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BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET 

Graduate Library 
University of Michigan 

Preservation Office 

Storage Number: 



ACL8560 

ULFMTBRTaBLmT/C DT 07/18/88 R/DT 07/18/88 CC STATmmE/Ll 
010: : |a 04014427 
035/1: : | a (RLIN)MIUG86-B22738 
035/2: : | a {CaOTULAS)160428138 
040: : |cMiU |dMiU 
050/1:0: |aQA259 |b.G76 
100:1 : I a Grassmann, Hermann, | d 1809-1877. 

245:04: | a Die Ausdehnungslehre. ] c Vollständig und in strenger form 
bearbietet von Hermann Grassmann. 
260: : la Berlin, | b T. C F. Enslin, |cl862. 
300/1: : |axii,388p. |c22cm. 
650/1:0: ] a Ausdenungslehre. 
998: : |cHLM |s9124 



Scanned by Imagenes Digitales 
Nogales, AZ 

On behalf of 

Preservation Division 

The University of Michigan Libraries 



Date work Began; _ 
Camera Operator: _ 



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Ausdehn ungsljdb're. 



Vollständig und in strenger Form 



Hermann Giassniaim, 



BBBLIN, 1862. 

VERLAG VON TH. CHR. FR. ENSLIS. 
(ADOLPH EK8LIN.) 



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Vorrede. 



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m h 1 W 1 f w ] J 11 17 J 1 

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glh Z gd Mtlmtk — Lpg 1844 'V 1 g 

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G m tn h A lyf L p g 1841) h f h 1 M th in 

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IV 

Schwierigkeit nicht gehoben werden, ohne den Plan des Ganzen wefent- 
lich zu andern. Denn He liegt nicht in einer willkürlich gewählten 
Form, fondem in dem Plane, den ich vor Augen hatte: die Wissen- 
schaft unabhängig von andern Zweigen der Mathematik von Grund 
aus aufzubauen. Die Ausführung gerade diefes Planes, wenn gleich 
fie für die Wisse nflchaft an iich die förderndste fein musste, wie fie 
es denn auch fubjectiv gewefen ist, mnsste bei jeder Form der Dar- 
stellung bedeutende Schwierigkeiten bieten, zumal in einer Wissen- 
schaft, wie die Ausdehnungslehre ist, welche die Hnn liehen Anschau- 
ungen der Geometrie zu allgemeinen, logischen Begriffen erweitert 
und vergeistigt, und welche an abstrakter Allgemeinheit es nicht nur 
mit jedem andern Zweige, wie der Algebra, Kombinationslehre, Funk- 
t.ionenlehre, aufnimmt, fondern fie durch Vereinigung aller in diefen 
Zweigen zu Grunde liegenden Elemente noch weit überbietet, und fo 
gewissermassen den Schlussstein des gefammten Gebäudes der Mathe- 
matik bildet. 

Ich musste daher diefen ganzen Plan aufgeben, und habe nun für 
das vorliegende Werk die Übrigen Zweige der Mathematik, wenigstens 
in ihrer elementaren Entwickelung vorausgefetzt. Ebenfo habe ich 
in der Form der Darstellung gerade den entgegengefetzten Weg ein- 
geschlagen, wie dort, indem ich die strengste mathematische Form, 
die wir überhaupt kennen, die Euklidische, für das vorüegende Werk 
angewandt, und alles, was zur Eriäuterung oder zur Begründung des 
gewählten Ganges diente, in Anmerkungen verwiefen habe. Eine noth- 
weudigc Folge des fo veränderten Planes war es, dass die fämmtlichen 
Refultate des ersten Theiles, fo weit fie nickt Anwendungen auf die 
Phyfik enthielten, mit in die neue Bearbeitung aufgenommen und 
nach dem veränderten Plane neu abgeleitet werden mussten (wie dies 
in No. 1—136, 216—329 geschehen ist). Dennoch und durch die \'er- 
schiedenheit der Methoden die beiden Bearbeitungen desselben Stoffes 
einandei' fo unähnlich geworden, dass man, mit Ausnahme der abge- 
leiteten Refultate telbst, welche der Natur der Sache nach keine Ab- 
weichung zeigen, kaum eine Uebereinstimmung herousGnden wird. 
Es ist dalier auch die alte Bearbeitung durcli die neue durchaus nicht 
überflüssig gemacht. Denn auch die neue Methode ist an fich keines- 
wegos der älteren vorzuziehen, da vielmehr die bis auf die ersten 
Ideen hinabsteigende und von hiev aus ganz unabhängig fortschrei- 
tende Methode der ersten Bearbeitung tiefer in das Wefen der Sache 
hineinfuhrt, und daher in rein wissenschaftlicher Besiehung entschie- 
dene Voriüge vor der letzteren hat. Diefe dagegen wird auf der 
andern Seite für den Mathematiker, der die anderweitig gewonnenen 
Schätze mathematischen Wissens bei feinen Studien nicht gerne inUssig 
liegen fieht, annehmlicher und jedenfalls leichter verständlich fein. 
So ergänzen und erlButem fich beide Darstellungen gegenfeitig. Die 
hier gcwbhUe schliesst Ticli am engsten au die Arithmetik an, doch 



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m U bng Ukü IhGö d lEItgftt d \ 

mit b ze 1 t 1 mag twi k U ( gl 1 m L h b 1 d 
A thm t k 1860 BlbEl)rfttdÄdl gslh 

dl t.gb F gmli fllG e, 

i k d b g b! tb t B Cj f h ht 

Ciddurh t klltd mtgd 71 lg ml 

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VI 

ist nur die, ob diefer neue Begriff mit dem allgemeinen Begriffe der 
Grösse wirklich fo znfammenliftnge , dasB fie ilirem Wefen nach zu 
einem Gefammtbegriffe iich zufammenschlicssen , und dass eine zwi- 
schen beiden Gebieten gezogene Gränzlinie das Zu fammen gehörige ^11- 
körlich und der Sache widersprechend zertrennen würde. Ist letzteres 
der Fall, fo wäre es fogar fehlerhaft, diefem neuen Begriffe nicht 
den Namen der Grösao beizulegen. Nun glaube ich in derThat, daas 
zwischen dem, was ich exteiifive Grösse genannt habe, und zwischen 
allgemeinen Zahl grossen und namentlich der imaginären Grösse (a-|-bi) 
eine fo innige Beziehung herrscht, dass ea wiederfiunig wiire, die eine 
als Grösse zu betrachten und die andere nicht, da ja in derThat die 
imaginäre Grösse ebenfo aus 2 Einheiten 1 und i =j Y — 1 durch reelle 
Zahlkoef fiele nten ableitbar ist, wie die extenCiven Grössen aus % oder 
mehr Einheiten ableitbar find (f. ii. No, 413 Anra.) So scheint es mir 
alfo vollständig gerechtfertigt, wenn ich die extenfire Grösse als Grösse 
bezeichne. Aber ich gehe noch weiter, indem ich fie nicht nur als 
Grösse überhaupt, fondem auch als einfache Grösse bezeichne, Ihr 
treten nämlich gegenüber andere Grössen, welche den Charakter zufam- 
mengefetztcr Grössen ebenfo entschieden an iich tragen, wie jene den 
der einfachen, und welche erst durch Addition höherer Gebilde nnd 
befonders durch die Betrachtung der Quotienten und der Funktionen 
hineintreten (vei^l. Nr. ^^ , 377 und 364). Ich fahre nun fort, den 
Gang der Ejitwickelung in dem vorliegenden Werke überfichtlich zu 
verfolgen. An die Addition, Subtraktion, VieJfachung und Theilung 
schliesst Tich nun (in Kap. 1) der allgemeine Begriff der Multiplikation 
extenßver Grössen an, welcher auf die Bczithung der Multiplikation 
znr Addition (nämlich darauf, dase man statt der Summe die Summan- 
den multipliciren darO gegründet ist Hiernach führt die Multiplika- 
tion der genannten Grössen auf die ihrer Einheiten (Cj, ej,- - -) zurück, 
und aus der Betraclitung der Produkte diefer Einheiten ergeben fich 
dann verschiedene Gattungen der Multiplikation £5 gelingt nun, aus 
dlefen Gattungen zwei auszufondern , auf welche fich alle übrigen zu- 
rückführen lassen. Die eine derf(,lb''n fiUt in ihren Gefetzen ganz 
zufammen mit der gewöhnlichen Multiplikation in der Algebra und ist 
daher von mir die algebraische genannt norden Aber fie ist in Bezug 
auf die durch fie erzeugten Grössen bti weitem die verwickeltate und 
kann nur durch Betrachtung der Funktionen zur vollen Klarheit ge- 
bracht werden, weshalb ich fie auf dtn zweiten Abschnitt diefes Wer- 
kes verwiefen habe. Die Bezeichnung für diefe algebraische Multipli- 
tion muss der Natur der Sache nach mit der gewöhnlichen Bezeichnung 
der Multiplikation zufammenfallen, da ea widerrinnig wäre, Verknü- 
pfungen, welche in allen Beziehungen denfelben Gefetzen unterliegen, 
verschieden zu bezeichnen. Die zweite jener Multiplikationen , welche im 
dritten Kapitel behandelt ist , zeigt lieh als die für die Ausdehnungslehre 
charakteristische, und fie welciitlich weiter fördernde, indem fie die 



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VII 

TBTBchiedeDen Stufen einfacher Grössen liefert, welclie in der Ausdeh- 
nungslehre hervortreten. Sie ist dadurch gekennzeichnet, daas zwei 
einfache Faktoren dee Produktes nui ycrtauscht werden dürfen, wenn 
man zugleich das Vorzeichen (-J- — ) des Produktes nmkehrt. Da 
zwar für diefe Multiplikaiion die Beziehung sur Addition diefelbe ist, 
wie bei jeder Multiplikation, aber die übrigen Gefetie derfelben we- 
fentlicli von denen der gewölinlichen Multiplikation abweichen, fo war 
CS nothwendig, fie durch die Bezeichnung zu unterscheiden. Ich habe 
in diefem Werke dafür die Bezeichnnng durch eckige Klammern, die 
das Produkt umsch Hesse n , gewählt, fo dass a!fo fab] ^; — [ba] ist, 
wenn a und b einfache Faktoren diefes Produktes find. Es entfaltet 
fich dies Produkt zu einer ausserordentlichen Mannigfaltigkeit von 
Erscheinungsformen, und lässt in reicher Fülle Beziehungen hervor 
treten, welche auf alle Zweige der Mathematik ein unerwartet 
neues Licht werfen, fo dass es den eigentlichen Mittelpunkt der neuen 
Wissenschaft bildet. Nachdem der Begriff der Grössen- Ergänzung hin- 
zugekommen ist, tritt jenes Produkt in einer gani neuen Eigenthnm- 
lichkeit, als inneres Produkt (Kap. 4) hervor, fo dass es in diefer Form 
BUS dem Bereiche der in der ersten Bearbeitung dai^estellten Gegen- 
stände ganz heraustritt. (Vergleiche jedoch die Vorrede lu jenem 
Werke p. SI.) Mit Anwendungen auf die Geometrie (Kap. 5) echliesst 
der erste Abschnitt des Werkes, In dem zweiten Abschnitte treten 
nun die zufammengefe taten Grössen hervor, welche wir im Ganzen 
als Funktionen einfacher Grössen charakteriflren können. Das erste 
Kapitel diefes Abschnittes behandelt die Funktionen im Allgemeinen, 
woran Tich die algebraische Multiplikation und Divifion anachliesst, 
das zweite die Lehre von den Reihen, das dritte die Differenzialrech- 
nung und- das vierte endlich die lutegralreclinung, und zwar alle 
diefe nur in fofern als eatenfive Grössen in Betracht gezogen werden- 
Doch glaube ich, dass auch die entsprechenden Zweige der gewöhn- 
lichen (auf Zahlgrössen fich beziehenden) Mathematik und namentlich 
die Integralrechnung dnrch diefe Darstellung nicht nur wefentUch ver- 
einfacht, fondern auch mannigfach ergänzt und weiter gefördert find. 
Da der Stoff feit der ersten Bearbeitung bedeutend angewachsen ist, 
fo habe ich die Anwendungen auf die Phyfik ganz weglassen müssen ; 
doch hoffe ich, wenn mir Zeit und Kraft dazu gestattet ist, eine ma- 
thematische Bearbeitung der wichtigsten Zweige der Phyfik in feibst- 
ständigen Werken folgen zu las n d n ich von der hier vorge- 

tragenen Wissenschaft Anwo d g m h rde. Ich habe mich eifrig 

bemüht, überflüssige Kunsta d k meiden und mich auf das 

möglichst geringste Maass n K t d icke zu beschränken ', aber 

da man nun einmal ohne AiS t ht d n kann, und daher auch 

zu neuen Begriffen enlweder W rt,b Id ngen oder neue Wortver- 

bindungen gebraucht, oder alten Worten ein neues Gepräge verleihen 
mus3, fo blieb doch noch eine ziemliche Menge unvermeidlicher Kunst- 



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VlII 

ausdr icke übng Um dass Veratändniss za erieichterQ liabe ich zu 
nächst he Kunstausdrilcke fo gewählt dass fie ■me i h hoffe durch 
ihre Bildung felbst unmittelbar an den duich lie dargestellten BegrifE 
erinnern und dann habe ich am bchlusso ein alphabetisches '^ erzeioh 
ms3 derrelben mit Hinweifung auf die Stellen wo fie erklart find 
gegebei Ea bleibt mir noch ilbiig auf verna dte Bestrebungen an 
lerer Mathematiker hinaunciftn Fa beliehen fii,h diefe fast ohne 
Ausnahme auf diejenigen Gegenstände welcl e ich als Anwendungen 
der Ausdehnungslehre auf die Geometrie bezeichnet habe (allo auf 
die S§ 34, 2M— 30 31—40 5P 74—79 91 92 101 103 114— ll") 
144—148 159-170 dpr Ana dehn ungalehre von 1844 und auf die Srn. 



316—347 



1 g 



C 1 1 
H t 8 



V 1 h 



Bearbeitung (1844) 
1 Arbeiten nur das berühmte 
Analyfe; der barycen Irische 
BI b b k 1 h die Addition der Punkte lehrte, 

m d A b t b die geometrische Addition der 
kf ggb Lg iEl tung), fowie über die Bedeu- 
g d g G b k t geblieben. Die letztere wurde 

hre ■^ 11 ik digk t t Abhandlung von Gauas (Göt- 

l g 1 b t A g lö31) d g 11t, auf welche mich Gauaa auf 
las g d d ?1 h G g nd behandelnden Stelle in der 
red A d h g 1 h (i g XI bis XIV) brieflich aufmerkfam 

ht S h d f D rat 11 g d a Imaginären lag der Begriff 

g t 1 Add t St k n in Einer Ebene. Der erste, 

Add t d Strecken in ihrer ganzen AU- 
gra htglh ht 1 tBli itia gewcfen zu fein, indem 
h 1835 (A 1 d 11 d regno Lombardo-Veneto, 3" 

volume) den hier gehörig C 1 1 f t 11t ( gl t p 149 A m ) 
Unabhängig davon entw k It M b (1843) f M h k d 

Himmels die Gefetze d g m t h Ad i d &t k d 

wandte fie auf die Pr bl m d Mb kl H mm l N h 

dem Erscheinen meine A d h g I hre ( 1844) h t f 1 

die Arbeiten auf dem Cbtdgmt h Alyl IBf 
dere waren ea wieder M bi d B 11 t w 1 h d W h ft 

wefentlich weiter forde t d hm^rstd dur 

tereii Verbreitung der vom gtg gmt i Rh g 

methode in bedeutender Wfbf Dkm hm 

eigene Arbeiten über d f g d 1 h 1 1 m 

Schrift: „Geometrische A lyl g k üpft d L b t f 

dene Charakteristik, gekr t P hi f L p g 1847 w 1 h M 

bius durch eine daran angeschlossene lichte oUe Darstellung den Mathe 
matikern zugänglicher zu machen fuchte, theils in Crelle's Journal 
(Band 36, 43, 44, 49, 53) niedei^elegt find. Ferner trat ein Jahr 
nach dem Erscheinen meiner linealen Ausdehnungslehre Saint-Venant 
mit der gcometriachen Multiplikation der Strecken hei-vor (Comptea 



y Google 



IX 

(] T m "Vil p 620 q 15 b pt mb 1845) 1 h d t b 

1 t m t d m j m W k d g t 11t ä M It pl 

k t ä St k (p g 28-40) Off b k t d W k 

ht d li h kt d I a E mpi d 1 Ib C hy m t 

dBtt d St\ tbgbd Ad 

b k t w Sp t b öff tl It C hj 1 A f 

f t 1 h d C mpt re d 1853 bg d kt f 1 

M tl d imtt 1 t f, fjrab 11 G w 1 I 

1 f !g b q t lg b h Gl h g d rw dt P 

bl m löf M tl d w 1 h g mit d m A 

d h gib 1814 CS ii m d 93) d g t llt b t mmt 

I h b w t d tf t d b 1 rat M tb ra t k PI 

gtbhldg 11 dhgibt h ra ddSl 

1 Id g f d 1 di^li Ib Pn tat 1 t d 

Pn Akdmnltt All dLm wlhdfR 

1 m t Äp 1 lb54 Pfg dB btttt (bgb 

d (C pt i T m 38 p 741) b t tw f li hö 

las d IClybtftdmbdGgtlbtral 

öff tl 1 1 E r d d 6,b t Abi dl g Ca 1 j d 

g wlhnellbdGbtdG t Billig 

j kt t m A d b g 1 lir ( IbU) d b t U d d 

hdfAbhdlg ribttdgüp b pb 

fit Ibd gtlibK m Wk bgri 

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Btbg gtbbUdd hb 1 d Wl 

1 h d U r b f hm d Ab 11 b g f llt 

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ritd dAbtwlli 1 fib gtg W 

bft wdtib dwlb bdtdZtra 

Lb d iflb dgp ttAtggm 

K äft A p b g mm b t bt 1 I d Zw 

eiaa oh wol I da s d io ra die i h der W s e h ft gegeb 
11k m t I f ra Ab bw 1dm 

ph 1 dGfbb i misdgbl 

wd— 1 d bdWkl 17 Jh 

dlägl mglgblbfllt bn dlbdg 

Btwkl dW If gfd h Zekm 

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dwd dwdd dglgtld bt-uht 

g dll d nihlglgt 

b h g bl h h St 11 g kl 

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t d wt L klgdB 1 bdflb 

gkötd h tdfid b ädt 

F tb d dZ klglblgWl 



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fclwirkung treten werden Denn die Wahrheit ist ewig, ist göttlich; 
und keine Ent Wickel ungsphafc der Wahrheit, wie eennge auch daa 
Gebiet fei, wos fie urafaaat, kann spurlos vonibergehcn ; Tie bleibt 

bestehen, wenn auch dasOew.md, in nekhc6 schwache Menschen fie 
kleiden, in Staub zerfällt. 

Stettin, den 19. August 1861. 



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Inhalt. 



Erster AlisclinUt. Die einfachen VerktiUpfnugen exten- 

[iver Grössen ■ 

Kap. 1< Addition, Subtraktion, Vielfachung und Theilung 

extenriver OrÖesen 

§. 1. Begriffe und Rechnungsgefetae 1 

§. 2. Zafamm eil hang Bwischen den aus einem System 

von Einheiten ahleitbaren Grössen ■ - ■ ■ 14 

§. 3. Erfet-iung durch Znhlgleichungen ; die Zahl als 

Quotient 27 

Kap. 2. Die Prodiiktbildnng im Allgemeinen 

§. 1. Produkt iweier Grössen 37 

§. 2. Produkt mehrerer Grössen 43 

§, 3. Die verschiedenen Arten der Produktbildnng> • 48 

Kap. 3. Kombinatorisches Produkt 

§. 1. Allgemeine Gefeize der kombinatorischen Mul- 
tiplikation ^ 52 

g. %. Das kombinatorische Produkt als Grösse 69 

§. 3. Aeussere Multiplikation von Grössen höherer 

Stufe 78 

§. 4. Ergäniung der Grössen 86 

§. 5. Pi'odukt in Bezug auf ein Hauptgebiet 94 

§. 6. Vertauschung der Faktoren und AnflÖEung der 

Klammern 114 

§. 7. ZnTfickIcitung und Erfetzung 127 

g, 8. Elimination der Unbekannten aus algebraischen 

Gleichungen 134 

Kap. 4. Inneres Produkt 1 

§. 1, Grundgcfetae der inneren Multiplikation 137 

§. 2. Begriff des Normalen und feine Correlaten 151 

^. 3. Gefetzc der inneren Multiplikation, an den Be- 
griff des Normalen geknüpft 164 

g. 4. Inneres Produkt zweier Grössen erster Stufe - - 188 
§. 5, Einführung der Winkel 195 



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Kap. 5. Anwendung auf die Geometrie 1 

§. 1. Addition u, f, w. von Punkten und Strecken ■ ■ 216 

g. 2. Bäumliche Gebiete Ä8 

§ 3. Kombinatorische Multiplikation der Punkte--- "239 

§. 4, Addition von Linien und Flachen 2T2 

§. 5. Planimetrische ii. storeometrische Multiplikation 287 
§. 6- Gleich Null gefetztes planimetrischea Produkt, 

ebene Kurven 306 

§. 7. Innere Multiplikation in der Geometrie 330 

Xweitev AbselinDtt» Funktionenlehre 2 

Kap. 1. Funktionen im Allgemeinen 2 

g. 1. Reduktion auf eine Variable 348 

g. 2, Ganae Funktionen und Darstellung derfelben 

durch lückenhaltige Produkte 353 

§. 3. Algebraische Multiplikation 36i 

g. 4. Ganze Funktionen ersten Gradea und Darstel- 
lung- deifelben als Quotienten 377 

§. 5. Die Funktionen als extenfive Grössen 39Ü 

g. 6. Verwandtschaften von dem Gefichtspnnkte der 

Funktionsvcrknüpfung aus betrachtet 401 

t) V Kormale Einheiten undStetigkeit der Funktionen 410 

Kap. 2 Diflerenzialrcohnung 2! 

g 1. Djfferenzial erster Ordnung 428 

g 2 DilTerenJialquotient erster Ordnung 435 

g 3 DiEfererzinle höherer Ordnung 443 

Kap. 3 Unendliche Reihen 31 

ä 1 Unendliche Reihen im Allgemeinen 454 

«i 3 Die Reihen als Funktionen einer Zahlgrösse- ■ ■ 460 
g 3 EntWickelung der Funktion einer extenfiven 

Glosse in Reihen 468 

Eäp. 4 Integialrechnung 3' 

^ 1 Integration Ton Differenzialausdrücken 471 

's 2. Integration von DilTerenzialglcicliungon , wenn 

die unabhängige Variable eine Zahlgrösse ist'. 491 
g 3 Integiation >on Differenzialgleichungen, wenn 

die unabhängige Variable eine ustennvo Grösse ist 500 



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Erster Absclinitt. 



^ay. 1. ^Mittum, Subtraktion, Bfiniflfadjimg unö 
lE|)Eiluii8 fftcnffön- ^vö^nt. 

§. 1. Begriffe und Rechiiiiii|:sgesetze. 

1, Erklärung. Icli sage, eine Grösse a sei ans den 
Grössen b, c,' ■ ■ durch lÜe Zahlen ß,Yi'" abgeleitet, wenn 

a = |3b 4- j-c +■■■ 
ist, wo ß, y,' - - reelle Zahlen sind, gleichviel ob rational oder 
irrational, ob gleich null oder verschieden von null. Auch 
sage ich, a sei in diesem Falle ntiraerisch abgeleitet 
aus b, c, • ■ ■ 

2. Erklärung. Ferner sageich, dass zwei oder mehrere 
Grössen a, b, c--- in einer Zahlbcziehung zu einander 
stehen, oder dass der Verein der Grössen a, b, c,--- einer 
Zahlbeziehung unterliege, wenn irgend eine derselben sicli 
aus den übrigen numerisch ableiten Igsst, also wenn sich z. B. 

a = jSb + yc+--. 
setzen lässt, wo /3, )■,■■ ■ reelle Zahlen sind. Besteht der Verein 
nur aus Einer Grösse a, so soll nur in dem Falle gesagt 
werden, der Verein unterliege einer Zahlbeziehung, wenn 
a = o ist. Wenn zwei Grössen a und b, von denen keine 
null ist, in einer Zahlbcziehung zu einander stehen, so be- 
zeichne ich dies durch 

a = b, 
und sage a sei kongruent 1), 



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2 (» 

Anioerkutif!. Zwei reelle Zahlen Hteheii also immer, zwei ver- 
schieden benannte Grössen stehen nie in einer Zahl bezlehung za einander. 
Süll ist aus jeder Grössenreihe numerisch ableitbar, niiinlich durch 
die Zahlen o, o,--' Mehrere Grössen also, unter denen eine null ist, 
stehen stets in einer Zahlbeziebung zu einander. 

Das Zeichen C^) ist in ähnlichem Sinne von Möbius (in seinem 
barycentrischen Calcül) gebraucht. Die Benennung (kongruent) gründet 
sich auf geometriache Bctraclitungen. Zur Bezeichnung abstrakter 
Beziehungen ist sie von Gauss gebraucht. 

3. ErkUrung. Einheit nenne ich jede Grösse, welche 
dazu dienen soll, um aus ihr eine Reihe von Grössen numerisch 
abzuleiten, und zwar nenne ich die Einheit eine ursprüng- 
liche, wenn sie nicht aus einer anderen Einheit abgeleitet 
ist. Die Einheit der Zahlen, also die Eins, nenne ich die 
absolute Einheil, alle übrigen relative. Null soll nie hIs 
Einheit gelten. 

-?l. Erklärung. Ein System vonEin heilen nenne 
ich jeden Verein von Grössen, welche in keiner Zahlbeziehung 
zu einander stehen, und welche dazu dienen sollen, nm aus 
ihnen durch beliebigj Zahlen andere Grössen abzuleiten. 

Anmerk, Hierhergehört auch der Fall, wo der \ereiii nur aus 
einer Einheit besteht (die jedoch nach Nr, 3 nicht null sein darf). 

5. Erklärung Extensive Grösse nenne ich jeden 
Ausdruck, welcher aus einem Systeme von Einheiten (welches 
sich jedoch nicht auf die absolute Einheit beschrankt) durch 
Zahlen abgeleitet ist, und zwar nenne ich diese Zahlen die 
zu den Einheiten gehörigen Abieitungszahlenjener Grösse; 
z. B, ist das Polynom 

«iCi -(- ajej4-- ■ -, oderX^ae oder^iXcOr 
wenn a,, a;,- - ■ reelle Zahlen sind, und e,, e,,- ■ ■ ein Syslein 
von Einheiten bilden, eine extensive Grösse, und zwar ist 
dieselbe aus den Einheiten Ci, ej, ■ ■ - durch die zugehörigen 
Zahlen a,, ßj, ■ ■ ■ abgeleitet. Nur wenn das System blos aus 
der absoluten Einheit (1) besteht, ist die abgeleitete Grösse 
keine extensive, sondern eine Zahlgrösse, Den Ausdruck 
Grösse überhaupt werde ich mir Iiir diese beiden Gattungen 
derselben festhalten. Wenn die extensive Grösse aus den 
ursprünglichen Einheiten abgeleitet werden kann, so nenne ich 
jene Grösse eine extensive Grösse erster Stufe. 



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8) 3 

Anmerk. Aus der Elementarmathematik setzen wir die Rech- 
nungsgesetze für Zahlen, und auch für die sogenannten „benannten 
Zahlen", d. li. für die aus Einer Einheit abgeleiteten estenaiven 
Grössen voraas; jedoch nur für den Fall, daas jene Einlieit eine 
ursprüngliche ist. 

6, Erklärung, Zwei extensive Grössen, die aus demsel- 
ben System venEinheiten abgfeleilet sind, addiren, heisst, iiire 
zu (Jenseiben Einheiten gehörigen Abieitungszahlen addiren, d. h. 

Z^ + Xfe = Zia + ß) e 

7. Erklärung. Eine extensive Grosse von einer andern, 
aus demselben Systeme von Einheiten abgeleiteten subtra- 
hiren, heisst die Ableitungszahlen der ersteren von den zu 
denselben liinheiten gehörigen Ableitungszahlen der letzteren 
subtrahiren, d. h. 

X'öe — ^ße — Z"(« — We 

Anmerk In Bezug auf ä'n, Khramerbez eich nun g halte ich die 
Bestimmung lest, dass ein ohne klammem geschriebenes Polynom oder 
Produkt lus mehreren. Faktoren gleichbedeutend ist dem mit Klam- 
mern gesthiif-bcnen Ausdruck m welchem alle Klammem gleich zu 
Anfang eintreten, alsu a-|-b -(''' = i'^ + b)-(-c, abc = (ab) c 



8. Erklärung. Fm extcnsne Grössen a, 


b, c gelten 


die Fundamentalformeln: 




a + b = b + a, 




2) a + (li + c) = a + li + c, 




3) a + b - b = a, 




4) a - b + b = a. 




Beweis. Es sei a = ^oc, b ^ ^fie, c = 


= Z>'e, so ist 


() » + b=Z^« + Zf«='Z(M-.ß')o 


[nach 6]. 


= Z((*+"«)e =Zße + X«e 


ra. 


= b + a. 




2) a -h (b + e)=XS + (Z^ + Zi^) 




= Z«» +Ztf+)')" 


[6]. 


= Z(n + C/S + rt)e 


[6]. 


= Z(a+|5 + rte 




= Z(o + «e + Zl-n 


[6]. 


= Z«e+Z(!e+Z?e 


[6]. 


= a + b + c 





y Google 



3) a + b- b = X«o +Xh -- Xße 

= ^C H-7)e - Z^° [6]. 

^ ^K e = a 
4) a — b + b = X™ — X?c + X?« 

= X(«-"> + mo [6]. 

= Z>S = a 

9. Für extensive Grössen gellen die sämmtlichen Gesetze 
algebraischer Addition und Subtraktion. 

Beweis. Denn diese Gesetze können, wie bekannt, aus 
den 4 Fundamentalformeln in Wo. 8 abgeleitet werden. 

10. Erklärnng. Eine extensive Grösse mit einer Zahl 
multipliciren heisst ihre sämmtlichen Ableitungszahlcn mit 
dieser Zahl multipliciren, d. h. 

.Zae ■ ß^ß ■ X«e ^X(aß)-s 

11. Erklärung.] Eine extensive Grösse durch eine Zahl, 
die nicht gleich null ist, dividiren, heisst ihre sämmtlichen 
Ableitungszahlen durch diese Zahl dividiren, d, h. 

12. Für die Multiplikation und Division oxlensiver Grössen 
(a, b) durch Zahlen (ß, y} gelten die Fundamentalformeln: 

O ^ß - ^a, 

2) BßY ^ a(,3j.), 

3) Ca + b),- =!,y + bY, 

4) aCß + Y) =aj3 + ar, 

5) a • 1 = a, 

6) &ß = dann und nur dann , wenn entweder a =^ 0, 
oder ß = 0, 

7') 9 : ß = 3 -j, wenn (S ^ ist '). 

Beweis. Es sei a =^ ^ae. b := ^ßa. wo die Summe 
sich auf das System der Einheiten Ci ... Cn beziehl, so ist 

") Das Zeiclien ^ zusammengesetzt aus "7 und ^ soll ungleich 
bedeuten. 



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i) gß = (ia nach der Definitio« [s. Formel in No. 10]. 

ü) 'ßy = X ie ßi = ZS« e 1 110] 

^ ZC-fyje _ [10]. 

= Z«tf?)-« = X«e CM [10], 

=atfrt _ 

3j Ca+b> = ( Z»e + Xf^ ') r = Zl<' h « e >■ [«]■ 
= Z (» + fl)r ■ e _ i;10], 

= Z(»7 + /)rt-^= Z(«rtS + ZffJrtera. 

= Z»'i-r +X|äe-1' ['Ol' 

= a)'-f-b)' 

« a(/i+y)=Z »etf+rt = Z"tf + )•)■' [10] 

= ZW + «rte = ZoCe +Z«?-» [»]■ 

= Zoe-/l + Z<-C7 [10] 
=_a/3 + aj- ^ 

5) a-l = Z8e-l=Zoii [fö]- 

6J aj wenn a = ist, so ist 
a^ = 0-(? = 
b) wenn ß ^0 ist, so ist 

af = a-0 = Z«i!-0=ZÖ^ [10]. 

= ZÖ~ ]^- Anm.] 

= 
c) wenn a^S^O, so hat man 

= a(J = ZS'iS = ZS?^ [10]. 

Hieraus folgt nnn, dass alle Podnkte aß d. Ii, n^ß, o-^/S, 
■ ■ ■ Ob ß nnll sein müssen. Denn gesetzt, es wäre eins der- 
selben, z. ß. Oiß nicht null, so hätte man aus der Gleichung 
= aiß Ol + o^jSea H «„(? e« 

durch Mult. mit -~ die Gleichung 

= e,+Me,.^...«.^^..„der 

'^ o,/jy= ' ^V a,ßj • 
d. h. Ci wäre aus Oj-'-Cn numerisch ableitbar, oder zwi- 
schen den Einheiten ef-'-e^ bestände eine Zahlbeziohung, 



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was gegen die Annahme ist, da e,, ej,-'-ei, ein System von 
Einheiten bilden sollen. Somit ist 

also entweder ^=0, oder wenn ß ^ hl, 

= «,=aj = ---«„ 
also a=:^ae = ^Öe ^:^ ^0~ [5. Anm.l 

d. h. wenn a/3 = ist, so nmss entweder ß oder a gleich 
null sein. 

73 a : ^ — X«e : ß = V— e [H], da ß nidit null ist. 
_ _^ ß 



13. Für die Multiplikation und Division extensiver Grössen 
durch Zahlen gelten die algebraischen Gesetze der Multipli- 
kation und Division. 

Beweis. Denn aus den Fundamentalformeln (1 bis 6) 
des vorhergehenden Satzes folgen in bekannter Weise die 
sämmtlichen algebraischen Gesetze der Multiplikation, und durch 
Formel (7) desselben Satzes wird die Division, ebenso wie 
in der Algebra, auf die Multiplikation zurückgeführt. Also 
gelten auch die algebraischen Gesetze der Division für die 
Division extensiver Grössen durch Zahlen. 

§, 2. ZiiBammenhang zwischen den aus einem System 
von Einheiten ableitbaren Grössen. 

14. Erklärung, Die Gesammtheit der Grössen, welche 
aus einer Reihe von Grössen ai, a2,---an numerisch ableitbar 
sind, nenne ich das aus jenen Grössen ableitbare Gebiet (das 
Gebiet der Grössen a,,- - an^, und zwar nenne ich es ein Ge- 
biet n-ter Stufe, wenn jene Grössen von erster Stufe (d, h. 
aus n ursprünglichen Einheiten numerisch ableitbar) sind, und 
sich das Gebiet nicht aus weniger als n solchen Grössen ab- 
leiten lassl. Ein Gebiet, welches ausser der Null keine Grösse 
enthält, heisst ein Gebiet nulller Stufe. 



y Google 



*6) 7 

Anmerk. Das Gebiet erster Stufe ist also die Gesammtheit der 
Vielfacten einer Grösse erster Stufe, wenn man nämlich unter Viel- 
fachem einer Grösse jedea Produkt der Grösse mit einer reellen Zahl- 
grösse versteht. 

TS- Erklärung. Zwei Gebiete heisseii identisch, wenn 
je(Je Grösse des ersten Gebietes zug'leich Grösse des zwoiten 
ist und umgekehrt. Wenn jede Grösse eines Gebietes CA) 
zugleicli Grösse eines andern (B) ist (ohne dass das Umge- 
kehrte nothwendig stattfindet;), so nenne ich beide Gebiete 
einander incident, und sage dann, das erste Gebiet (A) sei 
dem zweiten unlergeordnet, das zweite dem ersten über- 
geordnet. Die Gesammtheit der Grössen, welche zweien oder 
mehreren Gebieten zugleich angehören, heisst ihr gemein- 
schaftiiches Gebiet, und die Gesammtheit der Grössen, welche 
sich aus den Grössen zweier oder mehrerer Gebiete numerisch 
ableiten lassen, ihr verbindendes Gebiet. 

Anmerk. Ist z. B. das Gebiet Ä aus deu Einheiten Ci, ej, e^ 
abgeleitet und das Gebiet B aus den Einheiten ej, Cj, e^, so ist das 
den Gebieten A und B gemeinschaftliche Gebiet das aus den Einheiten 
ej, Cj abgeleitete, und das A und B verbindende Gebiet das aus den 
Einheiten e|, e^, e^, e^ abgeleitete. 

16. Erklärung. Zwischen n Grössen ai,---au herrscht 
dann und nur dann eine Zabibeziehung, wenn sich eine 
Gleichung 

«1 ai + ■ - - «„a^ = 
aufstellen lässt, in welcher die Zahlen «,,... «i, nicht alle zu- 
gleich null sind. 

Beweis. Denn wenn in der Gleichung 

«1 ai H a„a„ = 

auch nur Eine der Zahlen af,---aa von null verschieden ist, 
z. B. %, so ist die mit dieser Zahl verbundene Grösse a, aus 
den übrigen numerisch ableilbar; denn dann ist 

«2 «3 Ob 

' «1 ^ «1 ^ &i "' 

Umgekehrt, wenn irgend eine Zahlbeziehung zwischen 
den Grössen ai--'an herrscht, z. B. 

ai=fta, +^,a, +■■■ ^„a„ 
so wird 



yGoosle 



8 (1* 

eine Gleichung, in welcher wenigstens der Koellicient von a, 
ungleich nuil ist. 

17. Wenn n Grössen in einer Zahlbeziehung zu einander 
stehen, und sie nicht alle null sind, so muss sich aus ihnen 
ein Verein von weniger als ii Grössen aussondern lassen, 
welcher keiner Zahlbeziehung unterliegt, und aus dem die 
flbrigen Grössen numerisch ableitbai' sind. 

Beweis, Es seien ai----9,^ die in einer Zahlbezichung 
zu einander stehenden Grössen, so muss [nach No. 3] sich eine 
derselben aus den übrigen numerisch ableiten lassen; dies sei 
a„ und sei etwa 

än = Ui9i + ■ • 'ttn— 1 an— 1. 

Herrscht nun zwischen den Grössen a, ---an-, abermals 
eine Zahlbeziehung, so wird wieder eine derselben etwa Bn-i 
aus den übrigen a,,---aii-i numerisch ableitbar sein müssen. 

Es sei 

Führt man diesen Ausdruck für a„_i in die erste Gleichung 
ein, so erhält man 

a., = C«! + «n-i^i) a, + . . ■ ■ Ca„-, + a.-, ß.-2>.-2, 
also ist dann auch an aus ai, ' ■ • an-^ numerisch ableitbar. 

Dies Verfahren wird man fortsetzen können, so lange als 
noch zwischen den jedesmal übrig bleibenden Grossen eine 
Zahlbeziehung stattfindet. Man wird also zuletzt entweder zu 
einer Schanr von mehreren Grössen kommen, die in keiner 
Zahlbeziehung mehr zu einander stehen, und aus denen die 
übrigen numerisch ableitbar sind, oder es bleibt zuletzt nur 
Eine Grösse, etwa Bj, übrig, aus der alle übrigen numerisch 
ableitbar sind. Im letztern Falle darf diese Eine Grösse ai 
nicht null sein, weil sonst alle übrigen Grössen, als numerisch 
daraus ableitbar, auch null sein würden, was der Annahme 
widerstreitet. In beiden Fällen gelangt man also (No, 2) zu 
einem Vereine, der keiner Zahlbeziehung mehr unterliegt und 
aus dem alle übrigen der n Grössen ai-'-a^ numerisch ab- 
leitbar sind. 

18, Erklärung. Wenn in einem Verein von Grössen 
«!> a3,-''an die erste »i nicht null ist, und keine der fol- 



y Google 



1») 9 

gendeii fich aus den vorhergehenden numerisch aMeiten lässt, 
l'o unterliegt der Verein keiner Zahlbeziehung. 

Beweis. Denn gefetzt, er unterliege einer Zahlbczie- 
hung, fo müssle (nach i6) zwischen den Grössen ai , aj,- ■ ^ai, 
eine Gleichung 

«iBi + ß.j3a -(-■■■ agSj, ^= 
aufgestellt werden können, in welcher nicht alle Koefficienten 
«I, ßj, ■ • ■ «n zugleich null find. Es fei et, der letzte unter 
dieren Koefficienten, welcher von null verschieden ist, fo er- 
hält man 

(tia| + (tiRa +• • ■ ßrar = 0, 
alfo, wenn r grösser als \ ist, 

tti ßj «r-I. 

d. h. at ist aus den vorli ergehenden Grössen ai---an_j nu- 
merisch ableitbar, gegen die Vorausfelzung. Ist aber r^^l, 
fu hat man 

alfo, da dann tti ungleich null angenommen ist, 

ai=0, 
was gleichfalls der Vorausfelzung widerstreite!. Alfo kann 
keine Zahlbeziehung zwischen den Grössen a( ■ • ■ an herrschen. 

19. Wenn eine Grösse a, aus n Grössen b,, b^ ■■■ li^ 
numerisch ableitbar ist, und dabei die zu bj gehörige Abli;;- 
tungszahi ungleich null ist, fo ist das aus den n Grössen bi, 
bj ■ ■ ■ ■ b„ ableitbare Gebiet identisch mit dem aus den ri Grössen 
aj, bj, ■ ■ - ■ bn ableitbaren. 

Beweis. Es fei ^1= ßiK -[- ß.^h^ -{ ßj}^, wo j?, 

ungleich null ist, fo ist 

^-r-h -t- 

Ist nun c numerisch ableitbar aus bj, b^, • ■ ■ b„, etwa 
c = hl>i H-rabi +•••■+ yX, 
fü erhält man c als aus a„ h^, • ■ ■ K abgeleitet, indem man 
hier statt bj den gefundenen Werlh fetzt, nämlich 



y Google 



10 («» 

Umgekehrt ist c numerisch ableitbar aus ai, b, , • • ■ b,,, 
etwa 

io erhSlt man c als aus bi, b,, - ■ ■ bn abgeleitet, iiidein man 
statt aj seinen Werth |3ibi + ß^h^ -j-- ■ • j5„b„ fetzt, uäTnlicli 
c^a,/3,bi +(ßj -|-(t,/3,)b,+ ■ ■ . . +,C«„ + a,/?Jb„. 

Airo, jede Grösse, die einein lier beiden Gebiete angehört, 
gehört auch dem andern an, d, h. beide Gebiete find identiseli. 

20- Wenn m Grössen a,, ••• a,,,, die in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehen , aus n Grossen b, , ■ ■ ■ b^, nume- 
risch ableitbar find, Fo kann man stets zu den m Grössen 
öij ■ ■ ■ ^m noch (n-m) Grössen am^., , ■ ■ ■ Sn von der Art hin- 
zufügen, dass fich die Grössen bj , — bn auch aus a^ ■ ■ ■ a„ 
numerisch ableiten lassen, und alfo das Gebiet der Grössen 
ai ■ ■ - ■ Bn identisch ist dem Gebiete der Grössen bj ■ ■ ■ ■ !>„; 
auch kann man jene Cn-m) Grössen aus den Grössen bj • ■ • b^ 
felbst entnehmen. 

Beweis. Nach der Annahme ist aj aus b^ ■ ■ ■ bn ab- 
leitbar. Von den Zahlen, durch welche diefe Ableitung er- 
folgt, niuss mindestens Eine von null verschieden fein, weil 
ibnst ai felbst null wäre, alfo der Verein der m Grössen 
(nach 3) einer Zahlbeziehung unterläge. 

Es fei die zu b, gehörige Zahl von null verschieden, und 
(lies wird man immer annehmen können, da man ja die indices 
beliebig wBhlen kann. Dann ist nacb 19 das aus b,, bj,- ■ -bn ab- 
leitbare Gebiet identisch dem aus a,, bj, • • ■ bn ableitbaren. Man 
habe nun für irgend ein r, welches -< m ist, gefunden, dass 
das Gebiet der Grössen b,, bä,---b„ identisch fei dem Gebiete 
der Grössen aj, a^, • ■ - ar, br; i, ■ ■ ■ ■ b„, fo wird nun, da nach 
der Hypothefis acii aus bj, bj, - - ■ bn ableitbar ist, es auch 
(vermöge der Gcbiets-Identität) aus aj, a,, - ■ - aj, b^+i ■ ■ ■ b^ 
ableitbar fein. In dem Ausdrucke diefer Ableitung ar-n = 
a,ai +■ ■ ■ «iBr -f- iSr+ib, I, -) — - ßj)^ muss nothwendig einer 
der Koefßcienten , die zu br+i, ■ ■ ■ bn gehören, von null ver- 
schieden fein, weil fönst zwischen den Grössen ai- ■ ■ -0,11 eine 
Zahlbeziehung staltfände, gegen die Hypotbefis; es fei dies etwa 
ßt+i, l'o ist, nach 19, das aus ai, - ■ ■ ar, ht+i ■ ■ ■ ■ bn ableit- 



y Google 



«») n 

bare Gebiet identisfli dem avis a^, • ■ ■ ■ arn , b,.;., ■ - ■ • b^ ab- 
leitbaren; alfo auch dies letztere Gebiet identisch (iem Gebiete 
der Grössen l)i ■ ■ ■ ■ b,,. Diefeu Schluss kann man alfo von 
r = l an verfolgen, bis r;=ni wird; d. h. es wird dann das 
Gebiet ai ■ ■ ■ ■ a„b„4i ■ - ■ ■ b„ identisch dem Gebiete bi ■ ■ ■ b„; 
und bezeichnet man dann die Tu übrig; gebliebenen Grössen 
bni+i, ■ ■ ■ bn beziehlich mit am ii, ■ ■ • ^m fo wird das Gebiet 
der Grössen Sj ■ ■ - a^ identisch dem Gebiete der Grössen 
bi . ■ - b„. 

21. Wenn n Grössen (ai, - ■ ■ 3^"}, welche in keiner Zahl- 
beziehungf zu einander stehen, aus n andern Grössen (b,, - ■ b^ 
numerisch ableitbar find, fü ist das Gebiel der ersten Grössen- 
reihe identisch dem der letzteren. 

Beweis. Man hat nur in dem vorhergehenden Satze 
ni = n zu fetzen, fo erfolgt der zu crweifende Satz. 

22. Wenn n Grössen (ai, ■ ■ ■ a„) aus weniger als n Grössen 
(h,, • ■ ■ b„) numerisch ableitbar find, fo stehen jene n Grössen 
«lets in einer Zahibeziehwng zu einander. 

Beweis Es Teicn Bj, ■ ■ ■ an aus bi • ■ ■ b^, abieitbar, wo 
m n ist Nun können a, • ■ ■ a^, entweder in einer Zahlbe- 
ziehung zu einander stehen oder nicht. Im ersteren Falle 
blühen luoh i, an, da unter ihnen die Grössen ai,'--a„ 

vorkommen in cintr Zahlbeziehung zu einander. Im zweiten 
Falie ist das Gebiet der Grössen aj ■ ■ - a^ (nach 21} iden- 
tisch dem Gebiete der Grössen bi---bn,, alfo ist jede aus 
bi,- ■ -h^ numerisch ableitbare Grösse auch aus ai,- ■ -a^ nume- 
risch ableitbar, alfo find namentlich die Grössen am+i,---a„, 

welche ndch der Hypothefis aus bj, bn, ableitbar find, auch 

aus aij—am ableitbar, d. h. auch im zweiten Falle besteht 
zwischen aj'-'-Ru eine Zahlbeziehung. 

23. Wenn ein Gebiet n-ter Stufe ans n Grössen erster 
Stufe ableitbar ist, fo stehen diefe in keiner Zahlbeziehung 
zu einander, und umgekehrt: Wenn n Grössen erster Stufe 
in keiner Zahlbcziehnng zu einander stehen, fo ist das aus 
ihnen ableitbare Gebiet ein Gebiet n-ter Stufe. 

Beweis. Es fei A das aus den n Grössen erster Stufe 



y Google 



13 (»* 

ai-'—fln ahleitbare Gebiet. Wenn nun zuerst A ein Gebiet 
n-tor Stufe ist, fo können ai ■ • - ■ dn in keiner Zahlbeziehung 
zu einander stehen; denn dann würde rick eine dieser Grössen 
aus den übrigen ii — i numerisch ableiten lassen, alfo auch diis 
Gebiet aus diefen n — i Grössen ableitbar fein, was dem Be- 
griffe des Gebietes n-ter Stufe [nach 14] widerstreitet. Zwei- 
tens umgekehrt, wenn a,, ■ • • an in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehen, fo können lle [nach 23] nicht aus weniger 
als n Grössen numerisch abgeleitet werden, ali'o auch das aus 
ai,- ■ ■»„ ableitbare Gebiet nicht, a!fo ist dies Gebiet [nach 14] 
von n-ter Stufe. 

24. Jedes Gebiet n-ler Stufe kann aus n Grössen erster 
Stufe, die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, ab- 
geleitet werden, und zwar aus beliebigen n folcher Grössen 
des Gebietes. 

Beweis, Denn es feien ai, • ■ - ■ »„ die Grössen, aus 
denen ursprünglich das betrachtete Gebiet hervorgegangen ist, 
und feien bj, ■ ■ • b„ n Grössen diefes Gebietes, die in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehen. Da hj, ■ ■ ■ b„ dem aus 
a(, ■ ■ ■ Ba abgeleiteten Gebiete angehören, fo werden fich 
[nach 14] die Grössen bi- ■ -b^ aus a,- ■ -ao numerisch ableiten 
lassen, und da zugleich jene Grössen bi---bn in keiner Zahl- 
beziebungzu einander stehen [Vorausfetzung], fo wird [nach 21] 
das aus bi bn ableitbare Gebiet identi'ith dem aus ai iIq 
ableitbaren 

Anmerk Durch dieXtn Sata i=t ledti ipecilische Unttiscliiii 
zwischen den urspi un glichen Einheiten i nd den doraofe nuracnseh 
abgeli.it eten Grossen autgelioben, indem man jedes Gebiet, statt aus 
den nrsprunghch iu Grunde gelegten ii Einlieitun, auch ans beliebigen 
n Glossen dieles Gebietes, die lu keinei Zahlbeziehnng /.u cinamler 
efehün ableiten, und dicfe GiO''=en alfo statt lenei crsteicn als Ein- 
heiten Tctzon kann Es biitte fich diefer wichtige Sati aiicli diiekt 
aus der Theorie der Elimination ableiten lassen In d^r That ist unfi-r 
Satz nur eine Tranafnimation. des Satzes Wenn n blossen Vi Vn 
ganze homogene Fniiktionen ersten Gradefi lon n andeien x, Xn 
find, und die ersteren iii kern m anderen Falle alle ziigeich nnll 
werden lionuen als wenn auch die letiteion alle null werden, io 
lasBtn fich aueh die letzteien (xj ^nl als gaiiie homogene Tinil - 
tionea ersten Grades ^on den crsteien (\, \n) daistellcii 



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»») 13 

Doch ist der hier geiieferte Beweis nicht nur elementarer, fondem 
hat auch den Voraug, dass dabei die wefentlichaten einfachen Bezie- 
hungen zwisclien den extenrivcn Grössen klarer li ervortreten. 

23. Die Stufonzalilen zweier Gehiete find zurammen- 
genommcii ebenfo gross als die Stufenzahlen ilires gemein- 
schaftlichen und ihres verLindenden Gebietes zufammenge- 
nommen, d, h. wenn m und n die Slufenzahlen der gegebenen 
Gebiete find, r die ihres gemeinschaftlichen, v die ihres ver- 
bindenden Gebietes, fo ist 

m -f n :^ r -f- V. 

Beweis. Es feien A und B die beiden gegebenen Ge- 
biete m-ler und n-ter Stufe, und fei A aus den Grössen 
ai-'-Cm, B aus den Grössen b,----b„ ableitbar. Dann kann 
[nach 23] weder zwischen ai-'-a^j, noch zwischen bi---bn 
eine Zahlbeziehung herrschen. Ferner möge fich ein Verein 
von r, aber auch nicht von mehr, Grössen finden lassen, welche 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und welche bei- 
den Gebieten zugleich angehören. Diefe Annahme wird immer 
zulässig fein, da r auch null fein darf. Es feien Cj ■••Cr 
diefe Grössen. Dann wird man [nach 20] in die Reihe der 
Grössen ai--'-a„ statt r derfelben, etwa statt a,--'-ar die 
Grössen Ci---Cp in der Art einführen können, dass das aus 
diefcr neuen Grössenreihe ableitbare Gebiet identisch fei dem 
Gebiete A, Ebenfo wird man in die Reihe der Grössen 
bi---bn statt r dcrfeibon, etwa statt b,---br die Grössen 
Ci--'Cr in der Art einführen können, dass das aus diefer 
neuen Grössenreihe ableitbare Gebiet dem Gebiete B identisch 
fei. Dann ist also A ans den m Grössen Cj ■ ■ - ■ c,, ar+i • ■■ -an, 
ableitbar, und B aus den n Grössen c, ■■■■Cr, br+i----bn. 
Keine diefer Grössenreihen unterliegt [nach 33] einer Zahlbe- 
ziehung. Dann ist klar, dass alle aus c,---Cr ableitbaren 
Grössen den Gebieten A und B gemeinschaftlich find; aber 
auch keine andern, da es fenst, wider die Annahme, mehr 
als r in keiner Zahibeziehung zu einander stehende Grössen 
geben würde, die beiden Gebieten A und B gemeinschaftlich 
wären. Das den Gebieten A und B gemeinschaftliche Gebiet 
ist alfo das aus Ci--'Cr abgeleitete Gebiet, alfo [nach 23] ein 



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14 f«6 

Gebiet r-lur Stufe. Nun bilden ferner alle Grössen c, ■■-Cc, 
ar-n*-'8m) f'rn'-'-hn eine Reihe von Grössen, die in keiner 
Zalilbeziübung zu einander stehen. Denn gefetzt, es herrschte 
zwischen ihnen eine ZahMiezichung, fo müsste diefe von der 
Form 

a 4- b + c^O 
fein , wo a aus a? 1 1 ■ ■ ■ ■ a,„ , h aus br-i-i - ■ ■ ■ b„ , c aus Cj ■ ■ ■ c r 
abgfeieilet ist. Hier können weder a noch b null fein. Denn 
wäre a null, fo wäre b -\- c:^0, und es bestände alfo eine 
Zahibeziehung zwischen den Grössen br-ii- ■ ■ -b^, Cf-'-c^, 
was, wie bewiefen, unmöglich ist; und wäre b null, fo be- 
stände eine Zahlbeziehung zwischen ar+i-'-a^,, Ci-''Cr, was 
gleichfalls als unmöglich nachgewiefen ist. Stellen wir die 
obige Gleichung in der Form dar 

a=c — b ~c, 
fo ist die linke Seite aus at-fi--''ani numerisch abgeleitet, 
gehört alfo dem Gebiete A an, die rechte Seite ist aus 
t'r4i' ■ ■hn, Ci'--Cr numcnsch abgeleitet, gehört alfo dem Ge- 
biete B an, folglich gehört h dann beiden Gebieten zugleich 
an. Da aber a aus arH-i-^a^ numerisch abgeleitet ist, und 
zwischen ar_|., ■ ■ -am, Ci---Cr keine Zahlbcziehung herrscht 
(wie oben gezeigt wurde), fo ist a nicht aus Ci'---Cr ab- 
leitbar. Alfo würden dann die Gebiete A und B mehr als 
r in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grossen ge- 
meinschaftlich haben, was gegen die Vorausfetzung ist. Somit 
folgt, dass der ganze Verein der Grössen c^- • -Cr, ar+i---an.i 
br+i---bn keiner Zahlbeziehung unterliegt. Das aus diefcn 
Grössen ableitbare Gebiet besteht aber aus den fämmtlichen 
Grössen, welche Och aus den Grössen der Gebiete A und B 
abieilen lassen, d. h. ist ihr verbindendes Gebiet. Die Stufen- 
zahl desselben fei v, fo ist [nach 22] v gleich der Anzahl der 
Grössen c,-'-Cr, a,+i--'a„, br-i-i---b„, d. h. 

V ^=m -f 1 — T) oder 

m + n z^ r + V, 
2fi. Zwei Gebiete (A und ß], welche beziehlich von 
a-ter and jS-ter Stufe find und in einem Gebiete n-ter Stufe 
liegen, haben, wenn a -|- |3 >- n ist, mindestens ein Gebiet 
von (a + ß —- n)-ter Stufe gemein. 



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28) 15 

Beweis. Das A und B verbindende Gebiet fei von v-ler 

Stufe, das ihnen gemeinschaftliche von r-ter Stufe, fo ist 
[nach 25] 

et -f- ^ = r -f- V, liier t = a + ß — v, 
d. h. Da A und ß in einem Geriete n-ter Stufe liegen, fo 
liegt auch ihr verhiudendes Gebiet in diefem Gebiete n-ter 
Stufe, alfo ist v entweder ebenfo gross oder kleiner als n, 
alfü r = a -\- ß — v entweder ebenfo gross als a -j- j9 - n 
oder grösser. 

Alimerk. Die bisher entwickelten Sätae finden ficli sclioii, wenn 
glcicli meist in anderen Formen, in meiner ersten BearbeitunK der 
Ausdehn angslelire vom Jalire 1844, und zwar Sata 18 und 33 Tind 
genau iu der entsprechenden Form in §. 20 jenes Werkes, Satz 24 in 
§. 126 enthalten, nnd auch die Idee des BewciCeä für diefe Slitzc ist 
liier und dort dief'lbe. 

g. 3, Die Zahl als ftuotieiit extensiver Grössen 

nnd Ersetzaiig der Gleichungen zwischen extensiven Grössen 

durch Zahlgleichungen. 

27. Krklärung. Ich nenne zwei Voreine von Glei- 
chungen einander erfetzend, wenn ficb jeder von beiden 
Vereinen aus dem andern ableiten lässt. 

Anmerk. Hierbei ist auch der Fall eingeschlossen, in welcliem 
einer der beiden Vereine oder jeder von beiden nur aus einer Glei- 
clmng besteht. 

38. Eine Grösse x, welche aus n in keiner Zalilbeziehung 
zu einander stehenden Grössen aj- ■ ■ -a^ abgeleitet ist, ist dann 
und nur dann null, wenn ihre n Ableitungszahlen null finJ, 
d. h. die Gleichung 

(a) x,a, + x^a^ -\ hx„H„ ~ 

wird erfetzt durch die n Gleichungen: 

(b) = X, ^ X, -^ ■ ■ . . -^ x„. 

Beweis. Denn wäre irgend eine der Ableilungszahleti 
von null verschieden, fo würde vermöge der Gleichung (a) 
nach 16 zwischen a, ■ ■ ■ ■ a„ eine Zahlbeziehung herrschen, 
gegen die Annahme. Gilt alfo die Gleichung (a^, fo gilt auch 
der Gleichungsverein (b). Umgekehrt, gilt der letzte Verein, 
r« folgt daraus die Gletcliung (a). Alfo wird dicfe Gleichung 
durch jenen Verein erfclzt. 



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i6 («» 

39. Zwei Grössen eines Gebietes n-ter Stufe find dann 
und nur dann einander gleich, wenn ihre n zu denfelhenEin- 
heitcn gehörigen Ableitungszahlen einander gleich lind, d. h. 
die Gleichung 

(a) c,ei + 0^62 +-*--«ne„ = ^,ei +|3je,-| j?„e^ 

wird erfctzt durch die n Gleichungen 

Beweis. Denn die Gleichung (a) wird erl'etzl durch die 
Gleichungen 

(«1 -^i)Oi + C% -lS.3ei + ■ . . + K - Wen = 0, 
und diefe (nach 26) durch die n Gleichungen 

= a, — jSj ^ 0:5 — ,3ä — — a„ ■- ß^, 

d. li. durch die n Gleichungen 

a^^ßi, a^ = ßu ■■■, a„^j3„. 

30. Erklärung. Wenn eine extenUve Grösse a aus 
einer andern b, die nicht null ist, fich numerisch ableileii 

lässt, To verstehe ich unter — die Zahl, durch welche b aus 
a 

3 abgeleitet werden kann, d. h. 

— = a, wenn a .? 0. 
a 

31. Wenn 2 Grössen Ca und b) aus derfelben Grösse 
(c) numerisch abgeleitet And, und die zweite niclit null ist, 
io kann man, stutt die erste durch die zweite zu dividrreii, 
die Ableitungszahlen entsprechend dividireii, d. h. 



Beweis. Wenn ^c ^ ist, fo ist (nach 13, 6) auch ^ ^ 

ond c ^ 0. Dann ist ac=^ —(ßo) nach 13, alfo 

P 

32. Eine Gleichung, deren Glieder alle aus derfelben 
Grosse (a) numerisch ableitbar find, wird durch eine Gleichung 
erfetzt, die man erhält, indem man alle Glieder der ersteren 
durch eine beliebige aus jener Grösse (a) numerisch abieil- 



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34) 17 

bare, aber von null verschiedene Grosse dividirl, d. h. die 
Gleichung 

(a] an + ßa-i = Uia + ß^a -{ 

wird erfetzt diircli diu Gleichung 

(b) — 4- ii- + . - = =i- -^ 1'- -f, , . wenn oa ^ 0. 

Beweis. Wenn ga^O, fo muss [nach 13, 6] fowohl 
^^0 als 9^0 fein. Somit kann man a auch, da es von null 
verschieden ist, als Einheit betrachten. Dann wird, nach 39, 
die Gleichung (a) erfetzt durch 

« + !*+■■■== «1 + A+"-, 
oder, wenn man durch g^O dividirt, durch die Gleichung 

_«+!+. ._^ + ^-H---, 

d. h, (nach 31) durch die Gleichung 

^,^_l „^t^_] 

ea ea Qi^ ei3 

33. Erklärung. Wenn die Grössen a^ ■■ -an in keiner 
Zaiilbezichung zu einander stehen, und die Grosse 

a ^^ «181 + «2O2 + . ■ • ■ -f a^a« 
tit, To nennen wir, wenn m kleiner als n isl, die Grösse 

„die Zurückleilung der Grösse a auf das Gebiet aia^ ■ ■ ■ -a^, 
unter Ausschliessung des Gebietes a^-na^-i-s ■ ■ ■ ■ an-" Wir 
fagen, die Zurückleitungon mehrerer Grössen feien in dctn- 
felben Sinne genommen, wenn die Grössen auf dasselbe Ge- 
biet und unter Ausschliessung; desselben Gebietes zurück- 
geleitet sind. 

Anmerk, Wenn ins Befoudere a^ßiai 4- ttjdj -| «nan ist, 

fü ist z. B. ßja, die Zuriickleituiig von ft auf das Gebiet a, , unter 
Ausschliessung des Gebietes »!■■ 'an, ferner; wenn a^^ctjai + tl^aj ist, 
fo ist «,81 die Znriiclileitnng auf das Gebiet a,, unter Ausscbliessang 
des Gebietes ai. 

33. Jede Gleichung, deren Glieder Produkte je einer 
exlünfiven Grösse mit einer Zahl find, wird, wenn die exten- 
fiven Grössen einem Gebiet n-ter Stufe angehören, erfelzt 
durch n Zahlengleichungen, die man erhalt, indem man in 
der gegebenen Gleichung statt aller extenfiven Grössen ihre 



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18 (3ä 

zu tiertelben Einheit gehörigen Ableitiingszahlen fetzt; und 

zwar gilt dies, welche n in keiner Zahlbeziehung stehende 
Grössen des Gebietes man auch als System von Einheiten an- 
nehmen tnng, (I. h. die Gleichung 

(a) aa'+(3b+-.-=:«lt ^--tl+■.■ 
in welcher 

a = ßjei -\- ■ ■ ■ «„e^, k = x^ei -[-■■■ ^„''n 
h—ßiO^ -I /3„e„, l = Vi -I K,e^ 

ist, wird erfetzl durch die n Gleichungen 

Ia«! + jS/5i H — ■ = xjc, -f -Ui H 

vorausgefetzt, dass ei---e„ in keiner Zahlbeziehung zu ein- 
ander stehen. 

Beweis. Setzt man in die Gleichung (aj die Ausdrücke 
für a, b, ■ ■ ■ ■ k, 1, ■ ■ ein, fo erhält man 

t««i + /3ft -'r ■■■>!+ (aa, -\- ßß2 -\- ■ • ■>2 + ■ ■ ■ C««„ + 
ßß. + ■ ■ OCn - C««i+^., f ■ ■ Oeif ■ ■ ■C'c^„+'U„-f- ■ ■ Of«. 
Diefe Gleichung wird (nach 39) erfetzl durch die n Glei- 
chungen 

aa, + ßß,-\----=H>c,i-U,+--- 
a«ä + ßßi -I = ax., + XX., -1 

äa„ -[■ ßß^-\ = «Ä„ + .U„ + ■ ■ . 

33. Jede Gleichung, deren Giieder Produkte je einer 
extenfiven Grösse mit einer Zahl find, bleibt bestehen, wenn 
man statt aller exlenfiven Grössen ihre in demfulben Sinne 
genommenen Zurückleitungen fetzt. 

Beweis. JMan nehme an, die gegebene Gleichung fei 
die Gleichung (a) des vorhergehenden Satzes, in weicher a, 
b, ■ - • ■ k, 1 ■ • diefelbe Bedeutung haben wie vorher, fo ist 
zu zeigen, dass diefe Gleichung auch fortbesteht, wenn man 
statt der Grössen a, b, • • • k, 1 ihre Zurückieitungen auf das 
Gebiet e^- ■ ■ -e^, unter Ausschliessung des Gebietes ß^H' ' ' '^^^ 
felzt, d. h. düss auch 

Cc) KU' ■{- ßh- -\ — «k' -I- XV -{-■■■ 



yGoosle 



füi , wo a' = «iCj -}-■■■ «mOm) I* = "l^l "h ■ 

b' = jSiCi -I /?„(;„, 1 = Vi + ■ 



ist. In lior That wird die Gleichung (ü) erfetzt iturcli dio 
II Gleichungen (h) der vorigen Nummer. Multiplicirt man nun 
diu ersten m dieser n Gleichungen beziehlich mit Cj, Cj, ■ ■ - e,„ 
und addirt die fe erhaltenen Gleichungen, (o erhnlt man die 
zu erweifende Gleichung (cj. 

Anmerk. Es liegt Meriii zngleich der speciellere Satz, das9 
gleiche Gröäsen, in gleieliera Sinne zarilckgeleitet, aucii gleiche Zurück- 
Icitnngeii geben, oder anders auegedräckt, daaa die Zuriickleitung 
einer gegebenen Qrösee bestimmt ist, wciin das Gebiet, auf welches, 
imd das Gebiet, unter dessen Ausschliessung zurilckgeleitet werden 
Toll, gegeben ist. 

3B. Wenn die. Zahlen Xj- ■ ^x^, durch welche eine exten- 
five Grösse x aus einein System von n Einheiten ej , e^ , ■ ■ • e^ 
abgeleitet wird, einer Gleichung m-ten Grades genügen, fo 
genügen auch die Zahlen yi ■ ■ ■ Yn, durch welche dierelbo 
Grösse aus einem System von n andern dasselbe Gebiet lie- 
fernden Einheiten a^, a^ ■ ■ ■ Bq abgeleitet wird, einer Gleichung 
ni-len Grades, und zwar ist die letzle homogen, wenn die 
erste es ist. 

Beweis. Es ist nach der Annahme 

X ^= XiCi -|- XjGj -| ■ XqOu, 

und zwischen diefen Ableilungszahlen bestehe die Gleichung 

fCx„..--x„)^0, 
in welcher f das Zeichen einer Funktion m-ten Grades ist. 
Nun müssen die neuen Einheiten % ■ ■ ■ • flni ^^ ^'>-' ^^'^ CJe- 
biete Ci e^ angehören, aus diefen Einheiten e^, ■ ■ ■ c^ ab- 
leitbar fein. Es fei 

aj =^<h,Te^^aijCi ■}■ a,^2^i -j-. . ■ aj^e^, 

an=X^ßn,re,==ce„,iei:f «0,362 -| «o.n^n- 

Ferner, da Yi--'- Jn die Ableilungszahlen in Bezug auf 
diefe neuen Einheiten fein follen, fe hat man auch 
X = yi«! -f Yaöa -i y^aa, also 



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XiBi -f XaCi -I x„e„ 

= yi^i +Jfj H — yuSn. 

= ZCy,«r>i +ZCyr«..0-e, +• ■ ■ -fZCyrM'''- 

Alfo nach 29 

Xi = Xar,iyr^«l,iyi + (*a,iyi +■•■ «n,iyn. 

X2 = Z^«,,5yr=ai,2yi+ßi,2y2-J «n^syn, 

Xo=Z^ß,^„y,= ai,„yi+ßä,„yiH Vi^y«' 

il. h. Xj, ■ - ■ -Xn find ganze homogene Funklioiien ersten Gra- 
des von yi----y„, folglich, fetzt man in 

r(xi,----x„)^o 

statt Xj, ■ ■ • Xji (liefe Werlhe, fo erhält man eine Funktion 
ni-ten Grades von yi-*--yn «n<l zwar eine homogene, wenn 
diu erslere eine folche war. 



jfin}). 2. ^tc 39ro)mhtbilömig im ^Udhi 
§, 1. Produkt zweier Grössen. 
37. Erklärung, Unter dem Produkte [ahj einer exten- 
riven Grosse a in eine andere b, verstehe icii diejenige extcn- 
five Grösse (oder auch Zahlgrösse), die man erhält, indem 
man zuerst jede der Einheiten, aus denen die erste Grösse a 
numerisch abgeleitet ist, mit jeder der Einheiten, aus denen 
die zweite b numerisch abgeleitet ist, zu einem Produkte 
verknüpft, dessen erster Faktor die Einheit der ersten Grösse 
und dessen zweiter Faktor die Einheit der zweiten Grösse ist, 
dann dies Produkt mit dem Produkte derjenigen Ableitungs- 
zahlen multiplicirt, mit weichen jene Einheiten verknüpft waren, 
und die fämmtlichen l'o gewonnenen Produkte addirt, d. h. es ist 

wo e,, Cj die Einheilen, aus denen die Grössen numerisch 
abgeleitet find, a,, a^ die zugehörigen Ableitungszahlen be- 
zeichnen, und die Summe fich auf die verschiedenen Werthe 
der Indices r und s bezieht. 

Anmerk. Da dos Produkt extcnfivcr Grössen nach der Erklä- 
rung wieder entweder eine extenfive Grösse oder eine Zahlgrösse ist. 



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»9) 



21 



fo muES dasselbe [nach 5] aus einem System von Einheiten numerisch 
ableitbar fein. Welches dies System von Einheiten fei, und wie aus 
ihnen die Produkte e, ej, aus denen jenes Produkt zue am m engere tzt 
ist, numerisch abzuleiten feien, darüber Tagt die Definition niclita 
aus. Soll alfo der Begriff eines befondcren Produktes genau festge- 
stellt werden , fo müssen noch über jenes System von Einheiten und 
über dicfe Ableitungen die nöthigcn Beatinimungen getroffen werden. 
Sobald diefe Bestimmungen getroffen find, fo gelit aus der allgemeinen 
Gattung der Prod uktbil düngen , wie fie oben festgestellt wurde, eine 
befondere Art der Produktbildung hervor. Hat man z. B. das Pro- 
dukt P=[{x,e, + xje,) fyie, +yie,)], fo iat dasselbe [nach37J gleich 
x,y, [e, ei] + x,yi[e,ei]-i-Xiy, [e,e,l-fxiyi[ejei] Befondere Arten 
der Produktbildung würden nun hervorgehen, ^lenn noch die Em 
leiten festgefetzt würden, aus denen dies Produkt numerisch abge- 
leitet werden fol! , und die Art bestimmt würde, nie die vier Piodukte 
[Cie,], [eiCj], [ejei], [e,ej] aus jenen Einheiten numeriscii abzuleiten 
find; fo z. B. könnte festgefetst werden, dass diefe vier Produkte 
leibst das System der Einheiten bildeten , aus denen P numensch ab 
anleiten ist, dann find xjyj, ijy], sjy,, x^y^ die Ableitung sz all len lou 
P; und wir h5tten eine befondere Art der Produkttnldung , die [ich 
dadurch auszeichnen würde, dass zu ihrer Feststellung keine Glei 
chungen erforderlich wären. Oder man könnte drei unter ihnen, etwa 
[eiej, [ciej], [e^C]] als Einheiten festfetzen, und die Bestimmung hm 
zufügen, dass Teae,] =; [ciCj] fein follte; dann würden die Ableitungs 
zahlen von P fein x.yj, (Kjyi 4- xjy,) , Xiyjj eine Art der Produkt 
hildung, die fich dadurch auszeichnen würde, dass ihre Gcfi.tze mit 
denen der algebraischen Multiplikation identisch fein würden Oder 
man könnte eine unter ihnen, z. B. [eiej], als Einheit festletzen, au6 
welcher das Produkt P numerisch abzuleiten fein foll, und für die 
Übrigen etwa die Bestimmungen treffen, dass [ejCiJ^^O, [eje,] = — 
[e,eäj, [eje,l=0 fein foll. Dann würde das Produkt P nur eine 
Ableitungizolil haben nimlichx,}, — Xjji , eine Produktbildung, die 
ich unten kombinatorische genannt habe Ja man könnte auch ein 
System lon anderen Emheiten, untei denen [e^ei], [CiOj], [e^e,], [eie,J 
nicht \orkamen, zu drnnde legen und dann bestimmen, wie diefe 
\iei Piodukte aus ihnen abzuleiten feien, z ß könnte man etwa die 
abfolute Einheit zu Grunde legen, und etwa Jestfetzen, es folle [eiCj] 
= 1 [e e ] = [0)6 ] i^ [ejejj — 1 fem in diefem Falle würde P 
Z hl n ml 1 = j + 3 f P d ktb Id g d cb 

t g t J b g w t w d h ui d j Igen 

Cft bhdl wllia d allgm Erkl u g l Pro- 

dukt 37 h g h d 1 h 1 fü 11 A t d I ro- 

dukte gelten 1 h h b d P d kt d h Kl mm 11 en, 

um on d m g h 1 h P d kt d Alg b t h den. 



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23 



c«« 



38. Stall zu einer Grösse a einen Faktor b hinzuzu- 
fügen, liann man ihn in dem Ableitungsaiisdruck der erstüreii 
jeder Einheit ouf entsprecJiende Weife liinKufiigon, i\. h. 
[Z«re,l)]-Xß.[^. 
Beweis. Es fei !) = ^ß^ e, fo ist 
[^a.'e'M = [Ä^X^T^J =R¥ X^] [371 

= Z«i^,[eieJ -r Za,ß,[e^i + ■ ■ ■ ■ [9] 

-«iLeiZ^Äl + a,[e,Zl?.e,l-[-_^- ■ [371 

3!). Ein Produkt zweier Faktoren, dessen einer Faktor 

eine Summe ist, ist gleich einer Summe von Produkten, dio 
man erhält, indem man in dem ursprünglichen Produkte, statt 
des zerslückten Faktor's, nach und nach jedes Stück fetzt, d. h. 

[(« + b+--Op] = [»p] + [i)pl + ---- 

lpCa + b+-.0) = [pa] + [pb] + ----. 

Insbefondere ist 

[C« + b)c] = [«c] + [bc] 

[c(, + b)] = [c!i]+J>b]. 

Beweis. Es fei a = .^«,e„ b = Xß,f,,-i , fo ist 

[(» + b+-^p] ^ 

= i(Zv.+Xß,',+ ' - ■)p] = [Z(»,+ft-|--"->,P] [91 
=.^C»,+l»,+ -0[e,p] [38] 

= Z«Je,p] + ZftjAPl + ■ ■ ■ • [9] 

= [Z«,o.p] + [ZC,e,pl+-" [38.1 

= [»P] + [bpH . 

Somit ist die erste Foriiiül bewiefen. Den Beweis der zweiten 

Formel erhält man aus dem der ersten, wenn man den Faktor 

p überall als ersten Faktor einfetzt. 

30. Statt den einen Faktor eines Produktes Czweier 

Faktoren) mit einer Zahl zu miiltiplioiren, kann man das ganze 

Produkt mit diefer Zahl mnitipliciren, d. h. 
[tKaJl'] ^ f'[ab] 
[b(oa)] = o[ba]. 
Beweis. Es fei a=Z«rer; fo ist 



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«S) 23 

[C«a)b] = [C« Zcw)t >] = rZ«är^. !>] [^0] 

= J^aa,[eM [38] 

= <(Zä;ieJ] [13] 

= «[Xß;^.b] [38] 

= a[ab]. 
Der Beweis der zweiten Formel ergiebt ficli, wenn man 
h iiherall als den ersten der beiden Faktoren fetzl. 

ill. Stall zu einer Grösse, die aus beliebigen Grüssen 
a, b, ■■■ niimeriscli abgeleitet ist, einen Faktor p hinzuzu- 
fügen, kann man ihn in dem Ausdruck diefer Ableitung zu 
jeder der Grössen a, b, ■■• auf entsprecbendc Weife liinau- 
fiigcn, d. h. 

[(«a + |Sb + ■ - Op] = «[ap] + /5[bp] + . ■ ■ und 
[pCaa + ^i) + . . 0] -= a[pa] + i5[pb] + • ■ ■ . 
Beweis. [Caa-hiSb + - ■ Op] = [(«a)pM-[(^b)pH-- ■ ■ [39] 
^a[ap]+j3[bp]-|-.-. [40]. 

42. Das Produkt zweier Faktoren, welche aus beliebigen 
Grössen numerisch abgeleitet ilnd, erhält man, indem man 
zuerst stall jedes Faktors eine der Grössen fetzt, aus denen 
er abgeleitet ist, das fo gewonnene Produkt mit dem Produkte 
der zu xlcn fubstiluirlen Grössen gehörigen Ableitungszahlen 
multiplicirt, und die lammtlichen Produkte, welche fich auf 
diefe Weife bilden lassen, addirt, d. h. 

wo a^, b, beliebige Grössen, a,,, ß, beliebige Zahlen find. 

Beweis. [XöÄXßX] =^K,[»r^ßX\ [4 1 ] 

= ZßX^,[a,bJ| [4f] 

= ÄWa.bJ [13]. 

g. 2. Produkt mehrerer Grössen. 

43. Erklärung. Wenn aus einem Produkte ein anderes 
dadurch abgeleitet werden kann, dass man statt jedes Faktors, 
der in dem ersten Produkte vorkommt, einen andern (ihm 
gleichen oder von ihm verschiedenen) Faktor felzt, fo nenne 
ich die beiden Produkte einander entsprechend, und nenne 



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24 



(44 



jeden Faktor des ersten Produktes entsprechend dem für ihn 

Fubstiluirten des andern Produktes, Zweien Grössen oder 
zweien entsprechenden Produkten beziehungsweife zwei Fak- 
toren in entsprechender Weife hinzufügen, heisst fie fo liin- 
zufügen, dass die entstehenden Produkte wieder einander 
entsprechend werden, und zwar fo, dass der in dem einen 
und der in dem andern Produkte hinzugefügte Faktor ent- 
sprechende Faktoren werden, und die bisher einander ent- 
sprechenden Faktoren auch entsprechend bleiben. Ein Produkt, 
in welchem die Faktoren a, b, -•■ irgend wie enthalten find, 
werde ich, wo es angemessen scheint, mit P»^ b,... bezeichnen; 
dann druckt innerhalb derfelben Entwickelung Ph, (, ... das ent- 
sprechende Produkt aus, in \ 1 h n d' F kt t 
der Reihe nach den Faktoren ab p 

All merk. Diefe Beetimmung 
allen Zweideutigkeiten entgehen D F 

Produktes extenfiver Grössen wede Um h 

noch zu befoniiereu Produkten v g d 

Art, wie ein Faktor in das Produ gm A 

Beispiel zweier entsprechender Pro t P k b 

d(ef) gewählt, wo die Faktoren R h p h 

Sollen zu ihnen noch bezielilicli dii. g 

Weite hiningefügt werden, to ka A g 

schehen, z- B. fo, dass die Prodi g g 

oder a(bgc) und d(ehf) u. f. w. W B g g 

Klammern hetrifft, [o verweife ich N 

aa. Wenn ein gegeben P uk n F k p 

hält, der aus beliebigen Gross b u h d Z 

len q, r, s abgeleitet ist, und man fetzt in jenem Produkte 
statt des Faktors p nach und nach die Grössen a, b, c, ■■-, 
multiplicirt die fo erhaltenen Produkte beziehlich mit q, r, s, - ■ ■ 
and addirl diefe Ausdrücke, fo ist ihre Stimme gleich dem 
gegebenen Produkte, d. h. 

Pa=frbi... = qP»-r rPb H . 

Beweis. Wie das Produkt auch beschaffen fej, immer 
kann man es fo entstanden denken, dass zu dem Faktor p 
die übrigen Faktoren fortschreitend in bestimmter Weife hin- 
zugetreten feien, nämlich fo, dass zu p zuerst ein anderer 
Faktor (fei es als erster oder als zweiter Faktor des Produkts) 



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4«) 



25 



hinzugetreten fei, zu diefem Produkte wieder ein anderer und 
fo fort. Statt nun aber einoii Faktor zu einer numerisch ab- 
geleiteten Grüsse hinzuzufügen, kann man ihn, nach 41, in 
dem Ausdruck jener Alileitung zu jeder der Grössen, aus 
denen jene erslere abgeleitet war, auf entsprechende Weife 
Jiinzufugen. FuiglJch statt zu p ^: qa + rb + ■ ■ ■ die übrigen 
Faktoren in der genannten Weife fortschreitend hinzuzufügen, 
kann man fie in dem Ableitungsausdruck in entsprechender 
Weife zu jeder der Grossen a, b, -■ hinzufügen, d. h. 

l'p ^= qPs ■j' ""Pb 4- ■ ■ , wenn p ^= qa -j- rb + ■ - . 
4i5. Der Satz 42 gilt auch für mehr als zwei Faktoren, d. h. 

[I^ti,a^Xrx ■ ■ •] =Zq/=--~["A ■■"]"■ 

Beweis. Gilt der Salz für irge nd eine Anzahl von 
Faktoren, z. B. für [^q^a^^rX ■ ■ ■ ■.^''mf*in]i ''" dass alfo 

(a) [ZqÄ^Zr'A- ■ -J^^^J =ZqA- " -«mWir ■ 'kj- 
ist, fo gilt er auch, wenn noch ein Faktor, z. B, /„l„, hin- 
zutritt; denn es ist 



^Zq": 

Alfo wei 



(nach a) 
[42]. 
le Anzahl von 
Faktor hinzu- 



fm^[aA---kJJ 
die Formel 45 für irgend ■ 
Faktoren gilt, fo gilt fie auch, wenn noch o 
tritt. Nun gilt fie aber, nach 43, für zwei Faktoren, alfo 
auch für drei, vier u. f. w., alfo für beliebig viele. 

4<». Statt die Faktoren eines Produktes mit einer Reihe 
von Zahlen zu multipliciren, kann man das ganze Produkt 
mit dem Produkte diefer Zahlen multipliciren, d. h. 
Pq«,.b, ,..^q^■■■Pa,b,.,.. 
Beweis. Nach 44 ist Pq^^^qPa, alfo auch 

= qrPa,b,5c,... 

u. f. Vf., endlich 
= qrs- ■ ■Pa,b,c,,.. 
4Y. Zwei in einem Produkte vorkommende Faktoren, 
welche in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, kann man 
ohne Werthänderung des Produktes verlauschen, d. h. 
P^,,,,==P„^<j,. 



[44] 
[44] 



[44]. 



yGoosle 



Beweis. Es ist 

^rqP.,. = P..,q. [46]. 

*^. 3. Die verschiedenen Acten der Produktbilduii^. 

48. Erklärung. Wenn die Produklbilduug diidurcli 
näher bestimmt wird, dass zwischen den Produkten der liin- 
lieiten Zalillieziehungcn besiehe«, fo nenne ich jede Gleichung, 
welche eine Folche Zahlbeziehung ausdrückt, eine zu jener 
Art der Produktbildung gehörige Bcs tiinmungsgleichung. 
Einen Verein von p Bestimmungsgleichungen, von denen keine 
aus den übrigen gol'olgert werden kann, nenne ich, wenn 
zwischen den Produkten keine andere Zahlbeziehung iierrsclit, 
als die aus jenen Gleicliungen gefolgert werden kann, ein zu 
jener Prodiiktbildung gehöriges System von Besliminungs- 
gieichungen. 

49. Jodes System von m Bestiinmungsgleichungen zwi- 
schen den n Einheilsprodukten Ej, ■ • ■ E„ kann auf die Form 
gebracht werden, dass jede der Gleichungen ausdrückt, wie 
aus n — m jener Einheitsprodnkto, i. B. aus Ej- ■ ■ ■E„_nj die 
übrigen m numerisch ableitbar find. Dann bilden Hi--'E„„, 
ein System von Einheiten, aus denen alle Prodnkle, die zu 
diefer Produktbiidung gehören, ableitbar find. 

Beweis Nach 48 foil jede Gleicliung des Systems der 
ni Bt,stiininitng«gl(,ichungen eine Zablbeziehung zwischen Hj, 

Ey ins lruLk(,n Jede folcbe Zahlbeziebuiig wird ficli, 
nach Ib luf die Form 

ßiEi + «„E„ = 
[ nngen hssen in welcher die Zahlen a^,-- «„ nicht alle zu- 
gleich null fmi Es fei eine derfelben betrachtet, und fei in 
ihr etwa «n ungleich null, fo kann man £„ durch Ej,- ■■£„_, 
aiiidiucken Sulslituirt man diefon Ausdruck in die übrigen 
tin — 1) Gie cbungtn, fo werden fie von der Form 
kE -f «,,_,E^_i = 0. 

In keiner der lo erhaltenen Gleichungen dürfen die Zahlen 
ß et , lle zugleich nidl werden, weil fonsl diefe Be- 

stimniungsgieichung ins der ersten gefolgert werden könnte, 



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ai> 27 

was dem Begriffe eines Systems von Beslimmuiigsgteichiingen 
(nach 48) widerspricht. Es fei eine der fo erlialtenen Glei- 
chungen lielrachtet, und fei in ihr etwa der KoefTicienl von 
Kn_i ungleich null; fo wird E„_i fich durch Ej- ■■ ■£„_] aus- 
drücken lassen, und wenn diefer Ausdruck in die übrigen 
(in — 2) Gleichungen eingeführt wird, fo erhalten fic die 
Form 

«lEi -1 a^-iK-2 = 0- 

Da auf diefe Weife durch die Anwendung jeder neuen 
Gleichung immer eine neue unter den Grössen Ej--En aus 
den ührigen Gleichungen verschwindet, wir wollen annehmen, 
jedesmal die letzte unter den bis dahin vorhandenen, fo be- 
hält man zuletzt nur noch die Grösse Ei----En_„, durch 
welche fich alle übrigen E„_ni4i- — E„ ausdrucken lassen. 

30. Erklärung. Jede Produklbüdung, deren Bestim- 
mungsgleichungen geltend bleiben, wenn man statt der darin 
vorkommenden Einheiten beliebige aus ihnen numerisch abge- 
leitete Grössen fetzt, heisst eine lineaie Produklbildung (Mul- 
tiplikation). 

31. Für Produkte aus zwei Faktoren giebt es ausser 
derjenigen Produktbiidung, welche gar keine Bestimmungs- 
gleichung hat, und derjenigen, deren Produkte alle null find, 
nur zwei Gattungen linealer Produktbildnng, und zwar ist 
das System der Bedingungsgleichungen für die eine 

(.1) [vM + [eA] = 0, 
für die andere 

(2) [e,ej = [e,ej, 
wo für r und s, wenn Ci, ej, ■■ c^ die Einheiten find, nach 
und nach jede 2 der Zahlen l'--n gefetzt werden feilen. 

6 eweis. Jede Bestlnimungsgleichung wird bei zwei Fak- 
toren, die afis den Einheiten Cj- ■ -e^ abgeleitet find, die Form 
haben 

(aj Xß^^eJ^O, 
wo {lie Eoefficienten a^, ^ beliebige Zahlen find, die aber nicht 
alle gleichzeitig null werden dürfen, und wo für r und s nach 
und nach je zwei der Werthe 1 ■ ■ - - n in die Summe einge- 
führt werden follen. Wir nehmen an, die Produktbildnng fülle 



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28 (&i 

eine IJneale fiiin; d. h, nach 50, es Toll jede Bestimmun^s- 
gleicliung noch gellend bleiben, wenn man statt der Einheilen 
beliebige aus ihnen numerisch abgeleitete Grössen fetzt. Man 
fetze in (a) y^s^,.e,. statt e^. und ^x.^ev stall e^, wo die 
Summen fich nur auf die Indices u und v beziehen, und Xr,u 
Unit Xs^y beliebig zu wählende Zaiilen bedeuten. Dann er- 
halten wir 

= -^tt,^J2^Sr."u e„ ^30^ ] 

= '^ar,s.Z^Xr,uX,,vLeQevJ [45J 

alfo O^Xar,.x,,„x.,,[e„e,J [13], 

indem fich nun die Snmme auf alle vier Wertlie r, s, u, v 
bezieht. Vertauscht man hier r mit s und u mit v, was man 
kann, da r, s, u, v in jedem Gliede ganz beliebige der Zah- 
len l---n [ind, fo erhält man 

^^ ,^g, tX. „x- .. fe„e„'|. 
und indem man diefe Gleichung mit der obenstehonden addirl, 
erhält man 

Cb) 0-Xxr,uX.,v(ar,,[e.e„l + as,.[e.e.]"), 
eine Gleichung, welche für die Anwendung bequemer ist, als 
die beiden vorhergehenden. Sie muss für alle Werthe, die 
man den Grössen Xr_u, Xj^v geben mag, gelten. Man fetze 
nun in (b) irgend eine der Grössen x^^a etwa Xa,c /.uersl ^= 1, 
dann =:— 1, l'ubtrahire die fo erhaltenen zwei Gleichungen 
von einander, und dividire durch 3, fo fallen alle Glieder 
weg, welche x^,c entweder keinmal oder zweimal enthielten, 
und es bleibt nur 

wobei jedoch unter den Werthpaaren von s und v dasjenige 
auszulassen ist, für welches zugleich s^a und v=^c ist. 
Setzt man nun hierin wieder irgend eine der Grössen Xs,v, 
z. B, Xb,d zuerst gleich 1 und dann gleich — 1 , fubtrahirt die 
fo erhaltenen zwei Gleichungen und dividirt durch 3, fo fallen 
wieder die Glieder weg, welche Xb,d keinmal oder zweimal 
enthalten und es bleibt 

(c) aa,b[eced] + ai,,(.[ertec] =0 
zunächst nur für je vier Indices a, b, c, d, von denen nicht 



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»i> 29 

gleichzeitig der erste dem zweiten, der dritte dem viorteti 
gleich ist. Hierdurch reducirt fich die Gleichung (h) auf 

= Xx,.,«Xr,uar,r[<'ue,7i- 
Setzt man hierin für eine der Grossen Xr,,i, etwa für Xa^c, 
nach der Reihe zwei einander niclit entgegengefelzle Wortbe, 
z.B. 1 und 2 ein, Mtrahirt die fo erhaltenen Gleichungen 
von einander und dividirt die Restgleichiing in (liefern Falle 
durch 3, fo bleibt 

= a,,^[c,e,], 
d. h. die Gleichung (c) gilt auch für den vorher ausgeschlosse- 
nen Fall, dass a^:b, c = d ist. 

Somit folgt aus der Gleichung (a), wenn fie eine lineale 
Bestimmungsgleichung fein, d. h. noch geltend bleiben foll, 
welche aus den Einheiten abgeleitete Grös.'^en man auch statt 
derfelben einführen mag, nolhwendig die Gleichungsgruppe (c), 
aber auch umgekehrt, wenn die (fleichungsgruppe (c) gilt, fo 
folgt aus ihr die Gleichung (b), welche ausdrückt, dass die 
Gleichung (a) lineal fei. 

Setzen wir in (c) ff'ß Indiccs c und d einander gleich, 
fo geht fie Über in 

und fetzen wir in ihr a. = i), fo geht fie über in 

(f) cc.,.aeced] 4-[ede.])=-0. 
In diefen gleich null gefetzten Produkten niuss (nach 12, 6) 
jedesmal der eine oder der andere Faktoi null lein. 

Nehmen wir zuerst an [ecCp] fei ^on null verschieden, 
fo muss nothwendig für je zwei Indices a und b 

«a.b + «b,a, = 0, d, h. — ■ Ctg b =^ «b i 

fein. Setzen wir dies in (cj ein, fo erhalten wir 

a.,hC[c.ed]-[ede.]) = 0. 
Sollte hier [e^c^] — [edCc] von null verschieden fein, fo 
müsste der andere Faktor «».b für je zwei Indices a und b 
null fein, d. h. die Gleichung (a) würde identisch null gegen 
die Annahme. Somit muss in diefem Falle, wo [ecCt] von 
null verschieden ist, 

[ccCd] — [edec]=0, d.h. [eeBd] = [edec] 
fein, d. h. es tritt die Gleichungsgruppe (50, 2) ein, Ist nun 



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30 <ai 

im zweiten Falle [eoeoj:=:0, oder, itidem wir a statt c fetzen 
[eaeB]=0, Ib können wir (liefe Gleichnn^ als Bestimmungs- 
gleichung an iiii3 Slellu der Gleichung fa) fetzen, dann ist 
«a j = 1 , während alle sUirigen Koefllcienten null lind, und 
es folgt dann, indem wir diefen Werth «„„ = 1 in (f) ein- 
fetzen , 

[eo<3d] -r [eaeJ^O, 
d. h, es tritt die Gruppe (ÖO, 1) ein. Nun wäre noch mög- 
lich, dass heide Gruppen (50, 1) und (50, 21 zugleich geltend 
wären. Allein dann würde folgen, dass [eced]:^=0, alfo alle 
Produkte null wären, ein Fall, den wir oben ausgeschlossen 
halten. Es find alfo keine andern linealen Froduklbildungen 
möglich, als die im Satze genannten. Dass diefe nun in der 
Thal lineale find, folgt fogleich aus der Gleichung (c), ver- 
glichen mit (a). In der That, wenn 

C?) Ke,]+[ebe,]-0 
die Bodingungsgleichungen find und man fetzt irgend eine der- 
folben ais die Gleichung (aj, fo ist für fie «^,1, =^ I, «b,a^= + f, 
und alle übrigen Koefficienten find null. Dann geht die Glei- 
chungsgruppe (c) über in 

[CcBd] + [edec] = 0, 
welche schon in dei gegebenen Gruppe (g) enlhiiten w^icn 
Alfo find jene beiden G'itlungen dei Produklbildung linual und 
zwar die einzig moghchen aussei dui be-<timmungsloli.n und 
der verschwindenden 

An merk bell alfo daa bislier fiuli von felb^t darbietende Princip 
d-iaH n'lmln.h ]edH3 durch eine (ileichung ausdmckbare (jefcta audi 
bestehen bleibt, wem man •'titt dei Einheiten behfbige aus itnei 
abgeleitete Gtodsoii feUt auch in dei n&chsti..ii Entwickelung iiicli 
lortbeBtel en fi lat kern aiideier rortschntt möglich als dei zu dei 
leiden genannten Tiodaktbildungei Nehmen wir dci Lmfadihtit 
wegen nni awci Einheiten e, und Cj an, r> lot das System der Bi, 
stimniungagleichungen für die eiste t attung gleichzeitig 

[e, ei] =- [e, e^] = nnd [e, e^] — - [ej e,], 
und tar die zweite [i,, t^] ^= [ea c ] 

In Bezug aut die Operationen i=t die letztere Gattung d c eii 
fiLhere Jt da die Be stimm ungsgleichnngen derfelben nicbta weiter 
ausdiuckt.1 aL die \ crtauBclibarkeit der Faktoien, fo let duf Multi 
jhkationsgattung was die Upeiitionen anlangt ideuti'cli mit der 
gewiJhaliclien Multiplikation dei ilgebia, weolialb uli Cie auih die 



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5S) 



31 



algebraische genannt habe*). Es versteht Ticli von feibat, dtiss 
ihr auch eine algebraiaclie Divifion, Potenzirung u. f. w. zar Seite 
geht , und dasä man flir alle dicfe Verknüpfungen cxteiiiivei' Grössen 
unmittelbar die lilgebraisclien Geletze als geltend annehmen läarf. Hin- 
gegen ist diefe Multiplikation, wos diu durch fie ^ erzengten Grössen 
betrilff , fehr viel komplicirter als die erstere Gattung, wclthe ich die 
kombinatoiische genannt habe- In der Tliat, betrachten wir bei zwei 
Einheiten ei und ej das Produkt zweier Faktoren [(ili Oj + li*») 
(r,c, +i-jeäi] = q,r, [e.e,] -f q,rj [e^Ci] + q.r, [6,63] + c[jr,reie,], fo 
reducirt ficb dies bei der ersten Gattung, wo [ci e,] =^ [ejej] t=0^ 
[Cie,] = — [ßi ea] ist, auf (qirä_ — q5ri)[e,ejl, airo auf nar eine Ein- 
heit, nämlich [Cje,]; ja, wenn in eii E t ' k langsreihc nie mehr 
als jene beiden ursprünglichen Eiiih. ten Cj i vorkommen, fo 
wird man, ohne der Allgemeinheit E nt ag zu tl un [eiC]] ^= 1 fetzei) 
können, und erhält dann als Eefultat d Jllult pl kation eine Zahl, 
(janz anders bei der zweiten Gattung wo f h j nes Produkt auf 
qi [e e,]-J-qirä[eae,l + {q,r5 + qj )[ ejj du t alfo aut nicht 
wenigei als drei Eml eitcn Da es in d Ent k lung dti Wissen 
Schaft %or eilen Dingen darauf ankimmt die nach und nach hei%Oi 
tretenden Grössen in ihiem einfathsten Begiiffe zu erfassen fo ist 
liier der Uebei^ang zu der ersten (jattung dei MuUii hl ation mit 
Hothwendigkeit geboten Ja da die dutüi al^ebiaifche Multiphkation 
cxtenfvei Giösoen ei/eugten Gebilde nicht mehr als einfache tj rossen 
fioh daretellen, fondern iielmehr den Funktionen der Alj,ebra lieh 
parallel stellen fo werden wir diefer Multiplikation eist im zweiten 
riieile diefes Werkes wiedei begegnen, welcher die Funktionen be 
handeln wiid 

Ich verweilt m Dezug auf die Ent^viekelung dei verschiedenen 
Multiphkationsgattungen auf die vorhet angefühlte Abhandlang in 
Crellea Jouinal Dort habe n,h filr den obigen Satz einen zwar wut 
lauftigeren aber elementareren beweis gegeben Die allgem. ine Idee 
dei Multiplikation, wie fie im eisten § dieles Riiitcls entwickelt 
ist habe ich Bcbon in der ersiei Ais^ibc rioincr A l hr 11 g^lchie 
(§ 10-13) zu Giande gelegt 



Aap. 'ü. ^ombtmvtorirdjre larobuKt. 

g. 1. Allgemeine Gesetze der kombinatorisclieii Multiplikation, 

92. Erklärung. Wenn die Faktoren eines Produkles 

P aus einem Systeme von Einheiten abgeleitet find, und je 

zwei Produkte der Einheiten, welclie durcli Vertauscliung der 

") Grelle Journal B. 49, S. 130. 



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32 (sa 

beiden lelzten Fakloren auseinander hervorgehen, zur Summe 
null geben, jedes Produkt aber, was lauter verschiedene Ein- 
heiten als Faktoren enthält, von nuil verschieden ist, fo nenne 
ich jenes Produkt P ein kombinatorisches, und jene Faktoren 
desPelben feine einfachen Faktoren; d. h. find b und c Ein- 
heiten, A aber eine beliebige Reihe von Einheiten, To wird 
die angegebene Bestimmung ausgedrückt durcii die Formel 
[Abc] -[-[Acb]^0. 
Aiim. Warum Mer gerade mit dierer befondereii MuUiplikatiuiis- 
gattnng der Anfang gemacht wird, ist No. 50 Anmork. untwickult. 

33. Man kann in jedem kombinatorischen Produkt die 
beiden letzten (einTachen) Faktoren vertauschen, wenn man 
nur zugleich das Vorzeichen (4I) in das entgegen gefetzte ver- 
wandelt, d. h. 

[Abc] + [Acb] = 0; 
auch wenn A eine beliebige Reihe von Faktoren ist und b 
und c einfache Fakloren find. 

Beweis i. Es feien zuerst b und c Einheiten. Da nun 
A eine beliebige Reihe von Faktoren ist, und die Fakloren 
aus den Einheiten numerisch ableitbar find, fo erJiSlt man, 
indem man statt der Fakloren von A ihre Ableitungsausdrücke 
fetzt, und die Klammern löst, (nach 45) einen Ausdruck, der 
aus den Produkten der Einheiten numerisch ableitbar ist, alfo 
die Form hat 

A^X«X, 
wo E,. Produkte der Einlieiten find. Sel/.t man dies ein, fo 
wird 

[Abc] + [Acb] =. [X"ä^E>c] -f [2^ä^]cb\ 

= XKrLErbcJ -f- X«r["Ccb] [44] 

= Z^a,t[E,bc] + [E";:^)"]) [12, 4] 

-Zc^Ö [52] 

2, Es l'eien b und c aus den EinJieiten e , e^, ■ ■ ■ nume- 
risch abgeleitet, und fei 

b^Z^Ä-, o=Zr,.e.., 
fo ist 



yGoosle 



in fache 



[38] 
i:40] 
[53] 



[Abc] + [Acb] = [kZß^.ZYr'^A + [AZ/re.Z ^re.] 

^Z i^.rJAereJ + Zy.^ r[Ae,e,] [46] 

= Z^^Ae,eJ 4- [Ae,e,]) [i2] 

= Zl*r/s-0 [Beweis!] 

= 0. 
S3. In einem kombinatorischen Produkte kann man 
beliebige zwei aufeinander folgende einfache Faktoren ver- 
tauschen, wenn man zugleich das Zeiclien (+) umkehrt, d. h. 

[AhcD] + [AcbD]=0, 
wenn A und D beliebige Faktorenreihen, b und c ei 
Faktoren find. 

Beweis. Es ist 

[AbcD] + [AcbD] ^ [[Abc]Dl + [[Acb]D] 
= [([Abc] + [Acb])Ü] 
= D 

33. In einem kombinatorischen Produkte kann man be- 
liebige zwei einfache Faktoren vertauschen, wenn man zu- 
gleich das Zeichen (^) umkehrt, d. h. 

p,^i,= — Pb,., oder P,,b -h Pb,a = 0. 

Beweis. Angenommen, zwischen a und b stehen in Pa,b 
noch n einfache Faktoren. Vertauscht man jetzt b mit dem 
nächst vorltergehenden Faktor, d. h. rückt man b um eine 
Stelle nach links, fo ändert fich (nach 54) das Zeichen; rückt 
man all'o b nach und nach über die n Faktoren hinweg, welche 
ursprünglich zwischen a und b standen, Po ändert fich das 
Zeichen n-mal, jetzt folgt b unmittelbar auf a, vertauscht 
man Jetzt a mit b, fo ändert fich das Zeichen noch einmal. 
Jetzt steht b auf der Stelle, wo ursprünglich a stand; um 
nun auch a auf die Stelle zu bringen, wo ursprünglich b 
stand, hat man nun noch a um n Stellen nach rechts zu 
rücken, wobei fich das Zeichen noch n-mal ändert. Im Ganzen 
hat es fich 2n -(- 1 "i^l geändert; durch die 2n-malige Aen- 
derung wird das Zeichen aber wieder das ursprüngliche, und 
da nun noch die einmalige Aenderung hinzukommt, fo ist 
das letzte Zeichen dorn ursprünglichen entgegengefetzt, alfo 
Pa,b= - Pb,a, oder P»,b + Pb,a==0. 



yGoosle 



34 («« 

36. Erklärung. Wenn von zwei Grössenreiheii jeilü 
die Grössen a und b enthält, und zwar jede derfeibeii ein- 
mal, und in beiden Reihen a früher steht als b, oder in beiden 
b früher steht als a, fo fage ich, diefe leiden Grössen feien 
in jenen Reihen gleich geordnet, hingegen fie Teien in 
jenen Reihen entgegengefetzt geordnet, wenn in der 
einen a früher steht als b, in der andern b früher als a. 

S1. Zwei kombinatorische Produkte, welche diefelbeo 
einfachen Faktoren (aber in verschiedener Folge) enthalten, 
find einander gleich oder entgegengefetzt, je nachdem die 
Anzahl der in beiden Produkten einander entgegen gefetzt ge- 
ordneten Faktorenpaare gerade oder ungerade ist, d. h. 

p=(-iyo, 

wenn P und kombinatorische Produkte find, welche die- 
felben einfachen Faktoren enthalten, und wenn r die Anzahl 
der Faktorenpaare ist, welche in P entgegengefelzt geordnet 
find, wie in 0- 

Beweis. Wenn zuerst je zwei Faktoren, welche in 
dem einen Produkte, etwa in 0, nniiiiltelbar aufeinander folgen, 
in beiden Produkten gleich geordnet find, fo leuchtet ein, 
dass dann beide Produkte identisch find, und fie alfo kein 
entgegengefelzt geordnetes Faktorenpaar enthalten können. 
So lange es daher in «och Faktorenpaare giebt, welche 
entgegengefelzt geordnet find, wie in P, fo gieht es auch 
noch mindestens zwei Faktoren, welche in unmittelbar auf- 
einander folgen, und welche in entgegengefetzl geordnet 
find wie in P. Angenommen, a und h feien zwei folche Fak- 
toren. Vertanschi man fie untereinander, fo erhält man ein 
Produkt Oll welches dem Produkte (nach 54) entgegen- 
gefetzl bezeichnet ist, und in welchem alle Faktorenpaare, 
mit Ausnahme des Faktorenpaares a, b, ebenfo geordnet find 
wie in Q, während dies Faktorenpaar a, b in Oi entgegen- 
gefelzt geordnet ist wie in Q, alfu ebenfo geordnet wie in P. 
Alfo ist die Anzahl der Faklorenpaare, welche in Qi und P 
entgegengefetzt geordnet find, um 1 kleiner, als die Anzahl 
derer, welche in Q und P entgegengefetzt geordnet find. Ist 
diefe letztere Anzahl alfo r, fo ist die ersten; r— 1. Isl 



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»») 35 

nun r — 1 noch nicht null, d. h. giebt es noch Faktorenpaare, 
welche in Qi und P cntgcgengefelzt geordnet find, fo kann 
man mit Oi wieder fo verfahren wie vorher mit 0; man er- 
halte dadurch aus Oi das Produkt O2 > fo 'st 0^=^ — Oi, alPo 
= (— iy''Q, und die Anzahl der Faklorenpaare, welche in 
O2 und P entgegengefetzt geordnet find, ist r— 2. Fähxt 
man in diefer Weife fort, bis man zu 0, gelangt, fo wird 
Or = C— lyO, und die Anzahl der Faktorenpaare, die in Or 
und P entgegengefetzt geordnet find, beträgt r — r, alfo 
null, d- h, die Faktorenpaare in Or und P fi»d fämmtlich 
gleich geordnet, alfo 0, = P, foniit P = Op=C-iyO- 

S8. Wenn man in einem kombinatorischen Produkte 
eine Reihe von r einfachen Faktoren mit einer unmittelbar 
darauf folgenden Reihe von s einfachen Faktoren vertauscht 
(ohne im Uebrigen die Ordnung der Faktoren zu ändern), fo 
ist das fo hervorgehende Produkt dem ursprünglichen gleich 
oder entgegengefetzt, je nachdem rs gerade oder ungerade 
ist, d. h. 

[ßC] = C— l)"[CßL [ABC] = C— 17'[ACB], 
wo B eine Reihe von r, C von s einfachen Faktoren darstellt. 
Beweis. Es fei C ;=CiC^ - ■ -Cj, alfo 

[ABC]^[ABciCj- ■ -c,]. 
Verlauscht man nun Cj mit dem letzten einfachen Faktor 
von B, d. h. ruckt man Cj um Eine Stelle vor, fo ändert fich 
(nach 55) das Vorzeichen des ganzen Produktes; rückt Cj alfo 
um s einfache Faktoren vor, d. h. rückt man ihn vor die 
Faktoren von B, fo ändert fich das Zeichen r mal, ali'o wird 
[ABciCj---cJ=(- iy[AciBCjC3---c,], alfo dies 
= (-17(--17[AciC,Bcs..-cJ 
= (— l)^^[AciCiBc3---cJ 
= (— l)"[AciCäCgBc4- ■ -cj u. f, w. 
= C— irCAciCj ■ ■ ■ c,B] oder 
LABC] = (— 1)"[ACB], 
und wenn man hierin A :^ 1 fetzt 
[BC] = (-i)-[CB]. 
39. Wenn man in einem kombinatorischen Produkte 
eine Reihe von q einfachen Faktoren mit einer durch r ein- 



y Google 



36 (•• 

fache Faktoren getrennten Reihe von s einfachen Faktoren 
vertauscht, fo ist das fo hervorgehende Produkt dem ursprüng- 
lichen gleich oder enlgegengefetzt , je nachdem rs -[- sq + V 
gerade oder ungerade ist, d, b. 

[ABC] = C~ iy'+"i+i'[GßA] , 
wo A, B, C Reihen von beziehlich q, r, s einfachen Fak- 
toren diirsteüen. 

Beweis. Es ist 

[ABC] = (— i)<i ■ ^>^[CAB] LÖ7J 

_(_l)q^+"(_J3yr[(.BAl [57] 

^(_l)rä4«q-h9r[CBA]. 

60. Wenn zwei einfache Faktoren eines kombinatorischen 
Produktes einander gleich find, fo ist das Produkt null, d. h. 

P«,a = 0. 
Beweis. Es fei Pa,b irgend ein kombinatorisches Pro- 
dukt, welches die Faktoren a und b enthält, und Pb,j, das 
durch Vertauschung von a und b aus ihm hervorgehende, fo 
ist (nach 55) 

P>,b+Pb,a = 0, 
alfo, wenn a- gleich b ist, 

P,;, + P,,=:0, d.h. 3P,,, = 0, 
fomit auch PaB=:0. 

61. Ein kombinatorisches Produkt ist null, wenn zwischen 
feinen einfachen Faktoren eine Zahibeziehung herrscht, d. h. 

[aiajaa aj = 0, 

wenn eine der Grössen aj a^, fich aus den übrigen nume- 
risch ableiten lasst, z. B. 

a^ = «jaj -f- «jag -f " ■ '«in^m 
ist. 

Beweis. Man erhält, indem man den Werth von ai in 
das Produkt einfetzt 

[818283 ■ ■ ■ ■ a^j] ^ [(«2^2 -r «3^3 -\- ■ ■ • «mi^mläi^S ■ * ■ " ^ml; i*"** 

(nach 44) 

= a.AS'iä2^'^ a„] -f- «^[ajaäas- ■ ■ -aj +■• 

^mi^w^i^i "m] 

= aj-0-f«3-0-j «„-0 [591 

= 0. 



yGoosle 



••> 37 

62. Erklärung. Unter der Determinante aus n 

Reihen von je n Zatilen verstellt man, wenn man die r-te 
Zalil der s-tcn Reihe mit ct'j' bezeichnet, dasjenige Pulynum, 
welches man aus dem Trodukle a^''«"*'- ■ -■«'»' dadurch erhält, 
dass man in ihm nach und nach die unteren Indices auf alle 
möglichen Arten verfetzl, während man (iie oberen unver- 
ändert lässl, dann jedes diefer Produkte mit dem + oilei" — 
Zeichen verficht, je nachdem die Anzahl derjenigen Paare 
von Indices, welche unten entgegen gefetzt geordnet find wie 
oben, gerade oder ungerade ist und diefc l^mmtlichen Glieder 
addirt. Man bezeichnet diefe Determinante mit _X^ + aJ'M** 
• • • -a", d. b. man fetzt 

wo r, s, • ■ ■ - w die Zahlen 1, 2 ■ ■ ■ ■ n, in irgend einer Ord- 
nung genommen, gleich find, wo die Summe, fich auf alle 
möglichen Ordnungen diefer Art bezieht, und u die Anzahl 
der Index-Paare bezeichnet, weiche unten entgegengefelzt 
geordnet find, wie oben, 

Anraerk, Der Vollsttadigkeit wegen habe ich diefen Begriff der 
Determinante hier aiifstcltcii za müssen geglaubt, zumal da es zweck- 
mässig schien, die ZeichenbeatimmuDg in der einfachen Form, wie tie 
hier dargestellt ist, festzurotzen , während die Tonst gebräuchliche, 
durch Caucliy eingeführte Form der Zeichenbeatiramung ein Zariick- 
geliea auf die Permutations-Gefetae nothwendig machen würde. Dass 
man übrigens statt der unteren Indices auch die oberen vertauschen 
kann, leuchtet ein, doch ist es unangemessen, eine folcke zwiefache 
Bestimmung in eine strenge Definition aufzunehmen. 

63. Das kombinatorische Produkt von n einfachen Fak- 
toren, welche aus n Grossen ai, Bj, ■ ■ ■ ■ a^ numerisch abge- 
leitet find, erhält man, indem man aus den n Reihen von 
Zahlen, durch welche jene Faktoren aus den n Grössen ai, 
3;, ■ ■ ■ Hn abgeleitet find, die Determinante bildet, und diele 
mit dem kombinatorischen Produkte der Grössen ai- ■ ■ -a^ mul- 
tiplicirt, wobei nämlich die Zahlen, durch welche der erste 
jener Faktoren aus a^ ■ ■ ■ ■ a^ abgeleitet ist, die erste Reihe 
bilden, u. f. f., d. h. es ist 

[ßWai -I at"a J (afhi -j- ■ ■ ■ a[,*Ja„) • ■ ■ ■ (a^ai + ■ ■ ««."Ja,,)] 



yGoosle 



Es ist (nach 63) das Proflukt auf der linken 



wo jeder der Indices r, s, ■■■ w nach und nach jeden der 
Werlhe 1 ■ ■ ■ ■ n annehmen foH. Sind von diefen Werthen 
zwei oder mehrere einander gleich, fo enthält das Produkt 
[aja^-'-a*"] gleiche Faktoren, ist alfo (nach 60) nnll. Lassen 
wir daher die Glieder, welche diefe Produkte enthalten, weg, 
fo hleiben nur die übrig, in denen die n Indices r, s,--w in 
irgend welcher Ordnung den Werthen 1 , 3, ■ - ■ n gleich find. 
Es ist alTü dann (nach 57) das Produkt [a^aj-'-a"'] gleich 
(~ l)''[aia2 • ■ ■ ■ aj, wenn u die Anzahl der Faktorenpaare 
ist, welche in dem Produkte [a^aj- ■ ■ ■a"'] entgegengefelzt ge- 
ordnet find wie in [aiaj- ■ ■ -an], d. h. die Anzahl derjenigen 
Paare von Indices, welche in dem Produkte «^''«W. . .ajj'i 
unten entgegen gefetzt geordnet find wie oben, fomit ist das 
gegebene Produkt 

= ^C— l)M™afJ- ■ ■ -^'Efliaj- • ■ .aj, d. h. (nach 62) 

63. Erklärung. Unter muiliplikativen Kombi- 
nationen aus einer Reihe von Grössen verstehe ich die 
Kombinationen ohne Wiederholung aus diefen Grössen, und 
zwar jede Kombination aul'gefasst als komhinatorisches Pro- 
dukt, dessen einlache Faktoren die Elemente der Kombination 
lind; fo z.B. find [ab], [ac], [bc] die multiplikativen Kom- 
binationen aus den Grössen a, b, c zur zweiten Klasse. 

65. Jedes kombinatorische Produkt von m einfachen 
Faktoren, welche aus n in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehenden Grössen a^- '■ -a,i numerisch abgeleitet find, ist aus 
den multiplikativen Kombinationen diefer Grössen zur m-ten 
Klasse mimerisch ableitbar, und zwar ist die zu irgend einer 
diefer Kombinationen gehörige Ableitungszahl die Determinante 
aus denjenigen m Ableitungszahlen jener m Faktoren, welche 
zu den m Elementen diefer Kombination gehören, d, h. 

[X^.^ßm- ■ ■ ■] ='2^Z^"^- ■ -[Ms- ■ ■ ■], 



yGoosle 



«s) 39 

Beweis. Es ist 

[Xo^aT^AtTt ] = X(Mf-)[aaaf-] [45]. 
Da (nach 60) [ajat ] null ist fobald zwei der Fak- 
toren, alfo hier zwei der Indit-es a t, ■•• gleich find, fo 
können wir die Bedingung hinzufügen, dass a, b,--- alle 
von einander verschieden l(,ien Nun feien a, h, ■•-, nach- 
dem fie steigend geordnet find, =i s, t ■■■■, alfo r •< s 
•^' l — •, und fei u die Anzthl der Grössenpaare, weiche in 
der Reihe fl, h, t, ■ ■ ■ entgegengefetzl geordnet find, wie 
in r, s, t, ■ ■ ■, fo ist [aaaj ] ^^f — i)"[iir3s* ■ ■ ■]. ''»'"it 

ist das gegebene Produkt 

Aber nach der Definition (60) ist ^C— i)"««(3b ■ ■ ■ , wenn 
a,h, ■ ■ • in irgend einer Ordnung genommen, gleich r, s, ■ ■ ■ 
find, gleich der Determinante ^+ ct,.^,' ■ - -, alfo 

[X«^ a^X^i . . . ■ ] ^ ^^-fa,ß,--- [a^a, ■ ■ ■ ], 
wo r ■< s "^^ ■ •. 

6ß. Umkehrung von 61, Wenn ein kombinalovisclies 
Produkt null ist, fo stehen feine einfachen Faktoren in einer 
Zahlbeziehung zu einander, d. h. wenn 

[ajBa- - -a^,] =3 
ist, fo muss fich eine Gleiciiung 

«iBi + «2^2 + ■ ■ ■ a„a,u = p 
aufstellen lassen, in welcher die Zahlen (tj, ß^, ■ ■ - «m nicbl 
alle zugleich null find. 

Beweis. Es fei das kombinatorische Produkt 
[Ms-'-aJ^O. 

Zu zeigen ist, dass a,, a^, • ■ ■ »„, in einer Zahlbeziehung 
stehen müssen. 

Angenommen, fie ständen in keiner Zahlbeziehung zu 
einander. Bilden dann e^ ■ - ■ ■ Oo das System der Einheiten, 
aus denen ai----aa numerisch abgeleitet find, fo kann man 
(nach 20) zu den m Grössen ai ■ ■ ■ Sm noch n — m Grossen 
Bni^-i- ■ -Sn annehmen, fo fich aus ai- • ■ ■»„ die Einheiten e^- • -e,, 
numerisch ableiten lassen. Führt man die Ausdrücke dieier 
Ableitungen in das kombinatorische Produkt [Cie, ■ • ■ e J ein, 



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40 (•» 

und löst die Klammern auf, fo erhält man (tmch 63) eine 
Gleichung der Form 

[e^ej ■••60]^= «[aiSj ■ ■ ■ ■ aj 1 
wo a eine Zahl ist. Nun ist aber [aiSj- ■ -a^] = 0, alfo auch 
[aiBs- ■ ■amäm+i- ' • -aj = 0, alfo 

[eiei---ej = a0 = 0. 
Dies widerstreitet aber der Erklärung in Ii2, nach welcher 
[dej-'^e^] von null verschieden ist. AIPü ist die Annahme, 
dass aj- - -Bm in keiner Zahibeziehung zu einander stehen, un- 
möglich. Sie stehen alfo in einer Zahlbeziehung zu einander, 

67. Ein kombinatorisches Produkt ändert feinen Werlh 
nicht, wenn man zu einem einlachen Faktur desfelben ein 
beliebiges Vielfaches eines andern einfachen Faktors desselben 
Produktes addirt, d, h. 

P.,l,+q. = P»,b, 

wenn q' eine Zahl ist und P ein kombinatorisches Produkt be- 
zeichnet. 

Beweis. Es ist 

P,.bs.q. = P.,b + qP.,« [44] 

= Pa,b [60], 

68. Die l'iimmtlichen Sätze kombinatorischer Multipli- 
kation bleiben noch bestehen, wenn man statt der n ursprüng- 
lichen Einheiten, beliebige n aus ihnen abgeleitete Grössen, 
die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, einführt. 

Beweis. Erstens gelten alle in der Definition des kom- 
binatorischen Produktes gegebenen Bestimmungen, auch wenn 
man statt des Systems der n ursprünglichen Einheiten n folche 
Grössen fetzt, wie fie der Lehrfatz bestimmt. Nämlich, es 
ist auch für diefen Fall (nach 53) 

[Abc] + [Acb] = 0, 
und das Produkt der lömmtlichen n Grössen ist von null ver- 
schieden, denn wäre es gleich null, fo müsste Ciich fi6) 
zwischen den n Faktoren eine Zahlbeziehung herrschen, gegen 
die Vorausfetz nng. Diefe beiden Bestimmungen waren nun 
die einzigen in der Definition enthaltenen. Ferner gelten aber 
auch alle in den ersten beiden Kapiteln entwickelten Gefelze 
für den Fall jener Subslilnlion. Aus jener Definition und 



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(liefen Gefetzen waren aber die nimmtlicheii Gefetze der kom- 
binatorischen Multiplikation abgeleitet. Älfo gelten diefe Ge- 
fetze auch nach jener Substitution. 

§. 2. Eas kombinatorische Produkt als Grösse. 

Vorbemerkung. Wenn eine Verknüpfung von Grössen 
wieder als Eine Grosse erkannt werden foll, fo müssen die 
folgenden Fragen beantwortet werden : Wann find zwei folche 
Verknüpfungen einander gleich oder von einander verschieden? 
wann stehen fie in einer Zahlbeziehung zu einander, und in 
welcher? Für die Vollendung des Begriffs wird es dann noch 
wichtig fein, die fänimtlichen verschiedenen Grüssenreihen ab- 
leiten zu können, deren jede, wenn fie der fraglichen Ver- 
knüpfung unlerworfen wird, diefelbe Grösse liefert, wie die 
andern, Diefe Fragen füllen hier für das kombinatorische 
Produkt beantwortet werden, wobei wir den Begriff der mul- 
tipÜkativen Kombinationen zu Grunde legen. 

6ö. Wenn die Grössen a^, a^j-'-an in keiner Zahlbe- 
ziehung zu einander stehen, fo stehen auch ihre multiplika- 
tiven Kombinationen zu einer beliebigen Klasse in keiner 
Zahlbeziehung zu einander, (i, h. die Gleichung 

a) a\-\- ßB -l ^ , 

in welcher A, B, -■■■ die muUipiikativen Kombinalionon aus 
ai---a„ zu irgend einer Klasse find, und a, ß,--- Zahlen 
bedeuten, wird erfetzl durch die Gleichungsgruppe 

b) a--0, ß = 0, ■■■■. 

Beweis. Es fei die Gleichung (a) als geltend ange- 
nommen. Mail miiltipliciro die ganze Gleichung kombinatorisch 
mit denjenigen unter den Grössen ai-''ü„, welche in dem 
Produkte A nicht vorkommen; es fei Ai diefe Faktorenreihe, 
fo dass alfu das kombinatorische Produkt [AA^] die fämmt- 
liehen Grössen »i- ■ ■ -a^ als Faktoren enthalt. Dann erhält man 
ß[AAi] + ,9[BAi] -I ^0. 

Da nun A und B verschiedene Kombinationen find, fo 
muss B wenigstens einen Faktor enthalten, der nicht in A 
enthalten ist. Es fei a, ein folcher; fo muss a^ in Aj ent- 
halten fein, da A^ von den Faktoren ai---aQ alle diejenigen 



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43 (*0 

enthält, die in A nicht vorkommen. Somit kommt a, fowohl 
in B als in Aj vor, folglich ist das kombinatorische Produkt 
[BAi] (nach 60) nuH. Aus demfelben Grunde auch CA^ u, f. w. 
Somit reducirt fich die Gleichung auf 

«[AAJ = 0. 
Alfo muss (nach ]2, 6) entweder a oder [AÄj] null fein. Da 
nun [AAJein kombinatorisches Produkt von n Grössen s^- ■ -an 
ist, die in keiner Zahlbeziehung au einander stehen, fo ist 
dasfeibc ungleich null (»ach 66). Somit muss der andere 
Faktor, aICo a, null lein Aus demfelben Grunde find ß,- ■ • 
null, d. h. zwischen den liombinationen A, B, ■ • herrscht 
keine Zahlbeziehung 

^0. Zwei kombinalonsche Produkte (A und B), die nicht 
null Ond, stehen dann und nur dann in einer Zahlbeziehung 
zu einander, winn die aus ihren einfachen Faktoren ableil- 
baren Gebiete identisch find d. h. 

a) A:^B 

dann und nui dann, wenn die einfachen Faktoren von A 
dasfelbe Gebiet liefern wie die von ß; oderr 

b) [aia^ a„] = [bib^ b„] 

dann und nur dann, wenn fich jede aus ai---Om numerisch 
ableitbare Grösse auch aus \- ■ -bn, ableiten ISsst, alfo wenn stets 

c) Xjai + Xäaa -) x„a„^yibi + y^b, -\ y„b„ 

gefetzt werden kann, welche Werthe auch entweder x^- ■ ■ -x^, 
oder Yi- ■ ■ -yi^ haben mögen. 

Beweis 1. Angenommen zuerst, das Gebiet ai' - - am fei 
identisch dem Gebiete bj- ■ ■ ■&„, fo find die Grössen aj- ■ - -a^^ 
aus bi- ■ ■ -bn, numerisch ableitbar. Dann ist (nach 63) 

[aiaj aJ=K[bib2 bJ, 

wo a eine Zahl ist (nämlich die dort beschriebene Determinante). 
Diefe Gleichung druckt aus, dass die beiden kombinatorischen 
Produkte in Zahlbeziehung stehen und da auch keins von beiden 
null ist, fo gilt (nach 3) die Kongruenz; 
[Mä--aJ^[biba---b„]. 
3. Umgekehrt fei angenommen, diefe Kongruenz gelte, 
alfo die beiden kombinatorischen Produkte stehen in einer 
Zahlbeziehung zu einander ohne null zu fein, und fei 
laia2-..aJ=K[bibs---.bJ. 



yGoosle 



90) 43 

Man füge auf beiden Seiten den kombinatorisclien Faktor 
bj hinzu, fo erhält man 

Aber [bibj - - ■ -binbj ist, da es zwei gleiche Faktoren Cl^il 
enthält, (nach 60) null; alfo ist auch 
[aia2----a„bJ--0. 

Folglich stehen (nach 66) die einfachen Faktoren diefes 
Produktes, d. b. a^, a2,---am, b^ in einer Zahlbeziehung zu 
einander. Alfo muss fich (nach 16) eine Gleichung der Form 

«iSi + Caa, H cvv + j^i''! = 

aufstellen lassen, in welcher die Zahlen «i, cti,---aa> ßi 
nicht alle zugleich null find. In diefer Gleichung kann auch 
ßi nicht null fein, weil fönst zwischen den Grössen a^, 82, • ■ ■ 
»ni (nach 16) eine Zahibeziehung herrschen, alfo das kombi- 
natorische Produkt [aia2----a„] (nach 61) null fein müsste, 
was der Vorausfetzung widerstreitet. Wenn nun aber ßi un- 
gleich null ist, fo kann man die obige Gleichung durch ßi 
dividiren, und erhält 

1. «1 «2 "m 

' = "Ä''~ft" iC- 

d.h. ]\ ist ans ai'-'-am numerisch ableitbar. Aus demfelben 
Grunde find auch bj, b^^, ■ ■ ■ b^ aus »i- ■ ■ • a„ numerisch ab- 
leitbar. Nun stehen aber auch bj,--'-bn, in keiner Zahibe- 
ziehung zu einander, weil fönst das kombinatorische Produkt 
[biba b^,] (nach 61) null fem musslt., was dei Voriusietzung 
widerstreitel , alio find m Grossen bj b^,, «eiche in keinei 
Zahibeziehung zu tindndcr stuhen, aus m Grossen aj a„ 
numLitsch ableilbir filglich ist (nach 21) da*: aus der ersten 
Grösscnreihe ableitbare Gebiet dem ins dei zweiten ableit 
baren identisch 

Änm Da zwei glei he Gröaeen immer in einer Zahibeziehung 
zu t.lIl^l der fcfohen fo tolgt aus dem vorheigehenden featio unmittel 
bar dasa zwei gleiche kimbinatoiische Piodukte immei ein und das 
felbe Gel let haben dem leine einfachen Faktoren ingehoren und 
daas daher aasoer diefem Gebiete nur noch der durch eine Zah! dar 
stellbare metnaclie Weith gegebeu za fein biau ht, damit der ganze 
Weith des k mbmatons che n Produktes genau bestimmt fei Ist nam 
lieh dann m dem Gebiete irgend ein kombinatorisches Produkt ge 
geben, aus essen einfaclien laktoren daslelbe ableitbar lot lo i^ird 



y Google 



44 (91 

jedes andere kombiiiatorisclic Produkt, ftus dessen ciiifaclien Faklorcu 
dasfelbe Gebiet ableitbar ist, durch eine einfache ZaW bestimmt fcin, 
welche das Verhältnisa diefes Produktes zu jenem darstellt. 

11. Erkiäriing. Wenn man aus einer Reihe von 
Grössen eine zweite Reihe dadurch ableitet, dass man zu 
irgend einer Grösse der Reilie ein Vielfaches der benachbarten 
Grösse der Reihe addirt, während man alle übrigen Grössen 
der Reihe ungeändert lassl, fo fage ich, es Tei die erste Reihe 
in die zweite durch eine einfache lineale Aenderung 
umgewandelt; leitet man aus diefer zweiten Reihe wieder 
durch einfache lineaie Aendcrung eine dritte ab, u. f. f., fo 
Tage ich, es fei die erste Reihe in die letzte durch mehr- 
fache lineale Aendorung umgewandelt. In beiden Fällen 
alfo Tage ich, es fei die erste Reihe in die letzte durch lineale 
Aenderung umgewandelt. 

Wenn alfo p und q irgend zwei aufeinander folgende 
Grössen der Reihe find, fo lässt fich durch einfache Üneale 
Aenderung umwandeln die Reihe 

p, q, in p +aq, q 

oder in p, q -f ap,- ■ ■, 

wo a eine beliebige Zahl ist. 

Anm. Die Wahl des Ausdrucks bezieht fich auf den Gcgenfats 
KU einer weiter unten eu bcliandeluden Aenderung, welche ich circu- 
läre Aenderung nenne. Beide Ausdrücke gelien auf die Geometrie 
Burftck und zwar auf die beiden Fundamentalgebilde der Geometrie, 
die gerade Linie und den Kreis, oder vielmehr auf das Lineal und 
den Zirkel, indem, wie ich später zeigen werde, die lineale Aenderung 
in der Geometrie fich einfach mittelst des Lineals, die circuISre mittelst 
des Zirkels bewerkstelligen ISsst. 

■73. Bei der lincalen Aenderung einer Grössenreihe 
bleibt das kombinatorische Produkt diefer Grössenreihe un- 
geändert. 

Beweis. Nach 67 ändert ein kombniatorisclies Produkt 
feinen Werth nicht, wenn man zu einem Fdktor ein beliebiges 
Vielfaches eines andern Faktors desCelbon addirt, alfo ändert 
es feinen Werth nicht bei einfacher iinedler Aenderung feiner 
Faktoren, alfo auch nicht bei mehrfacher. 

T3. Man kann durch lineale Aenderung zwei beliebige 
Grössen einer Reihe beliebig im umgekehrten Verhältniss 



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öiidern; d. h. es iässt ficli durch lineale Aenderiing umwan- 
deln die Reihe 



Beweis. Erstens feien p und q zwei aufiiinaniler fol- 
gende Grössen der Reihe, fo lasst fiuh (nach 71) durch lineale 
Aenderung nach und nach verwandeln: 

p, q in p, q + C" — Op> ^'^"^^ wieder in p -|- q 4- 
(«— l)p, q4-(a— i3p, d.h.inßpH-q, q-f-(a — l)p; 

et — i 
dies in ap -j- q, q -{- (a — l)p (ap + q), d. h. 



d. Ii. in ap 



1 



Zweitens: Sind p und q durch die Grössen pi,pi,---Pn 
getrennt, fo verwandelt fich durch lineale Aenderung, indem 
man die im ersten Theil als zulässig erwiefene Umwandlung 
anwendet, 

v> Vu P2, ■■•?... q in «P. ^> P2----Pa, q, 

dies in ap, pj, Pi : «, pa* ■ • -Pn, q, 
und, indem man fu furtl^hrt, fo erhält man zuletzt 



p. . . .q. . . geht Über in • • ap- • ■ ■ , 

74. Aus einer beliebigen Grössenreihe kann man durch 
lineale Aenderung jede andere Reihenfulge derfelben Grössen 
ableiten, vorausgefetzt, dass man für den Fall, dass das kom- 
binatorische Produkt der abgeleiteten Grössenreihe dem der 
ursprünglichen entgegengefetzt ist, das Vorzeichen von einer 
der Grössen der neuen Reihe ändert; d. h. wenn a', b', c', ■ • ■ 
diefelben Grössen find wie a, b, c, • ■ ■, nur in anderer Reihen- 
folge, fo Iässt ficIi durch lineale Aenderung umwandeln: 

a, b, c, ■ • ■ ■ in a', b', c', ■ ■ ■ 

wenn [abc- ■ -] ^^ [a'b'c'- ■ -] 
ist, hingegen 



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a, b, c, ■ ■ ■ ■ in — a', b', c', ■ ■ ■ 
wenn [abc ■ ■ ■ ■ ] ^^ — [a'b'c' ■ ■ ■ ■ ] 
ist. 

Beweis i. Wenn p und q zwei beliebige Grössen jener 
Reihe find, fo verwandeln fieb durch lineale Aenderung, in- 
dem man nämlich abwechfelnd zum ersten und zweiten Faktor 
beziehlich den zweiten und ersten addirt und fublrahirt, Schritt 
Für Schritt 

p, q in p + q> q, dies in p + q, q - (p + q), 
d. b. in p "i- q, — p, dies in q, — p. 

2. Man kann alfo durch lineale Aenderung zwei auf- 
einander folgende Grossen der Reihe in die umgekehrte 
Ordnung bringen, wenn man nur das Vorzeichen der einen 
ändert. Somit kann man auch durch lineale Aenderung jede 
Grösse der Reibe auf jede Stelle bringen, bei gehöriger Zeichen- 
änderung, Es feien nun a', b', c', ■-■■ diefelben Grössen wie 
a, b, c, •• • aber in anderer Reibenfolge, fo wird man die 
Reihe a, b, c, ■-■ durch lineale Aenderung in eine Reihe 
umwandeln können, deren Grössen der Reibe nach mit a', b', 
c' ■ ■ - entweder gleich oder ihnen entgegengefelzt find. Nun 
kann man (nach 73) durch lineale Aenderung zwei beliebige 
Grössen p, q einer Reihe im umgekehrten Verhaltniss ändern, 
d. h. fo ändern, dass, wenn die eine Grösse p in ap über- 
geht, dann die andere q in -^ übergehe; alfo kann man 

namentlich die zuletzt gefundene Reihe fo ändern, dass jede 
beliebige Grösse p derreib_en, weiche einer der Grössen a, b, 
c, ■ • ■ entgegen gefetzt ist, in ( — i)p, d, h. in — p, über- 
gebt, während die erste Grösse jener Reihe, nämlich ^^ a' in 

Ip — ;, d. h. in + a' übergeht. Wendet man diefe Aenderung 

nach und nach auf jede Grösse jener Reihe an, welche einer 
der Grössen a, b, c, • ■ ■ entgegengefetzt ist, nur nicht auf 
die erste Grösse + a' jener Reihe, fo erhält man zuletzt ent- 
weder die Reihe 

a', b', c', oder — a', b', c' ■ ■ ■ ■, 

wü noch das Vorzeichen von a' zu bestimmen ist. Da nun 



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*5) 47 

dieTe Reihe aus a, b, c, • ■ ■ ■ durch linealc Aenderung hervor- 
gegangen ist, Co muss (nach 73) im ersten Falle 

[abc ] = [a'b'c'----], 

im zweiten 

falJC ] = [— a'b'c' ] = — [a'b'c' ] 

rein, 

73. Wenn man zu irgend einer Grösse (p) einer Grössen- 
reihe ein Vielfaches einer andern Grösse (q) jener Reihe addirt, 
alfo statt p fetzt p -f- aq, während man alle übrigen Grössen 
jener Reihe unverändert lässl, fo lässt fich die fo hervor- 
gehende Reihe ans der ursprünglichen durch Uneale Aenderung 
ableiten, d. h. es lässt fich durch lineale Aenderung umwandeln 

p, , q in pH- aq, q, oder auch 

in P, q + «P- 

Beweis. Wenn in der gegebenen Reihe zwischen p und 
H keine Grösse steht, fo folgt das zu erweifende unmittelbar 
aus der Definition [71]. Stehen zwischen p und q die Grössen 
Pi) Pjj ■ ■ ■ ■ Pm r** '^^ (uach 73) durch lineale Aenderung um- 
zuwandeln 

P, Pj, P2,'-Pb, q in P. q. Pi> P^ + Pn; und dies 

(nach 71) 
in p 4- ''q , q 1 Pi > Pa ,'■■■ + Pu ; dies 
wieder (nach 74) 

in p-i-aq, Pi,p2, p„, + q, 

wo das Vorzeichen von q noch zu bestimmen ist. Da die 
letzte Reihe aus der ersten durch lineale Aenderung hervor- 
gegangen ist, fo ist das kombinatorische Produkt der ersten 
Reilie (nach 72) dem der letzten gleich; alfo 

[ppip2 Paq] = ICp + ßq)pip2 ■ • ■ ■ p„(+ q)3 

= -i-[(p + «qDpiPi — Piiq]- 

Aber es ist (nach G5) 

[pPip2---Piq] = + [(P + «q)PiP2"-PnqI, 
d. h. es gilt in der vorigen Formel das -|-Zeiohen, alfo 
haben wir statt H- <li zu fetzen q, d. h, die gewonnene Reihe 
ist p + ßq, pi, pa, ■ ■ ■ Pn, q. Es verwandelt fich alfo durch 
lineale Aenderung 

p q in p 4- ciq, q, 



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48 («« 

und auf dieCelbe Weife folgt, dass ficli auch durch lincale 
Aenderung umwandeln lässt 

P q in p,---.-q + ap, 

16. Wenn zwei von null verschiedene kombinatorische 
l'rodukle einander gleich find, fo lassen fich die einfachen 
Faktoren des einen aus denen des andern durch lineale Aen- 
derung ableiten, d. h. wenn 

(a) [abc----]-^[ABG--.-]50 
ist, fu lässt fich durch lineaie Aenderung die Grössenreiho 

Cb) a, b, c, -■■■ in A, B, C, ■••. 
umwandeln [Umkehrung von 72]. 

Beweis. Da die von null verschiedenen kombinatorischen 
Produkte [abc-—] und [ABC---] einander gleich find, und 
fie alfo in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, fo mtisscn 
(nach 70) die aus ihren einfachen Faktoren ableitbaren Ge- 
biete identisch fein; d.h. die aus der Grössenreiho a, h, c,- - ■ 
numerisch ableitbaren Grössen müssen auch aus A, B,C,--- 
nunterisch ableitbar fein und umgekehrt. Alfo müssen nament- 
lich A,B,G,'-- felbst, aus a,b,c,--' numerisch ableitbar 
fein. In den Ausdrücken diefer Ableitung darf nicht der 
Koefficient von irgend einer der Grössen a, b, c, ■■-, z, B. 
der von a, in allen gleichzeitig null fein; denn fönst wären 
die Grössen A, B, C, - ■ -, deren Anzahl n l'ei, aus den n — 1 
Grössen b, c, ■ ■ ■ ableitbar; alfo würde (nach 22) eine Zahl- 
beziehung zwischen ihnen herrschen, ihr Produkt alfo (nach 
6t) null lein, gegen die Annahme. Es fei a' eine der Grössen 
A, B, C, ■■■ und zwar eine folche, in deren Ableilungs- 
ausdruck der Koefficient von a nicht null fei, und fei 

h' = «la + j5,b + , 

wo alfo «1^0 ist; fo lässt fich durch linealo Aenderung nach 
und nach umwandeln 

a,h,c,---,l in Kja.b.c, , — [72], 

dies in liaid-i-ßih-i ),b,c,--.— [74], 



yGoosle 



»«) 49 

Nun muss aber (nach 19) das aus a', b, c, ableit- 
bare Gebiet identisch fein dem aus a, b, c, -■■ ableitbaren, 

alfü müssen namentlich die Grössen A, B, C aus a', 1), 

c, ■■■■ ableitbar fein. Nun ist es wieder, aus demfelben 
Grunde wie vorher, unmöglich, dass der Koefficient von b in 
allen Ausdrücken diefer Ableitung zugleich null fei. Es fei 
b' eine der Grössen A, B, C, ■•■ und zwar eine folche, in 
der jener Koefficient nicht null ist, und fei 

b' = aaa' + ^2b+riC +■■■■, 
fo lässt fich durch lineale Aenderung, auf diefelbe Weife wie 

vorher . a', b , c , — umwandeln 

' ' ' «1 

- , ,, l 



Ebenfo fei c' = Cja' + ßsh' -f- j-^c -f ä^i +■ ■•> wo j-, 
ungleich null ist, fo lässl fich wieder durch lineale Aenderung 

a', b', c, ■ ■ ■ — o" umwandeln 

in a', b', c' d, —r, — . 

Auf diefe Weife fahre man fort bis zur vorletzten Grösse. 
Diefe fei k, fo erhält man zuletzt die Grössenreihe 

a', b', c', , k', — g — -_ . 

Da nun diefe Grössenreihe aus der ursprünglichen a, b, 

c, ■ ■ • hervorgegangen ist; fo muss (nach 72) ihr kombina- 
torisches Produkt gleich dem jener Grössenreihe fein; alfo 

[a'b'c' k'^ 1 ^ [abc kl]. 

Ferner find die n — 1 Grössen a', b', c',- ■ • -k' aus der 
Reihe der n Grössen A, B, C, ■ ■ ■ ■ K, L entnommen, und da 
a', b', c', ■ ■ ■ k' alle von einander verschieden fein müssen, 
weil fönst (nach 61) das kombinatorische Produkt derfelben 
null wäre, was vermöge der fo eben entwickelten Gleichung 
mit der Vorausfetzung streitet, fo kann von den Grössen A, 
B, G, ■ ■ ■ K, L nur noch eine übrig fein, welche nicht unter 
den Grossen n', b', c' ■ ■ ■ ■ k' enthalten ist. Dies fei 1' und 



y Google 



fei 1 = a„a' + ß„b' + ■ ■ • + «„k' + XJ', fo verwandelt Hcli dk; 
zuletzt gewonnene Reihe durch lineale Äenderung in 
l„l' 

Die Grössenreihe a', 1)', c', k', 1' enthält aber die- 

Telben Grössen, wie die Reihe A, B, G,- ■ -K, L, nur in anderer 
Ordnung; alfo ist (nach 74) a', b', c',---k', 1' durch lincale 
Äenderung umzuwandeln in A, B, C,---K, +L, alfo aucU 

a', b', c', ■ ■ ■ 1 k', — - "— -. - 

in A, B, C,--.., K,+^^"i^ , 

«lp2 «D-1 

indem es (nach 73) gl eicli gültig ist, zu welcher Grösse man 

den Zahlfaktor - >; - — hinzufügt. Es fei diefer Zahlfaktor 

= f, fo ist alfu durch lineale Äenderung aus a, b, c,- ■ ■ -k, I 
schliesslicli hervorgegangen A, B, 1, - ■ ■ K, eL. Alfo ist (nach 72) 

[abc----kl] = [ABG KeL] -=e[ABC- ■ -KL]. 

Es ist aber auch nach der Hypothefis 

[abc---kl]-=[ÄBC-.-.KL]. 
Alfo auch 

e[ABG--- ■KL]^[ABC--.KL1, 
d.h. e^^i, alfu ist tL ^= L, und fomit hat fich durch linoale 
Äenderung umgewandelt die Reihe: 

a, b, c, k, 1 in A, B, G,.--K, L, 

eine Umwandlung, deren Mögliobkeit zu erweifen war. 

11. Erklärung. Die mulliplikativen Kombinationen 
der ursprünglichen Einheiten zur m-ten Klasse, nenne ich 
Einheilen m-ter Stufe, eine aus diefon Einheiten numerisch 
abgeleitete Grosse, eine Grösse ni-ler Stufe, und zwar eine 
einfache, wenn fie fich als kombinatorisches Produkt von 
m Grössen erster Slnfe darstellen lässt, eine zufammen- 
gefetzte, wenn dies nicht möglich ist. Das aus den ein- 
fachen Faktoren einer einfachen Grösse ableitbare Gebiet, 
nenne ich das diefer Grösse zugehörige Gebiet, kurz 
das 'Gebiet diefer Grösse. leb nenne endlich eine einfaclie 
Grösse A einer andern übergeordnet, untergeordnet. 



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»») 51 

oder mit ihr incideiit, ju nacliiiem dies von den Gebieten 
diefer Grössen gilt Cvergl. No. 15). 

'ilh. Zufatz, Ein kombinatorisches Produkt aus m 
Grössen erster Stufe ist eine einfache Grösse m-ter Stufe, 
und ist »US den Einheiten m-ter Stufe numerisch ableitbar. 

Aiim. Als Beispiel einer zufammengeretzten Grösse fttlire icli hier 
die Summe (at) + (cd( an , wenn a, b, c, d vier in keiner Zalilbesiehung 
KU einander ste}iende Grössen find. Sollte nämlich (ab) -j- (cd) eine 
einfache Grösse, etwa =^ (pq) Dein , To müssto [(ab + cd) (ab + cd)] 
= [pqpcj =0 feia (nach 60); aber [(ab + cd) (ab + cd)] = (abcd) -|- 
(cdab), da [abab] nnd [cdcd] nnll find. Aber (nach 58) ist (abcd) 
— (cdab). Alfo [(ab + cd) (ab + cd)] = 3(abcd). Somit miisate, wenn 
(ab) 4- (cd) eine einfache Grösse wäre, (abcd) = fein, alfo (nach 66) 
a, b, c, d in einer Zahlbezieliung stehen, was der Vorausfetzung 
widerstreitet. 

§. 3. Aeussere Multiplikation von Cfrössen höherer Stufen. 

78. Erklärung. Zwei Einheiten höherer Stufe äusser- 
licli multipi iciren, heisst die einfachen Faktoren derfelben, 
ohne ihre Reihenfolge zu verändern, kombinatorisch multipli- 
ciren, d. h. 

[(C1C2 ■ ■ ■ e^l Ce„+i e„)] = [eiOj e J. 

Anm. Den Mamen der äusseren Multiplikation habe ich gewählt, 
lim zu bezeichnen, dass das Produkt nur dann geltenden Werth hat, 
wenn der eine Faktor gana anaserhalb des Gebietes der andern liegt. 
Es steht der äusseren Multiplikation die innere (f. Kap. i) gegenüber. 
"79. Statt eine einfache Grösse A mit einer andern B 
äusserlich zu multipliciren, kann man nach der Reihe die ein- 
fachen Faktoren der ersten mit denen der zweiten kombina- 
torisch multipliciren, il. h. 

[Cab---0(cd---0] = [a'b--cd----]. 
Beweis. Es feien Cr ■ • -e^ die ursprüngUchen Einheiten, 
und I'ei 

a^^ßfleo, h^^ßtiBi,- ■ ■ ■ G = ^yiti,, d = ^<Jte[,--- 
fo ist 

[(ab-.-)(cd..O]_ _ 

== [(X«a e^^ßb (ii ) (^Yi e, ^d^ e^ )] 

- iXa^ßi". Le.l^r^jX/.^i ■■■[«!.<=.■■■]] [45] 



yGoosle 



53 






■y.s,- 



-[Ceaei ■ ■ ÖCe^et ■ ■ ■)] 

■■•n'?f ■■■[eaei,---'?.ef--] 

^[ab cd- ]. 

7fJb. Zufatz. Wenn eine einfache Gross V 
(liclit null ist, einer andern B, welche gleichfalls 



[423 
[78] 
[45] 

V 1 le 
ht null 
ist, untergeordnet ist, fo lässt fich die letztere Is ä s eres 
Produkt darstellen, dessen einer Faktor A und lesse indeier 
Faktor eine einfache Grösse C ist, alfo in dei Forn 
B = [AC]. 
Beweis, Nach 77 ist A dem B untergeordnet, wenn 
das Gebiet von A dem von B untergeordnet ist, d. h. (nach 
15) wenn jede Grösse des ersten Gebietes zugleich Grösse 
des zweiten ist. Es fei A ^= [aiaj ■ ■ ■ a^,], wo ai ■ ■ ■ an, Grössen 
erster Stufe find, fo stehen diefe, da A ungleich null fein foll, 
in keiner Zahlheziehung zu einander (61). Ferner fei B ■:= 
[hl- •■hj. Da nun die Grössen ai-'-Sm dem Gebiete B an- 
gehören follen, fo müssen fio aus bj- ■ -b^ numerisch abieilbar 
fein. Dann aber kann man (nach 20) zu den Grössen a^- ■ ■ -a^ 
noch (n — m) Grössen an,-|-i--aQ von der Art hinzufügen, 
dass die Gebiete ai- ■ ■ -an und b^' • -b^ identisch find. Ist aber 
dies der Fall, fo müsse» (nach 70) die Produkte [aj- 



und [bi 
Es fei 

[b, bj=a[a, 



einer Zahlbeziehung zu 



stchei 



■■a„] = (([(ai 3„.a„ 

— [(ai''-a^)-C«a„ 
Alfo wenn noch 

a[a„H-i-'--aJ^G 
gefetzt wird, fo wird 
B = [AC]. 
SO. Die Klammerfetz ung i 
gleichgültig für das Befultat, d. h. 
[A(BC)] ^ [ABC]. 
Beweis 1. Es feien A, B, C einfache Grössen, A ^^ 

[ai aq], B = [br--b,], C — [ci---cj, fu ist 

[A(BG)] = [aj- ■ • -HiiK - ■IV)Ccr ■ ■ -c,))] 

= [ar--a„(bi---b,ci---cj] [79.1 



■a„)] [79]. 



I einem äusseren Produkt ist 



y Google 



»») 53 

= [ai---aqbi---b,cr--c,] [79] 

= [Cai---aq)Cb,...b,)(Ci--c,)] [79] 
= [ABC]. 

3. Es feien A, B, C äummen einfacher Grossen, A = 
2^Ä7, B = ^ßi, C=^C;; fo ist 

[ACBCJ] = [ZaXZb^Zc;)] = ZÄ^CßTcT) [45] 
= Xa.Bi,C< [Beweis 1] 

= ixa;zb;:zc;] [45] 

= [ABC]. 

81. Wenn ai-"a„, bj- ■ -bn Grössen erster Stufe find, 
welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stellen, und A 
aus af ■ -a^ durch Addition und Multiplikation hervorgegangen 
ist und B aus bi---b„, und 

[AB]=::0 

ist, fo muss entweder A = oder B^O fein. 

Beweis. Es fei A von a-ter Stufe, ß von /3-ter Stufe, 
und feien Aj, Aj, ■ ■ ■ - die multiplikativen Kombinationen aus 
ai-'-am zur a-ten Klasse, Bj, Bj, ■ ■ ■ die zur j3-ten Klasse 
aus bi- ■ .b„, fo find (nach 77) A und B darstellbar in den 
Formen 

A = ^ä7A„~ B=XmV, 
alfu ist 

[AB]=Z'«a/5t[A„B6]. 

Hier find die [AoBt] als multiplikative Kombinationen von 
Hl- ■ -am, bi- ■ -bii SU betrachten, Sie stehen alfo (nach 69) in 
keiner Zahlbeziehuug zu einander. Alfo ist (nach 34) 

für jedes r und s; alfo wenn B^O ist, d, h. irgend eine der 
Grössen ß^ ungleich null ist, fo folgt, a,^0 für jedes r, 
d. h. A=0. 

82. Wenn eine Summe S einfacher Grossen mit einer 
von null verschiedenen Grösse erster Stufe a äusserlich mul- 
tiplicirt null giebt, fo lässt fich die erstere (S) als äusseres 
Produkt darstellen, in welchem a ein Faktor ist, d. h. in 
der Form 

S = LaP], wenn [aS]=0. 



yGoosle 



54 (83 

Beweis. Es fei S eine Summe von Grössen m-ter Stufe, 
und feien c„ Cj, • - • e^ die ursprüngliclien Einheiten, fo kann 
man (nacli 20) zu a stets nocii (n ^ 1) andere Grössen b, 
c, • - ■ der Art liinzufügen, dass fich die Grössen e^ ■ ■ ■ • e„ 
aus a, b, c, ■ - ■ numerisch ableiten lassen. Dann lässt ficii 
auch jeder einfache Faktor in jeder der Grössen m-ter Stufe, 
deren Summe S ist, aus a, b, c, ■ ■ ■ - numerisch ableiten. 
Alfo lässt fich jede diefer Grössen, und alfo auch ihre Summe 
S, aus den multiplikativen Kombinationen zur m-len Klasse aus 
a, b, c, ■ - • ableiten. Es feien nun [aB]], [aBj], ■ ■ ■ diejenigen 
unter diefen Kombinationen, welche a enthalten, und C^, Cj, - ■ ■ 
diejenigen unter ihnen, welche a nicht enthalten, und fei 

S = A[aB,] + ^,[aB,] -{-...+ j-^ + y.C. +■■■■ 
Da nun nach der Annahme [aS] ;= fein füll, fo hat man 

= [aS] = riCaCi] + y,[aC,] + ■ • • , 
da [aaB,], [aaBj], ■ ■ • null find. Da nun a nicht in Cj, Cj, ■ ■ ■ 
enthalten ist, fo find [aCJ, [aCj],--- multiplikative Kombina- 
tionen, stehen alfo in keiner Zahlbeziebung zu einander. Somit 
folgt aus der obigen Gleichung, ^/iCaCJ -f- j'i[aCj] + ■ ■ ■, 
dass j-i, Yi, ■•• alle null find (nach 16). Folglich ist 

S = jSi[aBi] +^,[aB,]+... 
= [aCAB. -\. ß,B, +■■■)] = [üP] , wenn 

P = ftBi + M=+-- 

gefetzt wird. 

83. Wenn eine Summe S einfacher Grössen mit jeder 
von m, in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Grössen 
erster Stufe a^, ■•■a„ änsserüch multiplicirt null giebt, fo 
lässt fich S als äusseres Produkt darstellen, in welchem ai- ■ -a^ 
Faktoren find, d. h. in der Form 

S = [aiaj---a™SJ, 

wenn = [aiS] = [a^S] = • ■ ■ = [a„S J. 
Beweis. Es feien Ci-'-Ca die ursprünglichen Einheiten, 
fo lassen fich (nach 20) zu ai- • -am noch n — m andere Grössen 
a„-|-i- ■ -an der Art hinzufügen, dass fich ei- ■ -e^ aus aj- ■ ■ -ap 
numerisch ableiten lassen. Demnach lassen fich auch alle in 
S vorkommenden Grössen erster Stufe aus aj- ■ ■ -a^ numerisch 
ableiten, Nun ist angenommen [a^SJ^iO, folgüch lässt fich 



y Google 



8«) 55 

(nach 82) S in der Form S = [aiSj] Jarslellen. Hier ist S, 
wieder eine Summe einfacher Grossen, Stellt man die ein- 
fachen Faktoren diefer Grössen als Vielfachenfumme von 
ai----an dar, l'o kann man, ohne den Worth der Produkte 
zu ändern, (nach 67) in aJlen diefen Vielfaühenfummen das 
Glied, was Bi enthalt, weglassen. Nachdem dies geschehen, 
habe fich Si in P, verwandelt, fo ist 

S = [aA] = [aiPiJ, 
wo Pi nur aus den Grössen a; ■ - ■ ■ a„ hervorgegangen ist (kein 
ai enthält). Nun ist ferner [aaS] — 0, d, h. 

0— [ajaiPJ, oder (nach 55) [aia2Pi] = 0. 

Da nun a^Pi nur aus den Grössen a2----a„ erzeugt ist, 
fo muss (nach 81) entweder aj oder [aä^i] null fein. Das 
erste ist gegen die Annahme, alfo aaPi = 0, Somit muss P^ 
in der Form [a^Sj] darstellbar fein; hier kann wieder in Sa 
die Grösse ai fortgeschafft werden , ohne den Werth des Pro- 
duktes ajSa zu ändern; es fei Pj^= [aaSa] = [aiPa], wo Pj 
nur noch aus a^'-'-an erzeugt ist (ohne a, und a^), fo ist 
S = [aiaäPs]. Dann ist [3381 = 0, alfo [aoaiaiP^] =0, oder 
[a,a2a3P2] = 0. 

Da nun [83?^] nur aus aj'---a„ erzeugt find, fo muss 
(nach 81) entweder [aiOa] null fein, oder [agPa]. Ersleres 
ist nicht möglich, weil fönst (nach 61) zwischen a^ und a^ 
eine Zahlbeziehung herrschen würde, gegen die Vorausfetzung. 
Es muss alfo [agP^] ^0, alfo Vi in der Form darstellbar P^ 
^L^äPs], wo wieder Pg nur aus a4- ■ -au erzeugbar ist u, f. f., 
bis endlich 

S = [aiaj..-a„SJ 
wird. 

83. Wenn eine Summe S von Grössen m-ter Stufe mit 
jeder von m Grössen erster Stufe ai----a„, die in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehen, äiisscrlich muUiplicirt null 
giebt, fo ist S dem äus.'ieren Produkte diefer m Grössen kon- 
gruent, d, h. wenn 

0=.[aiS]=.--=[a,„S], fo ist S^[a,----aJ. 

Beweis. Dann ist (nach 83) S in der Form [a^ a^SJ 

darstellbar, hier muss, da S ein Ausdruck m-tor Stufe ist. 



y Google 



56 <SÄ 

Sn, von nullter Stufe, alfo eine Zahl Tein und dann können 
wir (nach 2) statt S = [ai • ■ ■ amSm] schreiben 
S = [a,...aJ. 

85. Wenn es m -j- 1 Grössen ai- ■ • -a^+t giebt, deren 
jede mit einer Summe S von Grössen m-ter Stufe äusserlich 
multiplicirt null giebt, fo ist entweder S ^=0 oder [si- ■ -am-Hl 
= ü. 

Beweis. Gefetzt, es fei [ac ■ -am+i] nicht null, alfo 
auch [ai-- üni] "'cht null, alfo a, ■■-■aoi in keiner Zahlbe- 
ziehung zu einander stehend, fo ist, da auch [a^S] =^[8^8]- ■ ■ 
= [a™S]=0 ist, (nach 84) S — «[Hj- ■ -aj. Nun foll aber 
auch [am+iS] =0, alfo £e[ai- ■ -am-i-,] ^0, alfo, da [ai- -am+i] 
nach der Annahme von null verschieden ist, fo muss a = 0, 
alfo auchS=a[ai- --aJ^O, d. h. es ist entwender [a, ■ ■ -äai+il 
oder S null. 

§. 4. Ergänzung der Grössen in Bezug auf ein Hauptgebiet. 

86. Erklärung, Hauplgebiet nenne ich das Gebiet 
der ursprünglichen Einheiten, aus welchen alle der ßelrach- 
lung unterworfenen Grössen hervorgegangen find. 

8^. Zwei einfache Grössen A und B lassen fich, wenn 
die Summe ihrer Stufenzahlen die des Hauptgebietes um y 
übertrifft, in der Form darstellen 

A^CCAj], B = [Cßj], 
wenn C eine einfache Grösse von j'-ter Stufe ist. 

Beweis. Es fei a die Slufenzahl von A, ß die von 
B, n die des Hauptgebietes, alfo 
a-l-ß = n+Y. 

Dann haben (nach 36) die Gebiete A und B mindestens 
ein Gebiet (ß -f l? — n}-ter, alfo y-ter Stufe gemein. Es fei 
C eine Grosse y-lcr Stufe diefes Gebietes, fo ist C fowohl 
der Grösse A, als der Grösse ß untergeordnet, alfo (nach 
79b) A in der Form [CAi] und B in der Form [Cß,] dar- 
stellbar. 

88. Einfache Grössen (n — l)-ler Stufe in einem Haupt- 
gebiele n-ler Stufe geben zur Summe wieder eine einfache 
Grösse (n — l)-ter Stufe. 



yGoosle 



8»> 57 

Beweis. Es feien A und B die beiden Grösseii(n — l>ter 

Stufe, welclie in einem Hauptgebiete n-ter Stufe liegen; fo 
müssen fie, da die Summe (_2n — 2) ihrer Stufenzahlen die 
des Haiiptgebietes um n — 2 übertrifft, tnach 87) in der Form 

A-=[Ca], B = [Cl)] 
darstellbar fein, wo C eine Reihe von n — 2 einfachen Fak- 
toren erster Stufe darstellt, a und b aber Faktoren erster 
Stufe find, alfo 

A + B = [Ca] + [Cb] = [CCa + b)] [44]. 

Hier ist a + b, als Summe aweier Grössen erster Stufe, 
wieder eine Grösse erster Stufe, alfo ist A + B als kombi- 
natorisches Produkt von n — i Grössen erster Stufe darstell- 
bar, alfo leibst eine Grosse (n — l)-ter Stufe. 

Anm Hat man ui einem Hauptgebiete c ter Stufe zwei Grössen 
A und B, deren StutenaaLleii grösser als 1 und kleniLr als c — 1 find, 
fo giebt ihre Summe im Allgemeinen nicht mehr eine emtaclie Grüsse. 
Öo Ä B liisst Geh, MCan a, b, c, d Tier in keiner Zahlbeaiehnng au 
einander stehende Grossen eister Stufe find, die Summe S^:ab-|-cii 
nicht mehr in Foim eines liombinatonschen Pioduktes lon Faktoren 
eibter Stufe darstellen In dei Ihat mubste dann (nadi 60| 

[SS] =ü 
fein, alfo 

= [S S] = [(ab + cd) (ab + cd)] = [abcd] + [cdab] , 
da [abab] und [cdcd] (nach 60) nuU find. Aber da (nach 53) [cdab] 
= [abcd] ist, fo hätte man dann 

= 2[abcd], 
d. b. es müsste [abcd] null fein, alfo (nach 66| a, b, c, d in einer 
Zalilbeiiehung au einander stehen, gegen die Vorausfetiung. Alfo ist 
S dann nicht in Form eines kombinatorlsclien Produktes von Grössen 
erster Stufe darstellbar, und ist alfo dann eine lufammen gefetzte Grijsse- 
89. Erklärung. Wenn in einem Hauptgehieto n-ter 
Stufe das kombinatorische Produkt der ursprünglichen Ein- 
heiten ei, e-i, • • ■ Ca gieicii 1 gefetzt ist, und E eine Einheit 
beliebiger Stufe, d. h. entweder eine der ursprünglichen Ein- 
heiten oder ein kombinatorisches Produkt von mehreren der- 
felben ist, fo nenne ich „Ergänzung von E" diejenige 
Grösse, welche dem kombinaturisdien Produkte E' aller in E 
nicht vorkommenden Einheiten gleich oder entgegengefetzt 
ist, je nachdem [EE'] der abfoluten Einheit gleich oder ent- 
gegengefetzt ist; ich bezeichne die Ergänzung einer Grosso 



y Google 



58 (»O 

durch einen vor das Zeichen der Grösse gefetzten vertikalen 
Strich, alfo die von E durch |E. Die Ergänzung einer Zabi 
fetze ich diefer Zahl gleich; alfo: 

|E = LEE']E', 
wenn E und E' die einfachen Faktoren er • ■ -Cn enthalten und 

[eie2-.-e„]=:l 
ist; und 

\a^=a, wenn ß eine Zahl ist. 
Anm. Bei der Definition ist vorausgefetzt, dass [EE'] nui- ent- 
weder 4-1 oder —1 fein könne. In der Tliat, da E und E' kombi- 
natoriBclie Produkte der ursprünglichen Einheiten find nnd E' alle 
in E fehlenden Einheiten enthalt, fo unterscheidet fleh [EE'J von 
[eiej'---en] nur durch die Folge feiner Faktoren, und beide find alfo 
(nach. 57) einander entweder gleich oder entgegen gefetzt, alfo da 
[e,Ci---enl = l ist, fo ist [E&] = + J. 

90- Erklärung. Unter der Ergänzung einer heltebigen 
Grosse Ä verstehe ich diejenige Grösse |Ä, die man erhält, 
wenn man in dem Ausdrucke, welcher die numerische Ab- 
leitung jener Grösse aus den Einheiten darstellt, statt jeder 
diefer Einheiten ihre Ergänzung fetzt, d. h. 

ICoiEi 4- a,E, + ■ ■ = «i|Ei + a^\E, + , 

wo El, Ej, ■■- Einheilen beliebiger Stufen find. 

Zufalz. Wenn n die Stufenzahl des Hauptgebicles und 
a die der Grösse A ist, fo ist n — a die der Ergänzung. 

Anm. Der vertikale Strich erscheint alfo nach diefeu Deünitionen 
mit dea Eigenschaften eines Fattora, Es hat diefer Faktor, wie fieh 
weiter unten zeigen wird, eine auftallendc Analogie mit dem imagi- 
nären Ausdruck Y — 1, fo dass man ihn unter gewissen UmstBnden 
dadurch erfctaen kann. Den vertikalen Strich habe ich gewälilt, um 
darauf hinzudeuten, daes, wie ich unten zeigen werde, diefe Ergän- 
zung geometrisch durch das auf einem gegebenen Gebilde fenkrecht 
stellende Gebilde dargestellt wird. 

91, Das äussere Produkt einer Einheit in ihre Ergän- 
zung ist i, d. h. 

rE|E]-l. 
Beweis, Wenn E' das konibinotorische Produkt aller in E 
nicht entlialtenen ursprünglichen Einheiten ist, fo ist (nach 89) 
|E = + E', je nachdem [EE'] = + 1. 
Atfo wenn das untere Zeichen gilt, fo ist 
[E;E] = [HE'] = I 



yGoosle 



»«) 59 

und wenn das obere gilt, fo ist 

[EIE]-. [EE'j^-C-l)-!- 
92. Die Ergänzung der Ergänzung einer Grösse A ist 
dierer Grösse A gleich oder entgegengefetzl, je nachdem das 
Produkt der Stufenzahlen dierer Grösse einerreils und ihrer 
Ergänzung andrerreils gerade oder ungerade ist, d. h, 

||A = C^1)VA, 
wenn q die Slnfenzahl von A und r die von (Ä ist. 

Beweis, Angenommen fei zuerst, dass A ein kombi- 
natorisches Produkt der ursprünglichen Einheiten Tei, und B 
^^ |A feine Ergänzung, fo enthält nach der Definition B alle 
die Einheiten, welche dem A fehlen, und zwar fo, dass 
A|A = i, alfo 

AB = 1 
ist. Die Ergänzung von B wiederum ist, da A alle Einheilen 
enthält die der Grösse B feiilen, (nach 90) der Grösse A 
gleich oder entgegengefetzt, je nachdem BA der abfoluten 
Einheit gleich oder entgegengefetzt ist; nun ist C^ach 58) 
BA = (— l)i''AB, wenn q und r die Stufenzahlen von A und 
B find; alfo, da AB ^ 1 ist, 

BA = C - 1}^', 
fomit auch die Ergänzung von B gleich ~\- A oder — A, je 
nachdem [— l)i' gleich 4- * »der — 1 ist, d. h. 

tB = (— J)'J^A. 
Aber B war gleich |A angenommen, fomil 

l|A. = C-l)''A, 
wenn A ein kombinatorisches Produkt der ursprünglichen Ein- 
heiten ist. 

Es fei zweitens A eine beliebige Grösse q-ter Stufe, 
ihre Ergänzung von r-ter Stufe, und fei 

A = ajEi + %Eä -i , 

wo El, Ea, ■ ■ ■ ■ kombinatorische Produkte der ursprünglichen 
Einheiten, «i, «2, ■ ■ ■ Zahlen find, fo ist (nach i)Ü) 

!A = Ci|Ei-f-aj!E3 +•■■■, 
fomit, da |Ei, [Ej wieder Einheitsprodukte find, 

|!A = «i|iE, + «,||E, -(-..■-. 
Nun find Ei, Ej, ■ ■ ■ von gleicher Stufe iiiit A, alfo von 



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60 (»a 

q-ter Stufe, iiikI ihre Ergänzungen von r-ter Sliife; alfo ist 
(lach dem ersten Tlieile des Beweifes ||Ei^ [— i)i'Ei, ||Ej 
= (— l)i'E5 u. f. w., fomil 

||Ä = C-l)n«iEH-a,E, +--0 

93. Ist die Stufenzahl (n) des Hauplgebiotes uugerade, 
fo ist 

|1A = Ä. 
Ist n gerade, To ist 

wenn q die Stufenzahl von A ist. 

Beweis, üenn dann ist die Stufenzahl von [A gleich 
Cn — q), alfo (nach 92) ||A = (-- i)i(''-*5iA. Ist nun n un- 
gerade, fo ist entweder q oder n — q gerade, alfo ( — l)it"'-i) 
= 1 und alfo dann |jA = A. Ist n gerade, fo ist q(n — q) 
gerade oder ungerade, jo nachdem q es ist, alfo dann ( — l)i(°-w 
= (— i)S und ||A = C- D^A 

Anm '•ind i und r beide ungerade, wie z B wpnn min iliL 
tiiginzungcn von ttrossen crater Stile in einem Gebiet z\\eitei Stilt, 
betmcMet, fo wiid |1A = — A, lo lasä alfo in jiicfem Falle das 
.ieiclien | denfelbLn GeCetzen unterliegt wie i= V— 1, nnd wir er 
halten, dabei hier eine leelle Bedeutung des Imagimren Es wird 
Licli bei der Anwendung auf die Geometrie zeigen, dass Strecken, 
d li Linien von beEtimmtei Richtung und Langt als Grossen crBti.r 
Stufe zu betrachten find, und dase m Be7ug auf fie die Eboni, als 
Gebiet zweitoi Stufe erscheint fo dass illo bier dpr obcnerw ibi ti, 
Fall, wo ||A = — A ist, eintritt Ich werde zeigeu, dass die Li 
ganzung einer btieike, wenn man als ursprüngliche Eii heiten zwei 
gegeneinander lenkiocbte Strecken mu gleicher L^nge annimmt du 
auf ilir lenkiechte Strecke ist, und m^n lieht daher schon hiei, dass 
die leelle Bedeutung, die wii hier dem Imagiiwren beilegen, genau 
dei geomctnschen Bedeutung desfelben wie fie von Gtuss zuerst 
ttulgefaset wurde entspni,ht, nur dass ditCi. Bedei tuns, hiei in ill^e 
r Foim hervortritt 



§. 5. Produkt in Bezug auf ein Htiuptgebiet. 

M4. Erklärung. Wenn die Summe der Stufenzahlen 
zweier Einheiten kleiner oder ebcnfo gross ist als die Stufen- 
zahl n dos Hauptgebietes, fo verstehe ich unter ihrem pro- 
gressiven Produkte ihr äusseres Produkt, jedoch mit der 



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•4) 61 

Bestimmung, dass das progressive Produkt der n ursprüng- 
lichen Einheiten 1 fei. Hingegen, wenn die Summe der Stufen- 
zahlen zweier Einheiten grösser ist als die Slufenzahlen (n) 
des Hauptgebietes, fo verstehe ich unter ihrem regressiven 
(eingewandten) Produkte diejenige Grösse, deren Ergänzung 
das progressive Produkt der Ergänzungen jener Einheiten ist. 
Das progressive und regressive Produkt fasse ich zufammen 
unter dem Namen des auf ein Hauptgebiet bezüglichen 
Produktes. Die Bezeichnung ist für alle diefe Produkte die- 
feibe, nämlich die einer das Produkt umschliessenden Klam- 
mer. Alfo 

|[EF] = [|E|F], 
wenn die Summe der Stufenzahlen von E und F kleiner ist 

1 d St f ( ") d H pt b t d 

[ ] = 1 

1 R h d p 1 h E h l t 

A Afd h bhdltMlilkt 1 fi lg 

bra 1 1 r 1 11 M 1 pik d ilb 1 p fi d 

W h f t I t I d ö kfiih E km t d h 

d f dridMlplkt g t g dlh 

dBh^ dtg tlidW bd 

lg b b M 1 pl k 11 b Ü g Kl m m d t 

ir Igl hP^kwll d 

C d 1 Add t S b kt M U pl k t DT 

bd dfUdh Kl mm 11 Twd 

idiftli g dKlmratt wdtg/b 

d b Ügl h Mit pikt f I d ] g F 11 w 

das Ig b h P 1 k I k pft d d Kl m 

r t g öth g d U d F d kt I t d 1 g tl 

mwdfllt tk }(w ISra 

hDiff Ib fwgltdkö) k 

fwd dllZdtgkgKb m dfm 

F 11 d d b gl li M Itjlk t Kl m 

wdtd wbi btfdrFlldmlg 

b h Pdk ttd dllmm dnibilgll d 

kgwr hdm d tg tFU iß 

q ml hk b b i figt E b -w 1 d d g 

khlt Bese 1 E,fld rald AtdbglbMlt 

pik rbldd Hptgbtbk ttdirb bd 

tdk \wingR bt dddRl g 

gl bralldllird d 1 d&fild 

k üpf d C 1 1 d H pig b t bl g 



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62 C»» 

ÖS. Wenn q tmd r die Stufenzahlen zweier Grössen 
A und ß find, und n die des Hauptgebletes , fo ist die Stufen- 
zahl des Produktes [AB] erstens gleich q + r, wenn q 4- r 
kleiner als n ist, zweitens gleich q-f-r— n, wenn q + r 
grösser oder ebenfo gross als n ist, in beiden Fällen alfo 
kongruent der Summe der Stufenzahlen in Bezug auf den 
Modul, n, d. h. wenn 

C = [AB], fo ist 
ssq -j- r (Modul, n), 
wo q, r, s, n beziehlich die Stufenzahlen von A, B, C und 
vom Hauplgebiete find. 

Beweis. Ist q + r <: n und A = [ajaj ■ • ■ a^], B=t 
[b^bj ■ - ■ bj, wo aj • ■ ■ a^, bj ■ ■ ■ b^ Grössen erster Stufe find, 
fo ist [AB] als progressives Produkt zu betrachten, alfo 
C = [AB] = [(aia,.--aq)-Cbib,-.-b.O] 

= [aiaa---a,bib,..-bj [79], 

alfo (nach 77) die Stufenzahl des Produktes =q + r. Wenn 
q-}-r = n ist, fo wird, da (nach 94) das Produkt der n Ein- 
heiten = i gefetzt ist, und alfo auch das Produkt von n 
Grössen erster Stufe eine Zahl wird, die Zahlen aber (nach 
77) als Grössen nullter Stufe aufzufassen find, die Stufenzaht 
des Produktes gleich 0, alfo =^ q + r — i- Wenn endlich 
q-f-r grösser als n ist, fo ist (nach 94), wenn A und B 
Einheiten beliebiger Stufen find, 
|C = [iA|B]. 

Aber (nach 90) find die Stufenzahlen von |A, |ß, |G gleich 
n — q, n — r, n— -s; nun ist n — q -f n— r = n -(q-f-r — n), 
alfo kleiner als n, fomit ist (nach dem ersten Theile des Be- 
weifes) die Stufenzahl des Produktes [!A|B] gleich der Summe 
der Stufenzahlen feiner Faktoren, alfo 

n^s=^n — q-j-n — r, d. h. s = q + r— -n. 

Somit gilt das zu erweifende Gefetz für den Fall, dass 
A, B, C Einheiten beliebiger Stufen find. Da nun aber jede 
aus den Einheilen numerisch abgeleitete Grösse mit den Ein- 
heiten von gleicher Stufe ist, fo gilt der Satz auch für be- 
liebige Grössen. 

96. Wenn n die Stufenzahl des Hauptgebietes ist, fo 
ist die Stufenzahl eines beliebigen auf dies Gebiet bezuglichen 



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9») 



63 



Produktes der Summe der Stufenzahlen feiner Faktoren koii- 
gfruenl, in Bezug auf den Modul, n, oder die Slufenzahl des 
Produktes ist gleich dein Diviflonsreste, welcher bleiM, wenn 
man die Summe der Stufenzahlen all'er Faktoren durch die 
Stufenzalil des Hauptgebietes dividirt; alfo wenn 

R = i:ÄBC----] ist, fo ist 

Q = a + ß + Y-h-- CMod. n), 
wenn q, a, ß, y, ■ ■ ■ die Stufenzolilen von R, Ä, B, O,--« 
find und n die des Hauptgebietes ist. 

Beweis, In 95 ist gezeigt, dass die StuTenzahl des 
Produktes zweier Grössen der Summe der Stufenzahlen diefer 
Grossen kongruent ist, in Bezug auf den Modul, n. Tritt nun 
zu dem Produkte noch ein Faktor hinzu , Ib bleibt aus gleichem 
Grunde das Gefetz noch bestehen u. f. f., alfo gilt es für be- 
liebig viele Faktoren. Da nun die Stufenzahl immer kleiner 
als n und nie negativ ist, fo gilt der Satz auch in der zweiten 



Anm. So a. B. ist die Stufeiizahl eines Produktes von 7 Fak- 
toren 3-ter Stufe, in Beiag auf ein Haiiptgebiet 4-ter Stufe, gleich 1 
(f. Grelle Journal B. 49, p, 64), 

Ö7. Das Produkt der Ergänzungen zweier Grössen ist 
die Ergänzung des Produktes diefer Grössen, d, h. 
[|A|B] = |[AB]. 
Beweis 1. Wenn die Stufenzahlen a und ß der Grössen 
A und B zuTammen kleiner find als die Stufenzahl n des Haupt- 
gebieles, d. h. a + |S <; ii. 

Dann fei A = XoAT ß — XW^ wo E„ F, Einheiten 
find, fo ist (nach 90J 

lA = Xa,!E, und |B=XSFr 
Alfo 

[IA|B] = [X5JE;ZA?7] = ZtS.IEJF 



= Z«AJ[iyy 

= |Z«A(E,F.] 

= |[Z«,E,Är.l 

= ;[AB]. 

2. Wenn a + ß = n ist, dann gilt der Salz zunächst 
für die Einheiten. 



[43] 
[94] 
(90] 
[42] 



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64 (»» 

Es feien £ und P Einheiten, d. h. kombinatorische Pro- 
dukte der ursprünglichen Einheilen ej---en. Enthält zuerst 
E eine ursprüngliche Einheit, die auch in F vorkommt, fo 
können in E und F, da fie zul'ammen nur n einfache Faktoren 
enthalten, nicht alle ursprünglichen Einheiten vorkommen; es 
muss alfo mindestens eine diefer Einheiten, etwa e^, in beiden 
Grössen E und F fehlen; nun enthält |E alle ursprünglichen 
Einheiten die in E fehlen, alfo aucb e^, und |F alle die in 
F fehlen, alfo auch Cj, fomit enthalten [E und |F beide die 
urspriinglichc Einheit Cj, es ist alfo (nach 60) [IE|F]::=0, 
aber auch [EF]^=0, da E und F nach der Annahme beide 
ein und diefelbe ursprüngliche Einheit enthalten, fomit 

[|EjF] = [EFl. 
Wenn zweitens E keine ursprüngliche Einheit enthalt, die 
auch in F vorkommt, fo muss, da E und F im Ganzen n Fak- 
toren enthalten, deren jeder eine der ursprünglichen Einheiten 
ist, [EF] ein Produkt fämmtlicher n Einheiten fein. Dann 
aber ist (nach 90) 

1E = [EF]F und |F = [FE]E, 
wo [EF] und [FE] nur entweder + i oder — 1 find. Dann ist 

[IE|F]:=[EF]LFE][FE]. 
Aber [FE] [FE] ist entweder 1-1 oder C" O'C-^), alfo 
beidemale i. Somit ist 

[|EiF] = [EF], 
wie im vorigen Falle. Da nun [EF] eine Zahl ist, fo ist 
tnach 90) [EF] = |[EF]. Somit in beiden Fallen 

[|E|F] = |[EF]. 
Da nun das Gefetz für Einheiten gut, fo folgt ganz wie 
in Beweis i, dass es auch für beliebige Grössen gilt, voraus- 
gefetzt, dass die Summe der Stufenzahlen n fei. 

3. Wenn a -f- ,? :=> n, dann fei A ^ |A' und B = [li'. 
Ist nun zuerst n ungerade, fo ist (nach 93) 

|A = ||A' = A' und ebenfo [B = I[B' — B'. 
Alfo 

[|AjB] = [A'B'] = ||[A'ß'] (nach 93). 

Aber da die StufenzabI von A' und B' beziehlich ^ n — a, 

n - (9 find (90 Zuf.), fo find die Stufenzahlen von A' und B' 



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zuraiumengenommen = 2n — a — /S = n — (a -{■ ß — n). Nun 
ist a + jS — n pofitiv, da a + jS nach der Annaliiiie grosser 
als n ist, fomit ist ii - (a -}- j3 — n) < ii, alfo die Summe 
der Stufenzahlen von A' und B' kleiner als n. Alfo ist nach 
Beweis 1 |[A'ß'] = [iA'B'] = [AB]. Alfo 

||[A'B'] = j[AB], aber auch ]j[A'ß'] = [!AjB], 
wie oben gezeigt, ali'o 

[1A[B] = 1[AB]. 

ZuTatz. Wenn das Produkt zweier Grössen ein pro- 
gressives ist, fo ist (las ihrer Ergänzungen ein regressives, 
vorausgeTetzt, dass man das Produkt nuUter Stufe zugleich 
als ein progressives und als ein regressives betrachtet. 

Beweis. Denn ist [Aß] ein progressives Produkt, fo 
ist a -\- ß = < ti, wenn a und ß die Stufenzahlen von A und 
B find, Dann find die der Ergänzungen n — a und n — ^, 
aber n — a -— ^ = =■ 0, allo auch n — a + n^^= >n, 
•I. h. das Produkt der Ergänzungen ein regressives. 

M8. Das Produkt der Ergänzungen mehrerer Grössen 
ist die Ergänzung des Fioduktis dieler Glossen, d. h. 
[|AjB|C--.-]= [\BC ] 

Beweis. Es gelte der Satz für in Faktoren, d, h. es i'ci 
[|A,lA,----|AJ = |[AiA,.--AJ, 
fo gilt er auch für m 4- 1 Faktoren Denn es komme noch ein 
Faktor |An._|_] auf beiden Seiten obiger Gleichung hinzu, l'o ist 
[lAilA, ■ . . |A„' A„.h] = [|(A,A, ■ . . ■ A J|A^ ■^,] 

= |[AlA,.■.■A„A„^,] [97]. 

Gilt der Satz alfo für irgend eine Faktorenzahl, fo gilt 
er auch für die nüchst höhere, all'o auch für jede höhere 
Faktorenzahl. Da er nun [nach 97) für zwei Faktoren gilt, 
Ib gilt er auch für beliebig viele. 

99. Ins Befondere ist 

[|a|b-.-3 = I[ab--.], 
wenn a, b, ■■ Grössen erster Stufe find. 

Zufatz. Es folgt hieraus, dass das regressive Produkt 
als ein kombinatorisches betrachtet werden kann, dessen ein- 
fache Faktoren von (n — l>ler Stufe lind. 



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100. Die Ergänzung eines Polynoms erhält man, indem 
man, ohne die Vorzeichen der Glieder zu ändern, von jedem 
die Ergänzung nimmt, d. h. 

|(A + B+....) = [A + |B+..... 
Beweis. Es fei ^=^aß,, n = XßX, ■■■ f" "St 

|(A + B+-.0_ 

= l(2:«,E, + Zß.E, + ■■■) = |Z(«, + /», + ■■ -% 

= Z(«,_+ ft + ■ -JIK, [90] 

= XoJE, +Z|SJE,+ ■ ■ ■ =!Z«,E, + IZ/»..E,T ■ ■ ■ 

[90] 
= |A + [B+-.--, 

101. Eine Gleichung, in weicher keine andern Ver- 
knüpfungen als die in Kap, I und 3 behandelten vorkommen, 
bleibt auch bestehen, wenn man statt der darin vorkommenden 
Grössen ihre Ergänzungen letzt, d. h. wenn 

fCA, B, ...) = 9'CA', B', ■■-) 
iat, wo f und tp Zeichen von Verknüpfungen find, die den 
genannten Kapiteln angehören, fo ist 

fCA, IB, ■■•i^yClÄ', |B', -■■}- 
Beweis. Da gleiche Grössen, derfelbeii Verknüpfung 
unterworfen. Gleiches liefern, fo muss, wenn 

r(A, B, -■-)^9)[A', B', •■■) 
ist, auch 

|fA, B, ■■■)=!9>CA', B',--0 
l'ein. Nun können lieine andern Verknüpfungen vorkommen 
als Addition, Subtraktion ujjd die bezügliche Multiplikatiun, 
zu welcher auch die Multiplikation mit Zahlen gerechnet wer- 
den darf. Für Addition und Subtraktion ist in Satz 100 be- 
wiefen, dass man, statt vun der Verknüpfung, von den Ver- 
knüpfungsgliedern die Ergänzungen nehmen kann, und dasfelbe 
gilt (nach 99) von der bezüglichen Multiplikation, alfo für 
alle auf beiden Seiten vorkommenden Verknüpfungen. 

Anm. Es tritt hierdurch die volle EeciprocitBt zwischen beliü- 
bigen Glossen and ihren ErgÜDzaiigen, airo überhaupt zwischen Gröese]i 
m-ter und (n - iii}-tci- Stufe hervor, wenn dos Hauptgebiet von n-tcr 
Stufe ist, Dameutlicli ist die Reciprocität awisclxen Gröesen erster und 
(u — l)-ter Stufe von Interesse. 
Reciprocität weiter u 



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*««) 67 

102. Wenn E, F, G Einheiten fin.!, derett Stufenzalilen 
zurammeii n (Slufenzalil ties Haiiptgd)it)tes) lietnigen, fo i^t 
[EF.EG] = LEFG]-E. 

Beweis. Wir können zwei Fälle unterscheiden, ent- 
weder LEFG] enthalt gleiche Faktoren oder nicht. Enthält es 
gleiche, fo muss, da die Anzahl feiner einfachen Faktoren, 
nach der Vorausfetzung, gleich n, gleich der Anzahl der ur- 
sprünglichen Einheiten ist, eine diefer Einheiten, etwa e^, 
unter den Faktoren von [EFG] fehlen. 

Nun fei [EF] = i'0, fo ninss (nach 89) diefen auch in 
[EF] fehlenden Faktor s^ enthalten; ebenfo fei [EG] = |R, fo 
muss R diefen Faktor gleichfalls enthalten. Alfo ist dajin 
(nach 60) [OR] gleich null. Nun ist 

[EF.EG] = [|0;R] = |[OR] [94], 

alfo gleich der Ergänzung von [QR] = , alfo (nach 891 felbsl 
null. Aber es ist auch [EFG], da es nach der Annahme 
gleiche Faktoren enthält, null, fomit beide Seiten der zu er- 
weilenden Gleichung null. 

Wenn dagegen [EFG] keine gleichen Faktoren entjiält, 
fo muss es, da es n Faktoren enthalten foll und zwar kerne 
andern als ursprängliche Einheiten, ein Produkt der n ur- 
sprünglichen Einheiten fein. Dann ist (nach 89) 
|G = [GEF][EF], |F = [FEG][EG]. 

Da hier [GEF] und [FEG] als Produkte fämmllicher Ein- 
heiten Ci, ■ ■ ■ e„ gleich + [eie^- ■ -Cn], alfo (nach 94) = + 1 
find, und die Multiplikation + 1 gleiches Refultat mit der 
Divifion durch ^ 1 liefert, fo können wir die obigen Glei- 
chungen auch fo schreiben: 

[EF] = [GEF]|G, [EG] ^ [FEG]1F. 

Dann wird, da man überdies Zabifaktoren beliebig ordnen 
darf, 

[EF.EG] = [GEFj[FEG][|'G|F] = [GEF][FHG]i[GF] [97] 
-=[GEF][FEG][GFE]E [89], 

Nun ist [EF] = + [FE] (nach 58).' Vertauscht man alfo 
in dem gewonnenen Ausdrucke zweimal E mit F, fo bleibt 
fein Werth «ngeändert, und fo wird er 
=:[GEF][EFG][GEF]E. 



yGoosle 



ßS ClOS 

Aber da [GEF] = + 1 ist, To wird [GEF][GEF] = 1 und 
fornit erhält man 

[EF EG]=[EFG]E. 
103. Wenn A, B, C einfache Grössen find und die 
Summe ihrer Stufenzahlen gleich der Slufenzahl n des Haiipt- 
gebietes ist, fo ist 

[AB.AC] = [ÄBC3A. 
Beweis. Angenommen, die Formel 103 gelte für den 
Fall, dass A, B, C keine andern Faktoren enthalte als die, 
welche einer gogebenen Reihe von n Grössen erster Stufe 
Bi, »ä, 33, ■■■ angehören, fo zeige ich, dass fie auch noch 
gelte, wenn man statt einer diefer n Grössen, etwa statt ai, 
eine aus ihnen numerisch abgeleitete fetzt, etwa a':::^a,ai + 
Oja, -|- ■ ■ ■ ^=: ^a^a^. Es kann a^ entweder in A oder B oder 
C enthalten fein. Ist aj in B enthalten, l'o fei B = aiD, und 
verwandle fich B durch die obige Substitution in B'=^a'D. 
Dann wird 

[AB' -AG] = [AXÖ^ÄD-AC] =^ar[Aa,D-AC] 
=^ Xrt,[Aa,DC] . A, 
da nach der Annahme Formel 103 für den Fall, dass die 
betrachteten Grössen nur a,, a^, ■■-■ als einfache Faktoren 
enthalten, gölten foll. Alfo ist 

[Aß' . AC] =- X"o,[Aa,DG] ■ A = [AXä,ä,DC]A 
^[Aa'DC]A = [AB'C]A. 
Genau diefelben Schlüsse gelten, we-nn ai in C enthalten 
ist. Es bleibt alfo nur der ^ Fall zu behandeln, wo aj in A 
enthalten ist. In diefem Falle verwandle fich zunächst a^ in 
a'^^OiBj 4- %as) und fei A = [aiD], alfo 
A' = [a'D] = a,[a,Dl + a^l^^D] 
= niA -f- aj[a^D] " 
Sollte a^ nüi:li in D enthalten fein, fn wHre der letzte 
Summand (nach (10) null; es verwandelte lieh alfo A' nur in 
fein Vielfachos, all'o würde dann 

[A'B-AT]=:a\AB-AC]^a'[ABG]A 
= [aABC]aA = [A'Bf].\'. 
Alfo bleibt mir noch der Fall zu betrachten, wo a, in 
B oder in C, z. R. in B, vorkommt. In diefem Falle fei 



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t<M> 69 

B = [biE]. Es war, wie oben (*) gezeigt, A'^^a^A -f «^[ajD], 
und da a^ in B als Faktor enthalten ist, und aUo [32!)^] i^«'! 
wird, foist[A'B] = ai[AB]; ferner ist [A'G]=:[(a,A-!-ctj[a:iD])C] 
= ai[AC] + as[a2DC], alfo 

[A'B ■ A'C] = a;[AB ■ AC] ■ 1- Kifl,[AB ■ a^DC] 
= aJfABC] ■ A -!- OjCtjCAB- a^DC]. 
Aber [AB-a,DC] = [aiDaiE-a^DC] = — [ajDaiE-ajDC] (55) 
= — [aiDaiEC][a;D]. Letzteres nämlicli ist der Fall, da die 
drei Grössen [ajD], [a,E] und C keine andern Faktoren ent- 
halten, als folche, die der Grössenreilie aj, a^, aj---- ange- 
hören, und die Summe der Stufenzahlen n ist, alfo die Bedin- 
gungen alle erfüllt find, unter denen die Geltung der Formel 
[AB'AC] = [ABC]A angenommen war. Somit wird 

[A'B-A'C] = a;[ABC]A— «lajIajDaiECKajD] 

= a;[ABC]A -i-ßiaz[aiDasEC][a2D] [55] 
= a;[ABC]A -I- aiaj[ABC][ajD] 
= at[ABC]Ca A + (%[a,D]) 
= [aiABC]-A' [»] 

= [A'BC]A'. 
Dasfelbe gilt, wenn aj in C statt in B enthalten wwr. 
Alfo ist gezeigt, dass die Formel immer bestehen bleibt, wenn 
man einen Faktor a^ in «lai -f- a^a^ verwandelt, alfo auch, 
wenn man diefen wieder in Oiai -{- ctjaj -}- a^a^ verwandelt u. f. f. 
Es ist alfo jetzt vollständig erwiefen, dass, wenn die 
Formel 103 für irgend eine Reihe von n Grössen erster Stufe 
%! Ss'-'-Cn gilt, welche die einfachen Faktoren der Grössen 
A, B, C bilden, fie auch noch bestehen bleibt, wenn man 
statt irgend eines diefer Faktoren eine aus jenen Grössen 
ai-'-a^ numerisch abgeleitete felzt. Da fich dasfelbe wieder 
anf die fo hervorgehende Reihe von Grössen anwenden lässt, 
fo folgt, dass die Formel auch noch bestehen bleibt, wenn 
man statt der einfachen Faktoren der Grössen A, B, C be- 
liebige aus jenen Grössen a^- ■ -an numerisch abgeleitete Grössen 
fetzt. In der That, es feien z. B. bi- •■ b^ folche aus ai^-Bn 
numerisch abgeleitete Grössen. Wie diefe auch beschaffen 
feien, immer wird fich (nach 17) unter ihnen ein Verein von 
m Grössen angeben lassen, welche in keiner Zahlbeziehung 



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70 f>«4 

zu einander stehen, und ans denen fich, wenn m kleiner als 
n ist, die übrigen numerisch abieilen lassen. Es feien nun 
bj'--bm diefi! Grössen, aus denen bm_i.i----bo numerisch ab- 
leitbar find; dann kann man (nach 20) statt m der Grössen 
a|----a„, die Grössen bj- ■ -bn, in der Art einführen, dass das 
Gebiet der fo erhaltenen Grössen dem Gebiete der Grössen 
ai-'-Bn identisch wird. Es feien a^- -an, die Grössen, statt 
deren man in diefer Weife bi--bm cinTübren kann, l'ü wird 
nun das Gebiet der Grössen ai ■ ■ • an identisch dem Gebiete 
der Grössen bi ■ ■ ■ b^a^^j ■ ■ ■ an, oder, indem man diefelbe 
Sohtussfol^e Schritt für Schritt anwendet: Es wird das Gebiet 
aiaj -an identisch dem Gebiet b^aj ■ ■ ■ -an, 
dies wieder identisch bibja^'-an, 

und endlich identisch b^bj • ■ ■ b^am^-i • ■ ■ a„. 

Gilt nun Formel 103 für ai---a„, fo gilt fie auch, wenn 
man statt des Faktors Bj die aus 83 ■ ■ ■ a^ abgeleitete Grösse 
bj fetzt, alfo für bj, aj- - -an. Da nun das Gebiet a^- ■ -an mit 
dem Gebiete bi, a^- ■ -an identisch ist, und bj nach der Annahme 
aus a^- - -a„ ableitbar ist, fo ist es auch aus bj, 82- ■ -a^ ableit- 
bar, folglich bleibt Formel 103 noch bestehen, wenn man b^ 
statt aj fetzt, d. h für die Reihe bj , bj , a^ ■ - ■ a„ u, f. f. , endlich 
noch für die Reihe b,, ba - ■ b„, a^^.., ■ ■ ■ an. Ferner, da nach der 
Annahme b^^i ■ ■ bn aus bi, b2,'--bm numerisch ableitbar 
find, fo bleibt nun 103 auch noch bestehen, wenn man nach 
und nach in der Reihe bj ■ ■ ■ b„ , a^^j a„ , statt am-i 1 ■ ■ ■ «n die 

Grössen b„4-i b„ fetzt, alfo auUi fur die Reihe bi- ■ -bg, 

d. h. für jede beliebige aus aj a^ numerisch abgeleitete 
Grössenreihe. Nun gilt aber (03 lur die ursprunglichen Ein- 
heiten ei''-e„ (nach 103), Ufo fu) eine liüiebige Reihe von 
Grössen erster Stufe, weicht die einfachen Faktoren von A, 
R, C bilden, d.h. für beliebige einfache Grossen A, ß, G. 

loa. Auch wenn B und C ^ufammengtruzte Grössen 
find, A aber eine einfache Grosse und die Summe der Stufen- 
Kahlen von A, B, C gleich der Stufenzahl des Hauptgebieles 
ist, fo ist 

tAß.ACJz=[ABC]A. 



yGoosle 



ßeweis. Es fei 

wo Ef und F, Einbeitsprodukle rmd, fü ist 

[AB ■ AC] = X^Vj-JAE.-AFJ [45] 

= X/SrJ'JAE.FJA [103] 

= [Ai:p;Z77F.lA [45] 

= [ABC]A. 

A II in. Diefür Satz gilt im Allgemeinen uiHit mehr, wenn A eine lu- 

fumme II gefetzte Gi'Össc ist. Ist z. B. A = ab+ cd, wo a, b, c, d in keiner 

Zahlbeaieliung zu eiuaiider stehen fallen, und iat B = c, C^ d, fo wird 

in Bezug auf ein Gebiet 4ter Stufe [AB-AC] ^^ [(ab-)- i;d)c-(ab + cd)d] 

~_- [abc ■ abd], da (cde] und [cdiil veracUwiniien ; aber [abc ■ abd) ^ 

[abcd]-[ab]. Alfo ist 

[AB-ACj -- [abcdj.ab. 
Dagegen ist 

[ÄBCJ -A =. [fab + cd)cdj • [(abl + (cd)] = [abcdj [(ab) + (cd)] 
= [aUcri] - [ab] + (abod] ■ [od]. 
Alfo find beide Ausdrücke um [abcdj[cd] ydh eiuandei- vcracMeden. 

lOä— 101. Wenn A, B, C einfache Grössen find, und 
ilir Produkt von nuliter Slufo ist, fy ist 
lOS. [AB AC] = [ABC]A 

lOe. [AB-BC]=:[ABC]B 

107. [AC-BC] ^[ABC]G, 

il ii. wenn zwei Produkte (}' und 0) einfaclier ürösseit, welclie 
einen gemernschaftliclien Faktor haben, zu niultipliciren find, 
und diefer gemeinschaftÜche Faktor entweder in dem zweiten 
Produkle (Q) als erster Faktor oder in dem ersten (P) als 
zweiter Faktor vorkommt, fo kann man diefen Faktor mit dem 
Produkte der übrigen Faktoran muUipliciren, vorausgefotzt, 
üaKS dies letztere Produkt von nuilter Stufe ist. In beiden 
Fällen ist das Gefammtprodukt von gleicliem Wertlie, 

Beweis 1. Sind a, ß, y die Stüfenzahien von A, B, C 
und n die des Hauptgebietes, fo muss, da [ABC] von nulUer 
Stufe fein foll, (nach 96) « -[- j3 -f j" durch n tiieiibar fein, 
alfo, da a, j?, / kleiner als n find, entweder gleich n oder 
gleich 2n fein. Ist et ;- j? -f j- = n, fo ist die Geltung der 
Formel 105 sciion in 103 bowiofen. Ist dagegen a + jS -f- )■ 
= 2n, fo fei 



yGoosle 



73 (t08 

A = JA', B = |B', C = 'C 
und feien a' -\- ß' -\- y' die Stufenzüliioii von A', 8', C, fo ist 
a' = n — a, jS' = n - j9, j-'^sn— j- [90], 

alfo a' + j3' + r' = 3n — (a -f ,3 + >•) = 3n - 2n = n. 

Somit [AB- AC] = ([|A'IB']- [|A'|C']) = ([A'B'- A'C] [99] 

=:|[A'B'C'-A'] [103], 

da nämlich a' -f ^' -[- y' ^= n ist. Dies ist aber (nach 99) 
^[|A'!B'|C']-|A' = [ABC]A. 

2. Es fei [AB] = [BD], fu ist D von gleicher Stufe mit 

A, alfo 

[AB -BC] = [BD ■ BC] = [BUC]ß [105] 

= LÄBC]B, 
da [BD] = [AB] ist. 

3. Es fei [BC] = [CD] , fo ist D von gleicher Stufe mit 

B, alfo 

[AC-BC] = [AC-CD] = [ACD]-C [106] 

= [ABC]C, 
da [CD] = [BC] ist. 

Aum. Es lassen Tich die in lüä— 107 aufgestellten Gefetze Tu 
eiweitei'n, daas fie auch für den Fall gelten, wo [ABCJ nicht von 
nuUter Stufe ist, wenn man Ge nämlich in den folgenden Fonueii 
darstellt : 

[AB.AC] = [AABC] 
[AIi-BC] = [B-ABC] 
[AC.BC1 = [C-ABC]. 
Den Beweis diefer Formein, die ich in diefer allgemeineren Be- 
deutung im Folgenden nicht anwenden werde, überlasse icji dem Lefer. 
lOS. Wenn A, B, C einfache Grössen lind, uml die 
Summe der Stufenzahlen von A und C gleich der des Haupt- 
gebietes, und B dem A untergeordnet ist, fo ist 
[A-ßC]=-[AC]B 

[CB-A]=::[CA]ß. 

Beweis. Denn dann ist (nach 79 Zufatz) A in der Form 
BD darstellbar, und alfo 

[A ■ BC] = [BD ■ BC] =- [BDC] ■ B 1 105] 

= [AC]B 
und 

[CB-A] = [Cß-BD] = [CBD]B [106] 

= [CA]B. 



yGoosle 



109) 73 

109. Ein bezügliches Produkt zweier einfaclier Grössen, 
diu nicht null find, ist dann, und nur dann von null ver- 
scliieden, wenn die Stufenzahl ihres gemeinschaftlichen Ge- 
bietes den kleinsten, oder, was dasfelbe ist, die Slnfenzahl 
ihres verbindenden Gebietes den grössten Werth hat, den fie 
bei gegebenen Stufenzahlen der beiden Faktoren und des 
Hauptgebietes haben kann, d. h. wenn a und ß die Stufen- 
zahlen der Faktoren A und B, n die des Hauptgebietes ist, 
Y die des gemeinschaftlichen, d die des verbindenden Gebietes, 
fü ist, wenn a-j-|5^<n, d. h. das Produkt ein progressives ist, 

[AB]^0, dann und nur dann, wenn 

y = 0, oder, was dasfelbe ist, 

a 4- /* = <?> und 
wenn a + /9 > n , d.h. das Produkt ein regressives ist, fo ist 

[AB]^0, dann und nur dann, wenn 

y^=a-{-ß — n, oder, was dasfelbe, 



Beweis 1. Wenn a -\~ ß = '^B ist, fo ist das Produkt 
(nach 94) progressiv, alfo (nach 61, 66) dann und nur dann null, 
wenn feine einfachen Faktoren in einer Zahlbeziehung zu ein- 
ander stehen, Ist alfo [Aß] = 0, fo lässt fich von den ein- 
fachen Faktoren des Produktes [AB] einer aus den a •}- ß — i 
übrigen numerisch ableiten (nach 2), Alfo werden dann fämmt- 
liche einfache Faktoren jenes Produktes von einem Gebiete von 
niederer als (c -|- ^)-ler Stufe umfasst, d. h. 6 <c a -{• ß. Ist 
hingegen [AB]^0, fo stehen die einfachen Faktoren diefes Pro- 
duktes (nach 61) in keiner Zahlbeziehung zu einander, ihr ver- 
bindendes Gebiet ist alfo von (a -f- ^)-ter Stufe, d.h. a -{- ß 
= S. Somit ist, wenn a -\- ß = -<n ist, [AB] dann und nur 
dann von null verschieden, .wenn a -{- ß=^6 ist, 

2, Es fei a -f /9 >- n und a •]- ß — n = y. Dann haben 
die Gebiete A und B, da fie beziehlich von a-ler und j5-ler 
Stufe find, (nach 26) mindestens ein Gebiet (et -|- (3 — n)-ter 
d, h. )'-ter Stufe gemein. Es fei C eine Grösse von j'-ter 
Stufe in diefem Gebiete, l'o find (nach 79 Zui',) A und B in 
den Formen A = [CAi], B = [CBi] darstellbar. Somit wird 
[AB] ^. [CAj. . CBi] = [GAiBJ ■ C [103], 



yGoosle 



74 (HO 

weil die Summe der Slufenzahlen von C, Aj und Bjj =;)' -f- 
(a — y) + (ß—Y^ = a -i' ß -y = t\ find. Es ist aber [CAiBJC, 
da [CAiBJ von nulller Stufe, alfo eine Zahl ist, dann und 
nur dann null, wenn [CAiBj], d, h, [Aß,] null ist. Aber nach 
Beweis 1 ist [ABj] dann und nur dann null, wenn A und Bj 
von einem Gebiet von niederer als n-ter Stufe umfasst wer- 
den, aber da C in A = CÄx liegt, fo werden dann auch A 
und CBi, d. h, A und B von einem Gebiete niederer als n-ler 
Stufe, umfasst, d. h. rf <; n. Somit ist, wenn a -j- ß ~> n ist, 
[AB] dann und nur dann von null verschieden , wenn iJ ^^ n ist. 

3. Nach 25 ist die Summe der Stufenzahlen zweier Ge- 
biete gleich der Summe der Slufenzahlen ihres gemeinschaft- 
lichen und ihres verbindenden Gebietes, d. h. 
a + ß = y + ä. 

Die Bedingung in Beweis 1, dass a-|-/9 = tffei, ist alfo 
identisch mit der, dass y = fei, und die Bedingung in Be- 
weis 3, dass d=n fei, ist identisch mit der, dass 

a+ß-n=Y 
fei. Somit ist der zweite Wortausdruck unfercs Satzes be- 
wiefen. Nun ist aber klar, dass, wenn a und j3 = <:n ist, 
die kleinste Stufenzahl, die das den Grössen A und B ge- 
meinschaftliche Gebiet haben kann, null, und die grösste, die 
das verbindende Gebiet haben kann, a -\- ß ist. Auf der 
andern Seite, wenn a -{- ß >■ n ist, fo ist die gi'össte Stufen- 
zahl, die das verbindende Gebiet haben kann, n, alfo (nach 26) 
die kleinste, die das verbindende Gebiet haben, a -\- ß — n. 
Somit stimmt der erste Wortausdruck mit dem zweiten über- 
ein, und der Satz ist erwiefen. 

110. Alle Gefetze der auf ein Hauptgebiet bezüglichen 
Multiplikation gelten auch noch, wenn man überall statt der 
ursprünglichen Einheiten eine beliebige Reihe von n Grössen 
fetzt, die aus jenen numerisch abgeleitet find, und deren kom- 
binatorisches Produkt 1 ist. 

Beweis. Es feien e^ ■ - ■ ■ e„ die ursprünglichen Ein- 
heilen, und ai--'-an aus ihnen numerisch abgeleitet, und 
zwar fo, dass 

ist. 



yGoosle 



tlO) 75 

Nach 89 wurde unter der Ergänzung; |E eines Einheits- 
Produktes E diejenige Grösse verstanden, welche dem kombi- 
natorischen Produkte E' aller in E nicht vorkommender Ein- 
heiten gleich oder entgegengefelzt ist, je nachdem [l'-E'j der 
abCoIuten Einheit gleich oder entgegengereizt ist, d. h. für die 

|E = [EE']E' 
war. Bezeichnen wir nun diejenige Grösse, welche aus einem 
Produkte A, in welchem nur die Grössen ai* • • -a^ vorkommen, 
auf entsprechende Weife gebildet ist, für den Augenblick mit 
lA, d. h. bezeichnet lA diejenige Grösse, welche dem kom- 
binatorischen Produkte A,' aller derjenigen Grössen jener Reihe 
[aj---a„], welche in A nicht vorkommen, gleich oder ent- 
gegengefelzt ist, je nachdem [AA'j der abfoluten Einheit gleich 
oder entgegengefetzt ist, d. h. fo dass 

lA = [AA']A' 
ist, fo haben wir zunächst zu beweifen, dass die als Defi- 
nition des bezüglichen Produktes in 94 aufgestellte Bestim- 
mung, auch bei diefer Einfetzung der Grössen aj ■ ■ ■ a^ an 
die Stelle der ursprünglichen Einheiten noch ihre Geltung 
behalte, d. h. dass 

I[AB] = [lAlB] 
fei, wenn A und B nur Grössen aus der Reihe ai--'a„ als 
einfache Faktoren enthalten, und die Summe {^a -j- ß) der 
Stufenzahlen von A und B kleiner ist als die Stufenzahl n 
des Hauptgebietes. 

Es fei zuerst [AB]^=0, fo müssen fnach 109) die Ge- 
biete A und B ein Gebiet von höherer als nuUter Stufe ge- 
mein haben; fie mögen ein Gebiet j'-ter Stufe gemein haben, 
alFo / einfache Faktoren, dann werden diefe Faktoren, da 
lA nur diejenigen Faktoren enthält, welche in A nicht vor- 
kommen, in lA fehlen, und aus gleichem Grunde auch in 
IB, alfo werden lA und Iß von einem Gebiete von niederer 
als n-ter Stufe umfasst, fomit (nach 109) 

[IAIB] = 0, 
alfo, da auch [AB] null war und die Ergänzung einer Zahl 
(nach 89) diefer gleich, alfo die von null felbst null ist, fo ist 

][AB] = [lÄIB]. 



yGoosle 



76 (■!• 

Es fei zweitens [AB] von null verschieden, fo enthält 
(lasfelbe a -\- ß verschiedene einfache Faktoren der Reihe 
ai---a„, es fei G das Produkt der übrigen, alfo [ABC] (nach 
57) dem Produkte [a^ a,J entweder gleich oder entgegen- 
gefetzt, alfo da das letztere gleich 1 ist, fo ist [ABC]= ^ i. 
Da nun [BC] das Produkt der in A nicht vorkommenden Fak- 
toren ist, fo ist nach der hier angenommenen Bezeichnung 
1A=[ABC][BC], ebenfo 
IB = [BAC]-[AC] und I[AB]=: [ABC]C *. 
A!fo, da [ABC], [BAC] Zahlen i=+ IJ find, 
[lAIB] = [ABC][BAC][BC-AC] 

= [ABC][BAC][BAC] ■ C [107]. 

Da nun [BAC] = + 1 ist, fo ist [BAC][BAC] = 1. Alfo 
[lAIB] = [ABC] ■ C = I[AB] [*]. 

Es gilt alfo die Bestimmung, durch welche der Begriff' 
der bezüglichen Multiplikation festgestellt wurde, auch wenn 
man statt der ursprünglichen Einheiten die Grössen ai----aa 
einführt, alle früheren Gefetze gelten aber, wenn man statt 
der a ursprünglichen Einheiten beliebige n Grössen, die in 
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, d. h. deren kom- 
binatorisches Produkt nicht null ist, alfo auch, wenn man 
statt derfelben die Grössen aj- ■ • -an fetzt. Aus diefen früheren 
Sätzen und der in der Definition festgeslelllen Bestimmung 
find aber alie folgenden Gefetze abgeleitet, folglich gelten 
auch diefe noch bei der angegebenen Substitution, 

Anm. Durch das Fortboatehen der Multiplikatioas-GefeUe, auch 
wenn man eine Reibe lineal ableitbarer Einiieiten den arspr^ngiichen 
Cubstituirt, ist die Multiplikcition als lineale bedingt, und erst im 
folgenden Kapitel werden wir zn einer Prodaktbildung Übergehen, 
hei welcher das Fortbestehen der für die ursprünglichen Einheiten 
geltenden Gefetze, nur in einem Tiel beschränktei-en Umfange, statt- 
findet. Zu bemerken ist noch, dass die oben mit lA bezeichnete 
Grösse im Allgemeinen nicht mit der Ergänzung von A, die wir 
mit |A bezeichneten, zufBmmen fällt, z. B. ist in einem Gebiete dritter 
Stufe, wenn e,, ej, Cj die ursprünglichen Einheiten find und [eie^es] 
= 1 ist, die Ergänzung von Ej + ea , da |e, = [eaCj] , le, =: [cjei] ist, 
gleich [6563] -[- [ejej ; denn (nach 90) ist 

|(ei-i-ea)=le, -|- l^g = [6383] -|- feae,]. 
Dagegen, wenn 

f 1 = Ci + 1^5 »s = Cj, ag — ej 



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11«) 77 

ist, £o ist zwar [aiSja»] =l [6,6363] =1, aber, bei Anwendung der B6- 
zeichnung in obigem Satze, 

la, = [aiaia3][aia3] = [a^na] = Kea] , 
alfo von |ai um lejSi] verschieden. Im folgenden Kapitel wird ficli 
ergeben, welcho Beziehungen awisclieii c, ■ ■ -Cn und ai ■ ■ 'Sa stattfinden 
müssen, wenn |A = IA fein Ml. 

111. Wenn 

1 = [a,. - . . aj =: [PP'] ^ [AA'] - [Bß'J = [CC] • • • ■ 
ist, und P, P', A, A', B, B', C, C'--- keine andern einfachen 
Faktoren enthalten, als die der Reihe aj- ■• -an angehören und 

P = [ABC----] 
ist, [0 ist auch 

P' = [A'B'C'.-..]. 
Beweis. Es fei unter lA dasfelbe verslandon, wie im 
vorig;en Beweife, fo ist 

IP = [PP']P' = P', lA = [AA']A' = A' u. f. w. 
Nun ist, da nach dem vorigen Satze alle früheren Sätze, alfo 
namentlich auch Salz 98 noch gilt, wenn man überalt das 
Zeichen I statt | fetzt, 

][ABC--]i^[IAIBIC--], 
alfo 

IP = [UIBIC-1. 
Alfo, da IP = P', IA = A', IB = B', IC = C'..-- ist, 

P' = [A'B'C'-.-]. 

112. Wenn man aus n Grösse er ter St fe, deren 
kombinatorisches Produkt 1 liefert, die n Upllat en Kom- 
binationen zur n — 1-ten Klasse bildet ind de Elemente 
jeder Kombination alphabetisch, die Ko I nat onen felbst lexi- 
kographigch unter der Annahme ordnet da&s d e Re he jener 
n Grössen als ein Alphabet betrachtet wird, fo ist das Produkt 
aus den n — m ersten diefer Kombinationen gleich dem Pro- 
dukt aus den m ersten Jener n Grössen, d. h. 

[A,..'..A„4.,] = [ar---aJ, 
wenn 

A^ ~ [ai . . ■ ■ a^ia^ ^ ■ ■ ■ a J 
und [ai- - .an] = 1 ist. 

Beweis 1. Ich beweife zuerst, dass 

[ai - ■ ■ ■ BfA,] ^ [fli • ■ ■ Br_i] 



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78 



(fl» 



fei. Es ist nach der gewählton Beichnung 
Ar= [a^- ■ -01.-1 »H-r " ' ■''n]- 
Alfoi 

[a,- ■ -aA] = K- • -a/ar ■ -«^,3,^. ■ -aj] 

da [ai- ■ -aj = 1 ist. 
2. Somit ist 

[A^.iJz^Iai-- ■a„-iA„_i] = [ai---a„_,l 

[A„A„.iA,_,] = [ar ■ ■ ■K-2K^2] = [ar ■ ■«„-3] 
u. f. f. Alfo 

[A„A„,.i • ■ ■ A„_,] = [ai ■ ■ ■ ■ a„ . ^-i]. 
Alfo , wenn n — r — 1 = m ist , 

[A,A„_,.--A^+i] = [ar-.aJ. 
113. Wenn Cj, Cj,--- die multiplikativen Kombina- 
tionen aus den einfachen Faktoren (erster Stufe) einer von 
null verschiedenen Grösse B find, und D^ jedesmal aus den- 
jenigen Faktoren von B besteht, welche in C^ fehlen, und 
zwar die Faktoren fo geordnet, dass jedesmal 

[C,B ,] = B 
ist, fo ist für jede Grosse A, deren Stufenzahl die Stufen- 
zahl von D zu der des Hauplgebictes ergänzt, 

[AB] = X[AD,]C, ^ [ADJCi -|- [AI>i]Cs +■■■. 
Beweis. Es möge m die Anzahl der einfachen Faktoren 
von B fein und n die Stufe des Hauptgebietes, a die Stufen- 
zahl von A, und fei B^=[l)i, ^'''bm]- 

Da nun nach der Annahme B von null verschieden ist, 
fo stehen (nach 61) bi-'-b^ in keiner Zahlbeziehung zu ein- 
ander, folglich lassen fich (nach 20) zu ihnen noch n — m 
Grössen erster Stufe bm+r''bB von der Art hinzufügen, dass 
fich alle Grössen erster Stufe , welche dem betrachteten Haupt- 
gebiete angehören, aus ihnen numerisch ableiten lassen. Dann 
lässt fich A als Grösse a-ler Stufe aus den multiplikativen 
Kombinationen der n Grössen b^- ■ -b^ zur a-len Klasse nume- 
risch ableiten, alfo fich in der Form 

A=^KiAi + «lAj -|-. ■ . ■ =.^ai.Ä, 
darstellbar, wenn Aj, A^,- ■ ■ die multiplikativen Kombinationen 



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114) 79 

aus bi'--bn zur a-ten Klasse find. Es feien diefe Kombina- 
tionen A^, Aj,--' fo gewählt, dass jedesmal Ap aus denjenigen 
jener n Grössen besteht, welche in D,. fehlen. Dies ist alle- 
mal möglich, da D, nach der Annahme n— « jener Grössen 
enthält. Dann ist 

[AB] = Z («AJB'=: Z ^TEMT [4i] 

= Xar[A.-CA], 
da nach der Annahme B = [C,Dj] ist. Da nun C^ nur folche 
jener n Grössen bi--b„ enthält, die dem D, fehlen, und A^ 
i^mmtliche in D, fehlenden Grössen bi---b„ enthält, fo ist C^ 
dem A, untergeordnet, fomil (nach 108) [A,-C,DJ = [A„DJC„ 
alfo 

[AB] = Za,[Ä,D,]Cr. 
Nun ist aber [A,Dp]=:0, wenn s von r verschieden ist, 
weil dann A^ mindestens einen Faktor enthält, der auch in D( 
vorkommt, alfo kann man statt «rLAtD,] schreiben ^a^lAJ)^'], 
wo fich die Summe nur auf den Index s bezieht, d. h. es ist 
«r[ArDJ = ^aJÄJ)^ = [Xäji,l>,] = [AD,] , fomit 

[Aß] -= Z'[AD,]C,. 

§. 6, Vertauschung der Faktoren und Aaflösung der Klammem 
in einem reinen und gemischten Produkte. 

1141. Erklärung. Wenn mehr als zwei Grössen A, 
B, G, ■ ■ ■ fo zu einem Produkte verknüpft find , dass fie keiner 
anderen als der progressiven Multiplikation unterliegen, Ib 
nenne i-ch das Produkt ein rein progressives Produkt jener 
Grössen, wenn fie dagegen keiner andern als der regressiven 
Multiplikation unterliegen, oder, falls das Gefammtprodukt von 
nullter Stufe ist, nur die letzte das Gefammtprodukt bildende 
Multiplikation eine progressive ist, fo nenne ich das Produkt 
ein rein regressives, in beiden Fällen ein reines, in 
jedem andern Falle ein gemischtes, d. h. wenn in dem 
Produkte [ABCD- ■ • -JK], das Produkt [AB] ein progressives, 
das Produkt der zwei Grössen [AB] und C wieder ein pro- 
gressives, ebenfo das Produkt der zwei Grossen [ABC] und D, 
u. f. f., endlich auch das Produkt der zwei Grössen [ABCD ■ ■ ■ J] 



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80 (*i» 

und K ein progressives ist , fo ist [ABCD ■ ■ - JK) ein rein pro- 
gressives Produkt der Grössen A, B, C, D, ■ ■ - J, K. Wenn 
hingegen alle jene Produkte regressive find, oder wenigstens 
nur das letzte, nämlich das der zwei Grössen [ABCÜ---.I] 
und K ein progressives Produkt, und zwar von nulller Stufe 
ist, fo ist [ABCD---JK] ein rein regressives Produkt der 
Grössen A, ß, C, D, ■ ■ J, K. 

A n m. Daes das Produkt auch in dem Falle als ein rein regressives 
betrachtet wird, wenn die letzte Multiplikation, die das ganze Pro- 
dukt nullter Stafe bildet, eine progressive ist, beruht darauf, dass 
die progressive Multiplikation, welche ein Produkt nullter Stufe bildet, 
ftucli infofem zugleich als regressive Mnltiplikation betrachtet werden 
kann, als alle speciellen Gefetze regressiver Multiplikation ebenfo für 
dasfelbe gelten, wie die speciellen Gefetze progressiver Multiplikation. 
Als Beispiel einer folcben rein regressiven Multiplikation diene das 
Produkt [ab-ac'bc], wenn das Hauptgebiet von dritter Stufe ist. 

113. Wenn ein Produkt mehrerer Grössen [ABC-] 
ein rein progressives ist, fo ist das Produkt der Ergänzungen 
[|A|B|C' ■ ■] ein rein regressives und umgekehrt. 

Beweis. Denn (nach 97 Zuf.) gilt dies für zwei Fak- 
toren, alfü da [AB] ein progressives ist, fo ist [|A|B] ein 
regressives, und da [tAB)C] ein progressives ist, fo ist 
[|CAB)jC] ein regressives, aifo [|A|B|G] ein rein regressives 
u. f. w. 

116. Ein Produkt von m Grössen A, B, C, ■■• J, li 
ist ein rein progressives, wenn die Summe der Stufenzahlen 
diefer Grössen etienfo gross oder kieiner als die Stufenzahl (n) 
des Hauplgebietes ist, hingegen ein rein regressives, wenn 
jene Summe ebenfo gross oder grösser als n(m — 1) ist, ein 
gemischtes, wenn jene Summe grösser als n und kleiner als 
nCm — ist. 

Beweis 1. Es feien a, ß,y,--- die Stufenzahlen der 

Grössen A, B, C, ■■ ■. Wenn a + ß -\- y -\ (.-(-»=< n 

ist, fo ist auch a + ß<:n, alfo das Produkt [AB] (nach 94) 
ein progressives; aber auch a -f- jS -f- y <; n , all'o das Produkt 
der zwei Grössen [AB] und C ein progressives, u, f, f. End- 
lich auch (t + j3 + y-f'''t- + x=:<^-ii, alfo auch das Produkt 
der zwei Grössen [ABC- • -J] und K, da die Stufe von [ABC- ■ -J] 
(nach 95) gleich a -^ ß -{- y -{-•■■ i ist, ein progressives. 



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tl8) 81 

Ebenfo folgt das Umgekehrte, dass nämlich, wenn [ABC- ■ ■ JK] 
ein rein progressives Produkt ist, et -\- ß -^-y -{ — ■ -j- i, -^- x 
= < n fein muss. 

3. Wenn a + ß + y -\ \- i, + !c = > n(jn— l^ ist, 

fo können wir dies auch fo schreiben; (n — a) + (a — ß') i- 

(n _ y] -j 1- fn _. t) ^ (n ~ x) = -^ n, weil nämlich m 

die Anzahl der Grössen A, B, C, ■ ■ ■ J, K ist. Da nun n— a 
die Slufenzahl der Ergänzung von A, d. lt. die Stufenzahl von 
|A ist u. f. w., fo ist das Produkt 

[|A|BlC-.-|J|K] 
nach Beweis 1 ein rein progressives, folglich (nach 115) 
[ABC---JK] ein rein regressives. 

117. Die Slufenzahl eines rein progressiven Produktes 
ist 0, wenn die Summe der Stufenzahlen feiner Faktoren gleich 
der Stufenzahl n des Hauptgebietes ist, in jedem andern Falle 
ist die Stufenzahl jenes Produktes gleich der Summe der Stufen- 
zahlen feiner Faktoren. Die Stufenzahl eines rein regressiven 
Produktes ist = e — (m — l)n, wenn g die Summe der Stufen- 
zahlen feiner Faktoren und m die Anzahl diefer Faktoren ist. 

Beweis. Für zwei Faktoren ist der Satz in 95 be- 
wiefen, Ist nun das Produkt [ABC- ■ -JK] ein rein progressives, 
und find a, ß,y,- • • i,, x die Stufenzahlen von A, B, C- • -J, K, 
fo ist die von [AB] = a + i3, die alfo von [iAB^C] = a -\- ß 

+ / u. f. w.; alfo die von [ABC--.J] ^c-f/S-f-yH i. 

Ist nun c£-[-j?-f)'-[----i.-fx'<n, foist nach demfelben 
Satze (95) die Stufenzahl von [(ABC - ■ • J)K] = a -}- ß + y 

-{ — ■ i -j- X, wenn aber a -\- ß + Y -\ t + s£^=n ist, fo 

ist fie nach demfelben Salze null. Ist zweitens das Produkt 
[ABC- - -JK] ein rein regressives, fo ist nach dem angeführten 
Satze die Stufenzahl von [AB] gleich a -[- ß — n, alfo die von 
[(AB)C] gleich ß+jS-f y — 3n u. f. w., alfo wenn m die 
Anzahl der Faktoren von [ABC- ■ -JK] ist, die Slufenzahl diefes 
Produktes =a + ß -{-y -\ -{- i, i-x — Qm — l)n. 

118. Das Gebiet eines rein progressiven Produktes ist 
gleich dem feine fömmllich^n Faktoren verbindenden Gebiete, 
und das Gebiet eines rein regressiven Produktes gleich dem 
feinen r^mmtlichen Faktoren gemeinschaftlichen Gebiete, vor- 

ISS in beiden Fällen das Produkt nicht null ist. 



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82 (**• 

Beweis 1. Es Tei [AB----] ein rein progressives Pro- 
dukt und Ä ^= [ai Bq], B = [bi- ■ -bj, u. f. w., wo aj,- - -aq, 

bi,---br, u. f. w. Grössen erster Stufe finil, fo erhält man 

[AB---]=[Car--a,Xbi----b,>.-.]. 
Da nun das progressive Produkt stets zugleich ein äusseres 
ist, fo kann man (nach 80) die Klammern weglassen und es 
wird der letzte Ausdruck 

= [ai---aqbi-- b,....]. 
Das Gebiet des Produktes ist alfo (nach 77) das aus feinen 
einfachen Faktoren ai,---aq, bi,---b„---- numerisch ableit- 
bare Gebiet. Ebenfo ist das Gebiet von A das aus ai,---Bq 
abteilbare Gebiet u. f. w. und (nach 15) ist das aus den Grössen 
zweier oder meiirerer Gebiete A, B, ■■■ ableitbare Gebiet, 
das diefc letzleren verbindende Gebiet, alfo das Gebiet des 
progressiven Produktes [AB---] das die Faktoren A, B, - - ■ 
verbindende Gebiet. 

3, 'Es fei [AB] ein von n 11 ve acf edcnes regressives 
Produkt, alfo die Slufenzahle a d ß der Faktoren A und 
B zufammen grösser als n, lo halen \ nd B ein Gebiet 
ß -f j5 — n-ter Stufe gemein; aber ad ke i Gebiet höherer 
Stufe, weil fönst (nach 109) Us Piod kt null fein würde. 
Alfo lassen fich A und B auf einen gemeinschaftlichen Faktor 
D von ß + ?—n-lcr Stufe von der Art bringen, dassA=:DE, 
B^i^üF und P, E, F einfache Grössen find; dann ist (nach 105) 

[AB] = [DE ■ DF] = [DEF] = 0, 
da [DEF] eine von null verschiedene Zahl ist, d. h. das Ge- 
biet von [AB] ist gleich dem den Faktoren A und B gemein- 
schaftlichen Gebieie. Tritt nun noch ein Faktor C hinzu, 
fo wird 

[ABC]^[DC] = E, 
wenn E das dem D und C gemeinschaftliche Gebiet ist, alfo 
das dem A, Bj C gemeinschaftliche u. f. w. 

119. In einem reinen Produkte kann man Klammern 
beliebig fetzen und weglassen, d. h. 

[ACBCB = [ABCJ, 
wenn [ABC] ein reines Produkt ist. 

Beweis 1. Wenn das Produkt ein rein progressives ist, 



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fo ist es (nach 94) auch ein äusseres, airo (nach 80) die 
Klamm er felzung gleichgültig für's Refultat. 

2. Wenn das Produkt [ABC] ein rein regressives ist, fo 
ist (nach H4'} das Produkt [jA|ß|'C] ein rein progressives, alfo 
nach Beweis i 

nA(iB)C)] = [iA|B[C], 
d. h. (nach 101) 

[A(BC)] = [ABC]. 

1191i, Ein reines Produkt behält feinen Werth, wenn 
man feine Faktoren in lauter Faktoren erster oder (n — - l)-ter 
Stufe auflöst, je nachdem das gegebene Produkt ein progressives 
oder regressives war. Auch behauptet das Produkt in Bezug 
auf diefe neuen Faktoren feinen Charakter, als rein progressives 
oder regressives, d. h. wenn 

P = [AB--.E] 
ein reines Produkt der Faktoren A, B,---E ist, und 

A = [ai- ■ -aq], B = [aq+i aj u. ^.w., E ^ [at+i a„] 

und B^-'-au Grössen erster oder (n — l)-ter Stufe find, je 
nachdem das Produkt [AB- ■ -E] ein progressives oder regres- 
sives ist, fo ist auch 

P = [aia^ a«] 

und zwar auch dies Produkt ein rein progressives oder regres- 
sives. Je nachdem das gog;ebene Produkt [AB-'-E] es war. 

Beweis. Wenn das Produkt [AB- ■ -E] ein rein progres- 
sives ist, fo ist die Summe der Stufenzahlen von A, B, - ■ -E, 
d. h, u, kleiner als o, fomit bleibt es auch (nach 116) ein 
rein progressives in Bezug auf die Faktoren aj'---au, wenn 
man statt A fetzt [ai- ■ -aq] u, f. w., folglich kann man (nach 
119) die Klammern weglassen und erhält P ^^ [aja^ ■■■ -a,,]. 
Ist aber [AB---E] ein rein regressives Produkt, fo wird 
[|A[B ■ ■ ■ [E] (nach 115) ein rein progressives; und wenn A 

= [aj- ■ -aq] i.st u. f- w., und a^, a„ Grössen (n — l)-ter 

Stufe find, fo ist |A = [|ai- ■ -[aq] u, f. w., wo |ai,- ■ •]bu Grössen 
erster Stufe find, fomit nach Beweis 1 

[(A|B---|Ei = [Iai Ia„]. 

Alfo auch (nach 101) 

[AB-.--E] = [ai----a„], 
und dies ein rein regressives Produkt (nach 115). 



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84 (i«0 

120. Ein reines Produkt bleibt l^ch Telbst kongruent, 
wenn man die Ordnung der Faktoren beliebig ändert, d, h. 

Beweis 1. Sind q und r die Stufenzahlen von A und 
B, und ist zuerst das Produkt [AB] ein progressives, fo ist 
(nach 58) 

1;AB] = C— l)i'[BA], alfo [AB]s[BA]. 
Ist das Produkt [AB] ein regressives, die Stufe des Haupt- 
gebieles n, fo ist [|AIB] (nach 115) ein progressives Produkt, 
und da n — q und n — r die Stufen von |A und ]B find 

[|A|B] = C~0"''-^"'-'^E|B|A], 
alfo (nach 101) 

[AB] = (— 1)(''-'J>(°-')[BA], alfo auch [Aß]s[BA3. 

2. Ist ferner das Produkt [PAß] ein reines, fo ist 

[PAB] = [P-AB] [119] 

s[P-BA] 
nach Beweis 1 und nach 3, 40; dies wieder 

= [PBA] [H9], 

alfo 

[PAB] = [PBA}, 
d. h. das Produkt bleibt fich kongruent, wenn man zwei auf 
einander folgende Faktoren vertauscht. 

3. Durch Vertauschung zweier auf einander folgender 
Faktoren kann man nun nach und nach jeden Faktor auf jede 
beliebige Stelle bringen, alfo den Faktoren jede beliebige 
Ordnung geben, während dabei nach Beweis 3 das Produkt 
fich kongruent bleibt. 

131, Wenn ein reines Produkt zwei einander incidente 
Faktoren, deren Stufenzahl nicht null ist, enthält, fo ist das 
Produkt null, d. h. Pa,b = 0, wenn P reines Produkt und A 
und B incidente Faktoren find. 

Beweis 1. Sind A und B die einander incidenten Fak- 
toren, alfo der eine dem andern untergeordnet, etwa B dem 
A, fo ist B das gemeinschaftliche Gebiet und A das verbin- 
dende, alfo das Produkt [AB], da die Stufe von B > 0, und 
die von A<n ist, (nach 109) null. 

3. Enthält alfo ein Produkt P zwei einander incidente 



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ISS) 85 

Faktoren A und B, fo kann man (nach 120) die Faktoren fo 
ordnen, dass A und B auf einander folgen, wobei das Pro- 
dukt fich felbst kongruent bleibt, alfo auch Cna<^'i 2) in dem 
einen Falle null hleibt, wenn es in dem andern null ist. Dann 
kann man (nach 119) diefe beiden Faktoren in eine Klammer 
schüessen. liir Produkt ist null nach Beweis 1 , aKo ein Faktor 
von P null, aifo auch P felbst null. 

122, Ein gemischtes Produkt dreier Grössen [ABC] ist 
dann und nur dann null, wenn entweder |;AB] = ist, oder 
alle drei Grössen A, B, C von einem Gebiete von niederer 
als n-ler Stufe umfasst werden, oder ein Gebiet von höherer 
als 0-ter Stufe gemein haben. 

Beweis. Es feien a, ß, y die Stufenzahlen von A, ß, C, 
alfo a + ß + y>n und -^ 2n (nach 116). Es fei [AB]^0, 
und fei zuerst a -f |S > n etwa = n + J, fo lassen fich (nach 
87) A und B auf einen gemeinschaftlichen Faktor J-ter Stufe 
D bringen, fo dass A = DE, B = DF find, fo ist 

[AB] ^ [DEF]D [105], 

alfo da [Aß] nach der Annahme ^ ist, fo muss auch [DEF] 
^ fein. Dann ist 

[ABC]=[DEF][DC], 
alfo, da [DEF] eine von null verschiedene Zahl ist, fo ist 
[ABC] dann und nur dann null, wenn [DC] es ist. Die Stufe 
von [DC] ist =S+Y = a + ß — n + r, alfo <:n, da « + 
ß + y'<2n ist. Alfo ist das Produkt [DC] dann und nur dann 
null (nach 109), wenn D und C ein System von höherer als 
nulller Stufe gemein haben, d. h. (da D das gemeinfame System 
von A und B ist) wenn A, B und C ein Gebiet von höherer 
als nullter Stufe gemein haben. Es fei zweitens a -f (9 = < n, 
fo ist [AB] ein progressives Produkt, alfo, da [AB] nach der 
Annahme ^0 ist, das Produkt [(AB)C] (nach 109) dann und 
nur dann null, wenn [AB] und C, d. h. A, ß und C, von 
einem Gebiete niederer als n-ter Stufe umfasst werden. So- 
mit bewiefen. 

123. Die Ordnung, in welcher man mit zwei einander 
incidenten einfachen Grössen fortschreitend multiplicirt, ist 
gleichgültig für das Befultat, d. h. 

[ABC] = [äCB] , wenn B incident C. 



yGoosle 



86 («»» 

Beweis i. Wenn B oder C von nullter Stufe, d. h. 
Zahlen find, fo findet die Gleichheit beider Seiton statt (nach 
13). Wenn die Produkte reine find, l'o find beide Seiten 
(nach J3i) null, folglich ist der Salz nur noch zu erweifen 
forden Fall des gemischten Produktes, in welchem B und C 
von höherer als nullter Stufe find; d, h. (wenn a, ß, y die 
Slufenzahlen von A, B, C find, und n die des Hauptgebietes) 
für den Fall, dass a -\- ß -\-y'>n und '=' 2n und ß und y von 
null verschieden find. Wir können, da die zu erweifende 
Formel fich nicht ändert, wenn man B und C mit einander ver- 
wechfell, annehmen, dass jS=^ </ fei, d. h, da B und C ein- 
ander incident find, dass B dem C untergeordnet fei. Ausser- 
dem nehmen wir zunächst an, auch A fei eine einfache Grösse. 
Da die Summe a -{- ß ebenfo gross oder kleiner als die Summe 
(i-\-y ist, fo find nur drei Fälle möglich: entweder beide 
Summen find kleiner als n, oder beide grösser als n, oder 
es ist a + )■ = -> n und et -|- jS = '- n. 

3. Sind beide Summen kleiner als n, alfo auch tt -[- y ■< n, 
fo werden die drei Grössen A, B, C, von denen B der Grösse 
C untergeordnet ist, von einem Gebiete a -\- y-i^T Slufe, alfo 
von einem Gebiete von niederer als n-ler Stufe umfasst, fo- 
mit lind (nach 121) fowohl [ABC] als [AGB] null, alfo 
[ABC] = [AGB]. 

3. Sind et + j! und a -[- j- > n, fo find (n — a)-{- (n — ß) 
und (n - a) 4- (n — /D"^") a""" dann, da n — «, n — ß, 
n — )- die Stufenzahlon der Ergänzungen von A, B, C find, 

[JAIB C] = [(A|0|ß] (nach Beweis 2), 

alfo (nach lOf) 

[ABC] = [ACß]. 

4. Ui a -\- y = >■ n und a-j-(9 = <n, ersleres etwa 
= n-f- 5, wo S auch null fein kann, fo müssen (nach 87) A und 
C fich auf einen gemeinschaftlichen Faktor D von rf-ter Stufe 
bringen lassen in der Art, dass CrT3[DE] fei, wo D und E 
einfache Grössen find und D dem A untergeordnet ist. Dann 
ist E von (/ — d)-ter Slufe, alfo die Summe der Slufenzahlen 
von A und E gleich a + )■ — (J=^n, fomit ist (nach 108) 

[AC] = [A-DE]=c[AE]D, alfo 
[AGB] = [AE][DB]. 



yGoosle 



Hier ist das Produkt [DB] ein progressives, da (f-fjS = 
a-\-ß-}-Y — n<n ist, indem das Produkt ein gemischtes 
fein Tollte. Wenn nun [Dß] null ist, fo haben (nach 109) D 
und B ein Gehiet von höherer als nullter Stufe gemein, dann 
haben aber auch, da D dem A untergeordnet ist, A und B 
dies Gebiet gemein, das Produkt [AB] ist aber, da « -|- ^ 
= -< n ist, ein progressives, folglich dies Cnacli 109) null. 
Älfo dann auch [AßC]=0, ebenfo wie [AGB], und fomit 
beide einander gleich. Ist aber [DB] ^ 0, fo ist, da D und 
B beide dem C untergeordnet find, auch ihr verbindendes 
Gebiet [DB] dem Gebiete von C untergeordnet, alfo C (nach 
79b) in der Form [DBF] darstellbar, wo F wieder eine ein- 
fache Grösse ist. Dann wird, da wir oben C:=DE letzten, 
E^^BF gefetzt werden können, und man erhalt: 
[AGB] = [AE][DB] = [ABF][DB]. 
Ferner; 

[ABC] = [AB ■ DBF] = [ABF][DB] (nach 108), 

weil nämlich D dem A untergeordnet is(, alfo [Dß] dem [AB], 
und weil [ABF];=[AE], wie oben gezeigt, von nulller Stufe 
ist. Alfo erhält man [AGB] = [ABG]. 

5. Hiermit find, da ß = ■< y angenommen war, alle 
Fälle erschöpft, fofern A eine einfache Grösse ist. Ist nun 
A eine zufammenge fetzte Grösse, fo ist fie immer (nach 77) 
aus einfachen Grössen numcriscTi ableitbar. Es fei A^^^m^A^. 
wo alle Ar einfache Grössen find, fo ist 

[ABC] = X«r[ArBC] [44] 

^ X«i-[A,.GB] [nach Beweis 1—4] 

= [AGB] [44]. 

123i. Wenn q, r, s die Slufeuzaiilen dreier einfacher 
Grössen A, B, C find und n die des Hauplgebietes, fo find 
die Produkte [ABC] und [AGB] nur in folgenden Fällen kon- 
gruent 

[ABC] = [AGB], 

a) wenn a -i- ß -^ y = <- n ist, dann igt 

[ABG]=(-1)"[ACB], 

b) wenn a-j-^-f/^^^n ist, daun ist 

[ABC] = (— iy"-'->'"-»'[ACB], 



yGoosle 



88 (*«* 

c) wenn [AB] und [ACj null find, dann ist 

[ABC] = [ACE] =0, 

d) wenn [ABC] ein g-emischtes Produltt ist und A, B 
und C entweder ein Gebiet von tiöherer als nullter Stufe ge- 
mein haben oder von einem Gebiete von niederer als n-ler 
Stufe «mfasst werden; dann ist 

[ABC] = [AGB] =0, 

e) wenn q-fr + s = n-|-t ist und B und C entweder 
ein Gebiet von l-ter Stufe gemein haben oder von einem Ge- 
biete l-ter Stufe umfasst werden; dann ist 

[ABC] ^ C— l)(^-«"'-'>[ACB] , 

f) wenn B und C einander incident find; dann ist 

[ABC] ^ [AGB]. 

Beweis. Formel a) ist in 58 hewiefen. Ist q + r + s 
= > 3n, fo ist (n — q) -f (n — r) -)- (n — s):= < n, alfo da 
n — q, n — r, n — s die Stufenzahien der Ergänzungen von 
A, B, C find, fo ist in diefem Falle 

[jÄ|B|C]^C- 13'— 'Hn-ä)[jA|G|B] (Formet a). 

Alfo (nach 101) 

[ABC] = C- l)t—-Ha-«[ACB]. 

Somit ist Formel b bewiefen. Da in diefen beiden Fällen 
q 4- r + s entweder = < n oder = > 2« war, fo bleibt nur 
der Fall übrig, wo q-fr-{-s>-n und -< 2n ist, alfo der 
Fall des gemischten Produktes. Angenommen zuerst, [ABC] 
fei null. Ein gemisciites Produkt [ABC] ist tnaoh 132) dann 
und nur dann null, wenn entweder [AB] = ist, oder alle 
drei Grössen A, B, C von einem Gebiete niederer als n-ter 
Stufe umfasst werden, oder ein Gebiet von höherer als nullter 
Stufe gemein haben. Tritt einer der beiden letzten Fälle ein, 
fo ist fowohl [ABC] als [AGB] null, und alfo [ABC] ^ [ACB] 
= 0, fomit Formel (d) bewiefen. Tritt aber von diefen beiden 
Fgüen keiner ein, fo kann [ABC] nicht anders null werden, 
als wenn [AB] null ist; ist dies der Fall und foli dann [ABC] 
kongruent [ACB] fein, fo muss auch [ACB] null fein, dies 
kann aber, da die beiden genannten Fälle ausgeschlossen find, 
nicht anders geschehen als wenn auch [AC] null ist, und es 
tritt alfo dann der Fall (c) ein. Es bleiben alfo nur noch 



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i»*) 89 

die Fälle des von null verschiedenen gemischten Produktes 
Obrig. Da q + i" + s < 2n und > n ist, fo können wir q -f r 
-[-s = n-f-t Fetzen, wo t ^ und *< n ist. Nun feien hier 
(genau wie in 123) drei Fälle unterschieden. Erstens der, 
wo die Summen q -f- s und q -f- r beide kleiner als n find. 
Dann ist, da [AB] und [AC] dann von null verschiedene pro- 
gressive Produkte find , q -f- r die Stufe von [AB] und q 4- s 
die von- [AC], Dann haben [AB] und C (nach 26) einen 
Faktor von q-f-r + s— n-lor, d, h. t-ter Stufe gemein. Diefer 
fei D, und fei C^:[DE], fo ist die Summe der Slufenzahlen 
von A, B, E gleich n, und D ist dem [AB] untergeordnet. 
Folglich ist dann (nach 108) 

[ABC] = [AB ■ DE] := [ÄBE] -D. 
Alfo da [ABE] eine Zahl ist, fo ist [ABC] = D, fomit 
muss, wenn [ABC]=[ACB] fein foll, auch [AGB] = D fein, 
d. h. [AC] und B müssen fich auf einen mit D kongruenten 
gemeinschaftlichen Faktor bringen lassen, alfo auch auf den 
Faktor D felbst; folglich muss D dem ß «ntergeordnel fein, 
es war aber auch dem C untergeordnet, d. h. B und C lassen 
fleh auf den gemeinschaftlichen Faktor t-ter Stufe D bringen, 
d. h, haben ein System l-ter Stufe gemein, was die erste Be- 
dingung fär Formel (e) ist. Es fei B = [DF], fo ist 

[ABC] = [AB-DE] = [ABE]D [108] 

= [A(DF)E]D ^ tADFE]D [119] 

[AGB] = [AC . DF] = [ACF]D [lOS] 

= [\C-DE)F]D = [ADEF]D [119]. 

Da nun C = [DE] war, fo ist E von (s — t)-ler Stufe, 

und da B = [DF] war, fo ist F von (r — l}-ter Stufe, fomit 

[ADFE3D = (- i)('-tK<-0 [ADEF]D [58], 

alfo 

[ABG] = C- l)('-'K=-t'[ACB], 
was die Formel (e) ist. 

Sind hingegen die beiden Summen q + r und q + s grösser 
als n, fü find die Summen fn — q) + C" — O und (n — q) 
-f- (n — sj kleiner als n, und (n —- q) -)- (n ~ r) + Cn — s) 
= n-]-(n— t). Folglich find in diefcm Fall£f (nach Fall e) 
die Produkte [|A|ßIC] und [[A|C;B] nur dann einander kon- 



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90 f"» 

gruenl, wenn fich |B und |C auf einen gemeinschaftlichen 
Falitor von (n — 0-ter Stufe bringen lassen. Dieler fei |D 
und fei |B = [jD|F], lC = [|DiE], fo ist (nach e) 
[|4|BlCl = (-d)»-lC")[|A|C|B]. 
Aber (nach 98) ist dann 

B = [DF], C = [DE] 
[ÄBC]=C- 1)('-'Ht-ä)[ACB] = C- ly-'X^-^CÄCB], 
(i. h, es tritt die zweite Bedingung der Formel (ej imd diefo 
felbst ein, indem nämlich das Produkt B = [DF], da B von 
geringer Stufe als D ist, als regressives erscheint, und eben- 
fü [DE], und alfo B und C beide dem D untergeordnet find, 
alfo von dem Gebiete D umfassl werden. 

Es bleibt fomit nur noch der Fall übrig, wo von den 
Summen q + r und q + s die eine, etwa die erstere, ebenfo 
gross oder kleiner, die andere ebenf« gross oder grösser als 
n ist. Dann lassen fich (nach 26) [AB] und C auf einen ge- 
meinschaftlichen Faktor q -(- r + s — n-ler, d. h. l-ter Stufe 
bringen. Diefer fei D, und fei C^[DE]*), fo wird 

[ABCJ = [AB-DE] = [ÄBE]D [lOS]. 

Ferner fei q -j- s := n -f- v, fo haben A und C einen Faktor 

von v-ter Stufe gemein, diefer fei F, und fei C = [FG], fo ist 

[AC] = [A-FG] — [AG]F [108]. 

Alfo 

[ACß] = [AG][FB]. 
Soll alfo [ABC] = [AGB] fein, fo muss, da [ABE] und 
[AG] von null verschiedene Zahlen find, D^[FB] fein, d, h. 
B ist dem D untergeordnet, aber auch D dem C, alfo B dem 
C untergeordnet, d, h. B und C find einander incident. Dies 
ist die Bedingung der Formel (f) und (nach 123) ist dann 
[ABC] = [AGB]. 
Somit der Salz vollständig bewiefen, 
129. In denfelben und in keinen andern Fällen (wie 
in 124) ist 

[BAC]s[B-ACj. 

") Sollte q + r = n fein, fo wurde £ von nullter Stufe fulLi, waa 
iu dem obigen Bewelfe mit eingeschlossen ist, dasrelbe gilt im Fol- 



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1»«) 91 

Beweis. Es ist in den in 124 angenommenen Fällen 
[BÄC] SS [ABC] [58] 

= [ACB] \m} 

^[B-ÄC] [58]: 

und umgekebrl folgt aus der letzten Kongruenz wieder die erste. 
Anm. Es ci-giebt fich ins Befondere für Fall (c) und (dj 
[ABC] = tB-AC]=0, 
für Fall H und (bt 

[BÄC] = [B-AC]. 
Dagegen spaltet fich der Fall (e) in zwei Fälle; nämlich wenn 
die iSummen q + r nnd q + a kleiner als n find, fo ist 

[BAC] = (-l)qt[B.AC], 
und wenn jene Summen grösser als a find , 

[BAC] =- ("IjCn-qXn-'HB-AC], 
Der Fall (fj spaltet ficii in zwei Fälle , nämlich wenn q -f r kleiner, 
und q + s grösser als n ist, To wird 

[BAC] = ( - l)'(''-ä)[B. ACJ , 
wenn umgekehrt q + r grösser und q + a kleiner als n ist, 
[BAC] = (~ l)(n-«»[B.AC]. 
Wenn eine der Summen gleich n ist, fo gilt fowohl diejenige 
Formel, hei welcher die Summe grösser, als diejenige, wo fie kleiner 
als n vorausgefetst war, indem dann beide Formeln identisch werden. 
Auch ist zu bemerken, diSa wenn in f, d. h. in dem Falle der Incidenn 
von B und C, die Bedingung eintritt, dass beide Summen grösser ala 
n oder beide kleiner als n find, Towoh! [BA], a,ls [B.AC] null werden, 
und alfo zugleich der Fall c oder d statt hat, 

laöi- Ein Produkt nullter Stufe bleibt fich felbst kon- 
gruent, wenn man die Ordnung aller feiner Faktoren umkehrt, 
oder die letzten Faktoren in beliebiger Anzahl mit umgekehrter 
Ordnung in Klammern schliesst, d. h. 

[AiAj ■ ■ • ■ A„_iA J = [A„A„_i- ■ ■ • AjAi] 
= [Ai.A„A„_i----A3]. 
Beweis, Es fei zuerst 

[AiAj----A„_,5]— P, 
fo ist 

[AiA, ■ ■ • • A„_,A„] = [PA„_iA„]. 
Dn das Produkt von nullter Stufe fein foll, fo muss die 
Summe der Stufenzahlen von P, Aa—n ^a Cnach 96) durch 
n (heilbar, alfo, da die einzelnen Stufenzahlen >■ und < n 
find, entweder gleich n oder gleich 2n fein; im ersteren Falle 
ist das Produkt der drei Grössen P, A„_i, A„ ein rein pro- 



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92 (*»» 

gressives, im letzteren ein rein regressives, in beiden alfo 
ein reines, fomit (nach 125) 

[PA„_iA„] = [P-A„A„_.,], 
oder 

[AiÄa- ■ - ■A„_iA„] s [Ai' . ■ A„_2,-A„A„^i]. 
Betrachten wir diefen Ausdruck als ein Produlit der drei 
Grössen [A,- ■ 'Än-s], A„_2 und [A„Ai,_|], fo erlialten wir auT 
gleiche Weife den zuletzt gewonnenen Ausdruck 

= [Ar ■ ■A„_3-A„Ä„_iA„_2]. 
Wendet man dies Verfahren r-mal an, fo erhält man 

[Ai AJ = [Ai- . ■ ■A„_^rAnA„_r ■ ■A„_J, 

d. h. das Produkt bleibt lieh felbst kongruent, wenn man die 
letzten Faktoren in beliebiger Anzab! (r) mit umgekehrter 
Ordnung in Klammern schliesst. Hiernach wird nun auch 

[A1A2 ■ . ■ ■ A„] s [Ar A„A„_i- . . -Aa], 
fomit (nach 58) 

= [A„A„_r''A,Ai], 
alfo auch der erste Theil des Satzes bewiefen. 

§, 7. Zurückleitung und Ersetzung. 
la'T. Erklärung. Wenn n die Stufenzahl des Haupl- 
gcbietes, A^-'-Av die muUipHkativen Kombinationen aus den 
n in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Grössen 
erster oder (n — l)-ter Stufe, ai- ■ -an zu irgend einer Klasse 
und Ai-''-Au die multiplikaliven Kombinationon aus m der- 
felben, etwa aus a^, ■ ■ ■ 'a^ zur gleichen Klasse find, und 

C = aiAi4 K.Av, 

Ci = «iAi +■■•■«„ A„ 
ist, fo nenne ich Ci die Zurückleitung von C auf das Ge- 
biet [aj- ■ ■ -a^], unter Ausschluss des Gebietes [anj-i- ■ 'aj, 
und zwar nenne ich die Zunickleitung eine progressive, 
wenn ar ■■ 'an Grössen erster Stufe, eine regressive, wenn 
ai" ■ ■ -Bo Grössen (n — l)-ler Stufe find. Die Zurückleitungen 
mehrerer Grössen heissen in demfelben Sinne genommen, 
wenn fie auf dasfelbe Gebiet und unter Ausschluss desfelben 
Gebietes zurückgeleilet find Cvergl. 33). 

Aura. Ist a. B. das Hauptgebiet von vierter Stufe (wie z. B. der 
Rfiiim), und fiud a, b, (:, d vier in keiner Zahlbeziehung zu einander 



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t*8> 93 

stehende Grössen erster Stufe (z. B. vier nicht in ein und derlelben 
Ebene liegende Punkte) , !a ist C, = [bcj + [ca] + [ab] (im Räume 
eine Linie) die fprogreasive) Zurilclileitung von C = [bc] + [ca] -|- [ab] 
+ [ad] {- [bd] -|- [cd] auf das Gebiet [nbc] (aifo auf die Ebene abc), unter 
Aussohluas des Gebietes d. Bezeichnen wir femer [bcd] mit a', [cad] 
mit b', [abd] mit c' und [aob] mit d', fo find a', b', c', d' Grössen 
(n — l)-ter Stufe, da 11=^4 ist und fetzen wir noch [abcd] ~1, lo ist 
[b'c'] = [ad3, [cV]^[bd], [a'b'] = [cd], [a'd']=[bc], [b'd'] = [ca], 
[c'd']=^ab, und es wird 

C = [a'd'] + [b'd'] + [c'd'] + [b'e'] + [c'a'l + [a'b']. 

Dann wird, wenn 

C ^ [b'c-] + [c'a-] + [a'b-] 
ist, C' die (regressive) Zurückleitung von C auf das Gebiet [a'b'c'], 
unter Ausschluss des Gebietes d', fein, d, h., da [a'b'c'] ^: fcd-abd] 
^ d, und d' ^ [abc] ist , C' ist die Zurückleitung von G auf das Ge- 
biet d, unter Auaschluas des Gebietes [abc]. So erscheint alfo in der 
Geometrie die Zurilckleitung einer Linie auf eine Ebene als progressive 
Zurückleitung, und die einer Linie auf einen Punkt als regressive 
Zurückleitnng. Die Zurilckleitung felbst ist in der Geometrie gleich- 
bedeutend roit der Projektion im weitesten und prägnantesten Sinne 
des Wortes (f. u.). 

Wir haben oben (33) die in der Definition bestimmte Grösse Ci 
die Zurückleitung der Grösse C auf das Gebiet der Grössen Ai, Aj,- ■ ■ 
Au genannt. Diefer Benennungs weife haben wir luer die für die An- 
wendung bequemere lur Seite gefetzt. 

128. Je nachdem die Stufenzahl des Gebietes, auf 
welches ziirückgeleitet wird, grösser oder kleiner als die 
Stufenzahl der zurückgeleiteten Grösse ist, erscheint die Zu- 
rückleitung als progressive oder regressive. Wenn die Stufen- 
zahl jenes Gebietes gleich der Stufenzahl der zurückgeleiteten 
Grösse ist, fe kann die Zurückleitung fowohl eine progressive 
als eine regressive fein. 

Beweis. Es feien ai---aa Grössen erster Stufe, die 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und feien A], 
• • -Av die multiplikativen Kombinationen aus a^- - -a^ zur p-ten 
Klasse, und Ai'--Au die multiplikativen Kombinationen aus 
ai---an, zur p-ten Klasse und 
C = aiA, -j-. ■ . cAy 
Gl ^ OjAi H — 'OtuAu, 
alfo (nach i27) C^ die progressive Zurückleilung der Grösse 
C auf das Gebiet [ai--an,], unter Ausschluss des Gebietes 



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94 (t»» 

[Bm-fi- ■ -Bn], fo Würde es, wenn m < p wäre, gar keine Kom- 
binationen aus a, • - ' a„ zur p-len Klasse geben, alfo auch 
keine progressive Zurückleitung, Es muss aUo für die pro- 
gressive Zurückleitung m > =p fein, da aber m die Stufen- 
zahl des Gebietes [aj- ■ ■a^'] und p die der multipUkativen Kom- 
binationen Ai,'---A„, atfo auch die von C ist, fo muss die 
Stufenzahl des Gebietes, auf welches zurückgeleilel wird, 
ebenfo gross oder grösser fein als die der zurückgeleitetcn 
Grösse. Macht man im Uebrigen diefelben Annahmen wie 
vorher, mit dem einzigen Unterschiede, dass aj,- ■ -a^ Grössen 
(n — IJ-ter Stufe find fin dem Hauptgebiete n-ter Stufel, fo 
ist die Zurückleitung eine regressive; und auch hier muss, 
aus gleichem Grunde wie vorher, m>^^p fein. Aber dann 
ist (nach 90) die Stufenzahl von [aj-'-am] gleich n ^m und 
die von C gleich n — p, fomil, dan — m^- = n^p ist, fo 
ist die Stufenzahl des Gebietes, auf welches zurückgeleitet 
wird, ebenfo gross oder kleiner als die der zurückgeieiteten 
Grösse. Ist alfo die Stufenzahl jenes Gebietes grösser oder 
kleiner als die Slufenzahl der zurückgeieiteten Grösse, fo wird 
die Zurückleilung im ersteren Falle eine progressive , im 
letzteren eine regressive fein. Sind hingegen die genannten 
Stufenzahlcn einander gleich, fo wird die Zurückleitung fo- 
wohl eine progressive als auch eine regressive fein können. 

129. Die Zurückleitung A' einer Grösse A auf ein Ge- 
biet B, unter Ausschluss des Gebietes C, ist 

A'— ^^r^ti\ alfo A'=[ß-AC], wenn [BC] = 1 ist. 

Beweis. Es feien ai---an n in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehende Grössen erster oder (n — i)-ler Stufe, und 
A,' ■ -Av die multipUkativen Kombinationen aus a^-'-ao, und 
Ai ■ ■ ■ Au die aus ai ■ • ■ an, und A = «lÄi -j- . . - ■ «v A^, alfo 
A' = aiA, -f ■ . . ctu Au, und fei [si- ■ -am]^^ B, [a„.|.i- ■ ■ -ao] 
= C, fo ist 

[AC]=:[(aiAi -I OuA« 4- t(„+,Au+, -f- ■ ■•a,A,')C]; 

aber da Ai,---,Au die Kombinationen aus ai ■ - - am Und und 
Au^i ■ ■ - A, diejenigen Kombinationen aus ai ■ ■ ■ Sat welche 
nicht zugleich Kombinationen aus ai - ■ - a„ find, fo muss 



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1»0) 95 

jede der Grössen A„^i, ■■ Av mindestens einen der Faktoren 
a„+i-'-an enthalten, all'o mindestens einen Faktor mit C = 
[an-i-i- ■ ön] gemein haben. Die Produkte [Au_|_iC], ■ ■ - [A„C] 
find aber in Bezug auf die Faktoren aj' ■ -Bn reine (nach H4), 
fomil, da fie gleiclie Faktoren entliallen, null, alfo wird 

[AC] = [(«lAi + ■ • ■a„Au)C] = ai[A,C] + ■ ■ -«^[AuC]. 
Folglich ist 

[B-AC] = ai[B.AiC] + ..-a,[B-AuC]. 
Da nun jede der Grossen Ai,---Au aus Faktoren be- 
steht, die in B enthalten find, fo ist jede derfelben mit B in- 
cident, fomit, da auch die Stufenzahlcn von B und C zufammen 
n betragen, fo ist (nach 108) 

[B- A,C] = [BC]A„ ■ . ■ ■, [B-A«C] = [BG]A„, 
alfo 

[B ■ AC] = [BCjCctiAi + ■ ■ ■ ■ «u Au) = [BC] A'. 
Alfo, da [BC] eine Zahl ist 
V„[ß-AC] 
^ - [BC] ■ 
130. Jede Gleichung, deren Glieder Vielfache je einer 
Grösse m-ter Stufe find, bleibt bestehen, wenn man statt aller 
diefer Grössen ihre in demfelben Sinne genommenen Zurück- 
leitungen fetzt; oder wenn 

P = ßA -f- (SB -f ■ - ■ 
ist und P', A', B', ■ ■ ■ die in gleichem Sinne genommenen 
Zurückleiliingen von P, A, B,--- und a, /?,-■■ Zahlen find, 
fo ist auch 

P' = aA'+j3B'-) . 

Beweis. Es fei das Gebiet, auf welches zurückge- 
leitel wird, und R das ausgeschlossene Gebiet und [QR] =: i, 
fo erhält man aus der Gleichung 
P = aA |-j3B +■■■, 
durch Multiplikation 

[PR]=a[AR]+^[BR]-|---- 
und 

[0-PR] = a[OAR] + |S[OBR]+-.-, 
d.h. (nach 129) 

p' = aA' + j3B'-[----. 



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9e (i»i 

131, Die progressive Zurücklcitung eines rein pro- 
gressiven und die regressive eines rein regressiven Produktes 
ist gleich dem Produkte der in domfelben Sinne genommenen 
Zurückieitungen der Faktoren jenes Produkltis, A. h. wenn 
dus reine Produkt P 

P=:[AB.-E] 
ist, und P', A', B', ■ -E' di*s in gleichem Sinne genommenen 
Zurückleilungen von P, A, B,--E find (und zwar progressive 
oder regressive, je naclidem das Produkt progressiv oder 
regressiv ist), To ist auch 

P' = [A'B'--E']. 

Beweis. Es fei A = [ai a^J, B = [b^+i H^l, ■ ■ ■ 

E = [ai+i - ■ ■ ■ Bv] , wo 3] ■ ■ ■ ■ a^ Grossen erster oder (n — i )-ter 
Stufe find, je nachdem das Produkt [AB- ■ -E] ein progressives 
oder regressives war. Dann ist 

P = [% a„] 

ein reines Produkt von Grössen erster oder (n — l)-ler Stufe. 
Ferner fei ^= ["r ■ • -Um] das Gebiet, auf welches zurück- 
geleitet wird, R^:[u„j.i- ■ -Un] das ausgeschlossene Gehiel und 
[QR] := i , wotfei Ui ■ ■ ■ ■ u„ Grössen erster oder (n — l)-tpr 
Stufe find, je nachdem ai--aves find. Nun ist (nach i29) 

P'^[0-PR] 

= [ui "m(ai av ■ llm+I "n)]- 

Wenn nun das ursprüngliche Produkt [AB--E] ein pro- 
gressives ist, fo füll auch die Zurückleilung eine pr^ogressive, 
d. h. (nach 127) die Stufenzalil von Q eben fo gross oder 
gi'össer als die von P fein, d. h, m =; ^ v, folglich v -[- n — 
m ■<.», d. h. das Produkt [ai- ■ av ■ u„.!.i- ■ ■ -UnJ ein rein pro- 
gressives, atfo auch = [«i avUn,-|-i- • • -u^], und da alle 

Faktoren von erster Stufe find, ein kombinatorisches (nach 
94, 78). Nun fei 

Sp = «Wüi -f ■ ■ . . aWu„, 
fo können wir (nach 67) in dem Produkte [ai' ■ -a,ii,„_[.i- ■ • -u^ 
statt a^ ^^ aj^'u! ■ ■ • ■ aWü„ fetzen: a^^Ui -\- ■ ■ ■ aJ||'Uni) w^'' 
"inH-i' ■ ■ "^n ^'s Faktoren in jenem Produkte vorkommen; aber 
oWiii + "m"™ ist die Zurückleilung von a, auf das Gebiet 



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183) 



97 



Q^^[ui- -u^], mit Ausschluss des Gebietes R=:[Um+i.- ■ -u„]. 
Somit wird, wenn wir diefe Zurückleituiig mit a', bezeichnen 

P' = [Ux- ■ -Un,'»'!- ■ ■a',u„+i- - Uli]. 
Hier ist a\- - ■ -a'v dem Uj- - ■«„, untergeordnet, alfo Ctiach 108) 

P' = [Ui--'U„]-K-'-a'v] = [a',----aV]. 
Aus gleichem Grunde ist 

A'^[a', a'q], B' = [a'q+i a'r],--- 

Somit 

P'=[A'B'----E']. 
3. Wenn das ursprüngliche Produkt [AB' ■ -E] ein regres- 
sives ist, und alfo auch die Zuriickleitung von V auf Oj unter 
Ausschluss von R, eine regressive, d. h. die Stufenzabl von 
P kleiner oder eiienrogross als die von ist, fo kehrt fich 
das regressive Produkt und ebenfo die regressive Projektion 
(nach H5 und 90 Zufatz) in das progressive Produkt und in 
die progressive Projektion um. Sind daher P,, Oi, Ri, A^, 
Bi,---Ei die Ergänzungen von P, 0, R, A, B,-'E, und 
P'i, A'i, B'i ■ ■ ■ E'i die Zurückleitungen von Pj, Ai, Bj, — E, 
auf Ol, unter Ausschluss von R^, fo ist (nach 101) 

Pi^[AiB,---Ei], 
und nach Beweis 1 

Ferner ist (nach 139) 

P' = [0-PR), P', = [Oi-P,B,] = I[OPR] Cn»eli98), 
alfo P'i = |P und ebenfo Ä'i = |A', B'i == |B', ■ ■ - , alfo (nach '0 
|P'=[|A'[B'...IE'] 

P' = [A'B'--E'] (nach 101). 

3. Sind nun endlich A, B,- ■ -K zufanimengefctzle Grössen, 

A = ioÄ, B = XÄ.-- E = X«Sv, 
wo A;., B^,- ■ ■ Et einfache Grössen find und find A'^, B's,--- 
E', die Zurückleitungen von A,, Bj,--- Ev, fo ist 

P= [SX-Xl«Ä- • ■Z'i^K] =Z"oA^~«v[A,B.- . . E,] 
= X«A^^vPr,T^v, wenn P,_, ..v = [A,B,- ■ -E,] ist. 
Alfo (nach 130) 



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98 («»» 

nach Beweis 1 und 2; und dies 

= [^äji\Xßß\- • ■ ■Z^s7E%1 [nach 45] 

= [A'ß'- ■■■£'] [130]. 

132. Das reine Produkt von Grössen erster Stufe oder 
von Grössen (n — i)-ter Stufe in einem Hauptgebiete n-ter 
Stufe ist ein Itombinatorisclies Produkt diefer Grössen. 

Beweis. Das reine Produkt von Einlieilen erster Slul'e 
ist (nach H4, 94) ein progressives, alfo (nach 94) ein äusseres, 
alfo (nach 78) ein kombinatürisches Produkt der Einheiten, alfo 
auch (nach 53) das reine Produkt von beliebigen Grössen erster 
Stufe ein kombinatorisches Produkt diefer Grössen. Das reine 
Produkt von Grössen (n — l)-ter Stufe ist aber (nach 101) 
genau denfelben Gefetzen unterworfen wie das von Grössen 
erster Stufe, alfo auch den Gefetzen der kombinatorischen 
Multiplikation, d. h. jenes Produkt ist ein kombinatorisches 
Produkt jener Grossen (n — l)-ter Stufe. 

133. Eine Gleichung, deren Glieder Grössen m-ter 
Stufe find, wird, wenn n die Stufe des Hauplgebietes ist, 
durch fo viel Zahlgleiuhungen erfetzt, als es Kombinationen 
ohne Wiederholung aus n Elementen zur ni-ten Klasse giebt, 
uni i r e 1 It man einen erfetzenden Verein von Gleichungen, 

!e 1 die gegebene Gleichung nach und nach mit den 
It pl kat e Koinbinationcn zur (n — m)-lcn Klasse aus einer 
b 1 eb g n S haar von n Grössen erster Stufe, deren Produkt 
1 st n ult pl cirt. 
Beweis. Es fei 

(a) P = A + B+.-- 
die gegebene Gleichung, in welcher P, A, B,--- Grössen 
m-ter Stufe find, es feien ferner Ci, - ■ ■ Cn Grössen erster Stufe, 

deren Produkt [cj e J = 1 ist, und feien Ej, E^, ■ ■ ■ Ev die 

multiplikativen Kombinationen zur m-ten Klasse aus ei,'--en, 
und Fl, Fj,'.-Fv die ergänzenden Kombinationen, d. h. die 
Kombinationen aus denfelben Elementen zur (n — m)-ten Klasse 
und zwar fo geordnet, dass [EiFi] = [E2Fs]=- - ^[E„F,] = 1 
fei, fo ist zu zeigen, dass die obige Gleichung erfetzt wird 
durch den Vorein von Gleichungen, der aus 

00 [PFj^rAF,l + [BFJ+-. 



yGoosle 



134) 99 

dadurch hervorgeht, dass man stalt r nach und nach fetzt i, 
3, ■ ■ • V. Es find (nach 77a) P, A, B,--- nuiniirisch ableit- 
bar aus £j>--E,. Nun fei 

P = nßi-i TTvEv, A — «lEi-l «vEv, 

B = /SiEiH /SvEv,--- 

fo ist 

[l'F J = [Z?rAF J = 2-=r,[E,F,], 
Aber da E^ und F^, wenn s^r ist, nolliweniiig gleiche 
Elemente (cji-ej als Faktoren enthalten, fu ist für diefen 
Fall [EA] = 0, aifo 

[PF,]=jr,[ErFJ=jr,. 
Aus gleichem Grunde ist 

[AFJ = «„ [ßl\] = ß„--. 
Gilt nun die Gleichung (a), (a gilt auch die aus ihr durch 
Multiplikation hervorgegangene Gleichungsgruppe (b). Gilt um- 
gekehrt die letztere, fo hat man für jedes r von l---v, in- 
dem man für [PF,], [AF,], [BFJ,-- die gefundenen Werth« 
fetzt, 

?r, = «, -f- j9, + . ■ , alfo auch n,E^ = te,E, + ßß.'-i 

fiir jedes r von 1 bis v. Addirl man diefe fämmtlicben Glei- 
chungen, fo erhält man 

d. h. 

P = A-{-B4---. 
Somit erfetzen fich die Gleichung [a) und der Gleicbungs- 
verein (b) gegenfeitig. 

Zufatz. Ist ins Befondere 

A = «lEi -h OiEj -i , 

fo ist 

[AF,]=a„ 
d. h. [AFi] = a,, [AF2]=aj,--.. 

§. 8. Elimination der ■Unbekannten 
aus algebraischen Gleichungen durch kombiiiaterische 

Multiplikation. 
133. Aufgabe. Aus n Gleichungen erwlen Grades mit 
n Unbekannten iliefo zu finden. 



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Auflöfung^ 1. Die n Gleichungen feien 

af^xi + ctf 'xj -I -f ßTOx„ = jS"' 

a^°>xi + aWx^ -I 1- aWx„ = (Sf"). 

Man multiplicire diefe Gleichungen beziehlich mit n uxlen- 
fiven Grössen et'>, ef*',---eW, deren kombinatorisches Pro- 
dukt Eins ist, und addire lle, fo erhält man, indem man 
af" e(") + ap eW + - ■ - af") e(°> = ai 
aö) edJ -f- «(*) e(*J + ■ ■ ■ «(■" e'") = a» 

(1^) : : : : 

am qO) -j_ a^») e"> -I «(_"' eC'J = a„ 

fetzt, die Gleichung 

(c) SiHi + Sjaj -f- ■ . . -J- x^a^ ^= I), 
eine Gleichung, welche die gegebenen Gleichungen (a^ erreizt. 
Um aus ihr Xj zu finden, fügt man beiden Seiten der Glei- 
chung die Faktoren aj, as,--»^ hinzu, fo erhält man, da 

[a^ajag • • ■ aj, [agajas ■ ■ ■ äa] [MaMs ■ • ■ K] ("ach 76) null 

find, 

Cd) Xi[ttiÜ2 ■ - - ■ a^] =^ [baja^ ■ ■ ■ ■ aj. 
Und ebenlo 

Xj [aiaj ■ ■ ■ aj = [ajha^ ■ ■ ■ a„] u. (. w. 
Angenommen nun zuerst, das Produkt [aiBj- ■■ aj fei un- 
gleich null, fü erhält man 

^ _ [ba^a3 a„ ] 

^ [aja^a^ ■ ■ ■ a^y 
(e) und eiienfo 

__ [a^bag ■ ■ ■ aj [aia^ ■ ■ ■ «u-il)] 

^ [^i^a^a- ■ ■ -an]' " [ajaj ■ ■ • -au^iaj" 

Es ist für diefen Fall noch zu zeigen, dass diefe Wertho 
der Unbekannten in der That der Gleichung (c) genügen. Da 
das Produkt (aiaä^-'-a^] nach der für diefen Fall gemachten 
Annahme ungleich null ist, fo stehen a,,- ■ Sa in keiner Zahl- 
beziehung zu einander. Da nun a-,,- • -a^ aus Ci, - - ■ -en nume- 
risch abgeleitet find und in keiner Zahibeziehung zu einander 
stehen, fo muss (nach 21) jede aus C] • ■ ■ e„ numerisch ab- 



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184) 101 

leilbare Grösse, aifo namentlich b, auch aus Hf ■ -tta numerisch 

ableitbar fein ; es fei b := yiaj -J- yja^ -i yna„. Substiluirt 

man diofen Werth in (e), fo wird x^ = y^, x^ ^: yj , • • ■ ■ 

Xn = y^, alfo Xjai + XäHä -j -f x„a„ = y^ai + yjaj -\ 

y^Hn, d. h. =b. Alfo wird der Gleichung (c) durch dieWcrlhe 
(e) genügt, fomit auch den ursprünglichen Gleichungen. 

Angenommen zweitens, das kombinatorische Produkt 
[aiBj-'-aJ fei gleich null, fo stehen ai----a„ in einer Zahl- 
bezichung zu einander, dann muss es unter ihnen [nach 1?) 
folche geben, die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, 
und aus denen die übrigen numerisch ableitbar find; es feien 
dies ai,"-ap und feien ar-]-i,---a^ aus ihnen numerisch ab- 
leitbar. Dann muss alfo vermöge der Gleichung c auch b aus 
diefen Grössen a^ • ■ • ■ a, numerisch ableitbar fein. Tritt alfo 
der Fall ein, dass, vermöge der Natur der gegebenen Glei- 
chungen, b nicht aus ai----aj numerisch ableitbar ist, wäh- 
rend es doch a^fi, ■ ■ ■ a^ find, fo enthalten jene Gleichungen 
einen Widerspruch. Wird hingegen diefe Bedingung erfüllt, 
fo fei die Gleichung fc) in der Form geschrieben: 
Xjai + x^aj -f.. ■ ■ x,9r = c, wo 

c = b — x^f ia,-|-i ~ Xr-i-s a^_|_2 — . ■ . - x^a^ 
ist, und man erhält 
CO \ ^ _ [ca,a3----a ,] _ [aica3--.a,] 
[a^ajag ■ ■ ■ a^] [aiaiaj ■ ■ ■ aj 

[a,a2 - ■ ■ at_ic] 

' [aiaj Bj.] ' 

während x^.^ bis x^ ganz willkürlich Hnd. 

A n m. Setzt man für die Grössen a, ■ ■ ■ ■ a„ und b in der Gleichung 
(e) ihre Werthe aus (b) ein, fo erhljU man, vermöge 79, die bekannten 
Ausdrücke 

^^ ^ X + <'ß?^ß^''- ■■■<'" "■ '■ '^' 
leh füge hier noch eine zweite Auflöfungsmethode bei, welche 
zwar auf den ersten Anblick nicht fo einfach erscheint, aber dennoch 
ihre grossen Vorzüge hat, und deren eigentliches Wefen späterhin 
in ein noch liellcres Licht treten wird: 

Aufiöfung 2. Man bringe die fämmtlichcn Gleichungen 
auf die Form, dass ihre rechte Seite null ist. Die Gleichungen 
feien 



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oP) 4- aO) xj -f af 'xj H h <' x„ = 

aW + at^'x! + «("'xi -f h a(_°)x„ = 0. 

Die Gleichungen find alfo cliefelben wie in der vorigen 
Aufiöfung, nur dass «{,''' = — ß^^ ist. Der Symmetrie wegen 
fügen wir nocli dem ersten Gliede jeder Gleichung die Un- 
bekannte Xq als Faktor hei, die wir dann schliesslich gleich 1 
fetzen. Nun nehme man ein] System von (n -J- i) Einheiten 
«05 eii"-*'n an, deren Produkt Eins ist. Dann ist (nach 91) 

i[e„Ieo] = [e^lej = [e,|e,] =...■■= [eje„] 
= [eoCiDj- ■ '60]= 1. 
Ferner ist, da [e, (nach 98) alle übrigen Ein- 
heiten ausser e^ als Faktoren enthalt, 
[e,|eg]=:0, wonn r^s ist [nach 60], 

Wenn nun 

ixoleo + xjei H x„(e„ = X 
aWßo +<>ei + ■■■ af,'Je„=afiJ 
tt^Jeo + afhi -I aff^e„=: a«' 

I "■0'^ 60 -f- cif°^f>i -!-■-■- a<°'On = a'"' 
gefetzt wird, fo ergiebt fich leicht, dass die gegebenen Glei- 
chungen (a) identisch find mit den Gleichungen 

r[a'i)X] = 



CJ) 



[a(*'X]=0 



[a^Xl = 0. 
In der That, fetzt man z. B. in der ersten diefer Glei- 
chungen statt a<^> und X ihre Werthe aus (j-), fo wird die- 
felbe vermöge des Gloichungssyslems (ß) identisch mit der 
ersten der Gleichungen in (a) und fo hei den übrigen. An- 
genommen nun zuerst, a'^'---a'°' stehen in keiner Zahlbe- 
ziehung zu einander. Da X eine Grösse n-ler Stufe ist und 
fie mit jeder der n Grössen erster Stufe a''', a'*' - ■ ■ ■ a'°*, die 
in keiner Zahlbezieliung zu einander stehen, zu einem kom- 
binatorischen Produkte verbunden, null giebt, fo muss X (nach 
84) mit dem kombinatorischen Produkte jener Grössen in 



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tS4) 103 

einer Zahlbeziehnn^ stehen, aKo ist, wenn X eine noch un- 
bestitnnite Zahl ist, 

(£) X = AA , wo A = {a^h<^> ■■■■ a'-'] 
ist; und da aus dtcfer Gleichung wieder umgekehrt die Glei- 
chungen [iJ) folgen, fo erfelzt fie die Gleicliungen {S), alfo 
auch die ursprünglichen (a). Fügt man nun zu der gewon- 
nenen Gleichung den Faktor e^ hinzu. Tu erhält man, da 
KX] = [e„CxJeo + x.jco +■ ■ ■)] =^ xd%\%] + x,[eoe.] -f • ■ -, 
d. h,, vermöge (ßX = x^ ist, die Gleicliung 
( Xo = A[eoA] , 
(i;) } und ebenfo 

1 X, =A[eiA], X2=;t[e,A], 
d. h. 

(7}-) X, : X, : xs :■ ■ . - - [e^A] :[e,A] : [e,A], 
und da Xq gleich i ist, fo hat man 1=^[B|,A] 
fa. , ^[=.A] ^ _[1>A] .. 
'^ '^[o.A]' '■-[e.Ar 
Die Auflöi'ung ist alfo nur dann mitglich, wenn [e^A] von 
null verschieden ist; wenn hingegen [e„A] = ist, obwohl A 
>on null verschieden ist, fo lehrt die Gleichung l = i[eoAJ, 
ddss dann die gegebenen Gleichungen einen Widerspruch ent- 
halten Ferner lässt fleh zeigen, dass in dem angenommenen 
Falle (,A ^ und [e„A] ^ 0) die Werthe (^) die gegebenen 

Gleichungen (a) erfüllen. Denn wird X= — ^ gefetzt, fo 

werden die Gleichungen (t) erfüllt; die wir auch fo schreiben 
können: 

[eoX] = -l[eoÄ], [eiX] = yl[eiA]..-. 
oder 

0=[eüCX- M)]=-[e,CX — AA)lu. f. w. 
Alfo giebt die Grosso n-ter Stufe X — ^A mit dem System 
der n + 1 Einheiten <•.„,• •■•6^ einzeln kombinalorisch mulli- 
pliclrt null; alfo ist (nach 85) jene Grosse felbst null, d. h. 

X -U = 
oder 

X^M, 
welche Gleichung nach dem 0^igen die gegebenen Gleichungen 
(ß) erfelzt. 



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104 (13S 

Angenommen fei zweitens, a'^', a'^V ■ -af"' stehen in einer 
ZühJbeziehun^ zu einander, oline jedoch alle null zu fein, To 
giebt es (nach 17) unter ihnen eine Schaar von Grössen, 
welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen und aus 
denen die übrigen numerisch ableitbar find; es mögen a'", 
(,ci) . . . . aM eine foJche Schaar bilden, und die übrigen a'''+", 
■ ■ ■ -a'"' aus ihnen numerisch ableitbar fein; und fei z. B. a'°' 

= aia'^'^ -f- ßja<*> -| a^a', dann ergiebt fich auch für jedes 

X, dass 

[a""X] = K,[a(ilX] -f aj[a<^>X] -J- ■ ■ - «.[a'^'X] 
ist, d. h. es wird die n-te der gegebenen Gleichungen aus den 
r ersten gewonnen, indem man dicfe beziehlich mit aj, a^—- 
a^ multiplicirt; d, h. die n-te Gleichung ist aus den r ersten 
Gleichungen numerisch ableitbar, jeder Werth X, der diefe 
erfüllt, erfüllt auch die letzten. Es bleiben alfo nur r Glei- 
chungen zu erfüllen übrig, und können fomit die (n - r) letzten 
Unbekannten willkürlich angenommen, und dann die übrigen 
nach dem obigen Verfahren bestimmt werden. 

Anm. Die «weite Auflöfungsraetbode hat den Vorzug, dos3 fie 
den ßmmtliclien n Unbekannten Eine einzige Unbekannte n-ter Stufe 
fabstituirt und diefe aufs Einfachste Snden lehrt. 

133. Aufgabe. Aus n -f 1 Gleichungen, welche in 
Bezug auf n Unbekannte vom ersten Grade find, diefe Un- 
bekannten zu eliminiren. 

Auflöfung. Die Gleichungen feien 

■ ßf"' + afxi + «(O'Xä + ■ ■ ■ ■ ce^»'x„ = 
, , aW -f- a(i>x, + ai^'xs -f ■ - ■ ■«mx,= 

aW -f- «("ixi -i- «("Ixj -f ■ ■ ■ ■ af,"ix„ =^ 0. 
Multiplicirt man fie beziehlich mit n -|- 1 Grössen e'"', e'^^ 
eW- . . e'^i, welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, 
addirt die fo gewonnenen Gleichungen und fetzt 

[ afeW -I- «(i'ef'J + a™e«) -J Kg"eW = 8„ 

I aWe«' + a^>G(» + af ef*^ ^ af-'e^"' — a^ 



(b) . 



fß erhält man 

(c) ao +• XiB 



[ aWe«>J + ö^i^e"' -f- «jf^e«*' + ■ - ■ «("'e'"' 



yGoosle 



13«) 



105 



Fügt man die kombinatorischen Faktoren ai, a2,'--an 
hinzu, fo erhält man, da [aia,as' ■ -a^] ii. f, w, null find, 

(d) Ka.a,-..-aJ = 0, 
was die verJangto Jülirninationsgleichung ist. 

l,3ti. Aufgabe. Aus zwei Gieichungen, welche in 
Bezug auf eine der Unbekannten algebraisch und von beliebi- 
gem Grade l'ind, diero Unbekannte zu eliminiren. 

Auflöfung. Es l'ei, in Bezug auf die Unbekannte y, 
die eine Gleidiung vom ni-ten, die andere vom n-ten Grade, 
und feien die beiiien Gleichungen 

)-i-aiy l---- + a«y"' = o 

„ + b.y-l----- + b„y" = 0, 

wo 8(1 , ai , a^, uud ho , b, , ■ ■ ■ ■ b^ beliebige Funktionen 

der andern Unbekannten find. Wultiplicirt man die erstere 
nach und nach mit i, y, y^■■■■y''~^ die letztere nach und 
nach mit 1, y, y^■■■■y'"~', fo erhält man die Gleichungen 

) + »ly + + ao,y" 

aoY + + amy'"l"' 



ta) ■ 



(!') 



n-h,y+-' 
H-b,y+- 



■ + a^y"*- 



b,y- 



Kr 



Miillijilicirt man diefe nach der Reihe mit n -j- m Einheiten, 
die in keiner Zahlbezleliung zu einander stehen, nämlich ei, 
(^si ■ ■ ■ »inlii) addirt die fo gewonnenen Gleichungen und fetzt 

Iagei -f-boe„-]-, =Ui, 
^iCi 4- aoe^ -h bie„_|_i -|- I)uei,.La =\h, 
ajOi-f-aiCä ■|-aue3--|-bje„_l_i-fbiß„.i.s + boeB.f.3^U3, 

(a^e^ -f b„e„4„=:u„4„, 
fo erhält man die Gleichung 

(d) th -f u,y + u,y^ + ■ ■ ■ • u,„i „y'M-"-i =0; 

und fügt man ihr die kombinatorischen Faktoren u^, Ua,--- 
u,„|n liinzti, fo erhält mau: 

(e) Kn,H3---.u,„;„l-=0, 

was die verlangte Eliminationsgieichung ist. 



y Google 



106 



(lae 



AuflÖfung 2. Es feien die gegebenen Gleichungen die- 
feiben wie in Auflöfung \ (a), und fei aus ihnen das System 
(b) abgeleitet. Man nehme n-^ni Einheiten e^, ej, - • ■ ■ea-j.m^i, 
deren Produkt ^^ i ist. 

Wenn nun 

+ 5|e,4---'r+"-|e.+.-. = f 

8061 -f- a,es + aiuem+i =^ ''i 



w 



ajiCn^i + a,en -f ■ 
bflen + biöi -f-- ■ ■ 



• b„e„^ 



C^) ■ 



boßni-i + bjCn, + ■ ■ ■ ■ bneiu4-„_, ^^. d^-l . 

fü werden die Gleichungen (bj gleichbedeutend mit den Glei- 
chungen 

I cj = CiY =■ . -= c„_iY = 
= d,y=-.-=d„_,,Y=0. 
Da nun Y eine Grösse n -(- m — l-ter Slule ist, die nicht 
null ist, To müssen die n -f ni Grössen c^, c^, ■■-■, c„._,, 
d,,, dj, ■■■-, d„_i in einer Zahlbeziehung zu einander stehen 
(nach 85). Äifü hat man 

[CoCi C„_,d„d(..--d„_J = 0, 

was die verlangte Eliminationsgleicliung ist. 

Anm. 1- Ea lässt Tich bei dieCer letzten Methode nocli die Unbe- 
kannte y auf eine fehr einfache Weifu ausdrücken, wenn nämlich 
YoransgefeUt wird, daaa es unter den n + m Gvöasen Cq, Ci , ■ ■ -cn-i 
du, 'l,,- • -dm— 1, folclic n 4- "> — 1 Gröaeen giebt, welche nicht in einer 

Zalilbeziehung zu einander stehen; es feien dies etwa c, Cn-J, d„, 

d, ■■■■dm — i und Ici iliv kombinatorisches Produkt der Kürie wegen 
mit A bezeichnet; dann folgt (nach 84) aus den Gleichungen 

c,T = CjY =. . -^ cn_iY ^ di,Y = d,Y = - . . dm_iY, 
dass 

Y = pÄ 
ist, wo p eine unbekannte Zahl darstellt. Aber nun ist Y = E|,-|- 
yE, -I , alfo leoY] = lOaEol = 1 und [e,Yl=y, alfo hat man 

l-e,Y = p[e,A] 

y = e,Y^p[e,A], 
alfo, indem man die zweite durch die erste diviilirt, 

' leoA] ' 



y Google 



*•») 107 

wodurch y gerunden iet, während die ElimiDationsgleichung in der 
F m 

[ A1=0 
ii 

A üDfAflfgthdld tdl tg 

hl Fin)hl Ibre d rstAgbdA 

dl 11 (1844) mgthl d h G tAh 

(1845) AggbSptllt 1 Rl 

Ä HM 1 h d C mpt d 1S54 öff tl 1 1 

rddribMhd tgthU hjdhra im 

W ii I h 1 hm b t 18i5 I kt 1 tt E h g 

1 IFlg P tRlm wll 1 df 

B lg dPfAdmiW If nlt 

Cm Püfgdflb twd hl 

jdhdiiblhB hrstttt re II hkm 

thg h tdd hflb 1 mZ flRmlactZ 

wl hb h h3 hdldC hyhAfft 

i t l d Kl mm B 1 1 k mb h 

d b h pt d f H ptg b t b gl h M It [1 k t 

d 

§. 1. Orundg^eBetze der inneren Ililultiplikation. 

137. Erklärung. Unter dem inneren Produkte 
zweier Einlieiten von beliebigen Stufen verstehe ich das be- 
zügliche Produkt der ersten in die Ergänzung der zweiten; 
d. h. wenn E und F Einheiten beliebiger Stufen find, fo ist 

[E|F] das innere Produkt der Einheiten E und F. 

138. Das innere Produkt zweier beliebiger Grössen ist 
gleich dem bezüglichen Produkt der ersten in die Ergänzung 
der zweiten, d. h. es ist 

[A[B] das innere Produkt der Grössen A und B. 
Beweis. Es feien Aj, ■ • ■ A^ die Einheiten, aus denen 
A, und Bi, ■ • ■ - B„ die Einheiten, aus denen B numerisch 
abgeleitet ist, und fei 

A = aiA, +■•■ ß„A„; B = j3,Bi+.--^„B„; 
ferner fei für den Augenblick das Zeichen X als das der 
inneren Multiplikation gewählt, fo ist 

[A X B] = [t%AiJ— «AJX (jSjBi +■■■■ /?„BJ] 
= X^äiÄ7XBj, [42] 



yGoosle 



108 C"»» 

wenn nämlich die Summe ficli auf die Wertlio l,-il fiir r 
und l,---m für s bezielit. Da nun A, und Bg Einheiten find, 
fo ist Cnscli 137) [A, XßJ gleicli [A,|B.], alle [A X B] 

= [AZA |BJ = [AI^ÄBJ [100] 

= [AlB]. 

Anm. Eine befondcre Bezeichnung für daa innere Produkt er- 
scheint alXo jetzt als überflüssig, indem das Ergänsungsieichen die 
Stelle dea Zeichens fiir die innere Multipliltation vollständig vertritt. 
Und es ist nur zu beachten, dase dies Zeichen auch wie ein Mnlti- 
plikatiocs zeichen behandelt werden darf. 

In meinen früheren Arbeiten (Geometrische Analyfe, gekrönte 
Preisschrift, Leipzig 1847) habe ich das Zeichen X für das innere 
Produkt eingeführt, eine Bezeichnung, die nun entbehrlich ist. 

139. Die Stufenzahl des inneren Produktes, dessen beide 
Faktoren nach der Reihe die Stufenzahlen a und ß haben, 
während die des Hauptgebietes n beträgt, ist entweder gleich 
n-j-a^ß, oder gleich a — ß, je nachdem ß grösser als a 
ist, «der nicht. 

Beweis. Es feien A und B die beiden Faktoren, deren 
Stufenzahleu beziehlich a und ß find, fo ist die Stufenzahl 
von |B gleich n — ß. Ist nun zuerst ß grösser als a, fo ist 
auch n grösser als a -\- n — ß; d. h. die Summe der Stufen- 
zahlen von A und |B ist kleiner als die des Hauptgebieles, 
alfo (nach 95) die Stufenzahl des Produktes [A|B] gleich jener 
Summe, d. h, gleich a -(- n — ß. Ist aber ß eben fo gross 
oder kleiner als a, fo ist auch n eben fo gross oder kleiner 
als a -\- a — ß, d, h. die Summe der Stufenzahlen von A 
und |B ist eben fo gross oder grösser als n, alfo (nach 95) 
die Stufenzahl des Produktes [A|ß] um n kleiner als jene 
Summe, d.h. gleich a — ß. 

140. Die Anzahl der Einheiten, aus denen fleh ein 
inneres Produkt numerisch ableiten lässt, ist gleich der An- 
zahl der Kombinationen aus fo viel Elementen, ais die Stufen- 
zahl des Hauptgebietes, und zur fo vielten Klasse, als die 
pofitive Differenz der Stufenzahlen beider Faktoren beträgt. 

Beweis. Nach 139 ist die Stufenzahl des Produktes 
entweder gleich n -f- a — ß, oder gleich a — ß, je nachdem 



y Google 



144) 109 

ß grösser als a ist, oder nicht. Die Einheiten von gleicher 
Stufe find im ersten Falle die miiltiplikaliven Kombinationen 
aus den n ursprünglichen Einheiten zur (n -[- et — j5)-ten , im 
zweiten zur (a -- ß)-len Klasse. Aber die Anzahl der Kom- 
binationen aus n Elementen ziir (n + « — |S)-ton Klasse ist, 
nach einem bekannten Satze der Kombinationslehre gleich der 
Anzahl der Kombinationen aus n Elementen zur (ß — a)-ten 
Klasse. Die Klassenzahl ist dann alfo ß — a, im zweiten Falle 
a — ß, in beiden Fällen alfo der pofitiven Differenz von a und 
ß gleich. 

141. Das innere Produkt zweier Grössen gleicher Stufe 
ist eine Zahl. 

Beweis- Denn die Diifercnz der Stufen iiaiilen ist dann 
null, alfo das Produkt von nullter Stufe, d. h, eine Zahl. 

142. Das innere Produkt zweier gleicher Einheiten ist 
eins, das. zweier verscliiedener Einheiten gleicher Stufe null, 
li. h. [EjEr] = i , [E,|E J = 0. 

Beweis. [E^jE,] = 1 (nach 91). Ferner ist |E, (nach 
89) dem kombinatorischen Produkte aller in dem Produkte Ej, 
nicht vorkommenden Einheiten erster Stufe gleich; da nun E^ 
von E, verschieden, beide aber Produkte von einer gleichen 
Anzahl ursprünglicher Einheiten find, fo enthält E^ notbwendig 
folche Einheiten als Faktoren, die in Ej fehlen, alfo in [E, 
vorkommen; alfo ist [E,|EJ (nach 60) gleich null. 

143. Wenn Ei, ■ ■ E„ Einheiten von beiiebiger, aber 
alle von gleicher Stufe find, fo ist 

[(a,Ei + ■ ■ <vE„)|(,3iE, + ■ ■ ■ ^„E„)] ==ß^ ■ ■ ■ a^ß^. 
Beweis. Es fei OjEi -f.-- a^E^ mit ^a,K^, und ßß-i 
+ --^^E„ mit 2^ßß\ bezeichnet, fo ist 

[Xcc;eJ2'P"J = XßA[Er!EJ, [42]. 

Nun ist (nach 142) das Produkt [EJEJ gleich null, wenn 
Ej und E, verschiedene Einheiten find und gleich eins, wenn 
r gleich s ist, fomit wird der gewonnene Ausdruck 

144. Die beiden Faktoren eines inneren Produktes find 
vertauschbar, wenn üo von gleicher Stufe find, d. h. 

[Ä[B] = [B[A], wenn A und B von gleicher Stufe find. 



y Google 



HO (14a 

Beweis. Wenn Ei- ■ ■£„ die Einlieileii darstellen, welche 
mit A und B von gleicher Stufo find und A = ^aß^, B = 
^ßß, ist, fo ist (nach 143) 

[A|B] = XaA = ^ßJ. = [B[A]. 
1^9. Erklärung. Wir schreiben der Kürze wegen 
[A|A] = A-- 
und nennen es das innere Onaiirat von A, 
irm. Es ist 

[aßi -1 a„E„]' = af -J «,'„. 

Beweis. CoiE,H a„,E„)' 

= [CaiEi+ . ■ -«„E J|(.c(iEi+ . ■ a^E JJ [145] 

= «101 -J a^a„ [144]. 

147. Das innere Produlit zweier Einheiten E und F ist 
dann und nur dann von Null verschieden, wenn die eine der 
andern incident ist, d, h. 

[E|F] =0, wenn E und F nicht einander incident find, 
[E|F] ^ 0, wenn E und F einander incident find. 
Beweis, Für Einheiten gleicher Stufe ist der Satz in 
142 bewiefen, Hun feien E und F zwei Einheiten ungleicher 
Stufe , und zwar E von höherer Stufe als F. Es fei F = [EjG], 
wo Ei dem E untergeordnet ist, aber das Gebiet G keine 
Grösse erster Stufe mit E gemein hat. Dann ist F dem E 
incident oder nicht, je nachdem G von nullter Stufe (eine 
Zahl) ist oder nicht. Es fei ferner E=[EiEi] und fei [EiGE^H] 
das Produkt aller n ursprünglichen Einheiten und gleich der 
abfoluten Einheit. Dann ist (nach 89) [EiH] die Ergänzung 
von [EiG], d. h. |lEiG] =- [EjHJ, alfo 

[E|F] = [EiEs|E,G] ^ [KiE-, ■ EjH]. 
Ist G von nullter Stufe, d. h, E mit F incident, fo ist 
[EiEjH] von nullter Stufe, alfo (nach 106) der Ausdruck 
[EiEj • EjH] = [E,EjH] ■ Ej , alfo von null verschieden, da Ej 
und [EiBiH] von null verschieden find. Ist aber G von höherer 
als nullter Stufe, fo ist die Summe der Stufenzahlen von Ei, 
Ej und H geringer als die Summe der Stufenzahlen von Ej, 
G, E,, H, d.h. kleiner als n, alfo (.nach 109} [EjEj ■ E,H] 
= 0, d. h. wenn E und F nicht einander incident find, fo 
ist [E!F] = 0. 



yGoosle 



iao) in 

148. Es ist 

[EF|E] = F «nd [F|EF] = ;E, 
wenn E und F Einheiten find, und [EF] niclit null ist. 

Beweis. Es fei [EFG] das Produkt aiier ursprünglichen 
Einheiten und gleich 1, fo ist |E=^[FG], Ibmit 

[EFIE] = [EF -FG] = [EFG]F [106] 

^F. 
Ferner ist dann I[EF] = G, alfo [FIEF] = [FG] = |E. 
14». Wenn E, F, G Einheiten find, «nd weder [EF] 
noch [EG] null ist, fo ist entweder 

[EF|EG] = [F|G], oder [FE,GE] = [FiG], 
ersteres, wenn F von höherer Stufe ist als G, letzteres, wenn 
G von höherer Stufe ist als F. Sind beide von gleicher Stufe, 
fo find beide Formeln gültig. 

Beweis 1. Wenn F und G niclit einander incldent find, 
fo find auch [EF] und [EG] nicht einander incident, allo find 
dann (nach 147) beide Seiten der zu erweifenden Gleichung null, 

2. Wenn G dem F untergeordnet ist, fo fei F = [GH]. 
Dann ist 

[EFjEG] = [EGHjEG] = H [148] 

= [GHIG] [148] 

= [FIG]. 

3. Wenn F dem G untergeordnet ist, fo fei G = [HF]. 
Dann ist 

[FEIGE] = [FE|HFE] = |H [148] 

-[F|HF] [148] 

= LFjG]. 

4. Wenn F «nd G von gleicher Stufe find, alfo, bei 
Ausschluss des Falles in Beweis 1, zufammenfallen, fo ist 
(nach 70) fowohl G dem F, als F dem G untergeordnet, und 
es gelten alfo nach Beweis 2 und 3 lieide Formeln. 

ISO. Wenn q und r die Stufenzahlen von A und B find 
und q ^ r ist, fo ist 

[A!B] = C-l)'K-i)|[BIA], 
d. li. [A|B] ist der Ergänzung von [ß|A] entgegengefetzt, wenn 
die Slufenzahl von A ungerade und zugleich die von B ge- 
rade ist; in jedem andern Falle ist [AjB] der Ergänzung von 
[BjA] gleich. 



yGoosle 



U2 (*»* 

Beweis. Es ist 

|[ß|A] = [|B]|A] [97] 

^f_i)qm-q)[|B.A] [92] 

= (— i)q(a-q)(„ ljq(n-r)[A]B3 [58] 

= (_ i)qa"-i--)[A[B]. 

Nun ist in Bezug auf den Modul. 3 die Grösse q(2n — q - - r) 

kongruent q(r — q) oder kongruent q(r — 1), da q^ mit q gleicli- 

zeilig gerade oder ungerade ist, fomit 

|[B|A] = t— 1)''''"*'[A1B], oder auch 
[A|B] = (— i)i(^-'\[B|A]. 
Anm. Vermittelst des fo eben erwiefenen Satzes kann man den 
Fall, wo der zweite Faktor eines inntren Produktes von höherer Stufe 
ist als der erste, immer auf den andern Fall zurückführen, wo der 
erst«? Faktor Ton. höherer Stufe ist als der zweite. Diefeu letzteren 
Fall, welcher Tich in den oben entwiekelten Formeln als der einfachere 
heran SB teilte, werde ich jetzt vorzugsweife he rück richtigen, 

§, 2. Begriff des Sormalen und seine Correlaten, 

ISl. Erklärung, Numerischer Werth einer Grösse 
A lieisst die pofitive Quadratwurzel aus dem innern Quadrat 
diefer Grösse. Numerisch gleich licissen zwei Grössen 
von gleichem numerischen Werth d h zwei Grössen deren 
innere Q ad a e e 



derfeib V 




Wertli p 


Z d 


entspre d p 




Quadra w ra 


U 


a + b]/— 


h E 


Wnrael V 


m 


genomm 






1 h V +h 

c Definition gleich y a' + h', was auch fönst als numerischer Wcrtli 
der imaginären Grösse a + bi aufgefasst wird. In der Geometrie ist 
numerisclier Werth einer Linie ihre Lauge gemessen durch die Längen- 
einheit u. f. w. 

192. Erklärung. Normal zu einander heissen zwei 
von null verschiedene Grössen, deren inneres Produkt null 
ist. Zwei Gebiete heissen normal zu einander, wenn ihre 
Theile es lind. Zwei Gebiete iicissoii alireitig zu einander 



y Google 



1S4) H3 

normal, wenn jede Grösse erster Stufe, die dem einen Ge- 
Lit-t». angehoit, zu jeder, die dem andern angehört, normal 
ist und zwei Grossen lieissen allleitig normal zu einander, 
wenn ihre GebiUc es find 

A n m Der Grund der Benennung- ruht in der Geotaetr e Nimmt 
man dort die iirspr Ingl chen Emlieitei als gleiih lange zu einander 
fenkrcehte Strecken an w e d es stets geschdien muss lo zeigt lieh 
leicht dasa das innere Produkt zweier Strecken dann und nui dann 
null ist wei D dic.fl, Streokei fenkrecht au einander fiid Statt des 
Autdiucks renkiLclit" hal;e icli den „noimal genbUt als den ab 
stiakteren der aucli eine Anwendung auf nicht r&amhche Verhält 
nisse gcstdttet 

133 Erkläiung Normalsystem n-ter Stufe heissl 
ein Verein von n numeiisch gleichen (von null verschiedenen) 
Grössen erster Stufe, von denen jede zu juder normal ist; 
und wenn n zugleich die Stufenzalil des Hauplgebietes ist, fo 
heisst es ein vollständiges Normalsystem. Der numerische 
Werlh jener n Grössen heisse zugleich der numerische Werth 
des Normalsystems. Einfaches Normalsystem heissl jedes 
Normalsystem, dessen numerischer Werth 1 ist. 

Anm. Im Räume bilden a. B. drei gleiclilange und gegen ein- 
ander fenkrechte Strecken ein Hormalsystem. 

154. Erklärung. Circuläre Aenderung nenne ich 
jede Transformation eines Vereins, durch welche 2 Grössen a 
und b des Vereins fich beziehlich in xa + yb und in + (xb — ya) 
verwandeln, vorausgofetzt, dass x^ + y^:^l fei. Ich nenne 
die circuläre Aenderung eine pofjtive oder negative, je nach- 
dem a und b fich in xa -f yb und -f- fxb — ya), oder in xa 
+ yb und — (xb — ya) verwandeln. Wenn hierbei x = cos.« 
und y = fin.ct ist, und a und b numerisch gleich und zu ein- 
ander normal find, fo fagc ich, der Verein habe fich von a 
nach b hin um den Winkel a geändert. 

Anm. Stellt man fich unter a und t> zwei gleiohlaage und zu 
einander fcnkreclite Strecken vor, fo ficht man leicht, dass durch 
die circuläre Aendeiung, durch «ekhe a in e, —acos a + '^fi" ti, 
b in b, =bcog.a — ifm tt ubeigeht, a, und b, von deifelben Länge 
find wie a und b und gegen einander fenkieckt bleiben Eo bkiben 
alfo a und b bei jenei AendciTing conjugirte Halbmesser eines festen 
Kreifes, wodurch dei Narae iircularer Aenderung gei echt fei tigt ist 
Auch ficht man, dass dann dti Winkel \on a bi« a, gleich a ist 



y Google 



ii4 (*»» 

Sind übrigens a und Tj beliebige Strecken, fo werden a, ucd bi con- 
jugirte Halbmeaaer einer konstanten Ellipse, in welcher auch a und b 
conjugirte Halbmesser find. Von diefer Betracht ungsweiCe aus würde 
fich der Name der elliptischen Aendemiig empfehlen. Da jedoch die 
Ellipse immer auf den Kreis reducirbar und der Kreis die einfachere 
Kurve ist, fo habe ich jenen Namen als den einfacheren voi^ezogen. 
Siehe auch Grelle Journal, Band 49 pag. 134. 

155. Durch circuläre Aendening geht aus jedem Normal- 
system ein numerisch gleiches Hormalsystem hervor. 

Beweis. Es feien a, b, c,--- die Grossen eines Normal- 
syslems , d. h. a- ^^ b* ^= c^ = ■ ■ ■ und = [alb] =; [a|c] = 
[b c] ^- ■ -, und lindere fich a in ai = xa -f yb und b in b^ 
= xb — ya, wo x'^-f y^=l ist, Tu ist zu zeigen, dass ai, 
bi, c,--- ein Normalsystem bilden, in welchem ar^^a* ist. 
Es ist, da [ajb]:=0 ist, 

ai-— (xa -f yb)» = x^a'- -f- y'b'- 

= Cx^ + y>'- (da b'- = a^) 
= a"- tda x^ + y^=l). 
Aus gleichem Grunde ist bi'-^a'. Ferner ist 

iKbi\ = [Cxa + yb)|Cxb - yajl = xy(b* — a') 
(da [ajb] = 0) 
= (weil b'- = a*). 
Endlich ist 

[ajc] = [(xa + yb)|c] = x[a|c] -f y[b;c] - , 
weil [a]c] und [b|c]=0 find. Aus gleichem Grunde ist [bi[c] 
^0 u, f. w. Folglich ist das System aj, hj, c, ■ • ■ ein Normal- 
system, dessen numerischer Werth gleich dem des gege- 
benen ist, 

15ß. Das kombinatorische Produkt der Grössen eines 
Normalsystems bleibt bei pofitiver circulärer Aenderung diefes 
Systems unverändert, und geht bei negativer in feinen unt- 
gegengefetzten Werth über. 

Beweis. Es gehe a in ai = xa -(- yb, b in bi=:xb — ya 
über, wo x^ -j- y'= 1 ist; fo wird 
[a,bj ^ [(xa 4- yb)(xb - ya)] 

= xä[ab]"y'[ba3 (da [aa], [bb] nach 60 null find) 
= {x'' + y^j[ab] (da [ba] = — [ab] ist nach 55) 
=:[ab] (da x^-t-y^=l). 



yGoosle 



*S») 115 

Alfo [ajbj] ^= [ab]. Kommen nun zu den gleichen Pro- 
dukten [ab] und [aibj] noch an den entsprechenden Stellen 
gleiche kombinatorische Faktoren hinzu, l'o bleiben die Pro- 
dukte gleich, Alfo bewiefen, 

137. Die Grössen eines Normalsystems stehen in keiner 
Zahlbeziehung zu einander, und jede Grösse erster Stufe lässt 
fich aus einem beliebigen vollsländigen Nonnalsyslem nume- 
risch ableiten. 

Beweis 1. Es feien a, b, c,- ■ ■ Grössen eines Normal- 
systems. Gefetzt nun, es ständen diefeibcn in einer Zahlbe- 
ziehung zu einander, etwa fo, dass 

a=^ ßb i-yo -{-■ • ■ 
fei, fo muUiplicire man beide Seilen innerlich mit a, Fo wird 

a^ = /3M+r[c|a] +.--=0, 
da [b|a], [c|a],--' null find (nach 153). Alfo wäre 3^ = 0, 
im Widerspruch mit 153. Es lässt fich ali'o keine der Grössen 
a, b, c, - - ■ aus den übrigen numerisch ableiten d h f e stehen 
(nach 3) in keiner Zahlbeziehung zu einander 

2. Ein vollständiges Normalsystem in ei en Ha ptgeb ete 
n-ter Stufe besteht aus n Grössen, und da d tfe ath Be v 1 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen fo k n ( ch 
24) aus ihnen jede Grösse erster Stufe, da f imer dem 
Hauptgebiete angehören muss, numerisch abgele tet verden, 

198. Wenn eine Grösse A zu mehrerei Grossen B, 
G, ■ ■ ■ von gleicher Stufe normal ist, fo ist De auch zu jeder 
Grösse normal, die aus ihnen numerisch ableitbar ist. 

Beweis. Wenn A zu B, C,- ■ normal ist, fo ist 
Cnach 152) 

= [A|ß] = [AlC]=-.-. 

Somit auch 

[A|C^B +yC+- Ol = (S[A1B] + Yim + ■■■ [41] 
= 0, 
da [A|ß], [AjC],--- null find. 

159. Die färamtiichen Grössen erster Stufe, welche zu 
m Grössen eines vollständigen Normalsystems n-ter Stufe nor- 
mal find, gehöFen dem Gebiete der n — m uhrigen Grössen 
des Systems an. 



y Google 



H6 fieo 

Beweis. Es fei das System aj, a^ ein vollstän- 
diges Normalsyslem, und feien m feiner Grössen, etwa bi- ■ -3^ 
zu irgend einer Grösse erster Stufe a normal, fo ist zu zeigen, 
dass a dem Gebiete an,4i---an angehört. Nach 157 lässt ficli 
a aus dorn voUstärnJigen Normalsysteni ai--'an numerisch ab- 
leiten. Es fei der Ausdruck diefer Ableitung 
a = «lai H a„a„. 

Da nun a zu ai, 32,- ■■a„ normal ist, fo erhalt man, in- 
dem man zuerst mit a^ innerlich multjplicirt, 

= [aja] = aiai* + c^KIa,] + ■ • ■ a„[ai]a„] 
= «lai^, 
da [ajaj] bis [ailaj als innere Produkte der Grössen eines 
Normalsystems null find. Da nun ai' (nach 153) nicht null 
ist, fo folgt aus der Gleichung a,ai* ;^0, dass ai=:0 ist. Auf 
gleiche Weife folgt, indem man nach und nach mit 82, ■■■■an, 
multiplicirt, dass auch (h,----<^nx ""1' '^'''^- Folglich ist 

a = «m+jani+l -1 «nBu^ 

d. h. a gehört dem Gebiete am.|i----a„ an. 

KiO. Jedes Normalsystem iBsst fich durch fortgefet7,te 
circuläre Aenderung fo umwandeln, dass eine feiner Grössen 
mit einer beliebig gegebenen Grösse erster Stufe, deren 
numerischer Werth dem des Normalsystems gleich ist und 
welche dem Gebiete desfclben angehört, identisch wird. 

Beweis. Es feien ai,----ao die Grössen des gegebenen 
Normalsystems, und k die gegebene Grösse welche numerisch 
gleich «1 ist, und fei 

k ^; Oia-i -f ■ . . OaK- 

Nun wandle man ai und a^ circulüir fo um, dass dabei a^ in 

Cj = ~r/~=r— , 
Vtti + ÖS 
übergeht, was [nach -154) möglich ist, Uann ist KiHi i «^aj 
= F«i + f'ä Cj , allo 

k = ^ai + cä Cj -f- Hjag -{-■■■ a^a^- 
Darauf wandle man Cj und 83 circulär fo um, dass da- 
bei Cj in 

J' a' + gjca -|- C^a a 

fai + a^ + ai 



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übergeht. Dann ist 

k = yal ^- ctj 4- ß| Ca -f ß^Bj -i a„a„. 

In diefDr Weifu fahre man fort, bis 

k = y«? -|_ ßj -j_ . . . «ä_iCn_i + ß„a„ 
wird, und wandle schliesslich (5n_i und a„ circiilär fo um, dass 



^F(^'-F-. 



übergehl, fo ist dann 

* k = yal -i a;c„. 

Nun ist nach der Hypothefis 

ax'=k'-=(a,ai-[ ßaaJ'=«jai'-H kAüi,^, 

weil [ailaj] etc. null find. Und da auch ai*=a»' = ' ■ =an- ist, 
fo wird 

ai'- = tßi H al')al, 

d. h. «1 -) ai = l. Dies alfo in die obige Gleichung (*) 

eingeführt, giebt, wenn man den pofitiven Wurzelwerth wählt, 

k = c„, 
d. h. in dem ztiietzl hervorgehenden Nürmalsyslem ist eine 
Grösse c„ mit der gegebenen k identisch, wie verlangt. 

161. Wenn zwei Normalsysteme gleichen numerischen 
Werth haben, und ihre Gebiete einander incident find, fo 
lässt fleh durch fürtgefelate circuläre Aenderung, wenn beide 
von gleicher Stufe find, jedes aus dem andern ableiten, wenn 
fie hingegen von ungleicher Stufe find, das höherer Stufe fo 
umwandeln, dass es die Grössen des andern enthält. 

Beweis. Es feien a, b, c,--- und a^, bj, Ci,--- zwei 
Normalsysleme von gleichem numerischen Werthe, und foien 
die Gebiete beider einander incident, und zwar das des letzte- 
ren entweder von gleicher oder höherer Stufe als das des 
ersteren, fo müssen (nach 15) alle Grössen a, b, c,--- dem 
Gebiete ai, b^, Ci,--- angehören. Somit kann man (nach 160) 
das Normaisystem ai, b,, Cj,--- circuiär fo.umwandeln, dass 
eine feiner Grössen ^= a wird. Das fo hervorgehende Normal- 
system bestehe aus den Grössen a, bj, c,, ■ ■ ■ . Da nun b, c, ■ ■ ■ , 
als Grössen des Normalsystems a, b, c,- ■ -, zu a, alfo zu einer 



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118 (!«* 

Grösse des Noniialsystems a, bj, Cj,- - - normal find, fo müssen 
fie (nach 159) dem Gebiete der übrigen Grössen diefes Systems, 
alfo dem Gebiete b^, Cj,---- angehören. Demnach kann man 
wieder das System b,, Cj, ■ ■ ■ ctrculär fo umwandeln, dass 
eine feiner Grössen ^b wird. Das fo hervorgehende Normal- 
system bestehe aus den Grössen b, Cg, dg, ■■-, fo müssen 
wieder ans demfelben Grunde, wie vorher, c, d, ■ ■ ■ dem Ge- 
biete C3, dg,- • ■ augehören. Das Normalsystem ai, hi, c,, di,- ■ ■ 
ist dann durch circuläre Aenderungen übergegangen in a, b, 
C3, dg,---. So kann man, wenn das System a^, bi,--- von 
höherer Stufe ist als a, b, ■■-, fortfahren, bis das zuletzt 
hervorgehende System aile Grössen des gegebenen Syslemes 
a, b, c, ■ ■ • enthalt, oder wenn beide Systeme von gleicher 
Stufe find, fo lange bis es alle Grössen des Systems a, b, 
c, ■ ■ •, mit Ausnahme des letzten, enthalt, Diefe letzte fei 
q, die vorletzte p, und fei das fo hervorgehende NormaJsystem 
ö, b, ■ ■ ■ p, qo, fo muss nach der angewandten Schlussfolge q 
dem Gebiete i^ angehören, d.h. beide müssen in einer Zahl- 
beziehung zu einander stehen. Ist nun q^^xq, wo x eine 
Zahl ist, fo ist, da beide einander numerisch gleich find, 
q^=:q\ alib x'=:i, fomit q„ = qiq, Ist qa^^ - q, fo 
hat man nur statt der letzten circulären Aenderung die ent- 
gegen gefetzte zu nehmen, fo fällt dann auch die letzte Grösse 
des fo hervorgehenden Normalsystems mit q zufammen, alfo 
ist dann das eine der gegebenen Normalsysteme aus dem andern 
circulär abgeleitet, wie verlangt, 

16!^. Das System der ursprunglichen Einheiten ist ein 
(vollständiges) Normalsystem, dessen numerischer Werth 1 ist. 

Beweis. Es feien ej- ■ ■ -Cn die ursprünglichen Einheiten, 
fo ist (nach 142) 

= i:eiK] =■■■■! 
163. In jedem Gebiete m-ter Stufe lässt fich ein Normal- 
system gleicher Stufe von beliebigem numerischen Werth an- 
nehmen, und zwar fo, dass dies System Theil eines vollstän- 
digen Normalsystems fei. 



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le») H9 

Beweis. Es fei ai eine Grösse erster Stufe in dem 
gegebenen Gebiete m-ter Stufe A, ihr numerischer Werth 
fei 1. Da nun (nach 162) das System der ursprüngliciien 
Einheiten ei---B„ ein vollständiges Normalsystem ist, dessen 
numerischer Werlh i ist, fo lässt fich (nach 160) dies Normal- 
system circulär fo umwandeln, dass a^ eine der Grössen des 
refultirenden Normalsystems wird. Dann ist ai auf den n — 1 
übrigen Grössen diefes Normalsjstems, alfo auch (nach 158) 
zu jeder Grösse ihres Gebietes At normal. Dies Gebiet ist 
von (n — l)-ter Stufe und hat alfo mit dem Gebiet m-ter Stufe 
A (nach 26} ein Gebiet gemein, dessen Slufeiizahl n — 1 -J- 
III — n:^:m — 1 ist. Es fei in diefem gemeinschaftlichen Ge- 
biete a^ eine Grösse erster Stufe, deren numerischer Werth 
1 ist. Da flj alfo auch dem Gebiete A, angehört, fo ist fie 
nach dem obigen zu Q| normal, aber üuch mit ai numerisch 
gleich, nämlich ^1, alfo bilden o^ und a^ ein Normalsystem 
mit dem numerischen Werth 1, Alfo lässt fich (nach 159) 
das vollständige Normalsystem e^- • 0^ '" ^'■' anderes Normal- 
system umwandeln, welches a^ und a^ enthält. Das Gebiet 
Ä2 der übrigen n — 2 Grössen diefes Normalsystems ist von 
(n — 2)-ter Stufe, und alle Grössen erster Stufe, die diefem 
Gebiete angehören, find normal zu a^ und a^,. Nun haben A 
und Aj ein Gebiet m — 2-ter Stufe gemein; in ihm fei 83 eine 
beliebige Grösse erster Stufe vom numerischen Werlhe 1, fo 
hat man schon ein Normalsystem von drei Grössen ai, aa, a^ 
in A, und fo kann man fortfahren. Hat man fo in A ein 
Normalsystem von (m -— 1) Grössen ai ■ ■ ■ a„,_i erhalten, fo 
enthält das vollständige Normalsystem, zu dem es gehört, 
ausserdem noch n — m -(- 1 Grössen; ihr Gebiet, was A„_, 
heisse, ist von (n — m -j- l)-lcr Stufe, hat alfo mit dem Ge- 
biete m-ter Stufe A noch ein Gebiet gemein, dessen Slufcn- 
zahl n — m-fl-fm— n=^i ist. Es fei a^, eine Grösse 
diefes Gebietes, deren numerischer Werth 1 ist, fo ist an,, 
da es in A^-i liegt, zu ai ■ ■ ■ ■ an,_j normal und 81 • ■ ■ • a„ 
bilden alfo ein Normalsystem m-ter Stufe in dem Gebiete m-ter 
Stufe A. Diefem Normalsystem kann man dadurch, dass man 
alle feine Grössen mit einer und derfelben beliebigen Zahl 
mulliplicirt, jeden beliebigen numerischen Werth geben. 



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§. 3, Gesetze des inneren Produktes, an den Begriff des 
Normalen geknüpft. 

163. Krklärung. Normale Zurttükleitung A' einer 
Grösse A auf ein Gebiet B nenne ich die Zurückleitung' der 
Grösse A auf das Gebiet B, unter Ausscliluss des zu B er- 
gänzenden Gebietes (vergl. 127 und 33), 

Anra. Ist %. B. a, b, c ein. vollständiges Normal System und p 
= q^a + rb 4- sc eine beliebige Grilsse des Hauptgebietes , fo ist die 
normale Zurückleitung der Grösse p auf das Gebiet bc gleich rb -}- sc. 
Für die Geometrie ist Cie identisch mit der fenkrecliten Projektiou. 

165. Die normale Zurückieitung A' einer Grösse A auf 
ein Gebiet B ist 

letzteres, wenn der numerische Werlh von B gleich 1 ist. 

Beweis. Wach i64 ist A' die Zurückleitung von A auf 
B, unler Ausschluss des zu B ergänzenden Gebietes, d. h. des 
Gebietes |B. Wird jB mit C bezeichnet, fo ist (nach 139) 
[B^AC] .. _[ß-(AIB)]_[B-CA!B)] 
^ ~ 'TBCT' " [B!B]" ~ ^B^~ ■ 

166. Zufatz. Sind ins Befondere A und B von gleicher 
Stufe, fo ist die Zurückleitung 

A'='-"'^J-, oder = [A!B]B, wenn B'- = 1. 

Beweis. Dann ist nämlich (nach 117) [AjB] eine Zahl 
und kann alfo statt [B-(A!ß)] geschrieben werden [A[B]B. 

167. Die Ergänzung des kombinatorischen Produktes A 
von m Grössen eines vollständigen Normalsystems, welches 
den numerischen Werlh Eins hat, ist dem kombinatorischen 
Produkte der (n — m) übrigen Grössen des Systems gleich 
oder entgegengefetzt, je nachdem [AB] ^^ -f- 1 oder == — 1 
ist, d. h. 

^ jA^[AB]ß, 
wenn die n einfachen Faktoren von [AB] die n Grössen des 
Normalsystems find. 

Beweis 1. Für das System der ursprünglichen Einheiten 
ist diefe Beziehung in 89 als Definition feslgerclzt. 



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le») 131 

2, Ich zeige nun, dass, wenn diefe (durch Gleichung; * 
dargestellte) Beziehung für irgend ein Norinaisysteni a, b, 
c,- ■ ■ gilt, fie auch für jedes aus ihm durch circuläre Aenderung 
hervorgehende Noriualsyslem gelte. Es gehe durch circuläre 
Aenderung a in a^ ^i xa -f yh, b in bj =xh — ya über. Durch 
diefe verwandle fich A in Ai, B in B, ; fo ist zu zeigen, dass 
auch |A, =^[AiBi]B, fei. Da nun A und B zufammen alle Grössen 
a, b, ■ • ■ des Normalsyslcins und zwar fowohl A als B jede diefer 
Grössen nur einmal enthalten feilen, fo kommen a und b ent- 
weder beide in A, oder beide in B, oder eine in A und die 
andere in B vor. Wir haben schon in 156 bewiefen, dass 
das Produkt [«ibj] bei diefer Aenderung gleich [ab] bleibt; 
fomit bleibt in den beiden ersten Fällen fowohl A als B un- 
verändert, alfo bleibt dann auch die obige Gleichung, die nur 
A und B enthält, bestehen. Im dritten Falle fei a in A ent- 
halten, b in B, und fei A' die Grösse, die aus A hervorgebt, 
wenn man darin b statt a fetzt, und B' die Grösse, welclie 
aus B hervorgeht, wenn man darin a statt b fetzt. Dann 
unterscheiden lieh die kombinatorischen Produkte [A'B'] und 
[AB] nur durch gegenfeitige Vertauschung der beiden ein- 
fachen Faktoren a und b, folglich ist dann (nach 55) [A'B'] 
= ~[AB]. Ferner ist dann 

Ai = xA + yA', ßi ^ aB — yß', 
folglich 

lA, ^x|A ^-y|A' [101]. 

Da nun A und A' nur Grossen des Normalsystems a, b, ■ ■ ■ 
als einfache Faktoren enthalten, und B und B' die jedesmal 
übrigen, fo gilt (nach der Annahme) für lle die obige Glei- 
chung *, d. h. es ist 

|A^[AB]B, lA' = [A'B']B' = — [AB]B', 
letzleres, weil [A'B'] ^= — [AB] war; fomit ist 

|A, = x[AB]ß - y[AB]B' = [ABJCxB ~ yB') ^ [AB]B, , 

Endlich ist (nach 156) [A|B,] = [AB], indem die einfachen 
Faktoren von [AiBj] aus denen von [AB] durch pofitive cir- 
culäre Aenderung hervorgehen. Alfo ist 

|A, = [AiB,]B,, 
d. h. wenn die Gleichung * für irgend ein Normalsystem gilt, 
fo gilt Tie auch fQr jedes daraus durch pofilive circuläre 



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132 



(168 



Aeiidorung hervorgehende, ebeiil'o über auch für jedes dariiiis 
durch negative Aoiiderung hervorgehende. Denn die pofitive 
circuläre Aenderung, wie wir fie oben annahmen, wird (nach 
154) in eini3 negative verwandelt, wenn man das Vorzoiclicn 
von bi ändert, dann ändert fich auch das Vorzeichen von Bj, 
wubei die gefundene Gleichung bestehen bleibt. Alfo bleibt 
die Gleichung * überhaupt bei jeder circulören Aenderung düs 
Normalsystems bestehen, wenn fie für irgend ein Normalsystem 
gilt. Nach Beweis 1 gilt fie aber für das Normal^ystem der 
ursprünglichen Einheiten, alfo nun auch für jedes daraus cir- 
culär abgeleitete. Nun lässt fich aber (nach d61) jedes Nurmal- 
system, dessen numerischer Werth 1 ist, aus jenem ableiten, 
alfo gut die Gleichung für jedes Normalsystem, dessen nume- 
rischer Werth i ist. 

168. Alle bisher aufgestellten Sätze gelten noch, wenn 
man statt des Systems der Ursprung:;! ich en Einheiten ein be- 
liebiges vollständiges Normalsystem letzt, dessen numerischer 
Werth Eins ist. 

Beweis. Alle in den ersten drei Kapiteln entwickelten 
ßeclinungsgefelze gelten (nach HO) auch dann noch, wenn 
man statt lier n ursprünglichen Einheiten beliohige n in keiner 
Zahlbeziehung zu einander stehende Grossen erster Stufe fetzt, 
alfo auch, wenn man die Grössen eijies vollständigen Normal- 
systems einfetzt Ferner gilt ("nach 167) der ße^riff der Er- 



gänzung 
liehen h 
systei d 
Begriff 
entwi k 
ren I' I 
(liefe Sä 
liehen h 
Wert! En 



B 



^^ 



B 



IN 



» g 



iiiBprü g 
belieb! 
ist, olin 



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1*0) 133 

erleidet. Ea erscheint alfo der Begriff des inneren Produktes nur noch 
an den Begriff des Normal syate ms geknüpft, und diei tritt daher in 
den folgenden Entwickeliingen statt des Systems dei ur'jpiunghchpii 
Einheiten hervor. 

109. Das innere Produkt zweier Grossen ändert feinen 
Werlli nicht, wenn man statt des einen Faktors Teine nor- 
male Ziirückleitiing auf das Gebiet des andern felzl, d. h. 
[A|B] = [A|B'] und 
[B|A]=:[B'|A], 
wenn B' die normale Zurückleitung von B auf das Gebiet A 
ist (alTü A voT gle eher oder 1 oherer Stufe als B ist). 

Es fei A von t r bt f B von p-ter, das Hauptgebiet 
von n-ter, fu k n nan ( ad 163") ein vollständiges Normal- 
systeni ai'---aa f anneine iass m feiner Grössen, etwa 
a, ■ ■ - ■ am, in A 1 egen 1 fe erischer Werth 1 fei. Die 
p Faktoren voi B f d dann (nacl 157) aus ai---ao nume- 
risch ableitbar alfo Bas den null plikativen Kombinationen 
von a£- ■ an zir p len R! sso n ersch ableitbar. Diefe Kom- 
binationen feien B^, Bä,---Bq, B,.,.!, B„ wo Bi---Bq die 

Kombinationen aus a,----an, find; und fei 

B^jS.B. +....-f ^,B, + ^,+iB,+i-.--^A, 
fo find (nach 147 h. 168) [Ä|Bq|.i],- ■ -[AIB,] alle gleich null, 
da jede der Grössen Bq+i bis B^ folcbe Faktoren enthält, die 
in A nicht vorkommen, und diefe Grössen alfo der Grösse A 
nicht incident Hnd, alfo wird 

[AlB] = ^i[A|B,]+--.^qCABq] 
= [AjC|3,B^+--.-,9,Bq)]. 

Aber (nach 127) ist ß,Bj -\ /3qBy die Zurückleitung 

von B auf das Gebiet [ai^-am], mit Ausschluss des Gebietes 
tan,-[-i ■ ■ • a„] , letzteres Gebiet ist aber (nach 167) Ergänzung 
des ersteren; alfo ist ^SiBj -\-----ßq'Bq die normale Zurück- 
leitung von B auf das Gebiet [ai ■ • ■ -an,], d. h, auf das Gebiet 
von A, alfo gleich B' und fomit 
[A;B] = [Ä|ß']. 

Aus gleichem Grunde ist [BjA] = |,B'|A]. 

\10. Wenn man in einem inneren Produkte zweier 
gleichstufiger Grössen die eine auf das Gebiet der andern 
normal zurückicitet, und diefe Zurückleitung fo wie die Grösse, 



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124 Ct«l 

auf (leren Gebiet zurüekgoleitet ist, durch ein «nd dasfelbe 
Maass misst, dessen numerischer Werth Eins ist, fo ist das 
Produkt der beiden Messungs-Quolienten gleich dem gegebenen 
inneren Produkt, d. h. 

[A\S] = aß', wenn Ä = ttE, 
«nd die normale Zurückleitung B' von A auf B gleich ^'E, 
und der numerische Werth von E gleich Eins ist, 
Beweis. Wach 145 ist 

[AjB]=.[AlB'3. 
Es fei E ein Gebietslheil von A, dessen numerischer 
Werlh Eins ist, «nd fei A = aE, B'=^ß'E, fo ist [Ä|B'] 
^aß'lElE^^aß'E^ — aß', da E*=I ist. 

171. Wenn die Gebiete von A und B zu einander all- 
feitig normal find, und C eine beliebige Grösse von niederer 
oder gleicher Stufe wie B ist, fo ist 
[AB|AC]^Ai[B!C] «nd 
[CA|BÄ]^Anciß]. 
Beweis. Es fei ein Normalsystem angenommen, dessen 
Grössen fich auf die Gebiete A und B vertheilen, und dessen 
numerischer Werth 1 ist, «nd fei dasfelbe zu einem voUslän- 
digen Normalsysteme ergänzt; lo ist C aus den multiplikativen 
Kombinationen der Grössen jenes Normalsyslems (69, 77b) 
numerisch ableitbar. Es fei C^^yiCj + /jCi +- ■ ■ , ferner 
fei A =^ ctA, , B ^ ^Bi , wo Aj , B^ kombinatorische Produkte 
der Grössen des Nornialsystems find, fo ist 

[AB|AC] = a^^[A,Bi|A,(j-iCi +Y2C2 + ■ ■)] 

= a'/3)'i[Ä,Bi!AtCi]-H((^;3/j[A,B,jA,Cj]H . 

Aber [AjBi|AiCJ ist, wenn Ai, Bi, C^ Einheiten höherer 
Stufe, d.h. kombinatorische Produkte der ursprünglichen Ein- 
heilen find, (nach 149) gleich [BijC,]. Dasfelbe findet aber 
(nach 168) noch statt, wenn jene Grössen kombinatorische 
Produkte der Grössen eines einfachen Normaisystems find, 
alfo in unferm Falle. Somit wird 

[AB|AC] -aVntBilC.] -f «VhlB.ICil +■ ■ ■ 
-«'iSLB.K/iC.+j-^C, +.-■)] 

Da nun Ar gleich 1 ist, weil A^ ein kombinatorisches 



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19») 



i25 

t, fo 



und 



die 



Produkt von Grössen eines einfaclien Normalsyster 
ist der gefundene Ausdruck 

= «=Mr[Bi|C] = taA0»[,3B.|C] 
^ AHB|C]. 
Auf gleiche Weife crgiebl fich die zweite Formel des 
Salzes. 

l'!2. Wenn A mit A von gleicher Stufe, B aber von 
gleicher oder hölierer Stufe wie B ist, und [AB] nicht ver- 
schwindet, fo ist 

M [ktlÄB] = [A'^plB] 4- [A,|^J[B,iB] +. . . 
(b) [B^iBÄ] = [B,B][^|A] + [B|B,][^]A,] +- ■ • • 
WO A, Aj,- ■ ■ - die multiplikativen Kombinationen aus der 
fachen Faktoren (erster Stufe) von [AB], und B, Bi,-- 
zu A, Ai,'-- ergänzenden Kombinationen find (fo dass alfu 
[AB] = [A.Bi] =- u. f. w.). 

Anm. Wenn nämlich A eine der multiplikativen Kom- 
binationen aus aj, as,--an ist, fo nenne ich diejenige multi- 
plikative Kombination B, welche die ßimmllichen in A nicht 
enthaltenen Elemente enthält, und mit einem folchen Vor- 
zeichen (+) verfehen ist, dass [AB] ^= [ajaj- -an] ist, die zu 
A orgfQnzende Kombination. 

Beweis 1. Es feien die einfachen Faktoren von fAB] 
alle zu einander normal. Da A von gleicher Stufe mit A ist, 
fo ist es aus den multiplikativen Kombinationen A, Ai,--- 
numerisch ableitbar. Es fei 

^ = ciA + a,A, +■-■, 
fo ist 

[AB AB] = [AB|((xA + «, A^ +---)B] 

= a[AB|Aß] 4- «,[AB|A,ß] 4----. 
Da nun (nach der Annahme) [AB] = [AjBi] =■ ■ ■ ist, fo 
erhalten wir den gefundenen Acsdruck 

= a[AB|Aß] +ai[AiBi|AiB] -\ . 

Da nun die einfachen Faktoren von [AB] alle zu ein- 
ander normal find, und identisch find mit denen von + [A,Bi] 
u. f. w, (nach der Annahme), fo ist A zu B allfeilig normal, 
und ebenfo Ai zu B, u. f. w. Folglich ist (nach 171) der zu- 
letzt gewonnene Ausdruck 

= aA'[B|jB] + ßiAi'[B,|B] -{-■■■. 



yGoosle 



126 H«« 

Nu« isl aber [A,i^] = [Äj(aA + «lAi H )] = a,K,\ 

weil Aj mit den zu ihm normalen Grössen A, Aj,- ■ ■ ■, aus- 
genommen Ar, iniieriich mnlliplicirt, null giebt (nach 147, 168). 
Alfü kann man in dem vorher gefundenen Ausdruck A^!^ statt 
OjÄpä Tetzen und jener Ausiiruck wird 

= [A14[B|B] + [A,U][B,|fl]+..., 
d. h, die Formel (a) gilt für unfere Vorausfetzung. 

2. Nun zeige ich, dass, wenn die Formel (a] für irgend 
eine Reihe von einfachen Faktoren gilt, aus denen [AB] be- 
steht, fie auch noch bestehen bleiben, wenn man diefe Faktoren- 
reihe lineal ändert (fiehe 71), d, h, statt irgend eines Faktors 
a fetzt a ~\~ ßh, wo b einer der andern Faktoren nnd ß eine 
Zahl ist. Hierbei behält fnach 72) das Produkt [\B], alfo 
auch die linke Seite unferer Formel, denfelben Werth. Be- 
trachtet man nun irgend ein Glied der rechten Seite, z, B. 
[Ar]^][BrB], fo können a und b entweder beide in A^ vor- 
kommen, oder beide in B^, oder eins in A^, das andere in 
Br In den beiden ersten Fällen bleibt fowohl der Werth von 
Ar als der von B, unverändert, alfo auch das betrachtete Glied. 
Im letzten Falle kommt noch ein anderes Glied [AjU][BJJ3] 
vor von der Art ! s A (iA^, im Uebrigen diefelben Fak- 
toren enthalte ur d ss wo das eine diefer Produkte den 
Faktor a enlhlit das andere den Faktor b enthalte. Dann 
stehen B^ und B d» f <, i e jedesmal dem A, nnd Ag fehlen- 
den Fitktoren e ll alten n lerfelben gegenfeiligen Beziehung 
zu einander. Es kon it lifo a in einer der Grössen Aj, und 
As vor; es m g i A vorkommen. Nun fei A' die Grösse, 
welche aus A 1 ervorgeht indem man darin b statt a fetzt, 
und B' die Grösse, welche aus B^ hervorgeht, indem man 
darin a statt b fetzt. Dann enthält alfo A' diefelben Faktoren 
wie Aj und B' wie B^; es find alfo dann A' und B' (nach 57) 
den Grössen A, und Bg entweder gleich oder entgegengefetzt. 
Da [A'B'] aus [A^Bj,] durch Verlauschung der beiden einfachen 
Faktoren a und b hervorgehl, fo ist Cnach 55) [A'B'] = — 
[A^BJ , und dies := — [A^Bg] (nach der Annahme). Wenn alfo 
A' = + A5ist, fo isl B'^ + Bg. Wenn man nun die lineale 
Substitution von a + /3b für a einführt, fo verwandelt fich 



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l>3) 127 

[AJ^PJB] + [A..l^][BJfl] = [A,U][B,!B] - [A']^][B'|B] in 

[CA, + ßA'M [B.'B] - [A'I4KB' + CßJiBl . 
weil nämlich B, iiiii! A' kein a cntlialt<!ri und alfo unverändert 
hleiben, während A^ in A^ -(- ßA' und B' in B' + ßB^ fich ver- 
wandelt. Alfo verwandelt fich jene Summe in 

IA,|^J[BJB] ~ [A'|4[B1BJ +ßlA'\A][B.[B]^ «AVJPJfl]. 
{]. h., da die letzten Glieder fich aufheben, der Wertii jener 
Summe bleibt ungeändert. Es bleibt fomit die ganze recbte 
Seite unferer Formel bei jener linealen Substilution unge- 
ändert, indem die Glieder entweder einzeln ungeändert bleiben 
oder, wenn fie geändert werden, fich zu Gliederpaaren grup- 
piren, deren Summe ungeändert bleibt. Da fomit beide Seilen 
der Formel bei linealer Substitution ungeänderl bleiben, fo 
bleibt die Formel, wenn fie für irgend eine Faktorreihe gilt, 
auch hei deren linealer Aenderung bestehen. 

3. Es fei endlich die Fakterreihe a, b, ■■■■ eine ganz 
beliebige, doch ihr kombinatorisches Produkt [AB] nicht null, 
fo lässl fich (nach 163) stets eine Reihe zu einander normaler 
Grössen erster Stufe ai , a^,-' angeben, von der Art, dass 
fai) ■ • ■] = [a^aj- ■ ■]. Dann lässt i'ich aber (nach 76) die 
Grössenreihe a, b, -•- aus a,, Bj, ■■■ durch iineale Aenderung 
ableiten. Nun gilt nach Beweis 1 unfere Formel für die Reihe 
der zu einander normalen Faktoren ai, a^,---, alTo nach Be- 
weis 3 auch für die durch fortgefetzte Iineale Aenderung daraus 
hervorgehende Fiiktorreihe, alfo auch für a, !),■■• d.h. all- 
gemein, 

IIS. Wenn A und A von gleicher Stufe find, ebenfo 
B und B u. f. w,, endlich L und ^, M aber von gleicher oder 
höherer Stufe ist wie ili und [AB- ■ 'LM] ein nicht verschwin- 
dendes kombinatorisches Produkt von Grössen ersler Slufe ist, 
fo ist 

[AB----I.M:^ß---.^Mj 

^ Z'LAa l^j [Bb jß]"-"'"'-' 4LpjTM^!Äfi", 

wo [AaBb LiMin] diefelhen einfachen Faktoren enthalt wie 

[AB---LM], nur in anderer Folge, doch in der Art, dass 
beide Produkte einander gleich find, wo ferner A« eben fo 
viel Faktoren enthält wio A, Bh wie B u. f. w., und wo endücli 



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128 (1«8 

die Summe ficli auf alle möglichen verschiedenen Ausdrücke 
diefer Art bezieht, To dass nämlich AjBt, ■ ■ ■ -LiMni und Aa'Bi,' 
■ ■ ■ -Li'Mm' als verschiedene Ausdrücke gelten, wenn wenigstens 
eins der Grössenpaare Ag und Aa^, Bu und Bb-,---- aus zwei 
Grössen besieht, die in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehen. 

Beweis 1. Für zwei Faktoren ist der Satz in 148 be- 
wiefen, wir können nämlich die Formel 172 auch in folgender 
Weife schreiben 

'^ [ABMB]=Z[A.lJ][Bh|B]7 
wo AaBb die im Satze dargestellte Bedeutung haben, welche 
mit der Bedeutung der Grössenpaare AB, AiBi,--- in 172 
zu fammen fallt. 

2. Durch wiederholte Anwendung des Satzes für zwei 
Faktoren gelangt man zu dem Satze für beliebig viele Fak- 
toren. In der That kann man das Produkt [AB----LM] zu- 
nächst als aus den zwei Faktoren A und [BC- ■ LM] bestehend 
anfehen. Dann wird 

[Aß. ■ ■ -LMI^B- ■ -^M] = [A(8C- ■ -LUyAiBr- ■ -JMy] 

= Z"[Aa|^][CBC---LM)i,|Br----^Mi," 
wo der Index b unter der Klammer andeuten foll, dass der 
in der Klammer stehende Ausdruck als Eine Grösse, gemäss 
der Formel' *j behandelt werden foll. Der gefundene Aus- 
druck ist aus demfelben Grunde wieder 

= 2^[Aa|^][Bb:ß][(CD- ■ ■LM3.!r^- - ■^M]7 
und fetzt man dies fort, fo erhält man ihn zuletzt 

= XrM4IE|5] [_L;2]liLm- 

Anm Die gefaminte ^chaai der biuosciireihi, Aa, Bb ■ ■ ■ Mm kann 
man auf folgende Weile kombiiiatoiisch entwickeln; Man betrachtet 
die einfai,hi,n taktoien des Pioduktes [AB ] als kombinatorische 
Elemente, entwickelt aus ihnen die muliiplikfitivcn Kombinationen 
zur fo vielten Klasse, als die StufL von Ä betiagt, fo erhält man die 
Grossen Ab, zu jeder derCelben entwickelt man die raultiplikativen Kom- 
binationen aus den m ihr nicht \oikommenden Elementen zur fo viciten 
Klasse, als die fatufi. lon ß betragt, to eikiit man zu jedem A» die 
rämmtlichen zugehörigen Grossen Bb und lo tort, endlich die letzten 
diefer multiphkativeu Kombinationen, die zu der Grösse M gehören, 
letzt man gleiih ^ Mm, 'Kobei man dis 1 orzeichen fo bestimmt, dass 
[AaBb • Mml = [AB M] wild Zum Beispiel, wenn A = ab, B = cd, 



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= M = e ist, £o erhält man folgende Schaar von je drei Grössen, 
1 denen jedesmal die erste eine Grösse Aa, die zweite eine ange- 



ge Giiisso Bb, die dritte die zu beiden gehörige Gross 


Cc dar 


., cd, e 


ad, bc, e 


bc, ad, e 


be, ae, d 


ce, ab, 


>, ce, - d 


ad, be, — c 


bp, ae, ~ d 


be, ad, — c 


ce, ad, 


a, de, e 


ad, cc, b 


bc, de, a 


be, cd, a 


ce, bd, 


, bd, -- e 


ae, bc, — d 


bd, ac, -e 


cd, ab,:e 


de, ab. 


, be, d 


ae, bd, c 


bd, ae, c 


cd, ae,:-b 


de, ac, 


, de, ~ b 


ae, cd, — b 


bd, ce, — a 


cd, be, a 


de, bc, 



[AB- ■■ {AB- ■■■} = 



nH:. Ziifatz. Wenn in dem inneren Produkte [AB- - ■ 
\AB- ■■] die Grössen A und A von gleicher Stufe Tind, ebenfo 
B und B und fo fort, fo ist 

tA'B'.-.] 
-[AB--.-]' 

wo A' = X[AJ^]A„ B' = XWr|-B]B I v l o die 

A, die multiplikativcn Kombiuiitionen iis de e f cl n Fak- 
toren dos äusseren Proiiuktes [AB-- ] z r f o v elte Klasse 
rind, als die StuTenzahl von A beträgt und entspreche d die 
B^ n. f. w. 

Beweis. Nach 173 ist ^^_^__^ 

[AB ■ ■ . - I^B - ■ -] -=Z"[AJ-4][B^|B] ■ ■ ■ ■ , wo 
[A,Bb---] = [AB----] 
ist, mit den iiähereii in 173 angegebenen Bestimmungen. 

Da nun A mit A von glelclier Stnfe ist, alfo auch Aj. mit 
A, fü ist (nach 141) [Aaj^] eine Zahl und aus gleichem Gnmde 
[Bbl-B], u. f. w. Folglich können wir statt J^[AaM][Bb]B]- • - 
schreiben 



=1' 



[A.MIB i.|B]-.-[A.Bi,...i 



[A.B,....] 
Alfo, da [A.Bb---] gleich [AB-.-] ist, 

= Z[A.W[Bi|-B]-.[A.B...]: [AB • • ]. 
Oder, da (nach 46) die Zahlfaktoren beliebigen Faktoren eines 
Produktes zugeordnet werden können, 

= ZC[A:M]A.-[Bb|B]Bb---): [AB- ■]. 

Hier enthält Cnacli 173) jedes Produkt [A^Bt ■ • ■] diefelben 

Faktoren erster StuTe wie [AB---], alfo enthält in jedem der- 

felben A» andere als Bb, u f. w. Da nun aber die Produkte, 

in denen A», Bb,--- gleiche Faktoren erster Stufe enthalten, 



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130 (17S 

null find, fo küiineii wir diere Produkte z« dem obigen Aus- 
drucke liiiizufügen, und crlialten dann denlclben (nach 45J 

IIS. Das innere Produkt zweier Grössen in-ler Stufe 
A und B, deren jede aus m einfachen Faktoren besteht, ist 
gleich der Determinante aus m Reihen von je m Gliedern, 
die man erhält, indem man nach der Ordnung jeden einfachen 
Faktor von A mit jedem von B zu einem inneren Produkte 
verknüpft, d. h. es ist 

[abc- ■ -[a'h'c'- ■ ■] ^= Determ.j'tala'], [ajb'], [a'c'], ■ ■ 
pyi [blb'l, [blc'j... 
[c|a'], [c!b'], [cic'],-. 



= Z+C«M-'-), 

^0 «=[a|a'], a, = [&\b'l a, -- [alc'],. ■ - 

Y = [«ja'], Yi = [c|b'], ri ^ [c|c'], ■ ■ ■ 
. f. w. 

Beweis. Nach 174 isl 

10 »,=[ayia + [b(a']b + [c[a']o + .-- = o« + (!l) -\-YC+--- 
Ii,=[a|b1a + [blb'lb + ro,'b']c+ ■ ■ • =«,» + ftb + ).,c + . . ■ 
c,=[»lc']> + [b|c'lb + [c|cao+ . • ■ =i,,a + ftb +,,c+ • ■ • 



isl. Aber nach 63 ist 

[(oa+()b+)'C + .0(n.a+ftb+)',c+-OCo.a+ftb+|',c+.0.. 

= Z+W.)'.--0-[»i>c--]. 

Alfo 
, , I ,,„ , , [»ibiCi---] „ Z-f WiC. ■ ■ -labe- ■ ■] 
[,bc...|abc...)=-p5j:7:Y [abc— :j 

= Z+C«ftr.-0. 

116-119. Zufälze. Ins Betonilere isl 
11«.-[ab|a'b'] = [a|a'][bM — [a|b')[a'|bl, 
l'71--[abl'=a'b>- [aJb]', 



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178-.taIicP^a'b^c-'— a'[b[c] = — b^[c|fl]=-c^[a|b]^ 

+ 2[a|b][b|c][c|a], 
l-JÖ'-tabctij'^Determ. / a-', [a|bj, [a;c], [a[d] 
! [b|a], b', [b|c], [b|d] 
I [c|a], [c:b], c^ [c|d] 
l [m> im, [''l"], dS 
l80--[Bb|c] = [aIc]b — [!);c]a, 
181 • [abcjd] ^ [a;d][bc] + [b|(l][ca] + [c|d][abl, 
182-.[abcd;e]=[8Je][bcd] + [b|e][cad] + [c|o][abd]+[d|e][cba]. 
Denn in 180 bis 182 kann man den zweiten Faktor des 
inneren Produktes [c, d oder e) als Produkt betrachten, dessen 
zweiter Faktor 1 ist (alfo c-1, d-1 oder e^I), und kann dann 
No. 173 anwenden; wobei man zu beachten hat, dass nach 
den Gefelzen kombinatorischer Multiplikation 

[ab] = — [ba] , [a ■ bc] = [b ■ ca] = [c ■ ab] und 
[abcd] = [b-cad] = [c-abd] = [d.cba] ist. 
183. "Wenn man aus einer Reihe von (n) Grössen erster 
Stufe die multiplikativen Kombinationen zu irgend einer Klasse 
bildet, und jede derfeiben mit der ergänzenden Kombination 
zu einem inneren Produkte verknüpft, fo ist die Summe dicfer 
Produkte null, d. h. 

[A|B1 + [A,1B,] +....=0, 
wenn A, Aj, ■ ■ die multiplikativen Kombinationen aus den n 
Grössen erster Stufe ai, 02,- ■•«'a i" irgend einer (m-ten) 
Klasse, und B, ßi,--'-dro ergänzenden Kombinationen find. 
Beweis 1. Es fei zuerst angenommen m ^> = n — m. 
Da nun A eine der multiplikativen Kombinationen von ai,' ■ ■ a„ 
ist, fo wird es die Form haben 

A=[.,n. 8.], 

WO r, s,- ■ -z beliebige m verschiedene unter den Zahlen 1 ■ • -n 
find. Da ferner B die ergänzende Kombination zu A ist, fo 
muss es als Faktoren diejenigen n — m unter den Grössen 
a, ■■ 'Bn enthalten, weiche unter den Grössen a^, ag,- ■ -ai nicht 
vorkommen. Es feien dies s^-, aj'----, au-, fo dass alfo B 
^=^(_— l^^L^r'^s'- ■ 'Su'] isl. Ferner muss das durch ( — t)P an- 
gedeutete Vorzeichen (nach 172 Anm.) fo bestimmt werden, 
dass [AB] = [a, - ■ ■ sj wird, d. h. dass 



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i32 (*»» 

* C™ IJPtHjflj- ■ -flunv- ■ -asvaa'- ■ -au'] = [aia^' ■ ■ ■a^^ 
ist. Von gleicher Form Tind die fämmlliclien übrigen Produkte 
[AijBi] u. r. w. Sollen die Kombinationen A, B, Ai, Bi,--- 
wollt geordnete fein, Tu hat man noch die Bedingungen hinzu- 
zufügen, dass r < s <c- ■ ■< u <: V -c.- ■ -SL. z und r' < s' -rr 
■ ■■<u' fei. Fügen wir diefe Bedingung hinzu, fo wird 

[A]B] -i- [A|| B.]+--- 

= XC-lP[M.'--au8v-a.|ar'a a„.]. 

Fassen wir hier a„ - ■ ■ -a, zu einem Faktor zufanimen und 
fügen dem zweiten Faktor des inneren Produktes au lutKler 
Stelle noch den Faktor 1 hinzu, fu wird die Bedingung von 
No. 173 erfüllt, alfo wird der obige Ausdruck 

** [A|BJ + [Ai|B.]+.-. _^_^ 

= Z{~ iy Klar'lfaja.] ■ ■ - [a.|a.] ■ [a„a„- -aj, 
wobei noch die Gleichung f'") heslehen bleibt, und auch die 
Bedingungen r' ^^ s' < ■ ■ ■ -l.- u' und v < w <■•■<;; z geltend 
bleiben, hingegen die Bedingung, dass r ■< s <r:: ■ ■ • <: u fei, 
wegfällt, und die Summe fich auf alle unter jenen Bedingun- 
gen mtiglichen Glieder bezieht. Ich zeige nun, dass in dieler 
Summe alle Glieder paarweife einander entgegengefetzt find, 
und fich alfo heben. Es fei irgend eins diefer Glieder betrach- 
tet, etwa 

C- i)n»ja,'][aja.'] ■ • • •[•.|«.0[«,»,.- ■•■».] 
WO die Indices bestimmte (von einander vorschiedenej Werlhe 
haben, die den obigen Bedingungen genügen, und wo nach 
dem Obigen p einen folchen Werth hat, dass die Gleichung 
(*) erfüllt wird. Da die Indices r, r', s, s',---u, u' alle 
von einander verschieden find, fo wird irgenil einer der kleinste 
unlor ihnen fein müssen, und unter den Produkten [a^jar'], 
[ajas'],- ■ ■ -[aujau'] wird irgend eins diofen kleinsten Index 
enthalten; es fei dies beispielsweife das Produkt [örlar^]. Dies 
angenommen, vertausche man r und r' und ändere das Zeichen, 
fo erhält man einen Ausdruck 

«^ C- 1? + '[ar'|aj[aja..]- ■ ■ ■[aulau^Jfa.aw- - -a,], 
von welchem ich zeigen werde, dass er gleichfalls als Glied 
in der obigen Summe (**) vorkommt, Sollte der Index r 
grösser fein als s', fo gebe man dem Faktor [ar^la^] unter den 



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18») 133 

übrigen Faktoren [aja^']' ■ ■ -[aujan-] eine Tolche Stellung, dass 
die Bedingung erfülU wird, vermöge welclier der zweite Index 
in jedem dieser Faktoren kleiner fein foU als der zweite Index 
des iiächäl folgenden Faktors. Ich will annehmen, dass diefe 
Bedingung erfüllt fei, wenn man ,den Faktor [ar'jaj um q 
Stellennach rechts rückt, was gestaltet ist, da alle diefe Fak- 
toren Zahlen find. Es ist nun noch zu zeigen, dass anch die 
durch Gleichung (*) ausgedrückte Bedingung für das fo her- 
vorgehende Glied gilt, d. h. dass fie noch hesteken bleibt, 
wenn man in ihr p -f- i statt p fotzt, auf der linken Seite 
ar' mit a^ vertauscht und diefe beiden Faktoren um q Stellen 
nach rechts rückt. Das Produkt, welches auf diefe Weife aus 
C — l)'tara3- ■ -a„av- ■ -aaar'a,'- ■ -au-] hervorgehl, beissel P; fo ist 

P = (— i)p M[a,,a,---Buav-- -a.a^a,.- ■ -a«.] 
Denn man kann in diefem Produkte P die Faktoren a^ und 
ar' gleichzeitig wieder um 9 Stellen zurückrücken, ohne dass 
fich (nach 58) der Werlh des Produktes ändert. Ferner ist 
der letzte Ausdruck (nach 55), indem man a, und ar- vertauscht, 

= _ (_ i)p+'[a,a,-auav • ■ -a^ar-a,- ■ -au'] 

^= [ajaj • ■ ■ aj [nach *]. 

Alfo P = [aiaj----a„]. Alfo ist jener Ausdruck (***) 
allen Bedingungen unterworfen, denen die Glieder der Summe 
(**) unterworfen find, ist alfo, da jene Summe alle Glieder 
enthält die jenen Bedingungen genügen, felbsl ein Glied jener 
Summe. Dies Glied hebt fich nun mit dem zuerst betrachteten 
Gliede auf; denn 

(- l)P[a,!a,,][a>,.]- . .[a.|a„-][a.a,v- ■ ■«.] 

+ C- O^'-'-^LaWarlLi'jB,.]. ■ -[a^ja.^Iavfl^- ■ -a.] 
ist null, da ^aj = [a^V] ist (nach 144) und (—1)^+1 
= — ( — 1)^ ist. Aber auf diefelbe Weife, wie aus dem ersteren 
diefer beiden Glieder das letztere hervorgeht, geht aus dtefem 
jenes hervor. Und auf gleiche Weife findet fich zu jedem 
Gliede jener Summe ein ihm zugepaartes, welches fich mit 
ihm aufhebt; alfo ist jene Summe null, alfo auch das diefer 
Summe gleiche 

[A!B]^[AJB,l+....=0, 



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J34 fiS* 

2. Wenn m ■< n — m ist, fü ist (nach 150), wenn noch 
mfn — m — l) = c gefetzt wird, 

im + [A,^B,] + ■ - ■ -c- i)";[B|A] -h c- iri[BijA,] + ■ . ■ 

= (-1H[B:A]-|-[Bi|A,] + ..-0[98]. 

Hier ist {nach Beweis i) dio in Klammer geschlossene 
Summe 0, alfo 

[A|B] + [AJBJ +...=(- O-im = [89], 

184. Zufatz. Wenn man aus einer Reihe von 4m 
Grössen erster Stufe Si-'-a^ja 'ü^J rammtüchen multiplikativen 
Kombinationen A, B, C--- zur 3m-ten Klasse, weiche eine 
diefer Grössen, z. B. ai enthalten, bildet, und jede derfelbcn 
mit der crgfänzentlen Kombination zu einem inneren Produkte 
verknüpft, fo ist die Summe (iiefer Produkte null, d. h. 

[A|A'J + [B|B'J+..-- = 0, 
WO A, ß,--' die multiplikativen Kombinationen aus ai,-'-- 
Bin, zur 2m-tcn KIssse, welche ai enthalten, und A', B',-'- 
deren ergänzende Kombinalionen find. 

Beweis. Da A, B,--- die lammtlichen a, enthaltenden 
multiplikativen Kombinationen aus 4m Elementen zur 2m-ten 
Klasse find, fo find ihre ergänzenden Kombinationen A', B', ■ ■ - 
die fämmllichen Kombinationen aus denfelben Elementen zu 
dcrfelbcn Klasse, welche ai nicht enthalten. Ferner, da die 
Stufonzahlen von A, B,--A', B',-- gerade find, fo ist (nach 
rjö) [AA'J = [A'A], und alfo (nach 172 Anm.), wenn A' dio 
ergänzende Kombination von A ist, auch A die ergänzende 
Kombination von A', und cbenfo ß die von B', fomit (nach 183) 
[A|A') + [BjD'I +■•■.+ [A'jA] + [B'|B] + . . . = 0. 

Aber Cmch i44J [A|A'] = [A'|A], [B|B'] = [B'IB]- ■. 

Alfo 

2[A|A'] + 2[BIB'] J =0, il. Ii. 

[A|A'] + [BjB'l -l =0. 

188-181. Zufalae. Ins Bofondcrii ist 
185. [ab|ccl] + [acldli] + [adlbc] =0, 

180. [ablc] + [bc]a] + [oalb] = 0, 

187. [abc|.l] — [bcd|a] + [cda b] — [d«b|c] = 0. 



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§. 4, Besondere Sätze über die innere Multiplikation zweier 
Grössen erster Stufe. 

188. Die Bedingiingsgleiciiiingen für die innere Multi- 
plikallon zweier Grösse» erster Stufe find 
Ca) [e>J=0, wenn r ^ s, 
(l>) [e.je,] = [e,]ej = ■■■, 
und zwar gelten diefelben auch, wenn man statt der Einheilen 
ei, e2,-'-e„ ein heliebiges vollständiges Normalsystem futzt. 

Beweis. Die Geltung der beiden Gleichungsgruppen für 
die Einheiten ist in No. 142 bewiefen, Alfü gelten fie (nach 
i08} auch für jedes einfache vollständige Normalsyslem. Sie 
gelten aber auch für jedes beliebige vollständige Noriiialsyslom. 
Denn find a, b, zwei Grössen desselben und ist X der nume- 
rische Werth des Nernialsystems, fo dass a^:^a', h^kh' 
gefetzt worden kann, wo a' und b' den niJmerischen Werth 1 
haben, fo ist [a'jb'J^O, alfo auch [Aa'Mb']--0, d. h. [a|b] 
= und [aia']-=l, alfo [a|a] = [^a'|^a'] =- P[a'|a'] =P. 
Ebenfo [b|b] ^A^ alfo [a';a] = Llilb]. Zu zeigen ist noch, dass 
die beiden obigen Gruppen die vollsländigen Bestimmungsglei- 
chungen entliallen, d. Ii. (nach 4*5) dass zwischen den Pro- 
dukten [ejcj] keine andere Zahlbeziehung herrscht, als eine 
aus jenen beiden Gruppen ableitbare. Es lassen fich vermöge 
der beiden Gruppen alle Produkte [ei.|ej, fofern r gleich s ist, 
gleich [e,|eiJ fetzen, während fie versehwinden, fobald r von s 
verschieden ist. Hat man aUo irgend eine Bedingungsgleicbung 

^ä^~[ß,le,] ^ 0, 
fo verwandelt fie fleh in 

iill'o, da [6,jei] gleich 1 ist, in 

Ist aber letzteres der Fall, fo geht die Gleichung 

schon aus den obigen beiden Gruppen hervor, fomit enlhaUen 
jene beiden Gruppen das vollständige System der Bestiminungs- 
gleichungen. 

Anm. Für diu innere Multiplikation zweier beliebiger ürösacn 



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136 (■«» 

von den Stufen p und q {q >- = p) igt daa System der Bestimmunga- 
gleicIiuiTgen in den beiden Glcichungsgriippen entlialten: 

(a) [E|F] ^0, wenn E nicht mit F incidcnt ist, 

(b] [E|EG] = [E'I&G], woE, F, G, E' kombinatorieclie Pro- 
dukte der ursprünglichen Einheiten had, E, E' von p-ter, F, [EG] 
und [E'G] TOn q-ter Stufe und die letzteren beiden nicht null find. 

189. [a;b] = [b|a] (spccieller Fall von Wo. 144). 

190. Bs ist 

[(a,a, + a,a, + ■ ■ • )|(M + j?,a, + ■ ■}] 

=:aij5iar' +■ a^iä^aa- , 

wenn «i, aj,--- zu einander normal find. 

Uewels. Denn wenn aiai-hOTia^ -f.-- mit ^a,.a^. und 
ßja -f ß-i^i -!-■■■ mit ^ß,.a^ iiuzeiclinet wird , fu (äI 

[(ß.ai + a,-ä, + - OK M+jS.a. -l---)] = [X^JI^ßJA 
= Z<xM^r:^J [42] 

weil a, und a,, wenn r von s verschieden ist, nach der An- 
nahme zu einander normal find, alTo (nach 188) ihr inneres 
Produkt null ist. Der letzle Ausdruck ist aber 

= 2^«,i3a' =ßijSiar' + as|3,a^' -f . . .. 

191. Es ist 

[Cß,a, + a,a, + -- KM + iS^a, +■ ■)]=«.ft 4-«.i?ä + - •, 
wenn ai, aar"" ^'i einfaches Normalsystem bilden. 
Beweis. Denn nach 190 ist 

[(Ciai + a^a, +• ■ -)(fta. + p^a^ 4---)J 

aber, wenn aj, a.;,--- ein einfaches Normalsystein bilden, fo 
ist aj =^ a^ ^=' ■ = 1 , alfo der gefundene Ausdruck 
= a,ß, + a,ß, -i----. 

192. Wenn a, , 32,- ■■ zu einander normal find, fo ist 
(^1 + "i +■■)" = a' 4- a^ + ■■■ 

Beweis aus 190. 

193. Es ist 

(a4-b)-' = a-' -f 2[a!l)] -f- b\ 
Beweis. Es ist 

(. + b)' = [(a + mCo + b)J 

= [>ia] + WliI + |l)|»] + [lj|b] [42], 



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i»6) 137 

alfo (nach 189) 

= a^+2[a|l)] + V. 
um. Es ist 

(a -f- b + c>' = a-' -1- 1)-' 4- c^ -f 2[b|c] + 2[c|a] + 2[a]b]. 
Beweis wie in 193. 
Anm. Die Sätze 192—194 stellen, geometrisch gedeutet, den 
PytliagoräiscliGn Lehrfata nebst feiner Ei-weiterung für die Ebene wie 
für den Raum dar. 

§, 5. Einftihrnng der Winkel, 
193. Unter ^AB (Winkel AB) verstehe ich, wenn A 
und B von gleicher Stufe aber nicht null, und a und j3 ihre 
numerischen Werlhe find, denjenigen Winkel zwischen und 
n (diefe Gränzen mit eingeschlossen), dessen Cofinus gleich 
dein durch die numerischen Wertlie dividirten inneren Pro- 
dukte jener Grössen ist, d.h. ich fetze 

c«s.iAB = M £.AB = 0- -fr. 
aß 

Ferner verstehe ich, wenn a, b, c,-- Grössen erster 

Stufe find, und a, ß, r,- ■ ■ ihre numerischen Werthe, unter 



fin. (abc' ■ ■) ilen Ausdruck, welciier numeriscli gleich 

und nicht negativ ist, d. Ii. 

fin. fabC' ■ ■) ~^^= und numerisch ^= --7, 
aß: 

■]- 



[al.c-- 
aßy 



i.h 



a'ßY---' 
ISK». Wenn a, b Grössen ersler Slufe find, fo ist 

fin. (ab) = fin. ^- ah. 
Beweis. Denn nach 19.5 ist 

_[u6p_ a-'b-'-^[a;b ]' 



fin. ''(ab) = 



aT 
_«'^^_-[a|b]^ 



[)77] 



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138 (la-s 

Und da nach der Definition fin, (ab) nie negativ und /lab 
ein Winkel zwischen und n, alfo fin. -^ab auch nicht negativ 
ist, To folgt aus fin. ^(ab) ^= fin. ^^^ab, dass fin, (ab) = fin. 
^ab fei. 

197. [Ä|B]=a(5cos.'^AB, wenn A und B von gleicher 
Stufe und a und ß ihre numerischen Wertiie find. 

Beweis aus 195. 

198. [ab]-'= («^fin.'^ab)^ wo k und ß diu numcrisclien 
Wertho von a und b find. 

Beweis. Nach 177 ist [abj-== K^^'~[a|b]' 

= «=/3^-(;ojScos.^ab")^ [I!»7] 
= a'^ß\\ — cos.^^abj 
= a'|S2fin.=^ab. 

Aiiiii. In dierüii Formeln tritt der GegenXaU nwiaclien dem 
äusseren und iuiieren Pruduktu in einfachster Gestalt hervor. Wählamt 
das innere Produkt zweier Grössen erster Stufe gleich dem Produkte 
der numerischen Werthe iu den cofinus des Zwischen winkeis ist, fo ist 
das äussere Produkt derfelben, abgefehen vom + Zeiclien, gleich dem 
Produkte der nuraerisclien Werthe in den finus des Z wischen wiukels. 

199. Es ist 

[abjcd] ^^a/Sj-rffin. ^abfin. .^cdcos. C^ab-cd), 
wenn a, ß, y, 5 die numerischen Wertbe von a, b, c, d find. 
Beweis. Der numerisclie Werth vun [ab] ist ([ah]^)'' 
und der von [cd] ist ([cd]^)^, alfo ist (nach 1!)7) 
[äblcd] = C[ab]-' [cd]^)^ cos, (^ab- cd) 

= [(«^fin.^ ab)'dfin.,^cd)'']^cos.C^ab-cdJ [198]. 
Aber da das Prudukt a^fin.i^abj'finn, ^cd poHtiv ist, fii 
hebt fich das fortschreitende Potenziren dlefer Grosse durch 
2 und 1 auf, und es wird 

[ab|cdj =: a/3/Jfin. ^abfin.'^cdcos.C^ab-od}. 

200. Die normale Zurückleitung von A auf eine Grösse 
gieicber Stufe ß ist numerisch gleich Acos. ^AB. 

Beweis. Wenn A' die normale ZuvücUleitung von A 
auf B ist, fo ist Cnach 166) 

^, ^ [A |_BjB _ o^cos. ^AB.P ^ , ^^.^ 

^ ■"■ ---■ ' --^.^AB. 



yGoosle 



301. Wenn a, b, c,--- zu einander normal fiad, fo ist 
für jede aus ilinen numerisch ableitbare Grösse k 

h_ 

■ ^' 

wo H, a, §,■■■ die numerischen Wertlie von k, a, !),-■■ find. 

Beweis. Es fei k := xa -[- yb -|-- ■ ■ , fo erhalten wir 

durch innere Multiplikation mit a, da [bja] ii. f. w. null find, 

[a|k]-x[a|a] = xa= [\öi], 

,,ro ^ = ta!k]_c»<co£_^k 

= — COS. -^^ak. 
a 

Aus gleichem Grunde ist y = -;cos. ^bk u. f. w. Diefe 

Werthe von x, y, ■■- in die obige Formel eingefelztj giebt 

k^ — COS. .^ak'a -|- --t-cos. ^^bk-b +■ ■ •, d. h. 

k a , I I b , LI , 

— = — COS. ^ak -(- -g-cos, ^bk +■ ■ ■■ 

302. Wenn a, b zu einander normal und k und 1 aus 
ihnen numerisch ableitbar find, fo ist 

COS. i^kl^ cos.'^akcos.'^al + cos. -^bkcos. ^^bl-l- ■ -. 
Beweis. Nach 195 ist, wenn x, X, a, §,•■■ die nume- 
rischen Werthe von k, I, a, b,-.- find, 

;(-%os.ial + icos.ibl + -.)] POI] 

a- b- 

= -^eüS. .^akcos.^al -1- ärcos.^bkcos. ^bl -!-■■■, 

weil [a|b] u, f. w. null find. Da nun a* = a^, b^==|3^, u, f. w-, 
fo erhält man 

cos.i-kl=:cos.'iakcos.^al + cos.^bkcos.^bl -\ . 

Zufatz. Man kann diefen Satz auch fo ausdrücken; 
Stall eine Grösse erster Stufe (k) auf eine andere I zurück- 
zuleiten, kann man jene zuerst auf die Grössen eines Wormal- 
syslems zuruukieiten und dann die fo erhaltenen Zurück- 



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140 («03 

leilungen auf 1 zurückleilen, und diere letzten Zui-iickleitungon 
addiren, voraiisgefelüt, dass hierbei alle Zurüekleitungen nor- 
male Hnd. 

203. Wenn a, b,--- zu einander normal find, To ist 
für jedes aus ihnen numerisch ableitbare k 

1 = COS. =^ka + COS. ^^-kb -} . 

Beweis, Die Formel geht aus 202 hervor, wenn man 
l = k felzt. 

20ä. Wenn a, b,-- zu einander normal und k und 1 
aus ihnen numerisch ableitbar und gleichfalls zu einander nor- 
mal find, Fo ist 

0:=cos. "^akcos. ^ai 4- cos.^bkcos.iibl -!-■■■. 
Beweis. Die Formel gehl aus 202 hervor, wenn man 
^Ik = 90 " felzt. 

2«5. Wenn » + b-\ =0 ist, und a, ß,--- die 

numerischen Werlhe von a, b,--- find, fo ist 

a) a: ßi- ■ • • = fin. a' : fin b' : ■ ■ ■ , 
wo a', b', ■■ die zu a, b,'-- ergänzenden Kombinationen aus 
a, b,- ■ ■ find, 

bj ßcos.^ax -[- j?cos. .i-bx -f-. . - = 0, 
wo X eine beliebige Grösse ist, 

c) fin.a'cos, ^ax -J- fin.b'cos.<^bx -f - - . ■ =0. 
Boweis 1, Multiplicirt man die Gleichung 
a -f- b + . ■ ■ ^ 
kombinalorisch mit cd----, fo erhalt man 

[acd- - -] + [bcd. ■ -] ^0, alfo [acd- -j^^ [bcJ. -]', 
wo [acd- ■ -] das Produkt aller Grössen a, b, c,- - -, mit Aus- 
nahme von b, und [bcd- - ■] das Produkt aller Grössen, mit Aus- 
nahme von a, ist. Somit ist (nach 195) 

[a/tf-.O'fin.'lacd-] -f- (i^j-^- ■ ■)^fin.'[bcd- ■■]=0, 
oder a^fin,'[acd- ■ ■] ^^^ß^Sia.\bc(\- ■ ■]. 

Nun ist cad- ■ ■ die ergänzende Kpmbinalion zu b, alfo ^= b', und 
bcd- • ■ die ergänzende zu a, alfo ;= a', alfo fin.b' = fin.(cad. -} 
undfin,a'^=f!n,(bc(l- ■), alfo, da «, ß, fin.a', fin.b' pofitiv find, 

ann.b' = j?rin.a', d. h. tt: ,3 = fin.a': fin.b', 
und fomit allgemein 

a:ß:-.- = fin. a' ; fin. b : ■ - . . 



yGoosle 



»11) 141 

2. Multiplicirt man die Gleichung a 4-.'' H — =Oiniier- 

lich mit einer beliebigen, von null verschiedenen, Grösse erster 
Stufe X, fo erlialt man 

[a|M + [bN-F---=0, 
alfo wenn | der numerische Werth von x ist, ist 

a|cos.iiax + j5|cos.^bx -1 =0, d. h. 

«COS. ^ax + ß COS. ^bx -| =0. 

3. SubsUtuirt man in die fo erhaltene Gleichung die vor- 
her gewonnenen Werlhe von a:ß:y ■■■•■, fo erhält man 

fin.a'cos.^ax -f- i'in.b'cos.'^bx -f ■ ■ . . =0. 

A nm. Die entwickelten Formeln liaben nur dann eine Bedeutirag, 

wenn zwisclien den Grössen a, b, ■ ■■ keine andere Bezieliung Iierrselit, 

fils die darcli die Clei'hung &-J" ^4- dargestellt iat, d.h. wenn 

G k m G ederer als Cn- l)ter 

8 g F G erste den bekannten 

m D die Hnus der Gcgen- 

206— 13 A F n , 175- i78, 184, 

18d ergeben fich mit Hülfe der angegebenen Winkelbozeicli- 
nungon folgende Formeln: 

20«. (in. ^AB ■ lin. ^^Bcos. (^ AB ■ Aß) 

= Xcos. ^jM OS. ^B^, 
wo Aj. die Kombinationen aus den einfachen Faktoren von 
[AB], zur fo vielten Klasse, als die Stufe von A beträgt, und 
Br die ergänzenden Kombinationen find. 
207. nn.(abc- Ofin.Ca'b'c- ■)cos.(.^Hbc' ■ -a'b'c'- ■ 
^^ De!crm. f cos.-i au', cos.--ab',- ' ■ 
J cos.'^ba', cos.'i-bb',- - • 

( ■ 

308. fin.abfin.cdcos.C^ah-cd) 

= cos.accos.bd — cos.bcoos.ad, 
und wenn hier a und c statt c und d gefetzt wird 

209. fin. Bbfin.accos.C—ab-ac) ^^eos.hc — cus.abcos.ac, 
eine bekannte Formel der sphiirischen Trigonometrie, ferner 

210. rin.=ab = l — cos.'ab, 

was hier als die Transformation von 177 mit aufgeführt ist, 

211. fin. ^[abc] -^^ i — cos. ^bc — cos.^ca — cos. 'ab 

4- 2cos.bccos.ca COS. ab. 



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213. fin.Afin.Bcos.^AB 4- fin.Aifin.BiCas.^AiBi -| 

wenn A, Ai,- • die Kombinationen aus 2n Grössen erster Stufe 
zur n-len Klasse, und B, Bi,--- deren Ergänzungen find. 

213. fin, abfin. cdcos.f^ab ■ cd) -ffin. ac fin, bd cos.Ci^ab ■ cd) 

-(- l'in.adfin.l)ccos.C^ad'bc) = 0. 
Ann), Ebenfo würden Tich die übrigen Formeln aus §. 3 babcn 
[übe dj 
umgestalten lassen, wenn man noch ^~ä~!i~ = "^^^^ ^abcd gesetat 

hätte u. f. w. 

aia-21S. Ferner aus 193, 194 ergiebt fich. 

214. Ca +i))'- = ((^ -f- 2ß|Scos.^al) -[- ß'\ 

215. (a + b + c)i = a^4-(3^-f /^ + 2f5^cos./-bc 

-f- lyacos. ca + 2a§ cos, ab , 
wo a, ß, Y die numerischen Wcrlhe von a, b, c find. 

^id}!. 5. ^niumlmimni auf &ic 6conirtm\ 

g. 1, Addition, Subtraktion, Vervielfachnng und Tlieilung 
von Punkten und Strecken. 
216. Erklärung. Wenn ein Punkt E und drei gegen 
einander fenkrechte und gleich lange Linien als ursprüngliche 
Einheiten angenommen find, und a, a,, Kj, «j beliebige Zah- 
len find, fo verstehe ich 

a) «nier 

E 4- KjCi 4-ajO, + a^ii^ 
den Punkt A, zu welchem man gelangt, indem man von E 
aus zuerst um eine Strecke EB forlschreitet, welche gleich 
a,ej ist, d, h. welche mit ei gleich oder eiitgegengcfetzl ge- 
richtet ist, je nachdem «i pofitiv oder negativ ist, und deren 
Länge fich zu der von e, wie a^ zu i verhall, dann von B 
aus um eine Strecke BC, welche in demfelben Sinne gleich 
(tjCä, und endlich von C aus um eine Strecke CA, welche in 
demfelben Sinne gleich «303 ist, fortschreitet, 

b) zweitens verstehe ich dann unter 

ctiOi + «sOä -f- «363 
eine Strecke, d, h. eine gerade Linie von bestimmter Länge 
und Richtung, und zwar diejenige Strecke, welche gleiche 



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81») 143 

Länge und Richtung hat mit der von E nach dem Punkte 
E + «161 + Ojej -(- «363 gezogenen geraden Linie, 
c) drittens unter 

«(E+a^ei + a,e, -\- a,e,-) 

= aE -{- naiCi •}- ßö^ej + ««3^3 
das K- fache des Punktes E + ßiei + «2^^ + a^e^, und 
fetze fest, dass für alle diele Grössen und ihre Verknüpfungen 
die in Kap I gegthentii Bestimmungen, und alfo auch die 
daraus abgeleiteten Satze gelten 

Anm Gidascn eister Sliife lind allo hier die einlachen und Mel- 
fachen Punlite und die &trecken Ton bestimmter Länge und Richtnng. 
Durch die EiUUningcn m § 1 ist dann die Addition, Subtraktion^ 
\ ervielfachune: und Theiiung diefer Grössen bestimmt, und durch die 
Satze in § 1 die Oeltung der algebiaiiuhcn ^eiLnüpfungagefi-tBc lur 
£ie nacbgew lefcn und m dtii tolgenden §§ die belonderen Eigenachafton, 
welche ihnen als eitL-nfnen Gidssen lukomniLii Wir leiten hier im 
nichst aus diekn formUkn Beatimmungen die Konstiuktionen ab, 
duich weldie die Eefultdte oei veifchiedenen Verknüpfungen Lrlulgt,n 

217 Wenn A = E + «,e, + a,ej + a^e^ ist, fo find 
OjCi, Cjei , «jCa die fenkrechten Projektionen (normalen Zu- 
rü eklet tun gen) von EA auf die 3 von E ausgehenden mit Cj, 
^2f 63 gleichgerichteten Axen. 

Beweis folgt unmiUeibar aus der Definition, 

218. Lehrfalz aus der Geometrie. Gleichgerich- 
Icle Strecken, auf diefclbe gerade Linie fonkrecht projicirl, 
liefern gleichgerichtete Projektionen, die fich ihrer Länge nach 
wie die projicirten Slrecken verhalten; und umgekehrt, wenn 
die fenkrechten Projektionen zweier gerader Linien auf drei 
gegen einander fenkrechte Axen gleich lang und gleich ge- 
richtet find, fo find die projicirten Linien felhst einander gleich 
lang und gleich gerichtet, 

210. Lehrfatz aus der analytischen Geometrie. Wenn 
A, ß, C drei beliebige Punkte einer geraden Linie find, und 
AB, BC, AC durch ein Slück DE diefer Linie gemessen, be- 
ziehlich die Quotienten ß, ß, y geben, wobei jeder Quotient 
pofitiv oder negativ genommen ist, je nachdem die gemessene 
Linie mit der messenden (DE) gleich oder entgcgeiigeletzl 
ist, fo ist allemnl 



yGoosle 



144 (»«O 

was man auch, der KOrze wegen, schreiben kann 

AB + ßC = AC. 
220. Mehrere Strecken (von gegebener Richtung und 
Länge) addirt man, indem m'in fie ohne ihre Richtung und 
Länge zu ändern, stetig an e nnd i I gl 1 h. fie fo legt, 
dass wo die eine aufhört de näcl st folgen Ic anfängt, dann 
ist die gerade Linie von Aifa g&pu kt i r c sten zum End- 
pnnkte der letzten der gefuU ten (s i e gl et hng und gleich- 
gerichtet. 

Beweis. Erstens für 2 Strecken a nud b. Es fei 

a = aiei 4- «iCi + ^3^3, 

b=j3ie, +(?iOi + ß^o^, 
alfo (nach 6) 

a + b = («1 + j3i>i + C«. + ß2>, + (% + ß,)e,. 
Ferner i"ct E -[- a = A, E + b = ß, E -f (a -f b) — C, fo ist 
(nach 2i6) die gerade Linie EA mit a gleich lang «nd gleich- 
gerichtet, ER mit b, EC mit a -}- b. Endlich fei FG mit EA 
gleich lang und gleichgerichtet und GU mit EB, fo ist zu 
beweifen, dass FH mit EC gleich lang, und gleichgerichtet 
fei. Da FG mit EA gleich lang und gleiciigerichlel ist, fo 
gilt dies (nach 218} auch für ibre Projektionen; nach 217 find 
aber die Projektionen von EA gleich und gleichgerichtet mit 
«iCi, «262, «363, foniit gilt dies auch von den Projektionen 
von FG; aus gleichem Grunde find die Projektionen von GH 
gleich lang und gleichgerichtet mit i^jCi , ^^e^, ß^e^. Es feien 
nun Fj , Gl, Hj die Projektionen von F, G, H auf die von 
E ausgehende mit Ci gleichgerichtete Äxe, fo ist alfo FiG, 
mit a,ei gleich lang und gleichgerichtet, GiHi mit |9ie,, d. b. 
FiG, und GiHj liefern, durch Oj gemessen, die Quolienten a, 
und (3,, fomit liefert (nach 1I<)), da Fj, Gi, H, in Einer ge- 
raden Linie liegen, FiHi, durch e^ gemessen, den Quotienlen 
«I -{- ßij ^- ^- ^iHi ist mit («£ -f- /^i]i'i gleich lang und gleich- 
gerichtet. FiHi ist aber die Projektion von FH auf die durch 
E in der Richlnng von Cj gelegte Axe. Wendet man diefelhe 
Schlussfülge auch auf die übrigen Axen au, fo orgiebl fich, 
dass die Projektionen von FH gleich lang und gleichgerichtet 
find mit (et, -{- ßi)^^, (% ^^sX, («a +ßi)>h, d. h. mit dtm 



yGoosle 



«»I) 145 

Projektionen von EC, fornit isl (nach 118) FH mit EC gleich 
lang und gleichgerichtet, d. h. mit a -j- b, was zu beweifen war. 

Zweitens. Hat man nun mehrere Strecken a, b, c u. 

r. w., und ist a mit FG, b mit GH, c mit HI, u. f. w. 

gleich lang und gleichgerichtet, To ist nach dem ersten Theil 
des BeweiTes a -(- b mit FH gleich lang und gleicbgerichtel, 
alfo auch wieder, da a + b mit FH, und c mit HI gleich lang 
und gleichgerichtet isl, n -|- b + c mit FI, u, f. w. 

221. Das Produkt einer Strecke a mit einer Zahl et ist 
wieder eine Strecke (b), welche mit der ersleren (a) glcicli 
oder entgegen gefetzt gerichtet ist, je nachdem die Zahl a po- 
fitiv oder negativ ist, und deren Länge fich zu der vtui a, wie 
a zu 1 verhält. 

Beweis. Es feien E, Oi, e^ e^ als Einheilen genommen, 
und fei 

a = Kie| -{- ctjOj 4- «3631 fo ist 
b = aa ^«CaiOi + «262 + «sea) 
= Ktt^ei -}- ottjCa 4" «fa^s- 
Der letzte Ausdruck bedeutet aber [lach 216) eine Strecke, 
welche gleiche Lange und Richtung hat mit der von E nach 
dem Punkte B = E + aa,c, -f «K^ej -f- ««363 gezogenen gera- 
den Linie EB, Die Projektionen diefer Linie auf die 3 von E 
ausgehenden mit e, , Cj, 03 parallelen Axen find (nach 217) 
aKiCi, ««262 -(- "«363. Ebenl'o ist «161 + «jCa + «303 eine 
Strecke, die gleiche Länge und Richtung mit der von E nach 
dem Punkte A ^= E + «lei + a^e^ + «363 gezogenen Linie hat, 
und «lei, «iC], a^ej find die Projektionen von EA auf die ge- 
nnl n 3 A\e Ist n z e st a pofitiv, fo find aß,ei, aa-^e^, 
aa-e bez ehl ch n tae ae , «303 gleichgerichtet, und ver- 
halte Tel zu I nen a 1 , alfo gilt dasfelbe (nach 218) 
aucl f r de proj c rten L en, d. h. EB ist mit EA gleich- 
g chtet d f e n La ge verhält fich zu der von EA, wie 
al laubntEB d mit EA gleiche Länge «nd Rich- 
tung hat fo fnd uc! u 1 b einander gleichgerichtet, und 
verlalle fch 1 rer Läng ach, wie i:a. 

Ist aber a negytiv ^^^^^ — ß, fo find actie,, «ß^es, aa^ea, 
d. h. — jJ«ie,, — ß(h^t, — ßa.jC^. die Projektionen von EB, 



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14ß («S» 

und find (nach 216) denen von EA, nämlich a,ei , ctaCä, «363 
entgegnen gefetzt gerichtet, foniit find die von BE, näiiilicli 
/9a,ei, ßa-iOi, ßc^i'^si m't denen von EA gleichgerichtet, und 
ihre Längen verhalten fich, wie ß : i, alfo find aucli BE und 
EA gleichgerichtet, und verhalten fich, wie ß:\, alfo find 
EB und EA und ehonfo alfo auch h und a einander enlgegen- 
gefetzt gerichtet, während ihre Längen fich noch wie i : ß 
verhalten, 

222. Die Summe «A+|3B-| , in welcher A, B,--- 

Punkte, et, ß,-'- Zahlen find, ist eine Strecke oder ein viel- 
facher Punkt, je nachdem a-\-ß-\^--- gleich oder ungleich 
Null ist; und zwar ist im ersten Falle 

ctA + |3B + ■ - . = a(A -- R) + /3(B - R) + ■ ■ -, 
im zweiten 

ctA + iSB4--.-=C«+/5+--OS, 
« R «(A-R) -f jS(B - R) + . . . 
wo b — H^ ■ ■ TS—: — > 

und R ein beliebiger Punkt ist. 
Beweis. Es ist 

A=R + A-R, B = R-f B — R. 

Setzt man diefe Werthe in den Ausdruck a\. -\- ßB -{- ■ • ■ 
ein, fo erhält man 

aA + ^B + ---=C« + f3'(--0R + <A-R)+^Cli-R)+--. 
Alfo erstens, wenn a -\- ß -\ — ■ ^^ Ü ist, 

= a(A-R)-h]9(B-R)4----. 
Ist hingegen a -\- ß -]-•■■ von Null verschieden, elwn gleich 
tf, fo wird 

«A-h^B4-'--^öR + «CA — R)-1-|S(,B -R)-! 

^ y-^ ^ <A-Rj-Hi3(B~R)+--- -N 



_a(A -R)-hff(B-R)+. 



gefelzt hl. 

Zufiitz. Wenn A und B Punkte find, fo i 



yGoosle 



Strecke, welche mit der geraden Linie BA gleicii lang und 
gleichgerichtet ist. 

Beweis. Nach 218 ist A — E eine Strecke, welche 
gleich lang und gleichgerichtet ist mit der geraden Liniu EA 
und B — E eine mit EB gleich lange und gleichgerichtete 
Strecke; nun ist 

A — B = CA — E)-CB--E), alfo 

= (A-E) + CE-B)=(E-B) + CA~E). 

Da nun E — ß und A — E Strecken find, die mit BE 
und EA beziehlich gleich lang und gleichgerichtet find, To ist 
ihre Summe fnach 320) mit BA gleich lang und gleichgerichtet, 
d. h. A — B mit BA. 

Anm. nierdurcli find, alfo die Strecken auf DilYerenzen von Punk- 
ten surückgef ilhrt , und ilire duroli stetiges Aneinanderlegen gebildete 
Summe stellt fich als eine Summe rolc]ier Differenz.en dar, in denen 
ficli der Endpunkt jeder Strecke rojt dem Anfangspunkte der nächst 
folgenden aufliebt. 

223. Wenn man von einem beweglichen Punkte (B) 
nach einer Reihe fester Punkte (A, B,> ■ -) gerade Linien zieht, 
und diefe, nach konstanten Verhältnissen ii : a, \ : ß, ■ ■ •) 
ändert (fo dass dadurch die Linien BA', BB', ■■■ hervorgehen, 
welche mit RA, RB, ■■- beziehlich gleich oder entgegengefetzt 
gerichtet find, je nachdem a, ß,-- pofitiv oder negativ find, 
lind rieh ihrer Länge nach zu RA, RR,--- verhalten wie die 
Zahlen a, ß,- • zur Einheit), und dann die fo erhaltenen Linien 
(RA', RB',- - ■'), ohne ihre Richtung und Länge zu ändern, stetig 
aneinander legt, To hat die Linie (RP) vom Anfangspunkt (R) 
der ersten zum Endpunkt (P) der letzten folgende Eigenschaft, 

1) wenn die Summe der Verhältnisszahlen (a, ß,--') null 
ist, fo ist diefe Linie [RP] von konstanter Länge und Richtung, 

2) wenn die Summe der Verhältnisszahlen ungleich null 
ist, fo jeht diefe Linie (RP) durch einen festen Punkt (S), 
welcher von diefer Linie (RP) den fo viellen Theil abschneidet, 
als jene Summe (a + ^ +■ - ■) beträgt. 

Beweis. Der Satz ist nur ein anderer Wortausdruck 
von 222. 

Aam. Der Funkt S ist bekanntlich der Schwerpunkt awisclien 
den Punkten A, B,---, wenn deren Gewichte fich wie a: ß: ver- 
halten; hier wird er naturgemäss den Namen Summenpunkt führen. 



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148 (««4 

224. Der Summenpunkt S der Summe «A + /*B -^ , 

in weicher a-f-^-f ■■■?0 ist, hat die Eigenschafl, dass 

a(A — S) +|SCB — S)+-'.=0 
ist; und kein zweiter Punkt beHlKt diefe Eigenscliafl. 

iteweis. Denn felzt man in 223b. den Punkt R = S, 
fo wird 

d. !i. = aCA — S) + j3(B~S)+---. 

Soll diele Gleichung noch für einen zweiten Punkt R 
gelten, aifo 

= aCA — R) + ß{B — R) + . . 
fein, fo erhält man durch Subtraktion 

-^ cetR — S) + (5(R - S) + ■ . . 

= («+^+..OCR-S), 

alfo, da a i- ß -\ — (nach Hyp.) nngloich null ist, 

= R — S , 
alfo R ^= S, d. h. es giebt keinen zweiten von S verschiedenen 
Punkt, der Jone Eigenschaft hat. 

225. Die Summe zweier einfachen Punkte ist gleich 
ihrer doppelten. Mitte, und die Summe zweier vielfachen 
Punkte ist, wenn die Koefficienlen gleich bezeichnet find, ein 
vielfacher Punkt, dessen Koefficient die Summe der Koeffi- 
cienten der Summanden ist, und dessen Ort zwischen den 
Orten der Summanden fo liegt, dass er von ihnen im umge- 
kehrten Verhältnisse ihrer Koefficienten absteht, hingegen 
wenn die Koefficienten entgegengefetzt bezeichnet und nume- 
risch nicht gleich find, ein vielfacher Punkt, dessen Koelficient 
die algebraische Summe der Koefficienten der Summanden ist, 
und dessen Ort in der Verlängerung der geraden Linie, welche 
die Orte der Summanden verbindet, fo liegt, dass er von 
diefen Orten im umgekehrten Verhältnisse ihrer Koefficienten 
absteht. 

Beweis liegt unmittelbar in 332. 

226. Die Summe eines einfachen Punktes und einer 
Strecke ist der Endpunkt der geraden Linie, welche diefer 
Strecke gleich lang und gleichgerichtet ist, und deren An- 
fangspunkt der gegebene Punkt ist. 



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a««) 149 

Beweis. Es fei die gerade Linie AB gleicb lang und 
gleichgerichtet mit der Strecke p, (o ist (nach 232 ZuT.) 
B — A = p. 

Alfü A + P = A + B — A = B. 

237, Die Summe eines a-fachen Punktes (aÄ) und 
einer Strecke (p) ist der a-faciic Endpunkt einer geraden 
Linie (AB), deren ß-faches mit diefer Strecke (p) gleich lang 
und gleichgerichtet und deren Anfangspunkt (A) der gegebene 
Funkt ist. 

Beweis. aA H-p = af A 4- — J, alfo wenn das a-fache 
von AB mit p gleich lang und gleichgerichtet ist, alfo AB mit 

-H-, fo ist 

a 

B-A = i, 

und alfo aA -|- p =^ ofA + B — A) = «B. 

A»m. Die Addition der Fnnkto ist zuerst (1827) von Mocbiua 
in feinen barycentriBclieii Kalkül gelehrt worden. Die Addition der 
Strcckea scheint zuerst von Bellavitis in mehreren Anffatzcn (1835, 
1831) der Annali delle Soienzc del Eegno Lombard o-Vcneto veröffent- 
licht zu fein. Ganz unabhängig davon ist die Bearbeitung meiner Aus- 
dehnungslehre von 1844 (§. 24, §. 101—10^), in welcher auch zuerst 
der Zufammenhang zwischen beiden Additionen ans Licht gestellt ist. 
Es fehlt jedoch Towohl in jenen Werken als auch in diefem der Nach- 
weis, dass es keine andere Addition der Punkte und Strecken gicbt, 
als die hier angegebene, und dennoch erscheint diefer Nachweis notli- 
wendig , wenn jene Addition als eine wirkliche Addition jener Grössen, 
und nicht bloB als eine abgekürzte Schreibart aufgefesst werden foU, 
wie letzteres Moebius will. Es ist daher zxi zeigen, dass der allge- 
meine Begriff der Addition , wenn er ins Befendere auf Punkte (oder 
auch auf Strecken von gegebener Lftngo und Richtung] angewandt wer- 
den foll, keine andere als die oben dargestellte Addition liefern kann. 
Zu dem Ende ist zunächst die allgemeine Bestimmung festzuhalten , dass 
keine Verknüpfung geometrischer Gegenstände als folche an einen be- 
stimmten Ort im Räume gebunden fein darf; oder, um diefe Bestim- 
mung rein mathematisch auszudrücken ; „Alle Verknüpfungen räum- 
licher Grössen müssen von der Art fein, dass jede Gleichung, welche 
zwischen einem Verein von Punkten statt findet, auch bestehen bleiben 
muEs, wenn man statt diefer Punkte die entsprechenden Punkte eines 
kongruenten Vereines fetzt." Die Addition und Subtraktion ist nun 
dadurch bestimmt, dass erstens die 4 GrundformeJn 



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150 (9*9 

IJ a-f.b=b + a, 

2)a + (b + cJ = a+b + c, 

3) a + b— b==ft, 

4) a- b J-b = a 

gelten; und tlass ausserdem die durch die Verknüpfung entstehenden 
Grössen in möglichst weitem Umfang von gleicher Gattung fein müssen, 
wie die yerbnüpften. Diefe letztere Bestimmung muss noch indivi- 
dualifirt werden. Da nach der dritten Grundformel, auch wenn A 
und B Punkte find, 

A+n-B^A 
alfo em Punkt und nach dei eisten und dritten 

A + B-A-B, 
alfo auch ein Pankt ist, fo hegt die Annahme nahe, da's auth A -j- B 
— C als Pui kt zu fetzen lat Docli genagt es , dicfe Annahme nur tur 
den lall 7U machen, diss die Kilte amschen A urd B iit ^'Vir 
machen allo, um der angeführten Bestimmung zu gendgtn, die An 
rahme, „daas wenn C die Mitte zwischen den Funkttn A und B iit, 
allemal A 4- B — • ^ leder ein Punkt fei ' Hiermit f nd die nothwen 
<iigen Annahmen erschöpft Zunsohst folgt aus dem Gelten der 4 
Qriindformeln das Gelten illei illgcmeintn Additions und Subtrak 
tionager(,tze Demnachbt bewejfi, ich, dass wenn der Punkt die Mitte 
zwischen den Punkton A und B ist, A + B — C= C fei Es fei A 
+ B^G:=X gefetzt, fo kann X nicht von C verschieden fein. Denn 
angenommen, X wäre TOn C verschieden, fo verlängere man XC um 
rieh felbst bis Y, fo dass XC — CY wird. Dreht man nun die l'igur, 
welche die Punkte A, B, C, X enthält, innerhalb einer Ebene, in wel- 
cher diefe'Eigor liegt, um den Punkt C herum, bis Tie einen Winkel 
von 180" 'iJtachriebeu hat, fo fällt nun A dahin, wo vorher B, B da- 
hin, wo ■Vorher A lag, und X fällt auf Y, d h der Verein ABC 
X ist kongruent dem Vereine B, A, C, Y. Da n n nach der An ahme 

A4-B~C = X 
war, fo musB nach der obigen Bedingung, el I er ilk g ouetrscle 
Verknüpfungen unterliegen, diefe Gleichung a ch oh bestel en bl 
ben, wenn man statt A, B, C, X beziehlicl LAC Y f tzt alfo 

B + A-C=^Y. 
Alfo hat man 

Y = B + A — C = A + B-0 (nach Grundformel 1) 
= X (nach Annahme) , 
aJfo Y ^= X. Es entstand aber Y aus X dadurch, dass man XC um 
fich felbst verlängerte bis Y; foll alfo Y mit \ ziifammen fallen, fo 
muss X in fallen, d. h. es ist X = C, alfo A + B — C = C. 

Bringt man in diefer Gleichung C auf die rechte Seite, fo erhält 

A+B = 2C, 
d. h. „die Summe zweier Punkte ist das Doppelte des in der Mitte 



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»»') 151 

zwischen be d h g d P kt E f AB und CD zwei 

beliebige ge i L gl 1 Lg d ] LI ng , fo ist das 

Viereck ABDC P 11 1 i, m I D ag 1 mögen fich in E 

sdineidcn D d D g 1 P 1! 1 {, mms fich hal- 

birtn, fo lat E r hl i M tt 1 A dl 1 auch zwiflclieii 

B und C, d 1 t 

A + D=^E = B + C U Ä + r=B + C. 
Bungt man 1 f Itt Gl 1 D dB [ Jie andere Seite, 

lo erhalt vn 

A— B=C-D 
ümgekehit, w d 1 1 t t Gl 1 g g It 1 g It uch die vorher- 
gehende A + D = B + CdldMtt 1 AndD musa zu- 
gleich Mitte 1 E 1 C f d 1 d \ k ABDC mu93 
ein Pniallel oi K AB m t CD gl h 1 g i gleichgeiTchtet 
fem Daran flgtd St Ei Dft A — B zweier Punkte 
ist einer Diff C — D d P kt d und nur dann 
gleich, -wen AB d CD gl h 1 g d gl hg ht te Linien find." 
Nennt man dK g dDff A — Bd— B-J-A eine 
Strecke, B il A f g p kt A h E dp kt f folgt l^ogleicli 
der Satz „St k ( g g b R ht g d Lii ge) addirt man 
indtm man T ( 1 1 B hi g d L g ändern) stetig, 
d h fo ane d 1 gt d d E dp kt j d i mit dem An- 
fangspunkte 1 li tf Ig i C mm fillt d ist die Strecke, 
nelehe den i f g [ kt d t St k 1 Anfangspunkt 
und den Eiilp kt d 1 t t h E dp U ) t, die Summe, 
jenoi ötieck D d T! t f B d rst Strecke gleich 
~A-(-B, d t gl 1 — B + C d dntt f,l h — C-f-D, fo 
ist die Summ =_A + B-B |-C-C + D = — A + D, waszube- 
weifen war. 

Für die Divifion einer Strecke durch eine ganze politive Zahl ist 
(locli die Bestimmung zu machen , dass der Quotient wieder eine Strecke 
fei (wobei unter Strecke hier immer die Differenz zweier Pnnkte , alfo 
eine Strecke von gegebener Länge und Richtung verstanden ist). Dann 
folgt nach der bekannten Sehl uss weife , dass das Produkt einer Strecke 
m ejnc beliebige ganze oder gebrochene rationale oder irrationale Zahl 
a wieder eine Strecke ist, welche der gegebenen gleichgerichtet oder 
entgegengefetzt gerichtet ist, je nachdem a pofitiv oder negativ ist 
und deren Linge ficW zu der Länge der gegebenen Linie wie a zu 1 
verhalt. Hierdurch löst ficii dann die allgemeine Aufgabe, die Summe 

aA-j-bB-( zu finden, wo a, b,-- Zahlgrössen, A, B,. ■ . Punkte 

find. Nämlich für jeden beliebigen Punkt B ist 

aA-fbB+... 

= (a -I- b + . . .) R. + a(A - K) -1- b(B — R) + . . - . 
Wii' unterscheiden zwei Fälle, je nachdem a + b-j--'- null ist, oder 
nicht. Im erstcren Palle wird 



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152 («*« 

alfo gleich einer Strecke , welche nach dem Obigen konstniirbar ist. 
Zweitens wenn a + b + ■■■=■ s ^ ist , fo wird 

aA -i-hB +■ . ■ = eR + a(A - R) + b(B -. R) +■ ■ ■. 
Hier ist aCA — R)+b(BRJ + --- eine Strecke; der s-te Theil dieter 
Strecke fei fo gelegt, dass R fein Anfangspunkt ist; dann fei fein End- 
punkt mit S bezeichnet, fo ist 

a(A — Rj + b{B ~ R) +. ■ - = e(S - R). 
Diefer Werth in die obige Gleichung eingefetat, giebt 

aA + bß+-.. =sR + sCS -R) 
= s{ R + S - R) 
= bS, 
wodurch die Aufgabe vullatändig gelöst, und der Begriff der Addition 
einfacher und vielfacher Punkte und Strecken vollkommen boetimmt 
lat, und iwar in Harmonie mit den im Haupttexte gegebenen Be- 
stimmungen. 

§. 2. Räumliche Gebiete. 

228. Erklärung. Unter einem unendlich entfernlen 
Punkte feien die Richtungen einer geraden Linie, unter einer 
unendlich entfernten geraden Linie die ntmmtlichen Richtungen 
einer Ebene, unter einer unendlich entfernten Ebene die fämnit- 
lichen Richtungen des Raumes verstanden, d. h. es fei von 
zwei parallelen geraden Linien gefagt, dass lie einen unend- 
lich entfernten Punkt gemein haben, von zwei parallelen Ebe- 
nen, dass lie eine unendlich entfernta gerade Linie gemein 
haben, und von allen unendlich cnlfenilen Punkten und ge- 
raden Linien, dass fie in einer unendlich entfernten Ebene 
liegen. 

Um die räumlichen Grössen erster Stufe, d.h. die ein- 
fachen oder vielfachen Punkte und die Strecken (von gege- 
bener LSnge und Richtung) auf gleiche Weife behandeln au 
können, will ich Tagen, der Ort einer Strecke fei der unend- 
lich entfernte Punkt, welchen die diefer Strecke parallelen 
Linien gemein haben, eder auch, es fei jene Strecke eine 
Grösse erster Stufe, welche in diefen Linien in unendlicher 
Entfernung liege. Auch will ich der Einfachheit wegen, um 
den Ausdruck räumliche Grössen erster Stufe durch einen ein- 
facheren zu erfetzen, fovvohl die einfachen und vielfachen 



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Punkte als auch die Strecken kurzweg Punkte nennen, und 
zwar die letzteren unendlich entfernte 

A ZmWfd mlhCö n, wie der Grössen üter- 

liptght btm mt 1 Wrtli, vermöge dessen fic 

( b inrat \ h U ) m 1 t d ermindert werden können. 

Df dbd fli dlfh Punkten durch den Zahl- 

L ffl t d gest 11 b d St t d ch ihre Länge. Es würde 

f 1 1 m gl h r 1 h tf nte Punkte anzunehmen, 

d mthWth htdhlL ge einer Strecke, londeru 
d i Z 11k ffi t d g t llt e, d. h. welche aus dem 

KhPk Allhhn gdss man, ohne a zu ändern, 

den Punkt A ins Unendliche verlegte. Allem was dadurch hervorginge, 
würde, wie man leicht lieht, gana den Charakter des Unendlichen an 
fleh tragen , infoEern es durch Hinznfügung einer endlichen Grösse 
(eines endlich entfernten Punktes, oder auch einer Strecke) gar nicht 
verändert wUrde. Mit lolchem Unendlichen darf aber überhaupt gar 
nicht gerechnet werden, weil kein algebraisches Gefetz für das Unend- 
liche gilt, und die Analyfls des Unendlichen überhaupt nur dann zu 
richtigen Kefultatcn führen kann, wenn man das Falsche, was man 
durch Annahme des Unendhchen hineingebracht hat, noch vor der 
Ableitung irgend eines Refultates wieder herausschafft. Die Strecke 
dagegen , obgleich man fich der Bequemlichkeit wegen den Ausdruclt 
gestatten darf, daas ihr Ort unendlich entfernt fei, ist doch eine end- 
liche GrOsse, indem fie durcK Ilinzufügung jeder von Null verschiede- 
nen Grösse fich ändert. 

229. Alle Strecken des Raumes lassen fich aus belie- 
bige» 3 Strecken, welche nicht Einer Ebene parallel find, nu- 
merisch ableiten. 

Beweis. Es feien a, b, c dr Strecken, welche nicht 
einer Ebene parallel find, und e eine beliebige Strecke, von 
der gezeigt werden fo!l, dass fie aus a, b, c numerisch ableit- 
bar ist. Man ziehe von einem beliebigen Punkte D die mit a, 
b, c, e, gleich langen und gleichgerichteten Linien DA, DB, 
DC, DE, fo ist (nach 223 Zuf.) A-D = a, ß — D = b, 
C — D = c, E — D = e. Ferner ziehe man durch E die 
Parallele mit DC, welche die Ebene ABD in F treffe, durch 
F die Parallele mit DB, welche DA iu G treffe, fo ist DG||DA, 
GF||DB, FE;|DC. Es möge fich DG;DA = a:l, GF : DB 
T= (3 : 1 , FE : DC ^= )■ : 1 algebraisch (d. h. auch dem Vorzei- 
chen nach] vorhalten, fo ist (nach 321) 



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]54 (S80 

G — D=a(A— D3 = Ka, 

F — G=(S(U — D)^iSI), 
E — F = rCC — 1») -= rc. 
Alfo addirt 

E — D=aa + j9b +/C, d. li. e — aa +|^U + j'c. 

230. Alle Strecken einer Ebene lassen fich ans belie- 
bigen 2 einander nicht parallelen Strecken der Elene nume- 
risch ableiten. 

Beweis. Es feien a, b zwei nicht parallele Strecken 
einer Ebene nnd d eine beliebiffe Strecke der Ebene, von 
der gezeigt werden toll, dass Tiu ans a und b nnmeriscli ab- 
leitbar ist. Man ziehe von einem beliebigen Punkte C der 
Ebene ^ie mit a, b, d gleich langen und gleichgerichteten 
Linien CA, CB, CD, ziehe durch D eine Parallele mit Cß, 
welche CA in E tretten, lo ist CEjjCA, ED|CB Es verhalte 
rieh algebraisch CE : CA = a : i , ED .- Cß = jS : 1 , fo ist nach 

E- C=(t(A— C)^ßa, 

D — E=jSCß~-C)^/Sb, 
alfü 

D — C = aa -f ^b, d. h. d = «a 1- ^b. 

231. Wenn zwischen 3 Strecken eine Zahlheziehun;; 
herrscht, fo find fie Einer Ebene paniHel. 

Beweis. Es feien a, b, c die 3 Strecken und 

c ^= aa -|- jSb 
ihre Zahlheziehung. Sollten a und b parallel fein, fo würde 
auch c ihnen parailel fein, und es alfe unendlich viele Ebenen 
geben, mit welchen a, b, c zugleich parallel find. Ist a 
nicht parallel b, fo ziehe man von einem beliebigen Punkte 
D eine Linie DA, welche mit a parallel isl imd fich zu a ver- 
holt wie a:i, und von A eine Linie AB, welclio mit b pa- 
rallel ist und fich zu b verhält wie ß:i, fo ist 

A-D = aa, 

B ~ A = |Sb. 
Alfo addirt 

B ^- U = aa -i- )Sb = c. 
Folglich isl c eben fo wie a und b der Ebene ABD parallel. 



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«««) 155 

232. Alle Piinkle des Raumes lassen fich niiiiierisch ab- 
leiten a«s beliebigen 4 Punkten, welche iiiclit in Einer Ebene 
liegen; ins BeTondere 

a) aus einem endlich entfernten Punkte und drei nicht 
Einer Ebene parallelen Sirecken, 

b) aus 2 endlich entfernten, nicht zufanimenfallenden 
Punkten und 2 Strecken, welche nicht einer durch jene 3 
Punkte gelegten Ebene parallel find, 

c) aus 3 endlich entfernten Punkten, die nicht in Einer 
geraden Linie liegen und aus einer Strecke, die der durch 
die 3 Punkte gelegten Ebene nicht parallel ist, 

d) aus 4 endlich entfernten Punkten, die nicht in Einer 
Ebene liegen. 

Beweis a. Es feien a, b, c drei nicht Einer Ebene 
parallele Strecken und d'=:(JD ein endlich entfernter Punkt, 
1> fein Ort und e' = eE ein beliebiger endlich entfernter 
Punkt und E fein Ort; und fei zu zeigen, dass e' aus a, b, 
c , d' numerisch ableitbar fei. Kach 229 ist die Strecke E — D 
aus a, b, c numerisch ableitbar; es fei 
E — D = «a +ßb + YC, 



fo ist 



E = D + aa-h(3b-f>'C, d. h. ■ 



e' = -,-d' -f- eaa -{- eßh -j- eye, 

d. h, e' aus a, b, c, d' numerisch ableitbar. Ist der abzulei- 
tende Punkt ein unendlich entfernter, d. h. eine Strecke, fo 
ist diefe (nach 329) schon aus a, b, c, alfo auch aus a, b, c, 
d' numerisch ableitbar (= aa + j3b -f- »"C + Od). 

b. Es feien a, b zwei Strecken, c';=/C, d';=JD zwei 
endlich entfernte Punkte, C und D ihre Orte, und fei voraus- 
gefetzt, dass fich durch C und D keine mit a und h parallele 
Ebene legen lasse. Man fetze C — D = c, fo find a, b, c 3 
nicht Einer Ebene parallele Strecken, folglich jeder Punkt e' 
(nach Beweis a) ans a, b, c, d' numerisch ableitbar. Setzt 
man in den Ausdruck diefer Ableitung statt c feinen Werth 



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C — D, d. Ii, — — -r, fo erhalt man einen Ausdruck, durch 
yd' 

welchen c' aus a, b, c', d' numerisch abgeleitet ist. 

c) Es fei a eine Strecke, b' = /5B, c'^yC, a' = ^D 3 

endlich entfernte Punkte, B, C, D ihre Orte, und foi voraiis- 

gefelzt, dass a nicht mit der Ebene BCD parallel fei. Man 

fetze B — D=^b, ?» ist fnach Beweis b^ jeder Punkt e' aus 

a, b, c', d' numerisch ableitber. Setzt man in dem Ausdrucke 



fo erhält man einen Ausdruck, durcli welchen e' aus a, b', 
c', d' numerisch abgeleitet ist. 

d) Es feien a'^aA, b'^jSB, c'— /C, d' = ^D vier 
endlich entfernte Punkte, Ä, B, C, D ihre Orte, und fei vor- 
ausgefetzt, dass diefe Punkte nicht in einer Ebene liegen. 
Man fetzte A — D^=a, fo ist (nach Beweis c) jeder Punkt 
e' aus a, b', c', d' numerisch ableitbar. Setzt man in dem 

Ausdrucke diefer Ableitung statt a feinen Wcrth --, 

fo erhält man einen Ausdruck, durch welchen e' aus a', b', 
c', d' numerisch abgeleitet ist. 

Anm. Dbs erete der 4 im Satze bciiei ebneten Ableitiingesysteme 
ist, wenn die 3 Strecken gleich lang find, das gewöhnliche Parallel- 
koordinatensyetem , das letzte ist, wenn die Punkte einfach find, das 
barycen frische von Möbius, wenn fie beliebig find, das allgemeinste 
lineale Koordinatensystem, wie es von Plücker und anderen behan- 
delt ist. 

233. Alle Punkte der Ebene lassen lieh aus beliebigen 
3 nicht in gerader Linie liegenden Ptmklen derfelben nume- 
risch ableiten. 

Beweis wie in 233. 

233. Alle Punkte der geraden Linie lassen fich aus 
beliebigen zwei räumlich verschiedenen Punkten derfelben nu- 
merisch ableiten. 

Beweis wie in 232. 

233. Wenn 3 Punkte in einer Zahlbeziehung zu ein- 
ander stehen, fo liegen fie in einer geraden Linie. 



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«»«) 157 

Beweis. Es feiun a, b, c die 3 Punkte, iinii 

ihre Zalilbezieliung. SinJ b und c unendlich entfernt, ht ist 
(in 231) gezeigt, dass dann a, b, c drei Einer Ebene paral- 
lele Strecken find, d. b. (nach 228) dass a, b, c unendlich 
entfernte Punkte find, die in Einer unendlich entfernten Ebene 
liegen. Sind hingegen b und c nicht beide zugleich unendlich 
entfernt, fe verbinde man fie durch die gerade Linie DE, 
und nehme D und E als zwei einfache, endlich entfernte 
Punkte dtefer geraden Linie an. Dann find (nach 234) b und 
c, da fie in der durch D und E gelegten geraden Linie liegen) 
aus D und E numerisch ableitbar, alfo auch a = |S!) + /c. Es 
fei a = ^D -f fE. ist nun S -^ e = 0, aife e=— S, fo ist 
a = JcD — E). Aber .J(D — E) ist eine mit DE parallele 
Strecke, d. Ii. ein unendlich entfernter Punkt di;r Linie DE, 
alfo liegen dann a, b, c in DE. Ist aber 6 -[• e^^G, von 
Null verschieden, fo ist 

a = dD H- eE =: ffD -[- f(E — D), 
d.h. a = ffA, wo A^D -|---(E— D) ist, d. h. D - A = 

— (E — D). Alfo ist D — A iitil E - D parallel, d. h. A ein 

Punkt der Linie DE, alfo auch in diel'em Falle b, c, d in einer 
geraden Linie. 

Anm, Der letzte Thcit des Beweifes thut nur dar, djiss der 
Schwerpunkt zweier Punkte mit beliebigen Gewichten in üer diefe 
Punkte verbindenden geraden Linie liegt. 

236. Wenn 4 Punkte in einer Zahlbeziehung zu ein- 
ander stehen, fo liegen Oe in Einer Ebene. 

Beweis. Es feien a, b, c, d 4 Punkte und 
a=:ßb +YC + U 
die Zahlbeziehung. Sind zuerst !), c, d alle drei zugleich un- 
endlich entfernt, fo ist zu zeigen, dass a in der unendlich 
entfernten Ebene liegt, d. h. auch uncndiich entfernt, d, h. 
eine Strecke fei. Dies folgt aus 228, da dann b, c, d alfo 
auch ihre Vielfachen Strecken lind, und fomit auch (nach 320) 
ihre Summe. Sind b, c, d nicht alle drei zugleich unendlich 
entfernt, fo fei DEF die durch fie gelegte Ebene und D, E, 



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158 (»3» 

F drei einfache, endlich entfernte Punkte diel'cr Ehene. Dann 
lassen fich (nach 233) h, c, d aus D, E, F numerisch ab- 
leiten, alfo auch ßb -]- j-c -f W, d. h. a. Es fßi 
a = ^D +fE + ^F. 
Ist zuerst d + e i-C^O, ib ist 

a = JD + eE+rF — tii+f-|-nD = 6lE- n)-!-^^-!)}, 
alfo a aus E — D und F — D numürisch ahleithar, d. h. (nach 
231) die Strecken a, D — E und F-D find Einer Ebene 
parallel, folglich ist a der Ehene DEF parallel, d. h. ein un- 
endlich entfernter Punkt diefer Ebene. 

Isl S -\- e -{- C = " ungleich null, fu ist 

a = JD + fE + CF = ffü -I- <E — D) -|- C(F — D) 

= tf A, wenn A = D -f — (E - D) -f -^-(F — D) 

ist, alfo ist D — A (nach 231) mit der Ebene DEF parallel, 
d.h. A ein Punkt der Ebene DEF, alfo auch a ein Funkt 
diefer Ebene. 

SSY. Das räumliche Gebiet erster Stufe ist ein Punkt 
(als Ort betrachtet), das zweiter Stufe eine unbegrenzte ge- 
rade Linie, das dritter Stufe eine unhegränzte Ebene, das 
vierter Stufe der unhegränzte Raum. 

Beweis. Ein Gebiet n-ter Stufe ist (nach 14) die Ge- 
fammthcit der Grössen, welche aus n Grössen numerisch ab- 
leitbar find, vorausgefetzt, dass jene Grössen fich nicht fämmt- 
lich aus weniger als n Grössen numerisch ableiten lassen. Nun 
find (nach 232) alle Punkte des Raumes aus vier Grössen 
erster Stufe numerisch ableitbar; nach 236 bilden die aus drei 
folcher Grössen ableilbaren Punkte eine Ebene, folglich lassen 
fich die Punkte des Raumes nicht aus weniger als 4 Grössen 
erster Stufe ableiten. Alfo ist der Raum ein Gebiet 4-ter 
Stufe. Ebenfo folgt aus 233 und aus 235, dass das Gebiet 
3-ler Stufe eine Ebene, und aus 334 und daraus, dass aus 
einem Punkt nur örllich identische Punkte ableitbar find, folgt, 
dass das Gebiet 2-ter Stufe eine gerade Linie, fo wie das Ge- 
biet erster Stufe ein Punkt fei. 

238. Aufgabe. Die Ableilzahlen (Koordinaten), durch 
welche ein Punkt (p) aus 4 nicht in einer Ebene liegenden 



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«3») i59 

Funkten (a, b, c, d) hervorgeht, auszudrücken durch die Ab- 
Ißitzahlen, durch ivelche derfelhe Punkt (p) aus 4 neuen Punk- 
ton a', b', c', d' ableitbar ist; voraiisgefetzt , dass liiefe 4 neuen 
Punkte durch die 4 alten ausgedrückt find. 
Auflöiung. Es fei 

1) a' = c(a + j3b +YC -f iJJ, 

2) b' = a'a-\-ß'b+Y'c + Ö'd, 

3) c' = a"a + ß"b + y"c + ^"ü , 

4) d' = a"'& -\- ß"'h + y"'c + d"'t\, 

5) p = x'a -f- y'b + z'c -f uM , 

6) p = xa' + yb' -f zc' -f "(''■ 

Man fetze in 6) für a', b', c', d', p diu Werlbe aus 1) 
bis 5) fo erhält man, naeh a, b, c, d geordnet, 
7) x'a -f- y'b -(- z'c -f- u'd 

= Cxa+ya'H-za"+ua"')a+Cx^4-y^'+ZjS"+ur')b---. 
Da hier a, b, c, d nicht in einer Ebene liegen, fo stehen 
fie (nach 336) in keiner Zahlbeziehung zu einander. Folglich 
find (nach 20) in der gefundenen Gleichung die entsprechen- 
den Koofficienten gleich, aifo 

x' ^= xa + yß' -f za" -f- na"' 
f==xß-^yß'-\-xß" + vß"- 
z' = XY + yj-' -[- z/" + u/"' 
ii' ^= xS -f- yiJ' + ''-3" i- K'J"' 
Anm. Diea ist die Auflöfiing des allgemeiusten Problems der 
Koordinaten Verwandlung. 

§. 3. Korabinatorische Multiplikation der Funkte. 

230. Erklärung. Das Parallelogramm, in welchem 
AB und BC zwei Seiton find, werde ich der Kürze wegen 
das Parallelogramm ABC nennen, und zwar werde ich, wenn 
es auf diefe Weife benannt ist, AB feine erste Seite, BC feine 
zweite Seite nennen. Ferner alle Parallelogramme, deren 
erste Seile der Strecke a und deren zweite Seile der Strecke 
b gleich lang und gleichgerichtet find, werde ich die Paral- 
lelogramme ab nennen. Zwei Parallelogramme ABC und DEF, 
welche in parallelen Ebenen liegen, werde ich dann und nur 
dann als gleiclibezeichnet betrachten, wenn man fie durch 



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160 (»*« 

parallele Fortbewegung ihrer Ebenen und durch Bewegimg' 
der Parallelogramme innerhalb ihrer Ebenen in eine lolche 
Lage bringen kann, dass, wahrend AB und DE in derfeiben 
geraden Linie nach derrelben Bichtung hin liegen, C und F 
auf ein und derfeiben Seite diefer geraden Linie fich befinden. 

230. Erklärung. Den Spat (_däs Parallolepipedum]), 
in welchem AB, BC, CD drei nicht in einer Ebene liegende 
Kanten fincl, werde ich der Kürze wegen den Spat (das Pa- 
rallelepipedum) ABCD nennen , AB feine erste, BC leine zweite, 
CD feine dritte Kante. Und alle Spate (Parallelepipeda), deren 
erste Kante der Strecke a, deren zweite der Strecke b, und 
deren dritte Kante der Strecke c gleich lang und gleichge- 
richtet find, werde ich die Späte (Parallelepipeda) abc nennen. 
Zwei Spate ABCD und EFGIl werde ich dann und nur dann 
als gleichbezeichnet betrachten, wenn man He in eine folche 
Lage bringen kann, dass, während ABC und EFG gleichbe- 
zeichnete Paralielogranim derfeiben Ebene werden, D und H 
auf ein und derfeiben Seite diofer Ebene liegen. 

Zufatz, Die Spate (Parallelepipeda) abc, bca, cab find 
einander gleich (auch dem Zeichen nach). 

231. Lehrfatz. Zwei Parallelegramme, deren erste 
und deren zweite Seilen gleich lang und gleichgerichtet find, 
find einander gleich (auch dem Zeichen nach), und liegen in 
parallelen*) Ebenen. Zwei Spate (Parallelepipeda), deren ent- 
sprechende (erste, zweite, dritte) Kanten gleich lang und 
gleichgerichtet find, find einander gleich (auch dem Zeichen 
nach); d. h. alle durch dasfelbe Symbol ab bezeichneten Pa- 
rallelogramme und ebenfo alle durch dasfelbe Symbol abc be- 
zeichneten Spate find einander gleich (auch dem Zeichen nach). 

232. Erklärung. Von zwei Parallelogrammen, die 
in parallelen Ebenen liegen «nd ebenfo von zwei beliebigen 
Sputen (Parallelepipeda) fage ich, dass fic fich wie 2 Zahlen 
a und ß verhalten, wenn fie einander gleich- oder entgegen- 
gefetzl bezeichnet find, je nachdem a und ß es find, und fie 
fich, abgefehen vom Zeichen, wie a zu j5 verhalten (vgl. 321). 

") Zu den Piimllelen ist überall das Ideiitisclie mit hiiinugßrecbiieL 



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«4«) 161 

243. Lehnfalz. Zwei Parallelogramme ABC und ABD 
(von ilcrfelben Grundfuite Aß) find dann und nur dann gleich 
Cauch dem Zeichen nach), wenn CD mit AB parallel ist, 

aaa. Lehnfalz. Zwei Spate (Farallelepipeda) ABCD 
und ABCE (von derfelben Grundfläche ABC) find dann und 
nur dann gleich (auch dem Zeichen nach), wenn DE mit der 
Ebene ABC parallel ist. 

An in. Nach diefen vorbereitenden Sätzen, welche aus der Geo- 
metrie entlehnt find, können wir nun den Begriff des kombinatorischen 
Produktes von Fankten aus di;ra allgemeinen Begriffe des kombina- 
torischen Produktes direkt ableiten. 

34S. Das kombinatorische Produkt zweier Punkte ist 
dann und nur dann null, wenn die beiden Punkte zufammen- 
fallen, das kombinatorische Produkt dreier Punkte, wenn He 
in gerader Linie liegen, das kombinatorische Produkt von vier 
Punkten, wenn fie in einer Ebene liegen, das kombinatorisch« 
Produkt von fünf Punkten ist immer null. 

Beweis. Nach 61 und 66 ist das kombinatorische Pro- 
dukt zweier oder mehrerer Grössen dann und nur dann null, 
wenn fie in einer Zahlbeziehung zu einander stehen; nach 
221 stehen zwei Punkte dann und. nur dann in einer Zahibe- 
ziehung, wenn fie zufammenfallen, drei Punkte (nach 234 und 
235), wenn fie in einer geraden Linie liegen, vier Punkte 
(nach 233, 236), wenn fie in einer Ebene liegen, und nach 
232 stehen fünf Punkte stets in einer Zahlbeziehung. Alfo 
bewiefen. 

236. Wenn A ein endlich entfernter Punkt, b, c, d un- 
endlich entfernte Punkte, d. b. Strecken find, fo folgt 
aus [Ab] = 0, die Gleichung b = 0, 
aus [Abc]=0, die Gleichung [bc]=0, 
aus [Abcd] = 0, die Gleichung [bcd]=0. 

Beweis. Es fei [Äbcd]=0. Angenommen nun, [bcd] 
fei ungleich null, fo können (nach 61) b, c, d in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehen. Da aber [Abcd] = ist, fo 
muss zwischen A, b, c, d eine Zahlbeziehung herrschen, und 
da b, c, d in keiner Zablbeziehung zu einander stehen, fo 
mitsste (nach 2) A aus b, c, d numerisch ableitbar fein. 



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163 



(«4« 



Aber aus den unendlich entfernten Punkten oder Strecken b, 

c, (I gehen durch numerische Ableitung (nach 220) nur Strecken, 

d. h. Punkte der unendlich entfernten Ebene hervor, alfo nicht 
der endlich entfernte Punkt A. Somit ist die Annahme, dass 
[bcd] von null verschieden fei, mit der Voraus fetzuiig im Wider- 
spruch, d.h. [bcd] muss null fein. Ganz ebenfo ergehen fich 
die übrigen Theüe des Satzes, 

Sftlf. Kin kombinatorisches Produkt [AB] zweier ein- 
fachen Punkte A und B ist einem kombinatorischen Produkte 
[CD] zweier einfachen Punkte C und D dann und nur dann 
gleich, wenn die unendlichen geraden Linien AB und CD zu- 
fammenfallen, und Aß mit CD gleich lang und gleichgerich- 
tet ist. 

Beweis i. Es feien die unendlichen geraden Linien AB 
und CD zufammenfallund, und AB mit CD gleich lang und 
gleichgerichtet, fo ist zuheweifen, dass [AB] ^ [CD] fei. Da 
AB und CD gleich lang und gleichgerichtet find, fo ist (nach 
222 Zuf.) 

* B — A = D — C. 
Ferner, da A, B, C in einer geraden Linie liegen (Hy- 
polhefis), fo find B — A und C — A Strecken einer und der- 
felben geraden Linie, stehen alfo (nach 221) in einer Zabl- 
boziehung zu einander. Es fei 
«* C — A-=a(B~A). 
Nun ist 

[CD] - [CCD - C)] 
= [C(ß-A)] 
= [CA + C-AXB-A)1 

= [CA-f «(B-A))(B-A)] 

^ [A(B - A)] 

= [AB] 

2. Es fei Vürausgefetzt 

[AB] = [CD], 

fo ist zu bewcifen, dass A, ß, C, D in einer geraden Linie 

liegen und AB und CD gleich lang und gleichgericiitet find. 

Wenn [AB] ^ [CD] ist, fo müssen (nach 76) C und D aus 

A und B durch lineale Umwandlung ableitbar fein. Die ein- 



[67] 



[67] 
[67]. 



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»»!) 163 

fache lineale Umwandlung zweier Grössen besteht (nach 7-1) 
darin, dass zu einer derfelbeii ein Vielfaches der andern addirt 
wird, alfo z. B. A und B fich verwandeln in A und B + aA. 
Die fo hervorg'ehende neue Grösse ist, alfo aus den beiden 
ursprünglichen Grössen numerisch abgeleitet, liegt alfo (nach 
235) in der jene Grössen verbindenden geraden Linie, fojnit 
werden ans A und B durch fortgefetzte lineaie Umwandlung 
nur Punkte der geraden Linie AB hervorgehen; fomit liegen 
C und ü in der geraden Linie AB. Nun fei E ein Punkt der 
geraden Linie AB von der Art, dass GE mit AB gleich lang 
und gleichgerichtet fei, fo ist (nach Bew. i) 

[CE] = [AB], 
und nach der Vorausfetzung 

[AB] = [GDJ, 
alfo auch 

[CE]=:[CD]; folglich 

= [CD] — [CE] = [CCD — E)]. 
Somit (nach 346;) 

D^E = 0, d.h. D=E. 
Da nun nach der Annahme CE mit AB gleich lang und 
gleichgerichtet ist, fo ist auch das mit CE identische CD mit 
AB gleich lang und gleichgerichtet. 

aas, Zufatz. Wenn A, B, C und D einfache Punkte 
find, fo folgt aus der Gleichung 

[AB] = [CD], 
die Gleichung 

A-B = C— D, 
aber nicht umgekehrt, aus diefer jene, 

249. Erklärung. Wir nennen das Produkt [AB] einen 
Linientheil, und fagen, derfelbe fei ein Theil der unbegrflnzten 
geraden Linie AB, und er fei mit der begränzten geraden 
Linie AB gleich lang und gleichgericlitet. 

250. Zufatz. Zwei Linienlheile werden alfo dann 
und nur dann gleichgefetzt, wenn fie gleich lang, gleichge- 
richtet und Theile derfelben unbegränzlen geraden Linie find, 

231. Das kombinatorische Produkt eines einfachen Punk- 
tes in eine Strecke ist ein Linientheil, welcher in der durch 



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164 (»»« 

ilen Punkt parallel der Strecke gezogenen geraden Linie liegt, 
und der Strecke gleich lang und gleichgerichtet ist. 

Beweis Es Tel A ein einfacher Punkt und p eine Strecke. 
Man ziehe durch A eine gerade Linie AB, welche mit p 
gleich lang und gleichgerichtet ist, fo ist (nach 222 Zuf.) 

p = B - A, nlfo [Ap] = [A(B ~ A)] = [AB] [67] 
und [AB] ist ein Liniontheil, «cLher in der geraden Linie 
AB, alfo in der durch A mit p parnllel gezogenen geraden 
Linie liegt, und mit AB, ilfu luch mit p, gleich lang und 
gleichgerichtet ist. 

252. Das ProduKt eines LrnLontheiles [AB] mit einer 
Zahl a ist ein Linienthetl, welcher mit jenem in derfelben un- 
begrünzten geraden Linie liegt, und fich zu ihm algebraisch 
wie a:i verhält. 

Beweis. a[AB]^ß[ACB — A)], [67] 

^ [Ak(B — A^]. [40] 

Das letztere Produkt ist (nach 251) ein Linienthoil, welcher 
in der durch A mit «(B — A) parallel gezogenen geraden 
Linie, d. !i. in der geraden Linie AB liegt, und welcher mit 
a(B — A) gleich lang und gleichgerichtet ist, d. h. (nach 321) 
fich zu AB wie a:l verhält. 

253. Wenn A und ß einfache Punkte, a und ß Zahlen 
find, fo ist [aÄ-(5B] ein Linientheil, der in der unbegränzten 
geraden Linie AB liegt und fich zu der begränzten geraden 
Linie AB algebraisch a§ zu 1 verhält. 

Beweis, [aA^iSB] = a/5[AB] (nach 46), alfo (nach 253) 
ein Linientheil der unbegränzten geraden Linie AB, welcher 
fidi zu der begränzten AB algebraisch wie aß : 1 verhält. 

254. Zwei von Null verschiedene kombinatorische Pro- 
dukte [ab] und [cd] je zweier Strecken a und b, c und d, 
find dann und nur dann einander gleich, wenn die Parallelo- 
gramme ab und cd gleich an Inhalt und gleichbezeichnet find 
und in parallelen Ebenen liegen. 

Beweis, Li 72 und 76 ist bewiefen, dass zwei kom- 
binatorische Produkte [ab] und [cd] dann und nur dann ein- 
ander gleich find, wenn c und d aus a und b durch lincaie 
Aendcrung ableitbar find; und zwar bestand die einfache lineale 



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«Ä4i 165 

Aenderung zweier Grössen (nach 7i) darin, dass zu einer 
derfelben ein Vielfaches der andern addirt wurde, wShrend 
diefe andere unverändert blieb, d. !i. alfo, dass a und b, wenn 
a und ß beliebige Zahlen find, entweder in a und b + aa, 
oder in a -}- ßh und b übergingen. Nun fei AB mit a, BC 
mit b gleich lang und gleichgerichtet, und ändere fich b in 
b' = b -f aa, ferner fei CD parallel mit AB gezogen und ver- 
halte (ich zu AB algebraisch wie a: i, fo ist (n&ch 222) B — A 
= a, C — B = b, D — C = aa. Alfo 

D — ß^D-C + C~B = «a4-b=:b', 
d. h. BD ist mit b' gleich lang und gleichgerichtet. Ferner 
da AB und CD parallel find, fo find (nach 243) die Parallelo- 
gramme ABC und ABD einander gleich C^uch dem Zeichen 
nach), und liegen in einer Ebene. Alfo find auch die Paral- 
lelogramme ab und ab' gleichbezeichnet und in derfelben Ebene 
liegend. Dasfelbe gilt, wenn fich a und b in a 4- ^b und b 
ändern. Alfo ergiebt fich, dass, wenn aus a und b durch 
einfache lineale Aenderung c und d hervorgehen, auch die 
Parallelogramme ab und cd gleich (auch dem Zeichen nach) 
find und in parallelen Ebenen liegen. Dasfelbe gilt alfo auch, 
wenn c und d aus a und b durch mehrmalige Anwendung 
einer einfachen linearen Aenderung, d. h. durch eine beliebige 
lineale Aenderung hervorgehen. Somit ergiebt fich; 

Erstens. Wenn [ab] ^: [cd] ist, fo müssen c und d aus 
a und b durch lineale Aenderung ableitbar fein (76); und 
wenn o und d aus a und b durch lineale Aenderung ableitbar 
find, fo müsse» die Parallelogramme ab und cd gleich (auch 
dem Zeichen nach) fein und in parallelen Ebenen liegen. 

Zweitens. Wenn umgekehrt vorausgefetzt wird, dass ab 
und cd gleiche (auch gleichbezeichnele) Parallelogramme in 
parallelen Ebenen find, fo müssen, da a, b, c, d dann einer 
und derfelben Ebene parallel find, c und d (nach 230) aus 
a und V numerisch ableitbar fein, folglich stehen (nach 63) 
die kombinatorischen Produkte [ab] und [cd] in einer Zahlbe- 
ziehung zu einander. 

Es fei [cd]=^a[ab] der Ausdruck diefer Zahlbeziehung. 
Setzen wir ab=^b', fo wird [cd] ^^ [a^ab] =; [ab']. Alfo find 



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166 (»»» 

Cnach Boweis 1) die Parallologrammo cd und ob' gleich und 
gleichbezüiclinct, alfo da aucli cd und ab uac!i dur Voraus- 
setzung g-leiclie und gleiclibeaeichnctc Parallelogramnie find, 
fü find auch ab und ab' gleiche und gleichbezeichncte Paral- 
lelogramme, Nun fei AB mit a, BC mit b, BD mit h' gleich 
lang und gleichgerichtet, fo ist das Parallelogramm ABC eins der 
mit ab bezeichneten und ABD eins der mit ab' bezeichneten 
Parallelogramme. Alfo ABC mit ABD gleich und gleichbezeich- 
net, folglich da ABC und ABD auch in einer Ebene liegen, 
l'o liegen Cnach 243) C und D in einer mit AB parallelen Linie. 
Nun find BC und BD beide mit b parallel, alfo auch unter- 
einander, alfo da fie einen Punkt (B) gemein haben, fo liegen 
fie in einer geraden Linie, fomit fallen C und D, da D auch 
in der durch C mit AB parallel gezogenen geraden Linie liegt, 
zufammen, alfo find BC und BD identisch, alfo find b und b', 
von denen das erste mit BC, das zweite mit BD gleich lang und 
gleichgerichtet ist, auch unter einander gleich lang und gleich- 
gerichtet; folglich, da auch ab =b' gefetzt war, foista = l. 
Nun war 

[cd]=o[.b] 
gefetzt, alfo, da a=i ist, 

[cd] = [ab]. 
235. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro- 
dukte [ABC] und [DEF] je dreier einfacher Punkte A, B, C 
und D, E, F find dann und nur dann einander gleich, wenn 
die Parallelogramme ABC und DEF gleich und gleichbezeich- 
net find und in einer und derfelben Ebene liegen. 

Beweis \. Es feien ABC und DEF gleiche und gleich- 
bezeichnete Parallelogramme einer und derfelben Ebene, fo 
ist zu beweifen, dass [ABC] = [DEF] fei. Es feien AB mit 
a, BC mit b, DE mit c, EF mit d gleich lang und gleich- 
gerichtet, d. h. B — A = a, C— B = b, E — D = c, F--E 
= d,* fo ist (nach 244) 

**[ab] = [cd]. 
Da ferner D in der Ebene ABC liegt, und ebenfo B - A = a 
und C — B^^b Strecken diefer Ebene find, fo muss (nach 
330) D — A aus a und b numerisch ableitbar fein. Es fei 



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*** D — A = aa -i- ßb, 
fo isl 

[DEF] = [UE(F - E)] = [DCE - DXF - E)] [67] 
= [Dcd] [*] 

= [D(0(i)] [80] 

= [BC»b)] [••] 

= [oa +ßli + A)ak] [»••, 80] 

= [Aab] [67] 

= [A(a + AJCb + A)l [67] 

= [ABC] [•]. 

2. Es fei Mtiigekehrt vürausgefelzt, dass 
[ABC] = [DEF] 
ist. Dann müssen (nacli 76) D, E, F aus A, B, C diircli lineale 
Aenderung, alfo auch numerisch ableitbar fein. Dann aber 
müssen (nacli 236) D, E, F in der Ebenfe ABC liegen. Nun 
fei in der geraden Linie BC ein Punkt G von der Art ange- 
nommen, (iass AßG und DEF gleiche und gl eiclih zeichnete 
Paralielogrammu find, fo ist tnach Bew. i), da ABG und DEF 
in ein und derfelben Ebene (ABC) liegen, 

[ABG] ^ [DBF]. 
Aller auch nach der Vorausfctzung 

[ABC] = [DEF]. 
Alfo [ABG] = [ABC]. Da nun G ein l'iinlU in BC ist, fo ist 
G— Ü aus C — B numerisch ableitbar, es fei G — B^aCC — B), 
olfo G = B-f aCC-B), Ib ist [ÄBC]=[ABG]=[AB(B4-«CC— B))] 
= [ABaCC — B)]^ß[ÄBC] [67, 40]. Alfoa=l. Somit, da 
G — B=a(C — B) war, G — B = C — B, d. h. G = C; oder 
die Funkle G und C fallen zufammen; alfo fallen auch die Pa- 
rallelegramme ABG und ABC zufammen. Fvlgiich, da ABG 
und DEF gleiclie und gleiehbeaeichneto Paratlelogrumme der- 
felben Ebene find, fo gilt dies auch von ABC und DEF. 

2Sß, Zufutz. Wenn A, B, C, D, E, F einfache Punkte 
find, fo folgt ans der Gleichung 

[ABC] = [DEF] 
auch die Gleichung 

[Cß - A)CC - B)] = [(E - D)CF -El]; 
hingegen umgekehrt, aus lelzlerer die orstere nur dann, wenn 



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168 («&« 

noch die Bedingung hinzutritt, dass die Ebenen ABC und DEF 
nicht hlüss parallel, fundern auch identisch find. 

25*7. Erklärung. Wir nennen das Produkt [ABC] 
einen Fläciientheil und den Flacheninhalt des Parallelogramms 
ABC feinen Inhalt, und fagen, der Flächentheil ABC liege in 
der Ebene ABC. 

Acin. Die genauere Benennung für das Produkt [ABC] würde 
Ebeiieatheil statt Fiächentlieil fein Allein, der erstere Ausdruck ist 
wegen des Gleirliklangs Tcines Pluials „die Ebcnenthoile" mit dem 
Ausdrucki. „dit, ebenen Tlieile" zu verweifea 

298 Zulatz Zwei FlaLhentheib find dunn und nur 
dann einander gLich, wenn fie in derleiben Ebeni, hegen, 
und ihre Inhalte gleich und gleichbezcicImLl find 

Anm Man hatte als Inhalt des I lachen tlieiles [ABC] auch den 
Flaclieninhalt des Dieiecks ABC Tctzen können Aber es wird fick in 
der iolge zeigen, dass- dann der Inhalt des ii neren Quadrates einer 
btiecke nui die Hilltp ^o^ dem Inhalte des QuadratPS dicfi-i btrecku 
lein wuide m hrend beidf,' bei uuleier Benmnung in UebLieinstim 
mung i^t 

2ES9 Das kombinatorische Produkt zweier einfachei 
Punkte A, B und einer Strecke c ist ein Flächonlheil, wel- 
cher in der durch Aß mit c parallel gelegten Ebene liegt, 
und dessen Inhalt gleich dem eines Parailelograinmes ABC 
ist, in welchem ßC mit c gleich lang und gleichgerichtet ist, 
d, h. [ABc]=[ABC], wenn c = C — B. 

Beweis. [Aßc] = [ABCC - B)] = [ABC] [67]. 

2fi0. Das korabinatorisclie Produkt eines einfachen Punk- 
tes A mit 2 Strecken b und c ist ein Flächentheil, welclier 
in der durch A mit b und c parallel gelegten Ebene liegt, 
und zum Inhalt den Flächeninhalt eines Parallelogrammes (ABC) 
hat, dessen erste Seite (AB) mit b, und dessen zweite Seite 
(BC) mit c gleich lang und gleichgerichtet ist, d. h. 

[Abc] = [ABC], wennb = B — A, c = C — B ist_ 

Beweis. 

[Abc] = [A(B — AXC — B)] = [AB(C — B)] [67] 
= [ABC] [67]. 

261 a. Das Produkt «[ABC] eines Flächenlheils [ABC] 
mit einer Zahl a ist ein Flachenthci! dorfelben Ebene, dessen 
Inhalt fich zu dem von ABC wie a : 1 veriiält. 



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«««) 169 

Beweis. a[ABC] = a[ABcC — BJ] [67] 

= [ÄB-aCG-B)] [46] 

=[ABCD-B)], 
wenn BD mit BC parallel ist, und ficli zu ihm, wie «; 1 ver- 
hält. Dies ist wieder (nach 67J 
= [ÄBD] , 
d, h, gleich einem Fläclienlheil derfelben Ebene (ABC), dessen 
Inhalt dem Flächeninhalte des Parallelogramms ABD gleich ist. 
Da aber BD und BC parallel find und fich algebraisch wie 
a:l verhalten, fo verhalten tich auch die Parallelogramme 
ABD und ABC wie a:l, d. h. die InhaKo von a[ABC] und 
[ABC] wie a : I. 

261b. Wenn Ä, B, C einfache Punkte, und a, ß, y 
Zahlen find, fo ist [aA-jSB-yC] ein Flächentheil der Ebene 
ABC, dessen Inhalt zu deiti des Parallelogramms ABC ficIi 
algebraisch wie a^y.'i verhält. 

Beweis. [aA-iSB-yC] ^ a/Sj'tABC] (No. 46), alfo nach 
Ä6i bewiefen. 

2ti2. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro- 
dukte [abc] und [def] je dreier Strecken a, h, c und d, e, 
f find dann und nur dann einander gleich, wenn die Spate 
(Parallelepipeda) abc und def gleich und gleichbezoichnet find. 

Beweis I, Es fei vorausgefelzt, dass 
[abcl = [defj 
fei, fo ist zu zeigen, dass die Spate abc und def gleich und 
gleichbezeichnet find. Da [abc] ^ [def] ist, fo müssen (nach 
76) d, e, f aus a, b, c durch üneale Aenderung hervorgehen. 
Nun können wir zeigen, dass durch einfache lineale Aende- 
rung der 3 Seiten a, b, c eines Spates abc stets ein gleicher 
und gleichbezeichneter Spat hervorgehe. Die einfache lineale 
Aenderung der 3 Grössen a, b, c besteht (nach 71} darin, 
dass zu einer derfelben ein Vielfaches von einer der beiden 
andern hinzuaddirt wird, während diefe beiden andern unge- 
ändert bleiben. Es möge zuerst zu der dritten c ein Viel- 
faches von irgend einer der beiden andern, z. B. von a hin- 
zutreten, alfo a, b, c fich ändern in a, b, c', woc'=^c + aa 



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170 (»«S 

ist. Dann feien AB, BC, CD, DE lieziehlich gleich lang und 
gleichgerichtet mit a, b, c, aa, d. h. 

B — A = a,C — B = b,D — C = c,E — D=aa, 
fü ist 

E — C = E~D+D — C = aa + c = c', 
alfo CE mit c' gleich lang und gleichgerichtet. Ferner da DE 
mit a, alfo auch mit AB parallel, und folglich auch mit der 
Ebene ABC ist, fo find (nach 244) die Spate ABCD und 
ABCE gleich und gleichbezeichnet, d. h. die Spate abc und 
abc', d, h. der Spat abc bleibt gleich und gleichhezeichnct, 
wenn zu der dritten Seite ein Vielfaches von einer der beiden 
andern hinzuaddirt wird. Nun ist ferner [nach 240 Zuf.) abc 
= bca = cab, und ebenfo abc'= bc'a^: c'ab. Alfo auch da 
abc ^^ abc' war, bca = bc'a und cab^c'ab, d. h. ein Spat 
bleibt gleich und gleichbezeichnet, wenn die zweite Kante, 
und ebenfo wenn die erste Kante fich dadurch ändert, dass 
zu ihr ein Vielfaches von einer der beiden andern Kanten 
hinzuaddirt wird. Somit bleibt überhaupt ein Spat bei fortge- 
felzt wiederholter einfacher linealer Aenderung feiner Kanten, 
d. h. bei beliebiger linealer Aenderung gleich und gleichbe- 
zeichnet. Alfü da nach dem Obigen d, e, f aus a, b, c 
durch lineale Aenderung ableitbar und, fo muss nun auch der 
Spat def mit abc gleich und gleichbezeichnet fein. 

Beweis 2. Es fei jetzt umgekehrt vorausgefutzt, dass 
die Spate def und abc gleich und gleichbezeichnet feien, fo 
ist zu beweifen, dass [def] = [abc] ist. Da angenommen ist, 
dass die kombinatorischen Produkte von null verschieden find, 
fo find namentlich a, b, c nicht Einer Ebene parallel, alfo (nach 
229) d, e, f aus ihnen numerisch ableitbar, alfo auch (nach 
63) das Produkt [def] aus [abc] numerisch ableitbar. Es fei 
[def] ^= a[abc] , alfo wenn ac = c' gefetzt wird, [def] = [abo'J, 
folglich (nach Beweis 1) die Spate def und abc' gleich; nun 
waren die Spate def und abc nach der Vorausfetzung gleich. 
Alfo die Spate abc und abc' gleich. Es feien AB, BC, CD, 
CD' beziehlich gleich lang und gleichgerichlet mit a, b, c, c', 
Alfo die Spate 

ABCD = abc, ABCD' = abc', und fomit 

AßCD — AßCD'. 



yGoosle 



»«8) 171 

Folglich liegen (nach 344) D und D' in einer mit der Ebene 
ABC parallelen Ebene, D unil D' liegen aber auch in der ge- 
raden Linie CD, da CD mit c', d. h. mit ac, alfo auch mit c, 
d. h. mit CD parallel ist. Folglich liegen D und D' in dorn 
Durchschnittspunkte joner Ebene und diefer Geraden, d. h. 
fallen zufammen. Alfo find CD und CD' identisch, alfo c = c', 
alfo, vermöge der Gleichung c' = ßc, a^l; fomit verwan- 
delt fich die Gleichung [def] = a[abc] in 
[def] = [abc]. 
263. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro- 
dukte [ABCD] und [EFGH] von je vier einfachen Punkten A, 
B, C, D und E, F, G, H lind dann und nur dann einander 
gleich, wenn die Spate (Parallelepipeda) ABCD und EFGH 
gleich (und gleichbezeichnet) find. 

Beweis 1. Es feien ABCD und EFGH gleiche und 
gleichbezeichnete Spate, und feien AB, BC, CD, EF, FG, GH 
beziehlich mit b, c, d, f, g, h gleichlang und gleichgerichtet, 
d. h. B - A = b u. r. w., fo ist (nach 262) 
* [bcd] = [fgh]. 
Da ferner aus b, c, d (nach 229) alle Strecken des Rau- 
mes numerisch ableitbar find, fo muss auch die Strecke E — A 
es fein; es fei 

E- A=j3b+/c + .?d, d.h. E = A +j3b + /c + «Jd. 
Dann erhält man 

[EFGH] = [eFG(H~G)] = [EFCG — F)CH~G)] 

= [E(F - E)CG - F)(H - G)] [67]. 
Alfo, daF— E = f, G — F — g, H— G = h ist, fo erhält 
man den zuletzt gefundenen Ausdruck 

= [Efgh] = [ECfgh)] [79] 

= [ECl)cd)] [*] 

Ferner ist der gefundene Ausdruck 

= [Ebcd] [79] 

= [(A+|5b+)'C+^d)bcd] = [Abcd] [67] 

= [A{B-A)(C-B)(D-C), 
wenn wir slalt b, c, d ihre Werthe fetzen, und hieraus er- 
hall man mit Anwendung von 67 

= [ABCC — B)CD-C)] = [ABCCD-C)] = [ABCD]. 



yGoosle 



172 (»•* 

Alfo 

[EFGH] ^ [ABCD]. 
Beweis 3, Es fei umgekelirt vorausgefelzl, dass 
[ABCD] = [EFGH] 
ist, und fei in der geraden Linie CD ein Punkt D' angenommen 
von der Art, dass der Spat ABCD' mit EFGH gleich (und 
gleichbezeiclinet) fei, fo ist (nach Beweis 1) 

[ABCD'] =^ [EFGH]. 
Alfo auch, da [EFGH] = [ABCD] vorausgefelzl ist, 
[ABCD'] = [ABCD]. 
Da nun D — C und D' — C parallel find, fo ist D' — C 
aus D — C numerisch ableitbar. Es fei 

D'— C = aCD-C}, 
fo ist 

[ABCD] = [ABCD'] = [ABCCD'— C)] = [ABCa(D-C)] 

= [ABCaD] [67] 

= a[ABCD] [40J. 

Alfo, da [ABCD] nicht null ist, a=-i, alfo gehl aus der 

Gleichung (D' — C) = «(D — C) die Gleichung 

D' — C = D - C 
hervor, »Ifo D'^=D, d. h. D und D' fallen zufamnien, folg- 
lich auch die Spate ABCD und ABCD', und da das Spat ABCD' 
gleich und gleichbezeichnet mit EFGH war, fo find auch die 
Spate ABCD und EFGH gleich und glciclibezeichnct, 
3«a. Zufatz. Die Gleichungen 
[ABCD] = [EFGH] 
und 

[(B-AXC-BXD-C)] = [CF-E)CG-FXH-G)], 
oder auch| 

p-AXC-AXD-A)] = [(F-EXG-EXH-E)] 
find einander erfelzend, d. h. aus jeder von ihnen folgen die 
beiden andern. 

Beweis. Die Gleichung 
[ABCD] = [EFGH] 
gilt (nach 263) dann und nur dann, wenn die Spate ABCD 
und EFGH einander gleich und gleichbezeichnet find. Ebenfo 
gilt Oiacli 263) die Gleichung 



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»«8) 173 

[CB-AKC-BJCD-O] = [(F-EXG-PXH-G)] 
dann und nur dann, wenn das Spat, dessen drei Kanten mit 
AB, BG, CD gleich lang nnd gleichgerichtet find, dem Spate, 
dessen Kanten mit EF, FG, GH gleich lang und gleichgerichtet 
find, d.h. der Spat ABCD mit EFGH inhaltsgleich und gleich- 
bezeichnet Ist. Folglich find beide Gleichungen stets in den- 
fülben Fällen geltend. Endlich, die dritte Gleichung ist nur 
eine Transformation der zweiten, denn 
[(B-AXC-BKD-C)] 

=[(B— AXC-BXD— C + C-B+B-A) [67] 

=[CB-AXC-BXD-A)]=[(B-AXC-B+B-AKD-A)] 

[67] 
=[CB-AXC-A](D-A)], 
und aus gleichem Grunde ist 

[(F-EXG-FXH-G)] = [(F- EXG- EXH-E)]. 
AiFo find die zweite nnd dritte Gleichung gleichbedeutend. 

265. Erklärung. Wir nennen das Produkt [ABCD] 
von vier einfachen Punkten einen Körpcrtheil und den Kubik- 
inhalt des Spates ABCD (mit Beobachtung des Vorzeichens {+)) 
feinen Inhalt. 

266. Das kombinatorische Produkt dreier einfacher 
Punkte A, B, C nnd einer Strecke d ist ein Körpcrtheil, 
dessen Inhalt gleich dem eines Spates ABCD ist, in welchem 
CD mit d gleich lang und gleichgerichtet ist, d, h. 

[ABCd]^[\BCD], wenn d = D — 6. 
Beweis. [ABCd] = [ABC(Ü-C)] = [ABCD] [67]. 

267. Das kombinatorische Produkt zweier einfacher 
Punkte A, B und zweier Strecken c und d ist dem Spate fPa- 
rallelcpipedum) ABCD, in welchem BC mit c, CD mit d gleich 
lang und gleichgerichtet find, inhaltsgleich, d.h. 

[ABcd] 3= [ABCD] , wenn c = C~B, d = D-C. 
Beweis. [ABcd] 

= [AB(C— BXD - C)] = [ABC(D- C)] = [ABCD] [67]. 

268. Das kombinatorische Produkt eines einfachen Punk- 
tes A und dreier Strecken b, c, d ist dem Spate bcd inhalts- 
gleich, oder 



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[67] 
[40] 



: l ver- 



: 1 ver- 



[Abcd] = [ÄBCD], 
wenn b = B — A, c = C — B, d — D — C. 

Beweis. 
[Al)cd] = [A(B— A)(C— B)CD— CB)] ^[ABfC -BXD- C")] 
= [ABC(D— C)] = [ABCD] [67]. 

269. Das Produkt «[ABCD] eines Körpertlieils [ABCD] 
und einer Zatil ist ein Eörperthcil, dessen Inhalt DcU zu dem 
von [ABCD] wie « : 1 veHiält. 

Beweis. k[ABCD] = «[AßCCD — C)] 

= [ABC.ßCD — C)] 

= [ABCCE-C)], 
wenn CE mit CD parallel ist und fich zu ihm wie ( 
hält. Dies ist wieder (nach 67) 

^[ABCE]. 
Da aber GE und CD parallel find und lieh wie ( 
halten, fo verhalten fich auch die Spate ABCE und ABCD 
algebraisch wie «: i, d. h. die Inhalte von «[ABCD] und 
[ABCD] wie «: 1. 

270. Wenn A, B, C, D einfache Funkle, und a, ß, f, 
S Zahlen find, fo ist [«A ■ ^B ■ yC ■ rfD] ein Körpertheil, der 
fich zu ABCD wie aßyä zu 1 verhält. 

Beweis. [aA-iSB-yC-dD] = CE/9)'rf[ABCD] (nach 46), alfo 
(nach 269) bewiefen. 

A n m Blicken n ir znrück auf die verscliiedencn kombinaton sehen 
Produkte, ieren Begnff wir naher bestimmt haben, fo ergab fich für 
2 3, 4 einfache Puikte das einfache, zweifache, fechsfache des da 
Bwischtn hegenden Linien Flächen , Körjer Theiles, und liie lu^e 
hingen Gebiete wiren d e nnbcgranzte gerade Linie, Ebene der ni 
begranite Baum Ferner ebenfo wie jJer unendlich entfernte Punkt 
als Strecke \on bestimmter Länge und Ächtung ersthien, fo der 
unendliük entfernte Linientheil als begranzte Ebene von bestimmtem 
Flfiohernnhalt und bestimmten Richtungen fo der unecdhch ei tfernte 
Flitchentheil als Kdrpenaum \on bcB ti mm tem Inhalte Wenn zu einer 
Strecke oder zu einem Produkt zweier olei dreiei Sfrecken ein Punkt 
als erster Faktor hinzutrat, lo hefeite dies Piodukt denfelben Inhalt 
und diefelben Richtungen als wenn der P mkt nicht hinzutrat Durch 
das Hinzutreten des Piinktea trat zn dei bishuigen Bestimmurgpn 
(Inhalt und Richtungen) noch im ersten Fallt- die duich den Punkt 
mit der btrecke parallel {,elegle Linie im zweiten die durth dtn 
Punkt mit den beiden Sttecken paralltl gelegte Ebene hinzu, "n eiche 



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«9«) 175 

die Gebiete jener Gioasen bilden, und In verwandelte fich die Strecke 
IQ einen Linientlioil du. Flache von bestimmtem Inhalt und bestimm- 
ten Rn~htungen in das, was nii einen riadienthci! genannt haben, 
Daa Piodukt dieier Strecken «ird durch da' H nzutreten des Punktes 
nur lormell gnndcrt 

271 Wenn A, B, C, D, E, F Punkte, und a, b, c, 
d Strecken find, fu bedeutet 

1) A = B, 

dass A mit B zufammenfäüt, 

2) [AB]^[CD], 

ilass die iiiibegränzten geraden Linien AB und CD, 

3) [ABC] ^ [DBF], 

dass die unbegrenzten Ebenen ABC und DBF zufamnien fallen, 

4) asb, 
dass a mit b parallel, 

5) [ab] ^ [cd] , 

dass die Ebene, welche die Richtungen a und b enttiält, der 
Ebene parallel ist, welche die Richtungen c und d enthalt. 

Beweis. Nach No. 2 bedeutet die Kongruenz zweier 
extenfiver Grössen p^q, dass p und q in einer Zahlliezie- 
hung zu einander stehen, und keine von beiden null ist. 
Wenn das nun 1) für A und B gilt, fo müssen (nach 22!) 
ihre Orte zufammenfallen, wenn es 2) für [AB] und [CD] 
gilt, fo müssen (nach 247) die unbegränzten geraden Linien 
AB und CD zufammenfallen, wenn es für [ABC] «nd [DEF] 
gilt, fo müssen (nach 255) die Ebenen ABC und DEF zufam- 
menfallen. Endlich 4} und 5) folgen aus i) und 2J, wenn 
man die Funkte in unendliche Entfernung rückt. 

§. 4. Addition von Linien nnd Flächen. 

272. Zwei Linientheile derlelben Ebene geben zur 
Summe wieder einen Linientheil derfelben Ebene, und zwei 
Fiächentheile geben zur Summe wieder einen Flächentheil, 

Beweis. Da der Linientheil (nach 249) ein kombinato- 
risches Produkt zweier Punkte, und (nach 251) der Flächen- 
theil ein kombinatorisches Produkt dreier Punkte, und die 
Punkte (nach 238) Grössen erster Stufe find, fo find (nach 



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176 (S93 

77 b) der Linienlfieil und der Fläclientheil bezielilich einfache 
Grössen zweiter und dritter Stufe. Da ferner alle Punkte 
der Ebene fich aus dreien, aber nicht aus weniger Punkten der- 
fülbun numerisch ableiten lassen (233), fo ist (nach 14) die Ebene 
ein Gebiet dritter Stufe, und ebenfo (nach 232 und 14) der 
Raum ein Gebiet vierter Stufe. Nach 88 geben die Grössen 
(n — l)-ter Stufe in einem Hauplgebiele n-ter Stufe zur Summe 
eine einfache (d. h. als kombinatorisches Produkt darstellbare) 
Grösse (n ~ l)-ter Stufe desselben Hauptgebieles, alfo die 
Linientheile einer und derfelben Ebene einen Linientheil der- 
felben Ebene, die Flächentheüe einen Flächentheil. 

Zufatz. Dasfelbe gilt alfo aucl für melr als zwei Linien- 
theile derfelben Ebene, und für ehr ils zv Flächentheüe. 

273. Zwei endlich entfernte Lne tlele, deren Linien 
fich schneiden, geben zur Su e t en endlich entfernten 
Linientheil, dessen Linie durcl d f Ib I rchschnittspunkt 
geht, und welcher der Diagonale eines Parallelogrammes gleich 
lang und gleichgerichtet ist, dessen von derfelben Ecke aus- 
gehende Seiten den funimirten Linientbeiien gleich lang und 
gleichgerichtet find. 

Beweis. Es fei A der Durchschnitlspunkt der beiden 
Linien, und feien [AB] und [AC] die beiden Linientheile, wo 
A, B, G einfache Punkte find, fo ist 

fAB] + [AC] = [A(B + C)] :- 2[AE] , 
wenn E die Mitte zwischen B und C ist. Aber AE ist die 
halbe Diagonale des Parallelograinms GAB, alfo 2AE die ganze. 

273:. Zwei endlich entfernte, gleichgerichtete Linien- 
theile geben zur Summe wieder einen ebenfo gerichteten 
Linientheil, dessen Länge die Summe ist aus den Längen der 
Summanden, und dessen gerade Linie zwischen den geraden 
Linien der Summanden liegt und von diefen Linien im umge- 
kehrten Verhältnisse der Longen der Summanden absteht. 

Beweis, Es feien [Ap] und [Bq], wo A und B einfache 
Punkte, p und q gleichgerichtete Strecken find, diefe Linien- 
theile, und fei 1 ; a das Verhältniss ihrer Längen, d. h. (nach 
251) das Verhältniss von p zu q, alfo q:=ap, fo ist 



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«9«) 177 

[Ap] + [Bq] = [Ap] + [B - «p] = [Ap] + ß[Bp] [40] 
= [(A 4- ßB)p] = [(1 + «)S.p] [225], 
wenn S der Suramenpunkl von A und aß ist, 

= [S-() + «)p] [40] 

= [S[p4-ccp)] = [S(p + q)], 
d. h. die Summe ist ein mit den Summanden ^leichgerichleter 
Linientheil, dessen Länge (p -j- q) die Summe aus den Längen 
der Summanden ist, und dessen Linie durch S gelil. S liegt 
aber (nach 225) in der geraden Linie AB, und steht von A 
und B in dem Verhältnisse von et;!, d. h. im umgekehrten 
Verhältnisse der Summanden (p und q) ab, alfo steht auch 
die gerade Linie S(p + q) von den geraden Linien Sp und 
Sq in diefem Verhöltnisse ab. 

273, Zwei endlich entfernle, entgegengefetzt gerichtete, 
aber nicht gleich lange Linicntheile geben zur Summe einen 
endlich entfernten Linientheil, welcher dem grösseren der 
Summanden gleichgerichtet ist, dessen Länge die Differenz 
der Längen der Summanden ist, und dessen Linie ausserhalb 
der Linien der Summanden (auf der Seite des grösseren Sum- 
manden) liegt, und von diefer Linie im umgekehrten Verhält- 
nisse der Längen der Summanden absteht. 

Beweis wie in 274, nur dass man ■— a statt a felzt. 
376. Die Summe zweier entgegengefetzt gerichteter 
und gleich langer Linientheile AB und CD ist ein Strecken- 
produkt, dessen Inhalt gleich und gleichbezeichnet dem eines 
Parallelogrammes ABCD ist, welches den einen Linientheil 
(gleich viel, welchen) zur Grundleite, und den andern zur 
Deckfeite hat. 

Beweis. Wenn AB mit CD gleich lang und entgegen- 
gefetzt gerichtet ist, fo ist (nach 223 Zuf.) 

B— A = C~D. 
Alfo ist 

[AB] + [CD] = [A(B - A)] 4- [fC - D)D] [67] 

= [Ä(B - A)] + [(B - A)D] LHyp.] 

= - [CB - A)A] + [CB - A)D] [55] 

= [(ß-A)CD-A], 

d, h. gleich einem Streckenprodukt, dessen Inhalt gleich dem 



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178 t«»» 

eines Parallelogramm es ist, dessen erste Seite mit AB, und 
dessen zweite Seite mit AD gleich lang und gleichgerichtet 
ist. Dies ist aber das Parallelogramm ABCD, alfo bewiefen. 

'■111. Die Summe eines endlich entfernten Linientheiies 
[AB] und eines kombinatorischen Produktes [ab] zweier Strecken 
B null b, welche einer durch den Linientheil [AB] gelegten 
Ebene parallel find, ist ein endlich entfernter Linientheil [CD] 
derfelben Ebene, welcher mit dem ersteren gleich lang und 
gleichgerichtet ist, und fo liegt, dass das Parallelogramm ABCD, 
welches den ersten Linientheil zur Grundfeite, den zweiten 
zur Deckfeite hat, dem kombinatorischen Produkte [ab] entge- 
gengefetzt (d. h. inhaitsgleich, aber entgegengefetzt bezeicli- 
net) fei. 

Beweis. Bezeichnen wir das mit ABCD gleiche Strecken- 
produkt mit P, fo ist nach dem vorigen Satze 

[AB] + [i>C] = P, 
alfo [CD] = [Aß]— P 

= [AB] + [ab], 
da nach Hypothel'is 

— P = [ab] ist. 

278. Die Summe zweier kombinatorischer Produkte [ab] 
und [cii] von je zwei Strecken ist wieder ein kombinatorisches 
Produkt zweier Strecken, und zwar in der Art, dass, wenn 
jene in Form zweier Parallelogramme über derfelben (oder 
gleich langer und gleichgerichteter) Grundfeite dargestellt find, 
die Summe fich als Parallelogramm über derfelben (oder gleich 
langer und gleichgerichteter) Grundfeite darstellen lassl, in 
welchem die zweite Seite die Streckenfumme der zweiten 
Seilen jener Parallelogramme ist. 

Beweis. Man lege eine Ebene mit a und b parallel, 
eine andere mit c und d parallel; es fei e eine Strecke, welche 
mit der Durchschnittslinie beider Ebenen (und wenn fie fich 
nicht schneiden mit einer beliebigen Linie derfelben) parallel 
ist. Dann kann man (nach 254) [ab] auf die Form [ef] und 
[cd] auf die Form [eg] bringen, und es ist dann 

[ab] -f [cd] = [eO + [eg] = [e(f + g)], 
und dies war die verlangte Form der Summe. 



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9 SO) 179 

279. Zwei endlich entfernte Flächenlheile, deren Ebenen 
fich schneiden, geben zur Summe einen Fliichenlheil, (Jessen 
Ebene durch die Durchschnittskante jener Ebenen geht, und 
zwar, wenn die Summanden als Parallelogramme von gemein- 
schaftlicher Grundfeite dargestellt find, fo lässt fich die Summe 
als Parallelogramm darstellen, welches diefelbe Grundfeile hat, 
und in welchem die zweite Seite die StreckenTumme aus den 
zweiten Seiten der Summanden Ist, oder anders ausgedrückt: 
Die Summanden find gleich den Projektionen der Summe auf 
die beiden Ebenen der Summanden, wenn auf jede Ebene 
parallel der andern projicirt wird. 

Beweis. Es feien A und B zwei einfache Punkte in 
der Durchschnittskante jener Ebenen, und c und d zwei 
Strecken von der Art, dass die beiden zu addirenden Flächen- 
theile gleich [ABc] und [ABd] feien, fo ist 

[ABc] + [ABd] = [AB(c + d)] 
d. h. die Summe ist dargestellt durch ein Parallelogramm, in 
welchem AB Grundfeite, und c -j- d die zweite Seite ist. 

280. Die Summe zweier paralleler und gleichbezeich- 
neter (endlich entfernter) Flächentheile CEi und E^) ist ein 
ihnen paralleler und gleichbezeichnoter Flächontheil, dessen 
Inhalt die Summe ist aus den Inhalten der Summanden, und 
dessen Ebene zwischen denen der Summanden fo liegt, dass 
fie von ihnen im umgekehrten Verhältnisse der Inhalte der 
Summanden absteht. 

Beweis. Es fei E, = [Abc], wo A ein Produkt, b und 
c Strecken find, und fei von A auf die Ebene von Ej ein 
Lolh AD gefallt, j'o ist [Dbc], da beide Ebenen parallel find, 
ein Flächentheil der Ebene von E^, steht alfo zu E^ in einer 
Zahlbeziehung. Es fei Eä = a[Dbc], fo ist 

E, + E, = [Abc] + a[Dbc] ==[(A + aD)bc] 
= [Cl + «)Sbc] , 
wo S (nach 325) in AD liegt, und von A und D im Verhält- 
nisse ß:l absteht. Folglich ist die Ebene der Summe eine 
durch S mit b und c, alfo auch mit den Ebenen von Ei und 
Ej parallel gelegte Ebene, welche von diefen letzteren im 
Verhältnisse a:i absteht, d. h. im umgekehrten Verhältnisse 



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180 t»8* 

der Inhalte (bc und abc). Der Inhalt der Summe ist (nach 
260) gleich dein Inlialte von (1 -|- a)bc, d. h. =bc -|- ßhc, 
d. h. gleich der Summe der Inhalte der Summanden. 

281. Die Summe zweier paralleler und entgegengefelzt 
bezeiclineter aber nicht inhattsgleicher (endlich entfernter) 
Flächenlheile E, und Ej ist ein ihnen paralleler dem grösseren 
gleichbezeichneler Flächentheil, dessen Inhalt dio Differenz 
der Inhalte der Summanden (Ei und E^) ist, und dessen Ebene 
ausserhalb der beiden Ebenen der Snmmanden Tu liegt, dass 
fie von diefen Ebenen im umgekehrten Verhältnisse der Sum- 
manden absteht. 

Beweis wie in 277, nur dass statt a gefetzt wird — a. 

282. Die Summe zweier paralleler, entgegengefetzt be- 
zeichneter aber inhaltsgleicher (endlich entfernter) Flächen- 
theile Ej und E^ ist gleich einem kombinatorischen Produkte 
dreier strecke d zwar ist der Inhalt diefes Produktes 
gleich aber e tgegengefetzt bezeichnet dem eines Prisma's, 
welches E ils Gr dfläche hat und dessen Deckfläche in der 
Ebene on E 1 egt 

Bewe s E lei Ei=[Abc], Ej = ~[Dbc], fo ist 
El + E^ =^ [Abc] — [Dbc] = [(A - D^hc] 
= - [(D - A)bc]. 
Aber [(D - A)bcl ist (nach 58} = [bc(D — A)], und dies 
letztere ist (nach 262) dem Inhalte eines Spates gleich, dessen 
erste Seite mit b, dessen zweite Seite mit c und dessen dritte 
Seile mit (D — A) gleich und gleichgerichtet ist, alfo dessen 
Grundfläche Abc ist und dessen Deckfläche durch D gelit, alfo 
bewielen. 

283. Die Summe eines endlich entfernten Flächentheils 
El und eines kombihatoriscben Produktes P dreier Strecken, 
äst ein dem ersten parallel gelegener, inhaltsgleicher und gleich- 
bezeichneter Flächentheil E^, welcher fo liegt, dass der Spat 
(Parallelepipedum), welcher den ersleren Flachenthoil zur Grund- 
fläche hat, dem gegebenen kombinatorischen Produkte P der drei 
Strecken inbaltsgleich und gleichbezeichnet ist. 

Beweis. Nach 282 ist 

El - Ej = — P, alfo 
Ej=Ei-i-P. 



yGoosle 



»9») 181 

284. Die Summe dreier FIHchenlheilc (Ei, Ej, E,), deren 
Ebenen fich in einem Eckpunkte CI*) schneiden, ist ein Fläclicn- 
tiiail CE4), dessen Ebene durch denfelben Eckpunkt (D) geht; 
und fo beschafft'« ist, dass, wenn man dioren Fiachenthell (E4) 
nach und nach auf jede der drei Ebenen parallel der Durch- 
schnittslinie der beiden andern projicirt, diefe Projektionen den 
Summanden (Ei, Ej, Eg) gleich find. 

Beweis. Es feien die Kanten, in welchen fich bezJeh- 
lich die Ebenen Ej «nd Ej, E3 und Ei, Ei und E, schneiden, 
den drei Richtungen a, b, c parallel, fo ist zunächst zu be- 
weifen, dass Ei, Ea, E3 die Projeclion von E4 auf die Ebenen 
El, E5, E3 nach den Richtungen a, b, c feien. Um dies zu- 
erst für El zu beweifen, fei Ej -f-E^^E' gefetzt, fo ist a 
(nach der Annahme) mit der Durchschnitlskanle der beiden Ebe- 
nen El und Es parallel; alfo auch (nach 2793 mit E'. Projicirt 
man nun Ej auf die Ebene Ei nach der Richtung a, fo ist, da 
a mit E' parallel und Ej :=E' + Ei ist, diefe Projeclion =:^Ei 
(nach 379). Auf gleiche Weife folgt, dass die Projeclion von 
E4 auf die Ebene Ej nach der Richtung b, gleich Ej, und 
die auf die Ebene E3 nach der Richtung c, gleich E3 ist. End- 
lich muss auch Ej durch D gehen; denn (nach 279) haben 
E', Ej und E3 , vermöge der Gleichung E' =^ Ej + E3 , diel'elbe 
Kante gemein, aifo auch den Punkt D, der (nach der Hypo- 
thefis) in Ej und E3 liegt; ferner haben nach demfelben Satze 
Ei, E', El, vermöge der Gleichung E4 = E' + Ej, diefelbe 
Kante gemein, alfo auch den Punkt D, der, wie wir bewiefen, 
in E' und nach der Vorausfelzung auch in Ei liegt, d. h. E4 
geht auch durch D. 

2S5. Eine Summe S von Linienlheilen lässt fich stets 
auf eine Summe zweier Linientheile zurückführen, und zwar 
kann man für den einen diefer beiden Linientheile einen Punkt 
(A), durch welchen die Linie desfelben gehen foll, und für 
den andern eine Ebene BCD, in welcher die Linie desfelben 
liegen foll, willkürlich annehmen, nur dass der Punkt A nicht 
innerhalb der Ebene BCD liegen darf. 

Beweis. Da A, B, C, D nicht in einer Ebene liegen, 
fo kann man aus ihnen (nach 232) alle Punkte des Raumes 



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182 C«»» 

numerisch ableiten, und alfo auch die Punkte, durch deren 
Multiplikation zu je zweien die Linientheile entstanden find, 
deren Summe S ist. Löst man, nachdem man diefe Ableilungs- 
ausdrücke eingeführt hat, alle Klammern auf, und fetzt (nach 
55) [BA] = — [AB], [CA] = — [AC], [DA] ^ - [AD], [CB] 
= — [BC], [DB] = — [BD], [0C] = — [CD], fo erhält man 
einen Ausdruck der Form 

S=<AB] +^[AC] +>'[AD] +.*[BC] +e[BD] +t[CD], 
wo a, ß, Y, 3, ^, ? Zahlen find, Dies ist aber 

= [ACaß +^C +rl>)] ^- rf[Bn] + E[BD] + ?[CD]. 
Ersteres giebt Cnach 323 und 253) einen Linienthcil, und 
(J[BC] + £[BD] + t[CD] giebt (nach 372 Zuf.) einen (endlich 
oder unendlich entfernten) Linientheil der Ebene ßCD, allo 
bewiefen. 

2SU. Eine Summe S von Linientheilen ist dann und 
nur dann wieder ein Linientheil, wenn 

[SS] = 
ist. 

Beweis 1. Wenn S ein Linientheil = [AB] ist, fo ist 

[SS]^[ABAB] = [60]. 

3. Wenn [SS]=0 ist, fo fei S (nach 285) zurückge- 
führt auf 2 Linientheile, und S = [AB] + [CD], fo wird 

0=:[SS] = [CAB-f-CD)CAB4-Cü)]=i;ABCD] + [CDAB], 
da [ABAB] und [CDCD] (nach 60) null find. Es ist aber (nach 
58) [CDAB] = [ABCD], alfo 

= 3[ABCD], oder = [ABCD], 
d.h. A, B, C, D liegen in Einer Ebene (nach 336), alfo ist 
( i ''7'>) AB + CD n L'n'entl il 



yGoosle 



§. 5. Planimetriaehe und stereometrische Multiplikation. 

28?. Wenn a, b,--- die Sliifenzahloti eines reinen 
Produktes P (114), n die des Hauptgebietes, v die StufenzaM 
des verbindenden, g die des gemeioschafliiclien Gebietes (15) 
und p die des Produktes ist, und n — a ^a', n — b = bV • ■, 
n — g^=^' gefetzt wird, fo ist, 

1) wenn das Produkt P ein progressives ist, P dann 
und nur dann von null verschieden, wenn 

v^& + b -[-.■. 
ist, und zwar ist dann p^^i', 

2) wenn das Produkt P ein regressives ist, fo ist P dann 
und nur dann von null verschieden, wenn 

g' = a' + b'-f-.- 
ist, und zwar ist dann p^^g. 

Beweis i. Wenn das Produkt P ein progressives ist, 
fo kann man die Faktoren (nach il9b) in lauter Faktoren 
erster Stufe auflöfen; die Anzahl diefer Faktoren erster Stufe 

ist (nach 77) a + b H , ihr Produkt ist (nach 61 und 66) 

dann und nur dann von null verschieden, wenn die Faktoren 
erster Stufe in keiner Zahlbeziehutig zu einander stehen, d. h. 
(nach 23) wenn das verbindende Gebiet von (a -[- b +■ ■ •')'Kßx 
Stufe, alfo v = a -h b -J ist. Dann ist die Stufe des Pro- 
duktes (nach 77) — a -f b -J , d. h. = f. 

3. Wenn das Produkt P ein regressives ist, fo gilt der 
Satz zunächst für zwei Faktoren, Denn nacii 109 ist P dann 
und nur dann von null verschieden , wenn g^^a-|-b — n,d, h. 
n — g^=n — a + n — b, alfo 

g' = a' + !>' 
ist. Nach 95 ist ferner p:^a-i-b — n, alfo ^ g. Somit 
gilt der Satz für zwei Faktoren. Aus ihm erhält man aber 
durch wiederholte Anwendung den Satz für beliebig viele Fak- 
toren. 

Anm. Diefer Satz hätte nach 119b folgen Collen, und ist dort 
nur duvcli ein Verfelicn ausgelassen. 

288. Erklärung, Unter der planimelrischen Multi- 
plikation verstehe ich die auf eine Ebene bezügliche, unter 



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der s l er eome tri sehen die auf den Raum (als Gebiet vierter 
Stufe) bezügliche Multipliliation. 

äSO. Bas planimelrische Produkt zweier Linienlheile 
[AB] und [AC], deren Linien ficli in endlicher Entfernung 
schneiden, ist ein Punkt, dessen Ort der DurchscJinittspunkt 
(A) jener Linien, und dessen Koefficient, wenn A, B, C ein- 
fache Punkte find, gleich dem Inhalte des Parüilelogranims 
ABC ist, d. h. 

[AB-AC1 = [ABC]A. 
Beweis nach 104. 
Anm. Da bei der planimetri seilen Multiplikation (gemäas 94) ein 
FlBehcntheil al^ Einlieit angenommen werden muss, fo ist der Koef- 
ficient [ABC] eine Zahl, alfo [ABCJA in der That ein (einfacher oder 
Yieifaclier) Pnnkt. 

200. Das planinietrisühe Produkt zweier paralleler Li- 
nienlheile [AB] und [CD] ist eine Strecke, welche den heiden 
Linien parallel ist, und welche ficIi zur Sirecke AB algebraisch 
wie das Parallelogramm BCD zur Einheit verhält. 

Beweis. Da AB mit CD parallel ist, fo stehen C"ach 
231) die Strecken A — B und C — D in einer Zahlbeziehung. 
Es fei C — D = «CA — B) , Ib wird 

[AB.CD] = [CA — B)B-(C - D)D] [67] 

= ß[CA ~ B)B . CA — B)D] [Annahme] 
= «[( A — B)BD]CA — B) [104] 

— [CC — D3BD](A ~ B) [Annahme] 

= [CBD](A — B) [67] 

■= [ßCD](B - A) [Ö5], 

d. h. [AB-CD] ist gleich einer Strecke, die mit AB parallel 
ist, und rieh zu AB algebraisch verhält wie [BCD] zu 1. 

291. Das planimelrische Produkt eines Linientheiics 
[AB] und eines Punktes C ist, weniiA, B, C einfache Punkte 
Hnd, gleich dem Inhalte des Parallalogramras ABC, alfo null 
nur dann, wenn A, B, C in gerader Linie liegen. 

Beweis nach 355. 

292. Das planimelrische Produkt dreier Linienlheile 
[AB], [ÄC], [BC], welche die Seilen eines Dreiecks bilden, 
ist, wenn A, B, C einfache Punkte find, 4mal fo gross als 



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«»«> 185 

dHs Quadrat diefes Dreiecks, oder gleich dem Quadrate des 
Parallelogramms ABC, d. li. 

[AB-AC-BC] = [ABC]^ 
Beweis. Es fei [ABC] ^=a. Dann fetze man A, ;= Ä : a, 
fo ist [AiBC] = l, alfo (nach 112) 

[AiB-A,C.BC] = l, 
alfo 

[AB-AC-BC]=ß'=[ABCp. 

An in. Wir Mtten die Formel aucli schreiben können: 
[AB-BC-CAl = [ABC]a. 

293. Das planimctrische Produkt zweier Grössen erster 
oder zweiter Stufe ist dann und nur dann null, wenn die 
Grössen incidenl find, d. li. zweier Punkte, wenn ihre Orte 
zufanimen fallen, zweier Linienlheile, wenn ihre Linien zufam- 
menfallen, eines Linientheiles und eines Punktes, wenn der 
Ort des Punktes in die Linie (jenes Linientheiles) fallt. 

Beweis nach 287. 

294. Das planimelrische Produkt zweier nicht incidenter 
Linientheile ist dem Durchschnittspunkte ihrer Linien kon- 
gruent, d. h. 

[AB-AG] = A. 
Beweis. [ABAC] -=[ABC]A (f. o,), alfo da [ABC] 
eine Zahl ist, ~ A (nach 2). 

295. Das planimetrische Produkt dreier Linienlheile ist 
dann und nur dann null, wenn ihre Linien fich in einem (end- 
lich oder unendlich entfernten) Punkte treffen. 

Beweis nach 387. 

296. Das stereomelrische Produkt zweier Flächentheile 
[ABC] und ABD, deren Ebenen fich in endlicher Entfernung 
schneiden, ist ein Theil diefer Durchschnittslinie, und zwar 
verhält fich derfelbe, wenn A, B, C, D einfache Punkte find, 
zu AB algebraisch wie der Spat (das Parallelepipedum) ABCD 
zur Einheit, 

Beweis. [ABC-ABD] = [ABCD][AB] [104]. 

Anm. Da bei der st^i^eonletri3cllon Multiplikation (nach 94, 388) 
ein Körpertlieil als Einheit genommen iet, fo ist [ABCD] eine Zahl, 
und allo [ABODUAB] in der Tliat ein Linicntbeil. 

12" 



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186 C«»* 

Q91. Das stcreomelrische Produkt zweier Fiäclientlieiie 
[ABC] und [DE F], deren Ebenen parallel find, ist ein Produkt 
zweier Strecken, weiche diefen Ebenen parallel find, und 
zwar Yerhält l'icli der Inhalt diefes Produktes, wenn Ä, B, C, 
D, E, F einfache Punkte find, zu dem des Parallelogramms 
ABC algebraisch wie der Spat (das Parallelepipedum) ADEF 
zur Einheit. 
Beweis. 

[ABC- DEF] ^[A(ß — A)(C— A) ■ DCE— DXF— D)J [67]. 
Da nun nach der Annahme die Ebenen ABC und DEF parallel 
find, fo find (nach 230) E — D und F — D aus B — A und 
C — A ableitbar, alfü auch das Produkt der ersleren aus dem 
der letzteren. Es Tui B — A mit p und C — A mit q bezeich- 
net, £o ist [CE — DXF — D)] aus [pq] ableitbar, und lei 
= «[pq] , fo ist 

[ABC-DEF] = [Apq-aDpq] = tt[Apq-Dpq] [40] 
= «[Ar>pq][pq] [107] 

= [ADCE — D}(F-D)][pq] [Annahme] 
= [ADEF]Cpq] [(57]. 

298. Das slereometrische Produkt zweier Linientheüo 
[AB] und [CD], und ebenl'o das eines Flächentheiles [ABC] 
und eines Punktes, ist, wenn A, B, C, D einfache Puuklc 
find, gleich dem Spate ABCD. 

Beweis. [AB- CD] = [ABC-D] = [ABCD] [80]. 

299. Das stereometrische Produkt dreier Flächentheile 
[ABC], [ABD], [ACD], welche fich in einem endlich entfern- 
ten Funkte A schneiden, ist ein vielfacher Punkt, dessen 
Ort der Durchschnittspunkt A ist, und zwar, wenn A, B, C, 
D die einfachen Ecken eines Tetraeders find, fo ist der zu 
jenem Punkte gehörige Koefficient gleich dem Inhalte des 
Spates (Parallelepipedums) ABCD. 

Beweis. Es fei [ABCDj=a, und fei Bi=B:a, fo 
ist [ABiCD] = I, aifo (nach H3) 

[AB,C-AB,D-ACD] = A, aifo 

[ABC- ABD. ACD] = ß^A = [ABCD]'A. 

300. Das stereometrische Produkt von vier Fiächen- 
theilün [ABC], [ABD], [ACD], [BCD] ist, wenn A, B, C, 



yGoosle 



SOJ) 187 

D die einfachen Ecken eines Tetraeders find, gleich der 
drillen Potenz des Spates (Parallelepipedums) AßCD, 

Beweis. Es fei [ABCD] = k, und fei Ai=A:ß, fo 
ist [A,BCD]=:i, alfo (nach 112) 

[AiBCA,BD-AiCDBCD] — 1, alfo 
[ABC-ABD-ACD-BCD]=öä = [ABCD]^ 

301. Das stereometrische Produkt zweier Linientheile 
ist dann und nur dann null, wenn ihre Linien in einer Ebene 
liegen; das stereometrische Produkt zweier Grössen, welche 
von erster, zweiter oder dritter Stufe, aber nicht beide zu- 
gleich von zweiter Stufe find, ist dann und nur dann null, 
wenn die Grössen incident find, alfo zweier Punkte, wenn 
ihre Orte zurammenfallen , zweier Flächentheile , wenn ihre 
Ebenen zufammenfallen, eines Punktes und eines Linien- oder 
Flächentheiles, wenn der Punkt in der Linie oder Ebene des 
letzteren liegt, eines Linientheiles und eines Flächentlieiles, 
wenn die Linie des ersleren in der Ebene des letzteren liegt. 

Beweis No. 287. 

302. Das stereometrische Produkt zweier nicht inci- 
denter Flächentheile ist der Durchschnittslinie ihrer Ebenen 
kongruent. 

Beweis. Es feien a, b, c, d vielfache Punkte, fo ist 
[abc ■ abd] = [abcd] [ab] 
s[ab], 
da [abcd] eine Zahl ist. 

303. Das stereometrische Produkt eines Flächenlheiles 
und eines Linientheiles, der nicht in der Ebene des erstcren 
liegt, ist dem Durch Schnitts punkte der Ebene und der Linie 
kongruent. 

Beweis, [abc ■ ad] = [abcd] a 

wo wieder a, b, c, d vielfache Punkte find. 

304. Ich bezeichne bei der planimetrischen Multiplika- 
tion das Produkt [ab] zweier Strecken a und b, wenn das 
Parallelogramm ab gleich dem als Einheit angenommeneu Fla- 
cheninhalte ist, mit U, und ebenfo bezeichne ich bei der ste- 
reometrischen Multiplikation das Produkt [abc] dreier Strecken 



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188 Ca»* 

a, b und c, wenn der Spat (Parallelepipedum) abc gleich dem 
als Einheit angenommenen Körperraume ist, mit U. Wenn 
beide unterschieden werden Tollen, To werde ich jenes mit Uj^ 
dieres mit Ug bezeichnen. 

303. Wenn a ein vielfacher Punkt, AB ein Linientheil, 
ABC ein Flächentheil ist, und A, B, C, einfache Punkte find^ 
fü ist 

[all] der Koefficient v()n a, 

[ABÜJ gleich der mit AB gleich langen und gleichge- 
richteten Strecke ^(ß — A), und 

[ABCU] gleich dem mit dem Parallelogramm ABC glei- 
chen und parallel gelegenen Streckenprodukte 
= [CB-AXC-A)]. 
Beweis. Es fei a = aA und U = [bcd], wo b, c, d 
[nach 304) Strecken find, und der Spat bcd gleich 1 ist, 
fo ist 

[aü] = [aAbcd] = a[Abod] = a, 
da [Abcd] (nach 268) mit [bcd] inhallsgleich und gleich be- 
zeichnet, alFu gleich 1 ist. Ferner 

[ABU] = [AB-bcd] = [A(B — A)-bcdl [67]. 

Da hier B — A als Strecke aus b, c, d numerisch ableitbar 
ist (nach 229), fo ist (nach 108) 

[A(B - A3 ■ bcd] = [Abcd][B - A] = [B — A] , 
da [Abcd] = I ist. Ferner 

[ABCU]=[ABC.bcd]^[ACB-A)(C-A)-bcd] [67]. 
Da hier B — A und C — A Strecken, alfo aus b, c, d nu- 
merisch ableitbar find (nach 229), fo ist [CB — A)CC — A)] 
dem [bcd] untergeordnet, alfo 

[A(B— A)CC— A)-hcd]=[Abcd][B-A)CC— A)] [108] 
= [(B-A)CG-A)], 
da [\bcd]=:l ist. 

Anm Diefe Grossen faU), [ABU], [ABCU] find ea, welche ich 
m der eisien Bearbeitung der Auadelinungslehre von 1844 (pag 159) 
die Ausdehnungen der Girtseett a, [AB], [ABC] genannt, und dafür 
eine eigene Bezuohrnng emgetuhrt habe, die nunmehr durch die An- 
wendung dei unendlich entfernten Einheit (U) iiberflusiig gemndit 



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§. 6, Besondere Gesetze für ein gleich Hnll gesetztes 
planimetrisches Produkt. Ebene Kurven. 

306. Die Gleichung' eines Punktes x, der mil den 
Punkten a, b in einer geraden Linie Hegt, ist 

[x.l)]=0. 
Beweis. Denn (nach 245} ist [xab] dann und nur dann 
null, wenn x mit a, b in einer geraden Linie liegt. 

An 111. Da es bei den gleich null gefetzten Produkten nie auf den 
metrischen Wertli der Faktoren ankommt, fo brauchen einfaclie und 
vielfache und unendlich entfernte Punkte nicht mehr unterschieden 
zu werden, und iek will deshalb für diefelben überall die gleiche Be- 
zeichnung durch kleine lateinische Buchataben wählen, während ich 
zur Bezeichnung der Linieiitheile, oder, da ea hier auf ihre Grösse 
nicht ankommt, der geraden Linien, die grossen lateinischen Buch- 
staben w&lüe. 

307. Die Gleichung einer geraden Linie X, die mit 
den geraden Linien A und B durch denfelben Punkt gehl, ist 

[XAB] = 0. 
Beweis nach 301. 

308. Die Slufenzahl eines planimetrischen Produktes 
aus beliebig vielen Faktoren, mögen diefelben nun Grössen 
erster oder zweiter Stufe fein, ist der Summe der Stufen- 
zahlen aller Faktoren kongruent in Bezug auf den Modul. 3. 

Beweis nach 96. 

309. Wenn ^n,^ ein planimetrisches Produkt nullter 
Stufe ist, welches den Punkt x n-mal, und ausserdem' nur 
konstante Punkte und Linien als Faktoren enthält, fo ist 

%.. = 0, 
wenn ihr nicht jeder Punkt x genügt, die Punkt -Gleichung 
einer algebraischen Kurve n-ter Ordnung, d. h. es drückt die 
Gleichung aus, dass der Punkt x in einer algebraischen Kurve 
n-ter Ordnung liegt. 

Beweis. Es feien a, b, c drei beliebige, nicht in gerader 
Linie liegende Punkte, z. B. a ein einfacher Punkt, b und c 
zwei gegeneinander fenkrecbtc und gleich lange Strecken 
(unendlich entfernte Punkte), fo find alle Punkte der Ebene 



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190 C«iO 

aus a, b, c numerisch ableitbar, alfo namentlich der Punkt x; 
es füi 

X = Xja -|- Xjb -f- XaC 
Führt man diefcn Ausdruck statt x in die Gleichung 

ein, und löst die rämmtlichen Klammern, welche nun in dem 
Produkte ^n/s den Ausdruck (xja -f- x^b + XgC) einschliessen, 
auf, fo erhält man eine in Be7.ug auf Xj, x^, x^ homogene 
Gleichung n-ten Grades, deren Glieder alle die Form SIx^x^x', 
haben, wo a-|-6-I-c = n ist, und wo 9t ein Produkt kon- 
stanter Linien und Punkte, und zwar ein Produkt nullter Stufe 
ist, da die Stufenzahlen der Faktoren nicht geändert find, Alfo 
ist 31 als Grösse nullter Stufe eine Zahl, und die Gleichung 
alfo eine gewöhnliche Zahlgleichung geworden, welche in Be- 
zug auf Xi, X2, Xj homogen vom n-len Grade ist. Es find 
aber, wenn a ein einfacher Punkt und b und c zu einander 

fenkreelite gleich lange Linien find, — und ~ die gewöhn- 
lichen Koordinaten des Punktes x, alfo, wenn die Gleichung 
nicht identisch =0 ist, die durch fie dargestellte Kurve eine 
algebraische Kurve von n-ter Ordnung. 

310. Wenn ^(n,X) ein planimetrisches Produkt nullter 
Stufe ist, welches die gerade Linie X n-mal und ausserdem 
nur konstante Punkte und Linien als Faktoren enthält, fo ist 

^Cn,X) = 
dio Linien-Gleichung einer algebraischen Kurve n-ter Klasse, 
oder -einfacher ausgedrückt, fo ist der geometrische Ort für 
die Linie X, welche diefer Gleichung genügt, ein Ort n-ten 
Grades, 

Beweis genau wie in 309, 

311. Wenn ^n,x ein slereometrisches Produkt nullter 
Stufe ist, welches den Punkt x n-mal, und ausserdem nur 
konstante Punkte, Linien und Ebenen als Faktoren enthält, 
fo ist 

^„,^ = 
die Punktgleichung einer algebraischen Oberfläche n-ter Ord- 
nung, oder einfacher ausgedrückt, fo ist der geometrische Ort 



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813) 191 

des Punktes x, welcher <ier obigen Gleichung genügt, ein Ort 
n-len Grades; vorausgefelzl jedocli, <Jass nicht jeder Punkt x 
der obigen Gleichung genügt, 

Beweis, Es Teieii a, b, c, d vier beliebige Punkte, die 
nicht in Einer Ebene liegen, z, B. a ein einfacher Punkt, l, 
c, d drei gegeneinander fenkrechte und gleich lange Strecken 
Cunendlich entl'ernte Punkte), fo lässt fich (nach 232) x aus 
a, b, c, d numerisch ableiten. Es fei 

X = Xia + Xjb = X3C + Xjd, 
wo Xi, Xj, Xg, Xj Zahlen find. Führt man diefen Ausdruck 
statt X in dem Produkt Va,x überall ein, und lösst die Klam- 
mern auf, fo erhalt man lauter Glieder der Form Slx^x^jXjx^^ 
wo fl -f 6 + c 4- ti = n, und 9( ein Produkt nullter Stufe, alfo 
eine Zahl ist. Somit ist die entstehende Gleichung eine Zahl- 
gleichung, welche in Bezug auf Xj, x^, Xg, X4 homogen vom 
n-ten Grade ist; falls nicht etwa die fämmtlichen Koefficienten 
St u. f. w. Null find, d. h. der Gleichung durch jeden Punkt x 

genügt wird, was oben ausgeschlossen war. Nun find — , 

— , — die gewöhnlichen Koordinaten des Punktes x, weil 
Xi Xi ^ ' 

nämlich x ^ x/ a -| — ^b ~{ — ^c -j — ^d \ alfo x ^ a -J — % 

N. X] X^ Xi y Xi 

-}- — c -[ — ^d ist. Somit ist der geometrische Ort von x eine 
Oberfläche n-ter Ordnung, 

312. Wenn^Cn,^) ein stereomelrisches Produkt nuilter 
Stufe ist, welches die Ebene 5 n-mal als Faktor enthält, und 
ausserdem nur konstante Punkte, Linien und Ebenen, fo ist 

die Ebenen-Gleichung einer algebraischen Oberfläche n-ter 
Klasse; vorausgefetzt, dass nicht jede Ebene | der Gieichung 
genügt. 

Beweis wie in 311. 

313. Ein planimelrisches und ebenfo ein stereometrischcs 
Produkt bleibt fich felbsl kongruent, wenn man statt eines 
beliebigen Faktors desfefben einen ihm kongruenten fetzt, oder 



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in (ai* 

ihn mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl [einer 
Grösse nullter Stufe) nniltiplicirt oder dividirt. 

Beweis. Zwei Grössen A und B heissen (nach 3) 
kongruent, wenn zwischen ihnen eine Gleichung der Form 
A = nB besieht, in welcher n eine beliebige von Null ver- 
schiedene Zahl (pofilive, ganze oder gebrochene, rationale 
oder irrationale) bedeutet. Setzt man nun in einem Produkte 
PC-l), welches den Faktor A enthält, statt A eine ihr kon- 
gruente Grösse uA, fo wird P(nJ) (nach 40) =^np(^), aUo 
mit P(^) kongruent. 

Anm. Eia Produkt nullter Stufe ist nach dem ongefillirten Be- 
griffe dann und. nur daun einem anderen kongruent , wenn fie entweder 
beide zugleich null, oder beide zugleich toq Null verachieden find. 
Somit schliesat der Satz dies ein, dass wenn man in einem Produkte 
nullter Stufe statt eines belicbigea Faktors einen ihm kongruenten 
fetzt, das Produkt null bleibt, wenn es null war, und von Null ver- 
schieden bleibt, wenn es von Null verschieden war. Da os in der 
ganzen folgenden Behandlung nur auf die Kongruenz ankommt, fo 
werde ich statt der Linientheile und der Flächentlieile überall gerad,. 
Linie und Ebene fetzen. 

314. Ein plani metrisch es , und ebenfo ein stereometri- 
sches Produkt Weiht fich Telbst kongruent, wenn die beiden 
Faktoren, aus denen es besteht, vertauscht, d. h, [AB]^ [ßA], 
was auch A und B für Grössen feien. 

Beweis nach 120. 

313. Ein planimetrisches Produkt dreier Punkte oder 
dreier Linien, eiienfo ein stereometrisches von vier Punkten 
oder Ebenen bleibt fich felbst kongruent, wenn man feine 
Faktoren beliebig ordnet und zufammenfasst. 

Beweis. Denn da das Produkt dann (nach 114) ein 
reines ist, fo gelten für dasfelbe die Sätze 120, HOa. 

31ß. Ein planimetrisches, und ebenfo ein stereomelri- 
sches Produkt bleibt fich felbst gleich, wenn man zwei un- 
mittelbar auf einander folgende, einander incidentc Faktoren 
desfelben (namentlich eine gerade Linie, oder eine Ebene und 
einen in ihr liegenden Punkt) verlauscht. 

Beweis nach 123. 

317. Ein planimetrisches, und ebenfo ein stereometrl- 
.sches Produkt iiulllor Stufe bleibt fich felbst kongruent, wenn 



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3««> 193 

man die Ordnung der Faktoren umkehrt, oder die Reihe belie- 
big vieler letzter Faktoren in eine Klammer seliliesst und 
umkehrt, 

Beweis nach 126. 

318. Ein stereomelrisches Produkt von drei oder vier 
Punkten, oder von drei oder vier Ebenen, oder von zwei 
Punkten und einer Geraden, oder von zwei Ebenen und einer 
Geraden bleibt fich feibst kongruent, wenn man feine Faktoren 
beliebig ordnet und zurammenfasst. 

Beweis. Denn da das Produkt dann (nach 114) jedes- 
mal eil) reines ist, fo find hier die Sätze 119 a und 120 
anwendbar. 

319. Ein stereonietrisches Produkt [aBC] von einem 
Punkte a wnd zwei geraden Linien B und C, welclie fielt 
schneiden, bleibt ficli feibst kongruent, wenn man diefe 
geraden Linien vertauscht, d. h. 

[aBC]^[aCB], wenn ß und C fich schneiden. 
Beweis nach 124 e. 

Anm. Hiermit find alle Fälle der Vertan seh barkeit für plaiii- 
metrische und sLereometrische Produkte erscliöpft. (Vergl. 121.) 

320. Wenn in einem planimetrischen Produkte der Form 
[xaBcD-'-] d. h. in welchem auf den Punkt x abwechselnd 
Punkte und gerade Linien folgen, oder in dem planimetrischen 
Produkte [XßcD---], in welchem auf die Linie X abwechfelnd 
Linien und Punkte folgen, kein Faktor dem nächstfolgenden 
incidenl ist, fe ist dasfelbe von Null verschieden. 

Beweis. Angenommen fei, dass von den Grossen x, a, 
B, c, D-'- keine zwei aufeinander folgende incident feien, 
dann find x und a zwei nicht incidente Punkte, ihr Produkt 
allo eine von Null verschiedene, gerade Linie, diefe gerade 
Linie ist nicht mit B incident, da a nicht in B liegt, aifo ist 
ihr Produkt [xaB] ein von Null verschiedener Punkt der gera- 
den Linie B; diefer kann nicht mit c zufammenfallen, da c 
nicht in B liegt, alfo ist ihr Produkt [xaBc] eine von Null 
verschiedene, durch c gehende gerade Linie, diefe kann nicht 
mit D zufammenfallen, da c nicht in D liegt, alfo ist ihr 
Produkt [xaBoDl ein von Null verschiedener Punkt der gera- 



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den Linie D u. f. w. Setzt man xa^^=X, fo geht der zweite 
Theil des Satzes liorvor, 

331. Wenn in einom sloreümetrisclien Produltte tier 
Form 

[xaj?cd----], 
d. h. in welchem auf den Punlft x abwechTelnd Punkte niid 
Ebenen (die hier mit griechischen Buchstaben bezeichnet l'ind) 
folgen, oder in dem stereometrischen Produltte 

in welchem auf die Ebene | abwechi'elnd Ebenen nnd Punkte" 
folgen, kein Faktor dem nächstfolgenden incideut ist, fo ist 
dasfelbe von Null verschieden. 
Beweis wie in 320. 

322. Wenn in einem stereometrischen Produkte der 
Form 

[xABC.--] otler [5BC--.], 
(I. h. in welchem auf den Punkt x oder die Ebene | lauter 
gerade Linien als Faktoren folgen, die beiden ersten Faktoren 
einander nicht incident find, und keine der Linien die nächst- 
folgende schneidet, fo ist dasfelbe von Null verschieden. 

Beweis. _ Da x nicht In der geraden Linie A liegt, fo 
ist [xA] von Null verschieden, und zwar der durcii x und A 
gelegten Ebene kongruent; in diefer Ebene kann die gerade 
Linie B nicht liegen, da fio fönst die gerade Linie A derfelben 
Ebene (wenn imch in unendlicher Entfernung) schneiden 
musste, gegen die Annahme, alfo ist das Produkt [xAB] der 
Ebene [xA] und der geraden Linie B von Null verschieden, 
und zwar (nach 303) kongruent dem Durchsehniltspunkte 
beider; da diefer in B liegt, alfo nicht in C (da B und C fich 
nicht schneiden), fo ist das Produkt [xÄBC] eine, von Null 
verschiedene durch C gehende Ebene u. f, w. Der zweite 
Theil des Satzes folgt, wenn man [xA]=? fetzt. 

Anm. Die an gefillirtcn Sätze reichen bin, um die vorher aiil'gc- 
Stellten Formeln für Kiiiven. und Oberflächen mit der grögsteii Leich- 
tigkeit ZV. disliutiren, wozu ich die folgenden zwei Beispiele wähle. 

323. Die Gleichung eines Kegelschnittes, der durch 
die fünf Punkte o, b, c, d, e geht, von denen keine drei 
in einer geraden Linie liegen, ist 



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[xa(cd)(ab-(le)(bc)ex] = 0, oder 

ixaBc,Dex] = 0, 
wo B = [c(!], Ci — [ab-de], D^[bc] ist. 

Beweis, Das Produkt der linken Seite ist, da die Scmime 
der Stil Ten zahlen 12 durch 3 theilbar ist, von nullter Stufe. 
Dass nicht jeder Punkt x der Gleichung genügt, davon über- 
zeugt man fleh leicht. Zieht man z. B. eine Linie ap, die niclit 
durch e geht, und nimmt an, x foUe in diefer geraden Linie 
liegen, aber nicht in a, (o ist [xa]^[pa], fomit können wir 
(nach 313) statt xa in der obigen Gleichung pa einfelzen, und 
erhalten 

[paBciDex] =0, 
d. h. der Punkt x miiss in der geraden Linie liegen, die 
durch den Punkt [paBc,D], welcher qlieisset, und durch den 
Punkt e geht; zugleich foll er nach der Annahme in der 
geraden Linie ap liegen, alfo zugleich in qe und ap, diefe 
beiden geraden Linien find nothwendig verschieden, da e nicht 
in ap liegt, alfo treffen fio fich nur in einem Punkte, d. h. 
die gerade Linie ap enthält ausser dem Punkte p nur Einen 
Punkt, der der obigen Gleichung genügt. Alfo genügt ihr 
nicht jeder Punkt. Somit ist der geometrische Ort für x (nach 
309) eine Kurve zweiter Ordnung, alfo ein Kegelschnitt. Es 
ist nur noch zu zeigen, dass er durch die fünfPunkte a,--- 
geht, d. h. dass wenn x mit irgend einem der fünfPunkte 
a--'-e zufammenfällt, die Gleichung erfüllt wird. Fällt x 
mit a zufammen, fo wird xa^^O, alfo auch das ganze Pro- 
dukt, dasfelbe gilt für x^e, wenn man die Gleichung (nach 
317) in der Form 

[xeDciBax] = [104] 

schreibt. Wird x^c, fo wird [ca(cd)] ^ [cadjc, und dies 
ist wieder ^;c, da [cad] eine von Null verschiedene Zahl 
ist, alfo ist 

[ca(cd)tab-de3(I.c)ec] s= [cCab ■ de)(bc)ce] 

= [(ai) ■ de)c(bc)ce] [314] 

s [(ab ■ de)(bc)cce] [123] 

^ [Cab-debc][cce], da [(ab'de)bc] von 

nulItcr Stufe, d. h, eine Zahl ist. Hier ist [cce] (nach 60) 



yGoosle 



196 (»«4 

= 0, allo auch das ganze Prodtikl null. Wirdx^d, lo wird 
[(ta-c(l]E=[da-(icHNo. 314) = [dac]J (No. 104) -= H, Somit 
wird dann 

[daCcd)(i.b-dc)(bc)üdl s [d(ab-de)Cbc)ed] 

= [ab(de)dCbc)ed] [314] 

= [al)d(de)CIJc)ed] [123] 

^[at>d][((ie)tbc)(de)], [40.1 

weil [sM] eine Ziilil ist. Aber [de-bc'de] ist null (nach 395), 
airo das ganze Trodiikl ^=0, Wird x^b, fo ergiobt fich_ 
auf gleiche Weife aus der umgekehrten Gleichungsfonn, dass 
der Gleichung genügt wird. Somit find alle fünf Punkte a- ■ -e 
Punkte ( 



,324. Wenn A, B, C drei gerade Linien im Baume 
find, von denen keine zwei fich schneiden, fo ist 

[xAßCx]^0 
die Gleichung derjenigen Flache zweiter Ordnung, auf wel- 
cher die drei geraden Linien A, B, C liegen. 

Beweis. Die Summe der Stufenzahlen ist 8, alfo durch 
4 Iheilbar, alfo das Produkt als stereomelrischos von nullter 
Sltife. Nicht jeder Punkt x genügt ihr. Denn legt man durch 
die gerade Linie A eine Ebene «, und nimmt an, der Punkt 
X liegt in diefer Ebene, aber ausserhalb A, fo ist [xA] =^ «, 
alfo [xABC] ^ [aBG] , und zwar von Null verschieden (nach 
322). Es ist aber kB ein Punkt und [ctBC] die durch diefen 
Punkt und die gerade Linie C gelegte Ebene. Die Gleichung 

[ßBCx] = 
Tagt a 1 iass ler Punkt x in diefer Ebene liegen muss, er 
liegt ibei ich ier Annahme auch in der Ebene a, alfo in 
beidei z gle cl Beide Ebenen fallen aber nicht zufammcn, 
da fönst A nd C diefer Ebene liegen, alfo fich schneiden 
müssle g g I e Annahme. Alfo muss x dann in der Durch- 
schnittsk nte he d r Ebenen liegen, um der Gleichung zu ge- 
nügen Sor t ge ugt ihr nicht jeder Punkt. Da nun das 
obige Prod kt \o nullter Stufe ist, x zweimal als Faktor 
enthält, und nicht durch jeden Punkt x erfüllt wird, fo ist 
(nach 3H) der Ort von x eine Oberfläche zweiler Ordnung. 
In ihr liegen A und 0, denn wenn x in A liegt, fo wird 



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asa> 197 

{xA]^=0, alfo das Produkt null, ebenfo wenn x in C liegt. 
Lieget endlich x in ß, To hat man 

[xABCx] = [AxBCx] [314] 

= [ABxCx] [123] 

= [AB][xCx], da [AB] von nullter Stur« 
jsl; endlich xCx (niioh 60) null, alCo das Produkt gleich null, 
d. h. jeder Punkt x, der in C liegt, genügt der Gleichung, 
Anm. Fär den umgekehrten Satz, daas jede algebraische Kurve 
der Ebene ßoh in Form eines gleich null gefetzten planimetri sehen 
Produktes darstellen lässt, kommt ea darauf an, jede algebraische 
Funktion der Koordinaten eines Punktes in Form eines plani metrischen 
Produktes darzustellen, Diefe Aufgabe wird gelöst lein , wenn, bei 
irgend einer Methode, die Zahlen räomlieh darzustellen, fo wohl das 
Produkt als auch die Summe zweier räuralicli dargestellter Zahlen 
durch ein planimetrisches Prodakt dargestellt werden können. Das 
Entsprechende gilt für die algebraischen Oberllüchon. Für den ersten 
Fall wollen wir die Entwickelung fo weit fahren, dass aus jeder 
gegebenen algebraischen Gleichung fogleieh die entsprechende plani- 
metrische abgelefen werden kann. 

339. Es fei c ein einfacher Punkt, a und b feien zwei 
nicht parallele Strecken, und x ein beliebiger einfacher Punkt 
der Ebene cab, und zwar fei x^^Xja -J- Xjb -j- c. Es fei d 
= a -[- b -[- c (dl h. d fei in einem Parallelogramme, dessen 
eine Ecke c ist, und dessen von diefer Ecke ausgehende Seiten 
mit a und b gleich lang und gleichgerichtet find, die der Ecke c 
gegenüberliegcniie Ecke). Wenn dann (xj) und (x;) diejenigen 
Punkte der Diagonale cd find, für welche die Gleichungen 

[c(x,)]:[cd]=x„ [c(,.)l:M]=«. 
gelten, fo ist 

(xi) = [xbC], (xO = [xaC]HndL(xi)b]=[xh], [(xj)a]=xa, 
wo der Kürze wegen [cd] mit C bezeichnet ist. 

Beweis. Nach 221 ist, da die Punkte c, (xi), d in 
gerader Linie liegen, und c(xi) : cd = Xi : 1 fich verholt, 

(xi) — c = XiCd — c) = Xi(a -f b) , 
da (nach Hyp.) d =: a + b -f c war, alfo 

(xi) = XiB -f Xib -|- c, folglich 

[(xi)b] - [(x.a + c)b] [67] 

und [xb] = [(xia -f x^h -f- c)b] [Hyp.] 

= [C^ia + c)b] [67]. 

Folglich [(xj)b] = [xb]. 



yGoosle 



198 (»»• 

Hier ist [xb] eine gerade Linie, welche durch x mit b 
parallel gezogen ist; in diefer Linie liegt nach der letzten 
Gleichung der Punkt (x,); es liegt doiTelbe aber nacli der 
Vorausfetzung auch in der Geraden cd oder G, alio im Durch- 
schnitt beider, folglich ist 
(x,) =. [xbC]. 
Aus gleichem Grunde ist f(x2)a] = xa und (xj) ^ [xaC], 
32<i. Wenn a, b, c, d diefelbe Bedeutung wie im vorigen 
Satze liaben, und p, q zwei beliebige Zahlen find und man, 
ähnlich wie im vorigen Satze, unter (p), (q), (pq) diejenigen 
Funkte der geraden Linie cd versteht, für welche die Glei- 
chungen 

00 [c(p)]:[cd]=p, [c(q)]:[cd]^q, [c(pq)l:Lcd]^pq 
gelten, fo ist, wenn der Kürze wegen 

(!)) [da]=A, [db] = B, [de] = C 
gefcUt find, 

(pq) ^ [(p)aBc((q)b)aC] = [(p)bAc((q)a)bC] 
[(pq)a] = [(p)aBc((q)b)a] 
[(pq)b] = [(p)bAcC(q)aDb]. 
Beweis. Setzt man in die drilte der Gleichungen (a) 
für p und q ihre Werthe aus den beiden ersten, fo erhält 
man die Proportion 

[c(pq)] : [c(p)] = [c(q)] : [cd]. 
Aus diefer Proportion und daraus, dass die fünf Punkte 
*^f ''i (p)i (1)1 (P'l) '" göracier Linie liegen, folgt fogleioh, 
wenn wir den Punkt (pq) der Kürze wegen mit r bezeichnen, 
dass c der Aehnlichkeitspunkt der beiden Punktvereine r, (q) 
und (p), d ist. Zieht man dahcr^ über den Grundfeiton r(q) 
und (p)d die parallelen Dreiecke rfqje und (p)df, fo ist c 
anch Aehnlichkeitspunkt diefer Dreiecke, folglich liegen die 
entsprechenden Punkte e «nd f mit o in gerader Linie, wo- 
durch r gefunden werden kann. Nimmt man ins Befondere 
re und (p)f parallel mit a, und {q)o und df parallel mit b, 
fo wird 

f^[(p)a-d[)]=[(p)aB], 
da [db] = B gefetzt war; ferner 

es.[rc.(,)b],r=[G».cil] = [c.C], 



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a««) 199 

da [de] ^ C gefetzt war, und endlich 

M-M, 

was ficU alles unmittelbar ergiebt, wenn man dio belrcfTende 
Figur zeichnet. Setzt man in die letzten beiden Gleichungen 
die Wertho aus den beiden ersten ein, fo erhält man 

r = [(p)aBc((q)b)aC] 

[ra] = [(p)aBcC(q)b)a], 
und fetzt man in der obigen Beweisführung überull b statt a 
und umgekehrt, und Ä statt B, fo erhält man 

r = [(p)bAcC(q)a)bC] 

[rb] = [(p)t)Ac(((|)aJb], 
und dies find, da r = (pq) ist, die zu erweifenden Glei- 
chungen. 

32"J, Wenn a, b, c, d, A, B, G die Bedeutung haben 
wie im vorigen Salze und p, q, a, b beh'ebige Zahlen find, 
jedoch mit der Beschränkung, dass a + 6 vun Null verschieden 
fei, wenn ferner 

^"^ '^ al-b 
ist, und wie vorhur (p), (q), (r) diejenigen Punkte der ge- 
raden Linie [cd]="=sC find, welche den Gleichungen 

Cb) [c(p)l : C = p , [c(q)l : C ^ q , tc(r)l : C = r 
genügen, fo ist 

(r) = [(p)a((q)bXQa - bb)C]. 
Beweis. Substituirt man in der Gleichung öp-f-Iiq = 
(il -|- b)r statt p, q, r ihre Wcrthe aus b, fo erhalt man 

(a -F b)[cO-)] =«[c(p)] -h b[c(q)j, 
oder, da alles in derfetbcn geraden Linie liegt, 

Ca + bXO')- c] = fl((p) - c) -f b((q)- e) [222], 
alfo 

■* u -J- b)(r) - a(p) + b(q), 
d. h. (r) ist der Schwerpunkt zwischen den vielfachen Punkten 
l(p) ""■' Hl)- Zieht man nun von ^q) die Parallele mit b, 
und von Cp) die Parallele mit a, welche fich in e schneiden, 
und ehenfü von d und c die Parallelen luil b und a, welche 
fich in f schneiden, fo find die Dreiecke dfc und (q)e(p) 
parallel, und alfo ahnlich, und es ist dann d— f=b und 



y Google 



200 (»»8 

f — c = a. Wenn alfo (q) — e =^m(d ■- f) ist, wo m eine 
Zahl bedeutet, fo ist e — (p) = mCf — c), d, h. es ist dann 
(q)— e = mb, e — (p) ^ ma. Ferner, wenn man zu der 
obigen Gleichung (*) auf beiden Seiten — (a -|- B)e hinzufügt, 
fo erhält man 

Ca + I))((r) — e) = a((p)-e) + K(q)- e) = -mQa + m6b 
= — m(oa — bb). 
Multiplicirt man beide Selten planimetrisch mit e, fo er- 
hält man (nach 67) 

(a + bXe(r)] = — m[eCaa — 6b)], alfü 

[e(r)] = [eCaa - &b)] [2], 

d. Ii. (r) liegt in der geraden Linie [eCaa - bb)], aber (nach 
der Annahme) auch in der geraden Linie C, alfo im Durch- 
schnitt beider Linien, d. h. 

0) = [eCa.-6b)C]. 
Nun ist aber nach der angegebenen Konstruktion e der 
Durchschnitt der geraden Linie [(p)a] und [(q)b], alfo e^ 
[(p)a-(q)b], folglich 

(r)=[(p)a((q)bXaa-bb)C]. 
Anm. Wenn auf die angegebene Weile die Zahlen dni'cli Punkte 
der geraden Linie cd dargestellt Hnd, fo lässt ficli nach den beiden 
vorigen Sätzen fowolil die Summe als auch das Produkt zweier Zahlen, 
alfo auch jede beliebige ganze Funktion von Zahler duicli ein plu- 
nimctrisches Produkt darstellen, v^elches aus den Punkten a, b, c, 
d und aus den die gegebenen Zahlen darstellenden Punkten znfammen- 
gefetat ist. Hiermit wäre schon der Satz bewiefcu, dasB jede algebrai- 
Bche Kurve in der Ebene Fich diu'ch ein gleich Null gefetztes plani- 
metrisches Produkt darstellen lässt. Doch foU im Folgenden noch 
gezeigt werden , wie man unmittelbar aus der gegebenen algebraischen 
Gleichung der Kurve jenes planimetriscliu Produkt herleiten kann. 

32S. Wenn a und b Strecken find, c ein einfacher 
Punkt und d = a -i- b -i- c, A = [da], B = [db], C = [de], 
X =Xia ~f- Xal) 4" c 'sl, fo ist die Gleichung 

f(xi, X2) = flx™x^ + bxPx5 + cx^,x", H |-fx;x7=0, 

in welcher die Summe der Koefiicieulen von nuU verschieden 
ist, für alle endlich entrernteii Punkte x, gleichbedeutend der 
Gleichung 

[Pc] = 0, 
wo, wenn die Glieder von f^Xj, Xj) l'o geordnul find, dass 



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8«8) 201 

die Summen a + 6, a -f (t -f c, ■ • ■ alle von Null verschie- 
den find, 

(a) P^ [LLiaiCaLiia^CaLgaaCa Ltak] 

(b) ai=aa — ib, Bj — Ca+6)a-cb, ak=(a+tt-J |-i)a— fb 

(o) L = [xb9l"Ca9i';'-ij 

(d) Lj = [xa9iPCb5ii-'], Lj = [xaSft',Cb9t^-i],--- 

Lk = [xa3tjCb9i'"-i] 
ist, und Vi die Reihe der fortschreitenden Faktoren A, c, xa, 
b und 3Ji die Reihe der fortschreitenden Faktoren B, c, xb, a 
bezeichnet, fo dass aH'o für jede Linie X, 

(e) [XSH] = [XAc(xa)b], [X3l,] = [XBcCxb)a] ist. 
Beweis. Bezeichnen wir, wenn p eine beliebige Zahl 

isl> mit (p) denjenigen Punkt der Linie cd, für welchen 

* [c(p)];N]-p 

ist, fo erhalten wir (nach 323) 

•* [(».)b] = [*], [(xO.]=[xa], 
und (nach 324), wenn p eine beliebige Zahl ist, 

[(pxOb] ^ [(p)bAc((xOa)b] = [(p)bAc{xa)b] [*«] 
^[(p)b9i] M. 

Tritt zu pxj noch ein Faktor x, hinzu, fo tritt zu (p)l)9l 
noch einmal die Faktorreiiie 3t hinzu u. f. w. , alfo ist 

**» [(pJ';)-b] = [(p)l)S"]; 
und ebenfü erhält man, indem man x^ und b mit Xi und a, 
alfo JS mit % vertauscht, 

••" [(px;)a] sa [(p)a9l;]. 
Alfo wenn p^x^ ist, alTo [(p)b] ^ [(x])b] ^ [xb] (nach*), 
fo wird 

[(x,x;)-b] = [xb3}'']. 
Indem wir diefen Ausdruck mit C multipliclren, erhalten 
wir den Punkt (xjX^), d. h. 
[(xiX=)] = [xb9t°C]. 
Führt man daher XjX" statt p in die Formel*** ein, in- 
dem man zugleich m — 1 sfalt n felzt, fo erhall man 

[(xY'xO-a] ^ [xb9i°CaStt--i] = L [c]. 

Ebenfu findet man 

[(xPx5) ■ a] = [xb3[iCa9iP-i] , 
oder, indem man a mit b, alfo auch Xi init Xj, p mit q, 91 
mit Vii umwechfelt. 



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202 <asB 

[(X5x5)-b] sss [xaSlSCbM«-'] ss L„ 
und elietifo 

[(x;xOb]=L, 
[(x;x-).b] = Li. 

Um nun den Ausdruck für fax^^x^ -f- fex^x^) : [a 4- IJ) zu 
finden, hat man nur in 325 x^x^ und xPx^ slalt p und q und 
a!fo L und L^ statt (p)a und (q)b zu fetzen, und erhält 
(Cax^x; -h U\x\) : (a + b» ^ [LL.Coa - 6b)C] 

^[LLiSiC] -[bj. 

Um ferner den Ausdruck für (ax™x° + bx^xj -(- cx',x'j) 
: Cn + b + zu finden, hat man nur in 325 den Ausdruck 
(fl,x™x5 -j- bxPx^) : (a -j- b) statt p, und x^x^, statt q, und alfü 
Lj statt {q)b und zugleich a + 6 statt a, und c statt b zu 
fetzen, und erhält 

((flxfx^ + bxPx5 + cx';x^J : Ca + & + 0) = [LLiaiCaLjasC], 
da (a + b)a — cb = a2 gefetzt war u, f. f.; endlich 
(Caxfx; + bxijx^ + cx',x» + • ■ ■ + fx^xv) : Ca+b+c+ ■ ■ ■ +0 

= [LLjaiCaL^aiC LuatC] 

= [PC] [a]. 

Alfo 

(fCXi, X,) : (4 -f b + C + ■ -f)) = [PO]. 

Ist nun fCxi, xs)=0, fo hat man (0)=[PC]. Aber 
(nach *J ist [c(0)] : [cd] = 0, aifu der Dividend [cfO)] gleich 
Null, d. h. der Punkt (0) fällt mit c zufammen, fomit erhalten 
wir dann c ^ [PC] , d. h. c ist der Durchschniltspunkt der ge- 
raden Linie P und C; er liegt alfo auch in P, d. h. (nach 293) 
[Po]=0. 
Umgekehrt, wenn diefe letzte Gleichung erfüllt wird, fo 
liegt c in P, aber (nach Hypolhefis) auch in C, alfo ist c^ 

[PC], d. h. der zu der Zahl fCxi, Xj) : (a + & H ) gehörige 

Punkt liegt in c, d, h. jene Zahl ist null, alfu ihr Zähler 

f(Xi, X0=:0. 

329. Wenn alle übrigen Voraus fetzun gen dos vorigen 
Satzes bestehen bleiben, aber jetzt angenommen wird, dass 
die Summe der Koefficienten (o + B +•■•-{- null fei, lo 
ist die Gleichung 

fCx„ X3) = 0, 



yGoosle 



»«») 203 

gleichbedeutend der Gleichung 

[LLiBiCaL.a.Ca L^-jak-iLtC] = 0, 

wo die einzelnen Buchstaben diefelhe Bedeutung haben, wie 
im vorigen Satze, und die Glieder in f(xi, x^) auch hier fo 
geordnet Tind, dass die Summen a + h, a-(-l) + c,'*- alle, 

mit Ausnahme der letzten (q + b -J- c H f- f), von jVuIl 

verschieden find. 

Beweis, Man kann durch Divifion mit dem Koerficienten 
des lelzten Gliedes die Gleichung f(Xi, X;)^^0 auf die Form 
bringen, dass der Koefficient (f) des letzten Gliedes 1 wird; 
dann ist die Summe der übrigen Koefficienten — i. lüs fei 
das letzte Glied — h und die Summe der übrigen fei g, fo 
ist die Gleichung f(xi,Xj) = gleichbedeutend der Gleichung 
g — h =^0, oder 
S = h. 

Dann ist nach der Entwickelung des vorigen Satzes 

(g) ~ [LLiaiCaL^ajCa Lk-iat-iC] 

(h)^[L.C]. 

Da nun g = h ist, fo find auch die Punkte (g) und (h) 
kongruent, alfo 

[LLiaiCaLjajCa- ■ • .Lfe_iak-iC] = [LkC]. 

Diefe Kongruenz fagt aus, dass der durch die linke Seite 
dargestellte Punkt in dem Durchschnitte der Linien L^ und 
C liege, alfo namentlich auch in Lr liege, d. h. (nach 293) 

[LLiaiCaLjajCa- • -U-iaK^iCLk] =0 
fei. Hier kann man (nach 315) auch die beiden letzten Fak- 
toren vertiuschen, wodurch die zu erneifende Gleichung her- 
lorgehl, umgekehrt folgt aus diefer letzten Gleichung wieder 
g = h, alfo f(xi, x,) = 

A n m Es lat Iticiit zu crfehen dass man in den \ orhergehenden 
bützen, statt a und b ais Strecken und c ala emfathen Punkt anzu 
nehmen, auch allgemeiner a, b und i als drei beliebige, nicht in 
Einer geraden Linie liegi,nde Punkte hätti. annchnen können viO 
bei dann die bedingui g dass i ein endhch entfernter Punkt fein 
rollte erfetzt wud durch die an lere, dabS v nicht in dei Rtraden 
linie ab hegL Der lirund filr die Zuiiisaigkeit diefer 1 eiall^enieine 
ruig liegt dirin dos« (nach 110) dip dcfetze der auf ein Ha ij tgebiet 
bezüglichen Multiplikation alle unverändert bestehen bleiben wenn 
min «tatt der ursprünglichen Einheitei a, b c dici aiideie auo ihnen 



y Google 



204 f«»' 

numerisch b! tb wfihlt w b di d t fg füh t B d g { 

dass iifts k mb t h P d kt ] t U 1 d f E h 

1 fei, hier f d K g k m gf llt B tra U 

rann die F d Gl 1 g 3i f j,t f h 1 h dw 

die planim tn 1 Gl h g [P ] = B g f f It 

Grade ist 1 d S m II F p t d 1 b h 

Gleichung f — Obgd dFkt hOlthltd 

Punkt xnj 1 dlt L dlmtdfl 



dcrn der F 


It 


f 


h d 


F 1 


gl hm Grad 


D P 




diikt [Pc] 


1 1 


^ J ' 


d f 


G 


L 1 


1 F k 


th 


It, 


und auast d 


m 


k 


t t 


F k 


1 1 


B 


f 




vom ro Yi 1 




Grad 


1 d 


S 


d G 1 


11 11 


bl 


i 


von f bet 


t 


IC r 


b Id f 


m 1 


1 


bl Cl 


1 h 


It, 


von höher 


& 


d 1 


t Es 


f 


d C d d 


r kt 


f 


d 


n + p der C 


d 


d p 


d kt 


[P] 


D d 


1 h g 


[P] 





und f=0 C 


1 


328) fil 


11 P k 


d h 


d { 


d! 


h 


entfernten) 




d b 


1 g 


g 


gl hb i 


t d C d 


f k 




die Differ 


d 


C d 


d 


1 


g ä d 


Cl h g 


[P] 





noch p Li 


d 


tut 


1 h 




b f 11 L 


d f ^ 


hdl 




genauer t. 


b 


h 


f h 




t tt d 


P kt y 




d 


Tetze y = 


+ 


b-f 






z hl r i 


d r 1 


i 




sprünglich 


k 


i 




b 


hh h gl h 


— d 


- D 




wird y = w 


ir = 


f 11 




ht w 1! t 


D F 


11 




= ist, 1 


h 


d f Ib 


y 


+ b d 


h j P k 


1 


Linie ab 




1 d 1 


Ib 


1 1 


3^ 


11 




I 


allen dort 


g 


1 


F 11 


Vf] 


d If dTB P 


d kt «- 


1 h 




[Pc] hervo % 


ht 


d 


1 




t tt r t 


i 


1 h 


1 


mit Q bez 


h 


11 


m [P] k 


g ( L 


313) M 


1 pl 


t 


man die 1 


kt 


t 


Grai 




t r gl 


f d 


d d 




enthaltenen 


Vanabeln - 


— und 


— V 


t-ai-en , eine homogene 


Funkti 


on 



n-ten Grades hervor, welche ich mit F bezeichnen will, und welche 
für diefelben Fälle null wird, für welche f null wurde. AlTo ist für 
den Fall, dass y nicht in ab liegt, d. h. w nicht null ist, die Glei- 
chung Q = gleichbedeutend mit der Gleichung F = 0. Da aber die 
eretere vom n + p-ten, die letztere vom n-ten Grade ist, fo muss die 
Gleichung Q = in allen Fällen der Gleichung wpF — gleichbedeu- 
tend fein, alfo 

Q^wPF^[aby]FF, 
letaleres, weil aus y — ua-[- vb^- wc folgt w^ [aby]. Es muss alfo 
Q durch [abyjp theilbar fein. Es käme daher darauf an , das 
plani metrische Produkt Q in ein kongruentes Produkt zu ver- 
wandeln, welches von diefen Faktoren [aby] befreit fei, Allein 



y Google 



aai) 205 

ddfRdkt wjifelhaptaefhb fnd 

Egl f g S hw engke ten Btosst fo t ea i e kmima g 

t d lg b 1 Gle cl ng durcl \e ande u g des lioord naten 
f ) t m f g t It ia fe noglchst eng t able Gl eder 

tl It 1 Able tu g de pla etrscle Pormel s 1 e tet 

& B 1 t r !i 1 L le ch nc d tten b ades auf d e Fo m pqr 

= b g w p i r s 1 nearc F nkt onen IrKoorlnaten 

r d dm k t te ZaI 1 beze cl net ^ erlegt a iat du c! 

P j kt dg IL , deicn bleichung B -— lät, ina ünöndliciie, 
f wi d d Gl 1 g 

pq =m 
w 1 h h d b g Kegeln umgewandelt, eine geometrische Glel- 

h g dntt Grad 1 fert von der Form 
[ B C bj (_iEfx] = 0, 
d 1 ii b j l P jektion beatehen bleibt, alfo auch, wenn man 
d U dl la I gten Linie durcli Projektion wieder die ur- 

p gl h L g bt Es hat keine Schwierigkeit, die liier entwickel- 
t Pn p 1 f die Oberflächen im Räume zu übertragen; 

d h m 1 ml nicht zu weitläuftig zu werden, auf meine 

Abb dl g C H Journal, namentlich auf Band 49, nag. 1 



§. 7. Innere Multiplikation in der Geometrie. 

330. Krkiärung. Für diu innere MiiUlplikalion nehme 
ich als ursprüngliche Einheiten im Räume stets drei zu ein- 
ander renkrechte und gieich lange Strecken (ej, e^, öj), in 
der Ebene deren zwei (e^ und e^) aii, und zwar nehme ich 
die Längen diefer Strecken als Einheit der Längen an, und 
[616263] und in der Ebene [eiOj] als Einheit der Körper- oder 
Flachenräume. 

Anm, Hierdurch find alro alle von dem Begriffe der inneren 
Multiplikation abhängigen Erklßrungen und Sätze {No. 137-215) auch 
auf die Geometrie übertragen. 

331. Für die Ebene fällt der Begriff der Längte mit 
dem des numerischen Werthes, der Begriff des Senkrechten 
mit dem des Normalen, und der Begriff der Drehung um den 
Winkel a mit dem der circulären Acnderung um den Winkel 
(t zufammen, wohei der Winkel als pofitiv nnztinehmen ist, 
wenn fein zweiter Schenke! vom ersten aus nach derfeiben 
Seile liegt, wie die zwcile Einheit {<:{) von der ersten (ej) 



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206 taaj 

Beweis 1. Alle im Satze genannten analytischen BegrilFu 
(normal, numerischer Werth, circuläre Aenderung') find (in 
151 — 154) an den Begriff des inneren Prbdnkles, und diefer 
wiederum (nach 137) an den der Ergänzung (89 und 90). 
Die Ergänzung von a Wiir mit |a bezeichnet. Ich zeige daher 
zuerst, dass wenn a^xiCj -j- XjCj eine beliebige Strecke der 
Ebene ist, dann |a gegen a fenkrechl und mit a gleich lang 
ist, und von a aus nach derrelben Seile Hegt, wie e^ von Cj. 
Es fei AB mit x^e-i gleich lang und gleichgerichtet, BC mit 
XiOj, AD mit Xild, und DE mit Xjle^, Nach 89 ist \ei = e2, 
und \b2 = — e, , alTo AD^sx^ej, DE=^— x,ei. Da nun 
(nach 330) Cj und Cj gleich lang Hnd, fo ist auch x^Cj mit 
Xjei gleich lang, d. h. AD mit AB, und ebenfo — x^Ci mit 
Xjej gleich lang, d. h. DE mit BC. Da ferner (nach 330) 
e^ zu e-i fenkrecht ist, To ist auch x^e, zu Xje^ fenkrecht und 
XjBi zu Xjej, d. h, BC zu AB und DE zu AD, folglich find 
die Dreiecke ABC und ADE kongruent (durch 2 Seiten und 
den eingeschlossenen Winkel), alfo AC gleich lang mit AE. 
Ferner liegt aber auch 02 von Oi aus nach derfelben Seite, 
wie — ej von e, aus, alfo auch BC von AB aus nach derfelben 
Seile, wie DE von AD aus, d. h, die Winkel BAC und DAE 
find auch dem Zeichen nach gleich. Nun ist /^CAE ^= i^CAü 
+ DAE = ^CAD + BAC (wie oben gezeigt) — ^BAD, d. h. 
AE steht fenkrecht auf AC, und zwar nach derfelben Seile 
hin, wie AD von AB ans, alfo auch wie Cj von ei aus. Es 
ist aber (nach 220) AC mit Xiei + x^ej, d. h. mit a gleich 
lang und gleichgerichtet, und AE mit Xi|ei -j- Xjjej, d, h, mit 
ja (nach 101). Alfo ist ja mit a gleich lang, und steht auf 
a fenkrecht nach derfelben Seite hin wie e^ auf e,. 

3. Numerischer Werth von a ist (nach 151) die pofitive 
Quadratwurzel aus [a|a], wobei (nach 89) das Produkt [oiOi] 
als Einheit gefetzt ist. Nun ist [a|a] (nach 254) einem Paral- 
lelogramme gleich (auch dem Zeichen nach), dessen erste 
Seite mit a, und dessen zweite mit [a gleich lang und gleich- 
gerichtet ist; dies Parallelogramm ist (nach Beweis 1) ein 
Quadrat, welches dem (nach 330) als Einheit angenommenen 
Quadrate [ejej] gleichbezeichnet ist, ist nun die Länge von 



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39«) 207 

a (ci als Längeneinheit genommen) gleich a, To ist der Inhalt 
des Quadrates tiher a gleich a^, und die pofilive Quadratwurzel 
daraus a, d. h. P'Caja] ^=a, d. h. der namcriche Werth gleich 
der Länge. 

3. Nach 152 hoisson zwei Strecken a und b normal zu 
oiuauder, wenn [a|b]^^0 ist, (f. h. (nach 254) wenn a mit 
|b parallel ist; nun ist (nach Beweis 1) |b fenkrecht auf h, 
alfo auch das mit jb parallele a fenkrecht auf b; ebenfo folgt 
umgekehrt, dass wenn a auf b fenkrecht ist, a mit jb parallel 
ist, alfo [a\b] gleich null, alfo a zu b normal ist. Der Begriff 
des Senkrechten fällt alfo (in der Ebene) mit dem des Nor- 
malen zufammen. 

4. Wenn a und b einander numerisch gleich und zu ein- 
ander normal find, und fich a in a'=^acos.öi + bfin.ft, und 
b in b'^^bcos.a— afin.a verwandeil hat, fo hiess das (nach 
154), der Verein der Strecken a und b habe fich von a nach 
b hin circulär um den Winkel a geändert. Es fei AF mit a 
und AG mit b gleich lang und gleichgerichtet, alfo, da a und 
b einander numerisch gleich und zu einander normal find, fo 
ist (nach Beweis 1) AG mit AF gleich lang und auf AF fenk- 
recht; man trage an AF und an AG nach derfclben Seito hin 
den Winkel a an, und mache die zweiten Schenkel AC und 
AE gleich lang mit AF; fälle von C das Lolh CB auf AF 
und von E das Loth ED auf AG, fo ist AB mit acos.a, BC 
mit bfin CE, AD mit heos.a, DE mit — afin.a gleich lang 
und gleichgerichtet, alfo (nach 220) AC mit acos.a -f- bfin.a, 
d. h. mit a', und AE mitbcos.a — afin.a, d. h. mit b' gleich 
lang und gleichgerichtet; a' und b' gehen aber nach der Kon- 
struktion aus a und b durch Drehung um den Winkel a her- 
vor; folglich fällt der Begriff der Drehung um den Winkel a 
mit dem der circulären Aenderung um diefen Winkel zu- 
fammen. 

Anm. Diefelbe Sclilussrcihe ist alfo für jede Ebene anwendbar, 
in welcher zwei Strecken a und b enthalten find, für welche diefelben 
Vorausfetiungen g-emacht Tind, wie füre, und Cj. 

332. Das Normalfystem im Räume ist identisch mit dem 
Verein von drei gegeneinander fenkrechten und gleich langen 



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208 (8«» 

Strecken, und zwar ist die Länge diePor Strecken gleich dem 
numerischen Wertlie des Normal fystems. 

Beweis i. Das System der ursprünglichen Einheilen 
Bi, ej, 63 bildet Cnach J63) ein einfaches NormaUyslem, und 
Ci, 63, 63 find (nach 330) auf einander fenkrecht und von 
der Länge der Einheil, Jedes andere einfaclie Normalfyslem 
von drei Strecken lässt fielt (nacli 161] aus jenem Noramify- 
stem durch circuläre Aenderung ableiten. Hat man nun ein 
einfaches Normalfystem a, b, c, in welchem a, b, c aufein- 
ander fenkrecht und von der Lange eins find, fo besieht die 
circuläre Aenderung darin, dass irgend zwei derfelben, z. B. 
a und h fich um einen in der Ebene ab liegenden Winkel a 
ändern; nun haben wir in 331 (vergl. Anm.J gezeigt, dass 
die dadurch hervorgehenden Strecken a' und b' w teder au( 
einander fenkrecht stehen, und die Län^e i haben; aber aui,h 
c steht auf ihnen fenkrecht, denn da nach der Anndhme <, 
auf a und b fenkrecht steht, fo steht c auch auf allen Linien 
der Ebene ab, alfo auch auf a' und b' fenkrecht, d h aus 
einem Normalfystem, dessen drei Strecken auf einander fenk- 
recht stehen, und von der Länge der Einheit find, geht durch 
einfache circuläre Aenderung wieder ein Normallystem \on 
derfelben Art hervor, alfo auch durch wiederholte ciiculare 
Aenderung, Alfo geht namentlich ans dem Normalfystem ej, 
ej, 63 durch beliebig circuläre Aenderung stets ein Verein 
von drei Strecken hervor, welche auf einander fenkrecht, und 
von der Länge der Einheit find, d. h. jedes einfache Normal- 
fystem besteht aus folchen drei Strecken. 

2. Umgekehrt ist zu zeigen, dass wenn a, i), c irgend 
dre" z e' der fenkrechte Strecken von der Länge i find, 
fe en Norn alfystem bilden. Nach 160 kann man stets ein 
e nfacl es Norn alfjslem von drei Strecken finden, dessen eine 
d e R cl tung \o c hat, dann muss (nach Beweis IJ die Länge 
1 fem inl aifo d e Strecke, welche die Richtung von c hat, 
auch n t c gle ch lang, alfo überhaupt gleich fein, die beiden 
andern mogei a und b' fein, fo ist (nach Beweis 1} c fenk- 
recl t auf a ui I b aber auch (nach Annahme) auf a und b, 
alfo liegen a, b, a, b in Einer Ebene. Alfo kann man wiederum 



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S34) 209 

(nach 160) ein einfaches Normalfystem aus zwei Strecken 
diefer Ebene finden, von denen die eine Strecke gleich b ist, 
die andere fei a", fo ist a", da es in der Ebene ab liegt, 
fenkreckt auf c, aber (nach Beweis i) auch fenkrecht auf b 
und von der Länge 1 , alfo ist a" fenkrecht auf der Ebene bc, 
aber auch a fenkrecht darauf und von der Länge 1, alfo ist 
a" entweder = a, oder = — a, da nun a", b, c ein einfaches 
Normalfystem bilden, fo bilden in beiden Fällen auch a, b, c 
ein folches, 

3. Hat man nun ein beliebiges Normalfyslem a, b, c von 

dem numerischen Werlh n, fo bilden — , ■ — , — ■ ein einfa- 
n n n 

ches Normalfysteni, find alfo C^ch Beweis 1) zu einander 

fenkrecht und von der Länge 1, alfo find a, b, c auch zu 

einander fenkrecht und von der Länge n; und ebenfo folgt 

umgekehrt, dass wenn a, b, c zu einander fenkrecht und 

von der Länge n find, dann ■ — , — , — ein einfaches Nor- 
^ ' n ' n ' n 

malfy&tem, und a, b, c ein Normalfyslem von der Länge 

n bilden. 

333. Auch für den Raum fällt der Begriff der Länge 
mit deni des numerischen Werthcs, und der des Senkrechten 
mit dem des Normalen zufaminen. 

Beweis in 332. 

334. Der numerische Werth eines Produktes P zweier 
Strecken p und q ist gleich dem Flaoheninhaite des Parailelo- 
gramins, in welchem zwei aneinanderstossende Seiten jenen 
Strecken parallel find, vorausgeletzt, dass diefer Inhalt pofitiv, 
und das Quadrat der Längeneinheit als Flächeneinheit ange- 
nommen wird. 

Beweis. Es fei ein einfaches Normalfystem dreier 
Strecken a, b, c angenommen, von der Art, dass a und b 
derfelben Ebene parallel find, welcher p und q parallel find, 
und dass [abc] = 4-1 ist, fo find (nach 230) p und q aus a 
und b numerisch ableitbar, alfo auch (nach 36) P := [pq] aus 
[ab], und fei p:=a[ab]. Nun ist der numerische Werth von 
P (nach 151)-=y[PlP] =ay[ab|ab]; aber (nach 137) ist |[ab] 



yGoosle 



210 (■»» 

= c, alfo 'I/tPJP]':^a[abc] = a. Da aberP = a[ab] ist, und 
[ab] Quadrat der Längeneinheit, alfo als Fläclieneinheit zu fetzen 
isl, fo ist der Inhalt von P, d. ii. der Inlialt des Parallelo- 
gramms, dessen erste Seite p, und dessen zweite q ist, gleich 
et, d, h. gleich dem numerischen Werlhe von P. 

339. Die Ergänzung einer Strecke isl diejenige Fläche, 
deren Ebene auf jener Strecke fenkrecht, deren numerischer 
Werth gleich dem jener Strecke, und deren pofitiver Sinn fo 
bestimmt ist, dass das äussere Produkt der Strecke und Fläche 
pofitiv ist. 

Beweis. Es fei «a die Strecke, und fei der numerische 
Werth von a gleich i, alfo der von aa gleich et, und fei ein 
Normalfystem a, b, c angenommen, und zwar von der Art, 
dass [abc]=-|- 1 ist, fo ist (nach 167) |a=[bc], alfo (nach 
90) Iaa = a[bc], aber ct[bc] ist eine Fläche von der im Satze 
angegebenen Beschaffenheit, 

33(j, Wenn A die Ergänzung von einer Strecke a ist, 
fo ist auch a die Ergänzung von A, oder 
||a = a. 

Beweis. Nach 92 ist ||A=:(— I^p^A, wo p die Stufen- 
zahl von A, und q die der Ergänzung ist. In unferni Falle 
find diefe Stufenzahlen 1 und 2, alfo 
||a = (-l}=a = a. 
Aiim. Der Satz gilt niclit in entsprechender Weife für die Pla- 
nimetrie , wo nicht mehi' da iwei lu einander fenkrechte Strecken an- 
genommen werden können. Vielmelir ist in der Plauimetrie I|a^ — a. 

33"?. Wenn a -und b Strecken find, fo ist -^ab gleich 
dem Winkel, dessen Schenkel mit a und b gleichgerichtet 
find, und wenn A und B Flächen (Streckenprodukte) find, 
fo ist ^AB gleich dem Neigungs-Winkel, den zwei mit jenen 
Flächen parallele und gleichbezeichnete Ebenen mit einander 
bilden, vorausgefetzt, dass die Winkel stets pofitiv (zwischen 
und 7t liegend) angenommen werden. 

Anm. Wenn man im zweiten Falle A und B in Foi'm von Recht- 
ecken darstellt, deren ersle Seite dielelbe ist, fo ist derWlDkcl, den 
die aweiten Seiten dieTer Rechtecke eiaschlieBBen , der Seigungswin- 
kel, den die mit A and B parallelen und gleich bezeichneten Ebenen 
mit einander bilden. 



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•t) 



2H 



Beweis 1. Der Winkel ist von den numerischen Wer- 
then der den Winliel bildenden Grössen unabhängig, wir kön- 
nen daher die numertsclien Werthe von a, b, Ä, B gleich 1 
fetzen, in diefem Falle ist (nach 195) 

cos.Aab = [a|b], cos.^AB= [A|B]. 
Ferner gehl dann, wenn der Winkel von a nach b hin gleich 
et ist (nach 154, 331) b aus a durch circiilärc Aenderung um 
den Winkel a hervor, d. h, es ist, wenn a' in der Ebene ab 
gegen a fenkrocht ist, und nach Jer Seite von b hin liegt, 

b = acos.a -j- a'fin.a, 
airo 

[a]b]=:[a[(acos.a4-a'fin-'*)]^aIa]c<'s.a4-[a|a']fin.a, 
aber da a' gegen a normal ist, fo ist [a|a'] = 0, und da der 
numerische Werth von a gleich Eins ist, fo wird der zuletzt 
gefundene Ausdruck 

= cos.a. 
Alfo cos '^ab^cos.ct. Nun liegt (nach 195) ^-ab zwischen 
und 7t, aber nach Vorausfetzung auch a, alfo '^ab^^a. 

3. Es feien A und ß beziehlich die Ergänzungen von 
a und b, alfo A = |a, und B = |b, fo find (nach 335) a 
und b beziehlich auf A und 6 fenkrecht und nach derfelben 
Seile hin liegend, alfo ist der Neigungswinkel a zwischen A 
und B gleich dem Winkel zwischen a und b, d, h. (nach Be- 
weis 1) cos.a=:cos.^ab = [a|b] = |[aI!(3 (nach 89), da [a|b] 
(nach 141) eine Zahl ist; aber |[a|b] = [(a||b] (nach 99), und 
dies wieder (nach der Annahme) = [AiB] ^^cos.^^AB; alfo 
cos a = oos i^AB " 



t r 1 



fo. 



1 p kt t A d r 



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312 (»»8 

fo leuelitet ein, dass a. und a' dieJelbe Ergänzung Jbcd] haben, d& 
(nach 268) [abcd] = [a'bcd] ist, nnd ebonfo, dass [a'bj und [ab] die- 
lelbe Ei^änzung c, und [a'bc] und [nbc] diefelbe Ergänzung d liaben, 
und Überhaupt, dasa die Brgäniung von Punkten, Linienthejlen, Flä- 
chentheilen unabiiöngig ist von der Lage des als ursprüngliche Einheit 
angenommenen Punktes. Hingegen ist dies nicht inebr der Fall bei 
der Ergänzung von Strecken oder S treck enprodukten. So z. B, würde 
die Ergänzung von [bcd] bei der ersten Annahme gleich — a, bei der 
zweiten gleich — a' fein. Und (o würde alfo dei' Begriff der Ergän- 
zung von Strecken und Strecke n pro dukten keinen von der Lage der 
ureprünglichen Einheiten unabhängigen Sinn irehr haben. Da bei der 
normalen Znrückleitung (164) auf Punkte, Linien und Ebenen nur 
die erste Art der Ergänzung hervortritt , fo können wir diefu Zuriick- 
Icitung unmittelbar auf die Geometrie übertragen. Sie liefert hier, 
wie oben C164) angedeutet wurde, die fenkrechlc Pi-ojektion, was ich 
hier jedoch nicht weiter darlegen, will. Uebea'hanpt werde ich den 
Pegriff der Ergänzung nur in dem im Texte gegebenen Sinne anwenden. 

338. Die Formel 

wo « und ß die Längen von a nnil b find, stellt die Erwei- 
terungf des pythagoreischen Satzes dar, nämlich; das Quadrat 
der Gnindfeite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Qua- 
drate der Schenkelfeiten und des doppelten Produktes der 
Seheiikelfeiten in den cos. des Aussenwinkels an der Spitze. 

339. Die Formel 
(a + b + c>' 

==a^ -f b' 4- C-' + 2[b;c] + 2[c|a] -f 2[a;b] 
— a^ 4- jS' + )-' -f ZiSj-cos.^bc 

+ 2)'e£cos.'^cii -f 2a(9cos. ^ab, 

wo a, ß, y die Längen der Strecken a, b, c find, stellt die 

Erweiterung jenes Satzes für den Raum dar. 

340. Die Forme! 
CA + ß + C)' 

^A'+B-' + C^ +2[ß|C] +2[C|A]+2[A|B] 
= a^ + |S' +/^ -f S/Sycos.-i-BG 

+ 2/-ncos.'iCA + 2a^cos.^AB, 
wo a, (3, y die Flächeninhalte der Flachenräume A, B, C 
und i^BC u. f. w. die Neigungswinkel ihrer Ebenen find, 
stellt den Satz dar: 

Das Quadrat der Grundfläche eines Tetraeders ist gleich 



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840) 213 

der Summe der O«adralo der Seileiifiächen, vtiriniiiderl um 
die doppelten Produkte je zweier diefer Seitenflächen in den 
coHnus des von ilmeii eingeschlossenen Neigungswinkels. 

Beweis. Sind a, b, c die von der Spitze nach den 
Ecken der Grundreile führenden Kanten ihrer Lange und Rich- 
tung nach, fo find a— b, b — c, c — a die Kanten der Grund- 
fläche. Die Grundfläche ist atfo (nach 254) =^ [(a-b)(b— c)] ^ 

während die Seitenflächen = Li, LJ^ J__ find. Bezeich- 
nen wir die letzteren beziehlich mit A, B, C, und die Grundfläche 
[^ a — bXb - c)] ^^.^ ^^ ^^^^ bedenken, dass [Ca — bXb - c)] 

= [ab] ~ [ac] — [bb] + [bc] = [ab] + [ca] + [l)c] ist, fo ha- 
ben wir 

D = A -h ß + G, 
alfo 

D^=CA + B + C)» 

= A-' 4- B' + C' + 2[B1C] H- 3[C1A] + 2[A!B] 
= ß^ + j3^-H)'' 4-2^5/ COS. «^BG 

+ 2/acos.'^CA + 2ajScos.^AB. 
Aber ■^80 ist der Winkel zwischen den Ehenen [ca] und 
[ab], d. h. zwischen — [ac] und [ab]. Der Winkel zwischen 
[ac] und [ab] ist aber der von den entsprechenden Seilenflä- 
chen des Telraeders eingeschlossene, und alfo der Winkel 
zwischen — [ac] und [ab], d. h. ^BG, dessen Nebenwinkel, 
und dasfelbe gilt für die Winkel ^GA und ^^AB. 



A m M f It d f D t 11 ^ 


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214 (84* 

werden, und umgekehrt, und daher dann alle Formeln der sphäri- 
schen Trigonometrie unmittelbar ihre Geltung behalten, wenn man 
Winkel «nd Seiten vertauscht. Es ergiebt fich unmittelbar, dass wenn 
a, b, c Strecken find, die den Kanten einer Ecke gleichgerichtet find, 
dann die Ei^änzungen jener Strecken, d. h. die Flächenräume |a, [b, 
|o den Ebenen der Polarecke parallel find. Die weitere Entwickelung 
diefer Ideen muss ich jedoch, um nicht zu weit von dem Ziele abzu- 
schweifen, dem Lefer überlassen, 

341. Aufgabe. Die Viel fachen rumme der Quadrate 
der Abstände eines variablen Punktes x von mehreren festen 
Punkten a, b,--- in einfachster Form auszudrücken, wenn 
die Koefficienten a, ß,- ■• jener Vielfachen fumme gegeben find. 

Auflöfung. Es foll demnach ein Ausdruck 

in einfachster Form dargestellt werden. Da x, a, b,--> 
Punkte find, und für fie das innere Produkt keine einfache 
Bedeutung mehr hat, fo nehmen wir einen beliebigen einfa- 
chen Punkt s zu Hülfe , und fetzen 

X — a = x — s-fs — a, x — b = x — s + s — b, 
u. f. w., wo X — s, s — a, s — b,- ■ ■ Strecken find, fo wird 

S = aCx — s + 8 — a)' + i3Cx — s-fs— b>'H . 

Da nun (x — s + s — a)» = Cx — s>' -f 2[Cx — s);(s - a)] 
+ (s — a]' ist (nach 338) , fo erhalten wir 

S = Ca + iS + ■ ■ Ofx - s>' + 2[(x - s>Ca(s ~ a) 
+ ^Cs-b)-|---)]+ßCs-a)' +,5(s-b>% 
oder wenn wir 

t( + ^+..= (r 
fetzen 

S=ffCx— s)-' + 2[(x — sJICffs — aa - ßb )] 

+ a(s~a)' +^Cs-by +.-•. 
Nun können wir zwei Fälle unterscheiden, je nachdem ff null 
ist oder nicht. Nehmen wir zuerst letzteres an, fo können 
wir s fo wählen, dass das zweite Glied null wird, was da- 
durch erreicht wird, dass wir 

ffs = aa + jSb H , d. h. ssaa + jSb H 

fetzen, d. h. (nach 222) s im Schwerpunkt des Punklfystems 
aa, ßh, u. f. w. annehmen. Dann wird 



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84») 215 

wenn wir der Kürze wegen die konstante Grösse 

fetzen, d. h.: 

„Die Vielfachcntomme S der Quadrate der Abstände eines 
variabeln Punktes x von mehreren konstanten Punkten a, b,- ■ ■ 
erreicht, wenn a, ß,--- die Koefficienten jener Vielfaehen- 
fümme find, und die Summe o diefer Koeßicienlen pofiliv ist, 
ihren kleinsten Werlh, wenn x in den Schwerpunkt s des Punkl- 
Vereines aa, ßh--- liegt. Wenn fich dagegen x aus diefeni 
Schwerpunkt s um den Abstand p entfernt, fo wächst jene 
Vielfaclienfunime um das ff-fache von dem Quadrat diefer 
Strecke, und ist alfo für alle Punkte auf der Oberfläche einer 
Kugel, welche s zum Mittelpunkt hat, konstant. Wird a ne- 
gativ, fo bleibt alles dasfelbe, nur dass statt des minimums 
ein maximum eintritt." 

3^2. Fortfetzung. Wenn zweitens a + ß -l =0 

gefetzt wird, fo verwandelt fich die Formel * der vorigen 
Nummer in 

S = ~ 2[Cx - s3!(aa + j3b -f- ■■■)]+ «(s ~ a)* 

Hier ist (nach 222) die Summe aa -\- ßh -{-■■■ ■ eine Strecke 
von bestimmter Lauge und Richtung, welche wir mit r bezeich- 
nen wollen, fo ist 

S = ~ 2[(x - s)[r] + <s-a)' ^.^(s-b)^ + . . . 
Es fei nun angenommen, dass r nicht null ist, und feine 
Länge gleich q fei. Um nun den Ausdruck noch weiter zu 
reduciren, nehmen wir einen Punkt s' in der von s mit r 
parallel gezogenen geraden Linie an, und fetzen s' — s=;zr, 
wo z eine Zahl ist, da s' — s nach der Konstruktion mit r 
parallel ist. Dann wird 

[Cx-s)|r] = [Cx-s'-|-s'-s)|r] 

= [Cx - s')|r] + [(s' - s);r]. 
Aber [l.s'— s)|r] ist gleich [zr|r] =z[r(r], ila z eine Zahl 
ist, alfo =zr'=zg', da q der numerische Werth von r ist. 
Allb wird [(x — s))r] = [(x — s')|r] -(- xq^, und 

S = — 2[Cx — s');r] — 2ze* + «Cs — a]' 
■+ß^s-hy+.... 



yGoosle 



Da s' ein beliebiger Punkt in der geraden Linie sr ist, Fo 
ist z noch unbestimmt, es fei z fo bestimmt, dass 
_ a( s-a)' -f ^(s-b)- + ... 

'- W 

ist, fo wird 

S = -2[(x^-s')W. 
FilHt man nun von x das Loth xx' auf die gerade Linie sr 
oder s'r, fo ist x — x' normal zu r, d. h. [(x — x')|r] = 0, 
alfo 

Kx - s')lr] = [(x - X' 4- x'-sO|r]=[Cx'-s')|r], 
alfo S = - 2[(x' — sO|r] = ± 2ye, 

wenn go die Länge von x' — s' ist, und das unlere oder obere 
Zeichen gewählt wird, je nachdem x' — s' mit r gleich oder 
entgegengefetzt gerichtet ist, d. h.: 

„Die Vielfachenfumme S der Quadrate der Abstände eines 
variabeJn Punktes x von mehreren festen Punkten a, b,- • wird, 
wenn a, §,•■■ die KoefCcienten jener Vielfachenfumme, und 
die Summe diefer Koeiflcienten null ist, null für alle Punkte 
einer gewissen Ebene, welche auf der Strecke r::^aa -f- |3b 

-J fenkrecht steht. Wenn fich der Punkt x dagegen um 

den Abstand (p von diefer Ebene entfernt, fo wird jene Summe 
= — Syg oder -\-2ipq, je nachdem er fich in der Richtung 
der Strecke r oder in der ihr entgegengefelzten von jener 
Ebene entfernt hat, wobei q die Länge von r ausdrückt." 

343. Schluss. Ist endlich auch r null, fo wird 
S = «(s-a)-' ^-,3Cs-b>' +.■■, 
d. h. konstant, d. b. 

^Die Vielfachenfumme S der Quadrate der Abstände eines 
variabeln Punktes x von mehreren festen Punkten a, b,--- 
ist konstant, wenn die entsprechende Vielfachenfumme der 
Punkte a, b,--- null ist, d. h. 

aCx - ay -H jSCx — b]' -\ = Consl. , 

wenn aa + |Sb -| =0 ist," 

Nämlich die Gleichung aa -f- /9b +■■•=; schliesst (nach 
322) schon die Gleichung a + ß -\ =0 ein. 

3^^. Aufgabe. Die Vielfachenfumme S der Abstände 
eines variablen Punktes x von mehreren festen Ebenen A, 



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»44) 217 

B,-'- in einfaclister Füriii auszudrücken, wenn die Koefficion- 
len a, ß,--- joner Vielfaelienfuinme gegeben find, und für 
jede Ebene die Seite, nach welcher die pofiliven Abstände 
liegen füllen, bestimmt ist. 

Auflöfung. Man nehme in jeder der Ebenen einen 
Plächenraum an, dessen numerischer Werth i ist, und welcher 
(feiner Erz eugungs weife nach) fo beschaffen ist, dass das 
äussere Produkt diefes Flächenraums mit einer Strecke, die 
nach der als pofitiv angenommenen Seile der Ebene gerichlet 
ist, ein pofilives Produkt bildet. Diefe Flachenräume, aufge- 
fasst als Theile der betreffenden Ebenen, d, h. als Grössen 
dritter Stufe (253) feien beziehlich mit A', B',--- bezeichnet, 
fü ist das Produkt [A'x] (nach 263) gleich dem Inhalte eines 
Spates (Paratlelepipedums), dessen Grundfläche A' ist, und 
dessen Deckfläche (der Grundfläche gegenüberliegende Fläche) 
durch den Punkt x geht, allo gleich A' mal der Höhe, oder 
da A' numerisch gleich 1 ist, gleich der Höhe, d. h. gSeich 
der Entfernung des Punktes x von der Ebene A, und zwar 
auch dem Zeichen nach, und ebenfo für die andere Ebene. 
Alfo ist 

S = a[\'x]-{-ß[h'x] -}-■■■ ■ 
= [(aA' + ,äß'H )x] 

= e[Rx], 

wenn pR die entsprechende Viel fach onfumme der Flächentheilo 
A', B',---, und R numerisch gleich 1, $ aber pofitiv ist. 

„Die Violfachenfunime S der Abständen eines variablen 
Punktes x von mehreren festen Ebenen A, B,---- mit den 
Koefficienten a, (?,-■■ steht zu dem Abstände desfelben Punk- 
tes von einer festen Ebene R in einem konstanten Verhält- 
niss g:l, und zwar findet man H und g, wenn man auf den 
Ebenen A, B,--- Flächenlheile A', B', ■■■ annimmt, welche 
numerisch gleich i find, und mit Punkten, die auf der als 
pol^tiv angenommenen Seite der betreffenden Ebenen liegen, 
äusserlich mulliplicirt pofitives Produkt geben, dann ist R die 
Ebene des Fluchentheiles a\' -{- ßB' ■}-■■■ , und q der nume- 
rische Werth diefes Fiächentheiles. Sollte jedoch iliefe Summe 
eine unendlich entfernte Ebene, d, h, einen Körperraum (262) 



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2i8 f»*» 

geben, alfo pR ein Körpcrlhoil fein, fo ist (nach 268) [gRx] 
konstant, alfo auch die Vieiraclienfumrno S konstant. Sollte 
endlich ctA' + ^B'-f-- Telbst gleich null fein, fo wird aiicli 
S null für jeden Punkt x." 

Anm. Die in den vorigen Aufgaben gefundenen SäUe lassen 
ficli in cincnSatz z ufanimen fasse n , wenn man statt der Punkte «nd 
Ebenen Kugelfläehen fützt, welche ficli, wenn die Radien null wer- 
den, in Punkte, wenn fie unendlich werden, in Ebene» verwandeln, 
lind zwar, wenn man statt des Quadrates des Abstände» von einem 
Punkte und statt des einfachen Abstandes von einer Ebene, das Pro- 
dukt des kleinsten und grössten Abstandes von der Kugelfläche fetit, 
fo geht dies Produkt, wenn fich die Kugelfläche in einen Punkt zu- 
fammenzicht, in das Quadrat des Abstandes über, and wenn fich die 
Kugelfläche iu einer Ebene entfaltet, fo wird der eine Abstand un- 
endlich, und kann fUi' alle Ebenen ala gleich angcfeben und dalier 
mit ihm dividirt werden , wodurch die einfachen Abstände hervor- 
gehen. Diefe Verollgemeinening foil in dem folgenden Salze ausge- 
führt werden. 

34S. Wenn man unter dem Düppelabstand eines 
Punktes von einer Kugelfläche das Produkt des kleinsten und 
grössten Abslandes des Punktes von der Kugelfläche versieht 
(das Produkt pufitiv genommen, wenn die Abstände gieicli- 
gerichtet, d. h. der Punkt ausserhiilb der Kugelfläche liegt, 
negativ im cnlgegenge fetzten Falle), fu ist die Viel fachen Tu miiio 
S der Doppelabslände a', ß',--- von mehreren festen Kreifen, 
deren Mittelpunkt a, b,---, und deren Radien a', b',--- lind, 
ulfü die Violfachenfumme 

oo' + ,?/}■+..., 
wenn a, ß,--- ihre Kueilicienlen darstellen, ein minimum 
oder maximuni, wenn x in dem Schwerpunkte s des Punkl- 
vereins an, ßb,--- liegt, und zwar, wenn fich der Punkt x 
von dielem Schwerpunkte s um den Absland (p enlfernt, l'o 
wächst S um das Produkt diefes Abslandes in die Summe ff 
der Koefficienlen a, ß,- ■ ■, alfo um yff oder um (^a -\- ß -j-- ■)y. 
Wenn aber der Punklverein aa, ßh,-- keinen Schwerpunkt 
hat, d. h. a-j-ß -{■■•■■ null ist, fo giebt es eine auf der 

Strecke r = aa-f-^b-| fenkrecht slehcndo Ebene E, für 

deren Punkte S null ist; entfernt fich dann x von diefer Ebene 
nni den Abstand y , fo wird S = + 2^q, wo p der numerische 
Werth von r ist, und das nnlere oder obere Zeichen gewählt 



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»4») 219 

wird, je nnchdem x ficli nach der Seite !iin bewegt, nach 
welcher von E aus die Richtung von r Üegl, oder nach der 
enlgegengefetzlen. Wird aber auch aa + (Sb -j- ■ ■ = 0, Co ist 
S konstant. 

Beweis. Zieht man von x die Linie durch den Mittel- 
punkt a der ersten Kugel, welche die Oberfläche derrelben 
in Xi und Xa schneide, fo ist der Doppelabstand o' = (x — X|) 
(x — Xj) = (x — "a — a'Xx — a -f a'3) wenn x — x, die Linie 
von Xj nach x bezeichnet u. T, w., und a' der Radius ist, 
A!fo a'=:Cx — a)^ — a'*, oder wenn wir jetzt unter x — a 
eine Strecke von bestimmter Länge und Richtung verstehen, 

Aifo S=aa' + ßß' H 

= a[(x - a)-' - a'^ + ^[(x - by - b'=] + ■ • ■ . 
Nehmen wir nun einen konstanten Punkt s zu Hülfe, der zur 
Vereinfachung des Ausdrucks dienen foU, Ib wird 

(x - a)' = (x ~ s -f s — ay 

= (x-s)*-[-3[Cx-s)|(s-a)]+Cs-a)^ 
und entsprechend bei den übrigen Quadraten. Setseit wir noch 
o 4- /3 -! =^ t' ) I"*' **''''d 

S = ff(x~s)M-2[Cx-s)|(tfs-öa^ ^b-..)]-!-^, 
wenn wir die konstante Grösse 

«Cs — a>'-f ^(s — b)-'H «a'^-iSb'^ ■— /t 

fetzen. Ist nun tf von null verschieden, fo wird der Faktor 
CS — aa — (?b = , wenn s der Schwerpunkt des Punkt- 
vereins aa, j?b,- ■ wird, Nehmen wir alfo s in diefeni Schwer- 
punkte liegend an, fo wird 

S = 0Cx-s)' ^fi, 
wodurch der erste Theil bewiefen ist. Wenn aber (1 = 1) ist, 
fo ist aa+J*b+'-- eine Strecke, diefe fei r, und q ihr 
numerischer Werlh, fo wird 

S = 2[Cs - x)|r] + p.. 
Leicht hann man, da S in Bezug auf x vom ersten Grade 
ist, folche Punkte x finden, für welche S null wird. Es fei 
s' ein folcher Punkt*), d. h. 

*) Setzt man den Punkt s-I-;^.j^p, fo ist s' ein beliebiger 
Punkt, welclier in der durch p fenkrecht gegen r gelegten Ebene liegt. 



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SSO (««e 

fü wird 

S = 2[(s - s' + s' - x)|r] -\-fi = 2[(s' - x)|r] 
vermöge der vorigen Gleiclmng, und dies ist 

wenn § der numerische Werlli der fenkrechlen Projektion von 
s' — X auf r ist, und das unlero oder oI>ern Zeiclien gewühlt 
wird, je nachdem x — -s' und r auf derfellien Suite der in s' 
auf r errichteten fenkrechlen Ebene Hegen oder nicht, wo- 
durch der zweite TheiJ des Satzes erwiefen ist. Wenn end- 
lich auch mi^ ßb -}-■■ =0 ist, fo wird 

alfo konstant. 

346. Aufgabe. Die Summe S mehrerer Linientheiie 
im Raunte auf die Summe eines Linientheiles und eines da- 
gegen fenkrechlen Flächenraumes zurückzuführen. 

Auflöfung. Man nehme ein System von vier Einheilen 
im Räume: a, a^, aj, a^ an, von denen a ein einfacher Punkt 
und aj, aj, a, Strecken find, fo lässt fich fnach 232) jeder 
Punkt im Räume aus ihnen numerisch ableiten, alfo isl jeder 
Linientheil als Produkt zweier Punkte (nach 65} aus den mul- 
liplikativen Kombinationen aaj, aaj, aas, aiSi, aja,,, a^ag nume- 
risch ableitbar, alfo auch S, als Summe folcher Linientheiie, 
es fei 

S = ai[aa,]-{-aj[aa2]4-a3[aa3]|-(Si[aiai]+j9j[aia3] + |53[aia,] 
oder 

= [aCOiai+a^a, +Ksa3)] -f ^i[a,a,] +^^[8183] +^3[a.a3]- 
Es fei 

Kiai + aja5 +a3a3=b, 
alfo b eine Strecke, und ftlaiaj] + J?i[a a,] -J- ßslUi^g] ist als 
Summe von Produkten von je zwei Strecken, wieder ein 
folches, aifo als Ergänzung einer Strecke aufzufassen, etwa 
der Strecke c, d. h. es fei 

/5.[«ia=H-ft[a,»,]+A[a,.s] = |c, 
fo ist 

S = [ab] + |o. 
Es fei a' irgend ein anderer, noch näher zu beslimmender 



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»4») 221 

Punkt lind fei a — a'=:d, wo d eine Strecke ist, fo ist a 

= a' + d , alfo 

S = [Ca' + (i)h] + |c = [a'b] + [db] + |c. 
Es ist hier [db] + |c ein FSächenraum; und es Toll d To be- 
stimmt werden, dass, wie die Aufgabe verlangt, diefer Flächen- 
raum auf dem Linienlheile [a'b] fenkrecht stehen füll. Da a' 
ein Funkt und b eine Strecke ist, fo liat diefer Linientheil 
die Richtung von b, alfo füll der Flächenraum auf b fenk- 
recht stehen, d. h. (nach 152, 333) [(db -f |c)|b] = 0, oder 

[db|b] + |[cb] = [99], 

d.h. |[cb] = [bd|b] [55]. 

Nehmen wir an, dass d fenkrecht auf h stehe, d. h, in 

der Ebene |b liege, fo ist (nach 108^ der zuletzt gewonnene 

Ausdruck 

= [b|b]d = ,SM, 
wenn ß der numerische Werlh von b ist, alfo d gefunden 

Umgekehrt, wenn d diefen Werth hat, fo folgt durch die 
umgekehrten Umgestallungen, dass der Flächenraum [db] -f- |c 
auf b fenkrecht stehe, alfo ist die Aufgabe gelöst. 

347. Wenn zwei Summen vun Linientheilen beide auf 
die Form einer Summe gebracht find, deren eines Stück ein 
Linientheil und deren anderes Stück ein gegen die Linie des- 
felben fenkrcchter Flächenraum ist, fo find jene Summen nur 
dann gleich, wenn fowohl diefe Linienlheile als diefc Flächen- 
räume einander gleich find, d. h. wenn 

[ah]+rib = [a,b,]+y,]b, 
ist, wo a und aj einfache Punkte, b und b, Strecken, / und 
/i Zahlen find, fo ist 

[ab]^[aib,], y|b = )-,(b,. 

Beweis. Man mullipiicire zuerst die gegebene Gleichung 
mit einem Produkte U dreier Strecken, fo ist |b ein Produkt 
zweier Strecken, alfo [[b^U] =0 = (|bi-U] (nach 301), da- 
gegen [abU] = b und [a,biU] = b, (nach 305); alfo erhält 
man b^b,. Somit verwandelt fich die gegebene Gleichung in 
[ab]+/;b = [aib]+j',lb. 

Mulliplicirt man diefe Gleichung mit b, fo wird, da [abb] 



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222 (3*» 

= [8ibb] = ist Cnach 60), J-Mb] = /([blb], alfo, da [l)|b] 
= !)' eine von Null verschiedene Zahl ist, y^^y^. Somit 
verwandelt fleh die ursprüngliche Gleichung in [ab] = [ajb], 
d. h. die Linicntheüe [ab] und [aib,] und die Flächenräumc 
)'|b und y |b fnd n d gl h 

A E 1 t r 1 If j i & mm L tl 1 dl 

j d g I Ii (j ö t gt f t b t mt 11k 

m dfgAtF Smm Lthl d 

g g 1 L r k ht Fl 1 d t II Et 

t t d d ]■ 11 m G 8 t St f 11k 

pr&r tt ddldßw g Köp Ra V\ 

mlliKdp Lg blb d fit 

wdf tbk tlldf■^ft gU Idd 1 r'll 
mhdm gwL dKprs 1 g 

Riht m G fthtlt hldKi 

dfL Iml A gw Dlglldt d 

w rddCbd Ptlb gg & IdAfg d 

E d L g d K p Uk mm b f mt I t B g g 

k d h L th 1 Uk mm p f t t d d 

Itt d!i dgfkltFll mbd fm 

in If d h d 11g ra ml h l_ t St f N 

ttt 1 1 d ra d St t k f gl 1 W r d R f It t m i 

re K ft R d t 11 kö w h d d bl L th 1 

d 1 t t 1 K It i t 11t 1 d S d f Ib d 

t t h P r II t d t i h d 1 ft (f 4 i h II 



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Zweiter Abschnitt. 



^unktiottfiilfi)vf. 



^op. 1. ümhtioncii im ^lljiemetiiEn. 

§. 1. Begriff der Funktionen, 
und Reduktion mehrerer Funktionen mehrerer Variabein 
auf eine Funktion einer Variabein. 
338. Erklärung;, Wenn eine Grüsse u von einer oder 
mehreren Grössen x, y,-- in der Art abhängt, diiss, fo oft 
X, y, • ■ ■ bestimmte Werthe annehmen, auch u einen be- 
stimmten (eindeutigen) Werth annimmt, fo nennen wir u eine 
Funkt on von \ y 

Anm H er st zu bcme keu d ss d e ob g Definition auch gel- 
te Ml wo n X y bei eb ge exte f ve Grössen find. Ferner 
st 2U be nerben dass d e tnehrdeut gen F nkt onen d h j* 1 b 
1 Ir best n mte We tbe der u abbang gc ^ anabeln x y d G 

mel e "e era 1 edene Wc he an ehmen kann ol ne d d 1 ^ 
Boh edenbe t durch e e eue ^ ar abl bed gt at — I g 1 k 
a sgescblossen t ä e de n übe haupt alk n d ef m S ml 

deut gen Grössen lus der Mathen al k zu ve btnnea f d w 1 i h 
a ffe ke ne raatlenat sei e Formel rat '-che et d lä t 

Sobald d l Bez hang z cl en den u abh „ gen und d bh g 
gen ^ ar abeln u ver ttelat e erb! clunggegben d h 11 

tUr best mmte Wertbe de er te en de letzte e u mel re 1 d 

Werthe 8 1 men kann fo kan raa u anf 1 en als F k j 

Vanaleln nd ner ncueu r Vielehe e ne best rai t W tl 1 
et a d e de ganze Zal len durcl 1 uft fo das da 1 

ausser den nrspringl eben Va abeln noch der Werth b t t 

ist auch u e ndeut g best mmt Tei Oder follte e f I h 
1 B lable r 1 1 ausre chen fo kai i man n ehrere f I h Hülf 



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iielimen. Hat man z. B. die Gleichung ti'':^^, fo kann Mer für jeden 
Wertli von x die Gröaeu u noch :i verschiedene Wcrtlie aniiehmen. 
Einer derfelben fei mit x» bezeichnet, fo ist bekanntlich 

u = (-lJos« = (cos.-^+ K-lCii-V-j""' 
wo r nach und nach jeden gaiuen Zahlworth annehmen kann. Es ist 
alfo u anf diefe Weife als Funktion von x und einer neuen Variablen 
r dargestellt, wodurch dann die Mehrdentigkeit der Funktion ver- 
schwindet, 

34!). Erklärung. Zalilfiinklion nenne ich eine 
Funktion, welcho für beliebige Wcrlhc der Variabelii, von 
denen He abhängt, stets einen Zahlwerlh (reellen oder ima- 
ginären, ganzen oder gebrochenen, rationalen oder irrationalen) 
annimmt. ExlenTive Funktion nenne ich eine Funktion, 
welche für alle (oder gewisse) Werthe der Variabuln einer 
extenTiveii Grösse gleich ist. Ich werde die Zuhlfunktionen 
stels mit kleinen ßuchstaben f, 91, ij.', , die e\tLnfiven Funk 
tioiien mit grossen Buchstaben F, tP, 9', bezeichnen 

Anm. Die imaginäre Zahlgroa^c p -|" 1 K — ^ steht auf dir 
Granae der exlenfiven Grössen; lic i"t als extenfnc tirosse ailau 
fassen, fobald man für den Ausdruck dei Zahlbezieliuiig zwischen 
mehreren Grossen, nur reelle Zalilkoetfiuenten zuUsst, indem dann 
1 und Y—i als Einheiten erscheinen, die in keiner Zahlbeziehung 
zu einander stehen, hingegen ist fic ali Zahlgrosse aufzufassen fobald 
auch imaginäre Zahlkoefficienten für den Ausdruck der Zahlbeaiehung 
geetatlet find. Wenn daher die Funktion v — fx fui reelles x imagi 
näre Werthe, etwa u-^vK— 1 annimmt, fo kann Tie m dem ersten 
Sinne als extenfive Funktion aufgefasst werden, doch nollcn wir in 
der Funktionslehre den letzteren &inn stets festhalten, allo auch im 
Falle y imaginär wird, dennoch y als Zulilfunklion aulfasscn, wie es 
in der Erklärung geschehen ist. 

330. Jede Zahlfunktion beliebig vieler Zahlgrössen lässt 
fich als Zahifunktion einer einzigen extenfiven Grösse dar- 
stellen, und zwar, wenn 

yi = fCj'i, xj,-. ■ xj 
ist, fo ist diefer Ausdruck gleichbedeutend mit 

y,^f((x|e,), Cx|e,)-.-, CÄ|cJ) = y(x), 
wo Ci, ■ ■ ■ ßn ß'H einfaches Normaifysteni (flehe 153) bilden, und 

X = XiCi -f- XjCj -f ■ ■ ■ x„en 
ist. 



yGoosle 



3»i) 225 

Beweis. Wenn x =; x^e^ + XiBj +■■■ x„en ist und 
ei,---eo ein einfaches Nonnalfystem bilden, fo ist 

[x|e,] = [Cx.ei + x,e, + ■ ■ ■ x.eJle.] = x. , 

da [eije,], [e,|ej (nach 188) null lind und [ede,] = 1 ist. 

Aus gleicliem Grunde ist 

[x|e,] = x„-..-, [x|ej=x„. 
Alfo 

y, = l-Cx., Xj,-..xO = faxlei), Cx|eO- ■ -(xlej), 
wo alfü Yi eine Funktion der extenfiven Grosse x ist. Es 
t'ei diefe Funktion mit y(x) bezeichnet, fo hat man 

Vi ~ 5P W. 
331. Jedes System von Zabifunktionen beliebig vieler 
Zahlgrössen igsst fich als eine extenrive Funktion einer exten- 
l'iven Grösse darstellen, und zwar, wenn 

iyi^fiCxi, xj,--. xj 
Yj 7= fjtxi, Xj,- • ■ x„) 

ist, fo ist dies Syslem von Gleichungen gleichbedeutend der 
Gleichung 

y = F(x), 

wo 

x^XiCi 4-- . ■ x„e„ 

Ftx) = Ci^iCx) + ej9i W H e„9)„(x) 

y,W-f.([^|e,], [x|ea--' [x|ej) 
ist und ej," ■ ■ e„ und ei,- ■ ■ c^ einfache NormalTystenie bilden. 
Beweis. Nach 350 ist, wenn x = XiOi + X2e2 + - ■ x^e,, 
gefetzt wird, 

Yr^UXl, Xs,-.-X„) 

gleichbedeutend mit 

yr=i;C[xle,], [x!e,],--- [x|ej). 
Diefe Funktion von x fei mit g>X^) bezeichnet, alfo 

yr = y.(x)-frt[x!e.l, [x!e,J,-.- [xje„]). 
Ferner ist (nach 29) das System der Gleichungen 

yi=<P,Cx), yi = g'ä(x)---' y„, = fp„,fx) 
gleichbedeutend der Gleichung 



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236 (aa* 

yit^i + y^e, +'■■ y„e„ 

(1. li. der Gleichung 

Y = e^(Pi(x) 4- eäy,(x) H e^y^Cx). 

Diere Funktion von x fei mit Ffx) bezeiclmel, alfü 

F(x) = e,5PiCx) + e;5p2(x) -^ o^n^mCx) , 

fü find die m gegebenen Gleichungen 

Yi = t'iCxi, Xj,' ■ ■ x„) u. f. w,, 
gleichbedeutend mit der Gleiclmng 
y^FCx). 

352. Jedes System von Funktionen beliebig vieler Va- 
riahein lässt fich erfetzen durch eine Funktion einer Variabehi, 
vorausgefelzt, dass fich die unabhängigen Variabein fämmtJich 
aus einem System von Einheilen numerisch ableiten lassen, 
und ebenfo die abhängigen. 

Beweis i. Für ein beliebiges System von Zahifunktionon 
beliebig vieler Zahlgrössen ist der Satz in 351 bewiefen, 

2. Nach 157 lassen Hch alle aus einem System von n 
Einheiten numerisch ableitbare Grössen aus einem einfachen 
Hormalfystem von n Grössen numerisch ableiten. Es bestehe 
das Normalfystem, aus welchem fich die unabhängigen Varia- 
bein X, y,-'- ableiten lassen, aus den Grossen Cj, ä2,---o^, 
und diejenigen, aus welchen fich die abhängigen Variabehi 
u, V,'-' ableiten lassen, aus den Grössen e<", e'*V ■■'-'''"■' ■ 
Ferner fei 

X ^= XiCi -(-■-■ X^Cn , U ^ Uje''J -J- . . . Un^e'"" 

y = y,e, 'I y„e„, v = vioO -) v^e«"'', 

wo alle Koefficienten Zahlgrössen find, und feien 

u = Ffx, y- Ol ^ ^^ *^i^! Y)' Oj' ' * 
die gegebenen Funktionen, fo erhält man, indem man hierin 
die obigen Werlhe oinfetzt, 
Ujet')+.--u„e("'> 

= F(xiei +■ -XoC„, YiCi ■! + y„e„,. ■ ■). 

Hier i.st die rechte Seite eine extenfive Funktion der Zahl- 
grössen xi,---x„, Yi-'-Yn, . Diefe Funktion foll einer 

Grösse gleich fein, welche aus den Einheilen eW,- ■ ■ -e'™' nu- 



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»*«J 227 

merisch ableitbar ist, alfo muss fie felbsl aus ihnen namerisoh 
ableitbar lein, d. h. üo muss in der Form e'"5Pi -| — c^^'y^ 
erscheinen, wo ^i,* ■ -^m Zahlfunktionen von Xj,- ■ -Xn, yj- ■ • ■ 
y„,-'- find. Alfo erhält man 

iiie*^^' ■{-.■■ u„e<°' = ©"l^i 4, . . . eC™' <p^. 
Dieft! Gleichung, welche mit u;=FCx, y) gleichbedeutend ist, 
wird (nach 29] erfetzl durch das System der Znhlgieicliiingeri 

Ui = 5Pi, u, := 5Pä , ■ ■ - «n. = yni- 
Auf gleiche Weife wird die Gleichung 

v^S-Cx, y) 
erTelzt durch ein System von Zahl gleich iingen von der Form 

wo ^>i, %,■■■ gleichfalls Zahlfunktionen der Zahlgrössen X|, 
'••^uy yi'-''ynr'' fin''- Folglich werden die gegebenen 
Gleichungen 

u = Ftx, y- ■), V = ^(,x, y--) 
erfetzt durch das System der Zahlgleichungen 

Uj = y, , U2 = 5p2 , ■ ■ ■ Um ^ gim , 

Vi = ^1 , V2 = ^2 I ■ ■ ■ Vn, = l/'ni , 

wo fi-''<Pmi Vi" ■ 'Vin!' ■ ■ Zahlfunktionen der Zahlgrössen 
Xi'--x„, yi---yu,--- find. Aber nach 35i kann ein folches 
System erfetzl werden durch Eine Funktion Einer Grösse, 
folglich kann auch das gegebene System durch Eine folche 
Funktion E ner Grosse erfelzt werden 

Anra DefeZ uckfuhrung a f E e F nkt on E ner \nr abcin 

t auch fur de Bei andlang der ZaUfunkt one on E deut ng da 
d e =!atze kr Zahlfunkt onon der D ffereni alrecl nung der Re hen 

nd auch m t ge ssen Bescl ra 1 u ge de der I teg al eclinung fch 
auf Xol 1 e extenf en F kt one extenf er G obsen e nten ge 
le gt we den foll a endea lasse Namentl h ergeben [ 1 daraus 
d c Jakob chen Sitze über Tu kt o aideteru uten f o n e d e on 
Jakob fe ner berll inten Abhandlung angedeutete oder f,eal nte 

Uebere Et mm ng ä Ter Satze n t de '«atzen der D ffere z at o e ne 
e f le !■ nlton e e \ar abel auf Ic I te te d rni ttelba te 



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228 (853 

§. 2, Ganze iPunktionen und Darstellung derselben vermittelst 
lückenhaltiger Produkte. 
333. Erklärung. Wenn Pai, 8i,---5a ein beliebiges 
Produkt ist, in welcbem die Grössen erster Stufe aj, aj,--* 
Bu als Faktoren verkommen, To verstehe ich unter 

Pl, I,---lCxiX2' ■ -xj, 
wo Xi" ■ -x^ beliebige Grössen erster Stufe find, das arithme- 
tische Mittel zwischen den fämmtlicheu Ausdrücken, welche 

Pxi, Xli,'--Sn 

hervorgehen, wenn man den Grössen Xj, X2,'--Xn alle mög- 
lichen verschiedenen Folgen gieht. Ich nenne hier den Aus- 
druck Fl, i,..-i ein Produkt mit n Llicken. 

So ist z. B. 
Pl, 1, iCxyz] 

= CP +P P hPj +P xy + Pzj x) 6 

A Utdra h 1 Mtlmli Croasen st 1 er 

1 t d d Ii d A hl d G d d rte Sun me de fei 

h td Ea tlth flbtd \eiien folche 

LUk dk brat dnAnlk diiTch MuH pl kaf on 

b d w d n f 11 t h.1 mm hl sse st Mocl 

tbmkd t>d dLk tretende G os en 

al G ö t bt f g r t t li b M r ht le cM dasB ma 

dl B gl £f 1 btitt -w t d 1 La ke I oberer Stufe 

tt hak dhfliLk nw Iche C ossen 

1 ob f t £ n D 1 k m lol lie Falle in 

d LUk lob St f k mm d fast ilberall ver 

m d n N tl b w d h fig t F 11 t onn das Ha pt 

g b t t &t f t d C C — 13 *^tufe n 1 e L cken 

t t r 11 r k m d 1 b ! ErgdUi gen on 

(,ö tbttlf dFmiufwd rstellen nad etatt 

d Lü k ( — 1) t bt f 1 b (1 d 1 da n d Lu ke 

d Sfdtt dlüfit n^5u ter) gt 

JSa E l ___^^ 

Pl,l,---(.XiXa---x„)^Z'Psr,Xä---- :(l-3----n), 
wo der Ausdruck Pl, l,.. ein Produkt mit n Lücken ist, und 
X,, Xj,--- diefelben Grössen wie Xi, X2,'--Xn bezeichnen, 
nur in beliebig geänderter Folge, und wo die Summe fich auf 
alle verschiedenen Folgen bezieht. Ins Befondcro ist 
Pl 1 ..xn = Px, X,.--. 



yGoosle 



»M) 229 

Beweis. Nach ,353 ist Pl, ),'-Xi, x,,- ■ -x^ das arithme- 
tische Mittel der Ausdrücke Pxr,3is,----, welche aus Psi, xs,---Kn 
durch beliebige Anordnung der Grössen x^,- ■ • -x^ hervorgehen, 
d, h. gleich der Summe jener Ausdrücke, dividirt durch ihre 
Anzahl, alfü durch i-2----n. Wenn ins Befondere xi=:Xi 
= ----=x^:=x ist, f(» werden alle jene Ausdrücke gleich 
Px,x,.-., alfo ist ihr arithmetisches Mittel gleich einem der- 
felhen, alfo damit auch die Specialformel erwiefen. 

3S3. Erklärung, Wenn P„ ein Produkt mit m Lücken, 
und m >■ n ist, fo verstehe ich unter PmCxi-Xj- ■ ■ -Xa) den 
Ausdruck, welchen man erhält, wenn man den Ausdruck 
Pn,Cxi ■ Xj ■ ■ • x„) (nach 353) entwickelt, und dann statt jeder 
der Grössen Xn.|.i, Xn.|-a,- ■ -Xn, eine Lücke Telzt; z. B. ist 

Pl, 1, IX = (Px, 1, I + Pl, X, 1 + Pl, 1, x) : 3; 
PI , 1, i(xy) 

= (Px,y,l + Py,x,I + Px,l,y + Py,l,x + Pl,x,y + Pl,y,x):6. 

356. Wenn Pi, i,.. ein Produkt mit m Lücken, und m 

grösser als ii ist, fo ist 

Pl,l,.---(xiXj- ■■xj=— ^- — ■,%— 7 r~r~J\^ 

'' "' m(m — 1)---Cm — n + J) 

wo S die Summe aller Glieder ist, welche hervorgehen, wenn 

man x,, Xä,---x„ auf alle möglichen verschiedenen Arten in 

die m Lücken von Pi,i-. vertheilt, ins BeCondere ist 

Pl,l...x = (Px,l,-.. +Pl,x,.-- -I- ■■■);"!, 
Beweis. Es ist (niich 355) unter Pl,],- .Xi'Xj- ■ -Xn der 
Ausdruck verslanden, den mau erhält, wenn man in Pl,!,--- 

Xi-Xi Xn, statt jeder der Grössen x„ + i,- • -x^ eine Lücke 

fetzt. Nun ist (nach 354} 

Pl, I. --(xiSj ■ . ■ ■x„)=XP^^;^~""-- a ■ 2- ■ ■ . m). 
Setzt man hierin statt Xn + i, Xn + a,- ■ -x^ Lücken, fo werden 
alle die Glieder gleich, welche fleh nur durch die Reihen- 
folge der Grössen x„_)_i, Xn + a,--'X„ unterscheiden. Man 
kann alfo, statt diefe gleichen Glieder fo oft zu fetzen, als 
ihre Anzahl beträgt, eins derfeliien mit dicfer Anzahl, alfo 
mit l-2-3---0n — n) multipliciren; foniit erhält man jedes 
der von einander verschiedenen Glieder mit l-3----(m — ü) 



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230 (»*' 

;Cl'2'--m) multiplicirt. Aber die Summe diefer von einan- 
der verschiedenen Glieder ist S, alTo 

P|,],...CXiXj xj 

_ S-l -2----Cm — u) ^ S 

"~ " 1 .2- • ■ -""m m(m — !)• ■ -(m - n + ly 

Da die Anzalil dor in S enthaltenen Glieder gleich nnCm — 1_) 
■•■(m — n -f i) ist, fü ist der Ausdruck rechts zugleich das 
arithmetische Mittel diefer Glieder. 

aai. Erklärung. yVenn J, B,- ■ ■ ■ J', B',- ■ Vro- 
dukle mit je n Lücken, und a, ß,--- a', ß',--- Zahlen find, 
fo fetze ich dann und nur dann 

aA-\-ßB +---=a'A' -hß'B' +■■■, 
wenn für jede Reihe von n Grössen erster Stufe Xj, x,,- ■ ■ -x^ 
a/fxiXj ■ -Xy + ßBx^Xi ■ ■ -x^ -i- ■ ■ 

= a'A'xiX^ ■ ■ ■ x„ 4- ß'S'XiSi ■ ■ ■ x„ -J- • ■ 
ist. Wir nennen eine folche Vielfachenfumme von Lücken- 
produkten (mit je n Lücken) einen Lückenausdruck (mit n 
Lücken). 

358. Jede ganze Zahlfunktion n-ten Grades von belie- 
big vielen (veränderlichen) Zahlgrössen lässl fich in der Form 

Ax." 
('arstellen, wo A ein Ausdruck mit n Lücken ist, und zwar ist 
^äa,s,- ■y^i'x-i'' [a + b H = ■^' nj = A\" , 

wo X =: Cfl -f X^ej -f- XjCj -]-■■■- 

und ^ = X«„,,,.--[ljeoP[!|«;il'[l|e=r--- 

[r + a + b+--=n] 
ist, wo ferner e^,, Cj, Cj,---- ein einfaches Normalfystem 
bilden, und die Summe fich auf alle möglichen ganzen Werthe 
r, a, !),■■■ bezieht, welche der in Klammern beigefügten 
Bedingung genügen, ohne negativ zu fein. 

Beweis. Hach der Annahme ist x ^=Xoeg + Xjej -J- ^2^2 
-j-'--, wo Xg=i ist. Ferner da x,, = 1 und a + b-f-- 
=:<n ist, lo ist 

2j'^a,h' -Xi^Xj^ ■ ■ ■ -=^00, [, ■ ■ ■Xa^x/Xj'' ■ »• ■ 

mit der Bedingung, dass r + a + &+••'= n fei. Der ge- 
wonnene Ausdruck ist aber (nach 350) 



y Google 



= Xa,i,t,---[x|ooP[x!ei]°[x|es]'' 

= ^x" [354], 

wo A den im Satze angegebenen Lückenausdnick darstellt. 

359. Jedes System von ganzen Funktionen n-ten Gra- 
des beliebig vieler Variabein lasst fich in der Form 

^x" 
darstellen, wo A ein konstanter Lückenansdruck init n Lücken ist. 
Beweis folgt aus 358 vermittelst 352. 
300. Statt einen Lückenausdruck mit einer Faktoren- 
reilie (gemäss der Erklärung in 353) zu multipliciren, kann 
man ibn mit i!en Faktoren fortschreitend multipliciren, d. h, 
^(X^Xj- ■ ■Xn) = ^XiXä- ■ x„. 
Beweis 1. Es bestehet nur aus einem Produkt, und 
zwar enthalte dasselbe m Lücken, To ist (nach 356) 

* _ ^ 

XiXs-'-XbJ— n,(m — i)- ■■Cm — n + 1)' 

wo S die Summe aller Glieder ist, weiche hervorgehen, wenn 
man auf alle möglichen verschiedenen Arten s-,, X2,--.x^ in 
die m Lücken von A vertheilt. Ebenfo fei Sj die Summe 
aller Glieder, welche hervorgehen, wenn man Xj nach und 
nach in jede einzelne Lücke des Produktes A einfelzt; ferner 
gehe Sj aus Si hervor, indem man in jedem Güede von Sj 
die Grösse x nach und nach in jede der m ^ 1 Lücken ein- 
zeln einfetzt, und die ßlmmtlichen fo erhaltenen Glieder addirt, 
fomit ist Sj zugleich die Summe aller Glieder, welche hervor- 
gehen, wenn man x^x^ auf alle möglichen verschiedenen Ar- 
ten in zwei der Lücken von A einfügt. Auf entsprechende 
Weife möge Sg aus Sj abgeleitet fein u. f, w. Dann ist 
Cnach 356) 

Ax, = — , ^X,X, := - ■■ ■ ■ .., ,• - ■ ■ 
mi mOn — Ij 

endlich 

^XiXj- ■ -x^ 

=^(xiX;i' ■ -xj [nach*]. 



m(m~l>--(m- n+1) 
2. Es fei A ein beliebiger Lückenausdruck =:^Pa3 
ides Pn ein Produkt mit m Lücken ist, fo ist 



y Google 



= XP-CxjX5---:Ö [357] 

= 2rPoXiXi---xl [Bew. 1] 

= XP7xjXä--.x„ [357] 

=^ jiXjXj- ■ -Xq. 

361. In dem Ausdrucke Ax,Xi---x^, in welchem A 
ein beliebiger Lücken aiisdruck mit n oder melir Lücken ist, 
kann man oline Wertliänderung eino beliebige Schaar der 
Grössen x^Xj-'-x^ mit einer Kiaminer iimschliessen. 

Beweis aus 360. 

3ti2. Die Ordnung der Faktoren, welche in einen 
LUckenausdruck eintreten füllen, ist gleichgültig für dws Ke- 
fultat, d. It. 

^XiXa" ■ ■ ^= -^XjXj ■ ■ ■, 
wo XiX2--' und x^Xj,-- diefelben Faktoren nur in verschie- 
dener Ordnung enthalten feilen, und ^ einen Lückenausdruck 
bezeiclinel. __ 

Beweis. Es fei A = ^?a, wo jedes Pa ein lücken- 
lialtiges Produkt ist, fo ist 

^XjXj . ■ ■ = ^CxiXj ) [360] 

= Zp;a^;— ") [357]. 

Nun ist aber (nach 356) P^fx^Xj—-} das arithmetische Mittel 
Itlmmtlicher Ausdrücke, welche hervorgehen, wenn man Xj, 
Xj,*- in allen möglichen Anordnungen in die Lücken von 
Pn hineinfügt, alfo ist es gleichgültig, in welcher Ordnung 
die Grössen Xj, x^,--- in dem Ausdrucke PoCX[Xj'--) vor- 
kommen, d. h. PjCxiXj- • ■y^^^'i.^n^a' ' •)^ wcun x^Xj- • ■ und 
XjXj- ■ ■ diefelben Faktoren nur in veschiedener Folge enthalten 
foileu. AU'o ist 

^XiXj ■ . . = X^ai^r^s- ■ ■ = X^Xr^s ) [357] 

= Aix^x, ■■■■) = Ax,x, [360] 

3G3. Wenn irgend einer der Faktoren, weiche mit 
einem Lückenausdrucke multiplicirt find, eine Summe ist, fo 
kann man statt der Summe die einzelnen Summanden fetzen, 
und die fo erhaltenen Lückenausdrücke addiren, d. h. 
M=<- + y 4 )q = -^P-vq + ^ttjq i- ■ ■ ■ , 



yGoosle 



wo p und q Faktorenreihen bezeichnen, und A einen Lüclteii- 
a US druck. 

Beweis. Nach 363 ist ^pCx 4- y +• •)q = ^pq(x 4- y 
-j — ■). Hier ist Apn wieder ein Lückenausdruck, und dalier 
hat ^pqfx -j- y -j-- ■) die Form einer Summe von Produkten, 
deren jedes (x-(-y"r'0 als einen Faktor enthält, alfo die 
Form Ps 4- y + ■ ■ ■ + Ox + y + ■ ■ ■ -{-•■. Dies ist aber (nach 39) 
gleich Px + Py + ■ ■ • + 0^ 4- Oy + ■ ■ ■ = Px -;- Ox 4- ■ ■ • -F Py 
4- Oy H — = ^pqx 4- -ipqy H — = ^pxq + ^pyq -\ — ■ 

Anm. Es unterliegt hleinach das Produkt der Faktoren , welche 
in einen Lttckenaua druck hiaeintreten follen, gaiii den GeJeUen alge- 
braischer Multiplikation, und es bietet ficii uns hier alfo die allge- 
meinere Aufgabe dav, diejenigen Produkte extenfiver Grössen , welche 
den Gefetaen algebraischer Multiplikation unterliegen, zu behandeln, 
was der Gegenstand des folgenden §, fein foll. 

§. 3. Algebraische Multiplikation. 

364. Erklärung. Unter algebraisch or Multiplikation 
verstehe ich diejenige Multiplikation, deren Bedingungsglei- 
chungen find: 

e,e, = esep und EcFe,) = EFe,, 
wo e,, Bj ursprüngliche Einheilen undE, F algebraische Pro- 
dukte ursprünglicher Einheiten lind. Ich bezeichne l'ie wie ge- 
wöhnliche Produkte iler Algebra ohne umschliessende Klammer 
Anm iame und Eeziichnung find dann begründet, d aas für 
dicfe MuliipliliatKin, nje nnfen gc7eigt wud, lUe Gcfetze dei in dti 
Algebia angewandten Multiplikation gelten und keine andern In dtm 
eraten Thcile war diefe Multiplikation nicht zu behandeln, da fic 
keine einfachen Grosseu liefert, nnd mit der Funktionslehie aiifs 
Engste znrammenhangt Sie kann als die chaiaktens tische Multipli 
kation diciee a weiten Tlieileo aufgctasst weiden, wahrend die den ersten 
Theil eharakteririiendc kombiuatonsche Multiplikation von jetzt an 
immei mehr zuruiktntt 

SCiäi In einem algebraischen Ptodukte zweier einfaclicr 
Faktoren kann man die Faktoren verlaubchen, d !i, es ist 
ab = ba. 
Beweis, Es fei ä^^^^aae^jb^^^ßnet, 



y Google 



= Sf.i-.Sß, e. = Zo.fta-.B. 1 


[421 


= Zft«.(oiii.) 


[364] 


= XfteiXo.o. 


(421 



= ba. 
3<i6. Statt einen einfaclieii Factor c dem zweiten Fiiktur 
eines algebraischen Prodnktes hinziizufügen, kann man ihn dem 
ganzen Produkte hinzufügen, d. h. 
A(Bc) = ABc. 
Beweis. A und B find hier algebraische Prüdnktc der 
aus den Einheilen e,, ej,--- numerisch abgeleiteten Grössen, 
alfu (nach 45) darstellbar in den Formen 

A = X«X7 B=Xj3sF6, 
wo Ea, Ft algebraische Produkte der Einheiten Und. Endlich 
fei c^^ Ay,e,. fo hat man 

A(Bc) - Z^KiX^^Y^') = Z^J^EÄfT^,) [45] 

= Z'ß»ft>'.E«Fie, ■ [364] 

= Z^ÖTXft F;Z)W [45] 

= ÄBc 

Aiini. Hieidmtli i-^t die ügebiii-cli^ Miiitulil liioii ilb lirieilc 

MiiUiplikatioii , J li ah lülclie, doien Ecdingunf.'ägkic hin igen uolIi 

gelten, wenn min ititt der Einheiten beliebig iub ibncii iiumeiiscli 

abgeleitete Grösten fttit, n leligcwicfen 

367' Die Ordnung, in welcher man mit einfachen Fak- 
toren fortschreitend miiltiplicirt, ist gleichgültig für das Re- 
j'ultat, d. h. 

Abcil- ■ ■ ^^ Acbd- •■ = •■■. 
Beweis. Es ist 

Abc = A(bc) [366] 

^A(cb:) [365] 

= Ac!) L36ß], 

Alfo kann man in einem klainmerlofen Produkt zwei auf 
einander folgende Faktoren verlauschen. Durch Wiederholung 
diefes Verfahrens kann man jeden einfachen Faktor auf jede 
Stelle des Produktes bringen, alfo den fortschreitenden ein- 
lachen Faktoren beliebige Ordnung geben. 



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aii) 235 

368. Statt mit mehreren einfachen Fiiktoren forlschiei- 
teiid zu miiltiplicireii, kann man mit ihrem Produkt multipli- 
circn, d. h. 

Abc---- =ACbc--). 
ßewois. Nach 366 ist 

A(bc- ■ pq) = A(bc- ■ ■p)q^= A(bC' - -)prs u. f. w, 
= Abc- • -pq. 
300. Bei einem algebraischen Produkt von zwei be- 
liebigen Faktoren kann man die Faktoren verlausclien, d. h. 
AB^BA. 
Beweis. Es fei A = a^ ■ ■ - a^ , B ^ b^ ■ ■ - b„ , fo ist 

AB = ACbi- ■ -bj = Abj. - ■b„ [368] 

:--l)r-b„a,---a„ [367J 

= bi---h„Cai---a„) [3681. 

370. Bei einem algebraischen Produkt von drei belie- 
bigen fortschreitenden Faktoren kann man den zweiten und 
dritten Faktor in eine Klammer schliessen, d. h. 
ABC = ACBC). 
Beweis. Es fei B = b^ • ■ ■ b„ , C = c^ ■ - ■ c„ , fo ist (nacb 
368) 

ACßC)^ACB(c,-- ■c„)) = AtBci--cJ 
=:Ab,- ■■b„Ci- - -c^ 
^ACb,.--bJci---c„ 
= A(b, ---bJCcr ■ 'cj 
= ABC. 
371. Wenn man aus den ursprünglichen Einheiten 
"j 1 ■ ■ ■ ^n die Kombinationen mit Wiederholung zur m-ten 
Klasse bildet und jede diofcr Kombinationen als algebraisches 
Produkt der darin enthaltenen Elemente fetzt, fo stehen diefe 
Produkte in keiner Zahlbeziehung zu einander, und jedes 
algebraische Produkt von m Grössen, die aus den Einheilen 
ej-'-öo numerisch abgeleitet find, lässt fich aus jenen Pro- 
dukten numerisch ableiten. 

Beweis. Nach der Definition in 364 feilen die (J!ei- 
chungen 

e,.ej := CjCr 
und E(Fe,) = EFe, 



yGoosle 



236 (»«« 

die vollständigen Bedingungsgleichungfen der algebraischen 
Multiplikation fein, d, h. es foll keine Beziehung zwischen 
den EinUeitsprodukten stattfinden, als folchc, wi^lclic fich ans 
jenen Bedingungsgleichungen ableiten lassen. Jede aus ihnen 
ableitbare Gleichung muss alfo durch Anwendung jener Glei- 
chungen identisch gleich null gemacht werden können. Da 
aber jene Fundamental -Gleichungen auf beiden Seiten stets 
diefelben Einheiten enthalten, nur in anderer Folge oder Zu- 
fammenfassung, fo können durch Anwendung derfelben in ein 
Produkt keine neuen Einheiten als Faktoren hineingebracht 
werden. Dagegen kann man alle Glieder einer folchen ab- 
geleiteten Gleichung (nach 367, 368) auf die Form bringen, 
dass fie wohlgeordnete Kombinalionen (mit gestatteter Wieder- 
holung) aus den Einheiten e, ■ ■ • e„ werden. Nachdem dies 
geschehen ist, muss alfo die Gleichung identisch gleich null 
fein, d. h, alle Koefficienten müssen null fein, d. h. es findet 
keine Zahlbeziehung zwischen ihnen statt. Der zweite Thoil 
des Satzes folgt unmittelbar aus 49. 

Anm. Es bilden fomit die Kombinationen mit Wiederholung 
auB den urspränglichen Einheiten eu irgend einer (m-ten) Klasse, die 
Kombinationen als algebraische Produkte betrachtet, ein Sj'atem von 
Einheiten höherer Ordnung, aas welchem fich alle algebraischen Pro- 
duhte zu m Faktoren , welche aus den nrsprüngllchen Einheiten n 
risch abgeleitet find, wiederum numerisch ableiten lassen. Es 
fich iehr leicht aeigen, dass dasfelbe auch noch gilt, wenn man 
der n ursprunglichen Einheiten n beliebige, aus ihnen numerisch ab- 
geleitete, aber in keiner Zahlbeziehung zu. einander stehende Grössen 
fetzt. Indem ich jedoch dielen Beweis dem Leier überlaBse, schreite 
ich fogleich zu dem f[ir die weitere Entwickelung unentbehrlichen 
Satze. 

313. Wenn ein algebraisches Produkt null ist, fo muss 
nothwendig einer feiner Faktoren null fein, d. h. wenn 

AB = 0, A?0 
ist, fo muss 

B = 
fein. 

Beweis. Im allgemeinsten Falle werden A und B Viel- 
fachenfummen von algebraischen Produkten fein, deren Fak- 
toren aus den ursprüngüciion Einheiten a, b, c,-- - numerisch 



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a«») 337 

abgeleitet fintl. Dann bilden (nach 371) die Kombinationen 
mit Wiederholungen aus a, b, c,---, wenn jede diefer Kom- 
binationen als algebraisches Produkt der darin enthaltenen Ein- 
heiten gefetzt wird, die Einheiten aus denen A und B numerisch 
ableitbar find. Man stelle fleh vor, dass die Elemente jeder 
Kombination nach dem Alphabete geordnet find, und die 
Kombinationen felbst zunächst nach Klassen aufgestellt find, 
fo dass jede niedere Klasse der höheren voran steht, und 
dass ferner innerhalb jeder Klasse die Kombinationen lexiko- 
graphisch geordnet feien. Wir wollen diefe Aufstellung die 
wohlgeordnete Aufstellung der Kombinationen nennen. Da 
A nach Hypolhefis von Null verschieden ist, fo muss unter 
den KoelTicienten, durch welche A aus jenen Kombinationen 
abgeleitet ist, nothwendig mindestens einer von null verschie- 
den fein. Es fei E^ unter allen Kombinationen, welche in 
dem Ableitungsausdrucke von A einen von Null verschiedenen 
Koefficienteii haben, diejenige, welche in der wohlgeordneten 
Aufstellung die früheste Stelle einnimmt, fo erscheint A in 
der Form 

A = K,Ei 4- «2^3 +■■■ =X««E„, 
wo «i von Null verschieden ist. Ferner feien Fj, Fj, — - 
nach der Reihe die Kombinationen der obigen Aufstellung, und 

B = ZMs-/5iF, -f ^,F, +-■-, 
fo ist 

AB = ^a,ßf,E^fr [42]. 

Jedes Produkt EoFt liefert wieder ein algebraisches Pro- 
dukt der ursprünglichen Einheiten, und wenn wir diefe Pro- 
dukte mit G,, Gj,- ■ ■ bezeichnen, fo wird AB eine Vielfachen- 
fumme diefer Einheitsprodukte; alfo da AB nach Hypothefis 
null ist, fo müssen a!Ie Koefficienten diefer Vielfachenfumme 
null fein, d. h. 

Xä^b[E«F6 = G„] = 0, 
wo die in Klammer geschlossene Bedingung ausfagt, dass man 
die Summe aller der Produkte Ot^ßi zu nehmen hat, deren zu- 
gehörige Einheilsprodukte EaFi einen konstanten Werlh Gn, 
haben. Wir haben hier nur diejenigen Gleichungen diefer 
Art zu betrachten, welche in irgend einem Gliede den Faktor 



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238 (3«« 

% enthalten; diefe Gleichungen köiiiien wir in der Form 
schreiben 

= CiSk + Z'^t [EoFi = E,Fk] , 
wobei noch die Bedingung hinzuzufügen ist, dass unter den 
unter dem Snmmenzeichen stehenden Produkten keins mit 
CijSk identisch ist. Ich zeige nun, dass man diele Bedingung 
auch fo ausdrücken könne: b müsse kleiner Ah k fein. In 
der That ergiebt fich zuerst, diss a nicht I fein kann; denn 
dann müssle das Produkt der beiden Kombinationen Ej und 
Fb diefelbe Kombination liefern, wie das Produkt der beiden 
Kombinationen Ei und Fk, d. h. F^ müsste mit F^ identisch 
fein, alfo b = k, dann wäre alfo a^ßa mit Uißn identisch, was 
der vorausge fetalen Bedingung widerspricht. Alfo muss a >■ 1 
fein, d. h. E,, muss in der wohlgeordneten Aufstellung der 
Kombinationen später vorkommen als E^. Dies ist auf zwei 
Arten möglich; erstens auf die Art, dass E, weniger Elemente 
enthält als Eo, dann muss, da EiFk mit EoF* gleiche Kom- 
bination liefern Toll, Fk mehr Elemente enthalten, als Fj, d.h. 
Fk muss in jener wohlgeordneten Aufstellung später folgen als 
Vi, d. h, 6 < k fein. Oder zweitens, wenn E, und En gleich 
viel Elemente enthalten, fo muss Ej in der lexikographischen 
Aufstellung später folgen als Ei. In dem Princip der lexiko- 
graphischen Aufstellung von Kombinationen liegt es aber, dass 
das erste der Elemente a, b, ■ ■ -, welches in 2 Kombinationen 
einen ungleichen Exponenten hat, in der spSter folgenden 
Kombination den kleineren Exponenten habe, fo dass alfo, 
wenn dies Element in Ei den Exponenten a, in Ea den Expo- 
nenten / hat, )■ <, n fein muss. Ferner, aus der Bedingungs- 
gleichung EoFt = EiFk folgt, dass, wenn a, ß, y, rf die 
Exponenten find, welche irgend ein Eiement heziehlich in den 
Kombinationen Ei , Fk, E«, Fi, hat, fe -|- j? = )■-(- J fein muss. 
Hieraus ergiebt fich unmittelbar, dass, wenn ein Element in 
E, denfelben Exponenten hat wie in E,,, es auch in Fk den- 
felben Exponenten haben muss, wie in Fj, und dass alfo das 
erste der Elemente a, h,--- weiches in E„ einen andern Ex- 
ponenten hat als in Ej, auch das erste ist, welches in Ft einen 
andern Exponenten hat als in Fk; es mögen «, ß, y, S ins 



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89*) 239 

Befondere die ExponentiBii diefes Elementes in Ei, Fu, E«, Ft 
fein, fo faiien wir, dass y -< a fein muss; dann folgt aber 
aus der Gleichung a -\- ß = y -\- S, dass S > ß fein muss, und 
dass alfo nach dem Princip der lexikographischen Aufstellung 
die Kombination Ft früher stehen muss als Fk, d. h. B <^ k 
fein muss, da ja die Kombinationen Fi , Fj,--* in jeder Klasse 
lexikographisch geoninel fein feilen. Somit haben wir ge- 
funden, dass in den beiden möglichen Fällen b < k fein muss. 
Wir haben alfo die Gleichung 

* = a„3k+Xä^b[l5.F6=EiFk, b-=:k]. 
Es fei nun znerst k^l, l'o fällt die Summe y^.a„ß^ ganz 
fort, da ihre Bedingung, h <- i nicht erfüllt werden kann, 
alfo hat man «[^1=0, und da cti nach der Vorausfetzung 
^ 0, und «1 und ßi Zableji find, fo muss alfo 

ft=o 

fein. Setzt man k = 3, fo fällt, da b<2 und jS, = ist, 
die Summe ^a^ß^ gleichfalls weg, und man erhält «ijSj 
= 0, alfo 

/3, - 0. 
Und aus gleichem Grunde ergieht fielt , dass (Sj ^ ist u. f. w. 
Alfo ist auch B, was =i3iF, + jS^Fj -f--- war, =0. 

373. Wenn zwei algebraische Produkte aus je zwei 
Faktoren gleich find, und einen gleichen, von null verschie- 
denen Faktor haben, fo muss auch der andere Faktor in bei- 
den gleich fein, d. h. wenn 

AB = CB, und 8^0. 
ist, fo muss 

A = C 
fein. 

Beweis. Aus AB = CB folgt 

= AB ~ Cß ^ CA — C3B. 
Alfo da B 2 ist, fo muss (nach 372) A — C null fein, 
d. h. A = C. 

314. Erklärung. Unter dem algebraischen Quotienten 
A:B verstehe ich denjenigenAusdruck, welcher mit B alge- 
braisch multiplicirt A giebt, d. h. 

CA:B)-B = A. 



yGoosle 



240 f»«» 

373. Es ist 

AB:ß^A. 
Beweis. Nach 374 ist, wenn man darin AB statt A fetzt, 

(AB:B)B = AB. 
Alfo (nach 373) 

AB : B = A. 
376. Alle algebraischen Gefctze der Multiplikation und 
Divifion gellen für die algebraische Mulliplikation nnd Divifion 
extenriver Grössen. 

Beweis. Denn alle dicfe Gefetze gründen (ich auf die 
Formeln 

AB = BA 

ABC = ACBC) 

(A : B)B = A 

AB ; ß = A 
und auf die für alle Multiplikationsarten (nach 42, 45] gelten- 
den Beziehungen zur Addition und Subtraktion 

Anm Durch die Identität der Ri.clmiing3gerptae der lo eben 
behandelten Multiplikation mit du gewöhnlichen Multiplikation de» 
Algebra ist die IdentitU der Bezeichnung und Benennung geiei.htfer 
tigt Der einzige Unterschied hegt in den verknüpften Gioisen, welche 
dort Zahlen, hici beliebige cxti-nriYe Gids en, wie z B Punkte, Linien 
n f n find Ea w tro \erkehrt, wenn man diefe Diltrtnz der \er 
knilpften Grusäcu auf die Bezeichnung ider Benennung der Verknüp 
fung leibst ubertiagen wollte woduich die reiminologie nutzlos an 
wachfen, und dtr Zufammenlnng \eidunkelt werden wiirdc Auch 
diejenigen Eigenschaften diefer Produkte, welche luf d<,r befonderen 
Eigenthilmlichkeit extenti\ei Grossen beruhen, finden fich in der AI 
gebra, und zwar in der Lehii, von din ganzen Funktionen, wieder 
So z B liefeit der Satz, dies hrh. ji.de ganze Funktion Einei Vana 
beln vom n tcn Grade m n Imeaie Faktoren zerlegen lasst, hier auf 
Stiecken der Ebene angewandt, den Satz 

Jede faunime von algebraischen Produkten i on ji a btritken Fii ei 
Ebene l^a^t fich auf Em folches Piodnkt leduciren 

Hierbei ist mtilrlich voi ausgefetzt, dasis audi die Annahme inma 
ginarer Stiecken \eistattet Ici 



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§. 4. Öanze Funktionen ersten Grades, ftuotient. 

377. Erklärung. Wenn aj, aji-'-a^ Grössen erster 
(oder n — i-ter] Stufe in einem Hauptgebiet n-ter Sluf« find, 
die in keiner Zahlbezieliung zu einander stehen, fo verstehe 
ich unter dem Bruche (Oi'otienten) 

0=. "■■'■•■■■■''■ 

den Ausdruck, welcher mit ai, a^r'''*!! niultipiicirl, hezieli- 
lich die Werthe b, , bjj-'-bu liefert, fo dass alfu 



-^^-^^ — --a, = b,. 

Ich nenne ai, aj,---an die Nenner des Bruches, bi, b^-'-bn 
feine entsprechenden Zähler, und fetze zwei Brüche, oder 
zwei Ausdrücke, welche aus Brüchen numerisch abgeleitet 
Und, dann und nur dann einander gleich, wenn fie mit jeder 
Grösse erster Stufe multiplicirt Gleiches liefern. Wenn auch 
die Zähler Grössen l-ler oder (n — i)-ter Stufe find, und in 
keiner Zahlbeziehung zu einander, stehen, fo nenne ich den 
Bruch einen umkehrbaren, und bezeichne in diefem Falle, wenn 

%, "ir ■ 'öii 
'' - ~-i--"-'-" ■> 1- ^ j_ ],_ ich fetze 



bi, ba,-..b„' 
An m. Der Gedanke, wekliei- diefer Erklärung zu Grunde liegt, 
ist leicht hin durchzufeilen. In der Algebra ist nämlich unter dem 

Quotienten — der Ausdruck verötonden, welcher mit b multiphcirt 
a giebt, und dies genügt (wenn b nicht null ist) lur Deftnition des 
Zahl Quotienten. Für die extenfiveit Gröasen genügt es nicht zu wissen, 
welches Refultat die Multiplikation des Quotienten mit irgend einer 
(von Null Vera eine denen) Grösse liefert, indem daraus nur die Multj- 
kation desselben mit folchen Grössen fich bestimmt, welche aus jener 
Grösae numerisch ableitbar find. Man fieht aUo, dass in einem Ge- 
biete n-ter Stufe die Refnltate der Maltiplikation eines Quotienten 
mit n in keiner Zahlbeziehuiig stehenden Grössen bestimmt fein 
müssen, damit der Quotient vollstiindig bestimmt fei. Per Quotient, in 

16 



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242 (.3*8 

öiefem Sinne anfgefaast, ist für die Differenzial- und Integral-Rechnung 
extenfifcr Grössen, fo wie für die Behandlung der geometrischen Ver- 
wandtschaflen nnentbehrlich. Ich bemerke noch, daas man als Neuner 
dea Quotienten aucli beliebige Grössen höherer Slufen hätte gestatten 
können ; doch würde man dann den -wefentlichen Vortheil grösserer 
Einfachheit gegen den zweifelhaften l'orthei! unfrachtbarer Allgemein- 
heit austauschen. Ich werde deshalb auch die Zähler, wenn nicht 
aufldrllcklich anderes festgefet/t wird. Stets als Grossen erster Stufe 
betrachten. 

S'JS. Zwei Bräche oder Vieirachenfuinaien von Brüchen, 
welche mit n in keiner Zahibeziehung zu einander stehenden 
Grössen erster Stufe muiliplicirt, Gleiches liefern, find einander 
gleich, V or au sge fetzt , dass n die Slnfe des Hauplgebieles ist. 

Beweis Es feien und Oi die beiden Brüche oder 
V elfac! f n nen von Brüchen, welche mit n in keiner Zahl- 
bez el g zu einander stehenden Grössen erster Stufe ai- ■ ■ ■ 
a Itplcrt, Gleiches liefern, alfo es fei 

für jede Werlh r zwischen 1 und n, fo ist zu zeigen, dass 
Q = Oi, d. h. (nach 377J da s Q nl Q mit jeder Grösse 
erster Stufe x multiplicirt Glt, cl es 1 ef rn Nun lässt ficli 
(nach 34) jede folche Grösse i e e Hauptgebiete n-ter 
Stufe aus n in keiner Zahlbez el ung zu e nander siehenden 
Grössen, alfo aus a],---'a„ ni er sei able ten. Es fei 
X =Xiai -(-- ■ -Xnan! 

dann ist 

Qx = 0(x,a, 4- ■ ■ ■ x^aj = XiOa, -( x„Oa„ [^14] 

= XiOia, + -'-x„Oia„ [*] 
= (xia, +--.x^aJOi [44J 

3'39. Einen Bruch multiplicirt man mit einer Zahi, 
indem man jeden Zähler mit diefer Zaiil multiplicirt, und 
Brüche von gleichen Nennern addirt man, indem man die 
entsprechenden Zähler addirt, wobei die Nenner in beiden 
Fallen ungeändert bleiben, d. h., beides zufammengefassl, 






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Beweis. Zu zeigten ist (nach 37S), ilass buide Seiten 
der zu erweifenden Gleichung mit jeder der Grössen ai,- ■ -Bn 
mulliplicirt, gleiches Refultal liefern. Nun ist (nach 44) 
r,b. , b.,'- - , /., c,,-- N 

obi, bj,-- c,, Cj," ■ ■ 

= (? ^ a ■■ "' V a - -"' 

= |5b,'+CC, + -- ■ ' ' [3"]. 

Ferner ist 

(fbi +)'Ci + ■■■), tfb, +yc.+--),-- , 

= ()b. + rc,'+---- ' [3Jr]. 

Bezeichnen wir alfo der Kürze wegen die linke Seile der zu 
erweifenden Gleichung mit L, die rechte mit R, fo wird für 
jeden Index r 

* Lar = Ra,. 
Folglich L = R (nach 378). 

380. Jeden Bruch kann man auf die Form bringen, 
ilass feine Nenner heliebige n in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehende Grössen erster Stufe find (wo n die Stu- 
fenzahl des Hauptgebietes ist), und zwar ist 

hl, bj,---- ^ßijflha, ^aj,ab|,,- ■ ■ 

wenn ^«1 »aa, ^«s^aan,- ■ - n in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehende Grössen, und a^,^ Zahlen find. 
Beweis, Es ist 

bl! i>2!- • ■ ■ X V bn llsr ■ ■ r,n 

---— ^a, „»a^= / «r 0-^^^ — — a„ [441 

ai, »2,- ■ ■ ■ ■ ^ ' öl) »ir • ' 

^Xä;rX [377]. 

Aber auch 



^«1 oBa , .^CEj^aOi! ■ ■ ■ 

Alfo liefern beide Ausdrücke mit .^«^ a^a muitiplicirt, für je- 
den Werth von i ■■ -n gleiches Relultat, find alfo, da.^c(„„ai, 
-^«3 „a^, ■ ■ ■ nach der Hypothefis in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehen, (nach 378) einander gleich. 



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244 



(»8« 



381. Wenn c^, e2,-'-ea die ursprünglichen Einheiten 
nffl, und Hiil E,^j der Kürze wegen der Bruch bezeichnet 
wird, dessen Nenner die ursprünglichen Einheiten find, und 
von dessen Zählern derjenige, welcher dem Henner e^ ent- 
spricht, gleich «s 'St, während alle übrigen Zähler desfelben 
null find, d. h. wenn 

^' Er^,er = ej und U^^,et = [l ^ r] 
ist, fo lassen fich die n^ Ausdrücke, weiche aus E^g hervor- 
gehen, indem man statt r und s nach und nach beliebige der 
Kahlen l---n fetzt, als ßrucheinheiten Tetzen, d. h. es lassen 
fich alte Brüche aus ihnen numerisch ableiten, während fie 
f'elbst in keiner Zahlheziehung zu einander stehen, und 
zwar ist 



= X«a, (Ea, 



Beweis f. Es ist 



Ferner ist 



Xßfl, i.E„, 






[177], 



[44] 
1% 



indem nämlich Ea_,,e^ = ist für fl ^ r, und Fr^tUp^'-B 
ist. Älfo beide Ausdrücke, da fie mit jeder der Grössen «i 
• •■e„ mulliplicirt Gleiches liefern (nach 378) einander gleich. 
2. Angenommen zweitens, es bestände zwischen den 
Grössen E^s eine Gleichung der Form 

fo hätte man für jeden Index r 

= Z«a, iE„, te, = ZäZ^ElTe. [44]. 

Alfo da Ea, tej.= ist, wenn r von a verschieden ist, 

-= Zv Er,b «r = Z V«7 {*}■ 

Wenn aber 

= Zßr,bet =«r^ie, + «r.S^ä -f ■ ■ -, 
fo muss, da ej, e:,-- in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehen, (nach 28) jeder der Koefficienten von ei, Oj,--- null 
fein, d. h. 



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»»«> 245 

für jedes r und s, alTo ist die angenommene Gleichung iden- 
tisch null, d. h, (nach 2) die Grössen E,, stehen in keiner 
Zahlbeziehung zu einander. 

382. Jeder Bruch lässt fich als Lückenausdruck mit 
einfacher Lücke darstellen, und zwar ist, wenn die Nenner 
ai,-'-a„ ein einfaches Normalfysteni bilden, 

Beweis. Zu zeigen ist, dass fie mit jeder Grösse erster 

Stufe X multiplicirt Gleiches liefern. Nun ist, wenn x = Xi8i 

+ Xaaj -|-- ■ ■ ist, 

ai|a,]b, +[I|aj]b, + . . Ox = [x|a,]b. +[x|a,]b, + ■ ■ . 

[353] 

=x,bi-fXabj-[ [153], 

Aber auch 

bi, bj,-.. 
■ " ■■ - - — X 
B„ aj,-- . 

_K ^^'■■■(xiai+Xjai+--)=Xibi+Xäb, + .. [377]. 

Somit liefern beide Seiten der zu erweifendeii Gleichung mit 
jeder Grösse erster Stufe multiplicirt Gleiches, find alfo felbst 
gleich (nach 357, 377). 

Anm. Es ist alfo der Bruch nur eine einfachere Form des 
Lacken ftuedruckes mit einer Lücke, und kann alfo auch jedes System 
beliebig vieler linearer ZahlfuiiktLonen von heliebig vielen Zahlgröasett 
als Produkt eines Quotienten in eine extenrive Variable dat^cstellt 
werden. 

383. Erklärung'. Das bezügliche Produkt der Zahler 
eines Bruches, dessen Nenner das System der ursprünglichen 
Einheiten bilden, nenne ich den Potenzwertli des Bruches, 
und bezeichne den Petenzworth des Bruches 0, wenn n die 
Anzahl der Nenner ist, mit [0"], d. h. ich felze, wenn Q 

= " ^'- ° ist, und e,, Cj,- - -eH das System der ursprüng- 
lichen Einheiten bilden, 

[0'] = [a,a,..-.aj. 



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246 (as» 

Änm Wenn jeder Zähler das p-fachc des entapre eben den Nen- 
ner t f 3t 1 r Bruch vermöge der Definition gleich der Zahl p ; 
das bezdgl le Produkt der Zähler ist dann [pCi'pej- ■ -pen] =pn 
[e ej Gn] aKo da das bezügliche Produkt der Ursprung liehen Ein- 
he ten 1 t =^p'', d. h, in einem Hauptgebiete n-ter Stufe ist der 
Poteniwerth p ne Zahl p gleich p". Der tiefere Grund der gewählten 
Bene nuug d Bezeichnung liegt in einer ei gen tliü milchen Verknüp- 
fung de extenf ven Brüche, welche ganz der hezüghchen MuUiplika- 
t on e tspr cl t nd deren WeCen ich hier in mehr anschaulicher Form 
zu entfalten verf chen werde. Ich gründe den Begriff diefer Verknüp- 
f ng auf de des Liiekenproduktes. Wenn nämlich A, B,- •■, Ai, Bi,- ■■ 
Brliche f d deren Nenner etwa die urspr anglichen Einheiten fein 
mijgen )i d a b ■■■ beliebige Grössen erster Stute, 1 aber eine Lücke 
st n elcl e Bruche der genannten Art (alfo Grössen nullter Stuie) 
eintreten foll n fo fetze ich [AB-..] = [A,Bi. ■ ■] dann und nur dann, 
wenn n Bezug auf eine beliebige Reihe von Grössen erster Stufe 
ab le en Ansahl gleich der Anzahl der Faktoren jener Pro- 

dukte t 

[la lb.--]AB--- = [!a-lb-.-.]A,B, ■-.. 
et I 1 nenne dw Produkt [AB.-.] ein (auf das Hauptgebiet) beaüg- 
liches Produkt der Brüche A, B,---'. Aus diefem Begriffe folgt 
(nach 360D fogleich , dasa die Ordnung der Faktoren in diefem Produkte 
für den Wert.h desfelben gleichgültig ist, ein Gefetz, welches mit dem 
in 58 ausgesprochenen in Uebereinsttmmung ist, da die Brüche der 
genannten Art als Grössen nullter Stufe eu betrachten find. Ferner 
ergiebt fich leicht, dass wenn in dem Produkte [la-lb---] zwei der 
Faktoren , z. B. die beiden ersten , einander gleich find , allemal 
ria-lb--"lAB-.. —0 ist. Denn es ist (nach 353) [la-la-lc---]ABC--- 
gleich einem Bruche, dessen Zähler die Summe aller der Auadrücke 
ist, die man dadurch erhält, dass manA, B, 0,- in allen möglichen 
Anordnungen in die Lücken eintreten läset, und dessen Nenner die 
Anzahl diefer Ausdrücke ist. Nun zeigt fich, dass fieh die Glieder 
des Zählers paarweite aufheben. Denn wenn PQR- ■ - eine andere 
Ordnung der Faktoren ABC'-- darstellt, und zwar fo, dass P in die 
erste Lücke eintreten foll, Q in die zweite w. f. w. , fo wird das daraus 
entspringende Glied gleich [PaQa-Rc- ■ ■ ■]. Vertauscht man P und 
Q, fo geht aus dieter Ordnung diis Glied [Qa-PaRc- ■ -] hervor, die 
Summe beider giebt aber null, da Pa und Qa Grössen erster Stufe 
find, und deren Vertauschung (nach 60) entgegengefetzten Werth be- 
dingt. Alfo heben fich die Glieder im Zähler paarweife auf, d. h. 
der Zähler wird null, alfo der Bruch null. Dasfelbe gilt, wenn in 
dem Produkte [la-lb----] beliebige zwei Faktoren gleich werden, fo 

dass alfo in diefem Falle stets [la-lb ]AB- ■ . =0 ist. Daraus folgt 

aber wiederum fogleich, daas wenn fich die Grössenreihe a, b,--.- 
lineal ändert, z. B. b in b'=b-f cta fich verwandelt, das Produkt 



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8 98) 247 

[la-lb- ■ - 'lAB- ■■ denfelben Werth behält) und hieraus (nach 76), dass 
we n f h a b,''- beliebig, jedoch (o ändern, dass ihr Produiit 

[ab 1 k tant bleibt, auch [la-lb- ■ ■ ■]&B konstant bleibt. 

W kö n dilier dieren Ausdruck als Verkmipfiing , und awar als 
miiltplk t e Verknüpfung von [ab'--] und [AB---] anfelien, und 
h b n dal [la.Jb- ■- -JAB- - - = [ab- ■ .J[AB- -.]. Hier hat [AB- --], 
da m t d Ol Produkte [ab • • - -J verknüpft , wieder eine Summe von 
lol len F 1 ktcn derfelben Fafctorenzahl, alfo eine Grösse derfelben 
Stul 1 f t ganz die Bedeutung eines extenflven Bruches, aber eines 
1 I heu 1 wenn die Aniahl der Faktoren m ist, nur mit Grössen 
mt 6tuf fammentritt. Es feien E,, Ej,--- die Einheiten m-ter 
Sttite, und fei E,[AB.- ■] = Ai, Ei[AB- -j = Aj,- •-, fo ist klar, dass 
[AB---] einem Bruche i1 gleich ist, dessen Nenner Ei, E,,---, nnd 
dessen, entsprechende Zähler A,, Aj,--- find. Denn es gicbt jenes 
Produkt [AB---] mit den Einheiten m-ter Stufe, alfo auch mit jeder 
aus ihnen ableitbaren Grösse, d. h. mit jeder Grösse ra-ter Stufe raul- 
tiplicirt, dasfelbe ßefultat, wie diefer Bruch Q auf gleiche Weife 
verknüpft liefert, d. h. es ist vermöge der Definitionen jenes Pi-oduktes 
und diefes Quotienten [AB---] = Q, d. h. das bezügliche Produkt 
von m Brüchen, deren Nenner und Zähler von erster Stufe find, giebt 
einen Bruch, dessen Nenner und Zähler von m-ter Stufe find. Durch 
die Eeciproeitjit zwischen Grössen erster und (n — l)-ter Stufe (im 
Hauptgebicte n-ter Stufe) ergiebt fich auch, dass das beiügiiche Pro- 
dukt von m Brüchen , deren Henner und Zähler von (n — l)-ter Stufe 
find, einen Bruch liefert, dessen Nonner und Zähler von (n — m)-ter 
Stufe find. Dies letztere Produkt wltrde daher als regressives, das 
erstere als progressives Produkt von Brüchen ku betrachten fein. Wir 
bleiben hier bei dem ersteren, alfo dem progressiven Produkte der 
Brüche stehen, um namentlich noch die progressiven Potenzen der 
Brüche zu betrachten. Da das Produkt gleicher Faktoren eben nur 
Eine Anordnung diefer Faktoren gestattet, fo geht fogleich aus dem 
Begriffe hervor, dass [A™][ab- ■-] = [Äa- Ab- - ■ ■] fei, vorausgefetU 
natürlich, dass die Anzahl der Faktoren a, b,--- auch m betrage. 
Setzen wir die ursprünglichen Einheiten e,, Cj,--- ale Nenner, und a,, 
&],-•■ als entsprechende Zühler, d. h. Äe, ^ai n. f. w. , fo ergiebt 
fich unmittelbar, dasa [A™] mit dem Produkte von m iiraprünglichen 
Einheiten multipUcirt, das Produkt der m entsprechenden Zähler gebe 
und dass alfo die Potenzen von A jede Grösse, welche aus den ur- 
sprünglichen Einheiten hervorgegangen ist, und welche den Exponen- 
ten jener Potenz als Stnfenzahl hat, in diejenige Grösse verwandelt, 
welche aus den entsprechenden Zahlern genau auf diefelbe Weife 
hervorgeht. Betrachten wir ins Befondere diejenige Potenz von A, 
deren Exponent mit der Slufenzabl n des Hauptgebietes gleich ist, 
alfo [A"!, fo ergiebt tich [Aiij[eiCj- - -en] = [o.aj- --an], d. h. gleich 
dem bezüglichen Produkte der Zäliler, alfo (nach 383) gleich dem 



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248 C«»« 

Potenzwerthe von A. Aber da daa bezügliche Produkt der n uvsprüng- 
Hchen Einheiten (nach 94) gleicli 1 ist, fo ist [A"] felbst dicfem Po- 
tenzwertlie gleich, worin alCo die vollstSndige Begründung der oben 
gewälilten Bezeichnung liegt. 

383. Der Potenzwerlh eines Bruches ist gleich dem 
bezüglichen Produkte der Zähler, dividirt durch das der Nenner, 

Beweis. Es fei Oe^ = c, für jeden Index r von \ bis 

n; fü ist = "^' ^'""' (nach 380). Ferner feien bi, b;;,--- 

Gl, ea,- ■■ 
als Viel fach enCiimnien der ursprilngb'chen Einheilen ej, ej,--- 
ausgedrückt, und fei für jeden Index r von 1 bis n, b,, ^: 
Z^j^T^e^o ist a, = Ob,^ 



'K = Zß, 


,.0e,= 


= Zß...c.. t 


lift,.c. 


■ZK. 


,.c.--.] 


i^ft:.e. 


■Zß,. 


,.».•■■] 


2.ft,.ft, 


,■ --l 


Co-C6---] 


Zft,.ft, 


.••■■[ 


Co ■ e&" -J 


2,c-im,.ft, 


f ■[C1C2---1 



- ^- - [57] 

WO a, !),■■■ alle möglichen verschiedenen Anordnungen der 
Zahlen 1, 2, ■■■ darstellen und r die Anzahl der Zahlenpaare 
ist, die in den beiden Zahlreibcn 

i, 2,-.-- 

entgegengefetzt geordnet find. Hier heben fich nun die bei- 
den Summen, und da [eiej---]^! ist, fo erhält man 

[Sv^l "" '-"''' ■ ■ ■ ■ 1 = tO"] {noch 383). 

383. Wenn «nd Oi Brüche mit n Nennern Tind, und 
zu einander in der Zahlbczichung 

= oO, 
stehen, fo stehen ihre Potenziverlhe in der Zahlheziehung 
[0"] = o'[0,"]. 
Beweis. Es Tei 



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38«! 249 

fo ist (nach 383) 

[0°] ^= [ßfli ■ «öl ■ ■ ■ aa^] = «°[uiaä ■ ■ ■ »„] [46] 

-«-[Ol-] [383]. 

386. Wenn zwischen den Zählern eines Bruuhcs eine 
Zahlfieziehung herrscht, fo lässt fich der Bruch stets auf die 
Form bringen, dass einer oder mehrere feiner Zähler null 
werden, und zwischen den übrigen Zählern keine Zahlbe- 
ziehung stattfi de d zw r wenn ei,---e„ die Nenner, 
Bi, ■■■an ie Zai I de Br ches Q find, und zwischen 
Hl,- ■■am ke Zalibez 1 ng stattfindet, aber die übrigen 
n — m Zalfe a s 1 en lumerisch ableitbar find, fo dass 

a^,-] ^=a 1 + «r S 8a -]- ■ ■ ■ «r m ^ni 

ist, fo ist 

ei,---a„, 0, 0, -.,0 
■■= 1 wo 

C„4_r=;ß, iCi + Or JOS 4 «r «1^^ — fini + r> 'i- ^- 

ist. Und alle aus Cni+,,--Cn numerisch ableitbaren Grössen, 
aber auch keine andern geben mit multiplicirt, null. 

Beweis. yCm + j:^ «r,lOCl -f ■ ■ ■ - Kr.mOem — Oe^ + r 
=^ß, iBl -j- ■ ■ ■ ■ Kr n,ani "mH rl 

da nach Hypülhefis ai,''^an die zu den Nennern ei,--^en 'ge- 
hörigen Zähler des Bruches find 

= [•]. 

Alfo find die zu den Nennern Cn,_|_i, - ■ ■ c^ gehörigen Zähler 
null. Ich zeige nun, dass zwischen den n Grössen Oi,---e^, 
c„-i-i,---c„ keine Zahlbeziehung herrscht. Der Kürze wegen 
fetze ich 

«r l^l +■ • ■ «r inCm = (Ir! 

fo dass alfo c„_|_^ = q^ — e„4., ist, fo ist 
[ei-ei^---e„^c„-(.i c„] 

= [eie2 «-niCqi — en,-fi)--^ (q«,_„— ej]. 

Da hier qi, qi,--- aus ei, Ba,--'en, numerisch abgeleitet 
find, fo könne« wir fie ("ach 67_) weglassen und erhalten 
das Produkt 

= + [eiC,---.eJ, 



yGoosle 



250 C*s» 

alfo von Null verschieden; folgücU stehen Gj, e^ ■ ■ - e,!,, 
Cm+ij-'-Cn (nach 61) in keiner Zahlbeziehung; all'o lässl 
lieh [nach 380) Q in der im Satze aifgegebenen Weife als 
Bruch darstellen. Daraus nun, dass c^+i, • ■ ■ c^ ■"■' i""!- 
ttplicirt Null geben, folgt foglcich, dass dies auch für jede 
Vißlfaclienrumme diefer Grossen gilt. Aber auch umgekehrt 
muss jede Grösse p, welche mit Q multipiicirt null giebt, 
eine Vielfachenfumme von Cnj+i,'-'C„ fein. Denn wie auch 
p beschaffen fei, immer muss es fich (nach 24) aus Ci, e^, ■ -e^, 
Cm+i! ■ ■ ■ Cn ableiten, aifo fich in dtir Form 

p := KiCj -(-■■■ a^Hm -f q 
darstellen lassen, wo q eine Vielfachenfumme von Cn,;.,,- -c„ ist. 
Soll dann pO^=:0 fein, Ib hat man, da 0(^i=ai) u, f. w., 
OCn,+i =0 u. f. w. ist, 

= pO — «la, H a„,a,„, 

alfo (nach 28) «i, ci^,- ■ ■«„ = 0, alfo p ^= q, d. h. eine Viel- 
fachenfumme von Cni4,i, c„.(.a,- ■ -Cn- 

38"?. Erklärung. Wenn ein Bruch mit einer von 
Null verschiedenen Grosse erster Stufe multipiicirt ein Viol- 
faches diefer Grösse, etwa das ßfaclie derfelben liefert, fo 
dass alfo 

Qx =^ QK 

ist, fo nenne ich den Koeffieienten p (mag e nun reell oder 
imaginär fein) eine Hauptzuhl des ürtiches Q, und das Ge- 
biet, welchem alle Grössen x angehören, weiche jener Glei- 
chung genügen, das zu der Hauptzahl ^ gehörige Hauptgebiet. 

38S. Aufgabe. Die Hauptzahlen und die zugehörigen 
Hauptgebiete eines Bruches zu finden. 

Auflöfung. Es fei q eine Hauplzahl eines Bruches Q 
mit n Nennern ei , ^-ti-'-e^; und lei x ^= ^x^c eine von 
Null verschiedene Grösse, welche mit Q multipiicirt ilir ^faches 
liefert, fe hat man 

Qx = ^x, d.h. (:q — Q)x^O. 

Setzt man hierin statt x feinen Werth, und fetzt 

(a) (e--U)e„ = c„, 
fo erhalt man 

(b) = Xx«c„. 



yGoosle 



888) 251 

Da nun x von Null verschieden ist, fo must% auch min- 
destens eini! der Zahlen Xi,-'-Xß von Null verschieden lein, 
hKo (nach 16) zwischen c, ,-■- c„ eine Zahlbeziehung statt- 
linden, folglich (nach 61) ihr kombinatorisches Produkt null 
foin, alfo 

(C) = [CiCj Cu], 

d. li. (nach 384) der Polenzwerth des Bruches g — muss 
null fein. Umgekehrt, wenn diefe Gleichung (c) erfüllt wird, 
fo gilt (nach 66) auch eine Gleichung der Form (b), alfo 
giebt es dann eine Grösse x^O, welche der Gleichung Qx 
= QX genügt, d. h. q ist dann eine Hauptzalil. Setzt man in 
der letzten Gleichung stall Ci , C;,--- ihre Werthe aus (a), 
fo erhalt man 

0= [(ee, - Oei)(ee, - Oe^)- • ■ -(pe^ - QeJ], 
oder indem man die Klammern löst 

(d) ct„e''~«ie''-i + a2e"-^ +( — 1)"K„ = C> 

wo a, aus dem Produkte [eie,- ■ ■e^'] dadurch hervorgeht, dass 
man auf alle möglichen verschiedenen Arten r der Grossen 
ön ß2)-''en i" "liß entsprechenden Grössen Qe,, Ocir-'Oen 
umwandeil, während man die jedesmal übrigen unverändert 
lässl. Die n Wurzeln gi,- ■ -Qa diefer Gleichung (d) find alfo die 
gefuchten Hauptzahlcn; ihr Produkt ist nach dem Neutonschen 
Satze gleich a„:ao, d. h, gleich dem Potenzwerthe von 
(nach 384). Die Grössen x find dann durch die Gleichung 
(b) bestimmt. Nach diefer Gleichung stehen c^, C2,---Cn in 
einer Zahlbeziehung zu einander. Folglich lässt fich (nach 
17) aus den Grössen Ci,--'Cn ein Verein von weniger als 
n Grössen, elwa Ci, Cj,---c^, ausfondern, welcher keiner 
Znhlbeziehung unterliegt, und aus welchem die übrigen Grössen 
(Cni-i-i,-- Cn) numerisch ableitbar find; dann aber lässt fich 
der Bruch q — 0, dessen zu den Nennern e^,- ■ -e^ gehörigen 
Zähler (nach a) c, , ■ • ■ c„ find, (nach 386) auf die Form bringen, 
dass unter den Zählern n — m derfelben null werden; die 
zugehörigen Nenner feien au,.).i, ■ ■ ■ a^; fo haben (nach 386) 
alle aus am :i i ■ ' ■ «n ableitbaren Grössen x, aber auch keine 
andern, die Eigcnschafl, dass (g --0)x:=0 fei, d.h. dass 
Qx^qx wird, d.h. alfo, das Gebiet am-j-i ■ ■ - -an ist das zu 
der Hauptzahl q gehörige Hauptgebiet. Alfo: 



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352 (88» 

„Jeder Bruch mit n Nennern hat n Hsuptzahlen und 

zwar find diefe die Wurzeln q der gleichbedeutenden Glei- 
chungen c oder d, das Produkt diefer n Wurzeln ist gleich 
dem Potenzwerthe von 0, und das zu der Hauptzahl ^ ge- 
hörige Hauptgehiet 'erhält man, indem man (nach 3S6) q — 
ah einen Bruch darstellt, von dessen Zählern einer oder 
mehrere null find, während die übrigen Zähler in keiner 
Zahlheziehung zu einander stehen; dann ist das Gehiet der- 
jenigen Nenner diefes Bruches q — Q, deren entsprechende 
Zähler null find, das verlangte Hauptgebiel." 

389. Wenn die n Hauptzahlen Qu-'-Qa eines Bruches 
alle von einander verschieden find, To find die n zuge- 
hörigen Hauptgebiete alle von erster Stufe und stehen in keiner 
Zahlbeziehung zu einander- 

Beweis. Nach 388 Ifisst fich zu jeder der Grössen 
Q,,- • -pa, z. B. ZU ß,, eine von Null verschiedene Grösse erster 
Stufe finden, welche mit Q multiplicirt ihr gt-faches liefert. 
Es feien a,,- -Bn diefe Grössen, fo dass 0»^ = ^^^^ 'st. An- 
genommen nun, ai,---an ständen in einer Zahlbeziehung, fo 
miisslen fich aus ihnen (n^ich 17) m Grössen, etwa ai,---an„ 
aiisfondern lassen, die in keiner Zahlbeziehung zu einander 
ständen, und aus denen jede der übrigen, z. ß. a^, numerisch 
ableitbar wäre. Es fei a^ = aiai -f ■-■ a„a„, fo muss, da a^ 
von Null verschieden ist, auch mindestens einer der Koef- 
ficienlen a^,■ ■ -a^ von Null verschieden fein. Es fei dies z, B. 
ßi- Nun hat man 

Oa, = OZ"«^» = ZtirOa". = Za^ö^ 
da nach der Vorausletzung Qa^-^:Q^^^ ist, alfo wird 
''ißl^l + ■ ■ ■ "^m^rnV ^^ O^r = CA 

folglich find (nach 39) die entsprechenden Koefficienten gleich, 
namentlich «igi =Cigj, d. h. da «t ■?**, ist ^^ = ^1 , was gegen 
die Vorausfetzung ist. Alfo können a|,'-'a„ in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehen. Folglich kann auch keins der 
Hauptgebiete von höherer als erster Stufe fein. Denn wäre 
z. B. das zu Qi gehörige Hauptgebiet von höherer Slufe, fo 
müsste dies Gebiet mit dem Gebiete (n — l)-ler Stufe der 



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a»0) 353 

Grössen aj—'a^ (nach 26^ mindestens ein Gebiet erster SUife 
gemein liaijen. Es fei c eine (von Null vorscliiedene) Grösse 
diefes gemeinschaftlichen Gebietes, fo wäre c aus a5,-''a„ 
numerisch ableitbar, und würde ficti doch, da es in dem zu 
gl gehörigen Haiiptgebietö liegt, in fein g-faches verwandeln, 
was als unmöglich nachgewiefen ist. 

3fl0. Aufgabe. Den Fall gleicher Hauptzahlen zu 
unterfuchen, 

Auflöfung. Wenn man die Bezeichnungen der vorher- 
gehenden Sätze festhält, fo bat man (nach 388) 

(a) [c,C2- ■ ■ 'cj =0, wo 

(b) c,^(e-OK. 

Es find alfo Cj, Cj,- ■ -Cn die zu den Nennern Bj, Cj,- ■ -en 
gehörigen Zähler des Bruches g — 0, und die Gleichung (a) 
fagt aus, dass das kombinatorische Produkt der n Zähler null 
fei, d.h. dass der Potenzwerth von q~Q null fei. Es be- 
halten nach dem Obigen die Gleichungen (a) und (b) ihre 
Bedeutung, wenn man statt der Nenner ei,---e^ beliebige n 
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen erster 
Stufe fetzl. Die n Werlhe von §, welche der Gleichung a 
genügen, find (nach 389) die n Hauptzahien von 0- Wenn 
nun mehrere, etwa a, derfelben gleich a find, fo heisst das 
alfo, dass die Gleichung (a) für q im Ganzen a Werthe dar- 
biete, welche gleich a l'ind. Wenn aber ein Werth von q 
gleich a ist, fo lässt fich (nach 388} eine von Null verschie- 
dene Grösse erster Stufe a, finden, welche mit-Q multiplicirt 
ihr a-faches liefert. Es fei diefo Grösse ai=Xie, -f-- ■ ■ x^Cn, 
fo muss von den Koefficienteu Xi,---Xn mindestens einer 
von Null verschieden fein, weil fönst, gegen die Annahme, 
at felbst null wäre. Es fei Xi von Null verschieden, fo stehen 
(nach 19) Ui , e2,---en in keiner Zahlbeziehung zu einander, 
können alfo nach dem Obigen stall Oi, e2,-''e„ in die Glei- 
chungen (a) und (b) eingefetzt werden; dann wird Ci^(5 — 0)ai 
^=qa, — Oai=pai — aai (nach Annahme) =; (9 — 0)3^ und die 
Gleichung (a) verwandelt fich in 

Cp -a)[a,c,.-.-cJ = 0. 

Wir wollen annehmen, man habe, wenn die Gleichung 



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254 (3»0 

(a) im Ganzen a Wurzeln Q = a hat, nach und nach die Glei- 
chung (a) noch in die Formen 

u. (. w., endlich in die Form 

(c) (e — «^[aiai ■ ■ -a^c^^-i c„l = 

umwandelt, wo r < a ist, und zwar fo, dass 

Oai =aai,[ai -Oaj] =«[8185] u. T. w., endlich 

Cd) [a,a,..-a,_,-0a,]=atata2 ' ",] 
Tei und die n Grössen a,,' --s^ 0^+1,- e^ m keiner Zahlbe- 
ziehung zu einander stehen, fo lüsst lieh zeigen, dass man 
diefe Umwandlungen auch fo weit fortfelzen könne, bis end- 
lich r=:ii werde. In der That, fo lange noch r kleiner ist 
als (i, d. h. es noch mehr als r Wurzeln 9 = a giebt, welche 
der Gleichung (cj genügen, To ist aus der Theorie der Glei- 
chungen bekannt, dass, wenn man jene Gleichung durch (5— a)' 
dividirt, der Quotient noch eine Wurzel Q = a darbieten müsse, 
d. h. es muss noch 

(e) [ai ^rCr+i Cq] = 

Tein, für Q^a. Es feien dj+,,----c!n die Werthe, in welche 
Cr+i,---c„ übergehen, wenn man in den letzlern a statt q 
fetzt, fo erhält man 

Cf) [a,----Mr+i----<IJ = 0, wo 

ig) <lr+i = (a - 0)e, +1 , ■ ■ • ■ , d„ ^ (ß - 0)e„ 
ist. Diefe Gleichung g fagt aus, dass zwischen den Grössen 
3ii ■■•"!■! d,_^, ---dn eine Zahlbeziehung herrscht (nach 66), 
Es fei 

(b) a,ai -f-. ■ . a,a, -|- a^-i^d^^i -f- - ■ . ß^dn = 
der Ausdruck diefer Zahlbezichuhg, fo muss einer der Koef- 
ficienten «r-j-i, ■ ■ ■ «n von Null verschieden fein; denn wenn 
fie alle JVuJi wBren, fo würde zwischen a, ,---3r eine Zahl- 
beziehung herrschen, was gegen die Vorausfetzung streitet. Es 
fei etwa a^-\-i von Null verschieden, und fei «r-f-ier-f ! + • ■ ■ a^^^ 
= a,4,'j gefetzt, fo stehen (nach 19l aj, 3,-;.}, e,+j,--'en 
in keiner Zahlbeziehiing zu einander, können alfo statt e^,- ■ -e^ 
in die Gleichungen (a) und (b), oder statt Si, ■ -a,, 6^+1,- ■ -e^ 
in die Gleichungen (c) und (d) emgefetzt werden, fo dass 
alfo nun c^_^i ^^(p — Q)ar (,1 gefetzt werden kann. Ferner 
ist dann 



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Co-0>.t. = «ri-iC<>-0)e,+, + - . ■ 


-^«.(a-Q)e. 


= «,.|lllr4l + + «n( 


l„ [nach g] 


= -o,a, o,a. 


[nach h]. 


AUu ist 




Qa,-i, = o,.,-) +a,a, + "a,l-,. 




Folglich 




[»i- ■ •».■•ÜMJ = [»i ■ ■ ■ -».(Ol«! +■ 


-■ct,a,-haa ,_!,)] 


0) =»[»1 8,«,+J 


[67]. 


Nun füllte, wie oben gezeigt, 





fein, alfo wird 

K ar-c.+ij 

= e[a. a^a^4-i] — [aj- ■ -Br-CaH-i] 

= e[ai M-i] — «k Sr+i] [nach i] 

= Ce---«)[ai an-i]- 

Setzt man dies in die Gleichung (c} ein, fo erhält man 

(k) ($ — ay+'[aiaa---aH-iCr+2 »;J=0, 

d. h. die Gleicliiingen (c) und (d) bestehen noch fort, wenn 
man, fo lange noch r ■^- a bleibt, in ihnen r -f- I statt r fetzt, 
folglich bleiben fie noch bestehen wenn r=^a wird, d. h, 

„Wenn unter den Hauptzahlen des Onflienten Q mehrere, 
und zwar a einander gleich und zwar =a find, fo lassen lieh 
a Grössen erster Stufe ai,--'-ao von der Art finden, dass 
diefe mit n — a der Grössen ei,---en, etwa mit Oa+i,- ■■ -Cn, 
in keiner Zahlbeziehung stehen, und 

(*) Qai —cai,[ai-Oai] — 0^185] 0. f. w., endlich 

[aiHi Ba-i-Uaa] = «[a, a^ a^] 

fei, dann wird die Gleichung für die Hauptzahlen ^ folgende: 

C**) (.9 ~ ^Yi^l^t- • • -aaCa-l 1 ■ ■ ■ -cj, wo 

C***) c, = ce-0)e, 

für jeden Index r von a 4- 1 a" bis n ist." 

Es kommt nun darauf an, die zu den Nennern ai,-'-an 
gehörigen üiähler des Urucbcs Q zu finden. Zunächst ist der 
zu dem Nenner s^ gehörige Zäliier nach dem Obigen gleich 
aai. Es fei der zu dem Nenner a^ gehörige Zähler x, d, h, 
Oar = x, fo hat man (aus **) 

[a^aj ■ ■ . a^-jx] = a[a,a^ ■ ■ • aj , 



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256 (a«M» 

(i. h. [aia^ ■ ■ • at^i(x — ixa J] = , 

alTo besteht (nach 66) zwischen den Grössen a,, a^j-'-a,-], 

X — aa, eine Zahlheziehung, d, h. es ist 

X — aaj = a'r, 
wo a'j irgend eine ans a^, aa,---ar_i numerisch ableitbare 
Grösse ist, und man erhält x^aa,, -f a',., d. h, 

0) Oa,-=«o, + a'„ 
wo a't eine Viel fachen fumme von a,, a2,--ar-i ist. 

Es werde nun das Produkt von mit irgend einer ans 
an* ■■an numerisch ableitbaren Grösse p unterfucht, und zwar 
fei p = ttiBi -f ■ • ■<Vr) wo r:=-'~-Q, und a,. J ist, fo hat 
man 

Op = 0(%ai+---a,a,) 
= ßiOa, +---"rOa, 

^^«laai- ■ - -a^aa^ -\- p' [nach 11, 

indem p' eine Vielfachenfumme von a^, aj,- ■ ar-i darstellt, 
^= cep + p', d. h. 

„Die durch die obige Gleichung (*) bestimmten Grössen 
9i, aj,-'-aa haben die Eigenschaft, dass jede Vielfachenfumme 
derfelben der Gleichung 

(«***) Op ^ «p + P' 
unterliegt, wo, wenn p aus den r ersten jener Grössen ableit- 
bar ist, p' aus den (r — I") ersten derfelben ableitbar ist," 

Es leuchtet unmittelbar ein, dass wenn von den Grössen 
a'i, a'g-'- der Gleichung (I) mehrere, etwa die Grössen a'j, 
■ ■■a'r, null find, dann jede Vielfachenfumme von ai,----a,. 
fich durch die Multiplikation mit Q in ihr ß-faches verwandelt, 
und alfo das zu a gehörige Hauptgebiet von (fiehe 387} 
von r-ler Stufe ist. 

Wenn unter den Hanptzahlen von nicht nur a derfelben 
vorkommen, welche gleich a, fondern auch h, welche gleich 
ß, c, welche gleich y find u. f. w., wo «, ß, y,-- alle von 
einander verschieden find, fo lassen fich nach dem Obigen 
b" in keiner Zahlbeziehuug zu einander stehende Grössen bj, 
■■- bb von der Art angeben, dass jede Vielfachenfumme q 
von b],' ■ -bt der Gleichung Qq^=j3q -]- q' genügt, wo, wenn 
q aus dem m ersten jener Grössen ableitbar ist, q' aus den 



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3»0) %ö7 

(m — 1) ersten derfelben ableitbar ist, und ebenl'o lassen fich 
c in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen Ci, 
■ . -c, von der Art angeben, dass jede Vielfachenfumme r von 
Ci,'--C( der Gleichung Or =: yr + r' genüge, wo, wenn raus 
den m ersten der Grössen C5,---c, ableitbar ist, r' aus den 
m — I ersten deri'elben ableitbar ist n. f. w. Es lässt fich 
zeigen, dass dann die Grössen bi,---Oo, bi,---bs, Ci,--'Ci in 
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und alfe als Nenner 
des Bruches Q gefetzt werden können. In der That nehmen 
wir z.B. an, dass zwischen den Grössen ai,----aa, bi,--'bj, 
Ci,-—Cm-i noch keine Zahlbeziehung bestehe, aber nun zwi- 
schen diesen Grössen und der Grösse Cn, eine Zahlbeziehnng 
hervortrete, fo wird diele die Form haben 

Cm) p-f.q^-r = 0, 
wo p eine Viel fachen Tu min c von ai, ■•■aa, q eine Vielfachen- 
fumme von bi,--.bs,, r eine Viel fachenfum ine von Ci,-'-Cni 
ist, aKo wird auch 

0^0{p + q+r) 
lein. Dies ist aber, wie oben gezeigt, 

= ctp + p' + |3q -(- q' + j-r -f r', 
oder, indem wir statt r feinen Werlh ^^ — p — q aus der 
Gleichung (m) fetzen, 

= {« - y)P -l- (ß '- 7)1 + P' + q' + r'. 
Da nach dem Obigen r' aus Ci,---c,i,_i numerisch ab- 
leitbar ist, fo find alle in diofer letuteren Gleichung vorkom- 
menden Grössen aus den nach der Annahme in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehenden Grössen ai,---aj, bu-'-bs, 
Ci,---Cm-i numerisch ableitbar. Die rechte Seite der letzten 
Gleichung wird fich alfo als Vielfachenfumme der letztge- 
nannten Grössen darstellen lassen, und da die linke Seite null 
ist, fo werden (nach 28) alle einzelnen Koefficienten diefer 
Vielfachenfumme null fein. Wenn nun p von Null verschie- 
den, etwa =Xiai -]-■■■ -x^Bj wäre, wo x^ ^ ist, fo würde 
p' nach dem Obigen aus a,,-''aä_.i numerisch ableitbar fein, 
folglich würde a^, da es aucJi in q, q', r', nicht enthalten 
ist, in jener gleich null gefetzten Vielfachenfumme nur ein- 
mal vorkommen, nämlich mit dem Koefficienten Itt — }')Xj ver- 



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258 (8»0 

bunden; diefer müsste aUo null feiti, was unmöglich ist, da x^ 
nach der Annahme ungleich null, und a ungleich / ist. l'olg- 
lich ist die Annahme, dass p von Null verschieden fei, unmög- 
lich, d. h, p ist gleich null, aus gleichem Grunde ist q^=0. 
Dann aber folgt aus der Gleichung (m), dass r=0 ist. Da 
nun aber die Grössen a,,-'-aa in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehen, fo folgt aus p = 0, dass alle Koefficienten 
des Ausdruckes , durch weichen p aus ai,'--aa abgeleitet ist, 
null find, und dasfelbe folgt für q und r, Alfu enthalt die 
Gleichung (m) gar keinen Ausdruck der Zaiilbeziehung; es 
findet alfo eine folche zwischen den Grössen ai,'--0i,, bj,--- 
bi, Ci,'*'Cj,--- gar nicht statt, was zu zeigen war. Alfo 
„Wenn die Gleichung 

[Cpei - OciX^e, - Oe,)- ■ ■ -(ee^ - OeJ] = 0, 
welche in Bezug auf g vom n-ten Grade ist, a Wurzeln =a, 
h Wurzeln =:ß a. f. w. darbietet, wo a, ß,- • • von einander 
verschieden Hnd, fo kann man n in keiner Zahlbeziehung zu 
einander siehende Grössen ai,----ao, bj,- ■ - -bt,- • ■ ■ von der 
Art angeben, dass wenn p eine Viel fach enfumnie der m ersten 
unter den Grössen aj,' ■ -a^, oder unter den Grössen bi,- ■ ■ 'bt, 
oder unter den Grössen irgend einer folgenden Gruppe ist, 
dann Qp im ersten Falle =<tp -[- p', im zweiten =^p -j- p' 
u f w fei, wo p' aus den m — 1 ersten Grössen derfelben 
Gruppe numerisch ahleilbar ist " 

Anm 1 A\enii unter den Wurzeln o ein Paai odtr meliieit, 
I'oaic imagiiiiirei Wurzeln vorkommen, lo iindert dis in den gewon 
ncnen Kefultaten nichts da die BeneislUlirung ebenfowohl für ima 
gm&re wie fdr reelle Wurzeln gi!t Fb hat überdies nicht die gcnng-^Le 
fethwierigkeit , die aus imiginiiren Wurielpaaicn llii&acjiden Beatim 
mungen in reelle Fonn umzufetzen, wae ith dalier dem Lcfer ubi.r 

Anm 2. Die im Obigen entn ickflten Gefetze find für die Theoiie 
der geoiaetriBcV n Verwandtschaften %ou Widitigkiit In der That 
stellt jcdei Quolitnt, nenn er nicht mehr als Tier Nenner tntlialt, 
geomefriach gedeutet einp bedtimmte koUineare ^ervvondtsihalt daj^, 
in dei Alt, dass jedea Punktfjstcm mit dem Quotienten multiphuit 
ein dem ereteren kollineares Punktfjsteni liefert, und umgekehrt IBsst 
TlcIi jedes einem ilroprunghchen PunktfyBtem koUinear verwandte 
PanktÜjstem aus jenem durch Multiplikation mit einem Quotienten 
ableiten Pei IJiiohent gfv, hit nun *oi jeilei nikiit anftlj tiachtii 



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»»•) 259 

Einkleidung jener Verwandtschaft den Vortieil, dass fich die wefent- 
liclien Eigenthümlichkeitcit der Verwandtschaft an ihm auf die ein- 
fachste Weife fymbolisch darstellen. Siud i. B. die vier HauptzaUen 
eines Qaotienten mit vier Nennern alle reell und von einander ver- 
schieden, fu bieten je zwei kollinear verwandte Punktfysteme im 
Räume, welche durch jene Quotienten dargestellt werden können, 
vier Punkte dar, von denen keine drei in einer Ebene liegen, und 
welche mit den ihnen entsprechenden zufamme n falle n , und ausser 
diefen giebt es keinen fünfton Punkt, welcher mit dem ihm entsprechen- 
den Punkte des andern Systems zulammenfllllt. Ebenfo enthalten die 
vorhergehenden Sätze die befonderen Besieliungen kollinearer Ver- 
wandtschaft für die Fälle, wo mehrere der Hauptzalilen des zugehö- 
rigen Quotienten c a der j,le ch verden. Die speciellen geometrischen 
Verwandtschaf ton wel he der K olline ation untergeordnet find, gehen 
durch specieile An ahmen he vor So z. B. die Affinität durch die 
Annahme, da>s den u eudl h e tfernten Punkten jedes Systems auch 
unendlich entfernte P nkte des an lern entsprechen. . Ferner die Gleich- 
heit durch die Annahme daas auBScrdem das Produkt der Hanptzahlen, 
d, h. der Potenzwerth des Quot enten gleich eins fei, die Kongruenz 
durch die Annahme, dass die entsprechenden Strecken gleich lang 
fein Tollen (d. h. entweder =^ 1 , oder = — 1 , oder = cos. a -|- i ^m. a), 
die Kongruenz verwandelt fich in die Symmetrie, wenn das Produkt 
der Hauptzahlen — — 1 statt + 1 wird. Endlich die Aehnlichkeit geht 
aus der Alfinität hervor durch die Annahme, dass die entsprechenden 
Strecken numerisch in gleichem Verhältnisse stehen. Wir betrachten 
nun im Folgenden noch eine specieile Porra des Quotienten, welche 
mit der Verwandtschaft der Reciprocitat in engster Beziehung steht. 

391. Wenn ein Bruch Q die Eigenschaft hat, dass für 
helicbige von Null verschiedene Grössen erster Stufe a und b 

Ca) [Oall)] = [Qbla] und [Qala] ^ 
ist, Fo lassen Hch stets n in keiner Zahlbeziehung zu einander 
stehende Grössen erster Stufe Ci,--Cn von der Art finden, 
dass 

0) [Oc,IcJ = 
ist, fobald r von s verschieden ist. Ferner find dann die n 
Hauptzahlen des Bruches Q alle reell, und unter ihnen f« 
viel pofitive, als es unter den Produkten 

(c) [Oc,ic,],-..-[OcJe„] 
pofitive giebt. Endlich lassen fich stets n zu einander nor- 
male Grössen e,,- ■ -Bo von der Art finden, dass jede derfel- 
bon mit Q iiiultiplicirl ein Vielfaches derfelben liefert, alfo 



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260 (3»l 

(d) Oer=^ ?.Co "'ü 

für jedes von r verschiedene s. 

Beweis. Ich zeige zueriit, dyss ficli n Grössen Cj,- ■ 'Cn 
der verlangten Art finden lassen. Es genügt zu zeigen, diiss 
fic der Gleichung ^b) für den Fall genügen, dass r •^- s ist, 
denn da nach der Vorausfotziing (a) [O^^rlc,] = [OcJCr] ist, 
l'o folgt dann, dass die Bedingung auch bestehen bleibt, wenn 
umgekehrt der erste Index grösser ist ais der zweite. Wir 
fetzen der Kürze wegen Qc^^kr, fo zeige ich zunächst, dass 
man n von null verschiedene Grössen erster Stufe Ci,--'Cn 
finden kann, welche den Gleichungen [k^^CgJ^^O, für jedes r 
^^s genügen. Nach 189 können wir diefe Gleichungen auch 
schreiben [Cjjkp]=0. Zunächst wählen wir für Cj eine be- 
liebige fvon Null verschiedene) Grösse (erster Stufe). Dann 
inuss Cj der Gleichung [c^jk,] ^=0 genügen, d. h. Ci muss zu 
kl normal fein (nach 152), oder anders ausgedrückt, c^ inuss 
dem Gebiete |ki, welches von n—l-tor Stufe ist, angehören. 
Im Uebrigen fei c, willkürlich. Ferner muss Cg den Glei- 
chungen [Calki] ;= [Cgik,] =:0 genügen, d, h. Cg muss den 
Gebieten |ki und |k; angehören, alfo dem ihnen gemeinschaft- 
lichen Gebiete, diefes ist (nach 25) mindestens von (n — 2)-ler 
Stufe, in ihm fei Cg willkürlich. Aus gleichem Grunde muss 
C4 den Gleichungen [cjlk^] ^^ [Cilkj] = [c,]kg] =0 genügen, 
alfo demjenigen Gebiete angehören, was den drei Gebieten 
(n — O-'c Stufe |kj, jkj, Ikj gemeinschaftlich ist, dies Gebiet 
ist mindestens von (n — 3)-ter Stufe, in ihm fei C4 willkür- 
lich, und fo fahre man fort. Endlich Cn muss den Gleichungen 

K|k,] = Klkj] =■■•■= [cjkn-i] =0 
genügen, d. h. c„ muss den (n — I) Gebieten (n — i)-ter 
Stufe |ki, ]k2,'--|kn_i angehören, diefe haben mindestens ein 
Gebiet erster Stufe gemeinschaftlich, in diofem fei Cn beliebig 
(aber von Null verschieden) angenommen. Somit haben wir 
jetzt n von Null verschiedene Grössen, welche den Gleichun- 
gen [cjkj=0, d. h. 0= [krjcj = [OCr|Cj.] zunächst für jedes 
r<s genügen, alfo auch nach Gleichung (a) för jedes von r 
verschiedene s. Es ist noch zu zeigen, dass C|,---c,, in 



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a»i) 261 

keiner Zahlbeztehuttg zu einander stehen. Angenommen, es 
herrschte zwischen ihnen die Zahlbeziehunj XiCi -| — ■ -f-XnCn 
= 0, wo mindestens einer der Kocfficienten , z. B. x^ von Null 
verschieden ist, To halte man 

= tOcr'txjCi -f ■ ■ ■ x^c J] = x,[Oc,lc J ' 
weil alle ührigen Produkte null find, alfo hatte man, da x^ 
^ ist, [QCp|Cj]=0, was gegen die Vorausfetzung (in a) 
streitet, alfo ist es unmöglich, dass C3,---Cn in einer Zahlhe- 
ziehung zu einander stehen. Nun fei [OCrjc,] = a^, und a^ 
= Cj:Ya^ gefetzt. Dann bilden die Grössen aj, ■■■■a„ einen 
Verein, welcher den Begingurigen 

m re»j«.]=o, 

wenn r ^ s, und 

W [0»JaJ = t 
unterliegt, und zwar ist a^ reell, wenn [OCflc,] pofitiv ist; 
hingegen ist a^ einfach imaginär, d, h. als Produkt einer reellen 
Grösse und der Quadratwurzel aus —1 darstellbar, wenn 
[Ocjc^] negativ ist. Es find alfo unter den Grössen ai,---a„ 
fo viel reelle, als unter den Produkten [Ocilci],- ■ ■[Oc^'c,,] 
pofitive find. leb will jeden folchen Verein ai,' - -fli,, welcher 
den Gleichungen f und g unterliegt, und in welchem jede 
der Grössen aj,- ■ -Su entweder reell oder einfach imaginür ist, 
der Kürze wegen einen konjugirten Verein nennen. Es zeigt 
fich nun, dass ein folcher Vorein bei circulärer Aenderung 
der darin vorkommenden Grossen wiederum ein folcher Verein 
bleibt, und zwar fo, dass die Anzahl der reellen unter den 
n Grössen in dem einen Verein eben fo gross ist wie in dem 
andern. Hierbei will ich unter circulärer Aenderung zweier 
Grössen ai und aj, wenn beide reell, oder beide einfach ima- 
ginär find, den Uebergang derfelben in zwei andere Grössen 
bi und bj verstehen, von denen 

(h) bi = xa^ -f- yaj 
b, ^= xa^ ■ — yai 
ist, während x und y beide reell find, und die Summe ihrer 
Quadrate eins ist, alfo 

x^ + y^ = l. 
Hingegen wenn von den beiden Grossen ai und a^ die eine 
reell, die andere imaginär ist, fo foH 



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fein, 


wo 1 = 1 


d. h 


. x' 


+ (yi 


ch 


e 


W 


d 






z 




1 1 


d 

t t 




11 

11 Ib 


b 1 




f h 



(8»l 

|£aa — yiaj 

-1, X und y beiilfj reeli find, und x^ — y^, 
= 1 fst, oder anders ausgedrückt, die Glei- 
t H j d löre Aenderuiig von a, und a^ 

II y aber nur dann imaginär und 
t n von den Grössen ai und a^ 

d infacJi imaginär igt. Es ieuch- 

d 1 bi und !)2 beide reell, oder 

f d der eine derfelben reell, die 
ad f h g E je nachdem dies für a^ und aj 

d F 11 d d If d e Anzahl der reellen Grössen 

d V n b d It n Aenderung diefelbe bleibt. 

F d f j d — ermöge der Gleichungen h 

[Ob] ]= [0 ]4-y[0aaK] = 0, 
da [Oailaj] und [Oail^r] Cach f) null find, aus gleichem Grunde 
ist dann 

[Obj|a,] = 0. 
Ferner ist 

[Obilb,] = x^[Oa.|a,] - y=[Oa,iail + xy([Oai|a.] 
— IQhSJ), 
oderda[l}aila2]-=[0a,!ai] = 0,und [0a,|ail=[0a,|a2] = I ist, 

[Ob,|b,l = 0. 
Ferner ist 

[Qb,]bJ =x^[Oa>,] 4- y^[Oai|a,] + SxyCOaila^], 
oder da [Oailaj] null, [O^ilai] =^ [Oaj|aa] = 1, und x' + y* 
^=1 ist, l'o wird 

[Obi|b,] = l, 
und aus gleichem Grunde [Qbjlbj] ^= i, Alfo genügt der 
Verein, welcher aus a^, a2,---a„ durch circuläre Aenderung 
zweier Grössen hervorgeht, noch immer den Gleichungen F 
und g, alfo auch jeder Verein, welcher aus ai, ai,''-an durch 
wiederholte circuläre Aenderung hervorgeht. 

Ich zeige nun, dass wenn irgend zwei der Grössen 8i, 
-■•8^, etwa aj und a^ noch nicht zu einander normal find, 
man fie durch circuläre Aenderung normal zu einander machen 
kann, und dass dabei das Produkt der numerischen Werihe 



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»»«> 263 

diefer Grössen jisilesiiial abnimml. In der That Folien bj und 
h-i KU einander normal fein, d. h. (nacii 153} [i)i[b2] = fein, 
to hat man (nach h) 

= [(xa, -f- yaa)|Cxaa - ya,])] 
= x'[ai[aä] - y^Iaila^] + xyCa^^ - ai') 
^x" — y' — 2yxy, 
wo y^C^i' " a^-) ; 2[ai|a2] ist, hieraus folgt 

Sind nun ai und a^ beide reell uder beide einfach imaginär, 



y beide reell annehmen, und die Aenderung ist eine circnläre. 
Ist hingegen von den Grössen a, und a^ die eine reell ^=r, 
die andere einfach imaginär=r'i (wo i = j' — 1), fo wird y 
= |:(r* +r'^):2i[r'r'], alfo 
1 -i-Y' 

-^ k 2[r;r'] J -V+ 2[rlr'] A* 3[rr'] J 
^rM-ZMi-'liir! 2[r:r'] - r^ - r" 
2[r(r'] 2[r|r'] 

~_ 4[r;r']^ 

alfo ist p'l + y^ einfach imaginär, aber auch)-, aifo auch ihre 
Stimme, d. h. x:y; nehmen wir alfo x reell an, fo wird y 
einfach imaginär, aber dies war gerade die Bedingung der 
circulären Aenderung für diefenFall, alfo lassen fich in allen 
Fallen je zwei der Grössen des Vereins, die noch nicht nor- 
mal zu einander find, durch circuläre Aenderung normal zu 
einander machen. Es ist noch zu zeigen, dass bei diefer 
Aenderung das Produkt der numerischen Werthe der Grössen 
kleiner wird. Hierbei l'oll unter dem numerischen Wertite 
einer Grösse ri, wo r reell, und i = y — 1 ist, der numeri- 
sche Werth von r verstanden fein. In diefem Sinne feion a^ 
und Oj die numerischen Werthe von ai und aj, und ßi und 
ß.^ die von bi und bj, fo ist (nach 156J [aiau]' = [bibj]-, 
aber (nach 198| ist [aia,]- = («iß^fin. ^aia2}S wenn «i und 



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2G4 («»• 

«j reyll find; dasfelbe wird nun auch der Fall fein, wenn ai 
und aj einfach imaginär, und unter ^^aia^ stets der Winkel 
zwiächen den entsprechenden reellen Grössen verstanden ist; 
wenn hingegen eine der Grössen ai und aj reell, die andere 
einfach imaginär ist, lo wird [hiüs]- = — (ala2^n.^lalaä)^ 
aber dann auch [bibj]^ = — (i^ijSjfin.^Bibj)^, alfo da [aiaj]'- 
= [hibä]-* ist, fo ist in allen Fällen 

Wenn nun a| und a^ nicht zu einander normal, hingegen b| 
und bj zu einander normal find, fo ist (fin. ^aiaj)^'^ 1, 
Cfin.<^b,b,)= = i, alfo (.tha^)''^ ißißjV, d. h. da «,, a^, ft, ß^ 
pofitiv find, «iitj "^ i^ij^a- Alfo wenn von den Grössen eines 
konjugirten Vereins irgend zwei noch nicht zu einander nor- 
mal find, fo lässt fich der Verein circulär fo umwandeln, dass 
das Produkt der numerischen Werthe aller Grössen des Ver- 
eins kleiner wird. Da es nun ein minimuni für dies Produkt 
geben muss, und dies minimum nur eintreten kann, wenn alle 
Grössen des Vereins zu einantier normal find, fu muss fich 
alfo durch (wiederholte) circulSre Aenderung aus dem Verein 
^1, ^f--äa ein Verein ableiten lassen, von dessen n Grössen 
je zwei zu einander normal find. Es fei r^, ri,--rn diefer 
Verein, fo genügt derfelbe, da er aus dem Verein a,, aj,--- 
Bn abgeleitet ist, wie oben bewicfeii noch den Gleichungen 
f und g, und enthält eben fo viele reelle Grössen, wie der 
letztere Verein, aKo eben fo viele reelle Grössen, als unter 
den Produkten [Qci'ci],- ■ ■ -[OCnlcJ pofitve Produkte vorkom- 
men. Nun fei Ori^^Xir^ -]-■ ■ -x„r„, fo verwandelt fich die 
in der Gruppe f enthaltene Gleichung ^= [Qrt jr^] in r= ([x^ri 
+ x^r^ H — -XnrJlr;] = Xj[r2!r2], da alle übrigen Produkte 
[ri|i's]) [''3|''s] u. f. w. wegen der normalen Beziehung (nach 
152) null find. Da nun ferner rj, alfo auch [r^lrj] von Null 
verschieden ist, fo folgt aas der Gleichung = X;;[ra[rä], dass 
xj = fei; auf gleiche Weife folgt Xj = 0,- • ■ -x^ = 0, alfo 
Qri^^Xiri. Dann verwandelt fich die in der Gruppe g ent- 
haltene Gleichung i=[Ori,'ri] in 1 =xi[ri|ri] = Xiri*, d. h, 
Xi ist ^^ 1 : r,-, alfo 



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8«1) 265 

und aus gleicliem Grunde ist 

Setzt man 

... 1 1 1 

0) jTT^?!' -i = e=>---- -f^i = ^-' 

und felzt r,, r2,--T„ a!s die Nenner des Bruches Q, (o wer- 
den all'o die zugehörigen Zähler ^^r^, ^^r^,' ■ -Q^r^, und die 
Zshler des Bruches q — Q worden alfo (_q — Qt'jrt, (§ — ^a^r^, 

■ ■■(e — gjru, der Poteiizvverth des Bruches ^ — ist (nach 
383) gleich dem koinliinalorisclion Producte feiner Zähler 
dividirl durcli das feiner Nenner, alfo gleich (g — QtXQ^Qi) 
■■■(,Q — önX D'ö Gleicliung aber, durch welche die Haupl- 
zahlen Q eines Quotienten bedingt find, drückt aus, dass der 
Pülenzwerth von g — null fei, alfe hat man 

(e — PiK?- eaV ■■'(?-- ea") = o, 

d. ii. Qi,- ■ ■ -Qa find die Hauptzahlen von Q, es waren diefel- 

i i i 
hen t'ii'ch (i)) gleicli ~^, ^,- ■ j- Je nachdem nun r 

reell oder einfach hnaginär ist, ist — ^ pofitiv oder negativ, 

alfü kommen unter den Hauplzahlen von fo viel pofilive 
vor, als unter den Grössen ri, ra,---rn reelle vorkommen, 
d. h. wie oben gezeigt, als unter den Produkten [Oci|Ci]> 

■ ■ ■ ■ [OCn Cnl pofitive vorkemraen. Alfo ist der Salz vollstän- 
dig ervviefen. 

Anin. Die HauptsHlilen des Quotienten Q und die zugeliürigen 
Grössen r|, rj,> -i-n lassen fich diircli das Verfahren in 388 unmitlel- 
bor liuden; es kam Wer nur darauf an, die befonders einfachen Bezie- 
hungen, welche unter der spccicllen Vornusfetzang, die wir för Q 
gemacht hatten, zwischen Jonen Grössen hervortreten, abzuleiten. 
Gelegentlich kommt in dem oben gegebenen Beweife der Beweis des 
fogenannten Trägheitsgcfetzes gnadratischer Formen vor; anoh l8sst 
fieh aus ihm der Stiirin'sdie Satz über die Wurzeln algebraischer Glei- 
chungen leicht ableiten. Auf die Geometrie angewandt, schticsst nrirer 
Satz den Satz ein, daea jede algebraische Oberflfiche zweiter Ordnung 
drei i-eelle Hanptnspn enthalt, unü der Satz 388 lehrt diefelben nnmit- 
t.'lbar fuiilcn. 



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§, 5. Die Funktionen als extensive Grössen. 
392. Erklärung. Ich Tage, eine Funktion f fei aus 
einer oder mehreren Funktionen f, , f^,'-- numerisch ableit- 
bar, wenn fich f in der Form 

t=«,r, +o,f, +.■■■ 

darstellen lässt, wo «i, ßj,-*- Zahlgrossen ausdrücken, die 
dh ndnV b dF 
G h h 

bg h V b n 



nw d 




n 




G hh 




au ag 





381 E k „ E d j d 

eines Punktes in der Ebene (eder x, y, z die Koordinaten 
eines Punktes im ßaunie), ferner feien ti, fj,- ■ -fn n in keiner 
Zahlbeziehung; zu einander stehende Funktionen diefer Koor- 
dinaten und fei 

f=x,r, 4-x,f, -1 x,f,, 



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3«3) 267 

(I. h. Xj,- ■ ■ s„ die Abteitzahlen, durch welche f aus fi,- • ■ fn 
ableitbar ist. Endlich herrsche zwischen diefeii Ableitzahlen 
die Gleichung 

(a) 9)Cxi, Xj,- ■• xj = 0, 
fo nenne ich die Gefanimlheit der Kurven (Oberflächen) f^:0, 
Tür welche die Ableitzahlen von f der Gleichung (a) genügen, 
ein zu diefer Gleichung' gehöriges Kurvongebilde (Flächen- 
gebilde), und zwar ein Kurvengebilde (Flächengebiet) n-len 
Grades, wenn die Gleichung (a) vom n-tcn Grade ist. Sind 
ins Bcfonderc fj, fj, fj Funktionen ersten Grades von x und 
y und 

f=Xifi-HXsf5 +X3f3, 

fo bedingt die homogene Gleichung 

5PCxi, Xj, X3) = 
ein Liniengebilde in der Ebene, und find f,, fj, fj, f4 Funk- 
tionen ersten Grades von x, y, z, und 

f =Xifi -H Xji -f Xgfj 4- Xji, 

fo bedingt die homogene Gleichung 

spC ) = 

Eb n ng b Id R m 



d r 



G ö 



D r K 

d d f 

L ii r 



h 


1 t C 


Id 


t ht 


d rs als die 


S d 


Bg ff 


d K 


d 


welche aas 


i g fE 


Ib t 


h g 


ht D 


K ordinateii 


gl h 


Id 


ü kg f ll t d 


Ableitzahlen 


1 1 d 


r u 


m 


h 


k nerZahl- 


h d 


E h 


t h 


glt 


S bstituiren 


t F k 


d 


tir p 


gl h 


K rdinaten, 


llgm 


Bg 


ff 1 n 


D I 


F nktioiier, 


g f t I 


d 


d d 


d Ebene jede 


d K 


ffi 


l d g 


t llt 


1 ck durch 


U P k 


mfdfi t d 


r"p 


11 gl che Koor- 


11 ni 


h 


d d 


h d 


K fficienten 


Uli ll 


d 


Gl l 


d F 


kt i; wobei 


1 d r F 


kt 


r 11 


j Kur als jener 


r t d h 


d I t 


t I 


t 


l timnit ist. 


p f t 


d 


ml 1 


Lg 


d Einheiten 


! 


t h 


W th 


A 


d n in dem 


F 11 


f f 

r 11 b 


F 
t It 


kt 


ten Gradea 


h d 


f 


f ■■ Kreis- 



y Google 



268 (»»* 

393. ErkÜirinig. Die Fuiiklioii 
x^ 4- y= + ^x + /y -f <5 
iionne ich eine pinfache Kroisrnnktion, die Funktion 

aix' -\- r) -h ßx + ry -^ ä 
tiine «-Fache Kreisfunktion. Und wenn r(x, y) eine Kreis- 
fnnktion ist, fo nenne ich den Kreis, dessen Gleicliung, liei 
rechtwinkligen Koordinaten, 

ftx, y) = 
ist, den zu diefer Funktion gehörigen Kreis, 

399. Alle Kreisfiinklionen find aus vier in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehenden Kreisfonktionen numerisch 
ableitbar. 

Beweis. Jede Kreisfunktion ist aus den vier in keiner 
Zahlbeziehiing zu einander stehenden Funktionen x^ -|- y'; ^> 
y, 1 numerisch ableitbar. Folglich auch [nach 24) aus be- 
liebigen vier in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden, 
aus x^ 4- y^ 3£, y, 1 ableitbaren Funktionen, d.h. aus vier 
foichen Kroisfunklionen. 

396. Der Doppelabstand (fiehe 345) eines Punktes {_x', 
y') von einem Kreife, dessen Gleichung 

r(x, y) = 
ist, wo f(x, y) eine einfache Kreisfunktion bezeichnet, ist 
gleich 

fix' V) 
Ann, Dei Beweis duicli koordinatün iat bekannt. Viel einfacher 
ist jedoch der luf dem Begnfi txteiiCiver Grössen beruhende Beweis. 
Es gründet fich diefer daraut daas, wenn p ein variabler Punkt, a 
der Uittelptinkt des Kreifet. und a' fein Radius ist, 

(p — a>» — a ^ = 
die Gleicliuog des Kicires ist, und die linke Seite derfelbeii lugleieli 
den Doppelabstand des Punktes p von dem Kreife darstellt, wys 
beides nnmittelbar im Begriffe liegt. 

39'3. Drei Kreife stehen dann und nur dann in einer 
Zahlbeziehung zu einander, wenn lic alle drei durch die- 
i'elben zwei (reellen oder imaginären) Punkte gehen. 

Beweis. Es feien f, , fj, fa drei Kreisfunktionon von 
X und y, kj, k2, kg die drei Kreife deren Gleichungen be- 
ziehlich 



y Google 



SOS) 269 

fi=0, fj^O, f3=0 
find. Es fei zuerst eine Xafilbeziehunjr zwischen ilmen an- 
genonimen, etwa 

Ca) f3 = aJi -{- aj^. 
Die Durchscliniltspuiilile der Kroife ki und k^ find nun die- 
jenigen Punkte, für weiche gleiclizeilig; f^ und fj nuü find; 
dann ist aber vermöge der Gieichnn^ (a) auch fg null, d. h, 
(tiefe Duruhschnitlspunklc liegen aucli in dem Kreife k^. Nun 
fei umgekehrt angenommen, dass die Durchschniltspunkte von 
kl und kj auch in kg liegen. Für irgend einen dritten Punkt 
(x', yO in K mögen, wenn man feine Koordinaten statt x und 
y in die Funktionen f^ und fj einführt, diefe beziehlich die 
Wertho «i und o^ annehmen, fo hat der Kreis, dessen Gleichung 

aJi — ((,fj=0 
ist, mit kg ausser den obigen Durchschnittspunklen noch den 
Punkt (x', y') gemein, alfo drei Punkte, ist ihm alfo identisch, 
d. U. der Kreis kg ist aus k^ und kj numerisch ableitbar. 

Anm. Wenn die Durclisdinittspnnkte der Kreife k, und kj ima- 
gin&r worden, fo hat jeder Kreis, der diefelben beiden imaginiiren 
Punkte enthßlt, die Eigenschaft, dass fein Mittelpunkt mit den Mittei- 
punkten jener Kreife in geviider Linie liegt, und die drei KreiCe die- 
felbe Linie gleichen Doppelabstandes (gleicher Potenz nach Steiner) 
haben. 

SOS. Zwei Kreife haben stets eine gerade Linie des 

gleich'en Doppeiabstandes und drei Kreife stets einen Punkt 
des gleichen Doppeiabstandes und zwar wenn f,, fj, (^ drei 
einfache Kreisfunktionen find, fo ist 

fj — fj ^ 
die Gleichung für die gerade Linie des gleichen Doppeiab- 
standes von den zu fi und f^ gehörigen Kreifen, und der 
Punkt, welcher durch die Gleichungen 

fj — f, = , fi — fa = 
bestimmt ist, ist der Punkt des gleichen Doppeiabstandes von 
den drei zu fi, fj, fg gehörigen Kreifen. 

Beweis. Für die Punkte des gleichen Doppeiabstandes 
der zu den einfachen Funktionen f, , f, gehörigen Kreife hat 
man (nach 396) 

fi = fä, d.h. fi - f, =0. 



yGoosle 



270 (■•• 

Da aber fi und fj einfache Kreisfunktionen finri, To lieben 

fich in der Differenz fj — fj die quadratisclien Gliedür auf und 
f, — fä wird eine lineare Funktion, alfo fj — fä=0 die Glei- 
chung einer geraden Linie. Für den Punkt P des gleichen 
linSren Abslandes von den drei zu fi, f; , fg gehörigen Kreifen 
hat man aus gleichem Grunde f^ ^^ fj = fg , d. h. f, — fj ;= 
und fi — fg^^O; alfo ist P der Durchschnittspurikt der durch 
die letzten zwei Gleichungen dargestellten geraden Linien. 

Aj\m. Für zwei coiiceiitriaohe Kreife wird jene Linie unendlich 
entfernt, für identische unbestimmt. Für drei Kreife, deren Mittel- 
punkte in gerader Linie liegen, wird der Punkt des gleichen Abstan- 
dea entweder unendlich entfernt, oder unbestimmt innerhalb einer 
geraden Linie oder ganz unbestimmt, je nachdem zwischen den drei 
Kreifen keine, eine, oder zwei ZahlbeKiehungen herrschen , in welchem 
letztern Falle die drei Kreife identisch find. 

399. Vier Kreife stehen dann und nur dann in einer 
Zahlbeziehung zu einander, wenn fic alle vier einen Punkt a 
des gleichen DoppelabsEandes haben, und zwar stehen fie, 
wenn a endlich entfernt ist, in derfelben Zahibeziehung zu 
einander wie ihre MÜtelpunkte. 

Beweis 1. Es feien fj, fj, fj, fi vier einfache Kreis- 
funktionen, kl, kj, ka, k, die zugehörigen Kreife. Es fei 
zuerst angenommen, dass jene vier Funktionen in einer Zahi- 
beziehung zu einander stehen, fo dass etwa 

fei, fo niuss, da alle vier Funktionen einfache Kreisfunktionen 
find, «1 4* «2 4- «3 ^^ 1 ''eil' Für den Punkt a des gleichen 
Doppelabstandes von drei Kreifen k^, k^, kg hat man (nach 
398) fi = f5 = f3, alfo wird für diefen Punkt 

da «1 -f- «a + «j = i ist, d. h. der Punkt a ist Punkt des 
gleichen Doppetabstandes von den vier Kreifen kj, k^, k,, kj. 
2, Es fei umgekehrt angenommen, dass a ein endlich 
entfernter Punkt fei, welcher gleichen Doppelabstand von den 
vier Kreifen kj, kj, kj, kj habe; es feien a,, a^, a^, B^ die 
von dem Punkte a nach den Mittelpunkten jener Kreife ge- 
zogenen Strecken, und ri, Fi, rg, r, die vier Radien, und 
p die variable von a nach einem beliebigen Punkte der Kreis- 



y Google 



»•»> 27 i 

umfange gezogene Sirecke, fo nelimen fj, fj, f^, fj die 
Form an 

f. = Cp - aj' - r| = p» - 2[ajp] + S, 
wo ^ = 3/ — r| ist. Nach 396 stellt zugleich S den Doppel- 
abstand des Punktes, für welchen p = ist, d. h. des Punk- 
tes a, von dem Kreife k^ dar. Diefer Doppelalistand ist nach 
der Vorausfetzung für die vier Kreife k^, ■ ■ kj derfelbe. Ferner 
besteht (nach 333} zwischen den einfachen Mittelpunkten der 
Kreife ki,---kj eine Zahlbeziehung; diefeibe Zahlbeziehung 
findet (nach 222") auch zwischen den Strecken statt, welche 
von einem beliebigen Punkte nach jenen Millulpunklen gezogen 
find, olfo auch zwischen ai,---84. Es fei 

a, ^= KiBj -|- ct^Si -|- «sag 
diefe Zahlbeziehung, Ib muss, da die Mittelpunkte einfache 
Punkte find, k, -|- % -J- Cj = 1 fein; dann hat man 

f.=p'-2[a,|p]+tf 

= (01 -f- a, -h a,XP^ + 6}- 2[taiai+aia, +«^»3)1?] 

^«if. -f-%r, i-a^t,. 

3. Ist der Punkt a des gleichen Doppelabslandes unend- 
lich enlfernt, fo liegen (nach 398) die Mittelpunkte der vier 
Kreife in einer geraden Linie, Vier folche Kreife stehen aber 
stets in einer Zahlbeziehung zu einander; denn macht man 
diefe gerade Linien zur Abscissenaxe (der x), fo werden die 
vier Funktionen fi , ■ ■ ■ f, von der Form 

f, = x=-|-y^ — 2l3x + S„ 
indem das Glied mit y wegfällt. Es find alfo dann die Funk- 
tionen fi,-'-f4 aus den drei Funktionen x^-i-y'j x und 1 
numerisch ableitbar, stehen alfo (nach 392) in einer Zahibe- 
ziehung zu einander. 

An m. Wenn der Punkt a des gleichen Doppelab st an dea von vier 
Kreifen aasserlialb eines der Kreirc liegt, fo ist der Doppelabstand 
von diefem Kreife, gemHsa der Definition, pofitiv, alfo aucii der 
Doppelabstand von den Übrigen Kreifen pofitiv, a liegt dann zugleich 
ausserhalb dur (Ihrigen Kreife. Zieht man von a die Tangenten an 
die vier Kreife, fo müssen diefe gleich fein, weil für jeden Kreia daa 
Quadrat der von einem äusseren Punkte gezogenen Tangente gleich 
dem Doppelabstande diefes Punktes ist. Schlägt man alfo um a einen 
Kreis, dessen Radius gleich jenen Tangenten ist, fo werden, alle vier 



y Google 



g 


h Ib 




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St f d 1 


\ 



400 \ fg 1 DI I (1 1 I 

gegebene Pah kf d h eo'' ^" ' 

leilbar ist. 

Äuriörung. Es feioii «i, «j - ■ ■ ■ ([„ die n gegebenen 
Zahlen, ihre Summe a; ferner fei ein beliebiger Puiilsl als 
Anfangspunkt aller Strecken angenommen, und feien die von 
ihm nach den n Mittelpunkten gezogenen Strecken aj, au- - -(ig, 
und die n Radien feien j?, , ß2,---ß„'i fi^rner fei die von 
nach dem variablen Punkte gezogene Strecke r, fo find die 
n zu den Kreifen gehörigen einfachen Funktionen 

(r-a„)»-,3| 
für jeden AVerth des Index a von 1 bis n, Alfo ist die ge- 
fuchte Krcisfunklion f, 



yGoosle 



40«) 273 

weil ^a» ^= K angenommen ist. Da nun der Punkt will- 
kürlich ist, fo können wir ihn, wenn a nicht null ist, To 
wählen, dass er aus den n Mittelpunkten durch die Zahlen 
ßi,--'an numerisch ableitbar ist. Dann ist ^«„[3^^^ und 
das zweite Glied fallt weg. Dann wird 

Setzen wir ^«oCj^ö — aä) = «i3^, fo wird 
f = a(r*-^=), 
d. h. „der Mittelpunkt des gefuchten Kreifes ist, wenn die 
Summe der n gegebenen Zahlen nicht null ist, der aus den 
n Mittelpunkten der gegebenen Kreife durch die n gegebenen 
Zahlen ableitbare Punkt, und den Radius (ß) deslelben erhält man, 
wenn man die n Doppelabstände des gefundenen Mittelpunktes 
von den n gegebenen Kreil'en beziehlich mit den n gegebenen 
Zahlen multiplicirt, die Summe diefer Produkte durch die 
Summe der n gegebenen Zahlen dividirt, den Quotienten mit 
— 1 multiplicirt und aus diefem Produkte die Wurzel zieht." 
Anm. Die Behandlung des Falles, wo ß^=0 wird, iiberlaSBe ich 
dem Lefer. 

§. 6. Verwandtschaften von dem Gesichtspunkte der 
Funktions Verknüpfung aus betrachtet 

ilOl. Erklärung. Zwei Vereine von Grössen nenne 
ich verwandt, wenn jede Zaiilbeziehung, welche zwischen 
den Grössen des ersten oder zweiten Vereines herrscht, auch 
zwischen den entsprechenden des andern staltfindet, d. h. wenn 
der Grösse 

p = aa+j3b+--. 
die Grösse 

p, = aa, + |3bi+-.- 
entspricht und umgekehrt, wo nämlich a, b,---. beliebige 
Grössen des ersten Vereins und aj, bi,--*- die entsprechen- 
den des andern, und a, ß,--- beliebige Zahlen find. 

403. Wenn zwei Vereine von Grössen, in denen die 
Grössen eines jeden Vereins fich aus n in keiner Zahlbeziehung 
zu einander stehenden Grössen desfelben numerisch abieilen 
lassen, einander verwandt fein follen, fu kann man beliebigen 



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274 (40» 

n in keiner Ziihlbeziehung zu einander stehenden Grössen des 
einen Vereins beliebige n derselben Bedingung unterworfene 
Grössen des andern entsprecbend felzen; dann ist zu jeder 
Grösse eines jeden der beiden Vereine die enioprecliende des 
andern genau bestimmt. 

Beweis. Es feien a, b,--- n in beliebige, in keiner 
Zahlbezieliitng zu einander stehende Grössen des einen, und 
Bj, bi,--- n derfelben Bedingung unterworfene Grössen des 
andern Vereins, fo lässt fich nach der Vorausfetzung jede 
Grösse p des ersten Vereins aus a, b,--- numerisch ableiten. 
Es fei 

p^aa+^b4---' 
der Ausdruck diefer Ableitung, fo find (nach 29) die Zahlen 
<*) ßt'"' genau bestimmt, fobald p eine bestimmte Grösse isl. 
Süllen nun beide Vereine verwandt fein, fo muss (nach 400) 
der Grösse p eine Grösse 

Pi=aai + ßW-\ 

entsprochen. Es ist alfo zu jeder Grösse des einen Vereins 
die entsprechende des andern genau bestimmt. Es ist noch 
zu zeigen, dass die fo gebildeten Vereine in der That ein- 
ander verwandt find, d, h dass jede Zahlbeziehdng, welche 
zwischen den Grössen des ersten Vereins herrscht, auch zwi- 
schen den entsprechenden Grössen des zweiten herrsche und 
umgekehrt. Es fei 

Ca) er4-ffs4---.--0 
eine zwischen den Grössen r, s,--- des ersten Vereins herr- 
schende Zahlbeziebung, und feien fj, s,,--- die den Grössen 
r, s,'-- entsprechenden Grössen des zweiten Vereins, fo ist 
zu zeigen, dass auch 

pr, -(- ffSi -| =0 

fei. Setzt man in (a) statt r, s,- ■■ die Ausdrücke ihrer Ab- 
leitung aus a, b,-'-, löst die Klammern auf, und fassl die 
Glieder, welche a enthalten, in Ein Glied zufammun u. f. \v., 
fo erhält man einen Ausdruck d-er Form 

aa-J-^b +----^Ü, 
wo ß, ß,- ■ • Funktionen der Zuhlgrössun q, a,-- und der 



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40S) 275 

Ableilungszahlen von r, s,- ■■ find. Hieraus folgt, da a, b,--- 
in keiner Zaiilbeziehung zu einander stehen, (nach 29) 

Wendet man nun dasfeibe Verfahren auf den Ausdruck 
pr, + ffSi -[-■•■ an, fo erhält man, da die Ableilzahlen von 
r,, Si,-'- diefelben find, wie die von r, s,--, 

* ^fi -|- ffSi + • ■ ■ =ßai -j- ßbi -\ , 

wo a, §,■•■ diefelbe Bedeutung haben, wie oben. Da aber 
a, ß,--- null find, fo erhält man 

ßfi + csi -(--•■ =0, 
d, h, jede Zahlbeziehung, welche zwischen den Grössen des 
ersten Vereins herrscht, herrscht auch zwischen den ent- 
sprechenden des zweiten, und ebenfo umgekehrt, d. h. die 
beiden Vereine find verwandt. 

403. Wenn man aus zwei verwandten Vereinen zwei 
neue Vereine dadurch ableitet, dass man jedem linealen Pro- 
dukt P, was aus Grössen des ersten Vereines gebildet ist, 
dasjenige Produkt als entsprechend fetzt, welches auf gleiche 
Weife aus den entsprechenden Grössen des zweiten Vereins 
gebildet ist, fo find diefe beiden neuen Vereine einander gleich- 
falls verwandt; d. h. wenn r, s,--- beliebige Grössen des 
einen und ri, Si,--- die entsprechenden des verwandten Ver- 
eines find, und die linealen Produkte P(r, s,- ■) undPCrj,Si,- ■ •) 
einander entsprechend gefetzt werden, wie auch r, s,--- ge- 
wählt fein mögen, fo find auch die fo erhaltenen Vereine ein- 
ander verwandt. 

Beweis. Es feien aj, aj,- ■■ an Grössen des ersten Ver- 
eins, welche in keiner Zahlbeziehuug zu einander stehen, und 
aus welcher fich alle Grössen des ersten Vereins numerisch ab- 
leiten lassen, und b, , bj , ■ ■ ■ b„ die enlsprechenden des andern, 
welche alfo derfelben Bedingung unterworfen find, und fei 

r = .^eoaa^=p[ai -H- ■ ■ gn^n! S = ^tfaaaf U. f- W,, 

alf« (.nach 400) 

ri=X^e^, Si=Xö^.,-' ■, 
fo wird 

PO- , s , ■ ■ • ) ^Z g-fi-'-Pi'.. wTÖ l „j, 

rCri,s„.o=Zc.oi---Ptii.,ij.,--)' 



y Google 



376 (404 

Da nun die Produkte iineale find, fo muss (nach 50) 
jede Bedingungsgleichun», welche zwischen de» Produkten 
P(a„, at,'-) herrscht, auch bestehen bleiben, wenn man 
statt ai , aj , ■ ■ • a^ die Grössen bj , bj , ■ ■ ■ b„ fetzt. Nun lassen 
fich (nach 49), wenn p die Anzahl der verschiedenen Pro- 
dukte von der Form P(aa, as,--) und q die Anzahl der von 
einander unabhängigen Budingungsgleiohungen ist, die ränttnt- 
licheti Produkte P(aa,a6,---) aus p — q derfelben, welche in 
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, numerisch ableiten, 
und zwar fo, dass, wenn diefe p — q Produkte bestimmt find, 
auch für jedes der übrigen Produkte die Ableitzablen bestimmt 
(Ind. Die Ausdrücke diefer Ableitung find nur von den Be- 
dingungsgleicbungen abhängig. Setzt man daher statt a,, a,,- ■ ■ 
überall b, , b,,--, fo müssen, da die Bedingungsgleicbungen 
bei diefer Substitution noch gellend bleiben, auch die Aus- 
drücke jener Ableitung bestehen bleiben, d. h. wenn Aj, K%,- • • 
die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Produkte 
find, aus welchen fich alle übrigen Produkte der Form 
Pfaa, at,---) ableiten lassen, und 

Pfaa,B6,---) = ai, ü,V-Ai +«!, »,v.A2 +■■• 
ist, wenn ferner Bi,B2,--' diejenigen Produkte find, welche 
aus den Produkten Ai, Aä,--- dadurch hervorgehen, dass 
man in diefen bi, b,,--- statt ai, 8j,-" fetzt, fo ist 

P(b„,b6,---) = «i,«,V-Bi +(h,ü,K-'^2 -\ . 

Alfo 

PCr, s, - . 0=Z'e-'^i>---(ßi,a.v..Ai+ß2,-=,t,...Ai+-0 

d.h. OS ist P(r, s,--) durch diefelben Zahlen aus A^, Ai,--- 
abgeleitet, wie das entsprechende Produkt P(ri, Si,-') aus 
den entsprechenden Produkten Bi, Bj,---, d. h. (nach 401) 
es ist der Verein der Produkte P(r, s,- ■ ■) verwandt dem Ver- 
eine der entsprechenden Produkte P(ri , Si,---)- 

404. Man kann in zwei Vereinen, deren joder aus n 
Grössen desfelben ableitbar ist, und welche einander verwandt 
fein feilen, in jedem beliebige n -f- 1 Grössen annehmen, von 
denen keine n in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, 
und festfotzen, dass den n -f- 1 Gröjsen des ersten Vereins 



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404) 277 

Grössen entspi'ccben follen, welche den n -}- I im zweiten 
Verein angenommenen Grössen kongruent find; dann ist zu 
jeder Grösse eines Vereines die entsprechende des andern, 
mit Ausnahme eines für alle gleichen Zablkoefficienten, ge- 
nau bestimmt. 

Beweis. Es feien a, ■ ■ • -s^^-i die Grössen des erslen und 
b,----b„_[_i die des zweiten Vereins, welche der im Satze aus- 
gesprochenen Bedingung unterworfen find, fo wird fich, ge- 
mäss diefer Bedingung, jede der Grössen a,,--*an-f-i aus den 
übrigen durch Zahlen abieilen lassen, welche alle von Null 
verschieden find. Denn da der Verein aus n in keiner Zahl- 
beziehung zu einander stehenden Grössen ableitbar fein foll, 
fü muss er auch (nach 24) aus je n diefer Bedingung unter- 
worfenen Grössen ableitbar fein, alfo auch jede der Grössen 
ai,---an-|-| aus den übrigen, und feilte von den Ableitzahlen 
irgend eine Null fein, fo würde zwischen den n übrigen, g<'gen 
die Vorausfetzung eine Zaiilbeziehung herrschen. Dasfelbe gilt 
für die Grössen bi-'-b„|.j. Nun fei 

'■"-' \b„+i = ,3,b. +.-.-,3„b„, 

alfo a,, d„, ßi, |S„ alle ungleich Null. 

Ferner feien Ci,-'--c„^, die Grössen, welche beziehlich 
den Grössen Bi,- - -ani, entsprecJien und den Grössen b^- ■ ■^-{.i 
kongruent teln feilen. Aus diefen Kongruenzen folgt, dass 
für jeden Index r von 1 bis n -|- i fich c^ als Produkt von b^ 
in eine Null verschiedene Zahl x, muss darstellen lassen, alfo 

(b) c^ = xA- 
Da ferner c,,' ■ • -Cn.!.! den Grossen a,,--aB4_i fo ent- 
spreclion follen, dass die Vereine verwandt find, fo muss 
(nach 401) 

(cj c„-|,, = ß,c, -\ a„c„ 

fein. Substituirt man in (c) die Werthe aus (b) und dividirt 
mit Zq-j-i, fo erhält man 

Aber aus (a) hat man zugleich 



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278 (*«* 

alfo muss (nach 39) 

Xi«i _g 3«i!_--g 

Hierdurch bestimmen fich alle Unbekannte bis auf eine. 
Setzen wir x„i.i=,l, fo wird 

((i) Xi = -^-^, ■ ■ - ■ , Xu = -!-2-, Xn_j.i t= A. 

Wenn diefe Bedingungen (d) erfüllt find, fo wird auch 
umgekehrt die Gleichung c erfüllt. Dann find alfo die Ver- 
eine verwandt in Bezug auf die n + 1 Grössen a, ■ ■ -aun und 
die ihnen entsprechenden Ci----Caii und jeder Grösse 

P ^^"i^i H ■ "Jn^u 

entspricht die Grösse 

q = UjCi 4-' ■ • ■ U^Cn, 
oder, indem man statt Ci--Cn ihre Werlhe aus (bj und dann 
statt Xi---'X„ ibre Wertbe ans (d) felzt, 

d. h, q ist mit Ausnahme eines konstanten Faktors X genau 
bestimmt. 

Anm. Es ISsst ficli die Verwandtediaft zweier Vereine, abgefehe« 
von den metrischen Werthen der entspreclienden Grössen, auch in der 
Art bestimmen, dasa man festfetzt, es foüen jeden drei in einer Zalil- 
beziebuEg zu einander stehenden Grössen dos ersten Vereins aucb 
drei in einer ZalilbezieJiiiiig zu einander stehende Grössen des zweiten 
und umgekehrt entsprechen. Der Beweis der Identit&t diefer Bestim- 
ntang mit der oben gegebenen (wenn man von den metrischen Wer- 
theu der entsprechenden Grössen abfieht) ergiebt [ich leicht, wenn 
man die von Mäbius in feinem barycentrischen Calcul in §. 200—306 
und befonders in §. 203 gegebene vortreffliche Entwickelung der Col- 
lineation auf die hier betraclitete allgemeine Verwandtschaft überträgt. 
4L09. Der Raum und die Ebene lassen fich in der Art 
einander verwandt fetzen, dass jedem Punkte im Räume ein 
Kreis in der Ebene entspricht und umgekehrt. Dann ent- 
sprachen den in Einer Ebene liegenden Punkten des Raumes 
folche Kreife, welche von Einem und demfelben Kreife fenk- 
recht geschnitten werden. Und zwar kann man fünf helie- 
bige Punkte des Raumes, von denen keine vier in Einer 
Ebene liegen, mit fünf beliebigen Kreifen der Ebene, von 



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*05) 279 

denen keine vier von Einem Kreife fenkreclit gescbnilten 
werden, entsprechend fetzen. Dann aber ist zu jedem Puniite 
des Ratimos der entsprechende Kreis der Ebene und urage- 
kelirt beslimml. Jeder Satz der Slüreomolrie lässtfich in diefem 
Sinne auf Kreife der Ebene, und umgekehrt jeder Satz über 
Kreife der Ebene auf Punkte des Raumes übertrag:en. 

Beweis. Nach 395 ist jede Kreisfunktion aus vier be- 
liebigen in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Kreis- 
funktionen numerisch ableitbar, und nach 333 ist jeder Punkt 
im Räume aus vier beliebig'en in keiner Zalilbeziehung zu 
einander stehenden Punkten numerisch ableitbar. Folglich 
kann man (nach 404), wenn die Punkte des Raumes und die 
Kreife einer Ebene zwei verwandte Vereine bilden füllen, 
fünf beliebige Punkte des Baumes, von denen keine vier in 
einer Zahlbeziehung stehen, d. h. keine vier in Einer Ebene 
liegen, und fünf beliebige Kreife der Ebene, von denen keine 
vier in einer Zabibeziehung stehen, d. h. keine vier von 
Einem Kreife fenkrecht geschnitten werden, annehmen und 
festfetzen, dass jenen fünf Punkten des Raumes diefe fünf 
Kreife entsprechen feilen, dann ist zu jedem Punkte des Rau- 
mes der entsprechende Kreis der Ebene und umgekehrt be- 
stimmt. Ferner, da nach dem Begriffe der Verwandtschaft 
(400 jede Zahlbeziehung, welche zwischen den Grössen des 
einen Vereins herrscht, aucfi zwischen den entsprechenden 
Grössen des verwandten Vereins besteht, fo folgt, dass wenn 
zwischen vier Punkton des Raumes eine Zahlbeziehung herrscht, 
auch zwischen den vier entsprechenden Kreifen eine folche 
herrschen nuiss, d. h. wenn die vier Punkte in Einer Ebene 
liegen, fo müssen die vier entsprechenden Kreife von Einem 
Kreife fenkrecht geschnitten werden. Endlich die Uebertrag- 
barkeit der Sätze folgt daraus, dass jeder S»tz des Raumes 
fich vermittelst der vier Ahleilungszahlen, durch die jeder 
Punkt darstellbar ist, in einen analytischen Satz kleidet, und 
diefer fich wieder, indem man die vier Ableitzahlen als die 
Ableitzahleu des jenem Punkte entsprechenden Kreifes fetzt, 
in einen Satz über Kreife der Ebene verwandeln lässt, und 
ebenfo umgekelirl. 



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280 (*«« 

4L06. Man kann in der Ebene zwei verwandte Vereine 
von KreiTen annehmen, und dabei fünf beliebige Kreife des 
einen fünf beliebigen Kreifen des andern Vereins entsprecliond 
fetzen, voraus gefetzt, <Jass keine vier der in demfelben Ver- 
eine angenommenen fünf Kreife von einem und demfelben 
Kreife l'enkreciit geschnitten werden, dann ist zu Jedem 6-ten 
Kreife des einen Vereins der entsprechende des andern be- 
stimmt, und jeden vier Kreiien des einen Vereins, die von 
Einem Kreife fenkrecht geschnitten werden, entsprochen vier 
Kreife des andern, die gleichfalls von Einem Kreife fenkrecht 
geschnitten werden. 

Beweis ergiebt lieh aus dem Obigen von felbst. 
Aiim. Wir nennen die fo eben beliandelte Verwand tscliaft die 
fyn eye! i sehe. Von beCondercm Interesse ist der Fal! , wo fülelien 
Kreifen, die ficli in Punkte zufammenziehen , aiicli in dem andern 
Vereine gleiohfalla folehe enisprechea. 

4101. Wenn der Kreis, dessen Gleichung 

(a) aCx= + y^) + 2^x + 2^ + <J -= 
istj wo a, ß, Y, d reell find, fich in einen Punkt zufammen- 
ziehen füll, fo muss 

Cb) aä = ß^ + Y^ 
fein, umgckeiirt, wenn die Gleichung (b) stattfindet und nicht 
alle Koefficienten nuil find, fo niiiss der durch (a) dargestellte 
Kreis fich entweder in einen Punkt zufammenziehen, oder in 
die unendlich enlfcrnte Gerade umschlagen; letzteres, wenn 
a, ß, y zugleich null find. 

Beweis. Aus der Gleichung (a] ergiebt fich, wenn a 
nicht null ist, für den Radius r des zu jener Gleichung ge- 
hörigen Kreifes 

woraus das Uebrige hervorgeht. Wenn hingegen a null ist, 
fi) wird die Gleiciiung (a) die Gleichung einer geraden Linie; 
aber dann folgt a s (b) la s ji -(- j"' null fei, d h. dass ß 
und y null feiti ifo i>t ! n l e durch die Gleichung (a) 
dargestellte Liie de u endl ch e tfernle. 

4US. N nmt man x 1 y als (rechtwinklige) Koordi- 
naten eines Veru ns von Kreilen und x' und y' als die eines 
andern, und fetzt den vier Funktionen 



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dOS) 281 

x^ + y', X, y, 1 
nach der Reihe die Futiklionen 

1, X', y', x"-f-y'^ 
entspreuhenil, fo dass alfo jedem KreiTe, dessen Gleichung: 

(a) a(x* + yO + 2ßx + 2^ + ^ = 
ist, derjenige Kreis entspricht, dessen Gleichung 

(b) a + 2ßx' 4- 2n' + <I(x'= + y") -: 

ist; fo entspricht jedem Punkte des ersten Vereines, mit Aus- 
nahme des Anfangspunlttes der Abscissen, ein Punkt des zwei- 
ten und umgekehrt; dem Anfangspunkte der Abscissen hin- 
gegen entspricht in dem andern Vereine jedesmal die unendlich 
entfernte Gerade. 

Beweis, Wenn der Kreis, dessen Gleichung (a) ist, 
fich in einen Punkt zufaiiunenzieht , fo ist aä = ß^ + y^ (407). 
Wenn aber diefe Gleichung gilt, fo ist auch der Kreis, dessen 
Gleichung (b) ist (407), entweder ein Punkt («'«-'nn rf ^ 0) 
oder die unendlich entfernte Gerade, letzteres wenn ß, y, rf 
null find, d.h. wenn der Punkt des ersten Vereins durch die 
Gleichung «(x' -f- y^) = bestimmt, alfo Anfangspunkt der 
Koordinaten ist. 

^On. Wenn bei zwei fyncyclrsch verwandten Vereinen 
von Kreifen der unendlich entfernten Geraden jedes Vereins 
ein Punkt des andern entspricht, und allen übrigen Punkten 
jedes Vereines wiederum Punkte des andern entsprechen, fo 
kann man stets den (zu einander fenkrechtcn) Koonfinalen- 
axen jedes Vereins eine folche Lage geben, und dem als 
Einheit genommenen Maasse der Längen einen folchen Werth, 
dass den vier Funktionen 

x' + y*, X, y, 1 
des ersten Vereines nach der Reihe die vier Funktionen 

1, x', y', x'^ + s'^ 
des andern entsprechen. 

Beweis, Die unendlich entfernte Gerade wird durch 
eine Funktion dargestellt, welche bloss ans einer Konstan- 
ten besteht. Der Punkt, welcher in jedem Vereine der un- 
endlich entfernten Geraden des andern Vereines entspricht, 
fei zum Anfangspunkte der Abscissen gemacht. Der Anfangs- 



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283 f*«» 

punkl der Abseissen wird durch die Kreisfunktion x' + y^ 
dargestellt. Diefer Funktion entspreche in dem zweileii Ver- 
eine die Konstante a, durch welche die unendlich entfernte 
Gerade dargesteilt; ebenfo entspreche der Funktion x'^ -|- y'^ 
des zweiten Vereins in dem ersten die Konstante b. Man 
ändere nun das als Einheit genommene IVfaass der Längen, fu 
multipliciren Fich die Koordinaten mit einem konstanten Fakior 
A, und es entsprechen fich dann 

xxx' + r), i> 

Es werde P fo bestimmt, dass a ;^'^:^^ : b, d. h. >i* = ali fei. 
Setzen wir dann — = fi'', fo entsprechen fich 

x^ 4- y^ 1 

M, Mx"+y'*). 
Nun werden aber diu räumlichen Gebilde, welche durch Funk- 
tionen dargestellt werden, nicht veründert, wenn man diefe 
alle mit einer konstanten Zahl, alfo hier mit ji divtdirt, und 
wir können daher x^ -f- y^ und i mit 1 und x'^ -J- y'^ "^i'" 
sprecliend fetzen. Es möge ferner den Funktionen x und y 
des ersten Vereines die Funkliuneii f^ und f^, nämlich 

f, = a.Cx'^ + r') + ß^x' + nf + S, 

f,=(t,(x'^ + y'^) + ftx' + j',y' + tf, 
entsprechen, fo dass alfo den Funktionen 

x' -f- y^ ^1 Yi 1 
die Funktionen 

1, fi, fi, x'^ + y'ä 
entsprechen. Aus den ersteren fei durch die Koefficlenten a, 
ß, y, S eine Funktion f abgeleitet, fu entspricht ihr im zweiten 
Vereine die Funktion f, welche durch diefelben Koefficienten 
aus den vier letzten Funktionen abgeleitet ist. Die Bedingung 
dafür, dass die erstero Funktion F einen blossen Punkt dar- 
stellt, ist (nach 407) 

(a) ^aS = ß-^ -{.y-^. 
Für die zweite Funktion 

f = ß4-(5fi + yf, +^Cx'» + y"J 
= C^ + ^«: -f- j-KjCx'^ + y'^) + (^ft + yß^^x- 

+ CM 'V ri-Jy' ^^^ßh^ yK 



yGoosle 



«O») 283 

ist dterß Bedingung: 

Führt man hier statt S den Werlh aus (a) ein, fo erhält man 
((32 -f. j,2 -[- iaßüi + 4a)'aOCa + ß^i + j-iJs) 

= a(ßßi + rß,y-i-<ßyi + my- 

Diere Gleichung muss für beliebige Werlhe von et, ß, 
Y gellen, alfo müssen die Koefficienten, die zu gleichen Po- 
lenzen diefer Grössen gehören, auf beiden Seiten gleich fein. 
Da die reclite Seite a nur in der ersten Potenz enthält, fo 
müssen die Koefficienten der Glieder, welche a^ enihaiten, 
und derer, welche « gar nicht enthalten, nuü fein, alfo find 
Ol, «2) ^i> ^s null, d. h. fi und fj stellen gerade Linien dar, 
welche durch den Anfangspunkt der Abscissen gehen. Legen 
wir die Abscisseiiaxe fo, dass fie mit der durch fj dargestell- 
ten Linie zu rammen fällt, fo reducirt fich fj bloss auf das 
Glied, was y enthält, d. h. ß^ wird null. Dividiren wir dann 
noch die fo reducirte, Gleichung durch ce, fo geht fie über in 

ß'+f = ßW + ißn + my- 

Da in der entwickelten Gleichung 2j',)'i der Koefficient von 
ßy ist, fo muss YiYi"^^^ inin; Yi I^a"" nicht null fein, weil 
fönst fj identisch gleich null wäre, alfo muss Yi "u'l fei"- 
Dann erhält man 

ni-ßi':) + rKi~n':) = o, 

alfo ßi^= -{- i, Yi='+ '^- ^^ ö^f jeder der beiden Koordi- 
naEenaxen die Seite, nach welcher die Koordinaten pofitiv 
genommen find, beliebig gewählt werden können, fo können 
wir ßi und j-^ = -(- 1 fetzen, und es wird dann fi=x', fj 
= y', und entsprechen alfo den Funktionen 

X* + y^ X, y, i 
des ersten Vereins die Funktionen 

i, X', y', x" -l-y'= 
des zweiten 

A n ni D e h er behandelte specielle Art d Ij j 1 hen Ver- 
wandts halt 3t merst von Mobius aufgestellt und on 1 m K ver- 
wandtsclaft gens t lorlen vergl. Möbius Ueb n ue Ver- 

■WBtidtscIiaft ZV. echt eUni.n Figuren pn den B n It de K nigl. 
Sachs Gefeüa 1 di,r W se 5 Febr. 1853). Es e e bf f h aus dem 
Obigen dass dtrjci ge Punkt in jedem der beiden kreisvei wandten 



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284 C*tO 

\ ereine als charakteristisch hcrvorlritt welehem im andern Vereine 
die urendlich entfernte Gerode entspfflcht t-s fci diefer Punkt Cen 
trijpunkt des 1 ereina genannt legt man nun die beiden ^erune fo 
ouf einander daas die Centialpurtkte, die i Axen und die j Asea 
fch gegenfeilig decken, To deckt auch jede durch den Centralpnnkt 
gehende gerade Linie, z B die gerade Linie qx + ry = die ent 
sprechende Schlagt man nun noch um den Centralpunkt mit der 
Lange, wekhe i!b Maa" der Koordinatci zu Ciunde o'clegt ist einen 
Kreis, weither Hauptkrcia liewe, fo stellt fch die ganze Kit d"s ge 
genfeiligen Entsprechens aufs An'chaulichf.te dar D inn besteht die 
Peripherie des Hauptkreifts auä dm lammtlichen Punkten, welche 
ihre entsprechenden decken, |pdem Punkt im Innern dee Kreifts ent 
«pricht im andern Vereine ein auf demlulben Radius hegender Punkt 
auBserhalb des Kicifes, und zwai fo ddos der Radius stets die niitt 
lere Proportionale zwischen den Abstö,nden der beiden fntsj rechenden 
Punkte vom Centrum ist Leizteiea folgt fur einen Punkt der xAsc 
fogieich 1U3 den cntifi eben kn F inktionen, denn die Kreib Gleichung 
eines Punktes der x-Axe, dessen Abscis=e ^^ c ist, ist (x — c)* -}- y' 
=iO, d. h. xi + y* - Ücx -j- c* = 0, alfo die des entsprechenden Punk- 



s 1- 


-2cs 


+ ' 


:aCx' + y'j 


-0, d. h. y 


X- 


tj+' 


' = 0, alfo ist der 


b t 


d d 


f 


I kt 


C tralp 


kt 


-L 


während die des 


tp 
tg 
ii. d 


k 

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P kt 

L 1 

tp 1 d 

t Ip kt 

1) 1 


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ttl P 
P kt 
g h d g 
g llg 


P 

P 

f d 

d 1 


dukt 1 
t onale 
x-Axe. 
L nie ah 


, d. h. die als Ein- 
zwischen den Ab- 
Da man nun jede 


h 


) x-Axe annehmen 
statt der Annahme, 



d d dl 1 tl t G 1 Punkt entsprechen foU, 

d A hra 1 1 d d b d fy cycüschen Vereinen ohne 

A ImjdmPktd \ n Punkt des andern ent- 

ph fllf tplt hd dlicb entfernten Goraden 

d ^ d il 1 tf t des andern , und man ge- 

1 gt A 1 1 hli t 1 1 f ! If nf dlefe Weife der Kreis- 
w dt 1 ft g g ab t 11t 

^ 7 N male E nh ten d Funktionen, Stetigkeit 
de let t n 

410 Erkl ru g Norit ale Einheiten reeller 
Grössen. Für die reellen Zahlen fetze ich 1 ais normale 
Einheit, für ilie reellen exlenCiven Grössen fetze ich als nor- 
male Einheilen die uräprünglichen Einheiten ei, ^2,--'^ai 



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*1«) 285 

für die reellen extenfiven Grössen m-ter Stufe ferner die wohl- 
geordneten (muUiplikaliven] Kombinationen ohne Wiederliolungf 
zur m-len Klasse aus den ursprünglichen Einheilen, für die 
reellen algebraischen Produkte von Grössen gleicher Stufe end- 
lich die (wohlgeordneten) Kombinationen mit Wiederholung 
aus den normalen Einheiten der Faktoren (wobei jede diefer 
Kombinationen als algebraisches Produkt der darin enthaltenen 
Elemente aufzufassen ist) 

Anm La fiid hier nur die fnhci \ereinn-U -lorkomm nden Be 
atimmuiigen zurtimmei gefasst Es kommt noch darauf an auch für 
die reeilen Lücke nana drucke die normalen Einheiten ftsUustellen Wir 
haben (in 363 Anm ) gefehen, doss daa Produkt der Faktoren welche 
die Lücken eines Luckenaubdrucks ausfüllen follen als ein algebrai 
scliea Produkt aufiufasaen ist mit welchem der Luckenau'idrnck mul 
tipücirt werden foll folglich kommt es nur darauf an welche Wcrthe 
der Lückei ausdruck annimmt, ^venn die normalen Einheiten jener 
algebrajschi-n Produkte mit ihm miltiflitirt werden Es feien E, 
Ej,--' die normaku Jmheiten diefer algebraiaohen Piodukte und L 
der Lücken ausdruck , fo kom nt es auf die Wertlie LE LEj an 

Diefe Wcrthe können Tnedt.r extenfve GrOasen fein die normalen 
Einheiten derfelben feipn e ej , f o ergeben fich als normale Ein 
heiten von L diejenigen Luoken ausdrucke, weicht, mit E, Ej mul 
tiplicirt irgend eini, der Einhoifen e, ej liefern 

411. Erklärung. Normale Einheiten reeller 
Lückenausdrücke. Wenn E,, Ei,-- die normalen Ein- 
heiten derjenigen algebraischen Produkte find, deren Faktoren 
die Lücken eines reellen Lfickenausdruckes L auszufüllen ver- 
mögen, und ei, e^ , ■ ■ - die normalen Einheiten derjenigen 
Grössen find, in wdlche L nach Ausfüllung feiner Lücken 
übergeht, fo fetze ich diejenigen Lückenausdrücke E^ , als 
normale Einheiten von L, welche den Gleichungen 

E,,,E, = e, und E,_,Et=0[t Jr] 
genügen. 

Anm, Es ist diefe Erklärung in Uebereinstiramung mit der in 
381 für die Einheiten des Quotienten , d. h. des Lücken ausd rucke s mit 
Einer Lücke gegebenen. 

412. Jeder (reelle) Lückenausdruck lässl fich aus den 
in 411 feslgefetzten normalen Einheiten desfelhen numerisch 
ableiten, und diefe letzteren stehen in keiner Zahlbeziehung 
zu einander. 

Beweis wie in 38i. 



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286 (*t8 

413. Erkl, Normale Einheilen einer Grössen- 
gattung. Als Grössen (lerfelbnn Gattung Telze ich alle die- 
jenigen Grössen, welche nach dem Früheren zu einander adiiirt 
werden können. Die Anzahl der normalen Einheiten einer 
Grössengattung nehme ich stets als eine gerade an, indem 
die eine Hälfte derfelben reell ist, und die andere daraus 
durch Multiplikation mit 1=:^ — i hervorgehl. Die Ableil- 
zahten, durch welche eine Grösse aus ihren normalen Ein- 
heiten numeriscli abgeleitet wird, nehme ich stets als reell an. 

Anm, Für die allgemeinen Zahlgrössen find Mo 1 und / — 1 
:=i die normalen Einheiten, für die allg-emeincn Grössen erster Stufe 
6], ej,"-en, Cii, Cji,. . .Bni, wo e,, ej,-- -en die ureprünglichen Einheiten 
find u. f. w. 

414. Erkl. Numerischer Werth einer Grösse 
heisst die pofitive Quadratwurzel aus der Summe der 0""- 
drate aller Zahlen, durch welche jene Grösse aus ihren nor- 
malen Einheiten ableitbar ist, d. h, wenn Ej, E,,--- die 
normalen Einheiten einer Grösse P Hnd und 

p = aiEi-f ajEa -; 

ist, fo ist der numerische Werth von P gleich 

y«; + «:-!-■■•. 

Anw. Diefe Definition ist in Ue herein Stimmung mit der in 151 
gegebenen. Der numeriBohe Werth einer liomplexen ZaUgrÖsae p -f- ^i 
ist hiernach gleich Kp'-|-q^*. 

419. Wenn der numerische Werth einer Grösse null 
ist, To find alle Zahlen, durch welche diefe Grösse aus ihren 
normalen Einheiten abgeleitet ist, einzeln genommen null. 

Beweis, Es feien Ej, Ej,— - die normalen Einheilen 
der Grösse P und fei 

P = a,Ei -f a^Ej -j . 

Wenn nun der numerische Werth von P null fein foll, 
fo heisst das (nach 414) 

ya\ +al -\ = , alfo 

Da aber a^, Oj,--- (nach 413 Anm.) alle reell find, fo 
kann die Summe ihrer Quadrate nicht anders null fein, als 
wenn fie alle einzeln genommen null find, alfo 
= ai = ai =■ ■ -. 



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4 t 9) 287 

410. Erklärung. Wenn der numerische Werlh einer 
Grösse a kleiner ist als der einer Grüsse b, To Tage ich, a fei 
numerisch kleiner als b und schreibe dies 
a num, < b. 

317. Wenn ai, Cj,-" die Zahli>n find, durch welche 
a aus reinen normalen Einheiten ableitbar ist, und ebenTo j?„ 
ßi,--- die Zaiilen, durch welche b aus Teinen normalen Ein- 
heiten ableitbar ist, (o und die Vergleichungen 

a num, -=^- b 
und a] +al+-- ■-<§[ + ßl-\---- 

einander gleichbedeutend. 

Beweis fülgt unmiltelbar aus 416 und 414. 

318. Wenn p, q,--- pofitive Zahlwerlhe und a, b,--- 
beliebige (aus denlelben normalen Einheilen ableitbare) Grössen 
von der Art Und, dass 

a num. -< p, b num. -^ q, ■ • ■ 
fei, fo ist auch 

a -f- b +■ ■ ■ num. < p + q H — . 
Beweis 1 (für zwei Grössen). Es feien e^, ej ,• ■ ■ die 
normalen Einheiten von a und b und fei 

a^^aiOi -H «jej -(-■■■ 

b^ß,e,+ß,a, +■■- 
und fei a der numerische Werlh von a, ß der von b und y 
der von a -}- b, fo ist a ■< p, (3 < q, zu zeigen ist, dass 
j- -c p -|- q fei. Nach 4ii ist 

«' = «^ i- a\ -i 

ß'=-ß\ + ßl+---- 

airo O /^ = a^ + j3' + 2Cß,(3i +as|3s +■••)- 

Nun können wir zeigen , dass a,ßi -\- Oj/Sj -| =:^aß 

foi. In der That ist 

C««'-Wi+«A +■•■)' 

= ia\+a\ + '-Kß\+ß\ + ----)-(a,ß^-i-a,ß^-l---y 
= ia,ß,~a,ß,r + (a,ft - a.ßtT + ■ ■ ■ . 
Die rechte Seite ist die Summe mehrerer Quadrate, alFu gleich 
oder grösser als Null, alfe auch die linke, d. h. 
(_aßy=::-ia,ß, -}• a.,ß, +-■■)% 



yGoosle 



288 (41» 

alTo auch, da c und ß poHtiv find, 

aß=':^- a,ßi -f- a^ß^ +■■■. 
Wenden wir diefe Vergleicliung auf die Gleichung (*) an, 
To folgt 

yi = <: a' + ;S= + 2aß , d.h. y^ _ < (« ^ ßy^ 
ölfo, da y und a -{- ß pofiliv find, 

aber da o und ß (^potiiiyc) Zahlen find, welche beziohlich 
kleiner als die podtiven ZaJilun p und q find, fo ist 

a+ß-<^-hq, 
alfo Y "^P 4" 1 1 

d. h. der numerische Werlh von a -f- 1) ist kleiner als p -f- ^J. 

2. (für mehr Grössen). Da nun (nach Bciv. I) a -|- b 
num. < p + q und (nach Hypothefis) c num. ■< r ist, fo ist 
(nach Bew. 11 a 4- h + c "im. < p -f q + r u f. w. für be- 
liebig viele Grössen. 

^10. Wenn p und q pofitive Zahlwerlhe und a und b 
beliebige (aus denfelben normalen Einheiten ableitbare) Grössen 
von der Art find, dass 

a num. -< p, b num. < q 
ist, fu ist auch 

a — b num. '^^ p + q. 

420. Erklärung. Ich fage, eine Funktion fCq) einer 
pofitjven Zaiilgrösse verschwinde mit q, wenn ficli zu jeder 
püfitiven Zahl p ein pofitiver Wertb von q angehen lässt von 
der Art, dass 

f(q) num. < p 
fei, und auch bleibe, wenn q beliebig abnimmt, aber pofitiv 
bleibt. Wenn ausserdem f(0)^=0 ist, fo fage ich f(q) werde 
mit q null. 

Anm. Beide Ausdrücke: Mit (poritivem) q verschwinden und mit 
q nu!l vserden, Tind alfo nicht idpntieeh', fondern nur der zweite 
schlicsst den ersten ein, nicht umgekehrt', denn ea könnten für f(q) 
die Bedingungen des Versehwindeiia mit q erfüllt fein, und konnte 
dennoch f(q) für q =0 in einen ifolirten von Null verschiedenen Werth 
Überspringen. 

421. Wenn mehrere Funktionen fifq), f2Cq), ■ -j fnCq) 
einer puniiven Zahlgrösse q mit q verschwinden, fo ver- 
schwindet mit q auch 



y Google 



««!) 289 

(a) ii,n(q) + a,f,(q)-F.-- + a„f„Cq), 
wo ai, 3i,- ■ ■ Sq endliche Zuhleii, oder auch beliebige endliche 
Lückeiiausifrücke mit je einer Lücke find, welche durch fjq, 
f^q u. r. w. ausgefüllt werden kann. (Und ebeufo wenn jene 
Funktionen mit q null werden, fo wird auch diefer letzte 
Ausdruck (a) mit q null.) 

Beweis 1 (für Zahlen). Sollten von den Grössen aj, ■ ■ ■ an 
einige null fein, fo kann man in dem Ausdrucke (a) die Glie- 
der weglassen, in denen diefe Koefficienten , welche gleich 
null find, vorkommen. Wir nehmen an, dies fei schon ge- 
schehen, und OS feien alfo a,,- ■ -an lauter von Null verschiedene 
(endliche) Zahlen. Da nun (nach Hyp.) fjq mit q verschwindet, 
fo muss fich (nach 420) zu jeder von Null verschiedenen Zahl, 

z. B. zu — , ein pofitiver Werth q, von der Art angeben 

lassen, dass fi(qi) numerisch kleiner als p : »lU fei und auch 
bleibe, wenn qi beliebig abnimmt, aber pofitiv bleibt; aus 
gleichem Grunde wird man auch einen pofitiven Werlh qj der 
Art angeben können, dass fjfqj) numerisch kleiner als p : a^n 
fei und auch bleibe bei abnehmenden qj, u. f. w. Wenn nun 
q ein püfiliver Werth ist, welcher noch kleiner als jede der 
Grössen qi, q^,- ■ -qn ist, fo ist auch fjq num. -- p ; aiU u. f. w. 
oder 

a,f,q num. <■ — , a,fjqnum. < -i-,. . ■ a„f„fq) num. < —; 

folglich ist (nach 418) auch die Summe der linken Seiten 
numerisch kleiner als die der rechten, d. h, 

"ifil + "afsq + ■ ■ ■ + äJa'i num. < p, 
eine Vergleichung, die auch bestehen bleibt, wenn q beliebig 
abnimmt, aber pofitiv bleibt, d.h. es verschwindet der Aus- 
druck (a), wenn üi,''-an Zahlen find, mit q. 

2, Es reducire fich der Ausdruck (a) auf ajfiq, wo a, 
eine normale Einheit eines Lückenausdruckes fei, dessen Lücke 
durch fiq ausgefüllt werden kann; es feien ferner Ci, ej,--- 
die normalen Einheiten von aifiq, und Ei, E^,--- die von 
f]q und fei 

(b) f,q = Ei5P,q-f-E,9),q+--- =Z"E,iPaq, 



yGoosle 



290 (*»» 

fo wird (nach 4H) aj die Eigenschaft haben, dass es mit 
einer der Einheiten Ei, Ej,---, z. B. mit E,, mwltiplicirt, 
eine der Einheilen ej, ej,---, z. B. die Einheil e^, Hefert, hin- 
gegen mit jeder der üiirigen Einheiten Ej, Ej,--- mulliplicirt 
null giebtj fo dass alfü dann 

(c) aiE^=e,, aiEt = 0, für t ^ r 
ist. Dann erhalten wir 

aif|q = a|^E„ipaq ^=^aiE|,yoq [44] 

Alfo ist (nach 414) der numerische Worth von aii'iq 
gleich F(Vrl)^- Da nun (nach Hyp.) fjq mit q verschwindet, 
fo lässt fich (nach 420) zu jeder pofiliven Zahl p ein Werth 
von q der Art angeben, dass f|(q) num, "<p fei, und auch 
bei abnehmendem q bleibe, d. h. (nach 417), dass 

C<Piq)'' + CSPsq)^ -i < p' 

fei und bei abnehmendem q bleibe. Da aber (nach 413) g>,q, 
(p^q,-'' reell, alfo (fpipy, (<jPäq)S*'- poHtiv find, fo raiiss 
jedes diefer Quadrate kleiner als p'* fein, alfo auch (5p^.q)°--"^p^ 
d. h. ajfjq num. < p, alfo verschwindet ajfjq mit q. 

3. Es feien endlich a[, a^,- ■ ■ beliebige Lückenausdrücke 
(mit je einer Lücke), und fei 

a, = X«I7K~r^ 
wo Eri, Er2)''' die normalen Einheiten von a,. darstellen, 
fo wird 

ajfjq -\- f-ihq -h ■ ■ ■ ^=.^«o,ti^o,tf'aq- 

Da nun (nach Bew, 2) Eojjfoq mit q verschwindet, fo 
verschwindet (nach Bew. 1) auch die Viel fachen fumme diefer 
Ausdrücke; alfo auch aif,q -f ajfjq -(-■■■ -. Wenn ausserdem 
fi^i faqr") f^uf 1 = ^! auch null find, fo gilt dasl'elhe auch 
für aifiq + a2f2q + ■ - ■, alfo, da ausserdem der letzte Aus- 
druck mit q verschwindet, fo wird er nun auch mit q null, 

322. Wenn zwei Funktionen fjq und f^q einer pofiliven 
Zahlgrösse q mit diefer verschwinden (odt;r null werden), fo 
muss mit ihr auch die Differenz fiq — fjq verschwinden (oder 
null werden). 

Beweis in 421. 



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4S«) 39,1 

323. Erklärung. Wenn fx für einen bestimmten 
Werth X die Eigenscliaft hat, dass fich aliemal ein konstantor 
Werlh c von der Ärl angeben lässt, dass ffx -f qdx] - c jedes- 
mal mit dem pofitiven Zahlwerthe q verschwindet, was für 
eine endliche Grösse, die mit x von gleicher Gattung ist, auch 
unter dx verstanden fein mag, fo fage ich, die Funktion fx 
konvergire um x nach c. 

A n m. Es ist hier alfu iicter dx vorläufig nichts weiter verstaDden, 
alä eine beliebige endliche Grösse, welche mit x von gleicher Gattung 
ist. Doch habe ich schon hier diefe Bezeichnung gewählt, da Ke für 
das Folgende am bequemsten ist. 

424. Wenn fx um x nach c konvergirt, fo kann es 
um X nicht zugleich nach einem von c verschiedenen AVerthe 
Ci konvergiren. 

Beweis. Denn follte beides zugleich der Fall fein, fo 
mussten (nach 423) f(x -f- qdx) — c und f[x 4- qdx) — Cj beide 
mit q verschwinden, alfo (nach 422) auch die Differenz beider, 
d.h. e — Ci, was unmöglich ist, da c und C] zwei verschie- 
dene Konstanten find. 

429. Erklärung. Eine Funktion fx heisst in x stetig, 
wenn fx um x nach dem Werthe konvergirt, den fx in x hat. 

426. Wenn fx in x stetig ist, fo verschwindet für 
jedes endliche dx die Differenz f(x -j- qdx) — fx mit q. 

Beweis unmittelbar aus 435, 423. 
Anm. Wenn fx in x nicht stetig ist, l'o verschwindet nicht für 
jedes endliche a die Differenz fCx-j-qdx) — fx mit q; fondern es könnte 
f(x -{- qdx) für rersehiedene Grössen dx nach verschiedenen GrSnien 
konvergiren, oder, wenn es auch für alle endlichen Werthe dx nach 
ein und demfelben Werthe c liocvergirte , alfo (nach 4i3) die Funlction 
fx felbst um X nach dieCem Werthe au Itonvergirte, fo würde doch 
(fx), wenn es in x unstetig ist, dort in einen ?on o verschiedenen 
Wertli überspringen. 

427. Erklärung, Wenn f^x eine Zahlfunktion und fx 
eine beliebige Funktion ist, und beide für denfelben Werth 
von x^=a null werden, doch fo, dass der Quotient fx ; ffX 
um x = a nach einem konstanten Werthe c konvergirt: fo 

fx 
'^* 
im Uebrigon mit jenem Oioüenten übereinstimmt, aber für 



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x = a den Werth c annimmt, und bezeichne den Werlh c, 
welchen dief'r Bruch für \ = a annimml nit 



=B - 



Z hl kt f r li d B 1 



f w d h g 1 d 

MblfdFk tGö fd It 

g ö) 1 1 r kt niel tl d I d Th t 

tefG d ZUlg f ttFk 

f_ 
f 

w d 1 F kt b h d It d f 11 i Ib f j d 

b t mm W l gl hf 11 b t mmt W tl 1 

m inü C348) HS lA tl w d m Allg d h D r 

dbfd ■ftl Ihf dfd 1 fefd 

Ab f = r II f 1 t 11 d r w 1 d 

Qttdrbfl Wl 11k m btm l 

b mtlt IhfdBl — dh fib 

dm fUmdBli\k[g t wild 

IfdFUd ^f bGlglbCU A d 

fÜiit 11 dfmFUflj Bh bl 

b g b m W th b f t t n II d d 

B h gdBhdfBtmmgd d lbim = 
d b m t W tl b 1 r 11t t fg d 

D f 11k i h B mm w d db flU g d d 

bgEkl g fg llBgffItll d h Ihm 

j Bl = ttggltt dAbdfBbffrtt 

d j B 1 m = h b t W th 

k gtltd htdFUfd k gtdBh 

5^±Ä b m , 1 a d p rt z kn , i 

h d G j hd l d W th mmt ß 

bZhId bdWtl+1— Id P+J^p 

raf td b ggb BgiT h h wdb 

d bl bt It üb g 1 d Ukiirl h Be t g 

h fg dtdB hgfhmDtk g 

11 d r ■^ h 1 h t dl löh 4 IjD h U f V 

w ggb h ihfhhfigg gd hWdrapJl d 

flllftRflt thlmdr Ihm gh 

Imh dddMhd l gfh mtlh 

tChj\dtd dl hpflhRel 

th m d g 1 K tg ff d M th 1 b 11 h 

Irrth m f h kö g g d E Ib f ! t 11 

r ht Ab 1 k t d m t ht Z I g 1 1 



y Google 



*•»> 293 

dUbl htbdl^Sral ff d Itd ftlil B 

gffb mgh ft d M lllj "^ irrg 

Ji ggilibmhdl götlgtgfh dfB ffb 
trag f trtdFlgl th dgrsh h 

h traj, d t tt m 1 f f lil B b t g d D ff re 

IrehgdPt 1 dditlh bf 

kfl t h d r 1^ h f fb 

f hf fGö mtShhtwd k Es 

dddh r Igbt 1 fdHtlwdgt 

bhäk Ihbmkl 1 { h. d bBmk 

tlltgbtd fehlhBglTb mgf IJd FiiU 

fttllfdwd kpfdFk fgwi 

WhdV bl flkAdük bgh 11k 

"tkpEgtd gt hd dlwlh] 

Fkt tfhbdrd)t f ddf 

If m tl h w d h d Ib dl h d 

mld g d IlldTFllk iBtm gg 
Igdfbmghil gtffwd DB hg 
n Ib! gCgt dmhhtdFkt db 
fd Wthd bl Prehrbfg mdhd 

C dWh dük wll dFk fdfb 

r d W tk d V b I mmt t h I d 

F 11 m t \ h I db d m Tl 1 m dl h 



#a(i. 2. ^ifftrenjinlvcdjnmig. 
§, 1. Differenzial erster Ordnnngr. 

428. Erklärung, Wenn q eine reelle Zahlgrfisse, dx 
aber eine beliebige endliche Grosse, welche mit x von gleicher 
Gattung ist, bezeichnet, (o verstehe ich unter der (nach der 
Veränderlichen x und dem Zahlfuktor q genommenen) Differenz 
der Funktion fx, geschrieben dx^qü, diejenige Funktion, welche 
der Gleichung 

(a) d,,fx = '^^ + 1^^^-^^ 

genfigt (wobei die DiviHon durch q in dem 437 bestimmten 
Sinne zu fassen ist). 

430. Erklärung. Wenn der Ausdruck dj,qfx in q = 
und in X (4',25) stetig ist, Fo bezeichne ich d^^^gfx mit d,fx 



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294 (480 

und nenne djfx das nach x genommene DifTerenzial von fx, 
d. h. ich fetze 

Wenn <iK,qfx nicht die Kigenschaft hat, dass es in q^=0 
und in x stetig fui, To Tage ich, dass auch d^fx unstetig fei. 
Wenn in einer Formel das vor eine Funktion gefelzte Dif- 
ferenzialzeicben d ohne jeden Index geschrieben ist, fe foll 
das heissen, dass die Formel allgemein gellen foll, nach wel- 
cher Variabein auch die dadurch ausgedrückte DifTerenzialion 
genommen fei, d.h. welchen Index man auch dem d hinzu- 
fügen mag, vorausgefetzt nur, tlass man dann in diefer Formel 
jedem üifi'erenzialzeichen d (was vor eine Grosso tritt) den- 
felben Index hinzufügt. 

Anm. Es lässt fich der Begriff des Differemials auch für den 
Fall, dass dosfelbe unstetig wird, featstellen, und lassen fiuh mit 
folchen Differeniialen unter gewissen Umatändeu noch gültige Ver- 
knüpfangen vornehmen. Doch ist es bei jeder Behandlung der Diffe- 
renziulrechnung am zweck massigsten, diefen Fall zunächst gani aus- 
zuschliessen, und namentlich den Fall, wo das DifTerenzial unendlich 
wird, im Zufammen hange mit der allgemeinen Betrachtung unbegränzt 
wachsender Funktionen in einem eigenen, die ganze Analylja des 
Dnendlichen behandelndeu Abschnitte nachzuholen. Aus dem yorlie- 
geiiden Werlse schliessen wir jedoch diefe Betrachtung aus , nnd Hetzen 
im Folgenden bei jedem Differenaial voraus, dass es etetig fei. Noch 
bemerke ich, das die Stetigkeit von difx vorausfetzt, dass f(x *J- qdx) 
^ fx um q = gleichfalls null werde, d. h. dass auch fs stetig fei. 

-äSO. Wenn dxfx stetig ist und fx = y gefetzt wird, fo ist 
fCx 4- qdx) =^ fx -f- qCd;, fx + N) 
= y + qC'l.y +N), 
wo N mit der reellen Zahlgrösse q zugleich null wird. 

Beweis. I\Ian felze 

fCx + qdx)-fx_^^^^_^^ 

q 

Da djfx stetig ist (nach Hyp.), fo ist (nach 429) auch 

der Quotient - — ^t_3 — 2 -_ in q = stelig, und dann =:dsfx, 

alfo wird N als die Differenz diefer beiden Ausdrücke mit q 
zugleich null. Dann erhalten wir aber 

fCx -j- qdx)^ fx -f q(d,fx + N) = y + -qCd.y + N> 



yGoosle 



<»«) 295 

431. Wenn A ein konstanter Lückenausdruck mit n 
Lücken (in jedem GUede) isl, in welche Grössen von der 
Gattung X eintreten foUen, Co ist 
(a) d>(^x"):=nJx''-'dx; 
ins BefonJere ist 

(l)) (I^C^x) = J 
(c) dU = 0. 
Beweis. Da für die Produkte, deren Faktoren in die 
Lücken eines Lückenausdruckes eintreten follen (nach 363), 
die gewöhnlichen Gefetze der Algebra gelten, fo folgt, wie 
in der Algebra, dass 

J(x -1- qdx)»^^x° + nq^x-'-Mx + q'ß 
ist, wo B eine steigende Pütenzreiho von q ist. Hieraus folgt 
unmittelbar, dass 

^(x i- qdx)" - Ax" ^ ^, , , „ 

q 
in q = stetig ist, alfo ist (nach 429) 
d,(.4x'') = nÄx°'-'''dx. 
Hieraus folgen die Formeln b und c für n ^ 1 und 0. 
'233. Wenn u,, Ua,--* beliebigD Funktionen einer be- 
liebigen Variabein x find, fo ist (wenn dui, du,,- ■ ■ stetig find) 

d(ui + Ua H ) = dui -I- duj H . 

Beweis. Es fei U( = f(Xj Uj = fjX u, f. w., fo ist 
(nach 430) 

f,(x + qdx) = Ui + qCdu. -(-NO, 
wo N, mit q zugleich null wird, und fo iür jeden andern In- 
dex. Alfo 

XLCx -f qdx) = Zu- + q(d.u„ -H HJ. 
Alfo ist 

Zf;(-v+"qdx3_Z^ = Z d.u, -HH, 

= ZfCuä +Xiv 

Da nun Ni, Nj,--- mit" q null werden, wie gezeigt, fo wird 
auch (nach 421) ihre Summe Z^a mit q null, alfo 



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296 C*8» 

Die linke Seite ist aber d. ^f>x = d. ^u^, alfo 

oder da die Formel für jeden Index x gilt, 

333> Wenn y und z beliebige Funktionen von x find, 
und [yz] ein beliebiges Produkt derrdben ist, fo ist (voraus- 
gefetzl, dass dy und dz stetig find) 
d[yz]=.[dy.z] + [y.dz]. 
Beweis. Es lei y=fx, z = Fx, fo ist (_nach 430) 
fCx + q<lx) = y + q(dy + N), 
F(x-[-qHx) = z +qC<!z-|-N'}, 
wo N und N' mit q zugleicb null werden. Somit ist 

= [y-Cd,z -{-N'] + tt<'.y + N>] fürq = 0, 
oder (nadi 429) mit Weglassung des Index, 

d[yz] = [y.dz]-(-[Jy-z] + [y.N'] + [N'Z] für q-0. 
Da nun N und H' mit q null werden, fo wird fnach 43t | auch 
[y-l]N'+ [l-z]N, wo I eine Lücke, in welche N eintreten 
foll, bezeichnet, mit q null, d. h, [y-N'] + [N-z] wird mit q 
null, alfo ist 

'^[yz] = [y-dzl + [<iyz]. 

334. Wenn y aus feinen normalen Einheilen Oi, e^,--- 

durch die Zalilgrüssen y, , yj,--- ableitbar ist, und y,, y2,'" 

Funktionen einer beliebigen Variabein x find, fo ist Cvoraus- 

gefetzt, dass dy, , dyj,--- stetig find) 

dy =:e,dy, -f e^dy^ -[-■.- 

Beweis. Da y = e,yi -j- e^y, + 'st (nach Hyp.), fo ist 

dy^d{c,yi)-}-dCe,yO+--- [432] 

= eidy, 4-ejdy, +•■• [433, 431c.]. 

A n m. Hierdurch lässt fleh das Differcnziol eiucr extenfiven Ftink- 
tion auf die Differentiale von Zalilfutiktionen zurückfUliren. 

g. 2. Differenzialquotient erster Ordnung;. 

435. Erklärung. Unter -;-fx oder unter fx versiehe 

" dx 

ich (voraus gefetzt dass dxfx stetig fei), den Ausdruck, welcher, 



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mit jeder Grösse dx (die mit x von gleicher Gattung ist) mul- 

tiplicirt, difx liefert, d. h, wciclier der Gleichung 

d.. , f, . ,, rr(x + qdx) — fxl. ^^ 

-r-tx-dx=:f'x-dx = d,fx= - — —^ — ■ (q = 0) 

dx L q J^ 

:h X genommenen Differenzial- 

quotionten erster Ordmirig von fx, nnil f'x die erste abge- 
leitete Funktion von fx. 

4136. ErkJ. Wenn man die Differenzialquotienten einer 
Funktion u^=f(x, y, — -) mehrerer Veränderlichen x, y,- — 
auf die Weife bildet, dass man jedesmal den DilTerenzial- 
quolienten nach einer diefer Veränderlichen nimmt, während 
man dabei die übrigen Veränderlichen wie Konstante behandelt, 
fo nenne ich die fe hervorgehenden Differenzialquotienten die 
zu dem Vereine der Veränderlichen x, y, ■ ■ - gehörigen par- 
tiellen Differenzialquolienlen, und bezeichne dann den in dielem 
Sinne nach x genommenen Dillerenzialquetienten mit 

-i-u, oder -i— r(x, y,- •) 
dx ' dx ^ ' ■" -^ 

u. f. w. 

A n m. Eh ist bei den partiellen DilTerenzialqiiotienteTi uniimgünglich 
nothwendi^ (worauf schon Jacob i in Crclle's Journal B. 22 S. 321 auf- 
merkaam gomacht hat) den zugeliörigen Vorein der Veränderlichen anzu- 
geben, alfo nicht bloaa diejenige Veiänderliche za nennen, nach wcklier 
der DüTerenKialquotient genommen werden Toil fondern auch diejenigen 
llbdBldgdllb 11 ttbhdltwd flln 
D B Gl lg 1 dyhtitf 

ItfhdAülld^&dlh md hafft 

B glblb y bg dbthftm 

jttdfldV d\ dll llddfgwt 

4- J t t e d B l t g d All m 

dy " * 



11t M b gt II V 
d V ä d 1 h 3 d(^m 1 
r m U d D rst U 



y Google 



298 (.*«« 

im Uebrigen willkürlichem Zeiclien etott -v— let^t, hat man dann die 
Bedeutung dieies Zeichens angegeben, fu ist eine Vei'wechrelung un- 
möglich. Die allgemeine liciejchnung durch -j— u, welche ich füi' die 
partiellen Differenzialqaotienten nach x gewählt habe, bedarf, obwohl 
Ge ungebräuchlich iät, wohl kaum einer Rechtfertigung, indem fie, 
ohne willkürlich au fein, äusserst bequem jst, und eine fo ungehin- 
derte Verwendung gestattet, wie keine andere. 

331. Wenn e^, ej,--- die normnlen Einlioiten von x 
= Xiei -j- x^e^ -| — • find, und <Jifx, d'jfx,--- die nach Xj, 
Xj,--- genommenen DifTercnzialquolieiiten von x, welclie zu 
dem Vereine der Veränderlichen x, , Xj--- gehören, bezeich- 
nen, fo ist (vorausgefetzt, dass d^fx stetig ist) 
d,fx = .T,(x-dx, -f (Jjfx'dxa -f ■■-. 

Beweis 1. Es feien die normalen Einlieiten e,, Cj,- ■ in 
zwei Gruppen zerlegt, und y aus der einen Gruppe, z ans 
der andern numerisch abgeleitet, und zwar fo, dass x = y + z 
fei, To zeige ich, dass dxfx=: d^fx 4- d^fx fei, wo bei den 
durch dy, dj bezeichneten DiiFerenziationen y und z als den 
Verein der Variabein bildend gedacht find. In der Tbat, es 
fei dy aus denfelben Einheiten ableitbar wie y, um! dz aus 
denfelben wie z, und fei dy --[- dz ^^dx^^ Cidxj 4" Cjdx^ -4-- ■ ■. 

Nun !st(nach Hypothefis) d^fx stetig, d. h. es ist l - — ~ ~ 

für jeden Werth dx Cder aus Ci, ej,-- ableitbar ist) in q = 
und in x stetig, alfo auch, wenn man dy statt dx fetzt, d.h. 

es ist --1^—-"-?^-- in q=:0 und in x stetis ferner ist 

q 

f(x + qdy1-fx ^ f(y + qdy-fz) -^f{y-^z) _^ ^^ 

q. q ''" ' 

alfo ist djfx von dy, qfx verschieden um eine Grösse N, die 

mit q null wird, fomit 

' q 

iiiiU cbeafo 

^^^^^lt x + qdzj -_nc 
<\ 
wo N und Ni mit q null werden, und die ersten Glieder in 



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489) 299 

q ^: unil in x stetig find. Wenn nnn eine Funktion tpx in 

X stelig- ist, fo liuisst Jas (nach 425), es konvc g e^l -{- läx) 
wo dx eine beliiibigo Grösse, die mit x vor cle her Oatt 
ist, lind q eine reelle Zahl bedeulel, um q = n 1 e en 
Werliie zu, den es in q=:0 erreicht, d. I es 1 s e fcl 
y(x -f- qdx) in der Form q)x -\- Nj darstellen o N m t ( 
null wird. Wenden wir dies auf dyfx an, i d fet n da n 
5p(x + qdx) das dx willkürlich war, dafür d s ob ge Iz 1 
erhalten wir 

d fx= f(x + qdz 4- qdy ) — f(x + qdz) ^^ ^^ ^ 

Hier ist qdz -f qdy ^= qfdz -f (ly) ^ qfix, da wir oben dy + dz 
= dx fetzten , aifo 
djfx+djx 

^ f(x-i-qdx)-f (x+qdz)-|-f(x+qdz) -fx ^ ^ ^ ^^^ ^^ 

Hier hebt ftch das zweite und dritte Glied im Zähler, und 
da N-f Ni+N3 = iV (nach 421) mit q null wird, fo er- 
halten wir 

d.fx + djx= ff-^-+il^_^^i^ + N, 
q ' ' 

wo JV mit q null wird, alfo 

dyfx-hd.fx = d.f(x3. 

2, Da man nun ebenfo, wie man x in y und z zerlegte, 
wieder y oder z zerlegen kann, fo gilt der Satz auch für 
beliebig viele Stücke, in die man x in der Art zerlegen kann, 
dass jedes Stück aus einer Gruppe der Einheiten Ci , Ci,-- 
numerisch abgeleitet ist, und die verschiedenen Gruppen keine 
gleichen Einheiten enthalten; alfo namentlich, wenn XiO, =yi, 
x^e^ =^yä,- ■ ■ und demgemäss dyi ^= Cidxj, dy^ = e^dy,,- • ■ 
ist, fo ist 

d,fx^dy.fx + dy,fxH , 

wo die durch dy^ u. f, w. bezeichneten partiellen Dliferenziale 
fich auf den Verein der Veränderlichen yi, y^,--- beziehen. 

3. Nun ist 

Aber f(x + qdyi) = t(x 4- qcidx,) = fCxjei + z ^- qcjdxi), 



y Google 



wenn der Kürze wegen x^ej +^63 ■) ™'' 2 bezeichnet 

wird, alfo ist f(x + qdyi) = f[eiCxi + Ifi^i) + 2], alfa 



[nach 436] 

und ebenfo für die Übrigen Intiices. Setzt man dieTe Wertlie 
in die vurhergcfundene Gleichung ein, fo erbält man 
d^fx^-J^fx-dx, -f Jjfx-dx, -i . 

' dx- 
von dx unabhängiger O'iotient, und zwar, wenn ej 
die normalen Einheiten von dx :^: e^Xi -\- e^x^ -|- ■ 
fo ist 

f'x-e.^:-i~l'x^=drfx 
dXr 

SJx,SJx,--- 



die zu dem Verein der Ver- 
änderlichen Xi, x^,--- gehörigen Dill'erenziaiquotienten nach 
Xj, Xi,- • bezeichnen. 

Beweis. Wenn x eine Zahlgrösse ist, fo ist fiat^h 428) 
auch dx eine Zahlgrösse nnd 

dx, qfx_ f(x + qdx)— fx^fCx -!- q') — fx 
dx ~" qdx q' ' 

wenn man qdx mit q' bezeichnet. Nun wird q' mit q null, 
alfo ist 



d.fx d. „fx ffCx-f-q') — fxT , 



■.0), 



dx 



stetig ist, fü ist auch ^, in q^O stetig, (i. h. 

(nach 427) es konvergirt diefer Ausdruck, wenn x konstant 
ist, um q' = nach einem konstanten (von q' unabhängigen) 



y Google 



*a8) 301 

Werthe, welchen er in q' = erreicht; diefer Werth ist alfo 
bei variablem x eine blosse Funktion von x, unabhängig von 
q', d. h. von qdx. Es fei (iieTu Funklion (px, fo ist 

alfo ist 9>x die Grösse, welche mit jedem dx niuUiplicirt, d,fx 
liefert, d. li. (nach 435) yx ^= ^fx, alfo ist -pfx von dx un- 
abhängig. 

3. Es fei X — x,ei + x^e^ -| , fo ist (nach 437) 

dsfx = ^ifxdx, -|- «Jäfx-dxj 4-' ■ '! 
wo öj, iJj,-- die im Satze angegebene Bedeutung haben. Nun 
ist f'x Cnach 435) der Ausdruck, welcher mit jedem dx^^ 
eidxt -|- ejdxj -(- ■ - ■ muUiplicirt d,fx giebt, alfo hat man 

f'x(eidxi + Cjdx^ H ~)=6Jx.-^x,+S^fx-dix^-\ , 

alfo 

f'x-eidxj + f'x'esdxj-]-- • ■ ^(Jifx-dx,-f<?ifx-dxa-|- ■ - ■, 

Nun find nach Bew. i die Grössen rfifx, d^ix,--- blosse 
Funktionen von x, bKo von dxj, dxi,--- unabhängig; d.h. 
für jeden Werth x ist die rechte Seite obiger Gleichung eine 
Summe von Produkten der variabeln Zahlgrössen dxj, dx;,- • ■ 
mit Grössen, welche bei unverändertem x fich nicht ändern; 
alTo muss auch die linke Seite von gleicher Form, und müssen 
die entsprechenden Koefficienten gleich fein, d, h, es ist 

f'xej = ^1 fx , f'xcj =^ iJj fx , ■ ■ ■ 
und f'x ist als derjenige Ausdruck bestimmt, welcher, mit 
e,, e^,--- einzeln multiplicirt, beziehlich die Werthe d'ifx, 
djfx,--- liefert, d. li. (nach 377) es ist 

Ci, Cj,- ■ • 
A m H 
C f d 



1 h d Dff t 


a 1 <ctennven 


dp li D ff Iq 


t t 1 Z hlgröBsen 


Wh d 434 d Dff 


1 d t f en Funk- 


r re 1 Z ! If kt 


ü kg 1 h t war, wo- 


R d kt d h 


r t 6 genomme- 


Ifl t f 


F kt die nach 


mm Dff Iq t 


Z hl nktioiien 



y Google 



303 (*»» 

439, Wenn z eine beliebige endliche Grösse, welchu 
mit X von gleicher Gallung ist, und q wie bisher eine reelle 
Zahlgrössc bezeichnet, fo ist 

f(x + qz) = fx -f- qCzf'x -)- N), 
wo N mit q nuU wird (und vorausgefelzl ist, dass d^fx stetig 
ist). 

Beweis. Es ist für jede endliche Grösse dx, welche 
mit X von gleicher Gattung ist, (nacli 430) 

f(x + qdx) = fx + qtdx fx + N) , 
wo N mit q null wird. Es ist aber dann (nach 435) djfx 
= dx-f'x, alfo 

r(x + qdx) = fx -f q(dx - f'x -f N) ; 
da aber z nach der Vorausfelzung diefelbe Bedeutung hat wie 
dx, fo können wir auch jenes für diefes letzen und erhalten 
die zu erweifende Gleichung. 

440. Es ist 

dfy = f'y-dy = /yfy(iy = d,fy 

auch dann, wenn y wieder Funktion einer beliebigen Grösse 
ist, auf weiche fich die durch das vorgel'etzte Zeichen d dar- 
gestellte Differenziation bezieht (vorausgefetzt, dass dy und 
dfy stetig find). 

Beweis. Es beziehe fich die Differenziation auf x und 
fei y c= gix, fu ist (nach 430) 

(*) y(x-}-qdx) = y + q(dy +N), 
wo N mit q null wird und 



^ fy+q[(dr+«)ry + «1- iy^,^0j [439], 

WO H' mit q null wird, 

= f'y(dy + N) -H N' für q — , 
da nun N und N' mit q null werden, fo wird (nach 42t) auch 
f'yN -j- N' mit q null, und alfo ist 
dfy = f'y dy. 



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44») 303 

441. Wenn x und y :^ fx aus den n ursprünglichen 
F.inlieiten e,, ei,---e„ numerisch ableitbar find, und 
X ^:. Xjei -(- XjCj +■ ■ • + X„B„ 

isl, und dxy stelig ist, fo ist der Potenzwerlh des Quolieiiten 



dx 



y gleich der Funlttionaldeterminiinte von yi, yj,--- nach 

Xi , X2,---, d.h. gleicli der Determinante, welche aus den 
partiellen Differenzialquotienlen der Funktionen y, , y^ , ■ ■ ' 
nach den Variahein x, , x,,--- gebildet wird, d. h. 



lN-[a" = l= 



dxi" dx,'' dx, 



■ rfv ^'" 



wo für jeden Index r von i bis n, das Zeichen —~ ''*'" P^^" 

tiellen Diirerenzialquolienlen bezeichnet, welcher nach x^ fo 
genommen ist, dass alle übrigen unter den Variabein Xi,- ■ -x^ 
(ausser xj hei der DüFerenziation als konstant geTetzl lind. 

Beweis. Es ist, wenn das Zeichen - - der Kürze wegen 

durch J, orfetzt wird, (nach 438) 



alfo (nach 383) der Potenzwertb 








[f'xr=[J,yrf,y-- J„y]. 








Aber da y = e,yi + e^y^ -{ 


ist 


, ro 


ist (nach 434) 


^jy ^ejd'iy, + eiS,Y2 H , a'f« 








[f'xp ^ [fe.^iy^ + eAl2 + ■ " OCd^; 


lYi 


+ 02^ 


.y.4---0--- 


(ei-^^yi -h e 


■A 


,y. +■ 


■•■)] 


=^Z+'<Jiyr^2yj ^«Yu 






[63], 


indem nämlich [ ] ( h 4 








AüKi. DerBg 






on J^cobi 


in Crelle's Jouni B p ff 






:de, tritt 


Wer als Potenaw F k 






ihren Be- 


deutang hervor; g 






fich aua 


dieCer Bedeutang 






ing daher 


dem Leier. 









432. Wenn u eine beliebige Funktion der veränder- 
lichen Grössen x, y, ■■■* isl, fo ist 



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dx ' dy ■" ' 

^=diU + djU -\ — ■, 

wo -;-, -t— , ■ ■ die zu dem Verein der Veränderlichen x, v. ■ ■ • 
dx rty' ' " 

gehörigen partiellen Differeiizialquotienten und dx, dy,--- in 

demfelben Sinne die partiellen Differenzialo bezeichnen (und 

die letzteren als stetig vorausgefetzt l'ind). 

Beweis. Ks fei x aus Teinen normalen Einheiten durch 

die veränderlichen Zahjgrössen Xj, Xj,. ■ -, eberifo y aus feinen 

normalen Einheiten durch die veränderlichen Zahlgrössen y,, 

Ya,--' ableitbar u. f. w. Man bilde nun ein neues System 

normaler Einheilen e, , Cj,- ■ ■, fi, fa, ■ ■ -, ■ • -i «nd fetze v ^^ 

XiOi -f Xjej -f. ■ ■ -j-yit"i -j- y^r, -j- . - - -!-■■•, fo wird u (nach 

352) eine Funktion der einzigen Variabcin v und man erhält 

(nach 437} 

dvU =; -r— u dx. + -;— uox, -)-.■■ 4- -r— u-dy, 
Qx, dXä oyi 

+ 4u.dy.+.. .+■■., 

WO -7— u, f. w. fich auf den Verein der Variabein x, , x, , - ■ 
dX[ i> i' 

yi> y2j---! •■■ beziehen. Da u eine Funktion von v ist, fo 
können wir (nach 439) statt d„u auch du schreiben. Ferner 
ist, wenn man y, z, ■ ■ ■, d. h, Yi, Yi,- ■ ■ 2,j,z.2,- • •, ■ ■ ■ kon- 
stant felzt (nach 437) 
<■ 1 __ *ä 

—. — U ' OX n r — - u - vjAi -r- —, l 

dx dxi dXä 



dx 



Alfo 
(Iu = 



; höherer Ordnung. 
343. Erklärung. Wenn u eine beiiebige Funktion 
und <J und d", zwei l)eliebiy;e DifTerenzKeichon (dx,q, d).,q) 



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*4*) 305 

oder Differenzialzeiclien [dv, dy) find, bei denen fich jedoch 
die DilTerenziation auf ein und denfelben Verein von Variabeln 
bezieht, deren DiUTerenziale bei jeder DifTerenziation konstant 
gefetzt werden, fu verstehe ich unter iji^iu den Ausdruck 
^(J^u), und nenne iSi in diefem Sinne ein Produkt von Dif- 
ferenzzeichen; und halte diefe Bestimmung auch dann noch 
fest, wenn ä^ ein Produkt von DifTerenzzeichen ist, d. h. 
ich fetze 

Säi» = J(rfiu} 

(Jdjdju = 6(6,3^11) = ^((fiCdaU)) 

U, f. w., 
wo ä, äj, iJj,'- fich auf denfelben Verein von Variabein be- 
ziehen, deren Dilferenziale konstant gefetzt werden. 

344. Erklärung. Wenn d ein beliebiges Differenz- 
zeichen (d,,ql ist, fo fetze ich 

^''u = u 

^-l-'u = Wu, 
letzteres jedoch nur, wenn n -f 1 eine ganze pofitive Zahl ist. 
Anm. Es ISsst fich auch dem negativen Exponenten eioe Be- 
deutung beilegen, waa Jedoch erst in der Integralrechuung klar wer- 
den kann. 

443. Es ist 

(a) d,,qd,,qf(x,y) 

^ ltx-|-qdx,y-i-q d y) — f( x-fqdx,y)— f(x, y-hqdy3+fx 

auch wenn f(x,y) noch aiiilcre Veränderlicbe enthält, welche 
aber alle bei der Dilferenziation konstant gefetzt werden, und 
ebenfo ist 

(b) di,qdj,^qU = dj.,qd,i,qU. 

Beweis. Es ist (nach 443) 
=dx,q['ly,.fCx,yj] 

=4,, !I^y±.<idy)-ft^'l} 1435] 

und dies nach dcmfelben Salze 

^ f(x +qdx,y+qJy)-fCx +qd «,;)-f(» , y+dy ) + ((x,y1. 



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306 (44« 

Alfo Formel a erwiefen. Aber aus diefer Formel foj^l 
fogleich, dass dj'.qdi.qtix, y) denFelben Ausdruck liefert, wie 
t'i,qily,ql'Cx, y), alfo aiicli Formel b erwiefen, 

Arnn. Man. hätte aucli das zu j' gehörige q von dem an x goliö- 
rigen verseliiedisn fetzen and jcaes etwa mit qi beieiolinen können, 
fo wären die Formeln noch bestehen geblieben, eine Versll gemeine- 
ruiig, die jedoch ohne befonderen Nutzen ist. 

3^6. Die Ordnung der aufeinander folgenden Differenz- 
zciclien (d^^q u. f. w.), unter denen die Differenzialzelchen 
mit einbegriffen Hnd, ist gleichgültig für das Refultat. 

Beweis. Denn nach 445b lassen fich je zwei auf ein- 
ander folgende Differenzzeichen vertauschen. 

JifLI. Wenn ein höheres Differenzial stetig ist, fo find 
auch die niederen DifTerenziale, durch deren fortschreitende 
Differenzialion jenes entstanden ist, stetig. 

Beweis. Es fei u ein beliebiges Difrerenzial, und fei 
diU stelig. Es »ird u im Allgemeinen eine Funklion der 
Variabein x, ^, und ihrer Differcnziale fein. Allein da bei 
der Differenziation nach x alte übrigen Variabein und fämmt- 
liche DilferenziaJe als konstante behandelt werden, fu genügt 
es für diefe Diiterenziation, u als blosse Funktion von x zu 
betrachten. Es fei in diefem Sinne u=fx, fo Ist 

Du nun d^u stetig ist, fo muss der in Klammer geschlossene 
Bruch um q^=0 nach einer bestimmten endlichen Gränze 
konvergiren, die es in q^:0 erreicht, alfo muss mit dem 
Nenner (q) auch der Zähler null werden, d. h. I'(x -f- qdx) 
^ fx muss mit q null werden, d. h. (nach 425) fx ist in x 
stelig, alfo auch u. Durch Fortfetzung diefer Schlussweife 
gelangt man zu dem allgemeinen Befultate des Salzes. 

448. Es ist, wenn A einen Ausdruck mit n Lücken 
von der Gattung x bezeichnet, 

d^C^x") = _' ^ ^x°^'"dx'°. 

Beweis 1. Der Satz gilt (nach 431) für m = l. 
3. Wenn nun der Satz für irgend einen Werth m gilt, 
Fo gilt er auch für ni -f 1; denn dann ist 



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ii^ + \Ax.''-) = 4:,(A^AK''') [448] 

Un— m)! J 

da nach iler Annahme der Beweis für den angenommeniSn 
Werlh m gilt; da nun (nacli 443) dx bei der DilTerenziation 
als konstant betrachtet werden MI, und es mit x von gleicher 

Gattung- ist, fo ist , -^.^dx" ein Ausdruck mit n^ — m 

Lnclfen, folglich erhalten wir (nach 431) den zuletzt gefun- 
denen Ausdruck 

(n — m)! 

--^x''-"'--'dx'"-l', 



(n— m— 1)! 

A. h. der Satz gilt dann auch, wenn man m + ^ statt m fetzt; 
da er nun (nach Bew. 1) für ni=:l gilt, fo gilt er auch für 
m = 2, und weil für m = 2, fo auch für m = 3, alfo für 
alle pofiliven Werthe. 

349. Wenn e, , ej,-- die normalen Einheiten von 
x = x,ei 4- x,ej -f-- ■ find, und Ji, ^2-- ■ ■ '''^ zu dem Ver- 
eine der Veränderlichen x,, Xj,--- gehörigen partiellen Dif- 
ferenziaiquotienten nach Xi, Xj,--- bezeichnen, fo ist (vor- 
ausgefetzt, dass d^u stetig fei) 

<'°i' ^ .^«^o'^t ■ ■ ■ -u-dxo-dxi ■ ■ ■, 
wo die Anzahl der Faktoren dx^dx^---- in jedem Gliede tl 
ist, und die Summe fich auf alle unter diefer Bedingung 
möglichen ganzen pofitiven Werthe a, &,■■■ bezieht. 

Beweis. Nach 437 ist 
djU = ^d'„u-dxa. 
Üifferenzirt man noch einmal nach x, fo ist, da bei diefer 
Differenziation (nach 443) dx, alfo auch dx,, dx,,-- konstant 
zu fetzen find, (nach 437) 

d^u = X'*b'J-U'dx7di^"^ Xrfd'^r«"-"d^d!tr [446] 
u. r. w. 

330, Erklärung. Unter ^ — fx oder unler f'"Jx ver- 
" dx" 

verstehe ich (vorausgefetzt ^ dtiss il^fx stetig ist) den Aus- 



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308 (*»« 

(tnick, welcher mit dx" multipltcirl, was auch <ix für eine 
mit X ^leichgattige Grösse fein mag, d^Jfx liefert. 

431, Wenn d^fx stetig ist, fo ist f'"^x derjenige Aus- 
druck mit je n Lucken (in jedem Glicdo), welcher die Eigen- 
sehaTt hat, dass 

(a) f<'')xCe^e^--) = *A fx 

ist, für jede Reihe von n Indices r, s, ■ ■ ■, wobei die Bedeu- 
tung von ej, ej,'--, d',, ^i,---, diefelbe ist, wie in 449, 

Beweis. Nach 450 ist zu zeigen, dass allemal P^'x-dx" 
^=d°fx ist, wenn f'^'x der Gleichung (a) genügt. Es ist dann 
((-»xdx" = fc^'xCeidx, + eidx, ^ )" 



nach dem 
nach 45) 


allgeme 

Erkli 

lion derft 

anler -^- 


inen polynoni 


!,e7^--->Mx6--- 
lischen Lehrfatze 


(oder auch 


432 

eine Funki 

= n ist, 1 


= 2^^A fx-ds„dx6'-- [a] 

= d°fx [449]. 
irung. Wenn x, y,--- Zahlgrössen und u 

jlbenist, fo vorstehe ich, wenn a + b -f-- ■ ■ 

■ ■ -u den Ausdruck 

«dyb.. . 

dMb-...u 



wo lieh die DiiTerenziationen auf den Verein der Var'abeln 
X, y,--' beziehen, und dx, dy \on Null verschieden an 

genommen lind 

Anra, Die partiellen Diff(.iPnz alquotienti-n lieh \(,rachie(lPEen 
extenfiten Variabein k innen fast Überali entbehit werden da man 
mehrere extenfive Vanabeln stets auf eine einz ge zurucktiihreii kann 
(nach 353). 

493. Wenn y noch wieder Funktion einer beliebigen 
Veränderlichen ist, fo i*.! (die Stetigkeit der vorkommenden 
Differenziale vorausgefetzt) 



n *-* — ^ 



r! \a! b! y 
Wie in der gewöhnlichen Anaiylls, 



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g. 1. Die nnendlichen Reihen im Allgemeinen. 

a3a. Erklärung. Eine Reihe u„ + u^ + u, ^ 

lieissl acht, wenn fich eine poniive Zahl T>1 finden lässt 
von der Art, dass u«, UjT, UjT',--- bis ins Unendliche hin 
endlich bleiben, d. h. dass fie numerisch kleiner bleiben als 
eine gewisse endliche Grösse M, fo dass alfu 

Urf num. < M 
bleibt für jeden Index r. 

499- Zufatz. Setzen wir -^ = t, fo können wir die 

Bedingung der Aechtheil auch fo ausdrücken, dass fich zwei 
pofitive Zahlen t «ml M, von denen Kl ist, linden lassen, 
fo dass stets 

u^: t' num. ■< M 
bleibe. 

il96. Jede ächte Reihe ist konvergent. 
Beweis. Es fei R = Uo + «i + Us +■ ■ ■ "^ine ächte 
Reihe, fo giebt es [nach 455) eine pofitive Zahl -< 1 von der 
Art, dass, für jeden Index r, u, : f, was wir mit a^ bezeichnen 
wollen, numerisch kleiner als eine gewisse endliche Cpofitive} 
Zahl M fei; dann wird 

R — Bo -f a,t + 3^1= H , wo a, num. -^ M. 

Der Rest p„ diefer Reihe von dem Gliede aj," an ist 

e„ = a^l'' + a„.^t"M-i-.--. 
Nun ist «r num. < M, apf num. < Mt', ajfo (nach 418} 

p„ num. <: Mf + ftlft* -j 

num. -^MfCl + t 4- 1= -^ ) 

num. -< «'T~^\- 
Nun lässt Hch hier n fo gross wählen, dass ^„ num. kleiner 
wird als eine beliebig gegebene pofitive Grösse k, und auch 
bleibt, wenn n noch wächst; dies wird nämlich erfüllt, wenn 



'«■k(i^ 



,--G0 



y Google 



MO C*»« 

ist. Da aKo der Rest po "li' waohfendom n nacli Null zü kon- 

vergirt, fo ist die Reihe konvergent. 

Anm. Um die Beiietiung zwischen ächten, unächten, konver- 
genten und divei^enten Reihen nocli anschauliclier hervortreten zu 
lassen, will ich hier noch die unächten Reihen berühren. Wenn die 
fitramtlichen Glieder einer unüchtcn Reihe endlich bleiben , d. h. nume- 
risch kleiner bleiben als eine endliche pofitive Zahl H, (o will ich 
diefe Reihe eine Uebergangsreilie nennen, wenn dagegen die 
Glieder einer Reihe unendlich werden, d, h. wenn es za jeder pofitiven 
Zahl M Glieder der Reihe giebt, welche noch grösser als M find, fo 
mag eine folche Reihe eine abfiirde lieissen. So z. B. ist die Reihe 
' + i'^ + ä'*+' ■ ' ■ *i"S ächte, wenn der numerische Werth der Zahl- 
gröflse t kleiner als 1 ist; fie wird eine Uebergangsreihe , wenn t nume- 
risch gleich 1 wird, und zwar eine divergente Uebergangsreihe, wenn 
t=l, eine konvergente, wenn t=: — 1 ist; fie wird abCiird, wenn 
t num. ::=■ 1 wird. Eine folche abfiirde Reihe ist stets zu. verwerfen. 
Hingegen hat die Uebergangsreihe mit der ächten noch das gemein, 
dass fie den Werth der Funktion, welche durch die RcÜie dargestellt 
werden foll, wirklich ausdrückt, gleichviel ob fie konvergirt oder 
divergirt. Im letzteren Falle zeigt fie, falls fie fich dem Unendlichen 
n&hert, dass für diefon Fall in der That die Funktion unendlich wird ; 
fo z. B. ist die obige Reihe bekanntlich die R*ihe für —log (1 — t), 
diefe Funktion wird mit t^l unendlich, ebenfo wie die Reihe t -{- 
Jt"-f ät»+--; und diefe stellt lifo auch fdr diefeu Fall noch den 
Werth jener Funktion dar Uder um ein einfacheres Beispiel au 
wühlen, die Rtihe 1 + t + t' -}- "ird für t — ^1 eine Uebeigangs 
reihe; und zwar nimmt fie für t = I, entsprethend der Funktion 

, deren Entwickelung fn, darstellt, unendhchen Worth an 

Wenn hingegen die divergente Uebergangsreihe fich keinem unend 
liehen Werthe annähert, fondern stets, wie weit man fie auch ver 
lolge zw hen lerschiedenen Werthen hin und her schwankt, wit 
zBdeRelel + t + t^-f bei dem Werthe t^~l, fo lasst 
I h denno h hi Werth ans der ttr^nze bestimmen , nach welcher jene 
Re he konverg rt, wenn man t zuerst kleinei als 1 fetzt und fn,h dann 
t der 1 unbegrSnzt annähern l'isst Aber alle diefe l'ebeigangsreihen, 
felbst wenn f e konvergiren, dürfen niii mit^oificht angewandt wer 
d da d c Rethnungsgefetzp Ichtei Reihen a if fie nuht mehi an 
endba Tnd 

'l'it Wenn a tine beliebige Gross-e. b, c, aber 

Zahlgrossen find, lo ist der numerische Werth (pj des Pro- 
duktes (abc ) dierer Grossen, gleich dem Produkte ihrer 
numerischen Werthe [^a, ß, /, - -); d. h. 
Q^aßy-. 



yGoosle 



45»^ 



311 



; i. Für zwei Grössen. Es foien Ci, Cj,--- die 
iej , ■ ■ - (i =7^— 1) Jle imag'inäreii Einheiten von 
= ^CLa% + '»"aea! WO die «„ uiid >•„ alle reell find 

= 3^ -\-eK Ferner ist 

ab =^i3ai, — «/Je^ -f- i^äy^ + eaa)^«! »Ifo 



Bewe 
reellen, ie, 
a und fei a 
und fei b = tf -]- ei, Tu ist (nacli 414) «■ 



;^^ ^S'al 



alfü, 



, da Q, a, ß polltiv find, 

e^CjS, d.h. abnum.^^ajS. 
2. Da nun (nach Bew. 1) ab iiuni. =^ aß ist, fo 
fich (nach Bew. 1) abcnum. = ajS}' n. f. w. 

^S8. Wenn a und ai beliebige Grössen, b, c, 
c,,-'- aber Zahigrössen find und 

anum. < ai, b num. -< b^, c nuni, ^' c,,- ■ ■ 
find, fo ist auch 

abc ■ ■ ■ nuin. •< aib^Ci ■ ■ ■ . 
Beweis. Denn es feien a, ß, y, ■ ■ ■ , di, ßx, yi, 
ziehlich die numerischen Werthe von a, b, c,- ■ ■, ai, b|, Ci,- 
fo ist (nach 457) aßy--- der numerische Werth von abc 
und OißiYi- ■ • der von aibiCi- ■ ■. Da aber a, ß, y,- ■•, et,, 
ßi) Yw " pofitive Zahlen find und a < c,, ß < ßi, y^Yn' 
ist, fo ist auch aßy- • • ^^a^ßiYi- ■, d, h. abc- ■ ■ num,-=iaibiCi 

Anm. Diefe zwei Sätze, welche fystemati scher nach 419 ständen, 
find hier nachgeholt, um He im l'olgenden verwenden zu können. 

450, Wenn mehrere Reihen acht lind, fo ist auch ihre 
Vielfachenfunime acht, d. h. wenn 

il, = u, + u; + af> -i- u<äJ -I . 

R^ — u, 4- u; + uP') + uf^' H 



IJi, 



be- 



R„ = u„ 4- ul + uSf' + u!f' + ■ ■ ■ 
ächte Reihen find, und a,, «ar'-ttn beliebige endliche Zahl- 
grössen lind, i'o ist auch die Heihe 

R=u + ii' + ui*'+ui»>+---, 
wo für jede« Zeiger s 



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3i2 (*•« 

uW ^= aiuf> -L Will','' 4- ■ ■ - aniijf' 
ist, eine ächte Reiiie. 

Beweis. Ba Bi eine iiclite Reilio ist, l'o gielit es iiiacli 
454) zwei pofitive Zahlen 'l\ und M,, vun denen die erstere 
> i ist, von der Art, dass für jeden Zeiger s 

u'^'T, num, ■^' Mi 
Tei, Ebenfo lassen Hch für die ührig-en Reihen R^,- ■ ■ ßu folche 
poHtiven Zahlenpaare T^, Mj,--- Tn, M„ finden, von denen 
die erste jedes Zahlenpaares >■ i, und fo, dass 

u'/^Ta num, < Mj,- • - nWT„ num, -< &!„ 
ist. Es fei T die kleinste der Zahlen Ti,---Tu, alfo noch 
T :^- 1 , fo bleibt 

u(''T num. < M,, ii<"T num, '=^Mj,- ■ n^''T num. '^~ Mn, 
alfo auch (nach 458), wenn ft, ■ ■ (S„ die numerischen Werlhe 
von Ol,- ■ ■ «n find, 

a,uWT num. ^. ß^Mi, , a„u<f>T num. < ^„M„; 

folglich, da die rechten Seiten diefer Vergleichung poriliv find, 
fo ist (nach 418) 

(tiufT-f .■-• -f- ß^u'^'T num. <;j5iiV!, -f- ■ ■ -f Ml„, 
d. h. 

u'**T num, < M , 
wenn ^iMj -(-■■■ ßußi^a '"'' ^'' bezeichnet ist; folglich ist die 
Reihe R (nach 454) eine achte. 



§, 2, Sie Keihen als Funktionen einer Zahlgrösse. 

^60. Der nach der Zahlgrösse x genommene DilTerenzial- 
quotient einer ächten Reihe R^=at, -f- aiX + aaX^4- ■ - ■ =^,a„x'' 
ist wieder eine ächte Reihe. 

Beweis 1. Da R eine ächte Reihe ist, fo müssen fieh 
(nach 455) zwei pof. Grössen t und M, von denen die erste 
-c 1 ist, linden lassen, Fo dass für jedes r 

~:- num, < M 

ist. Nun fei t eine pofitive Zalil zwischen t und 1, d, li. 
T>t aber '-- 1, fo zeige ich, dass alle Glieder der Reihe 



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die Eigenschaft haben, dass für jeden Index r bis ins UnenJ- 
liclie hin der Ausdruck -^. — endlich fei. In der Tlial ist 



Der zweite Faktor ist (nach HypothO numerisch kleiner als 
M, alfo (nach 459) der ganze Ausdruck 

nuin. -< -^Mj, 
wenn wir der Kürze wegen den numerischen Werth von M : x 

mit Ml bezeichnen. Nun fei n -* -, was stets maglicii ist, 

da t grösser als t, alfo t — t ungleich null ist. Dann wird 
n > (n + 1) — , oder, indem wir mit -^ multipliciren, 

— -- (" + J)t°l"^ 



aus gleichem Grunde 
(n + J)t°H .^ (n + 2)f +^ ^ 

T°-l-» i"+-i ■■'■■ 

Nun werden aber die Ausdrücke 
t_ 21_^ nl" 

da ihre Anzahl endlich ist, und fie alle endliche Wertho haben, 
kleiner fein als eine gewisse pofitive endliche Grösse; diefe 

iieisse ni. Da nun alle Ausdrücke ~ für jedes r, was grösser 
als n ist, wie eben bewiefen, kleiner als -^ find, und dies 

letztere *- m ist, fe werden alle jene Ausdrücke für jeden 
Werth von r kleiner als m fein, alfo auch 

VMi -<^ mM,. 

Hier ist m eine endliche Grösse, aber auch M, , wenn 
nicht elwa X gleich null ist, alfo auch mM, endlich, alfo auch 

-~^ — numerisch kleiner als eine endliche Grosse, d. h. die 



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lull, tiass X 5 ist, 

Wenn aber x =^ ist, fo ist — R = a,, alfo gewiss eine 
ächte Reihe. 

■ "■■■! -7-11 

ax 

weis 1^ aucli dessen Differenzialquütient nacli x, d. h. -t— Jl 
eine ächte Reihe u. f. w. 

461- Wenn eine Reihe aj -|- a,x -{- a^x^ + ■ ■ - für irgend 
einen Werth x' der Zahlgrösse x acht ist, fo ist Tie es nucli 
für jeden Werth der numerisch gleich oder kleiner als x' ist. 

Beweis. Denn wenn die Reihe für x = x' acht ist, lu 
müssen i'ich (nach 454^ zwei pofitive Werthe T und M, von 
denen der erste ■> 1 ist, angeben lassen, lo diiss für jedes r 

a,x"T' < M 
ist. Dann ist aber, wenn xnum. = -^x' ist, 

a^'T nura. = ■< a,x"'T'' [458] 

num. < Mj, 
d h die Reihe »o 4- ai\ -|- d x^ -|- ist dinn luth luil 

ächte (mch 454) 

Anm La tolgt lueiaus fogleicti (nach JbU) iibs auih du, i acli 
X genommenea Ditlereiwialquotienlcn jener Reihe für jedes x was 
uumensch gluich oder klemei als x ist ichte Reihen, alfu auch üteti^ 
fein müssen Daroua folgt auch unigekehit dass nenn eine Funktion 
i\ iai irgend einen Werth ^on i. der numcnich klunir als x ist 
ficli in einer achten Reihe foH entwickeln lassen nothwtndigiv uni 
leine Differentiale lür jeden \\etth der numerifach gleich oder kleinci 
als X ist auch stetig fein u ua^en Und ei kommt daiaat an ob 
diefe Bedingung der Stetigkeit aiiieichtnd dafür ist, dasa fiih fx in 
einer teilten Reihe entwickeln lasse Zu dem Ende konimt es darauf 
nn fx fm die verschiedenen numenach gleichen 'Vi erthe zu betrachten, 
namentlich füi eine Reihe foicher Weithe von denen jedei folgende 
»US dem vorhergehenden durch gleiche cifLulare Aenüeiiing herior 
geht Nun hat Lauchy nachgewiefen dass, wenn fx stetig ist das 
arithmetische Mittel aller Wcrthc, welche tx erhalt, indem x fort- 
schreitend einer konstanten circulüren Aenderung unterworfen wird, 
bis X wieder zu. dem ursprünglichen Werthe zurückkehrt, ein Aus- 
druck ist, wclfiliiir stets nach einer konstanten (von x unabhängigen) 



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le«) 315 

GrunzG koincr^iit fibild der Winkel Iti tirculiren A nlirng \ i 
EchvnndenO kluii »iriä Er hat aui dielcm Sitze luf <,iio ft^lir finii 
ruclie Weife die Bedingung abgeleitet, untet welcher enic Funktion 
fx Sich. In einer konvergenten (genauer in einer iclilcn) Reihe cnt 
wickeln l&sst, worilber Moigno Lejone de calcul difforcnticl Tom 1 
p ISOss sn vergleichen lat Di.r Gang der folgenden Entwickclnng 
list im wefenthclien derCelbe wie er in dem angefühlten Werke ge 
wählt lEt, doch ist hier die Betrachtung verallgemeinert, in fofern Ix 
»Is extenfiTB brdsse betiachtet wird, wahrend *. reibst eine Zalil 
grösee bleibt 

^0*2 Lehrfatz und Erklärung Wenn fx stetig ist 
für leiie Zahlgrosse x, deren numerisclicr Werth zwischen 
den Gränzen a und b liegt, und & eine ii-te Wurzel der ab- 

foluten Einheit und zwar 0=cos. h ' ''"■ — 'St, fo kon- 

n n ' 

vergirt der Ausdruck 



mit unendlich wachlendem n nach einer konstanten (von x 
unabhängigen} Granze. Diefe konstante Gränze fei das zu 
jenem Stetigkeilsgebiete gchörendu konstante Glied der 
Funktion fx genannt und mit C(fx) bezeichnet. 

Beweis des LehrTatzes. Da fx stelig ist, fo ist 
(nach 439) 

fCx -i- q) — fx =^ qCfx -1- JS), 
wo N mit q null wird. Da nun 0° numerisch gleicli 1 ist, 
l'o ist xö" numeriscii =x, alfo auch f'Cx®") stelig. Setzt man 
nun in die obige Gleichung x®" stall x, und q ^^xÖ^fÖ— 1); 
fo verwandelt fleh x -J- q in x©"-'^ und wir erhalten, wenn 
wir noch dem iV den Zeiger a beifügen, 

f(x©-+i) — fCx0») = x&'ie — l)[fCx0O -f- JVJ. 

Nun ist, wenn wir ~ mit rf bezeichnen, .ffCx©") = ©"f'Cx®") 
(nach 440); alfo wird 

indem wir statt O'Na, welches mit JN'a numerisch gleich ist, 
atfo, eben fo wie dies, mit q zugleich nidl wird, JV'a geschrie- 
ben haben. 



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316 (4«3 

Gehen wir nun zum aritlimetischen Mittel über, fii wirrf, 
wenn die folgenden Summen von a = 1 bis n genommen 
werden, 

Die linke Seite ist null; denn die dort erscheinende Summe 
ist gleich 

rCx0° i-'J -f rCx®") -h h f(x0^) — fCxÖ») f[x©^) 

— f(x03, alfo = fCx0''+-') — {(k&) = 0, 
ila ©"^^l, alle x0''l* = x0 ist. Somit erhalten wir 

/ . 11 n'^ 

Aber — ^A"a ist das arithmetische Mitlei der Grossen 

N\, JV'a,'-', ist alfo, wie gross auch n fei, numerisch klei- 
ner als der grösste numerische Werlh diefer Grössen, den 
wir mit JV' bezeichnen wollen. Wenn nun n unendlich wird, 

fo konvergirt @^=cos. — ^-ifin. — nach 1, alfo & — i nach 0, 

aifo kunvergirl auch ii=^x&''{& — 1), was mit xf© - O nu- 
merisch gleich ist, nach 0, alfo auch N'i, JV'^,---, alfo auch 

/ - n 
kleiner ist als der von JV'. Setzen wir die Gränze, nach 



tll'o auch <S / , da fein numerischer Werlh noch 



welcher y konvergirt =(px, fo haben wir alfo 

tfyx = 0, d.h. gDX = Consl. 
Aain. Ich habe hier den Satz, daas, wenn daa Differenzial einer 
Funktion null bleibt, die Funktion konstant fei, als bekannt yoraus- 
gefetzt, um hier nicht die Ent Wickelung zu unterbreLlicn Der Buieis 
dieles Satzes ist im Eingange des folgenden Kapitels ^dei Integial- 
rechnung) nachgeholt, und »war ohne dass in diefem Beweif« auf 
irgend einen Satz des gegenwärtigen Kapitels zurückgegangen Xei 

463. Das konstante Glied einer Vielfachenlumme von 

Funktionen (deren erste abgeleitete Funktionen &tettg find), ist 

die entsprechende Viel fach enfumme aus den konstanten Gliedern 

der Funktionen, d.h. (wenn i\x, i^x,-- stetig find, in ist) 

C[aJ^x -)-ß2l'2X + -.] = aiCCf|X) -[ ajCCt^v^-f- . 



yGoosle 



4S4> 3i7 

Bewe'is. Wenn diefelbc Bedeutung wie in 462 hnl, 
fü ist CCI'ix) ilie Gränze, nach welcher — ,Ajt'|fx@°) mit iin- 

endlichem n knnvergirt, i]. h. es verschwindet — X^fiCx©") 

— C(f.x) mit — , ebenfi. --^iaCx®») ^ Ctf^x) ii, f. w., alfo 
(nach 43i) auch ihre Violfachenfumme, d. h. 

— Xait-.Cx®") h«2f2Cx©°3H «iCtfix;) - «aCCfjx) , 

(1. h. es konverg-irt 



— XßiUx©") -f- a,fjtx©« j"-f ■"""■" 



nach OjCtfix) + «jCCfax) -f--'-'- '^'"^'' die Gränze, nacli 
welcher jener Ausdruck konvergirl, ist (nach 463) mit 
C(aif,x -f a^rjx 4-- bezeichnet, alfo 

CCaJiX 'I- OifaX +■ -O^ßiCCfix) H- «aCCfäX) -f ■ - -. 
464. Wenn m eine ganze Zahl, aber ungleich nuü ist, 
fo ist 

Beweis. CCx") ist (nach 463} die Gränze, nach welcher 
— ^(xQ")"" mit unendlich wachfendem n knnvergirt. Es ist 

aber — ^(x0''y"^= — ^&"^. Nehmen wir n fo gross an^ 

dass m nuni, -< n ist, und fetzen ^©"""^rs, fo ist 
s = ©™ + 0^-" H + @n™ 

s = 1 -f ©"' + 0^ H + ©c-i)™, 

weil 0'""=\ ist. Es geht aber der obere Ausdruck aus dem 
unteren durch Multiplikation mit ©" hervor; alfo haben wir 

s&"- = s, A. h. s(l — 0°') = O. 

alfo ©■" 



ist ©""^l, alfo füigt aus der Gleichung s(l — &'"') = 0, liass 



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s gleich null ist, alFo aticli — ^©"'»^O, d. !i. ^Z"tx0"3'"--O, 

fübald n > m ist, nlTo itie Gränze, nach welcher (liefer Aus- 
(Inick mit unendlich wachferidem n konvergirl, 0, d. h.C(x'");^0. 
Anm. In diefen SHtien liegt der Grund der obigen Benennung, 
indem, wenn fs eine beliebige (begrilnzte) Potenzreilie von^x mit 
ganzen pofitiven oder negativen Exponenten und dem konstanten 
GHede a ist, C(fx) gleicli diefem konstanton Gliode a ist. 

AG9. Wenn x niim. >- a ist, fo ist 

A — a 
Beweis. Es ist 

Alfo (nach 463) 

X— a ^ Lx'-'(x — a)J 

Nun ist das letzte Glied der rechten Seite (nach 462) nume- 
risch kleiner als der grössle der Ausdrücke , welche aus 

- _ — ■■ hervorgehen, indem man stall x beliebige mit x 

numerisch gleiche Werihe fetzt. Der grösste diefer Ausdrucke 
ist, wenn A und X die numerischen Werthe von a und x find, 



kann man r stets fo gross wählen, dass x^::i7x"_j;;y) ""'"' ^ ^ 
wird, und auch bleibt, wenn p noch wächst; alfo wird dann 
c[-^]_,„„„..:p, 

d. h numerisch kleiner als jede pofitivc Grösse, d. h. ^^0, alfo 

4«W. Wenn die zweite abgeleitete Funktion von fx stetig 
ist für jeden Zahlwerth x, der numerisch kleiner als x' ist, 
fo lässt fich fx in einer ächten, nach Potenzen von x auf- 
steigenden Reihe entwickeln. Und zwar, wenn z nuni. -" ■ x, 



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«•«) 319 

aber num. < x' ist und das Zeiclieii C (ich aiiT die Variable 
z beziebt, während x als konstant gefetzt wivd, fo ist 



-=i-^]=I-[^]. 



und wenn X und Z bezieblich die numerischen Wertlie von 
X und z find, und F der grösste der numerischen Wcrtlie ist, 
welche fz für die verschiedenen Werthe von z, welche nume- 
risch = Z find, aiiiiimint, fo ist jedes Glied der obigen Enl- 
wickelungsreihe von fx, und auch der Rest der Reihe numerisch 
kleiner als das entsprechende Glied und als der entsprechende 
Rest der nach Polenaen von X entwickelten Reihe 

Z X /^Z" 
Beweis, Es fei zunächst für z nur vorausgefetzt, dass 
es numerisch kleiner als x' fei, fo ist (nach Hyp.) f"z stetig, 
alfü (nach 447) auch fz und fz. Nun fei x als konstant be- 
trachtet, und nur z als variabel, und fei das konstante Glied 
der Funktion 

. z(fz — fxl 
* ÖJZ = -i 

' Z — X 

betrachtet; alfo zunächst die Stetigkeit von y'z unterfucht. Ks 

ist zuerst für z = x der Ausdruck (nach 429, wo 

z — X 

man nur dx ^: ) , und x -f- q ^^ z zu fetzen hat^ = fx :^ f z, 
alfo in diefem Fafle yz = zfz, alfo y'z in diefem Falle ^^ fz 
4-zf"z, alfo stetig, da fz und fz es find. Forner, wenn 
z^x, alfo z — x^O ist, fo ist 

fz — fx , zfz z(fz - fx) 
^^=T^-x +Z-X--CZ— iT'- 
Da nun fz, fx, z stetig find, und z — x ^ ist, fo ist 
auch in diefem Falle (p'z stetig; aUu g>'z fo lange stetig, als 
z num. -< x' ist. Somit bleibt G(_giz) (nach 462) von unver- 
ändertem Werthe, fo lange z num. -^ x' ist, aber für z={) 
wird (nach*) q>z gleichfalls null, foniit ist C(<fO) = 0, alfo 
auch C(^z), alfo erhalten wir die Gleichung 
rz(fz — fx)-| 



^'f^y 



0. 



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320 (i«» 

Nehmen wir jetzt z niiiiiCTiscli -^ x aber noch immer iiiini, 
< x' an, fo ist z — x?0 nnd es riniJ daher - — — nnd 

Z — X Z — X 

fo wie iiire Differenz iale nach z stelig, allb (nach 463) 

Aber C — = 1 (nach 465 , wo man nur z statt x , und 

z — X ^ ' ' 

X statt a zu schreiben hat"), folglich hat man 

Nun isl -?- = I + i + -J + • ■ + ^,' 1- -r,,"' V 
Z X z z z'^' z'~'lz — XJ 

«Ifo (nach 463) 



-\z - X)* 

Hier ist das letzte Glied (nach 462) numerisch kleiner 
als der numerisch grössle der Ausdrücke, die man erhält, wenn 

man in ^riT ~^ ^^'^^^ ^ ''"^ möglichen mit ihm nume- 
risch gleichen Werthe fetzt. Der grösste der numerischen 
Werllie, die dabei fz annimmt, ist oben mit F bezeichnet, die 
numerischen Werthe von z und x aber mit % und X; der 

numerisch grössle Werlh , den - - annehmen kann , ist 
^ ' z — X ' 

gleichem Grunde find die übrigen Glieder, vom ersten anfan- 
gend, numerisch kleiner als F, -^, ~fi-->' " "7t~i"J *''''^ '^'"'' 
aber die entsprechenden Glieder und ersteres der entsprechende 
liest der Reihe -^ — = ^^ F y ^. Uu nun endlich die letzt- 
genannte Reihe eine ächte ist, fo ist auch die Reihe für fx, 
da ihre Glieder numerisch noch kleiner find, als die Glieder 
diefer Reihe, eine ächte. 



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469) 321 

467. Der Taylor'sche und Maclaurin'sche Satz. Wenn 
("x stetig ist für jedes x, was numerisch kleiner als x' ist, f« 
ist in deiiiCellien Umfange 

fx - f(0) -h xf'(O) -I- -2-f"(0) + I -ffä'O + . . 



^I 



a! 
Denn dann lässt üch fx (nach 466} in einer 
Rtiilie entwickeln. Es fei iliefe Reihe 

(*) {K = X^^ 

fo ist 

p-J.x^ y ^ "' ,, a„x'-° [448], 

^_, Ca — n) ! 

ali'o {<">0 = n! s^, da iille übrigen Glieder null find, alfo 

" n! 
Dies in (*} eingefetzt giebt die zu erweifende Gleichung. 

Aum. Da f(a + s) als l''iinktioii von x bü trachtet werden kann, 
Xo ist es Uborflüesig, den Sota in awei Sätze (den Taylor'sclien und 
Maclaurin'achen) ku iiertrennen. 

g. 3, Eiitwickelung der Funktionen mehrerer Zahlgrössen oder 
Einer extensiven Grösse in Eeihen. 

46S. Lehrfatz und Erklärung (Erweiterung von 
462). Wenn fCx,, Xä,-—) eine. Funktion mehrerer veränder- 
licher Zahlgrössen x„ x,,- . - ist, und die zu diefeni Vereine ge- 
il 

0, 

j- [(Xi, xj, ■■-),■■ ■ allemal stetig find, fobald gleichzeitig der 

numerische Werth von Xi zwischen den Gränzen a, und hi , der 

von Xä zwischen den Gränzen »2 ^'"d 1»^ liegt u. f. w.; und wenn 

,,. , ^ 2?r , ... Stt „ 271 , ,,^ in 

endlich 01 = cos. h ''in. — , 0^ ^=cos, h ilin. — , - ■ -, 

n, Ui nj ' nj' ' 

fo konvergirl der Ausdruck 



yGoosle 



332 f4«8 

mit den irnbegränzt wachlenilen ganzen Zahlen ii,, nj,--- nach 
einer konstanten (von Xj, Xj,--- unabhängigen) Gränzo. Diefo 
konstante Gränzc fui das zu jenem Stetigkeitsgebiete gehijrende 
konstante Glied der Funktion f(Xi, Xj,- - ■) g^iiannt und mit 
C[r(Xi, Xs,---)] liezeichnel. Dann ist für 2 Variabeln 

C[r(x„ x,)] = C^iC,HXx„ x^)]), 
wo C5 lieh nur auf die Variable Xj bezieht (Xj als konstant 
gefetzt) und C, fich nur auf die Variable Xi bezielit (x^ a!s 
konstant gefetzt); und eiilsprecliend für melii' Variabelti. 

Beweis i (für 2 Variabein). Nacli der Bedeutung di^r 
Suminenbezeicbnung ist 



"illi ^—^ "l^w H] -. . 1. ^ !/' 

WO die innere Summe fich nur auf den Index b bezielil, die 
äussere nur auf den Index a. Lassen wir nun zunächst nj 
unbegränzt waclifun, fu konvergirt die innere Summe (nach 
462) nach einer von x^ unabbängigen Gränze, welche wir mit 
Cä[r(Xi05, Xa)j zn bezeiclinen haben. Diefe Gränze wird aifo 
nur noch eine Funkliou von x,&<^ fein, und fei diefelbe Jiiit 
<p(xi@'^) bezeichnet; fo ist die Gränze, nach welcher der obige 
Ausdruck mit unbegränzt wachfendem n^ kouvergirl, 

= lZ9'(xi0^); 

wächst nun auch Uj unbegränzt, fo konvergirt (nach 462) 
diefer Ausdruck uacb der auch von Xi unabiiängigen Gränze 
C,[gix,]. Nach diefer Gränze konvergirt alfo der ursprüng- 
liche Ausdruck, wenn in ihm fowohl nj als iij unl>egränzt 
wachfeu; d. h. es ist 

C[f(x„ X,)] = Gifyxi]. 
Aber es war (pix,&l) = C.,[iixi@l, xj] gelelzt, alfo ist (für 
= 0), ?'Xi = C2[f(Xi, Xj)]; alfo 

C[f(x„ x,)]=C,(Ca[f(x., X,)]). 
2, Diefelbe Schlussreihe lässl fich auf beliebig viele Ver- 
änderliche übertragen. 

Anm. Es versteht ficli von felbst, dass mnn auch n, =;iij =- • -, 
alfo aiicli ©I ^ ©1 = ■ ■ ■ fcUüu liann, ohne dass dci- öaU aufhört 
i'ictitig zu foin. 



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40». (Erweiterung von 466). Wenn f(Xi, Xj,- ■■) eine 
Funktion meljrerür verÄndcrlicIien Zalilgrössen x,, Xj,-— ist, 
und (lii! za dem Vereine diefer Veränderlichen 



parlielleii zweiten DJITerenzialquotienten -,~,f(Xi, x^,-"^, 

-r-.J(^Xi, Xj, •■■)>■■■ allemal stetig find, fobald g-leichzeitig Xi 

numerisch kleiner als x', , Xj numerisch kleiner als x'j ist 
u. r. w., fü lässt fich fCx,, Xj," ■ ■) in einer nach ganzen homo- 
genen Funktionen von x^, Xj, - ■ - aufsteigenden Bohlen Reihe 
entwickeln. Und zwar wenn fich das Zeichen C auf die Ver- 
änderlichen Zi, Za,--' bezieht, während Xi,X3-'- als konstant 
gol'elzt werden, fi> ist 

Ca3 f(xj, x^-O^cffCz,, z^,--)—- -' 1 



(!>) 



zIj Lz';, z\- ■ ■ J' 



und wenn Xj , Zj , Xj, Zj,--- beziehlich die numerischen 
Werthe von x^, Zj, Xj, Zj,.-- find, und F der grösste der 
numerischen Werthe ist, welche fCzj, z,,--.) für die ver- 
schiedenen Wertiio von z,, Zj, -■-, weiche beziehlich nume- 
risch = Zi, Z,, ■ ■ ■ find, annimmt, fo ist jedes Glied der obigen 
Entwickolungsreihe von f(Xi, x^,- • ■), fo wie auch jede Summe 
joner Glieder und namentlich der mit dem homogenen Gliede 
eines beliebigen (n-len) Grades beginnende Rest der Reihe 
numerisch kleiner als das entsprechende Glied, oder die ent- 
sprechende Summe oder der entsprechende Rest in der Reihe 



t\ 






Z, — Xi Zj— X, 
Beweis 1 (für 2 Veränderliche). Betrachten wir zu- 
nächst Xi als konstant, fo ist (nach 466) 

Der Ausdruck auf der rechton Seite ist nur noch eine 
Funktion von x, und x^; diefe Funktion fei mit ytx,, Xj) 

bezeichnet, fo ist (nach 466) 



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wo 0, rieh nur auf die Veränderliche z, bezieht. Solzen wir 
nun statt g'Czi, x,) feinen Werth, welcher aus der rechten 
Seite der obigen Gleichung (*) dadurch hervorgeht, dass man 
z, statt X, fetzt, fo erhalt man 

Da C; fich nur auf die Variahle Zj bezieht, alfo — - — 

in Bezug auf Cj als konstant g^efetzt wird, fo können wir 
(nach 463) auch das Zeichen Cj vor diefen Faktor fetzen und 
erhalten 

rCx„ ''2) = c,(c,^-^^.-^^^fCz„ z,:)]) 

= c\~^' -^--f(Zi,zol [nach468], 

Lz^ — Xi Z, - Xj ^ ^' '-^J 

alfo Formel (a) hewiel'en. Es kommt nun darauf an, hier den 
in Klammern geschlossenen Ausdruck, in welchem wir der 
Kurze wegen f statt f(Zi, Zj) schreiben wollen, in einer Reihe 
nach steigenden ganzen homogenen Funktionen von Xj und x^ 
zu entwickeln, und den zugehörigen Rest hinzuzufügen, Setzen 
wir Uo, Ui,-'-- Uu_t als die n ersten Glieder und r,, als den 
zugehörigen Rest diefer Reihe, alfo 

** _^i ?s f^u„ + Uj4--'- +«.-i+r„, 

Zi — Xi Zj Xj 

fo ist bekanntlich Uo = f , Ui = ( — + — V, und für jeden 
Index r 



•S** ,1 ^ > ^'•'^'^li, 



und r„ = — «n, 

Dann ist alfo 

fCxi, x,)=u„ -I- CCuO + CCus] + ■ ■ ■ C(u„_0 + CtrJ, 
Hier ist jedes Glied der rechten Seite (nach 462) nume- 
risch kleiner als der numerisch grösste der Ausdrücke, die 



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4«») 325 

man erhält, wenn man in die in Klammer geschlossene Funktion 
von Zi und z^ statt diefer Variabein alle möglichen mit ihnen 
numerisch gleichen Werthe fetzt. Der grösste der numerischen 
Werthe, die dabei f annimmt, ist oben mit F bezeichnet, die 
numerischen Werthe von z, und Zj, x^ und x^ mit Zj und 
Zi, X, und Xj. Folglich ist 

x"xH X;XtF 

"zizf ""■"■■" -zVzf' 
alfo da der Ausdruck rüclits pofiliv ist, To ist (nacli 418) aucli 






airo auch (nach ***) für jeden Index r 
Uj num. < Uj, 

wo Uj dasjenige bezeichnet, was aus Uj hervorgeht, wenn 
man darin Xj, Zj, Xj, Z^, F statt Xj, Zj, Xj, Zj, f fetzt, fo 
dass all'o 

wird, wo auch der Rest Rn aus r„ durch diefelben Substitu- 
tionen hervorgehl. Diefer Rest ist noch zu uiiterfuchen. Es 
ist, wie fo eben gezeigt, 
«n num. ^ (J„ 
Ferner aber auch dt unter illen Werthen welche z^ — x-, 
annehmen kann , wenn statt z, und x, alle mi)glichen mit ihnen 
numerisch gleichen Werthe gefeilt werden, Zi — Xi der nume- 
risch kleinste ist, fo ist 

— ^ — num. < — * Y' ^'^'^ ^^^ gleichem Grunde 

zj ^ Z, 



Zj — Xj Zj — X2 

Alfo da die beiden letzten Vergleichungen nur Zahlgrossen 
enthalten, fo ist (nach 458} 

Zj Xi Zj — Xj Z, — Xi Zj — Xj ° 

d. h. r„ nnm. •=: R„. 

Alfo ist auch (nach 463) 

C(u,) num. ■< U,, C(rJ num. <. R„, 



yGoosle 



326 (*«» 

d. h. jedes Enlwickelungsglied der Reihe für [{xi, Xj), und 
der Rest derfolben ist numerisch kleiner als ilas entsprecliendc 
Glied und als der eiitsprcehcnde Rest der Entwickeiuirgsreihe 
(****), Diefö letztere Reihe ist aber bekanntlich konvergent, 
d. h, ihr Rest Rq konvergirt mit unbegränzt wachleiidem n 
nach null; alfo thut dies auch der Rest Cfr„), da er noch 
numerisch kleiner als Rn ist, d. h. auch die Entwickelungs- 
reihe für ffx,, Xj) ist konvergent, fo lange nämlich die Be- 
dingtitig erfüllt wird , dass x, num, -^ x' und Xj num. '=: x'^ 
bleibt. Die Reihe für f(xi, x,) war aber, wenn wir den Rest, 
wie dies bei konvergenten Reihen gestattet ist, weglassen, 
fCxi, xO-Uo +CCui:) + C(u,)+--., 



^=«Ilf 



C(uJ = C > -■. ; (o + t = r), il. 1]. 



-2^^'<%f^> 



+ b = r), 



womit die Formel (b) hewiefen ist. Es bleibt noch zu zeigen, 

dass die Reihe fCxj, x,") = Uo + 0(0,)+ CCu^) H "'cht 

bloss eine konvergente, fondern auch eine ächte ist. Da Xi, 

Xj num. < x'], x', find, fo find ~ und — - ntim. -'"• i; folglich 

'■ 11 i I Xi Xj '6 

muss es eine pofilive Zahl T geben, welche >■ I aber nume- 
risch kleiner als — und -^ ist. Dann hat man x.T nuin, 

Xi Xj 

<: x'i und XjT num. -^ x'^ , folglich muss die Reihe für f(Xi, x^) 
noch konvergent bleiben, wenn man x,T statt x^ und XjT statt 
Xj fetzt; dann verwandelt Heb aber C(u,), da es eine homogene 
Funktion r-ten Grades von Xi , Xj ist, in T''C(Uj), folglich 
bleibt die Reihe 

Uo + TCCuJ + T^C(uj)+--- 
konvergent, alfo auch ihre Glieder bis ins Unendliche hin end- 
lich, alfo (nach 454) die Reihe 

Uo +CtuO + C(u,)+--. 
eine ächte, 

2, Der Beweis i ist überall fo geführt, dass er fich un- 
mittelbar auf beliebig viele Variable übertragen lässt. 



y Google 



470. T)or Taylor'sche Satz (467) gilt aiicli, wann x 
oine beliebige cxteiiTive Grösse ist; (i. Ii. es ist auch in liiefom 

FillllB 

fx ^ f(0) + xf'O -h yf'O + . = 7 -^^'°'Ö' 
vorausgefel^zl, dass d^fx für jeden Wertli x, der numerisch 
kleiner als x' ist, stetig fei. 

Beweis. Es fei x = Xiei -|- x^e^ -i- ■ ■ ■, wo e,, c^,- ■ ■ 
die normalen Einheiten von x find, fo ist (nacii Hyp.) liTx 
stelig; aber (nach 449) 

dSfx^^lfx-dxJ+d^rx-dx^-! +2Jid,fx-dx,dxa-f ■■, 

wo S,, ^2,-'* ^i** 2u dem Vereine der Variabein x, , x^,-- 
gehörigen partiellen Differenz iaiquolienlen find. Diefe Glei- 
chung gilt für jede Werlhreihe von dx^, dxa, ■ - ■ , allb nament- 
lich, wenn man dxj, dxg,--- null fetzl. Dann aber wird d'fx 
= ij|fx'dx*, alfu ist S^fx stetig, aus gleichem Grunde iJJfx 
u. r. w.; allo iässt fich (nach 469) fx, als Funktion von x,, 
Xj,-- in einer ächten Reihe entwickeln, deren Glieder nach 
ganzen liomogonon Funktionen vun Xj , x^,--- furtschreilen, 
es fei 

fx:=^u„ -(- Ui 4- !is H 

diefe Reihe, wo 

u, — X'aä,V-^?*i'"t" + 1' +■■ =!■) 
ist. Setzen wir hier 

wo 1 eine durch x ausfilllbare Lücke liezeichnet, fo wird u^ 
=^ a,.x'', und alfo 

(*) fx = a(, -|-a,x-ha,x^4----. 
Setzen wir hier x^=yz, wo z eine Zahl ist; fi> wird 

fx = f(yz) = ao + aiy-z -}- a.y^'Z^- ■ ■ =2^»^,^" -z'. 
Alfu find (nach 460) die Differenzialquotienten diefer Reihe 
nach z gleichfalls ächte Reiben, un(i es wird aifo 

- f'X'Y, und 



y Google 



ebenfo ■ -/(yz) = fx-y'' u. f. w., —KY^-) = f<">x ■ y». 



Alfo 



v"= / -. 



Setzt man nan z = 0, fo wird auch x=:yz:^0, alTu 

f<'''0-y''^=n!n„-y", 
da alle übrigen Glieder der rechten Seile verschwinden. So- 
mit, da diefc Gleichung für jeden Werth y gilt, fu Ist, wie aus 
357 leicht hervorgeht, 

[WO = n!a„, 

was, in diu obige Gleichung (*) eingeführt, die zu erweifende 
Formel liefert. 

fu]^. 4. 3ntfgrnlvrd)miitii. 
§, 1. Integration von Differenzialausdrücken. 

471. Wenn ft eine reelle Zahlfunktion der reellen Zahl- 
Grösse t ist, und die abgeleitete Funktion f'l zwischen t=^l, 
und tj stetig und pofitiv ist, fo vväciist zwischen deiifeiben 
Gräiizen ft mit t; wenn dagegen ft stetig und negativ ist, lo 
nimmt ft ab, während t wächst. 

Beweis. Es ist (nach 439, indem man hier t slatt x, 
und z = 1 fetzt) 

f(t + (i) = ft + qCf't + JV3, 
wo N mit q verschwindet, alfo 

ftt-f-q)-ft-qCf't-fiV). 

Da N mit q verschwindet, fo muss für gehörig kleine 
Werthe von q auch Ct -]- iV mit ft gieichhezeichnol fein; alfo 
wenn q und ft gleichbezeichnete Grössen find, fo wird dann 
q(ft + IS) pofitiv, alfo auch l^t + q) :^ ft fein; d. h. ft wächst 
mit l, wenn aber q und ft «ngleichhezeichnete Grössen find, 
fo wird q(ft + JV) negativ, alfo f^t -|- q) -'' ft, d. h. ft nimmt 
ab wenn t wächst. 

4'72. Wenn die reelle Zahlfunklion ft der reellen Zahl- 
Grösse t für t = ti denfelben Werlh annimmt, wie für 1 = 1^, 
wo tj >- ti ist und ft für jeden Werth t, der zwischen t, 



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■i«*) 329 

und tj liegt, stetig ist, fo muss für irgend einen Werth t, 
der zwischen ti und t^ liegt, f't = fein. 

Beweis. Wenn f't für jedes zwischen ti und t^ liegende 
t von Null verschieden wBre, fo müsste es fortdauernd pofitiv 
oder forldauernd negativ fein. Denn wäre f't für einige Werlhe 
pofitiv, für andere negativ, fo müsste es mindestens einen 
Werth geben, wo f't aufhörte pofitiv zu fein und anfinge 
negativ zu werden oder umgekehrt; da aber f't (nach Hyp.) 
stetig ist, fo müsste es bei diefem Werthe von t nolhwendig 
null werden. Wenn aber f't dauernd pofitiv wäre, fo würde 
(nach 471^ ftj > fl| fein, was mit der Voraus fetzung, dass 
ft^ ^= ftj fei, streitet; es müsste alfo f't dauernd negativ fein; 
allein dann würe ft^ ^ ftj (nach 471), was gleichfalls mit der 
Vorausfetzung streitet, alfo ist die An ah e dass f (tj fr 
jedes zwischen t| und la liegende t vo Null vers h ede le 
unmöglich, d.h. f't ist für irgend ein zvscie t It le 
gendes t null. 

373. Wenn fl eine reelle Zal Ifu kt o er eell 

Zahlgrösse t ist, und f't für jedes zwiscl on t und l I ^e le 
t stetig ist, fo muss für irgend ein z v sei en I cf n Gra z 
liegendes t 

fein. 

Beweis. Die Funktion 

nimmt für t = ti den Werth fli, für l = t2 denfelben Wertli 
fti on; da nun gi't= f't — (ft^ — ftj) : (ta/— tj) ist, fo ist alfo 
auch qi't zwischen jenen Gränzen stetig, folglich giebt es (nach 
472) einen zwischen denfelben Grunzen liegenden Werth l, 
für welchen y'l^iO, d h, 

"-'^ 

ist. 

aia. Wenn fl eine beliebige Funktion der reellen Zahl- 
grösse t ist, fo ist, fo lange f't = ist, auch ft nolhwendig 
konstant. 



y Google 



330 (4«a 

Beweis i. ft fei eine reelle Zahlfunktion. Angenom- 
men, es habe fl für zwei verschiedene Werthe tj und tj un- 
gleiche Werihe, alFo fti ^ fls, während doch Pt zwischen t, 
und tj null fei, fo hätte man (nach 473) für irgend ein zwischen 

ft, — ft, 
ti und tj liegendes t, ft ^ t _ i ^"^^ ""gl^iich null, was 

mit der Vorausfetzung streitet; alfu ist die Annahme, dass ft 
für irgend zwei Werihe, weiche noch innerhalb der Gränzen 
liegen, zwischen welchen f't^=0 ist, ungleiche Werthe an- 
nehme, unmöglich, d. h. ft ist innerlialh dieler Gränzen Itonstant. 
3. Wenn fl eine beliebige Funktion ist, und e,, e-i,--- 
ihre normalen Einheiten und f,t, fat,--- die zugehörigen Ab- 
leitzahlen find, allb 

ft = e,f,t-f-ei,f,t H 

ist; fo ist (nach 434J 

dft=eidfit -f e^dfjt -] , d. h. 

f't^eif'it + ejf'jt -I . 

Da nun vorausgefetzt war, dass f't^^O fei, fo Üni (nach 28) 

f',t = f'jl = .-- =0, 
alfo (nach Bew. 1, da fit u. f. w. Zahlfunklionen find) f,!, f^t,- ■ • 
konstant, alfo auch ejfit -f-ejfit-l-- ■ - konstant, d. h. ft konstant. 
473. Wenn d^fx innerhalb gewisser Gränzen, für jedes 
dx, null ist, fo ist innerhalb derfelben Gränzen fx konstant. 

Beweis, Es leien e, , e^,--- die normalen Einheiten, 
und Xi, X2,--- die zugehörigen Ableitzahlen von x, alfo x = 
Xje^ -|- XjOj -f- ■, und feien die zu dem Vereine der Variabein 
Xi, Xj,-'- gehörigen parliellen Differenzialquotienten nach x„ 
Xj,'-- beziehlich mit 6^, S^,- • ■ bezeichnet, fo ist (nach 437) 

dKfx^=(?£fx-dxi -f- ^afx-dxj +- ■ ■. 
Da nun djfx (nach Hypoth.) für jedes dx null ist, alfo 
auch wenn (ixj^O, dxjjdxg,*-- null find, fo hat man J^fx = 0, 
alfo (nach 474) fx von x^ unaMiängig, und aus gleichem Gründe 
auch fx von Xj, Xj,--- unabhängig, d, h, von x unabhängig, 
alfo konstant. 

476. Wenn innerhalb gewisser Gränzen die Differenziale 
der Funktionen fx und ^x forldauernd gleich find, und für 
irgend einen Werth x innerhalb jener Gränzen die Funktionen 



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499) 



33 t 



reihst einander gfloich Und , fo findet di'efe Gleichheit auch tiir 

jeden andern zwischen jenen Gränzen liegenden Werth x statt. 
Beweis. Es fei ¥x = fx — <px, fo hat man dFx=dfx 
— dyx, alfo (!Fx innerhalb jener Gränzen, für welche die 
Vorausfetzun^, dass dfx^^d^px fei, statt fand, null; alfo (nach 
475) innerhalb derfelben Gränzen Fx konstant, d. h. fx — gox 
= Konst. Da nun für einen gewissen Werth von x, nach der 
Vorausfetzung, fx = 5px ist, fo ist die obige Konstante null, 
ali'o für jeden Werth x innerhalb jener Gränzen fx — (px = 0, 
d. h. fx := 9)x. 

477. Erklärung. Wenn t eine pofilive Zahl ist und 
die Funktion fl zwischen t = und t^^tj stetig ist, fo ver- 
stehe ich unter dem Integral von ftdt diejenige Funktion Ft, 
welche mit t null wird und deren nach t genommenes Ditfe- 
renzial für jedes t, welches zwischen jenen Gränzen liegt, 
gleich ftdt ist. Ich bezeichne dies Integral mit d~'ftdt;, d. h. 
CS ist 

d-'ft dl = Fl 
nn dF(t) = ft dt d FCO) = t 

AmDgwliUB h ggwht dg hüh 

] \ df 1 Etgd dDl 1 



f w i 1 f 1 i 



d r It) d Kl I 



d Bg 


ff 


d I 


t s 1 


w 


b 


f 


llt 


1 h B 


g 
h 


ff d 
g i 


f Ib 

r 


It d 


k 


d t 


W 


B 


das 


d 


Dff 


1 


I t rat 




b 


it (.b 


dt) t t 




d 


bl 


A d 


k 


g 


ut 


d r 


kö 




b 


w 1 


li 


g 


tl li d 




t g 


d 


A 


t 


tb 


h 


Eb 


r h 




ht 


öhg 


1 h 


t 


t 


d 


f 11 d 




I g 


t 


d d f 


gl 


hf 11 1 


1 d 


d 


S hl 


g 



f d Dff 1 b ht d r ib 


W tl b b ! Bit 


4d g d Bgffditglw 


r d bg D f 


gt b Hl d d U b t mm 1 t 


Ih d fg 


Ug I t g 1 ög d llkü 1 h h 


f g d K 



y Google 



t d 


m 


ml 1 


1 A I 


gg 





1 B dg d 


W th 


d V 


b 1 


rib t 


g 1 t t 


t r 


llg 


I 1 1 


1 


fü 


r h h 1 


h 


d G 




d M 1 




k 1 mf Ib 


C 


d 


g I h 




b 




11 d 




1 d g G ö 




d 


c 


k 


rl 


1 


ml 1 


1 


I b IC 


f t 


i 


f 1 1 


hd g 


A d 


k ilf, 




r It g b li U 


E 


h t 


if 


d 




t I t 


g 1 


h 


n h B ht g 




D 




g Vit 


B 


1 


bt 


b 




j d b t t 


I t 


g 1 


b 


! 


D 


C 11 


B d I 


t g 


1 f d 


h 


d 


& 




d +bg 


m 1 




r 1 t m 


^ 


+ t 


f t 




i d-K 


+ t}dt 


zu nehmen 


und 


nach der Integration 1 


■ = h 



f t N 1 b nerke ich, daes die Stetigkeit der zn intei^riron- 

d t kt m F Igenden überall vorausgefetzt wird, auch wenn 

diefe Bedingung n:cht ausdrücklich hinzugefügt ist. 

4"78. Zufatz. Es ist 

dt((l"ift-iil) = ft-dt, und [d-ift(lt](l = 0) = 0. 

479. Wenn f(0) = ist, fo ist für jedes t, was zwisclien 
den Gränzen und t' liegt, zwischen welchen dft stetig ist, 

ä-U\{t = ft. 
Beweis. Nach 478 ist, wenn alle Differenziale nach t 
genommen find, 

d(d"idft) = dft und [d-idftXl = 0)=:0; 
alfo haben die beiden Funktionen d~'iirt und ft die Eigen- 
schaft, dass für jedes zwischen und t' liegende t ihre Dif- 
ferenziale gleich find, und dass für t=;0 beide Funktionen 
einander gleich, nämlich gleich null werden; denn für d~*dft 
haben wir es fo eben bewiefen, und für ft ist es (nach Hyp.) 
der Fall. Alfo find (nach 476) beide Funktionen einander 
gleich. 

480. Eine Summe integrirt man, indem man die Stücke 
integrirt, und ein Produkt, dessen einer Faktor konstant ist, 
integrirt man, indem man den variablen Faktor integrirt, und 
den konstanten unverändert lässt; oder beides zu einer all- 
gemeineren Formel zufammengefasst, 

d-'^^ÄCOdt = Z"aad-*f«COdt. 
Beweis. Nach 478 wird die Funktion d-'fj(t}dt mit l 
null, alfo auch ajd~'fa(t)dt, alfo auch die Summe diefer Aus- 
drücke; folglich ist (nach 479} 



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<S3) 333 

= ''"'Z*a«'l'i~'faO)'" [432, 433] 

= d~'XäÄ(Öiit" [478]. 

481. Wenn fl stetig ist für jede zwischen den Gränzen 
und l' liegende pofilive ZahJgrösse t, Co ist für jedes folche 
t auch die Integration von ftdt ausführbar. 

Beweis. Wenn ft eine reelle Zahlfunktion isl, fo ist 
der Beweis bekannt (vergl. z. B. Moigno Calcul integral p. 1 ss.). 
Wenn aber ft eine beliebige Grösse ist, und Cj, ei,--- ihre 
normalen Einheilen, fjt, fjt,-'- ihre Ableitzahlen find, alfo 

fl = eifit + ejfjt H isl, fü ist (nach 480) 

d-iftdl = eid-'fitdt-f ejd-^fjtdlH . 

Da nun (nach 413) fj!, fjt,- ■ ■ reell find, fo find, wie 
eben gezeigt, die Integrationen d~'fildt, d~*f,tdt,-'' ausführ- 
bar, alfo auch die Integralion d-*ftdt, 

482, Wenn die pofilive Zahlgrösse l =; yu Funktion 
einer andern pofitiven Zahlgrösse u ist, und gm mit u zugleich 
null wird, fo isl 

d-^ft-dl = d-ift-y'u-du. 
Beweis. Es fei d-m-dt = Ft, d. h. dtFt = ftdt und 
F(0) = 0. üa nun dtFt = F'tdl ist, fo folgt aus der ersteren 
Gleichung F't = n. Nun isl (nach 440) 
duFt = F't-d„t = F't-duyu 

= F'l-5p'u-du [440]. 

Ferner isl, wie oben gezeigt, F't ^ ft, und Ft=^Fg)(u), 
alfo da yu mit u zugleich null wird, fo wird Ft nicht bloss 
mit t, fondern auch mit u null; und wir erhalten aifo 
duF5p(u) = ft-y'u-du und 
Fy(0) = 0, 
alfo isl (nach 477) F^pu = d~'ft-<p'u-du; aber es war auch 
Fyu = Fl = d-'ftdt, alfü 

d~"^ftdl = d~*fty'U'du. 
483- Erklärung. Wenn x eine beliebige Grösse isl, 
deren numerischer Werlh t ist, und x:t mit e bezeichnet 
wird (wo alfo der numerische Werth von e gleich i und x 
= et ist), fo fetze ich 

d-ifxdx = d-if(et)edt, 



yGoosle 



334 1*8* 

wo e bei der Integration als konstant gefetzt und vorausgefetzl 
wird, dass f(el) in t stetig ist, und auch bleibt, wenn l bis 
null hin abnimmt. Wenn fich eine mit x verschwindende 
Funktion von x finden lässt, deren nacli x genommenes Dif- 
ferenzial fxdx ist, fo Tagen wir, dass in dierein Falte fxdx 
allfeitig integrirbar fei. 

Anw. Wir werden spätcrliin zeigen, dass jedesmal, wenn es eine 
Funktion Fx von der Art gicbt, dass diFx^=fxcix, und F0-:0 fei, 
dann auch für Jedea x jene Funktion Fx = d—'fxdx fei, wobei d-ifxdx 
in dem oben gegebenen Sinne aufaufassen ist. Dagegen wird fich 
zeigen , dass es nicht lu jedem fxdx eine Funlttion Fx von der ge- 
nannten Eigenschaft giebt, während auf der andern Seite d— ifxdx 
i=d~'f(.et)edt (nacli 481) stets gefunden werden Itann. Es ist alfo 
d~fxdx in der Weife, wie wir es oben definirt haben, als das allge- 
meine- stets mögliche Integral von fxdx aufzufassen, welches fich nur 
in speciellen Fällen als Funktion von x in der Art dai-stcllen läsat, 
dass das nach x genommene Differenzial diefer Funktion glcicli fxdx fei. 
4S^. Statt eine Summe zu integriren, kann man die 
SlMcke einzeln integriren, d. ii, 

d-ViX + f^i 4- ' Odx = d-ifixdx -f d-'f^xdx + ■ • 

oder 

d~'^faX dx = .^d~*fjX ■ dx. 
Beweis. Es fei x = et, wo t eine pofitive Zahlgrösse 
und e numerisch gleich 1 ist, fu ist 

d^^'X^ dx — d- '^f^ edt [483] 

= d-iX^~^dt [39] 

= Xd-'fäx-edt [480], 

weil nämlich t eine poritive Zahlgrösse ist, 

^X^-Xx-ix [483]. 

485. Statt ein Produkt zweier Fakloren, von denen der 

eine konstant ist, zu integriren, kann man den andern Faktor 

integriren, und den konstanten Faktor unverändert lassen, d. h. 

d'^'afxdx = ad"''fxdx , 
wo fx im Allgemeinen einen Ausdruck mit zwei Lücken dar- 
stellt, von denen die eine durch a, die andere durch dx aus- 
gefüllt werden foll. Bezeichnen wir die erstere Lücke durch 
1, die letztere durch li, und schreiben statt a und dx bezieh- 
a , dx 

T °"'' TT' 



y Google 



48a) 335 

in die Lücke 1, und dx in die Lücke Ij eintreten foll, fo 
können wir die obi^e Formel bezeichnender schreiben 
, , a , dx a ._.. dx 

d ._rx.~ = -j-d .fx.-j-. 

Beweis. Setzen wir x = et (in dein Sinne von 483), 
(o ist 



>- 


-'tu 


in 

1, 


a 


<l-'f(el) 


.|d. 






[483] 








= (1- 


.d[|d- 


•fCel> 


f-] 




[479] 








= cl- 




tml 


-dt 


[433, 


431 c] 








= d- 


'4-'(eO 


fd. 






[478] 



=-d-^yfx~ [483]. 

Anm Fs iträtdi fch -lOn reibst daas wKnn eme dei Criaien 
a oder k lalfo auch dx) ein, Zahlgrosse lat die zugihör ge Lucke 
wegfallt und dabei die üi tersclie düng fle Lucken ubeiflüaeig wild; 
ehenfo wenn die beiden Lucken vertan schbai find, d h -nenn stets 
dasfelbe Relultat hervorgeht fobald von zwei beliebigen Grössen (hier 
B, und dx) die eine in die eiste die andeie vn die Ewe te Liioke e n- 
tritt, oder umgckehit jene m die ziveite, diefe iii die erste Noch 
bemerke ich nai-htra;,litl dass in. dem ganzen voihert,ehe]iden Ab- 
sdinitte übeiall wo von eii em Lucktnaus drucke mit n Lütken die 
Rede ht ohne dabs eine ntihere Btstimmnig hinzi gefugt ist stets 
die u Lucken als veitauschbar gefetzt fii d 

äS6 Kt. ist fxd\ dann und nur dinn allfeitig integrir- 
bar, nenn die ibgcleitett. Funktion f\ entweder om iücktn- 
lüfer Ausdruck (d b \ eine leLlle Zahlgrossc) oder ein 
Ausdruck mit zwei ^eitauschbaren Lucken ist, namlicb To, 
dass es fui das Relultat gleiüi^uItiT ist, in welcher Vertliei- 
lung zvtLi Glossen m die beulen Lücken emlrcttn Wenn 
diei'e Bedingung erfüllt ist und Fx diu mit \ verschwindende 
Funktion von \ ist, diren nach \ güntmmtnes Dilli^ienzial 
fxdx ibt, fo ist allemal 

Fx^d-'fxdx. 
Beweis 1. Wenn es eine mit x verschwindende Funk- 
tion Fx giebt, fo dass dxFx=:fxdx ist, fo istF'x=:rx (nach 



y Google 



336 (48» 

435), alfo F"x = f'x (nach 450). Aber F"x ist (nach 451) 
ein Ausdrucli mit zwei vertauschbaren Lüclien, alTo auch das 
ihm gleiche f'x. WeflH die Lücken von niillter Stufe find 
(d. h. X eine Zahlgrösse ist), fo Iiönnen die Lticlien wegge- 
lassen werden, und wird dann fx ein lückenloler Aiisdrucli. 

3, Es fei x=;yl, wo y numerisch gleich 1 und l eine 
poTilive Zahl ist und fei vorausgefetzt, dass fx ein Ausdruck 
mit zwei vertauschbaren Lücken fei, To hat man (nach 483) 
d~'fxclx = d~'f(yt)ydt, wo bei der Integration y als konstant 
betrachtet wird. Es fei dies Integral gieicli F(y, l) gefetzt, 
d. h. es fei dtFCy, t) = f(yt).ydt, und FCy, 01^0, fo be- 
weife ich, dass d,F(y, t) ^^ fxdx fei. Da y und l von ein- 
ander unabhängig find, fo ist, wenn dy und dt die auf den 
Verein diefer beiden Variabein bezüglichen Differenziale find, 
(nach 437) 

dxFty, t) = d,.FCy, l) + ■ltF(y, t) = dyF(y, t) -j- fCyt)-ydt. 
Ferner ist (nach 446) 

dt[dyF(y, t)] ^ dj.[d,F(y, tl] = dy[f{yt)ydt] 

= f'tyl)-ldyydt + f(yt)(lyat [433] 

= dtfCyt)-tdy + f(yt)dtdy [440] 

= <i,[f(yt)-tdy] [433]. 

Da nun, wie oben gezeigt, F(y, 0) ^= ist für jedes y, 

fo ist auch dj,F(y, 0) gleich null, ebenfo wird f(yt)'tdy mit t 

null, alfo ist (nach 479) 

dj,FCy, t)=f(yt).tdy. 
Indem wir nun diefen Werth in den oben für dKF(y, t) 
gefundenen Ausdruck einführen, erlialten wir 
d,F(y, t) = f(yt)-tdy + f(yt)-ydt 
=:f(yt)d(yt) = fx-dx. 
Hier find y und t Funktionen von x (nämlich t=]''x*', 
y :=x : ^x-*), alfo ist F(y, t) auch als Funktion von x zu fassen 
und fei als folche mit Fx bezeichnet; fo haben wir alfo in 
jedem Falle, wo f'x ein Ausdruck mit zwei vertauschbaren 
Lücken ist (wohin auch der Fall gerechnet werden kann, wo 
fx ein lückeniofer Ausdruck ist), eine mit x = yt verschwin- 
dende Funktion Fx gefunden, deren nach x genommenes 
DilTerenzial gleich fx-dx ist; und zwar war diefe Funktion 
gleich d~'fx'dx. 



y Google 



489) 337 

3. Ausser der Funktion Fx = d-"'fxdx kann es keine 
andero Funktion qix gebün, deren nach x getiommenes Dif- 
ferenzial in demfelben Umfange, wie das von Fx, gleich fxdx 
ist, und welcJie mit x verschwindet; denn wenn d^Fx^ dx^px 
und für irgend eine» Werlh (liier für x = 0) Fx = yx isl, 
fu findet (nacii 476) diefe Gleichheit allgemein statt. Foigücii, 
fü bald d,Fx = fxdx und FtO) = isl, muss auch Fx =- 
d"~'fxdx fein. 

SS"?. Wenn x aus feinen normalen Einheiten e„ei,--' 
durch die Zahlen Xj, Xj, — ableitbar, all'ü x = Xiei-i-x^e-i + ■ • ■ 
ist, und wenn zugleich fxdx = Aidxi -(- Ajdx^ "i — ' 'sl, wo 
Aj, Aj,-- Funktionen von Xj, x^,-- find: fo ist die Bedin- 
gung (allfeitiger Integrirbarkeit], dass Px ein Ausdruck mit 
2Wei vertauschbaren Lücken fei, identisuh der Bedingung, dass 
für je zwei Indices r und s 

i,\, = J,A, 
fei, wo Ji, iJs,--- die zu dem Vereine der Veränderlichen 
^i! ^i>' " gehörigen partiellen DifTerenzialquotienten nach dx,, 
dxj,- ■ ' bezeichnen. 

Beweis. Statt Ajdx, 4- Adxj -]-■■■ können wir, da 
(nach 142) [er|ep]^=l, und [epje,] ^= ist, wenn r^s ist, 
schreiben CAi[l|e,] -f- Ajtllejl +- -jdx. Alfü da, für jedes dx, 

fxdx = CA,[i;e,l + AjOlej] H )dx isl, fu ist (nach 357) 

fx = A,[l|e,] + As[l|es] + ■ ■ • =Z^}\^ 
Hun ist (nach 437) 

djfx ^ X"(?|^l'x-dX|i= ^J^AJI[en)dx,j 
1'x.lx =: Z<!.A.[i|e.][i,le,]p 

WO i| eine Lücke ist, in welche dx eintrelon füll. Somit wird 
(nach 357) 

f'x-^Z<J6A„[l,e,][l,[06]: 
Sind nun I und [^ vertauschhare Lücken, fo hat man für je 
zwei Zeiger r und s 

Da aller [erjej null ist für je zwei verschiedene Zeiger r und 
s, und gleich 1 ist, für je zwei gleiche, fu erhält man 



y Google 



338 (488 

^,Ä, = d,A„ 
und ebenfo geht umgekehrt aus diefeii letzteren Gleichungen 

dio vorletzte, weiche die Vertausclibarkeit der Lücken aus- 
fagt, l.ervor, 

488. Wenn fx innerhalb gewisser Gräiizen, in denen 
auch x = nnd x;=a liegt, stetig ist, und 

FCx) = d-'ifxdx 
ist, fo ist auch, wenn x = a -f- y ist, 

Fta + y)-Fa = d-irCa+y)dy. 

Beweis. Wenn F(x) = d" 'fCx)dx isl, fg ist d,Fx = 

fxdx, (l,h.F'x=fx; allb d^ [F(a + y) — Fa] =- F'Ca -f y)dy 

[nach 440] = fCa + y)dy. Ferner ist Ffa + y) — Fa für y=Ü 

gleichfalls null, alfo Cnach487J FCa + y)~Fa = i|-'f(a + y)dy. 

489. Es ist, wenn a einen Ausdruck mit n Lücken I 
und einer Lücke 1, bezeichnet, 

Beweis. Es fei x = et, wo t der numerische Werth 
von X, und e numerisch gleich 1 ist, fü ist 

Es fei ae"*-', was wir, da in die Lücken 1 und Ii in dem 

Ausdrucke n -r ;t- dioi'elbe Grösse e eintritt, slalt diefes 

Ausdruckes fetzen können, mit b bezeichnet, fo erhallen wir 
_^r% Ydx 

da der letzte Ausdruck mit t verschwindet und nach t differen- 
ziirt bt"dt liefert, alfo 



d-y 4- 1 ^ = d-ibfdt=— V-bl-^-', 



_J_ ae-.ML'xf' ==^ 

1+1 n4- 



4»0. Wenn die Beihe > ai ^ j"^, in welcher i 



n I und 



einen Ausdruck mit a Lücken I und einer Lücke 1, darstellt, 
eine ächte ist, fo ist 



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4»t) 



Man hat (nach 484) 



-■h(^x-i^yf 



-i^. 



(iiacli 489). 

Durch diefe Formol, welche nur dann daa allfeitige In- 
tegral darstellt, wenn die Bedingung allfeit.igcr Integrirbarkeit (48(>) 
erfüllt wird, ist die Aufgabe der Integration von DifTerenzialeue drucken 
allgemein gelöat. Da es uns hier nur auf die Darstellung der In- 
tegralrechnung in ihren wefentliehsten Zügen ankommt, fu können 
wir mit diefer Lüfung der Aufgabe uns hier begnügen. 



§. 3. Integration von Differenzia^leichungen , wenn die 
unabhängig;e Variable eine Zah^össe ist. 

-391. J'lrklätrung. Einen gegebenen Vorein von Diffe- 
renzialgleichungen (der aber auch aus einer einzigen Gleichung 
bestehen kann) vollständig intogriren, heisst ilio rämmllichen 
Vereine von Gleichungen finden, welche keine Differenzialo 
mehr enthalten, und vun denen jeder Verein die Eigenschaft 
hat, dass, wenn er erfüllt ist, auch der gegebene Verein er- 
füllt Tei; juHer folche Verein beisst ein (den gegebenen Verein) 
inlegrirender Verein. Wenn alfo A ein Verein von DilForenzial- 
gleichungen und B ein ihn integrirender Verein ist, fo heissl 
das 1) B k Dff h J ) b d d 

Gleicl J V ß 

lassen d 

nachw 



h g n d V 



alle V 



t die g 

hangigen Zahl grossen , Co können wir ein System von n Einlieiten ei, 

Cj,' ■ • e^ annehmen und x,ei -| -[-^nen =^ ^ fetzen. Da t als die 

unabhängige Variable angenommen ist , fo werden alle in den gege- 
benen Dilferenzial gleich ungcn vorkommenden Differenzialquotienten 



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340 

nach t gen ra X mU n. W d f D ff i Iq 

bis zur m-tt Od g ftg f rtjid Cll 

die Form h b 1 Z 1 If kt t d 1 DU 

quotienten b tTd gl liOfttt 

nun f, =0f==0 r=01f LI 1 g fft 

%f. +---enl' =f f 1 b w ri \ g 



'(-1^ r.')=» 



auf ul f n 11 t 7 1 !{, ö se ist, hingegen x und die Funk- 

t f u E nl t um Ii bleitbar find. Die Lßfung diefor 
Gl 1 ng b Id t alfo den G n tond diefes §. Zuuäciist behandeln 
w 1 e D ff n algle hungen erst r Ordnung, d. h. den Fall, wo 
m^l t 

492. Aufgabe. Die Gleichung fCt , x , ^x) = , in 
welcJier t eine Zalilgrösse, x und f(t, x, Jx) Grössen firid, die 
aus n Einheilen ableitbar find, und Jx das DilTerenzial von x 
nach t bezeichnet, zu integriren; wobei vorausgefelzt wird, 
dass fich fCt, X, dx) nicht aus weniger als n Einheiten ab- 
ieilen lasse. 

Äuflofung, Es feien ßi,- ■• Cq die Einheiten, aus denen 
x^^x,ei -f-- ■ ■ x^Cn und f ^= e,fi -]-... e^f^ numerisch abge- 
leitet find. Es wird vorausgefetzt, dass die Gleichungen 
f, =0,---- fn^^O, weiche in r^=0 enthalten find, nicht 
von einander abhängig find, d. h. dass keine derfelben aus 
den übrigen fich mit Nolhwendigkeit ergebe. Denn dann 
würde fich in der Gleichung f=0, f aus weniger als n Ein- 
heiten numerisch ableiten lassen, was oben ausgeschlossen 
wurde. Es find hier f,,-'- fn Funktionen der Zahlgrösson, 
l, Xi,- ■ ■ Xn, (Jx,,- ■ ■ Sxg. Man bestimme aus einer der Glei- 
chungen fi,- ■ ■ f„ eine der Unbekannten «ix,,- ■ ■ (Jx„ und fetze 
den gefundenen Werth in die übrigen Gleichungen ein, mit 
ilen fo erhaltenen, und überhaupt mit den jedesmal noch übrig 
bleibenden Gleichungen, fo fern fie noch eine der Variabein 
isi,- ■■ Sx„ enthalten, verfahre man ebenfo, fo erhält rnan 
zuletzt entweder aus der zuletzt übrig bleibenden Gleichung 
den Werth der letzten jener Unbekannten, und dadurch dann 
nach und nach alle jene Unbekannten äx^,- ■ ■ «Jx,, als Funk- 
tionen von t, Xi," ■ ■ x„, d. h. Sx als Funktion von t und x, 
oder es find aus der letzten oder auch schon aus den letzten 



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4M) 841 

m Gleichungen die fömmllichon Grössen ^x,,- ■ • 5x„ verschwun- 
den. In diefem Falle bleiben m Gleichungen übrig, welche 
nur Beziehungen zwischen t, x,,- ■ ■ x^ ausdrücken, und zwar 
müssen diefe Gleichungen alle von einander unabhängig fein, 
weil im entgegengefetzten Falle auch die n ursprünglichen 
Gleichung-en von einander abhängig wSren, Diefe m Glei- 
chungen bilden dann einen Theil der gefuchten Inlegralglei- 
chungen. Durch fie kann man m der Werthe t, Xj,- ■ ■ x^ 
durch die übrigen n — m + ^ ausdrücken, und dadurch redu- 
ciren fich die n — m ersten Differenzialgleichungen Cvermittelsl 
welcher man n — m der Unbekannten 6xi, — (fx„ ausdrückte) 
auf n — m Gleichungen, in weichen ausser l nur n — m der 
Grössen Xj,- ■ - Xo und die entsprechenden n — m der Grössen 
tfxi,' ■ ■ iJx„ vorkommen; und durch welche fich diefe letzteren 
als Funktionen der ersteren darstellen lassen. Somit kommt 
es nur auf die Integration der Gleichungen von der Form 
rfx=:f(t, x), d.h. dx = f(t, x>lt an. Diefe Integralion foll in 
den nächstfolgenden Nummern behandelt werden, 

-5193. Wenn 

dx = f(t)dt 
ist, wo t eine Zahlgrösse und x eine aus einem Systeme von 
n Einheiten ableitbare Grösse ist, fo ist 

x = d7*f(t3dt -)- c, 
wo c eine (aus n Einheiten ableitbare) willkürliche Konstante ist. 

Beweis. Es fei d~'fCt5dt gleich y gefetzt, lo ist (nach 
478) dy=f(_l}dt, alFo dx — dy=0, d. h. (nach 484) dCx — y) 
= 0, alfo (nach 475) x — y konstant. Diefe Konstante, welche 
mit X von gleicher Gattung, alfo aus n Einheilen ableitbar ist, 
fei c, fo hat man x ^= y + c := d~'f(t)dt + c. 

^94. Wenn 
Ca) <Jx = f(x, t) 
ist, und man überall mit d den ^illgemeinen Dilferenzialquo- 
tienten nach l (auch x als von t abhängig gedacht), hingegen 

unter -j~, -r- die partiellen Differenzialquotienlen in Bezug auf 

den Verein der Variabein x, t, von denen die erste eine 



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343 (4»4 

cxtenfivo Grösse, die letztere eine Zahlgrösso darstellt, be- 
zeichnet: fo ist 

dt (Ix 



jä-+.x = ^W'x) + r>-<), 

und wenn man 

S'+'x = rxx, t) 

felzt, ta ist 

(C) X = C -}- f[c, 0)- 1 + f.Cc, 0)y + U0> 0)^4- ■•• , 

wo c eine willkürliche Konstante ist, nämlicli der Werlh, den 
X annimmt, wenn t null wird, und wo vorausge fetzt wird, 
ilass die Reihe auf der rechten Seile eine ächte fei. Aus der 
Gleichung (d) findet man auch c als Funktion von x und t, 
nämlicli : 

(d) c = X - f(x, t> + fiCx, ll-^ - fjCx, t)^ + ■ ■ ■ . 

Beweis. Die Formeln (b) ergeben fich unmittelbar aus 
(a), indem, wenn g> eine beliebige Funktion von x und t ist, 

und X als von t abhängig gedacht wird, dy^i-T-ydx + 'TTy'dt, 
alfo -^, d. h, Sq):=Y^-Sx 4- -n-y ist; es ist aber nach (a) 

Jx = f, alfo erhält man äw^f-rV 4--T-W, woraus die For- 

' ' dx' dt 

mein (b) hervorgehen, indem man statt y nach und nach ^x, 
rf^x,- ■ ■ • «I'x fetzt. Dann aber ergiebt fich die Formel (c) 

unmittelbar aus dem Taylor'schen (Mactaurin'schen) Satze (470), 
Setzen wir x = Ftt), fo können wir den Taylor'schen Satz 
auch in der Form darstellen 

FCt + IT) = x + fCx, t)r + f.Cx, t) ~+ ■ . -, 
oder , wenn wir 'v^= — t fetzen , 

FCO) = X - fCx, tit -i- f,(x, t)-^ - fs(x, t)^+ ■ ■ ■, 



yGoosle 



«»•) 343 

fco;) ist aber der Werlh von x = Fffl für t = 0, d. Ii. FCO) 
ist gleich c, foniit auch Gleichung (d) bemofen. 

Anm. Eb versteht Tich von lulbst, daaa die willkürliche Konstante 
c mit X von gleicher Gattung ist, und alfo n numerische Konstanten 
cinschliesät, wenn x aus einem Systeme von n Einheiten ableitbar ist. 
Die Integrationsgleichung in der Form (d) ist von befonderem In- 
teresse, in fo fern in ilir eine Funlttion von x nnd t einer Konstanten 
gleich gefetzt ist, und zwar derjenigen Konstanten, welclier x gleich 
wird, wenn t;^0 wird, worauf wir im folgenden §. zurücltkommen 
werden. Wir haben oben die Differcnzialquotienten d^x, iJ'x,'-' fort- 
schreitend jeden aus dem n Siehst vorhergehen den abgeleitet. Es ist von 
Interesse, auch eine unmittelbare Darstellung diefer Differenzialquo- 
tioRten als Funktionen von x und t zu verfiichen; was in dem folgen- 
den Satze geschehen ist, dessen fich leicht ergobcnden aber etwas 
umstäudlichen Beweis ich dem Lefcr überlasse. 

495. Wenn in dem Sinne von 494 

Ja = fCx, t) 
ist, Tu ist 



-.x=2^«.,.,.,,^.. 



X u ■ d" ■^- 



wo fich die Summe auf alle niiiglichen ganzen , aber nicht nega- 
tiven Werthe a, a, b, b,- ■ ■ f bezieht, welche den Bedingungen 

unterworren find, dass f ^ 1 -f Co — ^J + ClJ - H > ''"^s 

ferner a-fa-t-I)4-b+---=^r, und die Summen a + fl, 
b -|- t," ■ ■ alle grösser als null feien, und wo 

_ a(a -i-b-l)(a + 6-Hc-2) --. 

aa,a,b,6.. fj. — aXr — a — b — IXr — a — b- c — 2)-.- 
n! 
'alülblb!--- 
ist. 

496. Aufgabe. Die Gleichung 

nS'^x, ä'"-%- ■ ■ ■ 3''x,i}~0, 
wo X fowohl als f aus einem Systeme von n Einheilen ableit- 
bar find, t eine Zahlgrösse darstellt, 6 der allgemeine DifTe- 
renzialquütient nacli t C^ ^is von t abhängig gedacbt) bezeichnet, 
und rf^x statt x geschrieben ist, zu inlegriren. 

Auflufung. Man felze J^x = p^, iJx = p,,- ■ ■ 6'"~^x 
=^ Pm-i ) f" wird d"'}i = fJpm-i und man hat die m Gleichungen: 



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«5pi = pa 

^Pm-l = Pm-1 

und die Gleichung f(^pn,_i , p^-i ,• ■ ■ Pi , Poi = 0. Aus der 
lelzten Gleichung hestimme man ^Pni_i , es fui 

Nun nehme man ausser den n Einheiten ei,— - e^, aus 
denen x abgeleitet ist, noch m neue Einheiten e"'^ e<^', ■ ■ e'"""^' 
an und niulliplicire die obigen ni Gleichungen beziuhüch mit 
e"", e'^', ■ ■ ■ ß'™"^^ """^ addire. Mnn fetze ferner 

Poe(<" + p,e"J -\ -1- P^-ieC"-!» ^ p 

und 

Pl«'^'^' + PlC'^' -I 1- Pm-iC«™-*' + et-^-lVCPo.Pl, ■ ■ ■ Pm-f) 

= F(p,l), 
fo find p und F aus den nra Einheiten e<''e, (wo r jeden der 
m Wertho bis m — 1, und s jeden der n Werthe I bis n 
annehmen kann) ableitbar, und man erhält die Gleichung 
dp = F(p, t). 
Diefe Gleichung ist nach der Methode von 496 zu inte- 
■ n d I' f t ■ E' h 't n C *" ) li 'tl 

llku 1 h K 



D Gl h n 

CT d HA = 



yGoosle 



499) 



3^ 



vorausretzeii, die n Hawptzahlen dos Bruches A, «nd aii'-'a^ 
die zugehörigen Hauptgebiele erster Stufe (388, 389) find, 
ititcgrirt (lurcli die Gleichung 

(ii) X = y^n„a^e.''<a^t , 
wo e die Bafis des natürlichen Logarithmenrystems ist, und 
''ir''<<a wiltliürliche Itonstante Zahlen bezeichnen, und die 
Summe fich auf a ^: 1 bis n bezieht. Die n Werlhe ni = 
i«!,--- Nin find durch die Gleichung n-ten Grades 

(c) [{A — ni)'']=0 
bestimmt und die n Grössen Bi,--- a^ durch die Gleichung 

Cd) a,= [(A-m,)"-']. 
Beweis. Dass die n Haiiptzahltn m=:mi, m2,'--nin 
die n Wurzeln der Gleichung (c) und dit, n zugehörigen Haupt- 
gebiete ai,-.'-an durch die Gleichung (d) bestimmt find, folgt 
fogleich aus 38S und 389, womit noch die Anmerkung zu 383 
zu vergleiclieh ist, Die Hauptgebiete ai,--- a„ haben (nach 
389) die Eigenschaft, dass fie in keiner Zahlbeziehung zu 
einander stehen und Aac^^m^a^ ist. Es muss fich alfo x aus 
^1)''' ^a numerisch ableiten lassen. Es fei 

C*) x = Z^. 
der Ausdruck diefer Ableitung, fü verwandelt fich die Glei- 
chung (a) in 

= Xä^^T-f XA!i„"-x^, 
alfo da Aar^^mpU, ist, fo erhalten wir 

— ^a,(_dx^ -h m^x^l 
Da hier dx^ -J- m^Xa eine Zahlgrösse ist, und ai,- - ■ a„ in 
keiner Znhlbeziehung zu einander stehen, fo hat man (nach 
28) rfx„ + ni„x„ = 0, d.h. (Ix, = — m„x„dt, alfo 

Xa = «ae'"'"at, 
WO «a eine willkürliche konstante Zahl ist. Setzen wir drefen 
Werth in die obige Gleichung (*) ein, lo erhalten wir 

pt hl 



1 1 1 s d 



d : II 



y Google 



346 C«»» 

obigen Satze entwickelt, und endlich, nachdem man die unendlich 
kleinen Differenzen ans den Nennern weggeschafft bat, diefe Differenzen 
gani verschwinden iBsst. Ob Wurzeln imaginär werden oder nicht, ist 
für die ganze Behandlung gleichgültig; auch kann man die imaginären 
Formen der EndrcCultate leiclit in reelle Formen nmretzen. 

499. Wenn 

Ca) Sx + Ax = f(.t) 
isl, wo 3, X, A, t die Bodeiilung wie in 408 haben, fo wird 
die übige Gleichung, wenn man auch den Grössen ni],- - ■ uiq, 
a,,-' a„ diefelbe Bedeutung gieht, wie dort, und 

(10 r(0 = a,f, +a,fj +-.-aA 
ist, und d~'freinrtdt = Yr gefelzt wird, inlegrirt durch die 
Gleichung 

(c) A=XCya + «>'«'-' a„, 
in welcher «[,■■■ «n willkürliche Konstanten find. 

Beweis, Da a, ,••- a„ (nach 389) in keiner Zahlbezie- 
hung KU einander stehen, To lassen fleh fowohf f (wie oben 
geschehen), als auch x aus ihnen numerisch ableiten. Es lei 

fo hat man, da fnach 389) Aa^ ^; m^Sa ist, aus der Glei- 
chung (a) 

= X'äTC'Jx, + m A - Q, 
airo (nach 28) rfx^ -f iii„x„ — („ = 0, wo alle Grössen Zahl- 
grdssen find, d. Ii. dXj -h ""oSadt ^^ fjdl. Setzt man hier x„ 
= Cya + '^Jc~'"ot, wu Yi ö'"6 Funktion von t ist, die mit t 
verschwindet, und «a '"3"^^^''' '^^ ^° erhält man, indem man 
dies in die vorige Gleichung einfetzt, dya = fae—m^tdt, alfo 
(nach 477) y,, = d~'fae""«ijtdt, wie oben. Setzt man dann 
statt Xa den gefundenen Werth in die Gleichung * ein, l'o 
erhält man die zu erweifendu Gleichung. 

Anm. Die Integration einer Gleichung, welche Differenzialtiuo- 
tienten höherer Ordnung nach t enthält, im Uebrigen aber die Form 
der Gleichungen 498 und 499 hat, reducirt fich nach der Methode in 
497 auf Gleichungen, welche ganz diefe Form der Gleichungen 498 
und 499 haben, nur dass statt der n. Einheiten e[,-- e^ hier, wenn 
die Diffeienaialgleiehung von ni-tcr Ordnung ist, mn Einheiten hervor- 



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§. 3. Integration von Differenzialgleichung'en , 
wenn die nnabhängige Variable eine extensive Grösse ist. 

900. Die InSegration jeder beliebigen partiellen Dlffereii- 
zial gleich iing erster Ordnung lässl fich zurückführen auf die 
Integration einer DiiTerenzialgleichung der Form Xdx = 0, in 
welcher x eino extenfive Grösse, Xdx eine Zahlgrösse dar- 
stellt. 

Boweis. Wenn x, ,■■ x„ die unabhängigen Variabein 
und Xp die von ihnen abhängige Variable ist, und x,,, x,,* ■ ■ Xn 
Zahlgrössen find, fo wird jede partteile Differenzialgleichung 
erster Ordnung zwischen diefen Grössen Och in Form einer 
Gleichung darstellen lassen, welche zwischen den Grössen 

Xn, X. ,-■■ x„, T— Xn, ',— Xn.-" -,-Xn Stattfindet. Bezeichnen 
' dxi dxj dXn 

wir die Grössen , Xn,- ■ ■-;— Xn mit p,,- ■ ■ ■ p,, fo können wir 
dx, üx„ " "^ "^ 

vermittelst jener Gleichung eine der Grössen Pi,- ■ • ■ Pn, z. B. 

p„, als Funktion der fämmtlichen Grössen Xo,- ■ -Xu, pi,-"pn_, 
darstellen, und alfo der zu integrirenden partiellen Differenzial- 
gleichung die Form geben 

(*) Pn = fCXo, Xi,-.-X„, p„ Pj," ■■?„_.)- f. 

Nun ist dxo = pidxj -j- p^dx^ -j Pndx„. Und umgekehrt, 

wenn diefe Gleichung erfüllt ist, fo find Pi,- ■ ■ Pn die partiellen 
Differenzialquütienten von Xj, nach Xj , Xä,--x„. Setzt man 
daher in diefer Gleichung statt p^ feinen Werth aus der vorigen, 
fo ist, wenn die Gleichung 

C**) dXo = p,dx, -I Pn-l<IXii-l + Mxn 

erfüllt ist, auch die gegebene erfüllt. Jeder Vorein von Glei- 
chungen alfo, welcher die letztere integrirt, erfüllt auch die 
erstere und es kommt alfo nur auf die Integralion diefer letzte- 
ren an. Setzen wir nun Oo, ei,---en als ein System von 
Einheiten und x = XoCo + K,ei -f ■ ■ ■ x„e„,, alfo dx = eodx,, 
+ eidX| -]-■•■ Cn^'^n! u"^ felzen ferner, wenn 1 eine LQcke 
darstellt, 

X-[lleo]-p,[liei]-p,[lle,] P„-iLl|e„_i]-f[IW, 



yGoosle 



348 (*•* 

To verwandelt rieh die Gleichung (**) in 

Xdx = 0, 
auf deren Integration es alfo nur ankümmt. 

Anm. Die Integration der Gleichung Xdx^O, aaC welche es 
Mer ankommt st ai d r beräl mten Pl'aff'sclca Metl oie we Tie 
amentl d durliJacoh {G eile Journal B S p 347 n l B i7 p 
138) ere nfa It 3t voll tfrndvg %a. lol odo genauer auf dem 
Yor gen § bei anleiten I tegrat onon aur ck fuh en D e la atellang 
und Ei^finzu g d efer Methode durch Anwendung exten f ver &r scn 
du cl welol e r eh 1 e löfenden Fo mein g öaatcntl e la n e ner er 
staune swerthen E nfa hhe t dj, stell folle den Hauptgegen taud 
der folge de Entw kelun^ b Iden Docli olle w r zu o de a f 
geatellten at a ch a t part eile D fferena al^le 1 ^e h h erOrl 

301. Die Integration jeder beliebigen partiellen DilTe- 

renzialgleichung von höherer als erster Ordnung lässt [ich 

zurückführen auf die Integration einer Differenzialgleichung 

der Form Xdx = 0, in welcher fowohl x als Xdx extenfive 

Grössen darstellen. 

Beweis. Es fei z die abhängige Variable und yi,- ■ ■ Yn 

feien die unabhängigen Variabein, wo z, yi,- ■ ■ Ya Zahlgrössen 

darstellen. Um die partiellen Differenzlalquotienten höherer 

Ordnung bequem bezeiuhnen zu können, nehmen wir zunächst 

ein System von n Einheilen ej,--- e^ an und fetzen y^e, -f- 

ys^i -| — ■ + yn^a ^^ Yj ä^o werden die verschiedenen Diiferen- 

zialquotienten bis zur m-ten Ordnung hin fich darstellen lassen 

-• d= d" 

-,— ,z,'-' T-^z. Hier sielll jeder diofer 
dy= ' dy" ^ 

Differenzlalquotienten einen Ausdruck mit fo viel (unter ein- 
ander vertauschbaren) Lücken dar, als die Ordnung des Dif- 
ferenzialquotienten belrägt, und zwar in der Art, dass der 
Ausdruck nach Ausfüllung diefer Lücken durch die Einheiten 
von y, einen 7>ahlausdruck liefert und zwar jedesmal einen 
der gewöhnlichen (numerischen) Differenzialquolienten; z. B. 

sielll -i—.z einen Ausdruck mit zwei vertauschharen Lücken 
dy^ 

dar und zwar fo, dass t— „z-e.e, = , — ,— -/. ist u. f. w. Es 

dy' dyidyj 

feien nun 



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ny dy-^ "^ ' dy" '^™ 

gefetzt, fo wird die partielle Differenzialgleichiing in ihrer 
vollständigsten Allgemeinheit die Form annehmen 

(*) i"(y, h Pi, p2,--p»)-o. 

Von den hierin vorkomineniien Variabein ist nur z eine 
Zahlgrösse, alle übrigen finii exlenfive Grössen, und zwar 
enthält y, vermöge der ihm beigelegten Bedeutung, n ver- 
änderliche Zahlgrössßn, und jede der Grössen pi,- ■ ■ pn, fo viel 
veränderliche Zahlgrösseu, als es Kombinationen mit Wieder- 
holung aus n Elementen zur fo vielten Klasse giebt, als der 
Index jener Grösse beträgt. Die Anzahl der veränderlichen 
Zahlgrössen, welche in den fämmtlichen in der obigen Glei- 
chung (*) vorkommenden Variabein enthalten find, fei r, fo 
kann man vermöge der Gleichung t*) eine diefer Variabcln 
durch die übrigen r — 1 ausdrücken. Es bleiben aifo noch 
r — 1 Variabein übrig. Jetzt erweitere man das System der 
n Einheiten e,,-- e„ fo, dass es nun r — 1 Einheilen ent- 
hält und muitipiicire mit jeder derfelben eine der r — i ver- 
änderlichen Zahlgrössen, und fetze die Summe diefer Produkte 
=:x, fo enthält X die fämmtlichen r — 1 veränderlichen Zahl- 
grössen. Nun hat man ferner vermöge der oben angegebenen 
Bedeutung der Grössen p,,- ■ ■ Pm 

(**) dz = pidy, dp, =pady,-.- dp„_,=p„dy, 
und wenn diefe Gleichungen erfüllt find, und z gle h ver 
mittelst der Gleichung (*) eine der r veränderl I en Zahl 
grossen, welche in jenen Gleichungen (**) entlalt f d 
durch die (r — \) übrigen ausgedrückt find, fo t dan l d e 
gegebene partielle Biifercnzialgleichung f*) erfüllt Folgl ch 
kommt es nur darauf an, die Gleichungen C**J zi tcgr reu 
Von diüfen ist nur die erste eine Zahigleichung I e folge le 
enthalten, da dp, mit pi von gleicher Grössengattu g st u f v 
jedesmal fo viel Zahlgleichungen als in den Grössen p,,- ■ ■ pm-i 
veränderliche Zahlgrössen enthalten find. Die Anzahl der 
fämmtlichen Zahlgleichungen, welche in den obigen Glei- 
chungen [**) enthalten find, fei s, fo ist s hleiner als r (näm- 
lich um fo viel als die Anzahl der veränderlichen Zahlgrössen 



y Google 



350 



(AOl 



beträgt, welche in y und p„ zufamincn enthalten firidj. Man 
bringe dieTe Zalilgleichungen auf die Form, dass die rechte 
Seite nuU ist, und multipjicire He nach der Reihe mit den 
Einticilen e,,- ■ - e^, fo werden fie die Form haben ejXjdx^i^O, 
ejXjrix = 0, - - ■, CjXjdx =: 0. Dann find diefe Gleichungen 
gleichbedeutend der einen Gleichung c,X|dx -f- OjXjdx -f •■■ 

4-e,X,dx — 0, d. h. (e,Xi + ejXj H e.XJdx — 0; fetzt 

man alfo ejX, 4- ^2X5 -{-■■■ ejXj = X, fo werden jene Glei- 
chungen (**) gleichbedeutend der Gleichung 

Xdx=0, 
auf deren Integration es alfo aNein ankommt. 

Anm. 1. Es ergiett ficb. leicht, dass die Zahlen r unrf s von n 
und m auf die Weife abhängen, dass 

, Cn-}-l)(n-|-a)-.-(ii + n.] _ _ (n+lXn + a)- -(11 + m-1 ) 



1 



11-1 



ist, ferner dass in dx, wie es in der Gleicliung Xdx hervortritt , nicht 
die Differentiale aller r Unlekannte e tl alte find, fondern die 
Differenziale der xu p^ ^ehnr gen verandc I chen Zahlgrösaen in dx 
nicht erscheinen, die ZaI 1 der n merBclen Differenziale, die in ds 
hervortreten, ist B-j-n. Als Be sp el fe d e partielle Differenzialglei- 



chung 2-ter Ordnung 


mit BW 


e nabl ang g« 


n\ar 


ab ein gewählt. Man 


evMIt damit, indem 


w r d 


e Beze cl nung 


der Unbekannten 


ändern, 


drei Gleichungen der Foim 












i =ii 


+ ld 












dp- i 


+ d 












Iq- d 


+ tdj 












1 1 d M A n 


h 1 


^ y p q 




t 


th tt 


d 


m tt 1 t d 


ggb 


p t 11 




Dff 


1 1 1 


g d h 


d tb g gd 


kt 


i k 


f 


1 


m 


1 fü f 


D Ef i (dx, dy d 


dp dl) 










A m a M 


r it 
t f 


1 d I 1 
G ö d 


g 


11 


d Ql h 


s ■^i 


IV d d \d 


d llgm 


t J 


k f s, d 


g 


A f b d 


I 


t fe 


1 t fe 


t d m 


li d d f h 


AI 


h it b 


1 


d It 


A ff, h 


d I 


tg 1 1 s i h 


1 f 


kf 1 


1 




d h 


d J d 


Z I lg ö gl h 
1 t d h ( 




!1 C tt 


g 

A 


d 


t f t 


b 


5O0) 


b h d It 


tgb 


h th 


It t 


Mt d L r g d f 


A fg 


h w 




If 


m Z 1 d 


I t gral 


h fe g 1 f-t 


All 


d Pf ff 


i 


M tl 


d t U 


1 I 11 


w 1 Xd 


t f 


G ö t 


d 


h w 


m h 


m 1 


D ff Igl h g 


h 


t t 


ht 


la hr 


w db 


1 l 


M th d w 1 h 


fd 


i Auflör 


g 


ä V 


t 11 Dl 


r 1 



y Google 



»o«) 351 

gleichungen höherer Ordnungen anwendet, und welche auch für die 
Löfnng dieCer allgemeineren Aufgabe förderlich fein würden, haben 
nur eine äusserst beschränkte Sphäre, Daher werde ich nur den Fall 
ins Auge fassen, wo Sds eine Zahlgrösac ist, und werde auf den 
allgemeineren Fall nur gelegentlich hindeuten. 

S02. Wenn die Gleichuiigf 
Xdx = 0, 
(in welcher, wie im Foi^enden überall, Xdx einu Zahlgrösse, 
X eine Funktion von x, und x aus einem Systeme von m 
Einheilen e,,--- Om numerisch ableitbar ist) durch einen Ver- 
ein von n Zahlgleichungen u^ = Ci,- • - Un = Ca, ivo c,,- ■ ■ Cn 
konstant find, integrirl wird, (o lässt Hch Xdx auf die Form 

Xdx = üidui ~f -f U„du„ 

bringen. 

Beweis 1, Es fei x ;=Xiei -]- ■ ■ • Xi^e^, Co fiml Ui,- ■ ■ «n 
als Funktionen von x,,--- x„ aufzufassen. Da nun die Glei- 
chungen u, = Ci , ■ ■ ■ u„ = Co eineil die Gleichung Xdx = 
inlegrirenden Verein l)ilden, fo hcisst das (nach 491), es muss 
rieh aus jenen Gleichungen die letztere ableiten lassen, d. h. 
wenn man aus den Gleichungen dui=0, ■■■ dUn^^O, welche 
in Bezug auf die ni Differenzialo lix^,- ■ ■ dx^, homogen vom 
ersten Grade find, n diefer letzteren Grössen durch die übrigen 
ausdrückt, und diefe Ausdrücke in Xdx einführt, fo muss da- 
durch Xdx identisch g!eii.-h nuij werden, oder, was nach einem 
bekannten Satze uns der Theorie der Gleichungen dusfelbe ist, 
es müssen fich Grössen Ut, U^,--- V^ finden lassen, welche 
die Gleichung 

Xdx^Uidui -]--■■ +U„du„ 
erfüllen. 

2. (Icii füge einen zweiten Beweis hinzu, um zugleich 
die Grössen U, , • ■ ■ U„ finden zu lehren.) Die Funktionen 
Ui, ■ • ■ Ua können ais von einander unabhängig aufgefasst wer- 
den, weil fonsl die gegebene Gleichung schon durch einen 
Tlieil deri'elben inlegrirt werden würde. Sind aber u,,---Uo 
von einander unabhängige Funktionen von Xi,- ■ ■ x„, fo lassen 
fich n diefer letzteren Grössen, z. B. Xj,- - ■ x„, als Funktionen 
der übrigen und der Grössen u, , ■ ■ ■ u„ darstellen. Es fei, 
x,e, -]-■■■ -j- x^Cn ^^ y, und x„(.,e„-|.i -{-■■■ -j- x^em^ z ge- 



y Google 



353 (»«a 

fetzt, und feien die auf den Verein der Variabein «!,■■■ Un, z 
bezüglichen partiellen DifTerenzialquolienteti erster Ordnung 
nach der Relhü mit ^i,--- «Ja, ^ bezeichnet, von denen ali'o 
der letzte nach der extenfiven Grösse z genommen ist, l'o 
wird 

dy = (Jiy-dui 4-' ■ ■ + ^oY-dUn 4- ^y-dz, 
und alfo 

Xiix = X(dy-!-dz) 

= Xdiy-du, -f •■• -f Xtf„y-du„+(Xtfy-fX)dz, 
oder wenn wir 

Xdiy^U,,.-- X^„y-=U„ 
fetzen, fü wird 

Xdx = U,dUi H + 0„du„ -f (X^y + X>lz. 

Da nun, wenn man Ui,---Un als konstant Tetzt, Xdx 
identisch gleich null werden muas, und da dann duj,--- dUy 
= find, fo hat man (X.?y -f-X)dz — 0, und alfo 

Xdx = Uidu, H + U„du„. 

Anm. Ea gilt tliefer Satz auch, wenn Xdx eine estenJ'ivo Grösse 
ist, und namentlich gilt der aweitc der oben mitgetheiUen Beweife 
unmittelbar auch fiiv diefen Fall. 

803, Wenn fich der Ausdruck Xdx (in dem Sinne von 
502) auf n Glieder, nämlich auf U, du, -{-■•■ -J- U„du„ zurück- 
führen lässt, aber nicht auf weniger als n folche Glieder, fo 
wird die Gleichung 

Ca) Xdx = 
integrirt durch Vereine von je n von einander unabhängigen 
Gleichungen, und zwar bilden die folgenden Vereine von je 
n Gleichungen: 

llj — y,(u^^.|,. . . «„),- -., U, = y/U^|.i,. .. ((„■) 

^■dir;;^'+'--+^iu~*^ + ^^-^"-^** 



diin*^ dUi, 

wo r jeden der Werthe 0, 1, 2,--- n annehmen kann, und 
<fii^- ■ • <fr willkürliche Funktionen bezeichnen, das vollständige 
System der integrirenden Vereine. Wenn ins Bei'ondere r=^0 
ist, fo hat man den Verein 



y Google 



508) 853 

und wenn r = n ist, den Verein 

WO Ci, ■■■ Co willkürliche Konstanten find. 

Beweis. Die Gleicliung Xdx kann niclit durch einen 
Verein von weniger als n Zahlgleichun^en integrirt werden, 
weil fönst (nach 502) Xdx auf weniger als n Glieder der Form 
lldu zurückgeführt werden könnte, was mit der Vorausfetzung 
streitet. Es kommt alfo darauf an, Vereine von n Gleichungen 
zu finden, welche die Gleichung Xdx =0 integriren und zwar 
die ränimtlichen möglichen Vereine diefer Art. Es mögen die 
n von einander unahhängigen Gleichungen v, =0, Vj ^:::0,- ■ •, 
Vq = einen die Gleichung Xdx = integrirenden Verein 
bilden, fo lassen fich die Funktionen Vi,---, v^, welche ur- 
sprünglich als Funktionen der m Varibeln x^,- ■ ■ x„ angenommen 
fein mögen, zugleich darstellen als Funktionen von Ui,-''U„ 
und von n — m der Grössen x,,-- - x^,, z, B. als Funktionen 
von Uj, - •■ Un, x„^,, ■ • ■ x^. Wenn alle jene Funktionen Vj, ■ • -v^ 
dann nur Ui,- ■ ■ u„ enthalten, aber von x„_|_i,- • ■ x^ unabhängig 
find, fo ergeben lieh Ui,--- u^ als konstant, und es tritt der 
befondere Fall Cd) ein. Wenn aber mindestens eine der Funk- 
tionen V], ■ ■ • v„, z. B. v„, noch mindestens eine der Variabein 
Xn-f,,,--' x„, z. B. Xn,, cutiiült, fo lässt fich , vermittelst der 
Gleichung ¥„=0, x„ durch die übrigen (ui,--- u„, Xn_|.i,- ■ • 
Xa,_i) ausdrücken. Führt man diefen Ausdruck in die übrigen 
Gleichungen vj = 0,- • • Vn_.i3=0 ein, fo ist es möglich, dass 
in den fo erbaltenen Gleichungen noch mindestens eine der 
Variabein Xn_|_i , ■ ■ ■ Xn,_i vorkommt, z. B. Xa,_i in v^^^^O; 
in diefem Falle drücke man x^_i vermittelst diefer Gleichung 
durch die noch übrigen Variabein Ui, • • ■ u^, Xu^-i, ■ ■ ■ x^—i aus, 
und fetze diefen Ausdruck in die übrigen Gleichungen ein; 
und fo fahre man fort, bis man endlich entweder alle Glei- 
chungen Vi = 0,--' Ve = erschöpft hat, oder bis nur noch 
folcho Gleichungen übrig bleiben, die nur u„- ■ ■ Un enthalten. 

Im ersleren Falle muss (nach 491) der Ausdruck Uidu, -| 

Undu^ identisch ^= werden, alfo U^ = 0,- ■ ■ Un = 0, was 
den befonderen Fall (c) liefert. Im letzteren Falle mögen zu- 
23 



yGoosle 



354 



(SOS 



letzt r Gleichungen V| =:0,-" v, = übrig geblieben fein, 
welche nur die Variabein Ui,"- a^ enthalten, fo können wir 
vermittelst diefer Gleichungen r der Grössen U| , ■ • - «n als 
Funktionen der übrigen darstellen, z, B. Ui,---Uj als Funk- 
tionen von u^fi,- ■ ■ Un. Der Vorein wird in diefem Falle stets 
ein integrirender fein, wenn nur, von welcher Art auch jene 
r Funktionen fein mögen, durcli fie der Ausdruck U,du, -(--■■ 
Undua identisch gleich null gemacht wird. Da wir u,,-'«^ 
als Funktionen von Urfi,--Un dargestellt haben, l'o erhal- 
len wir 



'äUi+I 



U.sr". +• 



-^l, +Ü,H=« 



'du, 



du„ 



+ U„ : 



■- 0, 



als die nothwendigen, aber ausreichenden Bedingungen, da- 
mit in (liefern Falle UidUi -J-- ■ ■ Undu„ identisch gleich null 
werde. Somit haben fich die Vereine b (von welchen (c) und 
(d) nur speciellc Fälle darstellen) als die fämnitlichen mög- 
lichen Vereine ergeben, welche die Gleichung Xdx = unter 
der Vorausfotzung des Satzes integriren. 

Anm. Es ist dieter Satz nach Teiner einen Seite hin in der an- 
gefüln'ten Abliandlung Jacobi'a (Grelle Journal B. 2 p. 348) nacli- 
gowicfen. Aber es ist doit die wichtigste Seite unferes Satsi^s, dass 
Ca liäralich ausser den GlcichiingSTereinen (b) keinen Verein integri- 
rendcr Gleiclrnngen gebe, nicht nadigewiefen. Auch ist dort nicht 
gezeigt, worin der verschiedene Charakter der integriienden Vereine 
(b) JQ nach dem Werthe des Index r bestehp, obgleich Jac obi mehr- 
lai,h aif die loischn-denheit diefes Charakters hinweist. Offenbar 
war Jacobi auüi mit dieler beite unfures Satzes vollkommen ver- 
tnut, und es li^ nur in dem befondcren Zwecke jener Alihandlongen, 
dass er Tich darüber nicht wLitei ausspiKht — Man fieht aus diefem 
and dem vorbeigehenden Satze, dsas es dasfelbc ist, zu Tagen, es 
lasse lieh idx = durch Vereine \on je n (und nicht weniger als n) 



Olcichungen mtegure 
Sinne von 50i) auf ei 
dei der Form Udu /.a 
dingungen aufzufinder 
wenn diefe GLdiiiguii^ 
iugelien Um beides 



I, oder zu fagen, es lasse ßch Xdx (.in dem 
le Summe von n (und nicht weniger als n) Glie- 
iltkfüliren Alfo kommt es darauf an , die Be- 
, mter denen diife Redaktion möglich ist, und 
::n fcilillt find, dii- Methode der Reduktion an- 
iut ein^ Itichtc Weife zu erreichen, wird es 



y Google 



hmii g r i f lg d 



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niigl h R 1 
Xd—O gll lltdg tgthb UddfBthtg 

litmdWg b twllmm}£fk 

dfml Zldltglh g glg 

30^- Erklärung, Wenn L einen Ausdruck mit n 
Lücken gleicher Gattung darstellt, für welche jedoch nicht 
Verlaiischharkeit der Lücken vorausgefetzt ist, fo verstehe ich 
unter [Laia^--- a^] den Ausdruck, welchor hervorgehl, wenn 
man ai,--- a^, in allen möglichen Ordnungen in die n Lücken 
von L eintreten lässt, den erhaltenen Ausdrucken das Zeichen 
4- oder — vorfetzt, je nachdem das kombinatorische Produkt 
der Grössen, welche nach der Reihe in die n Lücken von L 
eintreten, dem Produkte [aiaj-'-aJ gleich oder ontgegen- 
gefetzt ist, und dann die Summe der fo erhaltenen Glieder 
durch deren Anzahl dividirE. Wenn L weniger als n, z, B. 
nur n — r Lücken enthält, fo verstehe ich unter [La,a2 ■ ■ ■ a^l 
den Ausdruck, welcher hieraus hervorgeht, indem man dem 
L noch r Faktoren i voranstellt, von denen man jeden als 
Ausdruck mit einer Lücke betrachtet, indem nämlich, wenn 
man diefe Lücke durch eine Grösse a ausgefüllt denkt, aus 1 
die Grösse 1-a, d. h. a, hervorgeht. Hierdurch ist diefer 
Fall auf den vorigen zurückgeführt. Wenn ins Befondere L 
ein Ausdruck mit n — 1 Lücken ist, der durch Ausfüllung 
diefer Lücken eine Zahigrösse wird, fo wird 

[Laj ■ ■ . aj = — CaitLAj] + ■ ■ • aJLA J), 

wo Aj [für jeden Index r) alle Grössen a,,--- a^, mit Aus- 
schluss von a^, als Faktoren enthält und [a^A,] = [a,a2- ■ ■ a„ 
ist. Ich nenne auch diefe Produkte (wie überhaupt alle welche 
durch die scharfe lilammer umschlossen find, f. 94) bezüg- 
liche Produkte, und zwar fetze ich als das Hauptgebiet, auf 
welches fie fich beziehen, das Gebiet der Einheiten, aus 



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356 (**** 

welchen die l^mmtlichon Grössen, welche in die Lücken ein- 
zutreten fähig find, abgeleitet werden können. 

305. Wenn L einen Ausdruck mit n Lücken bezeich- 
net, und 

O [a,-.--a„] = [bi---b„] 
ist, Fo ist auch 

[La,-..a.l = [Lb,-..bJ, 
und wenn 

2) [ai-.- aj = 
ist, fo ist auch 

[Lai--- a„] = 0. 

Beweis. Wenn zwei der Grössen ai,--- ä^, z. B- a^ 
und a^, einander gleich werden, fo ordne man die Ausdrücke, 
welche (.nach 504) bei der Entwickclung von [Lai- ■ ■ aj da- 
durch hervorgehen, dass man ai,--an in allen möglichen 
Folgen in die Lücken von L eintreten lässt, paarweife fo, dass 
je zwei derfelben, bei denen fich die Reihenfolge jener Grössen 
nur durch die gegenteitige Stellung von a,. und a^ unterschei- 
den, ein Paar bilden. Dann werden die Ausdrücke jedes 
Paares (nach 504) entgegen gefetztes Vorzeichen haben; wenn 
nun a^ und a, einander gleich werden, fo werden diefe Aus- 
drücke, abgefehen von dem entgegengefetzten Vorzeichen, 
identisch; alfo wird ihre Summe null, alfo in diefem Falle 
auch [Lai ■ • • a J =: 0. 

3. Wenn [ai- ■ ■ aj =:0 ist, fo heisst das (nach 66), es 
stehen die Faktoren ai,--- a^ in einer Zahlbeziehung, d. h. 
(nach 2) eine derfelben, z, B. Sn, wird fich als Vielfachen- 
fumme der übrigen a,,- ■ ■ a^-i ausdrücken lassen. Führt man 
diefen Ausdruck für a^ in [La, ■ ■ ■ a„_ia„J ein, und löst die 
diefen Ausdruck umschliessende Klammer auf, fo stellt fich 
[Laj ■ ■ • an_ia„] als eine Viel fachen fumme von Ausdrücken dar, 
deren jeder zwei gleiche unter den Grössen aj,- ■ - a^—i ent- 
hält, alfo (nach Bew. 1) null ist. Alfo ist auch jene Viel- 
fachenfumme, d.h. [Laf-Bn], gleich null, 

3. Wenn die Reihe der Grössen ai,--- an eine einfache 
lineale Aenderung erleidet (vergl, 71), z. B. a^ fich in a^ -f aa^ 
vonvandell, wo a eine Zahlgrösse ist, und r und s von ein- 



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»0*> 357 

ander verschieden find, fo verwandelt fich [Lai- • - a,arfi ■ ■ • aj 

in [Lai ■ ■ ■ ■ apaj+, ■ ■ ■ ■ aj + a[Lai ■ ■ • ■ ar_iasa,-)-i aj; der 

zweite diefer Ausdrücke enthält, da s von r verschieden ist, 
a, zweimal, ist alfo (nach Bew. 1) gleich null, aifo bleibt der 
Ausdruck [La, •■■ aj von unverändertem Werthe, wenn die 
Reihe der Grössen Sn- ■ ■ a„ eine einfache lineale Aenderunjj 
erfährt, alfo auch, wenn fie wiederholt eine einfache lineale 
Aenderung erfährt, d, h. (nach 71) wenn jene Reihe fich über- 
haupt lineal ändert. Wenn nun [aiaj ■ ■ ■ a„] = [b,bä ■ • • bj ^ 
ist, fo lässl fich (nach 76) die Reihe b,, b2,---b„ aus der 
Reihe a,, Hj,--- a^ durch lineale Aenderung ableiten, wobei, 
wie eben bewiefen, der Werth von [La, ■ ■ • aj unverändert 
bleibt, d. h. es ist dann [Lai ■ ■ ■ a J = [Lbj - ■ ■ bj, 

-300. Erklärung. Wenn ein Ausdruck L mit n Lücken 
die Eigenschaft hat, dass er mit je n Grössen a,- ■ ■ - am die 
in die Lücken eintreten können, ein Produkt [Laj- ■ ■ a„] liefert, 
welches null ist, fo fetze ich [L] = 0, Wenn ferner ein Pro- 
dukt [a^ ■ - • En] = 1 ist, und L n Lücken enthält, fo fetze ich 
[L] = [L.,. ■...]. 

Anm, Es ist schon früher bei der Behandlung des Potenzwerthes 
eines Bruches Q (No. 383), obwohl nur gelegentlich., die hier gewählte 
Bezeichnung angewandt, indem, wenn e,j-.en die n Henner find, 
deren Produkt [ej' - • ej — 1 ist, und »i,- ■■ an die zugehörigen Z&hlcr, 
unter [Qn] das Produkt [aj-'-an] verstanden war. Da nun Q als 
Lückenausdruck mit einer LUcke aufgefasst werden, kann, indem näm- 
lich (für jeden Index r) Qer:=ar ist, fo wird Qu ein Ausdruck mit 
n Lücken, und gehört alfo [Q"] au den hier (in 506) definirten Aus- 
drücken. Man überzeugt [ich leicht, dass auch nach diefer Definition 
(506) der Ausdruck [Qn] = [ai-Sj- ■ ■ an] wird, und alfo beide Defini- 
tionen in vollkommener Ueberein Stimmung stehen. Es hat fich mir 
die Allgemeinheit der hier (in 504 und 506) aufgestellten Begriffe, und 
ihre wefentliche Bedeutung für die Analyfis erst während der Arbeit 
ergeben. Sonst würde ich diefe BegrÜTe und die daraus fliessenden 
Sätze fogleich an ihrer Stelle (im ersten Kapitel diefes Theiies) be- 
handelt haben. Da liier diefe Sätze den Gang der Entwickelung unter- 
brechen, fo beschränke ich mich auf diejenigen Sätze, welche für die 
folgende Darstellung unentbehrlich erscheinen. 

S07. Wenn L zwei oder mehrere vertauschbare Lücken 
enthält, fo ist [L] =0, 

Reweis. Es ist zu zeigen, dass wenn von den n Lücken 



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358 ta»8 

von L auch nur zwei mit einander vertauschbar find, allemal 
[La,,- --an] null ist, was auch a,,---an für Grössen fein 
mö^en. Denn es feien die ül)rigen Lücken durch beliebige 
jener Grössen ausgefüllt, fo geht ein Ausdruck mit zwei ver- 
tßuschbaren Lücken hervor, diefer Ausdruck fei P. Sind nun 
b und c zwei beliebige Grössen, welche in diefe zwei Lücken 
eintreten können, fo ist, da die Lücken vertauschbar find, 

•1 
Pbc = Pcb; aber [Pbc]=-^CPbc — Pcb), alfo =0, alfo auch 

[Lac - ■ Bq] ^0, für beliebige Grössen ai,--- a„, d, h. (näch 
506) [L]=0. 

508. Wenn Aj,--- A,, Grössen mit je einer Lücke der- 
felben Gattung find, welche entweder alle, oder doch alle bis 
auf eine derfelben, nach Ausfüllung diefer Lücken Zahlgrössen 
werden, und P ein Ausdruck mit beliebig vielen Lücken ist, 
fo ist das Produkt 

[Ar ■ ■ A,P1 
ganz Ten Gefetzen der kombinatorischen Multiplikation (52ff.) 
unterworfen und zwar in dem Sinne, dass Aj, ■■■ A^ als ein- 
fache kombinatorische Faktoren betrachtet werden, namentlich 
find zwei Produkte, welche ßch nur durch die gegenfeitige 
Stellung zweier diefer Faktoren unterscheiden, einander ent- 
gegengefelzt, d, h. 

Ca) [Ai--A,--A,-.A„P] = [Ar-A,--A,-'A„P], 
wo beide Seiten der Gleichung [ich nur durch die gegenfeitige 
Stellung der Faktoren Ar und A^ unterscheiden, und wenn 
zwei jener Faktoren gleich werden, fo ist das Produkt null, d. h, 

(b) [Ai---A,---A,.--A„P] = 0. 
Beweis. Betrachtet man z. B, nur die beiden ersten 
Faktoren At und Aj und nennt das Produkt der übrigen Q, 
und fetzt ei, ■ ■ ■ e„ als Einheiten, deren kombinatorisches Pro- 
dukt 1 ist, fo ist 

[AiAjO] = [AiAaOeiOjes ■ ■ • ej. 
Hier foUen C'iacb 504) die Faktoren e^eieg ■ ■ ■ e^ in allen mög- 
lichen Ordnungen in die Lücken von AiÄ^O eintreten, und das 
Vorzeichen wird pofitiv, wenn Cj, Cj, e^,--- On entweder in 
diefer Ordnung, alfo ei in Aj, e^ in Aj und die übrigen 



y Google 



50») 359 

Cj- ■ Cn nach der Reihe in Q, eintreten, oder in irgend einer 
andern Ordnung, welche durcii eine gerade Anzahl von Ver- 
fetziingen aus jener Ordnung hervorgeht; ganz dierelbe ße- 
(ieutung hat aber [AiA^OejCieä- ■ ■ ej, indem auch hier das 
Zeichen pofitiv wird wenn ßi in Aj , e^ in Aj , und e^, ■ ■ ■ e^ in 
diefer Reihe in eintreten u. f. w., alfo ist [AiAjOeie^ea ■ • - ej 
=:[AsAi0e5eie3- -ej, letzteres ist aber, da (nach55)[e2eje3- -Cn] 
= — [eiejeg- ■ -o^] ist, (nach 505) gleich — [ÄjAiOeiejöa ■ ■ -e^], 
alfo [AiAaO] = — [A^AiQ]. Werden Aj und Aj einander gleich, 
fo folgt aus diefer letzten Formel, dass dann [AiA^O] null "wird, 
Dasfelbe gilt nun aus demfelben Grunde, wenn man statt der 
beiden ersten Faktoren des Ausdruckes [AiAj--- AnP] irgend 
zwei andere, A^ und A^, betrachtet. Somit gelton die For- 
meln (a) und (b) und auf ihnen beruhen die übrigen Gefetze 
der kombinatorischen Multiplikation. 

309. Wenn A ein Ausdruck mit einer Lücke und B ein 
Ausdruck mit m— 1 Lücken derfelben Gattung ist, und aj,- - 'O^ 
Grossen dicTer Gattung find, fo ist 

[ABax--- aJ=A[Bai--' aj 

wo Aj alle Faktoren aj,- ■ ■ a„, mit Ausnahme des Faktors a^, 
enthält, und zwar fo, dass [a^Äa] ^= [aiaa- ■ ■ am] ist, und wo 
die Summe fich auf die Werthe a^=l,-'--m bezieht. 

Beweis 1. Um den Ausdruck [ABai- ■ ■ a„] zu entwickeln, 
muss man in die Lücken von AU nach und nach alle mög- 
lichen Anordnungen der Faktoren aj,--- a^ eintreten lassen; 
dabei muss alfo in Ä nach und nach jede der Grössen ai, - ■ ■ a^ 
eintreten. Wenn nun zuerst in A die Grösse ai eintrilt, fo 
müssen in ß die übrigen Faktoren, alfo die Faktoren von Aj in 
allen möglichen Folgen und zwar gleichfalls mit dem Zeichen- 
gefetz eintreten, dass zwei fo hervorgehende Ausdrücke gleiches 
oder entgegengefetztes Vorzeichen haben, je nachdem die bei- 
den Reihenfolgen ein gleiches oder entgegengefetzles kombi- 
natorisches Produkt liefern. Die fo hervorgehenden Glieder 
werden alfo ^ Aai[BAi] liefern. Hier ist jedoch das -[--Zeichen 
zu wählen, weil [aA] :^ [aja^ ■ ■ ■ a^] ist. Aus gleichem Grunde. 



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360 (**» 

ist die Summe der Glieder, bei denen in A die Grösse Ba ein- 
tritt, = 4- ÄSäCBÄj] u. r, w.; alfo wird, da man diefe Summe 
nocli durcli die Anzali) ihrer Glieder dividiren muss, 

[ABar ■ ■ a„] = —XÄäjBÄJ- 
m 

2. Ferner ist Cnacii 504) 

A[ßar--aJ=i-AZaIßAj" 

= — ZAa,[ßA„] [39] 

= [ABai--- a„] [Bew. i]. 

310. Wenn C ein Ausdrucli mit zwei Lüclten gleicher 
Galtung ist, welcher durch Ausfüllung feiner Lücken eine 
Zahlgrösse wird, und a eine Grösse jener Gatlung, B aber 
ein Produkt von 2n — I reichen Grössen, und 2n die Anzahl 
der Einheiten ist, aus welchen die Grössen diefer Gattung ab- 
leitbar find, fo ist 

[CatC-'ß]] = [C"aB] 
fCtC-'ßla] = [CBa]. 

Beweis. [CaB] drückt, da die n Faktoren C alle ein- 
ander gleich find, und nach Ausfüllung ihrer Lücken Zahl- 
faktoren werden, alfo untereinander vertauschbar find, aus, 
dass a in eine Lücke eines der Faktoren, z. B. des ersten 
Faktors C, eintritt, während die 2n — i Faktoren von B in 
die andere Lücke jenes Faktors und in die übrigen Faktoren 
eintreten. Dasfelbe drückt aber die Formel [Ca[C"~'ß]] aus, 
alfo find beide gleich. Auf gleiche Weife ergiebt fich die 
zweite Formel. 

an. Wenn Xdx (in dem Sinne von 502) auf n Glieder 
der Form Udu zurückführbar fein feil, d. h. 

Xdx = Uidui + --- U„du„ 
fein foll, fo muss nothwendig 

fein. 

Beweis. Es fei Ujdui -|- ■■■ Undu^ der Kürze wegen mit 
^UadUa bezeichnet, fo ist 



y Google 



^ dx 

aKo 

^ Mx " 
Somit 

dx flx ^ . "dx " 

2 Au .i-u 4- Vu ^y 
dx " dx " ,^ "dx^ "* 

Da ^-vu. ein Ausdruck mit zwei vertauschbaren Lacken 

ist (45i), fo können wir bei der Substitution von -;-X in dun 
^ ' dx 

Ausdruck rx(^^x'A''] (nach 507) die Glieder /"u,^,u„ 

weglassen, und erlialten 

\ r,, d d„ d d„ d 1 

wo die Anzahl der Indices a, El, c,--* gleich n + 1 ist- Da 
aber u nur n verschieilene Indices hat, fo müssen unter den 
Indices a, b,---- nolhwendig mindestens zwei gleiche vor- 
kommen; alfü werden auch unter den Grössen -^-u,, -r-"*) 
' dx "' dx "' 

-j— Uc, ■- nothwendig zwei gleiche vorkommen, alfo ist (nach 

508J jedes Glied der obigen Summe null, alTo die Summe 
reibst, d. h. 

^d. 



m^y]^ 



0. 



Anm. Ich werde im FolgeiitTen zeigen, dasa diefe Bedingungs- 
gleiohuiig BUgleicli die vollkommen ausreichende ist, fo dass, wenn 
rie erfilllt wird, auch alleinal die Reduktion auf n Glieder der i'orm 
Udu, alfo auch (nach 503) die Integration durch Vereine von n Glei- 
changen möglich ist. Es ist daher diefe in der That wunderbar ein- 



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362 CS«» 

fache rormel von fehr weitreichender Bedeiituug Der ßeweia dci 
felben lat oben lo gefuhrt, dasa auch die Art, wie diefelbe gefunden 
ist, unmittelbar hmdurLhleuclitet. Auch halt ea nicht sihwi.r, die 
etitbiiieLhcnden Formeln für den lal! zu entnickilu, dasä \dY Pint, 
extenfiye Grösse ist, und ich höbe dicfe letzteren Formeln hitr nui 
di,shalb nicht aufgestellt, weil wie schon oben aigedenttt, die Be 
handlung diefes allgemeinen, die ganze Integralrechnung abechheasen 
den Falles hier unterbleiben musste Dagegen werde ich die oben 
mitgetheilte Formel in der lolgenden Nummer in die gewöhnliche 
Ai alj-riD kleiden 

512. Aufgabe. Die Bedmgungsgleicliung au» 511, 
nSmlich 



durch Zahlgleichungtn zu erfetzen. 



Auflöfung. Es fei x — XiCi -j x^e^, wo Ci,- ■ • e„, 

das System der Einheiten bilden. Dann ist dx = eidxi -(-■■■ 
CmdXai; und es wird Xdx = Xe,-(!xi -f . . . Xe„dx„ = X,dx, 
■f---Xn,dx„, wenn wir die Zahigrösson Xüi,- ■ ■ XCn, hezieli- 
lich mit Xi,- ■ ■ X„ bezeichnen. Die obige Bodingungsgleicbung 

fagt dann (nach 506), da X eine und -r-X zwei Lücken ent- 
hält, aus, (iass 

fei, und auch bleibe, wenn man statt Cj, Oj,- - ■ Caa+i beliebige 
2n + l unter den in Einheiten Ci,' ■ ■ e^ Tetzt. Islm^2n + 1, 
fo tritt keine andere numerische Bedingungsgleichung als die 
Gleichung (*) hervor; ist m "^' 2n -|- 1 , fo tritt gar keine hervor, 

weil dann je 3n + 1 Grössen, mit denen Ixf -pX) 1 multi- 

plicirt werden mag, in einer Zahlbeziehung stehen, alfo 

dann mit ihnen multiplicirt (nach 505^ null lie- 

alfo (nach 506) felbst null ist. Wir nehmen daher jetzt 
an, dass m =; > 2n -j- 1 fei; und Tuchen unter diefer Voraus- 
fetzung in der Gleichung *, X und x durch die Zahlgrössen 
Xi,- • ■ Xa, Xi,- • - Xm zu erfetzen. Nun ist nach dem Obigen 



Km 



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-I^ 



Xe,= X„ alfo-^Xe,e, = -ix,e3 = .-X, (nach 451), folglich 
verwandelt ficli die obige Formel (*) in 

dXj dXg dXjQ-l-i 

WO man die Indices auf alle möglichen Arten zu vertauschen 
und dem jedesmaligen Gliede das Zeichen + oder — vorzu- 
fetzen hat, je nachdem diu Anzahl der Vertauschnngen, durch 
die es hervorging, eine gerade oder ungerade "war. Bezeich- 
nen wir nach Jacobi's Vorgange (Grelle Journal 2, 351) 

- — X, — T-X, mit (2, 3) u. r. w., oder aligemein fetzen wir 
axg dx; 

/X,-/X. = (r,,), 
dXg ' äx,. ° >- ' " 

fo können wir die vorige Formel auch schreiben 

Ö = X+ Xi(2, 3)(4, 5) (2n, 2n + 1), 

wobei die Vertauschungen je zweier in einer Klammer stehenden 
Indices ausgeschlossen bleihen, Ebenfo können wir, ohne die 
Bedeutung der Gleichung zu ändern, festfelzen, dass der erste 
der beiden in Klammern geschlossenen Indices von einem Faktor 
zum nächstfolgenden nur wachfe, nie abnehme. Denn da die 
Ordnung der Zahlfaktoren (2, 3) u. f. w. gleichgültig ist, fu 
können wir ihnen immer jene Anordnung geben. Wir be- 
zeichnen in diefcm Sinne (mit Jacobi a. a, 0. p. 355) die 

Summe X+(2, 3)-(4, 5) (3n, 2n -l- iy~mH (2, 3, 4, 5, 

■ ■ ■, 2n, 2n + 1), fo verwandelt ficli die obige Gleichung in 
= X+X,C2, 3,---- 2n -J- 1), d. h. 
= X,(2, 3,--- 2n -I- 1) — Xi(l,3,---- 2n -f 1) 

+ X3(1, 2, 4,--- 2n-|-I) , 

was Jacobi (a, a. 0. p. 356) schreibt 

(*«) = Z'XiTcäTs^— ■ , 2n -I- 1). 

Solcher Gleichungen giebt es fo viele, als es Kombina- 
tionen ohne Wiederholung aus m Elemente» zur (2n -|- l)-len 
Klasse giebt. Aber diefc Gleichungen find, wenn mT-»2n-]-l 
ist, nicht unabhängig von einander. In der That können wir 
zeigen, dass wenn die Gleichung (*), deren Transformirte die 



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364 (»i« 

Gleichung (**) ist, für a!Ie Kombinationen aus ei,--- e„ zur 
t2n + l)-ten Klasse, in denen eine Einheit et vorkommt, deren 
zugehöriges Xe^ ^^X, nicht null ist, als geltend angenommen 
wird, fie aucli für alle übrigen Kombinationen (in denen e^ 
nicht vorkommt) gelten muss. In der Thal, es fei X, ^ 0, 
und gelte die Gleichung * für alle Kombinationen, in denen 
e^ vorkommt, d. h. es fei allemal 

wenn Ej eine beliebige Kombination ohne Wiederholung ans 
Cjj''"- i^m ^i"" 2n-len Klasse ist, fo ist zu zeigen, es fei 
auch allemal 



[x(lx)"c.H.] = 



= 0, 

auch wenn e^ eine beliebige in E, nicht vorkommende Einheit 
bezeichnet. In der That ist (nach 508) 1 X\^X jj allemal 



null, alfo ist (nach 506) auch Ix^r^xTeie^Ej = 0, d.h. 
2"+Xe,[x(-ixJe.E,] = 



es ist 



wo die Summe fich auf die verschiedenen Glieder bezieht, 
welche aus dem unter dem Summenzeichen stehenden dadurch 
hervorgehen, dass man Oj nach und nach mit jeder in e^Ej 
vorkommenden Einheit vertauscht (und das Vorzeichen ändert); 

allein alle diefe Glieder find null, weil dann l'^V j~X ) I ■"'' 

einer Kombination von Einheilen multiplicirl ist, unter denen 
Ci vorkommt, und diefc Produkte nach der Vorausfetzung null 
find, alfo bleibt das unter dem Summenzeichen stehende Glied 
allein übrig, d. h, es ist 

Nun ist gleichfalls vorausgefetzl , dass die Zahlgrösse Xoj 
= Xi von Null verschieden fei, alfo erhält man 



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*«4) 399 

was zu zeigen war. Wir fassen nun das Refultat in einen 
Satz ziifammen: 

513. Wenn der Ausdruck X,(]xi -f X„(lx„, in 

welchem X,,- ■ • X„ Funktionen der Variabeln Xi, Xn, find, 

fich auf n Glieder, nämlich auf Uidu, -f ■ ■ ■ U„dUn, foll rodu- 
cirßii lassen kiinnen, oder, anders ausgedruckt, wenn die 
Gleichung XjdXi -| — -XnidXm^^O, fich foll durch Vereine 
von ja n Gleichungen inlegriren lassen können, Co muss erstens, 
wenn tn^=2n ■]- 1 ist, die eine JJedingungsgleichung 

^X,(2, 3,..-,2n -}- 1) = , 
welche die in 512 beschriebene Bedeutung hat, erfüllt wer- 
den; wenn aber zweitens m ^' 2n + 1 ist, fo treten fo viele 
(blcher Gleichungen hervor, als es Kombinationen aus m Ele- 
menten zur (2n -f l)-ten Klasse giebt, indem man nämlich 
statt der Indices 1 , 3, - ■ ■ , 2n + 1 in obiger Gleichung jede 
andere Gruppe von ebenfo vielen Indices fetzen kann; doch 
reicht unter diefen Gieichungen schon eine geringere Anzahl 
aus, indem, wenn z, B. Xi ungleich null ist, es ausreichend 
ist, wenn man in der obigen Gleichung statt der Gruppe der 
Indices 2, 3,--2n + l, jede andere Kombination aus den 
Indices 2, S---- m zur 2n-len Klasse fetzt. So bleiben nur 
foviel ßedingungsgleichungen übrig, als es Kombinationen ohne 
Wiederholung aus m — 1 Elementen zur 2n-ten Klasse giebt. 
Anm Für den einfachsten Fall wom = 2n + list hatJacobi 
(0 a O p 356) de Bcd n^ungsgle lung autgestellt F r den Fall 
^O n = l st erh It man 1e beka nten Bei ngung gle eh nge de 
Integrahltat wekhe (nach 511) n der G!e 1 g [\^xj=Ozi 
fammengef ast ersehe nen Es kommt n lara f an de Zurück 
5 hrung on \Ix auf Cl eder Icr Form Udu fobald nar d e Be 
1 ng ngsgle eliu g (511) f Ir d e MogI cl k t d eler 7 nlckfiihrung er 
füllt ist a ch w rkl c! z volk ehen Za d ele n En 1 1 U n r acl 
Pfaff B ^orga ge d e folgende Aufgabe 

514. Aufgabe. Die Zahlgleichung 
(a) Xdx = 0, 

in welcher X eine Funktion von x, und x = Xiei +■ ■ • x„e^ 
aus einem Systeme von m Einheiten abgeleitet ist, auf die 
Form zu bringen, dass die hervorgehende Gleichung nur m — J 
veränderliche Zahlgrössen enthalte. 



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366 (»t4 

Äuflöfung. Es kommt zu dem Ende nur darauf an, x 
als Funktion einer aus m -— 1 Einheiten ableitbaren Veränder- 
lichen a, und einer veränderlichön Zahlgrösse l in der Art 
darzustellen, dass, wenn man diefe Ausdrücke für x in die 
gegebene Gleichung einführt, dann der Koefßcienl von dt in 
der entwickelten Gleichung; null wird, und der Eoefüctent von 
da entweder t gar nicht mehr enthält, oder nur in einem Zahl- 
fflklor JV, fo dass, wenn man die Gleichung mit N dividirt, 
die fo hervorgehende Gleichung t nicht mehr enthält. Be- 
zeichnet man mit S' das Bilferenzial nach a, wobei t konstant 
gefetzt ist, und mit <f den Differenzialquotienten nach t, wo- 
bei a konstant gefetzt ist, fo erhält man dx = d'x -|- dx-dt; 
folglich müssen, wenn die verlangte Aufgabe gelöst fein foll, 
die beiden Gleichungen erfüllt werden 
(b) X.Jx = 

CO ^^ =0, 

indem die letztere ausdrückt, dass SiJ'x ;iV nicht mehr von 
t abhängig ist. Die letzte diefer Gleichung giebt, wenn man 

fetzt, 

(e) IXS'x = diX^'x) = <JX ■ 6'x -f Xrfd'x. 
Differen^iirt man auch die Gleichung (b).nach a, fo er- 
hält man 

CO =rf'X-(fx + X<?'^x. 

Subtrahirt man die zweite diefer Gleichungen von der 
ersten, fo erhält man 

(g) XXä'x = .JX . S'x - d'X .Jx 

(Ix 



(h) /lXrf'x = r^X J'x.^xl. 



Hier ist -r-X ein Ausdruck mit zwei Lücken; und zwar 
dx ' 

ist hier als erste Lücke, d. h, als diejenige Lücke, in welche 

der zuerst gestellte Faktor (im ersten Gliede rf'x) eintreten 



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*!*> 367 

foll, diejenige Lücke aufgetasst, welche in X enthalten ist, 
und als zweite die diircli die Differenziation nach x und Divi- 
fion mit dx hrriziitretendo. Die Gleicluing (h) wird nun offen- 
bar erfüllt fein, wenn für jede Grösse c, die mit x (alfo auch 
mit S'x) von gleicher Gattung ist, 

(D «C = [i;X.C.&] 

ist. Ich zeige nun, dass, fobald diefe Gleichung (i) (für jede 
Grösse c) erfüllt ist, auch die beiden Gleichungen (Ij) iind (c) 
erfüllt find, und alfo die verlangte Aufgabe gelöst ist, voraus- 
gefctzl, dass X von Null vcrscliieden ist. Es ist ^'x mit x 
von gleicher Grösscngattung, muss alfo, wenn die Gleichung 
(i) allgemein gilt, in diofer Gleichung statt c eingefetzt wer- 
den können, wodurch man die Gleichung ^li) erhält; alfo gilt 
auch die Gleichung (g), da fie mit Ch) gleichbedeutend ist. 
Ferner ist auch 6x von gleicher Gattung mit x, kann alfo 
statt c in Gleichung (i) eingefetzt werden. Dann wird aber 
die rechte Seite derfelben (nach 505) null, alfo erhält man 
X\ds^O, alfo da^^O (nach Vorausfetzung), fo ergiebl fich 
Xdx. = 0, d, U. die Gleichung (b) gilt. Dann aber gilt auch 
die daraus abgeleitete (f)- Durch Addition der Gleichungen 
(f) und (g) geht aber die Gleichung (e) hervor. Setzt man nun 
log. JV^=d~Udt, fo wird auch die Gleichung (d) erfüllt, und 
indem man den daraus fliessenden Werth von X in (e) einfetzt, 

N ""^ 

Xdx=0 transformirte Gleichung, welche nur noch a, alfo 
eine aus m — 1 Einheiten ableitbare Grösse als Variable ent- 
hält, und die Aufgabe ist gelöst. Dies in einem Satze dar- 



„Wenn die Zalilgleicliung 
Ca) Xdx = 0, 
in welcher X eine Funktion von x, und x aus m Einheiten 
ableitbar ist, angenommen wird, und man x als Funktion einer 
aus m — 1 ableitbaren Variabein a und einer veränderlichen 
Zalil t fo bestimmt, dass, wenn 6' das Differenzial nach a, 
wobei t konstant gefetzt ist, und S den DifTerenzialquotienten 



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36S (A>a 

nach t, wobei a konstant gefetzt ist, bezeichnen, und c eine 
beliebigfe mit x gleich gatttge Grosse, X aber eino noch unbe- 
kannte jedoch von Null verschiedene Zahlgrösse darstellt, die 
Gleichung 

0) AXc^Fj^X-c-Jx] 
erfüllt fei, fo wird die Gleichung (a^ erfetzt durch die Gleichung 

W '^5 = 0, 



(1) log. JV^d-Udl 

ist.« 

919. Fortfelzung. Es komnit zunächst darauf an, aus 
der gefundennn Gleichung 5141 liio Grösse Sx auf eine Seite 
allein zu schaffen. Wir thun dies zunächst unter der Vor- 
ausfetzung, dass m = 2n fei. Jene Gleichung enthalt, wenn 
man statt c nach und nach diu Einheiten Ci,--- e^^ fetzt, 2n 
Zahlgleichungen, durch welche fich die Grossen rfx,,--- Sx^^, 
welche in iJx = ei<Jx, -f---- e^n^Xan enthalten find, im Allge- 
meinen ausdrücken lassen. Es gelingt dies auf eine fehr ein- 
fache Weife, fobald vorausgefetzt wird, dass 

feien. In der That hat man dann, um «Jx^ zu finden, nur in 

5141 statt c den Werth ['('j-x'^ Er] zu fetzen, wo [e^EJ 

= 1 ist und Er als Faktoren die 2n — 1 von e^ verschiedenen 

Einheiten enthält. Da nämlich ( t-X j im Ganzen 2n — 2 

Lücken enthält und E,. ein Produkt von 2n — 1 Einheiten isl, 

fo wird (nach 504) |(;r-X ] E^ I '^'"ß Viel fachen fnmme der 

Einheiten, aus denen x abgeleitet isl, alfo mit x von gleicher 
Gattung und kann alfo statt c in die Gleichung 514 i einge- 
fetzt werden. Dann verwandelt l'ich diefe in 



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Wandelt man die linke Seite diefer Gleichung (nach 509) und 
die rechte (nach 510) um, indem man bedenkt, dass j-X ein 



Ausfüllung ihrer Lücken Zahlgrössen werden, fo verwandelt 
fich jene Gleichung in 

Setzen wir hierin statt tfx Teinen Werth e^^Xi -(-■■■ Csndxjn, 
Fo bleibt, da [E,ej], wenn r von s verschieden ist, gleiche 

Fakloren enthält, alfo das Produkt I f — X J E^e^ I null wird, 

und da (nach 58) [E^e,] = - [e^E,] — — 1 ist, 

M {<E''T'^.]=-[a''j]-.- 

Wenn nun die Vergleichungen (a) und (b) erfüllt find, und man 
fetzt, fü erhält man 



d. h. (nach 509) 
oder (nach 3) 

(0 Jx = [x(^ixJ"']. 

Es. bleibt noch zu zeigen, dass der Werth ^x aus der 
Gleichung (e), in welcher [t die durch (d) ausgedrückte Be- 
deutung hat, in die Gleichung 514i eingel'etzt, diefe für jeden 
beliebigen Werth c identisch macht. Setzt man zunächst statt 



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c eine der Einheiten, z. B. e^, fo wird die reclile Seite der 
Gleichung 514 i 

[M=''[s-K^^)"*]]- 

Da x( —X j nach Ausfüllung feiner 2n — 1 Lücken 

eine Zahlgrösse wird, fo können wir, ohne die Bedeutung 
desfelben zu ändern, ilim noch eine Lücke l hinzufügen (nach 
504). Diefe Lücke fei mit den übrigen von gleicher Gat- 
tung, fo wird (nach 504) [x(^^)''"l = ['x(^xT~'l 

= _- rxi-j-X^-M (nach 508), und dies wieder (nach 509) 

^= / XeA l-r-X'^^^E, , wo E, die von e^ verschiedenen 

2n^ L dx "J' 

Einheiten zu Faktoren hat, und [euEJ = 1 ist; alfo erhält 
man, da Xe^ eine Zahlgrösse ist, alfo in dem Produkte be- 
liebig gestellt werden darf, 

[5^».-]=-ligi5(FfV|] 

Da nun E^ alle von e^ verschiedenen Einheiten als Fak- 
toren enthält, fo enlhäll es, wenn a von r verschieden ist, 
auch e^; dann aber ist [CrEJ (nach 60) null, alfo auch (nach 
505) der ganze Ausdruck, in welchem e^Ej vorkommt, alfo 
reducirt fich die obige Summe auf das Glied, für welches 
a = r wird; da aber [ejE,] = 1 ist, fo erhält man dann den 
obigen Ausdruck 

Setzt man hierin statt ^ feinen Werlh aus (d), fo wird der 
lelzte Ausdruck 

= -lXe,. 
Somit gilt die Gleichung 514 i für jede Einheit e„ die 
statt c gefetzt werden mag, alfo auch für jede Vielfachen- 
fumme diefer Einheiten, d. h. für jede Grösse c, die mit x 



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von gloichor Gattung ist. Alfo ist bewiefen, dass Jer Aus- 
druck (e) für 3x unter den gemachten Vorausfetzungen die 
Gleichung 514 i allgemein löst. 

Anm. In der erwähnten Abhandlung hat Jacob j (Grelle 3, 35i) 
die h g m ht d h d "V gl h g f ) d (bf g d k 
ten V ra f t g 1 11 iw g d gl hl 11 mm d d 

übrig F 11 w l r ^ r t g h t g lit 

beha d It D TU d F m 1 ( ) d (f) 1 f F m 

der g w h 1 h A Ijf g kl d t d f Ib Gl h g w 1 li 
tCp 354Ü) II h j 1 " " " 



Die D t m t w 1 1 d 


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angew d M th d w 1 h f h 


f Ib d b 


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Der A d k S 1 1 


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B 1 


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Bedi g gl h N 511 


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ergeb d E bl bt h b 


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l I 11 


ergiii 1 d i h d b g 


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C) 


d Cb) d 


geetellt \ f t g ht 


llt 


d 






Slto F tfl „ W 




1 W 


A 


g 


Nummer, 










c. [x(AxX■]^o, 










aber W [(5X)"] = 











ist, fo liefert die Gleichung 516c, welche von den Voraus- 
felzungen 516a und b unabhängig ist, fiir ^ den Werth null. 
Airo haben wir nicht mehr aur die Gleichung 5J4i zurückzu- 
gehen, da diefe nur für den Fall, dass /l<0 fei, zu einer 
Löfung der Aufgabe führte. Ks zeigt fich aber, dass dann 
die Gleichung 

wofür man auch die Kongruenz 



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372 (»»• 

fetzen kann, die Auflöfun^ der Aufgabe 514 crgiebt, d. h. die 
Gleichungen 514 b und c identisch macht. Denn dann wird 

x& = ^x[x(Ax)"-'] 

(d) Xöx — [508]. 

Ferner wird aus gleichem Grunde, wie in 515, 

nach der ersten Vorausreizung (a). Diefe Gleichung gilt für 
jede Einheit e^^ ßi^•^ ■ Oi„, alfo aucli für eine beliebige Viel- 
fachenfumme diel'er Einheiten, alfo auch für ^'x, da dies mit 
X von gleicher Gattung, alfo auch aus den Einheiten e,,- ■ ■ e^n 
numerisch ableitbar ist. Es wird alfo 

r-ji-X.*'xtfx]=:0, d h. 

-^Xi^'xiJx — ^-Xdxd'x =0. 
dx dx 

Es ist aber -^Xrfx^dX und -^-XiJ'x = J'X ; alfo hat man 
dx dx 

äXS'x — S'X-öx = 0. 
Differenziirt man nun die Gleichung (d) nach a, während 
t als konstant gefetzt ist, fo erhält man, da ä' das zu diefer 
Differenziation gehörige Zeichen war, 
d'X - (fx 4- X^rf'x = 0. 
Addirt man diefe Gleichung zu der vorigen, fo hat man 
SX-ä-x + XSä'x = 0, d.h. 
fe) SiXä'x-) = 0, d. h. 
es ist X«i'x von t unabhängig, und alfo, da (nach 504) Xdx 
= Xd'x -j- X^x war, und XiJx^O ist, 

Xdx = Xd'x, 
wo der letzte Ausdruck von t unabhängig ist, alfo nur von 
2n - 1 Variabein abhängt. 

Anm. Die Gleichung (b) ist alfo (unter der Vorausfetzung a) 
die Bedingungsgleichung dafür, daas der Ausdrack Xdx Hell unmittel- 



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5»«) 373 

bar (ohne Ilinzntveten eines Faktors) in einen Ausdruck tranaformiren 
lasse, der nur noch 2n — 1 veränderliche Zahlgrössea enthält; wenn 
dagegen die Gleichang (b) nicht erfüllt ist, fo gelang diele Trans- 
formation nur vermittelst eines veränderlichen Faktors, dessen recipro- 
ker Werth oben mit iV bezeichnet war. Wenn ins Befondere n ^i:; 1 ist, 
d. h. XAx die Form Sids^ -(-Xgdxi hat, fo ergiebt floh die Gleichung 
j-X = 0, als Bcdingungsgleichung dafür, dass fich Xjdx, -{-X^ds^ 
in einen Differenzial aus druck Udo. mit nur einer veränderlichen Zahl- 
grösse (u) verwandeln, alfo fich allfeitig integriren lässt. Die Gleichung 
I —X =^0 fagt aber aus, dasa -r—X zwei vertaiiscfibare Lücken ent- 
hält, was mit No. 486 stimmt. Ehe ich nun zeige, wie die Aufgabe 
zu löfen ist, wenn die Bedingungsgleichung (a) wegfällt, will ich 
noch durch Integration der Gleichung 515 e die angedeutete Trans- 
formation wirklich vollziehen, wobei ich mich der Methode Jacobi's 
(in Grelle 17 p. 138) bediene. 

Sil. Forlfelzung'. Die Kongruenz oder Gleichung 

bestimmt nur das Verhaltnisb der Differeiizialquotienten dxi,- ■ ■ 
Sx,^; wir können alfo enien derfelben willkärüch annehmen, 
d. h. wir können l beliebig wählen. Setzen wir t=Xän, fo 
wird Sx2a = i- Setzen wir dann für den Augenblick XiC^ -f-- ■ • 
Xän-i^an-i = Yi ^^ wird X = y -(- ie^^ und iJx = Jy -f ejn, 
dann erhält man 

'y='*[<E''T'] -''■■■ 

Hier bestimmt fich [a aus der Vorausfetzung dx^^^ 1; 
fetzt man hierin statt »Jx^n feinen Werth aus 515 d*, fo er- 
hall man zur Bestimmung von fi die Gleichung 

wo E^o = — [ejeä--- ejn-i] ist; foniit erhalten wir 

Hier ist die rechte Seile eine Funktion von x, alfo von 
y und t; und es kann daher diefe Gleichung nach der Methode 
494 integrirt werden. Es ergab fich y (nach 494c) in der 



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374 C»«« 

wo 9> noch wieder eine Funktion von y und t, d, h. von x 
ist, und wo a der Wurth ist, den y, und alfo auch x, für 
t^O annimmt. Die Formel 494d lehrte zugleich a als Funktion 
von y und t, d, h. hier als Funktion von x finden. Dann wird 
ö'x, da S' die Differenziation nach a, wobei t konstant war, 
bedeutet, gleich d'y =^ da i- lS'(p. AlTo wird XiJ'x : iV, was, 
wie gezeigt, von t unabhängig ist, gleich X(da + l3'q>'):N. 
Wenn wir daher statt X und N, um fie als Funktionen von 
X zu bezeichnen, X(x), JV(x) schreiben, fo erhallen wir 

XS'x _ XfxXda + tJ'y) 

'N ~ Nix) 

Da aber der Ausdruck links von t unabhängig ist, fo muss 
es auch der Ausdruck rechts lein, alfo muss er denfelben 
Werth behalten, den er für t=:0 hat. Da in diofem Falle 
y = o wird, und alfo auch x C=:y + t^an) gleich a wird, fo 
erhält man 

X^^ _ X Cajda 
N ~ iV(a) ■ 
Nun war, da XSx=!0 ist, Xdx=:XÄ'x = 0, alfo er- 
hält man 

X(a)da = 0, 
als die Transformirte von Xdx^O; und zwar ist in jener a 
aus den Einheiten ei,- ■ ■ &tn-i ableitbar, alfo nur von 2n — 1 
veränderlichen Zahlgrössen abhängig, was verlangt war. 

Anm, Wir hatten dem Satze in 494, den wir hier benutzten, 
für den hier Torliegenden Zweck auch, die Form geben können; Wenn 
X aua mehreren (m) Einheiten ableitbar ist, und dx = ffxl gegeben 
ist, lo wird diefe Kongruenz integrirt dnrch eine Funktion (Fx) von 
X, welche einer aus m — 1 Einheiten ableitbaren Konstanten a gleich 
gefetzt ist ; und ins Befondere kann man dieser integrirenden Gleichung 
Px^a (welche m — 1 Zahlgleichungen enthält) die Form geben, dass 
a derjenige Werth wird, welchen x für den Fall annimmt, daea eine 
der Ableitzahlen von x, z. B. sm, nnll wird. In diefer Form werde 
ich den Satz in der Folge benntzen, indem ja der Beweis des Satzes 
in diefer veränderten Form, ganz in dem oben Gefagten enthalten ist. 
Um nun die vorliegende Anfgabe auch für den bisher ausgesclilossenen 
Fall löfen zu können, will ich noch einen Hülfsfatz voranstellen, wel- 
cher auch an fich von Interesse ist. 



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518. Wenn [xr^xYl =0 ist, fo ist auch [C^Xy^'l 
= 0. 

Beweis 1. Die Lücken des erstoren diefcr Ausdrücke 
werden durch 2n + li die des letzteren durch 2n -f 3 Fak- 
toren ausgefüllt. Ich zeige nun zuerst, dass der zweite Aus- 
druck nach Ausfüllung feiner Lücken durch beliebige 2n -f 2 
Faktoren aiBj ■ - ■ ■ a^n-i-i fich als Vielfachenfumme von Aus- 
drücken der ersten Art darstellen lässt. Ich gehe, um beide 
Arten von Ausdrücken zu vermitteln, von dem Ausdrucke 

^''[(i^y"''"'- ■■•>■+'] 

aus. Ich will zu dem Ende mit F, das Produkt der von a, 

verschiedenen Grössen ai,- ■• a^o+j bezeichnen, und zwar dies 
Produkt fo genommen, dass [örFr] ^=[aia2 ■ ■ ■ • ha+ii ^'^'t ""d 
ebenfo mit F,. j das Produkt der von a^ und a^ verschiedenen 
unter jenen Grössen und zwar fo, dass [ar38pr,B]'=[aia2' ■ •aja+al 
Tei. Dann wird der obige Ausdruck 

Hierzu können wir, da [aiF^] , wenn b ^ 1 ist, nothwendig 
den Faktor ai zweimal enthält, alfo in diefem Falle (nach 
50,)J der obige Ausdruck null wird, fobald wir aiF^ statt aiF, 
und gleichzeitig Xa^, statt Xa, schreiben würden, noch be- 
liebig viele Ausdrücke diefer Art hinzufügen; und wir erhalten 
den obigen Ausdruck 



=2^'{ao""»'^J- 



wo fich die Summe auf alle Werthe b = 1,- ■2n -f 2 
füll. Diefer Ausdruck ist aber (nach 509) 

wenn F( „ die oben angegebene Bedeutung hat, d. h. [ajaoF^ ,] 
= [aia^- • ■ a2„+2], alfo [aaFta]=F6 ist, und alfo a von 6 
verschieden ist und daher nur 2n + 1 verschiedene Werthe 
annehmen kann. Fassen wir jetzt (nach 509) den ersten und 
dritten der unter dem Summenzeichen stehenden Faktoren zu- 
fammen, fo erhalten wir den gefundenen Ausdruck (nach 509) 



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=-I[s--][<sX>.]. 

wo das Minus- Zeichen zu fetzen ist, weil aus [afeüuFi^a] ^= 

[aiBj- ■ -aan-i-i] folgt, dass [aaaeFa_nl = — [aiaj aan+s] '^*f 

und alfo nach dem Princip der obigen Bezeichnung ¥t,:= — 
[86^6 a] fein muss. Die gewonnene Formel ist, alfo 

(=) x4(Axy-,p.]=- j[|x.:4<|x)V]. 

wo nach dem Obigen Fa ein Produkt ist, dessen Faktoren aus 
einer beliebig gewählten Faktorenreihe ai, »aj-'-aja^-^ ge- 
nommen find, und zwar fo, dass ausser a^ alle Faktoren diefer 
Reihe darin vorkommen und [a^FJ = [aia^- ■ ■ ajn+a] ist. 

2. Wenn nun Xf -pX ) \^=^ 'st, fo ist auch die rechte 

Seite der Formel (a) null, alfo auch die linke, Alfo müsste ent- 

weder Xa, oder [(^x)"^'.,K,], d. ],. [(^xj '"'.,». ■ •«>.+.] 

null fein. Sollte das erstere der Fall fein, fo könnte man statt 
ai irgend eine andere der Grössen a,, as,- ■ ■ a,n+ä fetzen; und 
wenn auch nur für eine derfelben a, das Produkt Xa,^0 wird, 

fo ergiebt fich schon der zweite Faktor j ( j— X J af • -ain+j I 

gleich null. Sollten aber Xaj, Xas,- ■ ■ Xaj„+, fämmtlich null 

fein, fo würde auch ^Xa^ für jeden Index r null, alfo auch 

I -pXajag , alfo auch I ( -j-X ^ aj ■ ■ - ihn+t gleich null. Diefer 
Ausdruck ist alfo für jede Faktorenreihe ai,'-- »2^+2 gleich 
null, alfo Cnach 506} [r^xY 1 felbst gleich null. 

919. Forlfetzung der Aufgaben 514—517. Es fei, wie 
in 514, die Zahlgleichung 

Ca] Xdx = 
betrachtet, in welcher, wie dort, x aus einem Systeme von 
m Einheiten ableitbar ist. Immer wird fich ein Werth n von 
der Art angeben lassen, dass 



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fei. Denn die Vergleichiing (c) wird immer erfüllt, weoii 
n = l ist, wo fie (ich auf X^O reducirt; und die Gleichung 
(b) wird immer erfüllt wenn 2n + 1 > m ist; denn dann wird 
zwischen jeden 2n -f- 1 Grössen, welche die Lücken des Aus- 
druckes lx(-pX J j auszufüllen vermögen, eine Zahlbczie- 

hung herrschen, weil fie aus weniger als 2n 4- 1, nämlich 
aus m Einheilen numerisch ableitbar wären, folglich giebt jener 
Ausdruck mit jedan 2n -[- 1 Grössen, die feine Lücken füllen, 
multiplicirt (nach 505J null; alfo ist er feihsl null (nach 506). 

Dies tritt allo stets ein, wenn 2n-f-l>m, d.h. n> — ^ 

ist, folglich muss es zwischen 1 und — ^ — einen Werth n 

geben, für welchen die obigen Vergleichungen b und c er- 
füllt find. Diefer Werth fei für n angenommen. Nun kommt 
es- (nach 514) darauf an, die Gleichung 



K-.-]- 



■ylXe,=:0 



für jedes s von 1 bis m zu erfüllen; indem, fobald diefe er- 
füllt ist, und X nicht null ist, die Gleichung (a) durch die 

Gleichung -i;;— =0, erfelzt wird, in welcher die Unke Seite 

nicht mehr von t abhängt und JV durch die Formel 5H(1) be- 
stimmt ist. Bezeichnen wir der Kürze wegen mit Gj den 
Ausdruck 



^E^H- 



■^Xc, 



fo können wir die obigen Gleichungen schreiben 
= G, = Gs = ■ . ■ = G„. 
Nun zeige ich, dass, wenn m > 2n ist, zwischen jeden 
2n -|- 1 der Grössen G, ■ • ■ ■ G^ eine Zahlbeziehung herrscht. 
Angenommen, es herrsche zwischen den 2n Grössen Gi,' ■ Gjn 

24« 



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378 (*•« 

noch keine Zuhlbeziehung, fo zeige ich, dass jede der übrigen 
Grössen, z. B. G^ fich als VieKachenrumme von Gi,---Gsn 
(iarslellen lasse. Bezeichnen wir mit E das Produkt [eie^ ■ ■ e2ue„] 
und mit Fa das Produkt aller von Cj verschiedener Faktoren 
des Produktes E, uiid zwar in dem Sinne, dass fe^Fa] = E fei, 

und bezeichnen wir endlich mit a^ den Ausdruck I ( -p-X j F^ I, 

fo wird, wenn man die folgenden Suramen auf die Werlhe 
1, 2''- 3n, und m, welche a nach and nach annehmen fol!, 
bezieht, 

was nach dem Begnife der durch die scharfen Klammern be- 
zeichneten Produkte 

= - C2n + 1)[(^x)"''e] - «3„ + i)[x(ix)"E] 

ist. Nun ist (nach b) [^("iO"! ^ '^ ' ""^ ^""^ ^'^'^''^ ^^^^ 
auch ( -j-X j =^0, alfo wird die ganze rechle Seite gleich 
null, alfo auch 

d. h. zwischen den Grössen Gi,- ■ ■ ■ G^^ und G^ und überhaupt 
zwischen jeden 2n -f- 1 der Grössen G,,--- G^ herrscht eine 
Zahlbeziehung. Es werden alfo unter ihnen 3n angenommen 
werden können, etwa G,,--- Gjn, aus denen die übrigen nu- 
merisch ableitbar find. Wenn alfo die Gleichungen GijGj,-'- 
Gjn^O erfüllt find, fo werden auch die übrigen bis G^, ^ 
erfüllt. Alfo können wir auch von den Grössen Jx,,---Jx„„ 
deren Verhältnisse durch die Gleichungen G,,- ■ Gni^:0 be- 
stimmt find, die Grössen (Jxän_)_i,- •■ ^Xm willkürlich annehmen, 
z, B. alle gleich 0, d. h. wir können Xjn^i,--- x^j in Bezug 
auf die durch S ausgedrückte Differenzialion als konstant an- 
fehen. Dann haben wir alfo, immer unter der Vorausfetzung 
dass ^^0 fei, die Gleichungen Gi^O,-> Ga„ = mit nur 
2n Variabein (indem wir XjQf,,- ■ • x„ noch als konstant fetzen) 



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Äl»> 379 

unii mit der Bedingung I x( — X ) 1^0. Dann erhallen wir 
airo (nach 5J5) 

(d) <?x = [x^^xY 'e, ■ ■ ■ ej J oder 

fa = 4x(lx)-e,...c„] 

a]s eine Grösse, die die Gleichungen Gi,---Gjn = 0) u"d 
alfo auch (wie fo eben gezeigt) die Gleichungen G,, ■ • ■ G„ = 
erfüllt, und alfo auch den Ausdruck Xä'x : N von t unab- 
hängig, und Xdx null werden lässt. Inlegrirt man diefc Kon- 
gruenz nach der Methode von No. 517 (vergl. Anm.) durch 
eine Gleichung von der Form Fx = b, wo b den Werth be- 
zeichnet, welchen Xje, -f ••■■ X2n_-iejj,__( fürt = X2„=::0 an- 
nimmt, und fetzt a^b -]- Xjn+ißäa+i +■ ■ ■ -[-x^e,^, fo wird, 
da Xjn-].,,--- Xn, von t unabhängig find, a der Werth den x 
für t = annimmt; und da dann vermöge der Gleichungen 
Gj =^- • • ^:Gni=^0, die Grösse XtJ'x : iV von t unabhängig 
wird, fo erholt man aus demfelben Grunde, wie in 5i7, 
X(a)da = als die Gleichung, welche die Gleichung X ■ dx ;= 
oder X(x)dx = erfetzt, und welche nur noch von m — 1 
veränderlichen Zahlgrössen, nämlich von den Zahlgrössen, 
durch weiche a aus den Einheiten Oi, ■ • - Cia-i , iia+n ■ ■ ' ßm 
ableitbar ist, abhängt. Es war auch hier noch vorausgefelzt, 
dass ^^0 war. Diefe Vorausfetzung können wir erfetzen 

durch die Vorausfetzung, dass I ( -pX J 1^0 fei. Nämlich, 

man kann aus den Gleichungen d = Gj =■■ ■ Gjn^^O, ganz 
wie in 515, die Gleichung (die dort mit c bezeichnet war 
nämlich) 

ableiten; fetzt man ins Befondere r^^2n, fo wird tfxi. ^ rfxj, 
:= 1 , und man erhält 

I f T~X J I von null verschieden, fo muss auch / von 



Ist alfo 



yGoosle 



380 (»i» 

null verschieden fein. Es ist alfo nur noch der Fall zu be- 

rückficliligen , wo I f -j~X J \^^ 'Sl. Ist aber dieTc Gleichung 

erfüllt, fo ergiebt ficb leicht, dass die Gleichung (d) gleich- 
falls der Aufgabe genügt. Denn es ergiebt ficii dann, wie in 
516d, dass XiJx = fei, ebcnfo ergiebt fich; 

was fich ganz, wie der entsprechende Ausdruck in 515, iiin- 
wandell in 



—il^'KFJ'fi]' 



wo [enEJ ^ [Cj • ■ ■ ■ Cj J und s jede der Zahlen 1 ■ - ■ ■ m foin 
kann. Die rechte Seite ist nach der gemachten Vorausfetzung 
null. Alfo 



[k^'.*^] = 



wo statt Oj jede der Einheiten ej,- ■ ■ e^,, alfo auch jede Viel- 
fachenfumme derfelben, alfJ auch S'x gefetzt werden kanui 
fomil erhält man 



[Ax,..fa] = 



0, 



und hieraus ergiebt fich, wie in 516, <5(XiJ'x) = und Xdx 
=:XiJ'x. Alfo hat fich der Satz ergeben: 
„Wenn in der Zahlgleichung 
(a) Xdx = 0, 
in welcher X eine Funktion von x, und x aus den Einheiten 
6|)" ■ ■ ßm durch die Zahlen x,,- • ■ x^ ableitbar ist, die Grösse 
X die Eigenschaft hat, dass für irgend einen Werth n, der 

kleiner als -^ ist, 

und W Kh")""]?». 

ist, fo lässt fich jene Gleichung (a) erfetzen durch eine 

Gleichung 



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5«1) 381 

(e) Ada = 0, 
in welcher a aus m — i Einheilen ableitbar ist, (t, h. ntir 
in — 1 veränderliche Zahlen einschiiesst, und A diefulbe Funk- 
tion von a, wie X von x ist. Und zwar findet man die Grösse 
a durch Integration der Gleichung 

Cd) fa = ^[x(Axy^'e,...-e,.], 

in welcher S den Differenzialquotienten nach einer der Varia- 
bein Xi,- • • Xja, Z- B- nach x^^, bedeutet, und alfo ^Ä2n=l 
ist, wodurch fich ii bestimmt, und in welcher Xjn-i-i, x^n.;.,,- ■ -x^ 
als konstante Grössen behandelt werden. Wenn nun in diefem 
Sinne die Gleichung (d) durch eine Gleichung von der Form 

CO Fx = b 
integrirt wird, wo I» den Werth bezeichnet, den x^ei -f ■ ■ - 
Xin-i^an— 1 für X2n=0 annimmt, To ist 

tg) a = Fx-|-X2„ e + x^e^, 

alfo a aus den Einheiten e e e +i,--- e^ ableitbar. 

330. Zufatz 1. Wenn n 1er origen Hummer nur 
die Gleichungen (ß) und (b) erfüllt f d aber nicht die Ver- 
gleichung (c), fo lässl fich n g = 2n oder >■ 2n fein, 

gleichfalls die Gleichung (a) a f m — 1 veränderliche Zahl- 
grössen zurückführen und z v r auf e e Gleichung der Form 
Ada=tO, wo A diefelbe F kt o o wie X von x, und 

a aus m — 1 Einheiten ableitbar ist. 

Beweis. Denn wenn auch Xf -pX j ^=0 fein follle, 

fo muss, da doch schliesslich X^O ist, fich ein Ziblwerll 
n' > n finden lassen von der Art, dass die Vergl chunge 
(b) und (e) gelten, fobald man n' statt n felzl, da n n 
oder = 2n war, fo ist m stets :> 2n', alfo kann na la n 
nach dem vorigen Salze die Gleichung Xdx = gte chfalls auf 
m — 1 veränderliche Zahigrössen zurückführen u, f. w. 

321. Zufatz 2. Ins Befondere kann man, wenn m = 2n 
ist, stets die Gleichung Xdx = auf m — 1 veränderliche 
Zahigrössen zurückführen. 

Beweis. Denn dann gilt die Gleichung (b) stets (nach 
519); und wenn dann auch die Vergleichung Cc) gilt, fo findet 



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382 (*»« 

die Zurilckführung (nach 517) statt; wenn jene Vorgleichung 
aber nicht gilt, fo geschieht fie nach 530. 

533. Wenn die Gleichungen (a) und (b) in demtelben 
Sinne wie in 519 gelten, fo kann man die Gleichung 

Xdx=0 
allemal auf 2n — 1 veränderliche Zahlgrössen zurückführen, 
und Kwar auf ilie Form 

Ada = 0, 
wo Ä diefelbe Funktion von a, wie X von x ist, und a aus 
2n — 1 Einheiten ableitbar ist, d. h. nur noch 2n — 1 ver- 
änderliche Zahlgrössen einschliessl. 

Beweis. Es Toll hier nicht bloss der Salz crwiefen, 
fondern auch gezeigt werden, wie die neue Variable a als 
Funktion von x gefunden werden kann. Nach 530 kann man 
Xdx^=0 durch eine Gleichung von der Form A^dai^O er- 
fetzen, wo ai , was aus m — 1 Einheiten ableitbar ist, eine 
bekannte Funktion von x, und Ai diefelbe Funktion von aj 
ist, wie X von x. Da nun die Gleichung (b) fär jeden Werth 
von X gilt, alfo auch wenn man ai statt x letzt, fo erhält man 

Wenn alfo noch m — i (die Anzahl der Einheiton aus 
denen a, ableitbar ist) grösser als 3n ist, fü kann man aber- 
mals die Methode in 519 oder 530 anwenden, und erhält dann 
eine Gleichung der Form Ajdai ^=0, wo 82, was aus m — 2 
Einheiten ableitbar ist, eine bekannte Funktion von ai, alfo 
auch von x ist, und A^ diefelbe Funktion von a2, wie A, 
von a,, alfo auch wie X von x ist. Auf diefe Weife kann 
man fortfahren, fo lange noch die Anzahl der übrig bleibenden 
veränderlichen Zahlgrössen grösser als 2n ist; ja (nach 521) 
auch noch, wenn diefe Anzahl =^2n ist. Wendet man dann 
dies Verfahren noch einmal an, fo reducirl fich die Anzahl 
der veränderlichen Zahlgrössen auf 2n — 1. Wenn dann die 
fo refultirende Gleichung, die Gleichung Ada^O ist, fo ist 
alfo a aus 2n — 1 Einheiten ableitbar, und eine bekannte 
Funktion von x, und A ist diefelbe Funktion von a, wie X 
von X, 



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Hh) ] 



h Z hlg ö 

1 t t 

d i r A 



t= — rt w R-ttb h dmd 

ftt t = = dlfgwhl dk dj 

Funktion in t:=0, d, h, m xu = c, stetig fei. 

32ä. Aufgabe. Den numerischen Ausdruck Xdx, in 
welchem X eine Funktion der extenliven Grösse x ist, unter 
der Voraiisfetzuitg;, dass 



« [x(Ax)>o 



ist, auf die Form 

Xdx = U,du, ^- ■■■U„du„, 
wo üi,'-* Uu, u,,-'- Un Zahlgrössen find, zurückzufiiliren. 

Auflöfung. Man kann (nach 522) die Gleichung Xdx = 
auf 2n — i veränderliche Zahlgrössen zurückführen, welche 
bekannte Funktionen von x find. Eine beliebige diefer ver- 
änderlichen Zahlgrössen fei mit u, bezeichnet, fo ist u^ gleich- 
falls eine bekannte Funktion von x. Nun fei Uj konstant ge- 
letzt, fo bleiben nur noch 2n — 2 veränderliche Zahlgrössen 
übrig. Folglich können wir (nach 521) die erhaltene Glei- 
chung (welche nach den obigen Sätzen stets die Form Ada 
hat) auf 2n ■— 3 veränderliche Zahlgrössen zurückliihren, welche 
bekannte Funktionen der obigen 2n — 1 Veränderlichen, und 
alfo auch bekannte Funktionen von x find; eine derl'elben fei 
mit Uj bezeichnet, und fei Uj konstant gefetzt, fo hat man 
nur noch 2n — 4 veränderliche Zahlgrössen, welche fich auf 
2n - 5 Folcbe zurückführen lassen, u. f. w. Hat man diefe 
Methode r mal angewandt, fo nämlich, dass man nach und 
nach die Grössen u, , Uj, -■ u^, welche l^mmtlich bekannte 



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384 (SS 4 

Funktionen von x Tind, konstant gefetzt hatte, fo bleiben nur 
noch 2(n — r) — 1 veränderliche Zahlgrössen übrige. Setzt 
man alfo r = n — 1, fo bleibt nur noch eine veränderliche 
Zalilgrössc übrig und die rcfullirencie Gleichung hat die Form 
UndUa = 0, wo Uq nur von der variabeln Zahlgrösse ü„ ab- 
hängt Setzt man alfo auch u^ gleich einer Konstanten, fo 
werden jetzt alle Dilferenziaigleichungen, alfo namentlich auch 
die erste Xdx^=0 erfüllt, wenn die Funktionen u, , u^,- ■ • u„ 
Konstantun gleich gefetzt werden, alfo lässt fich nach der Me- 
thode 502 Xdx in der Form 

Xdx = Uidui 4.....U„du„ 
darstellen, und die Aufgabe ist gelöst. 

S2a, Der numerische Ausdruck Xdx, in welchem X 
eine Funktion der extenfiven Grösse x ist, ist dann und nur 
dann auf eine Summe von n Gliedern der Form Udu, wo U 
und u Zahlgrössen vorstellen, zurückführbar, wenn 

M [x(ix)>o 

ist. 

Beweis. Wenn die Gleichung (a) erfüllt ist, fo ist die 
genannte Zurückführung von Xdx auf n Gliedern der Form 
Udu (nach 523} ausführbar, und wenn umgekehrt diofe Zurück- 
führung möglich ist, fo wird (nach Sil) die Gleichung (a) 
erfüllt. 

323. Ziifatz. Wenn X aus 2n Einheilen abletthar ist, 
fo lässt fich Xdx allemal auf n Glieder der Form Udu, wo 
U und u Zahlen find, zurückführen. 

Beweis. Denn wenn x aus 2n Einheiten ableitbar ist, 

fo ist die Gleichung [xf xy| = (nach 519) stets erfüllt, 

und alfo Xdx (nach 524) auf n Glieder der Form Udu zurück- 
führbar. 

A n ra. Es folgt aus diefen Sätzen fugleich, dass wenn fx^'-J-x'! 1 
von null verschieden ist, fich auch die Gleichung Xdx^O riclit auf 
weniger als 2ii — 1 veränderliche Zahlgrössen zurückfuhren lasse. Denn 
liesse fie fich auch nur auf 2n — 2 folche zurüclcfiiiiren , und fei Ada 
^0 die fo erliaheue Gleichung, fo liesse floh (nach 535) Ada auf 



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S»») 385 

II — 1 Glieder der Form Udu zuröokführen. Aber da die Gleichangen 
Xdx=iO und Ada^O fich gegenrpitig erCeten, fo können fie fich 
nur durch einen Zahlfaktor unteraclieiden. Es fei Xdx = iVÄda, fo 
wird nnn auch Xdx auf n — 1 Glieder der Form Udu zur iick geführt 
fein; alfo (nach 511} [x^— xV 1=0 fein, was mit der Voraus- 
fetzung Blreitet. Alfo ISsat fich unter der gemacliten Vorausfotzung 
die Gleichung Xdx ~ nicht auf weniger als 2n — 1 yeränderliche 
ZahlgrÖsscn zurückführen. Es bildet diefe Bemerkung eine schon oben 
angedeutete Ergänzung zu dem Satze 522. 

526. Aufgfabe. Die Zahlgleichung Xdx=0, in welcher 
X Funktion der exlenfiven Grösse x ist, vollständig zu in- 
tegriren. 

Auflüfung. Es lässt fich (na<Jh 5J9J stets ein Werlh 
n von der Art angeben, dass 

fei. Dann lässt lieh Cnach 523, 524) Xdx stets auf u (aber 
nicht auf weniger als n) Glieder der Form Udu (wo U und u 
Zahlen find) zurückführen. Es fei 

Xdx = U,dui +.■■ U„du„==0, 

fo fuche man zu der Gleichung Uidu, -\ U„du„ = (nach 

503) die Tiimmtlichen inlegrirenden Vereine von je n Glei- 
chungen, fo integriren diefe Vereine alfo die mit jener iden- 
tische Gleichung Xdx = 0. 

52-3. Zufalz. Die Gleichung [\;^^J J^*^ 's"'''-' 
nothwendige aber auch ausreichende Bedingungsgleichung da- 
für, dass fich die Gleichung Xdx = durch Vereine von je 
n Gleichungen inlegriren lasse. 

Am N h 500 t m t der vollständigen Integration der Zahl- 

gl h g \d = gl h d c der partiellen Differenzialgleichungen 

t Od g U d t öhrend die Integration der partiellen Dif- 

f Igl h g 1 h dnung (nach 501) auf die Integration 

d xt r Gl h g \d =0 zurückführte, welche wir hier aus- 



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