Skip to main content

Full text of "Det Kongelige Danske videnskabernes selskabs skrifter"

See other formats 


LSS. - éd |. SR dû 


is 
QE 


i 
} 


ut 
ail 


ut 
pu 
LU 
HIN) 
MOTTE 
fl Tt 


AH 


4} 


(Ho 
HAN 


iy 


pl 
OUEN 


DONNE 


MB 


QU: 


Bataille 


UML TE 


i x nenn > een gina 
u EEE AW SDE LAS SIE TO ELLE NL NEL IL ELLE ZEHNTE DOE FE nn > 


FOR THE PEOPLE 
FOR EDVCATION 
FOR SCIENCE 


OF 
THE AMERICAN MUSEUM 
OF 
NATURAL HISTORY 


BY GIFT OF 


OGDEN MILLS 


Ac": 


= 
il za 

es >23 

AN CS CR TTL 

a he Me. DATA 


dure 


DET 


KONGELIGE DANSKE 


VIDENSKABERNES. SELSKABS. NARIFTER. 


SJETTE RÆKKE. 


NATURVIDENSKABELIG OG MATHEMATISK 


AFDELING. 


TREDJE BIND. 


MED SEX TAVLER. 


KJØBENHAVN. 


1885—1886. 


Br Re ‘Stas ane AND 
‘CP ane oa | ara TEN L 
RAR a | 


hr ASE 


= et TS 


vane NERO AM 


Sn DIT 


OM bck RAR 


À ae MIN AC 


ay AE 


+ 
+ 


SES 


i 
p> 
x 


i N 


\ 
Vs 

ce: 

k (i SKT “ 


Fortegnelse over Selskabets Medlemmer. September 1886 
lo 
2. 
3. 


4. 


H. 6. Zeuthen: Keglesnitsleren i Oldtiden 
G. M. R. Levinsen: Spolia atlantica. 


G. Rung: Selvregistrerende meteorologiske Instrumenter. 


INDHOLD. 


Fr. Meinert: De eucephale Myggelarver. Med 4 


planches en français 


Om nogle pelagiske Annulata. 


dobbelte Tavler. 


Med (STAvIE EEE 


MENS avl em AE Le ce 


Résumé et explication des 


re 
Tan 
ni FE a 


an, 


de ri MAT nm 


FORTEGNELSE 


OVER 


DET KONGELIGE DANSKE VIDENSKABERNES SELSKABS 


MEDLEMMER. 


SEPTEMBER i886. 


Protektor: 


Hans Majestæt Kongen. 


President: 


J. N. Madvig. 


Sekretær: H. G. Zeuthen. 
Redaktør: Vilh. Thomsen. 
Kasserer: C. F. Lütken. 


#Æasse-Kommissionen. 


J. L. Ussing. J. F. Johnstrup. P. E. Holm 
Revisorer. 
EL: A. Colding. H. F. A. Topsee. 


Ordhogs-Kommissionen. 


Vilh. Thomsen. L. Wimmer. 


Kommissionen for Udgivelsen af et dansk Diplomatarium og 
Regesta diplomatica. 


E. Holm. H. F. Rordam. Joh. Steenstrup. 


Indenlandske Medlemmer. 


Madvig, Johan Nicolai, Dr.jur. & phil., Gehejmekonferensraad, fh. Professor i klassisk 
Filologi ved Kjobenhavns Universitet, Ridder af Elefantordenen, Storkors af Danebrog 
og Danebrogsmand, Storkors af Nordstjernen og af St. Olafsordenen, Storofficer af 
den franske Æreslegions Orden, Ridder af den preussiske Orden pour le merite, 
af den russiske Hvide Orns Orden og af den nederlandske Loveorden, Selskabets 
President. 

Steenstrup, Johannes Japetus Smith, Dr. med. & phil., Etatsraad, fh. Professor i Zoologi 
ved Kjøbenhavns Universitet, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af 
Nordstjernen, Kommandor af den spanske Isabella den Katholskes Orden og af 
den italienske Kroneorden, Ridder af den preussiske Orden pour le mérite. 

Wegener, Caspar Frederik, Dr. phil., Gehejmekonferensraad, fh. Gehejmearkivar, Kgl. Histo- 
riograf og Ordenshistoriograf, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors 
af den græske Frelserorden, af den russiske St. Annaorden og af Nordstjernen, É 
Kommandør af St. Olafsordenen. 

Engelstoft, Christian Thorning, Dr. theol., Biskop over Fyns Stift, Storkors af Danebrog 
og Danebrogsmand. 

Ussing, Johan Louis, Dr. phil., LL. D., Professor i klassisk Filologi og Arkæologi ved 
Kjøbenhavns Universitet, Kommandør af Danebrog og Danebrogsmand, Officer af 
den græske Frelserorden. 

Hannover, Adolph, Dr. med., Professor, Ridder af Danebrog. 

Andre, Carl Christopher Georg, Dr.phil., Gehejmekonferensraad, fh. Direktor for Grad- 
maalingen, Storkors af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af den preussiske 
Kroneorden og af den sicilianske Frants den Førstes Orden. el 

Gislason, Konrad, Dr.phil., fh. Professor i de nordiske Sprog ved Kjøbenhavns Univer- 
sitet, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen. 


Vil 


Colding, Ludvig August, LL.D., Professor, fh. Stadsingenior i Kjøbenhavn, Indenrigsmini- 
steriets tekniske Konsulent, Ridder af Danebrog. 

Miller, Carl Ludvig, Lic. theol., Dr. phil., Etatsraad, Direktor for den kongelige Mont- 
samling og Antiksamlingen samt Inspektør ved Thorvaldsens Museum, Ridder af 
Danebrog og Danebrogsmand, Kommander af St. Olafsordenens 2den Klasse, af 
Nordstjernen og af St. Annaordenen. 

Holten, Carl Valentin, fh. Professor i Fysik ved Kjøbenhavns Universitet; Kommandør af 
Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af St. Olafsordenen og af Nordstjernen, 
dekoreret med Forljenstmedaillen og det russiske rode Kors. 

Thomsen. Hans Peter Jürgen Julius, Dr. med. & phil., Professor i Kemi ved Kjøbenhavns 
Universitet og den polytekniske Læreanstalt, Direkter for den polytekniske Lereanstalt, 
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. 

Rink, Hinrich Johannes, Dr. phil., Justitsraad, fh. Direkter for den Kgl. Gronlandske Handel, 
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af Nordstjernen. 

Johnstrup, Johannes Frederik, Professor i Mineralogi ved Kjøbenhavns Universitet og den 
polytekniske Læreanstalt, Kommander af Danebrog og Danebrogsmand. 

Barfoed, Christen Thomsen, Dr. med. & phil., Professor, Lektor i Kemi og Farmaci ved 
den Kgl. Veterinær- og Landbohojskole, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, 
Ridder af St. Olafsordenen. 

Lange, Johan Martin Christian, Dr. phil., Professor, Lærer i Botanik ved den Kgl. Vete- 
rinær og Landbohejskole, Ridder af Danebrog og Danebrogsmand, Ridder af den 
italienske Kroneorden. 


Lorenz, Ludvig Valentin, Dr. phil., Professor, Lærer i Fysik og Naturlere ved Officerskolen, 
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. 


Mehren, August Michael Ferdinand van, Dr. phil., Professor i semitisk-orientalsk Filologi 
ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af Danebrog og Kommandør af St. Stanislaus- 
ordenen. 


Holm, Peter Edvard, Dr. phil., Professor i Historie ved Kjøbenhavns Universitet, Ridder af 
Danebrog og Danebrogsmand. 


Lund, Georg Frederik Vilhelm, Dr. phil., Professor, fh. Rektor ved Aarhus Kathedralskole, 
Ridder af Danebrog. 


Lütken, Christian Frederik, Dr. phil., Professor i Zoologi ved Kjøbenhavns Universitet, 
Ridder af Danebrog, Selskabets Kasserer. 


Rordam, Holger Frederik, Dr. phil., Sognepræst i Lyngby, Ridder af Danebrog. 

Zeuthen, Hieronymus Georg, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Kjøbenhavns Univer- 
sitet og den polytekniske Lereanstalt, Ridder af Danebrog og af Nordstjernen, Sel- 
skabets Sekreter. 

Schiellerup, Hans Carl Frederik Christian, Professor, Dr. phil., konst. Observator ved 
Kjobenhavns Universitets Astronomiske Observatorium, Lærer i Tegning ved den 
polytekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog. 

Jorgensen, Sofus Mads, Dr. phil., Lektor i Kemi ved Kjøbenhavns Universitet og den poly- 
tekniske Læreanstalt, Ridder af Danebrog. 

Christiansen, Christian, Professor i Fysik ved Kjobenhavns Universitet og den polylek- 
niske Lareanstalt. 

Fausbøll, Michael Viggo, Dr. phil., Professor i indisk-orientalsk Filologi ved Kjøbenhavns 
Universitet. 


Thorkelsson, Jon, Dr. phil., Rektor ved Reykjaviks lærde Skole, Ridder af Danebrog. 


Krabbe, Harald, Dr. med., Lærer i Anatomi ved den Kgl. Veterinær- og Landbohøjskole, 
Ridder af Danebrog. 


Thomsen, Vilhelm Ludvig Peter, Dr. phil., Docent i sammenlignende Sprogvidenskab ved 
Kjebenhavns Universitet, Ridder af Danebrog, Selskabets Redaktor. 


Wimmer, Ludvig Frands Adalbert, Dr. phil., Professor i nordisk Filologi ved Kjobenhavns 
Universitet, Ridder af Danebrog. 


Lange, Julius Henrik, Docent i Kunsthistorie ved Kjøbenhavns Universitet og ved Kunst- 
akademiet, Ridder af Danebrog. 


Topsøe, Haldor, Dr. phil., Arbejdsinspektor, Lærer i Kemi ved Officerskolen i Kjøbenhavn, 
Ridder af Danebrog. 


Warming, Eugen, Dr. phil., Professor i Botanik ved Kjøbenhavns Universitetet, Ridder 
af den brasilianske Roseorden. 


Petersen, Peter Christian Julius, Dr. phil., Docent i Mathematik ved den polytekniske Lære- 
anstalt og ved Officerskolen i Kjebenhavn. 


Thiele, Thorvald Nikolai, Dr. phil., Professor i Astronomi ved Kjobenhayns Universitet. 


Meinert, Frederik Vilhelm August, Dr. phil., Iste Inspektor ved Universitetets zoologiske 
Museum. 


Goos, August Herman. Ferdinand Carl, Dr. jur., Professor i Lovkyndighed ved Kjøbenhavns 
Universitet, extraord. Assessor i Hojesteret, Overinspektor for Fængselsvæsenet, 
Ridder af Danebrog og Danebrogsmand. É 

Rostrup. Frederik Georg Emil, Docent i Plantepathologi ved den Kgl. Veterinær- og Landbo- 
højskole. 

Steenstrup, Johannes Christoffer Hagemann Reinhardt, Dr. jur., Professor Rostgardianus 
i nordisk Historie og Antikviteter ved Kjobenhavns Universitet. 

Gertz, Martin Clarentius, Dr. phil., Professor i klassisk Filologi ved Kjøbenhavns Universitet. 

Nellemann, Johannes Magnus Valdemar, Dr. jur., Justitsminister og Minister for Island, 
extraord. Assessor i Hejesteret, Direkter ved det Classenske Fideikommis, Storkors 
af Danebrog og Danebrogsmand, Storkors af Nordstjernen og den belgiske Leo- 
poldsorden. 

Jorgensen. Adolf Ditlev, Gehejmearkivar, Ridder af Danebrog. 

Heiberg, Johan Ludvig, Dr. phil., Bestyrer af Borgerdydskolen i Kjøbenhavn. 

Finsen, Vilhjålmur Ludvig, Dr.jur., Assessor i Højesteret, Kommandør af Danebrog og 
Danebrogsmand. 

Høffding, Harald, Dr. phil., Professor i Filosofi ved Kjøbenhavns Universitet. 

Kroman, Kristian Frederik Vilhelm, Dr. phil., Professor i Filosofi ved Kjobenhavns 
Universitet. 

Müller, Peter Erasmus, Dr. phil, Kammerherre, Hofjægermester, Overforster for anden 
Inspektion, Ridder af Danebrog og af St. Stanislaus Ordenen. 


XI 


Udenlandske Medlemmer. 


Chevreul, Michel-Eugene, Medlem af det franske Institut i Paris, Ridder af Danebrog. 

Weber, Wilhelm, Dr. med. & phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Göttingen. 

Airy, Sir George Biddell, LL. D., D.C. L., Kongl. Astronom ved Observatoriet i Greenwich, 
Medlem af Royal Society i London. 

Gotische, C. M., Dr. med., Lege i Altona. 

Bunsen, Robert Wilhelm, Dr. phil., Gehejmeraad, Professor i Kemi ved Universitetet i 
Heidelberg, Ridder af Danebrog. 

Owen, Richard, D.C.L., LL.D., Superintendent over British Museum, Medlem af Royal 
Society i London. 

Daubrée, A., Professor i Geologi ved Muséum d'Histoire naturelle, Medlem af det franske 
Institut i Paris. 

Carlson, Frederik Ferdinand, Dr. theol. & phil., fh. Statsraad i Stockholm, Medlem af det 
Svenske Akademi, Ridder af Danebrog. 

Siyffe, Carl Gustaf, Dr. phil., fh. Bibliothekar ved Universitetsbibliotheket i Upsala. 

Broch, Ole Jacob, Dr. phil, Professor i Mathematik i Kristiania, fh. Chef for det 
Kgl. Norske Marine-Departement. 

Edlund, Erik, Dr. phil., Professor i Fysik ved det Kongelige Svenske Videnskabernes 
Akademi i Stockholm. 

Hooker, Sir Joseph Dalton, M.D., D.C.L., LL.D., Direktor for den Kongelige Botaniske 
Have i Kew, Medlem af Royal Society i London. 

Rossi. Giambaitista de, Commendatore, Direktor for de arkæologiske Samlinger i Rom. 

Rawlinson, Sir Henry Creswicke, D.C.L., LL.D., Generalmajor, bestandig Direktor for det 
Asiatiske Selskab, Medlem af Royal Society i London. 

Bohilingk, Otto, Dr. phil., Gehejmeraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i St. Peters- 


borg, i Leipzig. 


am 


Bugge, Elseus Sophus, Dr. phil., LL.D., Professor i sammenlignende indoeuropæisk Sprog- 
forskning og Oldnorsk ved Kristiania Universitet. 


Amari, Michele, italiensk Senator, Professor i Firenze. 
Cobet, Carl Gabriel, Professor i Leiden. 
Stephani, Ludolph, virkelig Statsraad, Medlem af Videnskabernes Akademi i St. Petersborg. 


Loven, Sven, Dr. med. & phil., Professor, Medlem af Videnskabernes Akademi i Stockholm, 
Kommandor af Danebrog. 


Kjerulf, Theodor. Dr. phil., Professor i Mineralogi ved Kristiania Universitet. 
De Candolle, Alphonse, fh. Professor ved Akademiet i Geneve. 


Lubbock, Sir John, Baronet, D.C.L., LL.D., Vice-Kansler for Universitetet i London og 
Vice-Præsident i Royal Society i London. 


Agardh, Jacob Georg. Dr. med. & phil., fh. Professor i Botanik ved Lunds Universitet. 
" Huggins, William, D.C.L., LL.D., fysisk Astronom, Medlem af Royal Society i London. 


Joule, James Prescott, D.C.L., LL.D., Fysiker i Manchester, Medlem af Royal Society 
i London. 


Cayley. Arthur, D.C.L., LL.D., Professor i Mathematik ved Universitetet i Cambridge, 
Medlem af Royal Society i London. 


Haan, David Bierens de, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Leiden. 

Unger, Carl Richardt, Dr. phil., Professor i germansk og romansk Filologi ved Universitetet 
i Kristiania. 

Hermite, Charles, Professor i Mathematik ved Ecole polytechnique og Faculté des Sciences, 


Medlem af det franske Institut i Paris. 


Salmon, George, D.D., Professor i Theologi ved Universitetet i Dublin, Medlem af Royal 
Society i London. 


Cremona, Luigi, Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet og Direkter for 
Ingeniorskolen i Rom. 


Kirchhoff, Gustav Robert, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet i Berlin. 


Helmholtz, Hermann Ludwig Ferdinand, Dr. phil., Professor i Fysik ved Universitetet 
i Berlin. 


Huxley, Thomas H., LL.D., Professor ved den Kgl. Bjergyerksskole i London. 


XIII 


Ludwig, Carl Friedrich Wilhelm, Dr. med., Professor i Fysiologi ved Universitetet 
i Leipzig. 

Delisle, Léopold-Victor, Medlem af det franske Institut, Direktor for Bibliothèque 
Nationale i Paris, Kommander af Danebrog. 

Struve, Otto Wilhelm, Gehejmeraad, Direktor for Observatoriet i Pulkova. 

Miklosich, Franz, Dr. phil., Professor i slaviske Sprog ved Universitetet i Wien. 

Allman, George James, M.D., LL. D., fh. Professor i Naturhistorie i Edinburgh, Medlem 
af Royal Society i London. 

Thomson. Sir William, LL.D., D.C.L., Professor i Fysik ved Universitetet i Glasgow, 
Medlem af Royal Society i London. 

Tait, P. Guthrie, Professor i Fysik ved Universitetet i Edinburgh. 

 Malmstrôm, Carl Gustaf, Dr. phil., kgl. svensk Rigsarkivar, Stockholm. 


Pasteur, A.-M.-Louis, LL.D., Medlem af det franske Institut, Professor honorarius ved 
Faculté des Sciences, Paris. 
1 


Des Cloizeaux, Alfred-Louis-Olivier-Legrand, Medlem af det franske Institut, Professor i 
Mineralogi ved Muséum d'Histoire naturelle i Paris. 

Kokscharow, Nicolai Iwanowitsch v., Generalmajor, Direktor for det kejserlige Bjergværks- 
institut i St. Petersborg. 

Donders, Franz Cornelius, Professor i Fysiologi ved Universitetet i Utrecht. 

Blomstrand. Christian Vilhelm, Dr. pbil., Professor i Kemi ved Universitetet i Lund, Ridder 
af Danebrog. 

Cleve, Per Theodor, Dr. phil., Professor i Kemi ved Universitetet i Upsala, Ridder af Danebrog. 


Key, Ernst Axel Henrik, Dr. phil. & med., Professor i Anatomi ved det Karolinske mediko- 
kirurgiske Institut i Stockholm. 


Berthelot, Pierre-Eugéne- Marcellin, Medlem af det franske Institut, Professor i Kemi ved 
Collége de France i Paris. 

Nägeli, Carl von, Dr. phil., Professor i Botanik ved Universitetet i München. 

Gyldén, Hugo, Dr. phil., Professor, Direktor for det Kgl. Svenske Videnskabernes Akademis 
Observatorium i Stockholm. 

Möller, Axel, Dr. phil., Professor i Astronomi ved Universitetet og Direktør for Observa- 
toriet i Lund. 


XIV 


Lacaze- Duthiers, F.-J.-Henri de, Medlem af det franske Institut, Professor ved Faculté 
des Sciences, Direkter for den zoologiske Station i Roscoff. 

Retzius, M. Gustav, Professor i Histologi ved det Karolinske mediko - kirurgiske Institut i 
Stockholm. 


Boissier, M.-L.-Gasion, Medlem af det franske Institut, Professor ved Collège de France, 
Paris. 

Paris, Gaston-Bruno-Paulin, Medlem af det franske Institut, Professor ved Collége de 
France, Paris. 

Fleischer, Heinrich Leberecht. Dr. phil., Gehejmeraad, Professor i orientalske Sprog ved 
Universitetet i Leipzig. 

Curtius, Ernst, Dr. phil., Gehejmeregeringsraad, Professor i Filologi ved Universitetet og 
Direktor for Antikvariet i Berlin. 


Conze, Alexander Christian Leopold, Dr. phil., Professor, Direkter for det Kgl. Museum . 
i Berlin. - 
Stubbs, William, D D., LL. D., Biskop i Chester. 


Freeman, Edward Augustus, D.C.L., LL. D., Regius Professor i nyere Historie ved Uni- 
versiletet i Oxford. 


Maurer, Konrad v., Dr. phil., Professor i nordisk Retshistorie ved Universitetet i München. 
Möbius, Theodor, Dr. phil., Professor i de nordiske Sprog ved Universitetet i Kiel. 


Areschoug, Frederik Vilhelm Christian, Professor i Botanik ved Universitetet og Direktør 
for den botaniske Haye i Lund. 


Nordenskiöld, Adolf Erik, Professor, Friherre, Intendant ved Riksmuseet i Stockholm: 
Torell, Otto Martin, Professor, Direkter for Sveriges geologiska Undersökning, Stockholm. 
Weiersirass, Karl. Dr. phil., Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin. 

Kronecker, Leopold, Dr. phil, Professor i Mathematik ved Universitetet i Berlin. 


Leidy, Joseph, Professor i Anatomi ved Pennsylvaniens Universitet og President for Academy 
of Natural Sciences i Philadelphia. 


Kölliker, Albert von, Dr. phil., Professor i Anatomi ved Universitetet i Würzburg. 


Leydig, Franz von, Dr. med., Gehejmemedicinalraad, Professor i Anatomi ved Universitetet 
og Direktor for det anatomiske Institut i Bonn. 


N. Ÿ. ACADEMY 
OF SCIENCES 


Keglesnitsiæren i Oldtiden. 


Af 


H. G. Zeuthen. 


Vidensk. Selsk. Skr.. 6, Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. II. 1. 


Kjøbenhavn. 
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri. 


1885. 


„na 44 
ZN ——< EN 
ÄLIBRARY,} 

"i OP £ CZEN er “ 


> b 
Méi21:1220 


x 


er 1 


Te 


danske Videnskabernes Selskabs Mode den 31te Oktob 


Ba 


L 
Forelagt i det Kel 


Diden Opfindelsen af den analytiske Geometri har man i Reglen set paa Oldtidens hojere 
Geometri, særlig dens sterkt udviklede Keglesnitslere, med en vis overlegen Beundring. 
Man har beundret de store Resultater, som vare opnaaede, og som ofte rakte videre end 
dem, hvortil man selv plejede at anvende den analytiske Geometri; men naar man har 
fundet en forøget Grund til Beundring i den Betragtning, at disse Resultater ere naaede 
uden Kjendskab til de moderne Hjelpemidler, har man derved stillet sig 


o paa et temmelig 
overlegent Standpunkt over for de gamles Hjælpemidler. 

En saadan Opfattelse var tilstede allerede hos Descartes, naar han siger!), at 
de gamle ikke havde nogen virkelig Methode til at finde alle Sætninger, men at de blot 
samlede dem, som de tilfældigvis stodte paa. At den endnu er tilstede, slulter jeg deraf, 
at vor Tids mest fremragende Dyrker af Mathematikens Historie har ment at kunne skildre 
det Aarhundrede, da den græske Geometri stod i sin storste Glans, inden han havde gjort 
sig bekjendt med et af de opbevarede Hovedværker fra den Tid: Apollonios’ Keglesnitslere *). 
Da Cantor senere, og efterat have gjort sig bekjendt med det nævnte Skrift, paa ny har 
behandlet det samme Tidsrum i sit udforlige og fortjenstfulde Verk om hele Mathemalikens 
Historie, vilde der ingen Grund være til at minde om den anforte Omstændighed, hvis 
Virkningerne af den eller af den Opfattelse, hvorom den vidnede, ikke strakte sig ogsaa 
til det sidste Værk. I dette finder man vel Referater saa vel af Indholdet af Apollonios’ 
Keglesnitslere som af andet Udbytte af Grækernes højere Geometri, men aden at der, saa 
vidt jeg kan se, lægges nogen Vægt paa, at vi her have med en fuldt udviklet Videnskab 
at gjore, som ogsaa i historisk Henseende maa behandles fra helt andre Synspunkter end 
de famlende Forseg og den — i og for sig hojst betydningsfulde — Udvikling af de ele- 
menlere mathematiske Færdigheder, som han ellers har mest Lejlighed til at fremstille i 


1) Schootens Udgave af hans Geometri, S. 7. 
2) Cantor: Muclid und sein Jahrhundert, Zeitschrift für Math. und Phys., hist.-lit. Abtheil., XII, S. 71. 


I" 


= 


det udkomne første Bind.’ Den udviklede Videnskab fra en svunden Tid vil uemlig paa 
den ene Side have saadanne Ejendommeligheder i Opfaltelsesmaaden, at de opbevarede 
Meddelelser og Vink fra senere eller samtidige Forfattere, hvoraf Historien ellers lader sig 
sammensætte, kun rettelig kunne forstaas af den, som kjender noget til og tager Hensyn 
til dens egen Tankegang og Arbejdsmaade; og den vil paa den anden Side vere i Be- 
siddelse af det, der er fælles for al sand Videnskab, saaledes at den geometriske Sammen- 
hæng, som vi nu kjende mellem forskjellige Sandheder, kan være vejledende med Hensyn 
til den historiske Sammenhæng mellem deres Opdagelse i Oldtiden. 

Det vilde nu ganske vist være ubilligt at forlange, at Cantor til sine omfattende, 
historiske Studier, som ogsaa ere komne mig meget til gode under Udarbejdelsen af nær- 
værende Skrift, skulde have føjet det indgaaende geometriske Studium af den græske 
Geometri, som her vilde kræves. Mine foran staaende Ytringer indeholde derfor kun for 
saa vidt et egentligt Angreb, som de i mit andet Afsnit ville blive rettede mod nogle 
bestemte Paastande, som Cantor med stor Styrke gjør gjældende, og som jeg maa 
imødegaa for at faa del efter min Mening rigtige Grundlag for mine videre Undersøgelser. 
For øvrigt skulle de blot pege hen paa, hvilket det Savn i Literaturen er, som jeg ønsker 
at bidrage til at udfylde, og som særlig Cantor, der vil give det samlede Udbytte af den 
nyere Historieforskning"), hvori han selv har haft en saa betydelig Andel, har bragt til 
min Bevidsthed. 

Til Grund for mit Arbejde ligger navnlig den Betragtning, at de Veje, som have 
ført til saa betydelige Resultater som dem, der indeholdes i Oldtidens Keglesnitslære, nok 
fortjene at blive saa fuldstændig kjendte, som det er muligt. For saa vidt det da maatte 
vise sig, at de i væsentlige Henseender afvige fra Nutidens, navnlig fra den analytiske 
Geometri, som paa dette Omraade mere har reproduceret end udvidet Oldtidens Viden, vil 
Kjendskabet til dem maaske kunne benyttes til at forbedre vore egne Hjælpemidler. For 
saa vidt de derimod -— hvad der hovedsagelig vil vise sig at være Tilfældet — benytte de 
samme Momenter, som gjøre sig gjældende dels i den analyliske Geometri, dels i de nyere 
geometriske Methoder, faar delte Kjendskab Betydning som Bidrag til den historiske For- 


1) Som Repræsentant herfor kan man ikke betragte Maximilien Maries Histoire des Sciences 
Mathématiques ei Physiques, der mere repræsenterer Forfalterens egne, gjennem en lang Aar- 
række fortsatte Studier. Idet disse knytte sig til selve. Oldtidens fremragende Forfattere, leveres der 
netop Bidrag i den af mig ønskede Retning, blandt hvilke jeg navnlig skal anføre interessante 
Studier af den antike græske Algebra. For Keglesnitslærens Vedkommende ere de derimod mindre 
omhyggelig gjennemforte. — Hankel, hvis ægte mathematiske Indtrængen i de græske Mathema- 
tikeres Tankegang har været mig et Forbillede, om jeg end i flere Henseender er kommen til 
afvigende Resultater, naaede desværre ikke i sin Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittel- 
alter til Behandlingen af den græske Geometris store Aarhundrede. Tiden før dette er senere med 
Indsigt og Grundighed behandlet i Allman's i Hermathena offentliggjorte: » Greek Geometry from 
Thales to Euclid». 


staaelse af den nuværende Mathematiks Fremkomst og Udvikling. Kjendskabet til disse 
Veje vil fremdeles væsentlig kunne bidrage til at oplyse os om, hvad der kan have været 
indeholdt i de tabte Oldtidsskrifter, hvorom der haves enkelte Efterretninger, og hvad Græ- 
kerne overhovedet maa have vidst Besked om. 

Rigtigheden af denne Betragtning bekreftes i hej Grad ved at se hen til, hvad der 
er opnaaet paa de Steder og i de Tider, da man i Modsætning til den Opfattelse, over 
hvilken vi begyndte med at anke, har vist de gamles egne Arbejder en Opmærksomhed, 
der strakte sig videre end til Resultaterne eller Fremstillingsformen. Dette var i hojeste 
Grad Tilfældet i England og Skotland i Newtons Tid, da saa vel Newton som Gregory, 
Halley, Robert Simson og sikkert mange af deres Disciple betragtede de gamle For- 
fattere som nogle af deres egne bedste mathematiske Lærere. At antage, "at ogsaa denne 
Lerdom har bidraget til det, som den Vids britiske Mathematikere, og fremfor alle Newton 
har udrettet, er fuldt berettiget, naar man ser, hvor ner denne knytter sine egne Under- 
sogelser til de gamles. Fra den Tid af er ogsaa meget gjenoptaget i Geometrien, som 
havde ligget upaaagtet eller dog ubenyttet hen i 2000 Aar, og som senere har baaret 
god Frugt. 

Hvor meget man endnu i den første Del af dette Aarhundrede kunde have lært, 
om ikke af de gamles opbevarede Skrifter, saa dog af de gamle selv, se vi deraf, at 
Chasles, samtidig med at han personlig undersøgte projektive Punktrækker og deres An- 
vendelser, paaviste, at det maatte være saadanne, der udgjorde Gjenstanden for Euklids 
tabte Værk: Porismerne. Dette vigtige historiske Resultat giver imidlertid Anledning til 
et nyt Spørgsmaal. Undersøgelsen af projektive Punktrækker og Bundter var hos Chasles, 
som hos hans tyske samtidige, fremkaldt af Hensynet til deres store Betydning for Kegle- 
snitslæren. Hvor interessante deres Anvendelser paa retliniede Figurer og Cirkler end 
kunne være, vilde disse neppe have givet Anledning til Dannelsen af et saa udførligt Ap- 
parat. Nu har vel Chasles sikkert Ret i, at det kun er disse sidste Anvendelser, som 
Euklid har medtaget i sine Porismer; men det har ikke været berettiget deraf at slutte, 
at man i Oldtiden slet ikke har kjendt de omtalte Theoriers Anvendelse paa Keglesnits- 
læren. Tvertimod ligger det, da denne Lære i det hele lagde saa meget Beslag paa Geo- 
metrernes Opmærksomhed, nær at antage, at det i Oldtiden ligesom i Nutiden er den, som 
har givet Anledning til Undersøgelsen af de projektive Punktrækker. Skulde nu dette dog 
ikke have været Tilfældet, var det rimeligt, at i det mindste Udbyttet af denne Undersøgelse, 
naar det en Gang var fundet, maatte komme Euklid selv og senere Apollonios til gode i 
deres Undersøgelser over Keglesnittene. 

Hvor vidt nu noget af dette virkelig har været Tilfældet, og hvilket, kan kun af- 
gjøres ved en Undersøgelse af Sætninger og Bevisforelser i de Afsnit af den antike Kegle- 
hvor Porismernes Indhold kunde komme til Nytte; thi en direkte Henvisning til 


snitslære, 


| S 


Porismerne findes ikke i noget opbevaret Skrift om Keglesnittene. Denne Undersogelse 
kan tjene til Exempel paa det, der vil komme til at beskjæftige os. 

Det Grundlag, hvorpaa mit Arbejde maa bygges, og hvortil det helt igjennem maa 
stotte sig, er selve de opbevarede Skrifter fra den Tid, da den greske Geometri stod i sin 
højeste Blomstring, og, idet jeg særlig skal beskjeftige mig med Keglesnitsleren som den 
fuldest udviklede Repræsentant for den højere Geometri i Oldtiden, fremfor alt Apol- 
lonios’ Keglesnitsl&ere!). Til dette Skrifts Inddeling slutter Planen for nærværende 
Arbejdes Ordning sig noje, og et af mine nærmeste Formaal er at give en nogenlunde fuld- 
stendig Fremstilling af dette Skrifts Indhold, af de opnaaede Resultater saa vel som af de 
Hovedtanker, der gaa gjennem Beviserne, og af Formaalene for de enkelte Undersogelser, 
for saa vidt man kan slutte sig dertil af, hvad de virkelig bruges til. 

Denne Side af min Opgave falder for en Del sammen med den, som Housel har 
stillet sig I den Redegjorelse for Apollonios’ Værk, som han har givet i 23de Bind af 
Liouvilles Journal. Blandt dette Arbejdes Fortjenester kan fremhæves Berigtigelsen af 
den Misforstaaelse, at Apollonios i skjæve Kegler kun skulde have betragtet Snit vinkelret 
paa Symmetriplanen, samt Paavisning af Overensstemmelsen mellem Apollonios’ Fremgangs- 
maader og den analytiske Geometris Hjælpemidler. At jeg dog ikke har kunnet blive 
staaende ved, hvad Housel har uddraget, beror paa, at jeg dels her har Brug for en fuld- 


stændigere Redegjorelse for Apollonios’ Hovedverk, dels at — som jeg lejlighedsvis skal 
vise — Housel har gjort sig skyldig i forskjellige Misforstaaelser, og derfor giver flere 


urigtige Forestillinger om Apollonios’ Tankegang, og om hvad han har naaet. Hertil 
kommer, at han væsentlig nojes med en isoleret Betragtning af det ene Verk, som er 
Gjenstand for hans Behandling, og ikke ser det i Belysning af de ovrige foreliggende Op- 
lysninger fra og om Geometrien i det Aarhundrede, da det blev til. 

At der nu, naar man vil gjore de egentlig frugtbare Tanker i de gamles Beviser 
bekjendte, virkelig er Brug for saadanne Arbejder som Housels og det, som her skal gives, 
og al man ikke kan nojes med en rent sproglig Oversættelse, beror tildels paa, at selve 
det mathematiske Sprog i Oldtiden var saa afvigende fra vort, at ogsaa dette maa 
oversæltes, naar Tankerne skulle træde klart frem for den, der kun kjender vor Tids Mathe- 
matik. Hovedgrunden er dog den, at Formaalet for de gamles egne Fremstilling er den 
fuldstændige Sikring af Resultaterne og ikke Oplysning om de Veje, ad hvilke de ere 
fundne, og ad hvilke derefter andet mere kan findes. 

Dette gjelder særlig om den synthetiske Fremstillingsmaade, hvoraf Apollonios 
næsten overalt betjener sig i Keglesnitsleren, ligesom Euklid i «Elementerne», og som 


') Euklid levede omtrent 300 f. Chr., Archimedes 287—212, Apollonios omtrent 200. Hvor 
der ikke udtrykkelig bemærkes andet, angiver jeg Aarstal efter Cantor. 


bestaar i") først at angive Sætningen eller den Opgave, som skal loses, i sidste Tilfælde 


r 


dernæst Losningen, og endelig i begge Tilfælde tilsidst Bevisel for den opstillede Sætning 
eller Losning. Ad denne Vej faar man at vide, at det, som er udsagt, er sandt, men ikke, 
hvorledes man er faldet paa at sige det. Noget mere faar man umiddelbart at vide, naar 
de gamle ogsaa meddele en Opgaves Analyse, som bestaar i at tenke sig den lest og 
af denne Forudsætning udlede saadanne nye Forbindelser, som kunne tjene til den virkelige 
Lesning. Det samme kan man i Reglen opnaa ved selv af den foreliggende synthetiske 
Fremstilling ved Omvending af alle Operationer at danne den Analyse, som i hvert Til- 
fælde kunde være anvendt og i mange Tilfelde virkelig er anvendt af de gamle. For 
Theoremernes Vedkommende gjælder noget lignende, da det, de udsige, i Reglen kan betragtes 
som Svaret paa et Sporgsmaal, altsaa som Losning af en vis Opgave?). 

Den af de gamle opstillede eller ved en Omvending af Synthesen dannede, stivt 
formede Analyse, er imidlertid endnu kun en rent formel Methode. At lænke sig en geo- 
metrisk Opgave lost kan være et Hjælpemiddel til at finde de Forbindelser, som kunne 
benyttes ved Løsningen; men derved gives dog ikke bestemte Anvisninger paa, hvilke 
Egenskaber ved den saaledes foreløbig dannede Figur man fortrinsvis skal benytte, eller 
hvilke Hjælpelinier man kan have Fordel af at indføre. I mange Tilfælde er Løsningen af 
en Opgave det, som er fundet først, og det er Løsningens Simpelhed, som har vist den 


1) I Hankel: Zur Geschichte der Mathematik im Alterthum und Mittelalter S. 137 fr. findes en meget 
smuk og ved Exempler oplyst Skildring af de gamles Analyse og Synthese. Jeg skal her tilføje 
et Exempel fra den nyere Mathematik, som maaske tydeligst vil vise det rent logiske Udbytte af de 
to Operationer, nemlig at Analysen fører til alle de Løsninger, som en Opgave overhovedet kan 
have, saaledes at man sikres mod at glemme nogen, medens man ved et synthetisk 
Bevis sikrer sig Rigtigheden af de Løsninger, man kommer til. Exemplet er en hvilken som helst 
Opgaves Behandling ved at sættes i Ligning, løse denne og gjøre Prøve paa Løsningerne. At give 
den eller de ubekjendte Navn og indføre dem i en eller flere Ligninger er det samme som at tænke 
sig disse tilfredsstillede, altsaa tænke sig Opgaven løst. I Forbindelse med Ligningernes Løsning 
udgjør denne Operation en Analyse; Prøven af Rødderne er det synthetiske Bevis for de fundne 
Løsningers Rigtighed. Denne Prøve kan undværes, naar der i Analysen ikke er brugt Operationer, 
som ikke kunne vendes om, men derimod ikke, naar man ved Potensoploftning har bortskallet et 
Rodtegn, som er forudsat at være regnet med et vist Fortegn. Paa lignende Maade vilde de gamle 
i mange Tilfælde kunne have undværet deres Synthese efter at have opstillet Analysen, hvis de 
havde haft bestemte Regler for, hvilke af deres Operationer man kan vende om. I Mangel deraf 
sikrede de sig i Reglen ved Synthesen, som bestod i en gjennemført Omvending af Analysens enkelte 
Operationer, at de opstillede Løsninger vare rigtige. Hvor de undlode Analysen, fik man derimod 
intet Bevis for, at der ikke var andre Løsninger. 

Ordene Analyse og Synthese ville i nærværende Skrift stedse kun blive 
brugt i deres simple antike Betydninger, og Adjektiverne analytisk og synthetisk 
i Overensstemmelse dermed. Kun naar vi tale om «den analytiske Geometri» mene vi der- 
med særlig den Cartesiske, naar ikke andet udtrykkelig bemærkes 

2) Det er dog ikke ganske i denne Form, at de gamles «theoretiske Analyse» optræder. Se Hankels 
Fremstilling. 


Interesse, det kan have at stille og behandle Opgaven. De Realmethoder, som de gamle 
anvendte med storre eller mindre Bevidsthed om deres almindelige Brugbarhed og Rekke- 
vidde, maa derimod findes ved en Sammenstilling af de Hjelpemidler, som komme i Brug 
paa forskjellige Steder, og en Provelse af det Omfang, hvori de anvendtes. De kunne der- 
efter ogsaa oplyses, og deres Rækkevidde proves, ved at sammenholdes med moderne 
Methoder, hvorved man dog selvfolgelig maa vogte sig for at medtage, hvad der ikke 
fandtes eller i det mindste havde sit tilsvarende hos de gamle. 

De Prineiper, som jeg saaledes har lagt til Grund for mit Studium af Apollonios’ 
Hovedværk, anvender jeg ogsaa paa de øvrige opbevarede Skrifter, som omhandle eller 
kunne antages at have staaet i Forbindelse med Keglesnitsleren. Til Vejledning under 
dette Arbejde og til Samling og Udfyldning af dets Udbytte til et saa vidt mulig fuldstændigt 
Billede af den gamle Keglesnitslere har jeg benyttet de Vink, samt Oplysninger om tabte 
Skrifter og Undersøgelser, som findes i de gamles, særlig Apollonios’ egne Fortaler") og i 
Beretninger fra den senere Oldtid”). At jeg, der ikke selv er Historiker, er bleven sat i 
Stand til at finde og benytte ogsaa enkeltstaaende Vink, skylder jeg de omfattende og 
grundige Undersøgelser, som fra Historikeres og Filologers Side, navnlig i de senere Aar- 
tier, ere blevne Oldtidens Mathematik og dens enkelte Forfattere til Del. 

Endnu skal jeg her kun bemærke, at om jeg end haaber at have givet flere af 
de Resultater, hvortil jeg er kommen, en saadan Begrundelse, at de ogsaa i Fremtiden 
ville blive godkjendle, er det en Selvfølge, at jeg, for at give mit Billede Fuldstendighed 
ogsaa har maattet opstille mer eller mindre begrundede Formodninger, af hvilke maaske 
nogle ville blive staaende, medens der vel ogsaa er dem, som kun ville faa Betydning som 
Ånledninger for andre til at sætte noget bedre i Stedet. 


1) Disse og Pappos’ Omtale af Apollonios' Keglesnitslære ere derfor i Oversættelse trykte som Tillæg 1 og 2. 


*) Disse findes fremfor alt hos Pappos, der levede henved 300 Aar efter Chr.; endvidere hos Proklos 
(410—485) og Eutokios henved 600. 


Forste Afsnit. 


Forudsætninger og Hjælpemidler: Proportioner og geometrisk Algebra. 


Den antike Keglesnitslære, som i fuld Sammenhæng er udviklet af Apollonios, 
er ikke bygget paa andre Forudsætninger end dem, som findes i Euklids Elementer, altsaa 
i det væsentlige heller ikke paa andre end dem, der ogsaa henhore til den nuværende ele- 
mentære Geometri. Enhver, som er fortrolig med denne, og som dernæst fastholder, hvad 
han efterhaanden lærer under Læsningen, vil saaledes kunne forstaa hvert enkelt Argument, 
som Apollonios benytter. Men for ret at sætte sig ind i den hele Tankegang og opfatte 
den Plan, som Forfatteren følger, maa man legge Mærke til, at der blandt disse Forud- 
sætninger, som ogsaa vi kjende, er nogle, som han — saa vel som hans Forgængere — 
har haft langt mere Brug for end vi, og med hvilke han og hans antike Lesere derfor 
ogsaa have veret langt mere fortrolige. 

Hvilke disse ere, og hvor megen Trang de græske Geometrer have havt til dem, 
bliver let forstaaeligt, naar man lægger Marke til, hvilke særlige Hjælpemidler der i selve 
det omtalte Værk indføres til Brug ved Studiet af Keglesnitslinierne. Dette er, om end 
Begrebet Koordinatsystem ikke opstilles, det samme, som vi bruge, nemlig retvinklede 
og skjevvinklede Koordinater, som Grekerne tilmed — netop paa Grund af den 
geometriske Form for deres Anvendelse — forstod at anvende med større Frihed, end man 
gjorde i det 17de og 18de Aarhundrede. Koordinater bruge vi imidlertid sammen med 
Algebraen, som Grækerne ikke kjendte. Vi maa da se, hvad der hos dem, ved Brugen af 
Koordinater som ogsaa i andre Undersøgelser, hvor man nu sædvanligvis bruger Algebra, 
træder i Algebraens Sted. 

Først kunne vi da nævne et Hjælpemiddel, som man ogsaa mu anvender i geo- 
metriske Undersøgelser paa ganske samme Maade som Grækerne om end i mindre Omfang 
og kun lidet indenfor den egentlige analytiske Geometri, nemlig Proportioner indførte 
ved ligedannede Figurer. 


Vidensk, Selsk. Skr. 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. HIT, 1 72 


10 


Man har undertiden villet gjore gjældende, at de gamles Proportioner havde en 
fra vore afvigende Betydning derved, at disse sidste ere Ligninger, men de gamles bestaa 
i en vis Forbindelse mellem Forhold, som ganske vist, naar Forholdenes Led ere kommen- 
surable, bliver til en Ligning, men ellers bestemmes ved en ejendommelig Definition i 
Euklids femte Bog. Denne Definition, som gaar ud paa, at a slaar i samme Forhold til d 


som c til d, naar alle de hele Tal M og N, som gjore M.aZ N.b, ogsaa gjøre Mice N.d, 


er imidlertid ikke nogen anden end en almengyldig Definition paa Forholds Ligestorhed, og 
falder meget ner sammen med den, som Weierstrass i vore Dage anvender til at defi- 
nere Værdien af irralionale Storrelser. At det, om Euklid end ikke kalder Forholdene lige 
store, virkelig er Ligestorheden, der defineres, viser sig derved, at en af de forste Sæt- 
ninger, som bevises paa Grundlag af denne Definition, er, at naar a:b::c:d, hvor vi 
forelebig bruge det Tegn, som man i den moderne Omskrivning af antike Proportioner har 
sat i Stedet for Lighedstegnet, og samtidig ¢:d :: e:f, er ogsaa a:b::e:ft). 

Sagen er saaledes i Virkeligheden den, at medens man i den moderne elementære 
Algebra sædvanligvis bruger Lighedstegnet uden at give en ogsaa for inkommensurable 
Størrelser gjældende Forklaring af, hvad Værdierne ere af de Forhold, som man setter lige 
store, lagde man i Oldtiden, uden at bruge Lighedstegn eller Lighedsnavn, en saadan be- 
stemt defineret Betydning ind i den opstillede Forbindelse mellem Forhold, at denne For- 
bindelse netop er den, som vi kalde Ligestorhed?) Med Definitionen paa Ligestorhed af 
Forhold var forbunden den tilsvarende paa Uligestorhed. 

Disse Definitioner paa et Forholds Storrelse i dets Forbindelser med andre, 
vare saaledes de samme, som karakterisere den almindelige Storrelse, der indgaar i 
den nuværende Algebra og kontinuert antager alle Værdier, ikke blot saadanne, som staa i 
et rationalt Forhold til en vis Enhed. Den derpaa byggede Proportionslere indeholdt Swt- 
ninger, som salte i Stand til at udføre de vigtigste algebraiske Operationer med denne 
Størrelse. Navnlig havde man i Sammensætning. af Forhold et Middel til faktisk Udførelse 


1) Af Grundlaget for den Euklidiske Proportionslære findes en meget smuk, udførligere Fremstilling 
i et Brudstykke om Euklid i Slutningen af Hankel: Zur Geschichte der Mathematik ete. 
*) Ogsaa Maximilien Marie, til hvem jeg ellers ikke her har sigtet, synes S.5 at finde en Forskjel 


5 = 2 a Cc 7 AS - 
deri, at i en moderne Proportion a mellem fire Linier a, b, ec, d, disse Størrelser betegne 
Liniernes Talværdier eller Forholdene til en bestemt Enhed. Dette bliver da en mere sammensat 
b cod 


2 à eae 3 
Relation, som man, naar Enheden kaldes e, vilde kunne skrive —:— = —:—, og som de gamle 
e € 


G. @ 
ogsaa vilde kunne give Udtryk. Til geometrisk Undersøgelse er den ikke saa bekvem som den, hvor 
ingen Enhed indføres, hvad man jo ogsaa nu til Dags undlader i almindelige Undersøgelser. Der 
er for øvrigt, som vi snart skulle berøre, Grund til at antage, at Proportionalitet mellem Talværdier 
har været brugt, førend man opstillede de Euklidiske Definitioner. 


11 


af den algebraiske Multiplikation af hvilke som helst saadanne Størrelser. I en sammen- 


hengende Proportion, som 


Ay ay hy (ax, 
=— = | noce el See eee 
ay dig ay (ln 
‘ Un Gig VE ayes À a fa 
bliver les (EJ) og benyttes i Virkeligheden som en Potens, medens omvendt -! — V cr 
0 0 ay ay 


Man kjendte endog Summationen af den ad denne Vej dannede Kvotientrekke*). Ved Be- 
nyttelse af omvendte Forhold kunde man ogsaa udfore Division. Idet man ved disse 
Midler kan gjøre Forhold til, hvad vi kalde ensbenævnte, kunne Additioner og Subtrak- 
tioner ogsaa udfores. 

Man har saaledes et Apparat, hvorved man kan udtrykke Sammensetningen af 
algebraiske Størrelser. Men til praktisk Brug er denne Udtryksmaade i Ord yderst besværlig. 
Selv naar man fremstiller Operationerne i et Tegnsprog, falde disse Besverligheder ikke 
bort. De knytte sig nemlig til, at Proportionsleren, om dens Sætninger end faktisk gjen- 
give Bestemmelser ved de elementære Regneoperationer, dog ikke formelt gjør dette. 
Proportionslerens Setningsbygning har og maa have en mere kunstig Form end en Sam- 
ling af simple Regneregler, paralleltlabende med de bekjendte Regneregler for hele Tal. 

Naar det nu dog skal forstaas, ikke blot at Grækerne have kunnet benytte dette 
Apparat i Fremstillinger af og strenge Beviser for fundne Sætninger, men ogsaa under 
Opdagelsen af selve Sætningerne, peger, som vi nu skulle se, selve dets Kunstighed hen 
paa Forklaringen”). 

Åt fremstille geometriske som alle mulige konkrete Størrelser ved Tal og at regne 
med disse Tal er lige saa gammelt som Indførelsen af Maal og Regning, og Forhold og 
Proportioner maa om end i rudimentære Former være lige saa gamle som den første Op- 
fattelse af ligedannede Figurer, det er vist nok som Geometrien overhovedet; thi man er 
næppe faldet paa at operere med sine egne smaa Figurer uden at tænke sig dem anvendt 
i det større paa de dermed ligedannede Figurer, der frembød sig i Landmaaling eter 
Bygningskunst. 

Da Pythagoros (580—500), ellev maaske først en af hans nærmeste Disciple, op= 
dagede, at ikke alle Storrelser af samme Art ere kommensurable, sattes der imidlertid en 
Stopper for de umiddelbare Anvendelser af Tal og dertil knyttede Proportioner i den Geo- 
metri, som skulde gjere Fordring paa Stringens. Idet man da sogte at hjælpe sig ved 
rent geometriske Operationer, blev en gavnlig Folge heraf disse sidstes videre Udvikling. 


1) Se Euklid IX, 35. Den 9de Bog er rigtignok en al de arithmetiske Bøger, hvor de behandlede 
Størrelser ere hele Tal. Sætningen har faaet sin Plads her som Hjælpesætning til den arithme- 
tiske Sætning 36; men Beviset for den sely er almengyldigt. 

2) I denne Forklaring, som i meget andet af dette Afsnits Indhold, slutter jeg mig til en ligesaa 
skarpsindig som aandfuld Afhandling af P. Tannery: De la solution géométrique des problèmes du 
second degré avant ÆEuclide (Mémoires de la Société de Bordeaux 2m série, L IV). 


12 
Læren om Regninger og Talforhold udviklede sig vel samtidig; men som videnskabelig 
godkjendtes den kun i sin Anvendelse paa Forhold mellem rationale Sterrelser, saaledes 
som den optræder i Euklids arithmetiske Bøger (Tde—9de). Det kan imidlerlid ikke fejle, 
at man praktisk anvendte Tal og Proportioner ogsaa paa Geometrien om end med den 
Bevidsthed, at man, for at faa sine Resultater godkjendte, bagefter maatte bevise dem ad 
anden Vej. 

Da endelig — som det almindelig antages — Eudoxos fra Knidos (408—355) 
fandt det nye og almengyldige Grundlag for Proportionslæren, som vi have angivet, og som 
Euklid har optaget i sin Geometri og anvendt paa Læren om ligedannede Figurer, har man 
nødvendigvis maaltet indse, at denne nye Proportionslære fuldkommen stemte med den gamle, 
eller rettere, den gamle arithmetiske har Skridt for Skridt tjent til Vejledning ved Udvik- 
lingen af den nye. Om end Euklid har fundet det rigtigt i Stedet for at bygge ogsaa den 
aritmetiske Proportionslære i 7de—9de Bog paa de almengyldige Beviser i Ste, men 
har bibeholdt de gamle arithmetiske Beviser, bliver det dog fuldstændig tydeligt ved Over- 
ensstemmelsen i Benævnelser og Sætninger, at man indsaa Forbindelsen. Heraf følger 
imidlertid, at de gamle ogsaa under deres Anvendelse af Proportionslærens Apparat af 
Sætninger — ligesom vi, naar vi udtrykke vore algebraiske Operationer i Proportioner — 
vare i Stand til som personlig Vejledning at benytte Tanken paa de Regneoperationer, som 
ligge bag ved Sætningerne. 

Trods dette er for Nulidens Opfattelse en nogenlunde overkommelig Anvendelse 
af Proporticner uadskillelig fra Brugen af et Tegnsprog, der lader deres Forbindelser og 
de Omdannelser, der ifølge bekjendte Sætninger ere mulige, falde i Øjnene og binde sig 
fast i Hukommelsen. Oldtiden havde vel ikke et Tegnsprog, men et Hjælpemiddel til 
Anskueliggjørelsen af disse som andre Operationer havde man i den geo- 
metriske Fremstilling og Behandling af almindelige Størrelser og af Ope- 
rationer med samme. 

Denne Fremstillingsmaade beror paa, at en paa en Figur afsat Længde (eller, hvad 
man derefter bruger ved Siden heraf, et Areal), som ganske vist umiddelbart har en aldeles 
bestemt Størrelse, dog indenfor visse Grænser kan fremstille en fuldstændig almindelig 
Størrelse, idet nemlig de geometriske Sætninger, som anvendes, ikke give andre Resultater 
end dem, som ere nedlagte i de udtrykkelig vedtagne Forudsætninger, og Resultaterne altsaa 
blive uafhængige af de tilfældige Størrelser, som indførte Længder (eller Arealer) have faaet 
paa den tegnede Figur‘). Dette Hjælpemiddel kunde man vedblive at anvende uafhængig 


*) Dette Hjælpemiddel staar i videnskabeligt Omfanz som i praktisk Anvendelished til algebraiske 
Undersøgelser langt over et tilsvarende arithmetisk Hjælpemiddel hos Diofant, der ofte fremstiller 
almindelige Regneoperationer ved Indførelse af bestemte Tal for vilkaarlige. Idet de indførie Tal 
ere ralionale, have Operationer med dem for de samle kun repræsenteret Operationer med ralionale 


13 


af Opdagelsen af irrationale Størrelser, Denne Opdagelse, som hæmmede Brugen af de 
arithmetiske Hjælpemidler, maatte netop derved blive særlig gunstig for dettes Udvikling. 

Der udviklede sig saaledes en geometrisk Algebra, som vi kunne kalde den, 
da den som Algebraen dels behandler almindelige Størrelser, irrationale saavel som ratio- 
nale, dels benytter andre Midler end det sædvanlige Sprog til at gjøre sin Behandling an- 
skuelig og binde den til Hukommelsen. Denne geometriske Algebra havde paa Euklids 
Tid naaet en saadan Udvikling, at den kunde magte de samme Opgaver som vor Alge- 
bra, saalænge denne ikke hæver sig ud over Behandling af Udtryk af anden 
Grad, et Omraade, som den ogsaa netop vil vise sig at have udfyldt i sin Anvendelse 
paa Keglesnitslæren, der svarer til vor Algebras Anvendelse i den analytiske Geometri. 

Et Forbehold maa dog her gjøres, nemlig for saa vidt man i Oldtiden ikke havde 
negative Størrelser, eller noget dertil svarende Hjælpemiddel. Man maatte derfor ud- 
stykke i forskjellige Sætninger med tilhørende Beviser, eller i det mindste til forskjellige 
Figurer til samme Sætning og Bevis, hvad vi kunne samle i én fælles algebraisk Udvikling. 
Da det imidlertid under saadanne Omstændigheder er væsentlig samme Sætning, som skal 
bevises overalt, gav de forskjellige Tilfælde ikke Anledning til flere virkelige Vanskeligheder, 
end' naar de ere sammenfattede under ét. Kun en besværlig Vidtløftighed i Fremstillingen 
blev Følgen. 

Hvad for øvrigt angaar den Lethed, hvormed Hjælpemidlet brugtes, tror jeg, til- 
dels efter selv at have anstillet Forsøg, at det for den dertil vante ikke stod tilbage 
for vor Algebra, naar Talen er om personligt Arbejde og mundtlig Fremstilling, 
ved hvilken man kan pege paa Figuren. Derimod var det som skriftligt Meddelelses- 
middel besværligt at anvende, og stod i saa Henseende langt tilbage for vor Algebra, 
hvis Formler ere lige saa lette at læse som at skrive. I den skriftlige Fremstilling krævedes 
nemlig ikke blot en Tegning af Figuren, men ogsaa en Beskrivelse og idelig Henvisning 
fra Text til Figur. 

Da vi netop nys have berørt Proportionslæren, skulle vi begynde vor nærmere 
Beskrivelse af den geometriske Algebra med at bemærke, at de forskjellige Sætninger om 
en Proportions simpleste Omdannelser blive lige saa anskuelige, naar de to Forholds Led 
enten paa Forhaand ere — hvad der i Anvendelserne jævnlig finder Sted — eller frem- 
stilles som Stykker af to rette Linier, paa hvilke man kan pege, som naar de fremstilles 
i vort Tegnsprog. Saadanne Anskueliggjørelser af de proportionale Størrelser ved rette 
Linier findes gjennemgaaende i Euklids femte Bog, hvor de vel kun gjøre en direkte Nytte, 


Størrelser, og naar Regningerne udføres, skjuler Resultatet de Operationer, som det netop gjaldt 
om at oplyse, og som man hos Diofant maa erindre ved Siden af Regneresultaterne. Naar et 
Produkt repræsenteres af et Rektangel med Faktorerne til Sider, vedbliver derimod Tilblivelsesmaaden 
at være lige saa klar, som naar vi skrive et Produkt a.b. 


14 


naar der er Tale om en Addition eller Subtraktion eller Multiplikation med et helt Tal, 
men hvor de overalt faa den Betydning, at hver enkelt Storrelse bindes til Anskuelsen og 
Hukommelsen, saaledes som vi gjore det ved at repræsentere dem ved enkelte Bogstaver, 
hvis Forbindelser ere at søge i Ligningerne. Selv de hele Tal i 7de—9de Bog anskuelig- 
gjores paa saadan Maade. 

Det samme Anskuelsesmiddel kan anvendes overhovedet, hvor der er Tale om Addi- 
tioner og Subtraktioner. Ere de Størrelser, som skulle adderes eller subtraheres, ikke 
Længder men f. Ex. hele Tal eller Arealer, fremstilles de ved Længder, om fornødent efter 
en Omdannelse (saaledes af Arealer til Trekanter eller Parallelogrammer med samme Højde, 
der da kunne fremstilles ved Grundlinierne), og Længderne afsættes ved Siden af hinanden 
paa samme retle Linie eller paa hinanden. Dette er nu en Selvfølge, naar Operationen 
virkelig skal udføres geometrisk. Naar der derimod kun er Tale om en theoretisk Under- 
søgelse, eller naar i en Analyse nogle af Linierne ere ubekjendte, gjør denne Fremstilling 
en lignende Nytte, som Fremstilling i Algebraens Tegnsprog af et i Ord fremstillet, alge- 
braisk Udtryk eller af en Ligning gjør for os. 

Ligningen !) 


gav + Bytyet...c=d 
vilde saaledes af de gamle, idet a, 8, 7... fremstilles som Forhold mellem forelagte rette 
Linier, men 2, y, 2...d selv som rette Linier, lade sig fremstille ved paa en ret Linie 


ved Siden af hinanden at afsætte Stykker, der staa i Forholdene a, 2, 7... til x, y, 2... 
Afstanden mellem Begyndelsespunktet og det Punkt, man ved de sukcessive Afsættelser 
naar lil, skal da være d. Paa lignende Maade kan man bære sig ad, naar der forekommer 
andre Fortegn i Ligningen. Ligesom vi ved den nu brugelige Fremstilling maa erindre, 
hvad hvert enkelt af vore Bogstaver betyder, maatte de gamle erindre, hvad det var for 
Stykker, man havde afsat; men derefter havde de gamle som vi en Fremstilling af Ligningen. 
Hos de gamle kan den nødvendige Erindring undertiden være støttet noget ved, at Hjælpe- 
figuren er sat i direkte konstruktiv Forbindelse med Hovedfiguren; ofte, saaledes jævnlig 
hos Archimedes, er den derimod tegnet ved Siden af. 

Ved Hjælp af en saadan Fremstilling løses Ligninger af første Grad ad Veje, som 
have meget fælles med vor algebraiske Behandling. Dog er den ubekjendte Størrelse om- 
byltet med et ubekjendt Punkt, som ikke bestemmes ved Afstanden fra et forud valgt Be- 
gyndelsespunkt, men hvis Afstande fra givne Punkter benyttes i Flæng. Omdannelserne af 
Lieningen fremstilles ofte ved Indførelse af nye bekjendte Punkter. Exempler paa disse 
Operationer forefindes i Archimedes Skrift om plane Figurers Ligevægt If, hvorefter vi 


7) Naar vi i vort algebraiske Sprog fremstille Ligninger, som hos de gamle cre fremsatte i Ord og 
paa en Figur, skulle vi ved smaa græske Bogstaver betegne Forhold, ved smaa latinske Længder, 
ved store latinske Arealer og ved store græske Rumfang. 


i 20de Afsnit gjengive en Løsning af en Ligning, samt i hans Skrift om svømmende 
Legemer Il"). 

Det her beskrevne Hjælpemiddel vilde dog ikke have rakt ret vidt, hvis man havde 
nøjedes med paa denne Maade at tage den relte Linies ene Dimension i Tjeneste. Det 
har faaet sin Hovedbetydning derved, at man i Arealer havde et Middel til at frem- 
stille Produkter, som dels var langt bekvemmere at anvende end sammensatte Forhold, 
dels gjorde det muligt at drage Nytte af Mangfoldigheden af Maader, hvorpaa Arealer kunne 
omlegges i Planen, ja af de egentlige plangeometriske Sætninger. 

Naar vi sige, at et Areal, forelobig af et Rektangel, fremstillede et Produkt, nemlig 
af de to Sider, maa vi dog skynde os at tilføje, at vi dermed mene, at det i de gamles 
Undersogelser spillede samme Rolle som et Produkt af to almindelige Val i vore, men at 
det dog for de gamle, som kun anerkjendte Produkter af hele eller i det mindste rationale 
Tal, kun kunde komme til at fremstille et Produkt, naar Siderne havde et fælles Maal, der 
kunde tages lil Enhed. At det i sidste Tilfælde virkelig benyttedes til at fremstille Tal- 
produkter, fremgaar blandt andet af Navne som plane Tal, 9: saadanne, som ere sammen- 
satte af to Faktorer, og kvadratiske Tal, og deraf, at to Tal kaldes ligedannede, 
naar de forholde sig som to Kvadrattal, idet de da kunne fremstilles ved ligedannede Rekt- 
angler med kommensurable Sider. At den almengyldige Forbindelse mellem to Storrelser, 
som fremstilles ved Rektanglet med Storrelserne til Sider, falder ganske sammen med den 
alt omtalte — men senere opfundne — Produktdannelse, som grundedes paa Euklids 
(Eudoxos’) Proportionslere, ses af Sætning 23 i Euklids sjette Bog, der udsiger, at to 
Parallelogrammer med samme Vinkler staa i sammensat Forhold af Siderne. 

Efter disse Bemærkninger kunne vi uden at misforstaas i det folgende ved a.b 
betegne Rektanglet med Siderne a og b og ved a? Kvadratet med Siden a. Denne 
Betydning maa dog virkelig fastholdes, og jeg vil ofte faa Grund til at minde om, at det 
er med Figurer, der opereres. Jeg maa det ikke alene af Hensyn til den Fare, der kunde 
vere for at tillegge de gamle Lettelser af moderne Oprindelse. Faren herfor turde vere 
af mindre Betydning, fordi Tanken paa Forbindelsen mellem Rektangel og Produkt, som 
nys bemerket, ikke var fremmed for de gamle, om den end ikke godkjendtes i almengyldige 
Beviser. Der er fuldt saa stor Fare for, at man ved at glemme, at de gamle opererede 
med Figurer, skal overse de dertil knyttede ejendommelige Lettelser, som de gamle paa 
deres Side kunde have forud for os. 

De herhen horende Operationer ere saa simple, at de umiddelbart forstaas, hvor 
man støder paa dem i de gamles Beviser, og trænge for saa vidt ikke til nogen Forklaring. 
[er er det os imidlertid om at gjøre at faa frem, at de dannede en virkelig Methode, som 


1) Se Maximilien Marie’s historiske Værk, I, S. 117—127. 


16 


maa være udviklet fer Euklids Tid, og som de gamle anvendte med saa stor Ferdighed, at 
dens Indevelse sikkert har hørt med til god mathematisk Uddannelse. For at paavise dette 
maa vi undersage disse Operationers ferste os bekjendte Fremtreden, nemlig i Euklids 
anden Bog, som helt igjennem er bygget paa denne Methode. 

Vi kunne skrive de 10 forste Sætninger i anden Bog af Euklid: 


1. ab—+c+d...) = ab<ac+ad+..., 

2. (a+b)? = (a+b)a+(a+b)d, 

3. (a+ bla = ab—+a, 

4. (a+b) = à + 5? + 2ab, 

5. (a—b)b + (!a— bi? — (la)? eller (a—b)b+ (b—ia)? — (la), 

6. (a+ b)b + (ta)? — (<a 6] eller 6(h—aj-+ (La)? — (b—L!a)?, 

7. @ +6 = 2ab— (a—b;?, 

8. 4ab+ (a—bj? = (a+ 4), 

9. (a—bj? +5? — 2(: af? +2(1a—b} eller (a—b) LE — 2(4a)’ +2(b—La},. 
10. 4 (a+b? = 210 Late eller bat +2 — sa? 2b — La}. 


Disse algebraiske Fremstillinger kunne dog varieres noget ved Ændring af Betyd- 
ningen af de Betegnelser, som vi give Afstande mellem en Linies Punkter. 

Vor ferste Ligning er blot et Udiryk for, at et Reklangel ved Paralleler med den 
ene Side (Højden) deles i nye, hvis Grundlinier tilsammen udgjere det givnes. Setningerne 
2 og 3, som vel nermest skulle forberede den vigtige Sælning 4, ere specielle Tilfelde af 1. 


25:71 A E D B 4 € BED 
ab Papen ai | El | | Les 
| | | | ras 
| L | M | ile 
| | OK | = fea 
u 
2 | | | 
> | ab | ee | 
| | ee WR, 
tome 
Lam | — 
Fig. 1. Fig. 2: Fiz. 3. 


Ligning 4 maa opfattes som Udtryk for den paa Fig. 1 givne Dekomposition af et Kvadrat 
med Siden a+b. Ligningerne 5 og 6, om hvis videre Betydning vi snart skulle tale, 
udtrykke paa samme Maade de paa 4 grundede Egenskaber ved Figurerne 2 og 3, hvor C 
er Midtpunktet af AB, som vi have sat = a, medens DB eller AD er kaldt 6, og paa 
lignende Maade udtrykke 7 og 8 Sætninger, hvis Rigtighed stilles umiddelbart for Oje ved 
de Figurer, hvis Egenskaber de fremstille. 

Den i disse Sætninger anvendte Fremgangsmaade kan i Almindelighed benyttes til 
ai vise den geometriske Sætning, som svarer til den algebraiske, at flerleddede Størrelser 


multipliceres ved Multiplikation af alle Led i den ene med alle Led i den anden. De to 
sidste Identiteter 9 og 10 kunde udledes paa samme Maade eller af de foregaaende Sæt- 
ninger; men Euklid foretrækker at benytte den alt i forste Bog beviste Pythagoræiske 
Læresætning. 

Da de udviklede Sætninger ere saadanne, for hvilke der, som vi skulle se, kan 
paavises bestemte Anvendelser, tildels saadanne, hvis tilsvarende algebraiske udtrykkelig 
udhæves i vore Algebraer, giver den Omstændighed, at Euklid kun nævner disse, ingen- 
lunde Anledning til at tro, at de ere de eneste Anvendelser, han og hans Forgængere 
kunde gjere af den benyttede Fremgangsmaade. Man kan derimod sige, at Anvendelserne 
ere talrige nok til at give Anvisning paa at anvende den samme Fremgangsmaade overalt, 
hvor den er anvendelig. 

Foruden den her benyttede Multiplikation af flerleddede Storrelser, forbunden 
med Sammentrækning ved Addition og Subtraktion, treffer man allerede i Euklids forste 
Bog den geometriske Operation, som svarer til Division af et Produkt af to Storrelser 
med en tredie. Denne bestaar i at legge det af de første dannede Areal langs med 
(zapafahetv) den 3die 9: at omdanne det til et Rektangel med den 3die til Side. Derved 
settes man ogsaa i Stand til Sammentrekning af en Sum eller Differens af saadanne 
Rektangler, som ikke have nogen Side felles, til et enkelt Rektangel. 

Roduddragning eller Løsning af rent kvadratiske Ligninger have vi i den 
Opgave at omdanne et Rektangel til et Kvadrat, hvortil Euklid (I, 14) benytter vor Mellem- 
proportionalkonstruktion; men da han ikke endnu er naaet til Proportionsleren, beviser 
han Konstruktionens Rigtighed ved den pythagoræiske Læresætning. Hans Bevis, der 
nermest svarer til den algebraiske Omskrivning 


¥ a+ b\? @, = N 
= ab — ( 9 ) =( 9 JE 


er i øvrigt bygget paa den foregaaende Sælning 5, men kunde lige saa let være bygget 


påa Sætning 6. Om man skal bruge den ene eller den anden, beror påa, om man — i Be- 
viset eller Udledelsen, thi Konstruktionen er den samme — begynder med at afsælte a og 6 
paa hinandens Forlængelse eller den ene paa den anden"). 


1) Hvis Euklid i Stedet for 5 havde benyttet Sætning 6, og havde trukket Beviset for denne Hjælpe- 
sætning med ind i Beviset for Konstruktionen, vilde denne Begrundelse falde ganske sammen med 
en Udledelse af samme Konstruktion, som findes hos den indiske Mathematiker Baudhåyana 
(se Cantor: Geschichte, S. 545). Jeg er derfor fuldkommen enig med Gantor i at finde denne Ud- 
ledelse stemmende med den græske Geometri, medens Hankel er tilbøjelig til gjennemgaaende at 
betragte Anvendelser af Arealoperationer som ejendommelig indiske og fremmede for den græske 
Geometri. Denne Opfattelse vil blive imødegaaet ved vor Paavisning af den Rolle, som Arealopera- 
tioner have spillet saavel i Grækernes elementære Geometri som i deres Keglesnitslære, om den end 
begge Steder fremtræder i den græske Fremstillingskunsts strenge Klædebon. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekka, naturvidensk, og mathem. Afd. III. 1. 3 


18 


For dernæst at faa at vide, hvor vidt de gamles Kjendskab til blandet kvadra- 
tiske Ligninger og disses Løsning eller Reduktion til rent kvadratiske Ligninger strakte 
sig, vil det være hensigtsmæssigt at prove, hvilken Skikkelse den kvadratiske Ligning 
maatte anlage i den geometriske Algebras Sprog, og hvilke Hjælpemidier denne dernæst 
havde til at finde Lesningen. 

Lad os først betragte Ligningen 

a + az = b, (1) 
hvor vi have tænkt os, at det konstante Led, der i hvert Fald maa fremstille et Areal, er 
omdannet til et Kvadrat, en Omdannelse, som, naar det først er gjort til et Rektangel, 

foretages ved den netop omtalte Sætning II, 14. Dette 


4 € = D Kvadrat skal vere lig Summen af Rektangel az med 


| den givne Side a og den ubekjendte Side z og af 


ae Kvadratet paa denne sidste Side. Opgaven er altsaa 

den langs en given Linie AB —a at legge et 

Rektangel (AM) af given Størrelse 5°, saaledes at 

i i H der bliver et Kvadrat (BM) = x? tilovers. Denne 

Opgave er endog efter sin Ordlyd specielt indbefattet 

i Eukl. VI, 29, hvor blot Rektanglet er ombyitet 

med et Parallelogram med given Vinkel, det overskydende Kvadrat med et Parallelogram 
(zapalkniörpappov Drspßaikoy) med given Form. 

Naar vi nu skulle løse den stillede Opgave, ville vi af de tidligere omtalte Sæt- 
ninger forudsætte Sætning 4 og den dertil hørende Fig. I bekjendt. Idet vi da, for at faa 
en Analysis af samme Art som dem, de gamle brugte, begynde med at tænke os Opgaven 
lest ved Fig. 4, ligger det ner dernæst ved Omdannelse af Figuren at sege at danne et 
Kvadrat af bekjendt Sterrelse. Dette kan faas ved at dele Rektanglet (XD) i to Halvdele 
og dernæst i Overensstemmelse med Fig. 1 at omlægge den ene Halvdel (KC) saaledes, at 


det hele givne Areal 
LED SENDE = [iP 


bliver til en «Gnomon», som i Forbindelse med det bekjendte Kvadrat (a)? udgjer et Rvadrat 
med det bekjendte Areal 2? + (La. Dettes Side CD — x + 1a bestemmes dernæst ved 
den Pythagoræiske Leresetning, hvorved Opgaven er lest, idet Punktet D nu kan kon- 
strueres. z — BD vil da ogsaa vere funden. 

Bortset fra Forskjellen mellem den geometriske og algebraiske Fremstillingsform, 
have vi her udført nejagtig det samme, som naar vi nu lese den opslillede Ligning ved 
paa begge Sider af Lighedstegnet at addere (La). Og samtidig viser det sig, at vor Ana- 
lysis passer fuldkommen sammen med den Synthesis, som vi for den almindeliggjorte Op- 
gaves Vedkommende have i Eukl. VI, 29. 


At man nu ogsaa uden denne paa Euklids (eller Eudoxos') Proportionslære grundede 
Almindeliggjorelse, og rimeligvis lidligere, har anvendt den selv samme Losning paa den 
af os behandlede mere specielle Opgave, fremgaar af, at Sætning 6 i anden Bog netop 
giver fuld Anvisning paa selvsamme Losning, saaledes som baade den med Fig. 4 ganske 
overensstemmende Fig. 3 og vor første Omskrivning af denne (naar man ombytter b 
med x) vise. 

Fig. 3 eller 4 viser endvidere umiddelbart, at den samme Opgave ogsaa kan stilles 
som den at bestemme to Linier AD og BD, hvis Differens a og Rektangel b? ere givne. 
Dette bemærker Euklid ogsaa udtrykkelig i Data 84. Linien AD vilde være Rod i Lig- 
ningen 

a? — ax = b®, (2) 


hvad vi have antydet ved vor anden algebraiske Opstilling af Sætning 6. Netop derfor 
behøver Euklid ikke særskilt at behandle den geometriske Opgave, som vilde være den 
umiddelbare Oversættelse af denne Ligning; thi ethvert Spørgsmaal, som afhænger af denne, 
kan bringes til at afhænge af den omhyggelig behandlede Ligning z? + ax = b?. Da 
negative Størrelser vare ubekjendte, faar hver af disse Ligninger kun én Rod. 

Paa ganske lignende Maade er Ligningen 


ax — x? = b? (3) 


behandlet hos Euklid. Denne maa geometrisk udtrykkes saaledes: langs en given Linie a 
at legge el Rektangel af givet Areal 5? saaledes, at den manglende Figur bliver et Kvadrat. 
Denne Opgave, hvis Løsning fremgaar af Euklid I1,5 (se Fig. 2, hvor da AB =a, (KD) = 6? 
og BD — 2), findes almindeliggjort i VI, 28, saaledes at Reklanglet ombyttes med et 
Parallelogram med given Vinkel, Kvadratet med et manglende Parallelogram (rapa@AAn4o- 
rpappoy EAleizoy) af given Form. Løsningen er ogsaa her i andet Sprog den samme som 
den nuværende Algebras, idet den bestaar i ved Subtraktion af begge Ligningens Sider fra 


2 


(ey at danne et Kvadrat paa Siden CD — = med bekjendt Areal (5) —&. 


x xz 


= SEES MES Å « ann 5 d 
Forud for Losningen, som i VI, 28 fuldstendig udfores, skikkes i VI, 27 en Mulig- 
hedsbetingelse, der overfort paa den simplere Form, hvori Opgaven stilles ved vor Ligning, 


: aa VE 
vilde gaa ud paa, at Arealet 6” ikke maa være større end (3) : 
be eet Big satan: 5 EN 

Idet Euklid i Beviset for Umuligheden af 5? > (3) forsøger dels at lade w være 
< AC (Fig. 2), dels z > AC (hvad der paa Fig. 2 kunde fremstilles ved x — AD, hvorved 
Rektanglet med givet Areal fik Siden BD), lægger han for Dagen, at han meget vel véd, 
at den Opgave, som udtrykkes ved Ligningen, lige saa vel tilfredsstilles af « = AD som 
af «= BD. Naar han ikke desto mindre i VI, 28 kun angiver I Løsning, saa maa dette 

3" 


20 


bero paa, enten at han mener, at den stillede Opgave kun gaar ud paa at anlegge et 
Rektangel (Parallelogram), der tilfredsstiller den opgivne Betingelse, ikke at finde alle saa- 
danne, eller derpaa, at det, som Euklid vil finde, er selve Reklanglet AM, som lægges 
langs AD, og dette bliver det samme, hvad enten det legges ind mod denne Linie med 
den større Side henad AD eller med den mindre henad DB, om end det manglende 
Kvadrat bliver forskjelligt !). 

Denne sidste Forklaring bliver navnlig naturlig, naar det bemerkes, at Euklid saavel 
i Setning 85 i Data som i Hjelpesetningen Lil Elementerne X, 18 benytter det nys be- 
skrevne Fladeanleg til Bestemmelse af Linier, hvis Sum saavel som Arealet af det derved 
dannede Rektangel ere givne. Denne symmetriske Opgave har kun én Oplosning, og at 
Euklid heller ikke taler om mere end én Opløsning i den dermed væsentlig identiske Op- 
gave angaaende Fladeanlæget, er egentlig ikke mere anstødeligt, end om en Forfatter i 
Nutiden kun tillegger Ligningerne 


“L+y=a4 
By = bP 
Losningerne 
a- Va? — 0? a — Va? — b? 
2 2 2 


dr == 


i Tillid til, at Symmetrien er for iøjnefaldende til, at det skulde behøves udtrykkelig at 
fremhæve, at de to Værdier ogsaa kunne byttes om?). Pe 

I hvert Fald er det urigtigt af Mangel paa udtrykkelig Opstilling hos Euklid af den 
ene Rod i en kvadratisk Ligning i det Tilfælde, hvor den virkelig har to (9: to positive), 
og af en tilsvarende Mangel hos Diofantos at slutte, at de gamle overhovedet manglede 
Sans for Betydningen af en Undersøgelse af, hvor mange Oplosninger en Opgave kan have ®). 


At noget saadant ikke har været Tilfældet, fremgaar tydelig af Apollonios’ Omtale 
i Fortalen til fjerde Bog om Keglesnittene*) af en Opgaves Diorisme (Afgrænsning). 
Denne bestaar efter Navnets Ordlyd først og fremmest i en Angivelse af de Grænser, 
indenfor hvilke en Opgave overhovedet er mulig — hvilken vi have set, at Euklid i VI, 27 
giver for den kvadraliske Lignings Vedkommende —; men Apollonios’ Udtryk vise, at 
den tillige gaar ud paa at angive de Grænser, indenfor hvilke Opgaver kunne have et storre 


') Smlgn. 10 Bog 43 ff., hvori Euklid siger, at der kun er ét Punkt, som deler en Linie paa en 
vis Maade, men i Beviset udtrykkelig bemærker, at han udelukker det andet, som deler den i de 
samme to Stykker. 

*) Smlgn, det citerede Arbejde af Tannery. 

*) Hankel fremhæver S. 162 denne Mangel i meget stærke Udtryk, 

4) Se vort Tillæg 1. 


21 


eller miadre Antal Oplosninger, og da at sige, hvor mange der i hvert enkelt Tilfælde 
kommer. 

I nøjeste Overensstemmelse hermed staar foruden meget andet Apollonios’ egen 
Anvendelse af Fladeanlæg eller kvadratiske Ligninger i det gjennem Arabisk opbevarede 
Skrift om Forholdssnittet!), Dettes Indhold, som vi ville komme til nærmere at om- 
tale i 15de Afsnit, er en Behandling af den geometriske Opgave: gjennem et Punkt al 
trække en ret Linie, som paa lo givne rette Linier ud fra givne Punkter afskjærer Stykker, 
som staa i et givet Forhold. Denne Opgave løses ved en Tilbageførelse til Fladeanlæg, 
som paa den Forskjel nær, som der er imellem vor Algebra og den geometriske Algebra, 
falder sammen med en møderne algebraisk Behandling og Tilbageførelse til en Ligning af 
anden Grad. Opgaven er vel delt i saa mange Tilfælde, at de Rødder, som kunne bruges, 
hver Gang ere underkastede snævre Grænsebetingelser; men for saa vidt der kan være Lo 
Løsninger indenfor disse Grænser, forsommer Apollonios ikke at anføre det. Det sker 
tilmed i en Form, som røber en fuldkommen Fortrolighed med det Faktum, at det Grænse- 
tilfælde, hvor Ligningen (3) kun har én Opløsning, danner Overgangen mellem saadanne, 
hvor der er Lo eller slet ingen. 


Ved Betragtning af de i sjetle Bog virkelig udførte Fladeanlæg have vi sel, at det, 
som Sælningerne 5 og 6 i anden Bog yde, er de selvsamme Omdannelser, hvori Udfø- 
relsen af Fladeanleg i den her fremstillede Skikkelse bestaar, eller at de angive den 
geometriske Algebras Løsning af Ligningerne 


ge SE ayn JL 15; (N), 


"hvor B er et Areal, forelagt i en saadan Skikkelse, al dei kan omdannes til et Kvadrat. 
At Euklid opsætter til sjette Bog udtrykkelig at stille og lose selve Opgaverne, finder sin 
naturlige Grund i, at han forst der ved Proportionslerens Hjelp kan give dem den Ud- 
videlse, fra hvilken vi her have set bort, men hvis algebraiske Betydning vi snart nærmere 
skulle undersoge. 

Er det nu end saaledes kun i Sætningsform, at Fladeanlegenes Udforelse er given 
i anden Bog, vidner Forekomsten her om, at de ere uafhængige af og vistnok have været 
kjendte for den nye Proportionslere. Dette bekræftes fuldkommen ved Eudemos’ hos 
Proklos?) opbevarede Beretning om, at Fladeanlægene skyldes Pythagoræerne. 

Længe for Euklids Tid kjendte man altsaa og har, som det ses af den udtrykkelige 
Fremhevelse af dette Emne, med Flid dyrket den geometriske Løsning af den blandet 


kvadratiske Ligning, for hvilken her er gjort Rede. Sporgsmaalet er derefter dette, i hvilket 


1) Udgivet pad Latin af Halley (De Sectione Rationis etc.). 
2) Friedleins Udgave af Proklos Kommentar til Euklid, S. 419. 


22 


Omfang man forstod at drage Nytte heraf. De fleste Forfattere vise sig tilbøjelige Lil at 
begrænse dette Omfang meget stærkt; de kalde Euklids Løsninger geometriske og synes 
dermed ogsaa at betegne, at han kun har givet dem Anvendelse som et, i mange Tilfælde 
nyttigt, Hjælpemiddel inden for selve Geometrien, medens de føre den numeriske Løsning 
ned i Tiden til de første Forfattere, hvor de have fundet. udtrykkelige Exempler paa saa- 
danne!). Den Opfattelse, som jeg her skal fastholde, gaar derimod ud paa, at den geo- 
metriske Fremstilling for Grækerne var Fremstillingen af almindelige Størrelser, deriblandt 
specielt de Størrelser, som kunne fremstilles ved Tal eller Talforhold, eller de rationale 
Størrelser, at derfor den geometriske Løsning af Ligninger af anden Grad for dem var den 
almindelige Løsning, der specielt maatte indbefatte den numeriske, og at Grunden til, at 
man tillagde Fladeanlægene en saa stor Betydning, netop var den, at de ydede de gamle 
Grækere, hvad Løsningen af Ligninger af anden Grad yder os. I disse Anskuelser stemmer 
"jeg, saa vidt jeg ser, fuldkommen overens med Tannery, af hvis Skrift jeg ogsaa laaner 
flere af mine Argumenter for den høje Alder af Kjendskabet til den numeriske Løsning af 
de kvadratiske Ligninger. 

Som en Grund til at antage, at det ikke udelukkende er de geometriske Anven- 
delser, man har havt for Øje, maa jeg først berøre den Omstændighed, at den af Euklid 
meddelte Løsning, som jeg har vist, falder fuldkommen sammen med vor algebraiske, 
men staar tilbage i geometrisk Simpelhed for de Fremgangsmaader, som nu sædvanlig 
bruges til geometrisk Konstruktion af Rødderne i en Ligning af anden Grad. Var det 
blot en saadan, man ønskede, vilde man paa Euklids Tid, da Konstruktionslæren var saa 
højt udviklet, sikkert have vidst at bringe Løsninger af Opgaver, hvormed man havde be- 
skjæftiget sig saa længe, til den størst mulige geometriske Simpelhed. 

De bedste Argumenter maa dog søges i opbevarede Anvendelser af Løsningerne. 
Den fuldstændigst gjennemførte Behandling af saadanne Anvendelser haves i det nys anførte 
mindre Skrift af Apollonios om Forholdssnittet. Der som mange andre Steder ere 
vel de Opgaver, der føres tilbage til Fladeanlæg, fra første Færd af geometriske; men vi 
have alt anført, at den hele Behandlingsmaade i dette Skrift falder nær sammen med en 
algebraisk Behandling af samme Opgave. Der gaas saa systematisk til Værks, at det ses, 
at Fladeanlæg ikke for de gamle var et Hjælpemiddel, som vel kan anvendes ofte men dog 
temmelig tilfældig i Geometrien, men at det var en Bestemmelsesform, som man princip- 
mæssig stiler hen imod, hvor Opgaver overhovedet kunne løses ved Ligninger af 2den Grad. 

Hvad nu Løsninger af numeriske Ligninger angaar, maatte man, selv om det over- 
hovedet var Euklids Skik at give Exempler, ikke vente at træffe saadanne i 2den eller 6te 


7) Ad denne Vej naar Cantor længst tilbage, idet han (Vorlesungen, S. 341) har paavist en numerisk 
Løsning af en kvadratisk Ligning hos Heron (omtrent 100 før Chr.). 


DD 
CO 


Bog. Et Talexempel vilde — hvis Rodderne ikke som negative eller imaginære laa helt 
udenfor Grækernes Opfattelse — enten fore til rationale eller irrationale Rødder. I første 


Tilfælde vilde et saadant Talexempel være at betragte som vildledende, da det let vilde give 
den fejle Forestilling, at den fundne Løsning kun var anvendelig paa de rationale Størrelsers 
snævrere Omraade; det maatte i ethvert Tilfælde henvises til 7de—9de Bog, hvis Behandling 
af dette snævrere Omraade dog helt igjennem er af en for theoretisk Beskaffenhed til, al 
man der var berettiget til at vente Exempler paa praktisk gjennemførte Regninger. 


Bliver derimod Løsningen irrational, er den ikke mere numerisk efter de gamles 
Talbegreb, men en saadan, hvor den geometriske Fremstilling betragtedes som uundværlig. 
Undersøgelserne af, om dette indtræder eller ikke, ere henviste til Euklids 10de Bog, som 
saaledes ved sin blotte Existens er et Vidnesbyrd om, at man har anvendt Læren om 
Løsning af kvadratiske Ligninger paa numeriske Opgaver. Særlig kan peges hen paa Sæl- 


ning 18, som udtrykkelig slutter sig til vor Ligning (3) (il, 5; VI, 28) eller endnu mere 


: : l 
umiddelbart til den, hvor 6 er ombyltet med Fi altsaa 
at 1 —= oe 
; en 


i dens antike geometriske Form, og oplyser, at den nodvendige og tilstrekkelige Betingelse 
for, at man ved denne Ligning deler a i kommensurable Stykker, er, at Siden i det Kvadrat, 
som er Differens mellem a? og 62, eller Va? — b?, er kommensurabel med a. Vi finde 
med andre Ord Betingelsen for, at, naar a anlages given i Valverdi (eller tagen til Enhed), 
Delenes Forhold til Enheden kunne udtrykkes ved Tal, eller at Rodderne ere rationale. 


Beviset er bygget paa Sætningen Il, 5, altsaa paa Ligningens geometriske Losning. 


Da nu Sporgsmaalet om Rationalitet eller Irrationalitet kun har Betydning, naar 
man gaar ud fra kommensurable Storrelser eller saadanne, som kunne fremstilles ved Tal, 
og da gaar ud paa, om man ogsaa kommer til kommensurable Storrelser, og om Losningen 
altsaa ogsaa efter de gamles Opfattelse kan numerisk gjennemfores, foreligger her et aldeles 
bestemt Bevis for, at de gamle ogsaa anvendte deres Losning af kvadraliske 


Ligninger paa numeriske Opgaver. 


Til denne Begrundelse knytter sig en ny og betydningsfuld Anvendelse af Euklids 


10de Bog. Denne indeholder en Række Sætninger om, at forskjellige — i de gamles 
geometriske Form fremstillede — Udtryk, som indeholde forskjellige Kvadratroduddragninger, 


ere irrationale. Af disse Sætninger bor man vistnok slutte, at man har kjendt og behandlet 
de Ligninger, som fore til disse Udtryk. At man har forsøgt at lose dem numerisk 
(a: rationalt) i de Tilfælde, hvor dette har været muligt, fremgaar af Paavisningerne al 


saadanne Losningers Umulighed. Beviser for, at noget er umuligt, ere som bekjendt ikke 


lette at føre, og Opstillingen af saa mange herhen hørende Sætninger vidner saaledes om 
en meget indgaaende Beskjeftigelse. 


Tannery er, i det citerede lille Skrift, kommen til det Resultat, at de Ligninger 
af hojere Grad, hvorom der saaledes foreligger Vidnesbyrd for, at de gamle have behandlet 
dem, ere Ligninger af anden Grad i z? eller z*. Ved at benytte 10de Bog i sit Bevis for 
det tidlige Kjendskab ogsaa til den numeriske Losning af kvadratiske Ligninger, har han 
saaledes faaet ud, at man paa og for Euklids Tid ikke blot har behandlet selve disse Lig- 
ninger, men har strakt sin Behandling til saadanne, som kunne fores tilbage dertil. De 
Omdannelser af irrationale Sterrelser, som Euklid benytter i Beviserne, falde for en Del 
sammen med vor Omdannelse af dobbelt irrationale Storrelser til enkelte. 


Naar vi saaledes se, at der bagved Euklids Elementer laa et ældre Kjendskab til 
den numeriske Lesning af kvadratiske Ligninger, som vist nok af numeriske Behandlinger 
af andre mere elementere Opgaver, bliver Betydningen af hele anden Bog os mere klar. 
Den er antaget lest af Folk, som forud havde eller samtidig erhvervede sig et praktisk 
Kjendskab til saadanne Regneregler, og har skullet supplere disse med de stringente Be- 
viser, hvis Almengyldighed gjorde dem anvendelige ikke blot paa de numeriske Opgaver, 
men ogsaa paa de geometriske Undersogelser, hvormed Euklid i det folgende skal be- 
skjæftige sig. Beviserne [5 og 6] for Losningerne af de kvadratiske Ligninger ere saaledes 
anforte ved Siden af Beviserne for Sætninger, der udtrykke saadanne algebraiske Formler, 
som man ogsaa lærer udenad i vore Skoler, nemlig Udtrykket for (2+)? [i 4], for («—b)? 
[i 7] og for (2+ 6) (a—b) [i 8]. Disse forskjellige Sætningers geometriske Betydning vises 
strax ved Anvendelsen paa Højdelingsopgaven [11]; paa Relationen mellem Siderne i en 
. Trekant og den enes Projektion paa en anden [12—13], som vistnok ogsaa selv forud har 
været anvendt til numerisk Udførelse af geometriske Beregninger; endvidere paa Omdannelsen 
af et Rektangel til et Kvadrat [14] eller den geometriske Kvadratrodsuddragning, der er et 
Hovedled i de kvadratiske Ligningers geometriske Anvendelse, men ikke har nogen til- 
svarende arithmetisk Betydning. At den kommer sidst, stemmer derfor med hele vor Op- 
faltelse af denne Bog. 


Medens de tre første Sætninger blot ere indledende, maa vi dog for at hævde 
vor Opfattelse endnu kunne anvise de manglende Sætninger 9—10, for hvilke man i 
Nutiden ikke synes at have synderlig Brug, en bestemt Betydning. De skrive sig fra en 
Tid, da den numeriske Kvadratrodsuddragning voldte større Vanskelighed end nu, og da 
man derfor salte Pris paa at besidde et særligt Middel til at beregne en Række Tilnær- 
melsesværdier til V2. Et saadant Middel haves i en Sætning, som findes hos en arith- 
melisk Forfatter fra den senere Oldtid, Theon fra Smyrna, og hos ham er fremdraget af 


Aden Se 


Cantor!), men som, efter hvad Tannery?) har paavist, synes at have været kjendt allerede 
paa Platos Tid. Det er — hvad jeg ikke har set bemærket — det exakte og almen- 
gyldige Bevis for denne Sætning, som Euklid giver i Sætningerne 9 og 10 af anden Bog 
i den Form, som Beviset maatte antage paa dette Sted. Her er det altsaa ogsaa en Regne- 
regel, der har kunnet antages bekjendt for Læserne, som Euklid begrunder. 

Ved Paavisningen af denne Betydning af Sætningerne 9 og 10 skulle vi hellere 
end fra de Omskrivninger, hvorved vi tidligere have sogt at komme de to Euklidiske Sæt- 
ninger saa ner som muligt, gaa ud fra selve de tilhorende Figurer. Idet C (Fig.5 a og b) 
er Midtpunktet af Linien AD, D et andet Punkt af denne (Sætn. 9) eller dens Forlængelse 


(Sætn. 10), er) 
AD? = DB? = 2AC? + 2 CD? 


eller AD? —2AC? = 9 CD? — DB?. 


A C DEP AI C BOND 
F i i ea Ek = —- " 
Fig. 5 a. Fig. 5 b. 


Sette vi paa Fig.5 a, CD — 2, DB = y, bliver AD = 2% +y, AC — xæ+y. Det 
ses altsaa, naar æ og y ombyttes med Tal, at man af en Losning (x, y) af den ene af 
Ligningerne 

22% —y? — + I > 
kan udlede en i højere Tal af den anden, nemlig (æe + y, 2æ—y. Det samme Re- 
sultat kunde udledes af Sætning 10 (Fig. 5 b) ved Omskrivning til 


AD? — 2CD? = 2 AC? — BD? .4) 


Vi bave her set, at det Kjendskab til Ligninger af anden Grad, som allerede havdes 
for Euklids Tid, og som navnlig faar Udtryk i hans anden Bog, ikke var overfladisk og 
tilfældigt, men forbundet med fuldstendig Viden om, hvad disse Ligninger kunne bruges til 


1) Vorlesungen S. 369. 

2) Revue philosophique, t. XI S. 291. 

3) Sætningen gjælder som bekjendt ogsaa, naar D ikke ligger paa Linien. 

4) 1 Overensstemmelse hermed har jeg i Tidsskrift for Mathematik 1879, sogt en Forklaring af Archi- 
medes’ Tilnærmelsesbraker til V3, som ere Kjædebrokskonvergenter, men ikke sukcessive Kjæde- 
brokskonvergenter, ved en paa Euklid Il, 5 grundet Behandling af Ligningerne 

EP = Bur = ily 

34? —2? — 2. 
Da Tannery, uafhængig af mit Arbejde, har fort den samme Tanke videre, og da Weissenborn 
senere har fundet en saadan Losning af de samme Gaader hos Archimedes, som ogsaa strækker sig 
til andre antike Roduddragninger, skal jeg angaaende en Uklarhed, som Gunther tillegger mig 
(Die quadratischen Irrationalitaten der Alten S. 90), kun bemærke, at den beror paa Misforstaaelse 
af min paa dansk skrevne Artikel. 


Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. IIT. 1, 4 


26 
i Geometri og i numeriske Beregninger. Euklid og hans Forgængere som Elementforfattere 
have saaledes fremsat og bevist Sætningerne i denne Bog med fuld Bevidsthed om, at de 
kunne benyttes paa samme Maade, ‘som over et Aartusend senere arabiske Forfattere, der 
netop støtte sig paa Euklid, gjøre, enten i Henhold til os ubekjendle Overleveringer, 
eller med et rigtigt Blik for, bvortil Euklids Sætninger overhovedet ere nyttige"). 

Efter saaledes at være kommen paa det rene med den virkelige Betydning af den 
antike geometrisk-algebraiske Løsning af de kvadratiske Ligninger, skulle vi vende os til 
Euklids sjette Bog og undersøge den algebraiske Betydning af de i denne indcholdte Al- 
mindeliggjørelser af Fladeanlægene. Herved er det fuldkommen ligegyldigt, at Rektangler 
og Kvadrater ere ombyttede med Parallelogrammer med samme Vinkler. Dette skulle vi 
derfor se bort fra og vedblivende holde os til rette Vinkler, hvorved Udvidelsen kun kom- 
mer til at bestaa i, at ved Anlæget af det givne Areal & som Rektangel langs den givne 
Linie a, det manglende eller overskydende Rektangel i Stedet for at blive et 
Kvadrat skal være ligedannet med et givet. 


A C B D A 
| | 17 
L | LA M 7 
K | Vi K 
Mm 
7 I 
Fig. 3. , Fig 2. 


Vor Forklaring af Betydningen heraf lader sig lettest knytte til de alt benyttede 
Figurer 4 eller 3 og 2. Kvadratet paa BD ombyttes med et Rektangel, ligedannet med 
et andet med de givne Sider c og d, blandt hvilke c kan antages ensliggende med BD. 
Det overskydende eller manglende Rektangel vil da, naar vi som for kalde den ubekjendte 


we © 22. De ved de to Flade- 


2 
Højde, AK, i det anlagte Rektangel x, have Arealet TE 5G = 7 
anlæg løste Ligninger ere altsaa følgende 
az LT — B. (4) 


Ved Kombination af Proportionsleren og de tidligere umiddelbare Operationer 
med Arealer har det kvadratiske Led i den kvadratiske Ligning altsaa nu faaet en Koeffi- 


*) Disse Anvendelser ere fremstillede i Matthiesen: Grundzüge der antiken und modernen Algebra 
der litteralen Gleichungen, S. 293—311. 


cient. Denne Koeflicient er tilmed indført, uden at den geometriske Fremstilling er bleven 
synderlig vanskeligere at fastholde, idet Fordringen om Ligedannethed med et Rektangel 

1 a 
(Parallelogram), som man har begyndt med at tegne paa Siden 5: 


anskueliggjeres eller 


bindes til Hukommelsen ved den fælles Diagonal for de to Rektangler (Fig. 3 og 2). 
Den algebraiske Losning af Ligning (4), som man for overste Fortegn faar ved 
umiddelbar Oversættelse af Euklids VI, 29, er 


CHROME MBM (a Ney 226 a 
a” VE) Dan? 


i det den til ligedannede Figurer udvidede Pythagoræiske Setning anvendes paa Rektangler 


af den Form, som det overskydende Rektangel skal have, saaledes at Hypotenusens Rektangel 
a 


a € = 
—z og den ene Kathetes paa CB = 5» medens det 


er tegnet paa Siden CD — D 


le 
sidste har Arealet B og altsaa maa have den med € ensliggende Side — 58; man 


faar da 


Paa lignende Maade er 


sf) 


den nærmest liggende algebraiske Oversættelse af Euklids Lesning (VI, 28) af Ligning (4), 
naar nederste Fortegn benyttes. Hvad der er sagt om den ringe Betydning af, at Euklid 
formelt kun giver en af de to Losninger, vedbliver at vere gyldigt ved nerverende Ud- 
videlse, da ved begge Losninger Linien AB deles i de samme to Stykker. 

Her foreligger saaledes en strengt bevist Løsning af den kvadratiske Ligning med 
3 Koefficienter. Naar det har vist sig, at man allerede tidligere kjendte den numeriske 
Løsning af numeriske Ligninger med det kvadratiske Led x”, er det rimeligt, at man ogsaa 
tidligere har vidst at føre Ligninger af Formen 

IE sel ed = (| 

tilbage hertil (f. Ex. ved Multiplikation med z og Betragtning af az som den ubekjendte); 
men paa en almengyldig Maade (9: gjældende ogsaa for irrationale Verdier af z) har man 
— paa Grund af de 3 Faktorer i az? — ikke kunnet fremstille disse Ligninger ved den 
geometriske Algebra med to Dimensioner uden lillige at benytte Eudoxos’ Proportionslere. 

Apollonios anvender i sin Keglesnitslere de samme Hjælpemidler, men i en lidt 
afvigende Form, til Fremstilling af de samme Ligninger. Han tegner nemlig det Reklangel, 
hvormed det overskydende eller manglende skal være ligedannet, paa selve Linien a, — 
eller tænker sig det tegnet paa denne Linie — hvorved c — a. I det fremdeles de Stor- 
. relser, vi her have kaldt x og VB, ere Abscisse og Ordinat til et bevægeligt Punkt af en 
4* 


28 


Ellipse eller Hyperbel henfert til en Diameter og Tangenten i dens Endepunkt som Ko- 


ordinataxer, ville vi ombytle Benævnelserne VB, a og d med y, p og a, hvor a og p be- 
tegne Diameteren og den dertil hørende Parameter’). Ligningerne (4) blive da {i omvendt 
Orden) til 3 Das : 
z un y= pr the, (2) 
hvilke fremstilles ved Fig. 6 og 7, hvor tillige Betydningen af z — AC og y = CD i 
Forhold til Keglesnittet viser sig. Kvadratet paa CD skal vere — Rektanglet (AF), som 
er lagt henad AE = p, saaledes at det manglende (Fig. 6) eller overskydende (Fig. 7) 


ELG 
7 
PA 
/ Ea 
fs D 
A Bi 
Cc 7 = ke 4 
| | Fy oy 
(| V4 7 af & 
NI VE SIE /| i 
N | wa SS / | | 
| | | 
Sh [era \ | | 
5 > \ | 
| |Z = BERN 
| F EN 
| | 
E 
Fig. 6. Fig. 7. 


Rektangel bliver ligedannet med det af p og AB = a dannede. Dette opnaas ved, at 


Diagonalen EF gaar gjennem B. Rektanglet EF er altsaa Ex, medens Rektangel 
(CE) — pz, hvorved y? — pr FÉ 22. 


Denne Relation udtrykker Apollonios dels i Ord, dels ved den under rette 
Vinkler tilføjede Hjælpefigur. Denne sidste geometriske Fremstilling gjør i to Hen- 
seender Nytte. Dels kan den umiddelbart anvendes til geometriske Konstruktioner, 
navnlig til Bestemmelse af saa mange Punkter af Kurven, som man vil, i det Relationen 
y®” — Rektangel (AF) giver, at y er Mellemproportional mellem z og den 


*) Da de græske Geometrere sædvanlig betragte de hele Diametre, Axer og Parametre, er det bekvemmere 
at betegne disse selv end, som sædvanlig i den analytiske Geometri, deres Halvdele ved enkelte 
Bogstaver. 


EF rr 


29 


tilhørende retvinklede Ordinat Y — CF til den faste Hjælpelinie BL (som 
i det relvinklede Koordinatsystem har Lieningen Y — prE az). Dels har den for theo- 
(4 


retiske Undersogelser en lignende Betydning som den algebraiske Fremstilling i en kort 
og overskuelig Formel, nemlig den at anskueliggjore Definitionen og derved binde den 
til Hukommelsen. Denne sidste Bestemmelse lægger sig for Dagen derved, at Apollonios 
vedbliver at tegne Hjelpefiguren ogsaa, hvor den ikke umiddelbart benyttes, eller dog hvor 
de dertil knyttede Konstruktioner maatte henhøre under bekjendte Bikonstruktioner, som 
de græske Forfattere ellers ikke pleje at medtage. Et andet Tegn paa, at dette geometriske 
Hjælpemiddel virkelig har en lignende Bestemmelse som Anvendelsen af Algebraen, og at 
den som den algebraiske Formel har en vis Uafhængighed af den geometriske Undersøgelse, 
hvorpaa den netop skal anvendes, er man maaske berettiget til at se i den Omstændighed, 
at Hjælpefiguren er oprejst under rette Vinkler og ikke — hvad der kunde ligge nær, naar 
man blot vilde tegne nogle Hjælpelinier til den foreliggende geometriske Figur —, under 
samme Vinkel, som Ordinaterne danne med Abscisseaxen. Faktisk er i ethvert Tilfælde 
denne Omstændighed et Udtryk for, at det for alle Størrelser af denne Vinkel er samme 
Relation, der finder Sted mellem Abscisser og Ordinater. 


Et Exempel paa Anvendelsen af Apollonios’ Hjælpefigur som Konstruktionsmiddel 
haves i hans første Bogs Sætning 32 og vil blive nærmere fremstillet i vort tredie Afsnit 
(Fig. 15); et meget smukt Exempel paa dens Anvendelse som geometrisk-algebraisk Opera- 
tionsmiddel haves i samme Bogs Sætning 15 og vil blive nærmere fremstillet i vort fjerde 
Afsnit (Fig. 17). 


Man vil nu kunne danne sig en Forestilling om, hvor vel skikket den antike geo- 
metriske Algebra er til Undersøgelse af Keglesnit. En stor Del af disses vigtigste 
Egenskaber. fremstille sig nemlig for en analytisk-geometrisk Undersøgelse, naar man hen- 
fører Keglesnittet til forskjellige Koordinatsystemer. Saaledes ere f. Ex. de vigtigsle Egen- 
skaber ved konjugerte Diametre udtrykte derved, at der existerer uendelig mange Koordinat- 
systemer, i hvilke et Keglesnits Ligning antager de nys benyttede Former (5). Naar man 
nu ved at betragte Keglesnittet i dets Stilling paa Keglen har udledt en Ligning for det i 
et bekvemt valgt Koordinatsystem, f. Ex. den til en Axe henførte Toppunktsligning, sker 
Overgangen til nye Koordinatsystemer ved lineære Substitutioner i den først fundne Ligning 
af anden Grad. De dertil tjenende algebraiske Operationer af anden Grad ere netop dem, 
med hvis geometriske Form vi af Euklids anden Bog se, at Grækerne vare meget fortrolige. 
Substitutionskoefficienterne og Koefficienterne til Leddene af anden Grad i Ligningerne ud- 
trykkes nemlig ikke ved Linier, hvorved Ligningerne vilde blive af højere end anden Grad 
i de ved Linier fremstillede Størrelser, men ved Forhold, og disse Forhold indføres i 
Reglen under lige saa let overskuelige Former som i (5). Tillige indrettes alt paa at 
sammendrage saa mange Led som muligt, saa at Ligningerne for Kurverne oftest blot ud- 


- 


sige, at, som i de ved Fig.6 og 7 fremstillede Ligninger (5), to variable Arealer ere lige 
store, eller endog at et variabelt Areal beholder en konstant Verdi. 

I Losningerne af Ligninger af anden Grad har man endvidere haft et Middel til 
Bestemmelse af Skjæringspunkter med rette Linier, og i den til Ligninger af anden Grad 
hørende Diorisme (Eukl. VI, 27) Betingelsen for Berøring og derved et Middel til Tangent- 
bestemmelser. Under hvilke særlige Former dette Middel anvendtes, og de omtalte Ko- 
ordinatændringer foretoges, vil ses af det folgende. 

Ligningerne for Keglesnittene maa stadig opfattes som Ligninger af forste Grad 
mellem Arealer. Hvis man overfor en græsk Mathematiker overalt vilde ombytte disse med 
deres Udtryk ved Produkter af Linier, vilde han sikkert betragte dette som et Tegn paa 
Uvidenhed om, at ikke alle Storrelser af samme Art have et fælles Maal; men hvor de 
have dette, og hvor altsaa de Storrelser, som multipliceres, kunne fremstilles ved rationale 
Tal, vilde han efter vor Mening selv kjende og kunne benytte denne Ombytning. Hermed 
folger, at han rimeligvis ogsaa praktisk har gjort det samme, naar Rationaliteten ikke 
finder Sted, og naar det blot gjaldt om et tilnærmet Resultat; men dette har da ligget 
udenfor den exakte Geometri. 

Forbindelsen med den geometriske Algebra forklarer ogsaa, hvorfor det i Oldtiden 
kun har veret Keglesnitsleren, som er bleven fuldstændig udviklet, medens Undersogelser 
over Kurver af højere Orden ere forblevne mere sporadiske. I disses Fremstilling var det 
ikke som ved Keglesnittene nok at fremstille Konstanterne ved Forhold for at faa Lig- 
ningen fremstillet i en overskuelig og bekvem geometrisk Form. En Kurve af tredie Orden 
kunde man ganske vist endnu fremstille ved en Relation mellem Rumfang!); men med 
disse lader der sig ikke operere saa umiddelbart som med Arealer. Blev Kurven af endnu 
højere Orden, havde man ingen anden Fremstilling af de i dens Ligning indgaaende Pro- 
dukter af mere end 3 variable Størrelser end de, i delte Tilfælde temmelig uhandlelige, 
sammensatte Forhold. 

Herpaa haves Exempler i Pappos’ Fremstillinger”) af geometriske Steder for 
Punkter, hvis Afstande fra to Systemer faste rette Linier danne Produkter, som staa i et 
givet Forhold. Disse Steder, hvis Fremstilling Pappos anfører som en Udvidelse af en i 
Oldtiden vel bekjendt Bestemmelse af Keglesnittene, uden dertil at knytte nogen nærmere 


, 


Undersogelse, mode vi igjen i Descartes’ Geometri, hvor de netop vise, i hvilken Ret- 
ning hans analytiske Geometris Overlegenhed over den gamle er at soge. 
Paa Grund af den Rolle, som den geometriske Algebra spiller i den antike Kegle- 


snitslere, har det veret mig af Vigtighed for mine Undersogelser af denne at erhverve mig 


!) At denne Fremstilling, hvorom mere senere, anvendtes ogsaa paa numeriske Undersøgelser, ses af 
Navnene solide og kubiske Tal og af, at Benævnelsen ligedannede ogsaa anvendtes paa Tal, 
der forholde sig som Kubiktal. 

*) Hultsch Udgave S. 680. 


31 


en saadan personlig Færdighed i den geometriske Form for elementære algebraiske Opera- 
tioner, at Tanken paa de moderne Fremstillingsmidler ikke skulde ligge bagved min Dom 
om, hvilke Omdannelser eller Fremstillingsmaader der vare mere eller mindre nærliggende. 
Til Indovelse af en saadan Ferdighed giver selve Apollonios’ Keglesnitslere et godt 
Hjælpemiddel. Det er nemlig ofte, at Apollonios i sine Beviser gjør ganske smaa Spring 
af ganske samme Art, som naar en analytisk-geometrisk Forfatter overlader en let Mellem- 
regning til Læseren selv. Oversætte vi Apollonios’ Fremstilling paa vor Algebras Sprog, 
er det i mange Tilfælde netop en saadan Mellemregning, som er udeladt, og disse Spring 
ere derfor, idet de forkorte den ellers brede Fremstilling, snarest en Lettelse for moderne 
Læsere. Da nu de gamle i de geometrisk-algebraiske Operationer havde et vel kjendt 
Hjælpemiddel, som paa det i Keglesnitslæren behandlede Omraade var ækvivalent med vor 
Bogstavregning, er det rimeligt at antage, at det netop er ved Hjælp af disse, at Apollonios 
vilde have, at hans Læsere let selv skulde kunne verificere de Paastande, som vi nu veri- 
ficere ved en let Bogstavregning. Havde han derimod ment, at Rigtigheden burde godt- 
gjøres ved Anvendelse af bestemte Kunstbegreb eller ved Tilbageførelse til bestemte Sæt- 
ninger i Euklids Elementer, saaledes som Pappos gjør det i de Hjælpesætninger, 
som han har knyttet til de fleste af disse Steder hos Apollonios, var det rimeligt, at denne 
havde givet udtrykkelige Oplysninger derom. Han var nemlig berettiget til at stille visse 
Krav til Læsernes Færdighed, men ikke til deres Opfindsomhed. 

Naar saaledes Apollonios i Beviset for 


3die Bogs Sætning 24 uden noget særligt Bevis É | | 

bygger paa, at naar, som paa Fig. 8, AB = CD, | | 

finder folgende Relation Sted mellem de af Styk- | | 

kerne af den rette Linie dannede Rektangler: A’ | | 
EC. EB — AC. AB ED.EA, ieee | 

saa finder jeg det rimeligst, at han vil have E A B € D 

set Rigtigheden heraf ved, som paa Fig.8, hvor Fig. 8. 


EBA! = EA og EB‘ = EB, at tegne de paa- 
gjældende Rektangler, hvorefter Sætningen fremgaar af, at de paa CD og. paa A'B" tegnede 


Rektangler ere lige stere, eller — hvad der for den i saadanne Operationer vel ovede 
har veret tilstrekkeligt — ved at tænke sig dem tegnede. Han har snarere tænkt sig de 


samme Operationer anyendte, som Euklid bruger i anden Bog, end tenkt sig den an- 
forte Paastand bevist som af Pappos i det dertil horende 4de Lemma ved Indforelse af det 
fælles Midtpunkt af AD og BC og en til dette Midtpunkt knyttet Anvendelse af Euklids 
6te Setning i anden Bog. 

Paa lignende Maade betragter jeg det nermest som et Udslag af senere Tiders 
Pedanteri, naar Pappos ogsaa i en stor Mengde af de andre Hjelpesetninger til Kegle- 
snitsleren fører Apollonios’ Paastande tilbage til Sætninger og ikke til Operationer. 


32 


Eutokios Bevis for 6te Lemma til 3die Bog turde derfor ogsaa ligge Apollonios’ egen Be- 
tragtning nærmere end det Bevis, som Pappos anfører. I alle Tilfælde have de Operationer, 
som vi vide, at de gamle kjendte, faktisk været det letteste Middel til at verificere disse 
Paastande, og det er derfor berettiget at bruge dem til Øvelse i disse Operationer”). 


Andet Afsnit. 


Keglesnitsliniernes plangeometriske Definition; dennes Form hos Archimedes. 


Keglesnitsliniernes forste og nærmeste Frembringelse var hos Grækerne den, der 
umiddelbart ligger i deres fælles Navn, nemlig som plane Snit i cirkulzre Kegler, 
og de 3 Hovedarter af Keglesnit defineredes ved de bestemte Kegler, hvori, og den Maade, 
hvorpaa de frembragtes. I denne Henseende bar man sig dog forskjelligt ad til de for- 
skjellige Tider. De ældre Geometrere definerede de tre forskjellige Keglesnit (Ellipse, Parabel, 
Hyperbel) efter Keglernes forskjellige Beskaffenhed og kaldte dem Snit i spidsvinklede, 
retvinklede eller stumpvinklede Kegler, idet de tænkte sig Snittene vinkelrette paa 
en Frembringer i en Omdrejningskegle, og denne definitionsmæssige Skjælnen mellem 
de tre Keglesnit vedblev, efterat man havde opdaget, at ogsaa andre Snit i andre cirkulære 
Kegler henhore under en af de tre ved den snævrere begrænsede Frembringelsesmaade 
definerede Kurvearter. Heri var der intet unaturligt; thi ikke blot betænker man sig altid 
paa at forandre noget ved overleverede Definitioner, hvortil der allerede knytter sig gjen- 
nemferte Systemer af Sætninger, Konstantbestemmelser m. m., men det ligger ogsaa ner 
og er logisk fuldt berettiget at indsnævre det Apparat, som benyltes i Definitionerne saa 
meget, som ske kan uden derved at indsnævre selve de definerede Begreber, og da for- 
beholde Sætningerne at vise, at de definerede Begreber kunne optræde i mere alminde- 
lige Omgivelser. Man finder det jo saaledes meget naturligt, naar i moderne Læreboger 
i analylisk Geometri Keglesnittene defineres ved simple Egenskaber eller ved simple 
Ligninger, og det forst bagefter bevises, at de Kurver, som bestemmes ved den alminde- 
lige Ligning af anden Grad, ikke ere andre end dem, man allerede har faaet ved de simp- 
lere Ligninger. 

Som der imidlerlid ogsaa er Læreboger i analytisk Geometri, som have opgivet 
den her sammenligningsvis omtalte elementære Fremgangsmaade, og helt omvendt begynde 


*) Vil man for at opnaa større Øvelse have noget vanskeligere Exempler, kan jeg dertil anbefale at 
verificere Sætningerne 124 og 125 i Pappos 7de Bog ved den geometriske Algebra. 


245] 
2) 


med at opstille det almindelige Begreb: Kurver af anden Orden, definerede ved den almin- 
delige Ligning af anden Grad, og definere de enkelte Kurvearter ved Relationer mellem 
Konstanterne i denne almindelige Ligning, saaledes maatte der ogsaa, da man var bleven 
fortrolig med Betragtningen af anderledes bestemte Snit i Kegler end de i de gamle Defi- 
nitioner forudsalte, komme den Tid, da en Geometer som Apollonios fandt paa at tage 
den almindelige Bestemmelsesmaade til Udgangspunkt og definere Ellipse, Parabel og 
Hyperbel ved den almindeligste Maade, hvorpaa de frembringes i vilkaarlige cirkulære Kegler. 
Om end, som vi skulle se, dette Skridt har været vel forberedt i videnskabelig Hen- 
seende — hvormed jeg mener i Henseende til Kjendskab til dertil fornodne Sætninger —, 
ser man dog af første Bog af Apollonios’ Keglesnitslære, at det i systematisk Henseende 
frembød ikke ringe Vanskeligheder: det er nemlig først ved Slutningen af denne første 
Bog, i hvilken allerede maa medtages Udviklingen af ikke faa plangeometriske Egenskaber, 
at man ser, at Snittene i de forskjellige Kegler ere identiske, og alle kunne lægges ind 
paa Omdrejningskegler. 

Den her givne Fremstilling af Forholdet imellem Apollonios og hans Forgængere i 
Henseende til Frembringelse af Kurverne som Snit i Kegler stemmer ikke fuldstændig med 
de ved Eutokios opbevarede Ytringer") af Geminos. Det hedder nemlig i Slutningen af 
Eutokios’ Referat, efterat der er gjort Rede for de gamles Frembringelse ved Snit vinkel- 
rette paa en Frembringer: «Men senere saa Apollonios fra Perge i Almindelighed, at alle 
Snit findes i enhver Kegle, ret eller skjev, alt efter Planens forskjellige Heldning mod 
Keglen.» Denne Ytring, efter hvilken Apollonios altsaa skulde være den forste Opdager 
af, at andre Snit end de vinkelrelte paa en Frembringer have samme Egenskaber som disse, 
og som endnu bringer Cantor til med megen Styrke at gjore dette gjældende, strider 
imidlertid fuldstændig med, at Archimedes i Begyndelsen af Skriftet om Konoider og 
Sferoider?) udtrykkelig udtaler som noget bekjendt, at alle Snit i en Kegle, som træffe 
alle Frembringere, ere Ellipser (eller Cirkler), og med at en Udtalelse i lignende Retning 
allerede findes i Euklids Fænomener”). Det kan nemlig ikke godt tænkes, at dette er 
fundet paa anden Maade end en saadan, som samtidig maa have vist, at de ved den ældre 
Bestemmelse bekjendte hyperbolske og parabolske Snit kunne frembringes paa en lige saa 
almindelig Maade som de elliptiske, hvilke Archimedes nævner, fordi han har særlig Brug 
for dem. Heri vil man blive bestyrket ved de videre Undersogelser, som Archimedes 
knytter til de forskjellige elliptiske Snit, og som vi snart skulle omtale. 


1) Se Halley's Udgave af Apollonios’ Keglesnit S.9. Geminos’ Virksomhed henlegger Cantor til efter 
Aar 77 for Chr. 

2) Heibergs Udgave I S. 288. 

3) Dette Sted har Heiberg, som tidligere i Zeitschr. f. Math., hist. Abth., XXV, 2 havde sammenstillet 
de Steder, hvor Archimedes omtaler Keglesnittene, fremdraget i «Litteraturgeschichtliche Studien 
über Euklid» S. SS. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 1, 5 


Denne Modsigelse finder nelop sin bedste Forklaring ved vor Antagelse. Alle Vid- 
‘nesbyrd stemme overens i, at Apollonios har givet Keglesnittene de nye Navne Ellipse, 
Parabel og Hyperbel. Til Indforelsen af saadanne nye Navne var der Anledning nok, 
naar Apollonios forlod det nedarvede definitionsmæssige Grundlag, hvortil de gamle, 
endnu af Archimedes benyttede, Navne knyttede sig. Den saaledes foretagne Ændring i 
Benævnelser og Udgangspunkt — der ikke behovede at være knyttet til nogen særegen 
Opdagelse fra Apollonios’ Side — kunde let give Anledning til Misforstaaelser for senere 
Læsere, som lerte Keglesnitslerens Elementer at kjende hos Apollonios og derefter gave 
sig af med Archimedes’ videre gaaende Undersogelser over enkelte herhen horende 
Emner. Saadanne Misforstaaelser maa derfor de senere Forfattere søge at forebygge. 
Hertil tjene adskillige Ytringer hos Pappos!), og det samme har aabenbart allerede været 
Geminos” Hovedhensigt med de citerede Ord. | 

Naar nu disse gaa saa vidt, at de tillegge Apollonios Opdagelsen af, «at alle Snit 
findes i enhver Kegle, ret eller skjev,» saa kan denne Udtryksform — der i alle Tilfælde 
er uheldig, da den kunde bringe til at tro, at enhver Hyperbel kan frembringes som Snit 
i enhver Kegle — muligvis blot skyldes Eutokios’ Referat. Den kan imidlertid ogsaa 
skyldes en Uagtsomhed hos Geminos, som levede lenge nok efter Apollonios til selv at 
have benyttet denne som Hovedkilde til Keglesnitsleren og til derfor ikke fuldstændig at 
have gjort sig Rede for, hvor vidt de ældre Forfatteres Viden strakte sig, naar hans 
Hovedhensigt dog blot har været at forklare deres Udtryksmaade, og ikke at vise, hvor 
langt Apollonios naaede ud over dem. Havde dette sidste været Tilfældet, vilde han ikke 
være bleven staaende ved den Omstændighed, at Apollonios viser, at alle tre Slags Kegle- 
snit findes i enhver Kegle, men have givet Apollonios Oplysninger om denne Sag deres 
fulde Omfang ved at omtale hans Paavisning af, at — med Undtagelse af enkelte Grænse- 
tilfælde — alle Snit i cirkulære Kegler, ogsaa de, som ikke staa vinkelret paa Symmetri- 
planen, ere Ellipser, Parabler og Hyperbler. 

Paa ganske lignende Maade knytte senere Forfatteres Bemærkninger om et andet 
formentligt Fremskridt i Keglesnitslæren, som skulde skyldes Apollonios, og som nu skal 
omtales, sig alene til deres Forbindelse med Ændringen af Benævnelser, og inde- 
holde ikke de Oplysninger om de ældre Forfatteres ringere Viden, som man bar villet 
udlede deraf. 


1) Pappos’ Redegjorelse for Apollonios’ otte Bøger om Keglesniltene er aftrykt som Tillæg Il til nær- 
værende Arbejde. Man vil bemærke, at Pappos intet siger om, at Apollonios skulde have opdaget, 


at, som han siger, «i enhver Aıt af disse Kegler findes disse tre Livier alt efter den Maade, hvor- 
paa de skjeres.» Naar nemlig Hultsch i sin Oversættelse — i hvilken jeg efter Dr. Heibergs 


Raad har foretaget en Ændring — lader Pappos sige, at Aristaios ikke har bemerket dette, beror 
det vistnok paa en Misforstaaelse. 1 hvert Fald kunne Euklid og Archimedes godt have vidst, hvad 
maaske Aristaios ikke vidste. 


Den stereometriske Bestemmelse af Keglesnitslinierne benyttedes af alle de græske 
Forfattere, hvis Arbejder ere os bekjendte, til Udledelsen af en enkelt plangeometrisk 
Hovedegenskab (oÿurroua)!), som derefter lagdes til Grund for deres videre 
Undersogelse, og som vi saaledes ere berettigede til at betragte som Keglesnittenes 
plangeometriske Definition, og der foreligger ingen Anledning til at tro, at de ældre 
Forfattere, hvis Arbejder ere tabte, have baaret sig anderledes ad. ‘vert imod tyder alt, 
saaledes allerede den plangeometriske Anvendelse af Parablen, som tillegges Menaichmos, 
paa, at denne plangeometriske Grundegenskab, saa længe Keglesnittene have været under- 
sogte, har været den samme, som vi finde hos Archimedes og Apollonios, nemlig 
den, som algebraisk vilde udtrykkes ved den Ligning, hvorved Keglesnittene fremstilles i et 
retvinklet Koordinatsystem, naar en Axe er tagen til Abscisseaxe. Vi skulle se, at de for- 
melle Afvigelser, med hvilke denne Grundegenskab optræder i Grækernes geometriske 
Fremstilling, ikke ere sterre end de, som man nu faar ved at tage forskjellige Punkter af 
Axen til Begyndelsespunkter. Naar Pappos dog udtrykkelig har fremhævet den Form, hvori 
Bestemmelsen optræder hos Apollonios, er dette, som nys berørt, sikkert kun sket paa 
Grund af de i Forbindelse dermed staaende nye Navne. 

En stik modsat Opfattelse gjøres imidlertid ogsaa paa dette Punkt gjældende af Cantor. 
Denne Opfattelse vil, som den samme Forfatters nys nævnte paa Geminos støttede Paa- 
stand blive imødegaaet ved vor efterfølgende Fremstilling af Steder hos Archimedes; men 
allerede her anse vi det for rigtigt at forudskikke en Prøvelse af Cantors egne Grunde>). 

De Bemærkninger af Pappos, hvortil jeg nys sigtede, ere gjengivne i Begyndelsen 
af vort Tillæg II. Jeg kan ikke se, at der i dem ligger andet og mere, end jeg har an- 
givet ovenfor. Cantor derimod har ikke blot som flere andre Forfattere”) deri set et Bevis 
for, at den Fremstilling af Keglesnitslinierne, som vi for Ellipsens og Hyperblens Vedkom- 
mende allerede have berørt i forrige Afsnit, skulde være et væsentligt Fremskridt, som 
skyldes Apollonios; men han gaar S.252 saa vidt, at han paastaar, at Euklid ikke har 
kjendt Parablen, Ellipsen og Hyperbelen som Kurver i Planen, eller i alt Fald, at de ikke 
kunde forekomme som saadanne i de euklidiske Bøger om Keglesnittene. 


1) Tannery bemærker med Rette, at Kurvens Bestemmelse ved denne svarer til dens Ligning i den 
analytiske Geometri. (Bulletin des Sciences mathématiques 1883 p. 278). 

2) Blandt disse skal jeg dog ikke dvæle ved dem, der knytte sig til de Steder, hvor Fladeanlægene 
forekomme i Elementerne; thi jeg har i forste Afsnit vist, at disse Konstruktioner havde en til- 
strekkelig stor Betydning udenfor Keglesnitslæren, til at Euklid kunde undlade i Elementerne at 
tage noget særligt Hensyn til Anvendelsen paa denne Lære. Hvilken Forfatter af en elementær 
Algebra tænker særlig paa Ellipsens og Hyperblens Ligning', naar han diskuterer de forskjellige 
Former for en Ligning af anden Grad med én ubekjendt 2 

3) Dog ikke alle. Min Opfattelse deles saaledes af Arneth og af Bretschneider i hans smukke 
Forsøg paa at gjengive Menaichmos' Udledelse af Keglesnittenes Egenskaber (Die Geometrie und 
die Geometrer vor Euclid). 


Naar jeg skal imedegaa disse Ytringer af Cantor, maa jeg dog først bemærke, at 
den virkelige geometriske Betydning af de deri indeholdte Paastande lenge har været mig 
dunkel. En Opfattelse af dem, som jeg nu anerkjender for at vere en Misforstaaelse, skal 
jeg berøre paa Grund af de Undersøgelser, som den har givet mig Anledning til. Jeg 
opfaltede Cantors Paastand om, at Euklid ikke kjendte Kurverne som «Kurver i Planen», 
saaledes som om han og hans Forgengere under Studiet af deres Egenskaber ikke skulde 
have kjendt nogen plangeometrisk Grundegenskab, eller dog ikke have forstaaet at legge en 
saadan til Grund for videre Undersegelser, men derimod blot have opfattet Kurverne som 
Kurver i Rummet, under hvis Undersøgelse man stadig maatte vende tilbage til at be- 
tragte dem paa selve Keglen. 

Keglesnitsleren kunde ad denne Vej ikke vere bragt til det heje Standpunkt, 
hvorpaa den stod fer Apollonios, hvis de greske Geometrer ikke vare komne temmelig vidt 
i den stereometriske Undersegelsesmaade, som ellers først anvendtes af Desargues og 
Pascal og med fuld Konsekvens er udviklet af Poncelet. Jeg foranledigedes derfor til 
en dobbelt Undersøgelse, dels en geometrisk Prevelse af, om de fer Apollonios kjendte 
Egenskaber, f. Ex. den, der udtrykkes i Hyperblens Asymptoteligning, paa en for Grekerne 
nogenlunde naturlig Maade fremgaa af Betragtning af Kurverne paa selve Keglen, dels en 
Gjennemsegning af, om der i den opbevarede Literatur skulde vere levnet Spor af en saa- 
dan stereometrisk Undersegelsesmaade. Jeg fandt imidlertid baade, at den omspurgte Ud- 
ledelse vilde kreve geometriske Forudsetninger, som der ellers ikke er nogen Grund til at 
tillegge Grækerne, og at Behandlingsmaader, som kunde antages for Spor af nogen anden 
stereometrisk Undersegelse af Keglesnittene end den, der ferer til den samme plangeome- 
triske Fremstilling, som findes hos Apollonios*), forekomme meget for sjeldent, til at tyde 
paa nogen udstrakt Brug af en saadan Fremgangsmaade. Den stereometriske Undersøgelse 
— og da nærmest kun i den simplere Skikkelse, den antager, naar en Ellipse optreder 
som Cylindersnit, altsaa som Parallelprojektion af en Cirkel — kan højst vere anvendt i 
enkelte Tilfælde som heuristisk Middel, saaledes af Archimedes ved Bestemmelsen af 
Ellipsens Areal, eller af den, som først har fundet, at parallele Korder i en Ellipse halveres 
af en retliniet Diameter. Direkte er der dog aldeles intet opbevaret herom, hvilket for det 
sidste Exempels Vedkommende er naturligt nok, da man dog maatte bruge andre Midler 
til at udvide Sætningen til Parablen og Hyperblen. 

i Henhold til den her omtalte Undersøgelse — som jeg paa Grund af det negative. 
Udbytte ikke nærmere skal omtale — mener jeg at kunne fastholde, at Grækerne ikke have 


?) Man kan ikke sige, at det er ad denne Vej, at det hos Apollonios er vist, at Keglesnit henføres til 
konjugerede Diametre ved samme Ligninger som til Axerne. Hans Bevis for, at de paa disse to Maader 
bestemte Keglesnit ere identiske, er nemlig plangeometrisk. 


O9 
= 


forfulgt Studiet af Keglesnitslinierne paa selve Keglen stort videre end til Udledelsen af en 
enkelt plangeometrisk Grundegenskab for ethvert Keglesnit. Ved denne Paastand kommer 
jeg endnu ikke i Strid med Cantor, hvis han med sin Ytring om, at Euklid ikke kjendte 
Parablen, Ellipsen og Hyperblen!) som Kurver i Planen, blot mener, at han ikke kjendte 
de til de antike Fladeanleg knyttede geometriske Steder, hvis Bestemmelse af Apollonios 
legges til Grund for Keglesnittenes plangeometriske Undersogelse, at derfor Euklid for- 
modentlig ikke har spurgt sig selv om Beskaffenheden af disse Steder og i hvert Tilfælde 
ikke vidst, at de vare de samme Kurver som de, han selv undersøgte under Navn af 
Snit i den retvinklede, spidsvinklede og skjævvinklede Kegle. 

Har dette, som jeg antager, veret Cantors Mening, kan han endnu vere enig med 
mig i, at man ogsaa for Apollonios har nojedes med ved Betragtning af Snittene paa selve 
Keglen at udlede en enkelt plangeometrisk Hovedegenskab og lagt denne til Grund for 
deres videre Undersogelse. Kun maa han mene, at den har veret en anden end den, som 
Apollonios benytter. Den Iver, hvormed han forfægter dette, bliver imidlertid uforstaaelig, 
naar han ikke samtidig giver nogen Antydning af, hvilken den tidligere Bestemmelse da 
har veret eller kan have været, og hvor meget eller lidet den har afveget fra den, som 
findes hos Apollonios. Talen er om selve Grundlaget for Apollonios’ Keglesnitslere, om 
den Ligning, hvoraf han udleder alle de andre. Den Leser, som oplyses om, at Apollonios 
har skabt dette Grundlag, og som ikke faar nærmere Oplysning om, hvor høj en Udvikling 
Keglesnitslæren havde før Apollonios, vil ved Cantors Paastande faa det Indtryk, at denne 
mægtige Lærebygning, der ikke staar meget tilbage for den Keglesnitslære, som man havde 
ved vort Aarhundredes Begyndelse, er Enkeltmands Værk paa spredte Iagttagelser nær. fra 
tidligere Tid”). Den derimod, som fra Archimedes’ Skrifter og fra Apollonios’ Fortaler véd, 
hvor udviklet Kjendskabet var før Apollonios navnlig til de i dennes 3 første Bøger be- 
handlede almindelige Egenskaber ved Keglesnittene, og at Apollonios’ egne betydelige 
Fremskridt for en stor Del knyttede sig til heldige Udvidelser af Forgængernes Opdagelser, 
føler sig skuffet ved at se disse svæve i Luften og kun faa at vide, at, efterat de vare 
gjorte, sammenstillede Apollonios dem paa Grundlag af de til Fladeanlægene knyttede 
Bestemmelser. 


, 


I Archimedes’ Skrifter, hvor Grundlaget for Keglesnitslæren næppe afviger fra 
det, som ogsaa Euklid benyttede, maa man søge Svarene paa de her rejste Spørgsmaal. 
Hvis Cantors Paastande skulde have nogen væsentlig Betydning for Kjendskabet til den 


græske Keglesnitslære og dens Udvikling, maatte man kunne paavise væsentlige Forskjellig- 


1) Cantor synes paa dette Sted med selve Ordene Parabel, Ellipse og Hyperbel at betegne de forskjel- 
lige- Arter af Fladeanlæg. 
2) En Ytring nederst S. 271 i Cantors Vorlesungen tyder paa, at dette er hans egen Meninz. 


90 
heder") i Beskaffenhed og Anvendelighed mellem det af Archimedes og det af Apollonios 
benyttede Grundlag. En saadan Forskjel har jeg ikke kunnet finde. Apollonios forstaar 
ganske vist, som enhver betydelig Forfatter, at drage Fordel af den særlige Maade, hvorpaa 
han udtrykker det i alt vesentligt felles Grundlag; men der er aldeles ingen Grund til at 
betragte den, i hvert Fald yderst ringe, formelle Ændring som et geometrisk Fremskridt. 
Dens historiske Betydning ligger udelukkende i det, som ogsaa er det eneste, Pappos 
anfører, nemlig at den staar i Forbindelse med de nye Navne, for hvilke der blev Brug, 
da Apollonios opgav de nedarvede stereometriske Definitioner, hvortil de gamle Navne vare 
knyttede. 


I Overensstemmelse med de Løfter, som jeg har givet i det foregaaende, skal jeg 
nu gaa over til, af Archimedes’ Skrifter at paavise, hvorledes man før Apollonios be- 
handlede — ej blot de plane Snit, som i rette Kegler vare lagte paa den gamle definitions- 
mæssige Maade, men overhovedet — Snit, hvis Planer staa vinkelret paa Symmetriplanen ?) 
i en hvilken som helst cirkulær Kegle, og til at fremdrage de Oplysninger, som findes hos 
Archimedes om de plangeometriske Hovedegenskaber, der paa og før hans Tid lagdes 
til Grund for Undersøgelser af Keglesnittene. Derved opnaa vi samtidig at komme mere 
umiddelbart til disse Egenskaber end i Apollonios” første Bog, hvis Indhold skal frem- 
stilles i det følgende Afsnit. Hos Apollonios ere de nemlig af systematiske Hensyn blan- 
dede ind i andre Sætninger, navnlig i de almindeligere Sætninger om konjugerede Diametre. 
Hos Archimedes derimod, hvor deres Form i Simpelhed og Brugbarhed ingenlunde staar 
tilbage for den hos Apollonios, forudsættes Grundegenskaberne, hvorpaa han bygger i sine 
egne Undersøgelser, bekjendte og optræde derfor uafhængig af alle systematiske Hensyn. 


| 
ly 
| 


Fi 


CE] 


9 a. Fig. 9 b. 


Vi kunne under ét omtale Eliipsen og Hyperblen. De findes begge henforte 
til en Axe med to faste Punkter A og A,. Paa denne tænkes i et Punkt, hvis Afstande 


+) Heller ikke Heiberg, som har fremdraget det grundige Kjendskab til Keglesnittene, man havde for 
Apollonios, men dog slutter sig til Cantor i den her omhandlede Sag (Litteraturgesch. Studien ü. 
Euklid S. SS), giver nogen Oplysning om, hvilken geometrisk Betydning den ringe Afvigelse i Formen 
for Keglesnittenes Fremstilling hos Archimedes og Apollonios skal have havt. 

Archimedes udtaler ikke denne Indskrænkning, idet han i Begyndelsen af Skriftet om Konoider og 
Sfæroider siger, at Snit, som træfle alle en Kegles Frembringere ere Ellipser; men i Løbet af det 
eiterede Arbejde faar han i alt Fald kun Lejlighed til at behandle Snit, som enten staa vinkelret 
paa Symmetriplanen i den cirkulære Kegle eller paa et andet Hovedsnit i Keglefladen. 


fra de faste Punkter vi ville kalde æ og æ,, oprejst en vinkelret Ordinat y, hvis Endepunkt 
er et Punkt af den søgte Kurve. Tænke vi os paa samme Maade x’, ©’, og y! at bestemme 
et nyt Punkt af denne, er Ellipsen eller Hyperblen bestemt ved Ligningen 


42 


9 
Le rd (1) 
TX: x". x, 


saaledes at man faar den forste eller anden af disse Kurver, eftersom Ordinaten oprejses 
fra et Punkt af Linien AA, eller. fra et Punkt af dens Forlængelse. Dog er der hos 
Archimedes ikke Tale om at betragte mere end en enkelt Hyperbelgren. Hvorledes den 
Relation, som vi her kort have gjengivet ved Ligning (1), udtrykkes geometrisk hos Archi- 
medes, vil fuldstendig fremgaa af vort foregaaende Afsnit. 

Uden at forandre noget som helst ved Archimedes’ Tanke kunne vi i vort Sprog 
give den et endnu simplere Udtryk, idet vi skrive Ligningen (1) 
y? 


DENON 


- == konstant, (2) 


hvoraf vi se, at hans Fremstilling frembyder den Fordel, som ligger i, at man kan give 
Konstanten et Udtryk, som retter sig efter den øjeblikkelig foreliggende Opgaves Vary‘). 
Hvilket Bevis Archimedes forudsætter for, at alle mulige Snit vinkelrette paa Sym- 
metriplanen i en vilkaarlig cirkulær Kegle, som ikke ere af en mere speciel Natur, have 
den Egenskab, hvorved Ellipser og Hyperbler her karakteriseres, fremgaar af hans Losninger 
af Opgaverne 7 og 8 i hans Skrift om Konoider og Sferoider. Disse Opgaver — som i 9 
efterfolges af en tilsvarende serskilt Behandling af det Grensetilfelde, hvor Keglen om- 
byttes med en Cylinder — gaa nemlig ud paa, at «finde en Kegle, som gaar gjennem en 
given Ellipse og har et givet Punkt i den Plan, der oprejses vinkelret paa Ellipsens Plan 
i en af Ellipsens Axer, til Toppunktv. Da Keglefladen, der i Almindelighed bliver skjæv, 
er fuldkommen bestemt ved Ellipsen og Toppunktet, gjælder det kun om at finde Grund- 
fladen, 9: et cirkulært Snit, hvilket ogsaa i Virkeligheden er det, som Archimedes soger. 
Det viser sig saaledes ikke blot, at Archimedes kjender Keglesnitsliniernes Frembringelse 
som Snit vinkelrette paa Symmetriplanen i skjæve cirkulære Kegler, om han end for det 
foreliggende Øjemeds Skyld kun holder sig til elliptiske Snit; men det Bevis, han fører for 
Rigtigheden af sin Losning af den stillede Opgave, er i Virkeligheden et Bevis for selve 
denne Frembringelse. Tankegangen i dette Bevis skulle vi gjengive i forkortet Skikkelse, 
idet vi i Ojeblikket se bort fra et for hans særegne Opgave nodvendigt Gjennemgangsled, 


Betragtningen af Snit vinkelrette paa Kegiefladens Symmetriaxe. 


1) En Fortegnelse over de Steder, hvor Archimedes gjor Brag af den her anforte Hovedegenskab, 
findes i Heiberg: Die Kentnisse des Archimedes über die Kegelschnitle (Zeitschrift für Math. und 
Phys., hist. Abth. XXV, 2). 


40 


Archimedes forudsætter bekjendt og benytter folgende Hjælpesætning!), som 
let bevises ved ligedannede Trekanter: Naar man fra et vilkaarligt Punkt P trækker rette 


Linier parallele med opgivne Retninger, som skjære to 
PM.PM, 
IPINEFEINE 
konstant. Ere nu de faste Linier de Frembringere i en 


faste Linier MN og M, N,, er Forholdet 


cirkulær Kegle, som ligge i Symmetriplanen, og ere Li- 
nierne MM, Sporene paa denne Plan af Planer parallele 
med den cirkulære Grundflade, bliver MP. PM, = y?, 
idet y er Afstanden mellem P og de Punkter i Kegle- 


fladen, som have P til Projektion paa Symmetriplanen. 
Man faar da 


y? 

NP, PN, 

Betragter man nu forskjellige Punkter P af samme Linie 

NN,, ses det altsaa, at alle Punkter af det Snit i Keglen, 

som udskjæres ved den i NN, projicerede Plan, have den ved Ligning (2) udtrykte Grund- 
egenskab. 

Paa den foreliggende Figur, som paa Archimedes’ Figurer, bliver Snittet NN, vel 


en Ellipse, men det samme Bevis kan ogsaa anvendes paa hyperbolske Snit, naar man blot 


— konstant. 


Fig. 10. 


forlænger en af Sidelinierne. At nu Archimedes og hans samtidige have vidst dette, er 
der ingen Grund til at betvivle, da man heller ikke ved den gamle definitionsmæssige 
Fremstilling af hyperbolske Snit ret vel uden en saadan Forlængelse kan vere faldel paa i 
den plangeometriske Bestemmelse af Hyperblen, 9: af en Hyperbelgren, at benytte ikke 
blot dennes eget Toppunkt, men, som vi have set i Ligningerne (1) og (2), ogsaa den 
fuldstendige Kurves andet Toppunkt. Af Archimedes’ Tavshed kan man ikke drage nogen 
modsat Slutning, da han her, som overalt, af Keglesnitsleren kun medtager, hvad han 
netop har Brug for. 

En Bekræftelse paa, at jeg ikke derved har tillagt den Tids Geometrer en for stor 
Viden, faar man ved at lægge Marke til den Fortrolighed med herhen horende Sætninger 
og Opgaver, som Archimedes ej blot selv lægger for Dagen, men ogsaa forudsætter hos 
sine Læsere. Et vigtigt Exempel herpaa haves i den almindelige Form for den Hjælpe- 
sætning, som vi udtrykkelig have opstillet, men som Archimedes uden at opstille eller 
bevise den anvender i en lige saa almindelig Skikkelse. Et andet lignende Exempel paa 
de Forudsætninger, han paa dette Omraade mener at kunne gjore uden særskilt Begrundelse, 


1) I fleibergs Udgave, J, 328, 9—10 benyttes denne Hjælpesætning i sin almindelige Skikkelse, andre 
Steder i Beviserne mere specielle Former af samme. 


41 


forekommer i Løbet af Løsningen af de omtalte Opgaver, som Archimedes stiller sig. Disse 
selv, samt den Omstendighed, at han for at lose dem fuldstændig ogsaa maa betragte 
Snit vinkelrette paa et andet af Keglefladens Hovedsnit, vise hans egen Fortrolighed med 
Emnet og med de Methoder, han anvender. 

Denne lægger han ogsaa for Dagen, naar han strax efter anvender den selvsamme 
Fremgangsmaade til at undersoge plane Snit i Omdrejningsflader af anden Orden, idet han 
da blot i Stedet for den af os anførte Hjælpesætning bruger den ligeledes forud bekjendte 
almindeligere Sætning, hvor de to faste rette Linier TZ og TK ere ombyttede med ét 
Keglesnit, altsaa den nu saakaldte Newtonske Sætning, som dog Newton aabent vedgaar, 
at han har fra de gamle. 1 det folgende ville vi kalde den Potenssætningen for al 
undgaa det vildledende Navn. 

Disse Undersøgelser ville vi dog opsætte til et senere Afsnit (det 19de), hvor vi i 
det hele gjore Rede for, hvad der vides om de gamles Kjendskab til Kegleflader og Om- 
drejningsflader: af anden Orden. For Øjeblikket mene vi nemlig at have sagt nok for at 
paavise Urigtigheden af den Anskuelse, at Kjendskabet til Snit i Kegleflader var ind- 
skrenket til Snit vinkelrette paa en Frembringer i en ret Kegle i al den Tid, da man 
endnu benyttede de til denne Frembringelsesmaade knyttede Navne og dermed rimeligvis 
ogsaa de dertil knyttede Definitioner og Konstantbestemmelser. Hvilke Fordele, der kunde 
bringe til at bevare disse Definitioner og Konstantbestemmelser saa længe, vil blive under- 
søgt i 2lde Afsnit. 

Jeg har berørt, at den i Ligning (1) eller (2) udtrykte Archimediske Fremstilling 
af Ellipse og Hyperbel frembyder den Fordel, at Konstantbestemmelsen kan læmpes efter 
hver Opgaves Tarv. Man kan saaledes, naar der er Tale om et Segment begrænset af en 
Korde vinkelret paa en Axe, i (1) lade a‘, x’, og y‘ have de Værdier, som høre til dennes 
Endepunkter. Dette gjør Archimedes ogsaa ved sine Undersøgelser af Segmenter vinkel- 
rette paa Axen i Omdrejningshyperboloider eller Omdrejningsellipsoider. For Ellipsen 


ligger det i Almindelighed nærmest, at lade x’ — x’, være den ene Halvaxe —, y‘ den 
88 8 > 1 934 


9 


b 
anden =, 


af Opgave 9 i Bogen om Konoider og Sfæroider. 


2 : b à ; P : 
hvorved Konstanten bliver a: Heraf gjor Archimedes f. Ex. Brug i Losningen 


Da Konstanten i Ligning (2) ifolge (1) bestemmes som et Forhold mellem Arealer 
eller et sammensat Linieforhold, og Grækerne, naar de videre skulde anvende saadanne 
Forhold, ombyttede dem med simple lineære Forhold, er det rimeligt, at Archimedes og de 
Forgengere, der fremstillede Keglesnittene paa samme Maade som han, have gjort det 
samme overalt, hvor der var Anledning dertil. Hvis de da tillige have ladet det ene Led 


9 


+ a = 2 
i Forholdet være Axen AA,, eller tenkt sig den konstante Verdi al a= bestemt som 
DD: 


Videnskab. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. IIT. 1. 6 


42 


P 
AA,’ 


netop har baaret sig saaledes ad, og om han altsaa har kjendt Ellipsens og Hyperblens 


har Forleddet p i Forholdet netop været Parameteren p. Om Archimedes nu 


Parameter eller ej, kan man aldeles ikke vide; thi paa den ene Side benytter han den 
intetsteds, paa den anden har han heller intetsteds Brug for den. 

Selve Spergsmaalet om, hvor vidt Archimedes — og med ham Euklid og hans 
andre Forgængere — har kjendt Keglesnittenes Parameter, har for evrigt i sig selv slet 
ingen videnskabelig Interesse; thi da det i hvert Fald kan ses, at han havde Midler til at 
skaffe sig andre Hjælpesterrelser, som kunde benyttes væsentlig paa samme Maade, er det 
ligegyldigt, om han netop brugte Parametren. Spergsmaalet kan kun faa Betydning, hvis 
det skulde blive et historisk Middel til at klare andre betydningsfuldere Spørgsmaal. I denne 
Sammenhæng have vi draget det frem, dels af Hensyn til et historisk Forseg over Kegle- 
snitslærens tidligere Udvikling, som vi skulle fremsætte i 21de Afsnit, dels fordi man 
muligvis kunde fremhæve Brugen af Parameteren som et af de Fortrin i Keglesnittenes 
Fremstilling hos Apollonios, som man har villet hæve til en videnskabelig Betydning. 

Uafhengig af, om Apollonios Forgengere have benyttet Parameteren eller ej, og 
uagtet Archimedes i Reglen ikke knytter sin sædvanlige Bestemmelse af Keglesnittene til de 
ved Fladeanleg brugte Kunstord, har den praktiske geometriske Brug af Fladeanleg veret lige 
saa neje forbundet med denne sidste Bestemmelse, der formodentlig ogsaa er Euklids, som 
y 
LT, 
en Konstant og 2,—-2 — a, og af den Maade, hvorpaa Euklid i sine Data 84 og 85 


med Apollonios. Archimedes fremstillede Ellipsen og Hyperblen ved — 7, hyor zer. 


fører Løsningen af Ligningerne 2, — = = a, x,x = B tilbage til Fladeanlæg, kan man 
— hvis det ellers behøves — slutte, at man fuldt vel vidste, al den anførte Bestemmelse 


faldt sammen med Bestemmelsen å 

2 
hvor Nævneren efter de gamles Sprogbrug vilde vere at fremstille som et Areal anlagt 
saaledes langs a, at der mangler eller bliver et Kvadrat tilovers. Denne Fremstillingsform 
med tilherende Figurer forekommer endog udtrykkelig et Sted hos Archimedes, hvor den i 
Hyperblens Ligning indgaaende Størrelse ax + x? siges at vere lagt hen ad a saaledes, at 
der bliver et Kvadrat til overs «5zepPdiloy eïder zerpayrovo»!). Den virkelige Brug af 
Fladeanleg bestaar imidlertid ikke i disse Udtryk og de tilherende Figurer, men i Lesning 
af Opgaver ved Ligninger af anden Grad, blandt hvilke den simpleste herhen 
herende er Bestemmelsen af Ordinater af given Lengde til et Keglesnit. Dertil giver 


(ifølge de anførte Steder af Data) Archimedes’ og Euklids Fremstilling ligesaa umiddelbar 


1) Heibergs Udgave, I, S. 420, 14—15 


og bekvem Adgang som Apollonios’, og det vilde vere meget urimeligt al anlage, at man 
systematisk skulde have undgaaet at anvende et paa Euklids Tid saa vel kjendt Hjælpe- 
middel paa Keglesnittene. 

Det kan bemærkes, at endog den geometriske Fremstilling, hvorved Apollonios 
virkelig praktisk gjennemførte sin Bestemmelse af Punkter af et Keglesnit, og som vi have 
omtalt i første Afsnit ved Figurerne 6 og 7, ligger lige saa nær, naar man gaar ud fra 
den Archimediske Form for Definitionen, som naar man gaar ud fra den af de for Læren 
om Fladeanlæg ejendommelige Kunstord sammensatte Apolloniske. Vor Ligning (2) giver 
nemlig y som Mellemproportional mellem zx og en Konstant Gange «,, og denne sidste 
Størrelse fremstilles ganske naturlig, som den til Abscissen æ svarende Ordinat y til en 


ret Linie gjennem det andet Toppunkt. Om man nu — hvad der ingen særlig Grund er 
til at antage — før Apollonios netop har anvendt denne samme Hjælpelinie som han, eller 


har udført de vel bekjendte Konstruktioner lidt anderledes, er uvæsentligt. 


Vi have for Simpelheds Skyld her slet ikke taget Hensyn til Parablen. Angaaende 
denne finde vi hos Archimedes ingen saadanne Oplysninger om dens Betragtning paa selve 
Keglefladerne som for Ellipsens Vedkommende, men flere om dens plangeometriske Egen- 
skaber. Netop derfor kunne imidlertid de Archimediske Oplysninger om Parablen og de 
om Ellipsen og Hyperblen udfylde hinanden. 

Den plangeometriske Definition paa Parablen stemmer fuldkommen med dem paa 
Ellipsen og Hyperblen, idet den kan udtrykkes ved Ligningen 


y? æ : 
12 SE 0% (3) 
i x! 
hvor x og y, x’ og y‘ ere retvinklede Koordinater til to Punkter af Kurven, eller ved 
DE a P 
en konstant Linie, (4) 


som vi ville kalde p. Denne Parameter optræder udtrykkelig hos Archimedes [Om Konoider 
og Sfæroider 3 og andetsteds] som det dobbelte af «Stykket indtil Axen», et Navn, der 
hidrerer fra Parablens Frembringelse som Snit vinkelret paa en Frembringer i en retvinklet 
Omdrejningskegle. Den halve Parameter bliver nemlig her det Stykke af Parablens Axe 
— hvilken Archimedes kalder dens Diameter — som afskjæres mellem Toppunktet og Keg- 
lens Axe. 

Heiberg har!) af denne Benævnelse villet slutte, at Archimedes endnu kun kjendte 
Parablens Frembringelse som Snit paa den her omtalte Maade. Beviset er imidlertid util- 
strekkeligt. Det Navn, som Archimedes efter gammel Brug giver Parameteren, siger nemlig 


1) Zeitschrift f. Math., hist. Abth., XXV, p. 51. 


44 


ikke mere end Navnene Snit i en retvinklet Kegle paa Parablen og Snit i en spidsvinklet 
Kegle paa Ellipsen, og Archimedes lod sig ikke hindre i at bruge det sidste af disse Navne 
af den Omstændighed, at han, som vi have set — og som netop Heiberg har fremhævet —, 
var fortrolig med elliptiske Snit frembragte paa anden Maade end den, hvortil dette Navn 
knytter sig. Naturligst forklares efter vor Mening ogsaa Archimedes’ Benævnelse paa 
Parameteren paa den i Begyndelsen af dette Afsnit givne Maade, nemlig derved, at Kegle- 
snittene i de da brugelige Kompendier (af Aristaios og Euklid) definitionsmæssig frem- 
bragtes som Snit vinkelrette paa en Frembringer, og til denne Frembringelsesmaade maatte 
da ogsaa Benævnelserne paa tilhørende Størrelser som Parameteren naturlig knytte sig. 
Benævnelsen paa Parameteren giver da ingensomhelst Oplysning om, at man ikke tillige 
kjendte andre Stillinger af parabolske Snit. Da nu Bestemmelsen af parabolske Snit vinkel- 
rette paa Symmetriplanen i hvilke som helst cirkulære Kegler ikke frembyder nogen Vanske- 
lighed, som ikke allerede er overvunden enten ved Betragtningen af de tilsvarende elliptiske 
Snit eller af saadanne parabolske Snit, som frembringes paa definitionsmæssig Maade, er 
der aldeles ingen Grund til at betvivle, at man paa Archimedes” Tid frembragte parabolske 
Snit med samme Frihed, som man bevislig frembragte de elliptiske. I denne Opfattelse 
bestyrkes man yderligere ved at se, at Archimedes (Om Konoider og Sfæroider, 9) betragter 
en lignende Sætning som den om parabolske Snit i Kegler, nemlig den, at plane Snit 
parallele med Axen i en Omdrejningsparaboloide ere Parabler kongruente med Meridian- 
kurven, som saa simpel, at han kan overlade til Læserne selv at finde Beviset. 


Naar vi nu efterat have støttet Fremstillingen af de af Grækerne benyttede plan- 
geometriske Fundamentalsætninger paa, hvad der findes hos Archimedes, nærmest komme 
til at bygge den videre Udvikling paa Apollonios, er det bedst her endnu at tilføje et 
Par Ord om, hvad der af Archimedes’ Skrifter videre kan ses at have været fuldkommen 
bekjendt påa hans Tid. At dette var temmelig betydeligt, vil strax fremgaa deraf, at det 
indbefattede Læren om konjugerede Diametre, derunder de Sætninger, hvis algebraiske 
Omskrivninger vilde være Ligningerne for Keglesnittene henførte til konjugerede 


Diametre, samt — dog for Hyperblens Vedkommende kun indenfor den Begrænsning, 
som hidrørte fra, at man kun betragtede én Gren — den før omtalte Potenssætning !). 


Hvorledes man før Apollonios’ Tid er naaet til Sætninger af en saa almindelig 
Natur som disse, vil blive forstaaeligt, naar vi i det følgende gjøre Bekjendtskab med 


1) I det oftere citerede Arbejde i Bd. XXV af Zeitschr. f. Math., hist. Abth. giver Heiberg omhyggelige 
Oplysninger om, hvad Archimedes forudsætter bekjendt af Keglesnitslæren, og om hans egne Udvidelser 
af denne, samt om de Steder i Archimedes’ Skrifter, hvor alt dette findes. Kun synes Heiberg at 
have overset, at Archimedes kjender Ligningen for Ellipse og Hyperbel henført til et vilkaarligt Par 
konjugerede Diametre. Denne findes for Ellipsens Vedkommende anvendt i Nr. 28 og for Hyperblens 
i Nr. 26 af Bogen om Konoider og Sfæroider. 


Apollonios’ Udvikling af de samme Sætninger tildels i en fuldstændigere Skikkelse. Da der 
derved for en Del vit blive gjort Brug af Operationer, som vi nærmest kunne opfatte ved 
at betragte dem som Koordinatændringer, skulle vi dog ogsaa her fremdrage et Par Exempler 
paa saadanne Ændringer hos Archimedes. 


De forekomme i Skriftet om Parab- 
lens Kvadratur (4 og 5) og tilsigte at give / 
Parablens Fremstilling en for Kvadreringen af VN 
et Segment bekvem Form. Idet AC (Fig. 11) I 
er en fast Korde Lil Parablen, BD den tilhø- / 
rende Diameter, Æ et bevægeligt Punkt og KE / \ 
en Parallel med AC, giver den oprindelige / \ 
Fremstilling af Parablen, henfort til Diameteren if NE 


BD, i Forbindelse med bekjendte Proportions- / 
sætninger, at yh 


i À 
Be 152 CD? BC? / SRE £\ 
Far el ca OR trae Tho À ibs K/ T D 
ae a ae A BT VA N 
hvoraf folger, at BT er Mellemproportional ys / a 
mellem BC og BI, altsaa À = = NY, 


ADD) ONE CN BER AR OC BROT ask 
IDG DA BEE Bag TITTEN ak” 


eller at ZH, som vi betragte som Ordinat i et nyt Koordinatsystem til Æ, deles af den 
faste Linie BC i samme Forhold, som Abscissen AZ deles af det faste Punkt D. Efter 
denne Opfattelse er Kurvens Ligning i det nye Koordinatsystem, som er dannet af det 
oprindelige ved Flytning af Begyndelsespunktet og Ombytning af de to Axeretninger, frem- 
stillet ved en Proportion, og den analytiske Geometris Bestemmelse ved Konstanter er — 
som i Apollonios’ tidligere omtalte Fremstilling af Ellipsen og Hyperblen — erstattet ved 
et fast Punkt, D, og en fast Hjelpelinie, CB. 


Den videre Omdannelse, som foretages i Sætning 5, bestaar kun i Ombytning af 
Punktet D og Hjælpelinien CB med en ny Hjælpelinie, nemlig Tangenten CF i C. Da, 
som det ses ogsaa at have været bekjendt paa Archimedes’ Tid, 3 er Midtpunktet af DF, 
bliver ZT = TL, og Kurvepunktet # vil dele Ordinaten ZZ til Hjælpelinien i samme 
Forhold, som Z deler Korden AC. Betegne vi, idet A betragtes som Begyndelsespunktet 
og AC = a, den til æ svarende Ordinat til denne Hjælpelinie ved y, (= a(a—a)), bliver 
Parablens Ligning nu 


46 

At deune moderne Fremstilling virkelig giver en korrekt Forestilling om Archimedes’ 
Hensigt med Omformningen af Parablens Fremstilling, fremgaar af den Brug, som han videre 
gjer deraf, og som vil blive fremsat i 20de Afsnit. 

Hos Apollonios ville vi i Reglen ikke som her finde Ligningerne for Keglesnit 
fremslillede som Proportioner, men som Ligninger af første Grad mellem Arealer, hvorved 
ogsaa Gjennemferelsen af Koordinatændringer ved den geometriske Algebra komme vore 
nzrmere. Omskrivningen af de her omtalte Fremstillinger ved Proportioner til denne Form 
blive noget forskjellige efter den Maade, hvorpaa Proportionerne skrives. De kunne saaledes 


(Fig. 11) blive 
BZ.ZD=ET.ZA, 


og EES Ce eh A 


hvoraf ses, at begge de to Fremstillinger kunne opfattes som opecielt indbefattede i et 
Theorem, om hvilket vi i syvende og ottende Afsnit skulle se, at det allerede kjendtes af 
Aristaios og Euklid i en Skikkelse, der vel var ufuldstendig men dog sikkert vid nok 
til at omfatte det foreliggende Tilfelde, nemlig Theoremet om «Stedet til fire Linier». 
Den ferste af de to Ligninger udtrykker nemlig Ligestorheden af de to Rektangler, som 
dannes af det bevægelige Punkt E’s Afstande, regnede i de paa Figuren viste Retninger, 
fra Linierne AC, BD, CB og Diameteren AG gjennem A, og den anden udtrykker 
Ligestorheden af de to Rektangler, som dannes af Afstandene fra AC, Diameteren til C, 
Tangenten CG og Diameteren AG. Det tor dog ikke paastaas, at Archimedes udtrykkelig 
har lagt Mærke til denne Omstendighed "). 

Vort Formaal med i dette Afsnit at betragte forskjellige Steder hos Archimedes, 
som vedrere Keglesnitsleren, har været at forberede til den rette Forstaaelse af den 
sammenhengende Keglesnitslere, som vi kun have hos Apollonios. Vi have iser fremdraget 
saadanne Steder, hvor der er nogen Afvigelse i de to Forfatteres Behandlingsmaade. Derved 
mene vi for det ferste at have paavist, at Afvigelserne for de fundamentale Setningers Ved- 
kommende ere saa ringe, at man virkelig ter betragte Apollonios som Hovedrepresentant 
for den græske Keglesnitslere og i hans Beviser efterspore de Tankegange, som ogsaa fer 
hans Tid have fert til de opstillede Sætninger. Dette kunde man nemlig ikke, hvis det af 
Apollonios benyttede plangeometriske Grundlag, og dermed de derpaa byggede Beviser, virkelig 
havde været helt nye. Paa den anden Side ville de Afvigelser, som ere tilstede i den videre 
Gjennemførelse af Undersøgelserne, hjælpe til at undgaa at opfatte Ejendommeligheder hos 
Apollonios som tilhørende den antike Keglesnitslære overhovedet. Naar, som i det nys 
anførte Exempel, Archimedes fortrinsvis anvender Proportionslæren i Undersøgelser, hvor 


I Slutningen af 4de Afsnit findes videre Oplysning om nogle Sætninger hos Archimedes, der ikke 
findes hos Apollonios. 


Be 


Apollonios foretrækker de med vor Algebra nærmere beslegtede Arealoperationer, er jeg 
for ovrigt tilbojeligst til at tro, at det snarere er Archimedes, som lægger sin personlige 
Ejendommelighed for Dagen, end den til de alexandrinske Forgængere nøjere knyttede Apol- 
lonios. For denne Antagelse taler den Omstendighed, at den i Euklids anden Bog fore- 
kommende Brug af Arealoperationer er betydelig ældre end den euklidiske Proportionslere 
og altsaa har staaet fuldstendigere til de Geometrers Raadighed, som have givet Keglesnits- 
læren den forste Udvikling. 


Tredie Afsnit. 


Apollonios’ ferste Bog om Keglesnittene. 


Descartes er næppe den eneste, som har faaet det Indtryk") at «allerede Ordenen 
af Setningerne hos de gamle viser tilstrekkelig, at de ikke besad nogen virkelig Methode 
til at finde dem alle, men blot samlede dem, der tilfeldigvis faldt dem ind». Til at frem- 
kalde en saadan Opfattelse, særlig for Keglesnitslærens Vedkommende, er det nok muligt, 
at den forste Bog af Apollonios, der indeholder denne Leres Grundlag, kan have bidraget 
ikke lidet”). Bogen begynder nemlig med Betragtning af Keglesnit paa selve Keglen; 
derefter foretages forskjellige plangeometriske Undersogelser over Tangenter, konjugerede 
Diametre m. m., og ved Bogens Slutning vender man igjen tilbage til den stereometriske 
Betragtning, som atter forlades i de folgende Boger. 

Den, der ser nøjere til, vil imidlertid opdage lige det modsatte af en planlos Sam- 
mendyngen af Setninger. Fra forst til sidst haves et bestemt Maal for Oje. Der medtages 
de Sztninger, som ere nodvendige for at naa dette Maal, og de Undersogelser, som vare 
nodvendige for at give disse Sætninger en saa minutios Begrundelse, som de gamle fordrede. 
Derved indvindes Resultater, som ere betydningsfulde baade i og for sig og som Grundlag 
for de videregaaende plangeometriske Undersøgelser i de folgende Bøger; men i Øjeblikket 
medtages de som Midler til fuldstendig at begrunde Identiteten af de Ellipser, 
Parabler og Hyperbler, man faar ved at betragte alle mulige Snit i alie 
mulige cirkulere Kegler, med dem, man faar som Snit i Omdrejningskegler. 


1) Geometri, Schootens Udgave S. 7. 
2) Descartes kan maaske endog have ment at støtte sig til Begyndelsen af Apollonios’ egen Fortale 


(se Tillæg 1). 


48 


Vi skulle vise dette ved at give et foreløbigt Overblik over Bogens Indhold og Sam- 
menhengen mellem dens forskjellige Dele. 
Efter Definitioner vedrorende cirkulære Kegler og Keglesnitslinier og nogle Setninger 
[1—3] om rette Liniers Stilling mod Kegler og om Snit gjennem Toppunktet fremstilles 
[i Setningerne 4 og 5] de to Rækker cirkulære Snit i en skjæv Kegle. I 6 vises, at alle 
Korder til Keglen, som ere parallele med en Linie i den cirkulere Grundflades Plan, 
halveres af den Plan gjennem Keglens Axe — 9: Linien fra dens Toppunkt til Grundfladens 
Centrum — hvis Spor i Grundfladens Plan staar vinkelret paa Linien, og i 7 anvendes dette til 
at vise, at en vis Række parallele Korder i et hvilket som helst plant Snit i Keglen 
halveres af Snitplanens Skjæringslinie med en vis Plan gjennem Axen. Der bemerkes 
udtrykkelig, at den fundne Diameter kun staar vinkelret paa de tilsvarende Korder, naar enten 
Keglen er ret, eller Planen gjennem Axen er en Symmetriplan, medens den i andre Tilfelde 
danner skjæve Vinkler med dem. Det beror altsaa, som ogsaa vist af Housel, paa en 
Misforstaaelse, naar Chasles, hvis Hovedundersogelser af den gamle Geometri vare rettede 
mod andre Punkter, og de forskjellige Forfattere, der blindt have fulgt Chasles, mene, at 
Apollonios kun beskjeftigede sig med de nevnte Undtagelsestilfælde, hvor Vinklerne blive 
rette. Disse simplere Tilfælde have vi set, at man ogsaa kjendte paa Archimedes’ Tid. 
Efter nogle forberedende Sætninger [8—10] gaar Apollonios derefter over til at 
udlede Ligningerne for de plane Snit — udtrykte ved Ord og Figurer paa den i første 
Afsnit angivne Maade — idet han tager den fundne Diameter til Abscisseaxe og lader 
Ordinaterne vere Halvdelene af de af den halverede Korder.  Begyndelsespunktet er et af 
denne Diameters Skjæringspunkter med Keglefladen. Det 
er kaldt Z paa vore Figurer 12 og 13, som kun frem- 
stille, hvad der ligger i den Plan gjennem Axen, som 
indeholder Diameteren, og hvor AB og AC ere Frem- 
bringere i Keglen, BC Skjæringslinien med Grundfladen. 
Er nu, som paa Fig. 12, Diameteren parallel med 
\ Frembringeren AD, faar Snittet Ligningen: 
2 
RAN 4 PS pa, el pm = AZ, a 
: Kurven kaldes da en Parabel [Sætning 11]. 


(1) 


Naar dernæst, som paa Fig. 13, Diameteren skjærer Forlængelsen af Frembringeren 
AB i T, faar Snittet Ligningen: 


y? == en | 
a (2) 
: p CD.DB 
hvor AN © 08 Mon Dr 


idet AD er parallel med ZT. Kurven kaldes da en Hyperbel [12]. 


Naar endelig Diameteren  skjerer 
selve Frembringeren AB i 7, faas Lignin- 
gen : 
OU LEN, oh AN is ze 
y px A (3) Vi 
hvor a og p bestemmes som ved Hyperblen. 
Kurven kaldes i dette Tilfælde en Ellipse [13]. 


Apollonios udleder disse Sætninger 


— Ligninger i vort Sprog — ved Hjælp af i / \ 
/ 


ligedannede Trekanter, omtrent som man 


kunde det den Dag i Dag. Det vil for ovrigt ok —— u, 


bemærkes, at Hyperblens og Ellipsens Lig- N 
ninger med de dertil horende Konstantbe- \ 
stemmelser næsten umiddelbart fremgaa af LEE 
den Hjælpesætning (se forrige Afsnit S. 40), Fig. 13. 
som Archimedes anvendte paa det mere spe- 


cielle Tilfælde, hvor Snittet var vinkelret paa Symmetriplanen (altsaa ogsaa paa Figurplanen). 


Til første Afdeling af første Bog ville vi endnu henregne Setningerne 14—16, hvorved 
vi komme i Overensstemmelse med den Inddeling, som Apollonios sely betegner ved umid- 
delbart for Sætning 17 at indføre en ny Række Definitioner. I 14 vises, at de to Grene 
af samme hyperbolske Snit, som faas ved at forlenge Keglefladen udover Toppunktet 
(roar Avrıxsiuevar, ere kongruente. I 15 vises, at Ligningen for en Ellipse beholder 
samme Form, naar man ombytter Diameteren og Korderne med den Diameter og de 
Korder, som henholdsvis ere parallele med de givne Korder og den givne Diameter, og i 
16, at ogsaa for Hyperblens Vedkommende en Linie gjennem Centrum (Midtpunktet 
af Diameteren) parallel med Korderne (Kurvens «anden Diameter») halverer Korder paral- 
lele med den givne («første») Diameter. Her se vi for første Gang en Sætning opstillet, i 
hvilken den af de to Hyperbelgrene sammensatte Kurve behandles som 
en Helhéd, en Opfattelse, der forelobig er betydningsfuld for Sammenstilling af Ellip- 
sens og Hyperblens Egenskaber, og hvoraf Apollonios senere gjør endnu vigtigere Anven- 
delser, om han end vedbliver i sine Benævnelser at betragte de to sammenhorende 
Grene som to forskjellige Kurver. Hvad han kalder en Hyperbel, er saaledes stedse kun 
en Hyperbelgren. 

En Ellipse, Parabel eller Hyperbel er her plangeometrisk bestemt som en Kurve, 
der i et Parallelkoordinatsystem med en vilkaarlig Vinkel mellem Axerne fremstilles ved 
Ligning (3), (1) eller (2). Bortset fra Bestemmelsen af disse Kurvers Beliggenhed synes de 


1. 7 


Vidensk. Selsk, Skr. 6. Række, naturvidensk. or mathem, Afd. HIT, 


50 


saaledes at afhænge af tre Konstanter, nemlig denne Vinkel, p og a. Nu vidste Apollonios!) 
imidlertid af Læren om konjugerede Diametre, der, som vi have omtalt i forrige 
Afsnit, var bekjendt, at de forud for hans Tid undersogte Keglesnitslinier, som ere Snit i 
rette Kegler, og som fremstilles ved Ligninger af samme Form i retvinklede Koordinater, 
have uendelig mange Par konjugerede Diametre, og at de ved deres Hjælp ogsaa paa 
uendelig mange Maader kunne fremstilles ved Ligninger af samme Form i skjævvinklede 
Koordinater. Hvis han altsaa hlot skrev en Afhandling, hvor han turde forudsætte den 
omtalte Lære om konjugerede Diametre bekjendt, og skulde gjøre Rede for de vilkaarlige 
Snit i skjeve Kegler, hvis Ligninger han nu havde fundet, vilde han straks kunne have 
benyttet den omtalte Lære til at paavise, at ogsaa omvendt de ved de fundne Ligninger 
bestemte Kurver altid henhore under de tidligere undersogte. Han skriver imidlertid 
ingen Afhandling men en Lærebog, hvor han intet tor forudsætte bekjendt om Kurverne. 
Han maa derfor, forend han kan naa det endelige Maal for forste Bog, gaa ud fra de fundne 
Ligninger og paa Grundlag af disse opfore Læren om konjugerede Diametre, som sand- 
synligvis forud har været opfort omtrent paa samme Maade, men paa Grundlag af de samme 
Ligninger i retvinklede Koordinater. Kun derved kan han vise, at de fremstillede Kurver 
altid have et retvinklet Par konjugerede Diametre («Axer»), hvorefter de let kunne ind- 
lægges paa Omdrejningskegler. Ved Opførelsen af Læren om konjugerede Diametre benyttes 
imidlertid Tangentbestemmelser og andre Hjælpeundersogelser, og saaledes finder det folgende 
Indhold af forste Bog, som vi nu skulle omtale, sin Forklaring. 


Efter de for omtalte nye Definitioner følger en Række af Sætninger [17-31], som 
vi ikke nærmere behove at gjengive. De fleste af dem indeholde nemlig kun saadanne 
Oplysninger om rette Liniers Stillinger mod Kurverne, og derved indirekte om Retningen 
af deres Konkavitet, som umiddelbart vise sig paa en Figur, og som det ikke har været 
svært nærmere at begrunde, naar de saaledes en Gang vare fundne. Disse vilde kun afgive 
et nyt Bevis paa Grekernes Omhyggelighed for fuldstændig Bevisforelse. De ovrige, navnlig 
20 og 21, indeholde blot Omdannelse af Keglesnittenes Fremstilling til den Form, hvormed 
vore Læsere alt ere blevne bekjendte ved vor Omtale af Archimedes, om vi end da navnlig 
holdt os til retvinklede Koordinater. 


1 32—40 følger dernæst Bestemmelser af Tangenter. Tangenten i et Endepunkt af 
den Diameter, som er tagen til Abscisseaxe, og som vi kunne kalde Diameteren, da den 
og dens konjugerede Diameter ere de eneste, som endnu kjendes, er parallel med Ordinaterne 
[32]. Tangenten i et Punkt af Parablen, som ikke ligger paa Diameteren, bestemmes derved, 


1) Vi tale her under den Forudsætning, at Apollonios er den, som først har undersøgt alle mulige Snit 
i cirkulære Kegler. Skulde denne Forudsætning vere urigtig, vil dette kun have lettet ham Opfo- 
relsen af den her skildrede systematiske Bygning. 


ol 


at Begyndelsespunktet bliver Midtpunktet mellem de Punkter, hvori Tangent og Ordinat i 
samme Punkt af Kurven skjære Diameteren. 33 indeholder den Sætning, at den saaledes 
bestemte Linie er Tangent, og 35 den omvendte, at en Tangent altid har denne Egenskab. 
Ved Ellipse og Hyperbel, som behandles under et, foretages den samme Bestemmelse 
derved, at Diameteren deles harmonisk — et Udtryk, som dog ikke bruges -— af Tangent 
og Ordinat i samme Punkt af Kurven [34 og 36]. Denne Bestemmelse faar i 37—40 andre 
Udtryk, for hvilke vi nærmere skulle gjore Rede i Slutningen af dette Afsnit. Ved disse 
gjores der ej blot for Ellipsens, men ogsaa for Hyperblens Vedkommende Brug af den 
ved Proportionen 


bestemte Størrelse 6, som afsættes paa den konjugerede Diameter med Midtpunkt i Centrum. 
Det saaledes begrænsede Stykke betragter Apollonios ifølge de før omtalte nye Definitioner, 
som han først her faar Brug for, som Længden af den konjugerede Diameter, der 
ikke skjærer Kurven. Han anvender saaledes det samme Middel, som nu bruges, til 
at tilvejebringe Ensartethed i Sætningerne. Indførelsen af denne Hjælpestørrelse b setter 


Apollonios i Stand til ej blot for Ellipsen — hvor han i Grunden allerede tidligere har 
gjort det i Beviset for 15 — men [i 41] ogsaa for Hyperblen at give Kurvens Fremstilling 


en Form, der algebraisk vilde udtrykkes ved Centralligningen henført til de to Diametre. 


Tangentbestemmelserne benyttes videre til [i Sætningerne 42—51] at paavise, al 
enhver Linie parallel med Parablens givne Diameter, og enhver Linie gjennem Ellipsens eller 
Hyperblens Gentrum har ganske de samme Egenskaber, enten som den givne Diameter, 
idet de tilhørende Korder da ere parallele med Tangenten i dens Skjæringspunkt (Skjærings- 
punkter) med Kurven, eller, hvis den ikke skjærer Kurven, der da er en Hyperbel, som 
den oprindelige anden Diameter. 


42—45 indeholde nogle hertil tjenende forberedende Omdannelser af Kurvernes 
Fremstilling. I 46—48 bevises det, at de nye Diametre halvere de tilhørende Korder, og i 
49—51 vises det, at Kurverne, naar de henføres til nye Diametre og deres Korder, frem- 
stilles ganske paa samme Maade, som da de vare henførte til de oprindelige, nemlig ved 
de Egenskaber, som vi have udtrykt ved Ligningerne (1), (2) og (3). Vi skulle i næste 
Afsnit nøjere beskjæftige os med de Operationer, hvorved dette opnaas. Her nøjes vi med 


Resultatet og skulle da anføre, at den til den nye Diameter svarende Værdi p' af Para- 


meteren — hvilket Navn vi ville tillægge den af Apollonios anderledes betegnede Konstant, 
selv om den kun for retvinklede Koordinater er den egentlige Parameter — bestemmes paa 


følgende ensartede Maade for alle Keglesnittene. 


oe 


B vere (Fig 14) det oprindelige Begyn- 
delsespunkt, Æ det nye, / Skjæringspunktet 
mellem Tangenterne i disse Punkter, D og L 
de Punkter, hvor disse Tangenter skjere Dia- 
metrene til B og Æ; da er 

df 
pe = 92 EL: ED. 
At Apollonios benytter tre Sætninger 


til denne Transformation, beror paa, at han 
forst behandler Parablen, dernæst det Tilfælde, 
hvor B og E ligge paa samme Ellipse eller 
Hyperbelgren, og endelig det, hvor de ligge paa 


Fig. 14. 


forskjellige Hyperbelgrene. 

Nu er Apollonios endelig naaet saa vidt, at han kan gaa over til at paavise, at de 
ved Ligningerne (1), (2) og (3) fremstillede Snit i skjæve Kegler ere de samme Kurver, 
som fremstilles paa samme Maade ved retvinklede Koordinater, og som kunne frembringes 
som Snit i Omdrejningskegler. Han anser sig endog for saa vel forberedt, at han for at 
bevise det sidste umiddelbart stiller sig den Opgave [52—55]: «at finde» en Parabel, 
Hyperbel eller Ellipse, naar Beliggenheden af Begyndelsespunktet og Diameteren, den til- 
horende Ordinatretning, samt Længden af Parameteren og for Ellipsen og Hyperbelen tillige 
Længden af Diameteren ere givne, allsaa med andre Ord, naar Kurven er given ved sin 
Ligning. Det ses nemlig af Losningen, at det «at finde» en saadan Kurve er at bestemme 
den som Snit i en Omdrejningskegle. I Virkeligheden viser det sig imidlertid, at denne 
enkeltvis for de tre Kurver stillede Opgave bestaar af to Opgaver, som loses hver for sig. 
Apollonios begynder nemlig med at antage, at Ordinaterne danne rette Vinkler med Dia- 
meteren og loser Opgaven for dette Tilfelde, i hvilket han aldeles ikke faar Brug for de 
foregaaende plangeometriske Undersøgelser. Dernæst viser han, hvorledes andre Tilfælde 
kunne fores tilbage til dette, idet man altid kan konstruere en Diameter, der staar vinkel- 
ret paa de tilherende Ordinater. Er dette vigtige Faktum end ikke opstillet i et Theorem 
eller i et særskilt Problem, fremgaar den Betydning, han tillegger det, af den Omhu, 
hvormed han har forberedt denne Bestemmelse af en Axe. 


Denne sidste Bestemmelse, som vi her ville begynde med, stotter sig paa den nys 
(Fig. 14) meddelte Bestemmelse af den Parameter p‘, som hører til Diameteren gjennem 
Punktet #. Denne Diameter og den tilhørende Parameter p‘ betragtes nu som de givne, 
medens Diameteren til 5 skal vere en Axe og altsaa staa vinkelret paa Tangenten i D. 
Vi ville, for Ellipsens Vedkommende for at holde os til vor foreliggende Figur, eftergjore 


den Analysis, som svarer til Apollonios’ synthetisk fremsatte Løsning [54], og drage Ordi- 
naten #7 fra Æ til Axen OB, samt FG parallel med DE. Da bliver 


9 Ld FG FG 


Ds 2-57 ED = GE’ Go:*? 
. TT a’ . , 
hvor vi have sat Halvdiameteren OH — >. Det gjælder altsaa for at bestemme Axen OB 
h - ig : É EG? 
kun om paa Halveirklen over OZ som Diameter at finde et saadant Punkt 7, at u Dig 
* & @ WER 


‘ 


4 


. .p 
faar den givne Verdi n. 


Dette siger Apollonios, at man skal gjore. Naar han ikke siger hvorledes, maa 
det være, fordi han betragter del som saa simpelt, at en nærmere Paavisning, der tilmed 
vilde gjøre Fremstillingen vidtløftig, er overflødig. En Løsning af denne Biopgave kunde 


saaledes findes ved at tænke sig FG forlænget til sit andet Skjæringspunkt # med Cirklen. 


i EG? FG es 
Da bliver nemlig EG. GO GR: Korden FF" skal altsaa trækkes i en given Retning 


saaledes, at den af Diameteren FO deles i det givne Forhold TE Idet Kordens Midtpunkt 


IN 9 nt 
2p i 
We = HER ogsaa bliver 


bekjendt, lader denne Opgave sig let løse. At Apollonios virkelig har baaret sig saaledes 


M maa ligge paa en anden bekjendt Diameter, og Forholdet 
LA 


ad, bliver rimeligt derved, at han i Slutningen af 2den Bog har lost en lignende Opgave 
paa lignende Maade (Smlgn. Slutningen af femte Afsnit, Fig. 24). 


Det bemærkes let, at Apollonios’ Losning falder sammen med den, man vilde finde 
ved at søge indbyrdes vinkelrette Supplementkorder, paa det ner, at man da ikke vilde 
tage den halve givne Diameter, men den hele til Diameter for Hjælpecirklen. 


Opgaven loses ganske paa samme Maade for Hyperblens Vedkommende [53]. For 
Parablens loses den, idet vi bruge samme Betegnelser som paa Fig. 14!), hvor da Diametrene 
til 3 og E skulde ombyttes med Paralleler, derved, at den vinkelrette paa “2D i D maa 


p° 


skjære Diameteren gjennem / i et saadant Punkt 4, at EH = 5. 


Punktet D og derved 
Axen DB lade sig da let bestemme. 

Hvad dernæst angaar Apollonios’ Bestemmelse af en Omdrejningskegle gjennem et 
givet Keglesnit, naar Axen og dens tilhorende Parameter p ere fundne, saa udledes den 
for Parablens Vedkommende let af det ved (1) givne Udtryk for p. I saa Tilfælde maa 
man, idet ZY er draget == CB, have AZ = AY — hvad der ikke er Tilfældet paa 
Fig. 12, som for øvrigt anvendes —, og man faar da ZY? = p.AZ. Vælges altsaa AZ 


1) Se i det folgende Fig. 21 


vilkaarlig — dog, som Apollonios udtrykkelig bemærker, storre end z — er Trekant AZY 
fuldkommen bestemt. 

Den Losning, som Apollonios giver af den samme Opgave for Ellipsens og Hy- 
perblens Vedkommende, lader sig knytte til Parameterbestemmelsen i Formlerne (2) og (3) 
samt til Fig. 13, hvor vi i den Anledning have tilfojet de punkterede Linier. Af disse er 
AU parallel med BC. Man har da ifølge (2) og den ofte omtalte Archimediske Hjælpe- 
setning (S. 40) 


p GD ID Uae 
a AD? AU, UT 
Skal nu Keglen være en Omdrejningskegle, maa man — hvad der ikke er Til- 


fældet paa Fig. 131) — have AB = AC, og Linien AU halverer da Nabovinklen til 
Keglens Toppunktsvinkel CAB. Lader man den Sterrelse, hvorover man ogsaa i dette 
Tilfælde frit kan disponere, være Keglens Toppunktsvinkel, maa Keglens Toppunkt À ligge 
paa en derved bestemt Cirkel over Keglesnittets Axe TZ som Korde, og Linien AU maa 
træffe Midtpunktet V af Buen ZT, af den ene eller anden af de to Buer med dette Navn, 


eftersom Kurven skal vere en Ellipse eller Hyperbel. Punktet V er da bestemt, og idet 
p UA 
aq VASP 
Linie VUA og derved Toppunktet A i den søgte Kegle sig let bestemme. 


man af det nys fundne Udtryk udleder lader den gjennem Punktet V gaaende 


_ Det er paa denne Maade, at Apollonios loser sin Opgave, dog uden her at sige, 
at man ved Indførelsen af Cirklen ZAT tillægger Keglens Toppunktsvinkel en given Stor- 
relse. Derimod forsommer han ikke at anføre, at det ved Konstruktion af Hyperblen er 
nødvendigt, at Cirklen over 7Z vælges saaledes, at Forholdet mellem V's Afstand fra 77 


og Højden af Cirkelafsnittet ZAZ ikke er større end —. Den hele Behandling er, som det 
1 


senere viser sig, et efter Qieblikkets Krav tillempet Uddrag af en selvstændig Behandling 
af den Opgave gjennem et givet Keglesnit at legge en Omdrejningskegle ligedannet med en 
given, hvilken Apollonios forst i 6te Bog giver sig Tid til at fremstille fuldstændig i den 
Form, som de gamle plejede at give Konstruktionsopgaver og deres Losning. 

Housel, der ikke synes at tillegge Apollonios nogen bestemt Plan ved Affattelsen 
af første Bog, og derfor ikke lægger samme Vægt paa de her omtalte Løsninger af Op- 


') Grunden til, at vi desuagtet bibeholde denne Figur, er dels, at Tilknytningen til den forud udviklede 
Lære om Snit i hvilke som helst cirkulære Kegler derved bliver tydeligere. dels at Figuren da viser, 
at den samme Losning kunde anvendes, hvis Opgaven havde været den almindeligere: gjennem 
et givet Keglesnit at legge en skjæv cirkulær Kegle, som er ligedannet med en given. I det nemlig 
da foruden Z TAZ ogsaa 7 TAV = Z ABC er given, bliver derved Punktet V fuldkommen 
bestemt. Til denne Omstendighed, som er nvedkommende her, hvor det netop kommer an paa at 
faa en ret Kegle, skulle vi knytte en Bemærkning i vor Omtale af Apollonios’ 6te Bog. .Se 17de 
Afsnit. 


C7 


gaverne 52—55, betragter kun disse som omvendte Opgaver af dem i Begyndelsen af 
Bogen, hvor det gjaldt om at finde Beskaffenheden af givne Snit i givne Kegler!). Her- 
efter skulde Apollonios’ Hensigt altsaa kun være at finde Kegler, rette eller skjæve, som 
gaa igjennem givne Keglesnit. For en saadan Opfattelse taler maaske den Omstændighed, 
at Apollonios formulerer Opgaverne saaledes, som vi have omtalt: At finde en Parabel, 
Hyperbel eller Ellipse, naar o. s. v. Da han oprindelig i 11—13 har indført disse 
Navne saaledes, at de i lige Grad kunne anvendes paa Snit i skjæve og i rette Kegler, og 
disse Snits Identitel forst fremgaar af den Maade, hvorpaa han loser Opgaverne 52—55, 
betyde de stillede Opgaver nemlig efter Ordlyden kun: «At legge en eller anden cirkulær 
Kegle gjennem den ved sin Ligning bestemte Kurve». 

Havde Apollonios nu virkelig ikke tilsigtet andet, forekommer det mig rimeligst, at 
han havde lost de omvendte Opgaver straks efter de direkte, hvad en forenet Anvendelse af 
de stereometriske Betragtningsmaader fra Begyndelsen af Bogen og Operationer som dem, 
der virkelig anvendes til at lose Opgaverne 52—55 i de specielle Tilfælde, hvor det givne 
Koordinatsystem er retvinklet, let vilde have sat ham i Stand til. Hvad han nu end har 
lilsigtet, staar det imidlertid fast, dels at han loser Opgaverne paa en Maade, som kun 
er muliggjort ved den foregaaende plangeometriske Udvikling, og dels at han faktisk har 
opnaaet at bevise, at der ikke gives andre Slags Snit i skjeve Kegler end i rette, og at 
alle Keglesnitslinier have Axer. Selv om jeg altsaa skulde have Uret i, at Nodvendigheden 
i Fordringen om disse sidste Beviser har staaet Apollonios fuldkommen klart for Oje under 
hele Affattelsen af forste Bog, er dels Sætningsordenen i denne Bog forklaret, dels er 
der faktisk sket den omtalte nødvendige Fordring Fyldest. At dette sidste, der tilmed 
saa ganske stemmer med de gamles Stringens, kun skulde bero paa en Tilfældighed, anser 


jeg imidlertid for urimeligt. 


Idet vi nu altsaa have eftervist, at Apollonios i sin forste Bog har ordnet et 
Stof, der for en stor Del var bekjendt forud, efter en klar og bestemt Plan, er det aaben- 
bart fuldstændig urigtigt med Descartes af denne Ordning at slulte, at dette Stof, som 
indbefatter det vesentligste Grundlag for den i de folgende Boger videre udviklede Kegle- 


1) Liouville's Journal 2 Række, T. III, S. 160. Housel har i ethvert Tilfælde misforstaaet Apollonios, 
naar ban siger, at denne lægger disse Kurver paa en Kegle, som vil være ret, naar Axerne ere ret- 
vinklede; han lægger dem jo nemlig i alle Tilfælde paa en ret Kegle Bemærkningen om, at de 
her loste, omvendte Opgaver i Grunden ere de samme som de direkte, tyder ogsaa paa en over- 
fladisk Betragtning af de meddelte Løsninger. Det er allsaa kun paa den noget uklare Form, hvori 
Apollonios stiller Opgaverne, at Housels afvigende Opfattelse af disse kan støtte sig. Housel berører 
vel i de folgende Linier, at Apollonios «seger at præcisere Kurvernes Form ved Betragtning af de 
retvinklede Axer»; men han synes fuldstændig at overse, at der alt her gives en exakt Bestemmelse 
af disse og derved et exakt Bevis for deres Existens. Efter en Ytring af Housel S. 163 ved Omtalen 
af 2den Bog skulde dette Bevis først komme i 7de Bog. 


56 

snitslere, skyldes en heldig Forsken paa Maa og Faa, og at denne ikke har været støttet 
paa bestemte Methoder. Tvertimod, naar man har lagt rigtig Mærke til denne Plan, viser 
det sig, at Apollonios ikke blot i det enkelte har set, hvorledes den ene Sætning fulgte af 
den anden, men at han ogsaa haf havt Øjet aabent for den indre Sammenhæng mellem de 
Hjzlnemidler, som benytles i de forskjellige Beviser. Disse Hjælpemidler have derved for 
ham været Methoder, som han kunde benylte ved andre Undersøgelser, hvad vi ogsaa 
ville faa at se, at han virkelig har. For en stor Del have de rimeligvis været de samme 
Methoder, som hans Forgengere have benyttet til at udlede de for hans Tid kjendte Resullater, 
og som de tildels have udviklet samtidig med, at de saaledes anvendte dem. Bortset fra 
den al mathematisk Undersøgelse omfattende analytiske Methode og Udvikling af saadanne 
derlil hørende, almindelige Hjælpemidler som dem, der findes i Euklids Data, synes Gre- 
kerne imidlertid ikke at have gjort det betydningsfulde Skridt udtrykkelig at opstille 
disse Methoder og Reglerne for deres Anvendelse. Det er da gjennem hyppig Brug, 
at man har tilegnet sig Reglerne. Vi derimod kunne saa meget lettere bemærke og paa- 
pege de vigtigste af de anvendte Methoder, som de henhore under dem, der senere ere 
bestemt formulerede i den analytiske Geometri. 

Hvad der først falder i Øjnene, er, hvad vi ej blot træffe hos Apollonios, men 
ogsaa have fundet hos Archimedes, nemlig Brugen af Koordinater. Vi have set, al 
disse brugtes ganske som den Dag i Dag til Punkters Bestemmelse, og at en Kurve frem- 
stilles ved en saadan, geometrisk fremsat, Egenskab ved alle dens Punkter som dem, om 
hvilke vi i forste Afsnit have vist, at de for Gr&kerne vare det samme som Ligninger for os. 

Det saas endvidere ved vort Overblik over Apollonios’ forste Bog, at han for at 
finde Beskaffenheden af en vis Kurve, nemlig et Snit i en skjæv Kegle, søgte dens Lig- 
ning i et vist Koordinatsystem (i Almindelighed skjævvinklet), og derpaa kom til Kundskab 
om, at den henherte under forud bekjendte Kurvearter, ved af den fundne Ligning 
at udlede den, som fremstiller samme Kurve i et andet (retvinklet) Koordinatsystem. Endelig 
have vi omtalt, at den fundne Ligning for en Kurve direkte benyttes til Bestem- 
melse af dens Tangenter og til Udledelse af nye Egenskaber. Der blev ved denne sidsle 
Undersogelse gaaet ud fra en vilkaarlig Diameter og dens tilhorende Kordesystem; men 
der er intet i Vejen for at anlage, at man tidligere kan have benyttet en af Kurvens Axer 
paa samme Maade. En saadan Antagelse stemmer med, at Apollonios i sin Fortale udtryk- 
kelig kun gjør Fordring paa i de første Bøger at behandle tidligere bekjendte Ting fyldigere 
og almindeligere!). 

Alt det her anførte stemmer fuldkommen med Nutidens Methoder. Forskjellen 
indtræder først ved Behandlingen af Enkelthederne, som nu sker ved algebraiske Omform- 


1) Se Tillæg 1. 


Le „CADENy 


y \ 4 
wy D, a åd 
X à ar A R x 2 
NIMES see 


57 


ninger, medens de gamle vare henviste til geometriske Operationer. En Del af disse hen- 
here dog under den i forste Afsnit omtalte geometriske Algebra, hvorved den Tankegang, 
som gaar igjennem de geometriske Operationer, ofte bliver den samme, som vi udtrykke i 
Algebraens Tegnsprog. Derfor ville vi ogsaa i den paafolgende Redegjorelse for de Bevis- 
forelser i Apollonios’ forste Bog, som vi ikke kunde medtage eller som vi nojedes med at 
antyde i vort Overblik over dennes Indhold, kunne gjore jevnlig Brug af dette Tegnsprog 
til Afkortning af Fremstillingen. 

Vi skulle begynde med at vise, hvorledes Apollonios anvender den i vort forste 
Afsnit ved Figurerne 6 og 7 omtalte geometriske Fremstilling af Ligningerne for Keglesnittene, 
som vi under et ville skrive 


y? = pr bar? = x(p +ax) = wy, (4) 
hvor Y = p + ax er den under rette Vinkler oprejste Ordinat til Hjelpelinien BE, til Be- 
stemmelse af Skjæring med en given Linie gjennem Begyndelsespunktet. Antages denne 


givne rette Linie at gaa gjennem Punktet (x,, y,), og kaldes dens til Abscissen æ svarende 
y! 12 


o y y yy 
Ordinat y‘, faar man — — 1, og altsaa ge SER x, som sættes — Y‘. Indfores nu 
œ =, x me 


Punktet (x, Y‘) i det retvinklede Hjælpekoordinatsystem, vil det gjennemlobe en ret Linie 
gjennem Begyndelsespunktet. Idet, for samme x, Y — Y‘ giver y — y‘, faar denne Linies 
Skjæringspunkt med den første Hjelpelinie samme Abscisse x som del søgte Skjæringspunkt. 
Dette bestemmes da saaledes, som Fig. 15 viser for Ellipsens Vedkommende, idet G er det givne 


22 
AG 
nelserne for ovrigt ere de samme som paa Fig. 6. 


Punkt (@,,7,), CH er afsat = og Beteg- 
Hjælpelinierne ere da B Æ og A H, hvis Skjærings- 
punkt J ved Hjælp af Ordinaterne JL og LK 
bestemme det sogte Punkt X, hvori Keglesnittet 


skjærer Linien AG. 

Abscissen til Skjæringspunktet K er, som 
i analytisk Geometri, bestemt som den Verdi af 
æ, for hvilken Keglesnittet og den givne rette 
Linie faa samme Ordinat. Kun er den ved Bort- 
division af 2 opstaaende Ligning af første Grad 
lost grafisk ved de to Hjælpelinier. 


Den her givne Bestemmelse af Skjærings- 
punktet mellem Keglesnittet og en ret Linie gjennem 


Begyndelsespunktet benyttes [i 32] til at bevise, at 
Tangenten i Endepunktet af en Diameter, hvilket 
er taget til Begyndelsespunkt, er parallel med de 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 1. 


œ 


58 


til Diameteren horende Korder. Det er vel tidligere [i 17] bevist, at denne Parallel, 
AT paa Fig. 15, kun bar Begyndelsespunktet fælles med Kurven og ellers ligger udenfor 
denne; men deraf folger ikke med Nodvendighed, at den er en Tangent, da det jo kunde 
tenkes, at Kurven havde en Spids. Derfor beviser Apollonios [i 32], at ingen ret Linie 
falder imellem AT og Kurven. Et Forsøg paa at legge en saadan, AG, viser sig nemlig 
at vere en Umulighed, derved at man paa denne Linie kan bestemme Punktet X, som ikke 
ligger udenfor Kurven. 

Helt anderledes gaar Apollonios til Værks ved Bestemmelsen [i 33—36] af Tangenten 
i et Punkt (x, y), som ikke ligger paa Diameteren, hvorved maa erindres, at det ikke endnu 
er bevist, at der gjennem hvert Punkt af Kurven gaar en Diameter med samme Egenskaber 
som den givne. Idet de løbende Koordinater til Tangenten i (x, y) kaldes a‘ og y‘, bestem- 
mes Tangenten derved, at man for alle andre Punkter af Tangenten end netop Berorings- 


punktet maa have 


yl? > y? 
a a 

a’ + — x"? x + —x2 
P 19 


For Parablen, hvor a = 0, lader det sig let bevise, at denne Betingelse er opfyldt 
af den Linie, som skjærer Diameteren i samme Afstand © fra Begyndelsespunktet som 
Punktets Ordinat, men paa den modsatte Side. For denne Linies Vedkommende faar man 


nemlig, idet xa! << (35). 
ope Oe BEN 
MEDER (a + ar‘)? 4a? 
altsaa Pa. 
x x 
At wa! < > =)", eller at et Rektangel, hvis Sider have en given Sum, faar 
: sin største Verdi, naar Siderne ere lige store, er 
DAE bevist i Euklid VI, 27, hvor, som vi have set i 
SEJE N forste Afsnit, Betingelsen angives for Oploselig- 
a) | heden af Ligningen ax — x? = b?. 
+ 7 / Denne samme Sætning sættes Apollonios 
BER VE / Li 1 ved Benyttelse af et særeget Kunstgreb i Stand 
/ RE. til at anvende til Bestemmelsen af Tangenten i 
| > et Punkt D af en Ellipse eller Hyperbel. Den 
" DB. opstillede Betingelse kan med de Betegnelser, 
Diner som Fig. 16 indeholder, skrives 
Fig 16. DE à CP 


ACR OBE MENE 


59 


I Ge LC 
BCT CME, ANC GS} 
Nu vides det, at, naar 4 Punkter af en ret Linie A, 6, C, D, fra et Punkt P 


eller 


projiceres ind paa en med PD parallel ret Linie og 4,, D,, C, ere Projektionerne af 
A, B, U, bliver 

AOSD A 

BCs AID ~~ EXC} 

Tor man tillegge Apollonios Kjendskab til dette specielle Tilfælde af Sætningen om 
Bevarelsen af del anharmoniske Forhold ved Projektion, er Tankegangen i hans noget vidt- 
loftige Bevis simpel nok. Han har da resonneret saaledes. Naar paa Fig. 16 Punkterne 
A, B, C, C* fra et Punkt P projiceres hen paa en med PE parallel Linie i Punkterne 
A,, B,, C,, C';, giver den opstillede Relation, som kan skrives 

AG. BO" CE BO 
AC. EC © CB. HC 
at Al On On SFA Gh a 1835 


Punktet C, vil, ifelge den nys citerede Sætning hos Euklid, tilfredsstille denne 


I 


Maximumsbelingelse, naar C, er Midtpunktet af A,B,, altsaa naar 4,0, — C, B,. En 
fornyet Brug af Hjælpesætningen om Projektion giver da 

AG, I AO 

GERACE ati 


eller at C og Æ maa vere harmonisk forbundne med Hensyn til A og B. 


Apollonios tager [Setning 34] D til Projektionscentrum og projicerer Punkterne 
ind paa en med DE parallel Linie gjennem A. Bortset fra den synthetiske Form afviger 
hans Bevis for, at den paa den anførte Maade bestemte Linie ED virkelig er en Tangent, 
kun fra den her meddelte analytiske Udledelse derved, at han ikke citerer Hjælpesætningen 
om Projektion, men beviser dens dobbelte Anvendelse ved Hjælp- af ligedannede Trekanter 
og lader disse Beviser udgjore en Del af sin egen Bevisforelse'). Opkomsten af det tem- 
melig sammensatte Bevis lader sig let forklare ved den Antagelse, at dets Forfatter selv 
har kjendt den omtalte Hjælpesætning, men ikke har turdet forudsætte den bekjendt for 
sine Læsere. 

For denne Antagelses Rigtighed taler, hvad vi ellers vide om Kjendskab i Oldtiden 


til samme Hjælpesætning. Den forekommer, saavel som den — efter den moderne Op- 
fattelse af uendelig fjerne Punkter — almindeligere Setning om det anharmoniske Forholds 


Uforanderlighed ved Projektion, iblandt Pappos’ Hjælpesætninger til Euklids Boger om 


1) Dette har jeg nojere eftervist ved et Referat af Beviset i Tidsskrift for Mathematik, 1882, S. 98. 
Housels Gjengivelse (Liouville, ser. 2, t. Ill, p. 158) har næsten intet fælles med Apollonios' egen 
Bevisforelse. 


60 


Porismerne!), og der er næppe nogen Tvivl om, at den under en eller anden Form 
har været at finde i dette Værk”. Det er da ganske naturligt at antage, at Apollonios 
har kjendt den benyttede Hjælpesætning fra Porismerne; men da han ikke direkte be- 
nytter dette Verk, er hans foreliggende Bevis fremkommet. For ovrigt kan dette Bevis 
eller dog Grundtanken deri ogsaa direkte tilhøre Euklid og vere fremsat i dennes Bøger 
om Keglesnittene. 

Apollonios omdanner [i 37—40] Tangentbestemmelsen ved Hjælp af de nu brugelige 
Omformninger af Relationen mellem fire harmoniske Punkter, hvilke lade sig udføre alene 
ved den i Elementernes anden Bog brugte Fremgangsmaade. Er saaledes O Centrum, 
finder han (Fig. 16), at 


DEN OR 0.8 = DE () 
hvoraf man endvidere ved Subtraktion af OC? finder 

OCE CEDACSCB (IN 
altsaa ifølge Kurvernes Ligning, at 


CD? = 2, OC.CE, (ILL) 


en Relation, hvis Anvendelse ved Koordinalendringer vi snart skulle faa at se. 
Trækkes endvidere den med Ordinaterne parallele Diameter, hvis Længde & er be- 


stemt — for Hyperblen ved Definition — ved 
Dees 
air 


og skjærer den (Fig. 16) Tangenten ED i G og den med AB parallele Linie DF i F, 
kan Ligning (III) ved Brug af ligedannede Trekanter omdannes saaledes: 


b? p CD? OF.OG OF.FG i 
a? Gham (OG CE, HOC BO I) 

som, idet OC — FD, dels umiddelbart giver 
FD? — =. OF. FG, (HE b) 

dels ved Benyttelse af (1) giver i 
0F.0G — (5) - (Ib) 


For Ellipsens Vedkommende folge disse sidste Ligninger egentlig umiddelbart af 
de tilsvarende (I) og (III), idet Apollonios allerede tidligere ji 16] har vist Ombytningen af 


1) 1ite Hjælpesætning, Pappos’ VII Bog, 137. 

2) Det er ganske vist noget vanskeligt at slutte fra Pappos’ Hjælpesætninger til, hvad der findes i det 
Værk, hvortil de hore; thi Pappos føjer dem jo netop til, fordi han savner deres Beviser i Værket. 
Fra Pappos’ Kommentarer til Skrifter, som vi kjende, kan man dog slutte, at ogsaa andetsteds selve 
Pappos Sætninger i Reglen findes i Hovedværket som Forudsætninger, der enten anses for bekjendte 
i den samme eller i en anden Form, eller bevises noget anderledes end hos Pappos. 


ee ed 


61 
Ellipsens Diameter med den konjugerede. For Hyperblens Vedkommende have de derimod 
større Betydning og benyttes i anden Bog ved Studiet af konjugerede Hyperbler. 

Endnu have vi tilbage at gjore Rede for, hvorledes Apollonios udleder, at Kegle- 
snitslinierne have uendelig mange Diametre med de samme Egenskaber som den oprindelig 
givne. Dette opnaar han ved Omdannelser af den geometriske Form for Kurvernes Lig- 
ninger og ved Overgange til nye Koordinatsystemer. De herhen horende Operalioner have 
imidlertid en saa vidtrekkende Betydning i den antike Keglesnitslere, at de ber behandles 
samlede i det neste Afsnit, i hvilket der da ogsaa vil blive gjort Rede for andre endnu 
manglende Beviser i Apollonios’ forste Bog, som det er af Betydning at kjende. 


Fjerde Afsnit. 


Omformninger af Keglesnittenes Ligninger; Aindringer af Koordinaterne. 


Vi have set Apollonios fremstille Keglesnitslinierne ved Ligningen 
y = pr + az, 
hvor 7 og y ere Parallelkoordinater, idet blot denne Ligning for Apollonios var en Ligning 
af første Grad mellem Arealerne af Kvadratet y?, Rektanglet pa og Rektanglet aa. x, 
eller endnu simplere mellem Kvadratet y? og Rektanglet z(p + a2). Konstanterne vare 
givne paa selve Figuren, navnlig ved den sidste Bestemmelse ved en Hjælpelinie, hvis ret- 
vinklede Ordinat blev Rektanglets Hojde p + az. Vi have fremdeles omtalt, at Apollonios 
ikke blot opnaaede denne Ligningsform ved Henforelse til et enkelt, ved den stereometriske 
Bestemmelse givet Koordinatsystem, men ogsaa ved Overgang til nye, i hvilke den ene 
Axe var en Diameter, den anden Tangenten i dens Endepunkt. Dels under denne Over- 
gang, dels paa andre Steder træffe vi paa Fremstilling af Keglesnittene ved andre Lig- 
ninger af forste Grad mellem Arealer, der let lade sig sammensette af saa- 
danne, som ere proportionale med 2, zy, y*, x, y, idet x og y ere Koordi- 
naterne i et Parallelkoordinatsystem. Den ved en saadan Sammensetning givne 
Forbindelse med den analytisk-geometriske Ligning i et Parallelkoordinatsystem kan vere 
nyttig for os at betragte for derved ad Veje, der ere os bekjendte, at faa det rette Blik 
for Anvendeligheden af og Forbindelsen mellem forskjellige af de gamles Fremstillinger; 
men der er en vesentlig Afvigelse mellem disses Fremstillinger og vore tilsvarende deri, at 
Grekerne ikke saa meget tilsigtede, at de faste Figurdele og Figurbestemmelser skulde 


vere saa faa og simple som muligt, men meget mere, at Ligningerne — som de maatte 


62 


udtrykke i Ord — skulde blive simple. Derfor søgte de ved Indførelse af faste Hjælpe- 
linier og ved Ombytning af de med Koordinataxerne parallele Linier gjennem det bevægelige 
Punkt med nye Koordinatretninger, dels at trække alle Leddenes Koefficienter ind i selve 
de ved Leddene bestemte Arealer, dels at give Arealerne saadanne Former, at de kunde 
trækkes sammen, saaledes at Antallene af Led i Ligningerne reduceredes. Begge disse 
Ting vare, som vi have set, i Apollonios’ nys omtalte oprindelige Fremstilling opnaaede ved 
en Hjælpelinie, og dette samme Middel til Simplifikation fandt vi benyttet i Archimedes’ 
Fremstillinger af Parablen, hvor Ligningen havde Form af en Proportion. Hos Apollonios 
var Hjælpelinien, derved at den fremstilledes i et sereget retvinklet Koordinatsystem, be- 
tegnet som et det foreliggende skjævvinklede Koordinatsystem uvedkommende Middel til 
Fremstilling af den enkelte bestemte Kurve i dette sidste. Dette er imidlertid ikke overalt 
Tilfældet. Andre Steder kunde der snarere vere Anledning til at betragte det hele Apparat 
af faste Linier som udgjorende et mere sammensat Koordinatsystem. Vil man dog ogsaa 
i disse Tilfælde for Overblikkets Skyld forsøge at betragte Kurven som henfort til et enkelt 
Parallelkoordinatsystem, medens man lader de ovrige faste Linier trede i Stedet for Kon- 
stanterne i de moderne Ligningsformer, kan man vere i nogen Tvivl om, hvilke af de be- 
nyltede faste Linier man skal betragte som Koordinataxer, eller om man mulig, hvor de 
gamle have indført Koordinatretninger, som ikke ere parallele med faste rette Linier, skal 
tænke sig indført helt nye Axer med disse Retninger. Naar paa denne Maade de gamles 
Bestemmelsesmaade omtrent lige let lader sig udtrykke ved Henforelse til to forskjellige 
Parallelkoordinatsystemer, overflodiggjores derved vor Overgang mellem disse to Systemer, 
eller rettere, den er erstattet ved de Ændringer i Konstanternes geometriske Fremstilling, 
som have fort til en saadan Bestemmelsesmaade. 

Vi have foreløbig et yderst simpelt Exempel paa denne Tvetydighed i Archimedes’ 
Bestemmelser af en Ellipse eller Hyperbel, i hvis Gjengivelse (i andet Afsnit) vi i Stedet 
for én Abscisse have brugt Betegnelser æ og a‘ for Abscisser regnede fra begge Top- 
punkter. Det ene af disse er nemlig ikke mere Begyndelsespunkt end det andet, og Frem- 
stillingen lader sig omtrent lige saa let henfore til et hvilket som helst Punkt af Axen som 
Begyndelsespunkt, f. Ex. til Centrum. 

I Apollonios’ Fremstilling er der derimod tillagt det ene Endepunkt af Diameteren 
en saadan bestemt Rolle, at dette serlig kan betragtes som Begyndelsespunkt. Vi treffe 
derfor ogsaa hos ham en Flytning af Begyndelsespunktet, nemlig i Setning 15, 
hvor en Ellipses givne Diameter og de deriil horende Ordinater ombyttes med den kon- 
jugerede Diameter og de dertil horende Ordinater. Uden at afvige vesentlig fra Apollonios’ 
Betragtningsmaade kunne vi nemlig betegne denne Ombytning som en Flytning af Be- 
gyndelsespunktet, uden Drejning, forst fra den givne Diameters Endepunkt til Centret og 
dernæst til den konjugerede Diameters Endepunkt. Apollonios’ Udførelse af disse Opera- 


63 


tioner har Interesse som et godt Exempel dels i Almindelighed paa de med vore algebraiske 
Operationer ner beslægtede antike Arealoperationer, dels paa Anvendelsen af Apollonios’ 
under rette Vinkler tegnede Hjælpefigurer som Middel til at fremstille og anskueliggjore de 
Operationer, som man nu fremstiller og anskueliggjor ved Algebraens Tegnsprog. 


Idet AB — a er den givne Diameter, AN =p den tilhørende Parameter, er 
Ordinaten y — XA bestemt ved y? = (AO). Er DE = b den konjugerede Diameter og 


2 
altsaa C Centrum, bliver (5) - (AP) = (UR). Idet nu tillige (OU) = (OR) og (XU) 


x 


2 N\ 
— (UY) = (NS), bliver (3) —y? = (OP). Nu er (3) — y? = ET. TD, altsaa (OP) 
— ET. TD. Idet vi nu sætte TH = OS = 7, bliver y? = "os .(OP) = „(or - = 


—. ET. TD. Oprejser man nu i D vinkelret paa DE en ee q = DZ, bestemt 


b 
lige stort med Rektanglet (DZ). Den geometrisk fremsatte Ligning for Kurven i det nye 


Koordinatsystem faar saaledes ganske samme Form som i det givne System. 

Den dobbelte Fremstilling ved Figur og en Text, hvorfra man hvert Øjeblik maa 
opsoge de omtalte Punkter, Linier og Rektangler paa Figuren, kan vel aldrig blive saa 
simpel at læse som den algebraiske Fremstilling; men for den, der enten selv i Tankerne 
gjennemforer Operationerne alene paa Figuren eller folger en mundtlig Fremstilling, i hvilken 


saaledes, at Se A og tegnes den tilhørende Hjælpelinie #Z, bliver Kvadratet paa y! 


64 


alt paapeges paa Figuren, og som tilmed har en saadan Øvelse i disse Arealoperationer 
som vi i Bogstavregning, staar det her benyttede Anskuelsesmiddel ikke tilbage for det, vi 
have til vor Raadighed. 


b 2 
Som Gjennemgangsled traf vi her paa en Relation (I —y — (OP), der kan 


opfattes som Centralligning for Ellipsen. Overgangen til en saadan foretages imidlertid senere 
[i 41] baade for Ellipsen og Hyperblen, og den derved fremkommende Ligning 


AGE, 0 


udirykkes da i en noget anden Form, idet de ved de tre Led fremstillede Arealer blive 


ombyttede med dermed proportionale Arealer. Der udtales da — og Udtalelsen illustreres 
ved Figurer —, at Differensen mellem to ligedannede Parallelogrammer paa Linierne a 
og æ er lige stor med et Parallelogram paa y, med de samme Vinkler, men hvori For- 
holdet mellem den anden Side og y er sammensat af = og Forholdet mellem Siderne i et 


af de første Parallelogrammer. 

Ved i denne Sætning at ombytte Parallelogrammer med Trekanter og anbringe 
disse paa en heldig Maade fares Apollonios [i43] til en Fremstilling af Ellipsen og Hyperblen, 
som ikke blot — hvad der er dens umiddelbare Bestemmelse — giver en let Overgang fra 
den givne Diameter og de dertil hørende Ordinater til nye, men som ogsaa faar stor Be- 
tydning i det følgende. Lad (Fig. 18) ACB vere den givne Diameter og CE en ny Dia- 


Fig. 18. 


meter, som skjærer Kurven i Æ: lad endvidere et vilkaarligt Kurvepunkt H ved Ordinaten 
y = KH og Abscissen z — CK vere henfort til den givne Diameter. Da er ifølge (1), 
som vi ved det dobbelte Fortegn ogsaa udstrække til Hyperblen, 

+ (ACBL-ACKM) = A AKT, (2) 


naar blot KH A CIB = =) (3) 

Dette sidste opnaar Apollonios ved at lade /7' være parallel med Tangenten i Æ. 
Denne er nemlig [37], som vi alt have omtalt i Slutningen af forrige Afsnit (se Ligning 
(IIN)), bestemt ved ZE? p 

CLELiD) EN 
ZD a ZE a BL 
ZE m CG ~~ mw CE 

Bestemmelsen af H7’s Retning ved Tangenten i / har den Fordel, at den er en- 
tydig, medens Bestemmelsen ved Ligning (3) tillader at afsætte KT til begge Sider for X 
og altsaa giver to Retninger af Linien 77, som ved den videre Anvendelse ikke vilde vise 
sig lige hensigtsmessige. Muligt er del, at Apollonios, der ikke, som man nu kan, har 
kunnet opnaa Entydigheden ved Brug af Fortegn, netop for at undgaa den med Tvetydig- 
heden forbundne Forvirring har valgt Brugen af Tangenten, der paa sin Side har veret 
forbunden med en Del andet Besver. For dens Skyld har han nemlig for det forste allerede 
i første Bog maattet udlede de alt omtalte Sætninger om Tangenten i et Punkt Æ uden 
for den givne Diameter, hvilke ellers senere vilde komme af sig selv. Dernæst har den af 
ham fulgte Vej den store Ulempe, at han forst i tredie Bog kan naa at give den ved Lig- 
ning (2) udtrykte Setning den fulde Udstrekning. Det er nemlig i det forte Bevis for- 
udsat, at begge Diametre CB og CE skjære Kurven. For den enes Vedkommende kommer 
han vel strax ud over dette [i 45], ved at lade CB vere den konjugerede Diameter til 
den givne, idet han da for Hyperblens Vedkommende benytter den tidligere omtalte «Længde» 
af en Diameter, der ikke skjærer Kurven. Derimod savner han, naar den anden Diameter 
CE ikke skjærer Kurven, den Tangent, med hvilken Linierne 7/7 skulde være parallele. 
Han kan saaledes først fuldstændiggjøre sin Sætning, efterat han i anden Bog har under- 
søgt de saakaldte konjugerede Hyperbler, som have de samme konjugerede Diametre, 


hvoraf følger, at 


og som, henført til et Par af disse, faa samme Ligning paa et Fortegn nær. Hvis paa 
den undersøgte Figur Kurven er en Hyperbel, og Diameteren CZ ikke skjærer denne, be- 
stemmes Linierne 77 som Paralleler med Tangenten til den konjugerede Hyperbel i dens 
Skjæringspunkt med Diameteren CH. 

Da Apollonios saaledes virkelig, om end først efterhaanden og ad en Omvej, hæver 
sig til den almindeligste Sætning eller Ligning for Kurverne, skal jeg strax her angive denne. 
Ved dens Udledelse kunde man for Ligningen (1) benytte 

+((3) +27) = Sr, (1b) 
der, naar man begge Steder læser overste Tegn, bliver anvendelig paa det Tilfælde, hvor 
OB er ombyttet med en Diameter, der ikke skjærer Kurven, men paa hvilken man dog 


Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 1. g 


66 


| 


a 


afsætter den saakaldte Længde CB — 3° medens p er en anden Konstant. Bestemmer 
man da Retningen af Linien 77’ ved Ligning (3), faar man 
H(A CBLZACKM) = A HKT, (2b) 


hvor Fortegnene vælges som i (1b), altsaa paa vel bekjendt Maade. Vælger man nu hver 
Gang blandt de to ved (3) bestemte Retninger for 77 den, som er parallel med Tangenten 
i Linien CE’s Skjeringspunkt med Kurven eller med den konjugerede Hyperbel, faar man 
Apollonios’ Bestemmelse af dennes Retning. 

De Fordele, som denne Form af Ligningen for en Ellipse eller Hyperbel frembyder, 
ses bedst ved en Omskrivning, som Apollonios vel ikke udtrykkelig opstiller — hvad han 
af Mangel paa Begrebet «Areal af en uegentlig Firkant» heller ikke i alle Tilfælde kunde 
— men som netop fremhæver den Omstændighed, han overalt praktisk anvender. Under 
Punktet Hs Bevægelse paa Kurven variere Trekanterne CK M og HKT, medens CBL bliver 
konstant. Den Sum eller Differens af de to første Trekanter, som betragtes i Formel (2b), 
vil i hvert enkelt af de betragtede Tilfælde blive Arealet af den egentlige eller uegent- 
lige") Firkant ÆMCT. Dette Areal bliver altsaa konstant (=—-CBL). 

To af Siderne i denne Firkant ere faste Diametre, den givne CB og den nye CE. 
Den modstaaende Side A M til den første falder paa en af den halveret Korde, den mod- 
staaende Side HT til den sidste har en bestemt Retning. Af den symmetriske Maade, 
hvorpaa de to Diametre og de to Rækker Paralleler indgaa i den fundne Bestemmelse af 
Kurven, vil man da kunne udlede en Relation, hvorved Kurven henfores til den nye Diameter 
CE paa samme Maade, som den oprindelig var henfort til den givne Diameter CB. Denne 
Udledelse, hvorved det kun har været nødvendigt at tage Hensyn til de Tilfælde, hvor baade 
CB og CE skjære Kurven, har Apollonios foretaget paa folgende Maade [Iste Bog, 50]. 

Trekant CB L (Fig. 18) er lige stor med Trekant CDE), og man har altsaa ifølge 
vor Omskrivning af (2) 


1) Dette Areal er, som bekjendt, Differensen mellem de to Trekanter, som falde i et Par Topvinkler. 

2) Dette, som kan faas ved i Relationen HMCT = CBL at lade A falde i Æ, anfører Apollonios 
= = = forefindes derimod senere, nemlig i tredie 
Bogs Sætning I, hvor Sætningen benyttes til videre at vise, at ABDI — ALEI Hvis man da 
ikke — hvad vi ikke finde tilstrækkelig Anledning til — vil anse et af Eutokios anført Bevis for en 
tidligere Sætning i første Bog [43], hvilket netop begynder med det samme Bevis som det i 3die Bog 1, 
for at ACBL = ACDE, for ægte, ligger det ner at antage, at Apollonios i iste Bog 50 virkelig 
slutter denne Ligestorhed ved at anvende den samme almindelige Sætning, som han netop 
er iferd med at gjøre anden Brug af, paa Grensetilfeldet; thi det er den eneste Maade, hvor- 
paa Trekanternes Ligestorhed umiddelbart kan indses. I saa Fald tager han sig her en Frihed, 
som de græske Forfattere ellers vare for forsigtige til i de opstillede Beviser, hvad man navnlig 
kan se mange Steder hos Archimedes. At man af denne Forsigtighed ikke maa slutte, at de heller 
ikke selv saa Forbindelsen mellem Grensetilfelde og de almindelige Tilfælde, viser sig derved, at de 
i Reglen anvendte ensartede Beviser paa begge. 


uden Bevis. Et saadant, som støttes paa, at 


67 
CDE = CBL = HMCT. 
Subtraktion af Trekant CTS giver dernæst 
A CDE— ACTS = -ASHM, 
hvor + svarer til Ellipsen, — til Hyperblen. Da denne Ligning er af samme Form som 
den Ligning (2), vi gik ud fra, idet blot Diametrene ere ombyttede, kan man bestemme 
en til den nye Diameter horende Parameter p‘ saaledes, at man kan gaa videre tilbage til 
en Ligning af Formen (1), hvoraf Ligning (2) var udledet, og ved Flytning af Begyndelses- 
punktet til Endepunktet Æ af Diameteren til Ligninger af ganske samme Art som dem, 
hvorved Ellipse og Hyperbel oprindelig henfortes til den givne Diameter og tilhørende 
Ordinater ((3) og (2) i forrige Afsnit). Denne Bestemmelse af p‘ vil man finde ved i Lig- 
ning (3), som tjente til at bestemme Retningen af Ordinaterne TS (Fig. 18) til den nye 


É ; ; B 
Diameter CE, og som ifølge Figuren kan omskrives til p = I PD, at ombytte 
E 2 
alle Bestemmelser, som høre til de to Diametre. Man faar da p' — Dacre D) som 


netop er Apollonios’ i forrige Afsnit omtalte og anvendte Bestemmelse af p’. 


Da vi saaledes for den nye Diameter og tilhorende Ordinater ere vendte tilbage til 
samme Fremstillingsform som for den oprindelig givne, maa alle de hidtil vundne Resultater, 
hvilke oprindelig byggedes paa denne plangeometriske Fremstilling af Kurverne, ogsaa blive 
anvendelige paa den nye Diameter. Hvis Apollonios altsaa ikke i selve Udviklingen havde 
bestemt de nye Ordinater som parallele med den forud bestemte Tangent i Æ, kunde han, 
som alt antydet, have benyttet denne Omstændighed til bag efter at bestemme denne Tan- 
gent. Den nye Ligning udviser, at den nye Diameter CZ halverer Korder i den nye Ordi- 


natretning. Ogsaa dette sidste har Apollonios imidlertid bevist, førend han [i 50] naar til 
g* 


68 


den endelige Omdannelse [nemlig i 47], idet han dertil umiddelbart anvender den i Lig- 
ningen (2) udtrykte Hovedsætning. 

Vi skulle i Gjengivelsen af dette Bevis holde os til Ellipsen for vedblivende at 
kunne benytte Fig. 18, med hvilken Læserne alt ere fortrolige, og som umiddelbart viser 
Betydningerne af de nye Betegnelser H’, K‘, M'. Ligning (2) giver 

A AKT = ACBL—ACKM = Trapez (BM) 
IS 1EPTEOT — Trapez (B M!) 
Ved Subtraktion faas 
Trapez (KH) = Trapez (X M), 
og ved Subtraktion af Femkanten X‘ H' SMK faas 
N SHM— DSH 
eller at S er Midtpunktet af HH’. 

Der er ingen Grund til særlig at dvæle ved de Sætninger [44, 48, 51], hvori Apol- 
lonios godtgjer, at det samme, som er beyist om en Ellipse eller en enkelt Hyperbelgren, 
ogsaa er anvendeligt paa den af de to Hyperbelgrene sammensatte Kurve, naar de Punkter, 
vi have kaldt B og Æ, falde paa hver sin af disse. Det har som tidligere bemærket en 
meget stor Interesse, at denne Almindeliggjerelse er falden Apollonios ind, men ved dens 
Udferelse, hvortil Grenenes Symmetri anvendes, har ingen som helst Vanskelighed veret 
at overvinde. 


Ved den nu vundne Bestemmelse af den faste Retning af Siden ÆT i den Firkant 
HMCT (Fig. 18), som ifelge vor Omskrivning af den i Ligning (2) indeholdte Setning for- 
bliver konstant, medens H bevæger sig 

paa en Ellipse eller Hyperbel, kan denne 

Sætning udtrykkes saaledes: Den Fir- 

N ee kant H MCT (Fig. 19), hvis to Sider 
|= P i CM og CT falde paa faste Dia- 

=e age FAN | metreienEllipse eller Hyperbel, 
€ medens deres modstaaende Sider 

; HT og HM falde paa de fra et 
ye bevægeligt Kurvepunkt HZ ud- 


eas gaaende Korder, som halveres af 


disse to Diametre, eller paa disse 


Fig- 19- Korders Forlængelser, har et 
konstant Areal. Denne Sætning, som for altid at kunne udtales saaledes kræver Brug af 
uegentlige Firkanter, og som ferst i tredie Bog bliver bevist for alle Slags Diametre, ville 


vi kalde den Apolloniske Arealsetning. 


69 _ — 


Den omvendte Sætning af denne er folgende: Naar en Firkant HMCT, hvis 
to Sider CM og CT falde paa faste Linier, medens de to andre ere trukne i 
givne Retninger fra et bevægeligt Punkt Z, har et konstant Areal, er det 
geometriske Sted for H en Ellipse eller Hyperbel. 

Denne omvendte Setning udtaler Apollonios intetsteds, som han overhovedet ikke 
udtaler Sætninger gaaende ud paa, at et eller andet geometrisk Sted er et Keglesnit. Naar 
han derimod i Fortalen til 3die Bog udtaler, at hans Sætninger kunne bruges til Bestem- 
melse af geometriske Steder, tor man sikkert antage, at det her omtalte, om end ikke 
ganske i den her anforte Skikkelse, har hort til disse, og at han altsaa har kjendt denne 
omvendte Sætning. Indirekte har den i hvert Fald staaet til hans Raadighed, naar han 
forst har naaet at omforme en forelagt Bestemmelse af et eller andet geometrisk Sted til 
den her opstillede; thi den samme Fremgangsmaade, som nylig anvendtes til, naar CB var 
den givne Diameter, at henføre Kurven til CZ og Ordinater parallele med AT, vil i alle 
Tilfælde kunne anvendes og i alle Tilfælde give de Ligningsformer, ved hvilke Kurverne fra 
forst af ere karakteriserede. 

For ret at forstaa den vigtige Rolle, som den opnaaede Ligningsform, Firk. 7 MCT 
= Konst., kommer til at spille hos Apollonios, kan man sammenholde den med tilsvarende 
Ligningsformer i sedvanlige Koordinater. Tanker man sig de to faste Diametre tagne til 
Koordinataxer, kunne HM og HT betragtes som skraa Koordinater til disse. Ombytter 
man dem med sædvanlige Parallelkoordinater, idet HP—w og HQ — y drages parallelt 
med Axerne, faar man (Fig. 19) 

HMCT = HMP+ HPCQ + AQT, 
altsaa ax? + Bay + ry? = K, (4) 
hvor a, 8, 7 og K ere Konstanter, der for andre Figurer kunne blive at regne negative. 

Havde man omvendt opgivet en Ligning (4) af første Grad mellem Arealerne æ?, 
xy, y*, hvor æ og y betegne Parallelkoordinater, HP og HQ, falder det fuldstændig ind 
under de Fremgangsmaader, hvormed vi nu ere blevne bekjendte hos Apollonios, at be- 
stemme Retningerne af ZM og HT saaledes, at «x°, Pay, ry? blive proportionale med 
Arealerne AMP, HPCQ og HQT, hvorved Ligningen omdannes til den i Arealsetningen 
givne Fremstilling af Keglesnittene. 

Da nu Overgangen baade frem og tilbage mellem den Apolloniske Arealsætning og 
Ligning (4) er saa simpel, da endvidere, som vi have set, Apollonios fra den i Arealset- 
ningen givne Fremstilling af et Keglesnit, som den analytiske Geometri fra den i Ligning (4) 
indeholdte, kan gaa over til Fremstillingen i det af Axerne dannede retvinklede Koordinat- 
system, indses det, at den ene Fremstilling i Anvendelserne helt maa kunne træde i Stedet 
for den anden, saaledes at Apollonios, om end under en forskjellig Form, kan opnaa det 
samme ved den første, som den analytiske Geometri ved den sidste. I Henseende til Let- 


heden af de dertil tjenende Operationer har hver af Fremstillingsformerne sine Fordele, 
idet man ved i.Arealsetningen at bruge et noget mere kompliceret Koordinatsystem har 
opnaaet en betydelig simplere Ligning. At Apollonios nu virkelig vedblivende bruger Areal- 
setningen i Overensstemmelse med disse Betragtninger, som vi her have knyttet til dens 
Anvendelse i første Bog, ville vi faa bekræftet i det folgende, navnlig ved hans 3die Bog. 

I visse Henseender forer Arealsætningen videre endnu end til en Fremstilling af 
Keglesnittene ækvivalent med den i et Koordinatsystem med to vilkaarlige Diametre til 
Koordinataxer. At Midlerne til Overgangen til et Koordinatsystem med et nyt Begyndelses- 
punkt foreligge, folger nemlig allerede deraf, at en saadan Overgang, som alt bemerket, 
lader sig iværksætte alene ved Hjælp af de hos Euklid benyttede Arealomdannelser; men 
mere direkte opnaas det ved, at man tenker sig det konstante Areal af den i Form for- 
anderlige Firkant HMCT (Fig. 19) udtrykt ved Koordinaterne i et Parallelkoordinatsystem, 
hvis Axer ere parallele med HM og HT, som jo i Virkeligheden kunne faa fuldstændig 
vilkaarlige Retninger. 

Paa denne sidste Maade faar Apollonios ogsaa virkelig i 3die Bog i Setning 3 og 
nogle af de folgende Sætninger en Fremstilling af Kurverne, der i visse Henseender svarer 
til deres Ligninger i et vilkaarligt Koordinatsystem med Begyndelsespunkt paa 
selve Kurven. Lad AS og FE (Fig. 20) vere to faste 
Diametre og HM, H'M' Stykker af Korder, som hore til 
den første, HT og H'T' Stykker af Korder, som here til 
den anden. Da er ifolge den Apolloniske Arealsætning 

HMCT = H:M'CT‘, 
hvoraf ved Subtraktion af PM'CT faas 


HUMP = HOP ET (5) 
og ved Addition hertil af Parallelogrammet PQ 
QMM'H' — QHTT:. (6) 


Ved den ene eller den anden af disse Ligninger kan, 
naar / ligger fast, Punktet 7° vel stadig opfattes som hen- 
fort til de to Diametre under en noget ændret Form, men 
disse Ligninger kunne ogsaa opfattes som en Henforelse til 


Koordinataxerne HM og HT, der gaa gjennem et vilkaarlig 

valgt Punkt A af Kurven og kunne have vilkaarlig opgivne 

Retninger. De to lige store Arealer udtrykkes nemlig let ved Koordinaterne HP og HQ. 

En anden Ændring af Arealsætningen findes i den umiddelbart foregaaende Sæt- 

ning 2 af tredie Bog. Vi kunne lettest knytte den til Fig. 18, som, idet A H'K'T — 
Trapez (BM‘), ved Subtraktion af Trapez (BA!) giver 

AGBT = Trapez (LA'), (5) 


71 


en Ligning, der, naar Reglen for uegentlige Firkanter iagttages, ogsaa vil blive anvendelig 
paa Punktet 7. Det bevægelige Punkt 77‘ (eller 77) kan her betragtes som henfort, ved 
Koordinatlinier i givne Retninger, til Koordinataxerne BL og CE, som ere en Tangent 
og en Diameter, der ikke gaar gjennem Roringspunktet. 

Vi kunne dog ikke som ved Arealsætningen i alle Maader sammenstille disse sidste 
Fremstillinger med de tilsvarende Ligninger i den analytiske Geometri. Fastholde vi Be- 
tragtningen af to Linier som Koordinataxer, maa de ovrige faste Linier, hvortil Kurven hen- 
fortes, opfattes som Stedfortrædere for dens Konstanter. De ere ogsaa her valgte saaledes, 
at de i hej Grad simplificere Ligningerne, som reduceres til Ligestorheden af to variable 
Arealer; men vi kunne ikke her som for Arealsætningen paavise Kjendskab hos Apollonios 
til de Midler, som vilde udkræves til Bestemmelse af disse Stedfortrædere, naar Konstan- 
terne i de tilsvarende analytisk geometriske Ligninger vare givne, og hvorved altsaa den 
modsatte Overgang fra Ligningerne til de tilsvarende geometriske Fremstillinger lod sig 
iværksætte. Vi kunne derfor ikke her sige, at det ved Bestemmelsen af et geometrisk 
Sted vilde være Apollonios nok at finde, at det ved at henfores til et Parallelkoordinat- 
system fremstilledes ved en saadan Ligning mellem Arealer, som analylisk geometrisk 
vilde skrives 

ax? + Baytry’+datey— 0; 
thi for at paastaa, at Apollonios kunde omdanne denne Ligning til den Fremstillingsform, 
som vi nys bave sammenstillet dermed, maatte vi vide noget om, hvorledes han i dette 
Tilfælde kunde bestemme Gentret, og herom finde vi paa dette Sted intet. 

De Hjælpemidler, som vi her have gjort Bekjendtskab med, staa altsaa endnu til- 
bage for den analytiske Geometri i Henseende til Bestemmelse af Keglesnit som geometriske 
Steder; men Indholdet af tredie Bog og Apollonios’ egne Oplysninger om, hvortil den kan 
bruges, ville, som vi skulle se, udfylde denne Mangel. 


For Nemheds Skyld have vi her slet ikke medtaget Parablen, paa hvilken det 
dog er aabenbart, at alle de Sætningsformer maa være anvendelige, i hvilke blot ikke 
Centrum indgaar. De ere i Reglen simplere end dem om Ellipsen og Hyperblen og gaa 
derfor sædvanligvis forud for disse hos Apollonios. Dette gjælder saaledes om den ved 
Ligning (2) udtrykte Hovedsætning, som man for at overfore den paa Parablen maa give 
den nys benyttede Form A HAT = Trapez (BM) (Fig. 18), idet dog Trapezet gaar over 
til at blive et Parallelogram. Beviset føres [Iste Bog 42] saaledes (Fig. 21; se neste Side): 
BK vere den givne Diameter, ZM en anden Diameter, HK og HT Paralleler med Tan- 
genterne BL og ED. Da er 

AN JEU K FP BK (BM) 


À ED) BET BR. BIN 


72 


Da nu DZ=2BZ, er À EZD = 
lw (BE). Altsaa bliver ogsaa A HKT — (BM). 
ii. Af denne Ligning følger atter, idet A IBD 
ay M = AILE, at A HMS = (DS) og derved som 
| Zs for Ellipsen og Hyperblen Overgangen til den Lig- 


ning, hvorved Parablen henfores til Diameteren 
EM og dens Ordinater [46]. Beviset for, at 
denne Diameter halverer sine Korder, fores ganske 
som for Ellipsen og Hyperblen [49]. 

Som for Ellipser og Hyperbler findes ogsaa 


Go 
DT 


Z 1% 
\ 


Fig. 21. 2 å 
her det i forrige Afsnit angivne og benyttede 


Udtryk for den til Diameteren Æ M hørende Parameter p‘. I Stedet for til dette skulle vi 

benytte den fundne Ligningsform A AMS = (DS) til at udlede en af Archimedes 

benyttet Relation mellem p' og den til BA, som vi for Nemheds Skyld lade vere Axen, 

hørende Parameter p. Idet vi sætte HS — x‘ og SH =7/, kan den anførte Ligning skrives 
2S H° 

ADR PR acne a. 7 nd 

2 SME 0 0 


hvoraf faas ved Benyttelse af ligedannede Trekanter og af DZ = 2BZ 


SH: SH MH SH? ER SH 
pi — 2 BV 2 BY = EE = ==: 
P nme Tee Sis 24 = TE Be Tee 
Bi Vain ELEY, 
eller nyo SEE 


Om dette Resultat siger Archimedes i Bogen om Konoider og Sferoider [3], at 
det er bevist i Skrifter om Keglesnittene. Han anvender det dernest til at bevise, at i 
samme Parabel saadanne indskrevne Trekanter som HH’, hvor Toppunktet Æ er belig- 
gende paa den til Grundlinien 74" (= 2 HS paa Fig. 21) hørende Diameter, ere lige store, 
naar de afskaarne Stykker #S (= x‘) af Diameteren ere det. Beviset kan noget frit gjen- 
gives saaledes: 


2 VAR Îles 30e ze 
MS NG JEEP re pp a == uf V = = gy! \/ DI DIE a! Vp a! 


hvilket Udtryk kun indeholder z' og p. 

I de to nys anførte Sætninger fra tredie Bog [2 og 3] er Parablen, som dog 
faar særlige Figurer, umiddelbart indbefattet i Apollonios’ Bevisførelse, og han udsiger 
Sætningerne om Keglesnit i Almindelighed. 


73 


Femte Afsnit. 
Apollonios’ 2den Bog. 


Ved at dvæle saa udforlig ved den forste Bog af Apollonios’ Keglesnitslere have vi 
vundet meget for den rette Forstaaelse af dette store Værk og dermed af hele den antike 
Keglesnitslere. Ikke blot indeholder første Bog, som rimeligt er, et Grundlag, hvorpaa der 
bygges videre i de folgende; men Undersogelserne i forste Bog have for at naa deres Maal 
maattet strekke sig saa vidt omkring, at Hovedvanskelighederne ved Indforelsen af serlige 
Theorier, som den for konjugerede Diametre, allerede der ere overvundne, og at der har 
veret rig Lejlighed til at lere de Hjelpemidler at kjende, som have gjort det muligt dels 
for Apollonios’ Forgængere, dels for ham personlig at naa de store Resultater, med hvilke 
vi efterhaanden skulle gjore Bekjendtskab. 

Dette skulle vi nu forst se bekræftet ved Betragtning af anden og tredie Bog, der, 
som tildels fjerde, endnu blot indeholde en — som Apollonios siger — «fyldigere og almin- 
deligere» Fremstilling af tidligere bekjendte Ting. Anden Bog indeholder nemlig for en 
stor Del saadanne Sætninger og Opgaver om konjugerede Diametre, som ikke kunde volde 
nogen egentlige Vanskeligheder, naar Hovedsætningerne i forste Bog engang vare fundne, 
og tredie Bog indeholder, foruden et elementer-geometrisk Tilleg om Brendpunkter, nogle 
Sætninger, deriblandt det alt ved Archimedes omtalte saakaldte «Newtons Theorem», af en 
saa almindelig Natur, at man vanskelig vilde kunne forstaa, at de kunde naas uden Nutidens 
Hjælpemidler, hvis ikke allerede Studiet af de gamles Koordinatmethoder og særlig af den 
Apolloniske Arealsetning havde vist os, at de gamle ogsaa besad Redskaber til Udledelse 
af saadanne almindelige Sætninger, som ikke knytte sig til enkelte, bestemte Linier i Kegle- 
snittets Plan. 

I anden Bog er den i forste Bog grundlagte Lere om konjugerede Diametre 
forbunden med Leren om Asymptoter og om konjugerede Hyperbler. Vi maa da forst 
og fremmest se paa de Hovedsætninger, hvorpaa Indforelsen og Vigtigheden af disse Be- 
greber, blandt hvilke dog det sidste er defineret i Slutningen af forste Bog, grunder sig. 

En Hyperbels Asymptoter bestemmes forst i Forhold til en vilkaarlig Diameter 
AC (Fig. 22), som Linier fra Centrum, der paa Tangenten i dennes Endepunkt C til begge 


Sider for dette Punkt afskjære Stykker BC — CD — >> hvor vi ved à betegne den alt 


Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 1. 10 


14 


i første Bog definerede Længde (/p.a) af den med BD parallele Diameter. Det vises 
[2den Bog 1], at de saaledes bestemte Linier AB og AD ikke kunne skjære Kurven, og 
dernæst [i 2], at der ikke gjennem Centrum A kan lægges Linier, som falde nermere ved 
Hyperblen uden at skjære den. Da Asymptoterne herved ere blevne fuldkommen bestemte 
paa en af Diameleren AC uafhængig Maade, nemlig som de Linier gjennem Centrum, der 
falde nærmest ved Hyperblen uden at skjære den, faar man de samme Asymptoter, hvilken 
Diameter AC man end gaar ud fra, og Asymptolerne maa altsaa [Sætning 3] have de samme 
Egenskaber med Hensyn til hvilket som helst Par konju- 
; gerede Diametre som i Forhold til dem, ved hvis Hjælp de 
2 forst bestemtes [i 1]. 

Beviserne for de to Sætninger [I og 2] falde, trods 
deres geometriske Form, neje sammen med de analytisk- 
geometriske, som kunde fores ved Henforelse af Hyperblen 
til Diameteren AC som Abscisseaxe ved Ordinater parallele 
med Tangenten i C. Til Gjengivelse af det forste kan man 

benytte Centralligningen, som vi kunne skrive 


pee ze —(3), (1) 


som kommer i Strid med den Ligning, man vilde faa ved 
at antage, at et Punkt af en af Asymptoterne 


y? = — x? (2) 


skulde have samme Koordinater"). I Beviset {i 2] for, at ingen Linie gjennem A kan falde 

Kurven nermere end Asymptoterne uden at skjære den, antages det, at man har en Linie 

AN, som falder i samme Vinkel mellem Asymptoterne som Kurven. Denne Linie maa 

(Fig. 22) skjære det Stykke CN af en Parallel gjennem Diameterens Endepunkt C med den 

ene Asymptote, som falder paa samme Side af Tangenten i C som Kurven. Nu kan CN 
i 


ikke skjære Kurven i andre Punkter end C, hvad der følger af, at Ligningen y? = px + CE 
for Kurven og y? — Pa for Paralleler med Asymptoterne ikke kunne finde Sted samtidig 


for z >0O. Men da maa Linien AN skjere Kurven. 


1) Beviset er dog lidt kunstigere end i denne algebraiske Form, idet den anvendte Ligning cgentlig er 


hr SP Mon, 7) 
y er (= zz, 


hvor z’ og x ere Abscisserne regnede fra Diametrens to Endepunkter. z er da 


kan ikke have z? = z’z”, da AZ 


05 : 


Bestemmelsen af en Hyperbel ved sine Asymptoter og et Punkt [4] og den Sætning, 
at de Stykker ZF og HI, som afskjæres mellem Asymptoterne og Kurven, ere lige store 
[8], haves nu umiddelbart. Ved Subtraktion af Ligning (1) for Kurven fra Ligning (2) for 


Asymptoterne faas fremdeles, at (y’— 7) (y'+y) = (=). hvor y og y‘ ere de til samme 
Abscisse hørende Ordinater, eller at (Fig. 22) Rektanglet ZF. FI af de Stykker, som afskjæres 
mellem Asymptoterne og et Kurvepunkt paa rette Linier parallele med en og samme Tangent, 
er konstant [10]. Heraf udledes atter [i 11] ved ligedannede Trekanter, at det samme er 
Tilfældet med Rektanglet FK. FL af Stykker, der paa samme Maade afskjæres paa en 
Rekke parallele Linier, der ikke ere parallele med en Tangent. Figur 22 giver nemlig 
GEE CAE a? 
EF. FI BE Te 
Ligeledes den med vor sædvanlige Form for Asymptoteligningen nærmere stemmende 


Sætning, at et Parallelogram, der begrænses af Asymptoterne og Paralleler med samme 
gjennem et bevægeligt Kurvepunkt, har konstant Areal, fremkommer [i 12] som en simpel 
Omskrivning af Sætning 10"), og de Midler, som saaledes ere forhaanden, give let, saavel 
at Linier parallele med en Asymptote kun have ét Skjæringspunkt [13], som Asymptoternes 
ubegrænsede Tilnærmelse til Kurven [14]. Ligesaa ringe Vanskelighed volder det at bevise, 
at en Hyperbels to Grene have de samme Asymptoter [15], og at finde, hvilke relte Linier 
der skjære begge Grenene. 

Konjugerede Hyperbler ere, som alt bemærket, allerede definerede i første 
Bogs sidste Sætning [54], nemlig som saadanne to fuldstændige Hyperbler, som have et 
Par baade i Beliggenhed og Størrelse bestemte konjugerede Diametre fælles, idet den enes 
første (9: skjærende) Diameter er den andens anden Diameter og omvendt. Denne Defini- 
tion, der knylter sig til et enkelt Par konjugerede Diametre, faar imidlertid først virkelig 
Værdi derved, at de to Hyperbler have samme Egenskaber med Hensyn til et hvilket som 
helst Par konjugerede Diametre. Dette vises i 2den Bog Sætning 20 ved Anvendelse af 
de i første Bog givne Tangentbestemmelser, for hvilke vi have gjort Rede i Slutningen af 
tredie Afsnit. 

I denne Sætning vises der nemlig først, at, naar (Fig. 23 paa næste Side) to 
konjugerede Hyperbler ere bestemte ved de konjugerede Halvdiametre OA (= La) og 
OB (= 4b), den Diameter OQ, som er parallel med en Tangent PM til den ene, vil 
træffe den anden i ct Punkt Q, hvis Tangent QN er parallel med Diameteren OP. Man 
har nemlig, idet RP og SQ ere de Ordinater til P og Q, som høre til hver sin af de 


givne Diametre, (ifølge Ligning II i tredie Afsnit) 


1) Beviset kunde ogsaa være bygget paa Sætning $. Asymploteligningen er for øvrigt i Virkeligheden 
kun et specielt Tilfælde af den i forrige Afsnit omtalte Arcalsætning. 


10° 


IP TR? b? OS.NS 
OR.MR @ some 
Idet nu PM parallel med QO 
É IPR OS 
giver MR = Qs’ 
faas ER = NR 
OR Qs 


som giver OP parallel med QN. 


Heraf folger, at ethvert Par konjugerede Diametre 
til den ene Hyperbel i Beliggenhed falder sammen med 


ee el Par konjugerede Diametre til den anden. 
Hvad dernest angaar Diametrenes Lengder, skal det bevises, at den til OQ =—$ 
konjugerede Halvdiameter = i Kurven BQ er — OP. Kaldes den til Diameteren d 
hørende Parameter p, er c? — p.d; men p bestemmes ifølge første Bog 50 (smlgn. vort 


D 
tredie Afsnit, Fig. 14) ved p = SEER QN. Man faar allsaa 
14 
p.d 


4.QD.QN.QO 
QE 


At denne Størrelse er lige stor med 4OP?, faas paa folgende Maade. Ifølge 
Iste Bog (vort 3die Afsnit, I b) er 


b6\2 
Ve = (>) = OT. PR, 
i CIS PRE 
DES DE. ØR. 


AOBE AOPM 


hvoraf folger ATOM A TOM’ 


eller at AOBE = A OPM. Da det nu tillige i første Bog (specielt Tilfælde af Areal- 
sætningen) er vist, at AONQ = AOBE, faas AONQ = AOPM, og da heri 
ZNQO = ZOPM, faas 

Qi, QO == IPO, (PAM. 
Indsættelse i Udtrykket for ce? og Betragtning af Figuren giver 

A, OID), IPO) AW 


ce? Gi A IEXOP , 


Sætningen er saaledes bevist. 

Herved og ved det i forste Bog givne Grundlag er Apollonios naaet saa vidt, at 
det ovrige af Læren om Diametre og Asymptoter til et Keglesnit, eller til to konjugerede 
Hyperbler, ikke kan volde nogen Vanskelighed. Der er derfor ikke Grund til at gaa videre 


[I 
1 


ind paa den nærmere Sammenhæng mellem de øvrige Beviser eller Løsninger af Opgaver, 
som udgjøre Resten af anden Bog, og som for en stor Del blot give en vidtløftigere Frem- 
stilling af det samme, som findes herom i moderne Lærebøger. Vi skulle blot fremdrage 
enkelte Træk, som have lidt større Interesse. 

| I Sætning 23 vises, at Produktet af de Stykker, som afskjæres mellem en Række 
parallele Liniers to Skjæringspunkter med en Hyperbel og deres ene Skjæringspunkt med 
den konjugerede Hyperbel, er konstant og dobbelt saa stort som det, man vilde faa ved at 
ombytte den forste Hyperbel med Asymptoterne [smlgn. 10 og 11], der ere fælles for 
begge Hyperbler [17]. I 29 vises, at Tangenterne i Endepunkterne af en Korde skjære 
hinanden paa dennes Diameter. 


Fra Sætning 44 af loser Apollonios Opgaver vedrorende fuldstændig tegnede Kegle- 
snit, hvilke benyttes, i det mindste tildels, ved selve Konstruktionerne. I Modsætning til, 
hvad han gjorde ved de vanskeligere Opgaver, han havde at lose i Slutningen af forste 
Bog, anser han det her ikke for overflødigt forud for den synthetiske Fremstilling af Loes- 
ningen at meddele den Analysis, som forer dertil, idet han begynder med at tænke sig 
Opgaven lost. Idet Beviset for Løsningen da bliver kort og væsentlig slutter sig til den 
forud givne Analysis, kommer det derved ligesom denne kun til at godtgjore, at Opgaven 
maa løses paa den og den Maade, hvis den overhovedet kan loses. Det er ogsaa paa 
nærværende Sted fuldkommen berettiget at nojes hermed, da de stillede Opgaver ere saa- 
danne, om hvilke det alt forud er vist, at de have Oplosninger. Naar Apollonios saaledes, 
efter [i 44 og 45] at have bestemt Diametre og Centrum, [i 47] bestemmer Axerne i en 
Ellipse eller Hyperbel ved en koncentrisk Cirkel, der gaar gjennem et Punkt af Kurven, saa 
beror hans Begrundelse af, at denne Cirkel vil have flere Skjeringspunkter med Kurven, 
paa at, som han i sin Analysis har forudsat bekjendt, Axerne existere, og dette har han, 
som vi tidligere have set, godtgjort som Led i Losningerne [53 og 54 i Iste Bog] af de 
Opgaver, at legge Keglesnit med en given Diameter og et givet tilhorende Kordesystem 
og Parameter ind paa en Omdrejningskegle, idet han nemlig da begyndte med at bestemme 
saadanne Kurvers ene Axe og tilhørende Parameter. Der vilde saaledes i Apollonios Ud- 
vikling være et Hul!), hvis man vil forkaste den Opfattelse af Tankegangen i første Bog, 
som vi have hevdet, og paastaa, at det forst er her i anden Bog, at han kommer til 
Keglesnittenes Axer. 

Derimod er der intet at indvende imod, at Apollonios først her i anden Bog [i 48] 
beviser, at en Ellipse eller Hyperbel ikke kan have mere end ét Par Axer, selv om et 


1) Dette har ogsaa Housel lagt Mærke til; men efter hans Opfattelse (Liouville, 2den Række, Ill, 
S. 163) fyldes dette Hul forst i Tde Bog, hvorved alle de foregaaende Boger komme til at hvile paa 
et losere Grundlag, end Apollonios ellers giver Grund til at antage. 


78 
saadant Bevis ogsaa godt kunde vere knyttet til Bestemmelsen af Axerne i ferste Bog. 
Hans Bevis stottes paa, at Hjelpecirklen ikke kan skjære Kurven i flere Punkter end det 
givne og de dermed symmetrisk beliggende i Forhold til det alt bestemte Axepar, hvilket 
han udleder af Kurvens og Cirklens — geometrisk fremstillede — Ligninger, henferte til 
dette Axepar. For Parablens Vedkommende knytter Apollonios et Bevis for, at den kun 
har én Axe, umiddelbart til dennes Bestemmelse [i 46]. I disse Beviser har man et Exempel 
paa Urigtigheden af den i forste Afsnit omtalte Beskyldning mod de greske Mathematikere, 
at de slet ikke skulde bryde sig om at faa alle en Opgaves Losninger med. 

At det dog ikke er alle Steder, at Apollonios finder Anledning lil at undersøge 
Antallet af Oplosninger, viser sig strax ved den paafelgende Bestemmelse [i 49—53] af en 
saadan Tangent til et fuldkommen givet Keglesnit, som gaar gjennem et givet Punkt, eller 
danner en given Vinkel med Axen eller med Diameleren til Reringspunktet. Grunden 
til denne Udeladelse kan imidlertid meget vel vere, at Bestemmelsen af dette Antal ved 
den Analysis, som fører til Opgavens Løsning, falder saa umiddelbart i Øjnene, at det 
ikke behøver at nævnes. Herpaa kunde en enkelt Undtagelse nok tyde, idet Apollonios 
nævner og tegner begge Tangenter til en Hyperbel, 9: Hyperbelgren, fra et Punkt, som 
ligger i samme Vinkel mellem Asymptoterne som Kurven. At der er to saadanne, er 
nemlig mindre iejnefaldende end, at der f. Ex. kan trækkes to Tangenter til en Ellipse eller 
Parabel fra et udvendigt Punkt, hvad han ikke nævner. 

Mulighedsbetingelsen angives det eneste Sted, hvor saadanne ikke have været 
umiddelbart iejnefaldende, nemlig for Bestemmelsen af en Tangent til enEllipse, der danner 
en given Vinkel med Diameteren til Roringspunktet. Han lader den ikke, som moderne 
Forfattere vel i Reglen vilde gjøre, knytte sig som en Diskussion til Løsningen af Opgaven, 
men angiver den — ligesom f. Ex. Euklid den tidligere omtalte Mulighedsbetingelse for 
Lesningen af kvadratiske Ligninger — i Sætning 52 forud for den i 53 fremsalte Lesning 
af Opgaven. Beviset for Mulighedsbetingelsen hænger imidlertid saaledes sammen med 
Løsningen, at denne Afvigelse fra moderne Fremstilling er uden al saglig Betydning: 

Da vi alt i det foregaaende have omtalt de Sætninger om Diametre og deres 
Korder, som benyttes ved Lesningerne af de her omtal'e Opgaver, er der ingen Grund til 
at dvæle ved andre af disse Løsninger end af den sidste noget vanskeligere Opgave, at 
konstruere en Tangent, der danner en given Vinkel med Diameteren til Reringspunktet, 
hvilken i det væsentlige loses uden Benyttelse af den tegnede Kurve. Herved benyttes den 
Methode al konstruere en Figur ligedannet med den segte. Af den givne Vinkel OPN 
(Fig. 24 a, hvor Linien ON er en Axe) og det ved Kurvens Ligning givne Forhold 

MP: 


OM.MN 
dannet med OPMN. I en vilkaarlig Cirkel afsættes Korden OA” saaledes, al Periferi- 


P faas nemlig paa følgende Maade (Fig. 24 b) en Figur O'P'M'N' lige- 


’ Vie / a Dr — ay! 
| he een ry ese | 
\ 0 M ] N \ | 
N / N | ) / 
SR À 
eee ee Se 
Q 
Fig. 24 a. Fig. 24 b. 


vinkler paa denne (i det ene Segment) have den givne Størrelse, som Z OPN skal have. 
Det gjælder da blot om vinkelret paa Korden O/ \’ at drage Korden P'Q" saaledes, at 


p PM” PM! 

a OMISMIN: NT OR 
Dette sidste Forhold faar da en given Verdi, og da M‘’s Afstand fra Midtpunktet af 
Korden P'Q' er bekjendt, bliver PM! det ogsaa, og F’ kan bestemmes ved en Parallel 


med OM. 


Sjette Afsnit. 
Apollonios’ tredie Bog, 1—40, 44 og 53—56. 


I sin almindelige Fortale foran første Bog") siger Apollonios om tredie Bog, at den 
indeholder mange merkelige Theoremer, som ere nyttige til «solide Steders Bestemmelse 
og Diorisme», og blandt saadanne solide Steder, det vil sige geometriske Steder, som ere 
Keglesnit, nævner han serlig «Stedet til 3 og 4 Linier», der, som han siger, hidtil ikke 
havde fundet nogen fuldstendig Behandling og heller ikke kunde behandles fuldstendig 
uden det, som gives i denne Bog. 

Idet der ved de omtalte Anvendelser, hvormed vi skulle beskjeftige os i de folgende 
Afsnit, peges ud over selve Bogens indhold, faar dette en forøget Betydning som en Hoved- 
kilde til Kundskab om Grækernes videregaaende Undersøgelser. Men ogsaa selve de Sæt- 
ninger, som vi finde udtrykkelig opstillede i Bogen, fortjene i højeste Grad vor Interesse 
ved den Grad af Almindelighed, hvortil de hæve sig, idet de for Størstedelen ikke mere, 


1) Se Tillæg 1. 


80 


som de i første og andet Afsnit, knytte sig til saadanne særlige Linier som Diametre og 
Asymploter, men derimod antage samme Natur som de, der i den analytiske Geometri 
knytte sig til Fremstillingen ved den almindelige Ligning af anden Grad, eller de, der ligge 
til Grund for Keglesnittenes plangeometriske Behandling i den moderne Projektivgeometri. 
Dette gjælder særlig om de Setningsgrupper i Bogen, som vi nøjere skulde gjøre Rede for 
i dette Afsnit, og hvortil de af Apollonios fremhævede Anvendelser maa have knyttet sig. 


De i vort fjerde Afsnit omhandlede Omdannelser og Udvidelser af Arealsætningen 
findes i 3die Bogs Sætninger 1—15. At der hertil behøves saa mange Sætninger, bliver 
forstaaeligt derved, at ej blot selve Hovedsætningen, men ogsaa Omdannelserne skulle udvides 
fra deres oprindelige Skikkelse til den, de antage, naar de forskjellige deri indgaaende 
Punkter ligge paa forskjellige Hyperbelgrene, eller naar de i dem benyttede Linieretninger 
ikke ere parallele med Tangenter lil selve Kurven, men kun med Tangenter til den konju- 
gerede Hyperbel. En virkelig formel Fuldstendighed opnaas for ovrigt kun for selve Areal- 
sælningens Vedkommende; men dens Omdannelser ere ogsaa, som vi have set, saa umid- 
delbare, at de kunne staa til Raadighed ogsaa i Tilfælde, hvor de ikke særlig efter- 
vises, ja Apollonios gjør endog selv i et senere Bevis [for 23] Brug af den første Gang i 
3 fremsatte Omdannelse i et Tilfelde, hvor han ikke udtrykkelig har eftervist den. Det 
eneste, som en moderne Læser mangler for selve Hovedsætningens Vedkommende, er en 
saadan sammenfattende Udtalelse, som vi i fjerde Afsnit have givet, af den enkelte 
almindelige Setning, hvis Bevis dog i hvert Fald maatte komme til at lyde noget for- 
skjelligt i de forskjellige Tilfælde. At Apollonios imidlertid trods Udstykningen har + havt 
Øje for Enheden, fremgaar dels af, at Sætninger og Beviser udtrykkes saa ensartet, som 
Omstændighederne tillade, dels af, at han for Hovedsætningens Vedkommende faar alle Til- 
fælde med. Det samme gjælder — paa en uvæsentlig Undtagelse nær — om de følgende, 
ligeledes udstykkede, almindelige Hovedsætninger, som dernæst udledes af Arealsætningen. 


Den første af disse er det saakaldte Newton'ske Theorem eller, som vi i andet 
Afsnit (S. 41) kaldte den, Potenssætningen. Vi saa, at allerede Archimedes kunde forud- 
sætte den bekjendt i det Omfang, som den kan anlage, naar man ikke betragter mere end én 
Hyperbelgren. Apollonios beviser den og udstrækker den til ogsaa at gjælde om to sammen- 
hørende Hyperbelgrene, samt behandler specielle Tilfælde. Den gaar ud paa, at, naar man 
(Fig. 25) gjennem vilkaarlige Punkter Z af Planen i opgivne Retninger drager 


Linier, hvorpaa et Keglesnit afskjærer Korderne EK og DT, Forholdet 


ZD.ZT > : 
ZE.ZE © konstant. Den udvikles i 16—23. 


Idet vi forst, som Apollonios i 17 og som vor Figur, der giver Oplysning om de 
brugte Betegnelser, forudsætte, at der kan trækkes Tangenter til Kurven i de opgivne Ret- 


rk 
/ SER 
Ge \ SSS 
i By IB ODEN 
\ ne 
N V4 
EN à > T 
NS A 
fe re 
Fig. 25. 


ninger, hvilket falder sammen med, al Korderne ikke skjære de to Hyperbelgrene, kan 
Beviset med vore Betegnelser skrives saaledes: 
KZ.ZE IE? — 17? AJIEM—-AIZL ZEML 


CALE = CA? KX ACN AMONG 
og ligesaa er BA ED SAD KOS 
S CB? A BCP 


. Nu er ifølge Arealsætningen !), anvendt paa Punkterne Æ og D, 

ZEML = COM GOZE = GXDL— GOZL) = ZOXD, 
og ifolge Arealsætningen, anvendt paa A og B, 

NACN (= AGBN— GBCA EN GCPA GB CA) — A BPC: 

Sætningen er saaledes bevist i dette Tilfælde, idet det i den omtalte Forhold bliver 
lige stort med Forholdet mellem Kvadraterne af de med Sekanterne parallele 
Tangenter, regnede mellem deres Skjæringspunkt og Roringspunkterne. Er hverken den 
ene eller den anden Sekantretning parallel med nogen Tangent, ses ganske paa samme 
Maade [i 23], at Forholdet er lige stort med det mellem Kvadraterne af Tangenterne 
til den konjugerede Hyperbel. Er endelig den ene Sekant parallel med en Tangent, 
den anden ikke, udtrykkes Forholdet som det mellem Kvadratet paa denne Tangent, 
regnet fra Roringspunktet til Skjeringspunktet med den Diameter, som 
halverer de paa den anden Sekantrække afskaarne Korder, og Kvadratet paa 
Halvdelen af den Korde i denne Række, som har dette Punkt til Midtpunkt. 
Beviset er hovedsagelig uforandret [21]. 


1) Apollonios anvender ikke umiddelbart denne, men forst den i 3die Bog 3 og dernæst den i 3die 
Bog 1 (se Note 2 S. 66) indeholdte Omdannelse. For imidlertid ikke at forudsætte, at Læserne have 
optaget disse Omdannelser i Hukommelsen, forer jeg (ved de indenfor Parentheser angivne Opera- 
tioner) Anvendelserne tilbage til Hovedsætningen. 


Videnskab. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. IIL. 4. = 11 


Forud for de almindelige Sætninger behandler Apollonios [16—20] nogle af de 
simplere Tilfælde, hvor den ene Sekant ombyttes med en Tangent. Derimod finder han 
det for Ellipsens Vedkommende overflødigt særlig at behandle det Tilfælde, hvor Sekanterne 
ere parallele med et Par konjugerede Diametre, i hvilket hans almindelige Bevis dog bliver 
ubrugeligt; men Sætningen er da en umiddelbar Folge af Ligningen for Kurven henfort til 
disse Diametre. Naar han dog behandler dette Tilfælde for Hyperblens Vedkommende [i 22], 
beror det formodentlig paa, at den mindre tilvante Behandling af de to Hyperbelgrene her 
gjorde storre Krav paa hans Opmerksomhed eller har skullet fremhæves som noget nyt. 


Til Anvendelserne af Potenssetningen paa det Tilfælde, hvor Korderne ere parallele 
med konjugerede Diametre, slutter sig endnu nogle Sætninger [24—29]!), der ikke i og 
for sig, hverken ved deres Indhold eller Beviser, have Krav paa saa stor Opmærksomhed 
som de andre Sætninger i 3die Bog. Det ligger da ner at opfatte dem som Hjælpesæt- 
ninger, der skulle benyttes ved de geometriske Stedbestemmelser, hvortil Bogen i det hele 
skal vere nyttig. I denne Formodning er jeg bleven bestyrket under det Forsøg paa at 
efterspore disse Stedbestemmelser, for hvilket jeg skal gjore Rede i neste Afsnit. Da jeg 
der faar Lejlighed til at anfore Sætningerne, skal jeg forbigaa dem her. 


Af langt større Betydning end disse sidste ere de Sætninger, som i 30—40 atter 
udledes af Arealsetningen, og som kunne sammenfattes i de to Hovedsætninger, der i den 
moderne Polartheori bestemme Punkter af Polaren til et udvendigt eller indvendigt Punkt. 
Den forste af disse to Bestemmelser indeholdes i den Sætning, at naar man fra et 
Punkt trekker en Sekant og to Tangenter til et Keglesnit, vil den paa Se- 
kanten afskaarne Korde deles harmonisk af Punktet og Skjæringspunktet 
med:Roringskorden. 


Det almindelige Bevis for denne Sætning, der allerede i forste Bog er bevist i det 
Tilfælde, hvor Sekanten er en Diameter, fores [i 37] paa folgende Maade. 

Der drages — som paa Fig.26, hvor det er uvesentligt, at CZ er en Axe — 
Diametre CZ og AZ til det givne Punkt C og til det ene Roringspunkt A, og, for at 


1) Maaske er det Tilføjelsen af disse Sætninger, som har bibragt Housel (Liouville, 2den Række 3, 
S. 168) den underlige Forestilling, at Apollonios kun beviser Newtons Theorem i det Tilfælde, hvor 
Koordinatretningerne ere konjugerte. Havde dette været Tilfældet, vilde Fremkomsten af det omtalte 
Theorem, som nu netop interesserer ved sin store Almindelighed, ikke have Krav paa synderlig 
Opmærksomhed. En senere Ytring viser, at Housel opfatter de Sætninger, hvori Apollonios opstiller 
og beviser de mere omfattende Former for Theoremet, som Hjælpesætninger til hans Bevis for den 
snævre Form, hvori han ser Resultatet af Undersogelsen. Hvor urigtig denne Opfattelse er, ses 
blandt andet af, at netop denne snævre Form som Grænsetilfælde unddrager sig det almindelige 
Bevis. At de gamle lagde Vægt paa den almindelige Sætning, ses ogsaa af, at den er benyttet af 
Archimedes i det fulde Omfang, som den kunde have, saa længe man kun betragtede én Hyperbelgren. 


Arealsetningen kan benyttes, drages der gjennem Ende- 

punkterne D og Z af den afskaarne Korde Linier i de 

med disse to Diametre konjugerede Retninger, og disse 

Linier forlenges til de skjære den af de to Diametre, 

lil hvilken deres Retninger ikke er konjugerede (Linierne 

DN og DP, samt ZK og ZR). Figuren viser da, at 
BEN CENT EN 
CD? ACXO IX J21D)0) CX DP 


Nu er ifølge Arealsætningen !), anvendt paa Punk- 
terne Z og A, 
CLZR (= CLKI—- ZKIR = CLKI— ATC) 
== IN LKA, 


og paa samme Maade faas 


CIID IP = ANZ; 


Altsaa bliver 
22 IX IGUAL ALE LZ? 


A XNA FAC D TER. 


Sle 
SS 


Sælningen er altsaa bevist. 


Den anden Hovedsætning kunne vi let knytte til samme Figur 26, hvor S er Midt- 
punktet af Korden À B, og CT'er parallel med AD. Da faas nemlig af den beviste Sætning, 
at ZS gaar gjennem det andet Endepunkt U af Korden DO, og at S og 7 dele Korden 
ZU harmonisk. Idet Z kan vere et vilkaarligt Punkt af Kurven, bliver Polaren CT til det 
indvendige Punkt S karakteriseret ved den samme harmoniske Egenskab som Polaren til 
det udvendige Punkt. Apollonios, der ikke bruger noget af Udtrykkene «harmonisk» eller 
«Polar», beviser denne anden almindelige Hovedsætning i 38, hvor man dog i Stedet for 
den her antydede Anvendelse af den foregaaende Sætning 37 finder en — ogsaa kun antydet — 
Gjentagelse af Beviset for denne. 

De øvrige Sætninger i samme Gruppe [30—40] hidrøre dels fra, at der som sæd- 
vanlig tages særligt Hensyn til saadanne Tilfælde, hvor Punkter ligge paa forskjellige Grene 
af samme Hyperbel, dels ogsaa fra særlig Behandling af saadanne Grænsetilfælde, hvor et 
af de fire harmoniske Punkter fjerner sig i det uendelige, og det dermed forbundne bliver 
Midtpunkt mellem de to sidste, eller hvor det givne Punkt ligger paa en Asymptote. Disse 
Grensetilfelde kunde efter græsk Fremstillingsmaade ikke formelt indbefattes i de almindelige 


1) Apollonios anvender ikke umiddelbart denne, men den i 3die Bog 2 indeholdte Omdannelse. Paa 
dette Sted ere Citaterne i Halleys Udgave mod Sædvane ikke ganske nojagtige 


11° 


er 


Sætninger. At Apollonios dog fuldkommen rigtig har opfattet deres Betydning som Grænse- 
tilfælde af disse, ses af den Maade, hvorpaa de anbringes i denne Sælningsgruppe. 

Til Polartheorien henhorer endnu Sætning 44, som gaar ud paa, at et udvendigt 
Punkts Polar med Hensyn til en Hyperbel er parallel med to af de Linier, som forbinde 
Skjeringspunkterne mellem Tangenterne fra Punktet og Asymptoterne. Denne Sætning er 
adskilt fra de andre Polarsætninger, fordi der ved dens Bevis benyttes den først i 43 beviste 
Sætning, at en bevægelig Tangent til en Hyperbel paa Asymptoterne afskjærer Stykker, som, 
regnede fra Centrum, danne et Rektangel af konstant Areal. 

Den sidstnævnte Sætning hører til en lille Sælningsgruppe 41—43, som ikke staar 
i nogen anden Forbindelse med Bogens tidligere Indhold end den her anferte, men som 
fortjener en særegen Opmærksomhed, da den giver, hvad vi med et moderne Navn kunne 
kalde de forskjellige Keglesnits Tangentfrembringelse. 

Da det ad anden Vej kan paavises, at de gamle virkelig have gjort en med dette 
Navn stemmende Anvendelse af disse Setninger, medens de ovrige Setninger i tredie Bog 
nærmest have at gjere med Keglesniltene som Punklfrembringelser eller Steder for Punkter, 
skulle vi opsætte den nærmere Omtale af denne lille Setningsgruppe til et senere Afsnit 
(15de), hvor vi kunne sette den i Forbindelse med dens Anvendelser. 

Ligeledes for den neste Setningsgruppe 45—52, som indeholder de simpleste 
Egenskaber ved Ellipsens og Hyperblens Brendpunkter, og som ikke staar i nogen 
anden Forbindelse med Bogens ovrige Indhold, end at den er bygget paa.den af alle dennes 
andre Sætninger uafhængige Sætning 42, ville vi gjøre Rede i et særligt Afsnit (16de) om 
Keglesnittenes Brendpunkter. 

Jeg har Indtrykket af, at disse to Setningsgrupper nermest kun have faaet Plads i 
tredie Bog, fordi der ikke var nogen anden mere passende Plads til dem, idet da den her 
omtalte Forbindelse mellem en enkelt af Sætningerne [43] og Bogens øvrige Indhold er 
benyttet som Anledning til ogsaa at medtage de andre. Tillige forekommer den Omstændig- 
hed, at der, som vi skulle se, i disse Grupper i faa Setninger gaas lige los paa de simpleste 
og derfor vigtigste Egenskaber, mig at tyde paa, at her ikke er Tale om at gjore noget 
nyt gjældende, men om at faa nogle bekjendte, men vigtige Resultater med. 

Derimod maa jeg forelobig opsætte et Forsog paa at forklare, hvorfor Setnings- 
gruppen 53—56 er opsat til Bogens Slutning. Efter sit Indhold slutter den sig nemlig 
ganske til Bogens første Setningsgrupper, Arealsetningen, Potenssætningen og Polarset- 
ningen, idet den behandler Keglesnittenes Frembringelse som geometriske Steder 
for Skjeringspunkterne mellem de til hinanden svarende Linier i to projek- 
tive Bundter. Dette Grundlag for den moderne projektive Geometris Bestemmelse af 
Keglesnittene som geometriske Steder for Punkter godtgjeres virkelig i al Almindelighed, 
dog saaledes at Bundternes Projektivitet er udtrykt paa en bestemt Maade, nemlig ved den 


bå 
' 
à 


dr 


85 


simple Relation , som finder Sted mellem de Punktrekker, som de bestemme paa Linier, 
der gjennem hvert af de faste Punkter i Bundterne ere trukne parallele med Tangenten i 
det andet; men denne bestemte Maade at udtrykke Projektiviteten paa kan riglignok have 
medfort, at Anvendeligheden blev langt ringere, end naar man nu ved at sige, at Bundterne 
ere projektive, i dette Ord medbringer alle de Egenskaber ved Projektiviteten, som den 
moderne Geometri forudsetter bekjendte. 


Lad (Fig. 27) A og C vere de faste Punkter, 


: Q , 

AB og CB Tangenterne i samme og CP og AQ NE: By 
Paralleler med disse; lad endvidere M vere et Vu PY 
bevægeligt Punkt af Keglesnittet, som ved AMP \ re | 
og CMQ forbindes med de faste Punkter. At de N ER Ya 
af disse Linier dannede Bundter, hvori Tangen- \ ee 

Se SE N EAN 
terne svare til Linien AC, saaledes at P falder i \ DA Z NY 

2 ER: 2 CIN /\ BEN 
C, naar Q fjerner sig i det uendelige, og Q falder No AE 

0 . . . \ 4 f Så 

i À, naar P fjerner sig i det uendelige, ere pro- NYC (@ 
jektive, kan da udtrykkes ved NZ 


CP.AQ = konstant. 


Denne Relation er det, som Apollonios | | À 

beviser i 54 for det Tilfælde, hvor Kurven er en \ Di 
Ellipse, en Parabel eller en enkelt Hyperbelgren, Sr! 
i 55 for det, hvor A og C falde paa hver sin af 
to sammenhørende Hyperbelgrene, medens M be- 
væger sig paa en af dem, og i 56 for det Tilfælde, hvor À og C ligge paa den ene 
Hyperbelgren, medens M bevæger sig paa den anden. 


I Hovedsagen er Beviset folgende. Naar man gjennem M drager Korden MN 


parallel med AC, og denne skjærer Tangenterne i S og R, bliver RN — MS, fordi 
Skjæringspunktet med de parallele Korders Diameter er fælles Midtpunkt for SR og NM. 
; P ; LC? : a 
Det ifølge Potenssætningen konstante Forhold AN RU kan altsaa, idet man tillige 
benytter Figurens ligedannede Trekanter, omdannes saaledes: 
RC2 PACE BESTER, BC CP.40Q. 


RN.RM | MS.RM BAL WMS. RUGE BEG: 
Kaldes den konstante Verdi heraf x, faas 


BA 


GIR. AQ = BC: 


ell Gee 


og Sætningen er da bevist. 


Den konstante Verdi faar et mere symmetrisk Udtryk, naar man indfører den Verdi, 
som ifølge Potenssætningen tilhører z. Denne er, naar som paa Fig. 27 Korden AC’s 
Diameter BG skjærer Kurven i Æ, 

FC? LIGETI CE EG? BC? 
FO Rahs TEE PIE RACE 
, FG: 
BE? 
Dette Udtryk — eller rettere det deri indbefattede for 


hvorved faas: 


CP AQ = BEATRICE 


a. — finder Apollo- 
nios i 54 og 56. 

I 55 derimod, hvor Diameteren BG ikke skjerer Kurven, drager man en Parallel 
med Korden AC gjennem D, som i dette Tilfetde maa skjere Kurven, da AC skjærer 
begge Grene. Er A Parallelens Skjeringspunkt med en af Grenene, bliver Udtrykket for z, 
som vi have bemærket ved Potenssætningen 
Sans 

B FH? 
og man faar da 7 AB. BC 
2 GIP, NO) == ED 


Apollonios' Udvikling afviger foruden i Fremstillingsformen egentlig kun fra den 


x ? 


AC? 


her givne derved, at han strax indfører de her benyttede Udtryk for x. 

I den forud for de almindelige Sætninger gaaende Sætning 53 behandles særlig det 
simple Tilfelde, hvor Korden AC er en Diameter, Kurven en Ellipse eller Hyperbel. 
1 dette Tilfælde kan Beviset gjennemfores alene ved Hjælp af Ligningerne for Kurven 
uden Brug af Potenssætningen. 

Denne Sætning 53 er, ligesom 42, en af de faa, hvor der strax tages Hensyn lil 
den af to sammenhorende Hyperbelgrene sammensatte Kurve, et Hensyn, der for ovrigt her 
er saa simpelt, at det ikke behover at omtales i Beviset, hvor det bevægelige Punkt dog 
kun tilhører en Hyperbelgren ad Gangen. For moderne Læsere er det snarere paafaldende, 
at man ved Siden af sammenhørende Hyperbelgrene ogsaa siger, at den gjælder om en 
enkelt Hyperbel (9: Hyperbelgren); men det maa erindres, at man ogsaa for en saadans 
Vedkommende betegner det Punkt af en Diameter, som i Virkeligheden ligger paa den 
anden Hyperbelgren, som et Endepunkt, og hvad Tangenterne i Endepunkterne angaa, saa 
betegnes disse i denne Sætning og i 42 kun som dragne i Retning af de til Diameteren 
hørende Ordinater. Sztningerne begynde nemlig saaledes: Hvis man i en Hyperbel, en 
Ellipse, en Cirkel eller i modsatte Snit (9: sammenhorende Hyperbelgrene) fra Endepunk- 
terne af en Diameter drager Paralleler med dennes Ordinater .... 


Syvende Afsnit. 
«Stedet til tre eller fire Linier». 


Som vi have set, skal Apollonios’ tredie Bog indeholde Noglen til den antike Be- 
stemmelse") af «Stederne til tre eller fire Linier», og man maa ikke undlade at benytte 
det Middel, som denne Oplysning om de opstillede Sætningers Hensigt og Betydning giver, 
til at erhverve en fyldigere Forstaaelse af det Arbejde og de Betragtningsmaader, der_have 
givet den greske Keglesnitslere sin Udvikling, og af Betydningen af de Resullater, som 
den har naaet. 

«Stedet til fire Linier», hvoraf Stedet til tre Linier er et specielt Tilfælde, er?) 
det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande x, y, 2, u fra fire rette 
Linier tilfredsstille Ligningen 

DE 
yu 
(Af disse Linier ville vi kalde z= 0 og 2—0 modstaaende, ligeledes y—0, u=0). 


— konstant. 


Afstandene regnes ikke blot paa Perpendikulærer paa Linierne, men ogsaa mere 
almindelig paa Skraalinier trukne i givne Retninger, hvad der for øvrigt, naar man samtidig 
giver Konstanten en tilsvarende Ændring, ikke giver nogen anden Bestemmelse af Stedet. 

Vi skulle snart vise, hvilken Losning af denne Opgave det er rimeligt, at Apol- 
lonios kjendlte og — som han siger — fuldstendiggjorde ved de Forbedringer af Theorien, 
som han indførte i sin tredie Bog; men først skulle vi overfor en Miskjendelse af de 
gamles Behandling af denne Opgave, der ligesom en tidligere omtalt Miskjendelse har 
faaet sit stærkeste Udtryk hos Descartes, og vistnok har sin Del i Skylden for, at 
man ogsaa senere saa lidt har bekymret sig om at efterspore de gamles Midler til Sted- 
bestemmelser, gjore gjældende, at det i hvert Fald utvivisomt fremgaar af Ytringerne i 
Fortalen, at Apollonios besad en fuldstændig Losning. Da Apollonios, saa vidt mig be- 
kjendt, intelsteds viser nogen mathematisk Upaalidelighed, fortjener han fuld Tiltro, og 
med hans Ord stemme ogsaa Pappos’ — mod Apollonios uvenlige — Ytringer i Indled- 
ningen til 7de Bog*). Han siger nemlig i fuldeste Overensstemmelse med Apollonios’ egne 


1) I Fortalen nævnes egentlig Stedernes Synthese 9: den synthetiske Fremstilling af de 
geometriske Steders Beskalfenhed og nærmere Bestemmelse ved de opgivne Figurdele; men Forudset- 
ningen for denne Fremstilling er Kjendskabet til selve Bestemmelsen — og denne er det, der 
interesserer 0s. 

2) Se Pappus ed. Hultsch, S. 678; meddelt i vort Tilleg 2. 

3) Se Tillæg 2. Dette samme, som vi her gjore gjældende, fremhæves ogsaa af Heiberg (Litteratur- 
geschichtliche Studien über Euklid, S. SA—S5). 


Ytringer, at denne ikke selv kunde have lest Opgaverne fuldstændig alene ved de Sæt- 
ninger, som vare kjendte paa Euklids Tid. 

Descartes, der har forstaaet disse Ord, som om Apollonios overhovedet ikke 
havde tilendebragt Løsningen af den omtalte Opgave, bemærker videre"), at Pappos siger, 
at det geometriske Sted bliver en Keglesnitslinie. Men, fortsætter han, Pappos indlader sig 
ikke paa at bestemme eller beskrive dette Keglesnit. - Snurrigt nok kommer Descartes ved 
disse Ord, der øjensynlig ere bestemte til at vise de nye Methoders, den analytiske Geo- 
metris, Fortrin, netop til at tillægge den gamle Geometri et af de vigtigste af disse for 
derimod at fratage den saadanne, som den i hvert Fald maa have havt forud for hans egen 
Behandling af denne samme Ogave. En af de store Fordele ved en analytisk- geometrisk 
Bestemmelse af et geometrisk Sted er nemlig den Lethed, hvormed den viser, at dette er 
en ret Linie, et Keglesnit 0.s.v.; medens den nøjere Bestemmelse af den fundne Linie- er 
forbunden med mere Besvær. Ved Brugen af Methoder med en ringere Grad af Alminde- 
lighed vil Paavisningen af, at en Kurve er et Keglesnit, derimod gaa mere direkte ud paa 
at vise, at den falder sammen med et fuldkommen bestemt Keglesnit. Hvad nu angaar 
Descartes' egen videre Bestemmelse af det samme geometriske Sted, nøjes han med at 
finde et Par konjugerede Diametre og den Form, Ligningen antager ved Henførelse til disse. 
Derved er Kurven ganske vist bestemt, men kun fordi man da ogsaa véd, at Kurvens Lig- 
ning faar samme Form ved Henførelse til et Par retvinklede Axer, som da ogsaa kunne 
bestemmes. Til denne sidste Bestemmelse, der som bekjendt fra den elementære analytiske 
Geometri udgjør den vanskeligste Del af Bestemmelsen af et Keglesnit givet ved den 
almindelige Ligning af anden Grad, giver Descartes i sin Geometri ingen Anvisning, men 
henholder sig ganske simpelt til Apollonios. Hertil er han selvfølgelig fuldt berettiget ; 
men hans nedsæltende Ytringer om de gamles Geometri blive derved endnu ubilligere. 

At Descartes kan have overset Beviserne for, at Apollonios virkelig har løst den 
omtalte Opgave, forklares for øvrigt ved, at Apollonios ikke udtrykkelig meddeler sin 
Løsning, og denne Omstændighed kan ogsaa synes paafaldende. Jeg kan ikke . for- 
klare den anderledes end — som jeg alt en Gang har antydet — derved, at han ikke 
har betragtet geometrisk Stedbestemmelse, selv om Stedet bliver et Keglesnit, som hen- 
hørende i et systemalisk og synthetisk fremstillet Værk om Keglesnittenes Egenskaber. 
Beveggrunden hertil kan atter have været, at Læren om Stedbestemmelser var vidtløftig 
nok til at fylde et helt, selvstændigt Værk. For Rigtigheden af denne Forklaring taler 
den Omstændighed, at intet Theorem hos Apollonios direkte gaar ud paa, at et vist geo- 
metrisk Sted er et Keglesnit, om de end ofte ere Stedtheoremer, for saa vidt de vise, at 
omvendt alle Punkter af et Keglesnit have en vis Egenskab. Hermed stemmer endvidere 


1) Geometria, Schootens Udgave, S. 10. 


89 


de ældste bekjendte Titler paa Værker om Keglesnittene, nemlig Euklids fire Boger om 
«Keglesnittene» i Modsetning til Aristaios’ fem Bøger om «solide Steder». Det 
første af disse er ifølge Pappos’ Omtale (se Tillæg II) erstattet ved Apollonios’ fuldsten- 
digere Verk. Det andet har, ifolge sin Plads i Pappos’ velordnede Fortegnelse over Værker 


henhørende til den antike analytiske Geometri"), ligget et Trin højere — om det end er 
skrevet for de her nevnte Lærebygninger om Keglesnittene — og maa paa Grund af 


Titlens Overensstemmelse med den paa Apollonios plane Steder antages at have behandlet 
geometriske Steder, som blive Keglesnit. Dette kan ogsaa stemme med Pappos’ Ytringer 
om de anferte Boger. Naar nemlig Pappos, paa hvis Tid Aristaios’ Verk endnu existerede, 
siger”), at Euklid hverken vilde komme (den endnu levende) Aristaios i Forkjebet (nemlig i 
Henseende til mulige videre Opdagelser) eller legge en ny Grundvold for den samme Lære, 
saa ligger deri, at Euklid i sit Værk havde et andet Formaal end Aristaios; thi gik hans 
Værk ud paa det samme som dennes, maatte han jo netop tilsigte paa dette Omraade at 
bringe noget bedre ud end det, der alt forelaa. Pappos’ Mening maa da vere den, at 
Euklid, der som Apollonios behandlede den almindelige Keglesnitslere, paa det her paa- 
gjældende Punkt ikke forte denne videre*), end det var nødvendigt for at begrunde eller 
synthetisk fremstille Aristaios’ ufuldstændige Bestemmelse af «Stedet til tre eller fire Linier», 
og dennes Verk har saaledes ikke været en almindelig Keglesnitslere, men i Overensstem- 
melse med sit Navn kun behandlet de til denne Lære horende geometriske Stedbestem- 


melser 4). 


1) Hultschs Udgave S. 636. Viviani er i sit Forseg paa en Gjenfremstilling af Aristaios’ tabte Skrift 
gaaet ud fra den samme almindelige Opfattelse af dets Indhold, som her gjores gjeldende. 
Hultschs Udgave S. 676 (vort Tilleg 2). Min Opfattelse af Ordene stemmer med den, som Heiberg 
har gjort gjeldende i Litteraturgeschichtliche Studien über Euklid, S. 84—86, og hvoraf han vist 
nok med Rette slutter, at, som Apollonios siger, de ældre Losninger af Opgaverne om «Stederne til 
tre og fire Linier» ikke vare fuldstændige. 

Pappos’ Paastand om, at Euklid ikke vilde fore den videre, har selvfølgelig ingen Vægt. 

I Betragtning af, at baade Apollonios retter sin Daddel alene mod Euklid, og Pappos — som det 
synes efter den Læsemaade, som jeg nu efter Dr. Heibergs Raad har gjengivet i Tilleg 2 — ved 
«den, som først skrev derom», synes at tænke paa Euklid, kunde man maaske tvivle om min 
Berettigelse til at føre den delvise Bestemmelse af Stedet til fire Linier hen til Aristaios. Denne 
Tvivl vilde dog ikke faa Betydning med Hensyn til Hovedsagen, nemlig Begrænsningen af den ældre 
Bestemmelse og Maaden, hvorpaa Bestemmelsen udføres. Det af mig opstillede Forhold mellem 
Euklid og Aristajos kan dog vist nok fastholdes, naar man bemærker, at det, som der er Tale om 
hos Euklid, er Stedets Synthese eller den synthetiske Fremstilling af dets Bestemmelse. Aristaios 
har maaske da analytisk ført Stedbestemmelsen tilbage til en Sætning, som han betragtede som 
bekjendt fra den almindelige Keglesnitslære; efter den Anskuelse, som gjøres gjældende i det føl- 
gende, skulde det være til Potenssætningen. Var denne og de tilhørende Bestemmelser den Gang 
fuldstændige, saaledes som de ere hos Apollonios, vilde Aristaios’ Analyse ogsaa vere fuldstændig 
og Midlerne til Stedets synthetiske Bestemmelse foreligge. Derfor holder Apollonios sig til Euklid 
som den, hos hvem man savner det, som mangler i den fuldstændige Bestemmelse. At Euklid er 
lidt yngre end Aristaios, er for øvrigt Grund nok til, at Apollonios søger det Standpunkt, som han 
selv nærmest hæver sig op over, hos den førstnævnte. 


2 


CS 


= 


Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. III. 1. 12 


90 


Paafaldende vedbliver det dog ai være, at Apollonios heller ikke har medtaget den 
til Bestemmelsen af Stedet til fire Linier svarende omvendte theoretiske Sætning, at 
ethvert forelagt Keglesnit — endog i Forhold til enhver indskreven Firkant — har de Egen- 
skaber, som karakterisere Stedet til fire Linier. Grunden maa vel vere, at man, optaget 
af det større Besvær, som Stedbestemmelsen har foraarsget, kun har betragtet den theore- 
tiske Setning som et Appendix til denne. Af Tingenes Natur og alle foreliggende Oplys- 
ninger fremgaar det, at den efter al Rimelighed har været et Gjennemgangsled og i hvert 
Fald ikke har veret ubekjendt for dem, som paa en indgaaende Maade have beskjeftiget 
sig med Stedet til fire Linier. Idet den allsaa har været kjendt, delvis af Aristaios og 
Euklid og fuldstendig af Apollonios, er Navnet Pappos Theorem, som Chasles 
har givet den, ikke heldigt — saa meget mindre som ogsaa Pappos kun omtaler den 
omvendte Stedbestemmelse. Vi skulle i det følgende kalde den Sætningen om den 
indskrevne Firkant. 


Den Fordring, man nu efter alle foreligsende Oplysninger, særlig ifølge Apollonios 
af Pappos bekræftede Ord i Fortalen, maa stille til en Gjenfrembringelse af den antike 
Bestemmelse af Stedet til fire Linier, er, at den skal kunne vere delvis gjennemfert fer 
Apollonios Tid og blive fuidstendiggjort ved Apollonios Sætninger i tredie Bog. For at 
Apollonios’ Ytringer skulle have været forstaaelige for Mathematikerne paa hans Tid, maa 
det tilmed antages, at denne Anvendelse af hans tredie Bog er saa nerliggende, at hans 
Sætnioger umiddelbart kunne være benyttede af dem, der — maaske gjennem Aristaios — 
kjendte den tidligere Bestemmelse. 


Da i den moderne Geometri Sætningen om den indskrevne Firkant næsten blot er 
en Omskrivning af Keglesnittenes Frembringelse ved projektive Bundier, ligger det ner at 
søge Hjzlpemidlerne til Bestemmelsen af Stedet til fire Linier i den sidste Setningszruppe 
af tredie Bog [53—56]. Den Maade, hvorpaa Bundternes Projeklivitet her er bestemt, er 
imidlertid — som vi faa Lejlighed til udferligere at vise i neste Afsnit — ikke vel skikket 
til at tjene som Overgang til den almindelige Bestemmelse af Stedet til fire Linier. Men 
der er en anden Maade, hvorpaa det existerende Slegiskab mellem Indholdet af den anferle 
Sztningsgruppe og Stedet til fire Linier kan benyltes, nemlig ved et Forseg paa, om ikke 
en noget ændret Anvendelse af den samme Bevisferelse, som forefindes i Sætnings- 
gruppen, kan fere til Stedbestemmelsen. 


Betragte vi nu denne Bevisferelse, som vi have meddelt i Slutningen af forrige 
Afsnit, ses det strax, at den deri ved en simpel Anvendelse af Potenssætningen fundne og 
derpaa videre omdannede Relation (Fig. 27) 


RM.MS 


—— — = konstant, 
RC 


91 


er den specielle Form, som Sætningen om den indskrevne Firkant anlager, naar to mod- 
staaende Sider i denne gaa over til Tangenter, hvorved de andre falde sammen i Berorings- 
korden. Paa konstante Faktorer ner ere nemlig RM og MS Kurvepunktet M's Afstande 
fra Tangenterne BA og BC og RC Afstanden fra Beroringskorden AC, eller disse Længder 
ere selve Afstandene regnede i beslemte skraa Retninger. Det saaledes fundne specielle 
Tilfælde af Sætningen om den indskrevne Firkant har en særlig Interesse derved, at det 
geometriske Sted for et Punkt 47, som omvendt bestemmes ved den her fundne Relation, 
er det, som Apollonios særlig omtaler under Navnet Stedet til tre Linier. Sætnings- 
gruppen kommer derved ogsaa til at indeholde Oplysning om dette Steds Bestemmelse, og 
den er maaske netop tilføjet ved Bogens Slutning som et Exempel paa den i Fortalen om- 
talte Brug, der kan gjøres af Bogens Indhold til Fuldstændiggjørelse af saadanne geometriske 
Stedbestemmelser, som tidligere vare kjendte delvis. 

Vi skulle ikke særlig beskjæftige os med Stedet til tre Linier, som vi skulle nøjes 
med at betragte som et specielt Sted til fire Linier, men forsøge, om der ikke ogsaa skulde 
være givet os et Vink med Hensyn til dette sidstes Bestemmelse. Det viser sig da strax, 
at den gjorte Anvendelse af Potenssætningen kan udstrækkes videre og benyltes til et 
Bevis for Sætningen om indskrevne Firkanter i alle Tilfælde, hvor disse ere 
Paralleltrapezer. 

Naar AB (Fig. 28) er en fast Korde i et Keglesnit, og MN en Korde med given 


Retning, som skjærer À B i À, bliver ifølge Potenssætningen 


Ian hr 
BT Re de ar 
je 


Afsætter man nu paa den bevægelige Korde MS 


— RN, er ifolge Diametersætningerne det geometriske / / 
Sted for Punktet S en Korde CD, som skjærer Diameteren / 
til Korderne MN i samme Punkt som AB, og hvis Ende- 


punkter C og J) ere beliggende paa de med MN paral- 
lele Linier AC og BD. Det bevægelige Kurvepunkt J/’s 


5 


Afstande 2, y, 2, w fra Siderne i Trapezet ABDC ville 


altsaa tilfredsstille Betingelsen 


LZ 3 
— konstant. F 


yu 
Idet ABDC kan vere et vilkaarligt indskrevet Paralleltrapez, er Sætningen om 
den indskrevne Firkant nu godtgjort om et saadant. 
Skal man omvendt bestemme det geometriske Sted for et Punkt M, hvis Afstande 
æ, y, 2, u fra Siderne i et Trapez tilfredsstille denne Betingelse, kan man ved en passende 


127 


Ændring af den opgivne Konstant regne Afstandene i samme Retninger som paa Fig. 28, 


saa man faar . 
MR.MS MR.RN 


AR. BB AR. RE 
hvor À er en given Konstant. Man maa derpaa søge at bestemme et Keglesnit i Overens- 
stemmelse med den beviste Sætning, og vel at mærke foretage Bestemmelsen saaledes, at 
man derefter synthetisk kan gjennemføre Beviset for, at det fundne Keglesnits Punkter 
virkelig for den opgivne Værdi af 4 tilfredsstille den opgivne Betingelse; thi paa Forhaand 
vides det ikke, at det geometriske Sted altid bliver et Keglesnit. 

Førend vi nu nærmere gjennemføre dette, ville vi dog søge at sikre os, at vi 


À 


virkelig ere paa rigtigt Spor efter den antike Bestemmelse af Stedet til fire Linier!). 

Forst have vi ved at tage Beviserne for Sætningerne 54—56 i Apollonios’ tredie 
Bog til Udgangspunkt, sikret os, at den Brug, vi have gjort af Potenssætningen og 
videre skulle gjore af de dertil knyttede Bestemmelser af Verdien af det konstante Forhold, 


er en saadan, hvormed Apollonios var fortrolig. 


1) Efterat jeg, idet jeg saa udelukkende som muligt holdt mig til de gamles egne Skrifter, havde gjen- 
nemfort den her og i det følgende Afsnit fremstillede Restitution af de gamles Bestemmelse af 
Stedet til fire Linier, har jeg provet denne ved en Sammenstilling med den Bestemmelse af dette 
Sted, som findes i Begyndelsen af Sectio V af Newtons Principia; thi vel tilsigter Newton ikke 
en saadan Restitution, men idet han med sit dybe Kjendskab og sin vel bekjendte Kjærlighed til de : 
gamles Skrifter udtrykkelig soger Grundlaget for sin Bestemmelse hos Apollonios, er der nogen 
Rimelighed for, at han i meget maa vere slaaet ind paa de samme Veje, som Apollonios har 
villet bane. 

i Det har da vist sig, at Newton har ført de selvsamme Beviser for Sætningen om den ind- 
skrevne Firkant, baade naar denne er et Trapez, og naar den har en vilkaarlig Form, som vi her 
og i det følgende Afsnit tillægge de gamle. Derimod gaar Newton noget anderledes til Værks i 
Beviset for, at Stedet til fire Linier altid er et Keglesnit, og i den dertil knyttede Bestémmelse af 
Keglesnittet, Det første faar han ved at støtte sig paa, at et Keglesnit er fuldkommen bestemt ved 
5 Punkter, hvorefter der foreligger rigelige Midler til den nøjere Bestemmelse af Stedet. Da Apol- 
lonios i fjerde Bog selv beviser, at to Keglesnit højst skjære hinanden i 4 Punkter, benytter 
Newton herved virkelig ingen Sætning, som var ubekjendt for Apollonios. Da det imidlertid særlig 
er tredie Bog, der skal benyttes til Bestemmelse af det omtalte geometriske Sted, og man ikke 
behøver denne Bogs nøjere Undersøgelser, naar man først gaar ud fra, at Kurven er fuldkommen 
bestemt ved 5 Punkter, tror jeg ikke, at Newtons Bestemmelse falder sammen me d de gamles. De 
er en omvendt Fremgangsmaade, som vi i det følgende tillægge de gamle, og som i stort Omfang 
støtter sig paa Apollonios' tredie Bog. Vi antage, at de gamle have knyttet Beviset for, at Stedet 
bliver et Keglesnit til den virkelige Bestemmelse af dette Keglesnit. Dennes Gjennemførelse viser 
nu vel, at et saadant Keglesnit er bestemt ved fem Punkter, men kun ved at vise, hvorledes 
det er bestemt. 

Lignende Grunde i Forbindelse med flere, for hvilke vi senere skulle gjøre Rede, hindre 
os i at bygge vor Restitution af de gamles Bestemmelse af Stedet til fire Linier paa en Konstruktion 
af en Ellipse gjennem fem Punkter, som findes hos Pappos. Ogsaa med denne Konstruktion 
stemmer den dog dels deri, at den beror paa Anvendelse af Potenssætningen, dels deri, at det Til- 
fælde, hvor to af Linierne — hos Pappos to af Forbindelseslinierne mellem de fem Punkter — ere 
parallele, først behandles særskilt, hvorefter den almindelige Opgave føres tilbage dertil. 


Derimod kunde det synes betænkeligt, at man ad den betraadte Vej kun faar 
bestemt Stedet til fire Linier, naar disse danne et Trapez. Heri haves en Opfordring til 
at forsoge, om man ikke kunde naa videre ved andre Anvendelser af Sætninger i Apol- 
lonios’ tredie Bog. Dette lader sig imidlertid næppe gjennemfore i det mindste ikke paa en 
tilstrækkelig simpel Maade. Derimod er det — som vi skulle se i det folgende Afsnit — 
ikke vanskeligt at omdanne den Bestemmelse, hvorved en Kurve er defineret 
som Sted til fire vilkaarlige Linier, tilen saadan, hvorved den paa samme 
Maade henfores til Siderne i et Trapez. Idet denne Omdannelse udfores ved Midler, 
som vare fuldstændig bekjendte for Apollonios’ Tid, har der i denne Henseende intet været 
for Apollonios at fuldstændiggjore. Men idet Forudsætningen for, at denne Omdannelse 
skal gjore fuld Nytte, er, at man fuldstendig kan behandle Opgaven, naar Linierne danne 
et Trapez, opnaa vi fuld Overensstemmelse med Ytringerne i Apollonios’ Fortale, naar det 
blot kan paavises, at Bestemmelsen af Stedet til fire Linier, som danne et 
Trapez, delvis kunde gjennemfores ved Hjælp af, hvad der var kjendt for 
Apollonios’ Tid, men forst fuldstendig ved det, som findes i Apollonios’ 
tredie Bog. 

Hvad det var, man savnede for Apollonios’ Tid, bliver tydeligt ved Forbindelsen 
mellem Stedet til fire Linier og den omvendte Sætning om den indskrevne Firkant. I Over- 
ensstemmelse med denne Sætning skulde det sogte Sted være et Keglesnit omskrevet om 
den af de fire Linier dannede Firkant — det være sig nu, at denne er et Trapez eller 
ej —. Dette er ogsaa efter den moderne Opfattelse altid Tilfeldet. Idet Grækerne derimod 
betragtede en enkelt Hyperbelgren som et fuldstændigt Keglesnit, hvad den endnu er ogsaa 
efter Apollonios’ Definitioner og Udtryksmaade, har i det Tilfelde, hvor det geometriske 
Sted efter vor Opfattelse vilde vere en fuldstendig Hyperbel, den ene eller den anden af 


dennes Grene udgjort en saadan selvstendig Del deraf, som de kunne have nojedes med 


at betragte. Hvilken af Grenene det da skulde vere, har været afhængig af en nøjere 
Bestemmelse, som allerede var nodvendig, naar Stedet ikke skulde være sammensat af de 
to fuldstændige Keglesnit, hvilke man nu vilde faa som svarende til Verdierne — 4 af Kon- 
stanten. Denne nojere Bestemmelse kan muligvis have bestaaet i, at den konstante Verdi 
af Forholdet bestemtes ved et Punkt af det sogte Sted, gjennem hvilket da ogsaa det Kegle- 
snit eller blot den Hyperbelgren, som man netop vilde opfatte som Stedet til fire Linier, 
skulde gaa. 

For nu at bevise, at en saadan Hyperbelgren, som ikke gaar gjennem alle Vinkel- 
spidser i Firkanten, kan vere Sted til de fire Linier, og altsaa ogsaa for at bestemme 
det Sted, som svarer til en Værdi af À, der fører til en saadan Hyperbel, er det nødvendigt, 
at man kjender Hyperbelgrenens Forbindelse med den anden Gren af samme 
fuldstendige Kurve, og navnlig, at man kjender de dertil svarende Udvidelser af alle 


94 
de Sætninger og Bestemmelser, som benyttes i Beviset for Sætningen om den indskrevne 
Firkant og ved den omvendte Bestemmelse af saadanne Steder. 

Af Fortalen til Apollonios’ fjerde Bog!) ses det nu vel, at andre for ham have 
betragtet sammenhørende Hyperbelgrene og havt Øje for deres Betydning i Undersøgelser, 
der, som vi skulle vise i niende Afsnit, i det mindste staa Bestemmelsen af Stedet til fire 
Linier nær; men den fuldstændige Gjennemførelse af de herhen hørende Undersøgelser og 
Beviser er sikkert Apollonios’ Værk. De Grunde, som bringe os til at gjøre dette gjældende, 
skulle vi samle her, hvor vi gjøre udtrykkelig Brug deraf. 

At Apollonios om sammenhørende Hyperbelgrene bringer noget nyt og fuldstæn- 
digere end det, der hidtil var bekjendt, siges udtrykkelig i den første Fortale ?). Ordene 
heri om den fyldigere og almindeligere Bearbejdelse i første Bog sigte vel tillige til et 
enkelt Keglesnits Egenskaber; men i det mindste for de plangeometriske Egenskabers Ved- 
kommende bringer en Sammenligning med, hvad der findes hos Archimedes til fortrinsvis 
at søge Almindeliggjørelsen paa de sammenhørende Hyperbelgrenes Omraade, samt maaske 
i den allerede i den Bog medtagne første Udvidelse af Arealsætningen, som, sammen med 
de yderligere Udvidelser i tredie Bog, netop benyttes til at udstrække Potenssætningen og 
Polarsætningen til den af to Hyperbelgrene sammensatte Kurve. Til disse forskjellige Ud- 
videlser, der optræde som særlige Sætninger, sigte vistnok Fortalens Ord om de nye og 
mærkelige Theoremer, som findes i tredie Bog. 

Paa at Studiet af sammenhørende Hyperbelgrene var noget nyt hos Apollonios, 
tyder ogsaa den Omstændighed, at han trods den Fuldstændighed, hvormed Overensstem- 
melsen mellem den deraf sammensatte Kurve og et enkelt Keglesnit eftervises, altid vedbliver 
at omtale dem som to indbyrdes uafhængige Kurver. Han vedbliver hermed trods den 
Vidtløftighed, som derved bliver nødvendig for at faa disse Udvidelser, der altid følge efter 
Sætningerne om de enkelte Keglesnit, med, og som vilde undgaas, hvis man fra først af 
havde sammendraget Sælningerne om de to Hyperbelgrene med dem om et enkelt Kegle- 
snit, og derpaa i den videre Udvikling havde bygget paa de saaledes almindeliggjorte Sæt- 
ninger. Denne Vidtløftighed staar i en stærk Modsætning til den Behændighed, hvormed 
han formaar at sammenfatte Sætninger og Beviser om en Ellipse, en Parabel og en enkelt 
Hyperbelgren. Dette sidste kunde ban gjøre, fordi Fellesbegrebet Keglesnit og dertil 
knyttede Undersøgelser og Bearbejdelser vare ham overleverede. Var der derimod, som vi 
antage, noget nyt at gjøre gjældende angaaende Egenskaber ved de forbundne to Hyperbel- 
grene, er det let at forstaa, at dette fandt sin naturlige Plads i tilføjede Udvidelser af de 
forud bekjendte Sætninger om enkelte Keglesnit. 


1) Se Tillæg 1. 
2) Se Tilleg 1. 


95 


Den her forfægtede Anskuelse, der, som vi skulle se, yderligere bekræftes ved de 
Oplysninger, som gives i den nys citerede Fortale til fjerde Bog, giver nu en Forklaring 
af, hvorfor Apollonios kunde behandle Stedet til fire Linier fuldstændigere end hans For- 
gængere. Denne Forklaring er saa simpel og stemmer saa godt med alle andre bekjendte 
Omstændigheder, at man endog omvendt derfra faar et nyt og vigtigt Argument for, at 
Udvidelserne af Sætningerne om Keglesnit til den af to sammenhørende Hyperbelgrene 
sammensatte Kurve virkelig tilhore Apollonios. 

Det fremsatte Bevis for Setningen om det i et Keglesnit indskrevne Trapez havde 
ogsaa for Apollonios fuld Gyldighed, naar Ordet Keglesnit tages i antik Forstand som en 
Ellipse, Parabel eller enkelt Hyperbelgren. Det var nemlig bygget paa Potenssetningen, 
der, som vi have set, var fuldkommen bekjendt paa Archimedes’ Tid, for saa vidt den ikke 
skulde anvendes paa to Hyperbelgrene. Den samme Udstrekning af Potenssetningen giver 
ogsaa tilstrækkelige Midler til omvendt at bestemme Stedet til fire Linier, hvoraf et Par 
modstaaende ere parallele, i alle de Tilfælde, hvor dette Sted virkelig faar den her fordrede 
Beskaffenhed. Apollonios’ Forgengere kunne f. Ex. godt have fort Bestemmelsen af Ende- 
punkterne af den Diameter ÆF, der (Fig. 28) halverer Korderne AC og BD, tilbage til Kon- 
struktion af saadanne Punkter af denne Linie, at Kvadratet paa Afstanden fra et bekjendt 
Punkt af samme Linie staar i et givet Forhold til Rektanglet af Afstandene fra to andre, 
hvorefter Keglesniltet er let nærmere at bestemme. I Stedet herfor kunne de ogsaa have 
benyttet efterfølgende Fremgangsmaade, som vi foretrække at tillægge dem saa vel som Apol- 
lonios, fordi den ved de Udvidelser af Potenssetningen til to sammenhørende Hyperbelgrene, 
som findes i Apollonios’ tredie Bog, gjøres anvendelig til i alle Tilfælde at bestemme Stedet 
til fire Linier. Før Apollonios har da kun Behandlingen af det første af de efterstaaende 
Hovedtilfælde været gjennemført. 

Naar de forskjellige Udtryk i Apollonios' tredie Bog for det konstante Forhold i 
Potenssætningen skulle anvendes til Konstruktion af det (fuldstændige) Keglesnit, omskrevet om 
et givet Trapez, som for en given Værdi af Forholdet 2 er Sted til Trapezets fire Linier, kan 
dette bedst ske paa en Maade, som omfatter alle Tilfælde, naar man foreløbig søger at faa 
bestemt et Keglesnit ligedannet med det søgte. Herved tænke vi dog ikke paa Ligedannet- 
heden af selve Kurverne, som først har faaet en fuldstændig Behandling i Apollonios’ sjette 
Bog, men vi skulle blot bruge dette Udtryk for Overbliks Skyld, for at betegne, at vi søge 
Formen af visse til Keglesnittene hørende retliniede Figurer. At en saadan 
Bestemmelse af en Figur ved først at bestemme dens Form virkelig er en antik Methode, 
have vi dels set et Exempel paa i Slutningen af Apollonios anden Bog (se S. 78), dels 
fremgaar det af, at Euklid i Data udtrykkelig opstiller Sætninger, som gaa ud paa, at en 
Figur, som er underkastet visse givne Betingelser, er given i Form. 


96 


I den foreliggende Opgave kjender man nu til Bestemmelse af det Keglesnit, som 

skal vere ligedannet med det om Trapezet ABCD omskrevne (Fig. 28), Værdien A af 
MR.RN 

Forholdet WARIS 
ningen af den Diameter £F, som halverer Korderne i den ene af de givne Retninger. 


1) mellem Produkter af Liniestykker i to givne Retninger, samt Ret- 


Dette benyttes i Overensstemmelse med Apollonios’ forskjellige Bestemmelser af Konstanten 
i Potenssetningen paa forskjellig Maade i de folgende forskjellige Hovedtilfælde: 


1) Keglesnittet har (hvad der altid maa vere Tilfeldet, naar et enkelt Kegle- 
snit i antik Forstand virkelig skal omskrives om ABDC) Tangenter i begge de to 
givne Retninger. Man kjender da Forholdet 


ELEN VI 

CE 
mellem disse Tangenter. Naar man da paa den ligedannede Hjelpefigur — hvis tilsvarende 
Punkter vi ville betegne ved Tilføjelse af Mærker — vælger E’ H' vilkaarlig, kjender man: 


Beliggenheden af en Diameter, dens ene Endepunkt Æ7, den tilhørende Korderetning samt 
et Punkt G‘ med tilhorende Tangent. Det Punkt, som er harmonisk forbundet med E" 
med Hensyn til Diameterens Skjæringspunkter med Ordinaten til og Tangenten i G' vil 
ifølge første Bog være Diameterens andet Endepunkt 7”, og Keglesnittet er saaledes bestemt. 


2) Keglesnittet (hvilket Ord vi for Nemheds Skyld ville tage i den moderne 
Forstand som indbefattende den af to Hyperbler sammensalte Kurve) har ikke Tangenter 
i nogen af de to givne Retninger. I dette Tilfælde kjender man Forholdel mellem 
Tangenterne i de givne Relninger til det søgte iigedannede Keglesnits konjugerede Hyperbel, 
og kan da bestemme denne paa den her viste Maade. 


3) Keglesnittet har Tangenter parallele med Trapezets parallele 
Sider AC og BD (Fig. 29), men ikke med den anden givne Retning (4B's). 
I dette Tilfælde har Apollonios bestemt det konstante Forhold 2 som det mellem Kvadraterne 
paa Tangenten EJ og paa Halvdelen ZX af den med 48 parallele Korde LK, som i I 
halveres af Tangenten ÆZ. Man kjender altsaa 

EI ET IF 

Vælges E'T' vilkaarligt, haves altsaa til Bestemmelse af det ligedannede Keglesnit 

en Diameter med Korderetning, samt det ene Endepunkt £’ og endnu to Kurvepunkter A‘ 


1) Idet vi kun ter haabe at give det væsentlige af de gamles Behandling, kunne vi ikke tage Hensyn 
til den Mulighed, at de have besverliggjort Operationerne ved at opstille denne Betingelse i en 
saadan Form, at derved toges et ensartet Hensyn til Korderne AB og CD, ligesom Apollonios i 
IN, 54—56 til de to Tangenter BA og BC (Fig. 27). 


VA 


Fig. 29. 


og Z'. Kaldes disse Punkters Ordinater, henforte til Diameteren, y, og y,, Abscisserne 
fra E' x, og z,, og Abscisserne fra Diameterens andet Endepunkt Æ x‘, og æ',, haves 


2 2 
ined Un 


LL, Lo Lo 


_ bestemmes. Punktet F" bliver saaledes bestemt ved Forholdet mellem dets 


Afstande fra to givne Punkter af den rette Linie, hvorpaa det skal ligge. 


hvoraf 


4) Keglesnittetharingen Tangenter parallele med Trapezets paral- 
lele Sider, men derimod med den anden givne Retning. Konstruktionen kunde 
her føres tilbage til samme Bestemmelse af den konjugerede Hyperbel, som i det foregaaende 
Tilfælde anvendtes paa den søgte; men hertil 
giver Apollonios tredie Bog ingen Anvisning. N 
Man er derfor henvist til en ny umiddelbar An- Fr 
vendelse af den samme Bestemmelse af det kon- 
stante Forhold. Antager man da (Fig. 30), at den 
med AD parallele Tangent PO i O skjærer 
den bekjendte Diameter til AC og BD, og er 
OQ den til denne Diameter hørende Ordinat 
i O, er 


Vælges en af disse sidste Længder 
vilkaarlig, haves Diameteren 0/7", Kurvepunk- 
terne P’ og Q' (hvis Ordinater treffe Diame- Fig. 30. 
teren i 0° og TZ") og Tangenten "OP" i det 


Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd. III, 1. 13 


98 


første. Idet tillige denne Tangent træffer Diameterens Skjæringspunkt O‘ med Ordinaten 
til Q‘, bliver, naar U er Centret og a’ «Længden» af Diameteren O’ 7’, medens 0’ er 
Længden af den konjugerede Diameter, OU. UT’ = a‘? (vist i første Bog). Heraf følger 
atter, at 77Q' er Tangent i Q'. Ifølge Sætningerne i anden Bog vil dernæst Forbindelses- 
linien mellem de to Tangenters Skjæringspunkt V‘ og Midtpunktet X’ af Korden P'Q' vere 
en Diameter og bestemme Centrum U‘. Det ligedannede Keglesnit vil derpaa vere let at 
bestemme. Navnlig faas Forholdet mellem de konjugerede Diametre af 


O! Q? b'2 b? 
Of Ut É OT: a‘? a? 


hvilket er en af Tangentsætningerne i første Bog (II[b i vort tredie Afsnit). 


Vi have saaledes i. alle 4 Tilfælde set, hvorledes man kan bestemme en Figur lige- 
dannet med den søgte. Overgangen til denne sidste kan da tænkes foretagen paa mange 
Maader, f. Ex. derved at den ligedannede Figur strax giver Retningen af Diameteren til den 
givne Korde AB, hvorved Centrum U bliver bestemt. Forholdet mellem UA og den der- 
med parallele Halvdiameter UA‘ i den ligedannede Figur vilde dernæst give Midler til 
Overgangen. 


Den hertil hørende Bestemmelse af Længden af Halvdiameteren UA‘, som Grækerne 
utvivlsomt kunde udføre”), kræver imidlertid et vist Arbejde, og det kunde ventes, at 
Apollonios, hvis han var gaaet denne Vej, ogsaa i tredie Bog havde opfort dertil tjenende 
Hjælpesætninger. Det har han ikke, men som alt bemerket indeholder den nævnte Bog 
[i 2429] nogle andre Sætninger, som ikke i og for sig ere saa interessante, at det er 
rimeligt, at de ere udviklede for deres egen Skyld, og som saaledes kunne antages netop 
at vere udviklede som Hjælpemidler til den endnu manglende Bestemmelse. At de virkelig 
indeholde et endog i hej Grad naturligt Hjælpemiddel hertil, vil bedst vise sig, naar vi 
antage, at de ligedannede Figurer blot ere benyttede til at finde Forholdet 
mellem Lengderne af den med de parallele Korder parallele Diameter b 
og deres konjugerede Diameter a, og naar vi dernest ved analytisk Geometri soge 
den endnu manglende Bestemmelse. Ad denne Vej føres man nemlig direkte til at anvende 
Apollonios’ Sætning 27 om Ellipsen, og Sammenhængen med de øvrige Sætninger om 
Hyperblen bliver — som bagefter skal vises — forstaaelig. 


1) Smlgn. det S. 74 anførte Bevis for Sætning I i 2den Bog. 


99 

Den Opgave, som skal loses, er altsaa folgende: Gjennem 

to Punkter A og B at lægge et Keglesnit, som har en Diameter 

beliggende paa en given ret Linie, naar tillige den til denne Dia- 

meter horende Korderetning, samt Forholdet mellem dens Længde 
a og Længden af den konjugerede Diameter b ere givne. 

Idet vi henfore Keglesnittet, som vi forelobig ville lade vere 

en Ellipse, til disse to Diametre, og betegne Koordinaterne til À 


og B ved &,, y, 08 Go, Ya, haves 


2 (1) 


hvor Yı, Ys, p 08 Te —æ ere givne, medens Centrets Beliggenhed og de absolute Ver- 
dier af a og b søges. 
Subtraktion af Ligningerne giver 


(2, — 77) (te + Ly) f 


(Ya — Yo) (Ys tye) 0? 


a? 


(2) 


Drager man parallel med Diameteren Linien BO, som skjærer Ordinaten til A i O 
og Ellipsen anden Gang i Y, kan den fundne Ligning skrives 


DBO’ 0 (3) 
OA O0 ~~ ; 
som blot er Potenssætningen anvendt paa Paralleler med konjugerede Diametre. Denne 
Ligning giver Punktet Y, hvorefter man — om man vil -— let kan finde Centret, altsaa 2, 
og x, og derved de absolute Verdier af a og 6. Man kan imidlertid benytte de givne Lig- 


ninger paa en Maade, som mere direkte forer til denne sidste Bestemmelse. Multiplicerede 


med (2) og adderede give de 
tet 5 (i 
eller 
(Cy = 23)” + (Go À 24)" 4 (lv Yo)” + (gr + AV) = @*, (5) 
det er paa Figuren 
OB? + OY? + 0A + DC} tas (6) 


100 


Derved er den ene Diameter a bestemt, og den anden bestemmes paa samme Maade. 
Den sidste Ligning udtrykker netop Sætning 27 i 3die Bog, hvis Bestemmelse altsaa bliver 
fuldt forstaaelig. At den netop forekommer, hvor vi have Brug for den, bekrefter dernest 
Rigtigheden af den Forklaring, vi i det hele give af 3die Bogs Anvendelse til Bestemmelse 
af Stedet til fire Linier og lignende Bestemmelser. i 

Udledelsen af Sætning 27 ved Sætningerne i Euklids 2den Bog staar den analytisk 
geometriske Udledelse for nær til at behøve nærmere Omtale. Apollonios’ Bevis er en 
synthetisk Omskrivning af denne Udledelse. 

Ganske den samme Fremgangsmaade, som her anvendtes paa Ellipsen, kunde 
ogsaa anvendes paa Hyperblen. At dette ikke har været Apollonios' Tanke, fremgaar 
deraf, at han ikke anfører den tilsvarende Sætning til 27 for Hyperblens Vedkommende. 
Denne Omstændighed lader sig dog fuldstændig forklare, hvis Apollonios har kjendt 
en anden bekvemmere eller ligesaa bekvem Konstruktion af Diametrenes Længder for 
Hyperblens Vedkommende. Da en saadan tor ventes at støtte sig paa det, som 
Hyperblen har forud for Ellipsen, nemlig Asympioterne, behøver man ikke at lede længe 
om den. Kurvens Centrum kan først være bestemt, idet man som antaget for Ellipsens 
Vedkommende har konstrueret det andet Skjæringspunkt Y for en Parallel gjennem B med 
Diameteren — naar vi bruge samme Benævnelser, som paa Fig. 31 — eller idet man som 
tidligere antydet allerede benytter den ligedannede Figur herlil. Asymptoterne ere dernæst 


bestemte ved Forholdet - mellem Diametrene. Skjere disse Korden AC i Punkterne S og 


T, vil dernæst ifølge nogle af de første og vigtigste Asymptotesetninger, som ere udviklede 
i anden Bog, den med AC parallele Halvdiameter 5 være bestemt som Mellemproportional 
mellem AS og AT, eller — hvad der sparer Bestemmelsen af den ene Asymptote — 
mellem AS og SC. 

Naar den søgte Kurve bliver en Parabel, maa dette allerede vise sig ved Bestem- 
melsen af den ligedannede Figur — som i dette Tilfælde kan foretages paa den første af 
de fire Maader —, derved at paa denne Figur Diameterens ene Skjeringspunkt #* bliver 
Midtpunkt af det mellem en Tangent og tilhørende Ordinat afskaarne Stykke. Bestemmelsen 
af selve den søgte Kurve fremgaar i dette Tilfælde saa let af Parablens Ligning, at der 
ikke for Apollonios har været Grund til nogen herhenherende Hjelpesetoing, saa meget 
mindre som Bestemmelsen i dette Tilfelde — efter vor Antagelse — har veret bekjendt 
fer hans Tid. 

Hvor simpel og naturlig den Bestemmelse af Stedet til 4 Linier, hvoraf lo mod- 
staaende ere parallele, som vi her have tillagt Apollonios, er, vil maaske vere bleven noget 
skjult af alt det, som vi have maattet anfere til Begrundelse af, at den virkelig er faldet 


un 


ner sammen med den, som han har havt for Øje ved Affattelsen af 3die Bog. Vi skulle 
derfor kort rekapitulere den: 


Ved Valg af de konstante Retninger. kan den Egenskab, der definerer Stedet, 


skrives saaledes (Fig. 28): 
para MR.MS _IMR.RN 
LUA FÆRRE 
Ved de i Apollonios’ 3die Bog givne Former for Potenssætningen kan dernæst 


Forholdet 7 mellem den Diameter, der halverer de bekjendte Korder, og dens konjugerede 


Diameter bestemmes. Bestemmelsen antager en af de 4 Former, som vi have beskrevet. 


Kurvens Centrum kan enten allerede være bestemt i Forbindelse med Forholdet . ved 


den ligedannede Figur, eller det kan bag efter indirekte være bestemt ved Konstruktion 
af Punktet Y (Fig. 31), hvori en Parallel med den umiddelbart givne Diameter gjennem en 
af Trapezets Vinkelspidser skjærer Kurven anden Gang; denne sidste Bestemmelse foretages 
ved Ligning (3), som henhører under Potenssætningen. Diameterens virkelige Længde faas 
dernæst for Ellipsens Vedkommende af den i Ligning (6) udtrykte Sætning 27, og for 
Hyperblens paa den nys beskrevne simplere Maade. 


Ved at være gaaet saa meget i det enkelle, som her er sket, har jeg vist nok 
udsat mig for, at mine Angivelser ogsaa kunne fejle i Enkeltheder. En Hovedprove paa, 
om min Bestemmelse af det geometriske Sted i sin Helhed kunde stemme med de gamles, 
maatte det imidlertid vere, om den kunde gjennemfores i det enkelte ved Midler, som 
stode til deres Raadighed. Denne Prove er faldet særlig godt ud, idet mange Enkeltheder 
endog umiddelbart kunde knyttes til selve Apollonios’ tredie Bog, hvorfra Hovedtrekkene 
vare hentede. 


Ved den Maade, hvorpaa dette er sket her, har jeg dog kun gjort Brug af én 
Setning i den Gruppe [24—29], som jeg ikke ansaa for interessant nok i og for sig til 
at medtages af Apollonios som andet end Hjælpemidler til saadanne Bestemmelser som den 
af Stedet til fire Linier. Jeg har anvendt Sætning 27, som handlede om Ellipsen. De 
øvrige, som omhandle Hyperbler, navnlig — som vi strax skulle se — Forbindelsen mellem 
konjugerede Hyperbler, kunne maaske have fundet nogen Anvendelse ved den synthetiske 
Fremstilling og Begrundelse af nogle af de samme Operationer, hvorved vi have lost Op- 
gaven. Hvis man er gaaet noget videre end vi i Benyttelsen af den konjugerede Hyperbel, 
som vi kun brugte i Tilfælde 2, men ogsaa kunde bruge i Tilfælde 4, kunne naynlig Set- 
ningerne 24—26 have været nyttige til at overføre dennes af Konstruktionen fremgaaede 
Egenskaber paa selve den sogte Kurve. For ovrigt er det, da Apollonios i Fortalen i 
Almindelighed omtaler Anvendelse til Bestemmelse af solide Steder, ikke engang rimeligt, 


102 


at aile disse Sætninger skulle være bestemte til at anvendes paa det særlig fremhævede 
‘ Sted til fire Linier. 

Hyorom al Ting er, vil den Brug, jeg har gjort af Sætning 27, vise Beskaffenheden 
af de Anvendelser, man ogsaa kan gjere af de ovrige Setninger i Gruppen, hvis Indhold 
nu i Korthed skal meddeles. 

Sætningerne 24—26 udtrykke, al naar man gjennem et vilkaarligt Punkt P drager 
Linier parallele med et Par konjugerede Diametre, af Længderne a og b, til to konjugerede 
Hyperbler, og de skjære disse Kurver henholdsvis iM og N og i Q og X, har man 
1 a? 
Ir 
24 udsiger nemlig, at denne Sztning er rigtig, naar P er beliggende paa den konvexe Side 
af begge Kurver, og 25 og 26 udtrykke de Setninger, som svare til andre Beliggenheder, 
og som for os indbefattes i den samme Ligning, naar vi regne Liniestykker med Fortegn. 
28 udsiger, at for de samme Betydninger af Betegnelserne bliver 

MP2 + PN? a? 
QPFr PR: b2 ’ 
og 29, at naar den første af de to rette Linier skjærer de fælles Asymploter i S og 7, er 
SF? PTE 192 a? 
OP2=PR a | Mabe 


MP.PN 


Ottende Afsnit. 
Stedet til fire Linier (Fortsættelse): Forbindelse med Euklids Porismer. 


Idet Sætningerne i Apollonios’ 3die Bog ikke godt forekom os anvendelige til 
direkte Bestemmelse af det almindeligste Sted til fire Linier, have vi i det foregaaende 
Afsnit nejedes med at anvende dem paa det Tilfælde, hvor de fire Linier danne et Trapez. 
En saadan Forklaring af Apollonios Fuldstændiggjerelse af den for hans Tid bekjendte 
Løsning af denne Opgave er dog kun holdbar under Forudsætning af, at vi ter antage, at 
der den Gang existerede en — maaske fra Aristaios Boger om solide Steder — 
fuldkommen bekjendt Overgang fra den almindelige Opgave til den, hvor 
de fire Linier danne et Trapez. Da man ikke i Apollonios’ 3die Bog finder Hjælpe- 
setninger, som godt kunne benyttes ved denne Overgang, maa det tillige forudsettes, at 
den har været uberørt af Apollonios Fuldstendiggjorelse. 


u ee 


103 


Om vi da end ikke mere have saa direkte Midler til al efterspore Veje, som de 
gamle virkelig have fulgt ved denne Overgang, ville vi dog heller ikke her gaa helt i 
Blinde. Vi kunne nemlig benytte Vink i de Behandlinger af lignende Opgaver, som ere 
opbevarede hos de gamle, og i de Beretninger om beslægtede Undersøgelser, som vi finde 
hos Oldtidens senere Forfattere. 

Vi skulle begynde med at henvise til de to Maader, hvorpaa Parablen optreder 
som Sted til fire Linier i Archimedes’ Bog om Parablens Kvadratur, saaledes som vi have 
paavist i Slutningen af andet Afsnit. Af de Firkanter, hvortil Parablen derved henfores, er 
den ene dannet af den anden, ved at to sammenstodende Sider have drejet sig om deres 
paa Parablen liggende Skjæringspunkter med de to andre. Det ligger da ner at forsøge, 
om de samme Midler, som ere brugte til at iværksætte Overgangen i dette meget specielle 
Tilfelde, hvor det Punkt, hvorom den ene Side skulde dreje sig, var uendelig fjernt, ikke 
ogsaa kunne bruges til i Almindelighed at foretage den her angivne Omdannelse af en 
opgiven Bestemmelse af et Sted til fire Linier. 

Man vises derved hen til en Fremgangsmaade, der, naar man betragter den fra et 
moderne Synspunkt, kan karakteriseres derved, at de projektive Bundter, som frembringe 
et Keglesnit, bestemmes som saadanne, som dele to rette Linier i proportionale Dele. For 
at gjore klart, at Grekerne kunne have brugt den, skulle vi dog fremstille den uafhengig 
af den berorte moderne Betragtningsmaade. Idet den derved antager en speciellere Karakter, 
vil den imidlertid ogsaa kunne have antaget temmelig forskjellige Former, hvis indbyrdes 
Afvigelser dog kun ere lidet vesentlige. 1 vor Uvidenhed om, hvilken af disse Grekerne 
have brugt eller foretrukket, kunne vi til Forbillede tage det eneste af Euklids Porismer, 
som er opbevaret os i sin oprindelige Skikkelse"). Bag efter skulle vi vise, at det næppe 
er helt tilfældigt, at det nævnte tabte Verk saaledes netop yder, hvad der her er Brug for. 

Det opbevarede Porisme udsiger, at naar man fra to givne Punkter trekker rette 
Linier, som skjære hinanden paa en i Beliggenhed given ret Linie, og den ene paa en i 
Beliggenhed given ret Linie afskjærer et vist Stykke ud fra et givet Punkt, vil ogsaa den 
anden af en anden ret Linie afskjære et Stykke, som staar i et givet Forhold [til det forste]. 

Denne samme Setning er, som vi skulle se, ogsaa rigtig, naar den forste givne 
rette Linie ombyttes med et Sted til fire Linier, og naar de to faste Punkter ere vilkaarlige 
Punkter af dette. For dog forst blot at faa iverksat den Omdannelse af dette Sted, som vi her 
have for Oje, skulle vi (Fig. 32) lade de to faste Punkter vere modstaaende Vinkelspidser 
A og C i den Firkant, hvortil Stedet henfores, og lade de Linier, hvorpaa Stykkerne 
afskjæres, vere parallele med de herfra udgaaende Sider AB og CB. Vi kunne lade dem 
vere Linierne CE og AE gjennem C og A. Vi ville antage, at AD og Linien fra A 


1) Pappos ed. Hultsch, S. 656. 


LIRE 


til et Punkt M af Kurven skjære CZ i D' og MY, 

medens CD og CM skjære AL i D" og M". 
Regne vi nu ved Bestemmelsen af det geo- 

metriske Sted M’s Afstande fra AB og CD parallele 


med BC og dets Afstande fra BC og AD parallele 
med BA, bliver Forholdet mellem Afstandene fra CD 


og BC til a og Forholdet mellem Afstandene 
oe ee eR ET 
fra AB og DA til DM: At Forholdet mellem 


Rektanglerne af Afstandene fra modstaaende Sider 
i ABCD bliver À, udtrykkes altsaa ved 


Fig. 32. IDOE à CES i 
DIV ARE 0) 


hvor # er en ny af M’s Beliggenhed paa Kurven uafhængig Konstant. 


Er, som vi anlage, at det har været Tilfældet, Konstanten 2 bestemt ved et Punkt F 
af det geometriske Sted, faas umiddelbart i Stedet for (1) 


DY" M4 DY" Fu fru M" 5 
DM DF FM =, 


hvor F og F" betegne AF's og CF's Skjæringspunkter med CH og AE. 


At ogsaa det sidste Forhold i (2), som er udledet af de to andre, bliver konstant, 
naar M bevæger sig paa det forelagte Sted, viser, at dette ogsaa er Sted til de fire Sider 
i den indskrevne Firkant ABCF. 


Idet vi herved kun have benyttet Definitionen paa Stedet Lil fire Linier og ikke 
have taget noget andet Hensyn til dets Beskaffenhed — bortset fra, at vi have kaldt Fir- 
kanterne indskrevne — har der ved denne Omdannelse ikke været Brug for nogen Udvidelse 
fra et enkelt Keglesnit (i antik Forstand) til to sammenhørende Hyperbelgrene. 


For at faa Sætningen om den i et Keglesnit indskrevne Firkant udvidet fra et Trapez 
til en vilkaarlig Firkant, og for omvendt at fore Bestemmelsen af et vilkaarligt Sted til fire 
Linier tilbage til et saadant, hvor to modstaaende Linier ere parallele, behover man blot 
at have betragtet det Tilfælde, hvor en af Linierne AD eller AF" falder sammen med AF. 


Have nu, som vi antage, de gamle virkelig gjort Brug af denne Omdannelse, har 
Springet ikke været langt til ogsaa at kjende folgende Udvidelse af det citerede Porisma af 
Euklid til Keglesnit: 


ae». 


105 

Naar man fra to faste Punkter af et Keglesnit drager rette Linier til et (bevægeligt) 
Punkt af dette, ville disse paa to Linier, af hvilke den ene kan vælges vilkaarlig, afskjære 
proportionale Stykker. 

De to Linier skulle nemlig, naar Punkterne ere A og C, blot vere parallele med 
BA og BC. Nu kan lige saa vel som D ogsaa A, B og C ombyttes med nye Punkter 
af Kurven. Altsaa kunne de givne Punkter A og C blive vilkaarlige Punkter af denne, 
samt AZ faa en vilkaarlig Retning. 

Der er. virkelig Rimelighed for, at de gamle have kjendt dette Porisma eller det 
dertil knyttede Theorem, som vilde adskille sig fra Porismet ved udtrykkelig at udsige 
Bestemmelsen af Linierne, hvorpaa Stykkerne afskjæres. 

Til denne Antagelse fores man for det forste derved, at det er at vente, at de 
gamle, idet de have beskjæftiget sig med det citerede elementære Porisma hos Euklid, 
ogsaa maa have spurgt sig selv, om omvendt det geometriske Sted for Skjeringspunkterne 
mellem rette Linier fra faste Punkter, som afskjære proportionale Stykker paa faste rette 
Linier, altid er en ret Linie. 

Svaret maatte blive Nej; men Grækerne have, da de kjendte Stedet til fire 
Linier, ikke kunnet undgaa at bemærke, at her forelaa et saadant. Porismets Ud- 
videlse til et Sted til fire Linier er derved given, og dermed den alt fremsatte simple 
Vej til den Omdannelse af dette Sted, som har været et nodvendigt Led i dets fuldstendige 
Bestemmelse. 


Jeg tror dog snarere, at Forbindelsen har veret omvendt. Man har i Studiet af 
Stedet til fire Linier eller i Undersogelser over Keglesnit fundet Omdannelsen af den ind- 
skrevne Firkant ad den angivne Vej, og man har da lagt Marke til, at den i det udviklede 
Porisme givne Bestemmelse af et Keglesnits Punkter tillige kunde anvendes paa en ret 
Linies Punkter. Denne Anskuelse vil bekræftes ved en Undersøgelse af, ad hvilke andre 
Veje end den her beskrevne det overhovedet kan have været muligt at foretage den Om- 
dannelse, som beskjæftiger os. 

Bestemmelsen af et Punkt M som beliggende paa det Sted til Siderne i Firkanten 
ABCD, der skal gaa gjennem et Punkt #, er i sig selv et Udtryk for Ligestorheden af 
det, man nu kalder anharmoniske Forhold: 


A(BDFM) = C(BDFM). (3) 


At det er et simpelt og temmelig umiddelbart Udtryk herfor, ses ved, at Sætningen 
om den indskrevne Firkant læses lige ud af denne Ligning, naar man paa sædvanlig Maade 
udtrykker de anharmoniske Forhold ved Sinus’er til Vinkler, og atter ombytter disse med 
Forhold mellem Linier. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. IIT. 1. 14 


106 


Overgangen fra en Firkant til en anden maa da under en eller anden Form 
være falden sammen med en Omdannelse af den opstillede Ligestorhed af anharmoniske 
Forhold til Ligestorheden af de anharmoniske Forhold 

A(BFDM) = C(BFD M) (4) 


mellem de samme Linier, tagne i andre Ordener. Denne Omdannelse maa være foretagen 
ved først at give Ligestorheden et fra Sætningen om den indskrevne Firkant forskjelligt 
Udtryk, som mere umiddelbart tilsteder Omdannelsen. 
Simplest opnaas dette ved som i det Bevis, vi have opstillet, at overskjære Linierne 
i de to Bundter med saadanne faste Linier, som de dele i proportionale Dele. Da man 
imidlertid ikke altid forst finder paa det, som er simplest, kunne de gamle muligvis ogsaa 
have benyttet Overskjering med andre Hjælpelinier, hvorefter Ligestorheden (3) mellem de 
anharmoniske Forhold vilde udtrykkes ved Proportionen mellem Rektangler: 
BE. Di uM Ber OU 
B:M!.D'F BEM ND 


eller en Proportion, som i moderne Forstand vilde være indbefattet i denne, og som var 


(5) 


bleven simplere derved, at et eller to Punkter vare fjernede i det uendelige. I det foran 
forte Bevis var dette Tilfældet med 6’ og B“. Proportionen i dens almindelige Skikkelse 
som dannet af fire Rektangler kan man meget let have truffet paa, hvis man f. Ex. har 
ladet begge Hjælpelinier falde sammen med FM, hvorved Æ* og F“ falde sammen med Ff, 
M og M“ med M. Den derved erholdte Proportion eller den dermed ensgjældende: 
B"M.D:M Bis DAR: 
BM DOM S BIRD 
som udtrykker det saakaldte Desargues’ Theorem, er nemlig ligefrem udtrykt ved 
Sætningen om den indskrevne Firkant, naar man regner Afstandene fra Siderne i Retningen 
FM, og vi skulle i neste Afsnit videre begrunde, at de gamle virkelig have kjendt denne 


Omformning. 

Naar nu Henforelsen til den givne Firkant paa en eller anden Maade, det vil sige 
ved et eller andet Valg af Hjælpelinier, var bragt paa Formen (5), har denne Proportion 
videre kunnet omskrives til 


BF! 4 D)! M! ES BM Én D'F' Bu Fu £ D" Me ee BY Me D" Fu 


B' M! B D! Fe BM" x De" Fu 
i BD. PM Bp, FM“ à 
ES BE. FDD BM FD 5 


som er et Udtryk for (4), og som maa kunne vises at udtrykke Henforelsen til Firkant 
ABCF paa lignende Maade, som Proportion (5) Henferelsen til ABCD. Sammentræk- 
ningen af Tællerne maa vel have været udstykket i forskjellige Tilfælde efter de forskjellige 


| 
| 


hui 


Fortegn; men den er ikke saa vanskelig!) som mange af dem, man hos Pappos kan se, at 
de gamle have kunnet udfore, ja som man, idet Pappos overhovedet har havt Anledning 
til at opstille dem som Hjelpesetninger til de ældre Forfattere, maa formode, at disse 
endog have fundet det ufornodent at bevise. 

Jeg tror neppe, at man kan tenke sig, at de gamle til at foretage Overgangen 
fra et Steds Henforelse til en Firkant til dets Henforelse til en anden kunne have benyttet 
andre Midler end dem, der (i moderne Forstand) ere indbefattede i de her anferte, og som 
saaledes i intet Tilfælde kunne have frembudt storre Vanskeligheder. 

Ved de mangfoldige særlige Valg af Hjælpelinierne, som ere mulige, kan dette 
Bevis imidlertid have antaget en Mengde forskjellige Former. Sporgsmaalet bliver nu, om 
man har holdt sig til en enkelt af disse eller ogsaa kjendt andre og anvendt disse, om 
ikke just ved selve Bestemmelsen af Stedet til fire Linier, saa dog til at faa en storre 
Mengde Fremstillinger af Keglesnit og derved Midler til forskjellige Undersogelser, navnlig 
lil at bevise, at forelagte geometriske Steder ere Keglesnit. 

Da Sporgsmaalet nermest gaar ud paa, om Grekerne kjendte og anvendte 
andre Fremstillinger af et KeglesnitsFrembringelse ved projektive Bundter 
end den, som haves i selve Sætningen om den indskrevne Firkant, maa det forst besvares 
med en Henvisning til den Frembringelse af denne Art, som vi allerede ere stodte paa i 
Slutningen af Apollonios’ tredie Bog [53—46]. Den Relation, hvorved Buudternes Projek- 
tivitet udtrykkes i denne, vilde vere indbefattet i (5), naar man for Fig. 32’s og denne 
sidste Lignings Vedkommende havde ladet Punktet B falde sammen med A og D med C, 
samt valgt Retningerne af Linierne saaledes, at B’ og D“ fjernede sig i det uendelige, 
9: parallele med Tangenterne i A og C. 

Da nu den her omtalte Sætning udtrykkelig findes hos Apollonios, kunde der synes 
at have veret nogen Anledning til at tænke sig den lagt til Grund for Bestemmelsen af 


Stedet til fire Linier. Den giver i Virkeligheden — som vi alt have bemerket i forrige 
Afsnit — umiddelbart Stedet til tre Linier. Naar jeg kun er lidet tilbojelig lil ogsaa at 
D‘ 


1) Den derved anvendte Relation 
AC.BD= AB.CD+AD.BC 
er i den geometriske Algebra fremstillet ved hosstaaende Figur, C 
hvor A, B!, C’, D‘ have samme Afstande som A, B, C, D, og 
hvis Anvendelse man let vil forstaa, naar vi skrive Relationen 
saaledes: 
AC.B'D'! = AC. Bic! + AC.cC!D! = AC. B'C' =- CD. AC! 
= AD. B!C! + CD. AB‘, 
og naar man, vel at merke, folger denne Anvisning til Om- A B C D 
legninger af Arealer paa selve Figuren. 


L 


108 


benytte den ved Restitutionen af Stedet til fire Linier, saa er det, fordi der paa Grund af 
den dertil horende Firkants særegne Form vilde kræves to Overgange for at komme til en 
vilkaarlig Firkant, og fordi man, naar man omvendt ved Bestemmelsen af et opgivet Sted 
gik ud fra en vilkaarlig Firkant, maatte foretage Tangentbestemmelser for at fore det 
tilbage til det i den omtalte Sætning bestemte Sted til tre Linier. Den, som kunde 
overvinde de hermed forbundne Vanskeligheder, vilde ikke undlade at bemærke, at man 
kunde naa hurtigere til Maalet ved — som vi have gjort — direkte at anvende den af 
Apollonios i den omtalte Sætningsgruppe benyttede Fremgansmaade paa et indskrevet Trapez, 
hvorefter kun én videre Omdannelse af Firkanten er nødvendig. 

Dog kan det vedblive at synes underligt, at Apollonios, hvis han i et og alt har 
bestemt Stedet til fire Linier paa den Maade, som vi have gjort gjeldende som den mest 
nerliggende, ikke snarere i sin tredie Bog har medtaget den dertil tjenende Udvidelse af 
Euklids opbevarede Porisma (omdannet til Theorem) end den i Sætningerne 53—56 inde- 
holdte Frembringelse af Keglesnittene. Dertil kan imidlertid tænkes forskjellige Grunde. 
Jeg tror snarest, at det har været den, at han blot har villet vise Udvidelsen af en enkelt 
af de forud bekjendte Frembringelser af Keglesnit ved projektive Bundter til det af to 
Hyperbelgrene sammensatte Keglesnit, og da har valgt den, hvor denne Udvidelse var lettest 
at foretage. Da der nemlig i den i Sætningsgruppen 53—56 behandlede Frembringelse kun 
indgaar to faste og et bevægeligt Punkt, behoves der her til Udvidelsen af den rimeligvis 
forud kjendte Sætning om ét Keglesnit [54] kun to Sætninger [55 og 56]. I det nys om 
Keglesnit udtalte Porisme (omdannet til Theorem) indgaar der derimod — bortset fra det 
til Konstantbestemmelsen tjenende Punkt # — ialt 5 Punkter af Keglesnittet (A, B, C, 
D, M), hvorved Udvidelsen til de to Hyperbelgrene!) bliver betydelig vidtloftigere. 

Naar jeg i dette Øjeblik talte om «de forud bekjendte Frembringelser af Keglesnit 
ved projektive Bundter», har jeg allerede derved forudsat, dels at der var flere saadanne, 
dels at man ogsaa uden som vi at have Begrebet Projektivitet at samle dem under, havde 
en klar Forestilling om deres indbyrdes Sammenhæng. Berettigelsen af disse Forudsæt- 
ninger henter jeg fra det samme Værk, som gav mig Anvisning paa den Vej til Omdannelse 
af den indskrevne Firkant, som jeg forst har fremstillet som den rimeligste, nemlig fra 
Euklids Porismer. 

Dette Skrift er vel tabt, og Pappos’ Oplysninger?) om dets Indhold have lang 
Tid vwret; gaadefulde; men nu ere disse Gaader i Hovedsagen fuldstændig løste, om der 


1) Der bliver forst Anledning til en saadan Udvidelse, naar Porismet udsiges om Keglesnit. For at 
kunne anvende det til Omdannelsen af et endnu ikke nærmere bestemt Sted til fire Linier, var 
det altsaa ikke nødvendigt for Apollonios at foretage en saadan Udvidelse. 

2) Hultsch’ Udgave 648 ff. 


109 
end bestandig er nogen Plads for Strid om Porismernes Form og for Undersogelser om 
Indholdets Enkeltheder og Skriftets rimelige Foranledning og Formaal. Allerede Robert 
Simson gav Anvisning paa, hvorledes Pappos’ Angivelser skulde forklares; men denne 
Forklaring kunde forst gjennemfores, da Videnskaben var iferd med at gjenerobre det 
Omraade, hvortil Porismerne hørte, og det skete da ved en af de Mend, som gik i Spidsen 
ved dette sidste Arbejde, nemlig Michel Chasles. Denne har som bekjendt endog 
udarbejdet en Restitution af Euklids tabte Verk!), som vel ikke gjor Fordring paa fuld Over- 
ensstemmelse i Enkelthederne — hvad der blandt andet ses af, at Chasles opstiller 220 
Porismer, medens Verket kun har havt 171 — men som tilfulde viser Gjennemforligheden 
af de opstillede Forklaringer og deres Overensstemmelse med alle foreliggende Oplysninger. 

Det tor da betragtes som afgjort, uden at vi behøve at rekapitulere Begrundelsen 
deraf, for det forste at Euklids Porismer have gaaet ud paa, at Punkter ligge ud i en ret 
Linie, at Linier gaa gjennem samme Punkt, og at Punktrekker paa rette Linier staa i saa- 
danne Forbindelser, som med sterre eller mindre Grad af Almindelighed indbefattes i de 
Relationer, der udtrykke, at de ere projektive, dernest ogsaa at de Forudsetninger, hvor- 
under dette paastaas at indtrede, i de to forste Boger om Porismerne ere sammensatte af 
Betingelser af samme Art. 

Pappos’ Ord, at Hypotheserne ere «ganske specielle», kunde maaske lade befrygte, 
at der i Porismerne kun opstilledes enkelte stærkt begrænsede Sætninger af denne Art. 
Naar vi se paa disse Ords videre Sammeuhæng, at de cere forskjellige, fordi de ere ganske 
specielle» og endvidere bemærke, at Pappos sammendrager 10 Porismer til ét?) af en 
meget almindelig Karakter, maa vi imidlertid antage, at denne Specialitet enten blot ligger 
i Forskjelligheden eller bestaar i Grekernes sedvanlige Udstykning, saaledes at overalt 
flere Porismer tilsammentagne "gjøre Forudsætningerne om Beliggenheden af de deri 
indgaaende Punkter og Linier fuldt almindelige. 

Under disse Omstændigheder maa der enten direkte blandt Porismerne have været 
saadanne, som udtrykke, at naar to Liniebundter skjære to faste rette Linier i Punktrækker, 
der tilfredsstille en vis Relation af den omtalte Art (f. Ex. en saadan som bestaar i, at. 
Rektanglet af Afstandene fra to faste Punker af Linierne er konstant), vil der existere 
andre faste Linier, hvorpaa de afskjære Punktrækker, som tilfredsstille en anden af Rela- 
tionerne (f. Ex. ere ligedannede), eller man maa, hvis Porismerne have været mere 
sammensatte, ved deres Dannelse have været eller være bleven fortrolig med denne Slags 
Overgange. Naar altsaa, som vi have set, i det mindste Apollonios kjender en Form 


1) Chasles: Les trois livres de porismes d'Euclide, rétablis pour la première fois d’après la notice et 
les lemmes de Pappus, et conformément au sentiment de R. Simson sur la forme des énoncés de 
ces propositions. Paris 1860. 

2) Hultsch’ Udgave S. 652. 


[3die Bog, 53—56] for Bestemmelsen af projektive Bundter, der frembringe et Keglesnit, 
kan man slutte, at han ogsaa ifolge Euklids Porismer vidste Besked om, at dette kan 
udtrykkes ved andre Former for Relationen mellem de Punktrækker, som Bundterne bestemme 
enten paa de samme Hjælpelinier, som han benytter, eller paa andre. Tager man nu 
Hensyn til de mange Udtryk for Projektiviteten, som efter Pappos maa være opstillede i 
Euklids Porismer, faar man derved lige saa mange Bestemmelser af Keglesnit frembragte 
ved saadanne Liniebundter, hvis Forbindelse vi nu kunne sammenfatte til den ene, at disse 
Bundter ere projektive. 

Herved faa vi for det forste en Forklaring paa Apollonios’ Ytring i Fortalen, at hans 
tredie Bog, samtidig med at den tjener til den fuldstendige Bestemmelse af Stedet til tre 
eller fire Linier, overhovedet giver fyldigere Midler til Bestemmelse og Diskussion af solide 
Steder; thi enhver Form for den her omtalte Frembringelse er et Stedtheorem. Naar Apol- 
lonios siger, at disse Midler tildels ere nye, maa der vist nok som sædvanlig fortrinsvis 
tenkes paa den for Stedernes Diskussion saa vigtige Betragtning af sammenhorende Hyper- 
belgrene. Bortset fra denne kan Porismernes Forfatter, der delvis kjendte Bestemmelsen 
af Stedet til fire Linier, ikke have været fremmed for saadanne Frembringelser af Keglesnit, 
som vi her have omtalt, og Aristaios’ Bog om solide Steder kan muligvis have indeholdt 
adskillige Exempler paa dem. 

Dernæst bekræfter den almindelige Betragtning af Forbindelsen mellem Læren om 
solide Steder og Euklids Porismer Rigtigheden af den Anvendelse, vi have gjort af det 
fuldstændig bevarede Porisme. Betragter man nemlig de forskjellige Former, hvorunder 
Frembringelsen ved projektive Bundter overhovedet lader sig udtrykke i Overensstemmelse 
med Porismerne, viser det omtalte Porisme tydelig, at Bundternes Bestemmelse ved at 
dele visse Linier i proportionale Dele ikke kan være glemt. Vi have da næppe taget syn- 
derlig fejl i den Formodning, vi i Begyndelsen af dette Afsnit have opstillet om, hvorledes 
de gamle have iværksat den Overgang fra en indskreven Firkant til en anden, som har 
været et nødvendigt Led i deres fuldstændige Bestemmelse af Stedet til fire Linier. 

Hvad vi her have bygget paa, er dels Visheden om, at Apollonios fuldstændig, hans 
Forgængere delvis, har bestemt Stedet til fire Linier, dels den sidste Sætningsgruppe i 
Apollonios’ tredie Bog, dels endelig de foreliggende paalidelige Oplysninger om Indholdet 
af Euklids Porismer. Vore Slutninger gaa ud fra det geometriske Faktum, at alle disse 
Undersøgelser ifølge deres Indhold hænge nøje sammen, og føre da, idet blot denne Sam- 
menhæng er benyttet paa den mest nærliggende Maade, til at de gamle have kjendt 
Frembringelsen af Keglesnit ved projektive Bundter fuldstændig paa dens 
Sammenfatten ved det fælles Begreb Projektivitet nær. 

Ved at opstille dette Resultat gaa vi imidlertid betydelig videre end Chasles ifølge 
hans Udtalelser om Porismernes Nytte og Anvendelse. I selve Anvendelsesmaaden er der 


111 


dog ingen stor Afvigelse fra, hvad han siger om denne Sag. Han fremhæver netop ogsaa!) 
den Nytte, som Porismerne kunne gjøre navnlig ved Stedbestemmelser, idet de ved forskjel- 
lige Udtryk for et og samme Sted mangfoldiggjøre Tilknytningerne for hvert nyt Sted, der 
skal bestemmes. Han sammenstiller i den Henseende yderst træffende Porismerne, hvor 
der angives, at man ved at bestemme et eller andet ‘ubekjendt kan opnaa en vis Frem- 
stilling, med de bekjendte Ligningsformer i den analytiske Geometri, som ved Bestemmelse 
af de endnu ubekjendte Koefficienter kunne bringes til at fremstille nye geometriske Steder 
af en vis Art. Denne Sammenstilling skulle vi saa meget heller tiltræde, som vi overalt 
i de gamles højere Geometri finde omtrent lige såa megen Overensstemmelse med den 
analytiske Geometris Behandlingsmaade som med den moderne rene Geometri, hvad vi ville 
faa Lejlighed til yderligere at fremdrage, naar vi i 10de Afsnit undersøge de gamles Sted- 
bestemmelser. Særlig komme da de to første Bøger om Porismerne til at svare til de Under- 
søgelser i den moderne analytiske Geometri, hvor især den lineære Form for den rette 
Linies Ligning er benyttet. Som vi have anført, behandle de nemlig dels Betingelser for, 
at Punkter ligge i en ret Linie eller rette Linier gaa gjennem faste Punkter, dels Rela- 
tioner mellem retliniede Punktrækker, som i en plan Figur ere forbundne ved Projektion 
og Skjæring. 

Det bliver for øvrigt uvæsentligt, om man sammenligner Porismerne med de moderne 
rent geometriske, eller analytisk geometriske Hjælpemidler, som blot under forskjellig Form 
gaa ud paa ganske det samme. De yde paa deres Side dette under en tredie Form. 

Chasles har fremdeles Ret i, at disse rige Hjælpekilder i selve de to første Bøger 
af Porismerne umiddelbart kun anvendes paa retlinede Figurer, altsaa ogsaa umiddelbart 
kun give rette Linier som geometriske Steder, og at de i 3die Bog blot tillige gjøres anvende- 
lige paa Cirklen. Han tilføjer”), at Størstedelen af Porismerne med samme Lethed kunde 
udstrækkes til Keglesnitslæren, og henviser i en Note særlig til sin egen Opstilling af 
Frembringelsen ved projektive Bundter i Aperçu historique. 

I hans Gjenfremstilling af Porismerne, er det ogsaa mangensteds let at se de 
almindelige Sætninger om Keglesnittene, som staa ham selv for Øje, og som han enten 
blot specialiserer saaledes, at en ret Linie eller en Cirkel træder i Stedet for et almindeligt 
Keglesnit, eller omskriver saaledes, at det Keglesnit, hvortil Porismet er knyttet, ikke 
nævnes, men blot den derigjennem opnaaede Forbindelse mellem rette Linier eller mellem 
disse og Cirkler bliver tilbage. 

Det, vi nu have at føje hertil, er den Antagelse, at dels denne samme For- 
bindelse med Keglesnitslæren ogsaa har staaet Euklid for Øje under Ud- 


1) Les trois livres de porismes d'Euclide p. 60. 
SEP Eh 


112 


arbejdelsen af Porismerne, og at det netop er denne Overensstemmelse i Tanke- 
gangen, der har hjulpet Chasles til at give Porismerne deres rette Karakter og Indhold, 
dels Apollonios under hans videre Behandling af Stedet til fire Linier og solide Steder 
overhovedet har havt rig Anledning til at benytte denne Forbindelse. Jeg 
nærer saa meget mindre Betænkelighed ved denne Afvigelse fra den kyndige Gjenfrem- 
stiller af Porismerne, som han intetsteds i sine offentliggjorte Forundersogelser har taget 
noget Hensyn til Betydningen af, at de gamle have lost en saa almindelig Opgave, som 
Bestemmelsen af Stedet til fire Linier — for hvilken han jo endog overlader Pappos en 
stor Del af Æren — og som han overhovedet har ladet Indholdet af Apollonios’ Kegle- 
snitslere ubenyttet. 

Opfattet som af os giver Forbindelsen mellem Keglesnitsleren og Euklids Porismer 
en lilfredsstillende Forklaring af, hvorledes Porismerne kunne vere blevne til. Theoretisk 
talt kan vel dette Verk nok hævde sin selvstændige Betydning indenfor sit eget Omraade. 
De deri indeholdte Resultater ere interessante nok til at fremhæves for deres egen Skyld, 
og naar de efter Pappos skulle danne et Redskab bestemt til videre Anvendelse i Analysen, 
ere vel ogsaa de Anvendelser, hvortil man kan naa indenfor Figurer dannede af rette Linier 
og Cirkler, ubegrænsede. Men skulde man i Oldtiden vere gaaet saa vidt i sine Opgaver 
i denne Retning, at man ikke blot naaede til selve de Sætninger, som indeholdtes i Poris- 
merne, men endog i dem saa Redskaber til Behandling af endnu mere sammensatte Op- 
gaver paa dette samme Omraade? 

Det er ikke med den Hensigt at behandle retliniede Figurer og Cirkler, at man 
i vore Dage har udviklet Læren om Projektivitet eller Homografi eller, algebraisk talt, om 
lineære Transformationer; men efterat man havde set, hvor nyttige disse Hjælpemidler 
vare og vilde vere for Keglesnitsleren og videre op, har man provet og udviklet dem ved 
Anvendelse paa dette simplere Materiale, hvor man paa Forhaand vilde have troet, at man 
godt kunde have undveret dem, men hvor de dog viste sig nyttige til at fremdrage nye 
Resultater. Dels paa Grund af disse, dels som en Forberedelse til videre Anvendelser paa 
Keglesnittene har man fundet det nyttigt serlig at fremsette de nye Methoder i deres 
Anvendelse paa retliniede Figurer og Cirkler, som Chasles i Géométrie supérieure; men 
at disse derefter netop passe saa godt paa Keglesnittene, at Anvendelserne her ikke ere 
vanskeligere end paa det elementere Omraade, hidrorer fra, at del anvendte Redskab 
stykkevis er blevet til, eftersom man havde Brug for det i selve Keglesnitsleren. 

Saaledes maa det ogssa vere gaaet til i Oldtiden. Det er under Studiet af 
solide Steder, under Behandlingen og Omformningen af Stedet til fire 
Linier, at man har set Betydningen af de Forbindelser mellem Punkt- 
rekker, som vi sammenfatte i Navnel Projektivitet, og at man har folt sig 
foranlediget til at anvende paa en ret Linie eller en Cirkel saadanne Be- 


stemmelser af Punkter, som i Almindelighed tilhore Keglesnittene. Man 
har nemlig aldrig det Held med sig, at et malhematisk Redskab, som udvikles for et 
andet Qjemed eller højst med den blotte Mulighed for Øje, at det kan faa videregaaende 
Anvendelser, tilfældigvis i et og all skal passe saa fortrinligt som Porismerne paa 
Studiet af et Keglesnits almindelige Egenskaber, det er: de Egenskaber, der 
knytte sig til dets Punkter, uafhængig af særegne Linier og Punkter (Axer, Centrum o.s. v.). 

Idet nu denne Art af Undersogelser dog næppe har været holdt ude fra andre, 
som slutte sig til Keglesnittene, tor det ventes, at adskilligt i Porismernes Indhold ogsaa 
kan have været knyttet til og være udviklet ved Anvendelse paa andre Afsnit af Keglesnits- 
leren. I Overensstemmelse hermed have vi da ogsaa ved Bestemmelsen af Stillingen af 
en vilkaarlig Tangent mod en Diameter og de tilhorende Korder fundet en Anvendelse af 
den samme Afhængighed mellem-Punktrækker, der ere hinandens Projektioner, som den, 
der spiller en Hovedrolle i Porismerne. En af Pappos’ Hjælpesætninger!) til Euklids 
Porismer falder, skjont den udelukkende udtales om en Halveirkel og Punkter og rette 
Linier, ojensynlig sammen med en af de simpleste Brendpunktegenskaber ved et Keglesnit 
med Halvcirklens Diameter til Hovedaxe. Det er da rimeligt, at — som Porismerne 174 
og 194—196 i Chasles’ Gjenfremstilling — ogsaa et eller flere af Euklids ægte Porismer 
paa lignende Maade have udtrykt Brændpunktsætninger uafhængig af det Keglesnit, hvortil 
de here. I Overensstemmelse med den Opfattelse, som her er gjort gjældende, vil det 
da være at antage, at det er Studiet af Keglesnit og deres Brendpunkter, som har været 
Anledningen til at bemærke den eller de i Porismerne opstillede Egenskaber ved Halv- 
cirklen. Sætningen bliver nemlig — her som saa mange andre Steder — simplere at op- 
fatte og naturligere at finde paa, naar Anskuelsen stottes ved Medtagelsen af Keglesnittet. 
Vi skulle derfor ikke lade den omtalte Hjælpesætning og de sandsynligvis dertil knyttede 
Porismer upaaagtede ved Studiet af de gamles Kjendskab til Brendpunkter. 

Har jeg nu Ret i denne Opfattelse af Euklids Porismer og deres Tilbliven, dels 
som en Slags Biprodukt ved Undersogelser over Keglesnittene, dels ogsaa som et Hjælpe- 
middel til videre Undersøgelser over de samme Kurver, opfordres man derved til at forsøge 
at drage et saa fyldigt Udbytte som muligt for Kjendskabet til den græske Keglesnitslere 
af de foreliggende Oplysninger om Euklids Porismer. Af fuldstændige Oplysninger om 
Enkeltheder i dette Skrift have vi foruden det bevarede Porisme, der alt er kommet os til 
saa stor Nytte, Pappos’ Sammentrekning af 10 andre Porismer til følgende”): Naar af 
Systemet af Skjæringspunkterne mellem fire rette Linier de tre, som ligge paa en af de 


1) Den 3fte; Hultsch’ Udgave S. 906. Hjælpesætningen vil blive fremsat i 16de Afsnit. 

2) Hultsch’ Udgave S. 652. Vi have her foretaget nogle ubetydelige Ændringer for at gjøre den dunkle 
Text, der i den nyere Tid forst blev forstaaet af Robert Simson, klarere uden at forandre noget 
i selve Figuropfattelsen. 


Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. IIL 1. 15 


114 


rette Linier, ere givne, og to andre bevæge sig paa givne retle Linier, vil det samme vere 
Tilfældet med det sidste. Vi ber da ikke forsomme at undersoge, i hvilket Forhold denne 
Sætning staar til Keglesnitsleren. 

I det mindste naar man opfatter denne Setning som en Bestemmelse af den tredie 
Vinkelspids i en Trekant, hvis to andre glide paa givne Linier, medens alle Siderne dreje 
sig om faste Punkter af en ret Linie, har det ligget meget ner dernæst at spørge om, 
hvad det geometriske Sted da bliver, naar man tager den sidste Indskrænkning, at de faste 
Punkter skulle ligge ud i en ret Linie, bort. Beviset for, at det Sted, som man da kommer 
til, i Almindelighed er et Keglesnit, er, hvis de Konsekvenser, vi allerede have draget af 
det tidligere citerede Porisme, ere rigtige, ikke vanskeligere at fore ved Hjælp af dette og 

dets Konsekvenser, end Beviset for, at Stedet i det førstnævnte 

\ / specielle Tilfælde bliver en ret Linie. Lad nemlig (Fig. 34) 

Trekantens Vinkelspidser være À, B og C, de modstaaende 
Sider vere a, b og e, lad a, b og e dreje sig om de givne 
Punkter A,, B, og C, og A og B glide paa de givne rette 
Linier a, og b,. Man kan da ifølge det bekjendte Porisme 


A ib, bestemme to rette Linier 6, og c,, hvorpaa Siderne b og ec 

EUR afskjere proportionale Stykker; man kan endvidere — og 

FR hertil benyttes det bekjendte Porisme netop i den 

Form, hvori det foreligger — bestemme en Linie c,, hvorpaa @ afskjærer Stykker 


proporlionale med dem, som c afskjærer paa c,, altsaa ogsaa med dem, som 6 afskjærer 
paa 6,. Det geometriske Sted for Skjæringspunkterne mellem de til hinanden svarende 
Linier i Bundterne a og 4, med de faste Punkter 4, og B,, som dele to givne Linier 
proportionalt, er imidlertid, som vi have set i Begyndelsen af dette Afsnit, kun en anden 
Form for et Sted til fire Linier, altsaa et Keglesnit, hvis det ikke er en ret Linie eller Cirkel. 

I en mere sammensat Form have Grækerne kunnet gjennemføre et Bevis med 
ganske de samme Tanker. Men i Stedet for dernæst at udtale, at Stedet «i Almindelighed» 
er et Keglesnit, maatte Grækerne udtrykkelig kjende og udelukke Betingelserne for, at det 
var en ret Linie. De 10 Porismer kunne da netop være fremkomne i Forbindelse med 
den her beskrevne videre gaaende Undersøgelse. 

Herved er forudsat, at de sammendragne 10 Porismer ere beviste paa samme 
Maade, som vi her have bevist Udvidelsen, altsaa ved Hjælp af det fuldstændig bekjendte 
Porisme. Dette antager Chasles dog ikke, idet han i sin Gjenfremstilling i Modsetning 
til Robert Simson og de fleste andre, som have beskjæftiget sig med Porismerne, sætter 
de 10 Porismer først. Han søger i denne Henseende at vise"), dels at hans Opfattelse 


1) Les trois livres de porismes p. 66. 


115 

ikke strider mod Oplysningerne i Pappos’ noget usikre Text om de paagjældende Porismers 
Plads, dels at den Hjælpesætning, som Pappos udtrykkelig henfører til Euklids «første 
Porisme», maa vere benyttet i et af de 10 sammenfattede Porismer. Den forste For- 
mening bekempes fra filologisk Side af Heiberg!), som tillige mener, at Chasles paa 
dette Sted heller ikke gjor ganske rigtig Brug af Hjælpesætningerne. Da jeg har gjort en 
bestemt Brug af Setningsordenen hos Euklid, skal jeg imidlertid ikke blive staaende ved 
denne Imodegaaen, men udtrykkelig paavise, at Pappos’ «Hjelpesetning til forste Porisme» 
fuldt vel kan passe til det, som man sædvanligvis stiller først, nemlig det, hvis Form ogsaa 
er opbevaret os, og som er benyttet i Begyndelsen af nærværende Afsnit. 

Dette Porisme gaar som alt anfort ud paa, at to Liniebundter i perspektivisk Stil- 
ling dele to faste rette Linier, « og 6, af hvilke den ene, a, kan vælges vilkaarlig, i pro- 
portionale Dele. Den i Porismet forlangte Bestemmelse af den anden, 6, kan faas derved, 
at de to Linier « og db maa vere parallele med et Par til hinanden svarende Linier i 
Bundterne. Er nu specielt Linien @ parallel med Forbindelseslinien ¢ mellem de perspek- 
tiviske Bundters faste Punkter, maa Linien 6 ogsaa vere det, og omvendt, naar de faste 
Linier a og © ere parallele, eller naar de falde sammen, maa de enten være parallele med 
Forbindelseslinien ¢ eller med den Linie d, hvorpaa Bundternes til hinanden svarende Linier 
skjære hinanden. Naar altsaa en og samme ret Linie, der skjærer Linien d, deles af 
begge Bundterne i proportionale Dele, maa den vere parallel med ce. Denne sidste Paastand 
er det, som Pappos opstiller og beviser som Hjælpesætning til Euklids forste Porisme. En 
nerliggeude Anledning hertil har der været, hvis Euklid, der efter græsk Vis særlig maa 
have omtalt de særlige Stillinger, den bekjendte Linie « kan have, har anset det for over- 
fledigt at bevise sin Paastand om den Stilling, som 6 faar, naar ae. 

Det Udbytte med Hensyn til Keglesnitsleren, som vi have faaet af de fra Indholdets 
Side bekjendte Porismer, vækker Lysten til at kjende flere; thi her, hvor de videre skulle 
benyttes til Slutninger om noget andet end deres egentlige Indhold, vilde det vere meget 
for dristigt i det enkelte at bygge paa Chasles’ Gjenfremstillinger, der selv ad en lignende 
Vej ere byggede paa Pappos’ Hjelpesetninger. For at afgjore, i hvilken Grad Gjenfrem- 


stillingen kan benyttes, maa vi spørge os, om man ej blot — hvad vi allerede ubetinget 
have gjort — kan holde sig til Chasles’ Gjengivelse af Beskaffenheden af Indholdet i 


i Bøgerne om Porismerne, men ogsaa i det hele kan stole paa, at dette er angivet i et 
rigtigt Omfang, og at Euklid altsaa i det hele og store er naaet saa vidt paa dette 
Omraade som Chasles’ Gjenfremstilling. Imod en saadan Antagelse taler den Omstændig- 
hed, at Chasles, som alt bemærket, har dannet for mange Porismer. Det kan vist tilmed 
antages, at adskillige af Chasles’ enkelte Porismer hos Euklid have været udstykkede i flere, 


1) Litteraturgeschichtliche Studien uber Euklid, S. 78. 


116 


selv om Pappos kun ved de 10, vi have omtalt, og til hvis Udstykning Chasles selvfolgelig 
tager Hensyn, har formaaet at sammendrage en Gruppe af Euklids Porismer til et enkelt. 
Samtidig faar imidlertid en anden Omstendighed en modsat Virkning, nemlig at Chasles’ 
Porismer vist nok slutte sig altfor nær til Pappos' Hjælpesætninger. I Overensstemmelse 
med, hvad der finder Sted med Pappos' Hjælpesætninger til bevarede Skrifter, have disse 
vist nok blot knyttet sig til saadanne enkelte Paastande, som Euklid har benyttet, men fundet 
det overflødigt at bevise. Har det nu end ofte kun været paa Grund af Sammenhængen, at 
Beviset kunde undværes, og kan man end antage, at der til det i Forhold til sit Indhold 
kortfattede Skrift om Porismerne har været større virkelig Trang til Hjælpesætninger end 
andetsteds, saa kan man dog være vis paa, at selve Porismerne ere gaaede adskillig videre 
end Pappos' Hjælpesætninger. Da Chasles tillige er gaaet fra disse ud i de rigtige, ved 
Pappos’ Klassifikationer betegnede, Retninger, og da den Omstændighed, at han i hvert 
Porisme har fjernet sig for kort fra Hjælpesætningen, rigelig maa have opvejet den, at han 
har dannet for mange Porismer, tør man antage, at Chasles’ Gjenfremstilling ingenlunde 
giver et for højt Begreb om, hvor langt Euklid naaede i den beskrevne Art af Undersøgelser. 

Saa længe vi ikke have sikker Meddelelse om de enkelte Porismer, kunne vi dog 
ikke gjøre stort videre gaaende Brug af Porismerne overfor Keglesnitslæren, end vi alt have. 
Ja man kunde vel nok af de forskjellige Former for Bestemmelsen af Projektivitet, som 
ere anforle i Pappos’ Inddeling af Porismerne, udlede forskjellige bestemte, af de gamle 
kjendte Former for Bestemmelsen af Keglesnit som geometriske Steder for Skjæringspunkter 
mellem Linier i Bundter; men videre at efterspore disse har mindre Interesse, netop fordi 
man nu kan sammenfatte alle disse Former for Bestemmelsen af Bundternes Forbindelse 
ved at sige, at Bundterne ere projektive, og fordi vi vide, hvor let Overgangen er mellem 
disse Former, naar man først har de enkelte iblandt dem, som vi alt have betragtet. Maaske 
vilde et fuldstændigt Kjendskab til en stor Del af de enkelte Porismer ikke føre os videre. 


I Øjeblikket have vi altsaa ikke mere at lære af Porismerne; men jeg kan her ikke: 


tilbageholde en Formodning om selve det saa omstridte Begreb Porismer. Den er frem- 
kaldt ved det Resultat, jeg er kommen til med Hensyn til Oprindelsen til og Betydningen 
af Euklids Skrift af dette Navn, men kan falde, uden at derfor dette Resultats Paalidelighed 
svækkes. Det nævnte Skrift skulde efter den Mening, 


Følgesætninger, dels Hjælpesætninger til Læren om Keglesnit eller maaske særlig til Læren 


vi nu have begrundet, dels indeholde 


om solide Steder. Hjælpesætningerne udgjøre imidlertid ikke et Apparat, der er dannet 
forud for Udviklingen af denne Lære, men de ere blevne til samtidig med denne, og ere i 
og for sig kun Led i de fuldstændige Beviser for dennes Sætninger. Har man nu helt 
gjennemført et saadant Bevis og først bag efter udtaget og opstillet Hjælpesætningen, bliver 
denne selv en Følgesætning, et Biresultat, nemlig ikke til den beviste Keglesnitssætning, 


men til Beviset for samme. I Forhold til Keglesnitsleren optrede disse Porismer altsaa 
alle som Folgesætninger eller Tilgiftsætninger. 

Denne Betydning har Ordet zépouu, der da paa Latin gjengives ved corollarium, over- 
alt, hvor det forekommer i de bevarede Skrifter af Euklid, Archimedes og Apollonios. 
Da det nu forekommer mig urimeligt, at Euklid skulde have brugt et Ord som det, vi her 
have for os, hvilket jævnlig bruges som Overskrift, i to helt forskjellige Betydninger, kommer 
jeg til den Antagelse, at Euklid ved Titlen paa sit Skrift om Porismer nelop har 
villet betegne, at de i dette Skrift indeholdte Sætninger ere fremkomne som 
Porismer i den Betydning, hvori han ellers bruger dette Ord, nemlig som 
Porismer til Keglesnitsl&ren eller maaske særlig lil Læren om solide Steder. 

Denne Forklaring treffe vi imidlertid ikke hos Oldtidens senere Forfattere, som tverti- 
mod lade Euklid i det nævnte Skrifts Titel bruge Ordet Porismer om en bestemt, fra Korolla- 
rerne forskjellig Art af Sztninger. 

Pappos siger om dem!), at de «hverken hore til Theoremerne eller til Proble- 
merne, men til en Mellemform, saaledes at Sætningerne enten kunne faa Skikkelse som 
Theoremer eller som Problemer, hvorfor nogle af de sædvanlige Geometrer have opfattet dem 
som Theoremer, andre som Problemer, idet de kun toge Hensyn til Sætningernes Form». 
I Modsetning til disse mere svævende Bestemmelser anforer han derimod «de gamles» ud- 
trykkelige Definitioner: «Et Theorem er det, som forelægges saaledes, at det forelagte skal 
bevises», «et Problem det, der stilles saaledes, at det forelagte skal konstrueres», og endelig 
«et Porisma det, der forelægges saaledes, at det forelagte skal skafles tilveje» (e¢¢ zopeapov 
atoù cod mzpoxewévov). Derimod bebrejder han de nyere, «som ikke kunde skaffe alt til- 
veje» (mootlew), at de nøjes med at bevise Muligheden heraf, samt at de «paa Grund af 
en tilfældig Biomstendighed» udtrykke sig saaledes: «et Porisma er et Stedtheorem med 
ufuldstendig Hypothesis». 

Ogsaa Proklos har i sin Kommentar til forste Bog af Euklids Elementer foruden 
Forklaringen af Ordet Porisma som Korollar, i hvilken Betydning det findes i selve denne 
Bog, meddelt Forklaring paa det samme Ord i den Betydning, hvori det skal være taget i 
Titlen paa Euklids Bog om Porismerne°). Den gaar ud paa, at «et Porisma er en Sætning, 
hvori fordres, at man ved en Operation skal bringe noget alt existerende og nodvendig 
tilstedeværende til Erkjendelse», samt «at det staar midt imellem et Theorem og et Problem». 

Af Citaterne fra Pappos se vi nu vel, at det ikke blot er ham selv, men allerede «de 
gamle», som tillægge Ordet Porisme, som det bruges i Euklids’ Porismer, en vis bestemt 
Betydning forskjellig fra den sedvanlige, og Proklos har formodentlig lige saa gamle Kilder 


') Hultsch’ Udgave S. 650—652. 
?) Friedleins Udgave S. 301— 302. 


for sine Forklaringer. Mellemrummet mellem Euklid og Pappos eller Proklos er imidlertid 
stort nok til, at disse sidstes «gamle» Kilder kunne være Aarhundreder yngre end Euklid. 
At de virkelig ere dette, bliver endog hojst sandsynligt derved, at ingen af dem har havt 
Autoritet nok til at samle Mathematikerne i den senere Oldtid i en fælles Opfattelse og en 
fælles Maade at udtrykke denne paa. I de forskjellige Opfaltelser, som Pappos lader komme 
til Orde, og i Afvigelserne mellem ham og Proklos, samt i Bestræbelserne hos den forste 
for at fastholde Forklaringens Overensstemmelse med Ordets Etymologi, gjenkjender man 
meget mere en yngre Tids Forsøg paa at give en Forklaring paa Ordet Porisma, som 
passer paa den en Gang foreliggende Form for Euklids Sætninger, end en opbevaret Rede- 
gjerelse for en Sætningsart, som kjendtes paa Euklids Tid, og hvoraf Euklid udtrykkelig 
har foresat sig at danne en Samling. — 

Er dette rigtigt, kommer den Betydning, som alle disse Forklaringer af Begrebet 
Porisma have, til at bestaa i, at de udtrykke forskjellige Opfattelser og Belysninger af noget 
vist karakteristisk ved samtlige Sætninger i Euklids tre Boger om Porismerne, som er 
fremdraget af Folk, der selv kjendte disse nu tabte Boger. For os bliver det da af Vig- 
tighed at paavise, at de af os beskrevne Folgesætninger til Keglesnitslæren naturlig kunne 
være fremtraadte i Former, paa hvilke disse Forklaringer passe. 

Naar disse Former skulle efterspores, er der under de nuværende Forudsætninger 
ingen Grund til at give de samme Forklaringer, som Pappos under helt andre Forudsæt- 
ninger foretrækker, noget Fortrin, og særlig blive alle de Forklaringer, der knytte sig til 
Ordet Porisme, betydningslose, hvis Euklid selv blot har villet bruge dette Ord i den gamle, 
anerkjendte Betydning som Korollar. Man kan meget mere tage den mest forstaaelige 
Forklaring, nemlig den, som tillegges de «nyere», «at et Porisma er et Stedtheorem med 
ufuldstendig Hypothesis», til Udgangspunkt; thi naar Pappos mener, at det skyldes en til- 
feldig Biomstændighed, at Euklids Porismer have denne Beskaffenhed, saa faa vi nelop 
derved en Bekreftelse paa, at dette sidste virkelig er Tilfældet. Deraf, at han ikke siger 
det modsatte, kunde man maaske endog slutte, at alle Euklids Porismer have denne 
Beskaffenhed ; men dette skulle vi dog ikke bestemt fastholde. 

Hvad der menes med den her givne Forklaring bliver tydeligt ved det opbevarede 
forste Porisme, som gaar ud paa, at man kan bestemme en ret Linie, som vi S. 115 
kaldte b, saaledes, at den og en given Linie, a, deles i proportionale Dele af de Linier i 
to Bundter, som skjære hinanden paa en tredie Linie d. Naar da Linien 6 og de Punkter 
af denne, som syare til to opgivne Punkter af a, ere bestemte, har man derved fuldstændig- 
gjort Hypothesis i det Stedtheorem, som gaar ud paa, at det geometriske Sted for Skjærings- 
punkterne mellem de Linier i Bundterne, som paa den saaledes bestemte Maade dele 
Linierne @ og 6 proportionalt, er den rette Linie d. 


11989) 


Det her omtalte Porisme skulde nu efter vor Opfattelse være et Korollar til den 
almindeligere Bestemmelse af Stedet for Skjeringspunkterne mellem de til hinanden svarende 
Linier i to Bundter, som paa en hvilken som helst Maade dele to hvilke som helst rette 
Linier proportionalt. Det er fremkommet, idet man særlig har maattet undersoge, naar 
Stedet, som i Almindelighed er solidt, bliver en ret Linie, og idet Undersogelsen da ganske 
naturlig har fort med sig, at det ved passende Valg af den faste Linie 5 kan blive en 
hvilken som helst forelagt ret Linie d. 

Nu have vi allerede sluttet af det, som meddeles om Indholdet af Euklids Skrift, 
at en stor Mængde af hans andre Porismer staa i en ganske tilsvarende Forbindelse med 
andre Frembringelser af solide Steder ved projektive Bundter. Ogsaa ved disse har man 
maattet særlig undersoge de Tilfælde, hvor Stedet blev en ret Linie eller en Cirkel, og 
denne Undersogelse kan ganske naturlig have givet Anledning til Korollarer, som have 
ganske samme Form som det første, og som altsaa, naar Hypothesis fuldstendiggjeres ved 
Losningen af en vis Opgave, blive Stedtheoremer. 

Som en Underafdeling af de her omtalte Porismer, der er saa righoldig, at den 
maa soges i seregne Verker, men som dog ogsaa efter en paafolgende Ytring maa vere 
representeret i Euklids Porismer, nevner Pappos en Art Sætninger, som kortelig kaldes 
«Steder» (cézot), og som synes at vere Sætninger, der blot udsige, at visse geometriske 
Steder ere rette Linier, Cirkler 0. s. v., men uden at give Oplysning om disse Liniers 
nøjere Bestemmelse. Denne Forklaring!) stemmer med Pappos’ Paastand, at de 10 sammen- 
dragne Porismer skulde vere cézoe, hvilket dog bliver mindre bevisende, da Pappos kan 
have omarbejdet dem under Sammendragningen.  Betydningsfuldere er det, at en af 
Eutokios ordret citeret Sætning”) af Apollonios Plane Steder, som vel netop skulde 
vere et af de Værker, som Pappos betragter som en Samling af den her betragtede sær- 
egne Slags Porismer, netop har denne Form: «Naar der er givet to Punkter i Planen og 
et Forhold mellem ulige store Længder, kan man i Planen beskrive en Cirkel saa- 
ledes, at rette Linier fra Punkterne til Cirklen have dette givne Forhold». Det kan maaske 
ved saadanne Sætninger synes underligt, at det skal vere Hypothesis, der fuldstændig- 
gjeres ved Løsningen af en Opgave (her Bestemmelsen af Cirklen); men dette vil blive 
forstaaeligt, naar man bemerker, at Stedtheoremet maatte hedde: Forholdet mellem Af- 
standene fra den Cirkel, som bestemmes ved o.s.y., har den og den bestemte Verdi, 
eller: Den Cirkel, som bestemmes ved o.s.v., er geometrisk Sted.... 

Naar nu Euklids Porismer ere opstaaede paa den af os antagne Maade, bliver det 
særlig naturligt, at de have indeholdt disse zézoe. Disse pege nemlig udtrykkelig og ude- 


1) Givet af Chasles i: Les trois livres de porismes d’Euclide, p. 33. 
*) Apollonii Conica, ed. Halley, S. 11. Heiberg benytter i Litteraturgeschichtliche Studien über Euklid 
S. 70 det samme Citat, men paa en efter min Mening lidet naturlig Maade. 


120 


lukkende paa den Omstendighed, som har været af Betydning for Keglesnilsleren, nemlig 


at visse geometriske Steder ere rette Linier og Cirkler, og altsaa ikke — saaledes som 
det ellers sker i el vist almindeligere Tilfelde — Keglesnit. Den nermere Bestemmelse 


af den rette Linie eller Cirklen har derimod været Keglesnitsleren uvedkommende. 

Begrebet Stedtheoremer og Steder kan i Henhold til en Oplysning hos Pappos!) 
maaske ogsaa i Redegjorelsen for Porismerne vere taget i noget almindeligere Betydning, 
end vi pleje, naar vi tale om geometriske Steder. For os kunne disse foruden Linier, 
der ere geometriske Steder for en enkelt uendelig Punktrekke, vere Flader som Steder 
for en dobbelt uendelig Punktrekke eller en enkelt uendelig Linierekke. Foruden dem 
medtager Pappos ej blot til den ene Side Legemer som Steder for en dobbelt uendelig 
Linierekke eller en enkelt uendelig Fladerekke, men han fojer ogsaa nedad til Stederne 
for en enkelt eller dobbelt Uendelighed af Elementer (röror deéodixot og dvaszpogızot) 
Punkt, Linie, Flade og Legeme som Sted for Punkt, Linie, Flade og Legeme, altsaa Steder 
med 0 Dimensioner (cdzoe eyszzızot). Muligvis er der herved kun Tale om en logisk Fuld- 
stendiggjorelse af Stedbegrebet; men det kunde ogsaa vere, at de to forste Arter af disse 
sidste Steder, hvor Punkter eller rette Linier faa en given Beliggenhed, ere regnede med 
blandt dem, som skulle være omhandlede i Porismerne. Et æzoc af denne Art maatte da 
gaa ud paa at angive, at en Linie eller et Punkt af en bevegelig Figur er fast. Pappos har 
i saa Fald vistnok betragtet de Klasser Porismer?), som udsige, at en Linie faar en given 
Stilling, eller at Linier gaa gjennem et givet Punkt, som cozoe évexcxot for Linier eller 
Punkter. Hvilken Rolle den sidste Klasse Porismer, i hvilken ogsaa hele Planen om 
Punktet kan vere betragtet som czog de£od6ç for Linien, kunne have spillet overfor 
Keglesnitsleren, skulle vi se i Afsnittet om Tangentfrembringelser. 

Paa den nys beskrevne almindelige Klasse Setninger: Stedtheoremer med ufuld- 
stendig Hypothesis, hvoraf cozoz er en Underafdeling, og hvorunder altsaa ogsaa Punkt og 
Linie som Sted for Punkt og Linie kunne henregnes, passe ogsaa de andre Skildringer af 
Porismernes Natur, særlig hvad der siges om deres Mellemstilling mellem Theoremer og 
Problemer. Idet nu den Omstendighed, hvortil de «nyere» tage Hensyn, men som Pappos 
betragter som en Biomstendighed, maa vere Forholdet til geometriske Steder, komme vi 
til den almindeligere Art Sætninger, som «de gamle» hos Pappos, denne selv og Proklos 
have villet skildre, naar vi blot sætte Theorem for Stedtheorem. I Overensstemmelse 
med ØR. Simson og Chasles skulle da”) Porismerne have udtalt, at man ved at lose et 


1) Hultsch’ Udgave S. 660—662. 

2) Den Ste og 6te hos Hultsch. 

*) Det er mig ikke ganske klart, om Dr Heiberg (i Litteraturgesch. Studien über Euklid, S. 58 ff) vil 
bygge nogen Afvigelse fra denne Opfattelse paa Proklos’ Omtale af Porismerne. I og for sig er der 
ingen principiel Forskjel mellem et Problem og Proklos’ Bestemmelse af et Porisme (S. 17). At der 


Problem kan faa bestemt Hypothesis i et Theorem; Theoremet fremgaar altsaa af Porismet 
ved Løsning af Problemet. Efter vor Opfattelse er blot dette Begreb ikke lagt til Grund 
for Euklids Udarbejdelse af hans Porismer, men omvendt bygget paa dette Værk. 

Dette kunde godt vere bleven Tilfældet, selv om alle de Theoremer, hvortil Euklids 
Porismer paa den angivne Maade vare knyttede, havde været Stedtheoremer. Da vi imidler- 
tid ikke hos Pappos faa nojagtig Oplysning herom, skulle vi dog antage, at der blandt 
Euklids Porismer ogsaa har veret andre Sætninger af den beskrevne almindeligere Form, og 
vise, at visse andre Korollarer til Keglesnitsleren end Sætninger om Steder (i videre Forstand) 
meget let kunne have antaget netop denne Form. Dette vil navnlig gjelde om de Sæt- 
ninger om et Keglesnit, som ere omskrevne saaledes, at denne Kurve ikke mere neynes, 
men de ved dens Hjælp tilvejebragte Forbindelser mellem andre Figurdele direkte anvendes. 
Som Exempel herpaa skal jeg danne et Korollar, som paa denne Maade kunde opstaa af 


i Porismet forlanges Tilvejebringelsen af noget existerende, som Centrum i en Cirkel, vil nemlig kun 
sige, at Opgaven, som skal loses, er og udtrykkelig angives at vere mulig; men dette angives direkte 
eller indirekte at vere Tilfældet ved ethvert Problem, som stilles, idet Grækerne endog, hvor Mulig- 
heden er begrænset, anse det for nødvendigt, samtidig med at Problemet stilles, at give Oplysning 
om Mulighedsbetingelserne (dopeouds). Om et saaledes stillet Problem skal blive til, hvad Proklos 
vilde forstaa ved et Porisme, synes blot at afhænge af en Gradsforskjel, nemlig deraf, om Paa- 
standen om, at det virkelig er muligt at lose Opgaven, har en saa stor selvstændig Betydning, at 
den, naar man indforer Resultatet af Losningen som Hypothesis, er betydelig nok til at opstilles som 
Theorem. I saa Fald har man imidlertid netop en Sætning af den af Simson og Chasles op- 
stillede Art. 

Dette passer med, at Proklos f. Ex. betragter Bestemmelsen af en Cirkels Centrum som et 
Porisme. Naar man loser det Problem at bestemme dette Punkt, finder man ved Hjelp af denne 
Bestemmelse det Theorem, at Midtpunktet af det Stykke, som en Cirkel afskjærer paa Perpen- 
dikulæren paa Midten af en Korde (Elem. 3die Bog 1), er lige langt fra alle Cirklens Punkter. Det 
kan for øvrigt næppe siges, at Proklos har været heldig med dette eller med sit andet Forsøg paa 
at finde Porismer i Euklids Elementer, hvilket Forsog vist nok skyldes ham selv, medens den For- 
klaring paa Betydningen af Porisme, som han vil oplyse, formodentlig er ældre. At en Cirkel har 
et Centrum, er jo nemlig sagt i Definitionerne (Iste Bog 15 og 16) paa en Cirkel og dens Centrum, 
og at kommensurable Linier have et felles Maal, er selve Definitionen paa saadanne Linier. De Mulig- 
hedspaastande, som skulde udtrykkes ved hans Porismer, ere altsaa Identiteter. 

Saa vidt jeg skjonner, er det vel ikke Heibergs Hensigt i nogen vesentlig Grad at forlade 
det af Chasles fastslaaede Porismebegreb; men i det mindste i en af de Enkeltheder, som han gjer 
gjældende, turde han, trods sin Overensstemmelse paa dette Punkt med R. Simson, gaa for vidt i 
Benyttelsen af Proklos’ Definition. I Henhold til denne vil han nemlig gjøre saadanne Opgaver, som 
gaa ud paa at finde det geometriske Sted for Punkter af en vis opgiven Beskaffenhed, til Porismer, 
fordi Stedet existerer uden Hensyn til, om det bliver bestemt. Vil man nojes med en saa ringe i 
Porismet indeholdt Paastand, uden at der som i et roxog siges noget om Stedets Beskaffenhed, 
vil enhver Opgave med lige saa megen Grund kunne betragtes som et Porisme. 

Selv om Ordet Stedproblem, som Chasles her bruger, ikke har nogen antik Hjemmel, 
véd jeg dog ikke, paa hvilken anden Maade man skal betegne denne Art Undersogelser, som de gamle 
— saaledes som vi skulle se i et senere Afsnit — endog maa have viet en særlig Opmærksomhed. 
At kalde dem Porismer anser jeg i hvert Fald for en daarlig Udvej, dog især, hvis jeg har Ret i, at 
dette Begreb ikke existerede i den Betydning, hvorom her er Tale, paa Euklids og Apollonios’ Tid. 


Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 4. 16 


122 


den Sætning om Keglesnits Frembringelse ved projektive Bundter, som findes i Slutningen 
af Apollonios’ tredie Bog [54—56, se foran S. 85]: 

Naar der er givet tre rette Linier @,, @,, a; gjennem et Punkt À og tre rette 
Linier c,, ¢,, c, gjennem et Punkt C, kan man gjennem A og C trække Linier saaledes, 
at Rektanglet af de Stykker, som c, afskjærer paa den første, regnet fra A,, og a, paa 
den anden, regnet fra C,, bliver lige stort med Rektanglerne af de Stykker, som paa samme 
Maade afskjæres ved c, og 4, og ved c, og a. | 

Paastandens Rigtighed følger nemlig af den i de tre citerede Sætninger indeholdte 
fuldstendige Keglesnitssætning, naar man blot lader den ubekjendte Linie gjennem A vere 
parallel med Tangenten i C til det Keglesnit, som gaar gjennem A, C og Skjæringspunk- 
terne @,¢,, a, C, 0g a,c,, og lader den ubekjendte Linie gjennem C vere parallel med 
Tangenten i A til det samme Keglesnit. Disse Linier kunne") konstrueres uden Anvendelse 
af Keglesnittet, og det er altsaa en Opgave, som maa kunne loses, og hvortil Keglesnits- 
setningen giver en nærliggende Foranledning, ogsaa at finde Konstruktionen uafhængig af 
Keglesnittet. Denne Opgave stilles netop i det af os dannede Porisme, som i det mindste 
i en mere speciel Skikkelse godt kan have fundet Plads i Euklids Skrift. 

Skulde det opstillede Porisme i fuld Almindelighed vere forekommet iblandt Euklids 
Korollarer til Keglesnitsiæren, vilde man have det Sersyn, at Korollaret havde faaet en 
større Udstrækning end selve den tilsvarende Keglesnitssetning, som Euklid kjendte. Paa 
hans Tid forstod man nemlig ikke at udstrække denne til de Tilfælde, hvor der gjøres 
Brug af to Hyperbelgrene. Det hører imidlertid ikke til Umulighederne, at Euklid netop 
i mange Tilfælde med Flid kan have udelukket Keglesnittet af saadanne Sætninger, der af 
ham oprindelig vare fundne som Keglesnitssætninger, men som han manglede Midler til i 
denne Skikkelse at give den fulde Udstrækning, for hvilken de vare modtagelige. 

Manglen af Midler til fuldstændig Bestemmelse af saadanne solide Steder, hvis givne 
Punkter skulde fordele sig paa de to Hyperbelgrene, kan ogsaa tænkes at have spillet en 
anden Rolle overfor Skriftet om Porismerne. Den ejendommelige Form for Sætningerne i 
dette kunde nemlig være en Arv fra de Keglesnitssætninger, hvortil de oprindelig ere Korol- 
larer, idet man allerede for Keglesnitssætningernes Vedkommende kan have benyttet ufuld- 
stændige Hypotheser for at gaa uden om de Vanskeligheder, som fremkom ved, at Sætnin- 
gerne i deres fuldstændige Skikkelse for Hyperblens Vedkommende maatte knytte sig til 
begge dennes Grene. 

Der kan altsaa have været Grunde nok til, at Sætningerne i Skriftet om Porismerne, 
netop naar de ere fremkomne som en Samling Korollarer til Keglesnitslæren, have havt de 
Former, som man finder beskrevne. Muligvis vilde man dog for disse forskjellige og — 


1) Se vort følgende Afsnit. 


hvis man ikke antager, at Porismerne udelukkende have været knyttede til Stedtheoremer — 
uensartede Grunde foretrække en ensartet Forklaring af den væsentlig ensartede Form, som 
alle Porismerne skulle have havt. En saadan lader sig imidlertid endnu foje til de andre. 
Efterat disse have bevirket, at nogle af Sætningerne have antaget den omtalte Form, kan 
Euklid selv have taget Hensyn til dennes Hensigtsmæssighed og Nytte, hvorpaa vi (S. 114) 
have havt Lejlighed til at give et Exempel i Beviset for Udvidelsen af de 10 sammendragne 
Porismer til Keglesnil, og have søgt at bringe ogsaa de øvrige Sætninger paa samme Form. 
For saa vidt som derved antages, at allerede Euklid selv har lagt Vægt paa denne Form, nærme 
vi os paa denne Maade noget til den Anskuelse, der har hersket siden de Mathematikere, 
som Pappos kalder de gamle; men vi tro ikke med disse, at Euklid og hans Samtid, som 
almindelig Betegnelse for Sætninger af denne Form, brugte det samme Navn som for Korol- 
larer, og at det er paa denne Maade, hans Skrift har faaet Navnet «Porismerne». Det er 
omvendt denne Titel, som er bleven Anledning til, at man senere har kaldt Setninger af 
den anforte Form Porismer. 


Niende Afsnit. 


Bestemmelse af Keglesnit ved fem Punkter; fjerde Bog af Apollonios’ Keglesnitslære; 
hans «sectio determinata». 


Bestemmelsen af Stedet til fire Linier har været noje knyttet til den Omstændighed, 
at dette Sted er omskrevet om den af de fire Linier dannede Firkant. Dels kan man nemlig 
vanskelig tænke sig, hvorledes nogen heraf uafhængig Paavisning af, at Stedet bliver et 
Keglesnit, har været mulig, dels stemmer denne Antagelse, som vi have set, i det mindste 
saalænge Firkanten er et Trapez, fuldstændig med alle foreliggende Oplysninger, og at Stedet 
for fire Linier ogsaa gaar igjennem den ny Vinkelspids, som indføres ved Udvidelsen til 
en almindelig Firkant, er — som vi have forudsat det i vor Gjenfremstilling — utvivlsomt 
ogsaa blevet bemærket. Bestemmelsen af Stedet til fire Linier er altsaa i sig selv en Be- 
stemmelse af et Keglesnit gjennem fire Punkter, og en Bestemmelse, som kan 
anvendes paa alle saadanne Keglesnit. 

Den nøjere Bestemmelse af et saadant, som haves i den opgivne Værdi af Forholdet 
mellem Rektanglerne af Afstandene fra Siderne, skulde for Grækerne, der ikke kunde tillægge 
dette Forhold et Fortegn, føre til to Keglesnit. Dette, som der intetsteds findes Tegn til, 
at den virkelig har gjort, kan, som alt bemærket, være undgaaet derved, at man, efterat 


16° 


124 
have bestemt et Punkt af Stedet, nøjedes med at betragte det Keglesnit, som gik gjennem 
dette Punkt. Maaske kan man ogsaa — som i Archimedes’ Form for et Keglesnits Ligning 
henfort til en Diameter — ligefrem have sat et vilkaarligt opgivet Kurvepunkt i Stedet for 
Konstanten. I hvert Tilfelde maa Grekerne have bemerket den noje Forbindelse, hvori 
Bestemmelsen ved Værdien af Forholdet staar med Bestemmelsen ved et femte Punkt. 
Reelt har Apollonios saaledes ved sin Fuldstendiggjorelse af Bestemmelsen af Stedet til 
fire Linier fuldstendig lost den Opgave at konstruere et Keglesnit gjennem fem givne 
Punkter. Ordet Keglesnit maa derved tages i den moderne Betydning, saaledes at en 
Hyperbels to Grene opfattes som et enkelt Keglesnit. 

Den Omstendighed, at vi have været nodsagede til denne Sprogbrug, for at Opgaven 
i Almindelighed skulde kunne loses, bidrager til at forklare, at den ikke findes behandlet i 
Apollonios’ Værk. Dette kan nemlig ikke, som da der var Tale om geometriske Stedbe- 
stemmelser, forklares ved at opstille en Formodning om, at en direkte Behandling af denne 
Opgave ikke vilde passe med dette Skrifts Formaal. Ligesom den Opgave at omskrive en 
Cirkel om en Trekant har faaet sin Plads i Euklids Elementer, saaledes vilde det være 
naturligt at medtage den Opgave at omskrive et Keglesnit om en Femkant eller at legge 
et Keglesnit gjennem fem Punkter i Keglesnitslerens Elementer, hvis man overhovedet 
havde naaet at give denne Opgaves Behandling en saadan Skikkelse og indpasset den saa- 
ledes i de strenge, vedtagne Former, at den her kunde medtages. Denne Formgivning har 
imidlertid frembudt sine Besværligheder, som ingenlunde have været overvundne derved, 
at man som sagt reelt har lost Opgaven, men i en anden Form end den, som vilde lade 
den passe med de Definitioner, hvorpaa, og den Plan, hvorefter Apollonios’ Lerebygning 
er opført. 

Vilde man nemlig uden videre stille den Opgave at lægge et Keglesnit gjennem fem 
Punkter, antager jeg, at en græsk Mathematiker, selv om han fuldstændig kjendte Bestem- 
melsen af Stedet til fire Linier, vilde begynde med at opfatte denne Fordring blot som en 
Sammenfatten i Ord af tre Opgaver vedrørende Ellipsen, Parablen og Hyperblen!). Den af 
disse, der vedkom Parablen, vilde han da snart finde at vere overbestemt, idet man af en 
Parabel hojst kan opgive fire Punkter. Bestemmelsen ved disse vilde tilmed blive en helt 
anden Opgave, som ikke er lost med Bestemmelsen af Stedet til fire Linier. Hvad Bestem- 
melsen af en Ellipse eller Hyperbel ved fem Punkter angaar, saa vilde der kreves en Dio- 
risme, som udtrykte de Betingelser, som de givne Punkter maatte tilfredsstille, for at der 


1) Halley synes at vere af samme Mening, for saa vidt han i sin Restitution af Apollonios’ Sde Bog 
stiller Sporgsmaalene om Bestemmelsen af hver enkelt af de tre Kurver særskilt. Som det ses, 
er jeg fremdeles enig med Halley i ikke at antage, at Bestemmelsen af Keglesnit ved 5 Punkter 
har hert med til dem, som Sde Bog indeholdt. Ved disse vilde Indholdet af 7de Bog nemlig ikke 
spille en saadan Rolle, som Fortalen angiver. 


virkelig derigjennem skulde kunne lægges netop den af Kurverne, som man forlangte. For 
Ellipsens Vedkommende vilde det maaske endog anses nodvendigt at sikre sig imod, at 
den gik over til en Cirkel, som Apollonios i sine Sætninger stadig nævner ved Siden af 
Keglesnittene, og saaledes ikke direkte regner med blandt disse, om han end derved lægger 
for Dagen, al han véd, at de almindelige Sætninger om Keglesnit ere anvendelige paa 
den, ligesom han ogsaa i første Bog har paavist to Rækker cirkulære Snit i skjæve Kegler. 
Selv om endelig Fordringen om Konstruktion af et Keglesnit forstodes rigtig saaledes, at 
Kurven efter Omstændighederne skal kunne blive Hyperbel, Parabel, Ellipse eller Cirkel, 
vedblev en Diorisme at være nodvendig for at sikre sig imod, at de fem Punkter fordeltes 
paa en Hyperbels to Grene, i hvilket Tilfælde man ikke havde faaet, hvad Grækerne forstode 
ved ét Keglesnit gjennem fem Punkter. 

At Apollonios ikke har medtaget Bestemmelsen af et Keglesnit ved fem Punkter, 
rober, at han ikke har gjennemfort en tilstrekkelig kort Losning af de her antydede for- 
melle Vanskeligheder. De dertil nodvendige Diorismer ere ganske vist ikke svære; men 
ligesom vi nutildags ikke pleje at lægge nogen stor Vægt paa en udtrykkelig Opstilling af 
Betingelserne for, at Keglesnittet gjennem 5 Punkter bliver en Ellipse, Parabel eller Hy- 
perbel, og i sidste Tilfælde paa en Undersogelse af, hvorledes Punkterne fordele sig paa 
dennes Grene, saaledes har den her berorte formelle Bearbejdelse heller ikke havt Interesse 
for Apollonios, netop fordi han havde de reelle Resultater paa et andet Punkt, nemlig i 
Bestemmelsen af Stedet til fire Linier.. 

Naar jeg siger, at ved denne Bestemmelse var Opgaven at lægge et Keglesnit gjen- 
nem fem Punkter reelt lost, saa mener jeg dermed, at man virkelig havde opnaaet det 
samme, som vi ved Losningen af denne almindelige Opgave, og at man virkelig var i Stand 
til at anvende denne Bestemmelse i de samme Tilfælde, hvor vi anvende den almindelige 
Konstruktion af et Keglesnit gjennem fem Punkter. Forst og fremmest indbefattes heri, 
at man kunde udfore Konstruktionen i alle enkelte Tilfælde, at man altsaa virkelig kunde 
legge en Ellipse eller Hyperbelgren gjennem saadanne fem Punkter, hvorigjennem der kan 
gaa en saadan. Dernæst var man i Stand til saadanne Anvendelser som den deraf at slutte, 
at to Keglesnit hojst skjære hinanden i fire Punkter. Endelig forelaa der Midler til de videre 
gaaende Undersogelser, som knytte sig til Bestemmelsen af et Keglesnit ved fem Punkter, 
saasom til at finde Betingelsen for, at dette i et af disse Punkter har en given Tangent. 
Det vil nu virkelig kunne paavises, at Grækerne i disse Retninger vare naaede saa vidt 
som her angivet, om end Forbindelsen med Bestemmelsen af Stedet til fire Linier ikke 
træder umiddelbart frem. 

Vi skulle begynde med, hvad der findes i selve Apollonios Keglesnitslere. I dette 
Verks fjerde Bog bevises, at to Keglesnit højst skjære hinanden i fire Punkter, og dette 
Resultat udstrækkes dernæst til de Tilfælde, hvor det ene af de to Keglesnit eller begge 


126 

ombyltes med to sammenhørende Hyperbelgrene, hvorved den oprindelige Sætning faar 
samme Udstrækning, som den vilde have efter moderne Sprogbrug. Af Fortalen til fjerde 
Bog!) ser man nu, at denne Sætning, indskrænket til to Keglesnit i den græske Betydning, 
er opstillet af Konon fra Samos, formodentlig Archimedes’ hojt skattede Ven i Alexandria, 
og at hans Besvisforelse med Rette blev angreben af Nikoteles fra Kyrene, som tillige 
bebrejdede ham ikke at have taget Udvidelsen med til det Tilfælde, hvor det ene Keglesnit 
ombyttes med to sammenhorende Hyperbelgrene. Apollonios tilfojer, at dog heller ikke 
Nikoteles eller nogen anden har bevist denne Udvidelse, og at Udvidelsen til det Tilfælde, 
hvor begge Keglesnit ombyttes med to sammenhorende Hyperbelgrene, overhovedet ikke er 
falden nogen ind. 

Disse Oplysninger passe meget godt sammen med de Opfattelser, som vi i det 
hele have gjort gjældende. 

Konons Bevis kan have været knyttel til Stedet til fire Linier, maaske til den 
derved erholdte Bestemmelse af et Keglesnit ved fem Punkter. J saa Fald har det i sin 
Grundtanke været fuldkommen korrekt, da det, for ad denne Vej at slutte, at to Keglesnit 
hojst kunne skjære hinanden i fire Punkter, er uvæsentligt, om der er Tilfælde, hvor man 
slet ikke kan lægge noget enkelt Keglesnit (efter de gamles Opfattelse) gjennem fem Punkter. 
Existensen af saadanne Tilfælde kan imidlertid let have foranlediget en virkelig eller tilsyne- 
ladende Urigtighed i Beviset. En saadan har da fremkaldt Modbemerkninger fra Nikoteles’ 
Side, idet han har gjort opmærksom paa, at der gives Tilfælde, da man ikke kan lægge et 
enkelt Keglesnit gjennem fem Punkter. Det ses da, at han tillige har vidst Besked om, at 
der i saa Fald existerer to sammenhorende Hyperbelgrene, som tilsammentagne gaa gjennem 
alle fem Punkter. I Betragtning heraf kan han da have betraglet det som overflødigt at 
bevise sin Udvidelse af Konons Sætning til det Tilfelde, hvor et af Keglesnittene ombyttedes 
med to sammenhørende Hyperbelgrene°). I alle Tilfælde fremgaar det udtrykkelig af Apol- 
lonios Bemærkninger, at til det, som Nikoteles har savnet hos Konon, maa have hort det 
rette Hensyn til sammenhorende Hyperbelgrene. 

Idet forst Apollonios har gjennemfort Beviserne for Udvidelsen af Keglesnitss&t- 
ninger til Forbindelsen af de to Hyperbelgrene, har Nikoteles’ riglige Paastand vistnok hvilet 
paa usikker Grund, og har tillige med den sidste Udvidelse forst kunnet godtgjores af 
Apollonios. Idet vi have set disse Udvidelsers nøje Forbindelse med den Hensigt at fuld- 
stendiggjore Bestemmelsen af Stedet til fire Linier og den deri indeholdte Konstruktion 
af et Keglesnit gjennem fem Punkter, finde vi, at der i det mindste er en indirekte Forbin- 


') Se Tillæg 

*) En mulig Forklaring al, at han saa ikke ogsaa medtog det lige sua simple Tilfælde, hvor begge 
keglesnit ombyttes med sammenhørende Hyperbelgrene, vil jeg faa Lejlighed tll at opstille i Slutnin- 
sen af fjortende Afsnit 


isen 


delse mellem denne Konstruktion og Apollonios Sætninger om Antal af Skjæringspunkter. 
Selv om den, som vi formode, har været mere direkte, kan dette ikke komme frem i hans 
Verk, hvor han kun kan bygge paa de Resultater, som ere udviklede i samme Verks tid- 
ligere Boger, altsaa ikke paa Sætninger om Stedet til fire Linier. 

Til Grund for Apollonios’ Beviser for Sætningerne om Antal af Skjæringspunkter 
ligger Polarsætningen. Holder man sig forelobig til det Tilfælde, hvor der kun er Tale 
om Keglesnit i antik Forstand, kan man paa folgende Maade [4de 
Bog 25] bevise Umuligheden af, at to Keglesnit skjære hinanden i 1° 
fem Punkter A, B, C, D, E (Fig. 35), som man kan antage at 74 
folge saaledes paa hinanden (paa et af Keglesnittene), at der ikke / | 
mellem to paa hinanden folgende findes noget andet Skjærings 


punkt. 


Polaren til Skjeringspunktet O mellem AB og CD maa 
være den samme for begge Keglesnit; thi den bestemmes ved de 
Punkter, som ere harmonisk forbundne med © med Hensyn til 
A og B og med Hensyn til C og D. Skar nu OF denne felles 
Polar i @, maatte begge Keglesnit gaa gjennem det Punkt F, som 
er harmonisk forhundet med Z med Hensyn til O og G; men 
dette Punkt F vilde tvertimod den opstillede Antagelse ligge imel- 
lem B og C. 


I 36 beviser Apollonios dernæst, at et Keglesnit (i antik Forstand) hojst skjærer to 


Fig. 35. 


sammenhorende Hyperbelgrene i fire Punkter, og i 53, at ligeledes to sammenhorende 
Hyperbelgrene hojst skjære to andre i fire Punkter. Han kommer til disse Resullater ved 
i foregaaende Setninger enkeltvis at undersoge de forskjellige mulige Fordelinger af Skjæ- 
ringspunkter paa de to sammenhørende Hyperbelgrene. Hertil benyttes dels den samme 
Anvendelse af Polaren som i 25, dels Betragtninger over Retningerne af Grenenes Kon- 
kavitet. 

Af specielle Tilfælde behandles kun de, hvor to Kurver have et Beroringspunkt 
med hinanden, i hvilket Tilfælde det vises, at Skjæringspunkternes Maximumsantal formind- 
skes med to. Derimod findes ingen Undersogelse om Indflydelsen af Parallelisme mellem 
Asymploter til to Hyperbler, eller mellem en Asymptote til en Hyperbel og en Parabels Axe. 
” Da imidlertid som nys berørt Figurbetragtninger spille en væsentlig Rolle i Undersøgelsen, 
og man endog blandt Apollonios’ egne Figurer, nemlig i Beviset for Sætning 53, finder en, 
hvor netop den omtalte Parallelisme indtræder, kan det ikke antages, at dette Tilfælde har 
været helt upaaagtet af de gamle. Apollonios viser ogsaa, som vi i det følgende nærmere 
skulle omtale, i Ste Bog, at han i saadanne Tilfælde véd rigtig Besked om Skjæringspunk- 
ternes Antal. 


4de Bog indeholder forevrigt kun Tillempninger af Polarsætningen til de her om- 
talte Anvendelser, samt et Bevis for, at to Keglesnit ikke kunne have nogen endelig Bue 
fælles. 

Hovedbeviset var, som vi saa, knyttet til en Anvendelse af Polarsætningen til af 
fem Punkter af et Keglesnit at bestemme et sjette. Ad samme Vej kunde man efterhaanden 
faa saa mange Punkter, som man vilde. Det samme kunde ogsaa opnaas ved Anvendelse 
af Potenssætningen, som tilmed giver et større Herredomme over, hvilke nye Punkter 
man vil bestemme. Man kan da opnaa ad denne Vej at bestemme konjugerede Diametre 
og derved Axerne. Netop denne Fremgangsmaade anvender Pappos i 8de Bog") til 
Bestemmelse af en Ellipse gjennem 5 givne Punkter — om hvilke det forud er be- 
kjendt, at der gaar en Ellipse igjennem dem. 

For det første kan man let, naar Punkterne A, B, C, D, E ere opgivne saaledes, 
at ikke to af Forbindelseslinierne ere parallele, ved Potenssætningen bestemme det Punkt 
F, hvori en Linie gjennem / parallel med AB skjærer Kurven, og det kommer altsaa kun 
an paa — hvad Pappos begynder med — at bestemme Keglesnittet gjennem saadanne 5 
Punkter (Fig. 36) A, B, D,E, F, hvor ABZEEF. I dette 
Keglesnit kjender man Diameteren til de parallele Korder A B 
og HF, og parallel med denne drages en Korde gjennem 
D, hvis andet Endepunkt Z soges bestemt derved, at 

Mer ner) IEL JID) 
BG.GA FH. AF, 
For ved Hjælp heraf at faa / konstrueret drager man DB, 


(1) 


og tænker sig 7A draget. Ere disses Skjæringspunkter med 


\ | EF Punkterne K og L, bliver det første af de i (1) opstil- 
\ | jede Forhold lige stort med 

\| IH HD 

|, ZOG. ER. 


og altsaa faas FH. HE = KH.HL, hvorved L, som atter 
bestemmer Z, konstrueres. For nu at faa bestemt Diameterens 
Skjæringspunkter S og 7 med Ellipsen anvendes paa ny Potenssætningen, som i Forbin- 
delse med de ligedannede Trekanter, der faas, naar man drager Linierne HD og IF, 


giver 
FH.HE _ FQ.QE _ FQ.QE 
TESTEN. OO "MO. OR 


altsaa TQ.QS = NQ. QM = bekjendt Størrelse. Paa lignende Maade finder man Vær- 
dien af TP. PS. 


1) Hultsch' Udgave S. 1076— 1085. 


129 


Den Maade, hvor Pappos dernæst bestemmer S og 7, falder nøje sammen med en 
Elimination af det ene af Punkterne, efterfulgt af en Bestemmelse af det andet ved en 
Ligning af anden Grad. Den forste af disse Operationer .simplificeres ved den Form, hvor- 
under de opgivne Verdier af 7Q.QS og TP.PS forelægges. Man bestemmer nemlig 
Punkter U og V paa Linien PQ, saaledes at 

TO: QS = 2@.0W 03. 712,228 = RO. We, 
hvor Punkterne ?, @, U, V ere bekjendte, medens S og 7 sages. Heraf udledes let 
Wis) Ou VE 
UQ TQ ~ Wes 


hvoraf GS. VS = UO. VP: 


For rigtig at vurdere de historiske Oplysninger, som faas ved de her angivne Kon- 
struktioner hos Pappos, maa man bemerke, at de ikke fremsættes for deres egen Skyld, 
men som Led i Behandlingen af en anden Opgave: at bestemme Radius i Grundfladen i 
en forelagt ret Cylinder, som ikke er begrænset af plane Snit. Der er saaledes ikke Tale 
om at give et nyt Bidrag til Keglesnitsleren, og Pappos gjor ikke Fordring paa andet end 
at gjore en Anvendelse, for hvilken han netop har Brug, af hvad der findes hos Apollonios. 
Idet Pappos forer en anden Opgave tilbage til denne Anvendelse, tor man antage, at den 
forekom ham nogenlunde nerliggende. Dette har den da ikke veret i mindre Grad i Apol- 
lonios’ Tid, da de Hjælpemidler, som Pappos udelukkende benytter, og som ikke i den 
lange Mellemtid havde faaet nogen videre Udvikling, bleve til, og sikkert netop bragtes saa 
vidt, fordi man gjorde Brug af dem. 

Hvad vi finde hos Pappos, stemmer saaledes fuldkommen med vor Antagelse om, 
at til de Maal, som de gamle virkelig naaede ved Setningerne i Apollonios’ tredie Bog, 
ogsaa horte Konstruktionen af en Ellipse gjennem fem saadanne Punkter, hvorigjennem 
man vidste, at der gik en Ellipse. Dette sidste er hos Pappos en Folge af, at det er 
opgivet om Punkterne, at de skulle ligge i et plant Snit i en Omdrejningscylinder. 

Derimod er Pappos’ Konstruktion ikke saaledes bygget paa Bestemmelsen af Stedet 
til fire Liner, som vi have ment, at den Konstruktion, der paa Apollonios’ Tid havde veret 
den mest nerliggende, vilde vere det. 

Dette finder imidlertid sin naturlige Forklaring deri, at Pappos, der er saa omhyg- 
gelig for at fore elementære Sætninger tilbage til Euklid, paa samme Maade benytter Apol- 
lonios’ 8 Boger om Keglesnittene som et Grundskrift, hvortil alt angaaende disse Kurver skal 
fores tilbage. Han bygger ikke paa Sætningen om Stedet til fire Linier, men giver en paa 
Apollonios’ 3die Bog støttet Bestemmelse af Ellipsen, der i Virkeligheden falder sammen 
med en Bestemmelse af denne som Sted til de fire Sider i Trapezet ÅB FE, Ved denne Be- 
stemmelse benytter han intet Hjælpemiddel, som gjer det umuligt, at det kan have været den, 


Vidensk. Selsk, Skr., 6, Række, naturvidensk. og mathem, Afd. III, 1, 17 


som Pappos har forefundet hos Aristaios og Euklid; men jeg ser ingen Grund, hvorfor ikke 
Pappos, eller den Mathematiker, hvis Undersegelse han refererer, selv skulde have gjort en 
saa let Anvendelse af Apollonios’ Keglesnitslere som den foreliggende. Havde Pappos fra 
Apollonios havt noget nærmere om hans Bestemmelse af Stedet til fire Linier, vilde han 
maaske bave folt sig bunden til at folge denne ogsaa i den sig dertil knyttende Konstruk- 
tion; men af Indledningen til 7de Bog fremgaar det‘), at han ikke besad noget saadant. 
Tilmed er den hos Pappos beskrevne Fremgangsmaade kun anvendelig, naar Diameteren 
PQ skjerer Kurven. Vi have derfor ved den Restitution af den paa Keglesnitslerens Ud- 
videlser ved Apollonios begrundede fuldstændige Bestemmelse af Stedet til fire Linier, som 
vi have forsøgt i 7de og Sde Afsnit, ikke kunnet bygge paa Pappos i andet end saadanne 
Hovedtræk som Anvendelsen af Potenssætningen og en forelobig Behandling af det Tilfælde, 
hvor de fire Linier danne et Trapez. 3 

Det er værd at lægge Mærke til, at Pappos’ Bestemmelse af Endepunkterne af Dia- 
meteren PG), som er Hovedsagen i hans Konstruktion, kan anvendes til direkte Konstruk- 
tion af Skjæringspunkterne mellem et ved fem Punkter bestemt Keglesnit 
og en vilkaarlig ret Linie. Det ligger da heller ikke fjernt at antage, at Apollonios 
har kunnet udføre det samme. I saa Fald kan der imidlertid paavises et simplere Hjælpe- 
middel, med hvilket han andetsteds har vist sig fortrolig, som, naar det først er bekjendt, 
at Stedet til fire Linier er et Keglesnit, kan benyttes til den samme Konstruktion. Det kan 
med saa rigt Udbytte anvendes til herhenhørende Undersøgelser, at vi føres til den Anta- 
gelse, at det netop er udviklet for disses Skyld. 

Vi tænke herved paa, at Apollonios har skrevet et helt Skrift, nemlig de to Bøger 


faar en given Værdi. Til denne Opgave lader Bestemmelsen af Skjæringspunkterne mellem 
l og et Sted til fire Linier sig nemlig umiddelbart omdanne, idet da A, B, C, D ere ls 
Skjæringspunkter med de fire Linier. Derfor vil det være af Vigtighed her at fremdrage 
alle foreliggende Oplysninger om det nævnte Skrift, som desværre er gaaet tabt. Disse 
Oplysninger maa alle søges hos Pappos. Han giver for det første i Begyndelsen af 7de 
Bog?) en kort Redegjorelse for Indholdet. Af denne ses det, dels at Behandlingen af den 
omtalte Opgave har udgjort Indholdet af disse Boger, dels at den er gjennemfort i et saa- 
dant Omfang, at det tor antages, at den er foretaget for andre vigtige Opgavers Skyld. Fra 
sin egen Vanskelighed har den blotte Losning af den anforte Opgave aldeles ikke kunnet 
hente nogen Interesse for Apollonios. At bestemme P af Ligningen AP.CP=4.BP.DP, 


1) Hultsch’ Udgave S. 636. 
*) Hultsch’ Udgave S. 642. 


hvor Forholdet 4 og Punkterne A, B, C, D ere givne, er nu tildags let for enhver, som 
kan elementær Mathematik, idet den opgivne Relation, naar man regner Afstandene til de 
forskjellige Punkter ud fra et fast Punkt, bliver til en Ligning af anden Grad, og med 
omtrent lige saa lidt Besvær kunde de græske Mathematikere ad tilsvarende Vej omdanne 
Opgaven til et Fladeanlæg. Fordres der derimod en saadan omhyggelig Diskussion, som 
behøves, naar Opgaven behandles for videregaaende Undersogelsers Skyld, og skal der 
ved denne Diskussion, som nærmest maa gaa ud paa at finde, naar der kommer to, én 
eller ingen Oplosning, tages Hensyn til de forskjellige Beliggenheder, de givne Punktpar 
AC og BD kunne have, om de skille hinanden eller ej, om Punkterne i samme Par falde 
sammen, eller det ene fjerner sig i det uendelige, saa bliver Opgaven strax temmelig vidt- 
loftig, og dens Behandling fører, om man end ikke udtrykkelig fremdrager den Række 
Punktpar, hvilke Ligningen bestemmer, naar man tillegger 2 forskjellige Verdier, og hvis 
Forbindelse nu kaldes Involution, dog faktisk til en hel Involutionstheori. De Punkter, 
som faas, naar 4 faar Grenseverdierne for Opleselighed, blive saaledes Involutionens Dobbelt- 
punkter. 

Nu se vi hos Pappos, at Apollonios virkelig har gjennemfert en saadan Under- 
søgelse, som har været betydelig vidtleftigere paa hin Tid, da man ikke regnede Stykkerne 
med Fortegn, og da et opgivet A, der vilde svare til + 2 i Nutiden, kunde give indtil 4 Punk- 
ter. Der er af Apollonios taget Hensyn til det Tilfælde, hvor et af de to Rektangler ombyttes 
med et Kvadrat, altsaa hvor f. Ex. A og C falde sammen, til det, hvor et ubekjendt Linie- 
stykke f. Ex. CP ombyttes med et givet, hvilket vilde svare til, at C fjerner sig i det uen- 
delige, og særlig har man beskjeftiget sig med Maximums- og Minimums-bestemmelser, 
altsaa med Bestemmelsen af Involutionens Dobbeltpunkter. Endnu en Interesse knytter der 
sig til selve den stillede Opgave, nemlig den ikke blot at finde en saadan algebraisk Los- 
ning, som umiddelbart fremgaar af bekjendte Operationer, men ogsaa at komme til en 
mere elegant geometrisk Løsning. En saadan fremgaar af Betragtning af Skjæringspunk- 
terne mellem et Cirkelbundt og en ret Linie, særlig Bundtets Centerlinie. Hvis man tor 
anse el lille Stykke af Pappos’ Redegjorelse, som Hultsch meddeler mellem Klammer, for 
ægte, har ogsaa Apollonios foruden den algebraiske Løsning, som i sin geometriske Form 
ogsaa paa hans Tid var lettest at finde paa, givet en serlig sindrig Losning ved Halvcirkler, 
som vistnok netop har knyltet sig til et Cirkelbundts Egenskaber. 

Disse gode og fuldstændige Oplysninger om det almindelige Indhold i Apol- 
lonios’ tabte Værk bekræftes i al Almindelighed ved de Hjælpesætninger, som Pappos med- 
deler længere hen i 7de Bog"). Derimod er det her som overall kun tilfældigt, naar man af 


Hjælpesælningerne kan udlede et og andet om Apollonios’ Behandling af Enkelthederne. 


!) Hultsch’ Udgave S. 704 ft. 


Man kan af den første Hjælpesætning!) slutte, at Apollonios i det Tilfælde, hvor 
À == 1, og hvor man altsaa skal bestemme P (der da bliver Involutionens centrale Punkt) 
af AP. PC = BP. PD, har benyttet Relationen 

IE ASS THON 
DP AD). DC 

For denne Relation forer Pappos nemlig flere Beviser, og det er da rimeligt at 
antage, at Apollonios enten har brugt den uden særligt Bevis, idet den jo let efter at være 
udlalt lader sig verificere ved geometrisk Algebra eller ved Proportionslæren, eller at han 
ikke har taget de systematiske Hensyn til Euklids Elementer, som krævedes paa Pappos’ 
Tid. For øvrigt ter det sikkert antages, at Apollonios ogsaa har kjendt den nærliggende 
geometriske Losning af denne Opgave ved Potenslinien til Cirkler gjennem A og C og 
gjennem B og D. 

Man kan fremdeles af flere af Hjælpesætningerne, f. Ex. Sætning 407), slutte, at 
Apollonios sandsynligvis i sin Grænsebestemmelse for Opgavens Mulighed har bestemt et 
Dobbeltpunkt Æ i den ved Punktparrene A, C og B, D givne Involution ved 

APN CE AID IDG —= 12219723 ID IT. 

Muligvis kan man fremdrage flere lignende Enkeltheder angaaende Resultaternes 
Form i Apollonios’ tabte Skrift og deres Begrundelse. Da vi dog alt af Indholdsangivelsen 
vide, hvor langt han naaede, og da vi kjende de rigelige Midler, som ved denne elementære 
Undersogelse have kunnet benyttes for at naa saa vidt, har en videre Eftersporing af disse 
Enkeltheder ikke synderlig Interesse, i det mindste saa lenge den ikke kan fremdrage 
direkte Oplysninger om en Forbindelse mellem Studiet af Involution og Porismernes 
Bestemmelser af projektive Punktrækker. 

Derimod vilde positive Oplysninger om, hvortil den udviklede Involutionslere har 
været benyttet, vere af stor Betydning. Da man imidlertid ogsaa uden saadanne tor antage, 
at et saa betydeligt og, som vi vide fra den moderne Geometri, saa fortrinligt Værktøj, 
kun er blevet til i dens Haand, som har forstaaet at bruge det, og da Grekerne paa Apol- 
lonios’ Tid i deres Viden om, at Stedet til fire Linier er et Keglesnit, vare fuldstændig i 
Besiddelse af Betingelserne for, netop at anvende det paa det Omraade, hvor det nu 
bruges med storst Udbytte, er der al mulig Grund til at tro, at det virkelig er paa dette 
Omraade, at man har anvendt det. I denne Opfattelse af det nævnte Skrifts Betydning vil 
man blive bestyrket ved i det folgende at se, at ogsaa Apollonios andre Smaaskrifter lose 
Opgaver, til hvilke Sætninger i Keglesnitsleren have givet den naturligste Anledning, og 
som frugtbargjore disse Setninger. 


1) Hultsch’ Udgave S. 704. 
2) Hultsch’ Udgave S. 732. 


133 

Mest umiddelbart turde da «det bestemte Snit» vere anvendt til Bestemmelsen af 
en ret Linies Skjæringspunkter med et Keglesnit, der er givet som Sted til fire Linier 
eller ved 5 Punkter. Men har dette været Tilfældet, saa have Diorismerne i det anførte 
Skrift umiddelbart fort til lige saa mange Sætninger om Keglesnittene. Bestemmelsen af 
Grænsetilfældene for Konstruktionens Mulighed eller af Involutionens Dobbeltpunkter har 
indeholdt Bestemmelsen af et saadant Sted til fire givne Linier — eller Keglesnit gjennem 
fire Punkter — som berorer en given ret Linie; den nys anforte Betingelse for, at et Punkt 
E er Dobbeltpunkt i en Involution, har kunnet benyttes til Konstruktion af Tangenten til 
et Sted til fire Linier, eller et Keglesnit gjennem 5 Punkter, i et af dets Punkter o.s. v. 

Som nojere Vejledning til at se, hvor langt man kan være naaet ad denne Vej, kunne 
de nuværende Anvendelser af Desargues’ Sætning tjene, idet Anvendelsen af den Egen- 
skab ved et Keglesnit at være Sted til fire Linier paa dets Skjæringspunkter med en ret 
Linie i sig indeholder den anforte Setning. Dog maa det bemærkes, at det ikke synes at 
være ad denne Vej, at Grækerne have fundet Hovedsætningerne om Pol og Polar, som nu 
pleje at hore til de vigtigste Anvendelser af Desargues’ Setning. 

Videre kan man vere kommen ved at kombinere Involutionsleren og Porismernes 
projektive Punktrækker, som maaske endog fra forste Færd ere optraadte i indbyrdes For- 
bindelse; men lad os standse med disse Forsog for ikke at tillegge de greske Geometrer 
saadanne Enkeltheder, som dog slet ikke kunne kontrolleres. Ved at gaa videre vilde vi 
hos Læserne maaske nermest blot fremkalde Sporgsmaal dels om, hvor vi mene, at Græ- 
kerne skulde have nedlagt alle de Anvendelser af Læren om projektive Puntkrekker og 
Involution, som vi have tillagt dem ud over det, som findes i den opbevarede Literatur, 
dels om de Grenser, vi ville sette for, hvad de overhovedet kunne have naaet. 

Det forste Sporgsmaal vil i fjortende Afsnit blive besvaret i en storre Sammenheng. 
Idet vi der overhovedet tro at godtgjore, al mange videregaaende Specialundersogelser, som 
Grekerne have udfort, kunne vere gaaede fuldstændig tabt, bliver det for Enkelthedernes 
Vedkommende umuligt at sætte en Grænse for, hvor vidt navnlig Apollonios og hans ner- 
meste Disciple kunne vere gaaede i Anvendelserne af de nys nævnte Hjælpekilder, som 
Euklid og Apollonios have udviklet; thi her gjælder det, at jo videre man kommer, desto 
flere nye Sporgsmaal rejser der sig, og desto flere Midler har man til at besvare dem. 
En vigtig Grænse af mere almindelig Natur lader sig dog sætte. For de projektive 
Bundiers og Punktrækkers Vedkommende have vi allerede anført denne, naar vi have sagt, 
at de gamle kjendte og sikkert anvendte de forskjellige Former for disses Forbindelse, 
men uden at sammenfatte dem i det felles Begreb Projektivitet. Heller ikke se vi 
Involutionen opstillet som en fælles Sammenheng for en uendelig Række Punktpar, der 


atter deler sig i to projektive Punktrækker. 


Hermed er ikke sagt, at Forérne, hvem de store Fremskridt skyldtes, have savnet 
saadanne Overblik som dem, vi nu have udtrykt i de almindelige Begreber Projektivitet og 
Involution. Det maa vel netop vere saadanne faktiske Overblik, som have sat dem i Stand 
til at velge de hensigtsmessigste enkelte Former for disse Forbindelser, og disses indbyrdes 
Sammenheng kunne have staaet dem personlig saa klart, at de end ikke have folt nogen 
Opfordring til at soge at give dem et almindeligt Udtryk. Et saadant har heller ikke veret 
nødvendigt for at faa de mindre betydelige Disciple og Efterfølgere til at anvende de dem 
meddelte enkelte Methoder paa de bestemte Opgaver, som stilledes dem; ja til selvstendig 
at arbejde videre i Enkelthederne. Den udtrykkelige Opstilling af de almindelige Principer 
er derimod nødvendig, naar ogsaa Efterfølgerne skulle kunne overse, hvilke Hjælpemidler 
man har til sin Raadighed indenfor et vist Omraade, og derved bevare det vundne Herre- 
dømme over dette. 

Selv meget vidtgaaende Enkeltundersøgelser kunne glemmes; men naar de sammen- 
holdes og gjøres tilgængelige ved simple almindelige Betragtningsmaader, vilde deri haves 
en Betingelse for, at baade disse Principer og deres Anvendelser bleve bevarede. At det 
ikke er blevet Tilfældet, vidner om, at paa det Omraade, som beskjæftiger os, en Opstilling 
af almindelige Principer er udebleven. 


Tiende Afsnit. 


Om Bestemmelsen af solide Steder. 


Vi have i det foregaaende set, hvad vi ogsaa andetsteds fra faa Bekræftelse paa, at 
de gamle kjendte en stor Mængde geometriske Steder for Punkter med en opgiven 
Egenskab. Apollonios har skrevet to Bøger, som vel ere gaaede labt, men om hvilke vi 
faa Oplysning hos Pappos!), om plane Steder, 9: saadanne, som udelukkende blive rette 
Linier og Cirkler. Om et fyldigt Kjendskab til saadanne "vidner endvidere den Omstændig- 
hed, at en stor Mængde af Euklids Porismer ved Løsningen af de deri indeholdte Opgaver 
vilde omdannes til Stedtheoremer. Hvad solideSteder angaar, eller saadanne, som blive 
Keglesnit, saa indeholder Keglesnitslerens Sætninger indirekte mange saadanne, om de 
end hos Apollonios udtales som Egenskaber ved Keglesnittene, og det ikke omvendt paa- 
vises, at Punkter med en opgiven Egenskab nødvendigvis ligge paa Keglesnit, og hvorledes 


1) Hultsch' Udgave, S. 660 ft. 


dette derved kan bestemmes. Saaledes ville alle de Sætninger, som vi have betegnet som 
Fremstillinger af Keglesnittet ved en vis Ligning eller Frembringelser af Keglesnittet, i 
Virkeligheden falde sammen med Stedsetninger. Mere direkte synes derimod Stedsætningerne 
at vere komne frem i et saadant Skrift, som Aristaios’ Bøger om solide Steder, og naar 
Apollonios i Fortalen til Keglesnitslæren blandt de solide Steder, til hvis Bestemmelse og 
Diskussion Setningerne i tredie Bog skulle vere nyttige, fremhæver Stedet til fire Linier, 
ter det antages, at det gjælder om de andre som om dette, at de ingenlunde ere blotte 
Omskrivninger eller Omvendinger af de i denne Bog udtrykkelig forekommende Sætninger. 
I Henhold til Euklids Porismer have vi opstillet den Antagelse, at en stor Del af de Steder, 
hvortil Apollonios sigter, vare de Kurver, som under forskjellige Former frembringes ved 
projektive Liniebundter. 

Apollonios’ Oplysninger om Anvendelsen af tredie Bog til Bestemmelsen af solide 
Steder sigte imidlerlid næppe udelukkende til Steder, der forud vare bekjendte med de Ind- 
skrænkninger, som hævedes ved Apollonios’ Udvidelse af bekjendte Sætninger til sammen- 
horende Hyperbelgrene. Han vil vistnok tillige fremhæve den Nytte, som de kunde gjore, 
naar man fik stillet eller i-en Undersøgelse stødte paa den Opgave at finde Beskaffenheden 
af det geometriske Sted for Punkter, der tilfredsstille en opgiven Betingelse. 

At dette nelop stemmer med den Brug, som de gamle gjorde af geometriske Steder, 
se vi af Begyndelsen af Pappos’ 7de Bog"). De ældre Skrifter, som omhandles og kom- 
menteres i denne Bog, til hvilke foruden en Del mere elementere Verker ogsaa Appol- 
. lonios’ Keglesnit og Euklids Porismer here, skulle nemlig vere nyttige «for dem, som, 
efterat vere komne ud over de forste Elementer, ved Konstruktion af Linier ville 
erhverve sig Ferdighed i at lose stillede Opgaver», 9: Ferdighed i at lose Opgaver ved 
Benyttelse af geometriske Steder. Man maatte allsaa, for at løse Opgaver, finde Beskaffen- 
heden af geometriske Steder, bestemte ved en geometrisk Egenskab, deriblandt ogsaa 
saadanne Steder, som vare Keglesnit. Der stilledes saaledes Opgaver, der krævede Be- 
stemmelser af nye solide Steder. 

Et Vidnesbyrd om, at man var sig bevidst, at der kan stilles et ubegrænset 
Antal Opgaver om Bestemmelse af geometriske Steder, haves ogsaa i en senere Ytring af 
Pappos, der rigtignok umiddelbart kun vedrører «plane Steder». Han bebrejder nemlig”) 
nogle nyere Forfattere, at de have føjet nye Bestemmelser af plane Steder til dem, som de 
gamle have fundet det rigtigt udtrykkelig at opstille, og bemærker dertil, at der vilde 
blive uendelig mange Steder, hvis en vilde samle alt herhen hørende. Det 


maa da ogsaa være Pappos' Mening, at der i de Værker, som han kommenterer, ej blot 


!) Hultsch’ Udgave, S. 634. 
>) Hultsch' Udgave, S. 662, 


136 

forelægges Setninger, som kunne benyltes Lil Beviser for Rigtigheden af de en Gang 
bekjendte Stedsætninger, men ogsaa Hjælpemidler til Bestemmelsen af nye Steder. Vi 
have saaledes her et Vidnesbyrd — hvis det behovedes, efterat man har set, at de gamle 
faktisk have naaet Kjendskab til saa mange geometriske Steder — for at man i Oldtiden 
ej blot beskjæftigede sig med de Stedsætninger, som de theoretiske Undersogelser af sig 
selv havde fort med sig, men udtrykkelig gav sig af med de Undersogelser, som Chasles 
i sit Skrift om Euklids Porismer kalder Stedproblemer!). Det har sin store Betydning 
for vor Indsigt i den gamle Geometri at prove, hvilke Hjælpekilder og Veje de gamle 
havde til deres Raadighed ved saadanne Undersogelser. For at vurdere dem rigtig, vil det 
vere hensigtsmæssigt at sammenligne dem med den analytiske Geometris Behandling af 
de samme Opgaver, noget, som tilmed kan ske uden nogen overordentlig stor Afvigelse fra 
den gamle analytiske Methodes egne Former. i 

Først er det selvfølgeligt, at ethvert Fremskridt i Læren om ret Linie, Cirkel eller 
Keglesnit giver nye Midler til Bestemmelse af plane eller solide Steder for Punkter, der 
tilfredsstille opgivne Betingelser. Ganske særlig vil dette gjælde om enhver ny Stedsætning, 
selv om den forelægges i den mindre fuldstændige Form som et zog, hvis Fuldstændig- 
gjørelse ved den nøjere Bestemmelse af den rette Linie, Cirklen eller Keglesnittet ikke 
kræver nogen særlig Opfindsomhed. En ny Stedsætning giver nemlig en Form mere, 
hvortil man kan haabe at omdanne de omspurgte Steder og derved faa dem bestemte. Den 
spiller i denne Henseende samme Rolle som i den analytiske Geometri en ny Form, som 
Ligningen for den tilsvarende Kurve faar ved. Henførelse til et andet Koordinatsystem eller 
ved nye Konstantbestemmelser. 

Der kan heller ingen Tvivl være om, at de mange bekjendte Sætninger virkelig 
have spillet denne Rolle, idet de have forsynet den, der kjendte dem, med en Rigdom af 
Tilknytningspunkter, som man ikke har undladt at benylte, hvor man kunde det, til Be- 
handling af Stedproblemer. Denne Vej, der vistnok er den bedste, naar man selv vil finde 
nye Stedsætninger for at give andre Stedproblemer at løse, kan ogsaa ofte føre til den 
hurtigste Løsning af disse, men den giver ikke Vished for altid og sikkert at komme 
til dette sidste Maal. Detle opnaar man i den analyliske Geometri ikke ved Kjendskab til 
de mange Ligningsformer, men netop ved at fastholde de faa Grundtyper for disse, 
nemlig Ligningen af første Grad for den rette Linie, af anden for Keglesnit i Forbindelse 
med de væsentlige Simplifikalioner, som faas, naar Keglesnittet bliver en Cirkel eller en 
Parabel eller har en særlig simpel Stilling til Koordinatsystemet. 

Vi skulle undersøge de hermed beslægtede Hjælpekilder til Løsning af Sted- 
problemer, som stode til Grækernes Raadighed, og dertil, saa vidt der foreligger 


1) Se Noten Side 120—121. 


137 


Midler dertil, knytte en Undersøgelse af, hvorvidt de virkelig have brugt disse Hjælpe- 
midler. 

Naar en Opgave angaaende en Stedbestemmelse var forelagt, kunde, som vi alt 
have berort i 3die Afsnit, de gamle ganske som vi foretage en Analysis ved at henfore et 
vilkaarligt Punkt af Stedet til ct Koordinatsystem, og da udtrykke den opgivne Egenskab 
ved en Ligning mellem Koordinaterne. De Systemer, som de forstode at bruge, vare, som 
vi have set, dels Parallelkoordinater, dels saadanne, som let kunne tenkes ombyttede 
med Parallelkoordinater. De i disse andre Systemer yderligere indgaaende Punkter og 
Linier gave endnu rigeligere Midler, end vi have dem i de nogne Parallelkoordinatsystemer, 
til at træffe saadanne Valg, som man alt forud kunde se vilde give Ligningen en simplere 
Form. Ligninger af højere end første Grad i de opgivne konslante og i de variable Ster- 
relser maatte opstilles paa de i vort forste Afsnit beskrevne Maader, nemlig dels ved Om- 
bytning af vore Produkter af Linier med Arealer, dels ved Ombytning med Voluminer, dels 
endelig ved Anvendelse af Forhold til Indforelse af yderligere Faktorer. Den rumlige Frem- 
stilling og Indforelsen af variable Faktorer som Forhold vare dog for besværlige til, at 
Methoden kunde finde nogen videre Anvendelse udover Bestemmelsen af Kurver af anden 
Orden eller solide Steder. 

For saa vidt den fundne Ligning faldt ind under eller umiddelbart lod sig omdanne 
til en allerede bekjendt Form, vilde man ved Anvendelse af den for denne bekjendte Bestem- 
melse faa det søgte geometriske Sted fuldkommen bestemt. Det gjælder derfor her om at 
faa et Overblik over de simpleste bekjendte Former, som vi direkte vide eller med Sikkerhed 
kunne slutte at have staaet til de græske Mathematikeres umiddelbare Raadighed. I For- 
bindelse hermed skulle vi opsøge de Anvendelser til Stedbestemmelse, som ere gjorte af 
hver enkelt. 


1. At Grekerne vidste, at Stedet bliver en ret Linie, naar Ligningen enten hen- 

herer under Formerne: 

ax+by+C— 0, y —= ax+e, 

hvor vi som tidligere ved græske Bogstaver betegne Forhold (rene Tal), ved de smaa latinske 
Længder og ved de store latinske Arealer, eller naar den ved Ombytning af det benyttede 
mere sammensatte Koordinatsystem med et Parallelkoordinatsystem vilde antage denne Form, 
er klart. En saadan Ligning vil nemlig ved en Flytning af Koordinatsystemet, som ikke 
voldte dem nogen Vanskelighed, — f. Ex. til Liniens Skjeringspunkt med en af Koordinat- 
axerne — antage Formen y — au. 

Vi have ogsaa ved Apollonios’ geometriske Fremstilling af Ligningen for et Kegle- 
snit y? — pa + ax? set, at han fremstillede p + ax som Ordinat til en ret Hjælpelinie. 
De angivne Former ere for oyrigl indbefattede specielt i saadanne, som i Euklids Poris- 
mer, særlig det bekjendte forste Porisme, ere udtrykte geometrisk. 


Videnskab. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og math. Afd. III. 1. 18 


138 


Et mere direkte Vidnesbyrd om Brug af denne Fremstilling finde vi i Pappos’ 
Résumé af Indholdet af Apollonios’ tabte Værk om plane Steder”). Blandt de til første 
Bog hørende Sætninger findes følgende — af hvilken vi blot udelade de særlige Opstillinger 
af specielle Tilfælde — opfert som Nr. VI: 

Hvis man fra et Punkt til to i Beliggenhed givne rette Linier drager rette Linier 
under givne Vinkler, og Summen af den ene af disse og en saadan, som staar i et givet 
Forhold til den anden, er givet, vil Punktet ligge paa en ret Linie af given Beliggenhed. 

Dette er en udtrykkelig Angivelse af, at Ligningen 

atay = b, 
hvor dog a og b ere positive, fremstiller en ret Linie. 

Om at man paa Apollonios Tid forstod videre at anvende saadanne Fremstillinger, 
vidner dernæst en saa almindelig Sætning som den næste (VII), der gaar ud paa, at dei 
geometriske Sted for et Punkt, der er bestemt saaledes, at Punktets Afstande fra et vil- 
kaarligt Antal rette Linier, givne i Beliggenhed, tilfredsstille en Ligning af forste Grad, 
bliver en ret Linie. Saaledes som den er opstillet, er den dog underkaslel den Begræns- 
ning, at Ligningen er forudsat homogen i de variable Afstande fra Linierne, og at et af 
Leddene har modsat Fortegn af alle de øvrige. 


2. At Ligningen i retvinklede Koordinater 
ety?tar+bytC—0 
fremstiller en Cirkel, ses ved en Flytning af Koordinatsystemet og Anvendelse af den pytha- 
goræiske Sætning; men for ad denne Vej at vide det, maa man kjende Bestemmelsen af 
det Punkt, Centrum, hvortil Begyndeisespunktet skal flyttes. Det Kunstgreb, der anvendes 


ved denne Bestemmelse, er som bekjendt blot en dobbelt Anvendelse af det samme, som 
2 


a? b 
benyttes ved Løsningen af Ligninger af anden Grad (nemlig Addition af py re for at 


trække az og by ind i de kvadratiske Led), og dermed vare Grækerne, som vi have set, 
fortrolige allerede for Euklids Tid. 

Der lader sig dog ikke med Bestemthed paavise nogen virkelig Brug af denne dob- 
belte Anvendelse af en bekjendt Fremgangsmaade. Af Apollonios plane Steder kan 
man imidlertid se, at Grækerne i hvert Fald i Resultatet have naaet det samme om end ad 
en noget anden Vej, som maaske ogsaa paa Forhaand maatte siges at ligge dem nærmere. 
Vi have nemlig (særlig i fjerde Afsnit) fremhævet, at de Ligninger, som de gamle udviklede, 
ej blot afvige fra vore algebraiske Fremslillinger af dem ved at indeholde Arealer i Stedet 
for vore Produkter af Længder, men ogsaa ved at give i enkelte Led, hvad vi udtrykke i 
flere. I modsat Fald segte man snarest muligt at opnaa dette ved en Sammentrekning. 


1) Hultsch: Pappos, S. 660—671. 


139 


I ovenstaaende Ligning for Cirklen vil man da strax for 4° + y” have sat Kvadratet 7* paa 
Afstanden fra Begyndelsespunktet, og ae by+ C vil vere trukket sammen f. Ex. til 
Rektanglet af Linien a og det Stykke, som paa en Parallel med Abseisseaxen afskjæres 
mellem Punktet (x, y) og den rette Linie ax + by + C — 0. Dette sidste Rektangel er 
ligt det, der dannes af Punktet (x, y)’s vinkelrette Afstand fra denne rette Linie og af en ny 
konstant Længde a’. I det retvinklede Koordinatsystem med samme Begyndelsespunkt og 
med Ordinataxen parallel med ax + by + C — 0, vil Cirklen saaledes vere fremstillet 


ved en Ligning af Formen 
r? + a (x —c) == 


idet 2 — e er den ny Ligning for Linien aa + by + 
afskjæres paa den ny Abscisseaxe mellem et fast Punkt og Fodpunktet af Ordinaten til Kurve- 


7 
= 0, e— x altsaa det Stykke, som 


0 
C 
punktet (x, y). At denne ny Ligning fremstiller en Cirkel, udtales udtrykkelig af Apollonios i 
det 3die af de plane Steder i anden Bog, som Pappos anfører"). Til at se Rigligheden af 
denne Sætning kræves kun en enkelt Anvendelse af det for omtalte fra Losningen af Lig- 
ninger af anden Grad kjendte Kunstgreb. 

Ved at gaa videre i Benyttelse af anden Bog af Apollonios’ plane Steder vil man, 
her som nys ved den rette Linie, faa bekreftet, at de gamle virkelig have benyttet de anforte 
Hjælpemidler. Sætning V i Pappos’ Redegjorelse er nemlig af en saa almindelig Natur, 
at der ikke paa Forhaand frembyder sig noget Koordinatsystem, i hvilket det beskrevne 
Steds Ligning antager en simplere Form end Ligningen for en aldeles vilkaarlig Cirkel. 
En Reduktion af den nys beskrevne Art, der ganske vist kan have havt den specielle Sæt- 
ning IV til Mellemled, maa altsaa vere foretaget for at godtgjere, at Stedet virkelig er en 
Cirkel. 

Setningen gaar ud paa, at det geometriske Sted for et Punkt, der bestemmes saa- 
ledes, at Summen af Arealerne af Figurer ligedannede med givne, som konstrueres paa dets 
Forbindelseslinier med et vilkaarligt Antal givne Punkter, har en given Storrelse, 9: saaledes, 
at Kvadraterne paa Forbindelseslinierne tilfredsstille en Ligning af forste Grad (med positive 
Koefficienter), er en Cirkel, I Sætning IV betragtes kun to Punkter. 

At Stedet ogsaa bliver en Cirkel, naar der i denne Ligning tilføjes Led af Formen 
az, hvor & er Projektion paa en fast Linie af det løbende Punkts Afstand fra et fast Punkt, 
udtrykkes i en noget mindre almindelig Form i VI. 

3. Ligningen 

y = ax? + br + C 
kan, naar den derved fremstillede Kurve skjærer Linien y = 0, omdannes til den vel be- 
kjendte Form y? —= pr + ar”. I alle Tilfælde kan man ved en enkelt Anvendelse af det 
til Løsning af kvadratiske Ligninger anvendte Kunstgreb komme til Formen: 


1) Hultsch’ Udgave, S. 666. 


LE = ax? + ID, 
hvoraf vi have truffet en geometrisk Iklædning i Apollonios’ forste Bog [41], og som saa- 
ledes ogsaa var bekjendt. 

Paa Anvendelse af Ligningsformen 3 giver Pappos nogle Exempler, hvis ind- 
byrdes Sammenheng indeholder Oplysninger, som ogsaa i andre Henseender ere af Vig- 
tighed. 

I det første") bestemmes det geometriske Sted for Vinkelspidsen B (Fig. 37) i en 
Trekant A BC, hvor Vinkelspidserne A og C ligge fast, naar 7 C — 27 A. Nedfeldes 

Perpendikuleren BD, og afsættes DE — CD, bliver 
aabenbart AE — BE. Denne Ligning kan skrives 

he BD? = AR? DE? 
som, naar BD opfattes som Ordinaten y, og naar D’s 


2 en \ Abscisse æ tænkes regnet ud fra et hvilket som helst 
A Z E HD € Punkt af Linien AC, aabenbart har den forlangte Form. 
Ifølge de gamles Behandlingsmaade udvikles dog ikke de to 
Led paa hojre Side til en treleddet Storrelse, men trækkes 


tvertimod sammen til ét Led efter den bekjendte Regel for Omdannelse af Kvadraters Dif- 
ferens. Naar EZ — DE, faar man 

BD? = AD. AZ. 
Nu er CD — 1CZ. Bestemmes da H ved CH = 1CA, bliver Differensen DH — 
4ZA. Ligningen bliver da til 

BD? — 3AD.HD, 
som udtrykker, at B ligger paa en Hyperbel med Toppunkterne A og H. Den til denne 
Axe hørende Parameter er 3 ÅH. Naar omvendt en Hyperbel, hvis Parameter er 3 Gange 
saa stor som Hovedaxen, er given med Axen AH, kan man bestemme Punktel C ved at 
afsætte AC = 1 AH. 

Det ses, at den nærmere Bestemmelse af det geometriske Sted her deduceres af 


den opgivne Egenskab med samme Sikkerhed og — naar man blot stadig fester sin Op- 

mærksomhed paa Figuren — omtrent med samme Lethed som ved den analytiske 
Geometri. 

Pappos tilfojer en anden Bestemmelse af det samme 

TEN Sted, som «nogle» have benyttet. Omskriver man en Cirkel 

= ra om Trekant ABC (Fig. 38, hvor Bogstaverne have samme 


Betydninger som paa Fig. 37), og er FG vinkelret paa Midten 
Hig 38: af AC, er Z FCG = ZA=—12ZC. Altsaa bliver. 


') Hultsch’ Udgave, Side 280—285. 


AF AG AC 
I) AGB CBE. 


hvoraf, idet AF = 1 AC, 

BD? + CD? 
ED? 

Af den sidste Ligning, der aabenbart har den her behandlede Form, slutter Pappos umid- 

delbart, at Stedet er en Hyperbel?). 


CB =2FD eller 4. (a) 


At allerede Euklid i et andet Tilfælde har gjort den samme Slutning, kan ses af 
Pappos’ anden Hjælpesætning til Euklids Overfladesteder?). Naar Pappos nemlig der opstiller 
og fører et fuldstændigt Bevis for, at det geometriske Sted for de Punkter, hvis Afstande 
fra et givet Punkt og en given Linie staa i et givet Forhold (som paa Fig. 38 B fra C og 
fra Linien FG), er en Ellipse, Parabel eller Hyperbel, efter som Forholdet er = I, saa maa 
Euklid i det anforte Skrift have benyttet dette, og Trangen til en Hjælpesætning maa vere 
kommen af, at han ikke beviser det. Han maa altsaa betragte det som indlysende eller 
bekjendt. Gjor han det forste, maa det vere i Kraft af, at Ligningen faar den Form, hvor- 
med vi her beskjeftige os, hvorefter man let har kunnet verificere de angivne Betingelser for, 
at Kurven bliver en Ellipse, Parabel eller Hyperbel. At han faar disse Betingelser med, gjør 
dog den Antagelse rimeligere, at han benytter en Sætning, som forud var bekjendt, og 
denne Antagelse stemmer da ogsaa med, at det er den samme Setning, der uden selv at 
bevises har faaet Anvendelse paa de to forskjellige Steder, som vi her have anfort. 

Er denne Antagelse, at Henforelsen af et Keglesnit til Brendpunkt og Ledelinie 
var vel bekjendt, rigtig, tor man ikke benytte Pappos’ umiddelbare Anvendelse af Ligning (a) 
som Exempel paa almindeligt Kjendskab til Ligningsformen y? = az?+b6b24+C. Til 
Gjengjeld have vi imidlertid saa faaet en ny speciellere Form, hvortil det kan vere fordel- 
agtigt at reducere ogsaa andre af de Ligninger, der henhore under den samme almindelige 
Form. Endvidere vil Pappos’ Bevis for de forudsatte Sætninger give nye og meget lære- 
rige Exempler paa de Kunstgreb, som anvendtes under den virkelige Behandling af Ligninger 
af den her omhandlede Form. 

Er der (Fig. 39, hvor vi have bibeholdt Bogstaverne fra Fig. 38) givet 

BD? + CD? 2 
DE ir 
vil det for ogsaa her at kunne sammentrække Leddene være bekvemt paa Linien FC, at 
bestemme Punktet / saaledes, at 


(1) 


1) Det er naturligvis blot en Forglemmelse af Pappos, naar han siger at Kurven bliver en Hyperbel, 
naar blot det sidste Forhold er konstant, uden at anfore, at den konstante Verdi da skal være 
større end 1. 

?) Hultsch’ Udgave, 1004 ff. 


A Dr ' (2) 

Man faar da, idet tillige et Punkt /’ bestemmes ved D = ID, at 
palace rl ayy SLOP BD! BD, 3 
rip TET TDI = ie (2) 


Nu vise Bestemmelserne af Punkterne J og /‘, at de bevægelige Punkter D, I og I' danne 
ligedannede Punktrækker med det faste Punkt C til Fælles- 


À punkt. Er nu # det Punkt, hvori D falder, naar J falder i 

N det givne Punkt F, bliver dels #7 bestemt (vea ae — va): 
FI 5 i 

| vs ns dels Forholdet HD bekjendt (- Fe): Er A det Punkt, 

Ø C 

a UL CET, hvori D falder, naar 7' falder i F, bliver A bestemt ved LS 

= FC 
| = © ES ES o 
Vi), og aha À AD zy bekjendt ( 70): Af (3) folger 
DE, BID nu, at ng TE faar en bekjendt Verdi. B vil altsaa ligge 


paa et Keglesnit med Toppunkterne 7 og A. Om dette bliver en Ellipse eller en Hyperbel 
(som paa Fig. 39), kommer til at afhænge af, om D falder paa AZ eller paa Forlængelsen 
af AH, hvad der atter beror paa, om C falder paa JJ’ eller paa Forlængelsen af 17, 
DA = 1. 

Det Tilfælde, hvor À — 1 og Kurven bliver en Parabel, behandles ganske paa 
samme Maade, men er simplere. 

Overensstemmelsen mellem denne Behandlingsmaade og den, som Pappos anvendte 
ved den af Brændpunktegenskaber uafhængige Bestemmelse af det første geometriske Sted, 
viser, at man ikke blot kunde overvinde de algebraiske Vanskeligheder ved den nærmere 
Bestemmelse af et ved Ligningen y? — ax? + be + C givet Sted, men at man endog 
havde udviklet en elegant Gjennemforelse af denne Bestemmelse. Denne Methode er dog 
umiddelbart kun anvendelig, naar æ-Axen skjærer Kurven. Ligesom de indbyrdes forskjel- 
lige Stedbestemmelser, hvorpaa vi se den anvendt hos Pappos, er vistnok ogsaa den fra 
den gr&ske Mathematiks bedste Dage. Ja der er intet i Vejen for, at den kan være 
benyttet allerede i Aristaios’ solide Steder, og at Beviset for Hjælpesætningen til 
Euklids Overfladesteder kan være en mere eller mindre fri Gjengivelse af Beviser for de 
samme Sætninger i dette Skrift. 


4. Naar man for et geometrisk Sted har fundet en Ligning af Formen 


py = 2? Lar+B, 
vil Omdannelsen til 


AIT ANNE 
rene 


kun kræve en enkell Anvendelse af det ved Løsning af den kvadratiske Ligning brugte 
Kunstgreb. Man finder derved strax, at den fremstillede Kurve er en Parabel. At Lig- 
ningen, som ved de gamles sædvanlige Sammentrækning af Arealer snarest vilde fremtræde 
i Formen 


B 
ou rl a) 
»(v =) © (a + 


fremstiller en Parabel, som let kan bestemmes, vil i ovrigt have veret klart for enhver, der 
har mindedes de Omdannelser af Parablens Ligning, som Archimedes foretager i Skriftet 
om Parablens Kvadratur, og som vi have omtalt i 2det Afsnit. Den dertil svarende omvendte 
Omdannnelse til den sædvanlige Form for Parablens Ligning vilde kunne opfattes som 
Exempel paa den her angivne Bestemmelse af en Parabel ved den opstillede Ligningsform. 
En Anvendelse deraf til virkelig Bestemmelse af et forud ukjendt geometrisk Sted vil man 
vanskeligere finde, da den Diameter, som halverer de med Abscisseaxen parallele Korder, i 
Reglen vil vere saa let at bestemme, at den umiddelbart tages til Axe i Koordinatsystemet, 
hvorved en Reduktion af Ligningen bliver overflodig. 


>. Den Sammentrekning af Leddene i Ligningen 
æy + ax + by + C = 0, 
som viser, at Produktet af Punktet (x, y)’s Afstande fra to rette Linier er konstant, falder 
umiddelbart i Øjnene. Naar en saadan Ligning er forefalden, vil man altsaa strax have vidst, 
at den fremstiller en Hyperbel med disse Linier til Asymptoter. 

Skjønt en Hyperbel, henført til sine Asymptoter, vist nok er det hyppigst forekom- 
mende Sted i de opbevarede Løsninger af «solide Opgaver», vil det ogsaa have nogen 
Vanskelighed at finde direkte Exempler paa den her omtalte Sammentrækning, netop fordi 
Asymptoterne falde saa let i Øjnene, at man vil begynde Undersøgelsen med at henføre 
Stedet til disse. Det kan dog maaske være tilladt at se et Exempel i Diokles’ Frem- 
stilling af en Hyperbel, som han benytter i en Kugledeling, der senere, i Ilte Afsnit, vil 
blive meddelt som Exempel paa Løsning af en solid Opgave. Hyperblen er nemlig bestemt 


ved i et bevægeligt Punkt af en given, begrænset ret Linie — 27, som deler denne i 
Stykkerne L. og Ah‘, at oprejse en Ordinat y bestemt ved Proportionen 

h a 

Pe 


der, naar À betragtes som Abscisse x, kan skrives 
ay = a(2r — 2). 
6. I fjerde Afsnit have vi set, baade at Ligningen 
ax? + Bey+yy? = D 


144 


er et temmelig umiddelbart Udtryk for Arealsætningen, og hvorledes det ved en saadan 
Ligning fremstillede Keglesnit nærmere bestemmes. 

Denne Form faar f. Ex. Ligningen for Stedet for et Punkt, som er uforanderlig 
beliggende paa en uforanderlig ret Linie, hvis Endepunkter glide paa rette Linier, saafremt 
man tager disse Linier lil Koordinataxer. Dette Sted har man i Oldtiden i det mindste 
havt nogen Anledning til at undersoge, da man, som det kan ses af nogle af Proklos med- 
delte') Betragtninger af Geminos, kjendte Stedet i det specielle Tilfelde, hvor de to faste 
Linier danne en ret Vinkel. Selve dette Tilfælde kan her ikke bruges som Exempel, da 
Ellipsen i dette strax bestemmes ved sin Axeligning. 

Arealsætningen har været et Hjelpemiddel, som altid kunde benyttes til Bestem- 
melse af solide Steder, hvis Centrum var et Punkt, som forud kjendtes eller forud lod sig 
bestemme. Det har i saadanne Tilfælde ogsaa kunnet anvendes, førend Arealsetningen ved 
Benyttelsen af den anden Hyperbelgren og den konjugerede Hyperbel fik sin fulde Udstræk- 
ning, idet man altid kunde vælge saadanne Koordinataxer, som selv skjære det geometriske 
Sted. Det har derfor været særdeles værdifuldt før Apollonios’ Tid, da man ikke besad det 
endnu mere omfattende Hjælpemiddel, Bestemmelsen af Stedet til fire Linier, i sin fulde 
Udstrækning. 

I Forbindelse hermed kunne vi minde om den Rolle, som Arealsætningen har 
spillet ved Bestemmelsen af selve det sidstnævnte Sted, om vi end anlage, at denne Anven- 
delse har havt Potenssætningen til Mellemled. 


7. Vi skulle nu gaa over til den almindelige Bestemmelse af saadanne solide 
Steder, som ikke ere satte i Forbindelse med Linier og Punkter, der paa en saadan Maade 
høre til det Keglesnit, som skal fremstilles, at Fremstillingen faar en af de forud omtalte 
simplere Former. Tager man da nogle af Figurens Linier til Koordinataxer, vil Lig- 
ningen blot blive af anden Grad. 
En lille Simplifikation i denne vil man dog altid kunne opnaa ved at lade Begyn- 
delsespunktet være et Punkt af selve det søgte Sted, hvorved Ligningen bliver 
ax? + Bay + ry? + dx + ey = 0. 
Nærliggende Sammentrækninger af Leddene føre da strax til 
æ (ax + By +d) = —ylry +24), 
eller til Fremstilling som Sted til fire Linier, hvoraf to ere parallele. Dette Sted er det, 
hvis nærmere Bestemmelse vi have lært at kjende i 7de Afsnit. 
Henforelsen Lil en almindelig Ligning af anden Grad i Parallelkoordinater, efterfulgt 
af Sammentrækninger, er her en Vej, som vi have anfort for Sammenligning med den ana- 
lytiske Geometri, og som ikke indeholder noget Skridt, der var ukjendt af Grekerne; men 


1) Friedleins Udgave, S. 106. 


145 


deres Behandling har dog sikkert afveget derved, at de have begyndt Sammentrækningen, 
samtidig med at de satte Opgaven i Ligning, og at de derved hurtigere ville vere naaet 
til det omtalte Sted til fire Linier. At de ikke blot lejlighedsvis benyttede Tilbageforelsen 
til denne Form, men ogsaa havde Bevidstheden om, at den lader sig iværksætte i alle Til- 
fælde, hvor der lader sig opstille en Ligning af forste Grad mellem Rektangler, 
dannede af det bevægelige Punkts Afstande fra rette Linier, to og to, samt 
af disse forbundne med givne Længder, bliver rimeligl, naar man mindes, at nogle 
af de plane Steder, som Apollonios endog udtrykkelig opstillede, have en Lilsvarende 
Grad af Almindelighed. 

Fremstilling som et Sted til fire Linier, hvoraf to modstaaende ere 
parallele, var saaledes en Fremstillingsform for Keglesnit, som i Oldtiden 
var til samme Nytte som Fremstillingen ved den almindelige Ligning af 
anden Grad i Nutiden. Den nojere Bestemmelse af det omtalte Sted fik 
derved en lignende Betydning som Bestemmelsen af et Keglesnit ved en 
Ligning af anden Grad for os. 

Derved forklares den Vægt, som Apollonios netop lagde paa Anvendeligheden af 
tredie Bog til Bestemmelsen af Stedet til fire Linier, og derved forstaas det bedre, at han 
kunde udtale sig saaledes, som han gjor om de Forbedringer af Bestemmelsen af Stedet 
til fire Linier, der dog umiddelbart kun tage Hensyn til det Tilfælde, hvor de modstaaende 
Sider ere parallele. 

Det bedste Exempel, som vi kunne anfore paa Anvendelsen af det her beskrevne, 
fuldkommen almindelige Hjælpemiddel, er den samme Henforelse af det almindelige Sted til 
fire Linier til en Firkant, hvor to modstaaende Linier ere parallele, som vi i Sde Afsnit 
ad andre Veje ere bragte til at tillegge Grækerne. Dette vil vise sig, naar vi nu gjennem 
en i sine Grundtrek antik Analyse, hvor vi dog indfore moderne Betegnelser, Begreber og 
Forklaringer, lade os fore til den selvsamme Reduktion. 

Vi vende tilbage til Fig. 32, hvor Punktet M Tran 
er et vilkaarligt Punkt af et til Firkanten ABCD 
henfert almindeligt Sted til fire Linier. Vi ville regne 
Afstandene fra BA og CD parallele med BC og 
kalde dem a og z, og regne Afstandene fra BC og 
AD parallele med BA og kalde dem y og u. Stedet 


er da bestemt ved Ligningen 

Biz) == yey, (1) 
hvor À er en Konstant. æ og y ere Punktet J/’s 
Koordinater i et Parallelkoordinatsystem med Axerne 
BC og BA. 


Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 1. 


146 


Kalder man nu de Punkter, hvor Ordinaten til M træffer AD og AZ, P og Q, 
bliver 
u— PM — PQ— MQ: (2) 
Idet — MQ er M's Afstand fra AZ, regnet parallel med GA og med Fortegn, ville vi for 
bedre Overbliks Skyld kalde den ,, og ifølge Figuren er 


DE 
PO) = =m; € 
q AE : (2) 
Indfores disse Udtryk i (1), bliver den til 
DE 
(2-13) = RR ee (4) 
Naar man nu onsker at trække den toleddede Faktor sammen, kan man forst af Figuren 
DUM" n 
udlede 2 = Cyr? 08 derefter skaffe det andet Led samme Nevner ved paa Linien 
AE at bestemme et Punkt G ved Ligningen 
DB) LEG (5) 
AUS, GHB. 2 


Dette Punkt er, hvad der dog ikke umiddelbart benyttes, et Punkt af det geometriske Sted. 


Man finder da 
DE DM" D"@ GM" 
AB! CERINICEEN Card win He 


hvor 2, er As Afstand fra Linien CG, regnet parallel med BC. Stedets Ligning er der- 


z — A 


(6) 


ved omdannet til > 
Er TN (7) 
hvorved det er bleven henfort som Sted til fire Linier til Trapezet ABCG. 

Denne Analyse, der, som man ser, nøjaglig svarer til den i 8de Afsnit foretagne 
Omdannelse, som vi blot fra først af gave en noget almindeligere Form, benylter, bortset 
fra Betegnelserne, kun saadanne Midler, som de gamle vare Herrer over, samt Almindelig- 
gjorelsen ved Fortegn. Denne sidste har bragt os den Fordel, at vi have kunnet fremstille 
under ét, hvad de gamle have maattet udstykke, men gjør ellers ingen Forandringer. Gaa 
vi lidt videre i Brug af moderne Betegnelsesmaader og omskrive (2) og (3) til 

; u— ax y —b, 
og fremstille vi z paa samme Maade, ses det, at den foretagne Omdannelse, analylisk-geo- 
metrisk opfattet, er Omdannelse af Ligningen 


ze + 7y +d) = A.yae+y—b) 
Ul” ae — 20) y + d) = 2.y(y — 6), 
allsaa netop den samme som den, hvorved vi have angivet, at Tilbageførelsen af et solidt 
Sted til et Sted til Siderne i et Trapez i Almindelighed lader sig iværksætte. 


Den i Sde Afsnit foretagne almindeligere Overgang fra en indskreven Firkant 
ABCD til en anden ABCF, som ikke hehover at vere et Trapez, falder paa lignende 


Maade noje sammen med den almindelige analytisk-geometriske Omdannelse af Ligningen 
az — A.yu 
til 2(2—Aay) = 2.y(u— ax), (8) 


hvor @, y, 2, u ere sædvanlige afkortede Udtryk for venstre Sider i relte Liniers Ligninger, 
og hvor lignende lade sig indføre for z — Aay og u— ax. 


Den her givne Sammenstilling af antike Methoder til Bestemmelse af Steder med 
den analytiske Geometris vel kjendte Ligningsformer maa nu ikke misforstaas saaledes, 
som om Datidens Mathematikere med Konsekvens og altid skulde have fulgt netop de 
bestemte Veje, som ere opstillede i neje Tilslutning til den analytiske Geomelri. De for- 
skjellige Fremgangsmaader lobe ikke saaledes parallelt med hinanden, at Fremstillingen af 
den ene helt kan passes ind i et Skema, der tilhører den anden. Hvad vi have tilsigtet 
ved Sammenstillingen, er et Overblik ud fra et nu bekjendt Synspunkt over, hvad man i det 
hele kunde opnaa i Henseende til Stedbestemmelse ved de Midler, som Grækerne havde til 
deres Raadighed, og vi have set, at dette overfor Steder, hvis Orden ikke overskrider 2, 
var den samme Fuldstendighed, som den analytiske Geometri giver. At Grækerne virkelig 
ogsaa brugte disse Midler, er dels vist ved Exempler, dels folger det af, at den Slags Midler 
kun blive til i dens Haand, som bruger dem. 

Hvad nu angaar den Lethed, hvormed disse Hjælpemidler lode sig bruge, er det 
rimeligt, at man ikke havde de her betragtede, bestemte Fremstillingsformer for Keglesnit 
i den Grad paa rede Haand, som den, der benytter analytisk Geometri, maa have de til- 
svarende Formler; men herpaa har den storre Rigdom af Hjælpemidler, som man benyttede, 
bedet. At erhverve sig Ferdighed i at bruge disse har krævet slorre Øvelse, og man 
har derfor ikke havt en saa bestemt, ogsaa for Begyndere aaben «Kongevej», som den ana- 
lytiske Geometri har banet netop for Losningen af bestemt formulerede Stedproblemer; men 
væsentlige Vanskeligheder har der ikke veret for den ovede Geometer, og netop Mangien 
af en Landevej har givet ham mere Lejlighed til at se sig om paa Vejen og bemærke det 
undersogte Steds enkelte Forbindelser med den forelagte Figur, se, hvilke Punkter af denne 
det gaar igjennem o.s.v. Man anvendte ikke som fast Regel altid strax at fore den Figur, 
som skulde undersøges, tilbage til et rent Parallelkoordinatsystem, men brugte med en vis 
Frihed dermed beslegtede Fremstillingsformer. Derfor blev man næppe saa fortrolig med 
de bestemte Kjendemærker, som knytte sig til Parallelkoordinater; men samtidig med, at 
man dog tilegnede sig praktisk Færdighed i at benytte de Fordele, som Parallelkoordinater 
frembyde, forbandt man dermed Øvelse og Ferdighed i at benytte de mere sammensatte 

19° 


148 


Former, hvorunder Koordinatsystemerne optraadte, til at simplificere hvert enkelt Sporgs- 
maal, som man behandlede. 

I den Henseende lignede de gamles Methoder maaske mere vort Aarhundredes 
udvidede analytiske Geometri end den cartesiske analyliske Geometri. Navnlig vil under 
den Sammentrækning af flere Led til et, som særlig karakteriserer de gamles Undersogelser 
paa dette Omraade, Ombytningen af et Udtryk, som lineært sammensættes af et Punkts 
Afstande fra givne Linier, regnede i opgivne Retninger, med Afstanden fra en ny indført, 
fast Linie, i sine analytiske Anvendelser falde neje sammen med Indforelsen af afkortede 
Udtryk i den moderne analytiske Geometri. 

Det vigtigste Exempel herpaa er Reduktionen af et vilkaarligt solidt Sted til et 
Sted til fire Linier, hvis den Betydning, som jeg nys har tillagt dette Sted, som almindeligt 
Hjelpemiddel, er den rigtige. Ved Siden heraf fortjener ogsaa særlig at nævnes de gamles 
Sted til tre Linier, om det end kun er et specielt Tilfælde af det foregaaende. Frem- 
stillingen af et Keglesnit som et Sted til 3 Linier falder nemlig ganske sammen med den 
moderne analytiske Geometris Fremstilling i Trekantkoordinater ved Ligningen 

Be tn = BE. 

hvis Brugbarhed ved Undersøgelse af mangfoldige Egenskaber ved Keglesnittene er bekjendt 
nok. At faa et forelagt Sted fremstillet under denne Form vil ogsaa, hvor det let lader 
sig iværksætte, være et hurtigere Middel til dets Bestemmelse end Fremstilling som Sted 
til fire Linier. Ad denne Vej vilde man f. Ex. faa det i Slutningen af Apollonios’ 3die Bog 
opstillede Sted bestemt, hvis der var forelagt det Stedproblem, at finde Stedet for Skjæ- 
ringspunktet M (Fig. 27) mellem Linier AM og CM gjennem to faste Punkter À og C, som 
paa faste Linier gjennem C og A afskjære Siykker CP og AQ, der danne et Rektangel 
med givet Areal. Den til en saadan Stedbestemmelse tjenende Analysis faas ved Omven- 
ding af Apollonios’ synthetiske Bevis for det opstillede Stedtheorem. 

Endnu et Exempel skal jeg anfore paa, hvorledes den Frihed, man bevarer ved 
ikke strax at knytte en hel Undersøgelse til et bestemt Parallelkoordinatsystem, er bleven 
benyttet. Man kan henføre hvert enkelt af de Keglesnit, som skulle anvendes i en og 
samme Opgave, til sit Koordinatsystem. Paa denne Maade opnaar, som vi nermere skulle 
se i lite Afsnit, Diokles i sin alt berørte Kugledeling simple Fremstillinger baade af en 
Ellipse og af en Hyperbel, ved hvis Skjæring Opgaven loses, hvad der ikke vilde vere 
muligt ved nogen Henforelse til et enkelt Koordinatsystem. 

I Forhold til den Vægt, som de gamle lagde paa Bestemmelser af solide Steder, 
og til Omfanget af de Midler, som vi nu mene at have paavist, at de havde til denne Sted- 
bestemmelse, foreligger der i den opbevarede Literatur ikke mange Oplysninger om bestemte 
solide Steder, som de have undersøgt. Dette Savn vilde vistnok i væsentlig Grad vere 


149 


afhjulpet, naar Pappos blot havde givet os saadanne Oplysninger om Arislaios solide 
Steder som om Apollonios’ plane Steder. 

Muligvis vilde man der nermest finde saadanne forskjellige Former for et Keglesnits 
Frembringelse ved projektive Bundter som de i 8de Afsnit omtalte. Det vilde da have 
sin Interesse at se, dels hvor vidt man har havt Øje for saadanne specielle Tilfælde, som 
frembyde en særlig Grad af Simpelhed, dels hvorvidt man omvendt var kommen i udiryk- 
kelig Opstilling af almindelige Former for Betingelserne for, at el Sted bliver solidt. 

Et Skrift, som maaske, hvis det var opbevaret, vilde have givet os nogle enkelte 
Exempler paa antike Stedbestemmelser er Eratosthenes’ af Pappos omtalte") Skrift om 
Mellemstorrelser. Der nævnes nemlig andetsteds tillige nogle deri behandlede Kurver til 
Mellemstorrelser?), blandt hvilke i det mindste nogle synes at have været solide. Jeg skal 
senere i låde Afsnit opstille et Forsøg paa af de foreliggende Oplysninger at. fremdrage, 
hvad det kan have været for Kurver, og hvad det omtalte Skrift i det hele taget kan have 
indeholdt. Derved vil jeg faa Lejlighed til ved et Par Exempler nøjere at oplyse Beskaffen- 
heden af de Midler til Stedbestemmelse, som jeg her har tillagt de gamle. 


Ellevte Afsnit. 
«Solide Opgaver». 


Ifølge det Citat af Pappos’ 7de Bog, som vi benyttede i Begyndelsen af forrige 
Afsnit (S. 135), fik geometriske Steder deres Betydning derved, at de kunne anvendes ved 
Opgavers Løsning. Dette skete ligesom nu derved, at Punkter, paa hvis Bestemmelse en 
Opgaves Løsning beror, findes som Skjæringspunkter mellem to geometriske Steder. Bestaa 
disse kun af «plane Steder» (cézoe Erizedo. 9: rel Linie og Cirkel, kaldes Opgaven, der 
altid, hvor det overhovedet er muligt, bør løses ad denne Vej, selv en «plan Opgave» 
(zo6Bmua extzedov). Naar man derimod maa ty til og kan nøjes med «solide Steder» 
(zoo: otepeot), kaldes Opgaven en «solid Opgave» (moößinna orepeovi. Hvis der endelig 
til Løsningen kræves Brug af andre Kurver, hvilke under ét bære Navnet «lineære Steder», 
kaldes Opgaven ogsaa lineær. 

Disse Forklaringer, som Pappos giver baade i 3die og i 4de Bog), angive en 


1) Hultsch’ Udgave, S. 636. 
?) Pappos ed. Hultsch, S. 652 og 662. 
3) Hultsch’ Udgave, S. 54 og 270. 


150 


Forbindelse mellem de saakaldte solide Opgaver og solide Steder eller Keglesnit, i Anled- 
ning af hvilken vi ogsaa her maa beskjæftige os med de solide Opgaver. Der er saa megel 
mere Grund hertil, som det netop er solide Opgaver, navnlig Keglens Fordobling, som fra 
forst af skulle have fremkaldt den greske Keglesnitslere, en Antagelse, som fuldkommen 
stemmer med Pappos’ Ytring om Brugen af geometriske Steder ved Opgavers Losning. 

Angaaende Oprindelsen til de omtalte Benevnelser siger Pappos udtrykkelig paa 
de nys anførte Steder, at Opgaverne kaldes plane, solide og lineære, fordi der til deres 
Løsning behøves Brug af de geometriske Steder, som have de tilsvarende Navne. Hermed 
synes det ogsaa at stemme, at man vel finder Navnet solide Steder i Apollonios’ første 
Fortale, og at et helt Skrift af ham handler om plane Steder, men at derimod Navnene 
plane og solide Opgaver — saa vidt jeg véd — ikke forekomme hos ham eller ældre For- 
fattere. En Anledning til at bruge disse sidste Benævnelser kunde Apollonios dog have 
havt i Fortalen til fjerde Bog, da de der omtalte Opgaver netop ere de samme, som Pappos 
kalder solide. Dette tyder nærmest paa, al Benævnelserne paa Opgaverne endnu ikke vare 
komne i Brug den Gang og altsaa ere yngre end Navnene paa Stederne. Det vil imidler- 
tid ogsaa blive forstaaeligt, hvis Benævnelsen solide Opgaver, saaledes som vi ville finde 
nogle Grunde til at antage, -paa Apollonios' Tid havde en noget snævrere Betydning end 
den, Pappos angiver, og derfor heller ikke passede paa alle de Opgaver, hvortil Apollonios 
sigter. Muligheden heraf er tænkelig, da Navnet solide Opgaver godt kan have været brugt 
paa og navnlig før Apollonios' Tid uden at findes i noget af de gamle Skrifter, som endnu 
Pappos kjendte, eller dog uden at Pappos har faaet Lejlighed til at se, at det kun anvendtes 
paa en lidt snævrere Klasse Opgaver. En saadan almindelig Benævnelse bliver der nemlig 
i Reglen kun Anledning til at bruge i Fortaler og andre almindelige Redegjerelser. Der 
er derfor intet urimeligt i at antage, at Pappos' Forklaring af Oprindelsen til de forskjel- 
lige Benævnelser blot skyldes en temmelig nærliggende Gjætning, som er fremkommen i 
den mellemliggende Tid. 

Da nu Spørgsmaalet om denne Oprindelse, som vi skulle se, staar i nogen For- 
bindelse med et vigtigere historisk Spørgsmaal, skulle vi nøje prøve, om der er mest Grund 
til at blive slaaende ved Pappos’ Forklaring eller til at foretrække en anden, som gaar ud 
paa, at ligesom de solide Steder først ere fremkomne som Midler til Løsning af de solide 
Opgaver, saaledes er det ogsaa den opstillede Inddeling af Opgaver i plane, solide 
og lineære, der er den oprindelige. 

Holder man sig til Pappos' Forklaring, at det er Stederne, som først have 
. faaet de omtalte Navne, maa det vistnok anlages, at det blandt disse er de solide Steder, 
som først ere benævnte saaledes, og at dette skyldes den Omstændighed, at Keglesnitslinierne 
oprindelig ere frembragte som Snit i Kegler, hvilken Frembringelsesmaade definitionsmæssig 
tages til Udgangspunkt for Undersøgelsen af deres Egenskaber. Den anvendte Benævnelse 


| 
i 
| 
| 


151 
vilde da vere mere nerliggende, hvis man turde anlage, at man, naar det havde vist sig, 
al et geometrisk Sted, som skal bruges ved Losningen af en Opgave, ikke er en ret Linie 
eller en Cirkel, dernæst brugte stereometriske Betragtningsmaader for at prove, om det 
da kunde vere et Keglesnit. Den, som fastholder Pappos’ Forklaring af Oprindelsen til 
Benævnelsen solide Steder, kunde derfor let lade sig forlede til af denne at slutte, at man 
virkelig har baaret sig saaledes ad ved geometriske Stedbestemmelser. En saadan Slutning 
savner imidlerlid, som vi have set i andet og syvende Afsnit, enhver anden historisk Stotte, 
idet intet Spor er efterladt af, at Aristaios i sit Skrift om solide Steder i Modsætning til 
alt, hvad der er opbevaret af den græske Keglesnitslere, skulde have behandlet disse stere- 
ometrisk, og idet Apollonios’ tredie Bog, som skulde vere særlig nyltig ved Bestemmelsen 
af solide Steder, er rent plangeometrisk og nærmest peger hen paa plangeometriske An- 
vendelser. 

Pappos’ Forklaring af Oprindelsen til Benævnelsen solide Steder er altsaa bygget 
alene paa Keglesniltenes stereometriske Definition, og Benævnelsen plane Steder vilde da 
blot have dannet sig som Modsætning til denne. Dette stemmer ogsaa med Pappos’ Udtryk 
om plane Opgaver, at de med Rette kaldes saaledes, fordi de Linier, hvorved de loses, have 
deres Oprindelse i Planen. Har nu end dette Skjelnemerke en formel Berettigelse overfor 
de solide Steder og Opgaver, naar man ensidig fastholder Tanken paa Keglesnittenes O p- 
rindelse eller Definition, bliver det logisk fuldkommen uholdbart fra det Ojeblik, man 
ogsaa begynder at gjore Brug af linewre Steder. Paa den ene Side er det nemlig lykkedes 
Pappos og hans Forgengere at give nogle af disse, f. Ex. Kvadratrix, en rumlig Frembringelse, 
der gjor Navnet «solide Steder» mindre betegnende for Keglesnittene, paa den anden Side 
tilhøre de fleste lineære Steder, saasom Konkoiden, fuldstændig Planen baade ifølge deres 
Definition (Oprindelse) og ifølge deres Behandling. Hvis man da ikke kan finde nogen mere 
naturlig Forklaring af Oprindelsen til de geometriske Steders og Opgavers Inddeling og 
Benævnelser end den hos Pappos, maa man antage, at Benævnelserne lineære Steder og 
Opgaver først ere opstaaede, da Navnene plane og solide Steder og disses Betydninger 
slode saaledes fast, at man ikke mere tænkte paa deres Oprindelse. 

Overfor denne Forklaring, som har sin bedste Stølte i Pappos’ Autoritet, og som 
vel ikke er umulig, men dog er for kunstig til at yde synderlig Tilfredsstillelse, skulle vi 
forsøge at stille den, at Navnene plane og solide oprindelig have tilhørt visse Opgaver, 
efter hvilke de først senere ere overførte paa de geometriske Steder, der benyttes ved disse 
Opgavers Løsning"). Naar da Opgaver, der løses ved Lineal og Passer, ere kaldte plane, 


') Da jeg engang mundtlig berørte denne Opfattelse for nu afdøde Professor Oppermann, svarede han, 
at den samme havde paatrængt sig ham, da han for mange Aar siden studerede de græske Geometrer. 
Jeg fik ikke talt mere med ham om denne Sag og véd slet ikke, om han vilde motivere eller videre 
anvende den nævnte Anskuelse som jeg, men under mine egne videre Overvejelser over dette Emne 


152 


beror dette ikke paa nogen szrlig Egenskab ved den retie Linie og Cirklen, men paa den 
Omstendighed, at disse Opgaver ere de samme som de, der algebraisk vilde afhænge af 
Lieninger af hejst anden Grad. Naar man nemlig erindrer, hvorledes Grækerne i deres 
Fladeanlæg udtrykte disse Lieninger (ogsaa dem af første Grad, som give parabolske 
Fladeanlæg) som Fordringer med Hensyn til Arealer af plane Figurer, og hvorledes de løste 
dem ved Omlægninger og Omdannelser af saadanne Arealer, ses det, at den anførte Benæv- 
nelse passer godt paa disse Opgaver, og af def blev naturligt at anvende den i det Øjeblik, 
da man stødte paa saadanne andre Opgaver, som i Modsætning til dem kunde betegnes 
som solide. 

Dette maatte blive Tilfældet, saa snart som man forsøgte at anvende de Operationer, 
hvorved plane Opgaver føres tilbage til Fladeanlæg, og som nøje svare til den algebraiske 
at sælie Opgaven i Ligning, paa saadanne Opgaver, som afhænge af Ligninger af tredie 
Grad, og man da søgte at omdanne disse Opgaver til en Form svarende fil den, som 
de plane Opgaver have faaet som Fladeanlæg. En saadan Form faas ved Anvendelse af 
Former med ire Dimensioner, hvilke vi allerede have berørt, al Grækerne brugte til Frem- 
sfillimg saavel af Tal dannede ved virkelig Multiplikation som af Størrelser, der i det 
moderne algebraiske Sprog vilde vere Produkier af ire andre. Trediesradsligningen 
21 az?+ Be-+ JF — 0 bliver nemlig, naar man — som vi have antydet ved Betegnel- 
serne — fremstiller + og a ved Længder, B ved et Areal (Rektangel), 77 ved et Volumen 
(Parallelepipedumj, til en simpel Relation mellem Voluminer. Opgaver, der lade sig redu- 
cere til denne geometriske Form, under hvilken Trediegradsligningen optræder hos Araberne, 
ja endnu hos Vieta, betegnes ganske naiurlig som solide Opgaver i Modszining iil de fer 
nævnie plane Opgaver. Oprindelsen til Betegnelserne vilde da være den samme som den, 
de tilsvarende, nu brugelige Udiryk kvadratiske og kubiske Ligninger i hvert Tilfælde have. 
De vilde endog falde helt sammen med disse, hvis man antog, at det først var efier at 
være omformet til Fladeanlæg eller til de tilsvarende stereometriske Opgaver, al en 
Opzave fik Navnet plan eller solid. 

Ved at søge ai anvende den ‘samme Fremsanssmaade paa flere og flere Opgaver 
Maatie man imidlertid ogsaa træffe paa saadanne, som algebraisk vilde afhænge af Lieninger 
af højere Grader, som alisaa ikke kunde fremstilles ved en Relation af første Grad mellem 
Linier, Arealer eller Voluminer, og som man saaledes slet ikke eller i alt Fald kun ad 
Omveje kunde sætte i Ligning. Disse bleve kaldte lineære Opgaver, maaske fordi man ved 
deres Behandling var direkte henvist til de dertil tjenende, nye krumme Linier uden nogen 
Ligning som Mellemled; men det er ogsaa muligt, at delie Navn først er opstaaet i en 


har allerede Bevidstheden om den anferie Overensstemmelse med vor grundige Kjender af den antike 
Geometri i det mindste virket opmuntrende. 


Tid, da den af os formodede oprindelige Anledning til Navnene plane og solide Opgaver 


var glemt. 


Til Grund for Opgavernes Inddeling i plane, solide — og som Supplement hertil 
lineære — skulde altsaa ligge en Bestrebelse efter al lose dem ved paa de angivne Maader 


at sette dem i Ligning. Vor Antagelse vil da faa sin bedste Stotte, hvis det kan paavises, 
at denne Fremgangsmaade har været saa udbredt, at der har været nogen virkelig Brug for 
en saadan Inddeling. 

At dette nu fuldstændig har veret Tilfældet for de plane Opgavers Vedkommende, 
ses af den i de tidligere Afsnit paaviste rigelige Anvendelse af den geometriske Algebra, 
i hvilken Fladeanlæg spille en Hovedrolle. Heri vil man yderligere blive bestyrket ved i det 
folgende at se, at Hovedemnet for Apollonios’ bevarede Skrift om Forholdssnittet har veret 
at fore en vis geometrisk Opgave tilbage Lil Fladeanlæg og at anvende disse ved dens 
Losning og Diskussion, samt at det tabte Skrift om Arealsnittet har havt et lignende 
Emne, hvilket vi ogsaa i det foregaaende antoge om Skriftet om det bestemte Snit. 


For at man ogsaa har forsogt den nærliggende Udvidelse af den samme Frem- 
stillingsmaade til Opgaver, som algebraisk vilde afhænge af Ligninger af tredie Grad, har 
man forst og fremmest el Bevis i den store Betydning, som man tillagde Opgaven om 
Terningens Fordobling eller mere almindelig om dens Multiplikation med et givet Forhold. 
Denne Betydning bar den nemlig sikkert ikke hentet fra et Orakelsvar, der snarere har 
været inspireret af den geometriske Interesse, som forud tillagdes den omtalte Opgave; 
men den skriver sig fra, at Spergsmaalet om Terningens Multiplikation er den stereometriske 
Form for den rent kubiske Ligning, og al altsaa alle geometriske Opgaver, der kunne 
gjores afhængige af Kubikrodsuddragninger, kunne føres tilbage til denne Form. Har man 
saaledes Ligningen æ° — bed, vil man ved at bestemme @ som Mellemproportional til € 


ee = sd \ EEE D 
og d, kunne omdanne den til #3 = a?b = a. altsaa til Multiplikation af Terningen 
a> med et lineært Forhold, der altid kan skrives med Terningens Kant til Nævner. Nu 
finder man vel ikke hos de store Forfattere Opgaver forte direkte tilbage til Fordringen om 
Multiplikation af en Terning; men det er i Virkeligheden det samme, som opnaas ved 
en Tilbageforelse til Konstruktion af to Mellemproportionaler « og y mellem a og 0, be- 


stemte ved 


DIE RN = JE: 
At denne Konstruktion falder sammen med Bestemmelsen af Siden = i den mulliplicerede 
Terning a?b, var nemlig en vel bekjendt Sag i Oldtiden. Naar man sagde, at en Opgave 
var fort tilbage til Bestemmelsen af to Mellemproportionaler, faldt dette lige saa nøje sam- 
men med en Tilbageforelse til Terningens Multiplikation, som en Tilbageforelse til Kon- 
struklion af en Mellemproportional med et Rektangels Omformning lil et Kvadrat. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, og naturvidensk. mathem. Afd. III. 1, 20 


Som Exempler paa Opgavers Reduktion til Bestemmelsen af to Mellemproportio- 
naler, hvilken da forudsættes bekjendt, kunne vi hos Archimedes anføre Sætningerne I og 
5 i anden Bog om Kuglen og Cylindren, hvor den bruges til Bestemmelse af en Kugle, 
som er lige stor med en given Kegle eller Cylinder, og af et Kugleafsnit, som er lige stort 
med et og ligedannet med et andet Kugleafsnit, og hos Apollonios Sætning 52 af bte 
Bog om Keglesnitlene. Den først nævnte Anvendelse gjør det sandsynligt, at man forud 
har anvendt den samme Konstruktion til Bestemmelse af en Terning, der f. Ex. er lige 
stor med el givet Prisme eller en given Pyramide. Paa saadanne Opgaver, som altsaa 
have hørt til de første, der ere forte tilbage til Terningens Fordobling, kunde Navnet 
solid endog passe uden nogen Tilbageforelse til en Relation mellem Terninger og Parallel- 
epipeder. 

Ved at omskrives til Bestemmelsen af to Mellemproportionaler kunde det synes, 
som om Terningens Multiplikation havde tabt den stereometriske Karakter, som efter vor 
Mening har ligget til Grund for Navnet «solid Opgave». Ved at betragte den ældste be- 
kjendte Bestemmelse af disse Mellemproportionaler, nemlig den, som skyldes Archytas!), 
vil man imidlerlid se, at Sagen ikke opfattedes saaledes i den første Tid. Hvor kunstig 
Udforelsen end bliver af den Konstruktion, som Archylas giver, er dens Tankegang dog 
ret naturlig, naar han udtrykkelig har foresat sig al opnaa den ved en Udvidelse til 
Rummet af den Fremgangsmaade, som benyttes til den plangeometriske Bestemmelse af én 
Mellemproportional. Til et saadant Forsøg kan den Betragtning, at Bestemmelsen af to 
Mellemproportionaler spiller samme Rolle overfor Terningens Fordobling, som Bestemmelsen 
af én overfor den tilsvarende plane Opgave, have givet en naturlig Anledning. Da delte 
Forsøg lykkedes, og da det virkelig kun er ved Brugen af Rummets tre Dimensioner, at 
man i den fundne Konstruktion har faaet Plads til at bringe de to plane Figurer, som give 
© som Mellemproportional mellem a og y, y som Mellemproportional mellem x og 6, i den 
rette Forbindelse, maatte man derved end mere bestyrkes i Opfattelsen af Stereometrien 
som det naturlige Middel til Behandlingen af den Slags Opgaver. De forovrigt ubekjendte 
Kurver, som dertil anvendtes af Eudoxos, synes ogsaa”) at have staaet i Forbindelse med 
Stereometrien. Man kan derfor, da Menaichmos senere løste den samme Opgave ved 
Keglesnit®), idet © og y bestemtes som Koordinater lil et Skjæringspunkt mellem Parablerne 

G3 — ON O83 MP == WE 


eller en af disse og Hyperblen 
LUNA), 


') Archytas’ Løsning, som meddeles i de fleste Fremstillinger af Mathematikens Historie, findes i Euto- 
kios’ Kommentar til Archimedes (se Heibergs Udgave af Archimedes, III, S 98 M). 

2) Herom nærmere i 21de Afsnit. 

3) Se Heibergs Archimedes, Ill, S. 92. 


155 


godt have havt en ubestemt Formodning om, at Keglesnillenes stereomelriske Definition 
har staael i nogen Forbindelse med deres Anvendelighed til Losning af solide Opgaver. 
En saadan Formodning kan, selv om jeg har Ret i min Antagelse af, at det er Opgaverne, 
som forst have faaet Navnet solide, og at Keglesnittenes tilsvarende Navn væsentlig skyldes 
deres Anvendelighed til disse Opgavers Losning, have medvirket til Dannelsen af dette 
sidste Navn. 

Terningens Fordobling er ikke del eneste Exempel paa, at man i Oldtiden har sat 
Opgaver, hvis Løsninger afhænge af Trediegradsligninger, i Ligning og udtrykt denne stere- 
omelrisk. Endnu et vigtigt Exempel herpaa findes i anden Bog af Archimedes’ Bog om 
Kuglen og Cylinderen. I dennes Sætning 4!) behandler han den Opgave ved en Plan at 
dele en Kugle i to Segmenter, hvis Rumfang staa i el givet Forhold. Denne Opgave 
udtrykkes ved en Proportion, som er identisk med en Ligning af tredie Grad, og Losningen 
af denne loves ved Slutningen. Den mangler imidlertid i den os overleverede Text og har 
allerede tidlig manglet. Archimedes’ Kommentator, Eutokios, mener imidlertid i et gammelt 
Manuskript, der som Archimedes’ authentiske Arbejder var skrevet i den doriske Dialekt, og 
hvori Keglesnittene benevnes paa samme gammeldags Maade som af Archimedes, at have 
fundet en rigtignok fejlfuld Kopi af Archimedes’ egen Losning og Diskussion. Idet Histo- 
rikerne vist nok i det hele ikke ere utilbojelige til at anse Eutokios’ Formodning for rigtig”) 
og til at mene, at hans rettede Udgave af det omtalte Manuskript i det vesentlige gjengiver 
hvad Archimedes selv har givet om denne Sag, skal jeg her bygge paa denne Antagelse, 
idet jeg foreløbig henholder mig til de anførte ydre Grunde. 

Hvad vi nu først skulle bemærke ved den hele Behandling af den omtalte geome- 
triske Opgave, er, at Archimedes, som ikke udtrykte et Segments Rumfang paa samme 
Maade som vi, ikke saa umiddelbart faar Opgaven udtrykt ved Ligningen 


(Br —h)h? = 4——_ . 73, 


: a 2 m i = : 
hvor Ah er det ene Segments Højde, > Kuglens Radius og — det givne Forhold. Han opnaar 
n 


først en dermed ensgjældende Proportion ved en Række Operationer, som ere ensgjældende 
med vore Eliminationer, og i hvilke han direkte stiler hen imod Dannelsen af en Lig- 
ning eller Proportion med en enkelt ubekjendt, eller rettere med et enkelt ubekjendt Punkt. 
Den Bestemmelse af Volumen af et Kuglesegment ADC (se Fig. 40, der frem- 
stiller et plant Snit gjennem Midtlinien), som han gaar ud fra, er den, at det er lige 
stort med en Kegle paa samme Grundflade AC, hvis Højde ZX bestemmes ved Proportionen 
1) Sætning 5 i Peyrards franske Udgave. 
2) Saaledes ogsaa Archimedes’ sidste Udgiver Heiberg; se bl. a. hans Udgaves {ste Bind S. 215. Det 
paagjældende Sted hos Eutokios findes i samme Udgaves 3die Bind, S. 152 I. 
20 


— 
Or 
Her 


A 


Fig. 40. 


ROBE 1X 
REC XD” 


hvor Æ betegner Kuglens Centrum. 


I denne Proportion ville vi, for at tydeliggjore den Plan, som Archimedes følger i 
sine Omdannelser, helst indføre Betegnelsen 4 for Segmentets Højde, 7 for Kuglens Radius 
og k for Keglens Højde; dette er nemlig kun at sætte de os tilvante Anskuelsesmidler af 
Operationer med de selvsamme Proportionssætninger i Stedet for det, som Grækerne havde 
ved at folge Punkterne paa Figuren. Man faar da 


Br ke 
RER RER : (1) 


Hvis nu paa samme Maade det andet Kuglesegment ABC med Højden Ah‘ fremstilles ved en 
Kegle med Højden k‘, skal man endvidere have 


3r — I k! 
DRE Mm (2) 
samt É 2r = h+h (3) 
Ne Seele Se Une k m ; 
g ifølge Opgavens Fordring ee (4) 


Herimellem gjælder det altsaa om at borteliminere k, k og h‘, en Hensigt, der for 
Archimedes bliver den at bortskalfe de ubekjendte Punkter Z og R af Proportionerne (1), 
(2) og (4), fremstillede paa hans Maade, ved hvilken vor Ligning (3) overflodiggjores ved 
selve Figuren. Dette udfores ved forst ved Hjælp af (3) at omskrive (1) og (2) til 


h k—h vi TE tr à 
i all El UE er) a) 


Bl 


Ligestorheden af andet og fjerde Forhold giver 


— h + T “à k al Jet 
ble RE 
elller (k—h- 7)? = (k— hy) (le + hi) 
Allee: k + kt k—h-+r\2 I SSE \ 2 Ip \2 | 
allsaa FEST ( BER ) (5 =) ( a) 3 (6) 


hvor de sidste Omdannelser faas af Ligestorheden af de to forste Forhold i (5). Nu 
giver (4) 


m k EN k 


> 


are rm BEN SPEER ATEN E r 
vi ( h ) vr 4- hi ( 4 MEET 


hvor alter Omdannelsen af den sidste Faktor skyldes Ligestorheden af de to første For- 
hold i (5). 

I det sidste Udtryk for nt have vi saaledes fundet den kubiske Ligning, som 
ljener til Bestemmelse af 2. For at faa denne udtrykt har Archimedes indført paa Figuren 
et Punkt Z, bestemt saaledes, at BZ=r, hvorved 37, — 2 = XZ, og et Punkt 7 bestemt 


= m 
saaledes, at TZ = — 


mn 


r. Han faar da Proportionen 


FIDE XL 
DRITTE u 


hvor alle Punkter ere bekjendte undtagen X. Opgaven bliver da at dele det bekjendte 
Liniestykke DZ ved et Punkt X saaledes, at denne Proportion finder Sted. 


Opgaven er her ikke fort tilbage til en i stereometrisk Form fremstillet kubisk Lig- 


ning, men — svarende til Fremstillingen af Terningens Multiplikation som en Bestemmelse 
af to Mellemproportionaler — til en med en saadan kubisk Ligning ensgjældende Propor- 


tion. I den af Eutokios meddelte videre Behandling og Diskussion indføres derimod den 
stereometriske Fremstillingsform: Deling af en ret Linie i to saadanne Stykker, 
at det af det ene Stykke og det andets Kvadrat bestemte Parallelepipedum 
faar et givet Volumen, og bruges sammen med Fremstillingen ved Proportionen (7). 
Indforelsen af dette Volumen er ikke uden Betydning for den almindelige Diskussion af 
Bestemmelsen af X ved Proportionen (7). I den dertil hørende Grænsebetingelse ere nemlig 
de givne Verdier af BD og TZ hver for sig ligegyldige; men det kommer kun an paa, 
at det deraf bestemte Parallelepipedum BD?. TZ bliver mindre end den Maximumsverdi 
som DX?.XZ kan faa for forskjellige Beliggenheder af X paa den bekjendte Linie DZ. 
Da nu ogsaa Archimedes i sin egen Text peger hen paa denne Diskussion, idet han siger, 


at den i Proportionen (7) givne Opgave kræver en Diorisme (Afgrænsning), naar den stilles 
. 


i Almindelighed, men ikke i den foreliggende specielle Anvendelse, hvor Grænsebetingelserne 
af sig selv ere opfyldte, er der ingen Grund til at antage, at Indførelsen af den stereome- 
triske Fremstilling skulde skyldes Eutokios’ Forbedring af det foreliggende mangelfulde 
Manuskript. I hvert Fald har en saadan Fremstilling ikke kunnet ligge fjernere for Archi- 
medes end for Eutokios. 

Hvad nu angaar den Form, som vor Trediegradsligning her har faaet, er det værd 
at lægge Mærke til dens fuldkomne Overensstemmelse med den Form, hvori Anvendelser 
af Fladeanlæg eller kvadratiske Ligninger hyppigst optræde hos de græske Forfattere. En 
Opgave, der skal løses ad denne sidste Vej, føres nemlig i Almindelighed tilbage til. den: 
«paa en .given begrænset ret Linie eller dens Forlængelse at bestemme et Punkt, hvis 
Afstande fra Endepunkterne danne et Rektangel af givet Areal», og dette Areal bestemmes, 
som her det givne Volumen, ved Afstandene fra Endepunkterne til to givne Punkter af 
Linien!). Denne Overensstemmelse fortjener saa meget mere at paaagtes, som man, ved 
at give Fremstillingen af den kubiske Ligning samme Udstrekning som den af kvadratiske 
Ligninger, kan gjore den anvendelig paa enhver Ligning af Formen 

23-2 age [= 0. (8) 
Dennes Rodder, og det saavel de positive som de negative, der jo ere positive Rodder i 
en anden Ligning af samme Form, og som altsaa for de gamle ogsaa give Losninger af andre 
Opgaver af samme Art, ville nemlig altid kunne bestemmes ved paa en begrænset Linie 
(+ a) eller en af dens Forlengelser at bestemme et saadant Punkt, at Kvadratet paa dets 
Afstand fra det ene Endepunkt (z) og dets Afstand fra det andet Endepunkt danne et 
Parallelepipedum af givet Volumen (+ 77. 

Vi skulle dernæst anføre den ved Eutokios meddelte Løsning ved Keglesnit af 
den Trediegradsligning, hvortil Kuglens Deling er henfort. Denne knytter sig næsten 
saa noje som muligt til den Proportion (7), hvorved Opgaven er fremstillet. Denne Pro- 
portion viser nemlig, at naar man setter Forholdet 


BD? e (9) 
re ES SA 
D X? y 
hvor e betegner en Længde (der kan være vilkaarlig, men som i den af Eutokios meddelte 
Løsning er lige stor med den Linie DZ = 37, som skal deles), bliver ogsaa 
MZ (10) 
NG To 


Lader man nu X gjennemlobe Linien DZ, og er y en i X oprejst Ordinat, fremstiller (9) en 
Parabel med Toppunkt i /) og med DZ til Tangent, og (10) en Hyperbel med DZ og 


1) Dette ses navnlig af Apollonios’ Skrift om Forholdssnittet, hvoraf vi i det 15de Afsnit skulle give et 
Referat. 


159 


Perpendikulæren derpaa i Z til Asymptoter. X bliver da Projektionen paa 2/7 af et Skjæ- 
ringspunkt mellem disse Kurver, eller, i vor algebraiske Omskrivning, h bliver Abscissen 
til et saadant Skjæringspunkt. 

Ogsaa her skulle vi bemerke, at ikke blot enhver Ligning af Formen (8) umiddel- 
bart lader sig lose paa samme Maade, men at denne endog lader sig anvende paa enhver 
Ligning af tredie Grad. Skrive vi denne 

ad ax? + Bae = Cd, 

kunne dens Rødder bestemmes som Abscisser til Skjwringspunkterne mellem Hyperblen 
og Parablen dy = x? + ax + B. 
Tilbage have vi Diorismen, hvilken Archimedes, som allerede sagt, i selve 
Skriftet om Kuglen og Cylinderen udtrykkelig bemærker, at der er Brug for ved en Pro- 
portion af Formen (7), hvor X skal være et Punkt af selve den givne Linie DZ, eller ved 
en Ligning af Formen 

2?(a — x) = b?c, (11) 
hvor a er en given ret Linie, 62¢ et i en for Løsningen bekvem Form opskrevet Volu- 
men. Da Talen er om en Deling af a, spørges der kun om saadanne Rødder, som til- 
fredsstille Betingelserne 0 < x <a, hvilket jo i Virkelighed bliver alle de positive Rodder. 
Saadannes Mulighed afhænger af, om det givne Volumen b?c er større, lig eller mindre 
end Maximumsvardien af z?(a — x). I det af Eutokios meddelte Manuskript siges denne 


Maximumsværdi at indtræde, naar x = 3a. Har b?c den dertil hørende Verdi 344%, ville 
nemlig de til Konstruktionen benyttede Kurver (9) og (10) eller 

2 — = .y og y(a—x) = ce 
berøre hinanden i det Punkt P (Fig. 41) med Abscissen æ = 2a, som de da maa faa 
fælles. Parablens Tangent i P vil nemlig paa Toppunktstangenten 
afskjære Stykket 9? altsaa gaa gjennem Midtpunktet S af Abscissen | VA 
DQ. Da derved SQ = QZ, ses det, at P bliver Midtpunkt af ' p/ 
det Stykke, som Hyperblens Asymptoter afskjære paa Tangenten BG 

LR 


til Parablen. Denne berorer altsaa Hyperblen i samme Punkt. 


At det nu virkelig bliver en Maximumsværdi, som 
a” (a — x) faar for « = £a, eller naar X falder i Punktet Q paa 
Figuren, vises dernæst ved at give X andre Stillinger enten paa 
DQ eller paa QZ. Lader man samtidig c og e, og dermed Hy- 


Fig 


perblen, vere uforandrede, maa den Parabel, hvis Skjæringspuukt 
med Ilyperblen skal bestemme X, gaa gjennem et fra P forskjelligt Punkt af Hyperblen, 


DEE : i 
altsaa falde indenfor Parablen PD. Dens Parameter = bliver altsaa mindre, folgelig ogsaa 


det dertil svarende Volumen 5?e. 

Selve denne Diskussion saa vel som Figuren udvise, at der, naar b?e < a, 
kommer to Oplosninger, af hvilke den ene er mindre, den anden slorre end 2a, eller ved 
Proportionen (7) bestemmes to Punkter X, af hvilke det ene falder paa DQ, det andet 
paa QZ. 


Skal nu den her diskuterede Ligning (11) eller Proportionen (7) særlig anvendes 
m 


paa Kuglens Deling, er (Fig. 40) a = DZ=3r, b= DB=2r, e=TZ— r 
g 8, s > 3 mtn’ 
altsaa 
m c 2 
b?e — A — rå < år? = 2,08, 
am TE n 


saa Delingen af DZ er mulig, og da det søgte Punkt X skal falde paa Kuglens Diameter 
DB, maa man have x << DB = 2a. Følgelig kan man kun bruge den ene af de to Op- 
losninger af Ligningen. Selve den stillede Opgave faar saaledes allid en og kun En Oples- 
ning og giver altsaa, som Archimedes siger, ikke Anledning til nogen Diorisme. 

Det er klart, at enhver Ligning af tredie Grad, hvor Leddet af første Grad mangler, 
maa kunne diskuteres ganske paa samme Maade, som den speciellere Form her er bleven 
det. Endvidere lader en Bestemmelse af saadanne Verdier af x, som blive lige Rødder 
i en almindelig Ligning af tredie Grad, og derved Udledelsen af Betingelsen for saadanne, 
sig knytte til den antydede Losning ved en Parabel og en Hyperbel. Den lader sig 
nemlig ogsaa fore tilbage til Bestemmelsen af en Parabel med Axen paa en given ret Linie, 
som gaar gjennem et givet Punkt og i dette har en given Tangent. 

Naar vi nu sammenfatte alt dette, faa vi ud, at Archimedes har fort en vis 
Opgave, der ikke umiddelbart fremtraadte som en kubisk Ligning, tilbage 
til en såadan, al han grafisk ved Skjæring mellem to Keglesnit har løst 
denne Ligning, der henhørte under Formen z?— ar? + b?e — 0, og at han 
har anvendt sin Løsning til Bestemmelse af de positive Rødder i enhver 
saadan Ligning, hvor a og ¢ ere positive, og undersøgt Betingelserne for, 
al der mellem 0 og a er 0, 1 eller 2 Rødder. 

Det viste sig endvidere, at Løsning og Diskussion umiddelbart kunne 
anvendes paa alle saadanne kubiske Ligninger, hvor Leddet af første Grad 
mangler, og at de temmelig let lade sig udvide til enhver kubisk Ligning. 

Herved have vi nu rigtignok forudsat, at Eutokios’ Formodning om, at det af ham 
fundne Manuskript virkelig indeholder Archimedes' egen videre Behandling af Opgaven, 
er riglig. Denne Formodning bekræftes i høj Grad ved Overensstemmelsen mellem dette 
Manuskript og Archimedes’ egen Ytring om, at Diorismen først finder Anvendelse paa den 


161 


ved Ligningen udtrykte almindeligere Opgave, og ved Losningens umiddelbare Tilknytning 
til den Proportion, hvori Archimedes udtrykker Ligningen. 

Hertil kommer den Omstændighed, at den meddelte Losning er en umiddelbar 
Udvidelse af Menaichmos’ Losning af den rent kubiske Ligning, saaledes at den, naar man 
forst havde reduceret Problemet til Archimedes’ trinome Ligning, maatte være den mest 
nerliggende. Af disse Grunde, hvortil snart skal fojes endnu en, vilde vi ogsaa, naar 
Indholdet af Eutokios’ Manuskript var fremkommet blot som en Gjætning om Archimedes’ 
Losning, anse denne Gjætning for den bedst mulige. Paa sin Side er dette Manuskript, 
der maa skrive sig fra en langt ældre Tid end Eutokios, et sikkert Vidnesbyrd om, at 
det, som her er tillagt Archimedes, i hvert Tilfælde er opnaaet indenfor den gamle græske 
Mathematik. Diorismen falder for ovrigt, som vi skulle se i trettende Afsnit, ganske sammen 
med den, som Apollonios i sin femte Bog anvender paa en anden Opgave. 

For Archimedes’ eget Vedkommende vilde det, selv om man vilde se bort fra Manu- 
skriptet og de ovenstaaende Slutninger og umiddelbart holde sig til hans autentiske Værker, 
dog af disse med Bestemthed fremgaa, at han har besiddet en Losning og Diskus- 
sion af den omtalte trinome Ligning. Han kan nemlig umulig have nøjedes med at fore 
en Opgave, som han giver sig ud for fuldstendig at behandle, tilbage til en anden, som 
han ikke kunde lose, og hans Ytringer om Diorismen vise, at han kjender dennes Resultat, 
hvad der tillige er et nyt Vidnesbyrd om hans Kjendskab til en Maade at lose Opgaven paa. 

Om denne Oplosningsmaade kan man endvidere af en Ytring et andet Sted hos 
Archimedes se, at den, selv om den skulde have været forskjellig fra den, som vi efter 
Eutokios have tillagt ham, dog ligesom denne har været anvendelig paa alle Ligninger-af 
tredie Grad, hvor Leddet af forste Grad mangler. I Slutningen af Fortalen til Skriftet om 
Konoider og Sfæroider siger han nemlig!), at de i dette Skrift fundne Resultater kunne 
anvendes til at finde mange Sætninger og lose mange Opgaver, og som Exempel paa disse 
nævner han folgende: ved en Plan parallel med en given at afskjære et saadant Segment 
af en given Sfæroide eller Konoide, som bliver lige stort med en given Kegle, Cylinder 
eller Kugle. 

For de retvinklede Konoiders, 9: Omdrejningsparaboloidernes, Vedkommende bliver 
denne Opgave «plan» og vedkommer os altsaa ikke her. 

For Sfæroidernes, 9: Omdrejningsellipsoidernes, Vedkommende bliver Opgaven ifolge 
Archimedes’ Bestemmelse af Voluminer af Sfæroidsegmenter ikke væsentlig forskjellig fra, 
hvad den vilde være, naar Talen var om et Kuglesegment. Da tilmed i dette Tilfælde For- 
holdet mellem det opgivne Segments Volumen og Volumen af den Kugle, hvoraf Segmentet 
skulde afskjæres, er let at bestemme, er det vel ingen Tvivl underkastet, at Archimedes 


!) Heibergs Udgave, I, S. 286. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidensk. og mathem, Afd. III. 1. 21 


162 


har fort denne Opgave tilbage til den samme Ligning eller Proportion (7), hvortil han kom 
i Skriftet om Kuglen og Cylinderen, dog med den Almindeliggjorelse, at den givne Størrelse 
TZ nu kan være vilkaarlig, saaledes at Diorismen nu ikke mere er overflodig. Anvendelsen 
af Ellipsens Ligning kan muligvis endog have givet en simplere Reduktion til denne Pro- 
portion end den, vi fandt i Skriftet om Kuglen og Cylinderen. 

Hvad endelig de stumpvinklede Konoider, 9: de hyperbolske Omdrejningshyper- 
boloider, angaar, saa bestemmer Archimedes Volumen af disses Segmenter saaledes, at 
Opgavens Fordring for ham neje falder sammen med Ligningen 

pate Ey If 
hvor da 2a er Lengden af den Diameter i Hyperboloiden, som gaar igjennem Centrum i 
det begrænsende plane Snit, z det Stykke, som paa denne Diameter afskjæres mellem Fladen 
og Planen, y Afstanden fra Snittets Centrum til et af de Punkter af Snitkurven, som tillige 
ligge i en fast Plan gjennem Diameteren, og J’ et som et retvinklet Parallelepipedum 
fremstillet Volumen. Ifølge Ligningen for det i Diametralplanen liggende hyperbolske Snit, 
staar y? i et konstant Forhold til æ(2a + x), saa den opstillede Ligning bliver til 

a? (3a+ x) = be, 
hvor 6?c er et nyt bekjendt retvinklet Parallelepipedum, bragt paa en for Løsningen bekvem 
b? sata 

2 


Form, eller til Proportionen — — 
& 


, der falder sammen med den ved den tidli- 
gere Opgave opstillede Proportion (7), naar man lader « = DX bestemme et Punkt af 
Forlængelsen af den givne Linie DZ = 3a ud over D. Opgaven falder altsaa ifølge 
Archimedes’ egen Volumenbestemmelse sammen med en af de Former for den kubiske 
Ligning uden Led af forste Grad, som der ikke var Brug for ved Opgaverne med Hensyn 
til Kuglesegmentet. I dette Tilfælde tor man saaledes ogsaa antage, at Archimedes har 
lost Ligningen, og der er da ingen som helst Grund til at tro, at denne skulde have frem- 
budt nogen Vanskelighed for ham i det Tilfælde, som endnu staar tilbage, hvor det søgte 
Punkt X skal ligge paa Forlengelsen ud over Z, eller hvor Ligningen har Formen 
a? — ax? — b?c — 0. Hvilken Archimedes’ Løsning af en saadan Ligning end har været, 


se vi altsaa ogsaa af hans egne Skrifter alene, at han har lost den i al Almindelighed (dog 
saaledes at Bestemmelsen af en og samme Lignings positive og negative Rodder for ham 
ere forskjellige Opgaver). Vi have derfor ikke tillagt ham for meget ved at antage at 
den af Eutokios fundne Løsning var den, han benyttede. lovrigt bliver den Omstændighed, 
at den netop yder, hvad vi fra Archimedes selv vide, at han formaaede, endnu en Grund 
for, at han netop har brugt den. 

Hermed er dog ikke afgjort, at Losningen af saadanne kubiske Ligninger forst er 
funden af Archimedes. Tvertimod viser Behandlingens Fuldstændighed og den Omstæn- 


163 


dighed, at selve Ligningerne lade sig udtrykke i simple geometriske, med de kvadratiske 
Ligningers Fremstilling overensstemmende Former, at disse godt kunne være optraadte som 
selvstændige Opgaver. Det af Eutokios fundne Manuskript, hvorom det ikke er afgjort, at 
det har indeholdt Anvendelsen paa den særlige Opgave om Kuglen, kan da være et Brud- 
stykke af en selvstændig Behandling af de omtalte trinome Ligninger, som heldigvis netop 
indbefatter det Tilfælde, hvor de give Anledning til Mulighedsbetingelser. En saadan Be- 
handling kan være ældre end Archimedes, og Grunden til, at han nojes med at fore Kugle- 
delingen tilbage til Ligningen, kan da være den, at han betragter dennes Losning som 
bekjendt i det mindste for hans Læsere i Alexandria, hvor han sendte Skriftet hen. I saa 
Fald vil Loftet om en Diorisme og Løsning ved Slutningen, hvilket Diokles ikke kjender 
eller ikke ændser, rimeligvis være et senere indskudt Forseg!) paa at forklare, at der i 
Øjeblikket ingen Løsning gives. Eller Archimedes kan selv have fundet denne Losning, 
som han i Øjeblikket havde Brug for, og da, netop fordi han kjendte eller forudsaa den 
videre rækkende Anvendelighed af den i Ligningen udtrykte almindeligere Opgave, have 
foresat sig bagefter at behandle denne særskilt, og da virkelig selv have givet det Lofte, 
som Texten indeholder. Det af Eutokios fundne Manuskript kan da enten hidrore fra, at 
Archimedes virkelig har iværksat dette, eller fra en Tradition om, hvorledes han bar sig ad. 
Begge disse Forklaringer ere naturligere end den, at Lasningen allerede paa Diokles’ og 
Dionysodoros’ Tider skulde være forsvunden af alle Afskrifter af Bogerne om Kuglen og 
Cylinderen efter engang at have staaet i dette Skrift. 

Herved have vi ogsaa faaet et Bidrag til Besvarelsen af det i Begyndelsen af dette 
Afsnit opstillede Spergsmaal, om Navnet solide Opgaver ikke skulde referere sig til saadanne 
Opgavers Fremstilling ved kubiske Ligninger. Har man virkelig behandlet disse Ligninger 
selvstændig, er det jo ogsaa ganske naturligt, at man har givet dem selv eller de Opgaver, 
som kunne henføres dertil, et særligt Navn. Af større Betydning er dog den omvendte 
Betragtning, og denne er det, der giver Sporgsmaalet om Oprindelsen til Benæynelsen 
solide Opgaver sin største Interesse. Har Navnet solide Opgaver virkelig oprindelig havt 
den af os formodede i og for sig naturligste Betydning, saa er dette Navn et Vidnesbyrd 
om den Vægt, man lagde paa Opgavers Reduktibilitet til kubiske Ligninger, altsaa ogsaa 
om den særlige Betydning, man tillagde disses Løsning. Idet Archimedes har kjendt 
Løsningen af i det mindste en vigtig Klasse af disse Ligninger, hvortil endog de andre 
temmelig let kunne føres hen, maa man i hvert Fald mere give Grækerne end Araberne 
Æren for kubiske Ligningers grafiske Behandling ved Keglesnit; men have vi Ret i vor 
Antagelse om Navnet solide Opgaver, kunne vi ikke blive staaende herved. Den Fortjeneste 


1) Denne Antagelse er saa meget tilladeligere, som i den overleverede Text Beviset for samme Sætning 
indeholder utvivlsomme Indskud, som tildels allerede fandtes paa Eutokios' Tid (se Heibergs Udgave, 
1, S. 213, Note 2). 


21° 


164 


begrebsmessig al have opstillet disse Ligninger, hvis algebraiske Losning senere 
skulde aabne den theoretiske Mathematiks Gjenfodelse i Europa, vil da ogsaa allerede have 
tilhort Grækerne. 

Her maa vi imidlertid skynde os at tilfoje, at endog det Kjendskab til Trediegrads- 
ligninger og deres Behandling, som vi med fuld Bestemthed have kunnet tillegge Archi- 
medes, maa have tabt sig temmelig hurtig. Vi se saaledes, at allerede Diokles, der 
efter Cantor senest maa have levet omtrent 100 f. Kr., er ubekjendt med Betydningen af 
en Trediegradsligning. Han siger nemlig om Kuglens Deling af Archimedes!), at denne 
fører Sporgsmaalet tilbage til «en anden Opgave, som han ikke loser i Bogen om Kuglen 


og Cylinderen». Den Løsning af den oprindelige Opgave, som han derpaa selv anfører, ‘ 


og som vi skulle meddele i Slutningen af dette Afsnit, vil nu vel paa Grund af en Almin- 
deliggjerelse, som han indforer, svare til en Ligning af tredie Grad med alle fire Led, men 
der er overhovedet ikke Tale om at udtrykke den i en enkelt Ligning eller Proportion. 
Han gaar for saa vidt elegantere tilverks, som han knytter Bestemmelsen af de Keglesnit, 
hvorved Opgaven løses, direkte til denne; men netop derved bliver hans Behandling ikke 
til nogen Løsning af Trediegradsligningen. Noget anderledes forholder det sig vel med den 
Kugledeling, som skyldes den (efter Cantor) noget yngre Dionysodoros, idet denne?) 
virkelig løser Ligningen 
a?(a— x) = b?c, 

udtrykt i samme Proportion, som hos Archimedes; men intet tyder paa, at han i Tilbage- 
forelsen til den omtalte Ligning eller Proportion, som han har fra Archimedes, ser nogen 
mere omfattende Methode. Der er nemlig hverken Tale om nogen ved Ligningen bestemt 
almindeligere Opgave eller nogen Diorisme. Faktisk giver han imidlertid en ny Løsning 


af den samme Trediegradsligning — som ogsaa kan betragtes som en Almindeliggjorelse 
‘af Menaichmos’ Løsning af den rent kubiske Ligning — nemlig ved Skjæring mellem Kegle- 
snittene 

y? = c(a—x) og xy = be. 


Det ligger nu ner, at rykke lengere tilbage imod Archimedes’ egen Tid og under- 
soge, om det er rimeligt, at Apollonios har kjendt Trediegradsligninger i deres omtalte 
antike Former som særlige Opgaver. 

Apollonios’ Fortaler®) gjøre det utvivlsomt, baade, at man for hans Tid har lost 
mange Opgaver ved Skjæring mellem Keglesnit, samt kjendt Midler til at bestemme Antal 
af Losninger af saadanne Opgaver, og at han selv, i tredie Bog ved Fuldstendiggjorelse af 
Grundlaget for Leren om solide Steder, og i fjerde Bog ved en fuldstendigere og bedre 


1) Se Heibergs Udgave af Archimedes II], S. 190. 
2) Heibergs Archimedes III, S. 180. 
3) Se Tilleg 1. 


ae 


begrundet Bestemmelse af det højeste Antal Skjæringspunkter mellem to Keglesnit, væsentlig 
har udviklet og forbedret Midlerne til saadanne Oplosninger og Diskussioner. 

Alt hvad der findes i disse Boger, peger dog mere hen paa direkte geometrisk 
Behandling af alle de Opgaver, som kunne loses ad den opgivne Vej, end paa en Behand- 
ling af de Ligninger af tredie Grad, hvortil en Del af disse Opgaver kunne henfores. 
Navnlig vil det, naar man tænker paa den Losning af Trediegradsligningerne, som her er 
tillagt Archimedes, synes paafaldende, at der i fjerde Bog intet særligt siges om Antallet 
af Skjeringer mellem en Hyperbel og en Parabel, hvis Axe er parallel med en Asymptote. 
At man dog — hvad vi alt i niende Afsnit have berørt — ikke maa tillægge den Omsten- 
dighed for stor Betydning, ser man ved at gaa over til Apollonios’ femte Bog, hvor det 
viser sig, at der ved hans egne Undersogelser i Nr. 51, 57 og 62 netop bliver Brug for 
Skjæringer mellem saadanne to Kurver, og hvor han, uden nærmere Begrundelse, netop 
tillegger dem de rigtige Antal Skjæringspunkter. Det ser saaledes meget snarere ud, som 
om Apollonios, der i fjerde Bog alene har Maximumsantallet af Skjæringspunkter for Oje, 
har betragtet Indflydelsen af den omtalte Parallelisme som bekjendt eller indlysende — 
lige saa vel som Indflydelsen af en fælles Asymptoteretning for to Hyperbler. Muligvis 
kunne saadanne Tilfælde være undersogte i Konons tidligere Behandling af samme Emne, 
som Apollonios omtaler. Ja vi kunne sige, at enten maa dette have været Tilfældet, eller 
ogsaa maa ligeledes Konon have betragtet Indflydelsen af en saadan Parallelisme som ind- 
lysende, hvis da ellers hans Undersøgelse skal have havt den af Apollonios fremhævede 
Betydning for Diorismer til Opgaver, som loses ved Keglesnit; thi ved de simpleste af disse 
Opgaver, hvilke det vel er mest rimeligt, at man har kjendt paa Konons Tid, vil en Hyperbel 
og en Parabel i den angivne indbyrdes Beliggenhed give de mest nærliggende Losninger. 
Saadanne Kurver benyttedes da ogsaa — foruden ved den her omhandlede Losning af ku- 
biske Ligninger — allerede i den ene af Menaichmos’ Bestemmelser af de to Mellempro- 
portionaler, hvilken for ovrigt ikke selv har givet Anledning til Undersogelse af Oplosnin- 
gernes Antal. _ 

Det er saaledes ikke tilladt fra Apollonios at drage Slutninger imod en tidligere 
selvstendig Behandling af Trediegradsligninger. Derved bliver hans Omtale af Konon i 
Forbindelse med det, vi ellers vide om eldre Anvendelse af solide Steder, snarere en ny 
Grund for at antage en saadan. Man ser nemlig deraf, at Antallet af Opgaver, som have 
været behandlede ved Skjæring mellem Keglesnit, ikke godt kan have veret indskrenket til 
de faa, som ere opbevarede os, af hvilke flere endog slet ikke give Anledning til nogen 
Diorisme. Man kan af den af Apollonios omtalte Modsigelse fra Nikoteles’ Side slutte, at 
allerede Konon har havt det udtrykkelige Formaal at give Midler til Bestemmelse af Antal 
af Oplosninger af Opgaver, som loses ved Keglesnit; men Trangen til disse Midler tyder 
hen paa, at der existerede Klasser af disse Opgaver, for hvis Losninger man havde mere 


166 


indgaaende Regler, og der er ingen Klasse, som det da vilde ligge saa ner at tenke paa 
som de geometriske Former for Trediegradsligningen. 

Af det, som her er sagt om Apollonios og Diokles, kan uddrages en Forklaring 
af, hvorledes det kan have været muligt, at Trediegradsligningernes Løsning ved Keglesnit 
kan vere glemt paa den sidstnevntes Tid efter helt eller delvis at have veret kjendt af 
Archimedes. Denne Forklaring ville vi bedst kunne fremsette i Forbindelse med en 
samlet Fremstilling af, hvorledes de i dette Afsnit omhandlede Undersøgelser og Theorier 
kunne have udviklet sig i Overensstemmelse med de fremdragne Oplysninger. Naar vi nu 
lade denne formodede Udviklingshistorie fremtrede som et rimeligt Resultat af disse 
Oplysninger, maa vi dog bemerke, at den vel neppe giver den eneste mulige Forklaring af 
de oplyste Fakta, og at det da er disse og ikke den, der maa betragtes som vor Under- 
sogelses sikre Udbytte. Vor Formodning gaar ud paa folgende: 

Da man saa, med hvor stort Held Operationer med plane Figurer lode sig anvende 
til at finde Lesninger af geometriske Opgaver, og man ad denne Vej havde lost de Op- 
gaver, som vi kalde kvadratiske Ligninger, og set, hvor mange forskjelligartede andre Op- 
gaver der kunde føres titbage dertil, laa det ner at forsøge at opnaa noget lignende, men 
videregaaende, ved paa tilsvarende Maade at operere med Terninger og Parallelepipeder. 
Serlig nerliggende var det — som i de fleste af de betragtede Exempler — at fore Op- 
gaver vedrørende andre Voluminer tilbage til Relationer mellem disse Legemer. Analogien 
maatte give Haab om, at man dels maatte kunne lose den rent kubiske Ligning eller udfore 
Terningens Multiplikation, dels ogsaa ved Omflytninger og Omformninger af de Parallel- 
epipeder, som indgik i mere almindelige kubiske Ligningers stereometriske Fremstilling, 
fore disse tilbage til hin simplere, eller til den dermed identiske Bestemmelse af to Mellem- 
proportionaler. Denne sidste Bestrebelse, hvis Realisation vilde have veret en Losning af 
den almindelige kubiske Ligning i samme Forstand, som denne først er naaet af Italienerne 
i Renæssancetiden, mislykkedes og har ikke efterladt andre Spor end selve Navnet solide 
Opgaver. 

Derimod lykkedes det at bestemme de to Mellemproportionaler eller multiplicere 
Terningen, og man kaldte da paa Grund af Anvendelsen hertil de af Archytas, Eudoxos og 
Menaichmos fundne Kurver, af hvilke tilmed de forste vare Rumkurver, og de sidste, 
Keglesnittene, havde en stereometrisk Frembringelse, solide Steder. At knytte dette Navn, 
der, da man efterhaanden indskrænkede sig til Brugen af Keglesnit, kun anvendtes paa 
disse, alene til Terningens Multiplikation, var ikke urimeligt paa en_Tid, da man endnu 
haabede at fore alle solide Opgaver tilbage tilidenne Bestemmelse; men Navnet solide 
Steder kan ogsaa vere opstaaet, efter at Archimedes eller en tidligere Mathematiker havde 
fundet, at ogsaa andre kubiske Ligninger kunne loses ved Hjælp af Keglesnit. 


167 


Ved denne sidste Opdagelse maatte det synes, som om man havde opnaaet det 
samme, som man havde tilstræbt ved stereometriske Operalioner. Selv om det nemlig nu 
skulde Iykkes ved disse at faa Opgaver forte tilbage til rent kubiske Ligninger, krævede 
deres Losning Brugen af Keglesnit, ved Hjælp af hvilke man nu kunde lose dem ogsaa 
uden denne Reduktion. ‘De stereometriske Operationer maatte da falde bort. Vi finde 
dem end ikke mere hos Archimedes, om end han — eller Forfatteren af det af Eutokios 
fundne Manuskript — vedbliver at gjore nogen Brug af den stereometriske Fremstilling af 
selve Ligningen. 

De kubiske Ligninger — i deres stereometriske Form eller i Form af Propor- 
tioner — havde dog endnu deres Betydning som simple Opgaver, hvis Løsninger kunde 
forudsættes bekjendte, og til hvilke mangfoldige andre Opgaver kunde henføres. Idet man 
ikke kjendte nogen anden Løsning end den grafiske ved Keglesnit, maatte dog ogsaa denne 
Betydning tabe sig, da Keglesnitslæren, særlig ved Apollonios, udvikledes saaledes, at man 
fik rigeligere Midler til direkte at bestemme de Keglesnitslinier, ved hvilke forelagte Op- 
gaver kunde løses, ja saltes i Stand til at opnaa dette lige saa let som Omdannelsen til 
en kubisk Ligning. Denne Omdannelse var nemlig ikke allid let at gjennemfore ved de 
da existerende Midler. Man var ogsaa allerede for Apollonios’ Tid stødt paa Opgaver, som 
kunne løses ved Keglesnitslinier, men som man ikke var i Stand til at føre tilbage til 
kubiske Ligninger, nemlig flere saadanne, hvis nærmest liggende algebraiske Fremstilling 
er en Ligning af fjerde Grad. Da nu tilmed Apollonios, hos hvem man snart vænnede 
sig til at søge alle Oplysninger om Keglesnit, intet meddeler om deres særlige Anvendelse 
paa kubiske Ligninger, bliver det forstaaeligt, at disse og deres Løsninger- gik i Glemme, 
paa samme Tid som Opløselighed ved Keglesnit gjorde sig gjældende som en fælles Egen- 
skab ved en mere omfattende Klasse Opgaver end de gamle solide Opgaver. Paa denne 
mere omfattende Klasse blev det da nu naturligt, saaledes som det er gjort hos Pappos, 
at overføre Benævnelsen solide Opgaver. Denne have de da paa deres Side faaet fra de 
dertil tjenende solide Steder, hvilke atter — efter den her opstillede Formodning — skylde 
de solide Opgaver i den ældre og snævrere Forstand deres Navn. 

Om disse sidste have vi udelukkende talt i nærværende Afsnit. Tilbage have vi at 
betragte de solide Opgaver i den mere omfattende Forstand, nemlig alle saadanne Opgaver, 
som Grækerne have løst ved Skjæring mellem Keglesnit uden først at føre dem tilbage til 
kubiske Ligninger, baade dem, ved hvilke de havde kunnet benytte en saadan Reduktion, 
og dem, der i den nærmest liggende algebraiske Fremstilling udtrykkes ved en Ligning af 
fjerde Grad. Til at de paa nogen Maade, der svarer til vor Løsning af Fjerdegradsligninger, 
methodisk skulde have ført disse sidste Opgaver tilbage til Trediegradsligninger, findes intet 
Spor. Det var dem nok at behandle dem alle ved Keglesnit. 


168 


Med disse solide Opgaver i den videre Forstand, hvori Pappos tager Ordet, skulle 
vi beskjæftige os i de to folgende Afsnit; men allerede her ville vi faa et Exempel derpaa, 
naar vi til de i nærværende Afsnit behandlede Kugledelinger nu tilfoje den, som skyldes 
Diokles, og som er interessant ved den Frihed, hvormed Keglesnittene benyttes. Der er 
nemlig, som alt anfert, ikke i denne Tale om Tilbageforelse til en kubisk Ligning. 

Diokles benytter!) Archimedes’ Analysis indtil Dannelsen af de første Lig- 
ninger (5) (S. 156 og Fig. 40), som han dog almindeliggjer noget, idet han siger, at det 
kommer an paa at dele et givet Liniestykke DB (Fig. 42) saa- 
ledes i et Punkt X, at naar man til begge Ender af DB til- 


føjer de ubekjendte Stykker Z D og BR, Forholdet LE faar 


LÉ XR 
| en given Værdi, og Forholdene Dx Exp blive lige store 
| / med Forholdene mellem en given Linie og henholdsvis XB 
/ A og DX. Idet vi ved a betegne den sidstnævnte givne Linie, 
W som ved Anvendelsen paa Kugledelingen er Kuglens Radius 
4 r(=1DB), og for øvrigt bruge samme Betegnelser som tid- 


ne ligere, (EX — by XR) — ho, Dike box one 


trykkes disse Bestemmelser af de søgte Punkter Z, X, À i det moderne Tegnsprog ved 
Ligningerne ( 

r=, hth! = 27: (1) 

k—h a kh a 

h hi hi h 


hvor h, h‘, k og k' ere ubekjendte. De sidste Ligninger give 


ee a k h + a (3 
le 7 me TER a 


I Stedet for nu som Archimedes heraf ved Elimination at danne en Ligning med én 
ubekjendt, folger Diokles den Regel, som Plücker har gjort gjældende indenfor den 
moderne analytiske Geometri, saa vidt mulig direkte at benytte de opgivne Fordringer 
(Ligninger) og ikke give dem et mere indviklet Udseende ved en Elimination. 


Af Udtrykkene (1) og (3) for 5 og k.k‘ udledes 
n 
k'? — mer (hi +a), (4) 


og desuden haves i (3) 
(k —h')h = a ht, . (5) 


2) Heibergs Archimedes III, S. 188, ff. 


169 

Idet 4 = 2» —h, vil den sidste Ligning udtrykke, at y = k“—h‘ er den i 
Punktet X oprejste Ordinat til en Hyperbel, som er let nøjere at bestemme. Idet frem- 
deles À + a og ‘+ « betegne Punktet X's Afstande fra Punkter A og C, bestemte ved 
at afsætte AD = BC = a paa Linien DB’s Forlængelser, vilde Ligning (4) udtrykke, 
at k var Ordinaten fra X til en Ellipse med Axen AC. 

Ordinaterne y og ki = y +h‘ have imidlertid her forskjellige Betydninger. Ordi- 
naten 4‘ skal derfor ikke regnes ud fra selve den givne rette Linie, men fra den, hvis Or- 
dinat i det bevægelige Punkt X har Værdien —h‘, det er Linien BA,, som i B danner 
en Vinkel paa 45° med den givne. Idet Ordinaten k', som i X staar vinkelret paa AC, 
regnes ud fra Linien A, B som X,M, bliver Stedet for dens Endepunkt M en Ellipse 
med Diameteren A,C,, hvis Forhold til den med Ordinaterne parallele konjugerede Diameter 


bliver V2 an 


Ordinaten til denne Ellipses Skjæringspunkt med den nys nævnte Hyperbel træffer 


den givne rette Linie i det sogte Delingspunkt X. 


Tolvte Afsnit. 


Solide Opgaver (Fortsættelse); Indskydninger (vedaeıc). 


Efterat Pappos i fjerde Bog har anfort Inddelingen af Opgaver i plane, solide og 
lineære, indskjærper han denne Inddeling ved at tilfoje!), at det maa anses for en ikke 
ringe Fejl al lose en plan Opgave ved Keglesnit eller andre Kurver og overhovedet at lase 
en Opgave, som om den horte til en anden Klasse, end den virkelig gjer. At den forste 
heri angivne Fordring allerede paa Euklids Tid har været godkjendt, ses af hans Elementer, 


1) Hultsch’ Udgave S. 270. Af Hensyn til videre Anvendelser skal jeg fuldstændig anfere dette Sted 
270, 28 — 272,4: «Men det synes at vere en ikke ringe Fejl af Geometrerne, naar en plan Opgave 
loses ved Keglesnit eller højere Kurver, og i det hele, naar den loses, som om den hørte til en 
fremmed Klasse, hvilket er Tilfældet med Opgaven om Parablen i Apollonios femte Bog og med 
den solide vedars, som Archimedes foretager i Bogen om Spiralen; thi ogsaa uden at bruge noget 
solidt Sted er det muligt at finde hans Sætning ...» (om Polarsubtangenten til en archimedisk 
Spiral; Sætning 18). Jeg har med Heiberg [Zeitschr. f. Math. u. Phys., hist. lith. Abth., XXIII, 4 S. 117] 
foretrukket Haandskrifternes orspe& for Hultsch' orspsod. Endnu forstaacligere vilde Flertallet aé 
Aapffayôpevar otepeai vedasts, der delvis stemmer med nogle Haandskrifter, have været mig. Beskyld- 
ningerne mod Archimedes og Apollonios skal jeg i Lobet af dette og det næste Afsnit nærmere 
undersøge. 


Vidensk, Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. III, 4. 


nN 
rm 


170 


hvor ret Linie og Cirkel ere de eneste undersogte Linier og de eneste tilladte Konstruk- 
tionsmidler, og hvor Setning 2 i ferste Bog viser, at end ikke en saadan umiddelbar Flyt- 
ning af et Liniestykke ved Hjælp af Passeren, hvor begge dennes Ben skifte Plads, tilstedes. 
Bortset fra de Konstruktioner i Apollonios’ anden Bog, som særlig vise, hvorledes det teg- 
nede Keglesnit kan benyttes ved Bestemmelsen af dertil horende Linier, har jeg heller 
ikke hos Archimedes og Apollonios fundet nogen anden Afvigelse fra denne Regel end 
den af Pappos paapegede i 5te Bog af Apollonios’ Keglesnit, som senere skal blive forklaret. 
Den tilføjede almindelige Fordring maa blandt andet gaa ud paa, at man ikke til Løsning 
af Opgaver, som kunne løses ved Keglesnit, maa benytte andre Kurver end disse samt ret 
Linie og Cirkel. Hermed vil Pappos ikke frakjende Losningerne af disse Opgaver ved 
mekaniske Hjælpemidler Betydning — tvertimod han anser dem for praktisk nyttige, fordi 
Keglesnittene ere vanskelige at konstruere i Planen !), og udtenker selv saadanne —; men 
han betragter ikke en Løsning som theoretisk fuldstændig, for den er tilvejebragt alene ved 
Keglesnit, og hertil ere da paa hans Tid saadanne solide Opgaver forte tilbage, som maaske 
tidligere kunne vere løste ad anden Vej. 

Den opstillede Fordring, der aabenbart forudsætter, at Læren om Keglesnit skal 
være udviklet saaledes, at man virkelig er sat istand til at opfatte disse som de simpleste 
Linier næst ret Linie og Cirkel, kan ikke være gjort gjældende strax, da man begyndte at 
løse Opgaver ved Hjælp af Keglesnittene. Efter sin hele doktrinære Beskaffenhed ligner 
den ogsaa mere den Tid, da man levede i og af de engang opførte Systemer, end den Tid, 
da disse bleve til. Naar vi derfor erfare, at en af de store Mathematikere har løst en 
Opgave, som kan løses ved Keglesnit, maa vi ikke strax slutte, at disse have været benyttede, 
men vi maa ogsaa se os om blandt de andre Arter af Midler, som havdes til Raadighed. 

Blandt disse træffe vi ved Siden af saadanne mere enkelt staaende som mekaniske 
Bestemmelser af to Mellemproportionaler og som Tredelingerne af Vinklen ved Kvadratrix 
og den archimediske Spiral, et mekanisk Konstruktionsmiddel, som endog en Tid synes at 
have været paa Vej til at faa et lignende methodisk Hævd som Løsninger ved Keglesnit, og 
som vi saaledes ikke maa lade upaaagtet i en Undersøgelse over solide Opgaver, . hvilket 
Navn vi her og i det følgende tage i samme videre Betydning som Pappos. 

Med en paafaldende Hyppighed ser man hos Oldtidens Mathematikere Opgaver 
førte tilbage til en vis Operation, som endog har faaet sit eget Navn «vedo:rg», og som 
i Almindelighed bestaar i gjennem et givet Punkt at lægge en ret Linie, paa 
hvilken der mellem to givne Linier afskjæres et Stykke af given Længde. 
I Overensstemmelse med denne Betydning ville vi gjengive Ordet vedo:c ved Indskydning, 
nemlig af det givne Stykke mellem de givne Linier, idet der da underforstaas, at det ind- 


1) Hultsch’ Udgave S. 54. 


171 


skudte Liniestykke eller dets Forlængelse skal gaa igjennem et givel Punkt. Denne Opgave 
vil, naar den ene af de to givne Linier er ret, loses ved al overskjære den anden med en 
Konkoide, en Kurve, som efter Pappos’ og Eutokios’ Vidnesbyrd er funden af Nikomedes, 
der efter Cantor skal have levet i Tiden mellem 200 og 70 f. Kr., medens Tannery!) setter 
hans Levetid mellem Archimedes og Apollonios. Idet man har en mekanisk Konstruktion 
af denne Kurve, faar man ogsaa en mekanisk Udforelse af saadanne Indskydninger, hvor 
den ene givne Linie er ret. 

Disse og andre Indskydninger kunne dog ogsaa tidligere have veret udforte ad meka- 
nisk Vej, idet man derved ikke behover at tænke paa Konkoiden eller det geometriske Sted for 
noget bevegeligt Punkt. Man behover nemlig blot at dreje en Lineal (eller et sammenlagt 
Stykke Papir) med to Merker, hvis Afstand er den opgivne Lengde, saaledes om det faste 
Punkt, at det ene Merke folger den ene givne Linie, indtil det andet kommer til at ligge 
paa den anden. Nikomedes kan da netop ved Brugen af dette Konstruktionshjælpemiddel 
vere bleven ledet til at studere det sidste Merkes Vej, og til at anskueliggjore Operationen 
og tilvejebringe omfattende Regler for Diorismen af de derved loste Opgaver ved nojere at 
behandle denne Kurve. Nikomedes” Opfindelse af Konkoiden er saaledes meget langt fra 
at vere nogen Hindring for at antage, at man i eldre Tid har udfort Indskydninger ad 
mekanisk Vej. Vi tro tværtimod, at en nøjere Undersøgelse maa fore til det Resultat?), 
at den mekaniske Udforelse af Indskydninger i den eldre Tid ikke blot har veret praktisk 
anvendt, men ogsaa theoretisk godkjendt som et Hjælpemiddel, hvoraf man 
turde benytte sig, naar en Opgave ikke kunde loses ved Lineal og Passer, 
og at det først er i en senere Tid, at man har følt sig forpligtet til altid, hvor det var 
muligt, at anvende Keglesnit til Udforelsen af de Indskydninger, som ikke kunde omdannes 
lil Konstruktioner ved Lineal og Passer. 

Denne Antagelse stotter sig iser paa de Opgaver, som man finder omdannede til 
Indskydninger, uden at der derefter gives videre Regler for deres Behandling. De i denne 
Henseende mest oplysende Exempler findes i Archimedes’ Bog om Spiralerne. Beviserne 
for dennes Setninger 5, 6 og 7 stotte sig paa, at man gjennem et Punkt af en Cirkelperiferi 


1) Bulletin des Sciences mathématiques, 7 (2me série) p. 284. 

?) Herpaa har Professor Oppermann gjort mig opmærksom; idet han navnlig fremhævede Rimelig- 
heden af, at Archimedes har tænkt sig de i Bogen om Spiralerne omtalte Indskydninger udført 
mekanisk. Idet han tillige berørte, at de talrige Undersøgelser af Indskydninger i den oldgræske 
Literatur pegede hen paa en jævnlig Brug, er det kun en Tanke, hvilken jeg helt og holdent skylder 
den afdode Lærdes Skarpsindighed, som jeg her soger nærmere at udvikle. — Prof. Oppermann gjorde 
mig ogsaa opmærksom paa, at han i sin Opfattelse mødtes med Newton, for saa vidt denne i sit 
Appendix de æquationum constructione lineari til Arithmethica universalis uden videre forudsætter, 
at Archimedes har benyttet Konkoiden til Vinklens Tredeling, noget som Newton, der i Modsætning 
til Descartes bekæmper Keglesnittenes absolute geometriske Forret, ganske billiger. 


22" 


kan legge en ret Linie AED, saaledes at det Stykke ED, som afskjæres mellem det 
andet Skjeringspunkt Æ med Cirkelperiferien og en given Kordes Forlængelse, faar en 
given Længde, og Beviserne for Sætningerne 8—9 ere stottede derpaa, at, naar der allerede 
gjennem et Punkt af Cirkelperiferien er trukken en Linie AFG (Fig..43), vinkelret paa 
Korden BC i et Punkt F, som ikke er Kordens Midtpunkt, og skjærende Cirklen i G, kan 

man gjennem A endnu trekke en anden Linie ADE, paa hvilken 


do LE der mellem selve Korden og Cirkelperiferien afskjæres et Stykke 

IX JDIB, = IR Er 
/ Rigtigheden af disse Forudsætninger, som ikke nærmere 
2 | begrundes, er nu vel her, hvor der slet ikke fordres nogen virke- 
D / lig Konstruktion, men blot er Tale om Losningernes Existens, 
Ne JE DA næsten umiddelbart indlysende, men det ligner ikke de gamle at 
er gjore Paastand om Figurers Existens uden tillige at have Midler 
Fig. 43. til at konstruere dem. Paa at ogsaa Archimedes selv har tænkt 


sig en exakt Konstruktion udfort, tyder den Omstændighed, at han 
paa de anforte Steder udtrykkelig undgaar at gjore Brug af Buelængder, som ikke kunne 
indfores i exakte Konstruktioner, men i Stedet derfor opererer med retliniede Lengder, som 
ere det ene Sted storre, det andet mindre end en vis Bue, hvad man jo nok med Sikkerhed 
kan skaffe sig. 

Da nu Konstruktionerne ikke kunne udfores ved Lineal og Passer, har det veret 
nerliggende at antage, at Archimedes dertil har brugt Keglesnit'). Dette er ikke særdeles 
vanskeligt, og navnlig maa Anvendelsen af de solide Steder, som Pappos anforer i Slutningen 
af 4de Bog?) og netop vil have anvendt til Løsningen af de her omtalte Opgaver, let have 
frembudt sig. Konstruktionen er da funden og udført omtrent saaledes. 

Skal DE (i Fig. 43, der, paa Figurdelenes Beliggenhed og den dertil hørende Diskus- 
sion nær, kan anvendes paa en hvilken som helst af de her omtalte Bestemmelser) have 
Størrelsen k, faar man af Figuren, at BD. DC — k. AD, eller, naar BC = 2e, og D's 
Afstand fra Midtpunktet À af BC er = «x, RF =a og AF = b, at 


e?— a? = kV{a— x)? + b2. 


Sættes. de to Sider i denne Ligning — ky, bestemmes a2 som Abscisse til Skjæringspunktet 
mellem Parablen 


1) Saaledes mener Dr. Heiberg, at man ved Undersogelse af Archimedes’ Kjendskab til Keglesnittene 
ogsaa maa gaa ud fra, at han har udfort disse Konstruktioner ved Keglesnit (Zeitschr. für Math. 
Hist. lit. Abth. XXV, 2, S. 66). 

2) Hultsch’ Udgave S. 298—302. Se ogsaa Heibergs Forbedring af Texten og dertil knyttede Redegjorelse 
for Anvendelsen i Zeitschr. für Math. Hist. lith. Abth. XXIII, 4, S. 118. 


ce? — 7? 
dE (1) 
og Hyperblen 
y = (a — x)? À b?. (2) 
Er nu i det paa Figuren fremstillede særlige Tilfælde k — FG, ville begge disse Kurver gaa 


igjennem A (hvis man regner y’erne positive nedad). À bliver et Toppunkt paa Hyperblen, 
og F dens Centrum. Idet derimod Parablens Axe gaar gjennem R, og den selv gaar 
gjennem B og C, er det klart, at den foruden i A maa skjære Hyperblen i endnu et Punkt, 
hvis Projektion D falder paa selve Korden DC. Dette vil kun falde sammen med F under 
den Forudsælning, som Archimedes udtrykkelig udelukker, at Æ selv falder sammen med 
Midtpunktet AR. 

Der er ingen Tvivl om, at allerede Archimedes, hvis han har brudt sig om det, 
omtrent paa denne Maade har kunnet udføre denne Konstruktion af ADE, hvorlil der 
kun anvendes Hjælpemidler, som paa hans Tid vare fuldkommen bekjendte, og dertil knytte 
Begrundelsen af sine Paastande; men Begrundelsen er for vidtloftig til, at man ter antage, 
at han har havt nogen Ret til uden videre Vejledning at tro sine Læsere i Stand til paa 
denne Maade at sikre sig disse Paastandes Rigtighed. 

Deres Rigtighed vil derimod vere iojnefaldende nok til at forklare Archimedes’ 
Udeladelse af enhver Begrundelse, naar man i alle de omtalte Tilfælde tenker sig Konstruk- 
tionen af ADE udført ad den af os omtalte mekaniske Vej. Saaledes vil paa Fig. 43 
Muligheden af at drage endnu en fra AFG forskjellig Linie ADE, naar AFG er vinkel- 
ret paa BC, og naar F ikke er Midtpunktet af denne Korde, fremgaa af, at en Drejning 
af ADE ud fra AFG hen imod Cirklens Centrum endog, hvis Æ skulde bevæge sig paa 
en med BC parallel Linie gjennem G, vilde bringe DE til at naa større Verdier end FG, 
altsaa end mere, naar det bevæger sig paa den ovenover en saadan Parallel liggende Cir- 
kelbue, og at FG altsaa ikke er Maximumsverdien. End mere forstaaelig bliver Archimedes’ 
Udeladelse af en Begrundelse, naar man betænker, at det er rimeligt, at Godkjendelsen 
af det omtalte Konstruktionsmiddel har været forbunden med Opstilling af nogle Regler for 
Diskussion af Opgaver, der loses ad denne Vej. 

En meget bekjendt Opgave, nemlig Vinklens Tredeling, er endog ad forskjellige 
Veje fort tilbage til Indskydninger. Den ene af disse tillegges for saa vidt Archimedes, 
som den findes angivet i en af de Sætninger, som ere overleverede os ved Araberne under 
Navn af «Archimedes’ Hjælpesætninger». Den 8de af disse”) siger, at naar man paa For- 
lengelsen af en Korde AB til en Cirkel afsætter et Stykke BC lige stort med Radien, og 
gjennem C trækker Diameteren CFE (Fig. 44), bliver Buen BF Trediedelen af Buen AL. 
Hvad enten denne Sætning, som er let at bevise, skyldes Archimedes eller ikke, saa har 


1) Heibergs Udgave af Archimedes II, S. 437. 


174 


dens Hensigt sikkert været den samme Anvendelse, som arabiske Forfattere gjøre deraf, 
nemlig Tredeling af Centervinklen til AZ. Denne er altsaa ført tilbage til en Indskydning, 
nemlig den gjennem Å at trække Linien AC saaledes, at det mel- 


= lem dens andet Skjæringspunkt med Cirklen, B, og dens Skjæ- 
a ss ringspunkt C med Diameteren EF afskaarne Stykke BC faar en 
\ : 
given Længde. 
ge ee 
\ 7 Denne Indskydning henhører som specielt Tilfælde blandt 
SN bia dem, der benytles i Bogen om Spiralerne, og som kunne løses 


ved de nys beskrevne solide Steder. .Om disse siger Pappos 
ogsaa"), at de kunne anvendes til mange andre solide Opgaver 
end dem, som vedkomme Spiralen, dog uden særlig at nævne Vinklens Tredeling. Dette 
er noget paafaldende, da han udførlig gjør Rede for de to andre Tredelinger af Vinklen, 
som skulle blive omtalte i Løbet af dette Afsnit. Maaske kunde dette tyde paa, at den 
Tredeling af Vinklen, som her er tillagt Archimedes, ikke er græsk, men skyldes Araberne. 
Bortset fra den interessante Overensstemmelse med Forudsætningerne i Skriftet om Spira- 
lerne, ligger der ikke stor Vægt herpaa, da Behandlingen dog helt er bygget paa græsk 
Grund og i hvert Tilfælde ikke giver nogen urigtig Forestilling om Grækernes Fremgangs- 
maader. Dette ses bedst ved Betragtning af den ene af de Løsninger af den samme Opgave, 
hvorom Pappos meddeler os, at den skyldes de gamle græske Forfattere, og hvorved Opgaven 


Fig. 44. 


føres tilbage til en anden Indskydning. 


Er (Fig. 45) ABC Vinklen, som skal tredeles, og HBC dens Trediedel, og er 
endvidere AC! BC og AE L AC og H Midt- 
punktet af DE, bliver 2 AHD = 2,7 AED 
= Z ABH, alisaa AB=-AH—=DH=HE. 
Det gjælder altsaa om gjennem B at drage Li- 
nien BE saaledes, at Linierne AC og AE der- 
paa afskjere DE — 2AB, eller, naar Opgaven 
almindeliggjores, saaledes at DE faar en given 


Fig. 45. Verdi Ak. 
Idet Pappos nu viser, hvorledes denne 
Indskydning kan udfores ved Keglesnit, tillægger han udtrykkelig”) de gamle den samme 
Løsning; men der er dog intet i Vejen for, at selve Opgaven tidligere, ja vel endnu sam- 
tidig med at man ogsaa kjendte Lesningen ved Keglesnit, kan have veret betragtet som 


7) Hultsch’ Udgave, S. 298. 
*) Hultsch’ Udgave, S. 272, 12-14 


lost allerede ved Reduktion til en Indskydning!). Det, vi især ville fremhæve, er, at man 


overhovedet har sogt Losningen ved en saadan. 
Den af Pappos meddelte Løsning ved Keglesnit gaar, idet CF antages at vere 


parallel og lige stor med DE, ud paa at bestemme F. Idet DE er given — k, er et 
geometrisk Sted for Punktet F Cirklen med Centrum C og Radius k. Et andet Sted faas 
derved, at, som Figuren udviser, Rektangel #7 — Rektangel GB = Rektangel AB, 


nemlig en Hyperbel gjennem C med Asymptoterne ZE og JB. 

Naar vi nu angaaende disse Indskydninger, som kunne udfores ved solide Steder, og 
som derfor efter Pappos skulle udfores og sikkert lenge for Pappos ere udforte ad denne 
Vej, antage, al der var en Tid, da det ansaas for lige saa berettiget at udføre dem meka- 
nisk”), ligger det ner at spørge, om der ikke kan have været en Tid endnu længere tilbage, 
da man betragtede en saadan mekanisk Udforelse som ligeberettiget med Konstruktion ved 
Lineal og Passer. Den senere flittige Beskjæftigelse med Indskydninger maa nermest siges 
at pege i denne Retning. Rigtignok gaa Bestræbelserne stedse ud paa at sætte andre 
Konstruktioner i Stedet for Indskydninger: Apollonios har saaledes i de to tabte Boger 
om vedoesıg beskjæftiget sig med saadanne, som kunne udføres ved Lineal og Passer, og 
paa en saadan anfører Pappos et mærkeligt Exempel af Herakleitos®*). Udførelsen af 
andre ved Keglesnit have vi netop omtalt, og Nikomedes knytter dem til en ogsaa theo- 
retisk undersogt Kurve, Konkoiden; men alle disse Bestrebelser kunne netop vere frem- 
kaldte ved, at man, efter at have opgivet den umiddelbare Indskydning, maatte tilvejebringe 
det nødvendige Supplement til de Løsninger af Opgaver, som man hidtil havde nøjedes 
med at fore tilbage til saadanne. 

En Antydning af, at der virkelig har veret en Tid, da man, naar en Opgave blot 
lod sig fore tilbage til en Indskydning, lod sig nøje hermed uden at spørge, om den ikke 
ogsaa skulde kunne loses ved Passer og Lineal, finder jeg i et Sted af det ældste opbevarede 
Stykke Geometri, nemlig Eudemos’ Beretning om Hippokrates’ Kvadratur af Halymaanerne. 


1) Dette siger Proklos (Friedleins Udgave S. 272) egentlig at have været Tilfældet enten med denne 
Losning eller med den i Archimedes’ Hjælpesætninger indeholdte, naar han beretter, at Nikomedes 
har tredelt Vinklen ved Konkoiden; thi Brugen af denne Kurve er jo kun en Illustration af den 
mekanisk udferte Indskydning. At netop Nikomedes faar Æren for denne Losning, er vel nermest 
som Konkoidens Opfinder, og det hindrer ikke, at den kan vere brugt tidligere rent mekanisk. 

Naar ogsaa Konstruktionen af to Mellemproportionaler, som vi se hos Pappos (Hultsch’ Udgave S. 58 
—61), af Nikomedes er fort tilbage til en Indskydning mellem to rette Linier, kan det ikke have 
været Hensigten derved at opnaa en solid Løsning, da en saadan langt simplere opnaaedes ad den 
af Menaichmos angivne Vej. Dette Exempel kommer os dog ikke med Sikkerhed til Gode, da Niko- 
medes kan have udfundet Løsningen for at kunne bruge sin Konkoide. Muligt er det dog, at Til- 
bageforelsen til en Indskydning er ældre, og Nikomedes kun nævnes, fordi der derved bliver Brug 


2 


for hans Konkoide. 
3) Hultsch’ Udgave S. 782. Hans Indskydning skulle vi nærmere omtale. 


176 


Idet vi holde os til den fra Simplieius’ Tilsætninger befriede Text i den Form, som P.Tan- 
nery giver den”), lægges der fra et Punkt B af en Cirkelperiferi (Fig. 46) en Linie, paa 
hvilken der mellem det andet Skjæringspunkt Z med Cirkelperiferien og Skjæringspunktet 
Z med en given Korde vinkelret paa Diameteren gjennem B, 
afskjeres et Stykke EZ af given Længde. At der paa dette 
Sted intet siges om, hvorledes denne Konstruktion skal udfores, 
betyder vel ikke noget, da der i den foregaaende Sætning hos 


Eudemos har været Tale om en anden Konstruktion, nemlig 
af et Trapez med givne Sider, ligeledes uden at det angives, 
hvorledes den udferes. Jeg bygger derimod paa den Omstæn- 
dighed, hvorpaa P. Tannery gjor opmerksom, at Eudemos, 
efterat Linien ZZ er indlagt ved den omtalte Indskydning, 
forbinder Punkterne B og Z. I Forklaringen heraf bliver jeg ikke med Tannery staaende 
ved den Antagelse, at man allerede den Gang havde underkastet saadanne plane Indskydninger 
en selvstendig Behandling. Denne Behandling kunde nemlig her ikke godt bestaa i andet 
end — som Tannery ogsaa antager — en Bestemmelse af Lengderne BE og BZ ved 
Fladeanleg’); men i saa Fald forekommer det mig rimeligst, at man ogsaa paa én Gang 
vilde have tegnet hele Linien BZE ind paa Figuren. Ved den mekaniske Udførelse 
af en Indskydning, som jeg har angivet, kan jeg derimod lettere tænke mig, at man i 
 Reglen kun har tegnet det Stykke af den rette Linie, som skulde have en given Længde, 
saaledes at Skrivematerialet kun har fulgt Linealen mellem de to afsatte Mærker. Om nu 
dette end er en Skjonssag, taler i alt Fald den tidlige selvstændige Optreden af Indskyd- 
ninger i det hele taget for den Anskuelse, som jeg her har opstillet. 
Har der saaledes muligvis været Tider, da man brugte de mekaniske Indskydninger 
i Fleng med Lineal og Passer, blev det forste Konstruktionsmiddel dog paa Euklids Tid 
anset som utilstedeligt, hvor de sidste kunde anvendes. I modsat Fald vilde han nemlig 
have nævnt det. Faren for at gjore sig skyldig i en fejl Brug af Redskaberne er da bleven 
desto storre, naar der ved Siden af nogle Opgaver, hvortil man ikke maatte bruge Indskyd- 
ninger, fordi de kunde loses ved Lineal og Passer, var andre, hvor man nok turde benytte 


Fig. 46. 


1) Mémoires de l'Académie de Bordeaux, 2™e série, t. V, p. 219 og 222. 

?) Naar Tannery benytter det her anførte Sted som Bevis for, at man paa Hippokrates’ Tid kjendte den 
geometriske Lesning af kvadratiske Ligninger, saa bortfalder Beviskraften, hvis man deler min Ansku- 
else; men i selve den Antagelse, at Hippokrates kjendte denne Ligning og altsaa kunde have udfert 
sin Indskydning ved Lineal og Passer, er jeg ganske enig med Tannery. — For den videre Brugs 
Skyld, som Tannery vil have gjort af en saadan Konstruktion, anser jeg med Allmann denne for 
ganske overflødig; thi at / AZB er stump, ses simplest derved, at dens Nabovinkel EZK maa 
vere spids, da den i en Trekant ligger over for en Side, som ikke er den storste, eftersom i det 
foreliggende Tilfælde EZ = EKY:. 


ni 
7, 
7 


Indskydninger. Fremkomsten af Apollonios’ Skrift og Herakleitos’ Indskydning som 
et Værn mod denne Fejl stemmer saaledes godt med vor Antagelse. 

Endvidere er det meget rimeligt, at man i den Tid, da der skabtes bedre og bedre 
Hjælpemidler til Løsninger af Opgaver ved Keglesnit, altsaa særlig i Euklids og Apol- 
lonios’ Aarhundrede og den nærmest paafølgende Tid, benyttede enhver dertil brugelig, 
forefaldende Opgave som Materiale til Udvikling og Indøvelse af saadanne Konstruktioner. 
Da have de Indskydninger, som man benyttede ved Løsning af bekjendte Opgaver, eller 
som forefandtes i Archimedes’ Skrifter, været velkomne Exempler. Derved kan man imid- 
lertid let have vænnet sig til at betragte Løsningen ved Keglesnit, som ved sin mere 
udstrakte Anvendelighed og sin systematiske Karakter maatte virke særlig tiltalende, som 
det i theoretisk Henseende eneberettigede Middel over for saadanne Opgaver, som over- 
hovedet kunne løses ad denne Vej uden at kunne løses ved Lineal og Passer, og denne 
Opfattelse er det, som vi finde udtalt hos Pappos. 

At man tillagde Løsning ved Keglesnit af saadanne Opgaver, hvoraf man besad 
mekaniske Opløsninger, en theoretisk Betydning, havde ogsaa virkelig sine gode Grunde. 
Denne Betydning knytter sig især til den Fordring til en fuldstændig Løsning af en stillet 
Opgave, at den skal ledsages af en Diorisme, som i det mindste maa indeholde Angivelse 
af de Grænser, indenfor hvilke en Opgave er mulig, og som vist nok i Reglen ogsaa gik 
ud paa at afgrænse de Tilfælde, da den kunde have et større eller mindre Antal Opløsninger. 
At dette sidste i det mindste var Tilfældet paa Apollonios’ Tid, se vi af Slutningen af hans 
Fortale til fjerde Bog, hvor han til Diorismen henregner Undersøgelsen af, om et Problem 
kan løses paa flere Maader, og hvor mange, eller om slet ikke"). Diorismen opstilledes i 
synthetiske Fremstillinger forud for selve Løsningen, som man ikke maatte begynde paa 
med saadanne Værdier af de givne Størrelser, som førte til Umuligheder. Hvor megen Vægt 
der lagdes paa Diorismerne, ses af, at Apollonios i sine Fortaler til Keglesnitslæren stedse 
fremhæver sine nye Sætningers Betydning for Dannelsen af saadanne. 

Åt vi nu have kunnet nøjes med at tillægge Archimedes mekaniske Indskydninger 
i Bogen om Spiralerne, beror paa, at han ved simple Ræsonnementer, knyttede til saadanne, 
kunde faa alt, hvad han i det foreliggende Tilfælde havde Brug for. Ligeledes har man 
kunnet bruge et hvilket som helst Hjælpemiddel til Vinklens Tredeling, da det helt uafhængig 
af Konstruktionsvejene vides, at denne Opgave altid kan løses og — naar den ikke udvides 
saaledes som i den nyere Tid — kun har én Opløsning: 

Naar man derimod vilde gjøre videre Brug af de samme Indskydninger, kunde man 
ikke undgaa at træffe paa Opgaver, hvis Mulighed afhang af, om disse Indskydninger over- 


1) Se Tillæg 1. Hermed stemmer ogsaa Eutokios' Forklaring paa Diorismer i Kommentaren til Apol- 
lonios' Keglesnitslære (Halleys Udgave S. 10). 


Vidensk, Selsk, Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 1. 2: 


178 


hovedet vare mulige. Undersogelsen heraf, hvilken navnlig maatte bestaa i en Bestemmelse 
af Maxima og Minima for den mellem de to Linier indskudte Længde, maatte da gaa forud 
for saadanne Anvendelser. Denne Undersogelse er af rent theoretisk Art og maatte i Over- 
ensstemmelse med Grekernes geometriske Form for Algebraen knyttes til Undersagelser af 
Kurver, hvis Beroring bestemte de sogte Grensetilfelde. Hertil kunde benyttes et Studium 
af Konkoiden og dennes Tangenter, men ogsaa en Løsning ved Keglesnit og Anvendelse af 
disses bekjendte Egenskaber til at finde, naar Beroring indtreder. 

Vil man nu ved den forste af de her 
omtalte Indskydninger (Fig. 47, hvor Bogstaverne 
have de samme Betydninger, som paa Fig. 43, 
men hvor vi ikke mere antage, at k = FG), 
bestemme Maximumsverdien af den mellem Kor- 
den og Cirkelbuen indskudte Lengde DE = k, 
vil hertil kunne benyttes den alt givne Løsning 
ved Parablen BPC fremstillet ved 


2 


ky = c?— x? (1) 


og den ligesidede Hyperbel AP fremstillet ved 
y? = (a— 2} + 6°, (2) 
ra og det gjælder da om, idet a, b og c betragtes 


som givne, at bestemme & saaledes, at det første 

af disse Keglesnit kommer til at berøre det sidste. 
Kalde vi Røringspunktet P, og antage vi, at Tangenten i dette Punkt skjærer 
den faste Korde BC i Punktet Q, medens D betegner P's Projektion paa BC, maa man 


have 
DISTR) == 0, (3) 


idet begge Hyperblens Halvaxer ere — 6. Af Parablens Ligning, af Figurens ligedannede 
Trekanter og af den Omstendighed, at Parablens Toppunkt @ er Midtpunkt mellem Tangen- 
tens Skjæringspunkt med Axen S og Roringspunktet P's Projektion 7’ paa samme, udledes 


endvidere 

Re kG eet DS De 4) 

PT: TG AT 
Indfore vi nu i (3) og (4) de samme Betegnelser, som vi have brugt i Kurvernes Ligninger 
(1) og (2), og s&lte vi FQ = z, ses det, at de kunne skrives 

(a—2).z = b? (3°) 

og a(2a—x2+ 22) = c?. (4) 
Oprejser man nu i Punktet D vinkelret paa BC en Ordinat af Størrelsen z = FQ, ville 


Ligningerne (3) og (4) fremstille to Hyperbler. Det Punkt D af BC, hvorigjennem den 


179 
størst mulige Linie DE skal gaa, vil da vere Projektionen af disse Hyperblers Skjærings- 
punkt ned paa BC. Hyperblen (4‘) kan ogsaa ombyttes med Parablen 

2az = 0? — Dax + 20? + 08. (5) 

Hvis man ogsaa mellem Korden BC’s Forlængelser og Cirkelbuen BAC vil ind- 
skyde Linier af Længden k, som — selv eller deres Forlængelser — gaa gjennem A, maa 
dertil benyttes den anden Gren af Hyperblen (2), som af de gamle er betragtet som en 
Kurve for sig. Denne skjærer altid Parablen i to Punkter og giver saaledes ikke Anledning 
til Grænsebestemmelser. 

Ombytter man Linien BC med en Linie, der ikke skjærer Cirklen, vil Parablens 
Ligning (1) ombyttes med en Ligning af Formen 

a? + ce? = ky. 
Diorismen, der i dette Tilfælde bliver en Minimumsbestemmelse, kan da gjennemfores ved 
de samme Sætninger, som benyttedes i det Tilfælde, vi udforlig have behandlet. 

Diorismerne indeholde vel for begge Beliggenheder af den rette Linie Losninger 
af nye solide Opgaver; men da disse kun gaa ud paa Bestemmelser af Grænser, om hvis 
Existens — saavel som deres Egenskaber som Maxima eller Minima — man kan komme 
til Kundskab ved direkte Betragtning af selve de forelagte Indskydninger, have de ikke selv 
givet Anledning til nye Diorismer. Saadanne vilde for ovrigt her ikke have voldt Vanske- 
lighed. Navnlig naar man benytter Ligningerne (3) og (5), blive de ner beslegtede med den, 
. der herte til Archimedes’ Kugledeling. 

Efter saaledes at have set, hvad en Behandling ved Keglesnit af den af Archimedes 
benyttede ,Indskydning maatte indbefatte, naar den skulde tilfredstille de Fordringer til 
Fuldstendighed, som findes opfyldte overalt i de gamles Skrifter, vil det vere rigtigt at 
vende lidt tilbage til det Spørgsmaal, om det ikke skulde vere, fordi en saadan Behandling 
var bekjendt paa Archimedes’ Tid, at han kunde udtrykke sig saa kort, og om han altsaa 
ikke dog, tværtimod vor Antagelse, tænkte sig den udført ved Keglesnit. Hvis han skulde 
vere Forfatter af den Hjælpesætning, der forer Vinklens Tredeling tilbage til den samme 
Indskydning, kunde den gjentagne Brug af denne tyde herpaa. Ved Gjennemforelsen af 
Diorismen have vi heller ikke havt Brug for andre Keglesnitssetninger end dem, der vare 
bekjendte for Archimedes’ Tid, og om end Fremstillingen af de forskjellige Tilfælde og af 
Beviserne for, at man virkelig fik Maximum eller Minimum, maa have veret vidtloftig, 
kunde der vel nok have veret Plads dertil i en af Aristaios’ fem Bager om solide Steder. 

Selve vor Paavisning af, hvad det var, som skulde opnaas ved Losningen ved Kegle- 
snit, nemlig især Bestemmelsen af Grænseværdien for den indskudte Linie kÆ, vil imidlertid 
ogsaa have vist, at Archimedes slet ikke har havt nogen Brug for denne. Selv i det Til- 
fælde, hvor Æ skal indskydes mellem selve Korden og Buen, og hvor det altsaa kunde 
tenkes, at den var for stor, sammenligner han den ikke med Maximumsværdien, hvilket 


23° 


ld 


vilde vere den mest umiddelbare Anvendelse af en forudgaaende fuldstendig Undersogelse, 
men anferer særlige Grunde, hvorfor Maximum ikke kan være naaet i det foreliggende 
Tilfælde, og disse Grundes Rigtighed er lettere at se uden end ved Behandlingen ved Kegle- 
snit. Archimedes udtaler ikke andet om den forlangte Indskydning end saadant, som man 
vistnok er vedbleven at udlede ved direkte Betragtning af den foreliggende Opgave, ogsaa 
efter at dens Behandling ved Keglesnit var bleven bekjendt. Vi blive derfor staaende ved, 
at der ingen Grund er til, at Archimedes — hvad enten nu Behandlingen af hans Indskyd- 
ning ved Keglesnit er gjennemfort for eller efter hans Tid — skulde have underforstaaet 
en Anvendelse af Keglesnit, som ikke var ham til mindste Nytte. 

Pappos!) ser anderledes paa Tingene. Paa hans Tid var Brugen af Keglesnit til 
Opgaver, som kunne loses alene ved disse, bleven en principiel Fordring, uafhængig af de 
bestemte Formaal, som oprindelig søgtes opnaaede ad denne Vej. Pappos betragter det 
derfor som en Selvfølge, at Archimedes ikke kan bruge en solid Indskydning uden at udføre 
den ved Keglesnit. At antage andet vilde for ham have været en endnu videre gaaende 
Beskyldning end den, han gjør. Da nu den Sætning, som skal bevises, kan bevises helt 
uden Brug af denne Indskydning, kan han heri se et Exempel paa Anvendelse af Konstruk- 
tion ved Keglesnit, hvor Keglesnit kunne undværes. Mindre korrekt bliver det dog, at han 
efter sine Ord anfører det som Exempel paa Udførelsen af en plan Konstruktion ved Kegle- 
snit, da selve den Hjælpekonstruktion, som benyttes, er og af Pappos anerkjendes for at 
være solid, At nu denne Konstruktion virkelig kan undværes, bliver indlysende ved, at den 
Paastand om dens Mulighed, hvorpaa det ene kommer an, som vi have set, godt kan være 
bevist uden Brug af Keglesnit. Ved da at lade Beviset herfor indgaa som Led i Beviset 
for selve den Sætning om Spiralerne, for hvis Skyld den omtalte Indskydning indføres, kan 
man paa Pappos’ Tid helt have undgaaet at tale om denne sidste. Samtidig kan man have 
simplificeret dette Bevis?). 

Pappos’ forskjellige Oplysninger ere os imidlertid af Vigtighed, fordi man af dem kan 
se, at man i det mindste senere har behandlet Archimedes’ Indskydninger ved Keglesnit. 
Har nogen givet en samlet Fremstilling af denne Behandling, maa han efter Grækernes Vis 
have medtaget Diorismerne, der da ville være udførte omtrent ad den af os betegnede Vej. 
At Diorismerne ere medtagne, bliver saa meget rimeligere, som de maatte være det egentlige 
Udbytte af Behandlingen ved Keglesnit. For saa vidt man har fulgt samme Vej, som her 
er benyttet, men tillige under en eller anden Form skulde have dannet selve den Betin- 
gelsesligning i x for Maximum, som faas ved Elimination af z mellem Ligningerne (3) og - 


1) Se Noten i Begyndelsen af dette Afsnit 

2) Et Bevis for Sætningen om Spiralerne, hvori den solide Indskydning undgaas, og som saaledes kan 
være det, som Pappos tænkte paa, er opstillet af P. Tannery (Mémoires de la Société de Bordeaux, 
2e série, t. V, p. 49). 


181 


(4), vilde her foreligge et nyt Exempel, foruden de i forrige Afsnit anforte, paa Dannelsen 
af en kubisk Ligning og dens Behandling ved Keglesnit. 

Den anden Indskydning, hvis Udførelse ved Keglesnit vi have lært af Pappos, er 
den, hvor de to faste Linier, hvorimellem et givet Stykke skal indskydes, begge ere rette. 
Den blev rigtignok kun (Fig. 45) udført i et bestemt Tilfælde; men den angivne Konstruktion 
kan altid anvendes. Antage vi da (Fig. 48, hvor Bog- 
staverne have de samme Betydninger som paa Fig. 45), 
at Indskydningen skal foregaa mellem Linierne AC og 
AE, og at B er det faste Punkt, begynder man med 
at konstruere Parallelogrammet A/DC, hvorefter den 
indskudte Linie BDE skal være parallel med den 
Linie CF, som forbinder C med Skjæringspunktet F 


mellem Cirklen om C med den opgivne Verdi af det 
indskudte Stykke DE = & til Radius og Hyperblen 
gjennem C med Asymptoterne 7H og JB. De to Skjæ- 


Fig. 48. 


ringspunkter mellem Cirklen og den Hyperbelgren, som 

gaar gjennem C, give saadanne indskudte Stykker DE, hvis Forlængelser gaa gjennem B, 
medens de selv ere beliggende i Nabovinklerne til den Vinkel mellem de givne Linier, som 
indeholder B. Disse to Indskydninger ville være mulige for alle Værdier af k. 

Vil man derimod indskyde en Linie D'E' af den givne Længde k, som selv gaar 
igjennem 6, maa man dertil paa samme Maade benytte et Skjæringspunkt F” mellem den 
samme Cirkel og den anden Gren af den samme Hyperbel. Om der her kommer 2, 1 eller 
0 Opløsninger beror paa, om den givne Længde er større, lig eller mindre end Normalen 
fra C til den anden Hyperbelgren. Hvorledes Konstruktionen af en Normal fra et givet 
Punkt til et Keglesnit skal udføres, viser Apollonios, som vi i næste Afsnit skulle se, i 
femte Bog. Den foreliggende almindelige Opgave, hvis Behandling det næppe er rimeligt, 
at Grækerne have indskrænket til det Tilfælde, hvor den anvendes til Vinklens Tredeling, 
kan altsaa være en af dem, til hvis Diorisme Apollonios vil have sin femte Bog anvendt. 
Denne Opgaves Diorisme kan for øvrigt ogsaa føres tilbage til en kubisk Ligning, og kan 
maaske ved at være knyttet til en anden Løsning tidligere være behandlet ad anden Vej. 
(Smlgn. vort 14de Afsnit.) 

Foruden at give den exakte Bestemmelse af Minimum af det Stykke, som indskydes 
i samme Vinkel mellem de givne Linier som det givne Punkt, viser Løsningen af denne 
Opgave ved Keglesnit sin Betydning ved overhovedet at give et tydeligt Billede af Variatio- 
nen af Længden af det indskudte Liniestykke. Hermed er dens theoretiske Betydning dog 
ikke udtømt. Der knytter sig nemlig til denne samme Opgave et vigtigt Exempel paa, at 
man har lagt Vind paa at opdage saadanne Tilfælde, i hvilke Opgaver, til hvis Løs- 


182 
ning der i Almindelighed behoves Keglesnit, kunne leses ved Lineal og 
Passer. Da nu Studiet af den almindelige Lesning ved Keglesnit giver det bedste Middel 
til at opdage saadanne Tilfelde, er det temmelig rimeligt, at man virkelig er gaaet 
denne Vei. 

Den nodvendige og tilstrækkelige Betingelse for, at to Keglesnits Skjærings- 
punkter, uden saadanne indbyrdes Forskjelle, som vilde gjere den dem bestemmende 
Ligning reduktibel, kunne bestemmes ved Lineal og Passer, er, at den Ligning, som 
bestemmer de tre Punkter, der have de samme Polarer med Hensyn til begge Keglesnit, 
er reduktibel, eller at et af disse tre Punkter kan bestemmes uafhzngig af de to andre. 
At denne Betingelse er nødvendig, kunne Grækerne næppe have havt nogen bestemt Fore- 
stilling om, end sige kunnet bevise. Naar derimod et saadant Tilfælde har foreligget, har 
Muligheden af en Bestemmelse ved Lineal og Passer, eller ved sukcessiv geometrisk 
Løsning af to Ligninger af anden Grad, ikke kunnet undgaa deres Opmerksomhed. Særlig 
iøjnefaldende maa delte have været dem i de — for vor Betragtning herunder hørende — 
Tilfælde, hvor enten Keglesnittene have samme Centrum, eller Centrenes Forbindelseslinie 
halverer parallele Korder i de to Keglesnit. At man har været agtpaagivende overfor saa- 
danne Midler til at slutte, at en Opgave, som først synes solid, i Virkeligheden er plan, 
ter vi sikkert slutte af Pappos’ strenge Udtalelser mod at løse plane Opgaver ved Keglesnit. 

Det sidste af de anførte Tilfælde, i hvilke Reduktionen til Brug af Lineal og Passer 
er mulig, indtræder aabenbart ved den nys udførte Indskydning mellem to rette Linier, 
naar det faste Pankt B (Fig. 48) ligger paa en af Halveringslinierne af Vinklerne mellem 
disse Linier, idet da Parallelogrammet AI/BC bliver en Rhombe, og altsaa ogsaa Centret 
C i den ved Konstruktionen benyttede Cirkel kommer til at ligge paa Halveringslinien af 
en Vinkel mellem Hyperblens Asymptoter. Det er dog kun i et enkelt, herunder hørende 
Tilfælde, at vi have positive Oplysninger om, at Grækerne have udført Indskydningen ved 
Lineal og Passer, nemlig naar tillige de givne rette Linier danne rette Vinkler, og AZBC 
altsaa bliver et Kvadrat. 

For paa en simpel Maade at komme til den dertil tjenende Konstruktion, som 
Pappos tillægger Herakleitos, kunne vi (Fig. 49, hvor Bogstaverne bestandig have samme 
= ÿ E Betydning som paa Fig. 45 og 48) gjere Brug af de samme 

| \ar Hjzlpelinier, som førte til Konstruktionen ved Keglesnit, og 

G D E \ forlænge EF og BC, til de skjære hinanden i X. Den ret- 
| ! \ vinklede Trekant CFA paa den indskudte Længde CF = k 
som Hypotenuse er ligedannet med A BDC og, naar 
CG BD, med A BCG paa Hypotenusen BC = a. 
Summen af Trekanterne CFK og BCG vil blive fremstillet som en Trekant af samme 


Fig. 49. 


Form, naar man oprejser EL BE og forlænger CF til Skjæring med denne Linie i M. 


183 


Figuren viser nemlig da, at AELK= A BDC og A EFM = ACDG. Altsaa faas 
ved Substraktion Firkant ÀMLK — A BCG. Det ses altsaa, at ACFK+E A BCG = 
ACLU, eller, idet disse ere ligedannede, at 


k? + a? = CL?. 
Heraf bestemmes CZ, hvorefter en Cirkel med Diameteren BZ bestemmer Æ. 


Det er denne elegante og simple Relation mellem k, a og CL, som skyldes 
Herakleitos, og som Pappos har villet opbevare. Den tilhorer — i det mindste umid- 
delbart — kun det Tilfælde, hvor de givne Linier danne relte Vinkler; men det er ingen- 
lunde urimeligt, at den er fremkommen som Middel til yderligere at simplificere en Kon- 
struktion, hvorom man forud vidste, at den kunde loses ved Passer og Lineal. Dette 
sidste kan da være fundet paa den forst antydede Maade, der indbefatter det almindelige 
Tilfælde, hvor Vinklen mellem de givne Linier er vilkaarlig. Dette forekommer mig langt 
rimeligere end, at Opdagelsen af denne plane Konstruktion skulde vere tilfeldig; thi naar 
man kun behandler samme Opgave ved rent elementær-geometriske Hjælpemidler, er Op- 
dagelsen af dens plane Beskaffenhed temmelig fjernt liegende. Pappos’ Bevis er aabenbart 
rent aposteriorisk og giver derfor ingen Oplysning om, hvorledes Herakleitos’ Sætning forst 
er funden. 

Hvor stor en Overensstemmelse der er mellem den Brug, jeg her mener, at de 
gamle maa have gjort af deres Losninger ved Keglesnit, og den nyere Tids algebraiske 
Behandling, fremgaar af, at Descartes i 3die Bog af sin Geometri netop i Herakleitos’ 
Sætning har et fortrinligt Exempel paa Anvendelsen af den algebraiske Oplosning 
af Fjerdegradsligninger til at opdage de Tilfælde, hvor saadanne irreduktible Ligninger 
kunne løses alene ved Kvadratradder, og hvor altsaa de deraf afhængige Konstruktioner ere 
plane. Dette viser sig at opnaas ved, at den kubiske Hjælpeligning bliver reduktibel. 
I Modsætning hertil antager Descartes i -Henhold til Pappos’ synthetiske Bevis, at det er 
rent tilfældigt, at de gamle ere stødte paa denne plane Konstruktion, og ere faldne paa at 
behandle den ved at søge en tilsyneladende saa uvedkommende Størrelse som Længden 
af CL. Vor Sammenholden af Herakleitos Relation med den almindelige Opgave, som 
løses ved Keglesnit, viser derimod, at de gamle baade have besiddet direkte Midler til at 
opdage, at Opgaver som Herakleitos' ere plane, og Taalmodighed til at reducere den plane 
Konstruktion til en yderst simpel Form. 

Det Tilfælde, hvor den af Archimedes benyltede Indskydning kan udføres ved Lineal 
og Passer, nemlig det, hvor det faste Punkt — som i den Indskydning, der forekommer 
hos Eudemos — er et af Endepunkterne af Diameteren vinkelret paa den givne rette Linie, 
kunde ogsaa være fundet ved Betragtning af Opgavens Løsning ved Keglesnit. I det anferie 
Tilfælde faar den hertil tjenende Hyperhel og Parabel nemlig samme Axe. At Opgaven i 


dette Tilfælde er plan, er imidlertid saa nerliggende, at man ikke behover at vere gaael 
en saadan Vej for at finde det. 

Skjent vi ellers i dette Afsnit kun have beskjæftiget os med Indskydninger, skulle 
vi dog, da vi derunder foruden den Tredeling af Vinklen, som maaske tilherer Archimedes, 
have faaet medtaget den ene af de gamle Tredelinger ved Keglesnit, som Pappos omtaler, 
benytte Lejligheden til ogsaa at faa den anden med"). Det er for dennes Skyld, at man 
har bestemt det i tiende Afsnit S. 140 omtalte Sted for Toppunktet i en Trekant med fast 
Grundlinie, og hvori den ene af Vinklerne ved Grundlinien er dobbelt saa stor som den 
anden. Er nu Grundlinien Korde til en Cirkelbue, som skal tredeles, bliver denne Bues 
Skjæringspunkt med det anførte Sted, som er en Hyperbel, et af de søgte Delingspunkter. 


Trettende Afsnit. 
Solide Opgaver (Fortsættelse); Apollonios’ femte Bog. 


Foruden de alt anførte, er der endnu kun opbevaret ét Exempel paa de gamles 
Behandling af en solid Opgave, nemlig Apollonios Konstruktion af en Normal fra 
et givet Punkt til et givet Keglesnit. Dette Exempel bliver os imidlertid langt 
betydningsfuldere end alle de andre derved, at vi her — om end gjennem arabisk Over- 
sæltelse — have selve den originale Behandling af Opgaven med.tilherende Diorisme, 
medens vi ellers have maattet nøjes med langt yngre Forfatteres Referater af Losningerne, 
og paa en enkelt Undtagelse — nemlig det af Eutokios fundne Manuskript — ner, selv 
have maatte gjette os til Diorismerne. Meget betydningsfuld er ogsaa selve Losningen af 
den forelagte Opgave og det i Diorismen indeholdte Resultat. Det har endelig sin Interesse 
at se den ejendommelige Form, hvori Normalproblemet optræder, og de Undersøgelser, som 
denne Form medferer, og i Forbindelse med hvilke dets Behandling kommer til at fylde 
hele femte Bog. 

Forelebig skulle vi dog se bort fra denne Form og uafhængig af den, men dog i 
nøjeste Overensstemmelse med Apollonios egne synthetiske Beviser, udlede den Konstruk- 
tion og den Diorisme, som udgjere Bogens Hovedindhold. 


Lad OM (Fig. 50) vere en Normal fra et Punkt © til et Keglesnit, lad N og A 
G 


vere Projektionerne af Normalens Fodpunkt A og af O paa Keglesnittets Hovedaxe, og 


3) Hultsch’ Udgave, S. 280 ff. 


185 


være dennes Skjæringspunkt med Normalen. Da er N@ den 2 


LÉ 

Storrelse, som senere er kaldı Subnormal, og som for Parab- M 

! . \ 
lens Vedkommende er 5 naar p er Parameteren, for Ellipsens N 

== LE 

og Hyperblens Fort naar a og b ere Axerne, w Abscissen 3 
til M regnet fra Kurvens Centrum, og hvor vi ved Fortegnet paa N EN 
moderne Vis have angivet Beliggenheden i Forhold til Punktet N. N 


Den ejendommelige Maade, hvorpaa Apollonios finder disse 
Udtryk for Subnormalen, som bag efter vises at stemme med de 
i forste Bog givne Tangentbestemmelser, skulle vi senere meddele. Denne Bestemmelse 
af NG’s Projektion paa Axen fører til et fra den givne Kurve forskjelligt geometrisk Sted, 
som maa indeholde Punktet M. Kalde vi M’s Koordinater æ og y, O's x, og y,, giver 
Figuren 
y NG 
— Y; CHE 3 


altsaa for Parablen, idet Begyndelsespunktet kan være et vilkaarligt Punkt af Axen, 


D 
(4 —5)y-n.2 = (), (1) 
og for Ellipsen eller Hyperblen, idet Centrum tages til Begyndelsespunkt, 
WE b? : 0 9 
per ay tae UE (2) 


Det sogte Sted, ved hvis Skjæring med den givne Kurve Normalfodpunkterne 7 
bestemmes, er saaledes i begge Tilfælde en ligesidet Hyperbel, hvis Asymptoter let kon- 
strueres, og som gaar gjennem © og Kurvens Centrum [Ste Bog, 51 og 52]. 

Forend vi gaa over til Apollonios’ hertil knyttede Diorisme, skulle vi bemærke, at det 
maa være med denne Konstruktions Anvendelse paa Parablen, at Pappos erklærer sig mis- 
fornøjet, naar han i 4de Bog!) beskylder Apollonios for i 5te Bog af Keglesnittene at begaa den 
Fejl at behandle en plan Opgave om Parablen ved Keglesnit. Heri har han heller 
ikke Uret, hvis man vil opfatte den givne Parabel som forelagt fuldstændig 
tegnet, saaledes at den ikke kommer med i Betragtning ved Afgjorelsen af, hvor vidt 
den stillede Opgave er plan eller solid. Denne Opfattelse er det i Virkeligheden ikke 
unaturligt at tillegge Pappos eller rettere de ældre Geometre, hvem han maa skylde den 
anforte Kritik af Apollonios, idet han vilde have gjort nojere Rede for den, hvis den ikke 
havde været bekjendt paa hans Tid. Vi have nemlig set, at ogsaa Apollonios paa et andet 


1) Stedet er gjengivet S. 169. 


Videnskab. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. IIL. 1, 


nm 


186 


Sted, nemlig i anden Bog, selv giver sig af med Konstruktioner, som knyttes til fuldt teg- 
nede Keglesnit. Efterat han der har konstrueret deres Axer, kunne disses Beliggenhed og 
deres saavel som Parametrenes Storrelser betragtes som bekjendte, naar et fuldt tegnet 
Keglesnit forelægges. At Apollonios benytter Axerne i sin Konstruktion i femte Bog, er 
saaledes ingen Hindring for, at han selv eller senere Læsere ogsaa i denne Bog kunne have 
betragtet selve Keglesnitslinien som det opgivne. 

Idet Pappos’ Kritik næppe lader sig tilfredstillende forklare paa nogen anden 
Maade, faa vi at vide, at man paa Pappos’ Tid kjendte en Konstruktion af Normalerne fra 
et Punkt til en given Parabel ved Hjælp af selve denne Kurve samt Lineal og Passer. Denne 
Konstruktion kan kun have bestaaet i en direkte Bestemmelse af den Cirkel, som gaar 
gjennem de tre Normalfodpunkter. Disse bestemmes, som vi nys saa, i et Koordinatsystem 
med Parablens Axe til Abscisseaxe og Toppunktstangenten Lil Ordinataxe, ved Ligning (1) og 
Parablens Ligning 

y? = pe. 
Ved at multiplicere den sidste Ligning med + og indføre Udtrykket for wy fra den første 
faas 


som kombineret med Parablens Ligning giver Ligningen 


+ (a+ Es y = 0, 


der fremstiller en Cirkel, som skjærer Parablen i Toppunktet og de sogte Normalfodpunkter. 


Ganske saaledes have de gamle neppe opereret, idet de da vilde have behovet en 
stereomelrisk Fremstilling af det Gjennemgangsled, som vi have udtrykt ved en Ligning 
af tredie Grad i Konstanter og variable; men dette vilde undgaas ved i Stedet for med ® 


at multiplicere Parablens Ligning med 5: Gjor man dette, lade alle de foretagne Opera- 


tioner sig let fremstille i de gamles geometriske Form. Naar Apollonios selv ikke har 
foretaget denne Simplifikation af Konstruktionen, kan det muligvis bero paa, at han for sit 
Vedkommende ikke har tænkt sig det givne Keglesnit forelagt saaledes, at Losningen bliver 
plan, naar blot Hjælpekurven er en Cirkel. Er han ikke gaaet ud fra saadanne Forudset- 
ninger, har han neppe engang sat videre Pris paa at opnaa dette sidste. Dette slutter 
jeg deraf, at der ikke i nogen af de tidligere betraglede solide Opgaver, naar ikke noget 
af de oprindelig benyttede to Keglesnit var en Cirkel, har vist sig nogen Bestrebelse efter at 
opnaa denne Simplifikation, hvilket dog flere Steder havde veret let nok. Naar dog den 
ene af de to Kurver maatte vere et — ikke forud fuldstændig tegnet — Keglesnit, var der 
heller ikke nogen væsentlig Fordel ved, at den anden blev en Cirkel; thi i dette Tilfælde 


a 


i Ben 


var Losningens Formaal ikke nøjagtig Konstruktion, men et theoretisk Studium, særlig den 
i Diorismen indeholdte Grænsebestemmelse, og dertil er en anden Kurve ofte nok saa 
bekvem. 

Dette viser sig særlig at vere Tilfældet med de ligesidede Hyperbler, som Apol- 
lonios benytter til sin Normalkonstruktion, og hvis Anvendelse i tilhørende Diorismer jeg 
nu skal vise. For Parablens Vedkommende falder Diorismen, som vi skulle se, i Hoved- 
sagen sammen med den, der hørte til Archimedes’ Kugledeling (S. 159), saa vidt den 
lidet vesentlige Forskjel i de til Konstruktionerne benyttede Kurvers indbyrdes Stilling 
tillader. 

Idet (Fig. 51) O og H have samme Betydning 
som paa Fig. 50, bestemtes ifolge Ligning (1) Fodpunk- 
terne af Normalerne fra O til en Parabel ved Skjæring af 
denne Kurve med en ligesidet Hyperbel, hvis Asymptoter 
ere Parablens Axe og Perpendikuleren ÆT paa denne i 


en Afstand HE — P 


fra Punktet O's Projektion, og hvor 


>| 


og & 


det konstante Rektangel, som dannes af Asymptoterne og 


Paralleler dermed gjennem et Kurvepunkt, er EI) = 


Naar man da vil undersoge, fra hvilke Punkter O af en 
vinkelret paa Axen, HO, man kan trække Normaler med 
Fodpunkter, bestemte ved den Hyperbelgren, hvorpaa O 
ikke selv ligger, gjelder det om at faa bestemt det Punkt 
M af Parablen, for hvilket det nævnte Rektangel MN.MP faar den størst mulige Verdi. 
Dette vil vere Tilfældet, naar M er Midtpunktet af det Stykke KZ, som Hyperblens Asymp- 
toter afskjere paa Parablens Tangent i M. I saa Fald er Rektanglet (ME) nemlig større 
end dem, man vilde faa ved at legge M andetsteds paa Tangenten, og desto mere større 


Fig. 51. 


end dem, der vilde svare til andre Punkter M af Kurven. 
Punktet N lader sig nu let bestemme, idet AN — 1XN =—*1 NE, altsaa AN = 
1AE. Derved bestemmes Punktet M og Rektanglet ME, og ved Anlæg af dette langs 


EH = = faas Maximumsværdien HO‘! for HO. Fra O‘ kan der kun trækkes én Normal 


til den modsalte Side af Axen og fra andre Punkter 2 eller 0, eftersom HOS AO‘. 
Bortset fra de Afvigelser, som hidrore fra, at vi have ombyttet Apollonios’ synthe- 
tiske Fremstilling med en Analysis, og for hvilke vi skulle gjøre nøjere Rede ved Ellipsen 
og Hyperblen, forer Apollonios for det her betragtede Tilfældes Vedkommende [i 51] ganske 
det samme Bevis som her. Bestemmelsen af den Normal, hvis Fodpunkt falder paa samme 
Side af Axen som ©, ved Hjælp af den gjennem © gaaende Hyperbelgren, er en Bestem- 


24° 


158 
melse for sig, som tilmed er delt i to Tilfælde, eftersom © ligger indenfor eller udenfor 
Parablen [57 og 62], men som ikke giver Anledning til nogen Diorisme. 

Det geometriske Sted for Punkterne O’ er Parablens Evolut. Uden udtrykkelig at 
tale om noget saadant Sted, giver Apollonios saaledes en Konstruktion af de Punkter af 
denne, som svare til en given Abscisse, og det vilde ikke vere vanskeligt af denne Kon- 
struktion at udlede Udtryk for Ordinaterne, altsaa Evolutens Ligning. Af Konstruktionen 

P 


folger, at den treffer Axen i det Punkt, hvis Afstand fra Toppunktet er 5: Dette er for 


øvrigt hos Apollonios allerede tidligere udtrykt i Bestemmelsen af Normaler fra Punkter af 
Axen [4 og 6]. 

Med en lignende Fuldstendighed behandles Opgaven for Ellipsens og Hyperblens 
Vedkommende. Idet man selvfolgelig ved flittig Figurbetragtning kan sikre sig mod at 
glemme noget Tilfzlde, er den eneste Vanskelighed, hvis Losning kan have nogen virkelig 
Interesse, Bestemmelsen af de til en given Abscisse svarende Ordinater til Evoluten, eller 
til Punkter hvorfra der udgaa to sammenfaldende Normaler. Disse Ordinater karakteriseres 
som Grænseværdier mellem Ordinater til Punkter, hvorfra der ved en enkelt af Iljælpe- 
hyperblens Grene kan bestemmes 2 og 0 Normaler, eller i det hele taget kan trækkes 4 
eller 2 Normaler. 


Medens Apollonios under ét behandler Ellipsen og en Hyperbelgren, hvilke Til- 
fælde heller ikke frembyde væsentlige Forskjelligheder, skulle vi for Nemheds Skyld holde 
os til Ellipsen. I Formel (2) have vi set, at Fodpunkterne af Normalerne fra et Punkt O 
ligge (Fig. 52) paa en fuldstendig Hyperbel, som gaar gjen- 
nem © og Kurvens Centrum C, og hvis Asymptoter have 


Tea 
m | |  Ligningerne 
SØ | | a? b2 

LA El D pe LA VE ni oem oi 
SA | @ AND? 2 G22 73 2 
La 


| hvor a og b ere Axerne, x, og 7, Koordinaterne til O. 
Es, I Diorismen bliver der nu kun Tale om den Hyperbel- 
Fig. 52. gren, som ikke gaar gjennem C og ©. Der er fremdeles kun 
givet Abscissen z,, som atter bestemmer den ene Asymptote 
EI. Den anden og det for Ellipsen og Hyperbelgrenen felles Punkt M skal bestemmes 
saaledes, at Ordinaten y, faar den storst mulige numeriske Verdi. Dette Maximum vil 
indtræde, naar Hyperbelgrenen i M berører Ellipsen, eller naar M er Midtpunktet af det 
Stykke ZX, som Asymptoterne afskjære paa Ellipsens Tangent i dette Punkt. 

Idet vi da tenke os Opgaven lost, og ved G betegne de to Asymptoters Skjæ- 
ringspunkt, ved N og P Punktet M’s Projektioner paa Ellipsens Axe og paa Asymptoten 
KG, er 


189 


Rektangel (CG) = Rektangel (G JZ), 
altsaa ogsaa 
Rektangel (CP) — Rektangel (EM), 
ef CN EN CE 
De NM NEP JN 
Heraf og af Figuren faas, idet PÅ = GP = EN, at 
CE PM PK EN CN 
CN NM NIG ING CL 
Idet ML skal berore Ellipsen, haves tillige 
CON GA 
CAT CIE 
Altsaa faas det ubekjendte Stykke CN ved Elimination af CL, altsaa ved Ligningen 
CLE = CAR, Gigs 
CN CE 


eller, som de gamle udførte en saadan Elimination: naar man setter CV ORE bliver 
4 17 


CE CN CN CA CE Y? 
ONS C1b CON CD om! 
CE CR CN 
OR 7 CN CA’ 
eller CN bliver den største af de to Mellemproportionaler mellem CE og CA. 
a? 
a 


altsaa 


CA er Halvaxen  ; CE, som er = - CH, bestemmer Apollonios, idet 4 


HE 
er opgivet, ved Da 2, Linien CN bliver da ogsaa bestemt og derved Punktet MM. 
Det søgte Grensepunkt O’ paa Ordinaten gjennem H findes dernæst ved Rektangel (O'G) 
CH 
= Rektangel (CG) eller Rektangel (0!Æ) = Rektangel (CD) = a . Rektangel (CP) 


CN 
CH 
= . Rektangel (EM), hvoraf man — uden Konstruktion af Hjælpehyperblens ubekjendte 


CN 
en . HO! CH EN 
Asymptote AG — faar MN CN OE 


man ved Hjælp af Ellipsens Ligning denne Bestemmelse sit analytiske Udtryk, faas Lig- 


som fuldstændig bestemmer HO‘. Giver 


ningen for Ellipsens Evolut. OÖ‘ falder paa Axen, naar Æ og dermed M falder i A. Evo- 


luten træffer saaledes Axen i Afstanden > fra Toppunktet A [6]. De samme Bestem- 


melser udfores ganske paa samme Maade for Hyperblens Vedkommende. 

Naar vi nu atter her have vendt Apollonios’ synthetiske Fremstilling om og givet 
den tilsvarende Analyse, maa det bemærkes, at Apollonios, idet Mulighedsbetingelserne som 
sædvanlig i den synthetiske Fremstilling angives for Konstruktionen, ikke nævner Hjælpe- 
hyperblen for i det tredie af ham betragtede Tilfælde, hvor 7O< 110", og hvor der kommer 


2 Oplosninger (af dem, som i Ojeblikket sages), og da kun benytter den til selve Konstruk- 
tionen af disse. Saa vist som Mulighedsbetingelserne maa være fundne ved den samme 
Analysis, som har givet Konstruktionen, maa dog den til denne tjenende Hyperbelgren ved 
Undersogelsen af Muligheden lige saa fuldt have været til Apollonios’ Raadighed som til 
vor!) Bagefter har det imidlertid ikke været svært at undgaa at nævne Hyperblen, men 
kun at tale om de dertil horende lige store Rektangler i det synthetisk opstillede Bevis for 


Mulighedsbetingelserne. 


Herved er gjort Rede for Kjernen i Apollonios’ femte Bog. Til Forstaaelse af 
Bogens Vidtloftighed maa imidlertid ogsaa omtales den Form, hvorunder Normalproblemet 
optræder. De sogte Linier ere ikke bestemte som vinkelrette paa Tangenter i disses Rorings- 
punkter, men som de mindst mulige eller de storst mulige Linier, som man 
fra et givet Punkt kan trække til et Keglesnit. 

Ligger det givne Punkt paa en Axe, hvor det kan antages at have Abscissen «,, 
medens det tilsvarende Normalfodpunkt har Koordinaterne æ og y, er det y?-L (x — x,)?, som 
skal vere et Minimum, og idet y? bestemmes ved et Udtryk af anden Grad i 2, er Minimums- 
bestemmelsen fort tilbage til den Maximumsbestemmelse, som findes i Euklids Diorisme 
til Ligninger af anden Grad i 6te Bog. Tanken paa denne Diorisme, som Apollonios mere 
direkte benytter andetsteds, f. Ex. ved Tangentbestemmelsen i forste Bog, turde ogsaa her 
ligge bag ved hans Bestemmelse; men saa har han bagefter omdannet den til et af Maxi- 
mumssetningen ved Fladeanleg uafhengigt synthetisk Bevis, hvis Tankegang skal meddeles 
for at holde i stadigt Minde hos Læserne, at det, som vi gjengive ved Produkter af Linier, 
er Arealer, hvis virkelige Anbringelse paa Figuren giver de beviste Setninger en umiddelbar 
Anskuelighed, saa snart man forst har tilegnet sig denne Figur. 

Vi kunne for at nojes med én Figur (Fig. 53) 
holde os til Ellipsen [10]. I Begyndelsen af femte 
Bog [1—3] har Apollonios givet dennes Centrallig- 
ning folgende grafiske Fremstilling: I et Endepunkt 


C af en Axe oprejses CN vinkelret og afsættes 


D a É 
— za og Linien fra N til Centrum D drages; Kva- 


dratet paa en vilkaarlig Ordinat ZZ bliver da det 
dobbelte af det Trapez CZS N, som den afskjærer. 


Fig. 53. 


Denne grafiske Fremstilling, som kan opfattes som specielt indbefattet i den, hvoraf der 


!) Denne Opfattelse, at i Analysen af en Opgave Diorismen først findes, elterat man har fundet Oplos- 
ningsmaaden, og saaledes bliver Resultatet af, hvad man nu kalder en Diskussion af den fundne 
Opløsning, finder Bekræftelse f. Ex. i. Archimedes’ Analyse i Sætning VII af 2den Bog om Kuglen 
og Cylinderen (Heibergs Udgave, I, S. 232). 


191 


gjores saa viglige Anvendelser ved Koordinalandringerne i første Bog (S. 64, Lign. (2)), udledes 
her direkte af den grafiske Fremstilling af Toppunktsligningen, idet Trapezet CZS N bliver 
halvt saa stort som Rektanglet med Siderne CZ og den til Z hørende Ordinat til den med 
DWN parallele Linie gjennem Toppunktet A. Afsætter man nu ZU=ZS, altsaa ifølge 
Figuren — £.zD, bliver ZH? = 2A ZES og altsaa 
EH? — 2 Firkant CE SN. 
Drager man derimod en anden Linie ÆT fra Æ til Kurven, bliver 
ET? — 2 [Trapez CKUN + Trek. KEV) = 2 Firk. CES N + Trek. OSV, 

allsaa ; ER? < ET?. 

Havde man paa Figuren ladet 7 falde paa den modsatte Side af 7, vilde den over- 
skydende "Trekant OSV blot afskjæres indenfor Vinklen SD. Det er saaledes godtgjort, 
at EH? og altsaa HH er et Minimum. Apollonios lader sig dog ikke nøje hermed, men 
giver tillige et Udtryk for Arealet af #7?’s Overskud USV. 

At den fundne Minimumslinie #77 staar vinkelret paa Tangenten i //, vises paa 
dobbelt Maade, nemlig dels ved at benytte den i første Bog fundne Tangentbestemmelse 
[18], dels ved umiddelbar Anvendelse af Minimumsegenskaberne [19]. Ved Hjælp af denne 
sidste Sætning kunde Tangentbestemmelsen fra først af være udledet af den nys udviklede 
Normalbestemmelse. Det er ret paafaldende, hvor nær den da i sit Hovedprincip falder 
sammen med den Tangentmethode, som bruges af Descartes, der ikke kjendte noget 
til Apollonios’ 5te Bog. Denne, som ikke haves paa græsk, blev nemlig først senere oversat 
fra arabisk. 

Omvendt kunde man ogsaa, efterat have bestemt Tangenten som i første Bog, der- 
lil have knyttet Bestemmelsen af Subnormalen og bagefter paa en med Sætning 19 stem- 
mende Maade have bevist Minimumsegenskaben, altsaa have undværet Apollonios’ nys 
anførte direkte Bevis for denne. Saaledes bærer man sig ikke blot i Reglen ad nu; men 
en Bestemmelse ad denne Vej af Subnormalen synes efter en Udtalelse i den særlige For- 
tale til femte Bog") at være udført forud af Apollonios’ Forgængere og samtidige. Andet 
af dte Bogs Indhold end netop denne Bestemmelse kan Apollonios nemlig ikke godt tænke 
paa, naar han antyder, at han kunde have medtaget det forud kjendte allerede i første Bog. 

I det følgende af femte Bog bliver en Linie som FH (Fig. 53) ikke betragtet som 
karakteriseret ved sin Stilling mod Tangenten, men ved Minimumsegenskaben. Naar da den 
fundne Bestemmelse af Subnormalen ZÆ, som vi have set, lægges til Grund for Bestem- 
melsen af Normaler fra andre Punkter ©, er den opgivne Egenskab ved de søgte Linier 
den, at der mellem Kurven og første Axe skal afskjæres et Stykke, som er et 


?) Se Tillæg 1. 


192 


Minimum af Afstande fra Skjeringspunklet med Axen til Kurven. Ferst bag- 
efter vises det, at den ogsaa er et Minimum eller Maximum af Afstande fra det givne Punkt 
O til Kurven. 

Dette sidste i Forbindelse med den dertil knyttede Afgjerelse af, naar man faar 
Maximum, og naar man faar Minimum, har let kunnet findes ved omhyggelig Figurbetragt- 
ning. Ved en saadan har det været iøjnefaldende, at de eneste Overgange fra Voxen til 
Aftagen af Radii vectores fra O til Keglesnittet have fundet Sted i Normalerne fra O, og 
at omvendt saadanne Overgange finde Sted i enhver Normal fra O, naar O ikke er et 
Punkt fra Evoluten. Det eneste, som har voldt Besvær, har været at omdanne disse 
Betragtninger til saadanne, som kunde tilfredsstille de greske Fordringer til et strengt Bevis. 

Hvad det herved kommer an paa, er kun at vise, at, naar de Stykker af Normalerne 
i alle Punkter af en Bue MN af-et Keglesnit, der ligge paa samme Side af Buen som 
Punktet O, falde paa samme Side af Radii vectores, fra O som Punktet N (Fig. 54), bliver 
ON>OWM. Til hvilke Sider af Radii vectores Normalerne 
falde, lader sig nemlig overalt let afgjare ved de samme Under- 
segelser, som have fort til Normalkonstruktionen og dennes 
Diskussion. 

At ON> OM, bevises derved, at hvis ON var < OM, 
vilde Cirklen om Centret O og gjennem N nodvendigvis skjære 
Buen MN. Da nemlig ON danner en spids Vinkel med Kur- 
vens Tangent NP i N, maa et Stykke af denne Linie falde 
indenfor Cirklen, som saaledes paa sin Vej fra N hen til OM 


0 begynder med at falde udenfor Kurven. Den vilde derimod 
ende sin Vej hen til OM med at falde indenfor den paa OM 
vinkelrette Linie MR, som ifølge Forudsætningerne selv falder 
indenfor Buen MN. Var nu Q denne Cirkels Skjeringspunkt med Buen og QS Buens 
Tangent i Q, vilde ifølge de opgivne Forudsætninger / OQS være spids, altsaa et Stykke 
af QS falde indenfor Cirklen; men delte strider imod, at denne i Punktet Q skulde komme 
indenfor Buen QM. Antagelsen ON<OM er altsaa absurd. 

Man ser imidlerlid at Apollonios selv ikke er videre fornøjet med delte Anskuelses- 
bevis"), som dog sikkert netop udtrykker den Tankegang, som har ført ham til Resultatet, 
og som har den Fordel at være anvendeligt paa Buer MN af alle mulige Kurver. Han 
anvender det nemlig kun i de Tilfælde, hvor Kurvens Hovedaxe falder som den punkterede 


1) For at gjøre det fuldkommen exakt skulde det ogsaa være fremhævet, at Q, hvis muligvis Cirklen 
skar Buen NJ/ i flere Punkter, skal være det sidste Punkt, hvor Cirkelbuen regnet fra N hentil 
OM skjærer WM. Denne Mangel kunde muligvis hidrøre fra de arabiske Udgivere, gjennem hvem 
vi have Apollonios' 5—7de Bog. 


195 

Linie paa Fig. 54; naar den derimod falder som paa Fig. 55, Er i 
benytter han serlige Egenskaber ved Keglesnittene til al Ex 
sætte et andet i Stedet”), nemlig følgende. Yin | 2 N Vv 

Er P Skjeringspunktet mellem PM og PN, bliver / | ST À 
ifølge Forudsætningerne Z O NP spids og / OM P stump. LARS] Es We Pees 
Heraf folger ; a 

ON?+ PN?>OP?>0M? + PM®. Ve 
Tillige er PN< PM, hvilket, naar PR er Diameteren til g 
Fig. 55. 


Korden MN, følger af, at Z MRP under de givne Forud- 
sætninger, for alle tre Keglesnit, bliver stump. Ved Subtraktion faas altsaa, at ON > OM. 


Naar alle Forfattere, som have skrevet om den græske Mathematik, ere enige 
om at anføre Apollonios femte Bog som det skjenneste opbevarede Exempel paa, hvor 
højt den græske Keglesnitslere kunde naa, tænkes herved ikke paa saadanne vidtloflige, 
men ikke vanskelige Undersogelser som denne sidste, men vistnok i Reglen udelukkende 
paa Konstruktionen af Normalerne fra et givet Punkt og den dertil knyttede Diorisme, som 
indirekte indeholder Bestemmelsen af Keglesnittenes Evoluter. Beundringen heraf kan ogsaa 
jeg i fuldt Maal tiltræde. Kun ser jeg ikke i de her fundne Resultater noget, som paa 
en overraskende Maade afviger fra, hvad jeg ellers finder i den greske Keglesnitslere. 
Tvertimod har jeg her søgt at fremstille Hovedundersogelserne i femte Bog i deres videre 
Sammenheng, og i Overensstemmelse dermed har jeg anfort dem som et Exempel paa 
Losning og Diskussion af solide Opgaver (i videre Forstand), hvorpaa de gamle lagde 
saa stor Vægt, og hvortil deres Keglesnitslere var saa nøje knyttet. Bortset fra de betyd- 
ningsfulde videre Anvendelser af de fundne Resultater, som jeg snart skal berøre, ser jeg 
deri et Exempel, som nelop bliver skjønt ved, at Opgaven er nærliggende, men dog van- 
skelig, og at Vanskelighederne overvindes ved sindrig Anvendelse af de simpleste Kegle- 
snitssetninger i forste og anden Bog. 

Naar man har gjort en modsat Anskuelse gjeldende og i femte Bog har villet se 
en hejere Geometri, som hevede sig væsentlig over de i de fire forste Boger behandlede 
Elementer, synes denne Opfattelse at finde nogen Støtte i Apollonios’ egen Fortale?). Han 
siger nemlig, at de sidste fire Bøger skulle meddele en fyldigere Viden (at de ere zepcov- 
cuuotixwteoa), medens de fire første — efter Halley's latinske Oversettelse — indeholde 
denne Læres «Elementer» (zéxtwxe zpv¢ stouywyyy ororysıwön). Disse Ord maa man 


1) Da flere af Bogens Sætninger kun ere opstillede, fordi de skulle bruges i dette andet Bevis, er der 
ingen Grund til at antage, at det skulde være indskudt af Araberne. 
2) Se Tillæg 1. 


Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. III. 1. 


imidlertid stræbe at forstaa i Overensstemmelse med, hvad der virkelig forefindes i de for- 
skjellige Bøger, og ikke efter moderne Skjelnemerker mellem elementær og højere Mathe- 
matik. Det vil være meget vildledende at betragte Undersogelserne i femte Bog som en 
hojere Art af Undersogelser af den Grund, at de fore til Resultater, nemlig Evoluternes 
Bestemmelse, hvortil man nu plejer at bruge Differentialregning; thi de dertil tjenende 
Bestemmelser af Grænser for Opgavers Mulighed ere fuldstændig af samme Natur som de 
Diorismer, som overalt findes knyttede til de gamles Problemer, og som stedse kunne 
opfattes som Maximums- eller Minimumsbestemmelser. Kun have disse i nærværende Til- 
fælde for Ellipsens og Hyperblens Vedkommende stillet særdeles store Krav til Agtpaa- 
givenhed og Kombinalionsevne, medens Diskussionen ved Parablen — som vi allerede ere 
stodte paa i en anden Sammenhæng — ikke har kunnet volde synderlig Vanskelighed. 

Den iøjnefaldende Forskjel paa den femte Bog og de foregaaende er derimod!), 
at disse give en sammenhengende Fremstilling af Grundlaget for den samlede Kegle- 
snitslere, paa hvilke alle Specialundersogelser maa opfores, og at der i femte Bog, lige- 
som i de Keglesnitslæren vedkommende Skrifter af Archimedes, netop foreligger en saadan 
Specialundersogelse. Det samme gjælder, som vi skulle se, om 6te og 7de Bog — 
Sde er tabt. Det vil vise sig, hvorledes nogle af de i disse sidste indeholdte Resultater 
kunne vere fundne under Undersogelser henhorende til Opforelsen af den i de fire forste 
Bøger givne Lærebygning. I denne har der imidlertid ikke været Plads til dem, naar man 
ikke vilde skade Overskueligheden ved at medtage mere end det nodvendige. 


Der kan nu ganske vist vere noget vilkaarligt i, hvad man vil henregne til Lere- 
bygningen, og hvad til Specialundersogelser. Dette afhænger af hver enkell Tids Fond 
af Kundskaber, og de enkelte Led af den forste have i Reglen tidligere henhort til de 
sidste. Lærebygningen maatte.hos Apollonios komme til at rumme det, som forud var 
tilstrækkelig bekjendt og tilstrekkelig bearbejdet til at kunne gives i en kort og overskuelig 
Skikkelse, samt det, som man paa hans Tid plejede at lægge til Grund dels for, hvad vi 


kunne kalde Keglesnitslerens anden Del, nemlig den til serlige Skrifter — som Aristaios’ 
fem Boger — horende Lære om solide Steder og solide Opgaver, dels for Behandlingen 


af forskjelligartede Opgaver, der vare simple nok til at kunne betragtes som Øvelser. Der- 
nest maatte den indeholde alle de Forbedringer, som tjente til at give det opforte Grundlag 
for videre Undersøgelser større Almindelighed, f. Ex. Fremstillingen af Keglesnit som saadanne 


Snit i skjæve Kegler, der ikke staa vinkelret paa Symmetriplanen — hvilken dog maaske 
var bekjendt forud — og til at give det storre Anvendelighed. I sidste Henseende var det 


serlig nodvendigt at tage en fuldstendig Behandling af sammenhorende Hyperbelgrene, 


1) De nys citerede Ord i Fortalen ere i Tillæg 1 oversatte i Overensstemmelse hermed 


195 
uden hyilken Bestemmelsen af Stedet til fire Linier og af mange andre solide Steder var 
haltende, med ind i Lerebygningen. 

En saadan Lerebygning maa karakteriseres ved en vis Korthed, som er bleven 
mulig ved Forgængeres Arbejder. Naar vi se bort fra den Vidtloftighed, som Apollonios 
mener at burde anvende paa den sidstnævnte nye Forbedring, er ogsaa virkelig i de fire 
forste Boger Fremstillingen kort i Forhold til de mange og forskjelligartede Resultater, 
som feres frem. Dette gjelder ikke mindst de Afsnit af 3die Bog, som vi endnu ikke 
have gjort nærmere Rede for. I Redegjorelsen for en Specialundersegelse gjaldt det der- 
imod for de gamle om at fremsette det nye, som fremferes, med en vis Fyldighed, om 
først at berede Grundlaget for dette, saaledes at Læseren er vis paa, at Resonnementet 
ingen Huller har, dernest at gaa saaledes i det enkelte, at Læseren kan se, at intet Tilfælde 
glemmes, og endelig at udnytte de vundne Resultater og gjore dem anvendelige for videre 
Undersogelser. Saaledes bar Apollonios sig ad i femte Bog, hvis Hovedindhold vi kunne 
lære at kjende alene af Sætning 51 for Parablens og 52 for Ellipsens og Hyperblens Ved- 
kommende, men som dog med sine 77 Sælninger i Udstrekning er voxet op til den omfangs- 
rigeste af alle Apollonios Bøger om Keglesnittene. 

Forskjellen mellem de fire forste Boger og de sidste er altsaa, at de forste danne 
et Kompendium over Keglesnitsleren, de sidste en Rekke udforligere Monografier. 
En Skjælnen mellem mere eller mindre elementære Dele i en moderne Betydning af Beteg- 
nelsen elementer, maatte, hvis man onsker en saadan, snarere indfores inden for selve 
Lærebygningen. En saadan Skjælnen have vi ogsaa i vor Fremstilling gjort gjældende, 
idet vi have fremhevet, at medens i ferste og anden Bog Keglesnittenes Punkter og Tan- 
genter kun betragtes i deres Forbindelser med Diametre og Asymptoter, ses de i tredie og 
fjerde Bog i Forbindelse med vilkaarlig beliggende Punkter og rette Linier eller med 
vilkaarlig beliggende andre Keglesnit. Fra dette Synspunkt betragtet ere ogsaa 6te og Tde 
Bog elementere. 

Ogsaa i femte Bog benyttes, som vi have set, kun de elementære Hjælpemidler, 
som ere udviklede i forste og anden Bog, undtagen for saa vidt det i fjerde Bog fundne 
Resultat, uden direkte at benyttes, har kunnet give Overblik over de forskjelligartede Los- 
ninger, som kunne fremkomme. De Anvendelser, som Apollonios vil have gjort af de 
fundne Resultater, naar han i Slutningen af Bogens særlige Fortale!) siger, at de ere ser- 
deles nodvendige til Problemers Inddelinger og Diorismer, maa derimod vist- 
nok strække sig videre. 

Et Exempel paa en solid Opgave, hvis Diorisme kan findes ved Hjælp af Normal- 
konstruktionen, have vi allerede truffet i forrige Afsnit, nemlig Indskydningen mellem to 


1) Se Tillæg 1. 


25” 


196 


rette Linier. Denne Opgave horte dog endnu kun til dem, som loses ved Apollonios’ 
anden Bog, og da Existensen af den Normal, som skulde bruges til Grænsebestemmelsen, 
var umiddelbart indlysende, blev der ikke Brug for den til selve Normalkonstruktionen 
horende Diorisme. 

De Opgaver, hvortil Apollonios sigter, maa i Almindelighed være saadanne, som 
loses ved Skjæring mellem et Keglesnit og en Cirkel. Har man da ved Benyttelse af nogle 
af de opgivne Sterrelser faaet Keglesnittet og Cirklens Centrum fuldkommen bestemt, kan 
man som i den nys anforte Opgave ved Normalkonstruktion finde Grænser mellem de Vær- 
dier af Radierne, hvortil svarer 0, 2 og 4 Oplosninger, og derved Grænseværdierne for en 
saadan opgiven Storrelse, hvoraf Radien maatte afhænge foruden af de alt benyttede. Om 
disse Grenseverdier blive Maxima eller Minima, beror paa, hvad de tilsvarende Normaler 
ere, og derved komme Apollonios’ Undersøgelser heraf til at bere Frugt. Antallet af saa- 
danne Grænseværdier og derved af de forskjellige Muligheder, som kunne indtræde, afhænge 
af Cirkelcentrets Beliggenhed i Forhold til Keglesnittets Evolut. Derved kommer man til 
den af Apollonios i Fortalen omtalte «Inddeling» af en Opgave. De Grænseværdier for 
en anden af de opgivne Storrelser, som betinge denne Inddeling, kunne da udledes af den 
Grænseværdi for Evolutens Ordinat, svarende til en vilkaarlig Abscisse, hvis Bestemmelse 
udgjoer Diorismen til Apollonios’ Normalkonstruktion. 

Den forelagte Opgaves Diorisme lader sig vel ikke altid udfore ganske i denne Orden, 
saaledes ikke, naar Cirklens Radius ikke afhænger af nogen anden Storrelse end dem, der 
allerede ere benyttede ved Bestemmelsen af dens Gentrum, men det er indlysende, at man 
dog altid, naar Opgaven løses ved Skjæring mellem et Keglesnit og en Cirkel, kan benytte 
Normalkonstruktionen og dens Diorisme til Opstilling af Grænserelationer mellem de opgivne 
Storrelser. Idet enhver Opgave, som kan loses ved Skjering mellem to Keglesnit, ogsaa 
kan loses ved et Keglesnit og en Cirkel, kunde man endog ad denne Vej faa et almen- 
gyldigt Middel til saadanne Opgavers Diorisme. Som saadant synes det dog, at man heller 
ikke i Tiden efter Apollonios har benyttet Normalkonstruktionen. I saa Fald vilde nemlig 
Bestræbelserne efter at reducere Konstruktioner ved to Keglesnit til Konstruktioner ved et 
Keglesnit og en Cirkel vere fremmede saaledes, at de ogsaa maalte spores hos Pappos. 
Dette er nu som alt bemærket kun da Tilfældet, naar man derved kunde opnaa at betragte 
den forelagte Opgave soın plan. Man har da vistnok nejedes med at anvende Apollonios’ 
femte Bog til Diskussion af saadanne Opgaver, hvis Konstruktion ved et Keglesnit og en 
Cirkel var den simpleste. 

Grunden til, at man ikke er gaaet videre i denne Anvendelse, maa have været, at 
man paa den ene Side ikke var i Stand til overalt fuldstendig at gjennemfore Brugen af 
den antydede almindelige Methode, og at man paa den anden i mange Tilfælde, hvor den 
virkelig kunde gjennemfores, naaede lettere til Maalet ved at knytte Diorismen til den nær- 


LO 


mest liggende Konstruktion end til den, som kunde opnaas ved at ombytte det ene af de 
to Keglesnit med en Cirkel. 

At der vilde vere solide Opgaver — i den videre Forstand —, hvis Diorismer 
vilde vere uoverkommelige, hvad enten man anvendte den beskrevne Reduktion eller 
anvendte de mange forskjellige bekjendte Tangentsetninger paa de to Keglesnit, som mest 
umiddelbart lose Opgaven, slutter jeg af, at Betingelsen for Keglesnittenes Roring (Taktin- 
varianten) er af sjette Grad i Koefficienterne i hver enkelt af de to Keglesnits Ligninger, 
og en saadan Betingelse vilde Grekerne i det mindste have overordentlig svert ved at 
udtrykke. At der paa den anden Side forud for og uafhængig af de i Apollonios’ femte 
Bog fundne Resultater existerede Midler, som man benyttede til at finde Diorismerne til 
forefaldende Opgaver, fremgaar af, at Tilvejebringelsen af Diorismer til solide Opgaver i 
Fortalen nærmest synes at betragtes som en bekjendt Vanskelighed, til hvis Overvindelse 
det var godt at foje nye Midler til dem, man havde. 

Hvori disse sidste kunne have bestaaet og tildels vides at have bestaaet, have vi 
set Prover paa i forrige Afsnit og i selve Udforelsen af Diorismen i Apollonios’ femte Bog. 
Det er imidlertid ikke uden Interesse at gaa lidt videre i Undersøgelsen heraf. Efter hvad 
vi have set i vor Undersøgelse over solide Steder, har nemlig Bestemmelsen af disse og 
derved af selve Løsningen af en hvilken som helst forelagt solid Opgave vistnok i det 
hele ligget indenfor, hvad man kunde magte. Om man da kunde gjennemføre Behandlingen 
saaledes, som det krævedes i et for Offentligheden bestemt Skrift, har beroet paa, hvor vidt 
man tillige har kunnet magte Diorismen. 

Af Mangel paa Oplysninger kunne vi dog ikke naa stort videre end til det negative 
Svar paa Spørgsmaalet om, hvilke solide Opgavers Diorismer Grækerne have kunnet magte, 
at de vist nok maa have indskrænket sig til saadanne, hvor Grænseligningens Grad i den 
givne Størrelse, hvis Grænser søges, paa en eller anden Maade reduceredes til fire eller der- 
under, og hvor altsaa selve Grænsebestemmelsen kan findes ved Skjæring mellem Keglesnit!). 
I Stedet for i Almindelighed at undersøge, hvilke Diorismer det er rimeligt, at man indenfor 
denne Begrænsning har kunnet behandle, naar der har været Anledning dertil, skulle vi 
heller søge blot at opstille en Klasse af saadanne for derved at faa nogen Lejlighed til at 
minde om nogle flere af de Midler, man havde til sin Raadighed, og som vel tildels ere 
udviklede af Hensyn til saadan Anvendelse, end vi alt have havt Lejlighed til i denne Sam- 
menhæng. 

Lad os da først antage, at der er fundet en Løsning af en Opgave ved Skjæring mellem 
to Hyperbler, @ og d, og at i Diorismen den ene, ø, og den andens Asymptoter betragtes 


1) Da man dog kjendte andre Kurver, ere Undtagelser fra denne Regel ikke utænkelige. Se Slutningen 
af næste Afsnit. 


198 


som givne, medens det er Grænserne for det til denne sidste, d, hørende konstante Areai 
af Rektanglet af Afstandene fra Asymptoterne, som skulle findes. En saadan Grenseverdi 
vil tilhøre en Hyperbel &, som rører g. Reringspunktet P vil da vere Midtpunktet af de 
Stykker, som de to Par Asymptoter afskjere paa Tangenten i P. Det kan bestemmes som 
Skjæringspunkt mellem Hyperblen & og det geometriske Sted for fælles Midtpunkter af de 
Stykker, som de to Par Asymptoter afskjære paa samme Linie. 

Dette sidste Sted lader sig, naar Hyperblernes Centra kaldes A og B, deres Asymp- 
toter henholdsvis a,, a, og b,, b,, bestemme paa folgende Maade. Naar en ret Linie 
drejer sig om Skjæringspunktet C mellem a, og b,, ville de paa denne afskaarne Stykkers 
Midtpunkter A‘ og 5’ gjennemlobe rette Linier a‘ og b‘ parallele med a, og b,. Skjæ- 
ringspunktet P mellem AA’ og BB‘ er et Punkt af det geometriske Sted, da det bliver 
fælles Midtpunkt for de Stykker, som afskjæres paa en Parallel med Transversalen gjen- 
nem ©. Men P bliver Vinkelspids i en Trekant PA'B", hvis to andre Vinkelspidser bevæge 
sig paa de faste Linier a‘ og 6‘, medens dens Sider dreje sig om faste Punkter 4, B, C. 
Stedet for P bliver altsaa et Keglesnit, hvad vi (S. 114) af de 10 af Pappos sammentrukne 
Porismer have sluttet, at de gamle have vidst. Naar de to Hyperbler have en fælles Asymp- 
tote, vil Stedet for Punktet P ifolge selve de sammendragne Porismer blive en ret Linie. 

Til det her betragtede Tilfælde lader det sig temmelig let reducere, hvor Kegle- 
snittet © er en Ellipse, der skjærer begge d's Asymptoter, idet man da kan begynde med 
at fremstille ø som Sted til saadanne fire Linier, hvoraf d’s Asymptoter ere to modstaaende. 
Et Roringspunkt P mellem @ og en Kurve & vil da vere fælles Midtpunkt mellem de Stykker, 
som disse og det andet Par modstaaende Sider afskjære paa Tangenten. Ved nogen Ud- 
videlse af de samme Fremgangsmaader kunde man gaa endnu videre til saadanne Tilfælde, 
hvor ogsaa d var en Ellipse, hvoraf man kjendte Beliggenheden af og Forholdet mellem 
Axerne. Eller man kunde, efter ved Overensstemmelse med det, hvor man havde to Hyperbler, 
al vere ledet til den Formodning, at man ogsaa her skulde have Roringspunkterne bestemte 
ved Skjæring mellem @ og et Keglesnit, finde andre Midler til virkelig Bestemmelse af et 
saadant. 

Et herunder hørende specielt Tilfælde ville vi faa Lejlighed til at opstille i næste 
Afsnit. Et andet er det, som behandles i Apollonios’ femte Bog, nemlig det, hvor Kurverne 
& ere Cirkler med givet Centrum, og de søgte Roringspunkter altsaa Fodpunkter for Nor- 
maler fra dette. Denne Omstendighed viser imidlertid, at vor Sammenstilling af Hjælpe- 
midler, som vi mene, at de gamle kunde bruge, naar de i bestemt forelagte Opgaver 
fik Brug derfor, ikke maa opfattes som en almindelig Methode, som de selv udtrykkelig 
skulde have opstillet. Dette kan man i alt Fald ikke have gjort, forend Apollonios skrev 
sin femte Bog, da vi af hans Fortale kunne slutte, al ikke blot den vanskelige Diskussion, 


men ogsaa Konstruktionen af Normalerne var noget nyt. 


nn 


At man for Apollonios kun kan have gjort enkeltvis Brug af den her opstillede 
Bestemmelse af Diorismer, folger ogsaa af den dertil horende Benyttelse af et solidt Sted, 
som af de gamle maa være omdannet til et Sted til fire Linier; thi den almindelige 
Bestemmelse af et saadant Sted muliggjordes jo først ved Apollonios’ Keglesnilslere. 
En anden Hindring for en saadan almindelig Udledelse af Diorismer som den, vi her have 
givet, var, at disse fortes tilbage til Losning af en solid Opgave, hvor der altsaa kunde 
blive Tale om en ny Diorisme, som det i det mindste vilde være vanskeligt at opstille i 
Almindelighed. I de enkelte Tilfælde kan man derimod vere sat i Stand til at undvære 
eller gjennemfore den ved den Begrænsning i de anvendte Keglesnits indbyrdes Beliggenhed, 
som den oprindelige Opgave kan have medfort. I Modsætning hertil bliver det en Hoved- 
fortjeneste ved Apollonios’ femte Bog, at den, som nys vist, setter i Stand til at tage Hen- 
syn til alle indbyrdes Stillinger af et Keglesnit og en Cirkel. 

Disse Betragtninger kunne vejlede noget med Hensyn til, hvilke solide Opgaver det 
er rimeligt, at Grækerne have givet sig af med at lose og diskutere. Det er ikke overflødigt 
at give saadanne Vink ved Siden af Meddelelsen af de opbevarede Opgaver og Los- 
ninger. Om disse kan det nemlig med Bestemthed paastaas, at de ikke give tilstrekkelig 
omfattende Prover paa de Arter af Opgaver, som man har behandlet. Dette 
slutter jeg af, at ifølge Apollonios’ almindelige Fortale hans tredie Bog særlig skal tjene 
til Bestemmelse af solide Steder, og at Formaalet med saadan Bestemmelse var Losning 
af solide Opgaver, men at der dog ikke ved Losningen af en eneste af de opbe- 
varede solide Opgaver gjores Brug af Indholdet af Apollonios’ tredie Bog. 


Fjortende Afsnit. 


Om tabte Undersøgelser; en Gjætning om Eratosthenes’ Skrift om Mellemsterrelser. 


Naar vi nu ogsaa om solide Opgaver mene at have paavist, at Grekerne maa vere 
naaet videre end til de Resultater og de Konstruktioner, for hvilke der er gjort Rede i de 
opbevarede Skrifter eller i Skrifter, om hvis Indhold der foreligger Oplysninger, vende vi 
derved tilbage til det tidligere fremsatte Sporgsmaal, hvor Udbyttet af saadanne videre- 
gaaende Undersogelser da er nedlagt. 

For de solide Opgavers Vedkommende kunne vi maaske tildels give samme Anvis- 
ning som for de solide Steder, nemlig paa Aristaios: Solide Steder. Af Pappos’ 


200 


ganske vist noget dunkle Oplysninger") om Forholdet mellem Euklids Keglesnitselementer 
og det anforte Skrift, af dettes Plads efter Apollonios’ Keglesnitslere i Pappos’ vel 
ordnede Fortegnelse i Begyndelsen af 7de Bog”), og deraf at Pappos kalder det et Supple- 
ment til Keglesnitsleren®), kan man slutte, at det ikke selv har indeholdt denne Leres Ele- 
menter, men tvertimod forudsat dem bekjendte i et Omfang, som maatte indbefatte i det 
mindste noget af Indholdet af Apollonios’ tredie Bog. I Aristaios’ fem Boger har der saa- 
ledes været Plads til adskilligt. 


Idet de solide Steders Formaal er Anvendelsen Lil Losning af Opgaver, er del ikke 
urimeligt, at noget af denne Plads kan være afset til saadanne Anvendelser. Have end 
muligvis en Del af disse indskrænket sig til Opgaver, som kunde udtrykkes ved Tredie- 
gradsligninger, som man den Gang, efter vor Antagelse, ålene kaldte solide, — taler dog 
den Omstændighed, at der medtoges noget om Stedet til fire Linier, for at man ogsaa kan 
have medtaget nogle af de videregaaende Anvendelser, som havde foranlediget Studiet af 
delte Sted. I Forbindelse med selve dette Studium kan Aristaios ogsaa have sat nogle af 
de dertil knyltede Involutionssætninger om Keglesnitiene, som da senere have foranlediget 
Apollonios til i Skriftet om det bestemte Snit at underkaste Involutionsleren et mere samlet 
Studium. 


Det gaar dog ikke an at vise allfor mange af de Undersogelser, om hvis Existens 
hos Grækerne vi ere komne til Kundskab ved Slutninger fra det foreliggende, hen til Ari- 
staios, blandt andet af den Grund, at hans Skrift gaar forud for de fleste af Euklids og 
alle Archimedes’ og Apollonios’ Arbejder. Naar saaledes Apollonios i Bogerne om det 
bestemte Snit har undersogt Involutionsleren med fuld Bevidsthed om dens Anvendelighed 
paa Keglesnit, fremstillede som Steder til fire Linier, hvor er da Anvendelserne af de i dette 
Skrift fundne Resultater blevne fremstillede? Hvor foreligger- der Behandlinger af saadanne 
nye solide Problemer (i videre Forstand), som bleve mulige at lose og diskutere ved de i 
hans Keglesnitslere fundne nye Resultater? Ja vi have jo end ikke nogen Oplysning om 
noget Skrift, hvori der gives nogen ny Fremstilling af den fuldstendige Bestemmelse af 
Stedet til fire Linier, som efter hans og Pappos’ udtrykkelige Oplysninger forst muliggjordes 
af ham. 

Hertil maa for det forste svares, at der ingen Grund er til at tro, at Pappos i sin 
Opregning giver Oplysning om alle Skrifter fra den græske Geometris bedste Dage, hvori 
den græske analytiske Geometri og dens Anvendelse paa Keglesnitsleren og solide Opgaver 
behandles. Han giver Anvisning paa de Boger, hvorefter Grundlaget for alle disse 


1) Se Tillæg 2 og S. 89. 
2) Hultsch’ Udgave S. 636 
*) Hultsch’ Udgave S. 672, 21 


201 


Undersøgelser vil være at studere"), og der er da ikke Anledning for ham til ogsaa at gjøre 
Rede for de forskjellige Arbejder, hvori der kan vere fremstillet herhen horende, udforligere 
Specialundersogelser. Som saadanne ere det bestemte Snit, Forholdssnittet og Arealsnittet 
ikke at betragte, idet — som vi have set for det forstes og i næste Afsnit skulle se for 
de andres Vedkommende — Kjendskab til Diskussionen af disse Opgaver udgjor en væsentlig 
Del af Forudsætningen for Keglesnitslerens Anvendelser. De fire sidste Boger af Apollo- 
nios’ Keglesnitslere give ganske vist, som han selv siger, videre gaaende Specialunder- 
sogelser, men de ere vel ogsaa nermest komne med paa Pappos’ Liste paa Grund af deres 
Forbindelse med de fire første Bøger, samt paa Grund af Forfatterens berømte Navn. Af 
den sidste Grund kan Eratosthenes’ Skrift om Mellemstorrelser, hvis Titel ogsaa peger 
hen paa Specialundersogelser, vere medtaget. At den samme Grund derimod ikke har 
bragt Pappos til at medtage de af Archimedes’ Skrifter, som angaa Keglesnitsleren, beror 
da paa, at denne Lære i Skrifter, vedrorende Kvadratur, samt Kubatur af deraf frembragte 
Flader, optræder i en anden Skikkelse og med andre Formaal end i toc dvakvöuevosg. 
Pappos har saaledes ikke tilsigtet at give Oplysning om saadanne Skrifter, som gik 
ud over den almindelige Lerebygning. De, der stillede storre Fordringer til Forkundskaber 
hos Læserne, ere sikkert ogsaa blevne upaaagtede i Tilbagegangstiden og vel derfor i Reglen 
kun opbevarede i enkelte Exemplarer i det alexandrinske Bibliothek, og mange kunne da 
være gaaet helt tabt ved de Ulykker, som ere overgaaede dette. For deres Vedkommende, 
som endnu maatte vere bevarede paa Pappos’ Tid, gjore vi os ikke skyldige i nogen Ubil- 
lighed mod denne ved at antage, at han ikke engang vilde vere i Stand til at give os 
synderlig Oplysning om de deri indeholdte videre gaaende Undersogelser. Den Tradition 
ved mundtlig Undervisning, der kan have holdt sig gjennem de mange Aarhundreder, som 
adskille ham fra Apollonios, og fra hvilke intet selvstændigt Fremskridt paa dette Om- 
raade er kommet til vor Kundskab, maa nemlig have været yderst ringe. Pappos’ Tid, da 
man virkelig skaffede sig Kjendskab til og nogen Indsigt i det, de store Mathematikere 
havde frembragt, maa allsaa have været en Renæssancelid, i hvilken denne Indsigt ostes af 
de gamles Boger. Hvor megen Taalmod et saadant Arbejde har krævet, vil let forstaas, 
naar man tænker paa, hvor megen Vanskelighed Studiet af Oldtidens Forfattere i det mindste 
i Begyndelsen volder Nutidens Mathematikere, der dog delvis kjende Resultaterne og kunne 
oversette Beviserne i et mathematisk Sprog, hvormed de selv ere fortrolige. Pappos har 
nu vistnok i sin Læretid veret vejledet af Lærere, som for ham havde begyndt Studiet 
af de gamle Forfattere, saa hans Indtrængen i disse ikke er Enkeltmands Arbejde; men da 


1) At der netop er Tale om et Grundlag og ikke om en Meddelelse af alt, hvad der vidstes, ses al de 
første Ord i 7de Bog, som anbefale Læsningen til dem, der ville sættes i Stand til selv at lose 
forelagte Problemer. 


Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd. III, 4. 26 


202 


de gamle oftest kun give de strenge synthetiske Beviser, i det højeste Lillige Analyser i 
strengt systematiske Former, men inlet friere Vink til Forstaaelse og ingen Oplysning om, 
hvorledes man i Undervisningen skaffede de geometriske Ideer Indgang hos Disciplene, er 
det dog al Ære værd, naar Pappos og hans samtidige opnaaede at trænge ind i de ned- 
vendige Led i Lerebygningen, samt at forstaa nogle faa videre gaaende Undersøgelser. Meget 
af, hvad der forefandtes fra den gamle, frembringende Tid, har man derimod sikkert maattet 
lade ligge som altfor vanskeligt. Det turde maaske være af denne Grund, at nogle af 
Archimedes’ betydeligste Arbejder, saaledes Skriftet om Konoider og Sfæroider, paa intel 
Sted nævnes af Pappos. 

Der foreligger ogsaa direkte Vidnesbyrd om, at andre Forfattere end de paa 
Pappos’ Liste anførte have arbejdet paa Keglesnitsleren, og disse Vidnesbyrd ere alle frem- 
komne paa en saadan tilfeldig Maade, at der vist nok har været langt flere end de, der 
udtrykkelig nævnes. Naar vi saaledes i Apollonios’ Fortaler finde anført Navnene paa 
Euklid, Konon og Nikoteles, er dette kun foranlediget ved en Kritik af deres Stand- 
punkter, medens han ellers i al Almindelighed omtaler Forgængernes Arbejder uden at 
nævne nogen enkelt. For de forste Bogers Vedkommende kan han derved tænke paa de Værker 
af Euklid og Aristaios, som Pappos anforer; men ogsaa i Fortalerne til de senere 
Boger peges der hen paa unævnte Forgængere. De Oplysninger om Losninger af solide 
Opgaver, som vi i det foregaaende have taget fra Pappos og Eutokios, ere alle enten 
fremkomne i Sammenstillinger af de forskjellige Behandlinger af de simpleste herhen 
hørende Opgaver, nemlig Vinklens Tredeling og Terningens Fordobling, eller de have 
knyttet sig serlig til Opgaver af Archimedes. Kun af denne Gfund ere vi blevne bekjendte 
med de fremsatte Konstruktioner af Dionysodoros og Diokles. Eutokios har endvidere, 
som vi have set, fremdraget et mærkeligt gammelt Brudstykke, fordi det supplerer Archi- 
medes’ Kugledeling; men hvor mange andre, som kunde have givet helt andre, lige saa 
gode Oplysninger om de gamles Behandling af solide Opgaver, kan han ikke have ladet 
ligge? 

Der kan saaledes have veret Lileratur nok til at rumme de videre gaaende Under- 
segelser, som efterhaanden behøvede til Grundlag og derfor selv udviklede en saa fuldstændig 
Lærebygning som den, der gives i Apollonios’ fire første Bøger, som endvidere brugte og 
derfor selv uddannede saadanne Redskaber som dem, vi fandt i Euklids Porismer og Apol- 
lonios’ bestemte Snit, og som endelig fandt Anvendelse for saadanne solide Steder som 
Stedet til fire Linier. Der kan efter Apollonios' Tid have været Literatur nok til al rumme 
selv temmelig vidtgaaende Anvendelser af de forbedrede Hjælpemidler, som skyldtes ham. 

Og dog tror jeg ikke, at hin Tids Literatur paa langt nær vilde indeholde saa stor 
en Del af det i den Tid udførte Forskerarbejde, som vor meget publicerende Tids Literatur 
af vor Tids Forskerarbejde. Meget af det, som man fandt den Gang, har man sikkert 


205 


nojedes med mundtlig at meddele sine Disciple og Venner eller at legge til Grund for 
de Opgaver, man stillede dem. Kun den, der som Archimedes levede udenfor Alexan- 
dria, har veret nodt til skriftlig Meddelelse af alle sine Opdagelser. Han har derfor dels 
veret hurligere til at gjore dem til Gjenstand for udforligere Behandling, dels har han 
forud for denne skriftlig givet saadanne forelobige Meddelelser om sine Resultater, som en 
alexandrinsk Mathematiker vilde kunne have givet sine Venner mundllig. 

At man virkelig i Reglen ikke har kunnet vere rask til i Skrift at gjore Rede for 
sine Undersøgelser, slutter jeg af de Besverligheder, Redaktionen dengang maa have voldet. 
Om disse faar man en Forestilling ved dem, som Lesningen af de gamles Beviser volder 
os. De komme ikke blot af vor Mangel paa Øvelse heri; thi hvor megen Øvelse man vinder, 
vil man dog altid langt lettere overse f. Ex. Proportioners Udledelse af hinanden, naar man 
skriver dem som vi, end naar man udtrykker dem i Ord og i Ord begrunder deres, ved 
vor Skrivemaade iojnefaldende, indbyrdes Sammenhæng. Endnu mindre hidrere de fra, at 
der i Virkeligheden skulde vere mindre simple Sammenhenge i Tankegangen hos de gamle; 
thi naar man forst faar det tydelig frem, som er det vesentlige i deres Beviser, ere disse 
sædvanligvis saa simple og naturlige, som man kan ønske, og som man i vore Dage kan 
gjore dem. 

Besverlighederne ved Læsningen hidrøre fra de mindre gode Midler til skriftlig 
Fremstilling, som man dengang havde, og fra de stive Former, som man følte sig forpligtet 
til at give sine Beviser, og disse Omstændigheder maa have voldet et nogenlunde tilsvarende 
Besvær for Forfatteren, om han end under den synthetiske Affattelse havde den vesentlige 
Fordel fremfor Læseren, at han forud vidste, hvor han vilde hen, hvilket Leseren forst ser 
langt henne i Beviserne. De formelle Fordringer til Fremstillingen kunde baade, som vi 
have set og i det folgende skulle se flere Exempler!) paa, kræve en stor Vidtloftighed, og 
berede meget betydelige reelle Vanskeligheder. Det første har efter vor Antagelse været 
Hindringen for en direkte Behandling af et Keglesnit gjennem fem Punkter, det sidste ind- 
træder ved ethvert Problem, hvis Diorisme ikke er umiddelbart iøjnefaldende; thi Diorismen 
vil da i Reglen vere en vanskeligere Opgave end den stillede, og denne gik det over- 
hovedet ikke an at stille og lose uden en fuldstendig Diorisme. 


Har nu end Overvindelsen af denne Vanskelighed fort til vigtige Resultater — som 
i Apollonios’ femte Bog — kan i mange andre Tilfælde Manglen af en Diorisme, som dog 


vilde vere for kompliceret til i sig selv at have nogen Interesse, have været en Hindring 
for skriftig Fremstilling af en i og for sig betydningsfuld Konstruktion. 


1) Det mest udprægede Exempel herpaa er Apollonios’ Skrift om Forholdssnittet, som vi skulle 
omtale i neste Afsnit. 


26° 


204 

Havde man nu stillet lige saa strenge formelle Krav til den mundtlige Meddelelses- 
form, ja, havde man — hvad der for øvrigt er utænkeligt — bundet sit eget Tankearbejde paa 
samme Maade, saa vilde der intetsteds have været Plads for den Forberedelse, uden hvilken 
det opbevarede rige Stof aldrig var bragt tilveje, og den, i Henseende til den til Grund 
liegende Tankegang, simple Behandlingsmaade aldrig var opnaaet. 

Ganske vist antager jeg, at de strenge logiske Former, hvorved man sikrede sig 
mod al ræsonnere fejl og mod i sin Fremstilling at give sine Paastande en anden Udstrek- 
ning, end man tilsigtede, have udgjort en vigtig Del ogsaa af den mundtlige mathematiske 
Undervisning. I Forfaldstiden have de maaske endog været Hovedsagen; men i den græske 
Mathematiks gode Tid, da man gjorde de store Fremskridt, har denne formelle Side gjort 
den Nytte, hvortil den er bestemt, nemlig at skaffe den Klarhed i Tanken, som er nødvendig 
for at ræsonnere raskt og sikkert ogsaa uden hvert Øjeblik udtrykkelig at tænke paa 
de Former, som beskytte mod Fejltagelser. 


Manglen af en fuldstændig Diorisme, der udtrykkelig bestemmer de Grænsetilfælde, 
som gjøre Skjel imellem Mulighed og Umulighed eller mellem forskjellige Antal paa Opløs- 
ninger, kan ikke have været Hindring for mundtlig Meddelelse af en i og for sig interessant _ 
Konstruktion. Meddelelsen vilde tvertimod være en Opfordring til andre om ogsaa at 
bidrage deres til at finde Grænsebetingelserne. Selv hvor det betragtedes som utilladeligt 
at stille Opgaver, som kunne blive umulige, kunde man godt uden at kjende de nøjagtige 
Grænser for Muligheden mundtlig give Opgaven en endnu snævrere og altsaa tilstrækkelig 
Begrænsning, maaske endog ved at knytte den til en forelagt Figur. Om at man dog ikke 
nøjedes hermed, vidner Apollonios’ fjerde Bog, der for solide Opgavers Vedkommende 
netop giver del samme Overbliksmiddel, som man nu tildags plejer at nøjes med at sætte 
i Stedet for detaillerede Grænsebestemmelser, nemlig Bestemmelsen af Maximumsantallet 
paa Løsninger. 


Endelig skal jeg paany her minde om, at de Vanskeligheder for Forfatter og Læser, 
som hidrøre fra, at den første skulde beskrive, og den sidste efterhaanden samle den Figur, 
hvortil hele Beviset knyttes, helt faldt bort ved den mundtlige Meddelelse, hvor man lod 
Figuren blive til for Tilhørernes Øjne, og stadig kunde pege paa de Punkter, 
Liniestykker og Arealer, hvormed man maatte operere. 


Endnu friere har Forskeren været i sine egne personlige Undersøgelser, hvad der 
dog mindre vedkommer os her, hvor det har skullet vises, at de Sandheder og Methoder, 
som ej blot Enkeltmænd, men den daværende Geometri maa siges at have tilegnet sig, og 
som have udgjort de Sideundersøgelser, uden hvilke selve Lærebygningen ikke har kunnet 
naa saa stor Fuldkommenhed, ikke maa indskrænkes til, hvad der kan være nedlagt i 
Skrifter, bevarede eller tabte. 


205 

Den mundtlige Meddelelse kan for en Del have bestaaet i Forelæggelsen af Resul- 
tater og Opgaver for Disciple eller Jevninge, der da selv skulde bevise eller lose dem. 
Man kan da tillige gjennem disse Exempler ved vejledende Vink have sat sine Dieiple ind 
i de Methoder, som det havde været vanskeligt at give en almindelig Fremstilling af, og 
som vi nu saa at sige maa soge bag ved de opbevarede Resullater og ordnede Beviser. 
Paa den anden Side er vist nok meget meddelt i direkte mundtlig Undervisning. Saaledes 
ligger det ner at antage, at Apollonios ved Gjennemgang af Aristaios’ solide Steder 
har havt Lejlighed til at vise sine Disciple Fuldstendiggjorelsen af Bestemmelsen af Stedet 
til fire Linier og de dermed beslegtede Steder, til at vise dem de til Setningen om den 
indskrevne Firkant knyttede Anvendelser af den i Skriftet om det bestemte Snit givne 
Involutionslere, samt endelig til at vise de solide Steders Anvendelse paa enkelte vigtige 
Problemers Løsning. 


Der vil saaledes dels i tabte Skrifter, saadanne, som vi kjende af Navn, og saa- 
danne, som ere fuldstendig glemte, dels i sammenhengende mundtlige Meddelelser have 
veret Plads nok til de omfattende Undersogelser, hvis Tilverelse vi have sluttet saavel 
af bestemte Vink som af den opbevarede greske Keglesnitsleres store Fuldkommen- 
hed. Ved deres Indflydelse paa denne ere disse Undersogelser ingenlunde spildte for os, 
og det tor vel antages, at vor moderne mathematiske Kultur, som har bygget paa det op- 
bevarede af den antike, foruden i mange Retninger at vere gaaet videre frem, nu omsider 
ogsaa er naaet tilbage til Udbyttet af de tabte greske Arbejder. For den fulde Forstaaelse 
af den græske Geometris eget Væsen, til hvilken det nærværende Skrift skulde yde et Bidrag, 
vilde de derimod være af højeste Betydning. Man fristes derfor til at søge nogen Erstat- 
ning i Gjætninger. 

Saadanne Gjætninger vilde dog være yderst farlige, naar de i Henseende til Emnernes 
og Undersøgelsesmidlernes væsentlige Beskaffenhed rakte udenfor det Omraade, som angives 
ved de opbevarede eller af senere Forfattere, der kjendte dem, udtrykkelig omtalte Skrifter. 
Ganske vist er det ikke urimeligt, at man mangen Gang ogsaa kan være kommen noget 
udenfor dette Omraade; men dels vilde Gjætninger herom være vilkaarlige og derfor let 
vildledende, dels have saadanne Undersøgelser, som slet ikke have sat nogen Frugt, hvorigjen- 
nem de kunne opdages, næppe havt synderlig Betydning. Anderledes forholder det sig, naar 
Gjætningerne, om de end i Henseende til Enkeltheder hæve sig højere end selve de op- 
bevarede Undersøgelser, dog kun bevæge sig inden for det ved disse betegnede Omraade. 
Netop fordi dette var af langt ringere Udstrækning end den nuværende Mathematiks, kan 
man antage, at de, som den Gang ofrede deres Tid paa Mathematiken, og hvis Værk i 
Civilisationens Tjeneste det er blevet at erobre og grundig befæste dette Omraade, erhvervede 
sig en stor Fortrolighed med det. Der er derfor en ikke ringe Rimelighed for, at man ved 


206 

al gjætte paa Undersøgelser, der ligge helt indenfor dette og helt igjennem umiddelbart 
stolte sig paa Sætninger, som man den Gang kjendte, vil træffe Sporgsmaal, som ogsaa 
den Gang vare oppe. Vildledende vil en saadan Gjetning i hvert Fald ikke blive, naar 
man holder sig til saadanne Opgaver, af hvilke man, om de end muligvis aldrig virkelig 
ere stillede, dog saa at sige kunde vente en Losning af den græske Mathematiker, hvem 
man stillede dem, idet de loses ad Veje, der helt og holdent stode til de gamles Raadighed. 
Saadanne Gjætninger ville tvertimod give en klarere Forestilling om disse Vejes Brugbarhed, 
som det nok turde have sin Betydning at udbrede, naar en Mand med de storste Fortjenester 
af den greske Mathematiks Literaturhistorie kan tillegge de fire forste Boger af Apollonios’ 
Keglesnitslere det yderst beskedne og med deres Indhold saa lidet stemmende Formaal, 
at de af den daverende hojere Mathematik skulde bringe netop det, som behovedes for at 
naa indtil Løsningen af den deliske Opgave, denne medindbefattet!). 

Idet jeg desuden maa sorge for, at der hverken legges for meget eller for lidt i 
mine Paastande om de videregaaende Undersøgelser, som skulle vere udførte inden for 
det betegnede Omraade, er det mig om at gjore, hvor jeg kan, at give Exempler paa den 
Beskaffenhed, som jeg tænker mig, at disse kume have havt. Dette har jeg gjort i Slut- 
ningen af forrige Afsnit, og ved Slutningen af det neste skal jeg give en mere omfattende 
Anvisning. I Ojeblikket skal jeg stræbe at opnaa noget lignende ved et Forsog paa at 
angive, hvad Indholdet kan have været af Eralosthenes’ tabte Skrift om Mellem- 
storrelser. 

De Oplysninger, som foreligge herom, ere vel saa faa og tildels efter Textkritikernes 
Mening saa lidet paalidelige, at jeg, om jeg end slutter mig saa ner til dem som muligt, 
maaske neppe har stor Udsigt til at treffe det rette; men jeg tror i hvert Fald, at de geo- 
metriske Stedbestemmelser, jeg foretager, og den Opgave, som jeg loser, og som 
vel tilsidst viser sig at vere plan, men behandles som en forelagt solid Opgave, helt og 
holdent falde ind under, hvad de gamle kunde magte og vilde behandle paa lignende 
Maade. 

Forst skal jeg berore en Antagelse af P. Tannery’), som gaar ud paa, at Erato- 
sthenes’ Steder til Mellemstorrelser skulde vere de Kurver, som i et trilineært Koordinat- 
system fremstilles ved Relationer mellem to vilkaarlige Storrelser og en af deres Mellem- 
storrelser, altsaa ved Ligningerne: 


2y Fri © 2, 


PE BE 9 TR) Laz), 
hvor y er den arithmetiske, geometriske eller harmoniske Mellemstorrelse mellem x og 2, 
og ved 


1) Cantor. Geschichte, S. 294. 
*) Académie de Bordeaux, 2me série, t. Ill. 


“(a — y) = z(y—2), “(va—y) = y(y— À), 
hvor y er den subkontrære Mellemstorrelse til den harmoniske eller geometriske”). 

Da Relationerne strax vise sig at give Steder til tre eller fire Linier paa den forste 
ner, som giver en ret Linie, har det paa Eratosthenes’ Vid ikke været svært at fore 
Behandlingen af de her fremstillede Kurver saa vidt, som man for Apollonios kunde fore 
Bestemmelsen af Stedet til fire Linier. At det egentlig kun vilde blive det, der henharte 
under denne sidste almindelige Opgave, som vilde volde noget Besver, er snarest en Grund 
imod, at Eratosihenes skulde have havt Anledning til at vie dem nogen særegen Opmerk- 
somhed, og i ethvert Tilfælde, forekommer Valget af dem mig noget vilkaarligt. 

De Steder hos Pappos?), hvor Eratosthenes’ Steder til Mellemstorrelserne omtales, 
høre vel til dem, om hvis Ægthed Hultsch nærer nogen Tvivl, men i hvert Fald maa de 
dog vel skyldes en Mand, der har vidst lidt om Eratosthenes’ Skrift, og det lidt, som man 
faar at vide, turde vel saa have nogen Paalidelighed; uden det maa man ogsaa betragte 
det som tvivlsomt, om det anførte Skrift overhovedet har indeholdt noget om geometriske 
Steder, hvilket ikke staar anført i Pappos’ første og paalidelige Omtale af dette Skrift 
(S. 636). 

Det siges S. 662, 17, efter en Redegjørelse for Inddelingen i plane, solide og line- 
ære Steder, at de omtalte geometriske Steder efter deres Art høre til de foran nævnte 
(mpostonpeva). Det kan ikke ses, om der derved tænkes paa nogen enkelt af disse Arter; 
men da ingen saadan nævnes, synes de nærmest at have kunnet henhore til alle tre. At 
nogle af Stederne have været Keglesnit, bliver særlig rimeligt derved, at Eralosthenes’ Skrift 
efter den hos Pappos meddelte Ordning (S. 636) skulde læses tilsidst, altsaa efterat man 
ved Apollonios’ Keglesnitslære og Aristaios’ solide Steder var bleven bekjendt med 
Keglesnitslæren saavel i Almindelighed som med Keglesnittenes Optræden som solide Steder. 
Ved Siden heraf kån der have været plane Steder til Mellemstørrelser og maaske lineære 
Steder, hvilke sidste dog saa næppe ere blevne synderlig undersøgte, da intet af de andre 
Skrifter, som Pappos henregner til den antike analytiske Geometri, synes at være gaaet ud 
over Andengradsformer. 

Grunden til, al Stederne til Mellemstørrelser dog nævnes for sig baade her og 
S. 652, synes at være angivet i den næste Linie 662, 18 og har da værel den, at Hypo- 
theserne for disse Steders Vedkommende have været af en særegen Beskaffenhed”). Denne 


1) Pappos ed. Hultsch, p. 84. 

*) Hultsch’ Udgave S. 662, 16 og 652, 8. De i det følgende af Texten anførte Sider sigte til denne 
Udgave. 

En Lakune i denne Linie kunde maaske dog ogsaa udfyldes saaledes, at det kun anførtes, at Stederne 
efter de forskjellige Hypotheser kunde blive plane, solide eller lineære. Hultsch’ Udfyldelse, hvortil 
vi have sluttet os, er dog rimeligere, da der vel maa være en Grund til den særlige Opstilling 
af disse Steder. 


ES 


208 
kan have bestaaet i, at disse Steder ikke, saaledes som f. Ex. Stedet til fire Linier, vare 
knyttede til en retliniet Figur, men til et forud givet Keglesnit!). 

En med denne Opfattelse af det anforte Sted stemmende Forklaring af, hvad Ste- 
derne til Mellemstorrelser vare for nogle Kurver, faar man ved at erindre, at de gamle, 
som vi have set af Apollonios’ tredie Bog, kjendte et til et givet Keglesnit knyttet geome- 
trisk Sted, paa hvilket Navnet serdeles godt vilde passe, nemlig et Punkts Polar med 
Hensyn til Keglesnittet. Kalde vi Punktet C, vil en Linie derigjennem, som skjærer Kegle- 
snittet i X og X, treffe en vis ret Linie, nemlig C’s Polar, i et saadant Punkt Z, at CH 


bliver harmonisk Mellemproportional til CX og CX". Det har da ligget ner at kalde Polaren 
Stedet til den harmoniske Mellemstorrelse, og derpaa tillige at sage Stederne for 
Kndepunkterne A og G af den arithmetiske og geometriske Mellemstorrelse og 
give dem de tilsvarende Navne. 

Er Kurven en Ellipse, ses det let ved at betragte den som Parallelprojektion af en 
Cirkel, at begge disse Kurver blive Ellipser ligedannede med den givne. Denne Methode 
var, som man maaske tør slutte af Archimedes’ Skrift om Konoider og Sferoider [4 og 5] 


1) Forskjellen fra andre plane, solide og lineære Steder kunde ogsaa muligvis have været den, at Era- 
tosthenes’ Steder vare plane Kurver i forskjellige Planer i Rummet, saaledes at Forudsæt- 
ningerne her vare rumlige. Derved vilde ogsaa haves en Forklaring paa, at Eratosthenes’ Skrift 
først skulde læses efter Euklids Overfladesteder. Vilde man da tillige fastholde, hvad jeg betragter 
som Hovedsagen i min Gjætning, nemlig Sammenhængen mellem Skriftets Navn og Polartheorien, 
kunde Røringskurven mellem en Kugleflade eller en Flade af anden Orden og en omskreven Kegle- 
flade være et Sted til en Mellemstørrelse. Denne Gjætning er dog af flere Grunde mindre sandsynlig 
end den, som her skal forelægges. 


næppe helt ukjendt for de gamle; men Eratosthenes har dog vistnok foretaget Undersøgelsen 
plangeometrisk for at faa Parablen og Hyperblen med; ved Hyperblen maa dog, da Erato- 
sthenes levede for Apollonios, kun tænkes paa en saadan Hyperbelgren, som kan skjæres 
i to Punkter af Linier gjennem C. 

At det geometriske Sted for Midtpunktet A bliver et Keglesnit, ligedannet og lige- 
dan beliggende med det givne, og med diametralt modsatte Punkter i C og det givne 
Keglesnits Centrum O, naar Kurven er en Ellipse eller Hyperbel, er let fremgaaet af den 
Omstendighed, at CA og OA blive parallele med konjugerede Diametre eller med Supple- 
mentkorder i det givne Keglesnit. Maaske kan Beviset have antaget en Form, der staar 
den analytisk geometriske nærmere, idet man direkte har søgt Udtryk for Kvadratet paa 
den til Diameteren CQ svarende Ordinat til A. Ad en saadan Vej kan man da ogsaa 
have behandlet det Tilfælde, hvor den givne Kurve er en Parabel. 

Stedet for det geometriske Middelpunkt G kan dernæst være fundet ved Benyttelse 
af det fundne Sted for A, idet Mellemproportionalen CG mellem CX og CX‘ tillige er 
Mellemproportional mellem CA og CH. Lad os nu i et Koordinatsystem, hvor CO er 
Abscisseaxe og Tangenten i C til Stedet for À er Ordinataxe, kalde Koordinaterne til À 
æ, og y, og til @ w og y. Man har da først Ligningen for det fundne Sted for A 


yr = &, (p + ax) 


v 7 
og dernæst a, 

© Yı 
05 GH? = [8B 5 


hvor & er Abscissen til C’s Polar. Af de to første af disse Ligninger udledes først 


© &y Yi ky, 


y Yi p + ax, pk Lake, 2 


men de to sidste give Au Bay sve As: 
z Ba Yı 
altsaa Bau = Ne 
Ved Indsættelse faas 2 SØ = 
7 pk + ax? 
eller y? = pk+ ax, 


som fremstiller et nyt Keglesnit, ligedannet med og ligedan beliggende med de to forste, 
men med Centrum i C (to parallele rette Linier, hvis den givne Kurve er en Parabel). 
Idet @ blot er et konstant Forhold, forekommer der intetsteds i denne Udledelse, 
som vi her have skrevet den, Udtryk af hojere end anden Grad. Ganske det samme Bevis 
kan allsaa vere fort i Grækernes geometrisk-algebraiske Form. At vi i et Bevis, som 
Eratosthenes skulde have fort, have benyttet Apollonios’ Ligningsform, er uvæsentligt, da 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd. IIL 1. 27 


210 


vi fra Archimedes vide, at denne Ligning i Hovedsagen var kjendt forud, og vi ikke have 
tilsigtet i det enkelte at treffe Eratosthenes’ Fremstillingsform. 

Det er da de her fundne to Keglesnit, om hvilke vi anlage, at de enten alene eller 
i Forening med C’s Polar og de hojere Kurver, som blive Stederne for Endepunkterne af 
de subkontrære Mellemsterrelser, have været Eratosthenes’ Steder til Mellemstor- 
relser. Paa Studiet af de sidste lineære Steder er der dog, som alt anført, ingen Grund 
lil at tro, at Eratosthenes er gaaet nejere ind. 

Hans to Bøger om Mellemstorrelser omtales endnu et Sted af Pappos!), nemlig i 
Beretningen om Apollonios’ Skrift om Indskydninger. Betydningen heraf svækkes dog ved, 
at dette Sted af Textkritikere, saaledes navnlig ogsaa af Hultsch, betragtes som uægte. 
Heiberg antager”), at de paagjeldende Linier hidrøre fra en forklarende Randbemerkning, 
som forst en Udgiver har anbragt efter Redegjorelsen for Skriftet om Indskydninger, 
men som senere af en Afskriver ved en Fejltagelse er rykket op foran de to sidste Linier 
_af denne Redegjorelse og ind i Texten. Dette kan ogsaa synes at stemme med deres Hoved- 
indhold, som giver en Forklaring af den forud givne Ordning af de Bøger, som henhore 
til den antike analytiske Geometri, og gaar ud paa, at de allerede omtalte Skrifter have 
behandlet de plane Opgaver, der kunne loses ved Lineal og Passer, og at man derefter 
skal behandle de solide Opgaver, hvis Lesning krever Brug af Keglesnitslinier, men at man 
dog forud for disse maa lere selve Keglesnitsleren at kjende. 

Selv om Sagen nu virkelig skulde forholde sig saaledes, at disse Linier ere ind- 
skudte, kunne vi dog ikke lade en dertil knyttet Bemerkning om Eratosthenes’ Mellem- 
størrelser, hvorefter disses Behandling skulde henhore under plane Opgaver, skjønt den er 
udsat til sidst, helt upaaagtet. Da nemlig noget saadant ikke lader sig slutte af, hvad man 
ellers finder hos Pappos, maa Bemerkningen derom vistnok i det mindste skyldes en Mand, 
der ad anden Vej vidste noget om Eratosthenes’ Skrift. 

Den her forudsatte er dog neppe den eneste mulige Forklaring af, at Oplysninger 
om Forskjellen mellem de hidtil betragtede plane Opgaver og solide Opgaver, for hvilke de 
folgende Skrifter i cozog dvakvdpuevog skulle tjene som Grundlag, er kommen ind i den 
serlige Omtale af Apollonios’ Skrift om plane Indskydninger. Til Opstillingen af en anden 


1) Hultsch’ Udgave, S. 672. Paa Grund af den Anvendelse, som vi skulle gjore deraf, skal dette Sted 
her meddeles i Oversættelse: Disse plane (Opgaver) findes altsaa i téz0¢ dvadudpevoc, hvilke fore- 
gaaende ogsaa ere beviste (løste) undtagen Eratosthenes’ Mellemsterrelser, som komme sidst. Men 
efter de plane skal efter Ordenen felge Læren om de solide. Solide Opgaver ere ikke saadanne, 
som forelægges angaaende solide Figurer, men saadanne, som, idet de ikke kunne løses ved plane, 
loses ved de tre koniske Linier, saaledes at det er nødvendigt først at skrive om disse. Om 
Keglesnitselementerne blev der først udgivet Aristaios den ældres fem Bøger, kortelig affaltede til Brug 
for dem, som allerede vare i Stand til at opfatte-saadanne (Problemer? eller Elementer?). 

?) Litteraturgeschichtliche Studien über Euklid, S. $5. 


211 

ledes man ved den Bemærkning, at det omtalte Stykke vist nok, hvad enten det skyldes 
Pappos eller en af hans Udgivere, senere maa vere modificeret noget i det mindste paa 
et Sted. Naar der nemlig henvises til «Aristaios’ Keglesnitselementer», saa maa 
dette bero paa en Forveksling med samme Forfatters solide Steder. Denne tror jeg nu 
ikke skyldes den oprindelige Forfatter, som virkelig har havt Anledning til at citere et Skrift 
om solide Steder; thi et saadant er det netop, som behoves til Forberedelse af Losning af 
solide Opgaver. Idet dog de foregaaende Ord umiddelbart kun sige, at der forst maa skrives 
om Keglesnittene, kan en senere Udgiver have ladet sig forlede deraf til at glemme, at det 
eiterede Værk egentlig ikke behandler Keglesnitselementerne. 

Har nu dette Stykke hos Pappos været Gjenstand for en senere forklarende Bear- 
bejdelse, saa bliver det muligt, at det er denne, som, fordi Udgiveren ikke forstod Pappos’ 
Text, har givet det den i sig selv let forstaaelige Skikkelse, i hvilken det passer saa daarligt 
paa sin Plads i Beretningen om Apollonios’ Indskydninger, medens det i sin oprindelige 
Skikkelse meget vel kan have passet her. 

Er nu dette Tilfældet, eller kan man overhovedet for dette Stykke hævde den 
Plads, hvortil den overleverede Text i det mindste giver det den faktiske Besiddelses Ret, 
saa faa vi alene derved noget mere at vide, nemlig at den plane Opgave, som behandles i 
Eratosthenes’ Skrift om Mellemsterrelserne, har været en Indskydning. 

At faa meget mere at vide vanskeliggjores, hvis den her opstillede Anskuelse er 
rigtig, derved at den oprindelige Tanke da er udvisket ved de Ændringer, hvorved Texten 
er kommen til kun at indeholde de mest bekjendte Ting. Oprindelig turde den have 
indeholdt Oplysninger om, at den i Eratosthenes’ Skrift givne plane Indskydning, ifolge 
den vedtagne Ordning af den analytisk geometriske Lærebygning, forst bliver behandlet efter 
de Skrifter, som vedrøre solide Steder, maaske tillige med en Begrundelse heraf. Lev- 
ningerne af en saadan Begrundelse vilde da være at søge i den negative Oplysning, som 
Pappos ikke ellers knytter til sin Forklaring af solide Steder, at dette «ikke er saadanne, 
som forelægges ved solide Figurer». [det man til Opgaver, der vedrøre solide 
Figurer, vist nok ogsaa vilde henregne dem, som vedrøre «solide Figurers Overflader», en 
Maade, hvorpaa Pappos flere Steder betegner Keglesnittene, 'siges herved blandt andet, at 
en Opgave ikke er solid, fordi den vedrører forelagte Keglesnit. 

I fuld Overensstemmelse hermed vil det være til Eratosthenes’ Skrift om Mellem- 
størrelserne at henlægge Behandlingen af en plan Indskydning, som vedkommer 
Keglesnittene. Forkaster man delvis eller helt den nys opstillede Forklaring af Stykket 
hos Pappos, kommer man dog ikke i Strid med denne Antagelse, men berover den blot 
nogle af dens Støtter. Vil man blot ikke frakjende Stykket al Betydning, bliver der tilbage 
den Angivelse, at der i Eratosthenes” Skrift er lost en plan Opgave. Denne kan da saa 
meget mere have været en Indskydning, som Grækerne gave sig meget af med disse, og 


the 


at den har vedrert Keglesnit, bliver rimeligt ved det, som vi ellers have sagt om samme 
Skrift, og hvormed Opgaven skulde bringes i Samklang. I den Maade, hvorpaa dette sidste 
sker, maa vor Hypothese søge den endnu manglende Støtte. 

Den Opgave, hvis Behandling jeg i Henhold til alt dette vil lægge ind i Eratosthenes’ 
Skrift er den: gjennem et Punkt at lægge en ret Linie, paa hvilken et forelagt 


Keglesnit afskjærer en Korde af given Længde. For Grækerne, der — rimeligvis 
efter tidligere at have udført Indskydninger mekanisk — beskjæftigede sig saa meget med 


at føre dem tilbage til andre Konstruktionsmidler, og som tillige gave sig saa meget af 
med Keglesnit, maa denne Opgave have været meget nærliggende. Løsningen vil blive ført 
tilbage til en Konstruktion, hvori der, foruden det forelagte Keglesnit, kun bruges Lineal og 
Passer, og om en saadan Konstruktion have vi tidligere (S. 186) paavist, at den for Pappos vilde 
karakterisere Opgaven som plant). I hvilken theoretisk Forbindelse den desuagtet kommer 
til at staa med de solide Kurver, som vi nys have opstillet som Steder til Mellemstørrelser, 
vil fremgaa af efterfølgende Redegjorelse. 

Vi ville paa Fig. 56 antage, at X X‘ skal have en given Længde 27. Dens Halv- 
del AX = / er Mellemproportional mellem AH og AC. Ved Benyttelse af de geometriske 
Steder for A og H er Opgaven altsaa forelobig reduceret til gjennem et Punkt C af et 
Keglesnit at legge en ret Linie CHA, som anden Gang skjerer Keglesnittet i A og skjerer 
en Parallel med Tangenten i C i et saadant Punkt 7, at Mellemproportionalen mellem 
AC og AH faar den givne Længde /. 


1 


Jeg henstiller, om man maaske tor se en Udtalelse i denne Retning i de nys omtalte Ord, at «de 
solide Problemer ikke ere saadanne, som forelægges ved solide Figurer» (ga Ev otepeois ornLLaoL 
rporeiverat). Naar en Opgave forelægges paa saadanne Figurer, maa jo nemlig disse Figurer selv 
ogsaa forelægges, og der udsiges saaledes, at Brugen af dem ikke gjør Opgaven solid. 


Kalde vi Punktet A's Koordinater henforte til et retvinklet Koordinatsystem med 
C til Begyndelsespunkt og med Tangenten i C til Ordinataxe 2 og y, betegne vi endvidere 
ved c den bekjendte Abscisse til H, og sætte vi CA = r, faas 
AC? 72 x 
AC. AH m mc 


(1) 


Henfores nu Keglesnittet (A) som Sted til tre Linier til Abscisseaxen CY og Tangenterne 
CU og YU i dens Skjæringspunkter med Keglesnittet, bliver det bestemt ved 


OF = LOE, (2) 


hvor a er A’s Afstand AQ fra Tangenten UY, regnet parallelt med Abscisseaxen, medens 
À er et paa sædvanlig Maade givet Forhold. Indfores nu 


pr? — grt y? — x(x + Ao‘) 
i (1), faar man, at Hyperblen 
(e — c)(e + 417!) = I? (3) 


maa gaa igjennem det søgte Punkt A. Dennes ene Asymptote «—c = 0 er given (Linien 
KH paa Figuren), den anden «+ x! = 0, som gaar gjennem Polen U til CY, lader sig 
let konstruere (Linien AU), og det konstante Rektangels Areal /? er givet. 

Hyperblen er altsaa bestemt. Ved Udforelsen af denne Bestemmelse har det næppe 
undgaaet de græske Mathematikeres omhyggelige Undersogelse, at de to Asymptoter 
danne lige store Vinkler med enhver af Axerne i det givne Keglesnit (2). Dette har man 
kunnet bevise ved Betragtning af Skjeringspunkterne mellem Keglesnittet og en Parallel med 
Linien æ + Aw’ — 0, der aabenbart ikke selv skjærer Keglesnittet. Af dettes Ligning (2) 


og Parallelens Ligning 
ate’ =k 
har man kunnet udlede, at Cirklen 


y? = ke — 22, 


som i C berorer Ordinataxen, gaar gjennem de to Skjæringspunkter. Heraf folger atter, 
at Ordinataxens Skjæringspunkt med den omtalte Parallel faar samme Potens i disse to 
Liniers Retninger med Hensyn til Keglesnittet. Ifølge Potenssetningen maa da det samme 
finde Sted for ethvert Punkt i Planen, og de to Retninger maa da danne lige store Vinkler 
med Axerne. 

Til en anden Konstruktion af Skjæringspunkterne mellem Keglesnittet (2) og 
Hyperblen (3) kommer man ved Addition af deres Ligninger. Man faar da 


r? == P+te(e+ sr‘), = 


der falder sammen med den analytisk geometriske Bestemmelse af en Cirkel, som vi af 
Apollonios’ plane Steder have set, at de gamle kjendte. 


214 


Ved sin Skjæring med Stedet (2) til de arithmetiske Mellemstorrelser bestemmer 
denne Cirkel Midtpunkterne A af de søgte Korder, som da lægges gjennem disse Punkter 
og C. Denne Konstruktion gjer imidlertid endnu Brug af Keglesnittet (2), som ikke er 
forelagt, men først maa konstrueres. Dette Keglesnit er imidlertid ligedannet og ligedan 
beliggende med det oprindelig givne, endog paa to Maader. Ved Benyttelse af en af disse 
faar man de Punkter af det oprindelige, fuldstendig givne Keglesnit, som svare til de sogte 
Punkter A, bestemte ved Skjæring med en ny Cirkel, hvorefter atter de tilsvarende Punkter 
A let lade sig konstruere ved Lineal og Passer. i 

For at den her anførte Konstruktion ikke blot skal være bleven udført, men have 
faaet Plads i et gjennemført antikt Skrift, kræves der imidlertid, at man tillige har opnaaet 
den tilhørende Diorisme. Idet Centret i Cirklen (4) bestemmes uafhængig af den opgivne 
Længde /, som kun faar Indflydelse paa Radius, kan man, efter at have fundet Centrum, 
ved Hjælp af Apollonios’ femte Bog bestemme Grænseværdier for Radien, naar Cirklen (4) 
skal skjære Stedet til den arithmetiske Mellemstørrelse (2), og derved Grenseverdier for J. 
Dette Hjælpemiddel stod imidlertid ikke til Raadighed for Eratosthenes, der var ældre end 
Apollonios. 

Diorismen, der i den synthetiske Fremstilling skulde angives forud for Konstruk- 
tionen, behøver imidlertid ikke at have været knyttet til den Cirkel, hvorved vi have antaget 
at Konstruktionen gjennemførtes, men kan lige saa godt have støttet sig til Anvendelsen af 
Hyperblen (3), hvis Skjæring med Keglesniltet (2) frembød sig som det nærmest liggende 
Konstruktionsmiddel. Idet Asymptoterne til Hyperblen, AH og KU, ere uafhængige af /, 
hvis Grænser skulle bestemmes, har Diorismen bestaaet i Bestemmelsen af Hyperbler med 
disse Asymptoter, som berøre Keglesnittet (2), og denne Bestemmelse, som henhører under 
de i Slutningen af forrige Afsnit berørte, er simplificeret noget ved den anførte Omstændig- 
hed, at Asymptoterne danne lige store Vinkler med hver- af Keglesnittets Axer. Disse vil 
det derfor være naturligt at betragte som Koordinataxer. 

Vi kunne (Fig. 57) antage, at de to Asymptoter 
KD og KE henforte til dette Koordinatsystem faa Lig- 


ningerne 


z= ay+d og B= USE 
Roringspunktet M med Hyperblen skal vere Midtpunkt af 
det Stykke ST af Tangenten, som afskjæres mellem Asymp- 
toterne. Kaldes J/’s Koordinater z og y, og Abscissen til 
Tangentens Skjæringspunkt med Abscisseaxen =‘, have vi 


Fig. 57. endvidere set i Redegjorelsen for Apollonios’ første Bog, at 
2 P 


JE ES (a Tr) 


PIRE 


Idet vi ved &,, y, 08 æ,, y, betegne Koordinaterne til S og 7, faa vi saaledes folgende 
Række Proportioner: 


PRES Y Yı meee Ye EN 2 Y1 + Ye ho dE TE 
— ON a — x a'—e—+ ay; 2 —d— ay» 22 —e—d— aly —yı) 
bah 
e— d— a (y; + yo) 
Da nu ¥, +7. = 2y, giver Ligestorheden af andet og næstsidste Forhold, at 
1 
u Ye Zen GO) 


som indsat i sidste Forhold, ved at sætte dette lig det forste, giver 


‚p® 22 —e—d 2 
Sn a(e—d— 2ay) el i) 
7e a4 


Denne Ligning viser, at Punktet M eller (x, y) maa ligge paa en ligesidet Hyperbel, hvis 
Asymploler ere parallele med Axerne i det forelagte Keglesnit, der er det samme, som vi 
for have fremstillet ved Ligning (2), saavel som med Axerne i Hyperbelrækken (3). 

Da de her fremsatte Operationer med Proportioner helt igjennem kunne folges paa 
Figuren, have de heller ikke været vanskelige for de gamle. Idet disse tilmed overalt have 
sammentrukket Led saa meget som muligt, ville de have bemerket, at i det sidste Forhold 
— som vor Omskrivning viser — Telleren og Nævneren paa Faktoren a? ner ere M’s 
Koordinater henforte til parallele Axer gjennem Centret A for Hyperbelrekken, og at den 
fundne ligesidede Hyperbel altsaa gaar gjennem dette Punkt. At den gaar gjennem Centret 
L i Keglesnittet (2) ses umiddelbart. 

I de gamles geometriske Form for Beviserne herfor vil det vere traadt tydelie 
frem, at K og Z ligge hvert paa sin Hyperbelgren, naar Kurven (2) er en Ellipse, men paa 
samme, naar den er en Hyperbel. Dette kan saa meget mindre være blevet upaaagtet, som 
de to Hyperbelgrene af de gamle betragtedes som forskjellige Kurver, hvilke dog begge kunde 
komme til at spille en Rolle ved den foreliggende Diorisme. 

Den saaledes fundne ligesidede Hyperbel vi! ved sin Skjæring med Keglesnittet (2) 
(Stedet til de arithmetiske Mellemstorrelser) bestemme dettes Roringspunkter med Hyperb- 
lerne (3). Disse Punkter ville være Midtpunkter À af de Korder i det oprindelig givne 
Keglesnit, som ere Maxima eller Minima blandt dem, der kunne lægges gjennem det givne 
Punkt C. Her mode vi imidlertid Kravet om en Undersogelse af Beskaffenheden af Skjæ- 
ringen mellem Keglesnittet (2) og den fundne ligesidede Hyperbel og om en Afgjorelse af, 
hvilke Skjeringspunkter der svare til Maxima, hvilke til Minima af 27, samt af, hvilke af 
disse der ere absolute, hvilke relative. 


216 


En delvis Afgjorelse heraf, hvormed Eratosthenes kan have ladet sig noje, har 
ikke været uoverkommelig. 

Den første Inddeling af Opgaven beror paa, om det givne Punkt C ligger inden 
for eller uden for det givne Keglesnit, hvoraf det atter vil afhænge, om C’s Polar z = ec, 
som er den ene Asymptote til 

/ Hyperblerne (3), vil ligge uden 
for eller skjære Stedet (2) til de 
arithmetiske Størrelser. Dette 
skjærer i intet Tilfælde den anden 
Asymptote 2 ax = 0. Vi 
ville faa det bedste Overblik ved 
strax (Fig. 58, hvor de fra Fig. 56 
og 57 bevarede Bogstaver vedblive 
at have samme Betydning), at be- 
tragte det vanskeligste Tilfælde, 
nemlig det, hvor C er et indven- 


digt Punkt og det givne Keglesnit 
en Ellipse, og hvor altsaa Kegle- 
snittet (2) ligeledes er en Ellipse 
(CA,OA,A,A, paa Figuren), 
der ikke skjærer nogen af Asymp- 
toterne XS og KT til Hyperblerne 
(3). Vi ville kalde disse Hyperb- 
lerne À og den sidstnævnte EI- 
lipse (A). 

Da Axerne i Hyperblerne k ere 
parallele med Asymptoterne til den 
ligesidede Hyperbel, er det klart, 
at ingen af dem skjærer denne i 
andre Punkter end X. Halverings- 
linien ÄN af den Vinkel SKT, 
som indeholder Ellipsen (A) og 
de Grene af Hyperblerne A, hvor- 
paa det udelukkende kommer an, 
vil altsaa adskille de to inden 
for denne Vinkel liggende Dele 


Fig. 58. af den ligesidede Hyperbels Grene. 


a 


Hvis nu den af disse, som gaar gjennem A, skjærer Ellipsen (A), ville de Hyperbler, h, 
og À; paa Fig. 58, som i Skjæringspunkterne A, og A, berøre Ellipsen, nødvendigvis 
tillige skjere den i to Punkter; thi de Punkter af disse Hyperbler, som ere symmetrisk 
beliggende med A, og A, i Forhold til Hyperblernes Hovedaxe KN, ligge indenfor Ellipsen, 
idet dennes Centrum Z ligger paa den anden Gren af den ligesidede Hyperbel, og den 
har en Axe parallel med KN. De Verdier 2/, og 2/, af den indskudte Korde 24, 
som svare til Hyperblerne h, og h, (se Ligning (3)), tilhøre altsaa hver endnu to andre 
Korder gjennem C og kunne folgelig kun vere et relativt Maximum og et relativt Mini- 


“mum. Paa lignende Maade ses, at Skjæringspunkterne A, og A, med den Gren af den 


ligesidede Hyperbel, som gaar gjennem Z, bestemme et absolut Maximum og et absolut 
Minimum. 

Da der sikkert maa være et absolut Maximum og et absolut Minimum, skjærer den 
sidstnævnte Gren altid Ellipsen i to og kun to Punkter, hvoraf vi kunne slutte, at Grenen 
gjennem À enten skjerer den i to Punkter, berører den i et eller ligger udenfor den. 
At kun disse Tilfælde kunne indtræde, har ogsaa paa Eratosthenes’ Tid været let at paavise; 
men da det nojagtige Kjendemerke paa Overgangstilfeldet er en Ligning af sjette Grad, 
kunne vi ikke antage, at Eratosthenes har kunnet bestemme dette. 

Han kan da enten have nojedes med, ved udelukkende Anvendelse af Hyperbel- 
grenen gjennem Z at bestemme, hvad der for Grækerne vist nok var det uundværligste, 
nemlig de Grenser, inden for hvilke Opgaven i det hele er mulig, eller tillige hertil have 
knyttet en yderligere Inddeling i Tilfelde med 2, 3, 4 Oplosninger til en simpel Angi- 
velse af de tilhørende Beliggenheder af Hyperbelgrenen gjennem Æ mod Keglesnittet. 

Hvis den givne Kurve er en Parabel eller Hyperbelgren, bortfalder det absolute Maxi- 
mum, medens det absolute Minimum stadig bestemmes ved den Gren af den ligesidede 
Hyperbel, som ikke gaar gjennem X. Hvis Punktet C ligger uden for det givne Keglesnit, 
og Linien # — altsaa skjærer Keglesnittet (A), bortfalder det absolute Minimum. For 
ovrigt kan man direkte paa disse Tilfelde overfore, hvad der er sagt om det udforligere 
behandlede. 

Til at Eratosthenes, som jeg nys bemerkede, ikke kan have opstillet Betingelsen 
for Berøring mellem Keglesnittet (A) og den ligesidede Hyperbel, vilde der ogsaa vere en 
anden Grund, nemlig, at han da om end ad en anden Vej havde foregrebet Hovedind- 
holdet af Apollonios’ femte Bog. Vi have nemlig set, at Midtpunkterne A af Korder gjen- 
nem et Punkt C af given Længde i Stedet for ved en Hyperbel 2 ogsaa kunne findes ved 
en Cirkel (Ligning (4)), hvis Centrums Beliggenhed er uafhængig af Længden 27. Punk- 
terne A,, As, A,, A, maa altsaa ogsaa være Roringspunkter mellem Keglesnittet (A) og 
Cirkler med et fælles Centrum Z eller være Fodpunkter af Normaler fra Z. Den ligesidede 
Hyperbel derigjennem bliver saaledes den samme som den, der bestemmer Fodpunkterne 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 1. 28 


218 


af Normaler fra Z. Betingelsen for dennes Roring med Keglesnittet (A) falder da sammen 
med Betingelsen for, at Z falder paa Keglesnittet (Aj’s Evolut. 

Denne samme Omstendighed har imidlertid, efterat Apollonios havde gjennemfort 
Diorismen til Normalbestemmelsen, indeholdt en Opfordring til at benylte denne til at faa 
bestemt Overgangstilfældet mellem saadanne Beliggenheder af det faste Punkt C i den her 
foreliggende Opgave, for hvilke der existerer et relativt Maximum og et relativt Minimum 
af Kordelengder, og saadanne, hvor der ikke gjor det. Søger man navnlig de Punkter C 


af en Diameter i det givne Keglesnit, som indtage denne Overgangsstilling, kan dette Pro- 


D) 
blem let føres tilbage til Bestemmelsen af tilsvarende Verdier af den Størrelse e, som i 
Forhold til Keglesnittet (A) bestemmer Beliggenheden af C’s Polar med Hensyn til det 
givne Keglesnit. Idet nu den Cirkel, som ved sin Skjæring med Keglesnittet (4) skulde 


bestemme Midtpunktet A af den sogte Korde gjennem C, har Ligningen (4) 

a+ y? = [? + C(z + 2a), 
hvor «+ Aa‘ — 0 er Ligningen for en ret Linie AS, ses det, at naar ¢ er ubekjendt, 
Cirklens Centrum JZ vil ligge paa en ret Linie vinkelret paa den anførte. De Stillinger af 
Punktet Z, som svare til de sogte Grænseværdier af c, blive da denne Linies Skjærings- 
punkter med Evoluten. 

Har man nu, medens Evoluten kun indirekte indgaar i Apollonios’ eget Arbejde, 
efter hans Tid trukket denne op som en selvstændig og sammenhængende Kurve, kan man 
ad denne Vej have faaet en grafisk Bestemmelse af Grenserne. Uden at indfore Evoluten 
har man derimod heller ikke paa denne Maade kunnet naa videre end til den Ligning af 
6te Grad, som man naturligvis heller ikke her kunde undgaa, og hvis blotte Fremstilling 
har voldt for store Vanskeligheder til, at vi uden positive Grunde kunne tillegge Grækerne 
Dannelsen af en saadan. 

Disse Vanskeligheder have dog først frembudt sig under Forsøget paa virkelig at 
foretage den her tilsigtede Bestemmelse. At allerede Apollonios har forsogt paa at be- 
handle Normalproblemet i en Skikkelse, i hvilken Gjennemforelsen af hans Diorisme vilde 
indeholde en Opstilling af den Ligning, der bestemmer Evolutens Skjering med en vilkaarlig 
ret Linie, kunne vi se af hans Fortale til femte Bog"), hvor han siger, at han havde bestemt 
at henfore dette Problem til en vilkaarlig Diameter. I Grænsebestemmelsen vilde Evoluten 
nemlig vist nok derved blive henfort til denne og dens konjugerede Diameter. Da Apollo- 
nios netop har Anvendelsen til Opgavers Inddelinger og Diorismer for Øje, er det ikke 
utænkeligt, at en saadan Bestræbelse netop kan have havt Hensyn til den her behandlede 
Opgave, hvad enten denne nu har havt noget med Eratosthenes’ Mellemstorrelser at gjøre, 
eller ikke. 


1) Se Tilleg 1. 


_219 


Maaske vil man i den Omstændighed, at Grækerne ikke have kunnet gjennemfore 
den Del af Diorismen, som angik Muligheden af relative Maxima og Minima, i en saadan 
Form, som de ellers stræbte at opnaa, se en Hindring for, at det her beskrevne 
Problem kan have været gjort Lil Gjenstand for et offentliggjort Skrift, som er bevaret 
gjennem Aarhundreder. Skulde jeg af denne eller andre Grunde have Uret i min ganske 
vist noget vovede Hypothese om Indholdet af Eratosthenes’ Skrift, vilde dog selve de 
fremsatte Undersogelser over græsk Behandlingsmaade af den omhandlede Opgave ikke være 
spildte. De vilde blot oplyse en anden af mine egne Paastande, nemlig som Exempel paa 
et Arbejde, som græske Mathematikere vare i Stand til at udføre og rimeligvis have 
udfort ad Veje, der ikke have afveget meget fra mine, men som ikke er opbevaret, fordi 
Diorismen ikke kunde gjennemfores saa fuldstændig, som man fordrede. 

For dem, der have beskjæftiget sig saa meget som de gr&ske Mathemalikere med 
Indskydninger og med Keglesnit, har den behandlede Opgave nemlig — som alt bemærket — 
været for nærliggende til, at de skulde have ladet den ligge, og de benyttede Hjelpekilder 
henhore for meget til dem, som de med Omhu have udviklet, og som vi andensteds se dem 
bruge med Sikkerhed, til at de ikke skulde være naaet omtrent saa vidt i Opgavernes 
Behandling, som vi have ladet Eratosthenes gjore. 

Til med Held at beskjæftige sig med denne Opgave kan man let være fort derved, 
at den kan opfattes som en Udvidelse af Opgaven om Indskydning mellem to rette Linier. 
Have nu end Grækerne ikke delt denne Opfattelse, efter hvilken to rette Linier danne en 
Grænseform for et Keglesnit, giver den faktiske Sammenheng ogsaa Anledning til Sammen- 
hæng i Behandligen. Navnlig ville de Konstruktioner og Diorismer, som her have knyttet 
sig til et Keglesnit, umiddelbart kunne overfores paa Indskydninger mellem to rette Linier, 
dog med en enkelt Undtagelse. Den Paastand, at Indskydningen kan loses som en plan 
Opgave, naar Keglesnittet forelegges tegnet, gjælder ikke i det Tilfælde, hvor Keglesnittet 
er sammensat af to rette Linier. Vil man nemlig i dette Tilfælde opfatte Stedet (A) for 
Midtpunkterne af de indskudte Korder, der er en Hyperbel, som ligedannet med det af to rette 
Linier dannede Keglesnit, vil disse Liniers Skjeringspunkt komme til at svare til alle Punkter 
af Planen, hvorved den Cirkel, ved hvis Skjering med det givne Keglesnit Opgaven skulde 
løses, vil svinde ind til samme Punkt, og de til Skjæringspunkterne svarende Punkter af 
Keglesnittet (A) altsaa ikke blive bestemte. Det kan være Hensynet til saadanne mulige 
Undtagelser, som har gjort de gamle bange for at betragte Behandlingen af Grænsetilfælde 
som medindbefattet i de almindelige Undersogelser. 

Ved at legge den her behandlede Opgave hen til Tiden for Apollonios har jeg 
opnaaet at kunne opstille den som Exempel paa de Opgaver, hvorpaa Apollonios kan have 
tenkt i Fortalen til femte Bog; men den kan tillige tjene som Illustration til fjerde Bogs 


I8* 


220 


Fortale!). Idet der ved selve Løsningen kun benyttedes en enkelt Hyperbelgren eller en 
Cirkel, har Konons Sætning om Antallet af Skjæringspunkter mellem to Keglesnit, hvor- 
ved allerede en enkelt Hyperbelgren betragtedes som et saadant, kunnet finde Anvendelse. 
Nikoteles Indvending mod at anvende denne Sætning i Diorismer er fremkaldt, enten 
ved at der til en Opgaves fuldstændige Lesning kan kræves samtidig Brug af sammen- 
herende Hyperbelgrene, eller maaske ved, at han paa Grund af den Omstændighed, at 
endog to sammenhørende Hyperbelgrene højst kunde give fire Skjeringspunkter, har fundet 
det urimeligt at opstille et Maximum for de ved en enkelt Gren bestemte Løsninger, som 
dog i mange Tilfelde slet ikke kunde naas. Den ligesidede Hyperbel i den nys behand- 
lede Opgaves Diorisme har kunnet tjene til Exempel paa det ene eller det andet. At 
Nikoteles har nejedes med at betragte den Mulighed, at det ene af de to skjærende Kegle- 
snit er ombyttet med sammenherende Hyperbelgrene, kan hidrere fra, at han betragter det 
andet som forelagt; sammenherende Hyperbelgrene medtages nemlig kun, hvor de af sig 
selv gjøre sig gjældende. Først Apollonios tager det fulde Hensyn til, at der til den 
fuldstændige Løsning af en forelagt solid Opgave kan bruges to Par sammenhørende 
Hyperbelgrene, og han gjer gjældende, at Maximumsantallene i alle tre Tilfælde kunne gjere 
deres Nytte ved Bestemmelsen af, hvor mange Oplesninger en Opgave kan faa i de for- 
skjellige Tilfælde, hvori den deler sig. Dette sidste gaar endog ud over, hvad der indtræder 
i den behandlede Opgave. 


Femtende Åfsnit. 


Keglesnittenes Tangentfrembringelse; Apollonios' Keglesnitslære, 3die Bog, 41—43: 
Bøgerne om Forholdssnittet og Arealsnittet. 


Tredie Bog af Apollonios’ Keglesnitslære indeholder, som vi have gjort opmærksom 
paa i vort sjette Afsnit, foruden de Theorier, hvis Indhold og videre Betydning vi alt have 
studeret, endnu i to mindre, men selvstændige Sætningsgrupper [41—43 og 45—52] det 
første Grundlag for to Theorier, der have faaet stor Betydning i den moderne Keglesnits- 
lære, nemlig Læren om Keglesnittenes Tangentfrembringelse og Læren om deres Brænd- 


1) Se Tillæg 1 og S. 126. 


221 


punkter. Vi skulle i dette og det folgende Afsnit undersoge, hvor vidt Grækerne have 
bragt det i disse Retninger. 

En Sætning gaar ud paa et Keglesnits Tangentfrembringelse, naar den giver 
en Bestemmelse af dets Tangenter uafhængig af deres Roringspunkter. Det vilde dog være 
unaturligt at anvende dette moderne Navn indenfor den græske Keglesnitslere, hvis man 
i den blot fandt en enkelt derhen horende Sætning, eller hvis Grækerne ikke viste Blik for 
Fordelene ved den Synsmaade, som gjeres gjældende i saadanne Sætninger. Folgende 
Overblik over det Materiale, vi her have til vor Raadighed, vil imidlertid vise, at Grækerne 
virkelig vare tilstrækkelig hjemme paa det her betegnede Omraade, til at det kan være hen- 
sigtsmæssigt under ét at betragte deres herhen horende Arbejder, hvis Gjenstand vi da 
gjerne kunne betegne med det anforte Navn. 

Forst have vi som henhorende til Læren om Tangentfrembringelse de tre Sætninger 
41—43 i 3die Bog af Apollonios’ Keglesnitslere, hvilke angive Forbindelsen mellem de 
Punktrækker, hvori en bevægelig Tangent skjærer to vilkaarlige Tangenter til Parablen [41], 
to parallele Tangenter til Ellipsen eller Hyperblen [42], Asymptoterne til Hyperblen [43], 
Den sidste af disse Sætninger er vel saa simpel, at man saa at sige ikke kan undgaa at 
finde den, naar man beskjæftiger sig med Hyperblens Asymptoter. Sætning 42, som videre 
anvendes i det folgende til Udvikling af Læren om Brændpunkterne, kunde være medtagen 
blot for denne Sags Skyld uden nogen nærmere Opfattelse af dens egen Betydning. I saa 
Fald havde det rigtignok været at vente, at den ikke havde været adskilt fra Anvendelsen 
ved 43 og 44. Hvad der især taler imod den Anskuelse, at de tre Sætninger skulde vere 
fremkomne mere tilfældig og uden at være bestemt til virkelig at anvendes som Tangent- 
frembringelser, det er den samlede Optr&den af disse 3 Sætninger, af hvilke den forste er 
den projektive Geometris almindelige Form for Tangentfrembringelsen af en Parabel, medens 
den anden for Ellipsens Vedkommende og den anden og den tredie for Hyperblens inde- 
holde de simpleste Former, som den projektive Geometris Tangentfrembringelser kan 
antage ved specielle Valg af de deri benyttede faste Tangenter. Tilsammen indeholde de 
Tangentfrembringelser af alle mulige Keglesnit. 

Denne Fuldstændighed tyder paa, at man ogsaa har vidst Besked om, hvortil Sæt- 
ningerne kunne bruges, og herpaa faar man Bekræftelse i to Smaaskrifter af Apollonios. 
Den simpleste Anvendelse af en Kurves Tangentfrembringelse er nemlig den til Bestemmelsen 
af Tangenter fra givne Punkter. Nu fores ved 41 Bestemmelsen af en Tangent til en 
Parabel gjennem et givet Punkt netop tilbage til den Konstruktion, som med stor Omhygge- 
lighed behandles i Apollonios 2 Boger om Forholdssniltet, og ved 42 og 43 fores 
Bestemmelserne af Tangenter fra et givet Punkt til en Ellipse eller Hyperbel tilbage til vig- 
tige Tilfælde af den almindelige Opgave, som behandles i hans to Boger om Areal- 
snittet. Den Udferlighed, hvormed disse Opgaver behandles, tyder paa en bestemt og 


vigtig Anvendelse, og om Keglesnittene end ikke nævnes, kan denne Anvendelse næppe være 
nogen anden end den, vi her have omtalt”). 

Vi anvise herved Skrifterne om Forholdssnit og om Arealsnit en ganske tilsvarende 
Anvendelse til den, som vi i niende Afsnit have anvist Skriftet om det bestemte Snit. Denne 
Overensstemmelse i de Anvendelser, der af sig selv frembyde sig, taler i hoj Grad for Rig- 
tigheden af, hvad vi gjore gjældende om hvert enkelt. 

Sætning 41 gaar ud paa, at naar (Fig. 59) Lini- 
M erne DE, DZ og EZ berøre en Parabel henholdsvis 
i 4, Bog C, er 
CZ ED ZB 


ZE IDA BIDE] 

I Beviset benytter man den med Korden AC 
parallele Tangent KL med Roringspunktet 7, Diame- 
trene HY gjennem T og MQ gjennem BD, samt de til 
den sidste hørende Ordinater AO og CQ. Ifølge Sæt- 
ningerne i første Bog er YT — 4 YEH, altsaa CL = 
ICL, og QB = 1QM, altsaa CZ = 1CM. Heraf 
og af Figuren faas 

CZ CM CX 
CL CE CY 
eller, idet ogsaa CY = 1CA, 


CZ BIER 
Ha CET CA 
og deraf CZ = Ox 6 
© ZE XA 
Ganske paa samme Maade bevises, at 
AD AX ED CX 
DIETZ Chim “aa DANAE HT 


7 


B 2 
At ogsaa Forholdet a har samme Verdi, følger af, at ZB = 1CQ og BD = 104. 


I Forbindelse med den her benyttede Figur skulle vi minde om, at Archimedes 


2 


i Bogen om Parablens Kvadratur har bevist, at ogsaa Forholdet BN har den samme 
Y 7 

Verdi XA (se S. 45), hvad der viser, at man ogsaa for Apollonios har givet sig af med 

denne Figur. 


1) Ogsaa Halley, som har udgivet Skriftet om Forholdssnittet og dertil knyttet en Gjenfremstilling af 
Skriftet om Arealsnittet, sætter disse Skrifters Formaal i Forbindelse med den omtalte Anvendelse 
paa Keglesnit. Se f. Ex. S. 168 af hans Udgave. 


223 


I 42 bevises, at naar en vilkaarlig Tangent til 


en Ellipse eller Hyperbel skjærer Tangenterne i Ende- R 
punkterne A og B af en Diameter (Fig. 60) i C og D, er / Len 
> b\? / OMIS es 
AC ED (3) 1 EN / 
Ua 196 
hvor 5 betegner Længden af den konjugerede Diameter VA VA FEN 
til AB. BF Zum; 4 K 
Det er nemlig fra forste Bog bekjendt, at Tan- WE 

genten og Ordinaten fra et Punkt Æ til den betragtede 
Diameter skjære denne i Punkter X og Z, som ere Fig. 60. 


harmonisk forbundne med Hensyn til A og B. Naar 
Z er Kurvens Centrum, har man sikkert forlængst vidst, at man af de i forste Bog fundne 
Udtryk for denne Forbindelse kan udlede 


KB KL 


VA ON 
det er, da KZ er arithmetisk Mellemproportional mellem AKA og KB, at KZ er, hvad 
ogsaa Grækerne kaldte harmonisk Mellemproportional mellem de samme to Størrelser. 
Apollonios anser det dog ikke for overflodigt at gjennemfore denne Omdannelse af 
Proportioner. Man faar dernest 


BD Ibe 
Z TON AGE: 
eller at 1531), ANG — A INS Ib Jes 
men CL ELA EE (5) 


er den Bestemmelse af Tangenten i Forhold til den konjugerede Diameter ZT, hvis Rig- 
tighed Apollonios i første Bog har vist ej blot for Ellipsens men ogsaa for Hyperblens 
Vedkommende. 

Den tredie Setning i Gruppen [43], at Rektanglet af de to Stykker, som en Tan- 
gent til en Hyperbel afskjærer paa Asymptoterne, regnede fra Centrum, er konstant, følger 
saa umiddelbart af anden Bog, at der ikke er Grund lil at dvæle ved Beviset. 

Naar man nu i Henhold til 41 vil drage en Tangent ZD (Fig. 59) fra et givet 
Punkt P til en Parabel, hvortil man allerede kjender to Tangenter ZC og EA samt deres 
Beroringspunkter A og C, gjælder det om at bestemme denne saaledes, at den paa den 


første ud fra Skjæringspunktet (Æ), paa den anden ud fra Reringspunktet (A) afskjærer Stykker 
EC 
AT 


(EZ og AD), som staa i et givet Forhold ( ). Denne Opgave loses i forste Bog 


224 


af Apollonios’ Skrift om Forholdssnittet!j yderst detailleret, saaledes at i de enkelte 
Tilfælde Mulighedsbetingelserne omhyggelig diskuteres. 


Jod 


Kjendte man i Stedet for Raringspunkterne A og C endnu to Tangenter, som skare 


EC i Z, og Z,, EA i D, og D,, maatte Linien PZD afskjære saadanne Stykker, som 
Z, Z LZ, Zo 
DED Apa IDs 
behandles udferlig i anden Bog af det nys anforte Skrift. 


regnede ud fra Z, og D, stode i et givet Forhold ( JE Denne Opgave 


Idet vi nu foreløbig, som det helt igjennem gjøres i disse to Bøger, ville se bort fra 
Anvendelserne paa Parablen, bliver den almindelige Opgave den gjennem et Punkt ? (Fig. 61) 
p åt trække en Linie saaledes, at den paa to givne Linier 
ud fra givne Punkter 4 og À, afskjærer Stykker AM og 


Må 


A,M,, som staa i et givet Forhold. Denne Opgave 


EM@ A] IE, B feres i anden Bog tilbage til den mere specielle, 
I ER / hvor Punktet A, er ombyttet med de to Liniers Skjæ- 
ne ringspunkt. Det sker ved at trække Linien PA, og 

ST 


gjennem dennes Skjæringspunkt A’, med AM at 
ns: trække en Linie parallel med A, M,. Det paa denne 
Parallel afskaarne Stykke A‘, M‘, staar nemlig da i et givet Forhold til A,M,, følgelig 
ogsaa til AM. Vi behøve altsaa nu kun at beskjæftige os med den Opgave gjennem P at 
drage Linien PMM',, som skjærer de to Linier A‘, M og A‘, M', i saadanne Punkter M 
Ze faar en given Verdi 2. 
Denne Opgave behandles i forste Bog, af hvis Konstruktioner og Diskussioner 


anden Bog paa den anførte Reduktion ner blot indeholder Gjentagelser. Hovedfremgangs- 


og M', at 


maaden er folgende. Gjennem det givne Punkt P drages PB parallel med A‘, M',, og 2 


. et A’, M IRIE 2 
tenkes bestemt saaledes ved et Punkt C af Linien AM, at AM L — Cons 


Man har da ifelge denne Proportion og Fig. 61, at 
AM A4,M', A!, M 
AC BP BU 


saa Reklanglet BM. MC faar en given Verdi. Opgaven er 


RØRE le BS, 
Peg: AGATE =D Me 


saaledes fort tilbage til et Fladeanleg. 

Lesningen er — bortset fra de Modifikationer eller de Simplifikationer, som kunne 
indtrede i specielle Tilfælde, saasom naar de givne Linier ere parallele eller B falder sammen 
med A‘, — den samme for andre Beliggenheder af Punkterne og kan, naar man regner 
Liniestykkerne med Fortegn, endog sammenfattes i en felles Fremstilling. Om nu end 


1) Apollon Pergaei de Sectione Rationis Libri duo, er Arabico versi ere udgivne af Halley (Oxford 1706). 


225 


Apollonios ikke er i Besiddelse af dette Middel, undrer det dog den Læser, som i hans 
Keglesnitslere har set, med hvor stor Behendighed han forstaar at sammendrage under ét 
Sætninger og Beviser angaaende Ellipse, Parabel og Hyperbel, nu at se ham gjentage de 
samme Operationer for hvert enkelt Tilfælde. Aarsagen tor soges deri, at det netop er ham 
om at gjøre at faa det frem, som karakteriserer de enkelte Tilfælde, saaledes at der gjores 
Rede for, hvor mange Oplesninger der hver Gang kommer inden for de bestemte Grænser. 
Dette udfores ogsaa med en Omhyggelighed, som man let ser maa være forbunden med 
noget Besver!). 

I det paa Fig. 61 behandlede Tilfælde finder man saaledes, at der kommer én og 
kun en Opløsning, idet der nemlig i Øjeblikket kun spørges om en Linie PM, som er 
beliggende saaledes for de givne Punkter som paa Figuren. At Opgaven for denne Belig- 
genhed overhovedet er mulig for alle Værdier af det opgivne Forhold, felger af, at den 
bekjendte Verdi AC.BA', af Rektanglet BAZ. MC er <BA.AC, altsaa i ethvert 


Tilfælde mindre end Maximumsværdien = | for et Rektangel, hvis Siders Sum er BC. 
Da der gives to Punkter, som dele Linien BC paa den Maade, hvorved M her skal be- 
stemmes, kræves der endnu et Bevis for, at kun ét af disse falder paa AC og altsaa giver 
en saadan Løsning, som i Øjeblikket søges. Ogsaa dette følger deraf, at man skal have 
BM.MC<BA.AC; de ubekjendte Punkter M maa nemlig da falde hvert paa sin 
Side af A?). 


\ 


1) Haliey soger (S. 139 af hans ovenfor citerede Udgave) en ingenlunde overflodig yderligere Forklaring 
af den store Bredde i dette Skrift i den Omstændighed, at det har veret bestemt for Begyndere og 
derfor maatte fremsættes med skolemessig Fuldstændighed og Strenghed som det første Exempel 
paa den Art af Undersogelser. De anferte Egenskaber gjore det da ogsaa til et fortrinligt Exempel 
for os, ej blot paa de gamles Form, men ogsaa — som alt anfort — paa deres methodiske Brug 
af Fladeanleg (eller kvadratiske Ligninger) og de sig dertil knyttende Diskussioner. Halleys Formod- 
ning strider slet ikke mod vor Antagelse om Skriftets Formaal; thi da der i hele Skriftet slet ikke 
er Tale om Parablen, kan det godt vere skrevet for Begyndere, om end med den udtrykkelige Bevidst- 
hed hos Forfatteren, at Leserne derved samtidig med at oves i methodisk Undersogelse forberedtes 
til Behandlingen af de vigtige Opgaver angaaende Keglesnittene, som fra forst af have fremkaldt dette 
saavel som de vistnok lige saa udforlige Skrifter om Arealsnittet og det bestemte Snit. Den overflodig 
store, skolemæssige Bredde kan dog ogsaa tenkes forklaret paa anden Maade, f. Ex derved, at Apollo- 
nios, foranlediget af Anvendelserne paa Keglesnit, har foretaget disse Undersogelser i en ung Alder, 
da han selv, i det mindste naar det gjaldt om noget nyt, folte sig bunden til denne Fremstillings- 
maade. For den rige Keglesnitsleres Vedkommende derimod vilde denne vere uoverkommelig, og 
at Apollonios i Keglesnitslaren har kunnet opnaa at forene de strenge Fordringer til Fuldstændighed 
i Bevisforelsen med en saa stor Sammentrængen af de forskjellige Tilfælde, turde bero paa, at han 
her bevægede sig paa et af hans Forgængere vel forberedt Felt. 

Derimod forelaa der ikke nogen logisk Grund for Apollonios til derefter — som der i alt Fald gjores 
i den fra Araberne overleverede Text (Halley's Udgave S. 16) — at gjennemfore et synthetisk Bevis 
for, at, naar M er det søgte Punkt og N et andet Punkt af Liniestykket AC samt N’, Linien P N's 


2 


4 74 
Skjæringspunkt med A‘, 47°, , Forholdet = es vil faa en Værdi forskjellig fra den givne. Dette 
Pa 


Vidensk, Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. III, 4. 29 


226 


Diskussionen faar dog en større Interesse, og dens Anvendelse paa Parablen faar 
en større Betydning, i de Tilfælde, hvor det opgivne Forhold maa underkastes visse Grænse- 
betingelser, for at Opgaven skal være mulig. Dette vil f. Ex. finde Sted, naar de forskjellige 
Punkter falde som paa Fig. 62, der alene tager 
Hensyn til det i første Bog behandlede speciellere 
Tilfælde, og hvor Betegnelserne have samme Be- 
Fe - tydninger som paa Fig. 61. Apollonios begynder!) 


M et A den hertil hørende Diskussion med at opstille Græn- 
Fig. 62. setilfældet, idet han siger, at der paa en særegen 
Maade faas en Løsning, naar Punkt M (som antaget paa Fig. 62) falder midt imellem Punk- 
terne B og C, i hvilket Tilfælde det opgivne Rektangel BM. MC = A‘, B.CA har sin 
Maximumsverdi. For at finde den tilhorende Grenseverdi af det givne Forhold 
A M" JP 
AM AC 
soges den tilsvarende Beliggenhed af Punktet C. Dette bliver bestemt derved, at man faar 


A,B BM  A,M 
MC CA MA 


À 


2: 


og altsaa, idet MC = BM, 
AO TD BM AJ 
AM MA ANA 


eller at A‘, M er Mellemproportional mellem A‘, B og A‘, A Herved bestemmes M og 


> (I) 


altsaa C. 
Efter som nu det opgivne Forhold 2 bliver mindre eller større end den ved det 


her fundne C bestemte Verdi af faar Apollonios ingen eller to Oplosninger. Til 


IB IZ 

AC ? 

Slutning?) tilføjes endnu folgende Bestemmelse af Forholdets Grænseværdi. Man har 
CA = A‘, A+ A‘, B—(A',C-+ 4", B) 

A, A+ A',B—2A',M 

= AA A EVA OPA NET 


| 


Betydningen af det herved erholdte Udtryk overskues bedst, naar vi henfore Punkterne til 
el Parallelkoordinatsystem med de faste Linier til Axer og kalde Koordinaterne til P x og y 


folger nemlig umiddelbart af den opstillede Analysis, som har vist, at de eneste mulige Los- 
ninger bestemmes ved Fladeanlæget. Den synthetiske Begrundelse af, at den som mulig udpegede 
Løsning virkelig tilfredsstiller de opgivne Betingelser, er derimod fuldkommen paa sin Plads, idet 
Analysen ikke udtrykkelig opstilles saaledes, at man kan se, at hvert enkelt af dens Led kan 
vendes om. 

1) S. 47 i Halleys Udgave. 

2254524 


BR. ; ‘ 
samt Abscissen til A a. Forholdet 2 = Soe bliver da (bortset fra det vilkaarlig valgte 
Ja 
Fortegn) 
1, 
{= (In) 


a+x2— 2 Vax 


Idet vi nu antage, at Apollonios virkelig har anvendt disse Resultater paa Parablen, 
har han ikke kunnet undgaa at se, at Grænselilfældet er det, hvor Parablen gaar igjennem 
det givne Punkt P, og at da PM falder sammen med Tangenten i dette Punkt. Parablen 
berører de to givne Linier, A’, À i Punktet A, og Punktet C er bestemt som A‘, A's Skjæ- 
ringspunkt med den Tangent, som paa A‘, M', afskjærer et Stykke lige stort med BP. 
Man har da først, at Tangenten PM træffer Midtpunktet M mellem dette Punkt C og P's 
skraa Projektion 3, samt at Relationen (I) finder Sted mellem de her nævnte Punker. Af 
større Betydning er dog Relationen (II), der kan opfattes som Ligningen for en Parabel 
henfort til et Par Tangenter som Koordinataxer. Denne Ligning, hvori À kan 


b A 
tænkes fremstillet som Forholdet 7 mellem de Stykker som afskjæres mellem Begyndelses- 


punktet og Parablens Roringspunkter med Axerne, giver umiddelbart y udtrykt ved x, medens 
man nu tildags foretrækker den symmetriske Form, hvortil den let reduceres 


Ola 


Dette Resultat lod sig ogsaa udlede af en Betragtning af Parablen som Sted til tre Linier. 


Med Losningen overfores som alt sagt ogsaa de her fundne Diorismer paa den i 
anden Bog behandlede almindelige Opgave om Forholdssnittet og vilde i Henhold til, hvad 
der er sagt om den almindelige Opgaves Anvendelse paa Parablen, give videre Setninger 
om denne Kurve. Da vi imidlertid hverken noget Sted ellers træffe paa Benyttelse af nogen 
bestemt af disse eller i dem have Sætninger, som man nu tildags tillægger Betydning, skulle 
vi nøjes med som Exempel at anføre en, som er en umiddelbar Omskrivning af et af Dis- 
kussionsresultaterne (I), og hvor Betegnelserne (men kun disse) slutte sig til Fig. 61. 

Naar en Tangent AM til en Parabel skjæres af to andre À À, og MP i À og M, hvor 
Per MP's Berøringspunkt, medens A, er et vilkaarligt Punkt af 44,, naar den først- 


rn 


nevnte Tangent AM end videre skjeres af A, P i A‘, og af en Parallel gjennem P med 


den Tangent, som foruden A, A udgaar fra A,, i D, saa er 
M = IU A1 
AU AWD = ANAL al 123: 
Denne Sætning vil, naar man f. Ex. lader A‘, og MM vere faste, give en Relation mellem 
Bestemmelserne af de Tangenter, som udgaa fra et bevægeligt Puukt (4,) af den faste 


Linie A‘, P. 


292 


228 


De Opgaver fra et Punkt P at trække en Tangent til en Ellipse eller Hyperbel, 
henfort til et Par konjugerede Diametre, eller til en Hyperbel, henfert til sine Asymptoter, 
ville ifølge de derom beviste Sætninger [42 og 43] være specielt indbefattede i den Opgave 
fra et Punkt P at trække en ret Linie, der paa to givne afskjærer Stykker, som, regnede fra 
givne Punkter, danne et Rektangel af konstant Areal. 1 første Tilfælde blive de to givne 
rette Linier parallele, i sidste falde de faste Punkter sammen med Liniernes Skjæringspunkt. 
Behandlingen af den anførte almindelige Opgave har ifølge Pappos’ Redegjorelse!) ud- 
gjort Emnet for Apollonios’ tabte Værk om Arealsnittet. Idet Pappos tillige oplyser, 
at dette Værks Sætninger enkeltvis have svaret til dem i Skriftet om Forholdssnittet, vide 
vi, at de to Tilfælde, som det her kommer an paa, ere blevne særlig behandlede. 

Denne samme Oplysning giver os tillige en temmelig sikker Forestilling om, hvor- 
ledes Værkets almindelige Opgave er bleven behandlet”), hvad vi let kunne se ved Betragt- 
ning af det paa Fig. 61 fremstillede Tilfælde. Reduk- 
tionen til det, hvor et af de givne Punkter falder i 
de givne Liniers Skjæringspunkt kan for det første 


udføres ganske paa samme Maade som ved Forholds- 
snittet. Dernæst kan man tænke sig den givne Værdi 
af Rektanglet A‘, M', . AM bestemt som et Rektan- 
gel BP. AC, hvor C er et Punkt af Linien AM (paa 
Fig.61 betegnet som (C)). Man faar da, idet 
APM A, M 

BP Bu’ 
A eG: CM 
BM APM, BAL 
hvorefter Rektanglet A‘, ZZ. CM vil have et bekjendt Areal. Opgaven er altsaa fort tilbage 
til et Fladeanleg. 


at: 


3 


Da det bekjendte Areal her er bestemt paa samme Maade som i Bogen om For- 
holdssnittet, om end ved andre Punkter, ville de enkelte Diskussioner, som ere at foretage, 
ogsaa kunne udfores paa samme Maade, saaledes at dog Resultaterne fordele sig anderledes 
paa de forskjellige Tilfelde. Overensstemmelsen i denne Henseende viser sig ogsaa i, al 
Pappos opstiller de samme Hjelpesetninger for de to Bøger. 

De serlige Tilfælde af Arealsnit, som have Betydning for Keglesnitsleren, nemlig 
de, hvor enten de to givne rette Linier ere parallele, eller de givne faste Punkter begge 


1) Hultsch’ Udgave, S. 640—643. 

=) Derfor har Halley, som Tillæg til Udgaven af Skriftet om Forholdssnittet kunnet give de højst sand- 
synlige Grundtræk til en Gjenfremstilling af Skriftet om Arealsniltet. Med disse stemme vore efter- 
felgende Bemærkninger. 


falde i de givne Liniers Skjæringspunkt, maa i Overensstemmelse med, hvad der finder Sted 
i Skriftet om Forholdssnittet, vere behandlede i Begyndelsen af første Bog. Hvorledes 
Opgaven kan vere behandlet i disse særegne Tilfælde, fremgaar af, hvad der er sagt om den 
almindelige Opgave. At besidde Enkelthederne af Apollonios’ Diskussion af disse Tilfælde 
vilde ikke vere af saa stor Betydning for os her, hvor de gamle forud kjendte de tilsvarende 
Punktligninger for Keglesnittene, nemlig dem, hvor de henfores til et Par konjugerede Dia- 
metre eller til Asymptoterne. 

Naar vi nu om begge Apollonios’ her omtalte Smaaskrifter opstille den Formodning, 
at de ere udarbejdede af Hensyn til Anvendelsen til Konstruktion af Tangenter til Keglesnit, 
kunde man maaske have nogen Betenkelighed for Arealsnittets Vedkommende, da det 
kun er en ringe Del af dette sidste Skrift, som finder de her omtalte Anvendelser. At 
Skriftet gaar langt ud over disse, lader sig imidlertid forklare paa to forskjellige Maader. 

For det forste har det ikke ligget fjernt for Apollonios, naar han forud har havt 
Lejlighed til at behandle Forholdssnittet i al Almindelighed, da at prove, om dette ikke 
ogsaa lod sig gjøre for Arealsnittets Vedkommende. Han er da ikke her stødt paa andre 
Vanskeligheder end dem, som alt ere overvundne enten ved det ene af de specielle Areal- 
snit, som han har udført for Anvendelsens Skyld, eller i Bøgerne om Forholdssnittet. Disse 
kunde han tilmed folge Skridt for Skridt. Det har da ligget ner for ham at medtage den 
fuldstændige Behandling i sit Skrift, der fremtreder uafhengig af Anvendelserne paa Kegle- 
snittene. 

Man kommer imidlertid til en anden mulig Forklaring, naar man erindrer, at Ind- 
hyllingskurven for en ret Linie, som paa to faste rette Linier afskjerer Stykker, der reg- 
nede ud fra vilkaarlige faste Punkter danne et Rektangel af konstant Areal, i Almindelighed 
er et Keglesnit, der berorer de to faste rette Linier — eller, hvis man, som de gamle, 
ikke ved Fortegn skjelner mellem Retninger, sammensat af to saadanne Keglesnit —. 
Der. er i Virkeligheden ikke noget urimeligt i at antage, at Apollonios har kjendt den der- 
ved angivne Egenskab ved Keglesnittene, og at han har skrevet om Arealsnittet med den 
udtrykkelige Bevidsthed, at han derved gav Midler til at finde Tangenterne fra et Punkt til et 


Keglesnit bestemt ved opgivne Tangenter. Vi have nemlig for det forste set — og navnlig 
i Bestemmelsen af Stedet til fire Linier havt et fuldkommen paalideligt Exempel paa — at, 


Apollonios’ Boger om Keglesnittene ingenlunde indeholde alt, hvad man da vidste om disse 
Kurver. Paa mig gjor endog den kortfattede Fremstilling i de tre Setninger 41—43 af de 
simpleste Bestemmelser af et Keglesnits Tangenter uafhengig af Roringspunkterne Indtryk 
af at skulle vere det Grundlag for saadanne Bestemmelser, som der alene har været Brug 
for i et Kompendium over disse Kurvers Theori, idet man derfra kunde gaa videre til andre 
Bestemmelser. Og dernæst vil man se, at efterstaaende Udledelse af den Sætning, hvorpaa 
det her kommer an, ingenlunde kan have ligget fjernt for de greske Geometrer. 


230 
A BCD (Fig. 63) vere et Parallelogram omskrevet om et Keglesnit, Æ og F Bero- 

ringspunkterne for Siderne AB og CY. Hvis nu en femte Tangent skjærer Parallelo- 

grammets Sider i M, P, N, Q, er ifølge Apollonios’ 
7 Keglesnit II, 42 
ol EA.FD — EM.FN, 

/ EA SEM AM A, 
| I DE 
eller, idet EA — CF, 
CF EN ivy GN 
AP IPD AD 

Rektanglet AP. CN faar altsaa den af Beliggenheden af 
den femte Tangent uafhængige Verdi CF. AD. 
\ Vare omvendt de faste Linier AD og DC givne, 
re) samt Punkterne A og C og Verdien af Rektanglet 
\ AP.CN, vilde man ved at sætte dette — CF.AD 
kunne bestemme Roringspunktel F, dernæst Rorings- 
punktet Æ. Da man nu tillige kjender Retningen af 
de til Diameteren EF hørende Korder og Tangenten AD, lader Korden til dennes Rørings- 
punkt sig let bestemme, hvorved faas Keglesnittets Ligning i det ved Diameteren EF og 
de tilhørende Korder bestemte Koordinatsystem. Naar Liniestykker og dermed Rektangler 


ikke regnes med Fortegn, faas som alt anført to keglesnit. 

At Grækerne ad den.her anførte Vej kunne have fundet den anførte Fremstilling 
af Frembringelsen af et Keglesnit som Indhyllingskurve for rette Linier, 
der forbinde til hinanden svarende Punkter i to vilkaarlige projektive Punkt- 
rækker, vil blive desto rimeligere, naar det bemærkes, at Sætning og Bevis ere opstillede 
længe for der ellers var Tale om Projektivgeometri, nemlig af Newton i hans Principia"). 
Jeg véd nu vel, at mange ere tilbøjelige til at mene, at det er af et vist Liebhaveri, naar 
Newton fremstiller og beviser sine Sætninger paa de gamles Maade, og at han i Virkelig- 
heden i sine personlige Undersøgelser fuldt saa meget har benyttet moderne Hjælpemidler. 
Dette har han selvfølgelig ikke forsømt, hvor de kunde nytte ham noget; men i detle, som 
i mange andre Tilfælde, skulde den da existerende analytiske Geometri dog næppe have 
bragt ham synderlig Hjælp undtagen til et Bevis @ posteriori og kunde i hvert Fald ikke 
have ført ham saa let og simpelt til Maalet som hans Tilslutning til de gamle. 

Man maa vist i alle Tilfælde indrømme, at det førte Bevis er saa simpelt og 
stemmende med de gamles Fremgangsmaade, at de efter al Rimelighed maatte finde Sæt- 


1) 25de Lemma til første Bog. C. Taylor har henledet Opmærksomheden paa, at her virkelig opstil- 
les en af den projektive Geometris Hovedsætninger (Ancient and modern Geometry p. LXXXIV). 


ri eee sn tt En 


" 


231 


ningen, naar der frembød sig en Foranledning til at søge den. Hvis den nu ikke har 
været kjendt, for Apollonios skrev om Arealsnittet og anvendte enkelte af de deri inde- 
holdte Konstruktioner til Bestemmelse af Tangenter til Keglesnit, maatte Anledningen 
komme ved selve dette Skrift. Apollonios maatte ligesom Halley bringes til at soge, om 
ikke ogsaa de almindelige Konstruktioner i det samme Skrift kunde anvendes paa en lig- 
nende Maade, og vilde da sikkert, ligesom i det væsentlige Halley!), naa Maalet. 

Man kunde maaske i det, som er berettet og oplyst om Euklids Porismer, finde 
nogen yderligere Stotte for, at de gamle virkelig, endog for Apollonios, have kjendt saa- 
danne Tangentfrembringelser som den, hvormed vi beskjæftige os. Ligesom vi nemlig 
have antaget, at de Porismer, der udtrykke, at Punkter ligge paa en ret Linie, nærmest 
angive Undtagelsestilfælde, i hvilke et geometrisk Sted frembragt ved projektive Liniebundter 
ikke bliver et Keglesnit, er det en nerliggende Antagelse, at de Porismer, der udtrykke, 
wat rette Linier gaa gjennem et Punkt»?), nærmest kunne vere fremkomne som Undtagelses- 
tilfælde, i hvilke Indhyllingskurven for Forbindelseslinierne mellem to projektive Punktrekker 
ikke bliver et Keglesnit. 

Hvis Grekerne virkelig, hvad vi tro at have gjort ret sandsynligt, have kjendt den 
omspurgte Frembringelse af et Keglesnit, kan der dog gjores en endnu vigtigere Brug af 
Porismerne. Den, der har veret fortrolig med Porismerne, maa nemlig da let have veret i 
Stand til ogsaa at udtrykke Forbindelsen mellem de projektive Punktrekker paa andre 
Maader end derved, at Rektanglet af Afstandene fra faste Punkter skulde vere konstant, 
og vi kunne da sige her som om Frembringelsen ved projektive Bundter, at der er nogen 
Rimelighed for, at Grekerne kjendte Tangentfrembringelsen af Keglesnit ved 
projektive Punktrekker under forskjellige Former, dog uden at sammenfatte dem 
i det felles Begreb Projektivitet. Ligesom vore historiske Beviser her ere mindre fuld- 
stendige, er det dog rimeligt, at Kjendskabet her har været noget mindre omfattende end : 
for Punktfrembringelsens Vedkommende. 

I jo flere Former Keglesnittenes Frembringelser som Indhyllingskurver for Forbin- 
delseslinierne mellem projeklive Punktrækker ere optraadte hos Grekerne, des forstaaeligere 
bliver det, at Apollonios ikke har kunnet faa dem med i sin kompendiose Fremstilling, 
men har maattet nøjes med den korte Fremstilling af Grundlaget, og har maattet henvise 
den videre Udvikling, heraf som af Læren om solide Steder for Punkter, til andre Verker. 


1) S. 163 i hans alt citerede Udgave og Gjenfremstilling af Apollonios to Smaaskrifter. Det synes 
nemlig, at Halley, hvis Skrift udkom 1706, medens forste Udgave af Principia er fra 1686, har over- 
set, at Besvarelsen af det Sporgsmaal, han har stillet sig, findes hos Newton. Dels citerer han nemlig 
ikke denne, dels vilde han, naar han havde benyttet Principia, ikke have overset, at den ene af de 
to Indhyllingskurver, som faas, naar man ikke tager Hensyn til Fortegn, kan være en Ellipse. 

2) Pappos ed. Hultsch, S. 656. 


232 


Et Sted hos Pappos kunde endog synes at tyde paa, at man har vist den sammesteds 
hen som denne Lære og betragtet Setningerne om Keglesnits Tangentfrembringelser som 
en særegen Art solide Stedsetninger. I hans Klassifikation af Steder") tales nemlig foruden 
om Steder for Punkter ogsaa om Steder for Linier og Flader, og der siges særlig, at Ste- 
derne for en enkelt Uendelighed af Linier (cézoz drsÉodrzot) ere Overflader. Herved ligger det 
vel nermest at tænke paa Fladers Frembringelse ved Linier i Rummet. Da Grækerne nu 
imidlertid — i det mindste i de tre Sætninger i Apollonios’ tredie Bog — have undersøgt 
Samlinger af enkelt uendelig mange Linier i samme Plan, ligger det ikke fjernt at antage, 
hvad Ordlyden hos Pappos fuldkommen tillader, at den Del af en Plan, som indeholder 
alle disse rette Linier, ogsaa kan vere opfaltet som et <önog Örs£ooızöc for disse. Stedet 
for Tangenterne til en Ellipse eller Parabel bliver da den Del af Planen, som ligger paa 
disses konvexe Sider. Stedet for Tangenterne til en Hyperbel, 9: Hyperbelgren, bliver den 
Del af Planen, som ligger paa den konvexe Side med Undtagelse af den Vinkel mellem 
Asymptoterne, som indeholder den anden Gren. 

Idet nu disse Steder væsentlig karakteriseres ved den Kurve, som Linierne skulle 
berøre, har det ikke været unaturligt, naar denne Kurve var et Keglesnit, at betragte ogsaa 
dem som en Slags solide Steder. 

I det Tilfelde, hvor alle Linierne gik gjennem et Punkt, som i de nys bererte 
Porismer, vilde hele Planen blive Liniernes Sted, dog saaledes at dette særlig karakteriseres 
ved Punktet. Paa denne Maade vilde disse Porismer ikke, som vi i Sde Afsnit berørte 
Muligheden af, vere saadanne ufuldstændige Sætninger, hvor der var Tale om et Punkt 
som Sted (cézog évexczxdc) for et Punkt, men saadanne, hvor der var Tale om et cézoc 
012É001z6ç for en Linie. 

Om nu denne Forklaring af Apollonios’ Inddeling af Steder, som jeg kun opstiller 
som en Mulighed, skulde vere urigtig, er derved dog ikke udelukket, at Setningerne om 
Keglesniltenes Tangentfrembringelser kunne vere komue med ind i de gamles Lære om 
solide Steder. Om Muligheden heraf afgiver Halleys Udtryksmaade et indirekte Vidnesbyrd, 
idet han i sine Tillæg om Anvendelserne af Forholdssnittet og Arealsnittet stadig kalder 
Indhyllingskurverne Steder, nemlig for Tangenternes ubekjendte Røringspunkter. De gamle 
kunne have gjort det samme. 

Naar nu Grækerne virkelig have havt et mere udstrakt Kjendskab til Keglesnittenes 
Tangentfrembringelse end det, der udtrykkes i Sætningerne i Apollonios’ tredie Bog, saa 
ligger det ligefrem i vor Bevisførelse herfor, at de i Overensstemmelse med Skriftet om 
Arealsnittet maa have ånvendt den til Konstruktion af Tangenter fra et givet Punkt lil et 


1) Hultsch’ Udgave, S. 660—662. Pappos uddrager her sine Oplysninger af Indledningen til Apollo- 
nios’ Skrift om plane Steder. 


233 


Keglesnit, bestemt ved fem Tangenter, hvoriblandt to Par parallele. De kjendte Omform- 
ninger af Bestemmelserne af Forbindelsen mellem de projektive Punktrækker ville vistnok 
ogsaa have sat dem i Stand til ad en eller anden Vej at fore Bestemmelsen af Tangenterne 
til et Keglesnit, hvortil fem vilkaarlige Tangenter ere givne, tilbage hertil. Diorismen til 
Arealsnittet vil i sig selv have indeholdt en Bestemmelse af dette Keglesnits Punkter hen- 
forte til et Parallelkoordinatsystem med to Tangenter til Axer. Endvidere er Bestemmelsen 
af Tangenterne til et Keglesnit en saadan, at den umiddelbart forer til Losningen af den 
Opgave at finde de manglende Fællestangenter til Keglesnit, der alt have to givne Tan- 
genter fælles. 

Om nu virkelig nogen gammel græsk Mathematiker har gjort nogen Brug f. Ex. af 
denne sidste Omstændighed, er ikke godt at have nogen Mening om. Den kan da ogsaa 
her kun fremhæves som Bidrag til en Skildring af det Omraade, inden for hvilket Grækerne 
havde Midler til at bevæge sig med fuld Frihed, saaledes at de kunde finde Sæt- 
ninger og paa Grundlag af dem give hverandre Opgaver at lose. Ved at forsøge ved flere 
enkelte Exempler nojere at skildre dette Omraade, af hvilket vi i dette og de foregaaende 
Afsnit have set, at de græske Geometrer paa Apollonios’ Tid vare i Besiddelse, vilde jeg 
let udsætte mig for en for stor Vilkaarlighed. Jeg foretrækker derfor at pege hen paa 
noget bestemt, som vel er udfort i den nyere Tid, men med den gamle Geometris Hjælpe- 
midler, nemlig det hele femte Afsnit af forste Bog af Newtons Principia, hvoraf 
vi alt to Gange (nemlig i vort 7de Afsnit og nylig i dette) have citeret Enkeltheder. Dette 
er i Virkeligheden ikke at give en for hoj Forestilling om, hvad den gamle Geometri kunde 
udføre, om dens egne Mend end muligvis have vist det paa andre Spørgsmaal. Den Hjælp, 
Newton i disse Undersogelser har kunnet have af den daværende moderne Mathematik, 
stod nemlig tilbage for den, som de gamle havde i Euklids Porismer og i hele den Udvikling, 
hvoraf disse ere fremgaaede. Og vel medbragte Newton sit eget eneslaaaende Geni; men 
det Aarhundrede, i hvilket Euklid, Archimedes og Apollonios virkede, havde ogsaa 
sine store Mathematikere, og disse havde her, hvor det gjaldt om at benytte antike 
Methoder, som de mundtlig og ved nu tabte Boger vare opdragne til at bruge, meget 
forud for Newton, der i den Henseende var henvist til de faa. efterladte Skrifter, hvis Affattel- 
sesmaade tilmed mere er beregnet paa at give fuld Betryggelse for de vundne Resultaters 
Gyldighed end paa at lade Vejen, ad hvilke disse Resultater vare opnaaede, træde frem. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6 Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II, 1. 


30 


234 


Sextende Afsnit. 
Brændpunktegenskaber; Apollonios’ 3die Bog 45—52; Apollonios’ to Bøger om Bereringer. 


Apollonios anvender en af Sætningerne om Tangentfrembringelser, nemlig Sætning 
4t i 3die Bog 


D) 


til en Udvikling af de simpleste Sætninger om Ellipsens og Hyperblens 
Brændpunkter. En saadan Tilknytning af Brendpunktsleren til Tangentfrembringelsen er den 
Vej, som i og for sig er den simpleste, naar man til Udgangspunkt skal tage Keglesnittenes 
analytisk-geomelriske eller projektiv-geometriske Bestemmelse. I den efterfølgende Rede- 
gjerelse skulle vi for Kortheds Skyld holde os til Ellipsen, medens Apollonios behandler 
Ellipsen og Hyperblen under ét. 

I Sætning 45 ere Brændpunkterne, som ikke have noget særligt Navn, bestemte 
som to saadanne Punkter (Fig. 64) F og F, af Hovedaxen AA, (med Endepunkterne 
A og A,), at j 
AWM SIA, == Alf ol, ER ME EME 38 == Ao, 


4 

hvor a og p betegne Axens og Parameterens Længder. Sætningen udsiger dernæst om 
disse Punkter, at det Stykke MM,, som Tangenterne 
i A og A, afskjære paa en vilkaarlig Tangent, fra F og 
F, ses under rette Vinkler. 

Drager man nemlig FM og FM,, bliver 
AM. A, M, = AF.FA, og derved de retvinklede 
Trekanter MAF og FA, M, ligedannede. De i disse 
Trekanter beliggende Vinkler ved F ere altsaa Komple- 


mentvinkler, hvorved 4 MFM, bliver ret. Beviset 
føres paa samme Maade for Punktet 7. 
Af denne Sætning følger atter, at de fire Punkter 


M, F, F,, M, ligge paa en Cirkelperiferi, hvoraf 
AG fa a Sa 2A WOE I = AI Al OR A, ZA I, SZ IPE A. 
Dernæst bevises [i 47], at Tangenten MM, 's Roringspunkt falder i den retvinklede 
Projektion paa denne Linie af Skjæringspunktet 7 mellem FM, og FARM. Af 46 og 45 
følger nemlig, naar vi kalde denne Projektion À, at 
MA MF UF, M, À, 
MR MT M, T M, R 


MR MA MP 


og altsaa Ri MA. MER > 


ME 


hvor P er Tangentens Skjeringspunkt med Axen. At 2 da bliver Roringspunkt, følger af 
den i forste Bog (se S. 58) givne Tangentbestemmelse. At Tangenten danner lige store 
Vinkler med Brændstraalerne til dens Roringspunkt &, ses nu [48] ved Hjælp af Cirkler 
gjennem Punkterne WF, T, Rog M,, F,, T, R, som give Z MRP = /MTE = 
ZAR, TI, = ZZ IR TA < 

For endvidere at naa til Hovedsetningen om Brændstraalernes Sum benyttes Pro- 
jektionen G af Brendpunktet F paa Tangenten. A, M, G, F ligge paa en Cirkel og A,, 
M,, G, F paa en anden, hvoraf følger, at 2 AGF—/AMF—/A, FM=_ZA,6GM.. 
Heraf sluttes atter, at Axen A, À ses under en ret Vinkel fra Punktet @ [49]. 

Drager man nu parallelt med Brendstraalen #, & Linier fra # og Centrum O 
til Tangenten, bliver den første FH — FR, hvoraf følger, at G bliver Midtpunkt mellem 
H og R, og altsaa at Linien fra O gaar derigjennem. Parallelen OG bliver da ifølge 49 
halvt saa stor som Axen AA, [Sætning 50]. Den er tillige Middelstørrelsen mellem F, R 
og FH eller mellem Brændstraalerne F, À og FR. Disses Sum bliver saaledes lig Axen 
[1]. At for Hyperblens Vedkommende Differensen er lig Axen, bevises i 52. 

Dette er, hvad Apollonios har om Brændpunkterne. Han nævner altsaa ingen Sæt- 
ning om Parablens Brændpunkt, hvoraf de moderne Forfattere, der have skrevet om denne 
Sag, have sluttet, at man den Gang slet intet vidste om dette Punkt. At dette er urigtigt, 
have vi imidlertid havt Lejlighed til at se, idet Pappos’ 2den Hjælpesætning til Euklids 
Overfladesteder!) viser, at Euklid har benyttet og altsaa vidst, at det geometriske Sted 
for et Punkt, hvis Afstande fra et givet Punkt og en given ret Linie staa i et 


givet Forhold, er en Ellipse, Parabel eller Hyperbel, eftersom Forholdet er 


= ji, Jeg viste i 10ende Afsnit ved en Anvendelse adenfor det nævnte, tabte Skrift, at 


V 


denne Sætning rimeligvis endog har veret vel bekjendt, maaske fremsat i Aristaios’ 
Solide Steder. At man da under Beskjeftigelsen med Euklids Skrift omvendt maa have set, 
at enhver Parabel kan bestemmes som et saadant Sted, er rimeligt. 

For at forstaa, at Apollonios nu dog hverken har medtaget Parablens Brendpunkt 
og Ledelinie eller de dertil svarende almindeligere Sætninger om Ellipsen og Hyperblen, 
maa man for det forste ogsaa her mindes, at det af Apollonios’ egne Fortaler fremgaar, 
at han ikke kan overkomme at give alt, hvad han ved om Keglesnittene. Man maa der- 
nest i sine Fordringer til, hvad der i hvert Fald maatte vere medtaget, vogte sig for at 
medbringe den moderne Bevidsthed om Brændpunkternes Betydning i Astronomien eller om 
deres Brugbarhed som Udgangspunkt for den hele Keglesnitslære. 

En særlig Forklaring af, at Apollonios ikke ved Siden af de andre Brændpunkt- 


setninger har taget de Parablen indbefattende Setninger om Brendpunkt og Ledelinie med, 


!) Pappos ed. Hultsch, S. 1004 fi. 
30” 


236 


kan man maaske faa i hans Fortales alt ofte benyttede Oplysning om, at tredie Bog særlig 
skal give Grundlaget for Stedbestemmelser — altsaa ikke selve Stedbestemmelserne. Hvad 
enten man nu paa Apollonios’ Tid gjennemforte Bestemmelsen af Stedet for et Punkt, hvis 
Afstande fra et givet Punkt og en given Linie staa i et givet Forhold, paa samme Maade, 
som vi have set, at Pappos gjorde det, eller man dertil brugte en anden Behandling af den 
Ligning af Formen y? = az? + br + C, hvortil Stedet umiddelbart lader sig henføre, saa 
har der til denne Bestemmelse ikke behøvedes noget andet Grundlag end det, som fandtes i 
Apollonios’ første Bog. Anderledes har det derimod været med Bestemmelsen af Stedet for 
Punkter, hvis Afstande fra to givne Punkter have en given Sum eller Differens. I den 
umiddelbare Opstilling af Ligningen for et saadant indgaar der nemlig to Rodtegn. Det 
Arbejde, som disses Bortskaffelse volder os, hår krævet et tilsvarende i den geometriske 
Form, som Grækerne gave saadanne Spørgsmaal. Delte omgaas ved Apollonios' direkte Beviser 
for, at enhver Ellipse eller Hyperbel er et saadant Sted. 

At det nu i Virkeligheden nærmest er dette Maal, Apollonios tilsigter, ses af den 
Flygtighed, hvormed han behandler de øvrige Brændpunktegenskaber, som danne Led i den 
Sætningsrække, der fører ham til dette Maal. Uagtet saaledes hans Sætning 49 i Virkelig- 
heden er en Bestemmelse af Stedet for Projektionen G af et Brændpunkt paa en Tangent, 
og der i det følgende netop benyttes, at G's Afstand fra Keglesnittets Centrum er den 
halve Hovedaxe, nøjes Apollonios dog i Fremsættelsen af den nævnte Sætning med at ud- 
sige, at Hovedaxen fra G ses under en ret Vinkel. 

At Apollonios saa lidet fremhæver de enkelte Brændpunktsætninger, gjennem hvilke 
han naar til sit Enderesultat, kunde let føre til den Anskuelse, at man overhovedet kun 
havde beskjæftiget sig lidt med disse Sætninger og derfor ikke faaet Øjet op for deres 
Betydning. Det er af nogen Vigtighed at faa at vide, om denne Anskuelse er rigtig eller 
ej. Er den det, bliver det nemlig muligt, at det alt anførte virkelig paa Apollonios’ Tid 
var Grænsen for, hvad man vidste om Brændpunkterne, at man saaledes ikke har bemærket, 
at det faste Punkt i de af Euklid kjendte Steder for Ellipsens og Hyperblens Vedkommende 
er et af de to Brændpunkter, og at man ikke har forsøgt at finde de Sætninger om Parab- 
len, som svare til de andre kjendte Brændpunktegenskaber ved Ellipsen og Hyperblen. 
Har man derimod, som jeg skal søge at paavise, beskjæftiget sig mere indgaaende med disse 
sidste, kan Spørgsmaalet om tilsvarende Egenskaber ved Parablen ikke være udeblevet og 
endnu mindre, naar det først var fremkommet, have savnet Besvarelse. Dertil vare de 
gamle for vante til at opstille Sætningerne om Parablen ved Siden af dem om de andre 
Kurver, hvorved de lægge for Dagen, at de godt saa Overensstemmelsen i Sætninger og 
Beviser, om disse sidste end ofte vare formelt uafhængige af hinanden. Navnlig maa Sætnin- 
gerne om en Parabeltangents Stilling mod Brændstraalen til Reringspunktet og om Stedet for 


Projektionen af en Parabels Brændpunkt paa en Tangent!) meget snart have gjort sig gjæl- 
dende og have været yderlig lette at bevise. 

At man har beskjæftigel sig ikke saa lidt med de Brændpunktsætninger om Ellipsen 
og Hyperblen, som danne de enkelle Led i den Bevisrække, der tilsidst forer Apollonios 
til Sætningerne om Brændstraalernes Sum eller Differens, slutter jeg forst af denne Bevis- 
rækkes egen Beskaffenhed. De yderlig simple Hjælpemidler, som den benytter, gjer den 
næsten saa elegant som vel muligt; men den bærer kun i ringe Grad Preget af at betegne 
den Vej, ad hvilken man forst er naaet til Enderesultatel. Dette er meget snarere fundet 
forud som en Besyarelse af Sporgsmaalet om, hvad det geometriske Sted er for Punkter, 
hvis Afstande fra to givne Punkter have en given Sum eller Differens. Delte Sporgsmaal 
kan let være foranlediget ved Konstruktionsopgaver, navnlig ved den at konstruere en Cirkel, 
som bererer tre givne. Om end Apollonios i Skriftet om Beroringerne?) har lost denne 
Opgave, hvormed man rimeligvis ogsaa har beskjæftiget sig tidligere, ved Lineal og Passer, 
har den Tanke at lose den ved geometriske Steder for Centrum dog ligget for ner, til 
at man ikke forst skulde have forsogt dette. 


Den Analyse, som har fort til, at dette Sted er en Ellipse eller Hyperbel, har nu 
rimeligvis været for lidet overskuelig og vidtloftig at omsætte til en Synthese. Ved nærmere 
Studium af de paagjeldende Punkter har man derimod efterhaanden fundet andre dertil 
knyttede Egenskaber ved Kurverne, af hvilke man da efterhaanden har kunnet konstruere 
den Bevisrække, som findes hos Apollonios. At nu — hvad min Paastand gaar ud paa — 
dette Studium har været grundigt og lemmelig omfattende, slutter jeg af selve Bevisrækkens 
overordentlige Simpelhed; thi at sammensætte den af saa simple Led har kun kunnet lyk- 
kes for den, der ud af en sterre Samling Egenskaber har kunnet udvælge de simpleste og 
bekvemmeste for det foreliggende Formaal. 

Et andet Bevis har jeg deri, at det kan paavises, at Apollonios ikke er den 
forste og eneste, der har beskjæftiget sig med de Sætninger, hvorom Talen er. 

Den tredie af Pappos’ Hjælpesætninger til Euklids Porismer°) lyder, idet vi blot 
foretage nogen Forandring af Bogstaverne, medens vi tegne samme Figur (Fig. 65), saaledes: 


!) Den tilsvarende om Ellipsen og Hyperblen [49 hos Apollonios] er et Exempel paa, at det ikke er 
ganske rigtigt, naar man til Forklaring af Apollonios’ formentlige Blindhed overfor Parablens 
Brendpunktegenskaber har gjort gjældende, at han kun beskjæftigede sig med de symmetriske 
Brændpunktegenskaber. Se en Note af Dr. Heiberg i Hist lit. Abthlg. d. Zeitschr. f. Math. u. 
Phys. XXVIII S. 129. 

Pappos ed. Hultsch S. 644 ff Da Apollonios i det nævnte Skrift ogsaa behandler de Tilfælde, hvor 
en eller flere af Cirklerne ombyltes med rette Linier, vilde ogsaa denne Opgave frembyde en natur- 
lig Anledning til at komme ind paa Undersogelse af Parablens Brændpunkt og til at se Overens- 
stemmelsen mellem dette og Ellipsens og Hyperblens Brændpunkter. 

3) Hultsch’ Udgave, S. 906. 


238 


Der er givet en Halvcirkel over A, 4, i Punkterne À og À, oprejses Perpendiku- 
lærerne AM og A, M, paa denne rette Linie, og der drages en vilkaarlig Linie MM; 
i Punktet G (hvor denne Linie skjærer Cirklen) oprejses GF 


pa Ap vinkelret paa M, M; er F dens Skjæringspunkt med A, A, 
/ AN bliver 

N AM.A,M, = A,F.FA 
A} = KE Nr Merkelig nok beviser nu Pappos ikke selve denne Setning, 
M men den omvendte Sætning, eller, da Bevisets Enkeltheder 
Fig. 65. kunne vendes om, kan man sige, at han giver den Analysis, 
hvoraf det synthetiske Bevis for selve den Sætning, som han 
-udsiger, kunde udledes. Den virkelig beviste Sætning falder — uden at noget Keglesnit 
nævnes — nøjagtig sammen med den, at det geometriske Sted for Projektionen af et Brænd- 


punkt i en Ellipse eller Hyperbel (Figuren svarer til denne sidste) er Cirkelen over Hoved- 
axen som Diameter, altsaa ganske den samme, som Apollonios beviser i 49 og dernæst 
anvender i 50, uden dog i sin Iver for at naa til Enderesultatet at give sig rigtig Tid til 
at udsige den. Bestemmelsen af Tangenten M, M ved Rektanglet af de Stykker, som den 
afskjærer paa Toppunktstangenterne, og af Brændpunktet F ved det med det første Rekt- 
angel lige store À, F. FA er nøjagtig den samme som den, Apollonios anvender. Det 
samme. gjælder om hele Pappos’ Bevis. 

Det tør nu antages, at den her foreliggende Hjælpesætning, ligesom Pappos’ 
Hjælpesætninger til bekjendte Værker, ikke har indeholdt andet end udførligere Paavisning 
af noget, som var Hovedværkets Forfatter bekjendt, og som han enten har betragtet som 
bekjendt ogsaa for Læserne eller ladet fremgaa saaledes indirekte af Sammenhængen, at 
et særligt Bevis blev overflødigt. Euklid har altsaa kjendt en Sætning, som efler sit 
Indhold og det Bevis, som Pappos anser for det mest nærliggende, falder nøjagtig sammen 
med en vigtig Sætning i Apollonios’ Brændpunktslære, en Sætning tilmed, som først antager 
en simpel Form, naar den opfattes som Brændpunktsætning. 

At Hjælpesætningen saaledes, paa Formen nær, helt tilhører Brændpunktslæren, 
gjør det sandsynligt, at det samme har været Tilfældet med det eller dem af Euklids Poris- 
mer, til hvis Beviser den hører. Endog Chasles, som ikke antager. nogen bevidst For- 
bindelse mellem Euklids Porismer og Keglesnitslæren, bygger paa den anførte Hjælpesætning 
sit Porisme 174, der — selvfølgelig uden at nævne noget Keglesnit — udsiger, at Perpen- 
dikulærerne paa en Tangent til et Keglesnit i dens Skjæringspunkter med Cirklen over Hoved- 
axen som Diameter gaa gjennem faste Punkter, sine Porismer 194 og 195, der ere Udtryk 
for, at Indhyllingskurven for det ene Ben af en ret Vinkel, hvis andet Ben gaar gjennem 
et fast Punkt, medens Vinkelspidsen glider paa en Cirkelperiferi, er et Keglesnit (med det 
første Punkt til Brændpunkt), og sit Porisme 196, der er Udtryk for, at Indhyllingskurven 


239 


for Korder i en Cirkel, der forbinde Endepunkterne af parallele Korder trukne gjennem 
faste Punkter, som ligge paa en Diameter i samme Afstand fra Centrum, er et Keglesnit 
(med de faste Punkter til Brændpunkter). 

At Euklids Bøger om Porismerne under Former, hvor Keglesnittet ikke nævnes, have 
indeholdt de her nævnte eller andre Brændpunktsætninger!), vil, som alt bemærket (S. 113), 
fuldkommen stemme med den Formodning om Porismernes Fremkomst, som jeg har gjort 
gjældende i 8de Afsnit, saafremt man tor antage at allerede Euklid kjendte mere af Læren 
om Brændpunkter end netop Stedet for Punkter, hvis Afstande fra et givet Punkt og en 
given Linie staa i et givet Forhold. Om at dette har været Tilfældet, vidner Pappos’ Hjælpe- 
sætning. Undersogelser over Brændpunkter have altsaa været kjendte en Tid for 
Apollonios, og da kan man ikke have forsomt Parablen. 

Har jeg Ret i disse Paastande, bliver der rigtignok paa ny nogen Grund til al 
undre sig over, at i Apollonios’ Verk, der dog skulde fore ind i den hele Keglesnitslere, 
nogle af de vigtigste Brændpunktegenskaber ved Ellipsen og Hyperblen kun tages med som 
Led i en Bevisrekke, og at de tilsvarende Setninger om Parablen slet ikke nevnes?). Idet 
jeg herved fremfor alt tænker paa Sætningerne om Tangentens Stilling mod Brændstraa- 
lerne til Reringspunktet, kan Grunden ikke vere den, at de have fundet Plads i Verker 
om geometriske Steder. Den kan imidiertid ikke godt vere nogen anden end den, at man 
i andre Skrifter har givet sig tilstrækkelig af med disse Sætninger. 

Der er en bestemt Klasse Skrifter, hvorpaa man herved maa tænke, nemlig Skrif- 
terne om Katoptrik eller om Lysets Tilbagekastning fra spejlende Flader. I et nylig 
opdaget Brudstykke af et saadant, nemlig i den Del af det saakaldte «Fragmentum Bo- 
_biense», som er tolket af Dr. Heiberg®), finder man ogsaa virkelig et fuldstændigt Bevis 
for den Sætning, at en Parabeltangent danner lige store Vinkler med Axen og med Brænd- 
straalen til Roringspunktet. Om dette Bevis end rimeligvis er udarbejdet i en langt senere 
Tid end den, hvormed vi her beskjeftige os, skulle vi dog her meddele det, da det er det 


1) Da Bogerne om Porismerne i det mindste fortrinsvis have indeholdt (ufuldstændige) Stedsætninger, 
og da jeg er tilbøjelig til at antage noget større Afstand mellem Euklids Porismer og Pappos’ Hjæipe- 
sætninger end Chasles, kunde jeg snarere tænke mig den citerede Hjælpesætning anvendt i et 
Porisme, som omhandler Stedet for Skjæringspunkterne mellem en Tangent til et Keglesnit og en 
Skraalinie trukket fra et Brendpunkt under en given Vinkel med Tangenten. 


2) Som en mulig Anledning hertil kunde anføres, at Beviserne for Parablens Brændpunktegenskaber 


lettest fores derved, at Subnormalen er ER (SN paa Fig. 66 i det følgende), idet paa Grund heraf 


F bliver Midtpunkt af PN, altsaa FR = FP. Vi have nemlig set af Fortalen til Apollonios' 5te 
Bog, at Værdien af Subnormalen var kjendt før Apollonios, og at han kunde have taget den med i 
første Bog, men for Sammenhængens Skyld har opsat det til Ste. Apollonios vilde dog ikke heraf 
lade sig hindre i at faa Parablens Brændpunktegenskaber med i 3die Bog, hvis det havde været 
ham af nogen Vigtighed. 

3) Hist. lit. Abthlg. d. Zeitschr. f. Mathm. u. Phys. XXVHI, 4. 


240 


ældste, som er opbevaret, og da det slutter sig aldeles nøje til de i Apollonios’ Keglesnits- 
lære indeholdte Sætninger. 

Naar (Fig. 66) F er Brændpunktet i en Parabel bestemt paa Axen ved Afstanden 

AF = 1p fra Toppunktet, og naar RS og RP ere Ordinat og Tangent til et vilkaarligt 

Kurvepunkt À, bliver ifølge Parablens Ligning, og fordi 


E A er Midtpunktet mellem P og S, Stykket AG af Top- 
| La punktstangenten bestemt ved 
fle TAS AG? = 1SR? —1ip.AS = AF. AS = AF. PÅ. 
|; NC / | N Heraf følger, al FG PR, og da PG = GR, at 
Ex = x — x PF = FR, samt at 2RPF = /FRP. [Afsæltes 
\ paa Axens Forlengelse AH — FA, folger ogsaa af 
N PF = FR, at FR = ES, alisaa den tidligere om- 
à talte Hovedegenskab ved Parablens Brændpunkt, men 
Fig. 66. herpaa gav Katoptriken ikke Forfatteren Anledning til 


at komme ind]. 

Om det Brudstykke, hvis Indhold her er gjengivet, opstiller Heiberg i Overens- 
stemmelse med Belger, der tidligere havde tolket Fortsættelsen af samme Manuskript, 
. den Formodning, at det skyldes Anthemios i det 6te Aarhundrede efter Kr. og har 
sluttet sig til et andet opbevaret Fragment af denne Forfatter"): «Men da de gamle ogsaa 
have nævnt de sædvanlige Brandspejle, hvorledes man skal konstruere Indfaldsfladerne, kun 
rent mekanisk, uden at fremfore geometriske Beviser derfor, men idet de betegne alle saa- 
danne (9: Fladernes Meridianer) som Keglesnit uden at angive hvilke, og hvorledes de opstaa, 
saa ville vi her forsoge at give Konstruktionen af nogle saadanne Indfaldsflader, og det 
ikke uden Bevis, men begrundet ved geometriske Methoder». 

At Anthemios her ses ikke at kjende noget ældre Bevis”), er, som Heiberg siger, 
en Grund til at antage, at det nys efler Fragmentum Bobiense meddelte ikke er eldre 
end ham, og da det netop opfylder det Løfte, som han giver, er det naturligt at tillægge 
ham det. Anthemios’ Mangel paa Kjendskab til noget ældre Bevis kan derimod ikke vere 
noget paalideligt Vidnesbyrd om, at ingen tidligere har fort et saadant. Trvertimod, idet 
Anthemios oplyser os om, at man for hans Tid har kjendt Brandspejle dannede af Kegle- 
snit, hvilket kun kunne vere saadanne, som ere dannede ved Keglesnits Omdrejning om 
Hovedaxen, faa vi med ganske samme Sikkerhed at vide, at man har bevist disse Brand- 
spejles Hovedegenskab. Saadanne Spejle ere nemlig for vanskelige at konstruere til, at 


1) Gjengivet efter Heiberg. 

*) Afgjorende er dette Argument dog ingenlunde, da Anthemios ikke behover at have kjendt Manuskrip- 
tet. Denne Grund er saaledes ikke nogen Hindring for med Cantor (Hermes XVI, 637 ff.) at antage 
som en Mulighed, at Manuskriptet er langt ældre og f. Ex. kunde skyldes Diokles. 


241 
nogen kunde falde derpaa uden forud ad theoretisk Vej at have fundet og bevist deres 
Egenskaber. Hvis da de «gamle», som Anthemios kjender, skulle have kjendt saa lidt til den 
gamle græske Mathematik, at de have omtalt Brugen af parabolske Hulspejle uden at kunne 
bevise den, maa de have skyldt, hvad de vidste derom, til endnu ældre Forfattere, der 
have fort Beviserne. 

Naar de gamle hos Anthemios kun have talt om Brugen af Keglesnit uden at an- 
give, hvilke, kunde imidlertid den Mulighed blive tilbage, at de kun have tenkt paa ellipso- 
idiske Hulspejle, og da i Henhold til Apollonios’ tredie Bog have vidst, at Straaler , som 
udgaa fra det ene Brendpunkt, kastes tilbage til det andet. Denne Mulighed er virkelig til- 
stede, hvis det kan antages, at man for Anthemios’ Tid ikke har beskjæftiget sig med 
Studiet af parallele Lysstraalers Tilbagekastning. 

Herpaa kunde det Værk, som er opbevaret os under Navnet Euklids Katoptrik, tyde. 
Der findes intet deri om parallele Lysstraaler, og i dets sidste Sætning, som handler om 
sferiske Hulspejle, betragtes udtrykkelig Straaler, som udgaa fra et Punkt af Solen, og 
ikke parallele Straaler. Da der tilmed ikke siges noget om Grænser for dette Lyspunkts 
Nærhed, og det blot stiltiende betragtes som fjernere fra Spejlet end Kuglecentret, faas 
ingen anden Grænse for de tilbagekastede Straalers Skjæringspunkter med Diameteren gjen- 
nem Lyspunktet end selve Centret. 

Det turde vere denne Omstendighed, som -har foranlediget Forfatteren af det Stykke 
af Fragmentum Bobiense, som følger efter Beviset for Parabelsetningen'), til at sige, at nogle 
sælte det cirkulære Spejls Brændpunkt i Centrum; men — tilføjer han — denne fejlagtige 
Mening har Apollonios tilstrekkelig modbevist i sin Bog om Brandspejle (eller «mod 
Katoptrikerne»), og han har gjort tydeligt, hvor Brændpunktet ligger. Hvad det nu er for 
et Brendpunkt, Talen er om, faar man al vide derved, at Fragmentets Forfatter, trods denne 
Anerkjendelse af Apollonios’ Resultat, ikke er rigtig fornejet med hans Fremstilling og der- 
for sætter en anden i Stedet. Af denne?) ses det, at Talen er om parallele Straaler, 
der kastes tilbage af et sferisk Spejl, som af enhver Diametralplan 
gjennem Axen DB skjæres i en Cirkelbue À BC paa 90°. Det bevises, 
at de tilbagekastede Straaler treffe Axen i Punkter beliggende mellem \ 
Midtpunktet Æ af Radien DB og dens Skjæringspunkt / med den be- mr ÆRES 
grænsende Lillecirkel AC’s Plan. D BF | 

Dette samme har Apollonios altsaa vidst og udtalt. Da nu | 
Hulspejlets Brugbarhed som Brandspejl beror paa Nærheden af Punk- 
terne Æ og F, har denne Undersøgelse indeholdt en Opfordring til at 


å Fig. 67. 
spørge, om der ikke kunde gives Hulspejle, som kaste alle parallele 


1) Hvad der heraf ikke findes hos Heiberg, maa søges i Belgers Artikel i Hermes XVI S. 261 ff. 
?) Se Gantors Gjenfremstilling i Slutningen af hans og Wachsmuths Artikel i Hermes XVI. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. II. 1. 31 


242 


Straaler tilbage til samme Punkt. Denne Opfordring maatte faa en forøget Magt for Apol- 
lonios derved, at han ved sit Kjendskab til Ellipsens Brændpunkter var i Stand til at kon- 
struere Spejle, som kaste Straaler udgaaende fra et fast Punkt tilbage til et andet, og han 
maa tillige derved være ledet til at prove, om ikke parabolske Spejle netop skulde have 
den forlangte Egenskab. At han, naar Sporgsmaalet forst var rejst, med stor Let- 
hed vilde finde Svaret, er indlysende. 

Saaledes se vi, at Sporgsmaalet om Brandspejle maatte have fort Apollonios ind 
paa Betragtning af Parablens Brendpunkt, hvis han ikke kjendte det forud. Jeg er for 
øvrigt mest tilbøjelig til at antage, at han kjendte det, og at det ikke er fra Studiet af de 
sfæriske Brandspejle, at man er gaaet over til de paraboloidiske og muligvis ellipsoidiske, 
men at det omvendt er, efterat man ved Opdagelsen af Brændpunktsætningerne havde ind- 
set Brugen af paraboloidiske Hulspejle, at man har undersogt, i hvilken Grad sferiske Hul- 
spejle, som man kunde konstruere, og som maaske ogsaa tidligere have faaet saadan flyg- 
tigere Behandling som i den Euklid tillagte Katoptrik, kunde træde i Stedet for disse. 

Det har da været med denne Undersogelse, at Apollonios har beskjæftiget sig i sit 
katoptriske Arbejde, og naar han efter Omtalen i Fragmentum Bobiense ikke synes at 
vere gaaet udførlig ind paa Behandlingen af paraboloidiske Spejle”), har den naturlige 
Grund dertil veret, at disses Egenskaber vare bekjendte. Om Opfindelsen af disse kan man 
maaske saa gjere den Gisning, at den skyldes Archimedes, der har givet sig saa meget 
af med Parablen og Omdrejningsparaboloiden, og som ogsaa i et tabt Skrift har behandlet 
Katoptriken?). Mon ikke netop denne Opfindelses iojnefaldende Skjonhed skulde vere Kilden 
til Sagnet om, at han ved Brendspejle satte Ild paa den romerske Flaade? 

At de forskjellige Brandspejles Opfindelse er foregaaet i denne naturlige Orden, 
passer ret vel med, at Anthemios i de citerede Linier kalder de af Keglesnit frembragte 
Brandspejle de sædvanlige (ovvyd7). Paa Grund af Vanskeligheden ved at konstruere dem 
have de næppe praktisk talt veret sædvanlige paa en Tid, da man ogsaa kjendte de sferiske. 
Benævnelsen vil derimod vere forstaaelig, hvis den oprindelig hidrorer fra det Skrift, hvor 
Leren om de sfæriske Spejle forst udvikles, altsaa maaske fra Apollonios’ katoptriske 
Arbejde. 


I Forbindelse med Keglesnittenes Brendpunktegenskaber har jeg i det foregaaende 


ogsaa nævnt Konstruktionen af en Cirkel, som berører tre givne, og Apollonios’ Skrift om 


denne Opgave. Forbindelsen bestaar i, at det geometriske Sted for Centret i en Cirkel, 
som berorer to givne, er sammensat af to Keglesnit med Brendpunkter i Cirklernes Centre 


1) Det var ikke utænkeligt, at det er hos ham, at Anthemios har set de af Keglesnit dannede Brænd- 
spejle omtalte uden nogen nærmere Redegjorelse for, eller Begrundelse af deres Beskaffenhed. 
2?) Heiberg: Quæstiones Archimedeæ S. 33, eller Heibergs Archimedes II, S. 466—467. 


Vpn 


243 


(Parabler, hvis den ene Cirkel ombyltes med en ret Linie). Selve Opgaven kan loses ved 
Lineal og Passer, og Apollonios har derfor ikke benyttet disse Keglesnit; men derved faar 
omvendt dens plane Losning Betydning overfor disse. Konstruktionen af en Cirkel gjennem 
to givne Punkter, som berører en given Cirkel, er i Virkeligheden den samme som Kon- 
struktionen af Skjeringspunkterne mellem en ret Linie og et Keglesnit med givne Brænd- 
punkter og given Længde af Hovedaxen!), og Konstruktionen af en Cirkel gjennem et givel 
Punkt, som berører to givne Cirkler, er en Konstruktion ved Lineal og Passer af Skjærings- 
punkterne mellem to Keglesnit med et fælles Brændpunkt. 

Der foreligger vel intet, som tyder paa, at Grækerne have gjort Brug af disse 
Omstændigheder, og den ringere Grad af Interesse for Brændpunkterne, hvorom Manglen 
af Undersogelse af Parablens Brendpunkt i Apollonios’ Hovedverk var et Vidnesbyrd, gjor det 
maaske endog usandsynligt; men naar der skal gjores Rede for de Midler, som Grækerne 
havde. til deres Raadighed, hvor der maatte blive Brug derfor, fortjener Konstruktionen af 
Berøringscirklerne til 3 Cirkler og Løsningerne af de deri indbefattede speciellere Opgaver, 
som Apollonios ifølge Pappos ogsaa har medtaget, at nævnes. 

Det vil af den Grund ikke være upassende her at tilføje nogle Ord om, hvorledes 
Apollonios rimeligvis har løst disse Konstruktionsopgaver, hvad man faar bedre Oplys- 
ning om af Pappos’ Hjælpesætninger til hans tabte Skrift herom end af dennes fleste andre 
Kommentarer. Naar der nemlig som Hjælpesætning til anden Bog anføres”) Konstruk- 
tionen af en Trekant, som er indskreven i en Cirkel, medens Siderne gaa gjennem tre faste 
Punkter af en ret Linie, saa er det rimeligt at antage, at Apollonios i sin anden Bog, 
hvor Løsningen af den de blandt Beroringsopgaverne fandtes, har gjort Brug af 
folgende meget nerligge Hie Reduktion til den af Pappos behandlede Opgave. 

Lad A, B og C (Fig. 68) vere Centrene i de tre givne Cirkler, hvis Radier vi 
skulle kalde a, b og c, og lad en af de søgte Beroringscirkler vere tegnet. Da vil, hvad 
vi blandt andet af Pappos’ 4de Bog’) kunne se, at ogsaa de gamle vidste, Forbindelses- 
linierne mellem Roringspunkterne P, Q og À gaa gjennem saadanne 3 Lighedspunkter D, 
E, F, som ligge i en ret Linie. Forlænges nu PQ og PR til de i S og T atter skjære 
Cirklen om A, bliver Linien S 7 parallel med QR og vil saaledes skjære Linien DEF i 

m 
et Punkt G bestemt ved ni — = Det kommer da an paa i Cirklen om A at ind- 
skrive en Trekant PST, hvis Sider gaa igjennem de bekjendte Punkter G, E og F. 


1) Derfor kan man legge denne Opgave og dens Diskussion til Grund for en elementær geometrisk 
Keglesnitslere, saaledes som jeg har gjort i Tidsskrift for Mathematik 1878 i et Arbejde, som senere 
er særlig udgivet paa tysk tude Tillen: Grundriss einer elementar-geometrischen Kegelschnittslehre 
(Leipzig 1882). 

2) Hultsch' Udgave S. 848. 

3) Hultsch' Udgave S. 210. 


31" 


Den af Pappos anforte Los- 
ning af denne Opgave findes ved 
at drage Korden T'U parallel med 
EF samt Korden UP, som an- 
tages at skjære EF i A. Fir- 
kanten SPHG vil da være ind- 
skrivelig, idet Vinklerne S og H 
blive Supplementvinkler, og Punk- 
tet H kan altsaa bestemmes der- 
ved, at #@.FH skal vere lige 
stor med /’s Potens med Hen- 
syn til Cirklen A. 

Opgaven er da nu aller re- 


duceret til den fra L og H til 
et ubekjendt Punkt P af Cirklen 
A at drage to Linier, mellem hvis 
andre Skjæringspunkter med Cirk- 
len A der afskjæres en Korde 
\ / UT, som er parallel med Linien 
E EH. Denne Opgave, der er iden- 
Ho GA tisk med den at bestemme Ro- 

ringspunktet P mellem Cirklen 
A og en Cirkel, der gaar gjennem Æ og LH, loser Pappos i en Hjælpesætning til første 
Bog om Beroringerne!) ved at bestemme Skjæringspunktet Z mellem ELH og Tangenten 
til Cirklen A i Punktet U. Dette sker derved, at Firkanten UPEI bliver indskrivelig, saa 
HE. HI bliver lige stor med H’s Potens med Hensyn til Cirklen A. 

Som man vil se, er der ved den her udledede Konstruktion af en Cirkel, som 
berører tre andre, gjort saa umiddelbar Anvendelse af Pappos’ Hjælpesætninger, at det 
neppe kan betvivles, at Losningen falder ner sammen med den, paa hvilken Pappos tenker. 
Den maa da ogsaa i det vesentlige falde sammen med Apollonios’ egen, selv om Pappos 
ved sine Hjælpekonstruktioner, der ere for vanskelige til, at Apollonios uden videre kan 
have forudsat dem bekjendte, skulde have tilsigtet enkelte Ændringer i Apollonios’ Kon- 
struktioner eller Beviser. 


1) Hultsch’ Udgave S. 834. ff. 


Syttende Afsnit. 
Ligedannede Keglesnit; Apollonios 6te Bog. 


Med Hensyn til nærværende Arbejdes Opgave, som er at drage frem, hvad Græ- 
kerne overhovedet have vidst om Keglesnittene, samt undersage, hvorledes de have erhver- 
vet, sikret og anvendt denne Viden, har Apollonios’ 6te Bog ikke stor Betydning. De Sæt- 
ninger om Kongruens og Ligedannethed, som den indeholder, ere nemlig saadanne, som 
man i Reglen vilde betragte som umiddelbart indlysende, og som man ikke har betenkt 
sig paa at bruge for Apollonios’ Tid, og for Beviserne indeholder forste Bog et saa godt 
Grundlag, at den, der er fortrolig med dette, ikke vil vere i Tvivl om, hvorledes de skulle 
fores. Foruden disse indeholder 6te Bog et Par smukke Konstruktioner i Rummet, af 
hvilke den ene dog blot. er en videre Udførelse af en, som i et bestemt Ojemed er fore- 
lagen i ferste Bog, medens den anden er en Behandling af en beslegtet Opgave. 

Af disse Grunde faa vi ikke i 6te Bog Lejlighed til at se Apollonios overvinde 
nogen ny, egentlig geometrisk Vanskelighed. Bogens Fortjeneste er derimod af en mere 
ordnende og systematiserende Natur, idet den ved Henforelse til bestemte Definitioner og 
Beviser, som slutte sig til det i hans første Bog opstillede System, skaffer Herredomme 
over den tilsyneladende umiddelbare Viden, saaledes at den mindre sikre Forsker beskyttes 
mod Fejltagelser, og den forsigtige spares for den Ulejlighed at opstille Beviser for hvert 
enkelt af de Tilfelde, som henhere under det i denne Bog behandlede almindeligere 
Omraade. 

Sjette Bog tjener saaledes ikke til at give Keglesnitsleren et storre Indhold men 
udelukkende storre Fasthed. Naar Apollonios dog selv har hensat den i en af de for sær- 
lige Undersogelser bestemte sidste Boger, maa det komme af, at udtrykkelige Opstillinger 
af de heri indholdte Sætninger i det mindste delvis var noget nyt. Vi kunne da i denne 
Bog se en Prøve paa saadanne systematiserende Specialundersogelser, som vist nok ogsaa 
i sin Tid maa vere gaaede forud for Opforelsen af andre Dele af den græske geometriske 
Lærebygning, saaledes som vi finde dem hos Euklid og i Apollonios’ forste Boger, og 
have tjent til at give dem deres beundringsverdige Fasthed og Paalidelighed. 

At de Vanskeligheder, som have veret at overvinde i sjette Bog, i sig selv ere 
saa ringe, og at denne Bogs Indhold slutter sig saa nøje til førstes, giver en Bekreftelse 
paa vor i trettende Afsnit fremforte Paastand om, at det ikke er Undersogelsernes Gjen- 
stand, der gjør Forskjellen mellem de fire sidste og de fire første Bøger i Apollonios’ 
Keglesnitslere. 


246 


At man ogsaa for Apollonios har givet sig af med kongruente og ligedannede 
Keglesnitslinier og Buer af saadanne, tilkjendegives i de sidste Ord af 6te Bogs Fortale, 
som udtrykke, at Læren herom i denne Bog behandles noget fyldigere og klarere end af 
dem, der tidligere have skrevet herom. Der forefindes da ogsaa et opbevaret ældre Skrift, 
hvor der gjeres en meget omfattende Brug af ligedannede Keglesnit, og hvor Begrebel 
Ligedannethed endog anvendes paa Omdrejningsflader af anden Orden, nemlig Archi- 
medes’ Bog om Konoider og Sfæroider. 

I denne ses det, at det maa have været bekjendt, at alle Parabler ere ligedannede, 
idet Archimedes betragter den hermed beslægtede Sætning, at alle Omdrejningsparaboloider 
ere ligedannede, som umiddelbart indlysende”). Hans Kjendetegn paa, at Ellipser og Hyperb- 
ler ere ligedannede, erfare vi udtrykkelig, idet der om parallele Snit i de Omdrejningsflader af 
anden Orden, hvormed Archimedes beskjæftiger sig, siges, at de ere ligedannede, fordi de 
under rette Vinkler oprejste Ordinaters Kvadrater i alle disse Snit staa i samme Forhold 
til Rektanglerne af Ordinaternes Afstande fra Toppunkterne?). Hvis man bestemmer Læng- 
den af Hyperblens anden Axe paa samme Maade, som Apollonios (og Nutidens Mathemalikere) 
gjør det, falder dette Kjendetegn sammen med det, at Axerne ere proportionale. I Overens- 
stemmelse hermed kaldes de Omdrejningsellipsoider ligedannede, hvis Axer ere proporlio- 
nale”), og blandt de af Archimedes betragtede Omdrejningshyperboloider saadanne, hvis Asymp- 
totekegler ere ligedannede. Hertil føjes endnu Definitioner paa Segmenters Ligedannethed. 

Med Hensyn til disse forskjellige Udsagn er man — som allerede ved Euklids 
særlig for retliniede Figurer eller Omdrejningskegler gjældende Definitioner paa Ligedannet- 
hed — fra et rent logisk Synspunkt i nogen Forlegenhed med, om man skal kalde dem 
Definitioner eller Paastande. 1 Virkeligheden have jo nemlig alle disse Tilfælde noget til- 
fælles, som man ikke udtaler, men for hvilket man tydelig viser, at man har et sikkert 
praktisk Blik, idet man hver Gang giver netop de Figurer, der have dette fælles, og ikke 
andre Navnet ligedannede. Manglen paa en Definition paa dette fælles undgaar man ved 
i de enkelte Tilfælde at betragte som Definitioner det, der under Forudsætningen af en 
almindelig Definition paa Ligedannethed, vilde vere Sætninger. Parablen og Paraboloiden 
komme. dog derved til at spille en særlig Rolle, idet det udefinerede, men tydelig opfattede, 
almindelige Begreb Ligedannethed passer paa dem alle, og der saaledes ikke her bliver 
Plads for nogen Opstilling af en udskillende Definition. 

En saadan Vej folger Archimedes i hvert Fald for Fladernes Vedkommende. For 
Kurvernes er det derimod muligt, at han stetter sig paa lidligere Arbejder, som direkte 
behandle Ligedannetheden; thi det er netop paa saadanne, at Apollonios’ anferte Ord i For- 


1) Heibergs Udgave I, S. 278. 


HRS. 


356. 
217128522 


83. 


Wei 


talen pege hen. I et saadant Skrift kan der da vere givet en Definition paa Keglesnits 
Ligedannethed af samme Beskaflenhed som den, der findes hos Apollonios, nemlig folgende 
[Def. 2]: Saadanne Keglesnit kaldes ligedannede, i hvilke, idet Ordinaterne oprejses vinkel- 
ret paa Axerne, Ordinaterne blive proportionale med de tilsvarende Abscisser regnede ud 
fra et Toppunkt, naar tillige disse Abscisser ere indbyrdes proportionale. 

Denne Definition er af en almindelig Natur, om den end umiddelbart blot er knyttet 


til Keglesnit, henforte til en Axe og en Toppunktstangent som Koordinataxer. Den er nemlig 


blot den specielle Form, som der netop er Brug for, af folgende Definition — som de 
gamle rigtig nok ikke have udtalt —: Kurver kaldes ligedannede, naar de kunne henfores 


saaledes til retvinklede Koordinatsystemer, at tilsvarende Punkters to Koordinater staa i et 
og samme konstante Forhold. Ogsaa i den mere begrensede Form hos Apollonios omfatter 
Definitionen paa én Gang alle Keglesnit. Det bliver derved en Setning, at alle Parabler 
ere ligedannede [11], og en Sætning, at Ellipser eller Hyperbler ere ligedannede, naar deres 
«Figurer» over en Axe ere ligedannede, 9: i Henhold til Apollonios’ Fremstillingsmaade, 
naar deres ene Axe og den tilhorende Parameter ere proportionale [12]. Archimedes’ 
Kjendemerke folger ogsaa ligefrem heraf. 

Naar jeg ikke anser det for umuligt, at man ogsaa for Apollonios kan have op- 
stillet denne Definition, er det, fordi der endnu kan have veret et bestemt Fremskridt, for 
hvis Skyld Apollonios kan have taget fat paa Ligedannethedsleren. Ved Definitionen saa- 
vel som ved de tidligere hos Archimedes forefundne Kjendemærker var der nemlig kun 
taget Hensyn til Henforelsen til Axerne. Apollonios, der — som han selv fremhæver i 
Fortalen til femte Bog — stræbte at give sine Sætninger en saadan almindelig Form, at 
de lige saa fuldt omfattede hvilke som helst konjugerede Diametre, maatte ogsaa onske 
et til disse knyttet Kjendemærke. I Sætning 13 godtgjor han, at Keglesnit ere ligedannede, 
naar «Figurerne» over Diametre, der danne samme Vinkler med de tilhørende Ordinater, 
ere ligedannede (9: naar disse Diametre ere proportionale med de tilherende Parametre). 
Beviset, som maa knyttes til den til Axerne horende Definition, fores let ved den i forste 
Bog givne Koordinatovergang fra en vilkaarlig Diameter til en Axe. Det beror i Virkelig- 
heden blot paa, at de retliniede Figurer, hvorved denne Overgang foretages, ere ligedannede. 

Jeg skal her bemærke, at i alle enkelte Tilfælde, hvor det sidst omtalte Kjende- 
mærke paa Ligedannethed maatte forekomme, har det i og for sig været lige saa nerlig- 
gende at betragte Keglesnittene som ligedannede, som naar Koordinaterne ere retvinklede, 
og at serlig Ligedannetheden af de paa ensartet Maade til Keglesnittene knyttede retliniede 
Figurer har været ligesaa iojnefaldende. Der er derfor intet i Vejen for, at saadanne 
Tilfælde kunne vere behandlede forud, navnlig ikke for, al man kan have gjennemfort Be- 
stemmelsen af et Par konjugerede Diametre til et Sted til fire Linier saaledes, som jeg har 
antaget i 7de Afsnit. Man maa tverlimod netop antage, at Beskjæfligelsen med saadanne 


Tilfælde har bidraget til at fremkalde Apollonios’ 6te Bog ved at vise Onskeligheden af 
at faa selve Keglesnittene lagne med ind i denne Ligedannethed af de tilhørende retliniede 
Figurer, som man benyltede. Ligeledes, hvis Eratosthenes’ Steder til Mellemstorrelser 
have været de Keglesnit, som vi anførte i fjortende Afsnit, maa man i hvert Fald have set 
og vistnok — som vi ogsaa have opstillet en Formodning om — kunne have benyttet deres 
Ligedannethed. Man kan da enten have betragtet den som indlysende eller fort særskilte 
Beviser for den. I begge Tilfælde har der heri været en Opfordring til en saadan alminde- 
ligere Behandling som den, Apollonios giver i 6te Bog. 

Der vil ingen Grund vere til at dvæle ved Bogens Sætninger om Kongruens, om 
Tilfælde, hvori Keglesnit ikke kunne være kongruente eller ligedannede, samt de tilsvarende 
Sætninger om Keglesnitsbuer eller de Segmenter, der afskjæres af Korder (saasom at Buer 
af Keglesnit, der ikke selv ere ligedannede, ikke kunne vere ligedannede, eller at en Bue 
af en Ellipse kun er kongruent med tre andre Buer af samme Ellipse, at ingen Del af et 
Keglesnit er en Cirkelbue o. s. v.). 

Vi skulle derimod berore Konstruktionerne i Bogens Slutning. Den sidste af disse 
er blot en Gjengivelse i en ny Form af en Konstruktion, som alt er udført i første Bog. Den 
Gang gjaldt det — som vist i 3die Afsnit — i Grunden kun om at vise, at en Ligning af 
Formen y? = pr «ax? altid fremstiller et Snit i en Omdrejningskegle. Idet en saadan 
Fremstilling af en Kurve i skjevvinklede Koordinater fores tilbage til en Fremstilling af 
samme Form i retvinklede, gjaldt det herved blot om at faa en eller anden Omdrejnings- 
kegle lagt gjennem en paa den angivne Maade fremstillet Kurve, hvor en Axe og den til- 
horende Parameter ere opgivne. For at opnaa dette valgte Apollonios paa Forhaand — om 
end kun indirekte ved Indferelsen af en Cirkel, hvorpaa han vilde have Toppunktet belig- 
gende — Toppunktsvinklen vilkaarlig, for Hyperblens Vedkommende dog med en vis Grænse- 
betingelse. 

Forskjellen kommer nu blot til at bestaa i, ati 6te Bog den Opgave at konstruere en 
Omdrejningskegle ligedannet med en given, som indeholder en given Hyperbel [32] eller 
Ellipse [33], stilles og løses selvstændig og fremstilles i den for Konstruktionsopgaver ved- 
tagne synthetiske Form. Denne medforer for Hyperblens Vedkommende en Opstilling 
forud af den nodvendige Diorisme og en særlig Behandling af Opgaven i Grænsetil- 
feldet. Baade for Ellipsen og Hyperblen føres tillige Beviser for, at man faar alle Las- 
ninger med, noget, som vil vere fulgt umiddelbart af den til den synthetiske Fremstilling 
svarende Analyse. Wa der ikke siges, hvorledes det givne Keglesnit tænkes givet, er det 
vel ogsaa muligt, at man har tænkt sig det forelagt som tegnet, og at Axen med tilhørende 
Parameter, der — ligesom i forste Bog — benyttes i Konstruktionen, tænkes konstruerede 
først ved Hjælp af anden Bog. I Realiteten er der derimod slet ingen Forskjel fra, hvad 
man finder i ferste Bog. 


Ogsaa for Parablens Vedkommende gjorde Apollonios i forste Bog indirekte et 
Valg af Toppunktsvinklen i den rette Kegle, som han lagde gjennem Kurven. Losningen i 
sjette Bog [31] af den Opgave, at lægge en ret Kegle ligedannet med en given gjennem en 
given Parabel, faar derved heller ingen Interesse. 

Forud for disse Opgaver behandler Apollonios den, i en given ret Kegle at ind- 
fore plane Snit kongruente med en given Parabel [28], Hyperbel [29] eller Ellipse [30]. 
Deres Losning kunde let være udledet af de Losninger af de omvendte Opgaver, som vi 
nu to Gange ere stødte paa; men Apollonios udleder nye Løsninger af de i første Bog 
givne Bestemmelser af et vilkaarligt Snit i en vilkaarlig cirkulær Kegle. 

Er — idet vi se bort fra det simple 
Tilfælde, hvor Kurven er en Parabel — A 
Keglens Toppunkt og ABC den Trekant 
gjennem Keglens Axe, hvis Plan skjærer dens alee NES 
Grundflade i den paa det forelagte Snits Spor 
i Grundfladen vinkelrette Diameter BC, er 
endvidere TZ Snitplanens Skjæringslinie 
med Figurplanen, og AD + TZ, bestemtes 
i første Bog Forholdet mellem Snittets Dia- 
meler a og den tilsvarende Parameter p ved 
P CD.DB 
a A D? 
ABC, og skjærer den AD i E, faas heraf 

p AD.DE DE 

a AD: AD’ 


hvorved, naar P er givet, Linien A D let kon- Lea 
1 a § b) 


Omskrives en Cirkel om 


strueres.. Er Kurven som paa Fig. 13 en Hyperbel, faas en Mulighedsbetingelse. Indenfor 
Mulighedsgrenserne for Hyperblen, og altid for Ellipsen, faar Opgaven to Oplesninger. 

Retningen af det sogte Snits Diameter bliver saaledes bestemt. Er dens Lengde 
a tillige bekjendt, skal der blot mellem Linierne AB og AC indskydes en Linie TZ af 
den opgivne Længde og parallel med den fundne Linie AD. 

Apollonios behandler nu imidlertid blot den Opgave at anbringe en given Kegle- 
snitslinie paa en given ret Kegle. Figurplanen kan da være en vilkaarlig Diametralplan 
i denne, og AB — AC. 

Da denne sidste Specialisation aldeles ikke medfører nogen Simplifikation i Kon- 
struktionen, kan det have sin Interesse at se, hvad det da er for en almindeligere Opgave, 
der loses lige saa let som den, Apollonios behandler. Det vil vere den, naar en skjæv 
Kegle og en vilkaarlig Plan gjennem dennes Axe ere givne, da at anbringe et Snit saaledes, 


Videnskab. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. III. 1. 32 


250 


at det i denne Plan faar en Diameter af given Længde, og at den dertil horende Parameter 
ogsaa faar en given Længde. Var nu end Løsningen lige saa simpel, blev Opgaven kun- 
stigere, idet Keglesnittet ikke mere er kongruent med et givet, og det er derfor for- 
staaeligt, at Apollonios ikke har bekymret sig om denne almindeligere Opgave. 

Anderledes stiller Sagen sig, naar man vel lader Keglen vere skjev, men antager, 
at Figurplanen er Keglens Symmetriplan. Den løste Opgave er nemlig da den: at anbringe 
et givet Keglesnit i en given cirkulær Kegle vinkelret paa dens Symmetriplan. Det er klart, 
at Apollonios lige saa vel vilde have fundet Løsningen af denne Opgave som af den, hvor 
Keglen er ret, hvis han havde brudt sig derom. 

Det samme gjaldt om den nys omtalte, baade i sjette og forste Bog fremsatte Los- 
ning af den omvendte Opgave — som i Grunden blot er en anden Losning af den samme 
Opgave. Ogsaa den var det os derfor bekvemmest!) at knytte til den samme Figur, idet 
hverken AB = AC eller den Omstendighed, at Keglen blev ret, gav Anledning til nogen 
Lettelse. I første Bog havde det imidlertid, som vi have vist, sine gode Grunde, at Apol- 
lonios netop onskede en ret Kegle. I sjette bliver det derimod paafaldende, at han ikke 
giver sin i de to Former fremkommende Opgave den udvidede Skikkelse, som begge hans 
Løsninger umiddelbart kunne faa, naar man blot ikke vilkaarlig indskrænker Forudsætningerne. 


Attende Afsnit. 


Apolionios’ syvende og ottende Bog; konjugerede Diametres Lengder. 


Af storre Interesse end Apollonios’ sjette Bog er hans syvende, hvor han frem- 
stiller de videregaaende Undersøgelser over konjugerede Diametres og de tilhørende 
Parametres Lengder, hvortil formodentlig hans Beskjeftigelse med konjugerede Diametre 
i første og anden Bog har givet ham Anledning. De vigtigste af de Resultater, hvortil 
han kommer, ere de Setninger, at for Ellipsen Summen og for Hyperblen Differensen af 
et Par konjugerede Diametres Kvadrater ere konstante, og at for begge Kurverne det af et 
Par konjugerede Diametre og den mellemliggende Vinkel dannede Parallelogram har et 
konstant Areal. 

Den sidste Sætning kan for Ellipsens Vedkommende let udledes ved Projektion 
eller ved at betragte Ellipsen som Snit i en Cylinder eller, naar man vil blive i en Plan, 


1ySe S. 49. 


ved Sammenligning med en Cirkei over en af Axerne som Diameter. Da Archimedes i 
Bogen om Konoider og Sfæroider!) gjør anden Brug af denne sidste Fremgangsmaade, er 
det ikke umuligt, at Apollonios har fundet Sætningen ad denne Vej; men saa har han i 
hvert Fald i sin Bog sat et andet Bevis i Stedet, som ogsaa er anvendeligt paa Hyperblen. 
At dette, saavel som at finde og bevise Setningerne om Kvadraternes Sum og 
Differens, ingenlunde er saa let, som Resultaternes. Simpelhed kunde lade formode, er 
bekjendt nok. Det har derfor saa megen Interesse at se, hvorledes Apollonios naar frem 
til dem, at vi finde det rigtigt foreløbig at se bort fra de anførte Sætningers Indordning i 
den hele Sammenhæng, hvor der ikke er tildelt dem nogen Hovedrolle, og deraf blot 
uddrage det, som horer med til deres Begrundelse. For Nemheds Skyld skal jeg nærmest 
holde mig til Ellipsen, idet jeg om Hyperblen bemærker, at Apollonios lader Længderne 
af begge konjugerede Diametre træde tydelig frem ved samtidig Brug af to konjugerede 
Hyperbler, hvorved ogsaa de for Ellipsen gjældende Beviser blive anvendelige paa Hyperblen. 
Vi skulle begynde med Sætningen om det af to konjugerede Diametre og den mellem- 
liggende Vinkel dannede Areal, i hvis Bevis der kun behoves og af Apollonios kun anvendes 
en Hjælpesætning. 
Lad (Fig. 69) AC være Ellipsens Axe, BK og ZH et Par konjugerede Diametre. 
Da er det i første Bog (se S. 67) i 
vist, at den til sidstnævnte Diameter 
hørende Parameter p', er bestemt ved 
p= DEER BD i 
naar J og N ere de Punkter, hvor 


Tangenten i A skjerer Tangenten BD 
og Diameteren KB, og D Tangenten Fig. 69. 

BD's Skjæringspunkt med Axen. Idet 

vi sætte Lengderne af de to konjugerede Diametre BK — a‘, ZH = b‘, og idet BE og 
DP ere vinkelrette paa Axen, faas heraf videre 


LU Re Bin: 
a! P ~ IBIP 
OH: a! OL 


[4 hos Apollonios] 


ler BD AD 


Trekker man nu ogsaa Tangenten QR i H, viser denne Hjælpesætning, at 


AQHO OB: OE OE? OE? 


KOBD TD = THD) EA NONE DS 


1) I Sætning 4. 
32° 


252 


hvor ES er Mellemproportional mellem OE og ED og altsaa ifølge et ofte anvendt Resultat 
2 i 
fra første Bog — 7 EF: naar a og b ere Axernes Længder. 


Nu viser Figuren, at Parallelogrammet À BO H er Mellemproportional mellem de 
dobbelte Verdier af Trekanterne Q@ HO og OBD. Man finder altsaa, idet AOBD = 
LEB.OD, at 


Pg(OR) = 


Diz 
ps E£B.0D =F -O#.OD 


) EB b (5) ab 


\2 
idet ÖOE.OD = (3) . Det af de to vilkaarlige konjugerede Halvdiametre og den mel- 


lemliggende Vinkel dannede Parallelogram er altsaa lig Rektanglet af Halvaxerne. Multipli- 
kation med 4 giver da den forlangte Sætning [31]. 

Den eneste blandt Apollonios’ forskjellige Hjælpesætninger eller mindre vigtige Sæl- 
ninger, som virkelig beheves i Beviset for den anden af de Sætninger, hvormed vi her 
beskjeftige os, giver en Bestemmelse af et Kurvepunkt Z’s (Fig. 69) Afstand fra et Top- 
punkt C, som falder helt sammen med den algebraiske Omskrivning 


\ 
CL? = y? + x? — px + (a+ 1)2? — rel, +2), 


hvor CA antages at vere Abscisseaxe, C Begyndelsespunkt. x er altsaa Stykket CM, 


“et = ver er, idet ag — FE (henholdsvis for Ellipsen og Hyperblen), Punktet M’s Afsland 
XM fra det ved 

NC PE 

er 
a 
eller, idet XA PE Sst ae 
PSE D aa ap 

k XA a 
ie ci en 
bestemte Punkt X af Axen. Man faar altsaa 


gr Ze tem 

CHE XA Mia Ne 
hvor Punkterne C og X ere faste, medens Konstanten 1 + 4 nærmere er bestemt som 
CA 2 
XA 

Medens vi her have skjelnet mellem Ellipsen og Hyperblen ved Fortegn, og en konse- 

kvent Brug af dette ogsaa tillader at indbefatte en Ellipse, hvor AC er den mindste Axe, i 
den givne Fremstilling, fremstiller Apollonios disse tre Tilfælde hvert ved sin Figur [2 for 
Hyperblen, 3 for Ellipsen]. 


Afsætte vi AY = XC, bliver paa samme Maade 


AEE OR ad AC CA. 
AM.YM a YC XA 


Naar nu det fundne Resultat skal anvendes til Udledelse af Setningen om Summen 
eller Differensen 4 (a'?—-b’2), af to konjugerede Diametres Kvadrater, drages CL (Fig. 69) 
parallel med den ene Diameter KB, og dens Supplementkorde AZ bliver da parallel med 
‘den anden ZH. Heraf følger, at A ALC > A DBO, og 


OB? OE.OD 


CL? Cia: 


AE (NE CA? ; ir i 7 
hvor OL. OD = (5) = 708, som nys bevist, CL? — (1 + a) CM. XM. 
Heraf følger da atter, at OB? — DRE ar. CA, eller, idet 20B = a og 1+ a = 
CA 
eA 


a? DA Wwe 
He TG Wh IV 


hvor kun Punktet M bevæger sig, naar a‘ varierer. 


(1) 


Paa samme Maade kunde man ej blot for Ellipsen, hvor der ingen vesentlig For- 
skjel er paa de konjugerede Diametre a‘ og 6‘, men ogsaa for Hyperblen, hvor Diameteren 
b‘ skjærer den konjugerede Hyperbel, udlede, at 


a? AG: 
FE = war? (2) 
biz YM 
(idet vi ikke mere give Liniestykkerne Fortegn). Derefter faar man 
a? YC 
Ge Ae Wr vær 
altsaa konstant. Udtrykkes denne Konstant ved a og 6, faar man a’? 1b? — a? tb? 


[12 for Ellipsen, 13 for Hyperblen]. 
Apollonios beviser Ligning (1) paa samme Maade som her i Løbet af Beviset for 
den i Øjeblikket uvedkommende Sætning 8 og henviser senere Lil dette Bevis; men Ligning 


(2) — som vi blot have opstillet for hurtigere at komme til Maalet — behover han ikke, 
da han forud ad anden Vej har bevist, at 
a'? MX ; = rene 
are [6 for Hyperblen, 7 for Ellipsen] 
Hans Bevis herfor er folgende. [lan havde, som vi have set, forud vist [4], at (Fig. 69) 
OH: (GE 


BIDE ED 


Heraf følger ved Benyltelse af ligedannede Trekanter, at 


be OR: OE BD: CM AL? YM 
a'? OB” EDS OB 7 MAN TG EXT 


hvor den sidste Omdannelse er udført ved Anvendelse af den nys benyttede Bestemmelse 
af Kurvepunkters Afstande fra Toppunkterne [2 og 3]. 

Mellem denne Sætning, der angiver Værdien af a 08 Sælningerne om a'? | b'? 
er indskudt folgende Bestemmelser af a‘-+ b‘, a —b‘ og a'b', som udledes af vor Ligning 


b' 
(1) og det nu fundne Udtryk for — og gjælde baade for Ellipsen og Hyperblen: 


a! 
a? YC.MX [8] 
(CERO)? = MX 22 RUE) 
a? 3 YC. MX [9] 
@— bi? (MX VVM Mx) ; 
An ze 10] 
a'b VYM.MX 


Disse Ligninger ere simple Omskrivninger af Apollonios’ egen Fremstilling af Sæt- 
ningerne, hvor.V Y /. MX betegnes, som den Linie, der «magter» Rektanglet YM. MX 
2: er Side i det dermed lige store Kvadrat. Ved Siden af a‘? +”? for Ellipsen og 
a‘? — b'? for Hyperblen bestemmer han ogsaa a‘? + b‘? for Hyperblen [11] og a‘? — db’? for 
Ellipsen [14]. 

Det ser saaledes ud, som om Udtrykkene for a‘?! 5‘? henholdsvis for Ellipsen og 
Hyperblen kun ere fundne under en samlet Opstilling af en Række simple Funktioner af a‘ 
og b‘, hvis Formaal vi snart ville lære at kjende. Det er imidlertid lige saa rimeligt, at 
det er de simple Udtryk for a‘? 6‘*, der have bragt til at spørge, om ikke ogsaa nogle 
af de andres Værdier blive lige saa simple. De fundne Resultater ere dernæst ordnede 
efter Funktionernes Beskaffenhed. Derimod er som alt anført den til Grund liggende 
simple Bestemmelse af a‘, som indeholdes i vor Ligning (1), ikke opstillet i nogen Setning, 
men indeholdes kun i Beviset for Setning 8 og benyttes dernest i de felgende Beviser. 

I det folgende soges Bestemmelser af de samme simple Funktioner af en Diameter 


42 


2 : = b 
a‘ og den tilhørende Parameter p‘. Allerede i 6 og 7 hvor re er fundet, bemærkes, at 


det samme Udtryk tilhorer £. Denne Omstendighed setter i Stand til med Lethed at 
finde Udtryk for selve p‘ [15], for a’ — p‘ [16], for a’ + p‘ [17] for a'p' [18] — et Resultat, 
der, da 6‘* — a‘p‘, falder sammen med den af os opstillede Formel (2) — for a‘? + p‘? [19] 


og for a‘? —p'? [20]. Alle disse Størrelser bestemmes som de foregaaende ved Beliggen- 


heden af Projektionen M af Kurvens andet Skjæringspunkt Z med en Linie CZ trukken 
gjennem et af Axens Endepunkter. 

Apollonios gaar dernæst over til at bestemme Maximums og Minimumsværdier af 
de forskjellige Størrelser, som han nu har fundet Udtryk for, eller rettere, da Fremstillin- 
gen er synthetisk, til at bevise, at Maxima og Minima indtrede i de Tilfælde, som angives 
i Sætningerne. Hertil knyttes stedse Paavisning af, at der — inden for de ved de for- 
skjellige Maxima og Minima givne Grænser — til storre Afvigelser i Stilling fra Maxima og 
Minima ogsaa knyttes storre Afvigelse i Storrelse. 

Enkelte Sætninger af en anden Natur komme dog med, saaledes, at a’? + p‘a‘ for 
Ellipsen [30] og a’? — p‘a‘ for Hyperblen [31] ere konstante, hvilke, idet p’a‘ — 6”, kun 
ere Omskrivninger af de tidligere anførte Hovedsætninger. Vi omtale dem dog for at faa 
anført, at der her udtrykkelig siges, at Storrelserne ere konstante, og ikke opstilles noget 
Udtryk for dem. Sætningen om Parallelogrammet af to konjugerede Diametre og den 
mellemliggende Vinkel, hvis Bevis [31] vi tidligere have anfort, kommer ogsaa med her, 
maaske nærmest som en Illustration af den uafhængig deraf beviste Sætning [28], at a‘b’ 
bliver Minimum, naar a‘ og b‘ ere Axerne. 

Af selve Diskussionsresultaterne er der kun Grund til at fremhæve det, at naar for 
Hyperblen 6 og 6' betegne den Axe og Diameter, som ikke skjere Kurven, vil aZb med- 
fore «zb [21—23]. Dette indbefatter den Sætning om en ligesidet Hyperbel, at ethvert 
Par konjugerede Diametre i en saadan ere lige store [23]. 

Hvad angaar Maaderne, hvorpaa Resultaterne kunne være fundne, saa har dette, 
naar Maximum eller Minimum knytter sig til selve Axerne, ikke kunnet volde nogen Vanske- 
lighed, lige saa lidt som Dannelsen af de tilhorende Beviser. Jeg skal derfor kun omtale 
et Par Tilfælde, forud for hvis synthetiske Behandling der maa være gaaet den Operation 
at bestemme vedkommende Maximum eller Minimum. Denne Operation har dog alle Steder 
kunnet bestaa i en simpel Anvendelse af den Mulighedsbetingelse for Fladeanlæg, som alle- 
rede findes i Euklids 6te Bog. 

Den Ligning, hvorved Apollonios [i 15] bestemmer Parameteren p‘, som hører til 
en vilkaarlig Diameter BK (Fig. 69), er 


a? Fa AG; 5 MX 
pl? YM 


> 


hvor Punkterne Y, C og X ligge fast. Sette vi YM = x og Forholdet a — y, faas 


Ligningen 
au. CY ap. CV YX — 0, 


der vel er almengyldig, naar vi regne Liniestykkerne med Fortegn, men som vi have skre- 
vet saaledes, at de blive positive i det Tilfælde, hvor der virkelig bliver Tale om Grænse- 


betingelserne, nemlig for en Hyperbel (Fig. 70), om hvilken vi forelebig blot bemærke, at 
CY XA a 
Hovedparameteren p >a, altsaa = The =a 


YA CX 
Mulighedsbetingelsen for Ligningen er 
p-CY(u.CY—4 YX)>0, 
/ eller, idet paa Figuren CY > 0, 


/ | Ee PZN 
| | P= CY a 


~—, | y Til den lavere Grænse svarer 
GX 


hairy — XG 


\ altsaa, da x = YM, XM — YX. Betingelsen for, at dette 


Minimum for Pr overhovedet skal kunne indtræde, er, at det fundne 
Fig. 70. c 
æ> YA, eller at p>2a. Minimumsværdien for y, giver ifølge 
Ligning (1), at Minimum af p‘ bestemmes ved 
DREUX „Au _ a” 
a? CY CY a? 
Det fundne p‘ er altsaa dobbet saa stort som det tilsvarende a’. 


3 D 
I Overensstemmelse hermed viser Apollonios først, at naar for en Hyperbel ar 


er p den mindste Parameter, som hører til forskjellige Diametre [33 for a>p, 34 for 
P >a> . Dernæst udsiger han [35], at der, naar a<, kan bestemmes en Diameter 


paa hver sin Side af Axen, som er halv saa stor som den tilhørende Parameter p‘, og at 
denne er mindre end de Parametre, som høre til andre Diametre, samt at disse blive desto 
større, jo mere de, til den ene eller anden Side, fjerne sig fra de omtalte to Diametre. 
I det synthetiske Bevis begynder han med (Fig. 70) at afsætte X M — YX og trække Dia- 
metre parallele med Korder fra C til de Punkter, hvis Projektion paa Axen er M. Om 
disse Diametre beviser han ved de Operationer, som Euklid anvender paa Behandling af 
Ligninger af 2den Grad, at de have de anførte Egenskaber. 

Paa samme Maade bestemmer Apollonios [40] i en Hyperbel, hvor a < tp, Mini- 


mum af a'+ p‘ ved (Fig. 70) at gjøre XM — 1YX, som tillige giver a‘ — 1p'; endvidere 
[48] i en Ellipse, hvor a? > I (p + a)? (Fig. 69), og [46] i en Hyperbel, hvor a? < 1 (p — a)? 
(Fig. 70), Minimum af a‘?-+ p‘? ved at gjøre 2X M? — YX?, som tillige giver a‘? — 


1 (pita). 
Rækken af Grænsebestemmelser slutter sig til de enkelte Udtryk for Størrelserne 


4 


a É : : - 
TØ: a—+b'....p‘, p'—+.a 0.s.v. i Bogens første Del. Dette tjener til at vise os den 


egenllige Hensigt med disse Udtryk, som næppe kan have været at beregne selve de nævnte 


a 
bi 
først blot havde beregnet a‘, 6", p‘ hver for sig, og der var da ingen Anledning til at søge 
særlige Udtryk for deres Kombinationer, dels vilde det være unaturligt at tænke sig de kon- 
jugerede Diametre, for hvilke man vilde søge de omtalte Verdier, givne ved Skjærings- 
punktet mellem de dermed parallele Supplementkorder. Dannelsen af alle disse Ligninger 
bliver derimod fuldt forstaaelig, naar de opfattes som Midler til i et givet Keglesnit 
at finde saadanne konjugerede Diametre, for hvilke de omtalte Storrelser 
faa givne Værdier. Det er netop disse Opgaver, som ere satte i Ligning, idet Abscissen 
til det omtalte Skjæringspunkt betragtes som den ubekjendte Størrelse, eller rettere 
idet dette Punkts Projektion M paa Axen er det ubekjendte Punkt, ved hvis Bestemmelse 
Opgaverne loses. 


Storrelser o.s.v. Dels vilde dette nemlig let kunne ske uden disse Udtryk, naar man 


En saadan Ligning krever nu ikke blot en Losning; men til den fuldstendige 
Behandling herer ogsaa en Diskussion, som angiver Mulighedsbetingelserne. Saaledes var 
det ogsaa i Oldtiden, kun at man gjerne salte Resultatet af Diskussionen eller Diorismen 
forud for Løsningen. De i den sidste Del af 7de Bog indeholdte Maximums- og Minimums- 
bestemmelser give netop Diorismerne til de Opgaver, som ere salte i Ligning i første Del. 

I den fuldstændige Behandling savnes saaledes kun endnu Ligningernes Løsning. 
Den af Halley opstillede Antagelse, at den tabte 8de Bog har indeholdt Løsningerne 
af den Række Opgaver, som i syvende Bog først ere satte i Ligning og der- 
næst enkeltvis gjorte til Gjenstand for Diorismer, stemmer derfor i fuldeste Maal 
med Indholdet af syvende Bog. 

Det, hvorpaa Halley for øvrigt bygger denne Antagelse, er Fortalen til syvende Bog, 
hvor Apollonios siger, at «dennes Sætninger alle have deres Nytte ved mange Slags Opga- 
ver og i Særdeleshed ved deres Diorismer», og at «der indtræffer flere Exempler herpaa i de 
(ved Diorismer) afgrænsede Opgaver om Keglesnit, som ere løste og beviste i ottende Bog.» 
Man kunde maaske forsøge at indvende, at efter den opstillede Antagelse den syvende Bog 
kom til at indeholde, ikke blot Sætninger nyttige til Diorismerne til de i ottende Bog be- 
handlede Opgaver, men selve disse Diorismer. Ved en .synthetisk behandlet Opgaves Dio- 
risme forstaas imidlertid den Grænseangivelse, som anføres samtidig med, at Opgaven 
stilles. Denne Grænseangivelse kan godt være og har vel i Reglen været bevist i en fore- 
gaaende Sætning — som i Euklids sjette Bog, hvor i Sætning 27 den Grænsebestemmelse 
bevises, som medtages i selve Udtalelsen af Opgaven om det elliptiske Fladeanlæg i 28 —. 
Diorismen, som ej blot skal angive Opgavens Mulighedsbetingelser, men ogsaa hvor- 
mange Opløsninger!) den kan faa i forskjellige Tilfælde, har ogsaa maaltet indeholde 


1) Se S. 20. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk og mathem. Afd. IIL 1. 33 


nes REss 


mere, end 7de Bog umiddelbart udsiger, men hvad den netop giver Midler til at finde. Af 
Bestemmelsen af Minimumsverdien for Parameteren p‘ i en given Hyperbel, hvor p > 2a, 
ses det saaledes, at en given Verdi af p‘, som ligger imellem Minimumsverdien og p, horer 
til to forskjellige Diametre paa hver Side af Axen, men storre Verdier af p‘ kun til én. 
Paa lignende Maade kunne ogsaa de andre Opgaver i ottende Bog ved Benyttelse af de i 
syvende fundne Bestemmelser vere stillede i saadanne bestemt afgrænsede Skikkelser, at ej 
blot Opløseligheden overalt var sikret, men ogsaa Antallet af Opløsninger i hvert Tilfælde 
fuldkommen bestemt. : 

Som en yderligere Grund for Rigtigheden af sin Anskuelse peger Halley endvidere 
hen paa den Omstændighed, at Pappos anfører sine Hjælpesætninger til syvende og ottende 
Bog under ét. Disse Hjælpesætninger ere vel, som Pappos’ Hjælpesætninger til alle Bøger 
af Apollonios’ Keglesnitslære, for ubetydelige til, at man af dem selv skulde kunne have 
sluttet noget om disse Bøgers Indhold; men af det anførte Fællesskab i Hjælpesætninger 
kan man drage lignende Slutninger, som ogsaa Halley har gjort fra Fællesskabet i Hjælpe- 
sætningerne til Skrifterne om Forholdssnit og Arealsnit. De Ligninger, hvorved de Opgaver, 
hvis Diorismer ere beviste i 7de Bog, og som skulle være løste i 8de, udtrykkes, ere kva- 
dratiske, om de end ikke umiddelbart fremtræde i Form af Fordring om Fladeanlæg. Løs- 
ningen har bestaaet i Reduktion til Fladeanlæg; men ved den samme Reduktion er det, al 
man har kunnet finde de i 7de Bog givne Grænsebetingelser. Heri har man da en god 
Forklaring af, at der begge Steder har kunnet være Brug for de samme Hjælpesætninger. 

Jeg tror, at det vil gaa andre som mig, at Studiet af 7de Bog vil forvisse dem 
mere og mere om Rigtigheden af Halleys Antagelse om Indholdet af ottende Bog. Ifølge 
denne Antagelse kan man enkeltvis angive i det mindste en Del af de Opgaver, som ere 
løste i denne Bog. 

Hvad Losningerne angaar, saa have de intetsteds kunnet frembyde Vanskeligheder af 
anden Art end dem, som de gamle besade vel bekjendte Midler til at overvinde. Man kan 
endog slutte sig til Enkeltheder i Behandlingsmaaden fra den nys berørte Overenstemmelse, 
der maa have været mellem Beviserne for Diorismerne i syvende Bog og Løsningerne i 
ottende. Paa den ene Side bliver derfor Savnet af denne Bog mindre end af andre tabte 
Skrifter, paa den anden maatte Udsigterne her stille sig overordentlig gunstig for en Gjenfrem- 
stilling. Idet en saadan tilmed er forsøgt af den Mand, Edmund Halley, som vist nok 
havde en større Fortrolighed med de gamle Mathematikeres, særlig Apollonios' Tankegang 
end nogen anden Mand i den nyere Tid, tør det antages, at den i alt væsentligt er kommen 
Originalen nær nok til at fortjene den Plads, som dens Forfatter har vovet at give den, 
nemlig i umiddelbar Sammenhæng med hans Udgave af de 7 opbevarede Bøger”). 


1) Naar Halley, i Overenssetmmelse med 7de Bogs Fortale, ogsaa har medtaget enkelte andre Opgaver 


Den Rolle, som Setningerne i syvende Bog saaledes maa antages at have spillet, 
giver Anledning til en Forklaring af en alt berørt paafaldende Omstendighed, nemlig at 
den i vor Ligning (1) givne Bestemmelse af Længden a‘ af en Diameter, der har samme 
Form som de folgende Bestemmelser af a‘ + b‘, a —b', .... p‘ 0.8. v. og benyttes i Be- 
viserne for disse Sætninger, ikke selv er opstillet som særlig Sætning. Grunden maa vere, 
at Apollonios ikke har havt samme Brug for den som for de andre, og han maa altsaa 
betragte Diorismen og Losningen af den Opgave, at bestemme en Diameter af en given 
Lengde, som bekjendte forud. Dette kan han aabenbart ogsaa gjore for Diorismens Ved- 
kommende; thi denne vilde blot gaa ud paa, at Diametrene i en Ellipse blive storre og 
større, jo mere de nærme sig til den store Axe, hvilket allerede er bevist i bte Bog, Set- 
ning. 11, og i en Hyperbel, jo mere de fjerne sig fra Hovedaxen, hvilket er iøjnefaldende. 
For at finde en Konstruktion af en Diameter af Længden a‘ har han heller ikke behovet at 
sette denne Opgave i Ligning, hvis allerede han har havt den samme Opfattelse af et givet 
Keglesnit, som har tjent os til Forklaring af Pappos’ Kritik af Konstruktionen af Normaler 
fra et Punkt til en Parabel. Har det givne Keglesnit foreligget fuldstendig tegnet, har man 
nemlig kunnet bestemme den sogte Diameter umiddelbart ved en Cirkel koncentrisk med 


4 


Keglesnittet og med Radius 5" At vor Ligning (1) ikke findes opstillet i en selvstændig 


Sætning, tyder saaledes paa, at ogsaa Apollonios har betragtet et givet Keglesnit som fuld- 
stændig tegnet, saaledes at det tør benyttes i Konstruktionerne'). 

Man vilde dog ikke paa denne Maade kunne forklare, at der heller ikke findes noget 
Udtryk for den konjugerede Diameter 6‘; thi er Kurven en Hyperbel maatte man da for at 
benytte samme Konstruklion have den konjugerede Hyperbel umiddelbart forelagt, hvad selv- 
følgelig ikke var Tilfældet. Et Udtryk for b‘ forefindes imidlertid indirekte, idet 6"? =a‘ p‘, 
som er bestemt i Sztning 18. 


end dem, der udtrykkelig ere satte i Ligning og diskuterede i 7de Bog, har han selvfolgelig derved 
udsat sig for Afvigelser fra Apollonios’ eget Værk. At han ikke har lagt an paa at eftergjore ogsaa 
dennes Form, ses f. Ex. deraf, at han ikke udsiger Diorismerne sammen med selve Opgaverne, 
men paa moderne Vis først efterat have lost disse. 

Har jeg Ret heri, ber Halleys Begyndelsesord i Opgaverne i Sde Bog «Datis Hyperbole (Ellipseos) 
Axe majore et latere recto» overalt forandres til »Data Hyperbola (Ellipsi)». Opgaverne i Slutnin- 
gen af anden Bog begynde med xwyou Tonys dodetons 


33" 


Nittende Afsnit. 


Kegleflader og Omdrejningsflader af anden Orden; Archimedes’ Bog om Konoider og 
Sferoider; Euklids to Beger om Overfladesteder. 


Læren om Flader af anden Orden staar i saa ner Forbindelse med Keglesnitslæren, at 
der i nærværende Skrift ogsaa bor gjores Rede for, hvad Grækerne vidste om de nævnte 
Flader. Vi skulle begynde med de herunder horende Kegleflader, angaaende hvilke vi 
vel have medtaget ikke lidet i det foregaaende; men dette skal her ses i sin Sammenheng 
med andre Undersogelser af disse og andre Flader af anden Orden. 

I sine Elementer omtaler Euklid kun Omdrejningskegler. Naar det da, som omtalt 
i andet Afsnit, i hans «Fænomener» viser sig, at han kjender i det mindste alle elliptiske 
Snit i visse Kegler, er det muligt, at han ogsaa der kun tænker paa Omdrejningskegler. 
Det er imidlertid ogsaa muligt, at han i Elementerne med Flid nejes med at behandle de 
mere elementære Former, men at han andetsteds ogsaa kan have givet sig af med skjæve 
Kegler, saaledes muligvis, som vi snart skulle se, i Skriftet om Overfladesteder. Indirekte 
indeholder Euklids Optik enkelle Sælninger om visse skjæve Kegler, saaledes Setning 36 
den, at, naar i en cirkuler Kegle Toppunktets Afstand fra Centret i Grundfladen er lige 
stor med dennes Radius, ville alle Snit gjennem Axen vere retvinklede Trekanter. 

Naar Archimedes taler om Kegler, mener han dermed hvilke som helst cirkulære 
Kegler, og at dette ikke er noget nyt fra hans Side, ses af, at det ikke opstilles i nogen 
særlig Definition. En Omdrejningskegle karakteriserer han ved Tillegsordet ligebenet. Vi 
have i andet Afsnit omtalt, at Archimedes kjendte Beskaffenheden af Snit vinkelrette paa 
Symmetriplanen i skjæve Kegler, og set, hvorledes han bestemte deres Grundegenskaber. 
Vi skulle nu dertil føje Meddelelsen af hans dertil i Skriftet om Konoider og Sferoider 
knyltede personlige Undersogelser, som gik ud paa at bestemme cirkulære Snit i en Kegle- 
flade med en vilkaarlig Ellipse til Ledelinie og med Toppunktet beliggende i en Plan, 
vinkelret paa Kurvens Plan i en af Axerne. Det, han opnaaede derved, var Retten til 
virkelig at betragte denne Flade, der flere Steder benyttes i det nævnte Skrift, som en Kegle- 
flade, hvorved han kun forstaar Overfladen af en cirkulær Kegle, og at kalde det af Kegle- 
fladen og Ellipsen begrensede Legeme et Keglesegment. 

Vi vende tilbage til den i andet Afsnit benyttede Figur 10, som fremstiller Symme- 
triplanen i en cirkulær Kegle. NN, er Sporet af et derpaa vinkelret Snit, MM, af et 
vilkaarligt cirkulært Snit. Den i P oprejste Ordinat y til Snittet NN, bestemmes da ved 


y? = MP.PM, =x.NP.PN, 


T 
hvor x er en Konstant, som kun afhænger af Retningerne À 
at MM, og NN,, men ikke af Punktet P's Beliggenhed. \ 

Er nu omvendt Keglefladen bestemt ved Ellipsen WW 
(NN,), vil Retningen af de cirkulære Snit, som staa vin- RAT V 
kelret paa Figurplanen, hvis der existerer saadanne, kunne BE \ 
bestemmes ved gjennem et Punkt P af NN, at trække ng Ne 
en ret Linie MM, saaledes, at MP. PM, — y?, bvory 1 2 7 
nu er bekjendt. 1 


Denne Opgave loses let derved, at, naar man lader 
- P vere fast og M gjennemlobe Linien T’N, det ved denne K 
Relation bestemte Punkt M, gjennemlober en Cirkel, hvis 
Skjæring med ZN, da giver Punktet M,. Denne Kon- 
struktion bliver imidlertid kun mulig, hvis Cirklen virkelig skjærer den rette Linie. 

Archimedes har derfor [i 8 i det nævnte Skrift] fort Opgaven tilbage til en anden, 
som altid kan løses. Et Snit (ZZ,) vinkelret paa Halveringslinien TH af / NTN, er 
en Ellipse, idet Relationen 


Fig. 10. 


D = Ro NP IPN, « 


som nu er opgivet at finde Sted for ethvert Punkt af Snittet (MN,), ogsaa kommer til at 
gjælde for dermed parallele Snit RR,. Vælges da saadanne, som skjære ZZ, i det beve- 
gelige Punkt Q, bliver 

OP == ERE OM AR == oil JM) ONE 
hvor À er en ny Konstant ifolge den ogsaa i forrige Bevis benyttede Hjælpesætning. 

Keglefladens Toppunkt Z er nu beliggende lodret over Centrum H# i Ellipsen 
(LL,), altsaa i begge de Planer, der staa vinkelret i Axerne. Der kan saaledes vere 
Tale om paa den nys nævnte Maade at soge cirkulære Snit ikke blot vinkelret paa Figur- 
planen, men ogsaa vinkelret paa den derpaa vinkelrette Plan gjennem TH. Hvis (LL,) 
ikke selv er en Cirkel, ser man let, al de cirkulære Srit staa vinkelret paa den af de to 
Planer, som indeholder (LL,)'s lille Axe. Dette har Archimedes forud vist [i 7]. 

Det bemærkes, at Archimedes, hvis han havde havt Brug for andre plane Snit i 
den ved 7’ og Keglesnittet (NN,) bestemte Kegleflade end (LZ,), lige saa let vilde se, 
at disse vare sædvanlige Keglesnitslinier. Endvidere ser man, at Archimedes maa have 
vidst, eller at dog den Analysis, som svarer til hans synthetiske Behandling, maa have gjort 
ham bekjendt med, at ikke blot Snit vinkelrette paa Symmetriplanen i en skjæv cirkulær 
Kegle, men ogsaa saadanne, som staa vinkelret paa den paa Symmetriplanen vinkelrette 
Plan, der halverer Vinklen mellem de i Symmetriplanen indeholdte Frembringere, ere sæd- 


262 


vanlige Keglesnitslinier. Dette er nemlig Tilfældet med (NAN,), hvis LL, er den store 
Axe i Keglesnittet (LZ,). 

Ogsaa en Betragtning af Archimedes’ egen Bestemmelse [i 7] af de cirkulære Snit 
vinkelret paa Planen gjennem 7 og den lille Axe i (1 Z,) er lærerig i historisk Henseende. 
Vi ville for at holde os til samme Figur antage, at LA, er den lille Axe, og at de cirku- 


lære Snit altsaa skulle staa vinkelret paa Figurplanen. Archimedes siger da, at det søgte 
LI.IK 

TREE 
Verdi, nemlig Forholdet mellem Kvadratet paa (ZZ ,)'s store Halvaxe og 7 H?, samt at denne 
LH.HL, 

TH: i 
Maalet, bevises dernæst i fuld Overensstemmelse med, hvad vi alt have angivet. Hvad ~ 


cirkulære Snits Spor bestemmes ved at drage L/K saaledes, at faar en given 


Opgave er mulig, fordi denne Verdi er > At denne Konstruktion forer til 


der derimod er paafaldende, er, at han ikke siger noget om, hvorledes Konstruktionen 
udføres, eller godtgjer Rigtigheden af den opstillede Mulighedsbetingelse. 

Dette maa komme af, at han anser begge Dele enten for simple at finde eller for 
bekjendte. I forste Tilfelde vilde han dog neppe have stillet Opgaven i en serlig vanskelig 
Form. Ganske vist opnaar han ved at legge Linien gjennem Z, at det cirkulere Snit 
kommer neden for LL,, og at altsaa Keglen med Grundfladen (ZK) virkelig kommer til 
at indeholde (ZL;); men den umiddelbare Indførelse af denne Fordring skjuler ligefrem, 
at Opgaven lettest loses ved først at bestemme Retningen ved Hjælp af en Linie gjennem 
H eller et andet Punkt af 7H. Mulighedsbetingelsen omtales ogsaa som noget bekjendt. 

Har nu Archimedes virkelig kunnet betragle Løsning og Mulighedsbetingelse som 
bekjendte for Læseren, maa hans Berettigelse hertil have veret at soge i en bekjendt An- 
vendelse deraf, og denne maa man med storst Rimelighed kunne vente at finde paa det 
samme Omraade som den foreliggende, nemlig ved Undersøgelse af plane Snit i Kegler. 
Dette peger forst, ligesom den her af Archimedes stadig anvendte, meget almindelige 
Hjzlpesetning'), i Almindelighed hen paa en rigeligere Beskjæftigelse med dette Omraade, 
end man ellers tillegger Archimedes’ Forgengere; men der kan endog paapeges en bestemt 
Opgave, hvorpaa samme Konstruktion finder Anvendelse, og som er vigtig nok til, at Ar- 
chimedes kan have anset dens Losning for fuldkommen bekjendt for de Lesere, som over- 
hovedet kunde folge ham paa dette Omraade. 

Vi komme hertil ved blot at give vor Fig. 10 en ny stereometrisk Betydning. 
Hvis LL, antages at vere Projektionen af et Snit parallelt med en cirkulær Grundflade, 
bliver Keglen ret, og det i Z ZX projicerede elliptiske Snit i denne vil, naar Keglens Højde 
kaldes h, dens Grundflades Radius r, blive bestemt ved 


1) Se S. 40. 


pe ( P) LUE ERA 
DEP. a BA ERTIES 


Skal denne Ellipse nu have en forud given Form og Størrelse, bliver TET TR bekjendt, 
og Snittets Retning bestemmes da ved Losning af den selv samme Opgave, 
som Archimedes forudsætter bekjendt. Er forst Retningen funden, er det let 
mellem TZ og TK at indskyde en med LK parallel Linie, hvis Længde er — a. Denne 
vil da angive Beliggenheden af en Ellipse med opgivne Dimensioner paa en 


opgiven Kegle. Den anførte Mulighedsbetingelse falder sammen med Pct og udtryk- 
ker, at JK i dette Tilfælde maa vere den store Axe i det elliptiske Snit. 

Den Bestemmelse, som her er angiven af det til et elliptisk Snit i en Omdrejnings- 
kegle herende konstante Forhold = er lidt mere sammensat end den, som vi have fundet 


hos Apollonios, og som ogsaa anvendes paa Snit i skjæve Kegler (se tredie Afsnit); men 
‘den er til Gjengjæld mere nærliggende. Det er derfor hajst rimeligt, at den og da ogsaa 
den tilsvarende Bestemmelse af hyperbolske og parabolske Snit har været anvendt paa 
Archimedes’ Tid. Indførelsen af et ved sine Konstanter givet Keglesnit paa en given Om- 
drejningskegle har da været en saa fundamental Opgave i Keglesnitslæren !), at Archimedes 
med god Grund har kunnet betragte alle herhen hørende Operationer som vel bekjendte. 


Hos Apollonios finde vi den almengyldige Bestemmelse af plane Snit i cirkulære 
Kegler. Hans ovrige, Kegler vedrorende Undersogelser i forste og i sjette Bog gaa ud paa 
Behandling af den samme Opgave, som vi nys saa Spor af, at man har kjendt godt 
men lost noget anderledes paa Archimedes’ Tid. Apollonios giver den en dobbelt Skikkelse, 
nemlig dels: gjennem en given Keglesnitslinie at lægge en Omdrejningskegle med given 
Toppunktsvinkel, dels: paa en given Omdrejningskegle at indfore et Keglesnit med given 
Axe og tilhorende Parameter. 

Uden vesentlig Betydning for Keglefladernes Theori er et Arbejde af en rimeligvis 
meget yngre Forfatter Serenos?) om Snit i Keglen. Det behandler nemlig kun Snitplaner 
gjennem Toppunktet og indeholder navnlig en Rekke Maximums- og Minimumsopgaver 
angaaende Arealerne af de Trekanter, hvori den ved Grundfladen begrensede Kegleflade 
skjeres af saadanne Planer. Opgaverne ere dog ikke blottede for Interesse. 


1) Af Apollonios’ Fortale til sjette Bog (Se Tillæg 1) ses det, at denne Opgave virkelig er lost fer hans 
Tid om end mindre «fyldig og klart+. Den Løsning, vi her have tillagt hans Forgengere, er i det 
mindste forskjellig fra hans og kan have været fremsat mindre fyldig og klart, navnlig ikke i dobbelt 
Skikkelse som hos Apollonios. 

1) Tannery henlegger hans Levetid til det 4de Aarhundrede efter Chr. (Bulletin des Sciences math. 
VII (2me série) p. 238) 


Hvad Cylinderfladerne angaar, kunde man let af den Omstændighed, at Apollo- 
nios ikke nævner disse, lade sig forlede til at tro, at de og deres plane Snit paa hans Tid 
ikke vare paaagtede. En saadan Forestilling er det vist nærmest, der har bragt Serenos 
til i et Skrift om Cylindersnittene at gjennemfore en Behandling af disse, som Skridt for 
Skridt — om end ikke altid med Held — folger Apollonios’ Behandling af Snit i Kegler. 
Naar man imidlertid ser Archimedes i det af os nys benyttede Skrift om Konoider og 
Sfæroider lade Undersøgelser af Cylindersnit folge paa sine tilsvarende Undersøgelser af Snit 
i Kegler, naar man fremdeles mindes, at Euklid i «Fænomenerne» ved Siden af de elliptiske 
Keglesnit omtaler, at plane Snit i Cylindre ere Ellipser, kan Apollonios Taushed om Cylinder- 
snit ikke komme af, at han ikke kjender denne Maade at frembringe Keglesnitslinierne paa. 
Det ter.snarere antages, at han har ladet Cylindersnittene uomtalte, dels fordi de i sig selv 
kun frembyde ringe Vanskeligheder, dels fordi hans Behandling af Keglesnittene giver en 
simpel Anvisning paa den tilsvarende Behandling af Cylindersnittene. Serenos har blot 
fulgt denne Anvisning. 

I det hele tor vi vist nok antage, at Studiet af Cylinderen har været fremmet saa 
vidt, at man kjendte de Setninger og kunde lose de Opgaver angaaende Cylindere, som 
efter moderne Opfattelse vilde dannes som Grænseformer for de Sætninger og Opgaver 
angaaende Kegler, som vi se græske Forfattere kjende og behandle. 

De gamle ere imidlertid ikke blevne staaende ved Kegle- og Cylinderfladerne, men 
hos Archimedes treffe vi ogsaa i Skriftet om Konoider og Sfæroider Undersøgelser angaa- 
ende Omdrejningsparaboloider, hvilke han kalder retvinklede Konoider, Omdrejnings- 
hyperboloider, dannede ved Omdrejning om den forste Axe, hvilke han kalder stump- 
vinklede Konoider, og Omdrejningsellipsoider, hvilke han kalder Sfæroider og nær- 
mere betegner som, aflange eller brede, eftersom Omdrejningsaxen er den store eller lille 
Axe i Meridiankurven. Naar vi i det folgende tale om Paraboloider, Hyperboloider og 
Ellipsoider, menes der disse Omdrejningsflader. Formaalet for Archimedes’ Undersøgelse er 
Beregningen af Voluminer af de Segmenter, som afskjæres mellem Fladerne og Planer, 
hvad der i det mindste kan have været Grund nok Lil ikke at medtage Flader frembragte 
ved Omdrejning om en Hyperbels anden Axe. For Volumenbestemmelserne skal der blive 
gjort Rede i næste Afsnit. Her skulle vi kun fremdrage de almindelige Egenskaber, for 
hvilke Archimedes har havt Brug ved Volumenbestemmelserne, og som han derfor har 
medlaget. 

Archimedes undersoger fuldstændig alle elliptiske Snit i de nævnte Flader og 
beviser, at de blive ligedannede, naar deres Planer ere parallele. Elliptiske blive alle Snit 
i Paraboloiderne, som ikke ere parallele med .Axen, og alle Snit i Hyperboloiderne, hvis 
Planer skjære alle Asymptotekeglens Frembringere. At disse saa vel som alle Snit i Ellipsoiden 


Op Se a 
a - CL a 
> & SCIENC LU ee 


265 


virkelig blive Ellipser, bevises [i 12, 13 og 14] paa ensartet og en med Archimedes’ Be- 
stemmelse af Snit i Kegler fuldkommen overensstemmende Maade ved Hjælp af Potens- 
setningen. 

Fremstiller nemlig Fig. 71 den paa det 
Snit, som skal undersoges, vinkelrette Meridian, L- x 
og NN, Snittets Projektion paa denne, vil den i f 


Punktet P oprejste Ordinat y til Snittet, naar man 
derigjennem lægger et paa Omdrejningsaxen vin- 
kelret Snit, der er projiceret i MM,, bestemmes 


\N, 
ved E 
OP = WIP, PN, = 2,.N IP, IPIN, . 
hvor x er den konstante Verdi, som Forholdet ae. Me 
"MP.PM, ; ; j ‘ : ’ ae 
WP. PN; faar ifolge Potenssætningen. Heraf folger, at Snittet er en Ellipse. 


Da x nu ikke blot, paa Grund af at Linierne MM, ere indbyrdes parallele, bliver 
uforandret, naar P gjennemlober den faste Linie NN,, men ogsaa naar NN, bevæger 
sig parallelt med sig selv, er hermed tillige godtgjort, at de parallele elliptiske Snit ere 
indbyrdes ligedannede, idet Forholdet x mellem deres Axers Kvadrater bliver uforandret. 

Angaaende den her gjorte Brug af Potenssetningen skulle vi bemærke, at den stemmer 
med den Udstrækning, hvori denne Sætning kan have været opstillet, for Apollonios indførte 
den regelmessige Brug af sammenhorende Hyperbelgrene. De elliptiske Snits Spor paa de 
derpaa vinkelrette Meridianplaner, saa vel som de cirkulære Snits Spor, ville nemlig for Hy- 
perboloidernes Vedkommende skjære selve den som Meridiankurve benyttede Hyperbelgren. 

Til Bestemmelsen af de elliptiske Snit slutter sig Archimedes’ Bestemmelse af en 
Tangentplan til en af Fladerne som en saadan, der i en Tangent til en Meridiankurve staar 
vinkelret paa Meridianplanen. Archimedes benylter nemlig den Omstendighed, at Planen, 
hvis den havde flere Punkter fælles med Fladen, maatte skjære den i en Ellipse. Hans Bevis- 
forelse afviger saaledes ikke meget fra den, der kunde grundes paa, at de nævnte Planer 
skjære Fladen i en Ellipse, som svinder ind til et Punkt. Han støtter sig dog tillige paa 
nogle Sætninger, som der ikke er nogen Grund til at dvele ved, og som handle om, hvilke 
Stykker af skjærende Linier der falde paa Fladernes indvendige og udvendige Side. Af 
Tangentplanens Bestemmelse udleder han, at den Linie i en Ellipsoide, som forbinder 
parallele Tangentplaners Roringspunkter, er en Diameter |15—17]. 

Foruden den almindelige Bestemmelse af de elliptiske Snit angiver Archimedes endou 
Bestemmelsen af visse særegne Snit. Skjont de derhen hørende Sætninger [i 11] gaa forud 
for de andre og ere benyttede i 15—17, omtale vi dem dog tilsidst, fordi Archimedes anser 
dem for tilstrækkelig simple til, at han kan undlade at bevise dem, medens vi kun ved 


Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, naturvidensk, og mathem. Afd. III. 1. 34 


Beviserne for hans eflerfolgende Sætninger kunne danne os nogen paalidelig Mening om, 
hvorledes han vil have dem bevist. 

Disse ubeviste Sætninger gaa ud paa, at I) plane Snit parallele med Axen i en Para- 
boloide ere Parabler kongruente med Meridiankurven; 2) plane Snit parallele med Axen i en 
Hyperboloide ere Hyperbler ligedannede med Meridiankurven; 3) plane Snit gjennem Centret 
i en Hyperboloide ere Hyperbler; 4) plane Snit parallele med Axen i en Ellipsoide ere 
Ellipser ligedannede med Meridiankurven. 

Naar Archimedes ikke har anført noget Bevis for disse Sætninger, kan man forst og 
fremmest slutte, at det ikke er ved noget særligt Kunstgreb, han vil have dem -bevist. 
Hans Bevisforelse har derfor sikkert i alt vesentligt været grundet paa de samme Principer, 
som hans tidligere Bestemmelser af Snit i Kegleflader og den efterfolgende, men af os alt 
omtalte, Bestemmelse af de elliptiske Snit i Omdrejningsfladerne. Naar der ved denne 
sidste gjores Brug af Potenssetningen, saa er dette et Middel, som kun har staaet til 
Raadighed for dem, der ere komne lidt videre i Keglesnitsleren, og hvorom Archimedes 
derfor anser det for nødvendigt at minde forud for Anvendelsen [i 3]. Naar nu Archimedes, 
forud for den herpaa grundede almindelige Undersogelse af de elliptiske Snit, betragter 
den heri specielt indbefattede Sætning om Snit parallele med Ellipsoidens Omdrejningsaxe 
som serlig let at verificere, maa Grunden vere den, at det specielle Tilfælde af Potens- 
sætningen, som her skal benyttes, blot er selve Ellipsens Axeligning eller en simpel Om- 
skrivning deraf. For at bevise de to foregaaende Sætninger ved Potenssetningen maatte 
han have kjendt den almindelige Skikkelse, som forst Apollonios gav den; men ogsaa 
her er det ikke selve Potenssætningen, for hvilken der er Brug, men serlige Former af 
og Grænsetilfælde for denne, som vare vel bekjendte. De Beviser, som Archimedes virkelig 
har gjennemfort, give saaledes tilstrækkelig Oplysning om, hvorledes han kan have tænkt sig, 
at hans Lesere skulde verificere de Paastande, som han anforer uden Bevis. Vi komme 
derved til de folgende Bevisforelser for disse. 


1) Lad Fig. 71 fremstille en Meridiankurve i en Paraboloide, med Axen AC, og 
lad ZP vere Projektionen af et paa Meridianplanen vinkelret Snit parallelt med Axen. Er 
Pet vilkaarligt Punkt af dette Snits Spor, og er MPM, vinkelret paa Axen, bliver Ordi- 
naten y til de i P projicerede Punkter af Snittet som for bestemt ved y? — MP. PM. 
For videre at omskrive dette Udtryk ville vi kalde Koordinaterne til Parabelpunkterne M og 
L, henforte til Parablens Axe og Toppunkt, z, æ og 2‘, x. Man faar da y? = 2? — a". 
Kaldes Parablens Parameter p, er endvidere 


2 


a2 ae y? 7 


pe pe pers høj De 


som viser Rigtigheden af den opstillede Paastand. 


ge 


267 
2) Er Fladen en Hyperboloide, skulle vi i dette Bevis blot ombytte Parablens Lig- 
ning med Meridianhyperblens. Naar a betegner Længden af den første Axe og x en Kon- 
D ; 
stant a) , faa vi da 
a 
a oe y? y? 


2 (z + a) 2 (2 + a) (2 — 2") (2 + 2" + a) (2 — 2!) (2 — 2! + a + 22") i 


som, idet 2” er konstant, viser, at Snittet bliver en Hyperbel; den er ligedannet med Meri- 


X 


dianhyperblen, idet x er den samme. Den fjerde Sætning bevises ganske paa samme Maade. 

3) I Beviset for, at Snit gjennem Centret i Hyperboloiden ere Hyperbler, vil det 
vere naturligt i vor Omskrivning af de gamles Ligning for Hyperblen at tenke os Begyn- 
delsespunktet beliggende i Centrum. Idet vi for ovrigt bruge de samme Betegnelser, haves 


for Punktet M’s Vedkommende 
7? — x 22 a® 6; 
d = ZX FA 7 ) 


Lade vi her « betegne den til det samme Koordinatsystem henforte Ordinat til Punktet P 


af Snitplanens Spor, faas 2’ = az, hvor a er en Konstant. Altsaa bliver 
a? 
y? == x? — x? — ET En ra 


Idet z er proportional med Punktet P's Abscisse paa Snittets Spor, og idet ga? < x, udtrykkes 
derved, at Snittet er en Hyperbel. 

De her fremstillede Beviser ere fremsatte saaledes, at Oversættelsen til de gamles 
Fremstillingsform intet Sted vil vere vanskelig. Videre Gjætninger angaaende Enkeltheder 
i denne Form er der ingen Grund til, da Archimedes ved ikke selv at opstille Beviserne 
har undladt at give nogen enkelt Form Fortrinet. Vi skulle kun bemerke, at disse Beviser, 
naar de skulde gjennemfores i de gamles Stil, tildels turde blive vidtloftigere end dem, 
han forer for de almindeligere Sætninger om de elliptiske Snit, hvor han kan benytte 
Potenssætningen. Dette kan maaske have veret en medvirkende Grund for Archimedes 
til ikke at medtage disse Beviser, under den Forudsætning at Vidtloftigheden af Verifika- 
tionen af hans Paastande dog ikke har forekommet ham at hidrore fra saglige Vanskelig- 
heder. Saadanne kunne de simple Former for Keglesnittenes Ligninger og de Omformninger, 
som her behoves, ikke have frembudt for Læsere, som paa den Tid i det hele vare hans 
Arbejde voxne; men merkeligere er det at se, at han ogsaa betragter de rumlige Opera- 
tioner, der i Virkeligheden danne en analytisk Geometri med tre Dimensioner, som saa 
selvfølgelige, at han kan overlade derpaa grundede Beviser til Læserne. 

Denne analytiske Geometri med tre Dimensioner, som Archimedes anvender 
paa Undersogelser baade af Snit i Kegler og af Snit i de tre Omdrejningsflader, er fuld- 
kommen overensstemmende med den analytiske Geometri med to Dimensioner, som de 


x 


34 


gamle anvende paa Undersogelser af Keglesnittene. I denne sidste maa man i Reglen sige, 
at et Punkts Ordinat er bestemt som Funktion af dens Fodpunkts Beliggenhed paa Abscisse- 
axen, snarere end som Funktion af Abseissen regnet ud fra et bestemt Begyndelsespunkt. 
Paa samme Maade bestemmes Ordinaten, som vi her have kaldt y, til et Punkt i Rummet 
som Funktion af dens Fodpunkts Beliggenhed paa en Grundplan. Ligningen for en Om- 
drejningsflade eller en cirkulær Kegleflade er dernæst bestemt som 

OP == WIR; Ie, (1) 
hvor P betegner Ordinatfodpunktet, M og M, de Punkter, hvor en Linie, lagt gjennem P 
i Grundplanen og i en vis opgiven Retning, skjærer en Meridiankurve eller “to faste rette 
Linier. Den ved en given Ellipse som Ledelinie bestemte Kegleflade i Setningerne 7 og 8 
i det her omtalte Verk kan paa lignende Maade siges at fremstilles ved Ligningen 

y? 

INTE 5 [PIN 

idet N og N, ogsaa her glide paa to rette Linier. Archimedes’ Beviser for de plane 
Snits Beskaffenheder bestaa i Omdannelser af den ene af disse to Former for en Flades 
Ligning til den anden, eller af Ligning (2) til en ny Ligning af samme Form. 


= Konstant, (2) 


Den Forudsætning, som vi nys saa Archimedes stille med Hensyn til sine Læseres 
Evne til selv at anvende denne Fremgangsmaade, saa vel som de Forudsetninger, som 
vi have set, at han stillede til sine Læseres Kjendskab til det Apparat, der benyttes ved 
dens Anvendelse paa Kegleflader, viser os, at den ikke har veret ukjendt for hans Tid, 
men i det mindste maa have veret anvendt paa forskjellige Snit i Omdrejningskegler. Naar 
man nu i de opbevarede Meddelelser om tabte Skrifter soger et, som kan have ydet disse 
Forudsætninger, bringes man til at tenke paa Euklids Overfladesteder ved selve dette 
Skrifts Navn. En nærmere Undersøgelse af de faa opbevarede Oplysninger om dette -vil 
gjøre det sandsynligt, at den nys omtalte Fremgangsmaade virkelig har været benyttet deri, 
og at det ikke udelukkende er paa Omdrejningskeglerne, at den har fundet Anvendelse. 

Af Kilder til Kundskab om Indholdet af Euklids to Bøger om Overfladesteder have 
vi først deres Navn og deres Plads i Pappos’ Fortegnelse over de Skrifter, som henhore 
til den antike analytiske Geometri.  Tåxoc rpög émioaveta betyder ifølge de Oplysninger, 
som i det hele foreligge om de gamles zéxoc!), et geometrisk Sted for et Punkt i Rummet, 


1) Jeg kan derom i det hele henholde mig til Heibergs Bemærkninger om denne Sag (Litteratur- 
geschichtliche Studien uber Euklid S. 79—83), uden at jeg dog tiltræder alle de Enkeltheder, som 
han fremfører. Saaledes mener jeg, at der, netop naar Navnet har en saadan Almengyldighed, at 
man derfra kan slutte til Skriftets Indhold, ikke er nogen Grund til at tro, at der, hver Gang den 
samme Betegnelse bruges, skal være Tale om Euklids Skrift. Særlig Grund til at betvivle dette er 
der, hvor Talen er om transcendente Flader, hvilke næppe ere behandlede i et Skrift, som Pappos 
henregner til roxos dvalvôuevos. Heiberg synes imidlertid at have ladet sig forlede til at overse, 
at dette er Tilfældet paa det Sted, som han særlig fremhæver (Pappos ed. Hultsch 258, 24), deraf 


269 


som er underkastet en Betingelse, — maaske tillige for en bevægelig Linie!) — altsaa 
et Sted, som bliver en Overflade. Idet tillige de Skrifter i Pappos’ Fortegnelse, som om- 
handle Plangeometrien, kun behandle rette Linier, Cirkler og Keglesnit, maa man antage, 
at Kuklid i Overfladestederne kun har behandlet saadanne geometriske Steder, som blive 
Planer (?), Kugler, Kegler og Cylindre, samt andre Flader af anden Orden, hvis saadanne 
have været kjendte af Euklid. 

Naar man nu med disse Forudsætninger søger nøjere Oplysninger i Pappos’ Hjælpe- 
sætninger?) til det tabte Skrift, maa man først legge Mærke til, hvor ner Udtrykkene i den 
forste Hjælpesætning komme dem, man vilde bruge i en Fremstilling af Archimedes’ 
analylisk-stereometriske Methode. 

Denne Sætning, der hidtil har været anset for uforstaaelig, er af Tannery®) for 
nylig bleven tolket omtrent paa folgende Maade, som nesten kun krever en Ændring 
af Figuren: 


«Hvis Fig. 72 AB er en ret Linie og CD parallel med en given, og Forholdet 


AD.DB 
pe À givet, vil C ligge paa et Keglesnit. Hvis nu den 


E 
rette Linie AD bevæger sig, og A og B ophøre at vere givne, NC 
men bevæge sig paa rette Linier med givne Beliggenheder AZ je PNG 
og EB, vil det oven over Planen verende Punkt © befinde / NG N 
sig paa en i Beliggenhed given Flade». 4 D > 

Efter denne Læsemaade utales der, at et vist geometrisk / 

Sted, fremstillet paa samme Maade som hos Archimedes paa Fig. 72. 
det ner, at Linien AD, i Stedet for at bevæge sig parallelt med j 
sig selv, beholder samme Længde, er en — ikke nærmere bestemt — Flade. En saadan 


Sætning stemmer med dem, som Pappos andetsteds opstiller og beviser”), og som gaa ud 
paa, at visse geometriske Steder for Punkter i Rummet ere Kurver. Den Flade, som man 
kommer til, er imidlertid for sammensat og har derved været for lidet nyttig at undersøge, 
til at vi kunne antage, at Euklid kan have dvælet synderlig ved den i sit Skrift. Det kan 
være muligt, at han lejlighedsvis har nævnt det omtalte geometriske Sted, og at Pappos da 
mener at maatte oplyse, at dette Sted bliver en Flade. Det er ogsaa muligt, at det er 


at Hultsch i sin Udgave (S. 260, 13—14) har kaldt en Flade, hvis Benævnelse ikke kan ses af Haand- 
skrifterne, cylindrisk, skjønt den aabenbart er en vindskjæv Vindelflade, den selv samme, som 
bag efter bestemmes paa en noget mindre simpel Maade og da kaldes Plektoide. 

1) Se Pappos ed. Hultsch S. 362, 3. 

?) Hultsch’ Udgave, S. 1004 ff. 

3) Bulletin des Sciences Math., t. VI (2me série) p. 149. 

1) Hultsch' Udgave, Side 260,1; 262, 16. 


270 


Pappos (eller Hjælpesælningens Forfatter), der af noget i Skriftet har taget Anledning til at 
omlale dette Sted. 

I begge Tilfælde er den Anledning, som det ligger nærmest at tænke sig, den, at 
Euklid i sit Skrift har undersøgt det specielle Tilfælde, hvor Linierne ere parallele, og hvor 
Fladen bliver en Cylinderflade, frembragt af det med AD bevægelige Keglesnit. Saaledes 
som det fremgaar af Archimedes’ Omhu for at finde cirkulære Grundflader for de Kegle- 
flader og Cylinderflader, som han stoder paa, har denne Flade dog kun været, hvad de 
gamle forstode ved en Cylinders krumme Overflade, naar Cylinderen kunde afskjæres mellem 
to cirkulære Snit, altsaa naar det bevægelige Keglesnit er en Ellipse. I dette sidste Til- 
fælde har det heller ikke været vanskeligt at bestemme de cirkulære Snit, naar man blot 
begyndte med!) at legge et Snit vinkelret paa Cylinderens Frembringere. At dette Snit er 
en Ellipse, og at videre et paa passende Maade lagt Snit gjennem, eller parallelt med, 
dettes store Axe er en Cirkel, har dernæst kunnet godtgjeres ved den samme Fremgangs- 
maade, som Archimedes’ anvender baade paa Kegleflader, Cylinderflader og Omdrejningsflader. 
At parabolske og hyperbolske Cylindere ikke af de gamle opfattedes som Cylinderflader, er 
for ovrigt ikke nogen absolut Hindring for, at de kunne vere undersogte i Euklids Skrift. 

Som bekjendt er det kun for de ved et Keglesnit bestemte Cylinderfladers og ikke 
for Keglefladernes Vedkommende, at det her omtalte Tilfælde kan indtræde, at de cirkulere 
Snit mangle. Dette kunde opfordre til at soge Anledningen til Hjælpesætningen lidt fjernere 
og til at antage, at ogsaa i Euklids egen Undersøgelse de Linier, hvorpaa A og D skulle 
ligge, have været vilkaarlige, men at Linien AD i Stedet for at have en konstant Længde 
har havt en given Retning. De af ham undersogte Flader have da i Almindelighed veret 
Kegleflader. 

Endog selve Hjælpesætningen kunde det maaske være tilladt at ændre herhen, og 
antage, at den er bleven yderligere mishandlet af den samme Udgiver, som har omdannet 
Figuren, i hvilket Tilfælde Tannerys Restitution, som er den nærmest liggende, ikke be- 
hover at være den rigtige. Det vilde i Virkeligheden være noget overraskende, om en saa 
sammensat Flade som den, man faar, naar AD har en konstant Længde, skulde findes 
omtalt blandt Pappos’ Hjælpesætninger i 7de Bog, der ellers aldrig, lige saa lidt som de 
kommenterede Skrifter, hæve sig ud over Andengradsformer. En Ændring af Texten, der 
lod AB vere parallel med sig selv og strække sig til de to faste Linier, vilde næppe heller 
kræve store Rettelser. Anledningen til Hjælpesætningen vilde da kunne vere, at Euklid havde 


undersogt de samme Overfladesteder — maaske dog med nogen Begrensning — og fundet, 


at de ere Kegleflader, men at Pappos har ment, at der forud for Undersogelsen af, hvilke . 


!) Archimedes loser, som alt omtalt, den samme Opgave, i Sætning 9 af Bogen om Konoider og Sfe- 
roider om end kun i et speciel Tilfælde, som dog ikke frembyder nogen virkelig Lettelse i andet end 
Tegningen af Figuren. 


271 


Flader disse Steder vare, maatte fremhæves, at de overhovedet ere Flader. Naar dette i 
Slutningen af Hjælpesætningen siges at «være bevist», kan derved tænkes paa Hjælpesæt- 
ningens Begyndelsesord, som i Virkeligheden indeholde et Bevis, eller paa at Euklid ved 
al bevise, at Stedet er en Kegleflade, ogsaa har bevist, at det er en Flade. i 

At Euklid skulde have behandlet Keglefladerne i saa stor Almindelighed, som de 
ad denne Vej blive fremstillede, naar Ordinaten CD skal kunne have en aldeles vilkaarlig 
Retning, anser jeg dog ikke for rimeligt. Hvad der skræmmer mig herfra, er ikke just, at 
saa allerede Euklid skulde have kjendt alle mulige Snit ogsaa i skjæve Kegler. Mine Be- 
tænkeligheder komme derimod fra, at saa allerede Euklid skulde have kunnet bestemme de 
cirkulære Snit i enhver Kegle med et Keglesnit til Ledelinie. Dertil vilde nemlig først 
kræves Bestemmelsen af dens Hovedsnit, som afhænge af en kubisk Ligning. Vel var man 
efter min Mening allerede paa Euklids Tid godt inde paa Behandlingen af solide Opgaver 
ved solide Steder; men den her berørte Opgave er af for stor Betydning, til at der i hele 
Oldtidens Literatur ikke skulde findes Spor af den, naar allerede Euklid havde løst den. 
Havde Euklid det, kunde Archimedes vist nok ogsaa have nøjedes med at henvise til ham 
i Stedet for selv at beStemme cirkulære Snit i det specielle Tilfælde, hvor allerede et Hoved- 
snit er bekjendt. 

Vi komme saaledes ikke til fuld Klarhed om Hjælpesætningen og den Sætning 
hos Euklid, som den har hørt til. Hvad vi have sagt om dens Beskaffenhed, bidrager 
imidlertid i alle Tilfælde til at styrke den Formodning, at Euklids to Bøger om Forholds- 
snittene blandt andet har indeholdt Undersøgelser om Steder, som blive Cylinderflader og 
Kegleflader, og at disse ere blevne fremstillede og ved Benyttelse af Fremstillingen under- 
søgte paa en saadan analytisk-stereometrisk Maade som hos Archimedes. Hjælpesætningen 
bekræfter altsaa fuldkommen, at de Forudsætninger i Henseende til Opfattelse af en Methode 
og særlige Forkundskaber, som Archimedes i Skriftet om Konoider og Sfæroider stiller til 
sine Læsere, kunne have været at hente i Euklids Overfladesteder. Selve disse Forudsæt- 
ninger, paa hvilke vi alt have peget hen, turde maaske derfor give den bedste Anvisning 
påa Enkeltheder, som have været at finde i sidstnævnte Skrift. 

Naar man nu ad denne Vej er kommen paa Spor efter, at Euklid efter al Rime- 
lighed i sit Skrift bar beskjæftiget sig med hegleflader opfattede som geometriske Steder, 
føres man derved ogsaa til en Formodning om, hvortil Pappos’ anden Hjælpesætning kan 
have sigtet. Denne, som allerede er kommen os til megen Nytte ved vore Undersøgelser 
om de gamles Kjendskab til Brændpunktegenskaberne, indeholder Keglesnittenes fuldstæn- 
dige Bestemmelse som Steder for Punkter, hvis Afstande fra et givet Punkt (Brændpunkt) 
og en given Linie (den tilsvarende Ledelinie) staa i givet Forhold. Have nu disse Steder 
været fuldkommen bekjendte paa Euklids Tid, hvad netop bliver rimeligt ved, at Pappos 
har fundet det nødvendigt at tilføje Bevis derfor, har den Opgave ligget nær at bestemme 


Stedet for Punkter, hvis Afstande fra en given ret Linie og en given Plan 
staa i givne Forhold. 

Vi kunne fuldstændig angive, hvorledes Euklid kan have lost denne Opgave, hvis 
han virkelig er falden paa at stille sig den. Ved Hjælpesætningen bestemmes Stedet nemlig 
som (det, vi kalde) en Kegleflade, der til Toppunkt har Skjæringspunktet mellem den 
givne Linie og den givne Plan, og som indeholder et Keglesnit beliggende i en Plan vinkel- 
ret paa den givne Linie og med Brændpunkt i den givne Linies Spor. At denne Kegle- 
flade virkelig ogsaa er, hvad de gamle forstode ved en saadan, har maattet bevises ved 
Bestemmelse af de cirkulære Snit. Idet Keglens Toppunkt ligger lodret over Brendpunktet, 
har denne Bestemmelse kunnet foretages omtrent som hos Archimedes, uden at dog denne, 
der ogsaa skulde tage Hensyn til de Tilfælde, hvor de cirkulære Snit ikke staa vinkel- 
ret paa det umiddelbart givne Hovedsnit, kunde nojes med en Henvisning til Euklid. 
Den ene Række cirkulære Snit — og det har været tilstrækkeligt at finde én saadan — 
blive som bekjendt parallele med den givne Plan. Hvis Euklid direkte har bevist dette 
sidste og ad denne Vej bestemt Stedet i Rummet, kan Hjzlpesetningen dog vere anført 
i Anledning af dette geometriske Sted eller af en dertil knyttet Bemærkning af Euklid. 

Den Udvidelse af de i Pappos’ anden Hjælpesætning bestemte geometriske Steder 
til Rummet, som ligger nermest, er dog Bestemmelsen af det geometriske Sted for Punkter 
hvis Afstande fra et givet Punkt og en given Plan staa i et givet Forhold. Den forer til 
de Omdrejningsflader af anden Orden, som have Brendpunkt, eller netop til dem, som 
Archimedes undersøger under Navn af Konoider og Sfæroider. Det er tillige bekjendt, at 
denne Bestemmelsesmaade afgiver et frugtbart Middel til Fremstilling af disse Fladers 
Egenskaber. 

Der har derfor veret god Grund for Chasles til at opstille den Formodning, 
at Euklids Skrift om Overfladesteder har handlet om disse tre Flader, og denne Formod- 
ning vilde vist nok ogsaa jeg have givet Fortrinet for den, som er fastholdt i det fore- 
gaaende, hvis man alene havde havt Euklids anden Hjælpesælning at holde sig til. Hvis 
det skulde være med Urette, at jeg med Tannery har faaet ud af den første Hjælpesætning, 
at Punkterne À og B (Fig. 72) skulle bevæge sig paa rette Linier, vilde heller ikke den 
første Hjælpesætning pege mere hen paa Kegleflader end paa hvilke som helst Flader af 
anden Orden. Hvad der taler stærkt imod Chasles' Anskuelse, er derimod, som bemærket 
af de fleste Forfattere, der senere have behandlet dette Spørgsmaal, en Omstændighed, som 
han selv anfører til Gunst for denne, nemlig Archimedes’ Behandling af de samme tre Flader. 
Den hele Maade, hvorpaa Archimedes indfører disse Flader, Angivelsen af deres Navne og 
tilhørende Definitioner, tyder nemlig paa, at han fører noget nyt frem. At han retter sine 
Undersøgelser paa noget specielt, nemlig de af disse Flader og Planer begrænsede Volu- 
miner, kunde vel tyde paa, at de forud maatte være undersøgte i andre Retninger; 


DO 
1 
ww 


men havde dette været Tilfældet, maatte Archimedes vist nok, her som andetsteds, have 
kunnet nojes med at anfore som bekjendt fra andre Forfattere en Del af det, som dog 
ikke hørte med til hans egentlige Maal. Særlig maa det fremhæves, at han om de Sæt- 
ninger, for hvilke han ikke selv giver et Bevis, ikke siger, at de ere bekjendte, men at 
de bevises let. 

Disse Omstændigheder ere maaske ikke fuldt afgjorende for, at Euklid slet intet 
har fremsat om Omdrejningsfladerne af anden Orden; thi det kunde jo tænkes, at Archi- 
medes ikke forefandt Materialet netop i den Skikkelse, hvori han skulde bruge det. De 
gjøre dog Chasles’ Antagelse lidet sandsynlig. Falder denne bort, pege begge Hjælpesæt- 
ningerne hen paa en Behandling af Kegleflader og Cylinderflader, som ikke er bleven staa- 
ende ved de mest primitive Bestemmelser af disse Flader som geometriske Steder. Der 
er dog intet i Vejen for at antage, at ogsaa Kugleflader i det samme Skrift ere bestemte 
som geometriske Steder. 


Hvilken Brug Euklid end har gjort af den omtalte analytisk stereometriske Frem- 
stilling af Flader, saa har det i alt Fald vist sig, at Archimedes brugte denne Frem- 
stilling med saa slor Færdighed, samt forudsatte en saadan Fortrolighed dermed hos sine 
Læsere, at det var at vente, at det ogsaa skulde gjøre Archimedes’ Efterfølgere fortrinlig 
Nytte. Archimedes’ egen Bevisførelse for de elliptiske Snits Bestemmelse lader sig umid- 
delbart anvende paa alle mulige plane Snit i alle Omdrejningsflader af anden Orden, naar 
man blot sætter den ved Apollonios fuldstændiggjorte Potenssælning i Stedet for den 
snævrere Form for samme, som Archimedes anvendte. Den samme Fremgangsmaade kan 
ved en Gjentagelse benyttes til Bestemmelse af alle mulige plane Snit i enhver Flade af 
anden Orden, naar man blot fremstiller den ved Ligningen 

y? 
MP. PM, 


hvor MM, betegner en Korde i et Keglesnit, som bevæger sig parallelt med en given 


— Konstant, 


Linie, P et Punkt af denne og y Længden af en fra P i en given Retning oprejst Ordinat. 
Under en herpaa grundet Undersogelse af Flader af anden Orden vil man ikke mode alvor- 
lige Vanskeligheder, førend man, i det Tilfælde hvor Ordinaterne ikke staa vinkelret paa 
Grundplanen, vil bestemme Hovedsnittene. Disse Vanskeligheder ere imidlertid blot de 
samme, som frembyde sig ved Keglefladerne, og til hvis Besejring man, om end Euklid 
næppe har overvundet dem, senere erhvervede bedre Hjælpemidler. 

Naar vi nu have anført dette for at vise Rækkevidden af den beskrevne Under- 
sogelsesmaade, som Archimedes anvendte med fuldstændigt Herredomme og med saa meget 
Held, maa vi skynde os at tilføje, at der bortset fra Apollonios' Undersøgelser af alle 
mulige Snit i Kegler ikke i Literaturen er efterladt Spor af, at nogen senere Forfatter i 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 1. 
35 


274 


Oldtiden er gaaet videre paa den af Archimedes betraadte Bane. Der foreligger aldeles 
ingen Midler til at afgjere, om Forfaldstiden er indtraadt, inden nogen anden Forsker har 
set, at her var aabnet et Felt, hvor man med Lethed kunde høste nye og rige Frugter, 
eller om saadanne Arbejder maaske ere fremkomne, men gaaede tabt, fordi de laa for hejt 
for de Mænd i den senere Oldtid, hvem vi skylde de levnede Skrifter og Oplysninger om 
tabte Skrifter fra den gamle Tid. I sidste Fald er det maaske væsentlig Archimedes’ ansete 
Navn, som har bevaret Skriftet om Konoider og Sfæroider fra Undergang. 


Tyvende Afsnit. 


Archimedes’ Bestemmelser af Arealer, Rumfang og Tyngdepunkter. 


Det er ikke vor Hensigt her at gjøre Rede for, hvad man kunde kalde de antike 
Integrationsprinciper, hvilke af Eudoxos og Euklid ere anvendte paa enkelte 
Opgaver, og af Archimedes ere anvendte med saa megen Konsekvens og paa saa mange 
forskjelligartede Opgaver, at han vilde være Integralregningens Grundlægger, hvis man havde 
bygget videre paa den af ham lagte Grundvold, i Stedet for, da henved to Aartusender vare 
gaaede, paa ny at legge Grunden under noget andre Former. Redegjorelse herfor tilhører 
andre Arbejder og er heller ikke forsømt af Nutidens Forfattere af Indledninger til Inte- 
gralregningen. I den nærværende Sammenhæng er det nok at minde om, at de gamle 
foretoge deres Areal- og Volumenberegninger ved en Dekomposition i Dele, der kunde 
vere saa smaa, som man vilde, hvorved kunde opnaas, at Afvigelsen fra Summen af saa- 
danne Dele, som lettere kunde summeres — eller rettere den indbyrdes Afvigelse mellem 
Grænser, hvorimellem den søgte Sum falder — blev mindre end en hvilken som. helst 
Størrelse. At den søgte Størrelse da nøjagtig fik den Værdi, som beregnedes ved denne 
Substitution af andre Dele, bevistes dernæst ved Exhaustionsbeviset. 

Denne Fremgangsmaade er ganske den samme som den, man i Nutiden kalder 
en Deling i og Summation af uendelig smaa Dele, i alt Fald, naar Begrebet uendelig 
lille defineres som f. Ex. i Duhamel’s Éléments de calcul infinitésimal. Den er saaledes i 
Virkeligheden en Integration. Afvigelsen bestaar kun i, at Begrebet uendelig lille ikke 
udtrykkelig opstilles og behandles i al Almindelighed for derefter umiddelbart at finde 
Anvendelse paa alle de enkelte Tilfælde, men at man i Stedet derfor i hvert enkelt Tilfælde 
påa ny anvender de selv samme Operationer, som nu afgjøres én Gang for alle. Naar 
Antallet af saadanne Tilfælde bliver saa stort som hos Archimedes, kan det imidlertid 


ikke betvivles, at han fuldt havde Blik for det ensartede i den Methode, han saa ofte 
anvendte. Efter denne Forklaring kunne vi derfor sige, at Archimedes, paa den formelle 
Opstilling i et Tegnsprog ner, kjendte og anvendte Udtrykket 
b 
a\kda (1) 
“a 
for et Areal, i hvilket der paa den til Abscissen a svarende Ordinat afskjæres Korden 4, 
medens a og b ere Grenseverdierne for «, og a en Konstant, der afhænger af Vinklen 


mellem Abscisser og Ordinater!), samt Udtrykket 


b 
a\ Ada (2) 


a 
for et Volumen, i hvilket der paa den ved en vis Verdi af x bestemte Plan afskjæres 
Arealet A. For Sammenhængens Skyld skulle vi endnu tilfoje, at Archimedes i Skriftet 
om Spiralerne anvender Arealbestemmelsen i polære Koordinater 


mr 


l „da 
9 r Gn dr ñ (3) 
: 0] dé å das 
paa de nævnte Kurver, for hvis Vedkommende dog FE, we konstant”). Den vigtigste 


af alle hans Integrationer, Beregningen af Kugleoverfladen, ligger os her fjernere. 

Det Bevis for, at Pyramider med samme Højde ¢ forholde sig som Grundfladerne 
G, som findes hos Euklid [XII, 5] og rimeligvis skyldes Eudoxos?°), og som er bevaret 
i de fleste af vore elementære Lærebøger, kan betragtes som en, i alle sine Enkeltheder 
særlig begrundet, Anvendelse af Formlen (2), idet den Sætning, at parallele Snit forholde 
sig som Kvadraterne paa Afstandene fra Toppunktet, giver 


CM c c 


a? nil > 
Ada = —Gdae = G.=Nzx dx, 
ce? c? 
0 0 0 


hvor sidste Faktor kun afhænger af c. Naar man dernæst ved at tage andre stereometriske 


1) Det maa erindres, at de gamle ikke angive Arealernes eller Voluminernes Forhold til en forud 
antagen Enhed, men kun bestemme deres indbyrdes Forhold eller udvikle homogene Ligninger 
mellem dem. I vor Omskrivning maa vi da, naar Koordinaterne ikke ere retvinklede, tilføje en 
Faktor a, som ikke direkte indgaar i de gamles Bestemmelser, da den er fælles for de Størrelser, 
hvis Forhold findes. 

*) Faktoren > fremtræder lige saa lidt som a i (1) og (2) hos Archimedes, idet han bestemmer Arealets 
Forhold til en Cirkel, 

3) Se Archimedes ed. Heiberg I, S. 4. 


35" 


276 


Midler til Hjælp har fundet, at Pyramiden er Trediedelen af et Prisme med samme Højde 
og Grundflade, kan deraf aller slultes, at 


14 
az = 
0 


Paa samme Maade kunde man af Bestemmelsen af Trekantens Areal udlede 


Les. (4) 


(4 
\ede a EG? (5) 
0 


En saadan Fremgangsmaade finde vi virkelig anvendt for det første Integrals Ved- 
kommende i det elegante Bevis for Archimedes’ Bestemmelse af Arealet af den første 
Spire i en Spiral, som Pappos anfører i 4de Bog"). En lignende Brug gjør Archimedes 


ogsaa selv af et forud ad anden Vej fundet konkret Resultat — nemlig Beliggenheden af en 
Trekants Tyngdepunkt — i den neden for meddelte, første Bestemmelse af Arealet af et 


Parabelsegment. Udtrykkene for de to anførte Integraler finder han derimod ad alge- 
bråisk Vej. 
! Det sidste (5) begrundes ved følgende Uligheder 


2 
h+2h+ 3h+..nh>h>h+ 2h+3h+...(n—I)h, _ (5b) 


som Archimedes i Indledningen til Skriftet om Konoider og Sfæroider?) opstiller med den 
Bemærkning, at Beviset er let. Rigtigheden deraf følger af Udtrykkene for Summerne af 
de to Rækker, hvilke det andetsteds viser sig, at Archimedes kjender°). 

Integrationen (4) begrundes paa lignende Maade ved Ulighederne 


3 
h? + (2h)? + (32)? 4 s+ = (hy? > Sh? > bP + (2H)? + (824... (m —1) fh)? (Ab) © 


Disse opstilles i et Korollar til Sætning 10 i Skriftet om Spiralerne, hvor det er bevist, at 
3 [A2 + (2%)? + (31)? +... (nh)?] = (n +1) (nhP+th(iht 2h-+ 3h4...nh). 


For heraf at faa den sidste Ulighed?) (4b), maa det blot erindres, at ifølge den sidste af 
de forud anforte Uligheder (5b) er 


in + 1)? h? 


hiht-2h3h-+.. sth) <<< Qn2h2. 


At Archimedes kan bruge disse Uligheder paa samme Maade som vi Integrationsudtrykkene, 
forstaas ved i Ulighederne at sætte À — da, nh—c. At de virkelig komme ham til Gode paa 


1) Hultsch’ Udgave S. 236. 3 
2) Heibergs Udgave I, S. 290. 

Figurerne til Sætningerne 10 og 11 i Skriftet om Spiralerne robe, at man har bevist Formlen paa 
samme Maade, som det nu gjores. x 
Grunden til, at Archimedes ikke trækker det sidste Led i Summationsformlen sammen, uagtet han 
kjender Summen af en Differensrække, er, at han kun tilsigter Udviklingen af den Ulighed, som han 
har videre Brug for. 


277 


samme Maade som almindelige Integralformler os, viser sig i den gjenlagne Brug, han gjor 
af dem i forskjellige Undersogelser, navnlig af (4) baade i Skriftet om Spiralerne og ved 
forskjellige af de til Keglesnitsleren horende Integrationer, som vi nu skulle undersoge. 

Den simpleste Anvendelse, som Archimedes gjor af Arealformlen (1), er Bestem- 
melsen af Ellipsens Areal. Han konstruerer en Cirkel over den ene Axe @ som Diameter. 
Vi ville antage, at Abscisserne « regnes paa denne, og at Cirklen afskjærer Korden k, 
paa den Perpendikuler paa denne Axe, hvorpaa Ellipsen afskjerer &. Naar da 6 er den 
anden Axe, faas [Om Konoider og Sfæroider 4] for alle Verdier af 2 


\ kaw 
b k kda do Ellipsen — 
a k, lh, aa (E — Cirklen 
Vk, de 
“0 


I de folgende Sætninger [5—6] udledes heraf Udtryk for Forholdet mellem Arealerne 
af en Ellipse og en vilkaarlig Cirkel, eller mellem to Ellipser, særlig den Sætning, at lige~ 
dannede Ellipser forholde sig som Kvadraterne paa de store eller de smaa Axer. Det er 
klart, at Archimedes lige saa let kunde have bestemt et Segment, begrænset af en Korde 
vinkelret paa en Axe eller, ved Brug af skjevvinklede Koordinater, et Segment begrenset 
af en vilkaarlig Korde. Tanken herpaa kan heller ikke have ligget ham fjern, da han 
foretager de lilsvarende Bestemmelser for Ellipsoidens Vedkommende, men Arealbestemmelsen 
er kun en Hjælpeundersogelse, og deraf medtager han som sædvanlig kun, hvad han har 
Brug for. 

Archimedes’ anden Anvendelse af den G 
samme Formel har til Gjenstand Bestemmelsen /\ 
af et Parabelsegments Areal. Den dertil sigtende EN 
Omdannelse af Parablens Ligning have vi allerede / \ 
havt Lejlighed til at omtale i andet Afsnit. Det Y \ 
blev der godtgjort, at naar (Fig. 11) en Korde / 

AC = a til en Parabel tages til Abscisse- I \ F 
axe, dens Endepunkt À til Begyndelsespunkt, if N 


medens Ordinaterne ere parallele med Kordens / if \ 
Diameter BD, bliver Forholdet 22 mellem Ordi- / B/ VE 
i ) Be 


nater til Parablen og til dens Tangent i C, der / a et UN 


c . . vw / 
svare til samme Abscisse +, lige stort med — - LEA 
a Z 


Dette anvendes til Transformationen JE i \, 


278 

Denne Ligning udtrykker Archimedes ved at sige, at Segmentets Areal, anbragt paa 
Enden af en Vegtstangsarm, hvis Lengde er Punktet C’s vinkelrette Afstand fra Linien 
AG, vil holde Ligevegt mod Trekanten AGC anbragt saaledes under den anden Vegtstangs- 
arm, at A ligger i Hvilepunktet, og at Tyngden virker parallelt med AG. De til samme 
Verdi af z svarende Elementer ville nemlig da holde hinanden i Ligevægt. Idet nu 
Trekantens Tyngdepunkts Afstand fra AG er i af C's Afstand, bliver Parabelsegmentet 
LA AGC — 4A ABC. 

Nu har Archimedes, som angivet i Slutningen af 4de Afsnit (S. 72), bevist [Sætning 3 
om Konoider og Sfæroider], at i samme Parabel Arealerne af saadanne indskrevne Tre- 
kanter som ABC ere lige store, naar de afskaarne Diameterstykker BD ere det. Det er 
da derved, som han sammesteds bemerker, ogsaa godtgjort, at Segmenter af samme Parabel 
ere lige store, naar de deri indeholdte Stykker af Diametrene til de begrænsende Korder 
ere det. 


Efter — som han selv siger — forst at have fundet Parablens Areal ad denne 
indirekte Vej, hvor der gjores Brug af en forud gaaende Bestemmelse af Trekantens Tyngde- 
punkt, har han senere fort et direkte geometrisk Bevis for det fundne Resultat. Da dette 
Bevis ikke bestaar i en Integration, skulle vi opsætte det til efter Volumenbestemmelserne, 
og her kun bemerke, at Archimedes intetsteds har anvendt den Integration, som man 
vilde stade paa ved Deling af Parabelsegmentet ved Korder parallele med Grundlinien AC. 
Denne vilde fore til Integralet \V2dz, som han altsaa i den beskrevne Fremgangsmaade 
undgaar ved at lade Delingslinierne vere parallele med Diameteren. 


I Bestemmelserne af Rumfang af de Segmenter, som ved en Plan, Grundfladen, 
afskjeres af Omdrejningsflader af anden Orden, benytter Archimedes derimod den til Deling 
af et plant Segment ved Korder parallele med Grundlinien svarende Deling ved Planer 
parallele med Grundfladen. Som Archimedes selv [19—22] skulle vi begynde med Para- 
boloiden, men medens Archimedes begynder med at afskjere Segmentet ved et Snit 
vinkelret paa Axen, skulle vi, her og ved de øvrige Flader, strax gaa over til hans Benyt- 
telse af et vilkaarligt Snit (som det, der i Fig. 73 har AC til Projektion paa den derpaa vinkel- 
rette Meridianplan). Arealet af den derpaa afskaarne Ellipse kalde vi @, det Stykke BG, 
som afskjæres paa Diameteren til dens Centrum, c, og paa den samme Diameter regnes 
Abscisserne z fra Skjeringspunktet B med Fladen som Begyndelsespunkt. Paraboloideseg- 
mentets Forhold bestemmes til en Cylinder med Grundfladen G, som afskjæres mellem 
denne og den dermed parallele Tangentplan til Paraboloiden. Man faar da ved (2) og (5), 
idet y og q (= GC) betegne de Halvaxer i det ved z bestemte Snit og Grundfladen, som 
falde i den paa G vinkelrette Meridianplan i Paraboloiden, 


Segment __% EC Bi i Lil: 
Cylinder  (° Er ENT 57.9 
\Gde zz \ va. 
“0 “0 “0 


Heraf gjor Archimedes [23] den Slut- 
ning, at naar i to Segmenter de tilhorende 
Diameterstykker ere lige store, ere Segmen- 
terne del ogsaa. Ere nemlig (Fig. 73) (A BC) 
og (D EF) to Segmenter med de i AC og DF 
projicerede Ellipser til Grundflader!), medens 
BG og EH ere de tilhørende Diameterstykker, 
og ere endvidere y og z de i G og H vinkel- 
ret paa den tegnede Meridianplan oprejste 
Ordinater til Paraboloiden, faar man af det Fig. 73. 
fundne Resultat, at 


(DEF) ADEF 

Hvis nu BG = EH, er A ABC = A DEF, som bevist i Slutningen af fjerde 
Afsnit, og y = z, fordi de paa Meridianplanen vinkelrette Snit gjennem BG og EH ere 
kongruente Parabler. I Almindelighed forholde Segmenter af samme Paraboloide sig som 
Kvadraterne paa BG og HH. I Beviset herfor [24] kan Archimedes, paa Grund af det 
alt vundne Resultat, holde sig til det Tilfælde, hvor Grundfladerne staa vinkelret paa Axen. 

Af den til BG = EH svarende Sætning følger, at det paraboloidiske Skib, 
hvormed Archimedes i et senere Skrift om svommende Legemer beskjæftiger sig, vil synke 
lige dybt i alle Stillinger. Det samme vil, ifolge den tilsvarende Setning om Parabelseg- 
mentet, vere Tilfældet med vandrette Stillinger af en svømmende parabolsk Cylinder. 

Et Segment af en Hyperboloide bestemmes paa samme Maade [25—26]. Der ind- 
træder blot den Forskjel, at man her paa Grund af Hyperblens Ligning faar 


ge Ase) 
GE = e(a+c) 


Under Henvisning til de andetsteds fundne Bestemmelser af Integralerne (4) og (5) paavises 
det her [2], at 


(ABC) AABC y. 


JE (a+ x) de = ec? (fa + foe). (6) 
0 


1) At begge Grnndflader staa vinkelret paa samme Meridianplan, opnaar Archimedes ved at lade den 
ene være vinkelret paa Axen. 


280 


Ved en Ombytning af + med — kunde den samme Bestemmelse anvendes paa 
Ellipsoiden; men mærkelig nok benytter Archimedes ikke Fladeanlæg til her at fremstille 
Ellipsens som for Hyperblens Ligning. I sin Bestemmelse af den halve Ellipsoides Volumen 
fremstiller han den derimod ved en Gnomon, 9: Differensen mellem to Kvadrater med en 
Vinkel fælles. Med andre Ord han bruger ikke Ellipsens Toppunktsligning y? — xæ{(a—#), 


3 ICE å a? 
hvor x betegner en Konstant, men dens Centralligning y? — x (+ — x? |. Denne Omsten- 
4 


La 
dighed giver Archimedes Lejlighed til at benytte Integralet Vo! de i en ny Forbindelse, 
0 


nemlig 


a? SN Ge ay L/fa@rn? 9 fa 
“dae 4 2 (3) =3(5) - 


Idet Archimedes ad denne Vej serskilt bestemmer det ved et Diametralsnit vinkelret 
paa Axen [27] og det ved et vilkaarligt Diametralsnit [28] afskaarne Stykke af Ellipsoiden, 
og han forud [18] har bevist, at man i begge Tilfælde faar den halve Ellipsoide, har han 
her fort et indirekte Bevis for den Sætning, som for Omdrejningsellipsoidens Vedkommende 
svarer til Apollonios’ ene Diametersetning i 7de Bog, og som blandt andet kan udtrykkes 

saaledes: alle en Omdrejningsellipsoides omskrevne 


NS [8 


Cylindre ere lige store. 

I Beregningen af et fra den halve Ellipsoide 
forskjelligt Segment dannes Integralet atter paa en 
ny Maade. Lad Fig. 74 fremstille en Meridianplan 
og AC Sporet af en derpaa vinkelret Plan, som af- 
skjærer Ellipsoidesegmentet (A BC). Diameteren OB 
til Midtpunktet D af Korden AC tages da til Ab- 
scisseaxe, À til Begyndelsespunkt. Sette vi OD —e 


og som for DC = q, faas da 


281 


Det kommer altsaa an paa at bestemme 


IG ) ( 5 | e) æ(2e—+ 2] da, 


(29) rer. 


0 
Her er det sidste Integral det, som vi have kaldt (6), og hvis Verdi Archimedes udtrykkelig 
har bestemt forud [2] og anvendt ved Beregningen af Hyperboloidesegmenlet. 

Man bliver ganske vist slaaet af den Ubehjælpsomhed, Archimedes synes at legge 
for Dagen ved at anvende forskjellige Behandlingsmaader paa Hyperboloiden og Ellipsoiden, 
og ved de Besværligheder, han derved for den sidstes Vedkommende synes selv at skabe sig. 
Naar man ser nojere til, turde det dog være, at en stor Del af Ubehjælpsomheden blot 
ligger i de tarvelige Fremstillingsmidler, som stode til hans Raadighed, serlig naar 
Talen var om nogel saa nyt som Integrationer, og i de i Forhold dertil yderst strenge 
Fordringer til Fremstillingens Fuldstendighed, og at disse formelle Vanskeligheder her som 
saa ofte i de græske Mathematikeres Skrifter give Forfatteren Lejlighed til at vise en vis 
reel Overlegenhed. 

Ved Vurderingen maa vi gaa ud fra, at Sproget nu en Gang var saadant, at det 
vilde være forbundet med formelle Vanskeligheder at fore Beviset for (6) saaledes, at man 
samtidig beviste 

c 
feje — 2) da = c?(1g— Lo). 
“0 

Den Sætning, som oversat paa vort mathematiske Sprog vilde udtrykke denne 
Formel, vilde altsaa vere en ny Hjælpesætning. Da der ikke forud existerede nogen 
Integralregning, har Archimedes ikke kunnet stotte sig paa nogen saadan forud existerende 
Setning som den, vi vilde udtrykke ved Ligningen 


\ [p(7) + d(x)] dx = \otx)d + \ b(a)da, (7) 
hvor klart det deri indeholdte Princip end kan have staaet for ham selv. Et fuldstændigt 
Bevis herfor, som skulde tage Hensyn baade til positive og negative &, lod sig heller ikke 
føre uden Udstykning i mere end en Sætning. For at indskrænke det Apparat, der forud 
skulde bevises, saa meget som muligt, nojes Archimedes, som fra Skriftet om Spiralerne 
har Formlerne (4) og (5), derfor med foruden Sætning 1, der træder i Stedet for \ada = 
a\dx, i Sætning 2 at bevise Formlen (6). I Stedet for yderligere at forøge Antallet af 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem, Afd. III. 1. 36 


282 
almindelige Integrationsformler bestræber han sig dernæst for al fere de forlangte Kubalurer 
tilbage til de faa, som her ere anforte. Dette lykkes ham paa de fremstillede Maader, idet 
den ikke forud beviste Formel (7) i de Tilfælde, hvor &(z) er konstant, bliver simpel nok 
lil at drage Beviserne for dens Brug ind i de enkelte Beviser. 


I Overensstemmelse hermed staar det, at Archimedes i Skriftet om Spiralerne ikke 
b ab aa ac 


opstiller: \ — ve som almindeligt Princip, men nøjes med, efter at have fundet læder 
Va en en “0 
ad 


[i 10], særlig at beregne læ? de [11]. 


“c 


Vi skulle ikke dvele ved de Former, hvori Archimedes lader de fundne Resultater 
fremtrede, men kun minde om, at han dertil knytter nogle Opgaver, som han sandsynligvis 
selv har lost, og hvorfra vi derfor have kunnet hente Exempler paa solide Opgaver, som 
de gamle have behandlet. 

Vi vende os nu til den bekjendte Bestemmelse af Arealet af et Parabelsegment, som 
Archimedes selv har kaldt den geometriske [Parablens Kvadratur 18—24], og til hvilken 
han har knyttet sin Bestemmelse af dens 
Tyngdepunkt. I Segmentet ABC (Fig. 75) 
indskrives som for Trekant ABC, hvis 
Toppunkt B er beliggende paa Diameteren 


JP me =! BD til Korden AC. I de afskaarne Seg- 

LOL S; N 
L/ 77 à menter indskrives Trekanter AE B og BFC 
VA N af samme Beskaffenhed; EG og FH ere de 
= D © tilsvarende Diameterstykker. Det ses nu, idet 
Fie. 75 DA=2IE, hvor ZE er den til Diameteren 


BD hørende Ordinat til Æ, at BI =1BD, 
altsaa EG = ID—1 BD —1BD. Ligesaa bliver FH —1iBD, hvoraf alter følger, at 


AAEB+ABFC—:AABC 


Indskriver man nu atter i hvert af de fire Segmenter AE, EB, BF og FC en Trekant 
af samme Beskaffenhed, bliver hver af dem + af hver af de foregaaende, deres Sum altsaa 
(1? A ABC. Fortsætter man paa denne Maade, vil hver Gang Summen af nye Trekanter 
blive Fjerdedelen af de umiddelbart forud benyttede. Altsaa bliver 


V4 % 
Segmentet — (145 et.) SABC = ZAABC. 


Det behover neppe at bemerkes, at Archimedes ved Anvendelse af hojere Grenser forer 
el exakt Bevis for, al Rækken konvergerer til begge de Verdier, hvis Ligestorhed faas ad 


denne Vej. 


Denne Bestemmelse beror hovedsagelig paa, at Parabelsegmentets Inddeling i Tre- 
kanter er fuldkommen uafhængig af dets egen Form og Storrelse. Denne Bemærkning gjælder 
imidlertid ikke blot om Storrelserne af de sukcessive Trekanter, men ogsaa om deres Beliggen- 
heder mod hverandre i de Henseender, som komme i Betragtning ved Tyngdepunktbestem- 
melser. Tyngdepunktet i Trekant ABC deler Linien BD i et aldeles bestemt Forhold, 
2:1; i det samme dele Tyngdepunkterne i de lige store Trekanter AZB og BFC Linierne 
EG og FH. Tyngdepunktet til disse Trekanters Sum falder paa BD og deler den i et 
aldeles bestemt Talforhold. Da fremdeles Forholdet mellem Arealerne af A ABC og 
AAEËB + A BFC er bestemt, vil ogsaa Tyngdepunktet for Summen af de 3 Trekanter 
dele BD i et aldeles bestemt Forhold. Det samme vil vere Tilfeldet, naar man tilfojer 
de fire Trekanter, som indskrives i Segmenterne AH, EB, BF, FC, endvidere naar man 
tilføjer de 8 neste o. s. v. Tyngdepunktet, der ogsaa kan bestemmes ved den indskrevne 
Figurs Sammensetning af Trapezer med Sider parallele med AC, vil paa DB fjerne sig 
mere og mere fra D; men det Forhold, hvori det deler DB, vil udelukkende afhænge af, 
hvor vidt man er gaaet i sin Tilfejelse af Trekanter, og vere uafhængigt af den særegne 
Beskaffenhed af det Parabelsegment, som man er gaaet ud fra. Da man kan gaa saa vidt, 
man vil, i Tilfojelse af Trekanter, indses det, at et Parabelsegments Tyngdepunkt 
er beliggende paa dets Diameter, og at de Stykker, hvori to Parabelsegmen- 
ters Diameterstykker deles af Segmenternes Tyngdepunkter ere propor- 
tionale. 

Naar S er Tyngdepunktet i Parabelsegmentet ABC og naar GH skjerer BD i O, 
vil ifolge den her angivne Hjælpesætning Tyngdepunktet N for Summen af Segmenterne 
AEB og BFC blive bestemt ved ON = !DS, idet som nylig vist GE = HF = 
1 DB. Er fremdeles 7 Tyngdepunktet i Trekant ADC, maa man have 


LS SUN, 


eftersom Trekant ADC er tre Gange saa stor som Summen af de smaa Segmenter. Settle 
a mn IDO == & OR DIS == ads kes IDI a DOTE 


1 ah tl [eral 1 1 (mm 1 
U— 36 = 3 (30 U 4) Ware Le (ac), 
; ER us ee 
hvoraf I — 30 = 156, 
BS 
eo 48 
D sO, eller SD = ng 


som bestemmer S. 

Denne algebraiske Bestemmelse er en saa vidt mulig tro Gjengivelse af Archimedes’ 
egen, som findes i hans 2den Bog om plane Figurers Ligevægt [8]. Kun ere hos ham 
som sædvanlig Afstande regnede fra forskjellige Punkter af Linien BD. I Stedet for 
Omdannelsen af 4(}¢—a- 12), som jo kun er en Gjengivelse af 4SN, til 1e — 17 

36" 


DEA 


indfører saaledes Archimedes paa Figuren et Punkt X paa Linien BD bestemt ved BK = 
LBD, altsaa KO = 1BD, KN = ic—1x eller SN = 3NK. 

Jeg tror ogsaa paa en nojagtig Maade at have gjengivet den Tankegang, som har 
fort Archimedes til den forudgaaende Hjelpesetning, saaledes som denne fremgaar dels 
af Archimedes’ Brug af den, dels af den foregaaende Bevisrække [2--7]. En umiddelbar 
Fremstilling af denne Bevisrekke vilde ikke yde det samme. Dels har nemlig Archimedes 
som sævanlig i denne ikke havt til Hensigt at fremstille den ledende Tankegang, som har 
maattet gaa forud for Bevisforelsen, men at bevise det derved vundne Resultat paa en 
uangribelig Maade, dels maa Texten her vere undergaaet en grov Forvanskning. Den 
opstiller og beviser nemlig i Virkeligheden ikke den smukke Hjælpesætning, som derefter 
benyttes i den nys gjengivne endelige Bestemmelse af Tyngdepunktet, men kun den Sætning, 
at Tyngdepunkterne i to ligedannede Parabelsegmenter dele deres Diameterstykker i 
proportionale Dele. Det er en given Sag, at den Forfatter, der kjender og forstaar at 
anyende den almindelige Setning om to vilkaarlige Parabelsegmenter, ikke kan have troet 
at kunne nøjes med den om to ligedannede Parabelsegmenter, hvis Ufrugtbarhed falder i 
Øjnene, naar man betænker, at Tyngdepunkterne lige saa vel ere ensliggende i to hvilke 
som helst ligedannede plane Figurer. De fremsatte Beviser have ikke denne sidste Rekke- 
vidde, men ere derimod i alt vesentligt anvendelige paa to vilkaarlige Parabelsegmenter. 

Man maa derfor antage, enten at disse Beviser i Virkeligheden af Archimedes ere 
forte for to vilkaarlige Parabelsegmenter, men at hans Udtrvk, Paastande og Figurer af en 
ængstelig Udgiver, som ikke forstod hans Begrundelses Rekkevidde og den senere Anven- 
delse, ere endrede saaledes, at der kun blev Tale om ligedannede Segmenter, eller at en 
vigtig Del af Texten er falden ud"). Denne kan for øvrigt godt have vere ganske kort og 
gaaet ud paa, at de samme Beviser, som ere forte for ligedannede Parabelsegmenters 
Vedkommende, kunne fores for vilkaarlige Parabelsegmenter. Archimedes begynder nemlig 
jevnlig med de mere specielle Tilfælde og knytter sin Hovedbegrundelse hertil. 

Vi skulle ikke opholde os ved Archimedes’ Bestemmelse af Tyngdepunktet i en 
mellem to Paralleler afskaaren Parabelstribe. Den Interesse, som knytter sig hertil, er 
nemlig, naar Segmentets Tyngdepunkt forst er bestemt, vesentlig statisk og algebraisk. 

Endnu et Tyngdepunkt viser det sig, at Archimedes kjender, nemlig det i et 
Segment af en Omdrejningsparaboloide, som afskjæres ved en vilkaarlig Plan”). 


1) S. 204, 2 i Heibergs Udgave, 2det Bd. forudsættes, hvad der her er fuldstændig overflødigt, den Sæt- 
ning, som i hele Bevisrækken bliver godtgjort om ligedannede Segmenter, bekjendt for to lige store, 
men ikke ligedannede Segmenters Vedkommende. Maaske kunde denne Omstendighed tyde paa, at 
Archimedes kommer til den almindelige Sætning ved først at godtgjore den for lige store, dernæst 
for ligedannede Segmenter. Saaledes som dette Sted staar der, er det et yderligere Bevis paa den 
Medfart, som den oprindelige Text maa have lidt. 

2) Dette Tyngdepunkts Beliggenhed benyttes direkte og indirekte i hele anden Bog af Skriftet om 


re nt ds cod es à 


255 


Bestemmelsen kan ikke godt være foretagen ad lignende Vej som for Parabelsegmentets 
Vedkommende; men ligesom Bestemmelsen af dettes Tyngdepunkt slutter sig til dets Areal- 
bestemmelse, saaledes ligger det ner at forsoge, om Bestemmelsen af Paraboloidesegmentets 
Tyngdepunkt ikke ogsaa kan have sluttet sig til Bestemmelsen af dels Rumfang. Forsoger 
man det, kommer man til samme Fremgangsmaade, som Integralregningen nu anvender, 
og det viser sig, at hverken Anvendelsen af Momentsætningen eller Integrationerne kan 
have frembudt nogen Vanskelighed, som Archimedes ikke andetsteds har overvundet. 
En Form, hvorunder Momentsetningen kan vere 

anvendt, lære vi ved Anvendelsen af en Trekants statiske Cc 
Moment til den første Beregning af Parabelsegmentet. 7 
Denne skulle vi-overfore paa nerverende Tilfælde. ABC / \ 
være Sporet af Paraboloidesegmentet paa den Meridian- 
plan, som staar vinkelret paa dens Grundflade, og lad 
Segmentet vere anbragt saaledes paa en vandret Vegt- G> 
stang BE med Hvilepunkt i (eller over) B, at Tyngden ! N 
virker parallelt med Grundfladens Spor AC. Lad BD ION 
være Vægtstangens anden Arm, i hvis Endepunkt D hele N 


den homogene Paraboloides Vægt // er ophængt. Der i 


vil da vere Ligevægt, hvis BD = z er lige stor med | N 


Tyngdepunktets Afstand fra Tangentplanen i 2. a 


Ved at dekomponere Segmentet ved Snit parallele 


.med Grundfladen og sætte Summerne af de enkelte Skivers 
Momenter, anbragte paa deres egen Plads og i D (som Big 16. 
Dele af //), lige store faas da 

ac ac 
2 \yede = \ rade, 

en 0 


hvor Parablens Ordinater y ere dem, der hore lil Segmentets Diameter BF, medens Ab- 


scisserne w ere regnede paa DE, og BE=c. Man faar heraf, idet G er Tyngdepunktet, 


ac ac 
Mer \ rode war: 
BG [A en v0 En 2 
BET ETTER ID er lines 
e\y?da e\ada 
*0 “0 


Hvis man forsoger andre Bestemmelsesmaader, vil man vist nok finde, at Archi- 
medes’ egen neppe kan have afveget fra den her fremstillede i synderlig andet, end at han 


svommende Legemer. Som Exempel paa et Sted, hvor Beliggenheden bestemt angives for et 
skraat afskaaret Segment, skal jeg nævne S. 397, 9 og 11 i 2det Bd. af Heibergs Udgave. 


maaske har undgaael Brugen af Inlegrationsformler ved Tilbageforelse Lil Bestemmelsen af 
Trekantens Tyngdepunkt, hvilket man kan bestemme ved de selvsamme Formler, som her 
ere benyttede, men hvilket Archimedes forud i forste Bog af Skriftet om plane Figurers 
Ligevægt [14] har fundet som Medianernes Skjæringspunkt. 

Er man gaaet denne sidste Vej, haves heri et Exempel foruden de tidligere anførte 
paa, at en Integration er undgaaet ved at fore det ene af to Udtryk, som skulde bestemmes 
ved samme Integration, tilbage til det andet. Et af de vigligste fra Oldtiden bevarede 
Exempler herpaa er den Sætning, som senere er kaldt Guldin’s, men som findes i Pappos’ 
7de Bog"). 


Etogtyvende Afsnit. 


Keglesnitslerens ferste Oprindelse. 


I det foregaaende har det været vort Hovedformaal at fremstille den græske Kegle- 
snilslere i dens mest udviklede Skikkelse, saaledes som den træder os imode hos Apollo- 
nios, og for en Del Undersogelsers Vedkommende, til hvilke Apollonios ikke har givet 
noget nyt Bidrag, hos Archimedes. Vi have sogt at fremdrage, hvad man vidste, hvor- 
ledes man begrundede det, og hvortil man forstod at bruge det. Idet vi for Begrun- 
delsens Vedkommende have set bort fra saadanne Fremstillingsformer, som kun synes 
udarbejdede for den skriftlige Behandlings Skyld, og som ikke stode i nogen nodvendig 
Forbindelse med den til Grund liggende, frugtbare Tankegang, tro vi ogsaa mangen Gang 
at have fremdraget det vesentlige i de Veje, som have fort til saa store Resultater, og 
altsaa at have leveret geometriske Bidrag til Kjendskabet til Keglesnitslerens Udvikling 
hos Grekerne. 

Til en egentlig historisk Redegjorelse for denne Udvikling, som ogsaa maatte 
oplyse de forskjellige Fremskridts Sukcession i Tiden, har jeg derimod ikke leveret stort 
andre Bidrag end Undersogelser af, hvad der hos Apollonios var nyt, og hvad der var 
bekjendt forud enten ved Enkeltarbejder eller saadanne sammenhengende Værker som 
Euklids Keglesnitslere og Aristaios’ solide Steder. Denne Undersogelse var mig nod- 
vendig for den rette Vurdering af det, som jeg forefandt hos Apollonios. Den bragte mig 
til at tillegge Apollonios et vigtigt Skridt i Henseende til selve Keglesnittenes Opfattelse, 


1) Hultsch’ Udgave S. 682. 


287 


nemlig den konsekvente Gjennemforelse af en samtidig Betragtning af Hyperblens to 
Grene. Den har maattet lade staa hen, om det er Apollonios, der først har undersøgt 
— eller dog gjennemfort Undersogelsen af — saadanne Snit i skjeve Kegler, hvis Planer 
ikke staa vinkelret paa Symmetriplanen, eller om Archimedes ogsaa tænker paa disse i 
Indledningen til Skriftet om Konoider og Sferoider. Den har paavist eller gjort rimeligt, 
at ej blot -saadanne elementære Theorier som Læren om konjugerede Diametre, om Tan- 
genter, Asymptoter og Brendpunkter, men ogsaa Keglesnits Frembringelse som Steder til 
fire Linier og denne Frembringelsesmaades Omformninger, endvidere Potenssætningen, 
Polarsætningen, de simpleste Tangentfrembringelser og fremfor alt en Mængde Anvendelser 
til solide Stedbestemmelser og solide Opgavers Løsning vare kjendte for Apollonios, for 
saa vidt de lade sig opstille og bevise uden Brug af de to Hyperbelgrene. Apollonios’ egne 
betydelige Opdagelser falde for en stor Del inden for disse forud givne Rammer, saaledes 
hans Normalkonstruktion med tilhorende Diorisme, hans Bestemmelse af Relationerne mellem 
konjugerede Diametres Lengder 0. s. v. 

At man, naar saadanne Rammer ere tilstede, arbejder paa at udfylde dem, er for- 
staaeligt nok. Hvad der turde have nok saa stor Interesse i rent historisk Henseende, er 
selve disse Rammers Tilbliven. Det vilde derfor have sin Betydning at folge Keglesnits- 
lærens Historie længere tilbage og se, hvorledes den var naaet til den Skikkelse, som den 
dels havde, dels fik paa Euklids Tid. Hertil foreligger der imidlertid overordentlig faa 
Hjælpemidler, som kun lade sig supplere ved Gisninger. Disse have dog med Hensyn 
til Keglesnitslerens aller forste Fremtræden saa meget at holde sig til, at de nok kunne 
fortjene at anfores. 

De foreliggende Oplysninger indskrænke sig til 1) den Tradition"), at Menaichmos, 
Platos og Eudoxos’ Discipel, har fundet Keglesnittene og anvendt dem til Terningens For- 
dobling, idet han konstruerede de to Mellemproportionaler ved Skjæring mellem to af 
Kurverne 

= OH, FP = ba, Gy == Alb, (1) 
og 2) den i vort andet Afsnit omtalte Omstendighed, at man i eldre Tider kun betragtede 
Snit, frembragte i Omdrejningskegler ved Planer vinkelrette paa en Frembringer, hvilket 
gav Anledning til de Navne, som Keglesnittene havde før Apollonios. 


1) Denne træder navnlig frem i et Brev fra Eratosthenes om Terningens Fordobling, som meddeles 
i Eutokios’ Kommentar til Archimedes' Skrift om Kuglen og Cylinderen (Heibergs Archimedes III 
S. 102 ff), samt i Eutokios’ særlige Fremstilling af Menaichmos’ Fordobling (III S. 92—98). En For- 
dobling af Menaichmos berores tillige af Plutarch. Paa et af Proklos (Friedlein S. 111) bevaret 
Sted hos Geminos betegnes Menaichmos udtrykkelig som Keglesnittenes Opfinder. Cantor frem- 
drager imidlertid et Sted hos Plutarch, hvorefter allerede Demokritos skulde have givet sig af 


med Keglesnit. 


288 _ 


Den sidste af disse to Oplysninger er særdeles mærkelig. Den maa opfordre til 
at efterspore en saadan Bestemmelse af de omtalte særegne Snits Hovedegenskaber, som ikke 
lige saa let lader sig anvende paa hvilke som helst Snit i Omdrejningskegler. En saadan 
har jeg da ogsaa sogt at udfinde i det Haab saaledes at komme til den oprindelige Bestem- 
melse af Keglesniltene; men i det mindste for Ellipsens og Hyperblens Vedkommende har 
denne Bestræbelse været uden Resultat. De Udledelser af Snittenes plangeometriske 
Egenskaber, som jeg har kunnet finde, have alle veret af en saadan Beskaffenhed, at jeg 
ikke har kunnet forestille mig andet, end at man paa Menaichmos’ Tid, da Eudoxos havde 
" indført sine Forbedringer i Proportionsleren, og da man foretog saadanne Almindeliggjo- 
relser som den af Fladeanlægene, der findes i Euklids 6te Bog, strax maa kunne have set, 
at de lige saa let lode sig anvende, naar ingen af Vinklerne mellem Snitplanen og Frem- 
bringerne i den derpaa vinkelrette Diametralplan var ret. At dette, trods den stedse voxende 
Beskjæftigelse med Keglesnittene, skulde være forbleven upaaagtet lige til Apollonios’ Tid, 
var mig ligefrem utenkeligt; men i andet og nittende Afsnit har jeg ogsaa paavist, at det 
heller ikke var Tilfældet. 

Blot det, at man i den aller forste Tid nojedes med at behandle Snit af Planer 
vinkelrette paa en Frembringer, trænger efter min Mening til en Forklaring. Jeg finder 
den deri, at man ikke betragtede det som sin Opgaveat soge plane Snit i Kegle- 
flader, men at man omvendt sogte en Fremstilling af Kurver, til hvilke man 
havde et forelobigt Kjendskab. Dette Formaal naaedes netop bedst ved en aldeles 
bestemt og begrænset Form for Fremstillingen. 

Denne Forklaring stemmer godt med, hvad der meddeles om Forbindelsen mellem 
Keglesnittenes Opdagelse og Terningens Fordobling eller Multiplikation. Om denne berettes 
det, som tidligere meddelt, at Hippokrates fra Chios havde fort den tilbage til Konstruk- 
tion af to Mellemproportionaler « og y mellem givne Linier a og b. Disse Mellempropor- 
tionaler bestemmes ved 


(2) 


Da dette var fundet, maatle Bestræbelserne gaa ud paa at finde to geometriske Steder, ved 
hvis Skjering denne Konstruktion kunde udfores. Man har vistnok fra forst af ved Om- 
dannelse af Proporlionerne stræbt at finde Relationer mellem « og y, som lade sig frem- 
stille ved Cirkel og ret Linie og altsaa fore til sedvanlig geometrisk Konstruktion. 

Forst have da de Forbindelser mellem et Punkts Abscisse og Ordinat, som umiddel- 
bart udtrykkes ved Proportionerne (2) eller deres Omskrivninger (1), frembudt sig. En 
nøjere Prevelse af de derved udtrykte Forbindelser mellem + og y har imidlertid snart vist, 
at disse Steder ikke ere rette Linier og Cirkler. Idet Omdannelser og Kombinationer af 


Ligningerne heller ikke have fort til Lo saadanne, er man vendt tilbage til Proportionerne 


(2) som de simpleste Relationer. Disse ere da gjorte til Gjenstand for en mere og mere 
indgaaende Undersogelse. Det Formaal, som man har sat for denne, har da været at finde, 
om de ikke skulde bestemme et fra ret Linie og Cirkel forskjelligt geometrisk Sted, som 
man enten forud var truffen paa, eller hvoraf man kunde give en geometrisk Definition. 
Uden en saadan har man ikke vovet at opstille Kurverne som Kurver, om end selve 
den foreliggende Undersogelse bragte til faktisk at studere dem paa Grundlag af den i Lig- 
ningen givne Definition. Hvad der skyldes Menaichmos, det er da de omspurgte Kurvers 
geometriske Bestemmelse, nemlig som Snit frembragte paa en bestemt Maade i rette Kegler. 
Det kom kun an paa at faa en saadan Bestemmelse som en Art Sikkerhed for, at man 
havde med virkelige Kurver at gjore, hvorefter man rolig kunde fortsette Anvendelsen af 
Ligningerne til deres videre Undersøgelse. Om de da ogsaa kunde frembringes paa anden 
Maade som Snit i Kegler, blev uvæsentligt. 

Denne stereometriske Bestemmelse af de Kurver, som svare til Relationerne mellem 
de to Mellemproportionaler var, som vi have omtalt i det Ilte Afsnit, forberedt af Archytas 
og Eudoxos. For at vide, hvor langt denne Forberedelse har naaet, maatte man kjende 
Eudoxos’ Løsning. Vil man holde sig til Tannerys Hypothese herom"), har denne bestaaet 
i en Anvendelse af en Projeklion af en af de Rumkurver, som indgaa i Archytas’ Løsning. 
Projektionens Egenskaber skulde da være førte tilbage til en plangeometrisk Bestemmelse, 
og Konstruktionen af Mellemproportionalerne udført ved Skjæring mellem denne Kurve og 
en Cirkel (Spor af Archytas’ Cylinder), og om Konstruktionen end i sig selv blot var en 
Henførelse ved Projektion og Skjæring af Archytas’ Konstruktion til en Plan, maatte den 
dog antages godtgjort uafhængig af denne og ad rent plangeometrisk Vej. Om man end 
saaledes her har en Overførelse af Kurver bestemte i Rummet og af rumlige Konstruktioner 
til Planen og til plangeometriske Bestemmelser og Konstruktioner, ville de dog kunne have 
tjent til Forbillede for Menaichmos, naar han omvendt søgte en for ham tilfredsstillende 
Bestemmelse af visse Kurver, hvis plangeometriske Hovedegenskaber og plangeometriske 
Anvendelse forud var given, og fandt denne ad stereometrisk Vej?). 

De af Kurverne (1), som mest umiddelbart have ladet sig fremstille som Keglesnit, 


og hvor den ejendommelige Frembringelse som Snit vinkelrette paa en Frembringer virkelig 


1) Mémoires de la Société de Bordeaux, 2™e serie, t. Il. 

2) Naar (se Cantor: Vorlesungen, S. 201) Plato siges at have dadlet Archytas, Eudoxos og Menaichmos, 
fordi de ved Terningens Fordobling tyede til mekaniske Fremgangsmaader, synes denne Dadel ubillig 
blandt andet ogsaa af den Grund, at hverken Archytas' Konstruktion eller Kurvers Bestemmelse som 
Snit i Kegler ere synderlig lette at udføre mekanisk. Plato vil dog have havt nogen Grund til sin 
Daddel, hvis den er gaaet ud paa, at de nævnte Mænd ikke have vovet at betragte de Kurver, som 
de benyttede — Menaichmos særlig Parablen og Hyperblen — som tilstrækkelig definerede ved de 
plangeometriske Grundegenskaber, hvilke vi fremstille ved deres Ligninger og Grækerne paa tilsva- 
rende Maade, men ansaa det for nødvendigt at give dem en til sandselige Forestillinger knyttet 
Definition, som dog ikke benyttedes ved den videre Undersøgelse. 


Vidensk. Selsk. Skr, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III, 1. 37 


290 


giver nogen Lettelse!), ere Parablerne. Lad TKC (Fig. 77) vere et Snit gjennem Axen i 
en ret og retvinklet Kegle med Toppunkt T og AP vere Sporet af en Snitplan vinkelret 
paa Frembringeren TX. P er Projektion paa 
Figurplanen af to Punkter i denne Plans Skjærings- 


%4 N kurve, hvis Afstand fra P vi ville kalde y, medens 
JET AP =a. Idet AT£EGPHZ=EKC, har man da 
ZA N N — V2.AP.AI = V2.2.V2.AL 
wes = No = DAIL 0. 
K+ À Sc hvor Z betegner Skjæringspunktet mellem Keglens 
Fig.77. Axe og Snitplanen. Snittet faar da Ligningen | 
y? = pa, 
hvor p = 2AZ = 2 TA er konstant. Omvendt kan — og det har man vist nok betragtet 
som Hovedsagen — enhver saadan Kurve ved at afsætte 7A — 1p paa den her angivne 


Maade bestemmes som Snit i en ret og retvinklet Kegle. Fra den her givne Bestemmel- 
sesform har Parablens halve Parameter faaet det Navn, som endnu findes hos Archimedes 
[Om Konoider og Sferoider 3 og andetsteds]: «Stykket indtil Axen», nemlig Afstanden AL 
fra Sniltets Toppunkt A til Skjæringspunktet Z med Keglens Axe. 

At den tredie af Kurverne (1), nemlig den til sine Asymptoler henforte Hyperbel, 
ogsaa kan fremstilles som et plan Snit i en Kegle, har man ikke kunnet se saa umiddel- 
bart. Ligningen æy — Konst. for den til sine Asymptoter henforte Hyperbel opnaas i 
Apollonios’ anden Bog forst, efterat Diametersetningerne ere fundne. Simplest fremgaar 
den af den Omstændighed, at den Korde, som i en Hyperbel afskjæres paa en vilkaarlig 
ret Linie, har samme Midtpunkt som den, ved Asymptoterne afskaarne Korde, og denne 
Setning er atter bygget paa, at alle Rekker af parallele Korder have retliniede Diametre. 
Det er imidlertid ingenlunde let for alle Korderetningers Vedkommende at udlede dette af 
Kurvens Fremstilling som Snit i Keglen, og der er intet som tyder paa, at man har fore- 
taget en saadan Udledelse. jé 

Rimeligere er det da, at man har udledet Asymptoteligningen af Axeligningen og 
omvendt og da, ligesom Archimedes og Apollonios, sat Axeligningen i Forbindelse med 
Frembringelsen som Snit i en Kegle. Forbindelsen mellem Asymptoteligningen og Axelig- 
ningen bliver nemlig, navnlig for den ligesidede Hyperbels Vedkommende, meget iojnefaldende, 


ej blot naar man bruger den moderne Omskrivning 


Fer (iG) (Oar Bh) 


1) I selve den Udledelse af de forskjellige Snits Hovedegenskaber, som her tillægges Menaichmos, afviger 
jeg ikke væsentlig fra Bretschneider (Die Geometrie und die Geometer vor Euclid). 


wv 4 Lv 7 4 7 
hvor 7 08 an CLS Punktet (x, y)’s Afstande fra Asymploterne, men ogsaa naar man 
V2 V2 
fremstiller Ligningerne i den antike geometriske Form. Man kan da iverksette den samme 
Overgang ved Hjælp af Eukl. II, 8 eller ved umiddelbar Brug af en Figur. Er (Fig. 78) ON 
og OR Asymptoterne og OA forste Axe i en ligesidet Hyper- 


bel, OP = 2 og PM — y de Lil denne henforte retvinklede uv 
Koordinater til Punktet M af Kurven, og Linierne MN og Wik 
MR Paralleler med Asymptoterne, bliver Ye 4/00) 
42? — ly? = Firk. OS MU — Rektangel ORMN, 0 ÅR [ | 
idet A NMU = A RSO. A, RAL 
Det gjelder altsaa kun om at finde, hvorledes Me- N N 
naichmos kan have bestemt saadanne Snit i rette Kegler, N N 


som gave den til sine Axer henforte ligesidede Hyperbel 


y? 
eller hvad der i Henhold til de i Euklids anden Bog indeholdte og paa Menaichmos’ Tid 


Fig. 78. 


Due 17 
— ar lå, 


vel bekjendte Methoder og Resultater var ganske det samme, Hyperblen 
Y2 — TINTIN, 


naar æ og 2, betegne Ordinalfodpunktet P's Afstande fra de ved 4,0 = OA = : 


tole 
& 


bestemte Toppunkter A, og. A. 

Lad (Fig. 79) ZC fremstille Snittet gjennem Axen i en Omdrejningskegle, hvis 
stumpe Toppunktsvinkel 7 vi forelebig lade ubestemt, 
AP Sporet af en Snitplan vinkelret paa Frembringeren 
TA, og Punktet A, dets Skjæringspunkt med Frembrin- 
geren TC. Den i et Punkt P af Sporet oprejste Ordinat 
y til Sniltet bestemmes da ved 


m GIP. IPE, 
_idet GHA KC. = | 
For videre at transformere dette Udtryk drages F | 
AI-~ KC, samt Keglens Axe TZ og de dermed paral- 
lele Linier 7F og HQ. Man finder da, idet G, À, HE, Q Q 
ligge paa en Cirkel, Fig. 79. 
yp ee GUE Nr ENT Tag) = AP. ap Garen, 


hvor AP = x og A, P = 2, betegne Ordinatfodpunktet P's Afstande fra de faste Punkter 
A, og À. 


Skal nu den fremstillede Hyperbel vere ligesidet, maa man have AZ — ! A, A. 
Vil man allsaa legge en Kegleflade gjennem en opgiven ligesidet Hyperbel — og herpaa 


31" 


kom det især an — maa man paa Axen À, A’s Forlængelse udover A afsætte AL — 14,4 
og derpaa konstruere den i A retvinklede Trekant A, 7 À saaledes, at ZL halverer Nabo- 
vinklen til Trekantens Vinkel 7. Den omskrevne Cirkel om A A, AT vil da skjære LT 
i et Punkt S af Perpendikulæren paa Midten af A,A. Punktet S maa endvidere, da 
/ 4, ST er ret, ligge paa Cirklen over A, Z som Diameter. S og dermed 7 blive saa- 
ledes bestemte. 

Denne Bestemmelse af en ligesidet Hyperbel som Snit i en ret Kegle lader sig 
ligesaa let anvende paa en hvilken som helst Hyperbel eller paa en Ellipse, idet i sidste 


Tilfælde de forskjellige Punkter falde noget anderledes, men alle Operationer blive ufor- 
2 ä AL 
I faar blot Værdien <= 
DBs Al; Al 


bliver den halve Parameter. Denne Konstant bestemmes saaledes for Ellipsen og Hyperblen 


andrede. Det konstante Forhold 


i Stedet for 1, eller AZ 


i fuld Overensstemmelse med det Navn, som vi nys saa Archimedes give den for Parab- 
lens Vedkommende, nemlig som «Stykket indtil Axen», 9: Stykket fra Kurvens Toppunkt 
A indtil Skjæringspunktet med Keglefladens Axe. For Parablens Vedkommende er denne 
Benevnelse egentlig ikke synderlig betegnende; thi det samme Stykke forekommer ogsaa 
andetsteds paa Figuren (se Fig. 77), nemlig som det Stykke T4, som Snittet afskjærer paa 
den derpaa vinkelrette Frembringer i Keglefladen, og det er paa denne sidste Maade, at 
Parameteren lettest virkelig benyttes ved Bestemmelse af en Kegleflade gjennem en given 
Parabel. For Ellipsens og Hyperblens Vedkommende benyttes derimod — som vi saa for 
den ligesidede Hyperbels Vedkommende, hvor p — «a — den halve Parameter netop til at 
bestemme det Punkt Z, hvorigjennem Keglens Axe skal gaa. Det er derfor rimeligt, at 
Archimedes’ Benævnelse paa Parablens halve Parameter ogsaa har været anvendt for Ellip- 
sens og Hyperblens Vedkommende, hvor den er mere betegnende end for Parablens. 

At nu allerede Menaichmos har bestemt alle tre Kurver paa denne Maade, stemmer 
fuldkommen med den Angivelse, at det er ham, som fandt de tre Keglesnit!). Om Ellipsen 
er det ikke urimeligt, at den forud kan vere kjendt som Cylindersnit af et Folk, i hvis 
Bygningskunst Cylinderen forekommer saa meget som i Grekernes. Paa en saadan tidlig | 
Forekomst, der ikke kunde været naaet ad nogen simplere Vej end denne, tyder maaske 
den Omstendighed, at Ellipsen havde sit eget gamle Navn (#vpgoc)). I saa Fald har 
Menaichmos set, at denne forud kjendte Kurve kunde bestemmes som Snit i Kegler paa 
samme Maade, som han bestemte Parabler og den ligesidede Hyperbel. At han ved Udle- 
delse af Snittenes Hovedegenskaber i det væsentlige er gaaet den her beskrevne Vej, der 
paa Snitlenes særegne Beliggenhed ner er den samme, som senere fulgtes af Archimedes 


i hans Undersogelser over forskjellige Snit i skjæve Kegler og af Apollonios i hans almin- 


1) Den Menaichmiske Triade; Eutokios’ Kommentar til Archimedes, ed. Heiberg III, S. 112. 
?) Se Heibergs Literaturgesch. Studien über Euklid S.88, hvor Navnet dog tillægges Menaichmos. 


293 


deligere Undersogelser, finder jeg ingen Grund til at betvivle, da den stemmer med alle 
foreliggende Oplysninger, og der ikke let lader sig tænke nogen anden med Grækernes 
øvrige Undersøgelser stemmende Vej, som kan vere fulgt. 

Er man nu virkelig gaact saaledes tilværks ved Bestemmelsen af Snit vinkelrette paa 
en Frembringer i en ret Kegle, er det indlysende, at man ogsaa lige strax maatte finde 
Beskaffenheden af et vilkaarligt Snit i en ret Kegle eller af et Snit vinkelret paa Symmetri- 
planen i en skjæv Kegle, saasnart man blot faldt paa at sporge derom. Om det 
end er lykkedes mig at give den Omstendighed, at Vinklerne ved A ere rette, en lille for- 
mel Betydning, skaffer Snitplanens særegne Beliggenhed ikke nogen vesentlig Simplifikation 
i Bestemmelsen af Snilkurvernes plangeometriske Egenskaber, men kun i den tilhørende 
Konstantbestemmelse. Er der da virkelig gaaet nogen Tid hen, inden man fandt, at alminde- 
ligere Bestemmelser af Sniltenes Beliggenhed ikke forte til nye Kurver, kan Grunden kun 
vere den, at man aldeles ikke bekymrede sig om at kjende Egenskaber ved plane Snit i 
Keglen, men blot anvendte dette stereometriske Middel til at give visse Kurver, som under- 
sogtes paa Grundlag af plangeometriske Egenskaber, en Definition, som ansaas for mere 
geometrisk. En Anledning til i Almindelighed at undersøge plane Snit i cirkulære Kegler 
maatte den antike Optik, 9: Perspektivlære, hvor lidet udviklet den end var, dog snart frem- 
byde, og inden for den nys anforte Begrensning kunde Resultaterne da ikke udeblive. 

At man har fastholdt den snævrere stereometriske Definition og de dertil knyt- 
tede Benevnelser lenge, efterat man havde set, at de samme Kurver stereometrisk ogsaa 
kunde fremstilles paa anden Maade, forklares udelukkende ved den simple Form, som vi 
have set, at Konstantbestemmelserne antage, naar Snittene legges vinkelret paa en Frem- 
bringer i en ret Kegle, idet den halve Parameter da bliver «Stykket indtil Axen», og ved 
den dermed forbundne Simpelhed af Konstruktionen af en Kegle gjennem en given Kurve. 

De gamle Benævnelser paa Kurverne findes, som vi have omtalt her og i andet 
Afsnit, endnu hos Archimedes. Den dertil hørende definitionsmæssige Fremstilling af Kegle- 
snittene fandtes, som det synes at fremgaa af Pappos’ Omtale!), endnu i Aristaios’ solide 
Steder, hvor den godt kan have havt omtrent samme Skikkelse, som vi her have givet 
Menaichmos’ Bestemmelse. 

Dette kan godt stemme med det Indhold og Formaal, som vi have tillagt Aristaios’ 
Boger om solide Steder, nemlig Behandling af saadanne geometriske Steder i Planen, som 
blive Keglesnitslinier. Havde Aristaios særlig tilsigtet en stereometrisk Undersogelse, som 
Naynet maaske kunde friste til at antage, vilde han sikkert vere naaet videre end til den 
hojst begrænsede Maade, hvorpaa han fremstillede Stederne som Snit i Kegler. Det er 
derimod ganske naturligt, at han kan have begyndt sin Undersøgelse af Keglesnittenes 


1) Se Tillæg Il. 


: 294 


Forekomst som geometriske Steder i Planen med at vise, at de Kurver, han behandler, 
have Ret til Navnet Keglesnit. Dertil var det tilstrækkeligl, at han, seende bort fra de 
andre Fremstillingsmaader, som han muligvis kan have kjendt, nøjedes med en enkelt 
bestemt, og da med den samme, som fra ferst af var lagt til Grund for Keglesnitsliniernes 
Bestemmelse. i 

Pappos synes at gaa videre i sine Udtalelser og tillægge Aristaios Indførelsen af 
Navnene Snit i en spidsvinklet, retvinklet og stumpvinklet Kegle. Synderlig Vægt kan der 
imidlertid ikke lægges paa dette Vidnesbyrd. Naar Pappos i dette Skrift, som han kjendte, 
og -som er ældre end de Skrifter af Euklid og Archimedes, hvori de samme Benævnelser 
forekomme, har set en Fremstilling af den Frembringelsesmaade, som ligger til Grund for 
disse Navne, kan dette have været Grund nok for ham til at tro, at det er Aristaios, der 
har indført dem. i 

Paa denne Sag ligger der dog meget ringe Vægt, hvis Talen blot er om selve 
Navnene, men disse dog have sluttet sig til de forud brugelige Frembringelsesmaader. 
At tilligemed Navnene ogsaa den tilsvarende ejendommelige Frembringelsesmaade, som ellers 
overalt tillegges alle de eldre Forfattere, forst skulde skyldes Aristaios, anser jeg ikke for 
rimeligt. 


Toogtyvende Afsnit. 
Den græske Geometris Forfald; Blik paa Keglesnitslærens senere Udvikling og Betydning. 


Fra Tiden efter Apollonios kjende vi ikke noget eneste væsentligt Fremskridt i den 
græske Keglesnitslere. Heraf ter man dog ikke slulte, at intet saadant er gjort. Vi have 
stadig gjort gjældende, at denne Lære ikke kunde fremtrede i en saa udviklet Skikkelse 
som hos Apollonios, uden at man samtidig havde fundel meget, som der ikke var Plads 
til i hans Verk; men om dette og de dertil knyttede Undersegelser maa man ogsaa 
sige, at de indeholdt saa mange Spirer, saa mange Opgaver, som dygtige Disciple af de 
store Geometrer endog uden at bryde nye Baner kunde udvikle og lese, at der maatte over- 
ordentlig vægtige ydre Grunde til for at standse Udviklingen umiddelbart efter ham. En 
væsentlig Grund til, at saadanne Arbejder kunne være gaaede sporlest tabt, have vi allerede 
anfert, nemlig den, at de, idet de byggede videre paa det hos Aristaios, Euklid, Archimedes 
og Apollonios forefundne Grundlag, bleve for vanskelige til at kunne interessere de Mænd 


295 
i den senere Oldtid, som gjenoptoge de mathematiske Studier, og hvem vi skylde Bevarelsen 
af nogle Skrifter af de nævnte Mænd og Oplysninger om andre. 

I denne vor Antagelse ligger imidlertid, at vi ikke tillegge Apollonios’ Efterfolgere 
Opdagelser, som vare store.nok til at trænge ned til selve Grundlaget og simplificere dette. 
Fremkomsten af saadanne, der atter paa deres Side maatte fremkalde nye Undersøgelser, 
vilde yderligere have vanskeliggjort Forklaringen af det Forfald, som i hvert Fald ikke ude- 
blev efter denne «Epigonernes Tidsalder»!). 

En meget væsentlig Del af Grundene til dette Forfald har været ydre; men for at 
disse skulle have virket saa stærkt, at del kom til at vare over halvandet Aartusende, inden 
en saa kraftig udviklet Videnskab som den græske Geometri satte nye Frugter, maatte der 
ogsaa være visse indre Betingelser tilstede. Det er dem, som vi her skulle søge at 
samle, om vi end ogsaa i det foregaaende have havt dem for Øje. 

Først skulle vi da anføre, at den ofte fremhævede Omstændighed, at, især paa Grund 
af den betydelige Brug af Figurer, Grækernes skriftlige Meddelelse stod saa langt tilbage 
for den mundtlige, har gjort Geometriens fortsatte Blomstring meget afhængig af Tilfældig- 
heder. En Virkning af denne Omstændighed var det allerede, at Mathematiken i sin bedste 
Tid var saa nøje knyttet til en enkelt By, Alexandria, at saa vidt vides kun én af de store 
Forfattere opholdt sig uden for denne By, med hvilken han dog stod i stadig Forbindelse. 
Uheld, der ramte denne By, maatte derfor ogsaa ramme Videnskaben. De maa have tilveje- 
bragt Brud påa den mundtlige Tradition, paa hvilke der ikke lod sig raade tilstrækkelig 
Bod gjennem det vanskelige Studium af de opbevarede Skrifter. Temmelig smaa Omstæn- 
digheder kunde derfor virke en væsentlig Tilbagegang eller dog foreløbig gjøre det saa 
vanskeligt at fastholde de indvundne Grænser, at man ikke kunde tænke paa at udvide 
dem ved at inddrage nye Synspunkter. 

Hvilke vare nu de Grænser for den græske Mathematik, som den ikke kunde over- 
skride uden at skabe nye Midler? Eller, hvilken Begrænsning havde dens Hjælpemidler i 
og for sig? i 

Svaret maa ikke lyde, at man savnede en Algebra eller et Organ til Behandling af 
almindelige Størrelser; thi et saadant havde man i den geometriske Fremstilling ved Læng- 
der og Arealer og tildels Rumfang. Begrænsningen bestod i, at dette, hvor fortræffeligt 
— i det mindste til Selvstudium og personlig Meddelelse — det end var i sin Anvendelse 
paa Operationer af anden eller højst tredie Grad, blev yderst besværligt, naar man kom til 
Udtryk af højere Grader, som maatte fremstilles ved Sammensætning af Forhold, En højere 
Potens vilde saaledes altid være at fremstille som et bestemt Led i en sammenhængende 
Proportion eller, hvad der er del samme, i en Kvotientrække. Derved blev det muligt, at 


1) Gantor: Geschichte der Mathematik S. 301. 


man paa den ene Side kunde hæve sig saa højt i Henseende til den direkte Behandling af 
kvadratiske Ligninger og af Læren om Keglesnit og den dertil knyttede Behandling af Lig- 
ninger af tredie og fjerde Grad eler dog af Opgaver, som afhænge af disse, medens paa 
den anden Side alle de Undersogelser, der gik ud herover, hvor fortjenstlige de end enkeltvis 
kunde være, ganske savnede den Almindelighed og Fuldstændighed, som vi have fundet i 
Keglesnitsleren. 

Vi kunne imidlertid ikke blive staaende ved, at denne Begrensning nu en Gang 
var der, og at der ikke var synderlig Udsigt til, at den skulde blive overskreden, efterat 
Forfaldstiden en Gang var indtraadt. Der maa positive Grunde til at forklare, at den ikke 
allerede blev overskreden i Blomstrings‘iden enten ved Dannelsen af et om end rudimentært 
Tegnsprog eller muligvis paa anden Maade. Et Tegnsprog er nemlig ikke noget, som 
bliver til ved en pludselig, genial Ide, og altsaa vedbliver at savnes, naar denne ikke af sig 
selv indfinder sig hos en eller anden. Det vil, idet det begynder med Abbreviationer, 
indfinde sig, naar Trangen er tilstede, og at det heller ikke var fremmed for græsk Tanke- 
gang, se vi hos Diofantos. Nu skulde man tro, at denne Trang let maatte faa Anledning 
til at gjore sig gjeldende i den Tid, da Geometrien udviklede sig med saa stor Kraft. Vel 
kunde de nye Ideer, som bragtes ind paa det Omraade, som den greske Algebra kunde 
magte, give Mathematikerne nok at bestille; men der er dog en saadan Sammenheng 
mellem de mathematiske Opgaver, at Ferden paa ét Omraade stadig forer Tanken ind paa 
andre. Hvor ofte vil saaledes en Opgave, som en Geometer har forsøgt at lose som en 
solid Opgave, have vist sig at kreve Brug af en Kurve af hojere Orden. Denne har man saa 
mangen Gang bestemt i det enkelte Tilfælde. Indtredelsen af flere saadanne har da inde- 
holdt en Opfordring til at søge saadanne fælles Fremstillingsmidler for disse lineære Steder 
som dem, man havde for Keglesnittene. Opfordringen til Algebraens Udvidelse maatte ogsaa 
frembyde sig i mangfoldige andre Skikkelser. 

For at forstaa, hvorfor Algebraen dog ikke fik nogen saadan Udvidelse, maa man 
huske paa, hvad det var Grækerne i theoretisk Henseende vandt ved at knytte Algebraen 
lil en geometrisk Fremstilling og til Proportionslæren. I første Afsnit have vi omtalt, at 
man ikke gav Slip paa den arithmetiske Betydning af et Produkt af to Tal ved at frem- 
stille det ved et Areal. Naar Siderne i et Rektangel a og 6 staa i et rationalt Forhold, 
benyttedes Rektanglet netop. til at fremstille Produktet af de Tal, der fremstille deres For- 
hold til et fælles Maal. Naar derimod a og b ere inkommensurable, existerer der efter den 
græske Opfattelse lige saa lidt saadanne Tal som noget Produkt. Rektauglet er da ikke 
et Produkt for Grækerne, men træder i Stedet for og gjør samme Nylte som det, vi 
kalde Produktet af to irrationale Tal. Ved den geometriske Fremstilling kunde man allsaa 
nyde de Fordele, som denne Udvidelse af Begrebet Produkt yder den nyere Tids Mathe- 
malikere, uden at man behøvede at indføre dette Begreb, hvis Definition vilde volde Vanske- 


297 


lighed. At Grækerne havde nogen Ret i ikke at betragte dels Betydning som indlysende 
uden nogen saadan Definition, indrømmes af vor egen Tids Mathematikere, som jo netop 
tilstræbe den storst mulige Stringens ogsaa paa dette Omraade. At de gamle paa deres 
Side virkelig gjorde sig de samme Skrupler og ikke blot søgte de praktiske Fordele ved 
den geometriske Fremstilling, se vi af deres Proportionslære, hvor man ikke omgaar, men 
direkte overvinder den nævnte Vanskelighed, men hvor den almindelige Størrelse, der kan 
være rational eller irrational, fremkommer i den for praktiske Operationer lidet gunstige 
Form af et Forhold, som ikke umiddelbart underkastes de for Tal gjældende Regneopera- 
tioner, men behandles ved en Sammenkjædning af Sætninger. 

Den theoretiske Vægt, som de anførte Fremstillingsmidler saaledes havde, maatte 
indgyde Frygt for at ombytte dem med Brugen af andre Hjælpemidler, der vilde være at 
omgjærde med en lignende Befæstning som den elementære Geometri og Proportionslæren, 
førend man kunde anse sig for berettiget til at gjøre Brug af dem i Arbejder, som gjorde 
Krav paa videnskabelig Stringens. At nu ikke det praktiske Livs Formaal fjernede denne 
Frygt for at operere med irrationale Størrelser, som om det var Talstørrelser, finder sin 
Forklaring i den store Adskillelse, som der var mellem Geometri paa den ene og Land- 
maaling og Logistik paa den anden Side, og som havde sin Grund i de skarpe logiske For- 
dringer, som stilledes inden for Geometrien. Krav om Regning med Størrelser, som kun 
kjendtes med en vis Tilnærmelse, maatte jævnlig indfinde sig. En exakt Behandling af saa- 
danne Opgaver kræver hver Gang en nøjagtig Bestemmelse af Grænser, inden for hvilke 
Fejlen falder. At saadanne Bestemmelser ikke vare fremmede for Grækerne, vide vi fra 
Åristarch fra Samos og Archimedes; men de krævede hver Gang et betydeligere Ar- 
bejde. Om en Tilnærmelse er god nok i et praktisk forekommende Tilfælde, lader sig der- 
imod som oftest afgjøre ved et Skjøn!). Denne Afgjørelse var imidlertid ikke videnskabelig, 
eller i alt Fald ikke geometrisk, og henvistes til Logistiken. Paa denne Maade vænnedes man 
vist nok til at henvise til Logistiken og altsua unddrage fra en grundigere mathematisk Pro- 
velse meget, som omvendt vilde have havt en befrugtende Indflydelse paa selve Mathematiken. 

Hvad vi have sagt og hvad der fremfor alt gjælder om Hensynet til irrationale Stør- 
relser, kan ogsaa siges om andre lignende Hensyn. Mathematiken skærpede sine Fordrin- 
ger lil streng Bevisførelse mere og mere; for at sikre denne bandt den sig mere og mere 
lil bestemte prøvede Former, og hvad der ikke lod sig indpasse i disse, viste den uden 
for sig og unddrog det derved fra en dybere gaaende videnskabelig Behandling. Hermed 
siges dog ikke, at Logistik og Landmaaling udviklede sig uafhængig af Mathematiken. Hvad 
man havde bevist i denne, kom selvfølgelig til Nytte inden for hine; men Mathematiken 


1) At Tilnærmelsesværdien x = 2? var kjendt, førend Archimedes exakt beviste dens Rigtighed, antages 
saaledes baade af Weissenborn (Die irrationalen Quadratwurzeln bei Archimedes und Heron, 
Berlin 1883) og af Heiberg i hans Anmeldelse af dette Skrift i Revue Critique 1884, 


Videnskab. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. III. 1. 38 


298 


optog ikke med særlig Interesse til videre Behandling og Udvikling de Problemer, hvortil 
disse praktiske Fag kunde give Anledning. 

Disse Forhold maatte yderligere skærpes i Forfaldstiden, da de spredte Forskere 
mere og mere maatte søge deres mathematiske Dannelse i Literaturen, og da de ikke mere 
gjennem den mundtlige Undervisning kunde blive gjort opmærksomme paa den friere Tanke- 
bevægelse, som var mulig indenfor eller bagved disse Former, idet dens Udbylte altid senere 
kunde bringes i Overensstemmelse med disse. 

At Geometriens Tilbagegang virkelig har været ledsaget af en Skærpelse af de for- 
malistiske Fordringer, kan man se af Pappos' Hjælpesætninger til de store Mathema- 
tikeres Skrifter. Jeg savner Betingelserne for at kunne deltage i Undersøgelserne af, paa 
hvilken Tid disse Hjælpesætninger ere blevne til!) Jeg skal blot henstille, om ikke disse 
Hjælpesætningers højst forskjellige geometriske Beskaffenhed maatte føre til at henlægge 
dem til forskjellige Tider eller forskjellige Forfattere. Nogle af dem indeholde Sætninger 
af virkelig Betydning. Saaledes er det jo i Pappos’ Hjælpesætninger til Euklids Overflade- 
steder, at vi finde Beviset for Sætningen om Brændpunkt og Ledelinie, i Hjælpesætningerne 
til Porismerne, at vi finde den, at Værdien af et anharmonisk Forhold ikke ændres ved 
Projektion. Have disse Sætninger i de kommenterede Værker, som ere tabte, været 
benyttede uden Beviser”), har der været meget god Grund for Hjælpesætningernes Forfatter 
til at give saadanne, hvis man ikke kunde eller vilde nøjes med at henvise til de Værker, 
som muligvis tillod Euklid at fritage sig selv for at bevise dem. At der netop til flere 
tabte Værker er givet saadanne Hjælpesætninger, er kommet os til megen Nytte i det 


foregaaende. 
Medens jeg kunde kalde disse Sætninger reale Hjælpesætninger, ere andre — og 
til dem er det, jeg nys sigtede — af en rent formalistisk Art. Dette gjælder f. Ex. om 


Hjælpesætningerne til Apollonios’ Keglesnitslere, som visselig ikke skulde kunne give os 
nogen Forestilling om Indholdet af dette Værk, hvis det var tabt. De knytte sig nemlig 
kun til saadanne Enkeltheder i Apollonios’ Beviser, hvor Bevisførelsen ikke er helt. udført 
af den simple Grund, at Sagen strax vil være indlysende for enhver, som overhovedet 
besidder den til Læsningen af det hele Værk fornødne Modenhed, og at en saadan Læser, 
om han maatte ønske det, let selv vilde kunne danne sig formelle Beviser. Den Slags 
smaa Spring yde endog Lettelser ved Læsningen af de gamle Forfattere, der ellers gjøre saa 


1) P. Tannery har i Bulletin des Sciences Math., t. VII (2me série) p. 241 henledet Opmærksomheden 
paa, at Hjælpesætningerne næppe skyldes Pappos personlig. 

?) Da vi ikke godt kunne antage, at der i de kommenterede gamle Værker virkelig har været betydelige 
Huller at udfylde, maa saadanne Sætninger enten være laante af andre bekjendte Værker, eller der 
maa implicite være givet dem Beviser, medens de i Hjælpesætningen opstilles og bevises selvstændig, 
maaske i en noget almindeliggjort Skikkelse. Dette kan ses at gjælde om nogle af de vanskeligere 
Hjælpesætninger til det opbevarede Skrift om Forholdssnittet, 


299 


lidt for Overblikket. Hjælpesætningernes Forfatter synes derimod at have ment, at de vare 
Brud paa Bevisforelsens Fuldstændighed, som skulde udfyldes. 

Vi ville herved se bort fra de fuldstændig overflodige Hjælpesætninger til Steder, 
hvor Apollonios umiddelbart anvender en bekjendt Setning, og Hjælpesætningens Bevis kun 
bestaar i at anføre denne Sætning, saasom Hjælpesætning 3 til 3die Bog, der kun udsiger, 
at den Trekant, der afskjeres af en anden ved en Paralleltransversal forholder sig til denne 
anden Trekant, som Kvadraterne paa et Par ensliggende Sider. Et mere oplysende Exempel 
paa de Hjælpesætninger, hvorpaa jeg her tænker, er det, at naar en Trekant og et dermed 
lige stort Paralleltrapez have en Vinkel fælles, er Rektanglet af Vinklens hosliggende Sider 
i Trekanten lige storl med det Rektangel, som dannes af Summen af de parallele Sider 
i Trapezet og den af de andre Sider, som er hosliggende til Vinklen. Denne Sætning, der 
anvendes uden nogen nærmere Omlale eller Bevis i Apollonios’ Bevis for Sætning 50 i 
forste Bog, er opstillet som Hjælpesætning 8 til denne Bog. At den ikke udfylder noget 
Savn, som kan være folt under Læsningen af Apollonios, vil vere klart, naar det bemærkes, 
at det ogsaa i Hjælpesætningens Bevis forudsættes bekjendt, at et Trapez er halvt saa stort 
som det af Hojden og de parallele Siders Sum dannede Rektangel. Hensigten er altsaa 
ikke at udfylde mulig manglende Kundskaber i denne Henseende!), men maa vel nærmest 
vere den at give Apollonios’ Bevis al ønskelig Fuldstændighed. 

Exempler af lignende Art, hvor Apollonios ogsaa uden Omtale har benyttet en 
Proportionalitet (i det nævnte Exempel af Hojden og en Side i hver Figur), der falder umid- 
delbart i @jnene paa den, som under Læsningen folger Apollonios’ Figur, yde Hjælpesæt- 
ningerne 7—11 til 2den bog, 12 til 3die Bog og Hjælpesætningerne til 6te Bog. 

En anden Hovedklasse af de i real Henseende lidet nyttige Hjælpesætninger bestaar 
af saadanne, som angive en vis Relation mellem Punkter bestemte paa en eller anden Maade 
paa en ret Linie, der vel ikke var eller er bekjendt, men i Nutiden let verificeres ved en 
Regning. I den Tid, da Apollonios skrev de Bøger, til hvilke disse Hjælpesætninger 
høre, maa man vel have havt lignende bekvemme Midler til den samme Verifikation; thi 
hvis Apollonios havde anset de ofte ret smukke Kunstgreb for nodvendige, hvorved de i 
Beviserne hos Pappos føres tilbage til bekjendte Sætninger navnlig i Euklids 2den Bog, 
havde han neppe overladt Begrundelsen til Læseren. Det er at antage, at Apollonios har 
tænkt sig Verifikationen udfort ved umiddelbar Anvendelse af den med vor Bogstavregning 
ensgjældende geometriske Algebra, ja for den, der har Færdighed i denne, har Paastandenes 
Rigtighed maaske endog været umiddelbart iojnefaldende. Hjælpesætningerne have da spillet 


en lignende Rolle, som om et Regningsresullat i en Nutidsbog, der var let at verificere, 


1) Dette Exempel afviger dog fra de fleste andre derved, at den bekjendte Sætning, hvortil man føres 
tilbage, og hvoraf et Bevis maa forudsættes bekjendt forud, ikke findes hos Euklid. 


38" 


300 


og som for Overskucligheds Skyld var opskrevet uden Gjennemforelse af Regningen, blev 
kommenteret, ikke ved en simpel Udforelse, men ved en Omdannelse af Regningen 
til — muligvis elegantere — Anvendelser af saadanne Formler som den for (a—+b)?, 
(a + b) (1— 6) 0.5. v. 

Et Exempel paa en Hjælpesætning af denne Art har jeg anført i Slutningen af 
første Afsnit, hvor der tillige blev gjort opmærksom paa de gode Midler til Indavelse af 
den geometriske Algebra, man netop kunde have i denne Slags Hjælpesælninger, ikke ved 
at belragle Hjælpesætningernes egne Beviser, men ved at efterspore de Midler, som fore 
saa umiddelbart til Resultaterne, at Apollonios har kunnet vere berettiget til at udelade 
Beviser. 

De hos Pappos opbevarede Hjelpesetninger af disse Arter kunne nærmest antages 
at vere blevne til paa en Tid, da man endnu sad inde med det vesentlige af den bedste 
Tids Viden, men da man dog interesserede sig mere for at udvikle de Former, hvori den 
indesluttedes, til den hejeste Grad af Uangribelighed end for at udvide den selv. Skulde 
de derimod skyldes Pappos selv, ere de fra en Opblomstringsperiode efter en langvarig 
Dvale. I dette Tilfælde vilde de fremhævede Egenskaber vise, at det var den strenge, i 
Enkelthederne udarbejdede Form hos de gamle, som man senere greb med saa stor Begjær- 
lighed, at man med Flid eftersogte, hvor der endnu maatte vere noget at foje til i denne 
Henseende. At dette i alle Tilfælde virkelig har fundet Sted, er meget rimeligt. Det 
var kun igjennem en Indtrengen i denne Form, at man kunde lære Indholdet at kjende. 
Jo storre Vanskeligheder Formen frembod, des grundigere maatte denne Indtrængen blive, 
des mere maatte Indholdet blive uadskilleligt fra den ved de gamles Autoritet saa ærvær- 
dige Form, og desto mere kunde man ogsaa naa at faa Ojet op for det i Sandhed beun- 
dringsverdige ved denne Form. ‘Til disse beundringsverdige Egenskaber horer imidlertid 
ikke den at vere et let Organ for de Ideassociationer, hvoraf Stilladset sammentomres 
til nye Tilbygninger, og i den Henseende vare altsaa de, som kun kunde vere de gamles 
Disciple igjennem den skriftlige Overlevering, ikke godt rustede. 


Herpaa vilde Pappos’ Hjælpesætninger til Apollonios’ Keglesnitslere afgive et Exem- 


pel, hvis de skyldes ham og ikke snarere — som vi forst antoge — allerede ere fra 


Forfaldstidens Begyndelse. Paa Grund af Rimeligheden af dette sidste bliver Eutokios’ 
Kommentar til samme Skrift et paalideligere Exempel. Den hidrorer fra en endnu senere 


Opblomstringstid, som forljener vor storste Paaskjonnelse for dens Bidrag til vort Kjend- - 


skab til den gammelgræske mathematiske Literatur; men selve Kommentaren giver os kun 
formalistiske Tillæg af den Art, som vi mindst paaskjonne. Naar vi saaledes beundre den 
Færdighed, hvormed Apollonios uden at have det Middel, som Brug af Fortegn yder os, 
kan sammenfatte Sælninger og Beviser, som vedrore Ellipse, Parabel og Hyperbel, og som 
omfatte forskjellig formede, dertil knyttede Figurer under ét, volder det kun liden Glede 


ch ic 


301 


af Eutokios at faa at vide, hvor mange enkelte Tilfælde hver enkelt Sætning omfatter. Han 
synes at betragte Opløsningen i saadanne som en væsentlig Del af den fulde Forstaaelse. 
Som Exempel kunne vi anføre, at han, naar et Snit i en Kegle bliver en Ellipse, finder 
det fornødent at skjelne mellem de Tilfælde, hvor denne har forskjellig Stilling mod Keglens 
cirkulære Grundflade. Denne Skjelnen er jo for saa vidt rigtig, som Snittet, naar dets Plan 
træffer Grundfladen, ikke bliver en hel Ellipse men kun en Del af en saadan. Den er 
ogsaa virkelig kun en videre Udvikling af en Udstykning, hvortil de gamle selv paa mange 
Steder ere tilbøjelige, og som navnlig ogsaa Apollonios bruger baade i sit Skrift om For- 
holdssnittet, og hvor. der i Keglesnitsleren er Tale om de nye Sætninger, der knytte sig 
til sammenhørende Hyperbelgrene. 

Der var saaledes noget i den gamle græske Geometri, som udøvede et hæmmende 
Tryk overfor nye, friere Undersøgelser i de Tidsrum af den senere græske Oldtid, til hvilke 
den forplantede sig. ' 

Et Tryk af lignende Art vedblev den græske Geometri i sin Storhed og i sin strenge 
Skikkelse at udøve paa de andre Folk, som lærte den al kjende gjennem de opbevarede 
Skrifter, og hvem den i større eller mindre Grad delagtiggjorde i sit store Indhold og i 
den enestaaende Skarphed i Tanken, hvoraf den helt er gjennemtrængt. Skrifterne kunde 
ikke delagtiggjøre i selve de græske Geometrers Arbejdsmaade, Bygningens imponerende 
Storhed maatte kue Haabet om at komme ud over de Grænser, den havde naaet, og For- 
mens Strenghed maatte indgyde Frygt for, at de famlende Forsøg, uden hvilke sjelden noget 
nyt naas, skulde være utilladelige inden for Mathematiken. 

Dette gjælder dog selvfølgelig kun om dem, der direkte bygge paa de græske 
Mathematikeres Værker. Jeg har med stor Interesse læst Cantors Paavisning i Geschichte 
der Mathematik af den Indflydelse, som den græske Geometri har havt paa den indiske 
Mathematik, og den har i det væsentlige overbevist mig"). At denne Indflydelse ikke blot 
har strakt sig til egentlige geometriske Sætninger og disses Anvendelse, men ogsaa til vigtige 
algebraiske Operationer navnlig Løsningen af Ligninger af anden Grad”), er jeg saa meget 
villigere til at gaa ind paa, som jeg fører den numeriske Løsning meget længere tilbage hos 
Grækerne end Cantor. Denne Indflydelse er imidlertid ikke kommen gjennem Skrifter eller i 
Former, som kunde virke trykkende, men snarere gjennem den græske af Geometrien paa- 
virkede Logistik eller gjennem mundtlig Meddelelse af Regler uden Ledsagelse af en Be- 


grundelse, der skulde værne mod saadanne Farer, som Inderne dog ikke forstode. Den 


1) I et Arbejde om Brahmaguptas Trapez (Tidsskrift for Mathematik 1876) gik jeg i Tilslutning 
til Hankel ud fra en modsat Anskuelse. Med nogen Modifikation vil jeg dog kunne fastholde de 
Forklaringer, jeg den Gang gav. Navnlig nærér jeg ingen Tvivl om Sammenhængen mellem det 
"saakaldte Brahmaguptas Trapez og Formlerne for sin (© + y). 

2) Cantor: Geschichte der Mathematik, S. 530. 


mødtes med den indiske Talsands og store Regnefærdighed og kunde da kun virke be- 
frugtende. Det skjonneste videnskabelige Udbytte heraf er, naar vi bortse fra dem af mere 
praktisk Art, Indernes systematiske Behandling af ubestemte Ligninger af anden Grad, som 
langt overgaar Diofants sporadiske. 

At derimod Araberne have folt det omtalte Tryk af den vældige greske Geometri, 
kan jeg vel ikke paavise af deres Skrifter, fordi jeg kun har et Kjendskab til dem paa 
anden Haand, navnlig gjennem Hankels, Matthiesens og Cantors Verker. Jeg tror imidlertid 
at kunne slutte det af, at Araberne paa den ene Side skyldte Grækerne deres oprindelige 
Kjendskab til Geometrien og vedbleve at vise deres Lærere en Ærbødighed, hvorved adskil- 
lige Hovedværker ere opbevarede, og paa den anden Side ikke paa el eneste Punkt af den 
theoretiske Geometri og den dermed forbundne Algebra i Henseende til Indholdet ere komne 
ud over det, hvormed de græske Geometrer i den bedste Tid maa have været fortrolige. 
Naar jeg bygger denne sidste Paastand paa Beskaffenheden af de saakaldte Fremskridt, som 
man tillægger dem, og paa den Omstændighed, at de virkelige Fremskridt først tilskrives 
den europæiske Renæssance, maa jeg dog indrømme Muligheden af, at Udvidelsen af vort 
endnu mangelfulde Kjendskab til de arabiske Mathematikere kan oplyse, at adskillige af 
disse sidste Fremskridt ikke have været ukjendte af Araberne. En senere Forsker vil 
maaske kunne gjøre noget lignende gjældende om Araberne overfor den nyere Tids Euro- 
pæere, som jeg nu om de gamle Grækere overfor Araberne. 

Hvad først den egentlige Keglesnilslære angaar, saa mindes jeg ikke at have set 
et eneste virkeligt Fremskridt i denne blandt det, som tillægges Araberne. Man faar snarere 
et slik modsat Indtryk, naar Cantor”) finder det Umagen værd at berette om to Konstruk- 
tioner hos Abul Wafå af Punkter i en Parabel, som kun ere umiddelbare Anvendelser af 
de mest bekjendte Mellemproportionalkonstruktioner til Bestemmelse af Ordinaten som 
Mellemproportional mellem Abscissen og Parametren, og som allsaa ikke vise større Kjend- 
skab til Parablen end det, som allerede Menaichmos havde. For at Araberne dog naaede 
til en hæderlig Tilegnelse af den græske Keglesnitslære, er det bedste Bevis den Skikkelse, 
hvori de have overbragt os Apollonios’ sidste Bøger, som ellers vilde være gaaede tabt. Det 
er vel kun gjennem det mathematiske Værd, at vi kunne kontrollere den saaledes opbe- 
varede Udgave: men dette Værd viser os, hvad enten den arabiske Oversættelse har stemt 
mere eller mindre nøje med den græske Original, at Oversætleren maa have sat sig fuld- 
stændig ind i dennes Indhold. 

Det er mere i Henseende til Behandlingen af Ligninger, at man har villet tillægge 
Araberne et væsentligt Fremskridt fra Grækerne. Dette maa bortfalde for de kvadratiske 
Ligningers Vedkommende, naar Grækerne alt havde fuldstændige Kundskaber paa delte 


1) Geschichte der Mathematik S. 640. 


303 


Omraade, idet Euklids geometriske Behandling er den theoretiske Begrundelse af Opera- 
lioner, som man meget vel forstod at anvende arithmetisk. Der kan kun have været den 
Forskjel, som vel er af stor Betydning i og for sig, men her vedkommer os mindre, al 
Araberne have besiddet en større Regnefwrdighed og saaledes med større Lethed have 
kunnet gjennemfore Roduddragningen og andre Regninger i de kvadratiske Ligningers 
numeriske Anvendelse. 

Hvad dernæst Ligninger af tredie og fjerde Grad angaar og saadanne Opgaver, som 
kunne loses ved Hjælp af disse, saa kjendte Araberne saa vel som Grækerne kun deres 
Behandling ved Keglesnit. Ganske vist træffe vi hos dem Opgaver og Løsninger, som vi 
ikke have fundet hos græske Forfattere f. Ex. nye Tredelinger af Vinklen, og de ere vist nok 
ogsaa naaede selvstændig til meget af det, som forud har været kjendt af Grækerne; men i 
sin Helhed er denne Behandlingsmaade et Laan fra den græske Behandling af solide Op- 
gaver. At den blot er et Laan, fremgaar ogsaa af den Omstændighed, at Araberne i Reglen 
ikke brød sig om til denne Behandling at knytte det, der hos Grækerne gav den et virkeligt 
Værd. Idet den ingenlunde er et bekvemt Middel Lil praktisk Losning, have vi set dens 
egentlige Formaal i Anvendelsen til Diorismer og i de dertil knyttede theoretiske Under- 
sogelser; men herom synes der ikke at have været synderlig Tale hos Araberne. 

Derimod har der rimeligvis bag ved Arabernes Syslen med dette Emne ligget en 
Bestræbelse, som vel ikke hos Araberne blev kronet med Held, men som indeholdt Formu- 
leringen af en Opgave, hvis Losning senere skulde blive af storste Betydning. Vi se nemlig 
arabiske Forfattere give sig omhyggelig af med selve Trediegradsligningen, betragte de 
forskjellige Former, som den kan antage, og knytte Løsning ved Keglesnit til hver enkelt. 
Nu have vi vel i ellevte Afsnit antaget, at allerede Grækerne en Tid ogsaa have givet 
sig af med egentlige kubiske Ligninger, men at de strax efter Archimedes’ Tid have opgivet 
den særlige Beskjæftigelse hermed, idet de efterat have reduceret en geometrisk Opgave 
hertil dog kun havde de samme Hjælpemidler til deres Raadighed, som de kunde bruge 
direkte uden denne Reduktion. For Araberne, der vistnok som Inderne mere end Grækerne 
beskjæftigede sig med selve de numeriske Ligninger, fik Trediegradsligningen derimod en 
fornyet Betydning, og det er rimeligt, at de kunne have søgt en Reduktion til Kubikrods- 
uddragning, altsaa hvad vi forstaa ved en Losning af de kubiske Ligninger. Om 
denne Bestræbelse er det, at den ivrige Beskjæftigelse med disse Ligninger vidner, ja der 
foreligger endog et udtrykkeligt Vidnesbyrd om, at Al Mahani har forsogt at lose disse Lig- 
ninger"). 

I saa Fald have Araberne havt den Fortjeneste at stille den Opgave, med hvis 


Løsning Europæerne, denne Gang Italienerne, i det femtende Aarhundrede atter ind- 


1) Se Hankel: Zur Geschichte ete. S. 266. 


304 


traadte paa den mathemaliske Skueplads, og hvormed det første betydningsfulde Fremskridt 
siden de gamle Grækeres Tider gjordes paa den endnu til Geometrien nøje knyttede 
Algebras Omraade. > 

Blev end denne virkelige Overskridelse af den gamle Mathematiks gamle Grænser 
snart efterfulgt af Losningen af Fjerdegradsligningen, og begyndte der end i det hele at 
rore sig et frodigt Liv inden for Mathematiken, var dog den dermed forbundne Folelse af 
selvstændig Kraft ikke endnu stærk nok til at afryste det Tryk fra den antike Geometris 
Side, som vi have omtalt. Det træder frem paa en ejendommelig Maade hos Vieta i hans 
to Fremstillinger af Ligninger af hojere Grader. Den forste har vel efter Ordlyden be- 
holdt den gamle geometriske Form, idet de forskjellige Potenser af den ubekjendte kaldes 
latus, quadratum og cubus, og idet de opgivne Koefficienter have saadanne Benævnelser 
(planum og solidum), at der tilvejebringes en geometrisk Homogeneitet; men at der dog 
ikke er ment andet end Dannelser ved simpel arithmetisk Multiplikation, viser sig derved, 
at Viela — som Diofant — fører disse Benævnelser ud over det virkelige Rum ved at 
kalde højere Potenser af den ubekjendte quadrato - quadratum, quadrato - cubus, cubo- 
cubus, og at kalde givne Størrelser af højere Grad plano-planum, plano-solidum og 
solido-solidum. Det kan imidlertid hændes, at de Størrelser, som saaledes blive at multi- 
plicere, blive irrationale. Mod de Indvendinger, som derfor kunne rejse sig mod Fremstil- 
lingens Almengyldighed, bringer Vieta sig i Sikkerhed ved den anden Fremstilling af Lig- 
ningerne, som han kalder den geometriske, og som navnlig bestaar i Fremstillingen af de 
forskjellige Potenser som Led i en sammenhængende Proportion (Kvotientrække). Da der 
ved Navnet geometrisk vist nok skal betegnes noget mere videnskabelig begrundet, antager 
jeg, at Vieta ad denne Vej stiller sig i Læ af Proportionslæren i Euklids femte Bog med 
fuld Bevidsthed om Betydningen af den deri givne exakte Begrundelse. 

Det blev først Descartes, der sagde det befriende Ord overfor den gamle Geo- 
melris Baand, og som derved blev Stifter af den nyere Tids Mathematik. Med en 
vidunderlig Klarhed og i Udtryk, som man med fuld Ret ofte har bevaret omtrent uforan- 
drede i de moderne Lærebøger, udtaler han paa de første Sider af sin Geometri Sammen- 
hængen mellem Størrelsers arithmeliske Sammensætning, der træder saa lydelig 
frem i det Tegnsprog, som efterhaanden havde udviklet sig, og hvortil ogsaa han leverede 
sit Bidrag, og deres geometriske Sammensætning. Han forklarer den Betydning, 
som Enheden "spiller i den arithmetiske Fremstilling af Størrelsers Forbindelser, og udtaler 
det vigtige Princip, at Ligninger maa være homogene, naar Enheden skal være vil- 
kaarlig, medens dette ikke er nødvendigt, naar den har en bestemt Værdi. Han frem- 
sætter fremdeles Reglerne for Overgangen mellem arithmetisk Beregning og geometrisk 
Konstruktion. 


Idet saaledes de to Behandlingsmaader af Algebraen eller den almindelige Storrelses- 
lære, som vi endnu fandt adskilte hos Vieta!), ere forbundne hos Descartes, kan man 
vel sige, at den beholdt den af de gamle ad geomelrisk Vej erhvervede Stringens ogsaa, 
naar Talen var om inkommensurable Storrelser. Descartes selv synes dog intetsteds at 
legge synderlig Vægt herpaa, og det varede i hvert Tilfælde ikke lenge, inden man helt 
lagde den arithmetiske Forklaring til Grund for Storrelsers algebraiske Sammenhæng uden 
at bekymre sig om, at man ikke havde nogen bestemt Definition paa den nojagtige Tal- 
værdi af en med Enheden inkommensurabel Storrelse eller paa Regninger med saadanne 
Tal. Den Knude, hvormed den arithmetiske Opfattelse i henved 2000 Aar havde vieret 
bunden, naar Talen var om videnskabelig gyldige Begrundelser, var altsaa snarere over- 
hugget end lest. 

Ligemeget! eller snarere, saa meget desto bedre! Havde man den Gang fordybet 
sig i abstrakte Undersogelser over irrationale Tals Natur, vilde man derpaa have spildt den 
Kraft, som nu fandt sin Anvendelse paa de største reale Udvidelser af Mathematikens Ind- 
hold. Hovedsagen var foreløbig, at Baandet var væk. Den arithmetiske Opfattelse af Stor- 
relserne, som havde veret eneraadende hos Inderne og hos Araberne ligget i en jevnlig 
Kamp med den geometriske, havde paa en tydelig Maade ligget bag ved de sidste store 
Fremskridt i Ligningernes Theori, om man end mente at maatte tilfoje en exakt, og saa- 
kaldt geometrisk Begrundelse. Den havde fremdeles saa store Ting at sige, at den fortjente 
at faa fuld Frihed til at udtale sig. Den fortjente det saa meget mere, som dens Sprog, 
om det end ikke formelt var saa uangribeligt som Geometriens, var langt lettere forstaaeligt, 
end dette -sidste efterhaanden var blevet, og end det i skriftlig Fremstilling nogensinde 
havde veret. Derved voxede Mathematikens Udbredelse og Anvendelse sterkt og hurtig, 
og dens Resultater fik i Virkeligheden ikke mindre Paalidelighed ved at udvikles i noget 
mindre strenge Former, da man til Gjengjæld forstod at bruge disse med langt storre 
Sikkerhed og Frihed. 

Med Frigjorelsen fra det trykkende i de antike Former fulgte ikke et saa stort Tab 
af Oldtidens rige mathematiske Udbytte, som man let forestiller sig. Nej! dettes Indfly- 
delse maa tages med i Betragtning, naar man vil forstaa det store mathematiske Opsving, 
som knytter sig til Descartes. I vor Beskrivelse af den anlike Keglesnitslere have vi netop 
paavist den store Overensstemmelse, denne havde med de analytisk geometriske Methoder: 
i Oldtiden benyttede man Parallelkoordinater og særlig, hvor det var hensigtsmæssigt, ret- 


1) Da Inderne blandt disse kun kjendte den, som vi nys kaldte den arithmetiske, og med stor Færdig- 
hed anvendte den, kan man vel kalde den den indiske, den anden, som udelukkende skyldes 
Grækerne, den græske; men man maa da ikke glemme, at Grækerne fuldkommen vel vidste Besked 
om, hvorledes deres geometrisk sammensatte Storrelser kunde sammensættes arithmetisk, for 
saa vidt Inkommensurabiliteten ikke lagde Hindringer i Vejen. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. IIL 1. 39 


306 


vinklede Koordinater: man henforte en Kurve til disse ved en Ligning; og i denne Lignings 
Fremstilling og Anvendelse benyttede man den geometriske Algebra, som af Descartes om- 
byttedes med den paa Arithmetik og et dertil knyttet Tegnsprog byggede Algebra. 

Denne sidste Ombytning er det, som gjer den egentlige Forskjel mellem den nyere 
Tids analytiske Geometri og den antike Behandling af Keglesnittene. At Forskjellen ikke 
— saaledes som Descartes og hans nærmeste Efterfølgere synes at have antaget, og som 
det vel antages af mange den Dag i Dag — har strakt sig videre, har netop veret en 
særlig gunstig Betingelse for den analytiske Geometris hurtige og storartede Udvikling og 
derved for Opførelsen af alt det, som er bygget videre paa den analytiske Geometri. Hvad 
der først forelaa til Behandling for denne, var Gjenudviklingen af de Resultater, som kjendtes 
fra Oldtiden. Nu er den analytiske Geometri ifølge sin hele Form særlig vel skikket til 
Gjenfremstilling af forud kjendte Resultater. Denne maaite yderlig lettes her, hvor Talen 
var om Resultater, hvis første Udledelse skyldes saadanne geometriske Undersøgelser, som 
paa Formen nær gik samme Veje som den analytiske Geometri. Uden at man anede, hvor 
nær man holdt sig ved de gamles Methoder, kunde man benytte den analytiske Geometris 
ejendommelig simple Fremstillingsmidler til at gjøre Resultaterne let tilgængelige for langt 
større Kredse. Inden for det af de gamle behandlede Omraade, altsaa navnlig i Keglesnits- 
læren, kunde den derimod ikke føre til nye Resultater, før den modtog nye Impulser 
fra andre Omraader af Videnskaben. 

En Hovedgrund til den analytiske Geometris egen overordentlig raske Udvikling var 
altsaa, at den i saa høj Grad kunde bygge paa den græske Keglesnitslære. En Hoved- 
grund til, at den fik en saa stor videnskabelig Betydning, laa derimod i den Forskjellig- 
hed fra den antike Keglesnitslære, som vi have omtalt. I Stedet for den geometriske Alge- 
bra, hvorpaa denne hvilede, og som arbejdede meget tungt, naar den hævede sig op over 
anden Grad, var traadt en Algebra, som formelt lige let kunde fremstille Udtryk af alle 
mulige Grader, og som kun af reelle Vanskeligheder lod sig hindre i med lige Lethed 
at behandle Problemer af alle Grader. : 

Den forste Folge heraf var, at man fik en lige saa almindelig Form for Behand- 
lingen af hvilke som helst algebraiske Kurver som for Behandlingen af Keglesnit. Denne 
Fordel saas klart af Descartes, der særlig benytter sig deraf overfor de Kurver, hvis geo- 
metriske Definition i Pappos' 7de Bog”; er opstillet som Udvidelse af Definitionerne paa 
Stederne til 3 og 4 Linier. Descartes fejler vel, idet han synes at antage, at Sledet til 
2n—1 eller 2n Linier er almindelig Typus paa en Kurve af te Orden”), i hvilket Til- 
fælde ogsaa Oldtiden i Pappos’ Definitioner paa de nævnte Sleder vilde have havt et almen- 


1) Hultsch’ Udgave, S. 680. 
2) Schootens' Udgave af 1659, S. 25. At Descartes slaar Kurver af Ordenerne 27— 1 og 2r sammen 
til én Klasse, har her heller ingen Betydning. 


es 


gyldigt Grundlag for Studiet af en saadan Kurves Egenskaber. Men selve Principet: Ind- 
delingen af algebraiske Kurver efter deres Ordener tilhorer dog helt og holdent Descartes’ 
analytiske Geometri. 

Medens det ikke var i Keglesnitslæren, at man maatte søge den nye analytiske Geometris 
Frugter, er saaledes indenfor Geometrien Læren om Kurver af tredie og fjerde Orden 
og om de algebraiske Kurvers almindelige Egenskaber Bygninger, hvortil Descartes 
har lagt den særlige Grundvold. Fra Behandlingen af Kurver af en hvilken som helst Orden 
er man i den nyeste Tid ved en ny Abstraktion gaaet over til i den saakaldte Antalgeo- 
metri at behandle Ordnerne og overhovedet Grader af hvilke som helst Ligninger, under 
Navn af Antal af Opløsninger, som saadanne hele Tal, der kunne være de ubekjendte i 
en Opgave. Antalgeometrien hviler altsaa netop paa det nye i Descartes’ Algebra og ana- 
lytiske Geometri, og det er ved virkelig at føres tilbage til denne, at den faar den fornødne 
videnskabelige Sikkerhed og Betydning. Jeg fremhæver dette, fordi man saa ofte paa Grund 
af, at de Ligninger, med hvis Grader der opereres, ikke opskrives, ser den betragtet som 
en Årt af «ren» Geometri, uafhængig af den analytiske. 

Det er dog først i vort Aarhundrede, og efterat Udviklingen af Læren om imagi- 
nære Størrelser og den projektiviske Opfattelsesmaade havde givet nye Belysninger, at de 
her omtalte Theorier ere komne til fuld Udvikling. Foreløbig var der en for den hele 
Mathematik og dens Anvendelser langt betydningsfuldere Gjerning at gjøre for den analytiske 
Geometri. Dens Fremstilling af algebraiske Kurver er en Fremstilling af en implicite given 
Funktion. Behandler man derimod Ligninger af Formen y — f(x), faar man en explicit 
Fremstilling af Funktioner. Paa denne Maade er den analytiske Geometri bleven det Grund- 
lag, hvorpaa Funktionslæren og med den Differential- og Integralregningen og 
hele den højere Analyse har udviklet sig. Om vi end have set en solid og sikker Begyn- 
delse til Integralregning hos Archimedes, er det først Descartes’ analytiske Geometri, der 
er bleven Udgangspunkt for en videre Udvikling af de nævnte Hovedretninger i den nyere 
Tids Mathematik. For disse har da den antike analytiske Geometri, som navnlig repræsen- 
teres af den græske Keglesnitslære, faaet en væsentlig. indirekte Betydning som Underbygning 
for Descartes’ analytiske Geometri. Vi skulle fremhæve, at den for de nye Theorier saa vig- 
tige Forestilling om Kontinuitet særlig er bygget paa den græske geometriske Fremstilling 
af Størrelserne. At Kontinuiteten vanskeligere virkelig naas ad arithmetisk Vej, maa i all 
Fald være klart i Nutiden, da man véd, at end ikke de algebraisk-irrationale Tal forbundne 
med de rationale danne et Kontinuum. 

Det er gjennem sin Omformning til den analytiske Geometri, at den græske højere 
Geometri har faaet den største eller dog den lettest paaviselige Indflydelse paa den nyere 
Tids Mathematik. En Hindring for fortsat direkte Indflydelse var det, at den analytiske 
Geometri, efter at den en Gang havde dannet sig og optaget af den anlike Geometri, hvad 

39" 


den syntes at have Brug for, ophørte med at søge tilbage til denne Kilde, hvorfra de Ex- 
empler vare tagne, hvilke den skyldte sin Udvikling. Naar man senere til enkelte Tider er 
vendt tilbage til denne, er det vanskeligt at sige, hvor meget af det, der da frembragtes, 
man maa betragte blot som Led i hele den moderne mathematiske Udvikling, og hvor meget 
der skyldes Paavirkning fra de gamle. Tilfældigt er det dog ikke, at den Mand, som fysisk 
begrundede Keglesnittenes store Betydning i Astronomien!), stod i Midten af den Kreds af 
britiske Mathematikere, som for henved 200 Aar siden med storste Iver havde gjenoptaget 
Studiet af den græske Geometri. Vi ere flere Gange vendt tilbage til Newtons ivrige 
Beskjæfligelse med den græske Keglesnitslere. I denne Beskjæftigelse har man undertiden 
villet se et blot Liebhaveri, og Newton har selv indrommet, at det i Almindelighed er lettere 
at fremsette Beviser i moderne Form end i den antike; men vi tro ikke, at nogen, der 
véd virkelig Besked om, hvad der findes i den græske Keglesnilslere, kan tvivle om, at 
denne maa have virket i høj Grad befrugtende paa Newton, der selv satte den saa højt, 
og have bidraget til at fore ham ind paa de Veje, ad hvilke han har fundet sine Resul- 
tater. Et kuriost Vidnesbyrd om, at Newton ikke har kunnet faa sine Impulser fra den 
da bestaaende moderne Mathematik, har man i den Omstendighed, at Potenssetningen, 
den Hovedsætning, der, som vi have set, laa til Grund for de fleste af de græske Under- 
sogelser over Keglesnittene, som ikke knyttede sig til Diametre eller andre særegne Linier 
eller Punkter, den samme Setning, som spiller en Hovedrolle i Newtons Principia, senere 
har faaet Navn af Newtons Theorem. Denne vigtige Sætning, som Newton selvfølgelig 
tillægger de gamle, og som ikke var bleven upaaagtet af Geometrer som De la Hire, 
blev altsaa forst ved Newton bragt til Mathematikernes almindelige Bevidsthed. Newtons 
Verker vise, at det ikke blot er hans Arbejder paa den fysiske Astronomis Omraade, som 
ere paavirkede af den græske Geometri. 

Ved den projektive Geometris Udvikling gjentager sig det samme som ved den 
analytiske Geometris Fremkomst, at man, uden at bryde sig om antike Methoder og Beviser, 
har benyttet de fra Oldtiden kjendte Resultater til at prove og udvikle de nye Redskaber 
og gjore dem vel skikkede til videre gaaende Brug. Den projektive Geometri er lige som 
den analytiske bygget over Keglesnitslæren. Descartes’ analytiske Geometri har i den Hen- 
seende draget mest Nytte af Apollonios’ to første Bøger; den projektive Geometri beskjef- 
tiger sig derimod især med saadanne Spørgsmaal, som behandles i Apollonios’ tredie Bog, 
og med saadanne Stedbestemmelser som de gamles Sted til fire Linier. Polarsetningen 
findes, som vi have set, allerede hos Apollonios, og har fra ham af forplantet sig og, gjen- 
nem Arbejder af Mend som De la Hire, videre udviklet sig, indtil Poncelet derpaa 
grundede Læren om reciproke Polarfigurer. Hovedsætningerne om Keglesnits Tangent- 


1) Ogsaa Keppler var fortrelig med den græske Mathematik. 


ES oe un ee 


309 
frembringelse, hvilke ligge til Grund for Dualitetsprincipet, findes tildels hos Apollonios 
og ere videre udviklede af Newton. 

Der er dog en væsenlig Forskjel mellem den analytiske Geometris og Projektivgeo- 
metriens Forhold til den antike Keglesnitslere. Denne udgjorde, i geometrisk Henseende, 
det fuldstændige Underlag for den analytiske Geometri, som derfor, saalenge den ikke selv 
havde optaget projektiv-geometriske Momenter, kun ad Omveje — f. Ex. ved Anvendelse af 
Sætninger om almindelige algebraiske Kurver paa saadanne, som ere sammensatte af Kegle- 
snit — har fort til videre gaaende Keglesnilsselninger end de i Oldtiden kjendte. Projektiv- 
geometrien er derimod dannet ved Indoptagelse af et nyt geometrisk Moment, nemlig Læren 
om Centralprojektion. Denne, der finder Anvendelse paa Keglesnitsleren, naar man studerer 
Keglesnittene paa selve den cirkulære Kegle, blev, som vi have set, benyttet overordentlig 
lidt af de gamle, der i det væsentlige nojedes med ad denne Vej at udlede en enkelt plan- 
geomelrisk Egenskab, som da lagdes til Grund for den videre Undersogelse. Det var derfor 
en ny Kilde til Opdagelsen af geometriske Sandheder, der aabnedes, da Descartes’ Samtidige 
Desargues begyndte at gjore Anvendelse af Centralprojektionen, og det viste sig snart, 
at der ad denne Vej ogsaa skulde tilflyde den gamle Keglesnitslere nye betydningsfulde 
Sætninger. 

En saadan se vi vel ikke i det saakaldte Desargues’ Theorem, som kun er en 
mere speciel Form for Keglesnits Bestemmelse som Steder til fire Linier, og hvilken Skriftet 
om det bestemte Snit har vist os, at ogsaa de gamle forstode at anvende. En Setning, 
som derimod ikke var kjendt i Oldtiden, er Pascals om den indskrevne Sexkant. 
Dens Skikkelse er nemlig saa skjon og simpel, at man med temmelig stor Sikkerhed kan 
antage, at den, hvis man havde fundet den, ogsaa vilde vere bleven bevaret. Hermed 
staar det ikke i Strid, at vi have ment, at de gamle rimeligvis kjendte et Keglesnits Frem- 
bringelse som Sted for en Vinkelspids i en Trekant, hvis to andre Vinkelspidser glide paa 
rette Linier, medens Siderne dreje sig om faste Punkter; thi hvor nær denne Frembringel- 
sesmaade end i Realiteten kommer Pascals Sætning, savner den dog noget, som her er 
væsentligt, nemlig den klare og korte Form. Hvor meget nyt, der ad samme Vej endnu 
kunde føjes til den antike Keglesnitslæres omfattende Resultater, ses dog bedst senere af 
det projektiv-geometriske Hovedværk: Poncelet’s Traité des Propriétés projectives. 

Idet Poncelel endnu bestandig benytter selve Projektionen som Hovedmethode, og 
altsaa arbejder ad helt andre Veje end de gamle græske Mathematikere, har han ikke havt 
nogen anden Hjælp fra disse end Kjendskabet til en Del af Resultaterne. Poncelets Efter- 
følgere, der, dels uafhængig af den analytiske Geometri, som Steiner og Chasles, dels 
i Tilslutning til denne, som Möbius og Plücker, omdannede den projektive Geometri 
saaledes, at de tage selve de almindeligere Former, hvortil man ved Omprojektion kan 
komme fra de mere specielle, til Udgangspunkt, kom derimod ogsaa i Methoderne de 


310 


gamle nærmere, navnlig fordi man udledede Keglesniltenes forskjellige Egenskaber af plan- 
geometriske Grundegenskaber. | hvilken Grad man heri maa se en af de Indflydelser af 
den antike Geometri paa den nyere Tids Mathematik, som vi efterspore, er vanskeligt at 
afgjere. De fleste af de anførte Forfattere arbejdede uden Tanke paa, hvorledes man i 
Oldtiden bar sig ad med lignende Undersøgelser. Der bliver da mest kun Tale om en 
indirekte Indflydelse, som navnlig kan vere kommen dels derfra, at Kjendskabet til Oldtidens 
Resultater forte ind paa de beslegtede Methoder, dels fra den ogsaa af de antike Methoder 
paavirkede analytiske Geometri. Direkte lod vist nok kun Chasles sig paavirke af den 
gamle Geometri. Var det end forst, efter at han ad anden Vej havde set de projektive 
Punktrekkers Egenskaber og store Betydning, at han begyndte sine Studier over deres 
Behandling i Euklids Porismer, tor det nok antages, at disse Studier ere komne ham lil 
Gode under hans egne senere geometriske Arbejder, om ikke just ved nogen direkte Bele- 
ring saa ved de Impulser, som ban kan have hentet derfra. 

Foruden den projektive Geometri, hvis Hovedkilde er Betragtning af Keglesnit som 
Centralprojektioner af Cirkler eller som Snit i vilkaarlige cirkulere Kegler, maa vi som et 
andet Fremskridt i Keglesnilsleren fra den nyere Tid nævne Dandelins Bestemmelse af 
Brendpunkter og Ledelinier til plane Snit i Omdrejningskegler. Denne faar foruden ved 
sin egen store Simpelhed Betydning ved Anvendelsen til Bestemmelse af Omdrejnings- 
kegler gjennem givne Keglesnit, hvortil atter videre slulter sig Læren om konfokale 
Flader af anden Orden. Brændpunktslæren turde overhovedet være et af de Afsnit af 
Læren om Keglesnit, hvor, bortset fra Projektivgeometriens Bidrag, den nyere Tid har 
føjet flest Sætninger til dem, man kjendte i Oldtiden. Vi tænke ikke blot paa saadanne 
vidtrækkende Opfattelser som den, der knylter sig til de imaginære Cirkelpunkter, men 
ogsaa påa saadanne elementære Sætninger, som Grækerne let kunde have naaet. 

Herved have vi dog kun tænkt paa selve Keglesnitslæren og ikke paa den dermed 
forbundne Lære om Flader af anden Orden. Om vi end hos Archimedes have fundet et 
klart og simpelt Grundlag for denne Læres analytisk- geometriske Behandling, er den kun-i 
ringe Omfang udviklet i de fra Oldtiden opbevarede Skrifter. Den er saaledes omtrent helt 
udarbejdet i den nyere Tid, saavel ved analytisk Geometri som ved projektivgeometriske og 
andre rent geometriske Methoder. — 

AL ved Siden af den her eftersporede Indflydelse af den antike Geometris Indhold 
og Methoder paa den nyere Mathematiks forskjellige Fremskridt dens Form og Stringens har 
vedblevet at gjøre sig gjældende, turde være mere almindelig anerkjendt. Man søger den 
Dag i Dag at skærpe Ungdommens Tanke ved Lærebøger, som slutte sig ner til Euklids 
Elementer, ja selve denne Bog bruges i nogle Lande, og vi se Duhamel i Éléments de 
Calcul infinitésimal benytte de Archimediske Integrationsprinciper som Forbillede under sin 
Revision af Infinitesimalregningens Principer. 


Tillæg I. 


Apollonios Fortaler til Skriftet om Keglesnittene!). 


1. Fortalen til hele Værket. 


(Stilet til Eudemos.) 


Det glæder mig, hvis Du baade har det godt legemlig, og det i andre Henseender 
gaar Dig efter Ønske; jeg befinder mig vel. Da jeg var sammen med Dig i Pergamon, 
bemærkede jeg, at Du havde stor Lyst til at trænge ind i den Keglesnitslære, som jeg har 
forfattet. Derfor sender jeg Dig første Bog i forbedret Udgave og skal. derefter sende Dig 
de andre, naar jeg faar bedre Ro. Jeg antager nemlig, at Du erindrer, at Du har hørt af 
mig, at jeg begyndte at skrive dette efter Opfordring af Geometeren Naukrates, da han op- 
holdt sig hos os efterat være kommen til Alexandria, og at jeg strax efter Affattelsen med- 
delte disse otte Bøger til ham uden at gjennemarbejde dem med behørig Flid (fordi han 
snart skulde sejle bort), men sammenskrivende alt, som det faldt mig ind, idet jeg saa bag 
efter vilde se dem igjennem. Da jeg derfor nu har faaet Tid, udgiver jeg dem efterhaan- 
den, som jeg faar bearbejdet dem. Da nu nogle af dem, som vare hos mig, have faaet 
første og anden Bog førend denne Forbedring, maa det ikke undre Dig, hvis Du træffer 
paa noget, som her er fremsat anderledes. 

Af de otte Bøger give de fire første det almindelige Grundlag for denne Lære 
(Rentwxe mpdc eloaywyny arorysıwon). Den første indeholder Frembringelserne af de tre 
Keglesnitslinier og af de saakaldte modstaaende Keglesnit (Gurexetsevor) samt deres vigtigste 
Egenskaber, udarbejdet fyldigere og almindeligere end, hvad de andre have skrevet. Den 
anden. Bog behandler Diametres, Axers og Asymptoters Egenskaber samt andet, som er af 
en almindelig og væsentlig Betydning for Diorismer; men hvad jeg kalder Axer og hvad 
Diametre, vil Du faa at vide af denne Bog. Den tredie Bog indeholder mange mærkelige 
Theoremer, som ville være nyttige til Løsning [eller til «den synthetiske Fremstilling» af 
Losningerne] og Diorisme af solide Opgaver. Idet jeg finder mange af disse baade smukke 


') Efter Halleys Udgave. 


og nye!), har jeg fundet, at Euklid ikke har bestemt [eller givet en synthetisk Fremstilling 
af denne Bestemmelse] Stedet til tre eller fire Linier, men kun givet en delvis Bestemmelse, 
som tilmed ikke er heldig. Denne Bestemmelse kunde heller ikke rettelig tilendebringes 
uden det nye, som jeg har fundet. Fjerde Bog oplyser, paa hvor mange Maader Keglesnit 
kunne skjære hinanden indbyrdes eller skjære Cirkler, og andet mere, hvorom mine For- 
gengere intet have overleveret; ligeledes i hvor mange Punkter et Keglesnit, en Cirkel eller 
to modstaaende Snit kunne skjære modstaaende Snit. 

De ovrige fire Boger skulle meddele en fyldigere Viden. Den femte handler nemlig 
for en stor Del om Minima og Maxima, den sjette om kongruente og om ligedannede Kegle- 
snit; den syvende indeholder Theoremer, som kunne bruges i Diorismer, den ottende 
afgrensede [nemlig ved Diorismer] Opgaver om Keglesnittene. 

Naar nu alt dette er udkommet, kunne Læserne demme derom efter deres egen 
Opfattelse. Lev vel. 


2. Særlig Fortale til anden Bog. 


(Stilet til Eudemos.) 


Det gleder mig, hvis Du har det godt; jeg har det ret vel. Jeg giver min Sen 
Apollonios den anden Bog af den Keglesnitslere, som jeg har forfattet, at overbringe Dig. 
Les den omhyggelig igjennem, og meddel den til dem, som Du anser for verdige dertil. 
Lad ogsaa Geometeren Philomides, med hvem jeg gjorde Dig bekjendt i Efesos, læse den, 
hvis han engang kommer til Pergamon. Hav det godt; far vel. 


3. Særlig Fortale til fjerde Bog. 
(Stilet til Attalos.) 


Af de otte Boger, som jeg har forfattet om Keglesnittene, har jeg udgivet de tre 
forste, idet jeg stilede dem til Eudemos fra Pergamon. Da jeg nu efter hans Ded har 
bestemt at sende Dig de andre, sender jeg dig her den fjerde, eftersom Du lenges efter 
mine Skrifter. Denne Bog viser, i hvor mange Punkter Keglesnit indbyrdes eller Keglesnit 
og Cirkler i det hojeste kunne skjære hinanden uden helt at falde sammen, end videre i 
hvor mange Punkter et Keglesnit eller en Cirkel i det hojeste skjærer modstaaende Snit, 
eller to modstaaende Snit to andre, og desuden en Del andre lignende Sager. Om det 
forste af disse Emner har Konon fra Samos skrevet til Thrasydaios uden dog at fore 
rigtige Beviser, hvorfor Nikoteles fra Kyrene med Rette gjør ham Bebrejdelser. Det 


1) Efter Hultsch’ Udgave af Pappos, S. 676. 


andet Emne har Nikoteles blot lige omtalt i sin Bog imod Konon som noget, der kunde 
bevises, hvilket jeg dog hverken har set udført af ham eller af nogen anden. Det tredie 
og de ovrige er, efter hvad jeg har fundet, slet ikke faldet nogen ind. Af det her nævnte 
kræver det, som jeg ikke har fundet bevist af andre, mange forskjellige nye Theoremer, 
hvoraf jeg har fremsat de fleste i de tre foregaaende Boger, Resten i denne. Men naar 
disse rettelig indses, bringe de ikke ringe Nytte saavel ved Opgavers Løsning [egentlig: 
den synthetiske Redegjorelse for denne] som ved deres Diorismer. Vel erklærer Nikoteles 
paa Grund af hans Strid med Konon, at det, som denne havde fundet, ikke var til nogen 
Nytte for Opgavers Diorismer; men dette er ikke rigtigt; thi om man end ogsaa uden det 
kunde give Diorismerne, opfattes dog adskilligt lettere ved dets Hjælp, saasom at en Opgave 
kan have flere Losninger, og hvor mange, eller at den slet ingen har. En saadan forelobig 
Viden giver et godt Vink med Hensyn til Undersogelsen, og for den analytiske Udledelse 
af Diorismerne ere disse Theoremer meget nyttige. Dog ogsaa bortset fra denne Nytte 
fortjene de at medtages for Bevisernes egen Skyld. Vi pleje nemlig at medtage meget 
andet i Mathematiken alene af denne Grund. 


4. Særlig Fortale til femte Bog. 
(Stilet til Attalos.) 


I denne femte Bog har jeg nedskrevet Sætninger om Maxima og Minima. Men 
det bor vides, at de, som enten have levet for mig eller nu leve, kun leselig have berørt 
Læren om Minima, idet de blot have bevist, hvilke rette Linier der berore Keglesnittene, 
og omvendt hvilke Egenskaber de faa, fordi de ere Tangenter. Herom har jeg talt i forste 
Bog paa det ner, at jeg under Udviklingen deraf udelod Læren om Minima. I Beviserne 
herfor havde jeg bestemt at bevare den samme Orden, som jeg har fulgt i de foregaaende 
Elementer for de tre Keglesnit, og at henfore dem til en vilkaarlig Diameter; men da disse 
have utallige Egenskaber, har jeg i Øjeblikket kun søgt at vise, hvorledes Sagen forholder 
sig, naar der tages Hensyn til Axerne eller Hoveddiametrene. Disse Sætninger om Minima 
har jeg meget noje inddelt og adskilt i deres Klasser, og dertil har jeg fojet dem, som 
vedrøre den foran nævnte Lære om Maxima. Dette er nemlig særlig nødvendigt for dem, 
der studere denne Videnskab, dels til Opgavers Inddelinger og Diorismer, dels til deres 
Losning, foruden at denne Sag horer til dem, som i og for sig forekomme mig at fortjene 
en Undersogelse. Lev vel. 


Vidensk. Selsk. Skr. 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 1. 40 


314 


5. Særlig Fortale til sjette Bog. 
(Stilet til Attalos.) 


Jeg sender Dig den sjette Bog om Keglesnittene, som indeholder Sætninger om 
kongruente og ukongruente, ligedannede og uligedannede Keglesnit og Keglesnitssegmenter, 
saa vel som forskjelligt andet, som er forbigaaet af mine Forgengere. Særlig vil Du i denne 
Bog finde, hvorledes et Keglesnit kongruent med et givet skal udskjæres i en given ret 
Kegle, og hvorledes man skal konstruere en ret Kegle ligedannet med en given, som inde- 
holder et givet Keglesnit. Disse Ting har jeg behandlet noget fyldigere og klarere end de, 


som fer mig have skrevet herom. Lev vel. 


6. Særlig Fortale til syvende Bog. 
(Stilet til Attalos.) 


Hermed sender jeg Dig syvende Bog om Keglesnittene. I denne findes mange 
nye Sætninger om Keglesnittenes Diametre og de dertil hørende Figurer. Alle disse ere 
nyttige ved mange Slags Opgaver og især ved deres Diorismer. Herpaa træffer man mange 
Exempler i de bestemte [eller: afgrensede] Keglesnitsopgaver (in Problematis Conicis deter- 
minatis), hvilke vi have løst og bevist i ottende Bog, som udgjer et Tillæg, og som jeg skal 
lade sende til Dig snarest muligt. Lev vel. 


ae 


Tilleg IL 


Pappos’ Meddelelser') om Apollonios’ 8 Bgger om Keglesnittene. 


Apollonios fuldstændiggjorde Euklids fire Boger om Keglesnittene, idet han tilfojede 
fire andre og altsaa leverede otte Bøger om Keglesnittene. Aristaios, der skrev de endnu 
existerende fem Boger om solide Steder som et Supplement til Keglesnitsleren, kaldte 
[ligesom Apollonios andre Forgængere| de tre Keglesnit Snit i den spidsvinklede, den ret- 
vinklede og den stumpvinklede Kegle. Men eftersom disse tre Linier findes paa enhyer af 
disse tre Kegler alt efter den Maade, hvorpaa de skjæres, synes Apollonios ikke at have 
vidst, i Henhold til hvilken Forskjel de ældre havde kaldt en af dem Snit i den spidsvink- 
lede Kegle, som dog kunde findes baade paa den retvinklede og stumpvinklede, en anden 
Snit i den retvinklede, som kunde vere baade paa den spidsvinklede og stumpvinklede, og 
endelig en Snit i den stumpvinklede, som kunde findes baade paa den spidsvinklede og den 
retvinklede. Derfor forandrede han Navnene og kaldte den, som hed Snit i den spidsvinklede 
Kegle, Ellipse, den, som hed Snit i den retvinklede, Parabel, og den som hed Snit i den 
stumpvinklede, Hyperbel i Henhold til de særegne Hovedegenskaber ved hver enkelt. Et 
Rektangel anlagt (zapafaddouevoyv) langs en ret Linie vil nemlig i Snittet i den spidsvink- 
lede Kegle mangle (yiverar eAActzov) et Kvadrat, i Snittet i den stumpvinklede overskyde 
med et Kradrat (7éera bxepPdAdov), og i Snittet i den relvinklede hverken mangle eller 
overskyde. [Men dette hændte ham (9: Apollonios?)), eftersom han ikke bemærkede, at man 
ved paa en bestemt Maade at anbringe Planen, som skjærer Keglen og frembringer de tre 
Linier, i hver enkelt (éx/orw T@v*)) af Keglerne faar en af disse, som saa opkaldtes*) 
efter Keglens Beskaffenhed. Hvis nemlig den skjærende Plan legges parallelt med°) en 
Frembringer i en Kegle, fremkommer en enkelt af de tre Linier, altid den samme, hvilken 
Aristaios kaldte Snittet i denne Kegle.] 


1) Jeg følger her i det hele Hultsch' Udgave S. 672—678. De indklammede Steder [|] anser Hultsch 
for tvivlsomme, vist nærmest paa Grund af de Vanskeligheder, som de frembyde. Nogle af disse 
Vapskeligheder bortfalde dog ved nogle Rettelser og Forklaringer, som Dr. Heiberg velvillig har 
meddelt mig, og som jeg har fulgt i min Oversættelse. 

?) Efter Hultsch Aristaios. 

3) Er af Hultsch oversat ved quovis. 

1) Hultsch skriver @ydépvacev, han opkaldte, i Stedet for Haandskriftets @ydzacayv, de, nemlig Forgæn- 
gerne, opkaldte. 

5) Maa vere «vinkelret paa» (?) 


316 


Men Apollonios taler om Indholdet af de otte Bøger, som han har skrevet om 
Keglesnittene, idet han i Begyndelsen af ferste Bog under ét giver denne forelebige For- 
klaring : 

[Her folger et Uddrag af Apollonios’ foran meddelte, forste Fortale, 
indeholdende Redegjorelsen for de enkelte Bogers Indhold.] 

Dette siger Apollonios; men naar han angaaende tredie Bog siger, at Stedet til 
tre og fire Linier ikke er fuldstændig behandlet af Euklid, saa kunde hverken han selv eller 
nogen anden foje endog blot det allermindste til det af Euklid skrevne, i det mindste ikke alene 
ved Hjælp af det, som var bevist om Keglesnittene indtil Euklids Tid, saaledes som han 
ogsaa selv bevidner, idet han siger, at det er umuligt at fuldfore uden det, som han selv 
var nodt til forud at skrive. [Men da Euklid mente, at Aristaios havde gjort sig fortjent 
ved det, som han allerede havde ydet i Keglesnitslæren, og da han ikke vilde komme ham 
i Forkjebet og ikke vilde lægge en ny Grundvold for den samme Lære, idet han tillige 
var beskeden og yelvillig mod alle, som blot kunde fremme Mathematiken lidet, saaledes 
som det bor sig, og ikke hovmodig mod nogen, men skarpsindig uden at være pralende 
som hin — saa skrev han saa meget, som det var muligt at vise om dette Sted ved hins 
(Aristaios’) Keglesnit, uden udtrykkelig at sige at Beviset var fuldendt. I saa Fald kunde 
der have været Grund til at dadle ham, men ingenlunde nu, naar dog han selv (a: Apollo- 
nios) ikke anklages, fordi han i sine Keglesnit har ladet meget ufuldendt. Dog kunde han 
(Apollonios) tilføje det manglende til dette Sted, oplyst og paavirket, som han var, ved det, 
som Euklid allerede havde skrevet om dette Sted, og i lang Tid belert ved Samtaler i 
Alexandria med Euklids Disciple, hvem han skyldte sin Uddannelse. Men dette Sted til 
tre eller fire Linier, som han er saa stolt af at have udviklet (zgoodetc), medens han burde 
löestioy')) vere den, som først skrev derom, taknemmelig, er felgende.] Hvis man, naar 
tre Linier ere givne i Beliggenhed, fra et [og samme] Punkt drager rette Linier under givne 
Vinkler, og Forholdet er givet mellem Rektanglet af de to og Kvadratet af den tredie, vil 
Punktet ligge paa et i Beliggenhed givet solidt Sted, det vil sige paa en af de tre Kegle- 
snitslinier. Og hvis man til fire i Beliggenhed givne rette Linier drager rette Linier under 
givne Vinkler, og Forholdet mellem Rektanglet af de to og Rektanglet af de to andre er 
givet, vil Punktet ligeledes ligge paa et i Beliggenhed givet Keglesnit. [Thi hvis der blot 
drages Linier til to Linier, er Stedet vist at vere plant.] Men hvis de drages til mere end 
fire, vil Punktet ligge paa Steder, som ikke ere bekjendte, men blot kaldes Linier. — 


(Der er ikke Grund til her at medtage mere, da Pappos i Fortsættelsen ikke giver 
nærmere Oplysninger om Apollonios’ Forhold til hans Forgængere). 


1) Efter Haandskriftet; Hultsch skriver d¢e¢deey og faar derved en anden Mening. 


Indhold. 


Side 
GUNNS. 6 0.0 0:0:%- 0.005 06 80,0.0 u ol Ola Oca D Ah noi oo cb ni polie Dee ue ee 3 
Første Afsnit: Forudsætninger og Hjælpemidler; Proportioner og geometrisk Algebra... . . . . . . .. 9 
Andet Afsnit: Keglesnitsliniernes plangeometriske Definition; dennes Form hos Archimedes . . . . ... 32 
redrerAfsnitApolloniossterstenbostomaReelesnitfene EE - eee 47 
Fjerde Afsnit: Omformninger af Keglesnittenes Ligninger; Ændringer af Koordinaterne. . . . . . . . .. 61 
Ponte ATSmitis Anlonos adm ROG on cob ooo aD ob oc ob Dos boob DD aS DODO DK OO cc 73 
Sjette Afisnit: Apollonios tredie Bog 1—40, 44 og 53—56 .......................---- 79 
Syvende Arsmits cific: til ire Gier ihne LINE Ne todo ci CT CCI 87 
Ottende Afsnit: Stedet til fire Linier (Fortsættelse); Forbindelse med Euklids Porismer......... 102 
Niende Afsnit: Bestemmelse af Keglesnit ved fem Punkter; fjerde Bog af Apollonios’ Keglesnitslere; 

RE hansgysectioRdeterm in at ER ea etek. Sine.) Eee ON yess, aoa eee 123 
end Asmite Onn Resiommasoan Al GOI SiCWOPs cose oes coos ocbs Ce CC 134 
Eee ASIN cOONNG OMAN 60 4 co ncobacododoooouenuoDS ooo go Mod ec 149 
Tolvte Afsnit: Solide Opgaver (Fortsættelse); Indskydninger (vedazes; . . . . . . . . . . . . . eee . . .. 169 
Trettende Afsnit: Solide Opgaver (Fortsættelse); Apollonios’ femte Bog................... 154 


_Fjortende Afsnit: Om tabte Undersøgelser; en Gjætning om Eratosthenes’ Skrift om Mellemstorrelser. 199 
Femtende Afsnit: Keglesnittenes Tangentfrembringelse; Apollonios’ Keglesnitslære, tredie Bog, 41—43; 


BesennegomaRonholdssnittetgosgArealswitte EE EE CE CC 220 
Sextende Afsnit: Brændpunktegenskaber; Apollonios’ tredie Bog 45—52; Apollonios’ to Bøger om Be- 
MOE 0 0 0:00 80 #010: 070 0.010.000 à clac ol og 0 aa lee ah oo ccconcrt 234 
Syttende Afsnit: Ligedannede Keglesnit; Apollonios’ sjette Bog. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 245 
Attende Afsnit: Apollonios’ syvende og ottende Bog; konjugerede Diametres Længder . . . . . . . . .. 250 
Nittende Afsnit: Kegleflader og Omdrejningsflader af anden Orden; Archimedes’ Bog om Konoider og 
Sferoider; Euklids to Boger om Overfladesteder. ..-.-.....-.---.-------+-..-- 260 
Tyvende Afsnit: Archimedes’ Bestemmelser af Arealer, Rumfang og Tyngdepunkter............ 274 
Etogtyvende Afsnit: Keglesnitslerens forste Oprindelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 286 
Toogtyvende Afsnit: Den græske Geometris Forfald; Blik paa Keglesnitslærens senere Udvikling og 
NCIS 6 oo 5 ov0 08/08 como tronto ts ou oie.) mio oo En dose ot Ord ao mbit oO, cuit ord 294 
Tillæg. 
I. Apollonios’ Eortaler til’ Skriftet om Keglesnittene .........-..----+----+-++-+-+--+++-- 311 


II. Pappos’ Meddelelser om Apollonios' otte Bøger om Keglesnittene . . . . .. . ............... 315 


Rettelser. 


S.12, L. 12 staar i Stedet for, skal vere: ikke. 

S. 16, L. 12 staar — («—b)? skal vere: + (a—b)°. 

S. 41, L. 25. . Efter Segmenter mangler: begrænsede af Planer. 

S.54, Lin. 13—15 staar og Linien AU... eller Hyperbel, skal vere: paa den ene eller 
anden af de derved afskaarne Buer, eftersom Kurven skal vere en Ellipse 


eller Hyperbel. Linien AU skal treffe Midtpunktet V af den af de to Buer, 


som i begge Tilfelde falder udenfor Keglen. 
.64, L. 10 staar a, skal vere: —. 
. 98, L.3 staar a‘?, skal vere: (S)° 
- 102, L. 16 staar SP? + PT? — !a?, skal vere: SP? + PT? + ja’. 


. 117, L. 22 staar zooxstusvov, skal vere: moorswonevov. 
0 | > å 


n ü lm in wm 


261, L. 30. Efter Snit mangler: vinkelrette paa Symmetriplanen. 


„> CAD 
as AS 


LIBRARY, i: 


N. Y. ACADEMY 
OF SCIENCES 


Spolia atlantica. 


Om nogle pelagiske Annulata. 


Ved 


G. M. KR. Levinsen. 


Med en Tavle. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Rekke, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. III. 2. 


Kjøbenhavn. 
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri 


1885. 


Indhold. 


Bidrag til Kundskab om Familien Aleiopide .. . . . . 2... 1 ee ee ee ee ee es 
Corynocephalus albomaculatus n..@. eb Sp... 126-306 32 ee es ee ewe se se we 

UY TCHONETCLLCMLONG ZSSUNCMNGES |) aM eater ee tae ae ee ee 

EN a Up RanteoRce1o Sch CIO sob0 os coc ook ooo oe NOD DADO ODD GUO OD oONEOOOUS 
Caen Crue CROP oo on po wanes 6 da 0.0.00 0 20 OO UA Bra 0 0:0.0.5.0.0.0 ann 
iene cdd delle GRAS 0: co SEES 

LG RCHOAG RAR WRB CT socosocovo0o0vosvcvseaaodvoavseovodevvo 
Travisiopsis lobifera nov. g. et sp. e familia Typhloscolecidarum . . . . . . . . . . . . . . . . eae 
Bidrag til Kundskab om den geografiske Udbredning af nogle Sagitta-Arter . . . . . . . . . . . .. 
Sagittanhexapterak MONG) oo Se ba Shab a Bd 6 
Cite bpm Qu Cal os 500 Er ee 
Sagitta tricuspidata Kent. ............, Mel CM CN 0 IØ OR CE UE 
Scie lemete (MODUS) “s.5.6-6 4-680 6 0100. 00/0 6.050 de ble a do OG NS nec oo ge 0 
Forklaring til Figurerne. Explicatio iconum . :. . . .. . .... . . .. . . . , . . . . . . . . . eee 


» 


330 (10). 
331 (11). 
333 (13). 


342 (22). 
343 (23). 


344 (24). 


Da der i de sidste 10 Aar er fremkommet en Række Arbeider over pelagiske ‘Ormeformer, 
saaledes Greefs Arbeide over Alciopiderne, flere mindre Arbeider af Greef og Langer- 
hans over andre pelagiske Borsteorme samt Hertwigs Monografi over Sagitta-Arterne, var 
det ikke at vente, at vort Museums temmelig righoldige Samling af pelagiske Orme skulde 
indeholde ret mange nye Former. Af saadanne beskrives i dette Arbeide foruden 2 nye 
Alciopider, hvoraf den ene repræsenterer en ny Slægt, Corynocephalus, desuden en ny Slegts- 
form Travisiopsis, der staar ved Siden af den interessante Zyphloscolex. Ligesom der 
imidlertid ogsaa for flere af de i dette Arbeide behandlede, tidligere kjendte Alciope-Arter 
gives Oplysning om tidligere oversete Bygningsforhold, saaledes har vort Museums store 
Materiale sat mig i Stand til for de fleste af de i dette Arbeide omtalte Formers Vedkom- 


mende at give temmelig fyldige Oplysninger om Udbredning. 


1. Bidrag til Kundskab om Familien Alciopidæ. 


Corynocephalus nov. gen. 


(Fig. 1—6.) 


Corpus e segmentis paucis compositum. Lobus cephalicus, cujus pars anterior 
subdisciformis, supra convexa, infra subplana ante oculos prominet, antennis qvaltuor elon- 
gate foliiformibus in parte inferiore partis dictæ anterioris affixis et supra carina claviformi, 
apice modo libero, instructus. Cirri dorsales foliiformes, magni, partes laterales corporis 
seqve vicissim imbricati tegentes. Parapodia in apice processibus nullis cirriformibus instructi. 
Sete simplices, capillares, setis nonnullis crassioribus, rigidis, in apice paulum curvalis, inter- 
mixtis. Papilla+) ventralis depressa in ventre ad basin parapodii sita. Glandule segmen- 
tales modo dorsales, minute. 


C. albomaculatus n. sp. 


Pars anterior lobi cephalici ante oculos prominens supra visa semicircularis. Carina 
claviformis totum spatium inter oculos implens in parte posteriore angusta infra margines 
laterales linea impressa instructa. Cirrorum tentacularium paria qvattuor: par primum in 
parte ventrali segmenti primi, par secundum et tertium in segmento secundo, par qvarlum 
in segmento tertio, cujus cirri ventrales foliiformes sunt, affixa. Segmentum buccale labium 
inferius format effigiem annuli dimidii exhibens*). Segmentum qvartum et segmenta 


1) Papillæ ventrales dicte, qvarum Greef (Op. cit.) mentionem nullam facit, etiam in generibus Nau- 
phanta et Callizona, in generibus Notophyllo et Trachelophyllo ad familiam Phyllodoeidarum pertinen- 
tibus, et in familia Polynoidarum inveniuntur. 

2) Non certus sum, an partes basilares eirrorum tentacularium pro partibus lateralibus annuli secundi 
ad segmentum buccale pertinentis habendæ sint. 


seqventia qvinqve in ventre distinctissime biannulata, annulo anteriore, parapodia gerenli, 
medio angusto, concavo, partibus lateralibus valde convexis, versus latera corporis sensim 
altitudine accrescentibus, annulo posteriore medio convexo, partibus lateralibus depressis, 
exteriora versus altitudine decrescentibus. Cirrus dorsalis subrhomboideus parapodium 
multum, eirrus ventralis irregulariter triangulari-rotundatus, sub apice paulo incisus, parapo- 
dium paulum superans. Parapodium antice in superiore parte a cirro dorsali, postice a cirro 
ventrali perfecte tectum. A segmento circa decimo sub basin parapodii papilla ventralis 
depressa, crassa, rotundata, margine exteriore libero et, anterioribus exceptis, in posteriore 
parte lobo minuto rotundato instructa. Venter medius, serie longitudinali macularum albi- 
darum instructus, maculis singulis e corpusculis nitentibus, granulosis 5—10, corone 
plerumaqve formam exhibentibus compositis. Corpuscula similia in marginibus cirrorum, in 
parapodiis et in ventre segmenti buccalis visa sunt!). 

Longit. 32™", lat. 5™™. Color flavus. Numerus segmenlorum 55. Habitat in mari 
atlantico meridiano (29° 20 S. B. — 19°40 V.L.?). Andrea). 

Ligesom hos Callizona og Rhynchonerella er Hovedlappen forsynet med et foran 
Oinene fremspringende Parti; men medens dette Parti hos disse Slegter er bakke- eller 
tapformigt, er det her noget nedtrykt, med en sterkere hvelvet Over- og en noget fladere 
Underside. Fra denne udgaar til hver Side 2 bag hinanden siddende flade, smalt bladformige 
Folere. Det smalle Parti imellem Øjnene er ganske udfyldt af et stærkt fremstaaende, 
kolleformigt Lengdefremspring, som, med Undtagelse af en meget kort forreste Del, i hele 
sin Længde er fastheftet til Hovedlappen. Indenfor hver Siderand saas i den smalle bageste 
Del en indtrykt Lengdelinie. Da dette Legeme ikke er frit, vil det neppe vere berettiget 
at tyde det som en uparret Foler. Mundsegmentet har ligeledes en eiendommelig Form, 
idet dets Bugside danner en bagtil vendende Halvring, som bærer det første Par Folercirrer. 
Det er mig ikke ret klart, om ikke de 2 store Grundstykker, fra hvilke Folercirrerne udgaa, 
kunne belragtes som horende til en bageste Halvdel af Mundsegmentet, hvis forbindende 
Midtparti i saa Tilfælde var skjult. Den neste Ring bærer 2 og den tredie kun et Par 
l'elercirrer, idet de til denne Ring hørende Bugeirrer ligesom de folgende ere bladformige. 
Hver af de folgende 6 Ringe er meget skarpt delt i 2 Halvringe, som have en meget for- 
skjellig Form. Den forste af disse Halvringe, som berer Parapodiet, har meget hoie og 
sterkt hvælvede Sidedele, som, idet de efterhaanden blive lavere indefler, forenes i et 
meget kort og dybt indsænket Midtparti. Paa den anden Halvring er omvendt den midterste 
Del den hoieste og stærkest hvælvede, medens Sidedelene udadtil blive jævnt lavere og 
mere indsenkede. Parapodierne (Fig. 4—5) bere usammensatte, haarformige Børster, 


1) Etiam in cirris Nauphante celocis et Callizone Grubei has maculas vidi. 
2) B = Latitudo. L.— Longitudo. N.=borealis. S.— meridianus. ©. = orientalis. V. = wecidentalis. 


9 329 


imellem hvilke findes et Antal af 5—8 noget kortere, stivere og tykkere og i Spidsen svagt 
bajede. De 2 Cirrer ere stillede saaledes, at Rygcirren forfra overrager den overste Del af 
Parapodiet, medens Bugcirren ganske dækker dette bagfra. I Henseende til dette Forhold 
finder indenfor Familierne Phyllodocidæ og Alciopidæ endel Forskjel Sted, idet de to blad- 
formige Cirrer snart sidde umiddelbart over og under deres Parapodie, snart dække en 
større eller mindre Del af disse. I den til Phyllodocide hørende Slægt Genetyllis staar 
Bugeirren i ganske samme Forhold til Parapodiet som i den her beskrevne nye Slægtsform. 
De temmelig store Rygcirrer ere firkantet afrundede og dække i taglagt Stilling en Del af 
Kroppens Sidedele samt hverandre indbyrdes. De skjævt trekantet-afrundede Bugeirrer ere 
under Spidsen forsynede med en lang, men ikke dyb Indbugtning. Omtrent fra IOde Ring 
ses paa Bugsiden under hvert Parapodie en temmelig stor, til Bugsiden tiltrykt og kun 
med en fri ydre Rand forsynet, flad, langstrakt, afrundet Papil. Naar undtages de forreste, 
have de øvrige i den smalle Bagende en lille, afrundet Lap. De papilbærende Segmenter 
(Fig. 6) vise sig paa Bugsiden delte i 3 Ringe, af hvilke den bageste er enkelt, den midterste 
delt i 2 og den bageste i 3 Smaaringe. Den lille afrundede Lap horer til den bageste 
Smaaring, medens den storste Del af Papillen tilhorer de 2 midterste Smaaringe. De her 
omtalte Papiller ere imidlertid ikke eiendommelige for den her beskrevne Form, men findes 
ligeledes hos Nauphanta og Callizona, under hvilke Former de skulle blive omtalte. De 
findes ligeledes hos enkelte, til Phyllodocide horende Slægter, saaledes hos Notophyllum og 
Trachelophyllum (Levinsen i Vidensk. Meddel. nat. Foren. 1882, Tab. VII, Fig. 3) samt hos 
en af Schmarda under Navnet Æulalia capensis beskreven Form, af hvilken der imidlertid 
maa dannes en ny Slægt (Schmarda: Neue wirbellose Thiere, I, x, pag. 86). Medens de 
hos de 2 første Slægter ere lodret stillede Blade, have de hos den sidste Form af en lille 
Knude. Foruden hos Familierne Phyllodocidæ og Alciopidæ findes de kun indenfor Afde- 
lingen Aphroditiformia, nemlig i Familien Polynoide (samt hos Pisionidæ n.f.). Medens de 
her ellers overalt ere enten traadformige eller knudeformige, frembyder den af Schmarda 
beskrevne Gastrolepidia clavigera (Schmarda, Op. cit. p. 159, Tab. XXXVII, Fig. 315) i Byg- 
ningen af disse Bugpapiller en interessant Overensstemmelse med Slægterne Notophyllum 
og Trachelophyllum, idet de her ligesom-hos disse Slægter have Form af et lodret stillet 


Blad. — Disse Bugpapiller ere et interessant Vidnesbyrd om et Slegtskab mellem Phyllodoce- 
og Aphroditegruppen, som jo desuden stemme overens i Cirrernes Bladform. — Ligesom 


hos Callizona, Nauphanta og flere andre Slægter ere Cirrerne hvidplettede i Randen, hvilket 
hidrører fra en glinsende, kornet Masse, som snart optræder i uregelmæssige Pletter, men 
oftest i Form af kransformige Figurer. En lignende Masse ses hos den her beskrevne 
Form paa Parapodierne, pletvis paa Bugsiden af de første Ringe og navnlig stærkt udviklet 
paa den halvringformige Underlæbe. Desuden findes fra 7de Ring langs Bugens Midte en 
Længderække af saadanne Pletter, som hver hidrører fra en Samling af 6—10 smukke, 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 2, 42 


390 10 


hvide, glinsende Kranse. [ver saadan Plet findes imellem 2 Bugpapiller i det af 2 Smaa- 
ringe dannede Belte (Fig. 6). Segmental-Kirtlerne ere hos denne Art svagt udviklede og 
findes kun paa Rygsiden!). É 


Rhynchonerella longissima n. sp. 
(Fig. 7—10.) 


Corpus longissimum, transverse fusco fasciatum, segmentis singulis fasciatis cum 
segmentis {—5 non fasciatis alternantibus. Pars anterior lobi cephalici ante oculos pro- 
minens antennas qvattuor gerens, haud magna. Antenna impar dorsalis inter oculos sita. 
Segmentum buccale in ventre collare allum, tenue, medio incisum formans. Cirri tentacu- 
lares maris utrimque qvattuor: par primum in segmento primo, par secundum et tertium, 
in ventre modo visibilia, in segmentis angustis secundo et terlio, par qvartum, ad latus 
exterius cirrorum segmenti secundi productum, in segmento qvarto affixum. Cirri dorsales 
segmenti qvinti et sexti apud feminam magni, fusci, irregulariter globosi, parte exteriore a 
cirro cetero paulum distincla. Cirri ventrales eorundem segmentorum minuti, indistincti, 
biarliculati. Parapodia elongata, neqve a cirro dorsali neqve a cirro ventrali ulla parte tecta, 
et cirrum dorsalem et ventralem longitudine superant. Cirri dorsales et ventrales minuti, 
irregulariter triangulari-rotundati neqve latera corporis neqve se vicissim imbricati tegentes. 
Papille ventrales nulla. Glandulæ segmentales utrimqve in series singulas dispositæ, in 
plurimis segmentis aut minime aut omnino desunt. Maxime eorum etiam in ventrem se 
extendunt, in formam annuli dimidii magni pone parapodia site. 

Exemplaria manca hujus speciei in museo Hafniensi e locis seqventibus adsunt: 


: | À ; i | 
bredde Caen | hængte (Tongitudo, | Samier en bredde | Længde. Samler. 
N. = borealis). | V.= occidentalis). | | (S. = meridionalis). | 
26° N. | 26° V. | Iversen. | 220 N. | 36° V. | Andréa. 
24° N 35° V. | Andréa. | 20°21/ N. | 36° 30° V. | Andréa. 
24° N | 32° V. | Iversen. | 2 8. | 26° V. | Hygom. 


Af denne Form har jeg ikke seet noget helt Exemplar; men det fremgaar til- 
strækkelig af de undersogte Brudstykker, at den horer til de meget lange: Arter. Den foran 
Oinene fremspringende Del af Hovedlappen, som berer de 4 parrede Folere, er kun svagt 
udviklet; men da de undersøgte Exemplarer ikke ere videre godt bevarede, er det muligt, 
at dette Parti i Virkeligheden springer noget stærkere frem end paa min Tegning. Mellem 


1) Deres Størrelse turde dog variere i Forhold til Kjonsmodenheden. 


11 331 


Øinene findes en lille uparret Føler. Mundsegmentets Bugdel har her en ganske anden 
Bygning end hos den foran beskrevne Art. Den danner her en hei, tynd, kraveformig, i 
Midten indskaaret Underlæbe. I Henseende til Følercirrernes Forhold samt i Bygningen af 
Cirrerne til dte og 6te Ring viser sig endel Forskjel hos de 2 Kjøn. Hannen (Fig. 8) er 
forsynet med 3 Par Følercirrer, af hvilke der hører et Par til hver af de tre første Ringe. 
Hos Hunnen (Fig. 9) findes 4 Par, idet ligeledes Rygcirrerne til 4de Ring, hvis Bugcirrer 
ere bladformige, her have Form af Følere. Medens hos Hannen 2den og 3die Ring have 
samme Bredde som de følgende Ringe, ere de hos Hunnen, uden Tvivl som Følge af den 
stærke Udvikling, som Rygeirrerne til 5te og 6te Ring have naaet, meget smalle og ind- 
knebne, saa at deres Følercirrer kun kunne ses fra Bugsiden. Hver af disse 2 Ringe er 
delt i tre smaa Stykker. Fjerde Ring er derimod noget bredere, og idet dens Sidedele 
bøje noget opad, naa dens Folercirrer, hvis nederste Deel tilligemed Bugbladet hos det 
undersøgte Exemplar overdækkedes af de omdannede Rygcirrer til dte Ring, op i Høide 
med Felercirrerne til 2den Ring. Rygcirrerne til dte og 6te Ring ere meget store, mørke, 
uregelmæssig kugleformige, og den yderste Deel er noget afsat. Paa Bugsiden af dem saas 
en meget lille, utydelig toleddet Bugeirre!). De lange, smalle Parapodier rage meget læn- 
gere ud til Siderne end Cirrerne, som ikke dække nogen Del af Parapodiet. En Bugpapil 
mangler. Eiendommeligt for denne Form er, at Segmentalkirtlerne i de fleste Ringe enten 
ere meget smaa eller ganske mangle, idet der efter en eller to Ringe, som bære Segmental- 
kirtler, i Regelen følge flere, som mangle disse. Deres Antal synes at tiltage imod Legemets 
bageste Del. — Segmentalkirtlerne findes kun i en enkelt Række paa hver Side, og de 
største af dem, som i Form af en Halvring ligge bag Parapodiet, strække sig baade høit 
op paa Rygsiden og langt ned paa Bugsiden, saa al de kun lade et smalt Mellemrum frit 
imellem sig. De brune Tværbind, hvormed Legemet er forsynet, ere overalt knyttede til 
Segmentalkirtlerne. 


Nauphanta celox Greet. 
(Fig. 11 — 12.) 
Greef: Untersuch. über die Alciopiden p. 69 (Nova Acta Nat. Curios. 1876, Bd. 38). 
Levinsen: System.-geograf. Oversigt over de nordiske Annulata p. 213 (Vidensk. Meddel. nat. Foren. 1882). 
Ad characteres hujus speciei hæc addenda sunt: Cirrorum tentacularium paria tria ; 
sub basin parapodii a segmento circa decimo papilla ventralis libera, magna crassa, subpi- 


siformis, ventri adpressa, introrsum et retrorsum spectans. In feminis cirri ventrales seg- 


') Det nederste Led tilhorer dog aabenbart et rudimentert Parapodie. 


392 12 


menti lerlii, qvarli, qvinli el sexti in parte centrali fusci el incrassali, cirri vero dor- 
sales non mulali sunt. 
Hujus speciei exemplaria numerosa, qvorum modo exemplaria qvinqve feminæ mature, 


in museo Hafniensi adsunt, in locis seqventibus!) capla: 


‘dde (Latitudo, ængde (Longitudo, | 
Bredde | Lens (Long: Sammler | 


N.=borealis, | V.— occidentalis, É | Bredde. | Længde: | Samler. 
S. = meridionalis). | Ø. = orientalis). (Gollecion) | | | 
1 = = = i 2 

602594 N. | 14° V. Holbøll | 3193048. | 190302 v. Andrea. 
1132023128 N" | 43° 35° V. Andréa. | 82 ©. 43° 20° 0. Andrea. 
36° 22° N. | 40° 48° V. Andrea. | 32° 40° S. 43° 50° ©. | Andrea. 

24° N. I Iversen. | 32940! 8. 55°20° ©. | Andréa. 
19° 30° S | DONS OVE Andréa. I 33° S. | 58° 0. Andréa. 
2321378. I 2299 AE | Warming. | 3322078. 33220: Andrea. 
252502 8: | 102° 50’ ©. Andréa. 3330388: 32° 30° 0: Andrea. 
TSO! S|) ERP HO! Andréa. | 34°. 504 S. 4°30’ V. | Andréa. 

27° S. 1012404 0: Andréa. | ae & 30° ©. \ Andréa. 
28° 16° S. | 97230178. Andrea. | 37° 20’ S. NE Andréa. 
29° 20! S. | 19° 40! V: | Andréa. | 38° 29! S. 29220250: Andrea. 


Jeg har allerede tidligere gjort opmærksom paa den eiendommelige Omdannelse af 
Bugcirrerne til 3die—6te Ring hos Hunnerne, hvorved denne Art afviger fra de øvrige, mig 
bekjendte Former, som ere undersøgte i Henseende til dette Forhold”). Hos disse ere 
nemlig Rygcirrerne til 2 Ringe stærkt fortykkede, medens Bugcirrerne ere svagt udviklede. 
Her indskrænker hele Omdannelsen sig til, at Bugcirrernes Midtparti er fortykket og pig- 
menteret, medens begge Cirrerne forøvrigt blive uforandrede. Bugpapillen er her meget 
stærkt udviklet (Fig. 11—12). Den er meget tyk, næsten bønneformig og i Modsætning til 
den hos Corynocephalus fundne fri, men dog noget tiltrykt til Bugen, idet den vender bagtil 
og indad. Den omtales ikke af Greef; men da han har afbildet den i Tab. IV, Fig. 42 som 
et indenfor den indre Segmentalkirtel siddende, hvidt Legeme, har han formodentlig opfattet 
den som en Del af Segmentalkirtlen. Naar man ser bort fra dens betydelige Størrelse, 
ligner den forøvrigt i Form endel den tilsvarende Papil hos visse Harmothoe- Arter. 


1) I mit Arbeide over de nordiske Annulata meddeler jeg urigtigt, at Greef har taget denne Art ved 
de canariske Øer. 
*) Herings Arbeide har ikke været mig tilgjængeligt. 


Callizona Grubei Greef. 
Op. cit. pag. 72, 
(Fig. 13.) 


Hos denne Art har jeg ligeledes fundet en Bugpapil. Det er et langstrakt, tre- 
kantet, ovenfra set bladlignende, men kun med en ydre fin Rand forsynet Legeme, som 
paa den ydre Rand lidt bag Midten er forsynet med en Udbugtning. Ilver Ring deles paa 
Bugsiden ved en ophoiet hvid Tverliste i en større forreste og en mindre bageste Del, og 


' 


denne Tværliste gaar umiddelbart over i de 2, til samme Ring hørende Papiller. 
Af denne Art findes Exemplarer i Kjøbenhavns zoologiske Museum fra følgende 


Lokaliteter: Afrikas Vestkyst (Salmin) samt fra 


Bredde. Længde. Samler. | Bredde. | Længde. Samler. 


Eee TS RS a VE en NE LE 
43° N. 35° V. Andréa | 372940, 5. | 1° 6. | Andrea, 
41° 45! N. LAS TO AVE Warming. SANS 42° 10° 0. | Andréa. 
AORTA INE ses 28° V. Brun. | | 


Liocapa candida delle Chiaje 
Asterope candida Clap. 
Greef, Op. cit. pag. 62. 


(Fig. 14—15.) 


Da den af Greef givne Fremstilling af de hos Hunnen omdannede Cirrer til 4de og 
bte Ring afvige noget fra min egen Undersogelse, skal jeg her give en Beskrivelse af disse. 
For det forste mangle Bugeirrerne ikke, saaledes som Greef formoder, men ere et Par to- 
leddede Vedhæng, hvis nederste Led dog formentlig maa opfattes som den nederste Del af 
det reducerede Parapodie. Dette ses ved en Sammenligning med saadanne Former, hos 
hvilke Bugeirrerne ikke sidde umiddelbart ved Parapodiets Grund, men er rykket et Stykke 
ud paa dette. Rygcirrerne ere lo tykke, noget sammentrykte, skiveformige Legemer, som 
have en bageste, uregelmæssig hvælvet, og en forreste, noget konkav Flade. Den øverste 
Rand er pigmenteret, og paa den forreste Flade findes henimod den yderste Del en stor 
trekantet Fordybning"). Den af Greef tegnede Endepapil ses kun i en vis Slilling, og synes 
mig at hidrøre fra en indenfor den yderste Rand paa Bagsiden liggende kjølformig Ophøi- 
ning, imod hvilken Endedelen springer noget frem. 


1) En lignende Fordybning har jeg fundet paa samme Sted hos en (daarligt bevaret) Hun af Alciopa 
Cantrainii Clap. 


334 14 


Forøvrigt tyde flere Omstændigheder paa, at Forfalleren ikke har kjendt Betyd- 
ningen af denne Omdannelse hos Hunnen af de 2 Par Rygcirrer, idet man efter hans Be- 
skrivelse skulde tro, at de vare byggede saaledes hos alle Individer, baade mandlige og 
kvindelige. Ganske vist faar man af Tavleforklaringen at vide, at det er et kvindeligt 
Exemplar, Forfatteren har undersøgt; men da han har faaet en Del af sit Materiale tilsendt 
fra den zoologiske Station i Neapel, og da han jo ogsaa ved Opdagelsen af Æggene kunde 
komme til dette Resultat, beviser denne Oplysning Intet om Forfatterens Kundskab til dette 
Forhold. I den ålmindelige Del omtales det ikke, ligesaalidt som der gives noget Referat 
af Herings Undersøgelser. 

Foruden. fra Middelhavet, som, saavidt jeg ved, er det eneste hidtil bekjendte Findested 
for denne Art, ejer Kjøbenhavns zoologiske Museum Exemplarer fra følgende Lokaliteter: 


Bredde. Længde. Samler. | Bredde. | Længde. | Samler. 
i 1 | | | 

46° N. HO SAV Hygom. | 35° S. 55° 0! | Andrea. 
43° N. 44° 16° V. Andrea. | 37° S 50° 10° ©. | Andrea. 
SS PH INE 16° 45° V. Warming. | SOS 17° 30° 0. Andrea. 
DIN: 22230 Andréa. | 38220288 30° ®. | Andréa. 
312307 N. 19262 02RVE Hedemann. 38° 20’ S. 36° Ø. | Andréa. 
0° 30° N. 29° Vi. Andréa. 38° 20! S. 42° 10° 0. Andrea. 

2° 8, 26° V. Hygom. | 39954 S. 41°30° 6. | Andréa. 
POO EY Se 38° 48° V. Andréa. 


Lopadorhynchus brevis Gr. 
(Fig. 16.) 


Grube: Beschreibungen neuer oder wenig bekannter Anneliden (Archiv f. Naturgeschichte, 1855, 1, pag. 100). 


Da denne af Grube, efter et i Middelhavet taget Exemplar, beskrevne Form, saa- 
vidt jeg veed, ikke senere er fundet, skal jeg her oplyse om en ny Lokalitet for denne 
samt fremkomme med nogle supplerende Bemerkninger, idet jeg formoder, at de faa Diffe- 
rentser, som findes imellem Grubes og min Undersogelse, ikke hidrere fra nogen Arts- 
forskjel. Paa Grubes Tegning ere de med et knivbladformigt Endeled udstyrede Borster i 
Enden af Skaftet forsynede med en kort Brem, som gaar lige ud til Enden af den tynde 
Spids, hvormed Skaftet ender. Hos de af mig undersogte Exemplarer gaar den korte Brem 
kun til Grunden af den tynde Spids, og netop paa dette Sted er Endebladet indleddet. Fra 
Grunden af dette Endeblad lobe opefter, noget nærmere ved den bageste end ved den 
forreste Rand, 2 Linier, der ligesom betegne Grænsen for en solidere bageste Del af 
Borsten, imod hvilken den foran liggende Del kunde tage sig ud som en Brem. Disse 


15 335 


Linier kunne kun forfolges i et kort Stykke og forsvinde derpaa. I den af Claparède 
givne (Les Annélides chétopodes du Golfe de Naples, Mém. Soc. de Physique, Genève, T. XX, 
P. II, pag. 464) Fremstilling af en Borste af den nerstaaende Slægt Hydrophanes ses derimod 
el saadant bageste Parli igjennem hele Borstens Længde. Medens Grube ikke omtaler eller 
afbilder andre Slags Borster, findes hos de af mig undersogte Exemplarer endnu i hvert 
Parapodie 3—4 stive og tykke, usammensatte Borster, som ganske ligne dem, der findes 
hos Corynocephalus. De sidde enkeltvis, omtrent med ligestor Afstand fra hverandre, og 
saaledes, at de to yderste sidde hver i sin Ende af Parapodiet. De to undersogte Exem- 
plarer vare stærkt udspilede af Æg; men der fandtes ingen omdannede Cirreblade. Jeg 
skal endnu tilfoie, at Grube i Tavleforklaringen urigtig siger, at det af ham tegnede Para- 
podie er set forfra, da efter min Undersogelse det mindste af de 2 Blade, der omslutte 
Borsterne, vender bagtil. Det største af de 2 Blade, der omslulte Borsterne, har ganske 
samme Udseende og Bygning som de sædvanlige bladformige Cirrer hos Phyllodocide og 
Alciopide og er meget forskjelligt fra det bageste, som indeholder Æg. Man kunde derfor 
fole sig fristet til at betragte det som en Bugeirre, der paa samme Maade som Bugeirren 
hos flere Phyllodoce- og Alciopa-Former dækker den ene Side af Parapodiet. I saa Tilfælde 
maatte det Vedheng, som Grube kalder for Bugeirre, opfaltes som svarende til den tid- 
ligere omtalte Bugpapil, hvis Form jo: kan vere meget forskjellig. Imidlertid er der flere 
Omstændigheder, som tale mod en saadan Opfattelse. For det Forste er i de tidligere 
kjendte Tilfælde, hvor Bugeirren dækker den ene Side af Parapodiet (Notophyllum, Trachelo- 
phyllum, Genetyllis, Corynocephalus), Bugeirren beliggende bagved dette, medens her det 
cirrelignende Parapodieblad ligger forrest. For det Andet vilde en saadan Bugcirre være 
usædvanlig stor i Forhold til den lille Rygcirre, og Bugpapillen rykket usædvanlig langt ud 
paa Parapodiet. Imidlertid fortjener dette eiendommelige Forhold nermere Opmærksomhed. 

Under Lopadorhynchus brevis omtaler Grube en, fra denne forskjellig, men dog 
nærstaaende Form, om hvilken han formoder, at den kunde være Hannen. Glaparede, 
som har fundet et ganske ungt Exemplar, opstiller paa denne Form Slægten //ydrophanes 
og danner af disse to Slægter Familien Lopadorhynchide (Mém. Soc. de Physique, Genève, 
T. XX, P. Il, pag. 462). Denne Familie danner et forbindende Mellemled imellem Phyllodocide 
og Alciopide. Ligesom de sidste ere de pelagiske glasklare Dyr med, rigtignok rudimentere, 
Segmentalkirtler, medens de ligne Phyllodocidæ i den ringe Udvikling af Oinene. Eien- 
dommelig for de to Slægter er den høie, sammentrykte Form af Parapodierne, som bestaa 
af 2 store, Borsterne omsluttende Blade, medens Ryg- og Bugcirrerne kun ere svagt ud- 
viklede. Endvidere udmærke de sig særligt ved de med et stort, bredt, knivbladformigt 
Endeled udstyrede, Svommeborster, som meget ligne dem, der hos Nereis-Arlerne optræde 
under Heteronereis- Stadiet. Findestedet for de to her omtalte Exemplarer er 34° 10! N. B. 
— 42° 10° V. L. (Andrea). 


RABARAAA, 
99 „> dt, 


33 yy ACADE re 


4171211228 


2. Travisiopsis lobifera nov. g. et sp. e familia 
Typhloscolecidarum. 


Typhtoscolectde Uljanin nov. fam. 


Ante os dua segmenta, qvorum prius lobus cephalicus antenna impari et secundum, 
sicut segmenta dua seqventia, parapodio !) singulo instructum, parapodiis ceteris utrimqve in 
seriem duplicem dispositis. Parapodia nodiformia, in folia fasciculos bacillorum continentia 
(non pro cirris habenda) protracta, non selifera, setis 2—3 simplicibus, aciculiformibus, in 
segmentis, parapodia biserialia ferentibus, inter parapodium dorsale et ventrale dispositis. 
Supra pharyngem proboscis ceca protractilis. 

Hee familia juxta familiam Opheliidarum disponenda est. 


Travisiopsis n. g. 
(Fig. 17—20.) 
Lobus cephalicus eminentia rotundata paulum convexa instructus. Sub margines 
laterales eminentiæ diclæ ulrimqve folium elongalo-ovalum, margine ad eminenliam allingente 
excepto, liberum. 


T. lobifera n. sp. 


Eminentia lobi cephalici, qvi pro parapodiis coalitis habenda est, linea longitudinali 
impressa, haud profunda instructa, media parte anteriore et posteriore excepla, e margine 
interiore foliorum ubiqve cireumseripla, foliis post eminenliam ad marginem anteriorem 


segmenti qvarli extensis. Folia impressione longitudinali et intramarginali instructa. Folia. 


parapodiorum cordiformia. - Segmenla corporis 21, qvorum modo 6—7 posteriora suleis 
transversis disjuncla el in annulos 2—3 divisa sunt. Color flavus. 

Longit. exemplaris maximi 21%", Jat. 2?/s™™. Exemplaria hujus speciei in museo 
zoologico Hafniensi conservata in locis seqventibus capla sunt: 


1) Quum in hae diagnosi nomen parapodii adhibeo, notandum est, hae parapodia non cum parapodils, 
qvibus cetera Annulata setifera instructa sunt, sed cum nodulis, parapodiorum formam exhibentibus, 
qve in Travisia in segmentis 8S—10 posterioribus supra et infra parapodia minima adsunt, compa- 
randa neqve igitur vera parapodia esse. 


ee aa 


17 


Bredde. Længde. Samler. Bredde. Længde. Samler. 
42° 50° N. 46° 10° V. Andrea. 24° 30° N. 46° 40° V. Andréa. 
35° 50° N. 65° 45! V. Hygom. 24° N. 32> Vi. Andréa. 

34° N. 119 VE Hygom. 16° 31° N. BB IO We Warming. 
32° 304 N. 42° V. Andréa. 119 504 S. 8° 104 V. Andrea 

289 N. 429 30' V. Andréa: 15° 6° S GSV? Andréa, 

25° N. 29° V. Andrea. 


Den her opstillede nye Slægt afviger vesenlig kun i Hovedlappens Bygning fra den 
af Busch under Navnet Zyphloscolew og af Langerhans under Navnet Acicularia beskrevne 
Form (se Greef i Zeitschr. wiss. Zool. 32. Bd., 1879, p.661); men denne Afvigelse er efter 
min Mening saa stor, at de 2 Former ikke godt kunne blive staaende i samme Slægt. 
Foran Munden findes 2 Segmenter, af hvilke det bageste ligesom de 2 neste Segmenter 
forholde sig paa samme Maade som hos Zyphloscolex, idet de hver kun bere et enkelt 
Parapodie paa hver Side, medens Parapodierne i hele det ovrige Legeme findes i en dobbelt 
Rekke. Det forste Segment, Hovedlappen, er forsynet med en temmelig tyk, fra et tydeligt 
Basalled udgaaende, uparret Føler, og bagved denne findes en ikke stærkt fremtrædende 
afrundet Lap, som ved en mere eller mindre tydelig Længdeindtrykning deles i 2 Side- 
halvdele. Under. hver af denne Laps Siderande udgaar et langstrakt, ovalt Blad, som 
strækker sig til Bagranden af 4de overste Parapodiepar. De 2 Blade ere kun fæstede langs 
Randen af den omtalte Lap og ere forovrigt frit hvilende paa Rygsiden af de forreste 
Ringe. Hvert af de 2 Blade har i Midten et fordybet Længdeparti og en Indtrykning 
lidt indenfor Randen. Parapodierne ere knudeformige, og hvert lober ud i et hjerteformigt 
Blad, der paa samme Maade som Bladene hos Zyphloscolex er forsynet med Knipper af 
eiendommelige Stave. Naar man losner et Blad fra sin tilsvarende Knude, ses paa dennes 
Overflade et langstrak tAr (Fig. 20), som i Legemets største Del løber paatvers af Knuden. 
I de forreste Parapodieknuder er Retningen dog mere skraat forfra bagtil, og Arret findes 
henimod den ydre Rand. Da baade Langerhans og Greef bruge Navnet «Cirrer» om 
disse Blade, skal jeg her bemærke, at de kun ere bladformige Forlængelser af Parapodierne. 
Ligesom hos 7yphloscolex mangle disse Parapodier Børster, af hvilke der sidder 2—3 imellem 
øverste og nederste Parapodie paa hver Side. I de med enkelte Parapodier forsynede Ringe 
mangle disse Børster. Ringdelingen er kun tydelig i de bageste 8—9 Ringe, som ogsaa 
ved mindre dybe Ringfurer ere delte hver i 2—3 Smaaringe. Hos et enkelt Exemplar har 
jeg set en blød, vid, foldet, svælglignende Del krænget ud. 

Inden vi gaa over til Spergsmaalet om denne Forms (og dermed ogsaa Typhlo- 
scolex’s) systematiske Stilling, ville vi først kaste et Blik paa Hovedlappens eiendommelige 


Vidensk. Selsk. Skr., 6 Rekke, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 2. 43 


338 18 


Udstyr. Man kunde vere Lilbejelig til at kalde den feromtalte Lap for en Hovedlap og 
de to langstrakte Blade for dens Felere, hvis ikke den uparrede Feler sad foran 
denne, og tilmed en Sammenligning med Typhloscoler tydelig viste, at den sels kun er 
en Del af Hovedlappen. Jeg antager, at man hos denne Form som overalt hos de 
polychæte Annulater kun vil naa til en sand Tydning af Hovedlappens Vedhzng, naar 
man opfatter disse som Modifikationer af de paa de øvrige Ringe optrædende. Jeg 
maa derfor betragte den omtalte Lap som dannet ved en Sammensmeltning af de til 
Hovedlappen hørende Parapodier (som hos Typhloscolez ikke ere udviklede), saaledes 
at de 2 langstrakte Blade maa betragtes som Modifikationer af de paa de øvrige 
Parapodier optrædende. En saadan Sammensmeltning af to Parapodieknuder er antydet 
ved en Længdefure, og med Hensyn til Bladenes noget forandrede Stilling se vi i de 
forreste Parapodier, at disse ere rykkede længere udad imod Randen. Da jeg betragter 
Pandelapperne (palpi aut.) hos Familien Sylkde som Parapodiedannelser, svarer efter 
min Mening Forholdet hos Zravisiopsis til Sammensmeltningen af disse Pandelapper, 
saaledes som den finder Sted hos Spherosyllis, Spermosyllis og Sylline, kun at Forholdet 
hos Travisiopsis paa Grund af Parapodiernes bladagtige Udvidelse bliver noget mere kom- 
pliceret. 

Langerhans mener, at Typhloscoler nærmest viser Slegtskab med Familien 
Phiyllodocide; men selv om man kunde sammenligne denne Forms Parapodieblade med de 
bladformige Cirrer hos denne Familie, hvad der ikke lader sig gjere, ere de to Familier 
forevrigt aldeles forskjellige. Saaledes som allerede Uljanin og Greef have udtalt, 
maa Zyphloscoler (sammen med den her tilskrevne nye Slægt) danne en ny Familie; men 
medens denne Forfatter synes at vere enig med Langerhans i Opfattelsen af dens Slegt- 
skabsforhold, maa jeg stille denne Familie umiddelbart ved Siden af Familien Ophelide. 
Familien Opheliide stemmer overens med den her opstillede Familie i, at Legemet kun 
bestaar af et mindre Antal Ringe (hos Opheläde 25—30, hos Typhloscolecide 21—39), som 
(med Undtagelse af Trarisia) kun ere svagt eller slet ikke adskilte fra hverandre, i Ber- 
sternes simple Bygning, i, at der foran Munden ligger 2 Ringe, af hvilke den bageste 
har samme Udstyr som neste Ring (hos Opheliide ere de begge bersteberende), medens 
den forreste kun er forsynet med en uparret Feler, og endelig i Tilstedeverelsen af en, 
over Svælget liggende, udkrengelig Blindsæk. Men medens Typhloscoler paa Grund af sin 
mere langstrakte, slanke Form, sin fra Hovedlappen ikke afsatte uparrede Feler og sin 
(saavidt man kan dømme derom af Figurerne) fuldstændige Mangel paa Ringfurer mellem 
de enkelte Segmenter nærmest kan sammenlignes med Ammotrypane, maa Trarisiopsis med 
sit mere plumpe, korie Legeme, sin fra Hovedlappen tydelig afsatte forreste Feler og sin, 
i Legemets bageste Deel tydelig udtalte, Ringdeling nærmest betragtes som en til Svømning 
omdannet Trarisia. Imidlertid staar endnu tilbage at omtale" den interessante og mest 


19 339 


slaaende Overensstemmelse mellem de to Former. Medens Parapodierne hos Opheliide 
indskrenke sig til rudimentære Leber, som omgive de lodrette Spalter, hvorfra Borsterne 
udgaa (navnlig smukt udviklede hos Ophelia), optræde hos Travisiu i de bageste 8—10 
bersteberende, fra hverandre skarpere afsatte Ringe over det øverste og under det nederste 
rudimentære Parapodie Opsvulmninger, som med Undtagelse af de første, svagere udviklede, 
danne afrundede, noget sammentrykte og temmelig sterkt fremtredende, parapodielignende 
Knuder. Disse Pseudoparapodier !) svare utvivlsomt til de saakaldte Parapodier hos 7yphlo- 
scolex, hvor de dog ere udviklede gjennem hele Legemets Længde og i Overensstemmelse 
med disse Dyrs svømmende Levemaade ere udtrukne i Blade. Men medens der hos Trawisia 
endnu imellem disse optræder et overste og et nederste tyndt Bundt af haarformige Borster, 
er Borsternes Antal hos Typhloscolecidæ reduceret til 2 à 3, ligesom de ere blevne tykkere 
og stivere og rykkede sammen midt imellem de 2 falske Parapodier. Deraf følger, at de 
tilsyneladende Parapodier hos Zyphloscolecidæ ikke kunne betragtes som homologe med 
Parapodierne hos de ovrige polychete Annulater, og det vil heraf formodenlig med endnu 
storre Klarhed fremgaa, at de foromtalte Blade ikke kunne kaldes for Cirrer. Deraf folger 
igjen, at naar vi for sammenlignede det eiendommelige, paa Hovedlappen siddende Frem- 
spring med de sammenvoxede Pandelapper hos visse Syllis-Former, bliver Ligheden mellem 
disse Dannelser kun en Analogi, idet dog begge Forhold betinges af en almindelig Loy, 
nemlig at Hovedlappens Vedhæng ere Gjentagelser af de paa de enkelte Segmenter op- 
trædende. — 

Medens der hos de heiere udviklede Borsteorme optræder et udkrengeligt Svælg, 
som staar i Ernæringens Tjeneste, findes hos en Del lavere Former et ligeledes udkrenge- 
ligt Afsnit, som imidlertid i udkrænget Tilstand mangler en forreste Aabning, og hvis 
Funktion derfor maa vere en ganske anden. I beskrivende Arbeider tydes dette Apparat 
som et Svelg eller en Krengemund, og paa samme Maade omtales det under Familierne 
Spionide, Ariciide og Opheliide i mit Arbeide: «Systematisk-geografisk Oversigt over de 
nordiske Annulata». Det optræder som en enkelt eller lappet-foldet Blindsek over eller 
under Tarmkanalen. Hos Aricäde, hvor det er stærkt foldet-lappet og i udkrænget Tilstand 
er blevet beskrevet som en lappet Skive eller sammenlignet med en Blomsterkrone, ligger 
det ligesom hos Spionidæ efter de faa anatomiske Monografier, der foreligge af saadanne 
Former (Mau: Uber Scoloplos armiger. Zeitschr. wiss. Zool. XXXVI Bd., M’Intosh: 
Beiträge zur Anatomie von Magelona. Zeilschr. wiss. Zool. XXXI Bd.) under Tarmkanalen, 
medens det ligger over Tarmkanalen hos Zyphloscolecidæ og Opheliide. Hos Typhloscolex 
beskrives det af Langerhans og Greef i de foran citerede Arbeider, og Claparéde har 


') Virkelige Parapodier, som mangle Børster, findes i Bagkroppen hos de til Familien Ampharetide 
horende Former. 
43° 


340 20) 


givel en Fremstilling af dets Bygning hos Ophelia radiata (Mém. Soc. de Physique, Genève, 
T. XX, P. I, pag. 24). Paa Spiritusexemplarer af Ophelia limaeina og Ammotrypane aulogaster 
har jeg ofte set det udkrenget. Med Hensyn til dette Apparats Funktion udtale For- 
fatterne sig forskjelligt. Mau opfalter det saaledes som et Respirationsorgan, medens 
Claparède og M’Intosh mene, at det spiller en Rolle under Dyrets Bevægelse gjennem 
Sand eller Dynd. Claparéde opfatter det nærmest som et Apparat, der gjennem Injeklion 
gjør Dyrets forreste Del bedre skikket til at bane sig Vei, medens M’Intosh opfatter det 
som et Borestempel. Uden Tvivl vil et saadant Apparat ved nærmere Undersøgelse kunne 
paavises i langt større Omfang hos de i Sandbund levende Borsteorme. 


Casas onen ey 


t'es a i 


21 341 


3. Bidrag til Kundskab om den geografiske Udbredning 
af nogle Sagitta-Arter. 


Sagitta hexaptera d'Orbigny. 


0. Hertwig, Die Chætognathen (Jenaische Zeitschr. f. Medicin u. Naturwissenschaft. 


14. Bd., 1880, p. 254) 


Denne Art findes Kjøbenhavns zoologiske Museum fra følgende Lokaliteter: 
Grønland, 30 Mil V. f. Kap Farvel (Borch) samt fra: 
Bredde. Længde. Samler. Brede. | Længde. Samler, 
E FRE ar | 
60° 12° N. 52° 154 V. Olrik 9° 40/ N. 109° 20° ©. Andrea. 
59° N. ? Pfaff, 34° 20° S. 6° V. Andréa. 
58° 17° N. 30° 59° V. Olrik 38° 16° S. 149 30 9. | Andréa. 
57° 49° N. 35° 24° V. Bang 38° 29° S. 29522050: | Andréa. 
57° 50° N. 48° 43! V. ? 420 53° S 46° 38° V. | Andréa. 


Sagitta bipunctata Quoy-Gaimard. 


0. Hertwig, Op. cit. pag. 258. 


Denne Art haves fra folgende Lokaliteter: Grønland, Kronprinsens Eiland (Olrik), 
Godhavn (Olrik), 30 Mil V. for Kap Farvel (Borch), Island (Hallas), 12 Mil N. f. Færøerne 


(Steincke), 6 Mil N. for Shetland (Steincke), Bengalske Bugt (Rhdt.) samt fra: 


Bredde. Længde. Samler. Bredde. | Længde Samler. 
| | 
| | 
58° 26° N. | 199 V. Olrik. 10° 22° N | PS Tie \We Rhdt. 
490 N. | ie Hygom. 80 38 N. | 249 58! V. Mathiesen. 
46° 23° N. | MEN VE Rhdt. ANS TN] IE NK Rhdt. 
449 14! N. | 1299 34° 0. Andréa. 4° 20° N 0702200 Andrea. 
38° 23° N. | 16° 45° V. Warming. 0° 27: N PAN 1H V7 Thomsen. 
36° 22 N. | 309 47: V. Thomsen. 25° 30° S. 82° V. Caspersen. 
22° N. | 209 V. Hygom. 349 49 8. | 259 12/ Ø. Thomsen. 
20° 24° N. | 83° V. Caspersen. 2102325" | ? Kroyer. 
13° 51‘ N. | 1199 12 9. Rhdt. 16° 30° S. | 63° ®. Caspersen. 
10° N. | 30° Ø. Rhdt. | 


Sagitta tricuspidata Kent. 


0. Hertwig, Op. cit. pag. 257. 


Denne Art haves foruden fra Middelhavet (Branner) og def indiske Hav (Rhdt.) fra 
folgende Lokaliteter: 


Bredde. Længde. Samler. Bredde. | Længde. Samler. 
449 20° N. 31° 40° V. Andrea. 22° N. PN fs Hygom. 
44° N. | 43° Y. Andréa. 21° N. 36° 30° V. Andrea. 
43° 23° N. 439 35° V. Andréa. 20° N. 66° V. Hygom. 
42° 50° N. 46° 10° V. Andréa. 20° N. 26° V. Hygom. 
36° 40° N. 17° 20° ®. Norman. INDEN: 12° 4V: Hygom. 
42° 8! N. 30° V. Iversen. 15° N. D GPAVE Hygom. 
42 N. 44° V. Andréa. 9° N. 109° 6. | Andréa. 
36° N. HY VA Andréa. hee TAN: 2222 SE Nf Rhdt. 
34° 40’ N. 24° 20° V. Andrea. SOIN: ABI WG Hartmann. 
34° 20° N. 3427502 VE Andréa. 2° 34! N. 109° 47° ©. Hartmann. 
34° 20° N. 18° 30° V. Andrea. ZONE 26° 29° V. Hartmann. 
34° 10, N. 42° 10° V. Andrea. SE 26> Ve Hygom. 
34° N. BAD V. Hlygom. 8° 30° S. 232 V: Friis. 
34° N. SICAV: Hyzom. 17° 10° S 39224 NE Warming. 
33° 40° N. 0,5° 46° V. Andrea. 2327528 63° 7! ®. Hartmann. 
3326. N 25° 30° V. Andréa. 26° 30° S 34° 40° V. Andréa. 
32° N. 18° V. Andréa. 2727308; 98° à. Andréa. 
31° 20° N. 34° 40° V. Thomsen. 29° 40° S 96° 20° ®. Andrea. 
31° N. 35° V. Friis, 30° 12: S 44° 6. Hartmann 
30° 34° N. 30° 50° V. Andrea. 31° 16° S 24° 20° Y. Andrea. 
30° 16° N. SING Warming. 359 US 26° Ø. Hartmann. 
25° N. NE Iversen. 35° 50° S 65° 45° Ø. | Andréa. 
25° 16: N. DUP hy SO Andréa. 36° 40° S. RE Norman. 
25° N. 39° V. Hygom. 37° S. 49° 20° 0. Andrea. 


24° 45° N. 22273027: Friis. 40° 4’ S. 53552050: Andréa. 


—— TE 


23 343 


Spadella hamata (Mobius). 


0. Hertwig, Op. cit. pag. 268. 


Denne Art haves fra felgende Lokaliteter: Kronprinsens Eiland (Gronland, Olrik), 
30 Mil V. f. Kap Farvel (Borch) samt fra: 


— — 
Bredde. | Længde. Samler. 
| | 
| | 
59° N. | ? | Pfaff. 
57° 50° N. | 180 434 v. | ? 


57° 48) N. | 430454 V. | Olrik. 


344 


Forklaring til Figurerne, 


1. Corynocephalus albomaculatus n. g. et sp. 
- 2. Forreste Del af samme Dyr, set ovenfra. 
3. Forreste Del af samme Dyr, set nedenfra. 
- 4. Et Parapodie af samme Dyr, set bagfra. 
5. Samme Parapodie, set forfra. 
6. To Segmenter af samme Dyr, sete fra Bugsiden (a Bugpapil). 
- 7. Rhynchonerella longissima n. sp. (Brudstykker af to Exemplarer). 
8. Forreste Del af en Han af samme Art, set fra Bugsiden. 
9. Forreste Del af en Hun af samme Art set fra Bugsiden. 
- 10. Et Parapodie af samme Dyr. 
- 11. Et Parapodie af Nauphanta celox Greef, set bagfra (a Bugpapil). 
- 12. En Del af samme Parapodie, set forfra. 
- 13. En Del af 2 Segmenter af Callizona Grubei Greef, sete nedenfra (a Bugpapil ). 
- 14 De omdannede Cirrer af Hunnen af Ziocapa candida d. Chiaje, sete forfra. 
- 15. De samme Cirrer, sete bagfra. 
- 16. En Del af en sammensat Borste af Lopadorhynchus brevis Gr. 
- 17. Travisiopsis lobifera n. g. et sp. 
- 18. Forreste Del af samme Dyr, set ovenfra. 
- 19. Forreste Del af samme Dyr, set nedenfra. 
- 20. Et Par Parapodieknuder af samme Dyr, beravede deres Blade, sete fra Siden. 


Explicatio iconum. 


1. Corynocephalus albomaculatus n. g. et sp. 
- 2. Pars anterior ejusdem animalis, supra visa. 
3. Pars anterior ejusdem animalis, infra visa. 
- 4. Parapodium ejusdem animalis, postice visum. 
5. Idem parapodium, antice visum. 
- 6. Dua segmenta ejusdem animalis, a ventre visa (a papilla ventralis). 
7. Rhynchonerella longissima (fragmenta duorum exemplarium). 
- 8. Pars anterior maris ejusdem speciei, a ventre visa. 
- 9. Pars anterior feminæ ejusdem speciei, a ventre visa. 
- 10 Parapodium ejusdem animalis. 
- 11. Parapodium Nauphante celocis Greef, postice visum (a papilla ventralis). 
- 12. Pars ejusdem parapodii, antice visa. 
- 13. Pars segmentorum duorum Callizone Grubei Greef, infra visa. 
- 14. Cirri mutati femine Ziocape candide d. Chiaje, antice visi. 
- 15. Cirri iidem, postice visi. 
- 16. Pars sete composite Lopadorhynchi brevis Gr. 
- 17. Travisiopsis lobifera n. g. et sp. 
- 18. Pars anterior ejusdem animalis, supra visa. 
- 19. Pars anterior ejusdem animalis, infra visa. 
- 20. Duo parapodia ejusdem animalis, foliis privata, a latere visa. 


KD. Vid. Sels Skr 6. Rekke, nm. Ata HL, 2 1 cotnsen, Annulata. 


endont 


# 


Trykt hos Tegner Ki 


Levinsen del. Cordts It 


C 
263 seem 


(LIBRARY, I 
SP SCIENCES, 


ire 


Nelvrewistrerende metearulowiske Instrumenter, 


construerede af 


G. Rung, 


Kapitain, Underbestyrer ved det danske meteorologiske Institut 


Hermed en Tavle. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidenskabelig og mathematisk Afd. IL. 3 


Kjøbenhavn. 
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri 


1885. 


Ahlerede i 1873 ved den første internationale meteorologiske Congres i Wien blev 
der tillagt Oprettelsen af Stationer af forste Orden med selvregistrerende meteorologiske 
Instrumenter den største Betydning, og ved den anden Congres i Rom 1879 blev folgende 
Beslutning enstemmigt vedtaget: 

«Le congrès propose que chaque pays soit invité à établir dans un certain 
nombre de points, en ayant égard aux conditions locales, des stations dans lesquelles 
s’execuleraient des observations continues au moyen d'instruments enregistreurs, ou 
des observalions horaires pendant plusieurs jours de chaque mois, ou enfin des 
observations continues, equidistantes et nombreuses (8 fois par jour au moins), afin 
d'obtenir les données nécessaires pour réduire en vraies moyennes les moyennes des 
observations faites dans les stations ordinaires 2 ou 3 fois par jour.» 

For det danske meteorologiske Instituts Vedkommende var Stillingen ligeoverfor 
dette Sporgsmaal endnu i 1881 den, at der paa een Station, Vamdrup, ved Hjælp af Told- 
personalet sammesteds hver anden Time foretoges en direkte Observation af Lufttryk, 
Varme- og Fugtighedsgrad. Selvfølgelig kunde Institutet ikke i Længden blive staaende her- 
ved, og Indforelsen af selvregistrerende meteorologiske Instrumenter viste sig mere og mere 
nodvendig. Efter Opfordring af Institutets daværende Bestyrer, Kapitain Hoffmeyer, kastede 
eg mig derfor over Studiet af meteorologiske Registrerapparater ‘for at komme til Kund- 
skab om, hvilke af de forskjellige allerede existerende Constructioner, der maalte egne sig 
for vore Forhold. Under dette Studium fik jeg rig Lejlighed til at sammenligne de Methoder, 
der hidtil have været anvendte til de forskjellige Opgavers Losning, og da jeg undertiden fik 


Anledning til at tro, at et eller andet Instrument kunde construeres paa en bedre eller 


7 
lettere Maade, fik jeg, opmuntret af det Held, hvormed det allerede flere Gange var lykkedes 
mig at løse navnlig mekaniske Opgaver paa forskjellige Omraader, efterhaanden Mod til 
selv at construere saadanne Instrumenter. Jeg har derfor siden 1881 betragtet Contructionen 


af meteorologiske Registrerapparater som min specielle Opgave, og da det i de nu forløbne 


AAr 
44 


348 4 


Aar efterhaanden er lykkedes mig at construere saadanne for saa godt som alle meteoro- 
logiske Elementer, har jeg taget mig den Frihed herved at forelægge det Kongelige danske 
Videnskabernes Selskab en samlet Beskrivelse heraf. De ere nu alle i Gang paa det danske 
meteorologiske Instilut, som saaledes hovedsagelig ved Hjælp af mine Instrumenter fra 
iste Januar d. A. er blevet sat i Stand til at opfylde det af Congressen i Rom 1879 frem- 
salte Ønske. x 

Under Beskrivelsen af Instrumenterne, som ere ordnede i den Rekkefolge, i hvilken 
de i Tidens Lob ere construerede, skal jeg gjore Rede for, hvilke Betingelsers Opfyldelse 
jeg under deres Construction har haft serlig for Oje, og lejlighedsvis omtale, hvad der 
hidtil har været forsegt paa samme Omraade. Endnu skal jeg, forinden jeg gaar over her- 
til, forudskikke den Bemerkning, at medens nogle Constructeurer have forenet Registrer- 
apparaterne for samtlige Elementer til «Meteorographer», har jeg med Villie ikke gjort 
dette, og det navnlig for derved at undgaa den Ulempe, der fremkommer, naar Instrumentet 
af en eller anden Grund gaar i Staa, da man nemlig derved kommer til at savne Opleg- 
nelser for samtlige Elementer. Heller ikke har jeg arbejdet hen til «Registrering paa 
Afstand» paa Grund af de hermed forbundne store Omkostninger, ligesom jeg ogsaa i det 
Hele med Flid har undgaaet Anvendelsen af Elektricitet. 


Thermographen, 


Til en Thermograph, anvendelig paa det danske meteorologiske Instituts Stationer, 
stilledes der ganske særlige Fordringer, som ingen af de mig bekjendte Constructioner 
kunde tilfredsstille. Den skulde nemlig kunne anvendes i vore nordlige Bilande, og maatte 
derfor, paa Grund af de Vanskeligheder, hvormed det paa saadanne Steder er forbundet at 
skaffe den til mulige Reparationer nødvendige mekaniske Assistance, ikke let kunne komme 
i Uorden. De Instrumenter, der mig bekjendt have været anvendte til Opnaaelsen af en 
automatisk Aflæsning af Varmegraden, kunne passende inddeles i Metalthermographer, 
Luftthermographer og Qvægsølvthermographer. 

Metalthermographer ere oftest baserede paa to Metallers forskjellige Udvidelses- 
coefficient. Af to saadanne Metaller, sammenloddede Side om Sidde, dannes Spiraler, og 
disses ved Varmens Indflydelse fremkaldte forskjellige Krumningsgrad omsættes paa en eller 
anden Maade til Bevægelser af en Registrerpen, ved Hjælp af hvilken den attraaede Curve 
for Varmens Svingninger erholdes. Undertiden danne de en Overgang til Luftthermo- 
grapherne derved, at de ere dannede paa samme Maade som Fjedrene i Bourdon's Mano- 
meter, fyldte med Luft og tillukkede. Begge disse Former ere dog uden Værdi i Meteoro- 
logiens Tjeneste paa Grund af deres Uholdbarhed under den uundgaaelige Udsætning for 
Luftens Paavirkning. 


5 349 


Luftthermographer bero paa den Forandring i Tryk, en i en Beholder inde- 
spærret Luftmasse under Indflydelsen af Varmeforandringer er underkastel. Saadanne ere 
construerede af Schreiber og Sprung, og til Afregistreringen er benyltet den Variation 
i Vægt, et Slags Manometer eller et Hævertbarometer lider, naar de ere i Forbindelse med 
Beholderen ved en tynd Luftledning. Dr. Maurer i Zürich har imidlertid gjennem Forsog 
paavist, at medens Luftthermometret under jævn Stigning eller Fald af Temperaturen folger 
godt med, finder der ved smaa Varmesvingninger, som folge rask paa hinanden, absolul 
ingen Overensstemmelse Sted mellem et saadant og et frit ophængt Qvegsolvthermomeler. 

Qvegsolvthermographer kunne atter deles i to Arter, eftersom der ved Regi- 
streringen benyttes Photographering eller Electricitet. I første Tilfælde bevæges photographisk 
tilberedt Papir ved Hjælp af et Uhrverk forbi Thermometrets Qvegsolvsojle, medens der 
ved Hjælp af en Lampe kastes Lysstraaler gjennem en fin Spalte ind imod Papiret. Varme- 
curven fremkommer altsaa saaledes som Grendselinien mellem den lyse og den morke Del 
af Papiret, naar dettes videre Behandling er endt. Naar Electricitet anvendes ved Qvæg- 
solvthermographer, skeer det i Reglen, som ved Theorell’s Meteorograph, derved, at 
Thermometerroret, der er af noget større Gjennemsnit end ellers, er aabent i sin øverste 
Ende, og at en fin Platintraad med visse Tidsintervaller automatisk 


føres ned i Qvægsolvet. Idet denne berører Qvegsolvoverfladen, | 
sluttes herigjennem en elektrisk Strom, hvorpaa der, ved Hjælp af en | 
Electromagnet, paa en Papirtavle afsættes Længden af den Bevægelse, IH" 
Platintraaden har maattet udføre, for at naa Qvegsolysojlen i Ther- JER 
mometret. É 

Af denne kortfattede Fremstilling af de Hovedprinciper, som Bey 
hidtil have været anvendte til Gonstruclionen af Thermographer, vil É 
det formentlig fremgaa, at ingen af disse kan tilfredsstille de For- IH. 
dringer, der maatle stilles til en Thermograph, som kunde egne sig i 


til Opstilling paa Stationer i vore nordlige Bilande. Jeg valgte derfor 
til Opnaaelsen af delte Formaal en ganske anden Fremgangsmaade, 
som jeg skal tillade mig i det Følgende nærmere at forklare. 


Til Brug ved Varmemaalinger i forskjellige Dybder af Havet 
har allerede i længere Tid det saakaldte Negretti-Zambra'ske Dyb- 
havsthermometer været anvendt. Det er et Qvægsølvthermometer af 


ganske særegen Construction. Tæt ovenfor Kuglen (see Fig. 1) findes 


der en stærk Indsnævring À og ovenfor denne Indsnævring igjen en 


skjæv Udvidelse 5. Denne Indsnævring er saa betydelig, at den 
Qvægsølvsøjle, som befinder sig ovenfor den, uvilkaarlig vil falde ned 


i den modsatte Ende af Roret, naar Thermometret vendes med Kuglen 


350 6 


opad (Fig. 2). Tallene ere anbragte paa Hovedet, og det saaledes, al de angive den Varme- 
grad, som svarer lil en vis afbrudt Længde af Sojlen. Da nu en saadan ikke længer er i 
Forbindelse med Hovedbeholdningen i Thermometerkuglen, vil den paa Grund af Qvæg- 
solvets ringe Udvidelsescoefficient ikke lide nogen synlig Lengdeforandring selv ved betyde- 
lige Forandringer i Varmegraden af den Materie, der omgiver Thermometrel. Den skjæve 
Udvidelse 5 tjener til at optage det Qvægsolv, som ved en mulig Varmestigning maatte 
træde ud af Thermometerkuglen. 

Man vil altsaa ved Hjælp af et Antal saadanne Thermometre være i Stand til at 
faa saamange automatiske Varme- 


I HIT = . 
{I IN iagtlagelser i Dognet, som man 


onsker. Man behover blot at an- 


bringe dem saaledes, at et Uhr- 


% 


verk med bestemte Tidsintervaller 


SSS 


beserger dem vendte, det ene efter 
det andet. Paa min Thermograph 
har jeg, saaledes som vist i Fig. 3, 


anbragt 12 slige Thermometre Side 


vi SSSSSSSSIIIIN om Side paa en saadan Maade, at 


de kunne dreje sig om Midten. 
Den Ende, i hvilken Thermometer- 
kuglen ikke befinder sig, er den 
tungeste, saaledes at hvert Thermometer er i stadig Ligevægt, naar Kuglen vender opad. 
I den omvendte Stiiling holdes det kun (see Fig. 4) af en Krog a. De tolv 
Thermometre ere anbragte i en indbyrdes Afstand, som en lige saa stor 
som den Vej, en lille paa Skinner kjørende Vogn, f, tilbagelægger i Løbet 
af en Time. Hver fulde Time vendes et Thermometer derved, at en paa 
Vognen værende Knap trykker paa den korte Ende & af den lille Vægt- | 
stangsarm ab og saaledes løfter Krogen a. Som drivende Kraft for Vognen 
er anvendt den gradvise Synken af Loddet Z paa et simpelt Uhr U, medens 
Kjæden holdes stram af en Kontravægt V. Apparatet rogtes to Gange i 
Dognet, nemlig mellem Kl. 8 og 9 Morgen og Aften. Vognen vil da være 
kjort forbi alle 12 Thermometre og derved have vendt dem, et for hver 
Time; disses respektive Stand aflæses nu, og Aflæsningerne indføres paa en 
dertil indrettet Liste. For at gjore Apparatet i Stand Lil de neste tolv Timer, 
trekkes Uhret forst op, og, trukket af Kontravegten V, vil Vognen folgelig, 
samtidig med Loddet Z’s Hevning, kjore tilbage saalenge, indtil man, naar 


Vognens Viser peger paa det rette Klokkeslet, standser med Optrekningen. 


Fig. 4. Derefter vippes samtlige Thermometre op i deres respektive Kroge. 


For at undgaa, al mulige individuelle Fejl ved Thermometrene skulle have forstyr- 
rende Indflydelse paa Middelværdierne, og navnlig paa dem, som angive «Varmens daglige 
Gang» i Maaneden eller Aaret, er der truffet den Forsigtighedsregel, at man efter hver 
Aflesning ved en simpel Manipulation kan lade samtlige Thermometre skifte Plads og 
saaledes forhindre, al det stedse er det samme Thermometer, som vendes til samme 
Klokkeslet. 

Dette Instrument, ved hvilket der hverken er anvendt komplicerede Mekanismer, 
Photographie eller Electricitet, har ogsaa i Praxis vist sig at opfylde de til et saadant stillede 
Fordringer, idet de fire Exemplarer, som for Tiden ere i Gang (to i Kongeriget, et paa 
Island og et paa det norske meteorologiske Instituts Hovedstation i Christiania), alle gjore 
fortrinlig Nylte. Ganske vist opnaas der kun timevise lagttagelser, men det er jo kun et 
Pengesporgsmaal om at gjøre, at skaffe sig et større Antal Thermometre og derigjennem 
hyppigere lagttagelser. Selvfølgelig kunne ogsaa et tort og et vaadt Thermometer an- 
bringes ved hvert Klokkeslet, og derved erholdes timevise Fugtighedsmaalinger samtidig 


med Varmens. 


Pluviographen. 


Til et Apparat for automatisk Optegnelse af Regnens Mengde og Varighed stilledes 
der vel ikke særlige Betingelser for Danmarks Vedkommende, men, som det vil fremgaa af 
det Folgende, det var her andre Aarsager, som foranledigede mig til at construere en ny, 
i Stedet for at adoptere nogen af de allerede existerende Constructioner. 

Pluviographer eller Ombrographer kunne hovedsagelig deles i tre Hovedclasser, 
eftersom de anvende Electricitet, Maaling eller Vejning. Den elektriske, saaledes som den 
f. Ex. er anvendt i Secchi’s Meteorograph, bestaar deri, at Regnyandet, efter at være op- 
samlet i en Tragt af bestemt Areal, derfra flyder ned i en Vippe- 
skaal, som er delt i to Rum, som skiftevis modtager Regnvandet, 
indtil der er opsamlet en vis Mengde (see Fig. 5). Er dette naaet, 
vipper Skaalen, udtommer Vandet og slutter, idet den vipper, en 
elektrisk Strom, ved Hjælp af hvilken der tilvejebringes et Mærke 
paa en Papirstrimmel. Samtidig kommer det andet Ror hen under 
Tragtens Aflobsrer, for derpaa, efter at have modtaget samme 
Vandmængde som det forste Rum, at udfore det Samme som dette. 


Afstanden mellem de paa Strimmelen afsatte Mærker bliver aitsaa 


et Udtryk for Regnmengden. Et Instrument af denne Art maa 
imidlertid betragtes som meget ufuldkomment, da man, selv om 
Rummene gjores smaa, dog ikke faar noget bestemt og correct Fig. 5. 


w 

Qu 

bo 
(Ce 


Billede af Regnens Styrke til enhver Tid og navnlig ikke af dens Varighed. For at opnaa 
dette, maa en Pluviograph helst optegne en kontinuerlig Kurve, hvilket kan opnaas ved en 
af de to andre Fremgangsmaader. 

De Constructeurer, som anvende Maaling, lader det i Tragten opsamlede Regn- 
vand lobe ned i en Cylinder af passende Diameter, i hvilken findes en Svommer, der paa 
en eller anden Maade er forbunden med en Registrerpen. Vandets Stigning i Cylinderen 
hæver naturligvis Svommeren, og Registrerpennen oplegner altsaa den attraaede Kurve paa 
en Papirtavle, som bevæges forbi af et Uhrverk. Denne Fremgangsmaade er den ældste 
— allerede i 1817 skal en saadan Pluviograph have veret i Gang —, men ikke den bedste. 
Som en af dens væsenligste Mangler kan nævnes, at den ikke godt kan overlades til sig 
selv i længere Tid, da man enten risikerer, at faa Cylinderen fyldt ved stærke Regnskyl, 
eller ogsaa, for at undgaae dette, maa gjore Cylinderen uforholdsmessig stor. 

Begge de nevnte Fremgangsmaader staa derfor i vesenlig Grad tilbage for den 
tredie, der er baseret paa det opsamlede Vands tiltagende Vegt. At maale denne 
ved Hjælp af Fjedervægte har vel flere Gange været forsøgt, men tor neppe anbefales 
til videnskabelig Brug; derimod er der mange Constructeurer, der hertil have anvendt 
Balancer og navnlig Vinkelvægte. Den Skaal, hvori Vandet vejes, er indrettet saaledes, al 
den er selvtommende for en bestemt Vandmengde, hvilket er opnaaet enten ved Hjelp af 
en Hævert, saaledes som ved det saakaldte Tantalusbeger, eller ved Hjælp af en Vippe- 
indretning, hvoraf der findes flere forskjellige Constructioner. Som imidlertid Symons, 
den første videnskabelige Autorilet paa dette Omraade, bemærker, klæber der ved samtlige 
Vægtpluviographer den Ulempe, at Inddelingerne paa Registrerpapiret ere ulige store som 
Følge af, at Udslagene paa en Vinkelvægt ikke ere proportionale med Vægtforandringerne. 
Det er derfor Fjernelsen af denne Fejl, jeg har havt min Opmærksomhed henvendt paa, og 
som har foranlediget mig til Constructionen af en ny Vægt, som jeg paa Grund af sit 
særegne Princip har benævnt Sinusvægten. 

Ved enhver Vægt er som bekjendt Betingelsen for Ligevægt den, at de statiske 
Momenter med Hensyn til Hvilepunktet ere lige store. 
For den i Fig. 6 fremstillede Vinkelvægt lyder dette 
saaledes 

PH = GI, 
hvor B er Vægten af Loddet og Skaalen tilsammen. 
Men i denne Ligning ere P, r og d variable, medens 
K er den eneste konstante Størrelse. Buen ØR kan 


derfor ikke inddeles i lige store Dele, men dens Ind- 


deling maa bestemmes forsogsvis. 


Ne} 
ww 
On 
co 


Noget simplere bliver Forholdet, naar 7 bliver constant, hvilket opnaas, naar man 

gjør denne til Radius i en Cirkel (Fig. 7). Da er 
K 

B = d.— 


r ? 


K an: : à 
hvor — er constant, saa at der til ligestore Forandringer af 4 ogsaa svarer ligestore 
i 


Forandringer i Verdi af d. d er Sinus til Udslagsvinkelen,- og da Buen ikke er propor- 
tional med den tilsvarende Sinus, blive heller ikke i dette Tilfælde Inddelingerne paa A 


ligestore. 


Fig. 7. Fig. 8. 


Bortfjerner man derimod Buen Æ, og flytter man Kontravægten Æ (see Fig. 8) bort 
fra Viseren og ophænger den i Stedet herfor ved Hjælp af en Snor S i Enden af den, saa 
bliver Afstanden d imellem Snoren S og Vægtens lodrette Opstander lig med Sinus til 
Udslagsvinkelen. Er der nu skaaren en Ridse i det vandrette Fodstykke, og er der her 
anbragt en inddelt Skala, saa kan man i det Punkt, hvor Snoren S skjærer Skalaen, direkte 
aflæse Vægten af B, og denne Skala er ligelig inddelt. 

Hvor let det, i Modsætning til Vinkelvegten med sin empiriske Inddelingsmaade, 
er at inddele en Sinusvegt, skal jeg tillade mig at oplyse med et Par Exempler. Skal 
saaledes en Millimeter paa Skalaen svare til en Vegtforandring af 1 Gram, saa behøver 
simpelthen A kun at andrage ligesaa mange Gram, som 7 andrager Millimelre, og Skalaen 
paa Fodstykket bliver en Millimeterstok. Ønsker man nu med samme Vægt og samme 
Skala at udføre en grovere Vejning, saaledes at IQ Gram svarer til en Millimeter, saa 


Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math, Afd. III, 3. 45 


3D4 


NN Pe 


ll] 
| ll 


|" M In Hf il ll 
||| ill IH th +f 


T= 


I} 


MN 


=z 


ik 


TT ; 
: > (il | 


1 


1 DI [ 


| | 


Ny 


IN 


\ 


Fig. 9. 


10 


behover man kun at ophænge 
i S en ny Kontravægt, som 
andrager 10 Gange saa mange 
Gram, og saaledes fremdeles. 
Skal Sinusvægten gjores 
selvregistrerende, lader man 
S fore en lille med Registrer- 
pen forsynet Vogn eller Slæde 
frem og tilbage paa Fodstykket. 


Papiret, paa hvilket Vegtfor- 
andringerne skulle optegnes, 


anbringes nedenunder Fodstyk- 
ket, og bevæges hen forbi Re- 
gistrerpennen ved Hjælp af en 
horizontalt liggende Valse, der 
drejes rundt af et Uhrværk. 
Figur 9 er en Afbildning 
af en saadan Regnmaaler med 
Sinusvægt. Opsamlertragten 7 
maa tænkes anbragt paa Taget 
af et lille, selve Instrumentet 
beskyttende Hus, 
givet el saadant Areal, at en 


og dens Flade 


Millimeter Regnhojde svarer til 
100 Gram i Vægt. 
forer et Ror r del her opsam- 


Fra Tragten 


lede Regnvand ned til en Skaal 
B, som er anbragt i en i Sno- 
rene s og s, ophengt Ramme. 
Denne Skaal, som er anbragt 
under Bordpladen, for at der 
ikke skal komme nogen Fug- 
tighed til selve Instrumentet, 
er dobbelt og selvtammende 
for en Vægt af et halvt Kilo- 
gram Vand, allsaa for en Regn- 
mængde af 5™™. Har Skaalen 
B optaget denne Vandmengde, 


11 355 


vil dens Tyngdepunkt have bevæget sig saa langt til Venstre paa Figuren, at der opslaar 
ustadig Ligevægt. Skaalen vil altsaa vippe rundt til Venstre, udlomme sig og lade B, indtage 
Pladsen opad, parat til at optage den næste Draabe, som forlader Roret 7. Den lille, med 
Kontravægten f forsynede Stang vil samtidig beskrive en Bue og indtage en ny Hyilestilling 
paa Skruen n. Bliver derpaa DB, fyldt med et halvt Kilogram Vand, vil denne vippe rundt 
til Højre, og Apparatet atter indtage den i Figuren viste Stilling. 

Tomningerne af Skaalene reguleres ved Hjælp af Skruerne n og n, samt Kontra- 
vægten 7. 

Under Bordpladen F findes oprullet paa Rullen R en lang Strimmel Papir, til- 
strekkelig for ‘/2 Aar eller mere. Herfra gaar Strimmelen op gjennem Bordpladen og 
omkring en horizontalt liggende Cylinder, der drives af et 8-Dages Uhr U, saa at Papiret 
bevæger sig 2 Centimeter frem i Timen. Ved Hjælp af en Indretning, som ikke er vist 
paa Figuren, afsætter Uhret ogsaa Mærker for hver fulde Time paa Papirstrimmelen, som 
er linieret og inddelt saaledes, at Tiendedele af en Millimeter Regn paa Jordoverfladen 
kunne aflæses direkte. 

Skaalens varierende Vægt optegnes nu paa det af Uhret bevægede Papir derved, at 
Snorene s og s, ere anbragte omkring Hjulene H og H,, som sidde fast paa samme Axe 
som Armen a, hvis Vægt er afbalanceret ved Hjælp af Kontravægten o. 

I Enden af a er ved Hjælp af den dobbelte Stang S ophængt Kontravægten X, 
der vejer 75 Kvint, og da Hjulenes Radius netop er 75™", vil altsaa Stangen S for hver 
Vægtforøgelse af 1 Kvint (5 Gram) bevæge sig 1™™ til Højre paa Figuren. Da nu 7, som 
sagt, er givet et saadant Areal, at en Millimeter Regn opsamlet heri vejer 20 Kvint 
(100 Gram), giver Maalestokken paa Papirstrimmelen altsaa en Forstørrelse af 20 Gange. 
Optegnelsen paa Papiret udføres af en lille hævertformig Pen P («Siphonpen»), dannet af 
et fint Solvrer, hvis ene Ende vandrer i et trugformet Blækhus m, medens den anden 
hviler paa Papiret over Cylinderen, og altsaa tegner en kontinuerlig Curve. Pennen hviler 
i en lille Slæde, der kan bevæges til Venstre eller til Højre af Stangen S langs Solv- 
traadene ¢ og ¢,. I samme Øjeblik, som der er samlet 500 Gram Vand i Skaalen, vil 
Pennen have naaet sin yderste Stilling og vise paa den Streg, der angiver 5””, og idet nu 
samtidigt Skaalen tømmer sig ud og altsaa bliver lettere, vil Pennen gaa tilbage til Nul- 
linien, tegnende en lige Linie, saaledes som er vist paa Figuren. 

Paa Tavlen er gjengivet et Facsimile af Pluviogrammet for den 7de August 1885, 
i hvilket Døgn der faldt en usædvanlig stærk Nedbør i Kjøbenhavn. 

Med ringe Ændring af enkelte Detailler af det ovenfor beskrevne Instrument kan 
Sinusvægtens Princip ogsaa benyttes til andre selvregistrerende Apparater, som f. Ex. lil 
Evaporographer, ligesom jeg ogsaa senere skal faa Lejlighed til at omtale dets An- 
vendelighed til Anemographer. 


45" 


356 bee eee a 12 


Be 
CIENC ge 


re 
Barographen. 


Den automatiske Registrering af Lufttrykket er ubetinget den vanskeligste af de 
her behandlede Opgaver, naar man hertil stiller de Fordringer, som den meleorologiske 
Videnskab i Nuliden nodvendigvis maa, for herigjennem at erholde Bidrag til Oplysning om 
mange hidtil uløste Problemer, i hvilke Luftirykkets Forandringer spille en af de vigligste 
Roller. Af disse Fordringer skal jeg navnlig fremheve folgende: 

1) Apparatet skal kunne overlades til sig selv i mindst 24 Timer og skal 

2) i denne Tid udfore Registreringen continuerligt. 

3) Optegnelserne skulle helst vere af en saadan Art, at de absolute Verdier for Luft- 
trykket erholdes umiddelbart, og 

4) Opgaven bør derved loses billigere og mindst lige saa sikkert som ved directe Obser- 
valioner. 

Mangfoldige ere de Constructioner af Barographer, som ere forsøgte. Idet jeg 
imidlertid fuldstændig forbigaar dem, ved hvilke der anvendes Aneroidbarometre eller Photo- 
graphering af Sojlen i et Qvegsolvbarometer, vil jeg her kun omtale de to vigligste Hoved- 
grupper, nemlig dem, der benytte Hevertbarometre, og dem, der benytte Enkeltbarometre. 

Hevertbarometrene gjores selvregistrerende enten ved Hjælp af en Svommer paa 
Qvegsolvoverfladen i Barometrets aabne Gren eller ogsaa, som ved Theorells Meteoro- 
graph, ved med bestemte Tidsintervaller at lade en Platintraad (ligesom ved hans allerede 
omtalte Thermograph) bevæge sig ned imod Overfladen af Qvægsolvet i Barometrets aabne 
Gren, indtil der ved Berøring med dette sluttes en electrisk Strøm, der ved Hjælp af en 
Electromagnet afsætter et Merke paa Registrerpapiret. 

Den anden Vej, at benytte Enkeltbarometre, er dog ubetinget den, det har storst 
Interesse at folge, idet alle saakaldte «Vegtbarographer» hidtil have veret baserede her- 
paa. Enten anbringes selve Barometerroret eller ogsaa Skaalen saaledes, at den ene af 
disse to er ophengt i en Fjeder- eller Balancevægt, medens den anden staar fast. Sæd- 
vanligvis er det Roret, der ophenges, ligesom ogsaa selvfolgelig Balancer ere langt at 
foretrekke for Fjedervegte. 

Selve Ideen, at benytte Barometrets varierende Vægt til Maaling af Lufttrykket, er 
meget gammel, og stammer oprindelig fra Englenderen Samuel Moreland (c. 1670). 
Senere have forskjellige Constructeurer anvendt dette Princip, forst Secchi, senere Fuess, 
Wild, Schreiber og Sprung. Saavel Secchi, som Fuess og Wild anvende Vinkelvegt- 
stangsprincipet, medens Schreiber benytter en ligearmet Vegtstang og contrabalancerer 
Baromelerroret ved Hjælp af en i en Qvegsolyskaal neddyppende Staalcylinder, som altsaa, 


13 357 


naar Barometerroret paa den ene Side af Ophengningspunktet tiltager i Vægt, løftes op al 
Qvegsolvel saamegel, at der alter kommer Ligevægt Lilstede. Baromelerroret er ophængt 
i et Staalbaand, og dette er forsynet med en Registrerstift, som f. Ex. hvert Kvarter ved 
Hjælp af en lille Hammer slaar en Prik i Registrerpapiret; til Oplegnelse af en conlinuerlig 
Curve egner dette Instrument sig imidlertid lige saa lidt som nogen af de andre, paa 
Vinkelvægtstangprincipel baserede Barographer, idet det stedse er Bevægelserne af selve 
Barometerroret, ved Hjælp af hvilke-Lufttrykkets Forandringer registreres. Denne Bevægelse 
af Roret med alle sine nedenfor nærmere præciserede Ulemper er saa godt som fuldstændig 
undgaaet ved det af Dr. Sprung i den nyeste Tid indførte Princip, idet der i Stedet herfor 
træder Bevægelsen af en mekanisk Indretning, som, idet den er ganske uafhengig af Baro- 
graphen, kan construeres saaledes, at man har en vilkaarlig Kraflmængde til sin Raadighed 
og derved ogsaa er i Stand Lil at erholde en continuerlig Registrering. Imidlertid er 
det ikke blot herved, at Sprungs Barograph udmærker sig fremfor andre Vægtbarographer; 
den er tillige, hvad ingen anden af de ovenfor nævnte er, et umiddelbart og absolut 
Maaleapparat. 

Det er, som Sprung har paavist, i Serdeleshed fire folgende Omstændigheder, der 
foranledige, at de sædvanlige Vegtbarographers Angivelser ere en meget compliceret Func- 
tion af Lufttrykket (og ovenikjebet af Varmen), nemlig: 

1) Vegtstangsarmens Vinkelbevegelser ere ikke proportionale med Lufttrykkets Foran- 
dringer. 

2) Paa Grund af den Udvidelse i Barometerrorets ovre Ende, som er nodvendig for at 
gjore Instrumentet folsommere for smaa Lufttrykforandringer, faar Varmen Indflydelse 
paa Barographens Angivelser. ‘Tænker man sig nemlig den tynde Qvegsolysojle fortsat 
op til Qvegsolvets Overflade inden i den udvidede Del af Roret og for et Øjeblik skilt 
fra den korte, ringformige Qvegsolvsojle, som her omgiver den, saa vil en Varmeslig- 
ning under uforandret Lufttryk bevirke en sterkere Stigning af den indre end af den 
ydre, kortere Sojle; i Virkeligheden vil altsaa en Del Qvægsolv flyde fra den indre 
Sejle over i det ydre ringformige Rum, og for at tilvejebringe den til den hojere 
Varmegrad svarende Qvægsolvhojde, maa der altsaa stige et Kvantum Qvægsolv fra 
Skaalen op i Roret. En Varmestigning alene vil saaledes bevirke, at Barographen 
angiver en tilsyneladende Stigning af Lufttrykket. 

3) Qvægsolvets Niveau i Skaalen kan ikke betragtes som constant, fordi betydelige 

Mengder Qvægsolv paa Grund af Rorets Udvidelse træde ud og ind, og fordi Viegt- 

stangens Udslag fordrer en saa betydelig Dybde i Skaalen, at Varmeindflydelsen ogsaa 

bliver folelig her. 
4) Endelig varierer den Dybde, i hvilken Glasroret dypper ned i Qvægsolvet, med Luft- 
trykket, hvortil der altsaa ogsaa maa tages serligt Hensyn. 


308 14 


Til en rationel og simpel Construction af Vegtbarographen vil man altsaa komme 
ved paa folgende Maade at undgaa de nævnte fire Ulemper: 
I) Ved stedse at holde Vegtstangsarmen i en og samme (horizontale) Stilling. 
Il) Ved at vælge et overalt lige vidt Barometerror. 
Ill) Ved at gjøre Skaalen saa lav og bred, at Niveauforandringerne af Qvegsolvet heri ikke 
faa nogen skadelig Indflydelse — en Betingelse, der tildels opfyldes ved I og Il. 

Hvorledes det er lykkedes Sprung at opfylde disse Betingelser, har jeg for nylig i 
«Tidsskrift for Physik og Chemi» (1885, Side 33) givet en detailleret Redegjorelse for, og 
skal jeg derfor her indskrænke mig til at anføre, at den af ham anvendte Fremgangsmaade 
bestaar deri, at de Forandringer i statisk Moment, som fremkaldes paa den korte Arm af 
en romersk Vægt ved Byrdens (et Enkelt-Barometers Rors) Forandringer i Vegt, compen- 
seres paa den lange Arm ved en med Electricitetens Hjælp erholdt automatisk Forskydning 
af en Lobevægt, og at lade denne sidste ved Hjælp af en Skrivestift optegne sin Stilling 
paa en Papirstavle. 

Hvad der nu, trods Ovenstaaende, har bevæget mig til at gjøre Forsøg med Con- 
structionen af en ny Barograph, er forst og fremmest den Erfaring, det danske meteoro- 
logiske Institut under Benyttelsen af Sprungs Barograph har havt Lejlighed til at gjore 
med Hensyn til Anvendelsen af Electricitet ved meleorologiske Apparater. Jeg har allerede 
i Indledningen fremhævet, at jeg med Flid har undgaaet Anvendelsen af Electricitet, og 
skal jeg ved denne Lejlighed omtale, hvilke Grunde der i Serdeleshed have foranlediget 
mig hertil. Med Anvendelsen af Electricitet har man forud udelukket den Mulighed, at 
opstille Apparatet paa et mer eller mindre isoleret Punkt; det er endog nodvendigt, at 
Apparatet er betroet til en videnskabelig uddannet Mekanikers Opsyn. Renselsen af Ele- 
menter og Contacter, Opsogningen af Brudsteder i Ledningstraade eller andetsteds pludselig 
opstaaende Afbrydelser er et Arbejde, som ikke kan gjores af den første, den bedste. 
Endelig fordrer electriske Indretninger en anselig Driftscapital, betinget af Vedligeholdelse, 
Rensninger og Opsyn; betragtes disse Omkostninger som Renten af en Capital, vil man i 
Reglen for en mindre Sum kunne skaffe sig en, Electriciteten erstattende mekanisk Ind- 
retning. 

Min forste Opgave var derfor at construere en saadan, som altsaa i dette Tilfælde 
skulde frembringe den automaliske Flytning af Lobevægten. Da det var lykkedes mig at 
lase denne, og det viste sig at vere forbundet med temmelig stor Vanskelighed og Udgift 
at forandre den paa Institutet beroende Sprung’ske Barograph derhen, at Electriciteten 
erstattedes af min Mekanisme, bestemte jeg mig til at construere en hel ny Barograph, 
som ogsaa i andre Henseender skulde vere Sprungs overlegen. Af denne, som netop nu 
er bleven ferdig, skal jeg tillade mig al give en nermere Beskrivelse. 

Med Hensyn til den i det Foregaaende benyttede Inddeling af Qvægsolvbarographer 


a a 


15 


maa den af mig construerede nærmest siges al forene begge, idet jeg har gjort 
el Hævertbarometer selvregistrerende ved Hjælp af Vegtforandring, en Frem- 
sangsmaade, som sikkert ikke tidligere har været anvendt. Instrumentet maa 
derfor nærmest kaldes en Vegthevertbarograph. løvrigt har jeg adopteret 
det af Sprung indførte Princip med Anvendelsen af romersk Vægt og Løbevægt, 
men, som sagt, med Undgaaelse af Electricitet. 

Apparatet, hvis Indretning iøvrigt fremgaar af Fig. 13, bestaar hoved- 
sagelig af en uligearmet Vægtstang, som paa den korte Arm bærer et med 
denne stivt forbundet Hævertbarometer og paa den lange Arm en fast Contra- 


{Ill 
DETTE UN) alll TTT] 
IN: 


NIT 


DATTA (ll (|| 
[In (oi ((H) 
Es mmm 
zer [Din | 
De = === WE ee 
EO: 


Hu 


| m mn fi a 
um SAT 


Fig. 10. 


= 


360 16 


vægt P. Med stigende Lufttryk vil en Del af Qvægsolvet i den korte Gren trykkes over i 
den lange, hvorved altsaa Momentet paa denne Side af Omdrejningspunktet forøges. Denne 
Momentforegelse compenseres paa den anden Side ved Hjælp af Lobevegten V's automa- 
tiske Flytning (til Venstre paa Figuren). Anvendelsen af et Hevertbarometer har blandt 
Andet den Fordel, at et saadant lader sig flytte, hvilket selvfelgelig ikke let lader sig gjere 
med Sprungs lesthængende enkelte Barometerrer med tilhørende brede og flade Skaal uden 
indbyrdes Forbindelse. Ligeledes er man, som det senere i den mathematiske Udvikling 
nærmere skal blive paavist, ved at give den korte Gren en særegen Form, i Stand til at 
reducere Varmens skadelige Indfiydelse til et Minimum. 

Den Mekanisme, ved Hjælp af hvilken Lobevægten sættes i Bevægelse frem eller 
tilbage, eftersom Lufttrykket er stigende eller aftagende, er construeret paa følgende Maade 
(se Fig. 10). Nedenunder den lange Vægtstangsarm (A) løber ovenover et Par Skinner en 
Staalskrue ($) med stærk Stigning; eftersom denne Skrue sættes i omdrejende Bevægelse 
den ene eller den anden Vej, bringer den ved Hjælp af en i Skruegangen gribende Sko en 
lille Vogn (V) til at kjere frem eller tilbage paa Skinnerne. Paa denne lille Vogn er op- 
rejst en Galge, i hvilken Løbevægten (Z) ved Hjælp af en afbalanceret Vægtstang er 
anbragt paa en saadan Maade, at den hviler alene med sin egen Vægt paa den lange 
Vægtstangsarm. Den omdrejende Bevægelse af Skruen, som skal til for at flytte Vognen 
med Løbevægten til den ene eller den anden Side, opnaas ved Hjælp af et Uhrverk U af 
en ganske særegen Construction, til hvis nærmere Forstaaelse Figurerne 11 og 12, frem- 
stillende det respectiv set fra Siden og set forfra, skulle tjene. 

Det indeholder i et fælles Stel to Uhrverker, bestaaende hver af et Fjederhus 
(F og F,) med Optrækning (o og 0,) samt et symmetrisk System af Tandhjul. Midt i hvert 
af de to Tandhjulsystemer findes et Tandhjul (S og S,), hvorpaa et Kronhjul (X og &,) 
er anbragt, og medens alle øvrige Tandhjul ere i fast Forbindelse med deres respective 
Axer og dreje sig med disse, gaa S og S, paa Rør udenom deres fælles Axe A, der 
bærer det coniske Hjul 7 og en fast Arm a. Paa denne Arm sidder det løse Tandhjul £, 
forenende og gribende med sine Tænder ind i de to Kronhjul X og K,. Fog F, have 
modsatte Optrækninger, og samtlige symmetriske Hjul ville derfor to og to have modsatte 
Omdrejningsretninger, altsaa ogsaa K og Ä,. Sete forfra vil A gaa rundt «mod Solen», 
og K, «med Solen». 

Det ene Værk ender med et Echappement, medens det andet ender med et 
Vindfang (+). Echappementverket, som stadig holdes i Gang, vil sætte S og A i om- 
drejende Bevægelse mod Solen, og & vil atter sælte Æ i Omdrejning omkring sin Axe a; 
men da E griber med sine Tænder ind i det stillestaaende Kronhjul A,, bliver det nød- 
saget til at bevæge sig fremad henad delte i samme Retning, som A drejer rundt, og det 


vil føre med sig i samme Retning Armen a og følgelig hele Axen A med det coniske 


17 361 


Tandhjul /. Sættes nu tillige Vindfangværket i Gang, vil S, og X, komme i omdrejende 
Bevægelse, men med Solen. Dersom de to Værker gik samtidig og med samme Hastighed, 
vilde Æ kun komme til at dreje sig omkring sin egen Axe a, medens denne tilligemed A 
og H vilde forholde sig rolig; for at opnaa, at 77 kan gaa rundt med Solen med samme 
Hastighed som tidligere mod Solen, er imidlertid Vindfangværket saaledes reguleret, at A, 
gaaer rundt med dobbelt saa stor Hastighed som X. Med andre Ord: Standses Vind- 
fanget v, vil 7 bevæge sig rundt den ene Vej; frigjeres det alter, vil 4 bevæge sig 
rundt den anden Vej. 


Fig. 12. 


Barographens lange Vægtstangsarm, hvis Afvigelser fra den absolut horizontale 
Stilling er begrændset imellem to Skruer (s og s paa Fig. 10), der med et Spillerum af 
ialt 4/2 Millimeter omkring Vægtstangsarmen ere anbragte paa Instrumentets Stel, — ender 
i en lynd Udløber, som gaar ind i den øverste Del af det beskrevne Uhr, hvor den har til 
Formaal, alt eftersom Vægtstangsarmen hviler mod den øverste eller den nederste af de 
nævnte Skruer, at standse eller frigjøre Vindfanget v. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 3. 46 


362 | 18 


Naar til denne Forklaring føjes, at det coniske Hjul 77 griber ind i et tilsvarende 
conisk Hjul A, (se Fig. 10) paa Enden af den omtalle lange Staalskrue, vil selve Mekanis- 
mens Funktion nu vistnok bedst forstaas paa folgende Maade. 

Man tænke sig en constant Vægt ophængt paa Barometerroreis Plads, og selve 
Instrumentet i en saadan Situation, at den lange Vegtstangsarms Udløber ved Hjælp af en 
fin Hage har fat foroven i Vindfanget og derved holder dette Værk standset. Echappement- 
værket, som nu gaar alene, vil følgelig bevæge H rundt mod Solen. Derved settes den 
lange Skrue ogsaa i omdrejende Bevægelse, og denne Bevægelse vil bevirke, at Vognen V 
(Fig. 10) tilligemed Lobevegten Z vil bevæge sig henimod Vægtstangsarmens Omdrejnings- 
punkt. Saasnart imidlertid Løbevægten er kommen lidt frem i denne Retning, vil det 
slatiske Moment paa denne Side af Omdrejningspunktet være bleven formindsket saa meget, 
at Vegtstangsarmens Ende gjør en svag Bevægelse opad, men herved slipper Udløberens 
Krog Vindfanget, og det hertil hørende Værk vil altsaa begynde at gaa, men som vi oven- 
for have set, sættes 7 i modsat Bevægelse naar begge Værker gaa, og Løbevægten vil 
allsaa føres tilbage igjen, for kort efter paany atter at føres frem. Der vil allsaa paa det 
forbisynkende Papir af den med Vognen forbundne Pen p tegnes en vertikal, meget fin 
Zigzag-Linie. 

Er det derimod et Dobbeltbarometer, som er ophængt i Stedet for en constant 
Vægt, vil den vertikale Linie blive til 
en Curve, idet Løbevægten ved Hjælp 
af det dobbelte Uhrverk selv opsøger 
det Punkt paa Vægtstangsarmen, hvor 
den maa hvile, for at frembringe Lige- 


vægt. 

Løbevægtens Bevægelser henad 
Vegtstangsarmen ere selvfølgelig pro-~ 
portionale med Lufttrykkets Foran- 
dringer, og man er i Stand til at 
skaffe den ved Hjælp heraf optegnede 
Kurve en hvilkensomhelst Forsterrelse 
ved at variere Lobevægtens Vægt. 
Ønskes saaledes, som ved det udførte 


Exemplar, en firdobbelt Forstørrelse, 
Fig. 13. gaas frem påa følgende Maade"): 


1) Efterfølgende mathematiske Udvikling af Instrumentets Theorie skyldes Bestyreren af Meteorologisk 
Institut, Cand. mag. Adam Paulsen. 


G = Vægten af Glasroret, MORE Gjennemsnitsfladen af Rorets vide Del, 

! = Afstanden fra Glasrorets Tyngdepunkt © — Gjennemsnitsfladen af Rorets snævre Del, 
til den lodrette Linie gjennem Om- | 0 = Qvægsolvets Vægtfylde, 
drejningspunktet. | B = Barometerhojden, 

W = Vægten af Kvægsolvet, | H = Luftens Tryk paa en Kvadratenhed. 


Med Benyttelse af de i ovenstaaende Figur og Skema anvendte Betegnelser bliver 
Instrumentets Ligevægtsbetingelse følgende : 
at 
Gl + oxda + oydb + wada-+ wBö a DD VIE (1) 
Endvidere haves til Bestemmelse af a og 4 


odu + ody + (a+ +7) 0d — W, 
(e+a—y—y) 0 = H. 


Af disse Ligninger haves 


W— (a+ 8+7) 0d I W—-(a-+-ß-+7)od + 0H — (a—7) do 
pate int miele oa | 2 vo 0. Sa: 
H— (a— 7) 6 | 1 W—(a+B+7) cod — oH + (a— 7) do 
Da RR ae oe 


hvilke Verdier, indsatte i (1), giver 


Gl +. =| W—(u-+6-+7)8 + oH — (a—y)öo)a 


aie 2 ( W— (24247) wd —oH-+ (a—y7) d0)b + wada + en + wydb = Vz-+ Pp. 
Settes os: 2 — c, faas: 


Gl+ We— (a+ B+ 7) wde + ET oH — 


b 
5 (a—7) 00+ wd(aa+ Be + 76) = Ve+ Fp. (2) 


Differentieres med Hensyn til ZZ, faas: 
dz (a—b)o Bo 
dH 2V HVEN 
hvoraf, idet / — B,6,, hvor B, betyder Barometerstanden ved 0° 


og dy » Qvægsolvets Vegtfylde ved 0°, 
dz Bo da _ (SOO) 
ao CEA vw: 
Skal altsaa Forstorrelsen vere 4, erholdes 
I ys » 
ao = 4 eller 20 == 6. 
altsaa væ Bob, 


40° 


364 | 20 


Settes a— i Stedet for 5, og ae igjen i Stedet for c, faar, idet derved 


c= — og — = = , Ligningen (2) folgende Form: 
Gi 3) - “+#+na0(0-5)+% oH— À (a—7) do 
> RB 2 
+ wd aa + B(a—# +7(a—5 ==) Vol Pp ae (3) 


—oûla+p+y) (-—4) +oo(au+3 (.-5) tria— pi) 
= wd (aaa ar + +++ au + ag — FE + ar—r8) — au 
hvilket, indsat i (3), giver 


G14 W(a—$)+ tan 8 +3 a 20H — 2 (a—7)80 = Vz+ Pp 


eller nt se 0-0) +5 ne Vz Pps 2er: (4) 


Betegnes nu Lengderne af J, a o.s.v. ved en Varmegrad af 0° ved /,, a, 0.s.w., 
de lineære Udvidelser af Messing og Glas henholdsvis ved m og g og Qvægsolvets Rai 
Udvidelsescoefficient ved Æ, har man ved © 


Glo(ly)(1--mé) + Watt 2 (140) + dut à 3 © (0,—@,) (144g — ky + © Bo 9 Hl + 3gt) 
— Vz Pp, (ler md). SS ee Ce (5) 
Differentieres med Hensyn til ¢, faas af (5) 
Gl,m + W(am— y) tas tre — as (0 0 — W9) lig — ki 2809, H = et Ppym , 
hvoraf 
dz 3 3 i 
ve = Gil,m+W (am—Ar)- Pp,m + dulro— 40) 5) (05 — 06) (4g—À) + SE oH. (6) 
Betegnes det Tryk, for hvilket P alene holder Ligevægt ved 0°, ved HM", haves 
af (4) 


Gl, + Wen) i RE REE 0,H* — Pp, 


hvilken Ligning i Forbindelse med (6) giver 


,dz / 
F BER W (& m — Bo r) + Bo a) 22 (05 —er) ee ut 7 00(3 Hg — H'm). (7) 


Da nu y — du og H = B,0, samt m — Bio,, faas af (7) 


dz 4 W(m—g) 


se) is O5 
By 
dt 0,0% 


=) (Ag —k— m) + 12 B,9 —1Bim. 


05 


+ 4 (To A) ( 


Forat Varmen skal være uden Indflydelse paa Instrumentets Angivelser under Luft- 
trykket DB, maa man have 
4 W (m-—q) 


= Aa 
00 00 


= 


) åg k—m)—+12B,9—4Bim = 0. 


Yo 


+ Ayo Go) ( I 


0 


Loses denne Ligning med Hensyn til 7, —4, faas: 


en 
oma LOL Sr sa © ANR za 
es ae) (4g—k—m) 
% 


indsettes heri folgende Verdier: 


g = 0.0000086; m — 0.0000186; & = 0.000180; W — 4000 Gram; 0 — z (Radius — | Centim.); 
w = 47 (Radius < 1 Centim.); 0 = 13.595; BY —= 700.2; 5 —760™, 


0.00094 + 0.01961 — 0.01283 0.006582 „am 
0.75 (— 0.0001642) 0.000123 ie 


faas T0 4 = — 


Ved altsaa at forsyne Barometrets korte Gren med en Forsnævring, 
der er 53™ længere end Forsnevringen paa den lange Gren, bliver Varmens 
Indflydelse ved 760™™ lig 0. 


Dette er et saa gunstigt Forhold, som det ikke er opnaaet ved nogen anden 
Vegtbarograph; til Sammenligning kan i saa Henseende tjene, at Varmens Indflydelse paa 
Sprungs Barograph er ved 10 Graders Stigning 0.14", 


Af andre mindre Forbedringer, som jeg samtidig har indfort ved min Barograph, 
skal jeg nevne, at den paa Grund af Anvendelsen af endelost Papir, der drives af el 
8-Dages Uhr (U), kan overlades til sig selv uden Tilsyn i en Uge ad Gangen, at Curven 
tegnes med Siphonpen og Anilinblek (som tillader Reproducering ad hektographisk Vej), og 
at Papirets Bredde tillader en Amplitude af 80% i firdobbelt Forstorring. 


Det er saaledes lykkedes mig at construere en Barograph, som i forskjellige Hen- 
seender formentlig er de hidtil som de bedste ansete Constructioner paa dette Omraade 
overlegen. 


Det samme Princip kan selvfolgelig ogsaa anvendes til at gjore Manometre selv- 
registrerende, og egentlig er Ideen til Barographen hentet fra et saadant selvregistrerende 
Manometer, som jeg i sin Vid foreslog Bestyrer Adam Paulsen at anvende ved en af 
ham udtenkt Vandstandsmaaler. 


366 22 


Anemographen. 


Ordet Anemograph er et Fællesnavn for selvregistrerende Vindretnings- og Vind- 
hastighedsmaalere. @piegnelsen af Vindretningen er imidlertid et meget simpelt Problem, 
der har flere særdeles gode og praktiske Lesninger, hvorfor jeg ikke skal opholde mig 
nærmere herved, mer kun anfere, at det Instrument, som det danske meteorologiske 
Institut efter mit Forslag har adopteret i dette @jemed, simpelthen bestaar i en med Papir 
beklædt, vertikalt staaende Valse, som ligefrem danner en Forlengelse af selve Vindflejen 
ned i et Rum under denne. Medens nu Valsen drejer rundt sammen med denne under 
Vindens Indflydelse, glider en Blyant, som er anbragt i et Uhrs synkende Lod, i Lebet 
af 24 Timer jevnt ned forbi Valsen, og aftegner saaledes Vindretningen paa Papiret, som 
daglig skiftes. : 

Vindsiyrkemaalere (uden Registrering) kunne bedst inddeles i dem, der kun ere i 
Stand til al angive Vindens Middelhastighed, og dem, ved Hjælp af hvilke man formaar at 
maale dens momentane Hastighed. 

Den førstnævnte Klasse udfyldes af det saakaldte Robinsonske Anemometer, 
bestaaende af fire i Enderne af et horizontalt liggende Kors anbragte hule Halvkugler, over- 
skaarne efter vertikalt Snit, saaledes at Hulheden altid vender samme Vej paa dem alle, 
naar Vinden setter Korset i Rotation omkring en lodret Axe. Ved Hjælp af det Antal 
Omdrejninger, dette Kors udferer i Lebet af en vis Tid, og som afleses ved Hjælp af et 
Telleapparat, er man, naar man forud kjender Instrumentets Konstanter, i Stand til at 
beregne den Middelhastighed, Vinden imidlertid har havt. Et saadant Robinsonsk Anemo- 
meter gjeres let selvregistrende ved Hjælp af en Snegl, som, idet den bevæger sig rundt 
sammen med et af Tandhjulene i Telleapparatet, efterhaanden løfter en Registrerpen, som 
derpaa paa sedvanlig Maade afsetter en Curve paa en Papirtavle, der feres forbi af et 
Uhryerk; jo større Vindens Hastighed er, desto stejlere bliver selvfølgelig Curven. Ogsaa 
Electricitet kan anvendes til at gjere denne Vindmaaler selvregistrerende, idet man for et 
vist Antal Omdrejninger lader slutte en Contact og derved skaffer et Merke afsat paa en 
Telegraphstrimmel; Afstanden mellem Mærkerne bliver altsaa et Udtryk for Vindhastigheden. 

Maalingen af Vindens momentane Hastighed foretoges ved dens Tryk paa en Plade, 
en Cylinder eller en Kugle, indtil to Danske, Kapitain Magius og Fabrikejer Hagemann 
samlidig opfandt det hyppigst efter Sidstnævnte opkaldte Anemometer. Selve Principet, der 
har veret Gjenstand for nermere Omtale i det Kongelige danske Videnskabernes Selskab, 
tillader jeg mig at forudsette som bekjendt; kun skal jeg gjere opmerksom paa, at der 
allerede lenge tidligere (i 1775) har været construeret et hermed noget beslægtet Instrument — 
i samme Ojemed, nemlig Lind’s Anemometer. Som hosstaaende Figur viser, bestaar 
dette Apparat af et U-formet Glasrer, tildels fyldt med Vand, og hvis ene Gren (A) er bojet 


23 367 


til Siden. En Vindfløj (£) holder stedse Aabningen i denne Bøjning imod Vinden, som 
derved i Forhold til sin Hastighed bringer Vandet til at synke i den ene Gren og slige i 
den anden. 

Den af Magius og Hagemann anvendte Spids har imidlertid en Hovedfordel fremfor 
saavel Lind's som ethvert andet Anemometer deri, at den ikke gjør nogen synderlig Mod- 
stand imod Vinden, hvorved man ikke saa let som 
ellers udsætter sig for, at Instrumentet blæser 
ned, og det netop under Forhold, hvor det er 
allerinteressantest at komme til Kundskab om Vin- 
dens storste Hastighed. 

Det var derfor ogsaa dette Instrument, jeg 
— foranlediget ved, at vi ingen Kundskab havde om 
Vindens største Hastighed i Stormnatten d. 28.—29. 
Oktober 1884 — bestemte mig til at gjore selvregi- 
strerende paa Grundlag af et tidligere af mig udtænkt 
Princip; og allerede d. 28. November var der en saa- 
dan Anemograph i Gang paa det meteorologiske 


Institut. Da den samme Vindhastighed lofter den 
samme Vedskesojle, hvad enten Diameteren heraf er 
stor eller lille, har man store Vægtforandringer til sin 


Raadighed, og disse kunne gjøres selvregistrerende 
paa forskjellige Maader. Saaledes kunde man føre 
Luftledningen hen til et togrenet Qvægsølvmanometer, 


ophængt paa samme Maade som Hævertbarometret 


i min Barograph, men da dette Apparat vilde blive 


meget kostbart og kræve lang Tid at forarbejde, 
foretrak jeg at lave et yderst simpelt Instrument, 
som jeg skal tillade mig i al Korthed at beskrive. 

En Luftklokke K (see Fig. 15), som foroven er forsynet med en til en Vindmaaler- 
spids førende Luftledning, er anbragt i en fast Opstander (F) saaledes, at den, vendende 
Aabningen nedad, dypper ned i en Skaal (S), der er anbragt i en simpel Vinkelvægt. 
Skaalen indeholder en eller anden Vædske, som ikke er tilbøjelig til ved Fordampning at 
tabe i Vægt, f. Ex. Olie. Idet nu Vinden ved sin Sugning henover Vindmaalerspidsen 
løfter en vis Vædskesøjle op i Klokken A, vil selvfølgelig Skaalen S lide et tilsvarende 
Tab i Vægt, hvilket angives af Vinkelvægtens Viser paa den i dette Øjemed inddelte Bue B. 
For nu ogsaa at gjøre dette Instrument selvregistrerende, har jeg simpelthen anbragt en ny 
Bue (D!) med passende Radius. paa Viseren, forsynet denne Bue med en Rille i Kanten 


368 24 


og ophængt en mellem et Par Staal- 
strenge styret Pen (p) i en i Rillen 
hvilende Snor (s). Selvfølgelig vil 
denne Pen gjøre de til Vinkeludslagene 
og Buens Radius svarende Bevægelser 


i Verlikalplanet, og disse optegnes nu 
paa den med Papir beklædte Valse (V), 
som ligeledes befinder sig under Væg- 


tens Opstillingsplan og bevæges rundt 
af et Uhrverk (U). 
Ganske vist lider dette Apparat, 


— der som sagt blev lavet sammen i 
stor Hast, men ikke desto mindre har 
F gjort fortrinlig Nytte siden dets Op- 
stilling — af den allerede ved flere af 
de andre ældre Apparater omtalte Fejl, 


at Vinkelvægtens Udslag ikke ere pro- 
portionale med Hejderne af den løftede 


Vædskesojle. Dette vil jo imidlertid 


WWE, 


let opnaas ved Benyttelsen af Sinus- 
vægtens Princip, og Anemographen 
kom da til at ligne Pluviographen sær- 


deles meget: Roret, som her forer 
ned fra Tragten, vilde blive Luftled- 
ningen og komme til at bere Klokken 


K lige under Bordpladen, og her be- 
fandt ogsaa Skaalen S sig, ophængt i 
de Snore, som bar Pluviographens 
Vippeskaal. 


Paa Curven fra en saadan pro- 
portionalt inddelt Anemograph vilde 
man ogsaa være i Stand til ved Hjælp af et Planimeter at bestemme Vindens Middelhastighed 
med samme Nojagtighed som ved Robinsons Anemometer, og den har da tilmed den Fordel, 
at hvert enkelt Vindstods Kraft saa vel som det Klokkeslet, til hvilket det indtræffer, 
bliver nojagtig optegnet. 

Paa Tavlen er gjengivet et Facsimile af Anemogrammet for den 10de April 1855. 


— © —— 


STATION KJOBENHAVN. 


=, ; 


5 m 


— 


VS 


20) 


Spi spr Gee ee 


Nedbören for = Ladue ui. 188 À... 


DE 
RE | 


De eucephale Myggelarver. 


Sur les larves eucéphales des Diptères, Leurs mœurs et leurs métamorphoses. 
Af 


Fr. Meinert. 


Med + dobbelte Tavler, 
Résumé et explication des planches en français. 


Vidensk. Selsk., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 4. 


Kjøbenhavn. 
Bianco Lunos Kgl. Hof-Bogtrykkeri (F. Dreyer). 


1886. 


aorıelsgeyN Fier WM 


17 


Anopheles 
COMIN 5 0 5 256 5010 
Mochlonyx 


CHMONODUS EE 


Ceratopogon 
TMS: «66 00 00000 
Tavleforklaring . . .: . . . 
Résumé en français 


BESES er are 


Indholdsfortegnelse. 


Side 373 (5) 
— 375 (7) 
- 392 (24 
— 398 (30 


—374 (6). 
— 392 (24). 
—397 (29). 


—421 (53). 


— 422 (54) —431 (66). 


— 435 (67 
— 445 (77) 
— 452 (84 
— 458 (90 
— 464 (96) 


— 144 (76). 
—451 (83). 
— 457 (89). 
— 464 (96). 
— 468 (100). 


— 469 (101)—471 (103). 
— 472 (104)—475 (107). 
— 476 (108)— 487 (119). 
— 488 (120)—489 (121). 
— 490 (122)—493 (125). 


Were aes 


© 
2 DER > Bun 
a ae 
sétshiat 


Trykfejl. 


Side 401 (33) Linie 12: Tredie læs Første 


Side 403 (55) Linie 12: Tredie læs Første. 


D. Dipter-Larver, som i denne Afhandling skulle gjores til Gjenstand for Under- 
søgelse, hore alle Lil de saakaldte «eucephale» Larver, det er saadanne Larver, hos hvilke 
der, i Lighed med de ovrige Insektordner og disses Larver, er udviklet el virkeligt Hoved, 
bestaaende af en Hovedplade og et Antal Metamerer med Exponenter. Af de 9 undersogte 
Slægter here de 4, Culex, Anopheles, Gorethra, Mochlonyx, til Familien Culieide Schin.; 
de 3, Chironomus, Tanypus, Geratopogon, til Familien Chironomidæ; den 8. Slægt, Simulium, 
danner Familien Simulidæ Schin., og endelig er den systematiske Stilling af den 9. Slægt, 
Dixa, usikker. 

Alle de undersogte Larver leve i Vandet, om det end for den ene Slægts, Cera- 
topogons, Vedkommende kun er et ringere Antal Arter, som færdes i dette Element. Dog 
at de eucephale Larvers stærke Udvikling af Hovedet ikke staar i nogen nodvendig Sam- 
menhæng med dette deres Opholdssted, sees ikke blot deraf, at adskillige af dem, saasom 
det store Flertal af Ceratopogon-Arter og alle de tallose Mycetophiler, leve paa Land (under 
Bark, i Svampe, etc.), men ogsaa deraf, at mange Dipter-Familier med acephale eller semi- 
cephale Larver, om ikke efter den -hele Familie, som hos Stratiomydæ, saa dog efter Slægter 
og Arter leve i Vandet. 

Det er navalig 4 Forhold, som hos de undersogte Larver have været Gjenstand for 
Undersogelse, nemlig Hovedets og Munddelenes Bygning, Larvernes Biologi, deres Meta- 
morphose og endelig deres Aandedrætsorganer. 

Med Hensyn til Hovedets og Munddelenes Bygning interesserede det mig fortrinsvis 
at kunne eftervise de samme Elementer og den samme Plan og Orden i Munddelene, som 
jeg forhen har troet at kunne hævde for de ovrige Insekter tilligemed Tusindbenene. — 
Studiet af Larvernes Biologi eller Levemaade og af deres Metamorphose eller Forvandling 
skulde navnlig tjene til at udvide og om muligt gjenoplive denne siden Réaumurs og De Geers 
Dage saa stærkt forsømte Side af Entomologien. — Endelig interesserede af den indre Byg- 


ning mig særlig Aandedrætsorganerne, til hvis Historie hos andre Insekter jeg forhen havde 


374 6 


leveret Bidrag, saaledes lil Podurernes!), Chilopodernes*) og Scarabæ-Larvernes*). I det 
Hele laget forekom det mig og forekommer mig endnu, at disse Ørganers Bygning og da 
navnlig deres physiologiske Virken langtfra er naael til en tilfredsstillende Opfattelse og 
Forklaring, og at man langtfra vil kunne lade sig nøje med den Forklaringsmaade, som for 
Øjeblikket ansees for at være tilstrækkelig for de højere Dyrs Vedkommende. Til en tilfreds- 
stillende Løsning af Aandedrættets Physiologi maa man nu sikkert have en langt storre 
Kundskab i Chemi og Physiologi, og da navnlig i Microchemi, end jeg er i Besiddelse af, 
og det kunde maaske synes at have været rettest helt at forbigaa Spørgsmaalet om disse 
Organers Virksomhed, da hverken mine egne tarvelige Forsøg eller mine Henvendelser til 
Physiologerne her i Landet skaffede mig tilfredsstillende Resultater, men paa den anden 
Side skulde og maatte Organerne først underkastes en Undersøgelse ad mikroskopisk optisk 
Vej, og det kunde ikke anlages, at en saadan gjennem flere Aar gaaende, ihærdig Under- 
søgelse af de levende Larver vilde kunne ventes af Physiologerne, som desuden i Reglen 
savne den nødvendige faunistiske og systematiske Kundskab, som hertil er Forudsætningen. 

Jeg havde ogsaa meget ønsket ved Hjælp af Nutidens saa stærkt udviklede optiske, 
chemiske og mekaniske Midler til Studiet af Embryonet og dets Udvikling at følge Anlægget og 
Uddannelsen af Tracheerne, men uagtet dette, tildels af Mangel paa tilstrækkeligt og tjenligt 
Stof, ikke har været mig muligt, har jeg dog, ved flittig Undersøgelse af Larverne i disses 
forskjellige Stadier, seet saa meget, at jeg ikke tager i Betænkning at fremsælte en ny 
Theori for Tracheernes Udvikling hos Insekterne, jvfr. mine Theses i Slutningen af denne 
Afhandling. 

Planen for min Afhandling er kortelig denne, at jeg først giver en Fremstilling af 
mine lagttagelser over enhver af de forhen nævnte 9 Slægter, med Henvisning til de tidligere 
Forfalteres Arbejder, og at jeg dernæst samler Resultaterne af disse Iagttagelser i en Række 
Sætninger eller Theses. ' | 


!) Campodeæ, en Familie af Thysanurernes Orden, Naturh. Tidsskr. 3. R. 3. B. 

2) De formentlige Aandedrætsredskaber og deres Mundinger (Stomata) hos Slægten Seutigera, Vid. Medd. 
Naturh. Foren 1882. 

Spirakelpladen hos Scarabæ-Larverne, Vid. Medd. Naturh. Foren. 1 
eribraria og Os clausum, en Replik, Vid. Medd. Naturh. Foren. ISS 


an 


w 


$1, og Noget mere om Spiracula 


Culex. 


The Water-Insect or Gnat, Hooke, Micrographiæ: or some Physiological Descriplions of Minute Bodies 
made by magnyfying glasses, p. 185—93, Schem. XXVII. 


Culex sp., Jac. Wagner, Observalio de Generalione Culicum — Ephem. Acad. Natur, Curios. 1684, 
Dee. 2, Ann. 3, p. 368——70 (p. p. Chironomus sp.). 
Culex sp., Paul de San Gallo, Experimenta circa Culieum generalionem — Ephem. Acad. Natur. 


Curios. 1712, Cent. I et II, App. p. 220—32, Tab. 

Culex sp, Swammerdam, Hisloria Insectorum generalis, Lugd. Balav. 1733, p.95—102, Tab. 
III. (Originaludgaven paa Hollandsk, 1669.) 

Die Mücke, Swammerdam, Bibel der Natur, Leipz. 1752, p. 144—-48, Tab. XXXI, Fig. 4—8; 
Tab. XXXII. (Originaludgaven paa Hollandsk og Latin, 1637.) 

Culex sp., Reviglias, Observalio de Culieum generalione — Acta Acad. Natur, Curios. 1737, 
Tom. 4, Obs. 3, p. 14—18, Tab. 1, Fig. 1—5. | 

Culex pipiens?, Barth, De Culice disserlalio. 

Les Cousins, Réaumur, Mémoires pour servir à l'histoire des insecles, IV. Mém. XIII, p. 573—636, 
Pl. 39—-44; PI. 14, Fig. 13—14. 

Der Schnackenwurm, Ledermüller, Mikroskopische Gemülhs- und Augen-Belusligungen, p. 154. 
Tab. LXXIX. 

Le Malezieu, Joblot, Observations d'histoire naturelle failes avec le microscope, Cd. sec. augm. 
Tom. I, Part. 2, Chap. XXXVI, p. 96— 100, Pl. 13, Fig. A—L. 

Le cousin commun, Geoffroy, Ilisloire abregée des insectes, Il, p. 579, PI. XIX, Fig. IV. p—s. 

Culex communis, De Geer, Mémoires pour servir à l’histoire des inseeles, VI, p. 316—24, PI. 17, 
Fig. 1—19. 

Culex pipiens oder Wurm von der Singschnacke, Slabber, Physikalische Belusligungen oder Mikro- 
skopische Wahrnehmungen ete., Nürnberg 1781, p. 70--75, Tab. XV, Fig. 1—2. 

Der stechende Schnacke, Kleemann, Beilräge zur Nalur- und Insecten-Geschichte, I, p. 125—48, 
Tab. XV—XVI. 

Culex sp., Robineau-Desvoidy, Mém. d. 1. Soc. natur. de Paris, Ill, p. 390. 

The Musquito, Gilchrist, On the Melamorphose of the Musquito — Madras Journ. of Liter. and 
Science, IV, p. 128—30, Tab. 

Die Steckmückenlarve, aller, Rleinere Bruchslücken zur vergleichenden Anatomie der Arthropoden. 
i. Ueber das Athmungsorgan der Steckmiickenlarven — Wiegm. Arch. f. Nalurg. XXXXIV, 
POST Daf ih AS ME 


376 8 


Culex sp., Macquart, Insectes Dipleres du Nord de la France — Recueil des travaux d. |. soe. 
d’amaleurs d. sc. d. l’agrie, el d. arts de Lille. Ann. 1823 et 1824 (1826), p. 209 fr. 

Culex annulipes, Friedenfels, Verhandl. und Miltheil. d. Siebenb. Ver. f. Naturw. in Hermannsladt, 
WOO (Me LOI. 


Culex annulatus. 


Man vil i den Rekke af originale Undersogelser, som jeg her har henvist til, finde 
saa mange Afbildninger af Larven af den almindelige Myg, at det maaske kunde synes 
overllodigt atter at fremstille den, saameget mere som min Afbildning ikke er faldet til- 
fredsstillende ud for mig; men Noget giver den dog, og saaledes vil, om ikke Andet, Frem- 
stillingen af Aandedrætssystemet vel fortjene Opmærksomhed. 

Fig. 1 fremstiller den voxne Larve, i noget krum Stilling, seet fraoven. Farven er 
et ubestemmeligt Graat, og Tracheesystemet sees tydeligt at skinne igjennem med salv- 
glindsende Farve. 

Hovedet, Fig. 2, er stort, betydeligt bredere end langt, næsten efter Forholdet 3:2; 
dets største Brede falder langt tilbage, bagved Øjnene. Den største Del af Hovedets Over- 
side indtages af den flade, næsten cirkelrunde og næsten nøgne Rygskinne til tredie Metamer, 
Fig. 2 a, som kun fortil har en 3 Par Børster, staaende i en buet Række; af disse Børster 
er det midterste Par det mindste, kun deelt i 3 fine Straaler, medens de 2 andre Par ere 
kløvede hver i 6—8 tykkere Straaler. Anden Metamers Rygskinne, eller Clypeus, Fig. 2 b, 
er bred og kort, indbugtet fortil og bærer i Siderandene, dog nærmest paa Undersiden, en 
bred Pensel eller Vifte af tætte Borster, Hvirvelorganerne, Fig. 2 d. Første Metamers Ryg- 
skinne, Fig. 2 c, Labrum elier Overlæben, er meget lille, fæstet i Bunden af Clypeus’ For- 
rand og tæt besat med korte, fine Børster. 

Øjnene, Fig. 2 f, ere meget store, anbragte paa Siderne af Hovedet, saa at kun en 
Del af hvert Øje sees, naar Dyret sees fraoven eller franeden. Formen af dem er næsten 
en Sector paa c. 150°, hvis Centralspids dog er stump og afsneret til et Bioje, Fig. 2 f”, 
som af Form er oval paatværs. — Antennerne, Fig. 2e; Fig. 3, ere temmelig korte og fine 
og have paa Siden foruden nogle særdeles korte grove Børster en større, i mange Straaler 
kløvet Børste. I Enden af Antennen findes et Par længere Børster og 2 kortere, bredere, 
to- eller treleddede, som maaske kunne tydes som Svøbe eller Antenneled. 

Munddelene ere nærmest Fangorganer, omend Kindbakkerne med deres spidse 
Tænder maa kunne dræbe et mindre Bytte. Underleben, Labium eller første Metamers 
Bugskinne, Fig. 4 og 5a, er simpel, uden Vedhæng, stærkt chitiniseret; Formen af den er 
nogenlunde regelmæssigt tresidet, og Siderne af den noget indknebne nær Grundlinien eller 
Bagranden og tydeligt crenulerede i deres længste Strækning. Forneden dækkes Underlæben 
af den lange fine Haarbræmme, Fig. 4 a‘, som fortil beklæder den frie, midterste Del af 


a 


Le) 
D 


317 


Forranden af anden Metamers Bugskinne. — Kjæberne, Maxillæ, Fig. 6, ere temmelig brede, 
med en stor Yderflig, Fig. 6b, hvis Forrand er fint børstet, medens dens Inderrand svagt 
er skilt fra den øvrige Flig som en egen Inderflig, Fig. 6a, og tet børstet paa hele den 
frie Underside. Palpen, Fig. 6c, er kort, knap ragende frem foran Fligen; dens Grunddel 
er bredt, noie forbundet med Palpestykket, i hvilket en tresidet Chitinplade med skarpt ud- 
trukne Hjorner og en i Midten indplantet Borste er udsondret. Kindbakkerne, Mandibulæ, 
Fig. 7 og 8, ere korte, brede, udefter rundede, med korte, tornelignende Tender i Rygsiden. 
Inderranden dækkes fraoven for storste Delen af en Bremme af Borster. — Hvirvelorganerne 
ere tykke, men temmelig korte; det overste og inderste Lag af deres Borster ere længere 
end de øvrige, noget slyngede eller dybt indskaarne i deres Inderrand, saa at de danne 
Kamme eller Kamborster. 

Thorax, eller Brystpartiet, er betydeligt bredere end langt, som 3 : 2, noget fladtrykt 
og bærende i Forranden en Række af faa, lange, enkelte og flerstraalede Borster; i Siderne 
af Thorax findes 3 Par korte Rækker af lignende Borster indplantede. 

Bagkroppen eller Abdomen, er trind, tydeligt nileddet, med een eller to flerstraalede 
Borster i Siderne af hvert Led. Det 8. Led er temmelig lille, men bærer paa sin Overside 
det betydelige Aanderor, Fig. 1a; Fig. 10. Iøvrigt udmærker samme Led sig ved sine 
Rækker af spidse, paa Siderne tandede Chitintænder og ved 2 mangestraalede Borster i 
Bagranden. Langs Aanderorets Underside findes 2 lange Rækker af spredte, fine, korte, 
simple Børster og foran hver Borsterekke en mangestraalet Borste. 9. Led eller Analleddet 
bærer paa Undersiden en temmelig kort Svemmevifte, Fig. 1b, bestaaende af henimod en 
Snes brede, lang- og mangestraalede Borster; paa Oversiden i Midten af Leddets Bagrand 
findes 4 Analborster, af hvilke det inderste Par kun har 3, det yderste derimod henved en 
Snes Straaler. Analpapillerne ere som sædvanligt 4, temmelig lange, smækre og spidse. 
Analkroge fattes. 


Culex nemorosus. 


Hos Larven til denne Art udmærker 8. Led, Fig. 17, sig ved 3 Par mangestraalede, 
fjerede Borster, Fig. 18. Langs Aanderorets Underside findes 2 Rækker af Torne, som ved Roden 
ere enkelt- eller totandede, Fig. 19, og et Par flerstraalede, fjerede Borster. Af Analbor- 
sterne, Fig. 17 ee, er det inderste Par meget lange, simple, det yderste Par halv saa korte, mange- 
straalede. Analpapillerne, Fig. 17 dd, ere noget kortere og mere plumpe end hos C. annulatus. 


Nu tildags veed hver Skoledreng, at Myggene leve som Larver og Pupper i Vandet; 
og, for ikke at nævne de almindelige Skoleboger, uendeligt er Tallet af de mer eller mindre 
populære Afhandlinger, hvori Myggenes Ferd, enten for sig alene eller i Sammenheng med 
andre Insekters, er gjort til Gjenstand for kortere eller lengere Fremstillinger med de samme 


Vidensk, Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 4. 48 


378 10 


atter og atter tilbagevendende Copier af Swammerdams eller Réaumurs Afbildninger af disse 
Insekter paa deres forskjellige Udviklingstrin. Originale Undersøgelser og Afbildninger finder 
man derimod forholdsvis faa af; men paa den anden Side vil jeg heller ikke paastaa, at 
de af mig i Begyndelsen af delte Stykke opførte Afhandlinger skulle være Summen af alle 
originale Undersøgelser, eller endnu mindre, at Forfatterne af de populære Afhandlinger ikke 
skulle selv, ialfald tildels, have gjort Undersøgelser eller Forsøg paa dette Omraade, men det er 
mig ikke bevidst, at der ved disse Undersøgelser er kommet noget synderligt Nyt til eller frem. 

Den ældste Fremstilling af Myggens Udviklingshistorie, som jeg har fundet"), er 
den som den fortræffelige Englender Roserr Hooxe 1665 har givet i sine Micrographiæ, 
hvor han ved Siden af vidtløftige Raisonnements og forskjellige Fortællinger og Afbildninger, 
som nu ingen Interesse have, giver Oplysninger og graphiske Fremstillinger, som indtil 
videre staa uovertrufne. Saaledes forekommer mig hans Afbildning af Culex-Larven, 
Schem. XXVII. Fig. 1, og som maaler sin halve Alen, mig at være bedre end nogen anden 
Afbildning af dette Dyr. Naturligvis er der ved Siden af det Gode og Fortræffelige i hans 
Fremstilling ogsaa Ting og Paastande, som nu tildags ere umulige at komme med, saasom 
at Antennerne «might, perchance, be their nostrils». Værre end denne Fejl er det i visse 
Maader, at han lader Tarmkanalen ende i Spidsen af Aanderoret, en Fejl, som synes at 
være kommet ind ved den fuldt berettigede, men her uheldige Bestræbelse efter at bringe 
Sammenhæng mellem de virkelig seete Tegninger og Linjer. Paa Figuren ender nemlig den 
virkelige Tarmkanal med syvende Bagkropsled, idet den jo ogsaa her træder mere tilbage 
og ikke saa let sees fra Dyrets Overside, indtil den munder ud i sidste eller niende Led. 
Men at den i Virkeligheden ikke kunde ende i syvende Led, maatte jo være Forfatteren 
tydeligt, og da tilmed Trachee-Længdestammerne i ottende Led samtidigt blive tydeligere, 
betragter han Mellemrummet mellem disse Længdestammer i ottende Led og i Aanderøret 
som Fortsættelse af Tarmkanalen. Naturligvis er det herved blevet nødvendigt for Hooke 
at hjælpe sin Tegning lidt efter, navnlig i Begyndelsen af ottende Led. At de supponerede 
Tarmvægge i ottende Led og i Aanderøret vare Enderne af Tracheesystemet, vidste han 
ikke, men at der overhovedet hos Insekterne fandtes noget saadant System, vidste han 
heller ikke (Hvirveldyrene have jo ikke dette, hvorledes skulde saa andre Dyr have det?). 
Ham saa bekjendte Livsyttringer, som Hjertets Slag og Tarmkanalens peristaltiske Bevægelse, 
vil han derimod have seet igjennem Huden. Larvens Næring angives at være Vand eller 
dettes nærende Partikler. «I have often observ'd them to feed on water, or some imper- 
ceptible nutritive substance in it», 1. c. p. 185. Foruden Fremstillingen af Larvens alminde- 


lige Stilling og dens Bevægelse i Vandet, taler han ogsåa om specielle Bevægelser, saaledes 


1) Jfr. med Hensyn til Aristoteles min Omtale af denne Forfatters Fremstilling af en Myggelarves Ud- 
vikling i det Følgende, under Chironomus. 


jui 379 


om den, hvorved den er i Stand til at bevæge sig ned imod Bunden «ved at æde sig fremad 
med Hovedet nedad» |. €. p. 187: «it was able to move it self downwards very gently towards 
the bottom, and did, as’t were, eat up its way through the water». Fremstillingen af Pup- 
pen, Schem. XXVII. Fig. 2, er endel uheldigere, idet baade Spidsen af Bagkroppen er 
fremstillet unaturligt bojet sammen, og hele Bagkroppen er bojet op i en gal Retning, 
nemlig tilbage langs Oversiden af Bryststykke og Hoved, saaledes som han angiver ved de 
punkterede Linjer paa Figuren. Men paa den anden Side fremstiller Hooke tydeligt, hvor- 
ledes Myggen forlader sin Puppehud: «I found that the head and body of a Gnat began 
to appear and stand cleer above the surface, and by degrees it drew out its legs, first the 
two formost, then the other, at length its whole body perfect and entire appear’ d out of 
the husk (which is left in the water) standing on its leggs upon the top of the water», 
l. c. p. 187—88. 

I den folgende Observation, Observ. XILV. Of the tufted Brush-horn’d Gnat, be- 
skriver og afbilder Hooke Hannen, og i den næstfølgende, Observ. XLV. Of the great Belly’d 
Gnat or female Gnat, Hunnen til samme (?) Art Myg; kun er det ikke en Culex, men en 
Chironomus. Hooke siger dog heller ikke, at det er de samme Myg, som kom ud af de i 
den forste Observation omhandlede Pupper, men hans Ord ere: «This little creature was 
one of those multitude that fill our English air all the time that warm weather lasts, and is 
exactly of the shape of that I observed to be generated and hatch’d out of those little Insects 
that wriggle up and down in Rain-water», |. c. p. 193, men paa den anden Side mener han 
rigtignok, at hvis de ikke ere fremkomne af andre Vandlarver, forskjellige fra den afbildede, 
saa er de muligen kun omændrede Former af de Dyr, han saae komme ud af Pupperne, 
thi som han siger, |. c.p. 194: «So may it be with these most curious Engines of Insect's 
bodies; the Allwise God of Nature, may have so ordered and disposed the little Automatons, 
that when nourished, acted, or enlivened by thise cause, they produce one kind of effect, 
or animate shape, when by another they act quite another way, and another animal is pro- 
duced». Storrelsen af de afbildede Myg er over 9 Tommer. 

Jac. Wacxer har, efter Munddelene og Insektets Blodsugen at domme, ved Imago 
havt en Culex for Oje. Mere tvivlsomt er det, om Æglægningen ogsaa skal henføres til 
en Culex; den angives at finde saaledes Sted: «Insectum hoc tempore autumnali sperma 
suum sive ovula minuta & flava, herbis palustribus & aquaticis uti Potamogeto, Nymphææ 
& c. ordinata serie affigit» 1. c. p.219. Hvad der siges om Larven maa sikkert henføres til 
en Chironomus-Larve, jfr. det Folgende, hvor jeg saa atter kommer tilbage til dette Sted. 

I sin oprindeligt i Brevform paa Italiensk skrevne Beretning") om Myggens Udvik- 


1) Den fuldstændige Titel i Ephemeriderne lyder saaledes: Experimenta circa Culicum generationem à 
Petro Paulo à Sangallo, Florentino, facta, atque ad Ill. Dn. Franciscum Redum perseripta, Florentiæ 
48* 


380 12 


ling har Sax Garro efter en dramatisk og lærd Indledning givet en statistisk Fremstilling 
af den Tid, Udviklingen tager, og de vigtigste Trek af Larvens og Puppens Levemaade samt 
af Myggens Udkrybning af Puppehuden. I een Henseende kommer han et godt Stykke 
længere end Hooke, idet han ikke maa lade sig nøje med at opstille Ægs Tilstedeværelse 
som en Mulighed eller Nødvendighed, men har seet Larverne krybe ud af de i Form af 
Baade, «navicule», samlede Æggeklumper. Hvad han iøvrigt skriver om, at Vandet, hvori 
Larverne leve, helst ikke maa være altfor rent eller klart, er ganske rigtigt, men at en Til- 
sætning af rød Vin er det ypperste Middel til at fremme Dyrenes Udvikling, til at gjøre 
Vandet mere «verminosum», såa at det sikrere «verminiscat», er vistnok ikke fuldt paa- 
lideligt. Uagtet al sin efter Datidens Begreb pyntelige Brede og Vidtløftighed er Texten 
langt at foretrække for Afbildningerne. Man betragte blot Hanmyggens Ben baade i og 
for sig og i Sammenligning med Hunnens, Fig. 1 og 2. Puppen, Fig. 3, ligner ogsaa 
nærmest, hvad Forkroppen angaaer, en Bulbider med laadne, strittende Øren; Larven, Fig. 4, 
ligner egentligt ingen Larve, som jeg kjender: Hoved og Krop minde om Anopheles-Larvens 
tilsvarende Dele, men den dobbelte Svømmehale gjenfindes ikke hos nogen Larve, jeg kjen- 
der (rimeligvis skal den forestille Larvens Analring). Aandereret, »antennula», er langt og 
tyndt og dybt kløvet i Spidsen. Endelig fremstiller Fig. 5 en Æggeklump, men denne 
Klump ligner mest, naar den blot ikke havde saa mange Led, Bagkroppen af en Ichneumon, 
seet fra Siden. Maaske ere Figurerne et Tilleg, som er kommet til i Ephemeriderne; thi 
Réaumur, som citerer den originale italienske Udgave af denne Afhandling, taler kun om, 
at Mons. Pierre Paul Sangallo har beskrevet Baadens Form, dog er det ogsaa muligt, at 
Réaumurs Citat kun er grundet paa Bonannis Uddrag af San Gallos Afhandling; videre kan 
jeg ikke komme, da jeg hverken har seet Original-Udgaven eller det her omtalte Uddrag. 
SwammerDam fortæller i Historia insectorum, hvorledes han først af den reformerte 
Præst i Saumur, Duisseaus, er blevet gjort opmærksom paa Myggens Yngel, og giver der- 
næst en Fremstilling af en Culex i dens tre Udviklingstrin, ligesom han ogsaa afbilder dem 
paa Tab. II—IIl. Med Hensyn til Larvens Vedhængen ved Vandskorpen, gjør han den 
rigtige Bemærkning, at den bæres af Vandskorpen (ligesom en Naal kan flyde paa denne) 
ved at den hule Spids af Aanderøret, som stikker op gjennem den, aldrig bliver vaad; og 
han føjer til, at naar denne «pars caudæ», som han kalder Aanderøret, endeligt en Gang 
bliver vaad, bringer Larven det atter i Orden med sin Mund, ligesom Vandfuglene med 
Næbet ordne Fjerene og smøre dem med Gumpekjertlens Olje. Med Hensyn til Aande- 
drætsredskaberne var Swammerdam endnu paa den Tid vildfarende; thi ikke blot fortæller 
han, at han har seet Larven sandsynligvis snappe Luft med Munden: »Subinde hoc insectum, 


Anno 1679. Italico sermone edita, nunc Latinitate donata, atque ab Exc. D. D. Josepho Lanzone 
Professore & Protomedico Ferrariensi communicata. 


EU 


13 381 


forte ad hauriendum aérem conspeximus extulisse caput extra aquas», Il. c. p. 97, og lader 
deres Tracheer udmunde ved Brystet: «conspicere tibi licet binas venas, circa thoracem 
oriundas», l.c.p.97, men han kalder Puppens Nakkerør Antenner, svarende til Larvens 
Antenner, rigtignok antagende, at de have samme Brug som Larvens Aanderør: «Antennæ, 
que antea in vermiculo arcuate erant, heic (0: Puppen) eandem usum habent, quam in 
vermiculo cauda aérifera», 1. c. p.98. Man seer, at Swammerdam sætter en vis Forbindelse 
mellem Aanderøret og Aandedrættet: «Ad extremitatem hujus caudæ bullulas quasdam vides», 
l. c. p. 97, men dette forhindrer ham ikke i at betragte Aanderøret som temmelig overflødigt: 
«Cauda hæc vermiculi proprie ad essentiam Insecti non pertinet, sed ad bene esse», thi 
«cum exuviis et illam caudam omnino amittit», I. c. p.98. Denne Betragtning er dog noget 
forunderlig, og vi see ogsaa, hvorledes Reaumur, |. c. p. 609—10, tager Swammerdam den 
meget ilde op. Puppens virkelige Anlenner har Swammerdam ikke seet, eller han har regnet 
dem med til Benene: «sub quibus (9: Nakkerørene) observare licet pediculos mirifice con- 
tortuplicatos inter et sub alas», I. c. p. 99. 

I den af Boerhave 1737 udgivne Bybel der natuure, der for en stor Del kun er en 
ny, men baade med Hensyn til Text og Figurer forøget Udgave af Swammerdams Historia 
insectorum generalis, ere adskillige af Urigtighederne, navnlig af de physiologiske, rettede 
(mon af Boerhave?); saaledes siges der nu om Larven (p. 145 i den tydske Udgave af 1758), 
at «Dieser Wurm holet also . .. den Athem durch seinen Schwanz», og om Nakkerørene 
hedder det, I. c. p. 146: «Oben am Kopfe siehet man obenbeschriebenes Rhörhörngen ii 
(de kaldes heller ikke længere «antennæ»), an welchen nunmehro das Püpgen von der Ober- 
flache des Wassers abhangt, und durch welches es Luft schöpfet». 

Den neste Afhandling, vi skulle omtale, er af Revısrıas; den er temmelig kort, meget 
ubetydelig og fejlagtig, ja kommer os egentligt her ikke ved, uden forsaavidt som der maa 
gjores opmærksom paa, at den af Reviglias omtalte og afbildede Myggelarve er et højst 
gaadefuldt Dyr, umulig at henfore nogetsteds. Af Afbildningerne, Fig. 3 og 4, skal man 
heller ikke blive stort klogere. 

Barr's Dissertation bestaaer for den væsentligste Del af, hvad ældre Forfattere have 
skrevet om Myggen og dennes Udviklingshistorie. Hvad han selv har iagttaget med Hensyn 
til Larven, angiver han allerede at have givet korteligt i Miscellaneis Phys. Med. Mathem. 
1727 M. Majo Artic. 4, og gjengiver det her noget udførligere i Cap.2 212. Fremstillingen 
er dog ikke synderlig indgaaende, og jeg skal kun anføre, at han omtaler, at «ovula ila 
invicem cohærebant, ut formam lunulæ, seu dimidii annuli referrent». Af Larven giver hans 
Fig. I en taalelig Afbildning. Med Hensyn til ældre Forfattere, saasom til Goedart og 
Derham, har Barth vistnok altfor let troet, at det var Slægten Culex, hvis Arter omhand- 
ledes, og jeg vil saaledes under Chironomus, Corethra og Ceratopogon faae Lejlighed til at 


382 14 


citere de to her nævnte Forfattere, og til disse Mygge-Slægter mener jeg ogsaa, at de af 
Barth anførte Citater maae henføres. 

Saa meget vigtigere er derimod den næste Forfatter, Réaumur, hvis Fremstilling af 
Dyret i dets forskjellige Udviklingsstadier, tilligemed de herhen hørende Afbildninger, er den 
vigtigste om ikke ofte den eneste Kilde for de følgende, utallige populære Behandlinger af 
Myggens Liv. Hvad Arten angaar, saa er det sikkert, at de omhandlede og afbildede Larver 
høre en Culex til; men ligesaa sikkert er det ogsaa, al af det fuldkomne Insekt de fleste 
Afbildninger (saaledes af Hunnen i dens stikkende Stilling) høre en Anopheles til! Jeg 
anseer saaledes Pl. 41, Fig.2, 4, 5, 6, 7; PI. 42, Fig. 5 for sikkert at være Hoveder af en 
Anopheles-Hun; hvorimod Pl. 41 Fig. 3; PI. 42 Fig. I, 6, 7, sikkert fremstille Hovedet af en 
-Culex-Hun. Pl. 39 Fig. 1 (og 2) ere sandsynligvis en Anopheles-Hun med afstumpede Kjæbe- 
palper, hvorimod Detaille-Tegningerne, Pl. 40 Fig. 6—11, ere at henføre til en Culex; men 
at den paa samme Plade afbildede Mygge-Han, Fig. 1 og 2, derfor ogsaa er en Culex, er 
langtfra sikkert; den forekommer mig snarere at vere en Anopheles. PI. 41, Fig. 1 er vist- 
nok kun en lidt ændret Reproduction af den nys nævnte Figurs Bryst og Hoved. Det var 
Réaumur fuldt bevidst, at han af Hunmyg havde to Former, og p. 588 udtrykker han end- 
ogsaa sin Forundring i stærke Udtryk: «Si on nous demandoit pourquoi certains cousins 
n'ont pour étui de leur aiguillon qu'un simple tuyau qui peut s’entr’ouvrir presque tout 
le long en dessus, et pourquoi l’étui de la trompe de plusieurs autres cousins a lui-même 
une espece de fourreau, on nous feroit une des questions auxquelles nous ne sommes 
nullement en état de satisfaire». Réaumur vidste ikke, at Forklaringen var den, at der 
blandt Myggene findes to nærstaaende Slegter, af hvilke, hos Hunnen, kun den enes Kjæbe- 
palper ere stærkt forlængede (hos Anopheles) og som Blade i en Skede kunne omgive 
Snabelens Ror. Hvad de afbildede Pupper, Plade 43, Fig. 6—12, angaaer, saa er det van- 
skeligt at afgjore efter Tegningen, om det er en Anopheles eller en Culex, man har for 


1) Linné sondrede allerede i 1746, i den første Udgave af Fauna Suecica, mellem Réaumuis Figurer 
saaledes, at han henforte alle Figurerne paa Pl. 43 og 44 til sin Culex Nr.1116 og Fig. 1 og 2 paa PI. 40 til 
Culex Nr. 1115, og saaledes citeres gjennem alle Linnés folgende Skrifter og gjennem Fabricius’ de her 
nævnte Figurer til Culex pipiens og bifurcatus; men da Meigen i sit Hovedværk, System. Beschreib. 
all. europ. zweifl. Ins., opstillede Slægten Anopheles for Culex bifurcatus og nærstaaende Former, 
bortkastede han her det af Linné indforte Citat af Reaumur, men lod det blive staaende uforandret 
for Culex pipiens. Meigen blev heri efterfulgt af Zetterstedt og Schiner. Linné siger yderligere om 
den første Art, Nr. 1115, den senere Anopheles, at den ikke stikker: »Culex non vulnerat», og her- 
efter er Slægten Anopheles fredlyst indtil de seneste Dage; Schiner, Fauna Austriaca. Diptera II. 
p. 625: «doch ist mir nicht bekannt, dass die Weibchen Blut saugen». Af de i Texten anforte syno- 
nymistiske Forklaringer vil det derimod fremgaa, at allerede Réaumur har seet og afbildet en 
Anopheles-Art som stikkende. Selv har jeg ogsaa en Midsommerdag grebet en Anopheles-Hun paa 
fersk Gjerning. 


15 383 


sig; de smallere, mere kantede Svommeblade i Enden af Bagkroppen tyde paa Anopheles- 
Arter, saaledes som jeg har kjendt og afbildet dem. 

Af Réaumurs forskjellige Bemærkninger om Levemaaden skal jeg kun fremdrage, 
at han fremhæver den længere Tid, som Larven kan opholde sig paa Bunden af Vandet, 
naar den ikke finder Næring nok i Overfladen. |. c. p. 603—4, og at Larven ved Hudskifte 
kryber ud af den gamle Hud gjennem en Lengdespalte langs Ryggen af Brystet og de to 
første Bagkropsled, I. c. p. 605. Efter Kartheusermunken Dom Allou’s skriftlige Optegnelser 
angiver Réaumur Antallet af disse Hudskiftninger til fire, alle findende Sted i Lobet af 2—3 
Uger, |. c. p. 605—6; ved den fjerde Hudskiftning kommer saa endeligt Puppen frem. 
Réaumur anseer Larvens ottende Bagkropsled for sidste Led, og sidste Led eller Analleddet 
kaldes ikkun tuyau, hvilken Benævnelse ogsaa bruges om Aanderoret («le tuyau de respi- 
ration qu'il avait à sa partie postérieure, qu'il recevoit ou qu'il chassoit lair», |. c. p. 609). 
Tidslængden af Forvandlingen, fra Larvens Udkryben af Ægget til Myggens Fremkomst, 
angives efter Dom Allou fra 11—12 Dage til 4 Uger; Myggens Fremkomst siges at skee 
paa hver Tid af Dagen, dog som oftest henimod Middag. Réaumur har nojagtigt beskrevet, 
hvorledes Imago bryder Puppehuden «en gonflant les parties intérieures et antérieures de 
son corps», I. c. p. 610, og hvorledes denne skyder sig op af Puppehuden «en se contrac- 
tant un peu et s’allongeant ensuite», 1. c. p. 611. Han ligner dernæst Puppehuden med 
en Baad og Imago med Baadens Mast, jfr. ogsaa den vel bekjendte og ofte reproducerede 
Afbildning heraf, PI. 44, Fig. 9—10. Fremstillingen af denne Akt og af Fremgangsmaaden 
med Hunnens Æglægning, hvorledes denne samler og ordner de udstødte Æg mellem 
Bagbenene, PI. 44, Fig. 11—12, og hvorledes Larverne krybe ud af Æggenes brede, nedad- 
vendte Ende, here til de fortrinligste Dele af Réaumurs Afhandling. Selve den farefulde 
Udkrybning angives at vare een Minut, og i Æggeklumperne siges der at vere 250—350 Æg. 

Som man kunde vente af Levermürrer’s Gemüths- und Augen-Belustigungen inde- 
holde hans Bidrag til Udviklingshistorien af der «Schnackenwurm, ein Schlamwasser Insekt», 
Intet, og største Delen af Texten er hentet fra Swammerdam. Paa Tab. LXXIX fremstilles 
Larve og Puppe samt Han og Hun af en Culex, og af disse Figurer er Larven sine 11 
Quarter lang, ligesom ogsaa Puppen er stærkt forstørret. Men Tegningen er maadelig: 
Larvens (b) Antenner ere gaffeldelte, Aanderoret er en umiddelbar Proces af ottende Bag- 
kropsled, og Analleddet er deelt i tre nogenlunde lige store Led o.s. v. 

Jogzor behandler i sit 36. Cap. «Nouvelles découvertes d’Animaux trouvés dans une 
Infusion d’amadou (Fyrsvamp)», et Insekt, som han giver Navn efter dets «første Opdager», 
de Malezieu. Baade efter Beskrivelse og Afbildning er «le Malezieu» ikke andet end en 
Culex-Larve og Puppe. Med eller, vel rettere, efter Hooke kalder han Antennerne hos 
Larven for Næseboer: «peut-être que sont ses narines»; og overhovedet synes Texten for 
en stor Del al vere en Bearbejdelse af Hooke’s Text, uden at Joblot selv eller Udgiveren 


384 16 


af anden Udgave dog har gjort sig den Ulejlighed at anfore denne Forfatter; ja undertiden 
beholdes endogsaa fra Hooke Talen i forste Person, hvor denne gamle Forfatters egne 
lagttagelser gjengives, næsten i Oversættelse, jfr. Stykket «La posture» etc. I. c. p.98. Lojer- 
ligt Iyder det ialfald, at Joblot, efter saaledes at have kjendt og benyttet Hooke, kan sige: 
«Si je suis descendu dans un grand détail par rapport à la transmutation de plusieurs de 
ces petits animaux que j'ai observés c'est parce que je n’ai encore trouvé personne qui 
l'ait fait», 1. c. p. 99. Figurerne ere langtfra heldige; saaledes har hans 5 jævnsides stillede 
Larvefigurer enten 6, 7, 8 eller 9 Led i Bagkroppen. 

Grorrroy støtter sig i sin Fremstilling væsentligt til Réaumur, til hvem han iøvrigt 
ogsaa henviser for at faae nojere Underretning, og hans Fremstilling synes heller ikke at 
indeholde noget synderligt Originalt, ligesom Afbildningerne ere faa og maadelige. Dog 
skal jeg anføre, at han setter Varigheden af Puppestanden til 6 à 8 Dage, og at han urig- 
tigt siger om Larvens Nering, at denne «se nourrit de monocles et autres petits insectes 
aquatiques», 1. c. p. 574. 

I Modsætning til Réaumurs Fremstilling falder De GeeEr’s noget tarvelig ud, og han 
indskrænker sig ogsaa nærmest til en Beskrivelse af Larvens og Puppens Farve og Børster; 
ellers lære vi ikke noget synderligt Nyt. Kun kan bemærkes, at han angiver Varigheden af 
Puppehvilen til 3 Dage «du bout de trois jours, les Cousins sortirent chez moi de leurs 
nymphes», 1. c. p.322. De paa Pl. 17 givne Figurer henhere alle til Culex. 

SLABBER’S Stykke om Myggelarven, «Wurm von der Singschnacke», er ikke meget 
betydeligt, og dets originale Del udgjares væsentligst af Beskrivelsen af Larven. Den stærkt 
colorerede Afbildning af Larven, Tab. XV, Fig. 2 (og 1), er ikke heldig; men mindst heldig 
er dog Fremstillingen af Analleddet, der synes at være klovet eller dybt furet og ender med 
2 temmelig lange og smalle Hudblade; i Texten hedder det, |. c. p. 74: «darunter man die 
10te Abtheilung, welche sich in zwey Theile vertheilt, siehetv. I en Anmerkning tilføjer 
Oversætteren, Müller, den charakteristiske Oplysning, at naar man hindrer Larven i at 
stikke Spidsen af Aanderoret til Vandskorpen, vil den efter forskjellige forgjæves Forseg 
synke tilbunds og inden kort Tid omkomme. Slabbers Slutnings-Bemærkning om, hvorfor 
han har ladet Larven afbilde. er ret original og — den interessanteste i det hele Stykke: 
«es ist allein um derwillen geschehen, weil ich ihn in Salzwasser fand und weil er mir 
fremd vorkam»; thi Myggelarverne hore jo hjemme i fersk Vand. 

Kreemann’s Fremstilling er ligesom Titlen paa hans Afhandling") noget bred, men 
iovrigt fortræffelig og viser tydeligt grundige, selvstændige lagttagelser, befrugtede af Studium 


!) Den fuldstendige Titel lyder saaledes: Ein Waszer-Insect oder Wurm ohne Füsze, nebst deszen 
Verwandlung in einen Schnacken, welcher einen langen und harten Saugstachel hat; oder ein zu 
einer neuen und solehen Clasze gehöriger Waszerwurm, deren Würmer keine Füsze haben und sich 
in Puppen und zweygeflügelte Insecten verwandeln. 


17 | 385 


af Réaumur og ældre Forfattere, og desuden ham selv som opildnet af patriotiske Følelser. 
lovrigt skal jeg fremhæve folgende Punkter: Æggenes Antal siges at være i Almindelighed 
300, sjældent en 400, I. c. p. 129 — naar Vejret er varmt, krybe Larverne ud efter 3 Dages 
Forløb, idet de bryde Æggets Laag op med Hovedet; deres Næring bestaaer af Slam, |. c. 
p. 131 — den spæde Larve har uforholdsmæssigt stort Hoved, |. c. p. 132 — som Larve 
skifter den 3 Gange Hud og bruger 4 Uger eller mere til sin Udvikling, 1. c. p. 133 — 
Aanderoret, »die Luftröhre», har i Spidsen 5 smaa, tilspidsede Flige, «Theile», hvormed 
Larven, naar den er under Vandet, kan lukke for dette; ved Vandets Overflade kan den 
blive hængende vel et Qvarters Tid; Aanderoret synes at besidde en oljeagtig Materie, men 
kommer der alligevel Vand ned i Roret, soger Larven at presse det ud med sin Mund; 
skal Larven forvandle sig til Puppe, tommer den sine Exkrementer ud, bliver lysere og 
hænger vel en halv Time i Vandskorpen, |. c. p. 157 — Fremkomsten af et Par smaa, sorte- 
brune Pletter eller Vorter paa Brystet er det sikreste Tegn paa, at Forvandlingen stunder 
til; endeligt begynder Forvandlingen (til Puppe) med at «die stark aufgeschwollene Brust 
berstet», og den skeer i Løbet af en Minut, 1. c. p. 138 — Kleemann dadler Swammerdam, 
fordi denne i Bibel der Natur (p. 146) lader Puppens Nakkeror fremstaa af Larvens Anten- 
ner («aus den Fühlspitzen entstehen»), men han glemmer eller veed ikke, at Swammerdams 
Yttring her er en Levning fra et tidligere Standpunkt (Histor. insect. gener.), da han antog 
Larvens Antenner for at være Aanderedskaber; selv mener Kleemann, at Nakkerorene bruges 
lil at aande med, om han end ikke har seet, at de kunne lukkes under Vandet, 1. c. p. {39 
— Puppen kan bevæge sig hurtigere end Larven (modsat Ledermüllers Angivelse); er Vejret 
ikke for raat eller koldt, kommer Myggen frem efter 3 Dages Puppehvile, 1. ec. p. 140 — 
naar Udkrybningen af Puppehuden nærmer sig, bliver Puppen ganske sortebrun, og de 
grønne Øjne mere hvælvede; Udkrybningen siges at foregaa «mittelst einiger Stösze, die er 
sich giebt, und zwischen denen er jedesmal etwas ausruhet»; den udkrybende Myg bevæger 
Snabelen, «Saugstachel», og Folehornene gjentagne Gange, stikker forst Forbenene, dernæst 
Mellembenene forsigtigt i Vejret; naar alle Ben ere terre, bevæger den Vingerne «ver- 
schiedenmalen», |. c. p. 141 — Larverne antages at overvintre uden at tage Føde til sig og 
forvandle sig forst om Foraaret; en Myggehan, taget i Marts, kunde han ikke antage for 
overvintret, I. c. p. 148 (Antagelsen af Larvens Overvintring er vistnok urigtig). 

Rosıeau-Desvomy har i sit Forsøg til Myggenes Naturhistorie ogsaa afhandlet deres 
Udviklingshistorie. Jeg har ikke seet selve Afhandlingen, men kun et Udtog i Isis f. 1832, 
men at domme herefter er der ikke noget Nyt i denne Del, som alene vedkommer os her; 
jeg har kun optegnet den Sætning: «Durch den Leib laufen 2 Luftrörchen, die hinter dem 
6ten Bauchringel in eine verschmelzen» (Isis p. 471); to saadanne Fejl i een Sætning tyde 
ikke paa noget Godt. 

Gitcarıstr har givet Beskrivelsen af Udviklingen af en ostindisk Myg, Musquito, som 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 4. 19 


386 18 


at dømme efter det af Larven givne Stentryk maa vere en Culex eller en meget nærstaaende 
Form; Puppen, Fig. 2, seer noget mere forskjellig, men ikke helt naturtro ud; dog kan 
det vel vere, at den skal forestille en Culex. Der beskrives Klumper af Æg, alle staaende 
paa Spidsen og i Antal af ikke mindre end Hundrede i Klumpen. Den nys udkrobne Larve 
afbildes, men Trachee-Lengdestammerne i Brystet betegnes som Hjertets Vægge, og fra 
Hjertet skulle saa to Blodkar («blood-vessels» 9: Trachee-Længdestammerne) gaa til Enden 
af Aanderoret (»the elongation»): «Between the heart, in the thorax, and the extremity of 
this singular elongation, an active sanguiferous circulation is to be observed; in all proba- 
bility, therefore, it is the seat of the lungs or gills», hedder det dernest; denne Forklaring 
rober saare megen Uvidenhed i Insekternes Anatomi og Physiologi. Beskrivelsen af Larvens 
Bevegelser, dens Nering og Frembringen af Hvirvelstromme passer ganske paa Culex-Larven. 
Med Hensyn til Puppen bemerkes, at «Lungerne eller Gjællerne», som for havde deres 
Sede i Aanderoret, nu findes i Brystet, og at de have Nakkerorene til Forbindelsesvej med 
den atmospheriske Luft; naar de dukke under Vandet, tage de en Luftblere med sig, 
hengende i Nakkererenes Ende. Larvestanden skal vare 21 Dage, men Puppestanden kun 
48 Timer. 

Harter’s Bidrag til Myggelarvens Anatomi er just ikke meget indtrængende; jeg vil 
kun fremheve, at han tyder de hos Myggelarver i Almindelighed forekommende 4 Anal- 
grifler som «Tracheenkiemen»; men selv hos Culex, hvor de ere usædvanligt store, ere de 
dog altfor ubetydelige til at kunne antages at spille nogen Rolle ved Aandedrættet, hvad 
enten man nu betragter dem som Tracheegjæller, eller, hvad der er rimeligere, som simple 
Gjæller. De ere altid 4 i Tallet, saa at Hallers Udtryk: «Sie stehen meist zu zweien bis 
vieren», ikke er correct. Endelig skal jeg bemerke, at Antallet af Papiller eller Flige i 
Enden af Aanderoret ikke er 3, men 5. 

Macavarr, Frankrigs første Dipterolog, har ogsaa givet en tildels paa egne Under- 
sogelser støttet Fremstilling af Culex-Larvens Udvikling. Noget synderligt værdifuldt frem- 
kommer dog ikke, men jeg skal kun fremhæve den Urigtighed, at han tilskriver Borsterne 
eller Borsteknipperne paa Larvens Bryststykke og Bagkrop Function af Gjeller, naar Dyret 
dykker under Vandet: «je soupconne qu'elle respire alors au moyen des touffes de poils 
dont le thorax et les segmens de l’abdomen sont garnis, et qui peuvent remplir les fonc- 
tions d’ouis», 1. c. p. 214. 

FriepexreLs Afhandling har jeg ikke kunnet skaffe mig; men efter Bertkau’s Er- 
klæring, Ber. d. Entomol. f. 1879, p. 167, skal han berette om, hvorledes Larver til Culex 
annulipes ogsaa leve i det sterkt saltholdige Vand i Saltdammene ved Salzburg og der 
nære sig af de af Berosus dræbte Artemier. Allerede Slabber har, som anfert, talt om 
Myggelarver, som leve i Salt- eller Brakvand. 


19 | 387 


Biologi. 


Naar man tager de mange Undersogelser i Betragtning, som i Labet af mer end 
To Hundrede Aar ere anstillede over Culex-Larvernes Levemaade og Udvikling, vil det let 
kunne forstaaes, at der ikke kan være meget Nyt for mig at foje til. Noget er der dog, 
og da det under den Kamp, hvorunder vor Kundskab til disse Dyr, saa at sige, har arbejdet 
sig frem, kan vere vel ogsaa delvis at kunne bekrefte det allerede een Gang bekjendte, 
vil jeg give Alt, hvad jeg har iagttaget. 

Culex-Larver findes hele Landet over, paa al Slags Bund, saavel Skov- som Hede- 
og Marskbund; men Vandet, hvori de leve, maa ingen Strom have eller ogsaa kun ganske 
ringe. De synes at foretrække mindre Vandhuller med rig og raadnende Plantevext, saasom 
Skovhuller eller smaa Veld; Dybden af Vandet er ofte kun meget ringe, ligesom Overfladen 
ofte nesten ganske er dekket af Lov med kun faa aabne Pletter. 

Larverne forekomme hele Aaret igjennem fra det tidlige Foraar af, saasnart Vandet 
er frit for Isleg, lige til det sene Efteraar eller Vinter; men de Larver, som ikke naae til 
Forpupningen, og de Pupper, som ikke naae til Forvandling, inden Vinteren kommer med 
sit Isleg, dee ufravigeligt. Allerede i den første Trediedel af Marts, d.9. Marts 1885, har 
jeg i det Frie, i Dyrehaven, truffet spæde Larver. Selv har jeg hverken seet Æglægningen 
eller Æggene, men allerede Réaumur har jo givet en højst interessant Fremstilling af Æg- 
lægningen, og Æggene eller Æggemasserne ere foruden af Réaumur ogsaa beskrevne af 
San Gallo, Barth og Kleemann. 

Naar Larven kommer ud af Ægget, holder den sig oppe i Vandets øverste Lag og 
flyder her nogen Tid vandret, men snart hefter den sig ved Hjelp af Aanderoret til Vand- 
skorpen, idet Kroppen indtager}en skraa Stilling helt under Vandet med Hovedet nedad. 
Spidsen af Aanderøret danner nemlig en flad Skaal, og Skaalens Størrelse forøges ved de 
5 smaa trekantede Hudflige, som findes i Randen af den. Allerede Swammerdam har i sin 
Historia insectorum sammenstillet Vandskorpens Evne til at bære den ved denne ophængte 
Myggelarve med samme Flades Evne til at bære den paa den hvilende Naal; og i Virkelig- 
heden er ogsaa Vandskorpens Modstand mod at brydes saa stor, at Larven formaaer, dels 
at skride eller glide roligt i sin sædvanlige skraa Stilling frem igjennem Vandet med 
Aanderørets Spids stadigt i Vandskorpen (Bevægelsen foregaaer ved Hjælp af Munddelene), 
dels med den opadkrummede Krop og Hovedet at beskrive en hel Cirkel med Tilheft- 
ningspunktet i Vandskorpen som Centrum. Larven tilbringer uden Sammenligning sin 
længste Tid hængende fast i Vandskorpen, idet den tillige ved Hjælp af sine Munddele 
bringer Vandet i en hvirvlende Bevægelse. Ved disse Vandhvirvler føres nu Smaapartikler 
i Vandet henimod Munden og sluges af Larven, og Larvens Graadighed er saa stor, og 
Næringsværdien af de slugte Stoffer saa ringe, at Exkrementernes Mængde bliver meget 

49" 


388 | 20 


stor, hvorfor det ogsaa horer til de almindelige Syn, at see Exkrementerne udkastes gjen- 
nem Gatboret i Spidsen af det næsten vandret liggende Analled!). Dog Larven kan ikke 
lade sig naje med den Fode, som findes i Vandets Overflade, og som den i den nys omtalte 
hengende Stilling kan hvirvle ind i Munden paa sig, og man seer den derfor ofte vride og 
krumme sig sterkt, idet den med Mundaabningen og dens Hvirvelborster følger Overfladen 
af dens egen Krop og da navnlig af Aanderoret, for ligesom at afskrabe, afplukke eller 
afviske de Dyre- og Planteorganismer, som have sat sig fast paa eller ere fremvoxede paa 
dens egen Overhud. Swammerdam, Bibl. Nat. p. 145, sætter derimod disse Bevægelser i 
Forbindelse med Aanderorets Evne til at holde Larven hengende i Vandskorpen, for at 
«restituere» dette, og sammenligner dem med Vandfuglenes Pudsen af deres Fjedre og 
disses Indsmoren med Olje. 

Larvens Vegtfylde er paa noget ner den samme som Vandets, og man seer Lar- 
verne snart ligesom synke stille ned ad Bunden til, medens de til andre Tider stige 
langsomt i Vejret, tilsyneladende uden egne Bevægelser, men altid i samme skraa Stilling 
med Hovedet nedad. At denne opadgaaende eller nedadgaaende Bevegelse for en stor Deel 
skyldes eller kan skyldes Hvirvelorganernes Virksomhed, forstaaes let, naar man seer 
Larverne skride nedad langs Glassets Vægge under hastige og stadige Hvirvler af disse 
Organer. Men et andet Moment, som har Indflydelse paa Larvens Vægtfylde, er ogsaa den 
Hastighed, hvormed Larven har sluppet sit Hold i Vandskorpen, eller, hvad der følger heraf, 
den større eller mindre Luftblære, som Larven ved denne Lejlighed har taget med sig 
under Nedstigningen. Som oftest ere altsaa Larvernes Bevægelser stilfærdige og rolige, 
hvad enten de stige eller synke nedad for at tage Føde til sig, eller de hæve sig opad for 
Aandedrættets og Hvilens Skyld. Men ikke sjældent kommer der Fart i Larverne, naar de 
forstyrres eller foruroliges, og da vil man see dem fare med stor Voldsomhed i skraa 
Retning nedad Bunden til eller frem og tilbage i Vandet, naar de heller ikke finde Ro paa 
Bunden, idet de hele Tiden bugte Kroppen med stor Hastighed. 

Efter Dom Allou's (Réaumur) og Kleemann’s Iagttagelser skifter Larven 4 eller 3 
Gange Hud, og efterat have forvandlet sig til Puppe, Fig. 11, staaer denne atter i en krum- 
bøjet Stilling tæt under Vandskorpen med den skraat afskaarne Ende af Nakkerørene liggende 
lige i denne, og med de yderste Spidser af Børsterne, «Bærebørsterne», paa Bagkroppens 
forreste Deel ragende op over Vandet, Fig. 11 b; Fig. 15. Dog har den nys udkomne Puppe 


1) Barth, |. c. Cap. II, 2 10, angiver, at en vis Wolfius i sine Tentamina PI. III p. 428, udførligt har 
beskrevet disse Exkrementer som Larvens Æg: «Nec offendere debet, quod suorum vermiculorum 
aliquem ovula parientem Vir celeberrimus (9: Wolfius) vidisse sibi visus est, excretiones enim aliæ, 
quod pace tanti Viri dixerim, esse poterant que putabuntur ovula». lovrigt har jeg ikke kunnet 
udfinde, hvem denne Wolfius eller hans Tentamina ere, og Barth's øvrige Citater tilstede en vis 
Tvivl, om det her citerede Sted nødvendigt angaaer en Culex-Larve. 


21 389 


undertiden Vanskelighed ved at hæve sig op til Vandskorpen og synker snart til Bunds, 
hvor den da omkommer. Rimeligvis er det Luftblæren eller «Flydekuglen», jfr. min Frem- 
stilling af denne under Corethraen, mellem Krop og Vingeskeder, der i saa Tilfælde mangler 
helt eller tildels. Nakkerorene, Fig. 11 aa, ere temmelig korte, firsidigt pyramidedannede, 
med skraat afskaaren Endeflade. Nakkerorenes Endeflade er saaledes forholdsvis meget 
stor, hvorved den afgiver et udmærket Holdepunkt i Vandskorpen for Puppen; men Storrelsen 
fremkalder den tilsyneladende Vanskelighed, at en meget stor Luftblere kunde danne sig, naar 
Nakkerorene pludseligt sænkedes, hvorved Puppens Vegtfylde ligeoverfor Vandet vilde blive 
altfor ringe. Denne tilsyneladende Vanskelighed løses nu paa den Maade, at Nakkerørenes 
indre Vægge ere beklædte med talrige Børster, Fig. 12 og 13, hvilke Børster ydermere paa 
den Del af Væggene, som vende frit opad, løbe sammen knippevis, saa at der herved 
dannes en Mængde Punkter eller Smaaplader, Fig. 12 a; Fig. 14, alle liggende i samme 
Plan, næsten i Flugt med Vandskorpen. Naar nu Puppen kommer op i Vandet og lægger 
Enden af Nakkerørene i Vandskorpen, vil, saaledes som man ved Hjælp af en Loupe ofte 
kan see, en ganske fin Vandhinde lægge sig hen over de smaa Chitinpladers Plan, saaledes 
at der kun fortil bliver en smal Spalte, hvorigjennem den atmosphæriske Luft kommer i 
Forbindelse med Luften i Nakkerørene og derigjennem med Luften i Puppens Tracheesystem. 
Har Puppen ligget nogen Tid oppe, dunster denne Vandhinde bort, men kan jo let atter 
skaffes tilveje, naar Puppen vil og har Ro dertil. En Virkning af denne Vandhinde vil 
være, at Puppen, naar den stiger ned, ikke vil fore saa megen Luft med sig, som den 
vilde gjøre, hvis Nakkerørenes Ende dannede en aaben Skaal; men jo mindre Luftblærerne 
ere, des sværere bliver Puppen, og des lettere kan den holde sig efter Behag nede i Vandet. 

lovrigt ligger Puppen langt fastere i Vandskorpen, end Larven gjør det, idet den 
jo heller ikke har noget at gjøre paa Bunden. Bliver Puppen derimod forstyrret, farer den 
med største Voldsomhed ned i Vandet ad Bunden til, og søger her at holde sig fast ved 
Hjælp af sine Hale- eller Svømmeblade; faaer den ikke fat med Svømmebladene, bliver den 
ved med at fare om i Vandet. Er den kommet til Ro nede i Vandet og atter vil op til 
Overfladen, giver den blot Slip med Svømmebladene og stiger stille og roligt op i Vandet, 
holdende sig i en krum Stilling med Nakkerørene øverst. 

Længden af Puppehvilen er kun kort og angives af De Geer til 3 Døgn, medens 
jeg har fundet den at være mindst 4 Dage, 9—13. Maj 1884; dog gjælder De Geer's Angi- 
velse vistnok, ligesom min, om Puppen i Fangenskab; i fri Tilstand er Puppehvilen vist- 
nok længere eller kan i hvert Tilfælde trække langt længere ud, naar køligt eller raat Vejr 
indtræffer, 

Myggen kryber paa sædvanlig Maade ud af Puppehuden, idet Midtlinien af Mesono- 
tum og Melanotum aabner sig efter den der forekommende Som, og Myggens Mesonotum 
hæver sig eller skyder sig frem gjennem Aabningen og trækker med sig Hovedet og An- 


390 22 


tennerne, halende disse ud af Puppeskederne. Hevningen af Puppehuden og selve Meso- 
notums Fremskyden til Hojde med Vingernes Rod skeer ved Svulmning af denne Kropdel, 
men den følgende Bevægelse, som er jævn og glidende, fremkaldes af Bagkroppens Led, 
som kikkertformigt trække sig ind i hverandre og ud fra hverandre; ved den sidste Bevæ- 
gelse, naar Randene af Bagkropsleddene hos Myggen stede- mod de tilsvarende Dele af 
Puppehuden, skeer Fremskridningen og Loftningen af Myggens Thorax, og denne Loftning 
hæver atter Hoved, Ben og Vinger og drage alle disse Dele ud af deres Skeder. Idet 
Myggen herved stiger lodret i Vejret, kommer den til at staae som en Mast i Puppehuden 
som Baad, saaledes som allerede Réaumur saa smukt har fremstillet, 1. c. p. 612, og afbildet 
det, PI. 44, Fig. 9—10. Som Regel stiger Myggen lodret i Vejret, men hvis Vejr og Vind 
eller dens Omgivelser volde den Vanskeligheder, bliver Kroppens Stilling ofte mer eller 
mindre skraa; og om Myggen end ikke giver tabt, fordi den kommer til at berore 
Vandfladen med Kroppen, endnu medens Benene og Vingerne ikke ere ude af Skederne, 
saa kan den dog ogsaa i den Grad faae Overballancen eller blive saa stærkt slaaet ned mod 
Vandfladen, at den ikke kan rejse sig og faae Ben og Vinger frie, og i saa Tilfælde om- 
kommer den. Man skulde tro, at ondt Vejr maatte dræbe Myggene i Tusindvis under deres 
Forvandling, men ved Siden af deres Haardhudethed maa man huske paa, at Forvandlingen 
kan skee, naar og paa hvad Tid af Dagen det skal vere, og vistnok opsættes efter Vejret 
og Myggens Lejlighed. 

Udkrybningen tager langt lengere Tid for denne Myg end for de fleste andre, 
navnlig Chironomus’erne, og der kan let gaa en Time eller mere med, inden Stikkemyggen, 
efter Udstodelsen af «Meconiums»-Bl&rerne!), flyver bort fra Vandets Overflade. Som Prøver 
paa den forskjellige Tid, det tager Myggen at komme ud, skal jeg anfore: En Puppe laa 
6 Min. i Vandskorpen, og først efter 5/2 Min. viste der sig et Luftlag under Puppehuden; 
efter andre 8 Min. stod den paa Glassets Sider; i Alt altsaa 14 Min. En anden Myg stod 
efter 17 Min. paa Glassets Sider; den havde brugt 8 Min. 40 Sec. til at faae Vingerne frie 
og 14 Min. 30 Sec. inden den stod paa Forbenene. En tredie Myg tog det 18 Min. 30 Sec. 
at blive helt fri, idet efter 20 Sec. Revnen i Mesonotum var helt aaben, efter 10 Min. 
begge Vinger frie, efter 10 Min. 30 Sec. Forbenene bojede, og efter 13 Min. hvilede den paa 
alle 3 Par Ben, af hvilke dog Bagtarserne endnu vare i Skederne. En fjerde, femte og 
sjette Myg brugte henholdsvis 45, 48 og 64 Min. 44 Sec., inden de bleve ferdige og flej 
bort. Hvad der i de 3 sidste Tilfelde mest forsinkede Myggen, var Udstodelsen af «Me- 
coniums»-Blærerne, som i et Antal af 40—44 udstodtes med Mellemrum af 30—-230 Sec., 
i Reglen dog kun en 40 Sec., undtagen henimod Slutningen, hvor Mellemrummene ofte 
bleve langt større. 


!) Jfr. det Folgende, under Corethra plumicornis. 


23 391 


Tracheesystemet. 


Af Tracheerne er det navnlig Længdestammerne, som udmærke sig ved deres 
overordentlige Førhed, og som optage en meget betydelig Del af Kroppens Rumfang. 
Allerede i Thorax, der hvor andet Led kan antages at begynde, svulme Stammerne nogel 
op, men langt betydeligere bliver Opsvulmningen ved Begyndelsen af tredie Led, og her opnaa 
Stammerne overhovedet deres største Forhed. Forbindelsen mellem Længdestammerne 
er kun saare ringe, og jeg har kun fundet 2 saadanne ganske tynde Forbindelsesgrene, 
begge i Thorax, før Opsvulmningen af Stammerne ret tager fat. Ogsaa Sidegrenene ere 
kun lidet talrige; flest er der i Hoved og Thorax. I Abdomens 7 første Led udgaaer der 
fra hver Længdestamme ud til Siden et kort, temmelig ført Rør, som deler sig i 2 Hoved- 
grene, der atter sende fine Forgreninger om i Kroppen. Men fra Enden af de nys omtalte 
korte Siderør, eller maaske rettere til Enden af dem, gaar der fra den indvendige Side af 
Larvens Overhud en massiv Streng, Sidestrengen, Fig. 9c, om hvilken mere siden. Længde- 
stammerne gaa hver for sig op i Analroret, som de gjennemløbe jævnsides, og i hvis 
Spidse de aabne sig, hver med sin egen, runde, vidtgabende Aabning eller Hul. Disse 
Huller ere dog af langt ringere Vidde end Tracheerorene, idet de indsnævres af en klar 
Hinde, som holdes udspændt ved en Krands af fine Chitinstraaler. I Enden af Analrøret 
findes 5 smaa Klapper eller Hudflige, af hvilke de to største staa samlede ligeoverfor den 
langt mindre, uparrede femte Klap. Lukningen af Tracheerne skeer derved, at Enderne af 
dem samt Klapperne trækkes tilbage lidt ind i Analrøret ved Hjælp af 2 Par Muskler, som 
gaa fra Klappernes Rod gjennem hele Aanderøret ind i ottende Bagkropsled, og en femte lige 
saa lang Muskel, som udgaaer fra Spidsen af det Chitinblad, som udgaaer fra Roden af 
[lapperne og skiller Enderne af de to Tracheerør ad. Aabningen af Tracheesystemet skeer, 
ved at Klapperne og Trachee-Enderne tilligemed dem af Legemets Blodvædske trykkes ud 
af Spidsen af Aanderøret, idet tillige det store Par Klapper trækkes noget tilbage ved den 
korte Muskel, som udgaar fra den Vinkel, hvori de støde sammen, til Spidsen af det før 
omtalte Chitinblad, Fig. 10 c. 

Om Sidestrengene og deres Bygning er ikke stort at sige. Som sædvanlig hos 
Vandmyggelarverne ere det tynde, massive Strenge, der udgaa fra Overhudens indvendige 
Side med en lille Spids Kegle og omgives af et tyndt Cellelag, hvis Kjerner sees at springe 
frem langs Siderne af Strengene, og som iovrigt ere en umiddelbar Fortsættelse af Over- 
hudens Matrix, Fig. 9 c. 

Ved Hudskiftningerne, og da navnlig ved den sidste, ved Forvandlingen til Puppe, 
trækkes Tracheesystemet ikke i sin Helhed ud gjennem Længdestammernes bageste Ende 
ved Roden af Aandereret, men det falder i Stykker efter Antallet af Bagkropsleddene, og 
hvert Stykke, med Undtagelse af det sidste, tages ud ad Kroppens Sider gjennem de Aab- 


392 24 


ninger, som fremkomme i den nye Overhud, ved at de gamle Sidestrenge trækkes igjennem; 
hver Sidestreng tager da sit Stykke af det gamle Tracheesystem med en større eller mindre 
Portion indeslultet Luft med sig. 


Anopheles Meig. 


Chenille aquatique, Joblol, Observations d’hisloire nalurelle, failes avec le microscope elc. éd sec. 
augm. 1754 X. Tom I. Part. 2. Chap. I. p. 121—23, PI. 14, fig. B. 

Diza sp., Brauer, Die Zweiflügler des kaiserlichen Museums zu Wien. III. Systemalische Studien auf 
Grundlage der Dipteren-Larven ele. — Denkschr. d. math.-nalurw. Cl. d. kais. Akad. d. 
Wiss. XLVII. ; 

Nec! Culex claviger, Fischer de Waldheim, Observalions sur quelques Dipteres de la Russie. 
Notice sur la larve du Culex claviger. — Mém. Soc. imp. Nat. Moscou. IV p. 129—40 tab. I. 


I Jostor’s Observation, 1. c., findes et Capitel, saalydende: Description d’un nouveau 
Poisson que j'ai trouvé dans l'eau du bassin de S. Magloire du Fauxbourg S. Jacques à 
Paris, qu'on peut nommer Chenille aquatique, hvori en Myggelarve beskrives, ligesom den 
ogsaa kjendeligt afbildes paa PI. 14 fig. B. Udgiveren af anden Udgave af disse Obser- 
vations henfører med Urette denne Larve til den allerede for af Joblot beskrevne og afbitdede 
Culex-Larve, jfr. hosstaaende Fodnote, hvorimod Joblot selv nermest sammenstiller den med 
— Dognflue-Larven, idet han omtrent begynder med de Ord: «ce nouveau Poisson... est 
bien different de la seconde sauterelle aquatique dont j'ai parlé dans le chapitre 47», 1.c. 
48. Figurerne til «la sauterelle» (Pl. 15) forestiller ogsaa Dognflue-Larver, men uden al 
Skjonhed eller Naturlighed i Tegning her synderligt kan roses. Derimod er saavel Beskri- 
velsen som Figuren af den paagjældende Larve upaaklagelige, omend de 2 Par sidste Anal- 
papiller ere fremstillede parvis sammensmeltede til et forholdsvis for stort Blad. Larvens 
Hud («la nymphe qui l’enveloppe totalement») angives at være meget tynd og gjennemsigtig, 
men formedelst Dyrets brune Farve kunde Intet sees gjennem Huden. Joblot anseer Larven 
for meget sjelden, idet han af denne Form kun har seet det afbildede Individ. 

Brater anforer ingen Grunde til at bestemme den ham af Heeger med Navnet 
Culex sylvaticus (eller nemorosus) sendte Larve som en Dixa. At det ikke var en Culex- 
Larve var let at see, og at det heller ikke kunde vere Fischer's Anopheles, var vel ogsaa 
klart; dog forekommer det mig, at en Sammenligning med Beskrivelsen af Stægers Dixa 
nigra og med De Geers Beskrivelse og Afbildning af Tipula amphibia maatte have viist 
Brauer, at der ikke kunde vere Tale om at henfore bemeldte Larve til Slegten Dixa. Det 


25 393 


er vistnok Troen paa Fischers Paalidelighed, som har bragt Brauer til at oversee det Vink, 
som der ligger i Heegers Bestemmelse af Imago som Culex nemorosus (?), til at henfore 
denne Larve til den i ydre Form Imago saa nærstaaende Slægt Anopheles. fovrigt seer 
jeg af Indledningen til en lille Afhandling af Gercke: «Zur Metamorphose der Dipteren-Gat- 
tung Dixa Meig.» Wien. Entom. Zeit. III. p. 166, at denne min Rettelse allerede maa vere 
godkjendt af Brauer, hvem jeg skriftligt meddelte den, og fra hvem Prof. Mik saa atter maa 
have faaet den, Wien. Entom. Zeit. III. p. 90—94. 

Fischer angives oftere som den, der har beskrevet og afbildet en Anopheles-Larve, 
l.c., idet man holder sig til den i Titlen paa hans Arbejde opforte Artsbenævnelse Culex 
claviger 9: Anopheles bifurcatus, men, jfr. hvad jeg i det Folgende skal meddele under 
Mochlonyx culiciformis, er Anopheles ikke blandt de 3—4 Dipter-Slægter, som han i denne 
lille Afhandling har sammenblandet. 

Endelig anforer allerede Linne, Fauna Suecica, ed. I. p. 327 Nr. 1115, under sin 
forste Culex-Art, der senere har faaet Trivialnavnet A. bifurcatus: «Habitat hujus larva in 
aqua»; dog mere siges der ikke. 


Anopheles maculipennis. 


Larvens, Fig. 20, Grundfarve, er et lyst Græsgront eller Gulgrent; men langs henad 
Ryggens Midtlinje findes en bred, mork, sortagtig Stribe, hvis Midte atter er mer eller 
mindre hvidlig, dog med sex smalle, sorte Tverbaand og fire Par sorte Smaapletter ved 
Bagranden af de forreste Bagkropsled. Hovedet er gult med talrige sorte Spætter. Den 
unge Larve er endel morkere og mere eensfarvet. 

Hovedet, Fig. 21, er af en bred, oval Form, fortil afhugget med lige eller svagt 
indbugtet-Forrand. Tredie Metamers Rygskinne, Fig. 21 a, er stor, rhomboidal, med afskaa- 
ren Forende, og den bærer foran sin Midte en Række af 6 fjerede Borster, af hvilke den 
yderste til hver Side er den største. Anden Metamers Rygskinne, Fig. 21b, er kort og 
bred, med noget convergerende, indbugtede Siderande, og dens Forrand er stærkere chiti- 
niseret og temmelig dybt indbugtet. Fortil berer den lidt bag Forhjornerne, paa hver Side, 
en sterkt viftedannet Borste, hvis Vifte af Straaler er noget længere, men langt faatalligere 
end de nys omtalte Vifteborsters, Fig. 22. Ligesom hos Culex udgaaer der fra dens Under- 
side en tet Pensel af lange Børster, som danne Larvens Hvirvelorgan, Fig. 21 c og 22 bb. 
Første Metamers Rygskinne, Overlæben, Fig. 22 a, er meget lille, tungeformig, i hver Side- 
rand med fire Gruber og tæt besat med temmelig lange Børster. Den udgaaer fra Midten 
af den foregaaende Rygskinne, men er trukket noget tilbage, saa at den skjules af dennes 
Forrand, naar Dyret sees fraoven. 

Øjnene, Fig. 21e, ere store, og danne et langstrakt, noget buet Baand af Oceller, 


hvilket Baand bagtil, paa Hovedets Overside, er trukket ud i en Spids; i den indre Bugt af 
Vidensk. Selsk. Skr,, 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 4. 50 


394 26 


Baandet findes et stort Bieje, Fig. 21 é. Antennerne, Fig. 21 d, ere temmelig korte og 
fine; deres Grundled er langstrakt, svagt kegledannet, med en Række fine Borster paa Inder- 
randen og en lille Vifteborste paa Ydersiden. I Spidsen bærer Grundleddet et Par lange, 
bladdannede Borster foruden et Par lignende, noget kortere og et Par lange, haarfine Borster. 

Munddelene ligne nærmest dem hos Culex, men Hvirvelorganerne ere udviklede i en 
langt hojere Grad end hos denne Slegt. Underlæben, Fig. 24a, er ligeledes simpel, uden 
Vedheng, sterkt chitiniseret; Formen er en langstrakt Trekant, hvis 2 frie Sider ere ind- 
skaarne i faa, men stærke Tender. Forneden dækkes Underlæben af en anden noget smal- 
lere og lidt længere, meget svagere chitiniseret og mindre indskaaret tresidet Plade, Fig. 24b; 
og under denne Plade findes atter en noget kortere, tungeformig, helrandet, svagt chitini- 
seret Plade, Fig.24c. De to sidstnævnte Plader anseer jeg for at hore til anden Metamers 
Bugskinne, og den underste, tungeformige Plade skulde saa vere en simpel Proces eller 
Fremragning af Bugskinnen, medens den takkede Plade skulde vere et Vedheng til Bug- 
skinnen, hvortil jeg rigtignok ikke finder noget tilsvarende hos andre nermere eller fjernere 
staaende Former. Kjæberne, Maxillæ, Fig. 23 b, ere korte og brede, deres Forrand er besat 
med talrige Borster, af hvilke den yderste Rekke ere ganske tynde, bejede i Spidsen. Pal- 
pen, Fig.23c, er kort, kegledannet, ragende med Spidsen lidt frem foran Fligen; paa sin 
Inderrand berer den en kort Borste, som forgrener sig i fine Straaler, og i Spidsen har den 
foruden et Par kortere, trinde Børster og en spids, dolkformet Berste to noget længere, 
afrundede, brede Blade, Fig. 23 c; Fig. 25. Kindbakkerne, Mandibule, Fig. 26, ere meget 
lignende samme Organer hos Culex annulatus, og jeg skal indskrenke mig til at henvise 
til Afbildningen og kun tilføje, at den stærkt chitiniserede Midttand, som seet fraoven seer 
temmelig simpel ud, ved at sees franeden, viser sig at vere delt i tre Tender, som atter 
ere mer eller mindre, svagere eller sterkere indskaarne i deres Inderrand, Fig. 27. 

Bryststykket er betydeligt bredere end langt, nesten som 3:2, noget fladtrykt og 
bærende i Forranden en Række Fjerberster; midt over Bryststykket findes en anden Række 
saadanne Berster, og henimod Bagranden findes endeligt paa hver Side tre meget lengere 
Fjerborster. 

Bagkroppen er trind, tydeligt delt i ni Led, som bagtil aftage i Brede, men tiltage 
noget i Længde. Navnlig de tre forreste Bagkropsled udmærke sig ved de lange Fjerberster, 
som ere indplantede i Siderne, og som i Forbindelse med Bryststykkets bageste Fjerborster 
tjene Dyret som Udliggere eller Ballanceorganer, naar det ligger og flyder i Vandets Over- 
flade. Det 8. Led bærer bagtil paa Oversiden de to smaa, simpelt byggede Spirakler, som 
hver ved sin Muskel kan trækkes tilbage under en Hudfold. 9. Led bærer paa Undersiden 
en kort Række af lange Fjerbørster, som tilsammen danne en Svømmevifte; paa Fig. 28 d 
sees denne Svømmevifte at slikke bagud bag Spidsen af Bagkroppen. De fire Analbørster, 


27 395 


Fig. 28 ce, Fig. 29 ce, ere ikke videre lange, men mangestraalede. Analpapillerne, Fig. 28 bbbb; 
Fig. 29 bb, ere temmelig smækre og spidse. Analkroge fattes. 

Tracheesystemet er langt mindre udviklet end hos Culex, og Længdestammerne ere 
navnlig langt smækrere end hos disse Myggelarver. Desuden savnes her ganske Aanderor, 
og Spiraklerne ligge i selve det 8. Leds Rygflade temmelig langt fra hinanden, Fig. 28 aa. 


Anopheles nigripes. 


Af denne Larve har jeg foruden en Hovedfigur, Fig. 32, givet en Afbildning af den 
venstre Kindbakke fraoven, Fig. 33, og af højre Kindbakke samt af Kjæbepalpen fra den 
indvendige Side, Fig. 34, og vil her nejes med en Henvisning til Sammenligning med de 


tilsvarende Figurer af Anoph. maculipennis. 


Biologi. 

Anopheles-Larven forekommer i stillestaaende eller svagt rindende Vand med stærk 
Vegetation, saavel i Skovegne som Hedeegne; dog ynder den ikke den egentlige, skyggefulde 
Skov, men fordrer Solskin og Lys, hvad ogsaa dens livlige, gresgronne Farve allerede an- 
tyder. Larven overvintrer ikke; men allerede tidligt paa Aaret, i milde Aar fra Midten af 
Marts af, finder man halvvoxne Larver. Ved Midsommers Tid eller noget længere hen paa 
Sommeren finder man andet Hold af voxne Larver, og endelig har jeg i 1882, med det 
meget tidlige Foraar, i Slutningen af Oktober fundet smaa. Larver, som vistnok hørte til et 
tredie Hold; men disse Larver ,kunne ikke antages at have naaet den voxne Alder; thi da 
Larverne ere bundne eller omtrent bundne til Vandets Overflade, maa det forste Isleg have 
dræbt dem. 

Larverne opholde sig altsaa i Vandels Overflade, hvor de ligge og fiyde, med Spid- 
sen af Bagkroppen vendt indad mod Vandbredden eller de Planter, som dække Overfladen. 
Larven ligger da ret ud i Vandet, berorende med Spidsen af Bagkroppen Vandbredden 
eller Planterne, og med Spiraklernes Blade liggende i selve Vandskorpen; største Delen af 
Bagkroppen og den bageste Del af Bryststykket ligger under Vandet, og af denne Del 
af Kroppen kommer kun en Længdeplet paa Forbrystet op til Vandskorpen, men dog ikke 
saa hojt, at den kommer til at ligge tor; endelig holdes Hovedet under Vandskorpen. En 
væsentlig Hjælp til at holde sig i en fast Stilling har Larven i de lange Fjerborster, som 
udgaa fra Siderne af Dyrets Krop, navnlig da fra Bagbrystet og de tre forreste Bagkropsled. 
Larven ligger ofte lang Tid ad Gangen rolig i samme Stilling, kun af og til skiftende lidt 
Plads ved Hjælp af nogle Sidebugtninger med Kroppen. I det Hele taget er der udbredt 
en vis Dorskhed eller Ladhed over Dyrets Bevegelser, men tillige stor Forsigtighed og 
Frygtsomhed, og medens man derfor, naar det lades i Ro, ofte seer, hvorledes det ganske 


roligt og stilferdigt ligger i Vandet eller ganske sagte glider fra Midten af Vandets Overflade 
50* 


396 28 


og baglænds nærmer sig Glassets Vægge, hvori man holder det fangen, saa beveger det sig 
paa den anden Side, naar det forstyrres, med stor Hast og styrter sig ned i Vandet. Naar 
det her har sundet sig, søger det atter op til Overfladen, og stiger med hurtige, brede Bugt- 
ninger af Kroppen, med Halespidsen forefter, i en skraa Stilling hurtigt op i Vandskorpen. 
Men har Larven ikke faaet Fart nok til at bryde Vandskorpen, synker den, som specifisk 
lidt tungere end Vandet, atter ned ad Bunden til, hvor den iovrigt kan blive liggende i 
længere Tid ubevægelig, saavel paa Bugsiden som paa Rygsiden. 

Ligesom Culex-Larverne leve Anopheles-Larverne af de i Vandet svommende mi- 
kroskopiske, organiske Partikler, og disse bringes til eller ind i Munden ved Hvirvelorganer- 
nes Bevægelser. Hvirvelorganerne ere nu langt mere udviklede end hos de først nævnte 
Larver, og medens disse mere bruge deres Organer som en Berste eller Kost, hvormed 
de afborste eller affeje deres Føde, saa ligge Anopheles-Larverne, ligesom Simulium-Lar- 
verne, med frit fremstrakt Hoved, og frembringe en Hvirvel- eller Malstrom i Vandet. 
Dernæst har Anopheles-Larverne den Ejendommelighed, at de som oftest, naar de frembringe 
Hvirvelstromme i Vandet, og det gjøre de den meste Tid af Dagen, ligge paa Bugsiden 
med Hovedets Underside vendt opad. Denne Drejning af Hovedet gjøre de med den største 
Hurtighed, og aldrig saasnart have de, f. Ex. efterat være stegne op fra Bunden af Vandet, 
indtaget deres Flydestilling i Vandskorpen, for de med en halv Drejning af Hovedet om 
dettes Længdeaxe vende Undersiden af det opad, og nu begynde de rigtigt med Kraft at 
sætte Vandet i hvirvlende Bevægelse. Betydningen af Drejningen af Hovedet er vistnok 
den, at Vandets hvirvlende Stramme ved at stode an mod Vandskorpens relativt faste Vægge 
skulle ledes sikrere og mere samlede ind mod Larvernes Mundaabning. Dog er denne 
Drejning ikke nodvendig, men man seer ogsaa Larverne ofte arbejde med Hovedet liggende 
i almindelig Stilling med Munddelene nedad, dog som oftest kun kortere Tid ad Gangen, 
og forst efterat have drejet Hovedet, synes de at arbejde ret con amore. 

Larvernes Bevægelser i eller gjennem Vandet er altsaa i skraa Retning med Hovedet 
vendt nedad, ligesom Culex- og Dixa-Larvernes, og naar Brauer, |. c. p. 20, sammenstiller 
dem med Corethra-Larverne, og siger om dem at de «svomme horizontalt», da er sand- 
synligvis denne urigtige Betegnelse indkommet fra Fischers gamle Beretning om hans Cu- 
lex claviger; thi selv har Brauer jo ikke kjendt de virkelige Anopheles-Larvers Leve- 
maade. lovrigt ere alle de fire her omtalte Slegters Larvers Forhold til Vandet mere en 
Hvilen i eller Flyden paa Vandet, hvorimod en rolig, fortsat, stadig, udholdende Bevægelse 
frem gjennem Vandet i Lighed med Fiskens Svommen ikke findes hos disse Myggelarver. 

I Reglen søge Larverne deres Føde, medens de ligge og flyde i Vandskorpen, men 
af og til seer man dem ogsaa gaa en 2—3 Tommer ned under Vandet og hæfte sig ved 
Hjælp af Halespidserne til Siderne af Opbevaringsglasset; i denne Stilling, med Hovedet 


29 397 


nedad, kunne de forblive flere Minutter, hvorpaa de saa enten alter stige op til Overfladen 
eller forst gaa dybere ned indtil Bunden af Glasset. 

Puppen til Anopheles, Fig. 30, ligner særdeles meget samme til Culex, saa at den 
let kan forvexles med denne; dog er den i det Hele taget lidt mere sammentrykt, og navnlig 
ere Nakkerorene noget bredere med større, mere quadratisk Endeflade. Svarende til Lig- 
heden i Form er ogsaa Ligheden i Levemaade; ogsaa Anopheles-Puppen ligger stadigt i 
Vandskorpen; men ikke sjældent finder man den liggende korlere eller lengere Tid paa 
Siden, og det er navnlig, naar den kommer op fra Bunden af Vandet, at den saaledes 
vælter. Farven er, ialtfald hos Anoph. maculipennis, et lyst Gulgront eller Græsgront med 
lysere eller blegere Vingeskeder og Nakkeror; nedad Ryggens Midtlinie gaaer ofte en bredere, 
lys Streg, og paa de fem nestsidste Bagkropsled findes en sort Plet paa hver Side af Led- 
dene henimod disses Bagrand. Puppen har jeg i det Frie fundet fra den sidste Marts til 
de forste Dage af Oktober. Puppehvilen varer en 4—5 Dage, lidt kortere i den varme 
Sommertid end i det kjolige Foraar og Efteraar; dog maa det erindres, at Puppehvilens 
Tid er angivet efter Dyr, som have gjennemgaaet deres sidste Udvikling af Larvestadiet i 
Fangenskab, og at sammes Lengde er beregnet efter Dyr i Fangenskab; for Dyr i det Frie 
vil Puppehvilen uden Tvivl begynde noget senere og vare noget lengere. 

Om det fuldkomne Insekts Evne til at stikke har jeg allerede talt i det Fore- 
gaaende, p. 382. Anm. 

Anopheles-Larven er hidtil kun lidet kjendt, idet foruden de af Joblot og af Brauer 
leverede Afbildninger af Larven (den sidste med den urigtige Betegnelse som Dixa-Larve) 
der kun findes nogle faa Yttringer om den af Gercke, som i sin lille Afhandling: «Zur 
Metamorphose der Dipteren-Gattung Dixa Meig» p. 169, til folgende Bemerkning om Dixa- 
Larven: «Sobald ihr die erzeugte Strömung einen störenden, gröberen Gegenstand zuführt, 
senkt sie sogleich den Kopf, um mittelst der Taster das Hinderniss zu beseitigen», fojer 
disse Ord: «Dieses Verfahren habe ich auch an den so scheuen und lebhaften Anopheles- 
Larven beobachtet, sobald dieselben zur Lufterneuerung und zum Behufe des Strudelns an 
den Wasserspiegel steigen». Som det dog vil sees ved en Sammenligning af disse faa Ord 
med min Fremstilling af disse Larvers Levemaade, passe de ikke ganske med denne; thi 
omend Anopheles-Larven kan siges at vere livligere end Dixa-Larven, saa ligger ogsaa den, 
naar den ikke forstyrres, lenge og roligt i Vandskorpen. lovrigt undrer det mig, at Gercke 
ikke har omtalt det saa betegnende og aparte Trek af Larvens Levemaade, al den som 
oftest ligger med Hovedets Underside drejet opad. 


398 i 30 


Corethra. 
Corethra plumicornis Fabr. 


Tipule à ver aquatique. Reaumur, Mém. p.s. à Vhist. d. ins. V. p. 39—43, Tab. 6. fig. 4—18 (15). 
Ein unbekanntes Wasserthierchen, Gölze, Beschreibung eines hôchsi sellenen, wo nicht gar noch 


ganz unbekannlen Wasserthierchen. — Beschäft. d. Ges. nalurf. Fr. zu Berlin. I. p. 359. 
Tab. 8. 

Ergänzung der Geschichle des, im ersten Bande dieser gesellschafllichen Schriften, S. 
359 ff. beschriebenen Wasserthierchen. — Ibid. II. p. 494. 


Tipula cristallina, De Geer, Mém.p.s. à hist. d. ins. VI. p. 386—87. 

Devorator, Slabber, Wahrnehmung von einem Devorator oder verschlingenden Wurm der fliegen- 
arligen Tipula. Wahrnehmung von einer Tipula crucifixa oder von einem fliegenarligen 
Langfusz, welche man Creuzfaden nennen könnte. — Physikal. Belust. od. Mikrosk. Wahrnehm. 
(von drey und vierzig) in- und ausländ. Wasser- und Landthierchen. Aus dem Holland. 
übers. p. 6 & 9. 

Charborus antisepticus, Lichtenstein, Beschreibung eines neu entdeckten Wasserinsekls — Wiede- 
manns Arch. f. Zool. u. Zoot. I. p. 168—75. Tab. 3. 

Culex claviger, Fischer de Waldheim, Cbservalions de quelques Diplères de la Russie. Nolice 
sur la larve du Culex claviger de Fabricius, regardée par Mr. Lichtenstein comme un 
nouvel insecle aquatique. — Mem.d.]. Soc. Imper. d. Moscou. IV. p. 129, Tab. 2 (NB. 
herhen kun Larven og Pseudolarven 9: Puppen!) 

Autre Tipule née d'un ver aquatique, Lyonel, Recherches sur l’analomie el les mélamorphoses de 


différentes espèces d’Insecles, ouvrage posthume, publié par M. W. de Haan. — Mém. 
d. Mus. d’hist. nat. XIX. p. 89, Tab.9 (17). 
Corethra fusca, Steger, Syslematisk Fortegnelse over de i Danmark hidtil fundne Diplerer. — Na- 


turhist. Tidsskr. 1. R. 2. B. p. 549— 600. 
Corethra plumicornis, Goring and Prilchard, The nalural hislory of several new popular and 
diverting living objects for the microscop. Il. 
Brigthwell, On the Food and Habits of certain Insects. — The Zool. Journ. V. p. 
396, Tab. 19. fig. 1, a—b. 
Wagner, Ueber Blulkörperchen bei Regenwürmern, Blutegeln und Dipleren-Larven. — 
Müllers Arch. f. Anat. u. Phys. 1835. p. 311, Tab. V. fig. 14—15. 
Leydig, Analomisches und Histologisches über die Larve von Corethra plumicornis. — 
Zeitschr. f. wiss. Zool. III. p. 435, Taf. XVI. : 
Glassy jelly-like agvatie larva, Williams, On the Mechanism of Aqualie Respiralion and on the 
Structure of the Organs of Breathing in Inverlebrate Animals (Gonlinual.) — Ann. and 
mag. 2. ser. Vol. XIII. p. 180—189. Pl. IX. Fig. 4. 
Corethra plumicornis, Karsch, De Corethre plumicornis melamorphosi. 
Weismann, Die Melamorphose der Corethra plumicornis. — Zeilschr. f. wiss. Zool. XVI. 
p. 45. Taf. II— VI. 
Rymer Jones, On the Structure and Metamorphosis of the Larva of Corethra plumi- 
cornis, — Quat. Journ. of Microse. Se. VII. New Ser. Trans. XV. p. 99. Pl. IX. 


31 399 


Pouchet, Développement du système trachéen de l’Anophele (Corethra plumicornis). — 
Arch. d. Zool. expér. et gén. I. p. 217. PI X. fig. 1—5. 

Wagener, Ueber einige Erscheinungen an den Muscheln lebendiger Corethra plumicornis- 
Larven. — Arch. f. mikrosk. Anal. v. Max Schullze. X. p.392. Taf. XVII— XVIII. 

Dogiel, Analomie und Physiologie des Herzens der Larve von Corelhra plumicornis. — 
Mém. d. l’acad. imper. d. se. d. Saint-Pelersbourg. sér. VII. Tom. XXIV. Tay. 

Palmén, Zur Morphologie des Tracheensystems. p.55. Fig. 22—23. 

Jaworovski, Ueber die Entwicklung des Rückengefässes und speciell der Musculatur 
bei Chironomus und einigen anderen Inseelen. — Silzungsber. d. kais. Acad. d. 
Wiss. LXXX. Sep. Fig. 20—22. 

Wielowiejski, Ueber den Fellkörper von Corethra plumicornis und seine Entwicklung. 
Zool. Anz. 1883. p. 318. 

Corethra appendiculata, Herrick, A final Report of Ihe Crustacea of Minnesola included in the orders 

Cladocera and Copepoda. — Geolog, Nalur. Hist. Surv. Minnesola 1884. p. 10 f. Pl. V. 

Fig. 1—4. 


Det er Arten Corethra plumicornis Fabr., som i alle de ovenfor opførte Afhandlinger, 
paa den sidste ner, har været Gjenstand, mer eller mindre udelukkende, for Behandling, 
og de fleste af de fra Cor. plumicornis forskjellige Navne anseer jeg for at være Synonymer 
til hint. Dette gjælder saaledes ogsaa om Stægers Corethra fusca, som jeg nu kun betragter 
som en morkere Varietet eller Form af den typisk langt lysere Cor. plumicornis, hvortil vi 
have Originalstykket staaende i den gamle Tønder Lund-Sehestedske Insektsamling. Grun- 
den til, at jeg endnu i 1883 i min lille Afhandling om Mochlonyx culiciformis vilde hævde 
Stægers Cor. fusca som en egen Art, var Hensynet til den Beskrivelse af sidstnævnte Larve, 
som Steger, l.c.p. 556, gav, og som jeg fandt afveg for meget fra Larven til Cor. plumi- 
cornis. Det var da navnlig Beskrivelsen af Svommeviften som bestaaende «kun af en kam- 
formig Rad penselagtige Borster, hvoraf enhver igjen deler sig i 5 à 7 Borster», som 
forekom mig at afvige altfor meget fra Cor. plumicornis Svommeyifte, men saa nogenlunde 
at svare til samme hos Anopheles, Fig. 29a, eller hos Culex, Fig. 17 c, og jeg antog der- 
for, at den af Steger beskrevne Larve var en Mellemform mellem de af mig kjendte Larver. 
Det forekom mig vel forunderligt, at to saa nerstaaende Arter, som Cor. plumicornis og 
Cor. fusca dog maatte vere, kunde vere saa forskjellige i deres Larveform, men Forskjellen 
mellem Cor. plumicornis- og Mochlonyx-Larven fandtes dog endnu at vere meget større, 
om det end paa den anden Side ikke maatte glemmes, at de henhore til to forskjellige 
(nærstaaende) Slegter. Paa den anden Side kjender jeg ogsaa Larven til Cor. pallida, og 
uagtet denne Art staaer Cor. plumicornis langt fjernere end Cor. fusca, sely om den er 
egen Art, nogensinde kan antages at gjøre, ere dog de to førstnævnte Arters Larver hin- 
anden serdeles lige, ja knap til at skjelne, saa at det ikke vilde vere meget rimeligt, at 
medens Imagines end mere ligner hinanden, skulde Larverne være langt mere forskjel- 


400 39 


lige. Jeg anseer det derfor nu for rimeligere, at der i Stegers Beskrivelse foreligger en 
eller anden Fejl, enten saaledes at Svammeviftens Børster kunne have været klistrede delvis 
sammen, eller saaledes at Svømmeviften ikke har hørt en Corethra til, men er forefundet alene 
eller siddende paa et Stykke Hud af en anden Larve. Jeg maa ogsaa bemærke, at jeg i 
flere Aar meget flittigt har gjennemsøgt Vandstederne i Kjøbenhavns Omegn, hvorfra Stzger!) 
vil have faaet sin Cor. fusca, men at jeg ingensinde har fundet en slig Larve, hvorimod 
ægte, typiske Cor. plumicornis-Larver har givet mig smaa og mørke Varieteter, som maa 
eller ialfald sikkert kunne bestemmes som Stægers Cor. fusca. Ogsaa Schiner siger om 
Cor. fusca, Fauna Austr. Die Fliegen. Il. p. 624: «Ausser dieser Färbungsverschiedenheit 
finde ich uebrigens zwischen beiden Arten keinen Unterschied.» leyrigt skal jeg med 
Hensyn til Stegers Kritik af Réaumur bemerke, at naar Steger fremhever, at Réaumurs 
Larve er afbildet med 2 Svemmevifter, «Svemmefinner», saa synes det vel, at der paa den 
paagjeldende Figur angives at vere 2 Finner, men Adskillelsen mellem Finnerne er ikke 
ret tydelig, og i Texten hedder det, at der kun er «une nageoire». 


Corethra-Larven, Fig. 36 og 37, har en meget langstrakt, trind og smækker Form, 
og udmerker sig navnlig ved sin klare, glasagtige Farve med de to Par merkt gjennem- 
skinnende Lufisække. Denne glasklare Farve, som navnlig fremtræder, naar Larven lever i 
klart, dybt Vand med ringe Neringsstof, og som gjør, at den saa let oversees her, afløses 
dog oftest mer eller mindre af en gullig eller grengullig Farve, hvortil saa kommer, at 
Tarmkanalen ofte, enten i sin Helhed eller ialtfald i dens forreste Del, paa Grund af sit 
Indhold skinner redligt igjennem. Den forekommer overhovedet vel neppe nogensinde saa 
klar og gjennemsigtig som Leptodora hyalina, Daphnia galeata og andre Dybvandsformer 
blandt Cladocererne. 

Hovedet er stort, stærkt sammentrykt; dets Overside er fladt hvælvet, næsten hori- 
zontal, deis Underside skraat opadstigende, stedende sammen i en Vinkel med Oversiden. 
Seet fra oven er Hovedets Form bagtil næsten lige afskaaren med rette Baghjerner; dets 
Sider ere ogsaa bagtil næsten rette, men bag Midten af Hovedet indbugtes de betydeligt, 
saa at Hovedets forreste Del kun er omirent halvt saa bred som den bageste Del. Hoved- 
pladen, lamina cephalica, med Pandepladen danner en sammenhængende Plade, som ganske 
dækker Hovedet fra oven. Tredje Metamers Rygplade begynder ferst under Forranden af 
Pandepladen og stiger skraat nedad og bagud. Den berer indplantede, i en felles Plet 
eller Grube i Midtlinjen, 5 Par svære, noget krummede Børster, af hvilke Børster navnlig 


*) Et af Stzgers Exemplarer, som nu opbevares paa Universitetets zoologiske Musenm, bærer Steds- 


angivelsen «Bellevue», men i den nærmeste Omegn af Bellevue ere netop de Findesteder i Dyrehaven, 
hvorfra jeg har mine Larver og Pupper i rigeligst Mengde og hvert Aar. 


33 401 


andet og tredje Par ere de sværeste og mest bugtede, Fig. 38 bb. Bag disse Borsteknipper 
findes paa samme Rygskinne 2 tæt bag hinanden indplantede, brede, i Forranden dybt og 
spidst takkede Chitinblade, «Knivsbladene», Fig. 38 cc. — Anden Metamers Rygskinne vender 
ogsaa bagud, men springer stærkt frem; den tydes i Almindelighed som Overlæben, Labrum, men 
vistnok med Urette, Fig. 38 f. 1 Spidsen bærer den i Forranden nogle faa, stærke, temmelig 
spidse Torne og bag dem et Filt af svagere, kortere, spidse Torne. Paa Siderne af dette 
Filt findes 2 Par Rækker eller Kamme af lange, smalle, næsten borstedannede Hudblade. 
De to indre Kamme ere de længste, bestaa af over el Dousin Blade, hvis Yderrand er 
stærkt chitiniseret og glat, medens Inderranden er flosset eller udskaaret i tynde Tænder. 
De to ydre Kamme ere kortere, bestaa af en halv Snes Blade, som ere smallere og kor- 
tere end de indre Kammes Blade; Bladene gjennemlobes af en sterkt chitiniseret Midtribbe, 
med meget smalle, hindede, mikroskopisk tandede eller flossede Siderande. Tredje Meta- 
mers Rygskinne eller Overside er rudimentær eller knap til at eftervise. 

Øjnene ere meget store, runde, bestaaende af talrige Oceller; de sidde et godt 
Stykke bagtil, paa Siderne af Hovedet. Bag de store @jne findes et meget lille Bioje paa 
hver Side. — Antennerne ere rykkede langt frem og indleddede paa Pandepladens frem- 
ragende Spids. Deres Grundled er langt, næsten trindt, med en Indbugtning ved Roden 
og en lille Knude foran Indbugtningen. I Enden bærer Grundleddet 5 lange, noget krum- 
mede Borster, af hvilke den inderste dog er kjendeligt kortere end de 4 andre. Men des- 
uden findes en kort, meget tyndere Borste, som er indleddet paa en fremragende Knop af 
Grundleddets Ende; muligvis svarer denne Knop til det hos nærstaaende Larveformer fore- 
kommende andet Led, og den sidst omtalte Borste skulde saa svare til tredje og sidste 
Antenneled. 

Munddelene, navnlig da Kindbakkerne, ere stærkt udviklede og danne kraftige 
Gribe- og Bideredskaber. Underlæben, Labium, er hindet og uden Exponenter, saa at man 
her knap kan tale om Underlæbe, end sige om Læbepalper. Foran Metameren findes et 
kort, tungeformet, i Spidsen dybt indbugtet Chitinblad, som jeg tyder som nedre Svælg- 
plade, Fig. 38 g; ved Udkrængningen af Spiseroret, som jo foregaaer saa yderligt let hos 
denne Larve, saavel som hos Mochlonyx-Larven, vendes dette Chitinblad om, saa at den 
indbugtede Spids kommer til at vende bagud. — Kjæberne, Maxillæ, Fig. 38 ee, ere smaa, 
teendannede, kun med den yderste Tredje- eller Fjerdedel ragende frit frem; i Enden af 
den frie Del ere de udstyrede med en tyk Borste, som ikke fuldt naaer Kjæben i Lengde, 
og som paa den ene Side er 10—12 Gange, ikke dybt, men skarpt furet. Metamerens 
Bugskinne er delt i Midten; dens 2 Halvdele ere temmelig store, sterkt chitiniserede og 
bere henimod Forranden en kort, tyk Borste, som i Almindelighed, i Mangel af Andet, 
tydes som Læbepalpe. — Kindbakkerne, Mandibule, Fig. 38 dd; Fig. 39, ere meget korte, 
transversale, og deres inderste og nederste Hjorne lober ud i 3 svære, stærkt chitiniserede, 


Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. III, 4. 51 


402 34 


noget krummede, spidse Tender: af disse Tender har den yderste paa sin udvendige Rand 
5—6 smaa, slerkt chitiniserede Tender, og den midterste og længste af dem har henimod 
Spidsen en lang, spids Tand, saa at den nesten faaer Udseende af at vere dybt kloftet. 
Paa Kindbakkens udvendige Side, men ner ved Randen af den inderste Tand, er en kort, 
tyk Borste indplantet og atter ved dennes Rod en ganske tynd og kort Berste. Paa Højde 
med de nys omlalte 2 Børster, men omtrent i Kanten af Kindbakken, findes 2 længere 
Berster, som omtrent ere lige saa lange som Kindbakkens Tender. Paa det overste og 
yderste Hjørne af Kindbakkerne findes en Halvkreds af 16—18 lange, tynde, krumme, paa 
den indvendige Side meget fint tandede, ligesom flossede, barstedannede Hudblade; denne 
Halvkreds af Hudblade kan slaaes sammen og legges ned, men atter rejses og aabnes, og 
bruges da vistnok af Larven som Fange- eller Holdeapparat. 

Bryststykket er betydeligt opsvulmet og uden Sammenligning den fereste Del af 
Kroppen. De tre Ringe eller Led, hvoraf det bestaaer, ere vanskelige at skille fra hverandre, 
naynlig da de to sidste. Paa Siderne berer det nogle faa, fine Berster, som i Enden ere 
klevede i flere Straaler. 

.Bagkroppen bestaaer af 9 vel adskilte Led, af hvilke de to første, og da navnlig det 
første, ere betydeligt kortere end de øvrige. Ligesom Bryststykket have Bagkropsleddene, 
med Undtagelse af sidste Led, paa Siderne faa, mangestraalede Børster. Niende Bagkrops- 
led har langs Midtlinjen af sin Underside en skarp Kjøl, og fra Undersiden af denne Kjel 
udgaaer en Række af en 25 lange, fjerede Børster, som tilsammen danne den Syommevifte, 
Fig. 36 c, ved Hjælp af hvilken Larven er i Stand til at gjøre saavel svage og smaa som 
hastige og springende Bevægelser i Vandet. Bersterne ere fæstede til Kjelen paa den 
Maade, at de ved deres Rod ligesom spalte sig vinkelformigt i 2 Chitinlister, af hvilke den 
ene Liste ligger i den ene Side eller Veg, den anden Liste i den anden Side af Kjolen. 
Analbersterne ere 4 lange, stærkt fjerede Børster. Analpapillerne ere som sædvanligt fire 
i Tallet, lange, smækre og noget tilspidsede bagtil, men simple, uvebnede. Analkrogene 
bestaa af 2 dobbelte Tværrækker af Kroge eller Blade, som omgive Spidsen af Anus som 
en Krands eller Belte, som dog er afbrudt baade foroven og forneden i Midtlinjen. For- 
neden begrendses Tværrækkerne paa hver Side af en meget kraftig Krog, som udgaaer fra 
en bred Basis, bojer sig sterkt indefter og senere svinger lidt udefter for at ende med en 
sterkt fremragende, noget but Spids. Krogene af de indre Tverrekker ere c. 12 i Tallet 
have en meget bred Basis og lobe ud i en temmelig stump Vinkel; saavel deres Yderrand 
som deres Inderrand ere noget buede, og den sidste indskaaren i en meget tet og fin, 
men kort Kam. De ydre Rækkers Kroge ere mere blad- eller sabeldannede, med kor- 
tere Basis, buet Yderrand, but Spids og kamdannet Inderrand: de ere henved 10 i Tallet. 

Faa Insekter, udenfor de rent økonomiske, have, som jeg nys anførte, saa ofte været 
Gjenstand for særegen Undersøgelse og Beskrivelse som Corethra-Larven, og faa frembyde ogsaa 


35 403 


saa mange fra det Sædvanlige og fra nerstaaende Former saa afvigende Trek som disse 
Dyr. Endelig er der faa Dyr, som ved deres Gjennemsigtighed frembyde saa rig Lejlighed 
til uden Afbrydelse af Livets Funktioner eller Forstyrrelse af Organernes | Leje at studere 
disse og deres Virksomhed; man mindes her ret Hookes Yttring, naar han 1665 ved Be- 
skrivelsen af Culex-Larven fremhæver Fordelen ved saaledes «quietly peep in at the windows, 
wilhout frighting her out her usual byas», jfr. hans Micrography, p. 186. 

Reaumur er den første, som jeg har fundet, der kan siges at have behandlet og 
afbildet dette Insekt, og dette da saavel i Larve- som i Puppe- og i Imagotilstand. Des- 
værre ere de af Réaumur her givne Figurer ikke lidet under det Jævnmaal af Godhed, som 
vi finde hos denne Forfatter, og Beskrivelsen er ogsaa baade meget ufuldstændig og lidende 
af flere Misforstaaelser. Jeg skal blot anføre, at han lader Puppens Nakkerør være Larvens 
forreste Luftsække: «Il y a grande apparence que les deux plus grands de ces corps en 
forme de rein qu'on appercoit dans le ver, ceux qui sont les plus proches de la tete, sont 
par la suite les deux cornes de la nymphe», 1.c.p.42. Larvens Hale eller Svemmevifte 
betragter han dernæst som et fast Legeme, gjennemlebet af Streger, og kalder den en 
Finne, «une nageoire». 

Paa Grund af disse Ufuldkommenheder ved Réaumurs Fremstilling bliver det mere 
forstaaeligt, at Gérze') kan troe, at han har gjort en ny og højst besynderlig Opdagelse 
i denne Larve, saa at han kan kalde Titlen paa sit Arbejde: «Beschreibung eines höchst 
selten, wo nicht gar noch ganz unbekannten Wasserthierchen [sic]». Götze giver en temmelig 
udforlig Beskrivelse af Dyret, som han vel nermest anseer for en Larve, om han end ikke 
er sikker paa, om det ikke ogsaa kunde vere en Orm. Noget af det, som mest er faldet 
ham i Øjnene, er Luftsekkene, som han anseer for Aandedretsorganer med ligesaa mange 
Spirakler (Stigmata), som der er sorte Punkter (Pigmentceller) paa dem, l.c.p.373. I et 
Tillæg, «Ergänzung» , i det folgende Bind af samme Selskabs Skrifter, oplyser Götze, at 
Larven hører til Tipula littoralis Lino., og at allerede Réaumur og Slabber havde beskrevet 
dens Udviklingshistorie. lovrigt er Henforelsen til Tipula littoralis uheldig, idet denne Myg 
er en Chironomus og nermere Ch. pedellus De G. 

Samme Aar som Götze er det ogsaa, at Müller i sin tydske Oversættelse af SLABBER 
giver os en koloreret Fremstilling saavel af Larve som Puppe og Imago. Den graphiske 
Fremstilling af Larven er noget ringere end Gölzes, og heller ikke kan Koloreringen siges 
at vere et Fremskridt, idet den er bleven helt unaturligt stærkt gul eller grengul. Luft- 
sekkene ansees for at vere sandsynligvis fire Maver, dog at der overlades Enhver Frihed 
til at tænke, hvad han vil, I. c. p. 9. 

Ogsaa De Geer har givet en Fremstilling af Corethraens Udviklingshistorie, men 

1) Saaledes (og ikke Goeze) skriver han sig selv ialfald i den her nævnte Afhandling. 


51" 


404 36 


denne Fremstilling er meget kort, sluttende sig naje til Réaumurs og uden Afbildninger. 
Til Slutningen udtaler De Geer den Formodning, at Larven skulde overvintre, eftersom ban 
har truffet den af samme Sterrelse om Foraaret som om Efteraaret, men, fojer han til, 
maaske tyder denne Omstændighed kun paa to Generationer om Aaret. 

Højst forskjellig fra den foregaaende Forfatter er Licarexsren, der ligesom Götze 
mener at have gjort en mageles ny Opdagelse, idet han væsentligt stotter sig til en mundtlig 
Yttring af J. Chr. Fabricius, at denne ikke kjendte Dyret hverken af Selvsyn eller Afbildning. 
Lichtensteins Afbildning af Larven er ikke saa ilde endda, men den skyldes da ogsaa en 
god Vens, Prof. Suhrs, Hjælp: derimod er Beskrivelsen af Bygningen og Betragtningerne 
over Larvens Fremkomst, dens Nytte etc., hajst forhausende overfor Nutidens Begreber, 
og det valgte Artsnavn eller Trivialnavn: antisepticus, vidner baade om hans egen mangel- 
fulde Naturkundskab og om Datidens Fordring til Naturvidenskaben som en væsentlig 
okonomisk Disciplin. Af hans Forklaringer vil jeg fremheve, at han lader de forreste 
Luftsekke staa i nøje, umiddelbar Forbindelse med Spisereret og med «der langen, die 
Stelle des Herzens vertretenden Pulsader, und auch mit den Lungen des Thierchens», 
l. c. p.171, hvorimod de bageste Luftsække «Eiersäcke zu seyn scheinen», |. c. p. 172. 
Dernæst maa jeg ogsaa omtale hans Tydning af Bugnervesnoren som Lunger, da disse 
Lunger, under Navn af «branchiæ», omtales, omend med Tvivl, som Aandedretsredskaber 
af Sorg i dennes Disquitiones physiologicæ circa, respirationem insectorum et vermium, 
p- 151—52. 

FıscHER DE WatpHem, som anker over, at Lichtenstein ikke har anerkjendt Corethra- 
Larvens Insektnatur, har til Gjengjæld givet os en saare uheldig Fremstilling af dette Dyrs 
Udvikling. Vi ville rolig forbigaa Texten, som i al sin Ubetydelighed indeholder adskillige 
Fejl, og holde os til Tavlen og dennes Forklaring. Af Tavlen see vi, at Æggene ikke 
here Corethraen til (hvorhen de hore, tor jeg ikke bestemme), at af Larvens to Former 
den ene uden Tvivl er Larven til Corethra, den anden, hvis Larvenatur dog er Fischer 
tvivisom, er Puppen til samme Dyr; den af Fischer som virkelig Puppe betegnede Form 
er Puppen til en Tanypus, og Imago fremstiller en Anopheles (Culex Claviger Fabr.). I 
Almindelighed antages Fischer at bave givet Udviklingshistorien af en Anopheles; man seer 
heraf, med hvor liden Grund dette antages. Af andre Misligheder skal jeg kun omtale, 
at Luftsekkene fra Corethra-Larvens Indre anbringes lost udenpaa Larven, at Pseudo-Lar- 
vens 9: Corethra-Puppens Syemmeblade erstattes af tre Par krumme Børster 0. s. v. 

Gortnes og Prircæarps |) i Forfatterlisten opførte Arbejde har jeg ikke kunnet skaffe 


1) Hagen opfører i sin Bibliotheka entomologica Goring som Eneforfatter til ommeldte Afhandling, men 
lader den vere udkommet paa Pritchards Forlag, hvorimod Wagner og senere Westwood, Introd. 


I]. p. 516, anfører Pritchard som Medforfatter. 


37 405 


mig til Eftersyn, men efter Wagners Forklaring, |. c. p. 312: «Sehr ungenügend ist die 
Darstellung und Abbildung (obgleich highly-finished Engraving genannt) in Goring and Prit- 
chards microscopic Illustrations», er der vel ikke tabt stort derved. 

Lyoxer har ved Siden af nogle ganske gode Afbildninger til Udviklingshistorien givet 
nogle Oplysninger om Larvens Levemaade, uden at disse dog kunne siges at have synderlig 
Verdi, men det maa da heller ikke glemmes, at hans Arbejde er et Opus posthumum. 

Faa Aar efter har Bricurwert givet en Oversigtsfigur af Larven; men denne Figur 
er ikke ret naturlig, idet den har faaet et vist Udseende af et i mange Facetter slebet 
Glaslegeme, hvilket Udseende vistnok er fremkaldt ved for sterk Accentueren af de gjen- 
nemskinnende Muskler. Meddelelserne om Larvens Levemaade ere temmelig ubetydelige. 

Sræcer har ved Opstillingen af den nye Art Corethra fusca ogsaa givet en kort 
Beskrivelse af denne Larve i Modsetning til Réaumurs Fremstilling, som han ene synes at 
have kjendt. Jeg har allerede i det Foregaaende, p.399, ved Behandling af Synonymi- 
Sporgsmaalet, udtalt mig om Værdien af de af Steger her givne Bidrag til Larvens Byg- 
ning, 1. c. p. 556. 

Wuuums har i et større Arbejde over Aandedrættet og Aandedretsorganerne hos 
hvirvelløse Dyr, som gaaer igjennem en Række Bind af Annals fra 1855—57, vel fortrinsvis 
omhandlet Molluscerne, men har dog ogsaa i et længere Stykke, I. c., behandlet disse For- 
hold hos Insekterne. Dog at han ikke er Entomolog, vil et Blik paa PI. IX. Fig. 4—6 strax 
vise, og nogen simplere og mere skematisk Figur af et levende Dyr end hans Fig. 4 skal 
man ikke let finde, og dog skal det umiskjendelig vere en Corethra. 

Karsom har givet temmelig stærkt forstørrede Afbildninger af Larven og Puppen, 
men Fremstillingen er ikke videre vellykket, og slemme Fejl ere ikke undgaaede, ligesom 
Undersogelsen i det Hele taget kun er lidet indtrængende og langtfra nojagtig. 

Weismann er unegtelig den, som har givet os den udforligste Fremstilling af denne 
Larve med Puppe, og hans Arbejde er uden Sammenligning det betydeligste, vi have over 
Udviklingen af dette Insekt; dog har det naturligvis ikke kunnet undgaaes, at der mellem 
de mange af ham fremforte Fakta og Forklaringer ogsaa findes forskjellige, som ikke stemme 
med de Resultater, hvortil jeg og andre af hans Eftermend ere komne. Hans Afhildninger 
ere i det Hele taget gode, omend noget unødvendigt store og stive; ogsaa maa jeg frem- 
hæve som en forstyrrende Fejl Drejningen af Larvens yderste Led (Taf. Ill. fig. 1), hvorved 
ogsaa Svommeviften er kommet til at vende opad. 

Ogsaa Rymer Jones’s Afbildninger af Larve og Puppe ere meget forstørrede. Af hans 
Figurer er den, som fremstiller Larven i dens Helhed, uden Sammenligning bedst, omend 
langtfra fuldkommen; derimod ere Fremstillingerne af den endnu mere forsterrede Forkrop af 
Larven og af hele Puppen ret uheldige: den forste med en Fordobling af «Overleben», den 
anden med Hoved og Bryst rent forskruede af Dekglassets Tryk. 


406 38 


HerricH giver i sine Fig. 1—3 en tarvelig Fremstilling af Hovedet, et Stykke af 
Hjertet og Bagkropsenden af en Corethra-Larve, som vistnok er forskjellig fra Cor. plumi- 
cornis, og som derfor ogsaa efler Larven alene opstilles som en ny Art, Cor. appendiculata. 
Fig. 4 skal være Bagkroppen af denne Corethras Puppe, men ligner mere en Chironomus- 
Puppe. Den ægte Cor. plumicornis angives dernæst, l.c.p. 10, at være yderlig almindelig 
som Larve i «inland waters«, og der henvises til Beskrivelse og Figurer af samme Forfatter 
i hans «Types of Animal Life», men denne Afhandling kjender jeg ikke. 

Men desuden have forskjellige Dele af Larven alene eller af Larven og Puppen 
været særlig Gjenstand for Undersøgelse, saaledes navnlig Blodlegemerne og Hjertet af 
Wagner, Nerverne af Leynie, Tracheerne og fortrinsvis disses Udvikling af Poucaer, Musklerne 
af Wacexer, atter Hjertet af Docwr og Fedtlegemet af Wrerowæsx. Desuden finder 
man naturligvis ogsaa disse Dyr nævnte og omtalte mere lejlighedsvis, saasom i Parmkns 
morphologiske Udsigt over Insekternes Tracheesystem og i Jaworovskis Undersøgelse over 
Rygkarret hos Chironomus og andre Insekter, for ikke at tale om de forskjellige zoologiske 
og entomologiske Haandbøger. Jeg skal blot minde om de bekjendte af Kirby og Spence, 
Burmeister, Westwood, Lacordaire, Graber og Camerano, men med Undtagelse tildels af 
Graber, maa det dog siges, at egne Undersøgelser ikke findes i disse Forfatteres Haandbøger. 


Biologi. 


Corethra plumicornis hører til vore almindeligste Mygge- eller Stankelbensformer, 
og dens Larve var allerede kjendt af O.F. Müller!) som almindeligt forekommende her i 
Landet. Den overvintrer som halvvoxen eller fuldvoxen Larve, og Imago kommer hoved- 
sagelig frem fra Slutningen af April til Begyndelsen af Juni; men allerede i de første For- 
aarsdage, efter milde Vintre endnu inden Udgangen af Marts, fremkomme i Fangenskab 
Imagines af Pupper, der som Larver ere tagne i det Frie samme Aar, inden Foraarets 
Komme. Fra det egentlige Foraars Komme vedvarer Fremkomsten af Imagines til 
langt hen paa Efteraaret, ja i Fangenskab til de sidste Dage i November, og enkelte 
overvintre i Fangenskab som Pupper. I Slutningen af September og i Begyndelsen af 
Oktober synes der at komme Imagines frem i større Antal, og maaske kan man sætte to 
Generationer om Aaret: en første eller Hovedgeneration fra Slutningen af April til Begyn- 
delsen af Juni og en anden eller svagere Generation fire Maaneder herefter, dog uden at 
disse to Generationer ere afgrændsede synderligt skarpt fra hinanden eller til nogen af 
Siderne. 


1) Jfr. Slutningen af Götzes Ergänzung, I. c. B. Il, p.507. hvor han citerer et Brev fra Müller, som ofte 
vil have fundet dem i Aarene 1767—68 ved Frederiksdal, og endogsaa havde ladet dens Larve (»thi 
som Larve havde han altid anseet den») 2 Gange afbilde. 


39 407 


De tidligste Imagines, jeg har seet, ere komne ud hos mig i Fangenskab den 19. 
Marts 1885 af Larver, tagne den 4. Februar, og atter den 30. og 31. Marts 1882 af Larver, 
som jeg havde taget den 20. i samme Maaned, og som havde forpuppet sig den 26. til 
27. I det Frie derimod har jeg først den 23. April 1882 seet Corethraen, og det i Mengde, 
bryde ud af Puppehuden; i vedkommende Vandhul fandtes da en stor Mængde Pupper, 
men kun enkelte Larver. Den 8. September 1882 er den seneste Datum, hvorpaa jeg i 
det Frie har fundet Pupper; der fandtes dengang en stor Mængde stærkt gulladne Larver 
og een Puppe. Den hjembragte Puppe forvandledes den 12. til Imago, og derefter vedblev 
der i de folgende 3—4 Uger stadigt at fremkomme saavel Hanner som Hunner af de sam- 
tidigt hjembragte Larver. I 1881 kom der Imagines frem i mine Glas langt ind i Novem- 
ber, indtil den 28., og en Puppe levede endnu ind i December Maaned. 

Slabber, I. c. p. 10, holdt hele Vinteren igjennem Larver, som først forvandlede sig 
den følgende Juli, og De Geer, |.c.p.387, udtaler sig paa lignende Maade som jeg om 
Larvens Overvintring og Sandsynligheden af 2 Generationer. Karsch, |. c. p. 3 —4, siger: 
«per totum enim, quoad notavimus, temporis spatium,, quantum quidem ipsi vidimus, a 
mense Junio ad Septembrem usque ova, larvæ, nymphæ atque imagines simul inveniuntur» ; 
men Overvintringen antages at skee som Æg: «Ovorum, quæ vitæ forma haud dubie Co- 
rethræ hiemem transigunt». Steger, I. c. p.555, siger om Imagos Forekomst: «I Maj og 
August ikke sjelden ved Vandet». 

Æggene aflegges af Hunnen, kort Tid efter dens Fremkomst af Puppen, samlede 
i flade, runde Gelémasser, som flyde i Vandskorpen. Antallet af Æggene i en saadan Masse 
kan sættes til 100—150; de ere oftest ordnede i en Spirallinje, i et enkelt Lag (jfr. dog 
Slabber, I. c. p. 7), og Gelémassens Diameter er en 2,8—4™™. Den her angivne Forskjel 
paa Diametren, som svarer til de to Ægge- eller Gelémasser, som ere maalte af mig, be- 
roer maaske, ialfald tildels, paa at den ene Masse havde ligget længere Tid i Vandet end 
den anden. 

lovrigt er Æggenes Anbringelse i en saadan Gelémasse en bekjendt Sag, og lige- 
som de allerede afbildes af Reaumur, I. c. Pl.6, Fig. 16—18, og af Lyonet, I. c. PI. 19, 
Fig. 3, saaledes omtales de ogsaa af Karsch, |. €. p. 4, og af Weismann, I. c. p. 47 !). 

Æggene aflegges altsaa i Vand, der som Regel er stillestaaende, dybt, ikke for 
tilgroet, men dog med rigt Plante- og Dyreliv; i det Hele taget af ikke for ringe Udstræk- 
ning. Men forresten stilles der ikke absolut Fordring til bestemte Bundforhold, og saaledes 


1) Jeg antager, at Réaumur urigtigt henfører de her afbildede Æggemasser til Chironomus-Larver. 
Weismann regner dem dog til Corethra, men Réaumurs egen Henfersel synes at vere undgaaet 
hans Opmærksomhed, medens Lyonets Udgiver, De Haan, derimod, holdende sig til Reaumurs Text, 
l.c.p. 39, vindicerer Lyonet Æren for først at have kjendt og afbildet Corethraens Æggemasser, 
l. c. p. 130. 


408 40 


findes denne Myg udbredt over hele Landet, saavel i som udenfor Skove. Gamle, halvtil- 
groede Vandinger og Mergelgrave eller mindre Indsser med tildels stejlere Bredder, hvor 
Larverne flokkevis kunne staa i dybere, klart Vand, foretrekkes; men paa den anden Side 
har jeg ogsaa fundet den i et mørkt Skovhul, som næsten ganske var dækket af nedfaldet 
Bogelev, og i et dybt, men meget lille Mosehul uden Spor til Vegetation. Larven kan da 
ogsaa holde ud i smaa Glas eller Vandbeholdere med ringe Vandmængde, selv om Vandet 
er gaaet stærkt i Forraadnelse. Den Omstændighed, at Lichtenstein fandt sine Dyr i saa- 
dant raadnende Vand, var jo ogsaa for ham Anledning ikke blot til at give den det lefte- 
rige Navn af «antisepticus», men ogsaa til at fremkomme med adskillige mindre heldige 
naturvidenskabelige Betragtninger; men ievrigt kan jeg af egen Erfaring bekræfte Lichten- 
steins Beretning om Larvens Forekomst i saadanne Vandsteder, hvor Vandet svinder bort 
i Sommerens Lob, l.c. p. 19. Götze, I. c. p. 361, fandt Larven først i en Brønd, hvis Vand- 
flade helt var dækket af Andemad (Lemna); paa en af de folgende Sider, p.363, beretter 
Götze ogsaa, at den timevis (ganze Stunden) kunde leve i den stærkeste Vineddike, uden 
at tabe sin Bevzgelighed. 

Efter kortere Tids Forleb bryder Larven ud af Ægget i temmelig uudviklet Tilstand, 
Fig. 52, med de senere saa fremtrædende 2 Par Luftsække endnu fyldte med 
Serum. Den forreste Del af Tarmkanalen er fremstillet krenget ud af Munden, og sees 
at vere lukket i Enden, saa at den senere Forbindelse med og Fortsættelse over i Midttarmen 
endnu ikke har fundet Sted. 

Jeg kan desværre ikke angive nogen bestemt Tidsfrist for Udviklingen indeni Ægget, 
men skal dog anføre, at medens Corethraen i Fangenskab havde aflagt sine Æg den 7. 
eller 8. Juni 1882, men hvoraf det ikke lykkedes mig at udklække Larver, udkom saadanne 
Larver den 19. i samme Maaned, men rigtignok af Æggemasser, som vare tagne i det Frie. 
Weismann, l. c. p. 47, angiver, at Larverne forlade Ægget den sjette Dag. Spæde Larver 
ere fundne i det Frie af mig den 10. Juli 1882 og den 8. August samme Aar; af andre 
smaa, om end ikke spæde Larver, som vare tagne af mig samme Dag, fik jeg Imagines 
frem fra den 21. August til den 30. September. Jeg har seet talrige Larver krybe ud af 
Ægget og forlade dette baglænds. Allerede indeni Ægget saaes tydeligt de to Par Luftsække, 
Fig. 52 ab, som store, næsten kuglerunde Legemer, fyldte med Serum; men noget andet 
Spor til Tracheesystemet saaes ikke i den spæde Larve, selv efterat den havde forladt Ægget. 
Dog med Hensyn til det Nærmere om dette Systems Udvikling, maa jeg henvise til et føl- 
gende Afsnit, som specielt afhandler Tracheesystemet, dettes Udvikling og Brug. 

Farven af Larven, navnlig af den spæde, er ganske vandklar, men den antager efter- 
haanden en svagere eller stærkere gullig Farve, navnlig i Hovedet, hvor ogsaa Munddelene, 
særlig Kindbakkerne, blive meget stærkt brunlige, og hvor de sammensatte Øjne med «Bi- 
øjnene» fremtræde som et Par store, sorte Pletter. Ogsaa Tarmkanalen skinner oite 


41 409 


igjennem mer eller mindre gulligt eller rodligt af den indeholdte Fode, ligesom ogsaa 
«Kroens» Spærresystem viser sig temmelig tydeligt. Luftsækkene skinne dernæst igjennem 
ikke blot ved Brydningen af den indeholdte Luft, men ogsaa ved det morkebrune eller sorte 
Pigment, som upfylder mer eller mindre de store «Pigmentceller», som dække disse Luft- 
sække i større eller ringere Udstrækning; derimod træder det øvrige Tracheesystem kun meget 
sparsomt frem, eller rettere er meget lidt udviklet. Endelig kunne Musklerne skinne igjen- 
nem og give hele Larven et eget facetteret Udseende. 

Af de fleste Forfattere beskrives nu Larven altfor vandklar eller crystallinsk. Det 
er vel egentlig Réaumur, som er Fader til den megen overdrevne Tale om Larvens Gjen- 
nemsigtighed, I. c. p. 40, hvilken Egenskab saa De Geer slog fast, og De Geer gav ogsaa 
Myggen Artsnavnet Tipula crystallina. Dog allerede Slabber, I. c. p. 8, indskrænker den 
vandklare Farve til den spæde Larve, men erklærer ellers om den, at «sie nehmen uber und 
über eine gelblichte Farbe an»; men paa den vedføjede Tav. IV er saa Farven gjort una- 
turligt mørk. 

Larverne ere graadige Rovdyr, som gribe og sluge navnlig smaa Krebsdyr af 
Daphnidernes og Cypridernes Ordner. 

Midttarmen sees oftest fyldt med en gulladen eller rødlig Vædske, hvis Farve skyl- 
des de forskjellige Smaakrebs, som Larven har slugt. Selve Byttet gaar ikke over i Midt- 
tarmen, men holdes tilbage i «Kroen», hvor man da kan see 2—3 Daphnier eller Cyprider 
paa eengang, i kortere eller længere Tid med deres Lemmer i livlig Bevægelse. Storre 
Daphnider, saasom D. pulex, og Cyprider ere altsaa Gorethra-Larvens Hovedfode, men ikke 
sjeldent angriber og sluger den ogsaa andre Dyr, saasom forskjellige Dipter-Larver; saa- 
ledes har jeg truffet den med en Dixa-Larve af Corethraens halve Længde omtrent. Dixa- 
Larven opfyldte hele den forreste Del af Tarmkanalen, men bagtil hang den med Haleenden 
tildels ud af Munden, og da Corethra-Larven indfangedes, brækkede den Dixa-Larven op. 
Dette var i Slutningen af Maj, hvor der var rigelig anden Fode for den; men jeg har og- 
saa seet den sluge sine egne Kammerater. Saaledes saa jeg i Midten af December en voxen 
Corethra-Larve, som havde slugt en anden voxen Larve paa den Maade, at dennes Hoved var 
inde i den forste Larves Fortarm, men desuden fandtes i denne Del af Tarmen endnu en 
Cypris, og Halvdelen med Svommevifte og Kroge af en anden Corethra-Larve. 

De ‘ældste lagttagere af Corethra-Larven omtale enten slet ikke Larvens Fode, 
saaledes Réaumur, eller de udtale kun som en Formodning, omend en sikker Formodning, 
at den er Rovdyr; saaledes Gütze, I. c. B. I p. 364, 371, 377 («Dasz es von anderen Thieren 
leben müsze, zeigen seine Wassen deutlich an»), men allerede Slabber, der jo ogsaa giver 
Larven Navn af «Devorator», kan ikke noksom fremhæve dens raveriske Ferd, idet han 
fortæller, hvorledes den fortærede den spæde Yngel af hans Guldfisk og, istedetfor at tjene 
Armpolyperne (il Næring, til hans store Ærgrelse slugte disse kjære Dyr, ja endogsaa ikke 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. III, 4. 52 


410 49 


sparede nogle Planorbis (Posthornschneckgen), men aad disse Snegle ud af deres Huse, 
l.c.p. 10. Ogsaa Lichtenstein, I. c. p. 174, veed, at den er et meget graadigt Dyr, men 
han overvurdererer sikkert Betydningen af denne Graadighed, naar han antager, at den 
ved at fortzre stinkende Vands animale Indhold skulde kunne gjere Vandet frisk og 
drikkeligt igjen. Ogsaa den fortræffelige Lyonet, I. c. p.90, charakteriserer efter QOjesyn 
Larvens roveriske Ferd som lignende Gjeddens, og baade Brightwell, |. c. p. 396, som dog 
ikke kan antages at have kjendt Lyonet, og Leydig, 1. c. p. 499, bruge begge merbemeldte 
Fisk som Sammenligningsled for Corethra-Larvens Graadighed og Glubskhed. Herefter 
lyder det temmelig forunderligt, at Karsch, som dog har kjendt og citeret Leydig, kan 
erklære Larven for planteedende, 1.c.p. 13: «Larvarum nutrimenta substantiæ videntur 
esse vegetabiles. Certe pluries in eorum oesophago aut si mayis in ventriculo (fig. 3 f) 
parvula vidimus plantarum rudimenta». Rymer Jones derimod, I. c. p. 100, taler atter om 
dens «pike-like» Graadighed, og om den «ruthlessness», livormed den overfalder sit Bytte. 
I samme Stykke, kort efter, omtaler R. Jones den «Maelstram», som den formaaer at frem- 
bringe med de vifteformede Borster paa Antennerne (skal vel være paa Kindbakkerne), 
hvorved mindre Dyr skulde bringes indenfor dens Hvirvel; men en saadan Hvirvel eller 
Malstram har jeg aldrig kunnet iagttage hos disse Dyr, medens den for andre Dipter- 
Larver, saasom Anopheles-Larvens, er det stadige, næsten uafbrudte Livstegn. Endelig har 
ogsaa Weismann, l.c.p.48, noget for Rymer Jones, tilbagevist Karschs enestaaende Paa- 
stand om Corethra-Larven som Planteæder. - Ogsaa Pouchet, |. c. p. 224, har seet Larverne 
styrte sig over hverandre, og iagttaget, hvorledes en Larve greb en anden paatvers ner 
Halespidsen og slugte den. 

Larven holder sig i vandret Stilling mer eller mindre dybt nede i Vandet, oftere 
staaende ubevægelig i lang Tid, kun nu og da slaaende et lille Slag med Svommeviften; 
kraftigere Bevægelser eller ligesom Spring i Vandet gjør den kun, naar den forferdes eller 
vil springe paa sit Bytte. Men ofte stiger eller synker ogsaa Larven ganske langsomt uden 
synlig Bevegelse, holdende sig i vandret Stilling. Kun sjeldent ændres den vandrette 
Stilling i en noget skraa, mer eller mindre stejl Retning med Hovedet højest. Denne skraa 
Stilling indtages navnlig, naar Larven vil stige. 

Det er vanskeligt nok at kunne forklare sig denne Evne hos Larven til at stige og 
synke i Vandet. I Almindelighed tydes i den senere Tid Luftsækkene som saadanne hy- 
drostatiske Organer, uden at man dog har tænkt paa den Vanskelighed, som fremkommer 
ved, at de spæde Larver ikke have Luft, men Serum i disse Sække, eller ved at Luftsæk- 
kene tages ud ved Larvens Forvandling til Puppe, og saa Puppen dog, omend maaske i 
noget indskrenket Grad, beholder Evnen til at stige og synke. Saaledes siger Weismann, 
l.c.p. 55, om Luftsekkene: «Ihre physiologische Bedeutung ist indessen wohl weniger die 
eines Athmungs- als die eines hydrostatischen Apparates, der allein es der Larve möglich 


43 411 


macht, an beliebiger Stelle im Wasser sich ohne die geringste Schwimmbewegung schwe- 
bend zu halten» ; ogsaa Palmen, |. c. p. 61, bekræfter Weismanns Opfattelse. Ligeledes ligner 
Rymer Jones, I. c. p. 102, ligesaavel som Lyonet Luftsekkene ved Svommeblærer, og siger, 
at Larven ved dem er i Stand til at stige eller synke, «just as a Gold-fish rises or descends 
by means of its swimming-bladder». Ældre Forfattere som Reaumur, l.c.p.41, kalder 
dem enten, vistnok blot af Hensyn til deres Form, «les quatre especes de reins», eller 
betegner dem. simpelthen, som De Geer, 1.c.p. 387, som «les organes de respiration», 
eller anseer dem, som Götze, Il. c. B. I. p.373, for Aandedretsredskaber med ligesaa mange 
Spirakler, som der er sorte Punkter (9: «Pigmentceller») paa dem. Slabber, l.c.p.9, an- 
seer dem for 4 Maver, men fojer dog til: «Ich gebe jeden die Freyheit davon zu denken 
was er will». Lichtenstein, l.c.p. 171, lader de to forreste Luftsække staa i nøje umid- 
delbar Forbindelse med Spisereret og med «der langen, die Stelle des Herzens vertretenden 
Pulsader, und auch mit den Lungen des Thierchens», hvorimod de to bageste Luftsække 
(l.e. p. 172) «Eiersäcke zu seyn scheinen». Fischer anbringer dem, som for omtalt, uden- 
paa Larven og kalder dem, l.c.p.7, «les deux bulles». Lyonet, |. c. p. 90, anseer dem for 
sandsynligvis at svare til Fiskens Svommeblærer, saaledes som vi alt have anført. Karsch, 
l.c. p.11, kalder dem «organa respiratoria» og negter, at de kunne vere eller svare til 
«vesiculæ aëriferæ (inservientes) Physaliæ aut piscibus ... scilicet ad mergendum», eftersom 
«neque contractio neque expansio neque aéris dimissio possunt observari» ; dog uagtet «simile 
organum respiratorium nusquam inanimalium regno observatum fuerit, 
tamen diutius hæsitare non potuimus (nemlig om deres Betydning som Respirationsorgan). 
Certe enim omnia organa respiratoria alioquin in culicum larvis obvenientia plane desunt». 

Naar Vandet, de opbevares i, er halvraaddent, omend klart, og naar de lide Hunger, 
seer man Larverne ikke sjeldent flyde oven i Vandskorpen med nesten Halvdelen af Krop- 
pen tor; naar de da dukkes under Vandet, flyde de gjerne ovenpaa igjen. Luftsekkene hos 
saadanne Individer ere forekomne mig snarere smaa end store. 

Naar Forvandlingen til Puppe nærmer sig, sees Puppens Nakkerer i en skraa Stil- 
ling med Spidsen rettet nedad og fremefter at skinne igjennem Larvens Hud; tilsidst frem- 
træde de som et Par næsten sorte Legemer. Selve Forvandlingen foregaaer nede i Vandet 
og meget hurtigt. Den indledes med, at Larven bliver meget urolig og hyppigt slaaer korte 
Sideslag med Halen og Svommeviften, og den begynder med, at Puppens Halespids trækkes 
ud af Larvens Halespids og dens Hoved baglends af Larvens Hoved, uden at Larvehuden 
her brydes, men denne brister ikke for end i Oversiden af Kroppens forreste Ring, og Spidsen af 
Nakkerorene kommer da frem. Er forst Bristningen skeet, rejser Larven sig fra den vandrette 
Stilling til en lodret, og hele Larvehuden synker eller maaske presses nedad og gaaer til- 
bunds. Larvens Tracheesystem og Luftsekkene med den indesluttede Luft trekkes ud, saa 
at Puppen i Begyndelsen er lufttom. Den udtrukne Luft slippes dog ikke los, men med 


ro 
52 


412 | 44 


Undtagelse af den ringere Mængde, som bliver tilbage i de udtrukne Luftsække og Tra- 
cheer, samler den sig til en sterre Luftblere, som omsluttes af Brystets Underside og 
Vingeskederne, og virker som en «Flydekugle» til at bere Puppen, at denne kan holde sig 
svevende i Vandet. 

Forvandlingen eller Hudskiftningen gaaer meget hurtigt for sig og er derfor vanskelig 
at iagttage, saa meget mere som Dyret ikke er meget roligt, men stadig maa følges med 
Loupen for Øjet, og det er da ogsaa kun et Par Gange lykkedes mig at iagttage den; den 
ene Gang lykkedes dog Forvandlingen ikke helt, idet Puppen ikke kunde frigjore sit Hoved 
fra Larvehovedet, og den stejede derfor en 5 Min. omkring, indtil jeg kom den i Spirilus. 
Saavidt jeg har kunnet iagttage, brister Larvehuden efter en Linje tværs over Brystets for- 
reste Del, og det er sikkert, at der ikke hos Larven findes en Længdespalte ad Bryststykkets 
Ryglinje, saaledes som hos Puppen, eller blot Antydning hertil. I det udtrukne Trachee- 
system med Luftsekkene findes, naar det undersøges kort efter Hudskiftningen, endel Luft; 
men dog er den her forekommende Luft kun en ringe Del mod den Luftmasse, som samles 
under Puppens Bryst. Om Luftfyldningen hos Puppen see iøvrigt det følgende Afsnit. 
Den af mig iagttagne fuldt udviklede Puppe sank strax efter Hudskiftningen tilbunds, og 
det tog lengere Tid, inden den kunde heve sig til Vandets Overflade, og for at gjore dette 
maatte den i Begyndelsen gjøre temmelig stærke Slag med Halens Svemmeblade. Rime- 
ligvis var der bleven for megen Luft tilbage i det udtrukne Tracheesystem, som forekom 
mig at indeholde mer Luft end sædvanligt, hvorved «Flydekuglen» var bleven for lille. 

Den Beskrivelse af Puppen, som her vel maatte vere paa sit Sted, kan jeg nesten 
spare, idet jeg henviser til min Fig.54. Dog maa jeg fremheve om Farven, at denne 
i Begyndelsen er hvid og klar, omend mere mat end hos Larven, men saa til Gjen- 
gjeld uden det gule Skjer, der er saa almindeligt hos denne. Luftsækkenes sorte 
Pigmentceller, som ikke trekkes ud med Luftsekkene, skinne i Begyndelsen gjennem Pup- 
pens Overhud. Efterhaanden bliver dog Puppens Farve mattere og mattere, og henimod 
Forvandlingen til Imago bliver den brunlig, og Imagos Farvetegning skinner igjennem 
Puppehuden med en sort, bred, dobbelt Stribe henad Midtlinjen af Ryggen og med to Side- 
striber; desuden ere ogsaa Nakkergrene mørke, ligesom Øjnene ere gjennemskinnende sorte. 
Nakkerørene ere stærkt udpræget teenformede, med et gittret Udseende, Fig. 55, og en fin 
Spalte i den til en Spids udtrukne Forende. Hale- eller Svømmebladene ere forholdsvis 
store, afstivede navnlig i Siderandene af en stærk, crenuleret Chitinliste, og gjennemløbne 
af en anden Liste omtrent i deres Midtlinje, Fig. 56. Tracheeforgreningen i dem er kun 
svagt udpræget. 

Medens Weismann, l.c. p.64, lader Nakkererene, hans «Stigmenkiemen», være 
aabne i Spidsen, og endogsaa lader hele Puppens Tracheesystem fyldes med Luft gjennem 
disse Aabninger, fremhæver Palmen derimod det Modsatte, |. c. p. 63, og skriver saaledes, 


45 413 


med spærret Skrift, «weil an den erwähnten Organen gar keine Oellnungen oder Stigmen 
zu finden sind», jfr. ogsaa hans Figur 23. Jeg har nu, som sagt, fundet en virkelig Aab- 
ning i Form af en ganske fin Længdespalte i Spidsen af Nakkerorene. Om Betydningen 
af Nakkerorene se det folgende Afsnit. 

Den stærke Fremtreden af Halebladenes Chitinlister, ligeoverfor samme Blades 
klare, gjennemsigtige Hud, har gjort det muligt for mindre nojagtige Undersogere enten, som 
Fischer, kun at afbilde disse 3 Lister som frie Børster eller Torne, jfr. hans Fig.8 og 11, 
eller, som Karsox, at lade hvert Blad bestaa af 2 Blade, jfr. hans Fig. 9. 

Puppen staaer lodret nede i Vandet, ofte i lang Tid ubevægelig paa samme Sted, 
men er iovrigt i Stand til baade at stige og synke med megen Langsomhed uden synlige 
Bevegelser. Ofte finder man den ogsaa, som det synes navnlig paa et senere Stadium 
af dens Puppestand, staaende i Vandet og slaa korte, hurtige Slag frem og tilbage med 
Hovedet, og det er vistnok ogsaa forst henimod Forvandlingen til Imago, at den kommer 
hyppigere til Overfladen af Vandet og stikker Spidsen af Nakkerorene op over denne; men 
sjeldent holder den sig dog længe i denne Stilling. Endnu langl sjeldnere er det at see 
Puppen staa saa hojt i Vandet, at den med den overste eller forreste Del af Prothorax 
rorer Undersiden af Vandskorpen; i saa Tilfælde legges Nakkerorene fremefter parallelt 
med Vandskorpen og uden at bryde denne sely med den yderste Spids. Puppen synes i 
dette Tilfælde at have Vanskelighed med at synke, og naar den ved Hjælp af kraftige Slag 
med Halebladene er kommet et Stykke ned i Vandet, seer man den alter stige rask i Veiret 
igjen, saa at hele denne Stilling mere synes fremkaldt ved en for stærk Luftudvikling i 
Puppen og deraf folgende specitisk Lethed, end skyldes Hensynet til Aandedrættet. Dog i 
Reglen gaaer baade Stigningen og Synkningen meget langsomt for sig, og Corethra-Puppen 
kjender ikke noget til den Hurtighed og Voldsomhed, hvormed andre Myggepupper, saasom 
Culex- og Tanypus-Pupper, fare omkring i Vandet. 

Naar Puppen mister begge sine Nakkeror, bliver den meget urolig og soger stadigt 
op i Vandskorpen, uden dog at kunne holde sig her, men synker hurtigt, naar den da 
ikke er saa heldig at komme til at flyde paa en i Vandet svømmende Gjenstand. Har 
Puppen kun mistet det ene Nakkerer, kan den blive staaende midt i Vandet, men den 
soger dog gjerne op og ligger da længe med Nakkerorets aabne Spids over Vandskorpen. 
Det er ikke lykkedes mig at klække Pupper, som fattedes begge Nakkeror, hvorimod Savnet 
af det ene Ror ikke medforer Doden eller Standsning i Udviklingen. 

Med Hensyn til Puppens og Larvens Sejglivethed kan jeg anfore, at jeg har seet 
en Puppe leve i 15 Graders Spiritus i 4 Min. 10 Sec., hvorimod Larven i samme Vedske 
kun holdt det ud i 14 Sec. I kogt Vand har jeg havt Larven levende i flere Dage") (om 


1) I vel kogt Vand satte jeg, efter at have sikret mig mod Tilstedeværelsen eller Indtrængen af atmo- 
sphærisk Luft, den 78/1185 tre Larver. Alle tre Larver befandt sig strax ilde, og den ene af dem 


414 46 


Vinteren — Dvaletilstand?). I Modsetning hertil siger Rymer Jones, |. €. p. 103, om Larven 
«at the touch of glycerine or syrup (however much diluted) they shrink up into a shapeless 
heap, and by the weakest spirit are converted into masses of distortion». 

Puppehvilen eller Puppestanden varer, ialtfald i Fangenskab, kun nogle faa Dage, og 
Forvandlingen til Myg indledes, som sædvanligt, med at Puppen bliver urolig og gjer nogle 
korte Nik eller Sving med Hovedet fremefter; dernæst gjor den de voldsomste Bevægelser 
eller Volter i Vandet, og bliver helt solvglinsende af Luftlaget, som lejrer sig mellem Puppe- 
huden og Imagos Hudskelet; derpaa hever den sig op til Vandskorpen, legger sig med 
Rygsiden plat under denne og bejer nu Brystet tilbage i en Vinkel mod Bagkroppen, hvor 
ved altsaa dettes Overside hever sig lidt over Vandfladen. Puppehuden brister nu langs 
Midtlinien af Ryggen, Myggen skyder sig frem, staaer et- Øjeblik frit paa Vandfladen, ud- 
stoder i Lobet af nogle Secunder en 7—10 melkeagtige Blerer eller Kugler, «Meconiums- 
blærer», og flyver saa op. Hele Forvandlingen tager kun ‘/2—3 Min. 

Lengden af Puppehvilen har jeg om Foraaret fundet at vere 4--5 Dage, lengere 
hen paa Sommeren knap 4 Dage. Selve Udkrybningen af Puppehuden tager kun 30—40 
Sekunder, men ofte kan det tage een eller to Minutter, inden Ryggen begynder at revne, 
eller der kan ogsaa gaa et Par Minutter fra det Øjeblik, Spalten har dannet sig, til den ret 
udvider sig; men saa snart Spaltens Udvidning rigtig tager fat, skyder Myggen op i en 
Fart, og staaer, som sagt, i Lobet af en 30—40 Sek. med fuldtudviklede og spærrede Ben 
paa Vandfladen. «Meconiumblerernes» Udskydning skeer med Mellemrum af 1—11/2 Sek.; 
deres Farve er mælkehvid og de opløse sig hurtigt i Vandet. 

Réaumur, |.c.p.42, lader Puppehvilen vare en 10—12 Dage, og SLaBBer, som 
erklerer Puppens Farve for at vere meget forskjellig, men tillige fremhever, at de alle 
i Løbet af en 10—12 Dage blive sortladne, lader Puppehvilen vare en 16—18 Dage, 
l. c. p.11. 


gik tilbunds, medens de to andre flod ovenpaa. Senere hen paa Formiddagen kom de dog noget 
til Kræfter, og efter et Par Timers Forleb kunde de alle holde sig svævende midt i Vandet; dog 
vare de matte og sloge kun meget sjeldent Slag med Haleviften. Saaledes ogsaa den 
folgende Dag. Den tredje Dags Morgen derimod var den ene Larve dod (med bojet og fremstrakt 
Hoved, med aabne Kindbakker og stærkt indsnorede Bagkropsled). Efter andre to Dages Forløb, 
d. 7/12, var ogsaa den anden Larve dod, efterat den i Mellemtiden havde holdt sig rolig liggende 
paa Bunden af Glasset, men den tredje Larve levede endnu, holdt sig midt i Vandet og slog af og 
til nogle smaa Slag. Forst to Dage efter, altsaa sex Dage efterat den var sat i det kogte Vand, 
dode ogsaa den tredje Larve og steg ligesom den forste Larve op til Overfladen af Vandet. I denne 
Stilling, de to Larver flydende ovenpaa og den tredie sunket tilbunds, holdt nu de dede Larver sig 
de folgende Dage; kun begyndte den ene af de «lette» Larver at synke med Bagkroppen, saa den 
stod lodret i Vandet. Med Hensyn til Indholdet af Luftsekkene, saa var der fra Begyndelsen af 
ikke megen Luft i dem, men nogen Luft var der dog hele Tiden, omend Luften syntes at svinde 
noget i Rumfang i Lobet af de sex Dage. : 


47 415 


Tracheesystemet. 


Tracheesystemet hos Corethra-Larven er fuldkomment lukket uden Spor til Spirakler 
eller anden aaben Forbindelse med Luften i eller udenfor Vandet. 

Allerede en rum Tid, inden Larven forlader Ægget, seer man inde i den 2 Par store 
runde, serumfyldte Sække, Fig. 50 aa, hvilke Sække yderst ere omgivne af et Lag tykke 
Geller, Fig. 51. Ogsaa efterat Larverne have forladt Ægget, seer man i nogen Tid disse 
Sekke fyldte med Serum, men pludseligt fyldes de med Luft, der som oftest i et Øjeblik 
helt fortrenger og udfylder Sekkene. 

Selve Luftfyldningen har jeg ikke seet, men den maa foregaa meget hurtig; thi 
medens jeg havde en sterre Mengde nysudkrobne Larver under samme Dekglas og vexelvis 
betragtede de enkelte Larver, viste det sig, at nogle af disse, medens de en kort Tid havde 
været udenfor Synskredsen, vare i Mellemtiden fyldte med Luft. Oftest fyldes alle fire 
Sekke samtidigt, men undertiden kan det skee, at kun det ene Par Sekke fyldes med Luft, 
medens det andet Par i nogen Tid vedbliver at vere serumfyldt; og endnu sjeldnere fyldes 
Sekkene ikke med eet Slag, men Luften kan enten lade en smal Kalot af Vedske tilbage 
paa den ene Side, eller den kan sidde som en stor Luftdraabe paa Luftsekkens indre 
Veg, Fig. 53. 

Leypie, |. ©. p. 444, siger allerede, at Tracheesystemet er lukket eller «stigmenlos«. 
Weismann, |. c. p. 56, taler om, at han hos den spæde Larve ikke har fundet Luft i Sekkene: 
«ja selbst die vier Tracheenblasen sind am ersten Lebenstag noch luftleer» (dog egentlig 
lufttom kunne disse Sække vel ikke anlages at vere), og at det er i Lobet af det forste 
Døgn af Larvens Liv, at Luftfyldningen finder Sted. Poucher, hvis Arbejde navnlig gaaer 
ud paa Tracheernes Udvikling, maa beklage, at han ikke har truffet Larver i deres forste, 
frie Stadium, endsige endnu i Ægget, I. c.p. 218: «nous n'avons pu suivre ni l’apparition 
ni la premiére évolution de ceux-ci.» 

I Begyndelsen af Larvens Liv findes der foruden Luftsekkene ikke Spor til noget Tra- 
cheesystem, men dette begynder forst efterhaanden at udvikle sig, og det (saaledes som jeg 
ogsaa har iagttaget det hos andre Chironomus-Larver) stykkevis, idet der omtrent for 
hvert Kropsegment indeniBindevævssystemetforstudvikles en meget kort og 
tynd Lengdestamme, som sender fine, lange, ganske tynde Strenge op gjennem Binde- 
vævet. Ligesom hver Del af Tracheesystemet anlægges og udvikles for sig, saaledes fyldes 
det ogsaa stykkevis med Luft, idet Luftfyldningen begynder med de korte Lengdestammer 
og derfra fortsetter sig ud i Sidegrenene. Spiraklernes Stammer eller Sidestrengene (funi- 
culi Palmén) fyldes aldrig med Luft, og de synes da ogsaa at skylde ikke Bindevevet, men 
snarere Ektodermen deres Udvikling. Efter Luftsækkene er det Tracheesystemet i Hovedel 
med de lange Stammer og de faa Sidegrene, som forst sees luftfyldte, dernæst de Stykker 
Tracheer, som ere Luftsekkene nærmest. Det er af højeste Vigtighed her at fremhæve, al 


416 48 


disse Tracheesystemer eller Stykker af Tracheer fyldes hvert for sig og 
alle centrifugalt eller fra deres proximale til deres distale Ende. Luft- 
sækkene betragter jeg som anden og tiende Kroprings Længdestammer, som her altsaa 
have opnaaet en enorm Udvikling; de staa ogsaa i god Forbindelse med det ovrige Trachee- 
system, om end selve Forbindelsen dannes ved en lille Opsvulmning paa Enden af Luft- 
sækkenes Tracheesystemer, Fig. 41 b; Fig. 45 a. 

Paa Fig. 40—44 har jeg fremstillet, hvorledes Tracheedannelsen og Luftfyldningen 
skrider frem; Fig. 40 og 43 vise, hvorledes Udviklingen skrider frem fra en af Luftsækkene af, 
og ved Fig. 44 seer man, hvorledes der i den yderste Spids af Luftsækkenes Proces endnu 
kun viser sig en indre Streng i Cellemassen, uden at Rordannelsen eller Luftfyldningen er 
trængt frem hertil. Fig. 46—49 fremstiller Tracheestykker i Dannelse fra andre af Kroppens 
Segmenter. Der sees kun delvis Luft i Tracheerne, og i Fig. 46 er saaledes kun den i 
Fig. 47 forstørrede Del, som svarer til Luftsekkene i anden og tiende Kropled, luftfyldt. 

Hverken Tracheesystemet eller Luftsækkene fornyes hos Corethra-Larven, saaledes 
som hos Culex-Larven eller, efter en mindre Maalestok, hos Mochlonyx-Larven, jfr. det 
Folgende. Heller ikke lider den indesluttede Luft nogen kjendelig Forandring: svinder ikke 
bort eller drages ud af Kroppen; men Udviklingen af Larvens Tracheesystem foregaaer vist- 
nok uafbrudt, uden Standsninger og Afbrydelser igjennem hele Larvens Liv. 

Af det Fremforte vil man see, at jeg omtrent er enig med Leynie, naar han, l.c. 
p.445, om Luftsækkene siger: «Die vier grossen Tracheenblasen entstehen dadurch, dass 
die Stammchen des zweiten Körpergliedes (Brust), sowie des neunten sich erweitern und 
grosse Luftbehälter darstellen», thi om de end udvikle sig endnu i Ægget og altsaa langt 
tidligere end nogen anden Del af Tracheesystemet, saa er deres Udviklingsmaade vel lige- 
som de almindelige Tracheers kun en Dannelse af et Huulrum indeni en Cellegruppe. 
Derimod kan jeg ikke vere ret enig med samme udmerkede Forfatters Opfattelse af Tra- 
cheernes Overgang i eller Forbindelse med stærkt forgrenede Celler, naar han saaledes, |. c. 
p. 445, siger: «sie (9: Tracheernes ydre Hinde)... steht bei der letzten Endausbreitung der 
Tracheen in Verbindung mit starkverzweigten Zellen, deren Strahlen also die eigentlichen 
Enden der Tracheen sind» — eller, som han andensteds siger, med et Net af grenede Celler, 
l.c.p. 446: «Auch hier löst sich das Stämmchen in ein aus verästelten Zellen bestehendes 
Netz auf.» 

Derimod forekommer det mig, at min Fremstilling, ialfald for de Tracheers Ved- 
kommende, som ere en Fortsættelse af Luftsækkene, stemmer med Herm. Meyers Opfattelse, 
Zeitschr. f. wiss. Zool. I. p.181, naar han siger: «die feineren Aeste entstehen in ästigen 
Auswüchsen der Zellen des Hauptstammes. Man kann sich davon bei jungen Raupen 
überzeugen, wo man häufig an dem Hauptstamme einen seitlichen Auswuch erkennt, welcher 
erst theilweise mit Spiralfaden belegt ist.» 


49 47 


Med Weismann, lI. c. p.56—57, kan jeg vere enig, forsaavidt som han antager, at 
Tracheerne først efterhaanden fyldes med Luft, at Tracheerne ikke underkastes Iudskiftning, 
og at Puppens fuldstendige Tracheesystem udvikles i Larven fra Embryonet af; derimod tor jeg 
ikke paastaa, at Tracheesystemet er fuldstendigt anlagt i det unge Dyr og endnu mindre, 
at Udviklingen skeer centripetalt fra forskjellige Steder i Peripherien. Som rimeligt er, 
lægger Weismann her ikke ringe Vægt paa, at Sligmata eller Spirakler mangle, og at 
Tracheernes Intima saaledes ikke er i Continuitet med Hudskelettet, og altsaa heller ikke 
kan eller maa skiftes samtidigt med dette. At der ogsaa hos Corethra-Larven findes Spi- 
rakelstammer eller Sidestrenge, var dog den Gang Weismann ubekjendt. 

Pouchet fremhæver først med Styrke, |. c. p. 218, at Luftfyldningen i Luftsekkene skeer 
ikke fra uden: «Ce gaz comme celui qui remplit d'abord les trachees, chez les insectes 
ou elles s’ouvrent à l’exterieur n’est pas emprunté au dehors. Il est tiré direc- 
tement de l’économie», men udtaler dernæst ogsaa, at selve Tracheerne, ligesom hos 
Fluelarver, fyldes «de l’intérieur à l'extérieur». Pouchet erklærer sig ogsaa uenig med 
Weismann i dennes Paastand, at Tracheernes Sidegrene ere tilstede fra Larvens forste 
Stadium, idet han, I. c.p. 224, siger: «Weismann pertend que la trachée latérale qui par- 
court la longueur du corps de celles-ci, existe de tout temps à l’état embryonnaire dès le 
commencement de la vie de la larve», og saa tilfojer paa den folgende Side: «Malgré tous 
nos efforts nous n'avons pu retrouver sur les jeunes larves ces trachées rudimentaires», 
og videre, p. 219: «Ces petites trachées se montrent quand le moment de la métamorphose 
approche. ... La première apparaît sur le côté de la tête mais très tardivement pendant la 
plus grande partie de l'existence de la larve, on ne voit aucune trace ni de celle-ci ni 
des autres». 

Palmen er, |. c. p. 56—57, gaaet nærmere ind paa Udviklingen af Tracheesystemet 
hos Corethra-Larven og imodegaaer Weismann i et Par Punkter. Af storst Betydning fore- 
kommer det mig dog at være, at Palmen ogsaa hos denne Larve har eftervist Tracheernes 
Sidestrenge eller Spirakelstammer (funiculi) og disses Forbindelse med Hovedtracheesyste- 
mets Stykker; men naar han mod Weismann bruger denne Omstendighed som Bevis for, 
at ved Larvens forskjellige Hudskiftninger ogsaa hele Tracheesystemet fornyes med det 
Samme, saaledes som hos Culex-Larverne, saa maa jeg forst bemerke, at «a posse ad esse non 
valet consequentia», og at det dernest vilde vere lidet rimeligt at antage, at Weismann skulde 
kunne ved alle de af ham iagttagne lludskiftninger have overseet de afskudte Tracheer og Luft- 
sække med den indesluttede Luft. Selv har jeg ikke havt Lejlighed til at undersoge Hudene, som 
fremkomme ved Overgangene paa Larvens forskjellige Stadier hos selve Corethra-Laryen, 
men jeg har kunnet undersøge dem hos Mochlonyx-Larverne, og jeg troer mig derved be- 
rettiget til at fremsætte den Formodning, at ogsaa hos førstnævnte Larve finder paa dens 
Mellemstadier ingen Fornyelse af Tracheernes Intima Sted. Hvorledes det gaaer ved Hud- 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. III, 4 53 


418 50 


skifiningen til Puppestanden, skulle vi snart see. lovrigt giver Palmen, |. c. p.61, Weis- 
mann Ret i, at Respirationen hos Larven vesentligst foregaaer gjennem Huden, og at Luft- 
sekkene hovedsagelig ere et hydrostatisk Apparat. 

I sidste Larvesladium udvikles navnlig Tracheernes Lengdestammer i de enkelte 
Kropled, og de voxe sammen og danne to fortlobende Ror eller Tracheer, som vistnok ere 
de samme som eller danne Grundlaget for Puppens og Imagos Lengdestammer. Ved Forvand- 
lingen til Puppe trekkes nu Luftsekkene og Længdestammerne ud af Kroppen og den 
indelukkede Luft med dem. Det er dog kun den mindste Del af denne Lufimasse, som 
forbliver i de udtrukne Luftsekke og Tracheer, men den største Del af Luften samler sig lil 
en stor Luftblere, som omsluttes af Brystets Underside og Vingeskederne hos Puppen, og 
som ljener til «Flydekugle» for denne, naar den i den følgende Tid staaer svævende midt 
i Vandet. Det Lag af store Pigmentceller, som fra Larvens lidligste Stadium har ligget 
lejret udenpaa Luftsekkene, og som har bevaret sin Form og Leje under de forskjellige 
Hudskiftninger, bliver ogsaa tilbage i Kroppen, og Pigmentcellerne fra de bageste Luftsekke 
bevare som oftest fremdeles deres Plads og sees i nogen Tid at skinne gjennem Puppens 
Hud, medens Pigmentcellerne fra de forreste Luftsekke langt hurtigere sprede sig og svinde 
bort i Puppens Forkrop. 

Som Folge af Luftens Udtrækning er i Puppen saavel det indre Tracheesystem 
som Nakkererene lufttomme eller rettere serumfyldte, og det er forst efterhaanden, at man 
seer Lengdestammerne atter fyldes med Luft, ligesom det ogsaa varer en rum Tid, inden 
Nakkererene fyldes helt med Luft. Tracheesidegrenene og Halebladenes Tracheer fyldes 
langt senere end Lengdestammerne. 

Det er sikkert, at Luften trækkes ud af Larven, og at man, naar man sirax efter 
Forvandlingen undersøger den afskudte Larvehud, vil finde mer eller mindre Luft enten 
alene i Luftsekkene eller ogsaa tillige i Tracheerne. Dernest er det ogsaa sikkert, at den 
store Luftblere, som hos Puppen strax findes mellem Vingeskederne, ikke er atmosphærisk 
Luft, som Puppen har erhvervet sig under Forvandlingen; thi baade har jeg faaet Larver 
lykkeligt til at forvandle sig og forsyne sig med den omtalle Luftblere, uagtet de vare af- 
sperrede fra Vandets Overflade, men, hvad mere er, jeg har tvende Gange seet Forvandlingen 
foregaa under Vandet, uden at Larven eller den nye Puppe kom ner til, endsige rerte ved 
Vandfladen. levrigt ligger bemeldte Luftblere los mellem Vingeskederne, og naar man 
sperrer disse fra hinanden under Vand, vil ogsaa Luften stige op i een eller flere Bobler; 
ja man behever ikke engang at rere ved Vingeskederne, men naar man blot kommer Puppen 
i et vandfvidt Cylinderglas af saa ringe Tykkelse, at den ikke kan vende sig i Glasset, og 
derpaa stiller Puppen med Hovedet nedad, saa vil samme Luftblere eller Luftkugle helt 


eller delvis rive sig las fra Vingeskederne og slige op i Glassel. 


51 119 


~ 


Slabber, I. e. p. 10, omtaler de bageste Luftsekkes Pigmenthobe i Puppen som «die 
Ueberbleibsel der vorbeschriebenen hintern Nieren» og afbilder dem tydeligt, Tab. HE Fig. 6d. 

Weismanns Opfattelse af Luftsekkenes Omdannelse eller rettere deres Forsvinden 
er helt urigtig, baade naar han mener, at kun de bageste Luftsekke forsvinde, 1. ec. p. 109: 
«Zwar die hinteren Schwimm- oder Tracheenblasen der Larve bei Verpuppung zerstört wer- 
den, nicht aber die vorderen», og naar han antager, at de forreste Luftsekkes tykke 
Vægge absorberes indeni Puppen («Vermuthlich zerfällt auch sie [o: Intima] innerhalb des 
Körpers»). Om begge Sekkes Udtrækning veed han altsaa ikke noget. 

Pouchet fremhever, at Puppens Tracheelengdestammer ere forskjellige fra Larvens 
(imod hvilken Opfattelse jeg har udtall mig i det Foregaaende omend med nogen Usikker- 
hed), og at de anlegges serumfyldte; dernest mener han, at de forst fyldes med Luft, 
‚naar de gamle Luftsekke trekkes ud af Kroppen, og han fremhæver endelig den særegne 
Beskaffenhed af det Lag Pigmentceller, der som et ydre Lag omgiver Luftsekkenes Tunica 
propria, og ligner dem med Vertebraternes Chromoblaster, idet han ogsaa tildeler dem stor 
Betydning ved Dannelsen af Puppens Tracheesystem. Dette Tracheesystem lader Pouchet opstaa 
af serumfyldle Forlængelser af Luftsekkene, som skulle gaa gjennem hele Kroppen og vere for- 
bundne eller adskilte ved selve Luftsekkene; naar saa Luftsekkene med Luften bleve trukne 
ud, skulde Tracheesystemets adskilte Stykker forbindes paa hver Side af Kroppen til et Hele. 
Et væsentligt Fremskridt ligeoverfor Weismann er det, at Pouchet har seet, at Luftsekkene 
blive udtrukne (at ogsaa det øvrige Trachee lider samme Medfart, har han overseet); der- 
imod maa jeg ansee det for meget uheldigt at betragte Luftbleren eller Luftkuglen mellem 
Vingeskederne og Brystet som liggende indenfor Puppens Hud, |. c. p. 230: «Le gaz est au 
contact même des tissus». Overhovedet mener han, at Luften i Larven bliver i Puppen, 
idet en Del, men kun en Del, af den anvendes til at fylde Puppens Tracheesystem, medens 
Resten danner den omtalte store, indre Luftblere; han siger nemlig, l.c.p. 229: «L'air 
contenu dans les sacs n'est pas expulsé avec leurs parois. Une partie de celui-ci passe 
subitement dans les troncs en en chassant le liquide hyalin qui les occupait; mais une 
partie seulement.» 

Puppens Nakkeror have Intet med forste eller noget andet Spirakel at gjore, saa- 
ledes at de kunne betragtes som en Fortsættelse eller en Erstatning af disse, men de dan- 
nes ganske uafhængigt af dem. De anlægges under Larvehuden som en Fold af andet Kropleds 
Rygflade og ere i Begyndelsen serumfyldte. Henimod Forvandlingen til Imago fyldes de 
dog mer eller mindre med Luft, men Luften fylder Nakkerorene fra deres proximale 
Ende, og fortil holder sig nogen Serum, oftest i kortere eller længere Tid efterat Puppen 
har forladt Larvehuden; blive Nakkerorene overfyldte med Luft, kan en Del af denne ud- 
skilles gjennem den meget fine Spalte i Nakkerorenes Spidse. Iøvrigt synes Nakkerorenes 
Betydning kun at vere ringe for Aandedrettets Vedkommende og heller ikke i hydrostatisk 


x 


53 


420 52 


Henseende ere de meget værd, da Puppen uden synderlig Ulempe kan undvære det ene af 
dem og endda komme vel over Forvandlingen til Imago, ja endogsaa dem begge i længere 
Tid. Jfr. forresten den biologiske Del af denne Larvebeskrivelse. 

Reaumur siger, 1. c. p.92, at Puppen sædvanligt stikker Spidsen af Nakkerorene op 
over Vandet, saa at deres Betydning jo maa vere tydelig, og kort efter føjer han til: «ll 
y a grande apparence que les deux plus grands de ces corps en forme de rein [9: de for- 
reste Luftsekke] . .. sont par la suite les deux cornes [9: Nakkerorene] de la nymphe»; 
med den sidste Forklaring stemmer Karsch, 1.c.p.15, i med, idet han siger om den: 
«haud a vero videtur abhorrere». De Geer, |. c. p. 387, følger her Réaumur. Ogsaa Slabber, 
1. c. p. 10, lader Nakkerorene tjene Puppen til Aandedrætsorganer, og Lyonet, |. c. p. 92, 
siger, at Puppen holder sig i Overfladen af Vandet med Spidsen af Rorene for derigjennem 
at drage Aande: «respirer l'air». 

Rymer Jones, Il. c.p. 102—3, mener, at ved Forvandlingen briste Luftsækkene og 
omdannes («unfold themselves») til et udviklet (»elaborate») Trachee-System; dernæst an- 
lager han, at der paa Luftsækkenes Plads kun bliver spredte Hinder, dækkede af Pletter 
af sort Pigment, og i Nærheden heraf Luftblerer («tattered remnants of their external coats, 
clearly indicated by ragged membranes, covered wilh patches of black pigment, in the 
immediate vicinity of which I have invariably met with numerous air-bubles, extravasated 
as it were into the cellular tissue, as tough forced out by some leakage during the violent 
dirruption of the air-sac». 

Weismann betragter Nakkererene væsenligst som Gjæller og kalder dem ligefrem 
«Kiemen» eller «Stigmenkiemen», idet han mener, at de forene Gjællens 9: Tracheegjællens 
og Stigmets eller Spiraklets Virksomhed, men han gaaer tillige med Urette ud fra, at de fyldes 
med Luft udvendigfra gjennem Spalten i deres Spidse; han udtrykker sig, I. c. p. 108, saaledes: 
«Die Aufnahme von Luft geschieht auf doppelte Weise, einmal, wie bei jeder Kieme durch 
Abscheidung der Luft aus dem Wasser, dann aber auch direct aus der Luft». 

Pouchet fremhæver, at Nakkerorene, allerede medens de ligge under Larvehuden, 
ere fyldte med Luft, og at Luftfyldningen just er Tegn paa, at Forvandlingen stunder til; 
han erklærer sig derfor mod den af Weismann paastaaede Luftfyldning udvendig fra, ja er 
ikke engang sikker paa, at Nakkerorene have Spalter i Spidsen. Hans Ord, |. c. p. 226, ere 
disse: «Il est probable toutefois, que ces cornes sont percées à leur sommet d'un 
orifice, qui affleure la surface de l’eau, en sorte que l’échange au moins en partie se fait 
directement entre l'atmosphère et les gaz nés au sein de l’organisme de la larve, mais cet 
échange en tout cas est moins que dans la nymphe du cousin». 

Palmen, |. c.p. 63, kalder Nakkerorene blot «Prothoracalanhänge», og siger om 
dem: «die neuen Protoralcalanhänge werden von den Tracheenblasen und Tracheenstammen, 
aber nicht von aussen mil Gas erfiillt». Med den sidste Del af dette Udsagn kan jeg 


53 42] 


samstemme, uaglel jeg anseer den af Palmen anforte Grund (»weil an den erwähnten Or- 
ganen gar keine Oeffnungen oder Stigmen zu finden sind») for at bero paa uriglig lagt- 
tagelse. I det Følgende udvikler nu Palmen videre, hvorledes de i Virkeligheden skulle 
være lukkede, og han henviser her til Fig. 23. Men som allerede anfort i det Foregaaende, 
maa jeg med Hensyn til Bygningen af Nakkerorenes Spidse give Weismann Ret ligeoverfor 
Palmen. Endelig tyder Palmen Puppens Haleblade som Tracheegjæller; men hverken i denne 
Tydning eller i den hele herpaa grundede homologiske Opfattelse kan jeg folge ham. 


Corethra pallida. 


Arten er langt sjeldnere og mere stedegen end Cor. plumicornis, og jeg har kun 
een Gang fundet Larven sammen med sidstnævnte Arts Larve, men da i Antal. Det var den 
23. April 1882, at jeg fandt de omtalte Larver i Dyrehaven i et lavt Vandhul paa en lille 
Aabning i Skoven, og af de medtagne Larver kom der den 2. Maj en Cor. pallida Han frem. 

Ligesom Imago udmærker sig ved de morke Baand paa den hvide Grund, saaledes 
gjer ogsaa Larven det, idet der paa Forkroppen findes 3 smalle, morkfarvede Baand, og 
paa Bagkroppen 8 lignende, om end noget bredere. Baandene eller Bælterne ere paa 
Bagkroppen anbragte paa Leddenes Bagrand og bestaa af mikroskopiske, sorte Pletter, som 
utydeligt ere samlede i grenede Forbindelser (macule racemose), men iøvrigt kun svagt 
eller megel svagt fremtrædende. Af Bygningsforhold vil jeg kun bemærke, at de to «Knivs- 
blade» foran paa Hovedets Underside, Fig. 57 a, ere langt smallere og mere spidse end 
samme Blade hos Cor. plumicornis-Larven. Paa Fig. 57 har jeg fremstillet den forreste Del 
af Tarmkanalen udkrænget, Fig. 57 b, saaledes som man saa ofte finder dette Organ, naar 
Corethra-Larverne dræbes ved at kommes i Spiritus. 

Jeg har yderligere til Sammenligning med Corethra plumicornis givet en noget for- 
storret Afbildning af Enden af Cor. pallida-Larvens Bagkrop. Antallet af Svommeviftens, 
Fig. 58 c, cilierede Børster har jeg fundet at vere 21. Nogen yderligere Forskjel med 
Hensyn til Analpapillerne, Fig. 58aaaa, og Analborsterne, Fig. 58bb, har jeg ikke 
forefundet. 

Jeg har ikke fundet denne Larve tidligere omtalt. 


Mochlonyx. 


Mochlouyx euliciformis. 


Tipula culiciformis, De Geer, Mém. p.s. à l’hist. d. ins. VI. p.372 PI. 23. fig. 3—12. 
Mochlonys culiciformis, Meinert, Overs. Vid. Selsk. Forh. 1883. p. 16. lab. I. fig. 1—19. 


I min lille ovenfor citerede Afhandling har jeg eftervist, at De Geers Tipula culiciformis 
maa henfores til den af Loew opstillede Slægt Mochlonyx, og at den muligt falder sammen 
med den senere af Ruthe opstillede Art M. velutinus!). Sammesteds har jeg ogsaa udlalt 
mig imod en rigures, i nærværende Tilfælde uheldig og skadelig Hævden af Prioritets- 
Principet, som her skulde gaa ud paa at ændre Slægtsnavnet for den vel kjendte Corethra 
plumicornis til Bedste for nærværende lidet kjendte og halvt glemte Art. 

I Kirby og Spences Haandbog, An Introduction to the Entomology, finder man Tab. 
29, fig. 10, en Gjengivelse af Larven efter De Geer; i Bogens tydske Oversettelse er der i 
Forklaringen til samme Figur, Tab. 24, fig. 10, kommet til at staa «Puppe von Corethra 
culiciformis». 

Fig. 59 og 60 fremstille Larven seet fra Siden og fraoven. Den voxne Larves Farve 
er et klart Brunt, der falder noget i det Graalige eller Rodlige, med Luftsækkene og 
Trachee-Lengdestammerne skinnende tydeligere eller svagere, undertiden helt messingfarvet 
eller næsten gyldent, igjennem Overhuden. Paa Brystpartiets Overside findes flere hvide, 
matte Smaapletter (Muskelpletter?), og naar Forpupningen nermer sig, bliver Brystpartiets 
Sider hvide eller hvidlige. Undersiden af Larven er lysere, mere graalig. Ogsaa Tarm- 
kanalen skinner ofte gjennem Huden med et rødligt Skjær. Øjnene med Biojnene ere kul- 
sorte, Halevifte samt Analborster meget mørke, næsten sorle. Ved de forskjellige Larve- 
Hudskiftninger fremtrede Hoved og Analrer ganske hvide, og denne hvide Farve holder sig 
temmelig lenge i Forhold til den Tid, Udherdningen og Udfarvningen af den ovrige Krop 
tager. Da tilmed ved enhver saadan Hudskiftning Hovedet voxer uforholdsmessigt i Stor- 
relse, kommer den nye, friske Larve til at see ganske anderledes ud end den gamle. 


1) I en lille Opsats, Ueber die Dipteren-Gattung Mochlonyx Lw. und Tipula (Corethra) culiciformis De 
Geer, i Entomol. Nachricht. Jahrg. XI (1885) p.217—18, udtaler v. Röder sig billigende om min 
Henforen af den af mig omhandlede Art til Slegten Mochlonyx, men mener, at der «bleibt noch eine 
Frage übrig. Ist wirklich Tipula (Corethra) culiciformis De Geer ein Mochlonyx?> Han fremhæver 
her, at hverken De Geers Afbildning eller Text afbilder eller omtaler de egentlige generiske Charac- 
terer; men v. Rôder glemmer, at den af mig iagttagne Larve er meer end tilstrækkelig til at sikkre 
Slegts-Identiteten. Arts-Identiteten derimod anscer jeg ikke for sikker, men kun for hojst sandsynlig. 
Endeligt har v. Röder sammenlignet Stykker af min M. culiciformis, som jeg har sendt ham, med 
Stykker af M. velutinus Ruthe, fangne af Ruthe selv, men han tor ikke afgjore, om her foreligger 
alene Local-Varieteter, eller det er 2 selvstændige Arter. 


x 
OU 


423 


Med Hensyn til Larvens Form og Bygning kan dernest mærkes, at Hovedet er 
transversalt, stærkt sammenknebet foran Ojnene, som i det Hele taget springe noget frem 
paa Siderne af Hovedet. Tredje Metamers Rygskinne, Fig.60f, er lille, hjerteformig , ad- 
skillende fortil Hovedpladens Halvdele. I Forrandens Midte berer den 
kloftede eller mangestraalede Borster og desuden i hvert Forhjerne en endnu længere, men 
ogsaa noget tyndere, ukloftet Chitinborste. Denne Chitinborste er ved et lille Knæk delt i 
2 Dele eller Led, af hvilke den yderste Del er dobbelt saa kort som den inderste; i selve 


4 lange, i Enden 


Knekket er Borsten lidt fortykket, som om en Sammensmelten af dens 2 Dele eller Led 
kunde antages her at have fundet Sted. — Anden Metamers Rygskinne, Fig. 61 f, begynder 
forst under Panderanden med Retning nedad og bagud og springer noget frem ligesom hos 
Corethra; Spidsen af den er ogsaa besat med et Filt af Borster eller Hudblade, som dog 
hos Mochlonyx er kortere, mere eensdannet. — Tredje Metamers Rygskinne er rudimenter. 

Antennerne, Fig. 61 aa, ere temmelig lange, tykke, eenleddede, anbragte paa Hovedets 
fremspringende Forhjorner; i Spidsen have de 4 lange, krumme, tykke Borster, af hvilke 
den ene dog er betydeligt kortere end de 3 andre, ikke stort længere end selve Antennen. 
Men foruden disse 4 Borster findes en kort, tyk Borste indleddet paa en fremspringende 
Tak eller Hjorne af Grundleddets Forrand. 

Munddelene ere stærkt udviklede Fange- og Bideredskaber, navnlig da Kindbakkerne. 
Underlæben, Fig. 61 g; Fig. 62, er oval paatvers med 3 Lag eller Rækker af Hudblade i Forran- 
den; af disse Rekker bestaaer den bageste og underste af korte, heltrandede Blade; den 
mellemste Rekkes Blade ere omtrent dobbelt saa lange som den foregaaendes og fint tak- 
kede i den afhuggede Forrand; endeligt ere Bladene i den forreste Rekke atter dobbelt saa 
lange som de i den midterste og fint takkede langs den ene Side og i Forranden. 
Kjæberne, Maxillæ, Fig. 61 ce; Fig. 63, ere korte og brede; Palperne, Fig. 63 a, ere tydeligt 
afsatte, smaa, med Spidsen udtrukket i en lang, noget krum, borstedannet Forlengelse og 
en lang, fin Borste ved Forlængelsens Rod. Kjæbefligens, Fig. 63b, Forrand danner i 
Midten en kort, fremspringende Knude med 3 korte Borster; paa hver Side af Knuden 
findes en Kam af lange Tender eller Hudblade, af hvilke Hudblade de i den ydre Kam ere 
de længste, fint takkede i Forkanten og Siderandene. Paa selve Metameren, 9: anden Me- 
tamers Underside, findes paa hver Side af Hovedets Midtlinje og tildels dækkende Underlæben 
en skraal liggende Kam, Fig. 61 dd; Fig. 63 c; Fig. 64, bestaaende af flere Rækker Chitinblade ; 
i de forreste og underst liggende Rækker blive Bladene længere, bredere og dybere takkede 
end i de bageste og øverste. Kindbakkerne, Mandibulæ, Fig. 61 bb; Fig. 65, ere korte, 
stærkt byggede; i deres indre Forhjørne have de en svær Tand, hvis Inderrand er ind- 
skaaren i 6 stærke Tænder. Bag samme Tand findes 4 svære, paa deres Inderside tet 


landede eller børstede Chitinborster indplantede, af hvilke den tredje eller bageste er den 


424 56 


største og bredeste. Længere tilbage paa Rygsiden af Kindbakkerne findes 8 spidse, lange 
Hudiender. 

Thorax eller Brystpartiet er subquadratisk, noget fladtrykt, med faa Vifteborster i 
Siderne. De tre Ringe ere ikke til at skille ad. 

Abdomen er (rind, tydeligt 9-leddet, dybt indsnoret mellem Leddene, bagtil til- 
spidset. 7. Led er meget langt, lig 5. og 6. tilsammen. $.Led er omtrent saa langt som 
5. eller 6., og bærer paa Rygsiden Aanderoret, Fig. 59 e; Fig. 60a, hvis Længde noget 
overgaaer 8. Leds Hojde; Aanderoret lober spids til og bærer i Enden ikkun et Par simple, 
smaa Børster. 9.Led eller Analleddet er saa langt som 7. Led og har paa Rygsiden en 
temmelig dyb Indsnering. Af Vifteborster findes der kun faa, nemlig paa Siderne af 1—8. 
Led. Svommeviften, Fig. 59 f; Fig. 60 b; Fig. 66 b, udgaaer fra Undersiden af 9. Led og 
bestaaer af over 30 brede, lange, dybl kløvede Børster, som hver udgaaer, ligesom hos 
Corethra, fra Spidsen af en vinkelbojet Chitinliste og er klovet næsten helt ned til Roden 
i 6 Straaler, Fig. 66°. Borsterne danne egentligt en dobbelt Række, idet de udgaa noget 
paaskraa fra den fælles Kjol, hveranden Borste til den ene Side og hveranden til den anden 
Side. Analborsterne, Fig. 66c, ere 4 i Tallet, korte, eensbyggede, hver klavet i 6 Straaler. 
Analpapillerne, Fig. 66 dddd, ere som sædvanligt 4 i Tallet, lange og tynde, med et Par 
ganske korte Borster eller Torne i Enden. Analkrogenes Kreds er dobbelt, hver bestaaende 
af et stort Antal Kroge, som dog ikke slulte sammer til en Ring. De bageste Kroge, 
Fig. 67 a, ere lange, brede, bladformede, med Inderranden mikroskopisk crenuleret; de 
forreste Kroge ere kortere, meget tynde, med Inderranden af den ydre, mere hindede Del 
Lydeligt udskaaren i Tender, medens den indre, slærkere chitiniserede Del løber ud i en 
stærkt krummet, lang og spids Tand, Fig. 67 b. 


Biologi. 


Larven lever i Skovvande, navnlig i Grofter, som uden synderlig Strom dog have 
nogenlunde rent Vand, eller ogsaa paa lav oversvommet Skovbund, opfyldt med nedfaldent 
Bogelov og gjennemlobet af en dybere Groft; dog har jeg ogsaa fundet den i Irisbevoxede 
Skovhuller. Den findes ofte flokkevis, i stort eller meget stort Antal, sammen med 
Culex-Larver. 

Jeg har kun fundet Larven om Foraaret, fra Begyndelsen af Marts af. Larven 
overvintrer ikke, men enten overvintre Æggene, eller det er den overvintrede Myg, som 
i de tidligste Foraarsdage, for Isen ret er svundet fra Vandene, lægger sine Æg i disse. 
Fra et af mine bedst undersøgte Findesteder i Jægersborg Dyrehave, hvor Vandet svinder 
bort om Sommeren og først atter indfinder sig om Vinteren, kan jeg anføre Følgende. 
Den 4. Febr. 1885 var dette Sted fuldt af Vand, men uden Spor af Mochlonyx- eller Culex- 
Larver; den 25. Febr. var der heller ikke Spor til disse Dyr, men Vandet var nu helt til- 


57 42! 


Qt 


lagt med Is, som havde lagt sig derpaa i Lobet af de mellemliggende 3 Uger. Endelig 12 
Dage efter, den 9. Marts, vare Vandene aabne, omend et ganske tyndt Islag fra den fore- 
gaaende Nat dækkede en Del af Overfladen, og der fandtes et ikke ringe Antal saavel af 
Culex- som Mochlonyx-Larver, men alle Larver vare spæde, og efter deres Udseende at 
domme kunde de først samme eller den foregaaende Dag antages at have forladt Ægget. 
Det foregaaende Aar fandt jeg den 26. Marts en stor Del Larver paa samme Sted i Dyre- 
haven, og med faa Undtagelser vare alle næsten voxne. Aaret forud var det et meget koldt 
og sent Foraar, og forst den 18. April fandt jeg Mochlonyx-Larver, af hvilke de fleste endnu 
vare spæde eller højst halvvoxne; ja endnu den 12. Maj 1883 fandt jeg dels i en dyb 
Skovgroft dels i en Landevejsgroft i Tokkekjob Skov mange Larver, som for en Del vare 
meget smaa. 

Det er vanskeligt at sige, hvor lang Tid Udviklingen tager. I Fangenskab kan den 
gaa meget hurtigt for sig; saaledes udkom allerede den 30. Marts {885 de første Imagines 
af de den 9. i samme Maaned lagne spæde Larver, og samme Dag forvandlede den sidste 
af de medtagne Larver sig til Puppe. Herefter kan Udviklingstiden fra Æg til Imagos Frem- 
komst i en varm Stue i Fangenskab kun settes til lidt over 3 Uger. I det Frie tager Ud- 
viklingen sikkerlig betydeligt længere Tid. Saaledes tog jeg den 5. April 1882 mange, til- 
dels halvvoxne Larver i Vandhullet i Dyrehaven; men endnu den 23. i samme Maaned 
fandtes der Larver her, ja de vare endnu saa langt tilbage, at der først den 3. Maj, altsaa 
efter 10 Dages Forløb, fremkom Pupper af de til Hjemmet medtagne Larver. I det riglig- 
nok kolde Foraar 1883 fandtes endnu den 16. Maj mange Larver, som dog næsten alle vare 
voxne, i Dyrehaven; og i 1884, med Kulde i April og Begyndelsen af Maj, fandtes der 
endnu den 7. Maj fuldt op af voxne Larver, men de vare saa udviklede, at der allerede den 
folgende Dag fremkom Pupper af dem, vel at mærke i Fangenskab. I det Frie har jeg 
aldrig truffet Pupper og ligesaa lidt Imagines. Jeg har, som sagt, aldrig truffet Spor til 
nogen anden eller tredje Generation, saaledes som hos Culices, og overvintre som Larver, 
saaledes som Chironomus- og Tanypus-Slegten formaaer det, kunne de ligesaa lidt som 
Culex-Larverne. Men hvor og paa hvilket Udviklingstrin tilbringes da den storste Del af 
Aaret, Sommer, Efteraar og Vinter? 


Ligesom Corethra-Larven staaer Mochlonyx- Larven vandret, et godt Stykke nede i 
Vandet, og den kommer kun sjeldent, omend noget hyppigere end den førstnævnte Larve, 
saa højt op, at den kan legge Spidsen af Aanderoret i Vandskorpen. Dernæst staaer den 
noget roligere i Vandet end Corethraen, og holder sig bedre vandret. Den lever ogsaa af 
Rov, og man finder ligeledes hos den i den bageste Deel af Fortarmen ofte flere Stykker 
af Cypris og Daphnia. Endeligt synes den ogsaa, langt hyppigere end Corethraen, at an- 
falde Larver og Pupper af sin egen Art; og er en saadan «Canibalisme» forst begyndt i 


Vidensk. Selsk, Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 4. 54 


426 58 


et Glas, synes Intet at kunne standse den, om det end ofte eller oftest ender med Cani- 
balens egen Undergang. 

Som Fremstilling af Larvens Forvandling til Puppe vil jeg her give mine Opteg- 
nelser af denne Akt. Den 8. Maj 1884 sattes en Larve, som tydeligt var sin Forvandling 
ner, for sig i et mindre Glas. Larvens Tracheer vare tilsyneladende serumfyldte, og Larven 
laa i Vandskorpen, strakt ret ud; kun fortil, foran Mesonolum, saaes en lys, rund Frem- 
hvælvning af Pronotum, uden at der dog skete noget Brud paa Overhuden her; denne 
Fremhvælvning voxede kun svagt, og da ogsaa Hovedets Hudskelet holdt og ikke revnede i 
sin Midtlinje, standsede den. Dog nu begyndte Larven at arbejde svært med Abdomen, 
og da saa Craniet revnede i Midtlinjen, steg Puppens Hoved temmelig raskt op, og idel 
Abdomen bojede sig lodret ned i Vandet, sank den afskudte Larvehud ned gjennem dette. 
Endnu medens Larvehuden sank, saaes der megen Luft under og mellem Vingeskederne; 
først senere derimod syntes Puppens Længdestammer at fyldes med Luft, og i lang Tid 
var der ikke Luft i Puppens Svommeblade. Puppen laa strax fast med Nakkerorenes Spids 
i Vandskorpen, og kun enkelte Gange søgte den, ved Hjælp af nogle smaa Slag med Bag- 
kroppen, for kort Tid ad Gangen længere ned i Vandet. Forst efter 5 Quarters Forløb var 
den i Stand til at holde sig roligt nede i Vandet i den sædvanlige buede Stilling. En 
anden Puppe, hvis hele Hudskiftning kun tog et halvt Minut, sank strax tilbunds, uagtet 
den havde den sædvanlige store Luftblere mellem Vingeskederne. Puppen, Fig. 74, ligner 
i Udseende saa temmelig Puppen til Culex og Anopheles; dog ere dens Nakkeror, Fig. 74 aa, 
tynde, trinde, tilspidsede og ligne altsaa snarere Corethraens; det Sidste gjælder om Hale- 
eller Svommebladene, Fig. 75. 

Medens saaledes de to nysnævnte Puppeforvandlinger aflob temmelig hurtigt og 
regelmessigt, uden Afbrydelse, tog en tredje Forvandling lengere Tid, ja hele 2 Dage. 
En Dag Kl. II toges en Larve, som havde tydelige Vingeskeder og Nakkeror liggende 
under Larvehuden, for til lagttagelse. Larven var urolig, slog ofte smaa haslige Sideslag 
og jog flere Gange rasende gjennem Vandet; flere Gange vred den sig ogsaa som en Orm 
eller foer med Munddelene gnavende henover Bagkroppens Ende eller over hele Kroppen. 
Den holdt sig mest paa Bunden af Vandet i det lille Glas, hvori den var afspærret. Der- 
nest svandt ogsaa Luftmassen i de forreste Luftsekke ind, Sekkene bleve ganske smekre, 
og den ene af dem gik ligesom over paa Midten. Samtidig hermed saaes forst paa hver 
Side af Dyret, fortil og bagved Roden af Vingeskederne, en Luftblere og senere hen en 
femte Luftblære paa Midten af Thorax’s Underside mellem Vingeskederne. Luften i disse 
Luftblærer hidrorte uden Tvivl fra den af Luftsekkene udjagne Luft. Ogsaa Trachee- 
Lengdestammerne og de bageste Luftsække tomtes senere hen for Luft, og om der end i 
den folgende Tid undertiden af og til saaes nogen Luft i Længdestammerne, var Luftsojlen 
her dog smækrere end oprindeligt og brudt i flere Stykker. Allerede tidligt saaes Larve- 


59 427 


huden al ligge ligesom los udenom Puppen. Efter 8 Timers Forløb, i hvilken ‘Pid jeg uafbrudt 
havde iagttaget Dyret, hørte dettes Bevægelser op, men derpaa laa det stille hen ikke blot den 
Aften, men ogsaa hele den folgende Dag og den neste Dag Lil Kl. I omtrent, da Nakke- 
rørene blev sorte, og Hudskiftningen hurtigt gik for sig. Selve Hudskifiningen begyndte 
med, at Larven arbejdede voldsomt med Bagkroppen og bragte denne i en svag Bue med 
Convexiteten vendt nedad og Aanderoret liggende baglil i Vandskorpen, derpaa sænkede 
den atter ojeblikkeligt Bagkroppen lodret nedad, og med det Samme revnede Hovedets 
Hudskelet i Midten, Hovedet skjed sig op, og Larvehuden sank ganske stille ned paa Bun- 
den af Vandet. Hele Hudskiftningen tog langtfra et Minut. 

En fjerde lagttagelse faaer nogen særegen Interesse derved, at Larven var sygelig, 
ganske grøn af fastsiddende Alger. Samme Larve slog ofte stærke Slag til Siden med 
Bagkroppen, mange Gange i Trek, eller bojede af og til de to yderste Bagkropsled i en 
skarp Vinkel med de øvrige Led — Bevægelser, som rimeligvis havde til Hensigt at løsrive 
Spidsen af Puppens Bagkrop fra den omsluttende Larvehud. De forreste Luftsække trak 
sig helt tilbage ind i Bagbrystet og bleve meget smækrere, ja efter en Times Forlob 
svandt alle Spor af dem, og Luften saavel i dem som i Trachee-Lengdestammerne og i de 
bageste Luftsække svandt ogsaa aldeles bort, idet der kun syntes at være et Par tynde 
Længdestammer langs Siderne af Kroppen, svarende vistnok til Puppens og altsaa ogsaa 
Imagos Længdestammer. Jeg maatte nu afbryde min lagttagelse, men da jeg optog den 
efter knap 2 Timers Forleb, var Puppen kommet ud, men laa paa Siden paa Bunden af 
Glasset, hvor den sprællede kun svagt. Der var ingen Luftblere mellem Vingeskederne, 
og kun i Forbindelsesstykket til Nakkererene saaes der strax nogen Luft, ligesom noget 
senere i Hovedet. Dog levede Puppen noget over et Dogn. 

Saavidt Forvandlingen. Med Hensyn til Puppens Færden kan bemærkes, at den 
oftest holder sig i nogen Tid efter Forvandlingen oppe i Vandet, med Spidsen af Nakke- 
rorene i Vandskorpen, uden at det dog kan antages, at den gjor dette for gjennem Spal- 
terne i Nakkerorene at skaffe Luft ned i Tracheesystemet eller blot for at sætte Luften her 
i umiddelbar Forbindelse med den atmospheriske Luft; som oftest er ogsaa, i alt Fald i Pup- 
pens forste Tid, Spidsen af Nakkerorene fulde af Serum, idet Luften fra de forreste Luft- 
sække kun ufuldstændigt har drevet Serum ud. lovrigt holder Puppen sig stadigt Va —41/4" 
nede i Vandet, hvor den i meget lang Tld kan staae ganske stille, og kun kortere Tid ad 
Gangen kommer den op og holder Nakkerorenes Spids i Vandskorpen. Bagkroppen holdes 
ikke i Flugt med Bryststykket, men er i en Bue bojet stærkt nedad. Puppens Bevegelser 
er omtrent som Corethra-Puppens, dog uden dennes smaa Slag. 

Puppestanden er, i alt Fald i Fangenskab, meget kort, nemlig kun en 4—5 Dage; 
men Livet i Fangenskab fremskynder vistnok ogsaa her Udviklingen; idetmindste kom der 
i Fangenskab Pupper frem allerede den 11. April med Imagines den 16. og 22., medens 


54° 


428 | 60 


der endnu den 23. i samme Maaned slet ikke fandtes Pupper i det Vandhul, hvorfra Lar- 
verne den 11. April vare tagne. Jeg har een Gang iagttaget Imagos Udkrybning af Puppe- 
huden, og den gik saaledes til. Puppen viste sig urolig og bøjede engang imellem Svemme- 
bladene tilbage og opad, hvorpaa den toges for sig selv til lagttagelse. Det næste Tegn 
til Udkrybningen var dernæst det, at der paa et Par Steder af Mesonotum viste sig glin- 
sende Pletter, idet Puppehuden paa disse Steder sprængtes fra Imago, og Luft slap ind 
under Puppehuden. Efter 1/2 Minuts Hvile tog Hudens Frasprengning igjen fat, og efter 
3 Minuters Forløb laa omtrent hele Bryststykket af Imago frit inde i Puppehuden; først et 
Par Minuter efter begyndte ogsaa Huden paa Abdomen at slippe fra Puppehuden, i Begyndelsen 
ogsaa pletvis. Puppen laa iøvrigt stille, og kun naar der pirredes ved den, foer den lidt 
frem og kom gjentagne Gange til at ligge paa Siden, saa at den maatte bringes paa ret 
Kjøl igjen. Ffter c. 12 Minuters Forløb fra den første Begyndelse af sprak Puppens Meso- 
notum paalangs, og Myggens Mesonotum hævede sig stille og langsomt op gjennem Revnen; 
efter I Minut var Roden af Antennerne fri, og efter 2 Minuter Antennerne helt ude og 
udstrakte. 11/2 Minut derefter stod Forbenene paa Vandfladen, og derpaa Mellembenene efter 
nok 1 Minuts Forløb, hvorpaa Spidsen af Bagkroppen efter I Minut var fri og strakt lige 
bagud. Bagbenene bleve staaende paa Puppehudens indre Flade, og kun det ene af Bag- 
benene løftedes efter 9 Minuters Forløb ud paa Vandet, medens det andet Bagben blev 
staaende paa Puppehuden, indtil Myggen efter andre 10 Minuters Forløb fløj op. Hele 
Udkrybningen fra Sprængningen af Puppens Mesonotum, til Myggen fløj, tog altsaa 26 Mi- 
nuter, men forinden var der gaaet 12'/2 Minut, inden Myggen ret var kommet løs fra 
Puppehuden. For Myggen fløj op, havde den udstødt 15 «Meconiumsblærer», idet den 
begyndte 2 Minuter efterat Bagkropsspidsen var bleven fri, og fortsatte hermed, indtil den 
fløj, næsten stadigt med 1 Minuts Mellemrum. 


Tracheesystemet. 


Uagtet de to Slægter Corethra og Mochlonyx staa hinanden særdeles nær, er der 
saare megen Forskjel paa deres Tracheesystem, og medens Corethra-Larvens nærmest 
ligner Systemet hos Chironomus-Larven, naturligvis med de tilkomne Luftsække, staaer 
Tracheesystemet hos Mochlonyx-Larven ikke langt fra samme hos Culex-Larven. Det vilde 
derfor have været af stor Betydning at have kunnet undersøge den spæde Mochlonyx-Larve 
i eller udenfor Æggget, men som jeg allerede før har meldt, er dette ikke lykkedes mig i 
de 4 Aar, jeg har studeret disse Larver. Selv hos de yngste Larver, jeg har truffet paa, 
omend vistnok kun 1 eller 2 Dage gamle, har jeg forefundet det hele Tracheesystem fuldt 
udviklet. 

Vi ville tage Tracheesystemet efter dets to Hovedbestanddele, Længdestammerne 
med deres Grene og Sidestrengene. Længdestammerne ere svære og have dertil fortil i 


61 | 429 


Bryststykkel, Fig. 59 c; Fig. 60 cc, og bagtil i 7. Bagkropsled, Fig. 59d; Fig. 60 dd, en be- 
tydelig Udvidelse eller Sek, saa at der altsaa fremkommer 2 Par Luftsekke af lignende 
Storrelse og Form som Corethra-Larvens. De bageste Luftsække gaa hver iser ret bag ud 
med et vidt Ror og fortsættes noget tyndere ind i det fælles, kegledannede Aanderer, 
Fig. 59e; Fig. 60a, som udgaaer fra Oversiden af 8. Bagkropsled. Selve Lengdestam- 
merne ere i Bagkroppen ved ganske tynde Skillevægge, Fig. 68; Fig. 72 aa; 
Fig. 73 dd, deelte i ligesaa mange Stykker, som der er Bagkropsled. Fra disse 
Længdestammer udgaa paa sædvanlig Maade til Hovedet og den ovrige Krop et fint for- 
grenet Tracheesystem, som dog ikke frembyder Forhold, der ere værd at fremhæve her. 
Sidestrengene, Fig. 72b; Fig. 73 ee, ere ganske fine, massive Strenge, uden Spor af Luft; 
de udgaa fra Kroppens Side og lobe i lige Linje til Lengdestammerne, til hvilke de fæste 
sig ved Udspringet af Tracheeforgreninger lidt foran de Skillevægge, som dele Længdestam- 
merne i de for omtalte til Kropleddene svarende Stykker. 

Ligesom Larvens Overhud skydes af flere Gange, saaledes svinder ogsaa Lengde- 
stammernes Tunica intima for hvert Hudskifte; dog trekkes kun en ringe Del af denne Tunica 
intima ud af Kroppen med Overhuden, nemlig kun den Del, som beklæder Tracheerne i 
Aanderoret, og som folger med Aanderorets Overhud, naar denne kastes af med den ovrige 
Hud. Kun en enkelt Gang har jeg i Larvehuden efter en Larve paa 4™™ tillige fundet de 
bageste Luftsekkes Tunica intima i Forbindelse med Tracheernes fra Aanderoret, derimod 
aldrig de egentlige Længdestammers. Naar alligevel hele Tracheesystemets Tunica intima 
ved hvert Hudskifte fornyes, og det gamle svinder bort, saa skeer det paa den Maade, at 
den gamle Tunicas Ror (med Undtagelse af den i Aanderoret) bliver smekrere 
og smekrere, idet tillige Luftmassen eller Luftsejlen i det svinder bort; 
og naar endelig al Luft er svunden, sees den gamle Tunica endnu i nogen Tid at ligge som 
en ganske tynd Streng henad den nye Tunicas Inderside, jfr. Fig. 68; Fig. 69; Fig.73, hvor a eller 
a-a‘ betegner det gamle, svindende Tracheerer, b eller b-b‘ de nye Rør, og c eller c-c‘ 
Tunica propria, der som en Skede omgiver Cellelaget. De nye Tracheer og Luftsekkene 
ere paa dette Stadium serumfyldte, og forst derefter fyldes de atter med Luft. Luften, 
som var i de gamle Tracheer, er imidlertid ikke sluppen ud gjennem Aande- 
rorets to Tracheer, men det er blevet optaget i Legemets Blod, og fra Blo- 
det af er det, at de nye Tracheestammer og Luftsække atter fyldes med Luft. 
De nye Tracheers Fyldning forst med Serum og derefter med Luft bliver 
kun mulig derved, at Blodet eri Stand til ikke blot at optage og udskille 
Luft, men endogsaa at gjore dette gjennem Tracheerne med disses dobbelte 
Tunica og mellemliggende Cellelag. Denne Blodets Evne til at optage og udskille 
Luft gjennem Tracheeveggene synes vel forbavsende, men paa den anden Side have vi dog 
allerede hos Corethra-Larven truffet noget Lignende, om ikke i saa stærk Grad, jfr. p. 415 (47); 


og selv om man vilde antage, at min Fremstilling beroede ialtfald delvis paa Fejlsyn, og 
at Luften ikke var svundet ved at optages i Blodet, men at den i Virkeligheden var und- 
sluppet gjennem Aanderorets Tracheer, hvorledes kunde saa Luften atter trænge ned gjen- 
nem Aanderoret og udjage det indkomne Blod. En anden Indvending mod min Fremstilling 
kunde maaske søges i Tilstedeværelsen af et Aanderor og den umiddelbare Forbindelse 
derigjennem mellem den atmospheriske Luft og Luften i Tracheerne, men efter min Frem- 
stilling falder jo heller ikke al Betydning af Aanderoret bort, hvad enten man vil indskrenke 
denne til blot at tjene Expirationen eller Inspirationen eller den ogsaa skulde tjene den 
hele Respiration. Dertil kommer ogsaa, at Larven er saa lang Tid under Vandet, og Tra- 
cheesystemet altsaa kun i saa kort Tid gjennem Aandereret kommer i Forbindelse med den 
atmospheriske Luft, at man vanskelig kan antage, at denne gjennem de snevre Aanderors 
Tracheer kan diffundere helt ind i hele Tracheesystemet. 

Som Documentation af den her fremførte Anskuelse skal jeg give mine lagttagelser; 
men maa dog strax fremhæve, at jeg, som sagt, aldrig har truffet Larven enten i Ægget 
eller ligesom den var kommet ud af dette, og saaledes har jeg da heller ikke, som hos 
Corethra-Larven, truffet de to Par Luftsekke hos den spæde Mochlonyx-Larve, men der- 
imod nok sterre eller mindre Partier af det egentlige Tracheesystem, fyldte med Serum. 

Min første lagttagelse, fra den 5. April 1882, gaaer ud paa: «i en meget ung, 
ganske gjennemsigtig Larve fandtes de to bageste Luftsekke og Lengdestammerne derfra 
ind i Aanderoret fyldte af en rodgul Vedske, som ogsaa fyldte de grovere Grene af 
den Trachee, som fra Midten af Længdestammerne mellem Luftsekkene og Aandereret ud- 
gaaer til 8. Bagkropsled og derfra helt ind i sidste Led». Storrelsen af Larven findes des- 
verre ikke angiven. Derefter optoges disse Undersogelser igjen i April det felgende Aar, 
og da hedder det under 19. April 1883: «I en sped Larve, c. 2,57? lang, som var i Ferd 
med at skifte Hud (første Gang?), fandtes Luftsekkene forholdsvis meget store og fyldte 
med Luft. Derimod vare Aanderorets Tracheer og Lengdestammerne til de bageste Luft- 
sække af vanlig Størrelse, men fulde af Serum. Ogsaa Lengdestammerne, som udgik fra 
de forreste Luftsekke, vare i en Strekning af Luftsekkenes Lengde serumfyldte, men dog 
fortsatte Luften fra disse Luftsekke sig som et meget tyndere Rer ind i Serumet. Jeg 
antager, at det her forefundne Serum ikke var Levning af det Serum, som maa antages at 
have fyldt Tracheerne inde i Ægget (jfr. Corethra-Larven, p. 415 (47), men at del var en ny 
Begyndelse af Indtrengning af det Serum, som ved Hudskiftninger indleder de nye Tracheers 
Udvikling og Vext. Og jeg antager dette saa meget mere, som jeg samme Dag hos en 
anden sped Larve, omtrent af samme Sterrelse, men uden Spor til nogen Hudskiftning, 
fandt hele Tracheesystemet tilligemed Luftsekkene luftfyldt. Tracheerne i den sidst omtalte 
Larve vare yderst fint byggede, Tunica intima var knap til at skjelne, og til Spirakelfortyk- 
ning saaes der ikke Spor. 


63 431 


En af de folgende Dage, den 21. April 1883, undersogtes en 2,6™™ lang Larve, som 
snart skulde skifte Hud. Dyret bragtes under Dekglas, og «i Mikroskopet saaes flere eller 
maaske de fleste Tracheer luftfyldte, men, medens jeg saae derpaa, svandt Luften snart 
helt fra Aanderoret henimod de bageste Luftsække. De gamle Luftsække indsnevredes der- 
paa forst paa Midten, men snart trengte Serum ind indenfor deres Tunica intima og tog 
til navnlig i Midten af dem, saa at der kun holdt sig Luft i de to Spidser af Sækkene ; 
dog efter nogen Tids Forløb svandt Luften ogsaa her, saa at de gamle Sekke bleve helt 
serumfyldte, medens ogsaa de nye omslultende Luftsekkes indre Rum eller Lumen inde- 
holdt Serum. Da Dyret nu dede, standsede Luftsvindingen og Serumfremtrengningen i 
Tracheesystemet eller gik kun meget langsomt frem». De to af de tre her omtalte Larver 
vare tydeligt i Hudskiftning, og alle vistnok i første Larvestadium. 

Derimod var en fjerde Larve, som undersogtes i de samme Dage, vistnok i andet 
Stadium, om den end kun var meget lidet længere, c. 3,27" lang. Hos den «vare de gamle 
Luftsekke meget langstrakte og laa som cylindriske, luftfyldte, tverfurede Ror ideni de nye, 
tenformede, paa det Bredeste nesten 3 Gange saa brede, serumfyldte Luftsekke»; ogsaa 
Lengdestammerne vare serumfyldte, men indeni dem saaes de gamle Tracheer liggende helt 
ud i Aanderoret som tynde, luftfyldte Ror. 

Den 21. April undersogtes en Larve paa 6%, hos hvilken den nye Larvehud saaes, 
omend mindre tydeligt, liggende indenfor den gamle. Paa Fig. 68 har jeg fremstillel, hvor- 
ledes det gamle Tracheerer, a, ligger indeni det nye, b; det gamle er ifærd med at skrumpe 
sammen, men endnu luftfyldt; paa Fig. 69 er Sammenskrumpningen af det gamle Ror, a, 
fremstillet paa ct meget sent Stadium: den indeslultede Luft er iferd med at forsvinde og 
er allerede skilt ad i Smaastumper, a‘a‘a‘a‘. 

Dagen efter undersogtes en anden Larve, ligeledes i Hudskiftning og ligeledes en 
6™™ lang. «De gamle Lengdestammer med deres indesluttede Luft svandt hurtigt, medens 
jeg saae derpaa, og efter at de næsten vare rent svundne bort, begyndte ogsaa de 
gamle Luftsekke at sammenskrumpes paa Midten. Dyret sattes derpaa i Frihed, og nu 
standsede snart Luftsvindingen, medens det i mere end en Time laa under Vandfladen, 
mest ner Bunden af Glasset, under Bestræbelser for at skifle Hud. Længdestammerne 
vare hele Tiden serumfyldte, men pludseligt (Dyret fik lidt Solskin) fyldtes disse med Luft, 
ligesom ogsaa Luftsekkene bleve helt luftfyldte; dog Larven formaaede ikke, selv nu, at 
frie sig fra den gamle Larvehud, hverken fortil eller bagtil, hvor det gamle Aanderor ikke 
vilde slippe det nye. Da det nye Aanderor endeligt (ved lidt Hjælp) var blevet frit, Loges 
Larven alter op til Undersogelse under Mikroskopet, og gav da endnu, omend kun svage 
Livstegn fra sig; de nye Længdestammer fandtes nu luftfyldte, men skilte ved Mellemvægge 
i flere Rum (efter Bagkropsleddene); Aanderorets Stammer vare endnu serumfyldte, men 
fyldtes dog efterhaanden med Luft, fra deres Rodende af, den ene Stamme langsom- 


432 64 


mere end den anden. De forreste Luftsekkes gamle indre Sekke vare noget sammenyroy- 
lede og indsnorede, og idet de efterhaanden bleve dette mere og mere, deeltes de i flere 
Stykker, som kun indesluttede et ringe Quantum Luft, medens de nye, omsluttende Luft- 
sekke vare helt serumfyldte. De bageste Luftsekkes gamle, indre Sekke vare derimod 
hele, tenformede og næsten udfyldende de nye Luftsekke. Længdestammerne vare, som 
sagt, luftfyldte; kun var det forreste Stykke af dem, mellem de forreste Luftsekke og første, 
bagved liggende Mellemveg serumfyldt, men efterhaanden fyldtes ogsaa de tre folgende 
Stykker af Stammerne med Serum, og saaledes holdt de sig en 10 Minuter, da saa Luft- 
massen eller Luftsojlen i den bageste Del af Længdestammerne pludseligt svandt eller 
sank, ligesom Quiksolvsojlen i et Barometer synker, men uden som denne at skaffe sig 
anden synlig Plads. Svindningen af Luften skete snart lidı hurtigere, snart lidt langsommere, 
stoppende eller ikke stoppende kort Tid ved en Mellemveg. Luften i 8. eller sidste Stykke 
af Lengdestammerne holdt sig endnu et Par Minuter, men da svandt den ogsaa her i en 
Fart. Luftmassen i de bageste Luftsekke forøgedes ikke ved Svindingen af Luften i 
Længdestammerne, og de bageste Luftsækkes Rumfang er ogsaa allfor ringe ligeoverfor 
Lengdestammernes , til at de skulde kunne have optaget disses Luft, uden at vere voxede 
til meer end det Dobbelte i Omfang, hvilket umuligt kunde vere undgaaet min Opmerk- 
somhed. Luften kunde heller ikke vere sluppen ud gjennem Aanderorets Stammer, da disse 
jo i al den Tid vare serumfyldte, og Dyret dertil den hele Tid laa i Vand, hvor den und- 
slupne Luft maatte have vist sig som Luftblerer. — Og det Serum, som afløste Luften, hvor 
kom det fra, uden fra Blodet gjennem Tracheerne? — Nu dede Larven og lagdes i en Skaal 
med Vand, men Resterne af Luft vedblev yderligere at svinde, saa at der efter et Quarters 
Forlob kun fandtes en lille Luftsojle i den ene af de bageste Luftsekke og efter yderligere 
5 Minuler var der ikke Spor af Luft i Dyret». Den her givne Optegnelse viser altsaa, 
hvorledes i Lobet af et Par Timer de luftfyldte Længdestammer kunne nesten fyldes med 
Serum, derpaa pludseligt atter fyldes med Luft, for saa endeligt at blive igjen, men lang- 
sommere, helt serumfyldte. Dernest troer jeg, at det fremgaaer saavel af denne som af 
de foregaaende Undersogelser, at det er Dyrets Blodveske, som snart optager, 
snart atter afgiver den i Tracheesystemet indesluttedeLuft, og at Tracheer- 
nes Vegge ere permeable saavel for Luften som for Blodets Serum. 

Til yderligere Bekræftelse af den her fremførte Theori skal jeg gjengive to Under- 
sogelser fra det folgende Aar, Slutningen af Marts 1884. 

En Larve i Hudskiftning, med den gamle Hud endnu hengende ved sig, bragtes 
under Mikroskopet, men uden at Dekglas anvendtes. «De forreste Luftsække vare luft- 
fyldte, hvorimod af de bageste den ene Sek til en Tredjedel, den anden til en Fjerdedel, 
vare serumfyldte, ligesom ogsaa Lengdestammerne fra de bageste Sekke ud i Aandergret 


vare serumfyldte. Kroppens Længdestammer vare for største Delen serumfyldte, men en 


| 
| 
| 


65 433 


en 10—15 kortere og længere Luftsojler saaes i hver Stamme. Medens Larven betragtedes 
under Mikroskopet, svandt forst Luftsojlerne eller toge af i Lengde; dog denne Bevægelse 
standsede snart og afløstes. af en Luftudstromning fra de bageste Luftsækkes bageste Ende 
ud i Stammerne i Aandereret og ud i disse Stammers Sidegrene. I den ene Stamme 
skete denne Luftudstromning temmelig raskt, og selv i Sidegrenene kunde man med Øjnene 
folge Bevegelsen; i den anden Stamme foregik den derimod langsommere, og da den var 
naaet til de to Trediedele eller fire Femtedele af Aanderorets Længde, standsede den 
i nogen Tid. Samtidigt hermed voxede Luftsojlerne inde i Kroppens Lengdestammer, saa at 
de nærmede sig hverandre eller flode sammen». 

En anden Larve, som saa nyligt havde skiftet Hud, at Hovedet var ganske hvidt 
og klart endnu, toges dernest for. I de fire Luftsekke fandtes Luft, men Luften syntes 
ikke ganske at udfylde Sækkene og ligesom at være indesluttet af den gamle Tunica. Ho- 
vedets Tracheer vare luftfyldte. Af Kroppens Lengdestammer var den ene, den højre, kun 
luftfyldt i den forreste Sjettedel, hvorimod den venstre var luftfyldt omtrent i de fem Sjette- 
dele. Sidegrenene til Højre vare serumfyldte, de til Venstre luftfyldte. Først voxede nu 
Luftsojlerne saaledes, at den venstre Lengdestamme blev helt luftfyldt, medens Luftsejlen i 
den hojre Længdestamme rykkede forst langsomt, senere dog meget hurtigt frem, næsten i 
Spring. Men da den sidstnævnte Luflsojle havde naaet de fire Femtedele af Længdestam- 
mernes Længde, standsede al videre Fremrykning. I det øvrige Tracheesystem var 
imidlertid kommet en stor Luftblære ind i den ene af de to forreste Luftsække, medens en 
mindre Luftblære var kommet ind mellem Væggene af den gamle og den nye Tunica af 
den anden Luftsæk; bag de bageste Luftsække var Luften i den ene Længdestamme naaet 
omtrent halvvejs ind i Aanderøret, medens Luften i den anden Længdestamme knap naaede 
til Aanderørets Begyndelse. Dernæst tog en modsat Bevægelse sin Begyndelse, 
idet først de sidst omtalte Luftblærer i de forreste Luftsække saaes at svinde; dernæst 
begyndte Luftsøjlen i den højre Længdestamme at svinde saaledes, at den først brød over 
ved den tilsvarende forreste Luftsæks Bagende og derpaa i korte Stød trak sig tilbage eller 
maaske rettere forkortedes; thi først efter at der af denne Luftsøjle kun var en saa stor 
Længde tilbage, som 3 Gange dens Diameter, gav den et Ryk bagefter hen ad den bageste 
Luftsæk til; dog førend den afkortede Luftsøjle naaede hen til den bageste Luftsæk, svandt den 
bagfra, indtil den efter at være blevet en papirstynd Luftskive sprang og svandt. Luften i 
Luftsækkene i den højre Længdestamme, baade den forreste og bageste, var imidlertid ogsaa 
stærkt svunden, og navnlig var den stærkt tilbagetrukket i den forreste Ende af den bageste 
Luftsæk. Luftsøjlen i den venstre Længdestamme holdt sig derimod længere Tid, men da den 
saa begyndte at svinde, skete det i Begyndelsen fra begge Ender af, senere mere forfra bagtil, 
indtil den fik Skikkelse af en Luftkugle med en Diameter af Tracheens halve Vidde, men 
kun for snart efter helt at svinde. Derefter fandtes atter kortere og længere Luftsøjler 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math, Afd. III. 4. 55 


434 66 


i Lengdestammerne; men i alt Fald i den ene af disse saaes Luftsojler at flyde eller stromme 
ud fra den forreste Luftsek. 

Endelig kan et lille Forsog her omtales. For at prove om Tracheernes Vægge 
kunde antages at have nogen Betydning for Luftens Svinden indeni Tracheerne, knustes en 
Larve under Dekglas i Vand, hvorved den i dens Tracheer indesluttede Luft kom til at 
ligge som frie Luftdraaber, hver paa ca. de" Diameter. I Løbet af det første Quarter saaes 
ingen Forandring i Henseende til disse Draabers Storrelse, men derefter svandt de temmelig 
raskt, idet de enten beholdt den runde Skiveform eller (formedelst Fastklæben til Glasbordet?) 
fik en uregelmæssigt quadratisk eller mere lineer Form med urene Begrendsningslinjer; 
imidlertid gik Svindingen for sig stodvis eller rykvis, og den lineære Draabe sprang først 
i to Smaastykker, for den hell svandt. i 

Den her givne Fremstilling af Luftens Kommen og Svinden hår kun Hensyn til 
selve Larven og dennes forskjellige Stadier. Endnu staaer tilbage at fremstille, hvorledes 
det gaaer den i Larven indesluttede Luft ved Forvandlingen til Puppe. 

Den 28. April 1883 iagttog jeg en Puppeforvandling. I Løbet af den Time, som 
gik forud for Forvandlingen, skinnede Længdestammerne snart tydeligt igjennem Overhuden 
(luftfyldte), snart kun utydeligt (serumfyldte). Ligefor Forvandlingen vare de helt luftfyldte, 
men under selve Akten, som kun tog en halv Minut, blev Puppen lufttom, med Undtagelse 
af Nakkerørene, og Luften dreves i alt Fåld for største Delen ud af Kroppen, og optoges 
foruden i Nakkerørene navnlig i den fra Corethra-Puppen bekjendte Flydekugle mellem Vinge- 
skederne og Brystets Underside; ogsaa i de udtrukne forreste Luftsække og i de udtrukne 
Længdestammer fandtes nogen, om ikke megen Luft. Luften i Luftsekkene svandt helt 
bort i Vandet, omend langsomt, hvorimod der i Begyndelsen ikke var nogen Forandring at 
mærke paa Luften i Længdestammerne. Forst efter halvanden Times Forløb var ogsaa 
Svindingen her kjendelig. Naturligvis fyldtes Puppens Tracheesystem efterhaanden med Luft. 

Som før omtalt, har jeg ogsaa iagttaget en Forvandling den 8. Maj 1884. Endnu 
medens Larvehuden sank ned gjennem Vandet, saaes der megen Luft mellem Vingeskederne 
(Flydekuglen); men først senere fyldtes Puppens Trachee-Længdestammer, og i lang Tid var 
der ingen Luft i Svømmebladene. Nakkerørene vare fulde af Luft, og en ganske lille Luft- 
draabe traadte ud gjennem Spidsen af det ene af disse, som laa i Vandskorpen. I Larve- 
huden, hvori Trachee-Længdestammerne fandtes hele, endende med de forreste Luftsække, 
var der, da de undersøgtes en halv Time efter Forpupningen, kun Luft i de to Længde- 


stammer, ikke i Luftsækkene. 


se ET ll nn 


Chironomus. 


"kprig, Arisloleles, Slept Éwoy toroptag Lib. V, Cap. 19. St. 100. 

Culex sp., Jac. Wagner, De generatione Culicum — Ephem. Acad. Natur. Curios. 1684 Dee. 2. Ann. 
3 p. 368— 370 (p. p. Culex sp.). 

Culex sp., Goedart, Metamorphoseos et historia naluralis Inseelorum pars terlia el ullima, autore 
Joanne Goedarlio, aucta observalionibus et appendice D. Joannis de Mej. Experimentum 
vigesimum-secundum. De origine Culicum p. 35—41 Tab. X. 

Gnat, Derham, Physico Theology, Book VIII, Chap. VI. p. 393. Fig. 11—13. 

Vers rouges, Joblot, Observations de histoire naturelle faites avec le microscope, Gd. sec. augm, 
1754, Tom.J, Part. 2. Chap. XLV, p. 112—114, PI. 13. fig. Y, Y, Y, Z. 

Vers polypes, Réaumur, Mémoires pour servir à Vhistoire des insectes, Tom. 1V, p. 179—180, 
PI. 14. fig. 11 —12; Tom. V, p. 29—89, PI. 5. fig. 1—10. 

Tipula fusca, Geoffroy, Histoire abrégée des Insectes qui se trouvent aux environs de Paris ele. 
Tom. Il, p. 560—561. 

Chironomus, Macquart, Insectes Diplères du Nord de la France — Recueil des travaux d. |, soe. 
d’amaleurs d. se. d. Vagric. el d. arts de Lille. Ann. 1823 el 1824 (1826) p. 190 1. 

Chironomus sp, Berkeley, Ann, nat. hist, VII. p. 449. 

Chironomus zonatus, Kölliker, Observaliones de prima insectorum genesi, p. 1—13. Tab. I (Chir. 
Lrieinelus). 

Chironomus grandis og viridulus, Bremi (Wolf), Beitrag zur Kentniss der Dipleren insbesondere über 
das Vorkommen ınehrerer Gallungen nach besonderen Localitälen und den Fang derselben, 
sowie auch über die Lebensweise einiger Larven — Isis 1846 p. 164. 

Chironomus plumosus, Verloren, Mémoire en réponse à la question suivante: Eclaireir par des 
observalions nouvelles le phénomène de la circulation dans les insecles, en recherchant si 
on peul la reconnailre dans les larves des différentes ordres de ces animaux — Acad. 
Roy. d. Belgique, Sav. étr. XIX. Pl. II— IN. 

Chironomus sp., Gervais, Bull. d.1.soc.enlom. 1851 p. LXX. 

Chironomus tricinctus, Ellenberger, Die Entwicklung der Dipleren-Gallung Chironomus — Lolos 
1852, p. 89— 92. 

Chironomus plumosus, Schubaert, Over de gedaanle verwisseling van eene soorl van Mug, Waar- 
schijnlijk Limnobia (Glochina) fusca Meigen. 

Chironomus nigro-viridis, Weismann, Ueber die Entstehung des yollendelen Insekts in Larve und 
Puppe, p. 30—32, Taf. Ill. fig. 22—24. 

Chironomus minutus?, Kupffer, De embryogenesi apud Chironomos observaliones, 

Chivonomus sp., Grimm, Die ungeschlechlliche Fortpflanzung einer Chironomus-Art und deren Ent- 


wicklung aus dem unbefruchlelen Bi — Mém. d. l’Acad, impér. d. sc. d. St. Pelersbourg ser. 
VII. Tom. XV. 
Chironomus oceanicus, Packard, On Inseets inhabiling Sall Water. Nr. 2 — Amer. Journ. of Se. a. 


Arts I. p. 100. 

Chironomus sp., Willemoës-Suhm, Ueber die Fauna der Binnenseen auf der Faer-Inseln — 
- Zeilschr. f. wiss, Zoo). XXIII p. 351. 

Chironomus sp., Darest, Note sur le développement du vaisseau dorsal chez les inseeles — Arch. 
d. Zool, expér. Il. 


poe 
20 


436 68 


Chironomus sp. Weyenbergh, Slell. Entom. Zeil. XXXIV p. 432. 

Chironomus motilator?, Sidney Smith, Sketch of the inverlebrale Fauna of Lake Superior — Unit. 
St. Comm. of Fish and Fisheries. II Rep. f. 1872 a.73, p. 693 PI. HI. fig. 20— 21. 

Chironomus plumosus, Slater, Note on aqualie dipterous larva — Entomolog. XII p. 87. 

Chironomus variegatus elc., Jaworowski, Ueber die Entwicklung des Rückengefässes und speciell 
der Museulalur bei Chironomus variegalus ele. — Silz. d. k. Akad. d. Wiss. z. Wien LXXX. 

Chironomus sp., Asper, Beiträge zur Kennlniss der Tiefseefauna der Schweizer Seen. — Zool. Anzeig. 
1880. p.130—134: 200—207. 

Chironomus sp., Balbiani, Sur la structure du noyau des cellules salivaires chez les larves de 
Chironomus. — Zool. Anzeig. 1881. p. 637—41: 662—666. 

Chironomus sp., Jaworowski, Vorläufige Resullale entwickelungsgeschichllicher und analomischer 
Untersuchungen über den Eierstock bei Chironomus und einigen anderen Insekten. — Zool. 
Anzeig. 1882. p. 653—657. 

Chironomus sp, Weismann, Beilrage zur Kenntniss der ersten Entwicklungsvorgange im Inseklenei. 
— Beilr. z. Anat. u. Embryol. J. Henle als Feslgabe z. 4. April 1882 ele. p. 13—16. Taf. 
XII (III). fig. 28—33. É 


Chironomus venustus. 


Ch. venustus hører til samme Afdeling 


D 3 


baade i Larvens og i Puppens Levemaade, Farve og Skikkelse. Larven, Fig. 76, er af en 


som den vel bekjendte store Ch. plumosus 


trind Form og en rod Blodfarve, hvilken sidste Egenskab har givet denne og nærstaaende 
Larver Navn af Blodmaddiker. : 

Hovedet, Fig. 77, er forholdsvis lille, af oval Form, kun meget lidt lengere end 
bredt. Tredje Metamers Rygskinne, Fig. 77 a, er forholdsvis lille, nogenlunde tresidet; de 
lange Sider bagtil med en vinkelformig Bojning indefter, den forreste korte Side svagt buet 
og indbugtet i Midten; fortil findes et Par korte Borster indplantede. Anden Metamers 
Rygskinne er kort og bred, bagtil med et Par ganske korte Borster, men iovrigt findes paa 
Undersiden fortil i Midten et Par korte, tykke Børster, Fig. 79 dd, der rage lige frem efter, og 
ved Roden af dem et andet Par, der er rettet udefter og bagefter; paa Siderne af disse 
Borster findes 3 Par korte, lidt krumme, paaskraas rettede Borster, Fig.79ee. Andet 
Spor til Hvirvelorgan findes ikke. Forste Metamers Rygskinne, Labrum, er lille, navnlig 
kort, i Forranden med en Kam af Tender, Fig. 79 f. 

Øjnene, Fig. 77 bb, ere meget smaa, og bestaa kun af to Tvillingeceller. Biejet, 
Fig. 77 cc, er ligesaa stort om ikke større end det egenilige Øje og findes bag delte noget 
paaskraa nedefter. — Antennerne, Fig. 77 dd; Fig. 78, ere korte; Grundleddet er temmelig 
bredt, med et rundt Legeme omgivet af en Chitinring (et Sandseorgan) noget bag Midten, 
Fig.78a. Sveben, Fig. 78 b, bestaaer af fire Led, af hvilke det første er det foreste og 
lengere end de tre andre tilsammen; fra Spidsen af Grundleddet eller Skaftet udgaaer en 
lang, bladformig Borste, Fig. 78 c. 


69 437 


Munddelene ere ikke stærkt udviklede, men Mundaabningen er stor og i Stand til 
at sluge, hvad Underlæben kan skrabe les, og Kindbakkerne fastholde og fore ind i Munden. 
Underlæben danner en bred, fortil stærkt chitiniseret og i 13—15 svære Tænder indskaaren 
Chitinplade, Fig. 79a. Underlæben træder meget klart frem med sin Forrand og kun den 
bageste Del dækkes forneden af en Proces af anden Metamers Bugskinne eller Underside. 
— Kjæberne, Maxillæ, Fig. 79 bb; Fig. 80, ere ret betydelige; deres Stamme eller Grunddel 
er tydeligt chitiniseret og danner, seet franeden, en Trekant med sterkt fremtrædende 
Yderkant, og seet fra den udvendige Side, en temmelig regelmæssig Firkant. Fligen er 
tyk, noget pudeformig, med det indre Hjørne udtrukket i en Kegle, Fig. 80a, som bærer 
et Par Børster og en bladformig Torn. Kjæbepalpen, Fig. 80 b, er kort, trind eller svagt 
kegledannet med korte Papiller i Spidsen. — Kindbakkerne, Mandibulæ, Fig. 79 ce; Fig. 81 
og 82, ere smaa og smalle, og naar de i Hvile ere bojede indad, naa de langtfra hinanden. 
Spidsen af dem er temmelig stump, men bag Spidsen findes 3—4 spidse, grove Tænder 
siddende i Række; under disse Tender findes en Række fine Børster, og ved Roden af 
Kindbakkerne en anden Række af fire korte, stærkt grenede Børster, Fig. 82 a. Bryststykket 
er trindt (paa det aftegnede Individ har Bryststykket faaet en unaturlig Form af den i Ud- 
vikling langt fremskredne Puppe), adskilt i 3 Ringe eller Led, men anden og tredje Bryst- 
ring er kortere end forste og indbyrdes mindre sterkt adskilte end Kroppens ovrige Led. 
Paa Undersiden af forste Brystring findes fortil et Par trinde, temmelig smaa Sugefodder, 
Fig. 76 a, som i deres Forende ere besatte med talrige, fine, noget krummede, borsteformede 
Takker; naar Larven sees fraoven, træde disse Takker frem som Krandse mellem Bryst og 
Hovedet og langs med den bageste Del af Hovedets Siderande, Fig. 77 ee. 

Bagkroppen er trind ligesom Bryststykket, og de forste 7 Led frembyde ikke noget 
merkeligt, men det ottende Led berer paa Midten af Undersiden 2 Par lange, smekre Ror, 
Fig. 76 bbbb, som kunne trækkes ind og skydes ud af Kroppen. Paa Oversiden af samme 
ottende Led i Midten af Bagranden findes et Par korte Kegler eller Tappe, i hvis Ende en 
lille Busk af fine Børster ere indplantede, Fig. 78e. Sidste eller niende Bagkropsled er 
meget lille og kort, men fra dets Underside udgaaer et Par lange, trinde, temmelig store 
Sugefodder, Fig. 76 c. Disse Sugefodder, som ere adskilte i deres hele Længde, bærer i 
Enden en halv Snes korte, kraftige, stærkt bøjede Chitinkroge, og et Par lange, stærke Mu- 
skeltraade sees at ejennemlobe hver Fod og fæste sig i dens Spids. Analpapillerne, Fig. 76a, 
stikke frem, som sædvanlig 4 i Tallet, men de ere temmelig korte. Analbørster, Analkroge 
og Svømmevifte fattes. 

Tracheesystemet, jfr. Fig. 83, er særdeles svagt udviklet, og først paa et sent Stadium 
af Larvelivet finder man i flere eller færre af de forreste Kropsegmenter svagt forbundne, næsten 


selvstændige Systemer, som have udviklet sig selvstændigt i hvert af disse Led, og som ved en 


438 70 


ganske tynd, massiv Streng, Fig. 83 a, Sidestrengen, slaa i Forbindelse med Overhuden, 
dog uden at der her dannes noget Spirakel. 


thironomus plumosus, 


Larven, Fig. 86, hører til samme Afdeling, som Ch. yenustus, og jeg skal kun frem- 
heve, at hos Ch. plumosus er Tracheesystemet overhovedet noget sterkere udviklet, saa- 
ledes som det navnlig vil sees af Fig. 87 i Modsætning til Fig. 83. 


Chironomus motilator. 


Denne Larve, Fig. 90, hører til en anden Gruppe af Chironomus, mindre af Stor- 
relse og uden den røde Farve, som gjør den første Gruppes Larver saa iojnefaldende. 
Serligt maa derhos fremhæves, at denne Larve mangler de 2 Par udskydelige Ror, som jeg 
har fremstillet hos de to foregaaende. 

Ogsaa Puppen, Fig. 91, er meget forskjellig, navnlig med Hensyn til Nakkerorene; 
men her maa jeg henvise til det Folgende, naar jeg, efter at have behandlet Larvernes 
Levemaade og Aandedret, kommer til Pupperne. 


Som man vil see af ovenstaaende Liste af citerede Forfattere, er Antallet paa dem, 
der have skrevet om disse Dyr, meget belydeligt, men det maa dog strax bemerkes, at 
adskillige af de anforte Afhandlinger nermest maa siges at have anatomisk Belydning, saa 
at man kun lerer meget lidt af dem om den egentlige Udviklingshistorie. 

ARISTOTELES taler i sin 5.Bog af Dyrenes Historie om visse Myg, Empides, som 
fremkomme af Orme, Askarides, der opstaa og leve i gjærende og raadnende Vand. I 


Almindelighed tydes disse Insekter som Myg, Culex, men det forekommer mig, at det paa- 


vd} 
gjeldende Stykke i hans Dyrenes Historie meget vel passer paa en af de storre Chirono- 
mus-Arter med disses røde Larver, Blodmaddiker, ved hvad der angives om deres Udseende, 
Farve, Bevegelse etc. Dog vil jeg heller ikke negte Muligheden af, at Trek af Culex- 
Larvernes Levemaade eller Udvikling ere lobne med ind i denne Beskrivelse. Jeg skal 
derfor citere hele Stykket og tilføje en dansk Oversættelse heraf: af Oéuzidec yivoyzar ex 
Toy doxapt0wy. ut O doxapidsc yivovtar Ev te tH tdi THY Ypedrwy xat Ömov dy abppevate 
revmrar Bdacog yewddn Eyovoa Sxdatucw. zo psy obv mo@rov adt 7 Ude onropevn Yoopa 
hapdvet Aeuxöv, era péhav, relevroou Aaipatwdec. Üruy d= torabrny jévyrar, wberar EF 
aC &orep ta Cvxta pixpa aeddpa zar Epvdpd. Tabru 0 ypdvov pév twa xıveizar 
TP06TEQUXÔTU, exe dnoppayéyta Géperut xata To Bdwp, at xahodpevar doxaptosc. 


OVEN: M > 37 œ > Nr. ye ~ OX > =) x > , v = 
ped juépoac 0 OAITUC LOTAYTAL opdar eit TOD UOUTOG GAP COUGOL ZEAL GLAN PE , KOTELTO. 


Ber EGER Eee be Dovey ee an v aN Aa Ques az » 2) A Gas rt 
TEOLOOASEVTOS TOD XEADGODG 7 EUTIC Vw erizdöncar, EWT ay MALOG 7 TYEUfL0. xU1 07) 


Tore O70n méctecat: «Myggene fremkomme af Ormene, men Ormene fødes i Dyndet af 


71 439 


Brondene eller hvor der finder en Sammenstromning Sted af Vand med jordagtigt Bund- 
fald; men naar Dyndet raadner, faaer det forst en hvid, dernæst en sort og endelig en blodrad 
Farve; men naar det er skeet, opstaaer der af det ligesom ganske smaa, rode Plantetrevler, 
som i nogen Tid bevæge sig fæstede til samme Sted, men derpaa rive sig los og 
bevæge sig omkring i Vandet, det er de saakaldte «Askarides». Efter faa Dages Forløb stille de sig 
oprejst paa Vandet, ubevegelige og haarde, og idet Hylstret dernæst revner, sætter Myggen sig 
ovenpaa (Vandel), indtil Solen eller Vinden setter den i Bevægelse; saa flyver den sin Vej. 

Jac. Wacner’s De generatione Culicum gjælder visselig, hvad det fuldkomne Insekt 
og deltes Levemaade angaaer en Culex, jfr. det Foregaaende under Culex p. 379 (11), men 
hvad der siges om Larven og dennes Levemaade gjælder ligesaa sikkert en af de store 
Chironomus-Arter. Om Larven hedder det, I. c. p. 369: «ea (0: ovula) circa mensem Junii 
sequenlis anni a calore Solis excluduntur, indeque vermiculi lutei, tenues prodeunt, tre- 
decim seclionibus seu incisuris et rubicundulis capitibus constantes; hi duobus saltem 
minutis cruribus sub prima incisura sunt instructi, que ad extremitatem aspera sunt, uti 
semen Aparines, podex denique illorum tribus exiguis apophysibus terminatur. Porro ver- 
miculi hi theculas quasdam molles atque viscosas ad herbas illas prenominatas sibi confi- 
ciunt, quas ibi affigunt, atque in iis tamquam in tuguriis aliquamdiu degunt; ad justam 
verum magniludinem ubi pervenerunt, ob alimentum, viridem ac mox fuscum colorem 
asciscunt, alis instruuntur, et in liberum aérem pervolant, aculeoque suo homines infestant». 
Dog at den sidste Sætning ikke kan gjælde nogen Chironomus, sees let. 

Gorparr maa have havt Myggelarver gaaende i længere Tid og studeret dem, thi 
det hedder, «Beneficio igitur hujus vasis vitrei et pellucidi, quotidie et diligenter obser- 
vavi atque annotavi quid in eo quovis Die fieret, qualesque ibi mutaliones contingerent». 
Det er nu mange lojerlige Ting, han har seet, og paa en skjon Maade har han sammen- 
blandet Culex, hvis Blodsugen kun omtales, og de rede Chironomus-Larver (vermiculi 
sanguinei), som han afbilder, og Prygane-Larvers Huse. Den rode Farve paa Larveafbild- 
ningen afgjer, at han tildels har haft en af de storre Chironomus-Larver for sig, og Dyrets 
Omrids tyder ogsaa herpaa; men iøvrigt er Farven zinnoberred, og Figuren altfor lille, til 
ret at gjenkjendes. Den mellemste Figur skal efter sin Stilling paa Tavlen vel forestille 
en Puppe, og Myggen forneden er vel snarest en Culex-Han. 

Dernam har den samme Sammenblanding af Chironomus og Culex, som findes hos 
de foregaaende Forfattere. Dertil ere hans Afbildninger næsten ukjendelige. 

Jostor beretter, hvorledes han han har seet Larverne baade svømme og krybe, og 
de tre Afbildninger, Y, Y og Y, ere vel smaa og raa, men dog kjendelige; derimod kan 
den fjerde Figur, Z, ikke siges at være meget naturlig, idet Larven her har faaet et Hunde- 
hoved med spidse Ører og et stort, rundt Øje paa Siden af Hovedet, og han skriver da 
ogsaa om den: «il ouvre une grande bouche bien différente de celle des vers ordinaires». 


Réavuur er den Forfatter, som har givet den udferligste Fremstilling af Chironomus- 
Larven og dens Puppe, og han afbilder og omtaler Larven saavel i 4. som 5. Bind af sine 
Memoirer. I 4. Bind, hvor han inddeler Fluelarverne i forskjellige Klasser og Slægter, hen- 
regner han Chironomus-Larven til tredje Klasses femte Slægt; tredje Klasse karakteriseres 
ved det haarde Hoved og Slægten ved den røde Farve, som Larven oftest har, ved de to 
korte Fødder fortil, ved »quatre cordons charnus et assés longs qui ayant quelque ressem- 
blance avec les cordons du poisson appellé polype» og ved «deux especes de tuyaux presque 
cylindriques qui ont bien l'air d'être les organes de la respiration», som udgaa baglil. I 
5. Bind gives der en længere Fremstilling af Larven, hvorledes den boer i smaa Rer eller 
Dynger af Bundfaldet i Vandet; og Reaumur antager, at Larven spinder dette Bundfald 
sammen, om ban end ikke har kunnet see den Traad, som Larven skulde have spundet. 
Yderligere fortælles der, hvorledes Larven undertiden forlader sit Rør og svømmer frit med 
bugtende Bevægelse om i Vandet. Den i 4. Bind udtalte Formodning om, at de to bageste 
med Kroge forsynede Sugefødder skulde vere Respirations-Organer, gjentages først med 
nogen Ubestemthed, idet der, 5. B. p. 33, siges: «J'ai vü quelquefois le ver s'en servir pour 
se pousser en avant; mais j'ignore s'ils n'ont point une fonction plus importante, s'ils ne 
sont point les organes avec lesquels l’insecte respire l'eau ou Fair», men derpaa tilskrives 
i Tavleforklaringen, p. 51, denne Function mere bestemt til disse Organer, idet det i For- 
klaringen til Pl. 5, fg. 4 hedder: «qui paraissent être destinés à porter l'air dans le corps 
du ver, être deux stigmates»; ogsaa om de 4 Analpapiller, der betegnes som «corps en 
forme d'olives og mærkes med Bogstaverne m, m, m, m, erklæres, at man «peut encore 
(les) soupconner être des stigmates». Réaumur har ogsaa givet flere Afbildninger af Puppen 
og fremstillet dens Liv, idet han med Rette fremhæver, at den som oftest ligger inde i 
Larvereret, indtil kort Tid, fer den søger op til Vandets Overflade for at give den udviklede 
Myg Lejlighed til at bryde Puppehylstret. De stærkt grenede Nakkerer, la pennache, be- 
iragtes som Gjæller, «ouies», men Fremstillingen af Nakkererene, Fig. 9, er neppe rigtig, 
i alt Fald ligner den ikke samme hos Puppen til Chir. venustus og plumosus, vor Fig. $4 
og 88. Til Slutningen omtaler Réaumur ogsaa, at der foruden disse rede Larver gives 
andre lignende Larver, som give lignende Myg, men som ere hvide og uden de traadfor- 
mede Vedhæng bagtil, og endelig afbilder han, PL 3, fig. li, Puppen til en saadan hvid 
Larve; selvsamme Puppes Nakkerer ere ganske simple og trinde. 

Greorrroys Beskrivelse af Larven er meget kortfattet, og muligvis er den ikke andet 
end et kort Uddrag af Réaumurs Fremstilling; heldigvis indlader han sig ikke paa nogen 
physiologisk Tydning af Larvens Lemmer eller Processer. 

De øvrige citerede Forfattere skal jeg ikke omtale her, men nøjes med i det 
Folgende at fremdrage hos dem de enkelte Punkter, som min Fremstilling af Larven og 
dens Udvikling vil give Anledning til. 


73 441 


Biologi. 

De store Chironomus-Arters Larver, saasom Ch. plumosus, albipennis, aprilina og 
venustus, leve gjerne paa Bunden af dybere Vand, saasom i Molledamme ved Grunden af 
Molledemningen, hvor Vandet kan vere en 3‘ dybt eller derover; dog er Dybden langtfra 
altid saa betydelig, navnlig længere hen paa Sommeren. Vandet maa være roligt eller 
stillestaaende, men Bunden kan være hojst forskjellig, saasom rent Sand, eller lerblandet 
Sand, eller Mudder, eller raadnende Lov, eller ogsaa, om end kun sjeldnere, Gresbund. 
Larverne holde sig paa Bunden af Vandet, og sjeldent seer man dem bevege sig gjennem 
Vandet, livligt bugtende sig frem. Paa Bunden danne de rorformige Gange, som, naar 
denne er af fastere Consistens, danne ligesom Ormerer, der snart kun sees med Toppen 
over Bundens Overflade, men snart ogsaa trede frem som lange Rer, der da enten staa 
mere eller mindre lodret i Vejret eller ligge noget paaskraa. De Ror, som Larven til Ch. 
aprilinus lavede i Fangenskab, vare ca. 2—3‘" lange; ogsaa opad Glassets Sider trak den 
flere Ror, hvis Consistens var langt ringere, men hvis Lengde saa til Gjengjeld var langt 
betydeligere end deres, som vare forte henad Bunden, idet de vare indtil 8°, ja selv 12‘ lange. 
Larverne ligge inde i disse Ror, men jævnligt stikke de Hovedet med Munddelene ud for 
at æde, eller ogsaa stikke de undertiden Bagkroppen ud ad Mundingen, indtil mere end 
Kroppens halve Længde, og svinge frem og tilbage med den, rimeligvis for Aandedrettets 
eller Hudrespirationens Skyld. 

Hos Bremi-Wolf finder man Oplysning om Larvernes Levemaade og Rørbygning, 
og om Ch. viridulus fortæller han saaledes, hvorledes den laver sig lige, langstrakte Rør af 
raadnende Plantedele paa Undersiden af Stene og Træstykker. Om andre Chironomus- 
Larver fortælles der, hvorledes de som spæde eller unge Larver leve i fælles, tyndt Dyndlag 
paa Blade, I. c. p. 169. 

Med Hensyn til den Dybde, hvori Chironomus-Larver kunne findes i fersk Vand, 
kan anføres Moniers Angivelser om 3 Chironomus- og 1 Tanypus-Larve fra Bunden af Genfer- 
Søen, Bull. Soc. Vaud. 2. XIII. p. 60 (efter Brauer), og Willemoés-Suhms, som i «Ueber die 
Fauna der Binnenseen auf den Faer-Oer» anfører, at han i en lille Indsø paa Færøerne, 
«Toftevandet» kaldet, paa Østerøen, har fundet nogle «rötliche Dipterenlarven» paa 5 Favnes 
Dybde, med moseagtig Bund og ellers ingen Dyr (Zeitschr. f. wiss. Zool. XXIII p. 351). Ogsaa 
Sidney J. Smith (Sketch of invert. Faun. of Lake Sup. 1874) angiver fra Bunden af Lake Su- 
perior i Nordamerika at have faaet 2 Larver og { Puppe af en Art af Chironomus moti- 
lator-Gruppen (men hvor dybt?). Asper anfører, I. c. p. 130, 134, 200, 202, at have fundet 
rødlige eller røde, rørdannende Dipterlarver paa Bunden af Zuricher-, Wallen-, Aegeri- og 
Langen-Sø, og Dybden for det sidste af de opførte Findesteder angives endog til 70—-100" 


— i den sidstnævnte Sø angives der endogsaa at være forekommet Larver paa en Dybde 
Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 4, 56 


442 74 


af indtil 300% , men da de kun betegnes som Dipter-Larver, tor jeg ikke med Bestemthed 
antage dem for Chironomus-Larver, om de end efter al Sandsynlighed hore til denne Slægt 
af Dipterer. Endelig beretter Gervais, Bull. d. I. soc, ent. d. Fr. Ser. 2. T. 9. p. LXX, om en 
red Tipula-Larve fra en artesisk Brønd med en Dybde af (30m. 

Men Chironomus-Arterne, ialtfald de sterre af dem, holde sig ikke til fersk Vand 
alene, men forekomme ogsaa i brak Vand, ja selv ude paa Bunden af vore dybere, saltere 
Fjorde eller Stramme. Saaledes har jeg selv taget store, rede Ch.-Larver paa indtil 6‘ 
Dybde i Bramsnæs Vig, udfor Dragerup Skov ved Holbæk; og Georg Winther, som med 
saa megen Iver og Dygtighed har undersogt Bundforholdene i en stor Del af vore Farvande, 
har fra sine forskjellige Toure hjembragt saadanne «Myggelarver» eller «røde Larver» som 
fundne ved Skrabninger paa Sobunden. De Steder, hvorfra han angiver dem, ere da 
Knebelvig, en Indvig fra den nordlige Ende af Aarhusbugten, Kysterne af Sjelland ud imod 
Storebelt, og endelig i Samsobelt. Dybden angives fra 1/a—5 Favne, og Bunden angives 
som Mudder eller stinkende Mudder, eller ogsaa sandblandet Mudder eller Sand med lidt 
Mudder. Som Dyr, der forekomme sammen med disse Larver, opregnes Mollusker, Bry- 
ozoer, Echinodermer, Dekapoder, Amphipoder, Isopoder og endelig Orme. Ogsaa Packard 
beretter, The Americ. Journ. of Sc. a. Arts. I. 1871. p. 100, om Forekomsten i salt Vand af 
Larven til Chironomus oceanicus; den blev fundet i en Dybde af 20 Favne i Eastport har- 
bour, Maine, og erkleres for at vere identisk med den ligeledes af Packard to Aar forud 
beskrevne (Proc. of Essex Inst., Salem VI, p. 41) Ch. oceanicus, hvis Larve da var taget i 
Mengde ved Lavvands Mærke i Salem harbour. 

Mindre Arter af Ch. motilator-Gruppen holde sig ikke til Bunden af Vandene, men leve 
overhovedet kun i Vande med rigere Vegetation, til hvilken de holde sig, snart levende 
mere frit inde mellem Bladene eller i Sprekker og Revner af de paa og i Vandet flydende 
Gjenstande, snart spindende sig Hylstre og Rør. Om Larven til Ch. fratercula kan jeg 
meddele, at den lever i Skovvande, i Grofter mellem Conferver, og at den her danner sig 
Slimrer, hvori den boer, men hvoraf den ogsaa stadigt stikker Kroppen med Hovedet 
forrest kortere eller længere ud, undertiden næsten helt ud, for at tage Føde til sig og 
vel ogsaa for bedre at aande med det Samme. Slimroret af en saadan Ch. fratercula-Larve 
var c. 91°" langt og 2'/o‘“ tykt paa det Bredeste, af Tenform, med en indre cylindrisk 
Lysning, og udvendigt indvævet med Conferver. (I Spiritus skrumpede Slimreret ind til 
det Halve eller en Trediedel.) 

Larvernes Aandedret er indskrenket til Hudrespiration alene, og kun hos nogle 
større Arter, som Ch. plumosus og venustus, understøttes denne af de to Par lange, polse- 
formige Udkrengninger i Enden af Bagkroppen. Andre Respirationsorganer har Larven 
ikke, idet Tracheesystemet inde i Kroppen for det Forste er uden al Forbindelse med 
Kroppens Yderflade, og dernest i og for sig er saa ubetydeligt og udvikles paa et saa sent 


75 4.45 


Stadium af Larvens Liv, at det ikke kan have nogen Betydning for Respirationen. Endelig 
gjør Larvens stadige Ophold i sit Rør paa Bunden af Vandet, indtil flere eller mange 
Faynes Dybde, al Tanke om Luftrespiration umulig, medens paa den anden Side den tynde 
Overhud, som dertil stadigt holdes fugtig af Vandet, i overordentlig Grad maa fremme 
Hudrespirationen: hele Kroppens Overflade virker ligesom en Gjælle. 

Packard maa derimod tillægge Tracheesystemet en væsentlig Betydning for Re- 
spirationen, idet han om Larven til Ch. oceanicus, |. c. p. 109, udtrykker sig saaledes: «At 
any rate we have here an insect (and a mite) breathing by tracheæ, and extracting Ihe 
oxygen from the water at the great depth of 120 feet, and, in the case of the dipterous 
larva, with no apparent variation from specimens living at low-water mark». 

Forvandlingen til Puppe skeer ogsaa dybt under Vandets Overflade, saa at den knap 
lader sig iagttage, og Puppen forbliver liggende i de Rør eller Sprækker, hvori Larven 
opholdt sig. Den Smule Luft, som maatte kunne samles inde i Tracheesystemet, fjernes 
af Kroppen under Forvandlingen, og efter denne finder man da en meget ringe Mængde 
Luft inde i Larverøret og i den afskudte Larvehud, som iøvrigt ikke skydes helt af under 
Forvandlingen, men hvori Puppen bliver stikkende med hele sin Bagkrop. 

Til de to Hovedgrupper af Larver, med eller uden pølseagtige Udkrængninger, svare to 
Former af Pupper, de med fjerbuskdannede Nakkerør og de med korte, simple Nakkerør. Som 
Exempler paa den første Gruppe vil jeg henvise til Fig. 84 og 88, som fremstille Puppen 
af Ch. venustus og plumosus. Hvad der strax falder i Øjnene ere de to fjerbuskformede 
Legemer bag Hovedet, Fig. 84. a a, Fig. 88. aa. Det er Puppens Nakkerør, som her ere spal- 
tede i et stort Antal meget fine, lange, lukkede Rør. Rorene falde i 3 Hobe eller Knipper, 
Fig. 89, og begynde med faa, korte Stammer, hvorfra de saa sprede sig. Benene ere 
lange, tynde og slutte daarligt til Kroppen og Vingeskederne. Sidste Led af Bagkroppen 
ender med et dybt spaltet, næsten cirkelrundt Haleblad, og Siderne af dette ere besatte 
med en tæt Fryndse af meget lange, haarfine Børster, Fig. 85. Den anden Hovedgruppe 
af Pupper har kun et Par ganske korte Nakkerør, Fig. 91 a., der som to tynde, lukkede 
Rør staa stift ud fra Kroppen; paa Halebladet mangler Fryndsen, men til Gjengjæld have 
de sidste Bagkropsled en Hudbremme, som navnlig er bred paa de 2 sidste Led, og paa 
allersidste Led er i Baghjørnerne 3 længere Børster. 

Med Hensyn til Betydningen af disse Nakkerør er først at mærke, at deres saa højst 
ulige Udvikling hos forskjellige Arter af samme Slægt, som tilmed føre omtrent samme 
Levemaade, viser, .at denne ikke kan være saa overvættes stor, og at man alene af den 
Grund ikke med Réaumur kan betragte dem som det egentlige Respirationsorgan hos 
Ch. plumosus og venustus f. Ex., hos hvem de ere saa stærkt udviklede, medens Ch. moti- 
lator og fratercula skulde nøjes med et saa ringe eller næsten rudimentært Organ. Larven 
maa væsentligt nøjes med sin Hudrespiralion, og saafedes maa vistnok Puppen det ogsaa; og 


56" 


444 76 


ligesom Larverne stadigt bevæge sig i Vandet i eller udenfor deres Rør, saaledes kan man 
ogsaa i Opbevaringsglassene see Pupperne ligge i en stadig bølgende eller vuggende Be- 
vægelse inde i deres Rør. I det Frie seer man kun sjeldent noget til Pupperne, og man 
kan i mange Aar have samlet Vandinsekter og i mange Aar have fisket i Vandhuller, fulde 
af Chironomus-Larver og Pupper, uden nogensinde at have faaet en saadan Larve eller 
Puppe i sin Ketser, og sædvanligt er det kun de afskudte, tomme Puppehude, der ofte i 
saare stor Mængde ligge og flyde i Vandskorpen, som røbe disse Insekters Tilstedeværelse. 
Puppen holder sig nemlig hele Tiden, lige til Forvandlingen eller ialtfald til kort Tid før 
den er færdig til som fuldkomment Insekt at forlade Puppehuden, i sit Ror‘); men naar 
dette Tidspunkt er kommet, naar et Luftlag er trængt ind mellem Puppehuden og det, fuld- 
komne Insekts Overhud, saa at dette ligger helt frit inde i Puppehuden, da forlader Puppen 
sit Rør, farer op til Overfladen af Vandet, og i et Nu aabner Puppens Bryststykke sig i 
en Spalte langs Ryggens Midtlinie, og det fuldkomne Insekt staaer saa at sige med det 
Samme paa Vandets Overflade. Jeg har som oftest ikke seet selve Udkrybningen af det fuld- 
komne Insekt af Puppehuden, men at den maa skee eller ialtfald maa kunne skee i en saadan 
Fart, er aldeles sikkert af den Omstændighed, at forskjellige Chironomus'er have viist sig 
pludseligt i de Glas, som jeg stadigt har havt for Øje, i de faa Minutter, jeg har havt 
mine Øjne fra dem under Brugen af Mikroskopet eller anden Undersøgelse. Dog naturligvis 
gaaer det ikke altid lige heldigt, og hvis der indtræffer f. Ex. nogen Vanskelighed med at 
løsne Insektets Overhud fra Puppehuden, da kan Udkrybningen tage lang Tid, og da kan 
man see Puppen fare ligesom fortumlet omkring i Vandet. Dog undertiden har jeg iagt- 
laget selve Udkrybningens Akt, og som Exempler paa den Hurtighed, hvormed den skeer, 
skal jeg anføre: En Ch. annulipes, som i længere Tid havde støjet omkring, inden den 
kom til Ro, brugte saa 14 Sec. til at bryde Puppehuden og staa frit paa Vandskorpen, 
hvorfra den efter andre 5—6 Sec. fløj bort. En Ch. albipennis (?) brugte endogsaa kun 10 
Sec. til at komme ud af Puppehuden, og fløj bort efter andre 10 Sec. En Ch. aterrimus 
brugte 50 Sec. til at bryde Puppehuden og staa paa Vandskorpen, hvorfra den fløj bort 
efter 15 Sec. Forløb. Naar en Imago har Vanskelighed ved at komme los, navnlig naar 
det kniber med at løsne Benene fra deres Skeder, det er Puppehuden, kan man undertiden 
hjælpe den ved at bringe den paa det Tørre, hvorved den faaer bedre Rygstød til at bryde 
Rygspalten op og trække Benene ud. 


') Ogsaa Macquard, l.c.p. 192, har iagttaget Puppen i dens Rør paa Bunden af Vandet: «C'est dans 
leurs cellules que les larves passent à l’état de nymphe.» 


77 445 


Tanypus. 


La tipule à aïles réticulées, Geoffroy, Histoire abrégée des Insectes qui se trouvent aux environs 
de Paris ete. If. p. 566, PI. 19, Fig. Il, e-m. 

Tipula maculata, De Geer, Mémoires pour servir à l’hisloire des insectes. Tom. VI. p. 394—400. 
Pl. XXIV. Fig. 15—19. 

Tanypus plumipes 0g varius, Fries, Monographia Tanyporum Sueciz. 


Tanypus, Macquart, Insectes Dipleres du Nord de la France. — Recueil des travaux d. |. soc. 
d’amaleurs d. se. d. l’agrie. et d. arts de Lille. Ann. 1823 et 1824 (1826) p. 182 ff. 
Tipule Teigne aquatique, Lyonet, Anatomie de différentes espèces d’insecles. II]. — Mem. du Mus. 


d’hist. nat. XIX, p. 85—89. PI. 9 (17). Fig. 1—2, 5—7, 10, 12—13, 16—17. 

Tanypus nigro-punctatus, Gercke, Ueber die Melamorphose nacklflügeliger Ceralopogon-Arten, sowie 
über die von Tanypus nigro-punctatus Steg. und von Hydrellia mutala Meig. — Verh. d. 
Ver. f. naturw. Unterh. zu Hamburg. IV. Sep. p. 1—6. Taf. II. Fig. e-g'. 

Tanypus varius, Jaworowski, Ueber die Entwicklung des Rückengefässes und speciell der Mu- 
sculatur bei Chironomus und einigen anderen Insecten. — Sitzb. d. k. Akad. d. Wiss. LXXX. 
Sep. p. 1—20. Taf. II. Fig. 18—19. 

Tanypus sp., Meinert, Om retractile Antenner hos en Dipler-Larve, Tanypus. — Entom. Tidsskr. 
Ill. p. 83—86. 

Nec! Tanypus sp., Packard, On Insects inhabiling Sall Walter. Nr. 2. — Amer. Journ. of Se. and 
Arts, Febr. 1871. p. 101—102. 


Tanypus varius. 


Tan. varius, Fig. 92 og 93, hører til de større eller middelstore Arter af denne Slægt. 
Larven er vandklar, ufarvet, med rodt Skjær af Blod i Hoved og Krop og af Tarmkanalen. 
| Fedtlegemet er en stor Mengde redbrune, merke Pigmentkorn, som ogsaa skinne igjennem 
og samle sig til morkere bugtede Tværbaand i Kropleddenes Forrand og Bagrand; især ere 
Baandene paa de to forreste Led af Brystet meget brede. Formen af Dyret er iovrigt ikke 
ganske trind, men noget fladtrykt med en temmelig tet Bremme af fine Borstehaar stril- 
tende ud fra Siderandene af Kroppen. 

Hovedet er temmelig lille, ovalt, en Smule bredere end langt. Tredje Metamers 
Rygskinne er meget noje forbundet med Hovedpladen, saa at Grendserne mellem dem ikke 
ret lader sig angive. Anden Metamers Rygskinne er meget tilbagetredende, kort, hudet, 
med sterkt convergerende Sider. Forste Metamers Rygskinne, Labrum, er nesten rudimenter 
eller sammenvoxet med anden Metamers Rygskinne, idet en smal, buet Chitinplade, som 
ligger i Forranden til sidstnævnte Metamer, omtrent lige godt kan ansees for Forranden af 
Rygsiden til anden som Bagranden af Rygsiden til forste Metamer, eller i sidste Tilfælde 


446 78 


som dennes Rygskinne. Forranden af tredje Metamer optages af 2 Par runde, blæreag- 
tige Hinder. 

Ojnene ere smaa, ovale, simple. Biojnene have omtrent samme Storrelse som de 
egentlige Øjne og ligge saa ner op til dem, at de tilsammen synes at udgjore et sam- 
mensat Øje. — Antennerne ere flade, noget buede, temmelig lange. Grundleddet har, 
omtrent i en Afstand af en Fjerdedel af Længden fra Spidsen, en lille Sandsevorte. Fra 
selve Spidsen af Grundleddet udgaaer det trinde, sm&kre, korte andet Led, og atter fra 
Spidsen af dette det rudimentere tredje Led; jævnsides med andet Led udgaaer fra Spidsen 
af Grundleddet et fladt, fortil afrundet, klart Blad. Hele Antennen er ved en særegen 
Muskel i Stand til at drages tilbage ind i Hovedet, og drives atter ud af Hovedet ved Blodtryk. 

Munddelene ere ikke synderligt udviklede, omtrent i samme Grad som hos Chiro- 
nomus. Underlæbens, Fig. 94 a, Forrand dannes af en chitiniseret, stærkt tandet Chitinplade; 
dog er denne Plade ikke slet saa kraftig som hos Chironomus (venustus), og navnlig er 
den midterste Tand næsten kun hindet, omend langt større end nogen af de andre, og 
Oversiden af Midtertanden gaaer ogsaa over i den meget store, stærkt fremtrædende, hindede 
Kegle eller Vorte, Fig. 94 b, hvori de store Brystspytte- eller maaske rettere Spindekjertler 
munde ud. Antallet af Tender paa Underlæbens Chitinplade er, foruden Midtertanden, en 
6—7 skarpe, spidse Tender paa hver Side. Dog mere fremtrædende end nys omtalte 
Chitinplade er den smalle, fortil fire- eller oftest femtandede, særdeles svære Chitinplade, 
Svælgpladen, Fig. 94 c, som ligger over Underleben, men som skinner gjennem denne, naar 
Dyret sees fra neden med gjennemfaldende Lys. Loftes Underleben og Spindevorten i 
Vejret, sees Spidsen af Pladen at rage frit frem i Munden; uden Tvivl er det en Dannelse 
i Svælgets Gulv eller nederste Veg og horer altsaa ikke de egentlige Munddele til. — 
Kjæberne, Maxillæ, Fig. 94 d, ere vel udviklede, om de end for den storste Del ere hindede. 
Hvad der mest falder i Ojnene er den store, tætte Bremme eller Fryndse af kolleformede, 
hindede Legemer, som ere indplantede i Inderranden og Forranden af denne lille Kjæbeflig, 
og som opfylder den største Del af Munden. Kjæbepalpen, Fig. 94 e, er vel afsat, med 
et bredt Grundstykke, som foroven styrkes ved et smalt, bojet Chitinblad, og af et trindt 
Palpeled, som i Spidsen bærer nogle faa Papiller. — Kindbakkerne, Mandibulæ, Fig. 94 f; 
Fig. 95, ere smaa, smalle, krummede og temmelig butte, i deres Inderrand væbnede med 
en lidet fremtredende Dobbeltknude. 

Bryststykket er af ovalt Gjennemsnit, næsten trindt, og de tre Ringe eller Led, 
hvoraf det bestaaer, ere kun svagt adskilte. I det forreste Led sees de to svære Bryst- 
spytte- eller Spindekjertler, Fig. 93 aa, at skinne igjennem; fra Undersiden af samme Led 
udgaaer det forreste Par Sugefodder, Fig.92a, som i Spidsen er tet besat med lange, 
fine, noget krogede Tender, der ere ordnede i mange, smalle Rekker, den ene Række bag 
den anden. Længden af Tænderne stiger stadigt fra de forreste til de bageste Rekker. 


79 447 


Bagkroppen har 9 vel adskilte Led, af hvilke de to sidste ere betydeligt mindre 
end de foregaaende, som alle tilligemed Brystets 3 Led paa Siderne ere omgivne af en 
bred Bremme af fine, tynde Haar. Fra Undersiden af sidste eller niende Bagkropsled ud- 
gaaer Kroppens andet Par Sugefodder, Fig. 92 bb; Fig. 93 bb, som er betydeligt sværere og 
længere end forste Par; i Enden af dette Par Sugefodder findes ligesom paa forreste Par 
krogformede Tender, men Tænderne her ere meget betydeligere udviklede, omend langt 
færre end paa forreste Par Sugefodder. Antallet af Krogene er c. 16, ordnede i 3 Rækker, 
2 i forreste, 6 i anden og 8 i tredje Række. Krogene her stige ogsaa i Længde bagtil, 
men blive med det Samme meget smækrere; de to forreste Kroge ere meget brede og 
kunne have en stærk Tand springende frem paa Midten af Indersiden. Naar Fodderne 
trækkes eller krænges tilbage i Kroppen ved Hjælp af deres Muskler, trækkes Tænderne forst 
tilbage og ind i Sugefodderne. De sædvanlige 4 Analpapiller, Fig. 92 cc; Fig. 93 cece, ere 
temmelig fremtrædende. Analborsterne, Fig. 92 d; Fig. 93 dd; Fig. 96, sidde samlede i 2 
tætte Knipper af fine, lange Borster i Spidsen af et Par Papiller, som udgaa fra Bagranden 
af niende Bagkropsleds Overside. Paa Fig. 96 har jeg fremstillet den fine Tracheeforgrening 
i en saadan Papil. Analkroge savnes. 

Tracheesystemet sees tydeligt skinne gjennem Larvens Hud som et Par Længde- 
stammer, der i Sammenheng gjennemlobe hele Kroppen fra forste Brystring til niende 
Bagkropsled. Stammerne ere meget spinkle, kun forbundne indbyrdes i forste Brystring 
og i syvende Bagkropsled. I de fleste af Kroppens Led sees der til hver Side af Lengde- 
stammerne at udgaa Sideforgreninger til Kroppen. Sidestrengene ere ikke indtegnede paa 
den her givne Hovedfigur, og de ere vel ogsaa for mikroskopiske til at trede vel frem med 
den valgte Forsterrelse; paa en af mig udført, men ikke her gjengivet, stærkt forstørret 
Afbildning af et Stykke af Tracheesystemet af denne Larve finder jeg dem fremstillede. 


Tanypus monilis. 


Larven til denne Art, Fig. 100, er i det Hele taget smækrere end den foregaaende 
Art, ikke blot Krop, men ogsaa Hoved og de 2 Par Sugefodder. Som Forskjelligheder fra 
den foregaaende skal jeg desuden fremhæve Manglen af Haarbremme langs Kroppen, de 
længere og tyndere Antenner med det lange andet Led, Afsnoringen og Udstrekningen af 
Bryststykkets første Led, og Sammensmeltningen af de to folgende Led. 


Tanypus-Larverne have i det Hele taget ikke ofte været Gjenstand for Undersogelse. 
Den Første, som her maa nævnes, er Grorrroy, som afbilder en Art med stærkt plettede 
Vinger (Tan. varius?) i dens forskjellige Udviklingstrin paa en kjendelig, omend langt fra 


tilfredsstillende Maade. Beskrivelsen af Larve og Puppe er givet med faa Linjer og inde- 


448 80 


holder da heller ikke meget. Æggene afbildes som liggende i Slimpolser (dans .une espèce 
de fray, Tavleforkl. p. 688). 

Den folgende Forfatter er De Grrr, som giver en temmelig udforlig Fremstilling af 
Larvens og Puppens Liv. De Geer fremstiller saaledes, hvorledes Larven gaaer, hvorledes 
den kan trække sit forreste Par Sugefodder ind, hvorledes Puppen flyder, og hvorledes den 
hæfter sig til Plantedele'). De Geer har ogsaa iagttaget Imagos Udkryben af Puppehuden, 
og han veed, at Puppehvilen er meget kort, kun 3 Dage. Et Punkt i Larvens Beskrivelse 
er dog meget uheldigt, nemlig Tydningen af de to runde Blærer, som sees inde i Bryst- 
stykket, min Fig. 93 aa, og som paa hans Figur 16 betegnes med d; thi ikke nok med, at 
han, |. c. p. 395, siger, at «l'usage est incertain, si peut-être ils ne sont des poumons ou 
des reservoirs d'air, comme nous l'avons observé dans d’autres larves aquatiques de Ti- 
pules» (hvorved han altsaa stiller dem sammen med Luftsækkene hos Corethra- og Mochlo- 
nyx-Larverne) — saa siger han, p.397, videre om Puppens Nakkerer «qui m’ont paru 
être les mêmes que celles, que nous avons vües au dedans du premier anneau ou du 
corcelet de la larve, mais qui actuellement se trouvent placées en dehors du corps de la 
nymphe; au moins ces parties sont-elles d'une figure absolument semblable, tant dans la 
larve tant sur la nymphe». (I Tarveforkl., p. 509, kalder han dem simpelthen «les mêmes 
parties que celles qui dans la larve se trouvoient au dedans du corcelet»). En saadan Flyt- 
ten af et Organ inde fra Kroppen udenfor denne var i og for sig næsten utænkelig, og har 
ydermere den fejlagtige Tydning af Spindekjertlerne som Aandedrætsorganer som nedvendig 
Forudsætning. Endelig kan bemærkes, at hans sorte, nyreformede Legeme, «corps 
noiåtre et opaque en forme de rein» bag Larvens Øjne ere Imagos frembrydende eller frem- 
voxende Øjne. 

Fries har navnlig gjort Tan. varius til Gjenstand for sine Undersøgelser, men er- 
klærer, at hvad der udsiges om denne Art, ogsaa passer paa de øvrige af ham kjendte 
Arter. Af hans Iagttagelser skal jeg anføre Følgende: Den 20. Apr. (1823) saa han Hunnen 
lægge Æg; selv sad den paa svømmende Græsstraa eller Blade, hvortil ogsaa Æggene bleve 
fæstede; d. 26. kom Larverne ud af de hjembragte Æg, og opholdt sig i Begyndelsen i 
Dyndet paa Bunden af Glasset, og her skiftede de ogsaa første Gang Hud. Kun naar 
Glasset rystedes, kom Larverne ud af deres Huller og bevægede sig ormeformigt hurtigt op 
til Overfladen for at aande (aörem hauriture ?). Under Beskrivelsen af Larven siges Antennerne 


1) De Geer, I. c. p. 398: «Cette nymphe se tient toujours perpendiculairement dans l'eau, la tête en 
haut et la courbure du ventre en bas, quelquefois å la superficie, mais le plus souvent au milieu 
de l'eau, se tenant fixée à quelque plante aquatique. J'ai observé, qu'au moyen des deux pointes 
de la queue, qui sont un peu courbées en haut, elle pouvoit se fixer et s'arrêter aux parois du 
poudrier, dans lequel je l'avois placée, et c'est par le même moyen qu’elle s'attache aux plantes qui 


eroissent dans l'eau; je l'ai vue rester ainsi attachée aux bords du poudrier...» 


81 449 


at vere «minutissime», hvilket Udtryk ikke passer ret hverken med Virkeligheden eller med 
Forfatterens Afbildning. Det forreste Par Sugefodder betegnes som «tentaculi duo basi 
connati, retractiles». De borstebærende Papiller paa sidste Bagkropsled siges med Rette 
at vere «aériferiv, da de jo ere opfyldte af et tæt Tracheenet, jfr. vor Afbildning, Fig. 96, 
dog uden at de benævnes som Gjeller eller Tracheegjeller. Den 1. Juni kom den første 
Puppe ud, hvoraf allerede den næstfølgende Dag Imago krøb ud. Hele Forvandlingen 
tog altsaa 43 Dage. Puppens 4 sidste Bagkropsled angives at vere omgivne paa Siderne 
af en Hudbræmme, «membrana integra, que caudam format fissam» (Fig. 8 a), og der peges 
med det Samme paa Modsetningen mellem Tanypus-Puppen og den nerstaaende Culex- 
Puppe, I. ec. p.5. Under Tan. plumipes tilføjes specielt om dennes Larve, at den om 
Vinteren lever skjult i Dyndet paa Bunden af Vandet, men tidligt om Foraaret bliver Puppe, 
og at dens Puppestand varer «aliquot dies». 

Macavarr tildeler med større Bestemthed end hos Culex-Larverne Tanypus-Larvernes 
Borster Betydning som Gjeller: «je crois que leur organe respiratoire doit se présenter 
sous la forme d’ouies, et, par cette raison, les filets qui garnissent les segmens du corps, 
ou ceux qui s'élèvent à l’extremite, ou même les uns et les autres, me paraissent propres 
à cette fonction, par l’analogie qu'ils offrent avec les ouïes de beaucoup d'autres larves 
aquatiques». 

Lyoxer har |. c. p. 85 f, beskrevet en Larve, som han ligner med visse Vand-Lepi- 
dopterers Larver. Afbildningerne af Larverne, pl. 17, fig. 6, 16—17, forestille uden Tvivl 
en Tanypus-Larve, og den herhen horende Beskrivelse passer ogsaa vel, men alt det Fol- 
gende og alle de andre Figurer ville ikke ret passe med de øvrige Forhold hos de ellers 
kjendte Tanypus-Larver og Pupper, ja Afbildningen af Imago og da navnlig af Hannen 
synes overhovedet ikke ret at passe paa en Tanypus. Hvad Beskrivelsen af Larvens Leve- 
maade angaaer, angives denne at bygge nye Coconer eller Boliger, hvori den skulde bo og 
bygge, og hvori Puppen skulde opholde sig. Dette Forhold passer langt bedre paa for- 
skjellige af de smaa Chironomus-Arter. Puppens Nakkeror angives dernæst paa alle 4 
Afbildninger af denne Udviklingsform at vere tilspidsede, men hos Tan. varius ere de skraat, 
men bredt afbrudte. Lyonet siger vel, at han har seet en af de afbildede Larver indeni 
en saadan Cocon, som den i Reglen slæbte om med sig, men ogsaa undertiden forlod, 
men jeg anlager snarere, at Tanypus-Larven har yeret en tilfældig Beboer af en af den 
forefunden, tom Chironomus-Cocon. 

Gercxe har givet en meget kortfattet, kun lidet indholdsrig Beskrivelse af Larven 
til Tanypus nigro-punctatus, og af dennes Levemaade samt af Puppen. De vedfojede 
Afbildninger, Fig. II, a--g‘, ere fra Forfatterens Side simple, fra Stentrykkerens højst 
maadelige. Om Larverne siges der, p. 5: «Diese Larven schwimmen frei umher, sich dabei 


ruckweise schnellend; ich habe bei ihnen keinen Hülsenbau entdecken können». De 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk, og mathem, Afd. III. 4, 57 


450 82 


bersteberende Papiller i Bagkropsspidsen omtales som «Athmungsréhren». Om Pupperne 
siges der, I. €. p. 4, at de ere «sehr scheue, lebhaft tauchende, zarte», og at Puppestanden 
varer i 8—10 Dage. 

Jaworowskı omtaler i sin Undersøgelse over Rygkarrets Udvikling hos Chironomus 
og nogle andre Larver ogsaa Tanypus-Larven, og Udviklingen af Klappedannelsen i denne 
Larves Rygkar, 1. c. p. 14, Fig. 4, 18—19. 

Narvaerenve Forrarrer har for et Par Aar siden i den citerede lille Opsats beskre- 
vet og afbildet Antennerne og disses særegne Bevægelsesmaade hos de to Arter, Tan. 
varius og monilis. 

Den af Pacxarp som en Tanypus-Larve omtalte, i Saltvand boende Dipterlarve er 
uden Tvivl en Geratopogon-Larve, jfr. det Folgende. 


Biologi. $ 

Larven til Tan. varius findes rundt om i vore forskjellige Vande, især dog i stille- 
staaende Vand med lavere, græsklædt Bund. De Larver, som fremkomme om Efteraaret, 
overvintre i Vandet og kunne saa meget tidligt paa Aaret forvandle sig til Puppe og faa 
Dage derefter til Imago. Af denne Art har jeg saaledes den 2. April 1882 fundet Pupper, 
som den felgende Dag gav Imagines; men samme Aar fandt jeg alter i Midten af Juli 
Pupper, og i det foregaaende Aar fandt jeg Pupper i det Frie i de allersidste Dage af 
October, og af de indsamlede Larver fremkom der Pupper endnu en Maaned herefter, og 
en af disse Pupper gav en Imago den 1. Dec. 

Jeg kan ogsaa bekræfte Fries’ Udtalelse om den tidlige Fremkomst af Puppen til 
Tan. plumicornis, idet jeg har fundet flere Pupper af denne vor storste, men sjeldne Art i 
et dybt Vandhul ved Tostrup i Midtsjælland den 20. Marts 1882, hvoraf der saa fremkom 
en 6—7 Imagines, baade Hanner og Hunner, den 21.—22. i samme Maaned. 

Larven til Tan. varius spinder eller sammenklistrer et Ror, hvori den kan trække 
sig tilbage; men lades Larven i Ro, strekker den de forreste Led frem, slaaende op og 
ned med Forkroppen, rimeligvis til Befordring af Aandedrettet. Men det er langtfra, at 
Larven holder sig stadig i dette Ror, hvilket allerede kan sees af den Omstændighed, at 
de langt lettere end de rorboende Chironomus-Larver faaes i Ketseren. I Fangenskab holde 
de sig ogsaa oftest til de paa Vandets Overflade svommende Plantestykker eller findes 
længere nede i Vandet kravlende paa Siderne af Glasset eller dettes Bund. Det er heller 
ikke sjeldent at see dem standse midt under Kravlingen paa Glassets Sider, for idet de 
hæfte sig med de 2 Par Sugefodder, at bringe sig i en rystende eller sitrende, gyngende 
Bevægelse. Svømme gjøre de meget lidt, omend De Geer, l.c.p. 395, siger om dem: 
«il nage comme un serpent». i 

Det forekommer mig, at den anden af mig afbildede Art, Tanypus monilis, er endnu 


83 451 
mere frit levende end Tan. varius, og saaledes kan Gercke maaske ogsaa have Ret, naar 
han for Tan. nigro-punctatus’ Vedkommende erklærer, at det er en fril svømmende Art, 


som ikke danner sig noget Hylster eller Bolig. 


Puppen til Tan. varius, Fig.97, udmerker sig ved sin slanke Bygning, de lange 
kolle- eller omvendt kegleformede Nakkeror, Fig. 97 aa; Fig. 98, og det store niende eller 
sidste Bagkropsled, som er dybt og bredt kløftet i Spidsen, jfr. Fig. 99. Højst forskjellig 
fra denne Puppe ere de af mig kjendte Pupper til andre Arter; saaledes har Puppen til 
Tan. monilis, Fig. 101, Nakkerorene, Fig. 101 aa; Fig. 101*, opsvulmede til et Par sækfor- 
mede Legemer, som i den forreste Spids have en aaben, rorformig Kanal, medens niende 
Bagkropsled til Gjengjæld er meget mindre, særligt smallere, ikke saa dybt kloftet. Hos 
Puppen til Tan. plumipes ere Nakkerorene langt kortere end hos de to foregaaende Arter, 
dertil fladtrykte, med en rund, vel afsat Endeplade, Fig. 102; niende Bagkropsled er ganske 
fladtrykt, eller om man vil, dets Siderande ere stærkt udfladede, hvorved hele Leddet faaer 
en kort, bred, afrundet Form, med Siderande, som ere i Flugt med ottende Leds Siderande. 

Pupperne ere livlige, raske Dyr, som hyppigt dukke ned under Vandet, naar de 
forstyrres. I Hvile ligge de med Nakkerorenes aabne, skraat afskaarne Ender (Tan. varius) 
eller disses korte, rørformige Kanal (Tan. monilis) eller med Nakkerørenes Endeplader (Tan. 
plumipes) i Vandskorpen. Forstyrres de, dukke de, som sagt, ned under Vandet og søge 
her Bunden, idet de stræbe at holde sig fast hernede ved at støtte med Spidsen af den 
ombøjede Bagkrop mod smaa Gjenstande, som her kunne findes; men ofte er Gjenstanden 
ikke tilstrækkelig tung til at holde Dyret nede, og da seer man Puppen atter stige opad 
mod Overfladen, dragende denne Gjenstand med sig. Dog hvad enten de stige opad med 
eller uden en saadan Byrde, skeer det ikke sjeldent, at de paa Vejen blive ved Hjælp af 
Bagkroppens Sugeskiver hængende ved Siderne af Glasset. Disse Sugeskiver eller Suge- 
kopper ere rundagtige Fordybninger i Sidekanterne af Bagkroppens Rygskinner; jeg har 
fundet dem tydeligst hos Puppen til Tan. varius, hvor de findes i et Antal af 4 Par i Alt 
paa tredje til sjette Bagkropsled. Lykkes det dem at fæste sig med en af disse Sugeskiver, 
kan Befæstelsen være saa stærk, at Puppen kan drejes helt rundt om en saadan Sugeskive, 
og jeg har ogsaa en Gang seet en større Daphnia (Simocephalus vetulus) bruge en fastsuget 
Puppe af Tan. varius som Fasthæftningspunkt for sig selv. 

Forvandlingen fra Puppe til Imago tager kun ganske kort Tid. Jeg har saaledes 
seet en Tan. varius bruge 14/2 Minut fra Bristningen af Puppens Bryststykke til Vingernes 


Frigjørelse, og 5 Min. derefter fløj den op fra Vandet. 


57" 


452 84 


Dixa. 


Ver aquatique, Réaumur, Observations sur une pelite Espece de Vers Aqualiques assés singuliere 
— Mém. d.1’Acad. Roy. d. Paris, Ann. 1714, p. 203--208. 

Tipula amphibia, De Geer, Mém.p.s.a l’hist. d. ins. VI, p. 380—386, t. XXIV, f. 1—14. 

Dixa nigra, Steger, Naturb. Tidsskr. 1. R. 4. B. p. 202. 

Diza maculata, Gereke, Wien. Ent. Zeit. III, p. 166. 

Dixa estivalis, Gereke, ibid. p. 171. 

Nec! Dixa nigra, Brauer, Zweill. d. kais. Mus. z. Wien, III, tab. I. f. 12—13. 


Allerede Réaumur har saa tidligt som 1717 i det franske Academis Memoirer, Aar- 
gang 1714, givet en udforlig Fremstilling af denne Larve og dens Levemaade, dog uden 
at give nogen Afbildning af den. I Slutningen af denne Afhandling, som iovrigt synes at 
vere gaael i Forglemmelse!), resumerer han Hovedindholdet saaledes (l. c. p. 208): «c'est 
bien assés qu'il nous ait appris que la Nature a fait un Insecte dont la queue et la tete 
vivent dans l’eau, et dont le reste du corps vit sur terre; qui a les jambes sur le dos; 
qui, lorsqu'il marche naturellement, fait d’abord avancer le milieu de son corps comme 
les autres animaux font avancer leur tête». Af min Fremstilling i det Folgende af Larvens 
Levemaade vil man kunne see, at jeg ikke er enig med Reaumur og de folgende lagttagere 
(De Geer og Gercke) i at antage, at Larven skulde som Regel dukke Spidsen af Bagkroppen 
med dennes to Par fryndsede Blade ned under Vandskorpen, «dans l’eau», som Réaumur 
udtrykker sig. Men protestere maa jeg paa det Bestemteste, jfr. ogsaa mine Figurer, Fig. 
103 og 104, mod at Benene, det er de to Par Sugefodder og de tre Par Borsterækker, 
ere anbragte paa Rygsiden af Dyret, hvormeget end Réaumur fremhever dette og forvarer 
sig imod at have taget Fejl af Larvens Rygside og Bugside. : 

De Geer har kjendt og, som det synes mig, temmelig meget brugt den nys om- 
talte Afhandling af Réaumur; det maa ogsaa vere Réaumur, som har forført ham til 
gjentagne Gange at tale om, at Fødderne (les pattes) ere anbragte paa Rygsiden: «Il est 
encore très-remarquable qu’elles (9: Larverne) sont toujours placées sur les dos, parce que 
c'est là où leurs pattes se trouvent attachées; la facon dont elles se nourissent, demande 
encore celte position singulierer. Men paa den anden Side har De Geer ved i andre 
Maader at rette Réaumurs Beskrivelse af Larven samt ved at klække den og give os 
Afbildninger af Insektets tre Udviklingstadier meget vesentligt oget vor Kundskab til 
denne Myg. 

Sræcer, som hverken har kjendt Réaumurs eller De Geers Fremstillinger af Dixa- 


1) De Geer citerer og reproducerer for en stor Del Réaumurs Fremstilling, men ellers er denne hverken 
kjendt af Steger, Brauer eller Gercke, og i Hagens Bibliotheca entomologica anfores vel Afhandlingen, 
men Hagen føjer til i Paranthes, at Reaumur har havt «wohl eine Najade» for sig. 


85 453 


Larven, beskriver Larven til den af ham opstillede nye Art, Dixa nigra. Beskrivelsen er 
vel kun lidet udtommende, men dog rigtig i det Væsentlige, og navnlig maa fremhæves, at 
«Sugesvulsterne» (de forreste Fodder) angives at vere anbragte paa Dyrets Underside. 

Geroxe, som i Texten til sin Afhandling har leveret en Træsnitsfigur af Larven, 
der uden at kunne siges at vere fuldkommen, dog i ganske overordentlig Grad i Tydelighed 
og Skjonhed overgaaer de Figurer, som ellers ledsage hans Smaaafhandlinger, beskriver 
ogsaa Larven ret kjendeligt. Iøvrigt skal jeg i det Folgende, efterat have givet min egen 
Fremstilling af Dixa-Larvens Bygning og Levemaade, komme tilbage til forskjellige Uover- 
ensstemmelser mellem de her omtalte Forfattere og min Opfattelse. 


Dixa amphibia. 


Paa Fig. 103 er Larven fremstillet i sin sædvanlige Stilling fraoven og paa Fig. 104 
franeden; den sidste Figur er kun halvt saa meget forstorret som den forste. Den voxne 
Larves Farve er et mat Sortegraat, men Siderne af Dyret og navnlig Undersiden er en- 
del lysere. 

Hovedet, Fig. 105; 106, er forholdsvis lille, omvendt hjertedannet, kun lidet bredere 
end langt. Tredje Metamers Rygskinne, Fig. 105 a, er meget stor, indbuet paa Siderne og 
i Forranden; fortil findes de sædvanlige tre Par Borster, som dog hos Dixa-Larven ere 
meget smaa og staa i en noget mere skraa Retning end hos de fleste andre Slægter. 
Anden Metamers Rygskinne danner en temmelig spids Trekant med indbugtede Sider og 
en fremspringende Kjol langs Midtlinjen. I Siderandene, noget baglil paa en fremsprin- 
gende Knude, er indplantet en dolkformet Berste, og indenfor denne en finere, meget 
længere Borste; desuden udgaaer der fra selve Siderandene, men langt nærmere Spidsen, 
en lang, bladformet, noget bugtet Borste. Fra Undersiden af Rygskinnen udgaaer til hver 
Side en tyk, ikke videre lang Pensel, Hvirvelorganet, Fig. 105 c; Fig. 106d, af hvis Bor- 
ster de forreste eller inderste ere fint grenede. Første Metamers Rygskinne, Labrum, er 
meget kort og sees kun lidt fraoven. 

Ojnene ere meget smaa; de sidde nermest paa Siderne og Undersiden af Hovedet, 
saa at de ikke sees, naar Dyret betragtes fraoven; deres Form er oval eller smalt ægdannet, 
liggende paaskraa. Biejne træde ikke frem. — Antennerne, Fig. 105d; Fig. 106 e; Fig. 
107 b, ere lidt lengere end hos de foregaaende Slegter; de ere svagt buede og paa Yder- 
siden væbnede med en Række torneagtige Borster, medens de paa Indersiden have en meget 
kortere Række af længere, men fine Børster og paa Undersiden faa, korte Børster. I 
Spidsen af Antennerne findes faa, meget korte Torne. 

Munddelene have væsentligt samme Bygning som hos Culex- og Anopheles-Lar- 
verne, dog er deres stikkende og gribende Partier mindre stærkt udviklede.  Underlæber, 
Fig. 106a, er simpel, tungeformet, helrandet, ragende kun lidt frem foran Forranden af 


454 86 


anden Metamers Bugskinnes Proces. Frem foran Underlæben rager aller en Kam af korte, 
bladformede Børster, som sidde i Forranden af Hypopharynx, Fig. 106 a; Fig. 107a. — 
Kjæberne, Maxillæ, Fig. 105 ef: Fig. 106 be; Fig. 107 be; Fig. 108, ere meget lengere og 
smallere end hos de to foregaaende Slægter, og en lille, spids Inderflig, Fig. 108a, er 
her udsondret fra Yderfligen eller Hovedfligen, Fig. 108 b, som er skraat afskaaren, og hvis 
tynde, ydre Hudsom eller Bremme stottes af en Række fine, buede Straaler. Kjæbepalpen, 
Fig. 108c, har en tydeligt afsat Grunddel, og er langt smækrere og bedre afsat end hos 
Culex og Anopheles; paa sin Underflade har den flere Skraarækker af korte Torne. — 
Kindbakkerne, Mandibulæ, Fig. 107 a: Fig. 109, ere meget mindre, navnlig langtfra saa 
brede som hos de to foregaaende Slægter, og Tanden i Inderranden er kun lille og simpel 
i Sammenligning; paa Oversiden findes en Kam af tætstaaende', bagtil i Længde aftagende 
Børster, og paa Ryglinjen af Kindbakkerne findes fortil en enkelt, længere Børste og længere 
tilbage et Par fine Børster. 

Bryststykket er næsten dobbelt saa langt som bredt, af en trind Form; det udmær- 
ker sig ved, at første Brystring er tydeligt afsnøret bagtil fra anden Brystring, ligesom der 
ogsaa fortil ved en dyb Indsnøring er udskilt en Slags Hals. Fra Siderne og Undersiden 
af denne Brystring udgaa ner dens Forrand en 12—14 meget lange, stive Børster, af hvilke 
tre Par staa sammen i et lille Knippe, Fig. 103 og 104. De to bageste Brystringe ere kun 
skilte ved en svag Indsnøring, og Børsterækkerne ere langt mere spredte og bestaa kun 
af korte, fine Børster. ' , 

Bagkroppen er trind, næsten af samme Brede som Bryststykket og kun svagt til- 
spidset bagtil, med vel afsatte ni Led. Forste og andet Bagkropsled udmerker sig ved det 
Par udkrengelige Vorter eller Sugefodder, som findes paa Undersiden af hvert af disse 
Led, Fig. 104aa. Hver Vorte fører i sin Forrand en Dobbeltrekke af korte, krogede Torne. 
Tredje og fjerde Led er uvæbnet, men paa femte, sjette og syvende Led findes ligeledes 
paa Undersiden et Par næsten sammenstodende Tværrækker af korte, dolkformede Torne, 
Fig. 104bbb. Foruden disse Rækker af Torne findes der paa Undersiden af de samme 
Led, men tillige af ottende og niende Led, lignende stive Berster, som bleve omtalte ved 
første Brystring; disse stive Børster voxe som i Antal saa i Længde fra det femte Lil det 
niende Bagkropsled. Foruden de sidst omtalte Borster paa Leddets Underside berer oltende 
Led paa dets Overside de smaa, langt fra hinanden sperrede Spirakler, Fig. 103 aa; Fig. 110, 
og bag hvert Spirakel et skedannet Chitinblad, «Spirakeïbladene», Fig. 103 bb, som med 
sine Rande rager frit ud fra Kroppen; samme Chilinblade ere i disse Rande besatte med 
en Fryndse af fine, fjerede Borster. Niende Led eller. Analleddet er stort og kunstigt 
bygget; i Midten seer man først Rygskinnen, der vel langtfra, som ved de foregaaende 
Led, bedekker storste Delen af Leddets Overside, men som til Gjengjeld treder tydeligere 
frem mod Overhuden. Paa hver Side af denne Rygskinne findes forst en lille Knude med 


87 455 


en indplantet lang Berste, og dernæst et stort, langstrakt, skaal- eller skeformigt Chitin- 
blad, «Analbladene», Fig. 103 cc; Fig. 104 cc, som ogsaa i deres frie Rande ere besatte med en 
Fryndse af fine Borster, af hvilke de forreste ere stærkt fjerede, medens de bageste, hen- 
imod Bladets Spids, ere simplere. Niende Led løber bagtil ud i en lang, trind Proces, 
«Analgriflen», Fig. 103 d; Fig. 104 d, som i Længde næsten naaer selve Leddet; denne Proces 
er ved Roden sterkere chiliniseret og ligesom tilleddet; den er besat med fine Borster og 
bærer i sin Ende sex (ikke de sedvanlige fire) tynde, strittende, lange, men simple Anal- 
børster; i Spidsen af samme Vedhæng findes en kort, spids Chitintorn, ligesom ogsaa 
Bagkropsleddets Grunddel bagtil ved Roden af Vedhængets Underside løber ud i en Torn. 
De fire Analpapiller, Fig. 103 eeee, ere meget smaa, smækre og spidse. Til Analkroge 
findes der ikke Spor ligesaa lidt som til Svømmevifte. 

Aandedrætsystemet ligner meget samme hos Anopheles-Larverne; kun ere Længde- 
stammerne indbyrdes langt mere forbundne, idet saadanne Forbindelser findes saavel i de 
tre Brystringe som i de syv første Bagkropsled. Af Spirakler findes der kun eet Par, 
nemlig- det paa ottende Bagkropsled; Bygningen af dem er meget kunstig, idet deres cen- 
trale Del danner en Skaal, fra hvis Sider der til Peritremets Rande udgaa tynde Chitin- 
straaler; Skaalens Bund er meget tyk og mørk af Farve, og navnlig løber der midt over 
Bunden en mørk, gaffeldelt Linje; i den tykke Chitinmasse forekommer ofte en Længde- 
spalte, midt gjennem den mørke Linje, og naar denne Spalte indstilles i Focus, troer man at 
see Dagen gjennem den, og fristes herved til at betragte samme Spalte s.in Forbindelsesvej 
mellem Luften i Tracheesystemet og den ydre atmosphæriske Luft. 


Dixa nebulosa. 


Af denne Art har jeg fremstillet, Fig. 114, Enden af ottende Bagkropsled og hele 
niende. Jeg skal her kun fremhæve Størrelsen af «Analbladene», Fig. 114 cc, og Breden af 


disses Fryndser, samt Længden af Analpapillerne, Fig. 14 ceee. 


Ligeoverfor foregaaende Forfatteres Angivelser og Paastande bliver i det Enkelte 
følgende at bemærke. Réaumur angiver Antallet af «Fødder» (les jambes) rigtigt til 10, 
ordnede parvis; men istedenfor som Réaumur at lade det forreste Par være anbragt «vers 
la fin du 3° anneau, et les deux autres (9: andet Par) vers la fin du 4°, ou sur le com- 
mencement du 5%, I. c. p. 205, har jeg fundet første Par paa Undersiden af fjerde og andet 
Par paa Undersiden af femte Kropled, uden nogen Vaklen i Forekomsten. De Geer lader 
«Fødderne» være anbragte paa de samme Led, hvorpaa vi have afbildet dem, og han om- 
taler ogsaa en Forskjel i Bygningen af de to forreste Par i Modsætning til de tre bageste 
Par. Gercke tildeler Larvens Krop kun 11 Led, og han angiver de med Fødder forsynede 
Led at være tredje, fjerde, niende, tiende og elfte. Den første af disse Angivelser lader 


456 88 


sig let forklare derved, at han regner vor anden og tredje Brystring for kun at vere een 
Ring eller Led; men herved bliver rigtignok den anden Angivelse saameget vanskeligere at 
forklare. Gercke tildeler dernæst Dixa-Larven to Spirakler paa Undersiden af forste Bryst- 
ring, jfr. ogsaa hans Fig. p. 168, ligesom han ogsaa begynder sin Beskrivelse af Larven med 
at kalde den «amphipneustisch», |. c. p. 167. Muligt har han anseet en af de her forekom- 
mende Gruber til de svere, stive Borster for et Spirakel, hvad de vel kunne ligne, naar 
Borsterne ere udfaldne af dem. 


Biologi. 

Larven findes storste Delen af Aaret fra det tidligste Foraar til det seneste Efteraar 
liggende og flyde paa Overfladen af stillestaaende eller svagt rindende, temmelig tilgroet 
Vand. Med sine Sugefodder og Borsterekker holder Larven sig fast til Oversiden af Vand- 
planter, men Hovedet og Spidsen af Bagkroppen hviler paa selve Vandet, idet den ligger i 
den krumbøjede Stilling, hvori den er afbildet paa Fig. 103. De lange, stive Børster paa 
Undersiden af første Brystring og af femte til niende Bagkropsled tjene vistnok Larven i 
denne Stilling som «Udliggere»; og yderligere tjene de fryndsede Chitinblade, «Spirakel- 
bladene» og «Analbladene», paa ottende og niende Bagkropsleds Overside som «Flydere», 
paa det at Larven kan ligge saameget sikkrere med Rygfladen og de i denne umiddelbart 
liggende Spirakler i Vandfladen. Ved Flydernes Bygning og Størrelse sikkres dernæst Spirak- 
lerne mod at blive overskyllede af Vandet, naar der finder nogen Bevægelse Sted i dette, 
og denne Sikkerhedsforanstaltning er saameget vigtigere for Dixa-Larven i Modsætning til 
Anopheles-Larven, hvis Spirakler ogsaa komme til ligge i Vandskorpen, som Dixa-Larven 
har lagt sig for Anker med sine Sugefødder og ikke ligesom Anopheles-Larven kan flyde 
med den kommende Bølge og saaledes undgaa Overskylningen. 

Dixa-Larven ligger den meste Tid roligt paa samme Sted, og kun sjeldent flytter 
den sig, idet den gjør faa, langsomme Sidebevægelser med Kroppen. Forstyrres eller for- 
uroliges den, ere Bevægelserne naturligvis hurtigere, og da kan den ogsaa sees at dukke 
ned under Vandet og bevæge sig gjennem dette ved Hjælp af slingrende Sidebevægelser. 
Sin Føde faaer den paa samme Maade som Anopheles-Larven, idet den bruger sine Hvirvel- 
organer til at sætte Vandet i Bevægelse; dog kan den ikke dreje Hovedet som hin Larve, 
men højst lægge det helt tilbage, saa at Hovedets Overside kommer til at ligge henad 
Bryststykkets. 

Steger, l.c.p.202f, tyder «Halelapperne» (9: «Analbladene») som Sugeredskaber. 
Denne Tydning er vistnok urigtig, men uheldigere er det dog, naar han angiver Larvens 
Stilling paa folgende Maade: «Den ligger nemlig paa Ryggen, fastheftet til Vandskorpen 
med Sugefladerne paa Halen og de to Par Sugesvulster paa Bugen, saaledes at den mellem- 
liggende Deel af Kroppen kommer til at henge nedad i en Bue, medens Forkroppen med 


89 457 


Hovedet føres frit omkring». Ordet «Sugeflade» forekommer ikke i det Foregaaende, men 
der tales her kun om, at «Halelapperne ere Sugeredskaber»; dog disse Halelapper skulle 
efter vor Formening være vore Analblade, altsaa befinde sig paa Rygsiden af Dyret, hvor- 
efter det bliver temmelig ubegribeligt, hvorledes Larverne skulle kunne hænge sig fast til en 
plan Flade (Vandskorpens Underside) ved Hjælp af Sugeredskaber, som dels udgaa fra 
Dyrets Underside (nemlig Sugefodderne eller Sugevorterne) dels fra Oversiden (nemlig 
Analbladene). Dog i hvert Tilfælde er den omtalte hængende Stilling af Larven ikke den 
normale, og den omtales heller ikke af de andre Forfattere. Paa den anden Side fore- 
kommer det ogsaa mig, at jeg erindrer at have seet Larven i kort Tid henge ned i Vandet, 
alene fæstet ved Sugefodderne. 

Gercke angiver Betydningen af Spirakelbladene at være den «Luft in Wasser fest- 
zuhalten, wie es an der lebenden Larve deutlich wahrzunehmen ist», l.c.p. 168. Det vil 
nalurligvis oftere ske, at Larven, naar den hastigt dukker ned under Vandet, vil lage 
storre eller mindre Luftdraaaber med sig, men deraf folger ikke, at den saaledes medtagne 
Luft er af Betydning for Larvens Okonomi og navnlig dennes Aandedræt; den kan ligesaa 
godt være til Hinder for Larven, saaledes med Hensyn til Hastigheden og Evnen til at holde 
sig lengere Tid under Vandet, og i det Hele taget er Dixa-Larven saameget bunden til 
Vandets Overflade, at en rolig og uforstyrret Hvilen paa dette maa vere den af største 
Vigtighed. Endelig angiver Gercke Antallet af Analborsterne i Spidsen af niende Leds 
griffeldannede Proces til at være 5, et Tal, som alene ved at være ulige, har Sandsynlig- 
heden imod sig. 

Puppen, Fig. 111, er meget smækker og langstrakt, med sidste Led bredt og fladt, 
med en dyb, trekantet Indskering, Fig. 113. Nakkerorene, Fig. Illa; Fig. 112, ere meget 
smaa og korte, med en tragtformig Lysning. 

Puppen findes ikke saa tidligt som Larven, men dog en stor Del af Aaret, fra 
Begyndelsen af Maj til ind i November. Den ligger altid paa Siden i en krumbojet Stilling, 
med Bagkroppen slaaet op under Brystet, hvad enten den flyder paa Vandet, eller dem har 
trukket sig et kortere eller længere Stykke bort fra dette op paa Overfladen af Blade og 
Planter. I det Hele taget synes den at være meget villig til at forlade Vandet; og lever 
den i svagt rindende Vand, er den vel ogsaa nodt dertil, for ikke at fores afsted af 
Strommen. 

Puppehvilen varer i Fangenskab en 4—5 Dage. 


or 
an 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. III. 4. 


458 90 


Simulium. 


Tipula sericea, O. Fabricius, Beschreibung der Allasmücke und ihrer Puppe. — Schr. d. Berl. Ges. 
nalurf. Fr. V. 1784. p. 254— 259, Tab. Ill, fig. 1—5. 

Culex Columbaczensis, Schönbauer, Geschichte der schädlichen Kolumbalezer Mücken im Bannal. 
Simulium sericeum, Verdat, Mémoire pour servir à l'hisloire des Simulies, genre d’inseeles de 
l'ordre des Diplères, famille des Tipulaires. — Nalurw. Anz. d. schweiz, Ges. 1822. 

Simulia reptans, Fries, Observaliones entomologice. I. Monographia Simuliarum Sveciæ. 

Simulia canescens Br., Kölliker, Observaliones de prima Inseelorum genesi, adjeela arliculalorum 
evolulionis cum verlebralorum comparalione, p. 11, Tab. Il. 

Simulium sp., Planehon, Histoire d'une larve aqualique du genre Simulium. 

Simulium reptans (the walercress fly), Westwood, Gard. Chron. 1848. p. 204. 

Simulium columbaschense, Heeger, Beilräge zur Nalurgeschichte der Kerfe in Beziehung auf ihre 
verschiedenen Lebenszuslände, ihre Feinde im jeden Zustande, ihre Nahrung. — Isis 1848, 
p. 328, Tab. IV. 

Sinulium columbaschense Schünb., Kollar, Beurtheilung des von Dr. Medovies an die serbische 
Regierung erslallenen Berichtes über die Entstehung der Gollubalzer-Mücken (Simulium 

Sitz. d. kais. Akad. d. Wiss. z. Wien. 1848. Sep. p. 1—16, Tab, I—III, 

Simulium sericeum, Weismann, Ueber die Entstehung des vollendeten Insekls in Larve und Puppe, 
p. 25— 30, Taf. I fig. 3; Taf. II fig. 15; Taf. II fig. 16—21. 

Simulium spp. 3, Metschnikow, Embryologische Studien an Insekten. — Zeitschr. f. wiss. Zool. 
XVI. Sep. p. 4—18, Tab. XXIII. 

Simulia columbaczensis, Graber, Die Insekten, Th. Il. M. 2. p. 516, Fig. 185. 

Simulia fuscipes, Schiodle, Kvægmyggen — Berlingske Tidende 1878, d. 16. Maj. 

Simulium sp., Wagen, Enlom. Monthly Mag. XIX, p. 254—255. 

Simulium pictipes, Wagen, Proc. Bost. Soc. Nal. Hist. XX, p. 305— 307. 

Simulium sp, Barnard, Amer. Enlom. Aug 1880, p. 191—192. 

Simulium fuscipes 08 reptans, Meinert, Trophi Dipterorum, p. 41—43. Taf. I. fig. 19—27. 

Simulium pictipes? Hagen, On Simulium — The Canad. Entomol. 1882, p. 150—151. 

Simulia ornata, Brauer, Die Zweiflügler des Kaiserlichen Museums zu Wien. HILL Syslemalische 


replans Gollubalzense). 


Studien auf Grundlage der Dipleren-Larven nebst einer Zusammenstellung von Beispielen 
aus der Lilleralur über dieselben und Beschreibung neuer Formen — Denkschr. d. math.- 
nalurw. Cl. d. Kais. Acad. d. Wiss. Wien XLVII, Abth. I. Tab. I. fig. 17—17 a. 
Simulium columbaczense, ory ath, Le moucheron de Columbalsch — Rovarl. Lapok. I. Bind, p.195 — 204. 
Simulia columbacensis, TOmobsvary, Die Kolumbaezer-Mücke [Simulia columbacensis]. Im Auflrage 
d. kon. ung. Minist. f. Ackerbau ele. Uebers. v. Joh. Wieny. 1885. 


Simulium ornatum. 


Larven til Sim. ornatum, Fig. 115 og 116, udmærker sig som de øvrige Simulium- 
Arter ved sin temmelig korte, trinde, omvendt kolledannede Form og ved Manglen af Borster 
og Haar paa Kroppens Yderflade. 


91 459 


Hovedet, Fig. 117, er temmelig stort, Lykt, af et femsidet Omrids, fortil noget 
udtrukket og kjendeligt længere end bredt. Tredje Metamers Rygskinne, Fig. 117a, er 
bredere end Hovedets halve Brede, Siderne ere bugtede, og fortil er den i Højde med 
Hvirvelorganernes Udspring ved en næsten ret, utydelig Tværlinje skilt fra anden Metamer. 
Anden Metamers Rygskinne, Fig. 117 b, er bred og lang, fortil vinkelformigt udtrukket og 
under den fremstaaende skarpe Panderand udstyret med en Kam af temmelig korte, stive 
Borster; den foran liggende, nedadvendende, tilbagebojede Del af Rygskinnen er besat med 
en tæt, kort Haarfilt Fra Siderne af samme Metamers Rygskinne udgaaer de fra Culex- 
og andre Larver saa vel kjendte Hvirvelorganer, Fig. 115 dd; Fig. 117 f; Fig. 118g, kun 
at disse Organer her ere langt betydeligere end hos nogen anden, hidtil kjendt Myggeform. 
Hvert Hvirvelorgan bestaaer af et kort Grundstykke og et langt, bredt, for storste Delen 
hudet andet Led; dette andet Led stottes af nogle Chitinlister, af hvilke den, som gaaer 
gjennem Leddet paalangs, er den storste. Fra Forranden af Leddet udgaaer en Vifte af en 
50 Stykker lange, noget krummede, sammentrykte, i Inderranden spredt og temmelig kort 
flossede Borster, som snart spredes, snart slaaes sammen, som Bladene i en Vifte. En 
mindre Vifte, bestaaende af meget kortere, sammentrykte, i Inderranden langt tættere og 
lengere flossede, i modsat Retning krummede Borster eller Blade, udgaaer fra Roden af 
den forst omtalte Vifte. Hvad der hos Simulium-Larverne gjor Hvirvelorganerne saa frem- 
trædende er navnlig den Omstendighed, at de Skeletdele af anden Metamer (Parapleure), 
som hos de andre Myggelarver med saadanne Organer kun vare svagt udviklede, svagt 
udsondrede og liggende under Sideranden af samme Metamers Rygskinne, her hos Simulium 
ere stærkt udviklede og stærkt udsondrede. Tredje Metamers Rygskinne eller Overside er 
som sædvanligt meget kort, med et Par hudagtige Udvidninger, som atter bere nogle faa 
Papiller i Forranden. 

Øjnene, Fig. 115 aa; Fig. 117 cc, ere kun smaa, enkelte, siddende omtrent i Midten 
af Hovedets Sider; Biojnene, Fig. 115 bb; Fig. (17 d, der sidde bag de egentlige Øjne, 
ere en Smule større end disse. — Antennerne, Fig. 115 cc; Fig. (17e; Figur 118 h, ere 
forholdsvis lange, men meget tynde, næsten borsteformige; de ere delte i 3 Led, af hvilke 
de 2 yderste Led, som ere eller kunne vere omtrent lige lange, tilsammen ere betydeligt 
kortere end det forste. 

Munddelene ere vel udviklede, rigeligt besatte med Borster, og Kindbakkerne have 
skarpe Tender og Kroge, som synes mere skikkede til at stikke og bide end til at fastholde 
et Bytte med. Underlæben, Fig. 118 a; Fig. 119, danner en trekantet, stærkt chitiniseret 
Plade, som fortil er temmelig lige afskaaret og i sin Forrand indskaaret i 9 Tænder, af 
hvilke Hjornetænder og Midtertanden ere de stærkeste; ogsaa Siderandene ere indskaarne i 
en 7—8, men langt svagere Tender. Ovenover Underlaben og ragende et betydeligt Stykke 
frem foran denne treder Hypopharynx frem som en trekantet, fortil lige afskaaren Plade, i 


58 


460 92 


hvilken man seer de lo Udforselsgange for Spindekjerllerne lobe, Fig. 118h. — Kjæberne, 
Maxillæ, Fig. 118 cde, ere betydelige, om end for storste Delen hudede. Fra et bredt 
Grundstykke udgaaer to Flige, af hvilke Inderfligen, Fig. 118 c, er den mindste, bladformigt 
sammentrykt, trekantet, lobende temmelig spidst ud; den er rigeligt besat med Borster. 
Yderfligen, Fig. 118d, er mere pudeformig, langt betydeligere end Inderfligen og ligesom 
denne rigeligt forsynet med Børster. Kjæbepalpen, Fig. 118e, synes at udgaa fra en ved 
et svagt Chitinbaand eller Plade særligt udsondret Palpestykke; selve Palpen er temmelig 
trind, besat med kortere og lengere Borster, foruden nogle faa Papiller i den hudede 
Endedel. — Kindbakkerne, Mandibule, Fig. 118 f; Fig. 119 og 120, ere ret betydelige, 
men meget fladtrykte; deres Forrand er temmelig lige afskaaret, og dennes indre Hjerne 
trukket ud i en tvedelt Tand, af hvilken den bageste Del eller Hovedtanden paa sin Inder- 
rand er væbnet med 4 korte, spidse Tænder. Lidt bag Dobbelttanden er Kindbakkens Eg 
indskaaret i 2 Tænder. Hvad der navnlig udmærker Kindbakkerne er deres rigelige Borste- 
klædning, som findes navnlig paa Oversiden af dem; saaledes udgaaer en Kam eller et 
Skæg af lange, tynde, bojede Borster fra en Længdelinie, der paa Kindbakkens Overside 
gaaer fra Midten af Forranden. Selve Inderrandens bageste Halvdel er besat med en 
Kam af Borster, som falde i 2 Afdelinger, af hvilke den bageste er den korteste; Borsterne 
i den bageste Afdeling ere langt sværere end de i den forreste, og navnlig blive de bagtil 
sverere og sverere, ja tilsidst kloftede i Spidsen. En kort Kam af Borster udgaaer omtrent 
fra Midten af Inderranden, men nærmest fra Kindbakkens Underside, og krydser Hovedkam- 
men. Endelig findes paa Undersiden en kort Kam, bestaaende af enkelte Borster eller 
Blade, bag Roden af Forrandens Tvetand. 

Bryststykket er svagt tenformet, utydeligt sammensat af 3 Ringe eller Led. Fra 
Undersiden af første Brystring udgaaer en lang Tap, Fig. I16a, rettet forefter hen under 
Hovedet, og fra Enden af Tappen udgaaer atter en trind Sugefod, hvis Ende eller Hoved 
er besat med €. 12 Par parallele Længderækker af meget korte Chitinkroge, hvis Grunddel 
er meget bred og fladtrykt, og hvis Tand er meget sterkt krummet, meget spids og skarp. 
Antallet af Kroge i de enkelte Længderækker er kun lidet, en 3—8 Stykker. Ved Foden 
af Krogrekkerne staaer en Krands eller Tværrække af lange, meget tynde, borsteformede, 
noget krogede Chitintender. Sugefoden drages tilbage ved 2 svære, divergerende Muskler. 
Anordningen af Krogene og Musklerne tyde paa en Sammensmeltning af de sædvanlige 
2 Sugefodder til een. 

Bagkroppen er trind; bag Bryststykket bliver den noget smækrere, dog kun for 
alter at svulme kolleformigt op, saaledes at de 3 nestsidsle Led blive de svereste af alle 
Kroppens Led. Bagkroppen er glat uden Haar eller Borster, men i Spidsen findes Larvens 
vigtigste Fasthæftningsapparat, Fig. 115e; Fig. 116c. Dette Apparat bestaaer af et Bælte 
af indtil 10 Længde- eller Skraarækker af korte, stærke, krumme Chilinkroge, med indtil 12 


93 461 


Kroge i Rækken. Krogene ligne dem paa den forreste Sugefod, men de ere langt sværere. 
Sandsynligvis svarer Hefteapparatet til Analkrogene hos Corethra- og andre Myggelarver. 
Analpapillerne, Fig. 115 f; Fig. 116 d, ere kun tre i Tallet og i Hvile trukne ind i Kroppen, 
men kunne skydes ud som 3 temmelig lange, polseformige Vedhæng, jfr. Fig. 116 d, hvor 
dog kun de to af dem ere fremstillede. Analborster har jeg ikke fundet Spor til. Endelig 
findes paa niende Bagkropsleds Underside, kort bag Analpapillerne, et Par korte, koniske 
Fremspringninger, Fig. 116 b, paa det bageste Par Sugefodders Plads. Paa Oversiden af samme 
niende Led, i dets Bagrand, danner Rygskinnen et Par mod hinanden vendte, tornekledte, 
fremspringende Hjørner, hvorimellem Midten af Rygskinnen sænker sig ned til Anus. 

Tracheesystemet er navnlig hos unge og spæde Larver ofte vanskeligt at faa Øje 
paa. Det bestaaer hovedsagelig af 2 Længdestammer, forbundne indbyrdes fortil med 3 
Forbindelsesgrene. Fra Lengdestammerne udgaa til hver Side 9 korte, kun lidt forgrenede 
Sidegrene, og fra hver af de 9 Sidegrene udgaaer en kort, massiv Streng, de saakaldte 
Sidestrenge, jfr. 112 a. 


Orro "Fabricius er den Første, som har leveret Bidrag til Simuliums Udviklings- 
historie, og han har givet os en Beskrivelse og Afbildning dog ikkun af Puppen og Imago (d). 
Pupper fandt han i en Bek, siddende paa Undersiden af nogle Blade, og tog dem hjem 
med sig i Haab om at faa en «Polyp» (man var dengang i Polypernes Tidsalder); thi Dyret 
bevegede sig («sich selbst bewegendes»); han blev altsaa noget overrasket, da han fik en 
Myg («die Atlasmücke») ud af den. Beskrivelsen er ikke særdeles righoldig, og Fabricius 
har ikke givet nogen Forklaring af de grenede Nakkeror, men kalder dem simpelthen 
Fryndser («Franzen»). Om Puppens Cocon antager han, at den er «ohne Zweifel aus den 
Bestandtheilen der Wasserpflanzen von der Made gemacht». Imagos Fremkomst skete i 
Juli, og 1778 fandt han ogsaa i samme Maaned mange Pupper i en hurtigtlobende Flod i 
Drangedalen i Norge. De sad paa Undersiden af Potamogeton lucens. 

Scuénpavers Arbejde (100 Sider i Quart) vedkommer os egentligt ikke her, da han 
hverken har kjendt Larven eller Puppen. Kun skal jeg bemærke, at han rimeligvis kun 
har kjendt Hunnen til denne Myg, da han forklarer, at «zwischen den Geschlechtern dieser 
Thierchen findet sich in dem Baue, der Farbe und Gestalt ihres Kürpers kein Unterschied; 
nur sind die Weibchen viel grésser und dicker als die Männchen». Den angivne Forskjel i 
Størrelse tyder jeg som Artsforskjel, saaledes som ogsaa Schiner, Faun. Austr. Dipt. I, 
p. 366—67, Anm., erklærer, at han fra Banatet under Navn af »Kolumbatscher Mücken» 
har faaet de to Arter Sim. reptans og Sim. columbatezense begge i Mængde, men alene 
Hunner. Schonbauer afbilder ogsaa kun Hunnen, men denne baade i naturlig Storrelse, 
lidt forstørret og stærkt forstørret, Fig. 1—3. 


Jeg har desværre ikke kunnet skaffe mig hverken Verpars, Pranenoxs eller 


462 94 


Westwoons Arbejder over disse Myg til Gjennemsyn, hvad jeg saa meget mere maa beklage, 
som ialtfald Verdats Fremstilling, at domme efter den Brug, som Westwood i hans Intro- 
duction og Kollar have gjort af den, synes at vere et godt Arbejde. 

Jeg antager ogsaa, at Hreser har betragtet Hunnerne af to forskjellige Arter som 
de to Kjøn af samme Art, Sim. columbaschense, saaledes som det fremgaaer af hans 
Beskrivelse; men interessant bliver det at see, hvorledes stadigt den ægte «Kolumbatzer»- 
Myg er ledsaget af en anden Art (Sim. reptans?). At det kun er det ene Kjøn, Hunnen, 
som er blevet indfanget, følger vel af Kjønnenes forskjellige Levemaade og Hunnens Blod- 
tørst. Desto værre blev det ikke til Noget med den lovede, udførlige Fremstilling af Larven 
til Simulium ornatum, idet med 1848 Tidsskriftet Isis, hvori Heegers første Artikel frem- 
kom, ophørte. 

{orrar har i sin Bedømmelse af Dr. Medovics Indberetning til den serbiske Regje- 
ring om «Gollubatzer»-Myggen væsentligt indskrænket sig til at kritisere denne abderitiske 
Fremstilling, men selv lagt ikkun saare lidet til; dog har han vedføjet 3 Tavler med Afbild- 
ninger af Hunnen, Larven og Puppen af Simulium sericeum 9: reptans, med Tavleforklaring. 

De øvrige af mig cilerede Forfattere have, forsaavidt som jeg har kjendt dem, ikke 
bidraget synderligt til Oplysning om disse Dyrs Metamorphose, men mere behandlet de 
indre Organers Udvikling, eller Bygningen hos Imago af Munddelene o.s. v. Dog maa jeg 
fremhæve her Baryarp, som efter Bertkaus’ Aarsberetning har beskrevet Æg, Larve og Puppe 
af en ubestemt Simulium-Art. Om Larven siges der, at den foruden med Bagenden hæfter 
sig ved Traade af et i Vandet stivnende Sekret (an recte?); Nakkerørene hos Puppen kaldes 
Tracheegjæller. Efter Zoologischer Bericht for 1884 giver Horvarr en Beskrivelse og Afbildning 
af Kolumbatzer-Myggens Larve og Puppe, og angiver om Larven, at den 4 Gange skifter Hud. 


Biologi. 

Larven til Simulium ornatum har jeg kun fundet sent paa Sommeren, fra Begyn- 
delsen af August Maaned. Den fandtes da i større Antal i den Grøft eller Afløb, som fører 
Vandet fra Christiansholms Mose ud i Stranden. Den sad paa Bladene af Potamogeton, 
idet den var fasthæftet med Hæfteapparatet i Enden af Bagkroppen, og stod ret eller paa- 
skraa ud i Vandet. Larverne sade ubevægeligt, og kun sjeldent flyttede de sig lidt ved 
Hjælp af Sugefoden paa første Brystring, med en Bevægelse, som ligner Geometra-Larver- 
nes. Mange eller de fleste af de Larver, som fandtes i Begyndelsen af August, vare unge 
eller spæde; senere hen i September Maaned (25. 9.81) fandtes hovedsageligt voxne Larver 
og Pupper. De hjembragte Larver vare vanskelige at holde i Live, og de fleste af dem 
døde allerede paa Hjemtouren. Ogsaa Pupperne vare vanskelige at udklække, dog fremkom 
nogle Imagines, deriblandt ogsaa Hanner. 

Men foruden Sim. ornatum have vi ogsaa andre Arter af denne Slægt, og saaledes 


95 463 


kan nævnes Sim. replans og Sim. fuscipes, af hvilke Larven til Sim. fuscipes ialtfald i visse 
Aar maa vere almindelig i Nørrejylland, da det er denne Art, som i 1878 gav Prof. Schiodte 
Anledning til at skrive en lille Opsats i Berlingske Tidende som Svar paa de mange Fore- 
sporgsler, som vare indkomne til ham om Midler mod disse i visse Egne af Norrejylland 
saa generende «Kvægmyg». Det er rimeligvis ogsaa Larven til de 2 sidstnævnte Arter, 
som man saa hyppigt finder i smaa, grusede og stenede Skovbekke, hvor de sidde paa 
Undersiden af Smaastene. Det er hidtil ikke lykkedes mig at klække nogen anden Art end 
Sim. ornatum, og det vil vistnok ogsaa have sine Vanskeligheder at skaffe passende Lejlig- 
hed og Fode til de i Skovbekke levende Larver. 

Puppen er af en meget kort og sammentrengt Form, Fig. 123, og udmerker sig 
ved de dichotomisk delte Nakkeror, Fig. 123 a, som staa frem foran Hovedet. De udgaa 
med en ganske kort, felles Stamme, Fig. 124, som snart deler sig i 4 Grene, hvoraf hver 
atter klover sig i 2 lange, tynde, trinde, lukkede Ror. Disse Ror antages i Almindelighed 
at staa i Aandedrættes Tjeneste, men Veggene af dem ere saa tykke, Fig. 125, at nogen 
Respiration vanskelig kan foregaa gjennem dem. Jeg maa snarere betragte dem som Luft- 
beholdere, til Opbevaring af den under Puppestanden i Puppen fremstillede Luft, som jo 
ogsaa faaer sin store Betydning under Forvandlingen til Imago, naar Luftlaget mellem 
Puppehuden og Imago skal skaffes tilveje. Ligesom forskjellige af Chironomus-Arterne 
har Puppen et eget Leje, men der er det Seregne ved denne Puppes Leje, at det fortil er 
aabent, saa at den forreste Del af Puppen og Nakkerorene rage ud ad Aabningen. Puppe- 
lejet eller Puppecoconen spindes af Larven, som det siges, som et fuldt sluttet, egdannet 
Hylster, der anbringes paa Undersiden af et Blad eller en Sten i Vandet. Naar Forvand- 
lingen til Puppe er foregaaet, skal den forreste Del af Coconen stodes af'), og denne saa- 
ledes blive aaben. Jeg har altid fundet Coconen aaben, og jeg skal kun derhos bemerke, 
at Forranden af den er betydeligt fortykket og ligesom afrundet. For at nu Puppen, som 
ligger temmelig lost i Coconen, ikke skal af Strommen fores ud ad Aabningen, er den i 
Randen af flere af Bagkropsleddene forsynet med korte Kroge, hvormed den kan hage sig 
fast paa Indersiden af Coconen. Paa Rygsiden findes disse Kroge især paa andet og tredje 
Bagkropsled i et Antal af 4 Par paa hvert af disse Led; de ere smaa og korte, men sær- 
deles stærke, Fig. 123 bb; Fig. 126. Paa Undersiden af Puppen er det paa 4.—6. Bag- 
kropsled, at man finder 2 Par Kroge paa hvert Led; disse sidstnævnte Kroge cre langt 
spinklere end de paa Rygsiden og ofte mer eller mindre rudimentære; fuldt udviklede ere 
de dybt kløftede med lange, spidse Flænger, Fig. 127. Det er navnlig Undersidens Kroge, 
som, ved at gribe ind i det Væv af tykke Traade, der beklæder fortrinsvis den imod Bladet 
eller Stenen vendende, flade, tynde Underside af Coconen, hjælper til at holde Puppen fast. 


1) Westwood, An Introd. mod. Class. Ins. II, p. 529. Anm. 


464 96 


Undertiden faa disse Kroge et saa fast Hold i Traadvævet, at dette bliver hængende som 
Buske af Traade ved Krogene, naar Puppen tages ud af Coconen, jfr. Fig. 123 c. 

Imagos Udkryben af Puppehuden har jeg ikke seet, men den maa foregaa med den 
allerstørste Hurtighed, og Myggen maa ligesom slynges op igjennem det rindende Vand til 
dettes Overflade. Puppehuden maa dernæst have et fast Leje i Coconen, at den ikke skal 
rives op med, men kan afgive den fornødne Stotteflade for Imagos Fart gjennem Vandet; 
men ved Hjælp af Oversidens og Undersidens Kroge forbindes Puppehuden noje med den 
til Bladet eller Stenen fastspundne Cocon. I Modsætning til, hvad der skeer hes Chiro- 
nomus, bliver altsaa hos Simulium Puppehuden i Coconen, det er Puppelejet. 


Ceratopogon. : 


Eine unbekannte Wurm-Art, O.F. Müller, Von Würmern des süssen und salzigen Wassers, p.22. Anm. 
Der Miillerische Gliederwurm, Goeze, Der Nalurf. Stück 14, p. 113, Tab. VI. fig. 1—7. 


Tanypus sp, Packard, On Inseets inhabiling Sall Water — Amer. Journ. Sc. and Arts, I, p. 21. 
Ceratopogon bicolor, Gercke, Melamorphose nackllügeliger Ceralopogon-Arlen sowie über die von 
Tanypus nigro-punclalus Steg. und von Hydrellia mutala Meig. — Verh. d. Vereins f. 


nalurw. Unterh. z. Hamburg. IV. Sep. p. 1. Taf. II. Fig. I, a—d‘'. 


Ceratopogon cireumdatum. 


Larven, Fig. 128, udmerker sig ved sin traadlignende Form, ved sit langstrakte, 
endnu smækrere Hoved, ved Kroppens riflede Udseende og Manglen paa Vedhæng og Ber- 
ster, idet kun et Dobbeltbundt af Borster (Analborsterne) sees at stritte ud fra Bagenden 
af Bagkroppen. Farven er klar hvidlig, men et Par morke Længdebaand skinner som oftest 
mere eller mindre gjennem den største Del af Dyrets Krop. 

Hovedet er meget lille, navnlig smalt og fladtrykt; Længden forholder sig til Breden 
som 4:1. Tredje Metamers Rygskinne, Fig. 129 a, indtager omtrent en Tredjedel af Hove- 
dets Brede i den sterste Del af Hovedets Længde, men fortil bliver Begrændsningen helt 
utydelig saavel til Hovedpladens to Halvdele som til anden Metamers Rygskinne. Bag 
Ojnene stritte 2 Par ganske korte Borster ud til Siderne, og omtrent bag Hovedets forste 
Fjerdedel 2 andre lignende Par. Anden Metamers Rygskinne er vanskelig at sondre fra 


tredje Metamers; fortil er den jævnt afrundet. Tredje Metamers Rygskinne er ganske 
rudimentær. 


97 465 


Ojnene, Fig. 129 bb, ere smaa, enkelte, siddende langt tilbage paa Hovedet; næsten 
umiddelbart bag dem ere de store Biojne, Fig. 129 cc, anbragte. — Antennerne, Fig. 130 aa, 
ere særdeles smaa og kunne let oversees. De ere anbragte næsten i Hovedets Forende, 
under en lidt fremspringende Rand af dettes Sider; de bestaa kun af et ganske kort Grund- 
led med svagt fremspringende Forhjerne og med en yderst lille Borste eller Led anbragt i 
Enden af Grundleddet. 

Munddelene ere, med Undtagelse af Kindbakkerne, næsten rudimentære. Underlæbe, 
Fig. 131 a, lader sig knap eftervise, og Kjæberne, Maxillæ, Fig. 131 bb, ere meget vanskelige 
at iagttage imod den mørkt farvede, sammenvoxede Mundramme. Paa Figuren ere de frem- 
stillede som et temmelig bredt, men kort, hudet Vedhæng, med 2 runde Fremspringninger, 
som kunne tydes som Flig og Palpe. — Kindbakkerne, Mandibulæ, Fig. 132, ere vel sær- 
deles smaa og simpelt byggede, men dertil meget kraftige og stærkt chitiniserede; de ere 
noje forbundne med den stærke Mundramme, og ved Hjælp af sterke Muskler og Sener, 
af hvilke navnlig Bojemusklens Sene, Fig. 132 a, er meget svær, bøjes de ind, dog uden at 
naa hinanden i Hovedets Midilinie. 

Bryststykket bestaaer af 3 Led eller Ringe, som alle ere vel afsnorede, omtrent 
lige lange, noget smallere og betydeligt kortere end de folgende Bagkropsled; de ere tyde- 
ligt riflede. 

Bagkroppen bestaaer af 9 vel adskilte Led, af hvilke navnlig det sidste er lengere, 
men ogsaa smekrere end de ovrige Led. I Spidsen af samme niende Led findes de lange, 
men tynde Analborster, Fig. 128 a; Fig. 133 aa, i et Antal af 8, parvis samlede Børster, 
hvortil slutte sig faa, ganske korte Borster. Sædvanligt sees der ikke noget til Analpapiller; 
men underkastes Bagkroppen et Tryk, træde disse frem som 2 Par lange, polseformede, i 
Spidsen klovede Papiller, Fig. 133 bb. Analkroge har jeg ikke fundet Spor til. 

Tracheesystemet, Fig. 134 og 135, falder stærkt i Øjnene ved den mørke Pigmen- 
tering, som største Delen af det Cellelag, som omgiver Tracheerne, har. Systemet ind- 
skrenker sig vesentligt til et Par temmelig vide Lengdestammer, som jeg kun fortil i anden 
Brystring har fundet forbundne ved et Forbindelsesror. Sideror seer man som oftest ikke 
meget til. Derimod fremtræde Sidestrengene, Fig. 134 aa, tydeligt som ganske tynde, haar- 
lignende, massive Strenge, som i anden Brystring udgaa fra Lengdestammerne omtrent 
ligeoverfor det Sted, hvor disse Forbindelsesror udgaa. 

Slegten Ceratopogons Larver ere fra gammel Tid bekjendte som levende for sterste 
Delen under Træernes Bark; og om man end fandt adskillige af Arterne ikkun paa meget 
fugtige Steder, som lod tenke paa Vandet som Opholdssted for Larverne, saa er dog 
Gercke, 1877, den Forste, som har beskrevet Larver af denne Slegt, levende og forvand- 
lende sig i Vandet. Dog er Gercke paa den anden Side ikke den Forste, som har afbildet 
og beskrevet Ceratopogon-Larver fra Vand; kun har man ikke for vidst at henfore bemeldte 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math, Afd, III. 4. 59 


466 98 


Larver til deres rette Slægt. Allerede O.F.Mürrer har for mere end 100 Aar siden i sit 
beromte Arbejde, «Von Würmern des süssen und salzigen Wassers», omtalt et Naide-lignende 
Dyr, l.c.p.21f: «Doch giebt es eine andere unbekannte Wurm-Art, die eine sehr ähnliche 
Bewegung hat, und die man bey Nachfischen so lange für die Naide ansehen wird, bis 
uns das Suchglas ein anders zeigetv. 1 en Fodnote beskriver han dernæst Larven noget 
nærmere, men uagtet Beskrivelsen lader formode en Insektlarve, og O.F. Müller vel ogsaa 
ved den tilfojede Sætning: «um zu erfahren, ob sie sich verwandeln würden», viser, at han 
nærmest har antaget dette, saa siges det dog ikke udtrykkeligt. 

Gorze har |.c. givet en Fremstilling tilligemed en Afbildning af alle tre Stadier af 
«der Müllerische Gliederwurm», som han kalder den, idet han ikke har formaaet at henfore 
det udkomne Insekt til nogen af de Linneiske Arter blandt «Linnés Tipule». Det var 
forst efter flere Aars mislykkede Forsog, at det lykkedes ham at klække Larven, og «Der 
21° May war der glückliche Tag, der mir einem Müller verborgene, und mir selbst einige 
Jahre unerklärbar gebliebne Geheimnisz in Absicht der Natur dieses Wurmes völlig entzif- 
ferte», I. c. p. 117. En af de Ting, som var Goeze paafaldende, var naturligvis de to merkt 
eller sortfarvede Cellestrenge, som ledsage eller omgive Tracheelengdestammerne; men at 
Goeze kalder dem «unstreitig die Nahrungskanäle, und mit schwärzlicher Materie angefüllet», 
l.c.p. 121, er en Fejl, som kun tildels kan skrives paa den Tids daarlige Mikroskopers 
Regning. Det er let at forstaa, at han har overseet de fire Analpapiller, da de som oven- 
for sagt, oftest holdes tilbagetrukne i Kroppen, men derfor bor han ikke kalde de 8 (ikke 7) 
lange Analborster for «unstreitig die Ruder der Larve und zugleich Luftgefässe», og der- 
næst beskrive dem saaledes: «Unter der stärkeren Vergrösserung zeigte sichs, dass sie 
breitblättericht waren, und mit den Luftröhren Gemeinschaft hatten, wie denn die Luftbläschen 
darin auf- und niederstiegen», Il. c. p. 122. Goeze angiver Længden af Puppehvilen til 5 
Dage, men regner man hans egne statistiske Angivelser efter, faaer man kun 4 Dage, nemlig 
fra 25—29. Maj, 1. c. p. 118. 

Pacxarp giver, l.c.p.101f, en tilstrækkelig udførlig Beskrivelse af en Larve og 
Puppe, til at de kunne gjenkjendes som Larve og Puppe af en Ceratopogon, hvilken An- 
tagelse yderligere bekræftes ved de tre vedfojede smaa Træsnitsfigurer. Selv antager han 
dem for at hore til «a species of Tanypus (or closely allied genus or subgenus)», og han 
tilfejer ogsaa tilsidst: «No adult Tanypus occurred in the collection»; men med denne 
Slægts Larver have de ikke allerringeste Lighed. 

Endelig har Gercxe, 1.c.p.3f, givet en ikke videre indgaaende Beskrivelse af 
Larven og Puppen og ledsaget denne med langtfra tilfredsstillende Stentryksfigurer. Meget 
gives der ikke, og et Par Udsagn, som at Øjnene ere bevægelige («Die Augenflecken sind 
beweglich»), og at Larven ved Forpupningen kun lader Hovedet tilbage («Bei der Verpup- 
ning lässt die Larve den Kopf allein zurück»), maa jeg lade staa hen som mig uforklar- 


99 467 


lige. Dog maa det ikke glemmes, at Gercke, ved at bestemme Myggen, ikke lidet har 
befordret vor Kundskab om disse Dyr. 


Biologi. 


Larven til Cer. circumdatum findes almindeligt udbredt her i Landet, navnlig i 
mindre Vandsteder eller Vandpytter med lavere Bund og rig Plantevegetation uden Strom- 
ning i Vandet. Jeg har fundet den voxne Larve fra Begyndelsen af Maj; Pupper og Ima- 
gines har jeg truffet i Midten og Slutningen af samme Maaned, og endelig unge Larver i 
Begyndelsen af August. Det forekommer mig herefter rimeligst at antage, at Larven over- 
vintrer i Vandet eller paa Bunden af dette som voxen eller halvvoxen; og hertil vilde ogsaa 
dens Mangel af ydre Aanderedskaber og dens Lyst til at skjule sig mellem Conferver eller 
paa Bunden af Vandet gjore den velskikket. Larven holder sig som oftest skjult, og man 
seer den kun sjeldent bevege sig frem i Vandet ved en slingrende, slangeagtig Bevegelse 
af Kroppen, omtrent paa samme Maade som Iglerne svomme, kun i et noget hurtigere 
Tempo. Ligesom hos forskjellige Chironomus-Arter bliver ogsaa hos Ceratopogon-Arterne, 
saavel hos dem, som leve under Bark, som hos dem, der leve i Vandet, Huden ikke helt 
afskudt ved Puppeforvandlingen, men Puppen bliver med hele Bagkroppen eller med dennes 
sterste Del stikkende i den forreste Del af Larvehuden, saaledes som Goeze allerede har 
afbildet det paa sin Fig. 4. 

Puppen, Fig. 136, har en temmelig regelmessig Kolleform, og Bagkroppen, som 
ender med to lange Torne, er stærkt indsnoret mellem de enkelte Bagkropsled. Det 
Merkverdigste ved Puppen er imidlertid dens Nakkeror, Fig. 136 aa; Fig. 137, som ere 
temmelig lange, kolleformede og i Enden afdelte i en Rekke eller Bælte af langstrakte, 
cylindriske eller svagt kolleformede Rum. Alle disse Rum udgaa fra den lukkede, kolle- 
formigt opsvulmede Ende af Nakkerorenes Trachee, Fig. 13 a, og i den peripheriske Ende 
af Rummene sees mer eller mindre tydeligt et klart Legeme eller Blære. Uvilkaarligt kom- 
mer man her til at tenke paa et Sandseorgan, men naar Nytten af et Sandseorgan for 
denne frit levende Puppe kun kan antages at vere ringe, saa maa det anses for endnu at 
have langt ringere Betydning for de under Bark i deres Larvehud fastsiddende Ceratopogon- 
pupper; men ogsaa hos disse Pupper have Nakkerorene en lignende, om ikke saa sterkt 
udpreget Udvikling. 

Puppen til Cer. circumdatum lever altsaa frit, svommende omkring eller snarere 
flydende paa Vandets Overflade mellem Blade og Smaapartikler ner Bredden af Vandstedet, 
idet den kun svagt holder sig fast med Bagkroppens Torne, forsaavidt som disse stikke 
udenfor Larvehuden. Myggens Udkryben af Puppehuden har jeg engang iagltaget. Jeg 
tog en Puppe op, som laa og flød paa Vandet. Strax jeg fik den paa Haanden, viste der 


59* 


468 100 


sig en Spalte i Puppens Overhud langs hele Ryglinien, men den temmelig brede Spalte 
var lukket i Bunden med en ganske tynd, hvid Hinde, og forst efter at denne Hinde ogsaa 
var bristet, hævede Myggens Mesonotum sig under 5—6 Sted op gjennem Puppehuden. 
Derpaa saaes tydeligt en rhythmisk Bevægelse i Bagkroppen, og ved Hjælp af disse Bevæ- 
gelser. hævedes Myggen ud af Puppehuden. Vingerne vare matte og slappe og bidroge 
ikke til Udkrybningen, dog havde de strax den fulde Lengde eller nesten denne. 
Udkrybningen tog nojagtigt 2 Minuter. 


101 469 


Theses. 


1. Hovedpladen, Lamina cephalica, er af forskjellig Storrelse og Udstrekning, idet 
den fra at indtage hele Hovedets Overside (Corethra) aftager i Storrelse, indtil den kun 
udgjor mellem Tredjedelen og Halvdelen af denne, idet den tillige skilles i 2 Dele ved den 
mellemliggende tredje Metamers Rygskinne (Dixa, Simulium). — Pandepladen er ikke udskilt 
af Hovedpladen, ligesaa lidt som nogen Isseplade. 


2. Ojnene ere snart store eller meget store, stærkt sammensatte (Culex, Anopheles, 
Corethra, Mochlonyx), snart smaa eller meget smaa, oftest enkelte (Chironomus 0. s. v.) — 
Biejnene ere smaa, dog undertiden større end de egentlige Øjne (Tanypus, Ceratopogon, 
Simulium). 


3. Antennerne ere oftest temmelig store, med et betydeligt Grundled, sjeldnere 
med en flereleddet Svabe (Simulium). Undertiden ere de meget lidet fremtredende (Cera- 
topogon). Hos Tanypus kunne de trekkes ind i Hovedet. 


4. Tredje Metamers Rygskinne er oftest en stor, veludviklet Plade, som naaer 
eller næsten naaer Hovedets Bagrand og foroven skiller Hovedpladens 2 Halvdele fra hin- 
anden ; sjeldnere er den kun lille (Mochlonyx) eller utydeligt udsondret (Corethra). 


5. Anden Metamers Rygskinne er sjeldent synderligt fremtrædende (Simulium, 
Dixa). Ofte bere Metamerens Sidedele, Pleuræ, en Pensel af Borster eller Blade (Hvirvel- 
organet), som naa deres hojeste Udvikling hos Simulium, men dog ogsaa ere betydelige 
hos Culex, Anopheles og Dixa. 


6. Forste Metamer er altid (i Modsetning til Imago) meget lidet udviklet eller 
endogsaa rudimenter, navnlig for Rygskinnens, Labrums, Vedkommende. 


470 102 


7. Underlæben, Labium, eller første Metamers Underside mangler altid Palper, 
men fremtreder ofte som en sterkt chitiniseret, i Forranden udtandet Plade (Culex, Ano- 
pheles, Chironomus, Tanypus). 


8. Kjæberne, Maxille, have oftest en enkelt, bred Flig; sjeldnere adskilles en 
sterre Yderflig fra en mindre Inderflig (Culex, Dixa, Simulium). Kjæbepalperne ere, med 
Undtagelse af Ceratopogon, altid tydelige, ofte cylindriske, fremstaaende, med eget Palpe- 
stykke (Simulium, Dixa). Hos Ceratopogon ere Kjæberne overhovedet rudimentere. 


9. Kindbakkerne, Mandibule, ere snart simple, med eller uden Tender i Inder- 
randen (Ceratopogon, Chironomus, Tanypus), snart have de flere eller ferre Borsterekker 
(Culex o. s. v.) og flerdelt Rovtand (Culex o.s.v.) eller en hel Vifte af Blade paa Ryg- 
siden (Corethra). 


10. Bryststykkets Ringe ere snart frie, indbyrdes adskilte (Ceratopogon, Chirono- 
mus); snart er kun den forreste Ring mere fri (Dixa, Tanypus); snart ere alle 3 Ringe 
næsten sammensmeltede (Culex o.s. v.). 


11. Bagkroppens 9 Led eller Ringe ere vel adskilte. 8. Led bærer ofte et Par 
Spirakler, enten umiddelbart paa Oversiden (Anopheles, Dixa), eller i Enden af et lengere 
Rør, Aandergret (Culex, Mochlonyx). Oftest mangle Spirakler aldeles (Corethra o. s. v.). 
Nogle Arter af Chironomus kunne udskyde 2 Par lengere, rerformede Processer fra 8. 
Led. — 9.Led bærer ofte paa Undersiden en Svemmevifte (Culex, Anopheles, Corethra, 
Mochlonyx). Som oftest findes i Enden af Leddet 4 Analpapiller (Simulium har kun 3) og 
et større eller ringere Antal Analborster. Analkroge findes hos Corethra og Mochlonyx. 


12. Sugefodder findes undertiden (Chironomus, Tanypus) paa Undersiden af første 
Brystring og sidste Bagkropsled, men det forreste Par er ofte mer eller mindre sammen- 
voxet. Hos Simulium er forreste Par helt samenvoxede til en Tap, og bageste Par kun 
bevaret som 2 svage Fremspringninger med særdeles mange mikroskopiske Kroge. 


13. Tracheesystemel er højst forskjelligt udviklet. Et Par svære Lengdestammer, 
gjennemlebende hele Larvens Krop og endende med et Par aabne Spirakler findes hos 
nogle Slegter (Culex, Anopheles, Mochlonyx, Dixa), medens de ere lukkede hos andre 
(Simulium, Tanypus, Ceratopogon). Længdestammerne falde i Stykker efter Kropleddene 
eller ere kun svagt udviklede hos Corethra og Chironomus; hos Mochlonyx bevares Skille- 
vægge inde i Lengdestammerne som Minde om denne Stammernes Sammenvoxen. 


14. Massive, som oftest ganske tynde, Sidestrenge (funiculi Palm.) findes i et 
Antal af 8 eller 9 Par, gaaende fra Overhuden til Længdestammerne. 


103 471 


15. Tracheerne ere i deres forste Anlæg serumfyldte, men fyldes senere, centri- 
fugalt med Luft, 


16. Naar Tracheerne fornyes samtidigt med Skiften af Larvehud, tages enten de 
gamle Tracheer med nogen Luft ud ved Hjælp af Sidestrengene (Culex—Palmén), eller de 
skrumpe ind (Mochlonyx) De nye Tracheer kunne da blive helt serumfyldte, og Serumet 
fortrænges forst efterhaanden af Luft fra Kroppen (Mochlonyx). 


17. Puppens Nakkeror ere oprindeligt serumfyldte; men hvad enten de have Spal- 
ter (Corethra) eller andre Aabninger (Culex, Anopheles, Tanypus, Dixa), eller de ogsaa ere 
lukkede (Simulium, Chironomus, Ceratopogon?), fyldes de fra Kroppen med Luft. De ere 
vesentligst hydrostatiske Redskaber (Corethra, Mochlonyx) eller Flydeorganer (Culex, Ano- 
pheles, Tanypus, Dixa) eller, saafremt de ere lukkede, Beholdere for Luft til Hjælp ved den 
sidste Forvandling og Imagos Frigjerelse af Puppehuden (Simulium, Chironomus) eller 
maaske Sandseorganer (Ceratopogon). 


18. Puppens Bagkrop ender med el Par brede Blade, Svommeblade, eller dennes 
sidste Led er bredt, dybt indskaaret. Noget Respirationsorgan er det eller Bladene næppe. 


19. Tracheesystemet hos Insekterne overhovedet kan ikke betragtes som en blot 
og bar Overhudsdannelse eller som alene opstaaet ved Indkrengninger af Overhuden, men 
Bindevævet tager mere eller mindre Del i Dannelsen af Systemet, idet dette forst sluttes 
ved Forbindelsen af de centripetale Overhudsindkrængninger med den centrifugale Binde- 
vevsdannelse. Hos de her omhandlede Larver representere Sidestrengene vesentligt Over- 
 hudsindkrengningerne. 


{er} 


104 


Tavleforklaringen. 


Tavle I. Fig.1-35. 


Culex annulatus: 1—16. 


Larven, fuldvoxen, fra oven — a, Aandereret. 
b, Svemmeviften. eecc, Analpapillerne. 

Larvens Hoved, fra oven — a, Tredje Meta- 
mers Rygskinne. b, Anden Metamers Ryz- 
skinne. €, Tredje Metamers Rysskinne. 
dd, Hvirvelorganerne. ee, Antennerne. ff, 
Øjnene. ff’, Biejnene. 

Enden af en Antenne. 

Larvens Hoved, fra neden — a, Anden Meta- 
mers Rygskinne. a‘, Den Underleben dæk- 
kende Haarbremme. b, Venstre Kjæbe. 
c, Venstre Kindbakke. 

Underlæben, med Svzlgets Gulv, fra oven — 
a, Selve Underl&ben. 

Højre Kjzbe, fra neden — a, Inderflig. b, 
Yderflig. e, Kjzbepalpe.. 

Venstre Kindbakke, fra oven. 

Venstre Kindbakke, fra neden. 

Et Stykke af Tracheesystemet — a, Et Stykke 
af Længdestammen. b, Sidegren. ©, Side- 
streng. 

Larvens Aanderer, klavet — a, Det ene Tra- 


cheerer. b, Aabningen af samme Rør. 


- €, Det mellem Tracheererene liggende Chi- 


tinblad (Sene). 

Puppen, fra Siden — aa, Nakkererene. b, 
En «Bereberste:. 

Et Nakkerer, aabnet paalangs. 

Enden af et Nakkerer, skraat afskaaret, seet 
bagfra — a, Hullet. 

Et Stykke Beklædning fra 
Nakkerer. 

En »Bzreberste». 

Puppens Haleblade. 


Spidsen af et 


18. 
19. 


. 20. 


21. 


1) 
1 


FA 


ww» 
mø 


Cd 


30. 


31. 


Culex. nemorosus: 11—19. 


Spidsen af 8. Bagkropsled samt 9. Led af 
Larven, seet fra Siden — a, Det ene Tra- 
cheerer. b, Endetarmen. c, Svemmevilten. 
dd, To af Analpapillerne. ee, Analberster. 
En Vifteberste, Straalerne afkortede. 

Torne fra Aandereret. 


Anopheles maculipennis: 20—31. 
Larven, voxen, fra oven. 
Larvens Hoved, fra oven — a, Tredje Meta- 
mers Rygskinne. b, Anden Metamers Rys- 
skinne. ce, Hvirvelorganerne. dd, Antennerne. 


ee, Øjnene. e‘e’, Biejnene. 

Spidsen af Hovedet, fra oven — a, Tredje 
Metamers Rygskinne (Overlæbe). bb, Hvir- 
velorganerne. 

Hovedet, fra neden — a, Underleben. bb, 
Kjæbernes Flige. ce, Kjebepalperne. dd, 


Antennerne. ee, Hvirvelorganerne. 
Underlaben, fra neden — a, Spidsen af 
Underlæben. b, Sammes Proces. c, Proces 
fra anden Metamers Bugskinne. É 
Spidsen af en Kjæbepalpe. 

Højre Kindbakke, fra oyen. 

Kindbakkens Tand, fra neden. 

Spidsen af Bagkroppen, fra oven — aa, Spi- 
raklerne. bbbb, Analpapillerne. ec, Anal- 
bersterne. d, Spidsen af Svemmeviften. 
Spidsen af Bagkroppen, fra Siden —a, Svomme- 
viften. bb, To af Analpapillerne. ce, To af 
Analbersterne. 

Puppen, fra Siden — a, Et af Nakkerorene. 
b, En -«Bæreberstes. 
Puppens Haleblade, 
kroppen. 


med Spidsen af Bag- 


Fig. 


Fig. 


36. 


31. 


38. 


39. 
ZUR 


AL. 


45. 


Anopheles nigripes: 32—35. 


Larven, voxen, fra oven, 

Venstre Kindbakke, fra oven. 

Hojre Kindbakke, med Kjæbepalpe, fra indre 
Side — a, Kindbakken. b, Kjæbepalpen. 
En «Bæreborste». 


Tavle II. Fig. 36—71. 


Corethra plumicornis: 36—56. 


Larven, voxen, fra Siden — a, Forreste Par 
Luftsække. b, Bageste Par Luftsække. ce, 
Svommeviften. 

Larven, voxen, fra oven — a, Antennerne, 


bb, Kindbakkerne. ce, Forreste Par Luft- 
sække. dd, Bageste Par Luftsække. 
Analpapillerne. 

Larvens Hoved, fra neden — aa, Antennerne. 
bb, Tredje Metamers Borsteknipper. ce, 
Tredie Metamers «Knivsblade». dd, Kind- 


ecee, 


bakkerne. ee, Kjæberne. f, Anden Meta- 
mers Overside (»Overleben«). g, Nedre 
Svalgplade. 


Hojre Kindbakke, fra indre Side. 
En af de bageste Luftsekke — a, Et Stykke 
af det ydre, pigmenterede Cellelag. b, Tarm- 


kanalen. cee, Luftfyldte Partier af Trachee- 
rorene, 
Et Stykke af Tracheesystemet — a, Spidsen 


af en af de forreste Luftsække. b, Endeop- 
svulmning af Luftsækkens Trachecror. 

En af de forreste Luftsække, med Tracheerne, 
som udgaa fra den — Udviklings-Stadium. 
Et Stykke af samme Luftsæk, med Begyn- 
delsen af det ene Tracheeror —- a, Luftfyldt 
Del af Tracheeroret. 

Enden af samme Tracheerer, unden Luft. 
Endeopsyulmning af Luftsekkenes Trachee- 
ror, med de forbundne Tracheestammer — 
a, Opsvulmningen. 

Et Stykke af Tracheesystemet — a, Luftfyldt 
Del. 

Den luftfyldte Del af samme Stykke Trachee- 
system. 

Et andet Stykke Tracheesystem — aaaa, Luft- 
fyldte Dele. 


Et tredje Stykke Tracheesystem — a, Lult- 
fyldt Del. 
Larven, indesluttet i Ægget — aa, De se- 


rumfyldte Luftsekke. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd, 


III. 4. 


Fig. ? 


Fig. 5 


Fig. 


59. 


60. 


61. 


64. 


65. 
66. 


66". 


67. 


79 
413 

En serumfyldt Luftsæk, med omgivende 

Cellelag. 

En Larve, lige kommen ud af Ægget — a 


Forreste Par Luftsække, serumfyldte. b 
Bageste Par Luftsække, serumfyldte. 
To Luftsække, lufifyldte 
Luftdraaberne. 

Puppen, fra Siden a, Nakkerorene. b, 
Pigmenteellerne fra det udtrukne 
Par Luftsække. c, Halebladene. 
Spidsen af et Nakkeror — a, Spalten. 
Spidsen af Bagkroppen, med Halebladene. 


serum- og 


aa, 


bageste 


Corethra pallida: 57—58. 

Larvens Hoved, fra Siden [paa Tavlen har 
ved en Misforstaaelse Figuren faaet en for- 
drejet Stilling] 
b, Udkrænget Fortarm. 

Spidsen af Bagkroppen, fra Siden — aaaa, Anal- 
papillerne. bb, Analborsterne. 
viften. 


«Knivsbladene» 


ad, 


e, Svomme- 


Mochlonyr culiciformis: 59—71. 
Larven, voxen, fra Siden — a, En af Anten- 
tennerne. b, Anden Metamers Overside 
(«Overleben»). €, En af det forreste Par 
Luftsække. d, En af det bageste Par Luft- 
sække. e, Aanderoret. f, Svommevilten. 
Larven, voxen, fra oven — a, Aanderoret. 
b, Svommeviften. cc, Forreste Luftsiekke. 
dd, Bageste Luftsække. ce, Antennerne. 
f, Tredje Metamers Rygskinne. 
Larvens Hoved, fra neden — aa, Antennerne. 
bb, Kindbakkerne. ce, Kjæberne. dd, Anden 
Metamers Kamme. ee, Øjnene. f, Anden 
Metamers Overside («Overl®ben »|. 
Underlæben, med dens tre Rækker al Hud- 
blade, fra neden, 
Højre Kjæbe, fra neden Kjæbepalpen. 
b, Kjæbefligen. ce, Den yderste Del af den 
ene af Metamerens Kamme. 
Et lille Stykke af den ene af Melamerens 
Kamme. 
Hojre Kindbakke, fra oven. 
Enden af Bagkroppen 
Svommeviften. c, To af de fire Analborster. 
dddd, Analpapillerne. 
Et Par af Svommeviltens kløvede 
To Par af Analkrogene — a, Et Par af den 
bageste Række. b, Et Par af den forreste 
Række. 


— a, 


a, Aanderoret. b, 


sorster. 


60 


Fig. 


Fig. 


68. 


69. 


70. 


71. 


73. 


76. 


77. 


78. 


Et Stykke af Tracheesystemet; det gamle 
System i Færd med at svinde bort — a, Det 
gamle Tracheerør. b, Det nye Tracheerør. 
cc, Tunica propria. d, En Skillevæg. 

Et Stykke af Tracheesystemet; det gamle 
System næsten svundet bort a, Det 
gamle Ror, kun luftfyldt i de mørkere Par- 
tier (a‘a‘a‘a’). b, Det nye Ror. cc, Tunica 


propria. 
En af de forreste Luftsække; en ny Luftsæk 
i Færd med at dannes — a, Den gamle, 


næsten helt luftfyldte Luftsæk. bb, Enderne 
af den nye, omsluttende Luftsæk. c, Serum- 
fyldt Rum mellem Væggene af den gamle 
og den nye Luftsæk. dd’, Cellelaget, som 
omgiver og danner den ny Luftsæk. 

En af de bageste Luftsække — Bogstaverne 
have samme Betydning som ved den fore- 
gaaende Figur. 


Tavie III, Fig. 72—100. 

Mochlonyx culiciformis: 12—75. 
Et Stykke af Tracheesystemet — aa, Skille- 
vegge inde i Længdestammerne. b, En 
Sidestreng. 
Et Stykke af Tracheesystemet; et nyt System 
dannes aa‘aa’, De gamle Tracheeror. 
bb'bb', De nye Tracheerer. ec‘ec!, Tunica 
propria. dd’, Skillevegge i Længdestam- 
merne. ee, Sidestrenge. 
Puppen, fra Siden — aa, Nakkerorene. 
Enden af Bagkroppen med Halebladene, fra 
oven. 


Chironomus venustus: 76—85. 
Larven, voxen, fra Siden — a, Det forreste 
Par Sugefodder. bbbb, Polseformige Ud- 
krængninger. c, Det bageste Par Sugefodder. 
d. Analpapillerne. e, Analborsterne. 
Hovedet, fra oven — a, Tredje Metamers 


Rygskinne. bb, Øjnene. cc, Biejnene. dd, 
Antennerne. ec, Forreste Par Sugefodders 
Takkekrands. 


En Antenne — a, Grundleddets Sandse(?)organ. | 


b, Svobens fire Led. ce, Grundleddets blad- 
formede Borste. 

Hovedets Forende, fra neden a, Under- 
leben. b, Kjaberne med Palpe. ce, Kind- 
bakkerne. dd, Anden Metamers midterste 
Borster. ee, 
Borsterækker. 


Samme Melamers yderste 


Fig. 


86. 


Fig. 


90. 


gl, 


9 


Fig. 


93. 


94. 


106 


Venstre Kjæbe, fra neden — a, Fligens kegle- 
formige Proces. b, Palpen. 
Hojre Kindbakke, fra oven. 
Hojre Kindbakke, fra neden 
randens Borsterække. 
Enden af en af de bageste Sugefodder 
a, Musculus retractor 

Puppen, fra Siden — aa, Nakkerorene. 
Enden al Bagkroppen med Halebladene, fra 
oven. 


a, Inder- 


Chironomus plumosus: 86—89. 

Larven, voxen, fra Siden — a, Spidsen af 
det forreste Par Sugefodder. bbbb, Polse- 
formige Udkrængninger. ce, Det bageste 
Par Sugefodder. dddd, Analpapillerne. 
e, Analborsterne. i 
Venstre Side af Trachecsystemet i 
Kropring — a, Sidestrengen. 
Puppen, fra Siden — aa, Nakkerorenes Buske. 
Nakkerorenes Grunddel. 


første 


Chironomus motilator: 90--91. 
Larven, voxen, fra Siden — a, Det forreste 
Par Sugefodder. b, Det bageste Par Suge- 
fodder. c, Analpapillerne. d, Analborsterne. 
Puppen, fra Siden — a, Venstre Nakkeror. 


Tanypus varius: 92—99. 
Larven, voxen, fra Siden — a, Det forreste 
Par Sugefodder. bb, Det bageste Par Suge- 
fodder. cc, Analpapillerne d, Analborsterne. 
Larven, voxen, fra oven — aa, Spyttekjert- 
lerne. bb, Det bageste Par Sugefodder. 
ce, Analpapillerne. dd, Analborsterne. 
Hovedets Forende, fra neden — a, Under- 
leben. b, Spindevorte. €, Svælgpladen. 
d, Kjæbe. e, Kjæbepalpe. f, Kindbakke. 
g, Antenne. 
Hojre Kindbakke, fra oven. 
Den ene af Analborsternes Papiller. 
Puppen, fra Siden — aa, Nakkerorene. 
Det ene af Puppens Nakkeror — a, Mellem- 
reret. b, Kroppens Tracheer. 
Puppens Bagkrop, fra oven. 


Tanypus monilis: 100. 
Larven, voxen, fra oven paaskraa — aa, Det 
forreste Par Sugefodder. bb, Det bageste 
Par Sugefodder.  cccc, Analpapillerne 
dd, Analborsterne. 


107 


Fig. 101. 
101”. 


. 102. 


. 103. 


105. 


106. 


— 107. 


108. 


Fig. 115. 


Tavle IV. Fig. 101—137. 


Tanypus monilis: 101. 


Puppen, fra oven aa, Nakkerorene. 
Enden al et al Nakkerorene. 


Tanypus plumipes: 102. 
Et af Puppens Nakkeror. 


Dixa amphibia: 103—113. 
Larven, voxen, fra oven — aa, Spiraklerne. 
bb, «Spirakelbladene». ce, «Analbladene». 
d, «Analgriflen». eeee, Analpapillerne. 
Larven, voxen, fra neden — aa, De to Par 
Sugefodder. bbb, De tre Par Borste(Torne)- 
rækker. ce, sAnalbladene». d, «Analgriflen». 
Hoyedet, fra oven — a, Tredje Metamers 
Rygskinne. b, Anden Metamers Rygskinne. 
c, Hvirvelorgan. d, Antenne. e, Kjæbernes 
Flig. Sf, Kjæbepalpe. 
Hovedet, fra neden — a, Underlæben. b, 
Kjæbernes Flig. ce, Kjæbepalpe. d, Hvir- 
velorgan. e, Antenne. 
Hovedet, fra oven, dets Overdel borttaget — 
a, Kindbakke. b, Kjæbepalpe. e, Kjæbernes 
Flig. d, «Svelgpladens» Forende. 
Hojre Kjæbe, fra oven — a, Inderfligen. 
b, Kjæbernes Flig eller Yderfligen. c, Kjæbe- 
palpen. 
Hojre Kindbakke, fra neden. 
Det ene af Spiraklerne. 
Puppen, fra Siden — aa, Nakkerorene. 
Det ene af Nakkerorene. 
Enden af Puppens Bagkrop. 


Dixa nebulosa: 114. 

Enden af Larvens Bagkrop, fra oven — 
aa, Spiraklerne. bb, »Spirakelbladene». 
ce, «Analbladene». d, «Analgriflen-. 
ecee, Analpapillerne. 

Simulium ornatum: 115—127. 

fra 
CC, 


oven — aa, Ojnene. 
Antennerne. dd, Hvir- 


Fastheftningsapparatet. 


Larven, voxen, 
bb, Biojnene. 
velorganerne. ep 
f, Analpapillerne. 


| Fig. 


. 116. 


117. 


115. 


128. 
129. 


150. 


475 


Larven, voxen, Antennerne og 
. Munddelene 
b, Kort, konisk l’remspringning. € 
hæftningsapparatet. 


Hovedet, 


fra Siden, 
Sugeloden. 
, Fast- 
d, Analpapillerne, 


bortlagne — a, 


fra oven — a, Tredje Metamers 


Rygskinne. b, Anden Metamers Rygskinne. 
e,.dje. d, Bieje. e, Antenne. f, Hvir- 
velorgan. 

Hovedet, fra neden — a, Underlæben. b, 


Spindevorte. ce, Kjæbernes Inderflig, d, 
Kjæbernes Yderflig. e, Kjæbepalpe. f, Kind- 
bakke. g, Hvirvelorgan. h, Antenne. 
Underlæben. 

Højre Kindbakke, fra oven. 

Hojre Kindbakke, fra neden. 

Et Stykke af Tracheesystemet — a, Side- 
strengen. 

Puppen, fra Siden — a, Nakkerorenes Busk. 
bb, Ryggens Kroge. ec, Traade al Goconens 
indre, lose Vay. 
Nakkerorenes Grunddel 
b, Kroppens Tracheer. 
Enden af en af Nakkerorenes Grene. 
En af Krogene fra Puppens Ryg. 

En af Krogene fra Puppens Bug. 


Mellemreret. 


— à, 


2 


Ceratopogon circumdatum: 128—137. 
Larven, voxen, fra oven — a, Analborsterne. 
Larvens Forende, fra oven, Puppen tildels 
skinnende igjennem — a, Tredje Metamers 
Rygskinne. bb, Øjnene. 
dd, Puppens Øjne. 
Hovedets Forende, 
nerne. 
Munddelene, fra neden — 
bb, Kjæberne. 
Venstre Kindbakke, 
musklens Sene. 
Enden af Larvens Bagkrop, fra Siden, med 


cc, Biojnene. 
fra oven — aa, Anten- 
a, Underlæben. 


fra oven — a, Boje- 


Pres — aa, Analbersterne. bb, Analpapil- 
lerne. 

Et Stykke af Tracheesystemet — aa, Side- 
strengene. 

Et andet Stykke af Tracheesystemet. 
Puppen, fra oven — aa, Nakkerorene. 

Et af Nakkerorene — a, Tracheens Eude- 


opsvulmning. 


60° 


476 108 


Sur les larves eucéphales des Diptères, Leurs mœurs et leurs métamorphoses. 


Par 


M. Fr. Meinert. 


bes larves de Diptères qui font l'objet de ce mémoire appartiennent toutes aux 
larves diles eucéphales, c’est-à-dire à des larves chez lesquelles, en conformité avee les 
autres ordres d'insectes et leurs larves, est développée une véritable téte se composant 
dune lame céphalique et d'un certain nombre de métamères avec des «exposants». Des 
9 genres que j'ai étudiés, 4, les genres Culex, Anopheles, Corethra et Mochlonyx, 
appartiennent à la famille Culicidæ Schin.; 3, les genres Chironomus, Tanypus el 
Geratopogon, à la famille Chironomidæ; le 8° genre, Simulium, constilue la famille 
Simulidæ Schin., et quant au 9° genre, Dixa, sa place dans le système est encore 
incertaine. 

Toutes les larves que j'ai examinées sont aquatiques, sauf en ce qui concerne le 
genre Ceratopogon, dont un petit nombre d'espèces seulement vivent dans l’eau. Il n’y 
a cependant aucune connexion nécessaire entre le grand développement de la têle chez les 
larves eucéphales et le milieu où elles vivent, car non seulement beaucoup d’entre elles, 
comme la plupart des espèces du genre Ceratopogon et tous les innombrables Mycé- 
tophiles, vivent à terre (sous de l'écorce, dans des champignons, etc.), mais aussi un 
grand nombre de familles de Diptères à larves acéphales ou semi-céphales, sinon tout 
entières comme chez les Stratiomydæ, du moins pour ce qui regarde plusieurs de leurs 
genres et de leurs espèces, sont aquatiques. 

Il y a, chez les larves dont il s’agit, surtout 4 points qui ont été l’objet de mon 
examen: la structure de la tête et des organes buccaux, la biologie des larves, leurs mé- 
tamorphoses et eufin leur appareil respiratoire. 

Relativement à la structure de la tête et des organes buccaux, ce qui m'intéressait 
principalement c'était de pouvoir montrer dans ces organes les mêmes éléments, le même 
plan et le même ordre dont j'avais déjà constaté l'existence chez les autres insectes, y 
compris les Myriapodes. — L’étude de la biologie des larves et de leurs métamorphoses 
devait surtout servir à étendre et, si possible, à faire revivre ce côlé si négligé de l'ento- 
mologie depuis Réaumur et de Geer. — Enfin, en ce qui concerne la structure interne, 


7 


j'avais particulièrement en vue l'appareil respiratoire, à l'histoire duquel j'avais déjà fourni 


109 477 


des contributions pour d'autres insectes, par exemple les Podures!), les Chilopodes?) et 
les larves des Scarabdes®). En somme, il me semblait et il me semble encore qu'on n'a 
pas, lant s’en faut, compris ni expliqué d'une manière salisfaisante la structure de ces 
organes et surtout leur action physiologique, et que, à cel égard, on ne saurait se contenter 
du mode d'explication qui, pour le moment, est regardé comme suffisant pour les animaux 
supérieurs. Pour résoudre la question de la physiologie de la respiration, il faut certaine- 
ment de nos jours avoir en chimie, en physiologie et notamment en microchimie des con- 
naissances bien plus étendues que je n’en possède, et il semblerait peut-être que j'eusse 
mieux fait de laisser de côté la question de l’activité de ces organes, comme ni mes mo- 
destes essais ni mon recours à nos physiologistes ne m'avaient donné des résultats salis- 
faisants; mais, d'un autre côté, les organes dont il s’agit devaient d’abord être soumis à 
une étude microscopique, et il n’était pas à supposer que, pour une pareille étude de 
larves vivantes, poursuivie obstinément pendant plusieurs années, on püt compter sur les 
physiologistes, qui d’ailleurs, pour ce qui regarde les faunes et les classifications, n'ont 
pas en général les connaissances préalables qu'elle exige. 

J'aurais aussi beaucoup désiré de suivre l'évolution des trachées à l'aide des puis- 
sants moyens optiques, chimiques et mécaniques dont on dispose aujourd'hui pour l'étude 
de l'embryon et de son développement, mais bien que cela ne m’ait pas élé possible, en 
partie faute de matériaux suffisants et convenables, l'examen assidu que j'ai fait des larves 
dans leurs différentes phases m'a cependant permis d'en voir assez pour que je n'hésite 
pas à exposer une nouvelle théorie du développement des trachées chez les insectes (voir 
mes thèses à la fin du présent mémoire). 


De même que, dans le texte danois, jai donné un exposé de mes observations sur 
chacun des 9 genres de larves mentionnés plus haut, en l’accompagnant d'une liste des 
travaux de mes prédécesseurs, de même, dans le présent résumé, j’exposerai aussi briève- 
ment les résullats de mes recherches biologiques, mais en me bornant pour la lillérature 
aux indications strictement nécessaires. Ce résumé se termine par une traduction com- 
plète de mes thèses, où sont exposés les résultats de mes recherches sur l'anatomie et la 
physiologie de ces larves, et est suivi de celle de l'explication des planches. 


Culex. Le description du Cousin, de ses mœurs et de ses métamorphoses est une 
de celles qu'on rencontre le plus anciennement et le plus souvent dans la zoologie, et j'ai 
aussi pu citer 25 travaux originaux sur cet insecle, depuis Rob. Hooke (1663) jusqu'à Frie- 
denfels (1879); de ces travaux, ceux de Réaumur et de Kleemann sont sans comparaison 
les plus importants. En face dun si grand nombre d’observateurs, je n'ai pu, relativement 
à la biologie, rien mentionner d’essentiellement nouveau. 


Campodea, en Familie af Thysanurernes Orden. Naturhist. Tidsskr. 3 Série. 3 Vol. 

2) De formeentlige Aandedrætsredskaber og deres Mundinger (Stomata) hos Slægten Seuligera. Vid. Medd. 
Naturh. Foren. 1882. 

Spirakelpladen hos Scarabæ-Larverne. Vid. Medd. Naturh. Foren. 1881, — Noget mere om Spiracula 
eribraria og Os clausum, en Replik. Vid. Medd. Naturh. Foren. 1883. 


& 


478 110 


Anopheles. Dans les «Observations d'histoire naturelle» de Joblot, on trouve une 
description de cette larve «Description d’un nouveau poisson» qui esl assez insignifiante, 
et un dessin (PI. 14, Fig. B) qui n’est pourtant pas mal réussi. La larve désignée par 
Brauer, I. c., comme Anopheles est une larve de Dixa, et les larves rapportées par Fischer 
de Waldheim au «Culex claviger» sont des larves et des nymphes du genre Gorethra, 
tandis que sa nymphe est un Tanypus et sa mouche un Anopheles. Du reste Gercke a 
brièvement mentionné cette larve dans «Zur Metam. d. Dipt. Gatt. Dixa» p. 166. 

La larve d’Anopheles habite les eaux.dormantes ou à faible courant avec une 
riche végétation, tant dans les régions boisées que dans les landes; cependant elle n'aime 
pas l’ombre des grands bois, mais recherche le soleil et la lumière, ce qu'indique déjà sa 
fraiche couleur vert d'herbe. Elle n’hiverne pas; mais, dans les années où la température 
est douce, on rencontre déjà des larves demi-adultes à partir de la mi-mars. En juillet 
ou un peu plus tard dans le courant de l’été, on trouve une seconde génération de larves 
adultes et enfin, en 1852, année dont le printemps avait été très précoce, j'ai, à la fin 
d'octobre, trouvé de petites larves qui certainement appartenaient à une troisième généra- 
tion; mais il n’est pas à supposer que ces larves aient pu atteindre l’âge adulte, car leur 
existence élant liée ou à peu près liée à la surface de l'eau, la première gelée a dit 
les tuer. 

Les larves se tiennent donc à la surface de l’eau, où elles flottent avec l'extrémité 
de l'abdomen tournée vers le bord de l’eau ou vers les plantes qui en couvrent la surface. 
La larve est tout étendue dans l’eau, en touchant le bord ou les plantes de l'extrémité de 
l'abdomen, et avec les lames des stigmates à la surface; la plus grande partie de l'abdomen 
el la partie postérieure du thorax sont immergées, et de cette partie du corps il ny a 
qu'une petite étendue du prothorax qui émerge, mais pas assez cependant pour n'être pas 
mouillée; enfin la tête est sous l’eau. Les longues soies dont le corps de l'animal est 
pourvu sur les côlés, notamment sur le métathorax et les trois premiers segments de l’ab- 
domen, sont à la larve d’un grand secours pour se maintenir dans une position fixe. Elle 
reste souvent longtemps de suite immobile et se déplace seulement un peu de temps à autre 
en serpentant. En somme, ses mouvements dénotent une certaine apathie ou une certaine 
indolence, mais en même temps beaucoup de prudence et d’apprehension; aussi, tandis 
qu'en la laissant en repos, on la voit rester toute tranquille ou glisser tout doucement a 
reculons du milieu de la surface de l’eau jusqu'aux parois du verre qui la retient prison- 
nière, elle s’agite très vivement dès qu'on la dérange et se précipite au fond de l’eau. 
Après s'être remise de sa frayeur, elle remonte obliquement à la surface, la pointe de la 
queue en avant, en formant de larges et rapides replis; mais si elle n'a pas pris assez 
d’élan pour s'élever au-dessus de la surface, comme son poids spécifique est plus fort que 
celui de l’eau, elle retombe au fond, où elle peut rester longtemps immobile couchée sur 
le ventre ou sur le dos. 

De même que les larves des Culex, celles des Anopheles vivent des particules 
organiques microscopiques qui nagent dans l’eau et qu'elles font arriver à leur bouche 
par les mouvements des organes rolatoires. Ces organes sont beaucoup plus développés 
que chez les larves des Culex, et tandis que celles-ci se servent plutôt de leurs organes 
comme dune brosse ou d’un balai pour brosser ou balayer leur nourriture, les larves des 


| 
| 
| 


111 479 


Anopheles, comme celles des Simulium, tiennent la tête tendue en avant et font tournoyer 
Peau. Les larves des Anopheles présentent ensuite cette particularité que, en produisant 
ces lournoiements, ce qu'elles font la plus grande partie de la journée, elles sont ordi- 
nairement couchées sur le ventre avec le dessous de la tête tourné en haut. Cette rota- 
tion de la tête s'exécute avec la plus grande rapidité, et à peine, par ex., les larves ont- 
elles remonté du fond de l’eau et flottent-elles à la surface que, par une demi-rotation de 
la tête autour de son axe longitudinal, elles en tournent le dessous en haut et commencent 
à faire tournoyer l’eau avec force. La rotation dont il s’agit a sans doute pour but que les 
courants en forme de tourbillons produits par les larves, en heurtant contre les couches 
relativement fixes de la surface, soient plus sûrement et plus complètement dirigés vers 
l'ouverture de leur bouche. Elle n'est cependant pas nécessaire, car souvent aussi on voil 
les larves travailler avec la tête dans sa position normale et les organes buccaux en bas, 
mais en général elles ne le font pas pendant longtemps, el c’est seulement après avoir 
tourné la tête en haut qu'elles semblent travailler con amore. 

Dans la règle, les larves cherchent leur nourriture pendant qu'elles sont étendues 
ou flottent à la surface; mais, de temps à autre, on les voit descendre à 2—3 pouces sous 
l’eau et se fixer par la pointe de la queue aux parois du verre. Elles peuvent rester plu- 
sieurs minutes dans cetle position la tête en bas, après quoi elles remontent à la surface 
ou plongent d'abord jusqu'au fond du verre. 


Corethra. Réaumur a déjà, |. c., représenté et décrit les métamorphoses de ce 
Diplère, mais ses figures et sa description sont bien au-dessous de celles qu'on trouve 
ordinairement chez cel auteur, circonstance qui a Ele cause que cette forme si remar- 
quable a si souvent élé méconnue ou négligée par les. anciens naluralistes; nous nous 
bornerons ici à mentionner Gétze, Slabber, Lichtenstein, Fischer de Waldheim et Stäger. 
Aujourd'hui la larve de la Corethra plumicornis appartient aux animaux les mieux 
connus, et elle a fréquemment été l’objet de recherches, auxquelles invite d'ailleurs si 
fortement sa transparence. Parmi ces travaux, ceux de Weismann sont sans comparaison 
les plus considérables. 

La Corethra plumicornis appartient aux formes les plus répandues de Cousins ou 
de Tipules, et O. F. Müller avait déjà constaté qu'elle est commune en Danemark. Elle 
hiverne comme larve demi-adulte ou adulte, et la mouche apparaît principalement depuis 
la fin d'avril jusqu'au commencement de juin; mais déjà avant la fin de mars, apres des 
hivers doux, on obtient en captivité des mouches provenant de nymphes qui, à l'état de 
larves, ont été la même année recueillies en plein air avant la venue du printemps. L'ap- 
parition des mouches dure depuis cette dernière époque jusque bien avant dans l'automne, 
en captivité même jusque vers la fin de novembre, et dans ces conditions quelques-unes 
hivernent comme nymphes. A la fin de septembre et au commencement d'octobre, les 
mouches semblent se montrer en grand nombre, et peut-être peut-on compter par an 
deux générations: la premiere, la principale, depuis la fin d’avril jusqu'au commencement 
de juin, et la seconde, moins nombreuse, quatre mois plus tard, sans pourtant qu'il y ail 
entre elles une limite bien marquée. 

Peu après sa dernière métamorphose, la femelle pond ses œufs réunis en masses 


480 112 


gélatineuses rondes et plates qui flottent à la surface. Le nombre des œufs dans chacune 
d'elles peut être évalué à 100—150; ils sont ordinairement disposés en spirale, en une 
seule couche (conf. Slabber, I. c. p. 7), et le diamètre des masses gélatineuses est de 
2,8— mm, Cette différence dans le diamètre des deux que j'ai mesurées, provient peut- 
elre, en tout cas en partie, de ce que l’une d'elles est restée dans l’eau plus longtemps 
que l’autre. 

Les œufs sont en général pondus dans une eau dormante, profonde, pas trop en- 
vahie par la végétation, mais riche cependant en plantes et en infusoires et d'une étendue 
pas trop petite. Il n'y a d’ailleurs rien d’absolu quant à la nature du fond et ce 
Diptère se rencontre aussi partout en Danemark, tant dans les bois qu'en dehors de ces 
derniers. Il préfère cependant des marnières ou de petits lacs à rives en partie escarpées, 
où les larves peuvent se tenir par bandes dans une eau claire assez profonde; mais, d'un 
autre côté, j'en ai également trouvé au milieu dun bois dans un fossé sombre presque 
entièrement couvert de feuilles de hêtre, comme aussi dans une profonde mais très petite 
fondrière sans trace de végétation. Les larves peuvent aussi rester dans des verres ou des 
réservoirs ne renfermant qu'une petile quantité d'eau, même si l’eau est très croupissante. 

Au bout de peu de temps, la larve sort de l'œuf dans un état de développement 
assez peu avancé, Fig. 52, avec les 2 paires de sacs à air qui plus tard sont 
si saillantes encore remplies de sérum. La partie antérieure du canal intestinal 
est représentée retournée et sortant de la bouche, et l'extrémité en est fermée de sorte 
que sa jonction avec la partie moyenne de l'intestin n’a pas encore eu lieu. 

Les larves sont des carnassiers voraces qui se nourrissent principalement de petits 
crustacés appartenant aux ordres des Daphnides et des Cyprides. 

Elles se tiennent horizontalement à une profondeur plus ou moins grande dans 
l’eau, et souvent restent longtemps immobiles en donnant seulement de temps à autre un 
petit coup avec leur éventail nataloire; elles ne font de plus grands mouvements ou comme 
des sauts que lorsqu'elles sont effrayées ou veulent se précipiter sur leur proie. Mais 
souvent aussi elles montent ou descendent tout doucement sans mouvement apparent en se 
tenant dans une position horizontale. Il est rare qu’elles la quittent pour se placer oblique- 
ment dans une direction plus ou moins verticale; cette position, elles la prennent surtoul 
pour s'élever à la surface. 

A l'approche de la métamorphose en nymphe, on voit les trompettes de la nymphe 
dans une position oblique, avec la pointe tournée en bas et en avant, briller à travers la 
peau de la larve; elles se présentent finalement comme deux corps presque noirs. La 
métamorphose elle-même se passe dans l’eau et s'effectue très rapidement. Le moment 
venu, la larve devient très inquiète et agite fréquemment la queue et l'éventail nataloire; tout 
d'abord, la pointe de la queue de la nymphe se dégage de celle de la larve et sa tête de la 
tele de la larve d’avant en arrière, sans que la peau de la larve se fende en ce point, celle-ci 
ne se fendant que depuis la partie supérieure du premier segment du corps, et l'extrémité 
des trompettes apparaît alors. La rupture une fois produite, la larve quitte sa position 
horizontale pour en prendre une verticale, et sa peau tout entière se détache ou est peut- 
être rejetée et tombe au fond de l'eau. Les trachées el les sacs à air de la larve 
avec lair qu'ils contiennent se détachent également, de sorte que la nymphe est d'abord 


113 - 481 


vide d’air. L’air expulsé ne s'échappe pas, mais sauf la petite quantité qui reste dans les 
sacs à air et les trachées, se rassemble en une grosse bulle qu'entourént le dessous du 
thorax et les étuis des ailes, et fonctionne comme un flolteur qui supporte la nymphe et 
lui permet de rester suspendue dans l'eau. 

Les trompettes de la nymphe, Fig. 54, a, Fig. 55, a, sont appelées par Weismann 
sligmates branchiaux (Stigmenkiemen); elles présentent à leur extrémité des fentes ouvertes, 
comme Weismann l'indique justement, tandis que Palmen nie l'existence de ces fentes. 

La nymphe se tient verticalement dans l'eau et reste souvent longtemps immobile 
à la même place, mais peut d’ailleurs s'élever et s’enfoncer très lentement sans mouve- 
ments apparents. Souvent aussi, surtout, à ce qu'il semble, dans une phase ultérieure de 
son élat de nymphe, on la voit frapper à coups rapides l’eau avec la tete, de même que ce 
n’est sans doute qu'à l'approche de sa métamorphose en mouche qu'elle vient plus fré- 
quemment à la surface et élève au-dessus de l’eau l'extrémité des trompettes, mais il est 
rare qu'elle conserve tongtemps cette position. Beaucoup plus rare encore est-il de voir 
la nymphe monter assez haut. pour que la partie supérieure ou antérieure du prothorax 
effleure la surface; en pareil cas, les trompettes sont étendues en avant parallèlement à la 
surface sans la percer même avec leur extrémité. La nymphe semble alors avoir de la 
difficulté à descendre, et après qu'à l’aide de quelques coups vigoureux des lames caudales, 
elle s’est enfoncée à une certaine profondeur, on la voit de nouveau monter rapidement, 
de sorte que ce mouvement semble plutôt être provoqué par un trop grand développement 
d'air dans la nymphe et par la légèreté spécifique qui en est la conséquence que par le 
besoin de respirer. Mais ses mouvements tant dans un sens que dans l'autre sont en 
général (res lents, et celte nymphe wa rien de la vivacité et de l’impetuosite avec les- 
quelles d’autres nymphes de Cousins, par ex. celles des Culex et des Tanypus, se meuvent 
dans l’eau. 

Lorsque la nymphe perd ses deux trompettes, elle devient inquiète et cherche 
toujours à monter à la surface, mais elle ne peut s'y maintenir et tombe rapidement, à 
moins qu'elle ne rencontre pour la porter quelque objet flottant dans l'eau. Si la nymphe 
n'a perdu qu'une seule de ses Irompelles, elle peut se tenir suspendue dans l’eau, mais 
monte cependant volontiers et reste alors longtemps avec l'extrémité ouverte de la trom- 
pette au-dessus de la surface. Je n'ai pas réussi à élever des nymphes privées des deux 
trompeltes, mais la perte d’une seule n’entraine ni la mort ni un arrêt dans le déve- 
loppement. 

L'état de nymphe, du moins en captivité, ne dure que quelques jours, et au mo- 
ment de la métamorphose en mouche, la nymphe, comme d'habitude, devient inquiète et 
agile vivement la tête; elle se livre ensuite dans l’eau aux mouvements les plus désordonnés 
et la couche d'air interposée entre sa peau et celle de la mouche la fait paraitre tout 
argentée; puis elle monte à la surface, s'étend le dos à plat au-dessous de celle-ci et re- 
courbe le thorax en arrière vers l'abdomen, en sorte que la face supérieure du thorax 
s'élève un peu au-dessus de la surface. La peau de la nymphe se fend alors le long de 
la ligne médiane du dos, la mouche sort, reste un moment libre à la surface, rejelte pen- 
dant quelques secondes 7—10 vésicules laiteuses — vésicules de Meconium — et s'envole. 
Toute la métamorphose ne prend que '/2—3 minutes. 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og mathem. Afd. III. 4. 61 


482 114 


Trachées. Les trachées, chez la larve des Corethra, sont complètement fermées 
sans traces de stigmates ni d'autre ouverture les mellant en communication avec l'air, soil 
dans l’eau soit hors de l’eau. 

Déjà assez longtemps avant que la larve sorte de l’œuf, on observe dans son inté- 
rieur deux paires de grands sacs ronds remplis de sérum (Fig. 50, aa), qui extérieurement 
sont entourés d’une couche d'épaisses cellules (Fig. 51). Après que les larves sont sorties 
de l'œuf, ces sacs restent également pendant quelque temps pleins de sérum, mais tout 
à coup ils se remplissent d’air, qui d'ordinaire en un instant prend la place du sérum. 

Je n’ai pas vu les sacs dont il s’agit se remplir d'air, mais cela doit se faire avec 
une extrême rapidité; car, pendant que j’examinais tour à tour plusieurs larves nouvellement 
écloses et placées sur la même lame de verre, quelques-unes d’entre elles se sont remplies 
d'air dans le court intervalle où elles étaient restées hors du champ de l'observation. En 
général, les deux paires de sacs se remplissent en même temps, mais il arrive aussi 
quelquefois qu'une seule paire se remplit d’air tandis que l’autre reste. quelque temps pleine 
de sérum; il est encore plus rare que les sacs ne se remplissent pas en une fois, mais 
Pair peut laisser un disque étroit de liquide sur l’un des côtés ou se placer sous forme 
dune grosse bulle sur la paroi intérieure du sac (Fig. 53). 

Au commencement de la vie de la larve, on ne trouve en dehors des sacs ou 
réservoirs à air aucune trace d'un système de trachées. Ce système n'apparait que suc- 
cessivement en se développant par morceaux, comme je l'ai observé chez d’autres larves 
du genre Chironomus; car, pour chaque segment du corps environ, il se forme 
dans le tissu conjonctif un tronc longitudinal mince et très court, qui envoie 
à travers ce lissu de longues cordes très fines. De même que chaque partie du système 
des trachées naît et se développe à part, de même il se remplit aussi d’air morceau par 
morceau, l'air commençant par pénétrer dans les troncs longitudinaux courts et se répan- 
dant de là dans les ramifications latérales. Les troncs des stigmates ou les cordes laté- 
rales (funiculi Palmén) ne se remplissent jamais d'air, et semblent aussi devoir leur déve- 
loppement non au tissu conjonctif, mais plutôt à l’ectoderme. Apres les sacs à air, c’est 
le système des trachées de la tête avec ses longs troncs et son petit nombre de ramifications 
latérales qu'on voit d’abord rempli d’air, puis viennent les trachées les plus voisines des 
sacs à air. Il importe beaucoup d'observer que ces systèmes ou ces parties de 
trachées se remplissent chacun séparément et tous dans une direction 
centrifuge, ou de leur extrémité proximale à leur extrémité distale. Je con- 
sidère les sacs à air comme les troncs longitudinaux du deuxième et du dixième segment 
du corps, lesquels ont donc pris ici un énorme développement; ils communiquent aussi 
librement avec le reste du système des trachées, bien que cette communication ne se fasse 
que par un petit renflement à l'extrémité de leurs trachées (Fig. 41, b et 45, a). 


Mochlonyx. De Geer, dans ses Mém. p. serv. à Vhist. d. ins., VI, a donné une 
description des métamorphoses de ce Diptère, en l’accompagnant de figures qui ne sont 
pas trop salisfaisantes, comme notamment le dessin de la larve vue de côté semble avoir 


= 


été fait d'après des individus morts. C’est seulement en 1582 que j'ai réussi à retrouver 


115 183 


00) 


celle larve et à lelever, et je lui ai assigné sa place systémalique dans un petit mémoire 
publié l'année suivante dans le bulletin de notre Académie. 

La larve vit dans les eaux des bois, notamment dans les fossés dont l’eau, tout en 
n'ayant qu'un faible courant, est cependant assez pure, ou aussi dans des terrains bas 
inondés couverts de feuilles mortes de hétre et traversés par un fossé; mais je lai aussi 
trouvée dans des mares tapissées d’iris. On la rencontre souvent en bandes plus ou moins 
nombreuses avec des larves du genre Culex. 

De même que la larve de Corethra, celle de Mochlonyx se tient horizontalement 
à une assez grande profondeur dans l’eau, et bien qu'elle le fasse un peu plus souvent 
que la première de ces larves, monte rarement assez haut pour amener à la surface lex- 
trémilé du tube respiratoire. Elle est en outre plus tranquille et garde mieux la position 
horizontale. Elle vit également de proie, et souvent aussi on trouve des Cypris et des 
Daphnia dans la parlie postérieure de l'intestin oral. Enfin il semble qu'elle attaque les larves 
et les nymphes de sa propre espèce bien plus fréquemment que la larve des Corethra, el 
une fois qu'un pareil «cannibalisme» a commencé dans un verre, rien ne semble pouvoir 
l'arrêter et cela finit ordinairement par la destruction des assaillants. 

Relativement aux allures de la nymphe, on peut observer qu'après sa métamorphose, 
elle se tient quelque temps avec l'extrémité des trompettes à la surface de l’eau, sans 
cependant qu'il soit à supposer qu'elle le fasse pour introduire de lair dans les trachées 
par les fentes des trompettes, ni simplement pour se mettre en contact direct avec lair atmo- 
sphérique; l'extrémité des trompettes, au moins dans les premiers temps de la vie de la 
nymphe, est aussi le plus souvent pleine de sérum, Vair des sacs à air antérieurs ne l'ayant 
expulsé qu'incomplètement. La nymphe se tient d’ailleurs toujours sous l’eau à une pro- 
fondeur de Y» à 41/4 pouces, où elle peut demeurer très longtemps immobile, et, quand 
elle monte, ne reste que peu de temps avec l'extrémité des trompettes à la surface. L’ab- 
domen ne suit pas la ligne du thorax, mais est fortement recourbé en are vers le bas. 
Les mouvements de la nymphe sont à peu près les mêmes que ceux de la nymphe de 
Corethra, mais elle ne frappe pas l’eau avec la. queue. 

J'ai observé une fois la sortie de la mouche de la peau de la nymphe, et voici 
comment elle s'est effectuée. La nymphe devint d'abord inquiète et courbait de temps à 
autre les lames nalatoires en arrière et en haut. Puis, comme second signe, apparurent 
en deux points du mesonotum des taches brillantes dues à l'introduction de Pair sous la 
peau de la nymphe par suite de son dégagement en ces mêmes points. Après 11/2 minute de 
repos, nouveau dégagement, et, au bout de 3 minutes, presque tout le thorax de la mouche 
s’elait dégagé de la peau de la nymphe, tandis que l'abdomen ne commenca à s'en détacher - 
que 2 minutes plus tard, d'abord aussi en des points isolés. La nymphe était du reste 
tranquille et, seulement lorsque je l'irritais, faisait un petit mouvement en avant; elle en 
vint ainsi à plusieurs reprises à se coucher sur le côté, et je dus chaque fois la remettre 
en place. Environ 12 minutes à partir du commencement, le mesonolum de la nymphe 
se fendit en long et celui du cousin s’eleva lentement au-dessus de la fente; 1 minute 
après la racine des antennes était libre et, 2 minutes plus tard, les antennes étaient enliere- 
ment dégagées et étendues. Il s’écoula ensuite successivement {*/2 minuts et I minute 
avant que le cousin posät ses pattes de devant et ses pattes intermédiaires sur la surface 


61" 


484 | 116 


de l’eau, et I minute après l'extrémité de son abdomen était libre et étendue tout droit en 
arrière. Ses paltes de derrière reposaient encore sur la face interne de la peau de la 
nymphe, et il ramena seulement l'une d’elles à la surface après un intervalle de 9 minutes, 
tandis que l’autre resta à la même place jusqu'à ce qu'il eût pris son vol après un nouvel 
intervalle de 10 minutes. Toute la sortie, depuis la rupture du mesonotum de la nymphe 
jusqu'au départ du cousin, prit donc 26 minutes; mais auparavant il s'était écoulé 1214/2 
minutes avant que le cousin se füt dégagé de la peau de la nymphe. Avant de s'envoler, 
le cousin avait rejeté 15 vésicules de Meconium, en commencant 2 minutes après que 
l'extrémité de l’abdomen était devenue libre et en continuant jusqu'à son départ, presque 
toujours avec 1 minute d'intervalle. 

Relativement à l'appareil respiratoire, il est d'abord à observer que les troncs lon- 
giludinaux, dans l'abdomen, sont divisés par des cloisons très minces en aulant de mor- 
ceaux qu'il y a de segments dans l'abdomen (Fig. 68, d; 72, aa et 73, dd). 

De même que l’epiderme de la larve est rejetée plusieurs fois, de même disparaît 
aussi à chaque mue la «tunica intima» des troncs longitudinaux; cependant il my en a 
qu'une petite partie qui est entraînée avec l’épiderme, à savoir celle qui recouvre les lra- 
chées du tube respiratoire et qui accompagne l’epiderme de ce tube lorsqu'il est rejeté 
avec le reste de la peau. Je n'ai trouvé qu'une seule fois, dans la peau d’une larve de 
4mm la «tunica intima» des sacs à air postérieurs en communication avec les trachées du 
tube respiratoire, mais jamais celle des troncs longitudinaux proprement dits. Néanmoins, 
si la «tunica intima» de tout le système des trachées se renouvelle à chaque mue et si la 
vieille disparait, c'est que les trachées de la vieille tunique (à l'exception de celles 
du tube respiratoire) deviennent de plus en plus déliées en même temps que 
la masse ou la colonne d’air qu'elles contenaient disparaît, et lorsque tout 
Pair a disparu, on voit encore pendant quelque temps la vieille (unique reposer sous forme 
d’une corde très mince contre la face interne de la nouvelle tunique (conf. Fig. 68, 69 et 
73, où a ou a-a‘ désigne les vieilles trachées qui disparaissent, b ou b-b‘, les nouvelles 
trachées, et c ou G-c‘, la «tunica propria», qui entoure comme d'une gaîne la couche des 
cellules). Les nouvelles trachées et les sacs à air sont, dans cette phase, remplis de 
sérum et ce nest que plus tard qu'ils se remplissent d'air. Toutefois l’air contenu 
dans les vieilles trachées ne s'échappe pas par les deux trachées du tube 
respiratoire, mais il se dissout dans le sang et c’est du sang que les nou- 
veaux troncs des trachées et les sacs à air reçoivent l’air qui les remplit 
de nouveau. Le remplissage des nouvelles trachées, d’abord avec du sérum 
et puis avec de l’air, est seulement rendu possible par la circonstance 
que le sang est en état non seulement de dissoudre et de dégager de l’air, 
mais aussi de le faire à travers les trachées avec leur double tunique et la 
couche de cellules intermédiaire. 

Comme preuves à l’appui des propositions ici énoncées, j'ai, pages 62—66 du texte 
danois, exposé sur le remplissage des trachées tantôt avec de lair, tantôt avec du sérum, 
une serie d'observations que j'ai faites avec le microscope sur des animaux vivants. 


117 485 


Chironomus. Les larves des grandes espèces de ce genre ont acquis par leur cou- 
leur rouge (d’où la dénomination de Joblot: «Vers rouges») un renom populaire, el ce 
sont sans doute principalement ces larves qu'Aristote, dans son histoire des animaux, 
mentionne sous le nom de a Æyrtoec. Réaumur est de reste encore ici l'auteur auquel 
nous devons en majeure partie notre connaissance de ces animaux et les premiers bons 
dessins qui en aient été publiés (conf. p. 67). Dans les dernières années, ils ont, surtout 
à cause de la transparence de leur peau, été l’objet de nombreuses recherches sur les 
tissus animaux et leur développement. x 

La mélamorphose en nymphe a également Tieu au fond de l’eau, de sorte qu'on 
peut à peine l’observer, et la nymphe reste couchée dans les cellules ou les fentes où se 
tenait la larve. La peu d’air qui pouvait se trouver dans les trachées s'échappe du corps 
pendant la métamorphose, et après celle-ci on n’en trouve qu'une très pelile quantilé dans 
les trachées de la larve et dans sa peau rejetée, qui du reste ne l’est pas entièrement, la 
nymphe y restant engagée avec tout son abdomen. 

La nymphe reste dans sa cellule jusqu'à sa métamorphose ou, en tout cas, jusqu'à 
un moment très rapproché de celui où elle est prête à sortir à l’état d’insecte parfait de 
son enveloppe de nymphe; mais, ce moment venu, lorsqu'une couche d’air a pénétré entre 
la peau de la nymphe et l’Epiderme de linsecte parfait, elle quitte sa cellule, s’elance à 
la surface de l’eau, et dans un clin d'œil son thorax se fend le long de la ligne médiane 
du dos, et Vinsecte parfait se trouve pour ainsi dire en même temps posé sur la surface 
de l’eau. 


Tanypus. Geoffroy et de Geer ont déjà donné une descriplion de ce genre, de même 
qu'il est aussi représenté dans les dessins laissés par Lyonet, lesquels ont été publiés plus 
tard par le Dr. Haan. Fries a également écrit un petit mémoire sur ce genre «Monographia 
Tanyporum Sueciæ»r. Jai établi dans «Entomol. Tidsskr.» III, que les antennes, chez ce 
Diptère, peuvent rentrer complètement dans la tete. 

La larve du Tan. varius se trouve partout dans nos eaux, mais surtout dans les 
eaux dormantes à fond bas et revêtu d’herbes. Les larves qui naissent en automne hiver- 
nent dans l’eau et peuvent de très bonne heure, au printemps, se transformer en nymphes 
el peu de jours après en mouches. 

La larve file ou construit, en le collant avec une sécrétion visqueuse, un fourreau 
cylindrique où elle peut se retirer; mais lorsqu'on la laisse en repos, elle étend en avant 
les segments antérieurs en frappant verticalement l’eau avec le céphalothorax, sans doute 
pour faciliter la respiration. Toutefois il s’en faut qu'elle reste toujours dans son fourreau, 
ce que prouve déjà la circonstance qu'on la prend bien plus facilement avec la truble que 
les larves de Chironomus. En caplivilé, elle se tient le plus souvent sur les débris de 
végétaux qui flottent à la surface, ou rampe sur les parois ou le fond du verre. Il n'est 
pas rare non plus, quand elle rampe sur les parois du verre, de la voir s'arrêler et s’y 
fixer avec les 2 paires de fausses pattes pour imprimer à son corps un mouvement oscil- 
latoire. Elle nage très peu, bien que de Geer, |. c. p. 395, dise de cette larve: «elle nage 
comme un serpent.» 

Les nymphes sont des animaux vifs et alertes qui s’enfoncent souvent dans l'eau 


486 : 118 


lorsqu'on les inquiète. Au repos, elles tiennent à la surface les extrémités ouvertes et à 
section oblique des trompettes (Tan. varius), ou le court caval lubuliforme de ces dernières 
(Tan. monilis), ou les lames terminales des mêmes organes (Tan. plumipes). Les trouble-t-on, 
elles plongent, comme il vient d’étre dit, et vont au fond, où elles cherchent à se maintenir 
en s'appuyant, avec l'extrémité de leur abdomen recourbé, sur les petits objets qui peuvent s'y 
trouver; mais souvent tel de ces objets n'est pas assez lourd pour retenir l'animal en bas, 
et l’on voit alors la nymphe remonter vers la surface en trainant cet objet avec elle. Cepen- 
dant, quelle remonte ou non avec un pareil fardeau, il n’est pas rare qu'elle se suspende 
en route aux parois du verre à l’aide des ventouses de l'abdomen. Ces ventouses sont 
des cavilés arrondies sur les bords latéraux des scuta de l'abdomen: elles sont surtout 
distinctes chez la nymphe du Tan. varius, qui en a eu tout 4 paires réparties sur 4 seg- 
ments, depuis le troisième jusqu'au sixième. Lorsque la nymphe s’est fixée à un objet 
avec une de ces ventouses, elle lest si solidement qu'elle peut tourner tout autour de cette 
ventouse, el j'ai aussi une fois vu une grande Daphnia (Simocephalus vetulus) se servir 
dune nymphe de Tan. varius ainsi fixée comme point d’attache pour elle-même. 

La métamorphose de la nymphe en mouche prend très peu de temps. J'ai ainsi 
vu un Tan. varius n’employer que 1'/2 minute depuis la rupture de la peau du thorax de 
la nymphe jusqu'au dégagement des ailes, et à minutes après il s’envola de la surface 
de l’eau. 


Dixa. Réaumur a le premier décrit les métamorphoses de ce Diptère, et de Geer 
en a après lui donné une descriplion et une représentation, mais on ne savait pas que 
l'animal ainsi décrit el représenté fût une Dixa, ce qui a permis à Steger de décrire la 
larve de la Dixa nigra comme quelque chose de tout nouveau. Réaumur et de Geer 
ont pris pour le dos le côlé ventral où se trouvent les fausses paltes el les séries de soies, 
mais Steger a reclifié cette interpretation erronée. 

On trouve cette larve pendant la plus grande partie de l’année, depuis les premiers 
jours du printemps jusqu'à la fin de l’automne, dans les eaux dormantes ou n'ayant qu'un 
faible courant, et couvertes d'une assez riche végétation. La larve se tient par ses fausses 
paltes et ses séries de soies fixée à la partie supérieure des plantes, mais la tête et l’ex- 
trémité de l'abdomen reposent sur l’eau, en sorte qu'elle a la position recourbée qui est 
représentée Fig. 103. Les soies longues et raides qui garnissent le dessous du premier 
segment du thorax et de ceux de l'abdomen, depuis le cinquième jusqu'au neuvième, jouent 
sans doute pour la larve, dans celte position, le rôle de dérive, de même que les lames 
cornees garnies de franges, celles des sligmates et les lames anales sur le dessus du 
huitième et du neuvième segment de l'abdomen lui servent de flotteurs, la larve pouvant 
ainsi maintenir d'autant plus sûrement à la surface de l'eau sa face dorsale avec les stig- 
mates qui s'y trouvent. En outre, la grandeur et la structure des flotteurs empéchent les 
stigmates d'être submergés lorsque l’eau est un*peu agitée, et cette disposition a d'autant 
plus d'importance pour la larve de Dixa quelle est ancrée avec ses fausses pattes, et ne 
peut pas, comme la larve d’Anopheles, dont les stigmates sont aussi à la surface, être 
soulevée par les ondulations de l’eau ni éviter ainsi d'être submergée. 

La larve de Dixa reste la plupart du temps tranquille à la mème place, et n'en 


119 487 


change que rarement en faisant avec le corps quelques lents mouvements de côté. La 
dérange-t-on ou Vinquiéte-t-on, ses mouvements deviennent naturellement plus rapides et 
on la voit aussi s’enfoncer sous l’eau et s'y mouvoir de côté et d'autre. Elle se procure 
sa nourriture de la même manière que la larve d’Anopheles, en se servant de ses organes 
rolatoires pour mettre l’eau en mouvement; toutefois elle ne peut pas retourner la téte 
comme cette larve, mais tout au plus la renverser en arrière de façon que le sommet de 
la tête viennent à toucher le dessus du thorax. 

La nymphe ne se montre pas d'aussi bonne heure que la larve, mais on la trouve 
cependant pendant une grande partie de l’année, depuis le commencement de mai jusqu'en 
novembre. Elle se tient toujours sur le côté dans une position recourbée l'abdomen ramené 
sous le thorax, qu'elle flotte sur l’eau ou en soit sortie pour grimper sur les plantes qui 
y croissent. En général elle semble quitter très volontiers cet élément, et si elle vit dans 
de l’eau presque dormante, c’est qu'elle y est forcée pour ne pas être entrainée par le 
courant. 

L’état de nymphe, en captivité, dure de 4 à 5 jours. 


Simulium. Ce Diptère a dans plusieurs contrées de l’Europe une: certaine importance 
économique, car le bétail et les animaux domestiques en général sont altaques et piqués 
par la femelle, qui est très avide de sang, de sorte qu'il en fait périr beaucoup dans les pays 
où il est très abondant. C'est surtout en Hongrie et en Banat, où ils sont connus sous le 
nom de Columbatzermücke, que ces moustiques sont redoutés. La larve vit dans les eaux 
courantes, soit dans de petits ruisseaux, où elle se tient sur la face inférieure de petites 
pierres, soit dans des cours d'eau plus profonds, où elle s'attache avec l'appareil de fixation 
de l’abdomen aux feuilles des plantes aquatiques perpendiculairement ou obliquement à ces 
feuilles. A l’aide de ses organes rotatoires fortement développés, la larve fait tournoyer 
Peau environnante pour s'emparer des substances organiques qui peuvent s'y trouver. Son 
appareil de fixation et la fausse patte de la partie inférieure du thorax lui permettent de 
se déplacer un peu de la même manière que les larves de Geometra. La nymphe esl 
fixée par des crochets, qui partent de la partie supérieure et inférieure de l'abdomen, à la 
toile lâche qui forme la couche interne du cocon ouvert où elle se tient attachée aux 
feuilles. Quand la mouche sort de la peau de la nymphe, celle-ci reste dans le cocon à 
l'inverse de ce qui a lieu chez le Chironomus. 


Ceratopogon. Ce genre de Diptères renferme, comme on sait, une foule innom- 
brable d'espèces, dont la plupart cependant vivent sur la terre et quelques-unes seulement 
dans l’eau, où leurs mouvements ressemblent à ceux des sangsues. Notre célèbre compatriote 
O. F. Müller a décrit la larve il y a déjà plus de 100 ans, et Goeze a réussi quelques 
années après à l’elever, mais sans pouvoir déterminer la mouche à laquelle elle donne 
naissance; aussi est-ce à proprement parler Gercke qui le premier nous a renseignés sur 
les métamorphoses de ces Ceratopogons à ailes nues. La nymphe flotte sur l'eau et se 
distingue notamment par ses grandes trompettes claviformes (Fig. 136, aa et Fig. 137), qui, 
par leur structure, indiquent un organe des sens. 


488 120 


Theses. 


1. L’épicrane ou la lame céphalique a une grandeur et une étendue variables; il 
peut occuper toute la région supérieure de la téte (Corethra), et décroit ensuite jusqu'à 
n'en comprendre qu'entre le tiers et le quart, en même temps qu'il est divisé en 2 parties 
par le scutum du troisième métamère (Dixa, Simulium). — La lame frontale n’est pas 
distincte de l’Epieräne, tout aussi peu que la lame verticale. 

2. Les yeux sont tantôt grands ou très grands el très composés (Culex, Anopheles, 
Corethra, Mochlonyx), tantôt petits ou très petits et ordinairement simples (Chironomus, etc.). 
— Les ocelles sont petits, quelquefois cependant plus grands que les yeux proprement 
dits (Tanypus, Ceratopogon, Simulium). 

3. Les antennes sont en général assez grandes, avec un scapus très développé, 
plus rarement avec une tige à plusieurs articles (Simulium). Quelquefois elles sont tres 
peu perceptibles (Ceratopogon). Chez le Tanypus, elles peuvent rentrer dans la tete. 

4. Le scutum du troisième métamère est d'ordinaire un grand arceau bien déve- 
loppé, qui atteint ou atteint presque le bord postérieur de la tête et sépare en haut les 
deux moiliés de l’épicräne; rarement il est petit (Mochlonyx) ou indistinct (Corethra). 

5. Le scutum du deuxième metamere est rarement bien distinct (Simulium, Dixa). - 
Souvent les côtés du métamère portent un pinceau de soies ou de lames (l'organe rotatoire) 
qui alleint tout son développement chez le genre Simulium, mais a cependant une grandeur 
notable chez les genres Culex, Anopheles et Dixa. 

6. Le premier métamère (en opposilion à la mouche) est toujours très peu déve- 
loppé ou même rudimentaire, notamment en ce qui concerne le scutum ou le labrum. 

7. La lèvre ou le dessous du premier métamere est toujours dépourvu de palpes, 
mais se présente souvent sous forme d’une lame fortement cornée dont le bord antérieur 
est dentelé (Culex, Anopheles, Chironomus, Tanypus). 

8. Les mâchoires n'ont en général qu'un seul et large lobe; il est rare qu'il y 
en ait deux distincts, dont l’un extérieur plus grand et l’autre intérieur plus petit (Culex, 
Dixa, Simulium). Les palpes, sauf chez le genre Ceratopogon, sont toujours distinctes, 
souvent cylindriques, saillantes, avec leur propre palparium (Simulium, Dixa). Chez le genre 
Ceratopogon, les mächoires sont en somme rudimentaires. 

9. Les mandibules sont lantôt simples, avec ou sans dents sur le bord interne 
(Ceratopogon, Chironomus, Tanypus), tantôt munies de séries plus ou moins nombreuses 
de soies (Culex, etc.) et d’une grosse dent multifide (Culex ete.), ou d'un éventail de lames 
dorsales (Corethra). 

10. Les segments du thorax sont tantôt libres et distinets les uns des autres 
(Ceratopogon, Chironomus); tantôt le segment antérieur seul est plus libre (Dixa, Tanypus); 
tantôt les 3 segments se confondent presque (Culex, etc.). 

11. Les 9 segments de l'abdomen sont bien distincts. Le huitième segment porte 
souvent deux stigmates, soit directement sur le dos (Anopheles, Dixa), soit à l'extrémité 
d'un assez long tube, le tube respiratoire (Culex, Mochlonyx). Plus souvent encore, les 
stigmates font complètement défaut (Corethra, etc.). Quelques espèces du genre Chirono- 
mus peuvent pousser du 8° segment 2 paires de longues protuberances tubulaires. — 


121 489 


Le 9° segment porte souvent en dessous un éventail nalaloire (Culex, Anopheles, Corelhra, 
Mochlonyx). En général, on trouve à l'extrémité de ce segment 4 papilles anales (chez le 
genre Simulium il n'y en a que 3) et un nombre plus ou moins grand de soies anales. 
Les genres Corethra et Mochlonyx ont des crochets anals. 

12. On trouve quelquefois des fausses pattes (Chironomus, Tanypus) sur le dessous 
du premier segment thoracique et du dernier segment abdominal, mais celles de la paire 
antérieure sont souvent plus ou moins soudées. Chez le genre Simulium, elles sont 
enlierement soudées en forme de cône, et la paire postérieure se réduit à 2 faibles saillies 
avec un grand nombre de crochets microscopiques. 

13. L'appareil respiratoire présente un développement très variable. Chez quelques 
genres (Culex, Anopheles, Mochlonyx, Dixa), on trouve deux gros troncs longiludinaux qui 
traversent tout le corps de la larve et aboutissent à deux stigmates ouverts, tandis que, 
chez d’autres genres (Simulium, Tanypus, Geralopogon), l'appareil est tout à fait fermé. Les 
troncs longitudinaux sont divisés en morceaux correspondant aux segments du corps, ou 
ne sont que faiblement développés chez les genres Corethra et Chironomus; chez le genre 
Mochlonyx, les troncs conservent leurs cloisons comme souvenir de leur anastomose. 

14. Des cordes latérales (funiculi Palm.) pleines et par suite sans air, d'ordinaire 
très minces, se rendent au nombre de 8 ou 9 paires de l’épiderme aux trones longiludinaux. 

15. Les trachées sont à l’origine pleines de sérum, mais plus tard elles se rem- 
plissent d’air en direction centrifuge. 

16. Lorsque les trachées se renouvellent à l’époque de la mue, les vieilles trachées 
sont rejelées au dehors avec un peu d'air par les cordes latérales (Culex—Palmén) ou bien 
elles se flétrissent (Mochlonyx). Les nouvelles trachées peuvent être entièrement remplies de 
sérum, el le sérum nest chassé que peu à peu par lair contenu dans le corps (Mochlonyx). 

17. Les trompettes de la nymphe sont à l'origine remplies de sérum; mais qu'elles 
aient des fentes (Corethra) ou d'autres ouvertures (Culex, Anopheles, Tanypus, Dixa), ou 
qu'elles soient fermées (Simulium, Chiroromus, Ceratopogon?), elles se remplissent d’air par 
le corps. Ce sont essentiellement des organes hydrostatiques (Corethra, Mochlonyx), ou 
des organes jouant le rôle de flotteurs (Culex, Anopheles, Tanypus, Dixa), ou, en tant qu'ils 
sont fermés, des réservoirs d'air servant à faciliter la dernière métamorphose et à dégager 
la mouche de l'enveloppe de la nymphe (Simulium, Chironomus), ou peut-être des organes 
des sens (Ceratopogon). 

18 L’abdomen de la nymphe se termine en une paire de larges lames natatoires, 
ou le dernier segment en est large et profondément découpé. Ce segment, pas plus que 
les lames, ne peut guère étre un organe respiratoire proprement dit. 


19. L'appareil respiratoire, chez les insectes, ne peut être regardé comme une 
pure et simple formation de l’epiderme, ni comme résultant seulement de l'invagination de 
l’epiderme; mais le tissu conjonctif participe plus ou moins à la formation de l'appareil: 
celui-ci n'étant complété que par l’anastomose des invaginations centripèles de lépiderme 
avec la formation centrifuge du tissu conjonctif. Chez les larves dont nous nous occupons 
ici, les cordes latérales représentent essentiellement les invaginations de l’Epiderme. 


62 


Vidensk. Selsk. Skr., 6. Række, naturvidensk. og math. Afd. III. 4. 62 


490 


Fig. 17. 


13. 


16. 


122 


Explication des Planches. 


Planche I. Fig. 1—35. 


Culex annulatus 1—16. 

Larve adulte, vue d'en haut — a, tube respi- 
ratoire; b, éventail nataloire; ecce, papilles 
anales. 

Tête de larve, vue d'en haut — a, scutum du 
troisième metamere; b, scutum du deuxième 
métamère; e, scutum du premier metamere; 


d, organe rotatoire; e, antenne; f, œil; 
f‘, ocelle. 

Extrémité d’une antenne. 

Tête de larve, vue d'en bas — a, scutum du 


deuxième mélamère; a‘, bordure de poils 
couvrant la lèvre; b, mächoire gauche; 
e, mandibule gauche. 

Lèvre, avec la partie inférieure du pharynx, 
vue d'en haut — a, lèvre elle-même. 

Màchoire droite, vue d'en bas — a, lobe in- 
terne; b, lobe externe; €, palpe maxillaire. 

Mandibule gauche, vue d'en haut. 

Mandibule gauche, vue d'en bas. 

Partie de l'appareil respiratoire — a, partie 
du tronc longitudinal; b, branche latérale; 
e, corde latérale (funiculus Palmén). 

Tube respiratoire d'une larve, fendu — a, une 
destrachées ; b, orifice dela trachée; e, tendon 
corné entre les trachées. 

Nymphe, vue de côté — aa, trompettes (une 
bulle d'air est attachée à l'une d'elles), b, 
soie natatoire. 

Trompette, ouverte longitudinalement. 

Extrémité d’une trompette coupée obliquement, 
vue de derrière — a, orifice. 

Partie du revêtement de l'extrémité 
trompette. 

Soie natatoire. 

Lame caudale d'une nymphe. 


d'une 


Culex nemorosus: 17—19. 


Extrémité du Se segment de l’abdomen et 
9e segment d'une larve, vus de côté — a, une 
des trachées ; b, rectum; €, éventail natatoire; 
dd, deux papilles anales; ee, soies anales. 
forme d'éventail, les rayons sont 
raccourcis. 

Épines du tube respiratoire. 


Soie en 


29. 


30. 


31. 


&. 32. 


33. 


34. 


35. 


g. 36. 


37. 


Anopheles maculipennis: 20—31. 


Larve adulte, vue d'en haut. 

Tête de larve, vue d'en haut — a, sculum 
du troisième métamère; b, scutum du deu- 
xieme métamère; ce, organe rotatoire; d, 
antenne; e, @il; e‘, ocelle. 

Partie antérieure de la tête, vue d'en haut — 
a, scutum du premier métamère (labre); bb, 
organes rotatoires. 

Tête, vue d'en bas — a, lèvre; b, lobe des 
mächoires; e, palpe des mächoires; d, an- 
tenne; e, organe rotatoire. 

Lèvre, vue d’en bas — a, partie antérieure 
de la lèvre; b, prolongement de la même; 
c, prolongement du scutum du deuxième 
métamère. 

Extrémité d'une palpe maxillaire. 

Mandibule droite, vue d'en haut. 

Dent d'une mandibule, vue d'en bas. 

Extrémité de l'abdomen, vue d'en haut — 
aa, stigmates; bbbb, papilles anales; ce, soies 
anales; d, bout de l'éventail natatoire. 
Extrémité de l'abdomen, vue de côté — a, 
éventail natatoire; bb, deux papilles anales; 
ce, deux soies anales. 

Nymphe, vue de côté — a, une des trompettes; 
b, soie natatoire. 

Lame caudale d'une nymphe, avec l'extrémité 
de l'abdomen. 


Anopheles nigripes: 32—35. 
Larve adulte, vue d'en haut. 
Mandibule gauche, vue d'en haut. 
Mandibule droite, avec palpe maxillaire, vue 
du côté intérieur — a, mandibule; b, palpe 
maxillaire. 
Soie natatoire. 


Planche I. Fig. 36—71. 


Corethra plumicornis: 36—56. 
Larve adulte, vue de côté — a, paire anté- 
rieure des sacs à air; b, paire postérieure 
des sacs à air; c, éventail natatoire. 
Larve adulte, vue d'en haut — a, antennes; 
bb, mandibules; ce, paire antérieure des 


123 


Fig, 38. 


a 


39. 
40. 


41. 


| | 
= > 
as 


46. 


57. 


Fig: 


sacs à air; dd, paire postérieure des sacs à 
air; eeee, papilles anales. 

Tete de larve, vue d'en bas — aa, antennes; 
bb, faisceaux de soies du troisième métamère; 
cc, lames du troisième métamère; dd, man- 
dibules; ee, mächoires; f, dessus du deu- 
xième metamere (labre); g, lame pharyngee 
inferieure. 

Mandibule droite, vue du côté intérieur. 

Un des sacs à air postérieurs — a, partie de 
la couche de cellules extérieure pigmentée; 
b, canal intestinal; cce, parties remplies 
d'air des trachées. 

Partie de l'appareil respiratoire — a, pointe 
d'un des sacs à air antérieurs; b, renflement 
terminal des trachées du sac à air. 

Un des sacs à air antérieurs, avec les trachées 
qui en sortent — Phuse de développement. 
Partie du même sae à air, avec l'origine d'une 
trachée — a, partie remplie d'air de cette 
trachée. 

Extrémité de la même trachée sans air. 
Renflement terminal des trachées des sacs à 
air avec les trones de trachées y appartenant 
— a, renflement. 

Partie de l'appareil respiratoire — a, portion 
remplie d’air. 

Portion remplie d'air de la même partie de 
l'appareil respiratoire. 

Autre partie de l'appareil respiratoire — aaaa, 
portions remplies d'air. 

Une troisième partie de l'appareil respiratoire 
— à, portion remplie d'air. 
Larve renfermée dans l'œuf 
air remplis de sérum. 

Sac à air rempli de sérum, avec des couches 
de cellules qui l'entourent. 

Larve qui vient de sortir de l'œuf — a, sacs 
à air antérieurs, remplis de sérum; b, sacs 
à air postérieurs, remplis de sérum. 

Deux sacs à air, remplis de sérum et d'air — 
aa, bulles d’air. 

Nymphe, vue de cöle — a, trompettes; b, 
cellules de pigment des sacs à air postérieurs 
rejetés; c, lames caudales., 

Extrémité d'une trompette — a, fente. 
Extrémité de abdomen, avec les lames caudales. 


— aa, sacs a 


Corethra pallida: 57—58. 
Téte de larve, vue de coté — aa, lames; 
b, intestin oral expulsé [la figure, par erreur, 
est mal tournée]. 


er 
= 


Fig. 


Fig. 59. 


61. 


| — 70. 


— mM: 


491 


Extrémité de vue de côlé 


aaaa, papilles anales; 
éventail natatoire. 


l'abdomen , 


bb, soies anales; « 


Mochlonyx culiciformis: 59—71. 
Larve adulte, vue de côté — a, une des au- 
tennes; b, dessus du 
(labre); e, un des sacs à air de la paire 


deuxième mélamère 
antérieure; d, un des sacs à air de la paire 
postérieure; e, tube respiratoire; f, éventail 
natatoire. 

Larve adulte, vue d'en haut — a, tube respi- 
ratoire; b, éventail natatoire; ce, sacs 
antérieurs; dd, sacs à air postérieurs; ee, 
antennes; f, scutum du troisième métamère, 
Tête de larve, vue d'en bas — aa, antennes; 
bb, mandibules; ce, mächoires; dd, peignes 
du deuxième métamère; ee, yeux; f, dessus 
du deuxième métamère (labre). 

Lèvre, avec ses trois séries de lames mem- 
braneuses, vue d'en bas. 

Mächoire droite, vue d’en bas — a, palpe 
maxillaire; b, lobe maxillaire; e, partie exté- 
rieure d'un des peignes du métamère. 

Petit morceau d'un des peignes du melamere. 
Mandibule droite, vue d'en haut. 

Extrémité de l'abdomen — a, tube respira- 
toire; b, éventail natatoire; c, deux des 
quatre soies anales; dddd, papilles anales. 


à air 


. Paire de soies fendues de l'éventail nataloire. 


Deux paires de crochets anals — a, paire de la 
série postérieure; b, pairedelasérieantérieure. 
Partie de l'appareil respiratoire: le vieil ap- 
pareil est en train de disparaître — a, les 
vieilles trachées: b, les nouvelles trachées; 
ce, tunica propria; d, cloison. 
Partie de l'appareil respiratoire; 
pareil est presque disparu — a, vieille trachée, 
seulement remplie d'air dans 
foncées (a‘a‘a‘a‘); b, nouvelle trachee; 
tunica propria. 

Un des sacs à air antérieurs; un nouveau sac 
à air est en train de se former — a, le vieux 
sac à air presque entièrement rempli d'air; 
bb, extrémités du nouveau sac à air qui 
l'enveloppe; c, espace rempli de sérum entre 
les parois du vieux et du nouveau sac à 
air; dd’, couche de cellules qui entoure et 
forme le nouveau sac à air. 


le vieil ap- 


les parties 


ce, 


Un des sacs à air postérieurs — Les lettres 
ont la même signification que dans la figure 
précédente. 


62* 


492 


Fig. 


= 
OQ 


122 


73. 


8.76. 


77. 


79. 


Planche Il, Fig. 72—100. 


Mochlonyx culiciformis: 72—75. 
Partie de l'appareil respiratoire — aa, cloisons 
des troncs longitudinaux; b, une corde 
latérale. 
Partie de l'appareil respiratoire; un nouvel 
appareil se forme — aa‘aa‘, les vieilles 
trachées; bb’bb‘, les nouvelles trachées; 
cc'cc', tunica propria; dd‘, cloisons des 
troncs longitudinaux; ee, cordes latérales. 
Nymphe, vue de côté — aa, trompettes. 
Extremite de l'abdomen, avec les lames cau- 
dales, vue d'en haut. 3 


Chironomus venustus: 76—85. 


Larve adulte, vue de côté (phase de dévelop- 
pement) — a, paire antérieure des fausses 
pattes; bbbb, protubérances rétractiles en 
forme de boudin; c, paire postérieure des 
fausses pattes; d, papilles anales; e, soies 
anales. 

Tête, vue d’en haut — a, scutum du troisième 
métamère; bb, yeux; ce, ocelles; dd, anten- 
nes; ee, couronne de dents de la paire an- 
térieure des fausses pattes. 

Une antenne — à, organe sensitif(?) du scapus; 
b, les quatre articles de la tige; c, soie en 
forme de lame du scapus. 

Extrémité antérieure de la tête, vue d'en bas 
— a, lèvre; b, mächoires avec leurs palpes; 
cc, mandibules; dd, soies medianes du deu- 
xième mélamère; ee, soies extrêmes du même 
métamère. 

Mächoire gauche, vue d'en bas — a, prolon- 
gement conique du lobe; b, palpe. 
Mandibule droite, vue d'en haut. 

Mandibule droite, vue d'en bas — a, série 
de soies du bord interne. 

Extrémité d'une des fausses pattes postérieures 
— a,.musculus retractor. 

Nymphe, vue de côté — aa, panaches des 
tubes respiratoires (?) (frompettes transfor- 
mées). 

Extrémité de l'abdomen, avec les lames cau- 
dales, vue d'en haut. 


Chironomus plumosus: 86—S9. 
Larve adulte, vue de côté — a, extrémité 
des fausses paltes antérieures; bbbb, protu- 
berances rétractiles en forme de boudin; 


Fig 


Fig. 


Fig. 100. 


. 87. 


88. 


89. 


2.90. 


91. 


93. 


SLOTS 
101*. 


. 102. 


92. 


124 


ce, fausses pattes postérieures; dddd, papilles 
anales; e, soies anales. 
Coté gauche de l'appareil respiratoire dans le 


premier segment de l'abdomen — a, corde 
latérale. 
Nymphe, vue de côté — aa, panaches des 


tubes respiratoires (Lrompettes transformées). 
Partie basale des tubes respiratoires. 


Chironomus motilator: 90—91. 


Larve adulte, vue de côté a, les deux 
fausses pattes antérieures; b, les deux fausses 
pattes postérieures; €, papilles anales; d, 
soies anales. 

Nymphe, vue de côté — a, trompette gauche. 


Tanypus varius: 92—99. 

Larve adulte, vue de côté — a, les deux 
fausses pattes antérieures; b, les deux fausses 
pattes postérieures; cc, papilles anales; d, 
soies anales. 

Larve adulte, vue d'en haut — aa, glandes 
salivaires; bb, les deux fausses pattes posté- 
rieures; ce, papilles anales; dd, soies anales. 
Extrémité antérieure de la tête, vue d'en bas 
— a, lèvre; b, filière; c, lame pharyngée; 
d, mächoire; e, palpe maxillaire; f, mandi- 
bule; g, antenne. 

Mandibule droite, vue d'en haut. 

Une des papilles des soies anales. 

Nymphe, vue de côté — aa, trompettes. 
Une des trompettes de Ja nymphe — a, tuyau 
median; b, trachees du corps. 

Abdomen de la nymphe, vu d’en haut. 


Tanypus monilis: 100. 


Larve adulte, vue d'en haut obliquement — 
aa, les deux fausses pattes antérieures; bb, 
les deux fausses paltes postérieures; ccce, 
papilles anales; dd, soies anales. 


Planche IV. Fig. 101—137. 
Fanypus monilis: 101. 


Nymphe, vue d'en haut — aa, trompettes. 
Extremite d'une des trompettes. 


Tanypus plumipes: 102. 
Une des trompettes de la nymphe. 


m. 


Fig. 103. 


— 104. 


— 105. 


OG: 


107: 


- 108. 


Fig. 114. 


Fig. 115. 


Dixa amplübia: 103—113. 

Larve adulte, vue d'en haut — aa, stigmates; 
bb, lames des stigmates; ce, lames anales; 
d, prolongement anal; eece, papilles anales. 

Larve adulte, vue d'en bas — aa, les deux 
paires des fausses pattes; bbb, les trois 
séries de soies (épines); ce, lames anales; 
d, prolongement anal. 

Tête, vue d'en haut — a, scutum du troi- 
sième métamère; b, scutum du deuxième 
mélamère; €, organe rotatoire; d, antenne; 
e. lobe des mächoires; |, palpe maxillaire. 

Tête, vue d'en bas — a, lèvre; b, lobe des 
mächoires; €, palpe maxillaire; d, organe 
rotatoire; e, antenne. 

Tête, vue d'en haut, le sommet enlevé 
a, mandibule; b, palpe maxillaire; e, lobe 
des mächoires; d, extrémité antérieure de 
la lame pharyngée. 

Mächoire droite, vue d’en haut — a, lobe 
interne; b, lobe externe des mächoires; 
e, palpe maxillaire. 

Mandibule droite, vue d'en haut. 

Un des stigmates. 

Nymphe, vue de côté — aa, trompettes. 

Une des trompettes. 

Extremite de l'abdomen de la nymphe. 


Dixa nebulosa: 114. 
Extrémité de l'abdomen de la larve, vue 
den haut — aa, stigmales; bb, lames des 
stigmates; cc, lames anales; d, prolon- 
gement anal; eeee, papilles anales. 


Simulium ornatum: 115—127. 

Larve adulte, vue d'en haul — aa, yeux; 
bb, ocelles; ce, antennes; dd, organes ro- 
tatoires: e, appareil de fixation; f, papilles 
anales. 

Larve adulte, vue de côté, les antennes et 
les mandibules enlevées — a, fausse patte; 
b, courte saillie conique; €, appareil de 
fixation; d, papilles anales. 


Fig. 


| Fig 


117. 


118. 


119. 
120, 
121. 
122. 


123. 


128. 
129, 


130. 


493 


Tête, vue Wen haut — a, seutum du troi- 
sième métamère; 
métamère ; 


b, scutum du deuxième 
c, @il; d, ocelle; e, antenne; 
f, organe rotaloire. 

Tête, vue d’en bas — a, lèvre: 
c, lobe interne des d, lobe 
externe des mächoires; e, palpe maxillaire; 
f, mandibule; g, organe rolatoire; h,antenne. 
Lèvre. 

Mandibule droite, vue d’en haut. 
Mandibule droite, vue d'en bas. 


b, filière; 
mächoires; 


Partie de l’appareil respiratoire — a, corde 
latérale. 
Nymphe, vue de côté — a, panache des 


tubes respiratoires (trompettes transformées); 
bb, crochets du dos; ce, fils du tissu in- 
terne lache du cocon. 
Base du panache — 
trachées du corps. 
Extrémité de l’un des tubes du panache. 
Un des crochets du dos de la nymphe. 
Un des crochets du ventre de la nymphe. 


a, lube médian; b, 


Ceratopogon circumdatum: 123—137. 

Larve adulte, vue d'en haut — a, soies anales, 
Extrémité antérieure de la tête, vue d'en 
haut, la nymphe étant en partie visible à 
travers — a, scutum du troisième métamère; 
bb, yeux; ce, ocelles ; dd, yeux de la nymphe. 
Extremite antérieure de la tête, vue d’eu 
haut — aa, antennes. 


Organes buccaux, vus d'en bas — a, lèvre; 
bb, mächoires. 
Mandibule gauche, vue d'en haut — a, ten- 


don du muscle infléchisseur. 

Extrémité de l'abdomen de la larve, vue de 
côté, comprimée — aa, soies anales; bb, 
papilles anales. 

Partie de l'appareil respiratoire — aa, cordes 
latérales. 

Autre partie de l'appareil respiratoire. 
Nymphe, vue d'en haut — aa, trompettes. 
Une des trompettes — a, renllement terminal 
d'une trachée (organe des sens?). 


MSI TELE 
i 


4 ye B 
We MER 


Aura N 


am Pan 


u Me 


KD. Vid. Selsk. Sher. 6 Rakke, mn. Ata MLA, Meinert, My gg carver. 


Meinert dsl Trykt hos TV 


Tab. I. 


& Kittendorit 


AD Vid. Selsk Skr 6 Rakke, mn Afd M 4. Meinert, Mvygelarver. 


Meinert del Trykt hos WE 


Tab. I. 


N 


u RE 
x re ii 
My Cpe i 


\ 


W N \ 
| JAN 


oii eel nee 


eNLAOTIT 


I 
cr 


ur 


K.D.Vid.Selsk.SI:r 6 Relcke, m.n.Afd. I 4. Meinert, Mvggelarver. 


‘ 
ie 
et 
ei 

i 
ba 
bet 

Ss 
Tig N en (dd. 
wat et ln PEN, 
i St 

F 

r 


Tab HI. 


HD Vid Sel she. Sir. 6 Række. mn. Afd. IMA. Meinert. Myggelarver. 


| 
39 
A 
# 

à 
\ { 
sl 


7 Ja] a ime Sn TNT 
Meinert del Frykthosil 


Tab IV. 


attendorft 


AMNH LIBRARY 


Im