eius speciei 9 quam in Adaotatione 159"*. sum contcmplatus. On retrouve cette
euime Ellipse dont T excentricit^ est ^gale au demi-axe coniugae daus ia rectifca^
tion de t Hjperbole tquilatere^ & il est clair par consSquent que la difference de tar
symptote i la courle ne defent alort que d^ une EUipse & du Cercle . Dum autem

Hyperbola scaJena fuerit differentiam L statuit Landenius ( pag*. 285 . l\ c . ) =;
2F — i? , positis E , F datarum Ellipslum quadrantibus .

(345) L^ c*. ad pag»« 231*«. in Jineis l8^*. ac 19"*. Differtatio Malfetti duobus in
V'., scilicet, ^§\ 9»^ ac 39"*^. paginisque 754". ct 775*^

(346) Consulatur Adnotatio 113**.

(347) Argumentum istud ab Eulero peragi incoeptum in veteri Volumine VnT*.

pro anno M.DCC.XXXVI***. ( editionis M.DCC.XLI ) , ct signanter in Dijffertatiotso

« pag**. 8(5*. usquc ad 99^^°^. ita inscripta SoJutio Problematum rectifcationem El^
iipfis requirentium . Exinde in Tomo ir. Novorum Commentariorum alias citato na-
ta est Differtatio altera De reductione Unearum curvarum ad Arcus circulares a

pag'. 3 . usque ad 39"^"*'. At pro. Ellipsi consulenda pracsertim erunt ProWema

. 4 •

4"™- ( Pag- 22.) » Excmplum i°" (pag. 26. ) , 3^"". ( pag. 27. 2S. 29. ) , ac dcnique

3'°" ( Pag. 29. 3a 31. ) . ( Vide 5^'". 9"". ac 26'°'''. huius Ex^reitationh ) .

(348) Id equidem Eulerus ipse paraverat in Volumine VII"*°. vel Coxitinuatione VI .

'Misceilaneorumetc.typisexcvis^ vertente anno M.DCC.XLin*'*. , ubi auctor exi-

mius ad Num"°*. III*"" et pag*". 129*". ac jeqq. cgit primum De tttvemione inte^
ffralium , fi poft 'iate^ationem variaiili quantitati Jeperminatus valor triiuatur. Istam

ftisius promovit theoricen a f ag*. 156^*, ad Ij8^*". Voluminis 11 . Me/an^es etc.

r l.r —-^

de Turin , ubi cxstant Oiservationes circa htegralia Formulvrttm Ix dx (i— x") *

fofito fofl integrationem x—i. Auetore Z. Eulero , Huic inventioni referri quodam-
modo possunt Integtalia Functionum adparenter imaginiariarum , quas recensui in

calce Notae 138^*®. Itemm de cmica Ellipsi quasdam ad rem astronomicam promo-
vendam Infinitas Serles exposuit in Volumine eiusdem Berolinensis Academiae pro

Anno M.DCC.-XLVl'\ sub titulo Memoire sur la plus grande Equation des Plane-

tes a pag*. 224". usque ad 249"*°*. Legendum praeterea Euleri ipsius Commenta-
rium Eiemins de ia Trigonometrie Spheroldique ^ ete. in Actis Beroliijensibus anni

M.DCCLIII". a pag*. 258^*. ad 294'^"'., quod varias complectitur Formulas pro
EUipticis rectiHcandis Arcubus ab illis Circuli paululum aberrantibus «
(349) Auctor huic Tomo secundo titiilum -fecit Couieetura Phyfiea drca propagattonem
soui ac iumiuis , una cum oiiis DiJJersationitus Analyticis D$ tfumcrii omicabiUbus ,
De natura Acquationum^ ac Dc rectifiatti^m EUipsis —Auctore Leonardo Eulera=.
Tertium autem post Coniecturam Phyficam etc, Opusculorum ita inscriptum legitur

Animadverfiaues m rectfficationem Eilipsis a pag*. 121™*. usque ad 167"*"'. At prae-

sertim consulendum ProUema zi $"». X"". ct pag*"". 125*". Eje datir semhxibus
Quadrantis ElUptici ptr seriem iufinitam definire iongitudinem Arcus Quadrautis, quae

Scries legitur in pag**. 128^*. ac r29^*. Rurffom in $**. LXP. alterum cxstat praxi
idoncum.Froblcma Datit a^iius eouiugatJs EUigfis, iu mtmeris proxime cxhihfs e^us

ferimetrum (pag. 165. 166. ). Elegans etiam cst ad pag*". l(Ji*" $"*. LVII*"., quo

Arcus EUiptici Parabolicis^ compacantur • Volumcn 1"°*. sub titulo L.. Euleri Opu^
scula varn argumenti Berolioi imptessum anoo M.DCC.XLVI^, postremum autem

anno M.DCC.LI"^. JL Eulerr Opuscuiomm Tomus ItL At prae omnibus legenda est
Dijpertatio nupcrrima praestantissimi Dc L& Grangc ^ quam scripsit Berolini sub

dicm 25""*. lunii M.DCC.LXXXV.,, tituloqpe adposito Sur une uouveiie methode de
Calcul Integrai pour les diferentieiles afectees d*un radicui carre-sous lequel ia pa^
riaile ne paffa pas le quatrieme degre cdidit in Memorabilibus Academiac Taurinenr

«is ( a pag*. 21«, ad 291. ) pro anois MJXICLXXXIV^ ct LXXXV^ ( seeonde Pav

tU)

tie ), Augustae-Taiirinocttm imprtssis vettente anno M.DCC.LXX!CVf ^ Praesertim

autem in succum et saoguinem vertendae sunt Series (pag^ 251. ec seqq. ) , quibas
tinilus adest Bjctifcstion de rEiiipse, & d$ V HyferMc,

{350) Partis 1*^. Sectionis T^ , cuius titulus De imegrstitHe FormuUrmm differemiit-

rUS

lium ^ Liber I ^ in Capite VIII^ . De Ttuhritus Integralium , quot certis fuutum cih

filnt recipiunt ad pag*~. SSS***. , et signailter in Ezemplb 11**^ Numeri 338^*. ( Vi-
de Notas 343. ct ^8. ) .

(351) Quo ad epocham editionis fritannlcae vide Adnotationem 19"*"^., quo ad locum
versionis Gallicae 345 -.

ixy^ • unde peripheriam Ellipfis cognoscere Bcei. cst

/u* = Quadrato fxcentricitaeis EUipsccdS ad Semiaxcm miiiorem i relatae ( ride Ad'
mtationem 148**"*. ) , veluti ** in Formula Maclaurini ex Num*. 805*' ad lineam
l^**"*. pag**. 230"***. , eadem etiam in Formularum compatAtionc hypothesi facta

X35S) '" P^S • o9^ ' ^^'^ Operis Magnitudinum Exponentialium etc. ( vide AdnotatiO'

stem 13 . Antelopi ) .. Demonstratio inibi petitur ab Algebra Cartesiana . Primus
«mnium ad id ostendendum Analyrsin fifferentiaiium infinite - parvorum adiijbuit

JLeonardus Eulerus in Opusculomm v^rii argumenti Jl , ad Nam°"« XXt^. P^gi*

namque 133 . et seqq. ( Adnotatio ,348*^ ) , sed 'prolizis jadmodum et implicatis
computationibus ^

(354) TJuoria nova Magnitudinum Expouentialium etc. «d JT 278^*. in pag*. 580"**.
5bctio m ^ (355) Ne de fosterioribus ioquar additamentis Leouaf di Eukri atqiie HiMonfmi Sala-

dini MBSulatur Diarittm Emditorum Lipfiense Mcasis Augusti pro Anoo M.DGC.

XXIV^ ( pag^ 356^ ) , sive lohafttis BemwUii Opermm Volnmen U"^. in NuiA^

C. XXXIF'*'. ( Methodus pommpdd et naturalis reducendi quadraturas transcendentet

.cuiusvis gradut ad iongitudines Curvarum Algelraicarum) k pag*. 582*^*. ad png*".

593 ^ Quaedam huc ctiam duccntia Vixi cl. Abbas Suzzius ct Ludovlcus a Ripa
rcccnsncrxint in Miscellaneis etc. ( Vide qtxoque lacobum Hermanniim in Actis Z/-
pfienfibus Aprilis M.DCC.XXIIL). Miaus iclitil» id etism mxditus fult GuIdoGran-

dus in Appendice U*. Ds methodo traitsfirmandi Curvas tum supetfcies tum lineas in

aUas diversae speciei , idque infnitis modis a pag*. ^2 ** ^^ 140*^" 2**. editionis
De Quadratura Circu/t et IlyperBotae) ,
(356) Rectos intelligo Cylindros ; speciesq-ae Cylindrortim cnumcratac casus omnes
^ompUctuntur Integraliura aut algebyaicorum^ ant a quadracura#Hyperbolae , aut

Circuli

Crrculi dependentitim tam in Fonctionibus rationalihui , quam In irrationaliius »
quae ad rationalitatem perducantur . ( Vide prae ceteris excellentissimum Capuc

II"". be tntegratione Formularum irrationalium Sectionis I*^ ? ^t tis l^^.lnjiitutionum
Calcuii Iniegrulis Euleri } .

(357) Dummodo conflans B non evancscat ( pag. 59. et 60. Capitis nuper citati ) .
Quum autem ex recentioribus inventis Le Gendre ( Adnotationes 1 13. et 1 14. ) re-
ctificatio Hyperbolae ab illa EllipsecDS derivetur ope diferentiae partiaiis ElUptici

ArcuSy sive qu2Lntit2Ltis transceadentis /</p ( v I — t* C^'X*. ^ ) , in qua varietur

tantummodo excentricitas c {Nota 148. ), nemo non videt id omne perfici tam pto

F.unetionibus rationaJibus quam pro irrationalibus in II . Sectione animadversis, aliisque

cunctis a Landenii Tabula nuperrima comprehensis ( Adnatatio 283 . sub finem ) > si
abunico Cylindro EHiptico latissime considerato auxilium petatur . Nam Parabolicus
ctiam Cylinder est Umes Ellipticorum . ( Torricellius in MS. Musei Florentini = P^-
rabohe infinitae =z) , ( Identidem in Opusculo Thomae Cevae = De Paraholis ad
modum Ellipfium confiderandis = ) .

(358) Sectio U***. Partis 1**. , ad Caput V*"". De eomparatione guantitatmm tranteenditt"

/Pdr
'■ • ad pag*"*. 421. et seqq. , ac Caput

VA-^aBx-hCxx

VI . De eomparatione quantitatum transcendentium eontentarum in forma

/Pd%
r ad pag'""'. 451. ct seqq. » in quarum alterutra

\ A-h 2Bz -+- Czz-^-iDz^-hEz^

Functio P est rationalis, Adde quod ipsemet Eulems doctissime exposuit de In«

fjidx vdy

tegrali Algebraico Aequationis = in Commentariis Beroiinenfibus

pro anno M.DCC.LX"^, cditis tamcn vcrtente anno M.DCCJLXVI1"*., U pag'".
242 . atque sequentes.

«

(359) Cousin Li^ons &e. a^*. Partie pluribus in l'*. 5 Volumca VT". PetlropblitfanilA pto

annis M.DCCLVr ac LVn"*. (cditioni^ M.DCCLXL) adpag*". 32* *". in D4?Jr-

m/ix • ndy

>•• • I

\

fatione Ac inscripta De i/;tegraticne Aefuaiionis diferentialis ^ ,_— — , >

Volumen Vn""". pro annls M.DCe.LVin". ac LIX"°. (edltioBis «t sopr») in Dis-

tertatione , culus titulus ese ad pag . 3 . Specimen alterum methodi mvae giinntita"
tes transcendentes inter se comparandi i et Acta Academica praecitata -iii Parte prio-

ri ( editionis M.DCC.LXXX. ) ad pag'". 20*". , ubi exstant usque ad 58''*". DHuci-
dationes super methodo eiegantijjtma , qua, iiiuftris Dc La Grange usus eft in integran*

da Acquatione difereutiali ■* ,^r = —r- , Adcedant etiam Difftrtatioftes pul*

V^ s/y

Z z chcrrimac

xherrimae etusdcm Euleri de hoc ipso argumento in Volumine XIT"^. Pcttopolitano
pro annis M.DCC.LXVl". ac LXVir^ ( cditionis M.DCC.LXVm. ) , quanxm pri-

ma a png . 3 . ad 17*"*. est Itttegratio Aej^uathnis —

dx

dy

V^-+iBjr-t-C>»-+-D>^ -*-£>♦ ^ '

Evolutio generalior Formularum comparatioai Carvarum inserviefitium .

(360) Melauges de Phiiosophie & de MatUmati(fue &c. four les antues 1766. — ijfe a

pag. . 98". usque ad 126 .^ quibus legitor Disscrtatio Sur V integratton de quel-
qnes equations differenttelles dont les Indeterminees sont separees ^ mais dotst eha"
que memhre en particulier n* ejl point integrable — Par M. De La Cra»go — s BcT'
lin ce 20. Septemlre 1^68. = .

(361) Consule Bougainvillium in Capitc XVI . Partis I". ctc. , at praesertim ad Ntt-
meros CC.XXIX"""*. ac CCXXXnr"" praeter CCXin*"". Capitis XV'^. , vel ProMe-
ma 4"". ad pag"".' 205"". et l^*"*". ad pag»« 222''*". Volumims ptaccitati BcroU-
ncnsis Acadcmiac pro anno M.DCC.XLVI .

(362) Volumen VIII^"". intcr nova Pctropolitanae Scientiarum Academiae ad pag***.
139**"*, in Formula numeri 6".

(3^3) Volumen X""". novorum Commentariorum Acadcmiae PetropoIIranae ia PcoUc
mate 4 . ad pag . 19

(364) Pars r*. OpuseuUrmn MathetBotieorssm Voluminis v". ad §$". 13 **". ac 14*^.
in pag*. 242^*.

(365) Vide 1"". Alemberti citatmn ad pag*". 245"" , Vinccntii Riccati Opusculorum
ete. Volnmcn Ir"" in Lemmatum i*. ac 2**". ad pag*'. 59. 60. 65. vel Opuseulum
Italicum ad pag". 20. 31. , Volumen Vm^"". Pctropolitanum pro annis M.DCC.LX^.
ac LXI*^. ( cditionis M.DCCLXIII. ) ad pag". I^s'»*. calcem in Theoremate /tnsulari^

isSS) Consulatur Adnotatio 209"*. sub finem .

(367) Boujgainvillius in Partis P*. etc. toto Capitc .XVII'"*. $ic inscripto Des d^eren-
tielles dont t integration dipend de la quadrature des eourles du troifieme ordre oA

pag^°*. 234 . Cofrigendus autem eTtor des eonrhes^ scribendumque des llgnes,

(368) Adnotatio 282***. Perlege l"". ibidem citatum a pag*. 231"*. usque ad semisscm

pag*f . 241™**. Adde etiam Formulam , uti in Nota praedicta ,

/> dx^
*• \/P -^Qx:-¥ Sx* -+ Rx^ *

{369) Pars l\ Traetatus BougainvilUi In Lcmmatc, quod erstat pag*. 237*. ac Num^,

CC

293

CC.XL"Mdcmin Thcofcmatc i*. ad pag*". 246*", numcrumquc CC.XLIV".

(Sro) Caput XIX"". Partis 1", ciusdem Bougainvillii Tractatut .

(3iO Opera notissima sunt, praeter VoJamen JI**"*. Introductionh in Anafyjtn Infni-
tortim znno M.DCC.XLVIir**, evulgarum , quae iam mcmoravi in Adnotationibut
33*. Antelogii ^ ct ExercitatiQuis 92*!*. 135'*. ac iSs*'*. Enunttratio Ncwtoni Linea^
rum III . ordiait , omnium huiuscemodi speculationum prima , in lucem cdita fiHC

oi

vertentc anno , cuius mentio facta sub initium $'. 49 .
(ol^) Quatre Prailemet.sur de nouvelles Courbes de NP. Alexst Clairaut ie Filt'.
Httius Dissertationis in calcc fides cxstat Academicorum cx autographo transcripta ,

ncc modo Annum M.DCC.XXVI"'". , sed ctiam primam Septembris diem procul
dubio definicns , qua impubcr illc inventionem suam dedicabat Scientiarum Acade-

miae Parisicnsi . Harumce Lincarum unam , scilicct l*". , iam praeoccupavcrat

Guido Grandus in Hugenianit impressis anno M.DCC.I'"^ et signanter ad pag*^.

197**". in Epistola Ceometrica nd Thomam Cevam lesuitam . Tractatum „ De novis Li-

neis turvis „ plcniorcm idem Grandus pollicitus fuerat usquc ab anno M.DCC.X*"*'.

(Vidc 3^**". cditionem Quadraturae Circuli et Hyperlolae ad pag*". 105*" ).

(373) In Elo^o aairautii, quod est in Hfjloriae Academiae Scientiarum Parisienjis

Volumine ad annum relato M.DCC.LXV"'". , prcli ibrtasse vitio MitceUanea Besro-

m

. linenfia miii M.DCC.XXrV^'. citantur. Narrat idcm Eloffi scriptor Gairautium
ipsujoi sextumdccimum actatis annum agcntcm complcvisse etiam Tractatum Re*
cherchet ttsr let Caurbet a dostHe cnsrbure i quod ad unguem consonat cum adpco-

bationibus initio Opusctdi pracmissis cditionis anni M.DCC.XXXI*"^

(374) Huius Curvae Aequationem» Figuramque ApoUonii Hyperbolam imitantem

( x^y* — 3tf*«* -4- tf ^ = o ) reperies quoque , sed obiter animadversam f in Tomo 11^^
ad pag*"*. 390"*™. Court de Mathematiques Abbatis Bossuti editionis Parisinae anni

M.DCC.LXXXr"*.

(375) Fundamento hoc simplicissimo imiititur omni^ Conicarum Scctionum doctrina .
Specimcn istius argumcnti typis paratum habeo in CoUectionum Academicarum
usum sub titulo Saggia d* un nuovo metodo per dimtfirarc le proprieti delle Seziani
Caniche .

(376) De Taluia loquor , quae exstat in pag'*. 154". et 155".

(Sn) Quam piaestiterit ob invcntorum copiam , pretium , et clegantlam Torricelllus
Viviano , nemo prac Viviano ipsomet magis » si rectc iudico, demonstravlt . Ite-

rumiterumqueiubcntibusFcrdfnandoIl . ac Leopoldo ab Etruria, semel ac bis in-
stante Ludovico Francisci Serenai Metropolitanae Fiorentinac sacrarum Aedium

Administrationis Tabellario , et Torriccllii Assis ac praesertim MSS'**"'. > ut publi-

cam

Q94

cam cito viderent lucem , ex testamento curatorc renunciato , nunquam Vlvianus
voto cessit , nunquam fidem promissis liberavit , nunquam passus est ut typis para-
ta eius Geometrae maximi ANEKZ^OTAomniume^peccationifacerentsatis.Utrum
maioris famae Torricellii suspicio, aut perantiqua aemulationis imparis obortare"
cordatio quum divini Galilaei famlliaritate atque consuetudine simul cum Torri-
cellio JFrueretur in Martellinorum Rure ad D. Matthaei Suburbanum , Viviani ani-
mum occupaverit » fusius in Perellianis meis coniectabo . Interim legenda est Epi-

stola ad loanncm Lamium, Florentiae scripta sub diem iS^*™. Septembris verten*

tis anni M.DCC.L"*. . et in Novis Utcrartis Florentinis inserta ad Num'"". 38 ''""\ ,
ac praecipue in loco Necetsario sareble che infirmaffi ec, De Serenaio , rerum prae-
sertim astrologicarum amantissimo , plura inveni in Codice cliartaceo Filza di Giw
stifcatione XV, uella Cancelleria deltOfera^ ac de iUius itinere in Romandiolam

Torricelliorum Patriam anno M.DC.XXXVII'"^ quum Administtationis antea di«
. ctae Praefectus esset Senator amplissimus Alexander loannis Caccini , Curatorque

Baccins Lapi Ce Tovaglia ( N°. 155. pag^. 209. l*. c . ) ; de summo autem Serenai

eiusdem srudio raolestiaque perpessa a die 29"^ lulii M.DC.LL usque ad 27*"*.
Novembris M.DC.LXX. ut Vivianum , morae fastidiosissimae accusatum , quoad
poterat excitaret, in MS. percelebri Palatino.
(378) Vixdum Aegidius Robervallius inventi TorriceHiani nuncium acceplt» demon-
strationem stiam Marino Mersenno illico communicavit . ( Vide Epist^alam cimtara

in Adnotatione 320™*. ad pag*". 279"*". atque seqq. , qnibns demonstratio illa con-
tinetur , summisque laudibus a Geometra Gallo Torricellius idem extolUtUT).
Quod non alia de caussa htc iuverit monuisse, nisi ad emendandum errorem Elo-

giographi TorrfccUii ad pag*". 435"". (1. c ItiNota \i^\). tabi ait Torricem ne
avea date due dimoflrazioni • Rotervai ne d^giunte utf altra diversa > che fi ^ fefdu^
ta. Nam demonstratio ibi exstat , quam deperditam dixit.
(37p) Exercitationes Geometricai sex — Auctore F. Bouaventura Cavalerio — Bononiae

rta

M,DC,XLVIL in Exercitatione VI . De quibusdam propqfitioniiut miscellaneis ad
pag**". 536 . De Soiido infinife iongo aequaii fnito > nempe ad Propositionem

•

XXX VHI"". eiusque SchoHum. Cavalerius minime adnotavit Curvam suam eisst
Hyperbolam Apollonii , et quidem aequiiateram » quod tamen ex ilHus generatione
ab ipso traditaliquidoconstat,quum /ijr^<r3o/r/fiviii$itLineae-rectae. Hodienum cum

Fonr^nelHo ( Hifloire de tAcadimie Boyaie des Sciences &c. M.DCC.XT. ad pag**. 6r.
62. ) dicendum merveilies dont on ne daigne fius fresentement s* etonner , qna Bomii

reperta { sur ia Tractrice) (pag*. 58. etc), sciHcet et dc Area infinite -longa Qua-
dranti Circuli tangentem Curvae pro Radio habentis , et de SoUdo pariter infinite-
longo Quadranti Sphaerae eiusdem Radii aequali, fortasse primus recensuit. H?c
aucem de /aisa illa loquor Tractrice , quam Geometrae primitus animadverterant ,

haudqua-

»95

haTidqiiaqiiam ie verit TrMcfricilui ab Eulefo ampllssime tccensitis in tf •, Volu-
snine $tovcrttm Actorum Academiac Imptrialis Scientiarum Pttrofolitanat edito vcr-

tentc anno M.DCC.LXXXVni^^ ( Dtux Mimoirtt conccruant unt tspect dt Uffit
€ourtt afftUit Tractrix).

(380) In tei mathematicae Fastis celcbcrrima fixit olim Formula A C^-—) X
'^frx

E » qnae in casu ri x — ^^r dum cx natura Problcmatis Fhysici » ad quod

pcrtinebat, infinitum valorcm conscqui dcbuissct» abire \xi nihilum

tA v~^ . E '^y vidcbatur, aut potius in exprcssioncm vagam 0.00 finltae ma*

gnjtudinisy $ed indctcrminatae » atque Calculo inutilis» nodumque paene insolubi-
lcm obiiciebat. Veruntamen illa Functio rite rectcque perpcnsa nuUi faradoxo lo«

cum linquit , proptercaqnod A r — ) .'E^'^z=:A.o^.E^'^ ex rcgulis Analyscos

elejmentaribus est rcapse Infmtum • Passim exstant excmpla similia et in hac Extr^
eitatiottt et in IV°, potissimum Capite Thtoriat uovat Magnitudinum Exfontntia"
iium etc. ( Consulatur Safgio Analittco dtllt a/sezzt taromttricht in lucem cditum

(ni fellor) anno M.DCC.LXXI'"*. , praesertim ad-tag*'. 58. 59. 66. 6%. ct 68.).

(381) AdNum°"*,XIX^'"..qucracontinentpag*^ XXXIV" ac XXXV".(VidcTorriccmi
Oftra edita anno M.DCXLIV^*. ad pag*". 112*'". numcrationis 2**". , et MS, Palati-

num eius Antcdot^u ad Num"™. rubrym 42» ) .

(382) Asymptotae Hypcrbolarum simiiium sunt in proportione Axlum vcl Parametro*
rum . Si Circuli Ordinata supcr Diamctrum I evancscat» erit i : o : o -^f . 'Eadem
xccurrunt in Systcmate Circulorum innumerorum » quorum Circumferentiae codem
an puncto sese tetigcrint , quae t ymbolum sunt adfectionum Hyperbolae conicae
eiusque Asymptotae etc. etc* (Consulantur prae ccteris O^m di Oronzio FinH dei
Delfnato , tradotte da Cofmo Bartoli ed Ereolt Bottrigaro tte, — in Veuetia
M.DXVII. = , et signanter prope finem ubi titulns exstat Vautaggi dtllt cott so^
fradettt). Silentio praetereundum non est Aream HyperboIae-circuU aut atquila"
terae aut sealenae zonis suis analogiam quoque servare cum xonis Sphaericae Super-
ficiei a gtnitort Circulo gcnitae , eandemque analogiam in Quadratrice Dinostn^ti
repositam essc . .

(383) Legatur Affendix Tomi citati ad pag*^ 423"". et 424 *"*.

(384) In pag*. 076 . Artit conitctandi edidonis Basilcensif anni M.DCC.Xni . a Nico-
lao BernouIIio gx fratrt Nepote curatae .

(385) Tamctsi hac in Figura , quac illi cst 2^'. , nosquc transcripsimus , praesidio petito

Aaa »b

296

.ab Infinitis Scricbtis ostenderit Spatium infinitc •^longuttt ABFlz^FB^ ^ ftteritqme
haec proprietas ex anterioribus invcntis Hugenii ad Logaritlimicani pertincns etc.

(386) Id intelligi velim eo sensu solummodo, quem explicavi in Jd^^Mtiont 320''*.

(387) Pluries ista in Exercttationt , sed praesertim in Notm l8^*, Aatei$gn , de hmus-
cemodi Infinito disserm ( vid. etiam peg^*". 253'*". ActQrmm Bmrmt^fium pro anno

M.DCC.LXT , ubi loannes Albertus Eulerus haec scripsit Y/L^ , qui efi une

quantiti itjfnie four ainfi dire du flus las ordre , faree que la racine quarree se tire

a
du logarithme d^un infini , qui efl deja infiniment pius petit que — ) . Hoc Infinitum

prae omnibus abunde satis doctissimeque versavit Gregorius Foutana in Disqttisi'

tiane XIIl'\ De lufinito Logaritkmifo a pag*. 303 . ad 323 ^*". aUas lAtec Phys&co -
jnathematicas Papiae excusas anno M.DCCXXXX^

(388) Istud Theorema videbis in Lectionum Geometricarum XIP^ Isaaci Barrowii ad
Pag ": C05"". et Numeros l""". ac If"»"*. Figurasque I56^'". ac 15;*"^.

(38p) Dt Sfhaera et SoJidis Sfhatralihst ^Fiorentkio anno M.DC.XLIV'''. , Horoio'
gium osciiiatorium Lutetiae Parisiorum in lucem editum a pag*. 72^^ usque ad
t:'"". , Suffiement sur ia Geometrie, & sur ia Statiquo d" Archimedes XXXI*. Me-
moire ad pag*"i 453 . Vbluminis HI . £j sais et Recherches de Mathematique et de
Phyfique = Par M. Parent 2 . . editionis Parisiensis anni M.DCC.XIII .

(390) Philippus De La Hire 1*. c^. in Adnotatione ZZ'"^» ^ii^^ exhauPionnm methodo ne-
gativa , et absque iimititnt vel infinite - parvis hoc Archiniedis invenmm fbrtasse
tmictts demonstravir.

(391) Li Pereiiianis. (Vide Notam 74*" )

(392) Sagffo sofra fArchitettura Gotica = in Livorno M.DCC.LXVI. == Pauli Frisii.

(393) Caroii Renaidini Serenissimi Cosmi III. M. E; D. Phiiosofhi ac Mathematici • et
in Patavino Lyceo Phiiosophi frimae tedit Geometra ftomotut eidem Serenissimo M.
D. dicatut =Patavii = . Mediceas Lineas.in tria genera distinctas, quibus ctaiiud

quoddam Auctor addidit genus , a pag*.. I^*"*. usque ad ^^**^*". haud parnm com-
imendavit lacohus Gregoryus . Sed meo iudicio multo magis laudandae eae , quas
Christianus Hugenius Academiae Parisiensi dicavit in Efiftpia de Curvis quiiusdam

fecuiiariius mcmorata intcr Geometrica varia ad pag*"*. 351"**°*. Volununis 11*. vt-

tcris Hifloriae eiusdem Academiae . ( Vide Notam 431*" ) •

(394) lE^ius momenti sunt cctcra , quae Renaldinus in lucem ediderat ad promo*
vcndam Mathesin , vcluti Art Anaijtica ' Mathematica in tres fartes difiributa
= Ftorentiae M.DC.LXV. , Artis Anaiyticae-Mathematicae fars secunda = Patavii
M.pC.LXIX. , De resoiutione ac compojitione Mathematica Ubri duo ad Prineifem

Cardinaiem

39T

. CardinaUm LeopoUum at Etpmria = Patavii M.DC.LXVm. ctc. Pntrla ciat Arico-

nitantts, in qua faro cessit anno verteote M.DCXCVIir^, ad insticuendtini in Ma-

thesi Cosmum Medices Etruriae Principem deiodeque huius nominis BI « M, D.

t, Ferdinando 11^^ yocatus fuit , et usque ab anno M.DCXXVII^^^ad Philosophiam
^piofiteodam ia Patavina Academta a Senara Veneto renunciatus • atque fortunae
faventis miraculo l2oa Florenorum aureorum annuo stipendto cooduccus ( scilicet
ducentis amplius divino illo Galilaco *) et postmodum 1800. etc.etc

(395) Problema 27°". ad pag*". 157*". in Caplte V^ Sectionis l**. Fartis l**. Itfjlitu-
. fi^9ium Ca/cuir lutegraiis Euleri .

(396) Vide !•". nuperrime memoratum , necnon Volumen II^, Tractatus Ftuxiouum

Madauiini ad pag*™. 290*". N^miuem ptofecto latet esse L -r-

'(45--iO

= L Tang. ( 45* H- — ' ^ ) si£u0rum consideratione reiecta /Ceterum antiquior hu-

iusce Theoriae investigatio exstat in . Waliisii Epistola ad Richardum Norrisium
couecrmng the Colfectiou of Stcauts y mud tke true divifiou of thc Mtridiaus im

she Sea-Chfirs. (N*. 126. T. XV- Traus. Phi/os. a pag', npS^ ad l^ol"""*.).

(397) Nam si in Puuctione ■ substituatur er Elementis a% = y «*— ** »

illud.Differentiale vtrrtitur in radottalem Formulam-J-'— - ( — ^ 1 } «b Hyp«r*

bolae quadratura , Logaritbmisve pendentem . Quo ad proprietatem Parabolae in-
ferius adsertam consulcndum cst Caput IX"". Speculi ujiorii , vel VI .* Exercitatio'
mum MatfumititMmm Catvalerii »d pag*". 5x6^*". edit. Boa. aBQiM.DC. XLVU'"'. ,
Liberw IB'"*. D» Uelt Salidit ttt. Vineenta Viwiwu »4 F*'" S»^" « Pwp^
sitiAne Hr*.

(398) Coniukntar l'. c*. in Admtatitnt ^fS^. , et signaftter pag*. 4^. Volumihls I"'.
Operum Omuium Johaums Bemouilii •

(399> Ad Num""?. €GLXir""v er a pag'. 268"\ «sque ad a??"^^ medietatcm . Tam

h6c, «luam^^seqilens Capuf MX""*. innituntnr reperti» ab Alemberto in Articulo
n°. Dissertationis editae inter alias Voluminis Academiae Bcrolincnsis pro anno

M. DCC. L'"^ De la Quadrature des Couries , dout les i,quations out trois ou quatre

termes a pag*. 363 *. iisque ad 369*"**.

(400) Si nolis Barrowium consulcre (ad pag"". lot. N'". XI. Fig"». 58. XIP". Le-
ctiouum Geometricarum ) , vide Grandum in pemouflratiQMe Prob/ematum Vivianeorum

etc^

298

ftc. imptessa Florcfltitic sub anntiin M.DCXCIX"". ad pag*". 89****. , cx qua id
(acile derivatur e^dem ferme ratiocinatione manente ,

(401) Est unum ex Torricellii inventis ineditis iuxta obiter dicta in $^. 49*^, Lega*

tur potissimum eius Epistola MS*. sub diem 5 *" Augusti annt M. DC. XLVII^»

(402) Quamplurimas elegantissimfts format combinatio Curvarom suppeditaret in Mu-
sin 9 Amglyfhz tToTeutMt2.( iuccy?i.6^ 9 TopevfJLara) 9 totamque Rem graphicam»

quae ad ematum Tefcratur , perficiendam » dam satis exculta » et ab Architectis ve*
jre Geometris loctipletata promovcretur •

(403) Nimirum per absehsas in eidem recta positas wdinatasqm inter se parallchs.
Faucae enim Curvarum, ac plerumque transctndentes ^ veluti Spiralis Archimedea
etc. » ad focos rcferebantur in Analysi Cartesiana. Exemplum babes huiusce me*
thodi nuUi secundum in Dissertati&ae eiusdem Euleri typis edita vertente anno
M.DCC.LVI''. sub titulo Rifiexions sur un PrMeme de Giomitrie , tr^e far qmh

ques GeMetres , & gui efi uianmoins impoffHi a pag . 173 . ttsque ad 206"^°*. Acte*

rum Berolinensium pro anno M.DCC.LIV * Sublimiores ibidcm Aequationes con*

iiderat intcr « et ^ , veluci z^aVi^ Cds. Ap , « ?= ' ^^ ' * etc. , quarum

prima Curvam multifoliam , altera Hyperbolicos ramos habentem deslgnat , imro«

que artiiicio v^rtit iu algebraicas Cartesii de more compositas l§^ . 6z "V huitts
Exercitationis ) .

(404) Volumen 11^*^. Jntroductiouis iu Aaalypu lufuitomm^ praetettim io Capite
XVII~. ad pag*". 212. atque scquentes^

(40^) Etsi Hdpitalius in Propositione VIT^ Sectipnis II^*. {Aualyse des Infmmeut-
fetits) Conchoidem istam prouti Conchoidem-CircuB animadverterit,etHyperboIam
ApoUonii veluti Rectae Conchoidem ( id primus , quod sciam , dcmonstravi in meis

frolepmeuif ante Traetatum Magnitudiuufh Exponeutiaiium etc. ad pag*''. XXXIII**^.)
nihilo tamen minus non est harum prior cum vera Conchoide^irculi confiindenda.
Htc autem loquo): de pA>ni\^m simpUcissimae AeqUatione Conchoidls, quam etiam

dcdit Leonhardus Eulcrus in Capite XVII"*. Tomi 11**^. lutroductiouis praecitatae ,

ac potissimum ad pag". 224^*". et 2^5"'". , atque N""*. 414*"" ctc. laterea mo-

nco eodem in Volnmine cerrigendum esse ( lin*. la pag*®. 225 ) mendum ty-

b

pographicum £ = -^ — -- , scribendamque ( quemadmodum infra lin^ 30. ) vefam

Aequationem z — fc c pro veterum Conchoide sistcflda .

Cos. p ^

(406) Univcrsalissimam Concholdis huiusccmodi Aequationcm habcs in nupcr ad-

scrto Euleri Volumine ad Oiput idem XVII""'. Dc invcntione Curjamm ex aliis

frofric*

pr&friitatihts < (Vi<lei ut de tota ciM constet theorice » Nvm*'. 414. 4x5. 416. 417.

418. a pag'. 224 . tisqiie ad fiiiem 236'*^ Leonacdus idem Euleras usum fecit uber*
rimum doctrinae ab ipSomet in ancec^ssum prolacae Dijirtstiamm conscribens in

Nota 4p3^*. memoratam, qua non modo Parabolen ApoUonii Aequatione % —

— —w-' — praeditam recensuit ( pag*. 188. ) , verum etiam ( pag*. 195. ac Fig. 1 1"**. )
Cardioidem amplissimam z = : ^r-- — n prae iHa in Num*. VII"^ Tahnlae

5 . 61"**. consideravit .
(407) Sublimlor Astronomiae pars , et ^esertim ad Cakulorum praxln aceommoda-
ta ift Systemate Newtoniino hojc innititur fundamento . Epocham vide novi huiusce

aigorithmi trigonometrici in Admtatiom ^/^ ., et eius fimdamentd passim in I*.
ItnroHuetionis itt, antea typis excusae ( M.DCC.XLVIII. ) Volumine .

(408) Fiorum Geometricorum manipulus Regiae Societati exhititus etc. ( 37S- Art. I. c

pag*. 355*. ad 272*"'. in TransactionibMS Pbilosophicis Londinensibus pro anno

M.DCC.XXIll'**.* ( Vol. XXXIL ) . Phres Geometrici ex Rhodouearum et Cioeiiarum

Curvrff*uln discrrptiofte resuitarttes etc. Florcntiae aiifto M.DCC.XXVin^". Rursum

Lucae vertente anno M.DCC.XXlX"**. = / Fiori Geo^elrici dei P. AbHte Qrandi tra-
dotsi in Tdscano dai Sif. Tommaso Narducci coit aggiunta ^r. =. (Cramerus T.

c^ ad Exempium IV"". nI 170. Capiris X*"'. seu pag*^ ^u'"".)- ^l^^rres illi perti-

nebanc fortasse ad Viridatium ineditum» cuius in Adnotatione ffl2^. prope fbem
quaedam recensui.

(409) Scilket in Pereiliams. Exstat Opusculum notissimum ita inscriptum Thomaa
Cevac e S- /. i^strumentum pro sectioue cuiuscumque anguii rectiiinei ih partes quot^
cumque aequaies — Mediaiani M. DC. XCV. = . Iprius. inventum sibi vindicavit

Tschirnhaiisenus usque^banno M.DCXXXV ^.9^ quo illud Clerselerio communicave*

• rat . ( Bxctrptam Ht. in Lipsierisi Ephemtride ad annum M.DCXGV"^. pag'* gaa. ac
3*^:^. ) .* ( C^nsule idem DSarium etiaift «d pag*". 25»*"*". et seqq. , necrion Praefa-

• ihnem Guidohi^ Crandi ^d OtJusfctilufli J)e quadratura CircuB ct H^fperbaiae 2 **.
editionis anni M.DCC.X. , quae Marchionem Hopitalium in Tractatu postumo De
SectJonihus Conicis .( Traste des Sect. Coniq. ) instrumentum idem veluti suum pro-
duxisse.Lectores admonuit ) .

{410) Qaam Cousinus in Parte V, Lectionum Caicuii differentialis et integralis Aequa-

,.,. ^ C-^b-^rcCoS^X , ,. . .^.

tionem tradidit — = — ' . ( ubi c constans est luxta singulares casus

' detiermiaanda » b primus «x RadiiS' Vectoribus ) Secti^onibus Conicis universis ad fo-

Bbb cum

300

eum relatis pertinefttem , cnm. aostra congrtl^re wperhis exposita z =.*

nemo non videt. Nam consensus iste ponitur in aperto semel atqne fiant a=jf
4».=r(2r±=l )*, ^ = af, f» = r, I = r d= * , scilicet brcvius , jr = «,*• = ^,v = «,
^^ = 1— «, * = ±=(l— ^)(2»±=l). Quodautem ad Spiricas adtinet, feten-
dum est Lineae heic contemplatae Radios z Elementis Ferimetri cuiusdam Ellipsecds
conicae datae proportionem servare per ea , quae de Formulis a Cl. Le Gendre prt-

mum animadversis explicavi in tAdnotatiombus I12"". et 148''*. Exinde lucemper*
quam maximam mutuantur genesis et descriptio ipsius Lineae , quam alibi
protuli in meo de lineis Persei Specimiue , ratioque tum constabit geometrica /w-
nsediatae derivationls fundamenti doctrinae Le Gendre a doctrina Pascalii« Tan-

dem aequipollentes esse Aequationes , etsi prima fronte diversa», z — ±za V^Cos.2P

z=i±za \/Cot. 2p pauUo postea descriptas , Eulerus ipse exposuerat , pro expressio-
ce saltem eldem sistenda -t- Cos. p aut — Cos. p ad Linearum constructionem in

Corollario 2 ". ad pag*". i8(i**" Disquijiiionis suae , de qua loquitur Nota -405^. ,
nosque ptocul dnbio multoties innuimus.
"(^ll) Maximopere diversa est ista Curva a pariter nodata , sed transceudente ^ de

qua superius egi sub finem $. 44 *. , cuiusque symptomata cxstant in l^ anteac^
Memoires de f Acadimie Imperiale et Rojaie des Sciences et Belles^Lettres de Bru-
xelles = Tome second = M.DCC.LXXX. , et signanter ad pag*"*. 145"". et scqq.
Dissertationis inscriptae Memoire sur les Courtes que decrit un Corps qui s" appro'
ehe ou s^ eMpse en raison donnee^ d" un poiat qui parcourt une ligne droite =z Paf M^
Le Chevalier Nieuport ( «6. Septemhre im ) • Aequatio entm illius Curvae statim
concinnata huc reducitur »* h-2«*(^' — 4f*)H- ;r* (j^»-.^!»)»— .4^»^,* («*-+j*)
= o , aut potius ( x^ — 24X4f* -+ ^**-+ jr» x - 2ay* )(*»-♦• 2«»-+ a^x ^+y^x •+- 2ay*)
= o , vel simpUcius *» — 2ax^ -*• ii»jp -4- jr*x — 2ay^ = o ( haud confiihdenda cum ea

Catvae ParaboUci generis Newtoni [Species 68''*. Fig**. 22"***.),namque Asymptota
gaudet inventu fecili per geometricam Synthesin , quum sit iUa Ordinatarom a nodo di-
stans aeque ac nodus a verdce Folii ) , nimirum est Lineafe jgeometrieae ( quemadmodum
. obscrvavi), nec novae, scd ez Newtonianis {Specits 41*. ac Fig*. 50*.). (Vide
Cramerum Iq Exenplo r". N". 170. pag*. 411. Capitis X^. Operlt, cuius loqui-
cur Neta 135**. ) .

(412) Cojwnle Propositiones aut Problemata X^. et XI*". Capitis m'''. Libri I*^. ti»
Tomo citato . Fama est non Villalpandi , sed ChriJtophori Grienbergeri lesoitae
filias fuisse huiuscemodi Ovales ip Fig'*. 10*». atque ll°*. dcUneatas. ( Vide N«.
tam 124 -).

(413) De Cissoide quadam a Dioclea diversa.

(414) Epitheton lemuisceroti^ac aptum qmdem cst shspitari pmicio tripUcl Curvae

indicando

• indicafido et xite xeeteqve aoiSpfldmCddtiltn hllnxs^. spe^hiy qusrm ptimn? 8xiiii2fidvci:tic

-

in Lineis ordinis 4. Gl. Bragelongnns {No$a $3 • ^tiio^n) > baudqua^ustm vero
Cissoidis titulus > proptereaquod ab imitatione iigurae^ bederae folii quammaxime

Ovalis eadem aberrct * ( Vide Aduofationem 181'°'. ) . Ccterum puncta singuJaria le^ ' '
mniseerotica et visibiUa et invisibilxa consideraverat iamdudum Cramerus > quini-
nio et in Lineis parum ab istaOvali diversis» utpote quae praeditae sint A^quatio*
■ nibps j^* -4 Qiiyyx H- «♦ — ^ax} ^o ^ y^ ^ x^ ^ ^ax^ = o , Jiomenqfie- inditum pua-
ctis ipsis poiat de tripiifite invifible qui renferme virtueUemeMt dsux Fesfilies . ( Vide

* Introduetion ete. ad pag'^. 422. 6lo< ct 654. FigHrasque' 128. Tab*®. . XVII™*^ 203.
~ ac 208. XXVU«".et 225. ad N*'. 4, 8. XXXin*"^ ^ ^ ' ' ' " • '

(41 5) Ad calcem ; ct signantcr in pag".28o™\ ac 28x!"*.

(416) Repetendff' Libri cicatio, de quo iam scriptuci in JJofa^ 81^*. IterGeometricum
adpellavit Vivianus Oblectamentum Geometricum. Sed potius verterem litteraliter in
t>eambuIatioHem (diporto) Geometricam, ==: Continuazione dtl iyiporto Geomttrico
— Modi vari meccanieif lineari, e solidi tentsti di V:'V, per le cofiruzioni dh^due
iilufiri ^tiHemf; ilprimo 'ietta mishhellefe^^Mg^h in data prapor%ione, iktuOndo

- ielt invenwone. delle due Medie propors^onali ^ , . . ^y > .

• • •

t4T2) Vnialpmndus ehim zn Fig .' Ii"*^ 1. c\ ( Nota 4t3. ) xms» ttt :iii eam Linflam
4escfibendam>.prQtkorti6ne*ge0tftCftrica-quan)or ^onfla^a terminiSy vel .^emiJip.Cir*
culo f dum ex adveno tribus Viviamis , et Circulo unico p ut infra patebic •

(418) E$t illa depicta in Fig\ lo"**. Villalpandi • _ . .^,

(419) 'TiWaatft Y: c'. ihTemt ifF= -^ . ABr Lergoa .1».; puitet c^AVsz'^.. «

dum AB=^s,tX iiciroD . AV = -jg- . -4B • Vivi|inii9 atacuit 4B { TVi : l6 : V2Z •

Lorgna de hoc maximae Ordinatae valore Analysti» Aequatiojoe potitis cucam
> ' onmejn reliqiiit . ' . -:. :'. .'••., r f ,.- -.; _ .

f - •

(420) Opusculum ni"". Lorgnae siipcttUt.ttmorawm.a^ P**" *45**"-ct.4^?"*«

BougaihviUiiis in TaMa Partis 1"^^.. ad {»ag*°l m

I J:>

(421) Consulantur Lib'. Vn*"'. Propositiones variae a pag*.7o3*. usque ad 865"". in
decem Fartes distributaesnb titulo pracadssD De dnctn Plam in Planum Tomi

n . Operis multoties citati » ac praecipue in Adnatatione t^^*

(422) Valde diffcrt Solidum raeum Cyclo-parabpUcum ab altero^.quod Guido Gran*
dus animadvectit et dimensus . est in Geometrica , Demonflratione . Vivianeorum Pro^

ilemafum ad pag*". 130^'*.« «t Scqq., cuius in P/m///>i|j^.qua^da.m nova adnotavi.

(423) Adseruit tantimimodo demonstravitque praesidio Calculi infinite-parvorum do-

ctissifflQs Lorgna Ovalis Aream a. CircnU iuadmnr^ p€nderc.>(j"'.c"'. in No-

,24) intet formulas. C^pitiJ V*- OfeHs Eiderkni lopetii?' t«oe«iti 'm Adm^^atiowi
395". ac paullo post repetenidi . et sigftant^r «d Sehoii^n Problematis a^K { fig\ 153. )

(425) LWflitdi Etileti acutissimtim irtgenitito, miraqoe et tndefetaa Caloulontda ftci-^

Htas in eb Tnaiime ehicent.
(4116) ^«Hftjfcnf 1i«aie latet f<^? ^ditionir cpocham .(M.pCC.XXff^ Harmomae Mem-

surarum Rogeri Cotesii Tabulas ipsas servata eadem methodo trigoffometrica per
Arcus /i*»tf//»<»i"Wf Areas quoque Hyperbolicas complecti posse . loannes Henricus
Lambertus post Maclaurintim ct Davietum f oncencxium hoc praestanrissfmum ac-

gumentum lisquc kb anfto M'.t>CG.tXVIP"^ fusiuS eXctJWitii novisque adcessiotki-

bus locixpletavit . ( Commentarii Berolittenfis Academiae pro anno M.DCC.LXr^, , in

lucem edici ▼ertfenee.aHnO.M.DCC.]tiXVW^°., apag*- ^b^- ^ 3^$"^ » «^i cxstat
. .iiUm^jisr^queli4sespf^frie$is^smsmr^uahi$sdis.fua$stitcs trautccudentos cirQulai^

ret & iogarithmifues (« eu n^Z-))- ( Vid. pf aetertim $•*". ts'"""- ««4« i^^ten-
tes)'. aorsttm • egregius ipse Ccomcftra eanldem.Spartam ocnavit in Voluminc

XSafV^; Wndemiafc lifatcltetie ki Unftm. M.DCCX»VDI'"^; .editfdnis M.DCC.
LXX; {bisehfatious Yrigonotnetrl^ues a ^g'. 34?^**.''^d SBS^-) - ^^ cmsttlcndae

pracscrtim sunt Tahulae analy tica atqne numferica ih p^ . 534* 336- o^- 354- »
quibns it aiigult vm> afc./tti#xrr«(tfrfr«»i^^.cuncHiqi|^coiituicntnt .<|uae cfuditissLm^
ab Auctore yocantur ParaHelisme cntre la trigonometrie Circulaire & Hyperioligue .
i/^l) EnkmtrutioUtst^um ttrtM ordinls in Qpuicmrttm Velomine f^. ad pag*"

(428) Cramcrus ad pag*^ 584. et Fig*". 200. Tabulac XXV"*. Num^ i- ip Ofere,

' cuiui memihit Ad^tdfh \Q^\ ThtmiM' uwa MmgtthstSnU^ E'9PpfftemhUum^ etc. in

CapitcIX*^. et pag^5:<^/ad^^^'gJ45^^, atqBc itcfwblh iVat* (***) pag*^

(42^) Ex MS: Pjiljrtihb C% Aftg^kls FatarOftlQs traiwcripsit et ili liiccm edidit J? wa«fe
d" alcune Propofizii^-propofir f^t^M^ scambievolmtntc tra i Matema(ici di^Francia

• eM{ TdrricelliufW J «/*/ U^. fk ^d^dd ik^"^. 816""". • *t^W s^q^. Valuminis
r^ eoriim , qiiibus tituiiim fecit t^ifde Ualorum dbcfrind htteH^tHirierh , (l»f tdetklic
XVir. H XV«r./d^^i»ir> S^W» iiftp^i^apud Cwoliim- Glrfesiunl w^nte an-
Bo M.DCC.LX:kVttl^. tfeiiiem igifiir pjlg*. S95** «" Vita Erangeltstae T^riceUa

• Thomae Perellid dteatd \^%\t^t N«8w^. XLVIIL itf Superfcit^ del Cono ScuUna wen

misurata da M. Roberval . Quejio Probiema gia sono moiti anni chc c fiato da Jui

propofio 9

303

tr^ffio , ni fif m$€m Ja atcmm I ftstd fMfaa la iimojlraxioni ic. Torricelllus au-
tem vita functus est die 25'*. Octobris labentis anni M.DC.XLVII"^'.

(430) Rursum perlege Adn&tationm 16""*. In CoHectione Operum Robervallii. ( No-

ta 3 ^ ) nullibi exstat Superficiei dimensio , de qua nunc sermonem instituo . Exinde
oritur quod adfirmaverit Varignonus- (ZVi9^i9 431.) At non item in ohltquangulis
Conis, qnorum' Suptrfcies qui defniverit , neminem novi . Et Eulerus in sua Disser»

tatione inferius citanda ( Nota 435, ) ad $""*. l"" hOc habet , Celeh. Varignoniut in
MiscelL Societatis Regiae Berolinenfit Continuatione 11. firgumentum hoc prorsus na^
vum frimsis tractavit etc.

(431) Hifloire de f Academie RoyaU iet Scienees. Tome IL Defuit M.DC.LXXXVI.

jusqu^a ton renouvellement en A1DC.XCIX. Pag^. 340. N". 2. = 1698. = li a trai'
tS de nonveau ( M. Varignon ) de tous les genres de Spirales ; il i donne des demon^
trations sur la Sufer/cie des Conts tdfliqnes €tc. =.'Editio Collectionis huiusce pro*

diit Lutetiae Piirisiorum anno M. DCC. XXXIH ^

(433) Ad pag*". 23o**". exsta- t Petri Varignonis Schediasma de dimenfiono Supefffciei
Coni ad hafim, circularem ohliqui ope iongisudinis Curvae^ cuius co$iftructio a sola
Circuli quadratura pendet.

(433) In pag • 2^5 • Addisio G. G« £. ofiendens exptanationem Superfciei Conoidalis cu*
suscunque » et speciasim expianasionem Superficiei Coni scaieni , ita ut ipsi vei eius

' fortioni cnicunque exhiheatur Rectanguium aequaict interventu extenfionls in rectam
Curvae^ per GeomeSriam ordinariam conflruendae.

(434) De Superfieie Cjiindri et Coni scaienorum = Auetore Georffo Woijfgango Krafft =

ad pag»~ 93^*°.
C435) P^S^ 3^ De Supesfcie Conorum seaienommf aiiommque Corpomm eonicomm.

(436) Sepsiime Mimoire in Articulo =Dir ia Surface des CSnet ohiiques= a pag'.

234". usque ad 23?"'" Cousinus in Parte II^' Lectionum ete. ad pag*'. 4^2. ^•jg.
474. ex ipso Alemberto«

(437) Eodem in Volumine 11^^. Hifloriae Academicae , cuius supra mentio facta in

Adttotasione 431"*. , ad pag*". 260*'". ct Annum M.DC.XCV"". haec recensentur de
Varignono // a donne dans une M6moire ia rectification & ia quadrature de fEvo*
lUe du Cercie . Id fortasse ignoraverat Grandus scribens Profiafin suam ad Varignomi

exceptiones etc. ( Pisis M.DCCXIII. pag'. 39. ) . Cetcrum in illius Geometrae Sche-

diasmate ( Nota 432. ) ad $"" 2 . sub finem habctur eiementum Conicae scaienae

c* i. . . . , - y ccrr—lfgrx-^ffxx

dupcrficiei sive ydx=^dx , atque in Krafftii Lucubratione

2V 2r4r --^ XX '

[if^ta 434-)idemy*= (ad $"". ,»"".)- rfi> ' ^^ ''"^ /* ^' "*' ^*''* .

2r r* — X*
C c c (438)

\

304

(438) In praecitata Memoria septlma {Adnoutio 436 .), cui Auctor Ipse titaliim po»
suit Sufpliaieut aux Memoires dt /* Acadimie Royaie des Sciences dt JPnssse dc iyd& &

1748. , haec verba exstant Procpfnii ad pag**", 331"*"^. ia qstadrasun d€ ia Surfac9
des Cones obiiques : matiere qu" un^cometre tres - cilekre a deja traitee dans ies Nojiv.
Mem. de Petersb. T. I. , mais en reduisant ia quadrature de cette Surface a ia r#-
ctifcation d^ une Ugne du sixieme ordre, Eulerus etiam in §^, ^°' {Nota d^,)
idem statuit Quamobrem oferam meam non inutiiiter mihi equidem coiiocajfe videor
fi primo Superfciem Coni scaleni ope rectifcationis Lineae aigetraicae ordinis sexti
exhilfuero. etc.

(439) Occurrunt de eodem hoc Probiemate Dijfertationes Leihitii, atque Varignonii iu
Misceiianeis Beroiinenflfus , Continu. II., quorum hic pro soiutione Curvam eUdst de*

pendentem a quadratura Circuii , sed cuius dein Curvae rectifcatio ProHemati quaefita
nofiro imervit , sed modo vaide proiixo et imperfecto 5 sUe autem qmaeftionis huiut
responfionem dedit ingeniosam quidem , sed moiefliJlimam , per rectifcationem Curvai
alicuius descriftu vaide difficiiis , cuius Acquatio t si ad coordinatas orshagonias re*

duceretur» ad ingentem numerum dimenfionum ascenderet . (Vide J"". U™"".\*,c^
in Adnotatione 434 ^ } •

(440) Oritur ista Linea ex Cousini Formula — dx ^^^" ^(^^-O* ^ ^^j^ ^^

Alembertum ipsum ( Uota 436*. ) ad Elcmentum protuTit Superficlel Conicae scale»
nae repraesentandum . Haec autem 4". Ordinis Linea cumeaKraffcii perlEecte con-
sentit j quod luculenter patebit si rursum perlegeris Adnotationis calcem 43?"***.

(441) Quinimo Alembertuf ex adverso statuit in Coroiiario ad pag*". 236"". l'.antea
descripti nunquam Problema ab area Circuli resolutum iri , nisi unica b)rpothesi
Coni recti concessa*

(4-f2) Vide Aduotationem 436**" Hoc in loco emendavlt Cousinus lypotlietica vitia ,
quorum Notae inferius scribendae 446 . et 447"**. mentiimeQi faciunt.

(443) De huius Lineae Area disseruit Grandus in Propositione IV**. ad pag*". 2""*

cditionis 2 **. Opusculi sui Quadraturae Circuii & Hypertoiae . Ipsam ego Curvam

versavi in Capite Vr. ad Num""". 261"". paginamque 35I*". mei Twtatus Ma^
gnitudinum Exponentiaiium etc.

(444) Ab eodem Circulo genitore IPHQ, nt in Flg*. 52^*., innumerae gigni possunt
Versoriae quo ad Grandianam inscriptae vel circumscrlptae , tam eodem vertice
B , quam eidem asymptota IHK gaudentes , et Aequatione communi siraul expres-
sae ^>* = «.«•(« — *), posita diametro RH^a^ abscissis x computatis a pun-
cio H eius extremo, et ordinatis dlametro ipsi normalibus • Numero »=1 respon-

dcc

305

dct Grandi Versprla f ab co sic cxposita y = — r $ dlimmodo coordinatarom

a^

sffcres pcrmutentur , Tcrtat«rque Aequatio in alteram x =: ^ ^ . Quum autcm

^ * •*

» > I innumerae oriuntur circsimscriftae Versoriat ; et e contra quum n <l innu*
mcrae iascriptat^ prouti Schema demonstrat. Scd ct aucto vel diminuto genitore
Circulo V^rs^iarum specics ac numcrus in immcnsum cxcrcscunt . NonnuUac ad
diamctros adtinentes DH9TH9RH9SH txc. gtmtcrttm depictae sunt in Figura»
carumque forma varia propinque satis delineata, adeo ut» si totam velis univcrsi*
tatem Versoriarum complecti , Aequatio ad cas spectet occumenica xj* — ff . a'^

(y — a:), in qua, praeter x^y^ etiam n\J variabiltt cffingantur. In §. lo". ad

pag*". 2(52^*"*. citatae dudum Enamtrationit Ncwtonianae ( T. t Oputcntorum etc. )
castigandus cst crror Aequationis :^y '^ ejz=L cx ^ d f quom scribi dcbaisse,t xyj'^

tyzn^cx^d iuxta praedicta in ^. 9"®.

(445) Epistoladata fuit. Kal. Aprilibus anni M.DCCXIX'^1 et apag*. XIII^ usque ad

dimidium ultra XUV'^*. Exercitationi infctius memorandae praemissa. Vtrtoriam

quaere universalissimam in Specie nona Capitis IX^ ad pag*°'. 125^^. Tomi IT •
Eulcrianac Introdnctionit in Analjifin Iitfistttomm.

(446) Formidae tamen a CL Auctoie craditae {NoU 43&)> pfomi

— dz ^^^ - ^ ( 1 — ^ g )* ^-^ ^^ pj^gjiin .235**" , in hoc pcccant, quod dcsit in De

nominatorc numerus fictor 2 ( tAdnotatio 440. ) , et idcirco duplum elementx Supcrfi*
ciei conicae rcpracsentent • Iterum dum agit dcCono cUiptico tam tcaienOf quam
rtcto .

(447) Alembertus l^. c^ in Adnotatiom 441^. sic ait dant tout autrt cat ia quadra»
ture de la ^urfact conifue dependra di cetle dfunt Courhe JCun troifiimi genre. Sc*
ctioncs idco conicas non modo practcrmisit » vcnmi etiam aomcn Caurto ' vice r«

Ltsne oscitantcr adbibuit . ( Vide Notam 36;'*^ )

(44S) De la Surface d^ un Ctne qui a pour base une Ettiptt a pag^ 236*^ usque ad

244^*". Voluminis Oputcutorum. cuius mcntio &cta in Adnatstime 436^. At prae«
cipue omnium Icgendns cst §^\ l"'. in pag*. 232"". -

(449) Vide i*. c'. $r. IP». ac m*"". ad pag". 237** ^sJS^. ac 239"^.

(450) Appendicula 2^\ ad Propositionem IV**". ec Fig^. 179'^" sub finem Pag"«.

loo*"". —Lectionet XVIII. Cantabrigtae in Schotit puiticit haUtae, in quibut Opti'^
corum phaenomenwn genuinae retionet inveftigau$ur . Atsncxaa $un$ LicHonet aliqaot
Ceomctricae = Tjpit Cutietmi Codbid= .

(450

(451) lunio vcrtente ad pag*°*. 264 . ct fcqq. Supfilemintum defittui Gtometriae Car-
tefianae etc. De annplanatione Superfcierum CouQidearum et Sphaeroidearum otc. in

CoUcctionc 0/>rr«i» ^«/«i» loannis Bernoulli ad Num*"". XXX. et pag*" 155'*'". Volu*

minis 1*^*^, et signanter quo loci (pag. i6a 161.) scriptum exstat Hinc eliam
tmefpt infignis Coui recti profrietar et€. Revera Theorema Conicum illud faanc pri-
mam epocham noscit» tametsi Guido Grandus idem vulgaverit « et iisdem paeae

ornatum a Bernoullio adhotatis (ps^^ 161. ) testudinihus sive tentoriis, labente

anijo M.DCJC\ (videatur pag • XIV • Praefationis y cuius meminit Nota dog^.)y

, • • • • ' . «

deindeque anno M.DCC.V'^ Antonius Parentus. (Consule Volumina 11^""*. ad
pag*". 479"""'. ac ra*"°*. ad 444"". ct N"". 4°"". Ef^it ttc. ut in Adnotationc
as" )• (Vide etiam Uotam J2i*" ).

(452) Ad pag" . 239 . .1 serott mtme reductthle d la re*

Vaa — M

cti/catiou du eercle , si bbaa H< eeaa— 2cck Jtoit um multipU di a— «z • Or cette con*
dition donne 2ce* = bba -jr eea etc,

(453) In Pag*. 237"*. Corrige insuper erratom Auctoris ad fzg^^. !^6°^^. depend de
la quadraturt des Sections Caniqua > .qumn jcrifai debuisset dc U rectifcatiou .

(454) Ad $»"• ^"•"^pag^^^s?'"^ in hypothesi c = o.

(455) Haudquaquam V ^* -»- #* ut Alemberto placuit. Alias id observaveram de Co-

no quoque circulari in Adnotationo 446'**

USS) l^V^bus simnl numecis deliberato animo hlc iunctis citatione unica satisfaciam •
6

ProUemata Mathematica NeapoK ad Cpllectores Actorum Eruditorum trausmfa ad
pag"'. 28. et seqq. (Vide etiam Notam 429"*".)

(452) P«tkge 1"". c*"». in Aduotatioua 26'*.

(458) A linea quoque recta^ nedum a Circulo, enascl potest Ellipsis ApoUoniana.

Hoc tradidit evidcnti5si;num Gregorius a Sancto Vincentio in Prop"®. CXLIX"*-

Partis V". Libri IV*'. Tomi I"'. ad pag". 322. 23. sui Operis a 2a^*. Not» nun-
ciati . Istias otiginls memini in mea Stctionum Conieamm Synopfi ( Adnotationes

188 . ct 375 .) praeter NeWtoni principium"uberrimum sic expressum HyperhoU--
smum Figttrae voco » cuius ordsnata prodit applicaudo contentum sub ordinata Pigu*

rae illius et Recta data ad absaiffam tommuuem . ( Vid. Pag*"\ 261'". ad Numcrum

p''" Enumeratiotiis Unearum tertli Ordiuit ) .

(459) Appeudix Ppusculi recensiti superius in Nota 408^*.
(d(^) AJ Pag*", 550. Numerumque 366'""

(461)

. 307

<4($i) Scilleet wn in PtrtlliMit ^ q^azia in Tractm it StltMt Cothitsrihu. (Vide

* Nttat 24"". et 76**'". ) .

(4<ia) Exstat 1*. c*. in Admtatimi isf^-

(4^3) P«ig*- 79"*- ac scqq. D// Courhts propres i r/tf/^r /tf /tft;/tf f f f abatttment des

Pont-Levis^ Tab*. III^. dis Pieees nouvilles in Fig*. 4^. Des Conrtes propres i ega'
ier la Uvee des Pistons &c.

(464) Memoires des Pieces nouvelles de Mathematifue & de Phjffique aJ pag**". l'"'.

atque scqq. 3'**. nuftieratlonis in Pag*. 79"*. et seqq. ac Fig. 4 ; Tabnlae III**^
etsi typothetae vitio scriptnm fiierit Planche II.

(4^5) Confer pag^; 82. 83. \\ antea citati. Tnservit edam eadem Cnm.dentium Ro*

' tanim figuris sistendts , nt Farentus ipse in ' Articnlo PP.< dissemit a pag\ 1°^«

usqne ad 37"*"'. Des fgures des dents ou ailes d/roues etc. etc^ qnod mechanico-
geometricom argumentum post Philippl De-La »111X6 meditadones 'perquam ma»
xime illustravit Lotharingius Camusius in MemoraUlibus Sclentiamm Academiae

Parisiensis relatis ad annum M.DCC.XXXIII "*.

(466) Consulatur Adnotatio 432*^.

{46?) i Apologorum Scriptor- fepetitis editioiiibuf celebemmns » qudndam mihi iiuicis-

simus » hasce Mathematicas Dideroti raritate CKtz%.Mimoires &c, ifl 8*^..eleganter
.-impressas, eique mulus abbinc annis exposculanti.a me inutiuim dataSj bacteous
maximi aestimat.

(468) De Vocum discrimlne minus nbto TLox^^t "ZtTBlpcct E*'A/{ no&nullft scripsi in

Opuscnlo inedito, cui titulum feci Specimen interpretationis otscuriorum i» Craeca
Mathefi locorum Kxri TewusTpixy .

(469) Ad hoc enim sufEcItut instar Lineae tectae Cocfalea ista consideretur . (Vide
Notam 16'^'^.).

(4ZoJ Elementa Calculi Integralis in Sectionis T^ Partls I**. Capite V^'*. , et signan-

ter 'itt Froblemate 25 ^
(471) Analyse des Infniment'petitt=par M. De V H6pital= in Exemplo DC^^ Pro-
..positionis II"^". SectioniS;V"\,.inn^in'\ IV*^ Propositionis I"*. Sectionis VP^ ,

et rursus in Sectione IX?*. a fi^ 171"^. usque ad 186"°'., Transactions Philosophi*

. cal passim, Nicolius in Actis Acadeffliae Parisiensis anni M.DCC.VIK ., iterum
que Nicolius ipse , BernouIIiuSy jyiaupertuisius , et Clairautius in Actis ilsdem.anni

M.DCC.XXXII . , coniunctis etiam Sphaericis Epicycloidibus ; ne dicam de Newtono
in Principiis ad Propositiones.XLVIII. ac XLIX. sive Theoremata XVI. ac XVIL

Sectjonis X*"''*. Libri T". , ac Ighanne BcrnouUio in Lectiovibus Calculi Integralis ,

Ddd ct

3o8

et praccipue XXI?», XXH**. »c. XXHl". a4 tn^". 4^^*^ stqse. se^q. Ofenim

omnium Voluminis III . Adde pro omnigenis Epicycloidibus Ge^m^riam Org4f»icam

Madaurini in pag . 40. ct $cqq. , de qua Idquitur $"'. 63*°*. necnon Adnotatio 508'*. ,
«t nupercimas m^ditationes ingeniosissimas sur ies rouUffes AloysiiDe La Grange in

Articulo Vr^. a pag% 133**. ad 138''*"'. Voluminis^ de quo sermo e^ in Nota ^21;^*. .
Regiae Berolinensis Acadcmiae.

(422) tropositione usus sum, yincenfii Vivia^ni XCIIl . vel Problemate XVf **, ad

pag*™. 138'"". Libri n^\ DmtlftfOHit in F^""*. AfQnomi Pttgaei dt Maximis et Mi-

nimis ttc^ q\iae tamen ex Euclidit PcapQsitionibos III'^ Libri IV^'. ac XXVII'"^

Libri Vl^ sine Vivianeae mediodi a^iuiMnto potest iUico demnastrari et resolvi

• oum Tfaoma Perellio Pv c^ i in Adnotatioiig 6^l"*f« Quomqdo baud in auxiUum yo«
. . cato Calculo Differi^nt^aii .idgen.us fllaximum pro Epicycloidibus iavenerit Hopita-

liuf » vidM(dttm est ih PcopositioAC lU^ Sectipni$ IX"-^ 4uaijMt iufiuito '^ farvo'

(473) Occasione Curvae cttiusdam polypetalae 9 quam summopere illustravit Cl. Gre-
gorius Fontana l^ c**. sub finem $\ 52 \ » talem ^rotvAlt Cardioidit descriptionem »
qiialcfA proeiil. di4>io Jttt frimsriaa CoHeboidirciircitfi coavenire. (Vide pag^°^»

W^^.adNum'^: Vn«»)-
(^^j^) Cblfectlo sub titulo Divert.Ouvraget etc. phirics cJtata, ad pag*'. ippi et 2oa

(4?5).Ho9 .«^dfiripat Vivianus ia Afpeudicf memorata ab Adnotationtbus 87*^. ct

416 .

(476) Aliqui Geometramm haud recte interpretati sunt hederaceam, quia terfat lu

Circulo ut hedera^ ( yid. Archimedem Rivalti initio Libri II . De tphaera et cyiin'

dro ad pag*° $» •, atque iterum ex interpretatione Eutocii ad 96'*"*. in L^m-

mate VII"^^. Ad mods^m Dioclit > et fictnram Uneae.ciffoideae, tess bederaceae ) . Ve-
xa enim vocis signilicatio ab eo pendet , quod Geometrae veteres nec totam nec
asymptoticam Cissoidem ipsam animadverterint 9 veluti fusius ostendi in* Opuscblo

Notae 468''**.

(477) Liber if *. ■ D/ Sfhaera et Cylindro iri Lcmmatrf I*". poJt-r"*. ProMema ad

Pag'*". 93*"" Itcrum id pag*". 3Ss'**- *« Lemmate Libri nEPI EAIKflN.

(478) Cave ne istam Lineam commisceas cum antiquorum Cbnchoide seeundaria con-
tracta vel protracta huiuscemodi » qualem primus , quod sciam , considcravit Wal-

lisius in Optrum omnium Tl^^. Volumine ad pag**. 848. 849. atqtie 850. Nomen au-

vtem Cofichoidis , quod Soverus in illud vertit Lineae Conchyliatae , male inditum

Conchoidi - circuli , eoquod recedat summopere a Conchac figura . ( Nptu 473. ) .

Grandus

309

Gtnnini in S^hcfh F^. Proposltlonis XXIV***. Tractatut mi Di Quadratura Cir*

emti et HyptrMae (adpag . 43. 75.) Conchotdem verain nuncupavU circularem ^
sed addidic, ne forte error irreperet» s Nicomedc propofitam. Ceceroquin consule
Tractatum lesuicae Nicolas dt Conchoidibus et Ciffbidibus •
(4Z9) Dc hac Auccor ipse Traccatum scripsic» hodie deperdicum » cui titulum posue-
rat De Liueis Conchoidibus , in quo Eudoxo Cnidio succensuit . Easdem Curvas Ge-
minus Rhodius denuo illustravit in Enarrationibus suis, praecer Hippiam Eleum ,
' ubi ortut tradidit Spiricarum » et Conckoidum , Hederaequt similium Linearum . ( Vide

Froclum Libri 11 . Capite XI'"^ , atque Eucocium Ascalonitam in Commentariit ad

Librum 11^""*. Archimedis De Sphaera et Cjiindro , ac signanter ubi inscriptum ex«
. stat Modus Nicomedis etc. ) .

(480) Sixieme exemple de quelques afttres Couchoides ad pag*"*. 87™"". Collectiouis cir
tatae in Nota 4;j4**.

(481) Consulacur Adnotatio 406 .

(482) In Numero 414 ''. , ad Figuras vero 83. 84. »5. XX™**. Tabulae .

(483) Par° . nuper citatus , ec signanter in lineis antepenulcima ac penultima Fag^*.
224'**. , secuoda vero a35***.

(484) Vide Notat ipi*"*. et 410''**".

(485) Prae&tio Libri V^*. ad pag*". 273 **. Opcris Bartholomaei Soveri . Fatavii in
lucem editi aono M.DCXXX''. sub titnlo Curoi uc Recti profartio . Bappus antcm

in Proposicione XXIX~. Llbri IV^'. , ec in Froo&mio ad eiusdem Libri Froblema dt

Anguli trisectione post XXX*". Fropositionem pag*. 6i"*. CoUectionum etc. Superfi-
cierum TAifJcroffcfcZy aut TAsxraeiJcSy mentionem iniens sic loquitur. Una autem

aliqua ex ipsis est^ quae et admirabilis a Menelao appellatur (ex Commandini ver-
sione ) . Forcasse ipsemec esc Menelaus , qui primo Aerae Chriscianae vertente sae-
culo temos de Sphaericornm doctrina trigonometrica oonscripsit Libros', ab Erudi*
tis Sritannas impressos graeco-latinos •
(486; Tam ista enim Aequacio, quam alcera, quae sequicur, permutatis Coordinata-
rum speciebus x^y, eodem redit cum (jr*-»'^ )* — ii*(«*H-jf* ) -4-2«*jr* =0, et

(«*-+>»)•- ^*( *• H- J^* ) -•- na^y^ = o , veluti babent pag**. 79~ «4". 85 '. at-

que 86 . Exercitationis huiusce .
(487) H'c adfnitatcm Curvarum toto caelo diversam intelligo ab ea , quant excogita-

vit ac dcfinivit Leonardus Eulerus in Capite XVIII*^ De fimilitudine & affiuitate Li'

nearum curvarum Tomi 11^'. Introductionis in Analjfin Infinitorum ad J**"*. 442. et

pag*". 239. acque sequences. Nam Aequacionum coipposicionis imperfeccam, sed
aliqualem similicudinem vel dicas etiam analogiam et cognationem quamdam anim*
advertere cordi habui. (488}

310

(488) DhfuifitioHit tittdot est Sopra t tqKmuan* Jtnn* Curvs (vide pag*"*. 17«^*

sub Rncm $'.52 . huios Exercitationis), s^pra ia falfith M dme famofi Teormi

( Adnotationem consule 25 . in Antelogio ) • e sopra fe Serie armoniche a termini

,infinitameate piccoii . In versione autem Italica illius Encyclopaediae sic inscriptae

Difuonario aniversale delle Arti e dei/e Scientet di EJraimo Chamlers editionis Ve-

netae anni M.DCC.XLIX". frustra Cardioidis vocem pervestigavi .

(489) Passim in $^. 41"^ praecitato » sed quemadmodum monet Adnotatio 486^*. ter-
mino adhibito 2tf*j'* vice t« 2«*x* .

(490) Uota i8i™^ > Auctoresque ibidem recensiti vultum doctissimi lobannis Domi-
nici Cassini ab hac Curva summopere recedentem ostendunt» quae' aliquando bi-
ceps c%x. f quinimo et in puncta vel in nihilum vertitur : Minori fbrtasse iniuria
Willebrordus Snellius in Cyclometrico f Lugduni • Batavorum impresso vertente an«

no M.DC.XXI'"^ , rerp&yfJiMiy dixit Helicem Conoois Samii vd Archimedis . ( Vide
Praefationem etc. ) .

(491) Qttod in Introdmctione etc Eulerus hon fecerat» ut ostendam in (^. 62*^^ ad

pag . 208. 2pp. f propinque satis persensit l^ c^ Commenttrioruffl Berolinensiiim

ab Adnotatione 403 • » at pro primaria tantum Cenchcide , haud tamen universali-
ter pro secundariis quemadmodum infra patebit. Epicycloidem Cordi similem Ga«

t)i;iel Cramerus cognovit (Capite X"^. ad Exempium irf"" Numeri 173. ct pag*".

431. l^ c\ Figuramque 132. Tabulae XVUI*^. ) , sed Conchoidem ab «a Curva
signiiicari a Circulo generatam vel nescivit vel in abscondito tenuit.

t492) Ad pog*" s^J**" atque sequentes . Aequatio vero exstat ad 59"*". titulum-
. q^ue habet Diatriba IlJuflris Marchionis Hospitalii solutio Prohlematis Phjfico - ma^
thematici ai erudito quodam Geometra propofiii .

(453) Vidc l"". c*"". pag*. 59". , quum e contra ri x statueriijius in $^ &"*". a pun-
cto C vel D versuf B. (A differtation on the us^ of the negative figne in Alg^bra

dr. by Francis Maseres =London 1758.= memorata etiam in Nota l8^\ An*
telogii).

(494) En eius verba in 1®. c*. ad pag*". 58^**". Caeterum hoc ProHema mihi

propofitum firt a Geometra quodam in Analyfi Cartefiana exercitatijfimo , qui afeve^
ravit se quidem reperiffe tandem viam perveniendi ad tolutieneni , sed opus hahre ut
27. analogias dijferentes infiituerett priusquam detegeret naturam Curvae, adeoque
cum ob nimiam prolixitatem valde operofi calculi soliitionem imperfectam reiiquiffit 9
contentum fuiffe determinatione approximantepunctorum in Curva , id quod ad praxin

tufficere credebat. Bernoullius insuper ad 61 '" l^ c' partim etiam quod celt^

hris illey quisquis fitt Analyfla Cartefianus pqft 27. inflitutas analogias lahore cah
culandi omniao fessus ah ulteriori disquifitione ahfliiiuit,

(495)

(4PS) L" c"', ad ytf*"'. S?"*""» et irtpclpuc ia Nttmeris**. «e t«« A4iU4it ctitm

in Nui»\<*". qwedaw 4e Jfewfw^w, qwd^i^i^en punctnm, ijbi locy;«i fca-
beat ( N. 3. ) , facili Ubove pi^f l^t §x notjis^im^ «^ pure geQmtsri^ tftvgMCivra
Epicydoidiua 4octi:ina.

(496) In Num''. 7"**. et praedicta pajr*. 5:"*.

(497) Co9tgMf$ Sixies Chxulum s^uum jfner^otm ^f- 1^^ P^^"** 58^^*"«

(498) ^cr^ Eruditorum Liffiae istins fi^ni ad pajg*" 59"*"*- atqne seqq. Operum pmnium

lohannis BernonlUi Vplnfn^o T". in MAm''. XXIII ^ ac paginis 13-3. 133. etc.

<

nsqne ad 139^^. Ammadvtffio in praecedetftem solutienem iNufiris D, Marehiouit
Hospitaiii • Demouflratio identitatis Curvae aequiiihratioms cum Cycleidi descripta
ost cireumtoiutione rofae super rota aequaii. Confiructio etc.

(499) In «tnsdem arnii Actis Lipfienfthus ad pag*'^ 372^. D. Marchiouie Hospitalii
Tkefmma novum de qstadfandis Cycloidiius hafium circuiarium pro quavis eKflautia

puueti d^^rHcntis a centro Csrculi mohiJis nsque ad pag*". 374

(500) Consiilatiir Propositio V**. Sectionis IX". Analyse des Infiniment petits (pag*.

225 . sub finem in editione anni 1768. )» quod Opus, ut norunt omnps» prin^itus

• "'•■»

impressum fuit vertente anno M JPCXCVI °. .

4 1 8 " ■

(501) Fraesertlm legenda in hoc ^dstruendiim pag . 6l . V- friinnffl c . iti Ad^ottt-

*Z»W498". ......

(5Q23 Itt priuto casu dum a :=:b Curva iutegra efi a^eguftfis se^xdecffpj^ rfnfip QrattU ge*

neratoris , et generatim guajeUhet portio etc. ( H6pitalius ad pag*^. 48'*" et Numc-

Tum 8''"'". 1'. c*. in Ntjta 492^*. , ne^on ad.CorolIariiopa I*~** Propositionis IV"'.

Sectionts IX^^^^^Amtijw dee- Itifimmeut potiti etc).

(503) Initium Animadversionis , cuius memtnit paulo antea 498^^ Adnotatio . Nam ibi-

dem pag^ 6o^\ Cum autem 4n resoltftitfne prohientftttm id prafctpue itttendamus , ut
perdctis guae ad theoriam spectttttt $ via inveniatur facilis » quae nos ad conftructio*
etrm fimpliciffimam deducat^ eum confiruendi modum su praxs cotnttwdtffhnum censeo »

- ifjti ; poMjitur vei fer fiuxhtiem ptsnoti » vel per .irajttiauem Laiittitiauam ^ » et

' ' ^unit^e^tstStmpirgu^ faufiici 4t ad prattin apti/fimo descrits pttffe Cldentidem

- :hL Vol^piine f^. Jtiut\Opesmm jad pag^*. 138^*"*. .Num^ XXm^ lohamtis J^te»oulli

animadvsrfio etc^ veluti tupta in:ArMt498^\) , .

'(5^4) CHilficfitam eistac 10 .pa^\ eldem p^^. , ^uam cicavifims Ib supetjori Nata ATT^-
j^PjJf.VetejrOf^ Ge^^perm .juzaetjcr illud Nicomedis r^b .£xp,|Q$t|i«9e viti^^ratum»

'■ quod bfc geminata IVeftf ob intimum argumenti fbedus complecter, referta pro-
£tcto fotracu^rganlt .tefiflicwktinM ^^kscsiptionL Curvanm. Li-

Eee bri

' bri KafACCpiftSii^ Heroni» Sectionttm praesertim Coni aliorttmqtie Cofponsm de*

«ctiptioni brgai>icae usul erant. Exemplum Sit xeleberrimum Farabolae or<ranufn
' iniuria a recentioribus vindicatum , qubd alibi ilkistrandum suscepi . De ipso Eq^

tocius sic loquitur in Commefitarilt suis ad~Librum Archimedis 11 ^""^. De SphatrM

tt Cylindro t et signanter in Modo Mettechmi {vlie quoque pag*'". ^,, qtia Lemma

X""\ sic inscriptura Modum MeHechmi^ qut fit Corporum Sectionihus , expUcare illu-

stratur , necnon De Couoidiius et Sphaeroidihus ad 233. 234. , ac tandeni ad sSo"*".
cdidonis a Rivalto curatae Diahetou Heiicograpkou) , Descripia est autem Seciiore*
ataaguli Coni cum diaheto snvento s Miiefio mochauico Ifidaro mapfiro uofiro , cum
fit ah eo scriptum in Commentum casuaricarum Herouit fihi factum . Diahetum iujiru'
meutum eft fimile elemeuto gr^cco h . Bivalnis insufier rvi;'' in I4bro JDft Coutidi*

hts tt Sphaeroidihus post Propositiones Vin**". I^"*™. ?c X"*". Instrumenmm
ipsum deperditum adsequi studuit (praeeunte tamen ^arocio, ^d eius fidem), ma"
xime cum nou maie Gfaecae T^figuram praeseferat ut idem^ adiirmat «

(506) Francisci a Schooteu Leyde^fis de orgauica Couicarum Sectionum iu plano de^
fcriptiouc = Lugduui Batavorum ex officina Eizeviriorum — . Liber alias laudatus

mNota 85*^.

(507) Opuscuforum Volumen T^. in Enumeratiaua Linearum tertii ordinis ad §^.

VI"" ct pag*". 265'**". atque sequentes —De Curvarum descriptioua orgasncm^.

(508) Vide Operis huiusce compendium Au account a Book , eutiiuieJ =Geometria or*
ganica» sive Descriptio Linearum Curvarum universalis AuctoteCoUnMaclaiirin=:

in Voluffiine XXXP''. Phiiosophical Trausactiout pro annis M.DCC.XX. ac XXI. ad

Num"* 364'"" , et a pag*. 38^. usque ad 45**". in Articulo X*"*.

(509) Nssovi Ifiromeuti per la dtscritiouo di^ divtrtc CMtmc stutiche a moderue ec. —in
Bretcia=.

(510) Laudandi praesertim loannes Polenus, qui inter Bpistola/ suas Insjtrumenta no-
va descripsit in Tractoriam Perraulti et Neperi Logarithmicam' delineiandas ( Comes

Suardus T. c^ ad pag**". 2^*°*. atque seqq. ) , necnon Equcs D* Arcy 9 %^i in Acrif

Scieutiarum Academiae Parifieufit reiatis ad annum M.DCCXVQI^'''". Ovahs Oarte-
sii filo cixc^focos apte disposito non secvs ab Ovtf // oooica depi^ere docuity tametsi

methodum istam anteaaperuerint Boscovichius (amio MJDCC.XLVni^.)atqueSttar«
dus • ( Vide Oput praecitatum pag*. 60« et sequentibus ) .

di

(511) Commentarii Eutocii Ascaiouitae in Theorema I**"*. Libri H . Atchimedls Da
Sphaera et Cyliudfo = Modus Platonis = . Volumeft f^,^ EtefueitorUm Geometriaa
Audreae Tacquet editionis Romanae anni MrDCC.XLy*\rad .pag**", IZS""*. Nerni-

aem aotfm latet FlMonem IV'°. aote Chustom. natiuft mtsoH» i\aauM .■

(512)

3^3

(513) Est Axioma iJeBtitath geometricac Fignfanimy quo poslto Llneae rectae, Cir-
culi arcuam» Angulorum» Polygonorumque adfecciones pene omnes illlco de-
monstrantur .

(513) Idgenus periculum feci in Elementis Stmometrlae fiiciliori methodo conscriben-
dis ad instar Plaaorum .

(514) De Pcrseo iam dixi in AdaotationUus 191"^. ct 410^^. ac §*. 61"*^ Geminus
aucem iunior , qui dicitur Frocli magiscer , praecer Opus antea cicatum in Nota

479***. et di Mathematicarum disciplinarum ordine Librum conscripsic ec saltem sex
Mathematicarum praeceptionum Libros et Enarratioues Geometricas , quas una cum
aliis iniuria temporum delecis, simulque cum Libris aeque deperdicis Varoptw

T^eci)f4^pacm Theopbrasti Eresii ex Insula Lesbo, Aristotelis discipuliy necnon Eu-
demi Rhodii de eodem argumento divinare ac restituere cordi habui . Seniorem
Geminum Tyrium fiiisse > ioniorem Rhodium Fabricius adserit ia Libro lU . Bi'

Hiathecae Graecae» cditionis Hamburgensis anni M.DCC.VQ"". Conmlatur etiam e>
xuditissima Dijfertatia M eloci sub citulo Recherchei sur ia vie if Archimede pour

servir a t Hifloire det Mathematigues in Volumine XIV'^ Parisiis edito vertence

aiino M.DCC.XLin'^ a pag*. I28"'*. ad 144"™ Hifloire de t Academie Rojale dee
InscriptiottS et Belles ' Lettres avec les Memoires &c. depuis V annie IZS^. jusgues &
compris t anuie 1240. Eciam Hippocracem ex Insula Chio Elementa scripsisse geo^
metfica Proclus adiirmac . Machemacica anciquorum Scripca , quae supecsunc » col-

legit Philippus De la Hire anno M.DC.XCIU ^. ( Veterum Mathcmaticorum Opena

Graec. et Lat. :=^Parifiis # Typ. Reg. = ) . (Consulatur ad Num*"*. lo"*". et pag*".

gSt"*"*. Volumen 11"". Actprum veterum Academiae PartJieHfis editionis Parisinae

anni M.DCC.XXXni".

(515) Brevem, sed copiosum Institutionum Geometticarum Curtnm soluta oracione
ad instac aatiquissimi Tbeonis in Eudidem Coiio^uii nobilibus olim Ephcbis , de

quibtts loqttitnr Adnatatio i88*^ , dedicavcrBm . Ibidem ct invencorum pleraque Fe«

. decici Commandini de Frustis Pyramidum atquc Conorum dimeciendis , ec Ma-

chometi Bagdedini dc Superficicmm divisionibus , sive ut vulgo dicitur Geodesia»

cofnplepu crajm» praesertim excerpta ex Bibliothecae Maruceliiorum Elorencinae

Codice typographico jSaeculi XVI^l (Errat Cl. Winkdmannu» pag*.2(S6'*; tL II"^'.

praestantissimt Operis sui in Nata 5 \ Antetopi citati dum Euclidem Alexandrinum
Eiementomm Qeometriao Scripcorem cum Philosopho Euclidc Megarensi Saeculo
aatc f lorcntc cohfuadit ) . Nonnulk ctiam ec nova cx Lhui4ierii divinaveram Po*
iygonametria Genetuc in kiccm edira vertente anno M.DCCJCIC^.

(516) Potissimum illustvavcram in Apofitnnia mtperrimo ea, quac perducuntad demon*

stratione» Problemacum. Hugenianorum dc Conoidalium Superficierum mensura»

«eleberrimi iUius Theoremacis ad Parabolcn pertinentis, quo innititur eximia Re^

gula

gula Thomae Bakeri (The Gemitricsl KiJ^ ^ cdiiPrfMiom cf sif £quatk$s U^
near^ Quadfatic ^ Cuiic , Md Siffudratic ^ iy m Cir^ie f 4md ciu imly Parmholt

168 -f- ) ( rrans, fhiL N^ 15:"*^ ad pag**. ^9. «t 55a ) , altcrhis, a quo eiusdem

Farabolae per tangentes descriptio deducitur « etc. etc.

(51 7) Vide Admtatswet 378^*°*. ac Stp"**"- «t iiHser Opera in hicem edita a Torrt-
cellio illud "De Solida HjperhoUco mc, in secunda Faginarum numeratione ad pag^^.

iain
.93 . atque sequentes.

(518) Gcometris antiquioribuspraeter Hectas -paralleks nonnlsl FI^jwAAjjX^/ vxjyX^i inno-

tuerant . Primus omnium Leibnitius Parallelas omnimodas Curvas ab evolutione
ipsius Lineae geni^s fiiit contemplatus in Diario Lipsiensi Novembris anni M.DC.

XCV*'. ( a pag*. 93 . ad 95*"" sub titulo G. 6. £. D^ novo nsn Centri gravrtatis ad
dimen/oneSt t$ sftchsfim fm Arers inter Cnrvas faratMas descriptis ^ seu "Rectangu*
iis turviHntis ; nH & dc P/aratMis in ui^varmm.) . ( Videeimii: csiaiii Opera loaanis

Bertioufliin Tomo F. ad Num*". XXIX*^. etpag"**. 153'^, ac i54**".^H»pita.

lius argtiinentum idem exornavit rn Lemmate ac Cordllariis F. ac ll^. Propositio-

iiis in**. Sectionis IK**. Analyse des Infniment fctits , Postmodum Yarignonus inter

Memoriabilia Regiae Scientiarum Academiae Parislensis anni M.DCC.XIV*l Re^
fiexions snr Fusage » que ia Mechaniqne feut avoir an Geomctria) acu re|n teti|;it et
Centrobaryca vaUe promovit •

(519) Saggio sutia nnova Teoria del Catorif quod speclmen adhuc servo Imperfectnm
ac *M5. in illnstrationem inveiitorum Adairi Cxawfbrdi , etOiasectatioait egaegiae ,
cui titulus adpositus Memoin snr la Chaleur iit ^ VAcadimie Sjg^aie det ^cionces
ii 28. Juia 1783. par AT'. Lavoifier & De La Piace dc ia mtma Academie..

(520) Consnlatnr Aduo$atio 25 . UIl Henrici Lasnbtni Tentasncn de vi oatmit%4ua

aorpora iiiata^ » timsqm Hmos^kaa a pag^ Vf^. nsqae ad ^243^. Idem Xambertns

in BiTolinm^hms Commemafiis prb «nno M.DCCXXXII^^ «Mcniiio poat editis el^gan*
tissimas aUas Qirtas tam-ritfyiwwwrrtruia/^^qiMgn iyg m mi c ricai oMuUknvto. J(SMkir

rEOai d^ Hygrometrie a pag*. 65*. ad 103**'.)*
(521) Nam rx Tbeoremate , quod Logaritbmicam veluti Parabolam spectans ctemon-

stravi 1*. c^ in tJota ii**. Anteiogii, quodllbct spatlum MPz^^BG^PEFA—
PGFAsr{ PA^£F)W^(PA'''^)ORz:::.PA.ia^'^EF.0VM^ QF.ORAieO'
que ^eemetrice fuadfkMie 9 tt iii£nite-longaeiareae mMsnmai Corofiidis ad^instar
comf^ectens , Ceterum modus iUe , 4q«o supra nsi «umus «d Liaeae Lambertianae
maximum detenninandam ^ ofigtficm 4ncit a Nicoko iletimdUo ariificinm pene
sd«m expeeto in MMioda fottr iromoir^iet Tautochnows dnns deo Miiiiux refiflams

comme ie qnarri des Vittfies , et rfgnanter ad pag**. 92. 93. Memorahitium Parisien-

sis

315

sis Scientlarum Academlae relatis.ad annom M.DCC.XXX°*"« » edltls tamen vertente

anno M.DCC.XXXII^°. Fortasse ab eodem fonte Thomas Perellius solmionem Pto-

blematis sui def ivaverat , quod kgitur pag*. S^*. Partis I**. Voluminis VII™': -D/j-

rii Uteratornm Florenfim impressi sub annum M.DCC.LV
(522) Quam prolixa taediique plena fuerit in argumento etiam levissimo didascalica
- methodus antiquorum Geometrarum , abunde docet Ismael Buliialdus in Opere pu-

blici iuris facto labente anno M.DC.LVJI"". sub titulo Exercitatio geotnetrica de
inscriptione et circumscrrptione Figurarum i conicis Sectiombus , et Porismatibus . Bul-
lialdi tam«n ingcnio parum favet Cardinalis Michaelis-Angeli Riccii iudicium in

Epistola sua scripta sub diem 22 . Martii anni M.DC.LXVII" • ( Lettere inedite
d* Uomini iliuflri T. II. Angeld Fabronio curante etc. ) .
(5^0) Dimenslonis ad tnstar recencipxum Geometriae omnium -Corporum rotundorum

lineamenta fortasse prima invenics in Libro IX"^ Partis IV"*. Voluminis II . ad

. pag^'". l0O5*"\ et seqq. {Comparatio Ungulae Cylindricae cum Sphaerica ^ et aliis
Corporibus ) in Opere quampluries citato Gregorii a Sancto Vincentio .

(524) Ita H6pitaliu$ effircit in Propositione V^. Sectionis V^^ ad pag^". 106"*". 3'".

zds
'editionis Analyse des Infniment fetits. Cave vero ne censeas ri "^ minifnum quid*

^ dam e<;se , prcptereaquod" eius d/fferenttale evanescat . Aliud est enim differentiae
privatlo in m^gnitu3Line* cou/ianti J Q\tXiddifferentia nuHescens in magnitudine varia^
hili semel atque maxima vel minima fuerit. Iniuria igioir ab Aequatione dX — o^
•si de maximis vel miniwis agatur, altesa X=:C derivaretur , quemadmodum liqui'
do constat.

(525) Gregorius Fontana Literls milii sctiptis die j"*. Maii anni M.DCC.LXXXP*.

expostulabat an Radius Circuli osculatoris absque praesidio difcrenth/ium 3 \ ordif

••■'■' ma

nis dcterminari umquam posset ? CZ)i gra»ia crede VS, III . possibiledi trovare pe*

raggj oscu/atori una firmola Ubera dalle seconde differenze ? E quando nol sia , qua*

le crede Ella dover ejferne la ragioneKIl^ sxtlo ragionament» metafjico dovrebbe rispon"

dere a qvjtfie due §uiftioni . Responsum, dedi negatiyum , quum l"^** oxdinis differen*
tialia statujn Curvae quo «d Lineam rectam unfentem sistere valeant , sed inter
Curvam ac Tangentem innumerae ex Elementis duci queant Circulares Circumfe-
rentiae , quarum una tantummodo , per differentias secundas idcirco enuclcanda ,
Curvae ipsius osculatrix . Hanc autem doctrinam maximopere postmodum nmplifi-
caverunt Aloysius De La Grange in Commentariis BeroJinenfibus pro anno M.DCC.

LXXIX"**. editls ^nno M.DCC.XXXI~ a pag*: 138^^ ad 149'^"*. == Artrcte troifie-
w^ ~ Des d/ffirrens ordres de Contact • et de la maniere de trouver des Courbes qui
aient avec uue infnite de Courles donuees des Cdntacts ^ un ordre i/o»W, BernouTlius

F f f iunior

3i6

iunior tn Essai J^une nouvilU manUre iemisager Us Dlfferettces du les Fluxhsst dtt
quantites variahUs inter Memoiret det Correspondaus ad pag ". 151*"*. ct seqq. Par-

r

tis 11". Voluminis Actorum Academiae Taurinenfis pro annis M.DCC.LXXXIV'*'. et

LXXXV'^. » ac doctissimus Abbas Thomas Valperga I)e Caluso a Secretis eiusdem

Academiae in Addition etc. et praesertim a pag*. 152"*. usque ad caltem suae
AvTtSiocTfipvjg praecitato Volumine comprebensae , quo loci de contactibus et oscu-

lls varii gradus (quorum postremorum prima speciet eadem est cum contactu le-

cundi ordinis) mirum in modum summaque mentis acie disceptat .' lucunda est

, ctiam ac succiplena altera Disquifitio in Partes duo distributa eiusdem Auctoris ,

atque inserta in Volumine Taurinensi pro annis J286,*— IZS7. , edito vertente an-

no M.DCC.LXXXVra''^.(apag*. 489"**. ad 59»"*™-) ««b titulo Det diffirentet wtf-
nieret de traiter cette fartie det Mathimatiques que Ut unt afpeUent CaUul dijfertn^
tielf & Us autret Methode det fluxiont .
(526) De Curvis , quas voco rectifcatricet atque complanatricet , in ipsa Calculi Inte-
gralium origine perlege Memorabilia Scientiarum Academiae Parifienfis pro anoo

M.DCC.I™*^. , et signancer ad pag*™. 159*". ubi titulus exstat Methode pour la recti*
fcation det Lignet courbet par Ut Tangentes . ( Editio Parisina M.DCC.XIX. ) • Ad-
de Disquisitionem Sur la Quadratureda Coitriet io Historia eiusdem Academiae

anni M.DCC.XI™'. « pag*. 62^*. usque ad 62""". par M. Bragelonne , ne loquar de
EOtiquiore et iam memorato Craijii Tractatu ^irca Quadraturas etc. » edito ver*

tente anno M.DC.XCltf*^.

(522) Quomodo Superficiei cuiuscumquc dimensio» scilicet, / rfjr<(y V i -4-^-+^*

dum Aequatio Superficiei iatae fiaerit d^-szpdx '^ qdy^ ab Elementis immediate

«

prosiliat» videbis in VI • Sectione mei Traatatut alias recensiti de Solidis CochUa*
ribut . Interea mirari non desinam quanam de caussa per tot tantasque ambages
crraverit in eUmentum Superficiei statuendum Auctor Dijfeftaiionii iHius, cuius

meminit initium Notae 171"**.

(528) Ad calcem chartacei manipuli , cui a Vincentio Viviano titultis ftiit olim prae-
posicus sermone italico Solidi. Piurima htc loci inveniuntur degantissima de Indi-
visibilium armiilarium Conicorum usu, ac geometrica comparatione .

(529) Calculi facillimi typum fbrtasse iuverit oculis Lectorum subiicere . Sapposito

I Radio CircuU genitorit fit Areae quaesitae elementum aequale / ( i -^ Cos. x )

/ j ^ X r f ^'^ Cot, x\ , ^ , ^ Cot\ X «*
{-^dCot.x)-^! X ^— y U'-dCot.x)=^'--Cot.x *• —"*•*•

Sin.

/* Cos* X **
dx.Sin.xziz-^Cos.x ^ ^~^x. Sin.x-i- Cos.x-^C^
2 3

3^7

y^Cos^.x ^. ** , . , Cos\x 1
k- X . Sitt, X -+ — ( qma dum jt = o est = — ™ ) , ac tan*

(x^Siif.x)^
dem =- , seu diraidio Quadrati Ordinatae Cycloidis ut praedicta reguU

iusserat. Exinde fluit Areae Curvae dimidium par semissi Quadrati semicircumfe-

rentiae Circuli gemtoris ob Sin. x eo casu evanescentem ; totaque idcirco Area ae-

qualis Quadrato eiusdem semicircumferentiae , nimirum ad productum ipsius se-

micircumferentiae in Radium» vel Aream genitoris^ ut semicircumferentia ad

Radium, aut Circumferentia ad Diametrum, quemadmodum innui. Quod au-

X x^dx X X

tem ab Euclide paulo superius deduxi de d{e )( = f ^e ) = e dx \ur

culentissime ostendit quanti maior facilitas adsit in Integrale detegenduni

i {^(^"^ "7") — 4 Ti -4- — J J = d» f I •+ — j H- C » fusius pertractatum

a Cl. Gregorio Fontana in III . Papiensium Disquifipionum alibi recensitarum ( vi-
de eiusdem Disquifitionis $• II™"°*. paginasquc 66 °*. ac 6;^*"*™. invicem comparan*

das ) , quum nihil aliud sit praeter a 1 [p{x^dx)^^x^ = apx *i- C universaliter

haustum ex ipsamet Differentialis Calculi definitione.
(530) Tota huiusce Lucubrationis ars studiumque in eo positum est , quod fbrmulae

aequationum canditionalium in unicam resolvantur — — • = ---— dum «=©(*•,>).

dxdy dydx

Aequatio illa simplicior ab Eulero seniore feciliter admodum demonstratur in

Commentariis Berolinenfibus anni M.DCCLIIl". ad pag*"". 208"°'. et J"", XXr"'".
Remarques sur les Memoires precedens de M. Bemoulli . Quam caute aliquando
Aequatio eadem tractari debeat docet Le Gendre in Volumioe Parijtenfis Seientia^'

rum Academiae anni M.DCCLXXXVII"". , edito vertentc anno M.DCCXXXXIX"^

(Nota (•) ad pag*"'.^!!*'". rij^ Memoire sur P lategration de quelques Equations
aux differences partielies). Ceterum demonstratio postremo loco ab Eulero tradita
valde distat ab ea » quam adpellare liceat totius doctrinae caput et columen , omni-
que rei de variationum Calculo promovendae parem , et primus invenit Leibnitius.
Hoc potissimum duce Alexis Fontainius vertente anno M.DCCXXXVIIP. Integra-
lem Algorithmum a novis potius fundamentis erexisse quam instaurasse .censendus
est, quod argumentum serius equidem at elegantissime^ more suo et noviter acu

tetigit loannes-Henricus Lambertus in Classe Tiic Philosophie speculative- b, pag*.

441'"'. ad 485""*. Voluminis XVm''*. ad annum M.DCC.LXll^'''^. Bero/inenfis Scien-

tiarum et Tlumaniorum Litterarum Academiae . Nam usque ab anno M.DCCLXV1II^°
labente ( /iJ ie 15, de^Decembre) Disquisitionem protulit ita inscriptam Sur la me-
thode du Calcul /«//^«/.Quaenam Cl. Condorceto debeantur incrementa doctrinae,

quibusve

i

3i8

quibusve eadem co(:rceatur limitibus ad posteriofum Lucabratlotium fidem doctis-
simorum Geometrarum De La Place » Monge, ac Lexellliy brevi edisseram,si fors
dederic, in Prodromi Continuathne iam typis parata . Interea ut efuditissimo Guido-
ni Savino Senensis Academiae Curatori publicum tester obsequii mei monumen-
tum » eius de Prodromo ipso iudicium , quod equidem maximi censeo , in vulgus
prodire haud ingratum futurum iri sum arbitratus . Eximius itaque Scriptor Pridie

Kal. Apriles vertentis anni M.DCC.XCI*"'. Epistolam misit , quac sequitur ex apo-
grapho impressa, ad amplissimum excellentissimumque Virum Vincentium Mar-
tinum ( ingenii acumine nulli secundum ) Senensis Ditionis universae Praefectum

et R. C. FERDINANDI III". Domini mei a Consiliis sanctioribus . Nel brevijftma
tempo , che ho avuto » ho letto e pereorso con sommo piacere il Prodromo di Offervo'
xioni sopra il Trattato di Calcolo Integraie del Sif. Marchese di Condorcet . Nel ren^
der dunque riuftizia alla profonditi del sapere del chiarissimo Autore^ e mio rispetta^
iilissimo Amico mi dispiace ail* estremo che il mio giudizio fia di pochifftma autoriti .
Non oftante io devo ingenuamente confcffare di avere ammirato com* egli con t ultima
avidenza e eon somma solidita di ragionamenti provi in due Articoli che t equauoni
di ccndizione ftabilite dal Marchese di Condorcet hanno tutto il loro fondamento nel
Teorema di Leiinitz, e da ejjo derivano direttamente tutte t Equazioni di condizione
trattate da M^. Fontaine , e di pit^ che possono col suddetto principio LeiMtziano con
tleganza e speditezza maggiore dimoftrarfi , et anco diversamense dal Metodo generalc

itsato datio ftejjo Sif. di Condorcet .
Le Note poi, con ie quaii ii dotfijftmo Autore adoma et arricchisee la sua Memoriat

non poffono al parer mio essere pii^ confacenti a dimoftrare e a confermare il suo affutH

to , ni piii proprie per far vedere ia sua erudizione soiida e ftesa sopra tutta la Pro*

vincia Fiiosofica e Matematica ,
Prego V. E. di fargii per mia parte i piu vivi ringraziamenti per T onorevot memo*

ria , che conserva di me , che e t unica cosa , di cui con ragione pofjo ejjer vano . Etc.
' Qua in Epistolae humanissima communicatione vel me a perantiqua, quam plorimi

fiicio , Martini consuetudine summopere honestatum , vel a Savini comitate et fa-

eundia, nescire magis quam scire lubet» guum maxima taudftm fit a laniuto Yiro

laudari .

SYNO-

».••

3*9
S Y N O P S I S

EXERCITATIONIS MATHEMATIC^
DE INTEGRALIBVS AB ELUPSEQS ET HYPERBOLA ARCVBVS D£RIVANDI$ .

/§ Nteloeium , !n qao ratio potis$imiim patet p«rantLqiu ha> ,

J[JL iusce argumenti tractandi . Fag . VIL

Nottt in Antelogium . quarum praepipnii supc quae sequantiir . XV.

( I ) Nonnoila de Pndromo etc. in Calculum lategralem Con- ' -

dorceci . Adde praeter Notam ( 3 ) quae in Num', XIV .
Efhemeridum Romattarum tecensentur ineuntis Anni M.

DCC.XCr"'. , et Jn AJnoiathnt 530"**. sive postrema . Cum
Ephem4ridibus autem Ipsis a percelpbri conscriptis Geo-
metra confer , amice Hectot , quae rescripsit M. L. ( Not.
II' 25. 37S. ) in Novis Utgrariis Floreutims eiusdcm Anni

ad Numeros XXIV"". ct XLIV*". argmnento Cof mopolita-
no tractando nimium impar» qucmadmodum constat ck

Aduotationibus enajpratis, non $ectts atque ex Num^. XU"^. .

ad pag**. 641. 42.
(4) Solurio nova Problem^ti^ vetQji; a COAuersO Italis quon-

dam propositi. .
Animadversiones in nonnulla Algebraica scriptorum Tln*

seau et Bossuti /facill^ma Syptbpsi consequenda.

(10) Formula Binamli tam Newtoni, quam Euleri ante Ae-
pinum et Pezzitim .upivfrxsftUt^]: ,4^pioostrata . (AdcedaC

Nota 25". in pag*. 221 •"*;').

(11) Logarithmicae proprietas quaedam ab adfectionibus de-
ducta Parabolarum. ibid.

(12) Serics zWc^^lc funetioHttm Circnli cx Elemmis' deriva- *
tae . Hic addendum putem ad maiorem rei inluscrationem

ecutissimum etiam- Lambertom anno MLDCCXVIIl*^. » sci-

licet , in Volumine lU'^ AfitirHm HUH^coxum ( pag^ 138. ) ^ ^

easdem Series'adtuUsse ne nominato ouidem Eulero . ibid* et XXIL XXIII.

(13) Theorema, quod S^rie^ a4Met> diemoiistiratUBi ec il-
lustratum . ibid*

(14) Casus celebriseoarratio omissae fi^n$$0iu»is in Formulae

integration* . ( Vide Anitiper AdfUfPAticu/m II8 .). . XXIV.

(l^) MaQbinii Series' vindicata ab crroribus , qui in Tabu-

las Shtrwini irrepserupc. XXVIt et XXVffl.

Adnoianda de harmonia Hyperbolarum ctEUipsium coniuga" wvi

tarum, XXX. et XXXI.

(19) Quam absonum sit a Mathesi viros non mathematicos ^ ^ vvvtt

de re mathematica scribere . ibid. ct XXXII.

(25) Theorematis miflus noti de .Qujulrilatero in Circulo vvwtt

simpUcissima dempnstra^io . , XXXVIL

Dubia in quaedaip Condorceti , et Canterzani de radicibus vwiv

Aequationum ." XXXVIII. et XXXIX.

Euleri Theorema ^cleberrimum propugnatum . XL. et XLI.
Novum Serierum Theorcma, ia quo varii effulgent ordines

ri hjiuiti . XLli.

Ggg

ibid.

ec

XVI.

ibid.

et

xvn.

ibid.

cc

*

xvin.

XX.

et XXI.

3*0

DhqniJW^ de xfeni FmtctioiiMm t^f*remUSum orijtne • fua*
rum lutegrulia d reetifcatieHe piudeut Arcuum Eliipseos et
Hyperkoiae ApoUouianae . Ibidem iDprimis Operis argumen-
tam prooemialiter explicacar . Pag . «

SxGTlo P. , Im qua hrevittr ac dituclde demonftratur Theorema Pascaiii ^^

eum aliis adfnHus in ipfius Theorematis omamentum. ^ <J.

$. I. Exptessio generalis mensurae superficiei Cylindri /r j//i!r/ ,

elusqne partinm. ibid.

^. 2. Formula universalis Summae Secantiom ezcentricanim

^ in Circulo , partiumque illius Summae . ibid.

f. 3, Reductio unins ad alteram Formulam • ^.

• $. 4. Summa praedicta ope semissis perimetri Eliipseus cojii-

cae exhibetury eiusque Arcuum. ibid.

§. 5. Geometrica constructio fiicilis ad boc consequendom pro-

ponicur , et demonstratiir . S.

§• 6. Vice Semiellipseos idem obtinetor Eiiipseos integrae de*

scripti^ne. ^ ibcd.

$• 7* Cy lindrorum innumerorum ir#//ffonri» teries consideratur,
eonimqae varii obHquitaOis gradus Fermula 6ciU expressi
adseruntur dum varietsr utcumque dtstaatia puneti eniis-
sionis Secsntium cxcentricarum a centro CircUli dati , p.

Casus Cylindricae Superfictei ecahnae in Planum se verten*
tis » et Summae Secantinm , ciusque partium geometrice
«dsignabriium animadvertitur . ibid.

Subiungitur relatio harmomca inter punctorum situs exterto*
rum » et iuteriomm eoiissionis Secantiom quo ad Circidum
datum. ibid.ec 19»

Inter ceteros casus iUe edam Cylindri recti In mentem re- '
vocatur. ^ ^ ibid»

§, 8. lisdem respondent typothesibus variae Hemieltipsium co-
nicarua species » earumque aliquando versiones ta Circu- ^
lum , et Lineam rectam » ^ ibid^.

Commodiot iinearis constnictio hic adhibita Semlellipses «
EUipsesque integras sistic harmonica ioter se ^ relatione
connexas etiam iUix in caslbus , quibus impossibilitacem
offendunt methodi praecedentes . lU

Varii constructionis modi dimanant tiuaienk Summae Secan*

tium • 12»

Eroblema gemina semper ( sed /iswfff ) resolvi potest Sefliiel*

iipsi , aut Ellipsi. ibid.

Casus quoque inj^nitae a centro distantiae punett «mistionts ^
Secantium non praetermictitur . ibid*

§. 9. Modus tam. loannis BernoulH quam Ifeonardi Etileri di*
metiendi proxsme EUipseos datae perimetrum ope Circn*
laris circumfereutiae neic sine Calcuto derivacttt a Pasc^
doccrina . 13* M*

§. 10. Idem, sed alia Secanclum» ec Grculonim disposUione

exhibetur. Ibid.

$.11. Nova proponitur, ostenditurque-methodus syutheticep
et solo Euclide praeeunte, ducendi Tangentef Qrdoidum
quarumvis a Carculo genitarum. ^5* '^

Rectipcatio exhibetur Cycloidum contractarum protractarumve
ope EUipsium absque Calculo , qua in recti/catioue Cydois ^
quoque primaria locum habet . ^ ibio.

§, 12. Elegans casus occurrit Cycloidum isoperimeerarum » etsi

earum una contracta , altera protracta fuerit . ^ ^ ibid* eC IT>

Areae tam primariae qnam secundariae cuiusqxie Cycloidis
cum Area semissis Eliipseos conicae comptfrancttr eiusdens
Baseos» ec Alcitttdinis. ibid.ec IS.

321

Cydoidls coMtfsdai Atea eam aliqotttdo Hemidlipieos adae-' ;

quat. ihld,

§. 13. Summa Lattfum cmuslibet Cont scalem iisdem principiis
supra cxpositis innititur , consequiturque ab eadem men-
sura Superficiei Cylindricae scalcnae ^ atque perimetri El- ^
lipseos conicae . ibid. et IJK

Quinimo modus describitur , quo Summa Latenim Coni sca^
ieni ad easdem sptcic Superfieies Cylindricas , Ellipsesque
reduci fiicile p>ossity non secus atque d.e Secantibus in Pla- ^
no Circuli positis» praesidio ptuicti vicaris. ibid.

f. 14. Extenditur postrema Theoria ad innumeros Conos sca^
Isnos f qui omnes simnl » vertices habentes dispositos in
Circuli Feripheria » ad eumdem Cylindmm scalcasm 9 El«
lipsimque perducimt . I9. et 20*

Demonstratur Theorema universalius iUo Galilaei in Dialo- ^
gis del/c dac nuovc Scicnua explicato. ibid*

Deinde Theorema hac occasionc prodmcitQr Geometriciim
elegantissimum «. a quo veluti casns singularis oritiir per«
celebre Pythagoricum de orthogmno Triangulo . ibid.et 21»

f . 15. Areae inveniuntur methodo simplicissima tam Figura-
rum , quas circumscribunt Lineae Cyclocylindricae » quam ^
Ungnlarum Cyltndri rccti . .... ^^^

Ac primum inventa omnia Robcrvallii facillime demon-^
strantur . ibid.

Postmodum inventa Laloverae . M.

Succedit aequipoUentia Figurae CycIocyUndricae et Un^-
lae y 8 qua. p^ndent reperta omnia a Viviano de Fornice
aut Tesnidine vcii/brmi Florentsna, mliisque, Triangula
Cylindrica Pascalii, rcctifcasia quarumdam Linearum du^
tiicis curvasuraa per EUipseos petijnetnmi etc. Castigatur
error aliquorum Geometrarum, qui Lineam-Sinuum pri*
snariam , aut sccundafiam oun Trochoidc cantracsa, proira*
cSavc cpmmiscent . ibid. eC 2S»

$. 16. Curva quaedam a Tscbirnhauseflo descripta examini sub*
iicitur » statuiturque haudquaquam novam ^ss^ , neque eius
Aream ignotam quomodo supposuerat. ibid.

Arguitur laesae geometticae simpUcitatis methodus ab Her*
tensteino olim producta dimetiendi Ungulae Cylindricae
soliditatcm. ifaid.eC 24.

Proprietates vere ffiirabiles exponuntur EHipseos conicae a
Cireut» genitae iuxta modum TorricelUc» ef Greg^rii a.
Sancto \^centio . .Tangentes , Maxima q u a e d am » Axes ,
Diametri , Area etc. jieterminantur EUipsin ipsam consi- ^
derando veluti Ungulam iaccnscm • ^ ^ ^ ^ ibid» 85« et 9&

Adcedunt symptomata varia Ungulae Cyliodri ncti , Helicis
ApoUonianae sive Cochleae» ac Figurae CyclocyUndri-
cae , alteriusque in Cylindro eodem rccto a toca EUipsi
reScissae» eas omnes Lineas simul comparando tam super'
Cylindrum descriptas quam expansas in Plano-. ibid.eC 2%.

§. 17. Prof luit a PascaUi doctrina neo modo aequaUtas Late»
rum singulorum Coni scaiens , quoque iaccntis , perpendicu-
laribus singuUs ab oppositae Baseos semissis Cylindri aHs'
gni circumferentia ductis ad Baseos Tangentes, verum
etiam haec ipsa proprietas , nihil obstante Conorum ac Cy-
lindrorum discrepantia » innumeros simul adtinet CyUndros • ^
Quod fiiciliter demonstratur ope CyUndrorum simiUssm», ibid.eC d&

fiatio Paradoxi explicatur , undenam fiat cuncta haec vera
csse in Conis et HemicyUndri» , at miffiqiiam in Conis in- . .
tegrisque Cylindxis? ibid»

I '

.^22
Summa Laterum tam Conoruin iaeMwm qu^m ewtofu^n f
eiusdemqne Summae partes ab innumeris repetunrur Cy-
lindris scaUnis Eiltpsibusque fimihkms >» invocato praesidlo
Hyperbolae conica« inter asymftQtas . Indetvrminatum .esc
igitur hoc Problema . 29.

$. ]8. Idem ostenditur alio modo . ibid. at 30.

$. Ip* Problema s6lvitor diwtum inveniendi Secantes escceficri-
cas in Plano Circuli singulas aequales Latefibus dati Coni
scaleni, ibid. et 31."

Singularis casus a Pascalio resolutus Tiieortam kuiusmodi

generalem confirm&t. ^ ibid*

Sequitur Problema inversum , cui satisftfciunt innumeri Coni

scaleni , et est idcirco. sndfiasffninatmu .' ibid. . j

Qui Coni omnes facili constructione geometrica reperlun*

tur , et partlateri demoAstrantur ex nota Galiiaei dootrina . ibid. et 32.
Adsignantur iimit^ Basium horumce Conorum , idemque
argumentum latius patet tam pro puncto enttriari quam
pro interiori emissionjs secaotium • • i : . • ... ijbid. ^

§. 20. Adsttnt Mc Corollaria nonnull^, inter qua^ ifpinrom tff«
fiilget demonstratM methodi , cuius ope Robervadtius Cy- '
clocylindricas quasdam Fignras dimtnsus fiiit • 33.

Praeterea ulterius porrigitur , et quammaxime amplificanir

Robervallii Thcoria ^ ibid. et 34. •

Tandem in censum venit modus Pascalii, quo Conos duos

scalend4 invicem parilateros adstruere docuit • \ ^

§. 21. Eadem Ellipsis, quae a sectione oritur Cylindri.jM/tftti,

in Cono quoque analotra briri potest . « . - ' ihid^ et 'S^.? .

Ad boc consequendum Problemate uiioiur . iam -YBS^Iuta in .

antiquorum Analysi ^(f i^m P/mi • . ifaid.' .\..\^

Nihilominus noya troditur ipsiur Psoblettitis .«ntt^tix) * • ; ibid* ; . . -;
Duae semper emer^un« Ellipses idemtiena . \, , , S7- ^

$. 22. Ad speculationis ittius compknMncMiMdein.omnkL teo* . ^. ..

tantur et itr Cbno iacente . . ibid^ct 38- . .

Ellipses tamen geminae in uniotni abcunt » eiuaque sxtus

apte determinatur • tbid. ;. .

Occasio fert quod argumentum ipsum .traducntur ad Cylior
dros iacentes, ubi Eliipsis in Lineam sempor -reocam 46 .
vertit. .i"'- 1... . . . ibui.ec QS^.

Nova, et simplidissima ab isto fonte dimatlat mensura Un- '
gularis Superficiei. * • ibid.

Sectxo II'. De Formulis IntegraJiutfi s. Pascaiii Theoretfiat9^krivatiS . . 49* >

$. 23- Quaedam praecedoxic de raiti/c^rnn^ aut ei^&jaet conicac

Ellipseus. ^ ibid.

§. 24. Quomodo per Analysin speciosam ab Aequatiane et pro*
prietatibiil EUipseos, incroductisapte riteqtte.fe^^^>«r/4/>
transitus fiat ad Aequatiomm et fkropri^tates Hyperbol^e * ibid. et 41.
Hoc exemplis selectis illusorRtur. ^ Uii4''^^ 4'-^

$. 25« Pascalii doctrina geometrica in Furmulam aut Fu^i^tia*
nem vertitur Jntegra/em , quae oaput est Fuuctiemutn Qmniimik
ope rectificationis Elispsees comoae 'iuUgrMUdium t tamecsi ^
minus nota Analystis . . , • ibid .

Definiuntur Axcs EHipseos quaesitae . ^ . ibid.

Functio eadem ad daas similes Ellipses tejertttr, miro ^ui-

dem consensu Geoinetciae et Anatyseus. *9i4-

Casus singulare^ enumevancur ac resoltontur , in quibus JPw
ctio praedieta «ut ab. oe, aut ab o perturbetuc » aut taa*
dem in Lineam rectam se vertat. . 43*

Nec difFicultatem pa^-it versio alicuius «« qutwtitfttibjtf. po^
sitivis in negativam . iw*s

.v* t

3*3

$• 26. Praemlsisa compafMteie BanttBbe >a TfltciSH Tfaeore*
mate derivatae cuqi duis» qjiae dedncoiMivr a vulgsta me»
thodo Analystaruaiytf^ieMimr Eo0Mala^ ifsamtieft-^u-
dere ab expressiooHw jAnri^ctkis, «quae ^tie$ yo t rt it
Leonatfnilus £ikRUS de rectificanda EUipsi disserens , neque

a laboribus in $^^0*^. jenjpiigiAi^.I^ootf JleitiojBUi^ 44-

$. 27- A Formula ^/Wcr^j ^,tj/fW</ic^ AQfWinir&cile aIi£3G»veM

cinnata de more solito Gcfm\fits»mnit sel ^divrias^ sinr*

pliciusque quam ii» ,mpt1ioao j»adii«a -a MmIwimbd » AWm«

bertOf .Coufainrillio » RiccatOy Cousino, aliisque jrr/vttr*

tiBus Aoa^tis^ qui et Calculi differentiaiis et Parainela^

ct Hyperbolae ope^ i^exraWTOt. 4i <* 4^

Quaedam adiiciuntur u.t X)mni^ laOiir^lN etfMilf Rt i«d Ettipsem

Formulae integrandfif 'x^mm ^ -^^y^^ yQ!W MHiifilUitxtcim^ ...^

dignoscAndflin ^ experlundam . * ^Did.

$. 28. Ab Ellipsi directa » -qvam doctrina Pascalii suppeditat »

eiusque i/i»i7i , quee -« y e ri t» in ^jjjj*. S**. ac 25 . produ-
cta fuit, dimanant ^Htice a^Ihie geminae EllipseSf commo-
diores fortasse in iCalcnlo^ scd itfSiinctat , ^bQS «cefttem^
plandis adsueti suo^ jAacndysiae • 47- ^ 4«-

f. 29. Vel Ellipses directae ^ quatvm alterutri haud immerko
nomen inditum recfificatAcss^matme^ Yt\ indireeiat eligan-*
tur , CRmsttttceio facilis et geometrica perhibetur Functio*

/M.^mae i^M M0
" i [ ~^ % ^wimqfue .ElHp«itt«i

omniu» cqosenMs, limites^ug illius Formulae statuuntur. ibid. /^. et 50.

$. 3a Isthuc ij)sum iHiwraiur an ««iKin«m yetiwi A^egtmtSeae
Circuli ad instar Al^dirMe Cai<Mei>Me » mtMk^Mqw ••ctftis
subiiciflntur,Fiftrmulae iimites ^ aliaeque adfectiones. tttd.et gf,

$. 31. Ne dubium quiddaim .iu^n4c^ «VHid« -ovteiiditttr eaitt»

dem esse signjficationem constructionum in ^ ^ Jintecc-
dentibua compMKarum , illamque tam a Pa^caiio deriya-
. tam qu&m ab Alemberto etc. ad eamdem metam perdti-
cere. Tota innititur res fundamento ElUpsium siesitMma. ^bid. 52. 53*et.<4i

5. 32. Inversa quoque m^tbedai ciMKettr trpgcnex^^n^ foritm- ^

lam frimitivam ex Pascalio deductam » scilicet , aji

/ , -^p- retorto itinere redeundi ad fundamen-

tum et caput huiufce-fccttfmrt. . ^ ^ ^ tbil.et ^.

Hoc ipsum, quod paulo ante Ellipsium similium praesidio
compertum est , gWJ^ ^grmjala f eiiiiumr i»4P W * wp »)»'
ganti. ibia..et 5$.

Quinimo analogia duc^^ €;t imogjmajrJit lu^te recttfqne yUuJbi**
tis consequitur etiam FAr4U4^a ajjuv^j^^^s ^rimitiva j^pvi^
Arcu Hyperbolae conicae^ quae idep £ruc4fi duc ( &cid .iWi** ^
rectis) ipsius doctri^a^ P.a«calii eri^ Adoumeranila • tbid*iBC jl^

§, 33. Exori^ur ^adcim nuperrime parau MuskCtio $f:aiH^Ciendens >

*^^ y '
nimirum , rb j T Hypcrbolac Arcu integsran''

dum . ibid. et .^

Hhh

3^4

Axes Hyperboke , Dmifef Formnlae » sliaeqTie passiones
omnes non modo evolvimcur , vcrum etiam et cum adfe-
ctionibus Ellipsews comparathae et cum iis ab Alember-
to atque Eulero determinatis cuncta haec convenire poni-
tur in aperto . ibid. et 59»

Limitibus iis praetergrcssis clariter docetur quidnam signifi-
cet ipsa ex Pascalio deducta Formula primitiva . Circulo
subest aequilatera Hypcrbola» cuius antiqua cum prima
harmouia denuo luculentissime efRilget. Sensus autem For-
mulae idem manet, huiusque sensus constantia ab Ima^i'
fiariorum Calculo educitur. ^- j ^^ ^^'

Idem aliter demonstratur . ^ ibid. ec 61.

Qua data occasione plurimae profluunt conversiones unius
Formulae ad Ellipsin relatae in alteram Hyperbolae perti-

nentem , atquc vicissim, Imaiiuariis ipsis m auxilium vo- ., . - ^
catis. s r ^^^^^^ ^

Axis EUipseujs imaginariut prodncit Functionem f

J Wzz±=fit^bb

nihilominus realem , praesidio tamen Elliptici simul et Hy
pcrbolici Arcus intigrandam ^ Patec enim evidentissime

Imaginaria invicem destrui , quomodo alias in $°, 32 . con«

tigerat. ibid.et 63*

Undenam hoc eveniat, quam servet nova Formula analogiam
cum doctrina Pascalii , qua constructione ad Hyperbolam
aequilateram transferatur , quid signiHcet in hac Hyper«
bola, quanam ratione eliminentur Imaginariat fusius hic
traditur . ibid. et 6^

§. 34. Constructio ipsK geometrica mrsum examini subiicttUFy
effulgetque perinde ac si Coroliarium cssct simplicissimum
doctrinae Pascalii. ibid.et 65«

Coroliariis iisdem adsccibitur iterum Functio Arcut Hyper-

bolac comcae / — -z=rr=r=rr • ibid. ct 66.

Pcculiaris Functio / , » in qua summands valde

. r d zV z .
•^ V «*-^»

desudavit Maclaurinus , duobus modis clucct Pascalio sub- ^
iccta . _^ ibid,

Etiam Functio j — ■ , Arcum signifcans Hypcrbo-

„ . r duVu

^unctto I — ■

lae ipslus aequilaterae simul cmn Linea recta » a Pascalii
theorice oritur. 6j«

Formulae omnes primigeniae 2.VsLSC9\ii doctrina deductae ite-
rum yariis modis cxhibentur, atque invicem comparantur
ut clarius pateat in quo congruant» aut in quo differanc
inter se Functionet trantcendentet , quae ad rectifcationem ^
Circuli • Ellipseos , et Hyperbolae pertinent. ibid.eC 68«

$. 35. A Geometrico idiomatc in Algcbraicum transfertur

$" • 13 "*. de Summa slstenda froductorum cx Lateribus Co-
ri cuiusvis scaleni in arcus Circuli infimte-p&cvos sivc Ba-
scos ipsius . ibid.

Invenitinttir Semiaxes ElHpse(«>s , a qiia Summa ilta dependet

in toto ct in partibus, eorutn Proportio, variL Functionis

eiusdem ad^pectus etc. ibid. et 6g.

J. 36. Ab eodem Cylindro scnleno y Hvt 2, Aoctvinz. Pascalii »

Formula deducitur elementi Arcus Elliptici ad Axem mi'*

3*5

'V-*"^(-;fe-0

**

X'

lo Difcrensiaiium sunt consequuti. to» i^*

Quin ctiam universalius Integrale / — ^ ■ eidcm rff-

fnenSari doctrinae refertur . il>id.

Axes , Abscissae , Parameter , Coef&ci^tes , iimites ccc. gc- ^
neralibus Formulis perhibentur . ^ ibid.ct ^^t

$. 37. Idem de elemento praedicatur consimili Atcus EUipscws ^
ad maiorem Axem spectancis. ibid.

Idem

dc altcro Inccgrali rif^L^^ . il>id.ct 73-

§. 38. Transitu facto ab Ellipsi ad Hyperbolen conicam , non
modo profluit imaginariorum ope Funcsio transcendens ^
quae praebcac clementum Axcus Hyperbolici

dxya* -h (-^ •+ I ) **

^^ dum Curva ad sectmdum Axem

re&ratur» venim ctiam Intcgtale univcrsalius
dxVf'

f

^^ ■ quoad iimises tinant^ ibid. ct 24»

5. 30. Simplicior dcnique argucndi modus » ct parlter magpts^
riis rite rccteque adhibitis , clemcnnim tribuit Arcus Hy
perbolae ad primum Axem comparatac» nimirum,

Ezinde nascirat Integtale liiiiiis fijrmae genetaliorii

ibid.

/-

cumsiii» limitilus. %&>

dWgx*-f _ rsP^.dxWix^-f _

/dxV f— ex*
— ^ ; — , qood posttemam Integtale noo .a«

Atcum Hyperbolae, sed EUipseos pertinet pet J"". 37'*° i

* fauius pavMdoxi species tesolyitat , f kfia nmen iffit» lida«

strati w ai 4*^"*. 5"" demandata . • ibid.

$. 40. lacobus BernouJliftijS .ocnniJMi priinvs «f it 4« tiite|r«li-
bus a rectificatioa^ .^ectMMiia Ccuuqasiini depeAdcfidfbBS ,

ac praesertim de f , ^ . •*W. ct 76.

Ad Integralia cetera huiusce ordinis consequenda valde c#n«
tulisse dicendi siint lacobus et lohannes Bejnoullius statii^
titque jl^chronam -paracentricam^ ac Lemfiiscatam tracta-
Verunt . itJi^

lulii Caroli Fagnani ^imeiKa 4e Amdms £emft{scmtae Ber-
noullianae a doctrina Pascalii trtvissimfe deducuntur. ^r.

Consimiliter F^jpptiones aliae transcendenUs ab lacobo fier«
noullio traditae . tbid. et -TS.

RectificatifO A^p»% primae Parabolae euhicae »

/•

dxV l'^ f ^,9 potius lohanni Bernoullio» quswifp^^o

dcbetur , ibij.

$. 41. Lemnisccfets^tiiQfi simpHcissimae > cuiu« Acqua t i o «^"7
tf*.r* -f a^y* == o , origo , descriptio» psoprieAatcs praeci-
puae , Aequatio ad punctum spji fypuw^ jplai^ iPj:c# p)^it^r^
sed latissime enucleantur. ^^l^. P? .^J^

Aequatio Lemniscarae 6ernoultior.um dc^i^itJilt^t .i;^di(^ruQi jpjt
angulorum praesidio. tbid.

Huius ope generatio Lemniscatae a MacLaurino data fac^IIi-

me demonstratur . <0.

Proprietates quaedan^ .evpjvnnfw \m%i^\^^f, IbiS.

Umhiliei ipsius Lemniscatae definiuntur^ speciemque Cur*-
vae C assinianae esse Lineam BernouIIiorum ponitur in a-
perto. ' y PM.<(t 81.

DifFerentia statuitur Aequationum Lemniscatae si ad nodum
vel centrun^ ej^us^ aut ad umbilicorum ^^f^^iv^^r^^t^n
ferre placuerit. ^ ibiS*

Area tota atque partialis amplissime explicatur a,csimplicis- .
sime. S«a.«t ««.

Adcedunt nonnullae ilAisi$ Siipvae ^uinotis prett'! «Mretiofies . ib^

Animadversio in descriptioaiSn.Cassini^Me noptr « Mdlfiie*
to vulgatam. ^ ^

' Dato eodem Circulo innumerae Curvae Lemniscatae •i^iiu)'*
tur y quarum ^^f^^^i^ ^^ Ordinatis orthogonalibus et Ra-
diis a centro eductis exhibetur» usque ad iimites Ikuiusce
Linearum familiae , qui sunt Linca recta , Circulique duo
pares exterius se conting^tes^ 84»

Quam MacLaurinus Lemniscatam ab *HyperboIa aeauilatera
derivavit, et nunc primum porrcctam vidiiyius %il Ifypcr-
bolas cimes scalenas^ contemplamur in Eihpsibus conicis. ^if

Novnc istius Curvarum familiae Aequatio statuitur tam
Padiis Angulisque ccniposifa ^uam Coor^inatis Ofttiofo-
nalibus ; iimites perjiib^ntur » qui sunt duo CircuU e^q.ua-
les sese tangentcs , alterque Cf^rcujus duplam liabens di^-
snetrum ; et ostenditur tandem quomodo praesidio Circuli »
non sccus atque in Lemniscata unica BernouUiorum Mac-
Laurinus effecerat , iUscriW eaje /^Ur pofisint. ^ ^ iWf? ^*

Concluditur postremas hasce Lineas pcrtinere ad Spiricas ^
antiquissimas . ibi^*

3^7

$. 4^- Qpa^s Fotmulas vel iinomis/fg vel trhimistes ope Arctium
Sectionum Conicarum MacLaurinus integrare docuerit ex-
ponitur . Ibid. et 87*

Earum enuraeratio imperfecta a Vincentio Riccato tradita. ibid..et 88.

Quomodo tres primae trmamialium posita Fascalii doctrina ^
illico integrentur , brevi explicatur . ibid.

Eadem praecepta sequendo prof iuit Formula trinomialis Ar-
cus Hyperbolae ad secundum Axem relatae » ' passim ne-
glecta. ibid*et 89.

Eius nunc aaalogia cum Formula Arcus EUipseujs amplis-
sime effulget . ibid.

Futtctiones ceterae omnes Maclaurini breviori metbodo , et
Pascalii tantummodo principiis adliibitis integrantur , quas
inter eminet illa Lemniscatam adtinens» quam Maclauri*
nus ipse tractavit, sed innominato Fagnano. Primum au-
tem in censum venit quarta et diflicilior trinomialis . ibid.et 9«.

Quas Formulas Maclaurinus integraverat aut binomiahs aut
trinomiales methodo synthetica, Fascalii doctrina velnovi-
ter vel niutuato ^b aliis Analystis artificio suppeditat . J^- «t 9I.

Data occasione Functiones aliae , quas Maclaurinus non tra- .
didit, integrantur. ibid. et 93.

E^ponitur, ac reaolvitur pet Pascalii doctrinam insigne Ma-

m

claurini Theorema , integrationis , scilicct , . ibid. et 94.

§. 43. Alemberti per^ximios labores de horumce drffcrentialium
Futtctionum integratione quomodo eadem doctrina Fascalii
complectatur , ostenditur. 95.

Quae lacobtis Bernouliius , Fagoanus , Maclaurinus , Riccatus
in antecessum invenerint, in quibus Alemberto praestent,
m quo differant , «plicatur . ibid. et 96.

Quanam ratione universale Theorema Alemberti , scilicet ,

^e / 77==== ^^ / /- ,/ ■■ ab iis.

dem sfecie jkc magnitudine Sectionibns Conicis dependente,
BougamvillittS in^ing^re converterit» non equidem con-
stat. 97,

Alembertus aliquid. humani passus est dum adfirmavit

/dzS/l^
, — ~ dependere ab unica rectifcatione coni*

V%z-J%^ff

cae EHipsetos. ibid.et 98.

^Bite instiruto molestissimo Calculo ostenditur Integrale il-

lud a rectificatione cpnsequi EUipsews simul et Hyperbo-

lae conicae . 99. et loo.

Exempla ab Alemberto adlara errori huic emendando haud

^otis sunt. ibid.et lol.

Quanam ratioce error ipse manaverit inquiritur , et demon-
. stiatur. ^ ilud.et 102.

£x adverso ab unico EUipseus arco hoc potius Integrale

eiz\/T

dependete noviter adseritur , ac de-

/

inonstiatur ftaesldio metbodi traditae ab Alcmbetto. ibid.et I03.

lii

3^8

Statuitur adfectio elegatis Aziom geminamm EUipsium,
quae integrationi differentialium ioserviunc »* v s

~- f

azV « , idemque pracdicatur de Hyperboli» , anim-

Vft«-l-/«-t-if

adversa etiam Hla, quae in postremo Integralium eli-
ditur. ihid.et 104»

Eadem theoria adtinet quoque Integralia oniversaliora

dz\/ % p dz\/ z •»--.«««

- * ' j necnoa

/-

/ d% r d%

Origo isttus adfectionis, analogia Formulae biformis« a oua
Ellipsews Axes derivantur » alteriusque Axcs Hyperbolae
complectentis , quomodo ipsamet adfectio valeac etiam de
Axibus imaginariis etc. etc. fuse explicantur . ^ ibid. lod. et I02^

Fundamentum huiusce novae Theoriae positum est in For-
mula Arcus Hyperbolae ad secundum Axem relatae » quam
Geometrarum pierique omiserunt» ibid»*

Earum Functionum trauscendemium , quarum ona -

/dz\/T , /• dWT

> altera / — — » aut vicevcr-

Vzz^^Jz-^gg J V zz-^jfz^gg

aa , quamm scilicet discrimen in sola consismt diversitate
signi co^ilicicntis /, huiusccmodi proprietas est, ut priov
ab arcn dependeat Hyperbolae ad primum Axem compa-
ratae» secunda ad secundum» atque vicissim. I^«etl09»

Fusius disscritur de gemina constructione Integralls

/dz\/l[ . r JbiS/^z . .

— . sive I — , mmirum, «ttt

V««H-ji— f^ «^ yzz^fz^gg

'pct Arcum Hyperbolae ad Axem primum , aut per Ar*
cum Hyperbolae ad Axem secundum » non secus atque in

Ellipsi. ^ ^ . «J^^-

Quanam ratione gemina haec constructio efficiatur » qumam
sinc Hyperbplarum Axes» quaenam Parabolae incercedant,
quomodo duae constructiones in Hyperbolarum discrimi*
ne ad eumdem Integralis valorem perdttcanc inquiricur , ec
demonscratur . ibid. XXLetir&

Ubi Alembertus cgic de tran scendente quviiM Punctione , ope
solius Arcus Hyperboiici integranda » rice recccque calcu-
lum insrituit suum. ibid.et 113«

Alembertus autcm haud rccte cxplicavit casttS aliquot singu* '

lares dum de Functiont locutus fuit f . ibid, ct 114.

Id prlmum cx noviter dcscripta Tahula analytica ostenditur, II5.

Quod ut procul dubio cHiciatur , in usum traducitur ipsa
methodus Alemberti , tametsi determinatio Quantitatum
quaiumdam molestis^ima sic ob Calculi proUxitatem. ibid. Ii&etix;.

3^9

ProHema VI . Alcmfcciti quomodo emtnciancltim fiiissct »

et in partes Jividendum , expraemtssis consequitur. ibid.ct IlS.

Quaedam Formularum transforinationis paradoxa , in anteces-
sum coniectatione tantum praecognita, vel potius divina*
ta , explicantur et demonstrantur . ibid.et 119«

Summae , ac Differentiae Arcuum quorumdam tam Ellipseos
quam Hyperbolae profluttnt ex hftc theoria geometrice
rectifcahiiet . ibid.

Error Vincenrii Riccati ab Alemberto detectus» pericula
quaedaoi Tractatus Quadraturae Curvarum Newtoni, la<*
psus P. Reyneau in Analyse demimref^ quae a JVfaclaurino
mutuaverit » aut mutuare potuerit Alembertus etc. etc. ibid. 120« et 121«

Nihilo tamen minns evincitur Alembertnm hanc Integralium
provinciam pene in immensum auxisse» et ingehiosissime
posc Maclaurinum ad sublimiorem Physicen adplicuisse »
ex. gr. ad perturbationes mutuas Jovis et Saturni » veluti
ex Pascalii doctriita facilius etiam comprobatur. ibid.et 122.

$• 44* Adccdit consideratlo Fttactioms I / ^gg ^ |^-^^

cato , Eulero , Lexellio , aliisque tractatae . ^ ibid«

Tabulae catuttm duodecim a postremis compositae mlre con«

sentiunt cum Tabttla vtgintiduorum casttum a Vincentio

Riccato ante omnes eonscripta . ibid. et 123.

Id ostenditur simplicissime statim atque anlmadvertantur

easus quidam geminati » aliique inatiles» quia imaglnarii. ibid*
Componuntur in .unicam Tabttlam oecmmeuicum universae

Tabulae a^ hoc usque aevum impressae . 124.et 12^,

Nonnullae adcedunt in Tabnlas edttas consideraticmes , ni-

mimrn » !*"*. de Fotmulae casilut 9 qulbus Arcui EUipseoa

addatur Linea recta vel Integrale algebraicum } ld& ct I2t«

n^^ tn quo repositum sit criterium illud in antecessun»
quaesitum , scilicet • undenam Uquido consret Formula*
xum casus prima fronte identicos dependere ab Ellipsews ,
vel Hyperbolae potius rectifcatione . ibxd*

Ex praemissa Pascalii doctrina totum opus, quod quaeri*
tur, et in coSificientium conditionibus manet, perficitur. abl^

Ab ipsasnperiori Pascalii theoria univcrsi Tabulae oecu-
menicae casus cum adpositis conditionibus noviter dedu-
cuntur, faciliusoue methodis illis admodarti implicatis »
quas passim adhibuerunt Riccatns» Eulcrus» atque Le- ^
xellius, aliique Analystae* ^ tbid»

Ettlerus ternos tantummodo catus resolvit direete^ quar-
tttm vero mdirecte > qui Arcum respicit Hyperbolicum ad
secundum Axem relatuia . Riccatus tamen , et Lexellius
non item . iWi- «t I^*

Casut quatuor directi » co^denttumque couditioues detectae
ex uno Pascalio . ^ ibid. et 129.

Comparatio communis methodi Analystarum cum inagis
nativa , simplicioriqiie a Superficie Cylindrt tcaleni de* ^
prompta . ^ ibid. et 13^1

Peculiares Formulamm c0tus ad EIHpsin singularem perti«

nentes , cuius axes sint ut V 2 : 1 , vel quarum^Integralia
sint Liiaeae xectae » ev<^YttOtar « Idenitdism rdiqtti adno«

142. ct 143-

330

tanrar eafui , in qulbiis Inr«tffalia vettantttr Mt in Arcus
Circuli, aut Parabolae ApolTonianae . ibid. I3I.ctI32.

Euleri Theorema de geminis Ellipsibus eidem Irttegrali sa-
tisfacientibus illico ostenditur, ac novicer de Hyperbolis
praedicatur . ibid. et 133.

Aacedunt singulares casits Formularum » quibus Hyperboli-
ci Arcus vel abeunt in rectam Lineam » vel Farabolam » ^
vel Hyl^erbolam adtinent aequilateram • ibid. et 134.

Ideo potuit Eulerus fattmt quartum dlre€Pam mdireeti retol-
vere , quia ex antea ^iictis eius methodus atque alteca a
Fascalii Theoremate dirrivata eumdem Hyperbolae Arcum ^
designant . ibid.

Octo , qui remanent » easns imdinesi neva inethodo • et uoico

duce Pascalio solvuntur . 135. et I3d f^T-

Nova Tabula easuum omnium cum Euleriana CMttparata con-
scribitur . 138. ct 13J.

Quae Malftttas efecerit in promovendam Riccati Theoriccn
examini subiicicurt et in quibus Malfatto ipsi praecesse-
rint Riccatus idem » Eulems » atque Alembertus investi-
gatur. ^ ^ 140. et 141.

Series a Mal&tto tradita diflerentiam finitam sjstens inter
Crus Hvperbolae Apollonianae» eiusque Asymptoton»€um
ca iamaiu a Maclaurino data petfecte congruit.

Exemplum promitur alcerius Curtrae» cuius Rami Perimeter
infinite-longi finlta ac praeterea adsignabili longitudine ^
ab Asymptoto dif!ert. ibid.

Etiam Series a Malfatto tradita pro Quadrante Ellipseos co-
nicae dimetiendo cum illa consonat a Maclaurino eodem .
in antecetsum vulsata. ibid. et 144.

Series insuper ante Malfatt^m. ab 'Eulcr<> ctypis excusam^jis
eoHvergens ostenditur in Ellipticam perimetrum numeris ^
proximis exprimendam . * r ihld. • -

Antiquior de eodem argumento ipsiss Euleri Series cum al- ^ ^

tcra Maclaurini cohaeret. ibid. et 145.

Quomodo a Seriebus istis enascanrar valor Quadrantis Pe*
ripheriae Circularis , Summae Serierum elegantissimarum »

Series pro V 2 repraesentando » allaque Conscctaria non

iniucunda fusius exponitur . ibid« et 145.

Skctio m**. Quae oeealhme TheoreHiatls Pascalli varias eomplecsttHT

elegaatias docsriuae Curvarum • T47.'

§. 45- NonnuUa praemittuntur de f unctione / XJx a quaJro'

euris et reetifeasionibus Curvarum dependente » quae reeti^
feasiones cum quodratnris congruunt Cylindricarum varii
generis Superficierum , ibid«.et I4S«

Parabolicus Cylinder utcumqtxe Plano sectus Curvam suae .
Basi/lw//#eir signir. ibid.

$. 46. Inventa Euleri et De*La*<:range de Aequatione quando-

dx
que algehratca^ ad quamducit Aequatio'>/!fj^rvi»ff#/fr--jrr

iy a

= " /— " » ^**^^ iofirmant adserta in praecedente II . Se-

ctione de tranteendtmibus IntcgralibttS a perimetro Coni-

carum deductis , ibid. et 149*

33^

.1

154. et 155-

M exemplis comprobatiir cx praemissa Taiula §\ 44 • ^c-

promptis. ^ ibid.ct 150.

Bursum cxemplum alind adfertxir ommum luculentissimum . ^ ^5^*
Iterum cx Alembertt nuperrimis meditationibus . ibid. et 152.

m

$. 47. Quaedam adduntur dc Linea 4*. ordinis , cuius quadra'
tura a rectifcationt Conicarum Sectionum dependet tam in
casu , quo enascatur a F&rmula umversali Riccati , Eule-
ri , Lexellii etc. quam in altero originem ducente a For^ ^
mula oecumenica Maclaurini , Alcmberti etc. ibid. Ct 153«

Experimentum idem promovetur de Curva genita ex FormU'
. la generali concinnata iuxta Pascalii doctrinam. ibid.

Inqpiritur quanam de causa numquam memoraverit^ Alem-
bertus rectificatioiHm Conicarum Sectionum sublimius esse
Problema prae quadratura Arearum , haud geometrice
quadrabilium neque pxaesidio Circuli aut HyperbolaCy

Linearum 3 . ordinis . ^^^*

Adcedit Tabula canonica catuum omnitmi , in quibus qua-

dratura praedicta Lineae illius ad 4""*. ordinem pettinentis
vel ab Arcu tantum Ellip^ews impetretur , vel ab Arcu Hy-
perbolae, vel ab Ellipsecus et Hyperbolae Arcubus simul
iunctis .
$. 48. £x Tahula ipsa deducuntur singulares nonnullae adfe-<

ctiones Lineae illius oecumenicae ordinis 4 . , ac prae-
sertim de numero ac qualitate ramorum infinitorum, de
cajibus Lineae eiusdem in Ovalem unicam, aut geminam
se convertenris , de limitibus Lincarum , quarum sermo . ^

htc occurrit etc. 15^*

Brevi additur quomodo auadratura illius Lineae conscqua-
tur aliquando a Circuli Arcu , sive Parabolae ApoUonia-
nae . alioque reniictitur invesrigatio de singularissimls ea"
sibus , quibus , si quadrinomialis Aequatio Lineae abcat in
trinomialem , vel perfectam recipiat quadraturam vel a
guadratura Circuli dependentem . 157-

Soiidum rotundum ab e^dem Linea genitum obtinetur ex
guadratura Conicarum Sectionum uniyersaUssimc animad-
versarum - loid.

§, 49. Una Linearum iamdudum a Clairautio recensitarum ,
eique ctiam generalior perpenditur, atque ex dictis in
anteccssum dimanat. ibid. et I50-

Eius genesis traditur ab praemissa Pascalii doctrina, nomen- .

que illi tribuitur Hyperbolae-Circuli ex imitatione Newtoni. ^^^^*
Aequatio illius adsignatur iuxta morem trigoaometricum , ex
qua facillime profluit eius quadratura ^ quae deincepsper
Elementa Geometriae confirmatur. ibid. et 159»

Area istius Curvac , utpote ini?nite-longa , at finitae magnitu-
dini9,'est insuper analoga in toto ac partibus non modo '

Solido acuto Hyperbolico Evangelistae Torriceliii, verum
etiam Areae Logarithmicac relatae ad Asymptotam ex
• ipsomet Torricellio. ibid.

lih aequilatera Hyperbola -Circuli gradus fit ad considera-
lionem scalenarum eiusdem familiae -Curvarum a variatio-
ne Parametri dcpendentium . ibi J. ct I<5o.

Areae cuiuscumque postremarum ^tftfrfrjftffj ab ea EHipsews
conicae impetratur , quemadmodum in aequilattra ab Ar-
cu Circuli . ibid.

Kkk

33^

Recurrit etiam scaleoarum analogia cum Solido ualeno Hy*

perbolico acuto. ibid, ct l6l.

Umitei Curvarum harumce inlustrantur , auaesitisque exera-
pUs ostenditur varii ordinis prodire Intinita , et Infinite «
parva ab ipsis Umitibus . ibid.*

Facile demonstratur quod Alembertus» aliique adferuerant»
dum Hyperbolam scilicet Apollonii simulque Logarithmi-
cam ad eamdem Asymptotam relatam animadversi de In-
finito faradoxo disseruerunt . ibid. et l&js^

Ab Hyperbolae - Circuli Area profluit dimensio Superficiei
Rotundi illius Solidi geniti a circumvolutione cuiusliber
Segm^nti Circularis in gyrum acti circum Chordam ipsius»
nimirum Testudinis aut Xholi , quem Gothicum nuncu-
pant . Quinimo et mensura ab Archimede tradita integrae
Sphaericae Superficiei nova hac methodo confirmatur. ibid.et l6j.
§. 50. Ternae aliae Clairautii Curvae occasione data exami-
ni subiiciuntur . Ac primum obiter enarratur quantopere
Clairautii ipMUS et Christiani Hugenii novae Lineae ilUs- .
praestent a Comite Carblo Renaldino Mediceis vocatis . MH,

Symptomata proferuntur illius Curvae , quam Medianam-
Parabolicam Clairautius idem adpellat, et praesertim eius
mirabilis harmouia cum Lemniscatis ac Linea recta . ibid.et 164.

, ■

/dp
r^ — —

Tang. p . ibid..

Prodit faciliter a Linea lecta Mediana - Hyperbolica Clai-
rautii . Praecipue autem solvitur faradoxou in eius Ae-
quatione consistens . ^ ibid. et 165^

Area investigatur Clairautio incognita, quae a quadratura
dependet Hyperbolae conicae seu Logarithmicis Tabulit ^
et sjgnanter analoglam proportionemque servat Numeris
illis transcendentibus , quos vocant Geometrac Latitudintt ^ ^
crescentes . ibid. et loo.

Eadem Linea Locus est Conorum rectorum , cxccptls Basi-
bus • Superficie fsoperimetra |audent:um , ideoque analo-
ga Hyperbolae , Parabolae , Lineae rectae , etc. ^ ibid.

Postrema Linearum Alexis Clairautii est omnium unica,
quae in se redeat. Parabolae ApoUonianae adfinitatem
quamdam habet, sed est fuadrigibla. Quatuor puncta, in
quibus tumet , a Clairaurio reperta ope differentiaiium , in-
veniuntur et demonstrantur sjnthetice ; ac praeterea in
quo conveniat adseritur cum quadrigibba percelebri lohan-
nis BernoulU . . . >^»d, et l6z.

Curvae eiusdem Area , Solidumque rotundum ab illius revo-
lutione genitum , tametsi Clairautio inter incognita fiie-
rint y, priraum adseruntur . Solidum profecto a quadraturm
Circuli pendet . Area vero ab Arcubus simul Ellip^eus atque
Hyperbolae, et signanter ab Arcu Lcmniscatac BernouUio-
lum ex inventis Fagnani . H>itt« ct lOo.

Per rectipcationem Conicarum integrantur Fuftctioues quae-
dam novae Maclaurinianis absimiles. ^ ibid.

§. 51. Trium Curvarum geometrice quadraHKum Aequationes ^
trinomiales . i**w.

Unius quaciratura (kcile derivatur a dimensione Areae Hy-
perbolae - circuli superius tradita , ct cum ea Ungulae Cy-
lindri recti circularis rairificc congruit . . ^^

Simplicissimae Curvanun faaruince Aeqvatio traditur tam

Caftesiana quam Trlgonometrica ; eit» proprletates si-

scuntur pottssimae , quas inter comparatio illius Areae et ^

cum Hyperbora-circuli et cum Logaritbmica . ibid. et It^.

Intersectio perimetrofum ipsius Curvae et Logisticae con-
sideratur , non modo praesidio Calculi , sed etiam Analy-
seos, uti vocant, metaphyfice impetrata. ibid.tt X^^Ir

Duarum, quae remanent» Curvarum origo consideratut ab
aequilatera Hyperbola . ibid.

Simpliciorum Aequatio subit Cartesiana , et Trigonome-

trica. I72>-

Triplicis anteactae Cnrvae Systema examini subiicitur , eius
symptomata admiranda in censum veniunt, triumque pro-
deunt et confirmantur Curvamm Area^ ope Syntheseus
geometricae . ibid. et IJS*

§, 52. Quaedam de Linearum omnigenarum enumeratione iuxta
ordinem trigonometricum olim tentata enarrantur . Ac pri-
mum de Linea recta aut simplici aut geminata , de Cir- '

culo pariter vel unico vcl ingeminato ad instar Lemnisca-
tae , de Nicomedis et Circuli Conchoide , de Mediana-pa-
rabolica Clairautii etc. Ij^r

Insuper de Mediana - hyperbolica , Lemniscata Bernoulliana r
Grandi Rhodoneis , Cissoide Dioclea, lAntxs Goniototm Ce-
vae, Sectionibus Conicis, Spiricarum elegantiori ,aUisque. 175,

Praeterea de Curva quadam tiodata algcbraica , quae tratiS'
cettdefitetJi Equitis Nieuporti alibi animadversam aemu-
latur. 1^6;

Tandem de Quadrantaria-polari sive Itifinitipetah ab Eulero ,
vel e>tts Paraphraste , et Gregorio Fontana ad Geometriae
trutiiam revocato . • ibid. et I^^.

f . 53. Ovales yillalpandi considerantur t et illustrantur . Ac
primum Curvam illam ab Equite Lorgna descriptam , et
Cissoidis-Iemnisceroticae nomine decoratam r eamdem esse
ostenditur non modo cun^ Ovali Villalpandi aut Griem-
bergeri , sed etiam cum Linea eontempdata a Viviano . ibld. et l*l9,
Analogia ipsius Ovalis el-ucec cum Mediana-parabolica Clai-
rautii > descriptio Curvae desumicnr a Viviano elegantis-
sima.; Maximumt Area etc. unica Synthesi duce ac nova
metbodo eruuntur; et universa conveniunc cum inventis
Viviani, ac Calculo Lorgnae atque Euleri . Ibid. I79.etl84

Exemplis demvm ab Analysi Curvarum petitis de binata hac
Ovali disseritur , ne cum simplici confundatury vel sim- ^
plex Ipsamet mutila adpareat. ^ ^ ibid..

5. 54. Adcedit historia tentaminum pro dimetienda Superfieie
Coni scaleni a Robervallio ad Alembertum usque» quod
temporis intervallum praesertim complent inventa a Vari- ^
gnono» Leibnitio, Krafitio, et Eulero. ibid. et l8l«

Varignonus", Krafftius etc.hoc Problema solverunt non di-^
versimode a Leibnitio , Eulero » Alemberto etc. si Quadra'
tricem spectes Curvam > quae omnibus erat Linea ordinis-

ti

4 . » at cuncti difFerunt inter se dum poscremam admove- ^
runt manum Problemati perficiendo. ibjd. et lSt«

Ca$us ab Alemberto ne|lectus a ^uadratura CitcvS. ^tn&tva . ibid.
Fusius evolvttur casus iste, dubiumque omne amovetnr . ibid. et 183^
Quadratrix Superficiei Coni iacentis scaieui est Curva Firr-
soria dum Coni ipsius vertex sit in Baseos circularis Pe-

tipheria . Noa aucem VsrsorU Grandi aut frimaria , sed
itcutsdaria^ ibid.et 184.

l86.

m.

189.

Quaedam dc Versonartim "Civcnli familia, ct dc carum ana-

logia cum Hyperbola meto/aSics. ibid.

Aliorum Conorum iacencium scMlenorum Qundrfitrix cst Li-

nea ordinis 4 . analoga Hypcrbolac-circuU ; illiusque Arcae
dimensio idctrco a mensura Spatiorum circukrium' de*
pendet. ibid.et I»S.

Superficies Coni circularis obltqui ad quod trattscendentium

genus pertineat cum Le Gendre explicacur . ibid.

Casus Superficiet Coni elliptici sealeni a quadratura Circuli
impetrandae facilius resolvitur quam per Barrowii sive
Alcmberti methodum .
Formula quaedam diffirentialis 9 cuius integrationcm Alcm-
bertus ait a rectificatione Circuli consequi» cst ex adver-
so algebraice integrabilis . ibid.

Quemadmodum Superficies Coni recti circularis in eam tra-
ducttur Cylindri pariter circularis ac recti t ita etiam su-
perficies Cylindri elliptici recti fit facile aequalis Super-
nciei Cylindri circularis scaieni . Analogia exinde oritur
nova doctrinam inter Pascalii et Alemberti theoriceh .
§, 55- Comparatio Cylindri et Coni circularis scaleni longius
porrigitur, exemplo ducto a perinsigni Problcmate Nea*
politano. ibid. et 188.

Hoc Problema in singulari cius catu prtmum et Vimplicissi-
me solvitur ac demonstratur, illique periucundum accedit
ornamentum tam ex Grandi Mesolabo y quam ex noviter
detecta hnrmonia inter Hyperbolam aequiiateram ac fri"
mariam Cy^locylindricam .
Idem Problema de univiersis olliquorum Conorum cafibut prae-
dtcatum facilt demonstratione firmatur, unde constat Su-
perficiem cuiusvis obliqui Coni circularis sibi semper ae-
qualem habere partem quamdam Superficiei recti circula-
risCylindri. ibid.ct Ipa

Quomodo eadem Hyperbola gemino inserviat Cono scaleno
exhibetur. Iteritm efFuIgec analogia doctrinae Pascalii ec
Neapolitani Problematis. CoroIIaria eiusdem Problematis
abunde sequuntur. ibid. ct Ipl.

Quae inter Corollaria illud potissimum occurrit resolutionis
geometricae faradoxi si Theoriccs ipsa Neapolitana ad
Superficiem decernendam Coni recti tradtrceretur . ibid.

De quibusdam maximis ac minimis » et.quandoque gcminatis »

in doctrina eidem Neapolitana. ips.

Id» quod Hypcrbolac in Conis scalenis eiliciunt, in Cylin-

dris obliquis perficiunt Parabolae ApoUonianac . ibld.

Nova exinde acquiritur analogiarum aut similitudinum se-
gcs Cylindros inter et: Conos « novaque f luit inlustratio
Cyclocylindricarum Robervallii , et Laloverae . ^ ibid. et Ip3'

J. 56. Descriptio traditur fecilis Curvae illius in se redeuntis »
*^quae transit per innumera puncta concursuum tangentium
Baseos Cylindri circularis scaieni ^ et perpendicularium a
margine superioris Baseos ad tangentes ipsas ductarum . I94-«tl95»

$• 52- Alicer, et comraodius , jeadem Curva describitur , de-
claraturqiie ipsam congruere cum altera iampridcm a Pa- ^
rento considerata , sed usibus tantum mechanieis inservientc . ibtd.
Curvae eacdem dividtintar in species ^ miraque ipsarum ena-

scitur cum Evolutis CircuH analogia . . »«>'«• ^^ ^S^*

f. 58. Iterum praedictae Curvae animadvertuntur ed instar
' Ungukic Cylindri recti per tangentes Baseos expansae. ibid.

335

Qtto fkcto per Elementa siistitut eamm Area ope Circuli vel
EUipseus , Euleri Theorema geometrice connrmatur , no^
vumque prodit illarum foedus cum Cycloidibus et Hyper*
bolis - circuli . 10%

In Linearum earumdem prtmaria » aut vera Parenti Curva »
tynthitice ostenditur ubinam sit punctum maximae Ordina-
tae » quinam iUi abscissae valor » quaenam Chorda , Angu* \
lusque cum Axe respondeant etc. ' f pS.

Idem de maximo in secuftdariis, cuius inventio ad Froblema ^
reducitur simpUcissimum aitgulare . ibid. et IJ9.

Problema ipsum maximi in Conchoidum primaria per Lemni-
scatam simpUciorem aut eam Aenigmatis Florentini resol*
vitur 9 simulque nova prostat istius Lemniscatae constru- ^
ctio . ibid.

$. 5$). Curva occursuum etc. , quam hactenus consideravimus
in CyUndro scaleno , eadem etiam est in Cono obliquo ei- ^
dem Basi atque excentricitate praedito . ihid*

Quod in Cono RobervaUius demonstravit h?c faciUus osten*
dinir , sciUcet > Lineam iUam esse Conchoidem - CircuU . 8oa

Brevis traditur huiusce Conchoeidos historia» ipsius(|ue spe^
cierum aut protractae aut coatractae fiierint» et eius com-
paratio perpenditur cum Veterum aut Lineae-rectae Con- ^
choide . ibid. et aoL

$. 6o. Tam trlgonometrica quam Cartesiana adcedit Conchoi-
dum-Circuii Aequatio, simul animadversis primariis et
secundariis , Idem comparationis ergo conficitur in Con*
choide Nicomedea, eiusque derivatis contractis sive pro^ ^ .^
tractis . ^ ^ ibid, ct 20:^

Sequitur Aequatio Conchoidum secundariarum initio abscis-
sarum extra polum posito , sed in puncto fingulari quemad-
modum in primaria . Identidem datur Aequationis Con-
choidum omnium CircuU cum iUa ab Eulero exarata con-
sensus . ma»

§. 6i. Dum abscissae numerentur a centro % harumce Conchoi-

dum-CircuU cuiusque speciei nova oricur Aequatio in COn« ., .^ *
textu expUcata. ibia*

Analogia detegitur istius Aequationis • eiusque adtinentis ad
nniversaUssimam Spiricarum . Insuper foedus admirabile

Irofluit inter Lemniscatam BemouUianam et quamdam e
rineis Spiricis, quam fortasse Graeci Geometrae para*
doxam dixerunc . ibid. et £03«

Frospectus consequitur Linearum quamplurium ordinis 4 . y

quae vel eaedem sunt 9 aut maximopere analogae . 204« 205« 2o6.

$. 62. Curva Aequilibrationis congruit cum Circuli Conchoide >

primaria\ haec autem (ideoque et prior) cum simplicissi-

ma Epicycloidum . ibid. et 202*

Id primum ostenditur ex Aequadone gemina ab HdpitaUo

tradita » et rite recteque perpensa • ibid.

Insuper ex Figurarum comparatione » et analysi earumdem • ibid.
Ac tandem ex Arearum mensura tam ab Hopitalio ipso de

■

Curva sua aequilibratioms quam a praecedentibus $$ . re-
censita. ibid. et 20S«

H6pitaUum , qui eadem tempestate , qua Curvam aequilibra"
tionis invenerat, de Epicycloidum adfectionibus et prae-
sertim de earum quadratura cogitationes suas conligebat ,
latuit praedicta identitas , quam iUico reperit loannes Ber- ^
nouUittS • ibid.

Lll

33^

Nequidem Eulenis identhMtem cuiiisclam Epicycloidttm. tam
primariarum quam secuadariarum > cum Circuli Conchoi- ^
de persensit . ibid. et 209^

Haec identieas demonstratur facillime per geometricam Syn-

thesin . 209. et2Io.

Communia quaedam Ungulae ereetae Cyliadricae , iacentis ,
atque per tangentes expansae. tbid.

$. 6^. Novum describitur , ac simplicissimum Instmmentum
pro delineanda Conchoide-Citculi et frimaria et secunda^
ria • ideoque etiam Curva aequilihrationis 9 ac nonnuUts
Epicycloidibus • Quod Rivaltus aut antiquior Archimedif
Paraphrastes tentaverat, quod erat loanni Bternoullio in
desideratis, ac denique quod ad hiscoriae specimen peiti-
net orfanicae Geometriae » paucis narratur , ibid.et 211.

§, 64. Derivata quaedam adcedunt doctrinae Curvamm » quae
promotae per intervallum maius minusve effingantur . Po«
tissimum promotae Rectae , Hyperbolae conicae , et Lo»
garithmicae Theoremata coUitf untur . At omnium elegan-
tissinta sunt quae ab ista profluunt doctrina ad Curvam
caloris Lamberti adplicata tam in quiddam Maximum
quam in Areae infinite - longae dimensionem finitam de«
terminandam . 913. et 213.

f. 65. Maximam rablimioris praeterlto saeculo excultae Geo-

snetriae partem a 35**. Propositione Libri m^'. Euclidis et

I5^\ Libri I . Archimedis de Sfhaera et Cjlindro consequi
sponte et natura sua demonstratur , nequidem excepta
mensura cnrvaturae Curvarum . ibid. et 214*

5* 66. Ab eodem Euclide facile proslliunt innumerae Arearum
Curvilinearum quadraturae. Ezempla danmr tam inLineis
mlgeiraids quam in transcendentihus . Inter postremas nova
cmicat Curva a Cycloide genita . Diferent$alia praeterea
Magnimdinum exponentialium emergunt » finiSQve adest
EXERaXATIONlS. ibid. 21 5. et 216.

/

33t
E C T A

EX ADNOTATIONIBVS PRJECIPVIS IN TOTIVS
£XERCITATIONIS CONTEXTVM.

•s»^*'-.* ^irf* >»*i* ViP^ *sj^ ••«•• ^^-''■^v' *V* 'V* Nf^*

I

N Adnotatione ( I ) Excmpla quaedam perhibentur de Synthc* Pag"- PaooBMiVM

seu)s geometricae pretio» et perquam maxLma utilitate. dl*;.

(10) Boscovichii omissio in Historia Cycloidis . ^ ^ 2^9*

(11) Cuiusdain Elogiographi expressio emendata de Cycloidis
mensura . ihid.

(13) Cenotaphii Florentini nuperrima illustratur epigraphe . 220.

(25) Ne infinite-parvorum usus in vitium vertatur > monituoi

ad Geometras. 221. *

(27) Divisio arcus EUipseus conicae in data ratione reducitur Sectxo I •

ad Problema staticum . ^^3*

(29) Quadratura statuitur geometrica Superficiei cuiusvis Cy»

lindri scaient iacenth. ^ ^^

(31) Ope antiquae theoriae Problema resolritur pulcherrimuni
de Dinostrati» Nicomedis» et Hippiae ( haud tamen Elei )
Quadratrice , quam . alii nuncupant Spiralem aut Helicem
delumbatam. (Vide Praeiationem Operis» cui titulus C>-
elometricus WiUebrordi SueUiit impressionis Lugduni-Bata*

vorum anni M.DC.XXP*. ) . jW.^- ct 225*

(32) Ars in Geometrico Problemate imaginaria cvitandi . *"*^*
(39) Erroris arguitur praxis quorumdam Ellipseus conicae pe*

rimetrum dimetientium . li , quibus dexterior ac verita*
ti proximior regula practica fastidium excitayerit, ab
ingenii tantummodo desiderio Ingegneri vernacula lingua ^

nuncupari debercnt. ^ 220.

(45) Lapsus adnotantur Scholiastis Hopitalii » Senatoris Ferma-

tii » ac Montuclae de tangentibus ad Cycloides secundariat ^

ducendis. ^^*

(47) Solutionem ab Evangelista Torricellio traditam Froble-
matis tangentium onmimodarum Circuli Cycloidum osten«
ditur faciliori congruere in contextu propositae . Quaedam
adcedunt » ex Platone praesertim derivata » de usu Mecha*
SMtes in Geometria . ( Vide Robervallium in Traite det
mouvemens composes , Geometriam motas etc. loannis Cevae

Mediolanensis Bononiae editam anno M . DC . XCII^^

Gtc. etc. ). 229.

(48) Admirabili quadam simplicitate inveniuntur in Cycloidl* .
bus secundariis flexus-contrarii » nodi. fblia» maxima etc. ibid.

(49) |2yio<nodo Cycloidum omnimodarum perimetri ope Calcu*
li integralis mensurentur » et ad Ellipsium margines redu-
cantur iuxta effiitum Montuclae , breviter explicatur . Ro«
bervallii ius vindicatum . Improbus eq^uidem labor exstat
Carraei ( Rectifcatiom de la Cycloide ) in Actis Academiae

Par isiensis pro anno M.DCCI"*. ( a pag*. 163**. ad 1 70*". ) . 230. et 231,

(50) Pascalii Calculus de eodem arRumento > cGi depcrditns ,
faciie restituitur. ibld.

{

338

50 Idem dlversa tnethodo. ibid.

53) Antiquus error Mersenni de Cycloide fltintiattir . ibid.

(54) Castigatur obiter Torricellii error de regulari Octagono . ibid. et 23^

(61) Demonstratur Theorema novum Imeare , expositum in
contextu . ibid.

(62) CoroUaria quaedam ipsius Theorematis adstruuntur « addi-

turque pulcherrimum Theorema ineditum Torricellii . ibid. et 233.

(71) Haud satis recte Montucla de vero loquutus est invento-
re demonstrationis mensurae Arearum quarumdam cyclo^
cylhdricarum . 234.

(72) Qui ptimus quadraturam repererit Ungulae Cylindri poni« ^

tur in aperto. ^ ' ibid. et 235.

(75) Mendosa Montuclae expressio» allorumque Mathematico-
rum de Socia Cycloidis primaria vel secundaria corrigi-

tur» ac praccipue Alemberti et Euleri. ibid. et 236«

(76) Nonnulla adseruntur de Helice Apolloniana. ^ ibid.
Wz) Excellentissimum memoratur Geometriae Euclideae moli-

mentum a De La-Hire confectum ad consequendam Su«

perficiei Ungulae dimensionem ex polyhedris Ungulis deri- ^

vatam . ibid. et 237*

(79) Documenta In iudlclum ferendum de nova Curva mecha* ^

nica Tschirnhauseni. ^ ^ ibid. et 238«

(81) Consensus antiqui Theorematis Torricellli cum recentiort
Francisci Zanotci de Solidis quibuslibet Sphaerae circum*
scnptis . ibid.

(83) Descriptio ElHpseos conlcae iuxta Torricellium , et Gre-
gorium-a-Sancto-Vincentio maiori etiam universalitate geo- ^

metrice comprobatur. ibid. ct 239%

(84) Quaedam de iacente Ungula demonstrantur . ^ ibid,

(85) Antiquorum Lineae Camaricae quaenam fuerint ? An He-
ro > qui de Camaricis scripsit , innior fuerit , ille nimirum ,

qui Vn"'". vulgaris Aerae Saeculo f lorult aut Hcraclio
imperante t Tractatusque de Geodesia » Machinisque belll*
cis composuerat , ( vid. Propofitiont de Geometrie et de Tri"
gonomhrie elementaire^ demontrees dC une maniere nouvelU
far M. dc CafiiUon in Berolinensibus Actis pro anno M*

DCCLXVI*^. ) ittcertnm exlstlmo . Nec Biiliotheca Graeca

Fabricli , nec Analectorum Graecorum Tomus II ' . Fari«

siis vulgatus anno M.DC.LXXXVIII''®. cum versione Ber-
tiardi De Mont&ucon Excerptorum de mensuris Heronis e
Codice Regio , neque Achillis Tatii Saeculo V*. aut VI*.
f lorentis auctoritas de Herone secundo , neque Leonis
Hallatii Diatriba de Heronibus faciunt satis buic dirimen- ^
dae quaestioni; ibid.

(8S) Linea Archytae Tarentlni admodum divcrsa est ab Apol-

lonll Cochlea . 240.

(Sp) Adfectlones praeclpiiae slstuntur Llneae Sinuum 9 vel So« ^

ciac-Cycloidis. ibid. Ct 24^

(SKd) Arearum tam Ungulae expansac quam Lineae Tschirnhau- ^
scni comparatio. ibid.

(92) Generatlo vulgatae Hyperbolae a Linea recta. ibii.

(PZ) Pappi Alexandrini , vel Galilaei Problema celeberrimum

duos semper Circulos praebet. ^^

j(l04) Fermatli scntentia de Analysi vetcnim Geomctrarum.

(Vidc Thomae PerclIIi Articulum T"*. in Partc rVVo-

4 I

S39

luminisVir". Diarti Ijttratmtm PltrtMm a pag*. 4**.

ad 7"*" usquc editionis anni M.T3CC.LV *. ). 2^

(105) Alterius Problematis generaUoris iiistoria exhibetur ab
eodem Pappo nuntiati , idemque Problema aliter praedi-
catur. ibid.

(106) Paradoxon xesolvicur^ qno Hyperbola .cum Parabolacon-
funderetur . ibid. <et 244«

(llo) Modus facilis exhibetur inscribendae Ellipseos conicae

4atae in Angulo dato , -24^

(112) Ostendicur simplicissii^e methodus ab EdnrundoHalleyo
tradita in 'Ungulam Cylindri recti 4juadrandam , ipsaque
prof luit .quadratura a nuperrlma Xe Gendre doctrina . . Ibid*

(l 13) Specimen Theoriae novae acutissimi Le <jendre ( pra.eter ^'SsGil» Il\

Alemberti labores ) tribuitur ram in EUipsin rectificandam
quam in Hyperbolam ab Ellipsi dependentem 'sistendam y
Tabulasque horumce AFCUum <ondendas.^uid fagnanus»
Eulerus, Landenius de acj^uinento dpso jneruerinc^ paucis
adseritur . Ibid. «et 124$.

(114* Principia condendarum T<tf tfr/iffiri» istorum Integralium ,
quae ex nuperrimis inventrs, a Le Gendre potissimum in-
lustratis , ex solis EUipsium .conicarum Accubus depende- ^
rent . ^ ibid.

(118) Y>t eonfiantis additione in determlnanda .complendaque
Integralia curiosum anecdoton. -247«

(119) Formula primigema^ ex qua ceterae omnes originem dur
cunt a rectificatione Sectionum .Conicarum «dependentes^
Mathemattcis minus nota . ibid. Ct '34&i

(129) Quadratum ( -<4 H- B V - i )** «st semper imag^arium «i-

dem 9 ut supra « Binomii forma manente • -249»

(133) Bougainvillius emendatus. t^^a

<i38j Tcncamen analyticum , quo -rursum /coniicltur liaud te*
pugnare Calculi legibus produvtum Arcus Ellipseos imagf»
mariao in c H^ ii >/ — 1 ^uantitatem reaiem cfficcre . Exem-
plum additur celebre iunioris Euleri» at a Leonhardo Pa-
tre suo praeoccupfctum . ibid. ct :2SL

(139) Ettam sine suhflitutiQne ars analytica potis .-est ad f or*

mulam ^t=z^;;:ziz=' <veccendam isx altetam

,' - ibid. et 252,

X145) Ellipsis geminajevolvitttr In jCfitu «tlam Tectarum, quae

latera fiierint iacentia super Coni scaleni 'Superficiem . 253.

(148) Ostenditur bceviter 'quomodo Formulae recentissimae ^

fsrtractatae a Malfatto et Le Gendre,doctrina sintinnixae
ascalii hactenus ^nimadversa. Species autem r, ^ive ex^

€entricitat EHipseci>s iuxta Le Cendre , «exaequat — vel ter-

tlam geometricc proportionalem post distantiam h centri a ^
direetricey qua M alfattus utitur , et Semiaxem I transvernum. ibld.

(153} lacobus BcrnouUius primus omntum de lioc IntegraUum

argumento disseruit . 254.

(155) Momen perpenditor LmniscMtae^ ibid.

Mmm

!■

J40

(159) Elegaflf dcscriptip eoiricae EllipsetdS trlbmtttr , cuiiis (a.
Le Gendre etiam animadversae ) Axes sint veluti VT: I %
novaque eiusdcm cum Parabola detegitur analogia. Rur-
sum occurrk in AdnotaPiemum Tiiemate, quae sequuntur^

ac potissimum 344"* . 255. et 254

(l6l) Haud satis lacobus Bcrnoulllus Fu»cthnh * ^ - na-

turaai', viresque cognovit. Landenii quaedam de Elaflita. ^Sl^

(l($2) Vlncentius Riccatus methbdo f voHxiore usus fiiit in Fun^ .
etionsm ipsam summandam. ibid.

(163) A Formulis oecumenicis Leonhardi Euleri integratio aon- ,
9equitur Functionir illius > sed minori facilitate . ibid»

(164) Inlustratur historia rectificafionis primae Parabolae culh'
cae^ ab ea Wilhelmi Neilii (1657) ct Van HeuraStii, quae
sccunda cst >■ valdc divcrsae , raultoque magis ab altcra s

Fagnano praeter primam novis aucta adfectionibus • ^ 25?.

(165) Addi-camentum ad praecedcntcm inlustrationem . ibid. ct 259^

(166) Recensentur 'crrores quorundam in Re*mathematica con- ^
scribenda . ibid.

(l63) Notantur de simpliciore Lemniscata: typographici lapsus

in Luccnsis editionis Encyclopaedia . ibid. et 260-

(170) Quo loci Eulerus dc celcbri loqucns Aeni^mate Florcnti* ^

no simpliciorem mcmorct Lemniscatam indicatur. ibid^

(171) Gcnuina historia retcxitur dimensionis Curvacunt Super*

ficierum ki saeculo XVIP''. ibid. et 261.

, (172) Praesidio Synthe9e'4>s geometricae passloaes alibi traditae ^

dcmonstrantur Lemniscatae simplicioris . ^ ibid. et 2&X

(174) Ipsius Lemniscatae sistttur harmonia cum una Ovalium
Villalpandi aut Griembergeri , necnon cum Linca qjaadam
Clairautii . , ibid. et 265.

(175) Proprietates Lmniscatae Bernonllianae etiam tx descri-
ptione ab loanne BerBOuliio data dimanant . Adcedunt non*
nulla de IV. Opuscuh Petri Paoli Liburni cdito . ibid.

. (176) Alia de codcm adduntur argumento . ibid^ ct 264^

(17^ Cuncta cum iis ab lulio Fagnano evulgatis consen« ^

tiunr. ibid.

(179) Modus ducendl tangentcs a quovis Lemniscafae puncto
dcducitur ab antiqua methodo Varignonii , quae facilita-
tc praeccllit tam illi a Fagnano datae, quam nupcrrimae -

expricatae ab Foanne Francisco Malfatto. . iwd. et ao^r

(181) Commentarius in Ovalcm Cassini, nomenque ab tliqui- .

bns ei Curvae inditum Cassinoidis ^ . »wa. et 3o6»

(185) Cassinianae Curvae et Lemmscafae quadam in ftypothesi
confirmatur aequipollentia . ™d. et 207^

(186) Quadratura indefinita Lemniscatae a Fagnano tradita per
Formulam irrationalem cum rationati noviter exposita con-
grucrc procul dubio statuitur , quae nova quadratura elc-
gans adeo cst, ut nulli hactenus notae concedai:. ibid.

(191) InlustranturLineae Sfiticae tam historice quam mathe- ^^

maticc. ^ *^

(198) Vinccntio Riccato praeivit Maclaurinus , huic ."^em la-

cobus Bcrnoullius in proprietate mechanica Lineae ^/<f-

fticae detegenda , quenxadmodum Hugenio , et Leibmaa

Torriccllitts in adsercnda confanti Logarithmicae Sui^au*

gente. *^*^ ^^ ^^

(200) MacUiirini TrMsiui Pbtxi&mmmot fbmssa ty^^^

phicus emendatnr , aliaque adduntur in Analyseos simpli- ^

citatem , et ordinem restituendum • ibid» et ^IO*

(201) Statuitur quam bene merueric Fagnanus de Ftmctknis

«

dx

differentialis — — — integratione. ibiJ.

yx-y/a±ixx

(202) Aetas sistitur Alemberti dum primos de Calculo Integra* .

li promovendo commentarios conscripsit . ibidL

(210) Momina, quibu» tttitur Apollonius, Sectionum*conica«>

rum Archimedis tempestate usui non erant. 221*

(211) Rursum disseritur de harmonia £llipsium»et Hyperboh* ^

rum coniugatarum , castigaturque expressio Roberti Simsoni ^ ibidt et 272«
(232) Theorema universale Alemberti iniusia a Bougainvillio

nimium arctis co&rcetut limitibus « 273* ^t 27V-

(250) Preli vitio error fortasse irrepsit In pag, 2ltf. Fartis I

Tractatus Bougainvillil . ^ ^ 270:

(262) Laudes Amicorum quorumda;m obiter celebrantur • ibi^.

(263) Coraitas praedicatur iani Actilii Arnolfini. ibid, et %XU

(265) Recentissima cjuorumdam Integralium correctlo ab Alem*
berto Mathematicis omnibus communicata» meisaue con- ,
gruens animadvessionibus diversa methodo antea nrmatis . ibid*

(266) Ne homines maleferiati contextum in calumnias vertant ^
exponitur ratio , qua permotus expressionem itjfnitifor' .
mem nuncupaverim hoc in casu singulari biformem ^ ibid»

(270) Maclaurinus et Alembertu» Summam aut DifFerentlam
Hyperbolicorum Arcuum aliquando geometrice rectifcabi'
lem esse longius etiam , quam par fuerat . post Fagnani in-
venta sunt inficiati . Laudes Fagnani a Le Gendre summo-
pere celebratae . Euleri ac Landenii de hoc argumento , er 9 >*

de Lemniscata recensentur labores . 270. Ct 2^,

(273) Alemberti sencomia de Vincentii Riccatl lapsu, et cu-

iusdam Problematis resolutlone . ibia.

(276) Tractatut Newtoni laudes de (fuadraturm Curvarum, ad .
calcem Opttcac suae primum edki. ibidr

(280) Ab Eulero quoque integratae Fuucthms multiplices per
Arcus Conicarum Sectionum . ( Lexellius insuper idem ef-
fecit in Additamento ad Difjirtationem de ^ reductione For"
mularum integralium ad rectificationem EiJipseus et Hyper^
tolae, quod retropoli editum fiiit inter Acta Academica

vertente anno M.DCC.LXXXl**. ) . ( Idem fecerunt pericu-
lum Riccattis » Le Gendre , De La Grange etc. ) .
(282) Functiones quaedam differentiales » quas Alembertus ope
Arcuum tantummodo Sectiomim Coni integrare neutiquam

rrtuit. ^ ^ 2i8l»

Landenii Integralium Tabuiat recentiores laudantur. ibid. et 282.
302) Primatus adseritut Vincentii Riccatr Inr Hyperbolae adr

secundum Axem relatae primigenia Formula pertractanda . &83»

(320) Non modo Gregarii-a-Sancto- Vincentio, sed etiamRo*
bexvallii ius adseritur inventibnis Theorematis pulcherri-
mi iogarithmrci de Areis Hyperbohe , quorum iurium pO'

^emum Grando etiam incognitum , ( CeroIL IL Prop" '*»

Xym^'- ** P*«- ^5. editionis 2"**^ Quudruturoi CirfuU sf ^ J

Hjfperholas ) . . ^4* ?t 28 j.

%

(323) Talularum pfo ilfifretsls Iflt^grAVibus ab •Ardl Tel Atcti-
i>as Secuonum Conicanxin pendeiHibtis eondendarnm a so-
la Ellipsetfs reefificatione artem consequi posc loannem Lan*-
denium aliosque statuittiY .

^334) Integralia quaedam elegantlssima tradita a Hiccato et

Eiilero* ( Addantur 1 .. c • ^quae postrenms Auccor irecen-

«uit in $•. 334 .. VolBtminis .l\ Inftitutipmtm CabuU Jnte^
graiis).,
(338) P.o^ Jliccati , et Aleitlbertl tentamina in sanandam vel
arcendam a Calculo dif&rentiam Cruris infinite-longt Hy-
perbolici ab AsymptOto sua , in praecedentibus Notis ex«
planata , quam optime ante Malfettum meruerit de hoc ar*
^umento Landcnius, documentis positrt perhibctur. -sSf.

(343) Typographi<;us emendatur error cuiusdam loci Vissfrta''

tionis Maifatti .in y^mi Italicae Societatis. i288.

(344) Tam Landeni[i , quatn Le Gendre inventa paucis expo«
nuntur de valo.re ^ransctndtntt finitis quantitatibus siscen-

4o jliferenfiot llllus» cuius meitiinit Ainotatio 33^.» in ^
Notae ipsius supplementum . ibid.

(349) JHfistoria retexitur antiquioris Setiei Infinitae ab Eulero
(irulgatae in rectificationem conicae Ellipseus , novique me«
.morantur De La Grange labores pro Ellipsi simul ec Hy-
perbole rectificandis . ^Sp. tt 290«

^52} Conftparat;^o eiusdem Eulerl Seriei a fundamenfis expo- ^
j^ «nUur (cum ^a multis ^ante annis a Maclaurino producca • ablt.

SlcnA Hf^. (357) Formula universatis a Le Gendre nuperrime data pro

Arcu EUipsews Apollonianae recensetnr^ atque obiter ex*
•plicatur quomo4o .ab Arcu Efliptico Hyperbolkus j^ro«
fluac.. -^^*

(367) Leyiuscjuhim fionsainvillii sphalma.. ^93»

(372) Qua,eQam a Grando depicta iam ftierft <qtat»or tiovafmtn

Ciairautii 'Curvarum . ^^83»

{323) Castigatur error cbronologicus Sei<fptotls Elogii Clalrati* ^
tii eiuMem in Hifloria Parisiensis Scientiamm Acaderaiae . ibid.

(374) Hyperbolarcirculi etiJim a Bossuto con^derata . ibid.

1(377) Histotjce ^agitur et inqurritur quonam praesertim fato

oK^ixlbtot Torrioellii sint adhuc inedtta . 4bld. «t 'SJ^.

(378) Florentini Elogiographi de Toriricellii Solido acuto Hy-
perbolico error .adnotatur . ^ ^ Sbid.

(379) Bonaventura CavalerLus jquo loc! -Solidnm illud in im- ^
mensum pori;exerit ^cxhibetur , sed fty^exjbola innoounata.. ibijd.

i(38o) Paradoxon quiddam ope -ElefnentorAim resolvitur. 5595-

(382) Ab Elementorum penore facile prosifiunt quae de Irifi- ^
nicis .et Infinice - parvis agL^tantur mixacula • ibid.

(S9l) Integratio Funicfioilis Mfirjtutialis Ad I-o^-

fit

«rithmos reducitur. '297-

(401) Quadratura Ajreae Logafithmicae infini^e prodiict»e'Tor-

riceUio debetur ante Christianum tii^enium . . 2$^*

{405) Corri^itur typographi.cus ercor de ^icomedis et H^ppiae ^

Conchoide in Infradtttiione in Anuljsin Infimtorum Euleri . ibld*
(410) Concordia Aequationis trigonometricae ad -universas Co-

fii^ectiones., licifet variis modis eorpvessae^ ct derivatio su-

1>]inu0ris doctrinae Le iGeuidre « atque cuiusdam e Lineis

^43

Spirlcit z Theorice $tmplicIore Pascalii . ( Vide N^^m

191°"".); T 299. et 3pa

(411) Aequatio tradltur iamduduoi iK>cae Nevtono, Crame*

ro etc. cuiusdam Lineae ttcdo ttasymptota praeditae. ibid,
(414) Lorgnae Cissois male sonat. ibid. et 3QJ.

(426) loannis Henrici Lamberti ParaUelismus Hyperbolae et

Circuli valde promocus notatur tam realihus , quan^ ftn^jiff^,

riis valoribus adhibitis , quibus Theoriam Cotesii, MacLau«
• rini , Walmcalieyi » Vincenrii Biccati t et Foncenexif p^rfeptc , : ^ gp^

(429) lura Robervallii documentis viiidicata de Superncie Co* ^ '

ni scaleni . I^ ibid« et 303.

(444) De universali Venoria aut 3 . EUipseus Hyperbolisfflo

observationes variae . 304« Ct 305*

(446) Emendandus Alemberti locus • ibid.

(44^) Locus altcr erratus * ibid* "

(451) Vindiciae lohamiis BenMulliide partittm Sopeticiel Coni

recti mensura. 306* •

(453) Correctus iterum Alemberti naevus. ibid.

(456) EUipsis a Linea ctiam recta, nedum a Circulo , gigni po«

test . ibid«

(468) Aliqua dc Mathematicorum vetemm vocibus praedican-

tur rectius interpretandis . 307,

(AIS) Cissois quanam de causa penes antiquos Hederam imi«

taretur , et quonam vitio dicta a recentioribus heJeraeea . goS.

(43^) WaUisius onxiuum primus secHndarias Kcctae Conchoidcs

anlmadvertit. Si Graccara vocem audieris, improprium est

Coi^choidis nomen inditum Curvaccuius^f/fvrm^i^sit Cir*<

culus. ibid. et 309.

(479) NonnulU Tractatus reteres memotantur Kicomedis 1 et

Gemini . ibid.

(4^5) Quaedam obitcr de mirahili Menqlai. ^ ibid.

(490) Iteruin dc Cassinoide ; et primiipi dc Snellfi TftyaxftiJ •

vel Quatlrataria , ' . . 310.

(505) In antiquissimum ApoUonlanae Parabolae £itoclivfm cx- '

cursu». • 31X. ct 312.

(514) Pretiosa quaedam cnarrantur depcrdita de Vcterum Geo^

metria . 313.

(518.) NonnuUa de paraiielis universaUbus • ^ 314«

(521) Quadretura traditur indefuita Curvae Lambcrti thermo*

metricae. ibid. Ct 315.

(524) Obiter quaedam monentur de Maxlmis atquc Miaimis • ibid.

(525) Curvarum oscula muItipUcia a"^'. 2.3. ctc. gradus «
non secus ac points de serpentemeut a celeberrimo Maupcr*
tuisio ( Sur quelques affections des Courhes ) in Actis exhi<«
bita Scientiarum Academiae Parifienfis relatis ad annuni

M.DCC.XXIX""". ( Crameri htroduction etc. ad pag**. 403,
ct 5^* ) • £^ tamen oscula primi gradus nonnisi aiffcrcit*

tialiumo^t 2 . ordinis determinantur • ^ ibid» tt ^l&

(529) CalcuU analytici ratio ac modus cxponuntur pro ditne-
tienda novae cuiusdam Lineae Area , genita a Cycloide ^
primaria . ibid» Ct 3^7«

(530; Animadversiones in Prodromum etc. impressuoi amio

M.DCC.XC"'*^. ( Vide priorem Autetopi Notam $ neque ho* ^

dienuffl inutiUa polemica repetam ) . ibid. ^ S^'*

4

4

I

«
•

J

I

t

s.

£ M TAB^r

c

^"'^

/%rh

^sSpy' 1 >,

\N

A

17,.

16-.

15.

1

I

•

•* . t*

I

f

«

t

J

I

i

«

l

«

I

>

i

m

i

i

1
>■

u

.»

. ♦/*•

s

?

i!

i

«
i

r

I

ii

\

j

\

*. >%•