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Full text of "Des Claudius Ptolemäus Handbuch der astronomie .."

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DES  CLAUDIUS  PT0LEMÄU8 
HANDBUCH  DER  ASTRONOMIE 

ERSTER  BAND 

AUS  DEM  GRIECHISCHEN  ÜBERSETZT  UND  MIT 
ERKLÄRENDEN  ANMERKUNGEN  VERSEHEN 

VON 

KARL  MANITIUS 


DRUCK  UND  VERLAG  VON  B.  G.  TEUBNER  LEIPZIG  1912 


;   Tf 


Sl  61 


Einleitung, 

Zu  den  größten  Geistes  werken  des  Altertums,  die  uns  in 
tadelloser  Fassung  erhalten  geblieben  sind,  gehört  das  Hand- 
buch der  Astronomie,  welches  Claudius  Ptolemäus  in  Alexan- 
dria um  die  Mitte  der  Eegierung  des  Kaisers  Antoninus  Pius 
(138 — 161  n.  Chr.)  unter  dem  Titel  Mad'rificirLKfig  Uwra^scog 
ßißXia  ly  verfaßt  hat.  Die  Bedeutung  des  verhältnismäßig 
spät  entstandenen  Werkes  wird  wesentlich  dadurch  erhöht, 
daß  es  auf  den  Forschungen  und  Beobachtungen  des  Hippar- 
chus  von  Nizäa  beruht,  des  „Vaters  der  Astronomie",  welcher 
von  160  bis  126  v.  Chr.  teils  auf  der  Insel  Rhodus,  teils  in 
Alexandria  beobachtete  und  zahli*eiche  Schriften  hinterließ, 
die  dem  Ptolemäus  zur  Verfügung  standen.  Da  Hipparch 
Beobachtungen  von  Mondfinsternissen  heranzieht,  deren  älteste 
im  Jahre  721  v.  Chr.  angestellt  worden  ist,  so  hat  das  Werk 
des  Ptolemäus  einen  Wert  erhalten,  den  die  moderne  Astro- 
nomie wohl  zu  schätzen  gewußt  hat.  Allein  eigenes  Verdienst 
darf  deshalb  dem  Ptolemäus  keinesfalls  abgesprochen  werden. 
Während  er  in  der  Epizykeltheorie,  für  welche  schon  Hipparch 
einen  berühmten  Vorgänger  in  dem  Mathematiker  Apollo - 
nius  von  Perga  (200  v.  Chr.)  hatte,  durchaus  auf  den  Er- 
rungenschaften der  Vorzeit  fußt,  auch  in  der  Aufstellung  von 
Sehnentafeln  für  trigonometrische  Berechnung  nur  als  Ver- 
besserer der  Überlieferung  gelten  kann,  hat  er  mit  seiner 
Theorie  der  Planeten,  zu  welcher  Hipparch  alte  Beobach- 
tungen gesammelt  und  eigene  angestellt  hatte,  ohne  zur  Ver- 
arbeitung des  Materials  zu  schreiten,  weil  er  es  mit  scharfem 
Blick  als  noch  unzureichend  erkannte,  eine  durchaus  selb- 
ständige Leistung  vollbracht,  die  alle  Anerkennung  verdient. 

Wegen  der  Kompliziertheit  des  entwickelten  Systems  wurde 
das  Handbuch  des  Ptolemäus  sehr  bald  Gegenstand  weitschich- 
tiger Kommentare.  Ob  sich  die  Erklärungen,  welche  der 
Alexandriner  Pappus  gegen  Ende  des  dritten  Jahrhunderts 
n.  Chr.  zur  Syntaxis  schrieb,  auf  alle  13  Bücher  erstreckten, 


IV  Einleitung. 

ist  ungewiß.  Erhalten  sind  nur  die  Scholien  zum  5*®^  und 
ßten  Bm;]2^  welche  der  etwa  ein  Jahrhundert  später  lebende 
Mathematiker  Theo n  von  Alexandria  seinem  eigenen  um- 
fangreichen Kommentar  einverleibt  hat. 

Zur  Förderung  des  Studiums  des  Ptoleinäischen  Lehrbuchs 
wurde  von  den  späteren  alexandrinischen  Gelehrten  schon 
im  dritten  Jahrhundert  n.  Chr.  eine  uns  erhalten  gebliebene 
Sammlung  mathematischer  und  astronomischer  Monographien 
veranstaltet,  deren  Inhalt  geeignet  erschien,  das  Verständnis 
des  schwierigen  Werks  zu  erleichtern.  Es  sind  die  Schriften 
des  sog.  „Kleinen  Astronomen",  über  welche  sich  Pappus 
im  6*®^  Buch  seiner  „Mathematischen  Sammlung"  verbrei- 
tet. ^^  Die  Bezeichnung  „Kleiner  Astronom"  ist  offenbar 
im  Gegensatz  zu  dem  „Großen  Astronomen",  wie  man  den 
Ptolemäus  zu  nennen  pflegte,  gewählt  worden.  Erst  seit 
dieser  Zeit  hat  wohl  die  Syntaxis  das  Beiwort  fieyalrj  er- 
halten, aus  dessen  Steigerung  zu  (isylörrj  in  Verbindung  mit 
dem  arabischen  Artikel  der  Titel  „Almagest"  hervorgegan- 
gen ist,  der  das  Werk  des  Ptolemäus  mit  dem  Nimbus  eines 
orientalischen  Zauberbuchs  umgeben  hat. 

Di«  Akademie  in  Alexandria  ging  ihrem  Verfall  entgegen, 
als  im  5*®^  Jahrhundert  n.  Chr.  die  von  den  nestorianischen 
Christen  zu  Antiochia  und  Edessa  gegründeten  Schulen 
der  Sitz  einer  Gelehrsamkeit  wurden,  welche  sich  nicht  bloß 
mit  religiösen  Streitfragen  beschäftigte,  sondern  auch  die 
Schätze  der  griechischen  Literatur  durch  syrische  Über- 
setzungen zugänglich  machte. ^^  Von  der  Reichskirche  ver- 
folgt, fanden  die  Nestorianer  zuvorkommende  Aufnahme  ini 
Perserreich,  wo  sie  zur  Blüte  der  Akademien  von  Nisibis 
und  Gandisapora  wesentlich  beitrugen.  Namentlich  unter 
Chosru  I.  Nuschirwan  (5  <2  —579),  der  selbst  Freund  der 
Philosophie  eines  Plato  und  Aristoteles  war,  entfalteten  sie 
als  Übersetzer  der  geschätztesten  griechischen  Werke  in  die 
Landessprache  eine  rege  Tätigkeit. 

Dieselbe  wichtige  Vermittlerrolle  zu  übernehmen  war  den 
syrischen  Gelehrten  beschieden,  als  die  Araber  sich  zum 

^)  Die  Anmerkungen  befinden  sich  im  Anhang. 


Einleitung.  V 

herrschenden  Volk  im  Orient  aufwarfen.  Das  von  dem  Kalifen 
Almansur762n.  Chr.  gegründete  Bagdad  wurde  nicht  nur 
die  politische  Hauptstadt  des  Abbasidenreichs,  sondern  als- 
bald auch  der  Mittelpunkt  aller  wissenschaftlichen  Bestre- 
bungen. Dreihundert  Gelehrte  entsandte  der  vielgefeierte 
Enkel  Almansurs,  Harun  Alraschid  (786  —  809),  nach 
den  Schätzen  griechischer  Wissenschaft  zu  forschen,  welche 
in  den  zerstörten  Kulturstätten  dem  Untergang  entronnen 
waren.  So  muß  denn  auf  diesem  Wege  auch  eine  griechische 
Handschrift  der  Syntaxis  nach  Bagdad  gelangt  sein;  denn 
es  wird  berichtet,  daß  das  Lehrbuch  des  Ptolemäus  auf  Be- 
fehl des  ebenso  gelehrten  wie  tapferen  Wesirs  des  Kalifen, 
des  aus  dem  altpersischen  Geschlechte  der  Barmakiden  stam- 
menden Jahja,  dessen  Vater  Chalid  den  Bau  von  Bagdad 
geleitet  hatte,  in  das  Arabische  übersetzt  worden  sei.  Da 
aber  diese  Übertragung  nicht  den  Beifall  des  gelehrten  Auf- 
traggebers fand,  so  habe  er  durch  zwei  nach  Bagdad  berufene 
hervorragende  Gelehrte,  Abu  Hazan  und  Salmus,  eine  ge- 
naueren Anforderungen  entsprechende  Übersetzung  veran- 
stalten lassen. 

Reiches  Material  zur  Übertragung  ins  Arabische  wußte 
d.er  Kalif  Almamun  (813 — 833)  zu  beschaffen,  indem  er 
an  den  von  ihm  besiegten  byzantinischen  Kaiser  Michael  II. 
den  Stammler  823  unter  den  Friedensbedingungen  die  For- 
derung stellte,  ihm  griechische  Manuskripte  zu  liefern  oder 
wenigstens  die  Abschrift  hervorragender  Werke  zu  gestatten. 
An  diesen  Arbeiten,  mit  denen  ein  Kollegium  von  syrischen 
Gelehrten  beauftragt  war,  nahm  er  persönlich  teil.  Eine 
im  Jahre  827  auf  seinen  Befehl  von  einem  ungenannten 
Verfasser  gefertigte  Almagestübersetzung  ist  in  einer  ara- 
bischen Handschrift  der  Universitätsbibliothek  zu  Leyden  er- 
halten. Aber  nicht  nur  für  Verbreitung  astronomischen 
Wissens  trug  Almamun  Vorsorge,  er  beteiligte  sich  auch 
an  den  Beobachtungen  der  Astronomen,  welche  er  an  die 
init  den  kostbarsten  Instrumenten  ausgerüsteten  Sternwarten 
zu  Bagdad  und  Damaskus  berufen  hatte.  Besonders  be- 
vorzugt wurde  von  ihm  in  dieser  Beziehung  der  in  Bagdad 


VI  Einleitung. 

praktisch  tätige  Astronom  Alfergani  (Alfraganus),  dessen 
Rudimenta  astronomica  betiteltes  Werk^^  den  Beweis  liefert, 
wie  bald  die  Übersetzung  des  Ptolemäus  die  Grundlage  zu 
selbständiger  literarischer  Betätigung  wurde. 

Unter  den  aus  dem  Volke  der  Syrer  hervorgegangenen 
Gelehrten,  die  sowohl  die  griechische  als  auch  die  arabische 
Sprachebeherrschten,istder berühmteste  Ho nain  ben  Ishak 
aus  Hira,  Leibarzt  des  Kalifen  Motawakkil  (847  —  861).  Als 
Vorsitzendem  eines  Kollegiums  von  syrischen  Gelehrten,  denen 
die  Herstellung  arabischer  Übersetzungen  oblag,  fiel  ihm,  dem 
sprachkundigen  Beurteiler,  die  Aufgabe  zu,  die  auf  dem  Um- 
wege über  das  Syrische  entstandenen  Übertragungen  durch 
nochmalige  Vergleichung  mit  den  griechischen  Originalen  zu 
verbessern.  Auf  diese  Weise  erklärt  sich  die  überaus  große 
Zahl  der  ihm  zugeschriebenen  Übersetzungen.  Er  müßte  eine 
schier  übermenschliche  Arbeitskraft  besessen  haben,  sollten 
sie  alle  neben  30  von  ihm  verfaßten  selbständigen  Werken 
wirklich  von  seiner  Hand  herrühren.  Da  ihm  jedoch  die 
Fachkenntnisse  in  Mathematik  und  Astronomie  abgingen, 
so  bedurften  die  von  ihm  redigierten  Übertragungen  noch 
einer  sachverständigen  Revision.  Diese  ließ  ihnen  Thabet 
ben  Korrah  angedeihen,  wohl  erst  nach  dem  Tode  von 
Honain,  der,  seines  Glaubens  Christ,  von  dem  Bischof  Theo- 
dosius  wegen  Religionslästerung  aus  der  Gemeinde  gestoßen, 
im  Jahre  873,  wie  vermutet  wird,  an  Gift  starb.  836  in 
Harran  geboren,  war  Thabet  erst  in  seiner  Vaterstadt  Geld- 
wechsler, hatte  sich  aber  dann  in  Bagdad  so  bedeutende 
Kenntnisse  als  Mathematiker  und  Astronom  erworben,  daß 
er  am  Hofe  des  Kalifen  Almustadid  (892 — 902)  bis  zu  seinem 
Tode  901  eine  besondere  Vertrauensstellung  einnahm. 

Nur  eine  einzige  der  erhaltenen  arabischen  Handschriften 
des  Almagest,  ein  Kodex  der  Pariser  Nationalbibliothek,  bietet 
in  der  Überschrift*^  den  Namen  des  Übersetzers  Honain 
ben  Ishak  in  Verbindung  mit  dem  Namen  des  sachkundigen 
Revisors  Thabet  ben  Korrah.  Die  sonst  noch  bekannt 
gewordenen  Handschriften  nennen  entweder  überhaupt  keinen 
Verfasser  oder  werden  bestimmten  Urhebern  in  nicht  ganz 


Einleitung.  VII 

zuverlässiger  Weise  zugeschrieben.  Von  den  syrischen  Über- 
tragungen ist  keine  auf  unsere  Zeit  gekommen;  lediglich  als 
Mittel  zum  Zweck  ins  Werk  gesetzt,  mußten  sie  der  Ver- 
gessenheit anheimfallen,  sobald  der  Almagest  in  arabischer 
Sprache  zur  Verfügung  stand. 

In  die  traurigste  Zeit  des  Kalifats  der  Abbasiden,  als 
während  der  langen  Regierung  des  schwachen  Muktadi  (907 

—  932)  die  Befehlshaber  der  Truppen  unter  dem  Titel 
eines  Emir  al  ümara  sich  immer  mehr  eine  brutale  Ge- 
waltherrschaft anmaßten,  fällt  die  Tätigkeit  des  größten 
Astronomen  der  Araber,  des  um  880  zu  Eatan  in  Mesopo- 
tamien geborenen  Mohammed  ben  Geber  AI  bat  an  i  (Alba- 
tenius).  Veranlaßt  durch  die  zahlreichen  Korrektionen,  die 
er  als  Beobachter  auf  drei  Sternwarten  —  zuerst  zu  Araktea 
in  Mesopotamien,  dann  zu  Damaskus  und  zuletzt  zu  Antiochia 

—  ermittelt  hatte,  verfaßte  er  seine  berühmten  Sonnen-  und 
Mondtafeln,  die  uns  noch  unzugänglich  sind.  Die  vollkom- 
mene Vertrautheit  mit  der  griechischen  Astronomie  verrät 
sein  erhaltenes  Werk  De  motu  stellarum}^  Der  „Ptolemäus 
Arabiens"  genannt,  entfernte  er  sich  zwar  nirgends  wesent- 
lich von  seinem  großen  Vorgänger,  prüfte  jedoch  dessen  Theo- 
rien sorgfältig  und  verbesserte  sie  vielfach.  Den  größten 
Ruhm  brachte  ihm  die  Entdeckung  der  Bewegung  der  Apsi- 
denlinie der  Sonnenbahn,  welche  sich  Ptolemäus  infolge  mangel- 
hafter Nachprüfung  des  von  Hipparch  festgestellten  Sonnen- 
apogeums  hatte  entgehenlassen.  Sein  Tod  fällt  in  das  Jahr  928. 

Im  Jahre  946  bemächtigte  sich  der  Emir  al  Umara  Muiz 
aus  dem  persischen  Geschlechte  der  Bujiden  nach  kurzem 
Kampfe  der  Hauptstadt  und  legte  sich  als  erster  Sultan  von 
Bagdad  den  Beinamen  „  Addaulah"  (Verherrlicher  des  Reichs) 
zu.  Obgleich  die  Nachfolge  im  Geschlechte  der  Bujiden  nicht 
ohne  schwere  Kämpfe  unter  Brüdern  und  Verwandten  vor 
sich  ging,  gelangten  dennoch  die  Wissenschaften  in  Bagdad 
zu  neuer  Blüte.  So  ließ  Scheref  Addaulah  (983—89) 
im  Garten  seines  Palastes  speziell  zu  Planetenbeobachtungen 
kostbare  Instrumente  von  ungeheuren  Dimensionen  aufstellen 


VIII  Einleitung. 

und  berief  zum  Vorsteher  der  neuen  Sternwarte  den  939  in 
Buzdschan  geborenen  Perser  Abul  Wefa,  der  die  an  ihn 
gestellten  Anforderungen  bis  zu  seinem  Tode  (9/8)  rühm- 
lichst erfüllte.  Dieser  vor  allem  auf  dem  Gebiete  der  Mathe- 
matik überaus  fruchtbare  Schriftsteller  wird  durch  sein  nur 
in  Handschriften  Yorliegendes  Werk  Älmagestum  sivesystema 
astronomicum  entschieden  unter  die  verdientesten  Astronomen 
dieser  Periode  eingereiht. 

Mit  ihm  ist  die  Reihe  der  asiatischen  Astronomen  ab- 
geschlossen. Sozusagen  das  Fazit  der  200  jährigen  Entwick- 
lung der  arabischen  Astronomie  zog  im  Heimatlande  des 
Ptolemäus  Ibn  Junis,  nach  Albatani  der  zweitgrößte  Astro- 
nom der  Araber.  Die  Stätte  seines  Wirkens  war  Kairo, 
der  972  von  Muiz  gegründete  Herrschersitz  des  ägyptischen 
Kalifats  der  Fatimiden.  Als  Abkömmling  einer  edlen  ara- 
bischen Familie  um  950  in  Ägypten  geboren,  zog  er  schon 
als  Knabe  durch  außergewöhnliche  Talente  die  Aufmerksam- 
keit des  Sohnes  des  Muiz,  des  nachmaligen  Kalifen  Aziz, 
auf  sich  und  widmete  sich  auf  dessen  Betreiben  der  Himmels- 
kunde. Der  glänzende  Erfolg  seiner  Studien  erwarb  ihm 
alsbald  die  Gunst  der  Kalifen  Aziz  (975 — 96)  und  Hakem 
(996—1021)  in  so  hohem  Grade,  daß  ihm  auf  dem  Plateau 
des  Berges  Aljoref  über  der  sog.  Elefantenmoschee  mit  fürst- 
lichem Aufwand  eine  Sternwarte  erbaut  wurde. ^^  Hierzu 
kam  die  Gründung  einer  großartigen  Bibliothek,  welche  die 
altalexandrinische  übertreffen  sollte.  Die  ihm  gebotenen 
Hilfsmittel  bis  zu  seinem  Tode  (1008)  unermüdlich  tätig 
ausnutzend,  gründete  er  auf  zahlreiche  eigene  sowie  frühere 
Beobachtungen  das  große  Werk,  welches  er  seinem  Gönner 
zu  Ehren  die  „Hakemitischen  Tafeln"  benannte.  Dieses 
allen  späteren  Astronomen  des  Orients  als  unfehlbare  Auto- 
rität geltende  Werk  ist  zu  Anfang  des  vorigen  Jahrhunderts 
in  einer  arabischen  Handschrift  wieder  aufgefunden  und  ins 
Französische  übersetzt  worden. ^^ 

Nach  Europa  war  der  arabischen  Kultur  der  Weg  ge- 
bahnt worden,  als  das  von  Parteien  zerrissene  Westgoten- 


Einleitung.  IX 

reich  den  unter  Tarek  711  an  der  Südküste  Spaniens  lan- 
denden Arabern  keinen  namhaften  Widerstand  entgegenzu- 
setzen vermochte.  Die  siebentägige  Schlacht  bei  Xeres  de  la 
Frontera  entschied  das  Schicksal  der  spanischen  Halbinsel 
auf  mehrere  Jahrhunderte.  Doch  Aufstände  und  Bürgerkriege, 
genährt  durch  den  Ehrgeiz  einzelner  Häupter,  versetzten  das 
Land  in  einen  Zustand  der  Anarchie,  aus  welchem  es  erst 
durch  das  kraftvolle  Auftreten  des  Omejjaden  Abderrah- 
man  gerettet  wurde,  der  755  an  der  Küste  Andalusiens  landete, 
um  die  Herrschaft  über  Spanien  als  das  Erbteil  seines  Hauses 
anzutreten.  Aber  erst  nach  langen  Kämpfen  gelang  ihm  die 
Gründung  des  Kalifats  von  Kordova,  und  nur  die  zwei 
letzten  Jahre  (786 — 88)  seines  Lebens  war  es  ihm  vergönnt, 
sich  den  Künsten  des  Friedens  und  der  Pflege  der  Wissen- 
schaften zu  widmen. 

Als  das  goldene  Zeitalter  der  arabischen  Poesie  und  Bil- 
dung wird  die  Regierung  Abderrahmans  III.  (912  —  961) 
und  seines  Sohnes  Hak  am  IL  (961 — 996)  gepriesen.  Letz- 
terer gründete  in  Kordova  eine  Hochschule  und  brachte 
eine  600  000  Manuskripte  umfassende  Bibliothek  zusammen, 
von  welcher  er  selbst  einen  44  Bände  füllenden  Katalog  an- 
gefertigt haben  soll.  Dem  Beispiel  Kordovas  folgte  alsbald 
Toledo,  wo  der  fleißige  Beobachter  Alzerkali  (Arzachel) 
aus  Kordova,  der  älteste  namhafte  Astronom  Spaniens,  um 
1080  ein  neues  Astrolabium  erfand  und  in  Gemeinschaft  mit 
anderen  Gelehrten  die  „Toledanischen  Tafeln"  berechnete.  In 
Sevilla  kam  die  Astronomie  durch  den  dort  geborenen,  um 
dieselbe  Zeit  tätigen  GeberbenAfflah  zur  Geltung,  der  unter 
dem  Titel  De  astronomia  libri  IX  einen  auf  selbständiger  For- 
schung beruhen  den  Kommentar  zum  Almagest  verfaßte.^^  Die- 
ser scharfe  Kritiker  stellt  sich  dem  Ptolemäus  gegenüber  freier 
als  die  älteren  arabischen  Astronomen  und  greift  ihn  nicht  selten 
heftig  an.  Er  wirft  ihm  vor,  daß  er  „unklar,  schwer  verständlich 
und  ohne  Not  weitläufig  sei,  daß  er  anderseits  manches  Wich- 
tige gar  nicht  oder  zu  kurz  behandle,  überdies  auch  mehrere 
Unrichtigkeiten  enthalte."  Aufmerksame  Leser  der  Syntaxis 
werden  diese  Vorwürfe  nicht  ganz  ungerechtfertigt  finden. 


X  Einleitung. 

Der  mit  dem  1 1*^^  Jahrhundert  beginnende  Zerfall  des 
Omejjadenreichs  in  eine  Menge  unabhängiger  Herrschaften, 
die  sich  untereinander  befehdeten,  vermochte  der  Blüte  der 
arabischen  Hochschulen  nicht  wesentlich  Abbruch  zu  tun. 
Vorteil  zogen  aus  der  allgemeinen  Zerrüttung  die  spanischen 
Christen,  die  1085  unter  Alfons  VI.  von  Kastilien  (1072 — 
1109)  Toledo  eroberten.  Fortan  wurde  Toledo  die  Residenz 
von  Kastilien  und  Sitz  eines  Erzbischofs.  Als  aber  die  Fort- 
schritte der  Christen  immer  gefahrdrohender  wurden,  ließ  der 
Emir  von  Sevilla  anJussuflbn  Taschfin,  den  mächtigen 
Beherrscher  des  Almoravidenreichs  von  Marokko,  einen 
Hilferuf  ergehen.  Der  Sieg  Jussufs  über  Alfons  bei  S  alaka  im 
Jahre  3  086  sicherte  zwar  vorläufig  den  spanischen  Emirn 
den  Besitz  des  Landes,  aber  1091  kehrte  Jussuf,  von  den 
Reizen  Andalusiens  bezaubert,  ungerufen  wieder  und  nahm 
nach  kurzem  Kampfe  ganz  Südspanien  für  sich  und  seine 
Nachkommen  in  Anspruch.  Doch  die  Herrschaft  der  Almora- 
viden  dauerte  nur  ein  halbes  Jahrhundert.  Nachdem  1147 
zuerst  Marokko  in  die  Hände  Abdel  Mumens,  des  Führers 
der  fanatischen  Sekte  der  Almohaden,  gefallen  war,  öffnete 
ihm  in  dem  arabischen  Spanien  eine  Stadt  nach  der  andern 
ihre  Tore.  Dem  in  zwei  Jahrzehnten  gegründeten  Reiche, 
das  sich  vom  Saum  der  Sahara  bis  an  die  Ufer  der  Guadiana 
erstreckte,  wußte  Abdel  Mumen  (f  1163)  aber  auch  eine  so 
feste  Organisation  im  Innern  zu  verleihen,  daß  unter  seinen 
Nachfolgern  Jussuf  und  Almansor  die  Hochschulen  von  Kor- 
dova  und  Sevilla  blühten  wie  in  den  Tagen  der  Omejjaden. 

Aber  auch  das  Almoravidenreich  ging  nach  dem  Tode 
Almansors  (1199)  einem  raschen  Verfall  entgegen.  Durch 
den  glorreichen  Sieg  der  Christen  bei  Navas  de  Tolosa  im 
Jahre  1212 unter  Alfons  dem  Edlenvon  Kastilien  (t  1214) 
war  die  Macht  der  Afrikaner  in  Spanien  gebrochen:  1236  er- 
oberte Ferdinand  III.  der  Heilige,  1230  als  König  von 
Kastilien  und  Leon  anerkannt,  die  prachtvolle  Kalifenstadt 
Kordova  und  verwandelte  die  große  Moschee  in  eine  christ- 
liche Kathedrale,  1248  erlag  den  vereinten  Anstrengungen 
der  spanischen  Fürsten  unter  dem  Oberbefehl    Ferdinands 


lüinleitung.  XI 

auch  die  herrliche  Maurenstadt  Sevilla.  Die  Herrschaft  der 
Araber  erstreckte  sich  nur  noch  auf  das  Königreich  Granada. 

Der  Sohn  und  Nachfolger  Ferdinands  III.,  Alfons  X.  der 
Weise  (1252 — 82),  war  mehr  auf  die  Pflege  der  Wissen- 
schaften bedacht  als  auf  die  Mehrung  des  Reichs.  Schon  als 
Jüngling  von  17  Jahren  hatte  er  1240  ein  Kollegium  von 
50  arabischen,  jüdischen  und  christlichen  Gelehrten  unter 
dem  Vorsitz  des  Juden  Isaac  Aben  Said,  genannt  Hassan, 
zu  dem  Zweck  nach  Toledo  berufen,  astronomische  Schriften 
der  Araber  ins  Spanische  zu  übersetzen  und  die  Toledanischen 
Tafeln  des  Alzerkali  zu  verbessern.  Als  nach  vierjähriger 
Arbeit  die  neuen  Tafeln  den  Anforderungen  noch  nicht  ge- 
nügten, ließ  er,  trotz  der  enormen  Kosten  nicht  entmutigt, 
alles  wieder  von  vorn  anfangen.  Am  Tage  seiner  Thron- 
besteigung im  Jahre  1252  wurden  ihm  diese  Tafeln,  ihm  zu 
Ehren  die  Alfonsinischen  genannt,  überreicht.  Die  Her- 
stellungskosten sollen  sich  auf  40  000,  nach  anderen  auf 
400  000  Dukaten  belaufen  haben. 

Dasselbe  Kollegium,  dem  Alfons  nicht  nur  als  Förderer, 
sondern  auch  als  Mitarbeiter  zur  Seite  stand,  verfaßte  die 
Lihros  del  Sab  er  de  Astronomia  del  Bey  D.  Alfonso  X  de 
Casülla.  Auf  Anregung  der  Madrider  Akademie  der  Wissen- 
schaften wurde  das  Werk  1863 — 67  in  5  Foliobänden  zum 
erstenmal  herausgegeben.  Früher  für  eine  einfache  Über- 
setzung oder  Bearbeitung  des  Almagest  gehalten,  bildet  es 
vielmehr  einen  Kodex  astronomischen  Wissens,  der  vielfach 
auf  selbständiger  Forschung  beruht. 

Doch  aller  Ruhm,  den  sich  Alfons  als  Astronom  und 
Dichter  erwarb,  vermochte  ihn  vor  Verdächtigungen  und 
Verleumdungen  nicht  zu  schützen.  Schon  die  Gleichberech- 
tigung aller  Bekenntnisse  bei  der  Wahl  seiner  Mitarbeiter 
hatte  die  fanatischen  Mönchsorden  gegen  ihn  aufgebracht. 
Schließlich  setzten  sie  in  Verbindung  mit  seinen  politischen 
Gegnern  eine  förmliche  Anklage  gegen  ihn  in  Szene.  Unter 
anderem  wurde  er  wegen  des  Ausspruchs:  „Wenn  Gott  mich 
bei  der  Schöpfung  um  Rat  gefragt  hätte,  so  würde  ich  ihm 
eine  größere  Einfachheit  anempfohlen  haben"  der  Gottes- 


Xn  Einleitung. 

lästerung  beschuldigt.   Abgesetzt  und  seiner  Schätze  beraubt, 
starb  er  1284  arm  und  verlassen  in  Sevilla. 

Seitdem  die  Christenheit  das  gesamte  Wissen  der  arabischen 
Astronomie  als  Vermächtnis  übernommen  hatte,  haben  die 
Araber  auf  die  Wissenschaft  des  Abendlandes  keinen  Ein- 
fluß weiter  gehabt.  Lateinische  Übersetzungen  des  Al- 
magest  und  der  Werke  hervorragender  Astronomen  aus  der 
Blütezeit  des  Islam  bildeten  fortan  die  Grundlage  des  astro-^ 
nomischen  Studiums.  Der  Zug  nach  Spanien  wurde  für  wiß- 
begierige Jünglinge  und  Männer  des  Abendlandes  stärker  als 
zuvor,  so  daß  sich  von  dort  ein  reicher  Strom  geistiger  Auf- 
klärung nach  dem  übrigen  Europa  ergoß. 

Zu  den  fleißigsten  Gelehrten,  welche  ihren  Landsleuten 
durch  lateinische  Übersetzungen  die  Schätze  arabischer  Wis- 
senschaft zu  erschließen  suchten,  gehört  der  als  Arzt  und 
Astrolrg  von  dem  Kaiser  Friedrich  Barbarossa  hochgeschätzte 
und  vielfach  unterstützte  Gerhard  von  Cremona.  Als  er 
in  Erfahrung  brachte,  daß  die  Araber  viele  griechische  Schrift- 
steller besäßen,  die  man  in  Italien  bis  dahin  gar  nicht  kannte, ' 
begab  er  sich  nach  Toledo  —  damals  bereits  Residenz  von 
Kastilien  — ,  lernte  dort  Arabisch  und  widmete  viele  Jahre 
seines  Lebens  der  Tätigkeit  als  Übersetzer.  Erst  im  vor- 
gerückten Alter  nach  Cremona  zurückgekehrt,  starb  er  da- 
selbst, 73  Jahre  alt,  im  Jahre  1187.  Die  Zahl  der  von  ihm 
übersetzten  Werke,  denen  er  aus  Bescheidenheit  nur  selten 
seinen  Namen  beigefügt  hat,  beläuft  sich  auf  nicht  weniger 
als  71,  wie  sich  aus  einem  handschriftlichen  Verzeichnis  der- 
selben feststellen  läßt.')  Seine  Übersetzung  des  Almagest 
liegt  in  dem  seltenen  Druck  vor,  der  15 1 5  ohne  Angabe  des  Ver- 
fassers aus  der  Offizin  von  Peter  Liechtenstein  in  Venedig  her- 
vorgegangen ist.^>  Die  Handschriften  (in  Toledo,  Rom,  Florenz, 
Breslau  und  Oxford)  lassen  keinen  Zweifel  über  den  Verfassei" 
zu,  da  Gerhard  ausnahmsweise  durch  seine  Unterschrift  kund- 
gibt, diese  Übersetzung  in  Toledo  1175  beendigt  zu  haben. 
Eine  zweite  lateinische  Übersetzung  aus  dem  Arabischen 
wurde  auf  Befehl  des  Kaisers  Friedrich  II.  um  1230  ver- 


Einleitung.  XIII 

an  staltet.  Sie  ist  in  einem  elegant  geschriebenen  Pergament- 
kodex des  1 3*®"^  Jahrhunderts  erhalten,  der  sich  einst  im  Be- 
sitz vonMarquard  Gude  (f  1689)  befand,  dessen  ansehnliche 
Bibliothek  1706  in  Hamburg  versteigert  wurde.'*^  Bei  dieser 
Gelegenheit  fand  die  Handschrift  wohl  den  Weg  in  die  Herzog- 
liche Bibliothek  zu  Wolfenbüttel,  wo  sie  dem  Freiherrn  von 
Zach,  der  1787  — 1806  der  Sternwarte  auf  dem  Seeberg  bei 
Gotba  vorstand,  zu  Gesicht  kam.^^^  Von  ihm  erfahren  wir, 
daß  der  nicht  genannte  Verfasser  des  lateinisch  geschriebenen 
Vorworts  versichert,  die  Übersetzung  sei  auf  Befehl  des 
Kaisers  Friedrich  II.  veranstaltet;  man  habe  jedoch  viel 
Mühe  gehabt  einen  kundigen  Übersetzer  zu  finden,  der  sich 
endlich  in  Eugenius,  einem  des  Arabischen  und  des  Griechi- 
schen gleich  kundigen  Manne,  gefunden  habe.  Aus  dem  Lobe 
des  Übersetzers  zieht  v.  Zach,  der  geneigt  ist,  die  Hand- 
schrift für  das  Original  zu  halten,  den  nicht  ungerechtfertig- 
ten Schluß,  daß  neben  dem  arabischen  Almagest  wohl  auch 
der  griechische  Urtext  zu  Rate  gezogen  sein  dürfte. 

Schwerfällige  lateinische  Übersetzungen  des  arabischen  Al- 
magest, von  denen  die  am  weitesten  verbreitete  zweifellos 
die  des  Gerhard  von  Cremona  gewesen  ist,  waren  neben  den 
ins  Lateinische  übertragenen  Kommentaren  von  Alfergani, 
Albatani  und  Geber  die  trübe  Quelle,  aus  welcher  das  erste 
astronomische  Lehrbuch  des  Abendlandes  geschöpft 
wurde,  der  Tractatus  de  spJiaera  des  loannes  de  Sacro- 
bosco,  eines  aus  Holywood  (heute  Halifax)  stammenden  Eng- 
länders, der  an  der  Universität  von  Paris  bis  zu  seinem  Tode 
1256  als  Lehrer  der  Mathematik  wirkte.  Als  eins  der  ersten 
astronomischen  Werke,  welches  Vervielfältigung  durch  die 
Presse  fand,  galt  es  jahrhundertelang  als  klassisch  und  hat, 
in  allen  Schulen  gelesen  und  immer  wieder  neu  kommentiert 
herausgegeben,  den  Almagest  lange  Zeit  in  Vergessenheit 
gebracht.  Die  Urteile  über  den  Wert  dieses  Büchleins  gehen 
weit  auseinander:  einerseits  als  „ein  gutes  Buch  für  eine  schlech- 
te Zeit"  anerkannt,  gilt  es  anderen  als  ein  Machwerk,  das  „nur 
eine  so  tief  gesunkene  Zeit  wie  die  damalige  bewundern  konnte." 


XIV  Einleitung. 

So  weit  war  man  mit  Hilfe  des  arabischen  Ptolemäus 
gekommen ;  Heil  konnte  nur  von  dem  Auftauchen  des  griechi- 
schen Originals  erwartet  werden.  Wiederum  war  es  Byzanz, 
das  aus  dem  unerschöpflichen  Vorrat  seiner  handschrift- 
lichen Schätze  den  echten  Ptolemäus  spendete,  damit  seine 
Lehre  zunächst  wieder  durch  lateinischeÜbersetzungen 
in  minder  entstellter  Gestalt  dem  Abendlande  übermittelt 
werde. 

Im  Jahre  1158  wurde  von  dem  Normannenkönig  Wilhelm  I. 
(1154 — 66)  an  den  byzantinischen  Kaiser  Manuel  LKomnenos 
eine  Gesandtschaft  abgeordnet,  welche  zwischen  den  beiden 
Herrschern  einen  Friedensschluß  herbeiführte.  Der  Führer 
der  Gesandtschaft,  der  Archidiakon  von  Katania  Henricus 
Aristippus,  bekannt  als  Übersetzer  des  Plato,  brachte  als 
kaiserliches  Geschenk  an  den  Normannenkönig  eine  griechi- 
sche Handschrift  der  Syntaxis  mit  nach  Palermo.  Aus  dieser 
Handschrift  ist  die  neuerdings  von  Heiberg^^^  besprochene 
lateinische  Übersetzung  geflossen,  die  \mierdem.Tiie\  Älmagesti 
geometria  in  einer  am  Anfang  defekten  Handschrift  der  Biblio- 
teca  Nazionale  in  Florenz  und  vollständig  in  einem  vatika- 
nischen Kodex  vorliegt.  Das  in  letzterem  erhaltene  Vorwort 
gibt  zunächst  über  die  Herkunft  der  Vorlage  Auskunft. 
Weiter  teilt  der  ungenannte  Verfasser  mit,  daß  Aristippus 
ihm  die  Übertragung  ins  Lateinische  überlassen  habe,  weil 
er  selbst  wegen  mangelnder  astronomischer  Kenntnisse  die 
Arbeit  nicht  zu  übernehmen  wagte.  Er,  der  Übersetzer,  habe 
in  dem  gelehrten  Admiral  Eugenius  einen  tüchtigen  Lehrer 
gefunden.  Die  Abfassung  der  Übersetzung  dürfte  um  das 
Jahr  1160  anzusetzen  sein. 

Überzeugend  hat  Heiberg  nachgewiesen,  daß  die  von 
Aristippus  aus  Konstantinopel  mitgebrachte  Handschrift  iden- 
tisch sei  mit  dem  Codex  Marcianus  313  saec.  X.  Dafür 
spricht  nicht  nur  die  prächtige  Ausstattung  des  letzteren, 
sondern  auch  der  Umstand,  daß  die  Schwesterhandschrift, 
der  1622  durch  Ankauf  in  die  vatikanische  Bibliothek  ge- 
langte Codex  graecus  1 594  saec.  IX.,  laut  Inschrift  am  Schluß 
des  13*®" Buches  —  xov  aGxqovo^i'Küaxaxov  Aeovxog  rj  ßißlog  — 


Einleitung.  XV 

derselben  Herkunft  ist;  denn  Leon  war  im  9*®^  Jahrhundert 
Rektor  der  Universität  von  Konstantinopel. 

Als  unter  Muhammed  II.  die  Osmanen  ihrem  Ziel  immer 
näher  rückten,  dem  byzantinischen  Schattenreich  ein  Ende 
zu  machen,  gewährte  Nikolaus  V.  (1447 — 55),  einer  der 
Edelsten,  welche  die  Tiara  getragen,  den  aus  Konstantin opel 
flüchtenden  griechischen  Gelehrten  gastliche  Aufnahme.  Von 
dem  Wunsche  beseelt,  die  gesamte  griechische  Literatur  der 
lateinischen  Gelehrtenwelt  durch  Übersetzungen  zu  erschließen, 
wußte  er  die  günstige  Gelegenheit,  wertvolle  Manuskripte 
durch  Kauf  an  sich  zu  bringen,  mit  solcher  Umsicht  zu  be- 
nutzen, daß  er  als  der  eigentliche  Begründer  der  vatikanischen 
Bibliothek  gelten  kann. 

Für  die  Übersetzung  der  Syntaxis  glaubte  er  in  seinem 
Sekretär  Georgius  Trapezuntius,  einem  in  Kandia  auf 
Kreta  1396  geborenen  Griechen^^),  den  geeigneten  Mann  ge- 
funden zu  haben.  Georgius,  der,  des  schlechten  Rufes  der 
Kreter  eingedenk,  seinen  Beinamen  nach  der  Heimat  seines 
Vaters  gewählt  hatte,  war  von  der  Insel  Kreta,  die  damals 
unter  der  Herrschaft  der  Venezianer  stand,  einer  Aufforderung 
des  Patriziers  Francesco  Barbaro  folgend,  bereits  1420  nach 
Venedig  gekommen  und  hatte  dort  unter  ungeheurem  Zulauf 
die  griechische  Sprache  gelehrt.  Dann  in  Padua  und  Vicenza 
tätig,  war  er  1430  nach  Rom  übergesiedelt.  Von  Eugen  IV. 
(1431 — 47)  in  die  Stellung  eines  apostolischen  Sekretärs 
berufen,  wurde  er  von  Nikolaus  V.  in  diesem  Amte  bestätigt. 

Nur  mit  Widerstreben  unterzog  sich  Trapezuntius  nach 
seiner  eigenen  Versicherung  der  ihm  sozusagen  aufgedrungenen 
Arbeit.  Indessen  übersetzte  er  binnen  neun  Monaten,  von 
März  bis  Dezember  1451,  nicht  nur  die  1 3  Bücher  der  Syntaxis, 
sondern  fügte  auch  einen  angeblich  eigenen  Kommentar  hin- 
zu, „weil  er  für  die  Erklärung  so  wichtiger  Dinge  nichts 
recht  Geeignetes  vorgefunden  habe."^^^  Bald  nach  ihrem 
Bekanntwerden  wurde  die  Übersetzung  als  „nicht  lateinisch, 
sondern  barbarisch  und  vielfach  fehlerhaft''  von  Niccolo 
Perotto,  dem  Erzbischof  von  Sipontum,  hart  mitgenommen ; 


XVI  Einleitung. 

zur  Erklärung  sei  nichts  von  irgendwelcher  Bedeutung  bei- 
getragen, was  nicht  aus  dem  Kommentar  des  Theon  ein- 
fach gestohlen  sei. ^^^  Die  Aufdeckung  dieses  literarischen 
Diebstahls  kostete  dem  Übersetzer  seine  Stellung  als  aposto- 
lischer Sekretär.^^^  Vom  Papste  mit  Verbannung  bestraft, 
suchte  er  mit  seiner  zahlreichen  Familie  eine  Zufluchtstätte 
in  Neapel,  wo  ihm  nach  langem  Harren  und  Bangen^^^  von 
König  Alfons  V.  von  Aragonien  (1416 — 58)  auf  die  durch 
Barbaro  vermittelte  Fürsprache  des  venezianischen  Gesandten 
eine  bescheidene  Besoldung  gewährt  wurde.  Ob  das  noch 
vor  Ablauf  des  Jahres  1452  an  den  Papst  gerichtete  Ent- 
schuldigungsschreiben, welches  Trapezuntius  unter  Vermitte- 
lung  seines  einflußreichen  Gönners  Barbaro  (^  1454)  über- 
reichen ließ,  seine  Begnadigung  erwirkt  hat,  läßt  sich  nicht 
ermitteln.  Jedenfalls  finden  wir  ihn  1461  als  Lehrer  des 
Regiomontanus  wieder  in  Rom,  wo  er  1484,  nach  Verlust 
des  Gedächtnisses  kindisch  geworden,  als  stadtbekanntes 
Original  in  sehr  bedrängten  Verhältnissen  hochbetagt  starb. 
Unmittelbar  nach  seinem  Tode  überreichten  seine  Söhne 
die  Übersetzung  der  Sjntaxis  mit  einem  von  Andreas,  dem 
ältesten  Sohne,  verfaßten  Widmungsschreiben  dem  Papst 
Sixtus  IV.  (f  den  12.  Aug.  1484).  Von  Lucas  Gauricus, 
einem  zu  Neapel  lehrenden  Professor  der  Mathematik,  mit 
dem  Vorwort  des  Andreas  1528  herausgegeben,  wurde  sie  bis 
zurMitte  des  Jahrhunderts  noch  zweimal  wiederholt  '^^  In  einer 
Separatausgabe  ist  außerdem(Köln  1536)  miteinei  Einleitung 
von  Johannes  Noviomagus  (Geldenhauer  aus  Nymwegen)  der 
Sternkatalog  erschienen.  Nur  handschriftlich  vorhanden^"^^ 
ist  eine  von  Trapezuntius  verfaßte  Einleitung  zur  Syntaxis. 

Deutschlands  Reformatoren  der  Astronomie  wurde 
die  Kenntnis  des  griechischen  Originals  durch  den  Kardinal 
Johannes  Bessarion  (geb.  zu  Trapezunt  1395)  vermittelt. 
Als  einer  der  ersten,  welche  die  altgriechischen  Studien  nach 
Italien  verpflanzten,  entwickelte  er  nicht  nur  selbst  eine  rege 
literarische  Tätigkeit,  sondern  begünstigte  auch  mit  fürst- 
licher Freigebigkeit  jedes  ihn  ansprechende  wissenschaftliche 


Einleitung.  XVII 

Unternehmen.  Sein  lebhaftes  Interesse  für  die  Syntaxis  des 
Ptolemäus  bekunden  zwei  Handschriften,  die  durch  Schen- 
kung seiner  wertvollen  Bücherei  an  die  Republik  Venedig  in 
die  Bibliotheca  Marciana  gelangt  sind:  die  eine  (Cod.  302) 
ist  zum  größten  Teil  eigenhändig  von  ihm  geschrieben^  die 
andere  (Cod.  303)  mit  zahlreichen  Randbemerkungen  von 
seiner  Hand  versehen.  Auch  noch  eine  dritte  (Cod.  312)  ist 
durch  Namensinschrift  als  sein  einstmaliges  Eigentum  ge- 
kennzeichnet. Auf  Grund  dieser  Handschriften  nahm  er  selbst 
die  Übersetzung  der  Syntaxis  in  Angriff,  nachdem  er  die  Un- 
zulänglichkeit der  Leistung  des  Trapezuntius  erkannt  hatte, 
wurde  aber  durch  die  vielfachen  Abhaltungen,  welche  seine 
hohe  Stellung  mit  sich  brachte,  an  der  gedeihlichen  Förderung 
dieser  Arbeit  verhindert. ^^^ 

Im  Jahre  1460  kam  Bessarion  als  päpstlicher  Legat  mit 
dem  Auftrage,  in  Deutschland  Stimmung  für  den  Türken- 
krieg zu  machen,  nach  Wien,  wo  am  1.  September  ein  Reichs- 
tag abgehalten  werden  sollte.  Dort  lernte  er  Georg  Pur- 
bach  kennen,  der  (1423  geb.  zu  Peurbach)  seit  etwa  1450 
an  der  Wiener  Universität  eine  Professur  für  Mathematik 
bekleidete.  Auf  Grund  der  schlechten  lateinischen  Über- 
setzungen der  Syntaxis  und  des  Kommentars  von  Geber  mit 
einem  Auszug  aus  dem  Almagest  beschäftigt,  nahm  Purbach, 
dem  das  Griechische  fremd  war,  die  Einladung  Bessarions, 
mit  ihm  nach  Rom  zu  reisen,  um  dort  seiner  Arbeit  das 
Original  zugrunde  zu  legen,  unter  der  Bedingung  an,  seinen 
jungen  Freund  und  Gehilfen  Johannes  Müller  aus  Königs- 
berg in  Franken  (geb.  1436)  mitnehmen  zu  dürfen.^^^  Dieser 
ungewöhnlich  begabte  junge  Mann,  nach  seiner  Vaterstadt 
Regiomontanus  genannt,  hatte  bereits  mit  zwölf  Jahren 
die  Universität  Leipzig  bezogen  und  war  1452  von  dort, 
durch  den  Ruf  Purbachs  angezogen,  nach  Wien  übergesiedelt, 
um  erst  Schüler,  dann  Freund  und  Mitarbeiter  seines  be- 
rühmten Lehrers  zu  werden.  Alles  war  zur  Reise  vorberei- 
tet, als  Purbach  im  April  1461,  erst  38  Jahre  alt,  plötzlich 
starb.  So  begleitete  denn  Regiomontan,  dem  die  Gunst 
Bessarions   als  ein  Vermächtnis  seines  Lehrers  zufiel,  den 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius.  I.  b 


XVIII  Einleitung. 

Kardinal  nach  Rona,  wo  er  zunächst  das  schon  in  Wien  be- 
gonnene Studium  der  griechischen  Sprache  unter  Leitung 
der  berufensten  Lehrer,  Georgius  Trapezuntius  und  Theodorus 
Gaza,  fortsetzte.  In  kurzer  Zeit  waren  seine  sprachlichen 
Kenntnisse  so  weit  gediehen,  daß  er  auf  Grund  der  in  Bessa- 
rions  Besitz  befindlichen  Handschriften  der  Syntaxis  und  des 
Theonschen  Kommentars  den  im  Verein  mit  Purbach  schon  bis 
zum  6*®" Buche  bearbeiteten  Auszug  aus  dem  Almagest 
vollenden  und  seinem  Gönner  widmen  konnte.^^')  Mochte 
schon  das  bei  dieser  Gelegenheit  geäußerte  urteil,  die  Über- 
setzung des  Trapezuntius  sei  „so  hart  und  abgeschmackt, 
daß  Ptolemäus,  wenn  er  wieder  auf  die  Welt  käme,  sich  nicht 
wiedererkennen  würde",  die  Beziehungen  zu  seinem  Lehrer 
gelöst  haben,  so  erregte  seine  „Verteidigung  Theons  gegen 
Trapezuntius"  ^^^  die  Feindschaft  des  heimtückischen  Griechen 
und  seiner  Söhne  in  so  hohem  Grade,  daß  ihm  durch  die 
boshaften  Umtriebe  seiner  Feinde  der  Aufenthalt  in  Rom 
verleidet  wurde.  Von  Bessarion  mit  der  kostbaren  Hand- 
schrift des  Theonschen  Kommentars  beschenkt,  kehrte  er 
1468  nach  Wien  zurück,  um  die  ihm  dort  offengehaltene 
Professur  für  Mathematik  und  Astronomie  zu  bekleiden.  Aber 
schon  im  nächsten  Jahre  folgte  er  einem  Ruf  des  Königs 
Matthias  Corvinus  von  Ungarn  nach  Ofen  als  Direktor  der 
von  Corvinus  durch  Kaufund  Kriegsbeute  zusammengebrachten 
ansehnlichen  Bibliothek.  Die  Hoffnung,  einen  ruhigen  Aufent- 
halt für  eigene  wissenschaftliche  Tätigkeit  gefunden  zu  haben, 
verwirklichte  sich  jedoch  nicht.  Als  Corvinus  1471  wieder 
zum  Krieg  gegen  Wladislaus  um  die  böhmische  Königskrone 
auszog,  begab  sich  Regiomontan  nach  Nürnberg. 

Hier,  wo  Handel,  Kunst  und  Wissenschaft  in  seltener  Blüte 
standen,  erfüllte  sich  sein  Wunsch,  Ruhe  zu  finden  zur  Ver- 
arbeitung der  gesammelten  handschriftlichen  Schätze.  Alles 
wetteiferte,  ihn  würdig  zu  empfangen  und  ihm  in  seinen  Be- 
strebungen behilflich  zu  sein.  Dies  geschah  vor  allem  von 
Seiten  des  reichen  Patriziers  und  Ratsherrn  Bernhard 
Walter,  der  ihm  ein  treuer  Freund  und  Mitarbeiter  wurde. 
Mit  fürstlichem  Aufwand  ließ  er  ihm  auf  seinem  Grundstück 


Einleitung.  XIX 

in  der  Rosengasse  zunächst  eine  Sternwarte  erbauen,  die  erste, 
die  Deutschland  gesehen,  und  als  für  den  schwierigen  Ta- 
bellensatz der  astronomischen  Werke  die  berühmte  Offizin  von 
Anton  Coburger  nicht  mehr  ausreichte,  ließ  er  ihm  auch  noch 
eine  besondere  Druckerei  einrichten,  die  zugleich  mit  einer 
mechanischen  Werkstätte  zur  Herstellung  von  Himmelsgloben, 
Kompassen  u.  dgl.  verbunden  war. 

Der  erste  Druck,  der  1472  aus  der  eigenen  Offizin  hervor- 
ging, waren  die  Theoricae  planetarum  novae^  ein  von  Regio- 
montan  vollendetes  Werk  seines  Lehrers  Purbach,  welches 
nach  dem  Tractatus  de  sphaera  des  Sacrobosco  das  zweite 
astronomische  Lehrbuch  des  Abendlandes  wurde.  Später 
meist  unter  Beigabe  von  Kommentaren  oft  wieder  heraus- 
gegeben, bildete  es,  solange  man  an  dem  Ptolemäischen 
System  festhielt,  fast  ausschließlich  die  Grundlage  für  den 
astronomischen  Unterricht  an  Universitäten. 

Der  dem  König  Matthias  von  Ungarn  gewidmete  „Alma- 
nach  auf  32  Jahre"  (1475 — 1506)  erregte  so  allgemeines 
Aufsehen,  daß  Regiomontan  von  dem  Papst  Sixtus  IV.  zum 
Bischof  von  Regensburg  ernannt  und  durch  ein  eigenhändiges 
Schreiben  aufgefordert  wurde,  zur  Anbahnung  der  schon  längst 
gewünschten  Kalenderreform  nach  Rom  zu  kommen.  Mit 
der  Vorbereitung  der  Herausgabe  der  Syntaxis  beschäftigt, 
entschloß  er  sich  nur  schwer  zu  dieser  Reise,  die  er  mit  der 
A^orahnung  seines  Todes  antrat.^^^  Kaum  hatte  er  in  Rom 
seine  Arbeiten  begonnen,  als  er  am  6.  Juli  1476  im  Alter 
von  40  Jahren  an  der  Pest  starb  und  im  Pantheon  beigesetzt 
wurde.  Sein  plötzlicher  Tod  ließ  das  Gerücht  entstehen,  daß 
er  von  den  Söhnen  des  Trapezuntius  vergiftet  worden   sei. 

Der  Nachlaß  Regiomontans,  bestehend  aus  wertvollen  In- 
strumenten und  20  Handschriften  griechischer  Mathematiker 
mit  neuen  lateinischen  Übersetzungen''^^),  gelangte  durch  An- 
kauf in  den  Besitz  Bernhard  Walters,  der  den  Schatz  so  ängst- 
lich hütete,  daß  er  durch  Ablehnung  aller  Gesuche  um  Dar- 
leihung von  Handschriften  in  den  Ruf  eines  mürrischen  Son- 
derlings kam.^^^  Nach  seinem  Tode  (1506)  geriet  aber 
die  ganze  Hinterlassenschaft  in  die  Hände  von  Leuten,  die 

b* 


XX  Einleitung. 

für  den  Wert  eines  solchen  Vermächtnisses  kein  Verständ- 
nis hatten.  Die  Handschriften  wurden  von  den  Walterschen 
Erben,  über  deren  liederliche  Wirtschaft  bittere  Klage  ge- 
führt wird,  verständnislos  verschleudert;  kostbare  Instrumente 
sollen  mit  dem  Hammer  zerschlagen  worden  sein,  um  als 
altes  Messing  verkauft  zu  werden.  Nur  weniges  gelangte 
durch  rechtzeitigen  Ankauf  in  die  Nürnberger  Stadtbibliothek. 

Zum  Glück  fand  die  Handschrift  der  Syntaxis  den  Weg 
in  die  Basler  Druckerei  von  Johannes  Walder  (Valderus). 
Aus  dieser  Offizin  ging  1538  die  mit  allen  Mängeln  eines 
Druckes  des  16**^"  Jahrhunderts  behaftete  erste  Ausgabe 
der  Syntaxis  hervor,  besorgt  von  Simon  Grynäus  von 
Vehringen,  der  damals  als  Professor  der  griechischen  Literatur 
an  der  Universität  zu  Basel  wirkte.  Im  Anschluß  daran  ist 
der  Kommentar  des  Theon  von  Joachim  Camerarius  nach 
der  Handschrift  herausgegeben,  die  als  das  Geschenk  Bessarions 
an  Regiomontan  noch  heutzutage  trotz  ihres  bescheidenen 
Gewandes  eine  Zierde  der  Nürnberger  Stadtbibliothek  bildet, 
während  die  Handschrift  der  Syntaxis  verschollen  ist. 

Es  ist  ein  eigentümliches  Geschick,  daß  das  erste  Erscheinen 
dieses  großen  Lehrbuchs  der  Astronomie  des  Altertums  im 
Urtext  in  die  Zeit  fällt,  wo  das  Ptolemäische  System  bereits 
ein  überwundener  Standpunkt  war.  Im  Jahre  1543,  dem  Todes- 
jahr des  Kopernikus,  wurde  zu  Nürnberg  dessen  epoche- 
machendes, eine  Lebensarbeit  abschließendes  Werk  Z)e  re«;o- 
lutionibus  orhium  caelestium  libri  VI  herausgegeben.  Die 
Editio  princeps  der  Syntaxis  war  zwar  noch  in  die  Hände 
des  Begründers  der  neuen  Weltanschauung  gelangt;  allein 
das  in  seinem  Nachlaß  vorgefundene  Exemplar  ist  mit  keinerlei 
Notizen  versehen,  wie  er  sie  sonst  in  Bücher  einzuzeichnen 
pflegte,  die  ihm  zum  Handgebrauch  dienten  ^^^,  Beweis,  daß 
er  das  Werk  seines  Lebens  bereits  auf  Grund  der  bis  dahin 
üblichen  Hilfsmittel  abgeschlossen  hatte. 

Fast  dreihundert  Jahre  blieb  die  Editio  princeps  die  ein- 
zige Gesamtausgabe.  Nur  auf  einzelne  Bücher  erstreckte  sich 
das  Interesse  der  Gelehrtenwelt.    So  wurde  der  griechische 


Einleitung.  XXI 

Text  des  ersten  Buches  mit  lateinischer  Übersetzung  und  Er- 
klärung einiger  Stellen  (Wittenberg  1549  und  In 69)  von 
Erasmus  Rheinholt  veröflPentlicht.  Auch  der  lateinischen 
Übersetzung  desselben  Buches  mit  Theons  Kommentar  dazu 
(Neapel  1588  und  1605)  von  Jo.  Bapt.  Porta,  sowie  der 
gleichfalls  lateinischen  Übersetzung  des  zweiten  Buches  (Paris 
1556)  von  S.  Gracilis  (S.  Legrele)  dürfte  der  von  Grynäus 
gelieferte  griechische  Text  zugrunde  gelegt  sein. 

Daß  der  Sternkatalog  (d.  i.  das  siebente  und  achte  Buch) 
als  antike  Urkunde  des  Sternhimmels  von  Seiten  der  Astro- 
nomen besondere  Beachtung  gefunden  hat,  ist  selbstverständ- 
lich. Der  griechische  Text  ^^^  wurde  (Oxford  1712)  mit  la- 
teinischer Übersetzung  von  dem  Astronomen  Edmund  Halle  j, 
mit  französischer  (Nancy  1786  und  Straßburg  1787)  von  dem 
Abbe  Montignot  herausgegeben,  während  der  Astronom 
Johann  Eiert  B  o  d  e  sich  auf  eine  deutsche  Übersetzung  (Berlin 
und  Stettin  1795)  beschränkt  hat.  Sonstige  Reduktionen 
des  Sternkatalogs,  wie  sie  z.  B.  von  Ulugh-Beigh,  Riccioli, 
Flamsteed  u.  a  veranstaltet  worden  sind,  fallen  außerhalb 
des  Rahmens  dieses  Überblicks. 

In  den  Jahren  1813  und  1816  erschien  zu  Paris  in  zwei 
Quartbänden  die  zweite  Gesamtausgabe,  unternommen 
von  dem  Abbe  Nicolas  Halma,  dem  als  Professor  der  Mathe- 
matik die  erforderlichen  Kenntnisse  und  als  Bibliothekar 
auch  die  Handschriften  der  Königlichen  Bibliothek  zu  Ge- 
bote standen.  Freilich  reichten  seine  philologischen  Kennt- 
nisse bei  weitem  nicht  aus,  einen  einwandfreien  Text  herzu- 
stellen ;  auch  die  französische  Übersetzung  läßt  an  allen  schwie- 
rigen Stellen  im  Stich.  Wertvoll  sind  für  Astronomen  von  Fach 
jedenfalls  die  von  Delambre  beigegebenen  Anmerkungen. 
Daher  hat  diese  Ausgabe  viel  Anerkennung  bei  den  eigent- 
lichen Astronomen  gefunden,  ist  aber  dafür  bei  den  Philo- 
logen auf  um  so  mehr  Widerspruch  und  Ablehnung  gestoßen. 
Schon  die  typographische  Unzulänglichkeit  (falsche  Akzente, 
verkehrte  Interpunktion)  muß  auf  den  philologisch  geschulten 
Leser  einen  höchst  unerfreulichen  Eindruck  machen.  Zu 
einer   bibliographischen    Seltenheit  geworden,   werden    die 


XXII  Einleitung. 

beiden  Quartbände  heutzutage  antiquariscb  auf  200  Frs.  ge- 
schätzt. 

Um  so  freudiger  war  die  den  Anforderungen  moderner 
Textkritik  voll  entsprechende  Ausgabe  zu  begrüßen,  welche 
in  den  Jahren  1898  und  1903  durch  den  Kopenhagener 
Gelehrten,  Professor  J.  L.  Heiberg,  der  Bibliotheca  Teub- 
neriana  eingereiht  worden  ist.  Auf  der  gründlichsten  Durch- 
forschung des  gesamten  handschriftlichen  Materials  beruhend, 
legt  sie  Zeugnis  ab,  daß  der  Herausgeber  nicht  nur  in  phi- 
lologischer, sondern  auch  in  sachlicher  Hinsicht  seiner  Auf- 
gabe gewachsen  war. 

Eine  Übersetzung  beizufügen  hat  Heiberg  mit  den  Worten 
abgelehnt:  de  ea  re  videant  astronomi,,si  interpretationem 
desideraverint.  Hiermit  wird  dem  Fachmann  wohl  etwas 
zuviel  zugemutet,  da  in  erster  Linie  zur  Erfüllung  dieser 
Aufgabe  die  Beherrschung  der  griechischen  Sprache  erforder- 
lich ist,  die  nur  bei  dem  Philologen  als  selbstverständlich 
vorausgesetzt  werden  kann.  Dagegen  dürfte  es  für  den  Phi- 
lologen keine  unerfüllbare  Anforderung  sein,  sich  soviel 
Kenntnisse  der  Himmelskunde  und  Mathematik  anzueignen, 
als  zum  Verständnis  der  antiken  Astronomie  ausreichen.  Dar- 
aufhin habe  ich  es  gewagt  an  die  Übersetzung  zu  gehen, 
sobald  durch  Heibergs  Ausgabe  die  unentbehrliche  Grund- 
lage geschaffen  war.  Wenn  auch  der  Text  noch  nicht  durch- 
weg so  fest  steht,  daß  dem  Übersetzer  die  Wahl  zwischen 
verschiedenen  Lesarten  erspart  bliebe,  so  ist  ihm  doch  dieser 
Teil  seiner  Aufgabe  durch  den  zuverlässigen  kritischen  Appa- 
rat wesentlich  erleichtert  worden.  So  mußte  dem  von  Hei- 
berg in  zweite  Linie  gestellten  Codex  D  (Vaticanus  180 
saec.  XII)  an  vielen  Stellen,  wo  er  die  einzig  richtige  Les- 
art bietet,  der  Vorzug  eingeräumt  werden.  Hinsichtlich  der 
Figuren,  die  Heiberg  mit  etwas  zu  großer  Treue  vielfach  in 
ungenauer  Zeichnung,  ja  oft  in  fehlerhafter  Gestalt  aus  den 
Handschriften  in  seine  Ausgabe  herübergenommen  hat,  erschien 
es  angezeigt,  manche  Abänderungen  vorzunehmen.  Überdies 
sind  zur  Erläuterung  schwieriger  Stellen,  wo  eine  Figur  besser 
wirkte  als  Worte,  zahlreiche  neue  Figuren  beigegeben  worden. 


Einleitung.  XXIII 

Den  ungeteilten  Beifall  der  Philologen  wird  meine  Über- 
setzung, weil  „frei  wie  immer",  nicht  finden;  dagegen  glaube 
ich  mir  durch  Wiedergabe  der  langatmigen  Beweise  unter 
Anwendung  der  modernen  mathematischen  Zeichen  und  For- 
/meln  den  Beifall  der  Mathematiker  und  Astronomen  gesichert 
zu  haben.  Die  Interpretation  ist  auf  dreifache  Weise  gehand- 
habt worden:  erstens  durch  Parenthesen  im  Text,  wo  wenige 
Worte  zur  Klärung  des  Zusammenhangs  genügten,  zweitens 
durch  Fußnoten,  wo  einige  Zeilen  ausreichten,  um  eine  das 
Verständnis  fördernde  Ergänzung  anzubringen,  endlich  durch 
einen  Anhang  mit  erläuternden  Anmerkungen,  in  denen  ein- 
zelne Punkte  ausführlicher  besprochen  und  namentlich  durch- 
geführte Beispiele  zu  den  Berechnungen  nach  den  Tabellen 
vorgelegt  werden.  Ein  Namenverzeichnis  wird  dem  zweiten 
Bande  beigegeben  werden. 

Es  steht  zu  erwarten,  daß  durch  das  Studium  des  deut- 
schen Almagest  manche  ungünstige  und  ungerechtfertigte 
Urteile,  wie  sie  namentlich  von  Delambre  in  seiner  Geschichte 
der  Astronomie  über  den  Verfasser  der  Syntaxis  gefällt  worden 
sind  und  weite  Verbreitung  gefunden  haben,  eine  endgültige 
Widerlegung  erfahren.  War  auch  Ptolemäus  sicherlich  kein 
besonders  guter  Beobachter,  so  muß  ihn  doch  die  Gründlich- 
keit und  die  Gewissenhaftigkeit,  mit  welcher  er  auf  den  Ergeb- 
nissen der  Vorzeit  durchaus  selbständig  weiterbaut,  vor  dem 
Vorwurf  schützen,  daß  er  als  bloßer  Kompilator  oder  gar 
Plagiator  seinen  Ruhm  auf  die  leichtfertige  Ausnutzung  der 
Arbeiten  seines  großen  Vorgängers  Hipparch  gegründet 
habe. 

Mit  trefflichen  Worten,  die  wohl  verdienen  der  Vergessen- 
heit entrissen  zu  werden,  warnt  der  große  Astronom  von 
Mailand,  Giovanni  Virginio  Schiaparelli^^),  vor  der  ge- 
ringschätzenden Beurteilung  der  Leistungen  der  Alten.  Die 
eindrucksvolle  Mahnung,  die  jeder  beherzigen  mag,  der  an- 
gesichts der  großartigen  Fortschritte  der  modernen  Astro- 
nomie mit  einem  gewissen  Vorurteil  das  AVerk  des  Ptolemäus 
zur  Hand  nimmt,  lautet: 


XXIV  Einleitung. 

„Indem  wir  an  die  Betrachtung  dieser  Monumente  an- 
tiken Wissens  gehen,  laßt  uns  von  der  Achtung  und  Ver- 
ehrung erfüllt  sein,  welche  denen  gebührt,  die  vor  uns  eine 
steile  Straße  wandernd  den  Weg  geöffnet  und  geebnet  haben. 
Von  diesen  Gefühlen  beseelt,  können  wir  zwar  auf  mangel- 
hafte Beobachtungen  und  auf  die  Wahrheit  weit  verfehlende 
Spekulationen  stoßen,  aber  wir  werden  nie  etwas  Absurdes, 
Lächerliches  oder  den  Regeln  der  gesunden  Vernunft  Wider- 
sprechendes finden.  Wenn  heutzutage  wir,  die  späten  Enkel 
jener  berühmten  Meister,  aus  ihren  Irrtümern  und  ihren  Ent- 
deckungen Gewinn  ziehen  und  zum  Giebel  des  von  ihnen  ge- 
gründeten Gebäudes  emporsteigend  mit  unserem  Blick  einen 
weiteren  Horizont  umfassen  können,  so  wäre  es  törichter  Hoch- 
mut, deshalb  zu  glauben,  daß  wir  eine  weitertragende  und  schär- 
fere Sehkraft  als  sie  hätten.  Unser  ganzes  Verdienst  besteht 
darin,  daß  wir  später  zur  Welt  gekommen  sind." 

Dresden,  Weihnachten  1911. 

Karl  Manitius. 


Inhaltsverzeichnis 
des  ersten  Bandes. 

Erstes  Buch.  ^^.^^ 

Erstes  Kapitel.   Vorwort 1 

Zweites  Kapitel.  Darlegung  derReilienfolge  der  theoretischen 
Erörterungen 5 

Drittes  Kapitel.  Das  Himmelsgewölbe  dreht  sich  wie  eine 
Kugel 6 

Viertes  Kapitel.  Auch  die  Erde  ist,  als  Ganzes  betrachtet, 
für  die  sinnliche  Wahrnehmung  kugelförmig     .     .     .     .     10 

Fünftes  Kapitel.  Die  Erde  nimmt  die  Mitte  des  Himmels- 
gewölbes ein .12 

Sechstes  Kapitel.  Die  Erde  steht  zu  den  Himmelskörpern  in 
dem  Verhältnis  eines  Punktes 15 

Siebentes  Kapitel.  Die  Erde  hat  keinerlei  Ortsveränderung 
verursachende  Bewegung 16 

Achtes  Kapitel.  Es  gibt  zwei  voneinander  verschiedene  erste 
Bewegungen  am  Himmel     .     .     .     , 20 

Neuntes  Kapitel.   Von  den  Aufgaben  des  besonderen  Teils  .     24 

Zehntes  Kapitel.  Größenverhältnis  zwischen  Sehnen  und 
Kreisbogen 24 

Elftes  Kapitel.    Die  Sehnentafeln 36 

Zwölftes  Kapitel.  Der  zwischen  den  Wendepunkten  liegende 
Bogen 41 

Dreizehntes  Kapitel.  Einige  den  sphärischen  Demonstrationen 
vorauszuschickende  Lehrsätze  . 45 

Vierzehntes  Kapitel.  Die  zwischen  dem  Äquator  und  der  Eklip- 
tik liegenden  Bogen  (von  Deklinationskreisen)  ....     51 

Fünfzehntes  Kapitel.    Die  Tabelle  der  Schiefe  (der  Ekliptik)     53 

Sechzehntes  Kapitel.    Die  Aufgänge  bei  Sphaera  recta    .     .     53 

Zweites  Buch. 

Erstes  Kapitel.  Die  allgemeine  Lage  des  zurzeit  bewohnten 
Gebietes  der  Erde 58 

Zweites  Kapitel.  Wie  sich  die  zwischen  Äquator  und  Eklip- 
tik liegenden  Horizontbogen  bestimmen  lassen,  wenn  die 
Dauer  des  längsten  Tages  gegeben  ist  .     .     .     .     .     .     .     60 


XXVI  Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

Drittes  Kapitel.  Wie  sich  aus  der  Dauer  des  längsten  Tages 

die  Polhöhe  bestimmen  läßt,  und  umgekehrt    ....       62 

Viertes  Kapitel.  Wie  sich  berechnen  läßt,  wo,  wann  und 

wie  oft  die  Sonne  in  den  Zenit  kommt 65 

Fünftes  Kapitel.  Wie  aus  den  gegebenen  Größen  das  Ver- 
hältnis der  Gnomonen  zu  den  an  den  Nachtgleichen  und 
Wenden  zur  Mittagstunde  beobachteten  Schatten  be- 
stimmt wird 66 

Sechstes  Kapitel.    Feststellung  der  von  Parallel  zu  Parallel 

eintretenden  charakteristischen  Kennzeichen   ....       69 

Siebentes  Kapitel.  Gleichzeitige  Aufgänge  (von  Teilen)  der 

Ekliptik  und  des  Äquators  bei  Sphaera  obliqua  ...       80 

Achtes  Kapitel.  Die  Tafeln  der  Aufgänge  nach  Zeichen- 
dritteln  98 

Neuntes  Kapitel.    Einige  spezielle  Aufgaben,  deren  Lösung 

mit  den  Aufgängen  zusammenhängt 93 

Zehntes  Kapitel.    Die  von  der  Ekliptik  und  dem  Meridian 

gebildeten  Winkel 100 

Elftes  Kapitel.     Die  von  der  Ekliptik  und  dem  Horizont 

gebildeten  Winkel 107 

Zwölftes  Kapitel.  Die  Winkel  und  Bogen,  welche  die  Eklip- 
tik mit  demselben  durch  die  Pole  des  Horizonts  gehen- 
den (Höhen-)  Kreis  bildet  112 

Dreizehntes  Kapitel.    Die  Tabellen  der  Winkel  und  Bogen 

von  Parallel  zu  Parallel 121 

Drittes  Buch. 

Vorwoi-t 130 

Erstes  Kapitel.    Die  Länge  des  Jahres 130 

Zweites  Kapitel.    Tafeln  der  gleichförmigen  Bewegung  der 

Sonne 148 

Drittes  Kapitel.  Die  Hypothesen  zur  Erklärung  der  gleich- 
förmigen Bewegung  auf  Kreisen 148 

Viertes  Kapitel.    Die  scheinbare  Anomalie  der  Sonne    .     .  166 
Fünftes  Kapitel.  Feststellung  der  Einzelabschnitte  der  Ano- 
malie     173 

Sechstes  Kapitel.    Tabelle  der  Anomalie  der  Sonne   .     .     .  182 

Siebentes  Kapitel.  Die  Epoche  des  mittleren  Laufs  der  Sonne  182 
Achtes  KapiteL  Berechnung  der  Länge  der  Sonne  nach  den 

Tafeln 185 

Neuntes  Kapitel.    Die  Ungleichheit  der  Sonnentage  .     .     .  186 

Viertes  Buch. 

Erstes  Kapitel.  Art  der  Beobachtungen,  auf  welche  sich  die 

Theorie  des  Mondes  zu  stützen  hat 191 

Zweites  Kapitel.    Die  periodischen  Zeiten  des  Mondes  .     .     194 


Inhaltsverzeichnis.  XXVII 

Seite 

Drittes  Kapitel.  Die  Teilbeträge  der  gleichförmigen  Be- 
wegungen des  Mondes 203 

Viertes  Kapitel.     Tafeln  der  mittleren  Bewegungen  des 

Mondes 206 

Fünftes  Kapitel.  Nachweis,  daß  auch  bei  der  einfachen  Mond- 
hypothese die  exzentrische  wie  die  epizyklische  Hypo- 
these dieselben  Erscheinungen  bewirkt 212 

Sechstes  Kapitel.  Nachweis  der  ersten  oder  einfachen  Ano- 
malie des  Mondes 218 

Siebentes  Kapitel.  Korrektion  des  mittleren  Laufs  des  Mondes 

in  Länge  und  Anomalie 234 

Achtes  Kapitel.  Die  Epoche  der  gleichförmigen  Bewegungen 

des  Mondes  in  Länge  und  Anomalie 236 

Neuntes  Kapitel.    Korrektion  der  mittleren  Bewegung  des 

Mondes  in  Breite  und  Epoche  derselben 237 

Zehntes  Kapitel.  Tabelle  der  ersten,  d.i.  einfachen  Anomalie 

des  Mondes 245 

Elftes  Kapitel.  Nachweis,  daß  sich  nicht  wegen  Verschieden- 
heit der  Hypothesen,  sondern  infolge  der  Berechnungen 
nach  Hipparch  eine  Differenz  im  Betrage  der  Anomalie 
des  Mondes  herausstellt 245 

Fünftes  Buch. 

Erstes  Kapitel.    Konstruktion  des  Astrolabs 254 

Zweites  Kapitel.  Die  Hypothese  zur  Erklärung  der  doppel- 
ten Anomalie  des  Mondes 259 

Drittes  Kapitel.  Betrag  der  im  Verhältnis  zur  Sonne  ein- 
tretenden Anomalie  des  Mondes 264 

Viertes  Kapitel.  Das  Verhältnis  der  Exzentrizität  des  Mond- 
kreises      268 

Fünftes  Kapitel.    Die  Neigung  des  Epizykels  des  Mondes  .     269 
Sechstes  Kapitel.    Gewinnung  des  genauen  Mondlaufs  aus 
den  periodischen  Bewegungen  auf  dem  Wege  geometri- 
scher Konstruktion 278 

Siebentes  Kapitel.     Praktische  Anleitung  zur  Aufstellung 

einer  Tabelle  der  Gesamtanomalie  des  Mondes  .  .  .  281 
Achtes  Kapitel.  Die  Tabelle  der  Gesamtanomalie  des  Mondes  285 
Neuntes  Kapitel.    Gesamtberechnung  des  Mondlaufs  nach 

der  Tabelle 285 

Zehntes  Kapitel.  Nachweis,  daß  in  den  Syzygien  infolge  des 
Exzenters  des  Mondes  keine  wesentliche  Differenz  ein- 
tritt       288 

Elftes  Kapitel.    Die  Parallaxen  des  Mondes 293 

Zwölftes  Kapitel.  Konstruktion  eines  parallaktischen  In- 
struments      295 


XXVin  Inhaltsverzeichnis. 

Seite 

Dreizehntes  Kapitel.  Nachweis  der  Entfernungen  des  Mon- 
des   299 

Vierzehntes  Kapitel.  Größenbetrag  der  scheinbaren  Durch- 
messer der  Sonne,  des  Mondes  und  des  Schattens  in  den 
Syzygien 305 

Fünfzehntes  Kapitel.     Die  Entfernung  der  Sonne  und  die 

aus  deren  Nachweis  sich  ergebenden  Konsequenzen      .     310 

Sechzehntes  Kapitel.  Die  Größe  der  Sonne,  des  Mondes  und 
der  Erde 313 

Siebzehntes  Kapitel.    Die  Einzelbeträge  der  Parallaxen  der 

Sonne  und  des  Mondes 314 

Achtzehntes  Kapitel.    Die  Parallaxentafel  323 

Neunzehntes  Kapitel.   Berechnung  der  Parallaxen  nach  der 

Tafel 324 

Sechstes  Buch. 

Erstes  Kapitel.    Konjunktionen  und  Vollmonde      ....     337 
Zweites  Kapitel.  Praktische  Anleitung  zur  Aufstellung  von 

Tabellen  der  mittleren  Syzygien 338 

Drittes  Kapitel.  Tabellen  der  Konjunktionen  und  Vollmonde     342 
Viertes  Kapitel.  Berechnung  der  periodischen  und  der  ge- 
nauen Syzygien  nach  den  Tabellen 342 

Fünftes  Kapitel.  Die  Grenzen  der  Sonnen-  und  Mondfinster- 
nisse     349 

Sechstes  Kapitel.  Das  Intervall  der  mit  Finsternissen  ver- 
bundenen synodischen  Monate 357 

Siebentes  Kapitel.     Praktische  Anleitung  zur  Aufstellung 

von  Finsternistabellen 373 

Achtes  Kapitel.    Finsternistabellen 389 

Neuntes  Kapitel.    Berechnung  von  Mondfinsternissen     .     .     392 
Zehntes  Kapitel.    Berechnung  von  Sonnenfinsternissen  .     .     396 
Elftes  Kapitel.     Die  bei  den  Finsternissen  gebildeten  Po- 
sitionswinkel      402 

Zwölftes  Kapitel.    Tabelle  der  Positionswinkel 410 

Dreizehntes  Kapitel.  Bestimmung  der  (im  Horizont  ge- 
bildeten) Positions  Winkel 410 

Anhang. 

Erläuternde  Anmerkungen 414 

Anmerkungen  zur  Einleitung 458 

Berichtigungen .     .     .     .     , 462 


DES  CLAUDIUS  PTOLEMÄUS 
HANDBUCH  DER  ASTRONOMIE 


EßSTEK  BAND 
BUCH  I— VI 


Ol^  ort  d'vatog  ^cpvv  uccl  iTtä^SQog'  &XX'  otav  aötgcov 
'IXVBva  xaroc  vovv  aiLcpiÖQoiiovg  sXixccg, 
Ovytix'  iTCLipavco  ycclrjg  tcogIv,  äXXcc  Ttag'  avxm 
Zrjvl  ^LOTQOcpBog  TtiiiTtXcc^uL  aiißgoalrig. 

Cod.  Marc.  313,  Cod.  Tat.  180;  Anthol.  IX.  577. 

Daß  ich  sterblich  bin,  weiß  ich,  und  daß  meine  Tage 
gezählt  sind ;  aber  wenn  ich  im  Geiste  den  vielfach  ver- 
schlungenen Kreisbahnen  der  Gestirne  nachspüre,  dann 
berühre  ich  mit  den  Füßen  nicht  mehr  die  Erde:  am 
Tische  des  Zeus  selbst  labt  mich  Ambrosia,  die 
Götterspeise. 


Erstes  Bach. 

Erstes  Kapitel. 
Vorwort. 

Mit  Fug  und  Recht,  lieber  Syrus,  haben  meines  Erachtensj^*.^^ 
die  echten  Philosophen  den  theoretischen  Teil  der  Philo- 
sophie von  dem  praktischen  geschieden.    Denn  wenn  füg- 
lich auch  vor  dieser  Scheidung  Theorie  und  Praxis  einträchtig 
Hand  in  Hand  gegangen  sind,  so  dürfte  man  nichtsdesto-     5 
weniger  zwischen  beiden  einen  beträchtlichen  Unterschied 
finden,  nicht  nur  deshalb,  weil  manche  ethische  Vorzüge  vielen 
Menschen  auch  ohne  Unterricht  eigen  sein  können,  während 
es  unmöglich  ist,  ohne  Belehrung  in  die  Wissenschaft  des  Welt- 
ganzen einzudringen,  sondern  hauptsächlich  deshalb,  weil  dort  10 
der  größte  Gewinn  aus  fortgesetzter  Kraftentfaltung  in  ledig- 
lich praktischer  Tätigkeit,  hier  aus  dem  Fortschritt  in  theo- 
retischem Wissen  entspringt.    Deshalb  sind  wir  zu  der  An-  Ha  2 
sieht  gelangt,  daß  es  unsere  Pflicht  sei,  einerseits  unser  Handeln  Hei  5 
unter  dem  Eindruck  der  reinen  Vorstellungen  harmonisch  zu  15 
regeln,  auf  daß  wir  selbst  bei  den  Zufälligkeiten  des  täglichen 
Lebens  niemals  die  Rücksicht  auf  edlen  Anstand  und  takt- 
volle Haltung  vergessen,  anderseits  unsere  ganze  Kraft  gei- 
stiger Beschäftigung  zu  widmen  zum  Zweck  der  Belehrung 
über  theoretisches  Wissen,  dessen  Zweige  zahlreich  und  herr-  20 
lieh  sind,  insbesondere  aber  zum  Zweck  der  Belehrung  über 
das  Gebiet,  welches  man  speziell  unter  dem  Namen  der  Mathe- 
matik begreift. 

Aristoteles*^  scheidet  den  theoretischen  Teil  sehr  angemessen 
wieder  in  drei  Hauptgattungen:  in  Physik,  Mathematik  26 

a)  Metaphysik VIl,  1026a 6;  vgl. BoU,  Studien  über  Claudius 
Ptolemäus,  S.  68.  Aus  der  dort  gebotenen  freien  Wiedergabe 
des  Inhalts  dieses  Vorwortes  sind  manche  treffende  Ausdrücke 
und  Wendungen  entlehnt  worden. 

Ptolemäus,  übera.  v.  Manitius.  I.  1 


2  Erstes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

und  Theologie.  Davon  ausgehend,  daß  die  Existenz  alles 
Seienden  derart  auf  Materie,  Form  und  Bewegung  beruhe, 
daß  von  diesen  Teilen  keiner  für  sich,  d.  h.  ohne  die  anderen, 
an  dem  Objekt  geschaut,  sondern  nur  gedacht  werden 
5  könne,  möchte  er  als  die  erste  Ursache  der  ersten  Be- 
wegung des  Weltganzen,  rein  für  sich  herausgehoben,  einen 
unsichtbaren  und  unbewegten  Gott  erkennen  und  das  Wissens- 
gebiet, dem  die  Forschung  nach  diesem  Wesen  zufällt,  als 
Theologie  bezeichnen,  wobei  nur  oben  irgendwo  in  den  er- 

10  habensten  Höhen  der  Welt  eine  so  gewaltig  sich  äußernde 
Kraft,  ein  für  allemal  geschieden  von  den  sinnlich  wahrnehm- 
baren Dingen,  gedacht  werden  könne. 

Die  Gattung  aber,  welche  die  Erforschung  der  Beschaffen- 
heit der  in  ewiger  Bewegung  begriffenen  Materie  zur  Aufgabe 

15  hat  und  die  Fragen,  ob  weiß,  ob  warm,  ob  süß,  ob  weich  u.  dgl. 
erörtert,  möchte  er  Physik  nennen,  insofern  der  ihr  zufallende 
Stoff  größtenteils  in  der  Welt  des  Vergänglichen,  d.  i.  unter 
der  Sphäre  des  Mondes,  seine  Wandlungen  vollziehe. 

Die  Gattung  endlich,  welche  die  Beschaffenheit  zur  An- 

20  schauung  zu  bringen  hat,  die  sich  in  den  Formen  und  in  den 

Hei  6  Ortsveränderung  verursachenden  Bewegungen  offenbart,  wel- 

HaScher  ferner  die  Aufgabe  zufällt,  Gestalt,  Quantität,  Größe, 

Raum  und  Zeit  und  ähnliche  Begriffe  zu  ergründen,  will  er 

als  das  Gebiet  der  Mathematik  abgesondert  sehen,  insofern 

25  der  ihr  zukommende  Stoff  sozusagen  in  die  Mitte  zwischen 
die  beiden  erstgenannten  Materien  falle,  nicht  nur  deshalb,  weil 
er  sowohl  durch  die  sinnliche  Wahrnehmung  als  auch  ohne 
deren  Hilfe  erfaßt  werden  könne,  sondern  auch  deshalb,  weil 
er   schlechthin   allem  Seienden   als    Eigenschaft   zukomme, 

30  sowohl  sterblichen  wie  unsterblichen  Wesen,  indem  er  bei 
ersteren,  die  sich  hinsichtlich  der  von  ihnen  untrennbaren 
Form  beständig  verändern,  einer  Mitveränderung  unterworfen 
sei,  während  er  bei  den  ewigen  Wesen,  welche  ätherischer 
Natur  sind,  die  Un Veränderlichkeit  der  Form  unwandelbar 

35  bewahre. 

Hieran  haben  wir  folgende  Erwägungen  geknüpft.  Während 
man  die  beiden  anderen  Gattungen  des  theoretischen  Teils 


Vorwort.  3 

mehr  spekulative  Betrachtung  als  sichere  Erkenntnis  nennen 
könnte,  die  Theologie  wegen  der  absoluten  ünsichtbarkeit 
und  Unerfaßlichkeit  ihres  Gegenstandes,  die  Physik  wegen 
der  Unbeständigkeit  und  Unklarheit  der  Materie  —  so  daß 
aus  diesem  Grunde  keine  Hoffnung  vorhanden  ist,  daß  die     6 
Philosophen  über  diese  Dinge  jemals  einerlei  Meinung  werden 
könnten —  dürfte  einzig  und  allein  die  Mathematik,  wenn 
man  auf  dem  Wege  scharfer  Prüfung  an  sie  herantritt,  ihren 
Jüngern  ein  zuverlässiges  und  unumstößliches  Wissen  dar- 
bieten, weil  der  Beweis  die  keinen  Zweifel  zulassenden  Wege   10 
einschlägt,  welche  Arithmetik  und  Geometrie  an  die  Hand 
geben.  Das  ist  auch  der  Grund,  der  uns  veranlaßt  hat,  uns  nach 
Kräften  dieser  hervorragenden  Wissenschaft  in  ihrem  ganzen 
Umfange  zu  widmen,  insbesondere  aber  dem  Zweige,  der  sich 
mit  der  Erkenntnis  der  göttlichen  und  himmlischen  Körper  16 
befaßt,  weil  diese  Wissenschaft  allein  in  der  Untersuchung 
einer  ewig  sich  gleichbleibenden  Welt  aufgeht  und  deshalb 
auch  ihrererseits  imstande  ist,  erstens  hinsichtlich  der  von  Hei  7 
ihr  vermittelten  Erkenntnis,  die  weder  unklar  noch  ungesichtet 
ist,  ewig  unverändert  zu  bleiben  —  was  das  charakteristische  20 
Merkmal  der  reinen  Wissenschaft  ist  —  und  zweitens  den 
andern  Wissensgebieten  eine  Mitarbeiterin  zu  sein,  die  nicht  Ha  i 
weniger  leistet  als  diese  selbst. 

Und  zwar  könnte  der  Theologie  diese  Wissenschaft  in 
hervorragender  Weise  die  Wege  bahnen,  insofern  sie  allein  26 
imstande  ist,  mit  Erfolg  den  Spuren  der  unbewegten  und  von 
der  Materie  geschiedenen  Kraft  nachzugehen,  ausgehend  von 
der  naheliegenden  Schlußfolgerung  aus  den  Erscheinungen, 
welche  sich  an  den  sinnlich  wahrnehmbaren,  sowohl  bewe- 
genden als  bewegten,  und  doch  ewigen  und  keinen  Leiden  30 
unterworfenen  Wesen  hinsichtlich  des  Verlaufs  und  der  Regel- 
mäßigkeit ihrer  Bewegungen  vollziehen. 

Auch  der  Physik  könnte  sie  recht  wesentliche  Unter- 
stützung gewähren;  denn  die  allgemeinen  Eigenschaften  der 
Materie  kommen  zum  wahrnehmbaren  Ausdruck  durch  das  36 
eigenartige  Verhalten  bei  den  Orts  Veränderung  verursachenden 
Bewegungen.    So  besitzt  z.  B.  das  an  sich  Vergängliche  an 


4  Erstes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

der  geradlinigen  Bewegung,  das  Unvergängliche  an  der 
Kreisbewegung,  ferner  das  Schwere  oder  Passive  an  der 
zentripetalen,  das  Leichte  oder  Aktive  an  der  zentri- 
fugalen Bewegung  ein  charakteristisches  Merkmal. 
5  Was  nun  vollends  eine  in  Handel  und  Wandel  sittliche 
Lebensführung  anbelangt,  so  dürfte  diese  Wissenschaft  vor- 
zugsweise Sinn  und  Blick  dafür  schärfen.  Denn  nach  dem 
Vorbilde  der  an  den  göttlichen  Wesen  erschauten  Gleichförmig- 
keit, strengen  Ordnung,  Ebenmäßigkeit  und  Einfalt  bringt 

10  sie  ihren  Jüngern  die  Liebe  zu  dieser  göttlichen  Schönheit 
bei  und  macht  ihnen  durch  Gewöhnung  den  ähnlichen  Seelen- 
zustand  sozusagen  zur  zweiten  Natur. 

Diese  Liebe  zu  der  Wissenschaft  von  den  ewig  sich  gleich- 
bleibenden Dingen  wollen  auch  wir  beständig  zu  steigern 
Hei  8  suchen,  indem  wir  uns  nicht  nur  mit  den  Errungenschaften 

16  bekannt  machen,  welche  auf  diesem  Gebiete  von  Männern 
erzielt  worden  sind,  die  mit  echtem  Forschergeist  an  dasselbe 
herantraten,  sondern  indem  wir  auch  unserseits  ein  Scherf- 
lein  beizutragen  gedenken,  insoweit  die  (verhältnismäßig kurze) 

20  Zeit,  die  seit  jenen  Männern  bis  auf  unsere  Tage  verstrichen 

Ha  5  ist,  zu  einem  solchen  Beitrag  beträchtliches  Material  zu  bieten 

vermag.    So  werden  wir  denn  versuchen  alles  Wichtige,  was 

unseres  Erachtens  in  der  Gegenwart  in  unseren  Gesichtskreis 

getreten  ist,  in  möglichster  Kürze  und  so,  daß  die  bereits  bis 

25  zu  einem  gewissen  Grade  Vorgerückten  zu  folgen  vermögen, 
in  der  Form  eines  Kommentars  zur  Darstellung  zu  bringen, 
wobei  wir  im  Interesse  der  Vollständigkeit  unseres  Werkes 
alle  Fragen,  welche  für  die  Himmelskunde  von  praktischem 
Werte  sind,  in  der  gehörigen  strengen  Reihenfolge  erörtern 

30  werden.  Um  aber  die  Darstellung  in  gewissen  Grenzen  zu 
halten,  werden  wir  die  von  den  Alten  mit  voller  Sicherheit 
gewonnenen  Ergebnisse  nur  referierend  behandeln,  dagegen 
die  überhaupt  noch  nicht  oder  wenigstens  nicht  praktisch  genug 
in  Angriff  genommenen  Probleme  nach  Kräften  einer  sorg- 

36  fältig  ergänzenden  Behandlung  unterziehen. 


Erstes  Buch.     Zweites  Kapitel. 


Zweites  Kapitel. 

Darlegung  der  Reihenfolge  der  theoretischen 
Erörterungen. 

Das  von  uns  vorgelegte  Handbuch  bietet  zunächst  einen 
allgemeinen  Teil,  welcher  das  Verhältnis  der  Erde  zum 
Himmelsgewölbe,  beide  als  Ganzes  betrachtet,  ins  Auge  faßt 
(I.  Buch,  Kap.  3 — 11).   Von  dem  hierauf  folgenden  beson- 
deren Teil  behandelt  der  erste  Abschnitt  (1.  Buch,  Kap.     6 
12 — II.  Buch)  die  Lage  der  Ekliptik,  die  Orte  des  zurzeit 
bewohnten  Gebietes  der  Erde,  ferner  den  unterschied,  welcher 
in  ihrer  Aufeinanderfolge  im  Verhältnis  zueinander  von  Hori- 
zont zu  Horizont  infolge  der  Neigung  (der  Sphäre)  eintritt. 
Die  theoretische  Erörterung  dieser  Verhältnisse  ebnet,  wenn  Hei  9 
sie   vorausgenommen   wird,    außerordentlich  den  Weg    zur   n 
Untersuchung  der  übrigen  Probleme. 

Der  zweite  Abschnitt  (HL — VI.  Buch)  handelt  von  der 
Bewegung  der  Sonne  und  des  Mondes,  sowie  von  den  da- 
mit zusammenhängenden  Erscheinungen;  denn  ohne  die  Vor-   15 
ausnähme  dieser  Verhältnisse  dürfte  es  unmöglich  sein,  auf  Ha  6 
die  Theorie  der  Sternenwelt  mit  der  nötigen  Gründlichkeit 
einzugehen. 

Der  letzte  Abschnitt  (Band  II),  welcher  sozusagen  der  Kern- 
punkt des  Ganzen  ist,  enthält  die  Betrachtung  der  Sternen-  20 
weit.  Auch  hier  dürften  mit  gutem  Grunde  voranzustellen 
sein  die  Erörterungen  über  die  Sphäre  der  sogenannten  Fix- 
sterne (VII.  und  VIII.  Buch),  woran  sich  dann  (IX. — XIII. 
Buch)  die  Theorien  der  sogenannten  fünf  Wandelsterne 
anschließen  sollen.  25 

Jeden  der  hier  vorgelegten  Abschnitte  werden  wir  dem 
Verständnis  zugänglich  zu  machen  suchen,  indem  wir  als 
Ausgangspunkte  und  gewissermaßen  als  Grundlagen  für  die 
Aufstellung  der  Theorien  die  augenfälligen  Himmelserschei- 
nungen heranziehen  und  ausschließlich  solche  Beobachtungen  SO 
benutzen,  die  mit  zweifelloser  Sicherheit  sowohl  von    den 


ß  Erstes  Buch.     Drittes  Kapitel. 

Alten  als  auch  zu  unserer  Zeit  angestellt  worden  sind.  Den 
inneren  Zusammenhang  der  vorgelegten  Beobachtungsreihen 
werden  wir  alsdann  durch  die  auf  geometrische  Konstruk- 
tionen gegründeten  Beweise  darlegen. 
6  Was  nun  den  allgemeinen  Teil  anbelangt,  so  wird  sich 
die  Vorbesprechung  auf  folgende  fünf  Punkte  erstrecken. 

1.  Das  HimmelsgeM^ölbe  hat  Kugelgestalt  und  dreht  sich 
wie  eine  Kugel. 

2.  Ihrer  Gestalt  nach  ist  die  Erde  für  die  sinnliche  Wahr- 
10  nehmung,  als  Ganzes  betrachtet,  gleichfalls  kugelförmig. 

3.  Ihrer  Lage  nach  nimmt  die  Erde  einem  Zentrum 
vergleichbar   die  Mitte    des   ganzen   Himmelsgewölbes    ein. 

4.  Ihrer  Größe  und  Entfernung  nach  steht  die  Erde  zur 
Fixsternsphäre  in  dem  Verhältnis  eines  Punktes. 

16        5.  Die    Erde    hat    ihrerseits    keinerlei    Ortsveränderung 
Heiioverursachende  Bewegung. 

Jeden  dieser  Punkte  wollen  wir,  um  gelegentlich  wieder 
darauf  zurückkommen  zu  können,  einer  kurzen  Erörterung 
unterziehen. 

Drittes  Kapitel. 
Das  Himmelsgewölbe  dreht  sich  wie  eine  Kugel. 

20  Zu  den  ersten  Gedanken  über  die  vorstehend  ange- 
deuteten Verhältnisse  sind  die  Alten  aller  Wahrscheinlich- 
keit nach  etwa  durch  folgende  Beobachtung  angeregt  worden. 
Ha  7  Sie  sahen  die  Sonne,  den  Mond  und  die  übrigen  Gestirne 
von  Osten  nach  Westen   sich  stets  auf  Parallelkreisen  be- 

25  wegen.  Sie  sahen,  wie  sie  anfangs  von  unten  aus  dem 
Tiefstande,  gewissermaßen  direkt  von  der  Erde  aus,  sich 
aufwärts  bewegen,  nach  und  nach  zu  einem  Hochstand 
emporsteigen,  hierauf  einen  ihrem  bisherigen  Aufstieg  ent- 
sprechenden absteigenden  Bogen  beschreiben  und  wieder  zu 

30  einem  Tiefstand  gelangen,  bis  sie  schließlich  gewissermaßen 
auf  die  Erde  fallen  und  unsichtbar  werden,  worauf  sich, 
nachdem  sie  eine  gewisse  Zeit  in  der  ünsichtbarkeit  ver- 
harrt, Aufgang   und  Untergang  wie   von  vorn    wiederholt. 


Kugelgestalt  des  Himmelsgewölbes.  7 

Hinsichtlicli  der  dabei  verstreichenden  Zeiten  sowie  der  Stellen 
des  Auf-  und  Unterganges  machte  man  aber  die  Wahrnehmung, 
daß  sich  dieselben  im  großen  ganzen  in  einem  genau  geregel- 
ten Verhältnis  gegenseitig  entsprachen. 

Ganz  besonders  aber  brachte  sie  auf  den  Gedanken  der     5 
Kugelgestalt  der  Umschwung  der  immersichtbaren  Sterne, 
welcher  in  sichtlich  zu  verfolgender  Kreisbahn  um  ein  und 
dasselbe  Zentrum  als  Pol  sich  vollzieht.   Dieser  Punkt  mußte 
der  Pol  der  Himmelskugel  sein,  weil  die  in  größerer  Nähe  Hein 
desselben  stehenden  Sterne  sich  in  kleineren  Kreisen  drehen,  10 
während  die  weiter  entfernten  im  Verhältnis  zu  ihrem  Ab- 
stände größere  Kreise  bei  der  Umkreisung  beschreiben,  bis 
der  Abstand  allmählich  zu  den  Sternen  gelangt,  die  unsicht- 
bar werden.    Auch  von  diesen  sah  man  die  in  der  Nähe  der 
immersichtbaren  Gestirne  stehenden  kurze  Zeit  in  der  Un-   15 
Sichtbarkeit  verharren,  die  weiter  entfernten  wieder  verhältnis- 
mäßig längere  Zeit.    So  mußte  man  für  den  ersten  Anfang 
einzig  durch  derartige  Wahrnehmungen  auf  den  oben  aus- 
gesprochenen Gedanken  der  Kugelgestalt  verfallen,  nachge- 
rade aber  bei  fortgesetzter  Betrachtung  auch  die  weiteren  Kon-  20 
Sequenzen  aus  diesen  Beobachtungen  ziehen.  Denn  schlechthin  Ha  8 
alle  Himmelserscheinungen  legen  Zeugnis  dafür  ab,  daß  eine 
andere  Auffassung  unzulässig  ist. 

Man  nehme  z.  B.  an,  was  manche  Philosophen  wirklich 
getan  haben,  daß  der  Lauf  der  Sterne  in  geradliniger  Er-  25 
Streckung  in  den  unendlichen  Raum  gerichtet  sei.    Wie 
sollte  man  sich  da  den  Vorgang  vorstellen,  vermöge  dessen 
alle  Sterne  von  demselben  Anfangspunkte  aus  ihren  sicht- 
baren Lauf  Tag  für  Tag  wiederholen?    Wie  könnten  denn 
die  Gestirne  auf  ihrem  Flug  in  den  unendlichen  Raum  wieder  30 
kehrtmachen?     Oder  wie  sollte  es  zugehen,  daß  diese  Um- 
kehr nicht  wahrnehmbar  wäre?    Müßten  sie  nicht  vielmehr 
unter  allmählicher  Abnahme  ihrer  Größen  unsichtbar  werden, 
während  sie  doch  im  Gegenteil,  gerade  wenn  sie  (am  Horizont) 
nahe  dem  Verschwinden  sind,  größer  erscheinen  und  nur  nach  35 
und  nach  von  der  Oberfläche  der  Erde  verdeckt  und  gewisser- 
maßen abgeschnitten  werden? 


8  Erstes  Buch.     Drittes  Kapitel. 

Aber  wahrlich  auch  die  Vorstellung,  daß  die  Gestirne  aus  der 
Erde  aufsteigend  sieh  entzünden  und  dann  wieder  zu  ihr  zu- 
rückkehrend erlöschen,  dürfte  sich  durchweg  als  höchst  wi- 
dersinnigerweisen.*) Gesetzt  schon,  man  machte  das  Zugeständ- 
Heii2nis,  daß  trotz  ihrer  Größen  und  ihrer  gewaltigen  Anzahl, 
6  trotz  ihrer  nach  Raum  und  Zeit  verschiedenen  Abstände  be- 
sagter wunderlicher  Vorgang  sich  wirklich  vollziehen  könnte, 
d.  h.  daß  die  eine  ganze  (östliche)  Seite  der  Erde  eine  natür- 
liche Zündkraft,  die  andere  (westliche)  Seite  eine  ebensolche 

10  Löschkraft  entwickelte,  oder  besser  gesagt,  daß  dieselbe 
Seite  für  einen  Teil  der  Erdbewohner  anzündend,  für  den 
anderen  auslöschend  wirkte,  d.  h.  daß  dieselben  Sterne  für 
die  einen  bereits  angezündet  oder  ausgelöscht  sind,  während 
sie  es  für  die  anderen  noch  nicht  sind,  wenn  man,  sage  ich, 

15  alle  diese  Zugeständnisse,  so  lächerlich  sie  sind,  machen  wollte, 
was  sollten  wir  von  den  immersichtbaren  Sternen  halten,  die 
weder  auf-  noch  untergehen?  Aus  welchem  Grunde  sollten 
denn  nicht  diejenigen  Sterne,  welche  dem  Anzünden  und  Aus- 
löschen unterworfen  sind,  überall  auf-  und  untergehen,  wäh- 

20  rend  andere,  welche  diesem  Wechselzustande  nicht  unterworfen 

sind,  keineswegs  überall  beständig  über  dem  Horizont  sind? 

Ha  9  Es  werden  doch  wohl  nicht  dieselben  Sterne  für  einen  Teil 

der  Erdbewohner  immer  angezündet  und  wieder  ausgelöscht 

werden,  während  sie  für  den  anderen  Teil  niemals  weder  das 

25  eine  noch  das  andere  erleiden,  da  es  ja  ganz  klar  ist,  daß 
es  dieselben  Sterne  sind,  die  für  gewisse  (südliche)  Orte  auf- 
und  untergehen,  während  sie  für  andere  Orte  (d.  i.  für  weiter 
nördlich  liegende)  weder  auf-  noch  untergehen. 

Kurz  und  gut,  man  mag  irgendwelchen  anderen  Verlauf 

30  der  Bewegung  der  Himmelskörper  annehmen  als  denjenigen, 
welchen  die  Kugelgestalt  bedingt,  so  müßten  notwendig  die 
Entfernungen  von  der  Erde  in  der  Richtung  nach  den  hoch 
über  ihr  sich  bewegenden  Gestirnen  ungleich  werden,  wo 
und  wie  man  die  Erde  selbst  auch  annehmen  mag.    Daher 


a)  Diese  Vorstellung  wird  von  Kleomedes  ed.  Ziegler  p.  158  f. 
als  die  Auffassung  des  Epikur  ins  Lächerliche  gezogen. 


Kugelgestalt  des  Himmelsgewölbes.  9 

müßten  auch  die  Größen  und  die  gegenseitigen  Abstände  der 
Sterne,  weil  sie  bald  aus  größerer,  bald  aus  geringerer  Ent- 
fernung zu  schätzen  wären,  für  dieselben  Erdbewohner  beineiis 
jedem  Umschwung  ungleich  erscheinen,  was  doch  sichtlich 
nicht  der  Fall  ist.    Daß  freilich  am  Horizont  die  Größen  be-     6 
deutender  erscheinen,  bewirkt  nicht  der  Umstand,  daß  die 
Entfernung  geringer  wäre,  sondern  die  Verdunstung  der  die 
Erde  umgebenden  Feuchtigkeit,  welche  sich  zwischen  unserem 
Auge  und  den  (am  Horizont  befindlichen)  Sternen  entwickelt, 
geradeso  wie  in  das  Wasser  geworfene  Gegenstände  größer  10 
erscheinen,  und  zwar  um  so  größer,  je  tiefer  sie  untersinken. 

Es  führen  aber  zu  dem  Gedanken  der  Kugelgestalt  auch 
Erwägungen  folgender  Art.    Erstens  können  bei  keiner  an- 
deren Annahme  als  einzig  bei  dieser  die  Vorrichtungen,  welche 
zur  Stundenmessung  dienen,  richtige  Angaben  liefern.    Faßt  15 
man  zweitens  die  ohne  Hindernis  mit  allergrößter  Leichtig- 
keit vor  sich  gehende  Bewegung  der  Himmelskörper  ins  Auge, 
so  kommt  die  Eigenschaft  der  leichtesten  Bewegung  von  den 
ebenen  Figuren  dem  Kreis,  von  den  Körpern  der  Kugel  zu.  Haio 
Da  ferner  von  den  verschiedenen  Figuren  gleichen  Kreisum-  20 
fanges  die  Vielecke,  welche  mehr  Ecken  haben,  die  größeren 
sind,  so  hat  von  den  ebenen  Figuren  der  Kreis,  von  den 
Körpern  die  Kugel,  und  von  allen   übrigen  Körpern   die 
Himmelskugel  an  Größe  den  Vorrang. 

Aber  auch  von  gewissen  physikalischen  Erwägungen  aus  26 
kann  man  zu  der  von  uns  vertretenen  Auffassung  gelangen. 
Von  allen  Körpern  besteht  aus  den  feinsten  und  gleichartig- Hei  i4 
sten  Molekülen  der  Äther;  zu  den  aus  gleichartigen  Mole- 
külen bestehenden  Gebilden  gehören  die  Flächen,  soweit  sie 
aus  solchen  Teilen  bestehen;    aus   gleichartigen  Molekülen  30 
gebildete  Flächen  sind  aber  unter  den  ebenen  Figuren  einzig 
und  allein  die  Kreisfläche,  unter  den  Körpern  die  Kugel- 
fläche.    Nun  ist  der  Äther  keine  Ebene,  sondern  ein  Körper; 
folglich  bleibt  für  ihn  nur  die  Kugelgestalt  übrig. 

Zu  dem  gleichen  Ergebnis  führt  folgende  Erwägung.    Die  35 
Natur  hat  alle  irdischen  und  vergänglichen  Körper  durch- 
gängig aus  kreisförmigen,  jedoch  ungleichartigen  Mole- 


10  Erstes  Buch.    Viertes  Kapitel. 

külen  geschaffen,  alle  im  Äther  sich  bewegenden  und  gött- 
lichen Körper  dagegen  aus  gleichartigen  Molekülen  von 
Kugelform;  denn  wären  diese  Körper  eben  oder  scheiben- 
förmig, so  würde  nicht  allen  Beobachtern,  welche  von  ver- 
6  schiedenen  Punkten  der  Erde  gleichzeitig  nach  ihnen  schau- 
ten, die  scheinbare  Kreisform  ersichtlich  sein.  Deshalb  ist 
es  eine  logische  Forderung,  daß  auch  der  sie  umgebende 
Äther,  welcher  von  der  gleichartigen  natürlichen  Beschaffen- 
heit ist,  erstens  kugelförmig  und  zweitens,  infolge  die- 
10  ser  Beschaffenheit  aus  gleichartigen  Molekülen,  mit  gleich- 
förmiger Geschwindigkeit  in  kreisförmiger  Bewegung  be- 
griffen sei. 

Viertes  Kapitel. 

Auch  die  Erde  ist,  als  Ganzes  betrachtet, 
für  die  sinnliche  Wahrnehmung  kugelförmig. 

Ha  11  Zu  der  Erkenntnis,  daß  auch  die  Erde,  als  Ganzes  betrach- 
tet, für  die  sinnliche  Wahrnehmung  kugelförmig  sei,  dürfte 

16  man  am  besten  auf  folgendem  Wege  gelangen.    Nicht  für 

alle  Bewohner  der  Erde  ist  Aufgang  und  Untergang  der  Sonne, 

des  Mondes  und  der  anderen  Gestirne  gleichzeitig  zu  sehen, 

Hei  15 sondern  früher  stets  für  die  nach  Osten  zu,  später  für  die 

nach  Westen  zu  wohnenden.    Wir  finden  nämlich,  daß  der 

20  momentan  gleichzeitig  stattfindende  Eintritt  der  Finsternis- 
erscheinungen, und  besonders  der  Mondfinsternisse,  nicht  zu 
denselben  Stunden,  d.  h.  zu  solchen,  welche  gleichweit  von 
der  Mittagstunde  entfernt  liegen,  bei  allen  Beobachtern  auf- 
gezeichnet wird,  sondern  daß  jedesmal  die  Stunden,  welche 

26  bei  den  weiter  östlich  wohnenden  Beobachtern  aufgezeichnet 
stehen,  spätere  sind  als  die  bei  den  weiter  westlich  woh- 
nenden.^) Da  nun  auch  der  Zeitunterschied  in  entsprechen- 
dem Verhältnis  zu  der  räumlichen  Entfernung  der  Orte 
gefunden  wird,  so  dürfte  man  mit  gutem  Grunde  annehmen, 

30  daß  die  Erdoberfläche  kugelförmig  sei,  weil  eben  die  hin- 
sichtlich der  Krümmung  (der  Oberfläche)  im  großen  ganzen 


1)  Diese  Zahlen  beziehen  sich  auf  die  Anmerkungen  im  Anhang. 


Kugelgestalt  der  Erde.  11 

als  gleichartig*)  zu  betrachtende  Beschaffenheit  (der  Erde) 
die  Bedeckungserscheinungen  zu  der  Aufeinanderfolge  der 
Beobachtungsorte  stets  in  ein  entsprechendes  (Zeit-)Ver- 
hältnis  setzt.  Wäre  die  Gestalt  der  Erde  eine  andere,  so 
würde  dies  nicht  der  Fall  sein,  wie  man  aus  folgendem  er-  5 
sehen  kann. 

Wenn  die  Oberfläche  der  Erde  eine  Hohlfläche  wäre,  so 
würde  der  Aufgang  der  Gestirne  den  weiter  westlich  wohnen- 
den Beobachtern  eher  sichtbar  werden ;  wäre  sie  eine  ebene 
Fläche,  so  würden  die  Gestirne  für  alle  Bewohner  der  Erde   10 
zugleich  und  zu  derselben  Zeit  auf-  und  untergehen;  wäre  Ha  12 
sie  von  der  Gestalt  einer  dreiseitigen  Pyramide,  eines  Würfels 
oder  eines  Polyeders,^)  so  würden  sie  wiederum  für  alle  die- 
jenigen in  gleicher  Weise  und  gleichzeitig  auf-  und  unter- 
gehen,  welche    auf  derselben   Seitenfläche   (dieser  Körper)  16 
wohnten,  was  mit  der  Wirklichkeit  in  keiner  Weise  verein- 
bar erscheint. 

Daß  die  Erde  aber   auch  nicht  walzenförmig  sein  kann, 
selbst  nicht  unter  der  Voraussetzung,  daß  die  Rundfläche  nach 
Osten  und  Westen  gekehrt  und  die  Seiten  der  ebenen  Grund- Hei  16 
flächen  nach  den  Weltpolen  gerichtet  wären,  was  man  wohl  21 
als  das  Glaubwürdigere  annehmen  dürfte^),  wird  aus  folgen- 
dem klar.    Für  keinen  Bewohner  der  gekrümmten  Oberfläche 
würde  nämlich  auch  nur  ein  einziger  Stern  immersichtbar 
werden,  sondern  für  alle  Bewohner  würden  sämtliche  Sterne   25 
sowohl  auf-  wie  untergehen,  oder  es  würden  für  alle  die- 
selben Sterne,  welche  von  jedem  der  beiden  Pole  den  gleichen 
Abstand  hätten,  (einerseits  immersichtbar,  anderseits)  immer- 
unsichtbar werden.^)    Je  weiter  wir  aber  jetzt  (d.  i.  auf  der 
kugelförmigen  Erde)  nach  Norden  zu  wandern,  um  so  mehr  30 

a)  D.  h.  alle  Unebenheiten  der  Oberfläche  der  Erde  sind  im 
Verhältnis  zu  ihrer  Größe  so  unbedeutend,  daß  sie  der  idealen 
Kugelgestalt  keinerlei  Abbruch  tun  können. 

b)  Zum  Vergleich  diene  die  ähnliche  Erörterung  bei  Kleo- 
medes  p.  74 — 82. 

c)  Weil  die  Annahme  mit  dem  täglichen  Umschwung  des  Fix- 
sternhimmels von  Osten  nach  Westen  im  allgemeinen  im  Ein- 
klang stehen  würde. 


12  Erstes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

werden  von  den  südlichen  Sternen  unsichtbar  und  von  den 
nördlichen  immersichtbar,  so  daß  es  klar  ist,  daß  auch  in  die- 
sem Falle  die  Krümmung  der  Erde,  welche  schon  (S.  11, 2) 
die  in  schräger  (d.  h.  in  der  die  Nord-Südlinie  von  Osten 
5  nach  Westen  kreuzenden)  Eichtung  verlaufenden  Bedeckungs- 
erscheinungen in  ein  entsprechendes  (Zeit-) Verhältnis  setzte, 
von  allen  Seiten  auf  die  Kugelgestalt  hinweist.  Hiermit 
ist  noch  die  Wahrnehmung  zu  verbinden,  daß  wir  bei  dem 
Heransegeln  an  Berge  oder  einzelne  hochragende  Punkte  unter 
10  beliebigem  Winkel  und  nach  beliebiger  Richtung  nach  und 
nach  ihre  Höhen  sichtlich  wachsen  sehen,  als  ob  sie  direkt 
aus  dem  Meere  auftauchten  und  vorher  infolge  der  Krümmung 
der  Wasserfläche  untergetaucht  gewesen  wären. 

Fünftes  Kapitel. 

Die  Erde  nimmt  die  Mitte  des  Himmelsgewölbes  ein. 

Ha  13      Wenn  man  nach  dieser  Erörterung   (der  Gestalt)  der 
16  Reihenfolge  nach  die  Lage  der  Erde  ins  Auge  faßt,  so  düi-fte 
Hei  17  man  zu  der  Erkenntnis  gelangen,  daß  der  Verlauf  der  Him- 
melserscheinungen um  die  Erde  sich  nur  dann  regelrecht  voll- 
ziehen kann,  wenn  wir  letztere  wie  das  Zentrum  einer  Kugel 
in  die  Mitte  des  Weltalls  setzen.   Wäre  dem  nicht  so,  so  sind 
20  außerdem  nur  drei  Fälle  denkbar: 

1.  die  Erde  liegt  außerhalb  der  Achse,  aber  gleichweit 
entfernt  von  jedem  der  beiden  Pole; 

2.  sie  liegt  auf  der  Achse,  aber  dem  einen  Pol  näher- 
gerückt; 

26       3.  sie  liegt  weder  auf  der  Achse  noch  gleichweit  von  je- 
dem der  beiden  Pole  entfernt. 

1.  Gegen  die  erste  der  drei  Lagen  spricht  folgendes. 

A.  Wenn  man  sich  die  Erde  mit  Bezug  auf  die  Lage 
gewisser  Orte  nach  oben  (nach  dem  Zenit)  oder  nach  unten 
30  (nach   dem  Nadir)  verschoben  denkt,  so   würde  für  diese 
Orte  davon  die  Folge  sein 

a)  bei    Sphaera  recta:    daß    niemals   Tag-   und   Nacht- 
gleiche eintreten  kann,  weil  der  Raum  über  und  unter  der 


Lage  der  Erde.  13 

Erde  von  dem  Horizont  jederzeit  in  ungleiche  Teile  ge- 
teilt wird; 

b)  bei  Sphaera  obliqua:  daß  entweder  wieder  überhaupt 
nicht  Tag-  und  Nachtgleiche  eintreten  kann,  oder  wenigstens 
nicht  in  der  Mitte  zwischen  Sommer-  und  Winterwende,  da     5 
diese  Intervalle  notwendigerweise  ungleich  werden,  weil  nicht 
mehr  der  Äquator,  d.  i.  der  größte  der  um  die  Pole  des  Um- 
schwungs verlaufenden  Parallelkreise  von  dem  Horizont  hal- 
biert wird,  sondern  einer  von  den  mit  dem  Äquator  gleich- 
laufenden nördlichen  oder  südlichen  Kreisen.     Darüber  ist  10 
man  aber  allgemein  einig,  daß  diese  Intervalle  überall  gleich  Hei  i8 
sind,  weil  die  im  Vergleich  zur  Tag-  und  Nachtgleiche  ein-  Ha  u 
tretende  Zunahme  des  längsten  Tages  zur  Zeit  der  Sommer- 
wende  gleich   ist   der  Abnahme   des   kürzesten   Tages  zur 
Zeit  der  Winterwende.  15 

B.  Wenn  man  aber  wieder  mit  Bezug  auf  die  Lage 
gewisser  Orte  eine  Verschiebung  in  der  Richtung  nach  Osten 
oder  Westen  annehmen  wollte,  dann  würde  für  diese  Orte 
der  Fall  eintreten,  daß  erstens  die  Größen  und  die  gegen- 
seitigen Abstände  der  Gestirne  im  östlichen  Horizont  schein-  20 
bar  nicht  die  gleichen  und  nämlichen  wie  im  westlichen  sein 
würden,  und  daß  zweitens  die  Zeit  von  Aufgang  bis 
Kulmination  nicht  gleich  sein  würde  der  Zeit  von  Kul- 
mination bis  Untergang,  was  sichtlich  mit  den  Erschei- 
nungen  durchaus  in  Widerspruch  steht.  25 

2.  Gegen  die  zweite  Lage,  bei  welcher  man  sich  die  Erde 
in  der  Richtung  der  Achse  nach  dem  einen  der  beiden  Pole 
hin  verschoben  zu  denken  hat,  könnte  man  wieder  einwenden, 
daß,  wenn  dem  so  wäre,  für  jede  geographische  Breite  (d.  i. 
bei  Sphaera  obliqua)  die  Ebene  des  Horizontes  den  über  30 
und  unter  der  Erde  befindlichen  Himmelsraum  je  nach  dem 
Grade  dar  Verschiebung  jedesmal  ungleich  machen  würde, 
und  zwar  sowohl  die  oberen  Teile  im  Vergleich  zu  den  oberen, 
und  die  unteren  Teile  im  Vergleich  zu  den  unteren,  als  auch 
die  unteren  und  oberen  Teile  im  Vergleich  zu  einander;  denn  35 
nur  bei  Sphaera  recta  kann  (in  diesem  Falle)  der  Horizont 


14 


Erstes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


10 


NP 


die  Sphäre  halbieren,  während  er  bei  Sphaera  obliqua,  bei 
welcher  der  nähere  Pol  (an  d.  Fig.  der  nördliche)  zum  immer- 
sichtbaren wird,  den  über  der  Erde  gelegenen  Teil  der  Sphäre 
stets  kleiner  und  den  unter  der  Erde  gelegenen  größer  macht. 
Infolgedessen  würde  der  Fall  eintreten,  daß  auch  der  größte 

Kreis,  der  durch  die 
Zenif\NP  Mitte  der  Tierkreis- 
bilder geht  (d.  i.  die 
Ekliptik),  von  der 
Ebene     des    Hori- 
zontes in  ungleiche 
Teile  geteilt  würde, 
Heiigein  Verhältnis,  welches  die  Beobachtung  keineswegs  fest- 
Ha  15  stellt:  denn  jederzeit  und  überall  sind  sechs  Zeichen  über  der 
15   Erde  sichtbar  und  die  übrigen  sechs  unsichtbar,  während 
dann   wieder  letztere    in    ganzer   Ausdehnung    gleichzeitig 
über    der    Erde   sichtbar    sind   und    die    übrigen    alle   zu- 
sammen unsichtbar.    Demnach  geht  aus  dem  Umstände,  daß 
(bei  zentraler  Lage  der  Erde)  dieselben  Halbkreise  der  Ekliptik 
20  in  ihrer  ganzen  Ausdehnung  bald  über  bald  unter  der  Erde 
abgeschnitten  werden,  klar  hervor,  daß  vom  Horizont  auch 
die  Ekliptik  genau  halbiert  wird. 

Ganz  allgemein  würde,  wenn  die  Erde  nicht  ihre  (normale) 
Lage  direkt  unter  dem  (Himmels-)  Äquator  hätte,   sondern 

25  nach  Norden  oder  Süden  in  der  Richtung  nach  einem  der 
beiden  Pole  hin  von  dieser  Lage  abwiche,  (infolge  der  erwähn- 
ten ungleichen  Teilung  der  Ekliptik)  der  Fall  eintreten,  daß 
an  den  Nachtgleichentagen  die  bei  Aufgang  (der  Sonne)  ge- 
worfenen Schatten  der  Gnomonen  mit  den  bei  Untergang 

30  geworfenen  auf  den  mit  dem  Horizont  parallelen  Ebenen  nicht 
mehr  für  die  sinnliche  Wahrnehmung  auf  eine  Gerade  fielen, 
eine  Begleiterscheinung  (der  Nachtgleichen),  welche  in  einander 
genau  gegenüberliegenden  Punkten  (des  Horizontes)  eintritt, 
wie  die  Beobachtung  allerorts  feststellt. 

35  3.  Ohne  weiteres  ist  klar,  daß  auch  die  dritte  Lage  nicht 
zu  Recht  bestehen  kann,  da  bei  ihr  die  Einwände,  welche  gegen 


Erstes  Buch.     Sechstes  Kapitel.  15 

die  beiden  ersten  Lagen  zu    erheben  waren,  vereinigt  zur 
Geltung  kommen  müssen. 

Kurz  und  gut,  der  ganze  regelrechte  Verlauf,  welcher  theo- 
retisch hinsichtlich    der  Ab-    und  Zunahme  der  Tage   und 
Nächte  festgestellt  wird,  dürfte  vollständig  umgestoßen  wer-     5 
den,  wenn  man  die  Erde  nicht  in  der  Mitte  annähme.    Hier- 
zu kommt,  daß  auch  der  Eintritt  der  Mondfinsternisse  nicht 
an  allen  Stellen  des  Himmels  in  der  der  Sonne  diametral 
gegenüberliegenden  Stellung  erfolgen  könnte,  da  die  Erde 
häufig  nicht  beiden  diametral  gegenüberliegenden  Positionen  Hei  20 
(der  beiden  Lichtkörper)  als  bedeckendes  Objekt  zwischen  11 
sie  zu  stehen  kommen  würde,  sondern  bei  den  Intervallen, 
die  kleiner  als  ein  Halbkreis  wären. 

Sechstes  Kapitel. 

Die  Erde  steht  zu  den  Himmelskörpern 
in  dem  Verhältnis  eines  Punktes. 

Daß  die  Erde  zu  der  Entfernung  bis  zu  der  Sphäre  der  Haie 
sogenannten  Fixsterne  für  die  sinnliche  Wahrnehmung  wirk-   15 
lieh  nur  in  dem  Verhältnis  eines  Punktes  steht,  dafür  ist  ein 
zwingender  Beweis,  daß  von  allen  ihren  Teilen  aus  die  schein- 
baren  Größen   und   gegenseitigen   Abstände   der   Sterne  zu 
denselben  Zeiten  allenthalben  gleich  und  ähnlich  sind,  wie  denn 
auch  die  in  verschiedenen  geographischen  Breiten  an  den-  20 
selben  Sternen  angestellten  Beobachtungen  auch  nicht  im  ge- 
ringsten voneinander  abweichend  gefunden  werden.  Als  ganz 
besonders  bezeichnend  ist  auch  noch  der  Umstand  hervor- 
zuheben, daß  die  (Endpunkte  der)  an  beliebiger  Stelle  der 
Erde   aufgestellten  Gnomonen   sowie  die  Mittelpunkte   der  25 
Armillarsphären  dieselbe  Geltung  haben  wie  der  wirkliche 
Mittelpunkt  der  Erde,  d.  h.  daß  die  genannten  Punkte  für 
die  Richtung  der  Visierlinien  (nach  den  Himmelskörpern) 
und  für  die  Herumleitung  der  Schattenlinien  in  so  großer 
Übereinstimmung    mit   den    zur   Erklärung    der    Himmels-  30 
erscheinungen  aufgestellten  Hypothesen  maßgebend  sind,  wie 
wenn  diese  Linien  direkt  durchden  Mittelpunkt  der  Erde  gingen. 


16  Erstes  Bucht.    Siebenteg  Kapitel. 

Ein  deutliches  Anzeichen  dafür,  daß  dieses  Größenverhältnis 

besteht,  liegt  auch  in  dem  Umstand,  daß  die  durch  das  Auge 

gelegten  Ebenen,  die  wir  Horizonte  nennen,  überall  stets 

die  ganze  Himmelskugel  halbieren,  was  nicht  der  Fall  sein 

Hei  21  würde,  wenn  die  Größe  der  Erde  im  Verhältnis  zur  Ent- 

6  fernung   der   Himmelskörper   ein   merkbarer   Faktor   wäre. 

Alsdann  könnte  nur  die  durch  den  Punkt  im  Zentrum  der 

Erde  gelegte  Ebene  die  Himmelskugel  halbieren,  während 

die  durch  beliebige  Punkte  der  Erdoberfläche  gelegten  Ebenen 

Ha  i7die  unter  der  Erde  liegenden  Abschnitte  größer  machen  würden 

11  als  die  über  der  Erde  befindlichen. 

Siebentes  Kapitel. 

Die  Erde  hat  keinerlei  Ortsveränderung  verursachende 
Bewegung. 

Nach  denselben  Gesichtspunkten  wie  bisher  wird  sich  der 
Nachweis  führen  lassen,  daß  die  Erde  auch  nicht  die  geringste 
Bewegung   nach  den  oben  (S.  12  ff.)  besprochenen  schrägen 

16  Richtungen  haben  oder  überhaupt  jemals  ihre  zentrale  Lage 
irgendwie  verändern  kann ;  denn  es  würden  dieselben  Folgen 
eintreten,  wie  wenn  sie  eine  andere  Lage  zur  Mitte  einnähme. 
Deshalb  dürfte  man  meines  Erachtens  überflüssiger  Weise 
noch  nach  den  Ursachen  des   freien  Falls  nach  der  Mitte 

20  forschen,  nachdem  ein  für  allemal  auf  dem  dargelegten  Wege 
aus  den  Erscheinungen  selbst  die  Tatsache  klargestellt  ist, 
daß  die  Erde  den  Raum  in  der  Mitte  des  Weltalls  ein- 
nimmt, und  daß  alle  schweren  Körper  auf  sie  fallen.  Das 
bequemste  Beweismittel  zur  Feststellung  des  Falls  nach  der 

25  Mitte  dürfte  einzig  und  allein  in  dem  Umstand  zu  finden 
sein,  daß,  nachdem  die  Kugelgestalt  und  die  Lage  der  Erde 
Hei  22  in  der  Mitte  des  Weltalls  nachgewiesen  ist,  auf  ausnahms- 
los allen  ihren  Punkten  die  Richtung  und  der  Fall  der  mit 
Schwere  behafteten  Körper,  ich  meine,  ihr  freier  Fall,  unter 

30  allen  Umständen  und  überall  lotrecht  zu  der  durch  den 
Einfallspunkt  gelegten,  neigungslosen  (Tangential-)  Ebene 
verläuft;  denn  aus  diesem  Verhalten  geht  klar  hervor,  daß 


Ruhezustand  der  Erde.  17 

diese  Körper,  wenn  sich  ihnen  in  der  Erdoberfläche  nicht 
ein    unüberwindliches    Hemmnis    entgegenstellte,    durchaus 
bis  zum  Mittelpunkte  selbst  gelangen  würden,  weil  die  zum 
Mittelpunkt  führende  Gerade  immer  senkrecht  zu  der  Tan- Hais 
gentialebene  der  Kugel  steht,  welche  durch  den  an  der  Be-    5 
rührungsstelle  entstehenden  Schnittpunkt  gelegt  wird. 

Wer  darin  einen  unerklärlichen  Widerspruch  zu  erblicken 
vermeint,  daß  ein  Körper  von  so  gewaltiger  Schwere  wie 
die  Erde  nach  keiner  Seite  wanke  oder  falle,   der  scheint 
mir  den  Fehler  zu  begehen,  daß  er  bei  dem  Vergleich  seinen  10 
eignen  leiblichen  Zustand,  aber  nicht  die  Eigenart  des  Welt- 
ganzen im  Auge  hat.  Denn  ich  meine,  ein  solches  Verharren  im 
Ruhezustande  würde  ihm  nicht  mebr  wunderbar  vorkommen, 
wenn  er  sich  zu  der  Vorstellung  aufschwingen  könnte,  daß 
die  vermeintliche  Größe  der  Erde,  verglichen  mit  dem  ganzen  16 
sie  umgebenden  Körper,  zu  diesem  nur  das  Verhältnis  eines 
Punktes  hat;  denn  alsdann  wird  es  möglich  erscheinen,  daß 
der  verhältnismäßig  so  kleine  Körper  von  dem  absolut  größten 
und  aus  gleichartigen  Molekülen  bestehenden  durch  den  von 
allen    Seiten   in   gleichmäßiger   Stärke   und   gleichförmiger  20 
Richtung  geübten  Gegendruck  in  der  Gleichgewichtslage  er- 
halten wird;  denn  ein  „oben"  oder  „unten"  gibt  es  im  Welt- Hei 2S 
all  mit  Bezug  auf  die  Erde  nicht,  ebensowenig  wie  auch  bei 
der  Kugel  jemand  auf  einen  solchen  Gedanken  kommen  würde. 
Was  aber  die  im  Weltall  existierenden  zusammengesetzten  26 
Körper  anbelangt,  so  streben  die  leichten,  d.  h.  die  aus 
feinen  Molekülen  bestehenden  Körper,  so  weit  es  die  ihnen 
von  Natur  anhaftende  Neigung  zum  freien  Fall  gestattet, 
empor  nach  außen,  d.  i.  nach  der  Peripherie,  und  folgen  schein- 
bar dem  Triebe  nach  dem  jeweiligen  „oben";  denn  auch  bei  30 
uns  Menschen  bestimmt  allgemein  der  Punkt  über  dem  Haupte, 
der  gleichfalls  mit  „oben"  bezeichnet  wird,  die  Richtung  der 
Normalen  zu  der  jeweiligen  Standfläche.    Dagegen  streben 
die  schweren,  d.  h.  die  aus  groben  Molekülen  bestehenden 
Körper,  nach  der  Mitte  zu,  d.  i.  nach  dem  Zentrum,  und  36 
fallen  scheinbar  nach  „unten";  denn  auch  bei  uns  Menschen 
bestimmt  wieder  allgemein  der  Fußpunkt,   gleichfalls  mit 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius.  I.  o 


13  Erstes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

„unten"  bezeichnet,  die  Richtung  der  Normalen  zum  Erd- 
Ha  19  mittelpunkte.    Das  gemeinsame  Streben  nach  der  Mitte  er- 
halten sie  dabei  natürlich  durch  den  von  allen  Seiten  gleich- 
stark  und   gleichförmig   aufeinander  wirkenden  Gegenstoß 
5  und  Gegendruck. 

So  gelangt  man  denn  selbstverständlich  auf  diesem  Wege 
zu  der  Erkenntnis,  daß  das  ganze  Volumen  der  Erde  im 
Verhältnis  zu  den  auf  sie  fallenden  Körpern  von  ungeheurer 
Größe  ist,  und  daß  sie  unter  dem  Druck  der  ganz  minimalen 

10  Schwerkörper,  zumal  da  er  von  allen  Seiten  wirkt,  in  ihrem 
Ruhezustand  unerschüttert  verharrt  und  die  auf  sie  fallen- 
den Körper  gewissermaßen  auffängt.  Hätte  freilich  auch 
sie  eine  gemeinsame  Neigung  zum  Fallen,  d.  h.  wäre  die 
Richtung  ihres  Falls  ein  und  dieselbe  wie  bei  den  übrigen 

16  Schwerkörpern,  so  würde  sie  natürlich  infolge  des  kolossalen 

Übergewichts  ihrer  Größe  allen  Körpern  bei  dem  Sturz  in 

die  Tiefe  voraneilen,  und  es  würden  die  Lebewesen  und  die 

Hei  24 losen  Schwcrkörper  in  der  Luft  in  der  Schwebe  verharren, 

während  sie  für  ihr  Teil  mit  rasender  Geschwindigkeit  schließ- 

20  lieh  aus  dem  Himmelsgewölbe  selbst  herausstürzen  müßte. 
Aber  dergleichen  Möglichkeiten  erscheinen  ja  schon  bei  dem 
bloßen  Gedanken  unglaublich  lächerlich. 

Nun  stellen  sich  manche  Philosophen,  ohne  gegen  die  hier 
entwickelten  Ansichten  etwas  einwenden  zu  können,  ein  nach 

25  ihrer  Meinung  glaubwürdigeres  System*^  zusammen  und  geben 
sich  dem  Glauben  hin,  daß  keinerlei  Zeugnis  wider  sie  sprechen 
werde,  wenn  sie  z.  B.  das  Himmelsgewölbe  als  unbeweglich 
annähmen,  während  sie  die  Erde  um  dieselbe  Achse  von 
Westen  nach  Osten  täglich  nahezu  eine  Umdrehung  machen 

30  ließen,  oder  auch  wenn  sie  beiden  eine  Bewegung  von  einem 
gewissen  Betrag  erteilten,  nur,  wie  gesagt,  um  dieselbe  Achse 
und  im  richtigen  Verhältnis  zur  Erhaltung  der  auf  gegen- 
seitigem Überholen  beruhenden  Beziehungen. 


a)  Daß  der  Schöpfer  dieser  Idee,  der  große  Aristarch  von 
Samos,  bei  dieser  Gelegenheit  nicht  namhaft  gemacht  wird,  ist 
auffallend. 


Ruhezustand  der  Erde.  19 

Wenn  auch  vielleicht^  was  die  Erscheinungen  in  der  Sternen- 
welt anbelangt,  bei  der  größeren  Einfachheit  des  Ge- 
dankens nichts  hinderlich  sein  würde,  daß  dem  so 
wäre,  so  ist  doch  diesen  Männern  entgangen,  daß  aus  den 
uns  selbst  anhaftenden  Eigenschaften  und  den  eigenartigen  Ha  20 
atmosphärischen  Verhältnissen  die  ganze  Lächerlichkeit  einer    6 
solchen  Annahme  ersichtlich  werden  muß.    Gesetzt  nämlich, 
wir  machten  ihnen  das  Zugeständnis,  daß  im  Widerspruch 
mit  ihrer   natürlichen  Beschaffenheit  die    aus  den  feinsten 
Molekülen   bestehenden   und    daher   leichtesten  Substanzen  10 
entweder  gar  keine  Bewegung  hätten  oder  unterschiedslos 
dieselbe    wie  die  Körper  von   entgegengesetzter   Natur  — 
wo  doch  die  atmosphärischen  Massen  und  die  aus  weniger 
feinen  Molekülen  gebildeten  Körper  so  sichtlich  den  Trieb 
zu  schnellerer  Fortbewegung  äußern  als  sämtliche  mehr  erd-  16 
artigen  Körper  —  während  die  aus  den  gröbsten  Molekülen  Hei  25 
bestehenden  und  daher  schwersten  Körper   in  diesem  Fall 
eine    eigene  rasend    schnelle  und   gleichförmige  Bewegung 
hätten  —  wo  doch  wieder  die  erdartigen  Körper  anerkannter- 
maßen bisweilen  nicht  einmal  auf  die  von  anderen  Körpern  20 
ihnen  aufgedrungene  Bewegung  in  entsprechender  Weise  re- 
agieren —  nun,  so  müßten  sie  doch  zugeben,  daß  die  Dre- 
hung der  Erde  die    gewaltigste  von  ausnahmslos    allen  in 
ihrem  Bereich  existierenden  Bewegungen  wäre,  insofern  sie 
in  kurzer  Zeit  eine  so  ungeheuer  schnelle  Wiederkehr  zum  25 
Ausgangspunkt  bewerkstelligte,  daß  alles,  was  auf  ihr  nicht 
niet-  und  nagelfest  wäre,  scheinbar  immer  in  einer  einzigen 
Bewegung  begriffen  sein  müßte,  welche  der  Bewegung  der 
Erde  entgegengesetzt  verliefe.    So  würde  sich  weder  eine 
Wolke  noch  sonst  etwas,  was  da  fliegt  oder  geworfen  wird,  30 
in  der  Richtung  nach  Osten  ziehend  bemerkbar  machen,  weil 
die  Erde  stets  alles  überholen  und  in  der  Bewegung  nach 
Osten  vorauseilen  würde,  so  daß  alle  übrigen  Körper  schein- 
bar  in    einem    Zuge    nach  Westen,    d.  i.  nach  der  Seite, 
welche  die  Erde  hinter  sich  läßt,  wandern  müßten.  35 

Wenn  die  Vertreter  dieser  Ansicht  nämlich  auch  behaupten 
wollten,  daß  die  Atmosphäre  an  der  Drehung  der  Erde  in 


20  Erstes  Buch.     Achtes  Kapitel. 

derselben  Richtung  mit  gleicher  Geschwindigkeit  teilnähme, 
so  müßten  nichtsdestoweniger  die  in  sie  hineingeratenden 
irdischen  Körper  jederzeit  hinter  der  Bewegung,  welche  Erde 
und  Atmosphäre  gemeinsam  (ostwärts)  fortrisse,  scheinbar 
6  (westwärts)  zurückbleiben,  oder  wenn  sie  auch,  mit  der 
Atmosphäre  gewissermaßen  eins  geworden,  mit  herum- 
genommen würden,  so  würde  doch  an  ihnen  keinerlei  schein- 
bare Bewegung  mehr  wahrgenommen  werden,   weder  eine 

Ha  21  rechtläufige  noch  eine  rückläufige,  sondern  sie  würden  schein- 

10  bar  beständig  an  einem  Fleck  verharren  und,  möchten  es 

fliegende  oder  geworfene  Körper  sein,  keinerlei  Abschweifung 

Hei  26  oder  Fortschritt  im  Räume  machen  —  was  wir  ja  alles  so 
sichtlich  vor  sich  gehen  sehen  —  gerade  als  ob  von  dem  Nicht- 
feststehen der  Erde  für  diese  Körper  ein  Verzichten  auf  jede 
16  Bewegung,  sei  sie  langsam  oder  schnell,  die  Folge  sein  müßte. 

Achtes  Kapitel. 

Es  gibt  zwei  voneinander  verschiedene 
erste  Bewegungen  am  Himmel. 

Es  wird  genügen,  vorstehende  Hypothesen,  welche 
zum  Verständnis  der  Lehren  des  besonderen  Teils  und  ihrer 
Konsequenzen  vorausgenommen  werden  mußten,  soweit  in 
den    Hauptumrissen   mitgeteilt   zu   haben.     Ihre  volle  Be- 

20  stätigung  werden  sie  doch  schließlich  erst  aus  der  Über- 
einstimmung der  im  Anschluß  daran  noch  weiterhin  zu 
führenden  Nachweise  mit  den  Erscheinungen  erhalten.  Nur 
die  Vorausnahme  des  einen  allgemeinen  Satzes  könnte  man 
hierüber  noch  für  gerechtfertigt  halten,  der  da  besagt,  daß 

26  es  am  Himmel  zwei  voneinander  verschiedene  erste  Be- 
wegungen gibt. 

Die  erste  Bewegung  ist  diejenige,  von  welcher  alle  Ge- 
stirne ewig  gleichmäßig  und  mit  der  gleichen  Geschwindig- 
keit von  Osten  nach  Westen  geführt  werden.     Sie  bewirkt 

30  die  Herumführung  auf  Parallelkreisen,  welche  natürlich  um 
die  Pole  dieser  alle  Gestirne  gleichförmig  herumführenden 
Sphäre  beschrieben  werden.  Der  größte  dieser  Parallelkreise 


Zwei  Bewegungen  am  Himmel.  21 

heißt  der  Äquator  (oder  Gleicher),  weil  nur  er  vom  Hori- 
zont, der  (gleichfalls)  ein  größter  Kreis  ist,  unter  allen  Um- 
ständen in  zwei  gleiche  Teile  geteilt  wird,  und  weil  er  überall 
für  die  sinnliche  Wahrnehmung  Gleichheit  von  Tag  und  Nacht  Ha  22 
verursacht,  sobald  der  Umschwung  der  Sonne  auf  ihm  verläuft.    6 

Die  zweite  Bewegung  ist  diejenige,  vermöge  welcher  die 
Sphären  der  Gestirne  in  der  zum  vorherbeschriebenen  Um-Hei27 
Schwung  entgegengesetzten  Eichtung  gewisse  Ortsverände- 
rungen um  andere  Pole  bewirken,  nicht  um  dieselben,  wie 
die   der   ersten  Umdrehung   (d.  h.  nicht   um   die  Pole   des  10 
Äquators).     Daß  es  diese  zweite  Bewegung  gibt,   nehmen 
wir  aus  folgendem  Grunde  an.    Gemäß  der  Tag   für  Tag 
anzustellenden  Beobachtung   sehen  wir   alle  Gestirne   aus- 
nahmslos am  Himmel  Aufgang,  Kulmination  und  Untergang 
für  die  sinnliche  Wahrnehmung  an  den  gleichartigen,  auf  16 
Parallelkreisen  zum  Äquator  liegenden  Stellen  bewerkstelligen, 
worin  eben  die  Eigenart  des  ersten  Umschwungs  liegt.  Da- 
gegen behalten  bei  länger  hintereinander  fortgesetzter  Be- 
obachtung  die  übrigen  Gestirne   alle  auf  eine  lange  Zeit 
hinaus   scheinbar   sowohl   die   gegenseitigen  Abstände  bei,  20 
als  auch  ihre  besonderen  Beziehungen  zu  den  Stellen,  die 
dem  ersten  Umschwung  eigen  sind,  während  die  Sonne,  der 
Mond  und  die  Wandelsterne  gewisse  komplizierte  und  einan- 
der ungleiche  Ortsveränderungen  bewerkstelligen,  die  aber 
alle  im  Vergleich  zu  der  allgemeinen  Bewegung  nach  den  26 
ostwärts  gelegenen  Teilen  (des  Himmelsgewölbes)  gerichtet 
sind,  welche  hinter  den  (Fix-)  Sternen,  die  ihre  gegenseitigen 
Abstände  beibehalten  und  gewissermaßen  von  einer  einzigen 
Sphäre  herumgeleitet  werden,  zurückbleiben.*^ 

Wenn  nun  die  letzterwähnte  Ortsveränderung  der  Wandel-  30 
sterne  gleichfalls  auf  Parallelkreisen  zum  Äquator  vor  sich 
ginge,  d.  h.  um  die  Pole,  welche  der  ersten  Umdrehung  zu- 
grunde liegen,    so  würde  es  ausreichend  sein,  für  alle  Ge- 
stirne ein  und  denselben  Umschwung  in  der  Richtung  des  Hei  28 

a)'  TÄo^st^rsff'ö'at  bezeichnet  ein  Zurückbleiben  in  östlicher  Rich- 
tung hinter  der  täglichen  Bewegung,  wodurch  die  „rechtläufige*' 
Bewegung  zum  Ausdruck  kommt. 


22  Erstes  Buch.     Achtes  Kapitel. 

ersten  anzunehmen;  denn  alsdann  würde  es  glaubwürdig  er- 
scheinen, daß  die  an  den  Wandelsternen  beobachtete  Orts- 
Ha  23  Veränderung  nur  die  Folge  eines  verschiedenartigen  Zurück- 
bleibens, und  nicht  der  Effekt  einer  entgegengesetzt 
5  verlaufenden  Bewegung  sei.  Nun  verbinden  sie  aber  mit 
den  ostwärts  gerichteten  Ortsveränderungen  gleichzeitig  einen 
sichtlich  nach  Norden  oder  Süden  abweichenden  Lauf,  wo- 
bei sich  die  Größe  dieser  seitlichen  Abweichung  theoretisch 
nicht  einmal  als  gleichförmig  herausstellt,  so  daß  es  den 

10  Anschein  hat,  als  ob  diese  charakteristische  Erscheinung  durch 
gewisse  Stoßwirkungen  an  den  Planeten  hervorgerufen 
würde.  Die  Ungleichförmigkeit  des  Laufs  erklärt 
sich  allerdings,  wenn  man  diese  so  wenig  glaubliche  Ver- 
mutung   gelten    lassen  will,    aber  durchaus   geregelt   er- 

15  scheint  dieser  Lauf  unter  der  Annahme,  daß  er  sich 
auf  einem  zum  Äquator  schiefen  Kreise  vollziehe. 
So  gibt  sich  denn  dieser  schiefe  Kreis  als  ein  und  die- 
selbe den  Wandelsternen  eigene  Bahn  zu  erkennen;  ge- 
nau   eingehalten   und   gewissermaßen   beschrieben  wird  er 

20  freilich  nur  von  der  Bewegung  der  Sonne,  durchlaufen 
aber  auch  von  dem  Monde  und  den  Planeten,  welche 
jederzeit  in  nächster  Nähe  dieses  Kreises  wandeln  und  durch- 
aus nicht  willkürlich  die  für  jeden  einzelnen  beiderseits  ge- 
nau bestimmten  Grenzen  der  seitlichen  Abweichung  über- 

25  schreiten.  Da  aber  auch  dieser  Kreis  theoretisch  sich  als 
ein  größter  herausstellt,  weil  die  Sonne  (auf  ihm)  um  den 
gleichen  Betrag  nördlich  wie  südlich  des  Äquators  zu  stehen 
kommt,  da  ferner  in  der  Nähe  ein  und  desselben  Kreises, 
wie  gesagt,  die  ostwärts  gerichteten  Ortsveränderungen  aller 

30  Wandelsterne  sich  vollziehen,  so  war  es  notwendig,  diese 
zweite  Bewegung  als  verschieden  von  der  allgemeinen  hin- 
zustellen, d.  h.  als  eine  solche,  welche  um  die  Pole  des  fest- 
Hei  29  gestellten  schiefen  Kreises  in  der  zum  ersten  Umschwung 
entgegengesetzt  verlaufenden  Richtung  vor  sich  geht. 

35       Wenn  wir  uns  nun  den  durch  die  Pole  der  beiden  oben- 

H»  24  genannten  Kreise  gezogenen  größten  (Kolur-)  Kreis  vorstellen, 

welcher  jeden  dieser  beiden  Kreise,  d.  h.  den  Äquator  und 


Zwei  Bewegungen  am  Himmel.  23 

den  zu  ihm  geneigten  (d.  i.  die  Ekliptik),  halbieren  und  unter 
rechten  Winkeln  schneiden  muß  (nach  Theod.  Sphaer.  II.  5), 
so  werden  sich  vier  Punkte  des  schiefen  Kreises  heraus- 
stellen, zwei,  die  einander  diametral  gegenüber  im  Äquator 
liegen,  die  sogenannten  Nachtgleichenpunkte*\  von  5 
denen  der  eine,  dui'ch  welchen  der  von  Süden  nach  Norden 
aufsteigende  Lauf  geht,  derFrühlingspunkt,  der  entgegen- 
gesetzte der  Herbstpunkt  heißt,  und  zwei,  die  auf  dem 
durch  die  beiden  Pole  gezogenen  (Kolur-)  Kreis  einander 
natürlich  gleichfalls  diametral  gegenüberliegen,  die  söge-  10 
nannten  Wendepunkte,  von  denen  der  südlich  des  Äquators 
gelegene  der  Wi  nterwendepunkt,  der  nördlich  des  Äquators 
gelegene  der  Sommerwendepunkt  heißt. 

Die  eine  Bewegung,  und  zwar  die  Bewegung  des  ersten 
Umschwungs,  welche  die  übrigen  alle  in  sich  begreift,  wird  16 
man  sich  beschrieben  und  sozusagen  zwischen  Grenzen  ab- 
geschlossen zu  denken  haben  von  dem  durch  die  beiden  Pole 
gehenden  größten  (Kolur-)  Kreis,  der  durch  seine  Umdrehung 
alles  übrige  mit  sich  von  Osten  nach  Westen  um  die  Pole 
des  Äquators  herumführt,  welche  auf  dem  sogenannten  Meri-  20 
dian   (oder  Mittagskreis)  gewissermaßen   im   Ruhezustande 
verharren.  Von  dem  erstgenannten  (dem  Kolur)  unterscheidet  Hei  so 
sich  dieser  Kreis  nur  dadurch,  daß  er  nicht  jederzeit  (wie 
ersterer)    auch   durch   die   Pole   des   schiefen   Kreises    (der 
Ekliptik)  geht.    Mittagskreis  heißt  er,  weil  er  als  dauernd  25 
senkrecht  zum  Horizont   zu  denken  ist;    diese   ihm  eigene 
Lage  teilt  nämlich  beide  Halbkugeln,  sowohl  die  über  als 
die  unter  der  Erde  gelegene,  in  zwei  Hälften  und  macht  so- 
mit die  Bestimmung  der  Mitten  von  Tag  und  Nacht  (d.  i. 
des  Mittags  und  der  Mitternacht)  möglich.  30 

Die  zweite,  sich  vielfach  verzweigende  Bewegung,  welche 
von  der  ersten  mit  inbegriffen  wird,  aber  ihrerseits  die  Sphären  Ha  25 
aller  Wandelsterne  in  sich  begreift,  wird  man  sich  von  ^er 

a)  Es  sind  die  Schnittpunkte  des  Äquators  mit  dem  Nacht- 
gleichenkolur ,  der  nicht  durch  die  Pole  beider  Kreise  geht, 
sondern  nur  durch  die  des  Äquators.  Die  ausdrückliche  Er- 
wähnung dieses  Kolurs  wird  hier  vermißt. 


24  Erstes  Buch.    Neuntes  und  zehntes  Kapitel. 

erstbeschriebenen  zwar,  wie  gesagt,  mitgenommen,  aber  (an 
sich)  in  entgegengesetzter  Richtung  um  die  Pole  des  schiefen 
Kreises  (der  Ekliptik)  verlaufend  zu  denken  haben.  Diese 
Pole,  welche  ihrerseits  auf  dem  die  erste  Umdrehung  be- 
6  wirkenden  Kreise,  d.  h.  auf  dem  durch  beide  Pole  (sowohl 
den  des  Äquators  als  den  der  Ekliptik)  gehenden  (Kolur)^ 
ewig  ihren  festen  Stand  haben,  werden  natürlich  mit  letzterem 
herumbewegt  und  behalten  dadurch  bei  dem  (täglichen)  Um- 
schwung, der  zur  zweiten  Bewegung  entgegengesetzt  ver- 
10  läuft,  zum  Äquator  immer  dieselbe  Lage.*^ 

Neuntes  Kapitel. 
Von  den  Aufgaben  des  besonderen  Teils. 

Der  vorbereitende  allgemeine  Teil  kann  in  der  Hauptsache- 
mit  der  vorstehenden  Erörterung  der  Verhältnisse,  welche 
vorausgesetzt  werden  mußten,  als  abgeschlossen  betrachtet 
werden.  Im  Begriff  zu  den  speziellen  Beweisen  überzugehen, 

16  von  denen  unseres  Erachtens  an  erster  Stelle  derjenige  zu 

stehen  hat,  durch  welchen  festgestellt  wird,  wie  groß  der 

Hei  31  zwischen  den  obengenannten  Polen  (des  Äquators  und  der 

Ekliptik)  liegende  Bogen  des  durch  sie  gezogenen  größten 

(Kolur-)  Kreises   ist,    sehen   wir   uns   genötigt,   vorher  die 

20  Lehre  von  dem  Größenbetrag  der  Geraden  im  Kreis  (d.  i. 
der  Sehnen)  mitzuteilen,  da  wir  unsere  Absicht  durchzu- 
führen gedenken,  ein  für  allemal  alle  Lehrsätze  auf  Grund 
von  geometrischen  Konstruktionen  zu  beweisen. 

Zehntes  Kapitel. 
Größenverhältnis  zwischen  Sehnen  und  Kreisbogen. 

Ha  26      Zum  bequemen  Handgebrauch  wollen  wir  nächstdem  in 

25  Tabellenform   die  Größenbeträge   zusammenstellen,   welche 

auf  die  Sehnen   entfallen,    wenn  wir   den  Kreisumfang  in 

a)  Die  Worte  tov  yqucpoiihov  di  ccvtfjg  (Cod.  D  ccvtav)  (isyißrov 
xal  Xo^ov  y.vy.Xov  halte  ich  für  ein  sinnloses  Einschiebsel,  mag 
man  nun  mit  Heiberg  Si'  avt^g  lesen,  was  gar  keinen  Bezug 
hat,  oder  mit  D  di  avtmv:  die  Ekliptik  geht  doch  wahrlich 
nicht  durch  ihre  eigenen  Pole. 


Verhältnis  zwischen  Bogen  und  Sehnen.  25 

360  Abschnitte  (oder  Grade)  zerlegen,     und  zwar  wollen 
wir  die  Sehnen  in  Ansatz  bringen,  welche  die  von  Yg^  ^^ 
Ya^  anwachsenden  Bogen  unterspannen,  d.  h.  wir  wollen  fest- 
stellen, wie  viel  Teile  (partes)  des  Durchmessers  auf  diese 
Sehnen  entfallen,    wenn   derselbe  in  120  Teile  (120p)  ge-    5 
teilt  ist;  denn  diese  Teilung  wird  sich  in  den  Zahlen  bei 
Ausführung  der  Eechnungen  selbst  als  praktisch  erweisen. 
Vorher  werden  wir  aber  mit  Hilfe  von  möglichst  wenigen 
Lehrsätzen,    die  sich  immer  wiederholen,    zeigen,   wie  wir 
nach  einer  praktischen  und  schnell  durchführbaren  Methode  10 
den  auf  die  Größenbeträge  der  Sehnen  entfallenden  Zusatz- 
betrag*)  ermitteln,   damit   wir  nicht  nur   die  Größen   der 
Sehnen   in   fertigberechneten  Beträgen  (zum   mechanischen 
Gebrauch,  d.  h.)  ohne  uns  Rechenschaft  zu  geben,  wie  wir  Hei  32 
dazu  kommen,   zur  Hand  haben,    sondern  damit  wir  auch  15 
mit  Hilfe  ihrer  regelrechten  geometrischen  Konstruktion  so- 
fort den  Beweis  der  Richtigkeit  antreten  können.     Im  all- 
gemeinen werden  wir  jedoch  die  Ansätze  der  Zahlen  nach 
dem  Sexagesimalsystem  machen,  weil  die  Anwendung  der 
Brüche  unpraktisch  ist.    Wir  werden  uns  ferner  an  die  Er-  20 
gebnisse  von  Multiplikation  und  Division  nur  insoweit  binden, 
als  wir  den  Näherungswert  zu  ermitteln  bestrebt  sind, 
d.  h.  insoweit  als  der  zu  vernachlässigende  Rest  nur  eine 
unbeträchtliche  Differenz  gegen  den  Wert  darstellt,  welcher 
für  die  sinnliche  Wahrnehmung  der  genaue  ist.  25 

Es  sei  ABT  ein  Halbkreis  auf  dem  Durchmesser  AAP  um  das 
Zentrum  A.  Von  A  aus  ziehe  man  AB  rechtwinklig  zu  Af  und  Ha  27 
halbiere  AT  in  Punkt  E.      Dann  ziehe  man  die  Verbindungs- 
linie E  B,  trage  ihr  gleich  EZ  ab  und 
verbinde  Z  mit  B  durch  eine  Gerade. 
Meine  Behauptung  geht  dahin: 

A.  ZA  ist  die  Seite  des   (ein- 
geschriebenen) Zehnecks. 

B.  BZ  ist  die  Seite   des    (ein-  -^ 
geschriebenen)  Fünfecks. 

a)  D.  s.  die  in  der  dritten  Spalte  der  Sehnentafeln  stehenden 
Sechzigteile. 


26  Erstes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

Beweis  zu  A.    Da  die  Gerade  AP  in  E  halbiert  ist  und 
in  ihrer  Fortsetzung  die  Gerade  AZ  liegt,  so  gilt  der  Satz 
Hei 83  rz  •  ZA  -f  EA*  =  EZ*.   (Eukl.  II.  6) 

Nun  ist  EZ  =  EB,     (nach  Konstruktion) 

5        folglich      rz  •  ZA  +  EA'  =  EB«. 

Es  ist  aber  EB^  =  EA*-1- AB*,    (Eukl.  I.  47) 

folglich   rZ-ZA  +  EA*=EAHAB«, 

oder  rZZA  =  AB*,    beiderseits  EA-  abgezogen. 

Nun  ist  AB  =  Ar, 

10      folglich  rzzA  =  Ar», 

oder  rZ:Ar  =  Ar:ZA. 

Mithin  ist  fZ  in  Punkt  A  nach  äußerem  und  mittlerem 
Verhältnis  (d.  i.  im  Verhältnis  des  „goldenen  Schnittes")  ge- 
schnitten (nach  Eukl.  VI.  Def.  3).  Da  nun  (nach  Eukl.  XIII.  9) 
15  die  Seite  des  eingeschriebenen  Sechsecks  und  die  Seite  des 
in  denselben  Kreis  eingeschriebenen  Zehnecks,  beide  auf  die- 
selbe Gerade  abgetragen,  nach  äußerem  und  mittlerem  Ver- 
hältnis geschnitten  werden,  und  da  ferner  A  f  als  Halbmesser 
(nach  Eukl.  IV.  15  Zusatz)  die  Seite  des  Sechsecks  mißt, 
20  so  ist  folglich  ZA  gleich  der  Seite  des  Zehnecks. 

Beweis  zu  B.     Es  ist  (nach  Eukl.  XIII.  10)  das  Quadrat 
der  Seite  des  eingeschriebenen  Fünfecks  gleich  der  Summe 
der  Quadrate  der  Seiten  des  in  denselben  Kreis  eingeschrie- 
benen Sechsecks  und  Zehnecks.    Nun  ist  in  dem  rechtwink- 
25  ligen  Dreieck  BAZ 
Hei34  BZ*=BA*+ZA'.    (Eukl.  I.  47) 

Ha  28      Es  ist  aber  BA  (als  Halbmesser)  die  Seite  des  Sechsecks, 
und  ZA  (wie  oben  bewiesen)  die  Seite  des  Zehnecks:  folg- 
lich ist  (nach  dem  angeführten  Satze)  BZ  die  Seite  des 
80  Fünfecks. 

Mit  Hilfe  der  vorstehend  bewiesenen  Verhältnisse  gelangen 
wir,  da  wir,  wie  gesagt,  den  Durchmesser  des  Kreises  gleich 
120^  setzen,  zur  Bestimmung  folgender  Sehnen. 
1.  AE=y,r  =  30P,     also  AE*  =  900P*, 

35  AB=      r  =  60P,     also  AB*=3600p', 


Verhältnis  zwischen  Bogen  und  Sehnen.  27 

mithin     EB*=4500P^  als  Summe  der  beiden  Quadrate, 

folglich    E  B  =  67^  4'  55". 

Da  nun  EB  =EZ,    (nach  Konstruktion) 

und  ZA  =  EZ-AE, 

so  ist       ZA  =  67P4'55"-30P  =  37P4'55".  6 

Mithin  ist  die  Seite  des  Zehnecks,  welche  einen  Bogen 
von  36^,  wie  der  Kreis  360*^  hat,  unterspannt,  gleich  37^4'  55" 
in  dem  Maße,  in  welchem  der  Durchmesser  gleich  120^  ist. 

2.  ZA  =37^4' 55",     also   Z A»=  1375P'4'15", 
(AB=r=60P,        also)  AB*-3600P',  10 

mithin     BZ2=  4975^^4' 15"  als  Summe  der  beiden  Quadrate, 
folglich  BZ  =70^32 '3".  Hei 35 

Mithin  ist  die  Seite  des  Fünfecks,  welche  einen  Bogen 
von  72®  unterspannt,  wie  der  Kreis  360<^  hat,  gleich  70p  32'  3" 
in  dem  Maße,  in  welchem  der  Durchmesser  gleich  120^  ist.  15 

3.  Ohne  weiteres  ist  klar,  daß  die  Seite  des  Sechsecks, 
welche  einen  Bogen  von  60®  unterspannt,  da  sie  dem  Halb- 
messer des  Kreises  gleichkommt,  gleich  60^  ist. 

4.  Desgleichen  ist  die  Seite  des  Quadrats,  welche  einen 
Bogen  von  90®  unterspannt,  ins  Quadrat  erhoben  gleich  dem  20 
doppelten  Quadrat  des  Halbmessers,  d.i.  gleich  7200^^,  mit- 
hin an  sich  gleich  84^51' 10"  in  dem  Maße,  in  welchem  der 
Durchmesser  gleich  120"^  ist. 

5.  Desgleichen  ist  die  Seite  des  gleichseitigen  Drei- 
ecks, welche  einen  Bogen  von  120®unterspannt,  ins  Quadrat  25 
erhoben  gleich  dem  dreifachen  Quadrat  des  Halbmessers^^, 
d.i.  gleich  10800?^  mithin  an  sich  gleich  103^55 '23"  in  Ha 29 
dem  Maße,  in  welchem  der  Durchmesser  gleich  120^  ist. 

Die  auf  diese  Weise  gewonnenen  Sehnen  sollen  nun  sofort, 
wie  sie  sind,  von  uns  in  Gebrauch  genommen  werden.  30 

6.  Es  wird  ohne  weiteres  einleuchten,  daß  von  den  (unter 
1 — 5)  bestimmten  Sehnen  (5j  aus  leicht  diejenigen  (,s)  sich 
bestimmen  lassen,  welche  die  zugehörigen  Supplementbogen 
unterspannen,  weil  die  Summe  der  Quadrate  beider  Sehnen  Hei  36 
gleich  ist  dem  Quadrate  des  Durchmessers  (s^  +  ,s^  =  d^^  35 
mithin  ,5  =  Yd^  —  s*). 


28  Erstes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

Beispiel:  Die  Sehne  (s)  zum  Bogen  von  36*^  (sh3Q^)  war 
mit  37^4' 55"  nachgewiesen. 

s«=  1375^*4' 15",     d»=14400P\ 
,s>  =  d»-s»=13024P'55'45", 
6  ,s,  d.  i.  s6l44^   =114^7 '37". 

Dasselbe  Verfahren  wird  man  auch  in  den  übrigen  Fällen 
(2 — 5)  einschlagen. 

Auf  welche  Weise  man  von  diesen  Sehnen  ausgehend  auch 
die  übrigen  der  Reihe  nach  bestimmen  kann,  werden  wir  im 
10  weiteren  Verfolg  zeigen,  nachdem  wir  zuvor  einen  Lehrsatz 
mitgeteilt  haben,  welcher  für  die  Lösung  vorliegender  Auf- 
gabe mit  Erfolg  anzuwenden  ist. 

Es  sei  in  den  Kreis  ein  beliebiges 

Viereck   AB  TA    eingeschrieben,  in 

^^      Xl^^^^^         ^^^^^       welchem  man  die  Diagonalen  A  r  und 

BA  ziehe. 

Lehrsatz.    Das  aus  den  Diago- 
nalen gebildete  Rechteck  ist  gleich 
der   Summe   der   aus    den   einander 
^^        ^^^^^T'"^     ^^^         gegenüberliegenden  Seiten  gebildeten 

Rechtecke,  d.  i. 
ArBA  =  ABAr-f  AABr. 

Beweis.    Man  mache  durch  Konstruktion 

/_ABr  =  /,ABE;  beiderseits  /.EBA  addiert, 
Haso      gibt        /,ABr-|-/.EBA  =  /.ABE  +  /.EBA 

26       oder  /.EBr=Z.ABA. 

Hei  37     Nun  ist  auch       /.BrE  =  /.BAA,  weil  sie  denselben  Bogen 
folglich  ABTEr^ABAA,  [unterspannen  ^\ 

mithin  Br:rE  =  BA:AA,  (EukL  VL  4) 

30       oder  AABr  =  rEBA.    (Eukl.  VL  16) 

Es  ist  ferner  zunächst  wieder  (wie  oben) 
Z.ABE  =  /.ABr; 
femer  ist  /.BAE  =  /.BAr,  (Eukl.  IIL  21) 

folglich  ABAEr^ABATi 

36       mithin  BA:AE=BA:Ar, 

a)  Es  sind  Peripheriewinkel  auf  demselben  Bogen  (Eukl.  IIL  21). 


Verhältnis  zwischen  Bogen  und  Sehnen.  29 

oder  AB.Ar  =  AE    BA. 

Nun  war  AABr  =  rEBA;  durch  Sununierung 

folglich  ABAr  +  AABr  =  AEBA  +  rEBA 
=  (AE4-rE)BA 

=  A  r  •  B  A ,  was  zu  beweisen  war.     5 
Dieser  Lehrsatz  mußte  vorausgeschickt  werden. 
I.  Es  sei  AB  TA  ein  Halbkreis  auf  dem  Durchmesser  AA. 
Von  A  aus  ziehe  man  die  beiden  Sehnen  AB  und  AT.    Jede  Hei  38 
derselben  sei  der  Größe  nach  gegeben  in  dem  Maße,  in  welchem 
der  Durchmesser  mit  120^  gege-  ^  10 

ben  ist.  Man  ziehe  die  Verbindungs- 
linie Bf.  Meine  Behauptung  geht 
dahin,  daß  auch  die  Sehne  B  f  sich 
bestimmen  läßt. 

Beweis.    Man  ziehe  die  Sehnen  ^     15 

BA  und  TA.  Gegeben  sind  natürlich  auch  diese,  weil  sie 
die  Supplementbogen  der  gegebenen  Sehnen  unterspannen 
(Satz  6  S.  27f.).  Da  AB  PA  ein  in  den  Kreis  eingeschriebenes 
Viereck  ist,  so  gilt  (nach  dem  vorausgeschickten  Satz) 

AB.rA  +  AA.Br  =  Ar.BA.  20 

Gegeben  ist  sowohl  Af-BA,  als  auch  AB«  TA,  folglich  Ha  si 
auch  die  DiiFerenz  AA  •  Bf.    Nun  ist  AA  der  Durchmesser, 
mithin  ist  auch  die  Sehne  Bf  zu  bestimmen. 
(AA.Br  =  Ar.BA-AB.rA 

Es  lautet  demnach  der  hieraus  sich  ergebende 
Lehrsatz.    Wenn  zwei  Bogen  und  die  sie  unterspannen- 
den Sehnen  gegeben  sind,  so  wird  auch  die  Sehne  gegeben 
sein,  welche  die  Differenz  der  beiden  Bogen  unterspannt. 

Es  leuchtet  ein,  daß  wir  mit  Hilfe  dieses  Lehrsatzes  so-    30 
wohl  nicht  wenige  andere  Sehnen  nach  den  von  Fall  zu  Fall 
gegebenen  Differenzen  in  die  Tafeln  eintragen  werden,  als  Hei 39 
auch  insbesondere  die  den  Bogen  von  12°  unterspannende 
Sehne,  da  wir  ja  sowohl  die  Sehne  zum  Bogen  von  60^  als 
auch  die  zum  Bogen  von  72°  zur  Verfügung  haben.  35 


30  Erstes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

II.  Es  sei  die  Aufgabe  gestellt,  wenn  irgendeine  Sehne 
gegeben  ist,  die  zur  Hälfte  des  unterspannenden  Bogens 
gehörige  Sehne  zu  finden. 

Es  sei  ABT  ein  Halbkreis  auf  dem  Durchmesser  A  f.    Ge- 
5  geben  sei  die  Sehne  B  f,  und  der  Bogen  B  f  sei  halbiert  in 

Punkt  A.  Man  ziehe  die  Sehnen 
AB,  AA,  BA,  Ar  und  fälle  von 
A  auf  A  r  das  Lot  A  Z.  Meine  Be- 
hauptung geht  (zunächst)  dahin, 
10      L:^;^-^^  /  r^       daß 

-^ti^  rz=%(Ar-AB). 

Man    trage   A  E  =  A  B    ab   und 

ziehe  die  Verbindungslinie  AE.   Da  AB  gleich  AE  und  AA 

gemeinsame  Seite  ist,  so  sind  die  zwei  Seiten  AB  und  AA 

15  (des  A  BAA)  gleich  den  zwei  Seiten  AE  und  AA  (des  A 

EAA).    Nun  sind  auch  die  (von  den  zwei  gleichen  Seiten 

eingeschlossenen)  Winkel  BAA  und  EAA  (nach  Eukl.  III. 

27)  einander  gleich;  folglich  sind  auch  (nach  Eukl.  I.  4) 

die  Gnindlinien  BA    und  AE    einander   gleich.      Nun   ist 

20  B  A  =  A  r,  folglich  auch  A  E  =  A  f.   Da  mithin  das  Dreieck 

Ha 32  EAP  ein  gleichschenkliges  ist,  und  da  das  Lot  AZ  von  der 

Hei4oSpitze  auf  die  Grundlinie  gefällt  ist,  so  ist  (nach  Eukl.  I.  26) 

EZ=rZ.    Nun  ist  Er=  EZ  + rZ  die  ganze  Differenz  der 

Sehnen  AB  und  AT,  folglich 

25  'rZ=%(Ar-AB). 

Da  ferner,  wenn  die  den  Bogen  B  f  unterspannende  Sehne 

•  gegeben  ist,  ohne  weiteres  auch  die  den  Supplementbogen 

AB  unterspannende  Sehne  (Satz  6  S,  2 7 f.)  gegeben  ist,  so 

wird  auch  ^7.  als  ^^if^^  —  AB)  gegeben  sein.    Da  nun  in 

30  dem  rechtwinkligen  Dreieck  AAP  das  Lot  AZ  gefällt  ist, 

so  erhält  man 

AAAT^AAZr,    (Eukl.  VL  8) 
mithin        AT:  TA  =  AT:  TZ. 

oder         Arrz  =  Ar'. 

35       Gegeben  ist  AT-  TZ  (und  zwar  AT  als  (^  =  120^),  folg- 
lich ist   auch   Af^  gegeben,   mithin    auch   die   Sehne  AT 


Verhältnis  zwischen  Bogen  und  Sehnen.  31 


(=  -j/ÄT.  1/2 [AT—  AB]),  welche  die  Hälfte  des Bogens  BT 
unterspannt,  was  zu  beweisen  war. 

Mit  Hilfe  dieses  Lehrsatzes  werden  wieder  sowohl  sehr 
viele  andere  Sehnen  gewonnen  werden,  welche  die  Hälfte 
der  Bogen  von  früher  bestimmten  Sehnen  unterspannen,  als  5 
auch  insbesondere  aus  der  den  Bogen  von  12^  unterspan- 
nenden Sehne  (sukzessive)  die  Sehnen  zu  den  Bogen  von  6^, 
3®,  lYg^  und  74^-  Wir  finden  bei  Ausführung  der  Rech- 
nung in  dem  Maße,  in  welchem  der  Durchmesser  gleich  Hei« 
120P  ist:  10 

die  Sehne  zu  dem  Bogen  von  ly/  -=  P34'15", 
die  Sehne  zu  dem  Bogen  von    %«  =  0^47  8". 

HI.  Es   sei  AB  TA   ein  Kreis 
um  den  Durchmesser  A  A  und  das  X^Tm^^^^^hT' 

Zentrum  Z.  Von  A  aus  trage  man  //v^l3^^^^^^  1  \\         ^^ 

zwei  gegebene  Bogen  A B  und  Bf         j    J^x^^--..    1  \\ 
hintereinander  ab  und  ziehe  die    ^^  v^^      \  l^^'^j^ 

Sehnen  A  B  und  B  f,  welche  gleich-        \  ^^\     \   //       ^* '' 

falls  gegeben   seien.     Meine  Be-         \  ^\\  J 

hauptung  geht  dahin,  daß,  wenn  \^  y^j^         20 

wir   die   Sehne  AT  ziehen,  auch  "^^^ 

diese  sich  bestimmen  lassen  wird. 

Durch  Punkt  B  sei  BZE  als  ein  Durchmesser  des  Kreises 
gezogen.  Alsdann  ziehe  man  die  Sehnen  BA,  TA,  FE 
und  AE.  Ohne  weiteres  ist  klar,  daß  mit  der  Sehne  Bf  25 
die  Sehne  FE,  mit  der  Sehne  AB  die  Sehne  BA,  und 
(mit  dieser  wieder)  die  Sehne  A  E  gegeben  sein  wird.  Nach 
dem  oben  (S.  28,  17)  mitgeteilten  Lehrsatz  gilt,  weil  BFAE 
ein  in  den  Kreis  eingeschriebenes  Viereck  mit  den  Diagonalen 
BA  und  FE  ist,  30 

BAFE^Br-AE  +  BEFA. 
(BE.rA  =  BAFE-BFAE.) 

Da  BA  •  FE  und  BF  •  AE  gegeben  ist,  so  ist  folglich  auch 
(als  die  Differenz)  BE-  FA  gegeben.    Nun  ist  auch  BE  als  Hei« 
Durchmesser  gegeben,  mithin  auch  als  übrigbleibende  (ün-  35 

bekannte)  die  Sehne  FA  (= :r^ \  bestimmbar, 


32  Erstes  Bucli.     Zehntes  Kapitel. 

und  hiermit  auch  die  den  Supplementbogen  unterspannende 
Sehne  AT,  was  zu  beweisen  war. 
Es  ergibt  sich  also  der 
Lehrsatz.  Wenn  zwei  Bogen  und  die  sie  unterspannenden 
5  Sehnen  gegeben  sind,  so  wird  auch  die  Sehne  gegeben  sein, 
welche  die  Summe  der  beiden  Bogen  unterspannt. 

Wenn  wir  zu  allen  bisher  bestimmten  Sehnen  immer  die 
den  Bogen  von  lYg^  unterspannende  Sehne  (S.  31,  ll)  hin- 
zufügen und  die  aus  dieser  Vereinigung  sukzessive  sich  er- 

10  gebenden  Sehnen  berechnen,  so  werden  wir  offenbar  zur 
Eintragung  in  die  Tafeln  einfach  sämtliche  Sehnen  (zu  den 
Gradzahlen)  erhalten,  welche  mit  2  multipliziert  durch  3 
teilbar  sein  werden  (lV2^x2  =  3^;  4^l^^x2  =  9^^  usw.). 
Übrig  werden  nur  noch  diejenigen  Sehnen  bleiben,  welche  in  die 

16  je  IV2®  betragenden  Zwischenräume  (iV^^— 3^  —  472^— 6" 
usw.)  hineingehören,  was  allemal  zwei  sein  werden  (die 
zu  2^  und  272^  die  zu  372^  ^^^  4°  usw.),  weil  wir  ja 
die  Eintragung  von  72^  zu  72^  durchführen  wollen.  Finden 
wir  also  die  Sehne  zu  dem  Bogen  von  72  ^  so  wird  uns 
Ha84  dieser  Wert  durch  Bildung  der  Summen  (Satz  III  S.  31,  13) 

21  oder  Differenzen  (Satz  I  S.  29,  7)  mit  den  gegebenen  Sehnen*', 
welche  die  Zwischenräume  begrenzen,  auch  zur  Aus- 
füllung der  Zwischenräume  mit  sämtlichen  übrigen  Sehnen 
verhelfen. 

26  IV.  Nun  kann  freilich,  wenn  z.  B.  die  Sehne  zu  dem  Bogen 
von  172°  gegeben  ist,  die  das  Drittel  desselben  Bogens 
unterspannende  Sehne  auf  dem  Wege  linearer  Darstellung 
auf  keinerlei  Weise  gefunden  werden.  Wäre  dies  möglich, 
dann  hätten  wir  ja  ohne  weiteres  auch  die  Sehne  zu  dem 

80  Bogen  von  ^^^  zur  Verfügung.     Deshalb  werden  wir  zu- 

Hei 43  förderst  die  Sehne  zu  dem  Bogen  von  1®  aus  den  Sehnen  zu 

den  Bogen  von  1 72^  iind  ^4^  auf  methodischem  Wege  ableiten'^) 

a)  Man  wird  die  Sehne  zu  2*^  erhalten  ans  der  Addition  der 
zu  lYg^  und  Yg*^  gegebenen  Sehnen,  die  Sehne  zu  2^/^^  aus  der 
Subtraktion  der  zu  3°  und  Yg^  gegebenen  Sehnen  usw. 

b)  Um  aus  dieser  Sehne  nach  dem  Satz  II  S.  30,  1  die  Hälfte 
erhalten  zu  können. 


Verhältnis  zwischen  Bogen  und  Sehnen. 


33 


15 


unter  Zugrundelegung  eines  Satzes,  der  zwar  mit  absoluter 
Genauigkeit  die  Größenbeträge  nicht  festzustellen  vermag, 
aber  bei  so  minimalen  Größen  doch  wenigstens  einen  Wert 
liefern  kann,  der  sich  für  die  sinnliche  Wahrnehmung  von 
dem  absolut  genauen  nur  ganz  unwesentlich  unterscheidet.  5 
Es  lautet  dieser 

Lehrsatz.   Wenn  in  einem  Kreise  zwei  ungleiche  Sehnen 
gezogen  werden,  so  ist  das  Verhältnis  der  größeren  Sehne 
zur  kleineren  Sehne  kleiner  als  das  Verhältnis  des  Bogens 
auf  der  größeren   Sehne  zu  dem  Bogen  auf  der  kleineren  10 
Sehne. 

In  dem  Kreise  AB  TA  ziehe  man  zwei  ungleiche  Sehnen, 
die  größere  sei  TB,  die  kleinere 
BA.    Meine  Behauptung  geht  da- 
hin, daß 

srB:sBA<&rB:feBA. 

Beweis.  Der  Winkel  ABT  soll 
durch  die  Sehne  B  A  halbiert  sein. 
Man  ziehe  die  Sehnen  AEf,  AA 
und  TA.  Weil  der  Winkel  ABT 
durch  die  Sehne  B  A  halbiert  wird, 
so  ist 

rA  =  AA,  (Eukl.  III.  26.29)*) 
rE>EA.    (Eukl.  VI.  3) 

Nun  fälle  man  von  A  auf  AEf  das  Lot  A  Z.  Da  A  A  )>  E  A  h  a  35 
und  E  A  >  AZ,  so  wird  ein  um  A  als  Zentrum  mit  dem  Ab-  26 
stand  EA  beschriebener  Kreis  AA  schneiden,  aber  über  AZ 
hinausgehen.     Man   beschreibe  also  den  Kreisbogen  HEG 
und  verlängere  AZ  bis  0. 

Dann  ist  sZ:^AE0>AAEZ  30 

und  AAEA>sÄ:^AEH; 

folglich       AAEZ:AAEA<sÄ:iAE0:sÄ;^AEH. 


20 


Hei  44 


a)  Da  die  Bogen  AA  und  TA  gleichgroße  Winkel  über- 
spannen, so  sind  sie  einander  gleich;  es  sind  aber  auch  die 
gleichgroße  Bogen  unterspannenden  Sehnen  TA  und  AA  ein- 
ander gleich. 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius,   I.  3 


34 


Erstes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 


Nun  ist    AAEZ:  AAEA  =  ZE:EA   (Eukl.  VI.  1) 
und        sU  AEO  :sUAEH  =  LZ  AE:LEAA, 
folglich  ZE  :  EA  <  Z.  ZAE  :  /.  EAA. 

Durch  Verbindung  ist  (nach  Eukl.  V.  Def.  15) 
6  (ZE  +  EA  :  EA  <  L  ZAE -fL  EAA  :L  EAA  oder) 

ZA:EA<Z.ZAA:/.EAA. 

Durch  Verdoppelung  der  Vorderglieder  ist 

(2ZA  :  EA  <  2iL  ZAA  :  L  EAA  oder) 
Hei45  TA  :  EA  <  /_  TAA  :  L  EAA. 

10         Durch  Trennung  ist  (nach  Eukl.  V.  Def.  16) 

(rA-EA:EA</.rAA-Z.EAA:LEAA  oder) 
rE:EA<LrAE:LEAA. 
Nun  ist  rE:EA  =  srB:sBA   (Eukl.  VI.  3) 

und  /.rAE:LEAA  =  6rB:feBA,    (Eukl.  VI.  33) 

16         folglich  srB:sBA<ferB:fcBA,  was  zu  bew.  war. 

Unter  Zugrundelegung  vorstehenden  Lehrsatzes  gehen  wir 
Ha  36  nun  weiter.    Man  ziehe  in  dem  Kreise  ABT  die  Sehnen  A  B 
und  Ar.    Es  sei  nun 

Erste  Annahme: 
20  /-"^       "^-^  7?  sAB  =  s6y4«,   sAr  =  s6l«. 

Berechnung: 

sAr:sAB<6Ar:5AB 
<  6  1«:  5«//. 

Nun  wurde  (S.  31,  12)  nachge- 
25        \  /        wiesen,  daß  in  dem  Maße,  in  wel- 

chem der  Durchmesser  gleich  120^ 
ist,  5AB  =  0P47'8": 
folglich  s  A  r  :  0^  47'  8"  <  1  :  y^ 
oder        sAr<  Vg  x  0^47' 8" 
30  <  P2'60". 

Hei  46        Unter  Beibehaltung  derselben  Figur  sei 

Zweite  Annahme:  sAB  =  s&l®,    s^^  =  shV/^^. 
Berechnung:  sAT:  sAB  <  feAT:  6  AB 
<&iy/:6l«. 


Verhältnis  zwischen  Bogen  und  Sehnen.  35 

Nun  haben  wir  oben  (S.  31,  ll)   nachgewiesen,  daß  in 
dem  Maße,  in  welchem  der  Durchmesser  gleich  120^  ist, 
sAr=  1^34' 15";  (mit  Umstellung  der  Glieder  ist) 
folglich    sAB:lP34'l5">l:% 

oder  sAB>  V3xlP34'15"  6 

>  1^2' 50". 

Da  also  die  Sehne  zu  dem  Bogen  von  1^  einmal  (als  die 
größere  sAf)  kleiner,  das  andere  Mal  (als  die  kleinere 
s^B)  größer  als  der  nämliche  Betrag  (lP2'50")  nach- 
gewiesen worden  ist,  so  werden  wir  selbstverständlich  diese  10 
Sehne  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Durchmesser  gleich 
120^  ist,  ohne  beträchtlichen  Fehler  mit  1^2' 50"  ailsetzen, 
und  nach  dem  oben  (S.  30,  l)  mitgeteilten  Satz  (11)  auch 
die  Sehne  zu  dem  Bogen  von  ^/^^  mit  OP31'25". 

Die  übrigen  Zwischenräume  werden,  wie  gesagt,  zur  Aus-  16 
füllung  gelangen,  indem  man  z.  B.  im  ersten  Intervall  durch 
Bildung  der  Summe  (Satz  IH)  der  Sehnen  zu  den  Bogen 
von  lV2^'  uiid  Yg^  die   Sehne    zu   dem  Bogen  von  2^   ge-HaS7 
winnt,  und  dann  durch  Bildung  der  Differenz  (Satz  I)  der 
Sehnen  zu  den  Bogen  von  3  ^  und  Y2"   <^i®  Sehne  zu  dem  20 
Bogen    von  2^/2^  bestimmt,    und   so   fort  in   den   übrigen 
Zwischenräumen. 

Die  Aufgabe  der  Sehnenberechnung  dürfte  auf  dem  dar- 
gestellten Wege  meines  Erachtens  am  leichtesten  gehandhabt 
werden.    Um  aber,  wie  gesagt,  in  jedem  einzelnen  Bedarfs- Hei 47 
falle  die  Größenbeträge   der  Sehnen  fertigberechnet  sofort  26 
zur  Verfügung  zu  haben,  werden  wir  Tafeln  zu  je  45  Zeilen 
aufstellen,  weil  so  die  Symmetrie  der  Anordnung  gewahrt 
wird.*)    Die  erste  Spalte  dieser  Tafeln  enthält  die  Größen- 
beträge der  Bogen  unter  Zunahme  von   Yg^   ^^  V2^    ^^^  *^ 
zweite  die  Größenbeträge  der  zu  den  Bogen  gesetzten  Sehnen 
unter  Annahme   des   Durchmessers   zu    120^     endlich   die 


a)  Die  Sehnen  zu  360  halben  Graden  füllen  alsdann  genau 

-^  =  8  Seiten  der  Handschrift.     Im  Druck  ist  die  Zahl   der 
4o 

Seiten  auf  die  Hälfte  reduziert  worden. 

3* 


36  Erstes  Buch.     Elftes  Kapitel. 

dritte  Spalte  den  30*®^  Teil  der  jedesmal  auf  einen  halben 
Grad  entfallenden  Zunahme  der  betreffenden  Sehne.  Steht 
uns  nämlich  hiermit  der  Betrag  zur  Verfügung,  der  im  Mittel 
auf  den  60^^^  Teil  eines  ganzen  Grades  (d.  i.  auf  0®  1 ') 
5  entfallt,  ein  Betrag,  der  für  die  sinnliche  Wahrnehmung 
von  dem  genauen  Werte  kaum  verschieden  ist,  so  können 
wir  auch  für  die  Gradteile,  welche  zwischen  den  Hälften 
(d.  i.  zwischen  1 '  und  30 '  oder  30 '  und  60 ')  eines  Grades 
liegen,  die  auf  sie  entfallenden  Beträge  bequem  berechnen.  *) 

10  Es  ist  ferner  leicht  zu  begreifen,  daß  wir  mit  Hilfe  der 
nämlichen  Lehrsätze,  die  vorstehend  mitgeteilt  worden  sind, 
leicht  die  Probe  machen  und  die  nötige  Berichtigung  ein- 
treten lassen  können,  wenn  uns  ein  Zweifel  überkommt,  ob 
nicht  hinsichtlich  einer  der  in  den  Tafeln  angesetzten  Sehnen 

15  ein  Schreibfehler  vorliege.  Wir  gehen  hierbei  entweder  von 
der  Sehne  aus,  welche  den  doppelten  Bogen  der  zu  prüfen- 
den Sehne  unterspannt  (Satz  II),  oder  von  der  Differenz 
mit  irgendwelcher  anderen  Sehne,  die  gegeben  ist  (Satz  I), 
oder  endlich  von  der  Sehne,  welche  den  Supplementbogen 

20  unterspannt  (Satz  6,  S.  27,  31 ). 


Elftes  Kapitel. 
Die  Sehnentafeln 

g^j^gjgestalten  sich  folgendermaßen  ^^ : 


a)  So  wird  man,  um  die  Sehne  zu  dem  Bogen  von  3®37'  zu 
erhalten,  zu  der  für  SYg®  angesetzten  Sehne  noch  das  7 fache 
des  auf  1'  entfallenden  Betrags  der  dritten  Spalte  addieren. 

b)  Die  kleine  Abweichung  vom  griechischen  Original  erklärt 
sich  daraus,  daß  die  Kapitelüberschrift  nicht  auf  die  folgende 
Seite  gesetzt  werden  konnte. 


Sehnentafeln. 


37 


Bogen 

Sehnen 

Sechzigatel 

Bogen 

Sehnen 

Secbzigstel 

1 

QP  31'  25" 
1   2  50 
1  34  15 

1'  2"  50'" 
1   2  50 
1   2  50 

23» 
24 

23P  55'  27" 
24  26  13 
24  56  58 

1'   1"  33'" 
1   1  30 
1   1  26 

r- 

2   5  40 

2  37   4 

3  8  28 

1   2  50 

1   2  48 
1   2  48 

24V, 

25 

25V. 

26 

25  27  41 

25  58  22 

26  29   1 

1   1  22 
1   1  19 
1   1  15 

3V. 

4 

4V. 

3  39  52 

4  11  16 
4  42  40 

1   2  48 
1   2  47 
1   2  47 

26  59  38 

27  30  14 

28  0  48 

1   1  11 
118 
114 

5 

5  14   4 

5  45  27 

6  16  49 

1   2  46 
1   2  45 
1   2  44 

11''- 
.^, 

29 

29»/, 

30 

28  31  20 

29  1  50 
29  32  18 

110 
1   0  56 
1   0  52 

7V, 

6  48  11 

7  19  33 
7  50  54 

1   2  43 
1   2  42 
1   2  41 

30   2  44 

30  33   8 

31  3  30 

1   0  48 
1   0  44 
1   0  40 

8 

8  22  15 

8  53  35 

9  24  51 

1   8  40 
1   2  39 
1   2  38 

30V, 
31 

31»/, 

31  33  50 

32  4   8 
32  34  22 

1   0  35 
1   0  31 

1   0  27 

lOV. 

9  56  13 

10  27  32 
10  58  49 

1   2  37 
1   2  35 
1   2  33 

32 

32»/, 
33 

33»/, 
34 

35 

33   4  35 

33  34  46 

34  4  55 

1   0  22 
1   0  17 
1   0  12 

11 

11  30   5 

12  1  21 
12  32  36 

1   2  32 
1   2  30 
1   2  28 

34  35   1 

35  5   5 
35  35   6 

10   8 
10   3 
0  69  57 

13»/. 

13   3  50 

13  35   4 

14  6  16 

1   2  27 
1   2  25 
1   2  23 

36   5   5 

36  36   1 

37  4  55 

0  59  52 
0  59  48 
0  59  43 

14 

14  37  27 

15  8  38 
15  39  47 

1   2  21 
1   2  19 
1   2  17 

If'  ! 

87»/, 
38 

37  34  47 

38  4  36 
38  34  22 

0  59  38 
0  59  82 
0  59  27 

15V, 
16 

17 

17V, 

18 

16  10  56 

16  42   3 

17  18   9 

1   2  lä 
1   2  18 
1   2  10 

89   4   5 

39  33  46 

40  3  25 

0  59  22 
0  59  16 
0  59  11 

17  44  14 

18  15  17 
18  46  19 

1   2   7 
12   5 
12   2 

40»/, 

41 

41V, 
42 

40  33   0 

41  2  33 
41  32   3 

0  59   5 
0  59   0 
0  58  54 

18V, 

19 

19V, 

19  17  21 

19  48  21 

20  19  19 

12   0 
1   1  57 
1   1  54 

42   1  30 

42  30  54 

43  0  15 

0  58  48 
0  58  42 
0  58  36 

20 

20V, 
21 

21V, 

22 

22»,, 

20  50  16 

21  21  11 
31  52   6 

1   1  51 
1   1  48 
1   1  45^ 

42»/, 

48 

43»/, 

44 

43  29  33 

43  58  49 

44  28   1 

0  58  81 
0  58  25 
0  58  18 

22  22  58 

22  58  49 

23  24  39 

1   1  42 
1   1  39 
1   1  36 

44  57  10 

45  26  16 
45  55  19 

0  58  12 
0  58   6 
0  58   0 

38 


Erstes  Buch.     Elftes  Kapitel. 


Bogen 

Sehnen 

Sechzigstel 

Bogen 

Seimen 

Sechzigitel 

46V. 

46» 
46 

47 

24' 
53 
22 

19" 

16 

9 

0' 
0 
0 

57" 

57 

57 

54'" 

47 

41 

68« 

68V, 

69 

67» 

67 
67 

6' 
82 
58 

12" 
12 

8 

0' 
0 
0 

52"  l" 
51  52 
51  43 

47 
48 

47 
48 
48 

51 
19 

48 

0 
47 
30 

0 
0 
0 

57 
57 
57 

34 
27 
21 

69V, 
70 

70V. 

68 
68 
69 

23 
49 
15 

59 
45 
27 

0 
0 
0 

51  33 
51  23 
51  14 

48V, 

49 

49V. 

49 
49 
50 

17 
45 
14 

11 
48 
21 

0 
0 
0 

57 
57 
57 

14 
7 
0 

71 

71V, 
72 

69 
70 
70 

41 

6 

3t 

4 

36 

8 

0 
0 
0 

51   4 
50  55 
50  45 

50 

50V. 

51 

50 
51 
61 

42 
11 
39 

51 
18 
42 

0 

s 

56 
56 

56 

53 
46 
39 

72V, 

73 

7S1. 

74 

74V. 

75 

~75V. ' 
76 
76V, 

70 
71 
71 

57 
22 
47 

26 

44 
56 

0 
0 

0 

50  85 

50  26 
50  16 

51V. 

62 

52V, 

52 
52 
53 

8 

36 

4 

0 

16 
29 

0 
0 
0 

56 
56 
56 

32 
25 

28 

72 
72 
73 

13 

38 

S 

4 

7 
5 

0 
0 
0 

50   6 
49  56 
49  46 

53 

53 

54 
54 

32 
0 

28 

38 
43 

44 

0 
0 
0 

56 
56 
55 

10 

3 

55 

73 
73 

74 

27 
52 
17 

58 
46 
S9 

0 
0 
0 

49  36 
49  26 
49  16 

55V. 

54 
55 

55 

56 
24 
5^ 

42 
36 
26 

0 
0 
0 

55 
55 
55 

48 
40 
33 

77 

77V, 

78 

74 
7o 
75 

42 

6 

31 

7 
39 

7 

0 
0 
0 

49   6 
48  55 
48  45 

56 
56V. 

57 

57V. 

58 

58V. 

56 
56 

57 

20 

47 
15 

12 
54 
33 

0 
0 

ü 

55 
55 
55 

25 
17 

9 

78V, 

79 

79V, 

80 

80V. 
81 

75 

7« 
76 

55 
19 
43 

29 
46 

58 

0 
0 
0 

48  34 
48  24 
48  13 

57 

58 
58 

43 
10 

38 

7 

38 

5 

0 
0 
0 

55 
54 
54 

1 
53 
45 

77 
77 
77 

8 
32 
56 

5 
6 

2 

0 
0 
0 

48   3 
47  52 
47  41 

59 

59V. 
60 

59 
59 
60 

5 

32 

0 

27 

45 

0 

0 
0 
0 

54 
54 
54 

37 
29 
21 

81V, 

82 

82V. 

83 

83V, 

84 

78 
78 
79 

19 
43 

7 

58 
38 

18 

0 
0 
0 

47  31 
47  20 
47   9 

60V, 

61 

61V. 

60 
60 
61 

27 
54 
21 

11 
17 
19 

0 
0 
0 

54 
54 
63 

12 

4 

56 

79 
79 
80 

30 
54 
17 

52 

n 

45 

0 
0 
0 

46  58 
46  47 
46  36 

62 

61 
62 
62 

48 
15 
42 

17 

10 

0 

0 
0 
0 

53 

53 
53 

47 
39 
3U 

84V, 
85 
85  V. 

SO 
81 
81 

41 
4 
27 

3 
15 

22 

0 
0 
0 

46  25 
46  14 
46   3 

63V, 

64 

64V, 

63 
63 
64 

8 

35 

2 

45 
25 

2 

0 
0 
0 

53 
53 
53 

22 

13 

4 

86 

86V, 

87 

81 

82 
82 

50 
13 
36 

24 

19 

9 

0 
0 
0 

45  52 
45  40 
45  29 

65 

65V. 

66 

64 
64 
65 

28 
55 
21 

34 

1 

24 

0 
0 
0 

52 
52 
52 

55 
46 
37 

87V. 

88 

88V. 

82 
83 
83 

58 
21 
41 

54 
33 
4 

0 
0 
0 

45  18 
45   6 
44  55 

66V, 

67 

67V, 

65 
66 
66 

47 
13 
40 

43 

57 

7 

0 
0 
0 

52 

52 
52 

28 
19 
10 

89 

89V. 

90 

84 
84 
84 

6 

28 
51 

32 
54 
10 

0 
0 
0 

44  48 
44  31 
44  20 

Sehnentafeln. 


39 


Bogen 

Sehnen 

Sechzigste! 

Bogen 

Sehnen 

Sechzigatel 

90V  ,• 

91 

91V, 

85P  13'  20" 
85  35  24 
85  57  23 

0 
0 
0 

44"  8'" 
43  57 
43  45 

113« 

113V, 

114 

lOOP  3'  59" 
100  21  16 
100  38  26 

0'  34"  34'" 
0  34  20 
0  34   6 

92 

86 
86 
87 

19  15 

41   2 

2  42 

0 
0 
0 

43  33 
43  21 
43   9 

114»/- 

115 

115V, 

100 
101 
101 

55  28 
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29  15 

0  33  62 
0  33  39 
0  33  25 

94V, 
95 

87 
87 
88 

24  17 
45  45 

7   7 

0 
0 
0 

42  57 
42  45 
42  33 

116 

116»/, 

117 

101 
102 

102 

46  57 
2  33 
19   1 

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0  32  43 

88 
88 
89 

28  24 
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10  39 

0 
0 
0 

42  21 
42   9 
41  57 

117V, 

118 

118»/, 

119 

119V, 

120 

102 
102 
103 

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7  41 

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0  32  15 
0  32   0 

96»/, 

97 

97V, 

89 
89 
90 

31  37 
52  27 
13  15 

0 
0 
0 

41  45 
41  33 
41  21 

103 
103 
103 

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0  31  46 
0  31  32 
0  31  18 

98 
99 

90 
90 
91 

33  55 
54  29 
14  56 

0 
0 
0 

41   8 
40  55 
40  42 

120»/, 

121 

121»/, 

104 
104 

104 

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26  34 
41  59 

0  31   4 
0  30  49 
0  30  36 

99»/, 
100 

loov. 

91 
91 
92 

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55  32 
15  40 

0 
0 
0 

40  30 
40  17 
40   4 

122 

122»/, 

123 

104 
105 
105 

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12  26 
27  30 

0  80  21 
0  30   7 
0  29  62 

101 

loiv, 

102 

92 
92 
93 

35  42 
55  38 
15  27 

0 
0 
0 

39  52 

39  39 
39  26 

123»/, 

124 

124»/, 

105 
105 
106 

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57  14 
11  66 

0  29  37 
0  29  23 
0  29   8 

102V, 

103 

103V, 

93 
93 
94 

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14  17 

0 
0 
0 

39  13 
39   0 

38  47 

125 

125»/, 

126 

106 
106 
106 

26  29 
40  66 
55  15 

0  28  64 
0  28  39 
0  28  24 

104 

104V, 

105 

94 
94 
95 

33  41 

52  58 
12   9 

0 
0 
0 

38  34 
38  21 

38   8 

126»/, 

127 

127V, 

107 
107 
107 

9  27 
23  32 
37  30 

0  28  10 
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0  27  40 

105V, 

106 

106V, 

95 
95 
96 

31  13 

60  11 

9   2 

0 
0 
0 

37  55 
37  42 
37  29 

128 

128»/, 

129 

107 
108 
108 

61  20 

5   2 

18  37 

0  27  26 
0  27  10 
0  26  66 

107 

107V, 

108 

96 
96 
97 

27  47 

46  24 

4  56 

0 
0 
0 

37  16 
37   3 
36  50 

129V, 

130 

130»/, 

131 

131V, 

132. 

108 
108 
108 

32   6 
45  25 
58  38 

0  26  41 
0  26  26 
0  26  11 

108V. 

109 

109V, 

97 
97 
97 

23  20 
41  38 
59  49 

0 
0 
0 

36  36 
36  23 
36   9 

109 
109 
109 

11  44 
24  42 
37  32 

0  26  56 

0  25  41 
0  26  26 

110 

98 
98 
98 

17  54 
35  52 
53  43 

0 
0 
0 

35  56 
35  42 
35  29 

132V. 

133 

138»/, 

109 
110 
110 

60  15 

2  50 

15  18 

0  25  11 
0  24  66 
0  24  41 

1  \l^'' 

112V, 

99 
99 
99 

11  27 
29   5 
46  35 

0 

0 
0 

35  15 
35   1 
34  48 

134 

134V. 

135 

110 
110 
110 

27  39 
39  52 
51  67 

0  24  26 
0  24  10 
0  23  66 

40 


Erstes  Buch.     Elftes  Kapitel. 


Bogen 

Sehnen 

Sechzigste! 

Bogen 

Sehnen 

SechzigBtel 

135V,» 

111"^ 

3' 

54" 

0' 

23' 

40'" 

158» 

II7P 

47' 

43" 

0' 

11' 

51"' 

136 

111 

15 

44 

0 

23 

25 

158V, 

117 

53 

39 

0 

11 

35 

136V, 

111 

27 

26 

0 

23 

9 

159 

117 

59 

27 

0 

0 

11 
11 

19 
3 

137 

1  111 

39 

1 

0 

22 

54 

159V, 

118 

5 

7 

137V, 

111 

50 

28 

0 

22 

39 

160 

118 

10 

37 

0 

10 

47 

138 

112 

1 

47 

0 

22 

24 

160V, 

118 

16 

1 

0 

10 

31 

138V, 

112 

12 

59 

0 

22 

8 

161 

118 

21 

16 

0 

10 

14 

139 

112 

24 

3 

0 

21 

53 

161V, 

118 

26 

23 

0 

9 

58 

139V, 

112 

35 

0 

0 

21 

37 

162 

118 

31 

22 

0 

9 

42 

140 

112 

45 

48 

0 

21 

22 

162^,, 

118 

36 

13 

0 

9 

25 

uov. 

112 

56 

29 

0 

21 

7 

163 

118 

40 

55 

0 

9 

9 

141 

113 

7 

2 

0 

20 

51 

163V, 

118 

45 

30 

0 

8 

53 

141V, 

113 

17 

25 

0 

20 

36 

164 

118 

49 

56 

0 

8 

37 

142 

113 

27 

44 

0 

20 

20 

164V3 

118 

54 

15 

0 

8 

20 

142V, 

113 

37 

54 

0 

20 

4 

J.65 

165Va 

118 

58 

25 

0 

8 

4 

143 

113 

47 

26 

0 

19 

49 

119 

2 

26 

0 

7 

48 

143V, 

113 

57 

50 

0 

19 

33 

166 

119 

6 

20 

0 

7 

31 

144 

114 

7 

37 

0 

19 

17_ 
2 

166V, 
167 

119 

10 

6 

0 

7 

15 

144V, 

114 

17 

15 

0 

19 

119 

13 

44 

0 

6 

59 

145 

114 

26 

43 

0 

18 

46 

167V3 

119 

17 

13 

0 

6 

42 

145V, 

114 

36 

9 

0 

18 

30 

168 

119 

20 

34 

0 

6 

26 

146 

114 

45 

24 

0 

18 

14 

168V, 

119 

23 

47 

0 

6 

10 

146V, 

114 

54 

31 

0 

17 

59 

169 

119 

26 

52 

0 

5 

53 

147 

115 

3 

30 

0 

17 

43 

170 

119 

29 

49 

0 

5 

37 

147V, 

115 

12 

22 

0 

17 

27 

119 

32 

37 

0 

5 

20 

148 

115 

21 

6 

0 

17 

11 

17CV, 

119 

35 

17 

0 

5 

4 

148V, 

115 

29 

41 

0 

16 

55 

171 

119 

37 

49 

0 
0 

4 

4 

48 
31 

149 

115 

38 

9 

0 

16 

40 

171^;, 

119 

40 

13 

148V, 

115 

46 

29 

0 

16 

24 

172 

119 

42 

28 

0 

4 

14 

150 

115 

54 

40 

0 

16 

8 

17iV, 
173 

119 

44 

35 

0 

3 

58 

150V, 

116 

2 

44 

0 

15 

52 

119 

46 

85 

0 

3 

42 

151 

116 

10 

40 

0 

15 

36 

173V, 

119 

48 

26 

0 

3 

26 

151V, 

116 

18 

28 

0 

15 

20 

174 

174  V. 

119 

50 

8 

0 

3 

9 

152 

116 

26 

8 

0 

15 

4 

119 

51 

43 

0 

2 

53 

152V, 

116 

33 

40 

0 

14 

48 

175 

119 

53 

10 

0 

2 

36 

153 

116 

41 

4 

0 

14 

32 

175^,2 
176 

119 

54 

27 

0 

2 

20 

153V. 

116 

48 

20 

0 

14 

16 

119 

55 

38 

0 

2 

3 

154 

116 

55 

28 

0 

14 

0 

nt'U 

119 

56 

39 

0 

1 

47 

154V, 
155 

117 

2 

28 

0 

13 

44 

177 

177  V. 

119 

57 

32 

0 

1 

30 

117 

9 

20 

0 

13 

28 

119 

58 

18 

0 

1 

14 

iSöV, 

117 

16 

4 

0 

13 

12 

178 

119 

58 

55 

0 

0 

57 

156 

156V, 

117 

22 

40 

0 

12 

56 

178Vs 

119 

59 

24 

0 

0 

41 

117 

29 

8 

9 

12 

40 

179 

119 

59 

44 

0 

0 

25 

157 

117 

35 

28 

0 

12 

24 

179V, 

119 

59 

56 

0 

0 

9 

157V, 

117 

41 

40 

0 

12 

7 

180 

120 

0 

0 

0 

0 

0 

Erstes  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 


41 


Zwölftes  Kapitel. 
Der  zwischen  den  Wendepunkten  liegende  Bogen. 

Nachdem  der  Größenbetrag  der  Sehnen  festgestellt  ist,  dürftel^ej^ 
es,  wie  (S.  24, 16)  gesagt,  die  erste  Aufgabe  se&  nachzuweisen, 
wie  groß  die  Neigung  des  schiefen  Kreises  der  Ekliptik 
gegen  den  Äquator  ist,  d.  h.  das  Verhältnis  zu  bestimmen, 
in  welchem  der  durch  die  beiden  betreffenden  Pole  gehende  5 
größte  (Kolur-)  Kreis  zu  dem  zwischen  diesen  Polen  liegen- 
den Bogen  ebendieses  Kreises  steht.  Selbstverständlich  ist  dieser 
Bogen  gleich  dem 
Abstand,  welchen  der 
im  Äquator  liegende 
Punkt  (des  Kolurkrei- 
ses)  von  jedem  der 
beiden  Wendepunkte 
hat.^^  Ohne  weiteres 
lösen  wir  diese  Aufga- 
be auf  instrumentalem 
Wege  mit  Hilfe  fol- 
gender einfachen  Vor- 
richtung.^^ 

Wir  werden  einen 
metallenen  Ring  von 
angemessener  Größe 
herstellen,  der  an  sei- 
ner Oberfläche  genau 
vierkantig  abgeschärft 
ist  (so  daß  der  Quer- 
schnitt einQuadrat  dar- 
stellt).   Nachdem  wir 

ihn  in  die  üblichen  360  Grade  des  größten  Ejreises  und  jeden 
derselbenin  so  viel  Unterabteilungen  geteilthaben,  als  angängig  30 


10 


15 


20 


•26 


a)  Die  beigegebene  Figur  ist  meiner  Ausgabe  der  Hypoty- 
posis  des  Proklus,  Leipzig,  Teubner  1909  S.  42,  entnommen. 


42  Erstes  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 

ist,  soll  uns  dieser  Ring  als  Meridiankreis  dienen.  Wir  fügen  hier- 
auf einen  zweiten  schmaleren  kleinen  Ring  derartig  unter  den 
erstgenannten  ein,  daß  ihre  Seitenflächen  immer  in  e  in  er  Ebene 
bleiben,  während  der  kleinere  Ring  unter  dem  größeren  in  der- 
5  selben  Ebene  nach  Norden  und  nach  Süden  ungehindert  in  Um- 
drehung versetzt  werden  kann.  An  irgend  zwei  diametral 
gegenüberliegenden  Stellen  bringen  wir  auf  der  einen  Seiten- 
fläche des  kleineren  Ringes  zwei  kleine  gleichgroße  Platten 
Heißölan,  welche  sowohl  mit  Bezug  aufeinander  als  auf  den  Mittel- 

10  punkt  der  Ringe  genau  die  Richtung  der  Normalen  ein- 
halten.^^ Auf  die  Mitte  ihrer  Breitseite  sind  dünne  Zeiger 
aufgesetzt,  welche  an  der  Seitenfläche  des  größeren  ein- 
geteilten Ringes  unter  leichter  Berührung  entlanggleiten. 
Letzteren  bringen  wir  nun  im  Bedarfsfalle  jedesmal  in  feste 

15  Verbindung  mit  einer  Säule  von  entsprechender  Größe  und 
stellen  den  Fuß  der  Säule  auf  einer  Bodenfläche,  welche 
zur  Ebene  des  Horizonts  keinerlei  Neigung  hat,  unter  freiem 
Himmel  auf.  Nun  richten  wir  unsere  Aufmerksamkeit  darauf, 
daß  die  Ebene  der  Ringe  vertikal  zur  Ebene  des  Horizonts 

20  und  parallel  zur  Ebene  des  Meridians  verläuft.  Ersteres 
ermittelt  man  mit  Hilfe  eines  Bleilotes,  welches  von  dem 
Punkte  herabhängt,  der  die  Stelle  des  Zenits  vertreten  soll. 
Die  Beobachtung  des  Lotes  wird  so  lange  fortgesetzt,  bis  es 
(am  Meridiankreis)   infolge    der  Korrektion  der  Unterlagen 

25  die  Richtung  der  Normalen  nach  dem  diametral  gegenüber- 
liegenden Punkte  angenommen  hat.  Die  zweite  Forderung 
wird  dadurch  erfüllt,  daß  man  zunächst  auf  der  unter  der 
Säule  liegenden  Ebene  nach  sicheren  Punkten  eine  Mittags- 
linie bestimmt  und  dann  die  Ringe  so  lange  nach  links  oder 

30  rechts  derselben  verschiebt,  bis  durch  (seitliche)  Anvisierung 
der  parallele  Verlauf  der  Ringebene  mit  dieser  Linie  erzielt  ist. 
Nachdem  die  Aufstellung  in  der  beschriebenen  Weise  be- 
werkstelligt war,  richteten  wir  unser  Augenmerk  auf  die 
nördliche  oder  südliche  Deklination  der  Sonne,  indem  wir 

35  zur  Zeit  der  Mittagstunden  den  inneren  kleinen  Ring  ver- 
schoben, bis  die  untere  Platte  von  der  oberen  vollständig 
Hei  66  beschattet  wurde.    Wenn  dieser  Moment  eintrat,  gaben  uns 


Schiefe  der  Ekliptik. 


43 


die  Spitzen  der  Zeiger  genau  an,  wieviel  Grade  der  Zenit- 
abstand des  Zentrums  der  Sonne  im  Meridian  beträgt.**' 

Noch  praktischer  haben  wir  die  erforderliche  Beobachtung 
auf  folgende  Weise  angestellt.^)    Anstatt  der  Ringe  stellten 
wir    eine   quadratische   Platte   von  Stein   oder   Holz    ohne  h»  48 
jede  Verziehung  her,    deren  eine  Seitenfläche    gleichmäßig    6 
eben    und    genau    (quadratisch)    zugeschnitten    sein    muß. 
Auf   dieser    Seite    nahmen    wir    in    einer    von    den    Ecken 
einen  Punkt  (A)  als  Zentrum  an  und  beschrieben  von  da 
aus    einen   Quadranten    (BC).     Nun    zogen    wir    von    dem  lo 
Punkte  im  Zentrum  bis  an  die 
beschriebene  Kreislinie  die  Ge- 
raden   (AB,  AG),    welche    den 
rechten  Winkel  des  Quadranten 
bilden,   und  teilten  wieder  die 
Kreislinie  (des  Quadranten)  in 
die    (auf  sie    entfallenden)    90 
Grade    und    deren    Unterabtei- 
lungen.    Hierauf  brachten  wir 
auf  der  einen  Geraden  (AG),  wel- 
che vertikal  zur  Ebene  des  Hori- 
zonts   werden    und   die  Lage   nach  Süden    erhalten    sollte, 
zwei  senkrecht  stehende  ganz  gleichgroße  Stifte  an,  denen 
durch    genau    entsprechende    Abdrechselung    die    Gestalt 
kleiner  Zylinder  gegeben  war,  den  einen  gerade  auf  dem  25 
Punkt  (A)  im  Zentrum  genau  in   der  Mitte,    den    anderen 
am  unteren  Ende  (C)  der  Geraden.     Hierauf  stellten  wir  Hei  67 
diese  mit  der  Figur   versehene  Seite  der   Platte  längs  der 
auf  der  darunter  gelegenen  Ebene  gezogenen  Mittagslinie 
auf,  so  daß  sie  gleichfalls  (wie  die  Mittagslinie)  die  parallele  30 
Lage  zur  Ebene  des  Meridians  erhielt,  und  kontrollierten 
durch    ein    Bleilot    an    den    zylindrischen    Stiften,    ob    die 
durch   letztere  gehende  Gerade  (AC)    ohne  Neigung,    d.  i. 
vertikal    zur    Ebene    des    Horizonts    stand,    wobei    wieder 


16 


20 


a)  Die  Berechnung  der  Schiefe  wird  S   44,  12  fortgesetzt. 

b)  Die  Figur  ist  ähnlich  schon  von  Halma  beigegeben. 


44  Erstes  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 

einige  dünne  Unterlagen  die  nötige  Korrektion  vermittelten. 
Nun  beobachteten  wir  ebenfalls  wieder  zur  Zeit  der  Mittag- 
stunden den  Schatten,    welcher  von  dem  im  Zentrum  be- 
findlichen Stift  ausgeht,  indem  wir  dicht  an  die  gezogene 
5  Kreislinie  (des  Quadranten)  irgend  einen  (flachen)  Gegen- 
stand   hielten,    um    die  Schattenstelle    deutlicher    sichtbar 
werden    zu   lassen.     Dadurch,    daß   wir    die   Mitte    dieses 
Ha  49  Schattens    durch    einen   Punkt    markierten ,    erhielten   wir 
den  an  dieser  Stelle  befindlichen  Grad   der  Kreislinie  des 
10  Quadranten,  welcher,  wie  leicht  zu  begreifen,  genau  den  Ort 
in  Breite*^  kennzeichnet,  den  die  Sonne  im  Meridian  einnimmt. 
Aus  den  Beobachtungen  dieser  Art,  und  namentlich  aus 
denjenigen,  welche  gerade  um  die  Zeit  der  Wenden  bei  einer 
Mehrzahl  von  Umläufen  von  uns  mit  aller  Schärfe  angestellt 
15  wurden,    haben  wir,    weil  die  Markierung  der  Punkte  so- 
wohl bei  den  Sommerwenden  wie  bei  den  Winterwenden, 
vom  Zenit  ab  gerechnet,  im  großen  ganzen  auf  die  gleichen 
und  nämlichen  Grade  des  Meridians  traf,  das  Ergebnis  ge- 
wonnen,   daß    der   vom    nördlichsten    bis   zum    südlichsten 
20  Grenzpunkt  sich  erstreckende  Bogen,  was  der  zwischen  den 
HeiesGraden  der  Wenden  liegende  Bogen  ist,  allemal  zwischen 
die  Grenzen  47^40'  und  47^45'  fällt.  Hieraus  ergibt  sich  un- 
gefähr dasselbe  Verhältnis,  welches  Eratosthenes  gefunden 
und  auch  Hipp  arch  zur  Anwendung  gebracht  hat:  der  Bogen 
25  zwischen  den  Wendepunkten  beträgt  nämlich  ohne  wesent- 
lichen Fehler  11  solche  Teile,  wie  der  Meridian  83  enthält.^) 


a)  Zunächst  wird  aus  dem  gemessenen  Zenitabstand  die  Höhe 
Her  Sonne  über  dem  Horizont  gewonnen,  dann  weiter,  weil  die 
Äquatorhöhe  gleich  dem  Zenitabstand  des  gegebenen  Pols  ist,  die 
südliche  oder  nördliche  Deklination  der  Sonne:  Sonnenhöhe  — 
Äquatorhöhe  =  n.  D.,  Äquatorhöhe  —  Sonnenhöhe  =  s.  D. 

b)  Diese  --  entsprechen  nach  dem  Verhältnis  11  :  83  =  x  :  360** 

83 

einem  Bogen  von  47° 42' 40".  Danach  beträgt  die  Schiefe  der 
Ekliptik  nach  Eratosthenes  23<^51'20",  aufweichen  Wert  Ptole- 
maeus  in  der  Tabelle  der  Schiefe  zukommt,  während  sein  eigenes 
Mittel  zwischen  47<>45'  und  47''40'  nur  47^42' 30",  mithin  die 
Schiefe  nur  23<^51'15"  beträgt. 


Erstes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel.  45 

Leicht  zu  bestimmen  ist  ohne  weiteres  aus  dem  vor- 
liegenden Beobachtungsergebnis  die  geographische  Breite 
der  Wohnorte,  in  denen  wir  die  Beobachtungen  anstellen: 
erstens  wird  der  im  Äquator  liegende  Punkt  in  der  Mitte 
zwischen  den  beiden  Grenzpunkten  (d.  i.  die  Aquatorhöhe)  5 
gewonnen,  zweitens  der  zwischen  diesem  Punkt  und  dem  Zenit 
sich  erstreckende  Bogen,  welcher  bekanntlich  der  Polhöhe 
gleich  ist.®^ 

Dreizehntes   Kapitel. 

Einige  den  sphärischen  Demonstrationen 
vorauszuschickende  Lehrsätze. 

Da  es  unsere  nächste  Aufgabe  ist,  auch  die  von  Grad  zu  Ha  so 
Grad  anwachsenden  Größenbeträge  der  Bogen  nachzuweisen,  10 
welche  auf  den  größten  durch  die  Pole  des  Äquators  ge- 
zogenen   (Deklinations-)    Kreisen    zwischen    Äquator    und 
Ekliptik  liegen,    so  werden  wir  einige  kurze  und  brauch- 
bare   Lehrsätze    vorausschicken,    mit   deren   Hilfe    wir   so 
ziemlich    die    Mehrzahl    aller    Beweise    von    theoretischen  15 
Sätzen,  welche  sich  auf  die  Kugel  beziehen,  in  einer  mög- 
lichst einfachen  und  methodischen  Form  erledigen  werden. 

I.  In   zwei   Gerade   AB   und   AT   ziehe   man    zwei  sich 
kreuzende  Gerade  BE  und  PA  hinein,  welche  sich  in  Punkt  Zueißg 
schneiden  sollen.    Meine  Behauptung  geht  dahin,  daß  20 

,      /rE+EA       rZ-l-ZA        ZB  1,  TT   n  Ar   r.  ^  i-\ 

TA  _  ITA     ZB 
AE  ~  AZ  '  BE' 
Beweis.   Man  ziehe  durch  E  zu  TA 


25 


die  Parallele  EH. 

Weil  . 

diese  Linien 

parallel  sind, 

so  ist  (nach 

Eukl.  VI 

■4) 

TA 

TA 

AE 

-   EH' 

führt  man 

AZ 

als  Hilfsfaktor  ( 

Bin, 

so  wird 

TA 
EH 

TA 
~  AZ 

AZ 

•  EH  ' 

46  Erstes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 

.'  1   r  V.         i.  TA  TA     AZ 

Nun  ist  II  ==  ||,   weil    EH  ||  AZ.    (Eukl.  VI.  4) 

EH  bh 

Ha 51      Folglich  ist  T^  =  ^  •  H'  ^^^  ^^  beweisen  war. 

Es  gilt  auch  bei  Trennung  (nach  Eukl.  V.  Def.  16) 

TA-AE       TA-AZBA-AA     ,     \ 

-^Ä BÄ-"  ""^V 

rz    AB 
ZA  ■  BA ' 

Beweis.  Man  ziehe  durch  A  eine 
Parallele  zu  EB  und  verlängere  TA 
bis  zum  Schnittpunkt  H.  Weil  AH 
parallel  ist  zu  EZ,  so  ist  (nach 
Eukl.  VI.  2) 

Ii  =  I^;     führt  man 
AZ  als  Hilfsfaktor  ein, 

rz       rz    AZ 

ZH  '^  ZA  'ZH' 


so  wird 


15       Nun  ist  ^  =  ||,  weil  BA,   ZH    in   AH||ZB   über 

[Kreuz  gezogen. 

.o,,UcH  ist   -  =  -.-. 

Nun  war       — —  =  — -,  (siehe  oben  Z.  12) 

mithin  auch  — —  =  — —  .  — — ,  was  zu  beweisen  war. 
EA        ZA     BA' 

II.  Es  sei  ABT  ein  Kreis,  dessen  Zentrum  A  ist.    Auf 
20  der  Peripherie  desselben  nehme  man  drei  beliebige  Punkte 
A,    B,   r  an,  jedoch  so,    daß  jeder  der  beiden   Bogen  AB 
und  Bf  kleiner  als  ein  Halbkreis  sei;  auch  bei  den  weiter- 
hin noch  anzunehmenden  Bogen  sei  das  gleiche  Verhältnis 


Vorbere  tende  Lehrsätze. 


47 


Ha  52 


vorausgesetzt.     Nun  ziehe  man   die  Verbindungslinien  Af 
und  AEB.     Meine  Behauptung  geht  dahin,  daß  Hei7i 

^^6AB  ^  AE  a) 

s2bBr  ^    Er* 

Beweis.  Man  fälle  von  den  Punk- 
ten A  und  r  auf  AB  die  Lote  AZ 
und  TH.  Da  AZ  parallel  zu  PH  ist, 
und  die  Gerade  AEfin  diese  Linien 
hinein  durchgezogen  ist,  so  ist 
(nach  Eukl.  VL  4) 

AZ  _  AE 
TH  ~  Er' 


10 


(Eukl.  m.  3) 


Nun  ist       AZ  =  %  s56AB, 
und  m   =  VgS^öBr; 

AZ  _  s^&AB 

TH   —  J2bBr' 

L^ =  — -,  was  zu  beweisen  war. 

s2bBr         Er' 


folglich 


mithin  auch' 


Ohne  weiteres  ergibt  sich  hieraus  der  15 

Lehrsatz:  Wenn  der  ganze  Bogen  Af  gegeben  ist  und 

s  2b  AB 
dazu  das  Verhältnis ,  so  wer- 

den  sich  auch  die  beiden  Bogen  A  B 
und  Bf  bestimmen  lassen. 

Beweis.  Es  sei  dieselbe  Figur  vor- 
gelegt. Man  ziehe  die  Verbindungslinie 
AA  und  fälle  von  A  auf  AET  das 
Lot  AZ.  Da  der  Bogen  Af  gegeben 
ist,  so  wird  offenbar  auch  der  den 
halben  Bogen  unterspannende  Win- 
kel A  AZ  gegeben  sein,  und  damit  auch  das  ganze  rechtwink- 
lige Dreieck  AZA.  Da  femer  die  ganze  Sehne  Af  gegeben  ist, 


a)  Mit  s2b  wird  fortan  die  den  doppelten  Bogen  unter- 
spannende Sehne  bezeichnet;  mithin  heißt  %s2b  „die  Hälfte 
der  den  doppelten  Bogen  unterspannenden  Sehne." 


48 


Erstes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 


und   das    (Teilungs-)  Verhältnis   mit 


2b  kB 


^,  „r  als  Annahme 
s2b  Bf 

zugrunde  liegt,  so  wird  (nach  Eukl.  Dat.  7)  sowohl  AE 
gegeben  sein,  sowie  als  Differenz  (AE — YgsAf)  auch  ZE, 
Deshalb  und  weil  AZ  (als  Kathete  des  AAZA)  gegeben  ist, 
5  wird  auch  der  Winkel  EAZ  des  rechtwinkligen  Dreiecks 
EZA  gegeben  sein,  und  als  Summe  (/,  EAZ  +  i  AAZ) 
Ha  53  der  Winkel  AAB.  Mit  diesem  wird  auch  der  Bogen  AB 
gegeben  sein,  und  als  Differenz  (ftAf — 5 AB)  auch  der 
Bogen  Bf,  was  zu  beweisen  war. 
10  ^  III.  Es  sei 

^'  ABfeinKreis 
um  das  Zen- 
trum A.  Auf 
der  Periphe- 
rie desselben 
nehme  man 
drei  Punkte 
A,    B,    r    so 

an,  daß  jeder  der  beiden  Bogen  AB  und  TA  kleiner  als 
20  ein  Halbkreis  sei;  auch  bei  den  noch  weiterhin  anzunehmen- 
den Bogen  sei  das  gleiche  Verhältnis  vorausgesetzt.  Nun 
ziehe  man  die  Verbindungslinien  AA  und  TB  und  verlängere 
Hei 73 sie,  bis  sie  sich  in  Punkt  E  schneiden.  Meine  Behauptung 
geht  dahin,  daß 

s2brA      TE 


16 


25 


80 


s2bAB      EB 

Beweis.  Man  fälle  von  B  und  f  auf  AA  die  Lote  BZ 
und  TH.  Weil  diese  Linien  parallel  sind,  so  ist  (nach 
Eukl.  VI.  4)  ähnlich  wie  bei  dem  vorigen  Satz  (vgl.  S.  47,  lo) 

rH_rE 
bz"eb' 

(Nun  ist     ^-^^  nach  Satz  II  S.  47,  13) 
^  BZ     s2bkB  '       ^ 


folglich  auch 


s2brA 
s2bAB 


ITE 
EB 


was  zu  beweisen  war. 


Vorbereitende  Lehrsätze.  49 

Auch  hier  ergibt  sich  ohne  weiteres  der 
Lehrsatz.     Wenn   einzig   der   Bogen   TB   gegeben   ist, 

und  dazu  das  Verhältnis  ~ -,  so  wird  auch  der  Bogen  AB 

sich  bestimmen  lassen. 

Beweis.    Man  ziehe  an  derselben  Figur  die  Verbindungs-    5 
linie  AB  und  fälle  auf  Bf  das  Lot  AZ.    Dann  wird  ge- 
geben sein  der  die  Hälfte  des  Bogens  TB  unterspannendefHei?! 
Winkel  BAZ,  und  folglich  auch  das  ganze  rechtwinklige 

Dreieck  BZA.    Da  ferner  auch  das  Verhältnis  ^  gegeben 

ist*)  und  dazu  die  Sehne  TB,  so  wird  (nach  Eukl.  Dat.  7)  10 
sowohl  EB  ge- 
geben sein,  so- 
wie als  Summe 
(EB  +  V^^TB)^ 

auch  EBZ.  Da  —jt -^=^^: 1    15 

auch  AZ  (als 

Kathete  des  A 

BZA)  gegeben 

ist,     so     wird 

auch  der  Winkel  EAZ  desselben   rechtwinkligen  Dreiecks  20 

(nämlich  EZA)  gegeben  sein,  und  als  Differenz  (L  EAZ  — 

/.BAZ)  auch  der  Winkel  EAB.     Folglich  wird  (hiermit) 

auch  der  Bogen  AB  gegeben  sein. 

Diese  Lehrsätze  mußten  vorausgeschickt  werden. 

Man  ziehe  auf  der  Oberfläche  einer  Kugel  derart  Bogen  25 
größter  Kreise,  daß  in  die  zwei  Bogen  AB  und  Af  hinein- 
gezogen, die  zwei  Bogen  BE  und  TA  einander  in  Punkt  Z 
schneiden.     Es    sollen   aber   diese   Bogen   alle   kleiner   als 
ein  Halbkreis  sein;  dasselbe  Verhältnis  sei  bei  sämtlichen 
Figuren  vorausgesetzt.  Meine  Behauptung  geht  nun  dahin,  daß    30 
s3hrE  _  s2brZ     s2bAB 
^-  72bEK  ~  s2bZA  '  72bBK' 


s2h  PA  TE 

a)  Das  QQg.  Verhältnis  ist  eben  nach  S.  48, 25  gleich— p.. 


Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius.   I. 


50 


Erstes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 


Beweis.  Man  bestimme  das  Zentrum  der  Kugel:  das- 
selbe sei  H.  Von  H  aus  ziehe  man  nach  den  Kreisschnitt- 
punkten B,  Z,  E  die  Geraden  HB,  HZ,  HE;   ferner  ziehe 

man    die  Verbindungslinie 
AA  und  verlängere  sie,  bis 
sie   die  Verlängerung   von 
HB  in  0  schneidet.     Des- 
gleichen   sollen    die    Ver- 
bindungslinien Ar  und  Af 
die  Geraden  HZ  und  HE  in 
den  Punkten  K  und  A  schnei- 
den.     Somit   kommen    die 
Punkte  0,  K,  A  auf  eine 
Gerade  zu  liegen,  weil  sie 
in    zwei    Ebenen    zugleich 
Ha  55  liegen,  nämlich  in  der  Ebene  des  Dreiecks  APA  und  in  der 
Ebene  des  Kreises  BZE.    Die  Gerade,  welche  diese  Punkte 
verbindet,   bewirkt    folgende   Figur:    in   die    Geraden   0A 
und  TA  sind  die  sich  kreuzenden  Geraden  0A  und  TA  hinein- 
20  gezogen,  die  sich  in  Punkt  K  schneiden.   Folglich  erhalten  wir 


endlich 


Hei  76  folglich 


rA 

AA 

rA 

AA 

KA 
A0 
0A 
s2h  PE 
s2bE^ 


Nun  ist    -TT  = 


ferner 


PK     A0 
KA*  0A* 

s2brE 
s2bE^^ 

s  2b  rz 

s2bZA' 
s2bAB 
s2bBA' 

s2bVZ     

s2bZA  '  s2bBK 


(Satz  IB  S.  46,  6) 


(Satz  II  S.  47,  13) 


(Satz  III    S.  48,  25>) 
s2bAB 


26  Ganz  auf  demselben  Wege  und  genau  wie  an  der  gerad- 
linigen ebenen  Figur  (Satz  lA  S.  45,  22)  wird  der  Be- 
weis geführt  für 


a)  Mit  dem  Unterschied,  daß  im  zitierten  Satze  die  größere 
Gerade  im  Zähler  und  die  kleinere  im  Nenner  steht,  während 
hier  das  umgekehrte  Verhältnis  stattfindet. 


Erstes  Buch.     Vierzehntes  Kapitel.  51 

s2b^^    _  s2brA     s2bZB 
^^-  s2bAE  ^  s2bAZ  '  s2bBE 

Hiermit  sind  die  Beweise,  deren  Darlegung  wir  uns  vor- 
genommen hatten,  erledigt. 

Vierzehntes  Kapitel. 

Die  zwischen  dem  Äquator  und  der  Ekliptik 
liegenden  Bogen  (von  Deklinationskreisen). 

Mit  Hilfe  des  zuletzt  mitgeteilten  Lehrsatzes  werden  wir  Ha  56 
zunächst  den  Nachweis  der  vorstehend  genannten  Bogen  auf    5 
folgende  Weise  liefern. 

Es  sei  ABFA  der  durch  beide  Pole,  sowohl  den  des 
Äquators  als  den  der  Ekliptik,  gehende 
(^Kolur-)  Kreis,  AEf  der  Halbkreis  des 
Äquators  und  BEA  der  der  Ekliptik. 
Punkt  E  sei  der  Schnittpunkt  beider 
an  der  Stelle,  wo  die  Herbstnacht- 
gleiche eintritt,  so  daß  B  der  Winter- 
wendepunkt und  A  der  Sommer- 
wendepunkt ist.  Auf  dem  Bogen 
ABT  bestimme  man  den  Pol  des  Äqua- 
tors AEf:  derselbe  sei  Z.*)  In  der 
Ekliptik  trage  man  von  E  aus  den  Bogen  EH  ab. 

1 .  Dieser  Bogen  sei  zu  30  ^  angenommen,  wie  der  größte 
Kreis  360^  hat.     Man  ziehe  durch  die  Punkte  Z  und  H  20 
den  Bogen  ZH0  eines  größten  Kreises.     Unsere  Aufgabe 
soll  demnach  sein,    den  Bogen  0H   zu  finden. 

Um  nicht  bei  jeder  ähnlichen  Beweisführung  immer  das- 
selbe wiederholen  zu  müssen,  sei  an  dieser  Stelle  ein  für 
allemal  folgendes  bemerkt.     Wenn  wir  die  Größenbeträge  26 

a)  Es  ist  nach  der  Lage  der  Figur  der  Südpol,  wie  auch 
an  der  Figur  des  nächsten  Kapitels.  Für  beide  Fälle  steht  im 
griechischen  Text  dieselbe  Figur.  Da  es  sich  im  vorliegenden 
Fall  nicht  lediglich  um  Sphaera  recta  handelt,  so  mußte  an  der 
neuen  Figur  in  E  der  Herbstpunkt  angenommen  werden. 


52  Erstes  Buch.     Vierzehntes  Kapitel. 

von  Bogen  in  Graden  oder  die  von  Sehnen  in  Teilen  an- 
geben, so  meinen  wir  bei  den  Bogen  solche  Grade,  wie 
der  Kreis  360,  und  bei  den  Sehnen  solche  Teile,  wie  der 
Durchmesser  des  Kreises  120  hat. 
Ha  57  Da  an  der  Figur  in  die  zwei  Bogen  größter  Kreise  AZ 
6  und  AE  zwei  in  Punkt  H  sich  schneidende  Bogen  eben- 
solcher Kreise  Z0  und  EB  hineingezogen  sind,  so  gilt 
(Satz  B  S.  51,  l) 

s2hZKs2})ZQ   s2hHE 
s2hkB~  s2hQH'  s2h£B' 
10       Nun  ist    56ZA  =  180^  also  s^fcZA  =  120P, 

56AB  =  47U2'40",a)    also  s5feAB=    48^31' 55", 
Hei78  <26HE  =  60^  alsos^6HE=    60^, 

2h  EB  =  180^  also  s  ^6  EB  =  120^. 

(Hieraus  ergibt  sich  zunächst  —vtt^  •  —  =  — ^ 

^                    ^  s2hQH     i20P      48^  31'  55" 

ßOP 
1 5       Bringen  wir ^(=  ^l^2iu.i  die  andere  Seite  der  Gleichung'^^ 

so  erhalten  wir 

s2hZQ  120P         /  120^  •  2 


)P         /  120P  .  2   \ 

aus      „ ) 

'  57"  V         48P  31'  55"/ 


s2hQH      24^  15 

Nun  ist     s56Z0  =  12O^  weil    56Z0  =  18O», 

folglich      s2hQH=    24^  15' 57",  also    2hQH=   23<>19'59". 
20       Demnach  ist  der  Bogen  0H  mit  11^40'  gefunden. 

2.  Der  Bogen  HE  sei  zu  60®  angenommen.   Während  die 
anderen  Werte  unverändert  bleiben,  wird 
Ha58  ^ÖHE  =  120S  also  s5bHE  =  103P  55'  23". 

IO3P  55'  23" 

Bringen  wir  wieder auf   die    andere    Seite 

120P 

25  der  Gleichung,  so  erhalten  wir 


a)  Das  ist  der  S.  44,  22  ermittelte  Wert  des  Bogens  zwischen 
den  Wendepunkten. 

b)  Die  griechische  Formel  iuv  .  .  .  äcpEXcaiisv  .  .  .  .,  xaraXsi- 
TCsruL  habe  ich  nicht  einfacher  wiederzugeben  vermocht. 


Erstes  Buch.     Sechzehntes  Kapitel.  53 


2l)ZQ  120P       /  I20P120P 

aus 


0**        / 

^ 

:'  48"  \ 


s2h  0H      42P  1'  48"  \         48P  31'  55"  -  103^  55'  23"/ 

Nun  ist    s^ftZ0  =  12OP, 

folglich     s^&  0H  =    42P  1'  48",   also  2h  0H  =  41<^  0'  18". 

Mithin  beträgt  der  Bogen  0H  20^  30'  9",  was  nachzu- 
weisen war.  5 

Auf  dieselbe  Weise  haben  wii'  die  Beträge  für  die  auf-Hei79 
ein  anderfolgenden  Bogen  von  Grad  zu  Grad  berechnet  und 
werden   für  die  90  Grade   des  Quadranten   (der  Ekliptik) 
eine  Tabelle  aufstellen,  welche  die  Beträge  der  entsprechen- 
den Bogen,  wie  wir  sie  hier  nachgewiesen  haben,  dazugesetzt  10 
enthalten  soll. 

Fünfzehntes  Kapitel, 
Die  Tabelle  der  Schiefe  (der  Ekliptik) 

IHeiSO 

(Siehe  S.  54.) 


gestaltet  sich  folgendermaßen.  fHaS» 


Sechzehntes  Kapitel. 

Die  Aufgänge  bei  Sphaera  lecta. 

unsere  nächste  Aufgabe  ist,  die  Größenbeträge  derÄquator-J^eis? 
bogen  (wie  E0)  mit  nachzuweisen,  welche  von  den  (Dekli- 
nations-)  Kreisen  (wieZG)  abgeschnitten  werden,  die  durch  die 
Pole  des  Äquators  und  die  von  Fall  zu  Fall  gegebenen  Ab-   16 
schnitte  (wie  EH)  der  Ekliptik  gezogen  werden.  Auf  diese  Weise 
werden  wir  nämlich  als  Ergebnis  erhalten,  in  wieviel  Zeit- 
graden (d.  h.  Äquatorgraden  zu  vier  Zeitminuten)  die  be- 
treffenden  Ekliptikstücke    erstens    überall    den   Meridian 
passieren,    und   zweitens   bei  Sphaera   recta   durch  den 
Horizont  gehen;  denn  nur  in  diesem  Falle  geht  auch  der  20 
Horizont  durch  die  Pole  des  Äquators  (wird  somit  zu  einem 
Deklinationskreis). 


54 


Tabelle  der  Schiefe. 


ZT            M.M.an.B„,e„ 

Ekliptik- 
grade 

1 

j    Meridian-  Bogen 

! 

10 

2 
3 

4 

5 
6 

0° 
0 

1 

24' 
48 
12 

16" 

31 

46 

46» 
47 
48 

49 
50 
61 

16» 

17 
17 

54' 
12 
29 

47" 

16 

27 

1 
2 

2 

37 

1 
85 

0 
12 
22 

17 
18 
18 

46 

2 

19 

20 
53 
15 

7 
8 
9 

2 
3 
S 

49 
13 
37 

30 

35 
37 

52 
53 
54 

18 
18 
19 

35 

50 
5 

6 

41 
57 

56 
28 
42 

10 
11 
12 

4 
4 
4 

1 

25 
49 

38 
32 
24 

65 

66 
57 

19 
19 
19 

20 
35 
49 

13 
14 
15 

5 
5 
6 

18 
86 

0 

11 
68 
31 

58 

69 
60 

20 
20 
20 

3 

17 
30 

31 

4 
9 

16 
17 

18 

6 
6 

7 

24 

.  47 

10 

1 

61 
62 
63 

20 
20 
21 

42 
65 

58   1 

-   1 

19 
20 

21 

7 
7 
8 

88 
57 
20 

57 
8 
0 

64 
65 
66 

21 
21 
21 

18 
30 
41 

5d   i 

11    ; 

^    1 

22 
23 
24 

8 
9 
9 

42 

5 

28 

50 

32 

5 

67 
68 
69 

21 
22 
22 

51 

1 

11 

25   ! 

25   1 
11 

25 
26 
27 

28 
29 
30 

9 
10 
10 

50 

12 
84 

29 
46 
57 

70 
71 
72 

22 
22 
22 

20 
28 
37 

11 

57 
17 

10 
11 
11 

56 

18 
39 

44 
25 
59 

73 
74 
76 

22 
22 
22 

45 
52 
59 

11 
39 
41 

81 
32 
33 

12 
12 
12 

1 
22 
48 

20 
80 

28 

77 

78 

23 
23 
23 

6 
12 
18 

17 
27 
11 

34 
35 
36 

13 
13 
13 

4 
24 
45 

14 

47 

6 

79 
80 
81 

28 
23 
23 

23 
28 
32 

28 
16 
30 

37 
38 
39 

40 

41 
42 

14 
14 
14 

5 
25 
44 

11 

2 

39 

82 
83 

84 

23 
23 
23 

36 

40 
43 

36 

2 
2 

15 
15 
15 

4 

23 
42 

4 

10 

2 

86 
Bö 
87 

23 
23 
23 

45 

47 
49 

34   ! 

39 

16 

43 
44 
45 

16 
16 
16 

0 
18 
87 

88 
58 
20 

88 
89 
90 

23 
23 
23 

60 
51 
51 

25 

6 
20 

Aufgänge  bei  Sphaera  recta.  55 

1.  Es  sei  wieder  die  oben  (S.  51,  7)  erklärte  Figur 
(hier  in  der  Lage  für  Sphaera  recta)  vorgelegt.  Gegeben 
soll  sein  der  Ekliptikbogen  EH,  und 
zwar  zunächst  wieder  mit  30°,  ge- 
funden werden  soll  der  Äquator- 
bogen E0. 

Wie    oben,    gehen    wir    aus    von 
(Satz  A,  S.  49,  3l) 

s2bZB     s2bZH    s2bQE 


s2hB^     s2bHe   s2bE^  — frj 

Nun  ist     ^fe  ZB  =  132»  17'  20",*^  also  s  2b  ZB  =  109^  44'  53",    10 
^5BA=    47U2'40",     alsos^&BA=    48^  31' 55",Hei8S 
2b  ZH  =  156« 40'   2",^^  also  s2bZH=-  117^  31'  15", 
2bWQ=    23<'19'59",*')  also  s55H0=    24^  15' 57".  Ha 61 

117^  31'  15" 

Bringen   wir   also auf  die  andere  Seite  der 

^  24P  15'  57" 

Gleichung,  so  erhalten  wir  15 

s2bQE      64P  52'  26"  /  109^  44'  53" •  24^  15'  57"  \ 

=  — ^ aus r ) 

S5&EA      117P31'15"\  48P  31'  55"  II7P  31' 15"  / 

,^,,.^&GE^56Pl'25" 
s2bEk  I20P 

Nun  ist     s  56  EA  =  120^,  weil  ^&  EA=  180®. 

folglich     s2b(dE^   56^  1' 25",    also  2b(dE=   55<>  40'. 
Mithin  beträgt  der  Bogen  E0  27°  50'.  20 

2.  Der  Bogen  EH  sei  zu  60°  angenommen.     Während 
alle  anderen  Werte  unverändert  bleiben,  wird 

^6ZH  =  138«59'42",^>     also    s5&  ZH  =  112^  23' 56", 
<8fcH0=    41«    0'18",«^     also    s2bHQ^   42^    1' 48". 


a)  D.  i.  2  (90«-23»51'20"). 

b)  D.  i.  2  (90«-ll«39'59"). 

c)  Wie  S.  52,  19  nachgewiesen. 

d)  D.  i.  2  (90«-20«30'9"). 

e)  Wie  S.  53,  3  nachgewiesen. 


Hei  84 


56  Erstes  Buch.     Sechzehntes  Kapitel. 

112^  23'  56" 

Bringen  wir   also   — ^,; auf  die  andere  Seite  der 

42P  1'  48" 

Gleichung,  so  erhalten  wir 

s3beE        95P2'40"      /  109^  44' 53"42P  1' 48' 


'40"      /  109P44'53"42P  1'48"  \ 

j  aus  — ) 

3'Ö6"    \         48P31'55"112P23'56"y 


s2bEA      112^23 
oder  ^'^^QE _  lOlP  28'  20" 
s2bE^~        120P 
5        Nun  ist     s^&EA  =  120P, 

folglich      s5fe0E  =  101^28' 20",    also  ^&  0E  =  115<>  28'. 
Mithin  beträgt  der  Bogen  E0  57^  44'. 

Ha 62      Es  ist  somit  der  Beweis  erbracht,    daß  das   erste   vom 
Nachtgleichenpunkt  ab  gerechnete  Zeichen  der  Ekliptik  (zu 

10  seinem  Aufgang  bei  Sphaera  recta)  dieselbe  Zeit  braucht 
wie  der  oben  (S.  55,  20)  nachgewiesene  Äquatorbogen 
von  27^50',  und  das  zweite,  da  beide  (d.  s.  60^)  zusammen 
mit  57*^44'  nachgewiesen  wurden,  dieselbe  Zeit  wie  ein 
Äquatorbogen  von  (57<^44'—  27^50'  =)  29^54'.  Das  dritte 

15  Zeichen  wird  selbstverständlich  dieselbe  Zeit  brauchen  wie 
der  Äquatorbogen  von  32^16',  der  zum  Quadranten  noch 
fehlt;  denn  der  ganze  Quadrant  der  Ekliptik  geht  (bei 
Sphaera  recta)  genau  in  derselben  Zeit  auf  wie  der  ganze 
Quadrant  des  Äquators,  insofern  (bei  der  Zerlegung  beider 

20  Kreise  in  Quadranten)  die  durch  die  Pole  des  Äquators 
gehenden  (Kolur-)  Kreise  in  Betracht  kommen.*) 

Auf  dieselbe  Weise  haben  wir  unter  Befolgung  vorstehend 
entwickelter  Beweismethode  die  mit  Ekliptikabschnitten  von 
je  10®  gleichzeitig   aufgehenden  Äquatorbogen   berechnet; 

25  denn  die  noch  weniger  als  10®  betragenden  (Ekliptik-) 
Bogen  unterscheiden  sich  (in  Wirklichkeit)  nur  ganz  un- 
beträchtlich von  den  Überschüssen  (an  Aufgangszeit),  welche 


a)  Wenn  ein  Quadrant  der  Ekliptik  voll  aufgegangen  ist, 
fallen  bei  Sphaera  recta  die  beiden  Kolurkreise,  der  eine  mit 
dem  Meridian,  der  andere  mit  dem  Horizont  zusammen.  Es 
sind  somit  die  Deklinationskreise,  welche  sowohl  den  Äquator 
wie  die  Ekliptik  in  vier  Quadranten  zerlegen. 


Aufgänge  bei  Sphaera  recta.  57 

f tatsächlich)  im  Vergleich  zum  gleichmäßigen  Anwachsen 
(der  Aufgangszeit)  eintreten.'^ 

Wir  werden  nun  auch  diese  Bogen    in  Ansatz  bringen, 
um  bequem  feststellen  zu  können,    in  wieviel   Zeitgradeii 
(d.  h.  Äquatorgraden    zu  je  vier  Minuten  Durchgangszeit)    5 
jeder  dieser  Bogen  den  Meridian,  wie  (S.  53,  19)  gesagt,  Hei85 
überall  passiert  und  bei  Sphaera  recta  auch  durch  den 
Horizont  geht.  Als  Ausgangspunkt  nehmen  wir  den  Anfang 
des  Zeichendrittels,   welches  am  Nachtgleichenpunkt  liegt. 
Auf  das  erste  Zeichendrittel  entfallen  an  Zeitgraden  9"  10',  lo 
„       „    zweite  „  „  „  „  9^15', 

„       „    dritte  „  „  „  „  9^25'. 

Mithin  auf  das  erste  Zeichen  in  Summa  27^50'. 
Auf  das  vierte  Zeichen  drittel  entfallen  an  Zeitgraden  9^40', 
„       „    fünfte  „  „  „  „  9^58',  15 

„       „    sechste  ,,  „  „  „        10^16'. 

Mithin  auf  das  zweite  Zeichen  in  Summa  29^54'. 
Aufdas  siebente  Zeichendrittel  entfallen  an  Zeitgraden  10^34',  Ha  63 
„     „   achte  „  „         „  „  10^7',  20 

„     „   neunte  „  „         „  „  10<*55'. 


Mithin  auf  das  dritte  Zeichen  in  Summa  32^16'. 

Es  ist  dasjenige  Zeichen,  welches  an  dem  Wendepunkt  liegt. 

Auf  den  ganzen  Quadranten  (der  Ekliptik)  entfällt  somit 
die  ihm  zukommende  Summe  von   90  Zeitgraden.  25 

Es  bedarf  keiner  weiteren  Erklärung,  daß  auch  für  die 
übrigen  Quadranten  die  Zahlenreihe  genau  dieselbe*^  ist; 
denn  alle  Verhältnisse  bleiben  für  jeden  Quadranten  die- 
selben, weil  wir  die  Sphaera  recta  zugrunde  gelegt  haben, 
d.  h.  weil  der  Äquator  keine  Neigung  zum  Horizont  hat  30 
(d.  i.  vertikal  zu  ihm  steht). 


a)  Nur  in  umgekehrter  Folge  der  Zahlen  in  dem  zweiten 
Quadranten  des  von  Nachtgleichenpunkt  zu  Nachtgleichenpunkt 
gerechneten  Halbkreises  der  Ekliptik. 


58  Zweites  Buch.     Erstes  Kapitel. 


Zweites  Buch. 

Erstes  Kapitel. 

Die  allgemeine  Lage  des  zurzeit  bewohnten  Gebietes 
der  Erde. 

Heis?}  Nachdem  wir  im  ersten  Buche  unseres  Handbuchs  erstens 
die  auf  den  Bau  des  Weltalls  bezüglichen  Fragen  erörtert 
haben,  welche  in  aller  Kürze  vorausgenommen  werden 
mußten,  zweitens  die  Verhältnisse  bei  Sphaera  recta  be- 
5  sprechen  haben,  soweit  man  sie  zur  theoretischen  Behand- 
lung der  vorliegenden  Aufgaben  für  förderlich  halten  könnte, 
wollen  wir  im  Anschluß  daran  nun  auch  wieder  die  Dar- 
legung der  bei  Sphaera  obliqua  besonders  charakte- 
ristischen Verhältnisse,  soweit  es  irgend  möglich  ist, 
10  nach  einer  leicht  zu  handhabenden  Methode  in  die  Wege 
leiten. 

Was  auch  hier  im  allgemeinen  vorausgenommen  werden 
Hei 88 muß,  ist  folgendes.    Die  Erde  wird  durch  den  Erdäquator 
und   einen  durch    seine  Pole    gezogenen  (Meridian-)  Kreis 
Ha 66  in  vier  Viertel  geteilt.   Auf  das  eine  von  den  beiden  nörd- 
16  liehen    Vierteln     beschränkt    sich     nahezu    die    Ausdeh- 
nung   des    zurzeit    bewohnten    Gebietes    der    Erde.      Dies 
geht    besonders    deutlich    aus    folgenden  Wahrnehmungen 
hervor. 
20        1.  Faßt  man  die  Breite  ins  Auge,  d.  h.  die  Erstreckung 
von  Süden  nach  Norden,  so  sind  die  Schatten,  welche  die 
Gnomonen  zur  Mittagstunde  an  den  Tag-  und  Nachtgleichen 
werfen,  überall  stets  nach  Norden  gerichtet,  niemals  nach 
Süden. 
25        2.  Faßt  man  die  Länge  ins  Auge,  d.  h.  die  Erstreckung 
von   Osten  nach  Westen,  so  treten  dieselben  Finsternisse, 
besonders  aber  die  des  Mondes,  welche  sowohl  für  die  Be- 


Lage  des  bewohnten  Gebietes  der  Erde.  59 

wohner  des  äußersten  Ostens  des  heutzutage  bewohnten  Ge- 
bietes der  Erde,  als  auch  für  die  des  äußersten  Westens 
der  Theorie  nach  zu  demselben  Zeitpunkte  sichtbar  sind, 
höchstens  zwölf  Äquinoktialstunden  früher  oder  später  ein, 
Beweis  dafür,  daß  das  Viertel  an  sich  nur  ein  Intervall  5 
von  zwölf  Äquinoktialstunden  umfaßt,  weil  es  ja  eben  von 
einem  Halbkreis  des  Äquators  begrenzt  wird. 

Von  den  Fragen,  welche  im  einzelnen  eine  theoretische 
Erörterung  verdienen,  fallen,  wie  man  wohl  erwarten  dürfte, 
in  den  Rahmen  des  vorliegenden  praktischen  Handbuchs  10 
ganz  besonders  diejenigen,  welche  auf  die  Eigenschaften 
hinauslaufen,  die  je  nach  der  Lage  eines  jeden  der  nörd- 
lich des  Äquators  verlaufenden  Parallelkreise  sowohl  diesem 
Kreise  selbst  als  den  unter  ihm  liegenden  bewohnten  Orten 
nach  besonders  charakteristischen  Kennzeichen  zukommen  15 
(6.  Kap.).     Es  sind  dies   folgende  Fragen: 

1.  (3.  Kap.  I)    Wie  weit  sind  die  Pole  des  ersten  Um- Hei 89 
Schwungs  vom  Horizont  entfernt?    Oder  (was  dasselbe  ist) 
wieviel  beträgt,    im  Meridian  gemessen,    der  Zenitabstand 

des  Äquators?  20 

2.  (4.  Kap.)  Wo  kommt  die  Sonne  in  den  Zenit?  wann 
und  wie  oft  tritt  dieser  Fall  ein? 

3.  (5.  Kap.)  In  welchem  Verhältnis  stehen  die  an  den 
Nachtgleichen  und  Wenden  zur  Mittagstunde  beobachteten 
Schatten  zu  den  Gnomonen?  Ha  67 

4.  (3.  Kap.  n)    Wie  groß  ist  der  Unterschied  des  längsten  26 
oder  kürzesten  Tages  vom  Nachtgleichentage? 

Hierzu  kommen  noch  die  theoretischen  Erörterungen, 
welche  folgende  Punkte  betreffen: 

5 .  (3.  Kap.  IV)    Die  allmähliche  Ab-  und  Zunahme  der  30 
Tage  und  Nächte. 

6.  (7.  Kap.)  Die  gleichzeitigen  Auf-  und  Untergänge 
(von  Teilen)  des  Äquators  und  der  Ekliptik.    Endlich 

7.  (10, — 12.  Kap.)   Die  charakteristischen  Eigenschaften 
und  Größen  der  Winkel,  welche  von  den  wichtigsten  größten  35 
Kreisen  gebildet  werden. 


60  Zweites  Buch.     Zweites  Kapitel. 


Zweites  Kapitel. 

Wie  sich  die  zwischen  Äquator  und  Ekliptik  liegenden 

Horizontbogen*)  bestimmen  lassen,  wenn  die  Dauer 

des  längsten  Tages   gegeben  ist. 

Für  die  Beispiele  soll  allgemein  als  gegeben  angenommen 

werden  der  durch  Rhodus  parallel  zum  Äquator  gezogene 

Hei  goKreis,  wo  diePolhöhe  3  6^  und  der  längs teTag  1 4  V2  Äquinoktial- 

stunden  beträgt. 
*"  5  Es  sei  ABT A  der  Meridiankreis,  BEA  der  östliche  Halb- 
kreis des  Horizonts  und  AEf  der  entsprechende  Halbkreis 
des  Äquators;  der  südliche  Pol  des  letzteren  sei  Z.  Ange- 
nommen sei,  daß  der  Winterwendepunkt  der  Ekliptik  durch 
Punkt  H  aufgehe.  Durch  Z  und  H  ziehe  man  den  Qua- 
10  dranten  ZH0  eines  größten  (Deklinations-) Kreises. 

Gegeben  sei  zunächst  die  Dauer 
des  längsten  Tages,  gefunden  werden 
soll  der  Horizontbogen  EH. 

Da  sich  die  Drehung  der  Sphäre 
1^  um  die  Pole  des  Äquators  vollzieht, 
so  ist  klar,  daß  die  Punkte  H  und  0 
gleichzeitig  in  den  Meridian  AB  TA 
gelangen  werden''^,  ferner,  daß  die  vom 
Aufgang  des  Punktes  H  bis  zu  seiner 
20  oberen  Kulmination  veVstreichende  Zeit  durch  den  Äquator- 
Hei  gibogen  0A,  und  die  von  seiner  unteren  Kulmination  bis  zum  Auf- 
gang verstreichende  Zeit  durch  den  Äquatorbogen  r0  darge- 
stellt wird.*'^  Folglich  beträgt  die  Dauer  des  Tages  das  Doppelte 


a)  Die  moderne  Astronomie  nennt  diese  Bogen,  je  nachdem 
sie  im  östlichen  oder  westlichen  Horizont  liegen,  Morgen-  oder 
Abendweiten  der  Sonne. 

b)  Weil  sie  auf  demselben  Deklinationskreis  liegen. 

c)  Indem  die  beiden  Bogen  in  Summa  12  Äquinoktialstanden 
darstellen,  welche  zur  Frühlingsnacht^leiche  in  Punkt  E  in 
6-f6,  und  zur  Winterwende  in  Punkt  0  in  ^V^+T'/^  Aquinok- 
tialstunden  geteilt  werden. 


Morgenweite  am  längsten  Tag.  61 

der  durch  den  Bogen  0A,  die  Dauer  der  Nacht  das  Doppelte 
der  durch  den  Bogen  TG  dargestellten  Zeit;  denn  sowohl 
die  über  als  die  unter  dem  Horizont  befindlichen  Stücke 
sämtlicher  mit  dem  Äquator  gleichlaufenden  Kreise  werden 
von  dem  Meridian  in  je  zwei  gleiche  Teile  geschieden.  5 

Deshalb  beträgt  der  Bogen  E  0  für  den  zugrunde  gelegten 
Parallelkreis  ly^  Stunde  oder  18^45'  (sog.  Zeitgrade),  weil 
er  die  Hälfte  des  Unterschieds  des  längsten  oder  kürzesten 
Tages  vom  Nachtgleichentage* ^  darstellt;  mithin  ist  der 
Bogen  0A  als  das  zum  Quadranten  fehlende  Stück  gleich  10 
71^15'.  Da  nun  geradeso  wie  bei  den  früher  geführten 
Beweisen  in  die  zwei  Bogen  größter  Kreise  AE  und  AZ 
die  einander  in  Punkt  H  schneidenden  Bogen  EB  und  Z0 
hineingezogen  sind,  so  gilt  (Satz  B  S.  51,l) 

s2beA  _s2hQZ    s2hHE  ^^ 

sJb~kE  ~  72b ZM  '  sWBE  ' 
Nun  ist  560A  =  142<>3O'b),  also  s2bQ ^  =  113^37' 64:",  h» 69 

56AE  =  180^  a\so  s  2b  ^E  =  120^,  nei92 

<2&0Z  =  18O^  Biso  s2beZ  =  120^, 

56ZH  =  132«17'20"^',     also  s56ZH  =  109^44' 53". 

120^ 

Bringen  wir  also auf  die  andere  Seite   der  20 

109P44'53" 

Gleichung,  so  erhalten  wir 

?56HB        103Pö3'23"    /  113P37'54"  •  109P44'53"\ 

laus 


'-( 


s2bBE  120P  V  120P  .  120^  / 

Nun  ist  s 2b  BE  =  120^,  weil  &BE  =  90^ 

folglich  s55HB  =  103P53'23", 

also  ^6HB  =  120<^   und  6 HB  =  60°.  25 


a)  D.i.  %  (14V2^-12^)  oder  %  (12^-9%^),  in  halben  Tag- 
bogen ausgedrückt  0  T  —  E  T  oder  A  E  —  A  0 ;  denn  A  E  ist  der 
halbe  Tag-,  Er  der  halbe  Nachtbogen  des  Nachtgleichentages,  wie 
A0  der  halbe  Tag-,  0  f  der  halbe  Nachtbogen  des  kürzesten  Tages. 

b)  D.  i.  2(90«- 18^5'). 

c)  D.i.  2(90«-23"51'20"),  weil  &H0  die  Schiefe  der  Eklip- 
tik mißt. 


62  Zweites  Buch.     Drittes  Kapitel. 

Mithin  ist  der  Bogen  EH  als  Differenz  der  Bogen  BE 
und  HB  gleich  30^,  wie  der  Horizont  gleich  360^  ist,  was 
zu  beweisen  war. 


Drittes  Kapitel. 

Wie  sich  aus  der  Dauer  des  längsten  Tages 
die  Polhöhe  bestimmen  läßt,  und  umgekel^rt. 

I.  Gegeben  sei  die  Dauer  des  längsten  Tages  (d.  h.  die 
6  S.  61,  6,  10  u.  oben  Z.  1  bestimmten  Bogen  E0,   0A  und 
EH),  gefunden  werden  soll  die  Polhöhe,  d.  i.  der  Meridian- 
bogen BZ.*) 

Es  gilt  wieder  an  derselben  Figur  (Satz  A  S.  4  9,  3l) 
y^70  s3bEe  _  s2bEH       s2bBZ 

Hei93)  s2hQA  ~  s3bHB  '  s2bZl\' 

10        Nun  ist    2bEQ=    Sl^W,  also  s2bEQ=    38^34' 22", 

^60A  =  142°3O',  also   s^&0A  =  113^37' 54", 

2b  EH  =    60«,  also  s2bEH=   60^, 

-96HB  =  120«,  also  s^&HB  =  103^55' 23".  . 

60^ 

Bringen  wir  also auf  die    andere  Seite  der 

^  103P55'23" 

15  Gleichung,  so  erhalten  wir 

s2bBZ       70^33'    /  38^ 34' 22"    103^55' 23" \ 

s2bZA         i20P     \  113P37'54"-60P        / 

Nun  ist  s5feZA  =  120P, 

folglich  s2bBZ=    70^33',      also  ^feBZ  =  72n'. 

Mithin  beträgt  der  Bogen  BZ  36^. 

20       II.  Umgekehrt  sei  an  derselben  Figur  der  Bogen  BZ  der 

iiei 94 Polhöhe  mit  36^  durch  die  Beobachtung  gegeben,  und  es 

sei  die  Aufgabe  gestellt,  den  Unterschied  des  kürzesten  oder 

längsten  Tages  vom  Nachtgleichentage,  d.  h.  das  Doppelte 

des  Bogens  E0  (s.  S.  61,  6)  zu  finden. 

a)  Der  südliche  Pol  liegt  gleich  weit  unter  dem  Horizont, 
wieder  nördliche  diametral  gegenüber  über  dem  Horizont  steht. 


Polhöhe  und  längster  Tag.  63 

Es  ist  wieder  auszugehen  von  (Satz  A  S.  49,  3l) 

s2hZB       s2bZH      s2beE  ^^^^ 

s2bBA  ^  s2bHe  '  s2bEA  ' 

Nunist^6ZB=    72^  alsos^&ZB=    70^32'   3", 

^&BA  =  108«%  alsos56BA=    97^   4'56", 

<36ZH=132M7'20"*'^  also  s^&ZH  =  109^44' 53",     5 

2bHe=    47<'42'40"'',  alsOs^feHG-    48P31'56". 

Bringen  wir   also auf  die  andere  Seite    der 

^  48^31' 55" 

Gleichung,  so  erhalten  wir 

s2bQE         31P11'23"    /  70^  32' 3"- 48^31' 55" 


s2bEA         97P 


LI' 23'     /  70^323"    48^  31' 55"  \ 

aus  — -— ) 

4' 56"    \         97^^  4' 56"    109^44' 53"/ 


s2beE        38^34'  ,n 

oder  -TTTT--.    = ■'" 

s2bEA         120^ 

Nun  ist   s^&EA  =  120P,  Hei95 

folglich    s2bQE=    38^34',      also  560E  =  37<'30'. 

Mithin  beträgt  das  Doppelte  des  Bogens  E0  2^^  Äqui- 
noktialstunden,  was  zu  beweisen  war. 

III.  Auf  demselben  Wege  läßt  sich  auch  (vgl.  S.  60,  13)  15 
der  Horizontbogen  EH   bestimmen,  weil  (Satz  B,  S.  51,  1) 

s2bZA  _  s2bZQ      s2bHE 
s2bAB  ~  s2beH  '  s2bEB  ' 

Gegeben  sind  die   beiden  voranstehenden  Verhältnisse*^'. 
Da  nun  auch  von  dem  dritten  der  Bogen  EB  (=  90*^)  ge- 
geben  ist,  so    bleibt   also  nur  die   Größe  des  Bogens  EH  Ha 72 
(als  die  zu  bestimmende  Unbekannte)  übrig.  21 

IV.  Es  leuchtet  ein,  daß,  wenn  wir  anstatt  des  Winter- 
wendepunktes in  H  jeden  beliebigen  anderen  Grad  der  Ekliptik 


a)  D.  i.  2(90^-36").  b)  D.  i.  2(90«- 23°51'20") 

c)  D.  i.  die  doppelte  Schiefe  der  Ekliptik. 

d)  feZA  =  90^   &AB  =  36^  über  das   zweite  Verhältnis  gibt 
S.  61,  19  Anm.  c)  Aufschluß. 


64  Zweites  Buch.     Drittes  Kapitel. 

annehmen,  jeder  beliebige  Bogen  E0  (II)  und  EH  (HI) 
sich  wieder  auf  demselben  Wege  bestimmen  lassen  wird,  da 
wir  in  der  Tabelle  der  Schiefe  (I.  Buch,  Kap.  15)  alle  zwischen 
Ekliptik  und  Äquator  von  Ekliptikgrad  zu  Ekliptikgrad  lie- 
5  genden  Meridianbogen,  d.  h.  alle  H  0  entsprechenden  Bogen, 
im  voraus  bekannt  gegeben  haben.  Es  ergibt  sich  demnach 
Hei  96  ohne  weiteres  folgender 

1.  Lehrsatz.  Die  von  denselben  Parallelen  geschnitte- 
nen Ekliptikgrade,  d.  h.  diejenigen,  welche  von  demselben 

10  Wendepunkt  gleich  weit  entfernt  liegen,  bewirken  ihre 
Schnittpunkte  mit  dem  Horizont  an  denselben  Stellen  und 
auf  derselben  Seite  des  Äquators*^  und  verursachen  dadurch 
die  gleiche  Dauer  von  Tag  und  Nacht  in  der  Weise, 
daß  die  von  demselben  Wendepunkt  gleichweit  entfernt  lie- 

15  genden  Tage  einander  gleich  sind  und  gleich  den  von  dem 
anderen  Wendepunkt  gleichweit  entfernt  liegenden  Nächten, 
wie  auch  die  von  demselben  Wendepunkt  gleichweit  entfernt 
liegenden  Nächte  einander  gleich  sind  und  gleich  den  von 
dem  anderen  Wendepunkt  gleichweit  entfernt  liegenden  Tagen. 

20  Gleichzeitig  liefern  wir  den  Beweis  für  folgenden 

2.  Lehrsatz.  Die  von  den  gleichgroßen  Parallelen 
geschnittenen  Ekliptikgrade,  d.h.  diejenigen,  welche  von  dem- 
selben Nachtgleichenpunkt  gleichweit  entfernt  liegen, 
bewirken  der  eine  diesseits,  der  andere  jenseits  des  Äquators 

25  gleichgroße  Horizontbogen^^  und  verursachen  dadurch  die 
gleiche  Dauer  von  Tag  und  Nacht  in  der  Weise  >  daß  der 
Tag  einerseits  (des  Äquators)  gleich  ist  der  Nacht  ander- 
seits, und  umgekehrt.'^^ 

Beweis.    Wenn  wir  an   der  bereits  (S.  60,  5)  erklärten 

30  Figur  noch  den  Punkt  K  annehmen,  in  welchem  der  Halb- 

a)  D.  h.  sie  bewirken  beiderseits  des  Sommei-wendepunktes 
gleichgroße  nördliche  Morgen-  und  Abendweiten,  beiderseits 
des  Winterwendepunktes  gleichgroße  südliche. 

b)  D.  h.  beiderseits  des  Äquators  gleichgroße  Morgenweiten, 
diesseits  nördliche,  jenseits  südliche. 

c)  D.  h.  der  Tag,  welcher  mit  der  gleichgroßen  nördlichen 
Morgenweite  beginnt,  ist  gleich  der  Nacht,  welche  mit  der 
gleichgroßen  südlichen  Morgenweite  endigt. 


Zweites  Buch.     Viertes  Kapitel.  65 

kreis  BEA  des  Horizonts  von  dem  Parallelkreis  geschnitten 
wird,  der  mit  dem  durch  Punkt  H  gehenden  von  gleicher 
Größe   ist,  wenn   wir  ferner  die  Abschnitte  HA  und  KM 
dieser  Parallelen,  die  in  wechselseitiger  Entsprechung  (jen- 
seits und  diesseits   des  Äquators) 
natürlich  einander  gleich  sind,  (bis 
A  und  M,  d.  i.  bis  an  den  oberen 
und  unteren  Meridian)   ausziehen, 
und  wenn  wir  endlich  noch  durch 

K  und  den  nördlichen  Pol  den  Qua-       \       P       \iz"^-, -r   ^^ 
dranten  NKZ  legen,  so  ist 

a)  der  Bogen  0A  gleich  dem 
Bogen  Zr,  weil  0A  ähnlich  HA, 
und  Zr  ähnlich  KM  ist; 

b)  der  Bogen  E0  gleich  dem  Bogen  EZ  als  Differenzen  15 
(von  Quadranten  weniger  den  vorstehend  als  gleich  bezeich- 
neten Bogen); 

c)  der  Bogen  H0  gleich  dem  Bogen  KE  (nach  der  Tabelle  Hei  97 
der  Schiefe). 

Da  ferner  die  Winkel  bei  0  und  E  als  Rechte  einander  20 
gleich  sind,  so  sind  die  sphärischen  Dreiecke  E0H  und  EZK 
kongruent  (weil  sie  je  zwei  Seiten  und  den  eingeschlossenen 
Winkel  gleich  haben).  Folglich  sind  auch  die  Grundlinien  EH 
und  EK  einander  gleich  (d.  h.  die  südliche  Morgenweite  EH 
ist  gleich  der  nördlichen  Morgenweite  EK).  25 

Viertes  Kapitel. 

Wie  sich  berechnen  läßt,  wo,  wann  und  wie  oft 
die  Sonne  in  den  Zenit  kommt. 

Wenn  die  vorstehend  besprochenen  Größen  gegeben  sind, 
so  ist  es  ein  leichtes  zu  berechnen,  wo,  wann  und  wie  oft 
die  Sonne  in  den  Zenit  kommt. 

Keiner  weiteren  Erklärung  bedürfen  folgende  zwei 
Fälle.  80 

1.  Für  die  Orte  unter  den  Parallelkreisen,  welche  von  dem 
Äquator  weiter  entfernt  sind,  als  die  ganze  Deklination  des 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitiua.   I.  5 


65  Zweites  Buch,     Fünftes  Kapitel. 

Sommerwendepunktes  beträgt,  d.  i.  weiter  als  23*^51' 20", 
kommt  die  Sonne  überhaupt  nicht  in  den  Zenit. 

2.  Für  die  Orte  unter  den  Parallelkreisen,  deren  Ent- 
fernung genau  diesen  Betrag  ausmacht,  kommt  sie  einmal 

5  in  den  Zenit,  und  zwar  gerade  zur  Sommer  wende. 
Hieraus  ergibt  sich  weiter: 

3.  Für  die  Orte  unter  den  Parallelkreisen,  deren  Ent- 
fernung weniger  beträgt,  als  die  genannten  Grade,  kommt 
die  Sonne  zweimal  in  den  Zenit. 

10  Wann  dies  geschieht,  daräber  gibt  die  Anordnung  der 
Tabelle  der  Schiefe  (I.  Buch,  15.  Kap.)  Auskunft.  Gehen 
wir  nämlich  mit  der  Zahl  der  Grade,  welche  der  in  Frage 
stehende  Parallelkreis,  der  selbstverständlich  noch  innerhalb 
des  Wendekreises  liegen  muß,  vom  Äquator  Abstand  hat, 
HeilsK^  die  zweite  Spalte  ein,  so  geben  die  in  der  ersten  Spalte 

16  dabeistehenden  Grade  des  Quadranten  (der  Ekliptik)  an  die 
Hand,  in  welcher  Entfernung  von  jedem  der  beiden  Nacht- 
gleichenpunkte aus  nach  dem  Sommerwendepunkte  zu  die 
Sonne  für  die  Orte  unter  dem  betreffenden  Parallelkreis  in 

20  den  Zenit  kommt.*) 


Fünftes  Kapitel. 

Wie  aus  den  gegebenen  Größen  das  Verhältnis  der  Gno- 

monen  zu  den  an  den  Nachtgleichen  und  Wenden  zur 

Mittagstunde  beobachteten  Schatten  bestimmt  wird. 

Daß  sich  das  in  Frage  stehende  Verhältnis  der  Schatten 
zu  den  Gnomonen  auf  eine  ziemlich  einfache  Weise  bestimmen 
läßt,  wenn  ein  für  allemal  erstens  der  Bogen  zwischen  den 
Wendekreisen  und  zweitens  der  Bogen  zwischen  dem  Hori- 

25  zont  und  dem  betreffenden  Pol  (d.  i.  die  Polhöhe)  gegeben 
ist,  dürfte  auf  folgende  Weise  klar  werden. 

Es  sei  der  Kreis  AB  TA  um  das  Zentrum  E  der  Meridian. 
Durch  den  als  Zenit  angenommenen  Punkt  A  ziehe  man  den 
Durchmesser  A  E  f  und  zu  diesem  rechtwinklig  in  der  Ebene 

30  des  Meridians  die  Gerade  FKZN,  welche  natürlich  mit  der 
gemeinsamen  Schnittlinie  (der  Ebenen)  des  Horizonts  und 


Verhältnis  der  Gnomonen  zu  den  Schatten. 


67 


10 


des  Meridians  parallel  verläuft.*^     Da  die  ganze  Erde  zur 
Sphäre  der  Sonne  für  die  sinnliehe  Wahrnehmung  das  Ver- 
hältnis eines  Punktes  und 
Zentrums    hat,   so    kann  jf  A 

die  Spitze  des  Gnomon 
in  Punkt  E  ohne  wesent- 
lichen Unterschied  als 
(Erd-)  Mittelpunkt  ange- 
nommen werden  (S.l  5,24). 

Man   denke   sich    also 
TE  als  Gnomon  und  TKZN 
als    die    (Mittags-)  Linie, 
auf  welche   zur   Mittag- 
stunde die  Endpunkte  der  Schatten  fallen.  Durch  E  ziehe  manHei99 
den  Mittagstrahl  zur  Nachtgleiche  und  die  Mittagstrahlen  zu  15 
den  Wenden.  Es  sei  B  E  A  Z  der  Nachtgleichenstrahl,  H  E  0  K  Ha  75 
der  Sommerwendstrahl,  A  E  M  N  der  Winterwendstrahl.  Folg- 
lich wird  PK  der  Sommerwendschatten,  TZ  der  Nachtgleichen- 
schatten, TN  der  Winterwendschatten. 

Für  die  zugrunde  gelegte  geographische  Breite   beträgt  20 
nun  der  Bogen  TA,  weil  der  ihm  gleiche  Bogen  (AB  als 
Zenitabstand  des  Äquators  BEA)  der  Erhebung  des  nörd- 
lichen Pols  über  dem  Horizont  gleich  ist^\  36^  in  dem  Maße, 
in  welchem  der  Meridian  gleich  360°  ist;  ferner  ist  jeder 
der  beiden  Bogen  0A  und  AM  gleich  23^51' 20"  in  dem-  26 
selben  Maße.    Hieraus  ergibt  sich  offenbar  weiter 
6r0  =  6rA-feA0  =  12o  8'40", 
ftrM=6rA-|-6AM=59«51'20". 

(Z.KEr=    12»  8' 40") 
Folglich  ist     UZEr=   36« 

l/.NEr=    59»51'20" 

/.KEr=    24n7'20" 
oder       UZEr=    72« 

/.NEr  =  119°42'40" 


wie  4i2  =  360^ 


wie  2i^  =  360*'.«) 


30 


a)  Insofern  die  genannte  Schnittlinie  auf  der  Mittagslinie 
durch  Punkt  E  verlaufen  muß,  weil  nur  die  eine  Hälfte  des 
Meridiankreises  über  dem  Horizont  liegen  kann. 

ö* 


63  Zweites  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

Heiioo        Mithin  ist       }    ^?,  rE  =  155«42'40"1   wie©KrE  =  360V 

(     brZ.==    72*1 
ferner       |   ^5rE  =  108«j   wie  ©  zrE  =  360«>, 

ö  endlich        {    jrE  =  ^60n7'20''}    ^^^  Ö  NrE=  360°. 

Folglich  ist    (ll'^^^^'ö!"  wie  srK=    25^14' 43",  (im  AKTE) 
TE  ^^^   ^'^^"   ^^®  *'"Z=    70^32'   3",  (imAZTE) 

^  1   60^15' 42"  wie  srN=  103^46' 16".  (im  ante) 

10       Setzt  man  nun  den  Gnomon  FE  =  60^,  so  wird 
Ha  76  der  Sommerwendschatten     PK  =   12^55', 

der  Nachtgleichenschatten  rz  =   43^36', 
der  Winterwendschatten      TN  =  103^20'. 
Ohne  weiteres  leuchtet  ein,  daß  umgekehrt,  wenn  von  den 
15  vorliegenden  drei  Verhältnissen  des  Gnomon  zu  den  Schatten- 
längen nur  je  zwei  nach  Belieben  gegeben  sind,  sich  dar- 
aus sowohl  die  Polhöhe  (i^TA)  bestimmen  läßt,  als  auch 
der  Bogen  (0  M)  zwischen  den  Wendepunkten.     Sind  näm- 
lich nach  Belieben  auch  nur  je  zwei  von  den  Winkeln  an 
20  Punkt  E  gegeben,  so  ist  auch  der  dritte  gegeben,  weil  die 
Bogen  0A  und  AM  einander  gleich  sind 
Hei  101       Was  nun  freilich  die  Genauigkeit  anbelangt,  welche  durch 
die  unmittelbare  Beobachtung  erreichbar  ist,  so  können  die 
zwei  letzterwähnten  Punkte  (Polhöhe  und  Ekliptikschiefe) 
26  auf  dem  von  uns  (S.  44)  mitgeteilten  Wege  mit  zweifelloser 
Sicherheit  bestimmt  werden,  während  die  Verhältnisse  der 
hier  mitgeteilten  Schattenlängen  zu  den  Gnomonen  (durch 
die  Beobachtung)  nicht  mit  gleicher  Schärfe  zu  gewinnen 
sind,    weil    einerseits    bei    den    Nachtgleichenschatten    der 
30  Zeitpunkt  an  sich  nicht  mit  voller  Sicherheit  festzustellen 
ist,  anderseits   bei  den  Winterwendschatten   die   äußersten 
Endpunkte  nicht  mit  genügender  Schärfe  ermittelt  werden 
können.i<>) 


a)  Mit  ,b  wird  der  Supplementbogen  zu  dem  erstgenannten 
Bogen  (5)  bezeichnet,  mit  @  der  um  das  dabeistehend  benannte 
rechtwinklige  Dreieck  gezogene  Kreis.  Es  heißt  sonach  ©  K  f  E : 
der  um  das  rechtwinklige  AKTE  gezogene  Kreis. 


Zweites  Buch.     Sechstes  Kapitel.  69 


Sechstes  Kapitel. 

Feststellung  der  von  Parallel  zu  Parallel  eintretenden 
charakteristischen  Kennzeichen. 

In  derselben  Weise  wie  bisher  (für  den  Parallel  von  Rhodus) 
wollen  wir  nun  auch  für  die  anderen  Parallelkreise  die  haupt- 
sächlichsten der  bestehenden  Kennzeichen  feststellen,  wobei 
wir  den  Unterschied  der  Neigung  (der  Sphäre),  weil  dies 
genügt,  um  je  eine  Viertelstunde  (der  Tageslänge)  zunehmen  5 
lassen.  Ehe  wir  aber  zu  der  Feststellung  der  Besonder- 
heiten im  einzelnen  schreiten,  wollen  wir  eine  mehr  allgemein 
gehaltene  Erörterung  der  in  Betracht  kommenden  Kennzeichen 
vorausschicken. 

1.  Wir  beginnen  mit  dem  direkt  unter  dem  Äquator  ver-  10 
laufenden  Parallel,  der  so  ziemlich  die  südliche  Grenze  des 
ganzen  Kugelviertels  bildet,  auf  welches  sich    das    zurzeit 
bewohnte  Gebiet  der  Erde  erstreckt.    Nur  auf  diesem  Paral-  Ha  77 
lel  sind  die  Tage  und  die  Nächte  alle  einander  gleich,  weil 
nur   in   diesem   Falle    sämtliche    an    der    Sphäre    mit   dem  15 
Äquator    gleichlaufenden   Kreise    von    dem   Horizont    hal- 
biert werden,  so  daß  ihre  über  dem  Horizont  liegenden  Ab- 
schnitte einander  ähnlich*)  und  bei  jedem  einzelnen  gleich- 
groß sind  wie  die  unter  dem  Horizont  verlaufenden,  eine 
Begleiterscheinung,  die  bei  Sphaera  obliqua  nirgends  ein-  20 
tritt;  denn  nur  der  Äquator  wird  überall  von  dem  Hori- 
zont halbiert  und  macht  infolgedessen  die  auf  ihm  verlau-  Hei  lOS 
fenden  Tage  den  Nächten  für  die  sinnliche  Wahrnehmung 
gleich,    weil  er  zu  den    größten  Kreisen   gehört,    während 
die  übrigen  Kreise  in  ungleiche  Abschnitte  geteilt  werden,  25 
Und   zwar    haben   die    südlich  des  Äquators    verlaufenden 
Parallelkreise  je  nach  der   geographischen  Breite   in  dem 
zurzeit   bewohnten    Gebiete    der   Erde    kleinere    Abschnitte 
über   als    unter    dem   Horizont   und   machen   infolgedessen 
die  Tage  kürzer  als  die  Nächte,  wogegen  die  nördlich  des  30 

a)  Weil  alle  diese  Abschnitte  Halbkreise  sind. 


70  Zweites  Buch.     Sechstes  Kapitel, 

Äquators  verlaufenden  Kreise  umgekehrt  größere  Abschnitte 
über  dem  Horizont  haben  und  infolgedessen  die  Dauer  der 
Tage  verlängern. 

Dieser  Parallel  ist  zweischattig.  Zweimal  kommt  die 
5  Sonne  für  die  unter  ihm  liegenden  Orte  in  den  Schnitt- 
punkten der  Ekliptik  mit  dem  Äquator  in  den  Zenit,  so  daß 
nur  zu  diesen  Zeitpunkten  die  Gnomonen  zur  Mittagstunde 
schattenlos  werden.  Während  aber  die  Sonne  den  nörd- 
lichen  Halbkreis    der    Ekliptik    durchwandert,    zeigen    die 

10  Schatten  der  Gnomonen  die  Richtung  nach  Süden,  durch- 
wandert sie  den  südlichen  Halbkreis,  die  Richtung  nach 
Norden.  Dort  ist  sowohl  der  Sommer-  wie  der  Winter- 
wendschatten gleich  2672^  in  <iem  Maße,  in  welchem  der 
Gnomon  60^  beträgt. 
Ha  78       Wenn  wir   von  Schatten    sprechen,   so  meinen   wir  all- 

16  gemein  diejenigen,  welche  zur  Mittagstunde  eintreten.  Der 
wahre  Eintritt  der  Nachtgleichen  und  Wenden  muß  sich 
zwar  durchaus  nicht  gerade  zur  Mittagstunde  vollziehen, 
aber    die    Differenzen    der    Schattenlängen    sind    ganz    un- 

20  beträchtlich  (wenn  er  zu  anderer  Zeit  erfolgt). 

Für  die  Orte  unter  dem  Äquator  kommen  alle  diejenigen 

Hei  103  Sterne  in  den  Zenit,    welche   ihren  Umschwung   auf  dem 

Äquator  selbst  vollziehen.    Alle  Sterne  sieht  man  auf-  und 

untergehen,   weil  die  Pole  der  Sphäre  direkt  im  Horizont 

25  liegen.  Deshalb  machen  sie  auch  keinen  Parallel  zum 
immersichtbaren  oder  immerunsichtbaren  Kreis,  und  keinen 
Meridian  zum  Kolur.^^^  Daß  es  bewohnte  Orte  unter 
dem  Äquator  geben  könne,  hält  man  für  möglich,  weil 
dort     eine    sehr    gemäßigte    Jahrestemperatur     herrschen 

30  muß.  Denn  die  Sonne  verweilt  weder  lange  Zeit  im  Zenit, 
weil  in  der  Nähe  der  Nachtgleichenpunkte  die  Verändeining 
der  Deklination  sehr  rasch  vor  sich  geht,  weshalb  der 
Sommer  mild  sein  dürfte,  noch  hat  sie  bei  den  Wenden 
einen  großen  Zenitabstand,  so  daß  sie  auch  keinen  strengen 

35  Winter  verursachen  kann.  Welches  aber  die  Orte  sind,  die 
bewohnt  werden,  das  können  wir  erfahrungsgemäß  nicht 
sagen;  denn  unbetreten  sind  sie  bis  zum  heutigen  Tage  von 


Charakteristik  der  Parallelkreise.  71 

den  Menschen  des  zurzeit  bewohnten  Gebietes  der  Erde, 
und  was  von  ihnen  erzählt  wird,  das  möchte  man  wohl 
mehr  für  Dichtung  als  für  Wahrheit  halten.  Hiermit 
dürften  die  Besonderheiten  des  Parallels  unter  dem  Äquator 
in  aller  Kürze  dargelegt  sein.  5 

Was  die  übrigen  Parallelkreise  anbelangt,  von  denen  ab, 
wie  manche  Gewährsmänner  annehmen,  die  Besitzergreifung 
der  bewohnbaren  Orte  stattgefunden  hat,  so  wollen  wir 
hier  noch  drei  Punkte  in  mehr  gemeinsamer  Fassung  hin- 
zufügen, um  nicht  für  jeden  einzelnen  Kreis  immer  das-  y) 
selbe  wiederholen  zu  müssen. 

a.  Für  jeden  Parallelkreis,  d.  h.  von  Parallel  zu  Parallel, 
kommen  alle  diejenigen  Sterne  in  den  Zenit,    welche  auf  Ha  79 
dem  durch  die  Pole  des  Äquators  gehenden  (Deklinations-)  Hei  10 
Kreis  vom  Äquator  den  gleichgroßen  Bogen  Abstand  haben,  15 
wie  der  betreffende  Parallelkreis  selbst .*) 

b.  Immersichtbarer  Kreis  wird  (überall)  derjenige  Parallel, 
welcher  mit  dem  Abstand  der  Polhöhe  um  den  nördlichen 
Pol  als  Zentrum  gezogen  wird.  Die  innerhalb  dieses  Kreises 
liegenden  Sterne  sind  immersichtbar.  20 

c.  Immerunsichtbarer  Kreis  wird  derjenige  Parallel,  welcher 
mit  dem  nämlichen  Abstand  um  den  südlichen  Pol  als  Zen- 
trum gezogen  wird.  Die  innerhalb  dieses  Kreises  liegenden 
Sterne  sind  immerunsichtbar. 

2.  Der  zweite  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der  25 
längste  Tag  127^  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat  vom 
Äquator  4^/  Abstand  und  geht  durch  die  Insel  Taprobane. 
Auch  er  gehört  zu  den  zweischattigen,  weil  die  Sonne  wieder 
zweimal  für  die  unter  ihm  liegenden  Orte  in  den  Zenit 
kommt  und  bei  ihrer  Kulmination  die  Gnomonen  schatten-  30 
los  macht,  wenn  sie  beiderseits  l^^l^  vom  Sommerwende- 
punkt entfernt  ist.^^  Infolgedessen  zeigen  die  Schatten  der 
Gnomonen,  während  die  Sonne  diese  (2  x  79^/^^=)  159^ 
durchwandert,  die  Eichtung  nach  Süden,  und  während  sie 


a)  Weil  jeder  himmlische  Parallelkreis,  unter  dem  ein  Ort 
liegt,  durch  den  Zenit  dieses  Ortes  verläuft. 


72  Zweites  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

die  übrigen  201^  durchwandert,  die  Richtung  nach  Norden. 
Dort    ist    der    Nachtgleichenschatten    gleich    4^  25',    der 
Sommer  wendschatten     gleich    21^  20',    der    Winter  wend- 
schatten  gleich  32^  in  dem  Maße,   in  welchem  der  Gno- 
5  mon  60^  beträgt. 
Hei  105       3.  Der   dritte   Parallel   ist   derjenige,    auf  welchem  der 
längste  Tag   I2V2  Äquinoktiaistun  den   hat.     Er   hat  vom 
Ha  80  Äquator  8^25'  Abstand  und  geht  durch  den  Aualitischen 
Meerbusen.    Auch  er  gehört  zu  den  zweischattigen,  weil 

ly  die  Sonne  zweimal  für  die  unter  ihm  liegenden  Orte  in 
den  Zenit  kommt  und  bei  ihrer  Kulmination  die  Gnomonen 
schattenlos  macht,  wenn  sie  beiderseits  69^  vom  Sommer- 
wendepunkt entfernt  ist.  Infolgedessen  zeigen  die  Schatten 
der  Gnomonen,  während  die  Sonne  diese  138®  durchwandert, 

15  die  Richtung  nach  Süden,  und  während  sie  die  übrigen 
222^  durchwandert,  die  Richtung  nach  Norden.  Dort  ist 
der  Nachtgleichenschatten  gleich  8^  50',  der  Sommerwend- 
schatten gleich  16P  50',  der  Winterwend schatten  gleich 
37P55'    in    dem    Maße,    in    welchem    der    Gnomon    60^ 

20  beträgt. 

4.  Der  vierte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
längste  Tag  12%  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat  vom 
Äquator  ^.^^j^  Abstand  und  geht  durch  den  Ad  ulitischen 
Meerbusen.    Auch  er  gehört  zu  den  zweischattigen,  weil 

25  die    Sonne   wieder   zweimal    für   die   unter   ihm   liegenden 

Orte  in  den  Zenit  kommt   und  bei  ihrer  Kulmination  die 

Gnomonen  schattenlos  macht,  wenn  sie  beiderseits  57^40' 

Hei  106  vom  Sommerweudepunkt  entfernt  ist.    Infolgedessen  zeigen 

die    Schatten    der   Gnomonen,    während   die    Sonne    diese 

30  115*^20'  durchwandert,  die  Richtung  nach  Süden,  und 
während  sie  die  übrigen  244^40'  durchwandert,  die  Rich- 
tung nach  Norden.  Dort  ist  der  Nachtgleichenschatten 
gleich  I3Y3P,  ^^^  Sommerwendschatten  gleich  12^,  der 
Winterwendschatten  gleich  44 Yg^  in  dem  Maße,  in  welchem 

35  der  Gnomon   60^  beträgt. 

5.  Der  fünfte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
längste    Tag    13    Äquinoktialstunden    hat.      Er   hat    vom 


Charakteristik  der  Parallelkreise.  73 

Äquator  16^27'  Abstand  und  geht  durch  die  Insel  Meroe. 
Auch  er  gehört  zu  den  zweischattigen,  weil  die  Sonne  zwei-  Ha  8i 
mal  für  die  unter  ihm  liegenden  Orte  in  den  Zenit  kommt 
und  bei  ihrer  Kulmination  die  Gnomonen  schattenlos  macht, 
wenn  sie  beiderseits  45^  vom  Sommerwendepunkt  entfernt    5 
ist.    Infolgedessen  zeigen  die  Schatten  der  Gnomonen,  wenn 
die    Sonne    diese    90^    durchwandert,    die    Richtung    nach 
Süden,    und  während  sie  die  übrigen  270^  durchwandert, 
die  Richtung  nach  Norden.     Dort   ist   der  Nachtgleichen- 
schatten gleich  17^4^,  der  Sommerwendschatten  gleich  7^4^,  10 
der  Winterwendschatten  gleich  51^  in  dem  Maße,  in  welchem 
der  Gnomon  60^  beträgt. 

6.  Der  sechste  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
längste  Tag  1374  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat  vom 
Äquator  20^14'  Abstand  und  geht  duTch  Napata.    Auch  15 

er  gehört  zu  den  zweischattigen ,    weil  die  Sonne   für  die  Hei  i07 
unter  ihm  gelegenen  Orte  zweimal  in  den  Zenit  kommt  und 
bei   ihrer   Kulmination   die    Gnomonen   schattenlos    macht, 
wenn  sie  beiderseits  31^  vom  Sommerwendepunkt  entfernt 
ist.      Infolgedessen    zeigen    die    Schatten    der    Gnomonen,  20 
während  die  Sonne  diese  62^  durchwandert,  die  Richtung 
nach    Süden,    und   während    sie   die   übrigen   298^   durch- 
wandert, die  Richtung  nach  Norden.    Dort  ist  der  Nacht- 
gleichenschatten   gleich    ^2^1  ^y    der    Sommer  wendschatten 
gleich  3^4^,  der  Winterwendschatten  gleich  öSVe^  in  dem  25 
Maße,  in  welchem   der  Gnomon   60^  beträgt. 

7.  Der  siebente  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
längste  Tag   ISYg  Äquinoktialstunden   hat.     Er    hat  vom 
Äquator  23^51'  Abstand  und  geht  durch  Soene.     Er  ist 
der  erste  von  den  sogenannten  einschattigen  Parallelen;  30 
denn  niemals  zeigen  in  den  unter  ihm  liegenden  Orten  die 
Schatten  der  Gnomonen  zur  Mittagstunde  nach  Süden.    Nur 
einmal  gerade  zur  Sommerwende  kommt  für  sie  die  Sonne  Ha  82 
in  den  Zenit,    wo  dann    die  Gnomonen  der  Theorie   nach 
schattenlos  sind;    denn  diese  Orte  haben  genau  denselben  35 
Abstand  vom  Äquator  wie  der  Sommerwendepunkt.    Sonst 
zeigen  jederzeit  die  Schatten  der  Gnomonen  die  Richtung 


74  Zweites  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

nach  Norden.     Dort    ist   in   dem    Maße,    in    welchem    der 
Gnomon  60^  beträgt,  der  Nachtgleichenschatten  gleich  2672^ 
und  der  Winterwendschatten  gleich  65^50';  der  Sommer- 
wendschatten aber  ist  gleich  Null. 
Hei  108      Alle  Parallelkreise,  welche  nördlicher  als  dieser  liegen, 
6  bis  zu  demjenigen,  welcher  die  (nördliche)  Grenze  des  zur- 
zeit bewohnten  Gebietes  der  Erde  bildet,  sind  einschattig; 
denn  niemals  werden  die  Gnomonen  unter  ihnen  zur  Mittag- 
stunde schattenlos^  auch  werfen  sie  die  Schatten  nie  nach 
10  Süden,  sondern  stets  nach  Norden,  weil  die  Sonne  für  diese 
Orte  niemals  in  den  Zenit  kommt. 

8.  Der  achte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
längste  Tag  18^/4  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat  vom 
Äquator  27^12'   Abstand  und  geht  durch  Ptolemais   in 

15  Theba'is,  das  sogenannte  Hermeion.  Dort  ist  in  dem 
Maße,  in  welchem  der  Gnomon  60^  beträgt,  der  Sommer- 
wendschatten gleich  SYg^,  der  Nachtgleichenschatten  gleich 
36^50',  der  Winterwendschatten  gleich  74^10'. 

9.  Der  neunte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
20  längste  Tag  14  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat  vom  Äqua- 
tor 30^22'  Abstand  imd  geht  durch  das  Unterland  von 
Ägypten.  Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Gno- 
mon 60^  beträgt,  der  Sommerwendschatten  gleich  6^50', 
der  Nachtgleichenschatten  gleich  35^5',    der  Winterwend- 

26  schatten  gleich  83^5'. 

10.  Der  zehnte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
Ha  83  längste   Tag    14y4  Äquinoktialstunden    hat.     Er   hat  vom 

Hei  109 Äquator  33^18'  Abstand   und  geht  mitten  durch  Phö- 

nizien.    Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Gnomon 

30  60^   beträgt,    der    Sommerwendschatten    gleich    10^,    der 

Nachtgleichenschatten  gleich  3972^?  der  Winterwendschatten 

gleich  93p  5'. 

11.  Der  elfte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
längste   Tag   I4Y2  Äquinoktialstunden   hat.     Er   hat   vom 

36  Äquator  36^  Abstand  und  geht  durch  Rhodus.  Dort  ist 
in  dem  Maße,  in  welchem  der  Gnomon  60^  beträgt,  der 
Sommerwendschatten    gleich    12^55',    der    Nachtgleichen- 


Charakteristik  der  Parallelkreise.  75 

schatten   gleich   43^  3  6',*^    der   Winterwendschatten   gleich 
103p  20'. 

12.  Der  zwölfte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  der 
längste  Tag  14^4  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat  vom 
Äquator  38*^35'  Abstand  und  geht  durch  Smyrna.  Dort  6 
ist  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Gnomon  60^  beträgt, 
der  Sommerwendschatten  gleich  15^40',  der  Nachtgleichen- 
schatten gleich  4  7P5O',  derWinterwends chatten  gleich  1 1 4^5  5'. 

13.  Der  dreizehnte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem 
der  längste  Tag  15  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat  vom  10 
Äquator  40^56'  Abstand  und  geht  durch  den  Hellespont. 
Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Gnomon  60^  be- 
trägt, der  Sommerwendschatten  gleich  ISYg'^j  ^^^  Nacht- 
gleichenschatten gleich  52P10',  der  Winterwendschatten 
gleich  12  TP  50'.  15 

14.  Der  vierzehnte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  Hei  110 
der   längste    Tag   I5Y4   Äquinoktialstunden    hat.     Er    hat 

vom  Äquator  43^4'  Abstand  und  geht  durch  Massalia. 
Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Gnomon  60^  be- 
trägt, der  Sommerwendschatten  gleich  20^50',  der  Nacht-  20 
gleichenschatten    gleich  55^55',     der  Winterwendschatten 
gleich   144p. 

15.  Der  fünfzehnte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  Ha  84 
der  längste   Tag    15Y2   Äquinoktialstunden  hat.      Er  hat 
vom   Äquator    45^1'    Abstand   und   geht   mitten    durch  25 
den   Pontus.      Dort    ist   in  dem  Maße,    in  welchem  der 
Gnomon  60^  beträgt,  der  Sommer  wendschatten  gleich  237^^, 

der   Nachtgleichenschatten    gleich    60p,    der   Winterwend- 
schatten gleich  155^5'. 

16.  Der  sechzehnte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem  30 
der   längste   Tag    15%   Äquinoktialstunden   hat.      Er   hat 
vom  Äquator  46° 5 1'  Abstand  und  geht  durch  die  Quellen 


a)  Er  berechnet  sich  (vgl.  S.  68,  s)  nach  dem  Verhältnis 
97P4'56"  :  60P  =  70P32'3":x  mit  43P  35'25".  Folglich  ist  der 
S.  68, 12  angegebene  Wert  43^36'  richtig,  nicht  43^50'  (^y  /.'  /), 
wie  hier  im  griechischen  Text  steht. 


76  Zweites  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

des  Ister.    Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Gnomon 
60P  beträgt,    der  Sommerwendschatten  gleich  25P30',  der 
Nachtgleichenschatten  gleich  63^55',  der  Winterwendschatten 
gleich  171P10'. 
5       17.  Der  siebzehnte  Parallel  ist  derjenige,   auf  welchem 
der  längste  Tag  16  Äquinoktialstunden  hat.    Er  hat  vom 
Hai  111  Äquator  48^32'  Abstand  und  geht  durch  die  Mündungen 
des  Borysthenes.     Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem 
der  Gnomon  60p  beträgt,  der  Sommer  wendschatten  gleich 
10  27^30',  der  Nachtgleichenschatten  gleich  67P  50',  der  Winter- 
wendschatten gleich  188P35'. 

18.  Der  achtzehnte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem 
der  längste  Tag  16^4  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat 
vom  Äquator  50^4'  Abstand   und  geht  mitten  durch  den 

15  Mäo tischen  See.  Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem 
der  Gnomon  60^  beträgt,  der  Sommerwendschatten  gleich 
29^55',  der  Nachtgleichenschatten  gleich  7 IP  40',  der  Winter- 
wendschatten gleich  208P20'. 

19.  Der  neunzehnte  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem 
20  der    längste   Tag    1672  Äquinoktialstunden   hat.     Er   hat 

vom  Äquator  51^30'  Abstand*^  und  geht  durch  die  süd- 
Ha  85  liebsten  Teile  von  Brettania.    Dort  ist  in  dem  Maße, 
in   welchem   der   Gnomon  60p  beträgt,    der  Sommerwend- 
schatten  gleich  31P25',    der   Nachtgleichenschatten   gleich 
25  75P25',  der  Winterwendschatten  gleich  229P20'. 

20.  Der  zwanzigste  Parallel  ist  derjenige,  auf  welchem 
der  längste  Tag  16^^  Äquinoktialstunden  hat.  Er  hat 
vom  Äquator  52^50'  Abstand  und  geht  durch  die  Mün- 
dungen des  Rhenus.    Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem 

30  der  Gnomon  60p  beträgt,  der  Sommerwendschatten  gleich 
33p 20',  der  Nachtgleichenschatten  gleich  79P5',  der  Winter- 
wendschatten gleich  253p  10'. 
Hei  112      21.  Der    einundzwanzigste    Parallel    ist    derjenige,    auf 
welchem  der  längste  Tag    17  Äquinoktialstunden  hat.    Er 


a)  Die  Zahl  va  /.'  sr'  kommt  mir    bedenklich  vor,    zumal  da 
Cod.  D  statt  ?'  xal  schreibt. 


Charakteristik  der  Parallelkreise.  77 

hat  vom  Äquator  54^1'  Abstand*'  und  geht  durch  die 
Mündungen  des  Tana'is.  Dort  ist  in  dem  Maße,  in 
welchem  der  Gnomon  60^  beträgt,  der  Sommerwendschatten 
gleich  34p 55',  der  Nachtgleichenschatten  gleich  82P35', 
der  Winterwendschatten  gleich  278P45'.  5 

22.  Der  zweiundzwanzigste  Parallel  ist  derjenige,  auf 
welchem  der  längste  Tag  17  74  Äquinoktialstunden  hat. 
Er  hat  vom  Äquator  55®  Abstand  und  geht  durch  Brigan- 
tium  in  Großbrettania.  Dort  ist  in  dem  Maße,  in 
welchem  der  Gnomon  60p  beträgt,  der  Sommerwendschatten  10 
gleich  36P15',  der  Nachtgleichenschatten  gleich  85P40', 
der  Winterwendschatten  gleich  304P30'. 

23.  Der  dreiundzwanzigste  Parallel  ist  derjenige,  auf 
welchem  der  längste  Tag  I7V2  Äquinoktialstunden  hat. 
Er  hat  vom  Äquator  56^  Abstand  und  geht  mitten  durch  15 
Großbrettania.  Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem  der 
Gnomon  60p  beträgt,  der  Sommerwendschatten  gleich  37P40', 
der  Nachtgleichen  schatten  gleich  88P50',  der  Winterwend- 
schatten gleich   335p  15'. 

24.  Der   vierundzwanzigste   Parallel    ist   derjenige,    auf  20 
welchem   der    längste    Tag    17^4   Äquinoktialstunden    liat.jg*  ^6^, 
Er  hat  vom  Äquator  57°  Abstand  und  geht  durch Katurak- 
tonium  in  Brettania.   Dort  ist  in  dem  Maße,  in  welchem 

der  Gnomon  60p  beträgt,  der  Sommerwendschatten  gleich 
39P20',  der  Nachtgleichenschatten  gleich  92P  25',  der  Winter-  25 
wendschatten  gleich   372P5'. 

25.  Der  fünfundzwanzigste  Parallel  ist  derjenige,  auf 
welchem  der  längste  Tag  18  Äquinoktialstunden  hat.  Er 
hat  vom  Äquator  58°  Abstand  und  geht  durch  die  südlichen 
Teile  von  Kleinbrettania.  Dort  ist  in  dem  Maße,  in  30 
welchem  der  Gnomon  60p  beträgt,  der  Sommerwendschatten 
gleich  40P40',  der  Nachtgleichenschatten  gleich  96p,  der 
Winterwendschatten  gleich  419p  5'. 


a)  Der  griechische  Text  hat  v&  X ;  ich  gebe  der  Lesart  vd  a 
den  Vorzug,  zumal  da  auch  Cod.  D  diese  hat.  Man  beachte 
nur  die  von  hier  ab  regelmäßig  1®  zunehmenden  Abstände. 


78  Zweites  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

26.  Der  sechsundzwanzigste  Parallel  ist  derjenige,    auf 
welchem   der   längste   Tag    IS^/g   Aquinoktialstunden   hat. 
Er  hat  vom  Äquator  59^30'  Abstand  und  geht  durch  die 
Mitte  von  Kleinbrettania.     Von  der  Zunahme  um  eine 
5  Viertelstunde  haben  wir  hier  abgesehen  erstens,    weil  die 
Parallelkreise  bereits  sehr  nahe  aneinander  heranrücken  und 
der  Unterschied   der  Polhöhen   keinen   ganzen  Grad   mehr 
ausmacht;  zweitens,  weil  wir  bei  den  noch  weiter  nördlich 
liegenden  Parallelen  eine  gleichsorgfältige  Behandlung  nicht 
10  für  angezeigt  halten.    Deshalb  haben  wir  es  auch  für  über- 
flüssig gehalten,  die  Verhältnisse  der  Schattenlängen  zu  den 
Gnomonen  wie  bei  örtlicher  Begrenzung  weiter  anzugeben. 
Hei  lu      27.    Wo   der  längste  Tag    19   Aquinoktialstunden    hat, 
dort  hat  der  Parallel  vom  Äquator  61^  Abstand  und  geht 
15  durch  die  nördlichen  Teile  von   Kleinbrettania. 
Ha  87       28.  Wo  der  längste  Tag  1972  Aquinoktialstunden  hat, 
dort  hat  der  Parallel  vom  Äquator  62^  Abstand  und  geht 
durch  die  sogenannten  Ebudischen   Inseln. 

29.  Wo  der  längste  Tag  20  Aquinoktialstunden  hat,  dort 
20  hat  der  Parallel  vom  Äquator  63^  Abstand  und  geht  durch 

die  Insel  Thule. 

30.  Wo  der  längste  Tag  21  Aquinoktialstunden  hat,  dort 
hat  der  Parallel  vom  Äquator  64^30'  Abstand  und  geht 
durch  unbekannte  skythische  Völkerschaften. 

25       31.  Wo  der  längste  Tag  22  Aquinoktialstunden  hat,  dort 
hat  der  Parallel  vom  Äquator  65^30'  Abstand. 

32.  Wo  der  längste  Tag  23  Aquinoktialstunden  hat,  dort 
hat  der  Parallel  vom  Äquator  66^  Abstand. 

33.  Wo  der  längste  Tag  24  Aquinoktialstunden  hat,  dort 
30  hat  der  Parallel  vom  Äquator  6  6"  8' 40"  Abstand.^)    Er  ist 

der  erste  von  den  ringsschattigen  Parallelen.     Da  nämlich 

dort  zur  Zeit  der  Sommerwende  die  Sonne  nicht  untergeht, 

so  schlagen  die  Schatten  der  Gnomonen,  allerdings  nur  zu 

Hei  115  dieser  Zeit,  die  Richtungen  nach  allen  Seiten  des  Horizonts 


a)  D.  i.  90°  — 23®51'20".     Ea   ist  demnach    der   heutzutage 
sosr.  „nördliche  Polarkreis". 


Charakteristik  der  Parallelkreise.  79 

ein.  Dort  ist  der  Sommer  Wendekreis  der  immersichtbare, 
und  der  Winterwendekreis  der  immerunsichtbare  Parallel- 
kreis, weil  beide  auf  entgegengesetzten  Seiten,  der  eine  von 
oben,  der  andere  von  unten,  den  Horizont  in  einem  Punkte 
berühren.  Der  schiefe  Kreis  der  Ekliptik  fällt  mit  dem  5 
Horizont  zusammen,  wenn  der  Frühlingsnachtgleichen- 
punkt  aufgeht. 

Wenn  man   sonst  noch   aus  rein  theoretischen  Gründen 
auch   für  die   noch  nördlicheren   Breiten   einige   besonders  Ha  88 
charakteristische  Eigenschaften  in  Betracht  ziehen  möchte,  10 
so  dürfte  man  zu  folgenden  Ergebnissen  gelangen. 

34.  Wo  die  Polhöhe  etwa  67^  beträgt,  dort  kommen 
beiderseits  der  Sommerwende  15^  der  Ekliptik  überhaupt 
nicht  zum  Untergang.  Infolgedessen  wird  der  längste  Tag 
ungefähr  gleich  einem  Monat*),  und  ebensolange  dauert  der  15 
Umlauf  der  nach  allen  Seiten  des  Horizonts  fallenden  Schatten. 
Diese  Verhältnisse  wird  man  sich  leicht  vergegenwärtigen 
mit  Hilfe  der  (I.  Buch,  Kap.  15)  mitgeteilten  Tabelle  der 
Schiefe.^^)  Genau  soviel  Grade  (hier  23),  als  wir  nämlich 
den  Parallelkreis,  der  im  vorliegenden  Falle  zu  beiden  Seiten  20 
>des  Wendepunktes  15^  abschneidet,  vom  Äquator  entfernt 
finden,  wird  selbstverständlich  die  Erhebung  des  nördlichen 
Pols  unter  90^  bleiben.  Der  betreffende  Parallelkreis  wird 
alsdann  mit  Einschluß  des  (beiderseits  des  Sommerwende- 
punktes) abgeschnittenen  Ekliptikstückes  der  immersicht-  25 
bare  Kreis,  während  immer  unsichtbar  er  Kreis  der  ent- 
sprechende (südliche  Parallel  mit  Einschluß  des  beiderseits 
des  Winterwendepunktes  abgeschnittenen  gleichgroßen  Eklip- 
tikstückes) wird.^^) 

35.  Wo    die   Erhebung  des  Pols  69^30'  beträgt,   dort  Hei  U6 
wird  man  finden,  daß  beiderseits  der  Sommerwende  30^  über-  31 
haupt  nicht  zum  Untergang  gelangen.     Infolgedessen  wird 

der  längste  Tag  ungefähr  gleich  2  Monaten^\  und  ebenso- 
lange bleiben  die  Gnomonen  ringsschattig. 


a)  So  lange  braucht  die  Sonne,  um  die  2x15"  zu  durchlaufen. 

b)  So  lange  braucht  die  Sonne,  um  die  2x30®  zu  durchlaufen. 


80  Zweites  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

36.  Wo  die  Erhebung  des  Pols  73^20'  beträgt,  dort  wird 
man  finden,  daß  beiderseits  der  Sommerwende  45^  nicht 
zum  Untergang  gelangen.  Infolgedessen  erstreckt  sich  die 
Dauer   des  längsten  Tages   und   die  Ringsschattigkeit   der 

5  Gnomonen  auf  ungefähr  3  Monate. 

37.  Wo  die  Erhebung  des  Pols  78<^20'  beträgt,  dort  wird 
man  finden,  daß  beiderseits  derselben  Wende  60^  nicht  zum 

Ha  89  Untergang  gelangen.     Infolgedessen  wird  der  längste  Tag 
10  ungefähr  gleich  4  Monaten,  und  ebensolange  dauert  der  Um- 
lauf der  (nach  allen  Richtungen  fallenden)  Schatten. 

38.  Wo  die  Erhebung  des  Pols  84^  beträgt,  dort  wird 
man  finden,  daß  beiderseits  der  Sommerwende  75*^  nicht  zum 
Untergang  gelangen.  Infolgedessen  wird  der  längste  Tag 
ungefähr  gleich  5  Monaten,  und  die  gleiche  Zeit  bleiben  die 

15  Gnomonen  ringsschattig. 

39.  Wo  die  Erhebung  des  Pols  die  vollen  90**  des  Qua- 
dranten beträgt,  dort  gelangt  der  nördlich  des  Äquators 
liegende  Halbkreis  der  Ekliptik  in  seiner  ganzen  Ausdehnung 
niemals  unter  den  Horizont,  und  der  südlich  des  Äquators 

20  gelegene   in   seiner  ganzen  Ausdehnung  niemals  über  den 

Hei  117  Horizont.     Infolgedessen  gibt  es  Jahr  für  Jahr  nur  einen 

Tag  und   eine  Nacht,  beide  von  etwa  6 monatiger  Dauer, 

und  die  ganze  Zeit  sind  die  Gnomonen  ringsschattig.  Weitere 

Besonderheiten  dieser  höchsten  Breite  sind,  daß  erstens  der 

26  nördliche  Pol  in  den  Zenit  kommt,  zweitens  der  Äquator 
die  Stelle  sowohl  des  immersichtbaren  als  auch  des  immer- 
unsichtbaren Kreises  einnimmt  und  außerdem  auch  noch  die 
Stelle  des  Horizonts  vertritt,  wovon  die  Folge  ist,  daß  die 
nördlich   des  Äquators  liegende  Halbkugel  beständig    über 

30  und  die  südlich  gelegene  beständig  unter  dem  Horizont  bleibt. 

Siebentes  Kapitel. 

Gleichzeitige  Aufgänge  (von  Teilen)  der  Ekliptik 
nnd  des  Äquators  bei  Sphaera  obliqua. 

Ha  90       Nach   Erörterung   der  allgemeinen  Verhältnisse,  welche 
die  Zunahme  der  Neigung  (der  Sphäre)  der  Theorie  nach 


Aufgänge  bei  Sphaera  obliqua.  81 

mit  sich  bringt,  dürfte  es  unsere  nächste  Aufgabe  sein  zu 
zeigen,  wie  für  jede  Breite  die  mit  den  Bogen  der  Ekliptik 
gleichzeitig  aufgehenden  Zeitgrade  des  Äquators  gewonnen 
werden  können;  denn  hiernach  werden  sich  alle  übrigen 
speziellen  Aufgaben  auf  methodischem  Wege  von  uns  folge-  5 
richtig  erledigen  lassen. 

Wir  werden  die  Namen  der  Tierkreisbilder  auch  für  die 
Zwölftel  (d.  i.  Zeichen)  der  Ekliptik  selbst  anwenden,  und 
zwar  unter  der  Annahme,  daß  ihre  Anfänge  von  den  Wenden 
und  Nachtgleichenpunkten  ab  gerechnet  werden.-^*)  Demnach  10 
nennen  wir  das  von  der  FrüMlingsnachtgleiche  gegen  die  Hei  ii8 
Richtung  des  Umschwungs  des  Weltganzen  verlaufende  erste 
Zwölftel  den  Widder,  das  zweite  den  Stier,  usw.  in  der 
uns  überlieferten  Reihenfolge  der  zwölf  Tierkreisbilder. 

Wir  werden  zunächst  folgende  zwei  Sätze  beweisen.  15 
I.  Lehrsatz.     Die  beiderseits  desselben  Nachtgleichen- 
punktes sich  gleichweit  erstreckenden  Ekliptikbogen  gehen 
stets  gleichzeitig  mit  den  gleich- 
großen Äquatorbogen  auf 

Es    sei    der  Kreis   AB  TA    der  /\  ^.^         20 

Meridian,  BEA  ein  Halbkreis  des 
Horizonts  und  A  E  f  ein  solcher  des 
Äquators.  Die  Bogen  ZH  und  0K 
seien  zwei  Abschnitte  der  Ekliptik 

in  der  Lage,  daß  die  beiden  Punkte         j^^ — ^        ^^         25 
Z  und  0  jedesmal  als  der  (durch 
Punkt  E  erst  noch  aufgehende  oder 

schon  aufgegangene)  Frühlingsnachtgleichenpunkt  ange-  Ha  9i 
nommen  seien,  und  daß  Z  H  und  0  K  als  beiderseits  des  Früh- 
lingspunktes abgetragene  gleichgroße  Bogen  (der  Ekliptik),  30 
ersterer  durch  Punkt  H  und  letzterer  durch  Punkt  K,  ihren 
Aufgang  bewerkstelligen.  Meine  Behauptung  geht  dahin, 
daß  die  mit  jedem  der  beiden  Bogen  gleichzeitig  aufgehen- 
den Äquatorbogen  gleichgroß  sind,  d.  h.  daß  die  Bogen  ZE 
und  0E  einander  gleich  sind.  35 

Beweis.    Man  setze  als  die  Pole  des  Äquators  die  Punkte 
A  und  M  an  und  ziehe  durch  sie  als  Stücke  größter  Kreise  Hei  ii9 

Ptolemäus,  übers,  v,  Manitius.   I.  6 


82 


Zweites  Buch.     Siebentes  Kapitel. 


die  Bogen  AEM  und  A0,  und  außerdem  noch  die  Bogen 
AK,  ZM  und  MH.  Da  nun  die  Bogen  ZH  und  0K  (nach 
Annahme)  gleichgroß  sind,  und  da  die  durch  K  und  H  gehen- 
den Parallelkreise  vom  Äquator  gleichen  Abstand  haben*\ 
5  so  daß  auch  einerseits  die  Bogen  AK  und  MH,  anderseits 
die  (Horizont-)  Bogen  EK  und  EH  (s.  S.  65,23)  einander 
gleich  sind,  so  erhalten  wir  je  zwei  (kongruente)  sphärische 
Dreiecke  mit  gleichen  Seiten,  einerseits  A  A  K  0  und  A  M  H  Z, 
anderseits  A  AEK  und  A  MEH.^^  Infolgedessen  sind  ein- 
10  ander  gleich  (in  letzteren  Dreiecken)  die  Winkel  KAE  und 
HME,  und  (in  ersteren)  die  ganzen  Winkel  KA0  und  HMZ. 
Folglich  sind  auch  die  Differenzen  dieser  Winkel  (KA0  —  KAE 
und  HMZ  —  HME)  einander  gleich,  d.  s.  die  (von  je  zwei 
gleichen  Seiten  eingeschlossenen)  Winkel  EA0  und  EMZ 
15  (der  Dreiecke  EA0  und  EMZ).  Folglich  sind  auch  die 
Grundlinien  (dieser  Dreiecke),  d.  s.  die  Bogen  ZE  und  0E, 
einander  gleich,  was  zu  beweisen  war. 

II.  Lehrsatz.  Die  Äquatorbogen,  welche  mit  den  gleich- 
großen, d.  h.  beiderseits  desselben 
Wendepunktes  sich  gleichweit  er- 
streckenden Ekliptikbogen  gleich- 
zeitig aufgehen,  sind  zusammen 
gleich  der  Summe  der  Aufgänge 
dieser  Äquatorbogen  bei  Sphaera 
recta. 

Beweis.   Gegeben  sei  der  Meri- 
diankreis AB  TA    und    von   den 
Halbkreisen    der    des    Horizonts 
B  E  A  und  der  des  Äquators  A  E  f. 
30  Nun  ziehe  man  zwei  gleichgroße,  d.  h.  vom  Winter  Wendepunkt 
Hei  120  (H)  gleichweit  sich  erstreckende  Ekliptikbogen,  einerseits  den 


20 


?ö 


a)  Weil  in  gleichgroßer  Entfernung  beiderseits  des  Frühlings- 
punktes zwischen  Äquator  und  Ekliptik  gleichgroße  Meridian- 
bogen liegen. 

b)  Die  dritten  Seiten  A 0  und  M Z  der  Dreiecke  A  K 0  und  MHZ, 
sowie  die  dritten  Seiten  A  E  und  M  E  der  Dreiecke  AEK  und  M  E  H 
werden  als  Quadranten  stillschweigend  als  gleich  angenommen. 


Aufgänge  bei  Sphaera  obliqua,  83 

Bogen  ZH,  wobei  Z  als  der  Herbstnachtgleichenpunkt  an-  h» 
genommen  sei,  anderseits  den  Bogen  0H,  wobei  0  als  der 
Frühlingsnachtgleichenpunkt  angenommen  sei."^    Mithin  ist 
H  der  gemeinsame  Punkt  ihres  Aufgangs^)  und  des  Horizonts, 
weil  die  Bogen  ZH  und  0H  innerhalb  desselben  Parallel-    5 
kreises  (durch  H)  zum  Äquator  liegen,  und  deshalb  selbst- 
verständlich der  (Äquator-)  Bogen  0E  gleichzeitig  mit  dem 
(Ekliptik-)  Bogen  0H,  und  der  (Äquator-)  Bogen  ZE  gleich- 
zeitig mit  dem  (Ekliptik-)  Bogen  ZH   aufgeht. ^•''^     Es  ist 
nun  ohne  weiteres  klar,  daß  auch  der  ganze  Bogen  0EZ  10 
gleich  ist  den  Aufgängen  der  Bogen  Z  H  und  0  H  bei  Sphaera 
recta.    Denn  wenn  wir  den  Punkt  K  als  den  südlichen  Pol 
des  Äquators  annehmen  und  durch  ihn  und  H  den  Quadranten 
K  H  A  eines  größten  Kreises  ziehen,  welcher  bei  Sphaera  recta 
mit  dem  Horizont  gleichbedeutend  ist,  so  wird  bei  Sphaera  15 
recta  0A  der  mit  dem  (Ekliptik-)  Bogen  0H  gleichzeitig 
aufgehende  (Äquator-)  Bogen  sein,  und  AZ  der  entsprechend 
mit  dem  (Ekliptik-)  Bogen  Z  H  aufgehende.   Folglich  ist  die 
Summe  der  Bogen  0A  und  AZ  gleich  der  Summe  der  Bogen 
0E  und  EZ  und  bildet  einen  und  denselben  Bogen  0Z,  20 
was  zu  beweisen  war. 

Mit  Hilfe   dieser  Lehrsätze  haben  wir  die  Einsicht  ge- 
wonnen, daß,  wenn  wir  für  einen  einzigen  Quadranten  bei 
gegebener  geographischer  Breite  die  Einzelwerte  der  gleich- 
zeitigen Aufgänge  berechnet  haben,  wir  diese  Aufgabe  auch  26 
schon  für  die  Aufgänge  der  drei  übrigen  Quadranten   mit-  Hci  isi 
gelöst  haben  werden. 

Es   sei   unter  Festhaltung   der  dargelegten  Verhältnisse 
wieder  der  Parallel  von  Rhodus  zugrunde  gelegt,  wo   der 
längste  Tag  14^2  Äquinoktialstunden  hat,  und  die  Polhöhe  30 
36<*  beträgt. 


a)  Die  falsche  Figur  des  griechischen  Textes  ist  von  mir  da- 
hin abgeändert  worden,  daß  die  Punkte  Z  und  0  jenseits 
des  oberen  und  unteren  Meridians  liegen.     S.  Anm   15. 

b)  Insofern  der  in  E  beginnende  Aufgang  des  Bogens  ZH 
in  diesem  Punkte  endigt,  und  der  in  E  endigende  Aufgang  des 
Bogens  HO  in  diesem  Punkte  beginnt. 


84 


Zweites  Buch.     Siebentes  Kapitel. 


Ha  93  Es  sei  der  Kreis  AB  TA  der  Meridian,  BEA  ein  Halb- 
kreis des  Horizonts  und  A  E  f  ein  solcher  des  Äquators.  Der 
Ekliptikhalbkreis  ZH0  soll  sich 
in  der  Lage  befinden,  daß  H  als 
der  Frühlingspunkt  angenommen 
sei.  Nachdem  der  nördliche  Pol 
des  Äquators  in  Punkt  K  festgelegt 
ist,  ziehe  man  durch  ihn  und  den 
Schnittpunkt  A  der  Ekliptik  und 
10         \  ^"^  des  Horizonts  den  Quadranten  KAM 

eines  größten  Kreises. 

Es  sei  die  Aufgabe  gestellt,  wenn 
der  Bogen  HA  gegeben  ist,  den  gleichzeitig  mit  ihm  auf- 
gehenden Äquatorbogen,  d.  i.  den  Bogen  E  H  zu  finden. 

15       1.  Der  Bogen  HA  sei  das  Zeichen  des  Widders. 

Es  liegt  wieder  eine  nur  von  größten  Kreisen  gebildete 
Figur  vor,  an  welcher  in  die  zwei  Bogen  E  f  und  TK  die  in 
Punkt  A  einander  schneidenden  Bogen  EA  und  KM  hinein- 
gezogen sind.    Es  gilt  demnach  (Satz  A  S.  49,  3l) 

s2bKA       s2J)K^     s2bN\E 


Hei  122 


21       Nun  ist 


s2bAr       s2b^tA     s2bEr 

also  s2bKA 


2bKA=    72^ 
<86Ar  =  108"*^ 
^6KA=156»40'   1", 
56AM=    23»19'59"^) 


26       Bringen  wir  also 


117P31'15" 


Ha  94 


24^15' 57" 
Gleichung,  so  erhalten  wir 

sSbME        18^*0' 5" 


70^32'  3", 
also  s2bAr  =  97^  4' 56", 
also  s2bK^  =117^31' 15", 
also  s2h^PA==    24^15' 57". 

auf  die  andere   Seite  der 


s2bEr 


120^ 


aus 


70^32'   3"-    24^15^57 
97P   4' 56"-  117^31' 15 


:) 


a)  Der  einfache  Bogen  Af  ist  Komplementbogen  zur  Polhöhe  KA. 

b)  Der  einfache  Bogen  AM  =  11"39'59"  ist  der  Meridian- 
bogen zwischen  Ekliptik  und  Äquator  am  30.  Grade  der  Ekliptik, 
der  einfache  Bogen  KA  Komplementbogen  dazu. 


Aufgänge  bei  Sphaera  obliqua.  85 

Nun  ist   s 2b  Er  =  120^\ 

folglich    s2bN\E=   18^0' 5", 

also  -2&ME=    17«  16'     und     ÖME  =  8«38'. 

Da  nun  der  ganze  Bogen  HM  bei  Sphaera  recta  gleich- 
zeitig mit  dem  Bogen  HA  aufgeht,  so  ist,  wie  schon  früher    6 
(S.  55,  20)  nachgewiesen,    der  Bogen  HM    gleich  27^50'; 
folglich  ergibt  sich  als  Differenz  (der  Bogen  HM  und  ME) 
der  Bogen  EH  mit  19^2'. 

Gleichzeitig  ist  hiermit  der  Beweis  für  folgende  zwei  Hei  isj 
Punkte  geliefert.  10 

a)  Auch  das  Zeichen  der  Fische  geht  mit  19"  12'  auf. 

b)  Die  Zeichen  der  Junjs^frau  und  der  Scheren  gehen 
mit  je  36'^ 28'  auf,  d.  h.  mit  den  Zeitgraden,  welche  übrig 
bleiben,  wenn  man  19^12'  von  dem  doppelten  Aufgangsbogen 
bei  Sphaera  recta  abzieht. -^^^  16 

Hiermit  ist  der  erste  Teil  der  Aufgabe  gelöst. 

2.  Der  Bogen  HA  betrage  die  60°  der  beiden  Zeichen  des 
Widders  und  des  Stiers  zusammen. 

Während  die  übrigen  Größen  unverändert  bleiben,  wird 
infolge  der  neuen  Annahme  20 

2b  KA  =  138''59'42",      also  s2b  KA  =  112^23' 56", 
^5AM=    41"  0'18"*\    also  s^5AM=   42^   1'48". 

112^  23' 56" 
Bringen  wir  also  — — — — —  auf  die  andere  Seite   der 
^  42P    1'48" 

Gleichung,  so  erhalten  wir 

s2bM£        32^36' 4"   /         70^32'   3"-    42^   1'48" 


"   /         70*^32'   3"-    42^   1'48"\ 

-  1  aus  — )  •  25 

\         97P   4' 56".  112^23' 56"/ 


s2bEr  120^ 

Nun  ist  s 2b  Er  =  120^, 

folglich  s56ME=  32^36*4", 

also  ^?)ME=  31^32'     und     &ME  =  15®46'.  Ha  t)5 


a)  Der  einfache  Bogen  AM  =  20^30' 9"  ist  der  Meridianbogen 
zwischen  Ekliptik  und  Äquator  am  60.  Grade  der  Ekliptik,  der 
einfache  Bogen  K  A  Komplementbogen  hierzu.  Im  griechischen 
Text  ist  lia  0"  ir]  hiernach  richtigzustellen. 


36  Zweites  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

Nun  ist  gleichfalls  früher  (S.  56,7)  bereits  nachgewiesen, 

daß  der  ganze  Bogen  HM  57^44'  beträgt;  folglich  ergibt  sich  als 

Differenz  (der  Bogen  HM  und  ME)  der  Bogen  EH  niit41<^58'. 

Der  Widder  und  der  Stier  gehen  demnach  zusammen  mit 

5  41^58'  auf,  wovon   auf  den  Widder  nachgewiesenermaßen 

Hei  124  19^12'  entfallen;  folglich  geht  das  Zeichen  des  Stiers  allein 

mit  22^46'  auf. 

Wie  oben  ergeben  sich  gleichzeitig  wieder  folgende 
zwei  Punkte: 
10       a)  Auch  das  Zeichen  des  Wassermanns  geht  mit  22^46' 
auf. 

b)  Die  Zeichen  des  Löwen  und  des  Skorpions  gehen 
mit  je   37^2'  auf,  d.  h.  mit  den  Zeitgraden,  welche  übrig 
bleiben,  wenn  man   22^46'  von   dem   doppelten  Aufgangs- 
16  bogen  bei  Sphaera  recta  abzieht.^^) 

3.  Da  der  längste  Tag  I4Y2  Äquinoktialstunden  hat,  und 
der  kürzeste  9^21  so  ist  klar,  daß  der  Halbkreis  vom  Krebs 
bis  zum  Schützen  mit  217^30'  (d.  i.  15^x14.^^),  und  der 
Halbkreis  vom  Steinbock  bis  zu  den  Zwillingen  mit  142^30' 
20  (d.  i.  15^x  9V2)  aufgehen  wird.   Folglich  werden  die  beider- 
seits   des   Frühlingspunktes  gelegenen  Quadranten   mit  je 
71^15',  und  die  beiderseits  des  Herbstpunktes  gelegenen  mit  je 
108^45'   aufgehen.     Es  werden  demnach  die  (von  jedem 
Ekliptikquadranten)  noch  übrigen  Zeichen  aufgehen: 
25       a)  Die  Zeichen  der  Zwillinge  und  des  Steinbocks  mit 
je  29^17',  d.  i.  mit  den  Zeitgraden,  welche  an  den  71^15', 
die  auf  jeden  (der  beiderseits  des  Frühlingspunktes  liegen- 
den) Quadranten  entfallen,  nocb  fehlen    (das  ist    also    mit 
7m5'  —  [19'^12'  +  22<^46']  =  29^17'). 
30       b)  Die  Zeichen  des  Krebses  und  des  Schützen  mit  je 
35'^  15',  d.  i.  mit  den  Zeitgraden,  welche   an   den  108^45', 
die  auf  jeden  (der  beiderseits  des  Herbstpunktes  liegenden) 
Quadranten    entfallen,    noch   fehlen   (das  ist  demnach   mit 
IO8O45'—  [36^^28'  +  37«2']  =  35^5'). 
35       Es  leuchtet  ein,  daß  wir  auf  dieselbe  Weise  wie  für  die  g  a  n  z  e  n 
^^^^^1^) Zeichen  auch  die  gleichzeitigen  Aufgänge  für  die  kleineren 
Ekliptikstücke  bestimmen  könnten.    Nach  einer  noch  prak- 


Aufgänge  bei  Sphaera  obliqua.  37 

tischeren  Methode  lassen  sich  jedoch  letztere  auch  auf  fol- 
gende Weise  berechnen. 

Es  sei  zunächst  der  Kreis  AB  TA  der  Meridian,  BEA  ein 
Halbkreis  des  Horizonts,  AEf  ein  solcher  des  Äquators  und 
Z  E  H  ein  solcher  der  Ekliptik,  wo- 
bei der  Schnittpunkt  E  im  Früh- 
lingspunkt angenommen  sei.  Auf 
dem  letztgenannten  Halbkreis  tra- 
ge man  den  beliebiggroßen  Bogen 

E0  ab  und  ziehe  das  Stück  0K      ^1    7  /^/'^^^^— ~~_ii:r    10 
des  durch  0  zum  Äquator  parallel 
laufenden  Kreises.  Nachdem  man 
den  (südlichen)  Pol  A  des  Äqua- 
tors festgelegt  hat,  ziehe  man  durch 

denselben  als  Bogen  größter  Kreise  die  Quadranten  A0M,  15 
AKN  und  AE. 

Es  leuchtet  ohne  weiteres  ein,  daß  das  Ekliptikstück  E0 
bei  Sphaera  recta  gleichzeitig  mit  dem  Äquatorbogen  EM 
aufgeht*^,  bei  Sphaera  obliqua  aber  mit  dem  MN  gleichen 
Bogen.    Denn  der  Parallelkreisbogen  K0,  mit  welchem  das  20 
Ekliptikstück  E  0  (bei  Sphaera  obliqua)  gleichzeitig  aufgeht, 
ist  diesem  Äquatorbogen  MN   ähnlich,   und   die   ähnlichen 
Bogen  der  Parallelkreise  gehen  überall  in  gleichen  Zeiten 
auf;  folglich  ist  der  Aufgang  des  Stückes  E  0  bei  Sphaera  Hei  i26 
obliqua  um  den  Bogen  EN  kleiner  als  der  Aufgang  (EM)  25 
bei  Sphaera  recta,  womit  der  Nachweis  geführt  ist,  daß  all- 
gemein, wenn  solche  Bogen  größter  Kreise  wie  AKN  ge- 
zogen werden,  der  Bogen  E  N  die  Differenz  darstellt  zwischen 
den  Aufgängen  bei  Sphaera  recta  und  bei  Sphaera  obliqua  Ha  97 
von  Ekliptikbogen,  welche  zwischen  E  und  dem  Schnittpunkt  30 
(0)  des  durch  K  gezogenen  Parallelkreises  liegen.   Das  sollte 
bewiesen  werden. 

Nach  Erledigung  dieser  theoretischen  Vorbemerkung  sei 
nachstehende  Figur  vorgelegt,  welche  nur  aus  dem  Meridian 


a)  Weil  der  Deklinationskreis  A0M  bei  Sphaera  recta  mit 
dem  Horizont  gleichbedeutend  ist.     S.  S.  83,i4. 


88  Zweites  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

und  den  Halbkreisen  von  Horizont  und  Äquator  besteht. 
Durch  den  südlichen  Pol  Z  des  Äquators  ziehe  man  als  Bogen 
größter  Kreise  die  beiden  Quadran- 
ten ZH0  und  ZKA.  Als  der  ge- 
meinsame Punkt  des  durch  den 
Winterwendepunkt  gehenden  Pa- 
rallels  und  des  Horizonts  sei  H  an- 
genommen, K  als  der  gemeinsame 
Punkt  (des  Horizonts  und)  des  durch 
Hei  127        ^^s/  ^p       ^en  Anfang  z.  B.  der  Fische  gezo- 

11  '"^  genen  Parallels;  es  kann  aber  auch 

irgendwelcher  andere  Abschnitt  des 
betr.  (Ekliptik-)  Quadranten  (/?  bis  T)  gegeben  sein.    Nun 
sind  wieder  in  zwei  Bogen  Z  0  und  E  0  größter  Kreise  zwei 
15  in  K  einander  schneidende  Bogen  ZKA  und  EKH   hinein- 
gezogen.   Es  gilt  demnach  (Satz  A  S.  49,  31 ) 

Nun  sind  in   dieser  Gleichung  für  alle  geographischen 
Breiten  folgende  Größen  von  vornherein  gegegeben: 
20        -25  0H  ist  der  Bogen  zwischen  den  Wendepunkten; 
2})  WZ.  ist  der  Supplementbogen  dazu; 
56  AK  ist  der  doppelte  Meridianbogen,  dessen  einfachen 
Ha  98  Wert  für  jeden  Ekliptikgrad  die  Tabelle  der  Schiefe 

liefert; 
25        5&  KZ  ist  wieder  der  Supplementbogen  dazu. 

s2h  0E 
Folglich  bleibt  das  Verhältnis  —^iT^r  in   allen  geogra- 
phischen Breiten  für  dieselben   Abschnitte   des  (Ekliptik-) 
Quadranten  dasselbe. 

Wenn  wir  demnach  unter  diesen  Umständen  den  Unter- 
30  schied  des  (Meridian-)  Bogens  AK  in  dem  Quadranten  vom 
Frühlingspunkt  bis  zum  Winterwendepunkt  immer  von  10 
zu  10  (Ekliptik-)  Graden  zunehmen  lassen  —  denn  die  bis 
zu  Bogen  dieser  Größe  gehende  Zerlegung  (der  Ekliptik) 
wird  für  den  praktischen  Bedarf  ausreichend  sein  —  so  werden 
35  wir  als  durchgehends  unveränderliche  Größen  erhalten: 


Aufgänge  bei  Sphaera  obliqua. 


89 


2bQH=    47U2'40",     also     s^6  0H=    48i'31'55", 
56HZ  =  132n7'20",     also     s^6  HZ  ==  109^44' 63". 
Desgleichen  erhalten  wir  ein  für  allemal: 
1.  Für  den  Ekliptikbogen  bei  10^  Entfernung  vom  Früh- 
lingspunkt ab  nach  dem  Winterwendepunkt  zu: 

3b^K=     8«  3' 16",     also     s2b  AK  =      8^25' 39", 


^6KZ  =  171<'56'44", 

2.  bei  20"  Entfernung: 

56AK=    15^54'   6", 
3bKZ  =  164:'>   5' 54", 

3.  bei  30°  Entfernung: 

2b  AK=    23^9' 58", 
2b  KZ  =  lbQHO'    2", 

4.  bei  40°  Entfernung: 

2bAK=    30«  8'   8", 
<2&KZ  =  149»51'52", 

5.  bei  50°  Entfernung: 

2bAK=    36«  5' 46", 
56KZ  =  143»54'14", 

6.  bei  60°  Entfernung: 

2bAK=   41°  0'18", 
^6KZ  =  138«59'42", 

7.  bei  70°  Entfernung: 

2b  AK  =    44«40'22", 
-26KZ  =  135»19'38", 

8.  bei  80°  Entfernung: 

2b  AK=    46«56'32", 
56  KZ  =  133»   3' 28", 


also     s56  KZ  =  119^42' 14' 


also 
also 

also 
also 

also 
also 


also 
also 


also 
also 


also 
also 


also 
also 


s2b  AK  =    16^35' 56", 
s56  KZ  =  118^50' 47"; 

s2b  AK=^    24^15' 56", 
s5&KZ  =  117P31'15"; 

s2b  AK=    31^11' 43", 
s56KZ  =  115P52'19": 


s2bAK 
s2bKZ 


s2b  AK 
s2bKZ 


37Pl0'39", 
II4P   5' 44"; 


42^    1'48", 
112^23' 57"; 


s2b  AK  =    45P36'18", 
s56  KZ  =  110^59' 47"; 

s2b  AK  =    47P47'40", 
s2b  KZ  =  110^  4'16". 


10 


20 


25 


Wenn  wir  in  der  oben  (S.  88, 17)  gewonnenen  Gleichung*^ 


für  —;^,-r7^  den  (oben  Z.  1.2)  gefundenen  Wert  ein- 

^  ^  ^  IO9P44' 


s2bHZ 


30 


a)  An  die  Stelle  der  Übersetzung  habe  ich  zur  Erleichterung 
des  Verständnisses  die  freie  Wiedergabe  treten  lassen. 


90  Zweites  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

Hei  180/^®*^®^  ^^^  "^6l<Z  ^^^  dieselbe  (linke)  Seite  der  Gleichung 
bringen,  so  erhalten  wir  eine  für  alle  geographischen  Breiten 
geltende  Formel  zunächst  in  der  Gestalt 

4.8^31'  sSbKZ  ^  s2beE 
109^U's2hAK  ~  s2bEA 

5  Setzen  wir  nun  {ür  sJShKZ  und  s^ftAK  die  von  Fall  zu 
Fall  ermittelten  Werte  isin,  so  vereinfacht  sich,  z.  B.  für  den 
ersten  Fall  (S.  89,  6.  7),  diese  Formel  zu 

s^6  0E  _     48^3^- 119^42^         .      60^ 
s2hEA  ~  109^44'-      8^25'      *  ^'    9^33'* 

Verfährt  man  auch  übrigens  derart,  daß  man  jedenfalls 
10  einen  Bruch  mit  dem  Zähler  60^  herbeiführt,  so  wird  sich 
je   nach   der   zugrunde   gelegten  Entfernung  das  Verhältnis 
von  s^hQE  zu  5^fcEA  folgendermaßen  gestalten. 

1.  Bei  10®   Entfernung  ist  s.26  0E:  s56  EA  =  60P:    9^33' 

„       =60^:18^57' 
15       3.     „     30<>  „  „  „  „       =60^:28^    1' 

„  „  „       =60^:36^33' 

„       =60^:44^12' 
„  „  „       =60^:50^44' 

„       =60^:55^45' 
20       8.     „     80«  „  „  „  „       =60^:58^55'. 

Ohne  weiteres  ist  ersichtlich,  daß  wir  2b  QE  für  jede 
Breite  als  gegeben  zu  betrachten  haben:  es  ist  der  in  eben- 
soviel Eaumgraden  statt  in  Zeitgraden  ausgedrückte  Unter- 
schied zwischen  dem  Nachtgleichentag  und  dem  kürzesten 
26  Tag  (der  betr.  Breite,  vgl.  S.  61,6).  Da  also  auch  die  zu 
diesem  Bogen  gehörige  Sehne  (s^hQE)  gegeben  ist,  und 
da  wir  das  Verhältnis  dieser  Sehne  zu  s2bEt\  kennen,  so 
wird  sich  auch  (nach  S.  49,2)  s2hEt\  und  somit  2hEI\ 
bestimmen  lassen,  wovon  die  Hälfte,  d.i.  6  EA,  die  oben 
30  (S.  87,20  mit  EN)  bezeichnete  (Aufgangs-)  Differenz  aus- 
drückt. Wir  brauchen  also  nur  diesen  Bogen  von  den  Auf- 
gängen abzuziehen,  welche  bei  Sphaera  recta  für  den  betr. 


2. 

» 

20« 

3. 

»> 

30« 

4. 

» 

40« 

5. 

11 

50« 

6. 

11 

60« 

7. 

11 

70« 

8. 

11 

80« 

Aufgänge  bei  Sphaera  obliqua. 


91 


Ekliptikbogen  gelten,  um  den  Aufgang  des  nämlichen  Bogens 
für  die  jeweilig  angenommene  Breite  zu  erhalten. 

Es    soll   beispielshalber   wieder  die  Neigung  des  durch 
Rhodus  gehenden  Parallels  gegeben  sein,  für  welchen 

^60E=  37^30',  also  sJ2hQE  =  38^34'.  5 

Setzt  man  diesen  Wert*^  in  die  (S.90,8)  gefundene  Formel 
ein,  so  erhält  man 

38^34'    _     60^  60P     _  9^33' 

S<2&EA~9P33'  38^34'"    6^8' 

D.  h.:  Wird  sMQE,  statt  wie  oben  (S.  90,8)  mit  60^ 
mit  38^34'    angesetzt,    so   ändert    sich    der    für    s^6  EA  10 
dort  mit  9^33'  ermittelte  Wert  zu  6^8'.    In  demselben  Ver- 
hältnis reduziert  sich  demnach  für  die  einzelnen  Entfernungen 
der  Wert  von  s2hE.N  folgendermaßen. 

^       60P  9^33' 


3. 


5. 


6. 


38^34 

6^8' 

= 

18^57' 
12^11' 

= 

28^1' 
18^0' 

36^33' 

23^29' 

44^12' 

28^25' 

= 

50^44' 

32^37' 

55^45' 

36^62' 

58^05' 

37P52' 

folglich  s^6  EA  =   6^ 8',  also  h  EA 
„      =12^11', 

n         =18^    0', 


rb) 


=  28^25', 


32^37' 


35P52', 


=  37^52', 


2<>56 


=    ö^'öO',      15 


8<>38',     Ha  101 


=  11«17', 
=  13^2', 
=  15U6', 
=  17°24', 
=  18<>24'. 


20 


a)  An  die  Stelle  der  Übersetzung  habe  ich  hier  wieder  die 
freie  Wiedergabe  treten  lassen. 

b)  Der  einfache  Bogen  mit  Überspringung  des  zur  Sehne 
6^8'  gehörigen  doppelten  Bogens  5*52'. 


92 


Zweites  Buch.     Siebentes  Kapitel. 


Auf  den  Quadranten  entfällt  natürlich  der  volle  Betrag 
von  18^45'  (d.i.  die  Hälfte  des  Unterschieds  zwischen  Nacht- 
gleichentag und  kürzestem  Tage,  vgl.  S.  61,  7). 

Da  nun  bei  Sphaera  recta  für  die  von  10^  zu  10°  zu- 
5  nehmenden  Bogen   (d.  s.  Zeichendrittel)   der  in  Zeitgraden 
ausgedrückte  gleichzeitige  Aufgang  gegeben  ist  (durch  suk- 
zessives Addieren  der  S.  57  für  jedes  Zeichendrittel  an  sich 
Hei  132  gewonnenen  Werte),  so  ist  ersichtlich,  daß  wir  von  jedem 
der  für  Sphaera  recta  sich  ergebenden  Aufgänge  den  ent- 
10  sprechenden  Betrag  der  durch  &  E  A  ausgedrückten  Differenz 
nur  zu   subtrahieren  brauchen,  um  die  Aufgänge  derselben 
Stücke  in  der  zugrunde  gelegten  geographischen  Breite  (von 
Rhodus)  zu  erhalten.   Das  letzte  Ergebnis  ist  schließlich  der 
Betrag  für  den  Aufgang  eines  jeden  Zeichendrittels  an  sich. 
15       Es  geht  demnach  (für  den  Parallel  von  Rhodus)  auf: 


1  der  EkLbogen 

V.  10»  mit    9010'—   2°56'=   6<>14'; 

dag  Drittel 

an 

sich  mit  6»14 . 

2.  „ 

„20°    „    18»25'-    5050'=  12035', 

„ 

„ 

6021' a) 

3. 

»            » 

„80»    „    27»50'—    8«>38'=  19»12' 

„ 

„ 

6»37'. 

i. 

>                      5J 

„40»    „    37»30'  — 11»17'=26»13' 

„ 

., 

7»  1'. 

Ha  102  5. 

„50»    „    47»28'  — 13»42'--33»46' 

„ 

„ 

7»33'. 

21    6 

>                      )1 

„60»    „    57»44'-15»46'^41»58' 

„ 

„ 

8<>12'. 

7 

J                      » 

„70»    „    68»18'— 17»24'=50»54' 

„ 

i> 

8»56'. 

8. 

>                      )> 

„80»    „    79»  5'  — 18»24  —  60»41' 

„ 

,j 

9»47'. 

9 

>                      » 

„90°    „    90»  0'— 18»45'=71»15 

» 

„ 

)! 

„ 

10»34'. 

25       Somit  entfallen  auf  den  ganzen  Quadranten  die  (S.  61,  ll) 
aus  der  halben  Dauer  des  (kürzesten)  Tages  sich  ergebenden 

Hei  133      Nachdem  diese  Ergebnisse  gewonnen  sind,  werden  ohne 
weiteres   wieder  aus  den  oben  (S.  83,  22)  erörterten   theo- 
30  retischen  Gründen  zugleich  auch  die  entsprechenden  Aufgänge 
der  übrigen  Quadranten  nachgewiesen  sein. 

Nachdem  wir  auf  dieselbe  Weise  die  auf  jedes  Zeichen- 
drittel entfallenden  Aufgangswerte  auch  für  alle  diejenigen 
übrigen  Parallelkreise  berechnet  haben,  welche  gelegentlich 
35  in  der  Praxis  in  Betracht  kommen  können,  werden  wir  die- 
selben zu  angemessener  Benutzung  für  künftige  Zwecke  in 

a)  D.  i.  der  Überschuß   der  Aufgangszeit   über   das   voran- 
gehende Drittel:   12^35' -  6*^14' =  6"21'. 


Zweites  Buch.     Achtes  und.  neuntes  Kapitel.  93 

Tabellenform  bieten.  Wir  beginnen  mit  dem  Parallel  unter 
dem  Äquator  und  gehen  bis  zu  demjenigen,  welcher  die  Dauer 
des  längsten  Tages  auf  17  Stunden  erhöht.  Die  Zunahme 
der  Tage  lassen  wir  um  den  Betrag  einer  halben  Stunde  vor 
sich  gehen,  weil  der  Unterschied  von  Beträgen,  welche  kleiner  5 
als  eine  halbe  Stunde  sind,  im  Vergleich  zu  den  gleichgroßen 
nach  gleichförmigen  Sonnentagen  gerechneten  Beträgen  ganz 
unbeträchtlich  ist.  Unter  Voranstellung  der  36  Abschnitte 
des  Kreises  von  je  10°  werden  wir  zu  jedem  nicht  nur  die 
Zeitgrade  des  ihm  der  geographischen  Breite  nach  zukommen-  10 
den  Aufgangs  setzen,  sondern  auch  die  von  Zeile  zu  Zeile 
sich  ergebenden  Summen  dieser  Zeitgrade. 

Achtes  Kapitel. 
Die  Tafeln  der  Aufgänge  nach  Zeichendritteln 

gestalten  sich  folgendermaßen  (s.  S.  94 — 97),  {ne*  \u 

Neuntes  Kapitel. 

Einige  spezielle  Aufgaben,  deren  Lösung  mit  den 
Aufgängen  zusammenhängt. 

Daß  bei  Darbietung  der  Aufgangszeiten  in  der  vorliegen-  ^^^  \ll 
den  praktischen  Fassung  alle  übrigen  Aufgaben,  welche  mit  15 
diesem  Kapitel  in  Zusammenhang  stehen,  leicht  zu  lösen 
sind,  und  daß  wir  zu  denselben  weder  geometrische  Beweis- 
führungen noch  überflüssiges  Tabellenmaterial  brauchen,  wird 
aus  der  Behandlung  selbst,  die  wir  hier  folgen  lassen,  er- 
sichtlich werden.-^'^  20 

1.  Es  soll  die  Länge  eines  gegebenen  Tages  oder  einer 
gegebenen  Nacht  bestimmt  werden.  Die  Länge  des  Tages 
erhält  man  dadurch,  daß  man  in  der  Tafel  der  betr.  geo- 
graphischen Breite  die  Zeitgrade  von  dem  Grad  au,  in 
welchem  die  Sonne  steht,  bis  zu  dem  diametral  gegenüber-  25 
liegenden  Grad  in  der  Richtung  der  Zeichenfolge  abzählt, 
die  Länge  der  Nacht  dadurch,  daß  man  die  Zeitgrade  von 
dem  der  Sonne  diametral  gegenüberliegenden  Grad  an  bis 


94 


Zweites  Buch.     Achtes  Kapitel. 


Sphaera  recta 

Aualitischer 
Meerbusen 

Meroö 

Zeichen 

P 

Pol- 
höhe 
0°  0' 

Längster 
Tag 
1211 

Pol- 
höhe 
8"  25' 

Längster 
Tag 

Pol-  i  Längster 
höhe  i   Tag 
16°  27'    13h 

Gr.  Mia. 

GradsammeD 

Gr.  Min. 

Gradsammen 

Gr.Min.  Gradsummen 

10« 

9no' 

9» 

10' 

8»  35' 

8«  35' 

7^58' 

70 

58' 

Widder 

20 

9  15 

18 

25 

8  39 

17  14 

8  5 

16 

3 

30 

9  25 

27 

50 

8  52 

26   6 

8  17 

24 

20 

10 

9  40 

37 

30 

9   8 

35  14 

8  36  1  32 

56 

Stier 

20 

9  58 

47 

28 

9  29 

44  43 

9  1 

41 

57 

30 

10  16 
10  34 

57 

44 

9  51 

54  34 

9  27 

51 

24 

10 

68 

18 

10  15 

64  49 

9  56 

61 

20 

Zwillinge 

20 

10  47 

79 

5 

10  35 

75  24 

10  23 

71 

43 

30 

10  55 

90 

0 

10  51 

86  15 

10  47 

82 

30 

10 

10  55 

100 

55 

10  59 

97  14 

11  3 

93 

33 

Krebs 

20 

10  47 

111 

42 

10  59 

108  13 

11  11 

104 

44 

30 

10  34 

122 

16 

10  53 

119   6 

11  12 

115 

56 

10 

10  16 

132 

32 

10  41 

129  47 

11  5 

127 

1 

Löwe 

20 

9  58  |142 

30 

10  27 

140  14 

10  55 

137 

56 

30 
10 

9  40 

152 

10 

10  12 

150  26 

10  44 

148 

40 

9  25 

161 

35 

9  58 

160  24 

10  33 

159 

13 

Jungfrau 

20 

9  15 

170 

50 

9  51 

170  15 

10  25 

169 

38 

30 

9  10 

180 

0 

9  45 

180   0 

10  22 

180 

0 

10 

9  10 

189 

10 

9  45  189  45 

10  22 

190 

22 

Wage 

20 

9  15 

198 

25 

9  51  ,199  36 

10  25 

200 

47 

30 
10 

9  25 

207 

50 

9  58 

209  34 

10  33 

211 

20 

9  40 

217 

30 

10  12 

219  46 

10  44  222 

4 

Skorpion 

20 

9  58 

227 

28 

10  27 

230  13 

10  55  232 

59 

30 

10  16 

237 

44 

10  41 

240  54 

11  5 

244 

4 

10 

10  34 

248 

18 

10  53 

251  47 

11  12 

255 

16 

Schütze 

20 

10  47 

259 

5 

10  59 

262  46 

11  11 

266 

27 

30 

10  55 

270 

0 

10  59 

273  45 

11  3 

277 

80 

10 

10  55 

280 

55 

10  51 

284  36 

10  47 

288 

17 

Steinbock 

20 

10  47 

291 

42 

10  35 

295  11 

10  23 

298 

40 

30 

10  34 

302 

16 

10  15 

305  26 

9  56 

308 

36 

Wasser- 

10 

10  16 

.S12 

32 

9  51 

315  17 

9  27 

318 

3 

20 

9  58 

322 

30 

9  29 

324  46 

9  1 

327 

4 

mann 

30 

9  40  |332 

10 

9   8 

333  54 

8  36 

335 

40 

10 

9  25  |341 

35 

8  52  342  46 

8  17 

343 

57 

Fische 

20 

9  15  350 

50 

8  39  351  25 

8  5 

352 

2 

30 

9  10  360 

0 

8  35  1360   0 

7  58 

360 

0 

Tafeln  der  Aufgänge. 


95 




S  oene 

Unter- 

Rhodua 

^ 

Aegypten 

1 

Zeichen 

e 

Pol- 

Längster 

Pol- 

Längster 

Pol- 

Längster 

höhe 

Tag 

höhe 

Tag 

höhe 

Tag 

P 

230  51' 

131 

k^ 

SO»  22' 

14  h 

36° 

UV,h 

Gr.  Min. 

GradsDinnieii 

Gr. 

Min. 

Gradsummen 

Gr.Min. 

Gradsummen 

10® 

7c 

23' 

70 

23' 

6^ 

48' 

6M8' 

6°14' 

6« 

14' 

Widder 

20 

7 

29 

14 

52 

6 

55 

13    43 

6  21 

12 

35 

30 

7 

46 

22 

37 

7 

10 

20    53 

6  37 

19 

12 

10 

8 

4 

30 

41 

7 

33 

28    26 

7     1 

26 

13 

Stier 

20 

8 

31 

39 

12 

8 

2 

36    28 

7  33 

33 

46 

30 

9 

3 

48 

15 

8 

37 

45      5 

8  12 

41 

58 

10 

9 

36 

57 

51 

9 

17 

54    22 

8  56 

50 

54 

Zwillinge 

20 

10 

11 

68 

2 

10 

0 

64    22 

9  47 

60 

41 

30 

10 

43 

78 

45 

10 

38 

75      0 

10  34 

71 

15 

10 

7 

89 

52 

12 

86    12 

11   16 

82 

31 

Krebs 

20 

23 

101 

15 

34 

97    46 

11  47 

94 

18 

30 

32 

112 

47 

51 

109    37 

12  12 

106 

30 

10 

29 

124 

16 

55    121     32 

12  20 

118 

50 

Löwe 

20 

25 

135 

41 

54 

133    26 

12  23 

131 

13 

30 

16 

146 

57 

47 

145    13 

12  19 

143 

32 

10 

5 

158 

2 

40 

156    53 

12  13 

155 

45 

Jungfrau 

20 

1 

169 

3 

35 

168    28 

12     9 

167 

54 

30 

57 

180 

0 

32 

180      0 

12     6 

180 

0 

10 

57 

190 

57 

32 

191    32 

12     6 

192 

6 

Wage 

20 

1 

201 

58 

35 

203      7 

12     9 

204 

16 

30 

5 

213 

3 

40 

214    47 

12  13 

216 

28 

10 

16 

224 

19 

47 

226    34 

12  19 

228 

47 

Skorpion 

20 

25 

235 

44 

54 

238    28 

12  23 

241 

10 

30 

29 

247 

13 

55 

250    23 

12  20 

253 

30 

10 

32 

258 

45 

51 

262    14 

12  12 

265 

42 

Schütze 

20 

23 

270 

8 

34 

273    48 

11  47 

277 

29 

30 

7 

281 

15 

12 

285      0 

11  16 

288 

45 

10 

10 

43 

291 

58 

10 

38 

295    38 

10  34 

299 

19 

Steinbock 

20 

10 

11 

302 

9 

10 

0 

305    38 

9  47 

309 

6 

30 

9 

36 

311 

45 

9 

17 

314    55 

8  56 

318 

2 

Wasser- 

10 

9 

3 

320 

48 

8 

37    323    32 

8  12  |326 

14 

20 

8 

31 

329 

19 

8 

2   331    34 

7  33 

333 

47 

30 

8 

4 

337 

23 

7 

33   339      7 

7     1 

340 

48 

10 

7 

45 

345 

8 

7 

10  |346    17 

6  37 

347 

25 

Fische 

20 

7 

29 

352 

37 

6 

55   353    12 

6  21 

353 

46 

30 

7 

23 

360 

0 

6 

48   360      0 

6  14 

360 

0 

96 


Zweites  Buch.    Achtes  Kapitel. 


Helleapont 

M 

itte  Pont 

US 

Mund,  des 
Borysthenea 

Zeichen 

Pol- 
höhe 
40«56' 

Längster 
Tag 
15  li 

Pol-   Längster 
höhe     Tag 
45°1'    15Vah 

Pol- 
höhe 
48° 

Längster 
Tag 
161» 

Gr. 

Min. 

Gndsummen 

Gr. 

Min.|  Gradsammen 

Gr.Min. 

GradsDmmen 

10» 

b' 

40' 

6^ 

40' 

5« 

8' 

5« 

8' 

4<^36' 

4<>36' 

Widder 

20 

5 

47 

11 

27 

5 

14 

10 

22 

4  43 

9  19 

30 

6 

5 

17 

32 

5 

33 

15 

55 

5  1 

14  20 

10 

6 

29 

24 

1 

5 

58 

21 

53 

5  26 

19  46 

Stier 

20 

7 

4 

31 

5 

6 

34 

28 

27 

6  5 

25  51 

30 

7 

46 

38 

51 

7 

20 

35 

47 

6  52 

32  43 

10 

8 

38 

47 

29 

8 

15 

44 

2 

7  53 

40  36 

Zwillinge 

20 
30 

9 
10 

32 
29 

57 
67 

1 

30 

9 
10 

19 

24 

53 
63 

21 

45 

9  5 
10  19 

49  41 
60   0 

71  31 

10 

11 

21 

78 

51 

11 

26 

75 

11 

11  31 

Krebs 

20 

12 

2 

90 

53 

12 

15 

87 

26 

12  29 

84   0 

30 

12 

30 

103 

23 

12 

53 

100 

19 

13  15 

97  15 

10 

12 

46 

116 

9 

13 

12  113 

31 

13  40 

110  55 

Löwe 

20 

12 

52 

129 

1 

13 

22 

126 

53 

13  51 

124  46 

30 

12 

51 

141 

52 

13 

22 

140 

15 

13  54 

138  40 

10 

12 

45 

154 

37 

13 

17 

153 

32 

13  49 

152  29 

Jnngfran 

20 

12 

43 

167 

20 

13 

16 

166 

48 

13  47 

166  16 

30 

12 

40  |180 

0 

13 

12 

180 

0 

13  44 

180   0 

10 

12 

40 

192 

40 

13 

12  il93 

12 

13  44 

193  44 

Wage 

20 

12 

43 

205 

23 

13 

16  206 

28 

13  47 

207  31 

30 

12 

45 

218 

8 

13 

17  219 

45 

13  49 

221  20 

10 

12 

51 

230 

59 

13 

22 

233 

7 

13  54 

235  14 

Skorpion 

20 

12 

52 

243 

51 

13 

22 

246 

29 

13  51 

249   5 

30 

12 

46 

256 

37 

13 

12 

259 

41 

13  40 

262  45 

10 

12 

30 

269 

7 

12 

53 

272 

34 

13  15 

276   0 

Schütze 

20 

12 

2 

281 

9 

12 

15 

284 

49 

12  29 

288  29 

30 

11 

21 

292 

30 

11 

26 

296 

15 

11  31 

300   0 

10 

10 

29 

302 

59 

10 

24 

306 

39 

10  19 

310  19 

Steinbock 

20 

9 

32 

312 

31 

9 

19 

315 

58 

9  5 

319  24 

Wasser- 

30 

8 

38 

321 

9 

8 

15 

324 

13 

7  53 

327  17 

10 
20 

7 

7 

46 
4 

328 
335 

55 
59 

7 
6 

20 
34 

331 
338 

33 

7 

6  52 
6  5 

334   9 
340  14 

30 

6 

29 

342 

28 

5 

58 

344 

5 

5  26 

345  40 

10 

6 

5 

348 

33 

5 

33 

349 

38 

5  1 

350  41 

Fische 

20 

5 

47 

354 

20 

5 

14 

354 

52 

4  43 

355  24 

30 

5 

40 

360 

0 

5 

8 

360 

0 

4  36 

360   0 

Tafeln  der  Anfgänge. 


97 


Süd-B 

rettania 

Mund,  d 

es  Tanais 

Zeichen 

<0 

Polhöhe 

Längster 

Polhöhe 

Längster 

'Z 

51« 30' 

Tag 

16%  h 

54 

oi> 

Tag 
17  h 

^ 

Gr. 

Min. 

Gradsammen 

Gr. 

Min. 

Gridsimmeo 

10° 

4« 

5' 

4« 

5' 

3« 

36' 

3« 

36' 

Widder 

20 

4 

12 

8 

17 

3 

43 

7 

19 

30 

4 

31 

12 

48 

4 

0 

11 

19 

10 

4 

56 

17 

44 

4 

26 

15 

45 

Stier 

20 

5 

34 

23 

18 

5 

4 

20 

49 

30 

6 

25 

29 

43 

5 

56 

26 

45 

10 

7 

29 

37 

12 

7 

5 

33 

50 

Zwillinge 

20 

8 

49 

46 

1 

8 

33 

42 

23 

30 

10 

14 

56 

15 

10 

7 

52 

30 

10 

11 

36 

67 

51 

11 

43 

64 

13 

Krebs 

20 

12 

45 

80 

36 

13 

1 

77 

14 

30 

13 

39 

94 

15 

14 

3 

91 

17 

10 

14 

7 

108 

22 

14 

36 

105 

53 

Löwe 

20 

14 

22 

122 

44 

14 

62 

120 

45 

30 

14 

24 

137 

8 

14 

54 

135 

39 

10 

14 

19 

151 

27 

14 

50 

150 

29 

Jungfrau 

20 

14 

18 

165 

45 

14 

47 

165 

16 

30 

14 

15 

180 

0 

14 

44 

180 

0 

10 

14 

15 

194 

15 

14 

44 

194 

44 

Wage 

20 

14 

18 

208 

33 

14 

47 

209 

31 

30 

14 

19 

222 

52 

14 

50 

224 

21 

10 

14 

24 

237 

16 

14 

54 

239 

15 

Skorpion 

20 

14 

22 

251 

38 

14 

52 

254 

7 

30 

14 

7 

265 

45 

14 

36 

268 

43 

10 

13 

39 

279 

24 

14 

3 

282 

46 

Schütze 

20 

12 

45 

292 

9 

13 

1 

295 

47 

30 

11 

36 

303 

45 

11 

43 

307 

30 

10 

10 

14 

313 

59 

10 

7 

317 

37 

Steinbock 

20 

8 

49 

322 

48 

8 

33 

326 

10 

30 

7 

29 

330 

17 

7 

5 

333 

15 

10 

6 

25 

336 

42 

5 

56 

339 

11 

Wassermann 

20 

5 

34 

342 

16 

5 

4 

344 

15 

30 

4 

56 

347 

12 

4 

26 

348 

41 

10 

4 

31 

351 

43 

4 

0 

352 

41 

Fische 

20 

4 

12 

355 

55 

3 

43 

356 

24 

30 

4 

5 

360 

0 

3 

36 

360 

0 

98  Zweites  Buch.     Neuntes  Kapitel. 

zu  demjenigen  abzählt,  in  welchem  die  Sonne  steht.  Nimmt 
man  von  der  gefundenen  Summe  der  Zeitgrade  den  fünf- 
zehnten Teil,  so  erhält  man  die  Aquinoktialstunden  des 
in  Frage  stehenden  Intervalls;  nimmt  man  aber  den  zwölf- 
6  ten  Teil,  so  erhält  man  die  Zeitgrade,  welche  auf  die  bürger- 
liche Stunde  des  nämlichen  Intervalls  entfallen. 

2.  Bequemer  wird  die  Länge  der  bürgerlichen  Stunde 
folgendermaßen  gefunden.  Aus  den  vorstehenden  Tafeln  der 
Aufgänge  entnimmt  man  sowohl  für  den  Parallel  unter  dem 
Äquator  als  auch  für  den  der  in  Frage  stehenden  geogra- 

11  phischen  Breite,  wenn  es  sich  um  den  Tag  handelt,  die  bei 
dem  Grad  der  Sonne  angesetzte  Aufgangs  summe,  wenn  um 
die  Nacht,  die  bei  dem  diametral  gegenüberliegenden  Grad 
^*^  J*J}stehende,  und  bildet  die  Differenz  beider.    Von  der  so  ge- 
lb fundenen  Differenz  nimmt  man  den  sechsten  Teil.    Liegt  der 
Grad,  mit  dem  man  in  die  Tafel  eingegangen  war,  auf  dem 
nördlichen  Halbkreis   (d.  i.  nach   dem  Frühlingspunkt),  so 
addiert  man  dieses   Sechstel  zu  den   15   Zeitgraden   der 
Äquinoktialstunde,  liegt  er  aber  auf  dem  südlichen  Halbkreis 
20  (d.  i.  nach  dem  Herbstpunkt),  so  subtrahiert  man  dasselbe 
von  ebendiesen  15  Zeitgraden*)  und  erhält  auf  diese  Weise 
die  Zahl  der  Zeitgrade  der  in  Frage  stehenden  bürgerlichen 
Stunde. 

3.  Sind  bürgerliche  Stunden  gegeben,  so  verwandelt  man 
26  dieselben  in  Aquinoktialstunden  dadurch,  daß  man  mit  ihnen 

(d.  i.  mit  ihrer  Anzahl),  wenn  es  Tagstunden  sind,  die  Zeit- 
grade multipliziert,  welche  in  der  betr.  geographischen  Breite 
auf  die  bürgerliche  Stunde  dieses  Tages  entfallen,  sind  es 
Nachtstunden,  die  auf  die  Nachtstunde  entfallenden  Zeitgrade. 
30  Nimmt  man  von  dem  Produkt  den  fünfzehnten  Teil,  so  er- 
hält man  die  Anzahl  der  Aquinoktialstunden. 

Umgekehrt  verwandelt  man  gegebene  Aquinoktialstunden 
in  bürgerliche  dadurch,  daß  man  sie  (d.  i.  ihre  Anzahl)  mit 
1 5  multipliziert  und  das  Produkt  durch  die  gegebenen  Zeit- 

a)  Weil  nach  der  Frühlingsgleiche  die  bürgerlichen  Stunden 
länger,  nach  der  Herbstgleiche  kürzer  als  die  Aquinoktial- 
stunden werden. 


Lösung  einiger  Aufgaben.  99 

grade,  welche  auf  die  bürgerliche  Stunde  des  betr.  Intervalls 
entfallen,  dividiert. 

4.  Wenn  die  Länge  irgendeiner  beliebigen  bürgerlichen 
Stunde  gegeben  ist,  so  läßt  sich  bestimmen 

a)  der  zurzeit  aufgehende  Grad  der  Ekliptik.     Man    6 
multipliziert  die  auf  die  gegebene  Stunde  entfallenden  Zeit- 
grade, wenn  es   Tagstunden  sind,  mit  der  Zahl  der  seit 
Sonnenaufgang  verflossenen  bürgerlichen  Stunden,  sind 

es  Nachtstunden,  mit  der  Zahl  der  seit  Sonnenuntergang 
verflossenen.    Die  erhaltene  Zahl  zählt  man,  wenn   es   sich  Hei  144 
um  den  Tag  handelt,  von  dem  Grad  der  Sonne  an,  wenn  11 
um  die  Nacht,  von  dem  diametral  gegenüberliegenden  Grad 
an  nach  Maßgabe  der  Aufgänge  der  zugrunde  gelegten  geo- 
graphischen Breite  in   der  Richtung  der  Zeichenfolge  ab*) 
und  sagt,  daß  der  Grad,  auf  welchen  die  Zahl  ausgeht,  zur-  Ha  iii 
zeit  aufgehe.  16 

b)  der  über  dem  Horizont  kulminierende  Grad.  Man 
multipliziert  die  auf  die  gegebene  bürgerliche  Stunde  entfallen- 
den Zeitgrade  mit  der  Zahl  der  bürgerlichen  Stunden,  welche 
jedesmal  seit  dem  verflossenen  Mittag  bis  zu  der  gegebenen  20 
Stunde  vergangen  sind.  Die  herauskommende  Zahl  zählt 
man  von  dem  Grad  der  Sonne  an  nach  Maßgabe  der  Auf- 
gänge bei  Sphaera  recta  in  der  Richtung  der  Zeichenfolge 
ab,  dann  wird  der  Grad,  auf  welchen  die  Zahl  ausgeht,  zur- 
zeit über  dem  Horizont  kulminieren.  25 

5.  Gleicherweise  wird  man  den  über  dem  Horizont  kul- 
minierenden Grad  von  dem  aufgehenden  aus  erhalten,  wenn 
man  zunächst  nach  der  Zahl  der  Aufgangssumme  sieht,  welche 
in  der  Tafel  der  betr.  geographischen  Breite  bei  dem  auf- 
gehenden Grad  steht.  Dann  zieht  man  von  dieser  Summe  30 
jedesmal  die  90  Zeitgrade  des  Quadranten  ab  und  wird  aus 
der  Durchgangssumme^)  der  Spalte  bei  Sphaera  recta  den 

a)  D.  h.  man  addiert  sie  zu  den  Graden,  welche  die  Sonne 
vom  Frühlingspunkt  ab  hinter  sich  hat. 

b)  Da  es  sich  um  einen  kulminierenden  Grad  handelt,  so 
ißt  die  in  der  dritten  Spalte  stehende  Summe  bei  Sphaera  recta 
als  Durchßgangssumme  zu  bezeichnen. 

7* 


100 


Zweites  Buch.     Zehntes  Kapitel. 


bei  der  (erhaltenen)  Zahl  stehenden  Grad  als  denjenigen  finden, 
welcher  zurzeit  über  dem  Horizont  kulminiert. 

Umgekehrt  läßt  sich  aus  dem  über  dem  Horizont  kulmi- 
nierenden Grad  der  aufgehende  folgendermaßen  bestimmen. 
5  Man  sieht  zunächst  wieder  nach  der  bei  dem  kulminieren- 
den  Grad   stehenden   Zahl   der   Durchgangssumme    in   der 
Spalte  bei  Sphaera  recta.    Dann  addiert  man  dazu  jedes- 
Hei  145  mal   wieder   die    (vorhin    abgezogenen)    90  Zeitgrade   und 
ersieht  aus  der  (so  erhaltenen)  Aufgangssumme  der  zugrunde 
10  gelegten  geographischen  Breite   den  Grad,  welcher  bei  der 
(erhaltenen)  Zahl  stebt,  und  mit  diesem  wird  der  zurzeit  auf- 
gehende Grad  gefunden  sein. 

6.  Keiner  besonderen  Erläuterung  bedürfen  folgende  zwei 
Punkte. 
15       a)  Für  die  unter  demselben  Meridian  liegenden  Orte  be- 
trägt der  (jeweilige)  Abstand  der  Sonne  von  dem  Mittag 
oder  der  Mitternacht  die  gleichen  Äquinoktialstunden. 

b)  Für   die   nicht   unter   demselben   Meridian   liegenden 
Orte  wird  der  Unterschied  (der  Ortszeit)  ebensoviele  Zeit- 
20  grade  ausmachen,  als  der  räumliche  Abstand  von  Meridian 
zu  Meridian  ßaumgrade  beträgt.^) 


Zehntes  Kapitel. 

Die  von  der  Ekliptik  und  dem  Meridian 
gebildeten  Winkel. 

Es  bleibt  für  die  vorliegende  theoretische  Erörterung 
noch  die  Rücksichtnahme  auf  die  Winkel  übrig,  ich  meine, 
auf  die  Winkel,  welche  mit  der 
Ekliptik  gebildet  werden.  Da  müssen 
wir  folgende  Erklärung  voraus- 
schicken. 

Von  größten  Kreisen  wird  ein  (sphä- 
rischer) rechter  Winkel  (<^  HB0)  ge- 
bildet, wenn  man  um  den  gemein- 
samen Schnittpunkt  (B)  der  Kreise 
als  Pol  mit  beliebigem  Abstand  (BH) 


Winkel  der  Ekliptik  am  Meridian.  101 

einen  Kreis  ziehen  kann,  so  daß  der  Bogen  (H  0)  desselben, 
welcher  von  den  den  (sphärischen)  Winkel  bildenden  Kreis- 
abschnitten (B  H  und  B  0)  begrenzt  wird,  einen  Quadranten 
(H0)  des  beschriebenen  Kreises  ausmacht.  Hei  ue 

In  allgemeiner  Fassung  lautet  diese  Erklärung:  in  dem-  5 
selben  Verhältnis,  in  welchem  der  abgetrennte  Bogen  zu 
dem  nach  Vorschrift  beschriebenen  Kreise  steht,  steht  auch 
der  von  der  Neigung  der  Ebenen  (der  sich  schneidenden 
größten  Kreise)  gebildete  Winkel  zu  vier  Rechten.  Da  wir 
nun  die  Einteilung  des  Kreisumfanges  in  360  Teile  annehmen,  10 
so  wird  folglich  der  den  abgetrennten  Bogen  unterspannende 
Winkel  ebenso  viele  solche  Teile  enthalten,  deren  90  auf  einen 
Rechten  gehen,  wieviele  auf  den  abgetrennten  Bogen  von 
den  360  Teilen  des  Kreises  entfallen. 

Von  den  mit  der  Ekliptik  gebildeten  Winkeln  sind  für  h»  iis 
die    vorliegende    theoretische    Erörterung    ganz    besonders  16 
brauchbar  folgende  in  jeder  einzelnen  Lage  (der  Ekliptik): 

1.  die   um   den   Schnittpunkt   der  Ekliptik   mit    dem 
Meridian  herumliegenden  Winkel; 

2.  die   um   den   Schnittpunkt   der  Ekliptik  mit   dem  20 
Horizont  herumliegenden ; 

3.  die  um  den  Schnittpunkt  der  Ekliptik  mit  dem 
durch  die  Pole  des  Horizonts  gezogenen  größten  (Höhen-) 
Kreis  herumliegenden.  Mit  den  Winkeln  letzterer  Art  werden 
zugleich  auch  die  Bogen  mit  nachgewiesen*^,  welche  auf  26 
diesem  (Höhen-)  Kreis  zwischen  dem  Schnittpunkt  der 
Ekliptik  und  dem  Pol  des  Horizonts,  d.  i.  dem  Zenit,  liegen. 

Sämtliche  Nachweise  vorstehend  bezeichneter  Größen 
haben  schon  für  die  Theorie  an  sich  eine  ganz  außer- 
ordentliche Bedeutung,  die  allerwertvoUste  Beihilfe  aber  ge-  30 
währen  sie  für  die  Untersuchung  der  Parallaxen  des  Mondes, 
da  die  Bestimmung  derselben  ohne  die  Vorbesprechung  dieser 
Verhältnisse  überhaupt  gar  nicht  gelingen  kann. 

Da  es  stets  vier  Winkel  sind,  welche  um  den  Schnitt- 
punkt der  beiden  Kreise,    d.  i.  der  Ekliptik   und  der   mitneiu? 

a)  Vgl.  den  Anfang  von  Kap.  12  S.  112,  6. 


102  Zweites  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

ihr  sich  kreuzenden  Kreise,  herumliegen,  unsere  Unter- 
suchung sich  aber  nur  mit  einem  dieser  Winkel  beschäftigen 
wird,  für  den  seine  gleichbleibende  Lage  das  charakteristische 
Merkmal  liefert,  so  muß  für  die  Definition  dieses  Winkels 
5  vorausbemerkt  werden,  daß  von  den  zwei  Winkeln,  welche 
beiderseits  des  östlich  vom  gemeinsamen  Schnittpunkt  ver- 
laufenden Ekliptikbogen s  gebildet  werden,  allgemein  der 
nördliche  als  der  maßgebende  zu  betrachten  ist.  Die 
Eigenschaften  und  Größenbeträge,  welche  wir  im  Begriff 
10  stehen  nachzuweisen,  gelten  ausschließlich  für  die  dieser 
Definition  entsprechenden  Winkel. 

Weil  der  Nachweis  der  Winkel,  welche  die  Ekliptik  der 
Theorie  nach  mit  dem  Meridian  bildet,  der  einfachere  ist, 
so  wollen  wir  mit  diesen  Winkeln  den  Anfang  machen. 
15  Zunächst  sind  folgende  zwei  Sätze  zu  beweisen. 

Hft  114  A.  Die  oben  definierten  Winkel,  welche  in  den  von  dem- 
selben Nachtgleichenpunkt  gleichweit  entfernten  Punkten 
der  Ekliptik  gebildet  werden,  sind  einander  gleich. 

Es   sei  ABT  ein  Bogen  des 
20  ^Z\  Äquators  und  A  B  E  ein  solcher 

der  Ekliptik.  Pol  des  Äquators 
sei  Z.  Zu  beiden  Seiten  des 
Nachtgleichenpunktes  B  trage 
man  die  beiden  gleichgroßen 
25    ^^_^/        _        ^Y  Bogen   BH    und   B0    ab    und 

ziehe    durch    den    Pol    Z    und 
-^  -^^  die  Punkte  H,  0  die  Meridian- 

Hei  148  bogen  ZKH  und  Z0A.    Meine 

Behauptung  geht  dahin,  daß 

30  <^KHB  =  ^Z0E. 

Beweis.  Das  ist  ohne  weiteres  klar.  Das  sphärische 
Dreieck  B  K  H  ist  nämlich  gleichwinklig  mit  dem  sphärischen 
Dreieck  BA0,  weil  in  jedem  die  drei  einander  entsprechen- 
den Seiten  gleich  sind.  Denn  einander  gleich  sind  die 
35  Bogen  B  H  und  B  0  (nach  Konstruktion),  ferner  die  Bogen 
HK  und  0A  (nach  der  Tabelle  der  Schiefe  I.Buch,  15.  Kap.), 


Winkel  der  Ekliptik  am  Meridian.  103 

endlich  die  Bogen  BK  und  BA  (nach  Lehrs.  I  S.  81, 16).  Dies 
alles  ist  ja  schon  früher  nachgewiesen.     Folglich  ist 

^KHB  =  <^B0A. 
Nun  ist       <^B0A  =  <^Z0E,  (als  Scheitelwinkel) 
folglich  auch  <^KHB  =  <^Z0E,  was  nachzuweisen  war.         5 

B.  Die  Summe  der  beiden  Winkel,  welche  in  den  von 
demselben  Wendepunkt  gleichweit  entfernten  Punkten  der 
Ekliptik  mit  dem  Meridian  gebildet  werden,  ist  gleich 
zwei  Rechten. 

Es  sei  ABT  ein  Bogen  der  Ekliptik,  wobei  B  als  Wende-  lo 
punkt  angenommen  sei.    Zu  beiden  Seiten  desselben  trage 
man  die  beiden  gleichgroßen  Bogen  BA  und  BE  ab  und  Ha  i 
ziehe  durch  die  Punkte  A,  E  und  den  Pol  Z  des  Äquators 
die  Meridianbogen  ZA  und  ZE. 

MeineBehauptung  geht  dahin,  daß  /\  Hei  i 

<^ZAB-{-<^ZEr  =  2R.  /    \  16 

Beweis.  Auch  dies  ist  ohne 
weiteres  klar.  Da  die  Punkte  A 
und  E  gleichweit  von  demselben 

Wendepunkt  entfernt  sind,  so  ist  /  ^  \  20 

6AZ  =  6ZE,a) 
also  <^ZAB  =  <^ZEB.^^ 
Nun    ist    <^ZEB-f-<^ZEr  =  5J?,  (als  Nebenwinkel) 
folgl.auch  <^ZAB+<^ZEr  =  2JB, 
was  zu  beweisen  war.  ^  ^       25 

Diese  beiden  theoretischen  Sätze 
mußten  der  weiteren  Erörterung  vor- 
ausgeschickt werden. 

I.  Es  sei  A  B  TA  der  Meridian  und 
A  E  r  ein  Halbkreis  der  Ekliptik,  wo-        \  ^p       30 

bei  Punkt  A   als   der   Winterwende- 


a)  Als  die  Komplementbogen  von  zwischen  Äquator  und 
Ekliptik  liegenden  gleichgroßen  Meridianbogen. 

b)  Als  die  Winkel  an  der  Basis  des  gleichschenkligen  sphä- 
rischen Dreiecks  AZE. 


104  Zweites  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

punkt  angenommen  sei.*)    Um  den  Punkt  A  als  Pol  ziehe 
man  mit  der  Seite  des  (eingeschriebenen)  Quadrats    (vgl. 
S.  27,  19)  als  Abstand  den  Halbkreis  BEA.    Da  nun  der 
Meridian  A  B  PA  sowohl  durch  die  Pole  von  A  E  f,  als  auch 
5  durch  die  von  BEA   geht,    so  ist  der  Bogen  EA  gleich 
einem  Quadranten  (nach  Theod.  I.  9),  und  folglich  ^  AAE 
ein  Rechter.   Nach  dem  oben  bewiesenen  Satz  (A  S.  102,  16) 
ist  aber    aucb    der    am   Sommerwendepunkt  (f)    gebildete 
(östliche)  Winkel  ein  Rechter,  was  nachzuweisen  war. 
a«i  180      II.  Es  sei  A  B  TA  der  Meridian  und  A  E  T  ein  Halbkreis 
11  des  Äquators.    Der  Halbkreis  AZf  der  Ekliptik  sei  so  ge- 
der  Herbstnachtgleichenpunkt  sei.     Um  den 
Punkt  A  als  Pol  ziehe  man  mit  der 
Seite  des  Quadrats  als  Abstand  den 
Halbkreis  BZEA.^)  Wie  oben  sind, 
weil  AB  TA  sowohl  durch  die  Pole 
von  A  E  r,  als  auch  durch  die  von  BEA 
geht,  die  Bogen  AZ  und  EA  Qua- 
dranten.  Folglich  ist  Z  der  Winter- 
-^  Wendepunkt  und  daher 

6  Z  E  =  23®  51',  wie  (S.  44, 22)  nachgewiesen  ist. 
Folglich  ist   6  2EA  =  23°51'  +  90°  =  113<>61', 
mithin      <^  AAZ  =  113">51'  wie  jfi?=90*'. 
Nach   dem    oben  (S.   103,  6)  bewiesenen  Satz  (B,  weil 
25  gleichweit   vom  Winterwendepunkt   entfernt)   ist  aber  der 
am    Frühlingsnachtgleichenpunkt    (f)    gebildete    (östliche) 
Winkel  der  Supplementwinkel  des  <^  A  AZ,  d.  i.  gleich  66°  9'. 
III.  Es  sei  A  B  TA  der  Meridian,  A  E  f  ein  Halbkreis  des 
Äquators  und  BZ  A  ein  solcher  der  Ekliptik,  so  daß  Punkt  Z 
30  als  der  Herbstpunkt  angenommen  sei. 
lei  151      1.  Der  Bogen  BZ  sei  das  Zeichen  der  Jungfrau  und  B 
selbstverständlich   der   Anfang    der   Jungfrau.     Nun   ziehe 


a)  Demnach  fällt  der  Meridian  mit  dem  Kolur  der  Wenden 
zusammen,  so  daß  E  Frühlingspunkt  ist.     S.  erl.  Anm.  15. 

b)  AB  PA  ist  der  Kolur  der  Nachtgleichen,  BZEA  ein  Halb- 
kreis des  Kolnrs  der  Wenden. 


Winkel  der  Ekliptik  am  Meridian.  105 

man  wieder  um  B  als  Pol  mit  der  Seite  des  Quadrats  als 
Abstand  den  Halbkreis  H0EK.  Es  sei  die  Aufgabe  ge- 
stellt den  <^  K  B  0  zu  finden. 

Da  der  Meridian  AB  TA   sowohl 
durch  die  Pole  von  AEF,  als  auch 
durch   die   von    HEK  geht,    so   ist 
jeder   der  Bogen  BH,  B0  und  EH 
gleich  einem  Quadranten.    Wie  die  ^\ 
Figur  zeigt,  gilt  (Satz  A  S.  49,  3l) 
^2hB^^  _  s2hBZ^   s2h  0E 
s2b^H  ~  s2hZQ  '  s2bEH  ' 
Wie  früher  nachgewiesen  (s.  Tabelle  der  Schiefe  zu  30°),  ist  11 
<3&BA=    23«20',  also  s56BA=    24^16', 
55AH=156»40',  also  s^fe  AH  =  117^31', 
<26BZ=60^  also  5^6  BZ  =    60^, 

2620=120^        also  s^ 6  20  =  103^55' 28".  Hei  158 

Bringen  wir  also  wieder  — ~ —  auf  die  andere  Seite  16 

°  IO3P  55'  23" 

der  Gleichung,  so  erhalten  wir 

s2bQ£        42^58'    /         24^16' •  103^55' 23"\ 
aus 


Ha  117 


s2h  EH  I20P      \  117P31'.60P       / 

Nun  ist    s2b  EH  =  120^, 
folglich    s2hQE=   42^58',   also  ^6  0E  =  42«  und  6  0E  =  21».  20 

Mithin  ist  der  ganze  Bogen  0EK  gleich  21°  +  90^ 
d.i.<^KB0  =  lll°. 

Nach  den  vorher  bewiesenen  Sätzen  ergibt  sich: 

a)  Der  Winkel  am  Anfang  des  Skorpions  beträgt 
gleichfalls  111^  25 

b)  Der  Winkel  am  Anfang  des  Stiers  und  am  Anfang 
der  Fische  ist  gleich  dem  Supplementwinkel,  d.  i.  gleich 
69^,  was  zu  beweisen  war.*) 


a)  Gleichweit  von  dem  Herbstpunkt  entfernt  (Satz  A  S.  102,  I6) 
liegen  Jungfrau  und  Skorpion,  gleichweit  vom  Sommerwende- 
punkt (Satz  B  S.  103,  6)  Stier  und  Jungfrau,  gleichweit  vom 
Winterwendepunkt  Skorpion  und  Fische. 


106  Zweites  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

2.  Es  sei  an  derselben  Figur  der  Bogen  BZ  gleich  dem 
Bogen  zweier  Zeichen  angenommen,  so  daß  Punkt  B  der 
Anfang  des  Löwen  sei.  Unter  den  gleichen  Voraussetzungen 
wie  oben  ist 
Hii  118  ;86BA=    41 V)  also  s<86BA=    42^2', 

6  ^6AH  =  139^     also  s56  AH  =  112^24', 

Hei  163  ^6BZ=120^      also   5^0  82  =  103^56' 23", 

2hZ(d=    60^      also  s2hZQ=-    60^ 

103^  55'  23" 
Bringen  wir  also  wieder  auf  die  andere  Seite 

10  der  Gleichung,  so  erhalten  wir 

s2hQ£        25^53'    /  42»'2'-60P  \ 

= aus  I  • 

s^fcEH  120P      V         112^24'    103P55'23"/ 

Nun  ist    «^6EH  =  120^ 

folglich     5^6  0E=    25^53',  also  56  0E  =  25<> und  60E=  12*80'. 

Mithin  ist  der  ganze  Bogen  0EK  gleich  120  30' 4- 90^ 
16  d.  i.  <^KB0  =  1O2<>3O'. 

Ferner  ergibt  sich  aus  denselben  Gründen  wie  oben: 

a)  Der  Winkel  am  Anfang  des  Schützen  beträgt  gleich- 
falls  102^30'. 

b)  Der  Winkel  am  Anfang  der  Zwillinge  und  am  An- 
20  fang  des  Wassermanns  ist  gleich  dem  Supplementwinkel, 

d.  i.  gleich  77030'.^) 

Wir  sind  hiermit  am  Ende  unserer  Nachweise  angelangt. 
Ganz  so  wie  bisher  würde  sich  auch  der  Gang  der  Beweis- 
führung bei  den  Ekliptikabschnitten  von  geringerer  Grad- 
25  zahl  gestalten.  Indessen  genügt  schon  zur  praktischen 
Anwendung  der  vorgetragenen  Lehre  der  Ansatz  von 
Zeichen  zu  Zeichen. 


a)  Der  einfache  Bogen  =  20^30'  als  Meridianbogen  zwischen 
Ekliptik  und  Äquator  zu  60°  der  Ekliptik. 

b)  Gleichweit  von  dem  Herbstpunkt  entfernt  (Satz  A  S.  102,  I6) 
liegen  Löwe  und  Schütze,  gleichweit  vom  Sommerwendepunkt 
(Satz  B  S.  103,  6)  Löwe  und  Zwillinge,  gleich  weit  vom  Winter- 
wendepunkt  Schütze  und  Wassermann. 


Zweites  Buch.     Elftes  Kapitel.  107 


Elftes  Kapitel. 

Die  von  der  Ekliptik  und  dem  Horizont 

gebildeten  Winkel. 

Weiter  werden  wir  zeigen,  wie  wir  bei  gegebener  geo-  Hei  15 
graphischer  Breite    auch    die   Winkel   bestimmen   können, 
welche  von  der  Ekliptik  mit  dem  Horizont  gebildet  werden,  Ha  iii 
da   auch   diese   vermittels  eines  einfacheren  Verfahrens  zu 
finden  sind,  als  die  übrigen.  5 

Daß  bei  Sphaera  recta  die  mit  dem  Horizont  gebildeten 
Winkel  dieselben  sind,  wie  die  mit  dem  Meridian  gebildeten, 
bedarf  nicht  der  Erläuterung  (s.  S.  53,  19).  Was  aber  die 
Gewinnung  der  bei  Sphaera  obliqua  gebildeten  Winkel  an- 
belangt, so  müssen  zunächst  wieder  folgende  Sätze  be-  10 
wiesen  werden. 

A.  Die  Winkel,  welche  in  den  von  demselben  Nacht- 
gleichenpunkt gleichweit  entfernten  Punkten  der  Ekliptik 
mit  dem  Horizont  gebildet  werden,    sind  einander  gleich. 

Es   sei   AB  TA   der  Meridian,    AEF   ein  Halbkreis    des  15 
Äquators  und  BEA  ein  solcher  des  Horizonts.     Man  ziehe 
die  zwei  EkKptikbogen  ZH0  und  KAM  in  der  Lage,  daß 
jeder  der  beiden  Punkte  K  und  Z 
(einmal  vor  und  einmal  nach  Auf- 
gang) als  der  Herbstnachtgleichen-     /\^\  \       20 
punkt    angenommen    sei,    und    der  ^/ 
Bogen   ZH    gleich   sei   dem   Bogen 
KA.*)    Meine  Behauptung  geht  da- 
hin, daß 

^EH0  =  <AAK.  X.       \^^'        ^^«^^^ 

Beweis.     Dies   ist   ohne  weiteres  ^  26 

klar.     Das    sphärische   Dreieck  EZH   ist   nämlich   gleich- 
winklig mit  dem  sphärischen  Dreieck  EKA,  weil  in  jedem 


a)  Zur  Erklärung  der  Figur  diene:  H  ist  der  Anfang  des 
Zeichens  des  Skorpions,  A  der  Anfang  des  Zeichens  der  Jungfrau. 
Diese  beiden  Zeichen  haben  demnach  denselben  Aufgangswinkel. 


108  Zweites  Buch.     Elftes  Kapitel. 

die  drei   einander  entsprechenden  Seiten   nach  den   früher 
geführten  Beweisen  gleich  sind.    Es  ist 

Bogen  Z  H  =  Bogen  KA,  (nach  Annahme) 
Horizontahschnitt  H  E  =  Horizontabschnitt  E  A,  (nach  S.  8  2,  e) 
6       Aufgangsbogen  EZ  =  Aufgangsbogen    EK,    (nach    Satz    I 
folglich    <^EHZ  =  <^EAK,  [S.  81,    16) 

mithin  auch    <iEH0  =  <^AAK  als  die  zugehörigen  Neben- 
winkel, was  zu  beweisen  war.  * 

B.  In    diametral    gegenübergelegenen    Punkten    ist    der 
10  Aufgangs  winke!   des    einen  Punktes 

H»  120  ^^__A>^^  und  der  Untergangswirikel   des  an- 

deren Punktes  in  Summa  gleich  zwei 
Rechten. 

(D.  i.  <^ZrA-f  <^AAE  =  ^i2.) 

15   *  ^  ^'         Beweis.     Wenn    wir    den    Kreis 

AB  TA  als  Horizont  und  den  Kreis 
AEFZ  als  Ekliptik  ziehen,  welche 
einander  in  den  Punkten  A  und  f 
schneiden,*^  so  ist 

20  <^Z^A-{■<^A^E  =  3E.  (als  Nebenwinkel) 

Hei  156      Nun  ist       <^ZAA  =  <^ZrA;  (als  Neigungswinkel    der 
folglich  auch  <^Z^A-\-<^A^E  =  2B,  [beiden  Kreise) 

was  zu  beweisen  war. 

Als    Folge    vorstehenden    Satzes    ergibt   sich,    nachdem 
25  (Satz  A)  nachgewiesen  worden  ist,  daß  die  Winkel,  welche 
der  Theorie  nach  in  den  von  demselben  Nachtgleichenpunkt 
gleichweit  entfernten  Punkten  mit  demselben  Horizont  ge- 
bildet werden,  einander  gleich  sind,  der  Satz 

C.  In  den   von   demselben  Wendepunkt   gleichweit  ent- 
30  fernten  Punkten  (der  Ekliptik)  ist  der  Aufgangswinkel  des 


a)  Zur  Erklärung  der  Figur  diene:  der  Winterwendepunkt  E 
kulminiert  über,  der  Sommerwendepunkt  Z  unter  dem  Hori- 
zont, in  r  geht  der  Widder  auf,  in  A  die  Wage  unter:  der 
Untergangswinkel  A  A  E  der  letzteren  liegt  über,  der  Aufgangs- 
winkel ZrA  des  Widders  unter  dem  Horizont. 


Winkel  der  Ekliptik  am  Horizont.  109 

einen    Punktes    und    der    üntergangswinkel    des    anderen 
Punktes  in  Summa  gleich  zwei  Rechten. 

Haben  wir  daher  die  Aufgangswinkel  von  dem  Widder 
bis   zu   den   Scheren   gefunden,    so   werden  auch  die  Auf- 
gangswinkel des  anderen  Halbkreises  (als  die  Supplement-  6 
winkel)  zugleich  mit  nachgewiesen  sein,  und  außerdem  auch 
die  üntergangswinkel  beider  Halbkreise. 

Auf  welche  Weise  dieser  Nachweis  (des  Größenbetrags) 
geliefert  wird,    wollen  wir  in  Kürze  mitteilen,    wobei  wir 
uns  für  das  Beispiel  wieder   desselben  Parallels  bedienen,  lO 
d.  i.  des  Parallels,    für  welchen  die  Polhöhe  36°  beträgt. 

I.  Was  zunächst  die  in  den  Nachtgleichenpunkten  der 
Ekliptik  mit  dem  Horizont  gebildeten  Winkel  anbelangt, 
so  können  diese  auf  eine  bequeme  Weise  bestimmt  werden. 

Wir  beschreiben  den  Kreis  AB  TA  als  Meridian,  AEA  16 
als  den  östlichen  Halbkreis  des  zugrunde  gelegten  Horizonts,  Ha  121 
und   den  Bogen  EZ  als    einen  Quadranten   des  Äquators.  Hei  157 
Alsdann  ziehen  wir  die  zwei  Qua- 
dranten EB  und  ET  der  Ekliptik 
in  der  Lage,  daß  E  mit  Bezug  auf 
den    Quadranten  EB    als   Herbst-  A\ 
punkt,    mit   Bezug   auf  den  Qua- 
dranten  Er    aber    als    Frühlings- 
punkt angenommen  sei,  mithin  B 

Winterwendepunkt  und  f  Sommer-  ^^^"- ^-^  26 

Wendepunkt  werde.    Die  sich  hieran  knüpfende  Berechnung 
ist  folgende: 

AZ  =  54*'  nach  Annahme,  (d.  i.  90»— 36<>) 
BZ  =  Zr  =23«51'.  (als   Schiefe  der  Ekliptik) 
Mithin  ist    rA  =  AZ-Zr  =  3009',  30 

und    BA  =  AZ-f  BZ=77«51'. 

Weil  nun  E  der  Pol  des  Meridians  ist,*^  so  ist 

*^  AEf,    d.  i.  der  Winkel  am  Anfang  des  Widders, 
=  30^9'  wie  1^  =  90°, 

a)  Es  handelt  sich  mithin  um  Winkel,  welche  von  größten 
Kreisen  gebildet  werden. 


110  ZweiteB  Buch.     Elftes  Kapitel. 

<^  AEB,  d.  i.  der  Winkel  am  Anfang  der  Scheren, 
=  77^51'  wie  lli  =  90^. 
IL  Damit  auch  das  Verfahren,  durch  welches  man  die 
übrigen  Winkel   gewinnt,   verständlich   werde,    so   sei   die 
5  Aufgabe  gestellt,   den  Aufgangswinkel  zu  finden,  welcher 
beispielshalber  am  Anfang  des  Stiers  mit  dem  Horizont  ge- 
bildet wird. 

Es  sei  der  Kreis  AB  TA    der  Meridian   und  BEA   der 

östliche  Halbkreis  des  zugrunde  gelegten  Horizonts.     Der 

Hei  158  Halbkreis  A  E  f  der  Ekliptik  sei  so  gezogen,  daß  Punkt  E 

11  der  Anfang  des  Stiers  sei.*^    Wenn  bei  der  angenommenen 

geographischen    Breite    der 

Anfang   des  Stiers    aufgeht, 

so     kulminiert     unter    dem 

15    ^         'H^  ^^  ^e    Horizont  (der  Punkt  f,  d.  i.) 

6917^41'.      Wir    haben    ja 

(S.  99,  3)  gezeigt,  wie  der- 

Ha  122     y  V    "\^^/^/  /         artige    Aufgaben    mit    Hilfe 

der  von  uns  mitgeteilten  Auf- 
20  \^  ^.^J^  gänge  bequem  gelöst  werden. 

Folglich  ist  der  Bogen  EP 
kleiner  als  ein  Quadrant.^) 
Nun  beschreibe  man  um  E  als  Pol  mit  der  Seite  des 
Quadrats  (S.  27,  19)  als  Abstand  den  Bogen  ZH0  eines 
25  größten  Kreises  und  ziehe  die  Quadranten  EfH  und  EA9 
voll  aus.  Auch  die  beiden  Bogen  AfZ  und  ZH0  haben 
die  Größe  eines  Quadranten,  weil  der  Horizont  BE0  so- 
wohl durch  die  Pole  des  Meridians  ZfA,  als  auch  durch 
die    des    größten    Kreises    ZH0    geht.     Ferner    hat    der 


a)  Durch  Einzeichnung  des  Äquators  und  die  Andeutung 
seiner  Pole  habe  ich  die  Anschaulichkeit  der  Figur  erhöht. 
Auch  die  Bezeichnung  des  Zwischenpunktes  K  und  des  im  Ost- 
punkt liegenden  Pols  0  des  Meridians  erschien  mir  angezeigt. 

b)  Weil  er  sich  über  den  Stier,  die  Zwillinge  und  17*41' 
des  Krebses  erstreckt  und  somit  nur  60^ -{-17^4:1'  beträgt,  so 
daß  auf  den  Bogen  PH,  der  am  Ende  des  Krebses  ausgeht, 
12°  19'  entfallen. 


Winkel  der  Ekliptik  am  Horizont.  111 

Punkt  (r,  d.  i.)  6^  17^41'  vom  Äquator  auf  dem  durch 
dessen  Pole  gehenden  größten  Kreise  eine  nördliche  Dekli- 
nation von  22^40'  —  auch  diese  Verhältnisse  sind  von 
uns  mitgeteilt^)  —  während  der  Äquator  vom  Pol  Z  des 
Horizonts  auf  demselben  Bogen  ZFA  einen  Abstand  von  5 
36^  hat.^)  Hieraus  ergibt  sich  der  Bogen  ZT  mit  öS'' 40' 
(d.  i.  36<*-}- 22^40').  Sind  diese  Größen  gegeben,  so  gilt 
schließlich;  wie  die  Figur  zeigt,  (Satz  B.  S.  51,  l) 
s2brA        sShfE      s2bHQ 

= .  — Bei  169 

s2bAZ        s2hEH      s2hQZ 

Nun  ist  nach  den  oben  ermittelten  Größen  10 

2hrA=    62U0',c)    alsos^ftTA-    62^24', 

2hAZ  =  180°,  also  s2b  AZ  =  120^, 

2brE  =155<*22',d)    also  s2b  rE  =  117^14', 

^6  EH  =  180»,  also  s 2b  EH  =  120^.  Ha  us 

117^14' 

Bringen  wir  also auf  die  andere  Seite  der  Glei-  15 

^  120P 

chung,  so  erhalten  wir 


s2bHQ      63^52'    /  62^ 24t'  120^ 

aus 


s2beZ        120"     \         120P- 117^14'/ 
Nun  ist  s^6  0Z=12OP, 

folglich  s2bHQ=    63P52',also  ^6  H0=»64<'2O'u.&  H0  =  32«1O'. 
Mithin  ist  <^  HEG  =  32^10',  was  zu  beweisen  war.         20 

Um  nicht  dem  Kommentar  unseres  Handbuchs  durch 
Wiederholung  derselben  Berechnung  für  jeden  einzelnen 
Fall  eine  endlose  Ausdehnung  zu  verleihen,  sei  gesagt, 
daß  auch  bei  den  übrigen  Zeichen  und  Breiten  genau  das- 
selbe Verfahren  von  uns  wahrgenommen  werden  wird.  25 

a)  22<*40'  beträgt  nach  der  Tabelle  der  Schiefe  zu^  72'*20' 
(d.  i.  90**  — 17*40')  der  Meridianbogen  zwischen  dem  Äquator 
und  der  Ekliptik. 

b)  Der  Zenitabstand  ZK  des  Äquators  ist  gleich  der  Polhöhe. 
S.  erläut.  Anm.  6. 

c)  D.  i.  2  (90<'-58«40'). 

d)  D.  i.  2  (90" -12^9').     Vgl.  Anm.  t)  S.  110. 


112 


Zweites  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 


Zwölftes   Kapitel. 

Die  Winkel  und  Bogen,  welche  die  Ekliptik  mit 
demselben  durch  die  Pole  des  Horizonts  gehenden]'!  \ 
(Höhen-)  Kreis  bildet. 

Hei  160      Es  bleibt  schließlich  das  Verfahren  noch  mitzuteilen  übrig, 
nach   welchem   wir   auch   die   Winkel   bestimmen   können, 
welche  von  der  Ekliptik  mit  dem  durch  die  Pole  des  Hori- 
zonts gehenden  größten  (Höhen-)  Kreis  je   nach  der  geo- 
5  graphischen  Breite  und  je  nach  der  Lage  (dieses  Kreises) 
gebildet  werden.     Hierbei  wird  in  jedem  einzelnen  Falle, 
wie  (S.  101,  24)  gesagt,  gleichzeitig  mit  nachgewiesen  der 
Bogen  des  durch  die  Pole  des  Horizonts  gehenden  (Höhen-) 
Kreises,  welcher  zwischen  dem  Zenit  und  dem  Schnittpunkt 
10  dieses  Kreises  mit  der  Ekliptik  liegt.*^    Wir  werden  wieder 
die  für   diesen  Teil   unserer  Aufgabe   erforderlichen  Sätze 
H»  124  vorausschicken   und    zunächst    den    Beweis    für   folgenden 
Lehrsatz  erbringen. 

A.  Wenn   zwei   von   demselben  Wendepunkt   gleichweit 
15  entfernte  Punkte  der  Ekliptik  auf  beiden  Seiten  des  Meri- 
dians gleichviel  Zeitgrade  abgrenzen,  der  eine  östlich,  der 
andere  westlich,   so  sind 

1.  die  vom  Zenit  bis  zu  diesen 
Punkten  reichenden  Bogen  der 
größten  Kreise  einander  gleich, 
und  ist 

2.  die  Summe  der  an  diesen 
Punkten  gebildeten  Winkel,deren 
Definition  wir  (S.  102,  4)  mit- 
geteilt haben,  gleich  2  Rechten. 

Es  sei  ABT  ein  Stück  des 
Meridians,  auf  welchem  B  als 
der  Zenit    und    V   als   der  Pol 


20 


26 


a)  D.  i.  der  Zenitabstand  des  Schnittpunktes  als  Ergänzung 
seiner  Höhe  zu  90^. 


Winkel  der  Ekliptik  mit  Höhenkreisen.  ]  13 

des  Äquators  angenommen  sei.  Nun  ziehe  man  die  beiden 
Ekliptikstücke  AAE  und  AZH  in  der  Lage,  daß  die  «ei  i6i 
Punkte  A  und  Z  von  demselben  Wendepunkt  gleichweit  ent- 
fernt sind  und  gleichgroße  Bogen  des  durch  sie  gehenden 
Parallelkreises  beiderseits  des  Meridians  abgrenzen.  Als  5 
Bogen  größter  Kreise  ziehe  man  ferner  durch  A  und  Z 
vom  Pol  r  des  Äquators  aus  die  Bogen  TA  und  VZ,  und 
vom  Zenit  B  aus  die  Bogen  BA  und  BZ.  Meine  Be- 
hauptung geht  dahin,  daß 

1.  ö  BA  =  6BZ;  10 

2.  <^BAE-f-<^BZA  =  ^je. 

Beweis  der  ersten  Behauptung.    Weil  die  Punkte  A  und  Z 
gleichgroße  Bogen  des  durch  sie  gehenden  Parallelkreises 
von    dem    Meridian    ABT    entfernt    sind,    so   ist   <^BrA 
gleich  <^  BfZ.^)  Es  haben  also  die  beiden  sphärischen  Drei-  15 
ecke  B  TA  und  B  FZ  zwei   einander   entsprechende  Seiten  Ha  125 
gleich  —  rA  =  rZ  (nach  Annahme)  und  Bf  ist  gemein- 
sam —  sowie  den  von  den  gleichen  Seiten  eingeschlossenen 
Winkel  —  «^  B  TA  =  ^  B  FZ  —  folglich  werden  sie  auch 
die    Grundlinien    BA    und    BZ    gleich   haben,    soAvie    die  20 
Winkel  BZr  und  BAT. 

Beweis  der  zweiten  Behauptung.     Kurz  vorher  (Satz  B  Hei  162 
S.  103,6)  wurde  nachgewiesen,  daß  die  Summe  der  beiden 
Winkel,  welche  in  den  von  demselben  Wendepunkt  gleich- 
weit entfernten  Punkten  (der  Ekliptik)  mit  dem  durch  die  Pole  25 
des  Äquators  gehenden  (Meridian-)  Kreis  gebildet  werden, 
gleich  zwei  Rechten  ist.     Demnach  ist 

(<^rAE  =  <^BAE-<^BAr 
<^rZA  =  <^BZA-}-<^BZr)  30 
'^BAr  =  <^BZr,   wie  (Z.  2l) 

(<^  r A E  -h  <^  rz A  =  <^  B  AE  -f-  <^  BZ A)   [bewiesen. 
Folgl.auch<^BAE-}-<^BZA  =  5E,  (s.  oben  Z.  28) 
was  zu  beweisen  war. 


a)  In  dem  gleichschenkligen  sphärischen  Dreieck  Z  PA  wird 
der  Winkel  an  der  Spitze  durch  den  Meridian  TA  halbiert. 

Ptoleraäus.  übers    v.  Manitius.    I  Q 


114 


Zweites  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 


B.  Wenn    dieselben   Punkte    der   Ekliptik    beiderseits 
vom  Meridian  gleichviel  Zeitgrade  entfernt  sind,  so  sind 
1.  die  vom  Zenit  nach  diesen  Punkten  gezogenen 
Bogen  größter  Kreise  einander  gleich,  und 
5  2.  die  von  diesen  Bogen  gebildeten  Winkel,  d.  h.  der 

Östlich  und  der  westlich  (des  Meridians)  liegende,  in  Summa 
gleich  den  beiden  Winkeln,  welche  in  denselben  Punkten 
von  dem  Meridian  gebildet  werden. 

Erste  Annahme.  Die  den  Meridian  passierenden  Punkte 
10  (der  Ekliptik)  sollen  in  jeder  der  beiden  Lagen  (d.  i.  öst- 
lich wie  westlich  des  Meridians)  entweder  beide  nördlich, 
oder  beide  südlich  des  Zenits  liegen. 

a)  Beide  Punkte  sollen  südlich  des  Zenits  liegen. 

Es  sei  AB  TA  ein  Stück   des  Meridians;  auf  demselben 

Hei  163  sei  r  der  Zenit  und  A  der  Pol  des  Äquators.     Nun  ziehe 

Ha  126  man    die    beiden   Ekliptikstücke  AEZ    und  BH0    in  der 

17  Lage,  daß  die  als  identisch  angenommenen  Punkte  E  und 

H  beiderseits  vom  Meridian 
A  B  TA  den  gleichgroßen 
Bogen  des  durch  sie  gehen- 
den Parallelkreises  entfernt 
sind.  Ferner  ziehe  man  durch 
diese  Punkte  als  Bogen 
größter  Kreise  von  f  aus 
25         .„//   ^.-^^  \\  p  ^2  die  Bogen  FE,  PH,  und  von 

A  aus  die  Bogen  AE,  AH. 
(Meine  erste  Behauptung  ist : 
6rE  =  6rH.) 
Beweis.     Aus  denselben  Gründen  wie   oben  (S.  113,12), 
30  weil  die  Punkte  E  und  H  denselben  Parallelkreis  beschreibend, 
beiderseits  des  Meridians  gleichgroße  Bogen  dieses  Parallels 
verursachen,  ist  das  sphärische  Dreieck  FAE  gleichseitig 
und  gleichwinklig  mit  dem  sphärischen  Dreieck  TAH ;  folg- 
lich sind  auch  die  Grundlinien  FE  und  FH  gleich. 
35       Meine  (zweite)  Behauptung  geht  dahin,  daß 

<^rEZ  +  LrHB  =  2<^AEZ  oder2^AHB. 


Winkel  der  Ekliptik  mit  Höhenkreisen. 


115 


Beweis.     Es  ist  zunächst  als  derselbe  Winkel 

<^AEZ  =  '^AHB 
(<^AHB=^rHB  +^AHr) 

<irEA=<iAHr  (in  kongr.  Dreiecken) 

<^EZ  =  <^  THB  +  <^  TEA"  Hei 

(<^rHB=<^AEZ-<^rEA  6 

<^  rEZ  =  <^AEZ  +  <^rEA) 

<^rEZ  +  ^rHB  =  {^^^EZ|   (s.^benZ.2) 
was  zu  beweisen  war. 

b)  Man  ziehe  wieder  dieselben  Stücke  der  betreffenden  lo 
Kreise,  jedoch  so,  daß  A 
und  B  nördlich  von  f  zu 
liegen  kommen.  Meine  Be- 
hauptung geht  dahin,  daß 
auch  in  dieser  Lage  derselbe 
Fall  eintreten  wird,  d.  h.  daß 
<^KEZ-f  <^AHB  =  2<^AEZ. 

Beweis.     Es  ist    als  der- 
selbe Winkel  wieder 

<^AHB  =  ^AEZ  ^  20 

<^AHA  =  <^AEK  (als  Nebenw.  gleicher  Winkel) 
(<^AHB  +  ^"AHA  =  ^AEZ  +  <^AEK) 
<^AHB  =<^AEZ4-<^AEK 

(<^KEZ  =^AEZ-^AEK) 


15 


Ha  121 


«^KEZ  +  <^AHB  =  2<^AEZ 
Zweite  Annahme. 
(Es  soll  der  eine  Punkt 
südlich,  der  andere 
nördlich  des  Zenits  zu 
liegen  kommen.) 

a)  Es  sei  wieder  die 
ähnliche  Figur  gegeben, 
jedoch  so,  daß  der  kulmi- 
nierende Punkt  des  öst- 
lichen Stückes,  d.  i.  A, 
südlich  des  Zenits  f,  und 


was  zu  beweisen  war. 


25 


30 


35 


116 


Zweites  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 


Hei  165  der  kulminierende  Punkt  des  westlichen  Stückes,  d.  i.  B, 
nördlich  desselben  liege.     Meine  Behauptung  lautet: 
<^rEZ  -f-  <^AHB  =  2<^AEZ-f  ^jR. 

Beweis.     <^  AHr  + <^  AHA  =  ^iJ 
5  <^AHr  =  <^AEr  (S.  103,22) 

<^AEr  +  ^AHA  =  ^ii 
<^AEZ-|-<^AHB  =  ^<^AEZ(s.  S.  115,20) 
(<^AEr+<^AEZ4-<^AHA-f  <^AHB  =  5ii+2<^AEZ) 
^  TEZ  +  <^AHB  =2<^AEZ  +  ^i?, 

was  zu  beweisen  war. 

b)  Es  bleibt  noch  der 
letzte  Fall  übrig,  daß  an 
der  ähnlichen  Figur  der 
kulminierende  Punkt  des 
östlichen  Stückes,  d. i. A, 
nördlich  von  f  liege,  und 
der  kulminierende  Punkt 
^  des  westlichen  Stückes, 
d.  i.  B,  südlich  davon. 
Meine  Behauptung  geht 
dahin,  daß 

<^  K  EZ  +  <^  TH B  =  2  .^  AEZ  -  ^2?. 

Beweis.     {<^  KEZ  =  <^  AEZ- <^  AEK 
<^rHB==<^AHB-<^AHr) 

<^KEZ  +  <^rHB=^AEZ  +  <^AHB-[<^AEK+AHn 
<^AEK  +  «^  AEr  =  .2J2 
<^AEr  =  <^AHr 

<^AEZ  +  .^AHB  =  2<AEZ   (S.  115,20) 


25 


30  (<^AEZ  +  <^AHB-[^AEK+<^AHr]-2<^AEZ-^i?) 
Folgl.  (s.  Z.  25)  auch  <^  KEZ -f  <^  r  H  B  =  2  «^  A  E  Z  -  .5  i? , 

was  zu  beweisen  war. 


Winkel  der  Ekliptik  mit  Höhenkreisen.  117 

Daß  von  den  Winkeln  und  Bogen,  welche  von  der  Ekliptik 
mit  dem  durch  den  Zenit  gehenden  größten  (Höhen-)  Kreis 
in  der  von  uns  (S.  112,  4)  bezeichneten  Weise  gebildet 
werden,  sowohl  die  im  Meridian  als  auch  die  im  Horizont 
gebildeten  bequem  bestimmt  werden  können,  dürfte  auf  5 
folgendem  Wege  ohne  weiteres  klar  werden. 

Wir  beschreiben  den  Kreis  AB  TA  als  Meridian,    BEA 
als   einen   Halbkreis    des  Horizonts    und   ZEH    als    einen  Hei  i6 
solchen  der  Ekliptik  in  irgendeiner  beliebigen  Lage. 

1.  Denken  wir  uns  zunächst  durch  den  kulminierenden  10 
Punkt  Z    der  Ekliptik  den   durch   den   Zenit  A    gehenden 
größten  (Höhen-)  Kreis,  so  wird  derselbe  mit  dem  Meridian 

AB  TA  zusammenfallen,   und  ohne  weiteres  wird   uns  ge-  Ha  12 
geben  sein 

a)  -^  AZE,  weil  Punkt  Z  und  z_    4^  15 
der  im  Meridian  in  diesem  Punkte 
gebildete  Winkel  (S.  104,  23)    be- 
stimmt werden  kann; 

b)  Bogen  AZ,  weil  wir  (aus 
der  Tabelle  der  Schiefe)  wissen,  \  ^|\  /  20 
wieviel  Grade  Z  auf  dem  Meri- 
dian vom  Äquator,  und  (aus  der 
Polhöhe)  wieviel  Grade  der  Äquator 
vom  Zenit  A  Abstand  hat.*) 

2.  Denken  wir  uns  ferner  durch  den  aufgehenden  Punkt  E  25 
des  Halbkreises  der  Ekliptik  den  durch  A  gehenden  größten 
(Höhen-)  Kreis  AEf,  so  ist  auch  hier  ohne  weiteres  klar: 

a)  Bogen  A  E  wird  immer  gleich  einem  Quadranten  sein, 
weil  A  Pol  des  Horizonts  ist; 

b)  <^  A  E  H  wird,  weil  aus  dem  eben  angegebenen  Grunde  30 
<^AEA  stets  ein  Rechter  und  <^AEH  als  der  von  der 
Ekliptik  mit  dem  Horizont  gebildete  Winkel  (vgl.  S.  109,  33) 

a)  Bogen  AZ  ist  gleich  dem  Zenitabstand  des  Äquators  {d,  i. 
gleich  der  Polhöhe)  plus  oder  minus  der  Deklination  des  kul- 
minierenden Ekliptikgrades,  je  nachdem  Z  südlich  oder  nörd- 
lich des  Äquators  liegt.     Vgl.  S.  44  Anm.  »), 


118 


Zweites  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 


gegeben  ist,  mit  der  Summe  von  •^AEA  +  '^AEH  ge- 
geben sein,  was  nachzuweisen  war. 
Hei  168      Es  leuchtet  daher  ein,  daß  wir  unter  diesen  Umständen, 
wenn  wir  für  jede  geographische  Breite  nur  die  vor  (d.  i. 
5  östlich  von)  dem  Meridian  liegenden  Winkel  und  Bogen,  und 
zwar   nur   die   der  Zeichen   vom   Anfang   des  Krebses   bis 
zum  Anfang  des  Steinbocks  berechnet  haben,    gleichzeitig 
mit  nachgewiesen  haben  erstens  (als  die  Supplementwinkel) 
die  jenseits  (d.  i.  westlich)  des  Meridians  liegenden  Winkel 
10  und  Bogen  dieser  Zeichen  (Satz  A    S.  112,  14),  und  außer- 
dem zweitens  (Satz  B    S.  114,  l)   die  Winkel  und  Bogen 
der   übrigen    Zeichen,    und   zwar   sowohl   die   vor   dem 
Meridian  als  auch  die  jenseits  liegenden. 

Damit  auch  bei  diesen  Winkeln  und  Bogen  das  für  jede 
16  Lage  einzuschlagende  Verfahren  verständlich  werde,  wollen 
wir  als  Beispiel  wieder  den  Beweis,  der  als  allgemeingültig  an- 
gesehen werden  soll,  für  einen  theoretischen  Fall  durchführen. 
Wir  setzen  hierbei  für  die  wiederholt  zugrunde  gelegte 
Ha  130  geographische  Breite,  für  welche  die  Polhöhe  36^  beträgt, 
20  den  Fall,  daß  der  Anfang  des  Krebses  beispielshalber  eine 
Äquinoktialstunde    vom    Meridian    östlich    entfernt    sei. 
Für    diesen    Stand    kulminiert    (S.  99,    1?)    auf    dem    an- 
genommenen Parallel  der  Punkt  TT 
16^12',  während  im  Aufgang  be- 
griffen  ist   (S.  99,  5)    der   Punkt 
lip  17^37'. 

Es    sei   der   Kreis   AB  TA    der 
Meridian,  BEA  ein  Halbkreis  des 
Horizonts    und   ZH0    ein   solcher 
der    Ekliptik    in    der    Lage,    daß 
Punkt  H  der  Anfang  des  Krebses 
ist,    Z  den  Punkt  TT  16^12'  ein- 
nimmt und  0  den  Punkt  Vt])  17^37'.    Nun  ziehe  man  durch 
den  Zenit  A  und  durch  H,  den  Anfang  des  Krebses,   den 
35  Bogen  AH  ET  eines  größten  (Höhen-)  Kreises. 

1.  Es  sei  die  Aufgabe  gestellt,  den  Bogen  AH  zu  finden. 
Es  leuchtet  ein,  daß  folgende  Größen  gegeben  sind: 


25 


30 


Hei  169 


Winkel  der  Ekliptik  mit  Höhenkreiaen. 


119 


6Z0  =  91«25';  (d.i.  13°48'n  +  0+  ^  +  17<>37' ttp) 

&H0  =  77«37';  (d.i.  G+  Q  +17ö37'Tip) 

6  AZ  =  12°53'  (d.  i.  36<>-23"7'),  weil  die  Deklination 
von  TT  16^2'  23^7'*)  und  der  Zenit- 
abstand des  Äquators  36*^  beträgt; 

6ZB  =  77®7'    als  Komplementbogen  dazu. 

Wenn  diese  Größen   gegeben   sind,   so   gilt  wieder,   wie 
die  Figur  zeigt,  (Satz  B  S.  51,  l) 

sSbZB  _s2bZe    s2bHE 
s2bBA  ~~  sJbBH  '  s2b£^ 

Nun  ist    5&ZB  =  154'^14',     also  s56ZB  =  116^  59'; 
2bB^  =  180  ^ 
2bZe  ==  182''50', 
2beH  =  155«  14', 


also  s 2b ZB 
also  s2bBA  =  120^; 
also  s2bZe=  119^58'; 
also  s2beH  =  117^12'. 


Ha  131 


10 
Hei  170 


119^  58' 
Bringen    wir   also auf    die     andere    Seite    der 

°  -t-tnV  -taf 


117^12 
Gleichung,  so  erhalten  wir 

s2bE^~      120  P 
Nun  ist  s56EA  =  120P, 


15 


aus 


116^59'  .  117^12 


Pl2'\ 


V  I20P     •119*' 58 

(also  ^6EA  =  180°) 
folglich  s2bHE  =  lU^  16',  also  56H E  =  144»  26'  u.  5HE  =  72n3'. 

Mithin  beträgt   der  Bogen  AH  als  Differenz  der  Bogen 
EA  und  HE  (90^-72^3'  =)  I7O47',  was  nachzuweisen  20 
war. 

2.  Den  -^AH0  werden  wir  auf 
folgendem  Wege  finden. 

Vorgelegt  sei  die  schon  beschrie- 
bene Figur.  Um  H  als  Pol  beschrei- 
ben wir  mit  der  Seite  des  Quadrats  ß 
als  Abstand  den  Bogen  KAM  eines 
größten  Kreises.  Infolgedessen  wird, 
weil  der  (Höhen-)  Kreis  AHE  so- 
wohl durch  die  Pole  von  E  0  M,  als 

a)  S.  die  Tabelle  der  Schiefe  zum  76.  Grad  der  Ekliptik. 


25 


30 


120  Zweites  Buch.     Zwölftes  Kapitel 

auch  durch  die  von  KAM  geht,  jeder  der  beiden  Bogen  (vgl. 
S.  104,  3)  EM  und  KM  gleich  einem  Quadranten.     Es  gilt 
Hei  171  wieder,  wie  die  Figur  zeigt,  (Satz  A  S.  49,  3l) 


Hu  132 


s2bHE  _s2bHe     s2bAN\ 
sWEK  ~  sWQA  '  s2bN\K 


5       Nun  ist     ^fcHE  =  144°26',a)  also  s<8fe  HE  =  lU^  16'; 

2b  EK=    35^34',  alsos^5EK=    36^38'; 

2bHe  =  155<>14',^)  also  s2bHQ=  117^12'; 

2beA=    24»46',  &ho  s2beA=    25^44'. 

117^12' 

Bringen  wir  also  auf  die  andere  Seite  der  Glei- 

25^44' 

10  chung,  so  erhalten  wir 

S-26AM        82^11'    /  114^16'-  25P 44' 


5-26  MK  120P 


'    /  114^16'-  25P44'\ 

-     aus  

V  36^38'-  II7P12'/ 


Nun  ist  s^6MK  =  120P,      (also,2&MK  =  180<') 

folglich  s2bAN\=   82^11',  also  <2& AM  =  86^28' u.  6  AM  =  43M4'. 

Mithin  ist  der  Bogen  AK  (als  Differenz  des  Quadranten 
15  MK  und  des  Bogens  AM  gleich  90®  —  43^4')  und  somit 
auch  -^  AHK  gleich  46^^46';  folglich  beträgt  der  -^  AH0 
als  Nebenwinkel  dazu  133^14',  was  nachzuweisen  war. 

Hei  172  Das  Verfahren,  durch  welches  wir  vorstehende  Ergebnisse 
gefunden  haben,  bleibt  auch  für  die  übrigen  Fälle  ganz  das- 
20  selbe.  Um  nun  auch  die  anderen  Winkel  und  Bogen,  soweit 
wir  sie  bei  unseren  Spezialuntersuchungen  voraussichtlich 
notwendig  brauchen  werden,  bequem  zur  Hand  zu  haben, 
sind  auch  diese  auf  dem  Wege  linearer  Konstruktion  be- 
rechnet  worden.    Den  Anfang  haben  wir  mit  dem  Parallel 

Ha  133  durch  Meroe  gemacht,  auf  welchem  der  längste  Tag  13  Äqui- 

26  noktialstunden  hat,  und  sind  gegangen  bis  zu  dem  Parallel, 

der  jenseits  des  Pontus  durch  die  Mündungen  des  Borysthenes 


a)  D.  i.  2.  72 »13'  (s.  6HE  S.  119,  is). 

b)  D.  i   2.  77  •>  37 '  (s.  fe  H  0  S.  119,  2). 


Zweites  Buch.     Dreizehntes  Kapitel.  121 

geht,  wo  der  längste  Tag  16  Äquinoktialstunden  hat.  Wie 
schon  bei  den  Aufgängen,  haben  wir  bei  Bestimmung  der 
geographischen  Breite  von  Parallel  zu  Parallel  wieder  die 
Zunahme  um  je  eine  halbe  Stunde  zur  Anwendung  gebracht, 
bei  Ansetzung  der  Ekliptikbogen  die  Zunahme  von  Zeichen  5 
zu  Zeichen,  endlich  bei  Angabe  der  Lagen  östlich  oder  westlich 
des  Meridians  die  Zunahme  um  je  eine  Aquinoktialstunde. 

Auch  die  Mitteilung  dieser  Größenbeträge  werden  wir  für 
jede  geographische  Breite  und  jedes  Zeichen  in  Tabellenform 
bieten.    In  die  erste  Spalte  (jeder  Einzeltabelle)  setzen  wir  lo 
zur  Angabe  der  Abstände  beiderseits  des  Meridians  die  Zahl 
der  Äquinoktialstunden^  welche  nach  (oder  vor)  dem  Stande 
im  Meridian   selbst*^  verflossen   sind,  in   die   zweite  Spalte 
die  Größenbeträge  der,  wie  (S.  112,  18)    gesagt,  vom  Zenit 
bis  zum  Anfang  des  betreffenden  Zeichens  reichenden  Bogen,  15 
in   die   dritte   und   vierte   die   Größenbeträge   der  Winkel, 
welche  an  dem  eben  bezeichneten  Schnittpunkt  in  der  von  Hei  173 
uns  (S.  112,  3)  definierten  Weise  gebildet  werden,  und  zwar 
stehen  in  der  dritten  Spalte  die  Winkel  der  Lagen  öst- 
lich, in  der  vierten  die  Winkel  der  Lagen   westlich  des  20 
Meridians. 

Erinnert  sei  an  die  eingangs  (S.  102,  4)  gegebene  De- 
finition, daß  wir  von  den  zwei  mit  dem  östlichen  Ekliptik- 
bogen gebildeten  Winkeln  stets  den  nördlich  eben  dieses 
Bogens  gelegenen  herangezogen  und  seinen  Größenbetrag  25 
in  solchen  Graden  angesetzt  haben,  wie  90  auf  einen  Rechten 
kommen. 

Dreizehntes  Kapitel. 

Die  Tabellen  der  Winkel  und  Bogen 
von  Parallel  zu  Parallel 


gestalten  sich  folgendermaßen. 

(S.  112—128.) 

a)  Derselbe  ist  in  den  Tabellen  mit  0^  bezeichnet. 


Ha  1.84 
Hei  174 


122 


Zweites  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 
L  Meroe. 


Längster  Tag:  13^.     Polhöhe: 

16<'27 

1 

Staod« 

Bogen 

Östl.  IWestl. 
Winkel 

nande 

Bogen 

Östl.  IWeatl. 
Winkel 

Stande 

Bogen 

östl.  jwestl. 
Winkel 

Krebs 

Skorpion 

Fische 

-. --     -    1 

Oh 

1 
2 

7»  24' 
15   55 
29     3 

90«   0' 

25  16 

9  15 

154» 44' 
170  45 

Oh 

2 

28»    7' 
31   46 
40   52 

111»  0' 
139    0 
157  59 

1 

83»   0' 
64     1 

Oh 

28»    7' 
31  46 
40   52 

69»  0' 

97     0 

115  59 

41»   0' 
22     1 

S 
4 
5 

42   42 
56   25 
70     2 

1  38 
175     7 
170  18 

178  22 
4  53 
9  42 

3 

4 
5 

58   30 
65   40 

79   18 

169  23 

176  41 

1  41 

52  37 
45  19 
40  19 

3 

4 
5 

52   30 
65   40 
79   18 

127  23 
134  41 
139  41 

10  37 

3  19 

178  19 

6 

6h  30m 

83   27 
90     0 

164  41 
161  57 

15  19 
18     3 

5h  46m 

90     0 

4     9 

37  51 

5h  46m 

90     0 

142     9 

175  51 

Löwe 

Schütze 

Widder 

Oh 

1 
2 

4»    3' 
14   20 
28   42 

102»  30' 
26     3 
15  28 

178» 57' 
9  32 

Oh 

1 
2 

86»  57' 
39   46 
47    15 

102» 30' 
125  12 
143     5 

79»  48' 
61  55 

Oh 

1 
2 

16»  27' 
22     8 
33   50 

66»   9' 
107  11 
125  35 

25»   7' 
6  43 

3 

4 
5 

42   43 
56   49 
70   38 

10     5 
6  19 
2  33 

14  55 
18  41 

22  27 

3 

4 
5 

57   33 
69   80 

82    18 

156     3 
164  48 
171  43 

48  57 
40  12 
33  17 

3 
4 

5 

47   20 
61   22 
75   39 

133  41 
137  26 
139  27 

178  37 
174  52 
172  51 

6 

6h  25m 

84   17 
90     0 

177     0 
174  51 

28     0 
30     9 

6h  35m 

90     0 

174  51 

30     9 

6 

90     0 

139  42 

172  36 

Jungfrau 

Steinbock 

Stier 

Oh 

1 

2 

4047' 
15   20 
29   28 

1110  0' 
0     0 
8     0 

42»  0' 
34    0 

Oh 

1 
2 

40»  18' 
42  54 
49   58 

90»  0' 
111  24 
128  51 

68» 36' 
51     9 

Oh 

1 
2 

4»  47' 
15   20 
29   28 

69»  0' 
138     0 
146     0 

180«  0' 
172     0 

3 

4 
5 

43   40 
58    13 
72    36 

9  15 
8  39 
6  53 

32  45 

33  21 

35     7 

3 
4 

5 

59   35 
71     4 
83   31 

141  49 
151  25 

158  48 

38  11 
28  35 
21  12 

3 

4 
5 

43   40 

58   13 

72   36 

147  15 
146  39 
144  53 

170  45 

171  21 
173     7 

6 
6h  14m 

86  41 
90     0 

5  37 
4     9 

36  23 

37  51 

5h30m 

90     0 

161  57 

18     3 

6 
6h  14m 

86   41 
90     0 

143  37 
142     9 

174  23 

175  51 

Wage 

Wassermann 

Zwillinge 

Oh 
1 

2 

16°  27' 
22      8 
33    50 

113»  51' 
154  53 
173  17 

72»49' 
54  25 

Oh 

1 
2 

36»  57' 
89   46 
47    15 

77»80' 
100  12 
118     5 

54» 48' 
36  55 

Oh 

1 
2 

4»    3' 
14  20 
28  42 

77»  30' 

1     3 

170  28 

153» 57' 
164  32 

3 
4 
5 

47    20 
61    22 
75   39 

1  23 
5     8 
7     9 

46  19 
42  34 
40  33 

3 

4 
5 

57   38 

69   30 
82   18 

131     3 
139  48 
146  43 

23  57 
15  12 
8  17 

3 

4 

5 

42   43 
56  49 
70   38 

165     5 
161  19 
157  33 

169  55 
173  41 

177  27 

6 

90     0 

7  24 

40  18 

5h  35m 

90     0 

149  51 

5     9 

6 
6h  25m 

84  17 
90     0 

152     0 
149  51 

3     0 
5     9 

Winkeltabellen. 
IL  Soene. 

123 

Längster  Tag:  ISVgii.     Polhöhe 

23«51'. 

ItDBdl 

Bogen 

Ö8tl.  IWestl. 
Winkel 

StuDde 

Bogen 

Östl.  IWestl. 
Winkel 

stunde 

Bogen 

Östl.  jWestl. 
Winkel 

Krebs 

Skorpion 

Fische                j| 

Oh 

1 

2 

0°    0' 
13  43 
27   23 

90<»  0' 
176  15 
173  51 

3045' 
6     9 

Oh 

1 
2 

35»  31' 
38   25 
46     2 

111»   0' 
133  15 

150  18 

88»  45' 
71  42 

Oh 

1 

2 

35»  31' 
38  25 
46     2 

69»   0' 

91  15 

108  18 

46»  45' 
29  42 

18  19 

10  55 

5  30 

8  19 

3 

4 
5 

41   20 
54   27 

67   42 

168  15 
166  51 
162  42 

11  45 
13     9 
17  18 

3 
4 
5 

56   30 
68   31 

81   22 

161  41 
169     5 
174  30 

60  19 
52  55 

47  30 

3 
4 
5 

56   30 
68   31 
81   22 

119  41 
127     5 
132  30 

6 
6h  45ra 

80   36 
90     0 

157  59 
153  46 

22     1 

26  14 

5h  39m 

90     0 

176  41 

45  19 

5h  39m 

90     0 

134  41 

Löwe 

Schütze 

Widder 

Oh 

1 

2 

S 

4 
5 

3»  21' 

14   18 
27    56 

102» 30' 
176     4 
180     0 

28°  56' 
25     0 

Oh 

1 

2 

44»  21' 
46   40 
53     4 

102°  30' 
121  30 
137  16 

83»  30' 
67  44 

Oh 

1 
2 

23»  51' 
27    56 
37    36 

66»    9' 

96  28 

114  31 

35»  50' 

17  47 

41   44 
55   14 
68   43 

179     3 
177  18 
173  40 

25  57 
27  42 
31  20 

3 
4 
5 

62   18 
73   20 
85    23 

149  25 
157  58 
164  46 

55  35 
47     2 
40  14 

3 
4 

5 

49   42 
62  47 
76   20 

124     3 
129  17 
131  21 

8  15 
8     1 
0  57 

6 

6h  38m 

81   52 
90     0 

168  56 
166  53 

36     4 

38     7 

5h  22m 

90     0 

166  53 

38     7 

6 

90     0  |l32  18 

0    0 

Jungfrau 

Steinbock 

Stier 

Oh 

1 
8 

3 
4 
5 

6 
5h  21m 

12«  11' 
18  42 
30   57 

111»  0' 
158  40 
173  44 

63»  20' 
48  16 

Oh 

1 

2 

47»  42' 
49   52 
55   52 

90»   0' 
108     3 
123  31 

71» 57' 
56  29 

Oh 

1 

2 

12»  11' 
18   42 
30   57 

69»  0' 
116  40 
131  44 

21» 20' 
6  16 

1  57 
0     0 
0  45 

44   22 
58      1 
71  43 

178  3 
180     0 

179  15 

43  57 
42     0 
42  45 

3 
4 
5 

64   87 

75   12 
86   54 

135  37 
144  57 
152     0 

44  23 
35     3 

28     0 

3 
4 
5 

44  22 
58     1 
71   43 

136  3 
138     0 

137  15 

85   20 
90     0 

177  39 
176  41 

44  21 

45  19 

5h  15m 

90     0 

153  46 

26  14 

6 
6h  21m 

85   20 
90     0 

135  39 
134  41 

2  21 

3  19 

Wage 

Wassermann 

Zwillinge 

Oh 

1 
i 

23»  51' 
27    56 
37    36 

11S»51' 
144  10 
162  13 

83» 32' 
65  29 

Oh 

1 
2 

44»  21' 
46   40 
53     4 

77»  30' 
96  30 
112  16 

58» 30' 
42  44 

Oh 

1 

2 

3»  21' 
14  18 
27   56 

77»  30' 
151     4 
155    0 

3»  56' 
0     0 

s 

4 
5 

,49   42 
|62  47 

i76   20 

171  45 
176  59 
179     3 

55  57 
50  43 
48  39 

3 

4 
5 

62   18 
73   20 
85   23 

124  25 
132  58 
139  46 

30  35 
22     2 
15  14 

3 

4 
5 

41  44 
55   14 
68  43 

154     3 
152  18 
148  40 

0  57 
2  42 
6  20 

6 

90     0 

1   , 

180     0 

47  42 

5h  23m 

90     0 

141  53 

13     7 

6 
6h  38m 

81   52 
90     0 

143  56 
141  53 

11     4 
13     7 

124 


Zweites  Buch.  '  Dreizehntes  Kapitel. 
III.  Unter -Ägypten. 


Längste 

r  Tag 

:  14li.     Polhöhe: 

30*22'. 

s,...  1 

Bogen 

Östl.   IWestl. 
Winkel 

stunde 

i    Östl.   IWestl. 
Bogen         ,„. '      , 
Winkel 

stunde 

Bogen 

Östl.  1  West 
Winkel 

Krebs 

Skorpion 

Fische 

Oh 

1 
2 

6°  31' 
14  56 
27    23 

90O   0' 
150     0 
159  38 

30«   0' 
20  22 

Oh 

1 

2 

42«    2' 
44   26 
50   58 

111«   0' 
129  32 
144  38 

92«  28' 
77  22 

Oh 

1 

2 

42«    2' 
44  26 
50   58 

69«   0' 

87  32 

102  38 

50«  2 

35  2: 

3 
4 

5 

40   19 
53   14 
65    55 

160  30 
158  51 
156     0 

19  30 
21     9 
24    0 

3 
4 

5 

60   19 
71    20 
83    19 

155  33 
162  56 
167  54 

66  27 
59     4 
54     6 

3 
4 
5 

60   19 
71   20 

83    19 

113  33 
120  56 
125  54 

24  2 

17 

12 

6 

7 

78    15 
90     0 

151  49 

146  28 

28  11 
33  32 

5h  32m 

90     0 

169  55 

52     5 

5h  32m 

90     0 

127  55 

10 

Löwe 

Schütze 

Widder 

Oh 

1 

2 

3 

4 
5 

9°  52' 
16   45 
28  44 

102" 30' 
153  13 
166  22 

51°47' 
38  38 

Oh 

1 

2 

50«  52' 
52   53 
58   27 

102« 30' 
118  39 
132  51 

86«  21' 

72     9 

Oh 

1 

2 

30«  22' 
33   35 
41   39 

66°   9' 

89  50 

106  37 

42°  2 
25  4 

41    31 
54  27 
67    17 

169  26 
169     8 
167     1 

35  34 
35  52 
37  59 

3 
4 
5 

66   44 
76   51 

88     9 

144     1 
152  37 
158  43 

60  59 
52  23 
46  17 

3 
4 
5 

52   25 
64   28 

77      6 

116  28 
122     5 
124  39 

15  5 
10  1 

7  3 

6 
GhSlm 

79  48   163  46 
90     0    159  49 

41  14 
45  11 

5h  9m 

90     0 

159  49 

45  11 

6 

90     0 

125  47 

6  3 

Jungfrau 

Steinbock 

Stier 

Oh 

1 

2 

3 
4 
5 

18"  42' 
23   18 
33   30 

111»  0' 
145  18 
162  25 

76« 42' 
59  35 

Oh 

1 

2 

54«  13' 
56      6 
61   22 

90«   0' 
105  34 
119  23 

74« 26' 
60  37 

Oh 

1 

2 

18«  42' 
23   18 
33   30 

69«   0' 
103  18 
120  25 

34«  4 

17  3 

45   36 
58   21 
71   15 

169  34 
172  10 

172  28 

52  26 
49  50 
49  32 

3 
4 
5 

69    17 
78   59 
90     0 

130  46 
139  30 
146  28 

49  14 
40  30 
33  32 

3 
4 
5 

45   36 
58   21 
71    15 

127  34 
130  10 
130  28 

10  2 

7  5 
7  3 

6 
6h  38m 

84     7 
90     0 

171     5 
169  55 

50  55 
52     5 

6 
6h  28m 

84     7 
90     0 

129     5 
127  55 

8  5 
10 

Wage 

Wassermann 

Zwillinge 

Oh 

1 

2 

30°  22' 
33   35 
41   39 

llS^Sl' 
137  32 
154  19 

90« 10' 
73  23 

Oh 

1 

2 

50«  52' 
52   53 

58   27 

77« 30' 

93  39 

107  51 

61« 21' 
47     9 

Oh 

1 

2 

9«  52' 
16  45 
28  44 

77« 30' 
128  13 
141  22 

26«  4 
13  3 

3 
4 
6 

52   25 
64  28 
77      6 

164  10 
169  47 
172  21 

63  32 
57  55 
55  21 

3 
4 
5 

66   44 
76   51 
88     9 

119     1 
127  37 
133  43 

35  59 
27  23 
21  17 

3 
4 

5 

41   31 
54   27 
67    17 

144  26 
144    8 
142     1 

10  3 
10  5 
12  5 

6 

90     0 

173  29 

54  13 

5h  9m 

90     0 

134  49 

20  11 

6 
6h  51m 

79   48 
90     0 

138  46 
134  49 

16  1 
20  1 

Winkeltabellen. 
IV.  ßhodus. 


Längster  Tag:  14%  ^     Polhöhe:  36^. 

stunde 

1    Östl.  IWestl 
^°8«"        Winkel 

Stunde 

Bogen 

Östl.  IWestl. 
Winkel 

Stande 

Bogen 

Östl.  i  Westl 
Winkel 

Krebs 

Skorpion 

Fische               11 

Oh 

1 

2 

12°    9' 
17   47 
28   22 

90°   0' 
133  14 
147  45 

46°  46' 
32  15 

Oh 

1 

2 

47°  40' 
49   42 
55   26 

111°   0' 
126  50 
140  20 

95°  10' 
81  40 

Oh 

1 
2 

47°  40' 
49   42 
55   26 

69°   0' 
84  50 
98  20 

53°  10' 
39  40 

t 

40   27 
52   36 
64   36 

151  46 
151  52 
149  54 

28  14 
28     8 
30     6 

3 
4 
5 

63   48 
73   55 
85     5 

150  34 
157  51 

162  28 

71  26 
64    9 
59  32 

3 
4 
5 

63   48 
73   55 
85      5 

108  34 
115  51 
120  28 

29  26 
22     9 
17  32 

6 

7h  15m 

76    16 
87    23 
90     0 

146  25 
141  30 
140     1 

33  35 

38  30 

39  59 

5h  25m 

90     0 

164     7 

57  53 

5h  25m 

90     0 

122     7 

15  53 

Löwe 

Schütze 

Widder 

Oh 
2 

15°  30' 
20   20 
30   28 

102° 30' 
139  32 
155  19 

65° 28' 
49  41 

Oh 

1 

2 

56«  30' 
58   14 
63   13 

102° 30' 
116  39 
129  23 

88°21' 
75  37 

Oh 

1 

2 

36°    0' 
38   37 
45   31 

66°   9' 

85  41 

100  41 

46° 37' 
31  37 

3 
4 
5 

42     6 
54   12 
66   17 

160  37 
162  11 

161  5 

44  23 

42  49 

43  55 

3 

4 

4h  56m 

70  41 
80     2 
90     0 

139  47 
147  47 
153  36 

65  13 
57  13 
51  24 

3 
4 
5 

55     6 
66     9 

77   56 

110  27 
116  16 
118  54 

21  51 
16     2 
13  24 

6 

7 

7h  4m 

78     7 

89  27 

90  0 

158  10  1  46  50 
153  39  ;   51  21 
153  36     51  24 

! 

6 

90     0 

120     9 

12     9 

Jungfrau 

Steinbock 

Stier 

Oh 

1 

2 

24«  20' 
27   51 
36   24 

111°   0' 
137  38 
153  59 

84°  22' 
68     1 

Oh 

1 

2 

59°  51' 
61   30 
66   12 

90°   0' 
103  45 
116  10 

76° 15' 
63  50 

Oh 

1 

2 

24°  20' 
27   51 
36   24 

69°   0' 

95  38 

111  59 

42°  22' 
26     1 

3 

4 
5 

47    14 
59     0 
71     5 

162  10 

165  40 

166  34 

59  50 
56  20 
55  26 

3 
4 

4h  45m 

73   22 
82   24 
90     0 

126  36 
134  56 
140     1 

53  24 
45     4 
39  59 

3 
4 
5 

47    14 
59     0 
71     5 

120  10 

123  40 

124  34 

17  50 
14  20 
13  26 

6 
6h  35m 

83     9 
90     0 

165  30 

164     7 

56  30 

57  53 

6 
6h  35m 

83     9 
90     0 

123  30 

122     7 

14  30 

15  53 

Wage 

Wassermann 

Zwillinge 

Oh 

1 

2 

36°    0' 
38   37 
45   31 

113° 51' 
133  23 
148  23 

94° 19' 
79  19 

Oh 

1 

2 

56°  30 
58   14 
63   13 

77° 30' 

91  39 

104  23 

63°  21' 
50  37 

Oh 

1 

2 

15°  30' 
20   20 
30   28 

77° 30' 
114  32 
130  19 

40° 28' 
24  41 

3 
4 

i     5 

55     6 
66     9 

77   56 

158     9 
163  58 
166  36 

69  33 
63  44 
61     6 

3 
4 

4h  56m 

70  41 
80     2 
90     0 

114  47 
122  47 
128  36 

40  13 
32  13 
26  24 

3 
4 
5 

42     6 
54   12 
66   17 

135  37 
137  11 

136  5 

19  23 

17  49 

18  55 

6 

90     0 

167  51 

59  51 

6 

7 
7  h  4m 

78      7 

89  27 

90  0 

133  10 

128  39 
128  36 

21  50 
26  21 
26  24 

126 


Zweites  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 


V 

Hellespont. 

Längster  Tag:  15  .     Polhöhe: 

40«  56 

1 

Stande 

Bogen 

Östl.  jWestL 
Winkel 

stunde 

Bogen 

Östl.  Iwestl. 
Winkel 

Stunde 

Bogen 

Östl.  jWestl 
Winkel 

Krebs 

Skorpion 

Fische 

Oh 

1 

2 

170    5' 
21   18 
30   17 

90«   0' 
122  32 
138  29 

570  28' 
41  31 

Oh 

1 
2 

520  36' 
54  23 
59   25 

1110  0' 
124  46 
136  55 

97014' 
85     5 

Oh 

1 
2 

520  36' 
54   23 
59   25 

690  0' 
82  46 
94  55 

55014 
43     5 

3 
4 
5 

41   37 
52   25 
63   47 

144  18 

145  38 
144  28 

35  42 

34  22 

35  32 

3 
4 
5 

66   58 
76    15 
86   38 

146  24 
153  10 
157  45 

75  36 
68  50 
64  15 

3 
4 
5 

66    58 
76    15 
86   38 

104  24 
111  10 
115  45 

33  36 
26  50 
22  15 

6 

7 
7h  30m 

74  48 
85      9 
90     0 

141  30 
137     5 
134  16 

38  30 
42  55 
45  44 

5h  18m 

90     0 

158  59 

63     1 

5h  18m 

90     0 

116  59 

21     1 

Löwe 

Schütze 

Widder 

Oh 

1 

2 

20O  26' 
24     5 
32   37 

102° 30' 
131     6 

147     0 

73054' 
58     0 

Oh 

1 

2 

610  26' 
63     0 
67   24 

1020 30' 
115     5 
126  29 

89055' 
78  31 

Oh 

1 

2 

40O  56' 
43     8 

49      7 

660   9' 
82  15 
95  56 

50«   3 
36  22 

3 
4 
5 

43     8 
54   19 
65   36 

153  50 
156     5 
155     8 

51  10 

48  55 

49  52 

3 
4 

4h  44m 

74   13 
82  48 
90     0 

136  10 
143  45 
148     6 

68  50 
61  15 
56  54 

3 
4 
5 

57   42 
67    50 
78  45 

105  26 
111     5 
114  17 

26  52 
21  13 
18     1 

6 

7 

7h  16m 

76  46 
87    24 
90     0 

153  24 
149     6 
148     6 

51  36 

55  54 

56  54 

6 

90     0 

115-13 

17     5 

Jungfrau 

Steinbock 

Stier 

Oh 

1 

2 

29°  16' 
32     5 
39   22 

111"   0' 
132  30 
147  30 

89030' 
74  30 

Oh 

1 

2 

640  47' 
66    15 
70   30 

900  0' 

102  27 
113  35 

77033' 
66  25 

Oh 

1 

2 

290  16' 
32     5 
39   22 

690  0' 

90  30 

105  30 

47030 
32  30 

3 
4 

5 

6 
6h  42m 

49     3 
59   50 
71     5 

156     0 

160  7 

161  24 

66     0 
61  53 
60  36 

3 

4 

4h  30m 

77     4 
85   18 
90     0 

122  55 
130  58 
134  16 

57     5 
49     2 
45  44 

3 
4 

5 

49     3 
59   50 
71     5 

114    0 

118  7 

119  24 

24    0 
19  53 
18  36 

82   22 
90     0 

160  40 

158  59 

61  20 
63     1 

6 
6h  42m 

82   22 
90     0 

118  40 
116  59 

19  20 
21     1 

Wage 

Wassermann 

Zwillinge 

Oh 

1 

2 

40»  56' 
43     8 

49     7 

113'»  51' 
129  57 
143  38 

97045 
84    4 

Oh 

1 

2 

610  26' 
63     0 
67    24 

770 30' 

90     5 

101  29 

64055' 
53  31 

Oh 

1 
2 

200  26' 
24     5 
32   37 

770 30' 
106     6 
122     0 

480  54 
33     0 

3 
4 
5 

57   42 
67    50 
78   45 

153     8 
158  47 
161  59 

74  34 
68  55 
65  43 

3 

4 

4h  44m 

74   13 

82  48 
90     0 

111  10 
118  45 
123     6 

43  50 
36  15 
31  54 

3 
4 
5 

43     8 
54   19 
65   36 

128  50 
131     5 
130     8 

26  10 

23  55 

24  52 

6 

90     0 

162  55 

64  47 

6 

7 
7h  16m 

76   46 
87    24 
90     0 

128  24 
124     6 
123     6 

26  36 

30  54 

31  54 

WinkeltabelleQ, 


VL 

Mitte  Pon 

tus. 

stunde 

Längster  Tag:  15 y^^.     Polhöhe 

:   45»1'. 

Bogen 

Östl.  IWestl. 
Winkel 

stunde 

Bogen 

Östl.  jWestl. 
Winkel 

Stunde 

Bogen 

Östl.  Iwestl. 
Winkel 

Krebs 

Skorpion 

Fische 

Oh 

21"  10' 
24  32 
32    12 

90°  0' 
116     5 
131  30 

63" 55' 
48  30 

Oh 

1 

2 

56»  41' 
58   19 
62   49 

111»   0' 
123  31 
134  16 

1 

98» 29' 
87  44 

Oh 

1 

2 

56»  41' 
58   19 
62   49 

69»   0' 
81  31 
92  16 

56» 29' 
45  44 

3 
4 

5 

6 

7 
7h  45>n 

42      1 
52   29 
63     4 

138  17 
140  31 
140     2 

41  43 
39  29 
39  58 

3 
4 
5 

69  42 

78   16 
87    56 

143  12 
149  31 
154     6 

78  48 
72  29 
67  54 

3 
4 
5 

69   42 

78   16 
87    56 

101  12 
107  31 
112     6 

36  48 
30  29 
25  54 

73   24 
83   17 
90     0 

137  32 
133  26 
129  21 

42  28 
46  34 
50  39 

5h  12m 

90     0 

154  43 

67  17 

5h  12m 

90     0 

112  43 

25  17 

Löwe 

Schütze 

Widder 

Oh 
1 

2 

24°  31' 

27    29 
34  48 

102» 30' 
124  49 
140  47 

80« 11' 
64  13 

Oh 

1 

2 

65°  31' 
66   55 
70   58 

102» 30' 
113  50 
124  21 

91» 10' 
80  39 

Oh 

1 

2 

45»    1' 
46    55 
52   17 

66»   9' 
80  37 
92  44 

51»41' 
39  34 

3 
4 
5 

44  20 
54  37 
65   15 

148     5 
151     5 
151     7 

56  55 
53  55 
53  53 

3 

4 

4h  32m 

77    14 
85    10 
90     0 

133  19 
140  20 
143  25 

71  41 
64  40 
61  35 

3 
4 
5 

60      1 
69   19 
79   28 

101  22 
107     6 
110  13 

30  56 
25  12 
22     5 

6 

7 
7h  28m 

75    39 
85    39 
90     0 

149  20 
145  39 
143  25 

55  40 
59  21 
61  35 

6 

90     0 

111     8 

21  10 

Jungfrau 

Steinbock 

Stier 

Oh 

1 

2 

3 
4 
5 

1     6 
6h48ra 

33«  21' 
35   43 
42     4 

111°   0' 
129  15 
142  50 

920  45' 
79  10 

Oh 

1 

2 

68»  52' 
70   14 
74     5 

90»   0' 
101  11 
111  30 

78»  49' 
68  30 

Oh 

1 

2 

33»  21' 
35   43 
42     4 

69»   0' 

87  15 

100  50 

50» 45' 
37  10 

50  46 
60  44 
71    12 

151     9 
155  31 
157     3 

70  51 
66  29 
64  57 

3 

4 
4h  15m 

80     6 
87   42 
90     0 

120  29 

128  13 

129  21 

59  31 
51  47 
50  39 

3 
4 
5 

50  46 
60  44 
71   12 

109     9 
113  31 
115     3 

28  51 
24  29 
22  57 

81   46 
90     0 

156  31 
154  43 

65  29 
67  17 

6 
6h  48m 

81  46 
90     0 

114  31 
112  43 

23  29 
25  17 

Wage 

Wassermann 

Zwillinge 

Oh 

1 

2, 

3 
4 
5 

45°    1' 
46   55 
52   17 

113»51' 
128  19 
140  26 

99° 23' 
87  16 

Oh 

1 

2 

65»  31' 
66   55 
70   58 

77» 30' 
88  50 
99  21 

66» 10' 
55  39 

Oh 

1 

2 

24»  31' 
27    29 
34  48 

77»  30' 
99  49 
115  47 

55» 11' 
39  13 

60     1 
69   19 
79   28 

149     4 
154  48 
157  55 

78  38 
72  54 
69  47 

3 

4 
4h  32m 

77    14 
85    10 
90     0 

108  19 
115  20 
118  25 

46  41 
39  40 
36*35 

3 
4 
5 

44  20 
54   37 
65   15 

123     5 
126     5 

126     7 

31  55 
28  55 
28  53 

6 

90     0 

158  50 

68  52 

6 

7 
7h  28m 

75   39 
85   39 
90     0 

124  20 
120  39 
118  25 

30  40 
34  21 
36  35 

Zweites  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 


Vir 

.  Borysthenes. 

Längster  Tag 

:   16^     Polhöhe: 

48<^32 

stunde 

Bogen 

Östl.    Weatl. 
Winkel 

Stande 

_          !    östl.  iWestl. 

^°^^"i        Winkel 

1 

Stande 

!    Östl.   iWestl. 
^°«^"j        Winkel 

Krebs 

Skorpion 

Fische 

Oh 

1 

2 

24°  41' 
27   30 
34     9 

90°   0' 
111  44 
126     7 

680  16' 
53  53 

Oh 

1 
2 

600  12' 
61   38 
65   36 

lll"   0' 
122     5 
132  10 

99055' 
89  50 

Oh 

1 
2 

60°  12' 
61   38 
65   36 

690  0' 
80     5 
90  10 

57055' 

47  50 

3 
4 
5 

43     2 
52  44 
62  40 

133  18 
136     6 
136     4 

46  42 
43  54 
43  56 

3 
4 
5 

72     5 
80     3 
89      3 

140  26 
146  28 
151     2 

81  34 
75  32 
70  58 

3 
5 

72     5 
80     3 
89     3 

98  26 
104  28 
109     2 

39  24 
33  32 

28  58 

6 

7 
8 

72   24 
81   38 
90     0 

134    0 

130  16 
124  58 

46     0 
49  44 
55     2 

5h  6m 

90     0 

151  22 

70  38 

5h  6m 

90     0 

109  22 

■ 

28  38 

Löwe 

Schütze 

Widder 

Oh 

1 

2 

280    2' 
30   32 
36   55 

102° 30' 
122     9 
135  54 

820  51' 
69     6 

Oh 

1 

2 

690    2' 
70   20 
74     2 

1020 30' 
112  49 
122  31 

920  11' 
82  29 

Oh 
1 

2 

480  32' 
50   21 
54  59 

660   9' 

78  48 
89  58 

53030 
42  20 

3 

t 

45   30 
55     3 
64   59 

143  28 

146  50 

147  19 

61  32 
58  10 
57  41 

3 

4 

4h  20m 

79   48 
87    14 
90     0 

130  49 
137  25 
139  20 

74  11 
67  35 
65  40 

3 
4 
5 

62     5 
70   41 

80     8 

98     4 
103  36 
106  41 

34  14 
28  42 
25  37 

6 

7 
7h  40m 

74  47 
84   10 
90     0 

145  46 
142  27 
139  20 

59  14 
62  33 
65  40 

6 

90     0 

107  37 

24  41 

Jungfrau 

Steinbock 

Stier 

Oh 

1 

2 

36«  52' 
38   56 
44   31 

111»   0' 
126  45 
139     7 

95015' 
82  53 

Oh 

1 
2 

720  23' 
73   38 
77    10 

90O   0' 
100  15 
109  47 

79045' 
70  13 

Oh 

1 
2 

360  52' 
38   56 
44   31 

690   0' 
84  45 

97     7 

530 15' 
40  53 

3 
4 
5 

52   25 
61   35 
71   22 

147     9 
151  36 
153  23 

74  51 
70  24 
68  37 

3 

4 

82  44 
90     0 

118     3 
124  58 

61  57 
55     2 

3 
4 

5 

52   25 
61   35 
71   22 

105     9 

109  36 
111  23 

110  58 
109  22 

32  51 

28  24 
26  37 

6 

6h  54m 

81   17 
90     0 

152  58 
151  22 

69  2 

70  38 

6 

6h  54m 

81   17 
90     0 

27  2 

28  38 

Wage 

Wassermann 

Zwillinge 

Oh 
1 

2 

48°  32' 
50   21 
54   59 

113051' 
126  30 
137  40 

1010 12' 
90     2 

Oh 

1 

2 

690    2' 
70   20 
74     2 

770 30' 

87  49 
97  31 

670  11' 
57  29 

Oh 

1 
2 

280    2' 
30   32 
36   55 

770 30' 

97     9 

110  54 

57051 
44    6 

3 
4 
5 

70  41 
80     8 

145  46 
151  18 
154  23 

81  56 
86  24 
73  19 

3 

4 

41r20m 

79   48 
87    14 
90     0 

105  49 
112  25 
114  20 

49  11 
42  35 
40  40 

3 

4 
5 

45   30 
55     3 
64  59 

118  28 

121  50 

122  19 

36  32 
33  10 
32  41 

6 

90     0 

155  19 

72  23 

6 

7 
7h  40m 

74  47 
84   10 
90     0 

120  46 
117  27 
114  20 

34  14 
37  33 
40  40 

Winkeltabellen.  129 

Nachdem   nun   auch  die  Abhandlung  von   den  Winkeln{g*  JJ 
zum  Abschluß  gebracht  ist,  fehlt  an  den  nötigen  Unterlagen 
nur  noch  die  Feststellung  der  geographischen  Lage  der  nam- 
haftesten Städte  jeder  Provinz  nach  Länge  und  Breite  zur 
Berechnung  der  für  ihren  Horizont  eintretenden  Himmels-    5 
erscheinungen.     Die  Tabelle   mit  den  hierauf  bezüglichen 
Angaben  werden  wir  aber  erst  als  Anhang  eines  besonderen 
geographischen  Werkes  veröffentlichen,  und  zwar  im  engen 
Anschluß   an   die  Forschungen   der  Männer,  die  sich  ganz 
besonders    durch   wissenschaftliche   Leistungen    um    dieses  10 
Gebiet  verdient  gemacht  haben.    Dieses  Verzeichnis  soll  die 
nötigen  Angaben  enthalten,  wieviel  Grade  jede  Stadt  auf 
dem  durch  sie  gehenden  Meridian  Abstand  vom  Äquator  hat, 
und  wieviel  Grade  dieser  Meridian  von  dem  durch  Alexandria 
gezogenen  nach  Osten  oder  Westen  auf  dem  Äquator  ent-  15 
fernt  ist.    Denn  nach  dem  Meridian  von  Alexandria  stellen 
wir*^  die  Zeiträume  fest,   welche  seit  den  Epochen^^   ver- 
jflossen  sind. 

Jetzt  halten  wir  unter  der  Voraussetzung,  daß  die  Lagen 
gegeben   sind,  nur  noch  folgenden   kurzen  Zusatz  für  an-  20 
gezeigt.    Wenn   wir  von   der  für  einen   zugrunde  gelegten 
Ort  genau  festgesetzten  Stunde*'^  aus  feststellen  wollen,  welche 
Stunde  zu  demselben  Zeitpunkt  an  einem  anderen  in  die  Unter- 
suchung einbezogenen  Orte  war,  so  müssen  wir,  wenn  die  durch 
die  betreffenden  Orte  gehenden  Meridiane  verschieden  sind,  25 
feststellen,  wieviel  Raumgrade  beide  Orte,  auf  dem  Äquator 
gemessen,  voneinander  entfernt  sind,  und  welcher  von  beiden 
östlicher  oder  westlicher  gelegen  ist.    Um  ebensoviel  Zeit-  Hei  i8£ 
grade  müssen  wir  dann  die  für  den  zugrunde  gelegten  Ort 


a)  Bei  allen  nach  den  Tafeln  zu  berechnenden  Sonnen-  und 
Mondörtern. 

b)  D.  s.  die  mittleren  Örter  von  Sonne  und  Mond  am  Mittag 
des  1.  Thoth  des  ersten  Jahres  der  Regierung  des  Nabonassar. 
S.  Buch  IIl,  Kap.  7;  Buch  IV,  Kap.  8. 

c)  Daß  Äquinoktial stunden  vor  und  nach  Mittag  oder  Mitter- 
nacht gemeint  sind,  geht  daraus  hervor,  daß  es  sich  um  Ver- 
gleichung  von  Ortszeit  handelt.     S.  erl.  Anm.  1. 

Ptolemäus,  überß.  v  Manitius.  I.  9 


130  Drittes  Buch.    Erstes  Kapitel. 

geltende  Stunde  vermehren  oder  vermindern,  um  die  Stunde 
zu  erhalten,  welche  der  Theorie  nach  zu  demselben  Zeitpunkt 
für  den  in  die  Untersuchung  einbezogenen  Ort  gilt.  Hier- 
bei findet  Addition  statt,  wenn  der  in  die  Untersuchung  ein- 
bezogene Ort  östlicher  liegt,  Subtraktion ,*  wenn  [d]er  [zu- 
grunde gelegte  Ort]  westlicher  liegt.  ^^^ 


Drittes  Buch. 

Vorwort. 
Hei  190/     Nachdem   wir  in   den  vorhergehenden  Büchern   unseres 
Handbuchs  die  mathematischen  Vorkenntnisse  erörtert  haben, 
Hei  191  welche  für  die  Erd-  und  Himmelskunde  unbedingt  erforder- 

10  lieh  sind,  nachdem  wir  ferner  die  Neigung  der  durch  die 
Mitte  des  Tierkreisgürtels  gehenden  Ekliptik  und  die  be- 
sonderen Erscheinungen  besprochen  haben,  welche  an  diesem 
Kreise  bei  Sphaera  recta  und  bei  Sphaera  obliqua  je  nach 
der  geographischen  Breite  zum  Ausdruck  kommen,  halten 

16  wir  es  der  richtigen  Folge  nach  für  geboten,  im  Anschluß 
an  diese  Vorstudien  die  Theorie  der  Sonne  und  des 
Mondes  zu  behandeln  und  die  hinsichtlich  ihrer  Bewegungen 
sich  zeigenden  Begleiterscheinungen  zu  besprechen,  da  für 
keine  der  an  den  Planeten  wahrzunehmenden  Erscheinungen 

20  ohne  die  vorhergehende  Behandlung  dieser  Verhältnisse  eine 

gründliche  Erklärung  gefunden  werden  kann.    Den  Vorrang 

unter  diesen  nächsten  Aufgaben  beansprucht  aber  unseres 

Erachtens  die  Darstellung  der   Sonnenbewegung,  ohne 

Ha  150  welche  wieder  auch  die  Theorie  des  Mondes  in  ihrem  Zu- 

25  sammenhange  unmöglich  zu  verstehen  ist. 

Erstes  Kapitel. 
Die  Länge  des  Jahres. 

Unter  allen  Aufgaben,  welche  die  Theorie  der  Sonne  uns 
stellt,  ist  die  erste,  die  Länge  des  Jahres  zu  finden.  Die 
Meinungsverschiedenheit  und  Unsicherheit,  welche  bei  den 
Alten  über  diesen  Punkt  herrscht,  können   wir  aus  ihren 


Länge  des  Jahres.  131 

Schriften  ersehen,  und  besonders  aus  denen  des  keine  Mühe 
scheuenden  und  wahrheitsliebenden  Forschers  Hipparch, 
Denn  auch  ihm  verursacht  in  hohem  Grade  Unsicherheit  über 
den  fraglichen  Punkt  der  Umstand,  daß  bei  der  an  die  Wenden 
und  Nachtgleichen  geknüpften  scheinbaren  Wiederkehr  die     5 
Länore  des  Jahres  kürzer  befunden   wird  als   der  Zusatz  Hei  192 
eines  Vierteltags  über  volle  365  Tage,  länger  dagegen  bei 
der  auf  die  Fixsterne  theoretisch  bezogenen  Wiederkehr.  Da- 
her kommt  er  auf  die  Vermutung,  daß   auch   der  Fixstern- 
sphäre ein  Fortschritt  von  langer  Zeit  eigen  sei,  und  zwar  10 
eine  Bewegung,  die  sich,  wie  die  der  Wandelsterne,  gegen  die 
Richtung   des  Umschwungs  vollziehe,  der  die  erste   (d.  i. 
tägliche)  Umdrehung  in  Beziehung  zu  dem  durch  die  Pole 
des   Äquators    und  der  Ekliptik    gehenden  (Kolur-)  Kreis 
bewirkt.*^    Daß  dieser  Fortschritt  tatsächlich  vorhanden  ist  15 
und  wie  er  vor  sich  geht,  werden  wir  erst  in  dem  Abschnitt 
von  der  Fixsternwelt  (Buch  VII,  Kap.  2  und  3)   darlegen. 
Denn  auch  die  Theorie  der  Fixsterne  kann  ohne  die  voraus- 
geschickte Belehrung  über  Sonne  und  Mond  unmöglich  einer 
gründlichen  Behandlung  unterzogen  werden.  20 

Was  indes  die  vorliegende  Aufgabe  anbelangt,  so  sind  wir  Ha  151 
der  Meinung,  daß  man  zur  Beurteilung  der  Länge  des  Sonnen- 
jahres keinen  anderen  Punkt  ins  Auge  fassen  dürfe,  als  die 
Wiederkehr  der  Sonne  zu  sich  selbst,  d.  h.  die  Wiederkehr 
mit  Bezug  auf  den  von  ihr  beschriebenen   schiefen   Kreis.  26 
Damit  wollen  wir  sagen,  daß  die  Länge  des  Jahres  zu  de- 
finieren sei  als  die  Zeit,  in  welcher  die  Sonne,  von  einem 
bestimmten  unbeweglichen  Punkte   dieses  Kreises   aus- 
gehend, Grad  für  Grad  weiterschreitend  bis  wieder  zu  dem- 
selben Punkt  gelangt,  wobei  man  als   die   einzigen   eigen-  30 
artigen  Anfangspunkte  einer  solchen  Wiederkehr  die  durch 
die  Wende-    und   Nachtgleichenpunkte    genau   festgelegten 
Punkte  besagten  Kreises  anzunehmen  hat.   Wenn  wir  näm- 
lich mit  Betonung  des  rein  mathematischen  Standpunktes 


a)  Der  Zusammenhang  des  Kolurkreises  mit  der  täglichen 
Umdrehung  wird  S.  23,14  erörtert. 

9* 


132  Drittes  Bucli.     Erstes  Kapitel. 

an  die  Frage  herantreten,  so  werden  wir  erstens  keine  eigen- 
Heii93  artigere  Wiederkehr  finden  als  diejenige,  welche  die  Sonne 
räumlich  sowohl  wie  zeitlich  wieder  in  dieselbe  Stellung 
bringt,  mag  man  theoretisch  diesen  charakteristischen  Punkt 
5  zum  Horizont  oder  zum  Meridian  oder  auch  zu  der  Länge 
von  Tag  und  Nacht  in  Beziehung  setzen,  zweitens  werden 
wir  keine  anderen  Anfangspunkte  auf  dem  durch  die  Mitte 
des  Tierkreisgürtels  gehenden  Kreise  finden,  als  allein  die- 
jenigen, welche  genau  so,  wie  es  dem  tatsächlichen  Verhält- 

10  nis  entspricht,  durch  die  Wende-  und  Nachtgleichenpunkte 
festgelegt  werden.  Aber  auch  wenn  man  die  Eigenartigkeit 
(der  Wiederkehr)  mehr  von  einem  Gesichtspunkt  aus  ins 
Auge  faßt,  den  die  Naturbetrachtung  an  die  Hand  gibt,  so 
wird  man  erstens  keine  vernunftgemäßere  Wiederkehr  finden 

16  als  diejenige,  welche  die  Sonne  von  dem  gleichen  Temperatur- 
zustande der  Luft  bis  wieder  zu  dem  gleichen  bringt,  d.  h. 
von  derselben  Jahreszeit  bis  wieder  zu  derselben,  zweitens 
wird  man  keine  anderen  Anfangspunkte  als  allein  diejenigen 
finden,  an  denen  sich  die  Scheidung  der  Jahreszeiten  be- 

20  sonders  deutlich  bemerkbar  macht.  Hierzu  kommt  noch  die 
Erwägung,  daß  die  theoretisch  auf  die  Fixsterne  bezogene 
Wiederkehr  sowohl  aus  anderen  Gründen  unhaltbar  erscheint, 
als  auch  besonders  deshalb,  weil  die  Theorie  auch  an  der 
Fixsternsphäre  einen  streng  geregelten  Fortschritt  nach  den 
Ha  152  östlichen  Teilen  des  Himmelsgewölbes  feststellt,  unter  diesen 

26  Umständen  könnte  man  ja  ebensogut  sagen,  das  Sonnenjahr 
sei  die  Zeit,  in  welcher  die  Sonne  z.  B.  den  Saturn  oder  irgend- 
einen anderen  Planeten  wieder  einholt.  Das  würde  zu  einer 
ansehnlichen    Zahl    von    grundverschiedenen    Jahreslängen 

30  führen. 

Hiermit  sind  die  Gründe  erschöpft,  aus  denen  wir  es  für 
angezeigt  halten,  nur  in  demjenigen  Zeitraum  die  Länge  des 
Sonnenjahres  zu  erblicken,  welcher  mit  Hilfe  von  zeitlich 
möglichst  weit  auseinanderliegenden  Beobachtungen  als  die 

35  Zwischenzeit  gefunden    wird    (in   welcher  die  Sonne)   von 
Hei  194  einem  Wende-  oder  Nachtgleichenpunkt  bis  wieder  zu  dem- 
selben Wende-  oder  Nachtgleichenpunkt  (gelangt). 


Länge  des  Jahres.  133 

Gewisse  Bedenken  verursacht  indessen  dem  Hipparch  die 
Ungleichheit,  welche  man  selbst  an  der  in  diesem  Sinne 
verstandenen  Wiederkehr  bei  Benutzung  von  zusammen- 
hängenden Beobachtungsreihen  wahrzunehmen  vermeint.  Wir 
werden  jedoch  in  aller  Kürze  darzulegen  versuchen,  daß  diese  6 
vermeintliche  Wahrnehmung  keinerlei  störende  Bedenken  zu 
erregen  braucht.  Überzeugendes  Beweismaterial  dafür,  daß 
diese  Zeiten  nicht  ungleich  sind,  haben  wir  einerseits  aus 
denjenigen  Wenden  und  Nachtgleichen  gewonnen,  welche 
wir  selbst  mit  den  Instrumenten  in  zusammenhängender  Folge  10 
beobachtet  haben  —  wir  finden  nämlich  keinen  wesentlichen 
Unterschied  hinsichtlich  des  Vierteltags,  der  sich  als  Über- 
schuß einstellt,  sondern  nur  in  einzelnen  Fällen  eine  Differenz 
von  einem  Betrage,  wie  er  sich  als  Fehler  infolge  mangel- 
hafter Konstruktion  und  Aufstellung  der  Instrumente  leicht  15 
einstellen  kann  —  anderseits  aber  ziehen  wir  gerade  aus 
den  Berechnungen,  welche  Hipparch  anstellt,  den  nahe- 
liegenden Schluß,  daß  der  Fehler,  der  die  angebliche  Un- 
gleichheit verursacht,  mehr  auf  Rechnung  der  Beobachtungen 
zu  setzen  sei.  20 

Nachdem  er  nämlich  in  der  Schrift  „Von  der  Veränderung 
der  Wende-  und  Nachtgleichenpunkte"  zunächst  die   seines 
Erachtens  genau  und  hintereinander  beobachteten  Sommer- 
und  Winterwenden  mitgeteilt  hat,  gibt  er  selbst  zu,  daß  diesem  Ha  i53 
Material  kein  so  auffälliger  Mangel  an  Übereinstimmung  an-  25 
hafte,  daß  man  um  seinetwillen  eine  gewisse*^  Ungleichheit 
der  Länge  des  Jahres  konstatieren  müßte.   Er  schließt  näm- 
lich diese  Mitteilung  mit  den  Worten:   „Aus  diesen  Beob- 
achtungen geht  deutlich  hervor,  daß  der  Unterschied  der 
Jahreslänge  nur  ganz  geringfügig  ist.  Was  freilich  die  Wenden  Hei  i95 
anbelangt,  so  kann  ich  das  Bedenken  nicht  unterdrücken,  31 
daß  wir  nicht  minder  wie  Archimedes  sowohl  bei  deren  Be- 
obachtung als  auch  bei  der  an  die  Beobachtung  geknüpften 
Berechnung  einen  Fehler  machen,  der  bis  zum  vierten  Teile 


a)  Das  unbedingt  notwendige  xiva  bei  Halma  ist  von  Heiberg 
ohne  Begründung  weggelassen  worden. 


134  Drittes  Buch.    Erstes  Kapitel. 

eines  Tages  gehen  dürfte.  Genau  kann  die  üngleichförmig- 
keit  der  Jahreslänge  aus  den  Beobachtungen  erkannt  werden, 
welche  an  dem  in  Alexandria  in  der  sogenannten  quadratischen 
Halle  angebrachten  Metallring  angestellt  worden  sind;  der- 
6  selbe  läßt  scheinbar  genau  als  den  Nachtgleichentag  den- 
jenigen erkennen,  an  welchem  er  an  seiner  konkaven  Fläche 
erstmalig  von  der  anderen  Seite  belichtet  wird."^^) 

Seine  weiteren  Mitteilungen  erstrecken  sich  auf 

A.  Daten  möglichst  genau  beobachteter  Herbstnacht- 
10  gleichen.    Die  Beobachtungen  wurden  angestellt: 

1.  Im  17*''''  Jahre  der  dritten  Kailippischen  Periode^®) 
am  30.  Mesore  bei  Sonnenuntergang  (27.  Sept.  162  v.  Chr.). 

2.  Drei  Jahre  später  im  20*®''  Jahre  am  ersten  Zusatztage 
(27.  Sept.  159  V.  Chr.)  in  der  Morgenstunde*^  obgleich  der 

15  Eintritt  in   der  Mittagstunde  hätte  erfolgen  sollen,  so  daß 
sich  ein  Fehlbetrag  von  einem  Vierteltag  herausstellte. 

3.  Ein  Jahr  darauf  (also  wieder  am  ersten  Zusatztage) 
im  21*®"  Jahre  (27.  Sept.  158  v.  Chr.)  in  der  sechsten  Stunde 
(d.  i.  Mittags),  was  mit  der  vorhergehenden  Beobachtung  in 

20  Einklang  stand. 

4.  Elf  Jahre  später  im  32*®"  Jahre  zur  Mitternachtstunde 
vom  dritten  auf  den  vierten  Zusatztag  (26/27.  Sept.  147 
V.  Chr.),  obgleich  der  Eintritt  in  der  Morgenstunde  (6^  früh 
am  vierten)  hätte  erfolgen  sollen,  so  daß  sich  wieder  ein  Fehl- 

26  betrag  von  einem  Vierteltag  ergab. 
Hei  196       6.  Ein  Jahr  darauf  im  33*®"  Jahre  am  vierten  Zusatztag 
(27.  Sept.  146  V.  Chr.)  in  der  Morgenstunde  (6^  früh),  was 
mit  der  vorhergehenden  Beobachtung  in  Einklang  stand. 
6.  Drei  Jahre  später  im  36*®"  Jahre  am  vierten  Zusatz- 
Ha  154  tag  (26.  Sept.  143  v.  Chr.)  abends  (6^),  obgleich  der  Eintritt 
31  zur  Mitternachtstunde  hätte  erfolgen  sollen,  so  daß  der  Fehl- 
betrag wieder  nur  den  einen  Vierteltag  ausmachte. 

B.  Daten  gleicherweise  genau  beobachteter  Frühlings- 
nachtgleichen.    Die  Beobachtungen   wurden   angestellt: 

a)  Nur  12«*  später  als  3  Jahre  vorher,  statt  18«*.  Hieraus  geht 
hervor,  daß  unter  Ttgoiag  6  Uhr  früh  (Beginn  des  Nachtgleichen- 
lichttages)  zu  verstehen  ist. 


Länge  des  Jahres.  135 

1.  Im  32*®^  Jahre  der  dritten  Kailippischen  Periode '^^  am 
27.  Mechir  (24.  März  146  v.  Chr.)  in  der  Morgenstunde 
(6^  früh).  Der  Ring  in  Alexandria,  versichert  Hipparch, 
zeigte  aber  auch  um  die  fünfte  Stunde  (d.i.  11^  vorm.)  einen 
auf  beiden  Seiten  gleichbreiten  Lichtstreifen,  so  daß  schließ-  5 
lieh  dieselbe  Gleiche,  verschieden  beobachtet,  um  etwa  fünf 
Stunden  differiert e.^^^  Die  folgenden  Gleichen  bis  zum 
37*®"  Jahre  hätten  allerdings,  wie  er  versichert,  hinsichtlich 
des  den  Vierteltag  betragenden  Überschusses  Übereinstim- 
mung gezeigt.  10 

2.  Elf  Jahre  später  im  43*®"  Jahre  am  2  9.  Mechir  (23.  März 
135  V.  Chr.)  sei  die  Frühlingsnachtgleiche,  sagt  er,  (unmittel- 
bar) nach  der  Mittemacht  auf  den  30*®"  eingetreten,  was 
mit  der  Beobachtung  im  32*®"  Jahre  in  Einklang  gewesen 
sei  und  auch  wieder,  so  versichert  er,  mit  den  in  den  folgen-  15 
den  Jahren  bis  zum  50*®"  Jahre  angestellten  Beobachtungen 
übereinstimme. 

3 .  Im  5  0*®"  Jahre  trat  nämlich  die  Gleiche  am  1 .  Phamenoth 
(23.  März  128  v.  Chr.)  bei  Sonnenuntergang  (6^  abends)  etwa 
1^4  Tag  später  ein  als  im  43*®"  Jahre,  ein  Überschuß,  der  20 
sich  auf  die  sieben  dazwischen  liegenden  Jahre  entsprechend 
verteilt. 

Auch  bei  diesen  Beobachtungen  hat  sich  also  keine  be- 
trächtliche Differenz  herausgestellt,  obgleich  es  nicht  nur  bei  Hei  i97 
den  Beobachtungen   der  Wenden,  sondern   auch  bei  denen  25 
der  Nachtgleichen  wohl  möglich  wäre,  daß  sich  im  Wider- 
spruch mit  den  Beobachtungen  ein  Fehler  sogar  bis  zum 
Betrage  eines  Vierteltags  bemerkbar  machte.     Denn  wenn 
die  Aufstellung  oder  auch  die  Gradteilung  des  Instruments 
nur  um  den   3600*®"  Teil  (d.  i.  um   6  Bogenminuten)   des  30 
durch  die  Pole  des  Äquators  gehenden  (Deklinations-)  Kreises 
von  der  genauen  Lage  oder  Teilung  abweicht,  so  gleicht  die  Ha  i55 
Sonne  eine  fehlerhafte  Deklination  von  diesem  Betrage  in 
den  Schnittpunkten  mit  dem  Äquator  durch  eine  Fortbewegung 
von  Y/  in  Länge  auf  dem  schiefen  Kreise  aus,  so  daß  die  35 
mangelnde  Übereinstimmung  bis  zu  einer  Differenz  von  einem 
Vierteltag  gehen  kann.^^^   Noch  viel  größer  kann  der  Fehle  • 


136  Drittes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

werden  bei  den  Instrumenten,  welche  nicht  für  einmaligen 
Gebrauch  aufgestellt  und  nicht  immer  wdeder  genau  im  Ver- 
gleich zu  den  Beobachtungen  geprüft  werden,  sondern  wer 
weiß  wie  lange  schon  mit  den  darunter  befindlichen  Funda- 
6  menten  zu  dem  Zweck,  ihre  Lage  auf  lange  Zeit  dauernd 
zu  behalten,  festverbunden  sind,  wenn  mit  der  Zeit  an  ihnen 
eine  unbemerkt  gebliebene  seitliche  Verschiebung  eingetreten 
ist,  wie  man  an  den  bei  uns  in  der  Palästra  angebrachten 
Metallringen  beobachten  kann,  welche  scheinbar  ihre  Lage 

10  in  der  Ebene  des  Äquators  einhalten.  Denn  so  bedeutend 
stellt  sich  uns  bei  Beobachtungen  die  Veränderung  ihrer 
Lage  heraus,  besonders  je  größer  und  älter  ein  solcher  Ring 
ist,  daß  ihre  konkaven  Flächen  bisweilen  zweimal  hinter- 
einander bei  derselben  Gleiche  den  (signifikanten)  Wechsel 

15  der  Belichtung  zeigen.^^) 
Hoi  198       Aber  freilich  von  derartigen  Fehlerquellen  will  auch  Hip- 
parch  keine  als  zutreffend  gelten  lassen,  wo  es  sich  um  die 
Vermutung  der  Ungleichheit  der  Jahreslänge  handelt.   Viel- 
mehr will  er  aus  gewissen  Mondfinsternissen  durch  Berechnung 

20  das  Ergebnis  ableiten,  daß  die  Ungleichheit  der  Jahreslänge 

im  theoretischen  Mittel  genommen  keine   größere  Differenz 

als  %  Tag  aufweise.    Das  ist  ein  Betrag,  der  wohl  schon 

eine  Prüfung  verdiente,  wenn  er  wirklich  so  bedeutend  wäre 

Hft  156  und  nicht  an  derHand  desselben  Beweismaterials,  aus  welchem 

26  er  abgeleitet  wird,  auf  theoretischem  Wege  als  ein  gründ- 
licher Irrtum  nachgewiesen  werden  könnte.  Hipparch  be- 
rechnet nämlich  mit  Hilfe  gewisser  Mondfinsternisse,  welche 
in  unmittelbarer  Nähe  von  Fixsternen  beobachtet  worden 
sind*^,  wie  weit  westlich  vom  Herbstpunkt  bei  jeder  Finster- 

30  nis  die  sogenannte  Spika  stehe,  und  meint  auf  diesem  Wege 


a)  Bei  zentralen  Mondfinsternissen,  bei  denen  das  Mondzen- 
trum der  Sonne  diametral  gegenüber  in  der  Ekliptik  steht,  ist 
aus  dem  Sonnenorte  sein  scheinbarer  Ort,  d.  i.  der  von  der 
Parallaxe  beeinflußte,  mit  zweifelloser  Sicherheit  bestimmbar. 
Nur  dann  gibt  der  Mondort  für  die  Ortsbestimmung  nahe- 
stehender Fixsterne  einen  durchaus  zuverlässigen  Ausgangs- 
punkt ab.     Vgl.  Buch  IV,  Kap.  1  am  Ende. 


Länge  des  Jahres.  137 

zu  finden,  daß  sie  zu  seiner  Zeit  bald  ein  Maximum  des  Ab- 
standes  von  672^  bald  ein  Minimum  von  57^°  zeige.    Dar- 
aus zieht  er  den  Schluß,  da  es  ja  nicht  gut  möglich  sei,  daß 
die  Spika  in  so  kurzer  Zeit  eine  so  bedeutende  Ortsverände- 
rung erlitten  habe,  daß  mutmaßlich  die  Sonne,  von  deren    5 
Ort  aus  Hipparch  die  Örter  der  Fixsterne*^  bestimmt,  ihre 
Wiederkehr  nicht  in  gleichlanger  Zeit  bewerkstellige.    Nun 
kann  aber  die  Berechnung  zu  gar  keinem  richtigen  Ergebnis 
führen,  ohne   daß   der  Ort,  den   die  Sonne   zum   Zeitpunkt 
der  Finsternis  inne  hat,  als  sicher  gegeben  angenommen  10 
wird.     Indem  nun  Hipparch  für  diesen   Zweck   bei  jeder 
Finsternis   die  in  jenen  Jahren  von  ihm  selbst  genau  be- 
obachteten Wenden  und  Nachtgleichen  heranzieht,  liefert  er,  Hei  199 
ohne  es  zu  wollen  und  zu  merken,  gerade  hiermit  den  klaren 
Beweis,  daß  bei  der  Vergleichung  der  Jahreslängen  hinsieht-  16 
lieh  des  vierteltägigen  Überschusses  keinerlei  Differenz  her- 
auskommt. 

Diese  Behauptung  soll  durch  ein  Beispiel  erhärtet  werden. 
Aus  der  im  32*®^  Jahre  der  dritten  Kailippischen  Periode 
(146  V.  Chr.)  angestellten  Finsternisbeobachtung,  die  er  zum  20 
Vergleich  vorlegt,  glaubt  er  zu  finden,  daß  die  Spika  6V2^ 
westlich  des  Herbstpunktes  stehe,  während  er  mit  Hilfe  der 
im  43*®^  Jahre  derselben  Periode  (135  v.  Chr.)  angestellten 
Beobachtung^)  diesen  Abstand  nur  zu  5Y4^  findet.  Indem 
er  nun  auch  zu  den  vorliegenden  Berechnungen  die  in  den  25 
betreffenden  Jahren  genau  beobachteten  Frühlingsnacht- 
gleichen (S.  1 35, 1. 11)  heranzieht,  um  mit  derenHilfe  die  Örter  Ba  157 


a)  Natürlich  nicht  unmittelbar,  sondern  durch  Yermittelung 
des  Mondes,  dessen  scheinbare  Elongation  von  dem  genauen 
Ort  der  Sonne   erst  durch  Rechnung  festgestellt  werden  muß. 

b)  Diese  beiden  Finsternisse,  beide  total,  haben  nach  dem 
Finsterniskanon  von  Oppolzer  (Naturw.  Kl.  d.  Kais.  Akad.  d. 
Wies.  Band  85,  2.  Abt.)  am  21.  April  146  v.  Chr.  und  am  21.  März 
135  V.  Chr.  stattgefunden.  Da  bei  der  letzteren  die  Sonne  etwa 
in  X  27  *^  stand,  so  befand  sich  der  Mond  diametral  gegenüber 
in  np  27**  in  großer  Nähe  östlich  der  Spika,  deren  Ort  zu  Hipparchs 
Zeit  (Comm.  p.  196,8)  2  <*  südlich  unter  vp  24«  war.  Die  Ent- 
fernung bei  der  ersten  betrug  dagegen  etwa  32°  östlich. 


138  Drittes  Buch.    Erstes  Kapitel. 

der  Sonne  zur  Zeit  der  Finsternismitten,  von  diesen  aus  weiter 
die  des  Mondes,  und  von  denen  des  Mondes  aus  die  der  Sterne 
zu  erhalten,  gibt  er  an,  daß  die  eine  Gleiche  im  32*®^  Jahre 
am  27.  Mechir  (24.  März  146  v.  Chr.)  in  der  Morgenstunde 
6  (6^  früh)  stattgefunden  habe,  die  andere  im  43*®^  Jahre  am 

29.  Mechir    (unmittelbar)   nach   der   Mitternacht    auf   den 

30.  Mechir  (23/24.  März  135  v.  Chr.)  etwa  2%Tage'^)  später 
als  die  im  32*®^  Jahre,  somit  genau  so  viele  Tage  später,  als 
lediglich   der  vierteltägige  Überschuß  mit  sich  bringt,  der 

10  auf  jedes  der  11  Zwischenjahre  entfällt.  Wenn  nun  einer- 
seits die  Sonne  ihre  nach  den  zugrunde  gelegten  Nachtgleichen 
bemessene  Wiederkehr  weder  in  längerer  noch  in  kürzerer 
Zeit  vollzogen  hat,  als  der  infolge  des  Vierteltags  eintretende 
Überschuß  beträgt,  und  wenn  anderseits  die  Spika  sich  in 
Hei  200  so  Wenigen  Jahren  unmöglich  lV4^  bewegt  haben  kann,  wie 

16  sollte  es  da  nicht  eine  ganz  törichte  Übereilung  sein,  das 
auf  den  zugrunde  gelegten  Argumenten  fußende  (zweifelhafte) 
Rechnungsergebnis  zur  Anfechtung  ebendieser  Argumente 
heranzuziehen,  welche  zu  dem  Ergebnis  verholfen  haben,  und 

20  die  Ursache  einer  so  ganz  unmöglichen  Bewegung  der  Spika 
keinem  anderen  Umstände  zuzuschreiben  als  einzig  und  allein 
den  zugrunde  gelegten  Nachtgleichen,  wo  es  doch  mehr  als 
eine  Ursache  gibt,  die  einen  so  starken  Fehler  im  Gefolge 
haben   könnte?    Heißt  das  nicht,  jene  Nachtgleichen   seien 

25  (an  und  für  sich)  genau  und  doch  wieder  (für  den  vorliegen- 
den Zweck)  nicht  genau  beobachtet  gewesen?  Viel  näher 
dürfte  doch  wohl  die  Möglichkeit  liegen,  daß  entweder  die 
direkt  bei  den  Finsternissen  festgestellten  Abstände  des 
Mondes  von  den  in  nächster  Nähe  stehenden  Sternen  etwas 

30  oberflächlich  abgeschätzt  worden  seien,  oder  daß  die  Berech- 
nungen, sei  es  der  Parallaxen  des  Mondes  zur  Bestimmung 
seiner  scheinbaren  Örter,  sei  es  der  zwischen  Gleiche  und 
Finsternismitte  vor  sich  gegangenen  Sonnenbewegung,  ent- 
weder nicht  richtig  oder  wenigstens  nicht  genau  ausgeführt 

35  worden  seien. 

a)  So  viele  Schalttage  entfallen  auf  11  Jahre  der  christlichen 
Zeitrechnung. 


Länge  des  Jahres.  139 

Freilich  meine  ich,    daß  schon   Hipparch   selbst  tu  der 
gleichen  Erkenntnis  gelangt  sei,  daß  in  derartigen  Ergeh-  Ha  i58 
nissen  kein  stichhaltiger  Grund  erblickt  werden  könne,  der 
Sonne  noch  eine  zweite  Anomalie  zuzuschreiben,  vielmehr 
glaube  ich,  daß  er  lediglich  aus  Wahrheitsliebe  einen  von  5 
den  Umständen  nicht  habe  verschweigen  wollen,  die  manchen 
Beobachter  möglicherweise  zu  einem  Bedenken  führen  konnten. 
Jedenfalls  hat  auch  er  die  Hypothesen  der  Sonne  und  des 
Mondes  unter  der  Voraussetzung  gehandhabt,  daß  es  an  der 
Sonne  nur  eine  einzige  Anomalie  gibt,  welche  ihre  Wieder-  10 
kehr  im  Einklänge  mit  der  nach  den  Wenden  und  Nacht- 
gleichen bemessenen  Jahreslänge  vollzieht.     Auch  machen  Hei  201 
wir  mit  der  Annahme,  daß  die  so  bemessenen  Umläufe  der 
Sonne  gleichlang  seien,    nirgends  in  der  Theorie   die  Er- 
fahrung, daß  die  Finsterniserscheinungen  von  den  auf  die  16 
betreffenden  Hypothesen    gegründeten  Berechnungen  nam- 
haft differieren.    Und  doch  müßte  dies  in  sehr  bemerkbarer 
Weise  der  Fall  sein,  wenn  die  Korrektion  hinsichtlich  der 
(etwaigen)  Ungleichheit  der  Jahreslänge  nicht  mit  in  Be- 
tracht gezogen  würde.     Und  wenn  die  Ungleichheit  auch  20 
nur  einen  Grad  ausmachte,  so  würde  dies  bereits  zu  einer 
Differenz  (mit  der  Finsternisberechnung)  von  ungefähr  zwei 
Aquinoktialstunden*^  führen. 

Aus  all  dem  Mitgeteilten,  sowie  aus  den  Erfahrungen, 
die  wir  selbst  bei  fortgesetzten  eigenen  Beobachtungen  des  25 
Sonnenlaufs  hinsichtlich  der  Zeiten  der  Wiederkehren  machen, 
ergeben  sich  für  uns  zwei  Tatsachen,  erstens:  die  Jahres- 
länge ist  nicht  ungleich,  wenn  sie  auf  einen  Punkt, 
und  nicht  bald  auf  die  Wende-  und  Nachtgleichenpunkte, 
bald  auf  die  Fixsterne  theoretisch  bezogen  wird;  zweitens:  30 
es  gibt  keine  andere  eigenartigere  Wiederkehr  als 
diejenige,  welche  die  Sonne  von  einem  Wende-  oder  Nacht- 
gleichenpunkt oder  auch  von  irgendeinem  anderen  Punkte 

a)  Weil  der  Mond  in  Länge  stündlich  32' 56"  zurücklegt, 
mithin  etwa  zwei  Stunden  brauchen  würde,  um  den  einen 
Grad  bis  zur  Sonne  zurückzulegen,  oder  auch  schon  so  weit 
über  die  Sonne  hinaus  sein  könnte. 


140  Drittes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

der  Ekliptik  wieder  zu  demselben  Punkte  zurückbringt. 
Überhaupt  sind  wir  der  Ansicht,  daß  es  das  richtige  sei, 
Ha  159  die  Erscheinungen  mit  Hilfe  möglichst  einfacher  Hypothesen 
zu  erklären,  insoweit  nicht  aus  den  Beobachtungen  ein  nam- 
5  hafter  Widerspruch  gegen  ein  solches  Vorhaben  sich  gel- 
tend macht. 

Daß  nun  die  theoretisch  nach  den  Wenden  und  Nacht- 
gleichen  bemessene  Jahreslänge   kürzer   ist    als  der  einen 
Hei  202  Vierteltag  betragende  Zusatz  zu  vollen  365  Tagen,  ist  uns 

10  bereits  aus  den  von  Hipparch  geführten  Nachweisen  er- 
sichtlich geworden.  Um  wie  viel  sie  aber  kürzer  ist,  das 
dürfte  mit  absoluter  Sicherheit  zu  bestimmen  unmöglich 
sein;  denn  der  Mehrbetrag  des  Vierteltags  bleibt  wegen 
des  minimalen  Betrags    der  Differenz   auf  eine  Reihe  von 

15  Jahren  für  die  sinnliche  Wahrnehmung  gänzlich  unver- 
ändert, und  es  kann  deshalb  bei  der  auf  längerer  Zwischen- 
zeit beruhenden  Vergleichung  der  gefundene  Überschuß  an 
Tagen,  welcher  auf  die  einzelnen  Jahre  der  Zwischenzeit 
verteilt  werden  muß,  mag  es  sich  um  mehr  oder  weniger 

20  Jahre  handeln,  theoretisch  als  derselbe  betrachtet  werden.*^ 
Aber  wenigstens  ohne  beträchtlichen  Fehler  genau  läßt 
sich  die  also  bemessene  Wiederkehr  bestimmen,  je  länger 
der  Zeitraum  gefunden  wird,  welcher  zwischen  den  zu  ver- 
gleichenden Beobachtungen  liegt.    Dieses  Verfahren  ist  nicht 

25  nur  im  vorliegenden  Falle,  sondern  überhaupt  bei  allen 
periodischen  Wiederkehren  mit  Erfolg  angewendet  worden. 
Denn  der  kleine  Fehler,  welcher  sich  infolge  der  Unzuläng- 
lichkeit der  Beobachtungen  an  sich  selbst  bei  peinlich  ge- 
nauer Handhabung  einstellt,  der,  mögen  sich  die  Erscheinungen 

30  in  langen  oder  kurzen  Pausen  wiederholen,  für  die  auf  sie 
gerichtete  sinnliche  Wahrnehmung  immer  wieder  nahezu 
derselbe  ist,  dieser  Fehler  macht  den  Jahresirrtum  und  so- 
mit den  aus  diesem  je  nach  der  Länge  der  Zeit  sich  summieren- 
den Fehler,  auf  weniger  Jahre  verteilt,  größer,  dagegen 

35  auf  mehr  Jahre  verteilt,   kleiner. 

a)  D.  h.  auf  jedes  Jahr  entfällt  bei  der  Verteilung  der  über- 
schießenden Tage  rund  ein  Vierteltag  über  365  Tage. 


Länge  des  Jahres.  141 

Daher  darf  man  es  für  eine  ausreichende  Leistung  an- 
sehen,   wenn   wir   unserseits  nur   den   Beitrag  zu  liefern  Ha  i60 
versuchen,    welchen  die  (verhältnismäßig  kurze)  Zeit,    die 
zwischen  uns  und  den  uns  erhaltenen  alten  und  zugleich  Hei  203 
genauen   Beobachtungen   liegt,    zum   annähernd  gültigen  5 
Nachweis  der  zur  Bestimmung  der  Umläufe  aufgestellten 
Hypothesen  zu  bieten  vermag,  und  wenn  wir  die  gewissen- 
hafte Prüfung  des  gebotenen  Materials  nicht  gegen  besseres 
Wissen  und  Können  nachlässig  betreiben,  vielmehr  uns  zu 
der  Meinung  bekennen,    daß   prahlerische  Versicherungen,  10 
die  „für  alle  Ewigkeit"  gegeben  werden  und  mit  „schier  un- 
ermeßlichen die  Beobachtungen  umspannenden  Zeiträumen" 
prunken,  mit  Forschungseifer  und  Wahrheitssinn  nichts  ge- 
mein haben. 

Was  zunächst  das  Alter  (der  Beobachtungen)  anbelangt,  15 
so  müßten  eigentlich  die  von  der  Schule  des  Meton  und 
des  Euktemon,  sowie  die  nach  ihnen  von  der  Schule  des 
Aristarch  beobachteten  Sommerwenden  zum  Vergleich 
mit  den  zu  unserer  Zeit  eingetretenen  Wenden  herangezogen 
werden.  Weil  aber  allgemein  die  Beobachtungen  der  Wenden  20 
ihrem  Werte  nach  schwer  zu  beurteilen   und  überdies  die 
von  den  genannten  Beobachtern  überlieferten  Aufzeichnungen 
recht  oberflächlich  gehalten  sind,  wie  es  schon  dem  Hipparch 
den  Eindruck  zu  machen  scheint,   so  haben  wir  dieselben 
beiseite   gelassen.     Benutzt   haben   wir   dagegen    zur  Ver-  25 
gleichung  in   der   vorliegenden   Frage   die   Beobachtungen 
der  Nachtgleichen,   und  zwar  von  diesen  wegen  ihrer 
unbedingten    Genauigkeit   erstens    diejenigen,    welche    von 
Hipparch  ausdrücklich  als  von  ihm  mit  möglichster  Sorg- 
falt angestellt  bezeichnet  werden,  zweitens  diejenigen,  welche  30 
von  uns  selbst  mit  Hilfe  der  im  Eingange  unseres  Hand- 
buchs (S.  41 — 44)  für  solche  Zwecke  erklärten  Instrumente 
unter   ganz    besonderer   Gewähr   der    Sicherheit    angestellt 
worden  sind. 

Aus  diesem  Material  ergibt  sich,  daß  in  nahezu  300  Jahren  35 
die  Wenden  und  Nachtgleichen  einen  Tag  eher  eintreten, 
als  es  der  Rechnung  mit  dem  Überschuß  eines  Vierteltags  Hei  201 


142  Drittes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

über  volle  365  Tage  entspricht.  Im  32**^  Jahre  der  dritten 
Ha  161  Kailippischen  Periode  (147/1 46  v.  Chr.)  hat  nämlich  Hipparch 
gerade  die  Herbstnachtgleiche  (S.  1 34,21 )  als  möglichst  ge- 
nau beobachtet  bezeichnet  und  versichert,  durch  Berechnung 
5  festgestellt  zu  haben,  daß  sie  am  dritten  Zusatztage  zu  der 
auf  den  vierten  führenden  Mitternachtstunde  (26/27.  Sept. 
147  V.  Chr.)  eingetreten  sei.  Es  ist  das  178*®  Jahr  nach 
dem  Tode  Alexanders.*)  285  (d.  s.  146  +  139)  Jahre  später, 
im  dritten  Jahre  Antonius  (139/140  n.  Chr.),  welches  das 

10  (323  +  140=)  463*«  Jahr  nach  dem  Tode  Alexanders  ist, 
haben  wir  mit  größter  Zuverlässigkeit  wieder  die  Herbst- 
nachtgleiche beobachtet:  sie  fand  statt  am  9.  Athyr  (26.  Sept. 
139  n.  Chr.  7^  früh)  etwa  eine  Stunde  nach  Sonnenaufgang. 
Als  Überschuß  über  285  ganze   ägyptische  Jahre  —  das 

15  sind  solche  zu  365  Tagen  —  hat  demnach  die  Wiederkehr 
nur  70  volle  Tage  und  Y^  -f  Ygo  Tag  als  Überschuß  erhalten 
anstatt  71^/4  Tage,^)  welche  nach  der  Rechnung  mit  dem 
Überschuß  des  Vierteltags  auf  die  vorliegenden  Jahre  ent' 
fallen  würden.    Folglich  ist  die  Wiederkehr  ^^j^^^  Tag  eher 

20  eingetreten,  als  es  der  Rechnung  mit  dem  Überschuß  des 
Vierteltags  entspricht. 

Ebenso  behauptet  Hipparch  wieder,  daß  im  obengenannten 
32*®"  Jahre  der  dritten  Kailippischen  Periode  die  Frühlings- 
nachtgleiche   (S.  135,  1)    nach   sehr   genauer   Beobachtung 

25  am  27.  Mechir  (24.  März  146  v.  Chr.)  in  der  Morgenstunde 
(d.i.  6^  früh)  eingetreten  sei.  Es  ist  das  178*«  Jahr  nach  dem 
Tode  Alexanders.    Demgegenüber  haben  wir  gefunden,  daß 


a)  Ära  des  Philippus  Arrhidäus,  des  Stiefbruders  und  sog. 
Nachfolgers  Alexanders.  Der  Beginn  der  Ära  ist  der  1.  Thoth 
=  12.  Nov.  324  V.  Chr.  In  diesem  ersten  Jahre  der  Ära  fällt 
der  Tod  Alexanders  des  Großen  auf  den  11.  Juni  323  v.  Chr. 
b)  Die  Zwischenzeit  von  der  Mitternacht  des  dritten  Zusatz- 
tages bis  eine  Stunde  nach  Sonnenaufgang  am  9.  Athyr  beträgt 
über  70  y^  Tage  (2^  -}-  60^  -|-  g*  -f  6^)  noch  die  eine  Stunde  (ge- 
nau ist  V2o^  =  iy6^)  iiiehr,  um  welche  die  letzte  Gleiche  nach 
6^  früh  eintrat,  während  auf  285  julianische  Jahre  71  Schalt- 
tage und  y^  Tag  entfallen.  Es  ergibt  sich  also  ein  Fehlbetrag 
von  7iy/  -  [70y/  -^  y,,^]  =  "/„  Tag. 


Länge  des  Jahres.  143 

die  (145  +  140=)  285  Jahre  später,  also  wieder  (323+ Hei  205 
140=)  463  Jahre  nach  dem  Tode  Alexanders,  eingetretene 
Frühlingsnachtgleiche  am  7.  Pachon  (22.  März  140  n.  Chr.) 
etwa  eine  Stunde  nach  Mittag  stattfand,  so  daß  auch  diese 
Periode   die   gleichen  7074  ~H  V20  Tage   aufweist*^   anstatt  Ha  162 
der  nach  der  Rechnung  mit  dem  Vierteltag  auf  285  Jahre  6 
(als  Schalttage)  entfallenden  71^4  Tage.    Es  ist  also  auch 
in  diesem  Falle  die  Wiederkehr  der  Frühlingsnachtgleiche 
^720  Tag   eher  eingetreten,  als  es  der  Rechnung  mit  dem 
Überschuß  des  Vierteltags  entpricht.    Da  sich  nun  300  zu  10 
285  Jahren  verhalten  wie  1  Tag  zu  ^%o,^^  so  folgt  hieraus, 
daß  in  300  Jahren  die  Wiederkehr  der  Sonne  zum  Frühlings- 
punkt ungefähr  einen  Tag  früher  erfolgt,  als  es  der  Rech- 
nung mit  dem  Überschuß  des  Vierteltags  entspricht 

Ganz  dasselbe  Ergebnis  werden  wir  erhalten,  wenn  wir  16 
mit  Rücksicht  auf  das  Alter  die  von  der  Schule  des  Meton 
und  des  Euktemon  beobachtete,  aber  recht  oberflächlich 
aufgezeichnete  Sommerwende'')  mit  der  von  uns  möglichst 
genau  berechneten  in  Vergleich  stellen.  Erstere  hat  näm- 
lich der  Aufzeichnung  nach  stattgefunden  unter  dem  athe-  20 
nischen  Archonten  Apseudes  am  21.  ägyptischen  Phamenoth 
(27.  Juni  432  v.  Chr.)  in  der  Morgenstunde.  Demgegen- 
über haben  wir  auf  Grund  genauer  Berechnung  festgestellt, 
daß  in   dem  obengenannten  463**"*  Jahre  nach  dem  Tode  Hei  206 

a)  Vom  Morgen  (6''  früh)  des  27.  Mechir  bis  zur  nämlichen 
Stunde  des  7.  Pachon  sind  4^ -f  60*  -|-  6*,  hierzu  6^  bis  zum 
Mittag  des  7.  Pachon  und  1  (reichliche)  Stunde  darüber:  Summa 

70*+ v/+y.o"- 

b)  71%„- 707,0  =  ^%«;    300:285  =  x:"4„;  x  =  ^-^^=l*. 

c)  Nach  der  Berechnung  Ton  Wislicenus  (Astron.  Chron.  S.  81) 
stand  die  Sonne  im  Jahre  432  v.  Chr.  den  28.  Juni  mittags  12** 
bürgerlicher  Zeit  von  Athen  noch  y^^  vor  dem  Wendepunkt. 
Die  Wende  trat  demnach  etwa  um  S\  nach  Ideler  (Chron.  I. 
S.  326)  sogar  erst  um  4**  nachm.,  also  fast  ly^  Tag  später  ein. 
Auf  den  28.  Juni  10''1™53«  vorm.  fällt  sie  nach  Pariser  Zeit, 
d.i.  für  Athen  11*>  27»"  27«  vorm.,  nach  der  Berechnung,  welche 
Böckh  ^Sonnenkr.  d.  Alten,  S.  43, 1)  nach  den  Sonnentafeln  von 
Largeteau  angestellt  hat. 


144  Drittes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

Alexanders  die  Wende  am  11.  Mesore  (24.  Juni)  ungefähr 
2  Stunden  nach  der  Mitternacht  auf  den  12.  Mesore  (d.  i. 
am  25.  Juni  140  n.  Chr.  2^  nachts)  eingetreten  ist.  Nun 
sind  es  von  der  unter  Apseudes  aufgezeichneten  bis  zu  der 
5  von  der  Schule  des  Aristarch  im  50**"^  Jahre  (und  zwar 
nach  S.  145,3  am  Ende  dieses  Jahres)  der  ersten  Kallip- 
pischen  Periode  (281  280  v.  Chr.)  beobachteten  Sommer- 
wende, wie  auch  Hipparch  angibt,  (432  —  280=)  152 
Jahre;  dann  weiter  von  dem  genannten  50*®^  Jahre,  welches 
Ha  163  mit  dem  44*®^  Jahre  nach  dem  Tode  Alexanders  zusammen- 

11  fiel,  bis  zu  dem  463*®^  Jahre  (140  n.  Chr.),  in  das  unsere 
Beobachtung  fällt,  (279  +  140=)  419  Jahre.  In  den 
(152-1-419==)  571  Jahren  der  ganzen  Zwischenzeit  sind 
demnach,    wenn   die    von    der   Schule    des   Euktemon   be- 

16  obachtete  Sommerwende  zu  Beginn^)  des  21.  Phamenoth 
stattgefunden  hat,  zu  ganzen  ägyptischen  Jahren  hinzu- 
gekommen 14072  +  Vs  '^^8®  anstatt  der  142%,  welche 
(als  Schalttage)  nach  der  Rechnung  mit  dem  Überschuß 
des  Vierteltags  auf  571   Jahre  entfallen  würden.     Mithin 

20  ist  die  in  Frage  stehende  Wiederkehr  (142%2  —  140*7i2  = 
1  ^^12  d.  i.)  2  Tage  weniger  ^/jg  Tag  früher  eingetreten,  als 
es  der  Rechnung  mit  dem  Überschuß  des  Vierteltags  ent- 
spricht. Folglich  hat  sich  auch  auf  diesem  Wege  das  Er- 
gebnis herausgestellt,  daß  in  vollen  600  Jahren  die  Jahres- 

25  länge  mit  dem  Überschuß  des  (vollen)  Vierteltags  nahezu 
zwei  ganze  Tage  zu  viel  einbringt. 

Auch  mit  Hilfe  einer  Mehrzahl  von  anderen  Beobachtungen 
finden  wir  genau  dasselbe  Ergebnis  und  sehen  den  Hipparch 


a)  Vom  Beginn  (=  Tcgaiag)  des  21.  Phamenoth  bis  6''  nachm. 
am  11.  Mesore  sind  (10<i+ 120*-}- lO^-f-  V/=)  Uny^  Tage;  hier- 
zu kommen  8  Stunden,  d.  i.  y/,  von  6^  nachm.  am  IV""  bis 
2^  nach  der  auf  den  12*«''  führenden  Mitternacht.  Nur  wenn 
7C8qI  x7]v  ccQXWi  ii^u  Beginn"  (oben  Z.  15),  und  Tcgwiccg,  „in  der 
Morgenstunde"  (Ö.  14.3,22),  durchgängig,  d.  i  ohne  Rücksicht 
auf  die  Jahreszeit,  von  6''  früh  verstanden  wird  (vgl.  Böckh, 
Sonnenkr.  d.  Alten,  S  304,  unten),  stimmt  die  Angabe  des  halben 
Tages  von  „früh"  bis  Q^  nachm.     Vgl.  S.  134  Anm. 


Länge  des  Jahres.  145 

mehrfach  mit  demselben  in  Übereinstimmung.     So  drückt 
er   sich   in   der   Schrift  „Von   der  Länge   des  Jahres"   bei 
Vergleichung  der  Ton  Aristarch  am  Ende  des  50*®'^  Jahres  Hei  207 
der  ersten  Kailippischen  Periode  (280  v.  Chr.)  beobachteten 
Sommerwende  mit  der  von  ihm  selbst  wieder  genau  fest-  5 
gestellten   am  Ende    des  43*®°  Jahres   der   dritten  Kallip- 
pischen   Periode   (136/135    v.   Chr.)   folgendermaßen   aus: 
„Somit  ist  klar,   daß  nach   (der  Zwischenzeit  von  280  — 
135  =)   145  Jahren  die  Wende   um  die  Hälfte  der  Zeit, 
welche  die  Summe  von  Tag  und  Nacht  ausmacht,^)  früher  10 
eingetreten  ist,  als  der  Rechnung  mit  dem  Überschuß  des 
(vollen)  Vierteltags    entspricht."      Ferner   fügt   er   in   der 
Schrift  „Von  Schaltmonaten  und  Schalttagen",  nachdem  er 
vorher  bemerkt  hat,  daß  nach  der  Schule  des  Meton  und 
des  Euktemon  die  Jahreslänge  365  V4  +  Vre  "^^.ge,    nach  15 
Kallippus   aber   365 Y^   Tage   betrage,    wörtlich  folgendes  Ha  i64 
hinzu:  „Wir  finden  in  19  Jahren  ebenso  viele  Monate^^  ent- 
halten wie  jene  Männer,  das  Jahr  dagegen  finden  wir  mit 
einem  Zusatz  behaftet,  welcher  mindestens  Y300  Tag  kürzer 
ist    als    der  Viertel  tag  (vgl.  S.  146   Anm.),    so  daß    es   in  20 
300  Jahren  gegen  Meton  fünf  Tage°)  und  gegen  Kallippus 
einen  Tag  zurückbleibt."    Indem  er  schließlich  seine  An- 
sicht  unter    Zitierung    seiner    eigenen    Schriften    kurz    re- 
kapituliert, sagt  er  also:  „Ich  habe  auch  über  die  Jahres- 
länge eine  Abhandlung  in  einem  Buche  verfaßt,  in  welcher  26 
ich  nachweise,  was  das  Sonnenjahr  ist:  es  ist  die  Zeit,  in 
welcher  die  Sonne  von  einer  Wende  bis  wieder  zu  derselben 
gelangt,  oder  von  einer  Nachtgleiche  bis  wieder  zu  derselben ; 
es  umfaßt  365  Tage  und  einen  Vierteltag  weniger  ungefähr 
V300  eines  Tages  und  einer  Nacht;  die^  Meinung  der  Mathe- Hei  208 


a)  D.  i.  einen  halben  Tag  früher,  mithin  in  290  Jahren 
einen  Tag,  annähernd  wie  oben  S.  143,  13. 

b)  Nach  Geminus  (Isag.  S.  120,  9)  235  Monate  mit  Einschluß 
der  Schaltmonate. 

c)  Nur  4'%^*;  denn  V^g  x  300  =  3' V76.  ^oz^  4*"  ^8« X  300  =«  1* 
kommt  als  der  sich  summierende  Fehlbetrag  des  Vierteltags 
(S.  146  Anm.).     An  5^  fehlen  also  V^g  =  Vjg*  oder  1'^  16"». 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitins.   I.  10 


146  Dritteß  Buch.     Erste»  Kapitel. 

matiker,  daß  ein  (voller)  Vierteltag  zu  der  genannten  Zahl 
von  Tagen  hinzukomme,  ist  nicht  richtig." 

Daß  also  die  bis  auf  den  heutigen  Tag  sich  darbieten- 
den Erscheinungen  hinsichtlich  der  Jahreslänge  mit  dem 
6  für  die  Wiederkehr  zu  den  Wende-  und  Nachtgleichen- 
punkten obengenannten  Betrag  in  vollem  Einklang  stehen, 
ist  aus  der  Übereinstimmung  der  neuerdings  gemachten 
Wahrnehmungen  mit  den  früheren  meines  Erachtens  deut- 
lich hervorgegangen.    Wenn  wir  daher  den  einen  Tag^^  auf 

10  die    300  Jahre   verteilen,    so  kommen   auf  jedes  Jahr  als 

Ha  165  Bruchteil  eines  Tages   12   Sekunden;    wenn  wir  diese  von 

365**  15',  was  der  Rechnung  mit  dem  Überschuß  des  (vollen) 

Vierteltags  entspricht,  abziehen,  so  werden  wir  die  gesuchte 

Jahreslänge  mit  36ö^l4'48"  erhalten.    Auf  diesen  Betrag 

16  dürfte  sich  demnach  die  Zahl  der  Tage  belaufen,  welche 
von  uns  nach  Möglichkeit  aus  dem  gebotenen  Material  ge- 
wonnen worden  ist. 

Was  aber  die  für  die   Sonne  und  die  anderen  Gestirne 
erforderliche  Bestimmung  ihres  jeweiligen  Laufs  anbelangt, 

20  für  welche  das  Handbuch  in  Form  spezieller  Tabellen  hand- 
liche und  sozusagen  zum  Gebrauch  fertige  Unterlagen  zu 
bieten  hat^  so  sind  wir  zwar  der  Meinung,  daß  für  den 
Mathematiker  das  Endziel  seiner  Aufgabe  in  dem  Nach- 
weis   bestehen   muß,    daß    die  Erscheinungen    am   Himmel 

26  sich  alle  infolge  gleichförmiger  und  auf  Kreisen  vor  sich 
gehender  Bewegungen  vollziehen,  indessen  gehört  unseres 
Erachtens  zu  diesem  schwierigen  Vorhaben  als  notwendige 
Beigabe  unbedingt  die  Aufstellung  von  Tafeln,  welche  zu- 
nächst  die    Teilbeträge    der    gleichförmigen    Bewegung 

30  (Kap.  2)  getrennt  zeigen  von  der  scheinbaren  Anomalie 
(Kap.  6),  die  bei  der  Annahme  von  Kreisen  eintritt,  und 
dann   wieder    aus    der   Mischung    und   Vereinigung   dieser 

a)  Der  Tag  zu  60  Sechzigteilen  oder  Minuten  gerechnet,  gibt 

3600  Sekunden;  ^  =  12".     Da  ^= -^  _  4-  48-,    so    be- 

trägt   das   tropische  Jahr  um  so   viel  weniger  als  365  y^,   d.  i. 
365^5^  56"^  12«.  Der  heutzutage  geltende  Wert  ist  366<i5»'48*°46«. 


Länge  des  Jahres.  147 

beiden  Bewegungen  (Kap.  8)  den  Nachweis  des  schein- 
baren Laufs  der  Gestirne  ermöglichen.  Damit  uns  nun 
auch  dieser  Abschnitt  unserer  Darstellung  in  recht  prak- 
tischer Form  erstehe  und  bei  den  Beweisen  selbst  zur  Hand 
sei,  so  werden  wir  von  hier  ab  die  Aufstellung  der  Teil-  6 
betrage  der  gleichförmigen  Sonnenbewegung  in  folgen- 
der Weise  durchführen. 

Nachdem  eine  Wiederkehr  mit  365*^  14' 48"  nachgewiesen  Hei  20' 
ist,  werden  wir,  wenn  wir  mit  dieser  Zahl  in  die  360  Grade 
eines  Kreises  dividieren,  den  Betrag  der  täglichen  mittleren  10 
Bewegung   der   Sonne    mit   0<^ 59' 8"  17'"  13^^12^31^^   er- Ha  161 
halten;  bis  zu  so  vielen  Sechzigteilen  die  Division  durchzu- 
führen, wird  nämlich  ausreichen. 

Nehmen  wir  dann  wieder  von  der  täglichen  Bewegung 
den  24**^  Teil,   so  werden  wir  den  stündlichen  Betrag  15 
erhalten  mit  00  2'27"50"'43i^3^1^i. 

Indem  wir  ferner  den  täglichen  Betrag  mit  der  Zahl 
der  30  Tage  eines  Monats  multiplizieren,  werden  wir  mit 
29^34'8"36'"36^^15^30^  die  mittlere  monatliche  Be- 
wegung und  durch  Multiplikation  mit  der  Zahl  der  365  20 
Tage  eines  ägyptischen  Jahres  die  mittlere  jährliche 
Bewegung  mit  359^45' 24" 45'" 21^^8^^35^^i  erhalten. 

Indem  wir  dann  wieder  den  jährlichen  Betrag  mit 
der  Zahl  von  18  Jahren  multiplizieren,  weil  hierdurch  in 
der  Abfassung  der  Tafeln  das  symmetrische  Verhältnis  zum  26 
Ausdruck  kommen  wird,'^)  und  von  dem  Produkt  ganze 
Kreise  abziehen,  werden  wir  als  den  Überschuß  der  18- 
jährigen  Periode  erhalten  355^37' 25"36'"20i^34^30^i. 

Wir  werden  also  drei  Tafeln  der  gleichförmigen  Sonnen- 
bewegung aufstellen,  jede  wieder  zu  45  Zeilen  (vgl.  S.  35, 27),  30 
und  zwar  in  2  Teilen.  Die  erste  Tafel  wird  die  Beträge 
der  mittleren  Bewegung  für  die  18jährigen  Perioden  ent- 
halten, die  zweite  an  erster  Stelle  die  Beträge  für  die 
(einzelnen)  Jahre,    darunter  die  Beträge  für  die  Stunden, 

a)  Insofern  durch  Annahme  der  Zahl  18  die  Summe  18-f  24 
der  Jahre  und  der  Stunden  in  der  zweiten  Tafel  gleichkommt 
der  Zahl  12  -[-  30  der  Monate  und  der  Tage  in  der  dritten  Tafel. 


Ha  167 
Hei  310 


Ha  170 
Hei  S16 


X48  Drittes  Buch.     Zweites  und  drittes  Kapitel. 

die  dritte  an  erster  Stelle  die  Beträge  für  die  Monate, 
darunter  die  Beträge  für  die  Tage.  In  dem  ersten  Teile 
jeder  Tafel  stehen  die  Argumentzahlen  der  betreffenden 
Zeitabschnitte,  in  dem  zweiten  die  Ansätze  der  Grad- 
6  zahlen,  von  Zeile  zu  Zeile  aus  sukzessivem  Addieren  der 
(in  der  ersten  Zeile  stehenden)  Grundzahl  hervorgehend. 
Die  Tafeln  erhalten  demnach  folgende  Form. 

Zweites  Kapitel. 
Tafeln  der  gleichförmigen  Bewegung  der  Sonne. 

Epoche:   1.  Thoth  des   1.  Jahres  Nabonassars. 
Mittlerer  Ort:  )(0H6'. 
10  Entfernung  vom  Apogeum  TT5<*30':    265*15'. 

(S.  149  —  151.) 

Drittes  Kapitel. 

Die  Hypothesen  zur  Erklärung  der  gleichförmigen 
Bewegung  auf  Kreisen. 

)  Da  die  nächste  Aufgabe  ist,  die  scheinbare  Anomalie  der 
Sonne  nachzuweisen,  so  muß  die  allgemeine  Bemerkung  vor- 
ausgeschickt werden,  daß  auch  die  nach  den  östlichen  Teilen 

16  des  Himmels  vor  sich  gehende  Ortsveränderung  der  Planeten, 
genau  so  wie  auch  der  nach  Westen  zu  erfolgende  Umschwung 
des  Weltganzen,  durchaus  gleichförmig  ist  und  naturgemäß 
auf  Kreisen  vor  sich  geht,  d.  h.  daß  die  idealen  Leitlinien, 
welche  die  Gestirne  oder  auch  deren  Kreise  (um  ein  Zentrum) 

20  herumführen,  bei  ausnahmslos  allen  Gestirnen  in  gleichen 
Zeiten  gleiche  Winkel  am  Zentrum  der  betreffenden  (durch 
den  Umlauf  beschriebenen)  Kreislinie  bilden.  Die  schein- 
baren Anomalien,  welche  an  den  Umlaufsbewegungen  wahr- 
genommen werden,  treten  lediglich  ein  als  Folge  der  (wechseln- 

26  den)  Lagen  und  Stellungen  der  an  den  Sphären  der  Gestirne 
verlaufenden  Kreise,  auf  denen  sie  ihre  Bewegungen  vollziehen. 
Keine  Äußerung  ihres  Wesens,  die  mit  ihrer  ewigen  Dauer 


Sonnentafeln. 
I.  Tafel  für  Perioden  zu  18  Jahron. 


149 


18 
36 
54 

355° 

351 

346 

37' 
14 
52 

25" 

51 

16 

36'" 

12 

49 

20^^ 
41 

1 

34^ 

9 
43 

30^^ 
0 
30 

72 

90 

108 

342 
338 
333 

29 

7 

44 

42 

8 

33 

25 

1 

38 

22 

42 

3 

18 
52 
27 

0 

30 

0 

126 
144 
162 

329 
324 
320 

21 
59 
36 

59 
24 
50 

14 
50 

27  ■ 

24 

44 

5 

1 
36 
10 

30 

0 

30 

180 
198 
216 

316 
311 
307 

14 
51 
29 

16 
41 

7 

3 
39 
16 

25 

46 

6 

45 
19 
54 

0 

30 

0 

234 
252 
270 

303 

298 
294 

6 
43 
21 

32 
58 
24 

52 

28  . 
5 

27 

48 

8 

28 

3 

37 

30 

0 

30 

288 
306 
324 

289 
285 
281 

58 
36 
13 

49 
15 
40 

41 
17 
54 

29 
49 
10 

12 
46 
21 

0 

30 

0 

342 
360 
378 

276 
272 

268 

51 

28 
5 

6 
32 
57 

30 

6 
43 

51 
12 
30 

55 
30 

4 

30 

0 

30 

396 
414 
432 

263 
259 
254 

43 
20 

58 

23 

48 
14 

19 
55 
32 

32 
53 
13 

39 
13 

48 

0 

30 

0 

450 

468 
486 

250 
246 
241 

35 
13 
50 

40 

5 

31 

8 
44 
21 

34 
54 
15 

22 
57 
31 

30 

0 

30 

504 
522 
540 

237 
233 

228 

27 

5 

42 

56 

22 
48 

57 
33 
10 

36 
56 

17 

6 
40 
15 

0 

30 

0 

558 
576 
594 

224 
219 
215 

20 
57 
35 

13 
39 
4 

46 
22 
59 

37 

58 
18 

49 

24 
58 

30 

0 

30 

612 
630 
648 

211 
206 
202 

12 
49 
27 

30 
56 
21 

35 
12 

48 

39 

0 

20 

33 

7 
42 

0 

30 

0 

666 
684 
702 

198 
193 
189 

4 
42 
19 

47 
13 
38 

24 

1 

37 

41 

1 

22 

16 
51 
25 

30 

0 

80 

1   720 
738 
756 

184 
180 
176 

57 
34 
11 

4 
29 
55 

13 
50 
26 

43 

3 

24 

0 

34 

9 

0 

30 

0 

774 
792 
810 

171 
167 
163 

49 

26 

4 

21 
46 
12 

2 
39 
15 

44 

5 
25 

43 

18 
52 

30 

0 

30 

150 


Drittes  Buch.     Zweites  Kapitel, 


II*. 

Tafel  für  Jahre. 

1 

359^ 

45' 

24" 

45'" 

21^^ 

8^ 

35^' 

2 

359 

30 

49 

30 

42 

17 

10 

3 

359 

16 

14 

16 

3 

25 

45 

4  - 

359 

1 

39 

1 

24 

34 

20 

5 

358 

47 

3 

46 

45 

42 

55 

6 

358 

32 

28 

32 

6 

51 

30 

7 

358 

17 

53 

17 

28 

0 

5 

8  . 

358 

3 

18 

2 

49 

8 

40 

9 

357 

48 

42 

48 

10 

17 

15 

10 

357 

34 

7 

33 

31 

25 

50 

11 

357 

19 

32 

18 

52 

34 

25 

12 

357 

4 

57 

4 

13 

43 

0 

13 

356 

50 

21 

49 

34 

51 

35 

14 

356 

35 

46 

34 

56 

0 

10 

15 

356 

21 

11 

20 

17 

8 

45 

16 

356 

6 

36 

5 

38 

17 

20 

17 

355 

52 

0 

50 

59 

25 

55 

18 

355 

37 

25 

36 

20 

34 

30 

IP.  Tafel  für  Stunden. 


1 

2 
3 

4 

5 
6 

0° 
0 
0 

2' 
4 

7 

27" 

55 

23 

50" 

41 

32 

43^ 

26 
9 

8^ 

6 

9 

1^1 

2 

3 

0 
0 
0 

9 
12 
14 

51 
19 
47 

22 
13 
4 

52 
35 

18 

12 
15 
18 

5 
6 

7 
8 
9 

0 
0 
0 

17 
19 
22 

14 
42 
10 

55 
45 
36 

1 
44 
27 

21 
24 
27 

P 
10 
11 

10 
11 
12 

0 
0 
0 

24 
27 
29 

38 

6 

34 

27 
17 
8 

10 
53 
36 

30 
33 
36 

12 
14 
15 

13 
14 
15 

0 
0 
0 

32 
34 
36 

1 
29 
57 

59 
50 
40 

19 

2 

45 

39 
42 
45 

16 

18 
19 

16 
17 

18 

0 
0 
0 

39 
41 
44 

25 
53 
21 

31 
22 
12 

28 
11 
54 

48 
51 
54 

20 
21 
23 

19 
20 
21 

0 
0 
0 

46 
49 
51 

49 
16 
44 

3 
54 
45 

37 

21 

4 

57 
0 
3 

24 
25 
27 

22 
23 
24 

0 
0 
0 

54 
56 
59 

12 
40 

8 

35 
26 
17 

47 
30 
13 

6 

9 

12 

28 
29 
31 

Zusatz  des  Apogeumabstaiides  der  Sonne  von  H  5«>30'bi8X  0'>45':    j 

1   2650  15'   1                         j 

Sonnentafeln. 
1II'\  Tafel  für  Monate 


151 


80 
60 
90 

29« 
59 
88 

84' 

8 

42 

8" 
17 
25 

36"' 

13 

49 

36»^ 
12 

48 

15^ 

81 

46 

30^» 

0 
30 

120 
150 
180 

118 
147 
177 

16 
50 
84 

34 
48 
51 

26 

8 

39 

25 

1 

37 

2 
17 
88 

0 

30 

0 

210 
240 
270 

206 
236 
266 

59 
33 

7 

0 

8 
17 

16 

52 
29 

13 
50 
26 

48 

4 

19 

30 

0 

30 

300 
330 
360 

295 
325 
354 

49 

26 
84 
43 

6 
42 
19 

8 

38 
15 

35 

50 

6 

0 

30 

0 

IIP 

.  Tafel 

für  Tage. 

1 

0» 

59' 

8" 

17'" 

13^^ 

12^ 

31^^ 

2 

1 

58 

16 

34 

26 

25 

2 

3 

2 

57 

24 

51 

39 

87 

33 

4 

8 

56 

33 

8 

52 

50 

4 

5 

4 

55 

41 

26 

6 

2 

35 

6 

5 

54 

49 

43 

19 

15 

6 

7 

6 

53 

58 

0 

32 

27 

87 

8 

7 

53- 

6 

17 

45 

40 

8 

9 

8 

52 

14 

34 

58 

52 

39 

10 

9 

51 

22 

52 

12 

5 

10 

11 

10 

50 

31 

9 

25 

17 

41 

12 

11 

49 

39 

26 

38 

30 

12 

13 

12 

48 

47 

43 

51 

42 

43 

14 

13 

47 

56 

1 

4 

55 

14 

15 

14 

47 

4 

18 

18 

7 

45 

16 

15 

46 

12 

35 

31 

20 

16 

17 

16 

45 

20 

52 

44 

32 

47 

18 

17 

44 

29 

9 

57 

45 

18 

19 

18 

43 

37 

27 

10 

57 

49 

20 

19 

42 

45 

44 

24 

10 

20 

21 

20 

41 

54 

1 

37 

22 

51 

22 

21 

41 

2 

18 

50 

35 

22 

23 

22 

40 

10 

35 

3 

47 

53 

24 

23 

39 

18 

53 

17 

0 

24 

25 

24 

38 

27 

10 

30 

12 

55 

26 

85 

37 

35 

27 

43 

25 

26 

i   27 

86 

86 

43 

44 

56 

37 

57 

28 

27 

35 

52 

2 

9 

50 

28 

29 

28 

35 

0 

19 

23 

2 

59 

30 

29 

34 

8 

36 

36 

15 

30 

152  Drittes  Buch.    Drittee  Kapitel. 

unvereinbar  wäre,  kann  bei  der  nur  in  der  Vorstellung  exi- 
stierenden Kegellosigkeit  der  Erscheinungen,  in  "Wirklich- 
keit zutage  treten. 

Die  Hervorrufung   des  Scheines   einer  ungleichförmigen 
5  Bewegung  kann  vornehmlich  nach  zwei  Hypothesen,  welche 
wir   als  die  ersten  und   einfachsten   bezeichnen,    eintreten. 
Wird  nämlich  die  Bewegung  der  Gestirne  theoretisch  auf 
den  mit  dem  Weltall  konzentrischen  und  in  der  Ebene  der 
Ekliptik  gedachten  Kreis  (der  Ekliptik)  bezogen,  mit  dessen 
10  Zentrum  demnach  unser  Auge  zusammenfällt,  so  sind  zwei 
Annahmen  möglich:  entweder  vollziehen  die  Gestirne  ihre 
Bewegungen  auf  Kreisen,  die  mit  dem  Weltall  nicht  kon- 
zentrisch sind,  oder  auf  Kreisen,  die  mit  dem  Weltall  kon- 
Ha  171  zentrisch  sind,    dann  aber  nicht    schlechthin  auf  letzteren 
Hei  217  selbst,  sondcm  auf  anderen  von  diesen  getragenen  Kreisen, 
16  den  sogenannten  Epizyklen.  Nach  jeder  dieser  beiden  Hypo- 
thesen wird  sich  die  Möglichkeit  herausstellen,  daß  diePlaneten 
in  gleichen  Zeiten  für  unser  Auge  ungleiche  Bogen  der  mit 
dem  Weltall  konzentrischen  Ekliptik  durchlaufen. 
20       A.  Denken  wir  uns  zunächst  nach  der  exzentrischen 
Hypothese  als  den  Exzenter,  auf  welchem  das  Gestirn  sich 
gleichförmig  bewegt,  den  Kreis  A  B  TA 
um  das  Zentrum  E  und  den  Durch- 
messer AEA,  ferner  auf  letzterem  den 
25     /  //         \      Punkt  Z  als  unser  Auge,  so  daß  A  der 

erdfernste,  und  A  der  erdnächste  Punkt 
(des  Exzenters)  wird.  Ziehen  wir  als- 
dann nach  Abtragung  der  gleichgroßen 
Bogen  AB  und  AT  die  Verbindungs- 
30  "^--~-L — ^  linien  BE,  BZ,  FE,  TZ,  so  wird  ohne 

weiteres  klar  sein,  daß  das  Gestirn, 
nachdem  es  jeden  der  beiden  Bogen  in  gleicher  Zeit  zurück- 
gelegt hat,  auf  dem  um  Z  beschriebenen  Kreise  (d.  i.  in  der 
Ekliptik)  scheinbar  ungleiche  Bogen  durchlaufen  haben 
35  wird;  denn  /.  BZA  wird  kleiner,  /.  fZA  dagegen  größer 
sein  (nach  Eukl.  I.  1 6)  als  jeder  der  als  gleich  angenommenen 
Winkel  BEA  und  TEA. 


Exzentrische  und  epizyklische  Hypothese. 


153 


B.  Denken  wir  uns  nach  der  epizyklischen  Hypothese 
A  B  TA  als  den  mit  der  Ekliptik  konzentrischen  Kreis  um  Hei  218 
das  Zentrum  E  und  den  Durchmesser  A  E  f,  und  als  den  auf 
ihm  laufenden  Epizykel,  auf  welchem  sich  das  Gestirn  be- 
wegt, den  Kreis  ZH0K  um  den 
Mittelpunkt  A,  so  wird  auch  hier 
ohne  weiteres  folgendes  einleuchten. 
Wenn  der  Epizykel  den  Kreis  A  B  TA 
z.  B.  in  der  Richtung  von  A  nach 
B  mit  gleichförmiger  Geschwindig- 
keit durchläuft,  und  ebenso  das  Ge- 
stirn den  Epizykel,  so  wird  das  Ge- 
stirn, wenn  es  in  den  Punkten  Z 
und  0  steht,  mit  dem  Mittel- 
punkt A  des  Epizykels  scheinbar 
zusammenfallen;  steht  es  dagegen  in  anderen  Punkten,  so 
wird  dies  nicht  mehr  der  Fall  sein.  So  wird  es  z.  B.  in 
Punkt  H  angelangt,  scheinbar  eine  um  den  Bogen  AH 
größere  Bewegung  als  die  gleichförmige  ausgeführt  haben, 
dagegen  in  Punkt  K  angelangt,  ganz  entsprechend  eine  20 
um  den  Bogen  AK  kleinere. 

Bei  der  exzentrischen  Hypothese,  wie  wir  sie  oben  be- 
schrieben haben,  tritt  nun  die  Begleiterscheinung  ein,  daß 
die  kleinste  Bewegung  stets  im  erdfernsten,    und  die 
größte  Bewegung  stei;s  im  erdnächsten  Punkte  vor  sich  25 
geht,  weil  /.AZB  in  allen  Fällen*^  kleiner  ist  als  LAZT. 
Dagegen  können   bei   der   epizyklischen   Hypothese  beide 
Möglichkeiten    eintreten.     Wenn  nämlich   das  Gestirn  auf 
dem  Epizykel,    während   der  Epizykel  nach  den  östlichen 
Teilen  des  Himmels,  wie  z.  B.  in  der  Richtung  von  A  nach  Hei  219 
B,  fortschreitet,  seine  Bewegung  so  ausführt,  daß  der  Fort-  31 
schritt   vom  Apogeum    weg   sich  ebenfalls   nach  Osten  zu 
vollzieht,    d.  i.  von  Z  nach  H,    so  wird  die  Folge  davon 
sein,  daß  im  Apogeum  der  größte  Lauf  stattfindet,  weil 
sich  alsdann  Epizykel  und  Gestirn  nach  derselben  Richtung  36 


a)  Natürlich  gleichgroße  Bogen  des  Exzenters  unterspannend. 


154  Drittes  Buch.     Drittes  Kapitel. 

bewegen.  Wenn  dagegen  der  Fortschritt  des  Gestirns  vom 
Apogeum  weg  in  der  Richtung  vor  sich  geht,  aus  welcher 
Ha  173  der  Epizykel  herkommt,  d.  i.  von  Z  nach  K,  dann  wird 
umgekehrt  im  Apogeum  der  kleinste  Lauf  zustande 
5  kommen,  weil  alsdann  das  Gestirn  seine  Ortsveränderung 
in  der  dem  Fortschritt  des  Epizykels  entgegengesetzten 
Richtung  bewirkt. 

Nach  Darlegung  dieser  Verhältnisse  müssen  weiter  noch 
folgende  Punkte  im  voraus  besprochen  werden.     Bei  den- 

10  jenigen  Planeten,  welche  eine  doppelte  Anomalie  zeigen, 
können  diese  beiden  Hypothesen  kombiniert  zur  Anwendung 
gelangen,  wie  wir  gehörigen  Ortes  (Buch  IX,  Kap.  5  u.  6) 
darlegen  werden,  während  bei  denjenigen,  welche  nur  eine 
einzige  Anomalie  haben,  schon  eine  der  mitgeteilten  Hypo- 

15  thesen  genügen  wird.  Ferner  ist  hervorzuheben,  daß  nach 
jeder  dieser  beiden  Hypothesen  alle  Erscheinungen  unter- 
schiedslos gleichen  Verlauf  zeigen  werden,  wenn  für  beide 
dieselben  Verhältnisse  eingehalten  werden.  Dies  ist  der  Fall, 
wenn  folgende  Bedingungen  erfüllt  sind. 

20  Erstens  muß  bei  der  exzentrischen  Hypothese  die  Gerade 
zwischen  den  Mittelpunkten,  d.  h.  zwischen  Auge  und  Zen- 
trum des  Exzenters,  zum  Halbmesser  des  Exzenters  in  dem- 
selben Verhältnis  stehen,  in  welchem  bei  der  epizyklischen 
Hypothese  der  Halbmesser  des  Epizykels  zum  Halbmesser 

25  des  den  Epizykel  tragenden  Kreises  steht  (:  an  Figur  A  ist 
EZ:EA  =  ZA:EA  an  Figur  B). 
Hei  220      Zweitens  muß  (bei  der  exzentrischen  Hypothese)  das  Ge- 
stirn,   seine   Bewegung   in  der  Richtung   der  Zeichenfolge 
(d.  i.  ostwärts)  ailßführend,  den  Exzenter,    der  seine  Lage 

30  unverändert  beibehält,  in  derselben  Zeit  durchwandern,  in 
welcher  (bei  der  epizyklischen  Hypothese)  der  Epizykel, 
ebenfalls  in  der  Richtung  der  Zeichenfolge  sich  weiter  be- 
wegend, den  mit  dem  Auge  konzentrischen  Kreis  durch- 
läuft, während  das  Gestirn  mit  der  gleichgroßen  Geschwindig- 

85  keit  (wie  der  Epizykel  auf  dem  Konzenter)  einen  (vollen) 
Umlauf  auf  dem  Epizykel  machen  muß,  jedoch  so,  daß 
sein  Fortschritt   auf  dem   erdfernen  Bogen  (des  Epizykels) 


Exzentrische  und  epizykliscbe  Hypothese.  155 

gegen  die  Richtung  der  Zeichenfolge  (d.  i.  westwärts)  vor   . 
sich  geht. 

Daß  bei  Einhaltung  dieser  Verhältnisse  nach  jeder  der 
beiden  Hypothesen  alle  Erscheinungen  denselben  Verlauf 
zeigen  werden,  wollen  wir  in  aller  Kürze  dem  Verständnis  5 
zugänglich  machen ,  und  zwar  zunächst  an  der  Hand  der  Ha  174 
Verhältnisse  an  sich,  später  (am  Schluß  des  4.  Kap.)  auch 
mit  Hilfe  der  Zahlen,  welche  sich  unter  Annahme  dieser 
Verhältnisse  bei  der  Anomalie  der  Sonne  ermitteln  lassen. 

Meine  Behauptung  geht  also  dahin:  10 

1.  Nach  jeder  der  beiden  Hypothesen  tritt  zwischen  der 
gleichfönnigen  und  der  scheinbar  ungleichförmigen  Be- 
wegung das  Maximum  der  Differenz,  welches  auch  für  die 
Vorstellung  von  dem  mittleren  Lauf  der  Gestirne  maß- 
gebend ist,"^^  an  der  Stelle  ein,  wo  der  scheinbare  (d.  i.  15 
in  der  Ekliptik  gemessene)  Abstand  vom  Apogeum  einen 
Quadranten  ausmacht. 

2.  Die  Zeit  vom  Apogeum  bis  zu  dem  bezeichneten 
mittleren  Lauf  ist  größer  als  die  Zeit  von  dem  mittleren 
Lauf  bis  zum  Perigeum.  Daher  tritt  nach  der  exzentrischen  20 
Hypothese  stets,  nach  der  epizyklischen  aber  nur  dann, 
wenn  der  Fortschritt  der  Gestirne  vom  Apogeum  weg  gegen 
die  Richtung  der  Zeichenfolge  (d.  i.  westwärts)  vor  sich  geht, 
der  Fall  ein,  daß  die  Zeit  von  der  kleinsten  Bewegung  bis 

zur  mittleren  größer  wird  als  die  Zeit  von  der  mittleren  Hei  ssi 
bis  zur  größten,    weil  dann  nach  jeder  der  beiden  Hypo-  26 
thesen   der  kleinste  Lauf  im  Apogeum  vor  sich  geht.    Da- 
gegen wird  nach  der  Hypothese  (Buch  IX,  Kap.  5),  welche 
die  Herumleitung  der  Planeten  vom  Apogeum  weg  in  der 
Richtung  der  Epizykel,    d.  i.  gleichfalls    ostwärts  er-  30 
folgen  läßt,  umgekehrt  die  Zeit  von  der  größten  Bewegung 
bis  zur  mittleren  größer  als  die  Zeit  von  der  mittleren  Be- 


a)  Einen  mittleren  Lauf  der  Gestirne  gibt  es  in  Wirklichkeit 
nicht,  er  existiert  nnr  in  der  Vorstellung  als  das  theoretische 
Mittel  zwischen  dem  kleinsten  und  größten  Lauf,  verläuft  da- 
her scheinbar  in  der  Mitte  zwischen  Apogeum  und  Perigeum, 
wo  das  Maximum  der  Differenz  eintritt. 


;[56  Drittes  Buch.     Drittes  Kapitel. 

wegung  bis  zur  kleinsten,  weil  in  diesem  Falle  im  Apogeum 
der  größte  Lauf  vor  sich  geht. 

A.  Beweis    nach    der    exzentrischen    Hypothese. 

Exzenter  des  Gestirns  sei  der  Kreis  AB  TA   um  das  Zen- 

5  trum   E    und    den    Durchmesser   AEF,    auf  welchem    der 

[a  175  Mittelpunkt  der  Ekliptik,  d.  i.  der  Punkt,  wo  sich  das  Auge 

befindet,  bestimmt  werden  muß;  der- 
selbe sei  Punkt  Z.  Nachdem  man  durch 
Z  unter  rechten  Winkeln  zu  A  E  f  die 
10     /  \    Gerade  BZ  A  gezogen,  nehme  man  das 

Gestirn  in  den  Punkten  B  und  A  an, 
damit  eben  die  scheinbare  (d.  i.  von  Z 
aus  in  der  Ekliptik  gemessene)  Ent- 
fernung vom  Apogeum  A  beiderseits 
15  1'  einen  Quadranten  betrage. 

1.  Es  ist  zu  beweisen,  daß  in  den  Punkten  B  und  A  das 
Maximum  der  Differenz  zwischen  der  gleichförmigen 
und  der  ungleichförmigen  Bewegung  eintritt. 

Man  ziehe  die  Verbindungslinien  EB  und  EA.    Daß  der 
[ei  222  (gesuchte  den  /.  E  B  Z  überspannende)  Bogen  der  Anomalie- 
21  differenz   zu  dem    ganzen  Kreise   in   demselben  Verhältnis 
steht,  wie  /,  E  B  Z  zu  4  Rechten,  ist  ohne  weiteres  klar.**) 
Es  ist  nämlich  L  A  E  B  der  Winkel,  welcher  (auf  dem  Ex- 
zenter) den  Bogen  der  gleichförmigen  Bewegung  unter- 
25  spannt,    während    /.AZB    den    Bogen    der    scheinbar  un- 
gleichförmigen Bewegung  (in  der  Ekliptik)  unterspannt. 
Also  ist  /.EBZ    (nach  Eukl.  I.   32)   gleich   der   Differenz 
dieser  beiden  Winkel  (und  sein  Scheitelwinkel  mißt  in  der 
Ekliptik  den  Bogen  der  Anomaliediflferenz). 
30  Meine    Behauptung    läuft    also    darauf   hinaus,    daß 

an  der  Peripherie  des  Kreises  AB  TA  auf  der  Geraden  EZ 

a)  Weil  S.  101,  5  schon  erklärt  worden  ist,  daß  ein  Kreis- 
bogen ebensoviel  Grade  beträgt,  deren  der  Kreis  360  hat,  als 
der  ihn  unterspannende  Zentriwinkel  Grade  hat,  deren  360  auf 
4  jB  kommen.  Demnach  kann  der  gesuchte  Bogen,  der  zu- 
nächst, weil  von  /.EBZ  unterspannt,  ein  Bogen  des  um  B  ge- 
zogenen Kreises  ist,  zu  den  Zentriwinkeln  jedes  anderen  Kreises 
in  Beziehung  gesetzt  werden. 


Exzentrische  und  epizyklische  Hypothese. 


157 


kein  anderer  Winkel  konstruiert  werden  kann,  welcher  größer 
wäre  als  ^EBZ  oder  /.EAZ. 

Man  konstruiere  in  den  Punkten  0 
und  K  die  Winkel  E0Z  und  EKZ 
und  ziehe  die  Verbindungslinien  0  A, 
KA.  Da  nun  in  jedem  Dreieck  (hier 
A0AZ)  der  größeren  Seite  (0Z) 
der  größere  Winkel  (nach  Eukl.  1. 18) 
gegenüberliegt,  so  ist 

einerseits 

i  0AZ  >  i  A0Z,  weil  0Z  >  ZA  (Eukl.  III.  7) 
i  EAQ  =  i  EQA,  weil  EA  -  E0  (Eukl.  I.  5) 

(/.  0AZ  -f  i  EA0  >  i  t^QT.  +  i  E0A)*) 

^EAZ  >  ^E0Z 

/.EAZ  =  ^EBZ 

/,EBZ  >  i^E0Z. 

Anderseits  ist 

i  ZKA  >  i  ZAK,   weil  AZ  >  KZ 

i  EAK  =  i  EKA,   weil   EA  =  EK 
(/,EAK  -  /.ZAK  >  i  EKA-  ^  ZKA?^ 

i  EAZ  >  ^  EKZ 

/,  EAZ  =  ^  EBZ 


10 


15 


30 


/,  EBZ  >  i  EKZ. 

Es  ist  mithin  nicht  möglich,  andere  Winkel  in  der  an-  Hei  as» 
gegebenen  Weise  zu  konstruieren,   welche  größer  wären,  25 
als  die  Winkel  in  den  Punkten  B  und  A. 

2.  Gleichzeitig  wird  der  Beweis  dafür  miterbracht,  daß 
der  Bogen  A  B,  welcher  die  Zeit  von  der  kleinsten  Bewegung 
bis  zur  mittleren  darstellt,  um  den  doppelten  Betrag  des 
Bogens,  welcher  die  Anomaliedifferenz  mißt,  größer  ist  als  30 

a)  Werden  zwei  Winkel,  von  denen  der  erste  größer  ist  als 
der  zweite,  um  dieselbe  Größe  vermehrt,  so  bleibt  der  vergrößerte 
erste  Winkel  größer  als  der  vergrößerte  zweite. 

b)  Wird  von  zwei  gleichgroßen  Winkeln  der  erste  um  die 
kleinere  Größe  vermindert  als  der  zweite,  so  wird  der  verminderte 
erste  Winkel  größer  als  der  verminderte  zweite. 


158 


Drittes  Buch.     Drittes  Kapitel. 


10 


der  Bogen  B  f,  welcher  die  Zeit  von  der  mittleren  Bewegung 
bis  zur  größten  darstellt.  (Man  ziehe  durch  E  zu  BZ  die 
Parallele  EH.)  Es  ist  nämlich  Z.AEBum/.EBZ(=/.HEB 
nach  Eukl.  I.  29)  größer  als  ein 
Rechter,  d. i.  größer  als  (/,  A E H  oder) 
lAZB,  während  ^^BEf  um  eben- 
denselben (LHEB  oder)  LEBZ 
kleiner  ist  als  ein  Rechter  (d.  i. 
kleiner  als  ^  HET  oder  Z.  AZB).*) 

B.    Beweis    nach    der    epizy- 
klischen Hypothese.  Der  mit  dem 
Weltall  konzentrische  Kreis  sei  ABT 
um  das  Zentrum  A  und  den  Durch- 
messer AAB,  und  der  in  derselben  Ebene  auf  diesem  Kon- 
15  zenter  umlaufende  Epizykel  sei  EZH  um  den  Mittelpunkt  A. 

Das  Gestirn  nehme  man  in 
Punkt  H  an  zu  der  Zeit,  wo 
es  vom  Apogeum  (E'  beim 
Stande  des  Epizykels  in  A')^> 
eine  scheinbare  (d.  i.  von  A 
^  aus  in  der  Ekliptik  gemessene) 
Entfernung  von  einem  Qua- 
dranten {L  A'Ar=L  AHA)  hat. 
Man  ziehe  die  Verbindungs- 
linien AH  und  AHr. 

1.  Meine  Behauptung  läuft 

darauf  hinaus,  daß  AHF  die 

Tangente  an  den  Epizykel  ist;  denn  das  ist  eben  der  Fall, 

äa  177  in  welchem  das  Maximum  der  Differenz  zwischen  der  gleich- 

i6i  224  förmigen  und  der  ungleichförmigen  Bewegung  eintritt.    Da 

31  nämlich  die  gleichförmige  vom  Apogeum  (E  bezw.  E')  sich 

a)  Somit  ist  /,  AEB,  d.  i.  6AB,  um  den  doppelten  Betrag 
des  /,  EBZ,  welcher  den  Bogen  der  Anomaliedifferenz  mißt, 
größer  als  /,  BEf,  d.  i.  feBf,  was  nachzuweisen  war. 

b)  An  der  Figur  habe  ich  den  Stand  des  Epizykels  und  des 
Gestirns  im  Apogeum  hinzugefügt,  damit  ersichtlich  werde,  daß 
der  Epizykelmittelpunkt  mehr  als  einen  Quadranten  zurück- 
gelegt hat. 


20 


25 


Exzentrische  und  epizyklische  Hypothese. 


159 


entfernende  Bewegung  durch  den  /.EAH  (=/.AAA')  ge- 
messen wird  —  denn  das  Gestirn  durchläuft  den  Epizykel 
mit  der  gleichgroßen  Geschwindigkeit  wie  der  Epizykel  den 
Kreis  ABT  (so  daß  6  EH  '^  ?>  A'A)  —  die  Differenz  zwischen 
der  gleichförmigen  und  der  scheinbaren  Bewegung  aber  durch  5 
den  /.  A  AH  (d.  i.  eben  die  sog.  Anomaliedifferenz),  so  leuchtet 
ein,  daß  /.AHA  (=LA'Ar)  als  Differenz  dieser  beiden 
Winkel  EAH  und  AAH  (nach  Eukl.  I.  32)  die  scheinbare 
(von  A  aus  in  der  Ekliptik  gemessene)  Entfernung  des  Ge- 
stirns vom  Apogeum  (E  bezw.  E')  mißt.  Da  nun  diese  Ent-  10 
fernung  nach  der  Annahme  (S.  158,  22)  einen  Quadranten 
(A'Af)  beträgt,  so  wird  auch  /.AHA  ein  Rechter  sein  und 
deshalb  (nach  Eukl.  III.  16.  Zusatz)  AH  f  die  Tangente  an 
den  Epizykel  EZH.  Folglich  mißt  der  zwischen  dem  Mittel- 
punkt A  und  der  Tangente  verlaufende  Bogen  AT  das  15 
Maximum  der  Anomaliedifferenz.*) 

2.  Auf  demselben  Wege  ergibt  sich  der  Beweis  dafür, 
daß  der  Bogen  EH,  welcher  nach  der  hier  zugrunde  ge- 
legten   Annahme    des 

(westwärts     erfolgen-  /"""  ""^\  20 

den)  Fortschrittes  auf 
dem  Epizykel  die  Zeit 
von  der  kleinsten  Be- 
wegung bis  zur  mitt- 
leren mißt,  um  den 
doppelten  Betrag  des 
Bogens  AT  größer  ist 
als    der    Bogen    HZ, 

welcher   die   Zeit  von  

der    mittleren    Bewe-  '^0 

gungbis  zur  größten  mißt.  Verlängern  wir  nämlich  AH  bis  0,  Hei  2ii 
und  ziehen  wir  senkrecht  zu  EZ  die  Linie  AK0,  so  wird 


26 


a)  Weil  die  von  einem  Punkte  (A)  außerhalb  eines  Kreises 
EZH)  nach  diesem  gezogenen  Geraden,  welche  die  Peripherie 
desselben  schneiden,  mit  der  durch  den  Mittelpunkt  gehenden 
Geraden  (AE)  kleinere  Winkel  als  die  Tangente  bilden. 


160 


Drittes  Buch.     Drittes  Kapitel. 


/,KAH  =  /.AAP  (Eukl.  VI.  8) 
6KH~6Ar*> 

6HZ  =  90"-6KH 
6(6EH  —  6HZ^^6KH    oder  ,26 Af),    was  zu  beweisen  war. 

Hu  178  Daß  aber  auch  bei  der  Bewegung  auf  Teilstrecken 
nach  jeder  der  beiden  Hypothesen  alle  Erscheinungen  hin- 
sichtlich der  gleichförmigen  und  der  scheinbaren  Bewegung 
sowie  ihrer  Differenz,  d.  h.  hinsichtlich  der  Anomaliedifferenz, 
10  in  gleichen  Zeiten  ganz  denselben  Verlauf  zeigen,  davon 
kann  man  sich  am  besten  aus  folgender  Darlegung  überzeugen. 
Es  sei  ABT  der  mit  der  Ekliptik 
konzentrische  Kreis  um  das  Zentrum 
A,  der  Exzenter,  von  gleicher  Größe 
mit  dem  Konzenter  ABT,  sei  EZH 
um  das  Zentrum  0;  der  gemeinsame 
Durchmesser  beider  durch  die  Mittel- 
punkte A,  0  und  das  Apogeum  E 
sei  EA0A.  Nachdem  man  auf  dem 
Konzenter  den  beliebigen  Bogen  AB 
abgetragen,  beschreibe  man  um  B  als 
Mittelpunkt  mit  dem  Abstand  A0  den  Epizykel  KZ  und 
ziehe  die  Verbindungslinie  KBA. 
Hei  826  Meine  Behauptung  geht  dahin,  daß  das  Gestirn  infolge 

25  jeder  der  beiden  Bewegungen  durchaus  in  der  gleichen  Zeit 
bis  zu  dem  Schnittpunkt  Z  des  Exzenters  und  des  Epizykels 
gelangen  wird,  d.  h.  daß  die  drei  Bogen,  EZ  des  Exzenters, 
AB  des  Konzenters  und  KZ  des  Epizykels,  einander  ähn- 
lich sein  werden,  und  daß  die  Differenz  zwischen  der  gleich- 
30  förmigen  und  der  ungleichförmigen  Bewegung,  und  somit 
der  scheinbare  Lauf  des  Gestirns,  nach  beiden  Hypothesen 
sich  als  ähnlich  und  gleich  herausstellen  wird. 

Man  ziehe  die  Verbindungslinien  Z0,  BZ,  AZ.    Da  in 
dem  Viereck  B  A  0  Z  die  gegenüberliegenden  Seiten  einander 


15 


20 


a)  Es  sind  die  den  Winkel  der  Anomaliedifferenz  überspannen- 
den, daher  ähnlichen  Bogen. 


Exzentrische  und  epizyklische  Hypothese. 


161 


gleich  sind,*)  d.  h.  Z0  =  B A,  und  BZ  =  A0,  so  wird  dan 
Viereck  BA0Z    ein  Parallelogramm   sein.     Folglich  sind 
die  drei  Winkel  E0Z,  AAB  und  ZBK  (nach  Eukl.  I.  29)  h»  179 
einander  gleich.     Da  alle*  drei  Zentriwinkel  sind,   so  sind 
auch  die  von  ihnen  unterspannten  Bogen,  EZ  des  Exzenters,  5 
AB  des  Konzenters  und  KZ  des  Epizykels,  einander  ähnlich. 
Nach  beiden  Bewegungen  wird  also  das  Gestirn  in  der  gleichen 
Zeit  zu  dem  Punkte  Z  gelangen  und  scheinbar  denselben 
Ekliptikbogen  AB   vom   Apogeum   ab   durchlaufen   haben. 
Dementsprechend    wird    auch    die    Anomaliedifferenz    nach  Hei  287 
beiden  Hypothesen  dieselbe  (d.i.  /1AZ0  =  /.BAZ)  sein.  10 
Denn  wir  haben  nachgewiesen,  daß  die  betreffende  Differenz 
bei    der    exzentrischen    Hypothese    (S.  156,27)    durch  den 
/.AZ0  (dort/.EBZ),  und  bei  der  epizyklischen  (S.  159,  6) 
durch  den  /.  BAZ  (dort  /.  AAH)  dargestellt  wird;  nun  sind  15 
auch  diese  Winkel  einander  gleich  als  innere  Wechselwinkel, 
weil  Z0  als  parellel  zu  BA  nachgewiesen  ist. 

Es  ist  klar,  daß  überhaupt  bei  allen  Entfernungen  (vom 
Apogeum)  dieselben  Erscheinungen  sich  als  Folge  ergeben 
werden,  weil  das  Viereck  BA0Z  unter  allen  Umständen  20 
ein  Parallelogramm  wird  und  der  exzentrische  Kreis  direkt 
von  der  fortschreitenden  Bewegung  des  Gestirns  auf  dem 
Epizykel  beschrieben  wird,  wenn  nach  beiden  Hypothesen 
die  ähnlichen  und  gleichen  Verhältnisse  (S.  l54,20)  ein- 
gehalten werden. 

Daß  aber  auch,  wenn  die  Ver- 
hältnisse nur  ähnlich,  der  Größe 
nach  aber  ungleich  sind,  wieder 
dieselben  Erscheinungen  eintreten, 
wird  aus  folgender  Darlegung  er- 
sichtlich werden.  Es  sei  wieder 
ABT  der  mit  dem  Weltall  kon- 
zentrische Kreis  um  das  Zentrum  A 
und    den    Durchmesser   AAf,    an 


25 


30 


a)  Weil  die  S.  154,  20  geforderten  Verhältnisse  hier  eingehalten 
werden  sollen. 


Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius.   I. 


11 


162 


Drittes  Buch.     Drittes  Kapitel. 


dessen  Enden  das  Gestirn  einerseits  in  die  größte  Erdferne, 
Ha  180  anderseits  in  die  größte  Erdnähe  gelangt.*)     Der  um  den 
Punkt  B  beschriebene  Epizykel  sei   von    dem   Apogeum  A 
den  beliebig  großen  Bogen  AB  entfernt,  und  das  Gestirn 
5  habe  sich  den  Bogen  EZ  bewegt,  der  selbstverständlich  dem 
Hei  228  Bogen  AB  ähnlich  ist,  weil  die  Wiederkehren  (zu  den  Ausgangs- 
punkten) auf  den  Kreisen  von  gleicher  Zeitdauer  sind.  Dann 
ziehe  man  noch  die  Verbindungslinien  ABE,  BZ,  AZ. 

A.  Daß    in    allen   Fällen   die  Winkel  AAE   und  ZBE 
10  einander  gleich  sein  werden  und  somit  das  Gestirn  schein- 
bar auf  der  Geraden  AZ  stehen  wird,  ist  nach  dieser  (d. 
i.  der  epizyklischen)    Hypothese   ohne   weiteres  klar. 

B.  Meine  Behauptung  geht  aber  dahin,  daß  auch  nach 
der  exzentrischen  Hypothese,  mag  der  Exzenter  größer 

15  oder  kleiner  sein  als  der  Konzenter  ABT,  wenn  lediglich 
die  Ähnlichkeit  der  Verhältnisse  und  die  gleiche  Zeitdauer 

der  Wiederkehren  als  Voraus- 
setzung eingehalten  wird,  das 
Gestirn  scheinbar  wieder  auf 
derselben  Geraden  AZ  stehen 
wird. 

Man  beschreibe  also,  wie  ge- 
sagt, einen  größeren  Exzenter 
H0  um  das  auf  Af  liegende 
Zentrum  K,  und  einen  kleineren 
AM  um  das  gleichfalls  auf  Af 
liegende  Zentrum  N.  Nachdem 
man  die  Geraden  AM Z0  und 
AAAH  gezogen,  ziehe  man  die 
Verbindungslinien  0K  und  MN. 

AB:BZ  =  0K:KA  =  MN:NA  (S.  154,26) 
/.BZA  =  /,0AK  =  /.MAN,    weilAAllBZ 


20 


26 


30 


Beweis. 


He    22 


AABZr^AOKA'^AMNAb) 


a)  Insofern  das  Gestirn   in  Punkt  A   im  Apogeum   und  in 
Punkt  r  im  Perigeum  des  Epizykels  stehen  wird. 

b)  Weil  sie  nach  Eukl.  VI.  7  alle  drei  Winkel  gleich  haben, 


Exzentrische  und  epizyklische  Hypothese.  163 

Weil  entsprechenden   Seiten  gegenübergelegen,  ist 
ferner   /,  BAZ  = /.  A0K= /.  AMN, 
folglich        BA     II        0K    II        MN;   (Eukl.  I.  28) 
mithin   i  AAB  =  /.  AK0  =  i  ANM,  (Eukl.  L  29)  Ha  m 

also  6AB^6H0r^6AIV\  auf  gleichen  Zentri-  5 
winkeln,  d.  h.  es  hat  in  der  gleichen  Zeit  nicht  nur  der  Epizykel 
den  Bogen  AB  und  das  Gestirn  den  Bogen  EZ  durchlaufen, 
sondern  auch  auf  den  Exzentern  wird  das  Gestirn  die  Bogen 
H  0  und  A  M  zurückgelegt  haben  und  deshalb  in  allen  Fällen 
der  Theorie  nach  auf  derselben  Geraden  AMZ0  erschaut  10 
werden,  mag  es  auf  dem  Epizykel  in  Punkt  Z  angelangt 
sein,  oder  auf  dem  größeren  Exzenter  in  Punkt  0,  oder 
auf  dem  kleineren  in  Punkt  M,  und  so  ähnlich  in  allen 
Stellungen. 

Hierbei  ist   noch  folgende  Begleiterscheinung   hervorzu-  16 
heben.     Wenn  das  Gestirn  einen  gleichgroßen  Bogen  von 
dem  Apogeum  wie  von  dem  Perigeum  aus  zurückgelegt  hat, 
wird   in  jeder  der  beiden  Stellungen   auch  die  Anomalie- 
differenz gleichgroß  sein. 

A.  Beweis  nach  der  exzentrischen  Hypothese.  Beschreiben  20 
wir  den  Exzenter  A  B  TA  um  das  Zentrum  E  und  den  Durch- 
messer Ar,  welcher  durch  das  Apogeum  A  geht,  während  Hei  23 
das  Auge   auf  diesem  Durchmesser 
in  Punkt  Z  angenommen  wird,  und 

ziehen  wir,    nachdem    durch  Z  die  /^         \         N^       26 

beliebige  Gerade  AZB  gezogen  ist, 
die  Verbindungslinien  EB  und  EA, 
so  werden  sowohl  die  Strecken  des 
scheinbaren  Laufs  (in  der  Ekliptik) 

einander  diametral  gegenüberliegen  "^s^^     "'1  /'^    30 

und  gleichgroß    sein,   d.h.  /.AZB, 
der    den    (scheinbaren)    Lauf    vom 
Apogeum  ab  (in  der  Ekliptik)  unterspannende  Winkel,  wird 
gleich  sein  dem  Z.  fZA,  dem  den  (scheinbaren)  Lauf  vom 
Perigeum  ab  (in  der  Ekliptik)  unterspannenden  Winkel,  als  36 
auch  wird  die  Anomaliedifferenz  dieselbe  sein,  weil  B  E  =  E  A 

11* 


164 


Drittes  Buch.     Drittes  Kapitel. 


und  daher  (nach  Eukl.  I.  5)  LEBZ=  L  E AZ.*)    Polglich 
wird    der    (von    dem   Exzenterwinkel    AEB    unterspannte) 
Ha  182  Bogen  der  gleichförmigen  Bewegung  vom  Apogeum  A  ab 
um  dieselbe  Differenz  (d.  i.  um  /.  EBZ)  größer  als  der  von 
6  dem  I  Ekliptik-)  Winkel  AZB  unterspannte  Bogen  der  schein- 
baren Bewegung,  während  der  (von  dem  Exzenterwinkel  FE  A 
unterspannte)  Bogen  der  gleichförmigen  Bewegung  vom  Peri- 
geum  ab  um  dieselbe  Differenz  (d.  i.  um  /LEAZ)  kleiner 
wird   als    der   von   dem    (Ekliptik-)    Winkel    fZA   unter- 
10  spannte   Bogen   der   scheinbaren   Bewegung.     Denn   (nach 
Eukl.  I.  16)  ist  /.AEB  größer  als  /LAZB  (und  zwar  nach 
I.  32   um   den  /.EBZ),   und   /.TEA  kleiner   als  /.  TZA 
(und  zwar  um  den  gleichgroßen  /.  EAZ).^) 

B.  Beweis  nach  der  epizyklischen  Hypothese.  Beschreiben 
16  wir  um  das  Zentrum  A  und  den  Durchmesser  AAT  den 
Konzenter  ABT,  und  den  Epizykel  EZH   um  den  Mittel- 
punkt A,    und  ziehen  wir,    nachdem  die  beliebige  Gerade 
AH  BZ  durchgezogen  ist,    die  Verbindungslinien  AZ  und 
Hoi23iAH,   so  wird  der  Bogen  AB  der  Anomaliedifferenz  (d.  i. 

der  den  /,  AAZ  überspannende 
Bogen),  wie  die  Annahme  lautet, 
in  beiden  Stellungen,  d.  h.  mag 
das  Gestirn  in  Punkt  Z  oder 
in  Punkt  H  stehen,  wieder  der- 
selbe sein,  und  die  scheinbare 
(in  der  Ekliptik  von  bQB  ge- 
messene) Entfernung  des  Ge- 
stirns von  dem  Punkte  (Q), 
welcher  in  der  Ekliptik  dem 
Apogeum  entspricht,  wenn  es  in 
Punkt  Z  steht,  wird  gleichgroß 


*20 


26 


30 


a)  Das  sind  nach  S.  156, 27  die  Winkel,  deren  Scheitel- 
winkel die  Anomaliedifferenz,  d.  i.  den  Unterschied  zwischen 
der  gleichförmigen  und  der  scheinbaren  Bewegung  in  der 
Ekliptik  messen. 

b)  iSomit  ist,  wie  S.  157,  27  bewiesen  wurde,  /,  AEB  um 
den  doppelten  Betrag  des  /,  EBZ  größer  als  /,  FZA. 


Exzentrische  und  epizyklische  Hypothese.  165 

sein  wie  die  (scheinbare  in  der  Ekliptik  von  6  TT  B  ge- 
messene) Entfernung  von  dem  Punkte  (TT),  welcher  (in  der 
Ekliptik)  dem  Perigeum  entspricht,  wenn  das  Gestirn  in 
Punkt  H  steht.») 

Es   wird  nämlich    der  scheinbare  Bogen   vom  Apogeum  5 
ab    durch    den    /.AZA  (=/_QAB)  gemessen    —    dieser 
Winkel   wurde  ja  (S.  159,  7)  als  die  Differenz^)  zwischen 
der  gleichförmigen    Bewegung   und   der   Anomaliedifferenz 
nachgewiesen  —  wogegen  der  scheinbare  Bogen  vom  Peri- 
geum ab  durch    den  /.ZHA  (=/.TTAB)    gemessen  wird;  Ha  le 
denn   er   ist   seinerseits    gleich    der   Summe")    der  gleich-  11 
förmigen  Bewegung  und  der  Anomaliedifferenz.    Nun  sind 
aber  die  beiden  Winkel  AZA  und  ZHA   (nach  Eukl.  I.  5) 
einander  gleich,  weil  AZ  =  AH.    Folglich  auch  hier  wieder 
dasselbe  Ergebnis:  die  mittlere  (d.  i.  die  gleichförmige)  Be-  15 
wegung  im  Apogeum  (&QA)    ist  um  denselben  Differenz- 
betrag (/.AAZ=6AB)    größer   als    die    scheinbare    Be- 
wegung (b  Q  B),  während  die  mittlere  Bewegung  im  Perigeum 
(6TTA)  um  denselben  Betrag  (/.AAZ  =  6AB)  kleiner  ist 
als  die  gleichgroße  scheinbare  Bewegung  (bTTB),  was  zu  Hei  25 
beweisen  war.*^)  21 


a)  Die  Figur  habe  ich  dahin  abgeändert,  daß  ich  auf  den 
Konzenter  zwei  Epizykel  in  der  dem  Stande  des  Gestirns  auf 
dem  Epizykel  entsprechenden  Entfernung  sowohl  vom  Apogeum 
wie  vom  Perigeum  aufgesetzt  habe.  Da  die  Epizykelhalbmesser 
AZ  und  AH  infolge  der  Gleichzeitigkeit  der  Umläufe  stets 
parallel  zum  Durchmesser  ßTT  sind,  so  wird  durch  diese  Figur 
die  Gleichheit  des  gleichförmigen  Laufs  auf  Epizykel  und  Kon- 
zenter  anschaulich,  nämlich  daß  einerseits  /,EAZ  =  /,S2AA 
und  anderseits  /.  AAH  =  /.  TTAA. 

b)  /,  AZA  =  ^  EAZ  -/,  AAZ  oder  6QB  =  6QA-6AB. 

c)  /.ZHA  =  /,AAH  +  /,AAZ  oder  6  HB  =  6  HA -f- 6  AB. 

d)  Da  6QB  =  6ßA-6AB  und  6  HB  =  6  HA -j- 6  AB,  so  ist 
einerseits  (im  Apogeum)  b  QfK  =  b  QB -\-b  AB,  anderseits  (im 
Perigeum)  &TTA  =  &TTB-6AB. 


166  Drittes  Buch.     Viertes  Kapitel. 


Viertes  Kapitel, 
Die  scheinbare  Anomalie  der  Sonne. 

Nach  Erledigung  dieser  Vorbetrachtungen  muß  noch  die 
Bemerkung  vorausgeschickt  werden,  daß  auch  die  an  der 
Sonne  wahrzunehmende  scheinbare  Anomalie,  weil  sie  eine 
einzige  ist  und  die  Zeit  von  der  kleinsten  Bewegung  bis 
5  zur  mittleren  stets  größer  macht  als  die  Zeit  von  der  mitt- 
leren bis  zur  größten  —  und  diese  Voraussetzung  finden 
wir  ja  mit  den  Erscheinungen  in  Einklang  —  sehr  wohl 
mit  Hilfe  jeder  der  beiden  besprochenen  Hypothesen  zum 
Ausdruck  gebracht  werden  kann,  allerdings  mit  Hilfe  der 

10  epizyklischen  nur  unter  der  Voraussetzung  (S.  155,29), 
daß  der  Fortschritt  der  Sonne  auf  dem  erdfernen  Bogen 
des  Epizykels  gegen  die  Richtung  der  Zeichenfolge  (d.  i. 
westwärts)  vor  sich  gehe.  Indessen  dürfte  es  doch  logisch 
richtiger  sein,  sich  an  die  exzentrische  Hypothese  zu  halten, 
Ha  184  weil  sie  einfacher  ist,   insofern  sie  mit  einer  Bewegung, 

16  und  nicht  mit  zweien,  zum  Ziel  gelangt. 

Voran  steht  die  Aufgabe,  das  Verhältnis  der  Exzentrizität 
des  Sonnenkreises  zu  finden,  d.  h.  zu  ermitteln,  erstens,  in 
welchem  Verhältnis  die  das  Zentrum  des  Exzenters  und  den 

20  dem   Auge    entsprechenden    Mittelpunkt   der   Ekliptik  ver- 
bindende Gerade  zu  dem  Halbmesser  des  Exzenters  steht; 
zweitens,    in   welchem  Grade   der  Ekliptik   der    erdfernste 
Punkt  des  Exzenters  liegt. 
Hei  233      Schou  vou  Hipparch  sind  diese  Verhältnisse  mit  erfolg- 

25  reichem  Bemühen  nachgewiesen  worden.  Unter  Zugrunde- 
legung der  Tatsache,  daß  die  Zeit  von  der  Frühlingsnacht- 
gleiche bis  zur  Sommerwende  94V2  Tage,  und  die  von  der 
Sommerwende  bis  zur  Herbstnachtgleiche  92V2  Tage  be- 
trägt, weist  er  einzig  und  allein  mit  Hilfe  dieser  durch  die 

30  Erscheinungen  gebotenen  Tatsachen  nach,  daß  die  zwischen 
den  obenbezeichneten  Mittelpunkten  liegende  Gerade  ohne 
wesentlichen  Fehler  V24  ^^s  Halbmessers  des  Exzenters  be- 


Anomalie  der  Sonne.  167 

trage,  und  daß  das  Apogeum  des  Exzenters  247^  solche 
Grade,  wie  die  Ekliptik  360  enthält,  vor  der  Sommer- 
wende liege. 

Auch  wir  gelangen  zu  dem  Ergebnis,  daß  noch  heutzu- 
tage die  Zeiten  der  obenbezeichneten  Quadranten  und  die  5 
angegebenen  Verhältnisse  nahezu  dieselben  sind,  woraus 
uns  ersichtlich  wird,  daß  der  Exzenter  der  Sonne  zu  den 
Wende-  und  Nachtgleichenpunkten  ewig  dieselbe  Lage 
bewahrt.^^) 

Um  jedoch  über  einen  so  wichtigen  Punkt  nicht  leicht  10 
hinweggegangen  zu  sein,  sondern  um  auch  mit  Hilfe  der 
von  uns  ermittelten  Zahlen  den  theoretischen  Satz  als  richtig 
hinzustellen,  werden  auch  wir  den  Nachweis  vorgenannter 
Punkte  am  exzentrischen  Kreise  unter  Benutzung  derselben  Ha  ii 
Erscheinungen  führen,  d.  h.,  wie  gesagt,  unter  Zugrunde-  15 
legung  der  Tatsache,  daß  die  Zeit  von  der  Frühlingsnacht- 
gleiche  bis    zur  Sommer  wende    94Y2  Tage,    und    die  von 
der  Sommerwende  bis   zur  Herbstnachtgleiche  92V2  Tage 
beträgt. 

Wir  finden  nämlich  mit  Hilfe  der  im  463*®"  Jahre  nach  20 
dem  Tode  Alexanders  (139/140  n.  Chr.)  von  uns  sehr  ge- Hei  s 
nau  beobachteten  Nachtgleichen  und  der   ebensogenau  be- 
rechneten Sommerwende  ^^)  die  übereinstimmende  Zahl  von 
Tagen  der  Zwischenzeiten.  Es  fand  nämlich,  wie  (S.  142, 12) 
schon  mitgeteilt,  die  Herbstnachtgleiche  am  9.  Athjr  (26.  Sept.  25 

139  n.Chr. etwa  eine  Stunde)  nach  Sonnenaufgang  und  die 
Frühlingsnachtgleiche   (S.  143, 3)  am   7.  Pachon  (22.  März 

140  n.  Chr.  etwa  eine  Stunde)  nach  Mittag  statt,  so  daß 
die  Zwischenzeit  in  Summa  178%  Tage  beträgt.*)  Die 
Sommerwende  fand  statt  (S.  144,  l)  am  11.  Mesore  30 
(24.  Juni  ungefähr  zwei  Stunden)  nach  der  Mitternacht  auf 
den  12.  Mesore  (25.  Juni  140  n.  Chr.  2^  nachts),  so  daß 
diese  Zwischenzeit,  d.  h.  die  von  der  Frühlingsnachtgleiche 


a)  Von  dem  Mittag  des  9.  Athyr  bis  zu  dem  Mittag  des 
7.  Pachon  sind  180"^  — 2*=  178*,  hierüber  von  7*»  früh  bis 
Mittag  des  9*«°  5«*  und  1**  über  den  Mittag  des  7*«*»,  d.  i.  y^*. 


168 


Drittes  Buch.     Viertes  Kapitel. 


10 


15 


20 


25 


[ei  235 


30 


bis  zur  Sommerwende,  94V2  Tage  ausmacht. *)  Es  bleiben 
demnach  für  die  Zwischenzeit  von  der  Sommerwende  bis 
zur  nächsten  Herbstnachtgleiche  die  an  der  Jahreslänge 
noch  fehlenden  92^2  Tage  übrig. 

Beweis.  Es  sei  also  AB  TA  der  Kreis  der  Ekliptik  um 
das  Zentrum  E.  In  demselben  ziehe  man  durch  die  Wende- 
punkte und  die  Nachtgleichenpunkte   zwei   einander  unter 

rechten  Winkeln  schneidende 
Durchmesser  AT  und  BA.  Da- 
bei sei  A  als  Frühlingspunkt,  B 
als  Sommerwendepunkt  usw.  an- 
genommen. 

Daß  der  Mittelpunkt  (Z)    des 
Exzenters  zwischen  die  Geraden 
EA  und  EB  fallen  wird,  ist  dar- 
aus ersichtlich,  daß  der  Halbkreis 
ABT  eine  längere  Zeit  (187  Tage) 
umfaßt  als  die  Hälfte  der  Jahres- 
länge; infolgedessen 
muß  er  von  dem  Ex- 
zenter ein  Stück  ab- 
trennen, das  größer 
ist  als  ein  Halbkreis. 
Ferner  umfaßt  auch 
der    Quadrant   AB 
^    (mit  94  V2  Tagen) 
wieder  eine  längere 
Zeit   als    der  Qua- 
drant B  T  (mit  9  2 '/g 
Tagen)  und  trennt 
deshalb  von  demEx- 
zenter  einen  größe- 
ren   Bogen   ab   als 


a)  Von  dem  Mittag  des  7.  Fachen  bis  zu  dem  Mittag  des 
11.  Mesore  sind  94^  hierüber  14"*  bis  2^  nach  Mitternacht  auf 
den  12*®"  weniger  1«*  nach  dem  Mittag  des  7.  Pachon,  d.  s.  13 ^S 
mithin  1"*  über  7,^.     Vgl.  erl.  Anm.  23  Ende. 


Anomalie  der  Sonne.  169 

letzterer.  Unter  Berücksichtigung  dieser  Verhältnisse  sei 
Punkt  Z  als  Zentrum  des  Exzenters  angenommen.  Man 
ziehe  den  durch  beide  Mittelpunkte  und  das  Apogeum  gehen- 
den Durchmesser  EZH^^  und  beschreibe  um  Z  als  Zentrum 
mit  beliebigem  Abstand  als  den  Exzenter  der  Sonne  den  5 
Kreis  0KAM.  Ferner  ziehe  man  durch  Z  zu  AT  die 
Parallele  NEO,  zu  BA  die  Parallele_TTPI,  und  endlich 
von  0  unter  rechten  Winkeln  durch  NEO  die  Sehne  0  T  Y, 
von  K  unter  rechten  Winkeln  durch  TTPZ  die  Sehne  KOX. 

Da  also  die  Sonne  den  Kreis  0KAM  mit  gleichförmiger  10 
Geschwindigkeit  durchläuft,  so  durchwandert  sie  den  Bogen 
0K  in  94'/2  Tagen  und  den  Bogen  KA  in  92V2  Tagen. 
Nun  beträgt  (nach  den  Tafeln  der  gleichförmigen  Sonnen- 
bewegung) ihre  gleichförmige  Bewegung  in  94  V2  Tagen 
von  den  360  Graden  des  Kreises  93^9',  und  in  9272  Tagen  15 
91^11',^)  so  daß  auf  den  Kreisbogen  0 K A  184^'20'  kommen. 
Hieraus  ergibt  sich  zunächst  folgendes. 

1.  a)  Die  Summe  der  beiderseits  über  den  Halbkreis  NTTO  Hei  236 
hinausgehenden  Bogen  N0  und  CA  beträgt  (die  über  180® 
überschießenden)  4<^20'.  20 

Nun  ist    6  0NT  =  ^6N0,  (Eukl.  III.   3) 
mithin   &0NY  =  4°2O'  in  demselben  Maße, 
also       s0Y  =  4P32'    wie  exdm  =  120"^, 
folglich    Vg  5  0 T  d.  i.  0T  =  EE  =  2P 16'.  Ha  18 

b)  Der  Bogen  0NTTK  beträgt  im  ganzen  93^9',  wovon  25 
auf  den  Quadranten  NTT  90®  und  auf  den  Bogen  N0  2®10' 
entfallen;   es  verbleibt  demnach  als  Rest 

6  HK  =  (93°9'  -  92^0'  =)  0<»59'. 
Nun  ist   6KnX  =  56nK,  (Eukl.  III.   3) 
mithin    6KnX=l«58',  30 

also    s  K0X  =2^4'  wie   exdm  =  120^, 
folglich    %sK0X  d.  i.  KcD  =  2=^1^2'. 

a)  Durchmesser  werden  wiederholt  nur  mit  den  Buchstaben 
des  Halbmessers  bezeichnet. 

b)  Nach   den   Sonnentafeln  berechnet:    90*  + 4^ -f- %*  =  93» 
8' 32";  90*4-2*+ y2d  =  91«10'15". 


170  Drittes  Buch.     Viertes  Kapitel. 

c)  Es  wurde  also  nachgewiesen 

EE  =  2Pl6'  und  25=1^2'. 
Nun  ist    ZEHEE^  =  EZ', 
mithin     EZ  =  2P29'30"   wie   exhm  =  QO^. 
5       Folglich  beträgt  der  Halbmesser  des  Exzenters  ohne  wesent- 
lichen Fehler  das  2  4  fache  der  die  Mittelpunkte  des  Exzenters 
und  der  Ekliptik  verbindenden  Geraden  (EZ). 
ei  237      2.  Vorstehendem  Nachweis  zufolge  ist 

ZE=i^2'  wie  EZ  =  2^29'30". 
10  Setzt  man  EZ  =  120^  als  Hypotenuse, 

so  wird         ZE  =  49^46'; 

also      6  ZH  =  49«»  wie  ©  ZE E  =  360«, 
folglich    /,  Z  E  =  =  49»  wie  -8  J^  =  360S 

=  24" 30'  wie  4R  =  d60^.^^ 
15       Da  /.ZEH  ein  Zentriwinkel  der  Ekliptik  ist,  so  beträgt 
der  Bogen  BH   24^30'.     Das  ist  der  Bogen,   um  welchen 
das  Apogeum  H  gegen  die  Richtung  der  Zeichen  (d.  i.  west- 
lich) vor  dem  Sommerwendepunkt  B  (also  in  TT  5^30')  liegt. 
Ha  188       3.  a)   Da  der  Quadrant  OZ  90^  beträgt,  wovon  auf  den 
20  Bogen  OA  2^0'  und  auf  den  Bogen  MI  (=TTK)  0^59' 
entfallen,  so  verbleibt  als  Rest 

ft  AM  =  (90<>-  3»9'  -)  86"51'. 
b)  Da  der  Quadrant  Z  N  90°  beträgt,  so  wird,  wenn  man 
den  Bogen  N0  mit  2°  10'  abzieht  und  den  Bogen  MI  mit 
25  0'^59'  dazusetzt, 

6  M0  =  (90"  -  2n0'  +  0"59'  =)  88"49'. 
Nun  durchläuft  die  Sonne  mit  gleichförmiger  Geschwindig- 
keit 86^51'  in  88V8  Tagen,*)  und  88^49'  ohne  wesentlichen 
Fehler  in  90V8  Tagen>>   Folglich  wird  sie  in  SS^^  Tagen 
scheinbar    den   Bogen    PA    durchlaufen,    welcher   von   der 
30  Herbstnachtgleiche  bis  zur  Winterwende  reicht,  und  ohne 


a)  Die  Divisioa  86"51':59'8"  (tägl.  Bew.  der  Sonne)  ergibt 
88*7' 22";  es  fehlen  8"  an  %\ 

b)  Die  Division  88°49':59'8"   ergibt  90*7'6";  es  fehlen  24" 

an   y«<^. 


Anomalie  der  Sonne. 


171 


wesentlichen  Fehler  in  OOYs  Tagen  den  Bogen  AA,  welcher  ii  ei  238 
von  der  Winter  wende  bis  zur  Frühlingsnachtgleiche  reicht. 

Somit  sind  die  vorstehenden  Ergebnisse  in  Übereinstimmung 
mit  den  Darlegungen  Hipparchs  von  uns  gewonnen  worden. 

Mit  Zugrundelegung  dieser  Größenbeträge  wollen  wir  jetzt  5 
zunächst  feststellen,  wie  groß  das  Maximum  der  Differenz 
zwischen  der  gleichförmigen  und  der  ungleichförmigen  Be- 
wegung ist,  und  an  welchen  Punkten  es  eintreten  wird. 

A.  Nach  der  exzentrischen  Hypothese.  EsseiABfder 
Exzenter  um  das  Zentrum  A  und  den  durch  das  Apogeum  A  10 
gehenden  Durchmesser  AAP,  auf  welchem  der  Mittelpunkt 
der  Ekliptik  Punkt  E  sei.  Rechtwinklig  zu  AT  ziehe  man 
die  Gerade  EB  und  verbinde  A  mit  B.  Nach  dem  (oben 
festgestellten)  Verhältnis  von  1  :  24  beträgt  die  zwischen 
den  Mittelpunkten  liegende  Strecke 

AE=      2^30'    wie    exhm  BA  =  60^. 
Setzt  man  BA  =  120P  als  Hypotenuse, 


15 


so 


wird 
also 
folglich 


AE  = 

b  AE  = 

i  ABE  = 


5^ 

4-46'  wie  ©  AEB  =  360<', 
4U6'  wie  2M  =  S60^, 
=      2°  23'  wie  4jB  =  360<'. 
Mit  diesem  Winkel   ist  die  Anomaliedifferenz  gefunden.  22 
In  demselben  Maße  ist  L  BEA  =  90^,  und  als  Summe  dieser 
beiden  Winkel  natürlich  /.BAA  = 
92^23'.    Nun  ist  L  BAA  ein  Zentri- 
winkel des  Exzenters  (mißt  also  die 
gleichförmige  Bewegung),    während 
/.BEA  ein  Zentriwinkel  der  Eklip- 
tik ist  (also  die  ungleichförmige  Be- 
wegung darstellt);    folglich  werden 
wir    das    Maximum    der   Anomalie- 
differenz mit  2^23'  erhalten,  und  von 
den  Bogen,    an  deren  Enden  dieses 
Maximum    eintritt,    den    des    Exzenters, 


Ha  18f 
Hei  235 


25 


30 


i.   den    gleich- 


d. 
förmigen,    mit    92^23'    vom    Apogeum    ab,    und    den    der  35 
Ekliptik,  d.  i.  den  scheinbar  ungleichförmigen,  mit  den  90*^ 
des    Quadranten,    wie    wir   schon    früher  (S.  155,  ll)  dar- 


172 


Drittes  Buch.     Viertes  Kapitel. 


gelegt  haben.    Daß  auf  dem  diametral  gegenübergelegen en 

Kreisabschnitt    der  scheinbare    mittlere  Lauf  und   (damit) 

das  Maximum  der  Anomaliedifferenz  bei  270®  liegen  wird, 

während  der  gleichförmige  Lauf,  d.  i.  der  auf  dem  Exzenter 

6  vor  sich  gehende,   erst  bei  267^37'  angelangt  ist,  geht  aus 

dem  früher  (S.  157,27)   geführten  Beweis  deutlich  hervor. 

B.  Es  ist  mit  Hilfe  der  gefundenen  Zahlen,  wie  wir  es 

(S.   155,7)    angekündigt    haben,    noch  nachzuweisen,    daß 

auch    nach    der    epizyklischen    Hypothese     dieselben 

10  Beträge  als  Ergebnis  herauskommen,  wenn  dieselben  Ver- 

,  hältnisse,   wie  wir  sie  bisher  (S.  154, 20) 

angenommen  haben,  weiter  gelten. 

Es  sei  A'  B  r  der  mit  der  Ekliptik  kon- 
zentrische Kreis  um  das  Zentrum  A  und 
den  Durchmesser  A'AF,  EZH  sei  der 
^  Epizykel  um  den  Mittelpunkt  A.  Man 
ziehe  von  A  an  den  Epizykel  die  Tan- 
gente AZB  und  verbinde  A  mit  Z  durch 
eine  Gerade.  Es  wird  demnach  in  ent- 
„  sprechender  Weise  in  dem  rechtwinkligen 
Dreieck  AZA 

AZ=  %4AA  (d.  i.  2P30'). 
AA-=120^*  als  Hypotenuse, 
5AZ=     5P, 

6AZ=      4«46'  wie  eAZA  =  360»; 
^AAZ=      4^46'  wie  5JB  =  360", 
=      2*23'  wie  4^  =  360^ 
Somit   ist    auch    auf   diesem    Wege    das   Maximum    der 
Anomaliedifferenz,  d.  i.  der  Bogen  AB,  in  übereinstimmen- 
30  der  Weise  mit  2^23'  gefunden,  der  ungleichförmige  (d.  i. 
scheinbare)  Bogen  (A'B),  da  er  von  einem  rechten  Winkel, 
d.  i.  /-AZA  (nach  S.  159,7  =Z.A'AB),   gemessen    wird, 
mit  90'',    und  der    gleichförmige  Bogen  (EZ'^A'A),    der 
von  /.EAZ  (=/.  A'AA  =  90^-1- 2<^23')  gemessen  wird,  mit 
35  92*^23'. 


15 


Ha  190\  F 
Hei  240( 


20 


25 


Setzt  man 

so  wird 

also 

folglich 


Drittes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


173 


Fünftes  Kapitel. 
Feststellung  der  Einzelabschnitte  der  Anomalie. 

um  auch  die  Einzelabschnitte  der  ungleichförmigen  Be- 
wegung von  Fall  zu  Fall  durch  Rechnung  bestimmen  zu 
können,  werden  wir  wieder  nach  jeder  der  beiden  Hypo- 
thesen nachweisen,  wie  wir,  wenn  einer  der  in  Frage 
kommenden  Bogen  gegeben  ist,  auch  die  beiden  anderen  5 
erhalten  werden. 

I.    Im  Apogeum. 
A.  Nach  der  exzentrischen  Hypothese. 
Es  sei  ABT  der   mit  der  Ekliptik   konzentrische  Kreis  Hei  241 
um  den  Mittelpunkt  A,  EZH  der  Exzenter  um  das  Zen-H»i9i 
trum  0.  Der  durch  beide  Mittelpunkte 
und  das  Apogeum  E  gehende  Durch- 
messer sei  EA0AH.    Nachdem  man 
den  Bogen  EZ  abgetragen,  ziehe  man 
die  Verbindungslinien   ZA  und  Z0. 
Gegeben  sei  zunächst  der  Bogen  EZ 
beispielshalber  mit  80°.  Nachdem  man 
Z0   (über  0)  verlängert,    fälle   man 
auf  diese  Gerade  von  A  aus  das  Lot 
AK.     Es  ist  also 

6EZ=   30°  nach  Annahme, 
folglich   i  E0Z  =    30»  wie  4i^  =  360^ 
=    60*  wie  5E  =  360°. 
Nun  ist  /.A0K  =  /,E0Z  (als  Scheitelwinkel), 
folglich  auch  /,A0K=   m^  wie  <2J2  =  360'>; 

I  6AK=    60">  wie  ©AK0  =  36O«, 
i  ,6  K  0  =  120»  als  Supplementbogen*^; 

1  .sK0  =  103^55' 


11 


15 


20 


mithin 


also 


a)  Mit  ,6  und  ,s  soll  auch  weiterhin  der  Supplementbogen 
und  die  ihn  unterspannende  Sehne  bezeichnet  werden,  mit  h 
die  Hypotenuse,  mit  hm  und  dm  Halb-  und  Durchmesser. 


174 


Drittes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


Hei  248 


Setzt  man 

so  wird 

mithin 

Nun  ist 

mithin 

Setzt  man 

so   wird 

also 


Ha  192 
10 


20 


hAe=      2P 30'  wie  hm  ZQ  =  60^, 
AK=      1^15'  und  K0  =  2PlO', 
KZ  =  Z0    +K0  =  62^'1O'. 
KZHAK^  =  ZAS    (Eukl.  I.  47) 
ZA=    62^11' wie  AK  =  1^15'. 
ÄZA  =  120P, 

AK=      2^25', 
6AK=      2n8'  wie  ©AKZ  =  360^ 
mithin   /,AZK=     2n8'  wie  ^i2  =  360», 
=      1»  9'  wie  4E  =  360<'.^) 
Hiermit   ist  also   im  vorliegenden  Fall    der  Betrag  der 
Anomaliedifferenz  gefunden.   Da  in  demselben  Maße  Z.  E0Z 
=  30^  war,  so  wird  der  Z.AAB,  d.i.  der  Bogen  AB  der 
Ekliptik,    als   Differenz    dieser   beiden  Winkel  28° 51'  be- 
6  tragen. 

Auch   wenn   ein  anderer  Winkel    (als  /.E0Z)  gegeben 
ist,  werden  sich  die  beiden  anderen  gleichfalls  bestimmen 
lassen.    Dies  wird  ohne  weiteres  ein- 
leuchten, wenn  man  an  derselben  Figur 
von  0  auf  ZA  das  Lot  0A  fällt. 

a)  Nehmen  wir  zunächst  den  Bogen 
AB  der  Ekliptik,  d.  i.  den  /L  0AA 
als  gegeben  an,  so  wird  damit  auch 

das  Verhältnis  ^-r  (nach  den  Sehnen- 
tafeln) gegeben  sein.  Da  nun  auch 
das  Verhältnis  7^^  (mit  2^3  *  60)  ge- 


25 


0Z 


0Z 


geben   ist,    so   wird  auch  das  Verhältnis  -^  (nach  Eukl. 

Data  8)  gegeben  sein,  und  damit  werden  wir  als  gegeben 
erhalten  sowohl  den  LQZ/\  (nach  den  Sehnentafeln),  d.i. 
30  die  Anomaliedifferenz,    als    auch    (als  Summe    der  beiden 
Hei  243  Winkel)  den  /LE0Z,  d.  i.  den  Bogen  EZ  des  Exzenters, 
b)  Nehmen  wir  schließlich  die  Anomaliedifferenz,    d.  i. 
den  L  0  ZA  als  gegeben  an,  so  werden  sich  dieselben  Er- 
gebnisse in  umgekehrter  Reihenfolge  einstellen.     Ist  hier- 


Einzelabschnitte  der  Anomalie. 


175 


durch  das  Verhältnis  ^r-v  (nach  den  Sehnentafeln)  gegeben, 

und    von   vornherein    auch    (mit    60 :  2Y2)   das   Verhältnis 

>^)  so  ist  auch  das  Verhältnis  ^j  (nach  Eukl.  Data  8) 

gegeben,  und  damit  (nach  den  Sehnentafeln)  sowohl  Z.  0A  A, 
d.  i.  der   Bogen  AB    der  Ekliptik,    als    auch  (als  Summe  Ha  193 
der  beiden  Winkel)  /.E0Z,  d.  i.  der  Bogen  EZ  des  Ex-    6 
zenters. 

B.  Nach  der  epizyklischen  Hypothese. 

Es  sei  ABT  der  mit  der  Ekliptik  konzentrische  Kreis *^  um 
das  Zentrum  A  und  den  Durchmesser  AAP,  der  in  dem  vor-  10 
geschriebenen  Verhältnis  (S.  154, 
26)  zu  ihm  stehende  Epyzikel 
sei  EZH0  um  den  Mittelpunkt 
A.  Nachdem  man  den  Bogen 
EZ  abgetragen,  ziehe  man  die 
Verbindungslinien  ZBA  und  ZA. 

Der  Bogen  EZ  sei  wieder  mit 
30^  als  gegeben  angenommen. 
Man  fälle  von  Z  auf  AE  das 
Lot  ZK.    Es  ist 


15 


6EZ=  30« 
folglich  /,  EAZ=  30* 
=  60^ 
6ZK-  60*^ 
,&KA  =  1200 
sZK=  6OP 
,sKA  =  103^55 
hAZ=      2P3O' 


mithin 


also 


nach  Annahme, 
wie  4R  =  360^ 
wie     ^i2-360°; 

wie     eZKA  =  360«, 
wie     dmAZ  =  120P. 


20 


Uei  244 
25 


Setzt  man 

so  wird 

mithin 


ZK=      1^15' 


wie 
und 


ÄmAA  =  60P, 
KA  =  2PlO', 


KA-KA  +  AA  =  62^10' 


30 


a)  Die  Bezeichnung  der  Apogeumstelle  durch  ß  ist  an  der 
Figur  hinzugefügt,  um  den  scheinbaren  Bogen  QB  der  Ekliptik 
kenntlich  zu  machen. 


176  Drittes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

Nun  ist         ZK2  +  KA'  =  ZA% 
mithin  ZA=    62^11'     wie     ZK  =  1^15'. 

Setzt  man      äZA  =  120P, 
so  wird       sZK=     2^25', 
Ha  194  also        6ZK=      2"'18'     wie     ©ZKA  =  360», 

6  mithin   /,ZAK=      2^8'     wie     2B  =  B60°, 

=      1«   9'     wie     4R-360^ 

Hiermit  wird  also  wieder  der  Betrag  der  Anomaliedifferenz, 

d.  i.  desBogens  AB,  gefunden  sein.    Da  in  demselben  Maße 

Hei  245  auch  /.  E  AZ  =  30°  war,  so  wird  L  AZA  (=  LQAZ\  d.  i. 

11  der  scheinbare  Bogen  (QB)  der  Ekliptik,  als  Differenz  dieser 

beiden  Winkel  (L  E  AZ  —  L  ZAK)  übereinstimmend  mit  den 

nach  der  exzentrischen  Hypothese  nachgewiesenen  Beträgen 

gleich  28^51'  sein. 

16       Auch  hier  werden  sich  wieder,  wenn  ein  anderer  Winkel 

„  gegeben  ist,  die  übrigen  gleich- 

£X'"TrJX  ^--J^--^  ^^^^^  bestimmen  lassen.  Man  fälle 

^~^\  an  derselben  Figur  von  A  auf  A  Z 

\  das  Lot  AA. 

^^     V  /     ^^>^  •                \  ^)  T-i^ssen  wir  zunächst  wieder 

j  den  scheinbaren  Bogen  derEklip- 

\                  \^^         i  tik  (QB),  d.  i.  den  /.  AZA  (= 

\                          \.     /  /.  QAZ)  gegeben  sein,  so  wird 

\                         y  damit  auch  (nach  den  Sehnen- 

^-»^  ^.-"^  ZA 

25  tafeln)  dasVerhältnis^  gegeben 

sein.     Da  ferner  von  vornherein  (mit  2^2  •  60)  das  Verhält- 
nis j-ir  gegeben  ist,  so  wird  auch  das  Verhältnis  ^-jr  (nach 

Eukl.  Data  8)  gegeben  sein.     Damit  wird  aber  auch  (nach 

den   Sehnentafeln)   der  /l  AAB,    d.  i.  der   Bogen  AB    der 

30  Anomaliedifferenz,  sowie  (als  Summe   der  beiden  Winkel) 

H»  195  der  Z.  EAZ,  d.  i.  der  Bogen   EZ   des   Epizykels,   gegeben 

sein. 

b)  Nehmen   wir  schließlich   die   Anomaliedifferenz,   d.  i. 

den  Z.  AAB  als  gegeben  an,  so  wird  wieder  in  umgekehrter 

35  Reihenfolge    damit  zunächst  (nach   den   Sehnentafeln)    das 


EinzelabBchnitte  der  Anomalie. 


177 


AA 


Verhältnis   .  .  gegeben  sein.    Da  ferner  von  vornherein  (mit 


AA 


AA 


60:272)  das  Verhältnis  ^^  gegeben  ist,  so  wird  auch  das 

ZA 
Verhältnis  .  .    (nach  Eukl.  Data  8)  gegeben  sein.     Danait  Hei  24 

wird  aber  auch  (nach  den  Sehnentafeln)  der  /.AZA,  d.  i. 
der  scheinbare  Bogen  (^B)  der  Ekliptik,  sowie  (als  Summe    5. 
der  beiden  Winkel)  der  /_  E  AZ,  d.  i.  der  Bogen  EZ  des  Epi- 
zykels,  gegeben  sein. 


II.  Im  Perigeum. 
A.  Nach  der  exzentrischen  Hypothese 

Man  trage  an  der  oben  (S.  173,9) 
beschriebenen  Figur  des  Exzenters 
vom  Perigeum  H  des  Exzenters  den 
ebenfalls  wieder  mit  30^  als  gegeben 
angenommenen  Bogen  HZ  ab,  ziehe 
die  Verbindungslinien  AZB  und  Z0, 
und  fälle  von  A  auf  0Z  das  Lot  A  K. 
Es  ist 

6  Z  H  =  30"  nac h  Annahme, 

folglich  /:  Z0H  -  30»  wie  4R  =  360^ 
=  60«  wie  ^J^  =  360^ 

6OP  I 


mithin 


also 


,6K0 

sAK 

.sK0  =103^' 55' 


wie  dmAQ  =  120^. 


Setzt  m  an  /?,  A  0  =     2^  30'  wie  Ä  m  0  Z  =  60**, 
so  wird         AK=      1^15'     und     K0  =  2PiO', 
mithin  KZ  =  0Z  -  K0  -  57^50'. 

Nun  ist       AK'-1-KZ»  =  AZ', 
mithin         AZ=    57^' 51'  wie  AK  =  1^16'. 

Setzt  man  hAZ  =  120^, 

so  wird  sAK=      2^34', 

also  6AK=      2<>27'  wie  ©AKZ=-360»; 

Ptülemäus,  übers,  v.  Manitlus.   I. 


10 


15 


20 


30 


12 


178 


Drittes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


mithin  /  AZK 


2<>27'  wie  <8J2  =  360°, 
1*14'  wie  4i2  =  360". 


10 


Hiermit  ist  also  die  Anomaliedifferenz  gefunden.    Da  in 

demselben  Maße   auch  /.  Z  0  H   mit   30^  als   gegeben   an- 

6  genommen  ist,  so  wird  /.BAT,   d.  i.  der  Bogen  TB   der 

Ekliptik,  als  Summe  dieser  beiden  Winkel  31^14'  betragen. 

Wie  oben,  verlängere  man  auch  in 
diesem  Falle  BA  (über  A)  und  fälle 
auf  die  Verlängerung  das  Lot  0A. 

a)  Lassen  wir  zunächst  den  Bogen 
TB  der  Ekliptik,  d.  i.  den  L  0 AA  (als 
Scheitelwinkel  =  /.  B  A  f)  gegeben  sein, 
so  wird  damit  auch  (nach  den  Sehnen- 

A0 
tafeln)  das  Verhältnis  ^-r  gegeben  sein. 

Da  ferner  von  vornherein  (mit  ^^/^ :  60) 

das  Verhältnis  ^-^  gegeben  ist,  so  wird 

p^  .   (nach  Eukl.  Data  8)  gegeben  sein. 

Damit  werden  wir  aber  als  gegeben  erhalten  sowohl  L  0ZA, 
d.  i.  die  Anomaliedifferenz  (nach  den  Sehnentafeln),  als  auch 
20  (als  Differenz  der  beiden  Winkel  BAT—  0ZA)  den  Z.  Z0A, 
d.  i.  den  Bogen  H  Z  des  Exzenters. 

Ha  197       b)  Lassen  wir  schließlich  die  Anomaliedifferenz,  d.  i.  den 
/,0ZA  gegeben  sein,  so  wird  in  umgekehrter  Reihenfolge 

damit  zunächst  (nach  den  Sehnentafeln)  das  Verhältnis  ^r 

26  gegeben  sein.    Da  ferner  von  vornherein  (mit  60:  2Y2)  das 

-^-^  gegeben  ist,  so  wird  auch  das  Verhältnis 


Hei  248 


16 


auch  das  Verhältnis 


Z0 


Damit  werden  wir 


Verhältnis 

^-j-  (nach  Eukl.  Data  8)  gegeben  sein. 

aber  als  gegeben  erhalten  sowohl  den  /.0AA  (=  Z^BAf), 
d.  i.  den  Bogen  TB  der  Ekliptik   (nach  den  Sehnentafeln), 
30  als  auch  (als  Differenz  der  beiden  Winkel  BAT —  0ZA) 
den  ^Z0H,  d.  i.  den  Bogen  HZ  des  Exzenters. 


Einzelabschnitte  der  Anomalie. 


179 


B.  Nach  der  epizyklischen  Hypothese 

Man  trage  an  der  oben  (S.  175,  9) 

beschriebenen  Figur*)  des  Konzenters 

mit    dem    Epizykel    von    dem    Peri- 

geum  0    den   Bogen    0H    ebenfalls 

gleich    30^    ab,    ziehe    die    Verbin- 1 

dungslinien  A  H  und  AHB  und  fälle 

von  H  auf  A  A  das  Lot  H  K.    Es  ist 

6  0  H  =  30"  nach  Annahme, 

folglich  /,0AH=  30®wie4i2  =  360«, 

=   60°wie^J?  =  360*'; 


mithin 

also 

Setzt  man 

so  wird 

mithin 

Nun  ist 
mithin 


6HK=    60 
.6KA  =  120 


o}    wie  ©HKA  =  360«, 

UHK=    60P       I   ^ie/.AH  =  120P. 
l,sKA  =  103^55') 

h^H=      2^30'  wie  hm  kA  =  120^, 
HK=      1^15'  und  KA  =  2P10', 
KA  =  AA-KA  =  57P60'. 


16 


HKHKA'  =  AH*, 
AH=    57^61'  wie  HK 


1^15' 


Setztman   äAH  =  120P, 
so  wird     sHK=     2^34', 

also     6HK=      2«27'  wie   ©HKA  =  360% 
mithin/,  HA  K==      2»27'  wie  -2i^=360^ 
=      1«14'  wie  4i2=360«. 


Ha  158 
21 


Hei  250 


Damit  ist  also  die  Anomaliedifferenz,  d.  i.  der  Bogen  AB,  26 
auch  in  diesem  Falle  gefunden.    Da  in  demselben  Maße  auch 
/.  KAH  mit  30®  als  gegeben  angenommen  ist,  so  wird  /.  BH  A 
(=  L  B  ATT),  welcher  den  scheinbaren  Bogen  (TTB)  der  Eklip- 
tik mißt,  als  Summe  der  beiden  Winkel  übereinstimmend  30 


a)  Die  Figur  habe  ich  unter  Bezeichnung  des  in  der  Eklip- 
tik liegenden  Perigeums  TT  im  Unterschied  zu  der  Figur  S.  175 
in  der  entsprechenden  diametralen  Stellung  vorgelegt. 


180  Drittes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

mit    den    bei    dem   Exzenter   gefundenen    Beträgen     gleich 
3in4'  sein. 

Wie  oben,  fälle  man  auch  in  diesem  Falle  auf  AB  das 
Lot  AA. 

6  ^ ^^^^  a)  Lassen  wir  zunächst  den  Bogen 

y(^  ^X  (TT  B)  der  Ekliptik,  d.  i.  den  Z.  A  H  A 

/      \  \      (==LTTAB)  gegeben  sein,  so  wird 

/  \                       \                                          HA 

/  \                     \  damit  das  Verhältnis  .-.    (nach  den 

I  \                   1                                        AA  ^ 

1  ^r\^^^           1  Sehnentafeln)  gegeben  sein.  Da  fer- 

10   \  ;  \^!!!^^^:=>^;5^  ner  von  vornherein  (mit  2Y2 :  60) 

\  ■    /\    M^\  H A 

\  ;   /   W//^\  das  Verhältnis   .  .    gegeben  ist,  so 

\v  I   (       \^      I  AA  ^  ^  ' 

^ — LL'-^''^^    j  wird  auch  (nach  Eukl.  Data  8)  das 
^ tL     Verhältnis  -^-j-  gegeben  sein.  Damit 

werden  wir  aber  als  gegeben  erhalten  sowohl  den  L  AAB, 
16  d.i.  den  Bogen  AB  der  Anomaliediiferenz  (nach  den  Sehnen- 
tafeln),   als    auch    (als   Differenz    der   beiden  Winkel)    den 
Ha  n>9  /.  0AH,  d.  i.  den  Bogen  0H  des  Epizykels. 

b)  Lassen  wir  schließlich  den  Bogen  AB  der  Anomalie- 
Hei  251  differenz,  d.i  den  L  AAB  gegeben  sein,  so  wird  damit  wieder 
•20  in  umgekehrter  Reihenfolge  (^nach  den  Sehnentafeln)  das  Ver- 
hältnis   .  .    gegeben  sein.     Da  ferner  von  vornherein  (mit 

AA 
60:2%)   das  Verhältnis  ^-rr    gegeben    ist,    so    wird    auch 

HA 
(nach  Eukl.  Data  8)  das  Verhältnis  .  .  gegeben  sein.  Da- 
mit werden  wir  aber  als  gegeben  erhalten  sowohl  den  /.AHA 
26  (=  /.TTAB),  d.  i.  den  Bogen  (TTB)  der  Ekliptik  (nach  den 
Sehnentafeln),  als  auch  (als  Differenz  der  beiden  Winkel) 
den  /.0AH,  d.i.  den  Bogen  0H  des  Epizykels. 

Hiermit  sind  die  Nachweise  geliefert,  welche  wir  uns  (in 
diesem  Kapitel)  zur  Aufgabe  gestellt  hatten. 

30  Will  man  die  Größenbeträge  der  von  Fall  zu  Fall  er- 
forderlichen Korrektionen  (des  Laufs)  zum  Gebrauch  fertig 
bei   der  Hand   haben,  so  ist  durch  die   vorstehenden   theo- 


Einzelabschnitte  der  Anomalie.  181 

retischen  Sätze^  wie  man  sieht,  für  die  Tabellarisierung  der 
Gradabschnitte,  welche  das  rechnerische  Material  zur  Ge- 
winnung des  scheinbaren  Laufs  aus  der  Anomalie  bilden, 
die  Möglichkeit  einer  sehr  mannigfaltigen  Form  geboten. 
Wir  geben  jedenfalls  derjenigen  Fassung  den  Vorzug,  welche  6 
die  Anomaliedifferenzen  neben  den  gleichförmigen  Bogen 
bietet,  erstens,  weil  diese  Anordnung  sich  nach  den  Hypo- 
thesen selbst  als  die  logisch  richtige  ergibt *\  und  zweitens, 
weil  die  Berechnung  nach  der  Tabelle  in  jedem  Bedarfs- 
fälle^^ ebenso  einfach  als  leicht  ausführbar  ist.  10 

Daher  haben  wir  uns  die  an  erster  Stelle  (S.  175  und  179) 
zahlengemäß  durchgeführten  Sätze  zur  Norm  genommen  und 
für  die  einzelnen  Gradabschnitte  auf  dem  Wege  geometrischer 
Konstruktion,  ganz  wie  bei  den  mitgeteilten  Beispielen  (für 
30*^),  die  Anomaliedifferenzen  berechnet,  welche  auf  jeden  15 
gleichförmigen  Bogen  entfallen.     Allgemein  haben   wir 
aber  sowohl   bei  der  Sonne  wie  bei  den   anderen  Planeten  Hei  25: 
die  zu  beiden  Seiten  der  Apogeen  liegenden  Quadranten  in 
je  15  Abschnitte  zerlegt,  so  daß  bei  ihnen  der  Ansatz   der 
Beträge  von  6  zu  6  Grad  fortschreitet.    Dagegen  haben  wir  Ha  20( 
die  zu  beiden  Seiten  der  Perigeen  liegenden  Quadranten  in  21 
je  30  Abschnitte  zerlegt,  so  daß  bei  ihnen  der  Ansatz   von 
0  zu  3  Grad  fortschreitet,  weil  in  den  Perigeen  hinsichtlich 
des  Überschusses  der  auf  die  gleichgroßen  Abschnitte  ent- 
fallenden Anomaliedifferenzen  größere  Unterschiede  eintreten  26 
als  in  den  Apogeen. 

Wir  werden  demnach  die  Tabelle  der  Anomalie  der  Sonne 
wieder  in  45  (d.  i.  3x15)  Zeilen  und  3  Spalten  aufstellen. 
Die  ersten  zwei  Spalten  enthalten  als  Argumentzahlen  die 
360  Grade  der  gleichförmigen  Bewegung,  indem  die  ersten  30 

a)  Die  von  vornherein  gemachte  Voraussetzung  ist  die  Gleich- 
förmigkeit der  Bewegung;  es  ist  also  logisch  richtiger,  aus  der 
gleichförmigen  Bewegung  durch  Anbringung  der  Anomalie  die 
ungleichförmige  zu  gewinnen,  als  umgekehrt  von  der  ungleich- 
förmigen ausgehend  die  gleichförmige. 

b)  D.  h.  auch  in  dem  Falle,  wenn  man  aus  dem  gegebenen 
scheinbaren  oder  ungleichförmigen  Lauf  den  gleichförmigen 
feststellen  will. 


132        Drittes  Buch.     Sechstes  und  siebentes  Kapitel. 

15  Zeilen  die  beiden  Quadranten  am  Apogeum  umfassen, 
die  übrigen  30  Zeilen  die  beiden  Quadranten  am  Perigeum. 
Die  dritten  Spalten  bieten  die  auf  jede  Argumentzahl  der 
gleichförmigen  Bewegung  entfallenden  Grade  der  Prostha- 
phäresis  (d.  i.  des  vom  Apogeum  bis  zum  Perigeum  nega- 
tiven, vom  Perigeum  bis  zum  Apogeum  positiven  Betrags) 
der  Anomaliedifferenz. ^^) 

Die  Tabelle  gestaltet  sich  folgendermaßen. 


Ha  201  \ 
Hei  3531 


Sechstes  Kapitel. 
Tabelle  der  Anomalie  der  Sonne. 


Gemeinsame 
Argument- 
zahlen 

Prosth- 
aphäreais 

Gemeinsame 
Argument- 
zahlen 

Prosth- 
aphäresis 

Gemeinsame 
Argument- 
zahlen 

Prosth- 
aphäresis 

6» 
12 
18 

3540 
348 
342 

0«14' 
0°28' 
0042' 

93« 
96 
99 

2670 
264 
261 

20  23' 
20  23' 
2»  22' 

1380 
141 
144 

2220 
219 
216 

1039' 
1033' 
10  27' 

24 
30 
36 

336 
330 
324 

0O56' 
1«   9' 
10  21' 

102 
105 
108 

258 
255 
252 

2021' 
2020' 
2n8' 

147 
150 
153 

213 
210 
207 

10  21' 
1014' 
1*   7' 

42 

48 
54 

318 
312 
306 

1032' 
1°43' 
1»53' 

111 
114 
117 

249 
246 
243 

20  16' 
20  13' 
20 10' 

156 
159 
162 

204 
201 

198 

10   0' 
0053' 
0046' 

60 
66 
72 

300 
294 

288 

2°   1' 
2°  8' 
2»  14' 

120 
123 
126 

240 
237 
234 

20   6' 
20   2' 
10  58' 

165 
168 
171 

195 
192 
189 

0039' 
0032' 
00  24' 

78 
84 
90 

288 
276 
270 

2°  18' 
2021' 
20  23' 

129 
132 
135 

231 
228 
225 

1054' 
1049' 
1044' 

174 
177 
180 

186 
183 
180 

00 16' 
00   8' 
00  0' 

Siebentes  Kapitel. 
Die  Epoche  des  mittleren  Laufs  der  Sonne. 

HeiS     Es  bleibt  noch  übrig,   die  Epoche*)  der   gleichförmigen 

10  Bewegung  der  Sonne  festzustellen,  die  zur  Berechnung  ihrer 

von  Fall  zu  Fall  gebotenen  Positionen  erforderlich  ist.  Auch 

diese  Aufgabe  haben  wir  gelöst,  indem  wir  uns   allgemein 

a)  Unter  Epoche  ist  der  in  Ekliptikgraden  ausgedrückte 
Ort  (roTCog)  zu  verstehen,  welchen  die  Sonne  zu  einem  bestimm- 
ten Zeitpunkt,  der  als  Ausgangspunkt  ihrer  gleichförmigen 
Bewegung  gilt,  innehat  {inix^L)  oder  innegehabt  hat. 


Epoche  der  Sonne. 


183 


wieder  bei  der  Sonne  sowohl  wie  bei  den  anderen  Planeten 
an  die  von  uns  selbst  auf  das  genaueste  beobachteten  Po- 
sitionen hielten.  Von  diesen  aus  zurückrechnend,  haben  wir 
mit  Hilfe  der  nachgewiesenen  mittleren  Bewegungen  die 
Epochen  (aller  Planeten)  an  den  Anfang  der  Regierung 
Nabonassars  (26.  Februar  747  v.  Chr.)  geknüpft,  von 
welcher  Zeit  ab  uns  auch  die  alten  Beobachtungen  im  großen 
ganzen  bis  auf  den  heutigen  Tag  erhalten  geblieben  sind. 

Es  sei  ABT  der  mit  der  Ekliptik 
konzentrische  Kreis  um  das  Zentrum 
A,  EZH  der  Exzenter  der  Sonne  um 
das  Zentrum  0.  Der  durch  beide  Mittel- 
punkte und  das  Apogeum  E  gehende 
Durchmesser  sei  EAHf.  Endlich  sei 
als  der  Herbstpunkt  der  Ekliptik  der 
Punkt  B  angenommen.  Man  ziehe  die 
Verbindungslinien  BZA  undZG,  und 
fälle  von  0  auf  die  Verlängerung  von 
ZA  das  Lot  0K. 

Da  der  Herbstpunkt  B  im  Anfang  der  Scheren  liegt  und  Hei  25! 
das  Perigeum  f  in  5^30'  des  Schützen,  so  ist 
6Br=    65«30', 
folglich   /,BAr=    65^S0'     wie  4JS  =  360^ 
=  131"  wie  2R=-S60'^. 

Nun  ist  /.BAr=/,0AK,  (als  Scheitelwinkel) 


10 


16 


21 


Ha  80^ 


25 


folglich  auch 

/.0AK  = 

131» 

wie  ^JJ  =  360«; 

mithin 

60K  = 

131" 

wie    ©0KA=36O^ 

also 

s0K  = 

109^  12' 

wie  dm  AQ  =  120^. 

Setzt  man 

A0  = 

5P 

wie  /iZ0  =  12OP,^^ 

so  wird 

s0K  = 

4P  33', 

also 

60K  = 

4«20' 

wie   e0KZ  =  36O^ 

folglich  ^0ZK  = 

4»20' 

wie  5i2  =  360°, 

= 

2«10' 

wie   472  =  360°. 

Nun  war 

LBAr^ 

65°30' 

wie   4B  =  3Q0\  (s.  Z 

mithin 

LZQH  = 

63«20' 

als  Differenz  beider, 

folglich 

bZH  = 

63°20'. 

23) 


30 


35 


a)  Nach  dem  Verhältnis  A0: 20  =  2  7^:60. 


134  Drittes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

Wenn  demnach  die  Sonne  im  Herbstnachtgleichenpunkt 
steht,  so  ist  sie  von  dem  Perigeum,  d.  i  von  ^  5^30',  in 
mittlerer  Bewegung  63^20'  gegen  die  Richtung  der  Zeichen 
(d.  i.  westwärts)  entfernt,  während  sie  von  dem  Apogeum, 
Hei  256  d.  i.  von  TT  5<'30',  im  Mittel  (180^  —  63^20'=)  116<>40' 
6  in  der  Richtung  der  Zeichen  (d.  i.  ostwärts)  entfernt  steht. 
Nach  dieser  theoretischen  Erörterung  wird  folgendes 
verständlich  werden.  Unter  den  Beobachtungen  von  Nacht- 
gleichen, welche  die  ersten  waren,  die   von  uns   angestellt 

10  worden  sind,  befindet  sich  auch  eine  mit  der  größten  Ge- 
nauigkeit festgestellte  Herbstnachtgleiche.  Dieselbe  ist  im 
IIa  204  17*®^  Jahre  Hadrians  am  7.  ägyptischen  Athyr  (25.  Sep- 
tember 1 3  2  n.  Chr.)  ohne  wesentlichen  Fehler  zwei  Aquin  oktial- 
stunden  nach  Mittag  eingetreten.    Zu  diesem  Zeitpunkt  hat 

15  demnach  die  Sonne  in  mittlerer  Bewegung  auf  dem  Exzenter 
in  der  Richtung  der  Zeichen  von  dem  Apogeum  (d.  i.  von 
TT  5^30')  116*^40'  entfernt  gestanden.  Nun  beträgt  die  Zahl 
der  Jahre  von  der  Regierung  Nabonassars  (747  v.  Chr.)  bis 
zum   Tode   Alexanders   (11.  Juni   323   v.  Chr.)   nach  dem 

20  ägyptischen  Kalender  424,  vom  Tode  Alexanders  (Epoche 
1.  Thoth  =  12.  Nov.  324  v.  Chr.)  bis  zur  Regierung  des 
Augustus  294,  und  vom  ersten  Jahre  (30  v.  Chr.)  der  Re- 
gierung des  Augustus  vom  Mittag  des  1.  ägyptischen  Thoth 
—  weil  wir  die  Epochen  an  die  Mittagstunde  knüpfen  —  bis 

25  zum  17*®^  Jahre  Hadrians  zwei  Äquinoktialstunden  nach 
dem  Mittag  des  7.  Athyr  (25.  Sept.  132  n.  Chr.)  weitere 
161  Jahre,  66  Tage  und  2  Äquinoktialstunden.  Folglich 
ergeben  sich  vom  ersten  Jahre  Nabonassars  vom  Mittag  des 
1.  ägyptischen  Thoth  bis   zu  der  Zeit  der  oben   genannten 

30  Herbstnachtgleiche  in  Summa  (424  +  294  +  161  =)  879 

ägyptische  Jahre,  66  Tage  und  2  Äquinoktialstunden.    In 

einem  Zeitraum  von  dieser  Länge  legt  die  Sonne  in  mittlerer 

Hei  257  Bewegung   nach   Abzug   ganzer  Kreise   211^25'   zurück.^^) 

Wenn  wir  also  zu  den  116^40',  welche  die  Entfernung  von 

35  dem  Apogeum  des  Exzenters  zur  Zeit  der  genannten  Herbst- 
nachtgleiche maßen,  die  360  Grade  eines  Kreises  addieren 
und  von  der  Summe  die  211  "25'  des  auf  die  Zwischenzeit 


Drittes  Buch.     Achtes  Kapitel  185 

entfallenden  Überschusses  abziehen  ^\  so  werden  wir  für  die 
Epoche  der  mittleren  Bewegung  am  Mittag  des  1.  ägyp- 
tischen Thoth  des  ersten  Jahres  Nabonassars  (26.  Februar 
747  V.  Chr.)  als  Entfernung  der  Sonne  von  dem  Apogeum 
(TT  5^30')  bei  gleichförmiger  Bewegung  265^15'  in  der  Ha  205 
Richtung  der  Zeichen  erhalten.  Daraus  ergibt  sich  als  6 
mittlerer  Ort  der  Sonne  )C  OUö'.^) 

Achtes  Kapitel. 

Berechnung  der  Länge  der  Sonne 

nach  den  Taieln. 

Wenn  wir  den  Ort  der  Sonne  für  den  betreffenden  Zeit- 
punkt, dem   die  Untersuchung  gilt,  feststellen  wollen ^'^  so 
gehen  wir  mit  der  Summe  der  Zeit,  welche  von  der  Epoche  10 
bis   zu  dem   nach    der  Ortszeit  von   Alexandria   gegebenen 
Zeitpunkt  verflossen   ist,  in   die  Tafeln   der  gleichförmigen 
Bewegung  der  Sonne  ein,  addieren  zu  den  bei  den  betreffenden 
Argumentzahlen  stehenden  Graden  die  265^15'  betragende 
Entfernung  von  dem  Apogeum  und  ziehen  von  dieser  Summe  15 
ganze  Kreise  ab.    Die  übrigbleibenden  Grade  zählen  wir  von 
(dem  Apogeum)  TT  5^30'  ab   in   der  Richtung  der  Zeichen 
weiter  und  werden  dort,  wo  die  Zahl  ausgeht ,  den  mitt- 
leren Ort  der  Sonne  finden.    Darauf  gehen   wir  mit  der- 
selben Zahl,  d.  h.  mit  der  Gradzahl,  welche  die  Entfernung  Hei  258 
vom   Apogeum   bis   zu   dem  mittleren   Ort   angibt,   in    die  21 
Tabelle  der  Anomalie  ein.    Fällt  die  Zahl  in  die  ersten 
Spalten,  d.  h.  ist  sie  kleiner  als  180'*,  so  ziehen  wir  die  bei 
ihr  in  der  dritten  Spalte  stehenden  Grade  von  der  Epoche 
für  den  mittleren  Ort  ab;  steht  die  Zahl  aber  in  den  zweiten  25 
Spalten,  d.  h.  ist  sie  größer  als  180^,  so  werden  wir  die  be-  Ha  20« 
treffenden  Grade  zu  dem  mittleren  Ort  addieren  und  so  den 
genauen,  d.  i.  scheinbaren  Ort  der  Sonne  finden. ^^^ 

a)  D.  h.  auf  dem  Sonnenkreise  rückwärts  zählen:  476'*40' — 
211"25'  =  265^15'. 

b)  Insofern  265n5'  =  24''30'  der  Zwillinge -f  240 «»(d.  s.  8  Zeichen 
zu  30°)  -f  0"45'  der  Fische. 

c)  Durchgeführte  Beispiele  der  Berechnung  bietet  Anm.  29. 


136  Drittes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 


Neuntes  Kapitel. 
Die  Ungleichheit  der  Sonnentage. 

Hiermit  sind  wir  am  Ende  der  Theorie  angelangt,  welche 
sich  mit  der  Sonne   allein  beschäftigt.    Es  dürfte  jedoch 
am  Platze  sein,  hier  noch  in  aller  Kürze  die  Ungleichheit 
der  Sonnentage*^  zu  besprechen,  eine  Erörterung,  die  vor- 
6  ausgeschickt  werden  muß,  weil  wir  die  schlechthin  im  Mittel 
angesetzten  Bewegungen  alle  unter  gleichgroßen  Überschüssen 
anwachsen  lassen^\  als  ob  auch  die  Sonnentage  alle  von 
gleicher  Dauer  wären,  was  sich,  wie  die  theoretische  Be- 
trachtung lehrt,  nicht  so  verhält. 
10       Die  Drehung  des  Weltalls  vollzieht  sich  in  gleichförmiger 
Bewegung  um  die  Pole  des  Äquators,  wobei  die  Wiederkehr 
dieser   Drehung,  um  sie   besser  auf  den  Punkt  genau  be- 
stimmen zu  können,  entweder  auf  den  Horizont  oder  auf 
den  Meridian  bezogen  wird.    Mithin  ist  eine  Umdrehung 
15  des  Weltalls  offenbar  die  Wiederkehr  ein  und  desselben 
Punktes  des  Äquators  von  einem  Abschnitt  des  Horizonts 
oder  des  Meridians  bis  wieder  zu  demselben  Abschnitt,  während 
Hei  259 ein  Sonnentag  schlechthin  die  Wiederkehr  der  Sonne  von 
einem  Abschnitt  des  Horizonts  oder  des  Meridians  bis  wieder 
Ha  207  zu  demselben  Abschnitt  ist.    Deshalb  ist  also  ein  gleich- 
21  förmiger  Sonnentag  der  Zeitraum,  welcher  den  Durchgang 
der  360  Zeitgrade  eines  Umschwungs  des  Äquators  und 
hierüber  noch  den  Durchgang  von  rund  59  Sechzigteilen 
eines  Zeitgrades  umfaßt,  welche  die  Sonne  im  Verlauf  eines 
25  solchen  Umschwungs  des  Äquators  infolge  ihrer  (eigenen) 
Bewegung  (nach  der  entgegengesetzten  Richtung)  in  mitt- 
lerer Geschwindigkeit  zusetzt.     Ein   ungleichförmiger 


a)  D.  i.  der  aus  Tag  und  Nacht  bestehenden  Zeiträume  von 
einem  Sonnenaufgang  bis  zum  nächsten. 

b)  D.  h.  durch  sukzessives  Addieren  derselben  Grundzahl  der 
täglichen,  monatlichen  und  jährlichen  mittleren  Bewegung. 
Vgl.  S.  148,  5. 


Ungleichheit  der  Sonnentage.  187 

Sonnentag  ist  dagegen  der  Zeitraum,  welcher  den  Durchgang 
der  360  Zeitgrade  eines  Umschwungs  des  Äquators  und  hier- 
über noch  den  Durchgang  derjenigen  Sechzigteile  umfaßt, 
die  gleichzeitig  mit  der  Zusatzstrecke,  welche  die  Sonne  in- 
folge ihrer  ungleichförmigen  Bewegung  erzielt,  entweder  5 
aufgehen  oder  den  Meridian  passieren. 

Dieser  Abschnitt  des  Äquators,  welcher  über  die  360  Zeit- 
grade (d.i. über  24  Äquinoktialstunden)  hinzu  seinen  Durch- 
gang bewerkstelligt,  muß  notwendig  ungleich  groß  werden, 
erstens  wegen  der  scheinbaren  Anomalie  der  Sonne,  und  10 
zweitens,  weil  gleichgroße  Abschnitte  der  Ekliptik  weder 
den  Horizont  noch  den  Meridian  in  gleichen  Zeiten  passieren. 
Jede  dieser  beiden  Ursachen  bewirkt  allerdings  bei  einem 
Sonnentage  einen  kaum  bemerkbaren  Unterschied  der  gleich- 
förmigen Wiederkehr  gegen  die  ungleichförmige,  aber  wenn  15 
sich  dieser  Unterschied  bei  einer  größeren  Zahl  von  Sonnen- 
tagen summiert,  kann  er  sogar  recht  bemerklich  werden. *) 

Infolge  der  Anomalie  der  Sonne  entsteht  das  Maximum 
des  Unterschieds  bei  den  Intervallen  von  der  einen  mittleren 
Bewegung  der  Sonne  bis  zur  anderen^);  denn  die  Summe  Hei  seo 
der  Sonnentage  eines  solchen  Intervalls  wird  sich  von  der  21 
Summe  der  gleichförmigen  Sonnentage  (desselben  Intervalls) 
um  ungefähr  4*74  Zeitgrade  (d.  i.  um  das  Doppelte  der  Ano- 
maliedifferenz) unterscheiden,  von  der  Summe  der  gleich- 
formigen  Sonnentage  des  anderen  Intervalls  aber  um  den  25 
doppelten  Betrag  (d.  i.  um  OYg  Zeitgrade),  weil  der  schein- 
bare Lauf  der  Sonne  (in  der  Ekliptik)  gegen  den  gleich- 
förmigen auf  dem  am  Apogeum  liegenden  (erdfernen)  Halb- 


a)  Die  moderne  Astronomie  unterscheidet  mittlere,  d.  s. 
gleichförmige  Sonnentage,  deren  Dauer  schlechthin  24  Äqui- 
noktialstunden beträgt,  von  wahren,  d.  s.  ungleichförmigen 
Sonnentagen,  welche  sich  von  einer  Kulmination  der  Sonne 
bis  zur  nächsten  erstrecken.  Die  längste  Dauer  eines  solchen 
wahren  Sonnentags  beträgt  24  Stunden  32  Sekunden,  die  kür- 
zeste 23  Stunden  59  Minuten  39  Sekunden. 

b)  D.  i.  in  dem  Intervall,  welches  sich  mit  92^23'  beiderseits 
des  Apogeums,  und  in  dem  Intervall,  welches  sich  mit  87**37' 
beiderseits  des  Perigeums  erstreckt. 


188  Drittes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 

kreis  (der  Sonnenbahn)  4^/^^  (d.  i.  beiderseits  2^23')  zurück- 
b  leibt,  während  er  auf  dem  am  Perigeum  liegenden  (erdnahen) 
Halbkreis  ebensoviele  Grade  zusetzt.*^ 
Ha  208  Infolge  der  Ungleichförmigkeit  der  (mit  Zeitgi-aden)  gleich- 
5  zeitigen  Auf-  oder  Untergänge  (der  Ekliptik)  tritt  dagegen 
das  Maximum  des  Unterschieds  auf  den  von  den  Wende- 
punkten begrenzten  Halbkreisen  ein;  denn  hier  werden  die 
gleichzeitigen  Aufgänge  eines  jeden  dieser  beiden  Halbkreise 
von   den  theoretisch  als   gleichförmig  geltenden  180  Zeit- 

10  graden  (=  12  Stunden)  um  den  Unterschied  des  längsten 
oder  des  kürzesten  Tages  vom  Nachtgleichentage  (z.  B. 
15^* —  12"*  =  3**)  differieren,  voneinander  aber  um  den  Unter- 
schied des  längsten  Tages  vom  kürzesten  oder  der  längsten 
Nacht  von  der  kürzesten  (z.  B.  15«*  — -  9«*  =  6«*). 

15  Infolge  der  Ungleichheit  der  (mit  Zeitgraden)  gleichzeitigen 
Meridiandurchgänge  endlich  entsteht  wieder  das  Maximum 
des  Unterschieds  bei  den  Intervallen,  welche  gerade  die  beiden 
Zwölfteile  in  sich  schließen,  die  entweder  beiderseits  der  Wende- 
punkte oder  beiderseits  der  Nachtgleichenpunkte  liegen;  denn 

20  die  beiden  an  den  Wendepunkten  liegenden  Zwölfteile 
werden  zusammen  (mit  64^32')  von  den  theoretisch  als  gleich- 
förmig geltenden  (60)  Zeitgraden  um  ungefähr  4}!^  solche 
Grade  differieren,  von  der  Summe  (55^40')  der  an  den 
Nachtgleichenpunkten  liegenden  Zwölfteile  aber  wieder 

25  um  9  Zeitgrade,  weil  letztere  hinter  dem  Mittel  (von  60® 
um  4^20')  zurückbleiben,  während  erstere  ungefähr  den 
11  ei  261  gleichen  Betrag  (genau  4"32')  zusetzen.^) 

a)  Indem  der  scheinbare  Bogen,  welchen  die  Sonne  während 
ihres  gleichförmigen  Laufs  auf  dem  erdfernen  Halbkreis  ihrer 
Bahn  in  der  Ekliptik  zurücklegt,  beiderseits  um  2 "23',  dem- 
nach in  Summa  um  4%*  kleiner  als  ein  Halbkreis  ist,  wo- 
gegen der  scheinbare  Bogen,  welchen  sie  während  ihres  Laufs 
auf  dem  erdnahen  Halbkreis  in  der  Ekliptik  zurücklegt,  um 
denselben  Betrac^  größer  als  ein  Halbkreis  ist.  Vgl.  die  Figur 
zu  Anm.  24  u.  S.  157,27. 

b)  Die  Zeit  des  Meridiandurchgangs  von  TT-f  O  oder  /  -|-  ^ 
beträgt  nach  der  Tafel  für  Sphaera  recta  64*^32',  die  des 
Meridiandurchgangs  von   X  -f  /    oder  iip  -f  si.  genau  55"40'. 


Ungleichheit  der  Sonnentage.  189 

Aus  diesen  Verhältnissen  erklärt  es  sich,  daß  wir  die  bei 
den  Epochen  in  Betracht  kommenden  Anfänge  der  Sonnen- 
tage an  die  Meridiandurchgänge,  nicht  an  die  Auf-  oder 
Untergänge  der  Sonne  knüpfen.  Denn  der  theoretisch  auf 
den  Horizont  bezogene  Unterschied  kann  bis  zu  vielen  Stunden  5 
gehen  (s.  S.  188,  14);  auch  ist  er  nicht  überall  derselbe, 
sondern  ändert  sich  mit  dem  je  nach  der  Neigung  der  Sphäre 
eiatretenden  Unterschied  der  längsten  oder  der  kürzesten 
Tage.  Dagegen  ist  der  auf  den  Meridian  bezogene  Unter- 
schied für  alle  Wohnorte  derselbe  und  überschreitet  auch  10 
nicht  die  infolge  der  Anomalie  der  Sonne  sich  (bis  zu  2  •  2^23'j 
summierenden  Zeitgrade  der  Differenz. 

Nun  setzt  sich  aber  aus  der  Vermischung  dieser  beiden 
Unterschiede,  d.  i.  der  Differenz  infolge  der  Anomalie  der 
Sonne  und  des  Unterschieds  infolge  der  (mit  Zeitgraden)  lu  aoj 
gleichzeitigen  Meridiandurchgänge,  der  Unterschied  bei  den-  16 
jenigen  Intervallen  zusammen,  welche  für  beide  genannte 
Differenzen  gleichzeitig  entweder  dem  Zusatz  oder  dem  Ab- 
zug unterliegen.     Dem  Abzug  unterliegt  in  beiden  Bezie- 
hungen am  stärksten  der  (erdferne)  Abschnitt  von  der  Mitte  -20 
des  Wassermanns  bis  zu  den  Scheren,  dem  Zusatz  der  (erd- 
nahe) Abschnitt  vom  Skorpion  bis  zur  Mitte  des  Wasser- 
manns. Diese  beiden  Abschnitte  weisen  nämlich  als  Maximum, 
der  eine   des  Zusatzes,  der  andere  des  Abzugs,  infolge  der 
Anomalie  der  Sonne  SVa^^^  und  infolge  der  (mit  Zeitgraden)  26 
gleichzeitigen  Meridiandurchgänge  4%®  auf,^^  so  daß  sich 
fiir  jeden   der  beiden  genannten  Abschnitte  als  Maximum 


a)  Bei  «t  15**  beträgt  in  249^30'  Entfernung  vom  Apogeum 
Tr5"30'  die  Anomalie differenz  -f  2"16',  bei  ni  0^  in  144^30'  Ent- 
fernung —  1"  26'.  Indem  also  die  scheinbare  erdferne  Lauf- 
strecke in  der  Ekliptik  erst  bei  >>«  17"  16'  beginnt  und  schon 
bei  SL  28"34'  aufhört,  beträgt  sie  zwischen  diesen  Grenzen  3*42' 
weniger  als  die  Strecke,  welche  zwischen  den  mittleren  örtern 
liegt,  während  der  scheinbare  erdnahe  Lauf  von  sl  28*34'  bis 
•  -^  17*16'  3*42'  mehr  beträgt. 

b)  Die  255  Grade  von  ^>>  15*  bis  n]_  o*  gehen  mit  250*18'  des 
Äquators  durch  den  Meridian,  was  —  4*42'  gibt,  die  105  Grade 
von   la  0*  bis   *-v.  15*  mit  109*42',  was  -f  4*42'  gibt. 


190  Drittes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 

Hei  262  des  Unterschieds  der  Sonnentage  im  Vergleich  zu  den  gleich- 
förmigen ein  Betrag  von  SYg  Zeitgraden,  d.  i.  von  33V3  Zeit- 
minuten, im  Vergleich  von  Abschnitt  zu  Abschnitt  aber  der 
doppelte  Betrag  von  16%  Zeitgraden,  d.  i.  von  einer  Äqui- 
5  noktialstunde  und  6%  Minuten,  herausstellt.  Ein  Unterschied 
von  diesem  Betrage  würde  bei  der  Sonne  und  den  anderen 
Planeten,  wenn  er  unbeachtet  bliebe,  der  Feststellung  der 
an  ihnen  wahrgenommenen  Erscheinungen  vielleicht  keinen 
merklichen  Eintrag  tun,  dagegen  würde  er  bei  dem  Monde 

10  wegen  der  Geschwindigkeit  seiner  Bewegung  (in  Länge)  be- 
reits eine  beträchtliche  Differenz  bis  zu  0'36'  (d.  s.0®32'56" 
+  003' 17"  in  iVio  Stunde)  verursachen. 

Um  nun  die  für  irgendein  beliebiges  Intervall  gegebenen 
(bürgerlichen)  Sonnentage,  ich  meine  die  von  Mittag  oder 

16  Mitternacht  bis  wieder  zu  Mittag  oder  Mitternacht  (nach 
Ortszeit)  gerechneten,  ein  für  allemal  in  gleichförmige  um- 
zurechnen, werden  wir  sowohl  für  die  erste  wie  für  die  letzte 
Epoche  des  gegebenen  Intervalls  der  (bürgerlichen)  Sonnen- 
Ha  210  tage  feststellen,  in  welchem  Grade  der  Ekliptik  die  Sonne 

20  sowohl  nach  der  gleichförmigen  wie  nach  der  ungleich- 
förmigen (d.  i.  mit  der  Anomaliedifferenz  versehenen)  Be- 
wegung steht.  Alsdann  gehen  wir  mit  dem  Intervall  der 
mit  dem  Zusatz  (der  Anomalie)  versehenen  Grade,  d.  i.  mit 
dem  Intervall  von  dem  ungleichförmigen  oder  scheinbaren 

25  Sonnenort  bis  wieder   zu    dem   scheinbaren,   in   die   Tafel 
der  Aufgänge  bei  Sphaera  recta^^  ein  und  sehen  nach,  mit 
Hei  263  wieviel  Zeitgraden  gleichzeitig  die  bezeichneten  Grade  des 
ungleichförmigen  Intervalls  den  Meridian  passieren.  Hier- 
auf bilden  wir  die  Differenz  zwischen  den  gefundenen  Zeit- 

30  graden  und  den  Graden  des  gleichförmigen  Intervalls 
und  berechnen  (durch  Multiplikation  mit  4)  den  Betrag  der 
Äquinoktialstunde,  welcher  durch  die  Zeitgrade  dieser 
Differenz    ausgedrückt    wird.      Wird    die    Zahl    der    Zeit- 


a)  Weil  die  Durchgänge  durch  den  Horizont  bei  Sphaera 
reeta  gleichzeitig  als  Durchgänge  durch  den  Meridian  anzu- 
sehen sind.    Vgl.  S.  53, 19. 


Viertes  Buch.     Erstes  Kapitel.  191 

grade  *^  größer  als  das  gleichförmige  Intervall  gefunden,  so 
werden  wir  die  Differenz  zu  der  gegebenen  Zahl  der  Sonnen- 
tage addieren,  wird  sie  kleiner  gefunden,  so  werden  wir  sie 
davon  abziehen.  In  dem  Ergebnis  werden  wir  den  auf 
die  gleichförmigen  Sonnentage  entfallenden  Zeitbetrag  er-  5 
halten,  von  dem  wir  vorzugsweise  dort  Gebrauch  machen 
werden,  wo  es  sich  um  die  Summierung  der  mittleren 
Bewegungen  des  Mondes  handelt,  wie  unsere  Tafeln  sie 
bieten.26) 

Es  ist  selbstverständlich,  daß  man  aus  dem  gegebenen  10 
Bestand   der    gleichförmigen   Sonnentage    die    bürger- 
lichen, d.  i.  die  theoretisch  schlechthin  genommenen  Tage 
erhält,  indem  man  die  oben  erklärte  Addition  oder  Subtrak- 
tion der  Zeitgrade  in  umgekehrter  Reihenfolge  vornimmt. 

Zu  der  von  uns  festgestellten  Epoche,  d.  i.  im  ersten  Jahre  15 
Nabonassars  am  Mittag  des  1.  ägyptischen  Thoth,  stand  die 
Sonne  bei  gleichförmiger  Bewegung,  wie  oben  (S.  185,  7) 
nachgewiesen,  in  )( 0^45',  bei  ungleichförmiger  Bewegung 
(d.  i.  unter  Hinzufügung  des  Maximums  der  Anomaliedifferenz) 
in  )f  3«  8'.^)  20 


Viertes  Buch. 

Erstes  Kapitel. 

Art  der  Beobachtungen,  auf  welche 

sich  die  Theorie  des  Mondes  zu  stützen  hat. 

Nachdem  wir  in  dem  vorhergehenden  Buche  eine  zusammen-iHei  865 
fassende  Darstellung  der  Erscheimmgen  geboten  haben,  welche 
hinsichtlich  der  Bewegung  der  Sonne  wahrzunehmen  sind, 
beginnen  wir  nunmehr  in  der  logisch  gebotenen  Folge  die 

a)  D.  i.  die  Zahl  der  gleichzeitig  mit  den  Graden  des 
ungleichförmigen  Intervalls  durch  den  Meridian  gegangenen 
Äquatorgrade.  Ißt  sie  größer,  so  ist  die  wahre  Sonne  voran- 
geeilt, ist  sie  kleiner,  so  ist  die  wahre  Sonne  zurückgeblieben. 

b)  Auf  265*15'  Abstand  von  dem  Apogeum  TT  6*^30'  ent- 
fallen nach  der  Anomalietabelle  -{-2*23'  Anomaliedifferenz.  Vpl. 
S.  185,  26  hinsichtlich  des  positiven  Werts. 


192  Viertes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

Theorie  des  Mondes.  Da  halten  wir  es  zunächst  für  an- 
gezeigt, nicht  einfach  auf  gut  Glück  an  die  Benutzung  der 
für  diesen  Zweck  sich  darbietenden  Beobachtungen  heran- 
zutreten, sondern  zur  Feststellung  der  allgemeinen  Begriffe 
6  unsere  Aufmerksamkeit  ganz  besonders  jenem  Beweismaterial 
zuzuwenden,  welches  nicht  nur  den  Vorzug  des  höheren  Alters 
hat,  sondern  direkt  aus  den  bei  Mondfinsternissen  an- 
gestellten Beobachtungen  gewonnen  wird.  D^nn  nur  durch 
diese  können  die  Örter  des  Mondes  genau  gefunden  werden, 

10  da  alle  anderen  Beobachtungen,  mögen  sie  durch  Beziehung 

der  Örter  des  Mondes  auf  die  Fixsterne,  oder  mit  Hilfe  der 

Ha  212  Instrumente,  oder  durch  Vermittelung  der  Sonnenfinsternisse 

nach  theoretischen  Grundsätzen  angestellt  werden,  infolge 

der  Parallaxen  des  Mondes  mit  starken  Täuschungen  ver- 

16  bunden  sein  können.  Nur  für  die  besonderen  Begleiter- 
scheinungen können  wir  nachgerade  auch  von  den  anderen 
Beobachtungen  für  unsere  Untersuchung  Gebrauch  machen 
Hei  266  Da  die  Entfernung,  in  welcher  sich  die  Sphäre  des  Mondes 
von  dem  Mittelpunkte  der  Erde  befindet,  nicht,  wie  die  zur 

20  Ekliptik,  so  bedeutend  ist,  daß  die  Größe  der  Erde  zu  ihr 
das  Verhältnis  eines  Punktes  hätte,  so  ist  davon  die  not- 
wendige Folge,  daß  die  von  dem  Mittelpunkte  der  Erde, 
d.  i.  von  dem  Zentrum  der  Ekliptik  durch  das  Zentrum  des 
Mondes   nach   den  Teilen   der  Ekliptik   gezogene  Gerade*', 

25  welche  für  die  Vorstellung  von  dem  genauen  (d.  i.  ungleich- 
förmigen) Lauf  aller  Planeten  maßgebend  ist,  durchaus  nicht 
mehr  in  allen  Fällen  für  die  sinnliche  Wahrnehmung  mit  der 
Geraden  zusammenfällt,  die  von  irgendeinem  Punkte  der 
Erdoberfläche,  d.  i.  von  dem  (Standpunkt  oder)  Auge  des 

30  Beobachters  nach  dem  Zentrum  des  Mondes  gezogen  wird, 
nach  welcher  die  Theorie  den  scheinbaren  Lauf  des  Mondes 
feststellt.  Nur  dann,  wenn  der  Mond  im  Zenit  des  Beob- 
achters steht,  fällt  diese  Linie  genau  mit  der  Geraden  zu- 
sammen, welche  von  dem  Mittelpunkte  der  Erde  nach  dem 


a)  Der  griechische  Text  enthält  eine  Lücke,  welche  unbedingt 
nach  Maßgabe  des  Codex  D  auszufüllen  war. 


Grundlagen  der  Mondtheorie.  193 

Zentrum  des  Mondes  und  dem  Tierkreis  gezogen  wird.  So- 
bald aber  der  Mond  den  geringsten  Abstand  vom  Zenit  ge- 
wonnen hat,  weichen  die  Richtungen  der  bezeichneten  Geraden 
voneinander  ab.  Deshalb  fällt  der  scheinbare  Lauf  nicht 
mit  dem  genauen  zusammen;  denn  das  Auge  läßt  sich  von  5 
einer  (scheinbaren)  Stellung  zur  anderen  leiten,  während  die 
durch  den  Mittelpunkt  der  Erde  gehenden  Geraden  scharfe 
Grenzlinien  abgeben,  die  genau  der  Größe  der  Winkel  ent-  Ha  213 
sprechen,  welche  von  der  Neigung  (dieser  Geraden  zum  Hori- 
zont) gebildet  werden.  30 

Hieraus  erklärt  sich  ein  wesentlicher  Unterschied  hin- 
sichtlich des  Eintritts  von  Sonnen-  und  Mondfinsternissen. 
Da  die  Sonnenfinsternisse  dadurch  entstehen,  daß  der  Mond  Hei  261 
unter  der  Sonne  vorübergeht  und  hierdurch  eine  Bedeckung 
verursacht,  welche,  insoweit  sie  in  den  von  unserem  Auge  15 
nach  der  Sonne  gerichteten  Kegel  fällt,  die  bis  zum  Ende 
des  Vorüberganges  dauernde  Verfinsterung  bewirkt,  so  können 
dieselben  Finsternisse  weder  nach  Größe  noch  Dauer  über- 
all in   derselben  Weise  verlaufen,  weil   der  Mond   aus   den 
oben  genannten  Gründen  weder  für  alle  Beobachter  gleich-  20 
mäßig  als  bedeckendes  Objekt  wirkt,  noch  scheinbar  mit 
denselben  Teilen  der  Sonne  zusammenfällt.    Bei  den  Mond- 
finsternissen ergibt  sich  dagegen  als  Folge  der  Parallaxen 
durchaus  kein  derartiger  Unterschied,  weil  der  am  Monde 
sich  vollziehende  Akt  der  Verfinsterung  den  Standpunkt  des  25 
Beobachters  zur  Begründung  der  Erscheinung  gar  nicht  in 
Betracht  kommen  läßt.    Weil  nämlich  der  Mond  jederzeit 
sein  Licht  infolge  der  Bestrahlung  durch  die  Sonne  erhält, 
so  erscheint  er  uns,  wenn  er  die  der  Sonne  diametral  gegen- 
übergelegene Stellung  einnimmt,  zu  jeder  anderen  Zeit  stets  30 
voll  beleuchtet,   weil   er   alsdann   seine  ganze   beleuchtete 
Halbkugel  zugleich  auch  uns  ganz  zuwendet;  kommt  er  aber 
der  Sonne  in  der  Stellung  diametral  gegenüber  zu  stehen, 
daß  er  in  den  Kegel  des  Erdschattens  eintritt,  der  gerade 
wie  die  Sonne,  aber  immer  auf  der  entgegengesetzten  Seite  35 
(des  Himmels)  seinen  Umlauf  macht,  dann  verliert  er  sein 
Licht  je  nach  dem  Größenbetrag  seines  Eintritts   (in  den 

Ptolemäus,  übers.  V.  Maoitius.  I.  13 


194  Viertes  Buch.     Zweites  Kapitel. 

Kegel),  weil  die  Erde  als  schattenwerfendes  Objekt  die  Be- 
strahlung durch  die  Sonne  verhindert.   Daher  ist  die  Finster- 
Hei  268  nis  sowohl  der  Größe  als  auch  der  Dauer  der  Phasen  nach 

für  alle  Teile  der  Erde  in  gleicher  Weise  sichtbar. 
Ha  214  Da  also  die  genauen  (d.h.  die  geozentrischen),  nicht  die 
6  scheinbaren  (durch  die  Parallaxe  bewirkten)  Orter  des 
Mondes  in  Betracht  gezogen  werden  sollen,  weil  die  An- 
nahme des  Geregelten  und  Gleichmäßigen  vor  der  Annahme 
des  ungeregelten  und  Ungleichmäßigen  durchaus  den  Vor- 

10  zug  haben  muß,  so  meinen  wir  zur  Feststellung  der  all- 
gemeinen Begriffe  die  übrigen  Beobachtungen,  weil  für  die 
Bestimmung  der  bei  ihnen  in  Betracht  kommenden  Örter 
der  Standpunkt  des  Beobachters  maßgebend  ist,  nicht  mit 
zur  Benutzung  heranziehen  zu  dürfen,  sondern  ausschließ- 

15  lieh  die  Beobachtungen  von  Mondfinsternissen,  weil  bei  ihnen 
zur  Bestimmung  der  Örter  der  Standpunkt  des  Beobachters 
nicht  mit  in  Frage  kommt.  Denn  der  Grad,  den  das  Zen- 
trum des  Mondes  gerade  zur  Mitte  der  Finsternis  einnehmen 
wird,  liegt  selbstverständlich  demjenigen  Grade  der  Ekliptik 

20  so  genau  wie  nur  möglich  diametral  gegenüber,  in  welchem 
die  Sonne  zur  Mitte  der  Finsternis  gefunden  wird,  wo  das 
Zentrum  des  Mondes  dem  Zentrum  der  Sonne  in  Länge  ge- 
nau diametral  gegenübersteht. 

Zweites  Kapitel. 
Die  periodischen  Zeiten  des  Mondes. 

Die  nur  in  allgemeinen  Umrissen  gehaltene  Vorbemerkung 

26  über  die  Art  der  Beobachtungen,  auf  welche  sich  die  Theorie 

des  Mondes  im  allgemeinen  zu  stützen  hat,  sei  hiermit  ab- 

Hei  269  geschlossen.    Wir  werden  nunmehr  versuchen  zu  erläutern^ 

wie  die  Alten  ihr  Beweismaterial  handhabten,  und  wie  wir 

die  rechnerische  Seite  der  in  Übereinstimmung  mit  den  Er- 

30  scheinungen  aufgestellten  Hypothesen  praktischer  gestalten 

könnten. 

Ha  215       Der  Mond  bewegt  sich   in  Länge  und  Breite   scheinbar 

ungleichförmig,   d.  h.  er  durchläuft  weder  die  Ekliptik  in 


•Periodische  Zeiten  des  Mondes.  195 

gleichen  Zeiten,  noch  bewerkstelligt  er  die  Wiederkehr  seines 
Laufs  in  Breite  in  gleichen  Zeiten.    Ohne  die  Auffindung 
der  Zeit,  in   welcher  seine  Anomalie  (d.  i.  sein   ungleich- 
förmiger Lauf)  zur  Wiederkehr  gelangt,  dürfte  es  aber  nicht 
gut  möglich  sein,  die  Perioden  der  anderen  (Umläufe)   in     5 
der  erforderlichen  Weise   zu  bestimmen.     Nun   führen   die 
von  Fall  zu  Fall  angestellten  Beobachtungen  zu   dem  Er- 
gebnis, daß  er  die  Strecken  seiner  mittleren,  größten   und 
kleinsten  Bewegung  scheinbar  in  allen  Teilen  des  Tierkreises 
zurücklegt  und  in  allen  Teilen  das  Maximum  nördlicher  und  10 
südlicher  Breite  erreicht,  sowie  in  die  Ekliptik  selbst  gelangt. 
Deshalb  haben  die  alten  Mathematiker  mit  Recht  einen  Zeit- 
raum festzustellen  gesucht,  nach  dessen  Verlauf  der  Mond 
jedesmal  wieder  die  gleichgroße  Strecke  in  Länge  zurück- 
gelegt haben  würde,  in  der  Annahme,  daß  einzig  und  allein  15 
dieser  Zeitraum  für  die  Wiederkehr  der  Anomalie  maßgebend 
sein  könne.     Indem  sie   also   aus   den   oben   besprochenen 
Gründen  die  Beobachtungen  von  Mondfinsternissen  mit- 
einander verglichen,  prüften  sie,  welches  Intervall  mit  einer 
bestimmten  Zahl  von  Lunationen  jedesmal  wieder  die  gleiche  20 
Zeitdauer  hätte,  wie   die  Intervalle  mit  gleicher  Zahl  der 
Lunationen,  und  dabei  gleichviel  Kreise  in  Länge  enthielte, 
seien  es  nun  ganze  Kreise  oder  solche  mit  dem  Zusatz  ge- 
wisser   gleichgroßer    Bogen.     Nach    etwas    obei-flächlicher  Hei  271 
Schätzung  nahmen  nun  die  noch  älteren  Beobachter  diesen  25 
Zeitraum    zu    6585  V3  Tagen    (d.  s.  18   Sonnenjahre    und 
10%  Tage)  an.    Im  Verlauf  dieser  Zeit  sahen  sie  nämlich 
ohne    merklichen   Fehler    sich   vollenden    223  Lunationen, 
239  Wiederkehren  der  Anomalie,  242  Wiederkehren  der  Breite, 
241  Umläufe  der  Länge  und  10%  Grade  darüber  *\  welche  Ha  2i( 
die  Sonne  in  der  genannten  Zeit  zu  18  Kreisen  zusetzt,  wo-  31 
mit  man  die  Wiederkehr  von  Sonne  und  Mond  mit  Bezug 
auf  die   Fixsterne  theoretisch  bestimmt  zu  haben  meinte. 
Sie  nannten  diesen  Zeitraum  einen  periodischen,  weil  er  die 

a)  Genau  10^44' 12",  welche  sich  nach  den  Sonnentafeln  als 
Überschuß  über  ganze  Kreise  in  18  ägyptischen  Jahren  und 
15  ^^j  Tagen  ergeben. 

13* 


196  Viertes  Buch.    Zweites  Kapitel. 

Bewegungen  verschiedener  Art  erstmalig  annähernd  zu  einer 
Wiederkehr  führe.  Um  ihn  auf  ganze  Tage  zubringen,  mul- 
tiplizierten sie  die  6585V3  Tage  mit  3;  dadurch  erhielten 
sie  als  Zahl  der  Tage  19  756  und  nannten  die  Periode  einen 
5  Exeligmos.*^  Dadurch  daß  sie  auch  im  übrigen  die  Multi- 
plikation mit  3  durchführten,  erhielten  sie  669  Lunationen, 
717  Wiederkehren  der  Anomalie,  726Wiederkehren  der  Breite, 
723  Umläufe  der  Länge  und  darüber  32  Grade  (genau 
32^12' 36"),  welche  die  Sonne  (in  54  ägyptischen  Jahren 

10  und  46  Tagen)  zu  54  Kreisen  zusetzt. 

Schon  Hipparch  hat  indessen  nachgewiesen,  indem  er  seine 
Berechnungen  sowohl  an  die  chaldäischen  als  auch  an  die 
zu  seiner  Zeit  angestellten  Beobachtungen  knüpfte,  daß  diese 
Periode  nicht  genau  sei.    Er  zeigt  nämlich  an  der  Hand  des 

15  von  ihm  mitgeteilten  Beobachtungsmaterials,  daß  die   erst- 
Hei  271  malig  sich  erfüllende  Zahl  von  Tagen,  in  denen  die  Finsternis- 
periode bei  gleichviel  Lunationen  und  gleichgroßen  Bewe- 
gungsstrecken sich  jedesmal   wieder  zu   demselben   Zyklus 
gestalte,  126  007  Tage  und  1  Äquinoktialstunde   betrage. 

20  In  dieser  Zeit  (d.  i.  in  345  ägyptischen  Jahren,  82  Tagen 
und  1  Stunde)  findet  er  vollendet  4267  Lunationen,  ferner 
4573  ganze  Wiederkehren  der  Anomalie  und  4612  Ekliptik- 
kreise weniger  7%  Grrade^^,  welche  der  Sonne  an  345  Kreisen 
fehlen,  womit  er  die  Wiederkehr  von  Sonne  und  Mond  mit 

25  Bezug  auf  die  Fixsterne  wieder  theoretisch  bestimmt  zu  haben 

meint.    Daraus  findet  er  die  mittlere  Zeit  einer  Lunation, 

Ha  217  indem  er  mit  4267,  d.  i.  mit  der  Zahl  der  Lunationen,  in  die 


a)  Vgl.  Geminus,  Isagoge  S.  200  ff. 

b)  Nach  den  Ptolemäischen  Sonnentafeln  beträgt  in  345*  82"^  1^ 
der  mittlere  Lauf  der  Sonne  nach  Abzug  ganzer  Kreise  356^59', 
so  daß  an  345  Kreisen  nur  3^1'  fehlen.  Ich  vermag  diese  große 
Differenz  nicht  zu  erklären,  da  die  Hipparchischen  Sonnentafeln 
doch  auf  demselben  Werte  der  mittleren  täglichen  Bewegung 
der  Sonne  beruhen  mußten.  Auf  345  Sonnenjahre  würden 
86 V4  Schalttage  entfallen;  da  aber  in  345  Sonnenjahren  nach 
Hipparch  (S.  145,  17)  iVso^^  ^^^Vs''  ausfallen,  so  fehlen  nicht 
(86%*-82dih=)  A'^b^\  sondern  nur  3^175»»  an  345  vollen  Eklip- 
tikkreisen oder  3®0'50". 


Periodische  Zeiten  des  Mondes.  197 

obengenannte  Zahl  von  Tagen  dividiert,  zu  29*31' 50" 8'" 

Im  Verlauf  der  Zeit  von  der  angegebenen  Länge  weist  er 
also  die  gleichgroße  Zahl  der  von  Mondfinsternis  zu  Mond- 
finsternis schlechthin  sich  gegenseitig  entsprechenden  Inter-  5 
valle  nach.  Daß  somit  die  Anomalie  zur  Wiederkehr  ge- 
langt, geht  klar  daraus  hervor,  daß  nach  Verlauf  der  Zeit 
von  dieser  Länge  jedesmal  wieder  gleichviel  Lunationen  vor- 
liegen und  zu  der  gleichen  Zahl  von  4611  (Ekliptikkreisen 
oder)  Umläufen  in  Länge  stets  wieder  (360<^  -  772^  =)  10 
35272  Grade  als  Überschuß  treten,  wie  es  die  Syzygien  mit 
der  Sonne  erfordern. 

Wenn  man  nicht  gerade  die  von  Mondfinsternis  zu 
Mondfinsternis  gerechnete  Zahl  der  Lunationen  zu  finden 
bestrebt  wäre,  sondern  nur  die  von  Konjunktion  oder  Voll-  15 
mond  bis  wieder  zu  der  gleichen  Syzygie,  so   würde   man  Hei  272 
die  Zahl,  welche  die  Wiederkehr  der  Anomalie  und  der  Lu- 
nationen umfaßt,  noch  kleiner  finden.    Dividiert  man  näm- 
lich mit  dem  einzig  gemeinsamen  Faktor,  d.  i.  mit  der  Zahl 
17,  so  erhält  man  251  Lunationen  und  269  Wiederkehren  20 
der  Anomalie. 

Nicht  gefunden  wurde  in  der  obengenannten  Periode  eine 
in  ihr  ohne  Rest  aufgehende  Zahl  für  die  Wiederkehr  in 
Breite;  denn   die  gegenseitige  Entsprechung  der  Finster- 
nisse erfüllte  zwar  scheinbar  die  Forderung  der  Gleichheit  25 
hinsichtlich  der  Intervalle  der  Zeit  und  der  Umläufe  in  Länge, 
nicht  aber  auch  die  Forderung  der  Gleichheit  hinsichtlich 
der  Größe  und  des  ähnlichen  Verlaufs  der  Verfinsterungen, 
was  für  die  Bestimmung  der  Breite  maßgebend  ist.   Indessen 
nachdem  nun  vorerst  die  Zeit  der  Wiederkehr  der  Anomalie  30 
gewonnen  war,  verglich  Hipparch  von  neuem  Intervalle  von 
Lunationen  miteinander,   bei   welchen   die   ersten  und    die 
letzten  Finsternisse  sowohl  der  Dauer  als  der  Größe  der  Ver- 
finsterung nach  vollkommen  gleich  waren,  in  denen  aber  Ha  218 
auch  keinerlei  Differenz  hinsichtlich  der  Anomalie   eintrat,  35 
so  daß  in  diesem  Falle  offenbar  auch  der  Lauf  in  Breite 
zur  Wiederkehr  gelangte.     So  weist  er  denn  an  der  Hand 


198  Viertes  Buch.     Zweites  Kapitel. 

des  gebotenen  Materials  nach,  daß  die  betreffende  Periode 
5458  Lunationen  bei  5923  Umläufen  in  Breite  ohne  Rest 
enthalte. 

Hiermit  ist  das  Verfahren,  welches  unsere  Vorgänger  zur 

5  Bestimmung  der  Wiederkehren  einschlugen,  beschrieben.  Daß 

es  nicht  einfach  ist,  auch  nicht  auf  leicht  zu  beschaffendem 

Material  beruht,  sondern  vielfacher  und  peinlichster  PrüfuDg 

bedarf,  dürften  wir  aus  folgender  Erwägung  erkennen.    Zu- 

Hei  273  gegeben,  daß  die  Zeiten  der  (beiden  verglichenen)  Intervalle 

10  genau  einander  gleich  gefunden  werden,  so  ist  in  erster 
Linie  eine  solche  Gleichheit  gar  nichts  wert,  wenn  nicht 
gleichzeitig  die  Sonne  in  einem  Intervall  wie  in  dem  anderen 
entweder  gar  keine  Anomaliedifferenz  bewirkt  oder  wenig- 
stens dieselbe.    Denn  wenn  dies  nicht  der  Fall  ist,  sondern, 

15  wie  gesagt,  eine  Differenz  infolge  ihrer  Anomalie  sich  zeigt, 
so  wird,  ebensowenig  wie  die  Sonne,  natürlich  auch  der  Mond 
in  den  gleichen  Zeiten  gleiche  Umläufe  gemacht  haben.  Wenn 
nämlich  beispielshalber  jedes  der  beiden  verglichenen  Inter- 
valle nach  Abzug  ganzer  Kreise ,  d.  h.  gleichgroßer  Jahres- 

20  längen  (von  365%^),  als  Überschuß  eine  halbe  Jahreslänge 
zeigte,  und  in  dieser  Zeit  die  Sonne  ihre  Zusatzstrecke  im 
ersten  Intervall  von  ihrem  mittleren  Lauf  im  Zeichen  der 
Fische  ab  gew^onnen  hätte,  im  zweiten  Intervall  aber  von 
ihrem  mittleren  Lauf  im  Zeichen  der  Jungfrau  ab,  so  würde 

26  sie  im  ersten  Intervall  einen  Zusatz  erlangt  haben,  der  um 

47^"  (d.  i.  um  das  Doppelte  der  Anomaliedifferenz)  kleiner 

wäre  als  ein  Halbkreis,  im  zweiten  Intervall  einen  solchen, 

der  um  ebensoviel  größer  wäre  als  ein  Halbkreis.*^  Demnach 

Ha  219  hätte  auch  der  Mond^^  in  den  gleichen  Zeiten  nach  Abzug 

a)  Um  dieselben  Intervalle  handelt  es  sich  S.  187,  18.  In 
92^23'  Entfernung  vom  Apogeum  TT5'*30'  liegt  trp  7053'  einer- 
seits, anderseits  X  3*7'.  Demnach  beträgt  der  scheinbare  erd- 
ferne Lauf  von  X  3®7'  über  das  Apogeum  bis  if  7°53'  184'»46', 
während  der  scheinbare  erdnahe  Lauf  von  "P  7^53'  über  das 
Perigeum  bis  X  307'  nur  175^14'  beträgt. 

b)  Weil  der  Mond  nach  Abzug  ganzer  Kreise  von  Finstemia- 
ort  zu  Finsternisort  dieselbe  Strecke  zurückgelegt  haben  muß 
wie  die  Sonne. 


Periodisclie  Zeiten  des  Mondes.  199 

ganzer  Kreise  im  ersten  Intervall  einen  Zusatz  von  ITö^/, 
im  zweiten  dagegen  einen  solchen  von  184^4^  gewonnen. 
Wir  halten  demnach  in  erster  Linie,  was  die  Sonne  be- 
trifft, für  notwendig,  daß  die  Intervalle  in  einem  der  folgenden 
Punkte  Übereinstimmung  zeigen:  5 

1.  Entweder  muß  die  Sonne  ganze  Kreise  umfassen, 
oder 

2.  sie  muß  in  dem  einen  Intervall  den  Halbkreis  vom 
Apogeum  ab,  in  dem  anderen  den  Halbkreis  vom  Perigeum 
ab  zusetzen,  oder  10 

3.  in  beiden  Intervallen  von  demselben  Grad  ausgehen, 
oder 

4.  bei  der  ersten  Finsternis  des  einen  Intervalls  sowohl  Hei  27 
wie  bei  der  zweiten  Finsternis  des  anderen  beiderseits  ent- 
weder von  dem  Apogeum  oder  von  dem  Perigeum  den  gleich-  15 
großen  Abstand  haben. 

Nur  in  diesen  Fällen  dürfte  in  beiden  Intervallen  ent- 
weder gar  keine  oder  höchstens  dieselbe  Differenz  infolge 
der  Anomalie  der  Sonne  eintreten,  so  daß  auch  die  als  Zusatz 
gewonnenen  (Ekliptik-)  Bogen  entweder  einander  gleich  oder  20 
sowohl  einander  als  auch  den  gleichförmigen  Bogen  (des  Ex- 
zenters) gleich  werden. 

In  zweiter  Linie  glauben  wir  auch  hinsichtlich  des 
Mondlaufs *^  (auf  dem  Epizykel)  die  entsprechende  Er- 
wägung anstellen  zu  müssen.  Wenn  nämlich  dieser  Punkt  25 
ungesichtet  bleibt,  so  wird  es  wieder  möglich  sein,  daß  auch 
der  Mond  oft  scheinbar  gleichgroße  Bogen  als  Zusatz  ge- 
winnen kann,  ohne  daß  durchaus  auch  seine  Ano- 
malie zur  Wiederkehr  gelangte.  Dieser  Fall  wird  ein- 
treten, 30 

1.  wenn  der  Mond  in  jedem  der  beiden  Intervalle  von 
demselben  mit  dem  Zusatz  oder  von  demselben  mit  dem  Ab- 
zug behafteten  Lauf  ausgeht  und  nicht  wieder  mit  demselben 
aufhört; 


a)  Daß  unter  Sgofiog  der  Lauf  des  Mondes  auf  dem  Epizykel 
zu  verstehen  ist,  geht  aus  der  Stelle  Heib.  S.  363,  18  hervor. 


200  Viertes  Buch.     Zweites  Kapitel. 

2.  wenn  er  in  dem  einen  Intervall  mit  dem  größten  Lauf 
anfängt  und  mit  dem  kleinsten  aufhört  *\  während  er  in  dem 
Ha  220  anderen  Intervall  mit  dem  kleinsten  anfängt  und  mit  dem 
größten  aufhört; 
6  3.  wenn  sowohl  der  Anfangslauf  des  einen  Intervalls  wie 
der  Endlauf  des  anderen  beiderseits  von  demselben  kleinsten 
oder  demselben  größten  Lauf  gleichweit  entfernt  ist.^^ 

Wenn  eine  von  diesen  Übereinstimmungen  vorliegt,  wird 

sie  entweder  wieder  gar  keine   oder  höchstens  dieselbe 

Hei  275  Differenz  infolge  der  Anomalie  des  Mondes  bewirken  und 

11  infolgedessen  den  Zusatz  in  Länge  gleichmachen,  aber  die 

Wiederkehr  der  Anomalie  durchaus  nicht  herbeiführen. 

Es  dürfen  demnach  die  zum  Vergleich  heranzuziehenden 
Intervalle  durchaus  keine  der  hier  aufgezählten  Eigenschaften 
15  an  sich  haben,  wenn  sie  ohne  weiteres  die  Zeit  der  Wieder- 
kehr der  Anomalie  gewährleisten  sollen.  Wir  müssen  im 
Gegenteil  diejenigen  Intervalle  aussuchen,  welche,  wenn  nicht 
ganze  Wiederkehren  der  Anomalie  geboten  werden,  die  Un- 
gleichheit ganz  besonders  deutlich  zum  Ausdruck  bringen 
20  können,  d.  h.  sie  sollen  nicht  nur  mit  verschiedenen  Läufen 
anfangen,  sondern  sogar  mit  recht  auffallend  verschiedenen, 
sei  dies  nun  der  Größe  oder  der  Geltung  nach. 

Was  zunächst  die  Größe  anbelangt,  so  soll  z.  B.  in  dem 
einen  Intervall  der  Mond  mit  dem  kleinsten  Lauf  beginnen 
26  und  nicht  mit  dem  größten  aufhören,  während  er  in  dem 
anderen  Intervall  mit  dem  größten  Lauf  anfängt  und  nicht 
mit  dem  kleinsten  aufhört.  Werden  nämlich  auf  diese  Weise 
nicht  ganze  Kreise  der  Anomalie  ohne  Rest  geboten,  so  wird 

a)  D.  h.  wenn  er  von  dem  Perigeum  des  Epizykels  bis  zum 
Apogeum  läuft. 

b)  Unter  „demselben"  größten  Lauf  ist  dasselbe  genaue  Apo- 
geum des  Epizykels  zu  verstehen,  d.  h.  das  von  dem  mittleren 
Apogeum  wieder  um  dieselbe  Differenz  verschiedene  genaue 
Apogeum.  Es  wird  demnach  die  von  dem  mittleren  Apogeum 
gerechnete  Anomaliezahl  des  Mondes,  auf  das  zur  Zeit  der  einen 
Finsternis  geltende  genaue  Apogeum  reduziert,  wieder  gleich 
sein  der  auf  das  genaue  Apogeum  bei  der  anderen  Finsternis 
reduzierten  Anomaliezahl.    Vgl.  Buch  V,  Kap.  5  Anf. 


Periodische  Zeiten  des  Mondes.  201 

ein  Maximum  der  Differenz  des  Zusatzes  in  Länge  eintreten, 
sobald  möglichst  ein  Quadrant  oder  auch  drei  Quadranten 
eines  Umlaufs  in  Anomalie  als  Zusatz  gewonnen  werden. 
Denn  in  diesem  Falle  werden  die  Intervalle  um  das  Doppelte 
der  Anomaliedifferenz  ungleich  sein.*^  5 

Was  zweitens   die  Geltung  anbelangt,  so   soll  z.  B.  in 
beiden  Intervallen  der  Mond  mit  dem  mittleren  Lauf  be-  Ha  221 
ginnen,  aber  nicht  mit  demselben  mittleren,  sondern  in  dem 
einen  Intervall  soll  es  der  mittlere  (zwischen  Apogeum  und 
Perigeum)  sein,  den  man  durch  Zusatz  (zum  kleinsten  Lauf)  10 
erhält,  in  dem  anderen  Intervall  der  mittlere  (zwischen  Peri- 
geum und  Apogeum),  den  man  durch  Abzug  (vom  größten 
Lauf)  erhält.    Denn  auch  in  diesem  Falle  werden  die  Zu- 
sätze in  Länge  das  Maximum  der  Differenz  aufweisen,  weil  Hei  276 
die  Anomalie  von  dem  Punkte  der  Wiederkehr  am  weitesten  15 
entfernt  ist,  indem  ein  oder  auch  wieder  drei  Quadranten 
eines  Umlaufs  in  Anomalie  einen  Zusatz  von  dem  doppelten 
Betrag  der  Anomaliedifferenz  eintreten  lassen,  ein  Halbkreis 
einen  Zusatz  von  dem  vierfachen  Betrag.^^ 

So  sehen  wir  denn  auch,  daß  Hipparch  bei  der  Auswahl  20 
der  für  vorliegenden  Zweck  verglichenen  Intervalle,  wie  er 
es   für  unbedingt  erforderlich   hielt,  eine   außerordentliche 
Sorgfalt  als  Beobachter  hat  walten  lassen.    Erstens  hat  er 
den  Fall  (S.  200,  23)  zur  Verwendung  herangezogen,  daß 

a)  Weil  die  beiden  Mondörter  nicht  mehr  auf  dem  Epizykel 
sich  gegenüberliegen,  sondern  beide  in  diejenige  Hälfte  des 
Epizykels  zu  liegen  kommen,  in  welcher  die  Anomaliedifferenz 
für  beide  Örter  positiv  oder  für  beide  negativ  ist,  sich  also 
nicht  mehr  aufhebt,  sondern  summiert. 

b)  Hat  der  Mond  von  der  Stelle  des  mittleren  Laufs  mit  dem 
größten  Abzug  (zwischen  Perigeum  und  Apogeum)  auf  dem  erd- 
fernen Teil  seiner  Bahn  (über  das  Apogeum)  die  Stelle  des 
mittleren  Laufs  mit  dem  größten  Zusatz  erreicht,  so  fehlt  am 
Halbkreis  die  Summe  von  Zusatz  und  Abzug  (d.  i.  5"-f-  5°).  Hat 
er  aber  von  der  Stelle  mit  dem  größten  Zusatz  über  das  Peri- 
geum die  Stelle  mit  dem  größten  Abzug  erreicht,  so  hat  er  die 
Summe  von  Abzug  und  Zusatz  über  den  Halbkreis  zurück- 
gelegt. Die  Differenz  der  Bahnstrecken  beträgt  demnach  190®  — 
170<>=4x5^    Vgl-  S.  188  Anm. »)  und  erl.  Anm.  32. 


202  Viertes  Bacli.     Zweites  Kapitel. 

der  Mond  in  dem  einen  Intervall  mit  dem  größten  Lauf  den 
Anfang  gemacht  und  nicht  mit  dem  kleinsten  aufgehört  hat, 
während  er  in  dem  anderen  Intervall  mit  dem  kleinsten  Lauf 
den  Anfang  gemacht  und  nicht  mit  dem  größten  aufgehört 
5  hat.  Zweitens  hat  er  auch,  so  gering  sie  war,  die  Korrektion 
der  Differenz,  welche  infolge  der  Anomalie  der  Sonne  ein- 
treten mußte,  im  Auge  behalten,  insofern  zur  Wiederkehr  der 
Sonne  in  beiden  Intervallen  an  ganzen  Kreisen  nur  das  Viertel 
eines  Zeichens  fehlt ^^,  und  zwar  weder  desselben  Zeichens, 

10  noch  desjenigen,  welches  die  gleichgroße  Anomaliedifferenz 
verursacht. 

Vorstehende   Erklärungen    haben    wir    nicht    abgegeben, 

um    die    mitgeteilte    Inangriffnahme    der   Feststellung   der 

periodischen  Wiederkehren    zu    verdächtigen,    sondern    um 

Ha  222  nahezulegen,  daß  dieselbe,  mit  der  gehörigen  scharfen  Prüfung 

16  und   dem   regelrechten   rechnerischen  Verfahren    ins  Werk 
gesetzt,  wohl  geeignet  ist,  die  vorliegende  Aufgabe  glück- 
lich zu  lösen,    daß  man  aber,    wenn  man  diese  oder  jene 
der  erklärten  charakteristischen  Eigenschaften  außer   acht 
Hei  277  läßt,    ein   ganz  falsches  Ergebnis    der   angestellten  Unter- 

21  suchung  erhalten  wird.  Gleichzeitig  wollten  wir  auch 
darauf  hinweisen,  daß  bei  allem  Scharfblick,  mit  dem  man 
die  Auswahl  der  geeigneten  Beobachtungen  zu  treffen  be- 
müht ist,    die  peinlich   genaue   gegenseitige  Entsprechung 

25  in  allen  charakteristischen  Punkten,  welche  dem  Beobachtungs- 
material eigen  sein  sollen,  ungemein  schwer  zu  beschaffen  ist. 
Von  den  besprochenen  periodischen  Wiederkehren  stellt 
sich   jedenfalls    nach    den    von    Hipparch    durchgeführten 
Rechnungen  die  Wiederkehr  der  Lunationen  als  so  sach- 

30  verständig  berechnet  heraus,  wie  es  nur  möglich  war,  so 
daß  sie  von  der  Wirklichkeit  um  keinen  namhaften  Fehl- 
betrag abweicht.  Dagegen  sind  die  Wiederkehren  der 
Anomalie  und  der  Breite  mit  einem  beträchtlichen 
Fehler  behaftet,    der  uns  daher  auch   bei  der  einfacheren 


a)  Hieraus  ist  zu  ersehen,  daß  diese  anerkennenden  Worte 
sich  auf  die  S.  196,  19  mitgeteilte  Periode  beziehen. 


Viertes  Buch.     Drittes  Kapitel.  203 

und  größere  Gewähr  bietenden  Methode,  welche  wir  zu 
der  einschlägigen  Berechnung  angewendet  haben,  leicht 
wahrnehmbar  geworden  ist.  Dieses  Verfahren  werden  wir 
bei  dem  Nachweis  des  Größenbetrags  der  Anomalie  des 
Mondes  alsbald  (6.  Kap.)  mitteilen.  Zunächst  müssen  wir  6 
jedoch,  weil  es  uns  für  die  weiteren  Untersuchungen  sehr 
zu  statten  kommen  wird,  die  Feststellung  der  auf  die  Teil- 
strecken entfallenden  Beträge  der  mittleren  Bewegung  in 
Länge,  Anomalie  und  Breite  (3.  Kap.)  vorausschicken, 
wie  sie  den  oben  (S.  197,  20;  198,  2)  mitgeteilten  Wieder-  10 
kehrzeiten  der  periodischen  Bewegungen  entsprechen,  und 
gleichzeitig  (S.  204,  24.  26)  die  Zusatzbeträge  zu  den  Werten 
(für  Anomalie  und  Breite),  welche  aus  einem  Korrektions- 
verfahren hervorgehen,  das  (Kap.  7  und  9)  noch  näher 
erklärt  werden  wird.  15 


Drittes  Kapitel. 

Die  Teilbeträge  der  gleichförmigen  Bewegungen 
des  Mondes. 

Wenn   wir    den    (S.  147,  ll)    mit   größter   Annäherung  Hei  278 
nachgewiesenen  Betrag  der   mittleren  täglichen  Bewegung 
der   Sonne   von   0^59' 8"  17'"  13^^  12^31  ^^   multiplizieren  Ha  223 
mit   der  Zahl    der  Tage   eines  synodischen  Monats  *\  d.  i. 
mit  29^  31'  50"  8'"  20^^,  und  zu  dem  Ergebnis  die  360  Grade  20 
eines  Kreises  addieren,  so  erhalten  wir  die  Grade,  welche 
der  Mond  in   einem   synodischen  Monat   in   mittlerer  Be- 
wegung zurücklegt,   mit  389*^6' 23"  l'"  24^^2.^30^157^11. 
Dividieren  wir   in  diese  Zahl   mit  den    oben    angegebenen 
Tagen  des  synodischen  Monats,  so  erhalten  wir  die  tag-  25 
liehe  mittlere  Bewegung   in  Länge  mit  13^  10' 34"  58'" 
331^30^30^1. 

Wenn  wir  ferner  die  269  Kreise  der  Anomalie  (s.  S.  197, 
20)  mit  den  360  Graden  eines  Kreises  multiplizieren,  so  er- 


a)  So  wird  von  hier  ab  ^irjv  wiedergegeben  werden,  anstatt 
wie  bisher  mit  „Lunation". 


204  Viertes  Buch.     Drittes  Kapitel. 

halten  wir  als  Produkt  96  840°.  Dividieren  wir  in  diese 
Zahl  mit  der  Summe  der  Tage  von  251  synodischen  Monaten, 
d.i.  mit  7412*1 10' 44"  51'"  40^^  so  erhalten  wir  die  täg- 
liche mittlere  Bewegung  in  Anomalie  mit  13^3' 53" 
6  56"' 29^^ 38^ 38^^. 

Desgleichen  erhalten  wir  durch  Multiplikation  der  5923 
Wiederkehren  in  Breite  (s.  S.  198,  2)  mit  den  360  Graden 
Hei  279  eines  Kreises  als  Produkt  2132  280^  Dividieren  wir  in 
diese  Zahl  mit  der  Summe  der  Tage  von  5458  synodischen 
10  Monaten,  d.  i.  mit  161 177^  58' 58"  3'"  20^^  so  erhalten 
wir  die  tägliche  mittlere  Bewegung  in  Breite  mit  13*^ 
13' 45"  39'"  40^^17^  19^^. 

Nachdem   wir    ferner  von   der   täglichen  Bewegung  des 
Mondes  in  Länge  die  mittlere  tägliche  Bewegung  der  Sonne 
16  abgezogen  haben,  erhalten  wir  die  mittlere  tägliche  Be- 
wegung inElongation  mit  12<^ll' 2 6" 41'" 201^^1 7^ 59^1 
Wir  werden  indessen  mit  Hilfe  der  (S.  203,  13)  bereits 
angekündigten  Methode,  welche  wir  weiterhin  (Kap.  7  und  9) 
Ha  224  zu  der  einschlägigen  Prüfung  anwenden  werden,   die  täg- 
20  liehe  Bewegung    in  Länge   so   gut  wie  vollkommen   über- 
einstimmend  mit    der  vorstehend  mitgeteilten  finden,   und 
selbstverständlich  ebenso  die  Bewegung  in  Elongation,  wo- 
gegen  die   tägliche  Bewegung  in   Anomalie    infolge   eines 
geringeren  Betrags  von  00  0'0"0'"lli^46^39^i  sich  ver- 
25  mindert    zu  13<^3'53"56'"  17^^51^59^^    während  die   in 
Breite    sich  infolge    eines  Mehrbetrags    von  OöO'0"0'"8^^ 
39^18^1  auf  13013' 45"39'" 48^^56^37^  erhöht. 

Wenn  wir*  nun  von  diesen  täglichen  Beträgen  je  den  24*®" 
Teil  nehmen,    so    erhalten    wir    die    stündliche   mittlere 
30  Bewegung 

in  Länge  =  0'^32'56"27"'26iV23V46^il5V«  O^m 

in  Anomalie      =  0°32'39"44'"50iv44V39vi57vn30vm 
in  Breite  =0''33'  4" 24"'   91^32^21^132^1130^1" 

Hei  280  in  Elongation  =  0° 30' 28" 36'" 431^20^44^1 57V"30V"i. 

35  Multiplizieren  wir  ferner  die  täglichen  Beträge  mit  30  und 
ziehen  von  dem  Produkt  ganze  Kreise  ab,  so  erhalten  wir 
den  monatlichen  mittleren  Überschuß 


Teilbeträge  der  gleichförmigen  Bewegungen.  205 

in  Länge  =35<'17'29"16"'45i^l5'^   O^i 

in  Anomalie  =31°56'58"   8"'55i'^'59'^'30^i 

in  Breite  =  36°52' 49"  54'" 281^18^30^1 

in  Elongation  =    5«43'20"40'"   81^59^30^^. 

Multiplizieren  wir  weiter  die  täglichen  Beträge  mit  den  5 
365  Tagen    des  ägyptischen  Jahres   und   ziehen   von  dem 
Produkt  ganze  Kreise  ab,  so  erhalten  wir  den  jährlichen 
mittleren  Überschuß 

in  Länge  =  129°22' 46"  13'" 501^32^  30^^ 

in  Anomalie    =    88''43'   7"  28'" 411^1 3^' 65^1  Ha  225 

in  Breite  =148"42'47"12'"44iV25v   ö^i  H 

in  Elongation=  129»37' 21"  28"' 291^23^55^1. 
Wenn  wir  endlich  die  jährlichen  Beträge,  weil  es  der  prak- 
tischen Anlegung  der  Tafeln,  wie  wir  schon  (S.  147,  23)  aus- 
gesprochen haben,  am  besten  entspricht,  mit  18  multiplizieren  15 
und  von  dem  Produkt  ganze  Kreise  abziehen,  so  erhalten  wir 
den  mittleren  Überschuß  der  achtzehnjährigen  Periode 
in  Länge         =  168U9'52"   9'"   91^46^  O^i 
in  Anomalie    =  156*^56' 14"  36'" 221^10^30^^1 
in  Breite         =156^50'   9"49'"19iv3iv30vi  20 

in  Elongation=  173^2' 26" 32"'49iviOV30^i. 

Wir  werden  also  nun,  wie  schon  bei  der  Sonne,  drei  Tafeln 
aufstellen,  jede  wieder  zu  45  Zeilen  in  3  Spalten.    Und  zwar  Hei  28i 
wird  die  erste  Spalte  (jeder  Tafel)  die  betreffenden  Zeit- 
abschnitte enthalten,  d.  h.  die  Spalte  der  ersten  Tafel  die  25 
achtzehnjährigen  Perioden,  die  der  zweiten  die  Jahre  und 
darunter  wieder  die  Stunden,  die  der  dritten  die  Monate  und 
darunter  wieder  die  Tage.  Die  weiteren  4  Spalten  werden  die 
zugehörigen  Ansätze  der  Gradzahlen  bieten,  und  zwar  die 
zweite  Spalte  die  Beträge  der  Länge,  die  dritte  die  der  Anoma-  30 
lie,  die  vierte  die  der  Breite,  die  fünfte  die  der  Elongation.*^ 

Die    Aufstellung    der    Tafeln    gestaltet    sich    demnach 
folgendermaßen. 

a)  Die  Wiederholung  der  ersten  Spalte  vor  der  vierten  und 
fünften  zählt  nicht  mit. 


206 


Viertes  Buch,     Viertes  Kapitel. 


18  jähr. 
Peri- 
oden 

Läng 
Mittlerer  Ort 

e 

8  11°  22' 

Anomalie 
Mittlerer  Ort  268°  49' 

18 

168° 

49' 

52" 

9'" 

9IV 

45V 

OVl 

156° 

56' 

14" 

36'" 

22IV 

lOV 

30VI 

36 

337 

39 

44 

18 

19 

30 

0 

313 

52 

29 

12 

44 

21 

0 

54 

146 

29 

36 

27 

29 

15 

0 

110 

267 

48 
44 

43 

58 

49 
25 

6 

31 

30 

72 

315 

19 

28 

36 

39 

0 

0 

28 

42 

0 

90 

124 

9 

20 

45 

48 

45 

0 

64 

41 

13 

1 

50 

52 

30 

108 

292 

59 

12 

54 

58 

30 

0 

221 

37 

27 

38 

13 

3 

0 

126 

101 

49 

5 

4 

8 

15 

0 

18 

33 

42 

14 

35 

13 

30 

144 

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38 

57 

13 

18 

0 

0 

175 

29 

56 

50 

57 

24 

0 

162 

79 

28 

49 

22 

27 

45 

0 

332 

26 

11 

27 

19 

34 

30 

180 

248 

18 

41 

31 

37 

30 

0 

129 

22 

26 

3 

41 

45 

0 

198 

57 

8 

33 

40 

47 

15 

0 

286 

18 

40 

40 

3 

55 

30 

216 

225 

58 

25 

49 

57 

0 

0 

83 

14 

55 

16 

26 

6 

0 

234 

34 

48 

17 

59 

6 

45 

0 

240 

11 

9 

52 

48 

16 

30 

252 

203 

38 

10 

8 

16 

30 

0 

37 

7 

24 

29 

10 

27 

0 

270 
288 

12 

28 

2 

17 

26 

15 

0 

194 

3 

39 

5 

32 

37 

30 

181 

17 

54 

26 

36 

0 

0 

350 

59 

53 

41 

54 

48 

0 

306 

350 

7 

46 

35 

45 

45 

0 

147 

56 

8 

18 

16 

58 

30 

324 

158 

57 

38 

44 

55 

30 

0 

304 

52 

22 

54 

39 

9 

0 

342 

327 

47 

30 

54 

5 

15 

0 

101 

48 

37 

31 

1 

19 

30 

360 

136 

37 

23 

3 

15 

0 

0 

258 

44 

52 

7 

23 

30 

0 

378 

305 

27 

15 

12 

24 

45 

0 

55 

41 

6 

43 

45 

40 

30 

396 

114 

17 

7 

21 

34 

30 

0 

212 

37 

21 

20 

7 

51 

0 

414 

283 

6 

59 

30 

44 

15 

0 

9 

33 

35 

56 

30 

1 

30 

432 

91 

56 

51 

39 

54 

0 

0 

166 

29 

50 

32 

52 

12 

0 

450 

260 

46 

43 

49 

3 

45 

0 

323 

26 

5 

9 

14 

22 

30 

468 

69 

36 

35 

58 

13 

30 

0 

120 

22 

19 

45 

36 

33 

0 

486 

238 

26 

28 

7 

23 

15 

0 

277 

18 

34 

21 

58 

43 

30 

504 

47 

16 

20 

16 

33 

0 

0 

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14 

48 

58 

20 

54 

0 

522 

216 

6 

12 

25 

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45 

0 

231 

11 

3 

34 

43 

4 

30 

540 

24 

56 

4 

34 

52 

30 
15 

0 

28 
185 

7 
3 

18 
32 

11 

47 

5 

15 
25 

0 

558 

193 

45 

56 

44 

2 

0 

27 

30 

576 

2 

35 

48 

53 

12 

0 

0 

341 

59 

47 

23 

49 

36 

0 

594 

171 

25 

41 

2 

21 

45 

0 

138 

56 

2 

0 

11 

46 

30 

612 

340 

15 

33 

11 

31 

30 

0 

295 

52 

16 

36 

33 

57 

0 

630 

149 

5 

25 

20 

41 

15 

0 

92 

48 

31 

12 

56 

7 

30 

648 

317 

55 

17 

29 

51 

0 

0 

249 

44 

45 

49 

18 

18 

0 

666 

126 

45 

9 

39 

0 

45 

0 

46 

41 

0 

25 

40 

28 

30 

684 

295 

35 

1 

48 

10 

SO 

0 

203 

37 

15 

2 

2 

39 

0 

702 

104 

24 

53 

57 

20 

15 

0 

0 

33 

29 

38 

24 

49 

30 

720 

273 

14 

46 

6 

30 

0 

0 

157 

29 

44 

14 

47 

0 

0 

738 

82 

4 

38 

15 

39 

45 

0 

314 

25 

58 

51 

9 

10 

30 

756 

250 

54 

30 

24 

49 

30 

0 

111 

22 

13 

27 

31 

21 

0 

774 

59 

44 

22 

33 

59 

15 

0 

268 

18 

28 

3 

53 

31 

30 

792 

228 

34 

14 

43 

9 

0 

0 

65 

14 

42 

40 

15 

42 

0 

810 

37 

24 

6 

52 

18 

45 

0 

222 

10 

57 

16 

37 

52 

30 

Tafeln  der  mittleren  Bewegungen  des  Mondes. 


207 


18  jähr. 
Peri 
Oden 

Breite 
Mittlerer  Ort  3540  16' 

Elongation 
70037'  mittlerer  Länge 

18 
36 
54 

156» 
313 
110 

50' 
40 
30 

9" 
19 
29 

49'" 

38 

27 

19IV 
39 

58 

31V 

3 
34 

30V1 
0 
30 

1730 
346 
159 

12' 
24 
37 

26" 

53 

19 

32"' 

5 
38 

49IV 
38 

27 

lOV 

21 

31 

30VI 
0 
30 

72 

90 

108 

267 

64 

221 

20 

10 

0 

39 

49 
58 

17 

6 

55 

18 
37 
57 

6 

37 

9 

0 

30 

0 

332 
146 
319 

49 

2 

14 

46 
12 
39 

11 
44 
16 

16 

42 

52 

3 

0 

30 

0 

126 
IM 
162 

17 
174 
331 

51 
41 
31 

8 
18 
28 

45 
34 
23 

16 
36 
55 

40 
12 
43 

30 

0 

30 

132 
305 
118 

27 
39 
51 

5 
32 

58 

49 
24 
55 

44 
33 
22 

13 
24 
34 

30 

0 

30 

180 
198 
216 

128 
285 

82 

21 
11 

1 

38 
48 
57 

13 

2 

51 

15 
34 
54 

15 
46 

18 

0 

30 

0 

292 
105 

278 

4 

16 
29 

25 

52 
18 

28 

1 

33 

11 

0 

50 

45 
1 

0 

30 

0 

234 
252 
270 

238 

35 

192 

52 

42 
32 

7 
17 
27 

41 
30 
19 

13 
33 
52 

49 
21 
52 

30 
0 
30 

91 
264 

78 

41 

54 

6 

45 
11 
38 

6 
39 
12 

39 

28 
17 

16 

27 
37 

30 

0 

30 

288 
306 
324 

349 
146 
303 

22 
12 

2 

37 
46 
56 

9 
58 
47 

12 
31 
51 

24 
55 

27 

0 

30 

0 

261 

64 

237 

19 
31 
43 

4 
31 

57 

45 
17 
50 

6 
55 
45 

48 

58 

9 

0 

30 

0 

342 
360 

378 

99 

256 

53 

53 
43 
33 

6 
16 
26 

37 
86 
15 

10 
30 
50 

68 
30 

1 

30 

0 

30 

50 

224 

37 

56 

8 

21 

24 
50 
17 

23 
56 
29 

34 
23 
12 

19 
30 
40 

30 
0 
30 

396 
414 
432 

210 

7 

164 

23 

13 

3 

36 
45 
55 

5 
54 
43 

9 
29 

48 

33 

4 
36 

0 

30 

0 

210 

23 

196 

33 
46 

58 

44 
10 
37 

2 
34 

7 

1 
51 
40 

51 

1 
12 

0 

30 

0 

450 

468 
486 

320 
117 

274 

54 
44 
34 

5 
15 
25 

33 
22 
11 

8 
27 

47 

7 
39 
10 

30 

0 

30 

10 
183 
356 

11 
23 
35 

3 
30 
56 

40 
13 
46 

29 

18 

7 

22 
33 
43 

30 

0 

30 

504 
522 
540 

71 

228 

25 

24 
14 
4 

35 
44 
54 

1 
50 
39 

6 
26 
45 

42 
13 
45 

0 

30 

0 

169 
343 
156 

48 

0 

13 

23 
49 
16 

18 
51 
24 

56 
46 
35 

54 

4 

15 

0 

30 

0 

558 
576 
594 

181 
338 
135 

55 
45 
35 

4 
14 
24 

29 
18 

7 

5 
24 

44 

16 
48 
19 

30 

0 

30 

329 
142 
315 

25 
38 
50 

42 

9 
36 

57 

30 

3 

24 

13 

2 

25 
36 
46 

30 

0 

30 

612 
630 

648 

292 

89 

246 

25 

15 

5 

33 
43 
53 

57 
46 
35 

3 
23 
42 

51 
22 
54 

0 

30 

0 

129 
302 
115 

3 
15 

27 

2 
29 
55 

35 

8 

41 

11 

30 

57 

7 
18 

0 

30 

0 

666 
684 
702 

42 
199 
356 

56 
46 
36 

3 
13 
23 

25 

14 

3 

2 

21 
41 

25 
57 

28 

30 

0 

30 

288 
101 
275 

40 

52 

5 

22 
48 
15 

14 

47 
19 

19 

8 

57 

28 
39 
49 

30 

0 

30 

720 
738 
756 

153 
310 
107 

26 

16 

6 

32 
42 

52 

53 
42 
31 

1 
20 
40 

0 

31 

3 

0 

30 

0 

88 
261 

74 

17 
30 

42 

41 

8 

34 

52 
25 

58 

47 
36 
25 

0 
10 
21 

0 

30 

0 

774 
792 
810 

263 
60 

217 

57 
47 
37 

2 

12 
21 

20 
10 
59 

59 
19 
38 

34 

6 

87 

30 

0 

30 

247 

61 

234 

55 

7 

19 

1 
28 
54 

31 
4 
36 

14 

3 

52 

31 
42 
52 

30 

0 

30 

208 


Viertes  Buch.     Viertes  Kapitel. 


Ein- 





_ 

zelne 

Länge 

Anomalie 

Jahre 

1 

129» 

22' 

46" 

13'" 

50IV 

32V 

30VI 

88° 

43' 

7" 

28'" 

41IV 

13V 

55VI 

2 

258 

45 

32 

27 

41 

5 

0 

177 

26 

14 

57 

22 

27 

50 

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Mondtafeln. 


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20 

17 

59 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitiiis.  I. 


14 


210 


Viertes  Buch.     Viertes  Kapitel. 


Mondtafeln 


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10 

14 

46 

30 

51 

30 

6 

20 

55 

30 

300 

8 

48 

19 

4 

43 

5 

0 

57 

13 

26 

41 

89 

55 

0 

330 

45 

41 

8 

59 

11 

23 

30 

62 

56 

47 

21 

38 

54 

30 

360 

82 

33 

58 

53 

39 

42 

0 

68 

40 

8 

47 

54 

0 

Tage 

Brei 

be 

Elongation 

1 

13° 

13' 

45" 

39'" 

48IV 

56V 

37VI 

12° 

11' 

26" 

41'" 

20IV 

17V 

59VI 

2 

26 

27 

31 

19 

37 

53 

14 

24 

22 

53 

22 

40 

35 

58 

3 

39 

41 

16 

59 

26 

49 

51 

36 

34 

20 

4 

0 

53 

57 

4 

52 

55 

2 

39 

15 

46 

28 

48 

45 

46 

45 

21 

11 

56 

5 

66 

8 

48 

19 

4 

43 

5 

60 

57 

13 

26 

41 

29 

55 

6 

79 

22 

33 

58 

53 

39 

42 

73 

8 

40 

8 

1 

47 

54 

7 

92 

36 

19 

38 

42 

36 

19 

85 

20 

6 

49 

22 

5 

53 

8 

105 

50 

5 

18 

31 

32 

56 

97 

31 

33 

30 

42 

23 

52 

9 

119 

3 

50 

58 

20 

29 

33 

109 

43 

0 

12 

2 

41 

51 

10 

132 

17 

36 

38 

9 

26 

10 

121 

54 

26 

53 

22 

59 

50 

11 

145 

31 

22 

17 

58 

22 

47 

134 

5 

53 

34 

43 

17 

49 

12 

158 

45 

7 

57 

47 

19 

24 

146 

17 

20 

16 

.  3 

35 

48 

13 

171 

58 

53 

37 

36 

16 

1 

158 

28 

46 

57 

23 

53 

47 

14 

185 

12 

39 

17 

25 

12 

38 

170 

40 

13 

38 

44 

ni 

46 

15 

198 

26 

24 

57 

14 

9 

15 

182 

51 

40 

20 

4 

•29 

45 

16 

211 

40 

10 

37 

3 

5 

52 

195 

3 

7 

1 

24 

47 

44 

17 

224 

53 

56 

16 

52 

2 

29 

207 

14 

33 

42 

45 

5 

43 

18 

238 

7 

41 

56 

40 

59 

6 

219 

26 

0 

24 

5 

23 

42 

19 

251 

21 

27 

36 

29 

55 

43 

231 

37 

27 

5 

25 

41 

41 

20 

264 

35 

13 

16 

18 

52 

20 

243 

48 

53 

46 

45 

59 

40 

21 

22 

277 

48 

58 

56 

7 

48 

57 

256 

0 

20 

28 

6 

17 

39 

291 

2 

44 

35 

56 

45 

34 

268 

11 

47 

9 

26 

35 

38 

23 

304 

16 

30 

15 

45 

42 

11 

280 

23 

13 

50 

46 

53 

37 

24 

317 

30 

15 

55 

34 

38 

48 

292 

34 

40 

32 

7 

11 

36 

25 

330 

44 

1 

35 

23 

35 

25 

304 

46 

7 

13 

27 

29 

35 

26 

343 

57 

47 

15 

12 

32 

2 

316 

57 

33 

54 

47 

47 

34 

27 

357 

11 

32 

55 

1 

28 

39 

329 

9 

0 

36 

8 

5 

33 

28 

10 

25 

18 

34 

50 

25 

16 

341 

20 

27 

17 

28 

23 

32 

29 

23 

39 

4 

14 

39 

21 

53 

353 

31 

53 

58 

48 

41 

31 

30 

36 

52 

49 

54 

28 

18 

30 

5 

43 

20 

40 

8 

59 

30 

212  Viertes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


Fünftes  Kapitel. 

Nachweis,   daß  auch  bei  der   einfachen  Mondhypothese 

die  exzentrische  wie  die   epizyklische  Hypothese 

dieselben  Erscheinungen  bewirkt. 

Hei  m)  -^^  unsere  weitere  Aufgabe  in  dem  Nachweis  der  Art 
und  des  Größenbetrags  der  Anomalie  des  Mondes  besteht, 
so  werden  wir  jetzt  diesen  Gegenstand  zunächst  unter  der 
Voraussetsung  behandeln,  daß  diese  Anomalie  identisch  sei 
5  mit  derjenigen,  welcher  wohl  alle  unsere  Vorgänger  schon 
ihre  Aufmerksamkeit  unter  der  Annahme  zugewendet  haben, 
daß  sie  die  einzig  vorhandene  sei.  Ich  verstehe  darunter 
diejenige  Anomalie,  welche  sich  genau  in  der  festgestellten 
Zeit*^  der  Wiederkehr  vollzieht.    Später  werden  wir  jedoch 

10  zeigen,  daß  der  Mond  im  Verhältnis  zu  seiner  Elongation 
von  der  Sonne  noch  eine  zweite  Anomalie  bewirkt,  welche 
in  den  beiden  Quadraturen  ihr  Maximum  erreicht  und  zwei- 
mal in  der  Zeit  des  synodischen  Monats  zur  Wiederkehr 
gelangt  (d.  h.  gleich  Null  wird),    nämlich  gerade  bei  den 

15  Konjunktionen  und  den  Vollmonden. 

Die  hier  angedeutete  Aufeinanderfolge  des  Nachweises 
werden  wir  deshalb  einhalten,  weil  letztere  Anomalie  ohne 
die  erste,  welche  mit  ihr  jederzeit  eng  verflochten  ist,  auf 
keine  Weise  gefunden  werden  kann,  wohl  aber  jene  erste 

20  ohne  die  zweite,  weil  sie  eben  aus  den  Mondfinsternissen  ab- 
geleitet wird,  bei  denen  sich  infolge  der  (zweiten)  Anomalie, 
welche  im  Verhältnis  zur  Sonne  eintritt,  keinerlei  Differenz 
bemerkbar  machen  kann. 

Bei  dem  zunächst  vorzunehmenden  Nachweis  werden  wir 

25  der  theoretischen  Methode  folgen,    welche  wir   schon   von 

Hei  295  Hipparch  angewendet  sehen.    Auch  wir  werden  nämlich  an 

drei  ausgewählten  Mondfinsternissen  erstens  das  Maximum 


a)  In  einem  anomalistischen  Monat,  d.  h.  in  der  Zeit,  in 
welcher  der  Mond  einen  Umlauf  auf  dem  Epizykel  von  dem 
Apogeum  desselben  bis  wieder  zu  demselben  macht. 


Grleicliberecht  igung  der  beiden  Hypothesen.  213 

der  Differenz  gegen  die  mittlere  Bewegung,  und  zweitens  Ha  230 
die  an  den  Punkt  der  größten  Erdferne  (d.  i.  an  das  Apo- 
geum  des  Epizykels)  geknüpfte  Epoche  (dieser  ersten  Ano- 
malie) nachweisen,  von  der  Voraussetzung  ausgehend,   daß 
diese  Art  der  Anomalie  theoretisch  für  sich  zu  betrachten   5 
ist  und  mit  Hilfe  der  epizyklischen  Hypothese  zum  Aus- 
druck gebracht  wird.    Es  werden  zwar  auch  bei  Zugrunde- 
legung der  exzentrischen  Hypothese  die  Erscheinungen 
wieder  dieselben  sein,  allein  diese  letztere  wird  bei  der  Ver- 
mischung der  beiden  Anomalien  eine  geeignetere  Verwendung    10 
zur  Darstellung  der  zweiten  Anomalie  finden,  die  im  Ver- 
hältnis zur  Sonne  eintritt. 

Wenn  auch  die  Zeiten  der  beiden  Wiederkehren,  nämlich 
der  Wiederkehr  in  Anomalie  (auf  dem  Epizykel)  und  der 
theoretisch  auf  die  Ekliptik  bezogenen  Wiederkehr  (in  Länge),  16 
nicht,  wie  wir  dies  (S.  154,  27)  bei  der  Sonne  gezeigt  haben, 
gleichgroß  sind,  sondern,  wie  eben  bei  dem  Monde,  ungleich*^ 
so  sind  doch  auch  hier  wieder  nach  beiden  Hypothesen  die 
Erscheinungen  dieselben,  wenn  nur  dieselben  Verhältnisse 
(vgl.  S.  154,26)  wieder  eingehalten  werden.  Zu  dieser  Er-  20 
kenntnis  gelangen  wir  auf  folgendem  Wege,  wobei  wir  unsere 
Betrachtung  auf  die  in  Frage  stehende  einfache  Anomalie 
des  Mondes  beschränken. 

Da  der  Mond  die  auf  die  Ekliptik  bezogene  Wiederkehr 
(in  Länge)  schneller  bewerkstelligt  als  die  Wiederkehr  hin-    26 
sichtlich  der  in  Frage  kommenden  Anomalie,  so  wird  nach 
der    epizyklischen    Hypothese    selbstverständlich    der 
Epizykel  auf  dem  mit  der  Ekliptik  konzentrischen  Kreise  — 
anders    als    bei    der    Entsprechung    (der    beiden    Wieder- 
kehren) —  in  den  gleichen  Zeiten  stets  einen  größeren  Bogen  30 
(in  Länge)  zurücklegen,  als  derjenige  ist,  welcher  von  dem  Hei  29e 
Monde  (in  Anomalie)  auf  dem  Epizykel  beschrieben  wird. 


a)  Insofern  bei  der  Sonne  die  Wiederkehr  der  Anomalie  an 
das  feste  Apogeum  des  Exzenters  geknüpft  war,  bei  dem 
Monde  dagegen  an  das  bewegliche  Apogeum  des  Epizykels 
geknüpft  wird. 


214 


Viertes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


Nach    der    exzentrischen  Hypothese    wird    dagegen 
der  Mond   auf  dem  Exzenter   in  den   gleichen  Zeiten  den 
ähnlichen   Bogen   wie   auf    dem   Epizykel    (hZQ  ^^hZE) 
Ha  240  zurücklegen,    während   der  Exzenter   nach  derselben  Seite 
5  wie  der  Mond  um  den  Mittelpunkt  (A)  der  Ekliptik  einen 
Bogen  (A  B  =  A  r  —  r  B)  zurücklegen  wird,  welcher  dem  Über- 
schuß des  Laufs  (AT)  in  Länge  über  den  Lauf  (EZ  -^  TB)  in 
Anomalie  gleichkommt,  was  (bei  der  epizyklischen  Hypo- 
these) die  Differenz  (AT  —  E  Z)  zwischen  dem  Konzenter- 
10  bogen  und  dem  Epizykelbogen  ist.    Auf  diese  Weise  dürft© 

nämlich   nicht   nur   die 
(S.  154,  26   geforderte) 
Ähnlichkeit  der  Verhält- 
nisse (ZH:HA  =  Ar: 
rZ),  sondern  auch  die 
Ähnlichkeit   der  Zeiten 
(hZOr^hEZ)     beider 
Bewegungen  in   beiden 
Hypothesen      in     allen 
Fällen  gewahrt  bleiben. 
Unter  Voraussetzung 
dieser  logisch  ohne  wei- 
teres notwendigen  Ver- 
hältnisse  sei  ABT   der 
25  mit  der  Ekliptik  konzentrische  Kreis  um  das  Zentrum  A 
und  den  Durchmesser  AA,*^  und  EZ  um  den  Mittelpunkt  T 
der  Epizykel.     Angenommen  sei,   daß  der  Mond,   als  der 
Epizykel  in  Punkt  A  war,  in  dem  Apogeum  E  des  Epizykels 
gestanden  hat,  daß  ferner  in  der  gleichen  Zeit  der  Epizykel 
30  den  (längeren)  Bogen  AT,  und  der  Mond  den  (kürzeren) 
Bogen  EZ  durchlaufen  hat.  Nun  ziehe  man  die  Verbindungs- 
linien ETA  und  rZ.    Da  der  Bogen  AT  —  anders  als  bei 
der  Entsprechung  (der  beiden  Wiederkehren)  —  größer  ist 
als  der  Bogen  EZ,  so  trage  man  den  Bogen  TB  als  ähn- 

a)  Die  Bezeichnung  des  Durchmessers  mit  den  Buchstaben 
des  Halbmessers  wiederholt  sich  öfter.  Allerdings  ist  hier  A 
aus  einer  Korrektur  im  Cod.  D  hervorgegangen. 


15 


20 


Gleichberechtigung  der  beiden  Hypothesen.  215 

lieh  dem  Bogen  EZ  ab*)  und  ziehe  die  Verbindungslinie 
AB.  Es  leuchtet  ein,  daß  in  der  gleichen  Zeit  auch  der 
Exzenter  den  /.AAB,  d.  i.  die  Differenz  der  beiden  Lauf- Hei  297 
strecken  (Ar — TB'-^EZ)  zurückgelegt  hat,  und  daß  sein 
Zentrum  und  sein  Apogeum  auf  die  Gerade  AB  (bzw.  ihre  5 
Verlängerung)  zu  liegen  gekommen  ist.  In  dieser  Lage  des 
Exzenters  setze  man  A  H  gleich  VZ  und  ziehe  die  Verbindungs- 
linie ZH.  Ferner  werde  um  H  als  Zentrum  mit  dem  Abstand 
HZ  der  Exzenter  Z0  gezogen. 

Meine  Behauptung  geht  also  dahin:  10 

1.  Es  verhält  sich  ZH  :  H  A  wie  AT :  TZ. 

2.  Der  Mond  wird  auch  nach  dieser  (d.  i.  der  exzentrischen) 
Hypothese  in  Punkt  Z  stehen,  d.  h.  bZQ  ^hEZ.  Ha  ui 

Beweis  der  ersten  Behauptung. 

Da   ^  rAB=  /.Erz,  (weil  6rBr^6EZ)  15 

so  ist         rZ   !!  AH.    (Eukl.  I.   28) 
Nun  ist         rZ  =  AH,  (nach  Annahme  Z.  7) 
folglich         ZH#rA,    (Eukl.  L  33) 
mithin         ZH   :   HA  =  AT :  TZ.  (im  Parallelogramm) 
Beweis  der  zweiten  Behauptung.  20 

Da         TA  li  ZH,  (wie  eben  bewiesen)  Hei  398 

so  ist  ^rAB  =  ^ZHa  (Eukl.  L  29) 
Nun  war  /,  TA 8  =  /,  ETZ  nach  Annahme, 
folglich      6Z0r^6EZ. 
Mithin  ist  nach  beiden  Hypothesen  in  der  gleichen  Zeit  25 
der  Mond  in  Punkt  Z  angelangt,  weil  er  ja  für  sein  Teil 
sowohl   den  Epizykelbogen    EZ,    als   auch   den   Exzenter- 
bogen Z0,  die  als  ähnlich  nachgewiesen  worden  sind,  be- 
schrieben hat,  während  der  Mittelpunkt  des  Epizykels  den 
Bogen  A  f,  und  das  Zentrum  des  Exzenters  den  Bogen  AB,  30 

a)  Dies  geschieht  durch  Konstruktion  dadurch,  daß  man 
durch  A  eine  Parallele  zu  ZT  zieht,  welche  den  Konzenter  in 
Punkt  B  schneidet:  da  /.rAB  =  /,ErZ,  so  ist  bTSr^hEZ. 
Hier  wird  umgekehrt  aus  der  vorausgesetzten  Ähnlichkeit 
der  Bogen  der  parallele  Verlauf  der  Geraden  TZ  und  AH  (Z.  16) 
erschlossen. 


216 


Viertes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


d.  i.  die  Differenz  zwischen  den  Bogen  AP  und  EZ  (S.  215, 4), 
zurückgelegt  hat,  was  zu  beweisen  war. 

Daß  aber  dasselbe  Ergebnis  wieder  eintritt,  auch  wenn 
die  Verhältnisse  nur  ähnlich  sind,  d.h.  wenn  sie  selbst  nicht 
5  gleich,  und  auch  der  Exzenter  nicht  gleich  dem  Konzenter 
ist,    wird  uns  auf  folgendem  Wege  klar  werden. 

Die  Figur  sei  für  jede  der  beiden  Hypothesen  getrennt 
gezeichnet.  Einerseits  sei  ABT  der  mit  der  Ekliptik  kon- 
zentrische Kreis  um  das  Zentrum  A  und  den  Durchmesser 
10  AA,   und  EZ   um  den  Mittelpunkt  f  der  Epizykel.     Der 


Mond  sei  Punkt  Z.     Anderseits  sei  H0K  der  Exzenter  um 

ggi^gfgjdas  Zentrum  A   und   den  Durchmesser  GA''^,   Mittelpunkt 

der  Ekliptik  sei  auf  letzterem  der  Punkt  M.    Der  Mond  sei 

Punkt    K.      Nun   ziehe    man    dort    die    Verbindungslinien 

15  ATE,  rZ,  AZ,  hier  HM,  KM,  KA. 

Als  Annahme  sei  zugrunde  gelegt  das  Verhältnis  A  f :  f  E 
=  0A:AM.  Ferner  soll  in  derselben  Zeit  einerseits  der 
Epizykel  den  /.AAf,  und  der  Mond  wieder  den  LEVZ 
zurückgelegt  haben,  anderseits  der  Exzenter  den   /-  HM0, 

20  und  der  Mond  wieder  den  /-  0AK.  Demnach  ist  wegen 
der  zugrunde  gelegten  Verhältnisse  der  Bewegungen  (vgl. 
die  Figur  S.  214) 


a)  Auch  vorher  wurde  der  Durchmesser  nur  mit  den  Buch- 
staben des  Halbmessers  bezeichnet,  was  später  sich  oft  wieder- 
holen wird.  Daher  ist  der  Lesart  0A  des  Cod.  D  vor  der  Vul- 
gata  0AM,  welche  Heiberg  beibehält,   der  Vorzug  zu  geben. 


Gleichberechtigung  der  beiden  Hypothesen.  217 

/.ErZ=/.0AK,  (oben:  /,  ETZ  = /.  0H'Z) 

t  AAr= /,  HMO-f/,  0AK.  (oben:  i  AAr= /.  AAB -f- /,  0HZ) 

Unter  dieser  Voraussetzung  geht  meine  Behauptung  dahin, 
daß  wieder  nach  beiden  Hypothesen  der  Mond  in  der  gleichen 
Zeit  scheinbar  den  gleichgroßen  Bogen  durchlaufen  haben  6 
wird,  d.h.  daß  die  Winkel  AAZ  und  HMK  einander 
gleich  sind.  Denn  hatte  der  Mond,  als  er  im  Anfangs- 
punkte siBiner  Entfernungsstrecke  in  den  Apogeen  stand, 
seinen  scheinbaren  Ort  in  der  Richtung  der  Geraden  AA 
und  MH,  so  liegt  dieser  scheinbare  Ort  nun,  wo  der  Mond  10 
im  Endpunkte  seiner  Entfernungsstrecke  in  den  Punkten  Z 
und  K  steht,  in  der  Richtung  der  Geraden  AZ  und  MK. 

Beweis.   Die  Bogen  Bf,  0K  und  EZ  sollen  wieder  einan-Hei  300 
der  ähnlich  sein.    Nun  ziehe  man  noch  die  Verbindungslinie 
AB.^)    Da  das  Verhältnis  AT  :  TZ  =  KA  ;  AM  (in  der  An-  16 
nähme  S.  216,  16  teilweise  durch  andere  Halbmesser  aus- 
gedrückt)  gegeben  ist,   und   die  Winkel  ATZ  und   KAM 
(als  Nebenwinkel  gleicher  Winkel)  einander  gleich  sind,  so 
sind    (nach    Eukl.  VI,  6)    die    Dreiecke   ATZ  und   KAM 
gleichwinklig  und  die  den  entsprechenden  Seiten  gegenüber-  20 
liegenden  Winkel  einander  gleich.    Folglich  ist 

/.rZA  =  /.  AMK. 

Nun   ist  aber  Z.  fZA   auch  gleich   dem  /.BAZ   (nach 
Eukl.  I.  29),  weil  bei  der  Annahme,  daß   die  Winkel  EfZ  Ha  243 
und  BAT  einander  gleich  seien,  die  Geraden  FZ  und  BA    25 
(nach  Eukl.  I.  27)  parallel  sind.     Folglich  ist  auch 

^BAZ=/.  AMK. 

Nun  ist  nach  Annahme  (S.  215,  3)  die  Differenz  der  Be- 
wegungen gleich  dem  Lauf  des  Exzenters,  also 

/,AAB  =  /,HM0,  30 

folglich   /.  AAB  +  t  BAZ=/:  HM0-J-/.  AMK, 
d.i.  ^AAZ=/.HMK, 

was  zu  beweisen  war. 


a)  Zu  dieser  Geraden  vergleiche  man  S.  215,  2. 


218  -         Viertes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 


Sechstes  Kapitel. 

Nachweis  der  ersten  oder  einfachen  Anomalie 

des  Mondes. 

Hiermit  sollen  unsere  theoretischen  Vorbetrachtungen  ab- 
geschlossen sein.  Wir  werden  nunmehr  den  Nachweis  der 
in  Frage  stehenden  Anomalie  des  Mondes  liefern,  und  zwar 
Hei  301  aus  dem  (S.  213,  6)  angegebenen  Grunde  nach  der  epi- 
5  zyklischen  Hypothese.  Zur  Benutzung  herangezogen  haben 
wir  an  erster  Stelle  von  den  ältesten  uns  zu  Gebote  stehen- 
den Finsternissen  drei,  welche  den  Eindruck  ganz  besonders 
sorgfältiger  Aufzeichnung  machen,  an  zweiter  Stelle  aber 
auch  von  den  Beobachtungen  neueren  Datums  drei,  welche 

10  von  uns  selbst  mit  größter  Genauigkeit  angestellt  worden 
sind.  Diese  (doppelte)  Beweisführung  bietet  uns  erstens  den 
Vorteil,  daß  die  Prüfung  sich  auf  eine  möglichst  lange 
Zwischenzeit  stützt,  zweitens  wird  ersichtlich  werden,  daß 
sich  aus  dem  Beweismaterial  beiderlei  Art  nahezu  dieselbe 

15  Anomaliedifferenz  herausstellt;  drittens  wird  der  Überschuß 
der  mittleren  Bewegungen  (in  Anomalie  und  Breite)  stets 
übereinstimmend  mit  dem  Zusatzbetrag  gefunden  werden, 
welcher  sich  (S.  204, 24. 26)  nach  den  angegebenen  periodischen 
Zeiten  bei  dem  von  uns  angestellten  Korrektionsverfahren 

20  ergeben  hat. 

Zum  Nachweis  der  ersten  theoretisch  für  sich  betrachteten 

Anomalie   soll   nunmehr   die   epizyklische   Hypothese, 

Ha  244  wie  gesagt,  folgende  Fassung  erhalten.    Man  denke  sich  in 

der  Sphäre  des  Mondes  einen  mit  der  Ekliptik  konzentrischen 

25  Kreis,  der  auch  in  derselben  Ebene  mit  ihr  liegt.  Ein  zwei- 
ter Konzenter  sei  gegen  diesen  ersten  dem  Größenbetrag 
des  Mondlaufs  in  Breite  entsprechend  geneigt  und  rücke 
bei  seinem  gleichförmigen  Umlauf  um  den  Mittelpunkt  der 
Ekliptik  gegen  die  Richtung  der  Zeichen  nur  so  weit  vor, 

30  als  der  Überschuß  der  Bewegung  in  Breite  über  die  Bewe- 
gung in  Länge  beträgt.  Auf  diesen  schiefen  Kreis  verlegt 
nun  unsere  Hypothese  den  Lauf  des  sogenannten  Epizykels, 


Erste  Anomalie  des  Mondes.  219 

der  sich  ebenfalls   gleichförmig,  und   zwar  nach  den  öst- 
lichen Teilen  des  Weltalls  (d.  i.  in  der  Richtung  der  Zeichen) 
der  Wiederkehr  in  Breite    entsprechend  vollzieht.     Wird 
diese  Wiederkehr  theoretisch  direkt  auf  die  Ekliptik  bezogen,  Hei  30ä 
so  bringt  sie  selbstverständlich  die  Bewegung  in  Länge  zum  5 
Ausdruck.*^    Auf  dem  Epizykel  selbst  endlich  bewirkt  der 
Mond  auf  dem  erdfernen  Bogen  seinen  Fortschritt  nach  den 
westlichen  Teilen  des  Weltalls  (d.  i.  gegen  die  Richtung 
der  Zeichen),  und  zwar  der  Wiederkehr  der  Anomalie  ent- 
sprechend.    Eine  kleine  Erleichterung  verschaffen  wir  uns  10 
für  den  vorliegenden  Nachweis  dadurch,  daß  wir  weder  die 
mit  der   Breite  zusammenhängende  rückläufige   Bewegung 
(der  Knoten),  noch  die  Schiefe  des  Mondkreises  in  Betracht 
ziehen ''^  da  bei  einem  so  geringen  Betrag  der  Neigung  dem 
Lauf  in  Länge  keine  nennenswerte  Differenz  erwächst.  16 

L  Von  den  drei  alten  Finsternissen,  welche  wir  aus  den 
einst  in  Babylon  beobachteten  ausgewählt  haben,  hat  die 
erste  nach  dem  Wortlaut   der  erhaltenen  Aufzeichnung  im 
ersten  Jahre  desMardokempad  am  29/30.  ägyptischen  Thoth^^^ 
(19.  März  721  V.  Chr.)   stattgefunden.      Die  Finsternis  be-  20 
gann,  heißt  es,  als  reichlich  eine  Stunde  nach  dem  Aufgang ^^ 
verflossen  w^ar,  und  war  total.   Da  nun  die  Sonne  im  letzten  Ha  245 
Drittel  der  Fische  stand,  somit  die  Nacht  ziemlich  genau 
12  Aquinoktialstunden  hatte,  so  fiel  selbstverständlich  der 
Anfang  der  Finsternis  A^l^  Aquinoktialstunden  vor  Mitter-  25 
nacht  (7^  30™),  die  Mitte,  weil  die  Finsternis  zentral  war^'*^), 
2Y2  Stunden  vor  Mitternacht  (9^  30™).    Da  wir  die  nach 
(Aquinoktial-)  Stunden  angegebenen  Epochen  auf  den  Meridian 
von  Alexandria  reduzieren,  und  dieser  etwa  %  Aquinoktial-  Hei  30s 
stunde  (d.  s.  50™)  westlich  des  Meridians  von  Babylon  liegt^^^,  30 

a)  Projiziert  man  den  nördlichen  Grenzpunkt  der  Breite, 
was  der  Wiederkehrpunkt  der  Breite  ist,  auf  die  Ekliptik,  so 
fällt  das  Lot  auf  den  Anfang  des  Grades  in  Länge,  welcher 
gleichfalls  von  den  Knoten  ))eiderseits  90"  entfernt  ist. 

b)  D.  h.  der  schiefe  Kreis  wird  in  der  Ebene  der  Ekliptik 
als  unverrückbar  festliegend  betrachtet. 

c)  D.  i.  ly^  Stunde  nach  dem  Aufgang  um  6^  nachm.,  wie 
sich  Z.  26  herausstellt. 


220  Viertes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

so  hat  in  Alexandria  die  Mitte  der  vorliegenden  Finsternis 
SVs  Äquinoktiaistun  den  vor  Mitternacht  (8^  40°^)  statt- 
gefunden, für  welche  Stunde  nach  dem  von  uns  mitgeteilten 
Rechnungsverfahren  (d.  i.  nach  den  Sonnentafeln)  der  genaue 
5  Ort  der  Sonne  )C  24^30'  war.^^) 

Die  zweite  Finsternis  hat  nach  der  Aufzeichnung  im  zwei- 
ten Jahre  desselben  Mardokempad  am  18/19.  ägyptischen 
Thoth  (8.  März  720  v.  Chr.)  stattgefunden.  Die  Verfinsterung 
betrug,  heißt  es,  gerade  um  Mitternacht  3  Zoll  von  Süden. 

10  Da  demnach  die  Mitte  in  Babylon  scheinbar  genau  zur 
Mitternachtstunde  stattgefunden  hat,  so  muß  sie  in  Alexandria 
Ve  Stunde  (d.  s.  50")  vor  Mitternacht  (11^10°^)  eingetreten 
sein,  für  welche  Stunde  der  genaue  Ort  der  Sonne  )( 13^45' 
war.2^> 

16       Die  dritteFinsternis  hat  nach  der  Auf  Zeichnung  in  demselben 

Jahre  des  Mardokempad  am  15/16.  ägyptischen  Phamenoth 

(l.  September  720  v.  Chr.)  stattgefunden.   Sie  begann,  heißt 

es,  nach  Aufgang  und  betrug  über  die  Hälfte  von  Norden. 

Ha  246  Da  nun  die  Sonne  im  Anfang  der  Jungfrau  stand,  so  betrug 

20  die  Länge  der  Nacht  in  Babylon  ungefähr  11  Aquinoktial- 
Hei  304  stunden,  die  halbe  Nacht  also  6^/^  Stunden.    Der  Anfang 
hat  demnach,  weil  er  „nach  Aufgang"  gewesen  ist,  höch- 
stens 5  Aquinoktialstunden  vor  Mittemacht  (7^)  stattgefun- 
den, und  die  Mitte  3^/^  Stunden  vor  Mitternacht  (8^30°^), 

25  weil  der  ganze  Verlauf  bei  einer  so  bedeutenden  Größe  der 
Verfinsterung  nahezu  3  Stunden  gedauert  haben  muß.^*^ 
In  Alexandria  trat  demnach  wieder  die  Mitte  der  Finsternis 
473  Aquinoktialstunden  vor  Mitternacht  (7^40™)  ein,  für 
welche  Stunde  der  genaue  Ort  der  Sonne  lip3®15'  war.^^ 

30  Es  leuchtet  also  ein,  daß  von  der  Mitte  der  ersten  Finster- 
nis bis  zur  Mitte  der  zweiten  die  Sonne,  und  somit  nach 
Abzug  ganzer  Kreise  auch  der  Mond  (von  l1p  24^30'  bis 
1TV13'^45',  d.i.  einen  ganzen  Kreis  weniger  10^45'=)  349^15' 
zurückgelegt  hat,  und  von  der  Mitte  der  zweiten  Finsternis 

36  bis  zur  Mitte  der  dritten  (von  lip  ISHb'  bis  )(  3^15')  169^30'. 
Nun  beträgt  die  Zwischenzeit  von  der  ersten  Mitte  bis  zur 
zweiten  354  Tage  und  2Y2  Aquinoktialstunden,  wenn  man 


Erste  Anomalie  des  Mondes.  221 

theoretisch  (mit  bürgerlichen  Sonnentagen)  schlechthin  rechnet, 
aber  2^/2  Stunden  und  4  Minuten  nach  der  Rechnung  mit  gleich- 
förmigen Sonnentagen*^,  ferner  die  Zwischenzeit  von  der  zwei- 
ten Mitte  bis  zur  dritten  176  Tage  und  20 Yg  Äquinoktial- 
stunden  schlechthin,  nach  genauer  Rechnung  20^/5  Stunden.  5 

Der  Mond  legt  in  gleichförmiger  Bewegung  —  für  einen 
so  kurzen  Zeitraum  wird  es  nämlich  keinen  wahrnehmbaren 
Unterschied  machen,  wenn  man  sich  an  die  Umläufe  hält, 
welche   den   genauen  nur  nahe  kommen ^^  —  nach  Abzug  Hei  305 
ganzer  Kreise  zurück:  10 

in  354d  21^34-  j^Oß'Sö'  in  Anomalie,  Ha  247 

1345^61'  in  Länge; 
in  176*20H2«  (^^^"2^'  ^"^  Anomalie, 


170°  7'  in  Länge. 

Es  ist  klar,  daß  die  im  ersten  Intervall  auf  dem  Epizykel  15 
zurückgelegten  306^25'  der  mittleren  Bewegung  des  Mondes 
(in  Länge)   einen  Mehrbetrag  von  3^24'^^,  dagegen  die 
150^26'   des   zweiten  Intervalls   der    mittleren   Bewegung 
einen  Fehlbetrag  von  0^37' •^^  eingebracht  haben. 

Die    vorstehend    ermittelten   Werte    sollen    als    gegeben  20 
angenommen  werden.    Es  sei  A  B  f  der  Epizykel  des  Mondes, 
und  zwar   soll   A  der  Punkt  sein,  in   welchem  der  Mond 
zur  Mitte   der   ersten   Finsternis  stand,   B   der   Punkt,  in 
welchem  er  zur  Mitte  der  zweiten  stand,  und  f  der  Punkt^ 


a)  D.  h.  27,^*  nach  bürgerlicher  Zeit,  aber  4"  mehr  nach 
der  wahren  Sonnenzeit.     Vgl.  eil.  Anm.  26. 

b)  Die  Bemerkung  bezieht  sich  darauf,  daß  Ptolemäus  die 
Umlaufszahlen  anstatt  genau,  d.  i.  bis  zu  den  Sexten  berechnet, 
nur  bis  zu  den  Minuten  eines  Grades  angibt.  Berechnet  sind 
sie,  wie  die  Nachprüfung  zeigt,  mit  Berücksichtigung  der 
Sekunden.  Die  Mondtafeln  liefern  die  Werte:  306<>24'2", 
345°50'53";  150<'25'58",  170»7'59".  Die  Sekunden  sind  nur 
im  letzten  Fall  zur  Erhöhung  der  Minutenzahl  sehr  auffallender- 
weise unbeachtet  geblieben. 

c)  Weil  die  S.  220, 83  festgestellte  mittlere  Bewegung  in 
Länge  349°15'  beträgt,  d.  i.  345«51' +  3''24'. 

d)  Weil  die  S.  220,  35  festgestellte  mittlere  Bewegung  in 
Länge  169«30'  beträgt,  d.  i.  170°7' -  0''37'. 


222  Viertes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

in  welchem  er  zur  Mitte  der  dritten 
stand.  Man  hat  sich  aber  das  Fort- 
schreiten des  Mondes  auf  dem  Epi- 
zykel  in  der  Richtung  von  B  nach  A 
und  von  A  nach  f  vor  sich  gehend 
zu  denken. 

Es  bringt  also  (wie  S.  221,15  erklärt) 
derBogen  A  r  BimBetrage  von306®  25', 
welchen    der    Mond    von    der    ersten 
10  Finsternis  bis  zur  zweiten  seiner  Bewegung  (als  Überschuß 
zu  ganzen  Kreisen)  zugesetzt  hat,  der  mittleren  Bewegung 
Hei 306  einen  Mehrbetrag   von   3^24'    ein,   während   der   Bogen 
BAT  im  Betrage  von  150^26',  welchen  er  von  der  zweiten 
Finsternis  bis  zur  dritten  zugesetzt  hat,  der  mittleren  Bewe- 
is gung  einen  Fehlbetrag  von  0^37' verursacht.   Deshalb  muß 
aber  auch  der  Lauf  von  B  nach  A  (d.  i.  5  B  A)  im  Betrage 
von  53^35' (360^— feATB)  der  mittleren  Bewegung  (weil 
er    einen    Umlauf  in  Anomalie   abschließt)   einen   gleich- 
großen Fehlbetrag  von  3^24'  verursachen,  während  der  Lauf 
20  von  Anach  r(&Ar)  im  Betrage  von  96^5l'(&BAr  —  feBA) 
der  mittleren  Bewegung  einen  Mehrbetrag  von  2''47'  ein- 
bringen muß.^^ 
Ha  248       A.  Daß  das  Perigeum  unmöglich  auf  dem  Bogen  BAT 
liegen  kann,  geht  daraus  hervor,  daß  dieser  Bogen  erstens 
25  mit  dem  Fehlbetrag  behaftet  ist,  und  zweitens  kleiner  als 
ein  Halbkreis   ist,  während  doch   der  Hypothese  nach   im 
Perigeum  die  größte  Bewegung  (also  Mehrbetrag)  voraus- 
gesetzt wird.     Da  es  aber  jedenfalls  auf  dem  Bogen  B  E  f 
liegt,  so  sei  der  Mittelpunkt  der  Ekliptik,  der  zugleich  Zen- 
30  trum  des  den  Epizykel  tragenden  Kreises  ist,  als   gegeben 
angenommen.    Dasselbe  soll  der  Punkt  A  sein.    Nun  ziehe 
man  von  diesem  aus  nach   den  Punkten  der  drei  Finster- 
nisse die  Verbindungslinien  AA,  AEB,  AT. 

a)  Da  auf  b  BA  ein  Fehlbetrag  von  —  3°24'  entfällt,  so  muß 
6  Ar  einen  Mehrbetrag  von  -f  2*^47'  einbringen,  damit  der  Fehl- 
betrag des  ganzen  6  BAT  sich  auf  -  3''24' -j- 2047' =  - 0''37' 
stelle,  wie  S.  221, 19  dargelegt  wurde. 


Erste  Anomalie  des  Mondes. 


223 


Um  die  Übertragung  des  theoretischen  Verfahrens  auf 
die  ähnlichen  Beweise  (für  die  Planeten)  leicht  durchführ- 
bar zu  machen,  sei  es,  daß  wir  sie,  wie  jetzt,  nach  der  epi- 
zyklischen Hypothese  führen,  oder 
nach  der  exzentrischen,  wo  dann  der 
Mittelpunkt  A  innerhalb  angenom- 
men werden  muß,  sei  folgende  allge- 
meingültige Vorschrift  gegeben.  Eine 
der  drei  Verbindungslinien  werde  bis 
zur  gegenüberliegenden  Peripherie  ge- 
zogen —  in  dem  hier  gewählten  Falle 
haben  wir  die  Gerade  A  E  B  ohne  wei- 
teres durchgezogen,  bzw.  von  Punkt 
B  der  zweiten  Finsternis  bis  Punkt  E 
(die  Gerade  BAE).  Die  beiden  an- 
deren Punkte  der  Finsternisse  verbin- 
den wir  durch  eine  Gerade  —  hier 
durch  Ar  — ,  ziehen  von  dem  durch 
die  verlängerte  Gerade  (BA)  gebilde- 
ten Schnittpunkt  —  hier  von  E  aus  — 
Verbindungslinien  nach  den  anderen 
zwei  Punkten  —  hier  EA  und  ET  — 
und  fällen  Lote  auf  die  von  diesen 
zwei  anderen  Punkten  nach  dem  Mittel- 
punkte der  Ekliptik  gezogenen  Geraden 

—  hier  EZ  auf  AA  und  EH  auf  FA. 
Nun  fällt  man  auch  noch  von  dem 
einen  der  letztgenannten  beiden  Punkte 

—  in  dem  gewählten  Falle  von  f 
aus  —  ein  Lot  auf  die  Gerade,  welche 
den  anderen  dieser  Punkte  —  hier 
A  —  mit  dem  von  der  durchgezogenen 
Geraden  gebildeten  überzähligen  Schnittpunkt 
verbindet  —  hier  das  Lot  TG  auf  AE. 

Von  welchem  Punkte  aus  (ob  von  B  oder  A  oder  f)  wir  35 
auch  den  Entwurf  der  Figur  durchführen  mögen,  wir  werden 
finden,  daß  bei  Einsetzung  der  Zahlen,  auf  welche  sich  der 


30 


Hei  307 


15 


20 


Ha  249 
25 


SO 


hier  E 


224 


Viertes  Buch.    Sechstes  Kapitel. 


Nachweis  stützt,  dieselben  Verhältnisse  herauskommen.  Die 
Wahl  (des  Ausgangspunktes)  bleibt  lediglich  dem  praktischen 
Bedürfnis  überlassen. 

1.  Da  (S.  222,19)  nachgewiesen  wurde,  daß  der  Bogen  BA 
5  in  der  Ekliptik  3^24'  unterspannt,  so  ist  als  Zentriwinkel 
der  Ekliptik 

^BAA  =  3<>24'wie  4l^  =  360^ 
=  6U8'wie  212  =  360^ 
mithin     6  EZ  =  6<'48' wie  ©  EZA  =  360^ 
also      sEZ  =  7P  7'wie/iAE  =  120P. 

Da  ferner  der  Bogen  BA  (S.  222,17) 
53^35'  beträgt,  so  ist  als  Peripherie- 
winkel 

/.  B E A  =  53035'  wie  2R  =  360». 

Nunwar  /.BAA=    6*48' wie  ^i^=360^ 

folglich  ^  EAZ  =  46047'  wie  <2E  =  3600 

[als  Differenz  beider; 

mithin  &  EZ  =  46047'  wie  ©  EZ A  =  360«, 

also  sEZ  =  47P38'30"wieÄAE  =  120P. 

Setzt  man  EZ  =  7P7'wieÄAE  =  120P, 

so  wird  AE  =  17^55' 32". 

2.  Da  der  Bogen  BAT  (S.  222,  15) 
in  der  Ekliptik  0°37'  unter  spannt,  so 
ist  als  Zentriwinkel  der  Ekliptik 
25  /.BAr  =  0037'  wie  4J2  =  3600, 

=  1*14'         wie  ^JS  =  3600, 
folglich    6  EH  =  1014'         wie  ©EH  A  =  3600, 
Hei  309  also     s  E  H  =  1^  17'  30"  wie  Ä  A  E  =  120^. 

Da  ferner  der  Bogen  BAT  (S.  222,13)  150<'26'  beträgt, 
80  SO  ist  als  Peripheriewinkel 

/.  B;Er  =  1500  26'     wie  <2iJ  =  3600. 
Nun  war    /,BAr=     I0l4'     wie^i2  =  360'», 
folglich    ^  Er|A  =  149012'     wie  522  =  3600    als   Dif- 

[ferenz  beider, 


wie   ^J2  =  360», 

Ha  851 

|wie©r0E  =  36O'>; 

1 

lwie?jrE  =  120P. 

10 
Hei  310 

(s.  Z   4) 

iwie    AE  =  17^55' 32", 

Erste  Anomalie  des  Mondes.  225 

mithin  5  EH  =  149*12'        wie  ©  EHr=  360*, 

*also  s  EH  =  115^41' 21"  wie /irE  =  120P. 

Setzt  man  EH=     l^lT'SO"  wie7iAE=  120^, 

so  wird  rE=      1^20' 23"  wie    AE  =  17^55' 32".*^ 

3.  Da  der  Bogen  Ar  (S.  222, 20)  mit  96^51' nachgewiesen  6 
wurde,  so  ist  als  Peripherie  winkel 

/,AEr  =  96°51' 

.^- .      I  5r0  =  96°51' 

°''*^'''  ],6E0  =  83O   9. 

I  sr0  =  89^46^14" 

^^^^  \,sE0  =  79^37' 55" 

Setzt  man         rE=   1^20' 23", 

(      r0=    1^  0'   8" 

so  wird  1     ^Q^    oP53'21", 

folglich    A0  =  AE-E0  =  17P2'11"  wie  r0  =  lPO'8".  16 

Ferner  ist  A0»  =  29OP' 14' 19"   und   r0*  =  lP'o'17". 

Da  nun  A0'  +  r0*  =  Ar*, 

soist  AP  =  291P^14'36", 

folgUch     Ar=    I7P    3' 57"     wie      '^-      1/"'^^ 
^  lAE  =  120P. 

4.  Nun  ist  aher  A  f  in  dem  Maße,  in  welchem  der  Durch-  20 
messer  des  Epizykels  gleich  120^  ist,  als  Sehne,  die  den 
Bogen    Ar    im    Betrage    von   96^51'    unterspannt,   gleich 
89P46'14". 

Setzt  man  also       Ar=   89^46' 14", 

.    ,    (    AE  =  63lPl3'48"\_.     ^„,^      .„^p  26 

so  wird   I     ^^_      ^p  2'50"J      ^  epdm  =  120^', 

also      6rE=     6<'44'   1"    wie  ep  =  360^ 
Nun  ist  5BAr=150°26'         gegeben  (S.  222, 13);       Ha  253 
folglich   5BrE  =  157°10'   1"    als  Summe  beider, 

also       sBE  =  117P37'a2".  Hei  811 

Hiermit  ist  die  Sehne    BE  in  dem  Maße  gefunden,   in  31 
welchem  der  Durchmesser  des  Epizykels  120^  beträgt  und 
die  Gerade  AE  gleich  631P13'48"  ist. 

a)  Weil  AE  S.  224, 20  ebenfalls  in  dem  Maße  von  Ä  AE  =  120^ 
gefunden  worden  ist. 

Ptolemäua,  übers,  y.  Manitius.  I.  16 


226 


Viertes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 


Hei  312 


Ha  353 
31 


B.  Wäre  die  Sehne  BE  gleichgroß 
wie  der  Durchmesser  des  Epizykels  ge- 
funden worden,  so  würde  auf  ihr  natürlich 
\  der  Mittelpunkt  desselben  liegen,  und 
j  das  Verhältnis  der  Durchmesser  (von 
Epizykel  und  Konzenter)  würde  alsdann 
ohne  weiteres  ersichtlich  sein.  Da  BE 
aber  kleiner  ist  als  der  Durchmesser, 
und  somit  auch  der  Bogen  BFE  kleiner 
als  ein  Halbkreis,  so  ist  klar,  daß  der 
Mittelpunkt  des  Epizykels  außerhalb 
des  Segments  BÄTE  fallen  wird. 

Es  sei  demnach  als  Mittelpunkt  (des 
Epizykels)  der  Punkt  K  angenommen. 
Man  ziehe  von  dem  Mittelpunkt  A  der 
Ekliptik  durch  K  die  Gerade  AMKA, 
so  daß  Punkt  A  das  Apogeum  und 
Punkt  M  das  Perigeum  des  Epizykels 
wird. 

Nun  ist  (nach  Analogie  von  Eukl. 
in.  36)  das  aus  den  Geraden  BA  und 
A  E  gebildete  Rechteck  gleich  dem  Recht- 
eck, welches  aus  den  Geraden  AA  und  AM  gebildet  wird. 
Ferner  ist  von  uns  (soeben)  der  Nachweis  geliefert  worden, 

25  daß  p     f     f/l 

BE  =  117  37  32    I     j^  e|,dm  KAM  =  120^, 

AE  =  631^13' 48"  J  ^ 

BA  =  748^51' 20"    als  Summe  beider. 

BAAE   1^472  700^*5' 32". 
AAAM.I 

AA- AM  +  KM2  =  AK*.     (Eukl.  II.  6) 
KM2  =  3600^*1  weil  als  cpÄwKM  =  60^ 
so  ist  AK2  =  476  300^*5' 32", 
folglich     AK=        690^  8' 42". 

So  viel  beträgt  also  der  Halbmesser  AK  des  mit  der 
Ekliptik  konzentrischen  Kreises,  welcher  den  Epizykel  trägt, 
in  dem  Maße,  in  welchem  der  Halbmesser  K  M  des  Epizykels 


10 


16 


20 


mithin 

Folglich  ist 

sowie  auch 

Ferner  ist 

Da  nun 


35 


Erste  Anomalie  des  Mondes. 


227 


gleich   60^  ist.     Setzt  man  nun  den  Halbmesser  des  den 
Epizykel  tragenden  Kreises,  der  konzentrisch  ist  mit  dem 
Auge,  gleich  60^,  so  wird  in  diesem  Maße  der  Halbmesser  Hei  sis 
des  Epizykels  ohne  merklichen  Fehler  5^13'  betragen. 

C.  Man  ziehe  nun  an  derselben  Figur  " 

von  dem  Mittelpunkt  K  unter  rechten 
Winkeln  durch  die  Sehne  BE  den 
Halbmesser  KNE  und  verbinde  B  mit 
K.    Es  war  nachgewiesen  worden,  daß 

AE  =  631P13'48"   Ui«  ak=690P8'42". 
(BE=117P37'22")) 
Nun  ist     E  N  =  58^  48'  46"  als  72  B  E ; 
folglich    AN  =  AE  +  EN  =  690P2'34". 
Setzt  man hAK  =  120^, 

so  wird    AN  =  119P58'57", 

also6  AN  =  178**  2'     wie  ©ANK 
[=  360^ 
mithin/.  AKN  =  178 <>  2'wie5Ä  =  360^ 
=   89<>  l'wie4i?  =  360*, 
6EEM=890  1M    j^ 
,6AB  =  =   90059') 
Nunwar6BEE=1570lO',  (S.    225,29) 
mithin    b=.B=  78''35'    als  die  Hälfte, 
endlich    6  AB  =  6  ABH-6  EB  =  12<'24'. 
Hiermit   ist   der   Epizykelbogen  gefunden,   welchen   der  25 
Mond  zu  der  mitgeteilten  Zeit  der  Mitte  der  zweiten  Finster- 
nis von  dem  Apogeum  (des  Epizykels)  entfernt  war.     Da 
ferner  gefunden  war,  daß  /.AKN  =  89°l'  wie  472=360^ 
so    ergibt    sich   als   Ergänzung  zu    90^   Z-KAN  mit  0^59'. 
Das  ist  der  den  (Ekliptik-)  Bogen  unterspannende  Winkel,  30 
welcher  dem  (gesuchten)  mittleren  Ort  in  Länge  abgeht*^ 


folglich 


10 


15 


Ha  254 


20 


Hei  314 


a)  Der  mittlere  Ort  A,  d.  i.  der  in  der  Ekliptik  von  dem 
Epizykelmittelpunkt  K  eingenommene  Ort,  liegt  dem  gegebenen 
genauen  Ort  B  um  den  Betrag  0"59'  in  der  Ekliptik  voraus; 
folglich  muß  man  zu  dem  genauen  Ort  B  0''59'  addieren,  um 
den  mittleren  Ort  A  zu  erhalten.     Verl.  Anm.  32. 


15' 


228  Viertes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

infolge  der  durch  den  Lauf  auf  dem  Epizykelbogen  AB  ein- 
tretenden Anomalie. 

Folglich  war  der  mittlere  Ort  des  Mondes  in  Länge  zur 
Zeit  der  Mitte  der  zweiten  Finsternis  11p  14^44',  da  ja  der 
5  genaue  Ort  ii"|)  13^45'  war,  während  (S.  220, 13)  die  Sonne 
in  )( 13^45'  stand. 

IL  Von  den  drei  Finsternissen,  welche  wir  aus  der  Zahl 
derjenigen  entnommen  haben,  die  von  uns  selbst  in  Alexandria 
auf  das  sorgfältigste  beobachtet  worden  sind,  hat  die  erste 
10  im    17*®'^  Jahre  Hadrians^"^  am  20/21.  ägyptischen  Pajni 
Ha  255  (6.  Mai  133  n.  Chr.)  stattgefunden.    Die  Mitte  derselben  ist 
nach  unserer  genauen  Berechnung  ^4  Aquinoktialstunde  vor 
Mitternacht  ( 11^^15"^)  eingetreten.   Die  Finsternis  war  total. 
Für  diese  Stunde  war  der  genaue  Ort  der  Sonne  )j  13^15'.^^^ 
15       Die  zweite  Finsternis  hat  im  19*®^  Jahre  Hadrians  am 
Hei  815  2/3.  ägyptischen  Choiak  (20.  Okt.  134  n.  Chr.)  stattgefunden. 
Die  Mitte  ist  nach  unserer  Berechnung  eine   Aquinoktial- 
stunde vor  Mitternacht  (11^)  eingetreten.   Verfinstert  waren 
von  Norden  %  des  Durchmessers.    Für  diese  Stunde  war 
20  der  genaue  Ort  der  Sonne  r^25®10'.3^> 

Die  dritte  Finsternis  hat  im  20*®^  Jahre  Hadrians  am 
19/20.  ägyptischen  Pharmuthi  (6.  März  136  n.  Chr.)  statt- 
gefunden. Die  Mitte  ist  nach  unserer  Berechnung  4  Aqui- 
noktial stunden  nach  Mitternacht  (4^^  früh)  eingetreten.  Ver- 
25  finstert  war  von  Norden  die  Hälfte  des  Durchmessers.  Der 
genaue  Ort  der  Sonne  war  für  diese  Stunde  )( 14^5'.^'^ 

Es  leuchtet  ein,   daß   auch  hier  der  Mond  nach  Abzug 
ganzer  Kreise  von  der  Mitte  der  ersten  Finsternis  bis  zur 
Mitte   der  zweiten  sich  ebensoviele    Grade  wie  die  Sonne, 
80  d.s.  (von  11X13^5'  bis  T  25^10')  161^55',  und  von  der 
Mitte  der  zweiten  bis  zur  Mitte  der  dritten  (von  Y  25^10' 
bis  np  14^5')  138^55'  bewegt  hat.  Nun  beträgt  die  Zwischen- 
zeit des  ersten  Intervalls  1  ägyptisches  Jahr,  166  Tage  und 
23%  Äquinoktialstunden  schlechthin,  nach  genauer  Rechnung 
Ha  256  23%,  die  des  zweiten  Intervalls  1  ägyptisches  Jahr,  137  Tage 
Hei  81 6  und  5  Äquinoktialstunden  schlechthin,  nach  genauer  Rech- 
37  nung  572-^^^ 


Erste  Anomalie  des  Mondes.  229 

Die  mittlere  Bewegung  des  Mondes  beträgt 

•     ^  ...-,«ofi/,,f  110*21'  in  Anomalie, 
in  1-166-23%^ |^^j„g^,  j^  Länge; 
.„„.   .t,v(   81*^36'  in  Anomalie, 

Es  ist  klar,  daß  die  110^21'  des  Epizykels  des  ersten 
Intervalls  dem  mittleren  Lauf  in  Länge  einen  Fehlbetrag 
von  (169"37'—  161"55'=)7H2',  und  die  Sl^ae'  des  zwei- 
ten Intervalls  demmittlerenLauf  inLängeeinenMehrbetrag 
von  (138^55'  —  137<^34'  =)  l<^2l'  eingebracht  haben.  lo 

Diese  Werte  sollen  als  gegeben 
angenommen  werden.  Der  Epizykel 
des  Mondes  sei  wieder  ABT,  und 
zwar  sei  A  als  der  Punkt  angenom- 
men, in  welchem  der  Mond  zur  Mitte  1  I  16 
der  ersten  Finsternis  stand,  B  als 
der  Punkt  der  zweiten,  und  f  als 
der  Punkt  der  dritten  Finsternis. 
Wie  oben,  denke  man  sich  den  Fort- 
schritt des  Mondes  als  von  A  nach  B,  und  dann  nach  f  20 
vor  sich  gehend,  so  daß  der  Bogen  AB  im  Betrage  von 
110'^ 21'  dem  mittleren  Lauf  in  Länge,  wie  gesagt,  einen 
Fehlbetrag  von  7^42',  und  der  Bogen  Bf  im  Betrage 
von  81'^36'  der  Länge  einen  Mehrbetrag  von  1^21'  ein- 
bringt, während  der  noch  übrige  Bogen  TA  im  Betrage  von  26 
168^3'  der  Länge  die  übrigen  6^21'  (zur  Aufhebung  des 
Fehlbetrags)  zusetzt. 

A.  Daß  auf  dem  Bogen  AB  das  Apogeum  liegen  muß.  Ha  267 
geht  deutlich  daraus  hervor,  daß  es  weder  auf  dem  Bogen  HeisiT 
Bf,  noch  auf  dem  Bogen  TA  liegen  kann,  weil  jeder  der-  30 
selben  mit  dem  Mehrbetrags^  behaftet  und  kleiner  als  ein 


a)  Die  Nachrechnung  nach  den  Mondtafeln  ergibt  folgende 
Werte:  110  »21 '59",  169  »37 '44";  81  »36' 53",  137  »33' 46". 
Überschießende  Sekunden  sind  mithin  nur  im  letzten  Fall  zur 
Erhöhung  der  Minutenzahl  beachtet  worden.    Vgl.  S.  221,  Anm.^) 

b)  Derselbe  kommt  dem  erdnahen  Bogen  des  Epizykels  zu. 


230 


Viertes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 


10 


15 


Halbkreis  ist.  Es  werde  aber  gleich- 
wohl, obgleich  dieser  Punkt  nicht 
gegeben  ist,  das  Zentrum  der  Eklip- 
tik sowie  des  Kreises,  auf  dem  der 
Epizykel  sich  bewegt,  festgesetzt. 
Es  sei  der  Punkt  A.  Von  diesem 
ziehe  man  nach  den  Punkten  der 
drei  Finsternisse  die  Verbindungs- 
linien AEA,  AB,  AT  Nachdem 
man  dann  noch  die  Verbindungs- 
linie BT,  und  von  dem  Punkte  E 
aus  nach  B  und  f  die  Geraden 
EB  und  Er  gezogen  hat,  fälle 
man  auf  die  Geraden  BA  und 
AT  die  Lote  EZ,  EH,  und  endlich 
noch  von  f  auf  BE  das  Lot  FG. 
1.  Da  der  Bogen  AB  in  der 
Ekliptik  7^42'  unterspannt,  so  ist 


als  Zentriwinkel  der  Ekliptik 

20  i  AAB=    7°42' 

=  15»  24' 
15®  24' 


folglich 
also 


6EZ 
sEZ 


wie  422  =  360^ 
wie  -2E  =  360»; 
wieeEZA  =  360*, 


iieisis  aiso     sEZ  =  16P  4' 42"    wie  Ä';AE  =  120P- 

Da  femer   der  Bogen   AB  110^21'   beträgt,   so  ist  als 


26  Peripherie  Winkel 

/,  AEB  =  110°21' 

Nunwar/,AAB=    15°  24' 

folglich/,  EBA=    94« 57' 


,wie  ^i2  =  360^ 
wie  5i?  =  360», 
wie  5_B  =  360»   als    Dif- 
ferenz beider, 


30 

mithin 

6EZ=    94»  57'        wieeEZB  =  360 

Ha  258 

also 

sEZ=    88^26' 17"  wie /iBE  =  120''. 

Hei  818 

Setzt  man 

EZ=    16^  4'42"wieÄAE  =  l-20P, 

so  wird 

BE=    21^48' 59". 

2.  Da  ferner  nachgewiesen  wurde,  daß  der  Bogen  TEA 
35  in  der  Ekliptik  6^21'  unterspannt,  so  ist  als  Zentriwinkel 
der  Ekliptik 


Erste  Anomalie  des  Mondes.  231 

tAAr=    6° 21'  wie  4i2  =  360<>; 

=  12»42'  wie5E  =  360'^; 

folglich     6EH  =  12»42'  wie©EHA  =  360^ 

also     s  EH  =  13^16' 19"    wieÄAE  =  120P. 
Da  der  Bogen  ABT  in  Summa  191^57'  beträgt,  so  ist  6 
als  Peripheriewinkel 

/,  AEr  =  191<>57'         wie  ^12  =  360*». 
Nunwar/,AAr=    12*42'        wie^i2  =  360°,  Hei3i9 

folglich  /,  ETA  =  ITe*^  15'        wie  2B  =  36*0<>    als    Dif- 

[ferenz  beider,  lo 
mithin     6  EH  =  179"  15'        wie©EH^  =  360^ 
also     s  EH  =  119^59' 50"  wie  ÄrE  =  120P. 
Setzt  man       EH=    13^16' 19"  wie  äAE  =  120^ 

so  wird         rE=    13P16'20"  wie  BE  =21P48'59".») 

3.    Da    ferner   der  Bogen  Bf  81^36'  beträgt,  so  ist  als  15 
Peripherie  Winkel 

/,B Er  =  81° 36'  wie^Ä  =  360^                    Ha  259 

folglich!  ^""0  =  81036'  I  ^ie@r0E  =  36O°, 

also|^'®  =  ''?''''"lwieÄrE--=120P.  ^^ 

*^^°  1,5  E0  =  90^50' 22"  J 

Setzt  man        rE  =  13^16' 20",  (s.  Z   14) 

SO  wird!     ^^=    «'^^'^«"Iwie    BE  =  21^48' 69", 
so  wira|      E0  =  10^12' 49") 

folglich  0  B  =  B  E  -  E 0  =  1  iP  46'  10"  wie  r  0  =  8^ 40'  20".  25 

Ferner  ist      0B2  =  138P'31'11"  und  r02  =  75^' 12'27".      Hei  320 

Nun  ist      0B2-f  r0«-Bn, 

folglich       BP  =  213P'43'38", 

^  '         ^  ^^  =  120P 


|AE  = 

lrE  = 


mithin         Br=    14^37' 10"    wie.  „     ,     „ 

13^16' 20". 

4.  Nun  ist  aber  B  f  auch  in  dem  Maße,  wie  der  Durchmesser  30 
des  Epizykels  gleich  120^  ist,  als  Sehne,  die  den  Bogen 
BT  im  Betrage  von  81"  36'  unterspannt,  gleich  78P24'37". 


a)  Weil  BES.  230,  38  ebenfalls  in  dem  Maße  von  Ä  AE  =  120^ 
gefunden  worden  ist. 


232 


Viertes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 


26 


Hei  322 


81 


Setzt  man  also        Br=    78^24' 37", 

.  ^    I    AE  =  643^36' 39"  1     .  ,  .„^p 

SO  wird  I     ^^_   ^^p^^,  ^„jwie  epdm==120^; 

also      6rE=    72U6' 10"  wie  6^  =  360". 

Nun  ist  6  TEA  =  168°  3'         gegeben,  (^S.  229, 26) 
folglich    6AE=   95 "16' 50"  als  Differenz  beider, 
also     sAE=    88^40' 17". 

Hiermit  ist  die  Sehne  AE  in  dem 
Maße  gefunden,  in  welchem  der  Durch- 
messer des  Epizykels  1 20^  beträgt  und 
die  Gerade  AE  gleich  643^36' 39"  ist. 

13.  Da  hiermit  nachgewiesen  ist, 
daß  der  Bogen  A  E  kleiner  ist  als  ein 
Halbkreis,  so  ist  klar,  daß  der  Mittel- 
punkt des  Epizykels  außerhalb  des 
Segments  AE  fallen  wird.  Er  sei 
demnach  mit  Punkt  K  festgesetzt. 
Man  ziehe  die  Verbindungslinie  AMKA, 
so  daß  A  das  Apogeum  und  M  das 
Perigeum  wird.  Dann  ist 
AA.AE  =  AA.AM.     (Eukl.  HI.  36) 

88^40' 17" 
AE  =  643^36' 39" 
AA  =  732^16' 56"  als  Summe  beider. 

Folglich  ist    AA.  AE  1      47i304P»46'17". 
sowie  auch   A A  •  AM  J 

Fern  er  ist    A  A  •  A  M  +  K  M«  =  A  K^.     (Eukl.  II.  6) 
Da  nun  KM2  =  3600P^  weil  als  ephmKM  =  60^, 

so  ist  AK2  =  474 904^*46' 17", 
folglich     AK  =  689^8'. 

So  viel  beträgt  also  der  Halbmesser  AK  des  mit  der 
Ekliptik  konzentrischen  Kreises,  welcher  den  Epizykel  trägt, 
in  dem  Maße,  in  welchem  der  Halbmesser  KM  gleich  60^ 
ist     Setzt  man  nun  die  Gerade  zwischen  den  Mittelpunkten 


Nachgewiesen 
wurde 
mithin  ist 


AE 


wie  e^'^wi  AKM  =  120^ 


Erste  Anomalie  des  Mondes. 


233 


der  Ekliptik  und  des  Epizykels*^ 
gleich  60^,  so  wird  in  diesem  Maße 
der  Halbmesser  des  Epizykels  5^14' 
betragen.  Das  ist  ohne  merklichen 
unterschied  dasselbe  Verhältnis,  wel-  ^ 
ches  oben  (S.  227,4)  mit  Hilfe  der" 
älteren  Finsternisse  nachgewiesen 
worden  ist. 

C.  Man  ziehe  nun  wieder  an  der- 
selben Figur  von  dem  Mittelpunkt  K 
unter  rechten  Winkeln  durch  die  Ge- 
rade AEA  den  Halbmesser  KNE  und 
verbinde  A  mit  K.  Es  war  nach- 
gewiesen worden,  daß 

AE  =  643P36'39" 
88^40 

Nun  ist 
folglich 


als  epb. 


^^     ]   wie     AK  =  689^8'. 
(AE=    88^40' 17")  i 

EN  =  44P20'8"    als    ^AE;     (Eukl.in.3) 
AN  =  AE-f-EN  =  687^66' 47". 
ÄAK  =  120P, 

AN  =  119P47'36",  20 

6  AN  =  1730  17'  wie©ANK  =  360^ 
/.  AKN  =  173«17'         wie5E  =  360°, 
=    86°38'30"  wie  4i2  =  360^ 
6=EM=    86<'38'30" 
,b  AAH=    93» 21' 30" 
Nun  ist        6AE=   47»38'30"  als  %6AE,     (S.  232,6) 
mithin        &  AA  =  &  AAE-6  AE  =  45"43'. 
Ferner  war       6  AB  =  110" 21'  nach  Annahme,  (S.  229,22) 
mithin       6  AB  =  6  AB- 6  AA  =  64<'38'. 

Hiermit  ist   der  Epizykelbogen   gefunden,   welchen  der  30 
Mond  zu  der  mitgeteilten  Zeit  der  Mitte  der  zweiten  Finster- 
nis von  dem  Apogeum  (des  Epizykels)  entfernt  war.     Da 

a)  D.  i.  den  ebengenannten  Halbmesser  AK  des  Konzenters. 
Der  Ausdruck  des  griechischen  Textes  weicht  hier  auffallend 
ab  von  der  Parallelstelle  S.  227,  i. 


Setzt  man 

so  wird 

folglich 

mithin 

folglich  j 


Hei  323 
26 


234  Viertes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

ferner  nachgewiesen  worden  ist,  daß  Z.  AKN  =  86^38'  wie 

4B=  360<^,   so  ergibt   sich  als  Ergänzung  zu  90*>  /.KAN 

Ha  262  mit  3^22'.     Da  nun   nach  der  Annahme  (S.  229,  23)  der 

ganze  Winkel  AAB  in  demselben  Maße  mit  7^42'  gegeben 

5  war,  so  bleibt  für  /.AAB  als  Differenz  4^20'.    Das  ist  der 

Winkel,  welcher  den   Ekliptikbogen  unterspannt,   der   dem 

(gesuchten)  mittleren  Ort  in  Länge  abgeht*^  infolge  der  durch 

den  Lauf  auf  dem  Epizykelbogen  AB  eintretenden  Anomalie. 

Folglich  war  der  mittlere  Ort   des  Mondes  in  Länge 

Hei  324  zur  Zeit  der  Mitte  der  zweiten  Finsternis  Y  29*^30',  da  ja 

11  der  genaue   Ort  Y  25^10'   war,   während  (S.  228,  20)   die 

Sonne  in  dib^  25^0'  stand. 


Siebentes  Kapitel. 

Korrektion  des  mittleren  Laufs  des  Mondes 

in  Länge  und  Anomalie. 

Bei  der  zweiten  von  den  alten  Finsternissen  stand  der 
Mond,  wie  wir  (S.  228,  4)  nachgewiesen  haben,  zur  Zeit  der 

15  Mitte  bei  gleichförmiger  Bewegung  in  Länge  in  11p  14^44', 
in  Anomalie  (S.  227,24)  vom  Apogeum  des  Epizykels 
12^24'  entfernt,  während  er  bei  der  zweiten  der  zu  unserer 
Zeit  beobachteten  drei  Finsternisse,  wie  (oben  Z.  10)  nach- 
gewiesen wurde,  gleichfalls  bei  (gleichförmiger  oder)  mittlerer 

20  Bewegung  in  Länge  in  y  29*30',  in  Anomalie  vom  Apo- 
geum 64^38'  entfernt  stand.  Daraus  ist  ersichtlich,  daß 
der  Mond  in  der  zwischen  den  beiden  ebengenannten  Finster- 
nissen verstrichenen  Zeit  in  mittlerer  Bewegung  nach  Abzug 
Ha  263  ganzer  Kreise  in  Länge  (vomi])  14^4' bis  T  29*30')  224*46', 

25  in  Anomalie  (64*38' — 12^24'=)  52^4'  als  Überschuß  zu- 
gesetzt hat.  Nun  beträgt  die  Zwischenzeit  zwischen  dem 
zweiten  Jahre  des   Mardokempad   von    dem  18/19.  Thoth 


a)  Der  gesuchte  mittlere  Ort  A  ist  dem  gegebenen  genauen 
Ort  B  in  der  Ekliptik  4^20'  voraus;  folglich  muß  man  zu  dem 
gegebenen  genauen  Ort  B  4"  20'  addieren,  um  den  mittleren 
Ort  A  zu  erhalten.     Vgl.  Anm.  32. 


Korrektion  der  Länge  und  Anomalie.  235 

%  Äquinoktialstunde  vor  Mitternacht  (8.  März  720  v.  Chr. 
11^10™  abends)  und  dem   lO*®""  Jahre  Hadrians  von  dem 
2/3.  Choiak  l  Äquinoktialstunde  vor  Mitternacht  (20.  Okto- 
ber 134:  n.  Chr.  11^  abends)  854  ägyptische  Jahre,  73  Tage 
und   23%   Äquinoktialstunden   schlechthin,   nach    genauer  ^ 
Rechnung    mit   gleichförmigen    Sonnentagen*^  23V3,   d.   s.  Hei  825 
311  783  volle  Tage  und  23Y3  Äquinoktialstunden.    Aus  den 
früher  mitgeteilten  Beträgen  der  täglichen  Bewegung  finden 
wir  nach  den  Grundwerten  (S.  203,  26;  204,  4),  die  wir  vor  der 
Korrektion  (S.  204,  24)  ermittelt  hatten,  daß  auf  diese  Zahl  10 
von   Tagen   nach   Abzug   ganzer  Kreise   als  Überschuß  in 
Länge  224^46',  als  Überschuß  in  Anomalie  52^31' entfallen. 
Folglich  ist  der  Überschuß  in  Länge,  wie  schon  (S.  204, 20) 
bemerkt,  vollkommen  übereinstimmend  gefunden  mit  dem 
Ergebnis,  welches  von  uns   an  der  Hand  der  mitgeteilten  1.^) 
Beobachtungen  erzielt  worden  ist,  während  der  Überschuß 
in  Anomalie  einen  Mehrbetrag  von  (52°  3l'  -  52^4'  =) 0°  1 7' 
aufweist. 

Deshalb  haben  wir  vor  der  Aufstellung  der  Tafeln,  um 
die  Korrektion  der  Werte  des  täglichen  Laufs  zu  ermöglichen,  20 
diese  17  Minuten  eines  Grades  auf  die  vorliegende  Zahl  von 
Tagen  verteilt  und  den  auf  den  einzelnen  Tag  entfallenden 
Quotienten  im  Betrage  von  0<^0'0"0"' 11^^46^  3 9^^  von  dem 
vor  der  Korrektion  gewonnenen  Werte  der  täglichen  mitt- 
leren Bewegung  in  Anomalie  abgezogen.^^  Auf  diese  Weise  25 
haben  wir  den  berichtigten  Wert  zu  13^3' 53" 56'"  17^^51^ 
59"^  gefunden  und  dementsprechend  auch  die  weiteren 
für  die  Tafeln  bestimmten  sukzessiven  Summierungen  vor- 
genommen. 


a)  Der  ausführlichere  griechische  Wortlaut  der  Stelle  Hei  304,19 
ist  sowohl  hier  als  auch  in  späteren  Stellen  der  Übersetzung  zu- 
grunde gelegt  worden.    Ygl    S.  221,2. 

b)  Die  Multiplikation  mit  der  alten  Anomaliezahl  hat  ein 
zu  großes  Ergebnis  erbracht,  folglich  war  die  alte  Zahl 
zu  groß. 


236  Viertes  Buch.     Achtes  Kapitel. 

Achtes  Kapitel. 

Die  Epoche  der  gleichförmigen  Bewegungen 

des  Mondes  in  Länge  und  Anomalie. 

Ha  264  Um  auch  die  Epoche  dieser  Bewegungen  an  dasselbe 
erste  Jahr  Nabonassars,  und  zwar  an  die  Mittagstunde  des 
1.  ägyptischen  Thoth  (26.  Februar  747  v.  Chr.)  zu  knüpfen, 
haben  wir  die  Zwischenzeit  von  da  bis  zur  Mitte  der  zweiten 

Hei  326  vou  den  drei  ersten  diesem  Datum  näher  liegenden  Finster- 
6  nissen  gewählt.   Diese  Finsternis  hat,  wie  (S.  220,  g)  gesagt, 
stattgefunden    im    zweiten    Jahre    des    Mardokempad    am 
18/19.  ägyptischen  Thoth  ^n  Äquinoktialstunde  vor  Mitter- 
nacht (8.  März  720  v.  Chr.  11^10"  abends).    Die  Zwischen- 
10  zeit  beträgt  27  ägyptische  Jahre,  17  Tage  und  11 V^  Stunden 
sowohl  schlechthin   wie  nach  der  genauen  Eechnung.    Für 
diese  Zeit  bieten  die  Tafeln  nach  Abzug  ganzer  Kreise  als 
Überschuß  in  Länge  123^22',  und  als  Überschuß  in  Ano- 
malie   103^35'.*      Wenn   wir  diese  Beträge   von    den   zur 
16  Mitte  der  zweiten  Finsternis  (S.  227  f.)  festgestellten  Epochen 
des    Mondes    (np  14^4' L.   und    12*^24'    i.A.)   in  Abzug 
bringen,  d.  h.  jeden  Betrag  von  dem  ihm  entsprechenden,  so 
werden  wir  für  die  Mittagstunde  des  1.  ägyptischen  Thoth 
des  ersten  Jahres  Nabonassars  finden 
20  1.  als  mittleren  Ort  in  Länge^>  t^    11^22', 

2.  als  Entfernung  vom  Apogeum 

des  Epizykels  in  Anomalie«^  268^49', 

3.  als  Elongation*^)  70<^37'. 
Letztere  ergibt  sich  mit  Rücksicht  darauf,  daß  als  Epoche 

25  der  Sonne  zur  nämlichen  Stunde  (S.  185,  7)  )(0^45'  nach- 
gewiesen wurde. 


a)  Die  Nachprüfung  ergibt  123*>22'32"  und  103»35'20". 

b)  164*^44'  Länge  vom  Frühlingspunkt  ab  gezählt,  fallen  auf 
tip  14^44',  von  da  123" 22'  rückwärts  gezählt,  d.  i.  abgezogen, 
führen  auf  41''22',  d.  i.  8  11°22'. 

c)  360«-f  12<'-24'-103"35'  =  268°49'. 

d)  29«  15'  der  Fische,  30°  des  Widders  und  11<'22'  des  Stiers 
geben  in  Summa  70*^37'. 


Viertes  Buch.     Neuntes  Kapitel.  237 

Neuntes  Kapitel. 

Korrektion  der  mittleren  Bewegung 

des  Mondes  in  Breite  und  Epoche  derselben. 

Die  periodischen  Bewegungen  in   Länge   und   in  Ano- Ha  266 
malie,  sowie   die   Epochen  derselben   haben  wir  auf  dem 
vorstehend   beschriebenen   methodischen   Wege   festgestellt. 
Für  die  Bewegung   in  Breite   haben   wir   dagegen   früher 
fehlerhafte  Beträge  erzielt,  solange  auch  wir  von  der  Voraus-  5 
Setzung  Hipparchs  ausgingen,  daß  der  Mond  ohne  merklichen  Hei  627 
Fehler    650  mal    den    von    ihm    durchlaufenen   Kreis    und 
2V2nial  den  Kreis  des  (Erd-)  Schattens   in  seiner  mittleren 
Entfernung  bei  den  Syzygien  messe.*^    Denn  nur  wenn  diese 
Verhältnisse  und  der  Betrag  der  Neigung  des  schiefen  Kreises  10 
des  Mondes    gegeben    sind,  lassen  sich   die  beiderseits  des 
Knotens  liegenden  Grenzen  seiner  partialen  Finsternisse  be- 
stimmen.   Wir  nahmen  damals  Finsternisintervalle  vor,  be- 
rechneten aus  der  Größe  der  Verfinsterungen  zur  Zeit  ihrer 
Mitten  die  genauen  Örter  in  Breite  auf  dem  schiefen  Kreise  15 
von  irgendeinem  der  Knoten  aus,  gewannen  durch  Anbrin- 
gung der  nachgewiesenen  Anomaliedifferenz  aus  dem  genauen 
Ort  den  periodischen  und  fanden  so  die  für  die  Mitte  jeder 
Finsternis  geltenden  Epochen  der  periodischen  Breite  und 
nach  Abzug    ganzer  Kreise   den   in   der   Zwischenzeit   ge-  20 
wonnenen  Überschuß. 

Neuerdings  haben  wir  aber  bei  Anwendung  gefälligerer 
Methoden,  welche  zur  Erlangung  der  angestrebten  Ergeb-  Ha  266 
nisse  von  den  früher  gemachten  Voraussetzungen  unabhängig 
sind,  den  mit  Hilfe  jener  ersten  Grundlagen  berechneten  Ort  in  26 
Breite  fehlerhaft  gefunden  und  haben  nach  dem  jetzt  unab- 
hängig davon  festgestellten  Ort  die  Hypothesen  selbst,  die 
sich  mit  den  Größen  und  den  Entfernungen  befassen,  be- 
richtigt, nachdem  wir  den  Beweis  ihrer  Haltlosigkeit  geführt 


a)  D.h.  daß  der  Durchmesser  des  vom  Monde  bei  mittlerer 
Entfernung  durchmessenen  Schattenkreises  2y,  Monddurchmesser 
betrage. 


238  Viertes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 

hatten.  Das  entsprechende  Verfahren  haben  wir  (Buch  XHI, 
Hei  328  Kap.  l)  bei  den  Hypothesen  des  Saturn  und  des  Merkur 
angewendet  unter  Beseitigung  einiger  früheren  Ergebnisse, 
die  nicht  mit  genügender  Genauigkeit  erzielt  waren,  weil 
5  wir  später  in  den  Besitz  von  besser  fundierten  Beobachtungen 
gelangt  waren.  Denn  wer  mit  wirklichem  Wahrheitssinn  und 
unermüdlicher  Gründlichkeit  an  die  theoretische  Behandlung 
dieser  Verhältnisse  herantritt,  der  soll  sich  nicht  allein  zur 
Berichtigung  der  alten  Hypothesen  die  von  der  Neuzeit  ge- 

10  botenen  Mittel  und  Wege,  die  sicherer  zum  Ziele  führen, 
zunutze  machen,  sondern  auch  zur  Berichtigung  der  eigenen 
Hypothesen,  wenn  sie  besserungsbedürftig  sind,  und  soll  es 
bei  der  Größe  und  Göttlichkeit  der  Lehre,  zu  deren  Ver- 
kündiger er  sich  berufen  fühlt,  für  keine  Schande  halten, 

15  wenn  ihm  die  zu  größerer  Genauigkeit  führende  Berichtigung 
auch  von  anderer  Seite  zu  Teil  wird,  und  nicht  nur  aus 
eigener  Erkenntnis. 

Auf  welche  Weise  wir  den  Beweis  für  die  hier  angedeu- 
teten Einzelheiten  liefern,  werden  wir  in  den  weiteren  Büchern 

20  (Buch  VI,  Kap.  5)  unseres  Handbuchs  an  den  geeigneten 
Stellen  darlegen.  Vorläufig  werden  wir  uns,  wie  es  die 
logische  Reihenfolge  verlangt,  dem  Nachweis  des  Laufs  in 
Breite  zuwenden,  dessen  Gang  folgender  ist. 

L  Zunächst  haben  wir  zur  Korrektion  des  mittleren  Laufs 

25  an  sich  aus  der  Zahl  der  zuverlässig  aufgezeichneten  Mond- 
finsternisse solche  von  möglichst  langer  Zwischenzeit  aus- 
Ha  267  gesucht,  bei  denen  erstens  die  Größen  der  Verfinsterungen 
gleich  waren,  die  zweitens  in  der  Nähe  desselben  Kno- 
tens stattfanden,  die  drittens  entweder  beide  von  Norden 

30  oder  beide  von  Süden  eintraten,  und  bei  denen  viertens 
der  Mond  in  der  gleichen   Entfernung   stand.      Wenn 
Hei  829  diese  Umstände  zusammenwirken,  muß  unbedingt  das  Zen- 
trum des  Mondes  bei  jeder  der  beiden  FiDsternisse  die  gleich- 
große  Entfernung    nach    derselben    Seite    von    demselben 

35  Knoten  haben,  d.  h.  der  genaue  Lauf  des  Mondes  muß  in 
der  zwischen  den  Beobachtungen  liegenden  Zeit  ganze 
Kreise  der  Breite  umfassen. 


Korrektion  der  Breite.  239 

Als  erste  Finsternis  haben  wir  diejenige  genommen, 
welche  unter  Darius  I.  in  Babylon  im  31*®^  Jahre  seiner 
Regierung  am  3/4.  ägyptischen  Tybi  in  der  Mitte  der 
6ten  (Nacht-)  Stunde  (25.  April  491  v.  Chr.  11^30™  abends) 
beobachtet  worden  ist.  Bei  derselben  wurde  der  Mond^  5 
wie  die  genaue  Angabe  lautet,  2  Zoll  (d.  i.  den  sechsten 
Teil  seines  Durchmessers)  von  Süden  verfinstert. 

Als  zweite  haben  wir  diejenige  gewählt,  welche  in  Alexan- 
dria im  9*®^  Jahre  Hadrians  am  17/18.  ägyptischen  Pachon 
3^5  Äquinoktialstunden  vor  Mitternacht  (5.  April  1 25  n.  Chr.  10 
8^24™  abends)  beobachtet  worden  ist.  Bei  derselben  wurde 
der  Mond  gleichfalls  den  sechsten  Teil  seines  Durchmessers 
von  Süden  verfinstert. 

Bei  jeder  der  beiden  Finsternisse  lag  der  Ort  des  Mondes 
in   Breite  in   der   Nähe   des   niedersteigenden   Knotens.  16 
Dieser  Umstand   läßt  sich   nämlich  schon  aus  Unterlagen, 
die  noch  allgemeiner  gehalten  sind,  abnehmen.* ^    Die  Ent- 
fernung des  Mondes  war  nahezu  die  gleiche  und  ein  wenig 
erdnäher  als  die  mittlere.    Auch  dieser  Umstand  ergibt  sich 
ja  klar   aus   den  früher  geführten  Nachweisen,   welche  die  20 
Anomalie  betreffen.^)    Da  nun,  wenn  der  Mond  von  Süden  Hei; 
verfinstert  wird,  sein  Zentrum  nördlich  der  Ekliptik  liegt, 
so  leuchtet  ein,  daß  bei  jeder  der  beiden  Finsternisse  das 
Zentrum   des   Mondes   um   den   gleichen  Betrag  vor  (d.  i.  Ua  : 
westlich  von)  dem  niedersteigenden  Knoten  stand.  25 

Nun  hatte  der  Mond  bei  der  ersten  Finsternis  von  dem 
Apogeum  des  Epizykels  eine  Entfernung  von  100^19'.  Es 
fand  nämlich  die  Mitte  in  Babylon  Y2  Stunde  vor  Mitter- 
nacht statt,  in  Alexandria  lYg  Äquinoktialstunde^)  vor 
Mitternacht.  Somit  beträgt  die  Zeit  von  der  Nabonassarischen  30 
Epoche    (1.  Thoth  747  v.  Chr.)    ab   gerechnet    256    Jahre, 

a)  Insofern  Verfinsterung  von  Süden  vor  dem  niedersteigen- 
den, Verfinsterung  von  Norden  vor  dem  aufsteigenden  Knoten 
eintreten  muß. 

b)  Insofern  der  Stand  des  Mondes  auf  dem  Epizykel,  d.  i. 
seine  Entfernung  vom  Apogeum  desselben,  maßgebend  ist  für 
die  größere  oder  geringere  Entfernung  von  der  Erde. 

c)  d.  i.  50«^  früher,  vgl.  S.  219,  so. 


240  Viertes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 

Iv22  Tage  und  lO^s  Äquinoktialstunden  schlechthin,  nach 

der  Rechnung  mit  gleichförmigen  Sonnentagen  1 0  V^.   Folglich 

war  der  genaue  Lauf  5^  kleiner  als  der  periodische.*) 

Bei   der  zweiten   Finsternis   hatte    der   Mond   von    dem 

5  Apogeum  des  Epizykels  eine  Entfernung  von  251^53'.    In 

diesem  Fall  beträgt  nämlich  die  Zeit  von  Beginn  der  Epoche 

bis   zur   Mitte    der   Finsternis    871   Jahre,    256   Tage   und 

8^5    Äquinoktialstunden    schlechthin,     87^2    ^^ch    genauer 

Rechnung.     Folglich  war  der  genaue  Lauf  4^53'  größer 

10  als  der  mittlere.^) 

In  der  zwischen  den  beiden  Finsternissen  liegenden  Zeit 
Hei  331  von  615  ägyptischen  Jahren,  133  Tagen  und   21^6  Äqui- 
noktialstunden umfaßt  demnach  der  genaue  Lauf  des  Mondes 
in  Breite    (nach    S.  238,  35)   ganze   Kreise,    während    dem 
15  periodischen  an  ganzen  Kreisen  die  aus  beiden  Anomalie- 
beträgen sich  summierenden  9^53'  fehlen.     Führt  man  die 
Rechnung   mit   dem  früher  (S.  204,  ll)  mitgeteilten  Wert 
für  den  mittleren  (täglichen)  Lauf  (in  Breite)  aus,  welcher 
auf  den  von  Hipparch  angenommenen  Grundlagen  beruht, 
20  so  fehlen  in  der  obengenannten  Zeit  an  ganzen  Wiederkehren 
10'^2'.    Folglich  ist  (nach  unserer  Rechnung)  der  mittlere 
Lauf  in  Breite  im  Widerspruch  mit  den  (von  Hipparch  an- 
genommenen) Grundlagen  0^9'  größer  geworden.^) 

Diese   9  Minuten    eines    Grades  haben  wir   nun   auf  die 

Ha  269  rund  224  609  Tage,  welche  in  der  obengenannten  Zeit  ent- 

26  halten  sind,  verteilt   und   den  aus  der  Division  erhaltenen 

Quotienten    von   0«0'0"0"'8i^39^18^i   addiert^)   zu   dem 

a)  Die  Nachprüfung  ergibt  nach  den  Tafeln  der  Anomalie 
für  diese  Zwischenzeit  lOO^lO'lQ",  wozu  die  Tabelle  der  ein- 
fachen Anomalie  die  Anomaliedifferenz  —  5"  liefert. 

b)  Die  Nachorüfung  ergibt  251''52'30''  mit  der  Anomalie- 
differenz -1-4  "53'. 

c)  l»er  Hipparchische  Fehlbetrag  an  ganzen  Kreisen  von 
10'*2'  macht  den  mittleren  Lauf  zu  klein;  durch  den  Ptole- 
mäischen  Fehlbetrag  von  9^53'  wird  er  um  die  Differenz  beider 
Beträge  größer  gemacht. 

d)  Weil  der  Hipparchische  Wert  für  den  mittleren  Lauf  in 
Breite  durch  Multiplikation  zu  einem  zu  großen  Unterschied 
(?egen  den  genauen  Lauf  in  Breite  führte,  mithin  zu  klein  war. 


Epoche  der  Bewegung  in  Breite.  241 

früher  mitgeteilten  Betrage  der  mittleren  täglichen  Bewegung 
in  Breite,  der  auf  den  Grundlagen  Hipparchs  beruht.  So 
fanden  wir  ( S.  204,27)  den  berichtigten  Wert  zu  Ls^lS^aö" 
39"'4giV5^V37Vi^  Dementsprechend  haben  wir  dann  auch 
wieder  die  weiteren  für  die  Tafeln  bestimmten  sukzessiven  5 
Summierungen  vorgenommen. 

II.  Nachdem  auf  diese  Weise  ein  für  allemal  die  periodische 
Bewegung  in  Breite  nachgewiesen  war,  suchten  wir  weiter 
auch  zur  Feststellung  ihrer  Epochen  wieder  das  Intervall 
von  zwei  zuverlässig  beobachteten  Finsternissen,  bei  denen  Hei  S32 
die   übrigen  Verhältnisse    dieselben  waren   wie  im  vorigen  11 
Fall,  d.h.  wir  suchten  Finsternisse,  bei  denen  die  Entfernung 
des  Mondes  nahezu  die  gleiche  war,  die  Verfinsterungen  von 
gleicher   Größe   waren   und    entweder   beide  nördlich   oder 
beide  südlich  eintraten,  bei  denen  aber  der  Knoten  nicht  15 
mehr  derselbe  war,  sondern  der  gegenüberliegende. 

Die  erste  von  diesen  Finsternissen  haben  wir  (S.  220,6) 
bereits  zum  Nachweis  der  Anomalie  benutzt:  sie  fand  statt 
im  zweiten  Jahre  des  Mardokempad  am  18/19.  ägyptischen 
Thoth  (8.  März  720  v.  Chr.),  in  Babylon  zur  Mitternacht-  20 
stunde,  in  Alexandria  %  Aquinoktialstunde  vor  Mitternacht 
(ll^lO™).  Bei  derselben  war  laut  ausdrücklicher  Angabe 
der  Mond  3  Zoll  von  Süden  verfinstert. 

Die  zweite,  welche  auch  Hipparch  benutzt  hat,  fand  statt 
im  20*®^  Jahre  des  Darius,  des  Nachfolgers  des  Kambyses,  25 
am  28/29.  ägyptischen  Epiphi  (19.  November  502  v.  Chr.), 
als  die  Nacht  ö'/g  Aquinoktialstunden*^  vorgeschritten  war. 
Bei  derselben  war  der  Mond  gleichfalls  (drei  Zoll,  d.  i.)  den  Ha  87o 
vierten   Teil    seines   Durchmessers   von    Süden    verfinstert. 
Da  die  halbe  Nacht  damals  6^/^  Äquinoktialstunden  betrug,  30 
so   war   die    Mitte   in   Babylon    V5    Aquinoktialstunde   vor 
Mitternacht  (11^  36™),  in  Alexandria  lY4Äquinoktialstundo 
vor  Mitternacht  (10^45'"). 

a)  Da  die  halbe  Nacht  6**45™  beträgt,  so  entfallen  auf  den 
halben  Tag  von  Mittag  bis  Sonnenuntergang  5«*  15™;  folglich 
fällt  die  Mitte  der  Finsternis  6''*20"  nach  dem  Sonnenuntergang 
auf  11»>35™. 


242  Viertes  Bnch.     Neuntes  Kapitel. 

iiei338  Jede  von  diesen  beiden  Finsternissen  fand  statt,  als  der 
Mond  in  der  größten  Entfernung  stand  *\  aber  die  erste  im 
aufsteigenden,  die  zweite  im  nie  der  st  eigen  den  Knoten, 
so  daß  auch  in  diesem  Fall  das  Zentrum  des  Mondes  bei 
6  ihnen  (nach  S.  239,  2l)  um  den  gleichen  Betrag  nördlich 
der  Ekliptik  lag. 

Es  sei  ABT  der  schiefe  Kreis  des  Mondes  um  den  Durch- 
messer AP.     Punkt  A  sei  als  der  aufsteigende  Knoten  an- 
genommen,   Punkt    r    als    der 
10  ^^ — ^~-~--^  niedersteigende    und    Punkt  B 

als  der  nördlichste  Grenzpunkt. 
Von  den  beiden  Knoten  A  and 
r  trage  man  nach  B  zu  zwei 
gleichgroße  Bogen  AA  und 
16      "  "       FE   ab,   d.  h.:   bei   der  ersten 

Finsternis  stand  das  Zentrum  des  Mondes   in  A,   bei   der 
zweiten  in  E. 

Nun  beträgt  bis  zur  ersten  Finsternis  die  Zeit  vom  Be- 
ginn der  Epoche  27  ägyptische  Jahre,  1 7  Tage  und  1 1  Ve  ^<l^i" 
20  noktialstunden  sowohl  schlechthin  wie  nach  genauer  Rech- 
nung.  Daher  war  der  Mond  von  dem  Apogeum  des  Epizykels 
12^24'  entfernt,  und  der  periodische  Lauf  war  0^59'  größer 
als  der  genaue   (vgl.  S.  227, 24. 29).      Desgleichen    beträgt 
Ha  271  die  Zeit  bis  zur  zweiten  Finsternis   245   ägyptische  Jahre, 
25  327  Tage  und  10^4  Äquinoktialstunden  schlechthin,  10^/^ 
Hei  884  ngich  genauer  Rechnung      Daher  war  der  Mond  von   dem 
Apogeum  des  Epizykels  2°  44'  entfernt,  und  der  periodische 
Lauf  war  0"13'  größer  als  der  genaue.^^     Endlich  umfaßt 
die  zwischen   den   Beobachtungen   verstrichene    Zeit   218 
30  ägyptische  Jahre,  309  Tage  und  23^12  Äquinoktialstunden 
und  bringt  nach  der  Rechnung  mit  der  (S.  241,  s)   nach- 

a)  Wie  aus  den  weiterhin  angegebenen  Entfernungen  des 
Mondes  von  dem  Apogeum  des  Epizykels  hervorgeht. 

b)  Die  Nachprüfung  ergibt  für  diese  Zwischenzeit  2''44'14" 
in  Anomalie,  wozu  sich  nach  der  Tabelle  der  einfachen  Anomalie, 
welche  bei  6**  des  Epizykels  mit  der  AnomaliediflFerenz  —  0"29' 
beginnt,  O^IS'  berechnen  lassen. 


Epoche  der  Bewegung  in  Breite.  243 

gewiesenen  mittleren  Bewegung  in  Breite  einen  Überschuß 
von  160^4'  (genau  32"  mehr). 

Den  ermittelten  Werten  entsprechend  sei  nun  der  mittlere 
Ort  des  Mondzentrums  bei  der  ersten  Finsternis  Z,  bei  der 
zweiten  H.    Aus  den  gegebenen  Größen  5 

6ZBH  =  16004',     6AZ  =  0<'59',     6  EH  =  0^3', 
ergibt  sich       6  AE  =  6  ZBH -f  6  AZ -&  EH  ==  160»50'. 
Folglich  ist     6  A  A  -f  6  E r  =  19»  10'     als  Ergänzung  zu  180 «. 

Da  nun  diese  beiden  Bogen  einander  gleich  sind,  so  be- 
trägt jeder  derselben  9^35'.  Um  diesen  Betrag  war  also  der  10 
genaue  Lauf  des  Mondes  zur  Zeit  der  ersten  Finsternis  (A) 
bereits  über  den  aufsteigenden  Knoten  (östlich)  hinaus, 
während  er  zur  Zeit  der  zweiten  Finsternis  (E)  noch  eben- 
soweit vor  (d.  i.  westwärts  von)  dem  niedersteigenden 
Knoten  verlief.    Folglich  ist  ^^ 

AZ  =  AA-1-AZ  =  10*34', 
rH=  TE  -  EH  =    9«22'. 

Das  heißt:  der  periodische  Lauf  des  Mondes  war  zur 
Zeit  der  ersten  Finsternis  (Z)  bereits  10*^34'  über  den  auf- 
steigenden  Knoten    (östlich)   hinaus  und  vom  nördlichen  20 
Grenzpunkt  B  (als  dem  Ausgangspunkt  der  Bewegung  in  Hei  33J 
Breite  270<' +  10^34' =)  280^^34'  entfernt,  während  er  zur 
Zeit  der  zweiten  Finsternis  (H)  noch  9^32'  vor  (d.  i.  west- 
wärts von)  dem   niedersteigenden  Knoten  verlief  und  von 
demselben  nördlichen  Grenzpunkt  (90^  —  9^22'  =)  80^38'  25 
entfernt  war. 

Nun  bleibt  noch  folgende  Operation  übrig.  Für  die  Zeit  Ha  27s 
vom  Beginn  der  Epoche  bis  zur  Mitte  der  ersten  Finsternis 
ergibt  sich  (nach  den  Tafeln  berechnet)  ein  Überschuß  in 
Breite  von  286^19'  (genau  18' 18").  Wenn  wir  (um  diesen  30 
Überschuß  nach  rückwärts  abtragen  zu  können)  zu  den 
oben  (Z.  22)  für  die  Epoche  der  ersten  Finsternis  gefundenen 
280^34'  einen  ganzen  Kreis  addieren  und  von  der  Summe 
obigen  Betrag  von  286^19'  abziehen  (d.  i.  rückwärts  zählen), 
so  erhalten   wir   für  die   Mittagstunde    des    1.  ägyptischen  36 

16* 


244  Viertes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 

Thoth  des  ersten  Jahres  Nabonassars  als  Epoche  der 
periodischen  Breite,  vom  nördlichen  Grenzpunkt  ab  ge- 
rechnet, 3  5  4^1 5'. 

Zur  regelrechten  Erledigung  des  rechnerischen  Verfahrens, 
5  welches  sich  bei  den  Konjunktionen  und  den  Vollmonden 
nötig  macht,  werden  wir,  da  wir  in  diesen  Positionen  der 
noch  nachzuweisenden  zweiten  Anomalie  in  keiner  Weise 
bedürfen,  wieder  eine  Tabelle  für  die  einzelnen  Abschnitte 
(des  Epizykels)  aufstellen.   Die  praktische  Gewinnung  dieser 

10  Abschnitte  haben  wir  wieder  auf  dem  Wege  der  geometrischen 
Konstruktion  wie  bei  der  Sonne  (S.  175  f,  179  f.)  erzielt 
und  hierbei  das  Verhältnis  60  :  5^4*^  (statt  wie  dort  60 :  2^1^ 
in  Anwendung  gebracht.  Wir  haben  wieder  die  am  Apo- 
geum  liegenden  Quadranten  in  Abschnitte  von  6  zu  6  Grad 

16  zerlegt,    die   am   Perigeum   liegenden    Quadranten   aber   in 

solche   von    3   zu   3  Grad,  so  daß  das  Äußere  der  Tabelle 

wieder  ähnlich   wie    bei    der   Sonne   wird,   d.  h.    sich    auf 

Hei 336  45  (d.i.  3x15)  Zeilen  zu  3  Spalten  erstreckt.     Die  ersten 

zwei  Spalten  enthalten  die  Argumentzahlen  der  Grade  der 

20  Anomalie  (d.  i.  der  Grade  vom  Apogeum  des  Epizykels  ab), 
die  dritte  die  zu  jedem  Abschnitt  gesetzten,  auf  ihn  ent- 
fallenden Prosthaphäresisbeträge,  so  genannt,  weil  bei  der 
(nach  dieser  Tabelle  vorzunehmenden)  Berechnung  zur 
Gewinnung    der    (genauen)    Länge    und    Breite    (aus    der 

25  periodischen)  Abzug  des  Betrags  (Aphäresis)  eintritt,  wenn 
die     Argumentzahl     der     Anomalie,     vom    Apogeum     des 
Epizykels    ab  gerechnet,  unter  180®  beträgt,  Zusatz  des 
Betrags  (Prosthesis),  wenn  sie  über  180°  hinausgeht. ^^^ 
Die  Tabelle  gestaltet  sich  folgendermaßen. 


a)  Dasselbe  war  S.  233,  s  mit  60^  :  5^  14'  gewonnen  worden. 


Viertes  Buch.     Zehntes  und  elftes  Kapitel. 


245 


Zehntes  Kapitel. 
Tabnlle  der  ersten,  d.  1.  einfachen  Anomalie  des  Mondes*{^^J^J 


Gern  einsame 

ArgUM'Bnt- 

zahlen 

Prosth- 
aphäresi» 

Gemeinsame 
Argument- 
zahlen 

Proath- 
aphäresis  I 

Gero  einsame 
Argument- 
zahlen 

Pros  h- 
aphäresis 

6° 
12 
18 

354° 
348 
342 

0»29' 
0»57 
1»25' 

1053' 
20  19' 
2044 

930 
96 
99 

267» 
264 
261 

258 
255 
252 

5°  0' 
5»  1' 
50  0' 

138°        222» 
141     1     219 
144    !     216 

3»  35' 
3»  23' 
3»  10' 

24 
30 
36 

336 
330 
324 

102 
1-5 
108 

4059' 
4°  57' 
4°  53' 

147     i     213 
150     !     210 
153     '     207 

2»  57' 
2°  43' 
2»  28' 

42 
48 
54 

318          3°   8' 
312          3«>31' 
306          3°51' 

111 
114 

117 

249 
246 
243 

4'',49' 
4»44' 
4",38' 

156     1     204 
159    I     201 
162    !     198 

2»  13' 
1<»57' 
1041 

60 

66 

72 

300     i      40   8' 
294    1      4»  24' 
288     '      4038' 

120 
123 
126 

129 
132 
135 

240 
237 
234 

4°  31' 
4-24' 
4»  16' 

165 
168 
171 

195 
192 
189 

1  25' 
1«  9' 
0»52' 

78 
84 
90 

282          4° 49' 
276          4«' 56' 
270          4059' 

231 
228 
225 

40     rj, 

3°  57' 
3»  46' 

174    \     186 
177     !     183 
180     1     180 

0'35' 
0  18' 
0«   0' 

Elftes  Kapitel. 

Nachweis,  daß  sich  nicht  wegen  Verschiedenheit  der 

Hypothesen,  sondern  infolge  der  Berechnungen  nach 

Hipparch  eine  Differenz   im   Betrage   der    Anomalie 

des  Mondes  herausstellt. 

Im   Hinblick   auf  die   vorstehend   geführten    Nachweise!  g*.  |J* 
könnte    wohl  mit  Recht  jemand  die  Frage  auf  werfen,  wie 
es  kommt,  daß  sich  aus  den  Mondfinsternissen,  die  Hipparch 
zur  Feststellung  der  einfachen  Anomalie  in  Vergleich  ge- 
stellt  hat,   weder   dasselbe  Verhältnis  ergibt,   wie  das  von  6 
uns  (S.  233,  3  mit   60:574)  nachgewiesene,  noch  Überein- 
stimmung des  ersten  Verhältnisses,  welches  (von  Hipparch) 
mit  Hilfe  der  exzentrischen  Hypothese  nachgewiesen  worden 
ist,  mit   dem  zweiten,    welches  mit  Hilfe  der  epizyklischen 
Hypothese  errechnet  worden  ist.    Nämlich  bei  dem  ersten  10 
Nachweis    erhält   er   das   Verhältnis    des   Halbmessers    des 


246  Viertes  Buch.     Elftes  Kapitel. 

Exzenters  zu  der  Verbindungslinie  der  Mittelpunkte  des  Ex- 
zenters und  der  Ekliptik*)  mit  (0A)  3144p : (AM)  3272/3^  = 
60^:6^15',  während  er  bei  dem  zweiten  Nachweis  das 
Verhältnis  der  Verbindungslinie  der  Mittelpunkte  der  Eklip- 
5  tik  und  des  Epizykels^)  zu  dem  Halbmesser  des  Epizykols 
mit  (AK)  3122V2P:(KM)  24772^=  60^:4^46'  findet.  Es 
bewirkt  aber  das  Verhältnis  60^ :  6%^  als  Maximum  der 
Hei  339  Anomaliedifferenz  5®49',  das  Verhältnis  60^:4^46'  nur 
4^34',  während  nach  unserer  Berechnung  das  Verhältnis 

10  60^:  57/  die  (in  der  Tabelle)  mitgeteilte  Differenz  von 
rund  5^  (genau  5^1')  verursacht. 

275  Daß  nun  nicht  infolge  mangelnder  Übereinstimmung  der 
Hypothesen,  wie  manche  meinen,  ein  so  auffallend  abweichen- 
des Ergebnis  sich  herausgestellt  hat,  das  ist  uns  erstens 
,  15  bei  der  gelegentlichen  Erörterung  kurz  vorher  (S.  213— 217) 
daraus  ersichtlich  geworden,  daß  nach  beiden  Hypothesen 
unterschiedslos  dieselben  Erscheinungen  eintreten,  zweitens 
aber  würden  wir  auch  mit  Hilfe  der  Zahlen,  wenn  wir 
uns  auf  die  Berechnungen  einlassen  wollten*'),  nach  beiden 

20  Hypothesen  dasselbe  Verhältnis  als  Ergebnis  finden.  Aller- 
dings müßten  wir  uns  bei  dem  Nachweis  nach  jeder  der 
beiden  Hypothesen  an  dieselben  Erscheinungen  halten,  und 
nicht  an  verschiedene,  wie  dies  Hipparch  tut.  Denn  in 
diesem  Fall,  d.  h.  wenn  nicht  dieselben  Finsternisse  zu- 

25  gründe  gelegt  sind,  wird  es  leicht  möglich  sein,  daß  der 
die  Abweichung  verursachende  Faktor  entweder  in  den  Be- 
obachtungen selbst  zu  suchen  ist  oder  sich  bei  der  Berech- 
nung der  Intervalle  (der  Finsternismitten)  eingeschlichen 
hat.     So  werden  wir  denn  wirklich  bei  jenen  Finsternissen 

a)  Es  ist  das  Verhältnis  der  Exzentrizität,  zu  welchem 
man  S.  216, 17  vergleiche. 

b)  Es  ist  das  Verhältnis  des  Halbmessers  des  den  Epizykel 
tragenden  Konzenters  zu  dem  Halbmesser  des  Epizykels.  Man 
vergleiche  hierzu  S.  232,  I8. 

c)  Dieselben  müßten  wieder  auf  dem  umständlichen  Wege 
geführt  werden,  für  welchen  Beispiele  (S.  222—27;  229—33)  in 
den  Abteilungen  A  und  B  des  Nachweises  der  Anomaliedifferenz 
vorliegen. 


Differenz  in  Anomalie  nach  Hipparch.  247 

finden,  daß  zwar  die  Syzygien  sachverständig  beobachtet 
und  mit  den  von  uns  nachgewiesenen  Grundwerten  der 
gleichförmigen  und  ungleichförmigen  Bewegung  in  Über- 
einstimmung sind*\  daß  aber  die  Berechnung  der  Intervalle, 
auf  welcher  der  Nachweis  des  zahlenmäßigen  Betrags  des  5 
Verhältnisses  beruht,  nicht  mit  der  erforderlichen  Sorgfalt 
angestellt  worden  ist.  Wir  werden  unseren  Nachweis  auf 
jeden  dieser  beiden  Punkte  erstrecken  und  machen  den  An- 
fang mit  den  drei  ersten  Finsternissen. 

I.  Diese  drei  Finsternisse  versichert  er  aus  der  Zahl  der  Hei  340 
von  Babylon  herübergebrachten  als  dort  beobachtet  in  Ver-  11 
gleich   gestellt   zu   haben.^^     Die  erste  habe  stattgefunden 
unter  dem  athenischen  Archonten   Phanostratos    im  Monat 
Poseideon;  vom  Monde  sei  ein  kleiner  Teil  der  Scheibe  vom 
Sommeraufgang  (d.  i.  von  Nordost)  her  verfinstert  gewesen,  16 
als  von  der  Nacht  noch  eine  halbe  Stunde  übrig  war;  „und 
noch  verfinstert",  sind  seine  Worte,  „ist  er  untergegangen." 
Dieser    Zeitpunkt    fällt   demnach   in   das    366'®   Jahr   seit  Ha  276 
Nabonassar,  und  zwar,  wie  er  selbst  angibt,  auf  den  26/27. 
ägyptischen  Thoth  (23.  Dezember  38:^  v.  Chr.)  5V2  bürger-  20 
liehe  Stunden  nach  Mitternacht,  da  ja  „von  der  Nacht  noch 
eine  halbe  Stunde  übrig  war".    Da  nun  die  Sonne  am  Ende 
des  Schützen  stand,  so  betrug  die  Nachtstunde  in  Babylon 
18   Zeitgrade  (d.  s.    72"^)   —   denn   die   Nacht  ist   gleich 
14^/5  Äquinoktiaistun  den  —  folglich  machen  die  572  Bürger-  26 
liehen  Stunden  6^/5  Aquinoktialstunden  aus.^^    Der  Anfang 
der  Finsternis  hat  also  stattgefunden  (12  -f  6^5  =)  1^75 

a)  D.  h.  bei  Berechnung  der  Syzygien  nach  den  Sonnen- 
und  den  Mondtafeln  werden  Ergebnisse  erzielt,  welche  mit 
den  Beobachtungen  Hipparchs  übereinstimmen. 

b)  Oppolzer  (Ginzel,  Kanon  der  Finsternisse  S.  233)  bezweifelt, 
daß  diese  Finsternisse  in  Babyion  beobachtet  worden  seien; 
sie  sollen  vielmehr  aus  Beobachtungen,  die  vielleicht  aus  Athen 
oder  einer  ionischen  Kolonie  herrühren,  reduziert  sein;  ob  mit 
den  richtigen  Längenunterschieden,  bleibe  fraglich. 

c)  Man  vergleiche  die  erste  u.  dritte  Aufgabe  Anm.  17: 


248  Viertes  Buch.     Elftes  Kapitel. 

Äquinoktialstunden  nach  dem  Mittag  des  26*®"  (27.  Thoth 
ghßgm  fi-üii).  da  aber  nur  ein  kleiner  Teil  in  den  Schatten 
trat,  so  kann  die  ganze  Dauer  der  Finsternis  höchstens 
]Y2  Stunde  betragen  haben;  die  Mitte  muß  demnach 
5  (18'^5  +  %==)  19 Ys  Äquinoktialstunden  nach  dem  Mittag 
(27.  Thoth  7^20™  früh)  gewesen  sein.  In  Alexandria  hat 
folglich  die  Mitte  der  Finsternis  18^  2  Äquinoktialstunden 
nach  dem  Mittag  des  26*"^  (27.  Thoth  Q^SO"^  früh)  statt- 
gefunden. 

10       Nun   beträgt    die    Zeit   von   der   mit   dem    ersten  Jahre 

Hei  341  Nabonassars  beginnenden  Epoche  bis  zu  dem  vorliegenden 

Zeitpunkt  365  ägyptische  Jahre,  25  Tage  und  I8V2  -Ä-qui- 

noktialstunden  schlechthin,   18^  ^  nach  genauer  Rechnung. 

Für  diese  Zeit  finden  wir,  wenn  wir  die  Kechnung  nach  den 

15  von  uns  gegebenen  Grundlagen  (d.  i.  den  Sonnen-  und  Mond- 
tafeln) anstellen: 

als  genauen    Ort  der  Sonne        ^  28*^18' (27''24'-}-0°54'), 
als  mittleren  Ort  des  Mondes     TT24°20' (24n8'58"), 
als  genauen    Ort  des  Mondes     TT  28<'17' (24°20'-f-3°57'), 

20  weil  der  Mond  in  Anomalie  227^43' (2'')  von  dem  Apogeum 
des  Epizykels  entfernt  war. 

Weiter  soll  die  folgende  Finsternis  stattgefunden  haben  unter 
Ha  277  dem  athenischen  Archonten  Phanostratos  im  Monat  Skiropho- 
rion  am  24/25.  ägyptischen  Phamenoth  (18.  Juni  .'82  v.  Chr.). 
25  „Verfinstert  war  er",  so  lautet  seine  Angabe,  „vom  Sommer- 
aufgang (d.  i.  von  Nordost)  her  in  der  vorgerückten  ersten 
(Nacht-)  Stunde"  (d.  i.  Yg^*  ii^-cli  Sonnenuntergang).  Es  fällt 
demnach    auch    dieser   Zeitpunkt   in   das    366*®  Jahr   seit 
Nabonassar  auf  den  24/25.  Phamenoth  etwa  572  ^bürgerliche 
30  Stunden   vor  Mitternacht.     Da   nun    die  Sonne  im  letzten 
Drittel  der  Zwillinge  stand,  so  beträgt  die  Nachtstunde  in 
Babylon    12    Zeitgrade   (d.  s.    48^");   folglich   machen   die 
5Y2    bürgerlichen    Stunden    4^5   Äquinoktialstunden    aus. 
Der  Anfang  der  Finsternis  hat  also  14-/5^*  vor  Mitternacht 
35  oder)  7%  Äquinoktialstunden   nach   dem  Mittag  des   24*®" 
Hei 342  (^7^36°^  abends)    stattgefunden;   da  aber  die   ganze   Dauer 


DiiFerenz  in  Anomalie  nach  Hipparch.  249 

der  Finsternis  mit  3  Stunden  angegeben  wird,  so  ist  die 
Mitte  selbstverständlich  (775+  ^72=)  ^Vio  Äquinoktial- 
stunden  nach  Mittag  (9^6™  abends)  gewesen  In  Alexandria 
muß  sie  also  8V4  Äquinoktialstunden  nach  dem  Mittag  des 
24teu  ^{jhi5m  abends)  eingetreten  sein.  5 

Nun  beträgt  wieder  die  Zeit  von  den  Epochen  ab  gerechnet 
365  ägyptische  Jahre,  203  Tage  und  8'/^  Äquinoktial- 
stunden schlechthin,  T^e  iiach  genauer  Rechnung.  Für 
diese  Zeit  finden  wir 

als  genauen   Ort  der  Sonne        TT  21"46' (22«25' -0®42'),       10 
als  mittleren  Ort  des  Mondes      >^  23°58' (23«59'38"), 
als  genauen    Ort  des  Mondes      ^21^8' (23'^58' -  2«10'), 

weil  der  Mond  in  Anomalie  von  dem  Apogeum  des  Epizykels 
27"37'(1")  entfernt  war. 

Es  beträgt  mithin  das  Intervall  von  der  ersten  Finsternis  15 
zur  zweiten  (vom  27.  Thoth  6^15°^  früh*^)  bis  zum24.Pha- 
menoth  7^50™  abends ^>)  177  Tage  und  IHV5  Äquinoktial- 
stunden, oder  in  Graden,  welche  sich  die  Sonne  weiter  be- 
wegt hat,  (von  ^28<>18'  bis  TT  2lH6')  173*^28',  während 
Hipparch   seinen   Nachweis   mit    dem  Ergebnis   abschließt,  20 
daß  das  Intervall  177  Tage  und  1374  Äquinoktialstunden,  Ha  278 
oder  in  Graden  172'52'30"  betrage. 

Die  dritte  Finsternis  soll  stattgefunden  haben  unter  dem 
athenischen  Archonten  Euandros  im  Poseideon  I  am  16/17. 
ägyptischen  Thoth  (12.  Dezember  382  v.Chr.).    „Der  Mond  Hei 843 
war",  so  lautet   seine  Angabe,   „total  verfinstert,  nachdem  26 
der  Anfang  vom  Sommeraufgang  (d.  i.  von  Nordost)  her  in 
der  vorgerückten  vierten  (Nacht-)  Stunde^^  (d.  i.  SYg  bürger- 
liche Stunden  nach  Sonnenuntergang)  eingetreten  war.    Es 
fällt  also  dieser  Zeitpunkt  in  das  367*®  Jahr  seit  Nabonassar  30 
auf  den  16/1 7. Thoth  etwa  2  Ygf  bürgerliche)  Stunden  vor  Mitter- 


a)  Weil  nach  genauer  Rechnung  (S.  248, 13)   y^^*  früher. 

b)  Weil  nach  genauer  Rechnung  (oben  Z.  s)  25™  früher. 

c)  Die  Zeitbestimmung  d  mg&v  TCUQsXriXvd'vL&v  ist  sicher 
verderbt;  ich  vermute  tf,g  S'  mgag  'TtQOsXriXvd'vias.  Man  ver- 
gleiche die  ähnliche  Zeitbestimmung  zur  zweiten  Finsternis. 


250  Viertes  Buch.     Elftes  Kapitel. 

nacht.  Da  nun  die  Sonne  im  zweiten  Drittel  des  Schützen 
stand,  so  beträgt  in  Babylon  die  Nachtstunde  18  Zeitgrade 
(d.  s.  72™);  folglich  machen  die  2^1^  bürgerlichen  Stunden 
3  Äquinoktialstunden  aus.  Der  Anfang  hat  also  (3"*  vor 
5  Mitternacht  oder)  9  Äquinoktialstunden  nach  dem  Mittag 
des  16*®^  (9^  abends)  stattgefunden-,  da  aber  die  Finsternis 
total  war,  so  betrug  die  ganze  Dauer  ungefähr  4  Äquinoktial- 
stunden^^, und  die  Mitte  ist  selbstverständlich  (9  -f  2  =) 
11  Stunden  nach  Mittag  (11^  abends)  gewesen.  In  Alexan- 
10  dria  muß  also  die  Mitte  der  Finsternis  lOYg  Äquinoktial- 
stunden nach  dem  Mittag  des  Iß*«*^  (10^10°^  abends)  statt- 
gefunden haben. 

Nun  beträgt  die  Zeit  von  den  Epochen  ab  366  ägyptische 
Jahre,  15  Tage  und   10%  Äquinoktialstunden  schlechthin, 
16  9^6  nach  genauer  Rechnung.    Für  diese  Zeit  finden  wir 
als  genauen   Ort  der  Sonne        /  17°30' (le^'öT' -f  0°28'), 
als  mittleren  Ort  des  Mondes      TT  17°21' (17<>18'42"), 
als  genauen   Ort  des  Mondes     TT  17°28' (17^21' -f-0°7'), 

weil  der  Mond  in  Anomalie  von  dem  Apogeum  des  Epizykels 
20  18l0l2'(28")  entfernt  war. 

279  \  ^  ^ 

Hei  344/ 

zur  dritten  (vom  24.  Phamenoth  7^50™  abends  bis  zum 
16.  Thoth  9^50°^  abends*))  177  Tage  und  2  Äquinoktial- 
stunden^), oder  in  Graden  (von  n  21^46'  bis  ^17<'30') 
25  175^44',  während  Hipparch  auch  dieses  Intervall  wieder  mit 
177  Tagen  und  1%  Stunde,  oder  in  Graden  mit  175^8'  als 
weitere  Unterlage  benutzt  hat.*') 


Ha  z<»i     -gg  beträgt  mithin  das  Intervall  von  der  zweiten  Finsternis 


a)  Weil  nach  genauer  Rechnung  am  24.  Phamenoth  (S.  249,  8) 
25*",  am  16.  Thoth  (oben  Z.  15)  20"^  früher. 

b)  Addiert  man  die  beiden  Intervalle  des  Ptolemäus,  so  er- 
hält man  für  das  Mondjahr  354*15i»36™,  während  die  beiden 
Intervalle  des  Hipparch  354*15^25'^  geben. 

c)  Mit  diesen  beiden  Intervallen  ist  das  Zahlenmaterial  ge- 
geben, auf  Grund  dessen  Hipparch  den  ersten  Nachweis  nach 
der  exzentrischen  Hypothese  (S.  245,  lo)  führte,  dessen  Er- 
gebnis die  Bestimmung  des  Verhältnisses  der  Exzentrizität  mit 
60^:6^15'  war. 


Differenz  in  Anomalie  nach  Hipparch.  251 

Offenbar  hat  demnach  Hipparch  bei  der  Berechnung  der 
Intervalle  sich  verrechnet.  Der  Fehler  beträgt  bei  den 
Tagen  Yg  Äquinoktialstunde  (genau  ^20  °^^^  ^™  ^^  ersten 
Intervall  zu  viel)  und  V3  (oder  20°^  im  zweiten  Intervall 
zu  wenig),  bei  den  Graden  in  beiden  Intervallen  ungefähr  5 
'/g^  (oder  35 V2'  bzw.  36'  zu  wenig).  Das  sind  aber 
Beträge,  welche  einen  nicht  unbeträchtlichen  Unterschied  in 
der  zahlenmäßigen  Bestimmung  des  Verhältnisses  zu  be- 
wirken vermögen. 

n.  Wir  werden  nunmehr  zu  den  später  von  ihm  mitge-  10 
teilten  drei  Finsternissen  übergehen,  welche,  wie  er  versichert, 
in  Alexandria  beobachtet  worden  sind.    Von  diesen  hat  die 
erste  seiner  Angabe  nach  stattgefunden  im  54*®^  Jahre  der 
zweiten  Kailippischen  Periode  am  16.  ägyptischen  Mesore 
(22.  September  201  v.  Chr.).    Bei  derselben  begann  der  Mond  15 
sich  zu  verfinstern   eine   halbe  Stunde  vor  Aufgang  (d.  i. 
5^30™  nachm.)  und  trat  in  die  letzte  Phase  des  Austritts 
um    die    Mitte    der    dritten    Stunde    (d.   i.    8^30"    nach 
Verlauf  von  3  Stunden).    Folglich  ist  die  Mitte  der  Finster- 
nis  zu  Beginn   der  zweiten  Stunde  (d.  i.   1  %  Stunde   nach  20 
gh^Qm  ^jj^  yh  aben(Js)  eingetreten,  d  i.  5  bürgerliche  Stunden 
oder  ebensoviele  Aquinoktialstunden  vor  Mitternacht,   weil 
die  Sonne  im  letzten  Drittel  der  Jungfrau  stand.*^    Somit  Hei  ub 
trat  in  Alexandria  die  Mitte  der  Finsternis  7  Aquinoktial- 
stunden nach  dem  Mittag  des  16*^"^  (7^  abends)  ein.  25 

Nun  beträgt  die  Zeit  von  den  Epochen  im  ersten  Jahre 
Nabonassars  ab  gerechnet  546  ägyptische  Jahre,  345  Tage 
und  7  Aquinoktialstunden  schlechthin,  6  Vg  nach  genauer  Rech- 
nung.   Für  diese  Zeit  finden  wir  Ha  280 
als  genauen  Ort  der  Sonne           np  26** 6' (28*18'  — 2**  16'),       30 
als  mittleren  Ort  des  Mondes      x  22°(2l®59'64"), 
als  genauen  Ort  des  Mondes        X  26"7'(22"-f-4°7'), 
weil  der  Mond  in  Anomalie  von  dem  Apogeum  des  Epi- 
zykels  300^13'  (genau  12' 27")  entfernt  war. 

a)  D.i.  kurz  vor  der  Herbstnachtgleiche,  womit  die  Auf^angs- 
zeit  des  verfinsterten  Mondes  um  6**  nacbm.,  da  sie  mit  Unter- 
gang der  Sonne  zusammenfällt,  gut  übereinstimmt. 


252  Yiertes  Buch.    Elftes  Kapitel. 

Die  folgende  Finsternis  fand  nach  seiner  Angabe  in  dem- 
(selben)  54*®^  Jahre ^^^  derselben  Periode  statt  am  9.  ägyp- 
tischen Mechir  (19.  März  200  v.  Chr.).  Sie  begann  nach 
Verlauf  von  öVs  (bürgerlichen)  Stunden  der  Nacht  und  war 
5  total.  Folglich  hat  der  Anfang  der  Finsternis  (6  +  S'/a  =) 
11 V3  Äquinoktialstunden*^)  nach  dem  Mittag  des  9^«^  (11^20™ 
abends)  stattgefunden,  weil  die  Sonne  im  letzten  Drittel  der 
Fische  stand,  und  die  Mitte  trat  IS'/s  Äquinoktialstunden 
nach  dem  Mittag  (1^20™  nachts)  ein,  weil  die  Finsternis 
10  total  war.^> 

Nun  beträgt  die  Zeit  von  den  Epochen  bis  zu  diesem  Zeit- 
Hei  346  punkt  547  ägyptische  Jahre,  158  Tage  und  13%  Äquinoktial- 
stunden    sowohl   schlechthin    wie  nach  genauer  Rechnung. 
Für  diese  Zeit  finden  wir 
15       als  genauen  Ort  der  Sonne  x  26*17' (24*^2' -f  2°  14'), 

als  mittleren  Ort  des  Mondes      sl    i»  7'(1<'8'44"), 
als  genauen  Ort  des  Mondes        tip  26°  16' (31*7'  — 4*51'), 
weil  der  Mond  in  Anomalie  von  dem  Apogeum  (des  Epi- 
zykels)  109^^28'  (genau  29' 40")  entfernt  war. 
20       Es  beträgt  mithin  das  Intervall  von  der  ersten  Finster- 
nis zur  zweiten  (vom   16.  Mesore   6^ 30°^  abends "^^  bis  zum 
9.  Mechir  1^20™  nachts)   178  Tage   und  G^g  Äquinoktial- 
stunden,  oder  in  Graden  (von  n|)26"6'  bis  )C26'^17'j  180<>ll', 
während  Hipparch  seinen  Nachweis  mit  dem  Ergebnis  ab- 
25  schließt,  daß  dieses  Intervall  178  Tage  und  6  Äquinoktial- 
stunden,  oder  in  Graden  180^20'  betrage. 
Ba  281       Die  dritte  Finsternis  fand    nach    seiner  Angabe  in  dem 
[selben]  55*^^^  Jahre ^^^  der  zweiten  Periode  statt  am  5.  ägyp- 
tischen Mesore  (I2.  September  2U0  v.  Chr.).     Sie  begann 
80  nach  Verlauf  von  ßy^  Stunden  der  Nacht  (d.  i.  Vs  Stunde 
nach  Mitternacht)  und  war  total.    Die  Mitte  der  Finsternis 


a)  Weil  so  kurz  vor  der  Nachtgleiche  bürgerliche  Stunden 
und  Äquinoktialstunden  einander  gleich  sind. 

^b)  D.i.  2  Äquinoktialstunden  später,  weil  die  ganze  Dauer 
4  Äquinoktialstunden  beträgt.    Vgl.  Anm.  28. 

c)  Weil  nach  genauer  Rechnung  (S.  251,  28)  Yg^*  früher. 


Differenz  in  Anomalie  nach  Hipparch.  253 

ist  nach  seiner  Angabe  nach  Verlauf  von  etwa  8V3  Stunden, 
d.  i.  (nach  Abzug  der  ersten  6  Nachtstunden)  273  bürger- 
liche Stunden  nach  Mitternacht  gewesen.  Da  nun  die  Sonne 
in  der  Mitte  der  Jungfrau  stand,  so  beträgt  in  Alexandria 
die  Nachtstunde  14%  Zeitgrade  (d.  s.  57%"^);  folglich  machen  5 
die  2^'q  bürgerlichen  Stunden  (nach  Mitternacht)  2V4  Äqui- 
noktialstunden  aus.  Somit  ist  die  Mitte  I4V4  Äquinoktial- 
stunden  nach  dem  Mittag  des  5^^"  (2^  1 5™  nachts)  gewesen.  Hei  S47 

Nun  beträgt  wieder  die  Zeit  von  den  Epochen  bis  zu  diesem 
Zeitpunkt  r)47  ägyptische  Jahre,  334  Tage  und  14y^  Äqui-  10 
noktialstunden  schlechthin,  IS^^  nach  genauer  Rechnung. 
Für  diese  Zeit  finden  wir 

als  genauen  Ort  der  Sonne  np  15°  12' (17*31'  — 2*14'), 

als  mittleren  Ort  des  Mondes      x  10*24' (10*25' 3"), 
als  genauen  Ort  der  Sonne  3C  15*13' (10*24' -f  4*49'),     16 

weil  der  Mond  in  Anomalie  von  dem  Apogeum  des  Epizykels 
249^9'  (29")  entfernt  war. 

Es  beträgt  mithin  das  Intervall  von  der  zweiten  Finster- 
nis zur  dritten  (vom  9.  Mechir  1^  20^"*  nachts  bis  zum  5.  Mesore 
1^45^^  nachts^O  1'^^  Tage  und  VsÄquinoktialstunde^),  oder  20 
in  Graden  (von  )(26'^17'  bis  np  15^12')  178^^55',  während 
Hipparch  wieder  auch  dieses  Intervall  mit  176  Tagen  und 
Vs  Äquinoktialstunde,  oder  in  Graden  mit  178° 33'  als  wei- 
tere Unterlage  benutzt  hat. 

Auch  hier  also  hat  Hipparcli  sich  offenbar  verrechnet,  25 
und  zwar  beträgt  der  Fehler  bei  den  Graden  Yg®  (oder  9' 
im  ersten  Intervall  zu  viel)  und  Ys*^  (oder  22'  im  zweiten 
Intervall  zu  wenig),  bei  den  Tagen  %  Äquinoktialstunden 
(oder  50™  zu  wenig  im  ersten  Intervall)  und  Yjg  (oder 
5™  zu  wenig  im  zweiten  Intervall).'^)  Das  sind  Beträge,  30 
welche  gleichfalls  einen  beträchtlichen  Unterschied  hinsieht-  Ha  sss 


a)  Weil  nach  genauer  Rechnung  (oben  Z.  11)  Vj'*  früher. 

b)  Addiert  man  die  beiden  Intervalle  des  Ptolemäus,  so  er- 
hält man  für  das  Mondjahr  354^7**  15%  während  die  beiden 
Intervalle  des  Hipparch  354^ 6'' 20™  ausmachen. 

c)  Ich  gebe  Vu  ß3,ch  Cod.  D;  dsicdtcp  ist  sicher  falsch. 


254  Fünftes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

lieh   des  Verhältnisses,   das   er  seiner  Hypothese   zugrunde 
legt*\  zu  bewirken  vermögen. 
Hei  848      So  ist  uns  also  einerseits  die  Ursache  des  vorliegenden 
Mangels  an  Übereinstimmung  vor  Augen  getreten,  anderseits 
5  aber  auch  klar  geworden,  daß  wir  mit  noch  verstärkter  Zu- 
versicht das  auf  unseren  Grundlagen  nachgewiesene  Ver- 
hältnis  der  Anomalie  (60  :  5Y4)   zur  Anwendung  bringen 
können ,  insofern  hinsichtlich  der  Syzygien  des  Mondes  gerade 
diese  (von  Hipparch  benutzten)  Finsternisse  mit  unseren 
10  Hypothesen  ganz  besonders  in  Einklang  gefunden  wurden.^' 


Fünftes  Buch. 

Erstes  Kapitel. 
Konstruktion  des  Astrolabs. 

HeiS  -^^^  ^^®  Syzygien  des  Mondes  mit  der  Sonne,  sowohl  bei 
Konjunktion  wie  bei  Vollmond,  und  für  die  gelegentlich 
derselben  eintretenden  Finsternisse  finden  wir  die  zur  Er- 
klärung der  ersten  einfachen  Anomalie  mitgeteilte  Hypothese 
15  vollkommen  ausreichend,  vorausgesetzt,  daß  diese  Beziehung 
(zur  Sonne  in  den  Syzygien)  ganz  für  sich  allein  von  uns 
in  Betracht  gezogen  wird.  Dagegen  dürfte  man  die  Hypo- 
these nicht  mehr  ausreichend  finden  für  die  einzelnen  Posi- 
tionen in  den  anderen  Stellungen  zur  Sonne,  weil  sich  hier- 

a)  Da  es  sich  bei  den  letzten  drei  Finsternissen  um  den 
Nachweis  auf  Grund  der  epizyklischen  Hypothese  handelt 
(s.  S.  246,  6),  so  erzielte  Hipparch  durch  die  Rechnung  mit 
dem  vorliegend  gewonnenen  Zahlenmaterial  das  a  a.  0.  ange- 
gebene Verhältnis  60p:4p46'. 

b)  Insofern  bei  sämtlichen  6  Finsternissen  nach  den  Ptole- 
mäischen  Sonnen-  und  Mondtafeln  die  genauen  Örter  von  Sonne 
und  Mond  mit  nur  einer  oder  höchstens  zwei  Minuten  unter- 
schied als  diametral  gegenübergelegen  errechnet  wurden. 
Uie  Nachprüfung,  welche  sich  bis  auf  die  Sekunden  erstreckt, 
hat  diese  Übereinstimmung  nicht  allenthalben  bestätigen  können, 
so  daß  Ptolemäus  mit  recht  günstig  abgerundeten  Minutenzahlen 
gerechnet  zu  haben  scheint. 


Konstruktion  des  Astrolabs. 


255 


bei,  wie  wir  schon  (S.  212,9)  andeuteten,  noch  eine  zweite  Hei  351 
Anomalie  des  Mondes  bemerkbar  macht,  die  im  Verhältnis 
zu  seiner  Elongation   von   der   Sonne  eintritt.     Diese 
zweite   Anomalie   bewerkstelligt   in   beiden    Syzygien    ihre 
Wiederkehr  zur  ersten  (d.  h.  wird  dort  ebenfalls  gleich  Null)    5 
und  erreicht  ihr  Maximum  in  den  beiden  Quadraturen.  Gebracht 
wurden    wir  zu 
solcher      Erwä- 
gung,   die    uns 
schließlich     zur 
Gewißheit  wur- 
de, durch   Prü- 
fung    einerseits 
des    Mondlaufs, 
wieihnHipparch 
beobachtet   und 

aufgezeichnet 
hat,  anderseits 
des  Laufs,  wie 
wirselbstihnmit 
Hilfe  eines  für 
diesen  und  ähn- 
liche Zwecke  von 
uns  konstruier- 
ten Instruments 
festgestellt  ha- 
ben. Mit  diesem 
hat  es  folgende 
Bewandtnis. 

Wir  haben  zwei 
an  ihren  Rund- 
flächen genau 
vierkantig*^  ab- 

a)  So  daß  die  Querschnitte  der  Ringe  Quadrate  sind.  Vgl. 
Proklus  S.  200,  Z.  14.  Ebendaher  ist  die  beigegebene  Figur 
entnommen.  Zur  Sache  vgl.  meine  Abhandlung  im  Weltall, 
ö.  Jahrg.  S.  399  ff. :  Fixstembeobachtungen  des  Altertums. 


10 


Ha  284 

15 


20 


25 


30 


256  Fünftes  Buch.     Erstes  Kapitel. 

geschliffene  Ringe  von  angemessener  Größe  genommen,  die 
allenthalben  einander  gleich  und  ähnlich  waren.  Diese  Ringe 
haben  wir  an  diametral  gegenüberliegenden  Stellen  unter 
rechten  Winkeln  derartig  zusammengefügt,  daß  ihre  Ober- 

5  flächen  (an  den  Verbindungsstellen)  glatten  Verlauf  zeigten. 
Somit  hat  man  sich  den  einen  von  ihnen  als  die  Ekliptik, 
den  anderen  als  den  durch  die  Pole  dieser  und  des  Äquators 
gehenden  Meridian  (d.  i.  Kolur)  vorzustellen.  Auf  letz- 
teremhaben  wir  nachMaßgabe  der  Seite  des  (eingeschriebenen) 

10  Quadrats*^  die  Punkte  gewonnen,  welche  die  Ekliptikpole 

festlegen,  und  in  beiden  zylindrische  Polstifte  angebracht, 

die  sowohl  nach  außen  wie  nach  innen  über  die  Rundfläche 

hervorragten.     Auf  die  nach  außen  ragenden  Stifte  haben 

Hei  352  wir  einen  anderen  Ring  aufgesetzt,  welcher  sich  allenthalben 

15  genau  mit  seiner  konkaven  Rundfläche  an  die  konvexe 
der  beiden  zusammengefügten  Ringe  anschloß  und  (somit) 
in  Länge  um  die  bezeichneten  Pole  der  Ekliptik  herum- 
gedreht werden  konnte.  Desgleichen  haben  wir  an  den  in- 
neren Polstiften  einen  anderen  Ring  eingesetzt,  der  sich  mit 

20  seiner  konvexen  Rundfläche  an  die  konkave  der  beiden 
(zusammengefügten)  Ringe  gleichfalls  allenthalben  genau  an- 
schloß und  ebenfalls  in  Länge  um  dieselben  Pole  wie  der 
außerhalb  aufgesetzte  (Astrolabring)  beweglich  war.  Nach- 
dem wir  sowohl  diesen  inneren  (Astrolabring)  als  auch  den 

25  die  Stelle  der  Ekliptik  vertretenden  Ring  in  die  üblichen 

Ha  285  360  Grade   des  Umfangs  und,  soweit  angängig,  in   deren 

Unterabteilungen  eingeteilt  hatten,  haben  wir  einen  anderen 

schmalen  kleinen  Ring  mit  diametral  gegenüber  (seitwärts) 

abstehenden  durchbohrten  Platten^^  unter  dem  inneren  der 

30  beiden  Ringe  derartig  genau  eingefügt,  daß  er  in  der  Ebene 
des  letzteren  (inneren  Ringes)  in  der  Richtung  nach  den 
beiden  bezeichneten  Polen  hin  auf  und  ab  bewegt  werden 
konnte,  um  die  Beobachtung  in  Breite  zu  ermöglichen. 

a)  Insofern   diese   Seite   einen   Bogen   von  90°   unterspannt 
(S.  27,  20). 

b)  Es  ist  die  nämliche  Visiervorrichtung,  welche  Anm.  5  er- 
läutert wird. 


Konstruktion  des  Astrolabs.  257 

Nachdem  das  Instrument  so  weit  fertig  gestellt  war,  haben 
wir  auf  dem  durch  die  beiden  Pole  (der  Ekliptik  und  des 
Äquators)  gedachten  (Kolur-)  Kreis  von  jedem  der  beiden 
Ekliptikpole  aus  den  zwischen  den  zwei  Polen  der  Ekliptik 
und   des   Äquators  (S.   41,  ö)  nachgewiesenen  Bogen    ab-    5 
getragen*)   und   die   hierdurch   einander   wieder   diametral 
gegenüber  gewonnenen  Endpunkte  gleichfalls  als  Pole  (des 
Äquators)  durch  Stifte  unter  einem  entsprechend   großen  Hei  358 
Meridiankreis  festgelegt,  wie  wir  solche  im  ersten  Buche 
unseres  Handbuchs  (S.  41  f.)    für  die  Beobachtungen   des  10 
zwischen  den  Wendepunkten  gelegenen  Meridianbogens  be- 
schrieben haben.     Nachdem  also  dieser  Meridiankreis  mit 
jenem  (Kolurkreis)  in  dieselbe  Lage  gebracht  worden  war  — 
was  der  Fall  ist,  wenn  er  erstens  senkrecht  zur  Ebene,  des 
Horizonts  steht,  zweitens  auf  die  Polhöhe  des  betreffenden  15 
Beobachtungsortes  eingestellt  ist,  und  drittens  parallel  zur 
Ebene   des  natürlichen  Meridians   verläuft  — ,  war  hiermit 
erreicht,  daß  sich  die  Drehung  der  innerhalb  (des  Meridian- 
kreises) gelegenen  Ringe,  dem  ersten  Umschwung  des  Welt- 
alls entsprechend,  von  Osten  nach  Westen  um  die  Pole  des  20 
Äquators  vollzog. 

Hatten  wir  nun  das  Instrument  auf  die  beschriebene  Weise 
aufgestellt,  so  stellten  wir,  sobald  die  Sonne  und  der  Mond 
gleichzeitig  über  dem  Horizont  sichtbar  waren,  den   äuße- 
ren Astrolabring  auf  den  für  diese  Stunde  ohne  merklichen  Ha  286 
Fehler  ermittelten  Grad  der  Sonne  ein  und  versetzten  den  26 
durch  die  Pole  gehenden  (Kolur-)  Kreis  in  Umdrehung,  da- 
mit, wenn  der  am  Sonnengrad  liegende  Schnittpunkt  der 
Ringe  genau  der  Sonne  zugewendet  wäre,  diese  beiden  Ringe, 
d.  h.  der  Ekliptikring  und  der  durch  dessen  Pole  gehende  30 
(Astrolabring),  sich  selbst  (d.  i.  durch  ihre  konvexen  ihre 
konkaven  Hälften)   gleichzeitig  in  Schatten  setzen  sollten. 
Ist  aber  das  anzuvisierende  Objekt  ein  Stern,  so  ist  mit 
dieser  Drehung  zu  erreichen,  daß  unter  Anlegung  des  einen 

a)  Derselbe  ist  nahezu  gleich  der  Seite  des  eingeschriebenen 
Fünfzehnecks,  welche  einen  Bogen  von  24®  unterspannt.  S.  Pro- 
klus,  Hypot.  S.  206,  7. 


258  Fünftes  Buch.    Erstes  Kapitel. 

Auges  an  die  eine  Seite  des  äußeren  Astrolabringes,  welcher 
an  dem  für  den  Stern  ermittelten  Grad  auf  den  Ekliptikring 
eingestellt  ist,  mit  Zuhilfenahme  der  gegenüber  parallel  ver- 
Hei  354  laufenden  Ringseite  der  Stern  in  der  durch  diese  Seiten  ge- 
5  legten  Ebene  anvisiert  werden  könne,  als  ob  er  an  beide 
Seitenflächen  des  Ringes  gewissermaßen  angeklebt  wäre. 
Den  anderen,  d.  i.  den  inneren  Astrolabring ,  drehten  wir 
aber  (nach  Einstellung  des  äußeren,  sei  es  auf  die  Sonne, 
sei  es  auf  einen  Stern)  auf  den  Mond  oder  auch  auf  ein 

10  anderes  zu  bestimmendes  Objekt,  damit  gleichzeitig  mit  der 
Anvisierung  der  Sonne  oder  eines  anderen  gegebenen  Aus- 
gangspunktes (an  dem  äußeren  Astrolabring)  auch  der  Mond 
oder  ein  anderes  zu  bestimmendes  Objekt  durch  die  beiden 
an  dem  zu  unterst  eingefügten  kleinen  Ring  angebrachten 

15  Absehöffnungen  anvisiert  werden  könne.  Ist  dies  geschehen, 
so  ist  abzulesen 

1.  der  Grad,  welchen  das  zu  bestimmende  Objekt  in  Länge 
in  der  Ekliptik  einnimmt,  an  dem  Schnittpunkt,  den  der  innere 
Astrolabring  an  der  Gradteilung  des  die  Stelle  der  Ekliptik 

20  vertretenden  Ringes  bildet; 

2.  die  Grade,  welche  das  Objekt  nördlich  oder  südlich 
von  der  Ekliptik  auf  dem  durch  ihre  Pole  gehenden  Kreise 
(in  Breite)  absteht,  an  der  Gradeinteilung,  welche  der  innere 

Ha  287  Astrolabring  selbst  trägt;  denn  diese  Grade  messen  das  Inter- 
25  vall,  welches  zwischen  dem  Mittelpunkt  der  über  dem  Horizont 
stehenden  (d.i.  oberen)  Absehöffnung *^  des  unter  dem  Astro- 
labring  drehbaren  kleinen  Ringes  und  der  Mittellinie   des 
Ekliptikringes '^^  gefunden  wird 


a)  Durch  welche  die  Visierlinie  nach  dem  zu  bestimmenden 
Objekt  verläuft. 

b)  Welcher  durch  Umdrehung  des  Kolurkreises  (S.  257, 26) 
genau  in  die  Ebene  der  Ekliptik  verlegt  worden  ist. 


Fünftes  Buch.     Zweites  Kapitel.  259 


Zweites  Kapitel. 

Die  Hypothese  zur  Erklärung  der  doppelten 

Anomalie  des  Mondes. 

Wenn  das  vorstehend  beschriebene  Beobachtungsverfahren 
schlechthin  nach  Vorschrift  gehandhabt  wurde,  so  wurden 
die  Elongationen  des  Mondes  von  der  Sonne  sowohl  nach 
den  Aufzeichnungen  Hipparchs  als  auch  nach  unseren  eigenen  Hei  355 
Beobachtungen  bald  übereinstimmend  mit  den  auf  der  mit-    5 
geteilten  Hypothese  beruhenden  Berechnungen  gefunden,  bald 
nicht  übereinstimmend,  und  zwar  wichen  sie  bald  um  einen 
geringen,  bald  um  einen  bedeutenden  Betrag  ab.    Als  wir 
aber  unsere  Aufmerksamkeit  ununterbrochen  in  verstärktem 
Maße  diesem  Punkte  zuwendeten,  machten  wir  hinsichtlich  10 
des  regelmäßigen  Verlaufs  der  betreffenden  Anomalie  folgende 
Wahrnehmung.    Bei  den  Konjunktionen  und  den  Vollmonden 
tritt  stets  entweder  gar  kein  merklicher  oder  nur  ein  kleiner 
Fehler  ein,  und  zwar  höchstens  eine  Differenz,  wie  sie  wohl 
die  Parallaxen  des  Mondes  bewirken  könnten.   Dagegen  zeigt  15 
sich  in  den  beiden  Quadraturen  ein  Minimum  oder  gar  kein 
Fehler,  wenn  der  Mond  gerade  im  Apogeum  oder  Perigeum 
des  Epizykels  steht,  und  ein  Maximum,  wenn  er  in  den  in 
der  Mitte  (zwischen  Apogeum  und  Perigeum)  liegenden  Stellen 
seines  Laufs  auch  schon  infolge  der  ersten  Anomalie  das  Maxi-  20 
mum   der  Differenz  bewirkt.     Ist  nun   die   erste  Anomalie 
negativ,  so  wird  in  der  betreffenden  Quadratur,  sei  es  die 
erste  oder  die  zweite^*',  der  Ort  des  Mondes  noch  weiter 
zurückliegend  gefunden,  als  er  aus  der  ersten  Subtraktion 
errechnet  wird;  ist  sie  aber  positiv,  so  wird  er  gleicher-  Ha  288 
maßen  noch  weiter  vorausliegend  gefunden,  und  zwar  im  26 
steten  Verhältnis  zur  Größe  der  ersten  Prosthaphäresis.    In- 
folge dieses  regelmäßigen  Verlaufs  sahen  wir  uns  nachgerade 
zu  der  Annahme  genötigt,  daß  der  Epizykel  des  Mondes  sich 
derartig  auf  einem  Exzenter  bewege,  daß  er  (der  Epi-  30 
zykel)  bei  den  Konjunktionen  und  den  Vollmonden  in  das 


260  Fünftes  Buch.     Zweites  Kapitel. 

Hei  356  Apogeum  Und  in  den  beiden  Quadraturen  in  das  Perigeum 
dieses  Exzenters  gelangt.  Diese  Forderung  ist  erfüllbar, 
wenn  die  erste  Hypothese  folgende  berichtigte  Fassung  er- 
hält. 
5  Man  stelle  sich  vor,  daß  der  mit  der  Ekliptik  konzen- 
trische Kreis  in  der  schiefen  Ebene  des  Mondes,  wie  schon 
früher  (S.  218,  25)  erwähnt,  wegen  der  Breite^)  um  die 
Pole  der  Ekliptik  gegen  die  Richtung  der  Zeichen  nur  so 
weit  vorrücke,  als  der  Überschuß  der  Bewegung  in  Breite 

10  über  die  Bewegung  in  Länge  beträgt,  während  der  Mond 
seinen  Umlauf  auf  dem  sogenannten  Epizykel  wieder  unter 
der  Annahme  macht,  daß  er  seinen  Fortschritt  auf  dem  erd- 
fernen Bogen  desselben  gemäß  der  Wiederkehr  der  ersten 
Anomalie  gegen  die  Richtung  der  Zeichen  bewerkstellige. 

15  In  dieser  schiefen  Ebene  nehmen  wir  nun  zwei  einander 
entgegengesetzte  gleichförmige  Bewegungen  an,  welche  beide 
um  den  Mittelpunkt  der  Ekliptik  verlaufen:  die  eine  führt 
den  Mittelpunkt  des  Epizykels  in  der  Richtung  der  Zeichen 
der  Bewegung  in  Breite  gemäß  herum,  während  die  andere 
Ha  389  Zentrum  und  Apogeum  des  in  derselben  Ebene  anzunehmen- 

21  den  Exzenters  herumführt,  auf  dessen  Peripherie  jederzeit 
der  Mittelpunkt  des  Epizykels  sich  befinden  wird,  aber  her- 
umführt gegen  die  Richtung  der  Zeichen  und  nur  so  viel, 
als    der   Überschuß   der   doppelten   Elongation   —   unter 

25  Elongation  ist  die  Differenz  der  mittleren  Bewegung  des 
Mondes  und  der  Sonne  in  Länge  zu  verstehen  —  über  die 
Bewegung  in  Breite  beträgt. 

Wenn  sich  z.  B.  in  einem  Tage  einerseits  der  Mittelpunkt 
Hei  357  des  Epizykels  die  13^14',  welche  rund^^  auf  die  Bewegung 

30  in  Breite  entfallen,  in  der  Richtung  der  Zeichen  bewegt  hat, 
so  hat  er  in  der  Ekliptik  scheinbar  nur  13^11'  in  Länge 
zurückgelegt,  weil  der  ganze  schiefe  Kreis  infolge  seiner  Be- 


a)  D.  h.  infolge  der  rückläufigen  Bewegung  der  Knoten  der 
Mondbahn. 

b)  Bis  auf  die  Sekunden  beträgt  (S.  203  f.)  die  täo^liche  mitt- 
lere Bewegung  in  Länge  13°  10' 34",  in  Breite  13^3' 45",  in 
Elongation  12m' 26". 


Komplizierte  Mondhypothese. 


261 


wegung  gegen  die  Richtung  der  Zeichen  die  0°3'  des  Unter- 
schieds in  Abzug  bringt;  anderseits  wird  das  Apogeum  des 
Exzenters  in  entgegengesetzter  Richtung,  d.  i.  wieder  gegen 
die  Richtung  der  Zeichen,  11<^9'  herumgeführt,  d.  i.  24^23'  — 
1 3°  1 4',  was  die  Differenz  zwischen  den  verdoppelten  Graden  6 
der  Elongation  und  den  Graden  in  Breite  ist.  Auf  diese 
Weise  werden  nämlich  infolge  der  entgegengesetzten  Her- 
umleitung der  beiden  Bewegungen,  welche  wie  gesagt  um 
den  Mittelpunkt  der  Ekliptik  vor  sich  geht,  die  beiden  Leit- 
linien, von  denen  die  eine  durch  den  Mittelpunkt  des  Epi-  10 
zykels,  die  andere  durch  das  Zentrum  des  Exzenters  geht, 
einen  Abstand  voneinander  gewinnen,  der  in  Summa  einem 
Bogen  von  13^14'  +  11^9'  gleichkommt  und  somit  das 
Doppelte  der  Elongation  wird,  welche  ohne  merklichen 
Fehler  (d.i. nach  oben  abgerundet)  12<^ll'30"  beträgt.  Des-  15 
halb  wird  in  der  Zeit  des  mittleren  synodischen  Monats 
der  Epizykel  zwei  Umläufe  auf  dem  Exzenter  machen,  wo- 
mit der  (S.  259,  29  gemachten)  Annahme  entsprochen  wird, 
daß  die  Wiederkehr,  welche  man  sich  an  das  Apogeum  des 
Exzenters  geknüpft  zu  denken  hatte,  bei  den  theoretisch  20 
im  Mittel  betrachteten  Konjunktionen  und  Vollmonden  ein- 
trete.*) 

Damit  uns  die  Bewegungsver- 
hältnisse der  Hypothese  anschau- 
licher vor  Augen  treten,  denke  man 
sich  AB  PA  als  den  in  der  schiefen 
Ebene  des  Mondes  mit  der  Ekliptik 
konzentrischen  Kreis  um  das  Zen- 
trum E  und  den  Durchmesser  A  E  f. 
Angenommen  soll  sein,  daß  in  Punkt 
A  gleichzeitig  sich  befinde  das 
Apogeum  des  Exzenters,  der  Mittel- 


a)  Insofern  alsdann  nach  Verlauf  eines  halben  synodischen 
Monats,  z.  B.  nach  dem  Neumond,  der  Epizykel  zur  Zeit  des 
Vollmonds  wieder  in  dem  Apogeum  des  Exzenters  steht,  welches 
nunmehr  der  Stelle  des  vorangegangenen  Neumonds  diametral 
gegenüberliegt. 


262  Fünftes  Buch.     Zweites  Kapitel. 

punkt  des  Epizykels,  der  nördliche  Grenzpunkt,  der  Anfang 
des  Widders  und  endlich  die  mittlere  Sonne. 

Ich  behaupte  also,  daß  bei  dem  Lauf  eines  Tages  die 
ganze  Ebene  (des  schiefen  Kreises)  sich  gegen  die  Richtung 
5  der  Zeichen  von  A  bis  A  ungefähr  0^3'  um  das  Zentrum  E 
bewege,  so  daß  der  nördliche  Grenzpunkt  A  nach  )(  29*^57' 
zu  liegen  kommt.  Da  nun  die  beiden  entgegengesetzten  Be- 
wegungen durch  die  (jeweilig)  der  Geraden  E  A  entsprechende 
Leitlinie  ebenfalls  um  das  Ekliptikzentrum  E  gleichförmig 

10  vollzogen  werden,  so  behaupte  ich  weiter,  daß  bei  dem  Lauf 
eines  Tages  einerseits  die  E  A  entsprechende  Leitlinie,  welche 
durch  das  Zentrum  Z  des  Exzenters  geht,  gleichförmig  gegen 
die  Richtung  der  Zeichen  bis  EA  herumgeführt,  das  Apo- 
geum  des  Exzenters  nach  A  verlege,  um  das  Zentrum  Z  den 

15  Exzenter  AH  beschreibe  und  den  Bogen  AA  gleich  11^9' 
(S.  261,  4)  mache,  während  anderseits  die  Leitlinie,  welche 
durch  den  Mittelpunkt  des  Epizykels  geht,  ebenfalls  gleich- 
förmig um  E,  aber  in  der  Richtung  der  Zeichen  bis  EB  her- 
umgeführt, den  Mittelpunkt  des  Epizykels  nach  H  trage  und 
Hei  359  den  (Ekliptik-)  Bogen  AB  gleich  13^14'  (S.  260,  29)  mache. 

21  Infolge  dieser  Bewegungen  beträgt  die  scheinbare  Ent- 
fernung*) des  Mittelpunktes  H  des  Epizykels: 
Ha  291       1.  von  dem  nördlichen  Grenzpunkt  A  13^14'  in  Breite; 

2.  von  dem  Anfang  des  Widders  13^11'  in  Länge,  weil 
26  der  nördliche  Grenzpunkt  A  in  der  angenommenen  Zeit  nach 

)(2d^5l'  gerückt  ist; 

3.  von  dem  Apogeum  A  des  Exzenters  die  Summe  der 
beiden  Bogen  AA  +  AB  =  24^23',  was  das  Doppelte  von 
den  Graden  der  täglichen  mittleren  Elongation  ist. 

30  Da  die  beiden  Bewegungen,  von  denen  die  eine  durch  B, 
die  andere  durch  A  verläuft,  demnach  zusammen  in  der  Zeit 
des  halben  mittleren  synodischen  Monats  eine  Wiederkehr 
zueinander  bewirken,  so  ist  klar,  daß  sie  in  einem  Viertel 
derselben  Zeit,  und  dann  wieder  in  drei  Vierteln,  d.  h.  in 


a)  D.  i.  die  Entfernung,  wie  sie  dem  in  E  befindlichen  Auge 
auf  die  Ekliptik  bezogen  erscheint. 


Komplizierte  Mondhypothese. 


263 


den  theoretisch  im  Mittel  betrachteten  Quadraturen,  ein- 
ander genau  diametral  gegenüber  verlaufen  werden:  der  auf 
EB  liegende  Mittelpunkt  (H)  des  Epizykels  wird  diametral 
gegenüber  dem  auf  EA  liegenden  Apogeum  des  Exzenters 
im  Perigeum  des  letzteren  stehen,  5 

Es  leuchtet  ein,  daß  unter  diesen  Umständen  infolge  des 
Exzenters  an  sich,  d.  i.  infolge  der  ünähnlichkeit  der  Bogen 
AB  und  AH,  keinerlei  Differenz  mit  der  gleichförmigen  Be- 
wegung eintreten  wird;   denn  die  Leitlinie  EB  beschreibt 
bei  ihrem  gleichförmigen  Umlauf  nicht  den  Exzenterbogen  Hei  360 
AH,  sondern  den  Ekliptikbogen  A B,  weil  die  Herumführung  11 
nicht  um  das  Zentrum  Z  des  Exzenters,  sondern  um  E  (den 
Mittelpunkt  der  Ekliptik)  vor  sich  geht.  Vielmehr  tritt  eine 
Differenz  (mit  der  gleichförmigen  Bewegung)  lediglich  in- 
folge des  Unterschieds  ein,  der  am  Epizykel  selbst  liegt,  in-  15 
sofern  der  Epizykel,  sobald  er  in  größere  Erdnähe  gelangt, 
die  Anomaliedifferenz,  mag  sie  positiv  oder  negativ  sein,  stets  Ha  292 
entsprechend  vergrößern  muß,  weil  der  am  Auge  gebildete 
Winkel,  unter  welchem  der  Epizykel  erscheint,  in  den  erd- 
näheren Lagen  größer  wird. 

Ganz  und  gar  keine  Differenz  gegen 
die  erste  (einfache)Hypothese  wird  dem- 
nach eintreten,  wenn  der  Mittelpunkt 
des  Epizykels  in  dem  Apogeum  A  steht, 
was  bei  den  theoretisch  im  Mittel  be- 
trachteten Konjunktionen  und  Voll- 
monden der  Fall  ist.*^  Beschreiben  wir 
nämlich  um  A  den  Epizykel  M  N,  so  ist 
das  Verhältnis  A  E  :  A  M  dasselbe,  wie 
wir  es  mit  Hilfe  der  Finsternisse  nach- 
gewiesen haben.  Das  Maximum  der 
Differenz  wird  dagegen  eintreten,  wenn 


20 


25 


30 


a)  Die  fehlerhafte  Figur  des  Originals  ist  dahin  abgeändert 
worden,  daß  der  Exzenter  um  das  Zentrum  Z  den  Epizykel 
in  A  in  der  Erdferne  (A  E  >  E  H),  in  H  in  der  Erdnähe  zeigt, 
wo  das  Verhältnis  -  H  :  H  E  =  8  :  60  eintritt  (S.  268,  23). 


264  Fünftes  Buch.     Drittes  Kapitel. 

der  Epizykel  in  seinem  Lauf  im  erdnächsten  Punkte  H  des  Ex- 
Hei  361  zentersangelangtist,  wie  der  durch  die  PunkteEjO  beschriebene 
Epizykel,  was  in  den  theoretisch  im  Mittel  betrachteten  Qua- 
draturen der  Fall  ist.    Das  Verhältnis  E  H  :  H  E  ist  nämlich 
5  größer  als  alle  Verhältnisse,  welche  in  den  übrigen  Lagen 
(des  Epizykels)  sich  herausstellen;  denn  während  der  Halb- 
messer Z  H  konstant  derselbe  bleibt,  ist  die  aus  dem  Mittel- 
punkt  der  Erde  gezogene  Gerade  E  H  (nach  Eukl.  III.  7) 
kleiner  als  alle  anderen  Verbindungslinien,  die  sich  nach  dem 
10  Exzenter  ziehen  lassen. 

Drittes  Kapitel. 

Betrag  der  im  Verhältnis  zur 

Sonne  eintretenden  Anomalie  des  Mondes. 

Ha  293  Um  eine  Anschauung  davon  zu  erhalten,  wie  groß  das 
Maximum  der  Anomaliedifferenz  werden  kann,  wenn  sich  der 
Epizykel  gerade  im  Perigeum  des  Exzenters  befindet,  haben 
wir  solche  durch  Anvisieren  gewonnene  Elongationen  des 
15  Mondes  von  der  Sonne  der  vergleichenden  Beobachtung  unter- 
zogen, bei  denen 

1.  der  Lauf  des  Mondes  (auf  dem  Epizykel)  nahezu  der 
mittlere  war  (d.  h.  zwischen  Apogeum  und  Perigeum  des  Epi- 
zykels verlief) ;  denn  in  diesem  Fall  tritt  das  Maximum  der 

20  Anomaliedifferenz  ein; 

2.  seine  im  Mittel  genommene  Elongation  von  der  Sonne 
ungefähr  90^  betrug,  wo  dann  auch  der  Epizykel  genau  im 
Perigeum  des  Exzenters  stand; 

3.  der  Mond,  wenn  diese  Bedingungen  erfüllt  waren,  keine 
25  Parallaxe  in  Länge  zeigte. 

Bei  dem  Zusammentreffen  dieser  Umstände,  d.  h.  wenn  die 
bei  der  Anvisierung  gewonnene  scheinbare  Elongation  die- 
selbe ist   wie    die  genaue  ^\   kann   nämlich   mit  Sicherheit 
Hei  362  auch  die  gesuchte  Differenz  der  zweiten  Anomalie  bestimmt 
30  werden. 


a)  Was  durch  die  dritte  Bedingung,   das  Fehlen  einer  Par- 
allaxe in  Länge,  bewirkt  wird  (vgl.  S.  265,17). 


Anomalie  zur  Sonne,  265 

Als  wir  aus  den  Beobachtungen  der  oben  bezeichneten 
Art  das  Schlußergebnis  zogen,  fanden  wir,  daß,  wenn  der 
Epizykel  im  Perigeum  steht,  das  Maximum  der  Anomalie- 
differenz gegen  den  mittleren  Lauf  ohne  merklichen  Fehler 
7^40'  beträgt,  was  gegen  die  erste  Anomalie  einen  Unter-  6 
schied  von  2<^40'  (genau  2^39')  ausmacht. 

Damit  uns  das  hierbei  angewendete  rechnerische  Verfahren 
vor  Augen  trete,  mögen  ein  oder  zwei  Beobachtungen  als 
Beispiel  dienen.    Im  zweiten  Jahre  Antonins  am  25.  ägyp- 
tischen Phamenoth  nach  Sonnenaufgang,  öy^  Aquinoktial-  Ha  294 
stunden  vor  Mittag  (8.  Februar  139  n.  Chr.  6'^45™  früh),  11 
haben  wir  die  Sonne  und  den  Mond  anvisiert.    Bei  Anvisie- 
rung der  Sonne   in  ^tc  18^50',  während  :/!:  4^  kulminierte, 
ergab  sich  als  der  scheinbare  Ort  des  Mondes  ir\^  9°  40',  was 
zugleich  der  genaue  Ort  sein  mußte,  weil  der  Mond  im  ersten  15 
Drittel  des  Skorpions,  wenn  er  etwa  IY2  Stunde  westlich  des 
Meridians  steht,  in  Alexandria  keine  wahrnehmbare  Parallaxe 
in  Länge  zeigt. 

Nun  beträgt  die  Zeit  von  den  Epochen  im  ersten  Jahr 
Nabonassars   bis   zur  Beobachtung  885   ägyptische  Jahre,  20 
203  Tage  und  18^4  Äquinoktialstunden  sowohl  schlechthin  Hei  363 
wie  nach  genauer  Rechnung.    Für  diese  Zeit  fanden  wir  als 
mittleren  Ort  der  Sonne  :icl6®27',  als  genauen  :^cl8°50', 
wie  er  auch  am  Astrolab  durch  Anvisierung  festgestellt  war. 
Als  mittlerer  Ort  des  Mondes  in  Länge  wird  für  jene  Stunde  26 
nach  der  ersten  Hypothese  np  17^20'  gefunden ^\  so  daß  die 
mittlere  Elongation  von  der  Sonne  (von  ll\  17^20'  bis  ^sc 
16^27')  nahezu  90^  (genau  89° 7')  beträgt,  als  Entfernung 
von  dem  Apogeum  des  Epizykels  in  Anomalie  87^19',  bei 
welchen   Graden  das  Maximum  der  Anomaliedifferenz  ein-  30 
tritt.    Folglich  lag  der  genaue  Ort  (llX  9^40')  hinter  dem 
Ort  der  gleichförmigen  Bewegung  (d.  i.  dem  mittleren  in 
ir\  17^20')  7^40'  weiter  zurück,  anstatt  nur  5°  nach  der 
ersten  Anomalie. 

a)  Die  Nachprüfung  ergibt  für  die  Sonne  ^^i  16''26'18" -|- 
2»17'  =  18«43'18",fürdenMond  ^  17^9' 49"  in  Länge,  87"  18' 2" 
in  Anomalie  mit  der  Anomaliedifferenz  —  4^59'. 


266  Fünftes  Bucli.     Drittes  Kapitel. 

Damit  uns  auch  nach  den  von  Hipparch  beobachteten 
Ha  295  Positionen  der  bezeichneten  Art  die  an  den  entsprechenden 
Stellen  eintretende  Differenz  ersichtlich  werde,  wollen  wir 
auch  von  diesen  Elongationen  eine  Beobachtung  zum  Vergleich 
5  mitteilen,  die  er  im  50*®^  Jahre  der  dritten  Kailippischen 
Periode  am  16.  ägyptischen  Epiphi  (5.  August  128  v.Chr.), 
„als  ^3  <i®^  ersten  (Tag-)  Stunde  verstrichen  waren",  an- 
gestellt zu  haben  versichert.  „Der  Lauf  war  259 *);  als 
aber  die  Sonne  in  iQ^8°35'  anvisiert  wurde,  ergab  sich  als 

10  der  scheinbare  Ort  des  Mondes  \j  12^20',  was  zugleich  (bei 
fehlender  Parallaxe  in  Länge)  nahezu  der  genaue  war.^^  Es 
beträgt  also  theoretisch  betrachtet  die  genaue  Elongation 
zwischen  Sonne  und  Mond  (von  \j  12^20'  bis  Sl  8^35')  86^  15'. 
Da  nun  die  Tagstunde ,  wenn  die  Sonne  im  ersten  Drittel 

15  des  Löwen  steht,  in  Rhodus,  wo  die  Beobachtung  stattfand. 
Hei  364  1 7  Ys  Zeitgrade  (d.s.GOYs™)  beträgt,  so  machen  die  5%  bürger- 
lichen Stunden  vor  Mittag  CVe-ÄLquinoktialstunden  aus.    Die 
Beobachtung  hat  demnach  GVe  Äquinoktialstunden  vor  dem 
Mittag  des  16*«^  (5^50™  früh)  stattgefunden,  während  ^  9^ 

20  im  Meridian  stand. 

Nun  beträgt  auch  hier  die  Zeit  von  den  Epochen  bis  zur 
Beobachtung  619  ägyptische  Jahre,  3 14 Tage  und  1 7% Äqui- 
noktialstunden schlechthin,  17^^  nach  genauer  Rechnung.  Für 
diese  Zeit  finden  wir  nach  unseren  Unterlagen  (d.i.  den  Sonnen- 

25  und  Mondtafeln),  da  bekanntlich  durch  Rhodus  und  Alexandria 
derselbe  Meridian  geh.t^\ 

als  mittleren  Ort  der  Sonne  Q  10*27' (10"28' 32"), 

als  genauen  Ort  der  Sonne  Q    8<'20'(10<'28' -  2''6'), 


a)  Halma  vermutet  ^eaog  statt  aiia;  ich  habe  dafür  evd-  ge- 
ändert, wodurch  der  Lauf  mit  den  257*^47'  des  Ptolemäus  einiger- 
maßen in  Einklang  gesetzt  wird. 

b)  Da  der  beobachtete  genaue  Ort  der  Sonne  ein  Plus  von 
15',  und  der  scheinbare  Ort  des  Mondes  ein  solches  von  3"  gegen 
die  Berechnung  des  Ptolemäus  aufweist,  so  bleibt  mir  unver- 
ständlich, wie  Ptolemäus  zur  Feststellung  der  zweiten  Anomalie 
(S.  267, 12)  auf  die  beobachtete  genaue  Elongation  von  86*^15' 
Bezug  nehmen  kann,  wo  doch  seine  Rechnung  zu  88" 55'  führt. 

c)  Tatsächlich  beträgt  der  Unterschied  über  1%°. 


Anomalie  zur  Sonne.  267 

als  mittleren  Ort  des  Mondes  in  Länge  H  4<*25'   (4'^24'38"), 

als  mittlere  Elongation  demnach  wieder  c.  90  "'"i) 
als  Entfernung  vom  Apogeum  des  Epi- 

zykels  in  Anomalie  257*^47' (9"),  Ha  296 

bei  welchen  Graden  wieder  rund  (mit  +  5^)  das  Maximum    6 
der   Differenz    der   auf   dem  Epizykel  beruhenden  (ersten) 
Anomalie  eintritt. 

Es  beträgt  folglich  die  Elongation  von  dem  mittleren 
Monde  zur  genauen  Sonne  (von  )(j  4^25'  bis  Sl  8<^20')  93<^55'.  10 
Nun  waren  aber  beobachtungsgemäß  von  dem  genauen  Monde 
zur  genauen  Sonne  nur  86*^15'  festgestellt  worden.  Folglich 
hatte  theoretisch  betrachtet  der  genaue  Mond  über  den  gleich- 
förmigen Lauf  (d.  i.  den  mittleren  Mond)  einen  Überschuß 
von  wieder  (93<>55'  -  86^15'  =)  7^40',  anstatt  nur  5°  nach  15 
der  ersten  Hypothese. 

Noch  ein  Punkt  ist  hierbei  ersichtlich  geworden.  Obgleich 
beide  mitgeteilte  Beobachtungen  um  die  Zeit  der  zweiten 
Quadratur  gemacht  waren  "^^j  wurde  die  von  uns  angestellte 
hinter  der  Berechnung  nach  der  ersten  Anomalie  um  2^40'  Hei  365 
zurückliegend  gefunden,  während  die  Hipparchische  um  21 
denselbenBetrag  darüber  hinausging,  indem  jain unserem 
Fall  die  ganze  Anomaliedifferenz  negativ,  bei  Hipparch  da- 
gegen positiv  war.*'* 

Auch  noch  aus  einer  Mehrzahl  von  anderen  Beobachtungen  26 
der  bezeichneten  Art  fanden  wir  das  Maximum  der  Anomalie- 
differenz zu  7" 40',  wenn  der  Epizykel  genau  im  Perigeum 
des  Exzenters  steht. 


a)  Die  mittlere  Elongation  von  J^  4<*25'  bis  Q  10<>27'  beträgt 
genau  25*'35' +  eO^'^- 10'»27' =  96'>2',  d.  h.  seit  der  mittleren 
Elongation  von   90  **   war  bereits    ein  halber  Tag  verstrichen. 

b)  Beide  waren  nach  Sonnenaufgang  angestellt. 

c)  Die  Quadratur  des  Ptolemäus  folgte  auf  einen  Vollmond 
im  Apogeum  des  Epizykels,  die  Quadratur  des  Hipparch  auf 
einen  Vollmond  im  Perigeum  desselben.    Vgl.  Anm   34. 


268 


Fünftes  Buch.     Viertes  Kapitel. 


Viertes  Kapitel. 

Das  Verhältnis  der  Exzentrizität 

des  Mondkreises. 

Unter  Voraussetzung  des  vor- 
stehend  gefundenen   Ergeb- 
nisses sei  ABT  der  Exzenter 
des  Mondes  um  das  Zentrum  A 
5    und  den  Durchmesser  A  A  f. 
Auf  letzterem  sei  als  Mittel- 
punkt der  Ekliptik  der  Punkt 
E  angenommen,  so  daß  A  das 
Ha  297  Apogeumund  fdasPerigeum 
10  des  Exzenters  wird.  Um  f  als 
Zentrum  beschreibe  man  den 
Epizykel  Z0H  des  Mondes, 
ziehe  die   Gerade   E0B   als 
Tangente  an  denselben  und 
15  verbinde  f  mit  0. 

Da  nun  das  Maximum  der 
Anomaliedifferenz  eintritt,  wenn  der  Mond  an  der  Tangente 
des  Epizykels  steht*),  und  dieses  in  Summa  zu  7®40'  nach- 
gewiesen wurde,  so  ist  als  Zentriwinkel  der  Ekliptik 
20  LrE0=    7*40'  wie  4jB  =  360^ 

=  15»20'  wie  ^E  =  360°. 
Folglich    6r0  =  15°2O'  wie  er0E  =  36O«, 
also    sr0  =  16P       wie  ;iEr=120P. 
Nun  ist  (S.  233,  s)  der  Epizykelhalbmesser  r0  in  dem 
25  Maße,  in  welchem  der  von  dem  Mittelpunkt  der  Ekliptik 
bis  zum  Apogeum  des  Exzenters  gezogene  Halbmesser  EA 
60^  beträgt,  mit  5^15'  nachgewiesen   worden.    Setzt  man 
also  r0  =  5^15',  so  wird  in  diesem  Maße  die  von  dem- 
selben   Mittelpunkt    bis    zum    Perigeum    des    Exzenters 
30  gezogene  Gerade  (nach  dem  Verhältnis   16:120  =  574:3;) 


a)  Wie  für  die  einfache  Anomalie  S.  158,  26  nachgewiesen. 


Fünftes  Buch.    Fünftes  Kapitel.  269 

Er  =  39^22'  wie  EA  =  60P 
Ar=Er  +  EA  =  99P22' 
AA  =  {y^Ar=)4.dHl'  als  exhm 
AE  =  (EA-AA=)  10^19'. 

Hiermit  ist,  da  AE  die  Verbindungslinie  zwischen  dem  5 
Mittelpunkt  der  Ekliptik  und  dem  Zentrum  des  Exzenters 
ist,  das  Verhältnis  der  Exzentrizität  nachgewiesen. 


Fünftes  Kapitel. 
Die  Neigung  des  Epizykels  des  Mondes. 

Was  die  Erscheinungen  in  den  Syzygien  und  in  den  Qua-j^^  f^rj 
draturen  des  Mondes  anbelangt,  so  dürften  hiermit  die  Zu- 
sätze, welche  zu  den  Hypothesen  der  für  den  Mond  ange-  10 
nommenen  Kreise  nötig  waren,  erledigt  sein.    Nun  finden 
wir  aber  aus  den  Teilbeträgen  des  Laufs,  welchen  die  Theorie 
in  den  Elongationen  (den  sog.  Oktanten)  feststellt,  in  denen 
der  Mond  (einerseits)  die  Sichelform  und  (anderseits)  die 
beiderseits  konvexe  Rundung  zeigt  *^,  —  es  ist  der  Lauf,  bei  15 
welchem  der  Epizjkel  gerade  in  die  Mitte  zwischen  Apogeum 
und  Perigeum  des  Exzenters  zu  stehen  kommt  —  eine  gleich- 
zeitig eintretende  Eigentümlichkeit  am  Monde,  welche  mit 
der  Neigung  des  Epizykels'^)  zusammenhängt. 

Allgemein  muß  nämlich  ein  und  derselbe  Punkt  der  Epi-  20 
Zyklen  als  derjenige  angenommen  werden,  mit  Bezug  auf 
welchen  sich  ein  für  allemal  die  Wiederkehr  der  auf  ihnen 
sich  bewegenden  Planeten  vollziehen  muß.  Wir  nennen  diesen 
Punkt  das  gleichförmige  (mittlere)  Apogeum,  von 
dem  aus  wir  auch  die  Zahlen  der  auf  dem  Epizykel  ver-  25 


a)  D.  i.  vor  dem  ersten  und  nach  dem  letzten  Viertel  die 
Sichelform,  nach  dem  ersten  und  vor  dem  letzten  Viertel  die 
Gestalt,  welche  der  Römer  mit  gibbus  (bucklig)  bezeichnet. 

b)  Unter  „Neigung  des  Epizykels"  ist  der  Positionswinkel 
zu  verstehen,  welchen  die  durch  den  Mittelpunkt  des  Epizykels 
gezogene  Gerade  mit  einem  bestimmten  Punkte  des  Durch- 
messers A  r  bildet,  auf  dem  die  Syzygien  liegen  (s.  Fig.  S.  261). 


270  Fünftes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

laufenden  Bewegung  beginnen  lassen.    Dies  ist  an  der  oben 

vorgelegten  Figur  der  Punkt  Z.    Genau  bestimmt  wird  dieser 

Punkt  bei  der  Stellung  des  Epizykels  in  den  Apogeen  und 

den  Perigeen  der  Exzenter  von  der  durch  alle  (drei)  Mittel- 

6  punkte  gehenden  Geraden,  wie  an  der  Figur  von  A  E  f.  Bei  al- 

Hei  368  Icu  anderen  Hypothesen  sehen  wir  nun  aus  den  Erscheinungen 

absolut   keinen  Widerspruch   gegen   die  Annahme   hervor- 

Ha  299  gehen,  daß  auch  in  den  übrigen  Positionen  derEpizyklen  der 

durch  das  obenbezeichnete  (mittlere)  Apogeum  gehende  Epi- 

10  zykelhalbmesser,  d.  i.  ZfH,  immer  dieselbe  Lage  beibehalte, 
wie  die  den  Mittelpunkt  des  Epizykels  gleichförmig  herum- 
führende Leitlinie,  wie  hier  ET,  d.  h.  daß  dieser  Epizykel- 
durchmesser  jederzeit,  was  man  auch  für  das  logisch  rich- 
tige halten  möchte,  die  normale  Eichtung  nach  dem  Zentrum 

15  der  Herumführung  einhalte,  in  welchem  in  den  gleichen  Zeiten 
gleiche  Winkel  der  gleichförmigen  Bewegung  gebildet  werden. 
Nur  bei  dem  Monde  stehen  die  Erscheinungen  der  An- 
nahme entgegen,  daß  auch  in  den  Positionen  des  Epizykels 
zwischen  A  und  f  der  Durchmesser  ZH  die  normale  Rich- 

20  tung  nach  dem  Zentrum  E  der  Herumführung  einhalte,  d.h. 
dieselbe  Lage  bewahre  wie  die  Leitlinie  ET.  Wir  finden 
nämlich,  daß  die  angedeutete  Neigung  zwar  konstant  nach 
einem  und  demselben  Punkte,  der  auf  dem  Durchmesser  AT 
liegt,   gerichtet  bleibt,  aber  weder  nach  E,  dem  Mittelpunkt 

25  der  Ekliptik,  noch  nach  A,  dem  Zentrum  des  Exzenters,  son- 
dern nach  einem  Punkte,  der  von  E  um  eine  Strecke,  die 
der  Verbindungslinie  AE  der  Mittelpunkte  gleichkommt,  nach 
dem  Perigeum  zu  entfernt  liegt. 

Daß  dem  so  ist,  werden  wir  nachweisen,  indem  wir  wieder 

30  aus  einer  Mehrzahl  von  Beobachtungen  zwei  mitteilen,  welche 
ganz  besonders  geeignet  sind,  auf  den  fraglichen  Punkt  ein 
helles  Licht  zu  werfen.  Das  sind  solche  Beobachtungen,  bei 
denen  erstens  der  Epizykel  sich  in  den  mittleren  Elongationen 
(Oktanten)  befand,  und  zweitens  der  Mond  in  der  Nähe  des 
Hei  369  Apogeum s    odcr  des  Perigeums  des  Epizykels  stand,  weil 

36  an  diesen  Stellen  das  Maximum  der  Differenz  der  betreffen- 
den Neigungen  eintritt. 


Neigung  des  Mondepizykels.  271 

I.  Hipparch  versicliert,  die  Sonne  und  den  Mond  mit  Hilfe 
der  Instrumente  in  Rhodus  beobachtet  zu  haben  im  197*®^ 
Jahre  nach  dem  Tode  Alexanders  (Epoche  der  Ära  1.  Thoth 
=  12.  Nov.  324   V.  Chr.)   am    11.  ägyptischen  Pharmuthi  Ha  3oo 
(2.  Mai  126   V.  Chr.  6^20^  früh)  bei  Beginn   der  zweiten    5 
Stunde.    Sein  Bericht  lautet:  „Während  die  Sonne  in  )(j  7® 45' 
anvisiert  wurde,  ergab  sich  als  scheinbarer  Ort  des  Mond- 
zentrums )C  21^40',  als  genauer*)  )C  21^27' 30"."    Folglich 
war  zu  der  angegebenen  Zeit  der  genaue  Mond  von  der  ge- 
nauen Sonne  in  der  Eichtung  der  Zeichen  (von  \j  7^45'  bis  10 
)(  21^27')  ohne  merklichen  Fehler  313^42'  entfernt. 

Nun  hatte  die  Beobachtung  bei  Beginn  der  zweiten  Stunde 
stattgefunden,  d.  i.  etwa  5  bürgerliche  Stunden  vor  dem 
Mittag  des  11*®";  diese  aber  machten  in  Rhodus  damals 
5^3  Äquinoktialstunden  aus;  folglich  beträgt  die  Zeit  von  16 
unserer  Epoche  bis  zu  dem  Zeitpunkt  der  Beobachtung 
620  ägyptische  Jahre,  219  Tage  und  ISYg  Äquinoktial- 
stunden schlechthin,  18  nach  genauer  Rechnung.  Für  diese 
Zeit  finden  wir 

als  Ort  der  gleichförmigen  Sonne  H   6 Hl'  20 

als  Ort  der  genauen  Sonne  8   7*^45' 

als  Ort  des  gleichförmigen  Mondes  in  Länge  X  22*^13' 

als   Entfernung   vom    mittleren   Apogeum    des   Epi-  Hei  370 

zykels  in  Anomalie  185'' 30' 

mithin    die   Elongation   des    gleichförmigen  Mondes  25 

von  der  genauen  Sonne  (von  H  7^45'  bis  X  22<*13')  314'>28'. 

Diese  Zahlen  sollen  als  gegeben  angenommen  sein.  Es 
sei  ABT  der  Exzenter  des  Mondes  um  das  Zentrum  A  und 
den  Durchmesser  AAP.  Auf  letzterem  sei  der  Mittelpunkt 
der  Ekliptik  der  Punkt  E.  Um  B  als  Zentnim  beschreibe  30 
man  ZH0  als  Epizykel  des  Mondes.  Der  Epizykel  soll  in 
der  in  der  Richtung  der  Zeichen  vor  sich  gehenden  Bewe-  Ha  301 
gung  von  B  nach  A,  der   Mond  in  der  auf  dem  Epizykel 


a)  Der  genaue  Ort  ist  der  um  die  Anomaliedifferenz  0^46' 
(S.  273,  7)  verminderte  gleichförmige  Ort,  der  scheinbare 
der  um  die  Längenparallaxe  vermehrte  genaue  Ort,  weil 
der  Mond  östlich  des  Meridians  stand. 


272 


Fünftes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 


verlaufenden  Bewe- 
gung von  Z  über  H 
nach  0  herumgelei- 
tet werden.  AlsVer- 
bindungslinien  zie- 
he man  die  Geraden 
AB  und  E0BZ. 

A.  Da,  wie  (S. 
261,  17)  gesagt,  in 
der  Zeit  des  mittle- 
ren synodischen  Mo- 
nats zwei  Umläufe 
des  Epizykels  auf 
dem  Exzenter  zu- 
stande kommen,und 
da  in  der  gegebenen  Position  der  mittlere  Mond  von  der  mitt- 
leren Sonne  (von  Xj  6^41'  bis  )C  22^3')  eine  Elongation  von 
315^32'  hatte,  so  werden  wir,  wenn  wir  von  dem  Doppelten 
dieses  Betrags  (S.  262,  27)  einen  Kreis  abziehen,  die  damalige 
20  Entfernung  des  Epizykels  von  dem  Apogeum  des  Exzenters 
Hei  371  in  der  Richtung  der  Zeichen  mit  271^4'  erhalten.  Demnach 
wird  L  AEB  als  Ergänzung  zu  360° gleich  88^56'  sein.  Nun 
fälle  man  auf  EB  das  Lot  AK.    Es  ist  also 


10 


15 


25 


LAEB=    88056'     wie4JR  =  360", 
=  177<'52'     wie  2R  =  S60\ 


,6EK=      2«   8'^^^"  eAKE  =  3600, 
s  AK  =  119^59' 
.sEK=      2^14' 


also 


wie  dm  AE  =  120^' 


30  Setzt  man         AE=    10^19'  als  vhl^^  wie  exhm  AB  ==   49^41', 
so  wird         AK=    10^19'  und  EK=  0^12'. 


a)  So  soll  fortan  die  Verbindungslinie  zwischen  den  Mittel- 
punkten der  Ekliptik  und  des  Exzenters  bezeichnet  werden. 
Die  Größen  A  E  und  A  B  sind  S.  269,  3.  i  gefunden. 


Neigung  des  Mondepizykels.  273 

Nun  ist         A B'  -  A  K*  =  B  K^  Ha  302 

mithin         BK  =  48^36', 
folglich         EB  =  BK-fEK  =  48P  48'. 

ß.  Es  betrug  (S.  27 1,26)  die  Elongation  des  gleichförmigen 
Mondes  von  der  genauen  Sonne  314^28',  und  (S.  271, u)  Hin  372 
die  Elongation  des  genauen  der  Beobachtung  gemäß  31 3^42';    6 
folglich  beträgt  die  Anomaliedififerenz  —  0®46',     Da  der 
Ort  des  gleichförmigen  Mondes  der  Theorie  nach  auf  der 
Geraden  EB  liegt,  so  werde  der  (genaue)  Mond,  weil  er  in 
der  Nähe  des  Perigeums  des  Epizykels  stand,  (um  diesen  10 
Betrag  rückwärts)  in  Punkt  H  angenommen.    Man  ziehe  die 
Verbindungslinien  E  H  und  B  H  und  fälle  von  B  auf  die  Ver- 
längerung von  EH  das  Lot  BA.    Da  Z.BEA  die  Anomalie- 
differenz des  Mondes  mißt,  so  ist 

Z.BEA=     0» 46'  wie  422  =  360»,  16 

=  1«32'  wie  <2i^  =  360^ 
folglich         fe  B  A  =      1«  32'  wie  ©  B  A  E  =  360», 
also         sBA=      1^36'  wie  ÄEB  =  120P. 

Setzt  man  E  B  =  48^  48'  wie  ephm  B  H  =  5^  15', 

so  wird  BA=  0^39'  in  diesem  Maße.  20 

Setzt  man  ephmBH  =  120^, 

so  wird        sBA=  14^52'  in  diesem  Maße, 

also         6BA=  14°14'  wie  ©BAH  =  360°,  Hei  s?» 

mithin     /.BHA=  14n4'  wie  -2J?  =  360*'. 

(Nun  war      /.BEA=  1«32'  wie  5i?  =  360»,)  25 

mithin     /.EBH=  12"42'  als  Differenz,  Ha  803 

=  6°21'  wie  4i^  =  360^ 

folglich        5  0H=  6"21'  wie  422  =  360*». 




vall  vom  Monde  bis  zu  dem  genauen  Perigeum  mißt.  30 


C.  Da  der  Mond  von  dem  mittleren  Apogeum(S.  271,24) 
zur  Zeit  der  Beobachtung  185^30'  entfernt  war,  so  liegt 
offenbar  das  mittlere  Perigeum  rückwärts  des  Mondes  (weil 
er  schon  5^2^  darüber  hinaus  ist),  d.h. rückwärts  des  Punktes  H 


274  Fünftes  Buch.    Fünftes  Kapitel. 

(nach  Z  zu).  Es  sei  also  der  Punkt  M.  Man  ziehe  durch 
M  die  Gerade  BMN  und  fälle  von  E  auf  diese  Gerade  das 
Lot  EE.    Nachgewiesen  war,  daß 

60H=     6»2l'. 
5       Nun  ist    6HM=     5*'30'    als  Entfernung   vom  Perigeum 
folglich    6  0M=   11^51'  als  Summe,  [gegeben; 

mithin  /1EBE=    11<*51'  wie  422  =  360», 
=    23<>42'  wie  5jB  =  360^ 
folglich     6  EE  =    23»  42'  wie  ©  EEB  =  360», 
10  also     sEE=   24P39'  wie  äEB  =  120P. 

Setzt  man        EB-    48^48',  (S.  273,i9) 
Hei  374      SO  wird       EE  =   10^  2'  in  diesem  Maße. 

Nun  ist  /,  AEB  =  177»52'  wie  2R  =  360»  (S.  272,25) 

und  /.EBN=    23»42'  wie  -§i2  =  360»;  (s.  Z.  9) 

16       folglich  /.ENB  =  154»10'  als  Differenz, 

mithin  6  EE==  154»10'  wie  ©  EEN  =  360», 

Ha  804             also  s EE  =  1 16^58'  wic  Ä  EN  =  120^. 

Setzt  man  EE=   10^  2'  wie  tj6ZAE=    10^19', 

so  wird  EN=    10^18'  in  diesem  Maße. 

20  Folglich  ist  EN,  d.  i.  die  Strecke,  welche  die  Gerade  BM 
abgrenzt,  deren  Neigung  durch  das  mittlere  Perigeum  (M) 
hindurch  auf  N  zu  gerichtet  ist,  ohne  merklichen  Fehler  gleich 
der  Strecke  AE. 

II.  Um  zu  zeigen,  daß  auch  auf  den   entgegengesetzten 

25  Seiten  des  Exzenters  und  des  Epizykels  dieselbe  Erscheinung 

eintritt,  haben  wir  wieder  aus  den  von  Hipparch,  wie  gesagt, 

in  Rhodus  beobachteten  Elongationen  diejenige  ausgewählt, 

welche  er  in  dem  nämlichen  197'™  Jahre  nach  dem  Tode 

Alexanders  am  17.  ägyptischen  Payni  (7.  Juli  126  v.  Chr. 

30  4^^  nachm.)  nach  Verlauf  von   9^/3  (bürgerlichen)   Stunden 

Hei  375  (nach  Sonnenaufgang)  durch  Anvisieren  festgestellt  hat.  Sein 

Bericht  lautet:  „Als  zu  dieser  Stunde  (d.  i.  2^3  bürgerliche 

Stunden  vor  Untergang)  die  Sonne  in  69  10"  ö 4'  anvisiert 

wurde,  ergab  sich  als  der  scheinbare  Ort  des  Mondes  gerade 


Neigung  des  Mondepizykels. 


275 


.Q,  29°;  da*  war  zugleich  der  genaue  Ort,  weil  in  Rhodus 
im  letzten  Drittel  des  Löwen  ungefähr  eine  Stunde  nach 
der  Kulmination  der  Mond  keine  Parallaxe  in  Länge  zeigt." 
Folglich  war  zu  dem  angegebenen  Zeilpunkt  der  genaue  Mond 
von  der  genauen  Sonne  in  der  Richtung  der  Zeichen  (von  5 
6>  10^54'  bis  Sl  29°)  48<*6'  entfernt. 

Nun  hatte  die  Beobachtung  3  Yg  bürgerliche  (Tag-)  Stunden 
nach  dem  Mittag  des  17.  Payni  stattgefunden;  diese  aber 
machten  in  Khodus  damals  nahezu  4  Äquinoktialstunden 
aus;  folglich  beträgt  die  Zeit  von  unserer  Epoche  bis  zur  10 
Beobachtung  wieder  620  ägyptische  Jahre,  286  Tage  und 
4  Äquinoktialstunden  schlechthin,  S^s  nach  genauer  Rech- 
nung.   Für  diese  Zeit  finden  wir  in  gleicher  Weise 


G  12®    5',  Ha  303 

G10»40',  15 

Q  27  «20', 

46»40', 


als  Ort  der  gleichförmigen  Sonne 

als  Ort  der  genauen  Sonne 

als  Ort  des  gleichförmigen  Mondes  in  Länge 

iDithin  die  El ongation  des  gleichförmigen  Mondes  von 

der  genauen  Sonne 
als  Entfernung  vom  mittleren  Apogeum  des  Epizykels 

in  Anomalie 

Diese  Zahlen 
sollen  als  gege- 
ben angenom- 
men sein.  Es  sei 
wieder  ABT  der 

Exzenter  des 
Mondes  um  das 
Zentrum  A  und 
den  Durchmes- 
ser AAP.  Auf 
letzterem  sei  der 
Mittelpunkt  der 

Ekliptik  der 
PunktE.Umden 
Punkt     B     be- 
schreibe man  Z  H  0  als  den  Epizykel  des  Mondes  und  ziehe 
die  Verbindungslinien  AB,  E0BZ. 


276  Fünftes  Bucli.     Fünftes  Kapitel. 

A.  Da  das  Doppelte  der  mittleren  Elongatio»  der  Sonne 
und  des  Mondes  (von  69  12^5'  bis  .Q^  27^20')  90 '3./  beträgt, 
so  ist  aus  den  früher  (S.  272,18)  erörterten  theoretischen 
Gründen 

/.AEB=    90«30'  wie  412  =  360", 
=  181®        wie  ^JR  =  360". 

Nun  fälle  man  auf  die  Verlängerung  von  BE  von  A  das 
Lot  AK,  so  ist 

/.  AEK  =  119^  als  Nebenwinkel, 

AK  =  119^59' 


10 

Hei  377 

folglich 

also 

Ha  306 

Setzt  man 

15 

so  wird 

Nun  ist 

mithin 

folglich 

„     ..  wie  7iAE  =  120P. 
EK=      IP  3' 

AE=    10^19'  als  vbl  wie  ca:Äm  AB  =  49^41', 

AK=    10^19'  und  EK  =  0P5'. 

AB«-AK«  =  BK*, 

BK=    48^36', 

EB  =  BK-EK  =  48P31'. 

B.  Es  betrug  (S.  275,17)  die  Elongation  des  gleichförmigen 
20  Mondes  von  der  genauen  Sonne  46^40',  und  (S.  275,6)  die 
Elongation  des  genauen  48^6';  folglich  beträgt  die  Ano- 
maliedifferenz 4-  l^-^6'*^  Der  Mond  sei  demnach,  weil  er 
in  der  Nähe  des  Apogeums  des  Epizjkels  stand,  in  Punkt 
H  angenommen.  Man  ziehe  die  Verbindungslinien  EH  und 
25  BH  und  fälle  von  B  auf  EH  das  Lot  BA.    Dann  ist 

/.BEA  =  1«26'  wie  4i?=360« 
=  2<>52'  wie  2B  =  ^Q0\ 
folglich       ÖBA  =  2«52'  wie  eBAE  =  360^ 
Hei  878  also       s  B  A  =  2^  59'  wie  Ä  E  B  =  1 20^. 


a)  Der  genaue  Ort  des  Mondes  ist  dem  mittleren  um  diesen 
Betrag  voraus,  wird  also  durch  Addition  dieses  Betrags  aus 
dem  mittleren  gefunden.  Der  von  Ptolemäus  berechnete  mitt- 
lere Ort  .^^  27^*20'  bleibt,  um  1®26'  vermehrt,  mit  28*^46'  aller- 
dings noch  14'  hinter  dem  von  Hipparch  beobachteten  genauen 
Ort  .9  29®  zurück. 


Neigung  des  Mondepizykels.  277 

Setzt  man         EB=    48^31'  wie  e^j/iw  BH  =  5^15', 
so  wird         BA=     1^12'  in  diesem  Maße. 

Setzt  man  hBH  =  120^ 

so  wird  sBA=   27^34'  in  diesem  Maße, 

also  6BA=    26<'34'  wie  ©BAH  =  360<';                    6 

mithin  /_BHA=    26'' 34'  wie  ^ JK  =  360«.                          Ha  307 

(Nun  war   ^BEA=  2<>52'  wie  ^E  =  360^) 

folglich  /_ZBH=  29^26'  als  Summe, 

=  14<>43'  wie  4i2  =  360^ 

mithin      5HZ=  14*43'  wie  4 i2  =  360°.  10 

Hiermit  ist  der  Epizykelbogen  gefunden,  welcher  das  Inter- 
vall vom  Monde  bis  zu  dem  genauen  Apogeum  mißt. 

C.  Da  der  Mond  zur  Zeit  der  Beobachtung  vom  mitt- 
leren Apogeum   333^12'   entfernt  war,  so  wird   als  Er- 
gänzung zum  Kreise,  nachdem  wir  das  mittlere  Apogeum  16 
in  M  angenommen,  die  Verbindungslinie  M  B  N  gezogen  und 
auf  dieselbe  von  E  das  Lot  EE  gefällt  haben, 

&HZM=  26<'48'. 

(Nun  war      6HZ=  14° 43',) 

folglich     5ZM=  12°  5'  als  Differenz,  20 

mithin  /_MBZ=  12°   5'  wie  4i2  =  360°. 

=  24°  10'  wie  5J2  =  360°. 

Es  ist  aber   /_EB=  =  /.MBZ,  (als  Scheitelwinkel) 
folglich  auch    /_EBZ=    24°10'  wie  5J^  =  360°, 

mithin       6E==    24°10'  wie  ©  E  =  B  =  360°,  25 

also       s  EE  =   25P  7'  wie  hEB  =  120^.  Hei  379 

Setzt  man  EB=   48^31'  wie  vhlAE  =  10^1d\ 

so  wird         EE=   10^  8'  in  diesem  Maße. 
Nun  ist   /.AEB  =  181°        wie  5JJ  =  360°,  (S.  276,6)     .-— "^  • 

und   /.EBN=   24°  10'  wie  5JJ  =  3G0°,  (s.  ^.  2Jl)ov    Wj-W^^' 
folglich  /.  ENB  =  156°50'  als  Differenz,  y^^xS^J^'-'^''"^ 
mithin      fe  EE  =  156° 50'  wie  ©  EEN  =S$^^y-^^    ^^^o**'^^^* 
also      sEE  =  117^33'  wie  äEN  =  190P.  /       ^  ' ^^^y^tfSt*  s^ 


278  Fünftes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

Setzt  man         E==    10^  8'  wie  vbl AE=   10^19', 

so  wird         EN=   10^20'  in  diesem  Maße. 

Auch  aus  dieser  Beweisführung  geht  also  hervor,  daß  die 

Strecke  EN,  welche  die  Gerade  MB  abgrenzt,  deren  Neigung 

ö  durch  das  mittlere  Apogeum  M  hindurch  auf  N  zu  gerichtet 

ist,  ohne  merklichen  Fehler  gleich  ist  der  Strecke  AE,  der 

Verbindungslinie  der  Mittelpunkte. 

Auch   aus    einer  Mehrzahl  von   anderen  Beobachtungen 
fanden  wir  als  Ergebnis  nahezu  dieselben  Verhältnisse,  so 
10  daß  hieraus  mit  Sicherheit  folgende  Eigentümlichkeit  her- 
vorgeht, die  sich  nur  bei  der  Hypothese  des  Mondes  hin- 
sichtlich der  Neigung  des  Epizykels  bemerkbar  macht.    Die 
Herumleitung  des  Mittelpunktes  des  Epizykels  geht  zwar 
um  den   Mittelpunkt  E  der  Ekliptik  vor  sich,   allein   der 
15  Epizykeldurchmesser,  welcher  konstant  denselben  Punkt  als 
Hei  380  das  mittlere  Apogeum  des  Epizykels  bestimmt,  hält  nicht 
mehr  die  Neigung  nach  E,  dem  Zentrum  der  gleichförmigen 
Herumleitung  ein,  wie   bei  den  anderen  Planeten,   sondern 
ist  jederzeit  nach  Punkt  N  gerichtet  unter  Wahrung  des- 
20  selben  Intervalls,  welches  nach  der  anderen  Seite  hin  die 
Verbindungslinie  AE  der  Mittelpunkte  einhält. 

Sechstes  Kapitel. 

Gewinnung  des  genauen  Mondlaufs  aus 

den  periodischen  Bewegungen  auf  dem 

Wege  geometrischer  Konstruktion. 

Nachdem  die  vorstehenden  Beweise  gelietert  sind,  dürfte 
sich  daran  folgerichtig  die  Darstellung  der  Methode  knüpfen, 
nach  welcher  wir  bei  den  beliebigen  Positionen  des  Mondes 

26  (auf  dem  Epizykel)  unter  Feststellung  der  Epochen  seiner 

mittleren  Bewegungen  (in  Länge  und  Anomalie),  d.  i.  aus 

Ha  309  der  Zahl  der  Elongation  (von  dem  Apogeum  des  Exzenters) 

und  aus   der  Zahl  (der  Anomalie),   welche   die  Stelle   des 

Mondes  auf  dem  Epizykel  angibt,  die  auf  den  mittleren  Lauf 

30  in  Länge  (d.  i.  auf  den  Ort  des  Epizykelmittelpunktes)  ent- 
fallende   positive    oder    negative   Anomaliedifferenz   finden 


Gewinnung  des  genauen  Mondlaufs. 


279 


können.  Die  Berechnung  dieses  Betrags  erfolgt  auf  dem 
Wege  geometrischer  Konstruktion  nach  ganz  ähnlichen  theo- 
retischen Beweisgängen,  wie  sie  oben  von  uns  zur  Anwendung 
gebracht  worden  sind. 

Um  ein  Beispiel  zu  bieten,  wollen  wir  an  der  letzten  der    5 
vorstehenden  Figuren  dieselben  periodischen  Bewegungen  der 
Elongation  (d.  i.  der  Entfernung  in  Länge  vom  Apogeum  des 
Exzenters  S.  276,2)  und  der  Anomalie  (d.i.  der  Entfernung 
von  dem  mittleren  Apogeum  des  Epizykels  S.  275,19)  ge- 
geben sein  lassen,  d.  h.  für  die  Elongation  (vom  Apogeum  10 
des  Exzenters)  die  aus  der  Verdoppelung  (der  Elongation 
von  der  Sonne)  gewonnenen  90^30',  und  für  die  Anomalie 
die  von  dem  mittleren  Apogeum  des  Epizykels  ab  gezählten  Hei  3«i 
383^2'.    An- 
statt der  Lote  ^^ — 7]      ~---\  15 
E£    und    BA 
fälle  man  die 
Lote  NE  und 
HA. 


20 


26 


A.  Daraus, 
daß  die  beiden 

Winkel  am 

Zentrum  E 
(/.  AEB  und 
/.AEK)  gege- 
benunddieHy- 
potenusen  AE 
und  E  N  einan- 
der gleich  sind, 

wird  sich  wieder  auf  demselben  Wege  (wie  S.  276,15)  der  30 
Nachweis  führen  lassen,  daß 


AK  =  NE  =  10Pl9' 
EK=EE=    OP  5' 


wie 


|e.rÄw  AB  =  49^41' 
\e]ßlnm^W=    5^15' 


Hieraus   folgt  weiter,  wie  wir  schon  vorher  (a.  a.  0.) 
nachgewiesen  haben  (weil  AB^  —  AK^  =  BK^),  daß  35 


folglich 

und 

Nun  ist  auch 

6 

folglich 

Setzt  man 

Hei  882 

so  wird 

Ha  310 

also 

mithin 

280  Fünftes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

BK=   48^36'  in  diesem  Maße, 
EB  =  BK-EK  =  48P31', 
B=  =  EB-E=  =  48^26'. 

BEHNH2=BN', 

BN=   49P31'  wie  NE  =10^19'. 

ÄBN  =  120P, 

sNZ=    25P       in  diesem  Maße; 
&NZ=    24<>   3'  wie  ©NEB  =  360», 
/.NBE=  -24«   3'  wie  ^i2  =  360». 

10  Es  ist  aber  /.ZBM=    /.NBE,  (als  Scheitelwinkel) 

folglich  auch   /.ZBM=   24<^  3'  wie  2R  =  '660\ 
=    12<'   1'  wie  4JS  =  360». 

Hiermit  ist  die  Größe  des  Epizykelbogens  ZM  gefunden. 

B.  Da  der  Punkt  H,  wo  der  Mond  steht,  von  dem  mitt- 
15  leren  Apogeum  (M)  die  zu  einem  Kreise  (an  333^12')  feh- 
lenden 26^48'  entfernt  ist,  so  ist  als  Differenz  (der  Bogen 
HZM  und  ZM) 

6HZ=    14°47'    (wie  4i?  =  360«); 

mithin      /.HBZ=    14"47'     wie  4R  =  S60\ 

20  =    29°  34'      wie^J2  =  360°; 

^°i^i-^  {mb:i5oo'6:N-©"^^=^««' 

also      {^^^=   ''l''[]   wieÄBH  =  120P. 
l,sAB  =  116P   2'J 

25         Setzt  man  c2>ÄmBH=      5^15' wie    EB  =  48P31',  (s.  Z.  2) 
so  wird  H  A  =      1^  20'  und  A  B  =  5^  5', 

Hei  383  folglich  EA  =  EB  +  AB  =  53^36'. 

Hasii  Nun  ist  EA«+HA2  =  EH', 

mithin  EH=   53^37'  (wie  HA  =  1^20'). 

30         Setzt  man         äEH  =  120P, 

so  wird         sHA=     2^59'  in  diesem  Maße, 
also         6HA=      2<'52'  wie  ©  HAE  =  360*>, 


Fünftes  Buch.     Siebentes  Kapitel.  281 

mithin      /.HEA  =  2<'52'  wie  2B  =  3Q0\ 
=  1<'26'  wie  4E  =  360«. 
Hiermit  ist  der  Winkel  der  Anomaliedifferenz  gefunden, 
was  das  Endziel  des  Beweises  war. 


Siebentes  Kapitel. 

Praktische  Anleitung  zur  Aufstellung  einer  Tabelle 

der  Qesamtanomalie  des  Mondes. 

Um  wieder  durch  Aufstellung  einer  Tabelle  die  sofortige  6 
Berechnung  der  Prosthaphäresisbeträge  von  Fall  zu  Fall 
auf  methodischem  Wege  ausführbar  zu  machen,  haben  wir 
die  nach  der  einfachen  Hypothese  früher  (Buch  IV,  Kap.  10) 
von  uns  aufgestellte  Tabelle  durch  Hinzufügung  von  Spalten 
ergänzt,  welche  durch  ein  bequemes  Korrektionsverfahren  10 
auch  die  Anbringung  der  zweiten  Anomalie  ermöglichen. 
Diese  Aufgabe  haben  wir  wieder  wie  bisher,  auf  dem  Wege 
der  geometrischen  Konstruktion  gelöst. 

Nach  den  ersten  zwei  Spalten,  welche  die  Argumentzahlen 
bieten,  haben  wir  eine  dritte  Spalte  eingeschoben,  welche  zu  15 
der  Argumentzahl  der  Anomalie  die  Prosthaphäresisbeträge  Hei  384 
angibt,    die   dazu   dienen   sollen,  die  von   dem  mittleren 
Apogeum,  d.  i.  von  M  ab  gezählte,  aus  dem  mittleren  Lauf  ge- 
wonnene (Anomalie-)  Zahl  auf  das  genaue  Apogeum,  d.i. 
Z,  zu  reduzieren.     So  hatten  wir  (S.  280,12)  bei  der  ge- Ha  sia 
gebenen  Elongation  (vom  Apogeum  des  Exzenters)  von  90"30'  21 
den  Bogen  Z M  mit  +  1 2°l'  nachgewiesen,  um  bei  der  333^1 2' 
betragenden  Entfernung  des  Mondes  von  dem  mittleren 
Apogeum  M  ohne  weiteres  seine  Entfernung  von  dem  ge- 
nauen Apogeum  Z  mit  345*13'  zu  finden,  weil  nach  Maß-  25 
gäbe  letzterer  Zahl  die  infolge  (der  Stellung)  des  Epizykels 
(auf  dem  Exzenter)  eintretende  Prosthaphäresis  zur  mittleren 
Bewegung  in  Länge  *^  gewonnen  werden  muß.     So  wie  hier 
haben  wirauchbeiden  anderen  Argumentzahlen  der  Elongation 


a)  D.  i.   zur  gleichförmigen  Bewegung   des  Epizykelmittel- 
punktes. 


282  Fünftes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

(vom  Apogeum  des  Exzenters)  in  Abschnitten,  welche  die 
Symmetrie  der  Anordnung  zu  wahren  geeignet  sind,  die  auf 
sie  entfallenden  Größenbeträge  der  betreffenden  Prosthaphä- 
resis  auf  demselben  Wege,  um  uns  nicht  in  jedem  Einzelfall 
6  in  lange  Erörterungen  einzulassen,  festgestellt  und  zu  jeder  Ar  • 
gamentzahl  gehörigen  Ortes  iu  der  dritten  Spalte  hinzugesetzt. 
Von  den  folgenden  Spalten  wird  die  vierte  die  früher  in 
der  ersten  Tabelle  (Buch  IV,  Kap.  1 0)  angesetzten  Anomalie- 
differenzen enthalten,  welche  der  (Lauf  aUf  dem)  Epizykel 

10  verursacht,  wo  wir  fanden,  daß  bei  dem  Verhältnis  60^ :  5^15' 

das  Maximum  der  Prosthaphäresis  den  Wert  ö'^l'  erreicht. 

Die  fünfte  Spalte  wird  die  Überschüsse  der  Differenzen 

enthalten,  welche   sich   infolge    der   zweiten  Anomalie    im 

Hei  385  Vergleich  zur  ersten  ergeben,  wo  wir  bei   dem  Verhältnis 

15  (39P22':5P15'=)  60:  8*)  gleichfalls  als  das  Maximum 
der  Prosthaphäresis  7^40'  feststellten.  (Diese  Art  der  Trennung 
der  beiden  Anomalien  hat  den  Zweck,  daß)  die  vierte  Spalte 
diene  für  die  Stellung  des  Epizykels  im  Apogeum  des  Ex- 
zenters, welche  in  den  Syzygien  eintritt,  die  fünfte  für  die 

20  Überschüsse,  welche  infolge  der  im  Perigeum  des  Exzenters 
in  den  Quadraturen  zustande  kommenden  (zweiten)  Ano- 
malie zu  addieren  sind. 
Ha  313      Damit  auch  für  die  zwischen  Syzygie  und  Quadratur 
liegenden  Stellungen  des  Epizykels  die  auf  sie  entfallenden 

25  Bruchteile  der  (in  der  fünften  Spalte)  angesetzten  Überschüsse 
entsprechend  gewonnen  werden,  haben  wir  die  sechste  Spalte 
hinzugefügt,  welche  die  Sechzigteile  enthält,  die  für  jede 
Argumentzahl  der  Elongation  (vom  Apogeum  des  Exzenters) 
von   dem  (in  der  fünften  Spalte)    angesetzten  Unterschied 

30  genommen  und  zu  dem  nach  der  ersten  Anomalie  in  der 
vierten  Spalte  angesetzten  Prosthaphäresisbetrag  addiert 
werden  müssen.  Diese  Sechzigteilf  sind  von  uns  auf  folgen- 
dem Wege  festgestellt  worden. 


a)  Nach  dem  Verhältnis  16:120  =  5y4:x  (S.  268,30)  erhält 
man  die  mittlere  Entfernung  im  Perigeum  des  Ex/.enters  mit 
3978-     Nun  ist  auf  das  genaueste  3978:5  74  =  60:8. 


Erklärung  der  Tabelle. 


283 


Es  sei  wieder  ABT  der  Ex- 
zenter des  Mondes  um  das  Zen- 
trum A  und  den  Durchmesser 
AAP.  Auf  letzterem  sei  als 
Mittelpunkt  der  Ekliptik  der 
Punkt  E  angenommen.  Man 
trage  den  Bogen  AB  ab,  be- 
schreibe um  B  den  Epizykel 
ZH0K  und  ziehe  durch  ihn 
die  Gerade  EBZ.  "  ^^—^^Hf^^^^A^.^-^  10 

Gegeben  sei  beispielshalber 
60®  Elongation  (von  der  mitt- 
leren Sonne).    Demnach  ist  wieder  aus  demselben  Grunde 
wie  in  den  oben  geführten  Beweisen  /,  AEB  gleich  120**, 
d.  i.  das  Doppelte  der  gegebenen  Elongation.    Auf  die  Ver-  Hei  sse 
längerung  der  Geraden  BE  fälle  man  von  A  das  Lot  AA  16 
und  ziehe  (durch  den  Epizykel)  die  Gerade  HBKA.     An- 
genommen sei,  daß  die  vom  Mittelpunkt  E  nach  dem  Mond 
gezogene  Gerade  EMN   eine  Tangente  des   Epizykels  sei, 
damit  das  Maximum  der  Anomaliedifferenz  eintrete.    Nun  20 
ziehe  man  noch  die  Verbindungslinie  BM.    Es  ist  also 

/.  AEB  =  120°  wie  4JB  =  360«, 
=  240«  wie  ^i2  =  360«; 
folglich   /,  AEA  =  120®  wie  512  =  360«  als  Neben- 

[winkel,  26 


mithin 
also 


,b  EA=    60< 

=  103^55' 


j  sAA  = 

l,sEA  = 


60P 


wie  ÄAE  =  120P. 


Setzt  man 

so  wird 

Nun  ist 
folglich 


AE=    10^19'     wie 


AB  =  49^41' 


AA 


(BM  =5^15'), 
8^56'  und  EA  =  5P10'. 


AB2-AA«  =  BA*, 
BA=    48^53'; 


Hei  387 


31 


284  Fünftes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

mithin  EB  =  BA- EA  =  43^43'  wie  BM  =  5P15'. 

Setzt  man       ;iEB  =  120^ 

so  wird       sBIVl=    14^25'  in  diesem  Maße; 
also       6BM=    13'' 48'  wie  ©BIV\E  =  360^ 
5  mithin    /.BEM=    13<'48'  wie  5jB  =  360°, 

=      6054'  wie  4i^=360^ 

Hiermit  ist  der  Winkel  gefunden,  welcher  bei  dem  ge- 
gebenen Betrag  der  Elongation  (von  60^  bzw.  120^)  das 
Maximum  der  Anomaliedifferenz  mißt.    Dasselbe  zeigt  also 

10  gegen  das  Maximum  von  5^1'  ii?i  Apogeum  (des  Exzenters) 
eine  Differenz  von  1^53'.  Nun  beträgt  (S.  265,6)  die  ganze 
Differenz,  welche  bis  zum  Perigeum  eintritt,  2^39'.  Setzen 
wir  dieses  Maximum  der  Differenz  gleich  60',  so  werden  wir 
für  den  Überschuß  von  1^53'  den  Bruchteil  42'38"  erhalten. 
Hei  388  Diesen  Betrag  werden  wir  zu  der  Argumentzahl  120   der 

16  Elongation  (von  dem  Apogeum  des  Exzenters)  in  die  sechste 
Spalte  setzen. 

Ebenso  haben  wir  auch  für  die  übrigen  Grad  abschnitte 
die  in  diesem  Sinne  genommenen  Bruchteile  der  Differenz 

20  beider  Anomalien  wieder  auf  demselben  Wege  berechnet  und 
Ha  315  zu  der  betreffenden  Argumentzahl  die  auf  sie  entfallenden 
Sechzigteile  des  bei  ihr  (in  der  fünften  Spalte)  angegebenen 
Überschusses  hinzugesetzt.    Der  volle  Betrag  60'  steht  natür- 
lich bei  der  doppelten  Argumentzahl  der  Elongation  von  90*^, 

25  welche  auf  den  Grad  180,  d.  h.  auf  das  Perigeum  des  Ex- 
zenters fällt. 

Schließlich  haben  wir  eine  siebente  Spalte  hinzugefügt, 
welche  die  Örter  des  Mondes  in  Breite  nördlich  und  süd- 
lich der  Ekliptik  enthält,  gemessen  auf  dem  durch  die  Pole 

30  der  Ekliptik  gehenden  Kreise,  d.  h.  sie  bietet,  von  Ort  zu 
Ort  auf  dem  schiefen  Kreise  fortschreitend,  die  Bogen  dieses 
(Breiten-)  Kreises,  welche  zwischen  der  Ekliptik  und  dem 
mit  ihr  konzentrischen  schiefen  Kreise  des  Mondes  liegen. 
Wir  haben  für  diesen  Zweck  dasselbe  Verfahren  angewendet, 

35  nach  welchem  wir  schon  (Buch  I,  Kap.  14)  die  zwischen 


Fünftes  Buch.     Achtes  und  neuntes  Kapitel.  285 

Äquator  und  Ekliptik  liegenden  Bogen  des  durch  die  Pole 
des  Äquators    gehenden    (Deklinations-)  Kreises  berechnet 
haben,  natürlich  mit  dem  Unterschied,  daß  im  vorliegenden 
Fall  der  zwischen  der  Ekliptik  und  dem   nördlichen  oder 
dem  südlichen  Grenzpunkt   des    schiefen    Kreises   liegende  6 
Bogen  5*^  (statt  wie  dort  2372^)  beträgt.    Denn  dieses  Maxi- 
mum des  Mondlaufs  beiderseits  der  Ekliptik  wird  nicht  nur 
auf  dem  Wege  der  Rechnung  von  uns,  genau  wie  es  schon 
dem  Hipparch  geglückt  ist,  mit  Hilfe  der  in  den  nördlich- 
sten und  den  südlichsten  Positionen  sich  zeigenden  Erschei-  10 
nungen^^  ohne  merklichen  Fehler  gewonnen,  sondern  auch 
so  ziemlich  die   gesamte  Handhabung  der  Beobachtungen  Hei  389 
des  Mondes,  mögen  sie  nun  theoretisch  mit  Bezug  auf  die 
Fixsterne  oder  mit  Hilfe  der  Instrumente  angestellt  werden, 
steht  mit  diesem  Maximum  des  Laufs  in  Breite  im  besten  15 
Einklang,  wie  auch  aus  den  noch  weiterhin   zu  führenden 
Beweisen  zur  Genüge  hervorgehen  wird. 


t 


Achtes  Kapitel. 
Die  Tabelle  der  Gesamtanomalie  des  Mondes 


gestaltet  sich  demnach  folgendermaßen  (s.  S.  286).  {neisiio 

Neuntes  Kapitel. 
Gesamtberechnung  des  Mondlaufs  p 

nach  der  Tabelle. 

Jedesmal,  wenn  wir  nach  dem  Ansatz  der  Tabelle  diefneiSM 
Berechnung  der  Anomalie  des  Mondes  vorzunehmen  beab-  20 
sichtigen,  stellen  wir  zunächst  für  den  in  Alexandria  zu- 
grunde gelegten  Zeitpunkt  die  mittleren  Bewegungen  des 
Mondes  in  Länge,  Elongation,  Anomalie  und  Breite  in  der 
dargelegten  Weise  (nach  den  Mondtafeln)  fest.^^^  Alsdann 
verdoppeln  wir  jedesmal  die  zunächst   ermittelte   Zahl  der  26 


a)  Gemeint  sind  die   scheinbaren  örter  des  Mondes  bei 
größter  nördlicher  oder  südlicher  Breite. 


286 


Tabelle  der  Gesamtanomalie. 


1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

GemeinBame 

Unterschied 

Prosth- 

aphäresis 

der  1. 

Überschuß 

Argument- 

des  genauen 

der  2. 

Sechzigste! 

Breite 

Zahlen 

Apogeums 

Anomalie 

Anomalie 

6» 

354» 

0° 

53' 

0° 

29' 

0° 

14' 

0' 

12" 

4» 

58' 

^ 

12 

348 

1 

46 

0 

57 

0 

28 

0 

24 

54 

6r 

18 

342 

2 

39 

1 

25 

0 

42 

1 

20 

45 

pu 

24 

336 

3 

31 

1 

53 

0 

56 

2 

16 

34 

30 

330 

4 

23 

2 

19 

1 

10 

3 

24 

20 

36 

324 

5 

15 

7 

2 

44 

1 

23 

4 

32 

3 

42 

318 

6 

3 

8 

1 

35 

6 

25 

43 

48 

312 

6 

58 

3 

31 

1 

45 

8 

18 

20 

54 

306 

7 

48 

S 

51 

1 

54 

10 

22 

56 

60 

300 

8 

36 

4 

8 

2 

3 

12 

26 

SO 

66 

294 

9 

22 

4 

24 

2 

11 

15 

5 

2 

72 

288 

10 

6 

4 

38 

2 

18 

17 

44 

1 

33 

78 

282 

10 

48 

4 

49 

2 

25 

20 

34 

3 

84 

276 

11 

27 

4 

56 

2 

31 

23 

24 

32 

90 

270 

12 

0 

4 

59 

2 

35 

26 

36 

0 

->• 

93 

267 

12 

15 

5 

0 

2 

37 

28 

12 

16 

Ka 

96 

264 

12 

28 

5 

1 

2 

38 

29 

49 

32 

99 

261 

12 

39 

5 

0 

2 

39 

31 

25 

48 

102 

258 

12 

48 

4 

59 

2 

39 

33 

1 

3 

105 

255 

12 

56 

4 

57 

2 

39 

34 

37 

17 

108 

252 

13 

3 

4 

53 

2 

38 

36 

14 

83 

111 

249 

13 

6 

4 

49 

2 

38 

37 

50 

48 

114 

246 

13 

9 

4 

44 

2 

37 

39 

26 

2 

117 

243 

13 

7 

4 

38 

2 

35 

41 

2 

16 

120 

240 

13 

4 

4 

31 

2 

32 

42 

38 

30 

123 

237 

12 

59 

4 

24 

2 

28 

44 

3 

43 

126 

234 

12 

50 

4 

16 

2 

24 

45 

28 

56 

129 

231 

12 

36 

4 

7 

2 

20 

46 

53 

8 

132 

228 

12 

16 

3 

57 

2 

16 

48 

18 

20 

135 

225 

11 

54 

3 

46 

2 

11 

49 

32 

32 

138 

222 

11 

29 

3 

35 

5 

50 

45 

43 

141 

219 

11 

2 

3 

23 

58 

51 

59 

53 

144 

216 

10 

33 

3 

2 

10 

51 

53 

12 

3 

147 

213 

10 

0 

57 

43 

54 

3 

11 

150 

210 

9 

22 

43 

35 

54 

54 

20 

153 

207 

8 

38 

28 

27 

55 

45 

27 

156 

204 

7 

48 

13 

19 

56 

36 

34 

159 

201 

6 

56 

57 

n 

57 

15 

40 

162 

198 

6 

3 

41 

2 

57 

55 

45 

165 

195 

5 

8 

25 

0 

52 

58 

35 

50 

168 

192 

4 

11 

9 

0 

42 

59 

4 

54 

171 

189 

3 

12 

0 

52 

0 

31 

59 

26 

56 

Sü 

174 

186 

2 

11 

0 

35 

0 

21 

59 

37 

58 

ür€ 

177 

188 

1 

7  ( 

0 

18 

0 

10 

59 

49 

59 

180 

180 

0    0  1 

0     Ol 

0 

0 

60 

0 

5 

0 

-^ 

Berechnung  des  Mondlaufg.  287 

Elongation,   ziehen,   wenn  es  geht,   einen  Kreis   ab  und 
gehen    (mit  der  so  gewonnenen  Zahl)   in  die  Tabelle   der 
Anomalie  ein.    Wenn  die  verdoppelte  Zahl  bis   180^  gebt, 
so  werden  wir  die  in  der  dritten  Spalte  bei  ihr  stehenden 
Grade  zu  den  mittleren  Graden^)  der  Anomalie  addieren;  5 
geht  sie  aber  über  180®  hinaus,  so  werden  wir  diese  Grade  davon 
abziehen.  Mit  der  erhaltenen  genauen  ZahP)  der  Anomalie 
werden  wir  nun  in  dieselbe  Tabelle  eingehen  und  uns  erst 
die  in  der  vierten  Spalte  bei  ihr  stehende  Prosthaphäresis, 
alsdann  den  in  der  fünften  Spalte  dabeistehenden  Überschuß  10 
getrennt  notieren.    Hierauf  gehen  wir  wieder  mit  der  ver- 
doppelten Zahl  der  mittleren  Elongation  in  dieselben  Spalten 
ein,  nehmen  so  viel  Sechzigteile  des  notierten  Überschusses,  Ha  319 
als  in  der  sechsten  Spalte  zu  der  Argumentzahl  gesetzt  sind, 
und  addieren  dieselben  jedesmal  zu  der  in  der  vierten  Spalte  Heises 
angesetzten   Prosthaphäresis.    Wenn   die   genaue  Zahl  der  16 
Anomalie  bis  180®  geht,  werden  wir  die  erhaltene  Summe 
der  Grade  von  den  mittleren  Graden  der  Länge  und  der  Breite*'^ 
abziehen;  geht  sie  aber  über  180®  hinaus,  so  werden  wir 
sie   dazu   addieren.     Von  den   als   Ergebnis  gewonnenen  20 
Zahlen  zählen  wir  nun  die  Zahl  der  Länge  von  dem  für  die 
Epoche  (S.  236,20)  festgestellten  Gradansatz  (\j  11^22')  aus 
weiter  und  werden  sagen,   daß   dort,  wo   sie   ausgeht,  der 
genaue  Ort  des  Mondes  sei. 

Mit  der  von  dem  nördlichen  Grenzpunkt  ab  gerechneten  25 
Zahl  der  Breite  aber  werden  wir  wieder  in  dieselbe  Tabelle 
eingehen.  So  viel  Grade,  als  in  der  siebenten  Spalte  der 
Breite  bei  der  betreffenden  Argumentzahl  stehen,  wird  das 
Zentrum  des  Mondes  von  der  Ekliptik  auf  dem  durch  ihre 
Pole  gezogenen  größten  (Breiten -)  Kreis  Abstand  haben,  30 
und  zwar,  wenn  die  als  Argument  gebrauchte  Zahl  in  den 


a)  D.  s.  die  von  dem  mittleren  Apogeum  des  Epizykels  ge- 
zählten Grade  der  Anomalie. 

b)  D.  i.  die  von  dem  genauen  oder  scheinbaren  Apogeum 
des  Epizykels  gerechnete  Zahl  der  Anomalie. 

c)  Wie  sie  durch    die  Rechnung  nach    den  Mondtafeln    an 
die  Hand  gegeben  sind. 


288  Fünftes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

ersten  15  Zeilen  steht,  nach  Norden,  wenn  sie  in  den 
tieferen  Zeilen  steht,  nach  Süden.  Denn  die  erste  Spalte 
der  Argumentzahlen  betrifift  den  Lauf  des  Mondes  von  Norden 
nach  Süden,  die  zweite  Spalte  den  Lauf  von  Süden  nach 
6  Norden. 


Zehntes  Kapitel. 

Nachweis,  daß  in  den  Syzygien  infolge  des  Exzenters 

des  Mondes  keine  wesentliche  Differenz  eintritt. 

Hei 394)  ^^  ^^"  ^^^  ^^o  ^°^  Recht  die  zweifelnde  Frage  auf- 
werfen dürfte,  ob  nicht  auch  bei  den  Konjunktionen  und 
Vollmonden  und  den  bei  ihnen  eintretenden  Finsternissen 
eine  beträchtliche  Differenz    auch   infolge    des  Exzenters 

10  des  Mondes,  als  Begleiterscheinung  sich  einstellen  könnte, 
weil  bei  ihnen  durchaus  nicht  jedesmal  der  Mittelpunkt  des 
Epizykels  gerade  genau  im  Apogeum  (des  Exzenters)  stehen 
muß,  sondern  auch  eine  ziemliche  Bogen  strecke  davon  entfernt 
sein  kann  —  nur  für  die  theoretisch  im  Mittel  betrachteten 

15  Syzygien  sind  die  Stellungen  (des  Epizykels)  im  Apogeum 
selbst  maßgebend,  während  die  genauen  Konjunktionen  und 
Vollmonde  unter  Berücksichtigung  der  beiden  Lichtkörpern 
eigenen  Anomalie  bestimmt  werden  — ,  so  wollen  wir  ver- 
suchen klarzustellen,   daß    eine    derartige  Differenz   in  den 

20  Syzygien  hinsichtlich  der  Erscheinungen*^  keinen  beträcht- 
lichen Fehler  zu  bewirken  vermag,  auch  wenn  der  infolge 
der  Exzentrizität  des  Kreises  eintretende  Unterschied  (der 
Anomaliedifferenz) ^)  bei  der  Berechnung  (des  Eintritts  der 
genauen  Syzygien)  nicht  mit  in  Betracht  gezogen  wird. 

26       Es  sei  ABT  der  Exzenter  des  Mondes  um  das  Zentrum  A 

und  den  Durchmesser  AAf.    Auf  letzterem  sei  der  Mittel- 

Hei395  punkt  der  Ekliptik  in  Punkt  E  angenommen,  und  der  auf  der 


a)  D.  i.  hinsichtlich  der  scheinbaren  örter  von  Sonne  und 
Mond,  welche  bei  den  "genauen  Syzygien  in  Betracht  kommen. 

b)  Die  Anomaliedifferenz  muß  ja  mit  der  größeren  Erdnähe, 
die  eintritt,  wenn  der  Epizykel  nicht  genau  im  Apogeum  des 
Exzenters  steht,  größer  werden. 


Der  Mond  in  den  Syzygien. 


289 


+2''23'      m.S 


■m,M. 


Apoff. 


Ha  321 


10 


entgegengesetzten  Seite 
von  A  gelegene  Punkt  der 
Neigung  (des  Epizykels) 
in  Punkt  Z.  Von  dem 
Apogeum  A  aus  trage  man 
den  Bogen  AB  ab,  be- 
schreibe um  B  den  Epizykel 
H0KA  und  ziehe  die 
Verbindungslinien  BA, 
HBKE,  BAZ. 

Zwei  Punkte  sind  zu 
berücksichtigen,  weshalb 
in  der  Größe  der  Anomalie- 
differenz ein  Unterschied 
gegen  die  Stellung  des  Epizykels  im  Apogeum  A  ein-  16 
treten  kann: 

erstens,  weil  der  Epizykel,  wenn  er  in  größere  Erdnähe 
gelangt,  einen  größeren  Winkel ^^  bei  E  bildet; 

zweitens,  weil  die  Neigung  des  (Epizykel-)  Durchmessers, 
auf  welchem   das   mittlere   Apogeum   und  Perigeum   liegt,  20 
dann  nicht  mehr  nach  dem  Mittelpunkt  E,  sondern  nach  Z 
gerichtet  ist. 

Das  Maximum  des  Unterschieds  infolge  des  ersten  Grundes 
tritt  ein,  wenn  auch  die  Anomaliedifferenz  des  Mondes  ihr 
Maximum  erreicht^\  das  Maximum  infolge  des  zweiten  25 
Grundes,  wenn  der  Mond  in  der  Nähe  des  Apogeums  oder 
Perigeums  des  Epizykels  steht. *^)  Es  ist  daher  klar,  daß 
zu  der  Zeit,  wo  der  infolge  des  ersten  Grundes  sich  geltend 
machende  Unterschied  sein  Maximum  zeigt,  der  aus  dem 
zweiten  Grund  eintretende  Unterschied  ganz  unmerklich  30 
sein  wird,  weil  der  Mond,  wenn  er  an  den  Tangenten  des 
Epizykels  steht,  auf  eine  ziemliche  Strecke  hin  die  Prosth-  iiei  S96 


a)  D  h  Gesichtswinkel,  der  den  Epizykel  umspannt;  s.  S.  263,  i«<. 

b)  D.  h.  wenn  der  Mond  an  de'n  Tangenten  des  Epizykels  steht. 

c)  Nur  dann  kann  sich  der  Unterschied  zwischen  dem  ge- 
nauen und  dem  mittleren  Apogeum  oder  Perigeum  geltend 
machen 


PtolemäuB,  übers,  v.  Manitius.  I. 


19 


290  Fünftes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

aphäresis  bei  unveränderter  Größe  beläßt.^^  Dagegen  wird 
es  möglich  sein,  daß  die  genaue  Syzygie  von  der  mittleren 
um  die  Summe  der  beiden  Anomaliedifferenzen  abweicht, 
welche  die  beiden  Lichtkörper  zeigen,  wenn  die  Differenz 
5  des  einen  Lichtkörpers  positiv,  die  des  anderen  negativ  ist. 
Anderseits  ist  wieder  zu  der  Zeit,  wo  der  aus  dem  zweiten 
Grund  infolge  der  Neigung  sich  geltend  machende  Unter- 
schied sein  Maximum  erreicht,  der  aus  dem  ersten  Grund 
eintretende  unterschied  unmerklich,  weil  die  ganze  Anomalie- 

10  differenz  gleich  Null  wird  oder  wenigstens  ganz  klein  ist, 
wenn  der  Mond  in  der  Nähe  des  Apogeums  oder  Perigeums 
Ha  322  des  Epizykcls  steht.  In  diesem  Falle  wird  die  genaue  Sy- 
zygie von  der  theoretisch  im  Mittel  betrachteten  lediglich 
um  die  Anomaliedifferenz  der  Sonne  abweichen. 

15  I.  So  sei  denn  angenommen,  daß  die  Sonne  das  Maximum 
von  +  2*23',  der  Mond  dagegen  das  Maximum  von  —  5°l' 
bewirke,  damit  LAEB  das  Doppelte  der  Summe  7*24', 
d.  i.  14"  4  8'  betrage.  Man  ziehe  von  E  an  den  Epizykel  die 
Tangente  E0,  sowie  (von  B)  die  zu  ihr  (nach  Eukl.  IIL  18) 

20  senkrechte  Verbindungslinie  B0  und  fälle  noch  von  A  auf 
BE  das  Lot  AM.     Es  ist  also 

/.AEB=    14M8'    wie  4JB  =  360", 
=    29» 36'    wie  ^Ä  =  360«; 


397 
26 

folglich 

also 

Setzt  man 

so  wird 

30 

Nun  ist 

folglich 
mithin 

1.6  EM  =  150«24'/  ^ 


,b  EM  =  150« 24 

sAM=    30P39'1     i,,^E=120P. 
,s  EM  =  116P  l'i 

^&ZAE=    10^19'    wie  ea;/iwBA  =  49^41', 

AM=      2^38''   und  EM=    9^59'. 

BA«-AM«  =  BM«, 

BM  =   49P37', 

EB    =  BM-I- EM  =  591*36' wie  ci>ÄmB0  =  5P  15'. 

a)  So  daß  sich  bei  gleichbleibender  Prosthaphäresis  ein  merk- 
licher Unterschied  zwischen  der  Entfernung  von  dem  genauen 
und  dem  mittleren  Apogeum  des  Epizykels  nicht  geltend  machen 
kann. 


Der  Mond  in  den  Syzygien. 


291 


Setzt  man         äEB  =  120P,  Ha  323 

so  wird         sB0=   10^34'  in  diesem  Maße, 

folglich         &B0=    10°   6'  wie  ©B0E  =  36O", 
mithin     ^BE0=    10°   6'  wie  2B  =  Z60\ 

=      5°    3'  wie  4_R  =  360°.  6 

Somit  beträgt  der  Winkel  des  Maximums  der  Anomalie- 
differenz 5^3'  anstatt  5^1',  welche  eintreten,  wenn  der  Epi-  Hei  398 
zykel  im  Apogeum  A  steht.   Es  beträgt  also  aus  dem  ersten 
Grund  der  Unterschied  der  Anomaliedifferenz  nur  2  Sechzig- 
teile eines  Grades,  die  noch  nicht  einmal  einen  Fehler  von  lo 
Vi6  Stunde  (oder  374"")  bewirken  können.*^ 

II.  Der   Mond   sei  in   dem 


mittleren     Perigeum    A     an- 
genommen, damit,  wie  leicht      x^- 
zu  begreifen,  der  Z.  A  E  B  ledig-  ^/ 
lieh    von    der    Anomalie   der     H 
Sonne  das  Doppelte,  d.i.  4^46' 
betrage.     Man   ziehe   an    der 
ähnlichen    Figur   die   Verbin- 
dungslinie EA,  fälle  auf  BE 
von  A  das  Lot  AN  und  von  A 
das  Lot  A  M,  schließlich  von  Z 
auf  die  Verlängerung  von  B  E 
das  Lot  ZE.     Der  Gang  des 
Beweises  ist  derselbe  wie  oben. 

tAEB=  4°46' 
=  9°32' 
6AM=  9°32' 
,b  EM  =  170° 28' 
6Z==  9°32' 
,6  EE  =  170°28' 
sAM=  9^58' 
,s  EM  =  119^36' 


<  '< 


.s,. 


folglich 

desgleichen 

also 


Es  ist 

wie  412  =  360°, 
wie  5JB  =  360°; 

wie  eAME  =  360°; 
wie  ©ZEE=360°; 
wie  J^AE  =  120P: 


16 


20 


26 


30 

Ha  324 
Hei  399 


a)  Weil  der  mittlere  Mond  stündlich  32' 66"  in  Länge  zurück- 
legt, also  in  y^g  Stunde  2' 3" 30",  mithin  2'  in  weniger  Zeit. 

19* 


292  Fünftes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 


desgleichen  j    °  tZ         !."!.  1  wie  h  £2  =  120^. 


[    sZ==      9^58' 
,s  EE  =  119^35' 
Setzt  man    AE  und  EZ  =  10^19'  wie  ca:ÄmBA=    49^41', 
so  wird  AM  und  Z==   0^51', 
5  EM  und  E£  =  10^17'. 

Nun  ist  ferner        B  A'  -  A M'  =  B M*, 
folglich         BM  =    49^41', 

....  (EB  =BM  + EM  =  69^58'!    .    ^^      ^p-^, 

10    Nun  ist  auch        B  =  ''4-ZZ»  =  BZ', 
folglich       /jBZ=    70^15'. 

Es  ist  aber         BZ  :  ZH  =  BA  :  AN,      (Eukl.  VI.  4) 
(70^15':    0P51'==BA:AN) 
und  BZ:    BE    =BA:BN. 

16  (70^15' :  70^15' =  BA;  BN) 

Setzt  man c23ÄmBA  =  5^15'      wie    EB  =  69^68', 
so  wird  AN  =  0P  4'^Und  BN=    h^lh'^^ 

Hei  400  mithin  N  E  =  EB  —  BN  =  54^43'  wie  AN  =  0^  4' . 

Es  ist  ferner  (N  E«  -f  A  N»  =  E A^,    folglich) 

20                  auch  /iEA=»   54^43'    weil  von  NE  unwesentlich 

Setzt  man  Ä  E  A  =  120^,                               [verschieden, 

so  wird  5  A  N  =     0^  8'  in  diesem  Maße, 

also  5AN=     0°   8'  wie  ©AN £  =  360°, 

H»325                mithin  /.BEA=     0^   8'  wie  ^i2  =  360\ 

26  =      0«   4'  wie  4-B  =  360°. 

Das  ist  der  Winkel,  welchen  der  Mond  infolge  der  Neigung 

(des  Epizj'kels)  nach  dem  Punkte  Z  als  Unterschied  (der 

Anomalie)  bewirkt.    Es  beträgt   demnach   auch   in  diesem 

Falle  der  Unterschied   von  der  Anomalie  des  Mondes  (die 

80  gleich  Null  war)  nur  4  Sechzigteile  (eines  Grades),  welche 


a)  Aus  der  ersten  Proportion  BZ:Z:z  =  BA:AN,  die  dann 
lautet:  70^15':  0^51' =  5^15':  0^4'. 

b)  Aus  der  zweiten  Proportion  BZ:Bzi  =  BA:BN,  die  dann 
lautet:  70^15':  70^15' =  5^15':  5^15'. 


Fünftes  Buch.     Elftes  Kapitel.  293 

gleichfalls  keinen  beträchtlichen  Fehler  hinsichtlich  der  Er- 
scheinungen in  den  Sjzjgien  bewirken,  weil  sie  noch  nicht 
einmal  einen  Fehler  von  Ys  Stunde  (oder  7™  30^)  verursachen 
können '^^  der  sich  bis  zu  diesem  Betrage  auch  bei  den  Be- 
obachtungen selbst  in  vielen  Fällen  nicht  wider  Erwarten  5 
einstellen  wird. 

Die  vorstehenden  Beweisführungen  haben  wir  nur  neben- 
bei mitgeteilt,  nicht  als  ob  es  unmöglich  wäre,  zur  Fest- 
stellung der  Syzygien  auch  noch  diese  Unterschiede,  und 
wenn  sie  noch  so  klein  sind,  mit  in  Rechnung  zu  ziehen,  10 
sondern  um  zu  zeigen,  daß  von  uns  bei  den  Beweisen,  die 
wir  mit  Hilfe  der  mitgeteilten  Mondfinsternisse  geführt  haben, 
kein  merkbarer  Fehler  gemacht  worden  ist,  wenn  wir  dabei 
nicht  die  (komplizierte)  Hypothese  zur  Anwendung  gebracht 
haben,  welche  mit  den  Ergänzungen  versehen  worden  ist,  15 
die  sich  weiterhin  aus  der  Einführung  des  Exzenters  er- 
gaben.^ ^ 


Elftes  Kapitel.  '; 
Die  Parallaxen  des  Mondes. 

Die  Mittel  und  Wege,  welche  zur  Feststellung  des  genauen  Hei  40i 
Mondlaufs  führen,  dürften  hiermit  zur  Genüge  erörtert  sein. 
Da  aber  bei  dem  Monde  noch  der  Umstand  hinzutritt,  daß  20 
sein  scheinbarer   Lauf  für   die  sinnliche  Wahrnehmung  Ha  326 
keineswegs   mit   dem    genauen    (d.  i.    geozentrischen)    zu- 
sammenfällt, weil,  wie  (S.  1  92, 18)  gesagt,  die  Erde  zur  Ent- 
fernung seiner  Sphäre  nicht  das  Verhältnis  eines   Punktes 
hat,  so  dürfte  es  dringend  geboten  und  logisch  richtig  sein,  26 
sowohl  wegen  der  übrigen  Erscheinungen  als  auch  insbesondere 


a)  Insofern  der  Mond  in  Yg  Stunde  4' 7"  In  Länge  zurück- 
legt, mithin  4'  in  etwas  weniger  Zeit.  Zur  Übersetzung  nehme 
ich  an,  daß  hinter  ävvdusvcc  dLatbEvaacd'ccL  ausgefallen  ist  (vgl. 
Heiberg,  S.  398,4). 

b)  D.  h.  wenn  wir  uns  bei  diesen  Beweisen  lediglich  auf  die 
einfache  Mondhypothese  gestützt  haben,  die  zur  Erklärung 
der  ersten  Anomalie  dient. 


294  Fünftes  Buch.    Elftes  Kapitel. 

wegen  der  theoretischen  Behandlung  der  Sonnenfinsternisse 
das  Kapitel  von  den  Parallaxen  des  Mondes  anzuschließen. 
Denn  nur  mit  Rücksicht  auf  diese  wird  es  möglich  sein, 
aus  dem  genauen  Lauf,  welcher  von  der  Vorstellung  auf 
5  den  Mittelpunkt  der  Erde  und  der  Ekliptik  bezogen  wird, 
auch  den  vom  Auge  des  Beobachters,  d.  h.  von  irgendeinem 
Punkte  der  Erdoberfläche  aus  theoretisch  betrachteten 
(scheinbaren)  Lauf  durch  Rechnung  zu  finden,  und  dann 
wieder  umgekehrt  aus  dem  scheinbaren  den  genauen. 

10  Die  Behandlung  dieses  Gegenstandes  hat  sich  mit  dem 
Umstand  abzufinden,  daß  weder  die  Einzelbeträge  der  Par- 
allaxen ermittelt  werden  können,  ohne  daß  das  Verhältnis 
der  Entfernung  gegeben  ist,  noch  das  Verhältnis  der  Ent- 
fernung selbst  bestimmt  werden  kann,  ohne  daß  eine  Parallaxe 

15  gegeben   ist.     Man   kann   daher  bei  Körpern,   welche   gar 
keine  wahrnehmbare  Parallaxe  zeigen,  d.  h.  bei  solchen,  zu 
Hei 402  welchen  die  Erde  das  Verhältnis  eines  Punktes  hat,  begreif- 
licherweise auch  das  Verhältnis  der  Entfernung  nicht  be- 
stimmen, während  bei  solchen  Körpern,  die  eine  Parallaxe 

20  zeigen,  wie  bei  dem  Monde,  es  füglich  erreichbar  sein  dürfte, 
mit  Hilfe  einer  zunächst  gegebenen  Parallaxe  —  eine 
solche  Parallaxenbeobachtung  kann  nämlich  für  sich  allein 
erzielt  werden  —  lediglich  das  Verhältnis  der  Entfernung 
zu  finden,  wogegen  die  Ermittelung  des  zahlmäßigen  Be- 

25  trags  der  Entfernung  vollständig  ausgeschlossen  ist. 

Hipparch  ist  bei  dem  Versuch  einer  Parallaxen  gewinnung 

vornehmlich  von  der  Sonne  ausgegangen.    Da  sich  nämlich 

Ha  327  aus  einigen  anderen  an  der  Sonne  und  dem  Monde  zutage 

tretenden  Verhältnissen  *\  von  denen  in  den  nächsten  Kapiteln 

80  (14—16)  die  Rede  sein  wird,  der  Schluß  ziehen  läßt,  daß, 


a)  Gemeint  ist  das  eingangs  Kap.  14  mitgeteilte  Beobachtungs- 
ergebnis, daß  der  Durchmesser  des  Mondes  bei  den  Syzygien 
in  seiner  größten  Entfernung  unter  dem  gleichgroßen  Winkel 
erscheint,  wie  der  konstant  nahezu  unter  demselben  Winkel 
erscheinende  Durchmesser  der  Sonne,  und  daß  dieser  Winkel 
gemessen  werden  kann,  d.  h.  daß  die  Größe  der  Durchmesser 
von  Sonne  und  Mond  gegeben  ist. 


Fünftes  Buch.     Zwölftes  Kapitel.  295 

wenn  die  Entfernung  des  einen  der  beiden  LicMkörper  ge- 
geben ist,  auch  die  Entfernung  des  anderen  sich  bestimmen 
läßt,  so  versucht  er  durch  annähernde  Schätzung  der  Sonnen - 
entfernung  auf  diesem  Wege  auch  die  Entfernung  des  Mondes 
nachzuweisen.  Zuerst  geht  er  hierbei  von  der  Voraus-  5 
Setzung  aus,  daß  die  Sonne  nur  das  Minimum  einer  gerade 
noch  wahrnehmbaren  Parallaxe  zeige,  um  daraus  ihre  Ent- 
fernung zu  bestimmen.  Später  aber,  weil  angeblich  die 
Sonne  bald  gar  keine  wahrnehmbare,  bald  eine  genügend 
große  Parallaxe  zeige,  sucht  er  sein  Ziel  mit  Hilfe  der  von  10 
ihm  mitgeteilten  Sonnenfinsternis"^^^  zu  erreichen.  Daher 
sind  ihm  auch  die  Verhältnisse  der  Mondentfernung  je 
nach  der  gemachten  Voraussetzung  verschieden  ausgefallen, 
da  die  Entfernung  der  Sonne  durchaus  zweifelhaft  bleibt, 
nicht  nur  im  Punkte  des  Betrags  ihrer  Parallaxe,  sondern  15 
weil  es  fraglich  ist,  ob  sie  überhaupt  eine  zeigt. 


Zwölftes  Kapitel. 
Konstruktion  eines  parallaktischen  Instruments. 

Um  bei  der  so  wichtigen  Untersuchung  keinerlei  unsichere  Hei  408 
Faktoren  zuzulassen,  haben  wir  ein  Instrument  konstruiert, 
mit  dessen  Hilfe  wir  durch  Beobachtung  mit  möglichster 
Genauigkeit  festzustellen  vermöchten,  in  welcher  Stärke  und  20 
in  welchem  Zenitabstand  der  Mond  auf  dem  durch  ihn  und 
die  Pole  des  Horizonts  gehenden  größten  (Höhen-) Kreis 
eine  Parallaxe  zeigt. 

Wir    haben    zwei   vierseitige   Eichtscheite*)    angefertigt,  h»  sss 
beide  nicht  unter  vier  Ellen  lang,  um  eine  feinere  Teilung  25 
zu  ermöglichen,  aber  auch  von  einem  angemessenen  Umfang, 
damit  sie  sich  nicht  infolge  ihrer  (überwiegenden)   Länge 
verziehen  könnten,   sondern    allseitig  genau   wie   nach  der 
Schnur  glatt  und  gerade  verliefen.     Auf  beiden  haben  wir 


a)  Die  Figur  ist  meiner  Abhandlung:  „Die  Parallaxen  des 
Mondes  und  seine  Entfernung  von  der  Erde  nach  Ptolemä-us", 
Weltall  10.  Jahrg.  S.  34,  entnommen. 


296 


Fünftes  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 


10 


15 


alsdann  der  Länge  nach  in 
der  Mitte  der  breiteren  Seite 
gerade  Linien  eingeritzt  und 
auf  das  eine  Richtscheit  an 
den  beiden  äußersten  Enden 
quer  über  die  Mittellinie  senk- 
recht  stehende   kleine   vier- 
eckige Platten  (A  und  B)  auf- 
gesetzt, beide  gleichgroß  und 
zueinander    parallel.     Beide 
Platten  haben  eine  genau  in 
der  Mitte    angebrachte   Ab- 
sehöffnung, die  eine  Platte, 
welche    (bei   dem    Gebrauch 
des   Instruments)    am   Auge 
sein    soll,    eine    kleine,    die 
andere   am   Monde  eine  verhältnismäßig   größere,  so  daß, 
wenn  man  das  eine  Auge  an  die  Platte  mit  der  kleineren 
Absehöffnung  anlegt,  durch  die  in  geradliniger  Fortsetzung 
Hei  404  liegende  Absehöffuung  der  anderen  Platte  der  Mond  in  seinem 
21  ganzen  Umfang  gesehen  werden  kann.     Nachdem  wir  nun 
beide  Richtscheite  auf  den  Mittellinien  an  dem  einen  Ende, 
und  zwar  das  eine  dicht  vor  der  Platte  (B)  mit  der  größeren 
Absehöffnung,    gleichmäßig    durchbohrt   hatten,  haben  wir 
26  durch  beide  einen  kleinen  Achsenstift  gesteckt,  so  daß  von 
ihm    die   an  den  Mittellinien  der  Richtscheite  verbundenen 
Seiten  wie  von  einem  Zentrum  zusammengehalten  werden 
und  das  die  Platten  tragende  Richtscheit  beliebig,  ohne  aus 
der  Richtung  zu  kommen,  herumbewegt  werden  kann.  Nach- 
30  dem  wir  das  andere  Richtscheit,  welches  keine  Platten  trägt, 
in  einen  Standfuß   fest  eingelassen  hatten,  haben   wir   auf 
den   Mittellinien  beider  an    den   am  Standfuß  befindlichen 
Enden  gewisse  Punkte  festgelegt,  welche  von  dem  im  Achsen- 
Ha  329  Stift  liegenden  Zentrum  gleichweit,   und  zwar   so  weit  als 
35  möglich  entfernt  sind.   Hierauf  haben  wir  die  so  abgegrenzte 
Linie   des   mit   dem    Standfuß   versehenen   Richtscheits  in 
60    Teile   geteilt   und   von   diesen   noch  jeden    in  so  viele 


Parallaktisches  Instrument.  297 

Unterabteilungen  als  angängig.  Endlich  haben  wir  auch 
an  der  Rückseite  des  näuilichen  Richtscheits  an  seinen  End- 
punkten (d.  h.  oben  und  unten)  kleine  Platten  (C  und  D) 
angebracht,  welche  ihre  nach  derselben  Seite  gerichteten 
Flächen  dicht  an  derselben  eingeritzten  Linie  in  geradliniger  5 
Richtung  einander  zuwenden  und  von  derselben  Mittellinie 
allenthalben  gleichweit  abstehen.  Diese  Vorrichtung  hat 
den  Zweck,  daß  vermittels  eines  an  diesen  Platten  herab- 
hängenden Lotes  das  Richtscheit  senkrecht,  d.  h.  ohne  jede 
Neigung  gegen  die  Ebene  des  Horizonts,  aufgestellt  werden  10 
könne. 

Nachdem  wir  vorher  auf  einer  mit  dem  Horizont  paral- 
lelen Ebene   eine  Mittagslinie   gezogen  hatten,   haben   wir 
das  Instrument  an  einem  schattenfreien  Orte  senkrecht  auf-  Hei406 
gestellt,  so  daß  die  Seiten  der  Richtscheite,  an  denen  sie  15 
durch  den  Achsenstift  miteinander  verbunden  sind,  zu   der 
danebengezogenen  Mittagslinie  parallel  verlaufend  die  Rich- 
tung  nach    Süden  einhalten.     Dann    steht  das  Richtscheit 
mit  dem  Standfuß  senkrecht  ohne  Neigung,  ohne  Verschie- 
bung und  unerschütterlich  fest,  während  das  andere,  dem  20 
ausgeübten  Druck  entsprechend  nachgebend,  um  den  Achsen- 
stift in  der  Ebene  des  Meridians  beweglich  ist. 

Schließlich  haben  wir   noch  ein  weiteres  Richtscheit   in 
Gestalteines  schmalen  geraden  Lineals  angebracht.  Dasselbe 
ist  vermittels  eines  kleinen  Nagels    an  dem  am  Standfuß  Ha  33o 
befindlichen  Endpunkt  (E)  der  eingeteilten  Linie  (d.  i.  der  26 
sechzigteiligen  Skala)  angefügt,  damit  es  gleichfalls  herum- 
bewegt   werden   könne.     Es   reicht    bis   zu  dem   äußersten 
Punkt,  bis  an  welchen  der  gleichweit  (vom  Achsenstift)  ent- 
fernte Endpunkt  der  Mittellinie  des  anderen  Richtscheits  durch  30 
Drehung  einen  Kreisbogen  beschreibt,  und  vermag  daher, 
mit  dem  Richtscheit  gleichzeitig  in  Bewegung  gesetzt,  den 
zwischen  den  beiden  Endpunkten  in  der  Richtung  der  Sehne 
entstehenden  Abstand  anzuzeigen. 

Wir  haben  nun  die  Beobachtungen  des  Mondes   auf  fol-  35 
gende  Weise  angestellt.   Dabei  mußte  er  gerade  im  Meridian 
und  in  den  Wendepunkten  der  Ekliptik  stehen,  weil  in  diesen 


298  Fünftes  Buch.     Zwölftes  Kapitel. 

Positionen  die  durch  die  Pole  des  Horizonts  und  das  Zen- 
trum des  Mondes  gezogenen  größten  (Höhen-) Kreise  ohne 
Hei  406  merklichen  Fehler  mit  den  durch  die  Pole  der  Ekliptik  gehen- 
den (Breiten-)  Kreisen  zusammenfallen,  auf  welche  die  Örter 
5  des  Mondes  in  Breite  theoretisch  bezogen  werden.  Deshalb 
kann  der  genaue  Zenitabstand  ohne  weiteres  bequem  bestimmt 
werden. 

Wir  richteten  also,  während  der  Mond  genau  im  Meridian 
stand,  das  die  Platten  tragende  Richtscheit  auf  ihn,  bis  sein 

10  Zentrum,  durch  beide  Absehöfifnungen  anvisiert,  in  die  Mitte 
der  größeren  Öfifnung  zu  stehen  kam.  Nun  merkten  wir 
auf  dem  schmalen  Lineal  den  Abstand  zwischen  den  äußer- 
sten Endpunkten  der  auf  den  Richtscheiten  gezogenen  ge- 
raden Linien  durch  einen  Punkt  an  und  legten  es  an  die 

15  sechzigteilige  Skala  des    senkrecht   stehenden  Richtscheits. 

Hiermit  fanden  wir,  wieviel  Teile  die  den  obenbezeichneten 

Abstand  messende  Sehne  von  solchen  Teilen  enthielt,  deren 

bekanntlich  60  auf  den  Halbmesser  des  von  der  Drehung 

Ha  381  (des  Richtscheits)  in  der  Ebene  des  Meridians  beschriebenen 

20  Kreises  gerechnet  werden.  Alsdann  entnahmen  wir  (den 
Sehnentafeln)  den  die  gefundene  Sehne  überspannenden  Bo- 
gen und  erhielten  somit  den  Bogen,  welchen  zurzeit  der 
scheinbare  Mond  auf  dem  durch  sein  Zentrum  und  die  Pole 
des  Horizonts  gezogenen  größten  (Höhen-)  Kreis,  der  zurzeit 

25  mit  dem  durch  die  Pole  des  Äquators  und  der  Ekliptik  gehen- 
den Meridian  zusammenfiel,  Abstand  von  dem  Zenit  hatte. 
Um  weiter  das  Maximum  der  Breite,  welches  der  Mond 
Hei 407  erreichen  kann,  genau  in  Erfahrung  zu  bringen,  haben  wir 
von  der  Anvisierung  Gebrauch  gemacht,    als  der  Mond  in 

30  möglichster  Nähe  des  Sommerwendepunktes  und  außerdem 
genau  im  nördlichsten  Grenzpunkt  seines  schiefen  Kreises 
stand,  weil  in  der  Nähe  dieser  Punkte  erstens  der  Mondlauf 
für  die  sinnliche  Wahrnehmung  auf  eine  ziemliche  Strecke 
in  Breite  unverändert  bleibt,  und  weil  zweitens  der  Mond 

35  für  den  Parallel  von  Alexandria,  auf  welchem  wir  unsere 
Beobachtungen  angestellt  haben,  in  diesem  Falle  dicht  am 
Zenit  steht,  wo  (vgl.  S.  192,  32)  sein  scheinbarer  Ort  ohne 


Fünftes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel.  299 

merklichen  Fehler  mit  dem  genauen  (d.  i.  geozentrischen) 
zusammenfällt.  Es  wurde  aber  in  den  bezeichneten  Posi- 
tionen das  Zentrum  des  Mondes  konstant  in  einem  Zenit- 
abstand von  2%^  festgestellt,  so  daß  auch  aus  dieser  Art 
der  Prüfung  der  Nachweis  des  Maximums  der  Breite  beider-  6 
seits  der  Ekliptik  mit  5®  hervorgeht.  Denn  zieht  man  von 
den  in  Alexandria  vom  Zenit  bis  zum  Äquator  nachgewiesenen 
30^58'  diese  2^/^'^  des  scheinbaren  Zenitabstandes  ab,  so  Ha  332 
ergibt  der  Rest  einen  Überschuß  von  5°  über  die  vom  Äquator 
bis  zum  Sommerwendepunkt  nachgewiesenen  23*51'.  10 

Um  auch  die  Aufgabe  der  Parallaxenbestimmung  zu  lösen, 
haben  wir  wieder  auf  dieselbe  Weise  den  Mond  beobachtet, 
als  er  in  der  Nähe  des  Winterwendepunktes  stand,  erstens  Hei408 
aus  dem  obengenannten  Grunde *\  und  zweitens,  weil  er  in 
diesem  Falle  bei  dem  entsprechend  tieferen  Stande  im  Meridian  15 
in  seinem  größten  Zenitabstand  auch  eine  größere  und  deut- 
licher wahrnehmbare  Parallaxe  zeigen  muß. 

Aus  einer  Mehrzahl  von  Parallaxenbeobachtungen,  welche 
von  uns  bei  den  Positionen  dieser  Art  angestellt  worden 
sind,  wollen  wir  nun  wieder  eine  mitteilen,  an  der  wir  so-  20 
wohl  den  Gang  der  Berechnung  erläutern,  als  auch  den 
Nachweis  der  weiteren  Konsequenzen  in  der  gebotenen 
Reihenfolge  erbringen  werden. 

Dreizehntes  Kapitel. 
Nachweis  der  Entfernungen  des  Mondes. 

Im  20*^^  Jahre  Hadrians  am  13.  ägyptischen  Athyr  5% 
Äquinoktiais tunden  nach  Mittag  (l.  Oktober  135  n.  Chr.  25 
5^50"^  nachmittags)  haben  wir,  als  die  Sonne  gerade  unter- 
ging, den  Mond  beobachtet,  nachdem  er  in  den  Meridian 
getreten  war.  Mit  dem  Instrument  stellten  wir  für  sein 
Zentrum  einen  scheinbaren  Zenitabstand  von  50*55'  fest; 
denn  der  auf  dem  schmalen  Lineal  angemerkte  Abstand  be-  30 


a)  Weil  dort  ebenfalls  seine  Breite  auf  eine  ziemliche  Strecke 
unverändert  bleibt. 


300  Fünftes  Bucli.     Dreizehntes  Kapitel. 

trug  51^35'  von  den  60^,  in  welche  der  Halbmesser  des 
durch  die  Drehung  beschriebenen  Kreises   geteilt  war.     Es 

Ha  833  unterspannt  aber  die  Sehne  von  dieser  Größe  einen  Bogen 
von  50^55',  wie  der  Kreis  360°  hat. 
5       I.  Nun  beträgt  die  Zeit  von  den  Epochen  im  ersten  Jahr 
Nabonassars  bis  zu  der  vorliegenden  Beobachtung  882  ägyp- 

Hei409  tische  Jahre,  72  Tage  und  5%  Aquinoktialstunden  schlecht- 
hin, öVs  nach  genauer  Rechnung.   Für  diese  Zeit  finden  wir 

als  mittleren  Ort  der  Sonne  jl    7® 31', 

10  als  genauen    Ort  der  Sonne  tn.    5° 28', 

als  mittleren  Ort  des  Mondes  /  25*44', 

als  Elongation  (von  ^  mV  bis  ^25''44')  78^3', 

als  Entfernung  vom  mittleren  Apogeum  des  Epizykels    262*20', 
als  Entfernung  vom  nördlichen  Grenzpunkt  der  Breite  354*40'. 

15  Es  betrug  mithin  die  Anomaliedifferenz,  in  ihrem  Gesamt- 
betrag nach  der  betreffenden  Tabelle  berechnet,  -f  7^26', 
so  daß  der  genaue  Ort  des  Mondes  in  Länge  zu  jener  Stunde 
(^  25^44'  -H  7  26'  d.  i.)  ^  3"10'  war,  während  das  Mond- 
zentrum in  Breite  auf  dem  schiefen  Kreise  (354  '40'  -f  7"26' 

20  d.  i.)  2^6'  von  dem  nördlichen  Grenzpunkt  entfernt  war 
und  auf  dem  durch  die  Pole  der  Ekliptik  gehenden  (Breiten-) 
Kreis,  der  zurzeit  ohne  merklichen  Fehler  mit  dem  Meridian 
zusammenfiel,  von  der  Ekliptik  einen  nördlichen  Abstand 
von  4^59'  hatte.'^> 

25       Nun   hat   der   Punkt   ^,  3^10'    auf  dem    letztgenannten 

Kreise  (nach  der  Tabelle  der  Schiefe  zu  87^)  vom  Äquator 

eine  südliche  Deklination  von  23"4'.i',  und  der  Äquator  vom 

Zenit  in  Alexandria  einen  gleichfalls  südlichen  Abstand  von 

Ha  334  30'^58';  mithin  hatte  das  Zentrum  des  Mondes  einen  genauen 

30  Zenitabstand  von  49^48'.^^   Nunbetruor  der  scheinbare  Ab- 


a)  Vgl.  die  Tabelle  der  Gesfimtanomalie,  7.  Spalte  der  Breite, 
erste  Zeile,  wo  zur  ersten  Argumentzahl  6  die  nördliche  Breite 
mit  4*58'  angesetzt  ist. 

b)  Da  die  nördliche  Breite  den  Mond  dem  Zenit  näher  bringt, 
als  der  tiefste  Punkt  der  Ekliptik  im  Meridian  steht,  so  ißt  der 
Zenitabstand  23*49' -f  30*58'  um  4*59'  zu  verkürzen. 


Entfermincren  des  Mondes. 


301 


stand  50'^ 55';  folglicli  zeigte  der  Mond   in  der  Entfernung,  Hei  4 lo 
in  welcher  er  zur  Zeit  der  beobachteten  Position  stand,  bei 
dem  genauen  Zenitabstand  von  49^48'  auf  dem  durch  ihn 
und  die  Pole  des  Horizonts  gehenden  größten  (Höhen-)  Kreis 
eine  Parallaxe  von  (öO^öö'  -  49"48'  =)  l^?'.  6 

II.  Dieser  Wert  mußte  fürs  erste  festgestellt  werden.  Es 
seien  in  der  Ebene  des  durch  den  Mond  und  die  Pole  des 
Horizonts  gehenden  größten  (Höhen-)  Kreises  um  ein  und 
dasselbe  Zentrum  gezogen: 

1.  AB  als  größter  Kreis  der 
Erde; 

2.  TA  als  der  zur  Zeit  der 
Beobachtung  durch  das  Mond- 
zentrum gehende  (Höhen-) 
Kreis ; 

3.  EZH0  als  der  Kreis,  zu 
welchem  die  Erde  das  Ver- 
hältnis eines  Punktes  hat. 

Gemeinsames  Zentrum  aller 
drei  Kreise  sei  K,   die  durch 
die  Scheitelpunkte  gehende  Gerade  sei  KATE.     Der  Mond 
soll  bei  dem  oben  festgestellten  Zenitabstand  von  49^48'  in 
Punkt  A  angenommen  sein.   Man  ziehe  die  Verbindungslinien 
KAH,  AA0,  fälle  von  Punkt  A,  der  das  Auge  des  Beob-  Hei4ii 
achters  wird,  auf  KB   das  Lot  AA  und  ziehe  parallel  zu  25 
KH  die  Gerade  AZ. 

1.  Daß  der  Bogen  H0  für  den  Beobachter  in  A  die  Paral- 
laxe des  Mondes  darstellt,  ist  klar;  er  beträgt  mithin  der 
Beobachtung  gemäß  1^7'.  Da  aber  der  Bogen  Z0  nur  un- 
beträchtlich größer  ist  als  der  Bogen  H  0,  weil  die  Erde  als  30 
Ganzes  zu  dem  Kreis  EZ  H  0  das  Verhältnis  eines  Punktes  hat, 
so  dürfte  auch  der  Bogen  ZH0  ohne  merklichen  Fehler  1°7' 
betragen.  Da  nun  Punkt  A  wieder  im  Verhältnis  zu  dem 
Kreis  Z0  nur  unwesentlich  verschieden  von  dem  Mittel- 
punkt desselben  ist,  so  ist  auch 

/.ZA0  =  1®   7'  wie   4i^  =  360^ 
=  2°  14'  wie  ^^  =  360^ 


10 


15 


20 


Ha  835 


36 


302 


Fünftes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 


Nun  ist  /.AAA  =  /,ZA0,    (Eukl.  L  29) 

folglich  auch  /.  A  A A  =  2«  14'  wie  ^  JB  =  360°; 

mithin        &AA  =  2M4'  wie  ©AAA  =  360°, 
also        sAA  =  2P21'  wie   ÄAA- 120^ 

5  Da  nun  AA  unbedeutend  <AA, 

so  ist  auch  AA  =  120P  wie  AA  =  2^21'. 

Hei  412  2.  Es  ist  ferner  nach  der  gemachten  Voraussetzung  der 
Bogen  TA  mit  49^48'  gegeben;  folglich  ist  als  Zentriwinkel 
des  Kreises 


10 

mithin 

15  ^^s° 

Setzt  man 
so  wird 

Nun  war 

Setzt  man 

Ha  336  Ferner  war 

21  folglich  ist 


1  wi 


AAK  =  3600, 


wie    _ 
jwie  ÄAK  =  120P. 


/,rKA=  49°48'    wie  4JB  =  360°, 

=  eO'^Se'    wie  <8i?  =  360«; 

6AA=  99«36' 

,6AK=  80«  24' 

sAA=  91^39' 

,sAK=  77^27' 

AK=     1'     als  Erdhalbmesser, 
AA=      0'46'  und  AK  =  0''39'. 

AA  =  120^        wie  AA  =  2^21'.    (s.  Z.  e) 
A  A  =      0'  46',  so  wird  A  A  =  39^^  6'. 
AK=      0'39'  wie  AK^l'^; 
KAA  =  AA  +  AK  =  39r45'. 


Hiermit  ist  (in   Erdhalbmessem  ausgedrückt)  die   Ent- 
A  fernung  des  Mondes  gefunden, 

wie    sie    zur   Zeit   der  Beob- 
achtung war. 

III.  Nachdem  diese  Entfer- 
nung nachgewiesen  ist,  sei 
ABT  der  Exzenter  des  Mondes 
um  das  Zentrum  A  und  den 
Durchmesser  AAP.  Auf  letz- 
terem sei  als  der  Mittelpunkt 
Hei  413  der  Ekliptik  der  Punkt  E  angenommen,  und  als  Punkt  der 
Neigung   des  Epizykels   der  Punkt  Z.     Um  B  beschreibe 


Entfermingen  des  Mondes.  303 

man  den  Epizykel  H0KA  und  ziehe  die  Verbindungs- 
linien HB0E,  BA,  BKZ.  Der  Mond  soll  nach  der  vor- 
liegenden Beobachtung  in  Punkt  A  angenommen  sein.  Man 
ziehe  die  Verbindungslinien  AE,  AB  und  fälle  auf  die  Ver- 
längerung von  B  E  von  A  das  Lot  A  M,  von  Z  das  Lot  Z  N.  6 

1.  Da  zur  Zeit  der  Beobachtung  (S.  300,  12)  die  Zahl 
der  Elongation  78^13' betrug,  so  ist  aus  den  früher  (S.  262, 27) 
mitgeteilten  theoretischen  Gründen 

/,  AEB  =  156°26'  wie  4E  =  S60^, 
mithin     /,ZEN=    23<'34'  wie  4i2  =  360<>    als  Nebenw.,  10 
folglich  auch   /,  AEM=   23^34'  wie  4i^  =  360^  (Eukl.  I  15) 

=    47°    8'  wie  5i?  =  360».  Hei4U 

Weil  AE  =  EZ,  (S.  278, 19) 

(mithin  AAME^AZN  E,*0 

so  ist{^^N)^    ^^'   ^'  ^'^  eAME  =  3600;  ^^ 

,6  EM 
,b  EN 


desgleichen  |  '^  p"!! }  =  132«52'  wie  e  ZN  E  =  360«;  h»  337 


20 


alsoP'^''l=    47P59'wie{'^^^=^120P, 

^''^UznI  Uez  =  i2op, 

,       ,  .  ,       f,sEMl      ..^p  ^,  _.    /ÄAE  =  120P, 
desgleichen |;^^J  =  110^0   wie  {^  ^^^  ^^^^; 

Setzt  man  AE  und  EZ  =  10^19'  wie  c:rÄm  BA  =  49^41', 
so  wird  AM  und  ZN=    4^  8',  EM  und  EN=    9^27'. 

Nun  ist  BA--AM»  =  BMS  25 

folglich  BM  =49^31', 

....      (   BE  =  BM-EM  =  40P   4' \      .^  -,^,      ,p   «, 
^^*^^M   BN  =  BE-EN  =  30P37'}™^^  =  '     '• 

Es  ist  ferner  BN2-f-ZN2=  BZ^, 

folglich  Ä  B  Z  =  30P  54'  wie  Z  N  =  4^   8'.  80 


a.)  Diese  rechtwinkligen  Dreiecke  sind  kongruent,  weil  die 
Hypotenusen  und  die  beiden  spitzen  Winkel  gleich  sind;  denn 
durch  den  einen  ist  auch  der  andere  als  Komplementwinkel 
(132°  52'  wie  2R==360")  gegeben. 


304  Fünftes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 

Setzt  man  7t  BZ  =  120^, 

so  wird  sZN=   IG^  2' in  diesem  Maße; 

folglich  6ZN=   15''21' wie  ©ZNB  =  360^ 

Hei 416                   mithin  /,ZBN=  15<'21' wie  5i2  =  360^ 

5  ==      7^0' wie  4E  =  360°. 

Hiermit  ist  die  Größe  des  Epizykelbogens  0K  gefunden. 

2.  Da  ferner  der  Mond  zur  Zeit  der  Beobachtung  von 

dem  mittleren  Apogeum   des   Epizykels    262^20'   entfernt 

war,  mithin  von  K,  dem  mittleren  Perigeum,  selbstverständ- 

10  lieh  die  über  den  Halbkreis  hinausliegenden  82*^20',  so  ist 

Ha  338  6KA  =  82»20', 

mithin   fc0KA  =  &0K  + 6  KA  =  90^ 
folglich  /.0BA  =  ii?  (d.  i.  AEBA  rechtwinklig). 

Nun  war      BE     =40^  4'  wie   /«^ä»»  BA  =  49^41', 

[epkm  BA=    5^16'. 
16  Da  ferner      BE«+BA«=EA«, 

so  ist      EA     =40^25'  in  demselben  Maße. 

Folglich  beträgt  die  Entfernung  des  Mondes  zur  Zeit  der 
Beobachtung  40^25'  in  dem  Maße,  wie  angenommen  sind 

BA  als  Halbmesser  des  Epizykels  =    5^15', 

20  EA  als  Gerade  vom  Mittelpunkt  der  Erde  bis 

zum  Apogeum  des  Exzenters  =  60^   O', 

ET  als  Gerade  vom  Mittelpunkt  der  Erde  bis 

zum  Perigeum  des  Exzenters  =39^22'. 

IV.  Nun  wurde,  der  Halbmesser  der  Erde  gleich  1'  ge- 
25  setzt,  die  Entfernung  des  Mondes  zur  Zeit  der  Beobachtung, 
d.  i.  die  Gerade  EA,  (S.  302,  2l)  mit  39'45'  nachgewiesen. 
Hei  416  In  diesem  Maße  von  E  A  wird 

EA  als  mittlere  Entfernung  in  den  Syzygien        =  59^^   O', 

Er  als  mittlere  Entfernung  in  den  Quadraturen  =  38''43', 

30  BA  als  Halbmesser  des  Epizykels  =    ö'^lO'. 

Hiermit  sind  wir  bei  dem  Endergebnis  unserer  Beweis- 
führung angelangt. 


Fünftes  Buch.     Vierzehntes  Kapitel.  305 

Nachdem  von  uns  auf  die  dargelegte  Weise  die  Entfer- 
nungen des  Mondes  nachgewiesen  worden  sind,  dürfte  es  der 
Reihenfolge  nach  die  nächste  Aufgabe  sein,  auch  die  Ent- 
fernung der  Sonne  roit  nachzuweisen,  da  auch  diese  Auf-  Ha  »89 
gäbe  auf  dem  Wege  der  geometrischen  Konstruktion  bequem  5 
zu  lösen  ist,  wenn  außer  den  Entfernungen  des  Mondes  in 
den  Syzygien  noch  die  Größen  der  Winkel  gegeben  sind, 
unter  welchen  die  Durchmesser  der  Sonne,  des  Mondes  und 
des  (Erd-)  Schattens  in  den  Syzygien  dem  Auge  erscheinen. 

Vierzehntes  Kapitel. 

Größenbetrag  der  scheinbaren  Durchmesser 

der  Sonne,  des  Mondes  und  des  Schattens 

in  den  Syzygien. 

Von  den  zur  Untersuchung  dieses  Gegenstandes  angewen-  10 
deten  Methoden  haben  wir  alle  anderen,  welche  mit  Hilfe 
von  Gefäßen  zum  Messen  von  Wassermengen  oder  nach  Maß- 
gabe der  Zeiten,  die  bei  den  Nachtgleichenaufgängen  ver- 
streichen, angeblich  zur  Messung  der  Lichtkörper   führen 
sollen,  absichtlich  außer  acht  gelassen,  weil  die  vorliegende  16 
Aufgabe  durch  derartige  Verfahren  nicht  mit  dem  erforder- 
lichen Erfolg  gelöst  werden  kann.    Wir  haben  vielmehr  das  Hei  4i7 
schon  von  Hipparch  erklärte  Instrument*^  die  auf  dem  vier 
Ellen  langen  Richtscheit  (verschiebbare)  Dioptra  konstruiert 
und  sind  bei  den  damit  angestellten  Beobachtungen  zu  folgen-  20 
den  Ergebnissen  gelangt. 

Der  Durchmesser  der  Sonne  erscheint  konstant  nahezu 
unter  dem  gleichgroßen  Winkel,  d.  h.  ein  beträchtlicher  Unter- 
schied infolge  ihrer  (verschiedenen)  Entfernungen  tritt  nicht 
ein.  Dagegen  erscheint  der  Durchmesser  des  Mondes  nur  25 
dann  ebenfalls  unter  demselben  Winkel  wie  der  Durchmesser 
der  Sonne,  wenn  der  Mond  zur  Zeit  des  Vollmonds  im  Apo- 

a)  Man  vergleiche  die  Gebrauchserklärung  in  der  Hypoty- 
posis  des  Proklus  S.  127  ff.  und  die  von  mir  dazu  gegebenen 
Erläuterungen,  welche  die  Größenverhältnisse  des  Instrumenta 
und  den  Unterschied  von  der  Dioptra  des  Pappus  betreffen. 

PtolemäuB,  übers,  v.  ManitiuB.   I.  20 


306  Fünftes  Buch.     Vierzehntes  Kapitel. 

geum  des  Epizykels  in  seiner  größten  Entfernung  von  der 
Erde  steht,  nicht  in  der  mittleren,  wie  die  früheren  Astro- 
nomen auf  Grund  ihrer  Hypothesen  annahmen.  Außerdem 
finden  wir  auch  die  Winkel  an  sich  um  ein  beträchtliches 
Ha  340  kleiner  als  die  überlieferten.  Indessen  haben  wir  dieses  Er- 
6  gebnis  nicht  durch  das  Meßverfahren  auf  dem  Richtscheit 
errechnet,  sondern  mit  Hilfe  gewisser  Mondfinsternisse  fest- 
gestellt. Nämlich  die  Frage:  wann  erscheinen  beide  Durch- 
messer unter  den   gleichgroßen  Winkeln?    konnte    bequem 

10  vermöge  der  Konstruktion  des  Richtscheits  beantwortet 
werden,  weil  hiermit  keinerlei  Meßarbeit  verbunden  war; 
allein  die  Beantwortung  der  Frage:  wie  groß  ist  der  Winkel? 
erschien  uns  recht  zweifelhaft,  weil  bei  den  Verschiebungen 
der  Deckplatte   die   Feststellung   (des  Verhältnisses)   ihrer 

15  Breite  zur  Länge  der  Strecke  auf  dem  Richtscheit  vom  Auge 

bis   zu   der  (beweglichen)  Platte   auf  mühsamer  Meßarbeit 

beraht*^,  wodurch   die  Genauigkeit  des  Ergebnisses  stark 

beeinträchtigt  werden  kann.     Da  aber  ein  für  allemal  der 

Hoi  418  Mond  in  seiner  größten  Entfernung  dem  Auge  unter  dem 

20  gleichgroßen  Winkel  wie  die  Sonne  erschien,  so  haben  wir 
mit  Hilfe  der  Mondfinsternisse,  welche  bei  dieser  Entfernung 
beobachtet  worden  sind,  die  Größe  des  Winkels,  unter  dem 
der  Mond  erschien,  durch  Rechnung  festgestellt,  womit  wir 
ohne  weiteres  gleichzeitig  den  Winkel  der  Sonne  nachgewiesen 

25  hatten.  Den  Gang  des  hierbei  eingeschlagenen  Verfahrens 
wollen  wir  wieder  an  zwei  von  den  zugrunde  gelegten  Finster- 
nissen verständlich  machen. 

Im  5*®^  Jahre  Nabopollassars,  welches  das  127*®  Jahr  seit 
Nabonassar  ist, begann  am  27/28.  ägyptischen  Athyr  (22.  April 

30  621  V.  Chr.)  gegen  Ende  der  11*«^  (Nacht-)  Stunde  in  Babylon 
der  Mond  sieb  zu  verfinstern;  das  Maximum  der  Verfinste- 
rung betrug  V4  des  Durchmessers  von  Süden.  Da  also  der 
Anfang  der  Finsternis  5  bürgerliche  Stunden  nach  Mitter- 
nacht stattfand,  die  Mitte  aber  ungefähr  6  solche  Stunden 


a)  Hultsch,Winkelmessungen  durch  die  Hipparchische  Dioptra. 
Abh.  zur  Gesch.  der  Math.  1899. 


Durchmesser  von  Sonne,  Mond  und  Schatten.        307 

nach  Mitternacht  eintrat*^,  welche  in  Babylon  damals  5%  Äqui- 
noktialstunden  ausmachten,  weil  der  genaue  Ort  der  Sonne  Ha  341 
r  27^3'  (T  25^^34'  +  l029')  war,  so  ist  klar,  daß  die  Mitte 
der  Finsternis,  d.  i.  der  Zeitpunkt,  wo  der  Eintritt  des  Durch- 
messers in  den  Schatten  das  (angegebene)  Maximum  erreichte,  5 
in  Babylon  öVe-Ä-quinoktialstunden  nach  Mitternacht  (5^50"^ 
früh),  in  Alexandria  wieder  nur  5  Stunden  nach  Mitternacht 
(5^  früh)  stattgefunden  hat. 

Nun  beträgt  die  Zeit  seit  der  Epoche  126  ägyptische  Jahre, 
86  Tage  und  17  Äquinoktialstunden  schlechthin,' aber  nurHei4i9 
16^/4  nach  der  Rechnung  mit  gleichförmigen  Sonnentagen.  11 
Folglich  war 

der  mittlere  Ort  des  Mondes  in  Länge  jl  25^32'; 

der  genaue  Ort  des  Mondes  in  Länge  j^  27''  5'; 

die  Entfernung  vom  Apogeum  des  Epizykels  340**   7';  15 

die  Entfernung   vom  nördlichen  Grenzpunkt 

auf  dem  schiefen  Kreise  80^40'. 

Hieraus  ist  folgendes  ersichtlich.  Wenn  das  Zentrum  des 
Mondes,  während  er  in  seiner  größten  Entfernung  steht,  auf 
dem  schiefen  Kreise  eine  Ent-  n.     ^  20 

fernung  von  9^20'  von  den 
Knoten^^  hat,  und  wenn  das 
Zentrum  des  Erdschattens  auf 
dem  größten  Kreise  (^4  Ü)  liegt, 

der  durch  das  Zentrum  des Mon-   ( /  j^  ) ^^^=^y    25 

des  senkrecht  zu  seinem  schie- 
fen Kreis  gezogen  wird,  was 

die  Lage  ist,  in  welcher  (bei  der  genannten  Entfernung  von 
den   Knoten)    das   Maximum    der   Verfinsterungen   eintritt, 

a)  Die  Finsternistabellen  geben  zu  3  Zoll  Verfinsterung  bei 
Erdnähe  die  halbe  Dauer  mit  32' 20",  bei  Erdferne  mit  28' 41", 
was  im  Mittel  30'  30"  gibt,  mithin  eine  Strecke,  welche  der  Mond 
in  weniger  als  einer  Stunde  bei  mittlerer  Bewegung  in  Länge 
zurücklegt;  bei  nahezu  kleinster  Bewegung,  um  die  es  sich  hier 
handelt,  erscheint  demnach  für  die  Strecke  von  etwa  29'  die 
Angabe  einer  bürgerlichen  Stunde  von  58 Yg™  als  angemessen. 

b)  In  dem  vorliegenden  Fall  handelt  es  sich  demnach  um 
die  nördliche  Seite  des  niedersteigenden  Knotens. 

20* 


308  Fünftes  Buch,    Vierzehntes  Kapitel. 

dann  fällt  der  vierte  Teil  des  Monddurchmessers  in  den 
Schatten.*^ 

Ferner  war  im  7*®^  Jahre  des  Kambjses,   welches   das 

225*®  Jahr    seit   Nabonassar   ist,   am    17/18.   ägyptischen 

5  Phamenoth  (16.  Juli 523  v.Chr.)  eine  (Äquinoktial-) Stunde 

vor  Mitternacht  in  Babylon  eine  Mondfinsternis,  welche  sich 

auf  die  Hälfte  des  Durchmessers  von  Norden  erstreckte.   Es 

hat  demnach  auch  diese  Finsternis  (d.  h.  ihre  Mitte)  in  Ale- 

Ha  342  xandria    1%  Äquinoktialstunde   vor  Mitternacht  (10^10"^ 

10  abends)  stattgefunden. 

Nun  beträgt  die  Zeit  seit  der  Epoche  224  ägyptische  Jahre, 
196  Tage  und   lOVe  Äquinoktialstunden  schlechthin,  9^6 
nach  genauer  Rechnung,   weil  der  genaue  Ort  der  Sonne 
Hei  420^  18^12'^)  war.    Folglich  war 

15  der  mittlere  Ort  des  Mondes  in  Länge  S'  20°22'; 

der  genaue  Ort  des  Mondes  in  Länge  ^  18^14'; 

die  Entfernung  vom  Apogeum  des  Epizykels  28<>  5'; 

die  Entfernung  vom  nördlichen  Grenzpunkt  des 

schiefen  Kreises  262*12'. 

20  Hieraus  ist  wieder  folgendes  ersichtlich.  Wenn  das  Zen- 
trum des  Mondes,  während  er  wieder  in  seiner  größten  Ent- 
fernung steht,  auf  dem  schiefen  Kreise  eine  Entfernung  von 
7*^48'  von  den  Knoten''^  hat,  und  wenn  das  Zentrum  des 
Erdschattens  die  bezeichnete  Lage  zu  ihm  einnimmt,  dann 
25  fällt  die  Hälfte  des  Monddurchmessers  in  den  Schatten. 
Nun  beträgt,  wenn  das  Mondzentrum  auf  dem  schiefen 
Kreise  eine  Entfernung  von  9^20'  von  den  Knoten  hat,  sein 
Abstand  von  der  Ekliptik  auf  dem  senkrecht  zu  dem  schiefen 
Kreis  (des  Mondes)  durch  dasselbe  gezogenen  größten  Kreise 


a)  Die  von  mir  beigegebene  Figur  soll  auf  den  erst  später 
(Buch  VI,  Kap.  5)  erörterten  Unterschied  zwischen  einem  Breiten- 
kreise (AC)  des  Mondkreises  und  einem  Breitenkreise  (JRD)  der 
Ekliptik  aufmerksam  machen. 

b)  Die  Nachprüfung  ergibt  O  19^52'  -  1"37'=  G  18»15'. 

c)  Es  handelt  sich  demnach  im  vorliegenden  Fall  (s.  Z.  19) 
um  die  südliche  Seite  des  aufsteigenden  Knotens. 


Durchmesser  von  Sonne,  Mond  und  Schatten.         309 

0^48' 30".*^    Hat  es  aber  auf  dem  schiefen  Kreise  eine  Ent- 
fernung von  7^48'  von  den  Knoten,  so  beträgt  sein  Abstand 
von  der  Ekliptik  auf  dem  senkrecht  zu  dem  schiefen  Kreis 
durch  dasselbe  gezogenen  größten  Kreise  0^40' 40".    Da  nun 
der  Unterschied  der  beiden  Finsternisse  {^/^dm — ^l,^dm)  den    5 
vierten  Teil  des  Monddurchmessers  und  der  Unterschied  der 
beiden  festgestellten  Abstände  des  Mondzentrums  von  der  Hei  421 
Ekliptik, d.i. vomSchattenzentrum,(0"48'30"—0°40' 40"=)  Ha  343 
0^7' 50"  beträgt,  so  leuchtet  ein,  daß  der  ganze  Durch- 
messer des  Mondes  (als  das  Vierfache    davon)   den  Bogen  10 
eines  größten  Kreises  im  Betrage  von  0^31' 20"  unterspannt. 

Ohne  weiteres  ist  femer  verständlich,  daß  auch  der  Halb- 
messer des  bei  derselben  Mondentfernung  eintretenden  (Durch- 
schnittskreises des)   Schattens  einen  Bogen  von  0^40' 40'' 

unterspannt.    Denn  als  (bei  ^  ^ ^B   15 

der  zweiten  Finsternis)  das 
Mondzentrum  (h)  so  viel 
Sechzigteile  Abstand  von  dem 
Schattenzentrum    {a)    hatte, 

berührte  es  den  Kreis  des      ^^  20 

Schattens,  weil  die  Verfinsterung  die  Hälfte  des  Mond- 
halbmessers betrug.^'  Folglich  ist  der  Halbmesser  {ah) 
des  Schattens  unbeträchtlich  (d.  i.  0^0' 4")  kleiner  als  das 
275 fache  (=0®40'44")  des  Mondhalbmessers,  der  0<^15'40" 
beträgt.  25 

Da  wir  noch  aus  einer  Mehrzahl  von  Beobachtungen  dieser 
Art  die  mitgeteilten  Größenbeträge  nahezu  übereinstimmend 
erhielten,  so  haben  wir  von  denselben  sowohl  bei  den  anderen 


a)  Eine  Tabelle  der  Schiefe  des  Mondkreises,  welche  die  Ab- 
stände von  der  Ekliptik  auf  den  durch  die  Pole  des  Mond- 
kreises gezogenen  größten  Kreisen  gemessen  gibt,  hat  Ptole- 
mäus  nicht  aufgestellt.  Über  das  Verhältnis  der  Entfernung 
vom  Knoten  zum  Ekliptikabstand,  welcher  weiterhin  mit  liy, :  1 
angesetzt  wird,  siehe  erl.  Anm.  45. 

b)  Die  von  mir  beigegebene  Figur  zeigt,  daß  in  der  be- 
treffenden Entfernung  vom  Knoten  die  schiefe  (geradlinige) 
Mondbahn  CB  Tangente  an  den  Schattenkreis  ist,  dessen 
Halbmesser  ah  mithin  normal  zur  Mondbahn  steht. 


310 


Fünftes  Buch.     Fünfzelintes  Kapitel. 


10 


16 
Hei  422 


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20 


25 
Ha  344 


30 


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theoretischen  Untersuchungen,  wel- 
che die  Finsternisse  betreffen,  Ge- 
brauch gemacht,  als  auch  jetzt  zum 
Nachweis  der  Entfernung  der  Sonne. 
Derselbe  wird  auf  dem  nämlichen 
Wege  geführt  werden,  den  schonHip- 
parch  eingeschlagen  hat.  Als  not- 
wendige Voraussetzung  gilt  der  Satz : 

Die  von  den  Ke- 
geln umschlosse- 
nen Kreise  der 
Sonne,  des  Mon- 
des und  der  Erde 
sind  unbeträcht- 
lich kleiner  als 
die  auf  ihren  Ku- 
geln beschriebe- 
nen größtenKrei- 
se.  Dasselbe  gilt  von  den  Durch- 
messern der  betreffenden  Kreise  (cd 
<afe,d.h.die  scheinbaren  Durch- 
messer sind  kleiner  als  die  wahren). 


Fünfzehntes  Kapitel. 
Die  Entfernung  der  Sonne  und  die 
aus  deren  Nachweis  sich  ergeben- 
den Konsequenzen. 

Unter  der  Voraussetzung,  daß  die 
besprochenen  Verhältnisse  gegeben 
sind,wozu  noch  die  Annahme  kommt, 
daß  die  größte  Entfernung  des  Mon- 
des in  den  Syzygien,  wenn  man  den 
Erdhalbmesser  gleich  1  ^'  setzt,  64^10' 
beträgt  —  denn  die  mittlere  Entfer- 
nung war  (S.  304,  28.30)  mit  59' 
und  der  Halbmesser  des  Epizykels 


Entfernung  der  Sonne.  311 

mit  5^10'  nachgewiesen  worden  — ,  wollen  wir  ntin  sehen, 
welcher  Betrag  sich  hieraus  für  die  Entfernung  der  Sonne 
ergibt. 

Es  seien  die  größten  in  derselben  Ebene  gelegenen  Kreise : 
der  Kreis  ABT  der  Sonnenkugel  um  das  Zentrum  A,  der    5 
Kreis  EZH  der  Mondkugel  in  der  größten  Entfernung  um 
das  Zentrum  0,  endlich  der  Kreis  KAM   der  Erdkugel  um 
das  Zentrum  N.    Von  den  durch  die  Mittelpunkte  gelegten 
Ebenen  sei  AEF  diejenige,  welche  die  Erde  und  die  Sonne 
umfaßt,  ANf  diejenige,  welche  die  Sonne  und  den  Mond  10 
umfaßt.    Die  gemeinsame  Achse  sei  A  0  N  E.   Die  durch  die 
Berührungspunkte  gezogenen  Geraden,  welche  natürlich  paral- 
lel und  für  die  sinnliche  Wahrnehmung  den  Durchmessern 
{gleich   werden,  seien   in   dem  Sonnenkreise  AAP,  in   dem 
Mondkreise  E0H,  in  dem  Erdkreise  KNM,  endlich  in  dem  15 
Kreise  des  Schattens,  in  welchen  der  Mond  bei  seiner  größten  Hei  433 
Entfernung  tritt,  0  TT  P,  so  daß  0  N  gleich  N  TT  sei  und  jede 
dieser  Geraden  64^^10'  betrage,  wenn  man  den  Erdhalbraesser 
NA  gleich  1^  setzt. 

1.  Finden  soll  man  also  das  Verhältnis  der  Sonnenent-  20 
fernung  NA  zu  dem  Erdhalbmesser  NA. 

Man  verlängere  die  Gerade  E  H  bis  Z.  Wir  haben  (S.  309,  ll)  Ha  345 
nachgewiesen,  daß  der  Monddurchmesser  in  der  angenomme- 
nen größten  Entfernung  in  den  Syzjgien  einen  Bogen  von 
0^31' 20"  unterspannt,  wie  der  mit  der  Mondentfernung  um  25 
den  Mittelpunkt  der  Erde  beschriebene  Kreis  gleich  360*^ 
ist.    Mithin  ist 

^ENH=      0*^31' 20"      wie  4E  =  360^  Hei  4S4 

Nun  ist  /.0NH  =  %^ENH, 

folglich  ^  0 N H  =      0<>31'20"      wie5i?  =  360^  30 

&0H=      0«31'20' 
,60N  =  179«28'4O" 


mithin    I  r^:,      .„":„, ::,!   ^^  ©H0N  =  36O»; 


also    1*0»=     «''ä^'"'   !wiedmNH  =  120>'. 


,s0N  =  12OP  nahezu 

Setzt  man  0N=    64''10',  (nach  Annahme)  35 

so  wird         0H=     0'"17'33"     wie  crciÄm  NM  =  1^ 


312  Fünftes  Buch.     Fünfzehntes  Kapitel. 

Nun  ist        HP  :  0H  =  2y,  :  1,  (s.  S.  309,24) 

folglich         n  P  =  O''  45'  38",  (d.  i.  1 7'  33"  x  2 '/g) 

mithin         0H +  nP  =  l^'S'll"  wie   NM  =  1^ 

Es  ist  aber  ^P  +  0I  =  2^   weil  =.2 NM;  denn 
5  [0I|jNM||nPu.   Nn  =  N0;^'' 

(mithin  0I  =  2''-nP=  1^14'22",) 

Hei  42.5  folglich  H  Z  =  01  -  0H  ==  0'56'49"  wic  N  M  =  1^ 

Ha  846  Nun  verhält  sich        NM  :  HI  =  Nr:rH  =  NA:A0. 

(l'^  :  0"^  56' 49"  =  NA  :  A0.) 

10  Setzt  man        N  A  =  1^^  (als  Sonnenentfemung) 

so  wird        A0  =0^56' 49", 
mithin         N0  =  NA  — A0  =  OR3'11". 

Setzt  man  aber        N  0  =  64^  10'  wie  N  M  =  1% 

so  wird        NA=  1210^  in  diesem  Maße. 
15       Hiermit  ist  ohne  wesentlichen  Fehler  (genau  mit  1  SOO^Vj^i) 
der  Betrag  der  Sonnenentfernung  gefunden.   ^ 

2.  Es  war  (oben  Z.  2)  bewiesen,  daß 

n  P  =  0"^^  45'  38"  wie  N  M  =  1^ 
Nun  ist        NM  :  nP  =  NZ  :  EH.    (Eukl.  VI.  l) 
20  (l'^  :  0^45' 38"  =  NE  :  EH.) 

Setzt  man         NE  =  1^',  so  wird    ETT  =  0^45'38", 
mithin        Nn  =  NE-En  =  0?14'22". 

Setzt  man  aber        Nn=   64^10',    so  wird    ETT  =  203'^50', 
mithin         NE-En  + Nn  =  268^ 

25       Wir  haben  also,  wenn  man  den  Erdhalbmesser  gleich  1"^ 

setzt,  folgende  Ergebnisse  erzielt: 

die  mittlere  Entfernung  des  Mondes  in  den  Syzygien  =      59"*; 

die  Entfernung  der  Sonne  =1210''; 

die  vom  Erdmittelpunkt  bis  zur  Spitze  des  Kegels 
30       reichende  Länge  des  Schattens  =    268^. 


Fünfte»  Buch.     Sechzehntes  Kapitel.  313 

Sechzehntes  Kapitel. 
Die  Größe  der  Sonne,  des  Mondes  und  der  Erde. 

Ohne  weiteres  wird  aus  dem  Verhältnis  der  Durchmesser  [^J^  4*6 
der  Sonne,  des  Mondes  und  der  Erde  auch  das  Verhältnis 
der  Volumina  leicht  ersichtlich. 

Nachgewiesen  ist,   daß,   wenn  man   den   Erdhalbmesser 
gleich  1^  setzt,  der  Halbmesser  des  Mondes  5 

0H  =  O'17'33"  und  N0  =  64^10'. 
Nun  verhält  sich       N0  :  0H  =  NA:Ar.    (Eukl. VI.  l) 
(64^10'  :  0^17'33"  =  NA  :  AT.) 
Setzt  man       NA  =  1210',      wie  nachgewiesen, 

so  wird      Ar=       ö'^SO'  als  Halbmesser  der  Sonne.  10 
Für  die  Durchmesser  werden  demnach  dieselben  Verhält- 
nisse (wie  für  die  Halbmesser)  gelten.    Setzen  wir  also 
den  Durchmesser  des  Mondes    =     1,  so  wird 
der  Durchmesser  der  Erde  =    SVs,*^ 

der  Durchmesser  der  Sonne        =  18^5-^^  15 

Es  ist  mithin  der  Durchmesser  der  Erde  3^^  mal  so  groß 
wie   der    des   Mondes,   der   Durchmesser    der   Sonne    aber 
18^/5  mal  so  groß  wie  der  des  Mondes,  und  öYgmal  so  groß  hoi  437 
wie  der  der  Erde. 

Auf  demselben  Wege  sind  wir,  da  der  Kubus*')  von  1  =  1,  20 
der  von  375  =  39V4,  und  der  von  1875  =  664472,  zu  dem 
Ergebnis  gelangt,  daß,  wenn  man  das  Volumen  des  Mondes 
gleich  1  setzt,  das  der  Erde  3974 mal  und  das  der  Sonne  Ha  348 
664472  mal   so   groß   ist.     Folglich   ist   das  Volumen   der 
Sonne  nahezu  170  mal  so  groß  wie  das  der  Erde.**)  25 

a)  Nach  dem  Verhältnis  Durchmesser  des  Mondes  zum  Durch- 
messer der  Erde,  d.  i.  0''35'6"  :  2' =  1  :  a:. 

b)  Nach  dem  Verhältnis  Durchmesser  des  Mondes  zum  Durch- 
messer der  Sonne,  d.  i.  0'^35'6"  :  11^=  1  :  x. 

c)  Kugeln  verhalten  sich  zueinander  wie  die  dritten  Poten- 
zen der  Durchmesser  nach  Eukl.  XII.  18. 

d)  Man  vergleiche  die  Erörterungen  des  Proklus  in  der  Hy- 
potyposiß  S.  135  ff. 


314 


Fünftes  Buch.     Siebzehntes  Kapitel. 


Hei  428 


Siebzehntes  Kapitel. 

Die  Einzelbeträge  der  Parallaxen  der  Sonne 

und  des  Mondes. 

Nacbdem  wir  uns  diese  Grundlagen  geschaffen  haben, 
dürfte  es  der  logischen  Reihenfolge  nach  am  Platze  sein, 
wieder  in  aller  Kürze  den  Nachweis  zu  liefern,  auf  welche 
Weise  man  aus  dem  Größenbetrag  der  Entfernungen  der 
5  Sonne  und  des  Mondes  auch  die  Einzelbeträge  der  Paral- 
laxen dieser  Körper  durch  Rechnung  gewinnen  kann.  Wir 
fassen  zuerst  nur  diejenigen  Parallaxen  ins  Auge,  welche 
auf  dem  durch  den  Zenit  und  diese  Körper  gezogenen  größ- 
ten (Höhen-)  Kreis  theoretisch  ermittelt  werden. 
10  Es  seien  in   der  Ebene  des 

bezeichneten  größten  Kreises 
A  B  wieder  der  größte  Kreis  der 
Erde,  TA  der  Kreis  in  der  Ent- 
fernung der  Sonne  oder  des 
Mondes,  endlich  EZH0  der 
Kreis,  zu  welchem  die  Erde  das 
Verhältnis  eines  Punktes  hat. 
Gemeinsames  Zentrum  aller 
drei  Kreise  sei  K,  der  durch  die 
Scheitelpunkte  gehende  Durch- 
messer sei  KATE.  Man  trage 
von  dem  Scheitelpunkte  f  aus  den  Bogen  TA  ab,  der  bei- 
spielshalber zu  30^  angenommen  sein  soll,  wie  der  Kreis  TA 
gleich  360®  ist,  und  ziehe  wieder  die  Verbindungslinien 
26  KAH,  AA0.  Schließlich  ziehe  man  von  A  aus  zu  KH  die 
Parallele  AZ  und  fälle  auf  KH  das  Lot  AA. 

Da  infolge   nicht  konstant  gleichbleibender  Entfernung 

der  beiden  Lichtkörper  der  an  der  Sonne  deshalb  eventuell 

eintretende  Unterschied  der  Parallaxen  ganz  klein  und  un- 

Ha  349  merklich   sein   wird,   weil    die    Exzentrizität  ihres   Kreises 

31  gering  und  ihre  Entfernung  groß  ist,  während  dieser  Unter- 


Einzelbeträge  der  Parallaxen.  315 

schied  an  dem  Monde  sogar  recht  wahrnehmbar  sein  dürfte, 
sowohl  wegen  seiner  Bewegung  auf  dem  Epizjkel,  als  auch 
wegen  der  Bewegung  des  Epizykels  selbst  auf  dem  Exzenter, 
indem  beide  Bewegungen  keinen  geringen  Unterschied  hin- 
sichtlich der  Entfernungen  verursachen,  so  werden  wir  die    5 
Parallaxen   der   Sonne  nur   bei  dem   einen  (Entfernungs-)  Hei  429 
Verhältnis  nachweisen,  ich  meine  bei  dem  Verhältnis  von 
1210'^ :  l'^,  die  Parallaxen  des  Mondes  dagegen  bei  vier  Ver- 
hältnissen, welche  sich   zur  Durchführung   des   nächstdem 
einzuschlagenden   Verfahrens    als    zutreffend    gewählt    er-  10 
weisen    werden.     Wir   haben   folgende    vier   Entfernungen 
herangezogen: 

1.  Die  beiden  Entfernungen,  welche  eintreten,  wenn  der 
Epizykel  in  dem  Apogeum  des  Exzenters  steht: 

a)  die  Entfernung  bis  zum  Apogeum   des  Epi-  15 
zykels  im  Betrage,  wie  oben  (S.  304,  28. 30)  nachgewiesen, 
von  64nO'; 

b)  die  Entfernung  bis  zum  Perigeum  des  Epi- 
zykels im  Betrage  von  (64U0'—  10^20'=)  53^50'. 

2.  Die  beiden  Entfernungen,  welche  eintreten,  wenn  der  20 
Epizykel  im  Perigeum  des  Exzenters  steht: 

c)  die  Entfernung  bis  zum  Apogeum  des  Epi- 
zykels im  Betrage,  wie  oben  (S.  304,  29)  nachgewiesen,  von 
(38^43' -f  5nO' =)  43^53'. 

d)  die  Entfernung  bis  zum  Perigeum  des  Epi-  25 
zykels  im  Betrage  von  (43^53'—  10^20'=)  33^33'. 

Da  der  Bogen  TA  zu  30^^  angenommen  worden  ist,  so 
muß  auch  sein 

^  rKA=    30«  wie  4i?  =  360^  Ha  350 

=    60<^  wie  5E  =  360°;  30 


folglich    {'KAlm»!    ™©AAK  =  360«; 


&KA  =  120*'J  Hei  430 

also    NAA=   6OP      )       .^    c?mAK  =  120P. 
l,sKA  =  103^55') 

Setzt  man  A  K  -  l'',  so  wird  A  A  =  O'^SO'  und  KA  =  0'"52'.       35 


316  Fünftes  Buch.     Siebzehntes  Kapitel. 

Nun  ist  KA  =  1210''  als  Entfernung  der  Sonne, 
=      64^*10'  an  der  Grenze  a\ 
=      53^50'    „      „         „        J)\   der  Entfernung 
=      43^53'    „      „         „        c\      des  Mondes; 


V         » 


6  =      33^33'     „      „  ,,        df 

folglich  KA  —  KA  =  AA,  aber  auch 

=  AA,  weil  AA  von  A  A  unbetr.  verschieden. 

Mithin  ist  (unter  Abzug  von  KA  =  0^52') 
1.  AA  =  1209'^  8'  als  Entfernung  der  Sonne, 
10  2.  AA=      e3''l8'  an  der  Grenze  a  j 

=      52^58'    „      „         „        b  [  als  Entfernung 
=     43^  1'    „      „         „         c\      des  Mondes. 
=      32^41'    „      „         „        d) 

Setzt  man   nun  AA  =  120^,   so  wird*\  immer  dieselbe 
15  Reihenfolge  vorausgesetzt,  um  Wiederholungen  zu  vermeiden, 

1  2a  2b 

sAA=0P2'59"  0P56'52"  1^   7'58" 
Ha35i,  also  &AA=0<*2'50"  0"54'18"  1«   4'54"  wie©AAA=360^ 

Hei43il/,AAB=^ZA0  =  O°2'5O"  0°54'18"  1«   4'54"  wie^jB=360^ 
20  =0°1'25"  0^27'  9"  0''32'27"  wie4B=S60\ 

schließlich  &H0=O«1'25"  0*^27'  9"  0°32'27"  wieQEZHQ  =  360\ 

2c  2d 

sAA  =  1^23'41"  IP50'  9", 
also  6AA  =  1^20'  0"  1°46'  0"  wie©AAA  =  360^ 
26  tAAB=/.ZA0  =  1^2O'  0"  lH5'  0"  wie2B  =  360\ 
=  0»40'  0"  0°52'30"  wie4i?  =  360^ 
schließlich  &H0=OUO'  0"  0«52'30"  wieOEZH0  =  36O", 

als  der  Bogen  der  Paiallaxe  (den  man  dem  Bogen  ZH0 

gleichsetzen  kann),  weil  erstens  Punkt  A  unwesentlich  ver- 

30  schieden  von  dem  Mittelpunkt  K  (des  Kreises  EZH0),  und 

zweitens    der  Bogen  ZH0  unbeträchtlich   größer   als    der 


a)  Nach  dem  Verhältnis  AA  :  AA  =  O'^SO'  :  1209'' 8'  =  0^2' 59" 
120^  für  1,  O'^SO':  63''18'  =  0''56'52":  I20P  für  2a,  usw. 


Einzelbeträge  der  Parallaxen.  317 

Bogen  H0  ist,  da  die  Erde  als  Ganzes  zu  dem  Kreis  EZHG 
das  Verhältnis  eines  Punktes  hat. 

Hiermit  sind  wir  bei  dem  Endergebnis  unserer  Beweis- 
führung angelangt. 

Auf  dieselbe  Weise  haben  wir  auch  bei  den  übrigen  Zenit-  5 
abständen  die  für  jede  Grenze  eintretenden  Parallaxen  von 
6  zu  6  Grad  des  Quadranten  berechnet  und  zu  der  zahlen- 
mäßigen Feststellung  der  Parallaxen  eine  Tabelle  von  wieder 
45  Zeilen  zu  9  Spalten  entworfen. 

In  die  erste  Spalte  haben  wir  die  90  Grade  des  Quadranten  10 
gesetzt,  wobei  wir  selbstverständlich *)  die   sukzessive  Zu- Hei  432 
nähme   in  Abschnitten  von    2   zu   2  Grad  vor  sich  gehen 
lassen  mußten.    In  der  zweiten  Spalte  stehen  die  auf  jeden 
Abschnitt    entfallenden    Sechzigteile    der    Sonnenparal- 
laxen, in  der  dritten  die  Parallaxen  des  Mondes  für  die  16 
erste  Grenze  (a),  in  der  vierten  die  Überschüsse  der  Paral- 
laxen der  zweiten  Grenze  (&)  über  die  Parallaxen  der  ersten, 
in  der  fünften  die  Parallaxen  für  die  dritte  Grenze  (c),  in  Ha  352 
der  sechsten  die  Überschüsse  der  Parallaxen  der  vierten 
Grenze  (^d)  über  die  Parallaxen  der  dritten.    So  stehen  z.  B.  20 
in  der  Zeile  für  den  Ansatz  bei  30^  die  0^l'25'    der  Sonne, 
dann  weiter  die  0°27'9"  der  ersten  Grenze  des  Mondes  und 
weiterhin  0*^5' 18",  was  der  Überschuß  der  zweiten  Grenze 
über  die  erste  ist,  dann  wieder  die  0^40'  der  dritten  Grenze 
und  weiterhin  0^12'30",  was  der  Überschuß  der  vierten  Grenze  25 
über  die  dritte  ist. 

Um  aber  auch  die  Parallaxen  für  die  zwischen  den  Apo- 
geen  und  Perigeen  (sowohl  des  Epizjkels  wie  des  Exzenters) 
eintretenden  Entfernungen  den  einzelnen  (Grad-)  Abschnitten 
(des  Quadranten)  entsprechend^^  aus  den  für  die  vier  an-  30 
genommenen  Grenzen  gegebenen  Parallaxen  durch  ein  be- 
quemes Verfahren  vermittels  Ansetzung  der  Sechzigstel  ab- 
leiten zu  können,  haben  wir  die  übrigen  drei  Spalten  zum 


a)  Um  eine  Tabelle  von  45  Zeilen  zu  erzielen. 

b)  D.  h.  den  in  der  ersten  Spalte  stehenden  Argumentzahlen 
entsprechend. 


318 


Fünftes  Buch.     Siebzehntes  Kapitel. 


Ansatz  der  (zur  Ausführung  der  Berechnung)  erforderlichen 
Hei  433 Differenzen^^)  hinzugefügt.  Die  Berechnung  auch  dieser 
Differenzen  haben  wir  auf  folgende  Weise  an- 
gestellt. 

I.  Es  sei  AB  TA  der  Epizykel  des  Mondes 
um  den  Mittelpunkt  E ;  Mittelpunkt  der  Eklip- 
tik und  der  Erde  sei  Punkt  Z.  Man  ziehe  die 
Verbindungslinie  AEAZ  und  die  durch  den 
Kreis  gehende  Gerade  ZFB,  dann  weiter  die 
Verbindungslinien  BE,  FE^^  und  fälle  auf  AA 
von  B  das  Lot  B  H,  von  f  das  Lot  FG. 

A.  1.  Der  Mond  sei  zunächst  den  Bogen  AB, 
der  beispielshalber  60^  betragen  soll,  von  dem 
genauen  Apogeum  A  entfernt,  welches  theo- 
retisch auch  für  den  Mittelpunkt  Z  das  genaue 
ist.^)    Es  ist  demnach 


10 


15 


Ha  353  V 
Hei  434 J 
20 


folglich   j 


/.BEH=    60«  wie  4E  =  360^ 
=  120<^  wie  5E  =  360^ 


6BH  =  120<' 
,6EH=    60"^ 


also 


I    wie  ©BHE  =  360^ 

'1 


wie  dm  EB  =  120^. 


sBH  =  103^55' 
,sEH=    60^ 

Nun  gilt,  wenn  der  Mittelpunkt  E  des  Epizykels  im  Apo- 
geum des  Exzenters  steht,  die  Proportion 

25  ZE  :  EB=  60^  :  5^15'. 

Setzt  man    EB=   5^15'  (als  ephm), 

so  wird     BH=    4^33'  und  EH  =  2^38'; 
mithin    ZH  =  ZE-f  EH  =62^38'. 
Nun  ist  ZHHBH*  =  ZB*, 


a)  Da  ich  für  jeden  Fall  die  Figur  getrennt  gebe,  so  bezieht 
sich  die  Angabe  der  Hilfslinien  FE  und  TG  auf  die  Figur  für 
den  zweiten  Fall. 

b)  Weil  der  Epizykel  im  Apogeum  des  Exzenters  steht,  wo 
ebenso  wie  im  Perigeum  die  Neigung  des  Epizykels  gleich  Null 
ist.    Vgl.  S.  270,  2. 


Einzelbeträg-e  der  Parallaxen. 


319 


wie  ZA  =  65^15'  als  Grenze  a, 

folglich     Z  B  =  62^  48'  j  wie  Z  A  =  54^  45'  als  Grenze  b, 

[wie  AA  =  10^30'  als  Differenz, 

mithin    ZA -ZB  =  2^27'. 

Das  ist  also  die  in  Punkt  B  gegen  die  erste  Grenze  ein- 
tretende Differenz  in  dem  Maße,  in  welchem  die  ganze  Diffe- 
renz (AA)  10^30'  beträgt.    Wird  nun  die  ganze  Differenz    5 
gleich  60'  gesetzt,  so  beträgt  in  diesem  Verhältnis  die  im  vor- 
liegenden Fall  (mit  2^27')  eintretende  Differenz  (ZA  — ZB) 
14'0".    Diesen  Betrag  werden  wir  in  der  siebenten  Spalte 
in  die  Zeile  setzen,  welche  die  Hälfte  der  Zahl  60  enthält, 
d.  i.  zu  30,  weil  die  in  der  ersten  Spalte  der  Tabelle  an-  Hei  435 
gesetzten  90  Grade  in  ihrer  Gesamtheit  (auf  den  Epizykel  H 
bezogen)  nur  die  Hälfte  der  180  Grade  von  A  bis  A  um- 
fassen.*) 

2.  Auf  demselben  Wege  wird,  wenn  wir  den 
Bogen  TA  ebenfalls  zu  60^  annehmen,  sich 
beweisen  lassen,  daß 

r0=   4P  33'  (wie  exhm  ZE  =  QO"^), 
E0=    2^38'    wie    ephmEr=    5^15', 
mithin     Z0  =  ZE  -  E0  =  57^^22'. 

(Nun  ist    Z02-f-r02  =  ZP,) 
folglich  AZr  =  57^33'. 

Ziehen  wir  diesen  Betrag  wieder  von  den 
65^15'  der  ersten  Grenze  ab,  so  erhalten  wir 
als  Differenz  7^42',  was  in  Sechzigsteln  der 
ganzen  Differenz  (10^30')   ausgedrückt   44' O"  gibt.    Auch  25 
diesen  Betrag  werden  wir  in  dieselbe  (siebente)  Spalte  ein- 
tragen, und  zwar  zu  der  Argumentzahl  60,  weil  der  Bogen 
Ar  120^  beträgt. 

B.  Unter  Annahme  derselben  Bogen  denke  man  sich  ferner 
den  Mittelpunkt  E  in  dem  Perigeum  des  Exzenters,  für  30 

a)  D.  h.  die  90  Grade  der  ersten  Spalte  bedeuten  auf  einen 
Halbkreis  des  Epizykels  oder  des  Exzenters  bezogen  Doppel- 
grade. 


320 


Fünftes  Buch.     Siebzehntes  Kapitel. 


welche  Stellung  die  dritte  und  vierte  Grenze  in  Betracht 
kommt.  Da  in  dieser  Stellung  das  Verhältnis  Z  E  :  E  B  = 
60^:  8^  (s.  S.  282,15)  gilt,  so  wird  man,  wenn  jeder  der 
beiden  Bogen  AB  und  TA  zu  60°  angenommen  wird,  zu 
5  dem  Ergebnis  gelangen,  daß  (nach  Analogie  von  S.  318, 25) 


Hei  486 


10 


Ha  355 


15 


20 


25 


mithin 


BH  und  r0  =  6''66'  wie  ZE  =  60^ 
EH  und  £0  =  4:''   0'  wie    EB=    S'"; 
ZH  =  ZE  +  EH  =  64^ 
Z0  =  ZE-E0  =  56^ 


(Nun  ist    ZH2-f  BH2  =  ZB2  und  Z02-}-r02  =  ZP,) 

.TToQf  \  wie  ZA  =  68^  als  Grenze  »., 
'^26'  \(^^^  ZA  =  52^  als  Grenze  d,) 


folglich  ÄZB  =  64''23'  1  ^^^  ZA  =  68^  als  Grenze  c, 
wie  AA  =  16'^  als  Differenz.*^ 


/»Zr  =  56' 


1.  Wenn  wir  also  64^23'  von  68'^  ab- 
ziehen, so  werden  wir  als  Differenz  3^37' 
erhalten,  was  in  Sechzigsteln  der  ganzen  Diffe- 
renz 16^  ausgedrückt  13' 33"  ergibt.  Diesen 
Betrag  werden  wir  wieder  zur  Argumentzahl 
30  setzen,  und  zwar  in  der  achten  Spalte. 

2.  Wenn  wir  ferner  56^^26'  von  68^  ab- 
ziehen, so  werden  wir  als  Differenz  1 1^*34' 
erhalten,  was  gleichfalls  in  Sechzigsteln  der 
ganzen  Differenz  Iß^  ausgedrückt  43' 24" 
ergibt.  Diesen  Betrag  werden  wir  wieder 
zu  der  Argumentzahl  60  setzen ^\  und  zwar 
in  der  nämlichen  achten  Spalte. 

Das  ist  der  Weg,  auf  welchem  wir  die  Differenzen  in 
Ansatz  bringen  werden,  die  sich  wegen  des  Fortschritts  des 
Mondes  auf  dem  Epizykel  ergeben.  Diejenigen  Differenzen 
dagegen,  welche  eintreten  infolge  des  Laufs  des  Epizykels 


a)  Der  scheinbare  Widerspruch,  daß  im  Perigeum  des  Ex- 
zenters die  Grenzen  größer  seien  als  im  Apogeum,  wird  dadurch 
aufgehoben,  daß  60^*  <  60^.  Zur  weiteren  Erklärung  s.  erl. 
Anm.  38  B. 

b)  Weil  der  Bogen  A  T  wieder  wie  oben  (S.  319, 28)  120"  beträgt. 


Einzelbeträge  der  Parallaxen. 


321 


selbst  auf  dem  Exzenter,  werden  wir  durch  ein  metho- 
disches Verfahren  folgendermaßen  ermitteln. 

II.  Es  sei  A  B  TA  der  Exzenter  des  Mondes  um  das  Zen-  Hei  437 
trum  E  und  den  Durchmesser  A  E  f ;  auf  letzterem  denke  man 
sich  als  den  Mittelpunkt  der  Eklip- 
tik den  Punkt  Z.  Man  ziehe  durch 
den  Kreis  die  Gerade  BZA  und 
nehme  jeden  der  beiden  Winkel  AZB 
und  rZA  wieder  zu  60°  an.  Das 
ist  der  Fall,  wenn  bei  dem  Stande 
des  Epizykelmittelpunktes  in  B  die 
Elongation  (von  der  mittleren  Son- 
ne) 30°  beträgt,  während  sie  bei 
dem  Stande  in  A  120°  (d.  i.  die 

Hälfte  von  240°)  betragen  muß.    Man  ziehe  die  Verbindungs-  15 
linien  BE,  EA,  und  fälle  von  E  auf  BZA  das  Lot  EH. 
Dann  ist 


10 


also 

Setzt  man 
so  wird 
Nun  ist 
folglich 


I   5EH  = 
\,sHZ  = 


i  AZB  =  120°  wie  <2E  =  360«; 
folglich    {^^HZ  =  '60o}    ™  eEHZ  =  3600 

lö^'^^'i   wie  ;.EZ  =  120P. 
6OP       j 

vUEZ=    10^19'  wie  eicÄmEB  =  49^41',  (S.  269,  3. 4) 

E  H  =      8^56'  und   H  Z  =  5^  10'  in  diesem  Maße. 

EB2-EH2  =  BH2, 

BH  =  AH  =48^53',  (Eukl.  III.  3) 

wie  ZA  =  60P  für  die 

ZB  =  BH+  HZ  =  54P   3' 
ZA  =  AH -HZ  =  43^43' 


Ha  356 
20 


Hei  438 


25 


mithin 


Grenzen  a  u.  fc, 
wie  Zr  =  39^22'  für 
die  Grenzen  c  u.  d, 
wie  ZA-Zr=20P38'. 
Nun  gibt  60P  —  54^3'  als  Differenz  5^57',  was  in  Sech- 
zigsteln  der  ganzen  Differenz  20^38'  ausgedrückt  17' 18"  30 
ergibt.  Anderseits  gibt  60?—  43^43'  als  Differenz  16?  17', 
was  gleichfalls  in  Sechzigsteln  von  20? 38'  ausgedrückt 
47' 21"  ergibt.    Den  ersten  Betrag  von  17' 18''  werden  wir 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius.  I.  21 


322  Fünftes  Buch.     Achtzehntes  Kapitel. 

selbstverständlich  in  die  neunte  Spalte  zur  Argumentzahl  30, 
der  Zahl  der  Elongation,  setzen,  und  den  zweiten  Betrag 
von  4  7' 21"  zur  Elongationszahl  120,  d.  h.  wieder  (wie 
S.  319,  27)  zu  der  Argumentzahl  60;  denn  weil  das  Peri- 
6  geum  (des  Exzenters)  bei  90°  Hegt,  so  ist  die  Elongation 
von  60°  (d.  i.  30°  vor  dem  Perigeum)  für  die  Entfernung 
(vom  Ekliptikmittelpunkt)  gleichwertig  mit  der  (30°  über 
das  Perigeum  hinausgehenden)  Elongation  von  120°. 

Hei  439  Auf  dieselbe  Weise  haben  wir  auch  bei  den  übrigen 
10  Bogen  die  Beträge  der  Differenzen  in  Sechzigsteln  nach  den 
besprochenen  drei  Arten  {lAB  und  IT)  von  Überschüssen 
berechnet,  und  zwar  in  (15)  Abschnitten  von  12  zu  12  Gra- 
den, welche  für  die  in  der  Tabelle  stehenden  Argument- 
zahlen zu  (ebensoviel)  Abschnitten  von  6  zu  6  Graden  werden, 

Ha  357  weil  die  (in  Betracht  gezogenen)  180  Grade  von  den  Apogeen  bis 
16  zu  den  Perigeen  (des  Epizykels  und  des  Exzenters)  in  den  9  0  Gra- 
den der  Tabelle  voll  zum  Ausdruck  kommen. ^^^  Die  auf  dem 
Wege  geometrischer  Konstruktion  gewonnenen  Sechzigstel 
haben  wir  dann  za  jeder  der  erklärten  Argumentzahlen  ge- 
20  hörigen  Ortes  hinzugesetzt.  Den  Ansatz  der  Zwischen- 
abschnitte (von  je  2°)  haben  wir  jedoch  unter  Annahme 
der  gleichmäßigen  Zunahme  der  Differenz  innerhalb  der  je 
6°  betragenden  Abschnitte  (der  Tabelle)  gemacht,  weil  in 
diesen  Zwischenabschnitten  (von  je  2°)  bei  den  in  so  kleinen 
26  Absätzen  fortschreitenden  (Entfernungs-) Differenzen  kein 
wesentlicher  Unterschied  gegen  die  auf  dem  Wege  geometri- 
scher Konstruktion  ge  wonnenenWerte  zum  Ausdruck  kommen 
kann,  und  zwar  weder  bei  den  Sechzigsteln  noch  bei  den 
Parallaxen  selbst. 


Achtzehntes  Kapitel. 
Die  Parallaxentafel 


Ha  358 
Hei  442, 


[gestaltet  sich  folgendermaßen  (S.  323). 


Parallaxentafel. 


323 


l 

2 

8 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

T 

Sonnen- 
paral- 
Jaxeu 

Mondparallaxen          | 

Sechzigstel     || 

•5 

1 

1.  Grenze 

Über- 
schuß der 

3,  Grenze 

Über- 
schuß der 

den  Epizjkel  betr.  | 

den 
Eizenter 

für 

für 

2  Grenze 

4.  Grenze 

Sjzjgie 

Quadratur 

betr. 

20 

0» 

0' 

7'1 

Oo 

1' 

54" 

0-^ 

0' 

23'i 

0» 

3' 

0" 

0» 

0' 

50" 

0 

14' 

0' 

11" 

0' 

15" 

4 

0 

0 

13 

0 

3 

48 

0 

0 

45 

0 

6 

0 

0 

1 

40 

0 

28 

0 

22 

0 

30 

6 

0 

0 

19 

0 
0 

5 

7 

41 
34 

0 
0 

1 
1 

7 
29 

0 
0 

9 
11 

0 
40 

0 
0 

2 
3 

30 
20 

0 

1 

42 
22 

0 
1 

33 

7 

0 

1 

45 
33 

8 

0 

0 

25 

10 

0 

0 

31 

0 

9 

27 

0 

1 

51 

0 

14 

20 

0 

4 

10 

2 

2 

1 

41 

2 

21 

12 

0 

0 

37 

0 

11 

19 

0 

2 

12 

0 

17 

0 

0 

5 

0 

2 

42 

2 

15 

3 

9 

14 

0 

0 

42 

0 

13 

10 

0 

2 

33 

0 

19 

40 

0 

5 

50 

3 

35 

3 

13 

4 

22 

16 

0 

0 

48 

0 

15 

0 

0 

2 

54 

0 

22 

20 

0 

6 

40 

4 

28 

4 

11 

5 

35 

18 

0 

0 

53 

0 

16 

49 

0 

3 

15 

0 

25 

0 

0 

7 

30 

5 

21 

5 

9 

6 

48 

20 

0 

0 

58 

0 

18 

36 

0 

3 

36 

0 

27 

40 

0 

8 

20 

6 

39 

6 

25 

8 

25 

22 

0 

1 

4 

0 

20 

22 

0 

3 

57 

0 

30 

20 

0 

9 

10 

7 

57 

7 

41 

10 

2 

24 

0 

1 

9 

0 

22 

6 

0 

4 

18 

0 

33 

0 

0 

10 

0 

9 

15 

8 

57 

11 

39 

26 

0 

1 

14 

0 

23 

49 

0 

4 

39 

0 

35 

20 

0 

10 

50 

10 

50 

10 

29 

13 

32 

28 

0 

1 

20 

0 

25 

30 

0 

4 

59 

0 

37 

40 

0 

11 

40 

12 

25 

12 

1 

15 

25 

30 

0 

1 

25 

0 

27 

9 

0 

5 

18 

0 

40 

0 

0 

12 

30 

14 

0 

13 

33 

17 

18 

32 

0 

1 

80 

0 

28 

46 

0 

5 

37 

0 

42 

20 

0 

13 

20 

15 

52 

15 

22 

19 

23 

34 

0 

1 

35 

0 

30 

21 

0 

5 

55 

0 

44 

40 

0 

14 

10 

17 

44 

17 

11 

21 

28 

36 

0 

1 

40 

0 

31 

54 

0 

6 

13 

0 

47 

0 

0 

15 

0 

19 

36 

19 

0 

23 

33 

38 

0 

1 

44 

0 

33 

24 

0 

6 

30 

0 

49 

0 

0 

15 

40 

21 

36 

20 

59 

25 

40 

40 

0 

1 

49 

0 

34 

51 

0 

6 

47 

0 

51 

0 

0 

16 

20 

l23 

36 

22 

58 

27 

47 

42 

0 

1 

54 

0 

36 

14 

0 

7 

4 

0 

58 

0 

0 

17 

0 

25 
'27 

36 

24 

57 

29 

54 

44 

0 

1 

58 

0 

37 

37 

0 

7 

20 

0 

55 

0 

0 

17 

40 

40 

27 

1 

32 

0 

46 

0 

2 

3 

0 

38 

57 

0 

7 

35 

0 

57 

0 

0 

18 

20 

29 

44 

29 

5 

34 

6 

48 

0 

2 

8 

0 

40 

14 

0 

7 

49 

0 

59 

0 

0 

19 

0 

^ 

48 

31 

9 

36 

12 

50 

0 

2 

12 

0 

41 

28 

0 

8 

3 

0 

40 

0 

19 

40 

52 

33 

14 

88 

9 

52 

0 

2 

16 

0 

42 

39 

0 

8 

16 

2 

20 

0 

20 

20 

35 
138 

56 

35 

19 

40 

6 

54 

0 

2 

20 

0 

43 

45 

0 

8 

29 

4 

0 

0 

21 

0 

0 

37 

24 

42 

3 

56 

0 

2 

23 

0 

44 

48 

0 

8 

42 

5 

20 

0 

21 

20 

|40 

0 

39 

24 

43 

49 

|58 

0 

2 

26 

0 

45 

48 

0 

8 

53 

6 

40 

0 

21 

40 

42 

0 

41 

24 

45 

35 

60 

0 

2 

29 

0 

46 

46 

0 

9 

3 

8 

0 

0 

22 

0 

0 

43 

24 

47 

21 

62 

0 

2 

32 

0 

47 

40 

0 

9 

13 

9 

20 

0 

22 

20 

45 

50 

45 

13 

48 

49 

64 

0 

2 

34 

0 

48 

30 

0 

9 

22 

10 

40 

0 

22 

40 

|47 

k9 

40 

47 

2 

50 

17 

66 

0 

2 

36 

0 

49 

15 

0 

9 

31 

12 

0 

0 

23 

0 

30 

48 

51 

51 

45 

68 

0 

2 

38 

0 

49 

57 

0 

9 

39 

13 

0 

0 

23 

10 

|50 

56 

50 

24 

52 

57 

70 

0 

2 

40 

0 

50 

36 

0 

9 

46 

14 

0 

0 

23 

20 

52 

22 

51 

57 

54 

9 

72 

0 

2 

42 

0 

51 

11 

0 

9 

53 

15 

0 

0 

23 

30 

53 

48 

53 

30 

55 

41 

74 

0 

2 

44 

0 

51 

44 

0 

9 

59 

15 

40 

0 

23 

40 

^ 

57 

54 

41 

56 

12 

76 

0 

2 

46 

0 

52 

12 

0 

10 

4 

16 

20 

0 

23 

50 

56 

6 

55 

52 

57 

8 

78 

0 

2 

47 

0 

52 

34 

0 

10 

8 

17 

0 

0 

24 

0 

57 

15 

57 

3 

57 

54 

80 

0 

2 

48 

0 

52 

53 

0 

10 

11 

17 

20 

0 

24 

10 

57 

57 

57 

47 

58 

26 

82 

0 

2 

49 

0 

53 

9 

0 

10 

14 

17 

40 

0 

24 

20 

58 

39 

58 

31 

58 

58 

84 

0 

2 

50 

0 

53 

21 

0 

10 

16 

18 

0 

0 

24 

30 

59 

21 

59 

15 

59 

30 

86 

0 

2 

50 

0 

53 

29 

0 

10 

16 

18 

20 

0 

24 

40 

59 

34 

59 

30 

59 

40 

88 

0 

2 

51 

0 

53 

33 

0 

10 

17 

18 

40 

0 

24 

50 

59 

47 

59 

45 

59 

50 

90 

0|2 

51 

0 

53 

34 

0 

10 

17 

19 

0 

0 

25 

0 

|60_ 

0 

60 

0 

60 

0 

21' 


324  Fünftes  Buch.    Neunzehntes  Kapitel. 


Neunzehntes  Kapitel. 
Berechnung  der  Parallaxen  nach  der  Tafel. 

HoiS}  Wenn  wir  bestimmen  wollen,  wie  groß  in  einer  beliebigen 
Position  die  Parallaxe  des  Mondes  zunächst  auf  dem  durch 
ihn  und  den  Scheitelpunkt  gezogenen  größten  (Höhen-) 
Kreis  ist,  so  werden  wir  feststellen,  wieviel  Äquinoktial- 
5  stunden  der  Mond  je  nach  der  zugrunde  gelegten  geogra- 
phischen Breite  von  dem  Meridian  entfernt  steht.  Mit 
der  gefundenen  Stundenzahl  gehen  wir  dann  in  die  Winkel- 
tabelle (Buch  II,  Kap.  13)  der  betreffenden  Breite  und  des 
in  Betracht  kommenden  Zeichens  ein  und  werden  in  den  bei 

10  der  (festgestellten)  Stunde  in  der  zweiten  Spalte  stehenden 
Beträgen  entweder  die  ganzen  oder  die  auf  den  Teil  der 
Stunde  entfallenden  Grade  erhalten,  welche  der  Mond  auf 
dem  durch  sein  Zentrum  und  den  Scheitelpunkt  gehenden 
größten  (Höhen-)  Kreis  Zenit  ab  stand  hat.^^^ 

15  Mit  diesen  Graden  gehen  wir  in  die  Parallaxentafel  ein, 
d.  h.  wir  sehen  nach,  in  welcher  Zeile  der  ersten  Spalte  der 
betreffende  Gradbetrag  steht,  und  notieren  uns  getrennt  für 
sich  die  bei  der  Argumentzahl  in  den  vier  Spalten,  welche 
auf  die  Spalte  mit  den  Sonnenparallaxen  folgen,  d.  h.  die 

20  in  der  dritten,  vierten,  fünften  und  sechsten  Spalte  stehen- 
den Beträge.  Hierauf  nehmen  wir  die  für  jene  Stunde  (nach 
den  Mondtafeln)  genau  berechnete  Zahl  der  auf  das  genaue 
Apogeum  reduzierten  Anomalie,  und  zwar  entweder  sie  selbst 
Hei  445  oder,  wcuu  sie  über  180^  hinausgeht,  ihre  Ergänzung  zu 

25  360*^,  und  gehen  allemal  mit  der  Hälfte  der  so  erhaltenen 
Grade *^  in  die  nämlichen  Argumentzahlen  ein.     Nun  sehen 


a)  Weil  die  Argument  zahlen  2 — 90  der  Parallaxentafel  als 
Doppelgrade  auf  den  Epizykel  und  den  Exzenter  zu  beziehen 
sind.  Da  sie  demnach  nur  einen  Halbkreis  (O*'— 180^)  von 
Apogeum  bis  Perigeum  umfassen,  so  können  die  Hälften  von 
über  ISO''  hinausgehenden  Anomalie-  oder  Elongationszahlen 
nicht  mehr  in  ihr  Bereich  fallen. 


Parallaxenberechnung.  325 

wir  nach,  wieviel  Sechzigstel  bei  der  Argumentzahl  je  in  Ha  sei 
der  siebenten  und  der  achten  Spalte  angesetzt  sind.     Den 
ganzen  Betrag  von  Sechzigsteln,  welcher  in  der   siebenten 
Spalte  gefunden  wird,  nehmen  wir  von  dem  in  der  vierten 
Spalte  stehenden  Überschuß  und  addieren  jedesmal  den  er-    5 
haltenen   Bruchteil    zu   der   Parallaxe    der   dritten   Spalte. 
Den  ganzen  Betrag  von  Sechzigsteln  aber,  welcher  in   der 
achten  Spalte  gefunden  wird,  nehmen  wir  von  dem  in  der 
sechsten  Spalte  stehenden  Überschuß  und  addieren  wieder 
jedesmal   den  erhaltenen   Bruchteil    zu    der  Parallaxe   der  10 
fünften  Spalte.     Hierauf  stellen   wir  die  Differenz  der  so 
gewonnenen  zwei  Parallaxen  fest. 

Nachdem   wir  weiter   festgestellt  haben,   wieviel  Grade 
der  Mond   entweder  von  dem   Grade  der  Sonne  oder   von 
dem  diesem  diametral  gegenüberliegenden,  je  nachdem  dieses  15 
oder  jenes  Intervall  das  nähere  ist^\  mittlere  Elongation 
hat,  gehen  wir  auch  mit  diesen  Graden  in  die   Argument- 
zahlen  der   ersten   Spalte   ein.      Den   ganzen   Betrag    von 
Sechzigsteln,   der  nun  wieder  in  der  neunten  und   letzten 
Spalte  steht,  nehmen  wir  von  der  festgestellten  Differenz  20 
der  zwei  Parallaxen  und  addieren  jedesmal  den  erhaltenen 
Bruchteil  zu  der  kleineren  Parallaxe,  d.  i.  zu  der  aus  der 
dritten  und  vierten  Spalte  berechneten.   In  dem  schließlichen 
Ergebnis  werden  wir  den  Betrag  der  Parallaxe  erhalten, 
welche  der  Mond  auf  dem  durch  ihn  und  den  Zenit  gezogenen  25 
größten  (Höhen-)  Kreis  zeigt. 

Die    Sonnenparallaxe    ergibt    sich   bei    der    gleichen  Hei 446 
Stellung  (d.  i.  auf  einem  Höhenkreis  gemessen),  soweit  sie 
für  die  Sonnenfinsternisse  in   Betracht  kommt,  theoretisch 
schlechthin  ohne  weiteres  aus  den  Gradbeträgen,  welche  in  30 
der  zweiten  Spalte  bei  dem  Betrag  des  Zenitabstandes  stehen. 

Um  nun   auch  die  mit  Bezug   auf  die  Ekliptik  in  dem  Ha  362 
gegebenen  Falle    eintretende  Parallaxe    nach  Länge   und 

a)  Um  nicht  Elongationen  über  180°  vom  Apogeum  des 
Exzenters  zu  erhalten.  Die  Elongation^  von  der  Sonne  braucht 
nicht  verdoppelt  zu  werden,  weil  die  Argumentzahlen  für  den 
Exzenter  Doppelgrade  bedeuten. 


323 


Fünftes  Buch.    Neunzehntes  Kapitel. 


Breite  zu  berechnen **^\  gehen  wir  wieder  mit  denselben 
Äquiiloktialstunden,  welche  der  Mond  von  dem  Meridian 
entfernt  ist,  in  denselben  Teil  der  Winkeltabelle  ein  und 
fassen  die  bei  der  Argumentzahl  der  Stunden  stehenden 
5  Grade  ins  Auge,  und  zwar,  wenn  der  Mond  östlich  des 
Meridians  steht,  die  in  der  dritten  Spalte,  steht  er  westlich 
des  Meridians,  die  in  der  vierten  Spalte  angesetzten  Grade. 
Sind  sie  unter  90^,  werden  wir  sie  selbst  uns  notieren,  sind 
sie  über  90^,  ihre  Ergänzungen  zu  180*^;  denn  damit  werden 
10  wir  in  Graden,  wie  der  Rechte  90  hat,  den  kleineren*^ 
der  an  dem  (vorläufig)  in  Frage  kommenden  Schnittpunkt 
(B)  liegenden  Winkel  erhalten.  Die  notierten  Grade  ver- 
doppeln wir  nun  und  gehen  sowohl  mit  der  gewonnenen 
Zahl  als  auch  mit  ihrer  Ergänzung  zu  180^  in  die  (erste  Spalte 
16  der)  Sehnentafeln  ein.  In  dem  Verhältnis,  in  welchem  die 
zu  dem  Bogen  der  verdoppelten  Grade  gehörige  Sehne 
(sAO)  zu  der  Sehne  des  Suppbmentbogens  (,s0H)  steht, 
wird  dann  die  Breiten parallaxe  (p  AQ)  zu  der  Längenparal- 
laxe (,fc  0  H)  stehen,  da  ja  so  kleine 
Kreisbogen  von  den  Sehnen  ganz 
unbeträchtlich  verschieden  sind. 
Indem  wir  nun  die  Zahl  der  (zu 
den  gegebenen  Bogen  in  der  Tafel) 
angesetzten  Sehnen  mit  der  (Hö- 
hen-) Parallaxe  (6  AH),  welche 
auf  dem  durch  den  Zenit  gezogenen 
(Höhen  -)  Kreis  (  E  Z )  gefunden 
wurde,  multiplizieren  und  in  die 
Produkte  getrennt  für  sich  mit 
^  120  dividieren,  werden  wir  in  den 
bei  der  Division  herauskommenden  Quotienten  die  Teilbeträge 
der  Breiten-  und  der  Längenparallaxe  erhalten. 
Im  allgemeinen  gilt 
A.  für  die  Breitenparallaxen  folgendes. 


30 


a)  D.  i.    /,  EBr,    der    dem    /,AH0    des    Parallaxendreiecks 
A0H  nur  annähernd  gleich  ist. 


Parallaxenberechnung.  327 

1.  Wenn  der  Zenit  auf  demMeridiannördlich  des  zurzeit  Ha  36J 
kulminierenden  Punktes  der  Ekliptik  liegt,  so  wird  die  parallak- 
tische  Verschiebung  vom  Zenit  aus  südwärts  gerichtet  sein. 

2.  "Wenn  dagegen  der  Zenit  südlich  des  kulminieren- 
den Punktes  liegt,  wird  die  parallaktische  Verschiebung  in  6 
Breite  nordwärts  gerichtet  sein. 

B.  Für  die  Längenparallaxen  gilt,  weil  die  in  der 
Winkeltabelle  angesetzten  Winkel  großen  den  nördlichen 
von  den  zwei  Winkeln  betreffen,  deren  gemeinsamer  Schenkel 
das  östlich  liegende  Ekliptikstück  ist  (S.  102,5),  folgendes.  10 

1.  Ist  die  parallaktische  Verschiebung  in  Breite  nord- 
wärts gerichtet,  so  wird  die  Längenparallaxe,    <'■ 

a)  wenn  der  maßgebende  Winkel  >  90'\  gegen  die 
Richtung  der  Zeichen  (d.  i.  westwärts)  wirken, 

b)  wenn  <  90^,  in  der  Richtung  der  Zeichen  (d.  i.  15 
ostwärts). 

2.  I?t  die  parallaktische  Verschiebung  in  Breite  süd- 
wärts gerichtet,  so  wird  umgekehrt  die  Längenparallaxe, 

a)  wenn  der  maßgebende  Winkel  >  90°,  in  der  Rich- 
tung der  Zeichen  (d.  i.  ostwärts)  wirken,  20 

b)  wenn  <  90°,   gegen   die   Richtung   der  Zeichen  Hei  44( 
(d.  i.  westwärts). 

Was  die  Sonne  anbelangt,  so  haben  wir  die  vorstehend 
erörterten  Verhältnisse  auf  sie  unter  der  Annahme  in  An- 
wendung gebracht,  daß  sie  keine  sinnlich  wahrnehm-  25 
bare  Parallaxe  zeige,  nicht  als  ob  wir  nicht  wüßten,  daß 
die  auch  an  ihr,  wie  wir  weiterhin  (Buch  VI,  Kap.  5)  sehen 
werden,  wahrgenommene  Parallaxe  eine  kleine  Differenz  in 
den  Verhältnissen  verursachen  würde,  sondern  weil  wir  der 
Meinung  waren,  daß  für  die  Erscheinungen  deshalb  kein  so  30 
beträchtlicher  Fehler  im  Gefolge  sein  werde,  daß  es  not- 
wendig wäre,  an  den  bisher  ohne  Berücksichtigung  der 
Sonnenparallaxe  dargelegten  Verhältnissen  irgend  etwas  zu 
ändern,  weil  sie  ja  nur  ganz  gering  ist. 

Eine  ähnliche  Vernachlässigung  ist  es,  wenn  wir  uns  auch  36 
für  die  Parallaxen  des  Mondes  mit  den  Bogen  (wie  E  B)  Ha  864 
und  Winkeln  (wie  ^  E  B  f)  begnügt  haben,  welche  von  dem 


328 


Fünftes  Buch.    Neunzehntes  Kapitel. 


durch  die  Pole  des  Horizonts  gezogenen  größten  (Höhen-) 
Kreis  an  der  Ekliptik  gebildet  werden,  anstatt  diejenigen 
Bogen  (wie  EA)  und  Winkel  (wie  Z.EAB)   zu  nehmen, 
welche  theoretisch  an  dem  schiefen  Kreise  des  Mondes  ge- 
5  bildet  werden.*^    Denn  einmal  war  die  Differenz,  welche  in- 
folge dieser  Vernachlässigung  bei  den  mit  Finsternissen  ver- 
bundenen Syzygien  eventuell  eintreten  kann,  ganz  unmerklich, 
dann  aber  würde  die  Heranziehung  auch  dieser  Bogen  und 
Winkel  komplizierte  Beweise  und   mühsame  Berechnungen 
10  nötig  machen,  weil  sie  nicht  bei  allen  Positionen  des  Mondes 
im  Tierkreise  und  in  jeder  Entfernung  vom  Knoten  bestimmte 
Grenzen  einhalten,  sondern  (infolge  der  wechselnden  Breite 
des  Mondes)  hinsichtlich  ihrer  Größen  und  Lagen  an  sich 
fortlaufend  den  mannigfaltigsten  Veränderungen  unterliegen. 
15       Das   eben   Gesagte  soll  durch   folgende  Erörterung  ver- 
Hei  449  stäudlich  gemacht  werden.  Es  sei  gegeben  das  Ekliptikstück 
ABfund  das  Stück  AA  des  schiefen  Kreises  des  Mondes.  Als  der 
Knoten  soll  Punkt  A,  als  das  Zentrum  des  Mondes  Punkt  A  an- 
genommen sein.  Von  A  ziehe  man  rechtwinklig  zur  Ekliptik  die 
20  Gerade  AB  (als  Breite  des  Mondes).  Der  Pol  des  Horizonts  sei 

Punkt  E;  durch  diesen  ziehe  man 
einerseits  durch  das  Zentrum  des 
Mondes  den  Bogen  EAZ  eines 
größten  (Höhen-) Kreises,  ander- 
seits durch  B  den  Bogen  E  B  (eines 
ebensolchen).  Die  (Höhen-) Paral- 
laxe des  Mondes  betrage  den  Bogen 
AH;  durch H  ziehe  manrechtwink- 
ligzu  BA  und  zu  BZ  die  Geraden 
H0  und  HK.^)  Somit  wird  von 
den  Knotenentfernungen  in  Länge 
die   genaue   AB,    die   scheinbare 


26 


30 


aa  365 


a)  Denn  EA  ist  der  scheinbare  Zenitabstand  und  /,  EAB  ist 
der  Nebenwinkel  des  einen  spitzen  Winkels  des  Parallaxen- 
dreiecks. 

b)  So  daß  erstere  parallel  zur  Ekliptik,  letztere  parallel 
zum  Breitenkreise  des  Mondes  verläuft. 


Parallaxenberechnung  329 

AK,  von  den  Ekliptikabständen  in  Breite  der  genaue  BA, 
der  scheinbare  KH.  Endlich  sind,  als  die  theoretisch  auf 
die  Ekliptik  bezogenen  Komponenten  der  (Höhen-)  Parallaxe 
A  H,  die  (ostwärts  d.  i.  in  der  Richtung  der  Zeichen  wirkende) 
Längenparallaxe  gleich  0H,  und  die  (südwärts  wirkende)  5 
Breitenparallaxe  gleich  A0. 

Aus    der   oben   gegebenen    Anleitung    (der    Parallaxen-  Hei45o 
berechnung)  ist  hervorgegangen,  daß  die  Parallaxe  A  H  ge- 
funden wird,  wenn  der  Bogen  EA  (d.  i.  der  Zenitabstand 
des    Mondes)    gegeben    ist,    die    beiden    Parallaxen    A  0  10 
und  0H   aber,  wenn  der  Winkel  fZE  gegeben  ist.*^    In 
einem  früheren  Kapitel  (Buch  II,  Kap.  13)  haben  wir  die 
Bogen  und  Winkel  des   durch  den  Zenit  gehenden  Kreis- 
bogens  nachgewiesen,   welche  mit  gegebenen   Punkten 
der  Ekliptik  (d.  h.  den  Zeichenanfängen)  gebildet  werden.  16 
So  haben  wir  denn  in  dem  vorliegenden  Falle  (durch  die 
Winkeltabelle)  einzig  und  allein  den  Punkt  B  der  Ekliptik 
als  gegeben.     Es  ist  also  klar,  daß  wir  (fälschlich)  den 
Bogen  E  B  anstatt  des  Bogens  E  A  benutzen,  und  den  Winkel 
TBE  anstatt  des  Winkels  TZE.  20 

Hipparch  hat  nun  zwar  den  Versuch  gemacht,  die  Korrek- 
tion dieses  fehlerhaften  Verfahrens  in  die  Wege  zu  leiten,  hat  die- 
selbe aber  offenbar  ganz  ohne  Verständnis  und  gegen  alle  Logik 
in  Angriff  genommen.  Erstens  hat  er  nämlich  einzig  und 
allein  die  Entfernung  AA  in  Betracht  gezogen,  und  nicht  25 
alle  oder  wenigstens  mehrere  Entfernungen,  wie  es  für 
einen  Forscher,  der  Wert  darauf  legt  auch  im  Kleinen 
peinlichste  Genauigkeit  walten  zu  lassen,  das  richtige  ge- 
wesen wäre,  zweitens  ist  er  auch,  ohne  es  gewahr  zu  werden, 
in  noch  mehr  und  andere  Ungereimtheiten  verfallen.  Nach-  30 
dem  nämlich  auch  er  zuvor  gerade  nur  die  theoretisch  mit 


a)  Tatsächlich  hat  er  diesen  heiklen  Punkt  an  beiden  Stellen 
(S.  324,  6 — 14  und  S.  326, 1 — 12)  wie  absichtlich  in  mystisches 
Dunkel  gehüllt.  Der  Mond  war  an  erster  Stelle  stillschweigend 
ohne  Breite  angenommen  worden  (in  Punkt  B),  an  zweiter 
Stelle  war  nicht  der  dem  /,  AHOgenau  gleiche  /,  TZ  E,  sondern 
der  nur  annähernd  gleiche  /,  EBF  verwendet  worden. 


330  Fünftes  Buch.    Neunzehntes  Kapitel. 

der  Ekliptik  gebildeten  Bogen  und  Winkel  nachgewiesen  und 
klargestellt  hat,  daß  (dieHöhenparailaxe)  AH  gewonnen  wird, 
wenn  (der  Zenitabstand)  EA  gegeben  ist  —  diesen  Nachweis 
Ha  366  bringt  er  im  ersten  Buche  der  „Parallaxenberechnungen*'  — 
Hei  451  wendet  er  zur  Gewinnung  des  Bogens  E  A  dennoch  den  Bogen 
6  EZ  und  den  Winkel  fZE  an:  nachdem  er  nämlich  im  zweiten 
Buche  Z  A  auf  diesem  Wege  berechnet  hat,  nimmt  er  (den 
Zenitabstand)  EA  als  Rest  an.    Irregeführt  hat  ihn,  wohl 
zu  merken,  das  Übersehen  des  Umstandes,   daß  B  der  ge- 
10  gebene  Punkt  der  Ekliptik  ist,  und  nicht  Z,  und  daß  in- 
folgedessen von   den    Bogen  .EB,  nicht  EZ,    gegeben   ist, 
und  von  den  Winkeln  TBE,  nicht  fZE. 

Von  da  ab  sind  zur  Anbringung  einer  auch  nur  teilweisen 
Korrektion  vielfache  Anstrengungen  gemacht  worden,  da 
16  zwischen  den  Bogen  EA  und  EZ  sich  eine  recht  beträcht- 
liche Differenz  (ZA)  geltend  macht,  (was  sehr  erklärlich 
ist)  weil  die  Bogen  EZ  noch  viel  weniger  gegeben  sind, 
als  die  Bogen  EA.*^  Demgegenüber  wird  das  Maximum 
der  Differenz  zwischen  dem  tatsächlich  gegebenen  Bogen  EB 
20  und  dem  Bogen  EA  lediglich  von  der  mit  der  Entfernung 
vom  Knoten  sich  ändernden  Größe  des  Bogens  AB  (d.  i. 
von  der  Breite  des  Mondes)  abhängig  sein.^^ 

Der  logisch  richtige  Weg,  welcher  zu  der  einzig  sachlich 

(weil  mathematisch)    genauen    Korrektion    führt ^\    dürfte 

26  von  uns  folgendermaßen  zur  Anschauung  gebracht  werden. 

Es  sei  ABT  die  Ekliptik  und  rechtwinklig  zu  ihr  A  B  E, 

Der  Mond  stehe  entweder  in  A  oder  in  E  von  der  Ekliptik 

Hei  452  in  Breite  einen  gegebenen  Bogen,  wie  AB  oder  BE,  entfernt. 

a)  D.  i.  als  die  Zenitabstände  des  Mondes,  die  ja  gesucht 
werden. 

b)  D.  h.  die  Differenz  EB  -  EA  wird  gleich  Null  sein,  wenn 
der  Mond  keine  Breite  hat:  dann  ist  eben  sein  Zenitabstand 
gleich  EB;  dagegen  wird  sie  das  Maximum  erreichen,  wenn 
der  Mond  seine  größte  Breite  nördlichoder  südlich  der  Ekliptik  hat. 

c)  Insofern  der  gesuchte  /,  FZE,  der  von  dem  durch  das 
Mondzentrum  gezogenen  Höhenkreis  mit  der  Ekliptik  gebildet 
wird,  dem  einen  spitzen  Winkel  des  Parallaxendreiecks  als 
Gegenwinkel  mathematisch  genau  gleich  ist. 


Parallaxenberechnung. 


331 


B 


10 


16 


Somit  sollen  gegeben  sein  die  Bogen  vom  Zenit  bis  zum 
Ekliptikpunkt  B  und  die  daselbst  gebildeten  Winkel  (als 
Rechte),  gesucht   seien   die   bei   A   oder  E  entstehenden  Ha 
Bogen  und  Winkel.*^ 

I.  Wenn  die  Ekliptik  die   Lage  einnimmt,   daß   sie  den  5 
größten  (Höhen-)  Kreis   unter    rechten   Winkeln   schneidet, 
welcher,    wie    ZB,   durch   den  ^ 
als  Pol  des  Horizonts  angenom- 
menen   Punkt    Z    und    durch 
Punkt  B   geht,   so   wird  dieser 

Kreis    selbstverständlich^)    mit     . 

dem  Bogen  AE  zusammenfallen 
und  der  theoretisch  bei  A  und 
E  (an  der  Mondbahn)  gebildete 
Winkel  unterschiedslos  gleich 
sein  dem  bei  B  (als  gegeben)  angenommenen  (Rechten); 
denn  die  von  diesen  Bogen  (des  Breitenkreises)  mit  der  Eklip- 
tik gebildeten  Winkel  sind  gleichfalls  Rechte.  Die  (bei 
A  und  E  abgeschnittenen)  Bogen  aber  werden,  da  die 
Bogen  AB  und  BE  (als  die  Breite  des  Mondes)  gleichfalls  20 
gegeben  sind,  betragen: 

6ZA  =  6ZB~5AB     and     5ZE  =  6ZB  +  5BE. 

II.  Wenn  die  Ekliptik  ABT  mit  dem 
durch  den  Zenit  gehenden  größten 
(Höhen-) Kreis  zusammenfällt,  und 
wir,  A  als  Pol  des  Horizonts  angenom- 
men, die  verbindenden  Bogen  AA  und 
AE  ziehen,  so  werden  sowohl  diese 
Bogen  von  dem  Bogen  A  B  verschieden 
sein,  als  auch  die  Winkel  BAA  und 
BAE  verschieden  von  dem  Winkel,  der 


a)  D.  8.  die  oben  S.  328,  s  erwähnten  Bogen  und  Winkel, 
welche  von  dem  Höhenkreise  an  dem  schiefen  Kreise  des 
Mondes  gebildet  werden. 

b)  Weil  der  Breitenkreis  des  Mondes  ebenfalls  senkrecht 
zur  Ekliptik  steht. 


332 


Fünftes  Buch.    Neunzehntes  Kapitel. 


im  vorigen  Fall  (im  Zenit)  überhaupt  nicht  vorhanden  war. 
Bestimmen  lassen  sich  aber  die  Bogen  AA  und  AE  aus 
den  gegebenen  Bogen  AB,  AB  und  BE,  weil  wegen  des 
unbeträchtlichen  Unterschieds  (zwischen  den  Bogen  und  den 
5  Sehnen)  dasselbe  Verhältnis  gilt  wie  bei  Geraden.  Es  ist 
nämlich 

AA2  =  AB2  +  AB2     und     AE^  =  ABHBE2. 

Sind  aber  die  Bogen  AA  und  AE  gefunden,  so  lassen 
sich  auch  die  Winkel  BAA  und  BAE  bestimmen."^ 

10       in.  Wenn  wir  endlich  bei  geneigter  Lage  der  Ekliptik 
von  dem  Pol  Z  des  Horizonts  die  verbindenden  Bogen  ZB, 

ZHA,   ZE0   ziehen,  so  wird 
(durch  die  Winkeltabellen)  ge- 
geben sein  der  Bogen  ZB  und 
der  Winkel  ABZ,  und  natürlich 
auch  wieder  (als  die  Breite  des 
Mondes)   die   Bogen    AB    und 
BE.     Bestimmen   lassen  sollen 
sich  aber  die  Bogen  ZA  und 
ZE,   sowie    die    Winkel   AHZ 
und  A0Z.     Auch  diese  lassen 
^  sich   bestimmen,    nachdem  auf 
ZB  die  Lote  AK  und  EA  ge- 
fällt worden  sind. 
Hei 454       Da   der    /.ABZ   gegeben   und   der  /.ABE  unter  allen 
26  Umständen^)  ein  Eechter  ist,  so  sind  (weil  die  Winkel  ABE 
und  K  B  A  gleich  der  Differenz  dieser  gegebenen  Winkel  sind) 
die  rechtwinkligen  Dreiecke  BKA  und  BAE  gegeben,  sowie 


a)  Diesen  Winkeln  sind  als  Gegenwinkel  gleich  die  A  und 
E  gegenüberliegenden  spitzen  Winkel  des  an  der  Figur  punk- 
tierten Parallaxendreiecks.    Bestimmt  werden  die  Winkel  durch 

AB  ER 

die  Funktionen  ~~-  und  --— ,  da  die  Bogen  der  Breite  A  B  und 
AA  AE'  ^ 

EB  als  gegeben  angenommen  werden. 

b)  Weil  die  Breitenkreise  des  Mondes  zur  Ekliptik  senkrecht 
sind. 


Parallaxenberechnung.  333 

das  Verhältnis  von  ZB  zu  den  Seiten  (d.  i.  zu  den  Katheten 
dieser  Dreiecke),  welche  um  die  Rechten  liegen,  weil  es  (von 
vornherein)  zu  den  Hypotenusen  AB  und  BE  gegeben  ist. 
Daher  werden  (weil  nun  in  den  rechtwinkligen  Dreiecken 
ZAE  und  ZKA  außer  den  Katheten  AE  und  KA  auch  die  5 
Katheten  ZA  mit  ZB  —  BA  und  ZK  mit  ZB  +  BK  ge- 
geben sind,  nach  Eukl.  1. 47)  auch  die  Hypotenusen  ZE 
und  ZA  gegeben  sein,  undinfolgedessen(dui'ch  die  Funktionen 

=r-7-  und  =-=)  auch  die  Winkel  AZK  und  EZA,  um  welche 
ZA  ZE^  ' 

die  gesuchten  Winkel  einerseits  größer,  anderseits  kleiner  10 

als  der  gegebene  sind;  denn 

/.AHZ  =  tABZ4-tAZB,|    .  . 

^A0Z=/.ABZ-tEZA.  1   (Eukl.  1.32) 

Hieraus  ist  ersichtlich,  daß  bei  Annahme  desselben  Ab- 
standes  in  Breite    (d.  i.  wenn   BE  =  AB)   das  Maximum  15 
des  Unterschieds   (gegen   die   Bogen   ZB  und  die  Winkel 
bei  B)  eintreten  wird  ^ 

1.  bei  den  Winkeln,  wenn  der  Punkt  B 
der  Scheitelpunkt  selbst  ist.  Denn  wenn  bei 
B  kein  Winkel  (von  einem  Höhenkreis)  ge- 
bildet wird,  so  bilden  die  vom  Scheitelpunkt  ^- 
nach  A  und  E  gezogenen  Bogen  an  der 
Ekliptik  rechte  Winkel.«) 

2.  bei  den  Bogen, 

a)  wenn  dieselbe  Lage  (des  Punktes  B)  ^  25 
stattfindet.     Denn  wenn  wieder  (vom  Scheitelpunkt)  kein 
Bogen  nach  B  gezogen  werden  kann,  so  werden  die  nach 

A  und  E  (von  dort)  gezogenen  Bogen  genau  so  groß  sein, 

wie  die  Bogen,  die  den  Ort  des  Mondes  in  Breite  messen.  Hei  456 

b )  wenn  der  durch  den  Scheitelpunkt  gehende  (Höhen-)  30 
Kreis  die  Ekliptik  unter  rechten  Winkeln  schneidet  (s.  Fig. 
zu  I).    Denn  alsdann  werden  die  Bogen  Z  A  und  Z  E  wieder 


20 

B      .j. 


a)  Da  die  Figur  von  den  vorhergehenden  verschieden  ist, 
80  habe  ich  sie  hinzugefügt. 


334  Fünftes  Buch.    Neunzehntes  Kapitel. 

um  den  ganzen  Betrag  in  Breite  von  dem  Bogen  ZB  ver- 
schieden sein. 
Hi\  869  In  den  anderen  Lagen  (s.  Fig.  zu  III),  in  welchen  AE 
mit  ZB  (in  Punkt  B)  einen  spitzen  oder  einen  stumpfen 
5  Winkel  bildet,  werden  die  Unterschiede  sowohl  der  Bogen 
wie  der  Winkel  geringer  ausfallen. 

[Daher  wird  auch,  wenn  der  Mond  die  (nördliche!)  Breite 
von  b^  hat,  das  Maximum  des  Unterschieds  der  Parallaxen 
etwa  0^10'  betragen;  denn  so  viel  Sechzigteile  der  Parallaxe 
10  machen  bei  den  größten  Überschüssen  und  den  kleinsten 
Entfernungen  die  5°  des  größten  Unterschieds  der  Bogen 
(des  Zenitabstands  und  der  nördlichen  Breite!)  aus.  Hat 
aber  der  Mond  in  seinem  Lauf  die  größte  Breite,  bei  welcher 
noch  Sonnenfinsternisse  eintreten  können  —  sie  beträgt 
15  nahezu  V/^^  —  so  wird  der  Unterschied  der  Parallaxe  den 
gleichgroßen  Betrag  von  172*^  ausmachen.  So  etwas  trifft 
aber  selten  zusammen.]*^) 

Das  methodische  Verfahren,  welches  zu  der  angedeuteten 
Korrektion  der  Winkel  und  Bogen  führt,  dürfte  auf  folgende 

20  Weise  bequem  zu  handhaben  sein,  falls  jemand  Lust  hat, 

es  bei  so  kleinen  Verhältnissen  in  Anwendung  zu  bringen. 

Es  sei  zunächst  der  Gang  im  allgemeinen  mitgeteilt.*^ 

Hei  456       A.   1.   Wir  verdoppeln  die  Gradzahl   der  Winkel^)  und 

gehen  mit  den  gewonnenen  Zahlen  in  die  (erste  Spalte  der) 

25  Sehnentafeln  ein.  Die  Beträge,  welche  sowohl  bei  der 
Argumentzahl  (60^),  als  auch  bei  ihrer  Ergänzung  (120®) 
zu   2  Rechten,  d.  i.   zu  180®'')  stehen,  multiplizieren  wir, 

a)  Der  Vergleich  mit  dem  folgenden  Zahlenbeispiel  von  Ab- 
schnitt zu  Abschnitt  dient  wesentlich  zur  Erleichterung  des 
Verständnisses.  Zu  diesem  Zweck  sind  in  Parenthese  die  Zahlen 
des  speziellen  Falles  hinzugefügt. 

b)  D.  i.  des  gegebenen  Winkels  ABZ  und  seines  Komple- 
mentwinkels ABE,  d.  i.  des  einen  spitzen  Winkels  des  recht- 
winkligen Dreiecks  EAB,  dessen  anderer  spitzer  Winkel  BEA 
dem  gegebenen  Winkel  ABZ  unter  allen  Umständen  gleich  ist, 
weil  beide  sich  mit  dem  nämlichen  Winkel  A  B  E  zu  90*  ergänzen. 

c)  Weil  in  den  Sehnentafeln  die  Bogen  der  doppelten  Winkel, 
d.  i.  der  Zentriwinkel,  zu  den  zugehörigen  Sehnen  gesetzt  sind. 


Parallaxenberechnung. 


335 


jeden  für  sich,  mit  den  (gegebenen)  Graden  der  Breite  und 
notieren  uns  von  beiden  Produkten  den  120^«^  Teil  (2'^30' 
und  4^20'). 

2.  Das  aus  dem  ersten  Winkel  (ABZ  =  BAK  und 
BEA)  erzielte  Ergebnis  (&BK  und  hB^=2^^0')  sub-  6 
trahieren  wir  nun  von  dem  vom  Zenit  ab  gegebenen  Bogen 
(ZB),  wenn  der  Mond  auf  derselben  Seite  (der  Ekliptik) 
wie  der  Zenit  steht,  addieren  es  aber  zu  demselben,  wenn 
der  Mond  auf  der  anderen  Seite  (d.  i.  südlich  der  Ekliptik) 
steht.  10 

3.  Das  Ergebnis  (&ZA  und  5  ZK)  multiplizieren  wir 

mit  sich  selbst,  addieren  es  zu  dem  gleichfalls  ins  Quadrat  iia  370 
erhobenen  aus   dem  Komplementwinkel  (ABE  und  KBA) 
gewonnenen  Ergebnis  (hAE  und  5KA),  und  werden  in  der 
Quadratwurzel  den  gesuchten  Bogen  (ZEundZA)  erhalten.  16 

4.  Hierauf  multiplizieren  wir  das  aus  dem  Komplement- 
winkel erhaltene  Ergebnis  (&  K  A  und  &  AE  ==  4" 20'),  welches 
wir  uns  notiert  hatten,  mit  120  und  dividieren  in  das 
Produkt  je  mit  den  gefundenen  Bogen  (ZE  und  ZA). 

5.  Die  Hälften  (S.  337,  ö)  von  den  Bogen,  welche  bei  20 
den  erhaltenen  Quotienten  in  der  (ersten  Spalte  der)  Sehnen- 
tafel stehen,  werden  wir  nun,  wenn  der 

durch  das  Korrektions  verfahren  gewon- 
nene Bogen  (ZA)  größer  ist  als  der 
erste  (gegebene)  Bogen  (ZB),  zu  den 
Graden  des  ersten  (gegebenen)  Winkels 
(ABZ)  addieren,  wenn  kleiner  (5ZE), 
davon  subtrahieren,  und  werden  so- 
mit den  korrekten  Winkel  (AHZ  und 
A0Z)  erhalten. 

B.  Wir  lassen  ein  Beispiel  folgen.  An 
der  schon  oben  vorgelegten  Figur^)  sei 
der  Bogen  ZB  mit  45*^  gegeben,  der 
/.ABZ  mit  30®  wie  lB=dO^,  endlich  die 
beiden  Bogen  AB  und  BE  mit  je  5^^  Breite. 

a)  Eine  Figur  mit  den  genauen  Winkeln  habe  ich  diesem 
Beispiel  hinzugefügt. 


25 


30 


p   Hei  457 
35 


336  Fünftes  Buch.    Neunzehntes  Kapitel. 

1.  Da  bei  dem  Doppelten  von  30°,  d.  i.  bei  60°,  die 
Sehne  mit  60^,  und  bei  dem  Supplementwinkel^^,  d.  i.  bei 
120°,  die  Sehne  mit  104^  angegeben  steht,  so  erhalten  wir 
die  Verhältnisse 

6  6BA:6AE=60P:104P     wie     h{BE)  =  120^; 

6  B  K  :  6  KA  =  60^  :  104^     wie    h  (AB)  =  120^. 
Ha  371       Nachdem  wir  nun  beide  Zahlen  mit  den  5°  der  Hypotenuse 
multipliziert  und  von  dem  Produkt  den  120*®^  Teil  genommen 
haben  ^\  werden  wir  erhalten 
10  feBK  und  6BA  =  2"30';     6  KA  und  6  AE  =  4^20'. 

2.  Nun  werden  wir  zuerst  2°  30',  wenn  der  Mond  in 
Punkt  E  angenommen  ist,  von  den  45°  des  Bogen  ZB  sub- 
trahieren, weil  der  Breitenabstand  des  Mondes  auf  derselben 
Seite  wie  der  Zenit  liegt  —  unter  den  beiden  „Seiten*^  ist 

16  entweder  nördlich  oder  südlich  der  Ekliptik  zu  verstehen 

—  und  werden  den  Bogen  ZA  mit  (fe  ZB  — &  BA=)  42°  30' 

erhalten.      Steht  aber  der  Mond  in  Punkt  A,  so   addieren 

wir  die  2°  20',  weil  sein  Abstand  auf  der  entgegengesetzten 

Hei  458  Seite  liegt,  und  werden  den  Bogen  Z  K  mit  (Z>  Z  B  +  &  B  K  =) 

20  47°  30'  erhalten. 

3.  Hierauf  bilden  wir  die  Summe  der  Quadrate 
ZA2+AE2  =  ZE2,  d.i.  (42<'30')2  +  (4°20')2  =  ZE2, 
ZK2  +  KA2  =  ZA2,    d.i.     (47<»30')2  +  (4<'20')2  =  ZA2, 

ziehen  die  Quadratwurzel  und  werden  erhalten 
26  6ZE  =  42<'46'     und     &ZA  =  47H4'. 

4.  Nachdem  wir  schließlich  (6  K  A  und  5  AE  =)  4°20' 
mit  120  multipliziert  undin  das  Produkt  mit  (6  ZE  =)  42°46' 
und  (&  ZA=)  47°44'  dividiert  haben ^\  werden  wir  erhalten 

a)  Die  verdoppelten  Winkel  sind  Zentriwinkel  der    Kreise 
um  die  Dreiecke  EAB  und  AKB. 

b)  Aus  60P  :  120^  =  x  :  6^  ergibt   sich  x  =      '       ^ 

und   aus  104^  :  120^  =  t/ :  5°  ergibt   sich  y  =    j^q^  ■ 

4"  20'-  120 

c)  Aus  s  AE  :  I20P  =  4<'20'  :  42<'  46'  ergibt  sicbgAE=     ^^^^^,    , 

4^20'-  120 
und  aus  s  K  A  :  120^  =  402O'  :  47°44'  ergibt  sichgKA^     ^^^^^,     ■ 


folglich  [^ 


Sechstes  Buch.     Erstes  Kapitel.  337 

sAE  =  12p   8'     wie     7iZE  =  120P, 
sKA  =  10p50'     wie    7iZA  =  120P. 

Hierzuist   {      ^^^^^^  JJ"^^',)  (wie  öEAZund  AKZ  =  3600). 

mithin   {     5kA=   Ö'^IO'!   ^Is  Hälften»),  5 

^EZA=    5048'!    (^ie4E  =  3600). 

5.  Nun  ist  einerseits,  weil  &ZE  <  5ZB,  Hei 459 

^  ABZ  -  /.  EZ A  ^  ^  A0Z  =  24«12',  Ha  878 

anderseits,  weil  feZA>&ZB,  11 
/,  ABZ  +  /.KZA  =  /.  AHZ  =  36»10'. 

Hiermit  sind  wir  bei  dem  Endergebnis  des  methodischen 
Verfahrens  angelangt. 


Sechstes  Buch. 

Erstes  Kapitel. 
Konjunktionen  und  Vollmonde. 

Wir    kommen   nunmehr   in   der    gebotenen   Reihenfolge  {aei  46i 
zu  der  theoretischen  Ermittelung  der  mit  Finsternissen  ver-  16 
bundenen  Syzygien  der  Sonne  und  des  Mondes.     Voraus- 
gehen muß  dieser  Darstellung  wieder  die  Bestimmung  der 
theoretisch  genau   genommenen  Konjunktionen  und  Voll- 
monde.    Wir  sind   zwar   der  Meinung,    daß  für  die  erste  20 
Feststellung   dieser  Verhältnisse  die  für  jeden  der  beiden 
Lichtkörper    nachgewiesenen    periodischen    und    ungleich- 

a"^  Die  übliche  Umrechnung  geschieht  unter  der  Formel: 
6AE  =  11°36'  wie  5i^=360^  mithin  =5°48'  wie  422  =  360". 
Hiermit  ist  die  Größe  des  Bogens  gefunden,  der  den  bisher  als 
Peripheriewinkel  betrachteten  Dreieckwinkel  als  Zentriwinkel 
überspannt.     S.  erl.  Anm.  9. 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius.  I.  22 


338  Sechstes  Buch.     Zweites  Kapitel, 

förmigen  Bewegungen*)  ausreicliend  sind;  denn  wenn  man 
die  Mülie  nicht  scheut,  die  einzelnen  Epochen  der  Licht- 
körper von  Fall  zu  Fall  zahlenmäßig  miteinander  zu  ver- 
gleichen, so  können  mit  Hilfe  dieser  Bewegungen  die  Stellen 
5  und  die  Zeiten  der  kommenden  Syzygien  sehr  wohl  durch 
Rechnung  gefunden  werden,  und  zwar  sowohl  der  Syzygien,  die 
nach  den  mittleren  Bewegungen  bestimmt  werden,  als  auch 
der  genauen,  die  unter  Anbringung  der  Anomalie  gewonnen 
werden.  Indessen  haben  wir,  um  die  letzteren  durch  ein  metho- 
Ha  374  disches  Verfahren  bequemer  ermitteln  zu  können,  nicht  nur  die 

11  für  die  periodischen  Konjunktionen  und  Vollmonde  geltenden 
Stellen  und  Zeiten  zum  sofortigen  Gebrauch  im  voraus  zusam- 
mengestellt ^),  sondern  auch  die  nach  den  mittleren  Zeiten  be- 
rechneten Epochen  des  Mondes  in  Anomalie  und  Breite  ^),  mit 

16  deren  Hilfe  sowohl  die  Korrektion  zu  den  genauen  Syzygien 
vorgenommen  wird,  als  auch  von  diesen  aus  die  Korrektion  zu 
den  mit  Finsternissen  verbundenen  Syzygien.  Für  den  hier 
angedeuteten  Zweck  haben  wir  Tabellen  bearbeitet,  über 
deren  Beschaffenheit  wir  im  folgenden  Aufschluß  erteilen. 

Zweites  Kapitel. 

Praktische  Anleitung  zur  Aufstellung  von 

Tabellen  der  mittleren  Syzygien. 

Hei  462       Zuerst  müsseu  wir  wieder,  wie  schon  die  anderen  Epochen, 

21  so  auch  die  Epochen  der  synodischen  Monate  an  das  erste 

Jahr  Nabonassars  knüpfen.     Der  Überschuß  der  Elongation 

(des  Mondes  von  der  Sonne),  welcher  in  diesem  Jahre  am 

1.  ägyptischen    Thoth^^^   für    die    Mittagstunde    galt,  war 

a)  Wie  sie  mit  Hilfe  der  Sonnen-  und  der  Mondtafeln 
in  Verbindung  mit  den  Anomalietabellen  der  beiden  Licht- 
körper berechnet  werden  können. 

b)  In  der  zweiten  und  dritten  Spalte  der  Tabellen. 

c)  In  der  vierten  und  fünften  Spalte  der  Tabellen. 

d)  Die  Bezeichnung  des  Monatsersten  durch  vov^rivia  kann 
nur  durch  irrtümliche  Assimilation  an  den  griechischen  Kalender 
durch  einen  griechischen  Abschreiber  in  den  Text  geraten  sein; 
denn  der  ägyptische  Monatsanfang  kann  nicht  an  den  Neumond 
gebunden  sein. 


Erklärung  der  Tabellen.  339 

(S.  236,23)  mit  70^37'  nachgewiesen  worden.     Indem  wir 
in  diese  Zahl  mit  der  täglichen  mittleren  Bewegung  der 
Elongation    (d.   i.    mit    12*^11')    dividierten,    fanden    wir 
5^47' 33",  d.  h.  vor  soviel  Tagen  hat  die  vor  dem  Mittag 
des   1.  Thoth  liegende  mittlere  Konjunktion  stattgefunden.  5 
Die  darauf  folgende  ist   also   (29^3l'50"  -  5^47'33"  =) 
23^44-17"  nach  demselben  Mittag  gewesen,  d.  i.  0'^44'l7" 
nach  dem  Mittag  des  24.  Thoth.      In  den  23^44' 17"  legt 
die  Sonne   in   mittlerer  Bewegung    23^23' 50"  zurück,  der 
Mond    in    Anomalie    310'^ 8' 15",     in    Breite    314^2' 2l".  10 
Nun    war    der    mittlere    Ort    der   Sonne   (S.   185,  7)    am 
1.  Thoth  )C0^45';  ihre  Entfernung  von  dem  Apogeum   des  Ha  37! 
eigenen  Kreises  —  diese  Zählung  eignet  sich  besser  *) — betrug 
demnach  (von  )( 0^45'  bis  TT  5<^30')  265^15',  die  Entfernung 
des  Mondes  von  dem  Apogeum  des  Epizykels  in  Anomalie  be-  15 
trug  (S.  236,22)   268^49',  die  vom  nördlichen  Grenzpunkt  Hol 46; 
des  schiefen  Kreises  in  Breite  (S.  244,3)  354^5'.     Folg- 
lich betrug  zu  dem  obengenannten  Zeitpunkt  der  mittleren 
Konjunktion   nach   dem   Monatsersten  (am  24.  Thoth)  die 
mittlere   Entfernung   der   Sonne   sowohl  wie  des  Mondes^)  20 
von  dem  Apogeum  der  Sonne,  d.i.  von  TT  5^30',  (265^15'  + 
23^23' 50"=)  288<^38'50",  die  des  Mondes  von  dem  Apo- 
geum des  Epizykels  in  Anomalie  (268^49'+  310^8' 15"  — 
360<^=)  218^57' 15",  die  von  dem  nördlichen  Grenzpunkt 
in    Breite    (354^15' +  314"2'2l"  -  360°=)  3080l7'2l".  25 

Wir  werden  also  an  erster  Stelle  eine  Tabelle  der 
Konjunktionen  wieder  in  45  Zeilen,  und  zwar  in  5  Spalten 
aufstellen.  In  der  ersten  Zeile  werden  wir  setzen:  in  die 
erste  Spalte  das  erste  Jahr  Nabonassars,  in  die  zweite 
die  24'144'17"  des  Thoth  —  denn  die  überschießenden  30 
Sechzigteile  zählen  von  der  Mittagstunde  des  24*®^  ab  — 
in  die   dritte  Spalte    die  288^  38' 50"    der  mittleren   Ent- 


a)  D.  h.  besser  als  die  Zählung  von  der  Epoche  X  0^45'. 

b)  Die  Konjunktionsstelle  ist  für  beide  Lichtkörper  vom 
Apogeum  der  Sonne  in  mittlerem  Lauf  gleichweit  entfernt, 
während  in  der  Opposition  der  Mondort  dem  Sonnenort  natür- 
lich diametral  gegenüber  liegt. 


22 


340  Sechstes  Buch.     Zweites  Kapitel. 

fernung  der  Sonne  von  ihrem  Apogeum,  in  die  vierte  die 
2 18°  5 7' 15"  der  Entfernung   des  Mondes  in  Anomalie  von 
dem  Apogeum  (des  Epizykels),  in  die  fünfte  die  308"  17' 21" 
der  Entfernung  in  Breite  von  dem  nördlichen  Grenzpunkt, 
ö       Nun  entfallen  auf  die  halbe  Zeit*)  des  mittleren  syno- 
dischen Monats:   14'^45'55",   14^33' 12"   Sonnenbewegung, 
192054'30"  Mondbewegung   in  Anomalie,    195"20'6"   in 
Hei  464  Breite.    Diese  Zahlen  werden  wir  von  denen  der  festgestell- 
ten Konjunktion  (am  24.  Thoth)  subtrahieren  und  die  Rest- 
Ha  376  zahlen  in  der  zweiten,  ähnlich  eingerichteten  Tabelle  der 

11  Vollmonde  gleichfalls  voranstellen,  ganz  in  der  nämlichen 
Weise  wie  in  der  ersten  Tabelle.  Die  verbleibenden  Eest- 
zahlen  sind:  9^58^22",  274®5'38"  der  Entfernung  der 
Sonne  von  ihrem  Apogeum,  26^ 2' 45"  der  Entfernung  des 

16  Mondes  in  Anomalie  von  dem  Apogeum  (des  Epizykels), 
112^57' 15"  der  Entfernung  in  Breite  von  dem  nördlichen 
Grenzpunkt. 

Nun  gehen   ohne   merklichen  Fehler   in    25  ägyptischen 
Jahren  ganze  synodische  Monate  mit  dem  kleinen  Rest  von 

20  0^2' 47"  5"'  auf^),  die  Sonne  setzt  (in  dieser  Zeit)  in  mitt- 
lerer Bewegung  nach  Abzug  ganzer  Kreise  353^52' 34"  13"' 
zu,  der  Mond  in  Anomalie  57<'2l'44"l"',  in  Breite  117^^12' 
49" 54'".  Daher  werden  wir  in  beiden  Tabellen  die  ersten 
Spalten  (von  Zeile  zu  Zeile)  um  25  Jahre  zunehmen,  und 

25  die  zweiten  Spalten  um  0^2' 4 7"  5"'  abnehmen  lassen,  von 
den  übrigen  aber  die  dritten  um  3 5  3*^  5 2' 34"  13'",  die  vierten 
um  57<>21'44"1'",  die  fünften  um  117^2' 49" 54'"  an- 
wachsen lassen. 

Im  Anschluß  an   diese   Tabellen  werden  wir   noch  eine 

30  Jahrestabelle  in  24  Zeilen  und  darunter  noch  eine 
Monatstabelle  in  12  Zeilen  aufstellen,  beide  mit  der 
gleichen  Anzahl  von  Spalten  wie  die  ersten. 


a)  Zu  welcher  Zeit  Vollmond  gewesen  sein  muß. 

b)  25  ägyptische  Jahre  enthalten  309  volle  synodische  Monate : 
309x29^31'50"8'"20""  =  9124^57'12"55"';  es  fehlen  also  an 
9125  Tagen  0^2' 47" 5'". 


Erklärung  der  Tabellen.  341 

In  der  Monatstabelle  setzen  wir  in  der  ersten  Zeile:  in 
die   erste   Spalte   den   ersten   synodischen   Monat,  in   die 
zweite  die   Tage  desselben  mit  29^3l'50"8'"20"",  in  die  Hei  4( 
dritte    die   in    dieser  Zeit   sich    summierenden    Grade    der 
Sonne  mit  29° 6' 23"  l'",  in  die  vierte  die  (überschießenden)    6 
Grade   des    Mondes   in  Anomalie   mit  25°49'0"8'",  in  die 
fünfte  die  (überschießenden)  Grade  der  Breite  mit  30^40'  Ha  3: 
14"  9'".      Auch   diese   Spalten   werden   wir   um    dieselben 
Zahlen  anwachsen  lassen,  wie  sie  in  der  ersten  Zeile  stehen. 

In  der  Jahrestabelle  setzen  wir  in  der  ersten  Zeile:  in  10 
die  erste  Spalte  das  erste  Jahr,  in  die  zweite  Spalte  die 
in  13  synodischen  Monaten   (über  365*^)   überschießenden 
Tage  mit  (29d3l'50"8"' —  10^37'58"20'"  =)  18d53'5l" 
48'"  *\    in    die   dritte   die    in    ebensolanger   Zeit  (d.  i.  in 
18^2175^  über  den  Jahresbetrag  von  359^45' 24" 45"')  über-  15 
schießenden  Grade  der  Sonne  mit  1 8*^2  2' 59"  18"',  in   die 
vierte  die  (in  derselben  Zeit  über  den  Jahresüberschuß  von 
33043/ y/f  28'"  überschießenden)  Grade  des  Mondes  in  Ano- 
malie mit  335*37' l"5l"',  und  in  die  fünfte  die  (über  den 
Jahresüberschuß  von  148°42'47"l2"'  überschießenden)  Grade  20 
der  Breite  mit  38°  43' 3"  51"'.    Anwachsen  lassen  wir  diese 
Spalten  um  die  vorstehend  aufgeführten,  in  13  synodischen 
Monaten  sich  ergebenden  Überschüsse  abwechselnd  mit  den 
auf  12  synodische  Monate   entfallenden  Beträgen,  welche 
sind:  354d22'l"40"',  349°16'36"l6'"  derWeiterbewegung^)  25 
der  Sonne  (in  diesen  354"^  875^),  309°48'l"42'"  der  Weiter- 
bewegung  des  Mondes  in  Anomalie  (über  ganze  Kreise), 
8°  2'  49"42"'  (über  ganze  Kreise)  der  Weiterbewegung  in  Breite. 

a)  Ganz  richtig  bietet  Cod.  D  in  diesem  Betrag  51"  statt  52"; 
nur  wenn  die  48"'  wegfallen,  kann  dadurch  51"  auf  52"  ge- 
hoben werden.  Die  Differenz  beträgt  den  synodischen  Monat 
weniger  der  über  das  mittlere  Mondjahr  von  354^22'1"40"'  über- 
schießenden Tage  des  ägyptischen  Jahres. 

b)  Ich  vermute  statt  inox^is  wie  einige  Zeilen  vorher  iTtoveiag. 
Dasselbe  Wort  ist  wohl  statt  äitoxris  auch  über  die  dritten 
Spalten  der  Jahres-  und  der  Monatstabelle  zu  setzen;  denn 
dort  kann  nur  von  Vergrößerung  der  Entfernung  vom  Apogeum 
die  Rede  sein. 


342  Sechstes  Buch.     Drittes  und  viertes  Kapitel. 

Dieser  Wechsel  ist  mit  Rücksicht  darauf  notwendig,  um  die 
Ansetzung  der  ersten  Sjzygie  (eines  jeden  Jahres)  nach  ganzen 
ägyptischen  Jahren  durchführen  zu  können.  Was  die  An- 
sätze der  Beträge  anbelangt,  so  wird  es  genügen,  dieselben 
bis  zu  den  zweiten  Sechzigteilen  gehen  zu  lassen. 


Drittes  Kapitel. 
iT  Eonjunktionen 

gestalten  sich  folgendermaßen  (s.  S.  343 — 345). 


Hei  4^6^61       ^^®  Tabellen  der  Konjunktionen  und  Vollmonde 


Viertes  Kapitel. 

Berechnung  der  periodischen  und 
der  genauen  Syzygien  nach  den  Tabellen. 

Hei  4^7*2}  Wenn  wir  für  irgendein  in  die  Untersuchung  einbezogenes 
Jahr  die  theoretisch  im  Mittel  betrachteten  Syzygien  fest- 
stellen wollen"^),  so  berechnen  wir,  das  wievielte  das  be- 

10  treffende  Jahr  von  dem  ersten  Jahre  Nabonassars  ab  ist, 
und  sehen  nach,  welche  Zeilen  die  Gesamtzahl  der  Jahre 
enthalten,  die  sich  teils  aus  den  25  jährigen  Perioden  in  einer 
der  beiden  ersten  Tabellen  (d.  h.  je  nachdem  es  sich  um  Kon- 
junktionen oder  Vollmonde  handelt),  teils  aus  den  Einzel- 

15  Jahren  nach  der  dritten  (d.  i.  Jahres-)  Tabelle  zusammensetzt. 
Die  Beträge,  welche  in  den  beiden  Zeilen  in  den  nächst- 
folgenden Spalten  stehen,  werden  wir  in  zugehöriger  Weise 
addieren,  d.  h.  wenn  es  sich  um  synodische  Syzygien  handelt, 
die  Beträge  aus  der  ersten  und  dritten  (der  Jahres-)  Tabelle, 

20  wenn  es  sich  um  Vollmondsyzygien  handelt,  die  Beträge  aus 
der  zweiten  und  dritten  Tabelle.  In  der  Summe  der  aus 
der  zweiten  Spalte  entnommenen  Beträge  werden  wir  den 
Zeitpunkt  der  von  Anfang  jenes  Jahres  ab  gerechneten  Syzy- 
gie  erhalten.    Kommen  z.B.  24^44'  heraus,  so  fällt  der  Zeit- 

25  punkt  der  Syzygie  44'  nach  dem  Mittag  des  24.  Thoth; 
kommen  34*^44'  heraus,  so  fällt  der  Zeitpunkt  ebensoviel 
Sechzigteile  nach  dem  Mittag  des  4.  Phaophi.    Ferner  er- 


Syzygietabellen. 


343 


I.  Tabelle  der  Konjunktionen. 


Tage 

j 

de8  Thoth 

1 

i 
j 

Entfernung 

Entfernung 

des  Mondes 

der  Sonne  und 

des  Mondes 

vom  Apo- 

geum  n  5°30' 

von  dem  Apo- 

geum  des  Epi- 

zykels  in 

Anomalie 

von  dem  nördl. 

Grenzpunkt 

in  Breite 

1 

24d 

44' 

17" 

288° 

38'   50" 

218° 

57' 

15' 

308°   17' 

21" 

26 

24 

41 

30 

282 

81   24 

276 

18 

59 

65   80 

11 

51 

24 

38 

43 

276 

23 

58 

333 

40 

43 

182 

43 

1 
51 

76 

24 

35 

56 

270 

16 

33 

31 

2 

27 

299 

55 

101 

24 

33 

9 

264 

9 

7 

88 

24 

11 

57 

8 

41 

126 

24 

30 

22 

258 

1 

41 

145 

45 

55 

174 

21 

31 

151 

24 

27 

35 

251 

54 

15 

203 

7 

39 

291 

34 

20 

176 

24 

24 

47 

245 

46 

50 

260 

29 

23 

48 

47 

10 

201 
226' 

24 

22 

0 

239 

89 

24 

317 

51 

7 

166 

0 

0 

24 

19 

13 

233 

31 

58 

15 

12 

51 

283 

12 

50 

251 

24 

16 

26 

227 

24 

82 

72 

34 

35 

40 

25 

40 

276 

24 

13 

39 

221 

17 

6 

129 

56 

19 

157 

38 

30 

301 

24 

10 

52 

215 

9 

41 

187 

18 

3 

274 

51 

20 

326 

24 

8 

5 

209 

2 

15 

244 

39 

47 

32 

4 

10 

351 

24 

5 

18 

202 

54 

49 

802 

1 

31 

149 

17 

0 

376 

24 

2 

31 

196 

47 

23 

359 

23 

15 

266 

29 

50 

401 

23 

59 

44 

190 

39 

57 

56 

44 

59 

23 

42 

39 

426 

23 

56 

57 

184 

32 

82 

114 

6 

43 

140 

55 

29 

451 

23 

54 

10 

178 

25 

6 

171 

28 

27 

258 

8 

19 

476 

23 

51 

23 

172 

17 

40 

228 

50 

11 

15 

21 

9 

501 

23 

48 

35 

166 

10 

14 

286 

11 

55 

132 

33 

59 
49 

526 

23 

45 

48 

160 

2 

49 

343 

33 

39 

249 

46 

551 

23 

43 

1 

153 

55 

23 

40 

55 

23 

6 

59 

89 

576 

23 

40 

14 

147 
141 

47 

57 

98 

17 

7 

124 

12 

29 
19 

601 

23 

37 

27 

40 

31 

155 

38 

51 

241 

25 

626 

23 

34 

40 

135 

33 

5 

213 

0 

35 

358 

38 

9 

651 

23 

31 

53 

129 

25 

40 

270 

22 

19 

115 

50 

58 

676 

23 

29 

6 

123 

18 

14 

827 

44 

3 

233 

8 

48 

701 

23 

26 

19 

117 

10 

48 

25 

5 

47 

350 

16 

38 

726 

23 

23 

32 

111 

3 

22 

82 

27 

31 

107 

29 

28 

751 

23 

20 

45 

104 

55 

57 

139 

49 

16 

224 

42 

18 

776 

23 

17 

57 

98 

48 

31 

197 

11 

0 

341 

55 

8 

801 

23 

15 

10 

92 

41 

5 

254 

32 

44 

99 

7 

58 

826 

23 

12 

23 

86 

33 

39 

311 

54 

28 

216 

20 

48 

851 

23 

9 

36 

80 

26 

13 

9 

16 

12 

333 

33 

38 

1  876 

23 

6 

49 

74 

18 

48 

66 

37 

56 

90 

46 

28 

901 

23 

4 

2 

68 

11 

22 

123 

59 

40 

207 

59 

17 

926 

23 

1 

15 

62 

8 

56 

181 

21 

24 

325 

12 

7 

951 

22 

58 

28 

55 

56 

30 

238 

43 

8 

82 

24 

57 

976 

22 

55 

41 

49 

49 

4 

296 

4 

52 

199 

37 

47 

1001 

22 

52 

54 

43 

41 

39 

353 

26 

86 

316 

50 

87 

1026 

22 

50 

7 

37 

34 

13 

50 

48 

20 

74 

8 

27 
17 

1051 

22 

47 

20 

31 

26 

47 

108 

10 

4 

191 

16 

1076 

22 

44 

32 

25 

19 

21 

165 

31 

48 

308 

29 

7 

1101 

22 

41 

45 

19 

11 

56 

222 

53 

32 

65 

41 

57 

344 


Sechstes  Buch.     Drittes  Kapitel. 
II.  Tabelle  der  Vollmonde. 


M  liO 

a  Ol 

11 

Entfernung 

Entfernung  des  Mondes 

Tage  des  Thoth 

der  Sonne  vom 
Apogeum 
JI5«30' 

von  dem  Apo- 
geum des  Epi- 
zykels  in 
Anomalie 

von  dem  nördl. 

Grenzpunkt 

in  Breite 

1 
S6 
51 

9d 

9 

9 

58' 
55 
52 

22" 
35 

48 

2740 

267 

261 

5' 
58 
50 

38" 

12 

46 

26« 

83 

140 

2' 
24 
46 

45" 

29 

13 

1120 
230 
347 

57' 
10 

22 

15" 

5 

55 

76 
101 
126 

9 
9 
9 

50 

47 
44 

1 
14 
27 

255 
249 
243 

43 
35 

28 

21 
55 
29 

198 
255 
312 

7 
29 
51 

57 
41 
25 

104 
221 
339 

35 

48 
1 

45 
35 

25 

151 
176 
201 

9 
9 
9 

41 
38 
36 

40 

52 

5 

237 
231 
225 

21 

13 

6 

3 

38 
12 

10 

67 

124 

13 
34 
56 

9 
53 
37 

96 
213 
330 

14 
27 
39 

14 

4 

54 

226 
251 
276 

9 
9 
9 

33 
30 
27 

18 
31 
44 

818 
212 
206 

58 
51 
43 

46 
20 
54 

182 
239 
297 

18 
40 

1 

21 

5 

49 

87 
205 
322 

52 

5 

18 

44 
34 
24 

301 
326 
351 

9 
9 
9 

24 
22 
19 

57 
10 
23 

•200 
194 

188 

36 
29 
21 

29 

3 

37 

354 

51 

109 

23 
45 

7 

33 

17 
1 

79 
196 
313 

31 
44 
56 

14 
4 
54 
44 
33 
23 

376 
401 
426 

9 
9 
9 

16 
13 
11 

36 

49 

2 

182 
176 
169 

14 

6 

59 

11 
45 
20 

166 
228 

281 

28 
50 
12 

45 
29 
13 

71 

188 
305 

9 
22 
35 

451 
476 
501 

9 
9 
9 

8 
5 
2 

15 
27 
40 

163 
157 
151 

51 
44 
37 

54 

28 

2 

338 
35 
93 

38 

55 
17 

57 
41 
25 

62 
180 
297 

48 

1 

13 

13 

3 

53 

526 
551 
576 

8 
8 
8 

59 
57 
54 

53 

6 

19 

145 
139 
133 

29 
22 
14 

37 
11 
45 

150 
208 
265 

39 

0 

22 

9 
53 
37 

54 
171 

288 

26 
39 
52 

43 
33 
23 

601 
626 
651 

8 
8 
8 

51 
48 
45 

32 
45 

58 

127 
120 
114 

7 
59 
52 

19 
53 

28 

322 
20 

77 

44 
6 

27 

21 

5 

49 

46 
163 
280 

5 
18 
30 

13 

3 

52 

676 
701 
726 

8 
8 
8 

43 
40 
37 

11 
24 
37 

108 

102 

96 

45 
37 
30 

2 

36 
10 

134 
192 
249 

49 

11 
33 

33 

17 

1 

37 
154 
272 

43 

56 
9 

42 
32 
22 

751 
776 
801 

8 
8 
8 

34 
32 

29 

50 

2 

15 

90 

84 
78 

22 

15 

7 

45 
19 
53 

306 

4 

61 

54 
16 
38 

45 

29 
14 

29 
146 
263 

22 
35 
47 

12 
2 
52 
42 
32 
22 

826 
851 
876 

8 
8 
8 

26 
23 
20 

28 
41 
54 

72 
65 

59 

0 
53 
45 

27 

1 

36 

118 
176 
233 

59 
21 
43 

58 
42 
26 

21 
138 
255 

0 
13 

26 

901 
926 
951 

8 
8 
8 

18 
15 
12 

7 
20 
33 

53 

47 
41 

38 
30 
23 

10 
44 
18 

291 

348 

45 

5 
26 

48 

10 
54 
38 

12 
129 
247 

39 
52 
4 

11 

1 

51 

976 
1001 
1026 

8 
8 
8 

9 
6 
4 

46 
59 
12 

35 
29 
23 

15 

8 

1 

52 
27 

1 

103 
160 

217 

10 
32 
53 

22 

6 

50 

4 
121 
238 

17 
30 
43 

41 
31 
21 

1051 
1076 
1101 

8 
7 
7 

1 
58 
55 

25 
37 
50 

16 
10 
4 

53 
46 
38 

35 

9 

44 

275 

312 

29 

15 
37 

59 

34 

18 
2 

355 
113 
230 

56 

9 

21 

11 

1 
51 

Syzygietabellen. 
IIL  Jahrestabelle. 


345 


3| 

Über- 
schießende 
Tage 

Überschuß 
der  Sonnen- 
bewegung 

Überschuß  der  Mondbewegung 

in  Anomalie 

in  Breite 

1 

2 
3 

18d 

8 

27 

53' 

15 

9 

52" 

53 

45 

18» 

7 
26 

22' 

39 

2 

59" 

36 

35 

335» 

285 
261 

37' 
25 

2 

2" 

38» 
46 

85 

43' 
45 

28 

4' 
54 
57 

4 
5 
6 

16 
5 

24 

31 
53 
47 

47 

49 
40 

15 

4 

22 

19 
35 

58 

11 

47 
47 

210 
160 
136 

50 
88 
15 

93 
101 
140 

31 
34 
17 

47 
37 
41 

7 
8 
9 

14 
3 

22 

9 
31 
25 

42 
44 
36 

12 

1 

19 

15 
31 
54 

28 

59 
59 

86 
35 
11 

3 

51 
28 

148 
156 
195 

20 

23 

6 

30 
20 
24 

10 
11 
12 

11 

1 

20 

47 
9 
3 

37 
39 
31 

9 

358 

16 

11 
28 
51 

35 
10 

321 
271 
246 

16 

4 

41 

21 

203 
211 
249 

9 
12 
55 

14 
3 

7 

13 
14 
15 

9 
28 
17 

25 
19 
41 

32 
24 
26 

6 
24 
13 

7 
30 

47 

47 
46 
22 

196 
172 
121 

29 

6 

54 

23 
25 
26 

257 
296 
304 

57 
41 
43 

57 

1 
50 

16 

17 
18 

7 
25 
15 

3 

57 
19 

28 
19 
21 

3 

21 
10 

.1 

43 

59 
58 
34 

71 

47 

357 

42 
19 

7 

28 
30 
32 

312 
351 
359 

46 
29 
32 

40 
44 
34 

19 
20 
21 

4 
23 

12 

41 
35 
57 

23 
14 
16 

0 

18 

7 

0 
23 
39 

10 
10 
46 

306 

282 
232 

55 
32 
20 

33 
35 
37 

7 
46 
54 

35 
18 
21 

23 

27 
17 

22 
23 
24 

2 
21 
10 

19 
13 
35 

18 
10 
11 

356 
15 
4 

56 
19 
35 

22 
22 
58 

182 
157 
107 

8 
45 
33 

39 
41 
42 

62 
101 
109 

24 

7 

10 

7 

10 

0 

Finsternisgrenzen 

der  Sonne:  69"  19'— 101«» 22'  und  258° 38'— 290« 41' 1  _...., ^„  t  o„fa 
des  Mondes:  740  48' -  105o  12'  und  2540  48'- 285°  12' |  ""'"^«'«^  ^*"^'- 

IV.  Monatstabelle. 

Syn. 
Mo- 
nate 

Tage 

Sonnen- 
bewegung 

Überschuß  der  Mondbewegung 

in  Anomalie 

in  Breite   | 

1 
2 
3 

29d 

59 

88 

31' 

3 

35 

50" 

40 

30 

29° 
58 
87 

6' 
12 
19 

23" 

46 

9 

25» 
51 

77 

49' 
38 
27 

0" 

0 

0 

30O 
61 

92 

40' 

20 

0 

14" 
28 

42 

4 
5 
6 

118 
147 

177 

7 
39 
11 

21 
11 

1 

116 
145 
174 

25 
31 

38 

32 
55 

18 

103 

129 
154 

16 

5 

54 

122 
153 

184 

40 
21 

1 

57 
11 
25 

7 
8 
9 

206 
236 
265 

42 
14 
46 

51 
41 
31 

203 
232 
261 

44 

51 

57 

41 
4 

27 

180 
206 
232 

43 
32 
21 

214 
245 

276 

41 

21 

2 

39 
53 

7 

10 
11 
12 

295 
324 
354 

18 
50 
22 

21 
12 

2 

291 
320 
349 

3 
10 
16 

50 
13 
36 

258 
283 
309 

10 
59 

48 

1 
2 
2 

306 
337 

8 

42 

22 

2 

21 
36 
50 

346  Sechstes  Buch.     Viertes  Kapitel. 

halten  wir  in  der  Summe  der  aus  der  dritten  Spalte  ent- 
nommenen Beträge  die  Grade  (der  Sonne  und  des  Mondes) 
vom  Apogeum  der  Sonne*)  ab,  in  der  Summe  der  aus  der 
vierten  Spalte  entnommenen  die  Grade  des  Mondes  in  Ano- 
5  malie  vom  Apogeum  (des  Epizykels)  ab,  endlich  in  der  Summe 
Hei 473  der  aus  der  fünften  entnommenen  die  Grade  der  Breite  von 

7  dem  nördlichen  Grenzpunkt  ab. 
Ha  385       Die  weiteren  Sjzygien  (des  in  Frage  stehenden  Jahres), 
mögen  wir  alle  oder  nur  einige  zu  erhalten  beabsichtigen, 

10  werden  wir  der  Reihe  nach  durch  Addition  der  in  der  vier- 
ten, d.  i.  der  Monatstabelle  stehenden  Beträge  zu  den  zu- 
gehörigen Werten  auf  bequeme  Weise  mit  dazuberechnen. 
Hierbei  werden  wir  bei  jeder  Zeitangabe,  weil  dies  dem 
praktischen  Gebrauch  entspricht,  die  Sechzigteile  des  Tages 

16  in  Aquinoktialstunden  verwandeln.  Freilich  wird  der  aus 
der  Summierung  hervorgehende  Überschuß  an  Stunden  auf 
der  Annahme  beruhen,  daß  die  Sonnentage  gleichförmig  sind; 
indessen  entspricht  dieser  Überschuß  keineswegs  immer  dem 
nach  bürgerlicher  Zeit  festgestellten,  sondern  muß  mitRück- 

20  sieht  auf  die  Ungleichförmigkeit  der  Sonnentage  berechnet 
werden.^)  Daher  werden  wir  auch  den  hier  sich  einstellen- 
den Fehler  durch  Korrektion  beseitigen,  indem  wir,  wie 
(S.  190,  29)  gezeigt  ist,  die  aus  diesem  Grunde  eintretende 
Differenz  bilden  und,  wenn  der  nach  dem  ungleichförmigen 

25  Intervall  sich  ergebende  Überschuß  der  Zeitgrade  größer 
ist,  diese  Differenz  von  dem  nach  der  gleichförmigen  Sonnen- 
bewegung gegebenen  Zeitbetrag  abziehen;  ist  er  aber  klei- 
ner, so  werden  wir  die  Differenz  zu  letzterem  Betrag  ad- 
dieren. 

30  Hat  man  nun  auf  diese  Weise  den  theoretisch  nach  dem 
mittleren  Lauf  bemessenen  Zeitpunkt  einer  Konjunktion 


a)  Bei  Berechnung  der  Yollmonde  natürlich  die  dem  Sonnen- 
orte diametral  gegenüberliegenden  Grade  des  Mondes. 

b)  D.  h.  die  gegebenen  gleichförmigen  Sonnentage  sind  in 
bürgerliche  umzurechnen,  weil  die  Beobachtung  des  Eintritts 
der  Syzygie  nach  bürgerlicher  Zeit  angestellt  wird.  Vgl. 
S.  191,10. 


Berechnung  der  Syzygien.  347 

oder  eines  Vollmondes  und  die  für  diese  Zeit  geltenden  Ano- 
malien beider  Lichtkörper  gewonnen,  so  wird  erstens  auch 
Zeitpunkt  und  Stelle  der  genauen  Syzjgie  und  zweitens 
der  Ort  des  Mondes  in  Breite  aus  der  zahlenmäßigen  Ver- 
gleichung  der  beiden  Anomalien  leicht  zu  ermitteln  sein.  5 
Nach  Maßgabe  einer  jeden  derselben  ist  zunächst  der  genaue 
Ort  der  Sonne  und  der  genaue  Ort  des  Mondes  in  Breite 
festzustellen,   wie   er  sich  zu  der  ermittelten  periodischen 
Zeit  vermittels  der  gefundenen  Prosthaphäresis  ergibt.  Werden 
Sonne  und  Mond  auch  dann  noch  in  demselben  Grad  oder  10 
genau   diametral  gegenüber  gefunden,  so  werden  wir  auch  Hei  474 
für  die  genaue  Syzygie  denselben  Zeitpunkt  erhalten.  Wenn  Ha  386 
dies  aber  nicht  der  Fall  ist,  so  nehmen  wir  die  Grade  ihrer 
Elongation,  addieren  dazu  ein  Zwölftel  der  Strecke  *)  für  das 
Stück,  welches  die  Sonne  durch  ihre  Weiterbewegung  un-  15 
gefähr   zusetzt,   und  werden   (wie   S.  348, 3   gezeigt  wird) 
feststellen,  in  wieviel  Äquinoktialstunden  der  Mond  soviel 
Grade  zurzeit   in   ungleichförmiger  Bewegung  (d.  i.  in 
den  Entfernungen,  welche  größer  oder  kleiner  als  die  mitt- 
lere  sind)  zurücklegen  wird.     Liegt   der   genaue   Ort  des  20 
Mondes  weiter  zurück  als  der  der  Sonne,  so  werden  wir  die 
erhaltenen  Stunden  zu  der  periodischen  Zeit  addieren  (d.h. 
die  genaue  Syzygie  tritt  um  soviel  später  ein  als  die  mitt- 
lere), liegt   er  weiter  vorwärts,  davon  subtrahieren  (d.  h. 
die  genaue  Syzygie  ist  um  soviel  eher  eingetreten  als  die  25 
mittlere).     Desgleichen  werden   wir,  wenn  der  zur  perio- 
dischen Zeit  stattfindende  genaue  Ort  des  Mondes  weiter 
zurückliegt  als  der  der  Sonne,  die  Grade   der  Elongation 
wieder  mit  Einschluß  des  Zwölftels  der  Strecke  zu  seinem 
Ort  addieren,  wenn  er  aber  weiter  vorwärts  liegt,  in  Länge  30 
und  Breite   davon  abziehen.     So  werden    wir  ohne   merk- 
lichen  Fehler   erstens   (durch   die  Stundenberechnung)  die 
Zeit  der  genauen  Syzygie  erhalten,  und  zweitens  (durch 
die     Gradberechnung)    den     (für     ebendiese     Zeit    gelten- 


a)  Die  ausführliche  Erklärung  dieses  Zwölftels  wird  S.  335,  28 


348  Sechstes  Bucli.     Yiertes  Kapitel. 

den)   genauen   Ort    des   Mondes    auf   dem    schiefen 
Kreise  erzielen.*^ 

Noch  bleibt  mitzuteilen,  wie  die  in  der  Nähe  der  Syzygien 
verlaufende  stündliche  ungleichförmige  Bewegung  des 
5  Mondes  von  Fall  zu  Fall  gefunden  wird.  Mit  der  für  den 
gegebenen  Zeitpunkt  gefundenen  Zahl  der  Anomaliegrade 
gehen  wir  zunächst  in  die  Tabelle  der  Anomalie  (Buch  V, 
Kap.  8)  des  Mondes  ein  und  stellen  aus  der  Differenz,  welche 
sich  aus  den  bei  dieser  Argumentzahl  (in  der  4*®^  Spalte  eine 

10  Zeile  höher  oder  tiefer)  stehenden  Prosthaphäresisbeträgen 

ergibt,  den  auf  einen  Grad  der  Anomalie  entfallenden  Be- 

Bei  475  trag   der  Differenz  fest.     Diesen  Betrag  multiplizieren  wir 

mit  der  stündlichen  mittleren  Bewegung  in  Anomalie,  d.i. 

Ha  387  (S.  204,32)  mit  0^3 2' 40'^,  und  ziehen  das  Ergebnis,  wenn 

16  die  Argumentzahl  der  Anomalie  in  den  Zeilen  oberhalb 
des  Maximums  (5^1')  der  Prosthaphäresis  steht,  von  der 
stündlichen  mittleren  Bewegung  in  Länge,  d.  i.  (S.  204, 3l) 
von  0*'82'56"  ab,  addieren  es  aber  zu  diesem  Betrage,  wenn 
die  Argumentzahl  in  den  Zeilen  unterhalb  besagten  Maxi- 

20  mums  steht.^^  In  dem  Endergebnis  werden  wir  den  Betrag 
erhalten,  den  sich  der  Mond  in  dem  betreffenden  Falle 
im  Verlauf  einer  Aquinoktialstunde  in  Länge  ungleich- 
förmig bewegt.*^^ 

Durch  das  vorstehend  mitgeteilte  methodische  Verfahren 

26  wird  der  für  Alexandria  geltende  Zeitpunkt  der  genauen 
Syzygie  ermittelt  werden,  weil  für  alle  Epochen  die  Fest- 
stellung der  Zeit  nach  Stunden  für  den  Meridian  von  Ale- 
xandria gemacht  sind.  Es  ist  aber  leicht  aus  der  für  Ale- 
xandria geltenden  Zeit  auch  die  zu  finden,  welche  in  jeder 

30  beliebigen  geographischen  Breite  für  dieselbe  Syzygie  gelten 
wird,  wenn  für  den  Eintritt  der  Syzygie  die  Zahl  der  Äqui- 

a)  Und  somit  nach  der  siebenten  Spalte  der  Tabelle  der  Ge- 
samtanomalie des  Mondes  seine  Breite,  nach  welcher  es  sich 
entscheidet,  ob  die  Syzygie  mit  einer  Finsternis  verbunden  ist 
oder  nicht. 

b)  Weil  im  ersten  Falle  der  Mond  auf  dem  erdfernen  Halb- 
kreise sich  mit  kleinerer  als  mittlerer  Geschwindigkeit  in  Länge 
bewegt,  im  zweiten  Falle  auf  dem  erdnahen  mit  größerer. 


Sechstes  Buch.     Fünftes  Kapitel.  349 

noktialstunden  des  Meridianabstandes  gegeben  ist.  Denn 
nachdem  wir  aus  der  unterschiedlichen  Lage  der  Wohnorte 
festgestellt  haben,  um  wieviel  Raumgrade  (des  Äquators) 
der  Meridian  des  in  Frage  stehenden  Landes  von  dem  durch 
Alexandria  gehenden  differiert,  so  wird  anzunehmen  sein,  5 
daß  dort  die  Erscheinung  um  ebensoviele  Zeitgrade  später 
beobachtet  worden  ist,  wenn  der  durch  das  fragliche  Land 
gehende  Meridian  östlich  des  Meridians  von  Alexandria 
liegt,  dagegen  um  ebensoviele  Zeitgrade  früher,  wenn  er 
westlich  davon  liegt,  wobei  natürlich  wieder  15  Zeitgrade  10 
auf  eine  Äquinoktialstunde  zu  rechnen  sind.-^^ 

Fünftes  Kapitel. 
Die  Grenzen  der  Sonnen-  und  Mondfinsternisse. 

Nach  diesen  grundlegenden  Erörterungen  dürfte  es  derfne^i  47e 
logischen  Reihenfolge  nach  am  Platze  sein,  die  näheren  Um- 
stände zu  besprechen,  von  denen  die  Bestimmung  der  Grenzen 
von   Sonnen-  und  Mondfinsternissen  abhängig  ist.     Durch  15 
diese  Bestimmung  erreichen  wir,  falls  wir  nicht  alle  perio- 
dischen Syzygien  zu  berechnen  beabsichtigen,  sondern  nur 
diejenigen,   welche   möglicherweise   in  das  Bereich   der 
charakteristischen  Anzeichen  von  Finsternissen  fallen,  eine 
leicht  zu  handhabende    zahlenmäßige  Feststellung   solcher  20 
Fälle  aus  dem  mittleren  Ort  des  Mondes  in  Breite,  der  für 
jede  periodische  Syzygie  an  die  Hand  gegeben  sein  muß. 

In  dem  vorhergehenden  Buche  haben  wir  (S.  309,  ll)  nach- 
gewiesen, daß  der  Durchmesser  des  Mondes  auf  dem  größ- 
ten Kreise,  welcher  in  seiner  größten  Entfernung  um  den  26 
Mittelpunkt  der  Ekliptik  gezogen  ist,  als  Sehne  einen  Bogen 
von  0^31' 20"  unterspannt.  Errechnet  hatten  wir  dieses  Er- 
gebnis mit  Hilfe  von  zwei  Finsternissen,  welche  in  der  Nähe 
des  Apogeums  seines  Epizykels  stattgefunden  hatten.  So 
werden  wir  denn  jetzt,  wo  wir  die  weitesten  Grenzen  der  80 
mit  Finsternissen  verbundenen  Syzygien  zu  bestimmen  be- 
absichtigen —  es  sind  die  Grenzen,  welche  sich  einstellen, 
wenn  der  Mond  direkt  im  Perigeum  des  Epizykels  steht  — 


350  Sechstes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

wieder  mit  Hilfe  von  zwei  in  der  Nähe  des  Perigeums 
beobachteten  Finsternissen   —  denn  die  Sicherheit  ist  un- 
bedingt größer,  wenn  man  solche  Verhältnisse  direkt  an  den 
Ha  389  Erscheinungen  darlegt  —  den  Nachweis  liefern,  einen  wie 
Hei  477  großen  Bogen  der  Durchmesser  des  Mondes  auch  in  diesem 
6  Falle  in  gleichem  Sinne*)  unterspannt. 

Im  7*®^  Jahre  Philometors,  welches  das  574*^  seit  Nabo- 
nassar  ist,  am  27/28.  ägyptischen  Phamenoth  (30.  April  174 
V.  Chr.),  war  von  Beginn  der  achten  Stunde  bis  Ende  der 
10  zehnten  in  Alexandria  eine  Mondfinsternis,  deren  Maximum 
7  Zoll  von  Norden  betrug.  Demnach  hat  die  Mitte  der 
Finsternis  272  bürgerliche  Stunden  nach  Mitternacht  (2^20°^) 
stattgefunden,  welche  2Y3  Äquinokti  aistun  den  ausmachten  ^\ 
weil  der  genaue  Ort  der  Sonne  \j  6^15'  (ö^S'lS"  +  l^^lO'j 
15  war.«) 

Nun  beträgt  die  Zeit  von  der  Epoche  bis  zur  Mitte  der 
Finsternis  573  ägyptische  Jahre,  206  Tage  und  I4Y3  Äqui- 
noktialstunden  schlechthin,  aber  nur  14  nach  der  Eechnung 
mit  gleichförmigen  Sonnentagen.    Für  diese  Zeit  war 
20  der  mittlere  Ort  des  Zentrums  des  Mondes  vi  7^49', 

der  genaue  Ort      „  „  „         „  ^  6n6', 

die  Entfernung  von  dem  Apogeum  des  Epizykels      163*^40', 
die   Entfernung  vom   nördlichen   Grenzpunkt   des 

schiefen  Kreises  98*20'. 

25       Hieraus  ist  folgendes  ersichtlich.   Wenn  das  Zentrum  des 

Mondes,  während  er  in  seiner  kleinsten  Entfernung  steht, 


a)  D.  h.  auf  dem  größten  Kreise,  welcher  in  der  kleinsten 
Entfernung  des  Mondes  durch  sein  Zentrum  um  den  Mittelpunkt 
der  Ekliptik  gezogen  wird. 

b)  Da  hiernach  die  bürgerliche  Nachtstunde  56°^  beträgt,  so 
beginnt,  weil  das  Ende  der  sechsten  auf  Mitternacht  fällt,  die 
achte  Stunde  12^56°^;  mithin  war  das  Ende  der  von  Beginn 
der  achten  bis  Ende  der  zehnten  Stunde  3  Stunden  zu  56°^  (oder 
2  Äquinoktialstunden  und  48™)  dauernden  Finsternis  3^44™,  die 
Mitte  12^56°^  -f- 1  Äquinoktialstunde  -f  24"^  =  2^20°^  nachts. 

c)  Die  Nachprüfung  ergibt,  daß  d\  d.  i.  y^,  zu  lesen  ist. 


Finsternisgrenzen.  351 

auf  dem  schiefen  Kreise  eine  Entfernung  von  8^20'  von  den 
Knoten*^  hat,  und  wenn  das  Zentrum  des  Schattens  auf  dem 
größten  Kreise  liegt,  der  durch  das  Zentrum  des  Mondes 
senkrecht  zu  seinem  schiefen  Kreise  gezogen  wird,  was  die 
Lage  ist,  in  welcher  (bei  der  genannten  Entfernung  von  den  5 
Knoten)  das  Maximum  der  Verfinsterungen  eintritt,  dann 
fallen  '/jg  ^^^  seinem  Durchmesser  in  den  Schatten. 

Im  37*®^  Jahre  der  dritten  Kailippischen  Periode,  welches  Ha  39( 
das  607*®  Jahr  seit  ISTabonassar  ist,  hat  am  2/3.  ägyptischen  Hei  4?) 
Tybi  (27.  Januar  141  v.  Chr.)  zu  Anfang  der  fünften  Stunde  10 
auf  Rhodus  der  Beginn  einer  Mondfinsternis  stattgefunden, 
deren  Maximum  drei  Zoll  von  Süden  betrug.   Demnach  fand 
auch  hier  wieder  der  Anfang  der  Finsternis  2  bürgerliche 
Stunden  vor  Mitternacht  (9^40°^)  statt,  welche  in  Rhodus 
und  Alexandria  (2  x  70™  =)  2V3  Äquinoktialstunden**)  aus-  15 
machten,  weil  der  genaue  Ort  der  Sonne  ==:  5^8'  war.    Die 
Mitte ^',  zu  welcher  das  Maximum  der  Verfinsterung  eintrat, 
fiel  1%  Äquinoktialstunde  vor  Mitternacht  (10^10"^). 

Nun  beträgt  die  Zeit  von  der  Epoche  bis  zur  Mitte  der 
Finsternis  606  ägyptische  Jahre,  121  Tage  und  lOVe  Äqui-  20 
noktialstunden  sowohl  schlechthin  als  auch  nach  der  Rech- 
nung   mit    gleichförmigen    Sonnentagen.      Für    diese    Zeit 
war 

der  mittlere  Ort  des  Zentrums  des  Mondes  q  5°  16', 

der  genaue  Ort      „  „  „         „  ^5®  8',  26 

die  Entfernung  von  dem  Apogeum  des  Epizykels      178^46', 
die   Entfernung  von   dem  nördlichen   Grenzpunkt 

des  schiefen  Kreises  280*36'. 

Hieraus  ist  wieder  folgendes  ersichtlich.   Wenn  das  Zen- 
trum des  Mondes,  während  er  wieder  in  seiner  kleinsten  30 
Entfernung  steht,  auf  dem  schiefen  Kreise  eine  Entfernung 


a)  Es  handelt  sich  um  die  entgegengesetzte  (d.  i.  südliche) 
Seite  des  niedersteigenden  Knotens  wie  S.  307,  22. 

b)  Da  die  Mitte  schon  nach  30°^  eintritt,  so  kommt  auf  die 
ganze  Dauer  nur  eine  Stunde,  was  ganz  unzureichend  ist.  Vgl. 
erl.  Anm.  44. 


352  Sechstes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

von   10^36'  von  den  Knoten*^  hat,  während  das  Zentrum 
des  (Erd-)  Schattens  in  dem  gemeinsamen  Schnittpunkt  der 
Ekliptik  und  des  größten  Kreises  liegt,  der  durch  das  Zen- 
trum des  Mondes  senkrecht  zu  seinem  schiefen  Kreise  ge- 
5  zogen  wird,  dann  wird  der  vierte  Teil  des  Monddurch- 
messers in  den  Schatten  fallen. 
Hei  479      Nuu  beträgt,  wenn  das  Mondzentrum  auf  dem  schiefen 
Kreise  eine  Entfernung  von  8^20'  von  den  Knoten  hat,  sein 
Ha  391  Abstand  von  der  Ekliptik  auf  dem  durch  die  Pole  des  schie- 
10  fen  Kreises  (des  Mondes)  gezogenen  größten  Kreis  0^43' 3".^^ 
Hat  es  aber  auf  dem  schiefen  Kreise  von  den  Knoten  eine 
Entfernung  von  10^36',  so  beträgt  sein  Abstand  von  der 
Ekliptik  auf  dem  durch  die  Pole  des  schiefen  Kreises  ge- 
zogenen größten  Kreis  0^54' 50".    Da  nun  der  unterschied 
15  der  beiden  Finsternisse  (Yjg  ^^  —  V4  ^°^)  ^^^  dritten  Teil 
des  Monddurchmessers  und  der  Unterschied  der  beiden  fest- 
gestellten Abstände  des  Mondzentrums  auf  demselben  größ- 
ten Kreise   von   demselben  Punkte   der  Ekliptik,  d.  i.  von 
dem  Schattenzentrum,  ohne  merklichen  Fehler  (0^54' 50"  — 
20  0^3' 3"  =)Oni' 47"  beträgt,  so  leuchtet  ein,  daß  der  ganze 
Durchmesser  des  Mondes  auf  dem  in  seiner  kleinsten  Ent- 
fernung um  den  Mittelpunkt  der  Ekliptik  gezogenen  größten 
Kreis  (als  das  Dreifache  davon)  einen  Bogen  von  0^35' 20" 
unterspannt. 
26       Da  ferner  bei  der  zweiten   Finsternis,  bei  welcher  ein 
Viertel  des  Monddurchmessers  verfinstert  war,  das  Mond- 
zentrum von  dem  Schattenzentrum  0^54' 50"  und  von  dem 
r  Punkte  (c),  in  welchem 

die     Verbindungslinie 
80  7"^   ^  der  beiden  Mittelpunk- 

te die  Peripherie   des 
Schattens      schneidet. 
Hei  480        /  /  \  ^^v^  den    vierten  Teil    des 

^ß  Monddurchmessers,  d.i. 

a)  Es  handelt  sich  um  die  entgegengesetzte  (d.  i.  nördliche) 
Seite  des  aufsteigenden  Knotens  wie  S.  308,  28. 

b)  Hierzu  vgl.  Anm.  a)  S.  309. 


Finsternisgrenzen. 


353 


0^8' 50"  abstand,  so  leuchtet  ohne  weiteres  ein,  daß  für  den 
Halbmesser  (ac)  des  Schattens  in  der  kleinsten  Entfernung 
des  Mondes  der  Rest  {0^  6^' 60" —  O'^S' 60"  =)  0H6'  ver- 
bleibt..*^ Folglich  ist  der  Halbmesser  des  Schattens  un- 
beträchtlich (d.i.OöO'4")  größer  als  das  275fache  (=  0<'45'56")  5 
des  Mondhalbmessers,  der  0^1 7' 40"  beträgt. 

I.  Grenzen  der  Sonnenfinsternisse. 

Auch  der  Halbmesser  der  Sonne  unterspannt  im  gleichen  Ha 
Sinne  auf  dem  in  ihrer  Entfernung  um  den  Mittelpunkt  der 
Ekliptik  gezogenen  größten  Kreise  einen  Bogen  von  0°15'40".  10 
Denn  es  wurde  (S.  305, 26)  nachgewiesen,  daß  sowohl  die 
Sonne  als  auch  der  Mond  bei  seiner  größten  Entfernung  in 
den  Syzygien  als  Maß  gleichoft  in  dem  eigenen  (Entfernungs-) 
Kreise   aufgeht.     Wenn  also  das   scheinbare  Zentrum   des 
Mondes^)  von  dem  Zentrum  der  Sonne  beiderseits  der  Eklip-  15 
tik  einen  Abstand  von  (On7'40"  +  0n5'40"=)  0033'20" 
hat,  dann  wird  erstmalig  die  Möglichkeit  eintreten,  daß  die 
scheinbare  Lage  des  Mondes  mit  der  Sonne  in  Berührung 
komme. 

Denken  wir  uns  z.  B.  AB  als  einen  Bogen  der  Ekliptik  20 
und  TA  als  einen  Bogen  des  schiefen 
Kreises  des  Mondes.  Diese  Bogen  mögen 
für  die  sinnliche  Wahrnehmung  als  par- 
allel gelten,  insoweit  es  sich  um  die 
Laufstrecken  handelt,  welche  während 
der  Dauer  einer  Finsternis  zurückgelegt 
werden.  Wenn  wir  durch  die  Pole  der 
Ekliptik  den  Bogen  A  E  f  ziehen  und  uns 
um  Punkt  A  den  Halbkreis  der  Sonne 
und  um  Punkt  E  den  scheinbaren  Halb-  ^  30 


2ö 


a)  Die  von  mir  beigegebene  Figur  zeigt,  daß  in  der  klein- 
sten Entfernung  des  Mondes  der  Schattenhalbmesser  die  Diffe- 
renz ab  —  hc  =  ac  beträgt.    Vgl.  S.  309,  22. 

b)  D.h.  der  infolge  der  Parallaxe  eingenommene  Ort  des  Mond- 
zentmms  in  der  kleinsten  Entfernung  (d.  i.  bei  dem  Mond- 
halbmesser von  17'40"). 

Ptolemäus,  übers,  v.  Manitius.   I.  23 


354  Sechstes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

Hei  481  kreis  des  Mondes  denken,  so  daß  er  den  der  Sonne  in  Punkt Z 
erstmalig  berührt,   so  kann  der  Bogen  AE,   welchen   das 
scheinbare  Mondzentrum  E  als  Abstand  von  dem  Sonnen- 
zentrum A  hat,  einmal  gleich  den  oben  festgestellten  0^33'20" 
5  werden. 

Nun  beträgt  in  dem  Gebiete  von  Meroe,  wo  der  längste 

Tag  13  Äquinoktialstunden  hat,  bis  zu  den  Mündungen  des 

Borysthenes,  wo  der  längste  Tag  16  Äquinoktialstunden 

hat,   (d.i.  von   16*^27'  bis  48^32'  nördlich  des  Äquators) 

Ha  393  in  der  kleinsten  Entfernung  zur  Zeit  der  Syzygien,  wenn 

11  man  die  Parallaxe  der  Sonne  in  Rechnung  bringt,  das  Maxi- 
mum der  nordwärts  wirkenden  Parallaxe  des  Mondes  (in 
Meroe)  ohne  merklichen  Fehler  0®8'*\  das  Maximum  der 
südwärts  wirkenden  (am  Borysthenes)  unter  gleicher  Vor- 

15  aussetzung^^  0*^58'.  Es  beträgt  ferner  einerseits  bei  der 
nordwärts  wirkenden  Parallaxe  von  0^8'  das  Maximum  der 
Längenparallaxe  im  Löwen  und  in  den  Zwillingen  0^30', 
anderseits  bei  der  südwärts  wirkenden  Parallaxe  von  0^58' 
das  Maximum  der  Längenparallaxe  im  Skorpion  und  in  den 

20  Fischen  0"15'.  Wenn  wir  demnach  das  genaue  Mondzentrum 

in  A  annehmen  und  als  Verbindung  den  Bogen  AE  ziehen, 

welcher  die  ganze  (Höhen-)  Parallaxe  darstellt,  so  wird  Af 

die  Längenparallaxe  und  FE  die  Breitenparallaxe  sein. 

Wenn  also  der  Mond  nördlich  der  Sonne  steht  und  das 

25  Maximum  der  südwärts  wirkenden  Parallaxe  zeigt  ^'^  dann 
wird  ohne  merklichen  Fehler  AT  gleich  0^15'  und  AEf 


a)  Der  Knoten,  in  dessen  Nähe  der  Mond  steht,  muß  dann 
im  Sommerwendepunkt  liegen,  der  in  Meroe  ungefähr  7°  nörd- 
lich des  Zenits  kulminiert.  Das  Maximum  der  Längenparal- 
laxe tritt  dann  gleichweit  beiderseits  von  G  0®  im  Löwen  und 
in  den  Zwillingen  ein. 

b)  Der  Knoten  muß  dort  im  Winterwendepunkt  liegen,  der 
am  Borysthenes  mit  72"  Zenitabstand  kulminiert.  Das  Maxi- 
mum der  Längenparallaxe  tritt  dann  gleichweit  beiderseits 
von  S'  0"  im  Skorpion  und  in  den  Fischen  ein. 

c)  Am  Borysthenes;  denn  wenn  er  dort  südlich  der  Sonne 
steht,  wird  er  durch  die  südwärts  wirkende  Parallaxe  von  der 
Sonne  abgerückt. 


Finäternisgrenzen.  355 

gleich  (0<^33'20''  +  0^58'  =)  1^31'  sein.  Da  ferner  der  Heises 
Bogen  vom  Knoten  bis  f  zu  dem  Bogen  TA  auf  3er  inner- 
halb der  Finsternisgrenzen  liegenden  Strecke  das  Verhältnis 
von  IIY2  •  1  hat^^^  —  verständlich  wird  uns  dies  mit  Hilfe 
der  früher  (S.  284, 34)  bei  der  Neigung  des  Mondkreises  5 
geführten  Nachweise  — ,  so  wird  der  Bogen  vom  Knoten 
bis  r  gleich  17^26'  und  mit  dem  Zusatz  von  AT  (0°15') 
im  ganzen  gleich  17^41'  sein. 

Wenn  aber  der  Mond  südlich  der  Sonne  steht  und  das 
Maximum  der  nordwärts  wirkenden  Parallaxe  zeigt*^  dann  10 
wird  Ar  gleich  0^30'  und  der  ganze  Bogen  AEf  gleich 
(0<'33'20"  +  0^8'  =)  OHl'  sein.  Alsdann  wird  aus  den- 
selben Gründen  der  Bogen  vom  Knoten  bis  f  gleich  7*^52' 
und  mit  dem  Zusatz  von  AT  (0^30')  im  ganzen  gleich 
8^22'  sein.  15 

Wenn  also  die  genaue  Entfernung  des  Mondzentrums  von 
irgendeinem    der  Knoten    auf   dem    schiefen   Kreise    nach  Ha  394 
Norden  17^41',  nach   Süden   aber   8^22'    beträgt,  dann 
wird  erstmalig  in  dem  oben  näher  bezeichneten  Gebiete  der 
zurzeit  bewohnten  Erde  die  Möglichkeit  eintreten,  daß  die  20 
scheinbare  Lage  des  Mondes  mit  der  Sonne  in  Berührung  kommt. 

Nun  wurde  das  Maximum  der  Anomaliedifferenz  bei  der 
Sonne  (S.  171, 2l)  mit  2^23'  und  das  Maximum  bei   dem 
Monde,   welches  in  den  Syzygien  eintritt,  (S.  246,  ll)  mit 
5^1'  nachgewiesen.    Es  kann  also  einmal  der  Fall  eintreten,  25 
daß  zur  Zeit  der  periodischen  Syzygien  die  genaue  Elon- 
gation  des  Mondes  von  der  Sonne  7®  24'  beträgt(vgl.S.290,17). 
Nun    wird  in  derselben  Zeit,  in    welcher  der  Mond  diese  Hol  48; 
7<^24'  durchläuft,  die  Sonne  ungefähr  den  13*«»^  Teü  davon, 
d.i.  0°34'  weiter  zurücklegen;  in  der  Zeit  aber,  in  welcher  der  30 
Mond  wieder  diese  0^34'  sich  weiterbewegt,  wird  auch  die 
Sonne  wieder  den  1 3*®^  Teil  davon,  d.  i.  0°3'  durch  ihre  Weiter- 
bewegung zusetzen.  Ein  weiteres  Dreizehntelhiervonkann  nicht 

a)  In  Meroe ;  denn  wenn  er  dort  bei  der  oben  angedeuteten 
Lage  des  Knotens  jenseits  des  Zenits  nördlich,  d.  i.  unterhalb 
der  Sonne  steht,  wird  er  durch  die  nordwärts  wirkende  Parallaxe 
von  der  Sonne  abgerückt. 

23* 


356  Sechstes  Buch.     Fünftes  Kapitel. 

mehr  in  Betracht  kommen.  Wenn  wir  also  die  Summe 
(0<^34'  +'  0^3'  =)  0^37',  was  (genau)  der  12*«  Teil  (vgl. 
S.  347, 14)  der  anfänglichen  7^24'  ist,  zu  den  2<>23'  der 
Anomalie  der  Sonne  addieren,  so  werden  wir  3®  erhalten. 
6  Dies  wird  das  Maximum  des  Unterschieds  sein,  welcher 
zwischen  den  für  die  periodischen  Syzjgien  maßgebenden 
mittleren  Ortern  in  Länge  und  Breite  und  den  genauen 
Sjzygien  eintreten  kann.*^^ 

Wenn  demnach  der  mittlere  Ort  des  Mondzentrums  auf 

10  dem  schiefen  Kreise  von  den  Knoten  nach  Norden  (17^41'  + 
30=)  20^1'  oder  nach  Süden  (8^22'+  3°=)  ll022'  ent- 
fernt ist,  dann  wird  erstmalig  für  das  oben  bezeichnete 
Gebiet  die  Möglichkeit  eintreten,  daß  die  scheinbare  Lage 
des  Mondes  mit  der  Sonne  in  Berührung  kommt;  d.  h.  (auf 

15  die  Gradzählung  des  schiefen  Kreises  bezogen):  Nur  dann, 

Ha  895  wenn  die  zu  den  periodischen  Syzygien  (in  den  5*®^  Spalten 

der  betr.  Tabellen)   gesetzte  Zahl  der  von  dem   nördlichen 

Grenzpunkte  des  schiefen  Kreises  des  Mondes  ab  gezählten 

Grade  innerhalb  der  Grenzen  (90«  -  20^41'  =)  69^9'  bis 

20  (90<^  -f  11^22'  =)  101^22'  oder  (270^  -  ll022'=)  258^^38' 
bis  (270«  +  20UI'  =)  290'>41'  liegt,  wird  für  das  bezeich- 
nete Gebiet  die  Möglichkeit  des  in  Frage  stehenden  Falles 
(d.i. einer  Berührung  der  Sonne  durch  den  Mond)  gegeben  sein. 

II.  Grenzen  der  Mondfinsternisse. 
Hei  484      Was   anderseits    die   Grenzen   der  Mondfinstemisse   an- 
26  belangt,  so  wurde  (S.  353,  6)  nachgewiesen,  daß  der  Halb- 
messer des  Mondes  in  der  kleinsten  Entfernung  einen  Bogen 
von  0°17'40"  unterspannt,   während    der  Halbmesser   des 
Schattens  als  das  2%  fache  des  Mondhalbmessers  0^45' 56" 
30  beträgt. 

Hieraus  ist  folgendes  ersichtlich.  Wenn  der  genaue  Ab- 
stand des  Mondzentrums  von  dem  Schattenzentrum  auf  dem 
durch  beide  Mittelpunkte  und  die  Pole  des  schiefen  Kreises 
gezogenen  größten  Kreis,  sei  es  nördlich,  sei  es  südlich  der 
35  Ekliptik,  (0*^17' 40"  -f  0<^45'56"  =)  l^S'SG"  beträgt  und 
das  Mondzentrum  auf  dem  schiefen  Kreise  in  dem  Verhält- 


Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel.  357 

nis  von  1 :  llYg  (s.S.  355,4)  von  einem  der  beiden  Knoten 
12^12'  entfernt  ist,  dann  wird  erstmalig  die  Möglichkeit 
eintreten,  daß  der  Mond  den  Schatten  berührt. 

Mit  Rücksicht  auf  den  oben  (S.  356,4)  geführten  Nach- 
weis hinsichtlich  der  Anomalie  wird  es  (unter  Hinzufügung  5 
der  betr.  3^)  heißen:  Wenn  das  nach  dem  mittleren  Ort 
bestimmte  Mondzentrum  auf  dem  schiefen  Kreise  (12^12'  + 
30  =)  15°  12'  von  den  Knoten  entfernt  ist,  so  daß  es  nach 
Maßgabe   der   vom  nördlichen    Grenzpunkt  ab  gerechneten 
Zahlen  zwischen  die  Grenzen  (90<>  -  15^2'  =)  74^^48'  bis  10 
(90« +15^2'=)  105012'  oder  (270^-15°  12'=)  254^48' 
bis  (270®  -f  15®  12'  =)  285®  12'  fällt,  dann  wird  erstmalig  die  Ha  39( 
Möglichkeit  gegeben  sein,  daß  der  Mond  den  Schatten  berührt. 

Wir  werden  daher  in  die  oben  vorgelegten  Tabellen*^  der 
Syzygien  auch  noch  die  (vorstehend  gefundenen)  Zahlen  Hei  48i 
der  Breite  des  Mondes,  welche  für  die  Bestimmung  der  16 
Grenzen  von  Sonnen-  und  Mondfinsternissen  maßgebend  sind, 
mit  aufnehmen,  um  die  Berechnung  derjenigen  Syzygien, 
die  möglicherweise  in  das  Bereich  einer  Finsternis  fallen, 
bequem  ausführen  zu  können.  20 


k 


Sechstes  Kapitel. 
Das  Intervall  der  mit  Finsternissen 
verbundenen  synodischen  Monate. 

Eine  brauchbare  Zugabe  dürfte  noch  die  Beantwortung 
der  Frage  sein,  innerhalb  welcher  Zahl  von  synodischen 
Monaten  im  großen  ganzen  die  Möglichkeit  geboten  sein 
wird,  daß  die  Syzygien  mit  Finsternissen  verbunden  sind, 
damit  man,  nachdem  eine  Epoche  einer  Finstemis-Syzygie  25 
festgestellt  ist,  nicht  alle  weiterhin  folgenden  Syzygien 
behufs  Prüfung  der  Grenzen  heranzuziehen  braucht,  sondern 
nur  diejenigen,  welche  solche  Monatsintervalle  einschließen, 
innerhalb  welcher  eine  Finsternis  eintreten  kann. 

Daß  nach  Verlauf  von  6  synodischen  Monaten  die  Möglich-  30 
keit  sowohl  einer  (zweiten)   Sonnen-   wie   einer   (zweiten) 

a)  Zwischen  Monats-  und  Jahrestabelle  S.  345. 


358  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

Mondfinsternis  geboten  ist,  dürfte  ohne  weiteres  klar  sein. 

In    diesen    6    synodischen    Monaten    erreicht    nämlich    der 

mittlere  Lauf  des  Mondes  in  Breite 

(nach  der  Monatstabelle)  einen  Über- 

6  /^^^^'''K(ir'^^\\        schuß   (über    6    ganze  Kreise)    von 

18401'  25".   Demgegenüber  belaufen 

0,  sich  sowohl  für  die  Sonne  wie  für 
den  Mond  die  zwischen  den  Finsternis- 
grenzen liegenden  Bogen,  einerseits 
als  innerhalb  eines  Halbkreises 
liegend  (wie  hÄBCundi  hC'BÄ% 
auf  weniger  Grade  als  die  genannten 

(184^),  anderseits  als  über  den  Halbkreis  hinausgehend 

(wie  bÄ'BCf  und  hCDÄ),  auf  mehr  Grade.*) 
15       1.  Für  die  Sonne  betragen  nämlich   die  Grenzen  von 

beiden   Knoten  her   auf  dem  schiefen  Kreise  des  Mondes, 

wie  (S.  356,  ll)  nachgewiesen,  nach  Norden  zu  einen  Bogen 
Ha  397  von   20^41',    uach    Süden   zu   einen   solchen   von    11^22'. 

Folglich  beläuft   sich   der   nördliche    Bogen   (ÄBCf)^   in 

20  welchem  keine   (Sonnen-)  Finsternisse   stattfinden   können. 

Hei  486  auf  (180«  — 41<^22' =)  138^38',  der  südliche  (C'JDA^)  auf 

(180°- 22U4'=)  157^16'. 

2.  Für   den   Mond  betragen    (S.  357,  8)   die   Grenzen 

nördlich  wie  südlich  der  Ekliptik  auf  dem  schiefen  Kreise 
25  von  den  Knoten  her  einen  Bogen  von  je  15^12'.     Folglich 

beläuft  sich  jeder  der  beiden  Bogen  {ABC  und  G'BÄ'), 

in  welchen  keine  (Mond-)  Finsternisse  stattfinden  können, 

auf  (180<>—  30^24'=)  149'^36'. 

1.  Mondfinsternisse. 

30       A.  Daß  schon  innerhalb  des  größten  Intervalls  von  fünf 
synodischen  Monaten,  d.  h.  auf  der  Strecke   (der  Ekliptik), 

a)  Hat  der  Mond  inmitten  des  Finsternisgebiets  A' A 
eine  Finsternis  erlitten  oder  verursacht,  so  tragen  ihn  seine  184" 
Überschuß  nicht  über  das  gegenüberliegende  Finsternisgebiet 
CC  hinaus,  ohne  daß  er  mit  der  Sonne  oder  dem  Schatten 
innerhalb  desselben  wieder  zusammentrifft. 


\ 


Finsternisintervalle.  359 

auf  welcher  die  Sonne  den  größten  und  der  Mond  (zur- 
zeit gerade)  den  kleinsten  Lauf  hat,  auf  Grund  obiger 
Voraussetzungen  das  Zustandekommen  einer  (zweiten)  Mond- 
finsternis möglich  sein  wird,  dürfte  uns  auf  folgendem 
Wege  verständlich  werden.  5 

Bei  dem  mittleren  Intervall  von  5  synodischen  Monaten 
erreicht  der  mittlere  Lauf  in  Länge  beider  Lichtkörper 
einen  Zuwachs,  wie  wir  (in  der  Monatstabelle)  finden,  von 
145^32'*),  während  der  Mond  in  Anomalie  auf  dem  Epizykel 
als  Überschuß  (über  ganze  Kreise)  129^5'  gewinnt.     Nun  10 
erhalten   die  145^32'  der   Sonne   bei   dem  größten  Lauf 
(auf  je  72^46')   zu   beiden    Seiten   des   Perigeums   (von 
11P  20«  bis  ^  20^)  einen  Zusatz  von  (2x2^19'  =)  4^38', 
während   die    129^5'   des   Mondes   (in  Anomalie)  bei  dem 
kleinsten   Lauf  (auf  je    64^32')    zu   beiden   Seiten    des  15 
Apogeums  des  Epizykels  einen  Abzug  von  (2x4**20'=) 
8^40'    von   dem   mittleren   Lauf  (in   Länge)    verursachen. 
Folglich  wird  nach  Verlauf  der  Zeit  des  größten  Intervalls^) 
von  5  synodischen  Monaten,  wenn  die  Sonne  ihren  größten 
Lauf  (von    145^32'  -f  4*^38'  =  löO^lO')    und    der  Mond  20 
seinen  kleinsten  (von  145°32'  —  SHO'  =  136^52')  hat, 
der  letztere  um  die  aus  bei  den  Anomalien  sich  summierenden 
13*^18'    noch    westlich   vor  der   Sonne   stehen.      Hiervon 
nehmen   wir  wieder  aus  den  oben  (S.  356, 2)    dargelegten 
Gmnden  ein   Zwölftel,   d.  i.  ohne  merklichen  Fehler  1*^6'  25 
(genau  1*^6' 30"),   welchen  Betrag  die   Sonne   sich  weiter- Ha  3 
bewegt  haben  wird,  bis  sie  von  dem  Monde  eingeholt  wird.  Hei  4 
Da  sie  nun  infolge  der  eigenen  Anomalie  einen  Zusatz  von 

a)  D.  h.  für  den  IVlond  Überschuß  über  ganze  Kreise,  für 
die  Sonne  die  Strecke  von  i']'  20°  bis  «*  20 <>(=  nahezu  145*32' -j- 
4°38').    Vgl.  S.  304, 15. 

b)  Der  griechische  Text  bietet  rfjs  iiearig  nsvta^'^vov,  offen- 
bar falsch;  die  ganze  Erörterung  dient  ja  dazu,  aus  den  Lauf- 
strecken des  mittleren  Intervalls  die  des  größten  abzuleiten. 
Dieser  Fehler  wiederholt  sich  Heib.  488, 25,  wo  die  bessere 
Überlieferung  (darunter  Cod.  D)  das  Richtige  bietet;  außerdem 
Heib.  493,14  ohne  Variante.  Übrigens  vergleiche  man  Heib.  490,ig, 
wo  richtig  iisyiöTrig  steht. 


360  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

4^38'  und  infolge  der  Einholung  bis  zur  genauen  Syzygie 
noch  einen  weiteren  Zusatz  von  1^6'  erhalten  hat,  so  wird 
auch  das  größte  Intervall  von  5  synodischen  Monaten 
gegen  das  mittlere  einen  Zusatz  von  (^^38'  +  1^6'  =)  5U4' 
5  in  Länge  (zu  145^32')  erhalten  haben.  Einen  ohne  wesent- 
lichen Fehler  gleichgroßen  Zusatz  wird  also  auch  der  Lauf  des 
Mondes  in  Breite  auf  dem  schiefen  Kreise  zu  dem  Überschuß 
von  153°  21'  in  Breite  erlangt  haben,  der  (nach  der  Monats- 
tabelle) im  Verlauf  von  5  mittleren  synodischen  Monaten 
10  erreicht  wird.  Somit  wird  der  auf  theoretischem  Wege 
gewonnene  genaue  Lauf  in  Breite  bei  dem  größten  Inter- 
vall von  5  synodischen  Monaten  in  Summa  (15  3^2 1'  +  5°44'=) 
159*^5'  betragen. 

Nun  erreichen  in  der  mittleren  Entfernung  des  Mondes*^ 
16  seine  beiderseits  der  Ekliptik  liegenden  Finsternisgrenzeu 
auf  dem  durch  die  Pole  des  schiefen  Kreises  gezogenen 
größten  Kreis  einen  Abstand  (in  Breite)  von  etwa  1°  — 
weil  der  Abstand  in  der  kleinsten  Entfernung  (S.  356,  35) 
103'36"  und  der  in  der  größten  (S.  309,24:  0«40'44"  + 
20  0^15' 40"  =)  0*^56' 24"  beträgt  —  und  auf  dem  schiefen 
Kreise  von  dem  Knoten  eine  Entfernung  von  11°30'.^)  So- 
o  „r,    ^it  wird  der   zwischen  ihnen  lie- 

^Cc  '    Itr    g^^^^  Bogen  {aDA!y\  auf  dem 

keine  Finsternisse  eintreten  können, 
26        \X,^.Gr,_^X^/        zu  (180<^-  23*^=)  157<'0'.  Dieser 

Betrag  ist  um  2^5'  kleiner  als  der 
Bogen  des  schiefen  Kreises  von 
159^5',  der  sich  (oben  Z.  13)  als 


a)  Um  diese  handelt  es  sich,  weil  der  Mond  am  Anfang 
und  am  Ende  des  Intervalls  (s.  S.  359, 15)  in  der  Mitte  zwischen 
Apogeum  und  Perigeum  des  Epizykels  steht. 

b)  Über  das  Verhältnis  1 :  llV^  s.  erl.  Anm.  45  zu  S.  365,4. 

c)  An  der  Figur  ist  angedeutet,  daß  dieser  Bogen  des  größten 
Intervalls  von  5  synodischen  Monaten  zu  beiden  Seiten  des 
Perigeums  /  5°  verläuft.  Ob  dort  der  nördliche  oder  der  südliche 
Grenzpunkt  des  schiefen  Kreises  liegt,  ist  für  Mondfinsternisse 
gleichgültig,  da  bei  diesen  die  Wirkung  der  Parallaxe  nicht 
in  Betracht  kommt.     Vgl.  S.  193, 22-27. 


Finstemisintervalle.  361 

Überscliuß    bei   dem   größten  Intervall   von    5  synodischen 
Monaten  ergibt.  Hieraus  ist  ersichtlich,  daß  es  möglich  sein  wird,  hqI  48j 
daß  der  Mond  bei  dem  größten  Intervall  von  5  synodischen 
Monaten  bei  dem  ersten  Vollmond  eine  Finsternis  bei  dem  Fort- 
rücken von  einem  der  beiden  Knoten  (d.  h.  nach  Passierung  5 
desselben)  erleidet,  und  dann  wieder  eine  bei  dem  letzten  Ha  89S 
Vollmond  (des  Intervalls)  bei  der  Annäherung  an  den  gegen- 
überliegenden  Knoten    (d.    h.   vor   Passierung    desselben). 
Somit  vollzieht  sich  bei  beiden  Finsternissen  der  Eintritt 
in  den  Schatten,  auf  derselben  Seite  der  Ekliptik,  niemals  auf  lo 
entgegengesetzten  Seiten  derselben. 

Daß  bei  dem  größten  Intervall  von  5  synodischen  Monaten 
zwei  Mondfinsternisse  möglich  sind,  ist  uns  auf  diese  Weise 
klar  geworden. 

B.  Daß  aber  im  Verlauf  von  7  synodischen  Monaten  diese  15 
Möglichkeit  ausgeschlossen  ist,  selbst  wenn  wir  das  kleinste 
Intervall  von  7  synodischen  Monaten  zugrunde  legen,  d,  h. 
die  Strecke  (der  Ekliptik),  auf  welcher  die  Sonne  ihren 
kleinsten  und  der  Mond  (zurzeit  gerade)  seinen  größten 
Lauf  hat,  dürfte  uns  verständlich  werden,  wenn  wir  denselben  20 
Weg  einschlagen  wie  bei  der  eben  gepflogenen  Erörterung. 

Bei  dem  mittleren  Intervall  von  7 synodischen  Monaten 
erreicht  (nach  der  Monatstabelle)  der  mittlere  Lauf  in  Länge 
beider  Lichtkörper  einen  Zuwachs  von  203*^45'*^,  während 
der  Lauf  des  Mondes  auf  dem  Epizykel  einen  Überschuß  25 
von  180^43'  gewinnt.  Nun  erleiden  die  203^45'  der  Sonne 
bei  ihrem  kleinsten  Lauf  (auf  je  101^52')  zu  beiden  Seiten 
des  Apogeums  (von  2:=:  26^  bis  11p  15^)  einen  Abzug  von 
der  mittleren  Bewegung  von  (2 x 2^21'=)  4*42',  während 
die  180*43'  des  Mondes  auf  dem  Epizykel  bei  dem  größten  30 
Lauf  (auf  je  90*22')  zu  beiden  Seiten  des  Perigeums  (des 
Epizykels)  der  mittleren  Bewegung  (in  Länge)  einen  Zusatz 
von  (2  X 4*59'=)  9*58'  (zu  203*45')  einbringen.    Folglich 

a)  Für  den  Mond  wieder  Überschuß  über  ganze  Kreise,  für 
die  Sonne  die  Strecke  von  ^»  26®  bis  np  15®  (vgl.  S.  367, 17), 
was  für  den  kleinsten  Lauf  203^45'  -  4®42'  =  199*3'  ergibt. 


362  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

wird  in  der  Zeit  des  kleinsten  Intervalls*^  von  7  synodischen 
Hei  489  Monaten,  wenn  die  Sonne  ihren  kleinsten  Lauf  (von  199^3') 
und  der  Mond  seinen  größten  (von  213°43')  hat,  der  letztere 
die  Sonne  um  die  aus  beiden  Anomalien  sich  summierenden 
5  14^40'  überholt  haben.      Hiervon  nehmen  wir  wieder  ein 
Zwölftel  (d.  i.  genau  1^1 3' 20"),  addieren  es  zu  dem  infolge 
der  Anomalie   der  Sonne    eingetretenen  Abzug   von    4^42' 
Ha  400  und   werden    in    der   Summe   von  5^55'   ohne  merklichen 
Fehler  den  Betrag  erhalten,  um  welchen  der  Lauf  in  Länge 
10  bei  dem  kleinsten  Intervall  von  7  sjnodischen  Monaten 
hinter  dem  Lauf  bei  dem  mittleren  Intervall  zurück  sein 
wird.    Ebenso  wird  auch  der  Lauf  in  Breite  um  den  gleichen 
Betrag  kleiner  sein  als  der  Überschuß  von  214^42',  welcher 
(nach  der  Monatstabelle)  bei  dem  mittleren  Intervall  von 
15  7  synodischen  Monaten  eintritt,   d.  h.  bei   dem  kleinsten 
Intervall  von  7  synodischen  Monaten   wird    der  Mond  in 
Breite  auf  dem  schiefen  Kreise  einen  Überschuß  von  nur 
(214^42'  —  5^55'  =)  208*^47'  erlangt  haben.    Nun  beträgt 
in  Summa  nur  203®  (d.i.  180<^-i- 
2x11^30',    vgl.  S.  360,  21)    der 
größte  Bogen  des  schiefen  Kreises 
(A' BCf)^^  zwischen  den  Finsternis- 
grenzen  des  Mondes  in  seiner  mitt- 
le    leren  Entfernung °),  d.  h.  der  Bo- 
U'    gen  zwischen  der  Grenze  (-4'),  die 
auf  der   Strecke    der  Annäherung 


a)  Der  griechische  Text  bietet  falsch,  r^s  /i^'örjs  sTtTccin^vov, 
das  richtige  iXa%i6t7\<s  bietet  die  bessere  Überlieferung  (darunter 
Cod.  D);  vgl.  S.  359,  Anm.  ^). 

b)  An  der  Figur  ist  angedeutet,  daß  der  Bogen  des  kleinsten 
Intervalls  von  7  synodischen  Monaten  zu  beiden  Seiten  des 
Apogeums  TT  5°  verläuft.  Ob  dort  der  nördliche  oder  südliche 
Grenzpunkt  des  schiefen  Kreises  liegt,  ist  für  die  Mondfinster- 
nisse gleichgültig,  da  bei  diesen  die  Wirkung  der  Parallaxe 
nicht  in  Betracht  kommt. 

c)  Um  diese  handelt  es  sich,  weil  der  Mond  am  Anfang  und 
am  Ende  des  Intervalls  (s.  S.  361, 3i)  in  der  Mitte  zwischen 
Apogeum  und  Perigeum  des  Epizykels  steht. 


Finsternisintervalle.  363 

an  den  einen  Knoten  (d.  i.  vor  demselben)  liegt,  und  der 
Grenze  (C*),  die  auf  der  Strecke  des  Fortrückens  von  dem 
gegenüberliegenden  Knoten  (d.  i.  hinter  demselben)  liegt. 
Folglich*)  wird  es  selbst  bei  dem  kleinsten  Intervall  von 
7  synodischen  Monaten  schlechterdings  nicht  möglich  sein,  5 
daß  der  Mond  bei  dem  ersten  Vollmond  eine  Finsternis  er- 
leide  und   dann  bei  dem  letzten  Vollmond  abermals  eine. 

IL  Sonnenfinsternisse. 

Es  ist  nun  anderseits   der  Nachweis  zu  führen,  daß  es 
möglich  sein  wird,  daß  es  bei  dem  größten  Intervall  von  10 
5  sjnodischen  Monaten   auch   zwei  Sonnenfinsternisse  für 
denselben  Beobachtungsort  gebe,  und  zwar  überall  in  dem 
zurzeit  bewohnten  Gebiete  der  Erde. 

A.  Bei  dem  größten  Intervall  von  5  synodischen  Monaten 
hatten  wir  (S.  360, 13)  den  (genauen)  Lauf  des  Mondes  in  15 
Breite  mit  159^5'  nachgewiesen.  Nun  beträgt  der  von  Finster- 
nissen freie  Bogen  (Cf  DÄ')^^  für  die  Sonne  bei  der  mitt- 
leren Entfernung  des  Mondes^^  a  nvS"^  IE  ?"?? 
(180«- 2x6^2'=)  167036',  ^^  -^ 
weil  ihre  Finsternisgrenzen  (vgl.  W^  ^  j^J  20 
S.  353,16)  von  der  Ekliptik  auf 
dem  durch  deren  Pole  gehen- 
den Kreis  einen  Abstand  von 
(0«15'40"  -F0öl6'40"=)  0^32' 20"  und  (in  dem  Verhältnis 
von  1 :  IIV2)  ^^^  ^^™-  schiefen  Kreise  des  Mondes  (von  den  25 
Knoten)  ohne  merklichen  Fehler  eine  Entfernung  von  6^12' 
haben.  Folglich  ist  klar,  daß,  wenn  der  Mond  keine  Paral- 
laxe zeigt,  eine  zweite  Sonnenfinsternis  unmöglich  sein  wird, 


a)  Weil  der  Mond  nach  Zurücklegung  des  Bogens  A'BC 
noch  über  5°  über  die  Finsternisgrenze  C"  hinausgeht. 

b)  Der  Bogen  des  größten  Intervalls  von  5  Monaten  verläuft 
beiderseits  des  Perigeums  /  5*^.  Da  nördlich  des  Äquators 
vorwiegend  die  südwärts  wirkende  Parallaxe  in  Betracht 
kommt,  so  ist  an  der  Figur  angedeutet,  daß  dort  der  nörd- 
liche Grenzpunkt  des  schiefen  Kreises  liegt. 

c)  S.  Anm.  c)  zu  Seite  362. 


364  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

Ha  401  weil  der  finsternisfreie  Bogen  (von  167^36')  auf  dem  schiefen 
Kreise  um  8^31'  größer  ist  als  der  Lauf  (von  159^5')  bei 
dem  größten  Intervall  von  5  synodischen  Monaten  und  (letz- 
terer) auf  dem  die  Ekliptik  rechtwinklig  schneidenden  Kreis 
5  einen  um  0°45'  größeren  Abstand  hat.^^  Wo  aber  der 
Mond  eine  so  bedeutende  Parallaxe  haben  kann,  daß  die 
bei  einer  der  beiden  äußersten  Konjunktionen  eintretenden 
Parallaxen,  oder  auch  die  Parallaxen  beider  Konjunktionen 
zusammen,    den  Betrag  0^45'   überschreiten,  dort  wird  es 

10  möglich  sein,  daß  die  äußersten  Konjunktionen  beide,  so- 
wohl die  erste  wie  die  letzte,  mit  einer  Finsternis  ver- 
bunden sind. 

Wir  hatten  (S.  359,23)  nachgewiesen,  daß  nach  Verlauf 
der  Zeit  des  größten  Intervalls  von  5  synodischen  Monaten, 

15  wenn  der  Mond  seinen  kleinsten  und  die  Sonne  von  llp  20° 
bis  ^^  20**  ihren  größten  Lauf  hat,  der  Mond  um  die  aus 
beiden  Anomalien  sich  summierenden  13^18'  noch  westlich 
vor  der  Sonne  steht.  Da  er  nun  diese  Strecke  und  noch 
ein  Zwölftel  darüber  (d.  i.  13n8'  +  1^6'  =  14^24')  in  mitt- 

20  lerer  Bewegung  (in  Länge)  in  einem  Tage  und  2^4  Stunden *) 
zurücklegt,  so  ist  ersichtlich,  daß,  da  die  Dauer  des  mitt- 
leren Intervalls  von  5  synodischen  Monaten  147  Tage  und 

•     I5Y4  Stunden   beträgt,   die  Dauer  des  größten  Intervalls 

von  5  synodischen  Monaten  148  Tage  und  18  Stunden  aus- 

Hei  491  machen  wird.    Deshalb  wird  die  letzte  in  ^^  20°  eintretende 

26  Konjunktion  die  an  einem  ganzen  Tage  fehlenden  6  Stunden 
früher  eintreten  als  die  erste,  welche  in  np  20°  statt- 
gefunden hatte.^)  Es  muß  also  untersucht  werden,  wo  und 
wann  der  Mond  bei  seiner  Stellung  im  Wassermann,  welche 

30  6  Stunden  früher  fällt  als  die,  die  in  der  Jungfrau  gewesen 
war,  entweder  in  dem  einen  der  beiden  genannten  Zeichen 

a)  In  einem  Tage  (S.  203,  26)  13°10',  von  den  übrigbleibenden 
74'  in  2  Stunden  (S.  204,  3i)  65' 52",  den  Rest  von  8' 8"  in 
einer  Viertelstunde. 

b)  Hatte  die  Konjunktion  in  ^20"  im  westlichen  Horizont 
bei  Untergang  stattgefunden,  so  wird  die  Konjunktion  in  »»  20" 
im  Meridian  um  Mittag  eintreten.     S.  S.  365, 17. 


Finsternisintervalle.  365 

eine  größere  Parallaxe  als  die  in  Frage  stehenden  0^45'  zeigen 
kann,  oder  in  beiden  Zeichen  (zusammen)  eine  größere. 

Eine  nordwärts  wirkende  Parallaxe   des  Mondes  von  so  Ha  40 
hohem  Betrage  wird  in  dem  zurzeit  bewohnten  Gebiete  der 
Erde,    soweit  wir   es   oben   (S,  354,  6)   bezeichnet  haben,  5 
nirgends  gefunden.*^     Daher  ist  es  unmöglich,  daß  bei 
dem   größten   Intervall   von    5   synodischen  Monaten   zwei 
Sonnenfinsternisse  eintreten,  wenn  der  Mond  (in  Ö  und  vor 
Ä  Fig.  S.  360)  südlich  der  Ekliptik  steht,  d.  h.  wenn  er 
bei  der  ersten  Konjunktion  von  dem  niedersteigenden  Knoten  10 
wegrückt  und  bei  der  letzten  sich  dem  aufsteigenden  Knoten 
nähert. 

Dagegen  kann  der  Mond  eine  südwärts  wirkende  Paral- 
laxe von  so  hohem  Betrage  in  dem  bewohnten  Gebiete  nörd- 
lich des  Äquators  bei  der  6  Stunden  differierenden  Stellung  15 
in   beiden    genannten  Zeichen   (in    Summa)   haben,   wenn 
er  bei  der  ersten  Konjunktion  in  11])  20"  im  westlichen  Horizont 
und   bei  der   zweiten  Konjunktion  in    :rs;  20®  im   Meridian 
angenommen  wird.    Wir  finden  nämlich,  daß  in  den  so  ge- 
wählten Stellungen  der  Mond  bei  mittlerer  Entfernung  (schon)  20 
unter  dem  Äquator  mit  Berücksichtigung  der  Sonnenparallaxe  Hei  49 
in  der  Stellung  der  Jungfrau  (im  Horizont)  eine  südwärts 
wirkende   Parallaxe   von   0°22'    und   in    der    Stellung  des 
Wassermanns  (im  Meridian)    eine   solche  von  0^14'  zeigt. 
Dort  aber  (d.  i.  im  Aualitischen   Meerbusen),  wo  der  Tag  25 
I2Y2  Stunden  hat,  zeigt  er  in  der  Stellung   der   Jungfrau 
eine  südwärts   wirkende  Parallaxe  von  0^27'    und   in   der 
Stellung  des  Wassermanns  eine  solche  von  0^22',  so  daß 
von  da   ab   bereits    die  Summe   beider  Parallaxen  die  in 
Frage   stehenden  0°45'  um  0^4'  übersteigt.      Da  nun  die  30 
südwärts  wirkende  Parallaxe  desto  größer  wird,  je  weiter 

a)  Weil  selbst  in  Meroe,  wenn  der  Grenzpunkt  des  schiefen 
Kreises  südlich  des  Perigeums  /  ö*'  liegt,  sogar  der  nörd- 
lich des  Äquators  gelegene  Knoten  np  50  noch  etwa  6°  südlich 
des  Zenits  kulminiert,  so  daß  auch  dort  der  Mond  südlich  der 
Ekliptik  durch  die  südwärts  wirkende  Parallaxe  von  der  Sonne 
abgerückt  werden  muß. 


366  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

Ha  408  nördlich  die  Beobachtungsorte  liegen*',  so  leuchtet  ein,  daß 
die  Möglichkeit  immer  zunehmen  wird,  daß  die  Bewohner 
dieser  Orte  bei  dem  größten  Intervall  von  5  synodischen 
Monaten  zwei  Sonnenfinsternisse  zu  sehen  bekommen,  je- 
5  doch  nur,  wenn  der  Mond  (in  Ö  und  vor  J.'  Fig.  S.  363) 
nördlich  der  Ekliptik  steht,  d.  h.  wenn  er  bei  der  ersten 
Finsternis  (des  Intervalls)  von  dem  aufsteigenden  Knoten 
wegrückt  und  bei  der  zweiten  sich  dem  niedersteigenden 
nähert. 

10  B.  Nun  behaupte  ich  weiter,  daß  auch  bei  dem  klein- 
sten Intervall  von  7  synodischen  Monaten  zwei  Sonnen- 
finsternisse für  denselben  Beobachtungsort  möglich  sein 
werden. 

Bei  dem  kleinsten  Intervall  von  7  synodischen  Monaten 
16  hatten  wir   (S.  362, 18)   den   (genauen)   Lauf  des   Mondes 
Hei 493  in  Breite  mit  208^47'  nachgewiesen.     Nun  beträgt  für  die 
Sonne  bei  der  mittleren  Entfernung  des  Mondes  (vgl.  S.  363, 
16-27)   in  Summa ^)   (d.i.  180^-1-2x6012'=)   192^24' 
der  größte  Bogen   {ÄBCfY'>   des 
schiefen  Kreises  zwischen  den  Fin- 
stemisgrenzen,    d.  h.    der    Bogen 
zwischen  der  Grenze  (-4'),  die  auf 
der    Strecke    der  Annäherung    an 
den  einen  Knoten  (d.  i.  vor   dem- 
selben) liegt,  und  der  Grenze  (C),  die 
auf  der  Strecke  des  Fortrückens  von 
dem  gegenüberliegenden  Knoten  (d.i.  hinter  demselben)  liegt. 
Folglich  ist  klar,  daß,  wenn  der  Mond  wieder  keine  Parallaxe 

a)  Weil  die  Ekliptik  in  immer  größerem  Zenitabstand  verläuft. 

b)  Der  Text  ist  korrupt:  statt  Gvvccy^xai  lese  ich  Gvvayoiisvris 
und  streiche  7}  xoiuvxri  SidörccßLg. 

c)  Zunächst  sei  wieder  dieselbe  Figur  wie  S.  362  vorgelegt, 
um  zu  zeigen,  daß,  wenn  der  Grenzpunkt  des  schiefen  Kreises 
nördlich  des  Apogeums  TT  5°  liegt,  überhaupt  keine  zweite 
Sonnenfinsternis  in  dem  Gebiet  von  Meroe  bis  zum  Borysthenes 
möglich  ist,  weil  der  Endpunkt  des  Mondlaufs  südlich  der 
Ekliptik  liegt,  wo  nur  eine  nordwärts  wirkende  Parallaxe  eine 
Sonnenfinsternis  zustande  bringen  könnte. 


Finsternisintervalle.  367 

zeigt,    eine    zweite   Sonnenfinsternis    unmöglich    sein    wird, 
weil  der  Bogen    des   schiefen  Kreises  (von  208^47'),  den 
der  Mond  bei    dem  kleinsten  Intervall    von   7   synodischen 
Monaten  zurücklegt,   auf  dem  schiefen  Kreise   um    16^23' 
größer  ist  als  der  zwischen  den  Finsternisgrenzen  der  Sonne    5 
liegende  Bogen  (von  192^24')  und  auf  dem  durch  die  Pole 
der  Ekliptik  gehenden  Kreis  um  1^25'  größeren  Abstand 
hat.^^)     Wo   aber  der  Mond  eine  so  bedeutende  Parallaxe 
haben  kann,  daß  die  bei  einer  der  beiden  äußersten  Kon-  Ha  404 
junktionen  eintretenden  Parallaxen,   oder   auch   die  Paral-  10 
laxen  beider  Konjunktionen  zusammen,  den  Betrag  1°25' 
überschreiten,  dort  wird  es  möglich  sein,  daß  die  äußersten 
Konjunktionen  beide,  sowohl  die  erste  wie  die  letzte,  mit 
einer  Finsternis  verbunden  sind. 

Wir  hatten  (S.  362,  l)  nachgewiesen,  daß  in  der  Zeit  des  16 
kleinsten*^  Intervalls  von  7  synodischen  Monaten,  wenn  der 
Mond  seinen  größten  und  die  Sonne  von  :^  26^^^  bis  nplö*^ 
ihren  kleinsten  Lauf  hat,  der  Mond  die  Sonne  im  genauen 
Lauf  bereits  um  14^40'  überholt  haben  wird.    Da  nun  der 
Mond  diese   Strecke  und  noch   ein  Zwölftel  darüber  (d.  i.  20 
140 40'  +  I0i3'20")  in  mittlerer  Bewegung  (in  Länge)  in 
einem  Tage  und  5  Stunden'')  zurücklegt,  so  ist  ersichtlich, 
daß,  da  die  Dauer  des  mittleren  Intervalls  206  Tage  und 
ziemlich  genau  1 7  Stunden  beträgt,  die  Dauer  des  kleinsten 
Intervalls  von  7  synodischen  Monaten  (von  genauer  Syzygie  25 
zu   genauer    Syzygie    l'*5^   weniger   d.  i.)   205    Tage    und 
12  Stunden  ausmachen  wird.     Deshalb  wird  die  letzte  in 
1Tpl5^  eintretende  Konjunktion  12  Stunden  später  eintreten  Hei  494 
als  die  erste  Konjunktion,  welche  in  sc  26®  stattgefunden 


a)  Im  griechischen  Text  falsch  iiEGrjg;  vgl.  S.  359,  I8. 

b)  Von  den  letzten  Graden  {tcbv  ia%dxoiv)  habe  ich  den 
26tea  gewählt,  weil  das  Intervall  dem  kleinsten  Lauf  der  Sonne 
entsprechend  (S.  361,26)  199°  umfaßt,  und  weil  es  mit  dem 
Aufgangs-  und  Untergangsverhältnis  in  Rhodus  (S.  368,  21)  gut 
übereinstimmt. 

c)  In  einem  Tage  (S.  203, 26)  13<'10',  die  von  15''53'20" 
übrigen  2°43'20"  in  5  Stunden. 


368  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

hatte.  Es  muß  also  untersucht  werden,  wo  und  wann  der 
Mond  eine  größere  Parallaxe  als  1^25'  entweder  in  einem 
der  beiden  genannten  Zeichen  haben  kann,  oder  bei  der 
12  Stunden  differierenden  Stellung  in  beiden  Zeichen  (zu- 
5  sammen),  d.  h.  wenn  das  eine  Zeichen  untergeht  und  das 
andere  aufgeht,  weil  andernfalls  die  Finsternisse  ganz  un- 
möglich beide  über  dem  Horizont  stattfinden  können. 

Eine  nordwärts  wirkende  Parallaxe  des  Mondes  von  so 
hohem  Betrage  wird  nun  wieder  (wie  S.  365,3)  nirgends 

10  in  dem  zurzeit  bewohnten  Gebiete  der  Erde  in  keiner  Stellung 

(der  beiden  Zeichen)  gefunden.   Denn  selbst  für  die  Bewohner 

unter  dem  Äquator  (vgl.  S.  365, 2l)  ist  bei  der  größten*^ 

Ha  405  Entfernung  des  Mondes  die  (hier  in  Betracht  kommende) 

Breitenparallaxe  nicht  größer   als  0^23'.     Daher   wird   es 

15  bei  dem  kleinsten  Intervall  von  7  synodischen  Monaten  un- 
möglich sein,  daß  zwei  Sonnenfinsternisse  eintreten,  wenn  der 
Mond  (in  -4' und  jenseits  C)  südlich  der  Ekliptik  steht, 
d.  h.  wenn  er  beider  ersten  Konjunktion  sich  dem  aufsteigenden 
Knoten  nähert  und  bei  der  letzten  von  dem  ni,edersteigenden 

20  Knoten  wegrückt  (s.  Fig.  S.  366). 

Dagegen  finden  wir,  daß,  wenn  «r  26^  aufgeht  und  ITp  15** 
untergeht,  ungefähr  von  dem  durch  Rhodus  gehenden 
Parallelkreise  ab  eine  südwärts  wirkende  Parallaxe  von  so 
großem  Betrage  zustande  kommt.    Denn  in  Rhodus  und  den 

25  unter  demselben  Parallelkreis  gelegenen  Orten  hat  in  jeder 

Hei  495  der  bezeichneten  Stellungen^^  der  Mond  in  seiner  mittleren 

Entfernung  unter    Berücksichtigung    der    Sonnenparallaxe 

eine  südwärts  wirkende  Parallaxe  von  nahezu  0^46',  so  daß 

die  Parallaxen  bei  beiden  Konjunktionen  in  Summa  von  dort 

30  ab  bereits  größer  als  1^25'  werden.     Da  nun  die  südwärts 


a)  Es  handelt  sich  um  die  mittlere  Entfernung;  vgl.  außer 
Z.  26  noch  S.  360,  i4;  366, 17.  Übrigens  wird  die  Parallaxe  mit 
der  Entfernung  des  Mondes  kleiner,  was  mit  dem  Suchen  nach 
einer  möglichst  großen  Parallaxe  in  direktem  Widerspruch 
steht.     Daher  ist  wohl  iiiaov  statt  ^iyicxov  zu  schreiben. 

b)  D.  i.  bei  nahezu  88°  Zenitabstand,  weil  in  beiden  Fällen 
dicht  über  dem  Horizont. 


Finsternisintervalle.  369 

wirkende  Parallaxe  desto  größer  wird,  je  weiter  die  Beob- 
achtungsorte nördlich  dieses  Parallelkreises  liegen'*),  so  leuch- 
tet ein,  daß  es  für  die  Bewohner 
dieser  Orte  möglich  sein  wird,  bei 
dem  kleinsten  Intervall  von  7  syno- 
dischen Monaten  zwei  Sonnen- 
finsternisse zu  Gesicht  zu  bekommen, 
jedoch  wieder  nur,  wenn  der  Mond 
(in  Ä'  und   hinter    Cf  beiderseits) 

nördlich  der  Ekliptik  steht,  d.  h.        ^  10 

wenn  er  bei  der  ersten  Finsternis  sich  dem  niedersteigenden 
Knoten  nähert  und  bei  der  zweiten  von  dem  aufsteigenden 
Knoten  wegrückt. 

C.    Es  dürfte  schließlich  noch  der  Nachweis  zu  erbringen 
sein,  daß  im  Lauf  eines  synodischen  Monats  zwei  Sonnen-  Ha  40f 
finsternisse  in  dem  zurzeit  bewohnten  Gebiete  der  Erde  nicht  16 
möglich  sein  werden,  und  zwar  weder  in  derselben  geogra- 
phischen Breite  noch  in  verschiedenen  Breiten,  selbst  wenn 
man  alle  Bedingungen  voraussetzt,   welche  unmöglich  zu- 
sammen eintreten  können,  übrigens  aber  zusammengenommen  20 
wohl  geeignet  wären,  die  zweite  Finsternis  möglich  zu  machen. 
Die  Bedingungen,  welche  ich  meine,  sind  folgende:  erstens 
müßte  der  Mond  in  seiner  kleinsten  Entfernung  stehen,  da- 
mit er  die   größere  Parallaxe  zeigte;  zweitens    müßte   der 
synodische  Monat  von  der  kürzesten  Dauer  sein,  damit  die  25 
in  dieser  Zeit  zu  erreichende  Breite  möglichst  wenig  größer 
(d.  i.  nördlicher)  ausfiele,  als  die  Breite  beträgt,  in  welcher 
die  Finsternisgrenzen  der  Sonne  liegen;  drittens  müßten  wir 
von  den  Stunden^)  und  Zeichen  ^\  in  welchen  der  scheinbare  Hol  49( 


a)  Weil  die  Ekliptik  in  immer  größerem  Zenitabstand  verläuft. 

b)  D.  i.  von  den  nach  Äquinoktialstunden  bemessenen  Meridian- 
abständen, in  denen  die  größeren  Zenitabstände  eintreten  und 
infolgedessen  auch  die  größeren  Parallaxen  stattfinden. 

c)  Es  sind  die  Zeichen,  in  denen  beiderseits  des  Meridians 
keine  Längenparallaxe  sich  geltend  macht  und  deshalb  die 
Höhenparallaxe  die  reine  Breitenparallaxe  darstellt. 


iv«_n     „    HT^~.: 


370  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

Ort  des  Mondes  von  der  größten  Parallaxe  beeinflußt  wird, 
unterschiedslos  Gebrauch  machen. 

Bei  der  mittleren  Dauer  des  synodischen  Monats  er- 
reicht der  Lauf  der  beiden  Lichtkörper  in  mittlerer  Bewegung 
5  in  Länge  (nach  der  Monatstabelle)  einen  Zuwachs  (oder 
Überschuß  über  einen  ganzen  Kreis)  von  29*6',  der  Lauf 
des  Mondes  auf  dem  Epizykel  einen  Überschuß  von  25^49'. 
Hiervon  erleiden  die  29*6'  der  Sonne  bei  ihrem  kleinsten 
Lauf  (von  je  14*33')  auf  beiden  Seiten  des  Apogeums  (in 
10  TT  5*30')*)  einen  Abzug  von  der 

=;:^^s:^^~j£^  mittleren  Bewegung   im  Betrage 

von  (2x0*34' =)  1*8',  während 
die  25*49'desEpizykels  desMondes 
bei   dem   größten   Lauf   (von   je 
15    '     '"•'"'■  '  *^^    12*54' 30")    auf   beiden    Seiten 

des  Perigeums  (des  Epizykels)  einen  Zusatz  zur  mittleren 
Bewegung  (in  Länge)  von  (2  •  1*14' =)  2*28'  einbringen. 
Wenn  wir  nun  genau  wie  bei  den  früher  (S.  359  u.  362) 
geführten  Beweisen  die  Summe  der  aus  beiden  Anomalien 
20  sich  ergebenden  Beträge  bilden,  die  3*36'  ausmacht,  und 
ein  Zwölftel  davon,  d.  i.  0*18'  zu  dem  Betrag  (von  1*8'), 
um   welchen   die    Sonne   (in   Länge)   zurückgeblieben    war, 
addieren,  so  werden  wir  1*26'  erhalten.    Um  so  viel  werden 
wir  den  Lauf  bei  der  kürzesten  Dauer  des  synodischen 
Ha  407  Monats   kleiner   finden   als   den    im   mittleren   synodischen 
26  Monat  erreichten,  und  zwar  sowohl  den  Lauf  in  Länge  wie 
den  in  Breite.     Da  nun  der  auf  den  mittleren  synodischen 
Monat  entfallende  Lauf  in  Breite  (nach  der  Monatstabelle) 
30*40'  (über  den  vollen  Kreis)  beträgt,  so  wird  er  folglich 
30  bei  der  kürzesten  Dauer  des  synodischen  Monats  zu  29*14', 
welche   auf  dem   die    Ekliptik    rechtwinklig    schneidenden 
größten   (Breiten -)  Kreis   (einen  Abstand   von)  2*33'  aus- 

a)  Die  Knotenlinie  der  Mondbahn  muß  demnach  mit  der 
Apsidenlinie  der  Sonnenbahn  zusammenfallen.  Um  bei  den 
zweiten  Konjunktionen  {C  und  C^)  nördliche  Breite  zu  erzielen, 
ist  an  der  Figur  der  aufsteigende  Knoten  in  das  Apogeum 
der  Sonnenbahn  verlegt  worden. 


Finsternisintervalle .  371 

machen.*)  Nun  beläuft  sich  das  Maximum  der  an  den 
Finsternisgrenzen  (A  und  A')  der  Sonne  eintretenden  Breite, 
wenn  der  Mond  in  der  kleinsten  Entfernung  steht,  auf  1^6' 
(d.i.  beiderseits  des  Knotens  0^33')^^,  so  daß  die  bei  der  Hei  497 
kürzesten  Dauer  des  synodischen  Monats  erreichte  Breite  6 
(von  2°33')  noch  um  1^27'  (d.i.  beiderseits  des  Knotens 
um  je  0H3'30")  größer  ist. 

Es  wäre  demnach  unbedingt  notwendig,  wenn  in  einem 
synodischen  Monat  zwei  Sonnenfinsternisse  eintreten  sollten, 
daß  der  Mond  bei  der  einen  Konjunktion  gar  keine  Parallaxe  10 
hätte  und  bei  der  anderen  eine  größere  als  1^27'.  Andern- 
falls, d.  h.  wenn  er  bei  jeder  der  beiden  Konjunktionen  eine 
Parallaxe  hätte,  müßte  entweder  die  Differenz  beider  Paral- 
laxen größer  als  1^27'  sein,  falls  die  Parallaxe  (auf  jeder 
Seite  des  Knotens)  wieder  nach  derselben  Seite  wirksam  15 
wäre,  oder  ihre  Summe  müßte  den  nämlichen  Betrag  über- 
schreiten, falls  die  Parallaxe  bei  der  einen  Konjunktion  nord- 
wärts und  bei  der  anderen  südwärts  wirkte. 

Allein  nirgends  auf  der  Erde  hat  der  Mond  in  den  Syzygien 
selbst  in  seiner  kleinsten  Entfernung  unter  Berücksichtigung  20 
der  Sonnenparallaxe  eine  größere  Breitenparallaxe  als  1^.  Bei 
der  kürzesten  Dauer  des  synodischen  Monats  werden  also 
zwei  Sonnenfinsternisse  unmöglich  sein,  mag  auch  der  Mond 
bei  der  einen  Konjunktion  gar  keine  Parallaxe  haben  oder 
bei  beiden  Konjunktionen  eine  nach  derselben  Seite  wirkende:  25 
denn  die  Differenz  beider  Parallaxen  wird  nicht  größer  als 
(günstigsten  Falls)  1°,  während  sie  doch  mehr  betragen 
müßte  als  l027'. 

Die  einzige  Möglichkeit,  daß  die  zweite  Finsternis  ein- 
treten könnte,  wäre  also  die,  daß,  falls  jede  der  beiden  Paral-  Sa  408 


a)  Nämlich  in  dem  Fall,  daß  die  erste  Konjunktion  direkt 
im  aufsteigenden  Knoten  stattgefunden  hat,  so  daß  die  zweite 
{0}  in  der  vollen  Entfernung  von  29^14'  jenseits  des  Knotens, 
d.  i.  60*^46'  vor  dem  nördlichen  Grenzpunkt  eintreten  muß.  Für 
diese  Stelle  gibt  die  7te  Spalte  der  Tabelle  der  Gesamtanomalie 
des  Mondes  die  nördliche  Breite  mit  2*^33'  an. 

b)  Genau  2x  -°33'20"  nach  S   353,16. 


372  Sechstes  Buch.     Sechstes  Kapitel. 

laxen  nach  der  entgegengesetzten  Seite  (d.  h.  die  eine  süd- 
Hoi  498  wärts,  die  andere  nordwärts)  wirkte,  aus  beiden  sich  eine 
größere  Summe  ergeben  könnte  als  1^27'.  Das  wird  aber 
nur  für  ein  (zweites)  verschieden  gelegenes  bewohntes  Ge- 
5  biet  der  Erde  möglich  sein,  weil  für  die  nördlich  des 
Äquators  gelegenen  Orte  des  zurzeit  bewohnten  Gebietes  der 
Erde  der  Mond  eine  südwärts  wirkende  Parallaxe  hat, 
die  unter  Berücksichtigung  der  Sonnenparallaxe  0^25'  bis 
1°  betragen  kann,  während  er  für  die  südlich  des  Äquators 

10  liegenden  Orte  der  sogenannten  Gegenwohner  eine  nord- 
wärts wirkende  Parallaxe  zwischen  den  gleichen  Grenzen 
haben  kann.  Für  dasselbe  bewohnte  Gebiet  der  Erde 
kann  aber  eine  zweite  Finsternis  niemals  zustande  kommen, 
weil  das  Maximum  der  (in  Betracht  kommenden)  Parallaxe 

15  (in  beiden  Gebieten)  genau  innerhalb  derselben  Grenzen  liegt: 
einerseits  beträgt  die  Parallaxe  für  die  direkt  unter  dem 
Äquator  liegenden  Orte,  sowohl  nordwärts  wie  südwärts 
wirkend,  nicht  mehr  als  0^25',  anderseits  übersteigt  sie 
für  die  am  weitesten  (d.  i.  48'^  32')  nördlich  oder  südlich 

20  des  Äquators  liegenden  Orte  mit  Wirkung  nach  entgegen- 
gesetzter Seite  (d.  h.  südwärts  für  den  nördlichen,  nordwärts 
für  den  südlichen  Grenzpunkt  des  Gebietes)  nicht  den  Be- 
trag von  wie  gesagt  1^.  Es  kommt  also  in  diesen  extremsten 
Fällen  (für  dasselbe  Gebiet)  als  Summe  beider  Parallaxen 

26  immer  noch  ein  (um  0^2')  kleinerer  Betrag  als  1^27'  heraus. 
Da  aber  für  die  (in  jedem  Gebiete)  innerhalb  des  Äquators 
und  des  betreffenden  Grenzpunkts  liegenden  Orte  die  Paral- 
laxen, mögen  sie  hier  südwärts  oder  dort  nordwärts  wirken, 
stets  noch  viel  kleiner  werden,  so  dürfte  sich  für  diese  Orte 

30  die  Unmöglichkeit  (der  zweiten  Finsternis)  nur  noch  steigern. 

Folglich  werden  für  denselben  Ort  nirgends  auf  der 

Erde  in  einem  synodischen  Monat  zwei  Sonnenfinsternisse 

möglich  sein,  aber  auch  für  verschiedene  Orte  nirgends 

in  demselben  bewohnten  Gebiete  der  Erde.    Damit  ist  der 

35  Nachweis  erbracht,  den  wir  uns  als  Aufgabe  gestellt  hatten. 


Sechstes  Buch.     Siebentes  Kapitel.  373 


Siebentes  Kapitel. 

Praktische  Anleitung  zur  Aufstellung 

von  Finsternistabellen. 

Die  vorstehende  Erörterung  hat  uns  darüber  belehrt,  wie/^^.^J 
groß  die  Intervalle  der  Sjzygien  sein  müssen,  welche  wir 
zur  Feststellung  der  Finsternisse  heranzuziehen  haben.    Um 
aber  nach  zahlenmäßiger  Festsetzung  der  für  sie  geltenden 
mittleren  Zeiten  und  nach  Berechnung  der  zu  diesen  Zeiten  5 
von  dem  Monde  eingenommenen  Örter,  d.  h.  der  schein- 
baren bei  den  Konjunktionen  und  der  genauen  bei  den 
Vollmonden*),   nach    den  Epochen    des   Mondes   in  Breite 
erstens  die  Syzygien,  welche  voraussichtlich  überhaupt  mit 
Finsternissen  verbunden  sind,  und  zweitens  Größe  und  Dauer  10 
der  Finsternisse  bequem  feststellen  zu  können,  haben  wir 
zur  Erleichterung  des  erforderlichen  Rechengeschäfts  Tabellen 
aufgestellt:  zwei  für  die  Sonnenfinsternisse  und  zwei  für  die 
Mondfinsternisse,  je  für  die  größte  und  die  kleinste  Entfer- 
nung des  Mondes.  DieallmählicheZunahmederVerfinsterungen  15 
haben  wir  nach  Zwölfteln  des  verdunkelten  Durchmessers 
eines  jeden  der  beiden  Lichtkörper  vor  sich  gehen  lassen. 

T.  Die  Sonnenfinsternistabellen. 

Die  erste  Tabelle,  welche  die  Finsternisgrenzen  bei  der 
größten  Entfernung  des  Mondes  umfaßt,  werden  wir  in  20 
25  Zeilen  zu  4  Spalten  aufstellen. 

Die  ersten  beiden  Spalten  werden  für  jede  Verfinsterung 
den  scheinbaren  Ort  des  Mondes  in  Breite  auf  dem  schiefen 
Kreise  enthalten.   Da  der  Sonnendurchmesser  (vgl  S.  305, 25){ggi  goJ 


a)  Weil  bei  den  Konjunktionen  oder  Sonnenfinsternissen  die 
für  den  Standpunkt  des  Beobachters  geltenden,  von  der  Paral 
laxe  beeinflußten  (daher  scheinbaren)  örter  des  Mondes  in- 
betracht  kommen,  bei  den  Vollmonden  oder  zentralen  Mond- 
finsternissen die  geozentrischen,  d.  i  dem  Sonnenorte  genau 
diametral  gegenüberliegenden  Örter  des  Mondes.    Vgl.  S.  194,  5. 


374  Sechstes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

0^31' 20"  beträgt,  und  der  Monddurchmesser  in  der  größten 
Entfernung (S.  309,  ll)  ebenfalls  zu  0°3l'20"  nachgewiesen 
wurde,  so  wird  der  Mond  mit  der  Sonne  erstmalig  in  Berührung 
treten,  wenn  das  scheinbare  Mondzentrum  auf  dem  durch 
6  beide  Mittelpunkte  gehenden  größten  Kreis  *)  von  dem  Sonnen- 
zentrum (die  Summe  der  beiden  Halbmesser,  d  i.)  0®3l'20" 
Abstand  hat  und  auf  dem  schiefen  Kreise  von  dem  Knoten 
in  dem  früher  (S.  355,  4)  dargelegten  Verhältnis  von  IIV2  *  1 
6°  entfernt  ist.^^    Demnach  werden  wir  in  der  ersten  Zeile 

10  {90^-  60=)  84Mn  die  erste  Spalte  und  (2 70^+  60=)276ö 
in  die  zweite  Spalte  setzen,  ferner  in  der  letzten  Zeile 
(900  ^  ßo^)  900  ijj  ^ie  ej.ste  und  (270°-  6»=)  264°  in 
die  zweite  Spalte.  Da  auf  ein  Zwölftel  des  Sonnendurch- 
messers   ungefähr    30  Sechzigteile    von    einem   (der  sechs) 

15" Grade  des  schiefen  Kreises  entfallen,  so  werden  wir  die 
Zahlen  in  diesen  beiden  ersten  Spalten  auf  folgende  Weise 
fortschreiten  lassen:  in  der  ersten  Spalte  werden  wir  sie 
von  oben  abwärts  um  0^30'  zunehmen  und  von  unten  auf- 
wärts abnehmen   lassen  bis   zur   mittelsten  Zeile,   während 

20  wir  sie  in  der  zweiten  Spalte  um  denselben  Betrag  umgekehrt 

von  oben  abwärts   bis   zur  mittelsten  Zeile  abnehmen   und 

von  unten  aufwärts  bis  dahin  zunehmen  lassen ;  denn  in  die 

Mitte  w^ erden  wir  (die  Knoten  selbst  mit)  90^  und  270^  setzen. 

Die  dritte  Spalte  wird  die  Größen  der  Verfinsterungen 

25  enthalten,  d.  h.  wir  setzen  in  die  erste  und  in  die  letzte  Zeile 
dieser  Spalte  als  den  Betrag  der  Berührung  0  und  in  die 
nach  unten  oder  nach  oben  folgende  Zeile  die  Zahl  1,  in- 
dem wir  Y12  ^^s  Durchmessers  einem  Zoll  gleichsetzen;  dann 
in  die  übrigen  Zeilen  unter  Zunahme  um  je  einen  Zoll  die 

30  Zahlen  2,  3,  4  usw.  bis  zur  mittelsten  Zeile,  in  welcher  sich 
Hei  501  durch  Begegnung  (von  oben  und  von  unten)  die  Zahl  12  ein- 
stellen wird. 


a)  Das  ist  nach  S.  351,  2  und  352,  3  der  durch  die  Pole  des 
schiefen  Kreises  des  Mondes  gezogene  Kreis.  Vgl  jedoch  S.  353,22. 

b)  Bei  6°  Entfernung  findet  nur  Berührung  statt,  bei  5y^^ 
Entfernung  ist  V,,  bedeckt,  bei  5«  ^^^  ^ei  4y/  %,  usw., 
bei  1«  »7ij,  bei  %  «  '%,,  bei  0«,  d.  i.  im  Knoten,  ^V,,. 


Erklärung  der  Tabellen.  375 

Die  vierte  Spalte  wird  die  Laufstrecken  angeben,  die  das 
Zentrum  des  Mondes  in  jeder  Phase  der  Bedeckungen  (s.  S. 
377,  3)  zurücklegt,  wobei  jedoch  die  Weiterbewegung  der  Hu  4ii 
Sonne  und  die  weiteren  Wirkungen  der  Parallaxen  des  Mondes 
noch  nicht  in  Rechnung  gezogen  werden.  6 

Die  zweite  Tabelle  der  Sonnenfinsternisse,  welche  die 
Finsternisgrenzen  bei  der  kleinsten  Entfernung  des  Mondes 
umfaßt,  werden  wir  im  übrigen  genau  so  wie  die  erste,  aber 
zu  27  Zeilen  und  4  Spalten  einrichten,  weil  der  Halbmesser 
des  Mondes  in  der  kleinsten  Entfernung  (S.  353,6)  in  dem  10 
Maße,  in  welchem  der  Halbmesser  der  Sonne  0^1 5' 40"  be- 
trägt, zu  0^1 7' 40"  nachgewiesen  wurde.**)  Wenn  der  Mond 
mit  der  Sonne  erstmalig  in  Berührung  tritt,  hat  daher  das 
scheinbare  Mondzentrum  von  dem  Sonnenzentrum  einen  Ab- 
stand von  (0^1 7'40"  +  0^1 5'40"  =)  0®33'20"  und  ist  von  den  16 
Knoten  auf  dem  schiefen  Kreise  6*24'  entfernt.  Somit  kommen  in 
die  erste  Zeile  als  Argumentzahlen  der  scheinbaren  Breite  (90* 
—  6*24'=)  83*36'  und  (270*  +  6*24'=)  276*24',  in  die 
letzte  (90*4- 6*24'=)  96*24'  und  (270*— 6*24' =)  263*36' 
usw.,  als  Zahl  in  die  mittelste  Zeile  der  Spalte  für  die  Zolle  20 
nach  Maßgabe  der  Differenz  (der  beiden  Durchmesser)  12*/5.^) 
Nach  dieser  Zahl  bestimmt  sich  auch  die  Laufstrecke  des 
Verharrens  (d.  i.  die  längste  Dauer  der  Totalität). 

IL  Die  Mondfinsternistabellen. 
Jede  der  beiden  Mondtabellen  werden  wir  zu  45  Zeilen  Hei  so 
und  5  Spalten  aufstellen.    In  der  ersten  Tabelle  werden  wir  26 
die  Argumentzahlen  der  Breite  unter  der  Annahme  ansetzen, 

a)  Infolgedessen  ergibt  sich  im  Knoten  selbst  eine  fast  ISzöllige 
zentrale  Bedeckung  und  die  zwölfzöllige  tritt  zweimal  ein,  ein- 
mal 24'  vor  jedem  Knoten  und  einmal  24'  nachher.  Deshalb 
werden  zwei  Zeilen  mehr  erforderlich. 

b)  Die  Differenz  der  Durchmesser  beträgt  2  (17'40"  -  ]5'40") 
=  4',  d.  h.  bei  zentraler  Bedeckung  überragt  allseitig  die  Mond- 
scheibe um  2'  die  Sonnenscheibe.  Diese  4'  betragen,  wenn  man 
den  Sonnendurchmesser  gleich  12  Zoll  und  den  Monddurch- 
messer gleich  60'  setzt,  nach  dem  Verhältnis  4:60  =  a;:12, 
"/e,  =  %Zoll. 


376  Sechstes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

daß  der  Mond  in  seiner  größten  Entfernung  steht.  Der 
Halbmesser  des  Mondes  wurde  (S.  309,  24)  bei  der  größten 
Entfernung  mit  0Hb'40"  und  der  des  Schattens  mit  0040'44" 
nachgewiesen.  Wenn  der  Mond  den  Schatten  erstmalig  be- 
Ha  412  rührt,  hat  demnach  sein  Zentrum  von  dem  Schattenzentrum 
6  einen  Abstand  von  0^56' 24"  und  ist  von  den  Knoten  auf 
dem  schiefen  Kreise  10^48'  entfernt.  Daher  werden  wir  in 
die  erste  Zeile  (90''— 10^48'=)  79^1 2' und  (270^+ 10^48' ==) 
280U8',  in  die  letzte  (90^+  10<'48'==)  100^48'  und  (270^ 

10  —  10^48'  =)  259''12'  setzen.  Endlich  werden  wir  gerade 
wie  in  den  ersten  Tabellen  die  Ab-  und  Zunahme  der  Ar- 
gumentzahlen um  den  auf  ^/jg  des  zurzeit  (mit  rund  30') 
angenommenen  Monddurchmessers  entfallenden  Betrag  von 
30  Sechzigteilen  (eines  Grades  des  schiefen  Kreises)  vor  sich 

16  gehen  lassen.*) 

In  der  zweiten  Tabelle  werden  wir  die  Argumentzahlen 
der  Breite  unter  der  Annahme  ansetzen,  daß  der  Mond  in 
seiner  kleinsten  Entfernung  steht.  Bei  dieser  Entfernung 
wurde  (S.  353,  ö)  sein  Halbmesser   zu   0^1 7' 40"  und  der 

20  des  Schattens  zu  0^45' 56"  nachgewiesen.   Wenn  der  Mond 

den  Schatten  erstmalig  berührt,  dann  hat  sein  Zentrum  also 

Hei  503  von  dem  Schattenzentrum  wieder  entsprechend  einen  Abstand 

von  1^3' 36"  und  ist  von  den  Knoten  auf  dem  schiefen  Kreise 

12^12'  entfernt.    Daher  setzen  wir  in  die  erste  Zeile  (90*^ 

25  —  12M2'  =)  77^48'  und  (270«  +  12^12'  =)  282«12',  in 
die  letzte  (90^^+  120l2'=)  102<'l2'  und  (270«  —  12^2'==) 
257^48'.  Die  Ab-  und  Zunahme  der  Argumentzahlen  werden 
wir  um  den  auf  Y^g  ^^s  nunmehr  (mit  rund  34')  angenomme- 
nen Monddurchmessers  entfallenden  Betrag  von  34  Sechzig- 

30  teilen  (eines  Grades  des  schiefen  Kreises)  vor  sich  gehen  lassen.*^ 
Die  dritten  Spalten  (beider  Mondtabellen)  werden  in  dem- 
selben Sinne   wie  in  den  Sonnentabellen   die  Einträge  für 


a)  Je  nachdem  der  Mond  um  seinen  Durchmesser,  d.  i.  im 
ersten  Falle  um  30',  im  zweiten  um  34',  dem  Knoten  näher 
rückt,  wird  er  je  y^g  des  jeweiligen  Durchmessers  oder  1  Zoll 
tiefer  in  den  Schatten  eindringen. 


Erklärung  der  Tabellen.  377 

die  Zolle  enthalten.  Gleicherweise  (für  Sonnen-  und  Mond- 
tabellen geltend)  werden  die  folgenden  (vierten)  Spalten  für 
jede  Phase  der  Verfinsterungen,  d.  h.  sowohl  für  die  Phase  Ha  4i 
des  Eintritts  als  für  die  Phase  des  Wiedervollwerdens 
(d.  i.  des  Austritts)  die  Laufstrecke  des  Mondes  angeben,  und  5 
hierüber  noch  (eine  fünfte  Spalte)  die  Laufstrecke  in  der  hal- 
ben Zeit  des  Verharrens  (d.i.  diehalbeDauerderTotalität). 

IlL  Erklärung  der  beiden  letzten  Spalten. 

Berechnet  haben  wir  für  jede  Phase   der  Verfinsterungen 
die  betreffenden  Laufstrecken  des  Mondes   auf  dem  Wege  10 
geometrischer  Konstruktion.     Dabei  haben  wir  jedoch  die 
Beweisführung  derartig  gehandhabt,  als  ob  es  sich  um  eine 
Ebene  und  um  Gerade  handelte,  weil  die  Bogen  bis   zu 
einer  so  geringen  Größe  herab  für  die  sinnliche  Wahrnehmung 
von  den  sie  unterspannenden  Sehnen  ganz  unwesentlich  ver-  15 
schieden  sind.   Ferner  haben  wir  angenommen,  daß  zwischen 
dem  Lauf  des  Mondes  (in  Breite)  auf  dem  schiefen  Kreise 
und  dem  theoretisch  auf  die  Ekliptik  bezogenen  Lauf  (in 
Länge)  kein  beträchtlicher  Unterschied  sei.    Es  wird  ja  wohl 
niemand  annehmen,  daß  wir  nicht  gewußt  hätten,  daß  im  20 
großen  ganzen  für  den  Lauf  des  Mondes  in  Länge  allerdings 
ein  Unterschied  herauskommt,  wenn  man   die  Bogen  des 
schiefen  Kreises  anstatt  der  Ekliptikbogen  verwendet.   Eben- 
so sind  wir  uns  bewußt,  daß  es  nicht  richtig  ist  anzunehmen, 
daß  die  Zeiten  der  Syzygien  unterschiedslos  dieselben  seien  Hol  50< 
wie  die  Zeiten  der  Finsternismitten.  26 

Wenn  wir  nämlich  von  dem  Knoten  A  aus  zwei  gleich- 
große Bogen  AB  und  AT  der  betreffenden  Kreise  abtragen 
und  dann  die  Verbindungslinie  J5 

B  r  und  von  B  aus  unter  rechten  /T"^-^  30 

Winkeln  zu  A  f  die  Gerade  BA 
ziehen,  so   wird   ohne   weiteres 

folgendes  klar  sein.    Es  sei  zu-  x'L-X ^^^^ 

nächst  in  B  der  Mond  angenom- 
men.   Verwenden   wir  den   Ekliptikbogen   AT   anstatt   des  35 
Bogens  AA,  so  wird,  weil  der  auf  die  Ekliptik  bezogene  Lauf 


378  Sechstes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

theoretisch  nach  den  durch  die  Pole  der  Ekliptik  gehenden 
(Breiten-)  Kreisen  bemessen  wird,  der  infolge  der  Neigung 
des  Mondkreises  eintretende  Unterschied  die  Strecke  TA  aus- 
Ha  414  machen.  Denkt  man  sich  dagegen  die  Sonne  oder  das  Schatten- 
5  Zentrum  in  B,  so  wird  bei  dem  unbeträchtlichen  Unterschied 
der  Kreise  die  Zeit  der  Sjzygie  sein,  wenn  der  Mond  nach 
Punkt  r  gekommen  ist,  während  die  Zeit  der  Finsternismitte 
sein  wird,  wenn  er  nach  Punkt  A  gekommen  ist,  weil  die 
Zeiten  der  Finsternismitten  theoretisch  nach  den  durch  die 

10  Pole  des  Mondkreises  gehenden  Kreisen  bemessen  werden. 
Mithin  wird  die  Zeit  der  Syzygie  von  der  Zeit  der  Finster- 
nismitte um  den  Bogen  TA  differieren.*^^ 
Hei  505       Der  Grund,  welcher  uns  bestimmt,  bei  der  speziellen  Be- 
handlung des  Gegenstandes  nicht  auch  diese  Bogen  mit  in 

15  Rechnung  zu  ziehen,  ist  der,  daß  ihre  Unterschiede  klein 
und  kaum  bemerkbar  sind.  Auch  meinen  wir,  daß  es  zwar  un- 
verantwortlich wäre,  von  solchen  Verhältnissen  keine  Ahnung 
zu  haben,  daß  aber  zur  Förderung  äußerster  Knappheit  bei 
der  Kleinarbeit  methodischer  Beweisführungen  das  absicht- 

20  liehe  Ignorieren  eines  so  minimalen  Betrags  —  wie  ja 
gleichgeringe  Differenzen,  die  sich  zwischen  den  Hypothesen 
und  den  Beobachtungen  selbst  einstellen,  von  der  Theorie 
ruhig  übersehen  werden  können  —  zugunsten  des  Grund- 
satzes „je  einfacher,  desto  praktischer"  ganz   bedeutend  in 

26  die  Wagschale  fällt,  während  es  für  die  Größe  des  Fehlers, 
der  sich  hinsichtlich  der  Erscheinungen  etwa  einstellt,  ent- 
weder gar  keine  oder  doch  nur  ganz  geringe  Bedeutung  hat. 
Was  nun  den  der  Strecke  TA  entsprechenden  Bogen  an- 
belangt, so  finden  wir  ihn  im  allgemeinen  nicht  größer  als 

30  5  Sechzigteile  eines  Grades.  Dieser  Nachweis  beruht  näm- 
lich auf  demselben  theoretischen  Verfahren,  mit  dessen  Hilfe 
wir  die  Unterschiede  der  Äquatorbogen  gegen  die  Ekliptik- 
bogen auf  den  durch  die  Pole  des  Äquators  gehenden  größ- 
ten (Deklinations-)  Kreisen  (d.  i.  die  Tabelle  der  Ekliptik- 

36  schiefe)  berechnet  haben.   Bei  den  Finsternissen  aber  finden 

wir    diesen  Bogen   nicht   größer   als   2  Sechzigteile.     Setzt 

Ha  415  man  nämlich  die  beiden  Bogen  AB  und  AP  gleich  12^  — 


Erklärung  der  Tabellen.  379 

so  weit  erstrecken  sich  ja  etwa  (S.  376,  24)  die  örter  des 
Mondes  bei  den  (Mond-)  Finsternissen  — ,  so  ist  in  diesem 
Maße  BA  ohne  merklichen  Fehler  gleich  1^*^  und  deshalb 
AA  etwa  gleich  ll^öS'^);  als  Kest  bleibt  (für  TA)  p«2', 
ein  Betrag,  der  noch  nicht  einmal  den  16*®"  Teil  einer  Äqui-  5 
noktialstunde  (oder  S^/^^)  ausmacht.*^)  Mit  einem  so  mini- 
malen Betrag  es  peinlich  genau  zu  nehmen,  das  dürfte  mehr 
Sache  des  pedantischen  Tüftlers  als  des  wahrheitsliebenden  Hei  50( 
Forschers  sein. 

Aus  diesen  Gründen  haben  wir  die  zu  bestimmenden  Lauf- 
strecken des  Mondes  bei  den  Verfinsterungen  unter  der  An-  10 
nähme  behandelt,  daß  die  (beiden)  Kreise  für  die  sinnliche 
Wahrnehmung  keinerlei  Differenz  aufkommen  lassen.**)  Die 
zum  Ziele  führende  Berechnung  ist,  wie  wir  wieder  an  einem 
oder  zwei  Beispielen  erläutern  wollen,  von  uns  auf  folgende 
Weise  ausgeführt  worden.  15 

Punkt  A  sei  das  Zentrum  der  Sonne  oder  des  Schattens, 
und  B  TA  sei  die  statt  des  Bogens  des  Mondkreises  genommene 
Sehne.  Punkt  B  sei  als  das  Mond- 
zentrum in  dem  Moment  ange- 
nommen, wo  der  Mond  im  Her-  J^   /[d^  ]^ ^  20 

anrücken  die  Sonne  oder  den 

Schatten  erstmalig  berührt,  Punkt 

A  als  das  Mondzentrum  in  dem 

Moment,  wo   die   Berührung  im 

Wegrücken  stattfindet.    Man  ziehe  die  Verbindungslinien  25 

AB,  AA  und  fälle  von  A  auf  BA  das  Lot  AT. 

Daß  in  dem  Moment,  wo  das  Mondzentrum  nach  T  gelangt, 
die  Zeit  der  Finsternismitte  ist  und  zugleich  das  Maximum 

a)  1°3'  bei  (90°- 12<'=)  78°  Entfernung  vom  nördlichen  Grenz- 
punkt nach  der  1^^^  Spalte  der  Tabelle  der  Gesamtanomalie 
des  Mondes  S.  286;  übrigens  ist  die  Abweichung  von  dem  Ver- 
hältnis lillVj  zu  bemerken.    Vgl.  S.  355,  4. 

b)  Weil  AA2  =  AB2-BA2,  d.  i.  AA  =  1/144"- 1°. 

c)  Weil  der  Mond  in  der  Stunde  noch  56"  mehr  als  2x16' 
=  32'  zurücklegt. 

d)  Insofern  die  in  Betracht  kommenden  Strecken  AB  und  AT 
als  gleichgroß  angenommen  werden. 


380  Sechstes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

der  Verfinsterung  eintritt,  geht  erstens  daraus  hervor,  daß 
AB  gleich  AA  und  deshalb  auch  die  Laufstrecke  Bf  gleich 
der  Laufstrecke  TA  ist;  zweitens  daraus,  daß  AT  (als  Nor- 
male) kleiner  ist  als  alle  Geraden,  welche  auf  der  Strecke 
5  BA  als  Verbindungslinien  der  beiden  Mittelpunkte  gezogen 
werden  können.    Ferner  ist  klar,  daß  AB  sowohl  wie  AA 
Ha  416  gleich  der  Summe  der  Halbmesser  des  Mondes  und  der  Sonne 
oder  des  Schattens  ist,  und  daß  AT  um  den  von  der  Ver- 
finsterung abgegrenzten  Teil  des  Durchmessers  des  verfinster- 
10  ten  Körpers  kleiner  ist  als  jede  dieser  beiden  Geraden.*) 

Hei  507  A.  Unter  Voraussetzung  dieser  Verhältnisse  soll  beispiels- 
halber die  Verfinsterung  3  Zoll  betragen,  und  A  sei  zunächst 
als  das  Zentrum  der  Sonne  angenommen. 

1.  "Wenn  der  Mond  in  der  größten  Entfernung  steht,  ist 

15  AB  =  31' 20",    AB2  =  981'47" 

A  r  =  A  B  -  y^  Sonnenbreite  =  31'  20"  -  7'  60" 
Ar  =  23' 30",    AP  =  552'15" 

BP=AB2-AP=429'32" 

Br  =  20'43". 

20       Diesen   Betrag   werden    wir   in   der  ersten   Tabelle    der 
Sonnenfinsternisse  in  die  vierte  Spalte  zu  „3  Zoll"  setzen. 

2.  Bei  der  kleinsten  Entfernung  des  Mondes  (S.  375, 15)  ist 

AB  =  33' 20",    AB2  =  1I11'   7" 
A  r  =  A  B  -  y^  Sonnenbreite  =  33'  20"  -  7'  50" 
25  Ar  =  25'30",    AP=    650' 15" 

Bn  =  AB2-An=   460' 52" 

Br=21'28". 

Diesen  Betrag  werden   wir  in  der  zweiten  Tabelle   der 
Sonnenfinsternisse  ebenfalls  zu  „3  Zoll"  in  die  vierte  Spalte 
30  setzen. 


a)  Da  im  vorliegenden  Beispiel  AB  =  B-^r  und  A  r=  22 -f-  y^r, 
so  ist  eben  AT  um  y^r,  d.  i.  um  den  verfinsterten  Teil  ab  des 
Durchmessers  der  Sonne  kleiner. 


Erklärung  der  Tabellen. 


381 


B.  Nun  sei  weiter  Punkt  A  als  das 
Zentrum  des  Schattens  angenommen,  und 
die  Verfinsterung  soll  auch  wieder  V4  <ies 
Monddurchmessers  betragen. 

1 .  Bei  der  größten  Entfernung  des  Mon- 
des (S.  376,  3)  ist 

AB  =  56' 24"    AB2  =  3180'68" 

A  r  =  A  B  -  y^  Mondbreite  =  56'  24" 
Ar  =  48^34'\    AP  =  2358^43" 

BP=AB2  4-AP=    822' 15" 

Br  =  28'21". 


7' 50'   in  Erdferne 


Ha  417 
Hei  508 

10 


Diesen  Betrag  werden  wir  in  der  ersten  Tabelle  der  Mond- 
finsternisse zu  „3  Zoll"  in  die  vierte  Spalte  setzen.    Er  gibt 
die  Laufstrecke  in  der  Phase  des  Eintritts  an,  der  für  die 
sinnliche  Wahrnehmung  gleich  ist  der  Laufstrecke  in   der  15 
Phase  des  Austritts. 

2.  Bei  der  kleinsten  Entfernung  (S.  376,  19)  ist 

AB  =  63' 36",    AB2  =  4044'58" 

A  r  =  A  B  -  y^  Mondbreite  =  63'  36"  -  8'  50"  in  Erdnähe 

Ar  =  54'46",    AP  =  2999' 23"  20 

BP=AB2-AP  =  1045'35" 

Br  =  32'20". 

Diesen  Betrag  werden  wir  in  der  zweiten  Tabelle  der  Mond- 
finsternisse gleichfalls  wieder  zu  „3  Zoll"  in  die  vierte  Spalte 
setzen. 

3.  Was  nun  weiter  die 
Mondfinsternisse  anbelangt, 
welche  eine  Zeit  des  Verhar- 
rens  (im  Schatten,  d.  i.  eine 
gewisse  Dauer  der  Totali- 
tät) haben,  so  sei  Punkt  A 
das  Schattenzentrum  und 
BfAEZ  die  anstatt  des  Bogens  des  schiefen  Kreises  des  Hei  509 
Mondes  genommene  Sehne.  B  sei  als  der  Punkt  angenommen. 


382  Sechstes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

in  welchem  das  Mondzentrum  in  dem  Moment  sein  wird, 
wo  der  Mond  im  Heranrücken  begriffen  erstmalig  von  außen 
Ha  418  her  den  Schatten  berührt,  f  als  der  Punkt,  in  welchem  das 
Mondzentrum  in  dem  Moment  sein  wird,  wo  der  Mond  erst- 
5  malig  total  verfinstert  von  innen  den  Kreis  des  Schattens 
berührt,  E  als  der  Punkt,  in  welchem  das  Mondzentrum  in 
dem  Moment  sein  wird,  wo  der  Mond  im  Weiterrücken  be- 
griffen erstmalig  von  innen  den  Kreis  des  Schattens  berührt, 
endlich  Z  als  der  Punkt,  in  welchem  das  Mondzentrum  in 

10  dem  Moment  sein  wird,  wo  der  Mond  im  Austreten  begriffen 
letztmalig  von  außen  den  Schatten  berührt.  Man  fälle  wieder 
von  A  auf  BZ  das  Lot  AA.  Indem  nun  auch  hier  die  oben 
(S.  380,  1 — 8)  besprochenen  Verhältnisse  gültig  bleiben *\ 
leuchtet  außerdem  noch  der  Umstand  ein,  daß  jede  der  beiden 

15  Geraden  AT  und  AE  die  Differenz  der  Halbmesser  von 
Schatten  und  Mond  darstellt.  Somit  wird  erstens  die  Lauf- 
strecke TA  gleich  der  Laufstrecke  AE,  von  denen  jede  die 
halbe  Dauer  der  Totalität  ausdrückt,  zweitens  wird  die  (als 
Rest  von  BA  —  TA)  übrigbleibende  Laufstrecke  Bf  in  der 

20  Phase  des  Eintritts  gleich  der  (anderseits  als  Rest  von 
AZ  —  AE)  übrigbleibenden  Laufstrecke  EZ  in  der  Phase 
des  Austritts. 

Es  soll  nun  eine  Finsternis  angenommen  sein,  bei  welcher 

15  Zoll  des  Mondes  (in  der  Tabelle)  angesetzt  stehen,  d.  i. 

Hei  510  eine  solche,  bei  welcher  das  Mondzentrum  A  noch  P/^Mond- 

26  durchmesser  (d.  i.  15  Zoll)  weiter  innerhalb  des  nach  Maß- 
gabe der  Finsternisgrenzen  bestimmten  Grenzpunktes  steht, 
d.  h.  wenn  AA  um  wie  gesagt  IY4  Monddurchmesser  (d.  i. 
Ba)  kleiner  ist  als  jede  der  beiden  Geraden  AB  und  AZ, 

30  aber  nur  um  74  Monddurchmesser  (d.i.  Vh)  kleiner  als  jede 
der  beiden  Geraden  AT  und  AE. 

a)  Wenn  der  Mond  in  seiner  größten  Entfernung  steht, 
so  ist,  wie  oben  (S.  381,  7)  bekanntgegeben, 
AB  =  56'24",    AB2  =  3180'58" 

36  Air=^AB- Mondbreite  =  56' 24" -31' 20"  in  Erdferne 

a)  1.  AZ  =  AB,   folglich   BA  =  AZ;    2.   AA<AZ,   AE  efcc 
3.  AZ  und  AB=i2-f  r. 


Erklärung  der  Tabellen.  383 

Ar  =  25'   4",    An=    628' 20"  Ha  419 

A  A  =  A  B  -  y^  Mondbreite  =  66'  24"  -  39'  10" 

AA=17'14",  AA^=  296' 69" 
BA2(=  A  B2  -  A  A2)  =  2883'  59" 
rA2  (=  A  r2  -  A  A2)  =    331'  21"  ö 

BA=53'42"  und  TA  =  18' 12" 

Br  =  BA-rA  =  35'30". 

Wir  werden  demnach  zu  der  Zahl  „15  Zoll"  in  der  ersten 
Tabelle  der  Mondfinsternisse  in  die  vierte  Spalte  als  Betrag 
der  Phase  des  Eintritts,  welcher  gleich  ist  dem  Betrag  der  10 
Phase  des  Austritts,  35' 30"  setzen  und  in  die  fünfte  Spalte 
als  Betrag  der  halben  Dauer  der  Totalität  18' 12". 

b)  Wenn  der  Mond  in  seiner  kleinsten  Entfernung  steht,  Hei  5ii 
so  ist,  wie  oben  (S.  381,  is)  bekanntgegeben, 

AB  =  63'36",    AB2  =  4044'58"  15 

A  r  =  A  B  -  Mondbreite  =  63'  36"  -  35'  20"  in  Erdnähe 

Ar  =  28'16",    AP=    799'   0" 

A  A  =  A  B  -  %  Mondbreite  =  63' 36"  -  44'  10" 

AA  =  19'26",    AA2=    377' 39" 

BA2(=  AB2  -  AA2)  =  3667'19"  20 

rA2(=  AP- AA2)=    421' 21" 

BA  =  60'34"  und  TA  =  20' 32" 

Br  =  BA-rA  =  40'2". 

Wir  werden  also  auch  in  der  zweiten  Tabelle  der  Mond- 
finsternisse zu  der  Zahl  „15  Zoll"  in  die  vierte  Spalte  als  25 
Betrag  der  Phase  des  Eintritts,  der  wieder  dem  Betrag  der 
Phase  des  Austritts  gleich  ist,  40' 2"  setzen   und  in    die  Ha  420 
fünfte  Spalte   als  Betrag  der  halben  Dauer  der  Totalität 
20' 32". 

IV.  Erklärung  der  Korrektionstabelle. 

Um  auch  bei  den  Stellungen  des  Mondes  auf  dem  Epizykel,  31 
welche  zwischen  der  größten  und  der  kleinsten  Entfernung 
liegen,  den  auf  die  jeweiligen  Positionen  (zwischen  Apogeum 
und  Perigeum   des  Epizykels)   entfallenden  Bruchteil   der 
ganzen  Differenz  (zwischen  größter  und  kleinster  Entfernung,  35 


384  Sechstes  Buch.     Siebentes  Kapitel. 

vgl.  S.  318  ])  auf  dem   methodischen  Wege  der  Rechnung 
mit  Sechzigsteln  bequem  zu  erzielen,  so  haben  wir  den  vor- 
stehend erklärten  Tabellen  eine  weitere  kleine  Tabelle  bei- 
gegeben, welche   die  Argumentzahlen  des  Laufs  auf   dem 
Hei  512  Epizykel  und   die  Sechzigstel   enthält,   welche   auf  die  je- 
6  weiligen  scheinbaren  Differenzen  entfallen,  die  sich  aus  den 
ersten  und  zweiten  Finsternistabellen  ergeben.    Die  Berech- 
nung hat  uns  den  Größenbetrag  dieser  Sechzigstel  geliefert, 
wie  er  in  der  Parallaxentafel  des  Mondes   in  der  siebenten 
10  Spalte  steht *\  weil  der  Epizykel,  wo  es  sich  um  die  Sjzy- 
gien  handelt,  in  dem  Apogeum  des  Exzenters  anzunehmen  ist. 

V.  Erklärung  der  Flächentabelle. 
Weil  die  meisten  Astronomen,  die  sich  mit  der  Beobach- 
tung der  Finsternisphasen  beschäftigen,  als  Maß  für  die  Größe 

15  der  Verfinsterungen  nicht  die  Durchmesser  der  Kreise  an- 
geben, sondern  in  Bausch  und  Bogen  den  ganzen  Flächen- 
raum, den  die  Verfinsterungen  einnehmen,  indem  nach  dem 
bloßen  Augenmaße  die  ganze  sichtbare  Fläche  an  sich  gegen 
die  nichtsichtbare  vergleichsweise  abgeschätzt  wird,  so  haben 

20  wir  diesen  Tabellen  noch  eine  kleine  Tabelle  zu  12  Zeilen 
und  3  Spalten  hinzugefügt.  In  die  erste  dieser  Spalten 
haben  wir  die  12  Zolle  gesetzt  in  dem  Sinne,  daß  jeder  Zoll, 
wie  schon  in  den  Finsternistab eilen  selbst,  dem  zwölften 
Teile  des  Durchmessers  eines  jeden  der  beiden  Lichtkörper 

26  entspreche,  in  die  folgenden  Spalten  die  auf  sie  entfallenden 

IIa  421  Teile  der  ganzen  Flächenräume,  was  auch  wieder  Zwölftel 

sind,  und  zwar  in  der  zweiten  Spalte  Zvvölftel  (der  Fläche) 

der  Sonne,  in  der  dritten  Zwölftel  (der  Fläche)  des  Mondes. 

Berechnet  haben  wir  diese  Teilbeträge  nur  für  die  Größen 

30  (der  Verfinsterungen),  welche  eintreten,  wenn  der  Mond  in 
seiner  mittleren  Entfernung  steht;  denn  bei  der  unbedeu- 
tenden Ab-  und  Zunahme  der  Durchmesser  bleibt  das  Ver- 
Hei  513  hältnis  (von  Fläche  zu  Durchmesser)  dasselbe  wie  3  8'30"  :  1 


a)  Da  die  Argumentzahlen  der  Parallaxentafel  für  den  Epi- 
zykel Doppelgrade  waren,  so  stehen  hier  die  gleichen  Beträge 
bei  den  doppeltgroßen  Argumentzahlen. 


Erklärung  der  Tabellen.  385 

(oder  S^Vigo  =  3,14166  . . . :  l),  was  das  Verhältnis  des  Kreis- 
umfangs  zum  Durchmesser  ist.  Dieses  Verhältnis  liegt  näm- 
lich ohne  beträchtlichen  Fehler  in  der  Mitte  zwischen  den 
Werten  3V7  (oder  3,14285)  und  3^7^!  (oder  3,14084), 
welche  Archimedes  schlechthin*)  nebeneinander  angewen-  5 
det  hat. 

A.  Sonnenfinsternisse. 
Es  sei  AB  TA  der  Kreis  der  Sonne  um  das  Zentrum  E, 
AZFH  der  Kreis  des  Mondes  in  der  mittleren  Entfernung 
um  das  Zentrum  0.   Letzterer  schneide  den  Kreis  der  Sonne  10 
in  den  Punkten  A  und  f.    Man  ziehe  die  Verbindungslinie 
BE0H  und  nehme   an,  daß  der  vierte  Teil  des   Sonnen- 
durchmessers verfinstert    sei.     Demnach    kommen  auf  ZA 
3  solche  Teile  (p)  wie  BA  12  enthält  (d.i.  ZA  =  V4BA). 
Der  Durchmesser  ZH  des  Mondes  beträgt  somit  nach  dem  15 
Verhältnis  (BA  :  ZH  =)  15' 40":  16' 40"  ohne  merklichen 
Fehler^)  I2V3P    und   deshalb   beläuft  sich  auch  E0  (d.  i. 
V2  B  A  +  V2  ZH  --  ZA)  auf  9'/,^  (d.  i.  6^  +  G^,^-  3^).  Hei  61. 
Von  den  Kreisumfängen  werden   folglich  unter  Zugrunde- 
legung des  Verhältnisses  1:38'  30"  der  Umfang  der  Sonne  20 
gleich  37P42',  der  des  Mondes  gleich  38^46'.^^    Desgleichen 
wird  von  den  ganzen  Flächenräumen  —  der  Halbmesser  mit  Ha  425 
dem  Kreisumfang  multipliziert  gibt  den  doppelten  Flächen- 
inhalt des  Kreises  —  der  Flächeninhalt  des  Sonnenkreises 
gleich  113p' 6',  der  des  Mondkreises  gleich  119P'32'.  25 

a)  D.h.,  wie  ich  vermute:  ohne  das  Mittel  (3,14185)  zu  ziehen 
und  zu  verwenden,  wie  es  Ptolemäus  (mit  3,14166)  anstrebt.  Die 
Ludolfsche  Zahl  ist  3,14159. 

b)  Das  genaue  Verhältnis  ist  157s  :  16%  =  12  :  12'%7,  ^^so 
ZH  nahezu  12 V^,  mithin  der  Fehler  recht  merklich. 

c)  Die  Multiplikation  W/^xZ^y^^^  gibt  knapp  38^46';  in- 
dessen beruht  (Z.  25)  das  Ergebnis  119^"  32'  auf  der  Multipli- 
kation 19P23'x6yg^:  es  ist  nicht  der  halbe  Halbmesser  mit  dem 
Umfang,  sondern  der  halbe  Umfang  mit  dem  Halbmesser  mul- 
tipliziert worden.  Genau  stimmt  von  vornherein  für  die  Sonne 
die  Rechnung:  3^%2oX  12^  =  37^,7,  d.  i.  37^42',  und  schließlich 


386 


Sechstes  Bucli.     Siebentes  Kapitel. 


Unter  Fest- 
haltung die- 
ser Verhält- 
nisse sei  uns 
demnach  die 
Aufgabe  ge- 
stellt zu  fin- 
den :  Wie 
groß  ist  der 

10  .'         ^  ^^^---^.^-'^^  ^on  AArz 

begrenzte 
Flächenraum,  wenn  man  den  ganzen  Flächenraum  des  Sonnen- 
kreises gleich  12  setzt? 

Man  ziehe  die  Verbindungslinien  AE,  A0,  FE,  TG  und 
15  außerdem   die   (zu   der  Verbindungslinie   der  Mittelpunkte 
nach  Eukl.  III.  3)  senkrechte  Gerade  AKT. 

Da  E0  mit  9^10',  AE  und  ET  mit  6^,  A0  und  OT  mit 
6^10'  gegeben  und   die  Winkel  bei  K  Rechte  sind,  so  er- 
halten wir  als  Endergebnis  (folgender  Berechnung: 
20  A02-AK2  =  K02 

AE''-AKg  =  EK2 
A02-AE2  =  K02-EK2 

=  [K0-EK][K0-f  EK] 
=  [K0-EK]E0) 


26 


A0g-AE^ 
E0 

(Nun  ist  E0 


=  K0  -EK  d.  i.^ — ?^  =  0Pl3'3" 
9^10' 


K04-EK 


9^10' 


2KQ  =9^23' 3") 

K0  =4^42' 

EK  =  E0-  K0=4P28'. 
30       Demnach  werden  wir  AK  =  KT  (aus  AK2=  AE^—  EK^ 
«ei  515  oder  aus  Kf^  =  0  f^ —  K0^)  mit  4^  erhalten  und  somit  den 
Flächeninhalt  des  A  AET  mit  (AK-EK  ==)  17^^-52',   und 
den  des  A  A0r  mit  (K0.Kr=)  18^^48'. 

Vorstehend  haben   wir  (als  Summe  von  AK  +  KT)   ge- 
35  Wonnen 


Erklärung  der  Tabellen 
Ar=      8P 


?.87 


wie  (ZwBA  =  12P, 
wie  rfwZH  =  12^20'. 

Setzt  man  BA  =  120P,  so  wird  Ar  =  80P. 

Setzt  man  ZH  =  120P,  so  wird  AT  =  77^50'. 

r5AAr=    83°37'  wie  OABrA  =  360°; 
Mithm    ^y^2:r=    80<'52'  wie  OAZrH  =  360^ 

Nun  verhalten  sich  die  Kreise  zu  den  Bogen  wie  die  Kreis- 
flächen zu  den  Flächen  der  von  den  Bogen  überspannten  Sek- 
toren. Wir  werden  daher  erhalten  (nach  den  Verhältnissen 
83^  37' :  360^  und  80<*  52' :  360^) 

SÄ:«  AErA  =  26P'l6'  wie  Ä:r/?  ABTA  =  113^'  6' 
sJfc<A0rZ  =  26P'51'  wie  Jcrß  ^Z^H  =  119"^^ S2' 
AAEr=17P  52'|    .^  demselben  Maße 

A  Aer  =  i8P  Asn 

sÄ^fAETA- A  AET  d.  i.  s^rm  AArK=      8P'24'. 
sÄ;M0rZ- A  AOr  d.  i.  s^rm  AZrK=      8^'   3'. 

Mithin  fl  AZrA  =  16P'27'  wie  Är/Z  ABrA  =  113^'  6'. 
Setztman  krfl  A  B  TA  =  12, 
so  wird  ß  AZrA  =  iy4  ohne  beträchtlichen  Fehler. 


Ha  42! 

5 


10 


15 


Hei  61 


25 


Diesen  Betrag  der  von  der  Verfinsterung  eingenommenen 
Fläche  werden  wir  in  unserer  Flächentabelle  zu  der  Zeile,  20 
in  welcher  „3  Zoll"  steht,  in  die  zweite  Spalte  setzen. 

B.  Mondfinsternisse. 
An  derselben  Figur  sei  AB  TA 
als  der  Kreis  des  Mondes  und 
AZrH  als  der  des  Schattens 
in  der  mittleren  Entfernung  B 
angenommen.  Die  Finsternis 
!soll  gleichfalls  ein  Viertel  des 
Monddurchmessers  betragen. 
Demnach  ist  ZA,  der  verfin-  30 

sterte  Teil  des  Durchmessers,  gleich  3^,  wie  der  Durchmesser 
BA  gleich  12^  ist.    Der  Schattendurchmesser  ZH    beträgt 


388  Sechstes  Bucli.     Siebentes  Kapitel. 

somit3lPl2',  entsprechend  dem  Verhältnis  1:275  (S-  309,24), 
Ha  424  und  deshalb  beläuft  sich  auch  EKG  (d  i.  V2BA  +  y^ZH—Zd.) 
auf  18^36'  (d.i.  6^+15^36'  — 3^).  Von  den  Kreisumiängen 
wird  folglich  wieder  (S.  385, 2l)  der  des  Mondkreises  gleich 
6  37^42',  der  des  Schattenkreises  gleich  98^1',  von  den  Flächen 
die  des  Mondkreises  gleich  11 3^*6',  die  des  Schattenkreises 
gleich  764P'32'.^) 

Da  auch  hier  E0  mit  18^36',  AE  und  ET  mit  6^,  A0 
und  0r  mit  15^36'  gegeben  sind,  so   erhalten  wir  wieder 

10  ^^^^— =  K0-EK  =  llP8', 

Hei5l7        folglich  EK=      3P44'u.K0  =  14P52',  AKu.  Kr=45'42'. 

Demnach       AAEr=    IT^'SS',  A  A0r  =  69P'52'. 

Ferner  ist  A  r  =     9^  24'  ( ^'^  ^^  B  A  =  12^, 

Iwie  dmZH  =  31^12'. 

Setzt  man  BA  =  120P,  so  wird   Ar  =  94P. 

16  Setzt  man  ZH  =  120P,  so  wird  AT  =  36^9'. 

Mithin      I  ?'AAr  =  103«8'  wie  OAB^A  =  360^ 
Ha425  1  6AZr=    35U'  wie  OAZrH  =  360^ 

Aus  dem  (S  387,6)  angeführten  Grunde  erhalten  wir  ferner 

SÄ;* AErA  =  32^^24'  wie  krflABrA=m^'   6', 
20  sÄ;*A0rZ  =  74P'28'  wie  Ä;r/?AZrH  =  764P'32'. 

Nun  war        j  ^  f  ^""^^^^'^^'j   in  demselben  Maße, 
l  AA0r  =  69P  52'J 

Folglich  I  «^^AETA-AAEr  d.i.  spwAArK=    14P'51', 
1  sÄ;M0rZ- A  A0rd.  i.  sgm  AZrK=     4P'36'. 
Hei  518  Mithin        /Z  AZrA  =  19P'27'    wie   Ä;r/Z  ABfA  =  113^'  6'. 

25      Setzt  man      fcr/?  ABrA=  12, 

so  wird         /?AZrA  =  2yj5  ohne  beträchtlichen  Fehler. 

a)  Die  Multiplikation  3lPl2'x3^yi2o  gibt  98^7^0 ;    indessen 

98^1'  •  15^36' 
beruht  das  Ergebnis   764^  32'  auf  dem  Ansatz > 

d  i.  Umfang  mal  Halbmesser  durch  2. 


Sechstes  Buch.     Achtes  Kapitel. 


389 


Diesen  Betrag  der  von  der  Verfinsterung  eingenommenen 
Fläche  werden  wir  in  der  nämlichen  Tabelle  zu  der  Zeile, 
in  welcher  „3  Zoll"  steht,  in  die  dritte  für  den  Mond  geltende 
Spalte  setzen. 


Achtes  Kapitel. 
Finsternistabellen. 

I.  Tabellen  der  Sonnenfinsternisse 

bei 

größter  Entfernung  kleinster  Entfernung 

des  Mondes. 


1    1    2 

3 

4 

1        2 

3 

4 

Argumentzahlen 

der 

Breite 

Zolle 

Dauer 
des  Ein- 

und 
Austritts 

Argumentzahlen 

der 

Breite 

Zolle 

Dauer 
des  Ein- 

und 
Austritts 

840  0' 

84  30 

85  0 

2760  0' 
275  30 
275  0 

0 

1 
2 

0'  0" 
12  32 

17  19 

83036' 
84  6 
84  36 

276024' 
275  54 
275  24 

0 

1 
2 

0'  0" 
12  57 
17  54 

85  30 

86  0 
86  30 

274  30 
274  0 
273  30 

8 

4 
5 

20  43 
23  27 
25  38 

85  6 

85  36 

86  6 

274  54 
274  24 
273  54 

3 

4 
5 

2128 
24  14 

26  87 

87  0 

87  30 

88  0 

273  0 
272  30 
272  0 

6 

7 
8 

27  £ 

28  29 

29  32 

86  36 

87  6 
87  36 

273  24 
272  54 
272  24 

6 

7 
8 

28  16 

29  45 

30  55 

88  30 

89  0 
89  30 

27130 
271  0 
270  30 

9 
10 
11 

30  20 
30  54 
3113 

88  6 

88  36 

89  6 

27154 
271  24 
270  54 

9 
10 
11 

3151 

32  33 

33  1 

90  0 

90  30 

91  0 

270  0 
269  30 
269  0 

12 
11 
10 

3120 
3113 
80  54 

89  36 

90  0 
90  24 

270  24 
270  0 
269  36 

12 

33  16 
33  22 
33  16 

9130 
92  0 
92  30 

268  30 
268  0 
267  30 

9 
8 

7 

30  20 

29  32 
28  29 

90  54 
9124 
9154 

269  6 
268  36 
268  6 

11 
10 

9 

33  1 
32  33 
3151 

93  0 

93  30 

94  0 

267  0 
266  30 
266  0 

6 
5 
4 

27  8 
25  38 
23  27 

92  24 

92  54 

93  24 

267  36 
267  6 
266  86 

8 
7 
6 

30  55 

29  45 
28  16 

94  30 

95  0 
95  30 

265  30 
265  0 
264  30 

3 

2 
1 

20  43 
17  19 
12  32 

93  54 

94  24 
94  54 

266  6 
265  36 

265  6 

5 
4 
3 

26  27 
24  14 
2128 

96  0 

264  0 

0 

0  0 

95  24 

95  54 

96  24 

264  36 
264  6 
263  36 

2 

1 
0 

17  54 

12  57 

0  0 

390 


Sechstes  Buch.     Achtes  Kapitel. 


II   Tabellen  der  Mondfinsternisse 

bei 
größter  Entfernung  kleinster  Entfernung 


1   1   2 

3 

4 

5 

1    i    2 

3 

4 

5 

Argument- 

aahlen 
der  Breite 

IS 

0 

Dauer 
d.Aus-u. 
Eintritts 

Halbe 
Dauer  der 
Totalität 

Argument- 
zahlen, 
der  Breite 

0 

Dauer 
d.Aus-u. 
Eintritts 

Halbe 
Dauer  der 
Totalität 

79012' 

79  42 

80  12 

280° 48' 
280  18 
279  48 

0 

1 
2 

0'  0' 
16  59 
23  43 

77° 48' 
78  22 
78  56 

282° 12' 
281  88 
281  4 

0 

1 
2 

0'  0" 
19  9 
26  45 

80  42 

81  12 
81  42 

279  18 
278  48 
278  18 

3 
4 

5 

28  41 
32  42 
36  6 

79  SO 

80  4 
80  38 

280  30 
279  56 
279  22 

3 

4 
5 

32  20 
36  53 
40  42 

82  12 

82  42 

83  12 

277  48 
277  18 
276  48 

6 

7 
8 

39  1 
4134 
43  50 

81  12 

81  46 

82  20 

278  48 
278  14 
277  40 
277  6 
276  32 
275  58 

6 

7 
8 

43  59 
46  53 
49  25 

83  42 

84  12 
84  42 

276  18 
275  48 
275  18 

9 
10 
11 

45  48 
47  35 
49  9 

82  54 

83  28 

84  2 

9 
10 
11 

5140 
53  39 
55  25 

85  12 

85  42 

86  12 

274  48 
274  18 
273  48 

12 
13 
14 

50  31 
40  35 
37  28 

11'  9" 
15  20 

84  36 

85  10 

85  44 
^86T8" 

86  52 

87  26 

275  24 
274  50 
274  16 

12 
13 
14 

56  59 
45  47 
42  15 

12'34" 
17  17 

86  42 

87  12 
87  42 

273  18 

272  48 
272  18 

15 
16 
17 

35  30 
34  6 
33  7 

18  12 
20  22 
22  0 

273  42 
273  8 
272  34 

15 
16 
17 
18 
19 
20 

40  2 
38  28 
37  20 

20  32 

22  58 
24  49 

88  12 

88  42 

89  12 

271  48 
271  18 
270  48 

18 
19 
20 

32  23 
3151 
3132 

23  14 

24  8 
24  43 

88  0 

88  34 

89  8 

272  0 
271  26 
270  52 

36  37 
35  55 
35  34 

26  1 

27  13 
27  42 

89  42 

90  0 
90  18 

270  18 
270  0 
269  42 

21 

zentral 

21 

3122 
8120 
3122 

25  1 
25  4 
25  1 

89  42 

90  0 
90  18 

270  18 
270  0 
269  42 

21 

zentral 
21 

35  22 
35  20 
35  22 

28  12 
28  6 
28  12 

90  48 

91  18 
91  48 

269  12 
268  42 
268  12 

20 
19 

18 

3132 
3151 
32  23 

24  43 
24  8 
23  14 

90  52 

91  26 

92  0 

269  8 
268  34 
268  0 

20 

19 

18 

35  34 

35  55 

36  37 

27  42 
27  13 
26  1 

92  18 

92  48 

93  18 

267  42 
267  12 
266  42 

17 
16 
15 

33  7 

34  6 

35  30 

22  0 
20  22 
18  12 

92  34 

93  8 
93  42 

267  26 
266  52 
266  18 

17 
16 
15 

37  20 

38  28 
40  2 

24  49 
22  58 
20  32 

k 

93  48 

94  18 
94  48 

266  12 
265  42 
265  12 

14 
13 
12 

37  28 
40  35 
50  31 

15  20 
11  9 

94  16 

94  50 

95  24 

265  44 
265  10 
264  36 

14 
13 
12 

42  15 
45  47 
56  59 

17  17 
12  34 

95  18 

95  48 

96  18 

264  42 
264  12 
263  42 

11 
10 

9 

49  9 
47  35 
45  48 

95  58 

96  32 

97  6 

264  2 
263  28 
262  54 

11 
10 

9 

55  25 
53  39 
51  40 

96  48 

97  18 

97  48 

263  12 
262  42 
262  12 

8 
7 
6 

43  50 
4134 
39  1 

97  40 

98  14 

98  48 

99  22 
99  56 

100  30 

262  20 
261  46 
261  12 

8 
7 
6 

49  25 
46  53 
43  59 

98  18 

98  48 

99  18 

261  42 
261  12 
260  42 

5 
4 
3 

36  6 
32  42 

28  41 

260  38 
260  4 
259  30 

5 
4 
3 

40  42 
36  53 
32  20 

99  48 
100  18 
100  48 

260  12 
259  42 
259  12 

2 
1 
0 

23  43 

16  59 

0  0 

101  4 

101  38 

102  12 

258  56 
258  22 
257  48 

2 

1 
0 

26  45 
19  9 
0  0 

Finsternistabellen. 
Korrektionstabelle. 


391 


Argumentz  ahlen 

der 

Anomalie 

Sechzigste! 
der 
Unter- 
schiede 

Argumentzahien 

der 

Anomalie 

Sechzigste! 
der 
Unter- 
schiede 

6« 
12 

18 

354" 

348 

342 

0'21" 

0  42 

1  42 

96" 
102 
108 

264« 

258 

252 

31'48" 
34  54 
38    0 

24 
30 
36 

336 
330 
324 

2  42 

4  1 

5  21 

114 
120 
126 

246 
240 
234 

41     0 
44    0 
46  45 

42 
48 
54 

318 
312 
306 

7  18 

9  15 

11  37 

132 

138 
144 

228 
222 
216 

49  30 
51  39 
53  48 

60 
66 
72 

300 
294 

288 

14    0 
16  48 
19  36 

150 
156 
162 

210 
204 
198 

55  32 

57  15 

58  18 

78 
84 
90 

282 
276 
270 

22  36 
25  36 

28  42 

168 
174 

180 

192 

186 
180 

59  21 

59  41 

60  0 

Flächentabelle. 


Zolle 

Quadratzolle 

Zolle 

Quadratzolle 

der  Sonne 

des  Mondes 

der  Sonne 

des  Mondes 

1 

V. 

% 

7 

öYe 

6% 

2 

1 

iVe 

8 

7 

8 

3 

1% 

27x5 

9 

SVs 

9'/, 

4 

2V, 

376 

10 

9V3 

10  y. 

5 

3% 

^Vs 

11 

10% 

11% 

6 

1% 

6% 

12 

12 

12 

392  Sechstes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 


Neuntes  Kapitel. 
Berechnung  von  Mondfinsternissen. 

Hei*5^2y  Nachdem  vorstehende  Erklärungen  vorausgeschickt  worden 
sind,  werden  wir  die  Berechnung  der  Mondfinsternisse  auf 
folgende  Weise  vornehmen.  Zunächst  stellen  wir  für  den 
Vollmond,  dem  die  Untersuchung  gilt,  nach  der  in  Alexan- 
6  dria  für  die  mittlere  Syzygie  geltenden  Stunde  erstens  die 
Zahl  der  Grade  der  sogenannten  Anomalie  von  dem  Apo- 
geum  des  Epizykels  ab  fest,  zweitens  die  Zahl  der  Grade 
der  Breite  von  dem  nördlichen  Grenzpunkt  ab.^°^ 

Hierauf  gehen  wir  nach  Anbringung  der  Anomaliediffe- 

10  renz*^  zuerst  mit  der  Zahl  der  Breite  in  die  Tabellen  der 
Mondfinsternisse  ein.  Fällt  sie  in  das  Bereich  der  Argument- 
zahlen der  ersten  zwei  Spalten,  so  werden  wir  uns  die  Be- 
träge, welche  bei  der  Zahl  der  Breite  nach  jeder  der  beiden 
Tabellen  in  den  Spalten  für  die  Laufstrecken  und  in  den 

16  Spalten  für  die  Zolle  stehen,  getrennt  für  sich  notieren. 
Dann  gehen  wir  mit  der  Zahl  der  Anomalie  in  die  Korrektions- 
tabelle ein,  nehmen  soviele  Sechzigstel,  als  bei  ihr  stehen, 
von  der  Differenz  der  aus  beiden  Tabellen  notierten  Zolle 
(der  dritten)  und  Gradteile  (der  vierten  Spalte)  und  addieren 

20  den  erhaltenen  Bruchteil  zu  den   aus  der  ersten  Tabelle 

entnommenen  Beträgen.  Wenn  jedoch  der  Fall  vorliegt,  daß 

die  Zahl  der  Breite  nur  in  das  Bereich  der  zweiten  Tabelle 

fällt ^),  so  nehmen  wir  die  (in  der  Korrektionstabelle)  ge- 

Hei  524  fundoneu  Sechzigstel  von  den  Zollen  und  den  Gradteilen, 


a)  Weil  die  Argumentzahlen  der  Finsternistab  eilen  die  schein- 
baren Mondörter  angeben. 

b)  Dies  wird  der  Fall  sein,  wenn  die  Anomaliezahl  genau 
180"  beträgt,  d.  h.  wenn  der  Mond  im  Perigeum  des  Epizykels, 
mithin  in  der  kleinsten  Entfernung  steht,  für  welche  die  zweite 
Tabelle  bestimmt  ist.  Die  in  der  Korrektionstabelle  bei  ISO** 
stehenden  ^Yß^  bedeuten,  daß  die  Zahlen  für  Zolle  und  Grad- 
teile voll  zu  nehmen  sind,  wie  sie  die  zweite  Tabelle  bietet. 


Berechnung  von  Mondfinsternissen.  393 

welche  nur  in  dieser  Tabelle  stehen,  und  werden  sagen:  Ha  432 
die  Verfinsterung  wird  zur  Zeit  der  Finsternismitte  so  viele 
Zwölftel  des  Monddurchmessers  betragen,  als  wir  gefunden 
haben,  daß  bei  der  vorgenommenen  Korrektion  Zolle  heraus- 
gekommen sind.    Zu  den  Sechzigsteln  (der  Gradteile)  aber,    5 
welche  sich  bei  der  nämlichen  Korrektion  ergeben  haben, 
addieren  wir  in  jedem  Falle  ein  Zwölftel  davon  für  das  Stück, 
welches  die  Sonne  sich  weiterbewegt,  und  dividieren  mit  der 
zurzeitgeltenden  stündlichen  ungleichförmigen  Bewegung 
des  Mondes  (vgl.  S.  348,  3).      In  dem  Quotienten  erhalten  10 
wir  den  Betrag  an  Äquinoktialstunden  für  die  Dauer  der 
einzelnen   Phasen    der  Finsternis:   aus   der   vierten  Spalte 
ergibt  sich  je  für  sich  die  Dauer  des  Eintritts  und  die 
Dauer  des  Austritts,  und  aus  der  fünften  die  halbe  Dauer 
der  Totalität.  Ohne  weiteres  ergibtsich  fern  er  die  Stunden-  15 
epoche  (d.  i.  Tageszeit)  für  den  Anfang  des  Eintritts,  wenn 
wir  von  der  Zeit  der  Mitte  der  Totalität,  welche  ohne  be- 
trächtlichen Fehler  (vgl.  S.  378,  ll)   die   Zeit  des  genauen 
Vollmonds  ist*^,    die  für  die  Dauer  des  Eintritts  und  die 
halbe  Totalitätsdauer  gefundenen  Beträge  abziehen,  end-  20 
lieh  die  Stundenepoche  für  das  Ende  des  Austritts,  wenn 
wir  die  für  die  Dauer  des  Austritts  und  die  halbe  Totali- 
tätsdauer gefundenen  Beträge   zu  der  Zeit  der  Mitte  der 
Totalität  addieren.     Ebenfalls  ohne  weiteres  finden  wir 
dadurch,  daß  wir  mit  den  Zwölfteln  des  Durchmessers  in  25 
die  letzte  kleine  Tabelle  eingehen,  aus  den  Ansätzen  der  dritten 
Spalte  die  Zwölftel  der  ganzen  Flächen  [wie  die  für  die  Sonne 
aus  den  Ansätzen  der  zweiten  Spalte]  .^^ 

Es  versteht  sich  von  selbst,  daß  nicht  in  allen  Fällen  die  Hei  525 
Zeit  vom  Beginn  der  Finsternis  bis  zur  Mitte  gleich  ist  der  30 
Zeit  von  der  Mitte  bis  zum  Zeitpunkt  des  Endes.   Der  Grund 
liegt  in  der  Anomalie  der  Sonne  und  des  Mondes,  infolge 
welcher  die  gleichgroßen  Strecken  in  ungleichen  Zeiten  zu- 
rückgelegt werden.    Für  die  sinnliche  Wahrnehmung  dürfte  Ha  433 

a)  Diese  Zeit  muß  nach  der  Vollmondstabelle  bereits  fest- 
gestellt sein. 

b)  Offenbar  ein  nicht  hergehöriger  Zusatz. 


394  Sechstes  Buch.     Neuntes  Kapitel. 

indessen  die  Annahme,  daß  diese  Zeiten  nicht  ungleich  sind, 
keinen  beträchtlichen  Fehler  hinsichtlich  der  Erscheinungen 
im  Gefolge  haben;  denn  selbst  wenn  Sonne  und  Mond  sich 
in  den  Stellen  des  mittleren  Laufs  befinden,  wo  sich  die 
5  Differenzen  hinsichtlich  der  Zunahme  (ihrer  Geschwindig- 
keiten) stärker  geltend  machen,  verursacht  der  Lauf,  welcher 
sich  auf  so  wenige  Stunden  beschränkt,  wie  auf  die  Gesamt- 
zeit einer  totalen  Finsternis  entfallen,  absolut  keine  bemerk- 
bare Differenz  in  dem  Unterschied  (der  beiden  vor  und  nach 

10  der  Mitte  liegenden  Zeiten). 

Daß  wir  richtig  herausgefunden  haben,  daß  der  von  Hip- 
parch  nachgewiesene  Umlauf  des  Mondes  in  Breite  mit  einem 
Fehler  behaftet  ist,  insofern  nach  seiner  Annahme  der  in 
der  Zwischenzeit  der  von  ihm  behandelten  Finsternisse  er- 

16  reichte  Überschuß  sich  als  zu  klein  erwies,  während  der 
nach  unserer  Berechnung  (S.  240,  23)  festgestellte  größer 
ist,  läßt  sich  aus  der  Nachprüfung  desselben  Materials  un- 
schwer erkennen. 

Hipparch  wählte  nämlich  zu  dem  Nachweis  des  Umlaufs 

20  in  Breite  zwei  Mondfinsternisse,  welche  innerhalb  7160  sy- 
nodischer Monate  stattgefunden  haben.     Bei  beiden  war  in 
Hei  526  derselben  Position  vom  aufsteigenden  Knoten  ab^)  der  vierte 
Teil  des  Monddurchmessers  verfinstert.    Die  erste  Finsternis 
ist  im  zweiten  Jahre  des  Mardokempad  (S.  241,  20  :  8.  März 

25  720  V.  Chr.)  beobachtet  worden,  die  zweite  im  37*®^  Jahre 
der  dritten  Kailippischen  Periode  (S.  351, 10  :  27.  Januar  141 
V.  Chr.).  Bei  Verwendung  dieser  Finsternisse  zum  Nach- 
weis der  Wiederkehr  betont  er  den  Umstand,  daß  bei  jeder 
derselbe  Lauf  in  Breite  glatt  ausgeglichen  vorliege,  insofern 

30  die  erste  Finsternis  stattgefunden  habe,  als  der  Mond  genau 
im  Apogeum^)  des  Epizykels  stand,  und  die  zweite,  als  er 


a)  Bei  der  ersten  Finsternis  lag  (S.  243,  19)  der  mittlere  Ort 
des  Mondes  in  Breite  10^34'  über  den  aufsteigenden  Knoten 
hinaus,  bei  der  zweiten  ergibt  die  Nachprüfung  280"45'  mittlere 
Breite.     Folglich  ist  (S.  351,28)  280^36'  die  genaue  Zahl. 

b)  Nach  S  242,  22  betrug  die  Entfernung  12° 24'  über  das 
Apogeum  hinaus  mit  der  Anomaliedifferenz  0"59'. 


Berechnung  von  Mondfinsternissen.  395 

genau  im  Perigeum  stand;  aus   diesem    Grunde  sei,  wie  er 
wenigstens  meinte,  keine  Differenz  infolge    der  Anomalie  Ha  434 
eingetreten.     Gerade  hierin  liegen  aber  die  Fehler,  die  er 
macht. 

Erstens  trat  infolge  der  Anomalie  eine  ziemlich  beträcht-  5 
liehe  Differenz  ein,  insofern  bei  beiden  Finsternissen  die 
gleichförmige  Bewegung  (in  Länge  und  Breite)  nicht  um 
den  gleichen  Betrag  größer  gefunden  wird  als  die  genaue, 
sondern  bei  der  ersten  (im  Apogeum)  ohne  merklichen  Fehler 
um  1°,  bei  der  zweiten  (im  Perigeum)  um  Yg^  größer  ^\  10 
so  daß  demgemäß  an  dem  Umlauf  in  Breite  zur  ganzen 
Wiederkehr  (1°  —  V8°=)  Vs"  von  solchen  Graden  fehlen, 
wie  der  schiefe  Kreis  deren  360  hat^'. 

Zweitens  hat  er  auch  den  infolge  der  (wechselnden)  Ent- 
fernungen des  Mondes  eintretenden  Unterschied  in  der  Größe  15 
der  Verfinsterungen  nicht  mit  in  Rechnung  gezogen,  der  bei 
diesen  Finsternissen  gerade  das  Maximum  erreicht  haben 
mußte,  weil  die  erste  stattgefunden  hat,  als  der  Mond  in 
seiner  größten  Entfernung  stand,  die  zweite,  als  er  in  der  Hei  527 
kleinsten  stand;   denn  die  genau  wieder  ein  Viertel  be-  20 
tragende  Verfinsterung  mußte  bei  der  ersten  Finsternis  in 
geringerer  Entfernung  (9^18')  von  dem  aufsteigenden  Knoten 
erfolgen,  bei  der  zweiten  dagegen  in  größerer  (10^30').   Den 
Differenzbetrag  dieser  Entfernungen  haben  wir  (Tab.  1,  Z.  4 
u.  Tab.  2,  Z.  4  bei  dreizölliger  Finsternis)  zu  (280^30'  —  25 
279^18'  =)  1^12'  nachgewiesen.    Daher  muß,  von   dieser 
Seite  betrachtet,  der  Umlauf  in  Breite  nach  Abzug  ganzer 
Wiederkehren    um   diesen   ansehnlichen   Betrag    zu    groß 
sein. 

Käme  es  nur  auf  den  Betrag  an,  der  sich  auf  Grund  der  30 
Irrung  an  sich  einstellt,  so  würde  die  periodische  Wieder- 


a)  Nach  S,  351,  26  betrug  die  Entfernung  vom  Apogeum 
178^46';  der  Mond  stand  demnach  1°14'  vor  dem  Perigeum, 
wozu  die  Anomaliedifferenz  0^7' 30",    d.  i.  genau  %^  beträgt. 

b)  Von  demselben  genauen  Ort  aus  liegt  der  gleich- 
förmige der  ersten  Finsternis  1°,  der  der  zweiten  7'  30"  weiter 
vorwärts,  was  einen  Fehlbetrag  von  52' 30"  ergibt. 


396  Sechstes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

kehr  in  Breite   um  rund  2^,   die   sich  aus  beiden  Fehlern 
summieren,  fehlerhaft  geworden  sein,  wenn  zufällig  beide 
Fehler  die  Differenz  verminderten,  oder  beide  sie  vermehr- 
Ha  435  ten.    Da  aber  der  erste  Fehler  die  Wiederkehr  verkürzte, 
5  während  der  zweite  sie  vergrößerte,  so  stellte  sich  nur 
dank  einem  günstigen  Zufall,  von  dessen  aufhebender  Wir- 
kung vielleicht  auch  Hipparch  schon   eine  Ahnung  hatte, 
das  Ergebnis  ein,  daß  der  Überschuß  der  Wiederkehr  nur 
um  den  dritten  Teil  eines  Grades,  d  i.  um  die  Differenz  der 
10  beiden  Fehler  (l0l2'  —  0^52'  =  0^20')  zu  groß  wurde. 

Zehntes  Kapitel. 
Berechnung  von  Sonnenfinsternissen. 

Die  Feststellung  der  Mondfinsternisse  dürfte  sich,  da  sie 

sich  auf  die  angegebenen  Operationen  beschränkt,  mit  gutem 

Erfolg  durchführen  lassen,  sobald  die  Berechnungen  genau 

Hei 528  uach  Vorschrift  gehandhabt  werden.   Komplizierter  ist  wegen 

15  der  Parallaxen  des  Mondes  die  Berechnung  der  Sonnenfinster- 
nisse, welche  wir  jetzt  folgen  lassen.  Wir  werden  dieselbe 
auf  folgende  Weise  vornehmen. 

Zunächst  stellen  wir  den  für  Alexandria  geltenden  Zeit- 
punkt der  genauen  Konjunktion  nach  der  Zahl  der  Äqui- 

20  noktialstunden  vor  oder  nach  Mittag  (nach  der  Tabelle 
der  Konjunktionen)  fest.  Falls  die  zugrundegelegte  geo- 
graphische Breite  des  Wohnortes,  auf  den  die  Untersuchung 
sich  bezieht,  eine  andere  ist,  d.  h.  wenn  dieser  Ort  nicht 
unter  demselben  Meridian  wie  Alexandria  liegt,  so  addieren 

25  oder  subtrahieren  wir  (vgl.  S.  130,  3)  den  Unterschied  in 
Länge,  der  sich  zwischen  den  beiden  Meridianen  in  den 
Äquinoktiaistun  den  ausdrückt,  und  erfahren  dadurch,  wie 
viel  Äquinoktialstunden  vor  oder  nach  Mittag  auch  an 
jenem  Orte   der  Zeitpunkt  der   genauen  Konjunktion   ein- 

30  getreten  ist.  Hierauf  werden  wir  zuerst  auch  den  Zeitpunkt 
der  scheinbaren  Konjunktion  für  die  geographische  Breite, 
der  die  Untersuchung  gilt,  zahlenmäßig  feststellen,  da  er 
ohne  beträchtlichen  Fehler  (vgl.  S.  378,  ll)  mit  der  Finsternis- 


Berechnung  von  Sonnenfinsternissen.  397 

mitte   zusammenfallen    wird.     Wir   gehen   dabei   von    dem 
Verfahren    aus,  welches  von  uns  in   dem  Kapitel  von  den  Ha  436 
Parallaxen  (S.  324  f.)  näher  erklärt  worden  ist. 

Wir  bestimmen  teils  aus  der  Winkeltabelle,  teils  aus  der 
Parallaxen tafel ,   unter  gehöriger  Berücksichtigung   erstens     5 
der  geographischen  Breite,  zweitens  des  Stundenabstandes 
von  dem  Meridian,  drittens  des  Teiles  der  Ekliptik,  in  wel- 
chem die  Konjunktion  stattfindet,  endlich  viertens  mit  Rück- 
sicht  auf  die  Entfernung  des  Mondes,  zunächst  diejenige 
Parallaxe  des  Mondes,  welche  auf  dem  durch  Zenit  und  10 
Mondzentrum  gehenden  größten  (Höhen-)  Kreise  gemessen 
wird.   Von  dieser  ziehen  wir  jedesmal  die  in  derselben  Zeile 
stehende  Parallaxe  der  Sonne  ab  und  berechnen   aus   dem 
Rest,  wie  (S.  325  f.)  gezeigt  worden  ist,  mit  Hilfe  des  an  Hei  529 
dem  Schnittpunkt  der  Ekliptik  und  des   durch  den  Zenit  15 
gehenden  größten  (Höhen-)  Kreises  gefundenen  Winkels  den 
Betrag  der  Parallaxe,  welche  nur  auf  den  Lauf  in  Länge 
entfällt.    Zu  ihr  addieren  wir  jedesmal  den  Unterschied  der 
weiterhin  eintretenden  Parallaxe,  welcher  auf  die  ihr  ent- 
sprechenden Zeitgrade  entfällt,  d.  h.  die  wieder  allein  auf  20 
die  Längenparallaxe  entfallenden  Gradteile  des  Unterschieds 
der  aus  derselben  Tafel  zu  entnehmenden  Differenz  zwischen 
den  zwei  Parallaxen,  welche  bei  dem  ersten  Zenitabstand  und 
bei  dem  mit  dem  Zusatz  der  Zeitgrade  versehenen  (d.  i.  um 
so  viel  später  eintretenden)  Zenitabstand  angesetzt  sind,  wo-  25 
zu,  wenn  er  wahrnehmbar  ist,  derjenige  Teil  von  Gradteilen 
kommt,  welcher  schon  von  der  ersten  Parallaxe  den  Teilbetrag 
(der  Längenparallaxe)  ausmachte.     Zu  den  so  summierten 
Gradteilen  der  ganzen  Längenparallaxe  addieren  wir  nun 
wieder  Yjg  davon  für  das  Stück,  welches  die  Sonne  sich  30 
weiterbewegt,  und  verwandeln  die  Summe  dadurch  in  Aqui- 
noktialstunden,  daß  wir  in  dieselbe  mit  der  für  die  Zeit  der  Ha  437 
Konjunktion  geltenden  stündlichen  ungleichförmigen  Be- 
wegung des  Mondes  (vgl.  S.  348,3)  dividieren. 

Ist   die  Längenparallaxe   in   der  Richtung   der   Zeichen  35 
wirksam   —   nach   welchem   Zahlenverhältnis    der   sich   so 
äußernde  Unterschied  bestimmt  wird,  ist  in  einem  früheren 


»398  Sechstes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

Kapitel  (S.  327,  ll)  gezeigt  worden  — ,  so  subtrahieren  wir 
die  in  Äquinoktialstunden  verwandelten  Gradteile  von  den 
Hei  530  für  die  genaue  Zeit  der  Konjunktion  schon  vorher  berech- 
neten Graden  des  Mondes  in  Länge,  Breite  und  Anomalie, 
5  und  zwar  wird  jede  Subtraktion  für  sich  getrennt  ausgeführt. 
Dadurch  werden  wir  die. genauen  Örter  des  Mondes  zur 
Zeit  der  scheinbaren  Konjunktion  erhalten  und  zugleich  ge- 
funden haben,  um  wieviel  Stunden  die  scheinbare  Konjunk- 
tion vor  der  genauen  eintritt. 

10  Ist  dagegen  die  Längenparallaxe  gegen  die  Richtung  der 
Zeichen  wirksam  gefunden  worden,  so  werden  wir  umgekehrt 
die  betreffenden  Gradteile  zu  den  für  die  genaue  Zeit  der 
Konjunktion  schon  vorher  berechneten  Ortern  in  Länge, 
Breite  und  Anomalie  addieren,  und  zwar  zu  jedem  für  sich, 

15  und  werden  somit  die  Stunden  erhalten,  um  welche  die 
scheinbare  Konjuhktiou  später  als  die  genaue  eintritt. 

Nun  stellen  wir  ferner  nach  dem  für  die  scheinbare  Kon- 
junktion geltenden  Stundenabstand  von  dem  Meridian  ver- 
mittels desselben  Verfahrens  fest,  wie  groß  die  Parallaxe  des 

20  Mondes  zunächst  auf  dem  durch  Mond  und  Zenit  gehenden 
größten  (Höhen-)  Kreise  ist,  und  ziehen  von  dem  gefundenen 
Betrag  die  bei  derselben  Argumentzahl  angegebene  Paral- 
laxe der  Sonne  ab.  Aus  dem  Rest  berechnen  wir  nun  wieder 
nach  dem  im  vorliegenden  Fall  am  Schnittpunkt  der  Kreise 
Ha  438  gefundenen  Winkel  die  auf  dem  zur  Ekliptik  senkrechten 

26  (Breiten-)  Kreise  eintretende  Breitenparallaxe  und  ver- 
wandeln die  sich  ergebenden  Gradteile  durch  Multiplikation 
mit  12  in  die  auf  den  schiefen  Kreis  entfallenden  Grade.*^ 
Hei  531      Äußert  uun  die  Breitenparallaxe  ihre  Wirkung  nördlich 

30  der  Ekliptik,  so  werden  wir,  wenn  der  Mond  in  der  Nähe 
des  aufsteigenden  Knotens  steht  (z.  B.  mit  275^  Lauf  in 
Breite),  die  als  Ergebnis  erhaltenen  Grade  (des  schiefen 
Kreises)  zu  dem  für  die  Zeit  der  scheinbaren  Konjunktion 

a)  Eine  Erklärung  dafür,  daß  die  auf  den  schiefen  Kreis  ent- 
fallenden Grade  das  Zwölffache  der  Breitenparallaxe  sein  sollen, 
vermag  ich  nicht  zu  finden.  Die  Berechnung  scheint  mit  dem 
S.  356,4  erwähnten  Verhältnis  1  :  liy^j  zusammenzuhängen. 


Berechnung  von  Sonnenfinsternissen.  399 

schon  vorher  berechneten  Lauf  in 
Breite  addieren;  steht  er  aber  in 
der    Nähe    des    niedersteigenden     ^ 
(z.  B.  mit  85^  Lauf  in  Breite),  so  55°/ 
werden  wir  sie  subtrahieren.         g^oi 

Äußert  dagegen  die  Breiten-  -^ 
parallaxe  ihre  Wirkung  südlich 
der  Ekliptik,  so  werden  wir  um- 
gekehrt, wenn  der  Mond  in  der  Nähe  des  aufsteigenden 
Knotens  steht  (z.B.  mit  265°  Lauf  in  Breite),  die  aus  der  10 
Parallaxe  erwachsenden  Grade  (des  schiefen  Kreises)  von 
den  für  die  Zeit  der  scheinbaren  Konjunktion  schon  vorher 
berechneten  Graden  (des  Laufs)  der  Breite  abziehen,  während 
wir  sie  in  der  Nähe  des  niedersteigenden  Knotens  (z.  B.  bei 
95°  Lauf  in  Breite)  addieren  werden.  16 

Auf  diese  Weise  werden  wir  die  zur  Zeit  der  scheinbaren  Kon- 
junktion geltende  Zahl  der  scheinbaren  Breite*^  erhalten, 
mit  welcher  wir  nunmehr  in  die  Tabellen  der  Sonnenfinsternisse 
eingehen.  Fällt  sie  in  das  Bereich  der  Argumentzahlen  der  beiden 
ersten  Spalten,  so  werden  wir  sagen:  es  wird  eine  Sonnenfinster-  20 
nis  geben,  deren  Mitte  ohne  beträchtlichen  Fehler  mit  der  Zeit 
der  scheinbaren  Konjunktion  zusammenfällt.  Nachdem  wir  den 
Betrag  der  bei  der  Argumentzahl  der  scheinbaren  Breite  an- 
gegebenen Zolle  und  der  Gradteile  sowohl  des  Eintritts  wie 
des  Austritts  aus  jeder  der  beiden  Tabellen    getrennt  für  25 
sich  entnommen  haben,  gehen  wir  weiter  mit  der  Zahl  der 
Anomalie  des  Mondes,  welche  für  die  Zeit  der  scheinbaren 
Konjunktion  die  Entfernung  von  dem  Apogeum  (des  Epizy- 
kels)  angibt,  in  die  Korrektionstabelle  ein,  nehmen  die  Ha  439 
bei  ihr  stehenden  Sechzigstel,  so  viele  es  sind,  von  der  Differenz  30 
der  für  sich  notierten  Beträge  und  addieren  den  Bruchteil 
jedesmal  zu  den  aus  der  ersten  Tabelle  entnommenen  Be- Hei 532 

a)  D.  i.  die  Zahl  der  Grade,  durch  welche  die  Entfernung 
des  scheinbaren,  d.  i.  des  von  der  Parallaxe  beeinflußten  Mond- 
ortes von  dem  nördlichen  Grenzpunkt  angegeben  wird,  wie  sie 
in  den  ersten  Spalten  der  Tabellen  für  die  Sonnenfinsternisse 
verzeichnet  wird. 


400  Sechstes  Buch.     Zehntes  Kapitel. 

trägen.  Dadurch  werden  wir  die  aus  der  so  vorgenommenen 
Korrektion  sich  ergebenden  Zolle  erhalten,  die  angeben, 
bis  auf  wieviel  Zwölftel  des  Sonnendurchmessers  sich  die 
Bedeckung  ohne  beträchtlichen  Fehler  zur  Zeit  der  Finsternis- 
5  mitte  erstrecken  wird.  Zu  den  Gradteilen  der  beiden  Lauf- 
strecken (des  Eintritts  und  Austritts)  aber  addieren  wir 
wieder  das  Zwölftel  davon  für  das  Stück,  welches  die  Sonne 
sich  weiterbewegt,  und  verwandeln  die  Summe  nach  Maß- 
gabe der  (stündlichen)  ungleichförmigen  Bewegung  des  Mondes 

10  in  Aquinoktialstunden.  In  dem  Ergebnis  werden  wir  einer- 
seits die  Dauer  des  Eintritts,  anderseits  die  Dauer 
des  Austritts  erhalten,  jedoch  unter  der  Voraussetzung, 
daß  hinsichtlich  dieser  Zeiten  keinerlei  Differenz  infolge 
der  Parallaxen  weiter  hinzutritt. 

15  Nun  gibt  es  allerdings  eine  wahrnehmbare  Ungleichheit 
hinsichtlich  dieser  Zeiten,  und  zwar  infolge  der  Parallaxen 
des  Mondes,  nicht  wegen  der  Anomalie  der  Lichtkörper. 
Da  infolgedessen  jede  der  beiden  Zeiten  für  sich  jedesmal 
größer  ausfällt  als  die  vorläufig  angesetzten   Beträge  und 

20  in  den  meisten  Fällen  beide  einander  ungleich  werden,  so 
wollen  wir  auch  diese  Ungleichheit  nicht  unerörtert  lassen, 
wenn  sie  zufälligerweise  auch  nur  gering  ist. 

Der  Eintritt  dieser  Erscheinung  ist  eine  Folge  davon,  daß 
bei  dem  scheinbaren  Lauf  des  Mondes  infolge  der  Parallaxen 

25  jederzeit  sozusagen  der  Schein  einer  rückläufigen  Bewegung 

entsteht,  als  ob  an  ihm  keine  Eigenbewegung  in  der  Richtung 

der  Zeichen  wahrgenommen  würde.   Wenn  der  Mond  nämlich 

seinen  scheinbaren  Lauf  vor  dem  Meridian  verfolgt,  so  macht 

Ha  440  er  den  Eindruck,  indem  er  allmählich  höher  steigt  und  nach 

30  Osten  zu  eine  immer  kleinere  (Längen-)  Parallaxe  bekommt 
Hei  533  als  die  vorhergehende,  als  ob  er  den  Fortschritt  in  der  Rich- 
tung der  Zeichen  langsamer  bewerkstelligte.    Verfolgt  er 
aber  seinen  Lauf  jenseits  des  Meridians,  so  macht  er  den 
Eindruck,  indem  er  allmählich  wieder  tiefer  sinkt  und  nach 

36  Westen  zu  eine  immer  größere  (Längen-) Parallaxe  als  die 
vorhergehende  bekommt,  als  ob  er  ebenfalls  wieder  den  Fort- 
schritt in  der  Richtung  der  Zeichen  langsamer  bewerk- 


Berechnung  von  Sonnenfinsternissen.  401 

stelligte.  Deshalb  werden  also  die  obengenannten  Zeiten 
jederzeit  größer  sein  als  die  schlechthin  ohne  diese  Rücksicht 
gewonnenen.  Da  aber  in  den  Diflerenzen  der  Parallaxen  ein 
immer  größerer  Unterschied  wahrnehmbar  wird,  je  näher 
am  Meridian  der  Lauf  sich  vollzieht,  so  müssen  auch  die  6 
Zeiten  der  Finsternisse,  je  näher  am  Meridian,  um  so  lang- 
samer verlaufen. 

Aus  diesem  Grunde  wird  nur  dann,  wenn  die  Zeit  der 
Finsternismitte  genau  auf  die  Mittagstunde  fällt,  die  Zeit 
des  Eintritts  der  Zeit  des  Austritts  gleich  sein,  da  in  diesem  10 
Falle  auch  der  infolge  der  Parallaxe  eintretende  Schein  der 
Rückläufigkeit  (des  Mondes)  auf  beiden  Seiten  (des  Meridians) 
nahezu  die  gleiche  Größe  erreicht.  Fällt  aber  die  Zeit  der 
Finsternismitte  vor  Mittag,  so  wird  die  Zeit  des  Austritts, 
weil  sie  dem  Meridian  näher  liegt,  größer  werden,  fällt  sie  16 
nach  Mittag,  die  Zeit  des  Eintritts,  weil  dann  diese 
dem  Meridian  näher  liegt. 

Um  nun  auch  die  in  dieser  Beziehung  erforderliche  Korrek- 
tion der  Zeiten  anzubringen,   werden  wir  erstens    auf  die 
(S.  400,  lo)    mitgeteilte  Weise   die  vor  dieser  Korrektion  Hei  534 
sich  ergebende  Zeit  der  beiden  in  Frage  stehenden  Laufstrecken  21 
feststellen,  und  zweitens  den  zur  Zeit   der  Finsternismitte  Ha  441 
stattfindenden  Zenitabstand. 

Es  betrage  beispielshalber  jede   der   beiden  Zeiten  eine 
Aquinoktialstunde,   und   der   Zenitabstand    sei   gleich   75^.  26 
Demnach  werden  wir  in  der  Parallaxentafel  die  bei  der  Ar- 
gumentzahl 75  stehenden  Sechzigteile  der  Parallaxe  aufsuchen, 
beispielshalber  unter  der  Annahme,  daß  der  Mond  in  seiner 
größten  Entfernung  stehe,  für  welche  die  in  der  dritten  Spalte 
angesetzten  Zahlen  zu  nehmen  sind.     Da  finden  wir,  daß  30 
auf  75^^  der  Betrag  52'  entfällt.     Da  nun  die  Zeit  des  Ein- 
tritts und  des  Austritts,  theoretisch  im  Mittel  genommen, 
nach  Annahme  je  eine  Aquinoktialstunde  von  15  Aquator- 
graden  beträgt,  so  ziehen  wir  letztere  von  75^  Zenitabstand 
ab  und  finden  für  den  Rest  60^  die  in  derselben  (dritten)  35 
Spalte  stehenden  Sechzigteile  der  Parallaxe  mit  47'.     Mit- 
hin beträgt  das  westliche  Voraussein  infolge  der  Parallaxe 


402  Sechstes  Buch.     Elftes  Kapitel. 

für  den  am  Meridian  gelegenen  mittleren  Lauf  (des  Eintritts) 
(52'  —  47'  ==)  5'.  Addieren  wir  aber  die  (15)  Äquatorgrade 
zu  75^,  so  finden  wir  für  die  Summe  90^  in  derselben  Spalte 
als  Betrag  der  ganzen  Parallaxe  53' 30".  Mithin  beträgt 
6  auch  hier  das  westliche  Voraussein  für  den  am  Horizont 
liegenden  Lauf  (des  Austritts)  (53'  30"  -  52'  =)  l' 30".  Von 
den  gefundenen  Differenzen  (5'  und  l'30")  nehmen  wir  nun 

Hei  535  die  auf  die  Länge  entfallenden  Beträge  und  verwandeln  jeden 

derselben,  wie  (S.  348,  20)  mitgeteilt  ist,  nach  der  ungleich- 

10  förmigen    Bewegung   des   Mondes    in   einen   Bruchteil    der 

Äquinoktialstunde.     Den  beiderseits  sich  ergebenden  Betrag 

Ha  442  addieren  wir  nun  zu  jeder  der  beiden  schlechthin  im  Mittel 
genommenen  Zeiten  des  Eintritts  und  des  Austritts  in  zu- 
gehöriger Weise,  d.  h.  den  größeren  Betrag  zu  der  Zeit  für 
15  die  näher  am  Meridian  liegende  Laufstrecke,  den  kleineren 
zu  der  Zeit  für  die  näher  am  Horizont  liegende.  Wie 
man  sieht,  haben  sich  als  Differenz  der  vorher  angesetz- 
ten Zeiten  (5'— l'30"==)  3' 30"  (Raum -) Minuten  heraus- 
gestellt, welche  etwa  dem  9*®^  Teile  einer  Äquinoktialstunde 
20  (d.  i.  6^3°^)  entsprechen,  insofern  in  dieser  Zeit  der  Mond 
(bei  der  stündlichen  mittleren  Bewegung  in  Länge  von 
32'  56")  diese  3'  30"  in  mittlerer  Bewegung  zurücklegen  wird. 
Es  erübrigt  nur  noch  sofort  auch  die  Äquinoktialstunden,  wenn 
wir  wollen,  auf  dem  in  dem  vorbereitenden  Teil  unseres  Hand- 
25  buches  (S.  9  8, 32)  mitgeteilten  Wege  für  jeden  Meridianabstand 
in  die  entsprechenden  bürgerlichen  Stunden  zu  verwandeln. 


Elftes  Kapitel. 

Die  bei  den  Finsternissen  gebildeten  Positionswinkel. 

Unsere  weitere  Aufgabe  ist,  die  bei  den  Finsternissen  ge- 
bildeten Positionswinkel  in  Betracht  zu  ziehen.  Die  Unter- 
suchung dieses  Gegenstandes  hat  ihr  Augenmerk  erstens  auf 
30  die  von  den  Verfinsterungen  selbst  mit  der  Ekliptik  gebil- 
deten Positions  Winkel  zu  richten,  zweitens  auf  die  von  der 
Ekliptik  ihrerseits  mit  dem  Horizont  gebildeten. 


Positionswinkel.  403 

Die  eingehende  Behandlung  einer  jeden  dieser  beiden  Arten 
von  Positionswinkeln  würde   für  jede  einzelne   Phase   der 
Finsternis  die  Rücksichtnahme  auf  einen  überaus  großen,  ja 
schier  unkontrollierbaren  Wechsel  hinsichtlich  der  Lagen- 
veränderungen erheischen,  wenn  man  auf  die  Positions  winkel,  Hei  536 
die  während  der  ganzen  Dauer  eintreten  können,  eine  höchst  6 
überflüssige  Mühe  verwenden  wollte;  denn  eine  so  weit  gehende 
Voraussage  ist  durchaus  nicht  notwendig  und  hat  auch  gar 
keinen  praktischen  Wert.   Da  nämlich  die  Lage  der  Ekliptik  Ha  443 
zum  Horizont  theoretisch  nach  dem  Horizontort  ihrer  auf-  10 
oder  untergehenden  Punkte  betrachtet  wird,  so  müssen,  weil 
während  der  Dauer  der  Finsternis  die  auf-  und  untergehenden 
Teile  der  Ekliptik  fortlaufend  andere  werden,  auch  die  von 
ihnen  mit  dem  Horizont  gebildeten  Schnittpunkte  einer  fort- 
laufenden Veränderung  unterworfen   sein.     Da   ferner   die  16 
von  den  Verfinsterungen  mit  der  Ekliptik  selbst  gebildeten 
Positionswinkel  der  Theorie  nach  auf  dem  durch  die  beiden 
Mittelpunkte  des  Mondes  und  des  Schattens  oder  der  Sonne 
gehenden  größten  Kreis  beruhen,  so  muß  wieder,  weil  das 
Mondzentrum  während  der  Dauer  der  Finsternis  weiterrückt,  20 
auch  der  durch  die  beiden  Mittelpunkte  gehende  Kreis  immer 
wieder  eine  andere  Lage  zur  Ekliptik  einnehmen  und  so  die 
an  den  Schnittpunkten  dieses  Kreises  mit  der  Ekliptik  ge- 
bildeten Winkel  fortlaufend  ungleich  machen. 

Da  nun  die   Untersuchung  des  Gegenstandes   genügend  25 
ausfallen  wird,   wenn  sie  ausschließlich  für  die  besonders 
charakteristischen  Phasen  der  Verfinsterungen  und  nur  nach 
allgemeiner  Schätzung  der  theoretisch  auf  den  Horizont 
bezogenen  Bogen*)  vorgenommen  wird,  so  wird  es  möglich 
sein,  wenn  wir  unser  Augenmerk  auf  die  betreffende  Er-  30 
scheinung  richten,  vermöge  einer  auf  beide  Arten  derPositions-  Hei  537 
Winkel  eingehenden  theoretischen  Betrachtung  die  besonders 

a)  Es  sind  die  Horizontbogen,  welche  vom  Ost-  und  West- 
punkt aus  die  Abstände  der  Punkte  messen,  in  welchen  die 
Teile  der  Ekliptik  auf-  und  untergehen.  Steht  die  Sonne  in 
dem  auf-  oder  untergehenden  Grad  der  Ekliptik,  so  werden 
diese  Abstände  die  Morgen-  und  Abendweiten  der  Sonne  genannt. 


404  Sechstes  Buch.    Elftes  Kapitel. 

günstig  sich  darbietenden  Positionswinkel  ohne  weiteres  zu 
taxieren.  Denn  eine,  wie  gesagt,  auf  allgemeiner  Schätzung 
beruhende  Bestimmung  ist  bei  diesem  Gegenstand  ausreichend. 
Gleichwohl  werden  wir  versuchen,  um  das  Kapitel  nicht 
5  übergangen  zu  haben,  auch  für  die  Inangriffnahme  dieser 
Aufgabe  einige  möglichst  leicht  durchführbare  Methoden 
mitzuteilen. 

I.  Als  besonders  charakteristische  Phasen  der  Verfin- 
sterungen haben  auch  wir  angenommen: 
Ha  444  1.  Die  erste  Phase  der  Verfinsterung  (/.  BAE),  welche 

11  mit  Beginn  der  Gesamtzeit  der  Finsternis  eintritt. 

2.  Die  letzte  Phase  der  Verfinsterung  (/.  B  AA),  welche 
mit  Beginn  der  Totalitätsdauer  eintritt. 

3.  Die  Phase  des  Maxi- 
16  /^  "\  mums    der  Verfinsterung 

(Z.  B  A  r),  welche  mit  der  Mitte 


der  Totalitätsdauer  eintritt. 

4.  Die    erste   Phase    des 
Austritts    (Z.B'AA'),    welche 

20  ^^ ^  mit    dem    Ende    der    ganzen 

Totalitätsdauer  eintritt. 

5.  Die  letzte  Phase  des  Austritts   (/.B'AE'j,   welche 
am  Ende  der  Gesamtzeit  der  Finsternis  eintritt. 

II.  Anderseits  haben  wir  von  den  Positionswinkeln  (im 
25  Horizont)  als  die  selbstverständlichsten  und  bedeutsamsten 
diejenigen  herangezogen,  welche  erstens  von  dem  Meridian 
und  zweitens  in  den  Nachtgleichen-,  Sommer-  und  Winter- 
auf- und  -Untergängen  von  der  Ekliptik  gebildet  werden, 
weil  die  (Bestimmung  nach  der)  Herkunft  der  Winde  ^^  viel- 
30  fach  recht  verschieden  verstanden  werden  könnte,  obgleich 
es,  wenn  man  wollte,  ganz  gut  möglich  wäre,  ihr  nach  den 

a)  Die  von  mir  an  der  Kreisfigur  als  unwesentlich  weggelas- 
senen Namen  der  Winde  sind:  am  Nachtgleichenaufgang 
&7eriXLa}t7}g ^  südlich  davon  svgog  und  svgovoTog^  nördlich  davon 
xaiziag  und  ßogsccg-^  am  Nachtgleichenuntergang  ^eq)VQog,  süd- 
lich davon  Xiiip  und  Xißovorog,  nördlich  davon  tccTCvg  und  Q'Qaa-Kiag, 
an  der  Nord -Südlinie  änagycriccg  und  voxog. 


Positionswinkel.  405 

im  Horizont  gebildeten  Winkeln  einen  nicht  mißzuverstehen- 
den Ausdruck  zu  verleihen. 

A.  Von  den  Schnittpunkten,  welche  im  Horizont  von  dem  Hei  538 
Meridian  gebildet  werden,  nennen  wir 

1.  den  nördlichen  „Nordpunkt",  5 

2.  den  südlichen  „Südpunkt". 

B.  Von  den  Auf-  und  Untergangspunkten  nennen  wir 

1.  die  von  dem  Anfang  des  Widders  und  dem  Anfang 
der  Scheren  mit  dem  Horizont  gebildeten  Schnittpunkte, 
welche  von  den  vom  Meridian  gebildeten  Schnittpunkten  10 
unter  allen  Umständen  den  gleichen  Abstand  von  90^  haben, 
„Nachtgleichenaufgang"  und  „Nachtgleichen- 
untergang"; 

2.  die  von  dem  Anfang  des  Krebses  gebildeten  Schnitt- 
punkte „Sommeraufgang"  und„Sommeruntergang";  X5 

3.  die  von  dem  Anfang  des  Steinbocks  gebildeten  Schnitt- 
punkte „Winteraufgang"    und    „Winteruntergang". 

Die  Abstände  der  (vier)  letzteren  (von  dem  Nachtgleichen- 
auf- und  -Untergang)  ändern  sich  zwar  mit  der  geographischen 
Breite,  aber  die  Angabe  der  Positionswinkel  fällt  genügend  20 
aus,  wenn  sie  nach  irgend  einer  der  oben  bezeichneten  Grenzen 
oder  auch  nach  Zwischenpunkten  innerhalb  irgend  zweier 
derselben  gemacht  wird. 

Erklärung  der  Kreisfigur. 
Um  die  jeweilige  Lage  der  Ekliptik  zum  Horizont  bestim-  25 
men  zu  können,  haben  wir  nach  dem  in  den  ersten  Büchern  Ha  445 
unseres  Handbuchs  (Buch  11,  Kap.  1 1 )  mitgeteilten  Verfahren 
für  die  geographischen  Breiten  vonMeroebis  zumBorysthenes, 
für  welche  wir  auch  die  Winkeltabellen  (Buch  II,  Kap.  13) 
aufgestellt  haben,  die  Abstände  berechnet,  welche  beiderseits  30 
der  vom  Äquator  gebildeten  Schnittpunkte  (d.  i.  des  Ost- 
und  des  Westpunktes)  bei  den  Auf-  und  Untergängen  der 
Anfänge  jedes  Zeichens  im  Horizont  entstehen.* > 

2b)  Es  sind  die    sog.  Morgen-  und  Abendweiten,  wenn  die 
Sonne  in  den  betreffenden  Punkten  der  Ekliptik  steht. 


406  Sechstes  Buch.     Elftes  Kapitel. 

Anstatt  eine  Tabelle  zu  bieten,  haben  wir  auf  eine  theo- 
retisch leicht  zu  begreifende  Weise  um  einen  gemeinsamen 
Mittelpunkt  acht  Kreise  gezogen,  welche  in  der  Ebene  des 
Hei  539  Horizonts  zu  denken  sind  und  die  Abstände  der  sieben  Breiten- 

5  Zonen  sowie  deren  Benennungen  enthalten.  Dann  haben 
wir  durch  sämtliche  Kreise  zwei  unter  rechten  Winkeln  sich 
schneidende  Gerade  gezogen:  die  Querlinie  stellt  die  gemein- 
same Schnittlinie  der  Ebene  des  Horizonts  und  des  Äquators 
(d.  i.  die  Ostwestlinie)  dar,  die  andere,  welche  erstere  unter 

10  rechten  Winkeln  schneidet,  die  gemeinsame  Schnittlinie  der 
Ebenen  des  Horizonts  und  des  Meridians  (d.  i.  die  Mittags- 
linie). An  die  am  äußersten  Kreise  gelegenen  Endpunkte 
der  Querlinie  haben  wir  „Nachtgleichenaufgang"  und  „Nacht- 
gleichenuntergang" gesetzt,  an  die  Endpunkte  der  sie  unter 

15  rechten  Winkeln  schneidenden  Linie  „Nord"  und  „Süd". 
Desgleichen  haben  wir  beiderseits  der  Nachtgleichenlinie  in 
gleichem  Abstand  von  derselben  wieder  durch  sämtliche 
Kreise  zwei  Gerade  gezogen  und  auch  an  diese  in  den  sieben 
Zwischenräumen  die  auf  dem  Horizont  gemessenen  Aquator- 

20  abstände  der  Wendepunkte,  wie  sie  für  jede  Breitenzone  ge- 
funden werden,  in  dem  Maße  gesetzt,  in  welchem  der  Qua- 
drant gleich  90^  ist.     An  die  am  inneren  Kreise  gelegenen 
Endpunkte  dieser  Linien  haben  wir  einerseits  auf  der  Süd- 
Ha  446  Seite  „Winteraufgang"  und  „Winteruntergang",  anderseits 

25  auf  der  Nordseite  „Sommeraufgang"  und  „Sommerunter- 
gang" gesetzt.  Um  die  dazwischenliegenden  Zeichen  unter- 
zubringen, haben  wir  innerhalb  eines  jeden  der  vier  Inter- 
valle noch  zwei  weitere  Linien  eingeordnet  und  auch  an 
diese    die  auf  dem  Horizont   gemessenen  Aquatorabstände 

30  der  betreffenden  Zeichen  dazugesetzt,  während  der  Name  eines 
jeden  Zeichens  an  dem  äußeren  Kreise  steht.  Endlich  haben 
wir,  mit  der  Beischrift  der  das  nördlichste  Breitengebiet  be- 
treffenden Angaben  an  dem  größten  Kreise,  der  alle  einschließt, 
beginnend,  zu  beiden  Seiten  der  Mittagslinie  (oben)  die  Be- 
Hoi  540  nennungen  der  Parallelkreise,  (unten)  die  Dauer  des  läng- 

36  sten  Tages  in  Äquinoktialstunden  und  die  Polhöhen  angegeben. 


Positionswinkel.  407 

Erklärung  der  Tabelle. 

Um  aber  auch  die  von  den  Verfinsterungen  selbst  mit  der 
Ekliptik  gebildeten  scheinbaren*^  Position swinkel  zur  Ver- 
fügung zu  haben,  d.  h.  die  Winkel,  welche  in  jeder  der  be- 
sprochenen Phasen  in  der  Ekliptik  am  Schnittpunkt  mit  5 
dem  durch  die  beiden  in  Betracht  kommenden  Mittelpunkte 
(von  Mond  und  Sonne  oder  Schatten)  gelegten  größten  Kreis 
gebildet  werden,  so  haben  wir  auch  diese  für  alle  um  je 
einen  Zoll  der  Verfinsterung  differierenden  Örter  des  Mondes 
berechnet,  indessen  nur  für  die  Örter  —  denn  das  genügt  — ,  10 
welche  für  die  mittlere  Entfernung  gelten,  und  zwar  unter 
der  Annahme,  daß  die  bei  den  Verfinsterungen  in  Betracht 
kommenden  Bogen  der  Ekliptik  und  des  schiefen  Kreises  des 
Mondes  für  die  sinnliche  Wahrnehmung  parallel  sind. 

Beispielshalber  sei  wieder  AB  die  anstatt  des  Ekliptik-  15 
bogens  genommene  Gerade,  auf  welcher  der  Punkt  A  als  das 
Zentrum  der  Sonne  oder   des  Schattens   angenommen   sei. 
Die  anstatt  des  Bogens  des  schie- 
fen Kreises  des  Mondes  genom- 
mene Gerade  sei  f  A  E ,  und  zwar      ^,   /  ^  \      ^       20 
sei  r  der  Punkt,  in  welchem  das 

Zentrum  des  Mondes  zur  Zeit  der    (  _-r-y  <^  j .  Y^T'V^,  ^       Ha  44' 
Finsternismitte    steht,    A    der 
Punkt,  in  welchem  sein  Zentrum 
steht,  wenn  er  erstmalig  total  verfinstert  ist  oder  (A')  wieder  25 
erstmalig  klar  zu  werden  beginnt,  d.  h.  wenn  er  den  Kreis  Hei  54 
des  Schattens  (nach  dem  Eintritt  oder  vor  dem  Austritt) 
von  innen  berührt,  E  endlich  der  Punkt,  in  welchem  sein 
Zentrum  steht,  wenn  er  oder  die  Sonne  erstmalig  verfinstert 
zu  werden  beginnt  oder  (E')  in  der  letzten  Phase  des  Wieder-  30 
klarwerdens  steht,  d.  h.  wenn  sich  die  Kreise  (vor  dem  Ein- 
tritt oder  nach  dem  Austritt)  von  außen  berühren.     Man 
ziehe  die  Verbindungslinien  AT,  AA,  AE. 


a)  Weil  es  sich  bei  den  Finsternissen  um  die  scheinbaren, 
d.  i.  die  von  der  Parallaxe  beeinflußten  genauen  örter  der  Licht- 
körper handelt,  nicht  um  die  mittleren, 


408  Sechstes  Buch.     Elftes  Kapitel. 

Daß  die  Winkel  BAT  und  ATE,  welche  die  Zeit  der 
Finstemismitte  bestimmen,  für  die  sinnliche  Wahrnehmung 
Rechte  sind,  daß  ferner  /.  BAE  derjenige  Winkel  ist,  welcher 
in  der  ersten  Phase  der  Verfinsterung  und  auch  in  der 
5  letzten  Phase  des  Austritts  gebildet  wird,  endlich  L  BAA  der- 
jenige, welcher  in  der  letzten  Phase  der  Verfinsterung  und  auch 
in  der  ersten  Phase  des  Austritts  gebildet  wird,  bedarf  keiner 
Erklärung.  Ohne  weiteres  ist  ferner  klar,  daß  A  E  die  Summe, 
AA  die  Differenz  der  Halbmesser  der  beiden  Kreise  ist. 

A.  Sonnenfinsternisse. 
11       Beispielshalber  sei  eine  Finsternis  angenommen,  bei  welcher 
zur  Zeit  der  Mitte  die  Hälfte  des  Sonnendurchmessers  ver- 
finstert wird.     Punkt  A  sei  das 
^y^ — ^4y^A^^::X^ — ^       Zentrum  der  Sonne,  so  daß  in  allen 
^^        f     ^^tt^-Yn^       )      Fällen,  weil  die  mittlere  Entfer- 
nung des  Mondes    zugrunde    ge- 
legt ist,  AE  gleich  (0P15'40"  + 
0^1 6' 40"=)  0^3 2' 20"   wird*),   und  als  Rest  nach  Abzug 
des  halben  Sonnendurchmessers  (d.  i.  0^1 5' 40'')  AP  gleich 
20  0P16'40". 

Bei  der  gegebenen  Größe  der  Verfinsterung  ist  also 
Hei  542  Ar=      0Pl6'40"  wie  /iAE-0P32'20". 

Setzt  man      /iAE  =  120P,  so  wird  AT  =  61^51', 
also       5Ar=    62<>2'     wie     ©ATE  =  360°; 
Ha  448  mithin  ^A  Er  =    62^2'     wie    ;2E  =  360». 

26         Da  nun  /.  AEr=/,BAE,     (Eukl.1.29) 
so  ist  auch  /.BAE=    62°2'  wie     5E  =  360«, 
=    3m'  wie     4JS  =  360». 

B.  Mondfinsternisse. 
30       Es  sei  der  Punkt  A  das  Schattenzentrum,  so  daß,  da  gleich- 
falls die  mittlere  Entfernung  des  Mondes  zugrunde  gelegt 
ist,  AE  gleich  (43' 20"  +  16' 40"--=)  60'  und   AA  gleich 

a)  Op  ist  zu  setzen  statt  0°,  weil  anstatt  der  Bogen  Gerade 
angenommen  werden,  d.  h.  der  Sonnenhalbmesser  als  Sehne 
gleich  dem  Bogen  0"15'40"  gesetzt  wird. 


Positionswinkel. 


409 


(43'20"— 16'40"=) 
26' 40"  wird.  Verfin- 
stert sei  der  Mond  in 
derPosition,  für  welche  ^, 
18Zoll(ac=3ard.i.  ' 
3  r)  angesetzt  sind.  AP 
ist  somit  noclimals  um 
die  Hälfte  des  Mond- 
durchmessers (d.  i  um 
6  Zoll  =  16' 40")  kleiner  als  AA*);  es  verbleibt  also  als  Rest  10 

1.  Ar=    10'     wie     AE=^60'. 
Setzt  man      /i  A  E  =  120^,  so  wird  A  T  =  20^ ; 

also       &Ar=    19°12'    wie    ©ATE  =  360»; 
mithin  /,AEr=    19^12'     wie    ^22  =  360«. 
Da  nun  /,  AEr=^BAE,  16 

so  ist  auch  /,BAE=    19^12'  wie    5JB  =  360^ 
=      9" 86'  wie     4i?  =  360^ 
Es  ist  aber  auch 

2.  Ar=    10'  wie     AA  =  26'40". 
Setzt  man      hAA  =  120^,  so  wird  A  T  =  45^ ; 

also        6Ar=    44? 2'  wie     ©ArA  =  360^ 
mithin  /,  A  A  T  =   44 ^^2'  wie    2B  =  360». 
Da  nun  /,  AAr=/,  BAA, 
ist  auch  /.BAA=   44»2'  wie    2B 
=    22n'  wie 


Hei  543 


20 


so 


360», 

4B=seo''. 


25 


Indem  wir  nun  auf  dieselbe  Weise  auch  für  die  anderen  Zoll- 
angaben die  Größenbeträge  der  Winkel,  die  kleiner  als  der 
Rechte  (BAT)  sind,  unter  der  Annahme  bestimmten,  daß 
ein  Rechter  gleich  90°  sei,  zu  welchem  Betrag  auch  der 
Quadrant  des  Horizonts  angenommen  ist,  haben  wir  eine  30 
Tabelle  von  22  Zeilen  zu  4  Spalten  aufgestellt.  Die  erste 
Spalte  wird  die  gefundenen  Zolle  der  nach  dem  Durchmesser  Ha  449 
bemessenen  Verfinsterung  an  sich  zur  Zeit  der  Finsternis- 

a)  Da  6c  =  6  Zoll  =  r  und  Ac  =  E,  so  ist  A6  =  i2  — r;  nun 
ist  auch  AA  =  E  — r,  folglich  A6  =  AA.  Da  ferner  r&  =  r,  so 
ist  hb-rb  d.i.  Ar  =  AA-r. 


410     Sechstes  Bach.     Zwölftes  und  dreizehntes  Kapitel. 

mitte  enthalten,  die  zweite  Spalte  die  (gleichgroßen)  Winkel, 
welche  bei  den  Sonnenfinsternissen  einerseits  (/,BAE) 
in  der  ersten  Phase  der  Verfinsterung,  anderseits  (/.  B'AE') 
in  der  letzten  Phase  des  Austritts  gebildet  werden,  die  dritte 
5  die  Winkel,  welche  bei  den  Mondfinsternissen  einerseits 
(/.BAE)  in  der  ersten  Phase  der  Verfinsterung,  anderseits 
{L  B'  A  E')  in  der  letzten  Phase  des  Austritts  gebildet  werden, 
die  vierte  endlich  die  Winkel,  welche  ebenfalls  bei  den 
Mondfinsternissen  (und  zwar  den  totalen)  einerseits 
10  (/.  BAA)  in  der  letzten  Phase  der  Verfinsterung,  anderseits 
(/.  B' AA')  in  der  ersten  Phase  des  Austritts  gebildet  werden. 
Tabelle  und  Kreisfigur  (am  Ende  des  Bandes)  gestalten  sich 
folgendermaßen. 


^a^ö}  Tabelle  der  Positionswinkel. 

Hei  544' 


Zwölftes  Kapitel. 
Br  Positio 

(S.  411.) 


Dreizehntes  Kapitel. 

Bestimmung  der   (im  Horizont 

gebildeten)  Positionswinkel. 

Hei  545/           g"                                           1^  ^^     stehen    also 

15  -^       T'^'^S^^^^ — \/^^^^*S ^  ^"^  Verfügung: 

r^9r^^^ ^   1-  ^^^  ^'^  (s- 

V^V_^V_y  393,16  u.  400,10) 

angegebene    Weise 
e-j  im   voraus   berech- 

20  ,  ^ — r~~~»r\  ,     ^®^'  ^^®  (^^  Äqui- 

noktial-   oder   bür- 
gerlichen   Stunden 
-s  des  Tages  oder  der 
Nacht  ausgedruckt 
26  \^  y  ten)  Zeiten    einer 

jeden  der  hervor ge- 
^ord  hobenen  Phasen; 

2.  aus  den  Zeiten  begreiflicherweise  (S.  99, 3)  hervorgehend, 
die  zurzeit  auf-  und  untergehenden  Teile  der  Ekliptik; 


Tabelle  der  Positionswinkel. 


411 


1 

2 

i 

4 

Sonne 

Mond 

Mond 

Erste  Phase  der 

Erste  Phase  der 

Letzte  Phase  der 

Zolle 

Verfinsterung 

Verfinsterung 

Verfinsterung 

und  letzte  des 

und  letzte  des 

und  erste  des 

Austritts. 

Austritts. 

Austritts. 

0 

dO''    0' 

90°   0' 

1 

66  50 

72  30 

2 

56  59 

65   10 

3 

49  16 

59  27 

4 

42  36 

54  27 

5 

36  35 

50  14 

6 

31     1 

46  15 

7 

25  46 

42  31 

8 

20  44 

39     2 

9 

15  51 

35  42 

10 

11     6 

32  29 

11 

6  25 

29  23 

12 

1  47 

26  23 

90°   0' 

13 

23  28 

63  37 

14 

20  36 

52  24 

15 

17  48 

43  26 

16 

15     1 

35  41 

17 

12  18 

28  38 

18 

9  36 

22     1 

19 

6  66 

15  43 

20 

4  15 

9  36 

21 

1  36 

3  35 

3.  aus  der  Kreisfigur  zu  entnehmen,  die  Lage  dieser  auf- 
und  untergehenden  Teile  im  Horizont.  ^^^ 

I.  Wenn  das  Zentrum  des  Mondes  in  der  Ekliptik  selbst 
steht  —  das  scheinbare*^  bei  den  Sonnenfinsternissen,  das 
genaue^^  bei  den  Mondfinsternissen  — ,  so  erhalten  wir       5 


a)  Das  durch  die  Parallaxe  beeinfluß Le  Zentrum  des  Mondes. 

b)  Das  der  genauen  Sonne  in  der  Ekliptik  diametral  gegen- 
überliegende Mondzentrum,  was  der  Fall  ist  bei  den  zentralen 
Finsternissen,  welche  direkt  in  einem  der  Knotenpunkte  statt- 
finden.   Vgl.  S.  194,17. 


412  Sechstes  Buch.     Dreizehntes  Kapitel. 

1.  von  der  Lage  des  zurzeit  untergehenden  Eklip- 
tikgrades im  Horizont: 

a)  den   Positionswinkel    der    Sonne    in   der   ersten 
Phase  (E)  der  Verfinsterung; 
6  b)  den  Positionswinkel  des  Mondes  sowohl  in  der 

letzten  Phase  der  Verfinsterung  (A),  als  auch  in  der  letzten 
Phase  des  Austritts  (E'); 

2,  von  der  Lage  des  aufgehenden  Grades: 

a)  den  Positionswinkel   der  Sonne  in   der  letzten 
10  Phase  des  Austritts  (E'); 

b)  den  Positionswinkel  des  Mondes  sowohl  in  der 
ersten  Phase  der  Verfinsterung  (E),  als  auch  in  der  ersten 
Phase  des  Austritts  (A'). 

Süd  4  IL   Wenn    das 

16  "K   y^        '^  /  Zentrum  des  Mon- 

des nicht  in  der 
Ekliptik  steht,  so 
nehmen    wir   aus 
^    ^   _  ü  der  Tabelle  die  zu- 

20  ^~     y^c^y^\<iK       y^  gehörigen  bei  dem 

Betrag   der  Zolle 
2^J^  mra  ^2^  stebendenWinkel- 

zahlen  und  tragen  sie  von  den  gemeinsamen  Schnittpunkten 
des  Horizonts  und  der  Ekliptik  aus  ab: 

26       A.  wenn  das  Mondzentrum  nördlich  der  Ekliptik  steht: 

1.  nach  Norden  von  dem  Untergangsschnittpunkt: 

a)  für  die  erste  Phase  der  Verfinsterung  (E)  der 
Sonne*); 

b)  für  die  letzte  Phase  der  Verfinsterung  (A)  des 
30  Mondes; 

2.  nach  Norden  von  dem  Aufgangsschnittpunkt: 

Hei 546  a)  für  die  letzte  Phase  des  Austritts  (E')  der  Sonne; 

Ha  453  b)  für  die  erste  Phase  des  Austritts  (A')  des  Mondes; 


a)  An    der   Figur   gilt  der    Kreis   des  Schattens  unter    der 
nötigen  Beschränkung  zugleich   lür  die  Sonne. 


Bestimmung  der  Positionswinkel  413 

3.  nach  Süden  von  dem  Aufgangsschnittpunkt: 

für  die  erste  Phase  der  Verfinsterung  (E)  des  Mondes  5 

4.  nach  Süden  von  dem  Untergangsschnittpunkt: 

für  die  letzte  Phase  des  Austritts  (E')  des  Mondes. 

B.  Wenn  das  Mondzentrum  südlich  der  Ekliptik  steht,  6 
so  ist  die  Abtragung  vorzunehmen: 

1.  nach  Süden  von  dem  Untergangsschnittpunkt: 

a)  für  die  erste  Phase  der  Verfinsterung  (E)   der 
Sonne; 

b)  für  die  letzte  Phase  der  Verfinsterung   (A)  des  10 
Mondes;  2^ 

2.  nach  Sü- 
den von  dem  Auf- 

gangsschnitt- 
punkt:  ^B'     V — ^     N^:^jt^^:s^ — V^^-^ €     ^^ 

a)  für  die 
letzte   Phase    des 

Austritts  (E')  der  ^  ,., ^ 

Sonne;  *^  ^<^''^ 

b)  für  die  erste  Phase  des  Austritts  (A  )  des  Mondes;  20 

3.  nach  Norden  von  dem  Aufgangsschnittpunkt: 

für  die  erste  Phase  der  Verfinsterung  (E)  des  Mondes ; 

4.  nach  Norden  von  dem  Untergangsschnittpunkt: 
für  die  letzte  Phase  des  Austritts  (E')  des  Mondes. 

Somit  erhalten  wir  aus  dem  nach  Vorschrift  durchgeführten  26 
Verfahren ^^)  diejenige  Stelle  des  Horizonts,  in  welcher,  wie 
gesagt  nur  nach  allgemeiner  Schätzung,  der  Positionswinkel 
gebildet  wird,  den  die  Stellen  der  Lichtkörper  verursachen, 
in  denen  die  erste  und  die  letzte  Phase  (E  und  A)  der  Ver- 
finsterung und  die  erste  und  die  letzte  (A'  und  E')  des  30 
Austritts  stattfinden. 


Anhang. 

Erläuternde  Anmerkungen. 

1)  S.  10.  100.  349.  Unter  „Stunden,  welche  gleichweit  von  der 
Mittagstunde  entfernt  liegen ",  sind  Äquinoktialstundeii  zu  ver- 
stehen, welche  die  Ortszeit  zum  Ausdruck  bringen:  „zwei  Äqui- 
noktialstunden  vor  der  Mittagstunde"  entspricht  10  Uhr  vor- 
mittags, „vier  Äquinoktialstunden  vor  der  Mitternachtstunde" 
8  Uhr  abends.  Da  in  einer  Äquinoktialstunde  15  Äquatorgrade 
durch  den  Meridian  gehen,  so  wird  ein  Unterschied  in  der  Orts- 
zeit von  beispielsweise  4  Stunden  einer  auf  dem  Äquator  gemesse- 
nen räumlichen  Entfernung  der  betreffenden  Orte  von  4x  15  = 
60  Graden  entsprechen.  Ein  um  diesen  Betrag  weiter  östlich 
gelegener  Ort  wird  eine  4  Stunden  spätere  Ortszeit  haben,  ein 
um  denselben  Betrag  weiter  westlich  gelegener  eine  4  Stunden 
frühere.  Vgl. Anm.  18. 

2)  S.  11.  Der  griechische  Text  ist  teils  entstellt,  teils  lücken- 
haft. Zunächst  muß  (Hei.  S.  16,4)  ccXX'  ?)  in  ocXXcc  geändert  werden, 
worauf  sich  (2  Zeilen  weiter)  hinter  ■jtäeiv  derEinschub  cübI  cpavBQO, 
Kai  von  selbst  ergibt.  Zur  Erläuterung  diene  folgendes.  Daß  „die 
Seiten  der  ebenen  Grundflächen  der  Walze  nach  den  Weltpolen 
gerichtet"  sein  sollen,  kann  zunächst  nur  so  verstanden  werden, 
daß  die  Längsachse  der  Walze,  deren  Mitte  im  Zentrum  des  Welt- 
alls angenommen  werden  muß,  mit  der  Welt achse  zusammen- 
falle :  dann  treten  für  alle  Bewohner  der  gekrümmten  Oberfläche 
die  Erscheinungen  ein,  welche  auf  der  kugelförmigen  Erde  bei 
Sphaera  recta,  d.i. unter  dem  Äquator,  stattfinden:  alle  Sterne 
gehen  auf  und  unter,  keiner  bleibt  immer  sichtbar  oder  immer 
unsichtbar.  Sobald  aber  von  immerunsichtbaren  Sternen  (Hei. 
S.  16, 7)  die  Rede  ist,  muß  es  auch  immersichtbare  geben,  d.  h.  die 
Längsachse  muß  in  der  durch  die  Weltpole  gehenden  Ebene  gegen 
die  Weltachse  geneigt  angenommen  werden.  Steht  infolgedessen 
z.B.  der  Nordpol  über  dem  Horizont  der  Walze,  während  der 
Südpol  unter  ihm  liegt,  so  treten  für  alle  Bewohner  der  gekrümm- 
ten Oberfläche  die  Erscheinungen  ein,  welche  auf  der  kugelför- 
migen Erde  bei  Sphaera  obliqua  für  die  gleiche  Polhöhe  statt- 
finden: die  Sterne,  welche  vom  Nordpol  den  gleichen  Abstand 
haben,  d.  h.  den  Abstand  von  diesem  Pol  bis  zum  Nordpunkt  des 


Anhang. 


415 


Horizonts,  werden  von  dem  immersichtbaren  Kreis  umschlossen, 
welchem  der  immerunsichtbare  um  den  Südpol  entspricht.  Aber 
ein  wesentlicher  Unterschied  gegen  die  kugelförmige  Erde  wird 
sich  bemerkbar  machen :  der  immersichtbare  Kreis  wird  nie  größer 
werden,  für  keinen  Ort  werden  weitere  Sterne  einerseits  immer 
sichtbar,  anderseits  immer  unsichtbar  werden,  weil  die  Polhöhe 
für  alle  Bewohner  der  Walze  die  gleiche  ist  und  stets  unveränder- 
lich bleibt.  Je  weiter  man  dagegen  auf  der  kugelförmigen  Erde 
nach  Norden  wandert,  um  so  höher  erhebt  sich  der  Pol  und  um 
so  mehr  nördliche  Sterne  werden  immer  sichtbar,  während  von 
den  südlichen  immer  mehr  dauernd  unsichtbar  werden. 

3)  S.  27.  Der  unter  rechtenWinkeln  durch 
die  Sehne  AB  gezogene  Halbmesser  ME 
halbiert  (nach  Eukl.III.3)  sowohl  die  Sehne 
AB  als  auch  den  Bogen  AEB :  folglich  ist 
die  Sehne  AE  als  die  Seite  des  eingeschrie- 
benen Sechsecks  gleich  dem  Halbmesser  r 
des  umschriebenen  Kreises.  Demnach  ist 
das  Dreieck  EAM  ein  gleichseitiges,  in 
welchem  die  Höhenlinie  AD  die  Grundlinie 
ME=r  halbiert.    Mithin  ist 

AD'  =  r'-'/y-=%r\ 
also  AD  =  y,r  j/S. 
Nun  ist  ^jB  =2 ad,    folglich  ^^2  =  3 r^ 

4)  S.  41.  Der  zwischen  den  Polen  des  Äquators  und  der  Eklip- 
tik liegende  Bogen  des  Kolurkreises  ist 
gleich  dem  zwischen  Äquator  und  Wen- 
depunkt gelegenen  Bogen. 

Es  sei  P  der  Pol  des  Äquators.  Ist  W 
der  Sommerwendepunkt,  so  ist  i/ der  Pol 
der  Ekliptik.  Vermindert  man  die  beiden 
Quadranten  WZPE  und  A  WZP  um  das  U^ 
gemeinsame  Stück  WZP,  so  bleiben  als 
gleichgroße  Reste  dieser  Quadranten  die  Bogen  PE  =AW uhrig. 

5)  S.  42  Nach  der  Beschreibung  des  Proklus  (Hjpotyp.  S  46  f.) 
hat  es  mit  der  Visiervorrichtung  folgen- 
de Bewandnis.  Die  beiden  gleichgroßen 
Platten  von  der  Form  eines  Rechtecks 
sind  mit  ihrer  kleineren  Seite  AB  auf 
die  Seitenfläche  des  unteren  drehbaren 
Ringes  an  diametral  gegenüberliegen- 
den Stellen  derartig  senkrecht  aufge- 
setzt, daß  diese  Standlinien  den  Durch- 
messer des  Ringes  unter  rechtenWinkeln 
schneiden,  während  die  Flächen  der 


Horizont 


416  Anhang. 

Rechtecke  einander  zugekehrt  sind.  An  diese  zueinander  parallel 
verlaufenden  Standlinien  sind  die  Dreiecke  mit  ihrer  h alb so- 
groß en  liasis  J.C  ihrerseits  senkrecht  zur  Fläche  der  Rechtecke 
derartig  angeschlossen,  daß  die  Kathete  CD,  welche  die  Höhe 
des  Dreiecks  darstellt,  mit  der  Hypotenuse  AD  einen  Zeiger  bildet, 
der  genau  in  der  Richtung  der  Visierlinie  in  die  Gradeinteilung 
des  Meridiankreises  hineinragt.  Absehöffnungen  der  Platten  wer- 
den von  Ptolemäus  nicht  erwähnt,  weil  es  sich  hier  um  die  Be- 
obachtung der  Sonne  handelt,  bei  welcher  die  Richtung  der  Vi- 
sierlinie mit  Hilfe  der  Beschattung  des  unteren  Rechtecks  durch 
das  obere  ermittelt  wird. 

6)  S  45.  67.  Die  Äquatorhöhe  ist  gleich  der  Sonnenhöhe  am 
Tage  der  Sommerwende,  vermindert  um  den  Bogen  der  Schiefe, 
oder  gleich  der  Sonnenhöhe  am  Tage  der  Winterwende,  ver- 
mehrt um  den  Bogen  der  Schiefe. 

Die  Äquatorhöhe  ergänzt  sich  mit  der 
Polhöhe  zu  90®,  weil  der  zwischen  Äqua- 
tor und  Pol  liegende  Bogen  (ÄZP)  stets 
ein  Quadrant  ist.  Da  sich  also  auch  die 
Zenitabstände  des  Äquators  (ÄZ)    und 

des  Pols  {ZP)  stets  zu  90®  ergänzen,  so 

Horizont  f^igt  daraus : 

1.  Die  Äquatorhöhe  ist  gleich  dem  Zenitabstand  des  Pols. 

2.  Die  Polhöhe  ist  gleich  dem  Zenitabstand  des  Äquators. 
Unter  der  geographischen  Breite  eines  Ortes  versteht  man  seine 

nördliche  oder  südliche  Entfernung  vom  irdischen  Äquator.  Sie 
entspricht  dem  Abstand  des  himmlischen  Parallelkreises,  unter 
welchem  der  betreffende  Ort  liegt,  vom  himmlischen  Äquator. 
Da  der  himmlische  Parallelkreis  stets  durch  den  Zenit  des  unter 
ihm  liegenden  Ortes  geht,  so  ist  die  geographische  Breite  iden- 
tisch mit  dem  Zenitabstand  des  Äquators,  der,  wie  oben  bewiesen, 
der  Polhöhe  gleich  ist. 

7)  S.  57.  Die  nicht  recht  klare  Auseinandersetzung  habe  ich 
so  wiedergegeben,  wie  es  dem  Sachverhalt  entsprechen  dürfte. 
Will  man  die  Aufgangszeit  kleinerer  Ekliptikbogen,  z.  B.  die  der 
einzelnen  Grade  des  ersten  Drittels  des  Widders  berechnen,  so  ent- 
fallen von  9®  10'  Aufgangszeit  des  ganzen  Drittels  auf  den  ein- 
zelnen Grad  durchschnittlich  55'.  Es  würde  also  der  erste  Grad 
des  Widders  mit  55'  aufgehen,  der  zweite  mit  1®10',  der  dritte  mit 
2®  5',  der  vierte  mit  3®  usw.  Dieser  Überschuß  des  folgenden 
Grades  über  den  vorhergehenden,  welcher  unter  Annahme  gleich- 
mäßigen Anwachsens  der  Aufgangszeit  55' beträgt,  entspricht  aber 
nicht  genau  dem  Überschuß,  welcher  in  Wirklichkeit  von  Grad 
zu  Grad  eintritt.  Denn  gerade  wie  sich  (S.  57)  in  der  Aufgangs- 
zeit der  Zeichendrittel  (27® 50'  —  29® 54'  -  32®  16')  ein  zuneh- 


Anhang.  417 

mend  er  Überschuß  (2*4'  —  2 "22')  herausstellt,  so  muß  dies  auch 
schon  bei  den  einzelnen  Graden  eines  jeden  Drittels  stattfinden. 
Aber  das  Anwachsen  dieses  Überschusses  der  Aufgangszeit  ist  bei 
so  kleinen  Ekliptikabschnitten  so  unbedeutend,  daß  man  die  den 
Durchschnitt  der  Aufgangszeit  angebenden  Zahlen  unbedenklich 
für  die  genauen  nehmen  kann. 

8)  S.  66.  .71.  Soll  z.  B.  für  den  Parallelkreis,  welcher  4"  15'  Ab- 
stand vom  Äquator  hat,  bestimmt  werden,  wann  lür  die  unter  ihm 
liegenden  Orte  die  Sonne  in  den  Zenit  kommt,  so  geht  man  mit 
dieser  Deklination  des  Parallelkreises  in  die  zweite  Spalte  der 
Tabelle  der  Schiefe  ein.  Da  der  Meridianbogen  4^15'  zwischen 
den  Argumentzahlen  4*^1' 38"  und  4* 25' 32"  liegt,  denen  in  der 
ersten  Spalte  die  Ekliptikgrade  10  und  11  entsprechen,  so  geht 
aus  der  Differenz  (23' 54")  der  Argumentzahlen  hervor,  daß  auf 
einen  ganzen  Ekliptikgrad  der  Meridianbogen  (rund)  24',  auf 
einen  halben  12'  zunimmt.  Der  Meridianbogen  4'' 15'  wird  also 
ohne  wesentlichen  Fehler  in  die  Mitte  zwischen  den  10**="  und  1 1*^° 
Ekliptikgrad  fallen.  Demnach  wird  die  Sonne,  wenn  sie  10%* 
vom  Frühlingspunkt  oder  79  Yg  °  vom  Sommerwendepunkt  entfernt 
ist,  für  diesen  Parallelkreis  erstmalig  in  den  Zenit  kommen.  Zum 
zweiten  Male  wird  dies  geschehen,  nachdem  sich  die  Sonne  1^^^^ 
vom  Sommerwendepunkt  nach  dem  Herbstpunkt  zu  entfernt  hat, 
d.  i.  wenn  sie  lOYg"  vor  letzterem  steht. 

9)  S.  67.  170.  173.  174.  Die  Annahme  von  Halbgraden,  deren 
360  auf  2  Rechte  gehen,  ist  ein  wichtiges  Hilfsmittel  bei  jeder  tri- 
gonometrischen Berechnung,  welche  Peripheriewinkel  zu  Zentri- 
winkeln in  Beziehung  setzt,  deren  Bogen  in  den  Sehnentafeln 
natürlich  nach  ganzen  Graden  (360^  =  4 JS)  gerechnet  sind.  Die 
zu  lösende  Aufgabe  ist  eine  zwiefache.  Entweder  wird,  wenn  einer 
von  den  spitzen  Winkeln  eines  rechtwinkligen  Dreiecks  gegeben 
ist,  die  Größe  der  diesem  gegenüberliegenden  Kathete  im  Verhält- 
nis zur  Hypotenuse  gesucht,  oder,  wenn  eine  Kathete  gegeben 
ist,  die  Größe  des  dieser  Kathete  gegenüberliegenden  Winkels. 
Die  Lösung  der  beiden  Aufgaben  mögen  je  zwei  Beispiele  er- 
läutern. Bei  dem  einen  soll  das  Endergebnis  den  Sehnentafeln 
glatt  zu  entnehmen  sein,  bei  dem  anderen  soll  die  Entnahme  mit 
einer  Komplikation  der  Berechnung  verbunden  sein. 

1*  (S.  173,28).  In  dem  rechtwinkligen  Dreieck  0KA  sei  der 
der  Kathete  AK  gegenüberliegende  /,  A0K  mit  30°  gegeben»); 
gesucht  seien  die  Größen  der  den  spitzenWinkeln  gegenüberliegen- 
den Katheten  A  K  und  K  0.  Beschreibt  man  um  das  Dreieck  einen 


a)  In  den  Figuren  ist  z.  T.  auf  die  Größe  der  Winkel  keine 
Rücksicht  genommen.  Wegen  der  geringen  Größe  der  Winkel 
mußte  in  vielen  Fällen  zugunsten  einer  klaren  Figur  von  der  ge- 
nauen Entsprechung  abgesehen  werden. 


FtolemäuB,  übers,  v.  Manitius.   I. 


418  Anhang. 

Kreis,  so  wird  die  Hypotenuse  A  0  der  Durch- 
messer dieses  Kreises  und  die  Katheten  K0 
und  AK  werden  Sehnen  desselben,  überspannt 
von  den  Kreisbogen  der  ihnen  gegenüberlie- 
genden Winkel  des  Dreiecks,  welche  Peri- 
pheriewinkel des  umschriebenen  Kreises 
sind.  Peripheriewinkel  sind  bekanntlich  halb 
so  groß  als  die  mit  ihnen  auf  demselben  Bogen 
stehenden  Zentriwinkel.  Die  Verdoppelung 
des  gegebenen  Peripheriewinkels  A0K  zu  dem  zugehörigen  Zentri- 
winkel AMK  erzielt  nun  die  antike  Rechnungsweise  durch  An- 
nahme von  Halbgraden  unter  der  Formel 

/.  A0K  =  30^  wie  4B  =  360" 
=  60'' wie  ^E  =  360°. 
Was  den  Bogen  anbelangt,  welcher  den  gegebenen  Peripherie- 
winkel überspannt,  so  enthält  er  ebensoviel  Grade  des  umschrie- 
benen Kreises,  als  der  zugehörige  Zentriwinkel  unterspannt,  dessen 
Bogen  man  zum  Eingehen  in  die  Sehnentafeln  braucht.  Dieser 
Bogen  wird  ausgedrückt  durch  die  Formel 

6AK=    60"  wie  e0KA  =  36O^ 
Mithin  ist  ,&  K0  =  120*'  als  Supplementbogen. 
Zu  diesen  Argumentzahlen  entnimmt  man  schließlich  den  Tafeln : 
sAK  =  60P  und  ,sK0  =  103? 55'. 
l''  (S  67,33).    In  dem  rechtwinkligen  Dreieck  KTE  sei  der 

£.^ ^         /.KEP  mit  12°  8' 40"  gegeben,  gesucht  sei  die 

ihm  gegenüberliegende  Kathete  f  K.    Geht  man 
mit  dem  verdoppelten  Winkel  24"  17' 20",  d.  i. 
mit  dem  Zentriwinkel  TMK  in  die  erste  Spalte 
der  Sehnentafeln  ein,  so  findet  man  zur  Argument- 
zahl 24°  die  Sehne  mit  24p 56' 58".    Den  Zusatz 
^         zur  Sehne  bei  Anwachsen  des  Bogens  um  0°1' 
^       gibt  die  dritte  Spalte  mit  0p1'1"26"'.    Es  ent- 
fallen demnach  auf  den  Mehrbetrag  von  0°17'20": 

zunächst:  17  x  Op  1'  1" 26"'  =  0?  17' 24" 22'" 
hierüber:   y^  x  Op  1'  1" 26'"  =  Op   0^ 20" 29'" 
in  Summa     Op  17' 44"  51"'. 
Addiert  man  0p17'45"  zu  der  Sehne  24p 56' 58",  so  erhält  man 
die  Kathete  PK  mit  25p  14' 43",  ein  Ergebnis,  welches  mit  S.  68,7 
genau  übereinstimmt 

2*  (S  170,14).  In  dem  rechtwinkligen  Dreieck  ZEE  sei  die 
Kathete  ZE  mit  49p 46'  in  dem  Maße  gegeben,  in  welchem  die 
Hypotenuse  EZ  gleich  120p  ist;  gesucht  sei  der  dieser  Kathete 
gegenüberliegendeWinkel  ZEE.  Geht  man  mit  49p  46'  in  die  zweite 


Anhang. 


419 


Spalte  der  Sehnentafeln  ein,  so  findet  man  zu 
der  ohne  wesentlichen  Fehler  entsprechenden 
Argnmentzahl  49?  45' 48" 

5 Z=  =  490  wie  eZZE  =  360^ 
Das  heißt:  dieser  Bogen  überspannt  den 
Zentriwinkel  ZM£  und  mißt  denselben  in 
solchen  ganzen  Graden  {4B  =  360**),  wie  der 
um  das  Dreieck  ZZE  beschriebene  Kreis  deren  360  hat.  Gesucht 
ist  aber  der  auf  demselben  Bogen  stehende  Peripheriewinkel  ZEz:, 
der  nur  ebensoviel  Halbgrade  enthält,  also 

tZE=  =  49<*        wie^E  =  360° 
=  24030' wie  4 i2=  360». 

2^  (S.  174,10).  In  dem  rechtwinkligen  Dreieck  A KZ  sei  die 
Kathete  AK  mit  2p  25'  in  dem  Maße  gege- 
ben, in  welchem  die  Hypotenuse  ZA  gleich 
1  20p  ist,  gesucht  sei  der  dieser  Kathete  gegen- 
überliegende Winkel  AZK.  Geht  man  mit 
2p  25'  in  die  zweite  Spalte  der  Sehnentafeln 
ein,  so  findet  man  zu  der  nächstniedrigen  Ar- 
gumentzahl 2p  5' 40"  den  zugehörigen  Bogen 
mit  2"  und  entnimmt  der  dritten  Spalte  den 
Zusatzbetrag,  welcher  bei  Anwachsen  der  Sehne  auf  0*^1'  des  Bo- 
gens  entfällt,  mit  rund  0p1'3".  Da  die  gegebene  Sehne  um  (25'  — 
5'  40"  =)  Op  19'  20"  größer  ist  als  die  zunächst  gewählte  Argument- 
zahl, so  berechnet  sich  der  Zuschlag  zu  dem  Bogen  von  2"  nach 
dem  Verhältnis 

OPl'3":On'  =  0Pl9'20":a;® 
63";  60"==       1160"  :a;". 
Unter  Hinzufügung  des  für  x  sich  ergebenden  Betrags  von 
0"18'25"  erhält  man  demnach 

t  AZK  =  2n8'25"  wie  2R  =  S&0'> 
=  1**   9' 13"  wie  4B  =  S60\ 

10)  S.  68.  Je  tiefer  die  Sonne  steht,  um  so  länger  wird  der  über 
den  Kernschatten  hinausgehende  Halbschatten.  Das  Ende  des 
Kernschattens  (a)  liegt  da,  wo 
eine  vom  oberen  Sonnenrande 
durch  die  Spitze  des  Gnomon 
gezogene  Gerade  die  horizon- 
tale Ebene  trifift,  das  Ende  des 
Halbschattens  (c)  da,  wo  die 
vom  unteren  Sonnenrande  ge- 
zogene Gerade  auftrifft.  Es  liegt 
mithin  der  für  die  Länge  des 

27" 


420  Anhang. 

Schattens  maßgebende  Punkt  (6),  in  welchem  die  von  dem  Mittel- 
punkt der  Sonne  durch  die  c^pitze  des  Stabes  gezogene  Gerade 
auftrifft,  im  Halbschatten  und  wird  um  so  schwieriger  zu  be- 
stimmen sein,  je  länger  der  Schatten  ist.  Erst  die  byzantinischen 
Astronomen  des  fünften  Jahrhunderts  n.  Chr.  suchten  dieser 
Schwierigkeit  dadurch  abzuhelfen,  daß  sie  an  der  Spitze  des  Gno- 
men eine  kleine  Scheibe  mit  einer  kreisrunden  Öffnung  anbrach- 
ten, um  in  dem  Mittelpunkt  des  so  erzeugten  Sonnenbildchens 
den  maßgebenden  Endpunkt  der  Schattenlänge  zu  erhalten. 

11)  S.  70.  Von  den  durch  die  Pole  des  Äquators  gehenden  De- 
klinationskreisen, so  genannt,  weil  auf  ihnen  die  Abweichung  vom 
Äquator  gemessen  wird,  werden  zwei  als  Ko Iure  bezeichnet:  der 
Kolur  der  Wenden  (Solstitialkolur) ,  welcher  durch  die  Wende- 
punkte geht  und  deshalb  die  Pole  der  Ekliptik  trägt,  und  der 
Kolur  der  Nachtgleichen  (Äquinoktialkolur),  welcher  durch 
die  Nachtgleichenpunkte  geht.  Diese  beiden  Kolure  zerlegen  die 
Sphäre  in  vier  gleiche  Teile  und  die  Ekliptik  ebenso  wie  den 
Äquator  in  vier  Quadranten,  so  daß  auf  jede  Jahreszeit  ein  Qua- 
drant entfällt.  Dem  Ptolemäus  gilt  (S.  23,18)  der  Solstitialkolur 
als  die  Grenze  des  täglichen  Umschwungs,  der  Äquinoktialkolur 
wird  von  ihm  nirgends  (vgl.  Anm.  »)  S.  23)  ausdrücklich  erwähnt. 
Beide  Kolure  unterschied  bereits  Eudoxus  (Hipparchi  Comment. 
S.  117  f.).  Eine  Erklärung  der  Bezeichnung  gibt  der  Achilles 
genannte  Verfasser  einer  Isagoge  (Kap.  27)  mit  folgenden  Worten : 
„Kolure  heißen  sie,  weil  sie  uns  verstümmelt  erscheinen  wie 
die  Schwänze  {xsy.oXovöd'aL  möTtsg  tag  ovqccs)^  indem  die  von  dem  ark- 
tischen, d.  i.  dem  immerunsichtbaren  Kreise  (bis  zum  Südpol)  sich 
erstreckenden  Teile  für  uns  unsichtbar  sind  und  an  dieser  Stelle 
verstümmelt  zu  sein  scheinen ;  denn  die  von  dem  immersichtbaren, 
d.  i.  dem  arktischen  Kreise  ab  (bis  zum  Nordpol)  sich  erstrecken- 
den Teile  sind  sichtbar,  während  die  im  antarktischen  Kreise 
liegenden  Teile  der  Kolurkreise  immer  unsichtbar  sind."  Aus 
dieser  Erklärung  geht  hervor,  daß  die  Kolure  dort,  wo  es  keinen 
immersichtbaren  und  keinen  immerunsichtbaren  Kreis  gibt,  d.  i. 
unter  dem  Äquator,  wo  beide  Pole  im  Horizont  liegen,  nicht 
verstümmelt  werden  können.  Dort  gibt  es  demnach  keinen  Ko- 
lur. Einwenden  läßt  sich  allerdings  gegen  diese  Erklärung,  daß 
die  angebliche  Verstümmelung  durchaus  kein  charakteristisches 
Merkmal  gerade  dieser  beiden  Deklinationskreise  ist;  denn  alle 
Deklinationskreise  sind  bei  Sphaera  obliqua  gegen  ihr  südliches 
Ende  hin  in  demselben  Sinne  „verstümmelt". 

12)  S.  79.  Geht  man  mit  der  Ergänzung  der  Polhöhe  67 •*  zu 
90^  d.  i.  mit  23°  als  dem  Zenitabstand  des  Pols,  welcher  der  Äqua- 
torhöhe (Anm  6)  gleich  ist,  in  die  zweite  Spalte  der  Tabelle  der 
Schiefe  ein,  so  bietet  zu  dieser  Argumentzahl  (in  der  Tabelle 
22^59' 41")  die  erste  Spalte  75^    Mithin  wird  15°  beiderseits  des 


Anhang.  421 

Sommerwendepunktes  der  Parallelkreis  mit  der  nördlichenDe- 
klination  von  23"  die  Ekliptik  schneiden.  Auf  demselben  Wege 
findet  man  bei  der  Polhöhe  69^30'  zur  Äquatorhöhe  20"  30'  den 
60*«-^  Grad  der  Ekliptik  und  somit  die  Schnittpunkte  des  20^30' 
nördlich  des  Äquators  verlaufenden  Parallelkreises  in  der  Ent- 
fernung von  30"  beiderseits  des  Sommerwendepunktes,  usw.  in 
den  übrigen  Fällen. 

13)  S.  79.  Über  die  Frage,  welcher  Parallelkreis  von  Polhöhe 
zu  Polhöhe  der  immersichtbare  Kreis  wird,  orientiert  man  sich 
am  besten  auf  folgendem  Wege.  Wenn  die  Polhöhe  weniger  als 
45°  beträgt,  so  hat  der  immersichtbare  Kreis  (Fig.  1  C T)  einen 
Zenitabstand  {ZC)  von  90"  weniger  der  doppelten  Polhöhe  im 
nördlichen  Meridian.  Beträgt 
die  Polhöhe  gerade  45",  so  ist 
der  Zenitabstand  des  immersicht- 
baren Kreises  (Fig.  2  ZT)  gleich 
Null (90 "-2x45").  Beträgt  end- 
lich die  Polhöhe  mehr  als  45"  ^^^  ^-  *''^-  ^^ 
(Fig.  3),  so  beträgt  der  Zenitabstand  {ZC) 
des  immersichtbaren  Kreises  (CT)  die 
doppelte  Polhöhe  weniger  90"  im  süd- 
lichen Meridian  oder,  da  der  Zenitab- 
stand {ZP)  des  Pols  (Anm.  6)  gleich  der 
Äquatorhöhe  (J.H)  ist,  90"  weniger  der 
doppelten  Äquatorhöhe.  So  erhält  man 
z.  B.  bei  der  Polhöhe  67"  die  Äquatorhöhe 
{ÄH)  mit  23"  und  hiermit  zunächst  die 
südliche  Deklination  des  den  Horizont 
in  Punkt  H  berührenden  immerunsicht-                 ^^^'  ^' 

baren  Kreises  (HC).  Da  aber  der  immersichtbare  Kreis  dieselbe 
nördliche  Deklination  hat,  so  ergibt  sich  sein  Zenitabstand  mit 
90"— 2x23"  =  44",  was  gleich  ist  2x67"  —  90".  Die  von  den  ark- 
tischen Kreisen  CT  und  HC  beiderseits  der  Wendepunkte  ab- 
geschnittenen Ekliptikstücke,  welche  nicht  zum  Untergang  bzw. 
Aufgang  gelangen,  sind  an  der  Figur  durch  Bezeichnung  der 
Wendepunkte  mit  s  und  w  kenntlich  gemacht. 

14)  S.  81.  Hipparch  (Comment.  S.  129  und  133)  versichert,  fast 
alle  alten  Mathematiker  hätten  die  Ekliptik  so  eingeteilt,  daß  die 
Punkte  der  Wenden  und  Nachtgleichen  die  Anfänge  von  Zeichen 
waren,  während  Eudoxus  die  genannten  Punkte  in  die  Mitte 
von  Zeichen  gesetzt  habe,  und  zwar  die  Wendepunkte  in  die  Mitte 
des  Krebses  und  des  Steinbocks,  die  Nachtgleichenpunkte  in  die 
Mitte  des  Widders  und  der  Scheren.  Indessen  hat  Eudoxus  (s. 
Böckh,  Sonnenkreise  der  Alten,  S.184f.)  diese  Neusetzung  der 
Jahrpunkte  wohl  erst  in  seinen  späteren  astrognostischen  Schriften, 
in  den  Phänomena  und  in  dem  Enoptron,  durchgeführt;  in  seiner 


422  Anhang. 

Oktaeteris,  die  in  jüngeren  Jahren  verfaßt  war,  hat  er  ohne  Zweifel 
aus  kalendarischen  Gründen  die  von  Meton  überkommene  Setzung 
der  Jahrpunkte  auf  den  achten  Tag  oder  Grad  der  Zeichen  an- 
gewendet, die  auch  in  der  Isagoge  des  Achilles  (cap.  23)  und  von 
dem  Scholiasten  des  Arat  (schol.  499)  erwähnt  wird. 

15)  S  83.  Wenn  der  Solstitialkolurmit  dem  Meridian  zusammen- 
fällt, d.  h.  wenn  die  Wendepunkte  kulminieren,  liegen  die  Nacht- 
gleichenpunkte sowohl  bei  Sphaera  recta  als  auch  bei  Sphaera 
obliqua  im  Horizont.  Wenn  dagegen  der  Äquinoktialkolur  mit 
dem  Meridian  zusammenfällt,  d.h.  wenn  die  Nachtgleichenpunkte 
kulminieren,  liegen  nur  bei  Sphaera  recta  die  Wendepunkte  im 
Horizont.  Denn  wenn  sich  mit  zunehmender  Polhöhe  die  Kul- 
mination der  Nachtgleichenpunkte,  d.  i.  der  Äquator  selbst,  dem 
Horizont  zuneigt,  so  erhebt  sich  der  Sommerwendepunkt  über 
den  Horizont,  während  der  Winterwendepunkt  unter  den  Hori- 
zont sinkt.  Nach  diesem  Verhältnis  mußte  die  falsche  Figur  des 
griechischen  Textes  (Hei  120)  abgeändert  werden.  Da  der  Winter- 
wendepunkt (H )  an  der  Figur  i  m  Horizont  liegt,  so  muß  der  Herbst- 
punkt (Z)  die  obere  Kulmination  hinter  sich  haben,  ebenso  wie 
der  Frühlingspunkt  (0)  die  untere. 

Wenn  der  Äquatorbogen  0E  aufgegangen  ist,  d.  i.  wenn  der 
Frühlingspunkt  0  im  Horizont  steht,  dann  wird  der  Winterwende- 
punkt H  im  oberen  Meridian  kulmi- 
nieren. Der  Ekliptikbogen  0  H  wird 
demnach  gleichzeitig  mit  dem  Äqua- 
torbogen 0  E,  d.i.  in  der  halben  Zeit- 
dauer des  kürzesten  Tages  aufgehen. 
Als  der  Herbstpunkt  Z  im  Hori- 
zont stand,  kulminierte  der  Winter- 
wendepunkt H  im  unteren  Meridian. 
Der  Ekliptikbogen  Z  H  ist  demnach 
mit  dem  Äquatorbogen  Z  E ,  d.  i.  in 
der  halben  Zeitdauer  der  längsten 
Nacht  aufgegangen. 

16)  S.  85.  86.  In  derselben  Zeit  wie  der  Widder  gehen  nach  Lehr- 
satz I  (S.  81,16)  auch  die  Fische  auf,  also  mit  19°  12'.  Nun  gehen 
die  Scheren  und  die  Fische  bei  Sphaera  recta  (S.  57.18)  mit  je 
27*^50'  auf,  und  ihre  Aufgangssumme  ist  nach  Lehrsatz  II  (S.  82,i.s) 
bei  Sphaera  obliqua  dieselbe  wie  bei  Sphaera  recta,  also 

iL  -j-  X  =  27^50' -f  27^50'. 
Folglich  ist     iDi      =  55^40'  —  X  bei  Sphaera  obliqua, 
also     =rL      =55H0'-19M2'  =  36«28'. 

In  derselben  Zeit  wie  die  Scheren  geht  aber  nach  Lehrsatz  I 
auch  die  Jungfrau  auf 


Anhang.  423 

Ebenso  (S.  86)  geht  in  derselben  Zeit  wie  der  Stier  nach  Lehr- 
satz I  auch  der  Wassermann  auf,  also  mit  22^46'.  Nun  gehen  der 
Löwe  und  der  Wassermann  bei  Sphaerarecta  (S.  67,17)  mit  je  29^54' 
auf,  und  ihre  Aufgangssumme  ist  nach  Lehrsatz  II  bei  Sphaera  ob- 
liqua  dieselbe  wie  bei  Sphaera  recta,  also 

^ -[-««  =29«54'  +  29<'54'. 
Folglich  ist      Q      =  59<>48'  —  «*  bei  Sphaera  obliqua 
also      Q      =59*'48'-22«46'  =  37<'2'. 

In  derselben  Zeit  wie  der  Löwe  geht  aber  nach  Lehrsatz  I  auch 
der  Skorpion  auf. 

17)  S.  93.  Jede  Aufgabe  soll  durch  ein  Beispiel  für  den  Parallel 
von  Rhodus  unter  Zugrundelegung  desselben  Tages  erläutert  wer- 
den. Es  sei  zu  diesem  Zweck  der  2.  ägyptische  Tybi  des  607*^»  Jahres 
seit  Nabonassar  (27.  Januar  141  v.  Chr.)  gewählt,  an  welchem  die 
Sonne  (S.  351,i6)  in  «*  5°  stand, 

1.  Es  soll  die  Länge  des  Lichttages  am  2.  Tybi  bestimmt 
werden. 

Wenn  der  Tagbogen  der  Sonne  auf  dem  durch  a»  6®  gehenden 
südlichen  Parallelkreis  zum  Äquator  verläuft,  passiert  der  Halb- 
kreis der  Ekliptik  von  *»  5°  bis  Q  5®  nach  der  Aufgangstafel  für 
Rhodus  (S.  95)  die  sichtbare  Hemisphäre  mit  150^32'  des  Äqua- 
tors.  Demnach  beträgt 

die  Länge  des  Lichttages  150<'32' :  15  =  10«*  2°^  8« 

die  bürgerliche  Tagstunde*)  '— =       50™  10« 40t 

die  bürgerliche  Nachtstunde  =        69^498  20*. 

2.  Die  bequemere  Berechnung  der  bürgerlichen  Stunde  be- 
ruht darauf,  daß  man  zunächst  die  Differenz  (6  EA)  zwischen  dem 
halben  Tagbogen  des  zwölfstündigen  Tages  bei  Sphaera  recta 
(d.  i.  allgemein  des  Nachtgleichentags)  und  dem  halben  Tagbogen 
des  für  Rhodus  als  gegeben  vorliegenden  Tages  feststellt.  Die 
nach  der  dritten  Spalte  der  Tafel  für  Sphaera  recta  (S.  94)  auf 
<w*  5"  entfallende  Aufgangssumme  beträgt  (vom  Frühlingspunkt 
ab  gezählt)  307*^24',  die  aus  der  Tafel  für  Rhodus  hervorgehende 


a)  Die  vorgeschriebene  Teilung  durch  12  ergibt  zunächst 
12''32'40";  da  auf  den  Zeitgrad  4  Minuten  entfallen,  so  hat  man 
noch  die  Multiplikation  mit  4  vorzunehmen.  Die  bürgerliche 
Nachtstunde  ist  natürlich  die  Ergänzung  der  bürgerlichen  Tag- 
stunde zu  2  Äquinoktialstunden. 


424  Anhang. 

322*^8'*^.  Indem  man  diese  Summen  um  drei  Quadranten  vermin- 
dert, erhält  man  je  den  halben  Tagbogen.  Indes  bleibt  es  sich 
für  das  Ergebnis  gleich,  ob  man  diese  270°  vorher  abzieht  oder  nicht. 
Die  Differenz  beträgt  jedenfalls  14^44'.  Man  hat  sich  den  Verlauf 
so  vorzustellen,  daß  bei  Sphaera  recta  (oder  am  Nachtgleichen- 
tag) die  Sonne  vom  Aufgang  bis  zum  Meridian  in  90  Zeitgraden 
gelangt,  während  für  Rhodus  diese  Strecke  (d.  i.  der  halbe  Tag- 
bogen des  2.Tybi)  nur  (90°- 14°44'=)  75°16'  beträgt.  Der  e^^Teil 
der  Differenz  14^44'  stellt  mit  2°27'20"  den  Betrag  dar,  um  wel- 
chen die  bürgerliche  Stunde  des  2.  Tybi  kürzer  ist  als  die  Äqui- 
noktialstunde  von  15°.    Sie  beträgt  demnach 

15''-2°27'20"  =  12°32'40"  oder  ÖC'^IOHO*. 
Man  kann  die  bequemere  Berechnung  der  bürgerlichen  Stunde 
auch  mit  Hilfe  der  oben  gewonnenen  halben  Tageslänge  aus- 
führen, welche  58tim4s  beträgt  Die  Differenz  der  halben  Tag- 
bogen  ist  (6«*  — 5«*1«^4«=)  öS^^öG«.  Der  6*''  Teil  davon,  d.  s.  9™ 
49^20*,  gibt  von  60"*  abgezogen  die  bürgerliche  Tagstunde  und 
zu  60°*  addiert  die  bürgerliche  Nachtstunde. 

3.  Es  sollen  3  bürgerliche  Tagstunden  von  50"  10^ 4' (*  in  Äqui- 
noktialstunden  verwandelt  werden. 

Auf  die  bürgerliche  Tagstunde  des  2.Tybi  entfallen  12° 32' 40". 
In  Befolgung  der  vorgeschriebenen  Berechnung  erhält  man 

3  •  12°32'40" 

—  =  2  Aquinoktialstunden  30"»  32«. 

lö 

Sollen  umgekehrt  3  Aquinoktialstunden  in  bürgerliche  Tag- 
stunden von  der  gegebenen  Länge  verwandelt  werden,  so  erhält 
man  (unter  gelegentlicher  Abrundung) 

3-15°  15°        900'       ^3.    ...         V  V,     rr       ^      j 

12°  32' 40-  =4^  =  250^==^/^  bürgerliche  Tagstunden. 

4.  Es  sei  die  bürgerliche  Tagstunde  des  2.  Tybi  mit  rund 
12°  30'  zugrunde  gelegt. 

a)  Soll  der  am  2.  Tybi  4  bürgerliche  Stunden  nach  Sonnen- 
aufgang aufgehende  Ekliptikgrad  gefunden  werden,  so  addiert 
man  das  Produkt  4  x  12^30'  =  50"  zu  der  nach  der  Tafel  für  Rhodus 
auf  «t  5°  entfallenden  Aufgangssumme  322°  8'.  Hierauf  geht  man 
(nach  Abzug  eines  ganzen  Kreises)  mit  der  erhaltenen  Zahl  (372°8'  — 

a)  Der  vom  Widderpunkt  ab  numerierte  Grad  des  Äquators, 
welcher  mit  ^«  5°  gleichzeitig  im  Horizont  steht,  ist  der  307*®,  wenn 
man  den  Globus  auf  Sphaera  recta,  der  322*®,  wenn  man  ihn  auf 
die  Polhöhe  von  Rhodus  einstellt.  Die  Handhabung  des  Globus 
erleichtert  wesentlich  die  Lösung  derartiger  Aufgaben,  da  die 
Benutzung  der  Tafeln  für  innerhalb  der  Zeichendrittel  liegende 
Ekliptikgrade  meist  mit  mühsamer  Rechenarbeit  verbunden  ist. 


Anhang.  425 

360^=)  12^8'  wieder  in  die  Tafel  für  Rhodus  ein  und  findet  zu 
dieser  Aufgangszahl  7  19°  als  den  4  bürgerliche  Stunden  nach 
Sonnenaufgang  aufgehenden  Grad,*) 

b)  Soll  der  4 bürgerliche  Stunden  nach  dem  Mittag  des  2.  Tybi 
über  dem  Horizont  kulminierende  Ekliptikgrad  gefunden  wer- 
den, so  addiert  man  die  oben  erhaltenen  50  Zeitgrade  zu  der  nach 
der  Tafel  für  Sphaera  recta  auf  *«  5°  entfallenden  Summe  307^24', 
die  jetzt,  auf  den  Meridian  bezogen,  als  Durchgangssumme  zu  be- 
zeichnen ist.  Hierauf  geht  man  mit  der  erhaltenen  Durchgangs- 
summe 3570  24'  wieder  in  die  Tafel  für  Sphaera  recta  ein  und  findet 
zu  dieser  Zahl,  und  zwar  für  alle  unter  demselben  Meridian  lie- 
genden Orte  geltend,    X  27°  als  den  für  Rhodus  4  bürgerliche 

Stunden  oder  (allgemein  geltend  — =)  ^^/^  Äquinoktial- 

stnnden  nach  Mittag  über  dem  Horizont  kulminierenden  Eklip- 
tikgrad.^) 

5.  Soll  der  am  2.  Tybi  bei  Auf  gan  g  von  »t^  h^  über  dem  Hori- 
zont kulminierende  Ekliptikgrad  gefunden  werden,  so  zieht  man 
von  der  nach  der  Tafel  von  Rhodus  erhaltenen  Aufgangssumme 
322^8'  die  90  Zeitgrade  des  Quadranten  ab  und  geht  mit  der  sich 
ergebenden  Differenz  232'' 8'  in  die  Tafel  für  Sphaera  recta  ein, 
um  aus  ihr  zu  der  Durchgangssumme  dieses  Betrags  den  für  alle 
unter  demselben  Meridian  liegenden  Orte  über  dem  Horizont  kul- 
minierenden Grad  mit  n]  24  Yg^  zu  entnehmen.«') 

Will  man  umgekehrt  aus  dem  kulminierenden  Grad  iT,24y2® 
den  für  Rhodus  aufgehenden  Grad  bestimmen,  so  addiert  man 
die  90  Zeitgrade  des  Quadranten  zu  der  in  der  Tafel  für  Sphaera 
recta  auf  i>l24yj*'  entfallenden  Durchgangssumme  232^8'.  Geht 
man  mit  der  erhaltenen  Summe  322^8'  in  die-elbe  Tafel  ein,  so 
findet  man  als  den  zurzeit  unter  dem  Äquator  aufgehenden 
Grad  a^*  19  %  ®.  Um  den  fürRhodus  aufgehenden  Grad  zu  erhalten, 
muß  man  demnach  mit  322°8'  in  die  Tafel  fürRhodus  eingehen, 

a)  Während  bei  der  Polhöhe  von  36°  «»  5°  im  Horizont  des  Glo- 
bus steht,  kulminiert  der  232.  Äquatorgrad.  Dreht  man  den  Glo- 
bus 50  Äquatorgrade  westwärts ,  so  wird  man  im  Meridian  den 
282.  Äquatorgrad  und  im  Horizont  zum  12.  Äquatorgrad  Y  19<' 
finden. 

b)  Es  kulminiert  «»  5°  mit  dem  308.  Äquatorgrad.  Dreht  man 
den  Globus  50  Äquatorgrade  westwärts ,  so  wird  man  X  27''  im 
Meridian  finden.  Dreht  man  dieselbe  Anzahl  von  Äquatorgraden 
ostwärts,  so  erhält  man  als  den  4  bürgerliche  Stunden  vor  Mit- 
tag mit  dem  258.  Äquatorgrad  kulminierenden  Ekliptikgrad  w^  18*'. 

c)  Steht  bei  der  Polhöhe  von  Rhodus  ^^w  5°  im  Horizont,  so  ent- 
nimmt man  dem  Globus  als  den  mit  dem  232.  Äquatorgrad  kul 
minierenden  Ekliptikgrad  rund  m  24°, 


426  Anhang. 

um  dort  ««*  5"  zu  finden,  was  mit  der  oben  (S.  424)  festgestellten 
DiflFerenz  14° 44'  ohne  wesentlichen  Fehler  übereinstimmt. 

18)  S.  130.  219.  Der  Sachverhalt  ist  ganz  klar,  wenn  6  vTtoytsi- 
^svog  gestrichen  wird.  Bei  der  Mondfinsternis  am  19.  März  721 
V.  Chr.  trat  die  Mitte  für  Babylon,  wo  sie  beobachtet  wurde, 
2  Vj  Äquinoktialstunden  vor  Mitternacht  (9^  30"  abends)  ein.  Mit- 
hin ist  Babylon  der  „zugrunde  gelegte  Ort",  d.  h.  der  Ort,  dessen 
Zeit  gegeben  ist.  Der  „in  die  Untersuchung  einbezogene  Ort",  d.  h. 
der  Ort,  dessen  Zeit  gesucht  wird,  weil  nach  seinem  Meridian  die 
Berechnung  durchgeführt  werden  soll,  ist  Alexandria,  welches 
(nach  antiker  Messung)  1273^  auf  dem  Äquator  gemessen,  west- 
lich von  Babylon  liegt.  Von  der  Ortszeit  Babylons  sind  demnach 
12 yjZeitgrade=50'"  zu  subtrahiere n,  d.h.  dieMittederFinster- 
nis  trat  für  Alexandria  als  den  weiter  westlich  gelegenen  Ort 
um  so  viel  früher,  also  8^  40™  abends  ein.  Wäre  Alexandria  der 
zugrunde  gelegte  Ort  mit  der  gegebenen  Zeit,  so  würden  für  das 
weiter  östlich  gelegene  Babylon  als  den  in  die  Untersuchung 
einbezogenen  Ort  50"  zur  Ortszeit  zu  addieren  sein. 

19)  S.  134.  Derartige  Metallringe  zur  Beobachtung  der  Nacht- 
gleichen hat  man  sich  an  der  Südseite  einer  Mauer,  die  sich  ge- 
nau in  der  Ostwestlinie  erstreckt,  vermittels  eines  Halters  an- 
gebracht zu  denken,  welcher  die  Ringebene  genau  in  der  Ebene 
des  Äquators  schwebend  erhält.  Stand  die  Sonne  südlich  des 
Äquators,  wie  vor  der  Frühlingsnacht  gleiche,  so  belichtete  sie  die 
konkave  (d.  i.  innere)  Fläche  der  hinteren  Ringhälfte  von  unten; 
trat  sie  in  den  Äquator,  so  stellte  sich  der  Moment  ein,  wo  die 
vordere  (d.  i.  die  der  Sonne  näher  liegende)  Ringhälfte  die  hintere 
konkave  derart  in  Schatten  setzte,  daß  auf  letzterer  ein  beider- 
seits von  einem  gleichbreiten  Lichtstreifen  (s.  S.  135,5)  umrahmter 
Kernschatten  erschien.  Dies  mußte  der  Moment  des  Eintritts 
der  Nachtgleiche  sein.  Erhob  sich  die  Sonne  nun  über  denÄqua- 
tor,  d.  h.  bekam  sie  nördliche  Deklination,  so  belichtete  sie  erst- 
malig die  konkave  Innenfläche  von  oben,  also  von  der  anderen 
Seite  wie  bisher.  Umgekehrt  fand  unmittelbar  nach  dem  Eintritt 
der  Herbstnachtgleiche  die  erstmalige  Belichtung  von  unten 
statt,  also  wieder  von  der  anderen  Seite  als  bisher. 

20)  S.  134.  135.  Um  Jahre  der  zweiten,  dritten  usw.  Kallip- 
pischen  Periode  auf  Jahre  der  christlichen  Zeitrechnung  zu  redu- 
zieren, multipliziert  man  die  Zahl  der  verflossenen  Perioden  mit 
76,  addiert  zum  Produkt  das  Jahr  der  laufenden  Periode  und  zieht 
die  Summe  von  331  ab.  Die  Differenz  331  —  169  ergibt  im  vor- 
liegenden  Fall  das  Jahr  162  v.  Chr.  Nun  läuft  das  Kallippische 
Jahr  von  Sommerwende  zu  Sommerwende.  Folglich  wird  das 
Jahr  17.  HI  Kall  von  Ende  Juni  162  bis  Ende  Juni  161  v.  Chr. 
laufen.  Der  September  fällt  demnach  noch  in  das  Jahr  162.  In 
diesem  Jahre  liegt  der  1.  Thoth  des  ägyptischen  Wandeljahres 


Anhang.  427 

(s.  die  Ärentafel  im  Hdb.  d.  klass.  Altertumsw.,  hgg.  von  Iwan 
Müller,  I.Bd.  S.  655 ff)  auf  dem  3.  Oktober.  Mithin  fallen  die 
5  Zusatztage  des  vorangehenden  Wandeljahres  auf  den  28  Sep- 
tember bis  2.  Oktober,  der  30.  Mesore  auf  den  27.  September. 

Für  das  Jahr  32.  III  Kall.  (S.  135)  ergibt  die  Differenz  331  - 
184  als  Anfangsjahr  147  v.  Chr.  Folglich  fällt  der  März  in  das 
Jahr  146.  Nun  ist  der  27.  Mechir  der  177te  Tag  des  mit  dem 
29.  September  147  beginnenden  ägyptischen  Jahres,  fällt  also  auf 
den  24.  März  des  Jahres  146  v.  Chr. 

21)  S. 135. 136.  Der  Grund  dieser  Erscheinung  ist  in  der  empor- 
hebenden Wirkung  der  Refraktion  zu  suchen,  welche  den  Alten 
unbekannt  war.  Sie  beträgt  im  Horizont  33  Bogenminuten,  d.  i. 
einen  Sonnendurchmesser,  und  verschwindet  in  größerer  Höhe 
völlig.  Ging  die  Sonne  unmittelbar  vor  der  Frühlingsnachtgleiche 
mit  einer  geringen  südlichen  Deklination  auf,  so  erschien  sie  dem 
Beobachter  bei  oder  kurz  nach  dem  Aufgang  bereits  im  Äquator. 
Der  Ring  zeigte  demnach  den  beiderseits  von  einem  gleichbreiten 
Lichtstreifen  umrahmten  Kernschatten.  Erhob  sich  die  Sonne 
höher  über  den  Horizont,  so  machte  sich  infolge  der  Abnahme  der 
Refraktion  die  südliche  Deklination  bemerklich :  die  Beschattung 
verschwand  wieder.  Bald  darauf  trat  aber  die  Sonne  wirklich  in 
den  Äquator:  die  signifikante  Belichtung  der  konkaven  Ringhälfte 
erschien  wieder.  So  wurde  es  möglich,  daß  der  Ring  an  demselben 
Tage  zweimal  hintereinander  das  Äquinoktium  anzeigte. 

Die  Erklärung  der  zweimaligen  Belichtung,  welche  sich  (S. 
136,10)  Ptolemäus  in  Ermangelung  der  einzig  richtigen  aus  der 
Altersschwäche  der  Ringe  zurechtlegt,  ist  natürlich  unzureichend. 
Es  konnte  wohl  durch  eine  geringe  Veränderung  der  Lage  eines 
Ringes  die  Feststellung  eines  verfrühten  oder  verspäteten 
Eintritts  der  Nachtgleiche  verursacht  werden,  aber  wie  aus  der 
fehlerhaften  Lage  eines  Ringes  die  zweimalige  Belichtung  der 
konkaven  Fläche  zustande  gekommen  sein  soll,  ist  unerfindlich; 
denn  für  die  wenigen  Stunden,  welche  am  Beobachtungstag  in 
Betracht  kommen,  dürfte  wohl  auch  ein  falsch  eingestellter  Ring 
seine  Lage  dauernd  beibehalten  haben. 

22)  S.  135.  Liegt  der  Frühlingspunkt  des  Instruments  infolge 
fehlerhafter  Gradteilung  oder  Aufstellung  um  den  Betrag  von 
0"6'  z.B.  südlich  des  himmlischen  Äquators,  so  wird  die  Sonne 
auf  dem  schiefen  Kreise,  nachdem  sie  in  den  Äquator  des  Instru- 
ments getreten  ist,  noch  den  letzten  Viertelgrad  der  Fische  zurück- 
zulegen haben,  ehe  sie  den  wirklichen  Frühlingspunkt  erreicht. 
Da  nämlich  nach  der  Tabelle  der  Schiefe  am  Anfang  des  30*^» 
Grades  der  Fische  die  südliche  Deklination  noch  0°24'  beträgt,  so 
entfällt  auf  den  letzten  Viertelgrad  dieses  Zeichens  ein  südlicher 
Abstand  von  6  Minuten,  was  genau  der  Betrag  des  Fehlers  ist.  Setzt 
man  die  tägliche  Bewegung  der  Sonne  in  Länge  mit  rund  l^an. 


428  Anhang. 

so  wird  sie  diesen  letzten  Yiertelgrad  vor  dem  Frühlingspunkt 
in  einem  Vierteltag  zurücklegen  und  erst  hiermit  in  den  himm- 
lischen Äquator  treten.  Nun  muß  sich  aber  der  Beobachter  den 
Zeitpunkt  notiert  haben,  zu  welchem  die  Sonne  in  den  Äquator 
seines  Instruments  getreten  ist;  somit  hat  er  die  Beobachtung 
6  Stunden  zu  früh  für  beendigt  gehalten  und  wird  bei  dem  Ver- 
gleich mit  einer  vorjährigen  genauen  Beobachtung  der  Gleiche 
die  Wahrnehmung  machen,  daß  ihm  der  über  365  Tage  über- 
schießende Vierteltag  fehlt. 

23)  S.  167  zweimal.  Infolge  dieser  irrtümlichen  Annahme  des 
Ptolemäus  blieb  die  Entdeckung  der  Bewegung  der  Apsidenlinie 
der  Sonnenbahn  780  Jahre  später  dem  großen  Astronomen  der 
Araber  Albatenius  (f  928  n.  Chr.)  vorbehalten.  Er  beobachtete 
das  Apogeum  in  TT22*'und  schloß  aus  der  DiflFerenz  seit  Ptolemäus 
auf  eine  in  der  Richtung  der  Zeichen  vor  sich  gehende  langsame 
Änderung  des  Apogeums,  welche  scheinbar  vergrößert  wird  durch 
die  rückläufige  Bewegung  des  Frühlingspunktes.  Es  ist  begreif- 
lich, daß  dieses  Vorrücken  des  Apogeums  einen  Einfluß  auf  die 
Dauer  der  astronomischen  Jahreszeiten  haben  muß.  Je  näher  das 
Apogeum  (im  Sinne  der  Alten)  dem  Sommerwendepunkt  {S  0^) 
kommt,  um  so  mehr  muß  die  Dauer  des  astronomischen  Frühlings 
(zuHipparchs  Zeit  94 y2*)  verkürzt  und  die  Dauer  des  astrono- 
mischen Sommers  (zuHipparchs  Zeit92y2^)  verlängert  werden, 
bis  bei  der  Lage  des  Apogeums  im  Wendepunkt  selbst  (1250 
n.  Chr.)  die  völlige  Gleichheit  der  Dauer  beider  Jahreszeiten 
eintrat.  Rechnet  man  mit  dem  heutzutage  feststehenden  Werte  der 
säkularen  Bewegung  des  Apogeums  von  1^71,  welcher  sich  aus 
0®,  32  der  eigenen  Änderung  und  aus  1°,  39  der  rückläufigen  Be- 
wegung des  Frühlingspunktes  zusammensetzt,  so  war  das  Apo- 
geum in  den  rund  2,85  Jahrhunderten  (S.  142, 14;  143,  i  handelt 
es  sich  um  ägyptische  Jahre),  welche  Ptolemäus  später  als 
Hipparch  beobachtete,  l^  71x2,85 =4",  87  oder  4° 52'  in  der  Rich- 
tung der  Zeichen  vorgerückt  und  lag  demgemäß  in  TT  10^22'.  Der 
Veränderung  des  Verhältnisses  94%  :  92%  entsprechend  mußte 
Ptolemäus  daher  den  Z.ZEE  (S.  170,14)  mit  höchstens  20*^  statt 
24*30'  ableiten.  Daß  ihm  eine  so  bedeutende  Differenz  in  der  Lage 
desApogeumsunerkanntbleibenkonnte,wirftauf  sein  Beobachter- 
talent kein  sehr  günstiges  Licht.  Zweifelhaft  kann  allerdings  er- 
scheinen, ob  er  die  Sommerwende  überhaupt  beobachtethat.  Von 
Beobachtung  ist  nur  einmal  (S.  144,12)  die  Rede,  während  er  an  drei 
anderen  Stellen  (S.  143,19.  2.5;  167,22)  dieselbe  „genau  berechnet" 
zu  haben  versichert.  Nun  mußte  aber  seine  Berechnung,  er  mochte 
sie  anstellen,  wie  er  wollte,  sich  auf  die  Anomalietabelle  der  Sonne 
stützen,  deren  Werte  auf  der  Annahme  des  Apogeums  in  TT 5® 30' 
beruhen.  Es  kam  also  hier  lediglich  auf  eine  genaue  Beobachtung 
an.    Daß  es  aber  an  einer  solchen  gefehlt  hat,  scheint  auch  aus 


Anhang. 


429 


dem  mit  Stillschweigen  übergangenen  umstand  hervorzugehen, 
daß  die  Zwischenzeit  zwischen  Frühlingsnachtgleiche  und  Sommer- 
wende nicht,  wie  infolge  des  Yorrückens  des  Apogeums  zu  er- 
warten steht,  um  einenmerklichen Betrag  kürzer  als 9472 Tage  S^~ 
funden  wird,  sondern  (s  S.  168  Anm.)  um  eine  volle  Stunde  länger. 
24)  S.  182. 185.    Zwischen  Apogeum  und  Perigeum  muß  der 


ApogeuTti 


scheinbare  {seh)  oder  genaue 
Ort  der  Sonne  hinter  dem  mitt- 
leren Ort  (m)  zurückliegen,  weil 
auf  diesem  Halbkreis  die  un- 
gleichförmige oder  scheinbare 
Bewegung  der  Sonne  kleiner 
ist  als  die  gleichförmige  oder 
mittlere.  Will  man  also  aus  dem 
nach  den  Tafeln  errechneten 
mittleren  Ort  den  scheinbaren 
finden,  so  muß  Abzug  {cKpaiqs- 
6i<s)  der  Anomaliedifferenz  vor-  , 

genommen  werden.  Umgekehrt  rengeum 

bedarf  es  zwischen  Perigeum  und  Apogeum,  weil  auf  diesem 
Halbkreis  die  scheinbare  Bewegung  größer  ist  als  die  mittlere, 
zur  Gewinnung  des  scheinbaren  Ortes  aus  dem  mittleren  des  Zu- 
satzes {7tq66^&(Sl<i). 

Soll  aber  der  mittlere  Ort  aus  dem  durch  die  Beobachtung  ge- 
gebenen scheinbaren  Orte  gewonnen  werden,  so  tritt  natürlich 
umgekehrt  zwischen  Apogeum  und  Perigeum  der  Zusatz,  und 
zwischen  Perigeum  und  Apogeum  der  Abzug  ein. 

25)  S.  184.  Die  Zwischenzeit  von  879  ägyptischen  Jahren,  66  Ta- 
gen und  2  Äquinoktialstunden  ist  in  einzelne  Abschnitte  zu  zer- 
legen, wie  sie  nach  der  Einrichtung  der  Tafeln  geboten  werden. 
Hierauf  notiert  man  die  den  betreffenden  Abschnitten  beigesetzten 
Gradbeträge  und  erhält  aus  der  Summe  nach  Abzug  ganzer  Kreise 
die  Anzahl  der  Grade,  welche  die  Sonne  in  dem  Zeitraum,  um 
welchen  es  sich  handelt,  in  mittlerer  Bewegung  zurückgelegt 
hat.  Die  einzelnen  Posten,  welche  man  im  vorliegenden  Fall  zu 
summieren  hat,  sind  folgfende: 


810  ägyptische  Jahre: 

163« 

4' 

12" 

54            „                „     : 

346 

52 

16 

16            „                „     : 

356 

21 

11 

60  Tage: 

59 

8 

17 

6      „     : 

5 

54 

49 

2  Stunden: 

0 

4 

55 

931» 

25' 

40" 

2  volle  Kreise 

720» 

— 

— 

Überschuß 

211" 

25' 

40". 

430  Anhang. 

26)  S.  191.  228.  Es  sollen  in  dem  Intervall  l^lST^ö^»,  welches 
zwischen  der  Mondfinsternis  am  20.0ktoberl34  n.Chr.  ll^abends 
bis  zu  der  Mondfinsternis  am  6.  März  136  4^  früh  liegt,  die  über 
das  Jahr  überschießenden  bürgerlichen  Tage  in  gleichförmige 
Sonnentage  umgerechnet  werden,  d.  h.  es  soll  die  Difi'erenz  be- 
rechnet werden,  um  welche  die  in  der  Ekliptik  sich  ungleichförmig 
bewegende  wahre  Sonne  in  dieser  Zwischenzeit  einer  im  Äquator 
sich  gleichförmig  bewegenden  mittleren  Sonne  vorausgeeilt  oder 
hinter  ihr  zurückgeblieben  ist.  Die  moderne  Astronomie  bezeich- 
net diese  Aufgabe  als  die  Anbringung  der  Zeitgleichung. 

Nach  Verlauf  eines  Jahres  von  365*^6^,  d.  i.  am  20.  Oktober 
135  n.  Chr.  nachm.  6^,  war  der  mittlere  Ort  der  Sonne  wieder 
derselbe,  d.i.  (s.  Anm.  31)  sl  26°41'.  Da  nun  in  weiteren  5«* bis 
11*»  abends  selbigen  Datums  die  Sonne  0^12'  zurücklegt,  so  war 
zu  dieser  Stunde 

mittlerer  Ort  der  Sonne  :rL  26''53' 

Betrag  der  Anomaliedifferenz       —    1*'33' 
mithin  genauer  Ort  ^  25"20'. 

Es  war  aber  von  dieser  Stunde  ab  nach  137  Tagen  und  5  Stun- 
den, d  i.  am  6.  März  136  (Schaltjahr)  4^  früh  (s.  Anm.  31) 
mittlerer  Ort  der  Sonne  X  11*42' 

Betrag  der  Anomaliedifferenz      -f    2''21' 
mithin  genauer  Ort  X  14"  3'. 

Es  beträgt  folglich 
das  gleichförmige  Intervall  von  sl  26®  53'  bis  x  11  "42'    134*49' 
das  ungleichförmige     „  „     ^a  25^20' bis  X  14**  3'    138"43'. 

Mit  diesem  Intervall  von  138°43'  der  Ekliptik  gehen  nach  der 
Tafel  für  Sphaera  recta  (S.  94)  143"  des  Äquators  durch  den  Me- 
ridian. Die  Differenz  zwischen  diesen  Graden  und  dem  gleich- 
förmigen Intervall  von  (rund)  135"  der  Ekliptik  beträgt  8"  oder 
32  Minuten,  welche  Ptolemäus  mit  Va  Stunde  in  Rechnung  bringt. 
In  dem  gegebenen  Intervall  von  137  Tagen  und  5  Stunden,  welches 
in  der  Erdnähe  verläuft,  ist  also  die  wahre  Sonne  der  gleich- 
förmigen um  eine  halbe  Stunde  vorangeeilt;  folglich  muß  zur  Be- 
stimmung der  wahren  Sonnenzeit  am  Ende  des  Intervalls  eine 
halbe  Stunde  hinzu  gefügt  werden.  Dieser  Zusatz  ist  notwendig 
für  die  nunmehr  (S.  229, i)  sich  anschließende  Berechnung  der 
Laufstrecke,  welche  der  Mond  in  der  gegebenen  Zwischenzeit  von 
dem  der  Sonne  diametral  gegenübergelegenen  Orte  bis  zu  dem 
wieder  diametral  gegenüberliegenden,  d.  h.  bis  zum  Eintritt  der 
genauen  VoUmöndsyzygie  zurückgelegt  hat.  Er  würde  ohne  diesen 
Zusatz  zu  der  bürgerlichen  Zeit  am  6.  März  4^  früh  in  Länge  noch 
16' 28"  zurücksein;  denn  so  viel  beträgt  seine  mittlere  Bewegung 
in  einer  halben  Stunde. 


Anhang.  431 

27)  S.  219.  Daß  die  Ägypter  den  Tag  mit  Sonnenaufgang  an- 
fingen, steht  allgemein  fest  (Ideler,  Chron.  I,  S.  lOOf.;  Lepsius, 
Chron.  der  Ägypter  I,  S  130;  Ginzel,  Chron.  I,  S.  161).  Diese  De- 
finition des  ägyptischen  Tages  muß  vorausgesetzt  werden  zur 
richtigen  Beurteilung  des  astronomischen  Tages,  welcher 
von  Mittag  zu  Mittag  gerechnet  wird  und  deshalb  durch  eindoppel- 
tägiges  Datum  zu  bezeichnen  ist  (©cb^  xd''  slg  rr\v  X').  Diese 
doppeltägigen  Daten  wendet  Ptolemäus  überall  da  an,  wo  es  sich 
auf  Grund  einer  längeren  oder  kürzeren  Zwischenzeit  um  Berech- 
nungen nach  den  Sonnen-  und  den  Mondtafeln  handelt,  weil 
diesen  Tafeln  als  Epoche,  d.  i.  als  Ausgangspunkt  der  Berechnung, 
der  Mittag  des  1.  Thoth  des  ersten  Regierungsjahres  des  Nabo- 
nassar  zugrunde  gelegt  ist.  Der  astronomische  Tag  umfaßt  also 
vom  ersten  Datum  die  6  bürgerlichen  Tagstunden  von  Mittag 
bis  Sonnenuntergang  und  die  12  bürgerlichen  Nachtstunden  bis 
Sonnenaufgang,  vom  zweiten  Datum  dagegen  nur  die  6  bürger- 
lichen Tagstunden  von  Sonnenaufgang  bis  Mittag.  Daß  die  beiden 
Daten  nicht  wie  bei  dem  modernen  astronomischen  Doppeltag 
durch  die  Mitternachtstunde  geschieden  werden,  ist  von 
Böckh  (Sonnenkreise  der  Alten,  S.  303  f.)  eingehend  nachgewiesen 
worden.  Ein  besonders  deutliches  Beispiel  hierfür  liefert  die 
Setzung  der  Sommerwende  (S.  144,1;  167,8o)  auf  den  11.  Mesore 
ungefähr  2  Stunden  „nach  der  Mittemacht  auf  den  12*«'*".  Diese 
ausdrückliche  Setzung  der  Wende  auf  den  11  *«'>,  obgleich  sie  n  ach 
Mittemacht  eintrat,  läßt  keinen  Zweifel  aufkommen,  daß  Mitter- 
nacht nicht  die  (jrenzscheide  zwischen  den  beiden  Daten  ist. 
Die  ähnliche  Bestimmung  mit  Beziehung  auf  die  Mitternacht  liegt 
bei  einer  von  Hipparch  beobachteten  Frühlingsnachtgleiche  (S. 
135,13)  vor.  Sonst  wird  bei  reinen  Beobachtungen,  d  i.  bei  sol- 
chen, mit  denen  keinerlei  Berechnung  des  Sonnenortes  nach  den 
Tafeln  verbunden  ist,  in  der  Regel  das  eintägige  Datum  gesetzt, 
wie  bei  Angaben  von  Nachtgleichen  und  Wenden  oder  Mondbe- 
obachtungen (S.  134f.;  265,9;  266,6).  Zweideutig  könnte  die  An- 
setzung  einer  Beobachtung  durch  das  einfache  Datum  nur  dann 
werden,  wenn  sie  in  die  Morgendämmerung  fällt,  weil  der 
ägyptische  Tag  beiderseits  von  einer  Morgendämmerung  be- 
grenzt wird.  Somit  könnte  es  für  Planetenbeobachtungen, 
welche  kurz  vor  Sonnenaufgang  angestellt  werden,  bei  Anwendung 
des  eintägigen  Datums  zweifelhaft  sein,  in  welche  der  beiden 
Morgendämmerungen  sie  fallen.  Da  nun  Planetenbeobachtungen 
stets  mit  einer  Berechnung  des  jeweiligen  Sonnenortes  verbunden 
sind,  so  wird  zur  Bestimmung  ihrer  Zeit  in  der  Regel  der  astro- 
nomische Doppeltao  angewendet,  welcher  keiüen  Zweifel  darüber 
läßt,  daß  die  Beobachtung  in  die  Morgendämmerung  des  zweiten 
Datums  fällt.  Hieraus  ist  zu  schließen,  daß  die  Zeit  deiMorgen* 
dämmerung  grundsätzlich  zum  Anfang  des  beginnenden,  nicht 


432  Anhang. 

zum  Ende  des  verflossenen  Tages  gerechnet  wird.  Wird  ausnahms- 
weise das  eintägige  Datum  gebraucht,  so  kann,  wenn  es  sich  um 
eine  Abendbeobachtung  handelt  (wie  Hei  P  S.  270,21;  273,17;  274,i), 
überhaupt  kein  Zweifel  sein,  während  die  Zugehörigkeit  einer 
Morgenbeobachtung  so  deutlich  ausgedrückt  wird  (wie  z.B.  HeiP 
S.  275,12:  MsöOQT}  sig  tr]v  %d'  oqQ'qov)^  daß  jede  Beziehung  auf  den 
vorhergehenden  Tag  ausgeschlossen  ist.  Daß  aber  schon  das  ein- 
fache Datum  (Hei  P  S.  273,23: 19.  Epiphi)  unzweideutig  die  diesen 
Tag  beginnende  Morgendämmerung  angibt,  beweist  die  ander- 
weitige Bezeichnung  derselben  Beobachtung  (Hei  P  S.  262, 21: 
18/19.  Epiphi  früh)  durch  den  Doppeltag.  Noch  deutlichergeht 
dies  aus  einer  auf  den  18/19.  Thoth  datierten  Beobachtung  des 
Merkur  (Hei  P  S.  288, 11)  hervor,  bei  welcher  „die  mittlere  Sonne 
am  19.  Thoth  in  der  Morgendämmerung  in  n|  20*^50'  stand". 

28)  S.  219.  220.  250.  Zur  Berechnung  der  Dauer  einer  Finster- 
nis bietet  die  vierte  Spalte  der  Mondfinsternistabellen  in  Grad- 
teilen die  Laufstrecke,  welche  der  Mond  während  der  Phase  des 
Eintritts,  und  die  fünfte  Spalte  die  Laufstrecke,  welche  er  bis  zur 
Hälfte  der  Totalität  zurücklegt.  Durch  Umrechnung  dieser 
Laufstrecken  in  Zeit,  d.  h.  in  die  Zeit,  welche  der  Mond  bei  un- 
gleichförmiger Bewegung  braucht,  um  diese  Strecke  zurückzu- 
legen, erhält  man  demnach  die  halbe  Dauer  der  Finsternis. 
Für  die  halbe  Dauer  einer  zentralen  Mondfinsternis  geben  diese 
Tabellen  (S.  390)  folgende  Laufstrecken: 

bei  der  kleinsten  Entfernung    35'20"  -f  28' 6"  =  63'  26" 

bei  der  größten  „  31 '  20"  -f  25'  4"  =  56'  24" 

die  Diiferenz  beträgt      4'    0" -f    3' 2"=    7'   2". 

A.  Dauer  der  ersten  (zentralen)  Finsternis  (S.  219).  Da  die 
Entfernung  des  Mondes  von  dem  Apogeum  des  Epizykels  bei  der 
zweiten  Finsternis  (in Punkt  B  Fig.  S.  222)  den  Bogen  AB  =  12^24' 
(S.  227,24)  betrug,  so  hat  man  zu  diesem  Bogen,  um  die  Entfernung 
bei  der  ersten  Finsternis  (in  Punkt  A)  zu  erhalten,  den  Bogen 
BA  =  53*35'  (S.  222,17)  zu  addieren.  Mithin  stand  der  Mond  66'* 
vom  Apogeum  des  Epizykels  entfernt.  Für  diese  Anomaliezahl 
gibt  die  Korrektionstabelle  (S.  391)  ^Yg^  der  oben  mit  7' 2"  fest- 
gestellten Differenz.  Die  für  die  vorliegende  Erdentfernung 
anzusetzende  Finsternislaufstrecke  findet  man  dadurch,  daß  man 

17  •  7'  2" 
diese —  =  2' zu  der  kleineren  der  oben  festgestellten  Sum- 
men addiert,  was  58' 24"  gibt,  wozu  y^g  =  4' 52"  für  die  Weiter- 
bewegung des  Schattenzentrums  während  der  halben  Dauer  zu 
rechnen  ist.  Auf  die  stündliche  ungleichförmige  Bewegung  des 
Mondes  entfallen  (Anm.  43  a.  E.)  bei  66°  Anomalie  31' 40''.  Er 
legt  also  in  zwei  Stunden  bei  einer  Bewegung  von  63' 20"  über 
die  Strecke  58' 24" -f  4' 62"  =  63'  16"  noch  4"  zurück,  so  daß  er 


Anhang.  433 

in  dieser  Zeit  die  halbe  Dauer  schon  um  knapp  8»  überschritten 
haben  wird.  Da  dies  für  die  ganze  Dauer  nur  ein  Minus  von  etwa 
15«  an  4  Stunden  ausmacht,  so  ist  der  Ansatz  der  ganzen  Dauer 
dieser  zentralen  Finsternis  in  der  vorliegenden  Entternung  mit 
4  Stunden  (von  7^  30™  bis  11^  30'")  als  zutreffend  zu  bezeichnen. 
Eine  nahezu  zentrale  Finsternis  in  Erdnähe,  deren  ganze 
Dauer  (S.  250)  mit  „ungefähr  4  Äquinoktialstunden"  angegeben 
wird,  muß  natürlich  infolge  der  schnelleren  Bewegung  des  Mondes 
hinter  der  Zeit  von  4  Stunden  etwas  zurückbleiben  Bei  der  stünd- 
lichen Bewegung  von  36' 12"  in  Erdnähe  (s.  Anm  43)  wird  der 
Mond  über  die  (63' 26" -f  5'  17"  =)  68'  43"  betragende  Strecke  der 
halben  Dauer  bei  Zurücklegung  von  72' 24"  in  2  Stunden  schon 
3' 41"  hinaus  sein,  folglich  in  weiteren  2  Stunden  den  Rand  des 
Kernschattens  7'  22"  hinter  sich  haben,  d.  h.  der  Austritt  aus  dem 
Schatten  wird  schon  12"  28«  vor  Ablauf  von  4  Stunden  erfolgt  sein. 
Dagegen  wird  in  Erdferne  der  Mond  bei  der  stündlichen  Be- 
wegung von  30' 12"  (Anm.  43)  von  der  (56' 24"  -f  4' 44"  =)  61'8" 
betragenden  Strecke  der  halben  Dauer  bei  Zurücklegung  von 
60' 24"  in  2  Stunden  noch  44"  bis  zur  Mitte  der  Finsternis  zu 
durchlaufen  haben,  was  1^28'' ausmacht,  folglich  nach  weiteren 
2  Stunden  noch  2™ 56«  brauchen,  um  den  völligen  Austritt  aus 
dem  Schatten  zu  bewerkstelligen. 

B.  Dauer  der  (partialem  dritten  Finsternis  (S  220\  Die 
Größe  mag,  weil  über  die  Hälfte,  7  Zoll  betragen  haben.  Für  die 
halbe  Dauer  einer  solchen  Finsternis  geben  die  beiden  Finsternis- 
tabellen des  Mondes  als  Laufstrecken 

bei  der  kleinsten  Entfernung     46' 53" 
bei  der  größten  „  41' 34" 

die  Differenz  beträgt  5' 19". 

Die  Entfernung  des  Mondes  vom  Apogeum  des  Epizykels  war 
bei  der  dritten  Finsternis  (in  Punkt  f)  um  den  Bogen  AP  =  96^51' 
(S.  222,20)  größer  als  bei  der  ersten  (i.i  Punkt  A),  betrug  demnach 
66»  -f  96051'  =  162051'.  Für  diese  Anomaliezahl  gibt  die  Korrek- 
tionstabelle'^Veoi  so  daß.für  die  vorliegende  Erdentfernung  die  Fin- 
sternislaufstrecke unter  Zuschlag  von — =  5' 2"  zu  4l'  34" 

mit  46'36"  anzusetzen  ist,  wozu  y,2  =  3'53"  für  die  Weiterbe- 
wegung des  Schattenzentrums  zu  rechnen  ist,  während  die  un- 
gleichförmige Bewegung  des  Mondes  bei  dieser  Entfernung  in 
Länge  35'ö0"  beträgt.  Legt  der  Mond  also  von  der  Strecke 
(46'36"-|-3'53"=)50'30"ineinerStunde;^5'50"  zurück,  so  wird 
er  den  Rest  von  14' 40"  in  24  Vg™  zurücklegen.  Die  ganze  Dauer 
einer  siebenzöllig-n  Finsternis  wird  demnach  in  der  vorliegenden 
Entfernung  2  Stunden  und  49  Minuten  betragen,  so  daß  die  Angabe 
mit  „nahezu  3  Stunden"  etwas  reichlich  bemessen  erscheint. 

Ptolemäus.  übers,  v.  Manitius.   I.  28 


434  Anhang. 

29)  S.  220  dreimal.  Will  man  die  Örter,  welche  die  Sonne  zur 
Zeit  der  Mitte  der  drei  Finsternisse  eingenommen  hat,  durch  Be- 
rechnung nach  den  Sonnentafeln  nachprüfen,  so  hat  man  zunächst 
für  jede  Finsternis  den  seit  der  Epoche  bis  zur  Mitte  verflossenen 
Zeitraum  in  ägyptischen  Jahren,  Tagen  und  Äquinoktialstunden 
nach  der  genauen  Rechnung  mit  gleichförmigen  Sonnentagen 
festzustellen.  Angegeben  wird  dieser  Zeitraum  (S.  236,i0;  242,19) 
nur  für  die  zweite  Finsternis  nach  genauer  Rechnung,  wonach 
sich  auch  für  die  beiden  anderen  die  seit  der  Epoche  verstrichene 
Zeit  gleichfalls  nach  genauer  Rechnung  bestimmen  läßt. 

Seit  dem  Mittag  des  1.  Thoth  des  ersten  Jahres  Nabonassars 
sind  verflossen 

1.  bis  zur  Mitte  der  ersten  Finsternis,  d.  i.  bis  zum  29.  Thoth 
8^40*"  abends  im  ersten  Jahre  des  Mardokempad,  welches  das 
27*«  Jahr  seit  Nabonassar  ist:  26*  28^  und  8'^40'^  schlechthin,  aber 
nur  8^36™  nach  genauer  Rechnung,  wenn  man  das  von  da  ab  bis 
zur  zweiten  Finsternis  verstrichene  Intervall  von  354*  2^'  34"^  (S.  221) 
von  dem  genauen  Zeitpunkt  der  zweiten  Finsternis  subtrahiert; 

2.  bis  zur  Mitte  der  zweiten  Finsternis,  d.  i.  bis  zum  18.  Thoth 
11*»10™  abends  im  zweiten  Jahre  des  Mardokempad,  welches 
das28*«  Jahr  seit  Nabonassar  ist:  27*  17*^11'^  10»"  sowohl  schlecht- 
hin wie  nach  genauer  Rechnuog; 

3.  bis  zur  Mitte  der  dritten  Finsternis,  d.  i.  bis  zum  15.  Pha- 
menoth  7^*40™  abends  in  demselben  Jahre  des  Mardokempad:  27* 
194<i  und  7*» 40°*  schlechthin,  aber  nur  7^' 22"^  nach  genauer  Rech- 
nung, wenn  man  das  seit  der  zweiten  Finsternis  verstrichene 
Intervall  von  176*^20^12"^  (S.  221)  zu  dem  genauen  Zeitpunkt  der 
zweiten  Finsternis  addiert. 

Für  die  nach  der  Einrichtung  der  Sonnentafeln  gebotenen  Zeit- 
abschnitte dieser  Zwischenzeiten  (vgl.  Anm.  25)  hat  man  folgende 
Gradbeträge  den  Tafeln  zu  entnehmen,  ihrer  Summe  (nach  S.  185,5) 
zur  Bestimmung  der  Entfernung  der  Sonne  vom  derzeitigen  Apo- 
geum  265015'  hinzuzufügen  und  vom  Ergebnis  ganze  Kreise  ab- 
zuziehen: 


18*   3550  37' 25" 

18* 

3550  37' 25" 

18*   3550  37' 25' 

8*    35S     3  18 

9» 

357  48  42 

9*   357  48  42 

28*      27  35  52 

17* 

16  45  20 

180*   177  24  51 

8^^            19  42 

11h 

27     6 

14*      13  47  56 

y^h              1  27 

1/  h 

/6 

24 

7300 38' 57" 

7'y,o^            18     9 

741037'44" 

904057'    3' 

2650  15' 

2650  15' 

2650  15' 

10060  52' 44" 

9950  53' 57" 

1170012'    3' 

7200 

7200 

10800 

2860 52 '44" 

2750  53' 57" 

900  12'    3' 

Anhang.  435 

Um  aus  diesen  Endzahlen,  welche  die  Entfernung  der  Sonne 
von  dem  Apogeum  TT  ö^'SO'  angeben,  den  mittleren  Ort  der 
Sonne  nach  Ekliptikzeichen  zu  finden,  addieren  wir  zu  jeder  dieser 
Entfernungszahlen  noch  die  ersten  b^SO'  der  Zwillinge,  um  von 
der  Summe  ganze  Zeichen  zu  30"  abziehen  zu  können,  wodurch 
wir  als  Rest  die  Grade  des  gesuchten  Zeichens  erhalten.  Um 
dann  weiter  den  genauen  Ort  zu  finden,  gehen  wir  mit  der  vor- 
stehend festgestellten  Entfernung  vom  Apogeum  in  die  Tabelle 
der  Anomalie  der  Sonne  (S.  182)  ein  und  addieren  den  gefun- 
denen Betrag  (vgl.  Anm.  24)  in  den  beiden  ersten  Fällen,  weil  der 
Ort  der  Sonne  zwischen  Perigeum  und  Apogeum  liegt,  subtra- 
hieren ihn  aber  im  dritten  Fall,  weil  der  Ort  zwischen  Apogeum 
imd  Perigeum  liegt.  Die  weitere  Rechnung  gestaltet  sich  dem- 
nach folgendermaßen: 

Entfernung  vom  Apogeum    286"  52'         27ö0  54'         90»  12' 
Grade  der  Zwillinge  ö»  30'  5»  30'  5«»  30' 

292ÖW         281°  24'         95"  42' 
Ganze  Zeichen  270«  270®  90"^ 

Mittlerer  Ort  x'22^W      X  11" 24'       g-5"42' 

Anomalie  -f2<'14'       +    2*^21'      —  2»  23' 

Genauer  Ort  X  24^36'      X  13^45''      nfdMV. 

30)  S.  228.  Zur  Nachprüfung  der  Sonnenörter  der  drei  Finster- 
nisse unter  Hadrian  ist  zunächst  wieder  für  jede  die  seit  der 
Epoche  verflossene  Zeit  nach  der  genauen  Rechnung  mit  gleich- 
förmigen Sonnentagen  festzustellen. 

Seit  dem  Mittag  des  1,  Thoth  des  ersten  Jahres  Nabonassars 
sind  verflossen 

1.  bis  zur  Mitte  der  ersten  Finsternis,  d.i.  bis  zum  20/21. Payni 
11*»  15'"  abends  im  17^«"^  Jahre  Hadrians,  welches  das  880*«  seit 
Nabonassar  ist:  87b»289'ill^l5'°  schlechthin; 

2,  bis  zur  Mitte  der  zweiten  Finsternis,  d.i.bis  zum  2/3.  Choiak 
ll'*  abends  im  19*^«="  Jahre  Hadrians,  welches  das  882*«  seit 
Nabonassar  ist:  881»91^11i'  schlechthin; 

3.  bis  zur  Mitte  der  dritten  Finsternis,  d.i.  bis  zum  19/20.  Phar- 
muthi  4'^  früh  im  20*«'^  Jahre  Hadrians,  welches  das  883*«  seit 
Nabonassar  ist:  882*228^16'»  schlechthin. 

Zur  Bestimmung  der  nach  genauer  Rechnung  seit  der  Epoche 
verflossenen  Zeit  gibt  Ptolemäus  (S.  235,4)  einen  Anhalt  durch 
Angabe  des  genauen  Intervalls  von  854*  73^23^20"»  zwischen  der 
Finsternis  im  zweiten  Jahre  des  Mardokempad  und  der  zweiten 
Finsternis  im  19*«°  Jahre  Hadrians.  Addiert  man  dazu  das  eben- 
falls genaue  Intervall  von  27*  1 7*^  1 1^  10™  seit  der  Epoche  (s.  Anm.  29) 
so  erhält  man  für  die  zweite  Finsternis  881*91^10^30™  nach  ge- 
nauer Rechnung,  mithin  %  Stunde  Differenz. 

28* 


436  Anhang. 

Indem  man  die  S.  229  gegebenen  Intervalle  einerseits  hiervon 
subtrahiert,  anderseits  dazu  addiert,  erhält  man  für  die  erste  und 
die  dritte  Finsternis 

881''    91*10^30«°  881»    91^101» 30«« 

1»  166*231*37 Vg"'  l»137d  b^Su'^ 

879*289*10^5272-"         882*228*16'*   0™. 

Somit  ist  die  Mitte  der  ersten  Finsternis  nach  genauer  Rech- 
nung 22  '2""  früher  eingetreten,  während  für  die  Mitte  der  dritten 
der  Zeitpunkt  derselbe  bleibt. 

Da  das  20*^  Jahr  Hadrians  das  883*«  seit  Nabonassar  ist,  so  er- 
gibt sich  das  21*«  als  das  884*%  mithin  das  erste  als  das  863**'. 
Diesen  Zahlen  genau  entsprechend  werden  in  dem  Ptolemäischen 
Kanon  der  Regenten  dem  Hadrian  21  Jahre  vom  8153*«"*  bis 
zum  884*«'*  Jahre  seit  Nabonassar  zugeschrieben,  und  dem  Antonin 
weitere  23  bis  zum  907*«**  Jahre.  Nach  dem  ägyptischen  Wandel- 
jahre (Ginzel,  Chron.  I S.  139)  regiert  diesen  Angaben  entsprechend 
Hadrian:  25.  Juli  116— 19.  Juli  137  n.Chr., 
Antonin :  20.  Juli  137—13.  Juli  160  n.  Chr. 

In  diesen  Ansätzen  liegt  ein  scheinbarer  chronologischer  Zwie- 
spalt gegen  den  üblichen  Ansatz  der  Regierungszeit  beider  Kaiser 
nach  der  christlichen  Zeitrechnung: 

Hadrian:  11.  August  117  —  10.  Juli  138  n.Chr., 
Antonin:  11.  Juli  138— 6.  März  161  n.  Chr. 

Daß  Ptolemäus  dem  Hadrian  bereits  das  Jahr  116  zuschreibt, 
erklärt  Ideler  (Chron.  1  S.  113)  damit,  daß  Hadrian  nach  Erlangung 
der  tribunicia  poteatas  vom  Jahre  116  ab  als  der  Mitregent  des 
Trajan  angesehen  worden  sei,  und  daß  nach  einer  auch  sonst  be- 
folgten Regel  des  Kanon  die  gemeinsamen  Regierungsjahre 
dem  späteren  Regenten  zugeschrieben  würden.  Nun  erwächst 
aber  dem  Hadrian  über  den  19.  Juli  137  hinaus  bis  zu  seinem 
Tode  am  10.  Juli  138  ein  22*««  Regierungsjahr;  allein  da  in  dieses 
Jahr  noch  9  Regierungstage  des  Antonin  fallen,  so  mußte  dieses 
22*«  Jahr  des  Hadrian  dem  Antonin  als  erstes  Jahr  zugeschrieben 
werden,  gerade  wie  das  Wandeljahr  vom  14.  Juli  160  bis  13.  Juli 
161,  in  welchem  am  6.  März  Antonin  gestorben  ist,  als  erstes 
für  Mark  Aurel  zu  gelten  hat. 

Für  die  Regierungsjahre  Hadrians,  in  welche  Finsternisse 
(25.  April  125,  6.  Mai  133,  20.  Oktober  134,  6.  März  136.  fallen, 
läßt  sich  demnach  folgender  Kanon  aufstellen,  der  noch  bis  zum 
dritten  Regierungsjahr  Antonins  (S.  142,9)  weitergeführt  sei: 

9*««JahrHadrians,  das  872*«seitNab.,vom  23.  Juli  124-22.  Juli  125 
17*««  „  „  „  880*«  „  „  „  21. Juli  132-20. Juli  133 
19«^    „  „  „    882*« ,    21.  Juli  134-20.  Juli  135 


Anhang. 


437 


20*««  JahrHadrians,  das  883*«  seitNab.,vom21.  Juli  135-19.  Juli  186; 
21t««    ^^  ^^  ^^    884*«    „       „       „     20.Juli  136-19  Juli  137; 

l*««JahrAntonins,  „   885*«   „       „       „    20.  Juli  137-19  Juli  138; 
2*««    „  „  „    886*«    „       „       „    20.  Juli  138-19. Juli  139; 

3*««    „  „  „    887*«    „       „       „    20.  Juli  139-18.  Juli  140. 

31)  S.  228  3 mal.    Nachdem  (Anm.  30)  die  Zwischenzeiten  seit 
der  Epoche  bis  zu  den  Finsternissen  unter  Hadrian  nach  der  Rech- 
nung mit  gleichförmigen  Sonnentagen  festgestellt  sind,  und  zwar 
die  Zeit  bis  zur  ersten  mit     879*289*1078^, 
„       „      „      „    zweiten  mit  881»  91*1072^, 
„       „      „      „    dritten  mit  882«^  228*16»», 
gestaltet  sich  die  Rechnung  nach  den  Sonnentafeln  und  der  Ta- 
belle der  Anomalie  (vgl  Anm  29)  folgendermaßen: 

810*163»  4' 12"  810*1630  4  12"  810*163«  4' 12" 

54*346  52  16   64*346  52  16   72*342  29  42 

15*356  21  11   17*355  52  — 

270*266  7  17   90*  88  42  25  210*206  59  — 

19*  18  43  37    1*    59  8   18*  17  44  29 

lOYgh  26  44  lOyä»»         25  52       16^ 39  25 

1151035' 17"  9550  55' 5  3~'  730056'48" 

265015' 


265015' 


141G050'17 
10800 


Entfernung v.Apog.  336050' 17' 
Grade  der  Zwillinge      50  30^ 


Ganze  Zeichen 
Mittlerer  Ort 
Anomalie 
Genauer  Ort 


3420  20' 17" 
3300 

>ri20~2ö'lr 

4-0053' 40' 


9550  55'53" 

2650  15' 
122l0l0'53" 
10800 

141010' 53" 
5030' 

14«.040'53" 

12()0 

SU  260  40' 53'' 
-1032' 


996011'48' 
7200 


2760 11' 48' 
5030' 

2810  41' 48' 
2700  ^^^^ 

4-2021' 


8  130  13'57"        SL  250   8'53"         X  140  2'48' 


32)  S.  244.  Da  der  Mond  sich  auf  dem  Epizykel  gegen  die  Rich- 
tung der  Zeichen  bewegt,  so  liegt  auf  der  Lauf- 
strecke vom  Apogeum  zum  Perigeum  (d  i.  von  ^f^^^ 
00  bis  1800)  der  genaue  Ort  B  hinter  dem  vom 
Epizykelmittelpunkt  M  in  der  Ekliptik  einge-  ^^ 
nommenen  mittleren  Ort  um  den  /.  MEB  zurück. 
Soll  also  der  genaue  Ort  B  aus  dem  gegebenen 
mittleren  Ort  M  gefunden  werden,  so  tritt  Ab- 
zug des  Winkels  ein.  Dagegen  liegt  auf  der  Lauf- 
strecke vom  Perigeum  zum  Apogeum  (d  i.  von  I800 
bis  3600;  ^er  genaue  Ort  C  dem  mittleren  Ort  M 
um  den  /,  MEC  voraus.   Soll  also  der  genaue 
Ort  G  aus  dem  gegebenen  mittleren  gefunden 
werden,  so  muß  Zusatz  des  Winkels  eintreten. 


438 


Anhang. 


Soll  dagegen  umgekehrt  (S. 
227  Anm.,  234  Anm.)  der  mitt- 
lere Ort  (M)  aus  dem  durch  die 
Beobachtung  gegebenen  genau- 
en Ort  (5  oder  Oi  gefunden  wer- 
den, so  wird  der  Winkel  der  Ano- 
maliedifferenz zwischen  Apoge- 
um  und  Perigeum  addiert,  zwi- 
schen Perigeum  und  Apogeum 
aber  subtrahiert. 

83)  S.  252  zweimal.  Zweifel- 
los richtig  hat  Ideler  (Hist.  Un- 
ters, über  die  astron.  Beob.  der 
AltenS.216f.)i;^'(54)füri;8'(55) 
korrigiert,  eine  Verbesserung, 
welche  dadurch  bestätigt  wird, 
daß  im  Codex  2)  rs'  von  der  Korrektur  der  zweiten  Hand  herrührt. 
Weil  nämlich  das  Kallippische  Jahr  von  Sommerwende  zu  Sommer- 
wende läuft,  müssen  die  beiden  Finsternisse,  von  welchen  die  erste 
(22.  Sept.  201  V.  Chr.)  im  Herbst,  die  zweite  (19.  März  200  v.  Chr.) 
im  Frühling  stattfand,  in  dasselbe  Kallippische  Jahr  (201/200 
V.  Chr.),  also  in  das  für  die  erste  Finsternis  angegebene  54*«  fallen 
(vgl.  Anm.  20).  Demnach  ist  hier  nach  Änderung  von  55  in  54 
der  Zusatz  „in  dem(selben)"  54*«'^  Jahre  ebenso  gerechtfertigt 
wie  bei  der  dritten  Finsternis  (S.  252,28)  die  schon  von  Ideler  vor- 
genommene Streichung  von  avtä);  denn  die  durch  die  Sommer- 
wende getrennten  Daten  (19.  März  200  v.  Chr.  und  12.  Sept.  200 
V.  Chr)  der  zweiten  und  der  dritten  Finsternis  können  nicht 
demselben  55*«»Kallippischen  Jahr  angehören.  Heiberg  schreibt 
im  Index  (II  p.  277  unter  KdXXiTCTtos)  den  Fehler  dem  Ptolemä- 
us  selbst  zu. 

34)  S.  259.  Wenn  der  Vollmond  im  Apogeum  des  Epizykels, 
d.i.  in  Erdferne  eintritt,  liegt  die  erste,  d.i.  die  dem  Vollmond 
vorangehende  Quadratur  oder  das  erste  Viertel  in  der  Mitte  der 
Laufstrecke  zwischen  Perigeum  und  Apogeum,  auf  welcher  die 
erste  Anomalie  zur  Gewinnung  des  genauen  Ortes  (s.  Anm.  32) 
positiv  ist.  Die  auf  den  Vollmond  folgende  zweite  Quadratur  oder 
das  letzte  Viertel  wird  dann  in  der  Mitte  der  Laufstrecke  zwischen 
Apogeum  und  Perigeum  eintreten,  auf  welchem  die  erste  Ano- 
malie zur  Gewinnung  des  genauen  Ortes  negativ  ist. 

Tritt  aber  der  Vollmond  in  dem  Perij^eum  des  Epizykels,  d.  i. 
in  Erdnähe  ein,  so  liegt  die  ihm  vorangehende  erste  Quadratur 
in  der  Mitte  der  Laufstrecke  zwischen  Apogeum  und  Perigeum 
mit  der  negativen  Anomaliedifferenz,  worauf  die  dem  Vollmond 
folgende  zweite  Quadratur  auf  der  entgegengesetzten  Laufstrecke 
mit  der  positiven  Anomaliedifferenz  eintritt. 


Anhang. 


439 


Diese  in  der  zweiten  Anomalie  sich  äußernde  Veränderung  der 
Geschwindigkeit  des  Mondlaufs  wird  von  der  modernen  Astro- 
nomie als  die  Evektion  bezeichnet.  Sie  ist  die  Folge  der  An- 
ziehungskraft der  Sonne,  welche  auf  den  Mond  bald  stärker  bald 
schwächer  wirkt,  je  nachdem  sich  seine  Entfernung  von  der  Sonne 
mit  demUmlaufder  Apsidenlinie  seiner  elliptischen  Bahn  verändert. 

35)  S.  285.  Einem  Beispiel  der  Berechnung  habe  ich  in  der 
Abhandlung  über  „Hipparchs  Theorie  des  Mondes  nach  Ptole- 
mäus  (Weltall  8.  Jahrg.  S.  1,26  und  45  ff.)  die  (S.  274,82;  279,5)  be- 
sprochene Beobachtung  des  Hipparch  zugrunde  gelegt.  Die  seit 
der  Epoche  bis  zur  Beobachtung  verflossene  Zeit  hatte  Ptolemäus 
a,  a.  Orte  mit  620*286*^3%^  nach  genauer  Rechnung  festgestellt. 
Nach  den  Sonnen-  und  den  Mondtafeln  werden  für  diese  Zwischen- 
zeit folgende  Grundzahlen  zur  Berechnung  des  Mondlaufs  an  die 
Hand  gegeben: 

1.  mittlerer  Ort  der  Sonne  G  12^  5' 

2.  mittlerer  Ort  des  Mondes 

a)  in  Länge  von  Y  0«  ab  117020=  9  27020' 

b)  in  Anomalie  vom  mittleren  Apogeum    333012' 

c)  in  Breite  vom  nördlichen  Grenzpunkt   200^  C 

d)  in  mittlerer  Elongation  (s  S.  276,i)         45«  15'. 

Um  nun  nach  der  Tabelle  der  Gesamtanomalie  des  Mondes 
(S.  286)  die  Anomaliedifferenz  zu  ermitteln,  verdoppelt  man  zu- 
nächst die  Elongation  des  mittleren  Mondes  von  der  mittleren 
Sonne,  um  mit  2  x  45^15'  =  90^30'  die  Entfernung  des  Epizykel- 
mittelpunktes  von  dem  Apogeum  des  Exzenters  zu  erhalten.  Geht 
man  (zur  Vereinfachung  der  Rechnung)  mit  der  Argumentzahl  90 
in  die  Tabelle  ein,  so  bietet  die  dritte  Spalte  als  Unterschied  des 
genauen  Apogeum  s  des  Epizykels  von  dem  mittleren  -}- 1 2"  (S .  280,12). 
Zu  addieren  ist  diese  Zahl  zur  Gewinnung  des  genauen  Apogeums, 
weil  der  Epizykel  bei  der  Elongation  90»  auf  dem  Halbkreis  (0^ 
bis  1800)  des  Exzenters  zwischen  Apogeum  und  Perigeum  steht, 
auf  welchem  das  genaue  Apo- 


geum ig)  des  Epizykels  dem 
mittleren  [m)  vorangeht.  Zur 
Argumentzahl  3330  -f  120  = 
3450  gibt  weiter  die  vierte 
Spalte  (als  Mittel  zwischen 
0057'  und  1025')  die  Differenz 
der  einfachen  Anomalie  mit 
.10  11'.  Gleichzeitig  notiert 
man  sich  aus  der  fünften  Spal- 
te den  dieser  Differenz  ent- 
sprechenden Überschuß  der 
zweiten  Anomalie  (als  Mittel 
zwischen  0028'  und  O042')  mit 


Apog 


Peng 


440  Anhang. 

0035'.  Von  diesem  Überschuß  sind  jedoch,  wie  die  Sechzigste!  der 
sechsten  Spalte  zur  Argumentzahl  90  an  die  Hand  geben,  nur  *%<> 
(mit  Vernachlässigung  von  36")  in  Rechnung  zu  bringen.  Es  sind 
demnach  nur  0^35' x  2«g^  =  00l5'  zu  l^ll'  zu  addieren  Hier- 
mit ist  die  Differenz  der  Gesamtanomalie  mit  +1<>26'  iS.  276,22) 
gefunden.  Denn  weil  die  genaue  Zahl  345  der  Anomalie  über  180 
hinausgeht,  so  addiert  man  diesen  Betrag  (vgl.  Anm.  32)  zu  den 
Graden  der  mittleren  Länge  des  Mondes  und  erhält  den  genauen 
Ort  des  Mondes  mit  II702O'  +  1026'  =  II8046',  d.  i.  mit  Q  28046'. 
Somit  fehlen  14'  an  dem  von  Hipparch  mit  Q  29»  beobachteten 
scheinbaren  Ort,  der  zugleich  der  genaue  in  Länge,  d.  h.  der 
durch  eine  Längenparallaxe  nicht  beeinflußte  Ort  (S.  275, 1)  sein 
soll,  worauf  bereits  (S.  276  Anm.)  aufmerksam  gemacht  worden 
ist. 

Geht  man  schließlich  mit  der  um  die  Anomaliedifferenz  gleich- 
falls vermehrten  Zahl  der  Breite,  d.  i.  mit  222»  +  10  26'  =  2230  26' 
in  die  siebente  Spalte  der  Tabelle  der  Gesamtanomalie  ein,  so 
findet  man  den  wahren  (geozentrischen)  Ort  des  Mondes  in  Breite 
(als  Mittel  zwischen  3^32'  und  3''43')  mit  3°38'  südlich  der  Eklip- 
tik; denn  die  Argumentzahl  steht  in  den  tieferen  Zeilen,  welche 
von  90"  bis  270"  den  vom  niedersteigenden  bis  zum  aufsteigenden 
Knoten  verlaufenden  Halbkreis  der  Mondbahn  betreffen.  Hierzu 
ist  noch  zu  bemerken,  daß,  wenn  der  scheinbare,  d.  i  der  von 
dem  Standpunkt  des  Beobachters  erschaute  Ort  des  Mondes  ge- 
funden werden  soll,  die  südlich  der  Ekliptik  die  Breite  vermeh- 
rende Breitenparallaxe  des  Mondes  zu  berücksichtigen  ist,  was 
im  vorliegenden  Fall  eine  reine  Breitenparallaxe  sein  würde,  weil 
in  Rhodus  die  Ekliptik  im  letzten  Drittel  des  Löwen,  wenn  das- 
selbe eine  Stunde  westlich  des  Meridians  steht,  von  dem  durch- 
gezogenen Höhenkreis  unter  rechten  Winkeln  geschnitten 
wird,  woraus  sich  das  Fehlen  einer  Längenparallaxe  zur  Stunde 
der  Beobachtung  (S.  275,  )  erklärt. 

36)  S  295.  Über  die  betreffende  Sonnenfinsternis  unterrichtet 
uns  Papp  US  in  dem  zu  diesem  Kapitel  der  Syntaxis  erhaltenen 
Teile  seines  Kommentars  (Hultsch,  Hipparchos  über  die  Größe 
und  Entfernung  der  Sonne.  Ber.  d.  phil.-hist  Kl.  d  K  S.Ges.  d.W. 
Leipzig  1900  S  195).  Er  macht  aus  der  verlorenen  Schrift  Hip- 
parchs  über  die  Größen  und  Entfernungen  der  Sonne  und  des 
Mondes  folgende  Mitteilung.  „In  dem  ersten  Buche  verzeichnet 
er  folgende  Erscheinung:  in  der  Gegend  des  Hellespont  ist  genau 
eine  totale  Sonnenfinsterrds  eingetreten,  während  in  Alexandria 
in  Ägypten  nur  nahezu  y^  des  Durchmessers  verfinstert  wurden. 
Auf  Grund  dieser  Beobachtungen  zeigt  er  im  ersten  Buche,  daß, 
wenn  man  den  Erdhalbmesser  als  Einheit  setzt,  die  kleinste  Ent- 
fernung des  Mondes  71,  die  größte  83,  mithin  die  mittlere  77  Erd- 
halbmesser beträgt.  Nachdem  er  nun  dies,  was  ihm  zunächst  vor- 


Anhang.  441 

lag,  nachgewiesen  hatte,  fügt  er  am  Ende  desselben  Buches  hinzu: 
,in  dieser  Abhandlung  habe  ich  den  Beweis  bis  zu  diesen  Folge- 
rungen geführt;  damit  der  Leser  aber  nicht  glaube,  daß  die  Er- 
örterung über  die  Entfernung  des  Mondes  schon  zu  einem  völlig 
klaren  Abschluß  gediehen  sei,  bemerke  ich,  daß  hierzu  noch  eine 
weitere  Untersuchung  zu  erledigen  ist,  nach  welcher  die  Entfer- 
nung des  Mondes  sich  kleiner  als  die  soeben  berechnete  Ent- 
fernung erweisen  wird,'  womit  er  selbst  zugesteht,  daß  er  über 
die  Parallaxen  durchaus  nichts  Zuverlässiges  melden  kann.  Ferner 
zeigt  er  ausführlich  im  zweiten  Buche  über  die  Größen  und  Ent- 
fernungen, daß  die  kleinste  Entfernung  des  Mondes  62,  die  mitt- 
lere 67  Yg  Erdhalbmesser  und  die  Entfernung  der  Sonne  2490  Erd- 
halbmesser beträgt.  Hieraus  ist  auch  klar,  daß  auf  die  größte 
Entfernung  des  Mondes  72 y,  Erdhalbmesser  kommen." 

Was  den  Zeitpunkt  der  erwähnten  Sonnenfinsternis  anbelangt, 
so  entscheidet  sich  Hultsch  a.  a.  0.  für  die  Finsternis  am  20.  No- 
vember 129  V.  Chr.,  weil  erstens  die  Verfinsterung  am  nächsten 
an  die  von  Hipparch  mit  7^  angegebene  Größe  herankommt,  und 
weil  zweitens  die  Erwartung  zutrifft,  daß  die  Himmelserscheinung 
von  ihm  selbst  hat  beobachtet  werden  können. 

37)  S.  312.  Es  ist  zu  beweisen,  daß 
TTP-f  0Z  =  ^NM.  Zieht  man  die  an  der 
Figur  punktierten  Hilfslinien,  so  verhält 
sich  nach  Eukl.  VI.  4 

en  :  nT  =  0N  NM. 

Nun  ist  0TT  =  50N  nach  Annahme  N- 
al8onT  =  ;^MV\.       [(S.311,i7), 
Es  ist  aber  nT  =  nP-|-PTundPT=0I, 
mithin  nT  =  nP-f  01. 
Nun  war  TTT  =  5NM, 
folglich  ist  nP-|-0Z  =  5NM.  " 

38)  S.  318.  An  erster  Stelle  (I)  handelt  es  sich  um  die  Verände- 
rung der  Entfernung  von  der  Erde,  welche  eintritt,  wenn  der  Mond 
nicht  genau  im  Apogeum  oder  Perigeum  des  Epizykels  steht,  son- 
dern in  den  beiderseits  vom  Apogeum  oder  beiderseits  vom  Peri- 
geum gleichweit  entfernten  Punkten  des  Epizykels.  Hierbei  sind 
zu  unterscheiden : 

A.  Die  Zwischenstellungen  des  Mondes  auf  dem  Epizykel,  wäh- 
rend der  Epizykelselbst  im  Apogeum  des  Exzenters  steht  Diese 
sind  es,  welche  die  zwischen  der  Grenze«  (65p  15')  und  der  Grenzet 
(54p 45')  liegenden  Entfernungen  von  der  Erde  verursachen.  Die 
ganze  Differenz  zwischen  größter  und  kleinster  Entfernung  be- 
trägt 10P30'.  Je  kleiner  die  Entfernung  des  Mondes  von  der  Erde 
durch  Annäherung  an  das  Perigeum  des  Epizykels ,  d.  i.  an  die 
Grenze  b  wird,  um  so  mehr  nähert  sich  der  Unterschied  zwischen 


442  Anhang. 

der  Grenze  a  und  der  Entfernung  der  jeweiligen  Zwischenstellung 
der  ganzen  Differenz  10p  30',  bis  er  im  Perigeum  selbst  gleich  der 
ganzen  Differenz  wird:  somit  hat  die  Entfernung  die  Grenze  h  er- 
reicht. Es  ist  also  zunächst  von  Gradabschnitt  zu  üradabschnitt  die 
Entfernung  des  Mondes  in  der  Zwischenstellung  auf  dem  Epizykel 
zu  berechnen,  alsdann  der  Unterschied  der  gefundenen  Entfernung 
gegen  die  größte  Entfernung  65p  1 5 '  zu  bilden  und  schließlich  dieser 
Unterschied  als  einSexagesimalbruchteil  der  ganzen  Differenz  dar- 
zustellen. So  beträgt  bei  60"  Entfernung  vom  Apogeumdes  Epi- 
zykels  die  Entfernung  des  Mondes  von  der  Erde  62P48',  der  Unter- 
schied gegen  die  größte  Entfernung  65p  15'  ist  demnach  2p 27'. 
Setzt  man  nun  die  ganze  Differenz  10p  30'  gleich  60',  so  ergibt 
sich  als  Verhältniszahl  für  den  Unterschied  2p  27 'aus  der  Proportion 
2P27'  :  10P30'  =  a:  :  60' 
_60-2p27'_8820'_ 

^~    10P30'    ~   630   "       ■ 

D.  h.:  bei  60"  Entfernung  vom  Apogeum  des  Epizykels  beträgt 
der  Unterschied  der  Entfernung  gegen  die  größte  Entfernung  ^^/eo 
der  Differenz  zwischen  der  größten  und  der  kleinsten  Entfernung. 

B.  Die  Zwischenstellungen  des  Mondes  auf  dem  Epizykel,  wäh- 
rend der  Epizykel  selbst  im  Perigeum  des  Exzenters  steht.  Diese 
sind  es,  welche  die  zwischen  der  Grenze  c  (68^)  und  der  Grenze  d 
(52  ^)  liegenden  Entfernungen  verursachen.  Die  ganze  Differenz 
der  Entfernung  beträgt  16^.  Während  im  Apogeum  des  Ex- 
zenters die  Entfernung  (EA  S.  269, i)  des  Epizykelmittelpunktes  den 
ganzen  Halbmesser  des  Konzenters,  auf  welchem  sich  das  Apo- 
geum des  Exzenters  rückläufig  bewegt,  (d.i.  60 p)  beträgt,  macht 
im  Perigeum  des  Exzenters  diese  Entfernung  (EP)  rund  Yg  (genau 
SGYs^J  dieses  Halbmessers  aus,  so  daß  auf  die  Grenze  c  (39p22'  -f 
5P15'=)  44P37'  und  auf  die  Grenze  d  (39?  22'  -  5?  15'  =)  34p  7'  ent- 
fallen. Da  aber  das  im  Perigeum  des  Exzenters  geltende  Ver- 
hältnis (397gP  :  5y^p)  in  das  Sexagesimalmaß  {60^  :  8^)  umgewan- 
delt wird,  so  müssen  auch  die  Grenzen  der  Entfernung  des  Mondes, 
wenn  er  bei  Stand  des  Epizykels  im  Perigeum  des  Exzenters  im 
Apogeum  oder  Perigeum  des  Epizykels  steht,  in  Sechzigteilen 
der  kleinsten  Entfernung  (EP)  des  Epizykelmittelpunktes,  d.i. 
durch  60^  -f  8^  und  eO''  —  8^  ausgedrückt  werden,  so  daß  sich  als 
ganze  Differenz  {&S^—62^=)  16^  ergibt.  Istnun  bei  60 *>  Entfernung 
vom  Apogeum  des  Epizykels  die  Zwischenentfernung  mit  64^  23'  er- 
rechnet, so  erhält  man  den  Unterschied  gegen  die  größte  Entfernung 
mit  (68^—64^23'=)  3^  37' und,  wenn  man  die  ganze  Differenz  16^ 
gleich  60'  setzt,  für  3^37'  als  Verhältniszahl  aus  der  Proportion 
3^37':  16Ä=rc:60' 

60  S^Sr      13020'      ^54' 

x*=- — —  = =13—-     oder    Id  da   . 

167^  960  96 


Anhang.  443 

An  zweiter  Stelle  (II)  handelt  es  sich  um  die  Veränderung  der 
Entfernung  von  der  Erde,  welche  eintritt,  wenn  der  Epizykel  nicht 
genau  im  Apogeum  oder  im  Perigeum  des  Exzenters  steht,  sondern 
zwischen  Apogeum  und  Perigeum  des  Exzenters,  wobei  natürlich 
auf  die  beiderseits  gleichweit  entfernten  Punkte  dieselbe 
Erdentfernung  entfällt.  Die  größte  Entfernung  (EA)  des  Epizjkel- 
mittelpunktes  beträgt,  wie  gesagt,  im  Apogeum  des  Exzenters 
60p,  die  kleinste  (ET)  im  Perigeum  desselben  39p 22'.  Die  ganze 
Differenz  der  Entfernung  ist  demnach  20p  38'.  Wieder  ist  zunächst 
die  in  jeder  Einzellage  eintretende  Erdentfernung  des  Epizjkel- 
mittelpunktes  zu  berechnen,  hierauf  der  Unterschied  gegen  die 
größte  oder  die  kleinste  Entfernung  festzustellen  und  schließlich 
dieser  Unterschied  als  ein  Sexagesimalbruchteil  der  ganzen  Diffe- 
renz darzustellen.  Ist  z.  B.  bei  60°  Entfernung  vom  Apogeum  des 
Exzenters  die  Zwischenentfernung  mit  54p  3'  gefunden,  so  beträgt 
der  Unterschied  gegen  die  größte  Entfernung  (60p  —  54p  3'  =)  5p57'. 
Setzt  man  nun  die  ganze  Differenz  20p 38'  gleich  60',  so  ergibt 
sich  für  5p 57'  als  Verhältniszahl  aus  der  Proportion 
5P57':20P38'  =  a;:60' 

60.5P57'      21420'      ,„374'      ^        .„,.^n 
"==-2Ö?38^  =  T238-  =  ''l238    '^''    ''  '^  ' 

39)  S.  322.  324.  Zu  den  Argumentzahlen  der  ParallaxentaÄl  ist 
folgendes  zu  bemerken.  Während  sie  für  die  Spalten  der  Paral- 
laxen die  auf  dem  Quadranten  eines  Höhenkreises  gemessenen 
scheinbaren  Zenitabstände  des  Mondes  angeben,  bedeuten  sie 
für  die  Spalten  der  Sechzigstel,  auf  den  Epizykel  und  den  Exzenter 
bezogen,  Doppelgrade,  insofern  die  Argumentzahl  90  auf  die 
Perigeen,  d.  i.  auf  den  180.  Grad  dieser  Kreise  entfällt.  Zur  Be- 
stimmung der  Erdentfernungen  reichen  dieGradzahlen  des  einen 
Halbkreises  vom  Apogeum  bis  zum  Perigeum  aus,  weil  in  den 
genau  entsprechenden  Punkten  des  Halbkreises  vom  Perigeum  bis 
zum  Apogeum  die  Erdentfernungen  und  somit  auch  die  Parallaxen 
gleichgroß  sind.  Daher  genügte  es,  den  einen  Halbkreis  von 
Epizykel  und  Exzenter  in  15  Abschnitten  von  je  12°  in  Rechnung 
zu  ziehen,  welche  natürlich  für  die  Argumentzahlen,  die  nur  bis 
90  gehen,  von  6°  zu  erlaufen.  Um  schließlich  die  auf  je  2°  dieser 
Zählung  entfallenden  Beträge  der  Sechzigstel  zu  erhalten, 
welche  für  Abschnitte  von  je  6  Doppelgraden  des  Exzenters  und 
Epizykels  gewonnen  worden  sind,  hat  Ptolemäus  unter  der  An- 
nahme, daß  die  Zunahme  in  so  kleinen  Abschnitten  gleichmäßig 
sei,  die  von  12°  zu  12°  berechneten  Sechzigstel  einfach  durch  3  di- 
vidiert, wie  aus  den  drei  ersten  Zeilen  der  drei  letzten  Spalten 
ohne  weiteres  hervorgeht. 

Einem  Beispiel  der  Parallaxenberechnung  sei  die  Annahme  zu- 
grunde gelegt,  daß  der  Mond  in  Rhodus  in  48°  mittlerer  Elongation 


444  Anhang. 

von  derSonne.  d.  i.  ungefäh  r  im  ersten  Oktanten,  2  Stunden  westlich 
des  Meridians  im  ersten  Grad  der  Fische  stehe.  Jn  Anomalie  magfür 
diese  Stunde  nach  den  Mondtafeln  die  auf  das  genaue  Apogeum 
des  Epizykels  bereits  reduzierte  Entfernungmit  1 32"errechnet  sein. 

Um  aunächst  den  Zenitabstand  des  Mondes  festzustellen,  gehen 
wir  mit  der  Stundenzahl  2  in  die  Winkeltabelle  für  Rhodus  (S.  1 25), 
und  zwar  in  die  Tabelle  für  das  Zeichen  der  Fische  ein.  Dort 
finden  wir  in  der  zweiten  Spalte  (rund)  56°.  Hierzu  ist  zu  be- 
merken, daß  Ptolemäus  stills  hweigend  voraussetzt,  daß  der  Mond 
keine  Breite  habe,  d.  i.  genau  in  der  Ekliptik  stehe;  denn  der 
in  der  Tabelle  angesetzte  Zenitabstand  kommt  zu  diesem  Zeit- 
punkt lediglich  dem  ersten  Grad  der  Fische  zu.  Indem  wir  nun 
mit  der  Argumentzahl  56  in  die  erste  Spalte  der  Parallaxentafel 
(S.  323)  eingehen,  notieren  wir  uns  (mit  Vernachlässigung  der  Se- 
kunden) die  in  der  dritten  bis  sechsten  Spalte  stehenden  betrage: 
44',  8',  1*5',  21'.  Hieraufgehen  wir,  weil  es  Epizykelgrade  sind, 
mit  der  Hälfte  der  Anomaliezahl,  also  mit  66,  wieder  in  die  erste 
Spalte  der  Parallaxentafel  ein  und  notieren  uns  die  in  der  sieben- 
ten und  achten  Spalte  stehenden  Sechzigstel  49  und  48.  Erstere 
^Yg,  nehmen  wir  von  dem  Überschuß  8'  der  vierten  Spalte  und 
addieren  das  Ergebnis  6'  33"  zu  der  Parallaxe  44' der  dritten  Spalte, 
was  50' 33"  gibt,  während  wir  ^^q  von  dem  Überschuß  21'  der 
sechsten  Spalte  nehmen  und  das  Ergebnis  16' 4  "  zu  der  Parallaxe 
1°5'  der  fünften  Spalte  addieren,  was  1*21' 4"  gibt.  Hiermit  sind 
die  Höhenparallaxen  festgestellt,  welche  der  Mond,  wenn  er  132* 
von  dem  genauen  Apogeum  des  Epizykels  entfernt  steht,  bei  56* 
Zenitabstand  einerseits  in  der  Syzygie  (50' 33"),  d.  i.  bei  dem 
Stand  des  Epizykels  im  Apogeum  des  Exzenters  zeigt,  anderseits 
in  der  Quadratur  (1*21' 4"),  d.  i.  bei  dem  Stand  des  Epizykels 
im  Perigeum  des  Exzenters.  Hieraut  stellen  wir  mit  30' 31"  die 
Differenz  dieser  beiden  Parallaxen  fest. 

Nunmehr  gehen  wir  mit  der  Zahl  der  mittleren  Elongation 
des  Mondes  von  der  Sonne,  d.  i.  mit  48,  und  zwar  mit  der  einfachen 
Zahl ,  weil  sie  für  den  Exzenter  Doppelgrade  vom  Apogeum  ab 
bedeutet,  wieder  in  die  erste  Spalte  der  Parallaxentafel  ein,  neh- 
men die  in  der  neunten  Spalte  stehenden  ^^eo  ^^^  ^^^  soeben  fest- 
gestellten Differenz  30' 31"  und  addieren  das  Ergebnis  18' 18'  zu 
derSyzygieparallaxe50'33".  In  dem  schließlichen  Ergebnis  1*8'50" 
ist  die  Höhenparallaxe  gefunden,  welche  der  Mond  bei  dem 
Stand  des  Epizykels  nahezu  in  der  Mitte  zwischen  Apogeum  und 
Perigeum  des  Exzenters  bei  132*  Entfernung  vom  genauen  Apo- 
geum des  Epizykels  bei  56"  Zenitabstand  zeigt. 

Will  man  sich  das  komplizierte  Rechenexempel  durch  Auf- 
stellung einer  Formel  übersichtlich  machen,  so  bezeichne  man  die 
in  den  Spalten  3 — 6  stehenden  Parallaxenbeträge  für  die  vier  Ent- 
fernungsgrenzen mit  cS  e*  —  e\  c^  c*  —  c",  die  in  den  Spalten  7 


Anhang. 


445 


und  8  angesetzten  Sechzigstel  mit  s*  und  s',  endlich  die  in  der 
9*-'"^  Spalte  stehenden  Sechzigstel  mit  s.    Alsdann  erhält  man 

die  Syzygieparallaxe  S  =  e^ -{■  s^e^  —  e^)  =  50' 33" 
die  Quadraturparallaxe  ^  =  e»-|-&*  (e*  — e')  =  1*21'  4" 
die  Zwischenparallaxe      Z=S  4-s  (^  -  /S^)  =  1°  8' 51". 

Das  räumliche  Verhältnis  dieser  drei  Parallaxen  zueinander 
verau  schaulicbt  die  beisteh  endeFigur,  welche  die  inFrage  kommen- 
den Mondentfernungen  Ea  mit  der 
Parallaxe  5,  Eb  mit  der  Parallaxe  Q 
und  Ec  mit  der  Parallaxe  Z  auf  den- 
selben Halbmesser  des  Konzeuters 
abgetragen  zeigt.  Die  Strecke  der 
ganzen  Differenz  ab,  welche  nahezu 
den  doppelten  Durchmesser  des  Epi- 
zjkels  oder  das  Doppelte  der  Ex- 
zeutrizität  (5EA  =  20p38')  beträgt, 
bleibt  stets  dieselbe,  weil  nur 
Positionen  des  Mondes  zueinander 
in  Vergleich  gestellt  werden,  bei  de- 
nen er  dieselbe  Entfernung  vom  Apo- 
gäum des  Epizykels  und  denselben  Zenitabstand  hat.  Die  Lage 
des  Punktes  c  nickt  nuf  diesem  Halbmesser  von  a  nach  b  zu  in 
dem  Verhältnis,  in  welchem  sich  der  Epizykelmittelpunkt  iüf  dem 
Perigeum  P  des  Exzenters  nähert,  liegt  demnach  bei  dem  durch- 
geführten Beispiel  der  Parallaxenberechnung  nahezu  in  der  Mitte 
zwischen  a  un  i  6,  weil  8=  'Yg^  war.  Die  Strecke  ab  ist  daher 
sozusagen  die  Skala,  welche  in  die  Sechzigstel  der  neunten  Spalte 
eingeteilt  zu  denken  ist,  um  welche  Punkt  c  von  vier  zu  vier  Graden 
des  Exzenters  dem  Punkte  b  näherrückt. 

40)  S  H26.  Die  Zerlegung  der  gefundenen  Höhenparallaxe  A  H 
in  ihre  Komponenten,  d.i.  in  die  Längenparallaxe  0H  und  die 
B reite nparallaxe  A0,  wird  auf 
folgendem  Wege  erzielt.  Der 
Winkeltabelle  für  das  Zeichen  der 
Fische  >S  125)  entnehmen  wir 
aus  der  vierten  Spalte  den  zur 
2*«^"  Stunde  gesetzten  westlichen 
Winkel  EBA,  welcher  von  dem 
Höhenkreis  EB  im  Anfang  der 
Fische  mit  der  Ekliptik  gebildet 
wird:  derselbe  beträgt  (rund)  40".  ,^~Ji^ 
Hierzu  ist  wieder  zu  bemerken, 
daß  dieser  Höhenkreis  keineswegs  identisch  ist  mit  dem  Höhen- 
kreis EZ,  auf  welchem  der  Mond  steht.  Einzigder  von  letzterem 
Höhenkreis  mit  der  Ekliptik  gebildete  Winkel  EZ  B  ist  als  Gegen- 


446  Anhang. 

Winkel  gleich  dem  /.  AH0  des  rechtwinkligen  Parallaxeudreiecks 
A0H,  während  der  durch  die  Tabelle  gegebene  Winkel  EBA  dem- 
selben nur  annähernd  gleich  sein  kann.  Daher  bedarf  das  Ver- 
fahren der  weiterhin  (S.  330  ff.)  von  Ptolemäus  dargelegten  kom- 
plizierten Korrektion. 

Von  den  vier  Winkeln,  welche  um  den  Schnittpunkt  B  herum- 
liegen, ist  allgemein  (S.  102,7)  der  maßgebende  der  nördlich  der 
Ekliptik  nach  Osten  zu  gelegene  Winkel.  An  der  dem  Stande  des 
Mondes  zwei  Stunden  westlich  des  Meridians  entsprechend  ge- 
zeichneten Figur  ist  es  der  spitze  Winkel  EBA  der  beiden  nörd- 
lich der  Ekliptik  liegenden  Nebenwinkel.  Es  ist  klar,  daß  in  allen 
Fällen  nur  der  kleinere  Winkel  (vgl.  S.326,io)  in  Frage  kommen 
kann,  weil  er  dem  spitzen  Winkel  eines  rechtwinkligen  Dreiecks 
(wenigstens  annähernd)  gleich  sein  soll. 

Die  Berechnung  der  Katheten  A0  und  0H  geht  nach  den  Sehnen- 
tafeln (vgl.  Anra.  9)  in  der  üblichen  Weise  vor  sich.    Unter  der 
vorläufigen  Annahme,  daß  /,EBA  =  ^AH0,i8t  auch 
/,  AH0  =  4O«  wie  4B  =  ^60\ 
=  80»  wie<3i^  =  360°; 

folglich    {   60hIioo°}  wie©A0H  =  36OO, 

Unter  der  bei  so  kleinen  Größen  gerechtfertigten  Voraussetzung, 
daß  die  Bogen  des  um  das  Parallaxendreieck  gezogenen  Kreises 
ganz  unbeträchtlich  verschieden  seien  von  den  sie  unterspannen- 
den Sehnen,  gelangt  man  zunächst  zu  der  Annahme,  daß  die  Brei- 
tenparallaxe zur  Längenparallaxe  sich  verhalte  wie  die  ersterer 
entsprechende  Sehne  zu  der  letzterer  entsprechenden.  Um  aber 
ihre  Größen  aus  dem  gefundenen  Betrag  der  Höhenparallaxe  ab- 
zuleiten, bedarf  es  der  von  Ptolemäus  stillschweigend  ge- 
machten weiteren  Annahme,  daß  die  beiden  Parallaxen  sich  auch 
zur  Höhenparallaxe  verhalten  wie  die  Katheten  des  Parallaxen- 
dreiecks zur  Hypotenuse,  daß  also 

,60H:&AH=fc0H:ÄAH, 
bAe:bAH  =  JcAQ:hAH. 

Setzt  man  nun  den  für  die  Höhenparallaxe  AH  mit  (rund)  1^9' 
gefundenen  Wert  und  für  die  Dreieckseiten  die  den  Sehnentafeln 
entnommenen  Beträge  ein,  so  erhält  man 
,bQH:  1''9'  =  91P55':  120p, 

6A0:1"9'  =  77P8':  120p, 

12ÜP 


Anhang. 


447 


Da  ^  EBA  kleiner  als  90°  ist,  so  wirkt  die  Längenparallaxe 
(BK  =  0H)  westwärts  (S.  327,2i),  d.i.  gegen  die  Richtung  der 
Zeichen,  so  daß  der  scheinbare  Ort  des  Mondes  in  Länge  nicht 
identisch  ist  mit  dem  genauen  Ort  in  X  0°  (B),  sondern  (53'  rück- 
wärts) in  «t  29°  7'  (K)  liegt.  Die  südwärts  wirkende  Breitenparallaxe 
wird  die  an  der  Figur  nördlich  angesetzte  wahre  Breite  des  Mondes 
vermindern,  so  daß  diescheinbare  Breite  (HK  =  OB)  um  '^|^'^ 
kleiner  wird  als  die  wahre  oder  geozentrische  (AB). 

41)  S.  334.  Die  Unklarheit  des  Ausdrucks  spricht  ebenso  wie 
der  mangelnde  Zusammenhang  dafür,  daß  hier  ein  in  den  Text 
eingedrungenes  Scholion  vorliegt.  Der  erste  Teil  wird  durch  fol- 
gende Erörterung  einigermaßen  verständlich.  Wenn  der  Mond 
in  seiner  kleinsten  Entfernung  eine  nördliche  Breite  von  5°  hat, 
so  daß  sein  Zenitabstand  beispielshalber  für  Alexandria  (S.  299,4) 
rund  2°  ausmacht,  so  beträgt  seine  Parallaxe  bei  diesem  Zenit- 
abstand für  die  vierte  Entfernungsgrenze,  d.  i.  in  Erdnähe,  nach 
der  Parallaxentafel  0° 3'  50".  Hat  er  aber  keine  Breite,  so  beträgt 
sie  bei  7°  Zenitabstand  gleichfalls  in  Erdnähe  0°13'  15".  Der  Unter- 
schied beträgt  demnach  nur  mitVernachlässigung  derSekunden  10'. 

Eine  verständliche  Interpretation  des  zweiten  Teils  kann  nur 
lauten:  wenn  der  Mond  in  der  Konjunktion  nördlich  eines  Kno- 
tens eine  wahre  Breite  von  lVj°  hat,  so  wird  eine  Berührung  des 
Sonnenrandes  nur  dann  möglich  sein,  wenn  die  Breitenparallaxe 
des  Mondes  mindestens  ebensoviel  beträgt.  Die  Bemerkung  „so 
etwas  trifft  aber  selten  zusammen''  ist  so  oberflächlich  und  nichts- 
sagend, daß  sie  mit  der  Gründlichkeit,  mit  welcher  Ptolemäus 
(S.  36H-72)  diesen  Fall  erörtert,  unvereinbar  erscheint. 

42)  S.  342.  Es  soll  z.  B.  nach  den  Syzygietabellen  festgestellt 
werden,  an  welchem  Tage  und  zu  welcher  Stunde  im  lO*®'* Monat 
des  17'^®'»  Jahres  Hadrians,  d.  i.  imPayni  (Mai  133  n.  Chr.),  der  ge- 
naue Vollmond  eingetreten  ist  (vgl.  S.  228,io).  Es  ist  das 
880*^  Jahr  seit  Nabonassar  (s.  Anm.  30). 

Zur  Bestimmung  der  mittleren  Vollmondsyzygie  liefert  die 
Tabelle  der  Vollmonde,  die  Jahrestabelle  und  die  Monatstabelle 
folgende  zu  summierende  Posten: 


876 


Payni 


8*20' 64" 

16*31'47" 

265*46' 31" 

69"45'36" 

15°19'11" 

261°57'27" 

233°43'26" 
210°50'  7" 
232°21'  1" 

255°26'22" 

93°31'47" 

276°  2'  7" 

290*39' 12" 
-270* 

337°  2' 14" 
-1-   5°30' 

676° 54' 34" 
-360° 

625°  O'IG" 
-360° 

20*39' 12" 

342°32'14" 
330° 

316°54'34" 

265°  0'16" 

M  12°32' 

448  Anhang. 

Verwandeln  wir  0^39' 12"  in  Äquinoktialstunden ,  so  erhalten 
wir  den  Eintritt  der  mittleren  Vollmondsyzygie  mit  15»H1™ 
nach  dem  Mittag  des  20.  Payni.  Weiter  geben  obige  Zahlen  fol- 
gende Grundlagen  der  Berechnung  an  die  Hand.    Nach  ihnen  ist 

der  mittlere  Ort  der  Sonne  8  12«  32' 

die  Entfernung  vom  Apogeum  33 T'^  2' 

die  dort  eintretende  Anomaliedifferenz  -f  ö"  ^^' 

folglich  der  genaue  Ort  der  Sonne  ^  13^26' 

der  mittlere  Ort  des  Mondes  iH.  12»  32' 

die  Entfernung  vom  Apogeum  des  Epizykels  3160  54' 

die  dort  eintretende  Anomaliedifferenz  -f  3<>  4' 

folglich  der  genaue  Ort  des  Mondes  ii],  15°  36' 

der  genaue  Ort  des  Schattenzentrums  iH.  13*^26' 

die  genaue  östliche  Elongation  vom  Schattenzentram  2<'10' 

die  Entfernung  vom  nördlichen  Grenzpunkt  265°  0'. 

Zunächst  ist  der  Überschuß  an  Stunden,  welcher  aus  der  Sum- 
mierung gleichförmiger  Sonnentage  hervorgegangen  ist,  der  er- 
forderlichen Korrektion  zu  unterziehen,  indem  man  das  Intervall 
der  gleichförmigen  Sonnentage  der  zurückliegenden  Ekliptik- 
hälfte mit  dem  entsprechenden  Intervall  bürgerlicher  Tage  in 
Vergleich  stellt,  d.  h.  indem  man  die  gleichförmigen  Sonnentage 
in  bürgerliche  Tage  (nach  Anm.  26)  umrechnet.  Das  gleichförmige 
Intervall  zwischen  den  mittleren  Sonnenörtern  ( n],  12^32'  bis 
^  12032')  beträgt  180®,  das  ungleichförmige  zwischen  den  ge- 
nauen Sonnenörtern  (in.  1-^032' -0057'=)  11].  11035' bis  ^^13026' be- 
trägt I8I051'.  Letzteres  Int  ervall  geht  nach  der  Tabelle  fürSphaera 
recta  (S.  94)  genau  mit  ebensoviel  Äquatorgraden  durch  den  Meri- 
dian, verursacht  also  gegen  das  gleichförmige  Intervall  die  kleine 
Differenz  von  105I',  d.  h.  ein  Voraussein  der  ungleichförmigen 
Sonne  vor  der  mittleren  von  7™  24  ^ .  Folglich  hat  nach  der  wahren 
Sonnenzeit  der  Eintritt  der  mittleren  Syzygie  15^*41"^-}-  7™ 24«  = 
15«*48"24«  nach  dem  Mittag  des  20.  Payni  stattgefunden. 

Um  die  Stelle  der  genauen  Syzygie  aus  der  oben  festgestell- 
ten genauen  östlichen  Klongation  von  20  10'  zu  ermitteln,  welche 
der  Mond  zu  diesem  Zeitpunkt  der  mittleren  Syzygie,  d.  i. 
3h  48m  248  fjfiji  hatte,  ist  zu  berücksichtigen,  daß  auch  das  Schatten- 
zentrum in  der  zwischen  genauer  und  mittlerer  Syzygie  verstri- 
chenen Zeit  seinen  Ort  ostwärts  verlegt  hatte.  Daß  die  Weiter- 
bewegung der  Sonne,  bzw.  des  Schattenzentrums,  y,2  der  Strecke 
20  10'  des  Mondlaufs,  also  10' 50"  (rund  11')  ausmacht,  ist  aus- 
führlich (S.  355,28)  erklärt.  Hieraus  ergibt  sich  für  die  Zeit  der 
genauen  Syzygie  der  genaue  Ort  der  Sonne  Qo  11'  rückwärts  von 
8  13''26'  mit  «  130  15'  (S  228,u),  der  genaue  Ortdes  Mondes,  und 
somit  die  Stelle  der  genauen  Syzygie,  20  21'  rückwärts  von 
i»l  15036'  mit  IT],  13015',  also  der  Sonne  diametral  gegenüber.  Um 


Anhang.  449 

zweitens  die  Zeit  der  genauen  Syzygie  festzustellen,  bedarf  es 
zunächst  der  Ermittelung  der  ungleichförmigen  stündlichen 
Bewegung  des  Mondes.  Sie  beträgt  bei  der  Entfernung  317''  vom 
Apogeum  desEpizykels  (s.  Anm.  43)  30' 45",  so  daß  auf  die  Zurück- 
legung der  Strecke  2^21'  4''*35"»  entfallen.  Folglich  hat  der  Ein- 
tritt der  genauen  Syzygiel5«*48™24«—4«t35'»=lli'  13"»24«  abends, 
d.  i.  nur  1™36"  vor  der  11*^15™  eingetretenen  Mitte  der  Finsternis 
(S.  228,18)  stattgefunden.  Daß  diese  Zwischenzeit  genügend  be- 
messen ist,  wird  in  der  Anm.  49  a.  E   erörtert. 

Endlich  erhält  man  den  genauen  Ort  des  Mondes  in  Breite 
mit  2650 -f  304' -20  21' =  2650  43'  Entfernung  vom  nördlichen 
Grenzpunkt,  also  mit  nur  4°  17'  vor  dem  aufsteigenden  Knoten, 
wozu  die  7*«  Spalte  der  Gesamtanomalie  des  Mondes  die  südliche 
Breite  00  22'  gibt. 

Die  Berechnung  der  Dauer  und  der  Größe  der  unter  diesen 
Umständen  eintretenden  Mondfinsternis  wirdinder  Anm.  50  durch- 
geführt. 

43)  S.  348.  Soll  die  größte  stündliche  Bewegung  in  Länge,  d.  i. 
diejenige,  welche  der  Mond  in  der  Erdnähe  hat,  festgestellt  werden, 
so  berechnet  man  die  im  Perigeum  des  Epizykels  auf  einen  Grad 
entfallende  Bewegung  in  Anomalie.  Zwischen  180^  und  177"  be- 
trägt nach  der  Tabelle  die  Anomaliedifferenz  (S.  245)  0^18',  so 
daß  auf  einen  Grad  0°6'  kommen.  Da  auf  dem  erdnahen  Halb- 
kreis des  Epizykels,  d.  i.  in  den  Graden,  die  in  den  Zeilen  unter- 
halb des  Maximums  5^1'  stehen,  die  Bewegung  in  Anomalie  in 
derselben  Richtung  vor  sich  geht  wie  die  Bewegung  in  Länge, 
mithin  die  letztere  vergrößert,  so  sind  die  auf  einen  Grad  ent- 
fallenden 6  Sechzigstel '(==  Yj^)  von  der  mittleren  stündlichen  Be- 
wegung in  Anomalie  zu  nehmen  und  zu  der  mittleren  Bewegung 
in  Länge  zu  addieren.  Dadurch,  daß  man  V^^j  x  32'40"  =  3'16" 
zu  32' 56"  hinzufügt,  erhält  man  demnach  für  die  Erdnähe 
die  größte  stündliche  Bewegung  in  Länge  mit  36'  12". 

Weil  dagegen  auf  dem  erdfernen  Halbkreis  des  Epizykels,  d.  i. 
in  den  Graden,  welche  in  den  Zeilen  oberhalb  des  Maximums  ftoj' 
stehen,  die  Bewegung  in  Anomalie  der  Bewegung  in  Länge  ent- 
gegengesetzt verläuft,  mithin  letztere  vermindert,  so  sind, 
wenn  der  Mond  im  Apogeum  des  Epizykels  steht,  wo  auf  einen 
Grad  nur  0°5'  Bewegung  in  Anomalie  entfallen,  %q  oder  y^g  der 
stündlichen  mittleren  Bewegung  in  Anomalie,  d.s.  2' 44"  von 
32'  56"  zu  subtrahieren,  so  daß  man  die  größte  stündliche  Bewe- 
gung in  Länge,  welche  der  Mond  in  der  Erdferne  hat,  mit  30'  12" 
erhält. 

Nach  derselben  Vorschrift  wird  sich  die  stündliche  ungleich- 
formige  Bewegung  für  jede  beliebige  Entfernung  vom  Apogeum 
des  Epizykels  ermitteln  lassen.  So  beträgt  z.  B.  bei  der  Entfer- 
nung von  66**  der  Unterschied  der  auf  die  Gradzahlen  66  bis  72 

PtolemäuB,  tiberi.  V.  Manitius.  I.  OQ 


450  Anhang. 

entfallenden  Anomaliedifferenzen  (4''38'—  4*'24'  =)  14',  so  daß  auf 
einen  Grad  273'  kommen.  Nimmt  man  diese  2y,  Sechzigste} 
(=  '*%6oo  ®^®^  Viso)  "^o"  ^^^  stündlichen  mittleren  Bewegung  in 
Auomalie,  d.  i.  von  32'  40",  und  subtrahiert  das  Produkt  1'  16"  von 
der  stündlichen  mittleren  Bewegung  in  Länge,  d.  i.  von  32' 56", 
so  erhält  man  die  stündliche  ungleichförmige  Bewegung  bei  66** 
Entfernung  vom  Apogeum  mit  31' 40". 

44)  S.  351.  Diese  Behauptung  ist  nicht  richtig.  Zwei  auf  dem- 
selben Meridian  liegende  Orte  haben  dieselbe  Ortszeit,  d.  h.  die 
Sonne  kulminiert  für  beide  gleichzeitig,  aber  Aufgang  und 
Untergang  findet  nicht  zu  gleichen  Zeiten  statt;  denn  die  Dauer 
des  Lichttages  ist  für  den  nördlicher  gelegenen  Ort  länger.  Folg- 
lich ist  auch  die  Länge  der  bürgerlichen  Stunde  für  ein  und  den- 
selben Tag  an  beiden  Orten  verschieden.  So  beträgt  am  27.  Januar 
die  bürgerliche  Nachtstunde  für  Rhodus  (Anm.  17,i)  69'° 49 «20*, 
d.  8.  rund  70",  während  sich  für  Ägypten  (nach  Anm.  17,2)  die 
Länge  derselben  mit  73™  36*'  berechnen  läßt. 

Die  Bestimmung  von  Anfang  bis  Mitte  der  Finsternis  nach 
Äquinoktialstunden  vor  Mitternacht  trifft  natürlich  für  beide  Orte 
zu,  ist  aber  mit  einer  halben  Stunde  (9'»  40™  bis  10^'  10™)  ganz  un- 
zureichend gegeben.  Die  halbe  Dauer  einer  dreizölligen  Mond- 
finsternis beträgt  bei  Erdnähe  des  Mondes,  die  (s.  S.  351,26)  hier 
vorliegt,  nach  der  vierten  Spalte  der  zweiten  Tabelle  32'  20" ;  zählt 
man  hierzu  y^  =2' 41"  für  die  Weiterbewegung  des  Schatten- 
zentrums, so  legt  der  Mond  die  Strecke  35'  mit  der  stündlichen 
ungleichförmigen  Bewegung  von  36'  12"  (s.  Anm.  43)  in  ^Ygg*"  oder 
58  %  ™  zurück.  Rechnet  man  rund  60™,  d.  i.  die  ganze  Dauer  2  Stun- 
den, so  mußte  die  Mitte  auf  10^40™  fallen.  An  der  Richtig- 
keit der  Überlieferung  ist  jedoch  nicht  zu  zweifeln;  denn 
aus  der  Stundenzahl  lOYg,  welche  (S.  351, 20)  die  Angabe  der 
Zwischenzeit  schließt,  geht  hervor,  daß  die  unzureichende 
Ansetzung  der  halben  Dauer  dem  Ptolemäus  selbst  zuzuschrei- 
ben ist. 

45)  S.  355.  Zu  dem  Verhältnis  11  Yg  :  1,  welches  die  Entfernung 
des  Mondes  vom  Knoten  zu  seiner  Breite  hat,  führt  folgende  ein- 
fache Berechnung.    Es  sei  AB  eine  Strecke  der  Ekliptik.  TB  eine 

Strecke  der  die  Ekliptik  in  Punkt 
B  unter  einem  Winkel  von  5" 
schneidenden  Mondbahn,  TA  die 
Normale  zur  Ekliptik,  d.  i.  die 
Breite  des  in  f  stehenden  Mondes. 
'^  Die  Kathete  PA  des  rechtwinkli- 
gen Dreiecks  TAB  entnimmt  man  den  Sehnentafeln  zudem  ver- 
doppelten Winkel  PBA  mit  10i'27'32".  Man  erhält  demnach 
zwischen  f  B,  d.  i.  der  Entfernung  des  Mondes  vom  Knoten,  und 
TA,  d  i.  der  Breite,  das  Verhältnis 


Anhang. 


451 


TB  :  TA  =  120P :  10P27' =  7200' :  627' 
=  ll»<>y6„  :1  oder  11,483:1. 

Es  stellt  sich  demnach  llVg  als  ein  nach  oben  abgerundeter 
Wert  heraus. 

46)  S.  356.  Es  sei  auch  für  die  Sonne  die  Bewegung  auf  einem 
Epizykel  angenommen.  Wenn  der  genaue  Ort  der  Sonne  das 
Maximum  der  positiven  Anomalie differenz  (l.  GES  =  -\-2^2^') 
zeigt,  der  genaue  Ort  des  Mondes  {M^)  dagegen  das  Maximum  der 
negativen  (/,  GEM^=  —  b^  1'),  dann  werden  die  beiden  Lichtkörper 
zur  Zeit  der  mittlerenSyzygie  noch  um  die  Summe  der  beiden 
Anomaliedifferenzen,  d.i. um  den  /,  M^ES 
=  7**24'  voneinander  entfernt  sein,  während 
die  mittleren  Örter,  d.  s.  die  Mittelpunkte 
der  beiden  Epizykel,  in  der  Richtung  der 
durch  den  Mittelpunkt  des  Mondepizykels 
gehenden  Leitlinie  EG  liegen,  die  nörd- 
lich des  Knotens  über,  südlich  des  Kno- 
tens unter  dem  Sonnenepizykel  um  den 
Betrag  der  jeweiligen  Breite  des  Mondes 
hinweggeht.  Die  genaue  Syzygie,  bei 
welcher  die  Lichtkörper  in  der  Richtung 
der  in  der  Einholungszeit  um  37'  (s.  S. 356,2) 
weiter  vorgerückten  Geraden  ES  stehen, 
wird  erst  eintreten,  nachdem  der  Epizykel 
denMond  um  den  i,  M'EM^=  1^2^'  -f  37' 
auf  dem  schiefen  Kreise  weitergetragen  hat.  Der  Ort  der  genauen 
Syzygie  wird  dann  um  den  /,  GES=2°2S' -]-ST,  d.i.  um  S^  Längein 
der  Ekliptik  über  den  Ort  der  mittleren  Syzygie  hinausliegen.  Die 
um  denselben  Winkel  auf  dem  schiefen  Kreise  vor  sich  gegangene 
Bewegung  wird  nun  auch  die  nördliche  oder  südliche  Breite  des 
Mondes  entsprechend  beeinflußt  haben. 

47)  S.  364.  Eine  Erklärung  dieser  Stelle  ist  nur  möglich,  wenn 
man  die  Breite  0*^45'  auf  den  Endpunkt  des  Mondlaufs  von 
159**  5'  bezieht,  nicht  aber,  wie  es  der  Wortlaut  des  griechischen 
Textes  fordert,  auf  den  Endpunkt  {Ä')  des  finsternisfreien  Bogens 
(CDA')  von  (1800  -  12»  24'  =)  1670  36', 
dessen  Breite  ja  mit  0"32'  20"  (S.  363,24) 
feststeht.  Daß  die  Herstellung  dieses 
Bezugs  durch  Einschiebung  von  „letz- 
terer" gerechtfertigt  ist,  lehrt  nicht  nur 
der  Vergleich  mit  der  Parallelstelle 
(S.  367,2),  die  keinen  Zweifel  hinsichtlich 
der  Zugehörigkeit  der  Breitenangabe 
zuläßt,  sondern  auch  folgende  Betrachtung.  Es  habe  der  Mond  an 
der  Finsternisgrenze  C,  d.  i.  2700-f-  6^12'  von  dem  nördlich  des  Peri- 


Q^np5'' 


29' 


452 


Anhang. 


geums  /  ö^'SO'  anzunehmenden  Grenzpunkt  entfernt,  noch  eine 
Sonnenfinsternis  verursacht.  Zähltman  hierzu  die  159*^  5' des  Mond- 
laufs, so  erhält  man  nach  Abzug  eines  ganzen  Kreises  am  Ende 
der  vor  der  Finsternisgrenze  ^'ablaufenden  Strecke  des  Mond- 
laufs die  Entfernung  Ib^lT  vom  nördlichen  Grenzpunkt,  für  welche 
die  7*«  Spalte  der  Tabelle  der  Gesamtanomalie  des  Mondes  (S.  286) 
die  nördliche  Breite  (als  Mittel  zwischen  l^'SS'  und  l'^3')  mitl<*18' 
gibt.  Dieser  Betrag  ist  mithin  genau  um  0^45'  größer  als  die 
Breite  des  8"  31'  weiter  vorwärts  liegenden  Endpunktes  (A')  des 
finsternisfreien  Bogens  (CDA')  von  (159^ö'-f 8"31'=)  167036', 
die,  wie  oben  bemerkt,  0"32'20''  oder  rund  33'  beträgt. 

48)  S.  367.  Aus  der  Figur  S.  366  war  zunächst  ersichtlich  ge- 
worden, daß,  wenn  der  nördliche  Grenzpunkt  des  schiefen  Kreises 
nördlich  desApogeumsTTö''  liegt,  der 
Mondlauf  von  208^47'  südlich  der  Kno- 
tenlinie beginnend,auch  wieder  südlich 
derselben  endigen  muß,  wo  eineParallaxe 
den  Mond  von  der  Sonne  abrückt.  Die 
Möglichkeit  einerFinsternis  ist  daher  nur 
geboten,  wenn  der  nördliche  Grenzpunkt 
nördlich  des Perigeums  /ö" angenom- 
men wird.  Die  nördliche  Breite  am 
Ende  des  Mondlaufs  ergibt  sich  folgen- 
dermaßen. Es  habe  der  Mond  an  der 
Finstemisgrenze  A\  d.  i.  (90<*  —  6°  12'  =) 
83*^48'  von  dem  nördlichen  Grenzpunkt 
J)  entfernt,  noch  eine  Sonnenfinsternis  verursacht.  Zählt  mau 
hierzu  die  2080  47'  des  Mondlaufs,  so  erhält  man  2920  35'  (=  270°  -f 
22035)  Entfernung  vom  nördlichen  Grenzpunkt,  d.h.  der  Mond 
stand  am  Ende  seiner  über  C  hinausfallenden  Laufstrecke  wieder 
22035' nördlich  des  aufsteigenden  Knotens.  Nach  der  7**=»  Spalte 
der  Tabelle  der  Gesamtanomalie  erhält  man  die  nördliche  Breite 
zu  292°35'  mit  1"57'.  Sie  beträgt  somit  l0  25'  mehr  als  32',  was 
(diesmal  nach  unten  abgerundet)  die  Breite  des  Endpunktes  {C  ) 

des  zwischen  den  Fin- 


sternisgrenzen  A'  und 
C    liegenden    Bogens 
(^'1^0')  von  192^24' ist. 
49)  S.  378    Aus  bei- 
stehenden Figuren  ist 
deutlich  zu  erkennen, 
daß  vor  einem  Knoten 
erst  die  genaue  Syzy- 
gie  (BC) und  dann  die 
M.iite  {BD)  der  Finsternis  eintritt,  nach  Passierung  des  Knotens 
aber  erst  die  Mitte  (BD)  und  dann  die  Syzygie  (BG),  nachdem 


Anhang. 


453 


bei  der  zentralen  Finster- 
nis im  Knoten  selbst 
Syzygie  und  Mitte 
gleichzeitig  eingetre- 
ten sind.  Denn  die 
Strecke  CD  wird  immer 
kleiner,  je  mehr  sich  der 
Mond  dem  Knoten  nä- 
hert, wo  sie  gleich  Null 

wird,  um  mit  der  Entfernung  vom  Knoten  wieder  entsprechend 
größer  zu  werden. 

Da  Ptolemäus  (S.  378,35)  nachweist,  daß  bei  12*"  Entfernung 
vom  Knoten  und  1*  Breite  auf  die  Strecke  CD  nur  2'  entfallen, 
so  wird  man  annehmen  können,  daß,  wenn  es  sich  (Anm.  42  a.E.) 
um  wenig  mehr  als  ein  Drittel  jener  Abstände  (4  •'IT'  vor  dem  auf- 
steigenden Knoten  und  0"22' südliche  Breite)  handelt,  die  Strecke 
CD  auch  nur  wenig  mehr  als  y^'  ausmacht.  Daher  kann  die 
(Anm.  42  gefundene)  Zwischenzeit  von  1™36«  zwischen  Syzygie 
und  Finsternis  mitte  zur  Zurücklegung  einer  so  kleinen  Strecke 
als  ausreichend  gelten.  Denn  bei  der  dort  festgestellten  stünd- 
lichen ungleichförmigen  Bewegung  von  30' 45"  legt  der  Mond  V 
in  1™57«,  also  ^/g'  in  l'°18«  zurück. 

50)  S.  392.  Es  sei  die  Größe  und  die  Dauer  der  Mondfinsternis 
zu  berechnen,  deren  Mitte  am  20.  Payni  des  17*«"^  Jahres  Hadriana 
11*»  15"^  abends  (S.  228,13)  von  Ptolemäus  in  Alexandria  beobachtet 
worden  ist. 

Die  Zeit  der  mittleren  Syzygie  ist  (Anm.  42)  mit  15«* 48«» 25^ 
nach  dem  Mittag  des  20.  Payni  festgestellt  worden.  Die  für  diese 
Stunde  nach  den  Tabellen  festgestellte  Zahl  der  Anomalie  betrug 
317,  die  Zahl  der  Breite  vom  nördlichen  Grenzpunkt  ab  265 ;  die 
bei  317®  Entfernung  vom  Apogeum  des  Epizykels  eintretende 
Anomaliedifferenz  war  -|-  3''4'.  Nun  soll  zuerst  mit  der  Zahl  der 
Breite  „nach  Anbringung  der  Anomaliedifferenz"  in  die  Finsternis- 
tabellen eingegangen  werden.^  Da  die  Argumentzahlen  dieser 
Tabellen  die  scheinbaren  Örter  des  Mondes  im  Moment  der 
genauen  Syzygie  enthalten,  so  ist  nicht  bloß  die  Hinzufügung 
von  3*'4'  vorzunehmen,  sondern  es  muß  auch  die  2° 21' betragende 
östliche  Elongation  des  Mondes  vom  Schattenzentrum  auf  dem 
schiefen  Kreise  des  Mondes  rückgängig  gemacht,  d.  h.  abgezogen 
werden,  wodurch  man  den  genauen  Ort  des  Mondes  vom  nörd- 
lichen Grenzpunkt  ab  zur  Zeit  der  Finsternismitte  mit  265*43' 
(d.i.265<'-j-3«4'-2°2lO  erhält. 

Die  zu  dieser  Zahl  der  Breite  in  der  dritten  und  der  vierten 
Spalte  stehenden  Zolle  und  Laufstrecken  notiert  man  sich  zur 
Feststellung  der  Differenzen  sowohl  aus  der  ersten  Tabelle  für 
die  Erdferne  als  auch  aus  der  zweiten  Tabelle  für  die  Erdnähe 


454 


Anbau«?. 


des  Mondes.  Da  die  gegebene  Zabl  der  Breite  obne  wesentlicben 
Febler  der  Argnmentzabl  265*^44'  der  zweiten  und  der  Argument- 
zabl  265*^42'  der  ersten  Tabelle  gleicbkommt,  so  entnimmt  man 
aus  der 

2^«"»  Tabelle:  14  Zoll  |  42'15"  |  17' 17" 
1*««  Tabelle:  13  Zoll  |  40'35"  |  11'  9" 
Differenzen:      1  Zoll  |    1'40"  |    6'  8". 
Hierauf  geht  man  mit  der  Zahl  317  der  Anomalie  in  die  Kor- 
rektionstabelle ein  und  nimmt  die  dort  sich  ergebenden  '/g^,  von 
diesen  Differenzen,  um  sie  zu  den  aus  der  ersten  Tabelle  entnom- 
menen kleineren  Beträgen  zu  addieren.    Die  Rechnung  ergibt 
13760  Zoll  I  40'35"+12"  I  11' 9" -1-43". 
Als  Gesamtsumme  der  halben  Dauer  erhält  man  demnach  52'  39". 
Addiert  man  zu  diesen  Sechzigsteln  y^^  davon  für  die  Weiter- 
bewegung des  Schattenzentrums,  so  beträgt  die  Laufstrecke,  welche 
der  Mond  in  der  Zeit  der  halben  Dauer,  d.  i.  von  der  erstmaligen 
Berührung  des  Schattenkreises  bis  zur  Mitte  der  Totalität  zu 
durchlaufen  hat,  in  Summa  (52'39"-j- 4'23"=)  57'2".     Diese 
Strecke  wird  er  bei  der  stündlichen  ungleichförmigen  Bewegung 
von  30' 45"  (Anm.  42  a.  E.)  in  l^^öl*"  zurückgelegt  haben. 

Setzt  man  die  Mitte  der  Finsternis,  weil  sie  vor  einem  Knoten 
(Anm.  49)  stattfindet,  mit  rund  ll^lö""  an,  d.i.  um  1™36^  später 
als  der  Eintritt  der  genauen  VoUmondsyzygie  (Anm.  42  a.  E.)  er- 
folgt, so  ergibt  sich  für  den  Anfang  der  Finsternis  (11'*  15™  — 
I8t5im=)9h24m  abends,  und  für  das  Ende  (llbl5'^-f  l«t51™=) 
1^6™  nachts. 

51)  S.  411.  Bequemer  als  aus  der  Kreisfigur  entnimmt  man 
die  Auf-  und  üntergangsweiten  der  Ekliptikzeichen  aus  der  kleinen 
dreizeiligen  Tabelle,  welche  in  Verbindung  mit  einem  Scholion 
im  Yaticanus  1594  saec.  IX  enthalten  ist,  Sie  ist  sozusagen  ein 
Exzerpt  aus  der  Kreis figur  behufs  übersichtlicherer  Grup- 
pierung der  Auf-  und  Untergangsweiten. 


Sk 

Meroe 

Soene 

U.  äg.  Ebodiis  Hellesp 

.  Pontus 

Bor. 

Y 

1  nx 

30 

12°  10' 

12046' 

130  33'    140  29'  j  150  32' 

160  38' 

17047' 

1  >r^ 

60 

210  26' 

22032' 

23053'    25039'    27«  38' 

29042' 

310  56' 

i    ^  ■ 

90 

24057' 

260 15' 

27057'  |30o   0'  1  320  22' 

34053' 

370  38' 

0 

Die  Spalten  der  sieben  Klimata  mit  den  Auf-  und  Untergangs- 
weiten werden  flankiert  von  je  einer  Spalte  mit  den  Ekliptik- 
zeichen. Die  über  diesen  beiden  Spalten  stehenden  Zeichen, 
einerseits  die  Scheren,  anderseits  der  Widder,  markieren  sozu- 
sagen den  Äquator,  indem  ihre  ersten  Grade  im  Ostpunkt  auf- 
und  im  Westpunkt  untergehen.  Die  linke  Spalte  enthält  die  süd  - 
lieh,  die  rechte  Spalte  die  nördlich  des  Äquators  auf-  und 


Anhang.  455 

untergehenden  Zeichen.  Daß  es  sich  auch  bei  diesen  Zeichen,  wie 
bei  den  Scheren  und  bei  dem  Widder,  um  ihre  Anfänge,  d.  i.  um 
die  ersten  Grade  handelt,  wird  durch  die  Zahlen  der  zweiten  Spalte 
angezeigt.  Der  30  Ekliptikgrade  südlich  vom  Herbstpunkt  ent- 
fernte Anfang  des  Skorpions  geht  z.B.  für  Rhodus  mit  derselben 
südlichen  Weite  von  14*^29'  auf,  mit  welcher  der  gleich  weit  süd- 
lich vom  Frühlingspunkt  entfernte  Anfang  der  Fische  untergeht, 
und  umgekehrt :  der  Anfang  der  Fische  geht  mit  derselben  Weite 
auf,  mit  welcher  der  Anfang  des  Skorpions  untergeht.  Der  60'* 
vom  Herbstpunkt  entfernte  Anfang  des  Schützen  geht  mit  25'*  39' 
südlicher  Weite  auf,  mit  welcher  der  ebensoweit  vom  Frühlings- 
punkt entfernte  Anfang  des  Wassermanns  untergeht,  und  um- 
gekehrt. Das  Zeichen  des  Steinbocks,  dessen  Anfang  sowohl 
vom  Herbstpunkt  wie  vom  Frühlingspunkt  90°  entfernt  ist,  geht 
mit  30^*  südlicher  Weite  auf  und  auch  wieder  unter.  Entsprechende 
Bedeutung  haben  die  Zahlen  30,  60  und  90  natürlich  auch  für 
die  nördlich  des  Äquators  auf-  und  untergehenden  Zeichen  der 
letzten  Spalte. 

52)  S.  413.  Es  sollen  für  die  Anm.  50  behandelte  Mondfinster- 
nis die  Punkte  des  Horizonts  bestimmt  werden,  nach  welchen  die 
durch  Mond-  und  Schattenzentrum  gehende  Linie  am  Anfang 
der  beiden  ersten  Phasen  der  Verfinsterung  (E  und  A)  und  am 
Ende  der  beiden  letzten  (A'undE')  des  Austritts  gerichtet  war. 
Hierbei  genügt  die  von  Ptolemäus  empfohlene  ganz  allgemeine 
Schätzung,  bei  welcher  mit  abgerundeten  Zahlen  gerechnet  werden 
kann.  Zur  Vermeidung  der  Anm.  17  erläuterten  umständlichen 
Berechnungen  der  kulminierenden  und  auf-  oder  untergehenden 
Ekliptikgrade  stelle  man  den  Globus  auf  die  Polhöhe  vonUnter- 
ägypten"^)  (30°  22')  ein  und  erziele  die  maßgebenden  Punkte  der 
Ekliptik  durch  entsprechende  Drehung  des  Globus. 

Setzt  man,  um  runde  Zeitangaben  für  die  Dauer  der  Phasen 
zu  erhalten,  die  3**46™  dauernde  13,1  zöllige  Finsternis  von  9'^  25™ 
abends  bis  IhU»"  nachts  an,  so  fällt  die  Mitte  auf  llhis«^.  Bei 
der  stündlichen  ungleichförmigen  Bewegung  des  Mondes  von 
30'45"  (Anm.  50  a.  E.)  beträgt  die  ganze  Dauer  der  Totalität 
2xll'50"  =  23'40",  die  der  Mond  in  46™  zurücklegt;  sie  ver- 
läuft demnach  von  10^55™  bis  ll'»41™.  Hiermit  ist  zugleich  die 
Dauer  des  Verlaufs  der  beiden  äußeren  Phasen  (E  und  E')  mit  je 
1«*30™,  sowie  die  Uhrzeit  von  Anfang  und  Ende  der  beiden  inne- 
ren Phasen  (A  und  A')  festgestellt. 

a)  Die  Polhöhe  von  Alexandria  beträgt  30°  58'  (S.  29p,8);  da 
aber  eine  Tafel  der  Aufgänge  nur  für  das  Unterland  von  Ägypten 
(S.  95)  vorliegt,  so  ist  diese  Polhöhe  gewählt  worden,  damit  die 
kulminierenden  und  auf-  oder  untergehenden  Grade  auch  nach 
dieser  Tafel  berechnet  werden  können. 


456  Anhang. 

Da  um  Mitteniaoht  der  dem  genauen  Sonnenort  M  15^  diametral 
gegenüberliegende  15.  Grad  des  Skorpions  kulminieren  mußte,  so 
kulminierte  bei  Beginn  der  Finsternis  um  9^25"»,  d.i.  2^*35'" 
vorher  (39°  des  Äquators  zurückgedreht)  <sh  l^^  während  ^  20^ 
mit  einer  südlichen  Weite  aufging,  die  man  der  kleinen  Tabelle 
der  Auf-  und  Untergangsweiten  aus  der  Spalte  für  ünterägypten 
(übereinstimmend  mit  der  Horizonteinteilung  des  Globus)  mit 
rund  26**  entnimmt.  Da  die  Finsternis  über  ISzöllig  war,  so  geht 
man  nun  mit  13  in  die  Tabelle  der  Positionswinkel  ein,  um  der 
dritten  Spalte  für  die  erste  Phase  der  Verfinsterung  diesen  Winkel 
(als  Mittel  zwischen  23'* 28'  und  20<*36')  mit  22°  zu  entnehmen. 
Einen  Bogen  von  dieser  Größe  hat  man  (nach  Fall  IIB  3  S.413,2i) 
weil  die  Finsternis  südlich  der  Ekliptik  verlief,  von  dem  Auf- 
gangsschnittpunkt y^20°  ab,  dessen  südliche  Weite  mit  26* 
gefunden  war,  auf  dem  Horizont  nach  Norden  zu  abzutragen. 
Auf  diese  Weise  gelangt  man  durch  die  Diiferenz  26*' — 22**  zu 
dem  noch  4**  südlich  des  Ostpunktes  liegenden  Punkt,  in  welchem 
bei  Beginn  der  Finsternis  9^  25™  die  vom  Zentrum  (E)  des  Mondes 
durch  den  Mittelpunkt  (A)  des  Schattens  gehende  Linie  als  über 
den  Scheitel  (A)  verlängerter  Schenkel  des  derzeitigen 
Positionswinkels  (BAE)  den  Horizont  traf.  Daß  der  in  diesem 
Punkt  gebildete  Winkel  —  im  vorliegenden  Fall  als  innerer 
Wechselwinkel  zum  Scheitelwinkel  —  dem  der  Tabelle  entnomme- 
nenPositionswinkel  annähernd  gleich  ist,  geht  aus  derdurch- 
gehends  zugrunde  gelegten  Annahme  (353,22)  hervor,  daß  bei  der 
höchstens  2°  betragenden  Strecke,  welche  bei  Finsternissen  in 
Betracht  kommt,  dieses  Stück  der  Mondbahn  sowohl  zur  Ekliptik 
als  zum  Horizont  parallel  verlaufe. 

Bei  Eintritt  der  letzten  Phase  der  Verfinsterung  (A).  d.  i.  bei  Be- 
ginn der  Totalität  um  10'» 55"^,  kulminierte  1^*30"»  später  (22  Vg" 
des  Äquators  vorwärts  gedreht)  sl  28'^,  wozu  man  G  9°  als  unter- 
gehenden Grad  mit  der  nördlichen  Weite  27°  erhält.  Da  für  diese 
Phase  der  Positionswinkel  aus  der  vierten  Spalte  der  Tabelle  (als 
Mittel  zwischen  63°  37'  und  52°  24')  mit  58°  entnommen  wird,  so 
hat  man  einen  Bogen  von  dieser  Größe  (nach  Fall  II Bl''  S.413,io) 
südlich  von  dem  Untergangsschnittpunkt  0  9"  ausabzu- 
tragen, wodurch  man  auf  (58°— 27°=)  31°  südlich  des  Westpunk- 
tes stößt,  wo  die  aus  dem  Mittelpunkt  (A)  des  Schattens  durch 
das  Zentrum  (A)  des  Mondes  gezogene  Linie  als  Schenkel  des 
Positionswinkels  (BAA)  um  10^55"»  den  Horizont  traf. 

Am  Ende  der  ersten  Phase  des  Austritts  (A'),  d.  i.  am  Ende 
der  Totalität  um  lli'41"',  kulminierte  46™  später  (11  Vg"  des  Äqua- 
tors vorwärts  gedreht)  'U  11°  und  war  aufgehender  Grad  5'  22° 
mit  der  südlichen  Weite  26".  Da  der  Positionswinkel  wieder  58° 
beträgt,  so  wird  ein  von  dieser  Größe  (nach  Fall  II  B  2»>  S.  413,2o) 
südlich  von  dem  Aufgangsschnittpunkt  5' 22°  aus  abge- 


Anhang.  ,  457 

tragener  Bogen  (58° -f  26°  =)  84*^  südlich  des  Ostpunktes  enden, 
wo  die  aus  dem  Mittelpunkt  (A)  des  Schattens  durch  das  Zentrum 
(A')  des  Mondes  gehende  Linie  als  Schenkel  des  Positions- 
winkels (B'AA')  um  11'^  41'»  den  Horizont  traf. 

Am  Ende  der  letzten  Phase  des  Austritts  (E'),  d.  i.  am  Ende 
der  ganzen  Finsternis  um  1»^  11%  kulminierte  1«*30™  später  (22  7«° 
des  Äquators  vorwärts  gedreht)  /  2°,  wozu  man  als  untergehenden 
Grad  9  15°  mit  19°  nördlicher  Weite  erhält.  Da  der  Positions- 
winkel wieder  22°  beträgt,  so  endet  ein  von  dieser  Größe  (nach 
Fall  II  B4  S.  413,23)  nach  Norden  von  dem  Untergangs- 
schnittpunkt Q  15°  abgetragener  Bogen  (19^ -|- 22°=)  41°  nörd- 
lich des  Westpunktes,  wo  die  aus  dem  Zentrum  (E')  des  Mondes 
durch  den  Mittelpunkt  (A)  des  Schattens  gehende  Linie  als  über 
den  Scheitel  (A)  verlängerter  Schenkel  des  Positionswin- 
kels (B'  A  E')  um  l'Ul'"  den  Horizont  schnitt. 

Faßt  man  die  Bewegung  der  Schnittpunkte  während  des  ganzen 
Verlaufs  der  Finsternis  ins  Auge,  d.  h.  während  der  Zeit  von  3  y^  Stun- 
den, in  welcher  das 
Phänomen  infolge 
der  täglichen  Bewe- 
gung 57  Äquator- 
grade am  Himmel 
von  Ost  über  Süd 
nach  West  zurück- 
legt, so  wandert  in- 
folge der  etwa  2°  be- 
tragenden Recht- 
läufigkeit  des  Mon-  3^  ^l^^örd 
des  (von  West  nach 
Ost)  der  bei  Eintritt  der  ersten  Phase  (E)  4°  südlich  des  Ost- 
punktes*) von  dem  Schenkel  des  Scheitelwinkels  erzeugte 
Schnittpunkt  im  nördlichen  Horizont  von  Ost  über  Nord  nach 
West  (von  3  bis  4  an  der  Fig.)  bis  zu  der  Stelle,  wo  41°  nördlich 
des  Westpunktes  der  von  demselben  Schenkel  erzeugte  Schnitt- 
punkt das  Ende  (E')  der  Finsternis  markiert.  Dagegen  bewegt 
sich  der  bei  Eintritt  der  Totalität  (A)  31°  südlich  des  Westpunktes 
von  dem  Schenkel  desPositionswinkels  gebildete  Schnittpunkt 
in  46™  im  südlichen  Horizont  von  West  über  Süd  nach  Ost  (von 
1**  bis  2^  an  der  Fig.)  bis  zu  der  Stelle,  wo  am  Ende  der  Totalität 
(A')  der  von  demselben  Schenkel  84°  südlich  des  Ostpunktes  er- 
zeugte Schnittpunkt  eintritt. 

a)  An  der  Figur  liegt  der  zuerst  erzeugte  Schnittpunkt  nörd- 
lich des  Ostpunktes  bei  3,  der  zuletzt  erzeugte,  wie  bei  dem  Phä- 
nomen, nördlich  des  Westpunktes  in  4. 


458 


Anhang. 


Bei  einer  nördlich  der  Ekliptik  verlaufenden  Finsternis  schlägt 
die  Wanderung  der  Richtpunkte  den  entgegengesetzten  Weg 

ein:  der  am  Anfang 
S  ^^^'{^         ^4  (E)    der  Finsternis 

von  dem  Schenkel 
desScheitelwin- 

kels  erzeugte 
Schnittpunkt  wan- 
dert im  südlichen 
Horizont  von  Ost 
über  Süd  nach  West 
(von  3  bis  4  an  der 
Fig.),  während  sich 
der  am  Anfang  (A) 
der  Totalität  von  dem  Schenkel  des  Positionswinkels  gebil- 
dete Schnittpunkt  im  nördlichen  Horizont  von  West  über  Nord 
nach  Ost  (von  V  bis  2**  an  der  Fig.)  bewegt. 

Einen  zwingenden  Grund  gibt  es  nicht  für  die  Verteilung  einer  an 
sich  einheitlichen  Bewegung  auf  entgegengesetzte  Seiten  des  Hori- 
zonts. Der  E/ichtungswechsel  der  maßgebenden  Linie  durch  Mond- 
und  Schattenzentrum  entspringt  dem  Bedürfnis  zu  klassifizieren 
und  ist  lediglich  eine  logische  Forderung  des  auf  einer  ganzen  Reihe 
von  Gegensätzen  beruhenden  Schematismus,  mit  welchem  Ptole- 
mäus  S.  411 — 13  die  Klassifizierung  der  hauptsächlichsten  Richt- 
punkte durchführt,  dieum  so  komplizierter  werden  muß,  als  Son- 
nen- und  Mondfinsternisse  gleichzeitig  in  Betracht  gezogen 
werden. 


Anmerkungen  zur  Einleitung. 

1)  Die  Schriften  des  „Kleinen  Astronomen"  sind  von  mir  zu- 
sammengestellt worden  in  der  Abhandlung  über  den  Anaphori- 
kus  des  Hypsikles,  Progr.  d.  Kreuzsch.  Dresden  1888. 

2)  Als  Quellen  sind  zu  vorliegendem  Überblick  benutzt  worden: 
Georg  Weber,  AUg.  Weltgesch.  2.  Aufl.  5.-8.  Band.  Leipzig  1883 
bis  1885.  —  J.  H.  V.  Mädler,  Gesch.  der  Himmelskunde  I.Band. 
Braunschw.  1873.  —  Herm.  Hankel,  Zur  Gesch.  d.  Math,  im  Altert. 
U.Mittelalter.  Leipzig  1874.  —  Rud.Wolf,  Gesch.  d.  Astr.  Mün- 
chen 1877.  —  Moritz  Cantor,  Vorl.  über  Gesch.  d.  Math.  1.  Band. 
Leipzig  1880.  —  lo.  Geo.  Wenrich,  De  auct.  graec.  versionibus  et 
comment.  syriacis  arabicis  etc.  Lipsiae  1842. 

3)  Alfragani  Rudimenta  astronomica.  ItemAlbategnius  astro- 
nomus  peritissimus  de  motu  stellarum,  ex  observ.  tum  propriis 
tum  Ptolemaei.  Item  loannis  de  Regiomonte  oratio  introduc- 
toria  in  omnes  scientias  mathem.  Item  Epistola  Philippi  Me- 
lanchthonis  nuncupatoria.    Norimb.  1537. 


Aumerkungen.  459 

4)  Wenrich  a.  a,  0.  S.  228  nennt  als  Übersetzer  den  Sohn  Ishak 
ben  Honain,  was  von  Steinschneider  in  der  Ztschr.  für  Math.  u. 
Phys.  X.  S.  469  widerlegt  wird. 

5)  Caussin,  Le  livre  de  la  grande  table  Hak^mite.  Manuscrit 
appartenant  ä  la  bibliotheque  de  l'universite  de  Leyde  et  prete 
ä  r Institut  national  par  le  Gouvernement  Batave.  In:  Notices  et 
extraits  des  manuscrits  Tome  VII.  Paris  en  XII  (1804)  p.  16—240. 

—  Mitteilungen  über  den  Verfasser  der  Tafeln  S.  17 — 19, 

.  6)  Geberi  filii  Afflah  Hispalensis  de  astronomia  libri  IX  sive 
commentarii  in  Ptolemaei  Almagestum  edidit  Petrejus.  Cum  in- 
atrumento  primi  mobilis  Petri  Apiani.  Norimb.  1533.  —  So  bei 
Weidler,  Bibliogr.  astron.  Vitemb.  1755;  demnach  nicht  von  Peter 
Apian  herausgegeben,  wie  Wolf  a.  a.  0.  S.  72  angibt. 

7)  Baldass.  Boncompagni,  Della  vita  e  delle  opere  di  Gherardo 
Cremonese.  Roma  1851.  —  Wüstenfeld,  Die  Übersetzungen  ara- 
bischer Werke  ins  Lateinische.  Abh.  d.  Kgl.  Ges.  d.W.  zu  Göttingen. 
Hist.-phil.  Klasse  XXII.  1877. 

8)  Almagestum  Cl.  Ptolemaei  Pheludiensis  Alexandrini,  astro- 
nomorum  principis.  Opus  ingens  ac  nobile,  omnes  celorum  motus 
continens.  Felicibus  astris  eat  in  lucem:  Ductu  Petri  Liechten- 
stein Coloniensis  Germani,  anno  Virginei  Partus  1515.  die  10.  Jan. 
Venetiis  ex  officina  eiusdem  litteraria.  fol. 

9)  Bibliotheca  a  Marqu.  Gudio  congesta,  quae  publica  auctione 
4i8traheturHamburgi  ad  d.  4.  Augusti  1706.  Kiloni.  S.  664 :  No  251. 
Cod.  membr.  eleganter  scriptus  in  quarto.  Eine  zweite  in  dersel- 
ben Handschrift  enthaltene  Übersetzung  des  Quadripartitum  des 
Ptolemäus  ist  laut  Unterschrift  am  29.  Aug.  1206  beendet  worden. 
In  der  Wolfenbüttler  Bibl.  Cod.  lat.  147. 

10)  Monatl.  Corresp,  zur  Beförd.  der  Erd-  u.  Himmelskunde, 
herausgeg.  von  Freiherrn  von  Zach.   Band  27.   1813  S.  192. 

11)  Hermes  XLV  1910  S  57ff.;  XL  VI  1911  S.  207  flf. 

12)  Zu  den  Mitteilungen  über  G.  Trap.  sind  außer  dem  Artikel 
von  Bahr  in  der  Allg.  Encycl.  Erste  Section,  Teil  60  S.  219-227 
als  Quellen  herangezogen  worden:  H.  Hody,  de  Graecis  illustri- 
bus.  Londini  1742  p.  105  — 120.  —  Leonis  AUatii  de  Georgiis  et 
eorum  scriptis  diatriba.  Fabr.  Bibl.  gr.cur.  Harless.  XII.  p.70 — 84. 

—  Apostolo  Zeno,  Dissertazioni  Vossiane.  Venezia  1753.  T.  II. 
p.  2  —  27.  —  Francisci  Barbari  et  aliorum  Epistolae  ad  ipsum, 
nunc  primum  editae.  Brixiae  1743.  In  Betracht  kommen  die  Briefe 
198—210  aus  dem  Zeitraum  vom  5.  Dez.  1451  bis  28.  Sept.  1453. 

13)  Ep.  198  p.  290  Non.  Dec.  (Die  fehlende  Jahreszahl  1451 
ist  gesichert  durch  das  Antwortschreiben  Barbaros  aus  Venedig 
vom  7.  März  1452.)  Magnitudine  laboris  et  difficultate  operis  re- 
rumque  magnarum  pondere  perterritus  tergiversabar.  Tandem 
recepi  promisique  invitus  et  quasi  coactus  ....  Nee  Ptolemaeum 
m.odo  novem  mensium  spatio  traduxi,  sed,  cum  nihil  antea  scrip- 


460  Anmerkungen. 

tum  in  expositione  tantanim  rerum  inveuerim,  hanc  qüoque  ope- 
ram  simul  laboremque  subii  commentariosque  confeci,  quibus  ut 
spero  coelestium  scientia  penitus  obtrusa  in  lucem  facile  veniet. 

14)  Leo  Allatius  a.  a.  0.  S.  79:  In  commentariis,  quos  in  mag- 
nam  compositionem  Ptolemaei  furtoaTheone  subtractos  edi- 
dit ....  Et  mentitur,  se  Ptolemaeum,  quem  iam  diu  non  Latinum, 
sed  barbarum  et  multis  in  locis  mendacem  fecerat,  nondum  edi- 
disse  ....  una  cum  Commentariis,  quibus  sese  id  opus  exposuisse 
gloriatur,  in  quibus  nihil  est  alicuius  dumtaxat  momenti,  quod 
non  sit  a  Theone  Ptolemaei  expositore  subtractum. 

15)  Zeno  a.  a.  0.  S.  13  teilt  als  Beleg  hierfür  ein  in  der  Am- 
brosiana gefundenes  Schriftstück  von  der  Hand  des  Georgius  mit, 
welches  lautet:  Pontifex  Summus  Nicolaus  V.  volumen  traducen- 
dum  mense  Martii  tradidit  et  mense  Decembris  anni  eiusdem  et 
librum  traductum  et  Commentarios  vidit  absolutos,  propterquos 
postea  me  destruxit. 

16)  Ep.  210  Neapoli  28.  Sept.  1453 :  Sunt  mihi  duo  filii  et  quinque 
filiae,  quarum  duaeiam  viro  maturae  sunt,  fortuna  vero  adeo  acer- 
bitatem  suam  in  me  exercuit,  ut  nihil  addi  posse  videatur  . . .  nee 
spes  ulla  provisionis  regiae  vel  salarii  viget ....  succurratis  for- 
tunis  meis.  —  Dieser  Notschrei  stimmt  nicht  recht  zu  der  ehren- 
vollen Aufnahme,  die  er  bei  Alfons  V.  gefunden  haben  soll. 

17)  Gl.  Ptolemaei  Pheludiensis  Alexandrini  Almagestum  seu 
magnae  constructionis  mathematicae  opus  plane  divinum  latina 
donatum  lingua  ab  Georgio  Trapezuntio  usquequaque  doctissimo, 
per  Lucam  Gauricum,  Neap.  divinae  matheseos  prof.  egregium, 
in  alma  urbe  Veneta  orbis  regina  recognitum  1528.  —  Zusammen 
mit  lat.  Übers,  anderer  Werke  des  Ptol.  und  der  Hypotyp.  des 
Proklus  von  Valla  wurde  diese  Ausgabe  zu  Basel  1541  von  Hieron. 
Gemusäus  wiederholt  und  ebenda  155 1  von  Oswald  Schreckenfuchs. 

18)  Anton  Reiser,  Index  manuscr.  Bibl.  Augustana«  1675  p.  91 
nr.  69:  Isagoge  in  magnam  syntaxim  sive  structuram  Ptol.  Trape- 
zuntii  authoritate  scripta.  —  Miller,  Cat.  des  mss.  Grecs  de  FEs- 
curial.  Paris  1848  p.  141:  Introduction  ä  la  Msy.  Evvx.  de  Ptol. 
par  George  de  Trebizonde. 

19)  Außer  den  Werken  von  Wolf  u.  Mädler  wurden  zu  den  Mit- 
teilungen über  Regiomontan  als  Quellen  benutzt:  Melchior  Adam, 
Yitae  germanorum  philosophorum.  Heidelb.  1615.  —  Jo.  Gabr. 
Doppelmayr,  Hist.  Nachricht  von  den  Nürnbergischen  Mathema- 
ticis  u.  Künstlern.   Nürnb.  1730  foL  ö.  1—23. 

20)  loannis  de  Monte  Regio  et  Georgii  Purbachii  Epitome  in 
Gl.  Ptolemaei  magnam  compositionem.  Basileae  apud  Henrichum 
Petrum  1543.  —  Das  an  Jacob  von  Moersperg  gerichtete  Wid- 
mungsschreiben ist  von  Hier.  Gemusäus  verfaßt.  In  der  Epistola 
Regiomontans  an  Bessarion  heißt  es :  Quod  mihi  plane  evenisse 
videtur  in   praeclarissimo  illo  Ptolemaei  libro,  quem  Magnam 


Anm  erklingen.  461 

compositionem  vocant,  quod  apud  Graecos  mira  facilitate  facun- 
diaque  resplendeat,  ita  apud  Latinos  durum  ineptumque  habetur, 
ut  ne  Ptolemaeus  quidem  ipse,  si  reviviscat,  ipsum  sit  pro  suo 
recepturus  ....  Satis  enim  videbamur  eo  carere,  qui  ita  barbare 
atque  inepte  translatum  habebamus  ....  Coepisti  igitur  praecla- 
rum  illud  opus  iterum  Latinum  facere  ....  Verum  onus  delegatum 
tibi  tunc  apud  piissimum  imperatorem  provinciae  a  proposito  re- 
vocavit. 

Ob  auf  dieser  Epitome  die  von  Bahr  in  Paulys  Realencycl. 
Band  VI,  S.  240  aufgeführte  „Deutsche  Übersetzung  im  Auszug. 
Frankfurt  1545  fol."  beruht,  muß  dahingestellt  bleiben.  Vielleicht 
liegt  in  diesem  sonst  nirgends  erwähnten  Buch  ein  Auszug  aus 
der  Kosmographie  des  Ptolemäus  vor.  Ein  solcher  ist  unter  dem 
Titel  „Der  Deutsche  Ptolemäus"  in  Facsimiledruck  herausgegeben 
von  Joh.  Fischer,  Straßburg  1910. 

21)  Theonis  Alexandrini  defensio  contra  Trapezuntium ,  aus 
der  573  Seiten  umfassenden  Handschrift  im  Auszug  mitgeteilt  von 
Chr.  Theoph.  de  Murr,  Notitia  trium  codicum  autographorum  loh. 
Regiomontani.  Norimb.  1801  p- 11 — 19.  —  Am  Schluß  heißt  es: 
Te  autem  rursum  compello,  omnium  qui  in  terris  sunt  impuden- 
tissime  atque  perversissime  blatterator,  qui  versatili  commento 
tuo  nescire  simulas  etc. 

22)  M.  Adam  a.  a.  0.  S.  11:  Etsi  autem  aegre  patiebatur  avelli 
se  Regiomontanus  ab  officina  et  Ptolemaei  editione  et  praesagiens 
suam  mortem,  ut  narrant. 

23)  Doppelmayr  a.  a.  0.  S.  12  ff  teilt  das  von  Regiomontan  selbst 
veröffentlichte  Verzeichnis  dieser  Handschriften  mit,  die  er  noch 
herauszugeben  gedachte.  An  zweiter  Stelle  steht:  Magna  Com- 
positio  Ptolemaei,  quam  vulgo  Almagestum  vocant,  nova  traduc- 
tione.  Die  an  fünfter  Stelle  als  „Prodi  sufformationes  astrono- 
micae"'  bezeichnete  Hypotyposis  astronomicarum  positionum  ist 
ebenfalls  von  Grynäus  zum  erstenmal  herausgegeben  und  in  der- 
selben Offizin  wie  die  Syntaxis  zu  Basel  1540  gedruckt  worden. 
Somit  wäre  in  diesem  verschollenen  Kodex  des  Regiomontan  die 
der  Editio  princeps  zugrunde  liegende  Handschrift  gefunden, 
nach  welcher  ich  für  meine  Ausgabe  (Leipzig,  Teubner  1909)  ver- 
geblich geforscht  hatte. 

24)  Doppelmayr  a.  a.  0.  S.  25  Anm.  t). 

25)  Leopold  Prowe,  Nicolaus  Coppernicus.  Erster  Band,  H.  Teil. 
Berlin  1883.    S.  411. 

26)  Geographi  graeci  minores  ed.  J.  Hudson  vol.  IV.  Oxon.  1712. 

27)  Schiaparelli  (f  1910),  Über  die  homozentrischen  Sphären 
des  Eudoxus,  des  Kallippus  und  des  Aristoteles.  Übersetzt  von 
W.  Hörn.    Ztschr.  für  Math.  u.  Physik  XXII.  1877  Suppl.  1.  Heft. 


Berichtigungen. 

1)  S.  115.  An  der  Figur  zu  Fall  b)  sind  anstatt  der  Ekliptik- 
zeiclien  y  X  «»  die  Zeichen  ^  itj)  jl  zu  setzen  wie  an  der  Figur 
S  116:  an  das  östliche  Ekliptikstück  A  E  die  Zeichen  Q  und  ^>, 
an  das  westliche  Stück  BH  die  Zeichen  sl  und  ^>.  Die  durch  die 
Zeichen  T  X  «»  angedeutete  Lage  der  Ekliptik  setzt  A  als  den 
Südpol  voraus,  was  der  Annahme  widerspricht:  A  ist  für  alle 
Fälle  der  Nordpol,  welcher  im  vorliegenden  Fall,  da  der  Herbst- 
punkt nördlich  des  Zenits  kulminiert, 
*  natürlich  unter  dem  Horizont  liegen 
^^s       muß. 

''x         2)S.  216.    Die  zur  Erklärung  der  ex- 
\  zentrischen  Hypothese  beigegebene  Fi- 
1  gur  erfüllt  nicht  die  Vorschrift,  daß  H  0  K 
,'  ein  Exzenter  um  das  Zentrum  A  sei.  Sie 
/  ist  daher  durch  die  beistehende  Figur 
/''    zu  ersetzen. 
^     ^^^'  3)  S.  235,2  ist  statt  „von  dem"  „bis 

~    '"""'  zum"  zu  ändern. 

253,15  ist  statt  „der  Sonne''  „des  Mondes"  zu  setzen. 

5)  S.  323,  erste  Zeile  der  Parallaxentafel  ist  in  der  7.  Spalte 
für  Syzygie  0'  14"  statt  0'  14'  zu  setzen. 

6)  S.  346,  erste  Zeile   der  Jahrestabelle  ist  in  der  5.  Spalte 
für  Breite  die  Sekundenzahl  4  mit  zwei  Strichen  zu  versehen, 

7)  S.  347,  Anm.  ist  das  Zitat  S.  335,28  in  S.  355,28  zu  ändern. 

8)  S.  381,10  ist  AB2-AP  statt  ABHAP  zu  setzen. 


4)  S. 


Druck  von  B.  G.  Teubner  in  Dresden. 


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