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BIBLIOGRAPHIC RECORD TARGET
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University of Michigan
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010: : |a 04014427
035/1: : | a (RLIN)MIUG86-B22738
035/2: : | a {CaOTULAS)160428138
040: : |cMiU |dMiU
050/1:0: |aQA259 |b.G76
100:1 : I a Grassmann, Hermann, | d 1809-1877.
245:04: | a Die Ausdehnungslehre. ] c Vollständig und in strenger form
bearbietet von Hermann Grassmann.
260: : la Berlin, | b T. C F. Enslin, |cl862.
300/1: : |axii,388p. |c22cm.
650/1:0: ] a Ausdenungslehre.
998: : |cHLM |s9124
Scanned by Imagenes Digitales
Nogales, AZ
On behalf of
Preservation Division
The University of Michigan Libraries
Date work Began; _
Camera Operator: _
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Ausdehn ungsljdb're.
Vollständig und in strenger Form
Hermann Giassniaim,
BBBLIN, 1862.
VERLAG VON TH. CHR. FR. ENSLIS.
(ADOLPH EK8LIN.)
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Vorrede.
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IV
Schwierigkeit nicht gehoben werden, ohne den Plan des Ganzen wefent-
lich zu andern. Denn He liegt nicht in einer willkürlich gewählten
Form, fondem in dem Plane, den ich vor Augen hatte: die Wissen-
schaft unabhängig von andern Zweigen der Mathematik von Grund
aus aufzubauen. Die Ausführung gerade diefes Planes, wenn gleich
fie für die Wisse nflchaft an iich die förderndste fein musste, wie fie
es denn auch fubjectiv gewefen ist, mnsste bei jeder Form der Dar-
stellung bedeutende Schwierigkeiten bieten, zumal in einer Wissen-
schaft, wie die Ausdehnungslehre ist, welche die Hnn liehen Anschau-
ungen der Geometrie zu allgemeinen, logischen Begriffen erweitert
und vergeistigt, und welche an abstrakter Allgemeinheit es nicht nur
mit jedem andern Zweige, wie der Algebra, Kombinationslehre, Funk-
t.ionenlehre, aufnimmt, fondern fie durch Vereinigung aller in diefen
Zweigen zu Grunde liegenden Elemente noch weit überbietet, und fo
gewissermassen den Schlussstein des gefammten Gebäudes der Mathe-
matik bildet.
Ich musste daher diefen ganzen Plan aufgeben, und habe nun für
das vorliegende Werk die Übrigen Zweige der Mathematik, wenigstens
in ihrer elementaren Entwickelung vorausgefetzt. Ebenfo habe ich
in der Form der Darstellung gerade den entgegengefetzten Weg ein-
geschlagen, wie dort, indem ich die strengste mathematische Form,
die wir überhaupt kennen, die Euklidische, für das vorüegende Werk
angewandt, und alles, was zur Eriäuterung oder zur Begründung des
gewählten Ganges diente, in Anmerkungen verwiefen habe. Eine noth-
weudigc Folge des fo veränderten Planes war es, dass die fämmtlichen
Refultate des ersten Theiles, fo weit fie nickt Anwendungen auf die
Phyfik enthielten, mit in die neue Bearbeitung aufgenommen und
nach dem veränderten Plane neu abgeleitet werden mussten (wie dies
in No. 1—136, 216—329 geschehen ist). Dennoch und durch die \'er-
schiedenheit der Methoden die beiden Bearbeitungen desselben Stoffes
einandei' fo unähnlich geworden, dass man, mit Ausnahme der abge-
leiteten Refultate telbst, welche der Natur der Sache nach keine Ab-
weichung zeigen, kaum eine Uebereinstimmung herousGnden wird.
Es ist dalier auch die alte Bearbeitung durcli die neue durchaus nicht
überflüssig gemacht. Denn auch die neue Methode ist an fich keines-
wegos der älteren vorzuziehen, da vielmehr die bis auf die ersten
Ideen hinabsteigende und von hiev aus ganz unabhängig fortschrei-
tende Methode der ersten Bearbeitung tiefer in das Wefen der Sache
hineinfuhrt, und daher in rein wissenschaftlicher Besiehung entschie-
dene Voriüge vor der letzteren hat. Diefe dagegen wird auf der
andern Seite für den Mathematiker, der die anderweitig gewonnenen
Schätze mathematischen Wissens bei feinen Studien nicht gerne inUssig
liegen fieht, annehmlicher und jedenfalls leichter verständlich fein.
So ergänzen und erlButem fich beide Darstellungen gegenfeitig. Die
hier gcwbhUe schliesst Ticli am engsten au die Arithmetik an, doch
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VI
ist nur die, ob diefer neue Begriff mit dem allgemeinen Begriffe der
Grösse wirklich fo znfammenliftnge , dasB fie ilirem Wefen nach zu
einem Gefammtbegriffe iich zufammenschlicssen , und dass eine zwi-
schen beiden Gebieten gezogene Gränzlinie das Zu fammen gehörige ^11-
körlich und der Sache widersprechend zertrennen würde. Ist letzteres
der Fall, fo wäre es fogar fehlerhaft, diefem neuen Begriffe nicht
den Namen der Grösao beizulegen. Nun glaube ich in derThat, daas
zwischen dem, was ich exteiifive Grösse genannt habe, und zwischen
allgemeinen Zahl grossen und namentlich der imaginären Grösse (a-|-bi)
eine fo innige Beziehung herrscht, dass ea wiederfiunig wiire, die eine
als Grösse zu betrachten und die andere nicht, da ja in derThat die
imaginäre Grösse ebenfo aus 2 Einheiten 1 und i =j Y — 1 durch reelle
Zahlkoef fiele nten ableitbar ist, wie die extenCiven Grössen aus % oder
mehr Einheiten ableitbar find (f. ii. No, 413 Anra.) So scheint es mir
alfo vollständig gerechtfertigt, wenn ich die extenfire Grösse als Grösse
bezeichne. Aber ich gehe noch weiter, indem ich fie nicht nur als
Grösse überhaupt, fondem auch als einfache Grösse bezeichne, Ihr
treten nämlich gegenüber andere Grössen, welche den Charakter zufam-
mengefetztcr Grössen ebenfo entschieden an iich tragen, wie jene den
der einfachen, und welche erst durch Addition höherer Gebilde nnd
befonders durch die Betrachtung der Quotienten und der Funktionen
hineintreten (vei^l. Nr. ^^ , 377 und 364). Ich fahre nun fort, den
Gang der Ejitwickelung in dem vorliegenden Werke überfichtlich zu
verfolgen. An die Addition, Subtraktion, VieJfachung und Theilung
schliesst Tich nun (in Kap. 1) der allgemeine Begriff der Multiplikation
extenßver Grössen an, welcher auf die Bczithung der Multiplikation
znr Addition (nämlich darauf, dase man statt der Summe die Summan-
den multipliciren darO gegründet ist Hiernach führt die Multiplika-
tion der genannten Grössen auf die ihrer Einheiten (Cj, ej,- - -) zurück,
und aus der Betraclitung der Produkte diefer Einheiten ergeben fich
dann verschiedene Gattungen der Multiplikation £5 gelingt nun, aus
dlefen Gattungen zwei auszufondern , auf welche fich alle übrigen zu-
rückführen lassen. Die eine derf(,lb''n fiUt in ihren Gefetzen ganz
zufammen mit der gewöhnlichen Multiplikation in der Algebra und ist
daher von mir die algebraische genannt norden Aber fie ist in Bezug
auf die durch fie erzeugten Grössen bti weitem die verwickeltate und
kann nur durch Betrachtung der Funktionen zur vollen Klarheit ge-
bracht werden, weshalb ich fie auf dtn zweiten Abschnitt diefes Wer-
kes verwiefen habe. Die Bezeichnung für diefe algebraische Multipli-
tion muss der Natur der Sache nach mit der gewöhnlichen Bezeichnung
der Multiplikation zufammenfallen, da ea widerrinnig wäre, Verknü-
pfungen, welche in allen Beziehungen denfelben Gefetzen unterliegen,
verschieden zu bezeichnen. Die zweite jener Multiplikationen , welche im
dritten Kapitel behandelt ist , zeigt lieh als die für die Ausdehnungslehre
charakteristische, und fie welciitlich weiter fördernde, indem fie die
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VII
TBTBchiedeDen Stufen einfacher Grössen liefert, welclie in der Ausdeh-
nungslehre hervortreten. Sie ist dadurch gekennzeichnet, daas zwei
einfache Faktoren dee Produktes nui ycrtauscht werden dürfen, wenn
man zugleich das Vorzeichen (-J- — ) des Produktes nmkehrt. Da
zwar für diefe Multiplikaiion die Beziehung sur Addition diefelbe ist,
wie bei jeder Multiplikation, aber die übrigen Gefetie derfelben we-
fentlicli von denen der gewölinlichen Multiplikation abweichen, fo war
CS nothwendig, fie durch die Bezeichnung zu unterscheiden. Ich habe
in diefem Werke dafür die Bezeichnnng durch eckige Klammern, die
das Produkt umsch Hesse n , gewählt, fo dass a!fo fab] ^; — [ba] ist,
wenn a und b einfache Faktoren diefes Produktes find. Es entfaltet
fich dies Produkt zu einer ausserordentlichen Mannigfaltigkeit von
Erscheinungsformen, und lässt in reicher Fülle Beziehungen hervor
treten, welche auf alle Zweige der Mathematik ein unerwartet
neues Licht werfen, fo dass es den eigentlichen Mittelpunkt der neuen
Wissenschaft bildet. Nachdem der Begriff der Grössen- Ergänzung hin-
zugekommen ist, tritt jenes Produkt in einer gani neuen Eigenthnm-
lichkeit, als inneres Produkt (Kap. 4) hervor, fo dass es in diefer Form
BUS dem Bereiche der in der ersten Bearbeitung dai^estellten Gegen-
stände ganz heraustritt. (Vergleiche jedoch die Vorrede lu jenem
Werke p. SI.) Mit Anwendungen auf die Geometrie (Kap. 5) echliesst
der erste Abschnitt des Werkes, In dem zweiten Abschnitte treten
nun die zufammengefe taten Grössen hervor, welche wir im Ganzen
als Funktionen einfacher Grössen charakteriflren können. Das erste
Kapitel diefes Abschnittes behandelt die Funktionen im Allgemeinen,
woran Tich die algebraische Multiplikation und Divifion anachliesst,
das zweite die Lehre von den Reihen, das dritte die Differenzialrech-
nung und- das vierte endlich die lutegralreclinung, und zwar alle
diefe nur in fofern als eatenfive Grössen in Betracht gezogen werden-
Doch glaube ich, dass auch die entsprechenden Zweige der gewöhn-
lichen (auf Zahlgrössen fich beziehenden) Mathematik und namentlich
die Integralrechnung dnrch diefe Darstellung nicht nur wefentUch ver-
einfacht, fondern auch mannigfach ergänzt und weiter gefördert find.
Da der Stoff feit der ersten Bearbeitung bedeutend angewachsen ist,
fo habe ich die Anwendungen auf die Phyfik ganz weglassen müssen ;
doch hoffe ich, wenn mir Zeit und Kraft dazu gestattet ist, eine ma-
thematische Bearbeitung der wichtigsten Zweige der Phyfik in feibst-
ständigen Werken folgen zu las n d n ich von der hier vorge-
tragenen Wissenschaft Anwo d g m h rde. Ich habe mich eifrig
bemüht, überflüssige Kunsta d k meiden und mich auf das
möglichst geringste Maass n K t d icke zu beschränken ', aber
da man nun einmal ohne AiS t ht d n kann, und daher auch
zu neuen Begriffen enlweder W rt,b Id ngen oder neue Wortver-
bindungen gebraucht, oder alten Worten ein neues Gepräge verleihen
mus3, fo blieb doch noch eine ziemliche Menge unvermeidlicher Kunst-
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ausdr icke übng Um dass Veratändniss za erieichterQ liabe ich zu
nächst he Kunstausdrilcke fo gewählt dass fie ■me i h hoffe durch
ihre Bildung felbst unmittelbar an den duich lie dargestellten BegrifE
erinnern und dann habe ich am bchlusso ein alphabetisches '^ erzeioh
ms3 derrelben mit Hinweifung auf die Stellen wo fie erklart find
gegebei Ea bleibt mir noch ilbiig auf verna dte Bestrebungen an
lerer Mathematiker hinaunciftn Fa beliehen fii,h diefe fast ohne
Ausnahme auf diejenigen Gegenstände welcl e ich als Anwendungen
der Ausdehnungslehre auf die Geometrie bezeichnet habe (allo auf
die S§ 34, 2M— 30 31—40 5P 74—79 91 92 101 103 114— ll")
144—148 159-170 dpr Ana dehn ungalehre von 1844 und auf die Srn.
316—347
1 g
C 1 1
H t 8
V 1 h
Bearbeitung (1844)
1 Arbeiten nur das berühmte
Analyfe; der barycen Irische
BI b b k 1 h die Addition der Punkte lehrte,
m d A b t b die geometrische Addition der
kf ggb Lg iEl tung), fowie über die Bedeu-
g d g G b k t geblieben. Die letztere wurde
hre ■^ 11 ik digk t t Abhandlung von Gauas (Göt-
l g 1 b t A g lö31) d g 11t, auf welche mich Gauaa auf
las g d d ?1 h G g nd behandelnden Stelle in der
red A d h g 1 h (i g XI bis XIV) brieflich aufmerkfam
ht S h d f D rat 11 g d a Imaginären lag der Begriff
g t 1 Add t St k n in Einer Ebene. Der erste,
Add t d Strecken in ihrer ganzen AU-
gra htglh ht 1 tBli itia gewcfen zu fein, indem
h 1835 (A 1 d 11 d regno Lombardo-Veneto, 3"
volume) den hier gehörig C 1 1 f t 11t ( gl t p 149 A m )
Unabhängig davon entw k It M b (1843) f M h k d
Himmels die Gefetze d g m t h Ad i d &t k d
wandte fie auf die Pr bl m d Mb kl H mm l N h
dem Erscheinen meine A d h g I hre ( 1844) h t f 1
die Arbeiten auf dem Cbtdgmt h Alyl IBf
dere waren ea wieder M bi d B 11 t w 1 h d W h ft
wefentlich weiter forde t d hm^rstd dur
tereii Verbreitung der vom gtg gmt i Rh g
methode in bedeutender Wfbf Dkm hm
eigene Arbeiten über d f g d 1 h 1 1 m
Schrift: „Geometrische A lyl g k üpft d L b t f
dene Charakteristik, gekr t P hi f L p g 1847 w 1 h M
bius durch eine daran angeschlossene lichte oUe Darstellung den Mathe
matikern zugänglicher zu machen fuchte, theils in Crelle's Journal
(Band 36, 43, 44, 49, 53) niedei^elegt find. Ferner trat ein Jahr
nach dem Erscheinen meiner linealen Ausdehnungslehre Saint-Venant
mit der gcometriachen Multiplikation der Strecken hei-vor (Comptea
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IX
(] T m "Vil p 620 q 15 b pt mb 1845) 1 h d t b
1 t m t d m j m W k d g t 11t ä M It pl
k t ä St k (p g 28-40) Off b k t d W k
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f t 1 h d C mpt re d 1853 bg d kt f 1
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fclwirkung treten werden Denn die Wahrheit ist ewig, ist göttlich;
und keine Ent Wickel ungsphafc der Wahrheit, wie eennge auch daa
Gebiet fei, wos fie urafaaat, kann spurlos vonibergehcn ; Tie bleibt
bestehen, wenn auch dasOew.md, in nekhc6 schwache Menschen fie
kleiden, in Staub zerfällt.
Stettin, den 19. August 1861.
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Inhalt.
Erster AlisclinUt. Die einfachen VerktiUpfnugen exten-
[iver Grössen ■
Kap. 1< Addition, Subtraktion, Vielfachung und Theilung
extenriver OrÖesen
§. 1. Begriffe und Rechnungsgefetae 1
§. 2. Zafamm eil hang Bwischen den aus einem System
von Einheiten ahleitbaren Grössen ■ - ■ ■ 14
§. 3. Erfet-iung durch Znhlgleichungen ; die Zahl als
Quotient 27
Kap. 2. Die Prodiiktbildnng im Allgemeinen
§. 1. Produkt iweier Grössen 37
§. 2. Produkt mehrerer Grössen 43
§, 3. Die verschiedenen Arten der Produktbildnng> • 48
Kap. 3. Kombinatorisches Produkt
§. 1. Allgemeine Gefeize der kombinatorischen Mul-
tiplikation ^ 52
g. %. Das kombinatorische Produkt als Grösse 69
§. 3. Aeussere Multiplikation von Grössen höherer
Stufe 78
§. 4. Ergäniung der Grössen 86
§. 5. Pi'odukt in Bezug auf ein Hauptgebiet 94
§. 6. Vertauschung der Faktoren und AnflÖEung der
Klammern 114
§. 7. ZnTfickIcitung und Erfetzung 127
g, 8. Elimination der Unbekannten aus algebraischen
Gleichungen 134
Kap. 4. Inneres Produkt 1
§. 1, Grundgcfetae der inneren Multiplikation 137
§. 2. Begriff des Normalen und feine Correlaten 151
^. 3. Gefetzc der inneren Multiplikation, an den Be-
griff des Normalen geknüpft 164
g. 4. Inneres Produkt zweier Grössen erster Stufe - - 188
§. 5, Einführung der Winkel 195
y Google
Kap. 5. Anwendung auf die Geometrie 1
§. 1. Addition u, f, w. von Punkten und Strecken ■ ■ 216
g. 2. Bäumliche Gebiete Ä8
§ 3. Kombinatorische Multiplikation der Punkte--- "239
§. 4, Addition von Linien und Flachen 2T2
§. 5. Planimetrische ii. storeometrische Multiplikation 287
§. 6- Gleich Null gefetztes planimetrischea Produkt,
ebene Kurven 306
§. 7. Innere Multiplikation in der Geometrie 330
Xweitev AbselinDtt» Funktionenlehre 2
Kap. 1. Funktionen im Allgemeinen 2
g. 1. Reduktion auf eine Variable 348
g. 2, Ganae Funktionen und Darstellung derfelben
durch lückenhaltige Produkte 353
§. 3. Algebraische Multiplikation 36i
g. 4. Ganze Funktionen ersten Gradea und Darstel-
lung- deifelben als Quotienten 377
§. 5. Die Funktionen als extenfive Grössen 39Ü
g. 6. Verwandtschaften von dem Gefichtspnnkte der
Funktionsvcrknüpfung aus betrachtet 401
t) V Kormale Einheiten undStetigkeit der Funktionen 410
Kap. 2 Diflerenzialrcohnung 2!
g 1. Djfferenzial erster Ordnung 428
g 2 DilTerenJialquotient erster Ordnung 435
g 3 DiEfererzinle höherer Ordnung 443
Kap. 3 Unendliche Reihen 31
ä 1 Unendliche Reihen im Allgemeinen 454
«i 3 Die Reihen als Funktionen einer Zahlgrösse- ■ ■ 460
g 3 EntWickelung der Funktion einer extenfiven
Glosse in Reihen 468
Eäp. 4 Integialrechnung 3'
^ 1 Integration Ton Differenzialausdrücken 471
's 2. Integration von DilTerenzialglcicliungon , wenn
die unabhängige Variable eine Zahlgrösse ist'. 491
g 3 Integiation >on Differenzialgleichungen, wenn
die unabhängige Variable eine ustennvo Grösse ist 500
y Google
Erster Absclinitt.
^ay. 1. ^Mittum, Subtraktion, Bfiniflfadjimg unö
lE|)Eiluii8 fftcnffön- ^vö^nt.
§. 1. Begriffe und Rechiiiiii|:sgesetze.
1, Erklärung. Icli sage, eine Grösse a sei ans den
Grössen b, c,' ■ ■ durch lÜe Zahlen ß,Yi'" abgeleitet, wenn
a = |3b 4- j-c +■■■
ist, wo ß, y,' - - reelle Zahlen sind, gleichviel ob rational oder
irrational, ob gleich null oder verschieden von null. Auch
sage ich, a sei in diesem Falle ntiraerisch abgeleitet
aus b, c, • ■ ■
2. Erklärung. Ferner sageich, dass zwei oder mehrere
Grössen a, b, c--- in einer Zahlbcziehung zu einander
stehen, oder dass der Verein der Grössen a, b, c,--- einer
Zahlbeziehung unterliege, wenn irgend eine derselben sicli
aus den übrigen numerisch ableiten Igsst, also wenn sich z. B.
a = jSb + yc+--.
setzen lässt, wo /3, )■,■■ ■ reelle Zahlen sind. Besteht der Verein
nur aus Einer Grösse a, so soll nur in dem Falle gesagt
werden, der Verein unterliege einer Zahlbeziehung, wenn
a = o ist. Wenn zwei Grössen a und b, von denen keine
null ist, in einer Zahlbcziehung zu einander stehen, so be-
zeichne ich dies durch
a = b,
und sage a sei kongruent 1),
y Google
2 (»
Anioerkutif!. Zwei reelle Zahlen Hteheii also immer, zwei ver-
schieden benannte Grössen stehen nie in einer Zahl bezlehung za einander.
Süll ist aus jeder Grössenreihe numerisch ableitbar, niiinlich durch
die Zahlen o, o,--' Mehrere Grössen also, unter denen eine null ist,
stehen stets in einer Zahlbeziebung zu einander.
Das Zeichen C^) ist in ähnlichem Sinne von Möbius (in seinem
barycentrischen Calcül) gebraucht. Die Benennung (kongruent) gründet
sich auf geometriache Bctraclitungen. Zur Bezeichnung abstrakter
Beziehungen ist sie von Gauss gebraucht.
3. ErkUrung. Einheit nenne ich jede Grösse, welche
dazu dienen soll, um aus ihr eine Reihe von Grössen numerisch
abzuleiten, und zwar nenne ich die Einheit eine ursprüng-
liche, wenn sie nicht aus einer anderen Einheit abgeleitet
ist. Die Einheit der Zahlen, also die Eins, nenne ich die
absolute Einheil, alle übrigen relative. Null soll nie hIs
Einheit gelten.
-?l. Erklärung. Ein System vonEin heilen nenne
ich jeden Verein von Grössen, welche in keiner Zahlbeziehung
zu einander stehen, und welche dazu dienen sollen, nm aus
ihnen durch beliebigj Zahlen andere Grössen abzuleiten.
Anmerk, Hierhergehört auch der Fall, wo der \ereiii nur aus
einer Einheit besteht (die jedoch nach Nr, 3 nicht null sein darf).
5. Erklärung Extensive Grösse nenne ich jeden
Ausdruck, welcher aus einem Systeme von Einheiten (welches
sich jedoch nicht auf die absolute Einheit beschrankt) durch
Zahlen abgeleitet ist, und zwar nenne ich diese Zahlen die
zu den Einheiten gehörigen Abieitungszahlenjener Grösse;
z. B, ist das Polynom
«iCi -(- ajej4-- ■ -, oderX^ae oder^iXcOr
wenn a,, a;,- - ■ reelle Zahlen sind, und e,, e,,- ■ ■ ein Syslein
von Einheiten bilden, eine extensive Grösse, und zwar ist
dieselbe aus den Einheiten Ci, ej, ■ ■ - durch die zugehörigen
Zahlen a,, ßj, ■ ■ ■ abgeleitet. Nur wenn das System blos aus
der absoluten Einheit (1) besteht, ist die abgeleitete Grösse
keine extensive, sondern eine Zahlgrösse, Den Ausdruck
Grösse überhaupt werde ich mir Iiir diese beiden Gattungen
derselben festhalten. Wenn die extensive Grösse aus den
ursprünglichen Einheiten abgeleitet werden kann, so nenne ich
jene Grösse eine extensive Grösse erster Stufe.
y Google
8) 3
Anmerk. Aus der Elementarmathematik setzen wir die Rech-
nungsgesetze für Zahlen, und auch für die sogenannten „benannten
Zahlen", d. li. für die aus Einer Einheit abgeleiteten estenaiven
Grössen voraas; jedoch nur für den Fall, daas jene Einlieit eine
ursprüngliche ist.
6, Erklärung, Zwei extensive Grössen, die aus demsel-
ben System venEinheiten abgfeleilet sind, addiren, heisst, iiire
zu (Jenseiben Einheiten gehörigen Abieitungszahlen addiren, d. h.
Z^ + Xfe = Zia + ß) e
7. Erklärung. Eine extensive Grosse von einer andern,
aus demselben Systeme von Einheiten abgeleiteten subtra-
hiren, heisst die Ableitungszahlen der ersteren von den zu
denselben liinheiten gehörigen Ableitungszahlen der letzteren
subtrahiren, d. h.
X'öe — ^ße — Z"(« — We
Anmerk In Bezug auf ä'n, Khramerbez eich nun g halte ich die
Bestimmung lest, dass ein ohne klammem geschriebenes Polynom oder
Produkt lus mehreren. Faktoren gleichbedeutend ist dem mit Klam-
mern gesthiif-bcnen Ausdruck m welchem alle Klammem gleich zu
Anfang eintreten, alsu a-|-b -(''' = i'^ + b)-(-c, abc = (ab) c
8. Erklärung. Fm extcnsne Grössen a,
b, c gelten
die Fundamentalformeln:
a + b = b + a,
2) a + (li + c) = a + li + c,
3) a + b - b = a,
4) a - b + b = a.
Beweis. Es sei a = ^oc, b ^ ^fie, c =
= Z>'e, so ist
() » + b=Z^« + Zf«='Z(M-.ß')o
[nach 6].
= Z((*+"«)e =Zße + X«e
ra.
= b + a.
2) a -h (b + e)=XS + (Z^ + Zi^)
= Z«» +Ztf+)')"
[6].
= Z(n + C/S + rt)e
[6].
= Z(a+|5 + rte
= Z(o + «e + Zl-n
[6].
= Z«e+Z(!e+Z?e
[6].
= a + b + c
y Google
3) a + b- b = X«o +Xh -- Xße
= ^C H-7)e - Z^° [6].
^ ^K e = a
4) a — b + b = X™ — X?c + X?«
= X(«-"> + mo [6].
= Z>S = a
9. Für extensive Grössen gellen die sämmtlichen Gesetze
algebraischer Addition und Subtraktion.
Beweis. Denn diese Gesetze können, wie bekannt, aus
den 4 Fundamentalformeln in Wo. 8 abgeleitet werden.
10. Erklärnng. Eine extensive Grösse mit einer Zahl
multipliciren heisst ihre sämmtlichen Ableitungszahlcn mit
dieser Zahl multipliciren, d. h.
.Zae ■ ß^ß ■ X«e ^X(aß)-s
11. Erklärung.] Eine extensive Grösse durch eine Zahl,
die nicht gleich null ist, dividiren, heisst ihre sämmtlichen
Ableitungszahlen durch diese Zahl dividiren, d, h.
12. Für die Multiplikation und Division oxlensiver Grössen
(a, b) durch Zahlen (ß, y} gelten die Fundamentalformeln:
O ^ß - ^a,
2) BßY ^ a(,3j.),
3) Ca + b),- =!,y + bY,
4) aCß + Y) =aj3 + ar,
5) a • 1 = a,
6) &ß = dann und nur dann , wenn entweder a =^ 0,
oder ß = 0,
7') 9 : ß = 3 -j, wenn (S ^ ist ').
Beweis. Es sei a =^ ^ae. b := ^ßa. wo die Summe
sich auf das System der Einheiten Ci ... Cn beziehl, so ist
") Das Zeiclien ^ zusammengesetzt aus "7 und ^ soll ungleich
bedeuten.
y Google
i) gß = (ia nach der Definitio« [s. Formel in No. 10].
ü) 'ßy = X ie ßi = ZS« e 1 110]
^ ZC-fyje _ [10].
= Z«tf?)-« = X«e CM [10],
=atfrt _
3j Ca+b> = ( Z»e + Xf^ ') r = Zl<' h « e >■ [«]■
= Z (» + fl)r ■ e _ i;10],
= Z(»7 + /)rt-^= Z(«rtS + ZffJrtera.
= Z»'i-r +X|äe-1' ['Ol'
= a)'-f-b)'
« a(/i+y)=Z »etf+rt = Z"tf + )•)■' [10]
= ZW + «rte = ZoCe +Z«?-» [»]■
= Zoe-/l + Z<-C7 [10]
=_a/3 + aj- ^
5) a-l = Z8e-l=Zoii [fö]-
6J aj wenn a = ist, so ist
a^ = 0-(? =
b) wenn ß ^0 ist, so ist
af = a-0 = Z«i!-0=ZÖ^ [10].
= ZÖ~ ]^- Anm.]
=
c) wenn a^S^O, so hat man
= a(J = ZS'iS = ZS?^ [10].
Hieraus folgt nnn, dass alle Podnkte aß d. Ii, n^ß, o-^/S,
■ ■ ■ Ob ß nnll sein müssen. Denn gesetzt, es wäre eins der-
selben, z. ß. Oiß nicht null, so hätte man aus der Gleichung
= aiß Ol + o^jSea H «„(? e«
durch Mult. mit -~ die Gleichung
= e,+Me,.^...«.^^..„der
'^ o,/jy= ' ^V a,ßj •
d. h. Ci wäre aus Oj-'-Cn numerisch ableitbar, oder zwi-
schen den Einheiten ef-'-e^ bestände eine Zahlbeziohung,
y Google
was gegen die Annahme ist, da e,, ej,-'-ei, ein System von
Einheiten bilden sollen. Somit ist
also entweder ^=0, oder wenn ß ^ hl,
= «,=aj = ---«„
also a=:^ae = ^Öe ^:^ ^0~ [5. Anm.l
d. h. wenn a/3 = ist, so nmss entweder ß oder a gleich
null sein.
73 a : ^ — X«e : ß = V— e [H], da ß nidit null ist.
_ _^ ß
13. Für die Multiplikation und Division extensiver Grössen
durch Zahlen gelten die algebraischen Gesetze der Multipli-
kation und Division.
Beweis. Denn aus den Fundamentalformeln (1 bis 6)
des vorhergehenden Satzes folgen in bekannter Weise die
sämmtlichen algebraischen Gesetze der Multiplikation, und durch
Formel (7) desselben Satzes wird die Division, ebenso wie
in der Algebra, auf die Multiplikation zurückgeführt. Also
gelten auch die algebraischen Gesetze der Division für die
Division extensiver Grössen durch Zahlen.
§, 2. ZiiBammenhang zwischen den aus einem System
von Einheiten ableitbaren Grössen.
14. Erklärung, Die Gesammtheit der Grössen, welche
aus einer Reihe von Grössen ai, a2,---an numerisch ableitbar
sind, nenne ich das aus jenen Grössen ableitbare Gebiet (das
Gebiet der Grössen a,,- - an^, und zwar nenne ich es ein Ge-
biet n-ter Stufe, wenn jene Grössen von erster Stufe (d, h.
aus n ursprünglichen Einheiten numerisch ableitbar) sind, und
sich das Gebiet nicht aus weniger als n solchen Grössen ab-
leiten lassl. Ein Gebiet, welches ausser der Null keine Grösse
enthält, heisst ein Gebiet nulller Stufe.
y Google
*6) 7
Anmerk. Das Gebiet erster Stufe ist also die Gesammtheit der
Vielfacten einer Grösse erster Stufe, wenn man nämlich unter Viel-
fachem einer Grösse jedea Produkt der Grösse mit einer reellen Zahl-
grösse versteht.
TS- Erklärung. Zwei Gebiete heisseii identisch, wenn
je(Je Grösse des ersten Gebietes zug'leich Grösse des zwoiten
ist und umgekehrt. Wenn jede Grösse eines Gebietes CA)
zugleicli Grösse eines andern (B) ist (ohne dass das Umge-
kehrte nothwendig stattfindet;), so nenne ich beide Gebiete
einander incident, und sage dann, das erste Gebiet (A) sei
dem zweiten unlergeordnet, das zweite dem ersten über-
geordnet. Die Gesammtheit der Grössen, welche zweien oder
mehreren Gebieten zugleich angehören, heisst ihr gemein-
schaftiiches Gebiet, und die Gesammtheit der Grössen, welche
sich aus den Grössen zweier oder mehrerer Gebiete numerisch
ableiten lassen, ihr verbindendes Gebiet.
Anmerk. Ist z. B. das Gebiet Ä aus deu Einheiten Ci, ej, e^
abgeleitet und das Gebiet B aus den Einheiten ej, Cj, e^, so ist das
den Gebieten A und B gemeinschaftliche Gebiet das aus den Einheiten
ej, Cj abgeleitete, und das A und B verbindende Gebiet das aus den
Einheiten e|, e^, e^, e^ abgeleitete.
16. Erklärung. Zwischen n Grössen ai,---au herrscht
dann und nur dann eine Zabibeziehung, wenn sich eine
Gleichung
«1 ai + ■ - - «„a^ =
aufstellen lässt, in welcher die Zahlen «,,... «i, nicht alle zu-
gleich null sind.
Beweis. Denn wenn in der Gleichung
«1 ai H a„a„ =
auch nur Eine der Zahlen af,---aa von null verschieden ist,
z. B. %, so ist die mit dieser Zahl verbundene Grösse a, aus
den übrigen numerisch ableilbar; denn dann ist
«2 «3 Ob
' «1 ^ «1 ^ &i "'
Umgekehrt, wenn irgend eine Zahlbeziehung zwischen
den Grössen ai--'an herrscht, z. B.
ai=fta, +^,a, +■■■ ^„a„
so wird
yGoosle
8 (1*
eine Gleichung, in welcher wenigstens der Koellicient von a,
ungleich nuil ist.
17. Wenn n Grössen in einer Zahlbeziehung zu einander
stehen, und sie nicht alle null sind, so muss sich aus ihnen
ein Verein von weniger als ii Grössen aussondern lassen,
welcher keiner Zahlbeziehung unterliegt, und aus dem die
flbrigen Grössen numerisch ableitbai' sind.
Beweis, Es seien ai----9,^ die in einer Zahlbezichung
zu einander stehenden Grössen, so muss [nach No. 3] sich eine
derselben aus den übrigen numerisch ableiten lassen; dies sei
a„ und sei etwa
än = Ui9i + ■ • 'ttn— 1 an— 1.
Herrscht nun zwischen den Grössen a, ---an-, abermals
eine Zahlbeziehung, so wird wieder eine derselben etwa Bn-i
aus den übrigen a,,---aii-i numerisch ableitbar sein müssen.
Es sei
Führt man diesen Ausdruck für a„_i in die erste Gleichung
ein, so erhält man
a., = C«! + «n-i^i) a, + . . ■ ■ Ca„-, + a.-, ß.-2>.-2,
also ist dann auch an aus ai, ' ■ • an-^ numerisch ableitbar.
Dies Verfahren wird man fortsetzen können, so lange als
noch zwischen den jedesmal übrig bleibenden Grossen eine
Zahlbeziehung stattfindet. Man wird also zuletzt entweder zu
einer Schanr von mehreren Grössen kommen, die in keiner
Zahlbeziehung mehr zu einander stehen, und aus denen die
übrigen numerisch ableitbar sind, oder es bleibt zuletzt nur
Eine Grösse, etwa Bj, übrig, aus der alle übrigen numerisch
ableitbar sind. Im letztern Falle darf diese Eine Grösse ai
nicht null sein, weil sonst alle übrigen Grössen, als numerisch
daraus ableitbar, auch null sein würden, was der Annahme
widerstreitet. In beiden Fällen gelangt man also (No, 2) zu
einem Vereine, der keiner Zahlbeziehung mehr unterliegt und
aus dem alle übrigen der n Grössen ai-'-a^ numerisch ab-
leitbar sind.
18, Erklärung. Wenn in einem Verein von Grössen
«!> a3,-''an die erste »i nicht null ist, und keine der fol-
y Google
1») 9
gendeii fich aus den vorhergehenden numerisch aMeiten lässt,
l'o unterliegt der Verein keiner Zahlbeziehung.
Beweis. Denn gefetzt, er unterliege einer Zahlbczie-
hung, fo müssle (nach i6) zwischen den Grössen ai , aj,- ■ ^ai,
eine Gleichung
«iBi + ß.j3a -(-■■■ agSj, ^=
aufgestellt werden können, in welcher nicht alle Koefficienten
«I, ßj, ■ • ■ «n zugleich null find. Es fei et, der letzte unter
dieren Koefficienten, welcher von null verschieden ist, fo er-
hält man
(tia| + (tiRa +• • ■ ßrar = 0,
alfo, wenn r grösser als \ ist,
tti ßj «r-I.
d. h. at ist aus den vorli ergehenden Grössen ai---an_j nu-
merisch ableitbar, gegen die Vorausfelzung. Ist aber r^^l,
fu hat man
alfo, da dann tti ungleich null angenommen ist,
ai=0,
was gleichfalls der Vorausfelzung widerstreite!. Alfo kann
keine Zahlbeziehung zwischen den Grössen a( ■ • ■ an herrschen.
19. Wenn eine Grösse a, aus n Grössen b,, b^ ■■■ li^
numerisch ableitbar ist, und dabei die zu bj gehörige Abli;;-
tungszahi ungleich null ist, fo ist das aus den n Grössen bi,
bj ■ ■ ■ ■ b„ ableitbare Gebiet identisch mit dem aus den ri Grössen
aj, bj, ■ ■ - ■ bn ableitbaren.
Beweis. Es fei ^1= ßiK -[- ß.^h^ -{ ßj}^, wo j?,
ungleich null ist, fo ist
^-r-h -t-
Ist nun c numerisch ableitbar aus bj, b^, • ■ ■ b„, etwa
c = hl>i H-rabi +•••■+ yX,
fü erhält man c als aus a„ h^, • ■ ■ K abgeleitet, indem man
hier statt bj den gefundenen Werlh fetzt, nämlich
y Google
10 («»
Umgekehrt ist c numerisch ableitbar aus ai, b, , • • ■ b,,,
etwa
io erhSlt man c als aus bi, b,, - ■ ■ bn abgeleitet, iiidein man
statt aj seinen Werth |3ibi + ß^h^ -j-- ■ • j5„b„ fetzt, uäTnlicli
c^a,/3,bi +(ßj -|-(t,/3,)b,+ ■ ■ . . +,C«„ + a,/?Jb„.
Airo, jede Grösse, die einein lier beiden Gebiete angehört,
gehört auch dem andern an, d, h. beide Gebiete find identiseli.
20- Wenn m Grössen a,, ••• a,,,, die in keiner Zahl-
beziehung zu einander stehen , aus n Grossen b, , ■ ■ ■ b^, nume-
risch ableitbar find, Fo kann man stets zu den m Grössen
öij ■ ■ ■ ^m noch (n-m) Grössen am^., , ■ ■ ■ Sn von der Art hin-
zufügen, dass fich die Grössen bj , — bn auch aus a^ ■ ■ ■ a„
numerisch ableiten lassen, und alfo das Gebiet der Grössen
ai ■ ■ - ■ Bn identisch ist dem Gebiete der Grössen bj ■ ■ ■ ■ !>„;
auch kann man jene Cn-m) Grössen aus den Grössen bj • ■ • b^
felbst entnehmen.
Beweis. Nach der Annahme ist aj aus b^ ■ ■ ■ bn ab-
leitbar. Von den Zahlen, durch welche diefe Ableitung er-
folgt, niuss mindestens Eine von null verschieden fein, weil
ibnst ai felbst null wäre, alfo der Verein der m Grössen
(nach 3) einer Zahlbeziehung unterläge.
Es fei die zu b, gehörige Zahl von null verschieden, und
(lies wird man immer annehmen können, da man ja die indices
beliebig wBhlen kann. Dann ist nacb 19 das aus b,, bj,- ■ -bn ab-
leitbare Gebiet identisch dem aus a,, bj, • • ■ bn ableitbaren. Man
habe nun für irgend ein r, welches -< m ist, gefunden, dass
das Gebiet der Grössen b,, bä,---b„ identisch fei dem Gebiete
der Grössen aj, a^, • ■ - ar, br; i, ■ ■ ■ ■ b„, fo wird nun, da nach
der Hypothefis acii aus bj, bj, - - ■ bn ableitbar ist, es auch
(vermöge der Gcbiets-Identität) aus aj, a,, - ■ - aj, b^+i ■ ■ ■ b^
ableitbar fein. In dem Ausdrucke diefer Ableitung ar-n =
a,ai +■ ■ ■ «iBr -f- iSr+ib, I, -) — - ßj)^ muss nothwendig einer
der Koefßcienten , die zu br+i, ■ ■ ■ bn gehören, von null ver-
schieden fein, weil fönst zwischen den Grössen ai- ■ ■ -0,11 eine
Zahlbeziehung staltfände, gegen die Hypotbefis; es fei dies etwa
ßt+i, l'o ist, nach 19, das aus ai, - ■ ■ ar, ht+i ■ ■ ■ ■ bn ableit-
y Google
«») n
bare Gebiet identisfli dem avis a^, • ■ ■ ■ arn , b,.;., ■ - ■ • b^ ab-
leitbaren; alfo auch dies letztere Gebiet identisch (iem Gebiete
der Grössen l)i ■ ■ ■ ■ b,,. Diefeu Schluss kann man alfo von
r = l an verfolgen, bis r;=ni wird; d. h. es wird dann das
Gebiet ai ■ ■ ■ ■ a„b„4i ■ - ■ ■ b„ identisch dem Gebiete bi ■ ■ ■ b„;
und bezeichnet man dann die Tu übrig; gebliebenen Grössen
bni+i, ■ ■ ■ bn beziehlich mit am ii, ■ ■ • ^m fo wird das Gebiet
der Grössen Sj ■ ■ - a^ identisch dem Gebiete der Grössen
bi . ■ - b„.
21. Wenn n Grössen (ai, - ■ ■ 3^"}, welche in keiner Zahl-
beziehungf zu einander stehen, aus n andern Grössen (b,, - ■ b^
numerisch ableitbar find, fü ist das Gebiel der ersten Grössen-
reihe identisch dem der letzteren.
Beweis. Man hat nur in dem vorhergehenden Satze
ni = n zu fetzen, fo erfolgt der zu crweifende Satz.
22. Wenn n Grössen (ai, ■ ■ ■ a„) aus weniger als n Grössen
(h,, • ■ ■ b„) numerisch ableitbar find, fo stehen jene n Grössen
«lets in einer Zahibeziehwng zu einander.
Beweis Es Teicn Bj, ■ ■ ■ an aus bi • ■ ■ b^, abieitbar, wo
m n ist Nun können a, • ■ ■ a^, entweder in einer Zahlbe-
ziehung zu einander stehen oder nicht. Im ersteren Falle
blühen luoh i, an, da unter ihnen die Grössen ai,'--a„
vorkommen in cintr Zahlbeziehung zu einander. Im zweiten
Falie ist das Gebiet der Grössen aj ■ ■ - a^ (nach 21} iden-
tisch dem Gebiete der Grössen bi---bn,, alfo ist jede aus
bi,- ■ -h^ numerisch ableitbare Grösse auch aus ai,- ■ -a^ nume-
risch ableitbar, alfo find namentlich die Grössen am+i,---a„,
welche ndch der Hypothefis aus bj, bn, ableitbar find, auch
aus aij—am ableitbar, d. h. auch im zweiten Falle besteht
zwischen aj'-'-Ru eine Zahlbeziehung.
23. Wenn ein Gebiet n-ter Stufe ans n Grössen erster
Stufe ableitbar ist, fo stehen diefe in keiner Zahlbeziehung
zu einander, und umgekehrt: Wenn n Grössen erster Stufe
in keiner Zahlbcziehnng zu einander stehen, fo ist das aus
ihnen ableitbare Gebiet ein Gebiet n-ter Stufe.
Beweis. Es fei A das aus den n Grössen erster Stufe
y Google
13 (»*
ai-'—fln ahleitbare Gebiet. Wenn nun zuerst A ein Gebiet
n-tor Stufe ist, fo können ai ■ • - ■ dn in keiner Zahlbeziehung
zu einander stehen; denn dann würde rick eine dieser Grössen
aus den übrigen ii — i numerisch ableiten lassen, alfo auch diis
Gebiet aus diefen n — i Grössen ableitbar fein, was dem Be-
griffe des Gebietes n-ter Stufe [nach 14] widerstreitet. Zwei-
tens umgekehrt, wenn a,, ■ • • an in keiner Zahlbeziehung zu
einander stehen, fo können lle [nach 23] nicht aus weniger
als n Grössen numerisch abgeleitet werden, ali'o auch das aus
ai,- ■ ■»„ ableitbare Gebiet nicht, a!fo ist dies Gebiet [nach 14]
von n-ter Stufe.
24. Jedes Gebiet n-ler Stufe kann aus n Grössen erster
Stufe, die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, ab-
geleitet werden, und zwar aus beliebigen n folcher Grössen
des Gebietes.
Beweis, Denn es feien ai, • ■ - ■ »„ die Grössen, aus
denen ursprünglich das betrachtete Gebiet hervorgegangen ist,
und feien bj, ■ ■ • b„ n Grössen diefes Gebietes, die in keiner
Zahlbeziehung zu einander stehen. Da hj, ■ ■ ■ b„ dem aus
a(, ■ ■ ■ Ba abgeleiteten Gebiete angehören, fo werden fich
[nach 14] die Grössen bi- ■ -b^ aus a,- ■ -ao numerisch ableiten
lassen, und da zugleich jene Grössen bi---bn in keiner Zahl-
beziebungzu einander stehen [Vorausfetzung], fo wird [nach 21]
das aus bi bn ableitbare Gebiet identi'ith dem aus ai iIq
ableitbaren
Anmerk Durch dieXtn Sata i=t ledti ipecilische Unttiscliiii
zwischen den urspi un glichen Einheiten i nd den doraofe nuracnseh
abgeli.it eten Grossen autgelioben, indem man jedes Gebiet, statt aus
den nrsprunghch iu Grunde gelegten ii Einlieitun, auch ans beliebigen
n Glossen dieles Gebietes, die lu keinei Zahlbeziehnng /.u cinamler
efehün ableiten, und dicfe GiO''=en alfo statt lenei crsteicn als Ein-
heiten Tctzon kann Es biitte fich diefer wichtige Sati aiicli diiekt
aus der Theorie der Elimination ableiten lassen In d^r That ist unfi-r
Satz nur eine Tranafnimation. des Satzes Wenn n blossen Vi Vn
ganze homogene Fniiktionen ersten Gradefi lon n andeien x, Xn
find, und die ersteren iii kern m anderen Falle alle ziigeich nnll
werden lionuen als wenn auch die letiteion alle null werden, io
lasBtn fich aueh die letzteien (xj ^nl als gaiiie homogene Tinil -
tionea ersten Grades ^on den crsteien (\, \n) daistellcii
y Google
»») 13
Doch ist der hier geiieferte Beweis nicht nur elementarer, fondem
hat auch den Voraug, dass dabei die wefentlichaten einfachen Bezie-
hungen zwisclien den extenrivcn Grössen klarer li ervortreten.
23. Die Stufonzalilen zweier Gehiete find zurammen-
genommcii ebenfo gross als die Stufenzahlen ilires gemein-
schaftlichen und ihres verLindenden Gebietes zufammenge-
nommen, d, h. wenn m und n die Slufenzahlen der gegebenen
Gebiete find, r die ihres gemeinschaftlichen, v die ihres ver-
bindenden Gebietes, fo ist
m -f n :^ r -f- V.
Beweis. Es feien A und B die beiden gegebenen Ge-
biete m-ler und n-ter Stufe, und fei A aus den Grössen
ai-'-Cm, B aus den Grössen b,----b„ ableitbar. Dann kann
[nach 23] weder zwischen ai-'-a^j, noch zwischen bi---bn
eine Zahlbeziehung herrschen. Ferner möge fich ein Verein
von r, aber auch nicht von mehr, Grössen finden lassen, welche
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und welche bei-
den Gebieten zugleich angehören. Diefe Annahme wird immer
zulässig fein, da r auch null fein darf. Es feien Cj ■••Cr
diefe Grössen. Dann wird man [nach 20] in die Reihe der
Grössen ai--'-a„ statt r derfelben, etwa statt a,--'-ar die
Grössen Ci---Cp in der Art einführen können, dass das aus
diefcr neuen Grössenreihe ableitbare Gebiet identisch fei dem
Gebiete A, Ebenfo wird man in die Reihe der Grössen
bi---bn statt r dcrfeibon, etwa statt b,---br die Grössen
Ci--'Cr in der Art einführen können, dass das aus diefer
neuen Grössenreihe ableitbare Gebiet dem Gebiete B identisch
fei. Dann ist also A ans den m Grössen Cj ■ ■ - ■ c,, ar+i • ■■ -an,
ableitbar, und B aus den n Grössen c, ■■■■Cr, br+i----bn.
Keine diefer Grössenreihen unterliegt [nach 33] einer Zahlbe-
ziehung. Dann ist klar, dass alle aus c,---Cr ableitbaren
Grössen den Gebieten A und B gemeinschaftlich find; aber
auch keine andern, da es fenst, wider die Annahme, mehr
als r in keiner Zahibeziehung zu einander stehende Grössen
geben würde, die beiden Gebieten A und B gemeinschaftlich
wären. Das den Gebieten A und B gemeinschaftliche Gebiet
ist alfo das aus Ci--'Cr abgeleitete Gebiet, alfo [nach 23] ein
y Google
14 f«6
Gebiet r-lur Stufe. Nun bilden ferner alle Grössen c, ■■-Cc,
ar-n*-'8m) f'rn'-'-hn eine Reihe von Grössen, die in keiner
Zalilbeziübung zu einander stehen. Denn gefetzt, es herrschte
zwischen ihnen eine ZahMiezichung, fo müsste diefe von der
Form
a 4- b + c^O
fein , wo a aus a? 1 1 ■ ■ ■ ■ a,„ , h aus br-i-i - ■ ■ ■ b„ , c aus Cj ■ ■ ■ c r
abgfeieilet ist. Hier können weder a noch b null fein. Denn
wäre a null, fo wäre b -\- c:^0, und es bestände alfo eine
Zahibeziehung zwischen den Grössen br-ii- ■ ■ -b^, Cf-'-c^,
was, wie bewiefen, unmöglich ist; und wäre b null, fo be-
stände eine Zahlbeziehung zwischen ar+i-'-a^,, Ci-''Cr, was
gleichfalls als unmöglich nachgewiefen ist. Stellen wir die
obige Gleichung in der Form dar
a=c — b ~c,
fo ist die linke Seite aus at-fi--''ani numerisch abgeleitet,
gehört alfo dem Gebiete A an, die rechte Seite ist aus
t'r4i' ■ ■hn, Ci'--Cr numcnsch abgeleitet, gehört alfo dem Ge-
biete B an, folglich gehört h dann beiden Gebieten zugleich
an. Da aber a aus arH-i-^a^ numerisch abgeleitet ist, und
zwischen ar_|., ■ ■ -am, Ci---Cr keine Zahlbcziehung herrscht
(wie oben gezeigt wurde), fo ist a nicht aus Ci'---Cr ab-
leitbar. Alfo würden dann die Gebiete A und B mehr als
r in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grossen ge-
meinschaftlich haben, was gegen die Vorausfetzung ist. Somit
folgt, dass der ganze Verein der Grössen c^- • -Cr, ar+i---an.i
br+i---bn keiner Zahlbeziehung unterliegt. Das aus diefcn
Grössen ableitbare Gebiet besteht aber aus den fämmtlichen
Grössen, welche Och aus den Grössen der Gebiete A und B
abieilen lassen, d. h. ist ihr verbindendes Gebiet. Die Stufen-
zahl desselben fei v, fo ist [nach 22] v gleich der Anzahl der
Grössen c,-'-Cr, a,+i--'a„, br-i-i---b„, d. h.
V ^=m -f 1 — T) oder
m + n z^ r + V,
2fi. Zwei Gebiete (A und ß], welche beziehlich von
a-ter and jS-ter Stufe find und in einem Gebiete n-ter Stufe
liegen, haben, wenn a -|- |3 >- n ist, mindestens ein Gebiet
von (a + ß —- n)-ter Stufe gemein.
y Google
28) 15
Beweis. Das A und B verbindende Gebiet fei von v-ler
Stufe, das ihnen gemeinschaftliche von r-ter Stufe, fo ist
[nach 25]
et -f- ^ = r -f- V, liier t = a + ß — v,
d. h. Da A und ß in einem Geriete n-ter Stufe liegen, fo
liegt auch ihr verhiudendes Gebiet in diefem Gebiete n-ter
Stufe, alfo ist v entweder ebenfo gross oder kleiner als n,
alfü r = a -\- ß — v entweder ebenfo gross als a -j- j9 - n
oder grösser.
Alimerk. Die bisher entwickelten Sätae finden ficli sclioii, wenn
glcicli meist in anderen Formen, in meiner ersten BearbeitunK der
Ausdehn angslelire vom Jalire 1844, und zwar Sata 18 und 33 Tind
genau iu der entsprechenden Form in §. 20 jenes Werkes, Satz 24 in
§. 126 enthalten, nnd auch die Idee des BewciCeä für diefe Slitzc ist
liier und dort dief'lbe.
g. 3, Die Zahl als ftuotieiit extensiver Grössen
nnd Ersetzaiig der Gleichungen zwischen extensiven Grössen
durch Zahlgleichungen.
27. Krklärung. Ich nenne zwei Voreine von Glei-
chungen einander erfetzend, wenn ficb jeder von beiden
Vereinen aus dem andern ableiten lässt.
Anmerk. Hierbei ist auch der Fall eingeschlossen, in welcliem
einer der beiden Vereine oder jeder von beiden nur aus einer Glei-
clmng besteht.
38. Eine Grösse x, welche aus n in keiner Zalilbeziehung
zu einander stehenden Grössen aj- ■ ■ -a^ abgeleitet ist, ist dann
und nur dann null, wenn ihre n Ableitungszahlen null finJ,
d. h. die Gleichung
(a) x,a, + x^a^ -\ hx„H„ ~
wird erfetzt durch die n Gleichungen:
(b) = X, ^ X, -^ ■ ■ . . -^ x„.
Beweis. Denn wäre irgend eine der Ableilungszahleti
von null verschieden, fo würde vermöge der Gleichung (a)
nach 16 zwischen a, ■ ■ ■ ■ a„ eine Zahlbeziehung herrschen,
gegen die Annahme. Gilt alfo die Gleichung (a^, fo gilt auch
der Gleichungsverein (b). Umgekehrt, gilt der letzte Verein,
r« folgt daraus die Gletcliung (a). Alfo wird dicfe Gleichung
durch jenen Verein erfclzt.
y Google
i6 («»
39. Zwei Grössen eines Gebietes n-ter Stufe find dann
und nur dann einander gleich, wenn ihre n zu denfelhenEin-
heitcn gehörigen Ableitungszahlen einander gleich lind, d. h.
die Gleichung
(a) c,ei + 0^62 +-*--«ne„ = ^,ei +|3je,-| j?„e^
wird erfctzt durch die n Gleichungen
Beweis. Denn die Gleichung (a) wird erl'etzl durch die
Gleichungen
(«1 -^i)Oi + C% -lS.3ei + ■ . . + K - Wen = 0,
und diefe (nach 26) durch die n Gleichungen
= a, — jSj ^ 0:5 — ,3ä — — a„ ■- ß^,
d. li. durch die n Gleichungen
a^^ßi, a^ = ßu ■■■, a„^j3„.
30. Erklärung. Wenn eine extenUve Grösse a aus
einer andern b, die nicht null ist, fich numerisch ableileii
lässt, To verstehe ich unter — die Zahl, durch welche b aus
a
3 abgeleitet werden kann, d. h.
— = a, wenn a .? 0.
a
31. Wenn 2 Grössen Ca und b) aus derfelben Grösse
(c) numerisch abgeleitet And, und die zweite niclit null ist,
io kann man, stutt die erste durch die zweite zu dividrreii,
die Ableitungszahlen entsprechend dividireii, d. h.
Beweis. Wenn ^c ^ ist, fo ist (nach 13, 6) auch ^ ^
ond c ^ 0. Dann ist ac=^ —(ßo) nach 13, alfo
P
32. Eine Gleichung, deren Glieder alle aus derfelben
Grosse (a) numerisch ableitbar find, wird durch eine Gleichung
erfetzt, die man erhält, indem man alle Glieder der ersteren
durch eine beliebige aus jener Grösse (a) numerisch abieil-
y Google
34) 17
bare, aber von null verschiedene Grosse dividirl, d. h. die
Gleichung
(a] an + ßa-i = Uia + ß^a -{
wird erfetzt diircli diu Gleichung
(b) — 4- ii- + . - = =i- -^ 1'- -f, , . wenn oa ^ 0.
Beweis. Wenn ga^O, fo muss [nach 13, 6] fowohl
^^0 als 9^0 fein. Somit kann man a auch, da es von null
verschieden ist, als Einheit betrachten. Dann wird, nach 39,
die Gleichung (a) erfetzt durch
« + !*+■■■== «1 + A+"-,
oder, wenn man durch g^O dividirt, durch die Gleichung
_«+!+. ._^ + ^-H---,
d. h, (nach 31) durch die Gleichung
^,^_l „^t^_]
ea ea Qi^ ei3
33. Erklärung. Wenn die Grössen a^ ■■ -an in keiner
Zaiilbezichung zu einander stehen, und die Grosse
a ^^ «181 + «2O2 + . ■ • ■ -f a^a«
tit, To nennen wir, wenn m kleiner als n isl, die Grösse
„die Zurückleilung der Grösse a auf das Gebiet aia^ ■ ■ ■ -a^,
unter Ausschliessung des Gebietes a^-na^-i-s ■ ■ ■ ■ an-" Wir
fagen, die Zurückleitungon mehrerer Grössen feien in dctn-
felben Sinne genommen, wenn die Grössen auf dasselbe Ge-
biet und unter Ausschliessung; desselben Gebietes zurück-
geleitet sind.
Anmerk, Wenn ins Befoudere a^ßiai 4- ttjdj -| «nan ist,
fü ist z. B. ßja, die Zuriickleituiig von ft auf das Gebiet a, , unter
Ausschliessung des Gebietes »!■■ 'an, ferner; wenn a^^ctjai + tl^aj ist,
fo ist «,81 die Znriiclileitnng auf das Gebiet a,, unter Ausscbliessang
des Gebietes ai.
33. Jede Gleichung, deren Glieder Produkte je einer
exlünfiven Grösse mit einer Zahl find, wird, wenn die exten-
fiven Grössen einem Gebiet n-ter Stufe angehören, erfelzt
durch n Zahlengleichungen, die man erhalt, indem man in
der gegebenen Gleichung statt aller extenfiven Grössen ihre
y Google
18 (3ä
zu tiertelben Einheit gehörigen Ableitiingszahlen fetzt; und
zwar gilt dies, welche n in keiner Zahlbeziehung stehende
Grössen des Gebietes man auch als System von Einheiten an-
nehmen tnng, (I. h. die Gleichung
(a) aa'+(3b+-.-=:«lt ^--tl+■.■
in welcher
a = ßjei -\- ■ ■ ■ «„e^, k = x^ei -[-■■■ ^„''n
h—ßiO^ -I /3„e„, l = Vi -I K,e^
ist, wird erfetzl durch die n Gleichungen
Ia«! + jS/5i H — ■ = xjc, -f -Ui H
vorausgefetzt, dass ei---e„ in keiner Zahlbeziehung zu ein-
ander stehen.
Beweis. Setzt man in die Gleichung (aj die Ausdrücke
für a, b, ■ ■ ■ ■ k, 1, ■ ■ ein, fo erhält man
t««i + /3ft -'r ■■■>!+ (aa, -\- ßß2 -\- ■ • ■>2 + ■ ■ ■ C««„ +
ßß. + ■ ■ OCn - C««i+^., f ■ ■ Oeif ■ ■ ■C'c^„+'U„-f- ■ ■ Of«.
Diefe Gleichung wird (nach 39) erfetzl durch die n Glei-
chungen
aa, + ßß,-\----=H>c,i-U,+---
a«ä + ßßi -I = ax., + XX., -1
äa„ -[■ ßß^-\ = «Ä„ + .U„ + ■ ■ .
33. Jede Gleichung, deren Giieder Produkte je einer
extenfiven Grösse mit einer Zahl find, bleibt bestehen, wenn
man statt aller exlenfiven Grössen ihre in demfulben Sinne
genommenen Zurückleitungen fetzt.
Beweis. JMan nehme an, die gegebene Gleichung fei
die Gleichung (a) des vorhergehenden Satzes, in weicher a,
b, ■ - • ■ k, 1 ■ • diefelbe Bedeutung haben wie vorher, fo ist
zu zeigen, dass diefe Gleichung auch fortbesteht, wenn man
statt der Grössen a, b, • • • k, 1 ihre Zurückieitungen auf das
Gebiet e^- ■ ■ -e^, unter Ausschliessung des Gebietes ß^H' ' ' '^^^
felzt, d. h. düss auch
Cc) KU' ■{- ßh- -\ — «k' -I- XV -{-■■■
yGoosle
füi , wo a' = «iCj -}-■■■ «mOm) I* = "l^l "h ■
b' = jSiCi -I /?„(;„, 1 = Vi + ■
ist. In lior That wird die Gleichung (ü) erfetzt iturcli dio
II Gleichungen (h) der vorigen Nummer. Multiplicirt man nun
diu ersten m dieser n Gleichungen beziehlich mit Cj, Cj, ■ ■ - e,„
und addirt die fe erhaltenen Gleichungen, (o erhnlt man die
zu erweifende Gleichung (cj.
Anmerk. Es liegt Meriii zngleich der speciellere Satz, das9
gleiche Gröäsen, in gleieliera Sinne zarilckgeleitet, aucii gleiche Zurück-
Icitnngeii geben, oder anders auegedräckt, daaa die Zuriickleitung
einer gegebenen Qrösee bestimmt ist, wciin das Gebiet, auf welches,
imd das Gebiet, unter dessen Ausschliessung zurilckgeleitet werden
Toll, gegeben ist.
3B. Wenn die. Zahlen Xj- ■ ^x^, durch welche eine exten-
five Grösse x aus einein System von n Einheiten ej , e^ , ■ ■ • e^
abgeleitet wird, einer Gleichung m-ten Grades genügen, fo
genügen auch die Zahlen yi ■ ■ ■ Yn, durch welche dierelbo
Grösse aus einem System von n andern dasselbe Gebiet lie-
fernden Einheiten a^, a^ ■ ■ ■ Bq abgeleitet wird, einer Gleichung
ni-len Grades, und zwar ist die letzle homogen, wenn die
erste es ist.
Beweis. Es ist nach der Annahme
X ^= XiCi -|- XjGj -| ■ XqOu,
und zwischen diefen Ableilungszahlen bestehe die Gleichung
fCx„..--x„)^0,
in welcher f das Zeichen einer Funktion m-ten Grades ist.
Nun müssen die neuen Einheiten % ■ ■ ■ • flni ^^ ^'>-' ^^'^ CJe-
biete Ci e^ angehören, aus diefen Einheiten e^, ■ ■ ■ c^ ab-
leitbar fein. Es fei
aj =^<h,Te^^aijCi ■}■ a,^2^i -j-. . ■ aj^e^,
an=X^ßn,re,==ce„,iei:f «0,362 -| «o.n^n-
Ferner, da Yi--'- Jn die Ableilungszahlen in Bezug auf
diefe neuen Einheiten fein follen, fe hat man auch
X = yi«! -f Yaöa -i y^aa, also
y Google
XiBi -f XaCi -I x„e„
= yi^i +Jfj H — yuSn.
= ZCy,«r>i +ZCyr«..0-e, +• ■ ■ -fZCyrM'''-
Alfo nach 29
Xi = Xar,iyr^«l,iyi + (*a,iyi +■•■ «n,iyn.
X2 = Z^«,,5yr=ai,2yi+ßi,2y2-J «n^syn,
Xo=Z^ß,^„y,= ai,„yi+ßä,„yiH Vi^y«'
il. h. Xj, ■ - ■ -Xn find ganze homogene Funklioiien ersten Gra-
des von yi----y„, folglich, fetzt man in
r(xi,----x„)^o
statt Xj, ■ ■ • Xji (liefe Werlhe, fo erhält man eine Funktion
ni-ten Grades von yi-*--yn «n<l zwar eine homogene, wenn
diu erslere eine folche war.
jfin}). 2. ^tc 39ro)mhtbilömig im ^Udhi
§, 1. Produkt zweier Grössen.
37. Erklärung, Unter dem Produkte [ahj einer exten-
riven Grosse a in eine andere b, verstehe icii diejenige extcn-
five Grösse (oder auch Zahlgrösse), die man erhält, indem
man zuerst jede der Einheiten, aus denen die erste Grösse a
numerisch abgeleitet ist, mit jeder der Einheiten, aus denen
die zweite b numerisch abgeleitet ist, zu einem Produkte
verknüpft, dessen erster Faktor die Einheit der ersten Grösse
und dessen zweiter Faktor die Einheit der zweiten Grösse ist,
dann dies Produkt mit dem Produkte derjenigen Ableitungs-
zahlen multiplicirt, mit weichen jene Einheiten verknüpft waren,
und die fämmtlichen l'o gewonnenen Produkte addirt, d. h. es ist
wo e,, Cj die Einheilen, aus denen die Grössen numerisch
abgeleitet find, a,, a^ die zugehörigen Ableitungszahlen be-
zeichnen, und die Summe fich auf die verschiedenen Werthe
der Indices r und s bezieht.
Anmerk. Da dos Produkt extcnfivcr Grössen nach der Erklä-
rung wieder entweder eine extenfive Grösse oder eine Zahlgrösse ist.
y Google
»9)
21
fo muES dasselbe [nach 5] aus einem System von Einheiten numerisch
ableitbar fein. Welches dies System von Einheiten fei, und wie aus
ihnen die Produkte e, ej, aus denen jenes Produkt zue am m engere tzt
ist, numerisch abzuleiten feien, darüber Tagt die Definition niclita
aus. Soll alfo der Begriff eines befondcren Produktes genau festge-
stellt werden , fo müssen noch über jenes System von Einheiten und
über dicfe Ableitungen die nöthigcn Beatinimungen getroffen werden.
Sobald diefe Bestimmungen getroffen find, fo gelit aus der allgemeinen
Gattung der Prod uktbil düngen , wie fie oben festgestellt wurde, eine
befondere Art der Produktbildung hervor. Hat man z. B. das Pro-
dukt P=[{x,e, + xje,) fyie, +yie,)], fo iat dasselbe [nach37J gleich
x,y, [e, ei] + x,yi[e,ei]-i-Xiy, [e,e,l-fxiyi[ejei] Befondere Arten
der Produktbildung würden nun hervorgehen, ^lenn noch die Em
leiten festgefetzt würden, aus denen dies Produkt numerisch abge-
leitet werden fol! , und die Art bestimmt würde, nie die vier Piodukte
[Cie,], [eiCj], [ejei], [e,ej] aus jenen Einheiten numeriscii abzuleiten
find; fo z. B. könnte festgefetst werden, dass diefe vier Produkte
leibst das System der Einheiten bildeten , aus denen P numensch ab
anleiten ist, dann find xjyj, ijy], sjy,, x^y^ die Ableitung sz all len lou
P; und wir h5tten eine befondere Art der Produkttnldung , die [ich
dadurch auszeichnen würde, dass zu ihrer Feststellung keine Glei
chungen erforderlich wären. Oder man könnte drei unter ihnen, etwa
[eiej, [ciej], [e^C]] als Einheiten festfetzen, und die Bestimmung hm
zufügen, dass Teae,] =; [ciCj] fein follte; dann würden die Ableitungs
zahlen von P fein x.yj, (Kjyi 4- xjy,) , Xiyjj eine Art der Produkt
hildung, die fich dadurch auszeichnen würde, dass ihre Gcfi.tze mit
denen der algebraischen Multiplikation identisch fein würden Oder
man könnte eine unter ihnen, z. B. [eiej], als Einheit festletzen, au6
welcher das Produkt P numerisch abzuleiten fein foll, und für die
Übrigen etwa die Bestimmungen treffen, dass [ejCiJ^^O, [eje,] = —
[e,eäj, [eje,l=0 fein foll. Dann würde das Produkt P nur eine
Ableitungizolil haben nimlichx,}, — Xjji , eine Produktbildung, die
ich unten kombinatorische genannt habe Ja man könnte auch ein
System lon anderen Emheiten, untei denen [e^ei], [CiOj], [e^e,], [eie,J
nicht \orkamen, zu drnnde legen und dann bestimmen, wie diefe
\iei Piodukte aus ihnen abzuleiten feien, z ß könnte man etwa die
abfolute Einheit zu Grunde legen, und etwa Jestfetzen, es folle [eiCj]
= 1 [e e ] = [0)6 ] i^ [ejejj — 1 fem in diefem Falle würde P
Z hl n ml 1 = j + 3 f P d ktb Id g d cb
t g t J b g w t w d h ui d j Igen
Cft bhdl wllia d allgm Erkl u g l Pro-
dukt 37 h g h d 1 h 1 fü 11 A t d I ro-
dukte gelten 1 h h b d P d kt d h Kl mm 11 en,
um on d m g h 1 h P d kt d Alg b t h den.
y Google
23
c««
38. Stall zu einer Grösse a einen Faktor b hinzuzu-
fügen, liann man ihn in dem Ableitungsaiisdruck der erstüreii
jeder Einheit ouf entsprecJiende Weife liinKufiigon, i\. h.
[Z«re,l)]-Xß.[^.
Beweis. Es fei !) = ^ß^ e, fo ist
[^a.'e'M = [Ä^X^T^J =R¥ X^] [371
= Z«i^,[eieJ -r Za,ß,[e^i + ■ ■ ■ ■ [9]
-«iLeiZ^Äl + a,[e,Zl?.e,l-[-_^- ■ [371
3!). Ein Produkt zweier Faktoren, dessen einer Faktor
eine Summe ist, ist gleich einer Summe von Produkten, dio
man erhält, indem man in dem ursprünglichen Produkte, statt
des zerslückten Faktor's, nach und nach jedes Stück fetzt, d. h.
[(« + b+--Op] = [»p] + [i)pl + ----
lpCa + b+-.0) = [pa] + [pb] + ----.
Insbefondere ist
[C« + b)c] = [«c] + [bc]
[c(, + b)] = [c!i]+J>b].
Beweis. Es fei a = .^«,e„ b = Xß,f,,-i , fo ist
[(» + b+-^p] ^
= i(Zv.+Xß,',+ ' - ■)p] = [Z(»,+ft-|--"->,P] [91
=.^C»,+l»,+ -0[e,p] [38]
= Z«Je,p] + ZftjAPl + ■ ■ ■ • [9]
= [Z«,o.p] + [ZC,e,pl+-" [38.1
= [»P] + [bpH .
Somit ist die erste Foriiiül bewiefen. Den Beweis der zweiten
Formel erhält man aus dem der ersten, wenn man den Faktor
p überall als ersten Faktor einfetzt.
30. Statt den einen Faktor eines Produktes Czweier
Faktoren) mit einer Zahl zu miiltiplioiren, kann man das ganze
Produkt mit diefer Zahl mnitipliciren, d. h.
[tKaJl'] ^ f'[ab]
[b(oa)] = o[ba].
Beweis. Es fei a=Z«rer; fo ist
y Google
«S) 23
[C«a)b] = [C« Zcw)t >] = rZ«är^. !>] [^0]
= J^aa,[eM [38]
= <(Zä;ieJ] [13]
= «[Xß;^.b] [38]
= a[ab].
Der Beweis der zweiten Formel ergiebt ficli, wenn man
h iiherall als den ersten der beiden Faktoren fetzl.
ill. Stall zu einer Grösse, die aus beliebigen Grüssen
a, b, ■■■ niimeriscli abgeleitet ist, einen Faktor p hinzuzu-
fügen, kann man ihn in dem Ausdruck diefer Ableitung zu
jeder der Grössen a, b, ■■• auf entsprecbendc Weife liinau-
fiigcn, d. h.
[(«a + |Sb + ■ - Op] = «[ap] + /5[bp] + . ■ ■ und
[pCaa + ^i) + . . 0] -= a[pa] + i5[pb] + • ■ ■ .
Beweis. [Caa-hiSb + - ■ Op] = [(«a)pM-[(^b)pH-- ■ ■ [39]
^a[ap]+j3[bp]-|-.-. [40].
42. Das Produkt zweier Faktoren, welche aus beliebigen
Grössen numerisch abgeleitet ilnd, erhält man, indem man
zuerst stall jedes Faktors eine der Grössen fetzt, aus denen
er abgeleitet ist, das fo gewonnene Produkt mit dem Produkte
der zu xlcn fubstiluirlen Grössen gehörigen Ableitungszahlen
multiplicirt, und die lammtlichen Produkte, welche fich auf
diefe Weife bilden lassen, addirt, d. h.
wo a^, b, beliebige Grössen, a,,, ß, beliebige Zahlen find.
Beweis. [XöÄXßX] =^K,[»r^ßX\ [4 1 ]
= ZßX^,[a,bJ| [4f]
= ÄWa.bJ [13].
g. 2. Produkt mehrerer Grössen.
43. Erklärung. Wenn aus einem Produkte ein anderes
dadurch abgeleitet werden kann, dass man statt jedes Faktors,
der in dem ersten Produkte vorkommt, einen andern (ihm
gleichen oder von ihm verschiedenen) Faktor felzt, fo nenne
ich die beiden Produkte einander entsprechend, und nenne
y Google
24
(44
jeden Faktor des ersten Produktes entsprechend dem für ihn
Fubstiluirten des andern Produktes, Zweien Grössen oder
zweien entsprechenden Produkten beziehungsweife zwei Fak-
toren in entsprechender Weife hinzufügen, heisst fie fo liin-
zufügen, dass die entstehenden Produkte wieder einander
entsprechend werden, und zwar fo, dass der in dem einen
und der in dem andern Produkte hinzugefügte Faktor ent-
sprechende Faktoren werden, und die bisher einander ent-
sprechenden Faktoren auch entsprechend bleiben. Ein Produkt,
in welchem die Faktoren a, b, -•■ irgend wie enthalten find,
werde ich, wo es angemessen scheint, mit P»^ b,... bezeichnen;
dann druckt innerhalb derfelben Entwickelung Ph, (, ... das ent-
sprechende Produkt aus, in \ 1 h n d' F kt t
der Reihe nach den Faktoren ab p
All merk. Diefe Beetimmung
allen Zweideutigkeiten entgehen D F
Produktes extenfiver Grössen wede Um h
noch zu befoniiereu Produkten v g d
Art, wie ein Faktor in das Produ gm A
Beispiel zweier entsprechender Pro t P k b
d(ef) gewählt, wo die Faktoren R h p h
Sollen zu ihnen noch bezielilicli dii. g
Weite hiningefügt werden, to ka A g
schehen, z- B. fo, dass die Prodi g g
oder a(bgc) und d(ehf) u. f. w. W B g g
Klammern hetrifft, [o verweife ich N
aa. Wenn ein gegeben P uk n F k p
hält, der aus beliebigen Gross b u h d Z
len q, r, s abgeleitet ist, und man fetzt in jenem Produkte
statt des Faktors p nach und nach die Grössen a, b, c, ■■-,
multiplicirt die fo erhaltenen Produkte beziehlich mit q, r, s, - ■ ■
and addirl diefe Ausdrücke, fo ist ihre Stimme gleich dem
gegebenen Produkte, d. h.
Pa=frbi... = qP»-r rPb H .
Beweis. Wie das Produkt auch beschaffen fej, immer
kann man es fo entstanden denken, dass zu dem Faktor p
die übrigen Faktoren fortschreitend in bestimmter Weife hin-
zugetreten feien, nämlich fo, dass zu p zuerst ein anderer
Faktor (fei es als erster oder als zweiter Faktor des Produkts)
y Google
4«)
25
hinzugetreten fei, zu diefem Produkte wieder ein anderer und
fo fort. Statt nun aber einoii Faktor zu einer numerisch ab-
geleiteten Grüsse hinzuzufügen, kann man ihn, nach 41, in
dem Ausdruck jener Alileitung zu jeder der Grössen, aus
denen jene erslere abgeleitet war, auf entsprechende Weife
Jiinzufugen. FuiglJch statt zu p ^: qa + rb + ■ ■ ■ die übrigen
Faktoren in der genannten Weife fortschreitend hinzuzufügen,
kann man fie in dem Ableitungsausdruck in entsprechender
Weife zu jeder der Grossen a, b, -■ hinzufügen, d. h.
l'p ^= qPs ■j' ""Pb 4- ■ ■ , wenn p ^= qa -j- rb + ■ - .
4i5. Der Satz 42 gilt auch für mehr als zwei Faktoren, d. h.
[I^ti,a^Xrx ■ ■ •] =Zq/=--~["A ■■"]"■
Beweis. Gilt der Salz für irge nd eine Anzahl von
Faktoren, z. B. für [^q^a^^rX ■ ■ ■ ■.^''mf*in]i ''" dass alfo
(a) [ZqÄ^Zr'A- ■ -J^^^J =ZqA- " -«mWir ■ 'kj-
ist, fo gilt er auch, wenn noch ein Faktor, z. B, /„l„, hin-
zutritt; denn es ist
^Zq":
Alfo wei
(nach a)
[42].
le Anzahl von
Faktor hinzu-
fm^[aA---kJJ
die Formel 45 für irgend ■
Faktoren gilt, fo gilt fie auch, wenn noch o
tritt. Nun gilt fie aber, nach 43, für zwei Faktoren, alfo
auch für drei, vier u. f. w., alfo für beliebig viele.
4<». Statt die Faktoren eines Produktes mit einer Reihe
von Zahlen zu multipliciren, kann man das ganze Produkt
mit dem Produkte diefer Zahlen multipliciren, d. h.
Pq«,.b, ,..^q^■■■Pa,b,.,..
Beweis. Nach 44 ist Pq^^^qPa, alfo auch
= qrPa,b,5c,...
u. f. Vf., endlich
= qrs- ■ ■Pa,b,c,,..
4Y. Zwei in einem Produkte vorkommende Faktoren,
welche in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, kann man
ohne Werthänderung des Produktes verlauschen, d. h.
P^,,,,==P„^<j,.
[44]
[44]
[44].
yGoosle
Beweis. Es ist
^rqP.,. = P..,q. [46].
*^. 3. Die verschiedenen Acten der Produktbilduii^.
48. Erklärung. Wenn die Produklbilduug diidurcli
näher bestimmt wird, dass zwischen den Produkten der liin-
lieiten Zalillieziehungcn besiehe«, fo nenne ich jede Gleichung,
welche eine Folche Zahlbeziehung ausdrückt, eine zu jener
Art der Produktbildung gehörige Bcs tiinmungsgleichung.
Einen Verein von p Bestimmungsgleichungen, von denen keine
aus den übrigen gol'olgert werden kann, nenne ich, wenn
zwischen den Produkten keine andere Zahlbeziehung iierrsclit,
als die aus jenen Gleicliungen gefolgert werden kann, ein zu
jener Prodiiktbildung gehöriges System von Besliminungs-
gieichungen.
49. Jodes System von m Bestiinmungsgleichungen zwi-
schen den n Einheilsprodukten Ej, ■ • ■ E„ kann auf die Form
gebracht werden, dass jede der Gleichungen ausdrückt, wie
aus n — m jener Einheitsprodnkto, i. B. aus Ej- ■ ■ ■E„_nj die
übrigen m numerisch ableitbar find. Dann bilden Hi--'E„„,
ein System von Einheiten, aus denen alle Prodnkle, die zu
diefer Produktbiidung gehören, ableitbar find.
Beweis Nach 48 foil jede Gleicliung des Systems der
ni Bt,stiininitng«gl(,ichungen eine Zablbeziehung zwischen Hj,
Ey ins lruLk(,n Jede folcbe Zahlbeziebuiig wird ficli,
nach Ib luf die Form
ßiEi + «„E„ =
[ nngen hssen in welcher die Zahlen a^,-- «„ nicht alle zu-
gleich null fmi Es fei eine derfelben betrachtet, und fei in
ihr etwa «n ungleich null, fo kann man £„ durch Ej,- ■■£„_,
aiiidiucken Sulslituirt man diefon Ausdruck in die übrigen
tin — 1) Gie cbungtn, fo werden fie von der Form
kE -f «,,_,E^_i = 0.
In keiner der lo erhaltenen Gleichungen dürfen die Zahlen
ß et , lle zugleich nidl werden, weil fonsl diefe Be-
stimniungsgieichung ins der ersten gefolgert werden könnte,
y Google
ai> 27
was dem Begriffe eines Systems von Beslimmuiigsgteichiingen
(nach 48) widerspricht. Es fei eine der fo erlialtenen Glei-
chungen lielrachtet, und fei in ihr etwa der KoefTicienl von
Kn_i ungleich null; fo wird E„_i fich durch Ej- ■■ ■£„_] aus-
drücken lassen, und wenn diefer Ausdruck in die übrigen
(in — 2) Gleichungen eingeführt wird, fo erhalten fic die
Form
«lEi -1 a^-iK-2 = 0-
Da auf diefe Weife durch die Anwendung jeder neuen
Gleichung immer eine neue unter den Grössen Ej--En aus
den ührigen Gleichungen verschwindet, wir wollen annehmen,
jedesmal die letzte unter den bis dahin vorhandenen, fo be-
hält man zuletzt nur noch die Grösse Ei----En_„, durch
welche fich alle übrigen E„_ni4i- — E„ ausdrucken lassen.
30. Erklärung. Jede Produklbüdung, deren Bestim-
mungsgleichungen geltend bleiben, wenn man statt der darin
vorkommenden Einheiten beliebige aus ihnen numerisch abge-
leitete Grössen fetzt, heisst eine lineaie Produklbildung (Mul-
tiplikation).
31. Für Produkte aus zwei Faktoren giebt es ausser
derjenigen Produktbiidung, welche gar keine Bestimmungs-
gleichung hat, und derjenigen, deren Produkte alle null find,
nur zwei Gattungen linealer Produktbildnng, und zwar ist
das System der Bedingungsgleichungen für die eine
(.1) [vM + [eA] = 0,
für die andere
(2) [e,ej = [e,ej,
wo für r und s, wenn Ci, ej, ■■ c^ die Einheiten find, nach
und nach jede 2 der Zahlen l'--n gefetzt werden feilen.
6 eweis. Jede Bestlnimungsgleichung wird bei zwei Fak-
toren, die afis den Einheiten Cj- ■ -e^ abgeleitet find, die Form
haben
(aj Xß^^eJ^O,
wo {lie Eoefficienten a^, ^ beliebige Zahlen find, die aber nicht
alle gleichzeitig null werden dürfen, und wo für r und s nach
und nach je zwei der Werthe 1 ■ ■ - - n in die Summe einge-
führt werden follen. Wir nehmen an, die Produktbildnng fülle
y Google
28 (&i
eine IJneale fiiin; d. h, nach 50, es Toll jede Bestimmun^s-
gleicliung noch gellend bleiben, wenn man statt der Einheilen
beliebige aus ihnen numerisch abgeleitete Grössen fetzt. Man
fetze in (a) y^s^,.e,. statt e^. und ^x.^ev stall e^, wo die
Summen fich nur auf die Indices u und v beziehen, und Xr,u
Unit Xs^y beliebig zu wählende Zaiilen bedeuten. Dann er-
halten wir
= -^tt,^J2^Sr."u e„ ^30^ ]
= '^ar,s.Z^Xr,uX,,vLeQevJ [45J
alfo O^Xar,.x,,„x.,,[e„e,J [13],
indem fich nun die Snmme auf alle vier Wertlie r, s, u, v
bezieht. Vertauscht man hier r mit s und u mit v, was man
kann, da r, s, u, v in jedem Gliede ganz beliebige der Zah-
len l---n [ind, fo erhält man
^^ ,^g, tX. „x- .. fe„e„'|.
und indem man diefe Gleichung mit der obenstehonden addirl,
erhält man
Cb) 0-Xxr,uX.,v(ar,,[e.e„l + as,.[e.e.]"),
eine Gleichung, welche für die Anwendung bequemer ist, als
die beiden vorhergehenden. Sie muss für alle Werthe, die
man den Grössen Xr_u, Xj^v geben mag, gelten. Man fetze
nun in (b) irgend eine der Grössen x^^a etwa Xa,c /.uersl ^= 1,
dann =:— 1, l'ubtrahire die fo erhaltenen zwei Gleichungen
von einander, und dividire durch 3, fo fallen alle Glieder
weg, welche x^,c entweder keinmal oder zweimal enthielten,
und es bleibt nur
wobei jedoch unter den Werthpaaren von s und v dasjenige
auszulassen ist, für welches zugleich s^a und v=^c ist.
Setzt man nun hierin wieder irgend eine der Grössen Xs,v,
z. B, Xb,d zuerst gleich 1 und dann gleich — 1 , fubtrahirt die
fo erhaltenen zwei Gleichungen und dividirt durch 3, fo fallen
wieder die Glieder weg, welche Xb,d keinmal oder zweimal
enthalten und es bleibt
(c) aa,b[eced] + ai,,(.[ertec] =0
zunächst nur für je vier Indices a, b, c, d, von denen nicht
y Google
»i> 29
gleichzeitig der erste dem zweiten, der dritte dem viorteti
gleich ist. Hierdurch reducirt fich die Gleichung (h) auf
= Xx,.,«Xr,uar,r[<'ue,7i-
Setzt man hierin für eine der Grossen Xr,,i, etwa für Xa^c,
nach der Reihe zwei einander niclit entgegengefelzle Wortbe,
z.B. 1 und 2 ein, Mtrahirt die fo erhaltenen Gleichungen
von einander und dividirt die Restgleichiing in (liefern Falle
durch 3, fo bleibt
= a,,^[c,e,],
d. h. die Gleichung (c) gilt auch für den vorher ausgeschlosse-
nen Fall, dass a^:b, c = d ist.
Somit folgt aus der Gleichung (a), wenn fie eine lineale
Bestimmungsgleichung fein, d. h. noch geltend bleiben foll,
welche aus den Einheiten abgeleitete Grös.'^en man auch statt
derfelben einführen mag, nolhwendig die Gleichungsgruppe (c),
aber auch umgekehrt, wenn die (fleichungsgruppe (c) gilt, fo
folgt aus ihr die Gleichung (b), welche ausdrückt, dass die
Gleichung (a) lineal fei.
Setzen wir in (c) ff'ß Indiccs c und d einander gleich,
fo geht fie Über in
und fetzen wir in ihr a. = i), fo geht fie über in
(f) cc.,.aeced] 4-[ede.])=-0.
In diefen gleich null gefetzten Produkten niuss (nach 12, 6)
jedesmal der eine oder der andere Faktoi null lein.
Nehmen wir zuerst an [ecCp] fei ^on null verschieden,
fo muss nothwendig für je zwei Indices a und b
«a.b + «b,a, = 0, d, h. — ■ Ctg b =^ «b i
fein. Setzen wir dies in (cj ein, fo erhalten wir
a.,hC[c.ed]-[ede.]) = 0.
Sollte hier [e^c^] — [edCc] von null verschieden fein, fo
müsste der andere Faktor «».b für je zwei Indices a und b
null fein, d. h. die Gleichung (a) würde identisch null gegen
die Annahme. Somit muss in diefem Falle, wo [ecCt] von
null verschieden ist,
[ccCd] — [edec]=0, d.h. [eeBd] = [edec]
fein, d. h. es tritt die Gleichungsgruppe (50, 2) ein, Ist nun
y Google
30 <ai
im zweiten Falle [eoeoj:=:0, oder, itidem wir a statt c fetzen
[eaeB]=0, Ib können wir (liefe Gleichnn^ als Bestimmungs-
gleichung an iiii3 Slellu der Gleichung fa) fetzen, dann ist
«a j = 1 , während alle sUirigen Koefllcienten null lind, und
es folgt dann, indem wir diefen Werth «„„ = 1 in (f) ein-
fetzen ,
[eo<3d] -r [eaeJ^O,
d. h, es tritt die Gruppe (ÖO, 1) ein. Nun wäre noch mög-
lich, dass heide Gruppen (50, 1) und (50, 21 zugleich geltend
wären. Allein dann würde folgen, dass [eced]:^=0, alfo alle
Produkte null wären, ein Fall, den wir oben ausgeschlossen
halten. Es find alfo keine andern linealen Froduklbildungen
möglich, als die im Satze genannten. Dass diefe nun in der
Thal lineale find, folgt fogleich aus der Gleichung (c), ver-
glichen mit (a). In der That, wenn
C?) Ke,]+[ebe,]-0
die Bodingungsgleichungen find und man fetzt irgend eine der-
folben ais die Gleichung (aj, fo ist für fie «^,1, =^ I, «b,a^= + f,
und alle übrigen Koefficienten find null. Dann geht die Glei-
chungsgruppe (c) über in
[CcBd] + [edec] = 0,
welche schon in dei gegebenen Gruppe (g) enlhiiten w^icn
Alfo find jene beiden G'itlungen dei Produklbildung linual und
zwar die einzig moghchen aussei dui be-<timmungsloli.n und
der verschwindenden
An merk bell alfo daa bislier fiuli von felb^t darbietende Princip
d-iaH n'lmln.h ]edH3 durch eine (ileichung ausdmckbare (jefcta audi
bestehen bleibt, wem man •'titt dei Einheiten behfbige aus itnei
abgeleitete Gtodsoii feUt auch in dei n&chsti..ii Entwickelung iiicli
lortbeBtel en fi lat kern aiideier rortschntt möglich als dei zu dei
leiden genannten Tiodaktbildungei Nehmen wir dci Lmfadihtit
wegen nni awci Einheiten e, und Cj an, r> lot das System der Bi,
stimniungagleichungen für die eiste t attung gleichzeitig
[e, ei] =- [e, e^] = nnd [e, e^] — - [ej e,],
und tar die zweite [i,, t^] ^= [ea c ]
In Bezug aut die Operationen i=t die letztere Gattung d c eii
fiLhere Jt da die Be stimm ungsgleichnngen derfelben nicbta weiter
ausdiuckt.1 aL die \ crtauBclibarkeit der Faktoien, fo let duf Multi
jhkationsgattung was die Upeiitionen anlangt ideuti'cli mit der
gewiJhaliclien Multiplikation dei ilgebia, weolialb uli Cie auih die
y Google
5S)
31
algebraische genannt habe*). Es versteht Ticli von feibat, dtiss
ihr auch eine algebraiaclie Divifion, Potenzirung u. f. w. zar Seite
geht , und dasä man flir alle dicfe Verknüpfungen cxteiiiivei' Grössen
unmittelbar die lilgebraisclien Geletze als geltend annehmen läarf. Hin-
gegen ist diefe Multiplikation, wos diu durch fie ^ erzengten Grössen
betrilff , fehr viel komplicirter als die erstere Gattung, wclthe ich die
kombinatoiische genannt habe- In der Tliat, betrachten wir bei zwei
Einheiten ei und ej das Produkt zweier Faktoren [(ili Oj + li*»)
(r,c, +i-jeäi] = q,r, [e.e,] -f q,rj [e^Ci] + q.r, [6,63] + c[jr,reie,], fo
reducirt ficb dies bei der ersten Gattung, wo [ci e,] =^ [ejej] t=0^
[Cie,] = — [ßi ea] ist, auf (qirä_ — q5ri)[e,ejl, airo auf nar eine Ein-
heit, nämlich [Cje,]; ja, wenn in eii E t ' k langsreihc nie mehr
als jene beiden ursprünglichen Eiiih. ten Cj i vorkommen, fo
wird man, ohne der Allgemeinheit E nt ag zu tl un [eiC]] ^= 1 fetzei)
können, und erhält dann als Eefultat d Jllult pl kation eine Zahl,
(janz anders bei der zweiten Gattung wo f h j nes Produkt auf
qi [e e,]-J-qirä[eae,l + {q,r5 + qj )[ ejj du t alfo aut nicht
wenigei als drei Eml eitcn Da es in d Ent k lung dti Wissen
Schaft %or eilen Dingen darauf ankimmt die nach und nach hei%Oi
tretenden Grössen in ihiem einfathsten Begiiffe zu erfassen fo ist
liier der Uebei^ang zu der ersten (jattung dei MuUii hl ation mit
Hothwendigkeit geboten Ja da die dutüi al^ebiaifche Multiphkation
cxtenfvei Giösoen ei/eugten Gebilde nicht mehr als einfache tj rossen
fioh daretellen, fondern iielmehr den Funktionen der Alj,ebra lieh
parallel stellen fo werden wir diefer Multiplikation eist im zweiten
riieile diefes Werkes wiedei begegnen, welcher die Funktionen be
handeln wiid
Ich verweilt m Dezug auf die Ent^viekelung dei verschiedenen
Multiphkationsgattungen auf die vorhet angefühlte Abhandlang in
Crellea Jouinal Dort habe n,h filr den obigen Satz einen zwar wut
lauftigeren aber elementareren beweis gegeben Die allgem. ine Idee
dei Multiplikation, wie fie im eisten § dieles Riiitcls entwickelt
ist habe ich Bcbon in der ersiei Ais^ibc rioincr A l hr 11 g^lchie
(§ 10-13) zu Giande gelegt
Aap. 'ü. ^ombtmvtorirdjre larobuKt.
g. 1. Allgemeine Gesetze der kombinatorisclieii Multiplikation,
92. Erklärung. Wenn die Faktoren eines Produkles
P aus einem Systeme von Einheiten abgeleitet find, und je
zwei Produkte der Einheiten, welclie durcli Vertauscliung der
") Grelle Journal B. 49, S. 130.
y Google
32 (sa
beiden lelzten Fakloren auseinander hervorgehen, zur Summe
null geben, jedes Produkt aber, was lauter verschiedene Ein-
heiten als Faktoren enthält, von nuil verschieden ist, fo nenne
ich jenes Produkt P ein kombinatorisches, und jene Faktoren
desPelben feine einfachen Faktoren; d. h. find b und c Ein-
heiten, A aber eine beliebige Reihe von Einheiten, To wird
die angegebene Bestimmung ausgedrückt durcii die Formel
[Abc] -[-[Acb]^0.
Aiim. Warum Mer gerade mit dierer befondereii MuUiplikatiuiis-
gattnng der Anfang gemacht wird, ist No. 50 Anmork. untwickult.
33. Man kann in jedem kombinatorischen Produkt die
beiden letzten (einTachen) Faktoren vertauschen, wenn man
nur zugleich das Vorzeichen (4I) in das entgegen gefetzte ver-
wandelt, d. h.
[Abc] + [Acb] = 0;
auch wenn A eine beliebige Reihe von Faktoren ist und b
und c einfache Fakloren find.
Beweis i. Es feien zuerst b und c Einheiten. Da nun
A eine beliebige Reihe von Faktoren ist, und die Fakloren
aus den Einheiten numerisch ableitbar find, fo erJiSlt man,
indem man statt der Fakloren von A ihre Ableitungsausdrücke
fetzt, und die Klammern löst, (nach 45) einen Ausdruck, der
aus den Produkten der Einheiten numerisch ableitbar ist, alfo
die Form hat
A^X«X,
wo E,. Produkte der Einlieiten find. Sel/.t man dies ein, fo
wird
[Abc] + [Acb] =. [X"ä^E>c] -f [2^ä^]cb\
= XKrLErbcJ -f- X«r["Ccb] [44]
= Z^a,t[E,bc] + [E";:^)"]) [12, 4]
-Zc^Ö [52]
2, Es l'eien b und c aus den EinJieiten e , e^, ■ ■ ■ nume-
risch abgeleitet, und fei
b^Z^Ä-, o=Zr,.e..,
fo ist
yGoosle
in fache
[38]
i:40]
[53]
[Abc] + [Acb] = [kZß^.ZYr'^A + [AZ/re.Z ^re.]
^Z i^.rJAereJ + Zy.^ r[Ae,e,] [46]
= Z^^Ae,eJ 4- [Ae,e,]) [i2]
= Zl*r/s-0 [Beweis!]
= 0.
S3. In einem kombinatorischen Produkte kann man
beliebige zwei aufeinander folgende einfache Faktoren ver-
tauschen, wenn man zugleich das Zeiclien (+) umkehrt, d. h.
[AhcD] + [AcbD]=0,
wenn A und D beliebige Faktorenreihen, b und c ei
Faktoren find.
Beweis. Es ist
[AbcD] + [AcbD] ^ [[Abc]Dl + [[Acb]D]
= [([Abc] + [Acb])Ü]
= D
33. In einem kombinatorischen Produkte kann man be-
liebige zwei einfache Faktoren vertauschen, wenn man zu-
gleich das Zeichen (^) umkehrt, d. h.
p,^i,= — Pb,., oder P,,b -h Pb,a = 0.
Beweis. Angenommen, zwischen a und b stehen in Pa,b
noch n einfache Faktoren. Vertauscht man jetzt b mit dem
nächst vorltergehenden Faktor, d. h. rückt man b um eine
Stelle nach links, fo ändert fich (nach 54) das Zeichen; rückt
man all'o b nach und nach über die n Faktoren hinweg, welche
ursprünglich zwischen a und b standen, Po ändert fich das
Zeichen n-mal, jetzt folgt b unmittelbar auf a, vertauscht
man Jetzt a mit b, fo ändert fich das Zeichen noch einmal.
Jetzt steht b auf der Stelle, wo ursprünglich a stand; um
nun auch a auf die Stelle zu bringen, wo ursprünglich b
stand, hat man nun noch a um n Stellen nach rechts zu
rücken, wobei fich das Zeichen noch n-mal ändert. Im Ganzen
hat es fich 2n -(- 1 "i^l geändert; durch die 2n-malige Aen-
derung wird das Zeichen aber wieder das ursprüngliche, und
da nun noch die einmalige Aenderung hinzukommt, fo ist
das letzte Zeichen dorn ursprünglichen entgegengefetzt, alfo
Pa,b= - Pb,a, oder P»,b + Pb,a==0.
yGoosle
34 (««
36. Erklärung. Wenn von zwei Grössenreiheii jeilü
die Grössen a und b enthält, und zwar jede derfeibeii ein-
mal, und in beiden Reihen a früher steht als b, oder in beiden
b früher steht als a, fo fage ich, diefe leiden Grössen feien
in jenen Reihen gleich geordnet, hingegen fie Teien in
jenen Reihen entgegengefetzt geordnet, wenn in der
einen a früher steht als b, in der andern b früher als a.
S1. Zwei kombinatorische Produkte, welche diefelbeo
einfachen Faktoren (aber in verschiedener Folge) enthalten,
find einander gleich oder entgegengefetzt, je nachdem die
Anzahl der in beiden Produkten einander entgegen gefetzt ge-
ordneten Faktorenpaare gerade oder ungerade ist, d. h.
p=(-iyo,
wenn P und kombinatorische Produkte find, welche die-
felben einfachen Faktoren enthalten, und wenn r die Anzahl
der Faktorenpaare ist, welche in P entgegengefelzt geordnet
find, wie in 0-
Beweis. Wenn zuerst je zwei Faktoren, welche in
dem einen Produkte, etwa in 0, nniiiiltelbar aufeinander folgen,
in beiden Produkten gleich geordnet find, fo leuchtet ein,
dass dann beide Produkte identisch find, und fie alfo kein
entgegengefelzt geordnetes Faktorenpaar enthalten können.
So lange es daher in «och Faktorenpaare giebt, welche
entgegengefelzt geordnet find, wie in P, fo gieht es auch
noch mindestens zwei Faktoren, welche in unmittelbar auf-
einander folgen, und welche in entgegengefetzl geordnet
find wie in P. Angenommen, a und h feien zwei folche Fak-
toren. Vertanschi man fie untereinander, fo erhält man ein
Produkt Oll welches dem Produkte (nach 54) entgegen-
gefetzl bezeichnet ist, und in welchem alle Faktorenpaare,
mit Ausnahme des Faktorenpaares a, b, ebenfo geordnet find
wie in Q, während dies Faktorenpaar a, b in Oi entgegen-
gefelzt geordnet ist wie in Q, alfu ebenfo geordnet wie in P.
Alfo ist die Anzahl der Faklorenpaare, welche in Qi und P
entgegengefetzt geordnet find, um 1 kleiner, als die Anzahl
derer, welche in Q und P entgegengefetzt geordnet find. Ist
diefe letztere Anzahl alfo r, fo ist die ersten; r— 1. Isl
y Google
»») 35
nun r — 1 noch nicht null, d. h. giebt es noch Faktorenpaare,
welche in Qi und P cntgcgengefelzt geordnet find, fo kann
man mit Oi wieder fo verfahren wie vorher mit 0; man er-
halte dadurch aus Oi das Produkt O2 > fo 'st 0^=^ — Oi, alPo
= (— iy''Q, und die Anzahl der Faklorenpaare, welche in
O2 und P entgegengefetzt geordnet find, ist r— 2. Fähxt
man in diefer Weife fort, bis man zu 0, gelangt, fo wird
Or = C— lyO, und die Anzahl der Faktorenpaare, die in Or
und P entgegengefetzt geordnet find, beträgt r — r, alfo
null, d- h, die Faktorenpaare in Or und P fi»d fämmtlich
gleich geordnet, alfo 0, = P, foniit P = Op=C-iyO-
S8. Wenn man in einem kombinatorischen Produkte
eine Reihe von r einfachen Faktoren mit einer unmittelbar
darauf folgenden Reihe von s einfachen Faktoren vertauscht
(ohne im Uebrigen die Ordnung der Faktoren zu ändern), fo
ist das fo hervorgehende Produkt dem ursprünglichen gleich
oder entgegengefetzt, je nachdem rs gerade oder ungerade
ist, d. h.
[ßC] = C— l)"[CßL [ABC] = C— 17'[ACB],
wo B eine Reihe von r, C von s einfachen Faktoren darstellt.
Beweis. Es fei C ;=CiC^ - ■ -Cj, alfo
[ABC]^[ABciCj- ■ -c,].
Verlauscht man nun Cj mit dem letzten einfachen Faktor
von B, d. h. ruckt man Cj um Eine Stelle vor, fo ändert fich
(nach 55) das Vorzeichen des ganzen Produktes; rückt Cj alfo
um s einfache Faktoren vor, d. h. rückt man ihn vor die
Faktoren von B, fo ändert fich das Zeichen r mal, ali'o wird
[ABciCj---cJ=(- iy[AciBCjC3---c,], alfo dies
= (-17(--17[AciC,Bcs..-cJ
= (— l)^^[AciCiBc3---cJ
= (— l)"[AciCäCgBc4- ■ -cj u. f, w.
= C— irCAciCj ■ ■ ■ c,B] oder
LABC] = (— 1)"[ACB],
und wenn man hierin A :^ 1 fetzt
[BC] = (-i)-[CB].
39. Wenn man in einem kombinatorischen Produkte
eine Reihe von q einfachen Faktoren mit einer durch r ein-
y Google
36 (••
fache Faktoren getrennten Reihe von s einfachen Faktoren
vertauscht, fo ist das fo hervorgehende Produkt dem ursprüng-
lichen gleich oder enlgegengefetzt , je nachdem rs -[- sq + V
gerade oder ungerade ist, d, b.
[ABC] = C~ iy'+"i+i'[GßA] ,
wo A, B, C Reihen von beziehlich q, r, s einfachen Fak-
toren diirsteüen.
Beweis. Es ist
[ABC] = (— i)<i ■ ^>^[CAB] LÖ7J
_(_l)q^+"(_J3yr[(.BAl [57]
^(_l)rä4«q-h9r[CBA].
60. Wenn zwei einfache Faktoren eines kombinatorischen
Produktes einander gleich find, fo ist das Produkt null, d. h.
P«,a = 0.
Beweis. Es fei Pa,b irgend ein kombinatorisches Pro-
dukt, welches die Faktoren a und b enthält, und Pb,j, das
durch Vertauschung von a und b aus ihm hervorgehende, fo
ist (nach 55)
P>,b+Pb,a = 0,
alfo, wenn a- gleich b ist,
P,;, + P,,=:0, d.h. 3P,,, = 0,
fomit auch PaB=:0.
61. Ein kombinatorisches Produkt ist null, wenn zwischen
feinen einfachen Faktoren eine Zahibeziehung herrscht, d. h.
[aiajaa aj = 0,
wenn eine der Grössen aj a^, fich aus den übrigen nume-
risch ableiten lasst, z. B.
a^ = «jaj -f- «jag -f " ■ '«in^m
ist.
Beweis. Man erhält, indem man den Werth von ai in
das Produkt einfetzt
[818283 ■ ■ ■ ■ a^j] ^ [(«2^2 -r «3^3 -\- ■ ■ • «mi^mläi^S ■ * ■ " ^ml; i*"**
(nach 44)
= a.AS'iä2^'^ a„] -f- «^[ajaäas- ■ ■ -aj +■•
^mi^w^i^i "m]
= aj-0-f«3-0-j «„-0 [591
= 0.
yGoosle
••> 37
62. Erklärung. Unter der Determinante aus n
Reihen von je n Zatilen verstellt man, wenn man die r-te
Zalil der s-tcn Reihe mit ct'j' bezeichnet, dasjenige Pulynum,
welches man aus dem Trodukle a^''«"*'- ■ -■«'»' dadurch erhält,
dass man in ihm nach und nach die unteren Indices auf alle
möglichen Arten verfetzl, während man (iie oberen unver-
ändert lässl, dann jedes diefer Produkte mit dem + oilei" —
Zeichen verficht, je nachdem die Anzahl derjenigen Paare
von Indices, welche unten entgegen gefetzt geordnet find wie
oben, gerade oder ungerade ist und diefc l^mmtlichen Glieder
addirt. Man bezeichnet diefe Determinante mit _X^ + aJ'M**
• • • -a", d. b. man fetzt
wo r, s, • ■ ■ - w die Zahlen 1, 2 ■ ■ ■ ■ n, in irgend einer Ord-
nung genommen, gleich find, wo die Summe, fich auf alle
möglichen Ordnungen diefer Art bezieht, und u die Anzahl
der Index-Paare bezeichnet, weiche unten entgegengefelzt
geordnet find, wie oben,
Anraerk, Der Vollsttadigkeit wegen habe ich diefen Begriff der
Determinante hier aiifstcltcii za müssen geglaubt, zumal da es zweck-
mässig schien, die ZeichenbeatimmuDg in der einfachen Form, wie tie
hier dargestellt ist, festzurotzen , während die Tonst gebräuchliche,
durch Caucliy eingeführte Form der Zeichenbeatiramung ein Zariick-
geliea auf die Permutations-Gefetae nothwendig machen würde. Dass
man übrigens statt der unteren Indices auch die oberen vertauschen
kann, leuchtet ein, doch ist es unangemessen, eine folcke zwiefache
Bestimmung in eine strenge Definition aufzunehmen.
63. Das kombinatorische Produkt von n einfachen Fak-
toren, welche aus n Grossen ai, Bj, ■ ■ ■ ■ a^ numerisch abge-
leitet find, erhält man, indem man aus den n Reihen von
Zahlen, durch welche jene Faktoren aus den n Grössen ai,
3;, ■ ■ ■ Hn abgeleitet find, die Determinante bildet, und diele
mit dem kombinatorischen Produkte der Grössen ai- ■ ■ -a^ mul-
tiplicirt, wobei nämlich die Zahlen, durch welche der erste
jener Faktoren aus a^ ■ ■ ■ ■ a^ abgeleitet ist, die erste Reihe
bilden, u. f. f., d. h. es ist
[ßWai -I at"a J (afhi -j- ■ ■ ■ a[,*Ja„) • ■ ■ ■ (a^ai + ■ ■ ««."Ja,,)]
yGoosle
Es ist (nach 63) das Proflukt auf der linken
wo jeder der Indices r, s, ■■■ w nach und nach jeden der
Werlhe 1 ■ ■ ■ ■ n annehmen foH. Sind von diefen Werthen
zwei oder mehrere einander gleich, fo enthält das Produkt
[aja^-'-a*"] gleiche Faktoren, ist alfo (nach 60) nnll. Lassen
wir daher die Glieder, welche diefe Produkte enthalten, weg,
fo hleiben nur die übrig, in denen die n Indices r, s,--w in
irgend welcher Ordnung den Werthen 1 , 3, ■ - ■ n gleich find.
Es ist alTü dann (nach 57) das Produkt [a^aj-'-a"'] gleich
(~ l)''[aia2 • ■ ■ ■ aj, wenn u die Anzahl der Faktorenpaare
ist, welche in dem Produkte [a^aj- ■ ■ ■a"'] entgegengefelzt ge-
ordnet find wie in [aiaj- ■ ■ -an], d. h. die Anzahl derjenigen
Paare von Indices, welche in dem Produkte «^''«W. . .ajj'i
unten entgegen gefetzt geordnet find wie oben, fomit ist das
gegebene Produkt
= ^C— l)M™afJ- ■ ■ -^'Efliaj- • ■ .aj, d. h. (nach 62)
63. Erklärung. Unter muiliplikativen Kombi-
nationen aus einer Reihe von Grössen verstehe ich die
Kombinationen ohne Wiederholung aus diefen Grössen, und
zwar jede Kombination aul'gefasst als komhinatorisches Pro-
dukt, dessen einlache Faktoren die Elemente der Kombination
lind; fo z.B. find [ab], [ac], [bc] die multiplikativen Kom-
binationen aus den Grössen a, b, c zur zweiten Klasse.
65. Jedes kombinatorische Produkt von m einfachen
Faktoren, welche aus n in keiner Zahlbeziehung zu einander
stehenden Grössen a^- '■ -a,i numerisch abgeleitet find, ist aus
den multiplikativen Kombinationen diefer Grössen zur m-ten
Klasse mimerisch ableitbar, und zwar ist die zu irgend einer
diefer Kombinationen gehörige Ableitungszahl die Determinante
aus denjenigen m Ableitungszahlen jener m Faktoren, welche
zu den m Elementen diefer Kombination gehören, d, h.
[X^.^ßm- ■ ■ ■] ='2^Z^"^- ■ -[Ms- ■ ■ ■],
yGoosle
«s) 39
Beweis. Es ist
[Xo^aT^AtTt ] = X(Mf-)[aaaf-] [45].
Da (nach 60) [ajat ] null ist fobald zwei der Fak-
toren, alfo hier zwei der Indit-es a t, ■•• gleich find, fo
können wir die Bedingung hinzufügen, dass a, b,--- alle
von einander verschieden l(,ien Nun feien a, h, ■•-, nach-
dem fie steigend geordnet find, =i s, t ■■■■, alfo r •< s
•^' l — •, und fei u die Anzthl der Grössenpaare, weiche in
der Reihe fl, h, t, ■ ■ ■ entgegengefetzl geordnet find, wie
in r, s, t, ■ ■ ■, fo ist [aaaj ] ^^f — i)"[iir3s* ■ ■ ■]. ''»'"it
ist das gegebene Produkt
Aber nach der Definition (60) ist ^C— i)"««(3b ■ ■ ■ , wenn
a,h, ■ ■ • in irgend einer Ordnung genommen, gleich r, s, ■ ■ ■
find, gleich der Determinante ^+ ct,.^,' ■ - -, alfo
[X«^ a^X^i . . . ■ ] ^ ^^-fa,ß,--- [a^a, ■ ■ ■ ],
wo r ■< s "^^ ■ •.
6ß. Umkehrung von 61, Wenn ein kombinalovisclies
Produkt null ist, fo stehen feine einfachen Faktoren in einer
Zahlbeziehung zu einander, d. h. wenn
[ajBa- - -a^,] =3
ist, fo muss fich eine Gleiciiung
«iBi + «2^2 + ■ ■ ■ a„a,u = p
aufstellen lassen, in welcher die Zahlen (tj, ß^, ■ ■ - «m nicbl
alle zugleich null find.
Beweis. Es fei das kombinatorische Produkt
[Ms-'-aJ^O.
Zu zeigen ist, dass a,, a^, • ■ ■ »„, in einer Zahlbeziehung
stehen müssen.
Angenommen, fie ständen in keiner Zahlbeziehung zu
einander. Bilden dann e^ ■ - ■ ■ Oo das System der Einheiten,
aus denen ai----aa numerisch abgeleitet find, fo kann man
(nach 20) zu den m Grössen ai ■ ■ ■ Sm noch n — m Grossen
Bni^-i- ■ -Sn annehmen, fo fich aus ai- • ■ ■»„ die Einheiten e^- • -e,,
numerisch ableiten lassen. Führt man die Ausdrücke dieier
Ableitungen in das kombinatorische Produkt [Cie, ■ • ■ e J ein,
y Google
40 (•»
und löst die Klammern auf, fo erhält man (tmch 63) eine
Gleichung der Form
[e^ej ■••60]^= «[aiSj ■ ■ ■ ■ aj 1
wo a eine Zahl ist. Nun ist aber [aiSj- ■ -a^] = 0, alfo auch
[aiBs- ■ ■amäm+i- ' • -aj = 0, alfo
[eiei---ej = a0 = 0.
Dies widerstreitet aber der Erklärung in Ii2, nach welcher
[dej-'^e^] von null verschieden ist. AIPü ist die Annahme,
dass aj- - -Bm in keiner Zahibeziehung zu einander stehen, un-
möglich. Sie stehen alfo in einer Zahlbeziehung zu einander,
67. Ein kombinatorisches Produkt ändert feinen Werlh
nicht, wenn man zu einem einlachen Faktur desfelben ein
beliebiges Vielfaches eines andern einfachen Faktors desselben
Produktes addirt, d, h.
P.,l,+q. = P»,b,
wenn q' eine Zahl ist und P ein kombinatorisches Produkt be-
zeichnet.
Beweis. Es ist
P,.bs.q. = P.,b + qP.,« [44]
= Pa,b [60],
68. Die l'iimmtlichen Sätze kombinatorischer Multipli-
kation bleiben noch bestehen, wenn man statt der n ursprüng-
lichen Einheiten, beliebige n aus ihnen abgeleitete Grössen,
die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, einführt.
Beweis. Erstens gelten alle in der Definition des kom-
binatorischen Produktes gegebenen Bestimmungen, auch wenn
man statt des Systems der n ursprünglichen Einheiten n folche
Grössen fetzt, wie fie der Lehrfatz bestimmt. Nämlich, es
ist auch für diefen Fall (nach 53)
[Abc] + [Acb] = 0,
und das Produkt der lömmtlichen n Grössen ist von null ver-
schieden, denn wäre es gleich null, fo müsste Ciich fi6)
zwischen den n Faktoren eine Zahlbeziehung herrschen, gegen
die Vorausfetz nng. Diefe beiden Bestimmungen waren nun
die einzigen in der Definition enthaltenen. Ferner gelten aber
auch alle in den ersten beiden Kapiteln entwickelten Gefelze
für den Fall jener Subslilnlion. Aus jener Definition und
y Google
(liefen Gefetzen waren aber die nimmtlicheii Gefetze der kom-
binatorischen Multiplikation abgeleitet. Älfo gelten diefe Ge-
fetze auch nach jener Substitution.
§. 2. Eas kombinatorische Produkt als Grösse.
Vorbemerkung. Wenn eine Verknüpfung von Grössen
wieder als Eine Grosse erkannt werden foll, fo müssen die
folgenden Fragen beantwortet werden : Wann find zwei folche
Verknüpfungen einander gleich oder von einander verschieden?
wann stehen fie in einer Zahlbeziehung zu einander, und in
welcher? Für die Vollendung des Begriffs wird es dann noch
wichtig fein, die fänimtlichen verschiedenen Grüssenreihen ab-
leiten zu können, deren jede, wenn fie der fraglichen Ver-
knüpfung unlerworfen wird, diefelbe Grösse liefert, wie die
andern, Diefe Fragen füllen hier für das kombinatorische
Produkt beantwortet werden, wobei wir den Begriff der mul-
tipÜkativen Kombinationen zu Grunde legen.
6ö. Wenn die Grössen a^, a^j-'-an in keiner Zahlbe-
ziehung zu einander stehen, fo stehen auch ihre multiplika-
tiven Kombinationen zu einer beliebigen Klasse in keiner
Zahlbeziehung zu einander, (i, h. die Gleichung
a) a\-\- ßB -l ^ ,
in welcher A, B, -■■■ die muUipiikativen Kombinalionon aus
ai---a„ zu irgend einer Klasse find, und a, ß,--- Zahlen
bedeuten, wird erfetzl durch die Gleichungsgruppe
b) a--0, ß = 0, ■■■■.
Beweis. Es fei die Gleichung (a) als geltend ange-
nommen. Mail miiltipliciro die ganze Gleichung kombinatorisch
mit denjenigen unter den Grössen ai-''ü„, welche in dem
Produkte A nicht vorkommen; es fei Ai diefe Faktorenreihe,
fo dass alfu das kombinatorische Produkt [AA^] die fämmt-
liehen Grössen »i- ■ ■ -a^ als Faktoren enthalt. Dann erhält man
ß[AAi] + ,9[BAi] -I ^0.
Da nun A und B verschiedene Kombinationen find, fo
muss B wenigstens einen Faktor enthalten, der nicht in A
enthalten ist. Es fei a, ein folcher; fo muss a^ in Aj ent-
halten fein, da A^ von den Faktoren ai---aQ alle diejenigen
y Google
43 (*0
enthält, die in A nicht vorkommen. Somit kommt a, fowohl
in B als in Aj vor, folglich ist das kombinatorische Produkt
[BAi] (nach 60) nuH. Aus demfelben Grunde auch CA^ u, f. w.
Somit reducirt fich die Gleichung auf
«[AAJ = 0.
Alfo muss (nach ]2, 6) entweder a oder [AÄj] null fein. Da
nun [AAJein kombinatorisches Produkt von n Grössen s^- ■ -an
ist, die in keiner Zahlbeziehung au einander stehen, fo ist
dasfeibc ungleich null (»ach 66). Somit muss der andere
Faktor, aICo a, null lein Aus demfelben Grunde find ß,- ■ •
null, d. h. zwischen den liombinationen A, B, ■ • herrscht
keine Zahlbeziehung
^0. Zwei kombinalonsche Produkte (A und B), die nicht
null Ond, stehen dann und nur dann in einer Zahlbeziehung
zu einander, winn die aus ihren einfachen Faktoren ableil-
baren Gebiete identisch find d. h.
a) A:^B
dann und nui dann, wenn die einfachen Faktoren von A
dasfelbe Gebiet liefern wie die von ß; oderr
b) [aia^ a„] = [bib^ b„]
dann und nur dann, wenn fich jede aus ai---Om numerisch
ableitbare Grösse auch aus \- ■ -bn, ableiten ISsst, alfo wenn stets
c) Xjai + Xäaa -) x„a„^yibi + y^b, -\ y„b„
gefetzt werden kann, welche Werthe auch entweder x^- ■ ■ -x^,
oder Yi- ■ ■ -yi^ haben mögen.
Beweis 1. Angenommen zuerst, das Gebiet ai' - - am fei
identisch dem Gebiete bj- ■ ■ ■&„, fo find die Grössen aj- ■ - -a^^
aus bi- ■ ■ -bn, numerisch ableitbar. Dann ist (nach 63)
[aiaj aJ=K[bib2 bJ,
wo a eine Zahl ist (nämlich die dort beschriebene Determinante).
Diefe Gleichung druckt aus, dass die beiden kombinatorischen
Produkte in Zahlbeziehung stehen und da auch keins von beiden
null ist, fo gilt (nach 3) die Kongruenz;
[Mä--aJ^[biba---b„].
3. Umgekehrt fei angenommen, diefe Kongruenz gelte,
alfo die beiden kombinatorischen Produkte stehen in einer
Zahlbeziehung zu einander ohne null zu fein, und fei
laia2-..aJ=K[bibs---.bJ.
yGoosle
90) 43
Man füge auf beiden Seiten den kombinatorisclien Faktor
bj hinzu, fo erhält man
Aber [bibj - - ■ -binbj ist, da es zwei gleiche Faktoren Cl^il
enthält, (nach 60) null; alfo ist auch
[aia2----a„bJ--0.
Folglich stehen (nach 66) die einfachen Faktoren diefes
Produktes, d. b. a^, a2,---am, b^ in einer Zahlbeziehung zu
einander. Alfo muss fich (nach 16) eine Gleichung der Form
«iSi + Caa, H cvv + j^i''! =
aufstellen lassen, in welcher die Zahlen «i, cti,---aa> ßi
nicht alle zugleich null find. In diefer Gleichung kann auch
ßi nicht null fein, weil fönst zwischen den Grössen a^, 82, • ■ ■
»ni (nach 16) eine Zahibeziehung herrschen, alfo das kombi-
natorische Produkt [aia2----a„] (nach 61) null fein müsste,
was der Vorausfetzung widerstreitet. Wenn nun aber ßi un-
gleich null ist, fo kann man die obige Gleichung durch ßi
dividiren, und erhält
1. «1 «2 "m
' = "Ä''~ft" iC-
d.h. ]\ ist ans ai'-'-am numerisch ableitbar. Aus demfelben
Grunde find auch bj, b^^, ■ ■ ■ b^ aus »i- ■ ■ • a„ numerisch ab-
leitbar. Nun stehen aber auch bj,--'-bn, in keiner Zahibe-
ziehung zu einander, weil fönst das kombinatorische Produkt
[biba b^,] (nach 61) null fem musslt., was dei Voriusietzung
widerstreitel , alio find m Grossen bj b^,, «eiche in keinei
Zahibeziehung zu tindndcr stuhen, aus m Grossen aj a„
numLitsch ableilbir filglich ist (nach 21) da*: aus der ersten
Grösscnreihe ableitbare Gebiet dem ins dei zweiten ableit
baren identisch
Änm Da zwei glei he Gröaeen immer in einer Zahibeziehung
zu t.lIl^l der fcfohen fo tolgt aus dem vorheigehenden featio unmittel
bar dasa zwei gleiche kimbinatoiische Piodukte immei ein und das
felbe Gel let haben dem leine einfachen Faktoren ingehoren und
daas daher aasoer diefem Gebiete nur noch der durch eine Zah! dar
stellbare metnaclie Weith gegebeu za fein biau ht, damit der ganze
Weith des k mbmatons che n Produktes genau bestimmt fei Ist nam
lieh dann m dem Gebiete irgend ein kombinatorisches Produkt ge
geben, aus essen einfaclien laktoren daslelbe ableitbar lot lo i^ird
y Google
44 (91
jedes andere kombiiiatorisclic Produkt, ftus dessen ciiifaclien Faklorcu
dasfelbe Gebiet ableitbar ist, durch eine einfache ZaW bestimmt fcin,
welche das Verhältnisa diefes Produktes zu jenem darstellt.
11. Erkiäriing. Wenn man aus einer Reihe von
Grössen eine zweite Reihe dadurch ableitet, dass man zu
irgend einer Grösse der Reilie ein Vielfaches der benachbarten
Grösse der Reihe addirt, während man alle übrigen Grössen
der Reihe ungeändert lassl, fo fage ich, es Tei die erste Reihe
in die zweite durch eine einfache lineale Aenderung
umgewandelt; leitet man aus diefer zweiten Reihe wieder
durch einfache lineaie Aendcrung eine dritte ab, u. f. f., fo
Tage ich, es fei die erste Reihe in die letzte durch mehr-
fache lineale Aendorung umgewandelt. In beiden Fällen
alfo Tage ich, es fei die erste Reihe in die letzte durch lineale
Aenderung umgewandelt.
Wenn alfo p und q irgend zwei aufeinander folgende
Grössen der Reihe find, fo lässt fich durch einfache Üneale
Aenderung umwandeln die Reihe
p, q, in p +aq, q
oder in p, q -f ap,- ■ ■,
wo a eine beliebige Zahl ist.
Anm. Die Wahl des Ausdrucks bezieht fich auf den Gcgenfats
KU einer weiter unten eu bcliandeluden Aenderung, welche ich circu-
läre Aenderung nenne. Beide Ausdrücke gelien auf die Geometrie
Burftck und zwar auf die beiden Fundamentalgebilde der Geometrie,
die gerade Linie und den Kreis, oder vielmehr auf das Lineal und
den Zirkel, indem, wie ich später zeigen werde, die lineale Aenderung
in der Geometrie fich einfach mittelst des Lineals, die circuISre mittelst
des Zirkels bewerkstelligen ISsst.
■73. Bei der lincalen Aenderung einer Grössenreihe
bleibt das kombinatorische Produkt diefer Grössenreihe un-
geändert.
Beweis. Nach 67 ändert ein kombniatorisclies Produkt
feinen Werth nicht, wenn man zu einem Fdktor ein beliebiges
Vielfaches eines andern Faktors desCelbon addirt, alfo ändert
es feinen Werth nicht bei einfacher iinedler Aenderung feiner
Faktoren, alfo auch nicht bei mehrfacher.
T3. Man kann durch lineale Aenderung zwei beliebige
Grössen einer Reihe beliebig im umgekehrten Verhältniss
y Google
öiidern; d. h. es iässt ficli durch lineale Aenderiing umwan-
deln die Reihe
Beweis. Erstens feien p und q zwei aufiiinaniler fol-
gende Grössen der Reihe, fo lasst fiuh (nach 71) durch lineale
Aenderung nach und nach verwandeln:
p, q in p, q + C" — Op> ^'^"^^ wieder in p -|- q 4-
(«— l)p, q4-(a— i3p, d.h.inßpH-q, q-f-(a — l)p;
et — i
dies in ap -j- q, q -{- (a — l)p (ap + q), d. h.
d. Ii. in ap
1
Zweitens: Sind p und q durch die Grössen pi,pi,---Pn
getrennt, fo verwandelt fich durch lineale Aenderung, indem
man die im ersten Theil als zulässig erwiefene Umwandlung
anwendet,
v> Vu P2, ■■•?... q in «P. ^> P2----Pa, q,
dies in ap, pj, Pi : «, pa* ■ • -Pn, q,
und, indem man fu furtl^hrt, fo erhält man zuletzt
p. . . .q. . . geht Über in • • ap- • ■ ■ ,
74. Aus einer beliebigen Grössenreihe kann man durch
lineale Aenderung jede andere Reihenfulge derfelben Grössen
ableiten, vorausgefetzt, dass man für den Fall, dass das kom-
binatorische Produkt der abgeleiteten Grössenreihe dem der
ursprünglichen entgegengefetzt ist, das Vorzeichen von einer
der Grössen der neuen Reihe ändert; d. h. wenn a', b', c', ■ • ■
diefelben Grössen find wie a, b, c, • ■ ■, nur in anderer Reihen-
folge, fo Iässt ficIi durch lineale Aenderung umwandeln:
a, b, c, ■ • ■ ■ in a', b', c', ■ ■ ■
wenn [abc- ■ -] ^^ [a'b'c'- ■ -]
ist, hingegen
y Google
a, b, c, ■ ■ ■ ■ in — a', b', c', ■ ■ ■
wenn [abc ■ ■ ■ ■ ] ^^ — [a'b'c' ■ ■ ■ ■ ]
ist.
Beweis i. Wenn p und q zwei beliebige Grössen jener
Reihe find, fo verwandeln fieb durch lineale Aenderung, in-
dem man nämlich abwechfelnd zum ersten und zweiten Faktor
beziehlich den zweiten und ersten addirt und fublrahirt, Schritt
Für Schritt
p, q in p + q> q, dies in p + q, q - (p + q),
d. b. in p "i- q, — p, dies in q, — p.
2. Man kann alfo durch lineale Aenderung zwei auf-
einander folgende Grossen der Reihe in die umgekehrte
Ordnung bringen, wenn man nur das Vorzeichen der einen
ändert. Somit kann man auch durch lineale Aenderung jede
Grösse der Reibe auf jede Stelle bringen, bei gehöriger Zeichen-
änderung, Es feien nun a', b', c', ■-■■ diefelben Grössen wie
a, b, c, •• • aber in anderer Reibenfolge, fo wird man die
Reihe a, b, c, ■-■ durch lineale Aenderung in eine Reihe
umwandeln können, deren Grössen der Reibe nach mit a', b',
c' ■ ■ - entweder gleich oder ihnen entgegengefelzt find. Nun
kann man (nach 73) durch lineale Aenderung zwei beliebige
Grössen p, q einer Reihe im umgekehrten Verhaltniss ändern,
d. h. fo ändern, dass, wenn die eine Grösse p in ap über-
geht, dann die andere q in -^ übergehe; alfo kann man
namentlich die zuletzt gefundene Reihe fo ändern, dass jede
beliebige Grösse p derreib_en, weiche einer der Grössen a, b,
c, ■ • ■ entgegen gefetzt ist, in ( — i)p, d, h. in — p, über-
gebt, während die erste Grösse jener Reihe, nämlich ^^ a' in
Ip — ;, d. h. in + a' übergeht. Wendet man diefe Aenderung
nach und nach auf jede Grösse jener Reihe an, welche einer
der Grössen a, b, c, • ■ ■ entgegengefetzt ist, nur nicht auf
die erste Grösse + a' jener Reihe, fo erhält man zuletzt ent-
weder die Reihe
a', b', c', oder — a', b', c' ■ ■ ■ ■,
wü noch das Vorzeichen von a' zu bestimmen ist. Da nun
y Google
*5) 47
dieTe Reihe aus a, b, c, • ■ ■ ■ durch linealc Aenderung hervor-
gegangen ist, Co muss (nach 73) im ersten Falle
[abc ] = [a'b'c'----],
im zweiten
falJC ] = [— a'b'c' ] = — [a'b'c' ]
rein,
73. Wenn man zu irgend einer Grösse (p) einer Grössen-
reihe ein Vielfaches einer andern Grösse (q) jener Reihe addirt,
alfo statt p fetzt p -f- aq, während man alle übrigen Grössen
jener Reihe unverändert lässl, fo lässt fich die fo hervor-
gehende Reihe ans der ursprünglichen durch Uneale Aenderung
ableiten, d. h. es lässt fich durch lineale Aenderung umwandeln
p, , q in pH- aq, q, oder auch
in P, q + «P-
Beweis. Wenn in der gegebenen Reihe zwischen p und
H keine Grösse steht, fo folgt das zu erweifende unmittelbar
aus der Definition [71]. Stehen zwischen p und q die Grössen
Pi) Pjj ■ ■ ■ ■ Pm r** '^^ (uach 73) durch lineale Aenderung um-
zuwandeln
P, Pj, P2,'-Pb, q in P. q. Pi> P^ + Pn; und dies
(nach 71)
in p 4- ''q , q 1 Pi > Pa ,'■■■ + Pu ; dies
wieder (nach 74)
in p-i-aq, Pi,p2, p„, + q,
wo das Vorzeichen von q noch zu bestimmen ist. Da die
letzte Reihe aus der ersten durch lineale Aenderung hervor-
gegangen ist, fo ist das kombinatorische Produkt der ersten
Reilie (nach 72) dem der letzten gleich; alfo
[ppip2 Paq] = ICp + ßq)pip2 ■ • ■ ■ p„(+ q)3
= -i-[(p + «qDpiPi — Piiq]-
Aber es ist (nach G5)
[pPip2---Piq] = + [(P + «q)PiP2"-PnqI,
d. h. es gilt in der vorigen Formel das -|-Zeiohen, alfo
haben wir statt H- <li zu fetzen q, d. h, die gewonnene Reihe
ist p + ßq, pi, pa, ■ ■ ■ Pn, q. Es verwandelt fich alfo durch
lineale Aenderung
p q in p 4- ciq, q,
y Google
48 (««
und auf dieCelbe Weife folgt, dass ficli auch durch lincale
Aenderung umwandeln lässt
P q in p,---.-q + ap,
16. Wenn zwei von null verschiedene kombinatorische
l'rodukle einander gleich find, fo lassen fich die einfachen
Faktoren des einen aus denen des andern durch lineale Aen-
derung ableiten, d. h. wenn
(a) [abc----]-^[ABG--.-]50
ist, fu lässt fich durch lineaie Aenderung die Grössenreiho
Cb) a, b, c, -■■■ in A, B, C, ■••.
umwandeln [Umkehrung von 72].
Beweis. Da die von null verschiedenen kombinatorischen
Produkte [abc-—] und [ABC---] einander gleich find, und
fie alfo in einer Zahlbeziehung zu einander stehen, fo mtisscn
(nach 70) die aus ihren einfachen Faktoren ableitbaren Ge-
biete identisch fein; d.h. die aus der Grössenreiho a, h, c,- - ■
numerisch ableitbaren Grössen müssen auch aus A, B,C,---
nunterisch ableitbar fein und umgekehrt. Alfo müssen nament-
lich A,B,G,'-- felbst, aus a,b,c,--' numerisch ableitbar
fein. In den Ausdrücken diefer Ableitung darf nicht der
Koefficient von irgend einer der Grössen a, b, c, ■■-, z, B.
der von a, in allen gleichzeitig null fein; denn fönst wären
die Grössen A, B, C, - ■ -, deren Anzahl n l'ei, aus den n — 1
Grössen b, c, ■ ■ ■ ableitbar; alfo würde (nach 22) eine Zahl-
beziehung zwischen ihnen herrschen, ihr Produkt alfo (nach
6t) null lein, gegen die Annahme. Es fei a' eine der Grössen
A, B, C, ■■■ und zwar eine folche, in deren Ableilungs-
ausdruck der Koefficient von a nicht null fei, und fei
h' = «la + j5,b + ,
wo alfo «1^0 ist; fo lässt fich durch linealo Aenderung nach
und nach umwandeln
a,h,c,---,l in Kja.b.c, , — [72],
dies in liaid-i-ßih-i ),b,c,--.— [74],
yGoosle
»«) 49
Nun muss aber (nach 19) das aus a', b, c, ableit-
bare Gebiet identisch fein dem aus a, b, c, -■■ ableitbaren,
alfü müssen namentlich die Grössen A, B, C aus a', 1),
c, ■■■■ ableitbar fein. Nun ist es wieder, aus demfelben
Grunde wie vorher, unmöglich, dass der Koefficient von b in
allen Ausdrücken diefer Ableitung zugleich null fei. Es fei
b' eine der Grössen A, B, C, ■•■ und zwar eine folche, in
der jener Koefficient nicht null ist, und fei
b' = aaa' + ^2b+riC +■■■■,
fo lässt fich durch lineale Aenderung, auf diefelbe Weife wie
vorher . a', b , c , — umwandeln
' ' ' «1
- , ,, l
Ebenfo fei c' = Cja' + ßsh' -f- j-^c -f ä^i +■ ■•> wo j-,
ungleich null ist, fo lässl fich wieder durch lineale Aenderung
a', b', c, ■ ■ ■ — o" umwandeln
in a', b', c' d, —r, — .
Auf diefe Weife fahre man fort bis zur vorletzten Grösse.
Diefe fei k, fo erhält man zuletzt die Grössenreihe
a', b', c', , k', — g — -_ .
Da nun diefe Grössenreihe aus der ursprünglichen a, b,
c, ■ ■ • hervorgegangen ist; fo muss (nach 72) ihr kombina-
torisches Produkt gleich dem jener Grössenreihe fein; alfo
[a'b'c' k'^ 1 ^ [abc kl].
Ferner find die n — 1 Grössen a', b', c',- ■ • -k' aus der
Reihe der n Grössen A, B, C, ■ ■ ■ ■ K, L entnommen, und da
a', b', c', ■ ■ ■ k' alle von einander verschieden fein müssen,
weil fönst (nach 61) das kombinatorische Produkt derfelben
null wäre, was vermöge der fo eben entwickelten Gleichung
mit der Vorausfetzung streitet, fo kann von den Grössen A,
B, G, ■ ■ ■ K, L nur noch eine übrig fein, welche nicht unter
den Grossen n', b', c' ■ ■ ■ ■ k' enthalten ist. Dies fei 1' und
y Google
fei 1 = a„a' + ß„b' + ■ ■ • + «„k' + XJ', fo verwandelt Hcli dk;
zuletzt gewonnene Reihe durch lineale Äenderung in
l„l'
Die Grössenreihe a', 1)', c', k', 1' enthält aber die-
Telben Grössen, wie die Reihe A, B, G,- ■ -K, L, nur in anderer
Ordnung; alfo ist (nach 74) a', b', c',---k', 1' durch lincale
Äenderung umzuwandeln in A, B, C,---K, +L, alfo aucU
a', b', c', ■ ■ ■ 1 k', — - "— -. -
in A, B, C,--.., K,+^^"i^ ,
«lp2 «D-1
indem es (nach 73) gl eicli gültig ist, zu welcher Grösse man
den Zahlfaktor - >; - — hinzufügt. Es fei diefer Zahlfaktor
= f, fo ist alfu durch lineale Äenderung aus a, b, c,- ■ ■ -k, I
schliesslicli hervorgegangen A, B, 1, - ■ ■ K, eL. Alfo ist (nach 72)
[abc----kl] = [ABG KeL] -=e[ABC- ■ -KL].
Es ist aber auch nach der Hypothefis
[abc---kl]-=[ÄBC-.-.KL].
Alfo auch
e[ABG--- ■KL]^[ABC--.KL1,
d.h. e^^i, alfu ist tL ^= L, und fomit hat fich durch linoale
Äenderung umgewandelt die Reihe:
a, b, c, k, 1 in A, B, G,.--K, L,
eine Umwandlung, deren Mögliobkeit zu erweifen war.
11. Erklärung. Die mulliplikativen Kombinationen
der ursprünglichen Einheiten zur m-ten Klasse, nenne ich
Einheilen m-ter Stufe, eine aus diefon Einheiten numerisch
abgeleitete Grosse, eine Grösse ni-ler Stufe, und zwar eine
einfache, wenn fie fich als kombinatorisches Produkt von
m Grössen erster Slnfe darstellen lässt, eine zufammen-
gefetzte, wenn dies nicht möglich ist. Das aus den ein-
fachen Faktoren einer einfachen Grösse ableitbare Gebiet,
nenne ich das diefer Grösse zugehörige Gebiet, kurz
das 'Gebiet diefer Grösse. leb nenne endlich eine einfaclie
Grösse A einer andern übergeordnet, untergeordnet.
y Google
»») 51
oder mit ihr incideiit, ju nacliiiem dies von den Gebieten
diefer Grössen gilt Cvergl. No. 15).
'ilh. Zufatz, Ein kombinatorisches Produkt aus m
Grössen erster Stufe ist eine einfache Grösse m-ter Stufe,
und ist »US den Einheiten m-ter Stufe numerisch ableitbar.
Aiim. Als Beispiel einer zufammengeretzten Grösse fttlire icli hier
die Summe (at) + (cd( an , wenn a, b, c, d vier in keiner Zalilbesiehung
KU einander ste}iende Grössen find. Sollte nämlich (ab) -j- (cd) eine
einfache Grösse, etwa =^ (pq) Dein , To müssto [(ab + cd) (ab + cd)]
= [pqpcj =0 feia (nach 60); aber [(ab + cd) (ab + cd)] = (abcd) -|-
(cdab), da [abab] nnd [cdcd] nnll find. Aber (nach 58) ist (abcd)
— (cdab). Alfo [(ab + cd) (ab + cd)] = 3(abcd). Somit miisate, wenn
(ab) 4- (cd) eine einfache Grösse wäre, (abcd) = fein, alfo (nach 66)
a, b, c, d in einer Zahlbezieliung stehen, was der Vorausfetzung
widerstreitet.
§. 3. Aeussere Multiplikation von Cfrössen höherer Stufen.
78. Erklärung. Zwei Einheiten höherer Stufe äusser-
licli multipi iciren, heisst die einfachen Faktoren derfelben,
ohne ihre Reihenfolge zu verändern, kombinatorisch multipli-
ciren, d. h.
[(C1C2 ■ ■ ■ e^l Ce„+i e„)] = [eiOj e J.
Anm. Den Mamen der äusseren Multiplikation habe ich gewählt,
lim zu bezeichnen, dass das Produkt nur dann geltenden Werth hat,
wenn der eine Faktor gana anaserhalb des Gebietes der andern liegt.
Es steht der äusseren Multiplikation die innere (f. Kap. i) gegenüber.
"79. Statt eine einfache Grösse A mit einer andern B
äusserlich zu multipliciren, kann man nach der Reihe die ein-
fachen Faktoren der ersten mit denen der zweiten kombina-
torisch multipliciren, il. h.
[Cab---0(cd---0] = [a'b--cd----].
Beweis. Es feien Cr ■ • -e^ die ursprüngUchen Einheiten,
und I'ei
a^^ßfleo, h^^ßtiBi,- ■ ■ ■ G = ^yiti,, d = ^<Jte[,---
fo ist
[(ab-.-)(cd..O]_ _
== [(X«a e^^ßb (ii ) (^Yi e, ^d^ e^ )]
- iXa^ßi". Le.l^r^jX/.^i ■■■[«!.<=.■■■]] [45]
yGoosle
53
■y.s,-
-[Ceaei ■ ■ ÖCe^et ■ ■ ■)]
■■•n'?f ■■■[eaei,---'?.ef--]
^[ab cd- ].
7fJb. Zufatz. Wenn eine einfache Gross V
(liclit null ist, einer andern B, welche gleichfalls
[423
[78]
[45]
V 1 le
ht null
ist, untergeordnet ist, fo lässt fich die letztere Is ä s eres
Produkt darstellen, dessen einer Faktor A und lesse indeier
Faktor eine einfache Grösse C ist, alfo in dei Forn
B = [AC].
Beweis, Nach 77 ist A dem B untergeordnet, wenn
das Gebiet von A dem von B untergeordnet ist, d. h. (nach
15) wenn jede Grösse des ersten Gebietes zugleich Grösse
des zweiten ist. Es fei A ^= [aiaj ■ ■ ■ a^,], wo ai ■ ■ ■ an, Grössen
erster Stufe find, fo stehen diefe, da A ungleich null fein foll,
in keiner Zahlheziehung zu einander (61). Ferner fei B ■:=
[hl- •■hj. Da nun die Grössen ai-'-Sm dem Gebiete B an-
gehören follen, fo müssen fio aus bj- ■ -b^ numerisch abieilbar
fein. Dann aber kann man (nach 20) zu den Grössen a^- ■ ■ -a^
noch (n — m) Grössen an,-|-i--aQ von der Art hinzufügen,
dass die Gebiete ai- ■ ■ -an und b^' • -b^ identisch find. Ist aber
dies der Fall, fo müsse» (nach 70) die Produkte [aj-
und [bi
Es fei
[b, bj=a[a,
einer Zahlbeziehung zu
stchei
■■a„] = (([(ai 3„.a„
— [(ai''-a^)-C«a„
Alfo wenn noch
a[a„H-i-'--aJ^G
gefetzt wird, fo wird
B = [AC].
SO. Die Klammerfetz ung i
gleichgültig für das Befultat, d. h.
[A(BC)] ^ [ABC].
Beweis 1. Es feien A, B, C einfache Grössen, A ^^
[ai aq], B = [br--b,], C — [ci---cj, fu ist
[A(BG)] = [aj- ■ • -HiiK - ■IV)Ccr ■ ■ -c,))]
= [ar--a„(bi---b,ci---cj] [79.1
■a„)] [79].
I einem äusseren Produkt ist
y Google
»») 53
= [ai---aqbi---b,cr--c,] [79]
= [Cai---aq)Cb,...b,)(Ci--c,)] [79]
= [ABC].
3. Es feien A, B, C äummen einfacher Grossen, A =
2^Ä7, B = ^ßi, C=^C;; fo ist
[ACBCJ] = [ZaXZb^Zc;)] = ZÄ^CßTcT) [45]
= Xa.Bi,C< [Beweis 1]
= ixa;zb;:zc;] [45]
= [ABC].
81. Wenn ai-"a„, bj- ■ -bn Grössen erster Stufe find,
welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stellen, und A
aus af ■ -a^ durch Addition und Multiplikation hervorgegangen
ist und B aus bi---b„, und
[AB]=::0
ist, fo muss entweder A = oder B^O fein.
Beweis. Es fei A von a-ter Stufe, ß von /3-ter Stufe,
und feien Aj, Aj, ■ ■ ■ - die multiplikativen Kombinationen aus
ai-'-am zur a-ten Klasse, Bj, Bj, ■ ■ ■ die zur j3-ten Klasse
aus bi- ■ .b„, fo find (nach 77) A und B darstellbar in den
Formen
A = ^ä7A„~ B=XmV,
alfu ist
[AB]=Z'«a/5t[A„B6].
Hier find die [AoBt] als multiplikative Kombinationen von
Hl- ■ -am, bi- ■ -bii SU betrachten, Sie stehen alfo (nach 69) in
keiner Zahlbeziehuug zu einander. Alfo ist (nach 34)
für jedes r und s; alfo wenn B^O ist, d, h. irgend eine der
Grössen ß^ ungleich null ist, fo folgt, a,^0 für jedes r,
d. h. A=0.
82. Wenn eine Summe S einfacher Grossen mit einer
von null verschiedenen Grösse erster Stufe a äusserlich mul-
tiplicirt null giebt, fo lässt fich die erstere (S) als äusseres
Produkt darstellen, in welchem a ein Faktor ist, d. h. in
der Form
S = LaP], wenn [aS]=0.
yGoosle
54 (83
Beweis. Es fei S eine Summe von Grössen m-ter Stufe,
und feien c„ Cj, • - • e^ die ursprüngliclien Einheiten, fo kann
man (nacli 20) zu a stets nocii (n ^ 1) andere Grössen b,
c, • - ■ der Art liinzufügen, dass fich die Grössen e^ ■ ■ ■ • e„
aus a, b, c, ■ - ■ numerisch ableiten lassen. Dann lässt ficii
auch jeder einfache Faktor in jeder der Grössen m-ter Stufe,
deren Summe S ist, aus a, b, c, ■ ■ ■ - numerisch ableiten.
Alfo lässt fich jede diefer Grössen, und alfo auch ihre Summe
S, aus den multiplikativen Kombinationen zur m-len Klasse aus
a, b, c, ■ - • ableiten. Es feien nun [aB]], [aBj], ■ ■ ■ diejenigen
unter diefen Kombinationen, welche a enthalten, und C^, Cj, - ■ ■
diejenigen unter ihnen, welche a nicht enthalten, und fei
S = A[aB,] + ^,[aB,] -{-...+ j-^ + y.C. +■■■■
Da nun nach der Annahme [aS] ;= fein füll, fo hat man
= [aS] = riCaCi] + y,[aC,] + ■ • • ,
da [aaB,], [aaBj], ■ ■ • null find. Da nun a nicht in Cj, Cj, ■ ■ ■
enthalten ist, fo find [aCJ, [aCj],--- multiplikative Kombina-
tionen, stehen alfo in keiner Zahlbeziebung zu einander. Somit
folgt aus der obigen Gleichung, ^/iCaCJ -f- j'i[aCj] + ■ ■ ■,
dass j-i, Yi, ■•• alle null find (nach 16). Folglich ist
S = jSi[aBi] +^,[aB,]+...
= [aCAB. -\. ß,B, +■■■)] = [üP] , wenn
P = ftBi + M=+--
gefetzt wird.
83. Wenn eine Summe S einfacher Grössen mit jeder
von m, in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Grössen
erster Stufe a^, ■•■a„ änsserüch multiplicirt null giebt, fo
lässt fich S als äusseres Produkt darstellen, in welchem ai- ■ -a^
Faktoren find, d. h. in der Form
S = [aiaj---a™SJ,
wenn = [aiS] = [a^S] = • ■ ■ = [a„S J.
Beweis. Es feien Ci-'-Ca die ursprünglichen Einheiten,
fo lassen fich (nach 20) zu ai- • -am noch n — m andere Grössen
a„-|-i- ■ -an der Art hinzufügen, dass fich ei- ■ -e^ aus aj- ■ ■ -ap
numerisch ableiten lassen. Demnach lassen fich auch alle in
S vorkommenden Grössen erster Stufe aus aj- ■ ■ -a^ numerisch
ableiten, Nun ist angenommen [a^SJ^iO, folgüch lässt fich
y Google
8«) 55
(nach 82) S in der Form S = [aiSj] Jarslellen. Hier ist S,
wieder eine Summe einfacher Grossen, Stellt man die ein-
fachen Faktoren diefer Grössen als Vielfachenfumme von
ai----an dar, l'o kann man, ohne den Worth der Produkte
zu ändern, (nach 67) in aJlen diefen Vielfaühenfummen das
Glied, was Bi enthalt, weglassen. Nachdem dies geschehen,
habe fich Si in P, verwandelt, fo ist
S = [aA] = [aiPiJ,
wo Pi nur aus den Grössen a; ■ - ■ ■ a„ hervorgegangen ist (kein
ai enthält). Nun ist ferner [aaS] — 0, d, h.
0— [ajaiPJ, oder (nach 55) [aia2Pi] = 0.
Da nun a^Pi nur aus den Grössen a2----a„ erzeugt ist,
fo muss (nach 81) entweder aj oder [aä^i] null fein. Das
erste ist gegen die Annahme, alfo aaPi = 0, Somit muss P^
in der Form [a^Sj] darstellbar fein; hier kann wieder in Sa
die Grösse ai fortgeschafft werden , ohne den Werth des Pro-
duktes ajSa zu ändern; es fei Pj^= [aaSa] = [aiPa], wo Pj
nur noch aus a^'-'-an erzeugt ist (ohne a, und a^), fo ist
S = [aiaäPs]. Dann ist [3381 = 0, alfo [aoaiaiP^] =0, oder
[a,a2a3P2] = 0.
Da nun [83?^] nur aus aj'---a„ erzeugt find, fo muss
(nach 81) entweder [aiOa] null fein, oder [agPa]. Ersleres
ist nicht möglich, weil fönst (nach 61) zwischen a^ und a^
eine Zahlbeziehung herrschen würde, gegen die Vorausfetzung.
Es muss alfo [agP^] ^0, alfo Vi in der Form darstellbar P^
^L^äPs], wo wieder Pg nur aus a4- ■ -au erzeugbar ist u, f. f.,
bis endlich
S = [aiaj..-a„SJ
wird.
83. Wenn eine Summe S von Grössen m-ter Stufe mit
jeder von m Grössen erster Stufe ai----a„, die in keiner
Zahlbeziehung zu einander stehen, äiisscrlich muUiplicirt null
giebt, fo ist S dem äus.'ieren Produkte diefer m Grössen kon-
gruent, d, h. wenn
0=.[aiS]=.--=[a,„S], fo ist S^[a,----aJ.
Beweis. Dann ist (nach 83) S in der Form [a^ a^SJ
darstellbar, hier muss, da S ein Ausdruck m-tor Stufe ist.
y Google
56 <SÄ
Sn, von nullter Stufe, alfo eine Zahl Tein und dann können
wir (nach 2) statt S = [ai • ■ ■ amSm] schreiben
S = [a,...aJ.
85. Wenn es m -j- 1 Grössen ai- ■ • -a^+t giebt, deren
jede mit einer Summe S von Grössen m-ter Stufe äusserlich
multiplicirt null giebt, fo ist entweder S ^=0 oder [si- ■ -am-Hl
= ü.
Beweis. Gefetzt, es fei [ac ■ -am+i] nicht null, alfo
auch [ai-- üni] "'cht null, alfo a, ■■-■aoi in keiner Zahlbe-
ziehung zu einander stehend, fo ist, da auch [a^S] =^[8^8]- ■ ■
= [a™S]=0 ist, (nach 84) S — «[Hj- ■ -aj. Nun foll aber
auch [am+iS] =0, alfo £e[ai- ■ -am-i-,] ^0, alfo, da [ai- -am+i]
nach der Annahme von null verschieden ist, fo muss a = 0,
alfo auchS=a[ai- --aJ^O, d. h. es ist entwender [a, ■ ■ -äai+il
oder S null.
§. 4. Ergänzung der Grössen in Bezug auf ein Hauptgebiet.
86. Erklärung, Hauplgebiet nenne ich das Gebiet
der ursprünglichen Einheiten, aus welchen alle der ßelrach-
lung unterworfenen Grössen hervorgegangen find.
8^. Zwei einfache Grössen A und B lassen fich, wenn
die Summe ihrer Stufenzahlen die des Hauptgebietes um y
übertrifft, in der Form darstellen
A^CCAj], B = [Cßj],
wenn C eine einfache Grösse von j'-ter Stufe ist.
Beweis. Es fei a die Slufenzahl von A, ß die von
B, n die des Hauptgebietes, alfo
a-l-ß = n+Y.
Dann haben (nach 36) die Gebiete A und B mindestens
ein Gebiet (ß -f l? — n}-ter, alfo y-ter Stufe gemein. Es fei
C eine Grosse y-lcr Stufe diefes Gebietes, fo ist C fowohl
der Grösse A, als der Grösse ß untergeordnet, alfo (nach
79b) A in der Form [CAi] und B in der Form [Cß,] dar-
stellbar.
88. Einfache Grössen (n — l)-ler Stufe in einem Haupt-
gebiele n-ler Stufe geben zur Summe wieder eine einfache
Grösse (n — l)-ter Stufe.
yGoosle
8»> 57
Beweis. Es feien A und B die beiden Grösseii(n — l>ter
Stufe, welclie in einem Hauptgebiete n-ter Stufe liegen; fo
müssen fie, da die Summe (_2n — 2) ihrer Stufenzahlen die
des Haiiptgebietes um n — 2 übertrifft, tnach 87) in der Form
A-=[Ca], B = [Cl)]
darstellbar fein, wo C eine Reihe von n — 2 einfachen Fak-
toren erster Stufe darstellt, a und b aber Faktoren erster
Stufe find, alfo
A + B = [Ca] + [Cb] = [CCa + b)] [44].
Hier ist a + b, als Summe aweier Grössen erster Stufe,
wieder eine Grösse erster Stufe, alfo ist A + B als kombi-
natorisches Produkt von n — i Grössen erster Stufe darstell-
bar, alfo leibst eine Grosse (n — l)-ter Stufe.
Anm Hat man ui einem Hauptgebiete c ter Stufe zwei Grössen
A und B, deren StutenaaLleii grösser als 1 und kleniLr als c — 1 find,
fo giebt ihre Summe im Allgemeinen nicht mehr eine emtaclie Grüsse.
Öo Ä B liisst Geh, MCan a, b, c, d Tier in keiner Zahlbeaiehnng au
einander stehende Grossen eister Stufe find, die Summe S^:ab-|-cii
nicht mehr in Foim eines liombinatonschen Pioduktes lon Faktoren
eibter Stufe darstellen In dei Ihat mubste dann (nadi 60|
[SS] =ü
fein, alfo
= [S S] = [(ab + cd) (ab + cd)] = [abcd] + [cdab] ,
da [abab] und [cdcd] (nach 60) nuU find. Aber da (nach 53) [cdab]
= [abcd] ist, fo hätte man dann
= 2[abcd],
d. b. es müsste [abcd] null fein, alfo (nach 66| a, b, c, d in einer
Zalilbeiiehung au einander stehen, gegen die Vorausfetiung. Alfo ist
S dann nicht in Form eines kombinatorlsclien Produktes von Grössen
erster Stufe darstellbar, und ist alfo dann eine lufammen gefetzte Grijsse-
89. Erklärung. Wenn in einem Hauptgehieto n-ter
Stufe das kombinatorische Produkt der ursprünglichen Ein-
heiten ei, e-i, • • ■ Ca gieicii 1 gefetzt ist, und E eine Einheit
beliebiger Stufe, d. h. entweder eine der ursprünglichen Ein-
heiten oder ein kombinatorisches Produkt von mehreren der-
felben ist, fo nenne ich „Ergänzung von E" diejenige
Grösse, welche dem kombinaturisdien Produkte E' aller in E
nicht vorkommenden Einheiten gleich oder entgegengefetzt
ist, je nachdem [EE'] der abfoluten Einheit gleich oder ent-
gegengefetzt ist; ich bezeichne die Ergänzung einer Grosso
y Google
58 (»O
durch einen vor das Zeichen der Grösse gefetzten vertikalen
Strich, alfo die von E durch |E. Die Ergänzung einer Zabi
fetze ich diefer Zahl gleich; alfo:
|E = LEE']E',
wenn E und E' die einfachen Faktoren er • ■ -Cn enthalten und
[eie2-.-e„]=:l
ist; und
\a^=a, wenn ß eine Zahl ist.
Anm. Bei der Definition ist vorausgefetzt, dass [EE'] nui- ent-
weder 4-1 oder —1 fein könne. In der Tliat, da E und E' kombi-
natoriBclie Produkte der ursprünglichen Einheiten find nnd E' alle
in E fehlenden Einheiten enthalt, fo unterscheidet fleh [EE'J von
[eiej'---en] nur durch die Folge feiner Faktoren, und beide find alfo
(nach. 57) einander entweder gleich oder entgegen gefetzt, alfo da
[e,Ci---enl = l ist, fo ist [E&] = + J.
90- Erklärung. Unter der Ergänzung einer heltebigen
Grosse Ä verstehe ich diejenige Grösse |Ä, die man erhält,
wenn man in dem Ausdrucke, welcher die numerische Ab-
leitung jener Grösse aus den Einheiten darstellt, statt jeder
diefer Einheiten ihre Ergänzung fetzt, d. h.
ICoiEi 4- a,E, + ■ ■ = «i|Ei + a^\E, + ,
wo El, Ej, ■■- Einheilen beliebiger Stufen find.
Zufalz. Wenn n die Stufenzahl des Hauptgebicles und
a die der Grösse A ist, fo ist n — a die der Ergänzung.
Anm. Der vertikale Strich erscheint alfo nach diefeu Deünitionen
mit dea Eigenschaften eines Fattora, Es hat diefer Faktor, wie fieh
weiter unten zeigen wird, eine auftallendc Analogie mit dem imagi-
nären Ausdruck Y — 1, fo dass man ihn unter gewissen UmstBnden
dadurch erfctaen kann. Den vertikalen Strich habe ich gewälilt, um
darauf hinzudeuten, daes, wie ich unten zeigen werde, diefe Ergän-
zung geometrisch durch das auf einem gegebenen Gebilde fenkrecht
stellende Gebilde dargestellt wird.
91, Das äussere Produkt einer Einheit in ihre Ergän-
zung ist i, d. h.
rE|E]-l.
Beweis, Wenn E' das konibinotorische Produkt aller in E
nicht entlialtenen ursprünglichen Einheiten ist, fo ist (nach 89)
|E = + E', je nachdem [EE'] = + 1.
Atfo wenn das untere Zeichen gilt, fo ist
[E;E] = [HE'] = I
yGoosle
»«) 59
und wenn das obere gilt, fo ist
[EIE]-. [EE'j^-C-l)-!-
92. Die Ergänzung der Ergänzung einer Grösse A ist
dierer Grösse A gleich oder entgegengefetzl, je nachdem das
Produkt der Stufenzahlen dierer Grösse einerreils und ihrer
Ergänzung andrerreils gerade oder ungerade ist, d. h,
||A = C^1)VA,
wenn q die Slnfenzahl von A und r die von (Ä ist.
Beweis, Angenommen fei zuerst, dass A ein kombi-
natorisches Produkt der ursprünglichen Einheiten Tei, und B
^^ |A feine Ergänzung, fo enthält nach der Definition B alle
die Einheiten, welche dem A fehlen, und zwar fo, dass
A|A = i, alfo
AB = 1
ist. Die Ergänzung von B wiederum ist, da A alle Einheilen
enthält die der Grösse B feiilen, (nach 90) der Grösse A
gleich oder entgegengefetzt, je nachdem BA der abfoluten
Einheit gleich oder entgegengefetzt ist; nun ist C^ach 58)
BA = (— l)i''AB, wenn q und r die Stufenzahlen von A und
B find; alfo, da AB ^ 1 ist,
BA = C - 1}^',
fomit auch die Ergänzung von B gleich ~\- A oder — A, je
nachdem [— l)i' gleich 4- * »der — 1 ist, d. h.
tB = (— J)'J^A.
Aber B war gleich |A angenommen, fomil
l|A. = C-l)''A,
wenn A ein kombinatorisches Produkt der ursprünglichen Ein-
heiten ist.
Es fei zweitens A eine beliebige Grösse q-ter Stufe,
ihre Ergänzung von r-ter Stufe, und fei
A = ajEi + %Eä -i ,
wo El, Ea, ■ ■ ■ ■ kombinatorische Produkte der ursprünglichen
Einheiten, «i, «2, ■ ■ ■ Zahlen find, fo ist (nach i)Ü)
!A = Ci|Ei-f-aj!E3 +•■■■,
fomit, da |Ei, [Ej wieder Einheitsprodukte find,
|!A = «i|iE, + «,||E, -(-..■-.
Nun find Ei, Ej, ■ ■ ■ von gleicher Stufe iiiit A, alfo von
y Google
60 (»a
q-ter Stufe, iiikI ihre Ergänzungen von r-ter Sliife; alfo ist
(lach dem ersten Tlieile des Beweifes ||Ei^ [— i)i'Ei, ||Ej
= (— l)i'E5 u. f. w., fomil
||Ä = C-l)n«iEH-a,E, +--0
93. Ist die Stufenzahl (n) des Hauplgebiotes uugerade,
fo ist
|1A = Ä.
Ist n gerade, To ist
wenn q die Stufenzahl von A ist.
Beweis, üenn dann ist die Stufenzahl von [A gleich
Cn — q), alfo (nach 92) ||A = (-- i)i(''-*5iA. Ist nun n un-
gerade, fo ist entweder q oder n — q gerade, alfo ( — l)it"'-i)
= 1 und alfo dann |jA = A. Ist n gerade, fo ist q(n — q)
gerade oder ungerade, jo nachdem q es ist, alfo dann ( — l)i(°-w
= (— i)S und ||A = C- D^A
Anm '•ind i und r beide ungerade, wie z B wpnn min iliL
tiiginzungcn von ttrossen crater Stile in einem Gebiet z\\eitei Stilt,
betmcMet, fo wiid |1A = — A, lo lasä alfo in jiicfem Falle das
.ieiclien | denfelbLn GeCetzen unterliegt wie i= V— 1, nnd wir er
halten, dabei hier eine leelle Bedeutung des Imagimren Es wird
Licli bei der Anwendung auf die Geometrie zeigen, dass Strecken,
d li Linien von beEtimmtei Richtung und Langt als Grossen crBti.r
Stufe zu betrachten find, und dase m Be7ug auf fie die Eboni, als
Gebiet zweitoi Stufe erscheint fo dass illo bier dpr obcnerw ibi ti,
Fall, wo ||A = — A ist, eintritt Ich werde zeigeu, dass die Li
ganzung einer btieike, wenn man als ursprüngliche Eii heiten zwei
gegeneinander lenkiocbte Strecken mu gleicher L^nge annimmt du
auf ilir lenkiechte Strecke ist, und m^n lieht daher schon hiei, dass
die leelle Bedeutung, die wii hier dem Imagiiwren beilegen, genau
dei geomctnschen Bedeutung desfelben wie fie von Gtuss zuerst
ttulgefaset wurde entspni,ht, nur dass ditCi. Bedei tuns, hiei in ill^e
r Foim hervortritt
§. 5. Produkt in Bezug auf ein Htiuptgebiet.
M4. Erklärung. Wenn die Summe der Stufenzahlen
zweier Einheiten kleiner oder ebcnfo gross ist als die Stufen-
zahl n dos Hauptgebietes, fo verstehe ich unter ihrem pro-
gressiven Produkte ihr äusseres Produkt, jedoch mit der
y Google
•4) 61
Bestimmung, dass das progressive Produkt der n ursprüng-
lichen Einheiten 1 fei. Hingegen, wenn die Summe der Stufen-
zahlen zweier Einheiten grösser ist als die Slufenzahlen (n)
des Hauptgebietes, fo verstehe ich unter ihrem regressiven
(eingewandten) Produkte diejenige Grösse, deren Ergänzung
das progressive Produkt der Ergänzungen jener Einheiten ist.
Das progressive und regressive Produkt fasse ich zufammen
unter dem Namen des auf ein Hauptgebiet bezüglichen
Produktes. Die Bezeichnung ist für alle diefe Produkte die-
feibe, nämlich die einer das Produkt umschliessenden Klam-
mer. Alfo
|[EF] = [|E|F],
wenn die Summe der Stufenzahlen von E und F kleiner ist
1 d St f ( ") d H pt b t d
[ ] = 1
1 R h d p 1 h E h l t
A Afd h bhdltMlilkt 1 fi lg
bra 1 1 r 1 11 M 1 pik d ilb 1 p fi d
W h f t I t I d ö kfiih E km t d h
d f dridMlplkt g t g dlh
dBh^ dtg tlidW bd
lg b b M 1 pl k 11 b Ü g Kl m m d t
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C d 1 Add t S b kt M U pl k t DT
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k üpf d C 1 1 d H pig b t bl g
y Google
62 C»»
ÖS. Wenn q tmd r die Stufenzahlen zweier Grössen
A und ß find, und n die des Hauptgebletes , fo ist die Stufen-
zahl des Produktes [AB] erstens gleich q + r, wenn q 4- r
kleiner als n ist, zweitens gleich q-f-r— n, wenn q + r
grösser oder ebenfo gross als n ist, in beiden Fällen alfo
kongruent der Summe der Stufenzahlen in Bezug auf den
Modul, n, d. h. wenn
C = [AB], fo ist
ssq -j- r (Modul, n),
wo q, r, s, n beziehlich die Stufenzahlen von A, B, C und
vom Hauplgebiete find.
Beweis. Ist q + r <: n und A = [ajaj ■ • ■ a^], B=t
[b^bj ■ - ■ bj, wo aj • ■ ■ a^, bj ■ ■ ■ b^ Grössen erster Stufe find,
fo ist [AB] als progressives Produkt zu betrachten, alfo
C = [AB] = [(aia,.--aq)-Cbib,-.-b.O]
= [aiaa---a,bib,..-bj [79],
alfo (nach 77) die Stufenzahl des Produktes =q + r. Wenn
q-}-r = n ist, fo wird, da (nach 94) das Produkt der n Ein-
heiten = i gefetzt ist, und alfo auch das Produkt von n
Grössen erster Stufe eine Zahl wird, die Zahlen aber (nach
77) als Grössen nullter Stufe aufzufassen find, die Stufenzaht
des Produktes gleich 0, alfo =^ q + r — i- Wenn endlich
q-f-r grösser als n ist, fo ist (nach 94), wenn A und B
Einheiten beliebiger Stufen find,
|C = [iA|B].
Aber (nach 90) find die Stufenzahlen von |A, |ß, |G gleich
n — q, n — r, n— -s; nun ist n — q -f n— r = n -(q-f-r — n),
alfo kleiner als n, fomit ist (nach dem ersten Theile des Be-
weifes) die Stufenzahl des Produktes [!A|B] gleich der Summe
der Stufenzahlen feiner Faktoren, alfo
n^s=^n — q-j-n — r, d. h. s = q + r— -n.
Somit gilt das zu erweifende Gefetz für den Fall, dass
A, B, C Einheiten beliebiger Stufen find. Da nun aber jede
aus den Einheilen numerisch abgeleitete Grösse mit den Ein-
heiten von gleicher Stufe ist, fo gilt der Satz auch für be-
liebige Grössen.
96. Wenn n die Stufenzahl des Hauptgebietes ist, fo
ist die Stufenzahl eines beliebigen auf dies Gebiet bezuglichen
y Google
9»)
63
Produktes der Summe der Stufenzahlen feiner Faktoren koii-
gfruenl, in Bezug auf den Modul, n, oder die Slufenzahl des
Produktes ist gleich dein Diviflonsreste, welcher bleiM, wenn
man die Summe der Stufenzahlen all'er Faktoren durch die
Stufenzalil des Hauptgebietes dividirt; alfo wenn
R = i:ÄBC----] ist, fo ist
Q = a + ß + Y-h-- CMod. n),
wenn q, a, ß, y, ■ ■ ■ die Stufenzolilen von R, Ä, B, O,--«
find und n die des Hauptgebietes ist.
Beweis, In 95 ist gezeigt, dass die StuTenzahl des
Produktes zweier Grössen der Summe der Stufenzahlen diefer
Grossen kongruent ist, in Bezug auf den Modul, n. Tritt nun
zu dem Produkte noch ein Faktor hinzu , Ib bleibt aus gleichem
Grunde das Gefetz noch bestehen u. f. f., alfo gilt es für be-
liebig viele Faktoren. Da nun die Stufenzahl immer kleiner
als n und nie negativ ist, fo gilt der Satz auch in der zweiten
Anm. So a. B. ist die Stufeiizahl eines Produktes von 7 Fak-
toren 3-ter Stufe, in Beiag auf ein Haiiptgebiet 4-ter Stufe, gleich 1
(f. Grelle Journal B. 49, p, 64),
Ö7. Das Produkt der Ergänzungen zweier Grössen ist
die Ergänzung des Produktes diefer Grössen, d, h.
[|A|B] = |[AB].
Beweis 1. Wenn die Stufenzahlen a und ß der Grössen
A und B zuTammen kleiner find als die Stufenzahl n des Haupt-
gebieles, d. h. a + |S <; ii.
Dann fei A = XoAT ß — XW^ wo E„ F, Einheiten
find, fo ist (nach 90J
lA = Xa,!E, und |B=XSFr
Alfo
[IA|B] = [X5JE;ZA?7] = ZtS.IEJF
= Z«AJ[iyy
= |Z«A(E,F.]
= |[Z«,E,Är.l
= ;[AB].
2. Wenn a + ß = n ist, dann gilt der Salz zunächst
für die Einheiten.
[43]
[94]
(90]
[42]
y Google
64 (»»
Es feien £ und P Einheiten, d. h. kombinatorische Pro-
dukte der ursprünglichen Einheilen ej---en. Enthält zuerst
E eine ursprüngliche Einheit, die auch in F vorkommt, fo
können in E und F, da fie zul'ammen nur n einfache Faktoren
enthalten, nicht alle ursprünglichen Einheiten vorkommen; es
muss alfo mindestens eine diefer Einheiten, etwa e^, in beiden
Grössen E und F fehlen; nun enthält |E alle ursprünglichen
Einheiten die in E fehlen, alfo aucb e^, und |F alle die in
F fehlen, alfo auch Cj, fomit enthalten [E und |F beide die
urspriinglichc Einheit Cj, es ist alfo (nach 60) [IE|F]::=0,
aber auch [EF]^=0, da E und F nach der Annahme beide
ein und diefelbe ursprüngliche Einheit enthalten, fomit
[|EjF] = [EFl.
Wenn zweitens E keine ursprüngliche Einheit enthalt, die
auch in F vorkommt, fo muss, da E und F im Ganzen n Fak-
toren enthalten, deren jeder eine der ursprünglichen Einheiten
ist, [EF] ein Produkt fämmtlicher n Einheiten fein. Dann
aber ist (nach 90)
1E = [EF]F und |F = [FE]E,
wo [EF] und [FE] nur entweder + i oder — 1 find. Dann ist
[IE|F]:=[EF]LFE][FE].
Aber [FE] [FE] ist entweder 1-1 oder C" O'C-^), alfo
beidemale i. Somit ist
[|EiF] = [EF],
wie im vorigen Falle. Da nun [EF] eine Zahl ist, fo ist
tnach 90) [EF] = |[EF]. Somit in beiden Fallen
[|E|F] = |[EF].
Da nun das Gefetz für Einheiten gut, fo folgt ganz wie
in Beweis i, dass es auch für beliebige Grössen gilt, voraus-
gefetzt, dass die Summe der Stufenzahlen n fei.
3. Wenn a -f- ,? :=> n, dann fei A ^ |A' und B = [li'.
Ist nun zuerst n ungerade, fo ist (nach 93)
|A = ||A' = A' und ebenfo [B = I[B' — B'.
Alfo
[|AjB] = [A'B'] = ||[A'ß'] (nach 93).
Aber da die StufenzabI von A' und B' beziehlich ^ n — a,
n - (9 find (90 Zuf.), fo find die Stufenzahlen von A' und B'
y Google
zuraiumengenommen = 2n — a — /S = n — (a -{■ ß — n). Nun
ist a + jS — n pofitiv, da a + jS nach der Annaliiiie grosser
als n ist, fomit ist ii - (a -}- j3 — n) < ii, alfo die Summe
der Stufenzahlen von A' und B' kleiner als n. Alfo ist nach
Beweis 1 |[A'ß'] = [iA'B'] = [AB]. Alfo
||[A'B'] = j[AB], aber auch ]j[A'ß'] = [!AjB],
wie oben gezeigt, ali'o
[1A[B] = 1[AB].
ZuTatz. Wenn das Produkt zweier Grössen ein pro-
gressives ist, fo ist (las ihrer Ergänzungen ein regressives,
vorausgeTetzt, dass man das Produkt nuUter Stufe zugleich
als ein progressives und als ein regressives betrachtet.
Beweis. Denn ist [Aß] ein progressives Produkt, fo
ist a -\- ß = < ti, wenn a und ß die Stufenzahlen von A und
B find, Dann find die der Ergänzungen n — a und n — ^,
aber n — a -— ^ = =■ 0, allo auch n — a + n^^= >n,
•I. h. das Produkt der Ergänzungen ein regressives.
M8. Das Produkt der Ergänzungen mehrerer Grössen
ist die Ergänzung des Fioduktis dieler Glossen, d. h.
[|AjB|C--.-]= [\BC ]
Beweis. Es gelte der Satz für in Faktoren, d, h. es i'ci
[|A,lA,----|AJ = |[AiA,.--AJ,
fo gilt er auch für m 4- 1 Faktoren Denn es komme noch ein
Faktor |An._|_] auf beiden Seiten obiger Gleichung hinzu, l'o ist
[lAilA, ■ . . |A„' A„.h] = [|(A,A, ■ . . ■ A J|A^ ■^,]
= |[AlA,.■.■A„A„^,] [97].
Gilt der Satz alfo für irgend eine Faktorenzahl, fo gilt
er auch für die nüchst höhere, all'o auch für jede höhere
Faktorenzahl. Da er nun [nach 97) für zwei Faktoren gilt,
Ib gilt er auch für beliebig viele.
99. Ins Befondere ist
[|a|b-.-3 = I[ab--.],
wenn a, b, ■■ Grössen erster Stufe find.
Zufatz. Es folgt hieraus, dass das regressive Produkt
als ein kombinatorisches betrachtet werden kann, dessen ein-
fache Faktoren von (n — l>ler Stufe lind.
y Google
100. Die Ergänzung eines Polynoms erhält man, indem
man, ohne die Vorzeichen der Glieder zu ändern, von jedem
die Ergänzung nimmt, d. h.
|(A + B+....) = [A + |B+.....
Beweis. Es fei ^=^aß,, n = XßX, ■■■ f" "St
|(A + B+-.0_
= l(2:«,E, + Zß.E, + ■■■) = |Z(«, + /», + ■■ -%
= Z(«,_+ ft + ■ -JIK, [90]
= XoJE, +Z|SJE,+ ■ ■ ■ =!Z«,E, + IZ/»..E,T ■ ■ ■
[90]
= |A + [B+-.--,
101. Eine Gleichung, in weicher keine andern Ver-
knüpfungen als die in Kap, I und 3 behandelten vorkommen,
bleibt auch bestehen, wenn man statt der darin vorkommenden
Grössen ihre Ergänzungen letzt, d. h. wenn
fCA, B, ...) = 9'CA', B', ■■-)
iat, wo f und tp Zeichen von Verknüpfungen find, die den
genannten Kapiteln angehören, fo ist
fCA, IB, ■■•i^yClÄ', |B', -■■}-
Beweis. Da gleiche Grössen, derfelbeii Verknüpfung
unterworfen. Gleiches liefern, fo muss, wenn
r(A, B, -■-)^9)[A', B', •■■)
ist, auch
|fA, B, ■■■)=!9>CA', B',--0
l'ein. Nun können lieine andern Verknüpfungen vorkommen
als Addition, Subtraktion ujjd die bezügliche Multiplikatiun,
zu welcher auch die Multiplikation mit Zahlen gerechnet wer-
den darf. Für Addition und Subtraktion ist in Satz 100 be-
wiefen, dass man, statt vun der Verknüpfung, von den Ver-
knüpfungsgliedern die Ergänzungen nehmen kann, und dasfelbe
gilt (nach 99) von der bezüglichen Multiplikation, alfo für
alle auf beiden Seiten vorkommenden Verknüpfungen.
Anm. Es tritt hierdurch die volle EeciprocitBt zwischen beliü-
bigen Glossen and ihren ErgÜDzaiigen, airo überhaupt zwischen Gröese]i
m-ter und (n - iii}-tci- Stufe hervor, wenn dos Hauptgebiet von n-tcr
Stufe ist, Dameutlicli ist die Reciprocität awisclxen Gröesen erster und
(u — l)-ter Stufe von Interesse.
Reciprocität weiter u
y Google
*««) 67
102. Wenn E, F, G Einheiten fin.!, derett Stufenzalilen
zurammeii n (Slufenzalil ties Haiiptgd)it)tes) lietnigen, fo i^t
[EF.EG] = LEFG]-E.
Beweis. Wir können zwei Fälle unterscheiden, ent-
weder LEFG] enthalt gleiche Faktoren oder nicht. Enthält es
gleiche, fo muss, da die Anzahl feiner einfachen Faktoren,
nach der Vorausfetzung, gleich n, gleich der Anzahl der ur-
sprünglichen Einheiten ist, eine diefer Einheiten, etwa e^,
unter den Faktoren von [EFG] fehlen.
Nun fei [EF] = i'0, fo ninss (nach 89) diefen auch in
[EF] fehlenden Faktor s^ enthalten; ebenfo fei [EG] = |R, fo
muss R diefen Faktor gleichfalls enthalten. Alfo ist dajin
(nach 60) [OR] gleich null. Nun ist
[EF.EG] = [|0;R] = |[OR] [94],
alfo gleich der Ergänzung von [QR] = , alfo (nach 891 felbsl
null. Aber es ist auch [EFG], da es nach der Annahme
gleiche Faktoren enthält, null, fomit beide Seiten der zu er-
weilenden Gleichung null.
Wenn dagegen [EFG] keine gleichen Faktoren entjiält,
fo muss es, da es n Faktoren enthalten foll und zwar kerne
andern als ursprängliche Einheiten, ein Produkt der n ur-
sprünglichen Einheiten fein. Dann ist (nach 89)
|G = [GEF][EF], |F = [FEG][EG].
Da hier [GEF] und [FEG] als Produkte fämmllicher Ein-
heiten Ci, ■ ■ ■ e„ gleich + [eie^- ■ -Cn], alfo (nach 94) = + 1
find, und die Multiplikation + 1 gleiches Refultat mit der
Divifion durch ^ 1 liefert, fo können wir die obigen Glei-
chungen auch fo schreiben:
[EF] = [GEF]|G, [EG] ^ [FEG]1F.
Dann wird, da man überdies Zabifaktoren beliebig ordnen
darf,
[EF.EG] = [GEFj[FEG][|'G|F] = [GEF][FHG]i[GF] [97]
-=[GEF][FEG][GFE]E [89],
Nun ist [EF] = + [FE] (nach 58).' Vertauscht man alfo
in dem gewonnenen Ausdrucke zweimal E mit F, fo bleibt
fein Werth «ngeändert, und fo wird er
=:[GEF][EFG][GEF]E.
yGoosle
ßS ClOS
Aber da [GEF] = + 1 ist, To wird [GEF][GEF] = 1 und
fornit erhält man
[EF EG]=[EFG]E.
103. Wenn A, B, C einfache Grössen find und die
Summe ihrer Stufenzahlen gleich der Slufenzahl n des Haiipt-
gebietes ist, fo ist
[AB.AC] = [ÄBC3A.
Beweis. Angenommen, die Formel 103 gelte für den
Fall, dass A, B, C keine andern Faktoren enthalte als die,
welche einer gogebenen Reihe von n Grössen erster Stufe
Bi, »ä, 33, ■■■ angehören, fo zeige ich, dass fie auch noch
gelte, wenn man statt einer diefer n Grössen, etwa statt ai,
eine aus ihnen numerisch abgeleitete fetzt, etwa a':::^a,ai +
Oja, -|- ■ ■ ■ ^=: ^a^a^. Es kann a^ entweder in A oder B oder
C enthalten fein. Ist aj in B enthalten, l'o fei B = aiD, und
verwandle fich B durch die obige Substitution in B'=^a'D.
Dann wird
[AB' -AG] = [AXÖ^ÄD-AC] =^ar[Aa,D-AC]
=^ Xrt,[Aa,DC] . A,
da nach der Annahme Formel 103 für den Fall, dass die
betrachteten Grössen nur a,, a^, ■■-■ als einfache Faktoren
enthalten, gölten foll. Alfo ist
[Aß' . AC] =- X"o,[Aa,DG] ■ A = [AXä,ä,DC]A
^[Aa'DC]A = [AB'C]A.
Genau diefelben Schlüsse gelten, we-nn ai in C enthalten
ist. Es bleibt alfo nur der ^ Fall zu behandeln, wo aj in A
enthalten ist. In diefem Falle verwandle fich zunächst a^ in
a'^^OiBj 4- %as) und fei A = [aiD], alfo
A' = [a'D] = a,[a,Dl + a^l^^D]
= niA -f- aj[a^D] "
Sollte a^ nüi:li in D enthalten fein, fn wHre der letzte
Summand (nach (10) null; es verwandelte lieh alfo A' nur in
fein Vielfachos, all'o würde dann
[A'B-AT]=:a\AB-AC]^a'[ABG]A
= [aABC]aA = [A'Bf].\'.
Alfo bleibt mir noch der Fall zu betrachten, wo a, in
B oder in C, z. R. in B, vorkommt. In diefem Falle fei
y Google
t<M> 69
B = [biE]. Es war, wie oben (*) gezeigt, A'^^a^A -f «^[ajD],
und da a^ in B als Faktor enthalten ist, und aUo [32!)^] i^«'!
wird, foist[A'B] = ai[AB]; ferner ist [A'G]=:[(a,A-!-ctj[a:iD])C]
= ai[AC] + as[a2DC], alfo
[A'B ■ A'C] = a;[AB ■ AC] ■ 1- Kifl,[AB ■ a^DC]
= aJfABC] ■ A -!- OjCtjCAB- a^DC].
Aber [AB-a,DC] = [aiDaiE-a^DC] = — [ajDaiE-ajDC] (55)
= — [aiDaiEC][a;D]. Letzteres nämlicli ist der Fall, da die
drei Grössen [ajD], [a,E] und C keine andern Faktoren ent-
halten, als folche, die der Grössenreilie aj, a^, aj---- ange-
hören, und die Summe der Stufenzahlen n ist, alfo die Bedin-
gungen alle erfüllt find, unter denen die Geltung der Formel
[AB'AC] = [ABC]A angenommen war. Somit wird
[A'B-A'C] = a;[ABC]A— «lajIajDaiECKajD]
= a;[ABC]A -i-ßiaz[aiDasEC][a2D] [55]
= a;[ABC]A -I- aiaj[ABC][ajD]
= at[ABC]Ca A + (%[a,D])
= [aiABC]-A' [»]
= [A'BC]A'.
Dasfelbe gilt, wenn aj in C statt in B enthalten wwr.
Alfo ist gezeigt, dass die Formel immer bestehen bleibt, wenn
man einen Faktor a^ in «lai -f- a^a^ verwandelt, alfo auch,
wenn man diefen wieder in Oiai -{- ctjaj -}- a^a^ verwandelt u. f. f.
Es ist alfo jetzt vollständig erwiefen, dass, wenn die
Formel 103 für irgend eine Reihe von n Grössen erster Stufe
%! Ss'-'-Cn gilt, welche die einfachen Faktoren der Grössen
A, B, C bilden, fie auch noch bestehen bleibt, wenn man
statt irgend eines diefer Faktoren eine aus jenen Grössen
ai-'-a^ numerisch abgeleitete felzt. Da fich dasfelbe wieder
anf die fo hervorgehende Reihe von Grössen anwenden lässt,
fo folgt, dass die Formel auch noch bestehen bleibt, wenn
man statt der einfachen Faktoren der Grössen A, B, C be-
liebige aus jenen Grössen a^- ■ -an numerisch abgeleitete Grössen
fetzt. In der That, es feien z. B. bi- •■ b^ folche aus ai^-Bn
numerisch abgeleitete Grössen. Wie diefe auch beschaffen
feien, immer wird fich (nach 17) unter ihnen ein Verein von
m Grössen angeben lassen, welche in keiner Zahlbeziehung
y Google
70 f>«4
zu einander stehen, und ans denen fich, wenn m kleiner als
n ist, die übrigen numerisch abieilen lassen. Es feien nun
bj'--bm diefi! Grössen, aus denen bm_i.i----bo numerisch ab-
leitbar find; dann kann man (nach 20) statt m der Grössen
a|----a„, die Grössen bj- ■ -bn, in der Art einführen, dass das
Gebiet der fo erhaltenen Grössen dem Gebiete der Grössen
ai-'-Bn identisch wird. Es feien a^- -an, die Grössen, statt
deren man in diefer Weife bi--bm cinTübren kann, l'ü wird
nun das Gebiet der Grössen ai ■ ■ • an identisch dem Gebiete
der Grössen bi ■ ■ ■ b^a^^j ■ ■ ■ an, oder, indem man diefelbe
Sohtussfol^e Schritt für Schritt anwendet: Es wird das Gebiet
aiaj -an identisch dem Gebiet b^aj ■ ■ ■ -an,
dies wieder identisch bibja^'-an,
und endlich identisch b^bj • ■ ■ b^am^-i • ■ ■ a„.
Gilt nun Formel 103 für ai---a„, fo gilt fie auch, wenn
man statt des Faktors Bj die aus 83 ■ ■ ■ a^ abgeleitete Grösse
bj fetzt, alfo für bj, aj- - -an. Da nun das Gebiet a^- ■ -an mit
dem Gebiete bi, a^- ■ -an identisch ist, und bj nach der Annahme
aus a^- - -a„ ableitbar ist, fo ist es auch aus bj, 82- ■ -a^ ableit-
bar, folglich bleibt Formel 103 noch bestehen, wenn man b^
statt aj fetzt, d. h für die Reihe bj , bj , a^ ■ - ■ a„ u, f. f. , endlich
noch für die Reihe b,, ba - ■ b„, a^^.., ■ ■ ■ an. Ferner, da nach der
Annahme b^^i ■ ■ bn aus bi, b2,'--bm numerisch ableitbar
find, fo bleibt nun 103 auch noch bestehen, wenn man nach
und nach in der Reihe bj ■ ■ ■ b„ , a^^j a„ , statt am-i 1 ■ ■ ■ «n die
Grössen b„4-i b„ fetzt, alfo auUi fur die Reihe bi- ■ -bg,
d. h. für jede beliebige aus aj a^ numerisch abgeleitete
Grössenreihe. Nun gilt aber (03 lur die ursprunglichen Ein-
heiten ei''-e„ (nach 103), Ufo fu) eine liüiebige Reihe von
Grössen erster Stufe, weicht die einfachen Faktoren von A,
R, C bilden, d.h. für beliebige einfache Grossen A, ß, G.
loa. Auch wenn B und C ^ufammengtruzte Grössen
find, A aber eine einfache Grosse und die Summe der Stufen-
Kahlen von A, B, C gleich der Stufenzahl des Hauptgebieles
ist, fo ist
tAß.ACJz=[ABC]A.
yGoosle
ßeweis. Es fei
wo Ef und F, Einbeitsprodukle rmd, fü ist
[AB ■ AC] = X^Vj-JAE.-AFJ [45]
= X/SrJ'JAE.FJA [103]
= [Ai:p;Z77F.lA [45]
= [ABC]A.
A II in. Diefür Satz gilt im Allgemeinen uiHit mehr, wenn A eine lu-
fumme II gefetzte Gi'Össc ist. Ist z. B. A = ab+ cd, wo a, b, c, d in keiner
Zahlbeaieliung zu eiuaiider stehen fallen, und iat B = c, C^ d, fo wird
in Bezug auf ein Gebiet 4ter Stufe [AB-AC] ^^ [(ab-)- i;d)c-(ab + cd)d]
~_- [abc ■ abd], da (cde] und [cdiil veracUwiniien ; aber [abc ■ abd) ^
[abcd]-[ab]. Alfo ist
[AB-ACj -- [abcdj.ab.
Dagegen ist
[ÄBCJ -A =. [fab + cd)cdj • [(abl + (cd)] = [abcdj [(ab) + (cd)]
= [aUcri] - [ab] + (abod] ■ [od].
Alfo find beide Ausdrücke um [abcdj[cd] ydh eiuandei- vcracMeden.
lOä— 101. Wenn A, B, C einfache Grössen find, und
ilir Produkt von nuliter Slufo ist, fy ist
lOS. [AB AC] = [ABC]A
lOe. [AB-BC]=:[ABC]B
107. [AC-BC] ^[ABC]G,
il ii. wenn zwei Produkte (}' und 0) einfaclier ürösseit, welclie
einen gemernschaftliclien Faktor haben, zu niultipliciren find,
und diefer gemeinschaftÜche Faktor entweder in dem zweiten
Produkle (Q) als erster Faktor oder in dem ersten (P) als
zweiter Faktor vorkommt, fo kann man diefen Faktor mit dem
Produkte der übrigen Faktoran muUipliciren, vorausgefotzt,
üaKS dies letztere Produkt von nuilter Stufe ist. In beiden
Fällen ist das Gefammtprodukt von gleicliem Wertlie,
Beweis 1. Sind a, ß, y die Stüfenzahien von A, B, C
und n die des Hauptgebietes, fo muss, da [ABC] von nulUer
Stufe fein foll, (nach 96) « -[- j3 -f j" durch n tiieiibar fein,
alfo, da a, j?, / kleiner als n find, entweder gleich n oder
gleich 2n fein. Ist et ;- j? -f j- = n, fo ist die Geltung der
Formel 105 sciion in 103 bowiofen. Ist dagegen a + jS -f- )■
= 2n, fo fei
yGoosle
73 (t08
A = JA', B = |B', C = 'C
und feien a' -\- ß' -\- y' die Stufenzüliioii von A', 8', C, fo ist
a' = n — a, jS' = n - j9, j-'^sn— j- [90],
alfo a' + j3' + r' = 3n — (a -f ,3 + >•) = 3n - 2n = n.
Somit [AB- AC] = ([|A'IB']- [|A'|C']) = ([A'B'- A'C] [99]
=:|[A'B'C'-A'] [103],
da nämlich a' -f ^' -[- y' ^= n ist. Dies ist aber (nach 99)
^[|A'!B'|C']-|A' = [ABC]A.
2. Es fei [AB] = [BD], fu ist D von gleicher Stufe mit
A, alfo
[AB -BC] = [BD ■ BC] = [BUC]ß [105]
= LÄBC]B,
da [BD] = [AB] ist.
3. Es fei [BC] = [CD] , fo ist D von gleicher Stufe mit
B, alfo
[AC-BC] = [AC-CD] = [ACD]-C [106]
= [ABC]C,
da [CD] = [BC] ist.
Aum. Es lassen Tich die in lüä— 107 aufgestellten Gefetze Tu
eiweitei'n, daas fie auch für den Fall gelten, wo [ABCJ nicht von
nuUter Stufe ist, wenn man Ge nämlich in den folgenden Fonueii
darstellt :
[AB.AC] = [AABC]
[AIi-BC] = [B-ABC]
[AC.BC1 = [C-ABC].
Den Beweis diefer Formein, die ich in diefer allgemeineren Be-
deutung im Folgenden nicht anwenden werde, überlasse icji dem Lefer.
lOS. Wenn A, B, C einfache Grössen lind, uml die
Summe der Stufenzahlen von A und C gleich der des Haupt-
gebietes, und B dem A untergeordnet ist, fo ist
[A-ßC]=-[AC]B
[CB-A]=::[CA]ß.
Beweis. Denn dann ist (nach 79 Zufatz) A in der Form
BD darstellbar, und alfo
[A ■ BC] = [BD ■ BC] =- [BDC] ■ B 1 105]
= [AC]B
und
[CB-A] = [Cß-BD] = [CBD]B [106]
= [CA]B.
yGoosle
109) 73
109. Ein bezügliches Produkt zweier einfaclier Grössen,
diu nicht null find, ist dann, und nur dann von null ver-
scliieden, wenn die Stufenzahl ihres gemeinschaftlichen Ge-
bietes den kleinsten, oder, was dasfelbe ist, die Slnfenzahl
ihres verbindenden Gebietes den grössten Werth hat, den fie
bei gegebenen Stufenzahlen der beiden Faktoren und des
Hauptgebietes haben kann, d. h. wenn a und ß die Stufen-
zahlen der Faktoren A und B, n die des Hauptgebietes ist,
Y die des gemeinschaftlichen, d die des verbindenden Gebietes,
fü ist, wenn a-j-|5^<n, d. h. das Produkt ein progressives ist,
[AB]^0, dann und nur dann, wenn
y = 0, oder, was dasfelbe ist,
a 4- /* = <?> und
wenn a + /9 > n , d.h. das Produkt ein regressives ist, fo ist
[AB]^0, dann und nur dann, wenn
y^=a-{-ß — n, oder, was dasfelbe,
Beweis 1. Wenn a -\~ ß = '^B ist, fo ist das Produkt
(nach 94) progressiv, alfo (nach 61, 66) dann und nur dann null,
wenn feine einfachen Faktoren in einer Zahlbeziehung zu ein-
ander stehen, Ist alfo [Aß] = 0, fo lässt fich von den ein-
fachen Faktoren des Produktes [AB] einer aus den a •}- ß — i
übrigen numerisch ableiten (nach 2), Alfo werden dann fämmt-
liche einfache Faktoren jenes Produktes von einem Gebiete von
niederer als (c -|- ^)-ler Stufe umfasst, d. h. 6 <c a -{• ß. Ist
hingegen [AB]^0, fo stehen die einfachen Faktoren diefes Pro-
duktes (nach 61) in keiner Zahlbeziehung zu einander, ihr ver-
bindendes Gebiet ist alfo von (a -f- ^)-ter Stufe, d.h. a -{- ß
= S. Somit ist, wenn a -\- ß = -<n ist, [AB] dann und nur
dann von null verschieden, .wenn a -{- ß=^6 ist,
2, Es fei a -f /9 >- n und a •]- ß — n = y. Dann haben
die Gebiete A und B, da fie beziehlich von a-ler und j5-ler
Stufe find, (nach 26) mindestens ein Gebiet (et -|- (3 — n)-ter
d, h. )'-ter Stufe gemein. Es fei C eine Grösse von j'-ter
Stufe in diefem Gebiete, l'o find (nach 79 Zui',) A und B in
den Formen A = [CAi], B = [CBi] darstellbar. Somit wird
[AB] ^. [CAj. . CBi] = [GAiBJ ■ C [103],
yGoosle
74 (HO
weil die Summe der Slufenzahlen von C, Aj und Bjj =;)' -f-
(a — y) + (ß—Y^ = a -i' ß -y = t\ find. Es ist aber [CAiBJC,
da [CAiBJ von nulller Stufe, alfo eine Zahl ist, dann und
nur dann null, wenn [CAiBj], d, h, [Aß,] null ist. Aber nach
Beweis 1 ist [ABj] dann und nur dann null, wenn A und Bj
von einem Gebiet von niederer als n-ter Stufe umfasst wer-
den, aber da C in A = CÄx liegt, fo werden dann auch A
und CBi, d. h, A und B von einem Gebiete niederer als n-ler
Stufe, umfasst, d. h. rf <; n. Somit ist, wenn a -j- ß ~> n ist,
[AB] dann und nur dann von null verschieden , wenn iJ ^^ n ist.
3. Nach 25 ist die Summe der Stufenzahlen zweier Ge-
biete gleich der Summe der Slufenzahlen ihres gemeinschaft-
lichen und ihres verbindenden Gebietes, d. h.
a + ß = y + ä.
Die Bedingung in Beweis 1, dass a-|-/9 = tffei, ist alfo
identisch mit der, dass y = fei, und die Bedingung in Be-
weis 3, dass d=n fei, ist identisch mit der, dass
a+ß-n=Y
fei. Somit ist der zweite Wortausdruck unfercs Satzes be-
wiefen. Nun ist aber klar, dass, wenn a und j3 = <:n ist,
die kleinste Stufenzahl, die das den Grössen A und B ge-
meinschaftliche Gebiet haben kann, null, und die grösste, die
das verbindende Gebiet haben kann, a -\- ß ist. Auf der
andern Seite, wenn a -{- ß >■ n ist, fo ist die gi'össte Stufen-
zahl, die das verbindende Gebiet haben kann, n, alfo (nach 26)
die kleinste, die das verbindende Gebiet haben, a -\- ß — n.
Somit stimmt der erste Wortausdruck mit dem zweiten über-
ein, und der Satz ist erwiefen.
110. Alle Gefetze der auf ein Hauptgebiet bezüglichen
Multiplikation gelten auch noch, wenn man überall statt der
ursprünglichen Einheiten eine beliebige Reihe von n Grössen
fetzt, die aus jenen numerisch abgeleitet find, und deren kom-
binatorisches Produkt 1 ist.
Beweis. Es feien e^ ■ - ■ ■ e„ die ursprünglichen Ein-
heilen, und ai--'-an aus ihnen numerisch abgeleitet, und
zwar fo, dass
ist.
yGoosle
tlO) 75
Nach 89 wurde unter der Ergänzung; |E eines Einheits-
Produktes E diejenige Grösse verstanden, welche dem kombi-
natorischen Produkte E' aller in E nicht vorkommender Ein-
heiten gleich oder entgegengefelzt ist, je nachdem [l'-E'j der
abCoIuten Einheit gleich oder entgegengereizt ist, d. h. für die
|E = [EE']E'
war. Bezeichnen wir nun diejenige Grösse, welche aus einem
Produkte A, in welchem nur die Grössen ai* • • -a^ vorkommen,
auf entsprechende Weife gebildet ist, für den Augenblick mit
lA, d. h. bezeichnet lA diejenige Grösse, welche dem kom-
binatorischen Produkte A,' aller derjenigen Grössen jener Reihe
[aj---a„], welche in A nicht vorkommen, gleich oder ent-
gegengefelzt ist, je nachdem [AA'j der abfoluten Einheit gleich
oder entgegengefetzt ist, d. h. fo dass
lA = [AA']A'
ist, fo haben wir zunächst zu beweifen, dass die als Defi-
nition des bezüglichen Produktes in 94 aufgestellte Bestim-
mung, auch bei diefer Einfetzung der Grössen aj ■ ■ ■ a^ an
die Stelle der ursprünglichen Einheiten noch ihre Geltung
behalte, d. h. dass
I[AB] = [lAlB]
fei, wenn A und B nur Grössen aus der Reihe ai--'a„ als
einfache Faktoren enthalten, und die Summe {^a -j- ß) der
Stufenzahlen von A und B kleiner ist als die Stufenzahl n
des Hauptgebietes.
Es fei zuerst [AB]^=0, fo müssen fnach 109) die Ge-
biete A und B ein Gebiet von höherer als nuUter Stufe ge-
mein haben; fie mögen ein Gebiet j'-ter Stufe gemein haben,
alFo / einfache Faktoren, dann werden diefe Faktoren, da
lA nur diejenigen Faktoren enthält, welche in A nicht vor-
kommen, in lA fehlen, und aus gleichem Grunde auch in
IB, alfo werden lA und Iß von einem Gebiete von niederer
als n-ter Stufe umfasst, fomit (nach 109)
[IAIB] = 0,
alfo, da auch [AB] null war und die Ergänzung einer Zahl
(nach 89) diefer gleich, alfo die von null felbst null ist, fo ist
][AB] = [lÄIB].
yGoosle
76 (■!•
Es fei zweitens [AB] von null verschieden, fo enthält
(lasfelbe a -\- ß verschiedene einfache Faktoren der Reihe
ai---a„, es fei G das Produkt der übrigen, alfo [ABC] (nach
57) dem Produkte [a^ a,J entweder gleich oder entgegen-
gefetzt, alfo da das letztere gleich 1 ist, fo ist [ABC]= ^ i.
Da nun [BC] das Produkt der in A nicht vorkommenden Fak-
toren ist, fo ist nach der hier angenommenen Bezeichnung
1A=[ABC][BC], ebenfo
IB = [BAC]-[AC] und I[AB]=: [ABC]C *.
A!fo, da [ABC], [BAC] Zahlen i=+ IJ find,
[lAIB] = [ABC][BAC][BC-AC]
= [ABC][BAC][BAC] ■ C [107].
Da nun [BAC] = + 1 ist, fo ist [BAC][BAC] = 1. Alfo
[lAIB] = [ABC] ■ C = I[AB] [*].
Es gilt alfo die Bestimmung, durch welche der Begriff'
der bezüglichen Multiplikation festgestellt wurde, auch wenn
man statt der ursprünglichen Einheiten die Grössen ai----aa
einführt, alle früheren Gefetze gelten aber, wenn man statt
der a ursprünglichen Einheiten beliebige n Grössen, die in
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, d. h. deren kom-
binatorisches Produkt nicht null ist, alfo auch, wenn man
statt derfelben die Grössen aj- ■ • -an fetzt. Aus diefen früheren
Sätzen und der in der Definition festgeslelllen Bestimmung
find aber alie folgenden Gefetze abgeleitet, folglich gelten
auch diefe noch bei der angegebenen Substitution,
Anm. Durch das Fortboatehen der Multiplikatioas-GefeUe, auch
wenn man eine Reibe lineal ableitbarer Einiieiten den arspr^ngiichen
Cubstituirt, ist die Multiplikcition als lineale bedingt, und erst im
folgenden Kapitel werden wir zn einer Prodaktbildung Übergehen,
hei welcher das Fortbestehen der für die ursprünglichen Einheiten
geltenden Gefetze, nur in einem Tiel beschränktei-en Umfange, statt-
findet. Zu bemerken ist noch, dass die oben mit lA bezeichnete
Grösse im Allgemeinen nicht mit der Ergänzung von A, die wir
mit |A bezeichneten, zufBmmen fällt, z. B. ist in einem Gebiete dritter
Stufe, wenn e,, ej, Cj die ursprünglichen Einheiten find und [eie^es]
= 1 ist, die Ergänzung von Ej + ea , da |e, = [eaCj] , le, =: [cjei] ist,
gleich [6563] -[- [ejej ; denn (nach 90) ist
|(ei-i-ea)=le, -|- l^g = [6383] -|- feae,].
Dagegen, wenn
f 1 = Ci + 1^5 »s = Cj, ag — ej
y Google
11«) 77
ist, £o ist zwar [aiSja»] =l [6,6363] =1, aber, bei Anwendung der B6-
zeichnung in obigem Satze,
la, = [aiaia3][aia3] = [a^na] = Kea] ,
alfo von |ai um lejSi] verschieden. Im folgenden Kapitel wird ficli
ergeben, welcho Beziehungen awisclieii c, ■ ■ -Cn und ai ■ ■ 'Sa stattfinden
müssen, wenn |A = IA fein Ml.
111. Wenn
1 = [a,. - . . aj =: [PP'] ^ [AA'] - [Bß'J = [CC] • • • ■
ist, und P, P', A, A', B, B', C, C'--- keine andern einfachen
Faktoren enthalten, als die der Reihe aj- ■• -an angehören und
P = [ABC----]
ist, [0 ist auch
P' = [A'B'C'.-..].
Beweis. Es fei unter lA dasfelbe verslandon, wie im
vorig;en Beweife, fo ist
IP = [PP']P' = P', lA = [AA']A' = A' u. f. w.
Nun ist, da nach dem vorigen Satze alle früheren Sätze, alfo
namentlich auch Salz 98 noch gilt, wenn man überalt das
Zeichen I statt | fetzt,
][ABC--]i^[IAIBIC--],
alfo
IP = [UIBIC-1.
Alfo, da IP = P', IA = A', IB = B', IC = C'..-- ist,
P' = [A'B'C'-.-].
112. Wenn man aus n Grösse er ter St fe, deren
kombinatorisches Produkt 1 liefert, die n Upllat en Kom-
binationen zur n — 1-ten Klasse bildet ind de Elemente
jeder Kombination alphabetisch, die Ko I nat onen felbst lexi-
kographigch unter der Annahme ordnet da&s d e Re he jener
n Grössen als ein Alphabet betrachtet wird, fo ist das Produkt
aus den n — m ersten diefer Kombinationen gleich dem Pro-
dukt aus den m ersten Jener n Grössen, d. h.
[A,..'..A„4.,] = [ar---aJ,
wenn
A^ ~ [ai . . ■ ■ a^ia^ ^ ■ ■ ■ a J
und [ai- - .an] = 1 ist.
Beweis 1. Ich beweife zuerst, dass
[ai - ■ ■ ■ BfA,] ^ [fli • ■ ■ Br_i]
y Google
78
(fl»
fei. Es ist nach der gewählton Beichnung
Ar= [a^- ■ -01.-1 »H-r " ' ■''n]-
Alfoi
[a,- ■ -aA] = K- • -a/ar ■ -«^,3,^. ■ -aj]
da [ai- ■ -aj = 1 ist.
2. Somit ist
[A^.iJz^Iai-- ■a„-iA„_i] = [ai---a„_,l
[A„A„.iA,_,] = [ar ■ ■ ■K-2K^2] = [ar ■ ■«„-3]
u. f. f. Alfo
[A„A„,.i • ■ ■ A„_,] = [ai ■ ■ ■ ■ a„ . ^-i].
Alfo , wenn n — r — 1 = m ist ,
[A,A„_,.--A^+i] = [ar-.aJ.
113. Wenn Cj, Cj,--- die multiplikativen Kombina-
tionen aus den einfachen Faktoren (erster Stufe) einer von
null verschiedenen Grösse B find, und D^ jedesmal aus den-
jenigen Faktoren von B besteht, welche in C^ fehlen, und
zwar die Faktoren fo geordnet, dass jedesmal
[C,B ,] = B
ist, fo ist für jede Grosse A, deren Stufenzahl die Stufen-
zahl von D zu der des Hauplgebictes ergänzt,
[AB] = X[AD,]C, ^ [ADJCi -|- [AI>i]Cs +■■■.
Beweis. Es möge m die Anzahl der einfachen Faktoren
von B fein und n die Stufe des Hauptgebietes, a die Stufen-
zahl von A, und fei B^=[l)i, ^'''bm]-
Da nun nach der Annahme B von null verschieden ist,
fo stehen (nach 61) bi-'-b^ in keiner Zahlbeziehung zu ein-
ander, folglich lassen fich (nach 20) zu ihnen noch n — m
Grössen erster Stufe bm+r''bB von der Art hinzufügen, dass
fich alle Grössen erster Stufe , welche dem betrachteten Haupt-
gebiete angehören, aus ihnen numerisch ableiten lassen. Dann
lässt fich A als Grösse a-ler Stufe aus den multiplikativen
Kombinationen der n Grössen b^- ■ -b^ zur a-len Klasse nume-
risch ableiten, alfo fich in der Form
A=^KiAi + «lAj -|-. ■ . ■ =.^ai.Ä,
darstellbar, wenn Aj, A^,- ■ ■ die multiplikativen Kombinationen
y Google
114) 79
aus bi'--bn zur a-ten Klasse find. Es feien diefe Kombina-
tionen A^, Aj,--' fo gewählt, dass jedesmal Ap aus denjenigen
jener n Grössen besteht, welche in D,. fehlen. Dies ist alle-
mal möglich, da D, nach der Annahme n— « jener Grössen
enthält. Dann ist
[AB] = Z («AJB'=: Z ^TEMT [4i]
= Xar[A.-CA],
da nach der Annahme B = [C,Dj] ist. Da nun C^ nur folche
jener n Grössen bi--b„ enthält, die dem D, fehlen, und A^
i^mmtliche in D, fehlenden Grössen bi---b„ enthält, fo ist C^
dem A, untergeordnet, fomil (nach 108) [A,-C,DJ = [A„DJC„
alfo
[AB] = Za,[Ä,D,]Cr.
Nun ist aber [A,Dp]=:0, wenn s von r verschieden ist,
weil dann A^ mindestens einen Faktor enthält, der auch in D(
vorkommt, alfo kann man statt «rLAtD,] schreiben ^a^lAJ)^'],
wo fich die Summe nur auf den Index s bezieht, d. h. es ist
«r[ArDJ = ^aJÄJ)^ = [Xäji,l>,] = [AD,] , fomit
[Aß] -= Z'[AD,]C,.
§. 6, Vertauschung der Faktoren und Aaflösung der Klammem
in einem reinen und gemischten Produkte.
1141. Erklärung. Wenn mehr als zwei Grössen A,
B, G, ■ ■ ■ fo zu einem Produkte verknüpft find , dass fie keiner
anderen als der progressiven Multiplikation unterliegen, Ib
nenne i-ch das Produkt ein rein progressives Produkt jener
Grössen, wenn fie dagegen keiner andern als der regressiven
Multiplikation unterliegen, oder, falls das Gefammtprodukt von
nullter Stufe ist, nur die letzte das Gefammtprodukt bildende
Multiplikation eine progressive ist, fo nenne ich das Produkt
ein rein regressives, in beiden Fällen ein reines, in
jedem andern Falle ein gemischtes, d. h. wenn in dem
Produkte [ABCD- ■ • -JK], das Produkt [AB] ein progressives,
das Produkt der zwei Grössen [AB] und C wieder ein pro-
gressives, ebenfo das Produkt der zwei Grossen [ABC] und D,
u. f. f., endlich auch das Produkt der zwei Grössen [ABCD ■ ■ ■ J]
y Google
80 (*i»
und K ein progressives ist , fo ist [ABCD ■ ■ - JK) ein rein pro-
gressives Produkt der Grössen A, B, C, D, ■ ■ - J, K. Wenn
hingegen alle jene Produkte regressive find, oder wenigstens
nur das letzte, nämlich das der zwei Grössen [ABCÜ---.I]
und K ein progressives Produkt, und zwar von nulller Stufe
ist, fo ist [ABCD---JK] ein rein regressives Produkt der
Grössen A, ß, C, D, ■ ■ J, K.
A n m. Daes das Produkt auch in dem Falle als ein rein regressives
betrachtet wird, wenn die letzte Multiplikation, die das ganze Pro-
dukt nullter Stafe bildet, eine progressive ist, beruht darauf, dass
die progressive Multiplikation, welche ein Produkt nullter Stufe bildet,
ftucli infofem zugleich als regressive Mnltiplikation betrachtet werden
kann, als alle speciellen Gefetze regressiver Multiplikation ebenfo für
dasfelbe gelten, wie die speciellen Gefetze progressiver Multiplikation.
Als Beispiel einer folcben rein regressiven Multiplikation diene das
Produkt [ab-ac'bc], wenn das Hauptgebiet von dritter Stufe ist.
113. Wenn ein Produkt mehrerer Grössen [ABC-]
ein rein progressives ist, fo ist das Produkt der Ergänzungen
[|A|B|C' ■ ■] ein rein regressives und umgekehrt.
Beweis. Denn (nach 97 Zuf.) gilt dies für zwei Fak-
toren, alfü da [AB] ein progressives ist, fo ist [|A|B] ein
regressives, und da [tAB)C] ein progressives ist, fo ist
[|CAB)jC] ein regressives, aifo [|A|B|G] ein rein regressives
u. f. w.
116. Ein Produkt von m Grössen A, B, C, ■■• J, li
ist ein rein progressives, wenn die Summe der Stufenzahlen
diefer Grössen etienfo gross oder kieiner als die Stufenzahl (n)
des Hauplgebietes ist, hingegen ein rein regressives, wenn
jene Summe ebenfo gross oder grösser als n(m — 1) ist, ein
gemischtes, wenn jene Summe grösser als n und kleiner als
nCm — ist.
Beweis 1. Es feien a, ß,y,--- die Stufenzahlen der
Grössen A, B, C, ■■ ■. Wenn a + ß -\- y -\ (.-(-»=< n
ist, fo ist auch a + ß<:n, alfo das Produkt [AB] (nach 94)
ein progressives; aber auch a -f- jS -f- y <; n , all'o das Produkt
der zwei Grössen [AB] und C ein progressives, u, f, f. End-
lich auch (t + j3 + y-f'''t- + x=:<^-ii, alfo auch das Produkt
der zwei Grössen [ABC- • -J] und K, da die Stufe von [ABC- ■ -J]
(nach 95) gleich a -^ ß -{- y -{-•■■ i ist, ein progressives.
y Google
tl8) 81
Ebenfo folgt das Umgekehrte, dass nämlich, wenn [ABC- ■ ■ JK]
ein rein progressives Produkt ist, et -\- ß -^-y -{ — ■ -j- i, -^- x
= < n fein muss.
3. Wenn a + ß + y -\ \- i, + !c = > n(jn— l^ ist,
fo können wir dies auch fo schreiben; (n — a) + (a — ß') i-
(n _ y] -j 1- fn _. t) ^ (n ~ x) = -^ n, weil nämlich m
die Anzahl der Grössen A, B, C, ■ ■ ■ J, K ist. Da nun n— a
die Slufenzahl der Ergänzung von A, d. lt. die Stufenzahl von
|A ist u. f. w., fo ist das Produkt
[|A|BlC-.-|J|K]
nach Beweis 1 ein rein progressives, folglich (nach 115)
[ABC---JK] ein rein regressives.
117. Die Slufenzahl eines rein progressiven Produktes
ist 0, wenn die Summe der Stufenzahlen feiner Faktoren gleich
der Stufenzahl n des Hauptgebietes ist, in jedem andern Falle
ist die Stufenzahl jenes Produktes gleich der Summe der Stufen-
zahlen feiner Faktoren. Die Stufenzahl eines rein regressiven
Produktes ist = e — (m — l)n, wenn g die Summe der Stufen-
zahlen feiner Faktoren und m die Anzahl diefer Faktoren ist.
Beweis. Für zwei Faktoren ist der Satz in 95 be-
wiefen, Ist nun das Produkt [ABC- ■ -JK] ein rein progressives,
und find a, ß,y,- • • i,, x die Stufenzahlen von A, B, C- • -J, K,
fo ist die von [AB] = a + i3, die alfo von [iAB^C] = a -\- ß
+ / u. f. w.; alfo die von [ABC--.J] ^c-f/S-f-yH i.
Ist nun c£-[-j?-f)'-[----i.-fx'<n, foist nach demfelben
Satze (95) die Stufenzahl von [(ABC - ■ • J)K] = a -}- ß + y
-{ — ■ i -j- X, wenn aber a -\- ß + Y -\ t + s£^=n ist, fo
ist fie nach demfelben Salze null. Ist zweitens das Produkt
[ABC- - -JK] ein rein regressives, fo ist nach dem angeführten
Satze die Stufenzahl von [AB] gleich a -[- ß — n, alfo die von
[(AB)C] gleich ß+jS-f y — 3n u. f. w., alfo wenn m die
Anzahl der Faktoren von [ABC- ■ -JK] ist, die Slufenzahl diefes
Produktes =a + ß -{-y -\ -{- i, i-x — Qm — l)n.
118. Das Gebiet eines rein progressiven Produktes ist
gleich dem feine fömmllich^n Faktoren verbindenden Gebiete,
und das Gebiet eines rein regressiven Produktes gleich dem
feinen r^mmtlichen Faktoren gemeinschaftlichen Gebiete, vor-
ISS in beiden Fällen das Produkt nicht null ist.
y Google
82 (**•
Beweis 1. Es Tei [AB----] ein rein progressives Pro-
dukt und Ä ^= [ai Bq], B = [bi- ■ -bj, u. f. w., wo aj,- - -aq,
bi,---br, u. f. w. Grössen erster Stufe finil, fo erhält man
[AB---]=[Car--a,Xbi----b,>.-.].
Da nun das progressive Produkt stets zugleich ein äusseres
ist, fo kann man (nach 80) die Klammern weglassen und es
wird der letzte Ausdruck
= [ai---aqbi-- b,....].
Das Gebiet des Produktes ist alfo (nach 77) das aus feinen
einfachen Faktoren ai,---aq, bi,---b„---- numerisch ableit-
bare Gebiet. Ebenfo ist das Gebiet von A das aus ai,---Bq
abteilbare Gebiet u. f. w. und (nach 15) ist das aus den Grössen
zweier oder meiirerer Gebiete A, B, ■■■ ableitbare Gebiet,
das diefc letzleren verbindende Gebiet, alfo das Gebiet des
progressiven Produktes [AB---] das die Faktoren A, B, - - ■
verbindende Gebiet.
3, 'Es fei [AB] ein von n 11 ve acf edcnes regressives
Produkt, alfo die Slufenzahle a d ß der Faktoren A und
B zufammen grösser als n, lo halen \ nd B ein Gebiet
ß -f j5 — n-ter Stufe gemein; aber ad ke i Gebiet höherer
Stufe, weil fönst (nach 109) Us Piod kt null fein würde.
Alfo lassen fich A und B auf einen gemeinschaftlichen Faktor
D von ß + ?—n-lcr Stufe von der Art bringen, dassA=:DE,
B^i^üF und P, E, F einfache Grössen find; dann ist (nach 105)
[AB] = [DE ■ DF] = [DEF] = 0,
da [DEF] eine von null verschiedene Zahl ist, d. h. das Ge-
biet von [AB] ist gleich dem den Faktoren A und B gemein-
schaftlichen Gebieie. Tritt nun noch ein Faktor C hinzu,
fo wird
[ABC]^[DC] = E,
wenn E das dem D und C gemeinschaftliche Gebiet ist, alfo
das dem A, Bj C gemeinschaftliche u. f. w.
119. In einem reinen Produkte kann man Klammern
beliebig fetzen und weglassen, d. h.
[ACBCB = [ABCJ,
wenn [ABC] ein reines Produkt ist.
Beweis 1. Wenn das Produkt ein rein progressives ist,
y Google
fo ist es (nach 94) auch ein äusseres, airo (nach 80) die
Klamm er felzung gleichgültig für's Refultat.
2. Wenn das Produkt [ABC] ein rein regressives ist, fo
ist (nach H4'} das Produkt [jA|ß|'C] ein rein progressives, alfo
nach Beweis i
nA(iB)C)] = [iA|B[C],
d. h. (nach 101)
[A(BC)] = [ABC].
1191i, Ein reines Produkt behält feinen Werth, wenn
man feine Faktoren in lauter Faktoren erster oder (n — - l)-ter
Stufe auflöst, je nachdem das gegebene Produkt ein progressives
oder regressives war. Auch behauptet das Produkt in Bezug
auf diefe neuen Faktoren feinen Charakter, als rein progressives
oder regressives, d. h. wenn
P = [AB--.E]
ein reines Produkt der Faktoren A, B,---E ist, und
A = [ai- ■ -aq], B = [aq+i aj u. ^.w., E ^ [at+i a„]
und B^-'-au Grössen erster oder (n — l)-ter Stufe find, je
nachdem das Produkt [AB- ■ -E] ein progressives oder regres-
sives ist, fo ist auch
P = [aia^ a«]
und zwar auch dies Produkt ein rein progressives oder regres-
sives. Je nachdem das gog;ebene Produkt [AB-'-E] es war.
Beweis. Wenn das Produkt [AB- ■ -E] ein rein progres-
sives ist, fo ist die Summe der Stufenzahlen von A, B, - ■ -E,
d. h, u, kleiner als o, fomit bleibt es auch (nach 116) ein
rein progressives in Bezug auf die Faktoren aj'---au, wenn
man statt A fetzt [ai- ■ -aq] u, f. w., folglich kann man (nach
119) die Klammern weglassen und erhält P ^^ [aja^ ■■■ -a,,].
Ist aber [AB---E] ein rein regressives Produkt, fo wird
[|A[B ■ ■ ■ [E] (nach 115) ein rein progressives; und wenn A
= [aj- ■ -aq] i.st u. f- w., und a^, a„ Grössen (n — l)-ter
Stufe find, fo ist |A = [|ai- ■ -[aq] u, f. w., wo |ai,- ■ •]bu Grössen
erster Stufe find, fomit nach Beweis 1
[(A|B---|Ei = [Iai Ia„].
Alfo auch (nach 101)
[AB-.--E] = [ai----a„],
und dies ein rein regressives Produkt (nach 115).
y Google
84 (i«0
120. Ein reines Produkt bleibt l^ch Telbst kongruent,
wenn man die Ordnung der Faktoren beliebig ändert, d, h.
Beweis 1. Sind q und r die Stufenzahlen von A und
B, und ist zuerst das Produkt [AB] ein progressives, fo ist
(nach 58)
1;AB] = C— l)i'[BA], alfo [AB]s[BA].
Ist das Produkt [AB] ein regressives, die Stufe des Haupt-
gebieles n, fo ist [|AIB] (nach 115) ein progressives Produkt,
und da n — q und n — r die Stufen von |A und ]B find
[|A|B] = C~0"''-^"'-'^E|B|A],
alfo (nach 101)
[AB] = (— 1)(''-'J>(°-')[BA], alfo auch [Aß]s[BA3.
2. Ist ferner das Produkt [PAß] ein reines, fo ist
[PAB] = [P-AB] [119]
s[P-BA]
nach Beweis 1 und nach 3, 40; dies wieder
= [PBA] [H9],
alfo
[PAB] = [PBA},
d. h. das Produkt bleibt fich kongruent, wenn man zwei auf
einander folgende Faktoren vertauscht.
3. Durch Vertauschung zweier auf einander folgender
Faktoren kann man nun nach und nach jeden Faktor auf jede
beliebige Stelle bringen, alfo den Faktoren jede beliebige
Ordnung geben, während dabei nach Beweis 3 das Produkt
fich kongruent bleibt.
131, Wenn ein reines Produkt zwei einander incidente
Faktoren, deren Stufenzahl nicht null ist, enthält, fo ist das
Produkt null, d. h. Pa,b = 0, wenn P reines Produkt und A
und B incidente Faktoren find.
Beweis 1. Sind A und B die einander incidenten Fak-
toren, alfo der eine dem andern untergeordnet, etwa B dem
A, fo ist B das gemeinschaftliche Gebiet und A das verbin-
dende, alfo das Produkt [AB], da die Stufe von B > 0, und
die von A<n ist, (nach 109) null.
3. Enthält alfo ein Produkt P zwei einander incidente
y Google
ISS) 85
Faktoren A und B, fo kann man (nach 120) die Faktoren fo
ordnen, dass A und B auf einander folgen, wobei das Pro-
dukt fich felbst kongruent bleibt, alfo auch Cna<^'i 2) in dem
einen Falle null hleibt, wenn es in dem andern null ist. Dann
kann man (nach 119) diefe beiden Faktoren in eine Klammer
schüessen. liir Produkt ist null nach Beweis 1 , aKo ein Faktor
von P null, aifo auch P felbst null.
122, Ein gemischtes Produkt dreier Grössen [ABC] ist
dann und nur dann null, wenn entweder |;AB] = ist, oder
alle drei Grössen A, B, C von einem Gebiete von niederer
als n-ler Stufe umfasst werden, oder ein Gebiet von höherer
als 0-ter Stufe gemein haben.
Beweis. Es feien a, ß, y die Stufenzahlen von A, ß, C,
alfo a + ß + y>n und -^ 2n (nach 116). Es fei [AB]^0,
und fei zuerst a -f |S > n etwa = n + J, fo lassen fich (nach
87) A und B auf einen gemeinschaftlichen Faktor J-ter Stufe
D bringen, fo dass A = DE, B = DF find, fo ist
[AB] ^ [DEF]D [105],
alfo da [Aß] nach der Annahme ^ ist, fo muss auch [DEF]
^ fein. Dann ist
[ABC]=[DEF][DC],
alfo, da [DEF] eine von null verschiedene Zahl ist, fo ist
[ABC] dann und nur dann null, wenn [DC] es ist. Die Stufe
von [DC] ist =S+Y = a + ß — n + r, alfo <:n, da « +
ß + y'<2n ist. Alfo ist das Produkt [DC] dann und nur dann
null (nach 109), wenn D und C ein System von höherer als
nulller Stufe gemein haben, d. h. (da D das gemeinfame System
von A und B ist) wenn A, B und C ein Gebiet von höherer
als nullter Stufe gemein haben. Es fei zweitens a -f (9 = < n,
fo ist [AB] ein progressives Produkt, alfo, da [AB] nach der
Annahme ^0 ist, das Produkt [(AB)C] (nach 109) dann und
nur dann null, wenn [AB] und C, d. h. A, ß und C, von
einem Gebiete niederer als n-ter Stufe umfasst werden. So-
mit bewiefen.
123. Die Ordnung, in welcher man mit zwei einander
incidenten einfachen Grössen fortschreitend multiplicirt, ist
gleichgültig für das Befultat, d. h.
[ABC] = [äCB] , wenn B incident C.
yGoosle
86 («»»
Beweis i. Wenn B oder C von nullter Stufe, d. h.
Zahlen find, fo findet die Gleichheit beider Seiton statt (nach
13). Wenn die Produkte reine find, l'o find beide Seiten
(nach J3i) null, folglich ist der Salz nur noch zu erweifen
forden Fall des gemischten Produktes, in welchem B und C
von höherer als nullter Stufe find; d, h. (wenn a, ß, y die
Slufenzahlen von A, B, C find, und n die des Hauptgebietes)
für den Fall, dass a -\- ß -\-y'>n und '=' 2n und ß und y von
null verschieden find. Wir können, da die zu erweifende
Formel fich nicht ändert, wenn man B und C mit einander ver-
wechfell, annehmen, dass jS=^ </ fei, d. h, da B und C ein-
ander incident find, dass B dem C untergeordnet fei. Ausser-
dem nehmen wir zunächst an, auch A fei eine einfache Grösse.
Da die Summe a -{- ß ebenfo gross oder kleiner als die Summe
(i-\-y ist, fo find nur drei Fälle möglich: entweder beide
Summen find kleiner als n, oder beide grösser als n, oder
es ist a + )■ = -> n und et -|- jS = '- n.
3. Sind beide Summen kleiner als n, alfo auch tt -[- y ■< n,
fo werden die drei Grössen A, B, C, von denen B der Grösse
C untergeordnet ist, von einem Gebiete a -\- y-i^T Slufe, alfo
von einem Gebiete von niederer als n-ler Stufe umfasst, fo-
mit lind (nach 121) fowohl [ABC] als [AGB] null, alfo
[ABC] = [AGB].
3. Sind et + j! und a -[- j- > n, fo find (n — a)-{- (n — ß)
und (n - a) 4- (n — /D"^") a""" dann, da n — «, n — ß,
n — )- die Stufenzahlon der Ergänzungen von A, B, C find,
[JAIB C] = [(A|0|ß] (nach Beweis 2),
alfo (nach lOf)
[ABC] = [ACß].
4. Ui a -\- y = >■ n und a-j-(9 = <n, ersleres etwa
= n-f- 5, wo S auch null fein kann, fo müssen (nach 87) A und
C fich auf einen gemeinschaftlichen Faktor D von rf-ter Stufe
bringen lassen in der Art, dass CrT3[DE] fei, wo D und E
einfache Grössen find und D dem A untergeordnet ist. Dann
ist E von (/ — d)-ter Slufe, alfo die Summe der Slufenzahlen
von A und E gleich a + )■ — (J=^n, fomit ist (nach 108)
[AC] = [A-DE]=c[AE]D, alfo
[AGB] = [AE][DB].
yGoosle
Hier ist das Produkt [DB] ein progressives, da (f-fjS =
a-\-ß-}-Y — n<n ist, indem das Produkt ein gemischtes
fein Tollte. Wenn nun [Dß] null ist, fo haben (nach 109) D
und B ein Gehiet von höherer als nullter Stufe gemein, dann
haben aber auch, da D dem A untergeordnet ist, A und B
dies Gebiet gemein, das Produkt [AB] ist aber, da « -|- ^
= -< n ist, ein progressives, folglich dies Cnacli 109) null.
Älfo dann auch [AßC]=0, ebenfo wie [AGB], und fomit
beide einander gleich. Ist aber [DB] ^ 0, fo ist, da D und
B beide dem C untergeordnet find, auch ihr verbindendes
Gebiet [DB] dem Gebiete von C untergeordnet, alfo C (nach
79b) in der Form [DBF] darstellbar, wo F wieder eine ein-
fache Grösse ist. Dann wird, da wir oben C:=DE letzten,
E^^BF gefetzt werden können, und man erhalt:
[AGB] = [AE][DB] = [ABF][DB].
Ferner;
[ABC] = [AB ■ DBF] = [ABF][DB] (nach 108),
weil nämlich D dem A untergeordnet is(, alfo [Dß] dem [AB],
und weil [ABF];=[AE], wie oben gezeigt, von nulller Stufe
ist. Alfo erhält man [AGB] = [ABG].
5. Hiermit find, da ß = ■< y angenommen war, alle
Fälle erschöpft, fofern A eine einfache Grösse ist. Ist nun
A eine zufammenge fetzte Grösse, fo ist fie immer (nach 77)
aus einfachen Grössen numcriscTi ableitbar. Es fei A^^^m^A^.
wo alle Ar einfache Grössen find, fo ist
[ABC] = X«r[ArBC] [44]
^ X«i-[A,.GB] [nach Beweis 1—4]
= [AGB] [44].
123i. Wenn q, r, s die Slufeuzaiilen dreier einfacher
Grössen A, B, C find und n die des Hauplgebietes, fo find
die Produkte [ABC] und [AGB] nur in folgenden Fällen kon-
gruent
[ABC] = [AGB],
a) wenn a -i- ß -^ y = <- n ist, dann igt
[ABG]=(-1)"[ACB],
b) wenn a-j-^-f/^^^n ist, daun ist
[ABC] = (— iy"-'->'"-»'[ACB],
yGoosle
88 (*«*
c) wenn [AB] und [ACj null find, dann ist
[ABC] = [ACE] =0,
d) wenn [ABC] ein g-emischtes Produltt ist und A, B
und C entweder ein Gebiet von tiöherer als nullter Stufe ge-
mein haben oder von einem Gebiete von niederer als n-ler
Stufe «mfasst werden; dann ist
[ABC] = [AGB] =0,
e) wenn q-fr + s = n-|-t ist und B und C entweder
ein Gebiet von l-ter Stufe gemein haben oder von einem Ge-
biete l-ter Stufe umfasst werden; dann ist
[ABC] ^ C— l)(^-«"'-'>[ACB] ,
f) wenn B und C einander incident find; dann ist
[ABC] ^ [AGB].
Beweis. Formel a) ist in 58 hewiefen. Ist q + r + s
= > 3n, fo ist (n — q) -f (n — r) -)- (n — s):= < n, alfo da
n — q, n — r, n — s die Stufenzahien der Ergänzungen von
A, B, C find, fo ist in diefem Falle
[jÄ|B|C]^C- 13'— 'Hn-ä)[jA|G|B] (Formet a).
Alfo (nach 101)
[ABC] = C- l)t—-Ha-«[ACB].
Somit ist Formel b bewiefen. Da in diefen beiden Fällen
q 4- r + s entweder = < n oder = > 2« war, fo bleibt nur
der Fall übrig, wo q-fr-{-s>-n und -< 2n ist, alfo der
Fall des gemischten Produktes. Angenommen zuerst, [ABC]
fei null. Ein gemisciites Produkt [ABC] ist tnaoh 132) dann
und nur dann null, wenn entweder [AB] = ist, oder alle
drei Grössen A, B, C von einem Gebiete niederer als n-ter
Stufe umfasst werden, oder ein Gebiet von höherer als nullter
Stufe gemein haben. Tritt einer der beiden letzten Fälle ein,
fo ist fowohl [ABC] als [AGB] null, und alfo [ABC] ^ [ACB]
= 0, fomit Formel (d) bewiefen. Tritt aber von diefen beiden
Fgüen keiner ein, fo kann [ABC] nicht anders null werden,
als wenn [AB] null ist; ist dies der Fall und foli dann [ABC]
kongruent [ACB] fein, fo muss auch [ACB] null fein, dies
kann aber, da die beiden genannten Fälle ausgeschlossen find,
nicht anders geschehen als wenn auch [AC] null ist, und es
tritt alfo dann der Fall (c) ein. Es bleiben alfo nur noch
y Google
i»*) 89
die Fälle des von null verschiedenen gemischten Produktes
Obrig. Da q + i" + s < 2n und > n ist, fo können wir q -f r
-[-s = n-f-t Fetzen, wo t ^ und *< n ist. Nun feien hier
(genau wie in 123) drei Fälle unterschieden. Erstens der,
wo die Summen q -f- s und q -f- r beide kleiner als n find.
Dann ist, da [AB] und [AC] dann von null verschiedene pro-
gressive Produkte find , q -f- r die Stufe von [AB] und q 4- s
die von- [AC], Dann haben [AB] und C (nach 26) einen
Faktor von q-f-r + s— n-lor, d, h. t-ter Stufe gemein. Diefer
fei D, und fei C^:[DE], fo ist die Summe der Slufenzahlen
von A, B, E gleich n, und D ist dem [AB] untergeordnet.
Folglich ist dann (nach 108)
[ABC] = [AB ■ DE] := [ÄBE] -D.
Alfo da [ABE] eine Zahl ist, fo ist [ABC] = D, fomit
muss, wenn [ABC]=[ACB] fein foll, auch [AGB] = D fein,
d. h. [AC] und B müssen fich auf einen mit D kongruenten
gemeinschaftlichen Faktor bringen lassen, alfo auch auf den
Faktor D felbst; folglich muss D dem ß «ntergeordnel fein,
es war aber auch dem C untergeordnet, d. h. B und C lassen
fleh auf den gemeinschaftlichen Faktor t-ter Stufe D bringen,
d. h, haben ein System l-ter Stufe gemein, was die erste Be-
dingung fär Formel (e) ist. Es fei B = [DF], fo ist
[ABC] = [AB-DE] = [ABE]D [108]
= [A(DF)E]D ^ tADFE]D [119]
[AGB] = [AC . DF] = [ACF]D [lOS]
= [\C-DE)F]D = [ADEF]D [119].
Da nun C = [DE] war, fo ist E von (s — t)-ler Stufe,
und da B = [DF] war, fo ist F von (r — l}-ter Stufe, fomit
[ADFE3D = (- i)('-tK<-0 [ADEF]D [58],
alfo
[ABG] = C- l)('-'K=-t'[ACB],
was die Formel (e) ist.
Sind hingegen die beiden Summen q + r und q + s grösser
als n, fü find die Summen fn — q) + C" — O und (n — q)
-f- (n — sj kleiner als n, und (n —- q) -)- (n ~ r) + Cn — s)
= n-]-(n— t). Folglich find in diefcm Fall£f (nach Fall e)
die Produkte [|A|ßIC] und [[A|C;B] nur dann einander kon-
y Google
90 f"»
gruenl, wenn fich |B und |C auf einen gemeinschaftlichen
Falitor von (n — 0-ter Stufe bringen lassen. Dieler fei |D
und fei |B = [jD|F], lC = [|DiE], fo ist (nach e)
[|4|BlCl = (-d)»-lC")[|A|C|B].
Aber (nach 98) ist dann
B = [DF], C = [DE]
[ÄBC]=C- 1)('-'Ht-ä)[ACB] = C- ly-'X^-^CÄCB],
(i. h, es tritt die zweite Bedingung der Formel (ej imd diefo
felbst ein, indem nämlich das Produkt B = [DF], da B von
geringer Stufe als D ist, als regressives erscheint, und eben-
fü [DE], und alfo B und C beide dem D untergeordnet find,
alfo von dem Gebiete D umfassl werden.
Es bleibt fomit nur noch der Fall übrig, wo von den
Summen q + r und q + s die eine, etwa die erstere, ebenfo
gross oder kleiner, die andere ebenf« gross oder grösser als
n ist. Dann lassen fich (nach 26) [AB] und C auf einen ge-
meinschaftlichen Faktor q -(- r + s — n-ler, d. h. l-ter Stufe
bringen. Diefer fei D, und fei C^[DE]*), fo wird
[ABCJ = [AB-DE] = [ÄBE]D [lOS].
Ferner fei q -j- s := n -f- v, fo haben A und C einen Faktor
von v-ter Stufe gemein, diefer fei F, und fei C = [FG], fo ist
[AC] = [A-FG] — [AG]F [108].
Alfo
[ACß] = [AG][FB].
Soll alfo [ABC] = [AGB] fein, fo muss, da [ABE] und
[AG] von null verschiedene Zahlen find, D^[FB] fein, d, h.
B ist dem D untergeordnet, aber auch D dem C, alfo B dem
C untergeordnet, d, h. B und C find einander incident. Dies
ist die Bedingung der Formel (f) und (nach 123) ist dann
[ABC] = [AGB].
Somit der Salz vollständig bewiefen,
129. In denfelben und in keinen andern Fällen (wie
in 124) ist
[BAC]s[B-ACj.
") Sollte q + r = n fein, fo wurde £ von nullter Stufe fulLi, waa
iu dem obigen Bewelfe mit eingeschlossen ist, dasrelbe gilt im Fol-
y Google
1»«) 91
Beweis. Es ist in den in 124 angenommenen Fällen
[BÄC] SS [ABC] [58]
= [ACB] \m}
^[B-ÄC] [58]:
und umgekebrl folgt aus der letzten Kongruenz wieder die erste.
Anm. Es ci-giebt fich ins Befondere für Fall (c) und (dj
[ABC] = tB-AC]=0,
für Fall H und (bt
[BÄC] = [B-AC].
Dagegen spaltet fich der Fall (e) in zwei Fälle; nämlich wenn
die iSummen q + r nnd q + a kleiner als n find, fo ist
[BAC] = (-l)qt[B.AC],
und wenn jene Summen grösser als a find ,
[BAC] =- ("IjCn-qXn-'HB-AC],
Der Fall (fj spaltet ficii in zwei Fälle , nämlich wenn q -f r kleiner,
und q + s grösser als n ist, To wird
[BAC] = ( - l)'(''-ä)[B. ACJ ,
wenn umgekehrt q + r grösser und q + a kleiner als n ist,
[BAC] = (~ l)(n-«»[B.AC].
Wenn eine der Summen gleich n ist, fo gilt fowohl diejenige
Formel, hei welcher die Summe grösser, als diejenige, wo fie kleiner
als n vorausgefetst war, indem dann beide Formeln identisch werden.
Auch ist zu bemerken, diSa wenn in f, d. h. in dem Falle der Incidenn
von B und C, die Bedingung eintritt, dass beide Summen grösser ala
n oder beide kleiner als n find, Towoh! [BA], a,ls [B.AC] null werden,
und alfo zugleich der Fall c oder d statt hat,
laöi- Ein Produkt nullter Stufe bleibt fich felbst kon-
gruent, wenn man die Ordnung aller feiner Faktoren umkehrt,
oder die letzten Faktoren in beliebiger Anzahl mit umgekehrter
Ordnung in Klammern schliesst, d. h.
[AiAj ■ ■ • ■ A„_iA J = [A„A„_i- ■ ■ • AjAi]
= [Ai.A„A„_i----A3].
Beweis, Es fei zuerst
[AiAj----A„_,5]— P,
fo ist
[AiA, ■ ■ • • A„_,A„] = [PA„_iA„].
Dn das Produkt von nullter Stufe fein foll, fo muss die
Summe der Stufenzahlen von P, Aa—n ^a Cnach 96) durch
n (heilbar, alfo, da die einzelnen Stufenzahlen >■ und < n
find, entweder gleich n oder gleich 2n fein; im ersteren Falle
ist das Produkt der drei Grössen P, A„_i, A„ ein rein pro-
y Google
92 (*»»
gressives, im letzteren ein rein regressives, in beiden alfo
ein reines, fomit (nach 125)
[PA„_iA„] = [P-A„A„_.,],
oder
[AiÄa- ■ - ■A„_iA„] s [Ai' . ■ A„_2,-A„A„^i].
Betrachten wir diefen Ausdruck als ein Produlit der drei
Grössen [A,- ■ 'Än-s], A„_2 und [A„Ai,_|], fo erlialten wir auT
gleiche Weife den zuletzt gewonnenen Ausdruck
= [Ar ■ ■A„_3-A„Ä„_iA„_2].
Wendet man dies Verfahren r-mal an, fo erhält man
[Ai AJ = [Ai- . ■ ■A„_^rAnA„_r ■ ■A„_J,
d. h. das Produkt bleibt lieh felbst kongruent, wenn man die
letzten Faktoren in beliebiger Anzab! (r) mit umgekehrter
Ordnung in Klammern schliesst. Hiernach wird nun auch
[A1A2 ■ . ■ ■ A„] s [Ar A„A„_i- . . -Aa],
fomit (nach 58)
= [A„A„_r''A,Ai],
alfo auch der erste Theil des Satzes bewiefen.
§, 7. Zurückleitung und Ersetzung.
la'T. Erklärung. Wenn n die Stufenzahl des Haupl-
gcbietes, A^-'-Av die muUipHkativen Kombinationen aus den
n in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Grössen
erster oder (n — l)-ter Stufe, ai- ■ -an zu irgend einer Klasse
und Ai-''-Au die multiplikaliven Kombinationon aus m der-
felben, etwa aus a^, ■ ■ ■ 'a^ zur gleichen Klasse find, und
C = aiAi4 K.Av,
Ci = «iAi +■■•■«„ A„
ist, fo nenne ich Ci die Zurückleitung von C auf das Ge-
biet [aj- ■ ■ -a^], unter Ausschluss des Gebietes [anj-i- ■ 'aj,
und zwar nenne ich die Zunickleitung eine progressive,
wenn ar ■■ 'an Grössen erster Stufe, eine regressive, wenn
ai" ■ ■ -Bo Grössen (n — l)-ler Stufe find. Die Zurückleitungen
mehrerer Grössen heissen in demfelben Sinne genommen,
wenn fie auf dasfelbe Gebiet und unter Ausschluss desfelben
Gebietes zurückgeleilet find Cvergl. 33).
Aura. Ist a. B. das Hauptgebiet von vierter Stufe (wie z. B. der
Rfiiim), und fiud a, b, (:, d vier in keiner Zahlbeziehung zu einander
y Google
t*8> 93
stehende Grössen erster Stufe (z. B. vier nicht in ein und derlelben
Ebene liegende Punkte) , !a ist C, = [bcj + [ca] + [ab] (im Räume
eine Linie) die fprogreasive) Zurilclileitung von C = [bc] + [ca] -|- [ab]
+ [ad] {- [bd] -|- [cd] auf das Gebiet [nbc] (aifo auf die Ebene abc), unter
Aussohluas des Gebietes d. Bezeichnen wir femer [bcd] mit a', [cad]
mit b', [abd] mit c' und [aob] mit d', fo find a', b', c', d' Grössen
(n — l)-ter Stufe, da 11=^4 ist und fetzen wir noch [abcd] ~1, lo ist
[b'c'] = [ad3, [cV]^[bd], [a'b'] = [cd], [a'd']=[bc], [b'd'] = [ca],
[c'd']=^ab, und es wird
C = [a'd'] + [b'd'] + [c'd'] + [b'e'] + [c'a'l + [a'b'].
Dann wird, wenn
C ^ [b'c-] + [c'a-] + [a'b-]
ist, C' die (regressive) Zurückleitung von C auf das Gebiet [a'b'c'],
unter Ausschluss des Gebietes d', fein, d, h., da [a'b'c'] ^: fcd-abd]
^ d, und d' ^ [abc] ist , C' ist die Zurückleitung von G auf das Ge-
biet d, unter Auaschluas des Gebietes [abc]. So erscheint alfo in der
Geometrie die Zurilckleitung einer Linie auf eine Ebene als progressive
Zurückleitung, und die einer Linie auf einen Punkt als regressive
Zurückleitnng. Die Zurilckleitung felbst ist in der Geometrie gleich-
bedeutend roit der Projektion im weitesten und prägnantesten Sinne
des Wortes (f. u.).
Wir haben oben (33) die in der Definition bestimmte Grösse Ci
die Zurückleitung der Grösse C auf das Gebiet der Grössen Ai, Aj,- ■ ■
Au genannt. Diefer Benennungs weife haben wir luer die für die An-
wendung bequemere lur Seite gefetzt.
128. Je nachdem die Stufenzahl des Gebietes, auf
welches ziirückgeleitet wird, grösser oder kleiner als die
Stufenzahl der zurückgeleiteten Grösse ist, erscheint die Zu-
rückleitung als progressive oder regressive. Wenn die Stufen-
zahl jenes Gebietes gleich der Stufenzahl der zurückgeleiteten
Grösse ist, fe kann die Zurückleitung fowohl eine progressive
als eine regressive fein.
Beweis. Es feien ai---aa Grössen erster Stufe, die
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und feien A],
• • -Av die multiplikativen Kombinationen aus a^- - -a^ zur p-ten
Klasse, und Ai'--Au die multiplikativen Kombinationen aus
ai---an, zur p-ten Klasse und
C = aiA, -j-. ■ . cAy
Gl ^ OjAi H — 'OtuAu,
alfo (nach i27) C^ die progressive Zurückleilung der Grösse
C auf das Gebiet [ai--an,], unter Ausschluss des Gebietes
y Google
94 (t»»
[Bm-fi- ■ -Bn], fo Würde es, wenn m < p wäre, gar keine Kom-
binationen aus a, • - ' a„ zur p-len Klasse geben, alfo auch
keine progressive Zurückleitung, Es muss aUo für die pro-
gressive Zurückleitung m > =p fein, da aber m die Stufen-
zahl des Gebietes [aj- ■ ■a^'] und p die der multipUkativen Kom-
binationen Ai,'---A„, atfo auch die von C ist, fo muss die
Stufenzahl des Gebietes, auf welches zurückgeleilel wird,
ebenfo gross oder grösser fein als die der zurückgeleitetcn
Grösse. Macht man im Uebrigen diefelben Annahmen wie
vorher, mit dem einzigen Unterschiede, dass aj,- ■ -a^ Grössen
(n — IJ-ter Stufe find fin dem Hauptgebiete n-ter Stufel, fo
ist die Zurückleitung eine regressive; und auch hier muss,
aus gleichem Grunde wie vorher, m>^^p fein. Aber dann
ist (nach 90) die Stufenzahl von [aj-'-am] gleich n ^m und
die von C gleich n — p, fomil, dan — m^- = n^p ist, fo
ist die Stufenzahl des Gebietes, auf welches zurückgeleitet
wird, ebenfo gross oder kleiner als die der zurückgeieiteten
Grösse. Ist alfo die Stufenzahl jenes Gebietes grösser oder
kleiner als die Slufenzahl der zurückgeieiteten Grösse, fo wird
die Zurückleilung im ersteren Falle eine progressive , im
letzteren eine regressive fein. Sind hingegen die genannten
Stufenzahlcn einander gleich, fo wird die Zurückleitung fo-
wohl eine progressive als auch eine regressive fein können.
129. Die Zurückleitung A' einer Grösse A auf ein Ge-
biet B, unter Ausschluss des Gebietes C, ist
A'— ^^r^ti\ alfo A'=[ß-AC], wenn [BC] = 1 ist.
Beweis. Es feien ai---an n in keiner Zahlbeziehung zu
einander stehende Grössen erster oder (n — i)-ler Stufe, und
A,' ■ -Av die multipUkativen Kombinationen aus a^-'-ao, und
Ai ■ ■ ■ Au die aus ai ■ • ■ an, und A = «lÄi -j- . . - ■ «v A^, alfo
A' = aiA, -f ■ . . ctu Au, und fei [si- ■ -am]^^ B, [a„.|.i- ■ ■ -ao]
= C, fo ist
[AC]=:[(aiAi -I OuA« 4- t(„+,Au+, -f- ■ ■•a,A,')C];
aber da Ai,---,Au die Kombinationen aus ai ■ - - am Und und
Au^i ■ ■ - A, diejenigen Kombinationen aus ai ■ ■ ■ Sat welche
nicht zugleich Kombinationen aus ai - ■ - a„ find, fo muss
y Google
1»0) 95
jede der Grössen A„^i, ■■ Av mindestens einen der Faktoren
a„+i-'-an enthalten, all'o mindestens einen Faktor mit C =
[an-i-i- ■ ön] gemein haben. Die Produkte [Au_|_iC], ■ ■ - [A„C]
find aber in Bezug auf die Faktoren aj' ■ -Bn reine (nach H4),
fomil, da fie gleiclie Faktoren entliallen, null, alfo wird
[AC] = [(«lAi + ■ • ■a„Au)C] = ai[A,C] + ■ ■ -«^[AuC].
Folglich ist
[B-AC] = ai[B.AiC] + ..-a,[B-AuC].
Da nun jede der Grossen Ai,---Au aus Faktoren be-
steht, die in B enthalten find, fo ist jede derfelben mit B in-
cident, fomit, da auch die Stufenzahlcn von B und C zufammen
n betragen, fo ist (nach 108)
[B- A,C] = [BC]A„ ■ . ■ ■, [B-A«C] = [BG]A„,
alfo
[B ■ AC] = [BCjCctiAi + ■ ■ ■ ■ «u Au) = [BC] A'.
Alfo, da [BC] eine Zahl ist
V„[ß-AC]
^ - [BC] ■
130. Jede Gleichung, deren Glieder Vielfache je einer
Grösse m-ter Stufe find, bleibt bestehen, wenn man statt aller
diefer Grössen ihre in demfelben Sinne genommenen Zurück-
leitungen fetzt; oder wenn
P = ßA -f- (SB -f ■ - ■
ist und P', A', B', ■ ■ ■ die in gleichem Sinne genommenen
Zurückleiliingen von P, A, B,--- und a, /?,-■■ Zahlen find,
fo ist auch
P' = aA'+j3B'-) .
Beweis. Es fei das Gebiet, auf welches zurückge-
leitel wird, und R das ausgeschlossene Gebiet und [QR] =: i,
fo erhält man aus der Gleichung
P = aA |-j3B +■■■,
durch Multiplikation
[PR]=a[AR]+^[BR]-|----
und
[0-PR] = a[OAR] + |S[OBR]+-.-,
d.h. (nach 129)
p' = aA' + j3B'-[----.
yGoosle
9e (i»i
131, Die progressive Zurücklcitung eines rein pro-
gressiven und die regressive eines rein regressiven Produktes
ist gleich dem Produkte der in domfelben Sinne genommenen
Zurückieitungen der Faktoren jenes Produkltis, A. h. wenn
dus reine Produkt P
P=:[AB.-E]
ist, und P', A', B', ■ -E' di*s in gleichem Sinne genommenen
Zurückleilungen von P, A, B,--E find (und zwar progressive
oder regressive, je naclidem das Produkt progressiv oder
regressiv ist), To ist auch
P' = [A'B'--E'].
Beweis. Es fei A = [ai a^J, B = [b^+i H^l, ■ ■ ■
E = [ai+i - ■ ■ ■ Bv] , wo 3] ■ ■ ■ ■ a^ Grossen erster oder (n — i )-ter
Stufe find, je nachdem das Produkt [AB- ■ -E] ein progressives
oder regressives war. Dann ist
P = [% a„]
ein reines Produkt von Grössen erster oder (n — l)-ler Stufe.
Ferner fei ^= ["r ■ • -Um] das Gebiet, auf welches zurück-
geleitet wird, R^:[u„j.i- ■ -Un] das ausgeschlossene Gehiel und
[QR] := i , wotfei Ui ■ ■ ■ ■ u„ Grössen erster oder (n — l)-tpr
Stufe find, je nachdem ai--aves find. Nun ist (nach i29)
P'^[0-PR]
= [ui "m(ai av ■ llm+I "n)]-
Wenn nun das ursprüngliche Produkt [AB--E] ein pro-
gressives ist, fo füll auch die Zurückleilung eine pr^ogressive,
d. h. (nach 127) die Stufenzalil von Q eben fo gross oder
gi'össer als die von P fein, d. h, m =; ^ v, folglich v -[- n —
m ■<.», d. h. das Produkt [ai- ■ av ■ u„.!.i- ■ ■ -UnJ ein rein pro-
gressives, atfo auch = [«i avUn,-|-i- • • -u^], und da alle
Faktoren von erster Stufe find, ein kombinatorisches (nach
94, 78). Nun fei
Sp = «Wüi -f ■ ■ . . aWu„,
fo können wir (nach 67) in dem Produkte [ai' ■ -a,ii,„_[.i- ■ • -u^
statt a^ ^^ aj^'u! ■ ■ • ■ aWü„ fetzen: a^^Ui -\- ■ ■ ■ aJ||'Uni) w^''
"inH-i' ■ ■ "^n ^'s Faktoren in jenem Produkte vorkommen; aber
oWiii + "m"™ ist die Zurückleilung von a, auf das Gebiet
y Google
183)
97
Q^^[ui- -u^], mit Ausschluss des Gebietes R=:[Um+i.- ■ -u„].
Somit wird, wenn wir diefe Zurückleituiig mit a', bezeichnen
P' = [Ux- ■ -Un,'»'!- ■ ■a',u„+i- - Uli].
Hier ist a\- - ■ -a'v dem Uj- - ■«„, untergeordnet, alfo Ctiach 108)
P' = [Ui--'U„]-K-'-a'v] = [a',----aV].
Aus gleichem Grunde ist
A'^[a', a'q], B' = [a'q+i a'r],---
Somit
P'=[A'B'----E'].
3. Wenn das ursprüngliche Produkt [AB' ■ -E] ein regres-
sives ist, und alfo auch die Zuriickleitung von V auf Oj unter
Ausschluss von R, eine regressive, d. h. die Stufenzabl von
P kleiner oder eiienrogross als die von ist, fo kehrt fich
das regressive Produkt und ebenfo die regressive Projektion
(nach H5 und 90 Zufatz) in das progressive Produkt und in
die progressive Projektion um. Sind daher P,, Oi, Ri, A^,
Bi,---Ei die Ergänzungen von P, 0, R, A, B,-'E, und
P'i, A'i, B'i ■ ■ ■ E'i die Zurückleitungen von Pj, Ai, Bj, — E,
auf Ol, unter Ausschluss von R^, fo ist (nach 101)
Pi^[AiB,---Ei],
und nach Beweis 1
Ferner ist (nach 139)
P' = [0-PR), P', = [Oi-P,B,] = I[OPR] Cn»eli98),
alfo P'i = |P und ebenfo Ä'i = |A', B'i == |B', ■ ■ - , alfo (nach '0
|P'=[|A'[B'...IE']
P' = [A'B'--E'] (nach 101).
3. Sind nun endlich A, B,- ■ -K zufanimengefctzle Grössen,
A = ioÄ, B = XÄ.-- E = X«Sv,
wo A;., B^,- ■ ■ Et einfache Grössen find und find A'^, B's,---
E', die Zurückleitungen von A,, Bj,--- Ev, fo ist
P= [SX-Xl«Ä- • ■Z'i^K] =Z"oA^~«v[A,B.- . . E,]
= X«A^^vPr,T^v, wenn P,_, ..v = [A,B,- ■ -E,] ist.
Alfo (nach 130)
y Google
98 («»»
nach Beweis 1 und 2; und dies
= [^äji\Xßß\- • ■ ■Z^s7E%1 [nach 45]
= [A'ß'- ■■■£'] [130].
132. Das reine Produkt von Grössen erster Stufe oder
von Grössen (n — i)-ter Stufe in einem Hauptgebiete n-ter
Stufe ist ein Itombinatorisclies Produkt diefer Grössen.
Beweis. Das reine Produkt von Einlieilen erster Slul'e
ist (nach H4, 94) ein progressives, alfo (nach 94) ein äusseres,
alfo (nach 78) ein kombinatürisches Produkt der Einheiten, alfo
auch (nach 53) das reine Produkt von beliebigen Grössen erster
Stufe ein kombinatorisches Produkt diefer Grössen. Das reine
Produkt von Grössen (n — l)-ter Stufe ist aber (nach 101)
genau denfelben Gefetzen unterworfen wie das von Grössen
erster Stufe, alfo auch den Gefetzen der kombinatorischen
Multiplikation, d. h. jenes Produkt ist ein kombinatorisches
Produkt jener Grossen (n — l)-ter Stufe.
133. Eine Gleichung, deren Glieder Grössen m-ter
Stufe find, wird, wenn n die Stufe des Hauplgebietes ist,
durch fo viel Zahlgleiuhungen erfetzt, als es Kombinationen
ohne Wiederholung aus n Elementen zur ni-ten Klasse giebt,
uni i r e 1 It man einen erfetzenden Verein von Gleichungen,
!e 1 die gegebene Gleichung nach und nach mit den
It pl kat e Koinbinationcn zur (n — m)-lcn Klasse aus einer
b 1 eb g n S haar von n Grössen erster Stufe, deren Produkt
1 st n ult pl cirt.
Beweis. Es fei
(a) P = A + B+.--
die gegebene Gleichung, in welcher P, A, B,--- Grössen
m-ter Stufe find, es feien ferner Ci, - ■ ■ Cn Grössen erster Stufe,
deren Produkt [cj e J = 1 ist, und feien Ej, E^, ■ ■ ■ Ev die
multiplikativen Kombinationen zur m-ten Klasse aus ei,'--en,
und Fl, Fj,'.-Fv die ergänzenden Kombinationen, d. h. die
Kombinationen aus denfelben Elementen zur (n — m)-ten Klasse
und zwar fo geordnet, dass [EiFi] = [E2Fs]=- - ^[E„F,] = 1
fei, fo ist zu zeigen, dass die obige Gleichung erfetzt wird
durch den Vorein von Gleichungen, der aus
00 [PFj^rAF,l + [BFJ+-.
yGoosle
134) 99
dadurch hervorgeht, dass man stalt r nach und nach fetzt i,
3, ■ ■ • V. Es find (nach 77a) P, A, B,--- nuiniirisch ableit-
bar aus £j>--E,. Nun fei
P = nßi-i TTvEv, A — «lEi-l «vEv,
B = /SiEiH /SvEv,---
fo ist
[l'F J = [Z?rAF J = 2-=r,[E,F,],
Aber da E^ und F^, wenn s^r ist, nolliweniiig gleiche
Elemente (cji-ej als Faktoren enthalten, fu ist für diefen
Fall [EA] = 0, aifo
[PF,]=jr,[ErFJ=jr,.
Aus gleichem Grunde ist
[AFJ = «„ [ßl\] = ß„--.
Gilt nun die Gleichung (a), (a gilt auch die aus ihr durch
Multiplikation hervorgegangene Gleichungsgruppe (b). Gilt um-
gekehrt die letztere, fo hat man für jedes r von l---v, in-
dem man für [PF,], [AF,], [BFJ,-- die gefundenen Werth«
fetzt,
?r, = «, -f- j9, + . ■ , alfo auch n,E^ = te,E, + ßß.'-i
fiir jedes r von 1 bis v. Addirl man diefe fämmtlicben Glei-
chungen, fo erhält man
d. h.
P = A-{-B4---.
Somit erfetzen fich die Gleichung [a) und der Gleicbungs-
verein (b) gegenfeitig.
Zufatz. Ist ins Befondere
A = «lEi -h OiEj -i ,
fo ist
[AF,]=a„
d. h. [AFi] = a,, [AF2]=aj,--..
§. 8. Elimination der ■Unbekannten
aus algebraischen Gleichungen durch kombiiiaterische
Multiplikation.
133. Aufgabe. Aus n Gleichungen erwlen Grades mit
n Unbekannten iliefo zu finden.
y Google
Auflöfung^ 1. Die n Gleichungen feien
af^xi + ctf 'xj -I -f ßTOx„ = jS"'
a^°>xi + aWx^ -I 1- aWx„ = (Sf").
Man multiplicire diefe Gleichungen beziehlich mit n uxlen-
fiven Grössen et'>, ef*',---eW, deren kombinatorisches Pro-
dukt Eins ist, und addire lle, fo erhält man, indem man
af" e(") + ap eW + - ■ - af") e(°> = ai
aö) edJ -f- «(*) e(*J + ■ ■ ■ «(■" e'") = a»
(1^) : : : :
am qO) -j_ a^») e"> -I «(_"' eC'J = a„
fetzt, die Gleichung
(c) SiHi + Sjaj -f- ■ . . -J- x^a^ ^= I),
eine Gleichung, welche die gegebenen Gleichungen (a^ erreizt.
Um aus ihr Xj zu finden, fügt man beiden Seiten der Glei-
chung die Faktoren aj, as,--»^ hinzu, fo erhält man, da
[a^ajag • • ■ aj, [agajas ■ ■ ■ äa] [MaMs ■ • ■ K] ("ach 76) null
find,
Cd) Xi[ttiÜ2 ■ - - ■ a^] =^ [baja^ ■ ■ ■ ■ aj.
Und ebenlo
Xj [aiaj ■ ■ ■ aj = [ajha^ ■ ■ ■ a„] u. (. w.
Angenommen nun zuerst, das Produkt [aiBj- ■■ aj fei un-
gleich null, fü erhält man
^ _ [ba^a3 a„ ]
^ [aja^a^ ■ ■ ■ a^y
(e) und eiienfo
__ [a^bag ■ ■ ■ aj [aia^ ■ ■ ■ «u-il)]
^ [^i^a^a- ■ ■ -an]' " [ajaj ■ ■ • -au^iaj"
Es ist für diefen Fall noch zu zeigen, dass diefe Wertho
der Unbekannten in der That der Gleichung (c) genügen. Da
das Produkt (aiaä^-'-a^] nach der für diefen Fall gemachten
Annahme ungleich null ist, fo stehen a,,- ■ Sa in keiner Zahl-
beziehung zu einander. Da nun a-,,- • -a^ aus Ci, - - ■ -en nume-
risch abgeleitet find und in keiner Zahibeziehung zu einander
stehen, fo muss (nach 21) jede aus C] • ■ ■ e„ numerisch ab-
y Google
184) 101
leilbare Grösse, aifo namentlich b, auch aus Hf ■ -tta numerisch
ableitbar fein ; es fei b := yiaj -J- yja^ -i yna„. Substiluirt
man diofen Werth in (e), fo wird x^ = y^, x^ ^: yj , • • ■ ■
Xn = y^, alfo Xjai + XäHä -j -f x„a„ = y^ai + yjaj -\
y^Hn, d. h. =b. Alfo wird der Gleichung (c) durch dieWcrlhe
(e) genügt, fomit auch den ursprünglichen Gleichungen.
Angenommen zweitens, das kombinatorische Produkt
[aiBj-'-aJ fei gleich null, fo stehen ai----a„ in einer Zahl-
bezichung zu einander, dann muss es unter ihnen [nach 1?)
folche geben, die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen,
und aus denen die übrigen numerisch ableitbar find; es feien
dies ai,"-ap und feien ar-]-i,---a^ aus ihnen numerisch ab-
leitbar. Dann muss alfo vermöge der Gleichung c auch b aus
diefen Grössen a^ • ■ • ■ a, numerisch ableitbar fein. Tritt alfo
der Fall ein, dass, vermöge der Natur der gegebenen Glei-
chungen, b nicht aus ai----aj numerisch ableitbar ist, wäh-
rend es doch a^fi, ■ ■ ■ a^ find, fo enthalten jene Gleichungen
einen Widerspruch. Wird hingegen diefe Bedingung erfüllt,
fo fei die Gleichung fc) in der Form geschrieben:
Xjai + x^aj -f.. ■ ■ x,9r = c, wo
c = b — x^f ia,-|-i ~ Xr-i-s a^_|_2 — . ■ . - x^a^
ist, und man erhält
CO \ ^ _ [ca,a3----a ,] _ [aica3--.a,]
[a^ajag ■ ■ ■ a^] [aiaiaj ■ ■ ■ aj
[a,a2 - ■ ■ at_ic]
' [aiaj Bj.] '
während x^.^ bis x^ ganz willkürlich Hnd.
A n m. Setzt man für die Grössen a, ■ ■ ■ ■ a„ und b in der Gleichung
(e) ihre Werthe aus (b) ein, fo erhljU man, vermöge 79, die bekannten
Ausdrücke
^^ ^ X + <'ß?^ß^''- ■■■<'" "■ '■ '^'
leh füge hier noch eine zweite Auflöfungsmethode bei, welche
zwar auf den ersten Anblick nicht fo einfach erscheint, aber dennoch
ihre grossen Vorzüge hat, und deren eigentliches Wefen späterhin
in ein noch liellcres Licht treten wird:
Aufiöfung 2. Man bringe die fämmtlichcn Gleichungen
auf die Form, dass ihre rechte Seite null ist. Die Gleichungen
feien
y Google
oP) 4- aO) xj -f af 'xj H h <' x„ =
aW + at^'x! + «("'xi -f h a(_°)x„ = 0.
Die Gleichungen find alfo cliefelben wie in der vorigen
Aufiöfung, nur dass «{,''' = — ß^^ ist. Der Symmetrie wegen
fügen wir nocli dem ersten Gliede jeder Gleichung die Un-
bekannte Xq als Faktor hei, die wir dann schliesslich gleich 1
fetzen. Nun nehme man ein] System von (n -J- i) Einheiten
«05 eii"-*'n an, deren Produkt Eins ist. Dann ist (nach 91)
i[e„Ieo] = [e^lej = [e,|e,] =...■■= [eje„]
= [eoCiDj- ■ '60]= 1.
Ferner ist, da [e, (nach 98) alle übrigen Ein-
heiten ausser e^ als Faktoren enthalt,
[e,|eg]=:0, wonn r^s ist [nach 60],
Wenn nun
ixoleo + xjei H x„(e„ = X
aWßo +<>ei + ■■■ af,'Je„=afiJ
tt^Jeo + afhi -I aff^e„=: a«'
I "■0'^ 60 -f- cif°^f>i -!-■-■- a<°'On = a'"'
gefetzt wird, fo ergiebt fich leicht, dass die gegebenen Glei-
chungen (a) identisch find mit den Gleichungen
r[a'i)X] =
CJ)
[a(*'X]=0
[a^Xl = 0.
In der That, fetzt man z. B. in der ersten diefer Glei-
chungen statt a<^> und X ihre Werthe aus (j-), fo wird die-
felbe vermöge des Gloichungssyslems (ß) identisch mit der
ersten der Gleichungen in (a) und fo hei den übrigen. An-
genommen nun zuerst, a'^'---a'°' stehen in keiner Zahlbe-
ziehung zu einander. Da X eine Grösse n-ler Stufe ist und
fie mit jeder der n Grössen erster Stufe a''', a'*' - ■ ■ ■ a'°*, die
in keiner Zahlbezieliung zu einander stehen, zu einem kom-
binatorischen Produkte verbunden, null giebt, fo muss X (nach
84) mit dem kombinatorischen Produkte jener Grössen in
y Google
tS4) 103
einer Zahlbeziehnn^ stehen, aKo ist, wenn X eine noch un-
bestitnnite Zahl ist,
(£) X = AA , wo A = {a^h<^> ■■■■ a'-']
ist; und da aus dtcfer Gleichung wieder umgekehrt die Glei-
chungen [iJ) folgen, fo erfelzt fie die Gleicliungen {S), alfo
auch die ursprünglichen (a). Fügt man nun zu der gewon-
nenen Gleichung den Faktor e^ hinzu. Tu erhält man, da
KX] = [e„CxJeo + x.jco +■ ■ ■)] =^ xd%\%] + x,[eoe.] -f • ■ -,
d. h,, vermöge (ßX = x^ ist, die Gleicliung
( Xo = A[eoA] ,
(i;) } und ebenfo
1 X, =A[eiA], X2=;t[e,A],
d. h.
(7}-) X, : X, : xs :■ ■ . - - [e^A] :[e,A] : [e,A],
und da Xq gleich i ist, fo hat man 1=^[B|,A]
fa. , ^[=.A] ^ _[1>A] ..
'^ '^[o.A]' '■-[e.Ar
Die Auflöi'ung ist alfo nur dann mitglich, wenn [e^A] von
null verschieden ist; wenn hingegen [e„A] = ist, obwohl A
>on null verschieden ist, fo lehrt die Gleichung l = i[eoAJ,
ddss dann die gegebenen Gleichungen einen Widerspruch ent-
halten Ferner lässt fleh zeigen, dass in dem angenommenen
Falle (,A ^ und [e„A] ^ 0) die Werthe (^) die gegebenen
Gleichungen (a) erfüllen. Denn wird X= — ^ gefetzt, fo
werden die Gleichungen (t) erfüllt; die wir auch fo schreiben
können:
[eoX] = -l[eoÄ], [eiX] = yl[eiA]..-.
oder
0=[eüCX- M)]=-[e,CX — AA)lu. f. w.
Alfo giebt die Grosso n-ter Stufe X — ^A mit dem System
der n + 1 Einheiten <•.„,• •■•6^ einzeln kombinalorisch mulli-
pliclrt null; alfo ist (nach 85) jene Grosse felbst null, d. h.
X -U =
oder
X^M,
welche Gleichung nach dem 0^igen die gegebenen Gleichungen
(ß) erfelzt.
y Google
104 (13S
Angenommen fei zweitens, a'^', a'^V ■ -af"' stehen in einer
ZühJbeziehun^ zu einander, oline jedoch alle null zu fein, To
giebt es (nach 17) unter ihnen eine Schaar von Grössen,
welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen und aus
denen die übrigen numerisch ableitbar find; es mögen a'",
(,ci) . . . . aM eine foJche Schaar bilden, und die übrigen a'''+",
■ ■ ■ -a'"' aus ihnen numerisch ableitbar fein; und fei z. B. a'°'
= aia'^'^ -f- ßja<*> -| a^a', dann ergiebt fich auch für jedes
X, dass
[a""X] = K,[a(ilX] -f aj[a<^>X] -J- ■ ■ - «.[a'^'X]
ist, d. h. es wird die n-te der gegebenen Gleichungen aus den
r ersten gewonnen, indem man dicfe beziehlich mit aj, a^—-
a^ multiplicirt; d, h. die n-te Gleichung ist aus den r ersten
Gleichungen numerisch ableitbar, jeder Werth X, der diefe
erfüllt, erfüllt auch die letzten. Es bleiben alfo nur r Glei-
chungen zu erfüllen übrig, und können fomit die (n - r) letzten
Unbekannten willkürlich angenommen, und dann die übrigen
nach dem obigen Verfahren bestimmt werden.
Anm. Die «weite Auflöfungsraetbode hat den Vorzug, dos3 fie
den ßmmtliclien n Unbekannten Eine einzige Unbekannte n-ter Stufe
fabstituirt und diefe aufs Einfachste Snden lehrt.
133. Aufgabe. Aus n -f 1 Gleichungen, welche in
Bezug auf n Unbekannte vom ersten Grade find, diefe Un-
bekannten zu eliminiren.
Auflöfung. Die Gleichungen feien
■ ßf"' + afxi + «(O'Xä + ■ ■ ■ ■ ce^»'x„ =
, , aW -f- a(i>x, + ai^'xs -f ■ - ■ ■«mx,=
aW -f- «("ixi -i- «("Ixj -f ■ ■ ■ ■ af,"ix„ =^ 0.
Multiplicirt man fie beziehlich mit n -|- 1 Grössen e'"', e'^^
eW- . . e'^i, welche in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen,
addirt die fo gewonnenen Gleichungen und fetzt
[ afeW -I- «(i'ef'J + a™e«) -J Kg"eW = 8„
I aWe«' + a^>G(» + af ef*^ ^ af-'e^"' — a^
(b) .
fß erhält man
(c) ao +• XiB
[ aWe«>J + ö^i^e"' -f- «jf^e«*' + ■ - ■ «("'e'"'
yGoosle
13«)
105
Fügt man die kombinatorischen Faktoren ai, a2,'--an
hinzu, fo erhält man, da [aia,as' ■ -a^] ii. f, w, null find,
(d) Ka.a,-..-aJ = 0,
was die verJangto Jülirninationsgleichung ist.
l,3ti. Aufgabe. Aus zwei Gieichungen, welche in
Bezug auf eine der Unbekannten algebraisch und von beliebi-
gem Grade l'ind, diero Unbekannte zu eliminiren.
Auflöfung. Es l'ei, in Bezug auf die Unbekannte y,
die eine Gleidiung vom ni-ten, die andere vom n-ten Grade,
und feien die beiiien Gleichungen
)-i-aiy l---- + a«y"' = o
„ + b.y-l----- + b„y" = 0,
wo 8(1 , ai , a^, uud ho , b, , ■ ■ ■ ■ b^ beliebige Funktionen
der andern Unbekannten find. Wultiplicirt man die erstere
nach und nach mit i, y, y^■■■■y''~^ die letztere nach und
nach mit 1, y, y^■■■■y'"~', fo erhält man die Gleichungen
) + »ly + + ao,y"
aoY + + amy'"l"'
ta) ■
(!')
n-h,y+-'
H-b,y+-
■ + a^y"*-
b,y-
Kr
Miillijilicirt man diefe nach der Reihe mit n -j- m Einheiten,
die in keiner Zahlbezleliung zu einander stehen, nämlich ei,
(^si ■ ■ ■ »inlii) addirt die fo gewonnenen Gleichungen und fetzt
Iagei -f-boe„-]-, =Ui,
^iCi 4- aoe^ -h bie„_|_i -|- I)uei,.La =\h,
ajOi-f-aiCä ■|-aue3--|-bje„_l_i-fbiß„.i.s + boeB.f.3^U3,
(a^e^ -f b„e„4„=:u„4„,
fo erhält man die Gleichung
(d) th -f u,y + u,y^ + ■ ■ ■ • u,„i „y'M-"-i =0;
und fügt man ihr die kombinatorischen Faktoren u^, Ua,---
u,„|n liinzti, fo erhält mau:
(e) Kn,H3---.u,„;„l-=0,
was die verlangte Eliminationsgieichung ist.
y Google
106
(lae
AuflÖfung 2. Es feien die gegebenen Gleichungen die-
feiben wie in Auflöfung \ (a), und fei aus ihnen das System
(b) abgeleitet. Man nehme n-^ni Einheiten e^, ej, - • ■ ■ea-j.m^i,
deren Produkt ^^ i ist.
Wenn nun
+ 5|e,4---'r+"-|e.+.-. = f
8061 -f- a,es + aiuem+i =^ ''i
w
ajiCn^i + a,en -f ■
bflen + biöi -f-- ■ ■
• b„e„^
C^) ■
boßni-i + bjCn, + ■ ■ ■ ■ bneiu4-„_, ^^. d^-l .
fü werden die Gleichungen (bj gleichbedeutend mit den Glei-
chungen
I cj = CiY =■ . -= c„_iY =
= d,y=-.-=d„_,,Y=0.
Da nun Y eine Grösse n -(- m — l-ter Slule ist, die nicht
null ist, To müssen die n -f ni Grössen c^, c^, ■■-■, c„._,,
d,,, dj, ■■■-, d„_i in einer Zahlbeziehung zu einander stehen
(nach 85). Äifü hat man
[CoCi C„_,d„d(..--d„_J = 0,
was die verlangte Eliminationsgleicliung ist.
Anm. 1- Ea lässt Tich bei dieCer letzten Methode nocli die Unbe-
kannte y auf eine fehr einfache Weifu ausdrücken, wenn nämlich
YoransgefeUt wird, daaa es unter den n + m Gvöasen Cq, Ci , ■ ■ -cn-i
du, 'l,,- • -dm— 1, folclic n 4- "> — 1 Gröaeen giebt, welche nicht in einer
Zalilbeziehung zu einander stehen; es feien dies etwa c, Cn-J, d„,
d, ■■■■dm — i und Ici iliv kombinatorisches Produkt der Kürie wegen
mit A bezeichnet; dann folgt (nach 84) aus den Gleichungen
c,T = CjY =. . -^ cn_iY ^ di,Y = d,Y = - . . dm_iY,
dass
Y = pÄ
ist, wo p eine unbekannte Zahl darstellt. Aber nun ist Y = E|,-|-
yE, -I , alfo leoY] = lOaEol = 1 und [e,Yl=y, alfo hat man
l-e,Y = p[e,A]
y = e,Y^p[e,A],
alfo, indem man die zweite durch die erste diviilirt,
' leoA] '
y Google
*•») 107
wodurch y gerunden iet, während die ElimiDationsgleichung in der
F m
[ A1=0
ii
A üDfAflfgthdld tdl tg
hl Fin)hl Ibre d rstAgbdA
dl 11 (1844) mgthl d h G tAh
(1845) AggbSptllt 1 Rl
Ä HM 1 h d C mpt d 1S54 öff tl 1 1
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d b h pt d f H ptg b t b gl h M It [1 k t
d
§. 1. Orundg^eBetze der inneren Ililultiplikation.
137. Erklärung. Unter dem inneren Produkte
zweier Einlieiten von beliebigen Stufen verstehe ich das be-
zügliche Produkt der ersten in die Ergänzung der zweiten;
d. h. wenn E und F Einheiten beliebiger Stufen find, fo ist
[E|F] das innere Produkt der Einheiten E und F.
138. Das innere Produkt zweier beliebiger Grössen ist
gleich dem bezüglichen Produkt der ersten in die Ergänzung
der zweiten, d. h. es ist
[A[B] das innere Produkt der Grössen A und B.
Beweis. Es feien Aj, ■ • ■ A^ die Einheiten, aus denen
A, und Bi, ■ • ■ - B„ die Einheiten, aus denen B numerisch
abgeleitet ist, und fei
A = aiA, +■•■ ß„A„; B = j3,Bi+.--^„B„;
ferner fei für den Augenblick das Zeichen X als das der
inneren Multiplikation gewählt, fo ist
[A X B] = [t%AiJ— «AJX (jSjBi +■■■■ /?„BJ]
= X^äiÄ7XBj, [42]
yGoosle
108 C"»»
wenn nämlich die Summe ficli auf die Wertlio l,-il fiir r
und l,---m für s bezielit. Da nun A, und Bg Einheiten find,
fo ist Cnscli 137) [A, XßJ gleicli [A,|B.], alle [A X B]
= [AZA |BJ = [AI^ÄBJ [100]
= [AlB].
Anm. Eine befondcre Bezeichnung für daa innere Produkt er-
scheint alXo jetzt als überflüssig, indem das Ergänsungsieichen die
Stelle dea Zeichens fiir die innere Multipliltation vollständig vertritt.
Und es ist nur zu beachten, dase dies Zeichen auch wie ein Mnlti-
plikatiocs zeichen behandelt werden darf.
In meinen früheren Arbeiten (Geometrische Analyfe, gekrönte
Preisschrift, Leipzig 1847) habe ich das Zeichen X für das innere
Produkt eingeführt, eine Bezeichnung, die nun entbehrlich ist.
139. Die Stufenzahl des inneren Produktes, dessen beide
Faktoren nach der Reihe die Stufenzahlen a und ß haben,
während die des Hauptgebietes n beträgt, ist entweder gleich
n-j-a^ß, oder gleich a — ß, je nachdem ß grösser als a
ist, «der nicht.
Beweis. Es feien A und B die beiden Faktoren, deren
Stufenzahleu beziehlich a und ß find, fo ist die Stufenzahl
von |B gleich n — ß. Ist nun zuerst ß grösser als a, fo ist
auch n grösser als a -\- n — ß; d. h. die Summe der Stufen-
zahlen von A und |B ist kleiner als die des Hauptgebieles,
alfo (nach 95) die Stufenzahl des Produktes [A|B] gleich jener
Summe, d. h, gleich a -(- n — ß. Ist aber ß eben fo gross
oder kleiner als a, fo ist auch n eben fo gross oder kleiner
als a -\- a — ß, d, h. die Summe der Stufenzahlen von A
und |B ist eben fo gross oder grösser als n, alfo (nach 95)
die Stufenzahl des Produktes [A|ß] um n kleiner als jene
Summe, d.h. gleich a — ß.
140. Die Anzahl der Einheiten, aus denen fleh ein
inneres Produkt numerisch ableiten lässt, ist gleich der An-
zahl der Kombinationen aus fo viel Elementen, ais die Stufen-
zahl des Hauptgebietes, und zur fo vielten Klasse, als die
pofitive Differenz der Stufenzahlen beider Faktoren beträgt.
Beweis. Nach 139 ist die Stufenzahl des Produktes
entweder gleich n -f- a — ß, oder gleich a — ß, je nachdem
y Google
144) 109
ß grösser als a ist, oder nicht. Die Einheiten von gleicher
Stufe find im ersten Falle die miiltiplikaliven Kombinationen
aus den n ursprünglichen Einheiten zur (n -[- et — j5)-ten , im
zweiten zur (a -- ß)-len Klasse. Aber die Anzahl der Kom-
binationen aus n Elementen ziir (n + « — |S)-ton Klasse ist,
nach einem bekannten Satze der Kombinationslehre gleich der
Anzahl der Kombinationen aus n Elementen zur (ß — a)-ten
Klasse. Die Klassenzahl ist dann alfo ß — a, im zweiten Falle
a — ß, in beiden Fällen alfo der pofitiven Differenz von a und
ß gleich.
141. Das innere Produkt zweier Grössen gleicher Stufe
ist eine Zahl.
Beweis- Denn die Diifercnz der Stufen iiaiilen ist dann
null, alfo das Produkt von nullter Stufe, d. h, eine Zahl.
142. Das innere Produkt zweier gleicher Einheiten ist
eins, das. zweier verscliiedener Einheiten gleicher Stufe null,
li. h. [EjEr] = i , [E,|E J = 0.
Beweis. [E^jE,] = 1 (nach 91). Ferner ist |E, (nach
89) dem kombinatorischen Produkte aller in dem Produkte Ej,
nicht vorkommenden Einheiten erster Stufe gleich; da nun E^
von E, verschieden, beide aber Produkte von einer gleichen
Anzahl ursprünglicher Einheiten find, fo enthält E^ notbwendig
folche Einheiten als Faktoren, die in Ej fehlen, alfo in [E,
vorkommen; alfo ist [E,|EJ (nach 60) gleich null.
143. Wenn Ei, ■ ■ E„ Einheiten von beiiebiger, aber
alle von gleicher Stufe find, fo ist
[(a,Ei + ■ ■ <vE„)|(,3iE, + ■ ■ ■ ^„E„)] ==ß^ ■ ■ ■ a^ß^.
Beweis. Es fei OjEi -f.-- a^E^ mit ^a,K^, und ßß-i
+ --^^E„ mit 2^ßß\ bezeichnet, fo ist
[Xcc;eJ2'P"J = XßA[Er!EJ, [42].
Nun ist (nach 142) das Produkt [EJEJ gleich null, wenn
Ej und E, verschiedene Einheiten find und gleich eins, wenn
r gleich s ist, fomit wird der gewonnene Ausdruck
144. Die beiden Faktoren eines inneren Produktes find
vertauschbar, wenn üo von gleicher Stufe find, d. h.
[Ä[B] = [B[A], wenn A und B von gleicher Stufe find.
y Google
HO (14a
Beweis. Wenn Ei- ■ ■£„ die Einlieileii darstellen, welche
mit A und B von gleicher Stufo find und A = ^aß^, B =
^ßß, ist, fo ist (nach 143)
[A|B] = XaA = ^ßJ. = [B[A].
1^9. Erklärung. Wir schreiben der Kürze wegen
[A|A] = A--
und nennen es das innere Onaiirat von A,
irm. Es ist
[aßi -1 a„E„]' = af -J «,'„.
Beweis. CoiE,H a„,E„)'
= [CaiEi+ . ■ -«„E J|(.c(iEi+ . ■ a^E JJ [145]
= «101 -J a^a„ [144].
147. Das innere Produlit zweier Einheiten E und F ist
dann und nur dann von Null verschieden, wenn die eine der
andern incident ist, d, h.
[E|F] =0, wenn E und F nicht einander incident find,
[E|F] ^ 0, wenn E und F einander incident find.
Beweis, Für Einheiten gleicher Stufe ist der Satz in
142 bewiefen, Hun feien E und F zwei Einheiten ungleicher
Stufe , und zwar E von höherer Stufe als F. Es fei F = [EjG],
wo Ei dem E untergeordnet ist, aber das Gebiet G keine
Grösse erster Stufe mit E gemein hat. Dann ist F dem E
incident oder nicht, je nachdem G von nullter Stufe (eine
Zahl) ist oder nicht. Es fei ferner E=[EiEi] und fei [EiGE^H]
das Produkt aller n ursprünglichen Einheiten und gleich der
abfoluten Einheit. Dann ist (nach 89) [EiH] die Ergänzung
von [EiG], d. h. |lEiG] =- [EjHJ, alfo
[E|F] = [EiEs|E,G] ^ [KiE-, ■ EjH].
Ist G von nullter Stufe, d. h, E mit F incident, fo ist
[EiEjH] von nullter Stufe, alfo (nach 106) der Ausdruck
[EiEj • EjH] = [E,EjH] ■ Ej , alfo von null verschieden, da Ej
und [EiBiH] von null verschieden find. Ist aber G von höherer
als nullter Stufe, fo ist die Summe der Stufenzahlen von Ei,
Ej und H geringer als die Summe der Stufenzahlen von Ej,
G, E,, H, d.h. kleiner als n, alfo (.nach 109} [EjEj ■ E,H]
= 0, d. h. wenn E und F nicht einander incident find, fo
ist [E!F] = 0.
yGoosle
iao) in
148. Es ist
[EF|E] = F «nd [F|EF] = ;E,
wenn E und F Einheiten find, und [EF] niclit null ist.
Beweis. Es fei [EFG] das Produkt aiier ursprünglichen
Einheiten und gleich 1, fo ist |E=^[FG], Ibmit
[EFIE] = [EF -FG] = [EFG]F [106]
^F.
Ferner ist dann I[EF] = G, alfo [FIEF] = [FG] = |E.
14». Wenn E, F, G Einheiten find, «nd weder [EF]
noch [EG] null ist, fo ist entweder
[EF|EG] = [F|G], oder [FE,GE] = [FiG],
ersteres, wenn F von höherer Stufe ist als G, letzteres, wenn
G von höherer Stufe ist als F. Sind beide von gleicher Stufe,
fo find beide Formeln gültig.
Beweis 1. Wenn F und G niclit einander incldent find,
fo find auch [EF] und [EG] nicht einander incident, allo find
dann (nach 147) beide Seiten der zu erweifenden Gleichung null,
2. Wenn G dem F untergeordnet ist, fo fei F = [GH].
Dann ist
[EFjEG] = [EGHjEG] = H [148]
= [GHIG] [148]
= [FIG].
3. Wenn F dem G untergeordnet ist, fo fei G = [HF].
Dann ist
[FEIGE] = [FE|HFE] = |H [148]
-[F|HF] [148]
= LFjG].
4. Wenn F «nd G von gleicher Stufe find, alfo, bei
Ausschluss des Falles in Beweis 1, zufammenfallen, fo ist
(nach 70) fowohl G dem F, als F dem G untergeordnet, und
es gelten alfo nach Beweis 2 und 3 lieide Formeln.
ISO. Wenn q und r die Stufenzahlen von A und B find
und q ^ r ist, fo ist
[A!B] = C-l)'K-i)|[BIA],
d. li. [A|B] ist der Ergänzung von [ß|A] entgegengefetzt, wenn
die Slufenzahl von A ungerade und zugleich die von B ge-
rade ist; in jedem andern Falle ist [AjB] der Ergänzung von
[BjA] gleich.
yGoosle
U2 (*»*
Beweis. Es ist
|[ß|A] = [|B]|A] [97]
^f_i)qm-q)[|B.A] [92]
= (— i)q(a-q)(„ ljq(n-r)[A]B3 [58]
= (_ i)qa"-i--)[A[B].
Nun ist in Bezug auf den Modul. 3 die Grösse q(2n — q - - r)
kongruent q(r — q) oder kongruent q(r — 1), da q^ mit q gleicli-
zeilig gerade oder ungerade ist, fomit
|[B|A] = t— 1)''''"*'[A1B], oder auch
[A|B] = (— i)i(^-'\[B|A].
Anm. Vermittelst des fo eben erwiefenen Satzes kann man den
Fall, wo der zweite Faktor eines inntren Produktes von höherer Stufe
ist als der erste, immer auf den andern Fall zurückführen, wo der
erst«? Faktor Ton. höherer Stufe ist als der zweite. Diefeu letzteren
Fall, welcher Tich in den oben entwiekelten Formeln als der einfachere
heran SB teilte, werde ich jetzt vorzugsweife he rück richtigen,
§, 2. Begriff des Sormalen und seine Correlaten,
ISl. Erklärung, Numerischer Werth einer Grösse
A lieisst die pofitive Quadratwurzel aus dem innern Quadrat
diefer Grösse. Numerisch gleich licissen zwei Grössen
von gleichem numerischen Werth d h zwei Grössen deren
innere Q ad a e e
derfeib V
Wertli p
Z d
entspre d p
Quadra w ra
U
a + b]/—
h E
Wnrael V
m
genomm
1 h V +h
c Definition gleich y a' + h', was auch fönst als numerischer Wcrtli
der imaginären Grösse a + bi aufgefasst wird. In der Geometrie ist
numerisclier Werth einer Linie ihre Lauge gemessen durch die Längen-
einheit u. f. w.
192. Erklärung. Normal zu einander heissen zwei
von null verschiedene Grössen, deren inneres Produkt null
ist. Zwei Gebiete heissen normal zu einander, wenn ihre
Theile es lind. Zwei Gebiete iicissoii alireitig zu einander
y Google
1S4) H3
normal, wenn jede Grösse erster Stufe, die dem einen Ge-
Lit-t». angehoit, zu jeder, die dem andern angehört, normal
ist und zwei Grossen lieissen allleitig normal zu einander,
wenn ihre GebiUc es find
A n m Der Grund der Benennung- ruht in der Geotaetr e Nimmt
man dort die iirspr Ingl chen Emlieitei als gleiih lange zu einander
fenkrcehte Strecken an w e d es stets geschdien muss lo zeigt lieh
leicht dasa das innere Produkt zweier Strecken dann und nui dann
null ist wei D dic.fl, Streokei fenkrecht au einander fiid Statt des
Autdiucks renkiLclit" hal;e icli den „noimal genbUt als den ab
stiakteren der aucli eine Anwendung auf nicht r&amhche Verhält
nisse gcstdttet
133 Erkläiung Normalsystem n-ter Stufe heissl
ein Verein von n numeiisch gleichen (von null verschiedenen)
Grössen erster Stufe, von denen jede zu juder normal ist;
und wenn n zugleich die Stufenzalil des Hauplgebietes ist, fo
heisst es ein vollständiges Normalsystem. Der numerische
Werlh jener n Grössen heisse zugleich der numerische Werth
des Normalsystems. Einfaches Normalsystem heissl jedes
Normalsystem, dessen numerischer Werth 1 ist.
Anm. Im Räume bilden a. B. drei gleiclilange und gegen ein-
ander fenkrechte Strecken ein Hormalsystem.
154. Erklärung. Circuläre Aenderung nenne ich
jede Transformation eines Vereins, durch welche 2 Grössen a
und b des Vereins fich beziehlich in xa + yb und in + (xb — ya)
verwandeln, vorausgofetzt, dass x^ + y^:^l fei. Ich nenne
die circuläre Aenderung eine pofjtive oder negative, je nach-
dem a und b fich in xa -f yb und -f- fxb — ya), oder in xa
+ yb und — (xb — ya) verwandeln. Wenn hierbei x = cos.«
und y = fin.ct ist, und a und b numerisch gleich und zu ein-
ander normal find, fo fagc ich, der Verein habe fich von a
nach b hin um den Winkel a geändert.
Anm. Stellt man fich unter a und t> zwei gleiohlaage und zu
einander fcnkreclite Strecken vor, fo ficht man leicht, dass durch
die circuläre Aendeiung, durch «ekhe a in e, —acos a + '^fi" ti,
b in b, =bcog.a — ifm tt ubeigeht, a, und b, von deifelben Länge
find wie a und b und gegen einander fenkieckt bleiben Eo bkiben
alfo a und b bei jenei AendciTing conjugirte Halbmesser eines festen
Kreifes, wodurch dei Narae iircularer Aenderung gei echt fei tigt ist
Auch ficht man, dass dann dti Winkel \on a bi« a, gleich a ist
y Google
ii4 (*»»
Sind übrigens a und Tj beliebige Strecken, fo werden a, ucd bi con-
jugirte Halbmeaaer einer konstanten Ellipse, in welcher auch a und b
conjugirte Halbmesser find. Von diefer Betracht ungsweiCe aus würde
fich der Name der elliptischen Aendemiig empfehlen. Da jedoch die
Ellipse immer auf den Kreis reducirbar und der Kreis die einfachere
Kurve ist, fo habe ich jenen Namen als den einfacheren voi^ezogen.
Siehe auch Grelle Journal, Band 49 pag. 134.
155. Durch circuläre Aendening geht aus jedem Normal-
system ein numerisch gleiches Hormalsystem hervor.
Beweis. Es feien a, b, c,--- die Grossen eines Normal-
syslems , d. h. a- ^^ b* ^= c^ = ■ ■ ■ und = [alb] =; [a|c] =
[b c] ^- ■ -, und lindere fich a in ai = xa -f yb und b in b^
= xb — ya, wo x'^-f y^=l ist, Tu ist zu zeigen, dass ai,
bi, c,--- ein Normalsystem bilden, in welchem ar^^a* ist.
Es ist, da [ajb]:=0 ist,
ai-— (xa -f yb)» = x^a'- -f- y'b'-
= Cx^ + y>'- (da b'- = a^)
= a"- tda x^ + y^=l).
Aus gleichem Grunde ist bi'-^a'. Ferner ist
iKbi\ = [Cxa + yb)|Cxb - yajl = xy(b* — a')
(da [ajb] = 0)
= (weil b'- = a*).
Endlich ist
[ajc] = [(xa + yb)|c] = x[a|c] -f y[b;c] - ,
weil [a]c] und [b|c]=0 find. Aus gleichem Grunde ist [bi[c]
^0 u, f. w. Folglich ist das System aj, hj, c, ■ • ■ ein Normal-
system, dessen numerischer Werth gleich dem des gege-
benen ist,
15ß. Das kombinatorische Produkt der Grössen eines
Normalsystems bleibt bei pofitiver circulärer Aenderung diefes
Systems unverändert, und geht bei negativer in feinen unt-
gegengefetzten Werth über.
Beweis. Es gehe a in ai = xa -(- yb, b in bi=:xb — ya
über, wo x^ -j- y'= 1 ist; fo wird
[a,bj ^ [(xa 4- yb)(xb - ya)]
= xä[ab]"y'[ba3 (da [aa], [bb] nach 60 null find)
= {x'' + y^j[ab] (da [ba] = — [ab] ist nach 55)
=:[ab] (da x^-t-y^=l).
yGoosle
*S») 115
Alfo [ajbj] ^= [ab]. Kommen nun zu den gleichen Pro-
dukten [ab] und [aibj] noch an den entsprechenden Stellen
gleiche kombinatorische Faktoren hinzu, l'o bleiben die Pro-
dukte gleich, Alfo bewiefen,
137. Die Grössen eines Normalsystems stehen in keiner
Zahlbeziehung zu einander, und jede Grösse erster Stufe lässt
fich aus einem beliebigen vollsländigen Nonnalsyslem nume-
risch ableiten.
Beweis 1. Es feien a, b, c,- ■ ■ Grössen eines Normal-
systems. Gefetzt nun, es ständen diefeibcn in einer Zahlbe-
ziehung zu einander, etwa fo, dass
a=^ ßb i-yo -{-■ • ■
fei, fo muUiplicire man beide Seilen innerlich mit a, Fo wird
a^ = /3M+r[c|a] +.--=0,
da [b|a], [c|a],--' null find (nach 153). Alfo wäre 3^ = 0,
im Widerspruch mit 153. Es lässt fich ali'o keine der Grössen
a, b, c, - - ■ aus den übrigen numerisch ableiten d h f e stehen
(nach 3) in keiner Zahlbeziehung zu einander
2. Ein vollständiges Normalsystem in ei en Ha ptgeb ete
n-ter Stufe besteht aus n Grössen, und da d tfe ath Be v 1
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehen fo k n ( ch
24) aus ihnen jede Grösse erster Stufe, da f imer dem
Hauptgebiete angehören muss, numerisch abgele tet verden,
198. Wenn eine Grösse A zu mehrerei Grossen B,
G, ■ ■ ■ von gleicher Stufe normal ist, fo ist De auch zu jeder
Grösse normal, die aus ihnen numerisch ableitbar ist.
Beweis. Wenn A zu B, C,- ■ normal ist, fo ist
Cnach 152)
= [A|ß] = [AlC]=-.-.
Somit auch
[A|C^B +yC+- Ol = (S[A1B] + Yim + ■■■ [41]
= 0,
da [A|ß], [AjC],--- null find.
159. Die färamtiichen Grössen erster Stufe, welche zu
m Grössen eines vollständigen Normalsystems n-ter Stufe nor-
mal find, gehöFen dem Gebiete der n — m uhrigen Grössen
des Systems an.
y Google
H6 fieo
Beweis. Es fei das System aj, a^ ein vollstän-
diges Normalsyslem, und feien m feiner Grössen, etwa bi- ■ -3^
zu irgend einer Grösse erster Stufe a normal, fo ist zu zeigen,
dass a dem Gebiete an,4i---an angehört. Nach 157 lässt ficli
a aus dorn voUstärnJigen Normalsysteni ai--'an numerisch ab-
leiten. Es fei der Ausdruck diefer Ableitung
a = «lai H a„a„.
Da nun a zu ai, 32,- ■■a„ normal ist, fo erhalt man, in-
dem man zuerst mit a^ innerlich multjplicirt,
= [aja] = aiai* + c^KIa,] + ■ • ■ a„[ai]a„]
= «lai^,
da [ajaj] bis [ailaj als innere Produkte der Grössen eines
Normalsystems null find. Da nun ai' (nach 153) nicht null
ist, fo folgt aus der Gleichung a,ai* ;^0, dass ai=:0 ist. Auf
gleiche Weife folgt, indem man nach und nach mit 82, ■■■■an,
multiplicirt, dass auch (h,----<^nx ""1' '^'''^- Folglich ist
a = «m+jani+l -1 «nBu^
d. h. a gehört dem Gebiete am.|i----a„ an.
KiO. Jedes Normalsystem iBsst fich durch fortgefet7,te
circuläre Aenderung fo umwandeln, dass eine feiner Grössen
mit einer beliebig gegebenen Grösse erster Stufe, deren
numerischer Werth dem des Normalsystems gleich ist und
welche dem Gebiete desfclben angehört, identisch wird.
Beweis. Es feien ai,----ao die Grössen des gegebenen
Normalsystems, und k die gegebene Grösse welche numerisch
gleich «1 ist, und fei
k ^; Oia-i -f ■ . . OaK-
Nun wandle man ai und a^ circulüir fo um, dass dabei a^ in
Cj = ~r/~=r— ,
Vtti + ÖS
übergeht, was [nach -154) möglich ist, Uann ist KiHi i «^aj
= F«i + f'ä Cj , allo
k = ^ai + cä Cj -f- Hjag -{-■■■ a^a^-
Darauf wandle man Cj und 83 circulär fo um, dass da-
bei Cj in
J' a' + gjca -|- C^a a
fai + a^ + ai
y Google
übergeht. Dann ist
k = yal ^- ctj 4- ß| Ca -f ß^Bj -i a„a„.
In diefDr Weifu fahre man fort, bis
k = y«? -|_ ßj -j_ . . . «ä_iCn_i + ß„a„
wird, und wandle schliesslich (5n_i und a„ circiilär fo um, dass
^F(^'-F-.
übergehl, fo ist dann
* k = yal -i a;c„.
Nun ist nach der Hypothefis
ax'=k'-=(a,ai-[ ßaaJ'=«jai'-H kAüi,^,
weil [ailaj] etc. null find. Und da auch ai*=a»' = ' ■ =an- ist,
fo wird
ai'- = tßi H al')al,
d. h. «1 -) ai = l. Dies alfo in die obige Gleichung (*)
eingeführt, giebt, wenn man den pofitiven Wurzelwerth wählt,
k = c„,
d. h. in dem ztiietzl hervorgehenden Nürmalsyslem ist eine
Grösse c„ mit der gegebenen k identisch, wie verlangt.
161. Wenn zwei Normalsysteme gleichen numerischen
Werth haben, und ihre Gebiete einander incident find, fo
lässt fleh durch fürtgefelate circuläre Aenderung, wenn beide
von gleicher Stufe find, jedes aus dem andern ableiten, wenn
fie hingegen von ungleicher Stufe find, das höherer Stufe fo
umwandeln, dass es die Grössen des andern enthält.
Beweis. Es feien a, b, c,--- und a^, bj, Ci,--- zwei
Normalsysleme von gleichem numerischen Werthe, und foien
die Gebiete beider einander incident, und zwar das des letzte-
ren entweder von gleicher oder höherer Stufe als das des
ersteren, fo müssen (nach 15) alle Grössen a, b, c,--- dem
Gebiete ai, b^, Ci,--- angehören. Somit kann man (nach 160)
das Normaisystem ai, b,, Cj,--- circuiär fo.umwandeln, dass
eine feiner Grössen ^= a wird. Das fo hervorgehende Normal-
system bestehe aus den Grössen a, bj, c,, ■ ■ ■ . Da nun b, c, ■ ■ ■ ,
als Grössen des Normalsystems a, b, c,- ■ -, zu a, alfo zu einer
y Google
118 (!«*
Grösse des Noniialsystems a, bj, Cj,- - - normal find, fo müssen
fie (nach 159) dem Gebiete der übrigen Grössen diefes Systems,
alfo dem Gebiete b^, Cj,---- angehören. Demnach kann man
wieder das System b,, Cj, ■ ■ ■ ctrculär fo umwandeln, dass
eine feiner Grössen ^b wird. Das fo hervorgehende Normal-
system bestehe aus den Grössen b, Cg, dg, ■■-, fo müssen
wieder ans demfelben Grunde, wie vorher, c, d, ■ ■ ■ dem Ge-
biete C3, dg,- • ■ augehören. Das Normalsystem ai, hi, c,, di,- ■ ■
ist dann durch circuläre Aenderungen übergegangen in a, b,
C3, dg,---. So kann man, wenn das System a^, bi,--- von
höherer Stufe ist als a, b, ■■-, fortfahren, bis das zuletzt
hervorgehende System aile Grössen des gegebenen Syslemes
a, b, c, ■ ■ • enthalt, oder wenn beide Systeme von gleicher
Stufe find, fo lange bis es alle Grössen des Systems a, b,
c, ■ ■ •, mit Ausnahme des letzten, enthalt, Diefe letzte fei
q, die vorletzte p, und fei das fo hervorgehende NormaJsystem
ö, b, ■ ■ ■ p, qo, fo muss nach der angewandten Schlussfolge q
dem Gebiete i^ angehören, d.h. beide müssen in einer Zahl-
beziehung zu einander stehen. Ist nun q^^xq, wo x eine
Zahl ist, fo ist, da beide einander numerisch gleich find,
q^=:q\ alib x'=:i, fomit q„ = qiq, Ist qa^^ - q, fo
hat man nur statt der letzten circulären Aenderung die ent-
gegen gefetzte zu nehmen, fo fällt dann auch die letzte Grösse
des fo hervorgehenden Normalsystems mit q zufammen, alfo
ist dann das eine der gegebenen Normalsysteme aus dem andern
circulär abgeleitet, wie verlangt,
16!^. Das System der ursprunglichen Einheiten ist ein
(vollständiges) Normalsystem, dessen numerischer Werth 1 ist.
Beweis. Es feien ej- ■ ■ -Cn die ursprünglichen Einheiten,
fo ist (nach 142)
= i:eiK] =■■■■!
163. In jedem Gebiete m-ter Stufe lässt fich ein Normal-
system gleicher Stufe von beliebigem numerischen Werth an-
nehmen, und zwar fo, dass dies System Theil eines vollstän-
digen Normalsystems fei.
y Google
le») H9
Beweis. Es fei ai eine Grösse erster Stufe in dem
gegebenen Gebiete m-ter Stufe A, ihr numerischer Werth
fei 1. Da nun (nach 162) das System der ursprüngliciien
Einheiten ei---B„ ein vollständiges Normalsystem ist, dessen
numerischer Werlh i ist, fo lässt fich (nach 160) dies Normal-
system circulär fo umwandeln, dass a^ eine der Grössen des
refultirenden Normalsystems wird. Dann ist ai auf den n — 1
übrigen Grössen diefes Normalsjstems, alfo auch (nach 158)
zu jeder Grösse ihres Gebietes At normal. Dies Gebiet ist
von (n — l)-ter Stufe und hat alfo mit dem Gebiet m-ter Stufe
A (nach 26} ein Gebiet gemein, dessen Slufeiizahl n — 1 -J-
III — n:^:m — 1 ist. Es fei in diefem gemeinschaftlichen Ge-
biete a^ eine Grösse erster Stufe, deren numerischer Werth
1 ist. Da flj alfo auch dem Gebiete A, angehört, fo ist fie
nach dem obigen zu Q| normal, aber üuch mit ai numerisch
gleich, nämlich ^1, alfo bilden o^ und a^ ein Normalsystem
mit dem numerischen Werth 1, Alfo lässt fich (nach 159)
das vollständige Normalsystem e^- • 0^ '" ^'■' anderes Normal-
system umwandeln, welches a^ und a^ enthält. Das Gebiet
Ä2 der übrigen n — 2 Grössen diefes Normalsystems ist von
(n — 2)-ter Stufe, und alle Grössen erster Stufe, die diefem
Gebiete angehören, find normal zu a^ und a^,. Nun haben A
und Aj ein Gebiet m — 2-ter Stufe gemein; in ihm fei 83 eine
beliebige Grösse erster Stufe vom numerischen Werlhe 1, fo
hat man schon ein Normalsystem von drei Grössen ai, aa, a^
in A, und fo kann man fortfahren. Hat man fo in A ein
Normalsystem von (m -— 1) Grössen ai ■ ■ ■ a„,_i erhalten, fo
enthält das vollständige Normalsystem, zu dem es gehört,
ausserdem noch n — m -(- 1 Grössen; ihr Gebiet, was A„_,
heisse, ist von (n — m -j- l)-lcr Stufe, hat alfo mit dem Ge-
biete m-ter Stufe A noch ein Gebiet gemein, dessen Slufcn-
zahl n — m-fl-fm— n=^i ist. Es fei a^, eine Grösse
diefes Gebietes, deren numerischer Werth 1 ist, fo ist an,,
da es in A^-i liegt, zu ai ■ ■ ■ ■ an,_j normal und 81 • ■ ■ • a„
bilden alfo ein Normalsystem m-ter Stufe in dem Gebiete m-ter
Stufe A. Diefem Normalsystem kann man dadurch, dass man
alle feine Grössen mit einer und derfelben beliebigen Zahl
mulliplicirt, jeden beliebigen numerischen Werth geben.
y Google
§. 3, Gesetze des inneren Produktes, an den Begriff des
Normalen geknüpft.
163. Krklärung. Normale Zurttükleitung A' einer
Grösse A auf ein Gebiet B nenne ich die Zurückleitung' der
Grösse A auf das Gebiet B, unter Ausscliluss des zu B er-
gänzenden Gebietes (vergl. 127 und 33),
Anra. Ist %. B. a, b, c ein. vollständiges Normal System und p
= q^a + rb 4- sc eine beliebige Grilsse des Hauptgebietes , fo ist die
normale Zurückleitung der Grösse p auf das Gebiet bc gleich rb -}- sc.
Für die Geometrie ist Cie identisch mit der fenkrecliten Projektiou.
165. Die normale Zurückieitung A' einer Grösse A auf
ein Gebiet B ist
letzteres, wenn der numerische Werlh von B gleich 1 ist.
Beweis. Wach i64 ist A' die Zurückleitung von A auf
B, unler Ausschluss des zu B ergänzenden Gebietes, d. h. des
Gebietes |B. Wird jB mit C bezeichnet, fo ist (nach 139)
[B^AC] .. _[ß-(AIB)]_[B-CA!B)]
^ ~ 'TBCT' " [B!B]" ~ ^B^~ ■
166. Zufatz. Sind ins Befondere A und B von gleicher
Stufe, fo ist die Zurückleitung
A'='-"'^J-, oder = [A!B]B, wenn B'- = 1.
Beweis. Dann ist nämlich (nach 117) [AjB] eine Zahl
und kann alfo statt [B-(A!ß)] geschrieben werden [A[B]B.
167. Die Ergänzung des kombinatorischen Produktes A
von m Grössen eines vollständigen Normalsystems, welches
den numerischen Werlh Eins hat, ist dem kombinatorischen
Produkte der (n — m) übrigen Grössen des Systems gleich
oder entgegengefetzt, je nachdem [AB] ^^ -f- 1 oder == — 1
ist, d. h.
^ jA^[AB]ß,
wenn die n einfachen Faktoren von [AB] die n Grössen des
Normalsystems find.
Beweis 1. Für das System der ursprünglichen Einheiten
ist diefe Beziehung in 89 als Definition feslgerclzt.
y Google
le») 131
2, Ich zeige nun, dass, wenn diefe (durch Gleichung; *
dargestellte) Beziehung für irgend ein Norinaisysteni a, b,
c,- ■ ■ gilt, fie auch für jedes aus ihm durch circuläre Aenderung
hervorgehende Noriualsyslem gelte. Es gehe durch circuläre
Aenderung a in a^ ^i xa -f yh, b in bj =xh — ya über. Durch
diefe verwandle fich A in Ai, B in B, ; fo ist zu zeigen, dass
auch |A, =^[AiBi]B, fei. Da nun A und B zufammen alle Grössen
a, b, ■ • ■ des Normalsyslcins und zwar fowohl A als B jede diefer
Grössen nur einmal enthalten feilen, fo kommen a und b ent-
weder beide in A, oder beide in B, oder eine in A und die
andere in B vor. Wir haben schon in 156 bewiefen, dass
das Produkt [«ibj] bei diefer Aenderung gleich [ab] bleibt;
fomit bleibt in den beiden ersten Fällen fowohl A als B un-
verändert, alfo bleibt dann auch die obige Gleichung, die nur
A und B enthält, bestehen. Im dritten Falle fei a in A ent-
halten, b in B, und fei A' die Grösse, die aus A hervorgebt,
wenn man darin b statt a fetzt, und B' die Grösse, welclie
aus B hervorgeht, wenn man darin a statt b fetzt. Dann
unterscheiden lieh die kombinatorischen Produkte [A'B'] und
[AB] nur durch gegenfeitige Vertauschung der beiden ein-
fachen Faktoren a und b, folglich ist dann (nach 55) [A'B']
= ~[AB]. Ferner ist dann
Ai = xA + yA', ßi ^ aB — yß',
folglich
lA, ^x|A ^-y|A' [101].
Da nun A und A' nur Grossen des Normalsystems a, b, ■ ■ ■
als einfache Faktoren enthalten, und B und B' die jedesmal
übrigen, fo gilt (nach der Annahme) für lle die obige Glei-
chung *, d. h. es ist
|A^[AB]B, lA' = [A'B']B' = — [AB]B',
letzleres, weil [A'B'] ^= — [AB] war; fomit ist
|A, = x[AB]ß - y[AB]B' = [ABJCxB ~ yB') ^ [AB]B, ,
Endlich ist (nach 156) [A|B,] = [AB], indem die einfachen
Faktoren von [AiBj] aus denen von [AB] durch pofitive cir-
culäre Aenderung hervorgehen. Alfo ist
|A, = [AiB,]B,,
d. h. wenn die Gleichung * für irgend ein Normalsystem gilt,
fo gilt Tie auch fQr jedes daraus durch pofilive circuläre
y Google
132
(168
Aeiidorung hervorgehende, ebeiil'o über auch für jedes dariiiis
durch negative Aoiiderung hervorgehende. Denn die pofitive
circuläre Aenderung, wie wir fie oben annahmen, wird (nach
154) in eini3 negative verwandelt, wenn man das Vorzoiclicn
von bi ändert, dann ändert fich auch das Vorzeichen von Bj,
wubei die gefundene Gleichung bestehen bleibt. Alfo bleibt
die Gleichung * überhaupt bei jeder circulören Aenderung düs
Normalsystems bestehen, wenn fie für irgend ein Normalsystem
gilt. Nach Beweis 1 gilt fie aber für das Normal^ystem der
ursprünglichen Einheiten, alfo nun auch für jedes daraus cir-
culär abgeleitete. Nun lässt fich aber (nach d61) jedes Nurmal-
system, dessen numerischer Werth 1 ist, aus jenem ableiten,
alfo gut die Gleichung für jedes Normalsystem, dessen nume-
rischer Werth i ist.
168. Alle bisher aufgestellten Sätze gelten noch, wenn
man statt des Systems der Ursprung:;! ich en Einheiten ein be-
liebiges vollständiges Normalsystem letzt, dessen numerischer
Werth Eins ist.
Beweis. Alle in den ersten drei Kapiteln entwickelten
ßeclinungsgefelze gelten (nach HO) auch dann noch, wenn
man statt lier n ursprünglichen Einheiten beliohige n in keiner
Zahlbeziehung zu einander stehende Grossen erster Stufe fetzt,
alfo auch, wenn man die Grössen eijies vollständigen Normal-
systems einfetzt Ferner gilt ("nach 167) der ße^riff der Er-
gänzung
liehen h
systei d
Begriff
entwi k
ren I' I
(liefe Sä
liehen h
Wert! En
B
^^
B
IN
» g
iiiBprü g
belieb!
ist, olin
y Google
1*0) 133
erleidet. Ea erscheint alfo der Begriff des inneren Produktes nur noch
an den Begriff des Normal syate ms geknüpft, und diei tritt daher in
den folgenden Entwickeliingen statt des Systems dei ur'jpiunghchpii
Einheiten hervor.
109. Das innere Produkt zweier Grossen ändert feinen
Werlli nicht, wenn man statt des einen Faktors Teine nor-
male Ziirückleitiing auf das Gebiet des andern felzl, d. h.
[A|B] = [A|B'] und
[B|A]=:[B'|A],
wenn B' die normale Zurückleitung von B auf das Gebiet A
ist (alTü A voT gle eher oder 1 oherer Stufe als B ist).
Es fei A von t r bt f B von p-ter, das Hauptgebiet
von n-ter, fu k n nan ( ad 163") ein vollständiges Normal-
systeni ai'---aa f anneine iass m feiner Grössen, etwa
a, ■ ■ - ■ am, in A 1 egen 1 fe erischer Werth 1 fei. Die
p Faktoren voi B f d dann (nacl 157) aus ai---ao nume-
risch ableitbar alfo Bas den null plikativen Kombinationen
von a£- ■ an zir p len R! sso n ersch ableitbar. Diefe Kom-
binationen feien B^, Bä,---Bq, B,.,.!, B„ wo Bi---Bq die
Kombinationen aus a,----an, find; und fei
B^jS.B. +....-f ^,B, + ^,+iB,+i-.--^A,
fo find (nach 147 h. 168) [Ä|Bq|.i],- ■ -[AIB,] alle gleich null,
da jede der Grössen Bq+i bis B^ folcbe Faktoren enthält, die
in A nicht vorkommen, und diefe Grössen alfo der Grösse A
nicht incident Hnd, alfo wird
[AlB] = ^i[A|B,]+--.^qCABq]
= [AjC|3,B^+--.-,9,Bq)].
Aber (nach 127) ist ß,Bj -\ /3qBy die Zurückleitung
von B auf das Gebiet [ai^-am], mit Ausschluss des Gebietes
tan,-[-i ■ ■ • a„] , letzteres Gebiet ist aber (nach 167) Ergänzung
des ersteren; alfo ist ^SiBj -\-----ßq'Bq die normale Zurück-
leitung von B auf das Gebiet [ai ■ • ■ -an,], d. h, auf das Gebiet
von A, alfo gleich B' und fomit
[A;B] = [Ä|ß'].
Aus gleichem Grunde ist [BjA] = |,B'|A].
\10. Wenn man in einem inneren Produkte zweier
gleichstufiger Grössen die eine auf das Gebiet der andern
normal zurückicitet, und diefe Zurückleitung fo wie die Grösse,
y Google
124 Ct«l
auf (leren Gebiet zurüekgoleitet ist, durch ein «nd dasfelbe
Maass misst, dessen numerischer Werth Eins ist, fo ist das
Produkt der beiden Messungs-Quolienten gleich dem gegebenen
inneren Produkt, d. h.
[A\S] = aß', wenn Ä = ttE,
«nd die normale Zurückleitung B' von A auf B gleich ^'E,
und der numerische Werth von E gleich Eins ist,
Beweis. Wach 145 ist
[AjB]=.[AlB'3.
Es fei E ein Gebietslheil von A, dessen numerischer
Werlh Eins ist, «nd fei A = aE, B'=^ß'E, fo ist [Ä|B']
^aß'lElE^^aß'E^ — aß', da E*=I ist.
171. Wenn die Gebiete von A und B zu einander all-
feitig normal find, und C eine beliebige Grösse von niederer
oder gleicher Stufe wie B ist, fo ist
[AB|AC]^Ai[B!C] «nd
[CA|BÄ]^Anciß].
Beweis. Es fei ein Normalsystem angenommen, dessen
Grössen fich auf die Gebiete A und B vertheilen, und dessen
numerischer Werth 1 ist, «nd fei dasfelbe zu einem voUslän-
digen Normalsysteme ergänzt; lo ist C aus den multiplikativen
Kombinationen der Grössen jenes Normalsyslems (69, 77b)
numerisch ableitbar. Es fei C^^yiCj + /jCi +- ■ ■ , ferner
fei A =^ ctA, , B ^ ^Bi , wo Aj , B^ kombinatorische Produkte
der Grössen des Nornialsystems find, fo ist
[AB|AC] = a^^[A,Bi|A,(j-iCi +Y2C2 + ■ ■)]
= a'/3)'i[Ä,Bi!AtCi]-H((^;3/j[A,B,jA,Cj]H .
Aber [AjBi|AiCJ ist, wenn Ai, Bi, C^ Einheiten höherer
Stufe, d.h. kombinatorische Produkte der ursprünglichen Ein-
heilen find, (nach 149) gleich [BijC,]. Dasfelbe findet aber
(nach 168) noch statt, wenn jene Grössen kombinatorische
Produkte der Grössen eines einfachen Normaisystems find,
alfo in unferm Falle. Somit wird
[AB|AC] -aVntBilC.] -f «VhlB.ICil +■ ■ ■
-«'iSLB.K/iC.+j-^C, +.-■)]
Da nun Ar gleich 1 ist, weil A^ ein kombinatorisches
y Google
19»)
i25
t, fo
und
die
Produkt von Grössen eines einfaclien Normalsyster
ist der gefundene Ausdruck
= «=Mr[Bi|C] = taA0»[,3B.|C]
^ AHB|C].
Auf gleiche Weife crgiebl fich die zweite Formel des
Salzes.
l'!2. Wenn A mit A von gleicher Stufe, B aber von
gleicher oder hölierer Stufe wie B ist, und [AB] nicht ver-
schwindet, fo ist
M [ktlÄB] = [A'^plB] 4- [A,|^J[B,iB] +. . .
(b) [B^iBÄ] = [B,B][^|A] + [B|B,][^]A,] +- ■ • •
WO A, Aj,- ■ ■ - die multiplikativen Kombinationen aus der
fachen Faktoren (erster Stufe) von [AB], und B, Bi,--
zu A, Ai,'-- ergänzenden Kombinationen find (fo dass alfu
[AB] = [A.Bi] =- u. f. w.).
Anm. Wenn nämlich A eine der multiplikativen Kom-
binationen aus aj, as,--an ist, fo nenne ich diejenige multi-
plikative Kombination B, welche die ßimmllichen in A nicht
enthaltenen Elemente enthält, und mit einem folchen Vor-
zeichen (+) verfehen ist, dass [AB] ^= [ajaj- -an] ist, die zu
A orgfQnzende Kombination.
Beweis 1. Es feien die einfachen Faktoren von fAB]
alle zu einander normal. Da A von gleicher Stufe mit A ist,
fo ist es aus den multiplikativen Kombinationen A, Ai,---
numerisch ableitbar. Es fei
^ = ciA + a,A, +■-■,
fo ist
[AB AB] = [AB|((xA + «, A^ +---)B]
= a[AB|Aß] 4- «,[AB|A,ß] 4----.
Da nun (nach der Annahme) [AB] = [AjBi] =■ ■ ■ ist, fo
erhalten wir den gefundenen Acsdruck
= a[AB|Aß] +ai[AiBi|AiB] -\ .
Da nun die einfachen Faktoren von [AB] alle zu ein-
ander normal find, und identisch find mit denen von + [A,Bi]
u. f. w, (nach der Annahme), fo ist A zu B allfeilig normal,
und ebenfo Ai zu B, u. f. w. Folglich ist (nach 171) der zu-
letzt gewonnene Ausdruck
= aA'[B|jB] + ßiAi'[B,|B] -{-■■■.
yGoosle
126 H««
Nu« isl aber [A,i^] = [Äj(aA + «lAi H )] = a,K,\
weil Aj mit den zu ihm normalen Grössen A, Aj,- ■ ■ ■, aus-
genommen Ar, iniieriich mnlliplicirt, null giebt (nach 147, 168).
Alfü kann man in dem vorher gefundenen Ausdruck A^!^ statt
OjÄpä Tetzen und jener Ausiiruck wird
= [A14[B|B] + [A,U][B,|fl]+...,
d. h, die Formel (a) gilt für unfere Vorausfetzung.
2. Nun zeige ich, dass, wenn die Formel (a] für irgend
eine Reihe von einfachen Faktoren gilt, aus denen [AB] be-
steht, fie auch noch bestehen bleiben, wenn man diefe Faktoren-
reihe lineal ändert (fiehe 71), d, h, statt irgend eines Faktors
a fetzt a ~\~ ßh, wo b einer der andern Faktoren nnd ß eine
Zahl ist. Hierbei behält fnach 72) das Produkt [\B], alfo
auch die linke Seite unferer Formel, denfelben Werth. Be-
trachtet man nun irgend ein Glied der rechten Seite, z, B.
[Ar]^][BrB], fo können a und b entweder beide in A^ vor-
kommen, oder beide in B^, oder eins in A^, das andere in
Br In den beiden ersten Fällen bleibt fowohl der Werth von
Ar als der von B, unverändert, alfo auch das betrachtete Glied.
Im letzten Falle kommt noch ein anderes Glied [AjU][BJJ3]
vor von der Art ! s A (iA^, im Uebrigen diefelben Fak-
toren enthalte ur d ss wo das eine diefer Produkte den
Faktor a enlhlit das andere den Faktor b enthalte. Dann
stehen B^ und B d» f <, i e jedesmal dem A, nnd Ag fehlen-
den Fitktoren e ll alten n lerfelben gegenfeiligen Beziehung
zu einander. Es kon it lifo a in einer der Grössen Aj, und
As vor; es m g i A vorkommen. Nun fei A' die Grösse,
welche aus A 1 ervorgeht indem man darin b statt a fetzt,
und B' die Grösse, welche aus B^ hervorgeht, indem man
darin a statt b fetzt. Dann enthält alfo A' diefelben Faktoren
wie Aj und B' wie B^; es find alfo dann A' und B' (nach 57)
den Grössen A, und Bg entweder gleich oder entgegengefetzt.
Da [A'B'] aus [A^Bj,] durch Verlauschung der beiden einfachen
Faktoren a und b hervorgehl, fo ist Cnach 55) [A'B'] = —
[A^BJ , und dies := — [A^Bg] (nach der Annahme). Wenn alfo
A' = + A5ist, fo isl B'^ + Bg. Wenn man nun die lineale
Substitution von a + /3b für a einführt, fo verwandelt fich
y Google
l>3) 127
[AJ^PJB] + [A..l^][BJfl] = [A,U][B,!B] - [A']^][B'|B] in
[CA, + ßA'M [B.'B] - [A'I4KB' + CßJiBl .
weil nämlich B, iiiii! A' kein a cntlialt<!ri und alfo unverändert
hleiben, während A^ in A^ -(- ßA' und B' in B' + ßB^ fich ver-
wandelt. Alfo verwandelt fich jene Summe in
IA,|^J[BJB] ~ [A'|4[B1BJ +ßlA'\A][B.[B]^ «AVJPJfl].
{]. h., da die letzten Glieder fich aufheben, der Wertii jener
Summe bleibt ungeändert. Es bleibt fomit die ganze recbte
Seite unferer Formel bei jener linealen Substilution unge-
ändert, indem die Glieder entweder einzeln ungeändert bleiben
oder, wenn fie geändert werden, fich zu Gliederpaaren grup-
piren, deren Summe ungeändert bleibt. Da fomit beide Seilen
der Formel bei linealer Substitution ungeänderl bleiben, fo
bleibt die Formel, wenn fie für irgend eine Faktorreihe gilt,
auch hei deren linealer Aenderung bestehen.
3. Es fei endlich die Fakterreihe a, b, ■■■■ eine ganz
beliebige, doch ihr kombinatorisches Produkt [AB] nicht null,
fo lässl fich (nach 163) stets eine Reihe zu einander normaler
Grössen erster Stufe ai , a^,-' angeben, von der Art, dass
fai) ■ • ■] = [a^aj- ■ ■]. Dann lässt i'ich aber (nach 76) die
Grössenreihe a, b, -•- aus a,, Bj, ■■■ durch iineale Aenderung
ableiten. Nun gilt nach Beweis 1 unfere Formel für die Reihe
der zu einander normalen Faktoren ai, a^,---, alTo nach Be-
weis 3 auch für die durch fortgefetzte Iineale Aenderung daraus
hervorgehende Fiiktorreihe, alfo auch für a, !),■■• d.h. all-
gemein,
IIS. Wenn A und A von gleicher Stufe find, ebenfo
B und B u. f. w,, endlich L und ^, M aber von gleicher oder
höherer Stufe ist wie ili und [AB- ■ 'LM] ein nicht verschwin-
dendes kombinatorisches Produkt von Grössen ersler Slufe ist,
fo ist
[AB----I.M:^ß---.^Mj
^ Z'LAa l^j [Bb jß]"-"'"'-' 4LpjTM^!Äfi",
wo [AaBb LiMin] diefelhen einfachen Faktoren enthalt wie
[AB---LM], nur in anderer Folge, doch in der Art, dass
beide Produkte einander gleich find, wo ferner A« eben fo
viel Faktoren enthält wio A, Bh wie B u. f. w., und wo endücli
y Google
128 (1«8
die Summe ficli auf alle möglichen verschiedenen Ausdrücke
diefer Art bezieht, To dass nämlich AjBt, ■ ■ ■ -LiMni und Aa'Bi,'
■ ■ ■ -Li'Mm' als verschiedene Ausdrücke gelten, wenn wenigstens
eins der Grössenpaare Ag und Aa^, Bu und Bb-,---- aus zwei
Grössen besieht, die in keiner Zahlbeziehung zu einander
stehen.
Beweis 1. Für zwei Faktoren ist der Satz in 148 be-
wiefen, wir können nämlich die Formel 172 auch in folgender
Weife schreiben
'^ [ABMB]=Z[A.lJ][Bh|B]7
wo AaBb die im Satze dargestellte Bedeutung haben, welche
mit der Bedeutung der Grössenpaare AB, AiBi,--- in 172
zu fammen fallt.
2. Durch wiederholte Anwendung des Satzes für zwei
Faktoren gelangt man zu dem Satze für beliebig viele Fak-
toren. In der That kann man das Produkt [AB----LM] zu-
nächst als aus den zwei Faktoren A und [BC- ■ LM] bestehend
anfehen. Dann wird
[Aß. ■ ■ -LMI^B- ■ -^M] = [A(8C- ■ -LUyAiBr- ■ -JMy]
= Z"[Aa|^][CBC---LM)i,|Br----^Mi,"
wo der Index b unter der Klammer andeuten foll, dass der
in der Klammer stehende Ausdruck als Eine Grösse, gemäss
der Formel' *j behandelt werden foll. Der gefundene Aus-
druck ist aus demfelben Grunde wieder
= 2^[Aa|^][Bb:ß][(CD- ■ ■LM3.!r^- - ■^M]7
und fetzt man dies fort, fo erhält man ihn zuletzt
= XrM4IE|5] [_L;2]liLm-
Anm Die gefaminte ^chaai der biuosciireihi, Aa, Bb ■ ■ ■ Mm kann
man auf folgende Weile kombiiiatoiisch entwickeln; Man betrachtet
die einfai,hi,n taktoien des Pioduktes [AB ] als kombinatorische
Elemente, entwickelt aus ihnen die muliiplikfitivcn Kombinationen
zur fo vielten Klasse, als die StufL von Ä betiagt, fo erhält man die
Grossen Ab, zu jeder derCelben entwickelt man die raultiplikativen Kom-
binationen aus den m ihr nicht \oikommenden Elementen zur fo viciten
Klasse, als die fatufi. lon ß betragt, to eikiit man zu jedem A» die
rämmtlichen zugehörigen Grossen Bb und lo tort, endlich die letzten
diefer multiphkativeu Kombinationen, die zu der Grösse M gehören,
letzt man gleiih ^ Mm, 'Kobei man dis 1 orzeichen fo bestimmt, dass
[AaBb • Mml = [AB M] wild Zum Beispiel, wenn A = ab, B = cd,
y Google
= M = e ist, £o erhält man folgende Schaar von je drei Grössen,
1 denen jedesmal die erste eine Grösse Aa, die zweite eine ange-
ge Giiisso Bb, die dritte die zu beiden gehörige Gross
Cc dar
., cd, e
ad, bc, e
bc, ad, e
be, ae, d
ce, ab,
>, ce, - d
ad, be, — c
bp, ae, ~ d
be, ad, — c
ce, ad,
a, de, e
ad, cc, b
bc, de, a
be, cd, a
ce, bd,
, bd, -- e
ae, bc, — d
bd, ac, -e
cd, ab,:e
de, ab.
, be, d
ae, bd, c
bd, ae, c
cd, ae,:-b
de, ac,
, de, ~ b
ae, cd, — b
bd, ce, — a
cd, be, a
de, bc,
[AB- ■■ {AB- ■■■} =
nH:. Ziifatz. Wenn in dem inneren Produkte [AB- - ■
\AB- ■■] die Grössen A und A von gleicher Stufe Tind, ebenfo
B und B und fo fort, fo ist
tA'B'.-.]
-[AB--.-]'
wo A' = X[AJ^]A„ B' = XWr|-B]B I v l o die
A, die multiplikativcn Kombiuiitionen iis de e f cl n Fak-
toren dos äusseren Proiiuktes [AB-- ] z r f o v elte Klasse
rind, als die StuTenzahl von A beträgt und entspreche d die
B^ n. f. w.
Beweis. Nach 173 ist ^^_^__^
[AB ■ ■ . - I^B - ■ -] -=Z"[AJ-4][B^|B] ■ ■ ■ ■ , wo
[A,Bb---] = [AB----]
ist, mit den iiähereii in 173 angegebenen Bestimmungen.
Da nun A mit A von glelclier Stnfe ist, alfo auch Aj. mit
A, fü ist (nach 141) [Aaj^] eine Zahl und aus gleichem Gnmde
[Bbl-B], u. f. w. Folglich können wir statt J^[AaM][Bb]B]- • -
schreiben
=1'
[A.MIB i.|B]-.-[A.Bi,...i
[A.B,....]
Alfo, da [A.Bb---] gleich [AB-.-] ist,
= Z[A.W[Bi|-B]-.[A.B...]: [AB • • ].
Oder, da (nach 46) die Zahlfaktoren beliebigen Faktoren eines
Produktes zugeordnet werden können,
= ZC[A:M]A.-[Bb|B]Bb---): [AB- ■].
Hier enthält Cnacli 173) jedes Produkt [A^Bt ■ • ■] diefelben
Faktoren erster StuTe wie [AB---], alfo enthält in jedem der-
felben A» andere als Bb, u f. w. Da nun aber die Produkte,
in denen A», Bb,--- gleiche Faktoren erster Stufe enthalten,
y Google
130 (17S
null find, fo küiineii wir diere Produkte z« dem obigen Aus-
drucke liiiizufügen, und crlialten dann denlclben (nach 45J
IIS. Das innere Produkt zweier Grössen in-ler Stufe
A und B, deren jede aus m einfachen Faktoren besteht, ist
gleich der Determinante aus m Reihen von je m Gliedern,
die man erhält, indem man nach der Ordnung jeden einfachen
Faktor von A mit jedem von B zu einem inneren Produkte
verknüpft, d. h. es ist
[abc- ■ -[a'h'c'- ■ ■] ^= Determ.j'tala'], [ajb'], [a'c'], ■ ■
pyi [blb'l, [blc'j...
[c|a'], [c!b'], [cic'],-.
= Z+C«M-'-),
^0 «=[a|a'], a, = [&\b'l a, -- [alc'],. ■ -
Y = [«ja'], Yi = [c|b'], ri ^ [c|c'], ■ ■ ■
. f. w.
Beweis. Nach 174 isl
10 »,=[ayia + [b(a']b + [c[a']o + .-- = o« + (!l) -\-YC+---
Ii,=[a|b1a + [blb'lb + ro,'b']c+ ■ ■ • =«,» + ftb + ).,c + . . ■
c,=[»lc']> + [b|c'lb + [c|cao+ . • ■ =i,,a + ftb +,,c+ • ■ •
isl. Aber nach 63 ist
[(oa+()b+)'C + .0(n.a+ftb+)',c+-OCo.a+ftb+|',c+.0..
= Z+W.)'.--0-[»i>c--].
Alfo
, , I ,,„ , , [»ibiCi---] „ Z-f WiC. ■ ■ -labe- ■ ■]
[,bc...|abc...)=-p5j:7:Y [abc— :j
= Z+C«ftr.-0.
116-119. Zufälze. Ins Betonilere isl
11«.-[ab|a'b'] = [a|a'][bM — [a|b')[a'|bl,
l'71--[abl'=a'b>- [aJb]',
y Google
178-.taIicP^a'b^c-'— a'[b[c] = — b^[c|fl]=-c^[a|b]^
+ 2[a|b][b|c][c|a],
l-JÖ'-tabctij'^Determ. / a-', [a|bj, [a;c], [a[d]
! [b|a], b', [b|c], [b|d]
I [c|a], [c:b], c^ [c|d]
l [m> im, [''l"], dS
l80--[Bb|c] = [aIc]b — [!);c]a,
181 • [abcjd] ^ [a;d][bc] + [b|(l][ca] + [c|d][abl,
182-.[abcd;e]=[8Je][bcd] + [b|e][cad] + [c|o][abd]+[d|e][cba].
Denn in 180 bis 182 kann man den zweiten Faktor des
inneren Produktes [c, d oder e) als Produkt betrachten, dessen
zweiter Faktor 1 ist (alfo c-1, d-1 oder e^I), und kann dann
No. 173 anwenden; wobei man zu beachten hat, dass nach
den Gefelzen kombinatorischer Multiplikation
[ab] = — [ba] , [a ■ bc] = [b ■ ca] = [c ■ ab] und
[abcd] = [b-cad] = [c-abd] = [d.cba] ist.
183. "Wenn man aus einer Reihe von (n) Grössen erster
Stufe die multiplikativen Kombinationen zu irgend einer Klasse
bildet, und jede derfeiben mit der ergänzenden Kombination
zu einem inneren Produkte verknüpft, fo ist die Summe dicfer
Produkte null, d. h.
[A|B1 + [A,1B,] +....=0,
wenn A, Aj, ■ ■ die multiplikativen Kombinationen aus den n
Grössen erster Stufe ai, 02,- ■•«'a i" irgend einer (m-ten)
Klasse, und B, ßi,--'-dro ergänzenden Kombinationen find.
Beweis 1. Es fei zuerst angenommen m ^> = n — m.
Da nun A eine der multiplikativen Kombinationen von ai,' ■ ■ a„
ist, fo wird es die Form haben
A=[.,n. 8.],
WO r, s,- ■ -z beliebige m verschiedene unter den Zahlen 1 ■ • -n
find. Da ferner B die ergänzende Kombination zu A ist, fo
muss es als Faktoren diejenigen n — m unter den Grössen
a, ■■ 'Bn enthalten, weiche unter den Grössen a^, ag,- ■ -ai nicht
vorkommen. Es feien dies s^-, aj'----, au-, fo dass alfo B
^=^(_— l^^L^r'^s'- ■ 'Su'] isl. Ferner muss das durch ( — t)P an-
gedeutete Vorzeichen (nach 172 Anm.) fo bestimmt werden,
dass [AB] = [a, - ■ ■ sj wird, d. h. dass
y Google
i32 (*»»
* C™ IJPtHjflj- ■ -flunv- ■ -asvaa'- ■ -au'] = [aia^' ■ ■ ■a^^
ist. Von gleicher Form Tind die fämmlliclien übrigen Produkte
[AijBi] u. r. w. Sollen die Kombinationen A, B, Ai, Bi,---
wollt geordnete fein, Tu hat man noch die Bedingungen hinzu-
zufügen, dass r < s <c- ■ ■< u <: V -c.- ■ -SL. z und r' < s' -rr
■ ■■<u' fei. Fügen wir diefe Bedingung hinzu, fo wird
[A]B] -i- [A|| B.]+---
= XC-lP[M.'--au8v-a.|ar'a a„.].
Fassen wir hier a„ - ■ ■ -a, zu einem Faktor zufanimen und
fügen dem zweiten Faktor des inneren Produktes au lutKler
Stelle noch den Faktor 1 hinzu, fu wird die Bedingung von
No. 173 erfüllt, alfo wird der obige Ausdruck
** [A|BJ + [Ai|B.]+.-. _^_^
= Z{~ iy Klar'lfaja.] ■ ■ - [a.|a.] ■ [a„a„- -aj,
wobei noch die Gleichung f'") heslehen bleibt, und auch die
Bedingungen r' ^^ s' < ■ ■ ■ -l.- u' und v < w <■•■<;; z geltend
bleiben, hingegen die Bedingung, dass r ■< s <r:: ■ ■ • <: u fei,
wegfällt, und die Summe fich auf alle unter jenen Bedingun-
gen mtiglichen Glieder bezieht. Ich zeige nun, dass in dieler
Summe alle Glieder paarweife einander entgegengefetzt find,
und fich alfo heben. Es fei irgend eins diefer Glieder betrach-
tet, etwa
C- i)n»ja,'][aja.'] ■ • • •[•.|«.0[«,»,.- ■•■».]
WO die Indices bestimmte (von einander vorschiedenej Werlhe
haben, die den obigen Bedingungen genügen, und wo nach
dem Obigen p einen folchen Werth hat, dass die Gleichung
(*) erfüllt wird. Da die Indices r, r', s, s',---u, u' alle
von einander verschieden find, fo wird irgenil einer der kleinste
unlor ihnen fein müssen, und unter den Produkten [a^jar'],
[ajas'],- ■ ■ -[aujau'] wird irgend eins diofen kleinsten Index
enthalten; es fei dies beispielsweife das Produkt [örlar^]. Dies
angenommen, vertausche man r und r' und ändere das Zeichen,
fo erhält man einen Ausdruck
«^ C- 1? + '[ar'|aj[aja..]- ■ ■ ■[aulau^Jfa.aw- - -a,],
von welchem ich zeigen werde, dass er gleichfalls als Glied
in der obigen Summe (**) vorkommt, Sollte der Index r
grösser fein als s', fo gebe man dem Faktor [ar^la^] unter den
y Google
18») 133
übrigen Faktoren [aja^']' ■ ■ -[aujan-] eine Tolche Stellung, dass
die Bedingung erfülU wird, vermöge welclier der zweite Index
in jedem dieser Faktoren kleiner fein foU als der zweite Index
des iiächäl folgenden Faktors. Ich will annehmen, dass diefe
Bedingung erfüllt fei, wenn man ,den Faktor [ar'jaj um q
Stellennach rechts rückt, was gestaltet ist, da alle diefe Fak-
toren Zahlen find. Es ist nun noch zu zeigen, dass anch die
durch Gleichung (*) ausgedrückte Bedingung für das fo her-
vorgehende Glied gilt, d. h. dass fie noch hesteken bleibt,
wenn man in ihr p -f- i statt p fotzt, auf der linken Seite
ar' mit a^ vertauscht und diefe beiden Faktoren um q Stellen
nach rechts rückt. Das Produkt, welches auf diefe Weife aus
C — l)'tara3- ■ -a„av- ■ -aaar'a,'- ■ -au-] hervorgehl, beissel P; fo ist
P = (— i)p M[a,,a,---Buav-- -a.a^a,.- ■ -a«.]
Denn man kann in diefem Produkte P die Faktoren a^ und
ar' gleichzeitig wieder um 9 Stellen zurückrücken, ohne dass
fich (nach 58) der Werlh des Produktes ändert. Ferner ist
der letzte Ausdruck (nach 55), indem man a, und ar- vertauscht,
= _ (_ i)p+'[a,a,-auav • ■ -a^ar-a,- ■ -au']
^= [ajaj • ■ ■ aj [nach *].
Alfo P = [aiaj----a„]. Alfo ist jener Ausdruck (***)
allen Bedingungen unterworfen, denen die Glieder der Summe
(**) unterworfen find, ist alfo, da jene Summe alle Glieder
enthält die jenen Bedingungen genügen, felbsl ein Glied jener
Summe. Dies Glied hebt fich nun mit dem zuerst betrachteten
Gliede auf; denn
(- l)P[a,!a,,][a>,.]- . .[a.|a„-][a.a,v- ■ ■«.]
+ C- O^'-'-^LaWarlLi'jB,.]. ■ -[a^ja.^Iavfl^- ■ -a.]
ist null, da ^aj = [a^V] ist (nach 144) und (—1)^+1
= — ( — 1)^ ist. Aber auf diefelbe Weife, wie aus dem ersteren
diefer beiden Glieder das letztere hervorgeht, geht aus dtefem
jenes hervor. Und auf gleiche Weife findet fich zu jedem
Gliede jener Summe ein ihm zugepaartes, welches fich mit
ihm aufhebt; alfo ist jene Summe null, alfo auch das diefer
Summe gleiche
[A!B]^[AJB,l+....=0,
y Google
J34 fiS*
2. Wenn m ■< n — m ist, fü ist (nach 150), wenn noch
mfn — m — l) = c gefetzt wird,
im + [A,^B,] + ■ - ■ -c- i)";[B|A] -h c- iri[BijA,] + ■ . ■
= (-1H[B:A]-|-[Bi|A,] + ..-0[98].
Hier ist {nach Beweis i) dio in Klammer geschlossene
Summe 0, alfo
[A|B] + [AJBJ +...=(- O-im = [89],
184. Zufatz. Wenn man aus einer Reihe von 4m
Grössen erster Stufe Si-'-a^ja 'ü^J rammtüchen multiplikativen
Kombinationen A, B, C--- zur 3m-ten Klasse, weiche eine
diefer Grössen, z. B. ai enthalten, bildet, und jede derfelbcn
mit der crgfänzentlen Kombination zu einem inneren Produkte
verknüpft, fo ist die Summe (iiefer Produkte null, d. h.
[A|A'J + [B|B'J+..-- = 0,
WO A, ß,--' die multiplikativen Kombinationen aus ai,-'--
Bin, zur 2m-tcn KIssse, welche ai enthalten, und A', B',-'-
deren ergänzende Kombinalionen find.
Beweis. Da A, B,--- die lammtlichen a, enthaltenden
multiplikativen Kombinationen aus 4m Elementen zur 2m-ten
Klasse find, fo find ihre ergänzenden Kombinationen A', B', ■ ■ -
die fämmllichen Kombinationen aus denfelben Elementen zu
dcrfelbcn Klasse, welche ai nicht enthalten. Ferner, da die
Stufonzahlen von A, B,--A', B',-- gerade find, fo ist (nach
rjö) [AA'J = [A'A], und alfo (nach 172 Anm.), wenn A' dio
ergänzende Kombination von A ist, auch A die ergänzende
Kombination von A', und cbenfo ß die von B', fomit (nach 183)
[A|A') + [BjD'I +■•■.+ [A'jA] + [B'|B] + . . . = 0.
Aber Cmch i44J [A|A'] = [A'|A], [B|B'] = [B'IB]- ■.
Alfo
2[A|A'] + 2[BIB'] J =0, il. Ii.
[A|A'] + [BjB'l -l =0.
188-181. Zufalae. Ins Bofondcrii ist
185. [ab|ccl] + [acldli] + [adlbc] =0,
180. [ablc] + [bc]a] + [oalb] = 0,
187. [abc|.l] — [bcd|a] + [cda b] — [d«b|c] = 0.
y Google
§. 4, Besondere Sätze über die innere Multiplikation zweier
Grössen erster Stufe.
188. Die Bedingiingsgleiciiiingen für die innere Multi-
plikallon zweier Grösse» erster Stufe find
Ca) [e>J=0, wenn r ^ s,
(l>) [e.je,] = [e,]ej = ■■■,
und zwar gelten diefelben auch, wenn man statt der Einheilen
ei, e2,-'-e„ ein heliebiges vollständiges Normalsystem futzt.
Beweis. Die Geltung der beiden Gleichungsgruppen für
die Einheiten ist in No. 142 bewiefen, Alfü gelten fie (nach
i08} auch für jedes einfache vollständige Normalsyslem. Sie
gelten aber auch für jedes beliebige vollständige Noriiialsyslom.
Denn find a, b, zwei Grössen desselben und ist X der nume-
rische Werth des Nernialsystems, fo dass a^:^a', h^kh'
gefetzt worden kann, wo a' und b' den niJmerischen Werth 1
haben, fo ist [a'jb'J^O, alfo auch [Aa'Mb']--0, d. h. [a|b]
= und [aia']-=l, alfo [a|a] = [^a'|^a'] =- P[a'|a'] =P.
Ebenfo [b|b] ^A^ alfo [a';a] = Llilb]. Zu zeigen ist noch, dass
die beiden obigen Gruppen die vollsländigen Bestimmungsglei-
chungen entliallen, d. Ii. (nach 4*5) dass zwischen den Pro-
dukten [ejcj] keine andere Zahlbeziehung herrscht, als eine
aus jenen beiden Gruppen ableitbare. Es lassen fich vermöge
der beiden Gruppen alle Produkte [ei.|ej, fofern r gleich s ist,
gleich [e,|eiJ fetzen, während fie versehwinden, fobald r von s
verschieden ist. Hat man aUo irgend eine Bedingungsgleicbung
^ä^~[ß,le,] ^ 0,
fo verwandelt fie fleh in
iill'o, da [6,jei] gleich 1 ist, in
Ist aber letzteres der Fall, fo geht die Gleichung
schon aus den obigen beiden Gruppen hervor, fomit enlhaUen
jene beiden Gruppen das vollständige System der Bestiminungs-
gleichungen.
Anm. Für diu innere Multiplikation zweier beliebiger ürösacn
y Google
136 (■«»
von den Stufen p und q {q >- = p) igt daa System der Bestimmunga-
gleicIiuiTgen in den beiden Glcichungsgriippen entlialten:
(a) [E|F] ^0, wenn E nicht mit F incidcnt ist,
(b] [E|EG] = [E'I&G], woE, F, G, E' kombinatorieclie Pro-
dukte der ursprünglichen Einheiten had, E, E' von p-ter, F, [EG]
und [E'G] TOn q-ter Stufe und die letzteren beiden nicht null find.
189. [a;b] = [b|a] (spccieller Fall von Wo. 144).
190. Bs ist
[(a,a, + a,a, + ■ ■ • )|(M + j?,a, + ■ ■}]
=:aij5iar' +■ a^iä^aa- ,
wenn «i, aj,--- zu einander normal find.
Uewels. Denn wenn aiai-hOTia^ -f.-- mit ^a,.a^. und
ßja -f ß-i^i -!-■■■ mit ^ß,.a^ iiuzeiclinet wird , fu (äI
[(ß.ai + a,-ä, + - OK M+jS.a. -l---)] = [X^JI^ßJA
= Z<xM^r:^J [42]
weil a, und a,, wenn r von s verschieden ist, nach der An-
nahme zu einander normal find, alTo (nach 188) ihr inneres
Produkt null ist. Der letzle Ausdruck ist aber
= 2^«,i3a' =ßijSiar' + as|3,a^' -f . . ..
191. Es ist
[Cß,a, + a,a, + -- KM + iS^a, +■ ■)]=«.ft 4-«.i?ä + - •,
wenn ai, aar"" ^'i einfaches Normalsystem bilden.
Beweis. Denn nach 190 ist
[(Ciai + a^a, +• ■ -)(fta. + p^a^ 4---)J
aber, wenn aj, a.;,--- ein einfaches Normalsystein bilden, fo
ist aj =^ a^ ^=' ■ = 1 , alfo der gefundene Ausdruck
= a,ß, + a,ß, -i----.
192. Wenn a, , 32,- ■■ zu einander normal find, fo ist
(^1 + "i +■■)" = a' 4- a^ + ■■■
Beweis aus 190.
193. Es ist
(a4-b)-' = a-' -f 2[a!l)] -f- b\
Beweis. Es ist
(. + b)' = [(a + mCo + b)J
= [>ia] + WliI + |l)|»] + [lj|b] [42],
y Google
i»6) 137
alfo (nach 189)
= a^+2[a|l)] + V.
um. Es ist
(a -f- b + c>' = a-' -1- 1)-' 4- c^ -f 2[b|c] + 2[c|a] + 2[a]b].
Beweis wie in 193.
Anm. Die Sätze 192—194 stellen, geometrisch gedeutet, den
PytliagoräiscliGn Lehrfata nebst feiner Ei-weiterung für die Ebene wie
für den Raum dar.
§, 5. Einftihrnng der Winkel,
193. Unter ^AB (Winkel AB) verstehe ich, wenn A
und B von gleicher Stufe aber nicht null, und a und j3 ihre
numerischen Werlhe find, denjenigen Winkel zwischen und
n (diefe Gränzen mit eingeschlossen), dessen Cofinus gleich
dein durch die numerischen Wertlie dividirten inneren Pro-
dukte jener Grössen ist, d.h. ich fetze
c«s.iAB = M £.AB = 0- -fr.
aß
Ferner verstehe ich, wenn a, b, c,-- Grössen erster
Stufe find, und a, ß, r,- ■ ■ ihre numerischen Werthe, unter
fin. (abc' ■ ■) ilen Ausdruck, welciier numeriscli gleich
und nicht negativ ist, d. Ii.
fin. fabC' ■ ■) ~^^= und numerisch ^= --7,
aß:
■]-
[al.c--
aßy
i.h
a'ßY---'
ISK». Wenn a, b Grössen ersler Slufe find, fo ist
fin. (ab) = fin. ^- ah.
Beweis. Denn nach 19.5 ist
_[u6p_ a-'b-'-^[a;b ]'
fin. ''(ab) =
aT
_«'^^_-[a|b]^
[)77]
y Google
138 (la-s
Und da nach der Definition fin, (ab) nie negativ und /lab
ein Winkel zwischen und n, alfo fin. -^ab auch nicht negativ
ist, To folgt aus fin. ^(ab) ^= fin. ^^^ab, dass fin, (ab) = fin.
^ab fei.
197. [Ä|B]=a(5cos.'^AB, wenn A und B von gleicher
Stufe und a und ß ihre numerischen Wertiie find.
Beweis aus 195.
198. [ab]-'= («^fin.'^ab)^ wo k und ß diu numcrisclien
Wertho von a und b find.
Beweis. Nach 177 ist [abj-== K^^'~[a|b]'
= «=/3^-(;ojScos.^ab")^ [I!»7]
= a'^ß\\ — cos.^^abj
= a'|S2fin.=^ab.
Aiiiii. In dierüii Formeln tritt der GegenXaU nwiaclien dem
äusseren und iuiieren Pruduktu in einfachster Gestalt hervor. Wählamt
das innere Produkt zweier Grössen erster Stufe gleich dem Produkte
der numerischen Werthe iu den cofinus des Zwischen winkeis ist, fo ist
das äussere Produkt derfelben, abgefehen vom + Zeiclien, gleich dem
Produkte der nuraerisclien Werthe in den finus des Z wischen wiukels.
199. Es ist
[abjcd] ^^a/Sj-rffin. ^abfin. .^cdcos. C^ab-cd),
wenn a, ß, y, 5 die numerischen Wertbe von a, b, c, d find.
Beweis. Der numerisclie Werth vun [ab] ist ([ah]^)''
und der von [cd] ist ([cd]^)^, alfo ist (nach 1!)7)
[äblcd] = C[ab]-' [cd]^)^ cos, (^ab- cd)
= [(«^fin.^ ab)'dfin.,^cd)'']^cos.C^ab-cdJ [198].
Aber da das Prudukt a^fin.i^abj'finn, ^cd poHtiv ist, fii
hebt fich das fortschreitende Potenziren dlefer Grosse durch
2 und 1 auf, und es wird
[ab|cdj =: a/3/Jfin. ^abfin.'^cdcos.C^ab-od}.
200. Die normale Zurückleitung von A auf eine Grösse
gieicber Stufe ß ist numerisch gleich Acos. ^AB.
Beweis. Wenn A' die normale ZuvücUleitung von A
auf B ist, fo ist Cnach 166)
^, ^ [A |_BjB _ o^cos. ^AB.P ^ , ^^.^
^ ■"■ ---■ ' --^.^AB.
yGoosle
301. Wenn a, b, c,--- zu einander normal fiad, fo ist
für jede aus ilinen numerisch ableitbare Grösse k
h_
■ ^'
wo H, a, §,■■■ die numerischen Wertlie von k, a, !),-■■ find.
Beweis. Es fei k := xa -[- yb -|-- ■ ■ , fo erhalten wir
durch innere Multiplikation mit a, da [bja] ii. f. w. null find,
[a|k]-x[a|a] = xa= [\öi],
,,ro ^ = ta!k]_c»<co£_^k
= — COS. -^^ak.
a
Aus gleichem Grunde ist y = -;cos. ^bk u. f. w. Diefe
Werthe von x, y, ■■- in die obige Formel eingefelztj giebt
k^ — COS. .^ak'a -|- --t-cos. ^^bk-b +■ ■ •, d. h.
k a , I I b , LI ,
— = — COS. ^ak -(- -g-cos, ^bk +■ ■ ■■
302. Wenn a, b zu einander normal und k und 1 aus
ihnen numerisch ableitbar find, fo ist
COS. i^kl^ cos.'^akcos.'^al + cos. -^bkcos. ^^bl-l- ■ -.
Beweis. Nach 195 ist, wenn x, X, a, §,•■■ die nume-
rischen Werthe von k, I, a, b,-.- find,
;(-%os.ial + icos.ibl + -.)] POI]
a- b-
= -^eüS. .^akcos.^al -1- ärcos.^bkcos. ^bl -!-■■■,
weil [a|b] u, f. w. null find. Da nun a* = a^, b^==|3^, u, f. w-,
fo erhält man
cos.i-kl=:cos.'iakcos.^al + cos.^bkcos.^bl -\ .
Zufatz. Man kann diefen Satz auch fo ausdrücken;
Stall eine Grösse erster Stufe (k) auf eine andere I zurück-
zuleiten, kann man jene zuerst auf die Grössen eines Wormal-
syslems zuruukieiten und dann die fo erhaltenen Zurück-
y Google
140 («03
leilungen auf 1 zurückleilen, und diere letzten Zui-iickleitungon
addiren, voraiisgefelüt, dass hierbei alle Zurüekleitungen nor-
male Hnd.
203. Wenn a, b,--- zu einander normal find, To ist
für jedes aus ihnen numerisch ableitbare k
1 = COS. =^ka + COS. ^^-kb -} .
Beweis, Die Formel geht aus 202 hervor, wenn man
l = k felzt.
20ä. Wenn a, b,-- zu einander normal und k und 1
aus ihnen numerisch ableitbar und gleichfalls zu einander nor-
mal find, Fo ist
0:=cos. "^akcos. ^ai 4- cos.^bkcos.iibl -!-■■■.
Beweis. Die Formel gehl aus 202 hervor, wenn man
^Ik = 90 " felzt.
2«5. Wenn » + b-\ =0 ist, und a, ß,--- die
numerischen Werlhe von a, b,--- find, fo ist
a) a: ßi- ■ • • = fin. a' : fin b' : ■ ■ ■ ,
wo a', b', ■■ die zu a, b,'-- ergänzenden Kombinationen aus
a, b,- ■ ■ find,
bj ßcos.^ax -[- j?cos. .i-bx -f-. . - = 0,
wo X eine beliebige Grösse ist,
c) fin.a'cos, ^ax -J- fin.b'cos.<^bx -f - - . ■ =0.
Boweis 1, Multiplicirt man die Gleichung
a -f- b + . ■ ■ ^
kombinalorisch mit cd----, fo erhalt man
[acd- - -] + [bcd. ■ -] ^0, alfo [acd- -j^^ [bcJ. -]',
wo [acd- ■ -] das Produkt aller Grössen a, b, c,- - -, mit Aus-
nahme von b, und [bcd- - ■] das Produkt aller Grössen, mit Aus-
nahme von a, ist. Somit ist (nach 195)
[a/tf-.O'fin.'lacd-] -f- (i^j-^- ■ ■)^fin.'[bcd- ■■]=0,
oder a^fin,'[acd- ■ ■] ^^^ß^Sia.\bc(\- ■ ■].
Nun ist cad- ■ ■ die ergänzende Kpmbinalion zu b, alfo ^= b', und
bcd- • ■ die ergänzende zu a, alfo ;= a', alfo fin.b' = fin.(cad. -}
undfin,a'^=f!n,(bc(l- ■), alfo, da «, ß, fin.a', fin.b' pofitiv find,
ann.b' = j?rin.a', d. h. tt: ,3 = fin.a': fin.b',
und fomit allgemein
a:ß:-.- = fin. a' ; fin. b : ■ - . .
yGoosle
»11) 141
2. Multiplicirt man die Gleichung a 4-.'' H — =Oiniier-
lich mit einer beliebigen, von null verschiedenen, Grösse erster
Stufe X, fo erlialt man
[a|M + [bN-F---=0,
alfo wenn | der numerische Werth von x ist, ist
a|cos.iiax + j5|cos.^bx -1 =0, d. h.
«COS. ^ax + ß COS. ^bx -| =0.
3. SubsUtuirt man in die fo erhaltene Gleichung die vor-
her gewonnenen Werlhe von a:ß:y ■■■•■, fo erhält man
fin.a'cos.^ax -f- i'in.b'cos.'^bx -f ■ ■ . . =0.
A nm. Die entwickelten Formeln liaben nur dann eine Bedeutirag,
wenn zwisclien den Grössen a, b, ■ ■■ keine andere Bezieliung Iierrselit,
fils die darcli die Clei'hung &-J" ^4- dargestellt iat, d.h. wenn
G k m G ederer als Cn- l)ter
8 g F G erste den bekannten
m D die Hnus der Gcgen-
206— 13 A F n , 175- i78, 184,
18d ergeben fich mit Hülfe der angegebenen Winkelbozeicli-
nungon folgende Formeln:
20«. (in. ^AB ■ lin. ^^Bcos. (^ AB ■ Aß)
= Xcos. ^jM OS. ^B^,
wo Aj. die Kombinationen aus den einfachen Faktoren von
[AB], zur fo vielten Klasse, als die Stufe von A beträgt, und
Br die ergänzenden Kombinationen find.
207. nn.(abc- Ofin.Ca'b'c- ■)cos.(.^Hbc' ■ -a'b'c'- ■
^^ De!crm. f cos.-i au', cos.--ab',- ' ■
J cos.'^ba', cos.'i-bb',- - •
( ■
308. fin.abfin.cdcos.C^ah-cd)
= cos.accos.bd — cos.bcoos.ad,
und wenn hier a und c statt c und d gefetzt wird
209. fin. Bbfin.accos.C—ab-ac) ^^eos.hc — cus.abcos.ac,
eine bekannte Formel der sphiirischen Trigonometrie, ferner
210. rin.=ab = l — cos.'ab,
was hier als die Transformation von 177 mit aufgeführt ist,
211. fin. ^[abc] -^^ i — cos. ^bc — cos.^ca — cos. 'ab
4- 2cos.bccos.ca COS. ab.
y Google
213. fin.Afin.Bcos.^AB 4- fin.Aifin.BiCas.^AiBi -|
wenn A, Ai,- • die Kombinationen aus 2n Grössen erster Stufe
zur n-len Klasse, und B, Bi,--- deren Ergänzungen find.
213. fin, abfin. cdcos.f^ab ■ cd) -ffin. ac fin, bd cos.Ci^ab ■ cd)
-(- l'in.adfin.l)ccos.C^ad'bc) = 0.
Ann), Ebenfo würden Tich die übrigen Formeln aus §. 3 babcn
[übe dj
umgestalten lassen, wenn man noch ^~ä~!i~ = "^^^^ ^abcd gesetat
hätte u. f. w.
aia-21S. Ferner aus 193, 194 ergiebt fich.
214. Ca +i))'- = ((^ -f- 2ß|Scos.^al) -[- ß'\
215. (a + b + c)i = a^4-(3^-f /^ + 2f5^cos./-bc
-f- lyacos. ca + 2a§ cos, ab ,
wo a, ß, Y die numerischen Wcrlhe von a, b, c find.
^id}!. 5. ^niumlmimni auf &ic 6conirtm\
g. 1, Addition, Subtraktion, Vervielfachnng und Tlieilung
von Punkten und Strecken.
216. Erklärung. Wenn ein Punkt E und drei gegen
einander fenkrechte und gleich lange Linien als ursprüngliche
Einheiten angenommen find, und a, a,, Kj, «j beliebige Zah-
len find, fo verstehe ich
a) «nier
E 4- KjCi 4-ajO, + a^ii^
den Punkt A, zu welchem man gelangt, indem man von E
aus zuerst um eine Strecke EB forlschreitet, welche gleich
a,ej ist, d, h. welche mit ei gleich oder eiitgegengcfetzl ge-
richtet ist, je nachdem «i pofitiv oder negativ ist, und deren
Länge fich zu der von e, wie a^ zu i verhall, dann von B
aus um eine Strecke BC, welche in demfelben Sinne gleich
(tjCä, und endlich von C aus um eine Strecke CA, welche in
demfelben Sinne gleich «303 ist, fortschreitet,
b) zweitens verstehe ich dann unter
ctiOi + «sOä -f- «363
eine Strecke, d, h. eine gerade Linie von bestimmter Länge
und Richtung, und zwar diejenige Strecke, welche gleiche
y Google
81») 143
Länge und Richtung hat mit der von E nach dem Punkte
E + «161 + Ojej -(- «363 gezogenen geraden Linie,
c) drittens unter
«(E+a^ei + a,e, -\- a,e,-)
= aE -{- naiCi •}- ßö^ej + ««3^3
das K- fache des Punktes E + ßiei + «2^^ + a^e^, und
fetze fest, dass für alle diele Grössen und ihre Verknüpfungen
die in Kap I gegthentii Bestimmungen, und alfo auch die
daraus abgeleiteten Satze gelten
Anm Gidascn eister Sliife lind allo hier die einlachen und Mel-
fachen Punlite und die &trecken Ton bestimmter Länge und Richtnng.
Durch die EiUUningcn m § 1 ist dann die Addition, Subtraktion^
\ ervielfachune: und Theiiung diefer Grössen bestimmt, und durch die
Satze in § 1 die Oeltung der algebiaiiuhcn ^eiLnüpfungagefi-tBc lur
£ie nacbgew lefcn und m dtii tolgenden §§ die belonderen Eigenachafton,
welche ihnen als eitL-nfnen Gidssen lukomniLii Wir leiten hier im
nichst aus diekn formUkn Beatimmungen die Konstiuktionen ab,
duich weldie die Eefultdte oei veifchiedenen Verknüpfungen Lrlulgt,n
217 Wenn A = E + «,e, + a,ej + a^e^ ist, fo find
OjCi, Cjei , «jCa die fenkrechten Projektionen (normalen Zu-
rü eklet tun gen) von EA auf die 3 von E ausgehenden mit Cj,
^2f 63 gleichgerichteten Axen.
Beweis folgt unmiUeibar aus der Definition,
218. Lehrfalz aus der Geometrie. Gleichgerich-
Icle Strecken, auf diefclbe gerade Linie fonkrecht projicirl,
liefern gleichgerichtete Projektionen, die fich ihrer Länge nach
wie die projicirten Slrecken verhalten; und umgekehrt, wenn
die fenkrechten Projektionen zweier gerader Linien auf drei
gegen einander fenkrechte Axen gleich lang und gleich ge-
richtet find, fo find die projicirten Linien felhst einander gleich
lang und gleich gerichtet,
210. Lehrfatz aus der analytischen Geometrie. Wenn
A, ß, C drei beliebige Punkte einer geraden Linie find, und
AB, BC, AC durch ein Slück DE diefer Linie gemessen, be-
ziehlich die Quotienten ß, ß, y geben, wobei jeder Quotient
pofitiv oder negativ genommen ist, je nachdem die gemessene
Linie mit der messenden (DE) gleich oder entgcgeiigeletzl
ist, fo ist allemnl
yGoosle
144 (»«O
was man auch, der KOrze wegen, schreiben kann
AB + ßC = AC.
220. Mehrere Strecken (von gegebener Richtung und
Länge) addirt man, indem m'in fie ohne ihre Richtung und
Länge zu ändern, stetig an e nnd i I gl 1 h. fie fo legt,
dass wo die eine aufhört de näcl st folgen Ic anfängt, dann
ist die gerade Linie von Aifa g&pu kt i r c sten zum End-
pnnkte der letzten der gefuU ten (s i e gl et hng und gleich-
gerichtet.
Beweis. Erstens für 2 Strecken a nud b. Es fei
a = aiei 4- «iCi + ^3^3,
b=j3ie, +(?iOi + ß^o^,
alfo (nach 6)
a + b = («1 + j3i>i + C«. + ß2>, + (% + ß,)e,.
Ferner i"ct E -[- a = A, E + b = ß, E -f (a -f b) — C, fo ist
(nach 2i6) die gerade Linie EA mit a gleich lang «nd gleich-
gerichtet, ER mit b, EC mit a -}- b. Endlich fei FG mit EA
gleich lang und gleichgerichtet und GU mit EB, fo ist zu
beweifen, dass FH mit EC gleich lang, und gleichgerichtet
fei. Da FG mit EA gleich lang und gleiciigerichlel ist, fo
gilt dies (nach 218} auch für ibre Projektionen; nach 217 find
aber die Projektionen von EA gleich und gleichgerichtet mit
«iCi, «262, «363, foniit gilt dies auch von den Projektionen
von FG; aus gleichem Grunde find die Projektionen von GH
gleich lang und gleichgerichtet mit i^jCi , ^^e^, ß^e^. Es feien
nun Fj , Gl, Hj die Projektionen von F, G, H auf die von
E ausgehende mit Ci gleichgerichtete Äxe, fo ist alfo FiG,
mit a,ei gleich lang und gleichgerichtet, GiHi mit |9ie,, d. b.
FiG, und GiHj liefern, durch Oj gemessen, die Quolienten a,
und (3,, fomit liefert (nach 1I<)), da Fj, Gi, H, in Einer ge-
raden Linie liegen, FiHi, durch e^ gemessen, den Quotienlen
«I -{- ßij ^- ^- ^iHi ist mit («£ -f- /^i]i'i gleich lang und gleich-
gerichtet. FiHi ist aber die Projektion von FH auf die durch
E in der Richlnng von Cj gelegte Axe. Wendet man diefelhe
Schlussfülge auch auf die übrigen Axen au, fo orgiebl fich,
dass die Projektionen von FH gleich lang und gleichgerichtet
find mit (et, -{- ßi)^^, (% ^^sX, («a +ßi)>h, d. h. mit dtm
yGoosle
«»I) 145
Projektionen von EC, fornit isl (nach 118) FH mit EC gleich
lang und gleichgerichtet, d. h. mit a -j- b, was zu beweifen war.
Zweitens. Hat man nun mehrere Strecken a, b, c u.
r. w., und ist a mit FG, b mit GH, c mit HI, u. f. w.
gleich lang und gleichgerichtet, To ist nach dem ersten Theil
des BeweiTes a -(- b mit FH gleich lang und gleicbgerichtel,
alfo auch wieder, da a + b mit FH, und c mit HI gleich lang
und gleichgerichtet isl, n -|- b + c mit FI, u, f. w.
221. Das Produkt einer Strecke a mit einer Zahl et ist
wieder eine Strecke (b), welche mit der ersleren (a) glcicli
oder entgegen gefetzt gerichtet ist, je nachdem die Zahl a po-
fitiv oder negativ ist, und deren Länge fich zu der vtui a, wie
a zu 1 verhält.
Beweis. Es feien E, Oi, e^ e^ als Einheilen genommen,
und fei
a = Kie| -{- ctjOj 4- «3631 fo ist
b = aa ^«CaiOi + «262 + «sea)
= Ktt^ei -}- ottjCa 4" «fa^s-
Der letzte Ausdruck bedeutet aber [lach 216) eine Strecke,
welche gleiche Lange und Richtung hat mit der von E nach
dem Punkte B = E + aa,c, -f «K^ej -f- ««363 gezogenen gera-
den Linie EB, Die Projektionen diefer Linie auf die 3 von E
ausgehenden mit e, , Cj, 03 parallelen Axen find (nach 217)
aKiCi, ««262 -(- "«363. Ebenl'o ist «161 + «jCa + «303 eine
Strecke, die gleiche Länge und Richtung mit der von E nach
dem Punkte A ^= E + «lei + a^e^ + «363 gezogenen Linie hat,
und «lei, «iC], a^ej find die Projektionen von EA auf die ge-
nnl n 3 A\e Ist n z e st a pofitiv, fo find aß,ei, aa-^e^,
aa-e bez ehl ch n tae ae , «303 gleichgerichtet, und ver-
halte Tel zu I nen a 1 , alfo gilt dasfelbe (nach 218)
aucl f r de proj c rten L en, d. h. EB ist mit EA gleich-
g chtet d f e n La ge verhält fich zu der von EA, wie
al laubntEB d mit EA gleiche Länge «nd Rich-
tung hat fo fnd uc! u 1 b einander gleichgerichtet, und
verlalle fch 1 rer Läng ach, wie i:a.
Ist aber a negytiv ^^^^^ — ß, fo find actie,, «ß^es, aa^ea,
d. h. — jJ«ie,, — ß(h^t, — ßa.jC^. die Projektionen von EB,
y Google
14ß («S»
und find (nach 216) denen von EA, nämlich a,ei , ctaCä, «363
entgegnen gefetzt gerichtet, foniit find die von BE, näiiilicli
/9a,ei, ßa-iOi, ßc^i'^si m't denen von EA gleichgerichtet, und
ihre Längen verhalten fich, wie ß : i, alfo find aucli BE und
EA gleichgerichtet, und verhalten fich, wie ß:\, alfo find
EB und EA und ehonfo alfo auch h und a einander enlgegen-
gefetzt gerichtet, während ihre Längen fich noch wie i : ß
verhalten,
222. Die Summe «A+|3B-| , in welcher A, B,---
Punkte, et, ß,-'- Zahlen find, ist eine Strecke oder ein viel-
facher Punkt, je nachdem a-\-ß-\^--- gleich oder ungleich
Null ist; und zwar ist im ersten Falle
ctA + |3B + ■ - . = a(A -- R) + /3(B - R) + ■ ■ -,
im zweiten
ctA + iSB4--.-=C«+/5+--OS,
« R «(A-R) -f jS(B - R) + . . .
wo b — H^ ■ ■ TS—: — >
und R ein beliebiger Punkt ist.
Beweis. Es ist
A=R + A-R, B = R-f B — R.
Setzt man diefe Werthe in den Ausdruck a\. -\- ßB -{- ■ • ■
ein, fo erhält man
aA + ^B + ---=C« + f3'(--0R + <A-R)+^Cli-R)+--.
Alfo erstens, wenn a -\- ß -\ — ■ ^^ Ü ist,
= a(A-R)-h]9(B-R)4----.
Ist hingegen a -\- ß -]-•■■ von Null verschieden, elwn gleich
tf, fo wird
«A-h^B4-'--^öR + «CA — R)-1-|S(,B -R)-!
^ y-^ ^ <A-Rj-Hi3(B~R)+--- -N
_a(A -R)-hff(B-R)+.
gefelzt hl.
Zufiitz. Wenn A und B Punkte find, fo i
yGoosle
Strecke, welche mit der geraden Linie BA gleicii lang und
gleichgerichtet ist.
Beweis. Nach 218 ist A — E eine Strecke, welche
gleich lang und gleichgerichtet ist mit der geraden Liniu EA
und B — E eine mit EB gleich lange und gleichgerichtete
Strecke; nun ist
A — B = CA — E)-CB--E), alfo
= (A-E) + CE-B)=(E-B) + CA~E).
Da nun E — ß und A — E Strecken find, die mit BE
und EA beziehlich gleich lang und gleichgerichtet find, To ist
ihre Summe fnach 320) mit BA gleich lang und gleichgerichtet,
d. h. A — B mit BA.
Anm. nierdurcli find, alfo die Strecken auf DilYerenzen von Punk-
ten surückgef ilhrt , und ilire duroli stetiges Aneinanderlegen gebildete
Summe stellt fich als eine Summe rolc]ier Differenz.en dar, in denen
ficli der Endpunkt jeder Strecke rojt dem Anfangspunkte der nächst
folgenden aufliebt.
223. Wenn man von einem beweglichen Punkte (B)
nach einer Reihe fester Punkte (A, B,> ■ -) gerade Linien zieht,
und diefe, nach konstanten Verhältnissen ii : a, \ : ß, ■ ■ •)
ändert (fo dass dadurch die Linien BA', BB', ■■■ hervorgehen,
welche mit RA, RB, ■■- beziehlich gleich oder entgegengefetzt
gerichtet find, je nachdem a, ß,-- pofitiv oder negativ find,
lind rieh ihrer Länge nach zu RA, RR,--- verhalten wie die
Zahlen a, ß,- • zur Einheit), und dann die fo erhaltenen Linien
(RA', RB',- - ■'), ohne ihre Richtung und Länge zu ändern, stetig
aneinander legt, To hat die Linie (RP) vom Anfangspunkt (R)
der ersten zum Endpunkt (P) der letzten folgende Eigenschaft,
1) wenn die Summe der Verhältnisszahlen (a, ß,--') null
ist, fo ist diefe Linie [RP] von konstanter Länge und Richtung,
2) wenn die Summe der Verhältnisszahlen ungleich null
ist, fo jeht diefe Linie (RP) durch einen festen Punkt (S),
welcher von diefer Linie (RP) den fo viellen Theil abschneidet,
als jene Summe (a + ^ +■ - ■) beträgt.
Beweis. Der Satz ist nur ein anderer Wortausdruck
von 222.
Aam. Der Funkt S ist bekanntlich der Schwerpunkt awisclien
den Punkten A, B,---, wenn deren Gewichte fich wie a: ß: ver-
halten; hier wird er naturgemäss den Namen Summenpunkt führen.
y Google
148 (««4
224. Der Summenpunkt S der Summe «A + /*B -^ ,
in weicher a-f-^-f ■■■?0 ist, hat die Eigenschafl, dass
a(A — S) +|SCB — S)+-'.=0
ist; und kein zweiter Punkt beHlKt diefe Eigenscliafl.
iteweis. Denn felzt man in 223b. den Punkt R = S,
fo wird
d. !i. = aCA — S) + j3(B~S)+---.
Soll diele Gleichung noch für einen zweiten Punkt R
gelten, aifo
= aCA — R) + ß{B — R) + . .
fein, fo erhält man durch Subtraktion
-^ cetR — S) + (5(R - S) + ■ . .
= («+^+..OCR-S),
alfo, da a i- ß -\ — (nach Hyp.) nngloich null ist,
= R — S ,
alfo R ^= S, d. h. es giebt keinen zweiten von S verschiedenen
Punkt, der Jone Eigenschaft hat.
225. Die Summe zweier einfachen Punkte ist gleich
ihrer doppelten. Mitte, und die Summe zweier vielfachen
Punkte ist, wenn die Koefficienlen gleich bezeichnet find, ein
vielfacher Punkt, dessen Koefficient die Summe der Koeffi-
cienten der Summanden ist, und dessen Ort zwischen den
Orten der Summanden fo liegt, dass er von ihnen im umge-
kehrten Verhältnisse ihrer Koefficienten absteht, hingegen
wenn die Koefficienten entgegengefetzt bezeichnet und nume-
risch nicht gleich find, ein vielfacher Punkt, dessen Koelficient
die algebraische Summe der Koefficienten der Summanden ist,
und dessen Ort in der Verlängerung der geraden Linie, welche
die Orte der Summanden verbindet, fo liegt, dass er von
diefen Orten im umgekehrten Verhältnisse ihrer Koefficienten
absteht.
Beweis liegt unmittelbar in 332.
226. Die Summe eines einfachen Punktes und einer
Strecke ist der Endpunkt der geraden Linie, welche diefer
Strecke gleich lang und gleichgerichtet ist, und deren An-
fangspunkt der gegebene Punkt ist.
y Google
a««) 149
Beweis. Es fei die gerade Linie AB gleicb lang und
gleichgerichtet mit der Strecke p, (o ist (nach 232 ZuT.)
B — A = p.
Alfü A + P = A + B — A = B.
237, Die Summe eines a-fachen Punktes (aÄ) und
einer Strecke (p) ist der a-faciic Endpunkt einer geraden
Linie (AB), deren ß-faches mit diefer Strecke (p) gleich lang
und gleichgerichtet und deren Anfangspunkt (A) der gegebene
Funkt ist.
Beweis. aA H-p = af A 4- — J, alfo wenn das a-fache
von AB mit p gleich lang und gleichgerichtet ist, alfo AB mit
-H-, fo ist
a
B-A = i,
und alfo aA -|- p =^ ofA + B — A) = «B.
A»m. Die Addition der Fnnkto ist zuerst (1827) von Mocbiua
in feinen barycentriBclieii Kalkül gelehrt worden. Die Addition der
Strcckea scheint zuerst von Bellavitis in mehreren Anffatzcn (1835,
1831) der Annali delle Soienzc del Eegno Lombard o-Vcneto veröffent-
licht zu fein. Ganz unabhängig davon ist die Bearbeitung meiner Aus-
dehnungslehre von 1844 (§. 24, §. 101—10^), in welcher auch zuerst
der Zufammenhang zwischen beiden Additionen ans Licht gestellt ist.
Es fehlt jedoch Towohl in jenen Werken als auch in diefem der Nach-
weis, dass es keine andere Addition der Punkte und Strecken gicbt,
als die hier angegebene, und dennoch erscheint diefer Nachweis notli-
wendig , wenn jene Addition als eine wirkliche Addition jener Grössen,
und nicht bloB als eine abgekürzte Schreibart aufgefesst werden foU,
wie letzteres Moebius will. Es ist daher zxi zeigen, dass der allge-
meine Begriff der Addition , wenn er ins Befendere auf Punkte (oder
auch auf Strecken von gegebener Lftngo und Richtung] angewandt wer-
den foll, keine andere als die oben dargestellte Addition liefern kann.
Zu dem Ende ist zunächst die allgemeine Bestimmung festzuhalten , dass
keine Verknüpfung geometrischer Gegenstände als folche an einen be-
stimmten Ort im Räume gebunden fein darf; oder, um diefe Bestim-
mung rein mathematisch auszudrücken ; „Alle Verknüpfungen räum-
licher Grössen müssen von der Art fein, dass jede Gleichung, welche
zwischen einem Verein von Punkten statt findet, auch bestehen bleiben
muEs, wenn man statt diefer Punkte die entsprechenden Punkte eines
kongruenten Vereines fetzt." Die Addition und Subtraktion ist nun
dadurch bestimmt, dass erstens die 4 GrundformeJn
y Google
150 (9*9
IJ a-f.b=b + a,
2)a + (b + cJ = a+b + c,
3) a + b— b==ft,
4) a- b J-b = a
gelten; und tlass ausserdem die durch die Verknüpfung entstehenden
Grössen in möglichst weitem Umfang von gleicher Gattung fein müssen,
wie die yerbnüpften. Diefe letztere Bestimmung muss noch indivi-
dualifirt werden. Da nach der dritten Grundformel, auch wenn A
und B Punkte find,
A+n-B^A
alfo em Punkt und nach dei eisten und dritten
A + B-A-B,
alfo auch ein Pankt ist, fo hegt die Annahme nahe, da's auth A -j- B
— C als Pui kt zu fetzen lat Docli genagt es , dicfe Annahme nur tur
den lall 7U machen, diss die Kilte amschen A urd B iit ^'Vir
machen allo, um der angeführten Bestimmung zu gendgtn, die An
rahme, „daas wenn C die Mitte zwischen den Funkttn A und B iit,
allemal A 4- B — • ^ leder ein Punkt fei ' Hiermit f nd die nothwen
<iigen Annahmen erschöpft Zunsohst folgt aus dem Gelten der 4
Qriindformeln das Gelten illei illgcmeintn Additions und Subtrak
tionager(,tze Demnachbt bewejfi, ich, dass wenn der Punkt die Mitte
zwischen den Punkton A und B ist, A + B — C= C fei Es fei A
+ B^G:=X gefetzt, fo kann X nicht von C verschieden fein. Denn
angenommen, X wäre TOn C verschieden, fo verlängere man XC um
rieh felbst bis Y, fo dass XC — CY wird. Dreht man nun die l'igur,
welche die Punkte A, B, C, X enthält, innerhalb einer Ebene, in wel-
cher diefe'Eigor liegt, um den Punkt C herum, bis Tie einen Winkel
von 180" 'iJtachriebeu hat, fo fällt nun A dahin, wo vorher B, B da-
hin, wo ■Vorher A lag, und X fällt auf Y, d h der Verein ABC
X ist kongruent dem Vereine B, A, C, Y. Da n n nach der An ahme
A4-B~C = X
war, fo musB nach der obigen Bedingung, el I er ilk g ouetrscle
Verknüpfungen unterliegen, diefe Gleichung a ch oh bestel en bl
ben, wenn man statt A, B, C, X beziehlicl LAC Y f tzt alfo
B + A-C=^Y.
Alfo hat man
Y = B + A — C = A + B-0 (nach Grundformel 1)
= X (nach Annahme) ,
aJfo Y ^= X. Es entstand aber Y aus X dadurch, dass man XC um
fich felbst verlängerte bis Y; foll alfo Y mit \ ziifammen fallen, fo
muss X in fallen, d. h. es ist X = C, alfo A + B — C = C.
Bringt man in diefer Gleichung C auf die rechte Seite, fo erhält
A+B = 2C,
d. h. „die Summe zweier Punkte ist das Doppelte des in der Mitte
y Google
»»') 151
zwischen be d h g d P kt E f AB und CD zwei
beliebige ge i L gl 1 Lg d ] LI ng , fo ist das
Viereck ABDC P 11 1 i, m I D ag 1 mögen fich in E
sdineidcn D d D g 1 P 1! 1 {, mms fich hal-
birtn, fo lat E r hl i M tt 1 A dl 1 auch zwiflclieii
B und C, d 1 t
A + D=^E = B + C U Ä + r=B + C.
Bungt man 1 f Itt Gl 1 D dB [ Jie andere Seite,
lo erhalt vn
A— B=C-D
ümgekehit, w d 1 1 t t Gl 1 g g It 1 g It uch die vorher-
gehende A + D = B + CdldMtt 1 AndD musa zu-
gleich Mitte 1 E 1 C f d 1 d \ k ABDC mu93
ein Pniallel oi K AB m t CD gl h 1 g i gleichgeiTchtet
fem Daran flgtd St Ei Dft A — B zweier Punkte
ist einer Diff C — D d P kt d und nur dann
gleich, -wen AB d CD gl h 1 g d gl hg ht te Linien find."
Nennt man dK g dDff A — Bd— B-J-A eine
Strecke, B il A f g p kt A h E dp kt f folgt l^ogleicli
der Satz „St k ( g g b R ht g d Lii ge) addirt man
indtm man T ( 1 1 B hi g d L g ändern) stetig,
d h fo ane d 1 gt d d E dp kt j d i mit dem An-
fangspunkte 1 li tf Ig i C mm fillt d ist die Strecke,
nelehe den i f g [ kt d t St k 1 Anfangspunkt
und den Eiilp kt d 1 t t h E dp U ) t, die Summe,
jenoi ötieck D d T! t f B d rst Strecke gleich
~A-(-B, d t gl 1 — B + C d dntt f,l h — C-f-D, fo
ist die Summ =_A + B-B |-C-C + D = — A + D, waszube-
weifen war.
Für die Divifion einer Strecke durch eine ganze politive Zahl ist
(locli die Bestimmung zu machen , dass der Quotient wieder eine Strecke
fei (wobei unter Strecke hier immer die Differenz zweier Pnnkte , alfo
eine Strecke von gegebener Länge und Richtung verstanden ist). Dann
folgt nach der bekannten Sehl uss weife , dass das Produkt einer Strecke
m ejnc beliebige ganze oder gebrochene rationale oder irrationale Zahl
a wieder eine Strecke ist, welche der gegebenen gleichgerichtet oder
entgegengefetzt gerichtet ist, je nachdem a pofitiv oder negativ ist
und deren Linge ficW zu der Länge der gegebenen Linie wie a zu 1
verhalt. Hierdurch löst ficii dann die allgemeine Aufgabe, die Summe
aA-j-bB-( zu finden, wo a, b,-- Zahlgrössen, A, B,. ■ . Punkte
find. Nämlich für jeden beliebigen Punkt B ist
aA-fbB+...
= (a -I- b + . . .) R. + a(A - K) -1- b(B — R) + . . - .
Wii' unterscheiden zwei Fälle, je nachdem a + b-j--'- null ist, oder
nicht. Im erstcren Palle wird
y Google
152 («*«
alfo gleich einer Strecke , welche nach dem Obigen konstniirbar ist.
Zweitens wenn a + b + ■■■=■ s ^ ist , fo wird
aA -i-hB +■ . ■ = eR + a(A - R) + b(B -. R) +■ ■ ■.
Hier ist aCA — R)+b(BRJ + --- eine Strecke; der s-te Theil dieter
Strecke fei fo gelegt, dass R fein Anfangspunkt ist; dann fei fein End-
punkt mit S bezeichnet, fo ist
a(A — Rj + b{B ~ R) +. ■ - = e(S - R).
Diefer Werth in die obige Gleichung eingefetat, giebt
aA + bß+-.. =sR + sCS -R)
= s{ R + S - R)
= bS,
wodurch die Aufgabe vullatändig gelöst, und der Begriff der Addition
einfacher und vielfacher Punkte und Strecken vollkommen boetimmt
lat, und iwar in Harmonie mit den im Haupttexte gegebenen Be-
stimmungen.
§. 2. Räumliche Gebiete.
228. Erklärung. Unter einem unendlich entfernlen
Punkte feien die Richtungen einer geraden Linie, unter einer
unendlich entfernten geraden Linie die ntmmtlichen Richtungen
einer Ebene, unter einer unendlich entfernten Ebene die fämnit-
lichen Richtungen des Raumes verstanden, d. h. es fei von
zwei parallelen geraden Linien gefagt, dass lie einen unend-
lich entfernten Punkt gemein haben, von zwei parallelen Ebe-
nen, dass lie eine unendlich entfernta gerade Linie gemein
haben, und von allen unendlich cnlfenilen Punkten und ge-
raden Linien, dass fie in einer unendlich entfernten Ebene
liegen.
Um die räumlichen Grössen erster Stufe, d.h. die ein-
fachen oder vielfachen Punkte und die Strecken (von gege-
bener LSnge und Richtung) auf gleiche Weife behandeln au
können, will ich Tagen, der Ort einer Strecke fei der unend-
lich entfernte Punkt, welchen die diefer Strecke parallelen
Linien gemein haben, eder auch, es fei jene Strecke eine
Grösse erster Stufe, welche in diefen Linien in unendlicher
Entfernung liege. Auch will ich der Einfachheit wegen, um
den Ausdruck räumliche Grössen erster Stufe durch einen ein-
facheren zu erfetzen, fovvohl die einfachen und vielfachen
y Google
Punkte als auch die Strecken kurzweg Punkte nennen, und
zwar die letzteren unendlich entfernte
A ZmWfd mlhCö n, wie der Grössen üter-
liptght btm mt 1 Wrtli, vermöge dessen fic
( b inrat \ h U ) m 1 t d ermindert werden können.
Df dbd fli dlfh Punkten durch den Zahl-
L ffl t d gest 11 b d St t d ch ihre Länge. Es würde
f 1 1 m gl h r 1 h tf nte Punkte anzunehmen,
d mthWth htdhlL ge einer Strecke, londeru
d i Z 11k ffi t d g t llt e, d. h. welche aus dem
KhPk Allhhn gdss man, ohne a zu ändern,
den Punkt A ins Unendliche verlegte. Allem was dadurch hervorginge,
würde, wie man leicht lieht, gana den Charakter des Unendlichen an
fleh tragen , infoEern es durch Hinznfügung einer endlichen Grösse
(eines endlich entfernten Punktes, oder auch einer Strecke) gar nicht
verändert wUrde. Mit lolchem Unendlichen darf aber überhaupt gar
nicht gerechnet werden, weil kein algebraisches Gefetz für das Unend-
liche gilt, und die Analyfls des Unendlichen überhaupt nur dann zu
richtigen Kefultatcn führen kann, wenn man das Falsche, was man
durch Annahme des Unendhchen hineingebracht hat, noch vor der
Ableitung irgend eines Refultates wieder herausschafft. Die Strecke
dagegen , obgleich man fich der Bequemlichkeit wegen den Ausdruclt
gestatten darf, daas ihr Ort unendlich entfernt fei, ist doch eine end-
liche GrOsse, indem fie durcK Ilinzufügung jeder von Null verschiede-
nen Grösse fich ändert.
229. Alle Strecken des Raumes lassen fich aus belie-
bige» 3 Strecken, welche nicht Einer Ebene parallel find, nu-
merisch ableiten.
Beweis. Es feien a, b, c dr Strecken, welche nicht
einer Ebene parallel find, und e eine beliebige Strecke, von
der gezeigt werden fo!l, dass fie aus a, b, c numerisch ableit-
bar ist. Man ziehe von einem beliebigen Punkte D die mit a,
b, c, e, gleich langen und gleichgerichteten Linien DA, DB,
DC, DE, fo ist (nach 223 Zuf.) A-D = a, ß — D = b,
C — D = c, E — D = e. Ferner ziehe man durch E die
Parallele mit DC, welche die Ebene ABD in F treffe, durch
F die Parallele mit DB, welche DA iu G treffe, fo ist DG||DA,
GF||DB, FE;|DC. Es möge fich DG;DA = a:l, GF : DB
T= (3 : 1 , FE : DC ^= )■ : 1 algebraisch (d. h. auch dem Vorzei-
chen nach] vorhalten, fo ist (nach 321)
y Google
]54 (S80
G — D=a(A— D3 = Ka,
F — G=(S(U — D)^iSI),
E — F = rCC — 1») -= rc.
Alfo addirt
E — D=aa + j9b +/C, d. li. e — aa +|^U + j'c.
230. Alle Strecken einer Ebene lassen fich ans belie-
bigen 2 einander nicht parallelen Strecken der Elene nume-
risch ableiten.
Beweis. Es feien a, b zwei nicht parallele Strecken
einer Ebene nnd d eine beliebiffe Strecke der Ebene, von
der gezeigt werden toll, dass Tiu ans a und b nnmeriscli ab-
leitbar ist. Man ziehe von einem beliebigen Punkte C der
Ebene ^ie mit a, b, d gleich langen und gleichgerichteten
Linien CA, CB, CD, ziehe durch D eine Parallele mit Cß,
welche CA in E tretten, lo ist CEjjCA, ED|CB Es verhalte
rieh algebraisch CE : CA = a : i , ED .- Cß = jS : 1 , fo ist nach
E- C=(t(A— C)^ßa,
D — E=jSCß~-C)^/Sb,
alfü
D — C = aa -f ^b, d. h. d = «a 1- ^b.
231. Wenn zwischen 3 Strecken eine Zahlheziehun;;
herrscht, fo find fie Einer Ebene paniHel.
Beweis. Es feien a, b, c die 3 Strecken und
c ^= aa -|- jSb
ihre Zahlheziehung. Sollten a und b parallel fein, fo würde
auch c ihnen parailel fein, und es alfe unendlich viele Ebenen
geben, mit welchen a, b, c zugleich parallel find. Ist a
nicht parallel b, fo ziehe man von einem beliebigen Punkte
D eine Linie DA, welche mit a parallel isl imd fich zu a ver-
holt wie a:i, und von A eine Linie AB, welclio mit b pa-
rallel ist und fich zu b verhält wie ß:i, fo ist
A-D = aa,
B ~ A = |Sb.
Alfo addirt
B ^- U = aa -i- )Sb = c.
Folglich isl c eben fo wie a und b der Ebene ABD parallel.
y Google
«««) 155
232. Alle Piinkle des Raumes lassen fich niiiiierisch ab-
leiten a«s beliebigen 4 Punkten, welche iiiclit in Einer Ebene
liegen; ins BeTondere
a) aus einem endlich entfernten Punkte und drei nicht
Einer Ebene parallelen Sirecken,
b) aus 2 endlich entfernten, nicht zufanimenfallenden
Punkten und 2 Strecken, welche nicht einer durch jene 3
Punkte gelegten Ebene parallel find,
c) aus 3 endlich entfernten Punkten, die nicht in Einer
geraden Linie liegen und aus einer Strecke, die der durch
die 3 Punkte gelegten Ebene nicht parallel ist,
d) aus 4 endlich entfernten Punkten, die nicht in Einer
Ebene liegen.
Beweis a. Es feien a, b, c drei nicht Einer Ebene
parallele Strecken und d'=:(JD ein endlich entfernter Punkt,
1> fein Ort und e' = eE ein beliebiger endlich entfernter
Punkt und E fein Ort; und fei zu zeigen, dass e' aus a, b,
c , d' numerisch ableitbar fei. Kach 229 ist die Strecke E — D
aus a, b, c numerisch ableitbar; es fei
E — D = «a +ßb + YC,
fo ist
E = D + aa-h(3b-f>'C, d. h. ■
e' = -,-d' -f- eaa -{- eßh -j- eye,
d. h, e' aus a, b, c, d' numerisch ableitbar. Ist der abzulei-
tende Punkt ein unendlich entfernter, d. h. eine Strecke, fo
ist diefe (nach 329) schon aus a, b, c, alfo auch aus a, b, c,
d' numerisch ableitbar (= aa + j3b -f- »"C + Od).
b. Es feien a, b zwei Strecken, c';=/C, d';=JD zwei
endlich entfernte Punkte, C und D ihre Orte, und fei voraus-
gefetzt, dass fich durch C und D keine mit a und h parallele
Ebene legen lasse. Man fetze C — D = c, fo find a, b, c 3
nicht Einer Ebene parallele Strecken, folglich jeder Punkt e'
(nach Beweis a) ans a, b, c, d' numerisch ableitbar. Setzt
man in den Ausdruck diefer Ableitung statt c feinen Werth
y Google
C — D, d. Ii, — — -r, fo erhalt man einen Ausdruck, durch
yd'
welchen c' aus a, b, c', d' numerisch abgeleitet ist.
c) Es fei a eine Strecke, b' = /5B, c'^yC, a' = ^D 3
endlich entfernte Punkte, B, C, D ihre Orte, und foi voraiis-
gefelzt, dass a nicht mit der Ebene BCD parallel fei. Man
fetze B — D=^b, ?» ist fnach Beweis b^ jeder Punkt e' aus
a, b, c', d' numerisch ableitber. Setzt man in dem Ausdrucke
fo erhält man einen Ausdruck, durcli welchen e' aus a, b',
c', d' numerisch abgeleitet ist.
d) Es feien a'^aA, b'^jSB, c'— /C, d' = ^D vier
endlich entfernte Punkte, Ä, B, C, D ihre Orte, und fei vor-
ausgefetzt, dass diefe Punkte nicht in einer Ebene liegen.
Man fetzte A — D^=a, fo ist (nach Beweis c) jeder Punkt
e' aus a, b', c', d' numerisch ableitbar. Setzt man in dem
Ausdrucke diefer Ableitung statt a feinen Wcrth --,
fo erhält man einen Ausdruck, durch welchen e' aus a', b',
c', d' numerisch abgeleitet ist.
Anm. Dbs erete der 4 im Satze bciiei ebneten Ableitiingesysteme
ist, wenn die 3 Strecken gleich lang find, das gewöhnliche Parallel-
koordinatensyetem , das letzte ist, wenn die Punkte einfach find, das
barycen frische von Möbius, wenn fie beliebig find, das allgemeinste
lineale Koordinatensystem, wie es von Plücker und anderen behan-
delt ist.
233. Alle Punkte der Ebene lassen lieh aus beliebigen
3 nicht in gerader Linie liegenden Ptmklen derfelben nume-
risch ableiten.
Beweis wie in 233.
233. Alle Punkte der geraden Linie lassen fich aus
beliebigen zwei räumlich verschiedenen Punkten derfelben nu-
merisch ableiten.
Beweis wie in 232.
233. Wenn 3 Punkte in einer Zahlbeziehung zu ein-
ander stehen, fo liegen fie in einer geraden Linie.
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«»«) 157
Beweis. Es feiun a, b, c die 3 Punkte, iinii
ihre Zalilbezieliung. SinJ b und c unendlich entfernt, ht ist
(in 231) gezeigt, dass dann a, b, c drei Einer Ebene paral-
lele Strecken find, d. b. (nach 228) dass a, b, c unendlich
entfernte Punkte find, die in Einer unendlich entfernten Ebene
liegen. Sind hingegen b und c nicht beide zugleich unendlich
entfernt, fe verbinde man fie durch die gerade Linie DE,
und nehme D und E als zwei einfache, endlich entfernte
Punkte dtefer geraden Linie an. Dann find (nach 234) b und
c, da fie in der durch D und E gelegten geraden Linie liegen)
aus D und E numerisch ableitbar, alfo auch a = |S!) + /c. Es
fei a = ^D -f fE. ist nun S -^ e = 0, aife e=— S, fo ist
a = JcD — E). Aber .J(D — E) ist eine mit DE parallele
Strecke, d. Ii. ein unendlich entfernter Punkt di;r Linie DE,
alfo liegen dann a, b, c in DE. Ist aber 6 -[• e^^G, von
Null verschieden, fo ist
a = dD H- eE =: ffD -[- f(E — D),
d.h. a = ffA, wo A^D -|---(E— D) ist, d. h. D - A =
— (E — D). Alfo ist D — A iitil E - D parallel, d. h. A ein
Punkt der Linie DE, alfo auch in diel'em Falle b, c, d in einer
geraden Linie.
Anm, Der letzte Thcit des Beweifes thut nur dar, djiss der
Schwerpunkt zweier Punkte mit beliebigen Gewichten in üer diefe
Punkte verbindenden geraden Linie liegt.
236. Wenn 4 Punkte in einer Zahlbeziehung zu ein-
ander stehen, fo liegen Oe in Einer Ebene.
Beweis. Es feien a, b, c, d 4 Punkte und
a=:ßb +YC + U
die Zahlbeziehung. Sind zuerst !), c, d alle drei zugleich un-
endlich entfernt, fo ist zu zeigen, dass a in der unendlich
entfernten Ebene liegt, d. h. auch uncndiich entfernt, d, h.
eine Strecke fei. Dies folgt aus 228, da dann b, c, d alfo
auch ihre Vielfachen Strecken lind, und fomit auch (nach 320)
ihre Summe. Sind b, c, d nicht alle drei zugleich unendlich
entfernt, fo fei DEF die durch fie gelegte Ebene und D, E,
y Google
158 (»3»
F drei einfache, endlich entfernte Punkte diel'cr Ehene. Dann
lassen fich (nach 233) h, c, d aus D, E, F numerisch ab-
leiten, alfo auch ßb -]- j-c -f W, d. h. a. Es fßi
a = ^D +fE + ^F.
Ist zuerst d + e i-C^O, ib ist
a = JD + eE+rF — tii+f-|-nD = 6lE- n)-!-^^-!)},
alfo a aus E — D und F — D numürisch ahleithar, d. h. (nach
231) die Strecken a, D — E und F-D find Einer Ebene
parallel, folglich ist a der Ehene DEF parallel, d. h. ein un-
endlich entfernter Punkt diefer Ebene.
Isl S -\- e -{- C = " ungleich null, fu ist
a = JD + fE + CF = ffü -I- <E — D) -|- C(F — D)
= tf A, wenn A = D -f — (E - D) -f -^-(F — D)
ist, alfo ist D — A (nach 231) mit der Ebene DEF parallel,
d.h. A ein Punkt der Ebene DEF, alfo auch a ein Funkt
diefer Ebene.
SSY. Das räumliche Gebiet erster Stufe ist ein Punkt
(als Ort betrachtet), das zweiter Stufe eine unbegrenzte ge-
rade Linie, das dritter Stufe eine unhegränzte Ebene, das
vierter Stufe der unhegränzte Raum.
Beweis. Ein Gebiet n-ter Stufe ist (nach 14) die Ge-
fammthcit der Grössen, welche aus n Grössen numerisch ab-
leitbar find, vorausgefetzt, dass jene Grössen fich nicht fämmt-
lich aus weniger als n Grössen numerisch ableiten lassen. Nun
find (nach 232) alle Punkte des Raumes aus vier Grössen
erster Stufe numerisch ableitbar; nach 236 bilden die aus drei
folcher Grössen ableilbaren Punkte eine Ebene, folglich lassen
fich die Punkte des Raumes nicht aus weniger als 4 Grössen
erster Stufe ableiten. Alfo ist der Raum ein Gebiet 4-ter
Stufe. Ebenfo folgt aus 233 und aus 235, dass das Gebiet
3-ler Stufe eine Ebene, und aus 334 und daraus, dass aus
einem Punkt nur örllich identische Punkte ableitbar find, folgt,
dass das Gebiet 2-ter Stufe eine gerade Linie, fo wie das Ge-
biet erster Stufe ein Punkt fei.
238. Aufgabe. Die Ableilzahlen (Koordinaten), durch
welche ein Punkt (p) aus 4 nicht in einer Ebene liegenden
y Google
«3») i59
Funkten (a, b, c, d) hervorgeht, auszudrücken durch die Ab-
Ißitzahlen, durch ivelche derfelhe Punkt (p) aus 4 neuen Punk-
ton a', b', c', d' ableitbar ist; voraiisgefetzt , dass liiefe 4 neuen
Punkte durch die 4 alten ausgedrückt find.
Auflöiung. Es fei
1) a' = c(a + j3b +YC -f iJJ,
2) b' = a'a-\-ß'b+Y'c + Ö'd,
3) c' = a"a + ß"b + y"c + ^"ü ,
4) d' = a"'& -\- ß"'h + y"'c + d"'t\,
5) p = x'a -f- y'b + z'c -f uM ,
6) p = xa' + yb' -f zc' -f "(''■
Man fetze in 6) für a', b', c', d', p diu Werlbe aus 1)
bis 5) fo erhält man, naeh a, b, c, d geordnet,
7) x'a -f- y'b -(- z'c -f- u'd
= Cxa+ya'H-za"+ua"')a+Cx^4-y^'+ZjS"+ur')b---.
Da hier a, b, c, d nicht in einer Ebene liegen, fo stehen
fie (nach 336) in keiner Zahlbeziehung zu einander. Folglich
find (nach 20) in der gefundenen Gleichung die entsprechen-
den Koofficienten gleich, aifo
x' ^= xa + yß' -f za" -f- na"'
f==xß-^yß'-\-xß" + vß"-
z' = XY + yj-' -[- z/" + u/"'
ii' ^= xS -f- yiJ' + ''-3" i- K'J"'
Anm. Diea ist die Auflöfiing des allgemeiusten Problems der
Koordinaten Verwandlung.
§. 3. Korabinatorische Multiplikation der Funkte.
230. Erklärung. Das Parallelogramm, in welchem
AB und BC zwei Seiton find, werde ich der Kürze wegen
das Parallelogramm ABC nennen, und zwar werde ich, wenn
es auf diefe Weife benannt ist, AB feine erste Seite, BC feine
zweite Seite nennen. Ferner alle Parallelogramme, deren
erste Seile der Strecke a und deren zweite Seile der Strecke
b gleich lang und gleichgerichtet find, werde ich die Paral-
lelogramme ab nennen. Zwei Parallelogramme ABC und DEF,
welche in parallelen Ebenen liegen, werde ich dann und nur
dann als gleiclibezeichnet betrachten, wenn man fie durch
y Google
160 (»*«
parallele Fortbewegung ihrer Ebenen und durch Bewegimg'
der Parallelogramme innerhalb ihrer Ebenen in eine lolche
Lage bringen kann, dass, wahrend AB und DE in derfeiben
geraden Linie nach derrelben Bichtung hin liegen, C und F
auf ein und derfeiben Seite diefer geraden Linie fich befinden.
230. Erklärung. Den Spat (_däs Parallolepipedum]),
in welchem AB, BC, CD drei nicht in einer Ebene liegende
Kanten fincl, werde ich der Kürze wegen den Spat (das Pa-
rallelepipedum) ABCD nennen , AB feine erste, BC leine zweite,
CD feine dritte Kante. Und alle Spate (Parallelepipeda), deren
erste Kante der Strecke a, deren zweite der Strecke b, und
deren dritte Kante der Strecke c gleich lang und gleichge-
richtet find, werde ich die Späte (Parallelepipeda) abc nennen.
Zwei Spate ABCD und EFGIl werde ich dann und nur dann
als gleichbezeichnet betrachten, wenn man He in eine folche
Lage bringen kann, dass, während ABC und EFG gleichbe-
zeichnete Paralielogranim derfeiben Ebene werden, D und H
auf ein und derfeiben Seite diofer Ebene liegen.
Zufatz, Die Spate (Parallelepipeda) abc, bca, cab find
einander gleich (auch dem Zeichen nach).
231. Lehrfatz. Zwei Parallelegramme, deren erste
und deren zweite Seilen gleich lang und gleichgerichtet find,
find einander gleich (auch dem Zeichen nach), und liegen in
parallelen*) Ebenen. Zwei Spate (Parallelepipeda), deren ent-
sprechende (erste, zweite, dritte) Kanten gleich lang und
gleichgerichtet find, find einander gleich (auch dem Zeichen
nach); d. h. alle durch dasfelbe Symbol ab bezeichneten Pa-
rallelogramme und ebenfo alle durch dasfelbe Symbol abc be-
zeichneten Spate find einander gleich (auch dem Zeichen nach).
232. Erklärung. Von zwei Parallelogrammen, die
in parallelen Ebenen liegen «nd ebenfo von zwei beliebigen
Sputen (Parallelepipeda) fage ich, dass fic fich wie 2 Zahlen
a und ß verhalten, wenn fie einander gleich- oder entgegen-
gefetzl bezeichnet find, je nachdem a und ß es find, und fie
fich, abgefehen vom Zeichen, wie a zu j5 verhalten (vgl. 321).
") Zu den Piimllelen ist überall das Ideiitisclie mit hiiinugßrecbiieL
y Google
«4«) 161
243. Lehnfalz. Zwei Parallelogramme ABC und ABD
(von ilcrfelben Grundfuite Aß) find dann und nur dann gleich
Cauch dem Zeichen nach), wenn CD mit AB parallel ist,
aaa. Lehnfalz. Zwei Spate (Farallelepipeda) ABCD
und ABCE (von derfelben Grundfläche ABC) find dann und
nur dann gleich (auch dem Zeichen nach), wenn DE mit der
Ebene ABC parallel ist.
An in. Nach diefen vorbereitenden Sätzen, welche aus der Geo-
metrie entlehnt find, können wir nun den Begriff des kombinatorischen
Produktes von Fankten aus di;ra allgemeinen Begriffe des kombina-
torischen Produktes direkt ableiten.
34S. Das kombinatorische Produkt zweier Punkte ist
dann und nur dann null, wenn die beiden Punkte zufammen-
fallen, das kombinatorische Produkt dreier Punkte, wenn He
in gerader Linie liegen, das kombinatorische Produkt von vier
Punkten, wenn fie in einer Ebene liegen, das kombinatorisch«
Produkt von fünf Punkten ist immer null.
Beweis. Nach 61 und 66 ist das kombinatorische Pro-
dukt zweier oder mehrerer Grössen dann und nur dann null,
wenn fie in einer Zahlbeziehung zu einander stehen; nach
221 stehen zwei Punkte dann und. nur dann in einer Zahibe-
ziehung, wenn fie zufammenfallen, drei Punkte (nach 234 und
235), wenn fie in einer geraden Linie liegen, vier Punkte
(nach 233, 236), wenn fie in einer Ebene liegen, und nach
232 stehen fünf Punkte stets in einer Zahlbeziehung. Alfo
bewiefen.
236. Wenn A ein endlich entfernter Punkt, b, c, d un-
endlich entfernte Punkte, d. b. Strecken find, fo folgt
aus [Ab] = 0, die Gleichung b = 0,
aus [Abc]=0, die Gleichung [bc]=0,
aus [Abcd] = 0, die Gleichung [bcd]=0.
Beweis. Es fei [Äbcd]=0. Angenommen nun, [bcd]
fei ungleich null, fo können (nach 61) b, c, d in keiner Zahl-
beziehung zu einander stehen. Da aber [Abcd] = ist, fo
muss zwischen A, b, c, d eine Zahlbeziehung herrschen, und
da b, c, d in keiner Zablbeziehung zu einander stehen, fo
mitsste (nach 2) A aus b, c, d numerisch ableitbar fein.
y Google
163
(«4«
Aber aus den unendlich entfernten Punkten oder Strecken b,
c, (I gehen durch numerische Ableitung (nach 220) nur Strecken,
d. h. Punkte der unendlich entfernten Ebene hervor, alfo nicht
der endlich entfernte Punkt A. Somit ist die Annahme, dass
[bcd] von null verschieden fei, mit der Voraus fetzuiig im Wider-
spruch, d.h. [bcd] muss null fein. Ganz ebenfo ergehen fich
die übrigen Theüe des Satzes,
Sftlf. Kin kombinatorisches Produkt [AB] zweier ein-
fachen Punkte A und B ist einem kombinatorischen Produkte
[CD] zweier einfachen Punkte C und D dann und nur dann
gleich, wenn die unendlichen geraden Linien AB und CD zu-
fammenfallen, und Aß mit CD gleich lang und gleichgerich-
tet ist.
Beweis i. Es feien die unendlichen geraden Linien AB
und CD zufammenfallund, und AB mit CD gleich lang und
gleichgerichtet, fo ist zuheweifen, dass [AB] ^ [CD] fei. Da
AB und CD gleich lang und gleichgerichtet find, fo ist (nach
222 Zuf.)
* B — A = D — C.
Ferner, da A, B, C in einer geraden Linie liegen (Hy-
polhefis), fo find B — A und C — A Strecken einer und der-
felben geraden Linie, stehen alfo (nach 221) in einer Zabl-
boziehung zu einander. Es fei
«* C — A-=a(B~A).
Nun ist
[CD] - [CCD - C)]
= [C(ß-A)]
= [CA + C-AXB-A)1
= [CA-f «(B-A))(B-A)]
^ [A(B - A)]
= [AB]
2. Es fei Vürausgefetzt
[AB] = [CD],
fo ist zu bewcifen, dass A, ß, C, D in einer geraden Linie
liegen und AB und CD gleich lang und gleichgericiitet find.
Wenn [AB] ^ [CD] ist, fo müssen (nach 76) C und D aus
A und B durch lineale Umwandlung ableitbar fein. Die ein-
[67]
[67]
[67].
y Google
»»!) 163
fache lineale Umwandlung zweier Grössen besteht (nach 7-1)
darin, dass zu einer derfelbeii ein Vielfaches der andern addirt
wird, alfo z. B. A und B fich verwandeln in A und B + aA.
Die fo hervorg'ehende neue Grösse ist, alfo aus den beiden
ursprünglichen Grössen numerisch abgeleitet, liegt alfo (nach
235) in der jene Grössen verbindenden geraden Linie, fojnit
werden ans A und B durch fortgefetzte lineaie Umwandlung
nur Punkte der geraden Linie AB hervorgehen; fomit liegen
C und ü in der geraden Linie AB. Nun fei E ein Punkt der
geraden Linie AB von der Art, dass GE mit AB gleich lang
und gleichgerichtet fei, fo ist (nach Bew. i)
[CE] = [AB],
und nach der Vorausfetzung
[AB] = [GDJ,
alfo auch
[CE]=:[CD]; folglich
= [CD] — [CE] = [CCD — E)].
Somit (nach 346;)
D^E = 0, d.h. D=E.
Da nun nach der Annahme CE mit AB gleich lang und
gleichgerichtet ist, fo ist auch das mit CE identische CD mit
AB gleich lang und gleichgerichtet.
aas, Zufatz. Wenn A, B, C und D einfache Punkte
find, fo folgt aus der Gleichung
[AB] = [CD],
die Gleichung
A-B = C— D,
aber nicht umgekehrt, aus diefer jene,
249. Erklärung. Wir nennen das Produkt [AB] einen
Linientheil, und fagen, derfelbe fei ein Theil der unbegrflnzten
geraden Linie AB, und er fei mit der begränzten geraden
Linie AB gleich lang und gleichgericlitet.
250. Zufatz. Zwei Linienlheile werden alfo dann
und nur dann gleichgefetzt, wenn fie gleich lang, gleichge-
richtet und Theile derfelben unbegränzlen geraden Linie find,
231. Das kombinatorische Produkt eines einfachen Punk-
tes in eine Strecke ist ein Linientheil, welcher in der durch
y Google
164 (»»«
ilen Punkt parallel der Strecke gezogenen geraden Linie liegt,
und der Strecke gleich lang und gleichgerichtet ist.
Beweis Es Tel A ein einfacher Punkt und p eine Strecke.
Man ziehe durch A eine gerade Linie AB, welche mit p
gleich lang und gleichgerichtet ist, fo ist (nach 222 Zuf.)
p = B - A, nlfo [Ap] = [A(B ~ A)] = [AB] [67]
und [AB] ist ein Liniontheil, «cLher in der geraden Linie
AB, alfo in der durch A mit p parnllel gezogenen geraden
Linie liegt, und mit AB, ilfu luch mit p, gleich lang und
gleichgerichtet ist.
252. Das ProduKt eines LrnLontheiles [AB] mit einer
Zahl a ist ein Linienthetl, welcher mit jenem in derfelben un-
begrünzten geraden Linie liegt, und fich zu ihm algebraisch
wie a:i verhält.
Beweis. a[AB]^ß[ACB — A)], [67]
^ [Ak(B — A^]. [40]
Das letztere Produkt ist (nach 251) ein Linienthoil, welcher
in der durch A mit «(B — A) parallel gezogenen geraden
Linie, d. !i. in der geraden Linie AB liegt, und welcher mit
a(B — A) gleich lang und gleichgerichtet ist, d. h. (nach 321)
fich zu AB wie a:l verhält.
253. Wenn A und ß einfache Punkte, a und ß Zahlen
find, fo ist [aÄ-(5B] ein Linientheil, der in der unbegränzten
geraden Linie AB liegt und fich zu der begränzten geraden
Linie AB algebraisch a§ zu 1 verhält.
Beweis, [aA^iSB] = a/5[AB] (nach 46), alfo (nach 253)
ein Linientheil der unbegränzten geraden Linie AB, welcher
fidi zu der begränzten AB algebraisch wie aß : 1 verhält.
254. Zwei von Null verschiedene kombinatorische Pro-
dukte [ab] und [cd] je zweier Strecken a und b, c und d,
find dann und nur dann einander gleich, wenn die Parallelo-
gramme ab und cd gleich an Inhalt und gleichbezeichnet find
und in parallelen Ebenen liegen.
Beweis, Li 72 und 76 ist bewiefen, dass zwei kom-
binatorische Produkte [ab] und [cd] dann und nur dann ein-
ander gleich find, wenn c und d aus a und b durch lincaie
Aendcrung ableitbar find; und zwar bestand die einfache lineale
y Google
«Ä4i 165
Aenderung zweier Grössen (nach 7i) darin, dass zu einer
derfelben ein Vielfaches der andern addirt wurde, wShrend
diefe andere unverändert blieb, d. !i. alfo, dass a und b, wenn
a und ß beliebige Zahlen find, entweder in a und b + aa,
oder in a -}- ßh und b übergingen. Nun fei AB mit a, BC
mit b gleich lang und gleichgerichtet, und ändere fich b in
b' = b -f aa, ferner fei CD parallel mit AB gezogen und ver-
halte (ich zu AB algebraisch wie a: i, fo ist (n&ch 222) B — A
= a, C — B = b, D — C = aa. Alfo
D — ß^D-C + C~B = «a4-b=:b',
d. h. BD ist mit b' gleich lang und gleichgerichtet. Ferner
da AB und CD parallel find, fo find (nach 243) die Parallelo-
gramme ABC und ABD einander gleich C^uch dem Zeichen
nach), und liegen in einer Ebene. Alfo find auch die Paral-
lelogramme ab und ab' gleichbezeichnet und in derfelben Ebene
liegend. Dasfelbe gilt, wenn fich a und b in a 4- ^b und b
ändern. Alfo ergiebt fich, dass, wenn aus a und b durch
einfache lineale Aenderung c und d hervorgehen, auch die
Parallelogramme ab und cd gleich (auch dem Zeichen nach)
find und in parallelen Ebenen liegen. Dasfelbe gilt alfo auch,
wenn c und d aus a und b durch mehrmalige Anwendung
einer einfachen linearen Aenderung, d. h. durch eine beliebige
lineale Aenderung hervorgehen. Somit ergiebt fich;
Erstens. Wenn [ab] ^: [cd] ist, fo müssen c und d aus
a und b durch lineale Aenderung ableitbar fein (76); und
wenn o und d aus a und b durch lineale Aenderung ableitbar
find, fo müsse» die Parallelogramme ab und cd gleich (auch
dem Zeichen nach) fein und in parallelen Ebenen liegen.
Zweitens. Wenn umgekehrt vorausgefetzt wird, dass ab
und cd gleiche (auch gleichbezeichnele) Parallelogramme in
parallelen Ebenen find, fo müssen, da a, b, c, d dann einer
und derfelben Ebene parallel find, c und d (nach 230) aus
a und V numerisch ableitbar fein, folglich stehen (nach 63)
die kombinatorischen Produkte [ab] und [cd] in einer Zahlbe-
ziehung zu einander.
Es fei [cd]=^a[ab] der Ausdruck diefer Zahlbeziehung.
Setzen wir ab=^b', fo wird [cd] ^^ [a^ab] =; [ab']. Alfo find
y Google
166 (»»»
Cnach Boweis 1) die Parallologrammo cd und ob' gleich und
gleichbezüiclinct, alfo da aucli cd und ab uac!i dur Voraus-
setzung g-leiclie und gleiclibeaeichnctc Parallelogramnie find,
fü find auch ab und ab' gleiche und gleichbezeichncte Paral-
lelogramme, Nun fei AB mit a, BC mit b, BD mit h' gleich
lang und gleichgerichtet, fo ist das Parallelogramm ABC eins der
mit ab bezeichneten und ABD eins der mit ab' bezeichneten
Parallelogramme. Alfo ABC mit ABD gleich und gleichbezeich-
net, folglich da ABC und ABD auch in einer Ebene liegen,
l'o liegen Cnach 243) C und D in einer mit AB parallelen Linie.
Nun find BC und BD beide mit b parallel, alfo auch unter-
einander, alfo da fie einen Punkt (B) gemein haben, fo liegen
fie in einer geraden Linie, fomit fallen C und D, da D auch
in der durch C mit AB parallel gezogenen geraden Linie liegt,
zufammen, alfo find BC und BD identisch, alfo find b und b',
von denen das erste mit BC, das zweite mit BD gleich lang und
gleichgerichtet ist, auch unter einander gleich lang und gleich-
gerichtet; folglich, da auch ab =b' gefetzt war, foista = l.
Nun war
[cd]=o[.b]
gefetzt, alfo, da a=i ist,
[cd] = [ab].
235. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro-
dukte [ABC] und [DEF] je dreier einfacher Punkte A, B, C
und D, E, F find dann und nur dann einander gleich, wenn
die Parallelogramme ABC und DEF gleich und gleichbezeich-
net find und in einer und derfelben Ebene liegen.
Beweis \. Es feien ABC und DEF gleiche und gleich-
bezeichnete Parallelogramme einer und derfelben Ebene, fo
ist zu beweifen, dass [ABC] = [DEF] fei. Es feien AB mit
a, BC mit b, DE mit c, EF mit d gleich lang und gleich-
gerichtet, d. h. B — A = a, C— B = b, E — D = c, F--E
= d,* fo ist (nach 244)
**[ab] = [cd].
Da ferner D in der Ebene ABC liegt, und ebenfo B - A = a
und C — B^^b Strecken diefer Ebene find, fo muss (nach
330) D — A aus a und b numerisch ableitbar fein. Es fei
y Google
*** D — A = aa -i- ßb,
fo isl
[DEF] = [UE(F - E)] = [DCE - DXF - E)] [67]
= [Dcd] [*]
= [D(0(i)] [80]
= [BC»b)] [••]
= [oa +ßli + A)ak] [»••, 80]
= [Aab] [67]
= [A(a + AJCb + A)l [67]
= [ABC] [•].
2. Es fei Mtiigekehrt vürausgefelzt, dass
[ABC] = [DEF]
ist. Dann müssen (nacli 76) D, E, F aus A, B, C diircli lineale
Aenderung, alfo auch numerisch ableitbar fein. Dann aber
müssen (nacli 236) D, E, F in der Ebenfe ABC liegen. Nun
fei in der geraden Linie BC ein Punkt G von der Art ange-
nommen, (iass AßG und DEF gleiche und gl eiclih zeichnete
Paralielogrammu find, fo ist tnach Bew. i), da ABG und DEF
in ein und derfelben Ebene (ABC) liegen,
[ABG] ^ [DBF].
Aller auch nach der Vorausfctzung
[ABC] = [DEF].
Alfo [ABG] = [ABC]. Da nun G ein l'iinlU in BC ist, fo ist
G— Ü aus C — B numerisch ableitbar, es fei G — B^aCC — B),
olfo G = B-f aCC-B), Ib ist [ÄBC]=[ABG]=[AB(B4-«CC— B))]
= [ABaCC — B)]^ß[ÄBC] [67, 40]. Alfoa=l. Somit, da
G — B=a(C — B) war, G — B = C — B, d. h. G = C; oder
die Funkle G und C fallen zufammen; alfo fallen auch die Pa-
rallelegramme ABG und ABC zufammen. Fvlgiich, da ABG
und DEF gleiclie und gleiehbeaeichneto Paratlelogrumme der-
felben Ebene find, fo gilt dies auch von ABC und DEF.
2Sß, Zufutz. Wenn A, B, C, D, E, F einfache Punkte
find, fo folgt ans der Gleichung
[ABC] = [DEF]
auch die Gleichung
[Cß - A)CC - B)] = [(E - D)CF -El];
hingegen umgekehrt, aus lelzlerer die orstere nur dann, wenn
y Google
168 («&«
noch die Bedingung hinzutritt, dass die Ebenen ABC und DEF
nicht hlüss parallel, fundern auch identisch find.
25*7. Erklärung. Wir nennen das Produkt [ABC]
einen Fläciientheil und den Flacheninhalt des Parallelogramms
ABC feinen Inhalt, und fagen, der Flächentheil ABC liege in
der Ebene ABC.
Acin. Die genauere Benennung für das Produkt [ABC] würde
Ebeiieatheil statt Fiächentlieil fein Allein, der erstere Ausdruck ist
wegen des Gleirliklangs Tcines Pluials „die Ebcnenthoile" mit dem
Ausdrucki. „dit, ebenen Tlieile" zu verweifea
298 Zulatz Zwei FlaLhentheib find dunn und nur
dann einander gLich, wenn fie in derleiben Ebeni, hegen,
und ihre Inhalte gleich und gleichbezcicImLl find
Anm Man hatte als Inhalt des I lachen tlieiles [ABC] auch den
Flaclieninhalt des Dieiecks ABC Tctzen können Aber es wird fick in
der iolge zeigen, dass- dann der Inhalt des ii neren Quadrates einer
btiecke nui die Hilltp ^o^ dem Inhalte des QuadratPS dicfi-i btrecku
lein wuide m hrend beidf,' bei uuleier Benmnung in UebLieinstim
mung i^t
2ES9 Das kombinatorische Produkt zweier einfachei
Punkte A, B und einer Strecke c ist ein Flächonlheil, wel-
cher in der durch Aß mit c parallel gelegten Ebene liegt,
und dessen Inhalt gleich dem eines Parailelograinmes ABC
ist, in welchem ßC mit c gleich lang und gleichgerichtet ist,
d, h. [ABc]=[ABC], wenn c = C — B.
Beweis. [Aßc] = [ABCC - B)] = [ABC] [67].
2fi0. Das korabinatorisclie Produkt eines einfachen Punk-
tes A mit 2 Strecken b und c ist ein Flächentheil, welclier
in der durch A mit b und c parallel gelegten Ebene liegt,
und zum Inhalt den Flächeninhalt eines Parallelogrammes (ABC)
hat, dessen erste Seite (AB) mit b, und dessen zweite Seite
(BC) mit c gleich lang und gleichgerichtet ist, d. h.
[Abc] = [ABC], wennb = B — A, c = C — B ist_
Beweis.
[Abc] = [A(B — AXC — B)] = [AB(C — B)] [67]
= [ABC] [67].
261 a. Das Produkt «[ABC] eines Flächenlheils [ABC]
mit einer Zahl a ist ein Flachenthci! dorfelben Ebene, dessen
Inhalt fich zu dem von ABC wie a : 1 veriiält.
y Google
«««) 169
Beweis. a[ABC] = a[ABcC — BJ] [67]
= [ÄB-aCG-B)] [46]
=[ABCD-B)],
wenn BD mit BC parallel ist, und ficli zu ihm, wie «; 1 ver-
hält. Dies ist wieder (nach 67J
= [ÄBD] ,
d, h, gleich einem Fläclienlheil derfelben Ebene (ABC), dessen
Inhalt dem Flächeninhalte des Parallelogramms ABD gleich ist.
Da aber BD und BC parallel find und fich algebraisch wie
a:l verhalten, fo verhalten tich auch die Parallelogramme
ABD und ABC wie a:l, d. h. die InhaKo von a[ABC] und
[ABC] wie a : I.
261b. Wenn Ä, B, C einfache Punkte, und a, ß, y
Zahlen find, fo ist [aA-jSB-yC] ein Flächentheil der Ebene
ABC, dessen Inhalt zu deiti des Parallelogramms ABC ficIi
algebraisch wie a^y.'i verhält.
Beweis. [aA-iSB-yC] ^ a/Sj'tABC] (No. 46), alfo nach
Ä6i bewiefen.
2ti2. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro-
dukte [abc] und [def] je dreier Strecken a, h, c und d, e,
f find dann und nur dann einander gleich, wenn die Spate
(Parallelepipeda) abc und def gleich und gleichbezoichnet find.
Beweis I, Es fei vorausgefelzt, dass
[abcl = [defj
fei, fo ist zu zeigen, dass die Spate abc und def gleich und
gleichbezeichnet find. Da [abc] ^ [def] ist, fo müssen (nach
76) d, e, f aus a, b, c durch üneale Aenderung hervorgehen.
Nun können wir zeigen, dass durch einfache lineale Aende-
rung der 3 Seiten a, b, c eines Spates abc stets ein gleicher
und gleichbezeichneter Spat hervorgehe. Die einfache lineale
Aenderung der 3 Grössen a, b, c besteht (nach 71} darin,
dass zu einer derfelben ein Vielfaches von einer der beiden
andern hinzuaddirt wird, während diefe beiden andern unge-
ändert bleiben. Es möge zuerst zu der dritten c ein Viel-
faches von irgend einer der beiden andern, z. B. von a hin-
zutreten, alfo a, b, c fich ändern in a, b, c', woc'=^c + aa
y Google
170 (»«S
ist. Dann feien AB, BC, CD, DE lieziehlich gleich lang und
gleichgerichtet mit a, b, c, aa, d. h.
B — A = a,C — B = b,D — C = c,E — D=aa,
fü ist
E — C = E~D+D — C = aa + c = c',
alfo CE mit c' gleich lang und gleichgerichtet. Ferner da DE
mit a, alfo auch mit AB parallel, und folglich auch mit der
Ebene ABC ist, fo find (nach 244) die Spate ABCD und
ABCE gleich und gleichbezeichnet, d. h. die Spate abc und
abc', d, h. der Spat abc bleibt gleich und gleichhezeichnct,
wenn zu der dritten Seite ein Vielfaches von einer der beiden
andern hinzuaddirt wird. Nun ist ferner [nach 240 Zuf.) abc
= bca = cab, und ebenfo abc'= bc'a^: c'ab. Alfo auch da
abc ^^ abc' war, bca = bc'a und cab^c'ab, d. h. ein Spat
bleibt gleich und gleichbezeichnet, wenn die zweite Kante,
und ebenfo wenn die erste Kante fich dadurch ändert, dass
zu ihr ein Vielfaches von einer der beiden andern Kanten
hinzuaddirt wird. Somit bleibt überhaupt ein Spat bei fortge-
felzt wiederholter einfacher linealer Aenderung feiner Kanten,
d. h. bei beliebiger linealer Aenderung gleich und gleichbe-
zeichnet. Alfü da nach dem Obigen d, e, f aus a, b, c
durch lineale Aenderung ableitbar und, fo muss nun auch der
Spat def mit abc gleich und gleichbezeichnet fein.
Beweis 2. Es fei jetzt umgekehrt vorausgefutzt, dass
die Spate def und abc gleich und gleichbezeichnet feien, fo
ist zu beweifen, dass [def] = [abc] ist. Da angenommen ist,
dass die kombinatorischen Produkte von null verschieden find,
fo find namentlich a, b, c nicht Einer Ebene parallel, alfo (nach
229) d, e, f aus ihnen numerisch ableitbar, alfo auch (nach
63) das Produkt [def] aus [abc] numerisch ableitbar. Es fei
[def] ^= a[abc] , alfo wenn ac = c' gefetzt wird, [def] = [abo'J,
folglich (nach Beweis 1) die Spate def und abc' gleich; nun
waren die Spate def und abc nach der Vorausfetzung gleich.
Alfo die Spate abc und abc' gleich. Es feien AB, BC, CD,
CD' beziehlich gleich lang und gleichgerichlet mit a, b, c, c',
Alfo die Spate
ABCD = abc, ABCD' = abc', und fomit
AßCD — AßCD'.
yGoosle
»«8) 171
Folglich liegen (nach 344) D und D' in einer mit der Ebene
ABC parallelen Ebene, D unil D' liegen aber auch in der ge-
raden Linie CD, da CD mit c', d. h. mit ac, alfo auch mit c,
d. h. mit CD parallel ist. Folglich liegen D und D' in dorn
Durchschnittspunkte joner Ebene und diefer Geraden, d. h.
fallen zufammen. Alfo find CD und CD' identisch, alfo c = c',
alfo, vermöge der Gleichung c' = ßc, a^l; fomit verwan-
delt fich die Gleichung [def] = a[abc] in
[def] = [abc].
263. Zwei von null verschiedene kombinatorische Pro-
dukte [ABCD] und [EFGH] von je vier einfachen Punkten A,
B, C, D und E, F, G, H lind dann und nur dann einander
gleich, wenn die Spate (Parallelepipeda) ABCD und EFGH
gleich (und gleichbezeichnet) find.
Beweis 1. Es feien ABCD und EFGH gleiche und
gleichbezeichnete Spate, und feien AB, BC, CD, EF, FG, GH
beziehlich mit b, c, d, f, g, h gleichlang und gleichgerichtet,
d. h. B - A = b u. r. w., fo ist (nach 262)
* [bcd] = [fgh].
Da ferner aus b, c, d (nach 229) alle Strecken des Rau-
mes numerisch ableitbar find, fo muss auch die Strecke E — A
es fein; es fei
E- A=j3b+/c + .?d, d.h. E = A +j3b + /c + «Jd.
Dann erhält man
[EFGH] = [eFG(H~G)] = [EFCG — F)CH~G)]
= [E(F - E)CG - F)(H - G)] [67].
Alfo, daF— E = f, G — F — g, H— G = h ist, fo erhält
man den zuletzt gefundenen Ausdruck
= [Efgh] = [ECfgh)] [79]
= [ECl)cd)] [*]
Ferner ist der gefundene Ausdruck
= [Ebcd] [79]
= [(A+|5b+)'C+^d)bcd] = [Abcd] [67]
= [A{B-A)(C-B)(D-C),
wenn wir slalt b, c, d ihre Werthe fetzen, und hieraus er-
hall man mit Anwendung von 67
= [ABCC — B)CD-C)] = [ABCCD-C)] = [ABCD].
yGoosle
172 (»•*
Alfo
[EFGH] ^ [ABCD].
Beweis 3, Es fei umgekelirt vorausgefelzl, dass
[ABCD] = [EFGH]
ist, und fei in der geraden Linie CD ein Punkt D' angenommen
von der Art, dass der Spat ABCD' mit EFGH gleich (und
gleichbezeiclinet) fei, fo ist (nach Beweis 1)
[ABCD'] =^ [EFGH].
Alfo auch, da [EFGH] = [ABCD] vorausgefelzl ist,
[ABCD'] = [ABCD].
Da nun D — C und D' — C parallel find, fo ist D' — C
aus D — C numerisch ableitbar. Es fei
D'— C = aCD-C},
fo ist
[ABCD] = [ABCD'] = [ABCCD'— C)] = [ABCa(D-C)]
= [ABCaD] [67]
= a[ABCD] [40J.
Alfo, da [ABCD] nicht null ist, a=-i, alfo gehl aus der
Gleichung (D' — C) = «(D — C) die Gleichung
D' — C = D - C
hervor, »Ifo D'^=D, d. h. D und D' fallen zufamnien, folg-
lich auch die Spate ABCD und ABCD', und da das Spat ABCD'
gleich und gleichbezeichnet mit EFGH war, fo find auch die
Spate ABCD und EFGH gleich und glciclibezeichnct,
3«a. Zufatz. Die Gleichungen
[ABCD] = [EFGH]
und
[(B-AXC-BXD-C)] = [CF-E)CG-FXH-G)],
oder auch|
p-AXC-AXD-A)] = [(F-EXG-EXH-E)]
find einander erfelzend, d. h. aus jeder von ihnen folgen die
beiden andern.
Beweis. Die Gleichung
[ABCD] = [EFGH]
gilt (nach 263) dann und nur dann, wenn die Spate ABCD
und EFGH einander gleich und gleichbezeichnet find. Ebenfo
gilt Oiacli 263) die Gleichung
y Google
»«8) 173
[CB-AKC-BJCD-O] = [(F-EXG-PXH-G)]
dann und nur dann, wenn das Spat, dessen drei Kanten mit
AB, BG, CD gleich lang nnd gleichgerichtet find, dem Spate,
dessen Kanten mit EF, FG, GH gleich lang und gleichgerichtet
find, d.h. der Spat ABCD mit EFGH inhaltsgleich und gleich-
bezeichnet Ist. Folglich find beide Gleichungen stets in den-
fülben Fällen geltend. Endlich, die dritte Gleichung ist nur
eine Transformation der zweiten, denn
[(B-AXC-BKD-C)]
=[(B— AXC-BXD— C + C-B+B-A) [67]
=[CB-AXC-BXD-A)]=[(B-AXC-B+B-AKD-A)]
[67]
=[CB-AXC-A](D-A)],
und aus gleichem Grunde ist
[(F-EXG-FXH-G)] = [(F- EXG- EXH-E)].
AiFo find die zweite nnd dritte Gleichung gleichbedeutend.
265. Erklärung. Wir nennen das Produkt [ABCD]
von vier einfachen Punkten einen Körpcrtheil und den Kubik-
inhalt des Spates ABCD (mit Beobachtung des Vorzeichens {+))
feinen Inhalt.
266. Das kombinatorische Produkt dreier einfacher
Punkte A, B, C nnd einer Strecke d ist ein Körpcrtheil,
dessen Inhalt gleich dem eines Spates ABCD ist, in welchem
CD mit d gleich lang und gleichgerichtet ist, d, h.
[ABCd]^[\BCD], wenn d = D — 6.
Beweis. [ABCd] = [ABC(Ü-C)] = [ABCD] [67].
267. Das kombinatorische Produkt zweier einfacher
Punkte A, B und zweier Strecken c und d ist dem Spate fPa-
rallelcpipedum) ABCD, in welchem BC mit c, CD mit d gleich
lang und gleichgerichtet find, inhaltsgleich, d.h.
[ABcd] 3= [ABCD] , wenn c = C~B, d = D-C.
Beweis. [ABcd]
= [AB(C— BXD - C)] = [ABC(D- C)] = [ABCD] [67].
268. Das kombinatorische Produkt eines einfachen Punk-
tes A und dreier Strecken b, c, d ist dem Spate bcd inhalts-
gleich, oder
y Google
[67]
[40]
: l ver-
: 1 ver-
[Abcd] = [ÄBCD],
wenn b = B — A, c = C — B, d — D — C.
Beweis.
[Al)cd] = [A(B— A)(C— B)CD— CB)] ^[ABfC -BXD- C")]
= [ABC(D— C)] = [ABCD] [67].
269. Das Produkt «[ABCD] eines Körpertlieils [ABCD]
und einer Zatil ist ein Eörperthcil, dessen Inhalt DcU zu dem
von [ABCD] wie « : 1 veHiält.
Beweis. k[ABCD] = «[AßCCD — C)]
= [ABC.ßCD — C)]
= [ABCCE-C)],
wenn CE mit CD parallel ist und fich zu ihm wie (
hält. Dies ist wieder (nach 67)
^[ABCE].
Da aber GE und CD parallel find und lieh wie (
halten, fo verhalten fich auch die Spate ABCE und ABCD
algebraisch wie «: i, d. h. die Inhalte von «[ABCD] und
[ABCD] wie «: 1.
270. Wenn A, B, C, D einfache Funkle, und a, ß, f,
S Zahlen find, fo ist [«A ■ ^B ■ yC ■ rfD] ein Körpertheil, der
fich zu ABCD wie aßyä zu 1 verhält.
Beweis. [aA-iSB-yC-dD] = CE/9)'rf[ABCD] (nach 46), alfo
(nach 269) bewiefen.
A n m Blicken n ir znrück auf die verscliiedencn kombinaton sehen
Produkte, ieren Begnff wir naher bestimmt haben, fo ergab fich für
2 3, 4 einfache Puikte das einfache, zweifache, fechsfache des da
Bwischtn hegenden Linien Flächen , Körjer Theiles, und liie lu^e
hingen Gebiete wiren d e nnbcgranzte gerade Linie, Ebene der ni
begranite Baum Ferner ebenfo wie jJer unendlich entfernte Punkt
als Strecke \on bestimmter Länge und Ächtung ersthien, fo der
unendliük entfernte Linientheil als begranzte Ebene von bestimmtem
Flfiohernnhalt und bestimmten Richtungen fo der unecdhch ei tfernte
Flitchentheil als Kdrpenaum \on bcB ti mm tem Inhalte Wenn zu einer
Strecke oder zu einem Produkt zweier olei dreiei Sfrecken ein Punkt
als erster Faktor hinzutrat, lo hefeite dies Piodukt denfelben Inhalt
und diefelben Richtungen als wenn der P mkt nicht hinzutrat Durch
das Hinzutreten des Piinktea trat zn dei bishuigen Bestimmurgpn
(Inhalt und Richtungen) noch im ersten Fallt- die duich den Punkt
mit der btrecke parallel {,elegle Linie im zweiten die durth dtn
Punkt mit den beiden Sttecken paralltl gelegte Ebene hinzu, "n eiche
y Google
«9«) 175
die Gebiete jener Gioasen bilden, und In verwandelte fich die Strecke
IQ einen Linientlioil du. Flache von bestimmtem Inhalt und bestimm-
ten Rn~htungen in das, was nii einen riadienthci! genannt haben,
Daa Piodukt dieier Strecken «ird durch da' H nzutreten des Punktes
nur lormell gnndcrt
271 Wenn A, B, C, D, E, F Punkte, und a, b, c,
d Strecken find, fu bedeutet
1) A = B,
dass A mit B zufammenfäüt,
2) [AB]^[CD],
ilass die iiiibegränzten geraden Linien AB und CD,
3) [ABC] ^ [DBF],
dass die unbegrenzten Ebenen ABC und DBF zufamnien fallen,
4) asb,
dass a mit b parallel,
5) [ab] ^ [cd] ,
dass die Ebene, welche die Richtungen a und b enttiält, der
Ebene parallel ist, welche die Richtungen c und d enthalt.
Beweis. Nach No. 2 bedeutet die Kongruenz zweier
extenfiver Grössen p^q, dass p und q in einer Zahlliezie-
hung zu einander stehen, und keine von beiden null ist.
Wenn das nun 1) für A und B gilt, fo müssen (nach 22!)
ihre Orte zufammenfallen, wenn es 2) für [AB] und [CD]
gilt, fo müssen (nach 247) die unbegränzten geraden Linien
AB und CD zufammenfallen, wenn es für [ABC] «nd [DEF]
gilt, fo müssen (nach 255) die Ebenen ABC und DEF zufam-
menfallen. Endlich 4} und 5) folgen aus i) und 2J, wenn
man die Funkte in unendliche Entfernung rückt.
§. 4. Addition von Linien nnd Flächen.
272. Zwei Linientheile derlelben Ebene geben zur
Summe wieder einen Linientheil derfelben Ebene, und zwei
Fiächentheile geben zur Summe wieder einen Flächentheil,
Beweis. Da der Linientheil (nach 249) ein kombinato-
risches Produkt zweier Punkte, und (nach 251) der Flächen-
theil ein kombinatorisches Produkt dreier Punkte, und die
Punkte (nach 238) Grössen erster Stufe find, fo find (nach
y Google
176 (S93
77 b) der Linienlfieil und der Fläclientheil bezielilich einfache
Grössen zweiter und dritter Stufe. Da ferner alle Punkte
der Ebene fich aus dreien, aber nicht aus weniger Punkten der-
fülbun numerisch ableiten lassen (233), fo ist (nach 14) die Ebene
ein Gebiet dritter Stufe, und ebenfo (nach 232 und 14) der
Raum ein Gebiet vierter Stufe. Nach 88 geben die Grössen
(n — l)-ter Stufe in einem Hauplgebiele n-ter Stufe zur Summe
eine einfache (d. h. als kombinatorisches Produkt darstellbare)
Grösse (n ~ l)-ter Stufe desselben Hauptgebieles, alfo die
Linientheile einer und derfelben Ebene einen Linientheil der-
felben Ebene, die Flächentheüe einen Flächentheil.
Zufatz. Dasfelbe gilt alfo aucl für melr als zwei Linien-
theile derfelben Ebene, und für ehr ils zv Flächentheüe.
273. Zwei endlich entfernte Lne tlele, deren Linien
fich schneiden, geben zur Su e t en endlich entfernten
Linientheil, dessen Linie durcl d f Ib I rchschnittspunkt
geht, und welcher der Diagonale eines Parallelogrammes gleich
lang und gleichgerichtet ist, dessen von derfelben Ecke aus-
gehende Seiten den funimirten Linientbeiien gleich lang und
gleichgerichtet find.
Beweis. Es fei A der Durchschnitlspunkt der beiden
Linien, und feien [AB] und [AC] die beiden Linientheile, wo
A, B, G einfache Punkte find, fo ist
fAB] + [AC] = [A(B + C)] :- 2[AE] ,
wenn E die Mitte zwischen B und C ist. Aber AE ist die
halbe Diagonale des Parallelograinms GAB, alfo 2AE die ganze.
273:. Zwei endlich entfernte, gleichgerichtete Linien-
theile geben zur Summe wieder einen ebenfo gerichteten
Linientheil, dessen Länge die Summe ist aus den Längen der
Summanden, und dessen gerade Linie zwischen den geraden
Linien der Summanden liegt und von diefen Linien im umge-
kehrten Verhältnisse der Longen der Summanden absteht.
Beweis, Es feien [Ap] und [Bq], wo A und B einfache
Punkte, p und q gleichgerichtete Strecken find, diefe Linien-
theile, und fei 1 ; a das Verhältniss ihrer Längen, d. h. (nach
251) das Verhältniss von p zu q, alfo q:=ap, fo ist
y Google
«9«) 177
[Ap] + [Bq] = [Ap] + [B - «p] = [Ap] + ß[Bp] [40]
= [(A 4- ßB)p] = [(1 + «)S.p] [225],
wenn S der Suramenpunkl von A und aß ist,
= [S-() + «)p] [40]
= [S[p4-ccp)] = [S(p + q)],
d. h. die Summe ist ein mit den Summanden ^leichgerichleter
Linientheil, dessen Länge (p -j- q) die Summe aus den Längen
der Summanden ist, und dessen Linie durch S gelil. S liegt
aber (nach 225) in der geraden Linie AB, und steht von A
und B in dem Verhältnisse von et;!, d. h. im umgekehrten
Verhältnisse der Summanden (p und q) ab, alfo steht auch
die gerade Linie S(p + q) von den geraden Linien Sp und
Sq in diefem Verhöltnisse ab.
273, Zwei endlich entfernle, entgegengefetzt gerichtete,
aber nicht gleich lange Linicntheile geben zur Summe einen
endlich entfernten Linientheil, welcher dem grösseren der
Summanden gleichgerichtet ist, dessen Länge die Differenz
der Längen der Summanden ist, und dessen Linie ausserhalb
der Linien der Summanden (auf der Seite des grösseren Sum-
manden) liegt, und von diefer Linie im umgekehrten Verhält-
nisse der Längen der Summanden absteht.
Beweis wie in 274, nur dass man ■— a statt a felzt.
376. Die Summe zweier entgegengefetzt gerichteter
und gleich langer Linientheile AB und CD ist ein Strecken-
produkt, dessen Inhalt gleich und gleichbezeichnet dem eines
Parallelogrammes ABCD ist, welches den einen Linientheil
(gleich viel, welchen) zur Grundleite, und den andern zur
Deckfeite hat.
Beweis. Wenn AB mit CD gleich lang und entgegen-
gefetzt gerichtet ist, fo ist (nach 223 Zuf.)
B— A = C~D.
Alfo ist
[AB] + [CD] = [A(B - A)] 4- [fC - D)D] [67]
= [Ä(B - A)] + [(B - A)D] LHyp.]
= - [CB - A)A] + [CB - A)D] [55]
= [(ß-A)CD-A],
d, h. gleich einem Streckenprodukt, dessen Inhalt gleich dem
y Google
178 t«»»
eines Parallelogramm es ist, dessen erste Seite mit AB, und
dessen zweite Seite mit AD gleich lang und gleichgerichtet
ist. Dies ist aber das Parallelogramm ABCD, alfo bewiefen.
'■111. Die Summe eines endlich entfernten Linientheiies
[AB] und eines kombinatorischen Produktes [ab] zweier Strecken
B null b, welche einer durch den Linientheil [AB] gelegten
Ebene parallel find, ist ein endlich entfernter Linientheil [CD]
derfelben Ebene, welcher mit dem ersteren gleich lang und
gleichgerichtet ist, und fo liegt, dass das Parallelogramm ABCD,
welches den ersten Linientheil zur Grundfeite, den zweiten
zur Deckfeite hat, dem kombinatorischen Produkte [ab] entge-
gengefetzt (d. h. inhaitsgleich, aber entgegengefetzt bezeicli-
net) fei.
Beweis. Bezeichnen wir das mit ABCD gleiche Strecken-
produkt mit P, fo ist nach dem vorigen Satze
[AB] + [i>C] = P,
alfo [CD] = [Aß]— P
= [AB] + [ab],
da nach Hypothel'is
— P = [ab] ist.
278. Die Summe zweier kombinatorischer Produkte [ab]
und [cii] von je zwei Strecken ist wieder ein kombinatorisches
Produkt zweier Strecken, und zwar in der Art, dass, wenn
jene in Form zweier Parallelogramme über derfelben (oder
gleich langer und gleichgerichteter) Grundfeite dargestellt find,
die Summe fich als Parallelogramm über derfelben (oder gleich
langer und gleichgerichteter) Grundfeite darstellen lassl, in
welchem die zweite Seite die Streckenfumme der zweiten
Seilen jener Parallelogramme ist.
Beweis. Man lege eine Ebene mit a und b parallel,
eine andere mit c und d parallel; es fei e eine Strecke, welche
mit der Durchschnittslinie beider Ebenen (und wenn fie fich
nicht schneiden mit einer beliebigen Linie derfelben) parallel
ist. Dann kann man (nach 254) [ab] auf die Form [ef] und
[cd] auf die Form [eg] bringen, und es ist dann
[ab] -f [cd] = [eO + [eg] = [e(f + g)],
und dies war die verlangte Form der Summe.
y Google
9 SO) 179
279. Zwei endlich entfernte Flächenlheile, deren Ebenen
fich schneiden, geben zur Summe einen Fliichenlheil, (Jessen
Ebene durch die Durchschnittskante jener Ebenen geht, und
zwar, wenn die Summanden als Parallelogramme von gemein-
schaftlicher Grundfeite dargestellt find, fo lässt fich die Summe
als Parallelogramm darstellen, welches diefelbe Grundfeile hat,
und in welchem die zweite Seite die StreckenTumme aus den
zweiten Seiten der Summanden Ist, oder anders ausgedrückt:
Die Summanden find gleich den Projektionen der Summe auf
die beiden Ebenen der Summanden, wenn auf jede Ebene
parallel der andern projicirt wird.
Beweis. Es feien A und B zwei einfache Punkte in
der Durchschnittskante jener Ebenen, und c und d zwei
Strecken von der Art, dass die beiden zu addirenden Flächen-
theile gleich [ABc] und [ABd] feien, fo ist
[ABc] + [ABd] = [AB(c + d)]
d. h. die Summe ist dargestellt durch ein Parallelogramm, in
welchem AB Grundfeite, und c -j- d die zweite Seite ist.
280. Die Summe zweier paralleler und gleichbezeich-
neter (endlich entfernter) Flächentheile CEi und E^) ist ein
ihnen paralleler und gleichbezeichnoter Flächontheil, dessen
Inhalt die Summe ist aus den Inhalten der Summanden, und
dessen Ebene zwischen denen der Summanden fo liegt, dass
fie von ihnen im umgekehrten Verhältnisse der Inhalte der
Summanden absteht.
Beweis. Es fei E, = [Abc], wo A ein Produkt, b und
c Strecken find, und fei von A auf die Ebene von Ej ein
Lolh AD gefallt, j'o ist [Dbc], da beide Ebenen parallel find,
ein Flächentheil der Ebene von E^, steht alfo zu E^ in einer
Zahlbeziehung. Es fei Eä = a[Dbc], fo ist
E, + E, = [Abc] + a[Dbc] ==[(A + aD)bc]
= [Cl + «)Sbc] ,
wo S (nach 325) in AD liegt, und von A und D im Verhält-
nisse ß:l absteht. Folglich ist die Ebene der Summe eine
durch S mit b und c, alfo auch mit den Ebenen von Ei und
Ej parallel gelegte Ebene, welche von diefen letzteren im
Verhältnisse a:i absteht, d. h. im umgekehrten Verhältnisse
y Google
180 t»8*
der Inhalte (bc und abc). Der Inhalt der Summe ist (nach
260) gleich dein Inlialte von (1 -|- a)bc, d. h. =bc -|- ßhc,
d. h. gleich der Summe der Inhalte der Summanden.
281. Die Summe zweier paralleler und entgegengefelzt
bezeiclineter aber nicht inhattsgleicher (endlich entfernter)
Flächenlheile E, und Ej ist ein ihnen paralleler dem grösseren
gleichbezeichneler Flächentheil, dessen Inhalt dio Differenz
der Inhalte der Summanden (Ei und E^) ist, und dessen Ebene
ausserhalb der beiden Ebenen der Snmmanden Tu liegt, dass
fie von diefen Ebenen im umgekehrten Verhältnisse der Sum-
manden absteht.
Beweis wie in 277, nur dass statt a gefetzt wird — a.
282. Die Summe zweier paralleler, entgegengefetzt be-
zeichneter aber inhaltsgleicher (endlich entfernter) Flächen-
theile Ej und E^ ist gleich einem kombinatorischen Produkte
dreier strecke d zwar ist der Inhalt diefes Produktes
gleich aber e tgegengefetzt bezeichnet dem eines Prisma's,
welches E ils Gr dfläche hat und dessen Deckfläche in der
Ebene on E 1 egt
Bewe s E lei Ei=[Abc], Ej = ~[Dbc], fo ist
El + E^ =^ [Abc] — [Dbc] = [(A - D^hc]
= - [(D - A)bc].
Aber [(D - A)bcl ist (nach 58} = [bc(D — A)], und dies
letztere ist (nach 262) dem Inhalte eines Spates gleich, dessen
erste Seite mit b, dessen zweite Seite mit c und dessen dritte
Seile mit (D — A) gleich und gleichgerichtet ist, alfo dessen
Grundfläche Abc ist und dessen Deckfläche durch D gelit, alfo
bewielen.
283. Die Summe eines endlich entfernten Flächentheils
El und eines kombihatoriscben Produktes P dreier Strecken,
äst ein dem ersten parallel gelegener, inhaltsgleicher und gleich-
bezeichneter Flächentheil E^, welcher fo liegt, dass der Spat
(Parallelepipedum), welcher den ersleren Flachenthoil zur Grund-
fläche hat, dem gegebenen kombinatorischen Produkte P der drei
Strecken inbaltsgleich und gleichbezeichnet ist.
Beweis. Nach 282 ist
El - Ej = — P, alfo
Ej=Ei-i-P.
yGoosle
»9») 181
284. Die Summe dreier FIHchenlheilc (Ei, Ej, E,), deren
Ebenen fich in einem Eckpunkte CI*) schneiden, ist ein Fläclicn-
tiiail CE4), dessen Ebene durch denfelben Eckpunkt (D) geht;
und fo beschafft'« ist, dass, wenn man dioren Fiachenthell (E4)
nach und nach auf jede der drei Ebenen parallel der Durch-
schnittslinie der beiden andern projicirt, diefe Projektionen den
Summanden (Ei, Ej, Eg) gleich find.
Beweis. Es feien die Kanten, in welchen fich bezJeh-
lich die Ebenen Ej «nd Ej, E3 und Ei, Ei und E, schneiden,
den drei Richtungen a, b, c parallel, fo ist zunächst zu be-
weifen, dass Ei, Ea, E3 die Projeclion von E4 auf die Ebenen
El, E5, E3 nach den Richtungen a, b, c feien. Um dies zu-
erst für El zu beweifen, fei Ej -f-E^^E' gefetzt, fo ist a
(nach der Annahme) mit der Durchschnitlskanle der beiden Ebe-
nen El und Es parallel; alfo auch (nach 2793 mit E'. Projicirt
man nun Ej auf die Ebene Ei nach der Richtung a, fo ist, da
a mit E' parallel und Ej :=E' + Ei ist, diefe Projeclion =:^Ei
(nach 379). Auf gleiche Weife folgt, dass die Projeclion von
E4 auf die Ebene Ej nach der Richtung b, gleich Ej, und
die auf die Ebene E3 nach der Richtung c, gleich E3 ist. End-
lich muss auch Ej durch D gehen; denn (nach 279) haben
E', Ej und E3 , vermöge der Gleichung E' =^ Ej + E3 , diel'elbe
Kante gemein, aifo auch den Punkt D, der (nach der Hypo-
thefis) in Ej und E3 liegt; ferner haben nach demfelben Satze
Ei, E', El, vermöge der Gleichung E4 = E' + Ej, diefelbe
Kante gemein, alfo auch den Punkt D, der, wie wir bewiefen,
in E' und nach der Vorausfelzung auch in Ei liegt, d. h. E4
geht auch durch D.
2S5. Eine Summe S von Linienlheilen lässt fich stets
auf eine Summe zweier Linientheile zurückführen, und zwar
kann man für den einen diefer beiden Linientheile einen Punkt
(A), durch welchen die Linie desfelben gehen foll, und für
den andern eine Ebene BCD, in welcher die Linie desfelben
liegen foll, willkürlich annehmen, nur dass der Punkt A nicht
innerhalb der Ebene BCD liegen darf.
Beweis. Da A, B, C, D nicht in einer Ebene liegen,
fo kann man aus ihnen (nach 232) alle Punkte des Raumes
y Google
182 C«»»
numerisch ableiten, und alfo auch die Punkte, durch deren
Multiplikation zu je zweien die Linientheile entstanden find,
deren Summe S ist. Löst man, nachdem man diefe Ableilungs-
ausdrücke eingeführt hat, alle Klammern auf, und fetzt (nach
55) [BA] = — [AB], [CA] = — [AC], [DA] ^ - [AD], [CB]
= — [BC], [DB] = — [BD], [0C] = — [CD], fo erhält man
einen Ausdruck der Form
S=<AB] +^[AC] +>'[AD] +.*[BC] +e[BD] +t[CD],
wo a, ß, Y, 3, ^, ? Zahlen find, Dies ist aber
= [ACaß +^C +rl>)] ^- rf[Bn] + E[BD] + ?[CD].
Ersteres giebt Cnach 323 und 253) einen Linienthcil, und
(J[BC] + £[BD] + t[CD] giebt (nach 372 Zuf.) einen (endlich
oder unendlich entfernten) Linientheil der Ebene ßCD, allo
bewiefen.
2SU. Eine Summe S von Linientheilen ist dann und
nur dann wieder ein Linientheil, wenn
[SS] =
ist.
Beweis 1. Wenn S ein Linientheil = [AB] ist, fo ist
[SS]^[ABAB] = [60].
3. Wenn [SS]=0 ist, fo fei S (nach 285) zurückge-
führt auf 2 Linientheile, und S = [AB] + [CD], fo wird
0=:[SS] = [CAB-f-CD)CAB4-Cü)]=i;ABCD] + [CDAB],
da [ABAB] und [CDCD] (nach 60) null find. Es ist aber (nach
58) [CDAB] = [ABCD], alfo
= 3[ABCD], oder = [ABCD],
d.h. A, B, C, D liegen in Einer Ebene (nach 336), alfo ist
( i ''7'>) AB + CD n L'n'entl il
yGoosle
§. 5. Planimetriaehe und stereometrische Multiplikation.
28?. Wenn a, b,--- die Sliifenzahloti eines reinen
Produktes P (114), n die des Hauptgebietes, v die StufenzaM
des verbindenden, g die des gemeioschafliiclien Gebietes (15)
und p die des Produktes ist, und n — a ^a', n — b = bV • ■,
n — g^=^' gefetzt wird, fo ist,
1) wenn das Produkt P ein progressives ist, P dann
und nur dann von null verschieden, wenn
v^& + b -[-.■.
ist, und zwar ist dann p^^i',
2) wenn das Produkt P ein regressives ist, fo ist P dann
und nur dann von null verschieden, wenn
g' = a' + b'-f-.-
ist, und zwar ist dann p^^g.
Beweis i. Wenn das Produkt P ein progressives ist,
fo kann man die Faktoren (nach il9b) in lauter Faktoren
erster Stufe auflöfen; die Anzahl diefer Faktoren erster Stufe
ist (nach 77) a + b H , ihr Produkt ist (nach 61 und 66)
dann und nur dann von null verschieden, wenn die Faktoren
erster Stufe in keiner Zahlbeziehutig zu einander stehen, d. h.
(nach 23) wenn das verbindende Gebiet von (a -[- b +■ ■ •')'Kßx
Stufe, alfo v = a -h b -J ist. Dann ist die Stufe des Pro-
duktes (nach 77) — a -f b -J , d. h. = f.
3. Wenn das Produkt P ein regressives ist, fo gilt der
Satz zunächst für zwei Faktoren, Denn nacii 109 ist P dann
und nur dann von null verschieden , wenn g^^a-|-b — n,d, h.
n — g^=n — a + n — b, alfo
g' = a' + !>'
ist. Nach 95 ist ferner p:^a-i-b — n, alfo ^ g. Somit
gilt der Satz für zwei Faktoren. Aus ihm erhält man aber
durch wiederholte Anwendung den Satz für beliebig viele Fak-
toren.
Anm. Diefer Satz hätte nach 119b folgen Collen, und ist dort
nur duvcli ein Verfelicn ausgelassen.
288. Erklärung, Unter der planimelrischen Multi-
plikation verstehe ich die auf eine Ebene bezügliche, unter
y Google
der s l er eome tri sehen die auf den Raum (als Gebiet vierter
Stufe) bezügliche Multipliliation.
äSO. Bas planimelrische Produkt zweier Linienlheile
[AB] und [AC], deren Linien ficli in endlicher Entfernung
schneiden, ist ein Punkt, dessen Ort der DurchscJinittspunkt
(A) jener Linien, und dessen Koefficient, wenn A, B, C ein-
fache Punkte find, gleich dem Inhalte des Parüilelogranims
ABC ist, d. h.
[AB-AC1 = [ABC]A.
Beweis nach 104.
Anm. Da bei der planimetri seilen Multiplikation (gemäas 94) ein
FlBehcntheil al^ Einlieit angenommen werden muss, fo ist der Koef-
ficient [ABC] eine Zahl, alfo [ABCJA in der That ein (einfacher oder
Yieifaclier) Pnnkt.
200. Das planinietrisühe Produkt zweier paralleler Li-
nienlheile [AB] und [CD] ist eine Strecke, welche den heiden
Linien parallel ist, und welche ficIi zur Sirecke AB algebraisch
wie das Parallelogramm BCD zur Einheit verhält.
Beweis. Da AB mit CD parallel ist, fo stehen C"ach
231) die Strecken A — B und C — D in einer Zahlbeziehung.
Es fei C — D = «CA — B) , Ib wird
[AB.CD] = [CA — B)B-(C - D)D] [67]
= ß[CA ~ B)B . CA — B)D] [Annahme]
= «[( A — B)BD]CA — B) [104]
— [CC — D3BD](A ~ B) [Annahme]
= [CBD](A — B) [67]
■= [ßCD](B - A) [Ö5],
d. h. [AB-CD] ist gleich einer Strecke, die mit AB parallel
ist, und rieh zu AB algebraisch verhält wie [BCD] zu 1.
291. Das planimelrische Produkt eines Linientheiics
[AB] und eines Punktes C ist, weniiA, B, C einfache Punkte
Hnd, gleich dem Inhalte des Parallalogramras ABC, alfo null
nur dann, wenn A, B, C in gerader Linie liegen.
Beweis nach 355.
292. Das planimelrische Produkt dreier Linienlheile
[AB], [ÄC], [BC], welche die Seilen eines Dreiecks bilden,
ist, wenn A, B, C einfache Punkte find, 4mal fo gross als
y Google
«»«> 185
dHs Quadrat diefes Dreiecks, oder gleich dem Quadrate des
Parallelogramms ABC, d. li.
[AB-AC-BC] = [ABC]^
Beweis. Es fei [ABC] ^=a. Dann fetze man A, ;= Ä : a,
fo ist [AiBC] = l, alfo (nach 112)
[AiB-A,C.BC] = l,
alfo
[AB-AC-BC]=ß'=[ABCp.
An in. Wir Mtten die Formel aucli schreiben können:
[AB-BC-CAl = [ABC]a.
293. Das planimctrische Produkt zweier Grössen erster
oder zweiter Stufe ist dann und nur dann null, wenn die
Grössen incidenl find, d. li. zweier Punkte, wenn ihre Orte
zufanimen fallen, zweier Linienlheile, wenn ihre Linien zufam-
menfallen, eines Linientheiles und eines Punktes, wenn der
Ort des Punktes in die Linie (jenes Linientheiles) fallt.
Beweis nach 287.
294. Das planimelrische Produkt zweier nicht incidenter
Linientheile ist dem Durchschnittspunkte ihrer Linien kon-
gruent, d. h.
[AB-AG] = A.
Beweis. [ABAC] -=[ABC]A (f. o,), alfo da [ABC]
eine Zahl ist, ~ A (nach 2).
295. Das planimetrische Produkt dreier Linienlheile ist
dann und nur dann null, wenn ihre Linien fich in einem (end-
lich oder unendlich entfernten) Punkte treffen.
Beweis nach 387.
296. Das stereomelrische Produkt zweier Flächentheile
[ABC] und ABD, deren Ebenen fich in endlicher Entfernung
schneiden, ist ein Theil diefer Durchschnittslinie, und zwar
verhält fich derfelbe, wenn A, B, C, D einfache Punkte find,
zu AB algebraisch wie der Spat (das Parallelepipedum) ABCD
zur Einheit,
Beweis. [ABC-ABD] = [ABCD][AB] [104].
Anm. Da bei der st^i^eonletri3cllon Multiplikation (nach 94, 388)
ein Körpertlieil als Einheit genommen iet, fo ist [ABCD] eine Zahl,
und allo [ABODUAB] in der Tliat ein Linicntbeil.
12"
y Google
186 C«»*
Q91. Das stcreomelrische Produkt zweier Fiäclientlieiie
[ABC] und [DE F], deren Ebenen parallel find, ist ein Produkt
zweier Strecken, weiche diefen Ebenen parallel find, und
zwar Yerhält l'icli der Inhalt diefes Produktes, wenn Ä, B, C,
D, E, F einfache Punkte find, zu dem des Parallelogramms
ABC algebraisch wie der Spat (das Parallelepipedum) ADEF
zur Einheit.
Beweis.
[ABC- DEF] ^[A(ß — A)(C— A) ■ DCE— DXF— D)J [67].
Da nun nach der Annahme die Ebenen ABC und DEF parallel
find, fo find (nach 230) E — D und F — D aus B — A und
C — A ableitbar, alfü auch das Produkt der ersleren aus dem
der letzteren. Es Tui B — A mit p und C — A mit q bezeich-
net, £o ist [CE — DXF — D)] aus [pq] ableitbar, und lei
= «[pq] , fo ist
[ABC-DEF] = [Apq-aDpq] = tt[Apq-Dpq] [40]
= «[Ar>pq][pq] [107]
= [ADCE — D}(F-D)][pq] [Annahme]
= [ADEF]Cpq] [(57].
298. Das slereometrische Produkt zweier Linientheüo
[AB] und [CD], und ebenl'o das eines Flächentheiles [ABC]
und eines Punktes, ist, wenn A, B, C, D einfache Puuklc
find, gleich dem Spate ABCD.
Beweis. [AB- CD] = [ABC-D] = [ABCD] [80].
299. Das stereometrische Produkt dreier Flächentheile
[ABC], [ABD], [ACD], welche fich in einem endlich entfern-
ten Funkte A schneiden, ist ein vielfacher Punkt, dessen
Ort der Durchschnittspunkt A ist, und zwar, wenn A, B, C,
D die einfachen Ecken eines Tetraeders find, fo ist der zu
jenem Punkte gehörige Koefficient gleich dem Inhalte des
Spates (Parallelepipedums) ABCD.
Beweis. Es fei [ABCDj=a, und fei Bi=B:a, fo
ist [ABiCD] = I, aifo (nach H3)
[AB,C-AB,D-ACD] = A, aifo
[ABC- ABD. ACD] = ß^A = [ABCD]'A.
300. Das stereometrische Produkt von vier Fiächen-
theilün [ABC], [ABD], [ACD], [BCD] ist, wenn A, B, C,
yGoosle
SOJ) 187
D die einfachen Ecken eines Tetraeders find, gleich der
drillen Potenz des Spates (Parallelepipedums) AßCD,
Beweis. Es fei [ABCD] = k, und fei Ai=A:ß, fo
ist [A,BCD]=:i, alfo (nach 112)
[AiBCA,BD-AiCDBCD] — 1, alfo
[ABC-ABD-ACD-BCD]=öä = [ABCD]^
301. Das stereometrische Produkt zweier Linientheile
ist dann und nur dann null, wenn ihre Linien in einer Ebene
liegen; das stereometrische Produkt zweier Grössen, welche
von erster, zweiter oder dritter Stufe, aber nicht beide zu-
gleich von zweiter Stufe find, ist dann und nur dann null,
wenn die Grössen incident find, alfo zweier Punkte, wenn
ihre Orte zurammenfallen , zweier Flächentheile , wenn ihre
Ebenen zufammenfallen, eines Punktes und eines Linien- oder
Flächentheiles, wenn der Punkt in der Linie oder Ebene des
letzteren liegt, eines Linientheiles und eines Flächentlieiles,
wenn die Linie des ersleren in der Ebene des letzteren liegt.
Beweis No. 287.
302. Das stereometrische Produkt zweier nicht inci-
denter Flächentheile ist der Durchschnittslinie ihrer Ebenen
kongruent.
Beweis. Es feien a, b, c, d vielfache Punkte, fo ist
[abc ■ abd] = [abcd] [ab]
s[ab],
da [abcd] eine Zahl ist.
303. Das stereometrische Produkt eines Flächenlheiles
und eines Linientheiles, der nicht in der Ebene des erstcren
liegt, ist dem Durch Schnitts punkte der Ebene und der Linie
kongruent.
Beweis, [abc ■ ad] = [abcd] a
wo wieder a, b, c, d vielfache Punkte find.
304. Ich bezeichne bei der planimetrischen Multiplika-
tion das Produkt [ab] zweier Strecken a und b, wenn das
Parallelogramm ab gleich dem als Einheit angenommeneu Fla-
cheninhalte ist, mit U, und ebenfo bezeichne ich bei der ste-
reometrischen Multiplikation das Produkt [abc] dreier Strecken
y Google
188 Ca»*
a, b und c, wenn der Spat (Parallelepipedum) abc gleich dem
als Einheit angenommenen Körperraume ist, mit U. Wenn
beide unterschieden werden Tollen, To werde ich jenes mit Uj^
dieres mit Ug bezeichnen.
303. Wenn a ein vielfacher Punkt, AB ein Linientheil,
ABC ein Flächentheil ist, und A, B, C, einfache Punkte find^
fü ist
[all] der Koefficient v()n a,
[ABÜJ gleich der mit AB gleich langen und gleichge-
richteten Strecke ^(ß — A), und
[ABCU] gleich dem mit dem Parallelogramm ABC glei-
chen und parallel gelegenen Streckenprodukte
= [CB-AXC-A)].
Beweis. Es fei a = aA und U = [bcd], wo b, c, d
[nach 304) Strecken find, und der Spat bcd gleich 1 ist,
fo ist
[aü] = [aAbcd] = a[Abod] = a,
da [Abcd] (nach 268) mit [bcd] inhallsgleich und gleich be-
zeichnet, alFu gleich 1 ist. Ferner
[ABU] = [AB-bcd] = [A(B — A)-bcdl [67].
Da hier B — A als Strecke aus b, c, d numerisch ableitbar
ist (nach 229), fo ist (nach 108)
[A(B - A3 ■ bcd] = [Abcd][B - A] = [B — A] ,
da [Abcd] = I ist. Ferner
[ABCU]=[ABC.bcd]^[ACB-A)(C-A)-bcd] [67].
Da hier B — A und C — A Strecken, alfo aus b, c, d nu-
merisch ableitbar find (nach 229), fo ist [CB — A)CC — A)]
dem [bcd] untergeordnet, alfo
[A(B— A)CC— A)-hcd]=[Abcd][B-A)CC— A)] [108]
= [(B-A)CG-A)],
da [\bcd]=:l ist.
Anm Diefe Grossen faU), [ABU], [ABCU] find ea, welche ich
m der eisien Bearbeitung der Auadelinungslehre von 1844 (pag 159)
die Ausdehnungen der Girtseett a, [AB], [ABC] genannt, und dafür
eine eigene Bezuohrnng emgetuhrt habe, die nunmehr durch die An-
wendung dei unendlich entfernten Einheit (U) iiberflusiig gemndit
y Google
§. 6, Besondere Gesetze für ein gleich Hnll gesetztes
planimetrisches Produkt. Ebene Kurven.
306. Die Gleichung' eines Punktes x, der mil den
Punkten a, b in einer geraden Linie Hegt, ist
[x.l)]=0.
Beweis. Denn (nach 245} ist [xab] dann und nur dann
null, wenn x mit a, b in einer geraden Linie liegt.
An 111. Da es bei den gleich null gefetzten Produkten nie auf den
metrischen Wertli der Faktoren ankommt, fo brauchen einfaclie und
vielfache und unendlich entfernte Punkte nicht mehr unterschieden
zu werden, und iek will deshalb für diefelben überall die gleiche Be-
zeichnung durch kleine lateinische Buchataben wählen, während ich
zur Bezeichnung der Linieiitheile, oder, da ea hier auf ihre Grösse
nicht ankommt, der geraden Linien, die grossen lateinischen Buch-
staben w&lüe.
307. Die Gleichung einer geraden Linie X, die mit
den geraden Linien A und B durch denfelben Punkt gehl, ist
[XAB] = 0.
Beweis nach 301.
308. Die Slufenzahl eines planimetrischen Produktes
aus beliebig vielen Faktoren, mögen diefelben nun Grössen
erster oder zweiter Stufe fein, ist der Summe der Stufen-
zahlen aller Faktoren kongruent in Bezug auf den Modul. 3.
Beweis nach 96.
309. Wenn ^n,^ ein planimetrisches Produkt nullter
Stufe ist, welches den Punkt x n-mal, und ausserdem' nur
konstante Punkte und Linien als Faktoren enthält, fo ist
%.. = 0,
wenn ihr nicht jeder Punkt x genügt, die Punkt -Gleichung
einer algebraischen Kurve n-ter Ordnung, d. h. es drückt die
Gleichung aus, dass der Punkt x in einer algebraischen Kurve
n-ter Ordnung liegt.
Beweis. Es feien a, b, c drei beliebige, nicht in gerader
Linie liegende Punkte, z. B. a ein einfacher Punkt, b und c
zwei gegeneinander fenkrecbtc und gleich lange Strecken
(unendlich entfernte Punkte), fo find alle Punkte der Ebene
y Google
190 C«iO
aus a, b, c numerisch ableitbar, alfo namentlich der Punkt x;
es füi
X = Xja -|- Xjb -f- XaC
Führt man diefcn Ausdruck statt x in die Gleichung
ein, und löst die rämmtlichen Klammern, welche nun in dem
Produkte ^n/s den Ausdruck (xja -f- x^b + XgC) einschliessen,
auf, fo erhält man eine in Be7.ug auf Xj, x^, x^ homogene
Gleichung n-ten Grades, deren Glieder alle die Form SIx^x^x',
haben, wo a-|-6-I-c = n ist, und wo 9t ein Produkt kon-
stanter Linien und Punkte, und zwar ein Produkt nullter Stufe
ist, da die Stufenzahlen der Faktoren nicht geändert find, Alfo
ist 31 als Grösse nullter Stufe eine Zahl, und die Gleichung
alfo eine gewöhnliche Zahlgleichung geworden, welche in Be-
zug auf Xi, X2, Xj homogen vom n-len Grade ist. Es find
aber, wenn a ein einfacher Punkt und b und c zu einander
fenkreelite gleich lange Linien find, — und ~ die gewöhn-
lichen Koordinaten des Punktes x, alfo, wenn die Gleichung
nicht identisch =0 ist, die durch fie dargestellte Kurve eine
algebraische Kurve von n-ter Ordnung.
310. Wenn ^(n,X) ein planimetrisches Produkt nullter
Stufe ist, welches die gerade Linie X n-mal und ausserdem
nur konstante Punkte und Linien als Faktoren enthält, fo ist
^Cn,X) =
dio Linien-Gleichung einer algebraischen Kurve n-ter Klasse,
oder -einfacher ausgedrückt, fo ist der geometrische Ort für
die Linie X, welche diefer Gleichung genügt, ein Ort n-ten
Grades,
Beweis genau wie in 309,
311. Wenn ^n,x ein slereometrisches Produkt nullter
Stufe ist, welches den Punkt x n-mal, und ausserdem nur
konstante Punkte, Linien und Ebenen als Faktoren enthält,
fo ist
^„,^ =
die Punktgleichung einer algebraischen Oberfläche n-ter Ord-
nung, oder einfacher ausgedrückt, fo ist der geometrische Ort
y Google
813) 191
des Punktes x, welcher <ier obigen Gleichung genügt, ein Ort
n-len Grades; vorausgefelzl jedocli, <Jass nicht jeder Punkt x
der obigen Gleichung genügt,
Beweis, Es Teieii a, b, c, d vier beliebige Punkte, die
nicht in Einer Ebene liegen, z, B. a ein einfacher Punkt, l,
c, d drei gegeneinander fenkrechte und gleich lange Strecken
Cunendlich entl'ernte Punkte), fo lässt fich (nach 232) x aus
a, b, c, d numerisch ableiten. Es fei
X = Xia + Xjb = X3C + Xjd,
wo Xi, Xj, Xg, Xj Zahlen find. Führt man diefen Ausdruck
statt X in dem Produkt Va,x überall ein, und lösst die Klam-
mern auf, fo erhalt man lauter Glieder der Form Slx^x^jXjx^^
wo fl -f 6 + c 4- ti = n, und 9( ein Produkt nullter Stufe, alfo
eine Zahl ist. Somit ist die entstehende Gleichung eine Zahl-
gleichung, welche in Bezug auf Xj, x^, Xg, X4 homogen vom
n-ten Grade ist; falls nicht etwa die fämmtlichen Koefficienten
St u. f. w. Null find, d. h. der Gleichung durch jeden Punkt x
genügt wird, was oben ausgeschlossen war. Nun find — ,
— , — die gewöhnlichen Koordinaten des Punktes x, weil
Xi Xi ^ '
nämlich x ^ x/ a -| — ^b ~{ — ^c -j — ^d \ alfo x ^ a -J — %
N. X] X^ Xi y Xi
-}- — c -[ — ^d ist. Somit ist der geometrische Ort von x eine
Oberfläche n-ter Ordnung,
312. Wenn^Cn,^) ein stereomelrisches Produkt nuilter
Stufe ist, welches die Ebene 5 n-mal als Faktor enthält, und
ausserdem nur konstante Punkte, Linien und Ebenen, fo ist
die Ebenen-Gleichung einer algebraischen Oberfläche n-ter
Klasse; vorausgefetzt, dass nicht jede Ebene | der Gieichung
genügt.
Beweis wie in 311.
313. Ein planimelrisches und ebenfo ein stereometrischcs
Produkt bleibt fich felbsl kongruent, wenn man statt eines
beliebigen Faktors desfefben einen ihm kongruenten fetzt, oder
y Google
in (ai*
ihn mit einer beliebigen von Null verschiedenen Zahl [einer
Grösse nullter Stufe) nniltiplicirt oder dividirt.
Beweis. Zwei Grössen A und B heissen (nach 3)
kongruent, wenn zwischen ihnen eine Gleichung der Form
A = nB besieht, in welcher n eine beliebige von Null ver-
schiedene Zahl (pofilive, ganze oder gebrochene, rationale
oder irrationale) bedeutet. Setzt man nun in einem Produkte
PC-l), welches den Faktor A enthält, statt A eine ihr kon-
gruente Grösse uA, fo wird P(nJ) (nach 40) =^np(^), aUo
mit P(^) kongruent.
Anm. Eia Produkt nullter Stufe ist nach dem ongefillirten Be-
griffe dann und. nur daun einem anderen kongruent , wenn fie entweder
beide zugleich null, oder beide zugleich toq Null verachieden find.
Somit schliesat der Satz dies ein, dass wenn man in einem Produkte
nullter Stufe statt eines belicbigea Faktors einen ihm kongruenten
fetzt, das Produkt null bleibt, wenn es null war, und von Null ver-
schieden bleibt, wenn es von Null verschieden war. Da os in der
ganzen folgenden Behandlung nur auf die Kongruenz ankommt, fo
werde ich statt der Linientheile und der Flächentlieile überall gerad,.
Linie und Ebene fetzen.
314. Ein plani metrisch es , und ebenfo ein stereometri-
sches Produkt Weiht fich Telbst kongruent, wenn die beiden
Faktoren, aus denen es besteht, vertauscht, d. h, [AB]^ [ßA],
was auch A und B für Grössen feien.
Beweis nach 120.
313. Ein planimetrisches Produkt dreier Punkte oder
dreier Linien, eiienfo ein stereometrisches von vier Punkten
oder Ebenen bleibt fich felbst kongruent, wenn man feine
Faktoren beliebig ordnet und zufammenfasst.
Beweis. Denn da das Produkt dann (nach 114) ein
reines ist, fo gelten für dasfelbe die Sätze 120, HOa.
31ß. Ein planimetrisches, und ebenfo ein stereomelri-
sches Produkt bleibt fich felbst gleich, wenn man zwei un-
mittelbar auf einander folgende, einander incidentc Faktoren
desfelben (namentlich eine gerade Linie, oder eine Ebene und
einen in ihr liegenden Punkt) verlauscht.
Beweis nach 123.
317. Ein planimetrisches, und ebenfo ein stereometrl-
.sches Produkt iiulllor Stufe bleibt fich felbst kongruent, wenn
y Google
3««> 193
man die Ordnung der Faktoren umkehrt, oder die Reihe belie-
big vieler letzter Faktoren in eine Klammer seliliesst und
umkehrt,
Beweis nach 126.
318. Ein stereomelrisches Produkt von drei oder vier
Punkten, oder von drei oder vier Ebenen, oder von zwei
Punkten und einer Geraden, oder von zwei Ebenen und einer
Geraden bleibt fich feibst kongruent, wenn man feine Faktoren
beliebig ordnet und zurammenfasst.
Beweis. Denn da das Produkt dann (nach 114) jedes-
mal eil) reines ist, fo find hier die Sätze 119 a und 120
anwendbar.
319. Ein stereonietrisches Produkt [aBC] von einem
Punkte a wnd zwei geraden Linien B und C, welclie fielt
schneiden, bleibt ficli feibst kongruent, wenn man diefe
geraden Linien vertauscht, d. h.
[aBC]^[aCB], wenn ß und C fich schneiden.
Beweis nach 124 e.
Anm. Hiermit find alle Fälle der Vertan seh barkeit für plaiii-
metrische und sLereometrische Produkte erscliöpft. (Vergl. 121.)
320. Wenn in einem planimetrischen Produkte der Form
[xaBcD-'-] d. h. in welchem auf den Punkt x abwechselnd
Punkte und gerade Linien folgen, oder in dem planimetrischen
Produkte [XßcD---], in welchem auf die Linie X abwechfelnd
Linien und Punkte folgen, kein Faktor dem nächstfolgenden
incidenl ist, fe ist dasfelbe von Null verschieden.
Beweis. Angenommen fei, dass von den Grossen x, a,
B, c, D-'- keine zwei aufeinander folgende incident feien,
dann find x und a zwei nicht incidente Punkte, ihr Produkt
allo eine von Null verschiedene, gerade Linie, diefe gerade
Linie ist nicht mit B incident, da a nicht in B liegt, aifo ist
ihr Produkt [xaB] ein von Null verschiedener Punkt der gera-
den Linie B; diefer kann nicht mit c zufammenfallen, da c
nicht in B liegt, alfo ist ihr Produkt [xaBc] eine von Null
verschiedene, durch c gehende gerade Linie, diefe kann nicht
mit D zufammenfallen, da c nicht in D liegt, alfo ist ihr
Produkt [xaBoDl ein von Null verschiedener Punkt der gera-
y Google
den Linie D u. f. w. Setzt man xa^^=X, fo geht der zweite
Theil des Satzes liorvor,
331. Wenn in einom sloreümetrisclien Produltte tier
Form
[xaj?cd----],
d. h. in welchem auf den Punlft x abwechTelnd Punkte niid
Ebenen (die hier mit griechischen Buchstaben bezeichnet l'ind)
folgen, oder in dem stereometrischen Produltte
in welchem auf die Ebene | abwechi'elnd Ebenen nnd Punkte"
folgen, kein Faktor dem nächstfolgenden incideut ist, fo ist
dasfelbe von Null verschieden.
Beweis wie in 320.
322. Wenn in einem stereometrischen Produkte der
Form
[xABC.--] otler [5BC--.],
(I. h. in welchem auf den Punkt x oder die Ebene | lauter
gerade Linien als Faktoren folgen, die beiden ersten Faktoren
einander nicht incident find, und keine der Linien die nächst-
folgende schneidet, fo ist dasfelbe von Null verschieden.
Beweis. _ Da x nicht In der geraden Linie A liegt, fo
ist [xA] von Null verschieden, und zwar der durcii x und A
gelegten Ebene kongruent; in diefer Ebene kann die gerade
Linie B nicht liegen, da fio fönst die gerade Linie A derfelben
Ebene (wenn imch in unendlicher Entfernung) schneiden
musste, gegen die Annahme, alfo ist das Produkt [xAB] der
Ebene [xA] und der geraden Linie B von Null verschieden,
und zwar (nach 303) kongruent dem Durchsehniltspunkte
beider; da diefer in B liegt, alfo nicht in C (da B und C fich
nicht schneiden), fo ist das Produkt [xÄBC] eine, von Null
verschiedene durch C gehende Ebene u. f, w. Der zweite
Theil des Satzes folgt, wenn man [xA]=? fetzt.
Anm. Die an gefillirtcn Sätze reichen bin, um die vorher aiil'gc-
Stellten Formeln für Kiiiven. und Oberflächen mit der grögsteii Leich-
tigkeit ZV. disliutiren, wozu ich die folgenden zwei Beispiele wähle.
323. Die Gleichung eines Kegelschnittes, der durch
die fünf Punkte o, b, c, d, e geht, von denen keine drei
in einer geraden Linie liegen, ist
y Google
[xa(cd)(ab-(le)(bc)ex] = 0, oder
ixaBc,Dex] = 0,
wo B = [c(!], Ci — [ab-de], D^[bc] ist.
Beweis, Das Produkt der linken Seite ist, da die Scmime
der Stil Ten zahlen 12 durch 3 theilbar ist, von nullter Stufe.
Dass nicht jeder Punkt x der Gleichung genügt, davon über-
zeugt man fleh leicht. Zieht man z. B. eine Linie ap, die niclit
durch e geht, und nimmt an, x foUe in diefer geraden Linie
liegen, aber nicht in a, (o ist [xa]^[pa], fomit können wir
(nach 313) statt xa in der obigen Gleichung pa einfelzen, und
erhalten
[paBciDex] =0,
d. h. der Punkt x miiss in der geraden Linie liegen, die
durch den Punkt [paBc,D], welcher qlieisset, und durch den
Punkt e geht; zugleich foll er nach der Annahme in der
geraden Linie ap liegen, alfo zugleich in qe und ap, diefe
beiden geraden Linien find nothwendig verschieden, da e nicht
in ap liegt, alfo treffen fio fich nur in einem Punkte, d. h.
die gerade Linie ap enthält ausser dem Punkte p nur Einen
Punkt, der der obigen Gleichung genügt. Alfo genügt ihr
nicht jeder Punkt. Somit ist der geometrische Ort für x (nach
309) eine Kurve zweiter Ordnung, alfo ein Kegelschnitt. Es
ist nur noch zu zeigen, dass er durch die fünfPunkte a,---
geht, d. h. dass wenn x mit irgend einem der fünfPunkte
a--'-e zufammenfällt, die Gleichung erfüllt wird. Fällt x
mit a zufammen, fo wird xa^^O, alfo auch das ganze Pro-
dukt, dasfelbe gilt für x^e, wenn man die Gleichung (nach
317) in der Form
[xeDciBax] = [104]
schreibt. Wird x^c, fo wird [ca(cd)] ^ [cadjc, und dies
ist wieder ^;c, da [cad] eine von Null verschiedene Zahl
ist, alfo ist
[ca(cd)tab-de3(I.c)ec] s= [cCab ■ de)(bc)ce]
= [(ai) ■ de)c(bc)ce] [314]
s [(ab ■ de)(bc)cce] [123]
^ [Cab-debc][cce], da [(ab'de)bc] von
nulItcr Stufe, d. h, eine Zahl ist. Hier ist [cce] (nach 60)
yGoosle
196 (»«4
= 0, allo auch das ganze Prodtikl null. Wirdx^d, lo wird
[(ta-c(l]E=[da-(icHNo. 314) = [dac]J (No. 104) -= H, Somit
wird dann
[daCcd)(i.b-dc)(bc)üdl s [d(ab-de)Cbc)ed]
= [ab(de)dCbc)ed] [314]
= [al)d(de)CIJc)ed] [123]
^[at>d][((ie)tbc)(de)], [40.1
weil [sM] eine Ziilil ist. Aber [de-bc'de] ist null (nach 395),
airo das ganze Trodiikl ^=0, Wird x^b, fo ergiobt fich_
auf gleiche Weife aus der umgekehrten Gleichungsfonn, dass
der Gleichung genügt wird. Somit find alle fünf Punkte a- ■ -e
Punkte (
,324. Wenn A, B, C drei gerade Linien im Baume
find, von denen keine zwei fich schneiden, fo ist
[xAßCx]^0
die Gleichung derjenigen Flache zweiter Ordnung, auf wel-
cher die drei geraden Linien A, B, C liegen.
Beweis. Die Summe der Stufenzahlen ist 8, alfo durch
4 Iheilbar, alfo das Produkt als stereomelrischos von nullter
Sltife. Nicht jeder Punkt x genügt ihr. Denn legt man durch
die gerade Linie A eine Ebene «, und nimmt an, der Punkt
X liegt in diefer Ebene, aber ausserhalb A, fo ist [xA] =^ «,
alfo [xABC] ^ [aBG] , und zwar von Null verschieden (nach
322). Es ist aber kB ein Punkt und [ctBC] die durch diefen
Punkt und die gerade Linie C gelegte Ebene. Die Gleichung
[ßBCx] =
Tagt a 1 iass ler Punkt x in diefer Ebene liegen muss, er
liegt ibei ich ier Annahme auch in der Ebene a, alfo in
beidei z gle cl Beide Ebenen fallen aber nicht zufammcn,
da fönst A nd C diefer Ebene liegen, alfo fich schneiden
müssle g g I e Annahme. Alfo muss x dann in der Durch-
schnittsk nte he d r Ebenen liegen, um der Gleichung zu ge-
nügen Sor t ge ugt ihr nicht jeder Punkt. Da nun das
obige Prod kt \o nullter Stufe ist, x zweimal als Faktor
enthält, und nicht durch jeden Punkt x erfüllt wird, fo ist
(nach 3H) der Ort von x eine Oberfläche zweiler Ordnung.
In ihr liegen A und 0, denn wenn x in A liegt, fo wird
y Google
asa> 197
{xA]^=0, alfo das Produkt null, ebenfo wenn x in C liegt.
Lieget endlich x in ß, To hat man
[xABCx] = [AxBCx] [314]
= [ABxCx] [123]
= [AB][xCx], da [AB] von nullter Stur«
jsl; endlich xCx (niioh 60) null, alCo das Produkt gleich null,
d. h. jeder Punkt x, der in C liegt, genügt der Gleichung,
Anm. Fär den umgekehrten Satz, daas jede algebraische Kurve
der Ebene ßoh in Form eines gleich null gefetzten planimetri sehen
Produktes darstellen lässt, kommt ea darauf an, jede algebraische
Funktion der Koordinaten eines Punktes in Form eines plani metrischen
Produktes darzustellen, Diefe Aufgabe wird gelöst lein , wenn, bei
irgend einer Methode, die Zahlen räomlieh darzustellen, fo wohl das
Produkt als auch die Summe zweier räuralicli dargestellter Zahlen
durch ein planimetrisches Prodakt dargestellt werden können. Das
Entsprechende gilt für die algebraischen Oberllüchon. Für den ersten
Fall wollen wir die Entwickelung fo weit fahren, dass aus jeder
gegebenen algebraischen Gleichung fogleieh die entsprechende plani-
metrische abgelefen werden kann.
339. Es fei c ein einfacher Punkt, a und b feien zwei
nicht parallele Strecken, und x ein beliebiger einfacher Punkt
der Ebene cab, und zwar fei x^^Xja -J- Xjb -j- c. Es fei d
= a -[- b -[- c (dl h. d fei in einem Parallelogramme, dessen
eine Ecke c ist, und dessen von diefer Ecke ausgehende Seiten
mit a und b gleich lang und gleichgerichtet find, die der Ecke c
gegenüberliegcniie Ecke). Wenn dann (xj) und (x;) diejenigen
Punkte der Diagonale cd find, für welche die Gleichungen
[c(x,)]:[cd]=x„ [c(,.)l:M]=«.
gelten, fo ist
(xi) = [xbC], (xO = [xaC]HndL(xi)b]=[xh], [(xj)a]=xa,
wo der Kürze wegen [cd] mit C bezeichnet ist.
Beweis. Nach 221 ist, da die Punkte c, (xi), d in
gerader Linie liegen, und c(xi) : cd = Xi : 1 fich verholt,
(xi) — c = XiCd — c) = Xi(a -f b) ,
da (nach Hyp.) d =: a + b -f c war, alfo
(xi) = XiB -f Xib -|- c, folglich
[(xi)b] - [(x.a + c)b] [67]
und [xb] = [(xia -f x^h -f- c)b] [Hyp.]
= [C^ia + c)b] [67].
Folglich [(xj)b] = [xb].
yGoosle
198 (»»•
Hier ist [xb] eine gerade Linie, welche durch x mit b
parallel gezogen ist; in diefer Linie liegt nach der letzten
Gleichung der Punkt (x,); es liegt doiTelbe aber nacli der
Vorausfetzung auch in der Geraden cd oder G, alio im Durch-
schnitt beider, folglich ist
(x,) =. [xbC].
Aus gleichem Grunde ist f(x2)a] = xa und (xj) ^ [xaC],
32<i. Wenn a, b, c, d diefelbe Bedeutung wie im vorigen
Satze liaben, und p, q zwei beliebige Zahlen find und man,
ähnlich wie im vorigen Satze, unter (p), (q), (pq) diejenigen
Funkte der geraden Linie cd versteht, für welche die Glei-
chungen
00 [c(p)]:[cd]=p, [c(q)]:[cd]^q, [c(pq)l:Lcd]^pq
gelten, fo ist, wenn der Kürze wegen
(!)) [da]=A, [db] = B, [de] = C
gefcUt find,
(pq) ^ [(p)aBc((q)b)aC] = [(p)bAc((q)a)bC]
[(pq)a] = [(p)aBc((q)b)a]
[(pq)b] = [(p)bAcC(q)aDb].
Beweis. Setzt man in die drilte der Gleichungen (a)
für p und q ihre Werthe aus den beiden ersten, fo erhält
man die Proportion
[c(pq)] : [c(p)] = [c(q)] : [cd].
Aus diefer Proportion und daraus, dass die fünf Punkte
*^f ''i (p)i (1)1 (P'l) '" göracier Linie liegen, folgt fogleioh,
wenn wir den Punkt (pq) der Kürze wegen mit r bezeichnen,
dass c der Aehnlichkeitspunkt der beiden Punktvereine r, (q)
und (p), d ist. Zieht man dahcr^ über den Grundfeiton r(q)
und (p)d die parallelen Dreiecke rfqje und (p)df, fo ist c
anch Aehnlichkeitspunkt diefer Dreiecke, folglich liegen die
entsprechenden Punkte e «nd f mit o in gerader Linie, wo-
durch r gefunden werden kann. Nimmt man ins Befondere
re und (p)f parallel mit a, und {q)o und df parallel mit b,
fo wird
f^[(p)a-d[)]=[(p)aB],
da [db] = B gefetzt war; ferner
es.[rc.(,)b],r=[G».cil] = [c.C],
y Google
a««) 199
da [de] ^ C gefetzt war, und endlich
M-M,
was ficU alles unmittelbar ergiebt, wenn man dio belrcfTende
Figur zeichnet. Setzt man in die letzten beiden Gleichungen
die Wertho aus den beiden ersten ein, fo erhält man
r = [(p)aBc((q)b)aC]
[ra] = [(p)aBcC(q)b)a],
und fetzt man in der obigen Beweisführung überull b statt a
und umgekehrt, und Ä statt B, fo erhält man
r = [(p)bAcC(q)a)bC]
[rb] = [(p)t)Ac(((|)aJb],
und dies find, da r = (pq) ist, die zu erweifenden Glei-
chungen.
32"J, Wenn a, b, c, d, A, B, G die Bedeutung haben
wie im vorigen Salze und p, q, a, b beh'ebige Zahlen find,
jedoch mit der Beschränkung, dass a + 6 vun Null verschieden
fei, wenn ferner
^"^ '^ al-b
ist, und wie vorhur (p), (q), (r) diejenigen Punkte der ge-
raden Linie [cd]="=sC find, welche den Gleichungen
Cb) [c(p)l : C = p , [c(q)l : C ^ q , tc(r)l : C = r
genügen, fo ist
(r) = [(p)a((q)bXQa - bb)C].
Beweis. Substituirt man in der Gleichung öp-f-Iiq =
(il -|- b)r statt p, q, r ihre Wcrthe aus b, fo erhalt man
(a -F b)[cO-)] =«[c(p)] -h b[c(q)j,
oder, da alles in derfetbcn geraden Linie liegt,
Ca + bXO')- c] = fl((p) - c) -f b((q)- e) [222],
alfo
■* u -J- b)(r) - a(p) + b(q),
d. h. (r) ist der Schwerpunkt zwischen den vielfachen Punkten
l(p) ""■' Hl)- Zieht man nun von ^q) die Parallele mit b,
und von Cp) die Parallele mit a, welche fich in e schneiden,
und ehenfü von d und c die Parallelen luil b und a, welche
fich in f schneiden, fo find die Dreiecke dfc und (q)e(p)
parallel, und alfo ahnlich, und es ist dann d— f=b und
y Google
200 (»»8
f — c = a. Wenn alfo (q) — e =^m(d ■- f) ist, wo m eine
Zahl bedeutet, fo ist e — (p) = mCf — c), d, h. es ist dann
(q)— e = mb, e — (p) ^ ma. Ferner, wenn man zu der
obigen Gleichung (*) auf beiden Seiten — (a -|- B)e hinzufügt,
fo erhält man
Ca + I))((r) — e) = a((p)-e) + K(q)- e) = -mQa + m6b
= — m(oa — bb).
Multiplicirt man beide Selten planimetrisch mit e, fo er-
hält man (nach 67)
(a + bXe(r)] = — m[eCaa — 6b)], alfü
[e(r)] = [eCaa - &b)] [2],
d. Ii. (r) liegt in der geraden Linie [eCaa - bb)], aber (nach
der Annahme) auch in der geraden Linie C, alfo im Durch-
schnitt beider Linien, d. h.
0) = [eCa.-6b)C].
Nun ist aber nach der angegebenen Konstruktion e der
Durchschnitt der geraden Linie [(p)a] und [(q)b], alfo e^
[(p)a-(q)b], folglich
(r)=[(p)a((q)bXaa-bb)C].
Anm. Wenn auf die angegebene Weile die Zahlen dni'cli Punkte
der geraden Linie cd dargestellt Hnd, fo lässt ficli nach den beiden
vorigen Sätzen fowolil die Summe als auch das Produkt zweier Zahlen,
alfo auch jede beliebige ganze Funktion von Zahler duicli ein plu-
nimctrisches Produkt darstellen, v^elches aus den Punkten a, b, c,
d und aus den die gegebenen Zahlen darstellenden Punkten znfammen-
gefetat ist. Hiermit wäre schon der Satz bewiefcu, dasB jede algebrai-
Bche Kurve in der Ebene Fich diu'ch ein gleich Null gefetztes plani-
metrisches Produkt darstellen lässt. Doch foU im Folgenden noch
gezeigt werden , wie man unmittelbar aus der gegebenen algebraischen
Gleichung der Kurve jenes planimetriscliu Produkt herleiten kann.
32S. Wenn a und b Strecken find, c ein einfacher
Punkt und d = a -i- b -i- c, A = [da], B = [db], C = [de],
X =Xia ~f- Xal) 4" c 'sl, fo ist die Gleichung
f(xi, X2) = flx™x^ + bxPx5 + cx^,x", H |-fx;x7=0,
in welcher die Summe der Koefiicieulen von nuU verschieden
ist, für alle endlich entrernteii Punkte x, gleichbedeutend der
Gleichung
[Pc] = 0,
wo, wenn die Glieder von f^Xj, Xj) l'o geordnul find, dass
y Google
8«8) 201
die Summen a + 6, a -f (t -f c, ■ • ■ alle von Null verschie-
den find,
(a) P^ [LLiaiCaLiia^CaLgaaCa Ltak]
(b) ai=aa — ib, Bj — Ca+6)a-cb, ak=(a+tt-J |-i)a— fb
(o) L = [xb9l"Ca9i';'-ij
(d) Lj = [xa9iPCb5ii-'], Lj = [xaSft',Cb9t^-i],---
Lk = [xa3tjCb9i'"-i]
ist, und Vi die Reihe der fortschreitenden Faktoren A, c, xa,
b und 3Ji die Reihe der fortschreitenden Faktoren B, c, xb, a
bezeichnet, fo dass aH'o für jede Linie X,
(e) [XSH] = [XAc(xa)b], [X3l,] = [XBcCxb)a] ist.
Beweis. Bezeichnen wir, wenn p eine beliebige Zahl
isl> mit (p) denjenigen Punkt der Linie cd, für welchen
* [c(p)];N]-p
ist, fo erhalten wir (nach 323)
•* [(».)b] = [*], [(xO.]=[xa],
und (nach 324), wenn p eine beliebige Zahl ist,
[(pxOb] ^ [(p)bAc((xOa)b] = [(p)bAc{xa)b] [*«]
^[(p)b9i] M.
Tritt zu pxj noch ein Faktor x, hinzu, fo tritt zu (p)l)9l
noch einmal die Faktorreiiie 3t hinzu u. f. w. , alfo ist
**» [(pJ';)-b] = [(p)l)S"];
und ebenfü erhält man, indem man x^ und b mit Xi und a,
alfo JS mit % vertauscht,
••" [(px;)a] sa [(p)a9l;].
Alfo wenn p^x^ ist, alTo [(p)b] ^ [(x])b] ^ [xb] (nach*),
fo wird
[(x,x;)-b] = [xb3}''].
Indem wir diefen Ausdruck mit C multipliclren, erhalten
wir den Punkt (xjX^), d. h.
[(xiX=)] = [xb9t°C].
Führt man daher XjX" statt p in die Formel*** ein, in-
dem man zugleich m — 1 sfalt n felzt, fo erhall man
[(xY'xO-a] ^ [xb9i°CaStt--i] = L [c].
Ebenfu findet man
[(xPx5) ■ a] = [xb3[iCa9iP-i] ,
oder, indem man a mit b, alfo auch Xi init Xj, p mit q, 91
mit Vii umwechfelt.
y Google
202 <asB
[(X5x5)-b] sss [xaSlSCbM«-'] ss L„
und elietifo
[(x;xOb]=L,
[(x;x-).b] = Li.
Um nun den Ausdruck für fax^^x^ -f- fex^x^) : [a 4- IJ) zu
finden, hat man nur in 325 x^x^ und xPx^ slalt p und q und
a!fo L und L^ statt (p)a und (q)b zu fetzen, und erhält
(Cax^x; -h U\x\) : (a + b» ^ [LL.Coa - 6b)C]
^[LLiSiC] -[bj.
Um ferner den Ausdruck für (ax™x° + bx^xj -(- cx',x'j)
: Cn + b + zu finden, hat man nur in 325 den Ausdruck
(fl,x™x5 -j- bxPx^) : (a -j- b) statt p, und x^x^, statt q, und alfü
Lj statt {q)b und zugleich a + 6 statt a, und c statt b zu
fetzen, und erhält
((flxfx^ + bxPx5 + cx';x^J : Ca + & + 0) = [LLiaiCaLjasC],
da (a + b)a — cb = a2 gefetzt war u, f. f.; endlich
(Caxfx; + bxijx^ + cx',x» + • ■ ■ + fx^xv) : Ca+b+c+ ■ ■ ■ +0
= [LLjaiCaL^aiC LuatC]
= [PC] [a].
Alfo
(fCXi, X,) : (4 -f b + C + ■ -f)) = [PO].
Ist nun fCxi, xs)=0, fo hat man (0)=[PC]. Aber
(nach *J ist [c(0)] : [cd] = 0, aifu der Dividend [cfO)] gleich
Null, d. h. der Punkt (0) fällt mit c zufammen, fomit erhalten
wir dann c ^ [PC] , d. h. c ist der Durchschniltspunkt der ge-
raden Linie P und C; er liegt alfo auch in P, d. h. (nach 293)
[Po]=0.
Umgekehrt, wenn diefe letzte Gleichung erfüllt wird, fo
liegt c in P, aber (nach Hypolhefis) auch in C, alfo ist c^
[PC], d. h. der zu der Zahl fCxi, Xj) : (a + & H ) gehörige
Punkt liegt in c, d, h. jene Zahl ist null, alfu ihr Zähler
f(Xi, X0=:0.
329. Wenn alle übrigen Voraus fetzun gen dos vorigen
Satzes bestehen bleiben, aber jetzt angenommen wird, dass
die Summe der Koefficienten (o + B +•■•-{- null fei, lo
ist die Gleichung
fCx„ X3) = 0,
yGoosle
»«») 203
gleichbedeutend der Gleichung
[LLiBiCaL.a.Ca L^-jak-iLtC] = 0,
wo die einzelnen Buchstaben diefelhe Bedeutung haben, wie
im vorigen Satze, und die Glieder in f(xi, x^) auch hier fo
geordnet Tind, dass die Summen a + h, a-(-l) + c,'*- alle,
mit Ausnahme der letzten (q + b -J- c H f- f), von jVuIl
verschieden find.
Beweis, Man kann durch Divifion mit dem Koerficienten
des lelzten Gliedes die Gleichung f(Xi, X;)^^0 auf die Form
bringen, dass der Koefficient (f) des letzten Gliedes 1 wird;
dann ist die Summe der übrigen Koefficienten — i. lüs fei
das letzte Glied — h und die Summe der übrigen fei g, fo
ist die Gleichung f(xi,Xj) = gleichbedeutend der Gleichung
g — h =^0, oder
S = h.
Dann ist nach der Entwickelung des vorigen Satzes
(g) ~ [LLiaiCaL^ajCa Lk-iat-iC]
(h)^[L.C].
Da nun g = h ist, fo find auch die Punkte (g) und (h)
kongruent, alfo
[LLiaiCaLjajCa- ■ • .Lfe_iak-iC] = [LkC].
Diefe Kongruenz fagt aus, dass der durch die linke Seite
dargestellte Punkt in dem Durchschnitte der Linien L^ und
C liege, alfo namentlich auch in Lr liege, d. h. (nach 293)
[LLiaiCaLjajCa- • -U-iaK^iCLk] =0
fei. Hier kann man (nach 315) auch die beiden letzten Fak-
toren vertiuschen, wodurch die zu erneifende Gleichung her-
lorgehl, umgekehrt folgt aus diefer letzten Gleichung wieder
g = h, alfo f(xi, x,) =
A n m Es lat Iticiit zu crfehen dass man in den \ orhergehenden
bützen, statt a und b ais Strecken und c ala emfathen Punkt anzu
nehmen, auch allgemeiner a, b und i als drei beliebige, nicht in
Einer geraden Linie liegi,nde Punkte hätti. annchnen können viO
bei dann die bedingui g dass i ein endhch entfernter Punkt fein
rollte erfetzt wud durch die an lere, dabS v nicht in dei Rtraden
linie ab hegL Der lirund filr die Zuiiisaigkeit diefer 1 eiall^enieine
ruig liegt dirin dos« (nach 110) dip dcfetze der auf ein Ha ij tgebiet
bezüglichen Multiplikation alle unverändert bestehen bleiben wenn
min «tatt der ursprünglichen Einheitei a, b c dici aiideie auo ihnen
y Google
204 f«»'
numerisch b! tb wfihlt w b di d t fg füh t B d g {
dass iifts k mb t h P d kt ] t U 1 d f E h
1 fei, hier f d K g k m gf llt B tra U
rann die F d Gl 1 g 3i f j,t f h 1 h dw
die planim tn 1 Gl h g [P ] = B g f f It
Grade ist 1 d S m II F p t d 1 b h
Gleichung f — Obgd dFkt hOlthltd
Punkt xnj 1 dlt L dlmtdfl
dcrn der F
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enthaltenen
Vanabeln -
— und
— V
t-ai-en , eine homogene
Funkti
on
n-ten Grades hervor, welche ich mit F bezeichnen will, und welche
für diefelben Fälle null wird, für welche f null wurde. AlTo ist für
den Fall, dass y nicht in ab liegt, d. h. w nicht null ist, die Glei-
chung Q = gleichbedeutend mit der Gleichung F = 0. Da aber die
eretere vom n + p-ten, die letztere vom n-ten Grade ist, fo muss die
Gleichung Q = in allen Fällen der Gleichung wpF — gleichbedeu-
tend fein, alfo
Q^wPF^[aby]FF,
letaleres, weil aus y — ua-[- vb^- wc folgt w^ [aby]. Es muss alfo
Q durch [abyjp theilbar fein. Es käme daher darauf an , das
plani metrische Produkt Q in ein kongruentes Produkt zu ver-
wandeln, welches von diefen Faktoren [aby] befreit fei, Allein
y Google
aai) 205
ddfRdkt wjifelhaptaefhb fnd
Egl f g S hw engke ten Btosst fo t ea i e kmima g
t d lg b 1 Gle cl ng durcl \e ande u g des lioord naten
f ) t m f g t It ia fe noglchst eng t able Gl eder
tl It 1 Able tu g de pla etrscle Pormel s 1 e tet
& B 1 t r !i 1 L le ch nc d tten b ades auf d e Fo m pqr
= b g w p i r s 1 nearc F nkt onen IrKoorlnaten
r d dm k t te ZaI 1 beze cl net ^ erlegt a iat du c!
P j kt dg IL , deicn bleichung B -— lät, ina ünöndliciie,
f wi d d Gl 1 g
pq =m
w 1 h h d b g Kegeln umgewandelt, eine geometrische Glel-
h g dntt Grad 1 fert von der Form
[ B C bj (_iEfx] = 0,
d 1 ii b j l P jektion beatehen bleibt, alfo auch, wenn man
d U dl la I gten Linie durcli Projektion wieder die ur-
p gl h L g bt Es hat keine Schwierigkeit, die liier entwickel-
t Pn p 1 f die Oberflächen im Räume zu übertragen;
d h m 1 ml nicht zu weitläuftig zu werden, auf meine
Abb dl g C H Journal, namentlich auf Band 49, nag. 1
§. 7. Innere Multiplikation in der Geometrie.
330. Krkiärung. Für diu innere MiiUlplikalion nehme
ich als ursprüngliche Einheiten im Räume stets drei zu ein-
ander renkrechte und gieich lange Strecken (ej, e^, öj), in
der Ebene deren zwei (e^ und e^) aii, und zwar nehme ich
die Längen diefer Strecken als Einheit der Längen an, und
[616263] und in der Ebene [eiOj] als Einheit der Körper- oder
Flachenräume.
Anm, Hierdurch find alro alle von dem Begriffe der inneren
Multiplikation abhängigen Erklßrungen und Sätze {No. 137-215) auch
auf die Geometrie übertragen.
331. Für die Ebene fällt der Begriff der Längte mit
dem des numerischen Werthes, der Begriff des Senkrechten
mit dem des Normalen, und der Begriff der Drehung um den
Winkel a mit dem der circulären Acnderung um den Winkel
(t zufammen, wohei der Winkel als pofitiv nnztinehmen ist,
wenn fein zweiter Schenke! vom ersten aus nach derfeiben
Seile liegt, wie die zwcile Einheit {<:{) von der ersten (ej)
y Google
206 taaj
Beweis 1. Alle im Satze genannten analytischen BegrilFu
(normal, numerischer Werth, circuläre Aenderung') find (in
151 — 154) an den Begriff des inneren Prbdnkles, und diefer
wiederum (nach 137) an den der Ergänzung (89 und 90).
Die Ergänzung von a Wiir mit |a bezeichnet. Ich zeige daher
zuerst, dass wenn a^xiCj -j- XjCj eine beliebige Strecke der
Ebene ist, dann |a gegen a fenkrechl und mit a gleich lang
ist, und von a aus nach derrelben Seile Hegt, wie e^ von Cj.
Es fei AB mit x^e-i gleich lang und gleichgerichtet, BC mit
XiOj, AD mit Xild, und DE mit Xjle^, Nach 89 ist \ei = e2,
und \b2 = — e, , alTo AD^sx^ej, DE=^— x,ei. Da nun
(nach 330) Cj und Cj gleich lang Hnd, fo ist auch x^Cj mit
Xjei gleich lang, d. h. AD mit AB, und ebenfo — x^Ci mit
Xjej gleich lang, d. h. DE mit BC. Da ferner (nach 330)
e^ zu e-i fenkrecht ist, To ist auch x^e, zu Xje^ fenkrecht und
XjBi zu Xjej, d. h, BC zu AB und DE zu AD, folglich find
die Dreiecke ABC und ADE kongruent (durch 2 Seiten und
den eingeschlossenen Winkel), alfo AC gleich lang mit AE.
Ferner liegt aber auch 02 von Oi aus nach derfelben Seite,
wie — ej von e, aus, alfo auch BC von AB aus nach derfelben
Seile, wie DE von AD aus, d. h, die Winkel BAC und DAE
find auch dem Zeichen nach gleich. Nun ist /^CAE ^= i^CAü
+ DAE = ^CAD + BAC (wie oben gezeigt) — ^BAD, d. h.
AE steht fenkrecht auf AC, und zwar nach derfelben Seile
hin, wie AD von AB ans, alfo auch wie Cj von ei aus. Es
ist aber (nach 220) AC mit Xiei + x^ej, d. h. mit a gleich
lang und gleichgerichtet, und AE mit Xi|ei -j- Xjjej, d, h, mit
ja (nach 101). Alfo ist ja mit a gleich lang, und steht auf
a fenkrecht nach derfelben Seite hin wie e^ auf e,.
3. Numerischer Werth von a ist (nach 151) die pofitive
Quadratwurzel aus [a|a], wobei (nach 89) das Produkt [oiOi]
als Einheit gefetzt ist. Nun ist [a|a] (nach 254) einem Paral-
lelogramme gleich (auch dem Zeichen nach), dessen erste
Seite mit a, und dessen zweite mit [a gleich lang und gleich-
gerichtet ist; dies Parallelogramm ist (nach Beweis 1) ein
Quadrat, welches dem (nach 330) als Einheit angenommenen
Quadrate [ejej] gleichbezeichnet ist, ist nun die Länge von
y Google
39«) 207
a (ci als Längeneinheit genommen) gleich a, To ist der Inhalt
des Quadrates tiher a gleich a^, und die pofilive Quadratwurzel
daraus a, d. h. P'Caja] ^=a, d. h. der namcriche Werth gleich
der Länge.
3. Nach 152 hoisson zwei Strecken a und b normal zu
oiuauder, wenn [a|b]^^0 ist, (f. h. (nach 254) wenn a mit
|b parallel ist; nun ist (nach Beweis 1) |b fenkrecht auf h,
alfo auch das mit jb parallele a fenkrecht auf b; ebenfo folgt
umgekehrt, dass wenn a auf b fenkrecht ist, a mit jb parallel
ist, alfo [a\b] gleich null, alfo a zu b normal ist. Der Begriff
des Senkrechten fällt alfo (in der Ebene) mit dem des Nor-
malen zufammen.
4. Wenn a und b einander numerisch gleich und zu ein-
ander normal find, und fich a in a'=^acos.öi + bfin.ft, und
b in b'^^bcos.a— afin.a verwandeil hat, fo hiess das (nach
154), der Verein der Strecken a und b habe fich von a nach
b hin circulär um den Winkel a geändert. Es fei AF mit a
und AG mit b gleich lang und gleichgerichtet, alfo, da a und
b einander numerisch gleich und zu einander normal find, fo
ist (nach Beweis 1) AG mit AF gleich lang und auf AF fenk-
recht; man trage an AF und an AG nach derfclben Seito hin
den Winkel a an, und mache die zweiten Schenkel AC und
AE gleich lang mit AF; fälle von C das Lolh CB auf AF
und von E das Loth ED auf AG, fo ist AB mit acos.a, BC
mit bfin CE, AD mit heos.a, DE mit — afin.a gleich lang
und gleichgerichtet, alfo (nach 220) AC mit acos.a -f- bfin.a,
d. h. mit a', und AE mitbcos.a — afin.a, d. h. mit b' gleich
lang und gleichgerichtet; a' und b' gehen aber nach der Kon-
struktion aus a und b durch Drehung um den Winkel a her-
vor; folglich fällt der Begriff der Drehung um den Winkel a
mit dem der circulären Aenderung um diefen Winkel zu-
fammen.
Anm. Diefelbe Sclilussrcihe ist alfo für jede Ebene anwendbar,
in welcher zwei Strecken a und b enthalten find, für welche diefelben
Vorausfetiungen g-emacht Tind, wie füre, und Cj.
332. Das Normalfystem im Räume ist identisch mit dem
Verein von drei gegeneinander fenkrechten und gleich langen
y Google
208 (8«»
Strecken, und zwar ist die Länge diePor Strecken gleich dem
numerischen Wertlie des Normal fystems.
Beweis i. Das System der ursprünglichen Einheilen
Bi, ej, 63 bildet Cnach J63) ein einfaches NormaUyslem, und
Ci, 63, 63 find (nach 330) auf einander fenkrecht und von
der Länge der Einheil, Jedes andere einfaclie Normalfyslem
von drei Strecken lässt fielt (nacli 161] aus jenem Noramify-
stem durch circuläre Aenderung ableiten. Hat man nun ein
einfaches Normalfystem a, b, c, in welchem a, b, c aufein-
ander fenkrecht und von der Lange eins find, fo besieht die
circuläre Aenderung darin, dass irgend zwei derfelben, z. B.
a und h fich um einen in der Ebene ab liegenden Winkel a
ändern; nun haben wir in 331 (vergl. Anm.J gezeigt, dass
die dadurch hervorgehenden Strecken a' und b' w teder au(
einander fenkrecht stehen, und die Län^e i haben; aber aui,h
c steht auf ihnen fenkrecht, denn da nach der Anndhme <,
auf a und b fenkrecht steht, fo steht c auch auf allen Linien
der Ebene ab, alfo auch auf a' und b' fenkrecht, d h aus
einem Normalfystem, dessen drei Strecken auf einander fenk-
recht stehen, und von der Länge der Einheit find, geht durch
einfache circuläre Aenderung wieder ein Normallystem \on
derfelben Art hervor, alfo auch durch wiederholte ciiculare
Aenderung, Alfo geht namentlich ans dem Normalfystem ej,
ej, 63 durch beliebig circuläre Aenderung stets ein Verein
von drei Strecken hervor, welche auf einander fenkrecht, und
von der Länge der Einheit find, d. h. jedes einfache Normal-
fystem besteht aus folchen drei Strecken.
2. Umgekehrt ist zu zeigen, dass wenn a, i), c irgend
dre" z e' der fenkrechte Strecken von der Länge i find,
fe en Norn alfystem bilden. Nach 160 kann man stets ein
e nfacl es Norn alfjslem von drei Strecken finden, dessen eine
d e R cl tung \o c hat, dann muss (nach Beweis IJ die Länge
1 fem inl aifo d e Strecke, welche die Richtung von c hat,
auch n t c gle ch lang, alfo überhaupt gleich fein, die beiden
andern mogei a und b' fein, fo ist (nach Beweis 1} c fenk-
recl t auf a ui I b aber auch (nach Annahme) auf a und b,
alfo liegen a, b, a, b in Einer Ebene. Alfo kann man wiederum
y Google
S34) 209
(nach 160) ein einfaches Normalfystem aus zwei Strecken
diefer Ebene finden, von denen die eine Strecke gleich b ist,
die andere fei a", fo ist a", da es in der Ebene ab liegt,
fenkreckt auf c, aber (nach Beweis i) auch fenkrecht auf b
und von der Länge 1 , alfo ist a" fenkrecht auf der Ebene bc,
aber auch a fenkrecht darauf und von der Länge 1, alfo ist
a" entweder = a, oder = — a, da nun a", b, c ein einfaches
Normalfystem bilden, fo bilden in beiden Fällen auch a, b, c
ein folches,
3. Hat man nun ein beliebiges Normalfyslem a, b, c von
dem numerischen Werlh n, fo bilden — , ■ — , — ■ ein einfa-
n n n
ches Normalfysteni, find alfo C^ch Beweis 1) zu einander
fenkrecht und von der Länge 1, alfo find a, b, c auch zu
einander fenkrecht und von der Länge n; und ebenfo folgt
umgekehrt, dass wenn a, b, c zu einander fenkrecht und
von der Länge n find, dann ■ — , — , — ein einfaches Nor-
^ ' n ' n ' n
malfy&tem, und a, b, c ein Normalfyslem von der Länge
n bilden.
333. Auch für den Raum fällt der Begriff der Länge
mit deni des numerischen Werthcs, und der des Senkrechten
mit dem des Normalen zufaminen.
Beweis in 332.
334. Der numerische Werth eines Produktes P zweier
Strecken p und q ist gleich dem Flaoheninhaite des Parailelo-
gramins, in welchem zwei aneinanderstossende Seiten jenen
Strecken parallel find, vorausgeletzt, dass diefer Inhalt pofitiv,
und das Quadrat der Längeneinheit als Flächeneinheit ange-
nommen wird.
Beweis. Es fei ein einfaches Normalfystem dreier
Strecken a, b, c angenommen, von der Art, dass a und b
derfelben Ebene parallel find, welcher p und q parallel find,
und dass [abc] = 4-1 ist, fo find (nach 230) p und q aus a
und b numerisch ableitbar, alfo auch (nach 36) P := [pq] aus
[ab], und fei p:=a[ab]. Nun ist der numerische Werth von
P (nach 151)-=y[PlP] =ay[ab|ab]; aber (nach 137) ist |[ab]
yGoosle
210 (■»»
= c, alfo 'I/tPJP]':^a[abc] = a. Da aberP = a[ab] ist, und
[ab] Quadrat der Längeneinheit, alfo als Fläclieneinheit zu fetzen
isl, fo ist der Inhalt von P, d. ii. der Inlialt des Parallelo-
gramms, dessen erste Seite p, und dessen zweite q ist, gleich
et, d, h. gleich dem numerischen Werlhe von P.
339. Die Ergänzung einer Strecke isl diejenige Fläche,
deren Ebene auf jener Strecke fenkrecht, deren numerischer
Werth gleich dem jener Strecke, und deren pofitiver Sinn fo
bestimmt ist, dass das äussere Produkt der Strecke und Fläche
pofitiv ist.
Beweis. Es fei «a die Strecke, und fei der numerische
Werth von a gleich i, alfo der von aa gleich et, und fei ein
Normalfystem a, b, c angenommen, und zwar von der Art,
dass [abc]=-|- 1 ist, fo ist (nach 167) |a=[bc], alfo (nach
90) Iaa = a[bc], aber ct[bc] ist eine Fläche von der im Satze
angegebenen Beschaffenheit,
33(j, Wenn A die Ergänzung von einer Strecke a ist,
fo ist auch a die Ergänzung von A, oder
||a = a.
Beweis. Nach 92 ist ||A=:(— I^p^A, wo p die Stufen-
zahl von A, und q die der Ergänzung ist. In unferni Falle
find diefe Stufenzahlen 1 und 2, alfo
||a = (-l}=a = a.
Aiim. Der Satz gilt niclit in entsprechender Weife für die Pla-
nimetrie , wo nicht mehi' da iwei lu einander fenkrechte Strecken an-
genommen werden können. Vielmelir ist in der Plauimetrie I|a^ — a.
33"?. Wenn a -und b Strecken find, fo ist -^ab gleich
dem Winkel, dessen Schenkel mit a und b gleichgerichtet
find, und wenn A und B Flächen (Streckenprodukte) find,
fo ist ^AB gleich dem Neigungs-Winkel, den zwei mit jenen
Flächen parallele und gleichbezeichnete Ebenen mit einander
bilden, vorausgefetzt, dass die Winkel stets pofitiv (zwischen
und 7t liegend) angenommen werden.
Anm. Wenn man im zweiten Falle A und B in Foi'm von Recht-
ecken darstellt, deren ersle Seite dielelbe ist, fo ist derWlDkcl, den
die aweiten Seiten dieTer Rechtecke eiaschlieBBen , der Seigungswin-
kel, den die mit A and B parallelen und gleich bezeichneten Ebenen
mit einander bilden.
y Google
•t)
2H
Beweis 1. Der Winkel ist von den numerischen Wer-
then der den Winliel bildenden Grössen unabhängig, wir kön-
nen daher die numertsclien Werthe von a, b, Ä, B gleich 1
fetzen, in diefem Falle ist (nach 195)
cos.Aab = [a|b], cos.^AB= [A|B].
Ferner gehl dann, wenn der Winkel von a nach b hin gleich
et ist (nach 154, 331) b aus a durch circiilärc Aenderung um
den Winkel a hervor, d. h, es ist, wenn a' in der Ebene ab
gegen a fenkrocht ist, und nach Jer Seite von b hin liegt,
b = acos.a -j- a'fin.a,
airo
[a]b]=:[a[(acos.a4-a'fin-'*)]^aIa]c<'s.a4-[a|a']fin.a,
aber da a' gegen a normal ist, fo ist [a|a'] = 0, und da der
numerische Werth von a gleich Eins ist, fo wird der zuletzt
gefundene Ausdruck
= cos.a.
Alfo cos '^ab^cos.ct. Nun liegt (nach 195) ^-ab zwischen
und 7t, aber nach Vorausfetzung auch a, alfo '^ab^^a.
3. Es feien A und ß beziehlich die Ergänzungen von
a und b, alfo A = |a, und B = |b, fo find (nach 335) a
und b beziehlich auf A und 6 fenkrecht und nach derfelben
Seile hin liegend, alfo ist der Neigungswinkel a zwischen A
und B gleich dem Winkel zwischen a und b, d, h. (nach Be-
weis 1) cos.a=:cos.^ab = [a|b] = |[aI!(3 (nach 89), da [a|b]
(nach 141) eine Zahl ist; aber |[a|b] = [(a||b] (nach 99), und
dies wieder (nach der Annahme) = [AiB] ^^cos.^^AB; alfo
cos a = oos i^AB "
t r 1
fo.
1 p kt t A d r
y Google
312 (»»8
fo leuelitet ein, dass a. und a' dieJelbe Ergänzung Jbcd] haben, d&
(nach 268) [abcd] = [a'bcd] ist, nnd ebonfo, dass [a'bj und [ab] die-
lelbe Ei^änzung c, und [a'bc] und [nbc] diefelbe Ergänzung d liaben,
und Überhaupt, dasa die Brgäniung von Punkten, Linienthejlen, Flä-
chentheilen unabiiöngig ist von der Lage des als ursprüngliche Einheit
angenommenen Punktes. Hingegen ist dies nicht inebr der Fall bei
der Ergänzung von Strecken oder S treck enprodukten. So z. B, würde
die Ergänzung von [bcd] bei der ersten Annahme gleich — a, bei der
zweiten gleich — a' fein. Und (o würde alfo dei' Begriff der Ergän-
zung von Strecken und Strecke n pro dukten keinen von der Lage der
ureprünglichen Einheiten unabhängigen Sinn irehr haben. Da bei der
normalen Znrückleitung (164) auf Punkte, Linien und Ebenen nur
die erste Art der Ergänzung hervortritt , fo können wir diefu Zuriick-
Icitung unmittelbar auf die Geometrie übertragen. Sie liefert hier,
wie oben C164) angedeutet wurde, die fenkrechlc Pi-ojektion, was ich
hier jedoch nicht weiter darlegen, will. Uebea'hanpt werde ich den
Pegriff der Ergänzung nur in dem im Texte gegebenen Sinne anwenden.
338. Die Formel
wo « und ß die Längen von a nnil b find, stellt die Erwei-
terungf des pythagoreischen Satzes dar, nämlich; das Quadrat
der Gnindfeite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Qua-
drate der Schenkelfeiten und des doppelten Produktes der
Seheiikelfeiten in den cos. des Aussenwinkels an der Spitze.
339. Die Formel
(a + b + c>'
==a^ -f b' 4- C-' + 2[b;c] + 2[c|a] -f 2[a;b]
— a^ 4- jS' + )-' -f ZiSj-cos.^bc
+ 2)'e£cos.'^cii -f 2a(9cos. ^ab,
wo a, ß, y die Längen der Strecken a, b, c find, stellt die
Erweiterung jenes Satzes für den Raum dar.
340. Die Forme!
CA + ß + C)'
^A'+B-' + C^ +2[ß|C] +2[C|A]+2[A|B]
= a^ + |S' +/^ -f S/Sycos.-i-BG
+ 2/-ncos.'iCA + 2a^cos.^AB,
wo a, (3, y die Flächeninhalte der Flachenräume A, B, C
und i^BC u. f. w. die Neigungswinkel ihrer Ebenen find,
stellt den Satz dar:
Das Quadrat der Grundfläche eines Tetraeders ist gleich
y Google
840) 213
der Summe der O«adralo der Seileiifiächen, vtiriniiiderl um
die doppelten Produkte je zweier diefer Seitenflächen in den
coHnus des von ilmeii eingeschlossenen Neigungswinkels.
Beweis. Sind a, b, c die von der Spitze nach den
Ecken der Grundreile führenden Kanten ihrer Lange und Rich-
tung nach, fo find a— b, b — c, c — a die Kanten der Grund-
fläche. Die Grundfläche ist atfo (nach 254) =^ [(a-b)(b— c)] ^
während die Seitenflächen = Li, LJ^ J__ find. Bezeich-
nen wir die letzteren beziehlich mit A, B, C, und die Grundfläche
[^ a — bXb - c)] ^^.^ ^^ ^^^^ bedenken, dass [Ca — bXb - c)]
= [ab] ~ [ac] — [bb] + [bc] = [ab] + [ca] + [l)c] ist, fo ha-
ben wir
D = A -h ß + G,
alfo
D^=CA + B + C)»
= A-' 4- B' + C' + 2[B1C] H- 3[C1A] + 2[A!B]
= ß^ + j3^-H)'' 4-2^5/ COS. «^BG
+ 2/acos.'^CA + 2ajScos.^AB.
Aber ■^80 ist der Winkel zwischen den Ehenen [ca] und
[ab], d. h. zwischen — [ac] und [ab]. Der Winkel zwischen
[ac] und [ab] ist aber der von den entsprechenden Seilenflä-
chen des Telraeders eingeschlossene, und alfo der Winkel
zwischen — [ac] und [ab], d. h. ^BG, dessen Nebenwinkel,
und dasfelbe gilt für die Winkel ^GA und ^^AB.
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y Google
214 (84*
werden, und umgekehrt, und daher dann alle Formeln der sphäri-
schen Trigonometrie unmittelbar ihre Geltung behalten, wenn man
Winkel «nd Seiten vertauscht. Es ergiebt fich unmittelbar, dass wenn
a, b, c Strecken find, die den Kanten einer Ecke gleichgerichtet find,
dann die Ei^änzungen jener Strecken, d. h. die Flächenräume |a, [b,
|o den Ebenen der Polarecke parallel find. Die weitere Entwickelung
diefer Ideen muss ich jedoch, um nicht zu weit von dem Ziele abzu-
schweifen, dem Lefer überlassen,
341. Aufgabe. Die Viel fachen rumme der Quadrate
der Abstände eines variablen Punktes x von mehreren festen
Punkten a, b,--- in einfachster Form auszudrücken, wenn
die Koefficienten a, ß,- ■• jener Vielfachen fumme gegeben find.
Auflöfung. Es foll demnach ein Ausdruck
in einfachster Form dargestellt werden. Da x, a, b,-->
Punkte find, und für fie das innere Produkt keine einfache
Bedeutung mehr hat, fo nehmen wir einen beliebigen einfa-
chen Punkt s zu Hülfe , und fetzen
X — a = x — s-fs — a, x — b = x — s + s — b,
u. f. w., wo X — s, s — a, s — b,- ■ ■ Strecken find, fo wird
S = aCx — s + 8 — a)' + i3Cx — s-fs— b>'H .
Da nun (x — s + s — a)» = Cx — s>' -f 2[Cx — s);(s - a)]
+ (s — a]' ist (nach 338) , fo erhalten wir
S = Ca + iS + ■ ■ Ofx - s>' + 2[(x - s>Ca(s ~ a)
+ ^Cs-b)-|---)]+ßCs-a)' +,5(s-b>%
oder wenn wir
t( + ^+..= (r
fetzen
S=ffCx— s)-' + 2[(x — sJICffs — aa - ßb )]
+ a(s~a)' +^Cs-by +.-•.
Nun können wir zwei Fälle unterscheiden, je nachdem ff null
ist oder nicht. Nehmen wir zuerst letzteres an, fo können
wir s fo wählen, dass das zweite Glied null wird, was da-
durch erreicht wird, dass wir
ffs = aa + jSb H , d. h. ssaa + jSb H
fetzen, d. h. (nach 222) s im Schwerpunkt des Punklfystems
aa, ßh, u. f. w. annehmen. Dann wird
y Google
84») 215
wenn wir der Kürze wegen die konstante Grösse
fetzen, d. h.:
„Die Vielfachcntomme S der Quadrate der Abstände eines
variabeln Punktes x von mehreren konstanten Punkten a, b,- ■ ■
erreicht, wenn a, ß,--- die Koefficienten jener Vielfaehen-
fümme find, und die Summe o diefer Koeßicienlen pofiliv ist,
ihren kleinsten Werlh, wenn x in den Schwerpunkt s des Punkl-
Vereines aa, ßh--- liegt. Wenn fich dagegen x aus diefeni
Schwerpunkt s um den Abstand p entfernt, fo wächst jene
Vielfaclienfunime um das ff-fache von dem Quadrat diefer
Strecke, und ist alfo für alle Punkte auf der Oberfläche einer
Kugel, welche s zum Mittelpunkt hat, konstant. Wird a ne-
gativ, fo bleibt alles dasfelbe, nur dass statt des minimums
ein maximum eintritt."
3^2. Fortfetzung. Wenn zweitens a + ß -l =0
gefetzt wird, fo verwandelt fich die Formel * der vorigen
Nummer in
S = ~ 2[Cx - s3!(aa + j3b -f- ■■■)]+ «(s ~ a)*
Hier ist (nach 222) die Summe aa -\- ßh -{-■■■ ■ eine Strecke
von bestimmter Lauge und Richtung, welche wir mit r bezeich-
nen wollen, fo ist
S = ~ 2[(x - s)[r] + <s-a)' ^.^(s-b)^ + . . .
Es fei nun angenommen, dass r nicht null ist, und feine
Länge gleich q fei. Um nun den Ausdruck noch weiter zu
reduciren, nehmen wir einen Punkt s' in der von s mit r
parallel gezogenen geraden Linie an, und fetzen s' — s=;zr,
wo z eine Zahl ist, da s' — s nach der Konstruktion mit r
parallel ist. Dann wird
[Cx-s)|r] = [Cx-s'-|-s'-s)|r]
= [Cx - s')|r] + [(s' - s);r].
Aber [l.s'— s)|r] ist gleich [zr|r] =z[r(r], ila z eine Zahl
ist, alfo =zr'=zg', da q der numerische Werth von r ist.
Allb wird [(x — s))r] = [(x — s')|r] -(- xq^, und
S = — 2[Cx — s');r] — 2ze* + «Cs — a]'
■+ß^s-hy+....
yGoosle
Da s' ein beliebiger Punkt in der geraden Linie sr ist, Fo
ist z noch unbestimmt, es fei z fo bestimmt, dass
_ a( s-a)' -f ^(s-b)- + ...
'- W
ist, fo wird
S = -2[(x^-s')W.
FilHt man nun von x das Loth xx' auf die gerade Linie sr
oder s'r, fo ist x — x' normal zu r, d. h. [(x — x')|r] = 0,
alfo
Kx - s')lr] = [(x - X' 4- x'-sO|r]=[Cx'-s')|r],
alfo S = - 2[(x' — sO|r] = ± 2ye,
wenn go die Länge von x' — s' ist, und das unlere oder obere
Zeichen gewählt wird, je nachdem x' — s' mit r gleich oder
entgegengefetzt gerichtet ist, d. h.:
„Die Vielfachenfumme S der Quadrate der Abstände eines
variabeJn Punktes x von mehreren festen Punkten a, b,- • wird,
wenn a, §,•■■ die KoefCcienten jener Vielfachenfumme, und
die Summe diefer Koeiflcienten null ist, null für alle Punkte
einer gewissen Ebene, welche auf der Strecke r::^aa -f- |3b
-J fenkrecht steht. Wenn fich der Punkt x dagegen um
den Abstand (p von diefer Ebene entfernt, fo wird jene Summe
= — Syg oder -\-2ipq, je nachdem er fich in der Richtung
der Strecke r oder in der ihr entgegengefelzten von jener
Ebene entfernt hat, wobei q die Länge von r ausdrückt."
343. Schluss. Ist endlich auch r null, fo wird
S = «(s-a)-' ^-,3Cs-b>' +.■■,
d. h. konstant, d. b.
^Die Vielfachenfumme S der Quadrate der Abstände eines
variabeln Punktes x von mehreren festen Punkten a, b,---
ist konstant, wenn die entsprechende Vielfachenfumme der
Punkte a, b,--- null ist, d. h.
aCx - ay -H jSCx — b]' -\ = Consl. ,
wenn aa + |Sb -| =0 ist,"
Nämlich die Gleichung aa -f- /9b +■■•=; schliesst (nach
322) schon die Gleichung a + ß -\ =0 ein.
3^^. Aufgabe. Die Vielfachenfumme S der Abstände
eines variablen Punktes x von mehreren festen Ebenen A,
y Google
»44) 217
B,-'- in einfaclister Füriii auszudrücken, wenn die Koefficion-
len a, ß,--- joner Vielfaelienfuinme gegeben find, und für
jede Ebene die Seite, nach welcher die pofiliven Abstände
liegen füllen, bestimmt ist.
Auflöfung. Man nehme in jeder der Ebenen einen
Plächenraum an, dessen numerischer Werth i ist, und welcher
(feiner Erz eugungs weife nach) fo beschaffen ist, dass das
äussere Produkt diefes Flächenraums mit einer Strecke, die
nach der als pofitiv angenommenen Seile der Ebene gerichlet
ist, ein pofilives Produkt bildet. Diefe Flachenräume, aufge-
fasst als Theile der betreffenden Ebenen, d, h. als Grössen
dritter Stufe (253) feien beziehlich mit A', B',--- bezeichnet,
fü ist das Produkt [A'x] (nach 263) gleich dem Inhalte eines
Spates (Paratlelepipedums), dessen Grundfläche A' ist, und
dessen Deckfläche (der Grundfläche gegenüberliegende Fläche)
durch den Punkt x geht, allo gleich A' mal der Höhe, oder
da A' numerisch gleich 1 ist, gleich der Höhe, d. h. gSeich
der Entfernung des Punktes x von der Ebene A, und zwar
auch dem Zeichen nach, und ebenfo für die andere Ebene.
Alfo ist
S = a[\'x]-{-ß[h'x] -}-■■■ ■
= [(aA' + ,äß'H )x]
= e[Rx],
wenn pR die entsprechende Viel fach onfumme der Flächentheilo
A', B',---, und R numerisch gleich 1, $ aber pofitiv ist.
„Die Violfachenfunime S der Abständen eines variablen
Punktes x von mehreren festen Ebenen A, B,---- mit den
Koefficienten a, (?,-■■ steht zu dem Abstände desfelben Punk-
tes von einer festen Ebene R in einem konstanten Verhält-
niss g:l, und zwar findet man H und g, wenn man auf den
Ebenen A, B,--- Flächenlheile A', B', ■■■ annimmt, welche
numerisch gleich i find, und mit Punkten, die auf der als
pol^tiv angenommenen Seite der betreffenden Ebenen liegen,
äusserlich mulliplicirt pofitives Produkt geben, dann ist R die
Ebene des Fluchentheiles a\' -{- ßB' ■}-■■■ , und q der nume-
rische Werth diefes Fiächentheiles. Sollte jedoch iliefe Summe
eine unendlich entfernte Ebene, d, h, einen Körperraum (262)
y Google
2i8 f»*»
geben, alfo pR ein Körpcrlhoil fein, fo ist (nach 268) [gRx]
konstant, alfo auch die Vieiraclienfumrno S konstant. Sollte
endlich ctA' + ^B'-f-- Telbst gleich null fein, fo wird aiicli
S null für jeden Punkt x."
Anm. Die in den vorigen Aufgaben gefundenen SäUe lassen
ficli in cincnSatz z ufanimen fasse n , wenn man statt der Punkte «nd
Ebenen Kugelfläehen fützt, welche ficli, wenn die Radien null wer-
den, in Punkte, wenn fie unendlich werden, in Ebene» verwandeln,
lind zwar, wenn man statt des Quadrates des Abstände» von einem
Punkte und statt des einfachen Abstandes von einer Ebene, das Pro-
dukt des kleinsten und grössten Abstandes von der Kugelfläche fetit,
fo geht dies Produkt, wenn fich die Kugelfläche in einen Punkt zu-
fammenzicht, in das Quadrat des Abstandes über, and wenn fich die
Kugelfläche iu einer Ebene entfaltet, fo wird der eine Abstand un-
endlich, und kann fUi' alle Ebenen ala gleich angcfeben und dalier
mit ihm dividirt werden , wodurch die einfachen Abstände hervor-
gehen. Diefe Verollgemeinening foil in dem folgenden Salze ausge-
führt werden.
34S. Wenn man unter dem Düppelabstand eines
Punktes von einer Kugelfläche das Produkt des kleinsten und
grössten Abslandes des Punktes von der Kugelfläche versieht
(das Produkt pufitiv genommen, wenn die Abstände gieicli-
gerichtet, d. h. der Punkt ausserhiilb der Kugelfläche liegt,
negativ im cnlgegenge fetzten Falle), fu ist die Viel fachen Tu miiio
S der Doppelabslände a', ß',--- von mehreren festen Kreifen,
deren Mittelpunkt a, b,---, und deren Radien a', b',--- lind,
ulfü die Violfachenfumme
oo' + ,?/}■+...,
wenn a, ß,--- ihre Kueilicienlen darstellen, ein minimum
oder maximuni, wenn x in dem Schwerpunkte s des Punkl-
vereins an, ßb,--- liegt, und zwar, wenn fich der Punkt x
von dielem Schwerpunkte s um den Absland (p enlfernt, l'o
wächst S um das Produkt diefes Abslandes in die Summe ff
der Koefficienlen a, ß,- ■ ■, alfo um yff oder um (^a -\- ß -j-- ■)y.
Wenn aber der Punklverein aa, ßh,-- keinen Schwerpunkt
hat, d. h. a-j-ß -{■■•■■ null ist, fo giebt es eine auf der
Strecke r = aa-f-^b-| fenkrecht slehcndo Ebene E, für
deren Punkte S null ist; entfernt fich dann x von diefer Ebene
nni den Abstand y , fo wird S = + 2^q, wo p der numerische
Werth von r ist, und das nnlere oder obere Zeichen gewählt
y Google
»4») 219
wird, je nnchdem x ficli nach der Seite !iin bewegt, nach
welcher von E aus die Richtung von r Üegl, oder nach der
enlgegengefetzlen. Wird aber auch aa + (Sb -j- ■ ■ = 0, Co ist
S konstant.
Beweis. Zieht man von x die Linie durch den Mittel-
punkt a der ersten Kugel, welche die Oberfläche derrelben
in Xi und Xa schneide, fo ist der Doppelabstand o' = (x — X|)
(x — Xj) = (x — "a — a'Xx — a -f a'3) wenn x — x, die Linie
von Xj nach x bezeichnet u. T, w., und a' der Radius ist,
A!fo a'=:Cx — a)^ — a'*, oder wenn wir jetzt unter x — a
eine Strecke von bestimmter Länge und Richtung verstehen,
Aifo S=aa' + ßß' H
= a[(x - a)-' - a'^ + ^[(x - by - b'=] + ■ • ■ .
Nehmen wir nun einen konstanten Punkt s zu Hülfe, der zur
Vereinfachung des Ausdrucks dienen foU, Ib wird
(x - a)' = (x ~ s -f s — ay
= (x-s)*-[-3[Cx-s)|(s-a)]+Cs-a)^
und entsprechend bei den übrigen Quadraten. Setseit wir noch
o 4- /3 -! =^ t' ) I"*' **''''d
S = ff(x~s)M-2[Cx-s)|(tfs-öa^ ^b-..)]-!-^,
wenn wir die konstante Grösse
«Cs — a>'-f ^(s — b)-'H «a'^-iSb'^ ■— /t
fetzen. Ist nun tf von null verschieden, fo wird der Faktor
CS — aa — (?b = , wenn s der Schwerpunkt des Punkt-
vereins aa, j?b,- ■ wird, Nehmen wir alfo s in diefeni Schwer-
punkte liegend an, fo wird
S = 0Cx-s)' ^fi,
wodurch der erste Theil bewiefen ist. Wenn aber (1 = 1) ist,
fo ist aa+J*b+'-- eine Strecke, diefe fei r, und q ihr
numerischer Werlh, fo wird
S = 2[Cs - x)|r] + p..
Leicht hann man, da S in Bezug auf x vom ersten Grade
ist, folche Punkte x finden, für welche S null wird. Es fei
s' ein folcher Punkt*), d. h.
*) Setzt man den Punkt s-I-;^.j^p, fo ist s' ein beliebiger
Punkt, welclier in der durch p fenkrecht gegen r gelegten Ebene liegt.
y Google
SSO (««e
fü wird
S = 2[(s - s' + s' - x)|r] -\-fi = 2[(s' - x)|r]
vermöge der vorigen Gleiclmng, und dies ist
wenn § der numerische Werlli der fenkrechlen Projektion von
s' — X auf r ist, und das unlero oder oI>ern Zeiclien gewühlt
wird, je nachdem x — -s' und r auf derfellien Suite der in s'
auf r errichteten fenkrechlen Ebene Hegen oder nicht, wo-
durch der zweite TheiJ des Satzes erwiefen ist. Wenn end-
lich auch mi^ ßb -}-■■ =0 ist, fo wird
alfo konstant.
346. Aufgabe. Die Summe S mehrerer Linientheiie
im Raunte auf die Summe eines Linientheiles und eines da-
gegen fenkrechlen Flächenraumes zurückzuführen.
Auflöfung. Man nehme ein System von vier Einheilen
im Räume: a, a^, aj, a^ an, von denen a ein einfacher Punkt
und aj, aj, a, Strecken find, fo lässt fich fnach 232) jeder
Punkt im Räume aus ihnen numerisch ableiten, alfo isl jeder
Linientheil als Produkt zweier Punkte (nach 65} aus den mul-
liplikativen Kombinationen aaj, aaj, aas, aiSi, aja,,, a^ag nume-
risch ableitbar, alfo auch S, als Summe folcher Linientheiie,
es fei
S = ai[aa,]-{-aj[aa2]4-a3[aa3]|-(Si[aiai]+j9j[aia3] + |53[aia,]
oder
= [aCOiai+a^a, +Ksa3)] -f ^i[a,a,] +^^[8183] +^3[a.a3]-
Es fei
Kiai + aja5 +a3a3=b,
alfo b eine Strecke, und ftlaiaj] + J?i[a a,] -J- ßslUi^g] ist als
Summe von Produkten von je zwei Strecken, wieder ein
folches, aifo als Ergänzung einer Strecke aufzufassen, etwa
der Strecke c, d. h. es fei
/5.[«ia=H-ft[a,»,]+A[a,.s] = |c,
fo ist
S = [ab] + |o.
Es fei a' irgend ein anderer, noch näher zu beslimmender
y Google
»4») 221
Punkt lind fei a — a'=:d, wo d eine Strecke ist, fo ist a
= a' + d , alfo
S = [Ca' + (i)h] + |c = [a'b] + [db] + |c.
Es ist hier [db] + |c ein FSächenraum; und es Toll d To be-
stimmt werden, dass, wie die Aufgabe verlangt, diefer Flächen-
raum auf dem Linienlheile [a'b] fenkrecht stehen füll. Da a'
ein Funkt und b eine Strecke ist, fo liat diefer Linientheil
die Richtung von b, alfo füll der Flächenraum auf b fenk-
recht stehen, d. h. (nach 152, 333) [(db -f |c)|b] = 0, oder
[db|b] + |[cb] = [99],
d.h. |[cb] = [bd|b] [55].
Nehmen wir an, dass d fenkrecht auf h stehe, d. h, in
der Ebene |b liege, fo ist (nach 108^ der zuletzt gewonnene
Ausdruck
= [b|b]d = ,SM,
wenn ß der numerische Werlh von b ist, alfo d gefunden
Umgekehrt, wenn d diefen Werth hat, fo folgt durch die
umgekehrten Umgestallungen, dass der Flächenraum [db] -f- |c
auf b fenkrecht stehe, alfo ist die Aufgabe gelöst.
347. Wenn zwei Summen vun Linientheilen beide auf
die Form einer Summe gebracht find, deren eines Stück ein
Linientheil und deren anderes Stück ein gegen die Linie des-
felben fenkrcchter Flächenraum ist, fo find jene Summen nur
dann gleich, wenn fowohl diefe Linienlheile als diefc Flächen-
räume einander gleich find, d. h. wenn
[ah]+rib = [a,b,]+y,]b,
ist, wo a und aj einfache Punkte, b und b, Strecken, / und
/i Zahlen find, fo ist
[ab]^[aib,], y|b = )-,(b,.
Beweis. Man mullipiicire zuerst die gegebene Gleichung
mit einem Produkte U dreier Strecken, fo ist |b ein Produkt
zweier Strecken, alfo [[b^U] =0 = (|bi-U] (nach 301), da-
gegen [abU] = b und [a,biU] = b, (nach 305); alfo erhält
man b^b,. Somit verwandelt fich die gegebene Gleichung in
[ab]+/;b = [aib]+j',lb.
Mulliplicirt man diefe Gleichung mit b, fo wird, da [abb]
y Google
222 (3*»
= [8ibb] = ist Cnach 60), J-Mb] = /([blb], alfo, da [l)|b]
= !)' eine von Null verschiedene Zahl ist, y^^y^. Somit
verwandelt fleh die ursprüngliche Gleichung in [ab] = [ajb],
d. h. die Linicntheüe [ab] und [aib,] und die Flächenräumc
)'|b und y |b fnd n d gl h
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y Google
Zweiter Abschnitt.
^unktiottfiilfi)vf.
^op. 1. ümhtioncii im ^lljiemetiiEn.
§. 1. Begriff der Funktionen,
und Reduktion mehrerer Funktionen mehrerer Variabein
auf eine Funktion einer Variabein.
338. Erklärung;, Wenn eine Grüsse u von einer oder
mehreren Grössen x, y,-- in der Art abhängt, diiss, fo oft
X, y, • ■ ■ bestimmte Werthe annehmen, auch u einen be-
stimmten (eindeutigen) Werth annimmt, fo nennen wir u eine
Funkt on von \ y
Anm H er st zu bcme keu d ss d e ob g Definition auch gel-
te Ml wo n X y bei eb ge exte f ve Grössen find. Ferner
st 2U be nerben dass d e tnehrdeut gen F nkt onen d h j* 1 b
1 Ir best n mte We tbe der u abbang gc ^ anabeln x y d G
mel e "e era 1 edene Wc he an ehmen kann ol ne d d 1 ^
Boh edenbe t durch e e eue ^ ar abl bed gt at — I g 1 k
a sgescblossen t ä e de n übe haupt alk n d ef m S ml
deut gen Grössen lus der Mathen al k zu ve btnnea f d w 1 i h
a ffe ke ne raatlenat sei e Formel rat '-che et d lä t
Sobald d l Bez hang z cl en den u abh „ gen und d bh g
gen ^ ar abeln u ver ttelat e erb! clunggegben d h 11
tUr best mmte Wertbe de er te en de letzte e u mel re 1 d
Werthe 8 1 men kann fo kan raa u anf 1 en als F k j
Vanaleln nd ner ncueu r Vielehe e ne best rai t W tl 1
et a d e de ganze Zal len durcl 1 uft fo das da 1
ausser den nrspringl eben Va abeln noch der Werth b t t
ist auch u e ndeut g best mmt Tei Oder follte e f I h
1 B lable r 1 1 ausre chen fo kai i man n ehrere f I h Hülf
y Google
iielimen. Hat man z. B. die Gleichung ti'':^^, fo kann Mer für jeden
Wertli von x die Gröaeu u noch :i verschiedene Wcrtlie aniiehmen.
Einer derfelben fei mit x» bezeichnet, fo ist bekanntlich
u = (-lJos« = (cos.-^+ K-lCii-V-j""'
wo r nach und nach jeden gaiuen Zahlworth annehmen kann. Es ist
alfo u anf diefe Weife als Funktion von x und einer neuen Variablen
r dargestellt, wodurch dann die Mehrdentigkeit der Funktion ver-
schwindet,
34!). Erklärung. Zalilfiinklion nenne ich eine
Funktion, welcho für beliebige Wcrlhc der Variabelii, von
denen He abhängt, stets einen Zahlwerlh (reellen oder ima-
ginären, ganzen oder gebrochenen, rationalen oder irrationalen)
annimmt. ExlenTive Funktion nenne ich eine Funktion,
welche für alle (oder gewisse) Werthe der Variabuln einer
extenTiveii Grösse gleich ist. Ich werde die Zuhlfunktionen
stels mit kleinen ßuchstaben f, 91, ij.', , die e\tLnfiven Funk
tioiien mit grossen Buchstaben F, tP, 9', bezeichnen
Anm. Die imaginäre Zahlgroa^c p -|" 1 K — ^ steht auf dir
Granae der exlenfiven Grössen; lic i"t als extenfnc tirosse ailau
fassen, fobald man für den Ausdruck dei Zahlbezieliuiig zwischen
mehreren Grossen, nur reelle Zalilkoetfiuenten zuUsst, indem dann
1 und Y—i als Einheiten erscheinen, die in keiner Zahlbeziehung
zu einander stehen, hingegen ist fic ali Zahlgrosse aufzufassen fobald
auch imaginäre Zahlkoefficienten für den Ausdruck der Zahlbeaiehung
geetatlet find. Wenn daher die Funktion v — fx fui reelles x imagi
näre Werthe, etwa u-^vK— 1 annimmt, fo kann Tie m dem ersten
Sinne als extenfive Funktion aufgefasst werden, doch nollcn wir in
der Funktionslehre den letzteren &inn stets festhalten, allo auch im
Falle y imaginär wird, dennoch y als Zulilfunklion aulfasscn, wie es
in der Erklärung geschehen ist.
330. Jede Zahlfunktion beliebig vieler Zahlgrössen lässt
fich als Zahifunktion einer einzigen extenfiven Grösse dar-
stellen, und zwar, wenn
yi = fCj'i, xj,-. ■ xj
ist, fo ist diefer Ausdruck gleichbedeutend mit
y,^f((x|e,), Cx|e,)-.-, CÄ|cJ) = y(x),
wo Ci, ■ ■ ■ ßn ß'H einfaches Normaifysteni (flehe 153) bilden, und
X = XiCi -f- XjCj -f ■ ■ ■ x„en
ist.
yGoosle
3»i) 225
Beweis. Wenn x =; x^e^ + XiBj +■■■ x„en ist und
ei,---eo ein einfaches Nonnalfystem bilden, fo ist
[x|e,] = [Cx.ei + x,e, + ■ ■ ■ x.eJle.] = x. ,
da [eije,], [e,|ej (nach 188) null lind und [ede,] = 1 ist.
Aus gleicliem Grunde ist
[x|e,] = x„-..-, [x|ej=x„.
Alfo
y, = l-Cx., Xj,-..xO = faxlei), Cx|eO- ■ -(xlej),
wo alfü Yi eine Funktion der extenfiven Grosse x ist. Es
t'ei diefe Funktion mit y(x) bezeichnet, fo hat man
Vi ~ 5P W.
331. Jedes System von Zabifunktionen beliebig vieler
Zahlgrössen igsst fich als eine extenrive Funktion einer exten-
l'iven Grösse darstellen, und zwar, wenn
iyi^fiCxi, xj,--. xj
Yj 7= fjtxi, Xj,- • ■ x„)
ist, fo ist dies Syslem von Gleichungen gleichbedeutend der
Gleichung
y = F(x),
wo
x^XiCi 4-- . ■ x„e„
Ftx) = Ci^iCx) + ej9i W H e„9)„(x)
y,W-f.([^|e,], [x|ea--' [x|ej)
ist und ej," ■ ■ e„ und ei,- ■ ■ c^ einfache NormalTystenie bilden.
Beweis. Nach 350 ist, wenn x = XiOi + X2e2 + - ■ x^e,,
gefetzt wird,
Yr^UXl, Xs,-.-X„)
gleichbedeutend mit
yr=i;C[xle,], [x!e,],--- [x|ej).
Diefe Funktion von x fei mit g>X^) bezeichnet, alfo
yr = y.(x)-frt[x!e.l, [x!e,J,-.- [xje„]).
Ferner ist (nach 29) das System der Gleichungen
yi=<P,Cx), yi = g'ä(x)---' y„, = fp„,fx)
gleichbedeutend der Gleichung
y Google
236 (aa*
yit^i + y^e, +'■■ y„e„
(1. li. der Gleichung
Y = e^(Pi(x) 4- eäy,(x) H e^y^Cx).
Diere Funktion von x fei mit Ffx) bezeiclmel, alfü
F(x) = e,5PiCx) + e;5p2(x) -^ o^n^mCx) ,
fü find die m gegebenen Gleichungen
Yi = t'iCxi, Xj,' ■ ■ x„) u. f. w,,
gleichbedeutend mit der Gleiclmng
y^FCx).
352. Jedes System von Funktionen beliebig vieler Va-
riahein lässt fich erfetzen durch eine Funktion einer Variabehi,
vorausgefelzt, dass fich die unabhängigen Variabein fämmtJich
aus einem System von Einheilen numerisch ableiten lassen,
und ebenfo die abhängigen.
Beweis i. Für ein beliebiges System von Zahifunktionon
beliebig vieler Zahlgrössen ist der Satz in 351 bewiefen,
2. Nach 157 lassen Hch alle aus einem System von n
Einheiten numerisch ableitbare Grössen aus einem einfachen
Hormalfystem von n Grössen numerisch ableiten. Es bestehe
das Normalfystem, aus welchem fich die unabhängigen Varia-
bein X, y,-'- ableiten lassen, aus den Grossen Cj, ä2,---o^,
und diejenigen, aus welchen fich die abhängigen Variabehi
u, V,'-' ableiten lassen, aus den Grössen e<", e'*V ■■'-'''"■' ■
Ferner fei
X ^= XiCi -(-■-■ X^Cn , U ^ Uje''J -J- . . . Un^e'""
y = y,e, 'I y„e„, v = vioO -) v^e«"'',
wo alle Koefficienten Zahlgrössen find, und feien
u = Ffx, y- Ol ^ ^^ *^i^! Y)' Oj' ' *
die gegebenen Funktionen, fo erhält man, indem man hierin
die obigen Werlhe oinfetzt,
Ujet')+.--u„e("'>
= F(xiei +■ -XoC„, YiCi ■! + y„e„,. ■ ■).
Hier i.st die rechte Seite eine extenfive Funktion der Zahl-
grössen xi,---x„, Yi-'-Yn, . Diefe Funktion foll einer
Grösse gleich fein, welche aus den Einheilen eW,- ■ ■ -e'™' nu-
y Google
»*«J 227
merisch ableitbar ist, alfo muss fie felbsl aus ihnen namerisoh
ableitbar lein, d. h. üo muss in der Form e'"5Pi -| — c^^'y^
erscheinen, wo ^i,* ■ -^m Zahlfunktionen von Xj,- ■ -Xn, yj- ■ • ■
y„,-'- find. Alfo erhält man
iiie*^^' ■{-.■■ u„e<°' = ©"l^i 4, . . . eC™' <p^.
Dieft! Gleichung, welche mit u;=FCx, y) gleichbedeutend ist,
wird (nach 29] erfetzl durch das System der Znhlgieicliiingeri
Ui = 5Pi, u, := 5Pä , ■ ■ - «n. = yni-
Auf gleiche Weife wird die Gleichung
v^S-Cx, y)
erTelzt durch ein System von Zahl gleich iingen von der Form
wo ^>i, %,■■■ gleichfalls Zahlfunktionen der Zahlgrössen X|,
'••^uy yi'-''ynr'' fin''- Folglich werden die gegebenen
Gleichungen
u = Ftx, y- ■), V = ^(,x, y--)
erfetzt durch das System der Zahlgleichungen
Uj = y, , U2 = 5p2 , ■ ■ ■ Um ^ gim ,
Vi = ^1 , V2 = ^2 I ■ ■ ■ Vn, = l/'ni ,
wo fi-''<Pmi Vi" ■ 'Vin!' ■ ■ Zahlfunktionen der Zahlgrössen
Xi'--x„, yi---yu,--- find. Aber nach 35i kann ein folches
System erfetzl werden durch Eine Funktion Einer Grösse,
folglich kann auch das gegebene System durch Eine folche
Funktion E ner Grosse erfelzt werden
Anra DefeZ uckfuhrung a f E e F nkt on E ner \nr abcin
t auch fur de Bei andlang der ZaUfunkt one on E deut ng da
d e =!atze kr Zahlfunkt onon der D ffereni alrecl nung der Re hen
nd auch m t ge ssen Bescl ra 1 u ge de der I teg al eclinung fch
auf Xol 1 e extenf en F kt one extenf er G obsen e nten ge
le gt we den foll a endea lasse Namentl h ergeben [ 1 daraus
d c Jakob chen Sitze über Tu kt o aideteru uten f o n e d e on
Jakob fe ner berll inten Abhandlung angedeutete oder f,eal nte
Uebere Et mm ng ä Ter Satze n t de '«atzen der D ffere z at o e ne
e f le !■ nlton e e \ar abel auf Ic I te te d rni ttelba te
y Google
228 (853
§. 2, Ganze iPunktionen und Darstellung derselben vermittelst
lückenhaltiger Produkte.
333. Erklärung. Wenn Pai, 8i,---5a ein beliebiges
Produkt ist, in welcbem die Grössen erster Stufe aj, aj,--*
Bu als Faktoren verkommen, To verstehe ich unter
Pl, I,---lCxiX2' ■ -xj,
wo Xi" ■ -x^ beliebige Grössen erster Stufe find, das arithme-
tische Mittel zwischen den fämmtlicheu Ausdrücken, welche
Pxi, Xli,'--Sn
hervorgehen, wenn man den Grössen Xj, X2,'--Xn alle mög-
lichen verschiedenen Folgen gieht. Ich nenne hier den Aus-
druck Fl, i,..-i ein Produkt mit n Llicken.
So ist z. B.
Pl, 1, iCxyz]
= CP +P P hPj +P xy + Pzj x) 6
A Utdra h 1 Mtlmli Croasen st 1 er
1 t d d Ii d A hl d G d d rte Sun me de fei
h td Ea tlth flbtd \eiien folche
LUk dk brat dnAnlk diiTch MuH pl kaf on
b d w d n f 11 t h.1 mm hl sse st Mocl
tbmkd t>d dLk tretende G os en
al G ö t bt f g r t t li b M r ht le cM dasB ma
dl B gl £f 1 btitt -w t d 1 La ke I oberer Stufe
tt hak dhfliLk nw Iche C ossen
1 ob f t £ n D 1 k m lol lie Falle in
d LUk lob St f k mm d fast ilberall ver
m d n N tl b w d h fig t F 11 t onn das Ha pt
g b t t &t f t d C C — 13 *^tufe n 1 e L cken
t t r 11 r k m d 1 b ! ErgdUi gen on
(,ö tbttlf dFmiufwd rstellen nad etatt
d Lü k ( — 1) t bt f 1 b (1 d 1 da n d Lu ke
d Sfdtt dlüfit n^5u ter) gt
JSa E l ___^^
Pl,l,---(.XiXa---x„)^Z'Psr,Xä---- :(l-3----n),
wo der Ausdruck Pl, l,.. ein Produkt mit n Lücken ist, und
X,, Xj,--- diefelben Grössen wie Xi, X2,'--Xn bezeichnen,
nur in beliebig geänderter Folge, und wo die Summe fich auf
alle verschiedenen Folgen bezieht. Ins Befondcro ist
Pl 1 ..xn = Px, X,.--.
yGoosle
»M) 229
Beweis. Nach ,353 ist Pl, ),'-Xi, x,,- ■ -x^ das arithme-
tische Mittel der Ausdrücke Pxr,3is,----, welche aus Psi, xs,---Kn
durch beliebige Anordnung der Grössen x^,- ■ • -x^ hervorgehen,
d, h. gleich der Summe jener Ausdrücke, dividirt durch ihre
Anzahl, alfü durch i-2----n. Wenn ins Befondere xi=:Xi
= ----=x^:=x ist, f(» werden alle jene Ausdrücke gleich
Px,x,.-., alfo ist ihr arithmetisches Mittel gleich einem der-
felhen, alfo damit auch die Specialformel erwiefen.
3S3. Erklärung, Wenn P„ ein Produkt mit m Lücken,
und m >■ n ist, fo verstehe ich unter PmCxi-Xj- ■ ■ -Xa) den
Ausdruck, welchen man erhält, wenn man den Ausdruck
Pn,Cxi ■ Xj ■ ■ • x„) (nach 353) entwickelt, und dann statt jeder
der Grössen Xn.|.i, Xn.|-a,- ■ -Xn, eine Lücke Telzt; z. B. ist
Pl, 1, IX = (Px, 1, I + Pl, X, 1 + Pl, 1, x) : 3;
PI , 1, i(xy)
= (Px,y,l + Py,x,I + Px,l,y + Py,l,x + Pl,x,y + Pl,y,x):6.
356. Wenn Pi, i,.. ein Produkt mit m Lücken, und m
grösser als ii ist, fo ist
Pl,l,.---(xiXj- ■■xj=— ^- — ■,%— 7 r~r~J\^
'' "' m(m — 1)---Cm — n + J)
wo S die Summe aller Glieder ist, welche hervorgehen, wenn
man x,, Xä,---x„ auf alle möglichen verschiedenen Arten in
die m Lücken von Pi,i-. vertheilt, ins BeCondere ist
Pl,l...x = (Px,l,-.. +Pl,x,.-- -I- ■■■);"!,
Beweis. Es ist (niich 355) unter Pl,],- .Xi'Xj- ■ -Xn der
Ausdruck verslanden, den mau erhält, wenn man in Pl,!,---
Xi-Xi Xn, statt jeder der Grössen x„ + i,- • -x^ eine Lücke
fetzt. Nun ist (nach 354}
Pl, I. --(xiSj ■ . ■ ■x„)=XP^^;^~""-- a ■ 2- ■ ■ . m).
Setzt man hierin statt Xn + i, Xn + a,- ■ -x^ Lücken, fo werden
alle die Glieder gleich, welche fleh nur durch die Reihen-
folge der Grössen x„_)_i, Xn + a,--'X„ unterscheiden. Man
kann alfo, statt diefe gleichen Glieder fo oft zu fetzen, als
ihre Anzahl beträgt, eins derfeliien mit dicfer Anzahl, alfo
mit l-2-3---0n — n) multipliciren; foniit erhält man jedes
der von einander verschiedenen Glieder mit l-3----(m — ü)
y Google
230 (»*'
;Cl'2'--m) multiplicirt. Aber die Summe diefer von einan-
der verschiedenen Glieder ist S, alTo
P|,],...CXiXj xj
_ S-l -2----Cm — u) ^ S
"~ " 1 .2- • ■ -""m m(m — !)• ■ -(m - n + ly
Da die Anzalil dor in S enthaltenen Glieder gleich nnCm — 1_)
■•■(m — n -f i) ist, fü ist der Ausdruck rechts zugleich das
arithmetische Mittel diefer Glieder.
aai. Erklärung. yVenn J, B,- ■ ■ ■ J', B',- ■ Vro-
dukle mit je n Lücken, und a, ß,--- a', ß',--- Zahlen find,
fo fetze ich dann und nur dann
aA-\-ßB +---=a'A' -hß'B' +■■■,
wenn für jede Reihe von n Grössen erster Stufe Xj, x,,- ■ ■ -x^
a/fxiXj ■ -Xy + ßBx^Xi ■ ■ -x^ -i- ■ ■
= a'A'xiX^ ■ ■ ■ x„ 4- ß'S'XiSi ■ ■ ■ x„ -J- • ■
ist. Wir nennen eine folche Vielfachenfumme von Lücken-
produkten (mit je n Lücken) einen Lückenausdruck (mit n
Lücken).
358. Jede ganze Zahlfunktion n-ten Grades von belie-
big vielen (veränderlichen) Zahlgrössen lässl fich in der Form
Ax."
('arstellen, wo A ein Ausdruck mit n Lücken ist, und zwar ist
^äa,s,- ■y^i'x-i'' [a + b H = ■^' nj = A\" ,
wo X =: Cfl -f X^ej -f- XjCj -]-■■■-
und ^ = X«„,,,.--[ljeoP[!|«;il'[l|e=r---
[r + a + b+--=n]
ist, wo ferner e^,, Cj, Cj,---- ein einfaches Normalfystem
bilden, und die Summe fich auf alle möglichen ganzen Werthe
r, a, !),■■■ bezieht, welche der in Klammern beigefügten
Bedingung genügen, ohne negativ zu fein.
Beweis. Hach der Annahme ist x ^=Xoeg + Xjej -J- ^2^2
-j-'--, wo Xg=i ist. Ferner da x,, = 1 und a + b-f--
=:<n ist, lo ist
2j'^a,h' -Xi^Xj^ ■ ■ ■ -=^00, [, ■ ■ ■Xa^x/Xj'' ■ »• ■
mit der Bedingung, dass r + a + &+••'= n fei. Der ge-
wonnene Ausdruck ist aber (nach 350)
y Google
= Xa,i,t,---[x|ooP[x!ei]°[x|es]''
= ^x" [354],
wo A den im Satze angegebenen Lückenausdnick darstellt.
359. Jedes System von ganzen Funktionen n-ten Gra-
des beliebig vieler Variabein lasst fich in der Form
^x"
darstellen, wo A ein konstanter Lückenansdruck init n Lücken ist.
Beweis folgt aus 358 vermittelst 352.
300. Statt einen Lückenausdruck mit einer Faktoren-
reilie (gemäss der Erklärung in 353) zu multipliciren, kann
man ibn mit i!en Faktoren fortschreitend multipliciren, d. h,
^(X^Xj- ■ ■Xn) = ^XiXä- ■ x„.
Beweis 1. Es bestehet nur aus einem Produkt, und
zwar enthalte dasselbe m Lücken, To ist (nach 356)
* _ ^
XiXs-'-XbJ— n,(m — i)- ■■Cm — n + 1)'
wo S die Summe aller Glieder ist, weiche hervorgehen, wenn
man auf alle möglichen verschiedenen Arten s-,, X2,--.x^ in
die m Lücken von A vertheilt. Ebenfo fei Sj die Summe
aller Glieder, welche hervorgehen, wenn man Xj nach und
nach in jede einzelne Lücke des Produktes A einfelzt; ferner
gehe Sj aus Si hervor, indem man in jedem Güede von Sj
die Grösse x nach und nach in jede der m ^ 1 Lücken ein-
zeln einfetzt, und die ßlmmtlichen fo erhaltenen Glieder addirt,
fomit ist Sj zugleich die Summe aller Glieder, welche hervor-
gehen, wenn man x^x^ auf alle möglichen verschiedenen Ar-
ten in zwei der Lücken von A einfügt. Auf entsprechende
Weife möge Sg aus Sj abgeleitet fein u. f, w. Dann ist
Cnach 356)
Ax, = — , ^X,X, := - ■■ ■ ■ .., ,• - ■ ■
mi mOn — Ij
endlich
^XiXj- ■ -x^
=^(xiX;i' ■ -xj [nach*].
m(m~l>--(m- n+1)
2. Es fei A ein beliebiger Lückenausdruck =:^Pa3
ides Pn ein Produkt mit m Lücken ist, fo ist
y Google
= XP-CxjX5---:Ö [357]
= 2rPoXiXi---xl [Bew. 1]
= XP7xjXä--.x„ [357]
=^ jiXjXj- ■ -Xq.
361. In dem Ausdrucke Ax,Xi---x^, in welchem A
ein beliebiger Lücken aiisdruck mit n oder melir Lücken ist,
kann man oline Wertliänderung eino beliebige Schaar der
Grössen x^Xj-'-x^ mit einer Kiaminer iimschliessen.
Beweis aus 360.
3ti2. Die Ordnung der Faktoren, welche in einen
LUckenausdruck eintreten füllen, ist gleichgültig für dws Ke-
fultat, d. It.
^XiXa" ■ ■ ^= -^XjXj ■ ■ ■,
wo XiX2--' und x^Xj,-- diefelben Faktoren nur in verschie-
dener Ordnung enthalten feilen, und ^ einen Lückenausdruck
bezeiclinel. __
Beweis. Es fei A = ^?a, wo jedes Pa ein lücken-
lialtiges Produkt ist, fo ist
^XjXj . ■ ■ = ^CxiXj ) [360]
= Zp;a^;— ") [357].
Nun ist aber (nach 356) P^fx^Xj—-} das arithmetische Mittel
Itlmmtlicher Ausdrücke, welche hervorgehen, wenn man Xj,
Xj,*- in allen möglichen Anordnungen in die Lücken von
Pn hineinfügt, alfo ist es gleichgültig, in welcher Ordnung
die Grössen Xj, x^,--- in dem Ausdrucke PoCX[Xj'--) vor-
kommen, d. h. PjCxiXj- • ■y^^^'i.^n^a' ' •)^ wcun x^Xj- • ■ und
XjXj- ■ ■ diefelben Faktoren nur in veschiedener Folge enthalten
foileu. AU'o ist
^XiXj ■ . . = X^ai^r^s- ■ ■ = X^Xr^s ) [357]
= Aix^x, ■■■■) = Ax,x, [360]
3G3. Wenn irgend einer der Faktoren, weiche mit
einem Lückenausdrucke multiplicirt find, eine Summe ist, fo
kann man statt der Summe die einzelnen Summanden fetzen,
und die fo erhaltenen Lückenausdrücke addiren, d. h.
M=<- + y 4 )q = -^P-vq + ^ttjq i- ■ ■ ■ ,
yGoosle
wo p und q Faktorenreihen bezeichnen, und A einen Lüclteii-
a US druck.
Beweis. Nach 363 ist ^pCx 4- y +• •)q = ^pq(x 4- y
-j — ■). Hier ist Apn wieder ein Lückenausdruck, und dalier
hat ^pqfx -j- y -j-- ■) die Form einer Summe von Produkten,
deren jedes (x-(-y"r'0 als einen Faktor enthält, alfo die
Form Ps 4- y + ■ ■ ■ + Ox + y + ■ ■ ■ -{-•■. Dies ist aber (nach 39)
gleich Px + Py + ■ ■ • + 0^ 4- Oy + ■ ■ ■ = Px -;- Ox 4- ■ ■ • -F Py
4- Oy H — = ^pqx 4- -ipqy H — = ^pxq + ^pyq -\ — ■
Anm. Es unterliegt hleinach das Produkt der Faktoren , welche
in einen Lttckenaua druck hiaeintreten follen, gaiii den GeJeUen alge-
braischer Multiplikation, und es bietet ficii uns hier alfo die allge-
meinere Aufgabe dav, diejenigen Produkte extenfiver Grössen , welche
den Gefetaen algebraischer Multiplikation unterliegen, zu behandeln,
was der Gegenstand des folgenden §, fein foll.
§. 3. Algebraische Multiplikation.
364. Erklärung. Unter algebraisch or Multiplikation
verstehe ich diejenige Multiplikation, deren Bedingungsglei-
chungen find:
e,e, = esep und EcFe,) = EFe,,
wo e,, Bj ursprüngliche Einheilen undE, F algebraische Pro-
dukte ursprünglicher Einheiten lind. Ich bezeichne l'ie wie ge-
wöhnliche Produkte iler Algebra ohne umschliessende Klammer
Anm iame und Eeziichnung find dann begründet, d aas für
dicfe MuliipliliatKin, nje nnfen gc7eigt wud, lUe Gcfetze dei in dti
Algebia angewandten Multiplikation gelten und keine andern In dtm
eraten Thcile war diefe Multiplikation nicht zu behandeln, da fic
keine einfachen Grosseu liefert, nnd mit der Funktionslehie aiifs
Engste znrammenhangt Sie kann als die chaiaktens tische Multipli
kation diciee a weiten Tlieileo aufgctasst weiden, wahrend die den ersten
Theil eharakteririiendc kombiuatonsche Multiplikation von jetzt an
immei mehr zuruiktntt
SCiäi In einem algebraischen Ptodukte zweier einfaclicr
Faktoren kann man die Faktoren verlaubchen, d !i, es ist
ab = ba.
Beweis, Es fei ä^^^^aae^jb^^^ßnet,
y Google
= Sf.i-.Sß, e. = Zo.fta-.B. 1
[421
= Zft«.(oiii.)
[364]
= XfteiXo.o.
(421
= ba.
3<i6. Statt einen einfaclieii Factor c dem zweiten Fiiktur
eines algebraischen Prodnktes hinziizufügen, kann man ihn dem
ganzen Produkte hinzufügen, d. h.
A(Bc) = ABc.
Beweis. A und B find hier algebraische Prüdnktc der
aus den Einheilen e,, ej,--- numerisch abgeleiteten Grössen,
alfu (nach 45) darstellbar in den Formen
A = X«X7 B=Xj3sF6,
wo Ea, Ft algebraische Produkte der Einheiten Und. Endlich
fei c^^ Ay,e,. fo hat man
A(Bc) - Z^KiX^^Y^') = Z^J^EÄfT^,) [45]
= Z'ß»ft>'.E«Fie, ■ [364]
= Z^ÖTXft F;Z)W [45]
= ÄBc
Aiini. Hieidmtli i-^t die ügebiii-cli^ Miiitulil liioii ilb lirieilc
MiiUiplikatioii , J li ah lülclie, doien Ecdingunf.'ägkic hin igen uolIi
gelten, wenn min ititt der Einheiten beliebig iub ibncii iiumeiiscli
abgeleitete Grösten fttit, n leligcwicfen
367' Die Ordnung, in welcher man mit einfachen Fak-
toren fortschreitend miiltiplicirt, ist gleichgültig für das Re-
j'ultat, d. h.
Abcil- ■ ■ ^^ Acbd- •■ = •■■.
Beweis. Es ist
Abc = A(bc) [366]
^A(cb:) [365]
= Ac!) L36ß],
Alfo kann man in einem klainmerlofen Produkt zwei auf
einander folgende Faktoren verlauschen. Durch Wiederholung
diefes Verfahrens kann man jeden einfachen Faktor auf jede
Stelle des Produktes bringen, alfo den fortschreitenden ein-
lachen Faktoren beliebige Ordnung geben.
y Google
aii) 235
368. Statt mit mehreren einfachen Fiiktoren forlschiei-
teiid zu miiltiplicireii, kann man mit ihrem Produkt multipli-
circn, d. h.
Abc---- =ACbc--).
ßewois. Nach 366 ist
A(bc- ■ pq) = A(bc- ■ ■p)q^= A(bC' - -)prs u. f. w,
= Abc- • -pq.
300. Bei einem algebraischen Produkt von zwei be-
liebigen Faktoren kann man die Faktoren verlausclien, d. h.
AB^BA.
Beweis. Es fei A = a^ ■ ■ - a^ , B ^ b^ ■ ■ - b„ , fo ist
AB = ACbi- ■ -bj = Abj. - ■b„ [368]
:--l)r-b„a,---a„ [367J
= bi---h„Cai---a„) [3681.
370. Bei einem algebraischen Produkt von drei belie-
bigen fortschreitenden Faktoren kann man den zweiten und
dritten Faktor in eine Klammer schliessen, d. h.
ABC = ACBC).
Beweis. Es fei B = b^ • ■ ■ b„ , C = c^ ■ - ■ c„ , fo ist (nacb
368)
ACßC)^ACB(c,-- ■c„)) = AtBci--cJ
=:Ab,- ■■b„Ci- - -c^
^ACb,.--bJci---c„
= A(b, ---bJCcr ■ 'cj
= ABC.
371. Wenn man aus den ursprünglichen Einheiten
"j 1 ■ ■ ■ ^n die Kombinationen mit Wiederholung zur m-ten
Klasse bildet und jede diofcr Kombinationen als algebraisches
Produkt der darin enthaltenen Elemente fetzt, fo stehen diefe
Produkte in keiner Zahlbeziehung zu einander, und jedes
algebraische Produkt von m Grössen, die aus den Einheilen
ej-'-öo numerisch abgeleitet find, lässt fich aus jenen Pro-
dukten numerisch ableiten.
Beweis. Nach der Definition in 364 feilen die (J!ei-
chungen
e,.ej := CjCr
und E(Fe,) = EFe,
yGoosle
236 (»««
die vollständigen Bedingungsgleichungfen der algebraischen
Multiplikation fein, d, h. es foll keine Beziehung zwischen
den EinUeitsprodukten stattfinden, als folchc, wi^lclic fich ans
jenen Bedingungsgleichungen ableiten lassen. Jede aus ihnen
ableitbare Gleichung muss alfo durch Anwendung jener Glei-
chungen identisch gleich null gemacht werden können. Da
aber jene Fundamental -Gleichungen auf beiden Seiten stets
diefelben Einheiten enthalten, nur in anderer Folge oder Zu-
fammenfassung, fo können durch Anwendung derfelben in ein
Produkt keine neuen Einheiten als Faktoren hineingebracht
werden. Dagegen kann man alle Glieder einer folchen ab-
geleiteten Gleichung (nach 367, 368) auf die Form bringen,
dass fie wohlgeordnete Kombinalionen (mit gestatteter Wieder-
holung) aus den Einheiten e, ■ ■ • e„ werden. Nachdem dies
geschehen ist, muss alfo die Gleichung identisch gleich null
fein, d. h, alle Koefficienten müssen null fein, d. h. es findet
keine Zahlbeziehung zwischen ihnen statt. Der zweite Thoil
des Satzes folgt unmittelbar aus 49.
Anm. Es bilden fomit die Kombinationen mit Wiederholung
auB den urspränglichen Einheiten eu irgend einer (m-ten) Klasse, die
Kombinationen als algebraische Produkte betrachtet, ein Sj'atem von
Einheiten höherer Ordnung, aas welchem fich alle algebraischen Pro-
duhte zu m Faktoren , welche aus den nrsprüngllchen Einheiten n
risch abgeleitet find, wiederum numerisch ableiten lassen. Es
fich iehr leicht aeigen, dass dasfelbe auch noch gilt, wenn man
der n ursprunglichen Einheiten n beliebige, aus ihnen numerisch ab-
geleitete, aber in keiner Zahlbeziehung zu. einander stehende Grössen
fetzt. Indem ich jedoch dielen Beweis dem Leier überlaBse, schreite
ich fogleich zu dem f[ir die weitere Entwickelung unentbehrlichen
Satze.
313. Wenn ein algebraisches Produkt null ist, fo muss
nothwendig einer feiner Faktoren null fein, d. h. wenn
AB = 0, A?0
ist, fo muss
B =
fein.
Beweis. Im allgemeinsten Falle werden A und B Viel-
fachenfummen von algebraischen Produkten fein, deren Fak-
toren aus den ursprüngüciion Einheiten a, b, c,-- - numerisch
y Google
a«») 337
abgeleitet fintl. Dann bilden (nach 371) die Kombinationen
mit Wiederholungen aus a, b, c,---, wenn jede diefer Kom-
binationen als algebraisches Produkt der darin enthaltenen Ein-
heiten gefetzt wird, die Einheiten aus denen A und B numerisch
ableitbar find. Man stelle fleh vor, dass die Elemente jeder
Kombination nach dem Alphabete geordnet find, und die
Kombinationen felbst zunächst nach Klassen aufgestellt find,
fo dass jede niedere Klasse der höheren voran steht, und
dass ferner innerhalb jeder Klasse die Kombinationen lexiko-
graphisch geordnet feien. Wir wollen diefe Aufstellung die
wohlgeordnete Aufstellung der Kombinationen nennen. Da
A nach Hypolhefis von Null verschieden ist, fo muss unter
den KoelTicienten, durch welche A aus jenen Kombinationen
abgeleitet ist, nothwendig mindestens einer von null verschie-
den fein. Es fei E^ unter allen Kombinationen, welche in
dem Ableitungsausdrucke von A einen von Null verschiedenen
Koefficienteii haben, diejenige, welche in der wohlgeordneten
Aufstellung die früheste Stelle einnimmt, fo erscheint A in
der Form
A = K,Ei 4- «2^3 +■■■ =X««E„,
wo «i von Null verschieden ist. Ferner feien Fj, Fj, — -
nach der Reihe die Kombinationen der obigen Aufstellung, und
B = ZMs-/5iF, -f ^,F, +-■-,
fo ist
AB = ^a,ßf,E^fr [42].
Jedes Produkt EoFt liefert wieder ein algebraisches Pro-
dukt der ursprünglichen Einheiten, und wenn wir diefe Pro-
dukte mit G,, Gj,- ■ ■ bezeichnen, fo wird AB eine Vielfachen-
fumme diefer Einheitsprodukte; alfo da AB nach Hypothefis
null ist, fo müssen a!Ie Koefficienten diefer Vielfachenfumme
null fein, d. h.
Xä^b[E«F6 = G„] = 0,
wo die in Klammer geschlossene Bedingung ausfagt, dass man
die Summe aller der Produkte Ot^ßi zu nehmen hat, deren zu-
gehörige Einheilsprodukte EaFi einen konstanten Werlh Gn,
haben. Wir haben hier nur diejenigen Gleichungen diefer
Art zu betrachten, welche in irgend einem Gliede den Faktor
y Google
238 (3««
% enthalten; diefe Gleichungen köiiiien wir in der Form
schreiben
= CiSk + Z'^t [EoFi = E,Fk] ,
wobei noch die Bedingung hinzuzufügen ist, dass unter den
unter dem Snmmenzeichen stehenden Produkten keins mit
CijSk identisch ist. Ich zeige nun, dass man diele Bedingung
auch fo ausdrücken könne: b müsse kleiner Ah k fein. In
der That ergiebt fich zuerst, diss a nicht I fein kann; denn
dann müssle das Produkt der beiden Kombinationen Ej und
Fb diefelbe Kombination liefern, wie das Produkt der beiden
Kombinationen Ei und Fk, d. h. F^ müsste mit F^ identisch
fein, alfo b = k, dann wäre alfo a^ßa mit Uißn identisch, was
der vorausge fetalen Bedingung widerspricht. Alfo muss a >■ 1
fein, d. h. E,, muss in der wohlgeordneten Aufstellung der
Kombinationen später vorkommen als E^. Dies ist auf zwei
Arten möglich; erstens auf die Art, dass E, weniger Elemente
enthält als Eo, dann muss, da EiFk mit EoF* gleiche Kom-
bination liefern Toll, Fk mehr Elemente enthalten, als Fj, d.h.
Fk muss in jener wohlgeordneten Aufstellung später folgen als
Vi, d. h, 6 < k fein. Oder zweitens, wenn E, und En gleich
viel Elemente enthalten, fo muss Ej in der lexikographischen
Aufstellung später folgen als Ei. In dem Princip der lexiko-
graphischen Aufstellung von Kombinationen liegt es aber, dass
das erste der Elemente a, b, ■ ■ -, welches in 2 Kombinationen
einen ungleichen Exponenten hat, in der spSter folgenden
Kombination den kleineren Exponenten habe, fo dass alfo,
wenn dies Element in Ei den Exponenten a, in Ea den Expo-
nenten / hat, )■ <, n fein muss. Ferner, aus der Bedingungs-
gleichung EoFt = EiFk folgt, dass, wenn a, ß, y, rf die
Exponenten find, welche irgend ein Eiement heziehlich in den
Kombinationen Ei , Fk, E«, Fi, hat, fe -|- j? = )■-(- J fein muss.
Hieraus ergiebt fich unmittelbar, dass, wenn ein Element in
E, denfelben Exponenten hat wie in E,,, es auch in Fk den-
felben Exponenten haben muss, wie in Fj, und dass alfo das
erste der Elemente a, h,--- weiches in E„ einen andern Ex-
ponenten hat als in Ej, auch das erste ist, welches in Ft einen
andern Exponenten hat als in Fk; es mögen «, ß, y, S ins
y Google
89*) 239
Befondere die ExponentiBii diefes Elementes in Ei, Fu, E«, Ft
fein, fo faiien wir, dass y -< a fein muss; dann folgt aber
aus der Gleichung a -\- ß = y -\- S, dass S > ß fein muss, und
dass alfo nach dem Princip der lexikographischen Aufstellung
die Kombination Ft früher stehen muss als Fk, d. h. B <^ k
fein muss, da ja die Kombinationen Fi , Fj,--* in jeder Klasse
lexikographisch geoninel fein feilen. Somit haben wir ge-
funden, dass in den beiden möglichen Fällen b < k fein muss.
Wir haben alfo die Gleichung
* = a„3k+Xä^b[l5.F6=EiFk, b-=:k].
Es fei nun znerst k^l, l'o fällt die Summe y^.a„ß^ ganz
fort, da ihre Bedingung, h <- i nicht erfüllt werden kann,
alfo hat man «[^1=0, und da cti nach der Vorausfetzung
^ 0, und «1 und ßi Zableji find, fo muss alfo
ft=o
fein. Setzt man k = 3, fo fällt, da b<2 und jS, = ist,
die Summe ^a^ß^ gleichfalls weg, und man erhält «ijSj
= 0, alfo
/3, - 0.
Und aus gleichem Grunde ergieht fielt , dass (Sj ^ ist u. f. w.
Alfo ist auch B, was =i3iF, + jS^Fj -f--- war, =0.
373. Wenn zwei algebraische Produkte aus je zwei
Faktoren gleich find, und einen gleichen, von null verschie-
denen Faktor haben, fo muss auch der andere Faktor in bei-
den gleich fein, d. h. wenn
AB = CB, und 8^0.
ist, fo muss
A = C
fein.
Beweis. Aus AB = CB folgt
= AB ~ Cß ^ CA — C3B.
Alfo da B 2 ist, fo muss (nach 372) A — C null fein,
d. h. A = C.
314. Erklärung. Unter dem algebraischen Quotienten
A:B verstehe ich denjenigenAusdruck, welcher mit B alge-
braisch multiplicirt A giebt, d. h.
CA:B)-B = A.
yGoosle
240 f»«»
373. Es ist
AB:ß^A.
Beweis. Nach 374 ist, wenn man darin AB statt A fetzt,
(AB:B)B = AB.
Alfo (nach 373)
AB : B = A.
376. Alle algebraischen Gefctze der Multiplikation und
Divifion gellen für die algebraische Mulliplikation nnd Divifion
extenriver Grössen.
Beweis. Denn alle dicfe Gefetze gründen (ich auf die
Formeln
AB = BA
ABC = ACBC)
(A : B)B = A
AB ; ß = A
und auf die für alle Multiplikationsarten (nach 42, 45] gelten-
den Beziehungen zur Addition und Subtraktion
Anm Durch die Identität der Ri.clmiing3gerptae der lo eben
behandelten Multiplikation mit du gewöhnlichen Multiplikation de»
Algebra ist die IdentitU der Bezeichnung und Benennung geiei.htfer
tigt Der einzige Unterschied hegt in den verknüpften Gioisen, welche
dort Zahlen, hici beliebige cxti-nriYe Gids en, wie z B Punkte, Linien
n f n find Ea w tro \erkehrt, wenn man diefe Diltrtnz der \er
knilpften Grusäcu auf die Bezeichnung ider Benennung der Verknüp
fung leibst ubertiagen wollte woduich die reiminologie nutzlos an
wachfen, und dtr Zufammenlnng \eidunkelt werden wiirdc Auch
diejenigen Eigenschaften diefer Produkte, welche luf d<,r befonderen
Eigenthilmlichkeit extenti\ei Grossen beruhen, finden fich in der AI
gebra, und zwar in der Lehii, von din ganzen Funktionen, wieder
So z B liefeit der Satz, dies hrh. ji.de ganze Funktion Einei Vana
beln vom n tcn Grade m n Imeaie Faktoren zerlegen lasst, hier auf
Stiecken der Ebene angewandt, den Satz
Jede faunime von algebraischen Produkten i on ji a btritken Fii ei
Ebene l^a^t fich auf Em folches Piodnkt leduciren
Hierbei ist mtilrlich voi ausgefetzt, dasis audi die Annahme inma
ginarer Stiecken \eistattet Ici
y Google
§. 4. Öanze Funktionen ersten Grades, ftuotient.
377. Erklärung. Wenn aj, aji-'-a^ Grössen erster
(oder n — i-ter] Stufe in einem Hauptgebiet n-ter Sluf« find,
die in keiner Zahlbezieliung zu einander stehen, fo verstehe
ich unter dem Bruche (Oi'otienten)
0=. "■■'■•■■■■''■
den Ausdruck, welcher mit ai, a^r'''*!! niultipiicirl, hezieli-
lich die Werthe b, , bjj-'-bu liefert, fo dass alfu
-^^-^^ — --a, = b,.
Ich nenne ai, aj,---an die Nenner des Bruches, bi, b^-'-bn
feine entsprechenden Zähler, und fetze zwei Brüche, oder
zwei Ausdrücke, welche aus Brüchen numerisch abgeleitet
Und, dann und nur dann einander gleich, wenn fie mit jeder
Grösse erster Stufe multiplicirt Gleiches liefern. Wenn auch
die Zähler Grössen l-ler oder (n — i)-ter Stufe find, und in
keiner Zahlbeziehung zu einander, stehen, fo nenne ich den
Bruch einen umkehrbaren, und bezeichne in diefem Falle, wenn
%, "ir ■ 'öii
'' - ~-i--"-'-" ■> 1- ^ j_ ],_ ich fetze
bi, ba,-..b„'
An m. Der Gedanke, wekliei- diefer Erklärung zu Grunde liegt,
ist leicht hin durchzufeilen. In der Algebra ist nämlich unter dem
Quotienten — der Ausdruck verötonden, welcher mit b multiphcirt
a giebt, und dies genügt (wenn b nicht null ist) lur Deftnition des
Zahl Quotienten. Für die extenfiveit Gröasen genügt es nicht zu wissen,
welches Refultat die Multiplikation des Quotienten mit irgend einer
(von Null Vera eine denen) Grösse liefert, indem daraus nur die Multj-
kation desselben mit folchen Grössen fich bestimmt, welche aus jener
Grösae numerisch ableitbar find. Man fieht aUo, dass in einem Ge-
biete n-ter Stufe die Refnltate der Maltiplikation eines Quotienten
mit n in keiner Zahlbeziehuiig stehenden Grössen bestimmt fein
müssen, damit der Quotient vollstiindig bestimmt fei. Per Quotient, in
16
y Google
242 (.3*8
öiefem Sinne anfgefaast, ist für die Differenzial- und Integral-Rechnung
extenfifcr Grössen, fo wie für die Behandlung der geometrischen Ver-
wandtschaflen nnentbehrlich. Ich bemerke noch, daas man als Neuner
dea Quotienten aucli beliebige Grössen höherer Slufen hätte gestatten
können ; doch würde man dann den -wefentlichen Vortheil grösserer
Einfachheit gegen den zweifelhaften l'orthei! unfrachtbarer Allgemein-
heit austauschen. Ich werde deshalb auch die Zähler, wenn nicht
aufldrllcklich anderes festgefet/t wird. Stets als Grossen erster Stufe
betrachten.
S'JS. Zwei Bräche oder Vieirachenfuinaien von Brüchen,
welche mit n in keiner Zahibeziehung zu einander stehenden
Grössen erster Stufe muiliplicirt, Gleiches liefern, find einander
gleich, V or au sge fetzt , dass n die Slnfe des Hauplgebieles ist.
Beweis Es feien und Oi die beiden Brüche oder
V elfac! f n nen von Brüchen, welche mit n in keiner Zahl-
bez el g zu einander stehenden Grössen erster Stufe ai- ■ ■ ■
a Itplcrt, Gleiches liefern, alfo es fei
für jede Werlh r zwischen 1 und n, fo ist zu zeigen, dass
Q = Oi, d. h. (nach 377J da s Q nl Q mit jeder Grösse
erster Stufe x multiplicirt Glt, cl es 1 ef rn Nun lässt ficli
(nach 34) jede folche Grösse i e e Hauptgebiete n-ter
Stufe aus n in keiner Zahlbez el ung zu e nander siehenden
Grössen, alfo aus a],---'a„ ni er sei able ten. Es fei
X =Xiai -(-- ■ -Xnan!
dann ist
Qx = 0(x,a, 4- ■ ■ ■ x^aj = XiOa, -( x„Oa„ [^14]
= XiOia, + -'-x„Oia„ [*]
= (xia, +--.x^aJOi [44J
3'39. Einen Bruch multiplicirt man mit einer Zahi,
indem man jeden Zähler mit diefer Zaiil multiplicirt, und
Brüche von gleichen Nennern addirt man, indem man die
entsprechenden Zähler addirt, wobei die Nenner in beiden
Fallen ungeändert bleiben, d. h., beides zufammengefassl,
y Google
Beweis. Zu zeigten ist (nach 37S), ilass buide Seiten
der zu erweifenden Gleichung mit jeder der Grössen ai,- ■ -Bn
mulliplicirt, gleiches Refultal liefern. Nun ist (nach 44)
r,b. , b.,'- - , /., c,,-- N
obi, bj,-- c,, Cj," ■ ■
= (? ^ a ■■ "' V a - -"'
= |5b,'+CC, + -- ■ ' ' [3"].
Ferner ist
(fbi +)'Ci + ■■■), tfb, +yc.+--),-- ,
= ()b. + rc,'+---- ' [3Jr].
Bezeichnen wir alfo der Kürze wegen die linke Seile der zu
erweifenden Gleichung mit L, die rechte mit R, fo wird für
jeden Index r
* Lar = Ra,.
Folglich L = R (nach 378).
380. Jeden Bruch kann man auf die Form bringen,
ilass feine Nenner heliebige n in keiner Zahlbeziehung zu
einander stehende Grössen erster Stufe find (wo n die Stu-
fenzahl des Hauptgebietes ist), und zwar ist
hl, bj,---- ^ßijflha, ^aj,ab|,,- ■ ■
wenn ^«1 »aa, ^«s^aan,- ■ - n in keiner Zahlbeziehung zu
einander stehende Grössen, und a^,^ Zahlen find.
Beweis, Es ist
bl! i>2!- • ■ ■ X V bn llsr ■ ■ r,n
---— ^a, „»a^= / «r 0-^^^ — — a„ [441
ai, »2,- ■ ■ ■ ■ ^ ' öl) »ir • '
^Xä;rX [377].
Aber auch
^«1 oBa , .^CEj^aOi! ■ ■ ■
Alfo liefern beide Ausdrücke mit .^«^ a^a muitiplicirt, für je-
den Werth von i ■■ -n gleiches Relultat, find alfo, da.^c(„„ai,
-^«3 „a^, ■ ■ ■ nach der Hypothefis in keiner Zahlbeziehung zu
einander stehen, (nach 378) einander gleich.
y Google
244
(»8«
381. Wenn c^, e2,-'-ea die ursprünglichen Einheiten
nffl, und Hiil E,^j der Kürze wegen der Bruch bezeichnet
wird, dessen Nenner die ursprünglichen Einheiten find, und
von dessen Zählern derjenige, welcher dem Henner e^ ent-
spricht, gleich «s 'St, während alle übrigen Zähler desfelben
null find, d. h. wenn
^' Er^,er = ej und U^^,et = [l ^ r]
ist, fo lassen fich die n^ Ausdrücke, weiche aus E^g hervor-
gehen, indem man statt r und s nach und nach beliebige der
Kahlen l---n fetzt, als ßrucheinheiten Tetzen, d. h. es lassen
fich alte Brüche aus ihnen numerisch ableiten, während fie
f'elbst in keiner Zahlheziehung zu einander stehen, und
zwar ist
= X«a, (Ea,
Beweis f. Es ist
Ferner ist
Xßfl, i.E„,
[177],
[44]
1%
indem nämlich Ea_,,e^ = ist für fl ^ r, und Fr^tUp^'-B
ist. Älfo beide Ausdrücke, da fie mit jeder der Grössen «i
• •■e„ mulliplicirt Gleiches liefern (nach 378) einander gleich.
2. Angenommen zweitens, es bestände zwischen den
Grössen E^s eine Gleichung der Form
fo hätte man für jeden Index r
= Z«a, iE„, te, = ZäZ^ElTe. [44].
Alfo da Ea, tej.= ist, wenn r von a verschieden ist,
-= Zv Er,b «r = Z V«7 {*}■
Wenn aber
= Zßr,bet =«r^ie, + «r.S^ä -f ■ ■ -,
fo muss, da ej, e:,-- in keiner Zahlbeziehung zu einander
stehen, (nach 28) jeder der Koefficienten von ei, Oj,--- null
fein, d. h.
y Google
»»«> 245
für jedes r und s, alTo ist die angenommene Gleichung iden-
tisch null, d. h, (nach 2) die Grössen E,, stehen in keiner
Zahlbeziehung zu einander.
382. Jeder Bruch lässt fich als Lückenausdruck mit
einfacher Lücke darstellen, und zwar ist, wenn die Nenner
ai,-'-a„ ein einfaches Normalfysteni bilden,
Beweis. Zu zeigen ist, dass fie mit jeder Grösse erster
Stufe X multiplicirt Gleiches liefern. Nun ist, wenn x = Xi8i
+ Xaaj -|-- ■ ■ ist,
ai|a,]b, +[I|aj]b, + . . Ox = [x|a,]b. +[x|a,]b, + ■ ■ .
[353]
=x,bi-fXabj-[ [153],
Aber auch
bi, bj,-..
■ " ■■ - - — X
B„ aj,-- .
_K ^^'■■■(xiai+Xjai+--)=Xibi+Xäb, + .. [377].
Somit liefern beide Seiten der zu erweifendeii Gleichung mit
jeder Grösse erster Stufe multiplicirt Gleiches, find alfo felbst
gleich (nach 357, 377).
Anm. Es ist alfo der Bruch nur eine einfachere Form des
Lacken ftuedruckes mit einer Lücke, und kann alfo auch jedes System
beliebig vieler linearer ZahlfuiiktLonen von heliebig vielen Zahlgröasett
als Produkt eines Quotienten in eine extenrive Variable dat^cstellt
werden.
383. Erklärung'. Das bezügliche Produkt der Zahler
eines Bruches, dessen Nenner das System der ursprünglichen
Einheiten bilden, nenne ich den Potenzwertli des Bruches,
und bezeichne den Petenzworth des Bruches 0, wenn n die
Anzahl der Nenner ist, mit [0"], d. h. ich felze, wenn Q
= " ^'- ° ist, und e,, Cj,- - -eH das System der ursprüng-
lichen Einheiten bilden,
[0'] = [a,a,..-.aj.
y Google
246 (as»
Änm Wenn jeder Zähler das p-fachc des entapre eben den Nen-
ner t f 3t 1 r Bruch vermöge der Definition gleich der Zahl p ;
das bezdgl le Produkt der Zähler ist dann [pCi'pej- ■ -pen] =pn
[e ej Gn] aKo da das bezügliche Produkt der Ursprung liehen Ein-
he ten 1 t =^p'', d. h, in einem Hauptgebiete n-ter Stufe ist der
Poteniwerth p ne Zahl p gleich p". Der tiefere Grund der gewählten
Bene nuug d Bezeichnung liegt in einer ei gen tliü milchen Verknüp-
fung de extenf ven Brüche, welche ganz der hezüghchen MuUiplika-
t on e tspr cl t nd deren WeCen ich hier in mehr anschaulicher Form
zu entfalten verf chen werde. Ich gründe den Begriff diefer Verknüp-
f ng auf de des Liiekenproduktes. Wenn nämlich A, B,- •■, Ai, Bi,- ■■
Brliche f d deren Nenner etwa die urspr anglichen Einheiten fein
mijgen )i d a b ■■■ beliebige Grössen erster Stute, 1 aber eine Lücke
st n elcl e Bruche der genannten Art (alfo Grössen nullter Stuie)
eintreten foll n fo fetze ich [AB-..] = [A,Bi. ■ ■] dann und nur dann,
wenn n Bezug auf eine beliebige Reihe von Grössen erster Stufe
ab le en Ansahl gleich der Anzahl der Faktoren jener Pro-
dukte t
[la lb.--]AB--- = [!a-lb-.-.]A,B, ■-..
et I 1 nenne dw Produkt [AB.-.] ein (auf das Hauptgebiet) beaüg-
liches Produkt der Brüche A, B,---'. Aus diefem Begriffe folgt
(nach 360D fogleich , dasa die Ordnung der Faktoren in diefem Produkte
für den Wert.h desfelben gleichgültig ist, ein Gefetz, welches mit dem
in 58 ausgesprochenen in Uebereinsttmmung ist, da die Brüche der
genannten Art als Grössen nullter Stufe eu betrachten find. Ferner
ergiebt fich leicht, dass wenn in dem Produkte [la-lb---] zwei der
Faktoren , z. B. die beiden ersten , einander gleich find , allemal
ria-lb--"lAB-.. —0 ist. Denn es ist (nach 353) [la-la-lc---]ABC---
gleich einem Bruche, dessen Zähler die Summe aller der Auadrücke
ist, die man dadurch erhält, dass manA, B, 0,- in allen möglichen
Anordnungen in die Lücken eintreten läset, und dessen Nenner die
Anzahl diefer Ausdrücke ist. Nun zeigt fich, dass fieh die Glieder
des Zählers paarweite aufheben. Denn wenn PQR- ■ - eine andere
Ordnung der Faktoren ABC'-- darstellt, und zwar fo, dass P in die
erste Lücke eintreten foll, Q in die zweite w. f. w. , fo wird das daraus
entspringende Glied gleich [PaQa-Rc- ■ ■ ■]. Vertauscht man P und
Q, fo geht aus dieter Ordnung diis Glied [Qa-PaRc- ■ -] hervor, die
Summe beider giebt aber null, da Pa und Qa Grössen erster Stufe
find, und deren Vertauschung (nach 60) entgegengefetzten Werth be-
dingt. Alfo heben fich die Glieder im Zähler paarweife auf, d. h.
der Zähler wird null, alfo der Bruch null. Dasfelbe gilt, wenn in
dem Produkte [la-lb----] beliebige zwei Faktoren gleich werden, fo
dass alfo in diefem Falle stets [la-lb ]AB- ■ . =0 ist. Daraus folgt
aber wiederum fogleich, daas wenn fich die Grössenreihe a, b,--.-
lineal ändert, z. B. b in b'=b-f cta fich verwandelt, das Produkt
y Google
8 98) 247
[la-lb- ■ - 'lAB- ■■ denfelben Werth behält) und hieraus (nach 76), dass
we n f h a b,''- beliebig, jedoch (o ändern, dass ihr Produiit
[ab 1 k tant bleibt, auch [la-lb- ■ ■ ■]&B konstant bleibt.
W kö n dilier dieren Ausdruck als Verkmipfiing , und awar als
miiltplk t e Verknüpfung von [ab'--] und [AB---] anfelien, und
h b n dal [la.Jb- ■- -JAB- - - = [ab- ■ .J[AB- -.]. Hier hat [AB- --],
da m t d Ol Produkte [ab • • - -J verknüpft , wieder eine Summe von
lol len F 1 ktcn derfelben Fafctorenzahl, alfo eine Grösse derfelben
Stul 1 f t ganz die Bedeutung eines extenflven Bruches, aber eines
1 I heu 1 wenn die Aniahl der Faktoren m ist, nur mit Grössen
mt 6tuf fammentritt. Es feien E,, Ej,--- die Einheiten m-ter
Sttite, und fei E,[AB.- ■] = Ai, Ei[AB- -j = Aj,- •-, fo ist klar, dass
[AB---] einem Bruche i1 gleich ist, dessen Nenner Ei, E,,---, nnd
dessen, entsprechende Zähler A,, Aj,--- find. Denn es gicbt jenes
Produkt [AB---] mit den Einheiten m-ter Stufe, alfo auch mit jeder
aus ihnen ableitbaren Grösse, d. h. mit jeder Grösse ra-ter Stufe raul-
tiplicirt, dasfelbe ßefultat, wie diefer Bruch Q auf gleiche Weife
verknüpft liefert, d. h. es ist vermöge der Definitionen jenes Pi-oduktes
und diefes Quotienten [AB---] = Q, d. h. das bezügliche Produkt
von m Brüchen, deren Nenner und Zähler von erster Stufe find, giebt
einen Bruch, dessen Nenner und Zähler von m-ter Stufe find. Durch
die Eeciproeitjit zwischen Grössen erster und (n — l)-ter Stufe (im
Hauptgebicte n-ter Stufe) ergiebt fich auch, dass das beiügiiche Pro-
dukt von m Brüchen , deren Henner und Zähler von (n — l)-ter Stufe
find, einen Bruch liefert, dessen Nonner und Zähler von (n — m)-ter
Stufe find. Dies letztere Produkt wltrde daher als regressives, das
erstere als progressives Produkt von Brüchen ku betrachten fein. Wir
bleiben hier bei dem ersteren, alfo dem progressiven Produkte der
Brüche stehen, um namentlich noch die progressiven Potenzen der
Brüche zu betrachten. Da das Produkt gleicher Faktoren eben nur
Eine Anordnung diefer Faktoren gestattet, fo geht fogleich aus dem
Begriffe hervor, dass [A™][ab- ■-] = [Äa- Ab- - ■ ■] fei, vorausgefetU
natürlich, dass die Anzahl der Faktoren a, b,--- auch m betrage.
Setzen wir die ursprünglichen Einheiten e,, Cj,--- ale Nenner, und a,,
&],-•■ als entsprechende Zühler, d. h. Äe, ^ai n. f. w. , fo ergiebt
fich unmittelbar, dasa [A™] mit dem Produkte von m iiraprünglichen
Einheiten multipUcirt, das Produkt der m entsprechenden Zähler gebe
und dass alfo die Potenzen von A jede Grösse, welche aus den ur-
sprünglichen Einheiten hervorgegangen ist, und welche den Exponen-
ten jener Potenz als Stnfenzahl hat, in diejenige Grösse verwandelt,
welche aus den entsprechenden Zahlern genau auf diefelbe Weife
hervorgeht. Betrachten wir ins Befondere diejenige Potenz von A,
deren Exponent mit der Slufenzabl n des Hauptgebietes gleich ist,
alfo [A"!, fo ergiebt tich [Aiij[eiCj- - -en] = [o.aj- --an], d. h. gleich
dem bezüglichen Produkte der Zäliler, alfo (nach 383) gleich dem
y Google
248 C«»«
Potenzwerthe von A. Aber da daa bezügliche Produkt der n uvsprüng-
Hchen Einheiten (nach 94) gleicli 1 ist, fo ist [A"] felbst dicfem Po-
tenzwertlie gleich, worin alCo die vollstSndige Begründung der oben
gewälilten Bezeichnung liegt.
383. Der Potenzwerlh eines Bruches ist gleich dem
bezüglichen Produkte der Zähler, dividirt durch das der Nenner,
Beweis. Es fei Oe^ = c, für jeden Index r von \ bis
n; fü ist = "^' ^'""' (nach 380). Ferner feien bi, b;;,---
Gl, ea,- ■■
als Viel fach enCiimnien der ursprilngb'chen Einheilen ej, ej,---
ausgedrückt, und fei für jeden Index r von 1 bis n, b,, ^:
Z^j^T^e^o ist a, = Ob,^
'K = Zß,
,.0e,=
= Zß...c.. t
lift,.c.
■ZK.
,.c.--.]
i^ft:.e.
■Zß,.
,.».•■■]
2.ft,.ft,
,■ --l
Co-C6---]
Zft,.ft,
.••■■[
Co ■ e&" -J
2,c-im,.ft,
f ■[C1C2---1
- ^- - [57]
WO a, !),■■■ alle möglichen verschiedenen Anordnungen der
Zahlen 1, 2, ■■■ darstellen und r die Anzahl der Zahlenpaare
ist, die in den beiden Zahlreibcn
i, 2,-.--
entgegengefetzt geordnet find. Hier heben fich nun die bei-
den Summen, und da [eiej---]^! ist, fo erhält man
[Sv^l "" '-"''' ■ ■ ■ ■ 1 = tO"] {noch 383).
383. Wenn «nd Oi Brüche mit n Nennern Tind, und
zu einander in der Zahlbczichung
= oO,
stehen, fo stehen ihre Potenziverlhe in der Zahlheziehung
[0"] = o'[0,"].
Beweis. Es Tei
y Google
38«! 249
fo ist (nach 383)
[0°] ^= [ßfli ■ «öl ■ ■ ■ aa^] = «°[uiaä ■ ■ ■ »„] [46]
-«-[Ol-] [383].
386. Wenn zwischen den Zählern eines Bruuhcs eine
Zahlfieziehung herrscht, fo lässt fich der Bruch stets auf die
Form bringen, dass einer oder mehrere feiner Zähler null
werden, und zwischen den übrigen Zählern keine Zahlbe-
ziehung stattfi de d zw r wenn ei,---e„ die Nenner,
Bi, ■■■an ie Zai I de Br ches Q find, und zwischen
Hl,- ■■am ke Zalibez 1 ng stattfindet, aber die übrigen
n — m Zalfe a s 1 en lumerisch ableitbar find, fo dass
a^,-] ^=a 1 + «r S 8a -]- ■ ■ ■ «r m ^ni
ist, fo ist
ei,---a„, 0, 0, -.,0
■■= 1 wo
C„4_r=;ß, iCi + Or JOS 4 «r «1^^ — fini + r> 'i- ^-
ist. Und alle aus Cni+,,--Cn numerisch ableitbaren Grössen,
aber auch keine andern geben mit multiplicirt, null.
Beweis. yCm + j:^ «r,lOCl -f ■ ■ ■ - Kr.mOem — Oe^ + r
=^ß, iBl -j- ■ ■ ■ ■ Kr n,ani "mH rl
da nach Hypülhefis ai,''^an die zu den Nennern ei,--^en 'ge-
hörigen Zähler des Bruches find
= [•].
Alfo find die zu den Nennern Cn,_|_i, - ■ ■ c^ gehörigen Zähler
null. Ich zeige nun, dass zwischen den n Grössen Oi,---e^,
c„-i-i,---c„ keine Zahlbeziehung herrscht. Der Kürze wegen
fetze ich
«r l^l +■ • ■ «r inCm = (Ir!
fo dass alfo c„_|_^ = q^ — e„4., ist, fo ist
[ei-ei^---e„^c„-(.i c„]
= [eie2 «-niCqi — en,-fi)--^ (q«,_„— ej].
Da hier qi, qi,--- aus ei, Ba,--'en, numerisch abgeleitet
find, fo könne« wir fie ("ach 67_) weglassen und erhalten
das Produkt
= + [eiC,---.eJ,
yGoosle
250 C*s»
alfo von Null verschieden; folgücU stehen Gj, e^ ■ ■ - e,!,,
Cm+ij-'-Cn (nach 61) in keiner Zahlbeziehung; all'o lässl
lieh [nach 380) Q in der im Satze aifgegebenen Weife als
Bruch darstellen. Daraus nun, dass c^+i, • ■ ■ c^ ■"■' i""!-
ttplicirt Null geben, folgt foglcich, dass dies auch für jede
Vißlfaclienrumme diefer Grossen gilt. Aber auch umgekehrt
muss jede Grösse p, welche mit Q multipiicirt null giebt,
eine Vielfachenfumme von Cnj+i,'-'C„ fein. Denn wie auch
p beschaffen fei, immer muss es fich (nach 24) aus Ci, e^, ■ -e^,
Cm+i! ■ ■ ■ Cn ableiten, aifo fich in dtir Form
p := KiCj -(-■■■ a^Hm -f q
darstellen lassen, wo q eine Vielfachenfumme von Cn,;.,,- -c„ ist.
Soll dann pO^=:0 fein, Ib hat man, da 0(^i=ai) u, f. w.,
OCn,+i =0 u. f. w. ist,
= pO — «la, H a„,a,„,
alfo (nach 28) «i, ci^,- ■ ■«„ = 0, alfo p ^= q, d. h. eine Viel-
fachenfumme von Cni4,i, c„.(.a,- ■ -Cn-
38"?. Erklärung. Wenn ein Bruch mit einer von
Null verschiedenen Grosse erster Stufe multipiicirt ein Viol-
faches diefer Grösse, etwa das ßfaclie derfelben liefert, fo
dass alfo
Qx =^ QK
ist, fo nenne ich den Koeffieienten p (mag e nun reell oder
imaginär fein) eine Hauptzuhl des ürtiches Q, und das Ge-
biet, welchem alle Grössen x angehören, weiche jener Glei-
chung genügen, das zu der Hauptzahl ^ gehörige Hauptgebiet.
38S. Aufgabe. Die Hauptzahlen und die zugehörigen
Hauptgebiete eines Bruches zu finden.
Auflöfung. Es fei q eine Hauplzahl eines Bruches Q
mit n Nennern ei , ^-ti-'-e^; und lei x ^= ^x^c eine von
Null verschiedene Grösse, welche mit Q multipiicirt ilir ^faches
liefert, fe hat man
Qx = ^x, d.h. (:q — Q)x^O.
Setzt man hierin statt x feinen Werth, und fetzt
(a) (e--U)e„ = c„,
fo erhalt man
(b) = Xx«c„.
yGoosle
888) 251
Da nun x von Null verschieden ist, fo must% auch min-
destens eini! der Zahlen Xi,-'-Xß von Null verschieden lein,
hKo (nach 16) zwischen c, ,-■- c„ eine Zahlbeziehung statt-
linden, folglich (nach 61) ihr kombinatorisches Produkt null
foin, alfo
(C) = [CiCj Cu],
d. li. (nach 384) der Polenzwerth des Bruches g — muss
null fein. Umgekehrt, wenn diefe Gleichung (c) erfüllt wird,
fo gilt (nach 66) auch eine Gleichung der Form (b), alfo
giebt es dann eine Grösse x^O, welche der Gleichung Qx
= QX genügt, d. h. q ist dann eine Hauptzalil. Setzt man in
der letzten Gleichung stall Ci , C;,--- ihre Werthe aus (a),
fo erhalt man
0= [(ee, - Oei)(ee, - Oe^)- • ■ -(pe^ - QeJ],
oder indem man die Klammern löst
(d) ct„e''~«ie''-i + a2e"-^ +( — 1)"K„ = C>
wo a, aus dem Produkte [eie,- ■ ■e^'] dadurch hervorgeht, dass
man auf alle möglichen verschiedenen Arten r der Grossen
ön ß2)-''en i" "liß entsprechenden Grössen Qe,, Ocir-'Oen
umwandeil, während man die jedesmal übrigen unverändert
lässl. Die n Wurzeln gi,- ■ -Qa diefer Gleichung (d) find alfo die
gefuchten Hauptzahlcn; ihr Produkt ist nach dem Neutonschen
Satze gleich a„:ao, d. h, gleich dem Potenzwerthe von
(nach 384). Die Grössen x find dann durch die Gleichung
(b) bestimmt. Nach diefer Gleichung stehen c^, C2,---Cn in
einer Zahlbeziehung zu einander. Folglich lässt fich (nach
17) aus den Grössen Ci,--'Cn ein Verein von weniger als
n Grössen, elwa Ci, Cj,---c^, ausfondern, welcher keiner
Znhlbeziehung unterliegt, und aus welchem die übrigen Grössen
(Cni-i-i,-- Cn) numerisch ableitbar find; dann aber lässt fich
der Bruch q — 0, dessen zu den Nennern e^,- ■ -e^ gehörigen
Zähler (nach a) c, , ■ • ■ c„ find, (nach 386) auf die Form bringen,
dass unter den Zählern n — m derfelben null werden; die
zugehörigen Nenner feien au,.).i, ■ ■ ■ a^; fo haben (nach 386)
alle aus am :i i ■ ' ■ «n ableitbaren Grössen x, aber auch keine
andern, die Eigcnschafl, dass (g --0)x:=0 fei, d.h. dass
Qx^qx wird, d.h. alfo, das Gebiet am-j-i ■ ■ - -an ist das zu
der Hauptzahl q gehörige Hauptgebiet. Alfo:
y Google
352 (88»
„Jeder Bruch mit n Nennern hat n Hsuptzahlen und
zwar find diefe die Wurzeln q der gleichbedeutenden Glei-
chungen c oder d, das Produkt diefer n Wurzeln ist gleich
dem Potenzwerthe von 0, und das zu der Hauptzahl ^ ge-
hörige Hauptgehiet 'erhält man, indem man (nach 3S6) q —
ah einen Bruch darstellt, von dessen Zählern einer oder
mehrere null find, während die übrigen Zähler in keiner
Zahlheziehung zu einander stehen; dann ist das Gehiet der-
jenigen Nenner diefes Bruches q — Q, deren entsprechende
Zähler null find, das verlangte Hauptgebiel."
389. Wenn die n Hauptzahlen Qu-'-Qa eines Bruches
alle von einander verschieden find, To find die n zuge-
hörigen Hauptgebiete alle von erster Stufe und stehen in keiner
Zahlbeziehung zu einander-
Beweis. Nach 388 Ifisst fich zu jeder der Grössen
Q,,- • -pa, z. B. ZU ß,, eine von Null verschiedene Grösse erster
Stufe finden, welche mit Q multiplicirt ihr gt-faches liefert.
Es feien a,,- -Bn diefe Grössen, fo dass 0»^ = ^^^^ 'st. An-
genommen nun, ai,---an ständen in einer Zahlbeziehung, fo
miisslen fich aus ihnen (n^ich 17) m Grössen, etwa ai,---an„
aiisfondern lassen, die in keiner Zahlbeziehung zu einander
ständen, und aus denen jede der übrigen, z. ß. a^, numerisch
ableitbar wäre. Es fei a^ = aiai -f ■-■ a„a„, fo muss, da a^
von Null verschieden ist, auch mindestens einer der Koef-
ficienlen a^,■ ■ -a^ von Null verschieden fein. Es fei dies z, B.
ßi- Nun hat man
Oa, = OZ"«^» = ZtirOa". = Za^ö^
da nach der Vorausletzung Qa^-^:Q^^^ ist, alfo wird
''ißl^l + ■ ■ ■ "^m^rnV ^^ O^r = CA
folglich find (nach 39) die entsprechenden Koefficienten gleich,
namentlich «igi =Cigj, d. h. da «t ■?**, ist ^^ = ^1 , was gegen
die Vorausfetzung ist. Alfo können a|,'-'a„ in keiner Zahl-
beziehung zu einander stehen. Folglich kann auch keins der
Hauptgebiete von höherer als erster Stufe fein. Denn wäre
z. B. das zu Qi gehörige Hauptgebiet von höherer Slufe, fo
müsste dies Gebiet mit dem Gebiete (n — l)-ler Stufe der
y Google
a»0) 353
Grössen aj—'a^ (nach 26^ mindestens ein Gebiet erster SUife
gemein liaijen. Es fei c eine (von Null vorscliiedene) Grösse
diefes gemeinschaftlichen Gebietes, fo wäre c aus a5,-''a„
numerisch ableitbar, und würde ficti doch, da es in dem zu
gl gehörigen Haiiptgebietö liegt, in fein g-faches verwandeln,
was als unmöglich nachgewiefen ist.
3fl0. Aufgabe. Den Fall gleicher Hauptzahlen zu
unterfuchen,
Auflöfung. Wenn man die Bezeichnungen der vorher-
gehenden Sätze festhält, fo bat man (nach 388)
(a) [c,C2- ■ ■ 'cj =0, wo
(b) c,^(e-OK.
Es find alfo Cj, Cj,- ■ -Cn die zu den Nennern Bj, Cj,- ■ -en
gehörigen Zähler des Bruches g — 0, und die Gleichung (a)
fagt aus, dass das kombinatorische Produkt der n Zähler null
fei, d.h. dass der Potenzwerth von q~Q null fei. Es be-
halten nach dem Obigen die Gleichungen (a) und (b) ihre
Bedeutung, wenn man statt der Nenner ei,---e^ beliebige n
in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen erster
Stufe fetzl. Die n Werlhe von §, welche der Gleichung a
genügen, find (nach 389) die n Hauptzahien von 0- Wenn
nun mehrere, etwa a, derfelben gleich a find, fo heisst das
alfo, dass die Gleichung (a) für q im Ganzen a Werthe dar-
biete, welche gleich a l'ind. Wenn aber ein Werth von q
gleich a ist, fo lässt fich (nach 388} eine von Null verschie-
dene Grösse erster Stufe a, finden, welche mit-Q multiplicirt
ihr a-faches liefert. Es fei diefo Grösse ai=Xie, -f-- ■ ■ x^Cn,
fo muss von den Koefficienteu Xi,---Xn mindestens einer
von Null verschieden fein, weil fönst, gegen die Annahme,
at felbst null wäre. Es fei Xi von Null verschieden, fo stehen
(nach 19) Ui , e2,---en in keiner Zahlbeziehung zu einander,
können alfo nach dem Obigen stall Oi, e2,-''e„ in die Glei-
chungen (a) und (b) eingefetzt werden; dann wird Ci^(5 — 0)ai
^=qa, — Oai=pai — aai (nach Annahme) =; (9 — 0)3^ und die
Gleichung (a) verwandelt fich in
Cp -a)[a,c,.-.-cJ = 0.
Wir wollen annehmen, man habe, wenn die Gleichung
y Google
254 (3»0
(a) im Ganzen a Wurzeln Q = a hat, nach und nach die Glei-
chung (a) noch in die Formen
u. (. w., endlich in die Form
(c) (e — «^[aiai ■ ■ -a^c^^-i c„l =
umwandelt, wo r < a ist, und zwar fo, dass
Oai =aai,[ai -Oaj] =«[8185] u. T. w., endlich
Cd) [a,a,..-a,_,-0a,]=atata2 ' ",]
Tei und die n Grössen a,,' --s^ 0^+1,- e^ m keiner Zahlbe-
ziehung zu einander stehen, fo lüsst lieh zeigen, dass man
diefe Umwandlungen auch fo weit fortfelzen könne, bis end-
lich r=:ii werde. In der That, fo lange noch r kleiner ist
als (i, d. h. es noch mehr als r Wurzeln 9 = a giebt, welche
der Gleichung (cj genügen, To ist aus der Theorie der Glei-
chungen bekannt, dass, wenn man jene Gleichung durch (5— a)'
dividirt, der Quotient noch eine Wurzel Q = a darbieten müsse,
d. h. es muss noch
(e) [ai ^rCr+i Cq] =
Tein, für Q^a. Es feien dj+,,----c!n die Werthe, in welche
Cr+i,---c„ übergehen, wenn man in den letzlern a statt q
fetzt, fo erhält man
Cf) [a,----Mr+i----<IJ = 0, wo
ig) <lr+i = (a - 0)e, +1 , ■ ■ • ■ , d„ ^ (ß - 0)e„
ist. Diefe Gleichung g fagt aus, dass zwischen den Grössen
3ii ■■•"!■! d,_^, ---dn eine Zahlbeziehung herrscht (nach 66),
Es fei
(b) a,ai -f-. ■ . a,a, -|- a^-i^d^^i -f- - ■ . ß^dn =
der Ausdruck diefer Zahlbezichuhg, fo muss einer der Koef-
ficienten «r-j-i, ■ ■ ■ «n von Null verschieden fein; denn wenn
fie alle JVuJi wBren, fo würde zwischen a, ,---3r eine Zahl-
beziehung herrschen, was gegen die Vorausfetzung streitet. Es
fei etwa a^-\-i von Null verschieden, und fei «r-f-ier-f ! + • ■ ■ a^^^
= a,4,'j gefetzt, fo stehen (nach 19l aj, 3,-;.}, e,+j,--'en
in keiner Zahlbeziehiing zu einander, können alfo statt e^,- ■ -e^
in die Gleichungen (a) und (b), oder statt Si, ■ -a,, 6^+1,- ■ -e^
in die Gleichungen (c) und (d) emgefetzt werden, fo dass
alfo nun c^_^i ^^(p — Q)ar (,1 gefetzt werden kann. Ferner
ist dann
y Google
Co-0>.t. = «ri-iC<>-0)e,+, + - . ■
-^«.(a-Q)e.
= «,.|lllr4l + + «n(
l„ [nach g]
= -o,a, o,a.
[nach h].
AUu ist
Qa,-i, = o,.,-) +a,a, + "a,l-,.
Folglich
[»i- ■ •».■•ÜMJ = [»i ■ ■ ■ -».(Ol«! +■
-■ct,a,-haa ,_!,)]
0) =»[»1 8,«,+J
[67].
Nun füllte, wie oben gezeigt,
fein, alfo wird
K ar-c.+ij
= e[a. a^a^4-i] — [aj- ■ -Br-CaH-i]
= e[ai M-i] — «k Sr+i] [nach i]
= Ce---«)[ai an-i]-
Setzt man dies in die Gleichung (c} ein, fo erhält man
(k) ($ — ay+'[aiaa---aH-iCr+2 »;J=0,
d. h. die Gleicliiingen (c) und (d) bestehen noch fort, wenn
man, fo lange noch r ■^- a bleibt, in ihnen r -f- I statt r fetzt,
folglich bleiben fie noch bestehen wenn r=^a wird, d. h,
„Wenn unter den Hauptzahlen des Onflienten Q mehrere,
und zwar a einander gleich und zwar =a find, fo lassen lieh
a Grössen erster Stufe ai,--'-ao von der Art finden, dass
diefe mit n — a der Grössen ei,---en, etwa mit Oa+i,- ■■ -Cn,
in keiner Zahlbeziehung stehen, und
(*) Qai —cai,[ai-Oai] — 0^185] 0. f. w., endlich
[aiHi Ba-i-Uaa] = «[a, a^ a^]
fei, dann wird die Gleichung für die Hauptzahlen ^ folgende:
C**) (.9 ~ ^Yi^l^t- • • -aaCa-l 1 ■ ■ ■ -cj, wo
C***) c, = ce-0)e,
für jeden Index r von a 4- 1 a" bis n ist."
Es kommt nun darauf an, die zu den Nennern ai,-'-an
gehörigen üiähler des Urucbcs Q zu finden. Zunächst ist der
zu dem Nenner s^ gehörige Zäliier nach dem Obigen gleich
aai. Es fei der zu dem Nenner a^ gehörige Zähler x, d, h,
Oar = x, fo hat man (aus **)
[a^aj ■ ■ . a^-jx] = a[a,a^ ■ ■ • aj ,
y Google
256 (a«M»
(i. h. [aia^ ■ ■ • at^i(x — ixa J] = ,
alTo besteht (nach 66) zwischen den Grössen a,, a^j-'-a,-],
X — aa, eine Zahlheziehung, d, h. es ist
X — aaj = a'r,
wo a'j irgend eine ans a^, aa,---ar_i numerisch ableitbare
Grösse ist, und man erhält x^aa,, -f a',., d. h,
0) Oa,-=«o, + a'„
wo a't eine Viel fachen fumme von a,, a2,--ar-i ist.
Es werde nun das Produkt von mit irgend einer ans
an* ■■an numerisch ableitbaren Grösse p unterfucht, und zwar
fei p = ttiBi -f ■ • ■<Vr) wo r:=-'~-Q, und a,. J ist, fo hat
man
Op = 0(%ai+---a,a,)
= ßiOa, +---"rOa,
^^«laai- ■ - -a^aa^ -\- p' [nach 11,
indem p' eine Vielfachenfumme von a^, aj,- ■ ar-i darstellt,
^= cep + p', d. h.
„Die durch die obige Gleichung (*) bestimmten Grössen
9i, aj,-'-aa haben die Eigenschaft, dass jede Vielfachenfumme
derfelben der Gleichung
(«***) Op ^ «p + P'
unterliegt, wo, wenn p aus den r ersten jener Grössen ableit-
bar ist, p' aus den (r — I") ersten derfelben ableitbar ist,"
Es leuchtet unmittelbar ein, dass wenn von den Grössen
a'i, a'g-'- der Gleichung (I) mehrere, etwa die Grössen a'j,
■ ■■a'r, null find, dann jede Vielfachenfumme von ai,----a,.
fich durch die Multiplikation mit Q in ihr ß-faches verwandelt,
und alfo das zu a gehörige Hauptgebiet von (fiehe 387}
von r-ler Stufe ist.
Wenn unter den Hanptzahlen von nicht nur a derfelben
vorkommen, welche gleich a, fondern auch h, welche gleich
ß, c, welche gleich y find u. f. w., wo «, ß, y,-- alle von
einander verschieden find, fo lassen fich nach dem Obigen
b" in keiner Zahlbeziehuug zu einander stehende Grössen bj,
■■- bb von der Art angeben, dass jede Vielfachenfumme q
von b],' ■ -bt der Gleichung Qq^=j3q -]- q' genügt, wo, wenn
q aus dem m ersten jener Grössen ableitbar ist, q' aus den
y Google
3»0) %ö7
(m — 1) ersten derfelben ableitbar ist, und ebenl'o lassen fich
c in keiner Zahlbeziehung zu einander stehende Grössen Ci,
■ . -c, von der Art angeben, dass jede Vielfachenfumme r von
Ci,'--C( der Gleichung Or =: yr + r' genüge, wo, wenn raus
den m ersten der Grössen C5,---c, ableitbar ist, r' aus den
m — I ersten deri'elben ableitbar ist n. f. w. Es lässt fich
zeigen, dass dann die Grössen bi,---Oo, bi,---bs, Ci,--'Ci in
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, und alfe als Nenner
des Bruches Q gefetzt werden können. In der That nehmen
wir z.B. an, dass zwischen den Grössen ai,----aa, bi,--'bj,
Ci,-—Cm-i noch keine Zahlbeziehung bestehe, aber nun zwi-
schen diesen Grössen und der Grösse Cn, eine Zahlbeziehnng
hervortrete, fo wird diele die Form haben
Cm) p-f.q^-r = 0,
wo p eine Viel fachen Tu min c von ai, ■•■aa, q eine Vielfachen-
fumme von bi,--.bs,, r eine Viel fachenfum ine von Ci,-'-Cni
ist, aKo wird auch
0^0{p + q+r)
lein. Dies ist aber, wie oben gezeigt,
= ctp + p' + |3q -(- q' + j-r -f r',
oder, indem wir statt r feinen Werlh ^^ — p — q aus der
Gleichung (m) fetzen,
= {« - y)P -l- (ß '- 7)1 + P' + q' + r'.
Da nach dem Obigen r' aus Ci,---c,i,_i numerisch ab-
leitbar ist, fo find alle in diofer letuteren Gleichung vorkom-
menden Grössen aus den nach der Annahme in keiner Zahl-
beziehung zu einander stehenden Grössen ai,---aj, bu-'-bs,
Ci,---Cm-i numerisch ableitbar. Die rechte Seite der letzten
Gleichung wird fich alfo als Vielfachenfumme der letztge-
nannten Grössen darstellen lassen, und da die linke Seite null
ist, fo werden (nach 28) alle einzelnen Koefficienten diefer
Vielfachenfumme null fein. Wenn nun p von Null verschie-
den, etwa =Xiai -]-■■■ -x^Bj wäre, wo x^ ^ ist, fo würde
p' nach dem Obigen aus a,,-''aä_.i numerisch ableitbar fein,
folglich würde a^, da es aucJi in q, q', r', nicht enthalten
ist, in jener gleich null gefetzten Vielfachenfumme nur ein-
mal vorkommen, nämlich mit dem Koefficienten Itt — }')Xj ver-
y Google
258 (8»0
bunden; diefer müsste aUo null feiti, was unmöglich ist, da x^
nach der Annahme ungleich null, und a ungleich / ist. l'olg-
lich ist die Annahme, dass p von Null verschieden fei, unmög-
lich, d. h, p ist gleich null, aus gleichem Grunde ist q^=0.
Dann aber folgt aus der Gleichung (m), dass r=0 ist. Da
nun aber die Grössen a,,-'-aa in keiner Zahlbeziehung zu
einander stehen, fo folgt aus p = 0, dass alle Koefficienten
des Ausdruckes , durch weichen p aus ai,'--aa abgeleitet ist,
null find, und dasfelbe folgt für q und r, Alfu enthalt die
Gleichung (m) gar keinen Ausdruck der Zaiilbeziehung; es
findet alfo eine folche zwischen den Grössen ai,'--0i,, bj,---
bi, Ci,'*'Cj,--- gar nicht statt, was zu zeigen war. Alfo
„Wenn die Gleichung
[Cpei - OciX^e, - Oe,)- ■ ■ -(ee^ - OeJ] = 0,
welche in Bezug auf g vom n-ten Grade ist, a Wurzeln =a,
h Wurzeln =:ß a. f. w. darbietet, wo a, ß,- • • von einander
verschieden Hnd, fo kann man n in keiner Zahlbeziehung zu
einander siehende Grössen ai,----ao, bj,- ■ - -bt,- • ■ ■ von der
Art angeben, dass wenn p eine Viel fach enfumnie der m ersten
unter den Grössen aj,' ■ -a^, oder unter den Grössen bi,- ■ ■ 'bt,
oder unter den Grössen irgend einer folgenden Gruppe ist,
dann Qp im ersten Falle =<tp -[- p', im zweiten =^p -j- p'
u f w fei, wo p' aus den m — 1 ersten Grössen derfelben
Gruppe numerisch ahleilbar ist "
Anm 1 A\enii unter den Wurzeln o ein Paai odtr meliieit,
I'oaic imagiiiiirei Wurzeln vorkommen, lo iindert dis in den gewon
ncnen Kefultaten nichts da die BeneislUlirung ebenfowohl für ima
gm&re wie fdr reelle Wurzeln gi!t Fb hat überdies nicht die gcnng-^Le
fethwierigkeit , die aus imiginiiren Wurielpaaicn llii&acjiden Beatim
mungen in reelle Fonn umzufetzen, wae ith dalier dem Lcfer ubi.r
Anm 2. Die im Obigen entn ickflten Gefetze find für die Theoiie
der geoiaetriBcV n Verwandtschaften %ou Widitigkiit In der That
stellt jcdei Quolitnt, nenn er nicht mehr als Tier Nenner tntlialt,
geomefriach gedeutet einp bedtimmte koUineare ^ervvondtsihalt daj^,
in dei Alt, dass jedea Punktfjstcm mit dem Quotienten multiphuit
ein dem ereteren kollineares Punktfjsteni liefert, und umgekehrt IBsst
TlcIi jedes einem ilroprunghchen PunktfyBtem koUinear verwandte
PanktÜjstem aus jenem durch Multiplikation mit einem Quotienten
ableiten Pei IJiiohent gfv, hit nun *oi jeilei nikiit anftlj tiachtii
y Google
»»•) 259
Einkleidung jener Verwandtschaft den Vortieil, dass fich die wefent-
liclien Eigenthümlichkeitcit der Verwandtschaft an ihm auf die ein-
fachste Weife fymbolisch darstellen. Siud i. B. die vier HauptzaUen
eines Qaotienten mit vier Nennern alle reell und von einander ver-
schieden, fu bieten je zwei kollinear verwandte Punktfysteme im
Räume, welche durch jene Quotienten dargestellt werden können,
vier Punkte dar, von denen keine drei in einer Ebene liegen, und
welche mit den ihnen entsprechenden zufamme n falle n , und ausser
diefen giebt es keinen fünfton Punkt, welcher mit dem ihm entsprechen-
den Punkte des andern Systems zulammenfllllt. Ebenfo enthalten die
vorhergehenden Sätze die befonderen Besieliungen kollinearer Ver-
wandtschaft für die Fälle, wo mehrere der Hauptzalilen des zugehö-
rigen Quotienten c a der j,le ch verden. Die speciellen geometrischen
Verwandtschaf ton wel he der K olline ation untergeordnet find, gehen
durch specieile An ahmen he vor So z. B. die Affinität durch die
Annahme, da>s den u eudl h e tfernten Punkten jedes Systems auch
unendlich entfernte P nkte des an lern entsprechen. . Ferner die Gleich-
heit durch die Annahme daas auBScrdem das Produkt der Hanptzahlen,
d, h. der Potenzwerth des Quot enten gleich eins fei, die Kongruenz
durch die Annahme, dass die entsprechenden Strecken gleich lang
fein Tollen (d. h. entweder =^ 1 , oder = — 1 , oder = cos. a -|- i ^m. a),
die Kongruenz verwandelt fich in die Symmetrie, wenn das Produkt
der Hauptzahlen — — 1 statt + 1 wird. Endlich die Aehnlichkeit geht
aus der Alfinität hervor durch die Annahme, dass die entsprechenden
Strecken numerisch in gleichem Verhältnisse stehen. Wir betrachten
nun im Folgenden noch eine specieile Porra des Quotienten, welche
mit der Verwandtschaft der Reciprocitat in engster Beziehung steht.
391. Wenn ein Bruch Q die Eigenschaft hat, dass für
helicbige von Null verschiedene Grössen erster Stufe a und b
Ca) [Oall)] = [Qbla] und [Qala] ^
ist, Fo lassen Hch stets n in keiner Zahlbeziehung zu einander
stehende Grössen erster Stufe Ci,--Cn von der Art finden,
dass
0) [Oc,IcJ =
ist, fobald r von s verschieden ist. Ferner find dann die n
Hauptzahlen des Bruches Q alle reell, und unter ihnen f«
viel pofitive, als es unter den Produkten
(c) [Oc,ic,],-..-[OcJe„]
pofitive giebt. Endlich lassen fich stets n zu einander nor-
male Grössen e,,- ■ -Bo von der Art finden, dass jede derfel-
bon mit Q iiiultiplicirl ein Vielfaches derfelben liefert, alfo
y Google
260 (3»l
(d) Oer=^ ?.Co "'ü
für jedes von r verschiedene s.
Beweis. Ich zeige zueriit, dyss ficli n Grössen Cj,- ■ 'Cn
der verlangten Art finden lassen. Es genügt zu zeigen, diiss
fic der Gleichung ^b) für den Fall genügen, dass r •^- s ist,
denn da nach der Vorausfotziing (a) [O^^rlc,] = [OcJCr] ist,
l'o folgt dann, dass die Bedingung auch bestehen bleibt, wenn
umgekehrt der erste Index grösser ist ais der zweite. Wir
fetzen der Kürze wegen Qc^^kr, fo zeige ich zunächst, dass
man n von null verschiedene Grössen erster Stufe Ci,--'Cn
finden kann, welche den Gleichungen [k^^CgJ^^O, für jedes r
^^s genügen. Nach 189 können wir diefe Gleichungen auch
schreiben [Cjjkp]=0. Zunächst wählen wir für Cj eine be-
liebige fvon Null verschiedene) Grösse (erster Stufe). Dann
inuss Cj der Gleichung [c^jk,] ^=0 genügen, d. h. Ci muss zu
kl normal fein (nach 152), oder anders ausgedrückt, c^ inuss
dem Gebiete |ki, welches von n—l-tor Stufe ist, angehören.
Im Uebrigen fei c, willkürlich. Ferner muss Cg den Glei-
chungen [Calki] ;= [Cgik,] =:0 genügen, d, h. Cg muss den
Gebieten |ki und |k; angehören, alfo dem ihnen gemeinschaft-
lichen Gebiete, diefes ist (nach 25) mindestens von (n — 2)-ler
Stufe, in ihm fei Cg willkürlich. Aus gleichem Grunde muss
C4 den Gleichungen [cjlk^] ^^ [Cilkj] = [c,]kg] =0 genügen,
alfo demjenigen Gebiete angehören, was den drei Gebieten
(n — O-'c Stufe |kj, jkj, Ikj gemeinschaftlich ist, dies Gebiet
ist mindestens von (n — 3)-ter Stufe, in ihm fei C4 willkür-
lich, und fo fahre man fort. Endlich Cn muss den Gleichungen
K|k,] = Klkj] =■■•■= [cjkn-i] =0
genügen, d. h. c„ muss den (n — I) Gebieten (n — i)-ter
Stufe |ki, ]k2,'--|kn_i angehören, diefe haben mindestens ein
Gebiet erster Stufe gemeinschaftlich, in diofem fei Cn beliebig
(aber von Null verschieden) angenommen. Somit haben wir
jetzt n von Null verschiedene Grössen, welche den Gleichun-
gen [cjkj=0, d. h. 0= [krjcj = [OCr|Cj.] zunächst für jedes
r<s genügen, alfo auch nach Gleichung (a) för jedes von r
verschiedene s. Es ist noch zu zeigen, dass C|,---c,, in
y Google
a»i) 261
keiner Zahlbeztehuttg zu einander stehen. Angenommen, es
herrschte zwischen ihnen die Zahlbeziehunj XiCi -| — ■ -f-XnCn
= 0, wo mindestens einer der Kocfficienten , z. B. x^ von Null
verschieden ist, To halte man
= tOcr'txjCi -f ■ ■ ■ x^c J] = x,[Oc,lc J '
weil alle ührigen Produkte null find, alfo hatte man, da x^
^ ist, [QCp|Cj]=0, was gegen die Vorausfetzung (in a)
streitet, alfo ist es unmöglich, dass C3,---Cn in einer Zahlhe-
ziehung zu einander stehen. Nun fei [OCrjc,] = a^, und a^
= Cj:Ya^ gefetzt. Dann bilden die Grössen aj, ■■■■a„ einen
Verein, welcher den Begingurigen
m re»j«.]=o,
wenn r ^ s, und
W [0»JaJ = t
unterliegt, und zwar ist a^ reell, wenn [OCflc,] pofitiv ist;
hingegen ist a^ einfach imaginär, d, h. als Produkt einer reellen
Grösse und der Quadratwurzel aus —1 darstellbar, wenn
[Ocjc^] negativ ist. Es find alfo unter den Grössen ai,---a„
fo viel reelle, als unter den Produkten [Ocilci],- ■ ■[Oc^'c,,]
pofitive find. leb will jeden folchen Verein ai,' - -fli,, welcher
den Gleichungen f und g unterliegt, und in welchem jede
der Grössen aj,- ■ -Su entweder reell oder einfach imaginür ist,
der Kürze wegen einen konjugirten Verein nennen. Es zeigt
fich nun, dass ein folcher Vorein bei circulärer Aenderung
der darin vorkommenden Grossen wiederum ein folcher Verein
bleibt, und zwar fo, dass die Anzahl der reellen unter den
n Grössen in dem einen Verein eben fo gross ist wie in dem
andern. Hierbei will ich unter circulärer Aenderung zweier
Grössen ai und aj, wenn beide reell, oder beide einfach ima-
ginär find, den Uebergang derfelben in zwei andere Grössen
bi und bj verstehen, von denen
(h) bi = xa^ -f- yaj
b, ^= xa^ ■ — yai
ist, während x und y beide reell find, und die Summe ihrer
Quadrate eins ist, alfo
x^ + y^ = l.
Hingegen wenn von den beiden Grossen ai und a^ die eine
reell, die andere imaginär ist, fo foH
y Google
fein,
wo 1 = 1
d. h
. x'
+ (yi
ch
e
W
d
z
1 1
d
t t
11
11 Ib
b 1
f h
(8»l
|£aa — yiaj
-1, X und y beiilfj reeli find, und x^ — y^,
= 1 fst, oder anders ausgedrückt, die Glei-
t H j d löre Aenderuiig von a, und a^
II y aber nur dann imaginär und
t n von den Grössen ai und a^
d infacJi imaginär igt. Es ieuch-
d 1 bi und !)2 beide reell, oder
f d der eine derfelben reell, die
ad f h g E je nachdem dies für a^ und aj
d F 11 d d If d e Anzahl der reellen Grössen
d V n b d It n Aenderung diefelbe bleibt.
F d f j d — ermöge der Gleichungen h
[Ob] ]= [0 ]4-y[0aaK] = 0,
da [Oailaj] und [Oail^r] Cach f) null find, aus gleichem Grunde
ist dann
[Obj|a,] = 0.
Ferner ist
[Obilb,] = x^[Oa.|a,] - y=[Oa,iail + xy([Oai|a.]
— IQhSJ),
oderda[l}aila2]-=[0a,!ai] = 0,und [0a,|ail=[0a,|a2] = I ist,
[Ob,|b,l = 0.
Ferner ist
[Qb,]bJ =x^[Oa>,] 4- y^[Oai|a,] + SxyCOaila^],
oder da [Oailaj] null, [O^ilai] =^ [Oaj|aa] = 1, und x' + y*
^=1 ist, l'o wird
[Obi|b,] = l,
und aus gleichem Grunde [Qbjlbj] ^= i, Alfo genügt der
Verein, welcher aus a^, a2,---a„ durch circuläre Aenderung
zweier Grössen hervorgeht, noch immer den Gleichungen F
und g, alfo auch jeder Verein, welcher aus ai, ai,''-an durch
wiederholte circuläre Aenderung hervorgeht.
Ich zeige nun, dass wenn irgend zwei der Grössen 8i,
-■•8^, etwa aj und a^ noch nicht zu einander normal find,
man fie durch circuläre Aenderung normal zu einander machen
kann, und dass dabei das Produkt der numerischen Werihe
y Google
»»«> 263
diefer Grössen jisilesiiial abnimml. In der That Folien bj und
h-i KU einander normal fein, d. h. (nacii 153} [i)i[b2] = fein,
to hat man (nach h)
= [(xa, -f- yaa)|Cxaa - ya,])]
= x'[ai[aä] - y^Iaila^] + xyCa^^ - ai')
^x" — y' — 2yxy,
wo y^C^i' " a^-) ; 2[ai|a2] ist, hieraus folgt
Sind nun ai und a^ beide reell uder beide einfach imaginär,
y beide reell annehmen, und die Aenderung ist eine circnläre.
Ist hingegen von den Grössen a, und a^ die eine reell ^=r,
die andere einfach imaginär=r'i (wo i = j' — 1), fo wird y
= |:(r* +r'^):2i[r'r'], alfo
1 -i-Y'
-^ k 2[r;r'] J -V+ 2[rlr'] A* 3[rr'] J
^rM-ZMi-'liir! 2[r:r'] - r^ - r"
2[r(r'] 2[r|r']
~_ 4[r;r']^
alfo ist p'l + y^ einfach imaginär, aber auch)-, aifo auch ihre
Stimme, d. h. x:y; nehmen wir alfo x reell an, fo wird y
einfach imaginär, aber dies war gerade die Bedingung der
circulären Aenderung für diefenFall, alfo lassen fich in allen
Fallen je zwei der Grössen des Vereins, die noch nicht nor-
mal zu einander find, durch circuläre Aenderung normal zu
einander machen. Es ist noch zu zeigen, dass bei diefer
Aenderung das Produkt der numerischen Werthe der Grössen
kleiner wird. Hierbei l'oll unter dem numerischen Wertite
einer Grösse ri, wo r reell, und i = y — 1 ist, der numeri-
sche Werth von r verstanden fein. In diefem Sinne feion a^
und Oj die numerischen Werthe von ai und aj, und ßi und
ß.^ die von bi und bj, fo ist (nach 156J [aiau]' = [bibj]-,
aber (nach 198| ist [aia,]- = («iß^fin. ^aia2}S wenn «i und
y Google
2G4 («»•
«j reyll find; dasfelbe wird nun auch der Fall fein, wenn ai
und aj einfach imaginär, und unter ^^aia^ stets der Winkel
zwiächen den entsprechenden reellen Grössen verstanden ist;
wenn hingegen eine der Grössen ai und aj reell, die andere
einfach imaginär ist, lo wird [hiüs]- = — (ala2^n.^lalaä)^
aber dann auch [bibj]^ = — (i^ijSjfin.^Bibj)^, alfo da [aiaj]'-
= [hibä]-* ist, fo ist in allen Fällen
Wenn nun a| und a^ nicht zu einander normal, hingegen b|
und bj zu einander normal find, fo ist (fin. ^aiaj)^'^ 1,
Cfin.<^b,b,)= = i, alfo (.tha^)''^ ißißjV, d. h. da «,, a^, ft, ß^
pofitiv find, «iitj "^ i^ij^a- Alfo wenn von den Grössen eines
konjugirten Vereins irgend zwei noch nicht zu einander nor-
mal find, fo lässt fich der Verein circulär fo umwandeln, dass
das Produkt der numerischen Werthe aller Grössen des Ver-
eins kleiner wird. Da es nun ein minimuni für dies Produkt
geben muss, und dies minimum nur eintreten kann, wenn alle
Grössen des Vereins zu einantier normal find, fu muss fich
alfo durch (wiederholte) circulSre Aenderung aus dem Verein
^1, ^f--äa ein Verein ableiten lassen, von dessen n Grössen
je zwei zu einander normal find. Es fei r^, ri,--rn diefer
Verein, fo genügt derfelbe, da er aus dem Verein a,, aj,---
Bn abgeleitet ist, wie oben bewicfeii noch den Gleichungen
f und g, und enthält eben fo viele reelle Grössen, wie der
letztere Verein, aKo eben fo viele reelle Grössen, als unter
den Produkten [Qci'ci],- ■ ■ -[OCnlcJ pofitve Produkte vorkom-
men. Nun fei Ori^^Xir^ -]-■ ■ -x„r„, fo verwandelt fich die
in der Gruppe f enthaltene Gleichung ^= [Qrt jr^] in r= ([x^ri
+ x^r^ H — -XnrJlr;] = Xj[r2!r2], da alle übrigen Produkte
[ri|i's]) [''3|''s] u. f. w. wegen der normalen Beziehung (nach
152) null find. Da nun ferner rj, alfo auch [r^lrj] von Null
verschieden ist, fo folgt aas der Gleichung = X;;[ra[rä], dass
xj = fei; auf gleiche Weife folgt Xj = 0,- • ■ -x^ = 0, alfo
Qri^^Xiri. Dann verwandelt fich die in der Gruppe g ent-
haltene Gleichung i=[Ori,'ri] in 1 =xi[ri|ri] = Xiri*, d. h,
Xi ist ^^ 1 : r,-, alfo
y Google
8«1) 265
und aus gleicliem Grunde ist
Setzt man
... 1 1 1
0) jTT^?!' -i = e=>---- -f^i = ^-'
und felzt r,, r2,--T„ a!s die Nenner des Bruches Q, (o wer-
den all'o die zugehörigen Zähler ^^r^, ^^r^,' ■ -Q^r^, und die
Zshler des Bruches q — Q worden alfo (_q — Qt'jrt, (§ — ^a^r^,
■ ■■(e — gjru, der Poteiizvverth des Bruches ^ — ist (nach
383) gleich dem koinliinalorisclion Producte feiner Zähler
dividirl durcli das feiner Nenner, alfo gleich (g — QtXQ^Qi)
■■■(,Q — önX D'ö Gleicliung aber, durch welche die Haupl-
zahlen Q eines Quotienten bedingt find, drückt aus, dass der
Pülenzwerth von g — null fei, alfe hat man
(e — PiK?- eaV ■■'(?-- ea") = o,
d. ii. Qi,- ■ ■ -Qa find die Hauptzahlen von Q, es waren diefel-
i i i
hen t'ii'ch (i)) gleicli ~^, ^,- ■ j- Je nachdem nun r
reell oder einfach hnaginär ist, ist — ^ pofitiv oder negativ,
alfü kommen unter den Hauplzahlen von fo viel pofilive
vor, als unter den Grössen ri, ra,---rn reelle vorkommen,
d. h. wie oben gezeigt, als unter den Produkten [Oci|Ci]>
■ ■ ■ ■ [OCn Cnl pofitive vorkemraen. Alfo ist der Salz vollstän-
dig ervviefen.
Anin. Die HauptsHlilen des Quotienten Q und die zugeliürigen
Grössen r|, rj,> -i-n lassen fich diircli das Verfahren in 388 unmitlel-
bor liuden; es kam Wer nur darauf an, die befonders einfachen Bezie-
hungen, welche unter der spccicllen Vornusfetzang, die wir för Q
gemacht hatten, zwischen Jonen Grössen hervortreten, abzuleiten.
Gelegentlich kommt in dem oben gegebenen Beweife der Beweis des
fogenannten Trägheitsgcfetzes gnadratischer Formen vor; anoh l8sst
fieh aus ihm der Stiirin'sdie Satz über die Wurzeln algebraischer Glei-
chungen leicht ableiten. Auf die Geometrie angewandt, schticsst nrirer
Satz den Satz ein, daea jede algebraische Oberflfiche zweiter Ordnung
drei i-eelle Hanptnspn enthalt, unü der Satz 388 lehrt diefelben nnmit-
t.'lbar fuiilcn.
y Google
§, 5. Die Funktionen als extensive Grössen.
392. Erklärung. Ich Tage, eine Funktion f fei aus
einer oder mehreren Funktionen f, , f^,'-- numerisch ableit-
bar, wenn fich f in der Form
t=«,r, +o,f, +.■■■
darstellen lässt, wo «i, ßj,-*- Zahlgrossen ausdrücken, die
dh ndnV b dF
G h h
bg h V b n
nw d
n
G hh
au ag
381 E k „ E d j d
eines Punktes in der Ebene (eder x, y, z die Koordinaten
eines Punktes im ßaunie), ferner feien ti, fj,- ■ -fn n in keiner
Zahlbeziehung; zu einander stehende Funktionen diefer Koor-
dinaten und fei
f=x,r, 4-x,f, -1 x,f,,
y Google
3«3) 267
(I. h. Xj,- ■ ■ s„ die Abteitzahlen, durch welche f aus fi,- • ■ fn
ableitbar ist. Endlich herrsche zwischen diefeii Ableitzahlen
die Gleichung
(a) 9)Cxi, Xj,- ■• xj = 0,
fo nenne ich die Gefanimlheit der Kurven (Oberflächen) f^:0,
Tür welche die Ableitzahlen von f der Gleichung (a) genügen,
ein zu diefer Gleichung' gehöriges Kurvongebilde (Flächen-
gebilde), und zwar ein Kurvengebilde (Flächengebiet) n-len
Grades, wenn die Gleichung (a) vom n-tcn Grade ist. Sind
ins Bcfonderc fj, fj, fj Funktionen ersten Grades von x und
y und
f=Xifi-HXsf5 +X3f3,
fo bedingt die homogene Gleichung
5PCxi, Xj, X3) =
ein Liniengebilde in der Ebene, und find f,, fj, fj, f4 Funk-
tionen ersten Grades von x, y, z, und
f =Xifi -H Xji -f Xgfj 4- Xji,
fo bedingt die homogene Gleichung
spC ) =
Eb n ng b Id R m
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y Google
268 (»»*
393. ErkÜirinig. Die Fuiiklioii
x^ 4- y= + ^x + /y -f <5
iionne ich eine pinfache Kroisrnnktion, die Funktion
aix' -\- r) -h ßx + ry -^ ä
tiine «-Fache Kreisfunktion. Und wenn r(x, y) eine Kreis-
fnnktion ist, fo nenne ich den Kreis, dessen Gleicliung, liei
rechtwinkligen Koordinaten,
ftx, y) =
ist, den zu diefer Funktion gehörigen Kreis,
399. Alle Kreisfiinklionen find aus vier in keiner Zahl-
beziehung zu einander stehenden Kreisfonktionen numerisch
ableitbar.
Beweis. Jede Kreisfunktion ist aus den vier in keiner
Zahlbeziehiing zu einander stehenden Funktionen x^ -|- y'; ^>
y, 1 numerisch ableitbar. Folglich auch [nach 24) aus be-
liebigen vier in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden,
aus x^ 4- y^ 3£, y, 1 ableitbaren Funktionen, d.h. aus vier
foichen Kroisfunklionen.
396. Der Doppelabstand (fiehe 345) eines Punktes {_x',
y') von einem Kreife, dessen Gleichung
r(x, y) =
ist, wo f(x, y) eine einfache Kreisfunktion bezeichnet, ist
gleich
fix' V)
Ann, Dei Beweis duicli koordinatün iat bekannt. Viel einfacher
ist jedoch der luf dem Begnfi txteiiCiver Grössen beruhende Beweis.
Es gründet fich diefer daraut daas, wenn p ein variabler Punkt, a
der Uittelptinkt des Kreifet. und a' fein Radius ist,
(p — a>» — a ^ =
die Gleicliuog des Kicires ist, und die linke Seite derfelbeii lugleieli
den Doppelabstand des Punktes p von dem Kreife darstellt, wys
beides nnmittelbar im Begriffe liegt.
39'3. Drei Kreife stehen dann und nur dann in einer
Zahlbeziehung zu einander, wenn lic alle drei durch die-
i'elben zwei (reellen oder imaginären) Punkte gehen.
Beweis. Es feien f, , fj, fa drei Kreisfunktionon von
X und y, kj, k2, kg die drei Kreife deren Gleichungen be-
ziehlich
y Google
SOS) 269
fi=0, fj^O, f3=0
find. Es fei zuerst eine Xafilbeziehunjr zwischen ilmen an-
genonimen, etwa
Ca) f3 = aJi -{- aj^.
Die Durchscliniltspuiilile der Kroife ki und k^ find nun die-
jenigen Punkte, für weiche gleiclizeilig; f^ und fj nuü find;
dann ist aber vermöge der Gieichnn^ (a) auch fg null, d. h,
(tiefe Duruhschnitlspunklc liegen aucli in dem Kreife k^. Nun
fei umgekehrt angenommen, dass die Durchschniltspunkte von
kl und kj auch in kg liegen. Für irgend einen dritten Punkt
(x', yO in K mögen, wenn man feine Koordinaten statt x und
y in die Funktionen f^ und fj einführt, diefe beziehlich die
Wertho «i und o^ annehmen, fo hat der Kreis, dessen Gleichung
aJi — ((,fj=0
ist, mit kg ausser den obigen Durchschnittspunklen noch den
Punkt (x', y') gemein, alfo drei Punkte, ist ihm alfo identisch,
d. U. der Kreis kg ist aus k^ und kj numerisch ableitbar.
Anm. Wenn die Durclisdinittspnnkte der Kreife k, und kj ima-
gin&r worden, fo hat jeder Kreis, der diefelben beiden imaginiiren
Punkte enthßlt, die Eigenschaft, dass fein Mittelpunkt mit den Mittei-
punkten jener Kreife in geviider Linie liegt, und die drei KreiCe die-
felbe Linie gleichen Doppelabstandes (gleicher Potenz nach Steiner)
haben.
SOS. Zwei Kreife haben stets eine gerade Linie des
gleich'en Doppeiabstandes und drei Kreife stets einen Punkt
des gleichen Doppeiabstandes und zwar wenn f,, fj, (^ drei
einfache Kreisfunktionen find, fo ist
fj — fj ^
die Gleichung für die gerade Linie des gleichen Doppeiab-
standes von den zu fi und f^ gehörigen Kreifen, und der
Punkt, welcher durch die Gleichungen
fj — f, = , fi — fa =
bestimmt ist, ist der Punkt des gleichen Doppeiabstandes von
den drei zu fi, fj, fg gehörigen Kreifen.
Beweis. Für die Punkte des gleichen Doppeiabstandes
der zu den einfachen Funktionen f, , f, gehörigen Kreife hat
man (nach 396)
fi = fä, d.h. fi - f, =0.
yGoosle
270 (■••
Da aber fi und fj einfache Kreisfunktionen finri, To lieben
fich in der Differenz fj — fj die quadratisclien Gliedür auf und
f, — fä wird eine lineare Funktion, alfo fj — fä=0 die Glei-
chung einer geraden Linie. Für den Punkt P des gleichen
linSren Abslandes von den drei zu fi, f; , fg gehörigen Kreifen
hat man aus gleichem Grunde f^ ^^ fj = fg , d. h. f, — fj ;=
und fi — fg^^O; alfo ist P der Durchschnittspurikt der durch
die letzten zwei Gleichungen dargestellten geraden Linien.
Aj\m. Für zwei coiiceiitriaohe Kreife wird jene Linie unendlich
entfernt, für identische unbestimmt. Für drei Kreife, deren Mittel-
punkte in gerader Linie liegen, wird der Punkt des gleichen Abstan-
dea entweder unendlich entfernt, oder unbestimmt innerhalb einer
geraden Linie oder ganz unbestimmt, je nachdem zwischen den drei
Kreifen keine, eine, oder zwei ZahlbeKiehungen herrschen , in welchem
letztern Falle die drei Kreife identisch find.
399. Vier Kreife stehen dann und nur dann in einer
Zahlbeziehung zu einander, wenn fic alle vier einen Punkt a
des gleichen DoppelabsEandes haben, und zwar stehen fie,
wenn a endlich entfernt ist, in derfelben Zahibeziehung zu
einander wie ihre MÜtelpunkte.
Beweis 1. Es feien fj, fj, fj, fi vier einfache Kreis-
funktionen, kl, kj, ka, k, die zugehörigen Kreife. Es fei
zuerst angenommen, dass jene vier Funktionen in einer Zahi-
beziehung zu einander stehen, fo dass etwa
fei, fo niuss, da alle vier Funktionen einfache Kreisfunktionen
find, «1 4* «2 4- «3 ^^ 1 ''eil' Für den Punkt a des gleichen
Doppelabstandes von drei Kreifen k^, k^, kg hat man (nach
398) fi = f5 = f3, alfo wird für diefen Punkt
da «1 -f- «a + «j = i ist, d. h. der Punkt a ist Punkt des
gleichen Doppetabstandes von den vier Kreifen kj, k^, k,, kj.
2, Es fei umgekehrt angenommen, dass a ein endlich
entfernter Punkt fei, welcher gleichen Doppelabstand von den
vier Kreifen kj, kj, kj, kj habe; es feien a,, a^, a^, B^ die
von dem Punkte a nach den Mittelpunkten jener Kreife ge-
zogenen Strecken, und ri, Fi, rg, r, die vier Radien, und
p die variable von a nach einem beliebigen Punkte der Kreis-
y Google
»•»> 27 i
umfange gezogene Sirecke, fo nelimen fj, fj, f^, fj die
Form an
f. = Cp - aj' - r| = p» - 2[ajp] + S,
wo ^ = 3/ — r| ist. Nach 396 stellt zugleich S den Doppel-
abstand des Punktes, für welchen p = ist, d. h. des Punk-
tes a, von dem Kreife k^ dar. Diefer Doppelalistand ist nach
der Vorausfetzung für die vier Kreife k^, ■ ■ kj derfelbe. Ferner
besteht (nach 333} zwischen den einfachen Mittelpunkten der
Kreife ki,---kj eine Zahlbeziehung; diefeibe Zahlbeziehung
findet (nach 222") auch zwischen den Strecken statt, welche
von einem beliebigen Punkte nach jenen Millulpunklen gezogen
find, olfo auch zwischen ai,---84. Es fei
a, ^= KiBj -|- ct^Si -|- «sag
diefe Zahlbeziehung, Ib muss, da die Mittelpunkte einfache
Punkte find, k, -|- % -J- Cj = 1 fein; dann hat man
f.=p'-2[a,|p]+tf
= (01 -f- a, -h a,XP^ + 6}- 2[taiai+aia, +«^»3)1?]
^«if. -f-%r, i-a^t,.
3. Ist der Punkt a des gleichen Doppelabslandes unend-
lich enlfernt, fo liegen (nach 398) die Mittelpunkte der vier
Kreife in einer geraden Linie, Vier folche Kreife stehen aber
stets in einer Zahlbeziehung zu einander; denn macht man
diefe gerade Linien zur Abscissenaxe (der x), fo werden die
vier Funktionen fi , ■ ■ ■ f, von der Form
f, = x=-|-y^ — 2l3x + S„
indem das Glied mit y wegfällt. Es find alfo dann die Funk-
tionen fi,-'-f4 aus den drei Funktionen x^-i-y'j x und 1
numerisch ableitbar, stehen alfo (nach 392) in einer Zahibe-
ziehung zu einander.
An m. Wenn der Punkt a des gleichen Doppelab st an dea von vier
Kreifen aasserlialb eines der Kreirc liegt, fo ist der Doppelabstand
von diefem Kreife, gemHsa der Definition, pofitiv, alfo aucii der
Doppelabstand von den Übrigen Kreifen pofitiv, a liegt dann zugleich
ausserhalb dur (Ihrigen Kreife. Zieht man von a die Tangenten an
die vier Kreife, fo müssen diefe gleich fein, weil für jeden Kreia daa
Quadrat der von einem äusseren Punkte gezogenen Tangente gleich
dem Doppelabstande diefes Punktes ist. Schlägt man alfo um a einen
Kreis, dessen Radius gleich jenen Tangenten ist, fo werden, alle vier
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gegebene Pah kf d h eo'' ^" '
leilbar ist.
Äuriörung. Es feioii «i, «j - ■ ■ ■ ([„ die n gegebenen
Zahlen, ihre Summe a; ferner fei ein beliebiger Puiilsl als
Anfangspunkt aller Strecken angenommen, und feien die von
ihm nach den n Mittelpunkten gezogenen Strecken aj, au- - -(ig,
und die n Radien feien j?, , ß2,---ß„'i fi^rner fei die von
nach dem variablen Punkte gezogene Strecke r, fo find die
n zu den Kreifen gehörigen einfachen Funktionen
(r-a„)»-,3|
für jeden AVerth des Index a von 1 bis n, Alfo ist die ge-
fuchte Krcisfunklion f,
yGoosle
40«) 273
weil ^a» ^= K angenommen ist. Da nun der Punkt will-
kürlich ist, fo können wir ihn, wenn a nicht null ist, To
wählen, dass er aus den n Mittelpunkten durch die Zahlen
ßi,--'an numerisch ableitbar ist. Dann ist ^«„[3^^^ und
das zweite Glied fallt weg. Dann wird
Setzen wir ^«oCj^ö — aä) = «i3^, fo wird
f = a(r*-^=),
d. h. „der Mittelpunkt des gefuchten Kreifes ist, wenn die
Summe der n gegebenen Zahlen nicht null ist, der aus den
n Mittelpunkten der gegebenen Kreife durch die n gegebenen
Zahlen ableitbare Punkt, und den Radius (ß) deslelben erhält man,
wenn man die n Doppelabstände des gefundenen Mittelpunktes
von den n gegebenen Kreil'en beziehlich mit den n gegebenen
Zahlen multiplicirt, die Summe diefer Produkte durch die
Summe der n gegebenen Zahlen dividirt, den Quotienten mit
— 1 multiplicirt und aus diefem Produkte die Wurzel zieht."
Anm. Die Behandlung des Falles, wo ß^=0 wird, iiberlaSBe ich
dem Lefer.
§. 6. Verwandtschaften von dem Gesichtspunkte der
Funktions Verknüpfung aus betrachtet
ilOl. Erklärung. Zwei Vereine von Grössen nenne
ich verwandt, wenn jede Zaiilbeziehung, welche zwischen
den Grössen des ersten oder zweiten Vereines herrscht, auch
zwischen den entsprechenden des andern staltfindet, d. h. wenn
der Grösse
p = aa+j3b+--.
die Grösse
p, = aa, + |3bi+-.-
entspricht und umgekehrt, wo nämlich a, b,---. beliebige
Grössen des ersten Vereins und aj, bi,--*- die entsprechen-
den des andern, und a, ß,--- beliebige Zahlen find.
403. Wenn zwei Vereine von Grössen, in denen die
Grössen eines jeden Vereins fich aus n in keiner Zahlbeziehung
zu einander stehenden Grössen desfelben numerisch abieilen
lassen, einander verwandt fein follen, fu kann man beliebigen
y Google
274 (40»
n in keiner Ziihlbeziehung zu einander stehenden Grössen des
einen Vereins beliebige n derselben Bedingung unterworfene
Grössen des andern entsprecbend felzen; dann ist zu jeder
Grösse eines jeden der beiden Vereine die enioprecliende des
andern genau bestimmt.
Beweis. Es feien a, b,--- n in beliebige, in keiner
Zahlbezieliitng zu einander stehende Grössen des einen, und
Bj, bi,--- n derfelben Bedingung unterworfene Grössen des
andern Vereins, fo lässt fich nach der Vorausfetzung jede
Grösse p des ersten Vereins aus a, b,--- numerisch ableiten.
Es fei
p^aa+^b4---'
der Ausdruck diefer Ableitung, fo find (nach 29) die Zahlen
<*) ßt'"' genau bestimmt, fobald p eine bestimmte Grösse isl.
Süllen nun beide Vereine verwandt fein, fo muss (nach 400)
der Grösse p eine Grösse
Pi=aai + ßW-\
entsprochen. Es ist alfo zu jeder Grösse des einen Vereins
die entsprechende des andern genau bestimmt. Es ist noch
zu zeigen, dass die fo gebildeten Vereine in der That ein-
ander verwandt find, d, h dass jede Zahlbeziehdng, welche
zwischen den Grössen des ersten Vereins herrscht, auch zwi-
schen den entsprechenden Grössen des zweiten herrsche und
umgekehrt. Es fei
Ca) er4-ffs4---.--0
eine zwischen den Grössen r, s,--- des ersten Vereins herr-
schende Zahlbeziebung, und feien fj, s,,--- die den Grössen
r, s,'-- entsprechenden Grössen des zweiten Vereins, fo ist
zu zeigen, dass auch
pr, -(- ffSi -| =0
fei. Setzt man in (a) statt r, s,- ■■ die Ausdrücke ihrer Ab-
leitung aus a, b,-'-, löst die Klammern auf, und fassl die
Glieder, welche a enthalten, in Ein Glied zufammun u. f. \v.,
fo erhält man einen Ausdruck d-er Form
aa-J-^b +----^Ü,
wo ß, ß,- ■ • Funktionen der Zuhlgrössun q, a,-- und der
y Google
40S) 275
Ableilungszahlen von r, s,- ■■ find. Hieraus folgt, da a, b,---
in keiner Zaiilbeziehung zu einander stehen, (nach 29)
Wendet man nun dasfeibe Verfahren auf den Ausdruck
pr, + ffSi -[-■•■ an, fo erhält man, da die Ableilzahlen von
r,, Si,-'- diefelben find, wie die von r, s,--,
* ^fi -|- ffSi + • ■ ■ =ßai -j- ßbi -\ ,
wo a, §,■•■ diefelbe Bedeutung haben, wie oben. Da aber
a, ß,--- null find, fo erhält man
ßfi + csi -(--•■ =0,
d, h, jede Zahlbeziehung, welche zwischen den Grössen des
ersten Vereins herrscht, herrscht auch zwischen den ent-
sprechenden des zweiten, und ebenfo umgekehrt, d. h. die
beiden Vereine find verwandt.
403. Wenn man aus zwei verwandten Vereinen zwei
neue Vereine dadurch ableitet, dass man jedem linealen Pro-
dukt P, was aus Grössen des ersten Vereines gebildet ist,
dasjenige Produkt als entsprechend fetzt, welches auf gleiche
Weife aus den entsprechenden Grössen des zweiten Vereins
gebildet ist, fo find diefe beiden neuen Vereine einander gleich-
falls verwandt; d. h. wenn r, s,--- beliebige Grössen des
einen und ri, Si,--- die entsprechenden des verwandten Ver-
eines find, und die linealen Produkte P(r, s,- ■) undPCrj,Si,- ■ •)
einander entsprechend gefetzt werden, wie auch r, s,--- ge-
wählt fein mögen, fo find auch die fo erhaltenen Vereine ein-
ander verwandt.
Beweis. Es feien aj, aj,- ■■ an Grössen des ersten Ver-
eins, welche in keiner Zahlbeziehuug zu einander stehen, und
aus welcher fich alle Grössen des ersten Vereins numerisch ab-
leiten lassen, und b, , bj , ■ ■ ■ b„ die enlsprechenden des andern,
welche alfo derfelben Bedingung unterworfen find, und fei
r = .^eoaa^=p[ai -H- ■ ■ gn^n! S = ^tfaaaf U. f- W,,
alf« (.nach 400)
ri=X^e^, Si=Xö^.,-' ■,
fo wird
PO- , s , ■ ■ • ) ^Z g-fi-'-Pi'.. wTÖ l „j,
rCri,s„.o=Zc.oi---Ptii.,ij.,--)'
y Google
376 (404
Da nun die Produkte iineale find, fo muss (nach 50)
jede Bedingungsgleichun», welche zwischen de» Produkten
P(a„, at,'-) herrscht, auch bestehen bleiben, wenn man
statt ai , aj , ■ ■ • a^ die Grössen bj , bj , ■ ■ ■ b„ fetzt. Nun lassen
fich (nach 49), wenn p die Anzahl der verschiedenen Pro-
dukte von der Form P(aa, as,--) und q die Anzahl der von
einander unabhängigen Budingungsgleiohungen ist, die ränttnt-
licheti Produkte P(aa,a6,---) aus p — q derfelben, welche in
keiner Zahlbeziehung zu einander stehen, numerisch ableiten,
und zwar fo, dass, wenn diefe p — q Produkte bestimmt find,
auch für jedes der übrigen Produkte die Ableitzablen bestimmt
(Ind. Die Ausdrücke diefer Ableitung find nur von den Be-
dingungsgleicbungen abhängig. Setzt man daher statt a,, a,,- ■ ■
überall b, , b,,--, fo müssen, da die Bedingungsgleicbungen
bei diefer Substitution noch gellend bleiben, auch die Aus-
drücke jener Ableitung bestehen bleiben, d. h. wenn Aj, K%,- • •
die in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Produkte
find, aus welchen fich alle übrigen Produkte der Form
Pfaa, at,---) ableiten lassen, und
Pfaa,B6,---) = ai, ü,V-Ai +«!, »,v.A2 +■■•
ist, wenn ferner Bi,B2,--' diejenigen Produkte find, welche
aus den Produkten Ai, Aä,--- dadurch hervorgehen, dass
man in diefen bi, b,,--- statt ai, 8j,-" fetzt, fo ist
P(b„,b6,---) = «i,«,V-Bi +(h,ü,K-'^2 -\ .
Alfo
PCr, s, - . 0=Z'e-'^i>---(ßi,a.v..Ai+ß2,-=,t,...Ai+-0
d.h. OS ist P(r, s,--) durch diefelben Zahlen aus A^, Ai,---
abgeleitet, wie das entsprechende Produkt P(ri, Si,-') aus
den entsprechenden Produkten Bi, Bj,---, d. h. (nach 401)
es ist der Verein der Produkte P(r, s,- ■ ■) verwandt dem Ver-
eine der entsprechenden Produkte P(ri , Si,---)-
404. Man kann in zwei Vereinen, deren joder aus n
Grössen desfelben ableitbar ist, und welche einander verwandt
fein feilen, in jedem beliebige n -f- 1 Grössen annehmen, von
denen keine n in einer Zahlbeziehung zu einander stehen,
und festfotzen, dass den n -f- 1 Gröjsen des ersten Vereins
y Google
404) 277
Grössen entspi'ccben follen, welche den n -}- I im zweiten
Verein angenommenen Grössen kongruent find; dann ist zu
jeder Grösse eines Vereines die entsprechende des andern,
mit Ausnahme eines für alle gleichen Zablkoefficienten, ge-
nau bestimmt.
Beweis. Es feien a, ■ ■ • -s^^-i die Grössen des erslen und
b,----b„_[_i die des zweiten Vereins, welche der im Satze aus-
gesprochenen Bedingung unterworfen find, fo wird fich, ge-
mäss diefer Bedingung, jede der Grössen a,,--*an-f-i aus den
übrigen durch Zahlen abieilen lassen, welche alle von Null
verschieden find. Denn da der Verein aus n in keiner Zahl-
beziehung zu einander stehenden Grössen ableitbar fein foll,
fü muss er auch (nach 24) aus je n diefer Bedingung unter-
worfenen Grössen ableitbar fein, alfo auch jede der Grössen
ai,---an-|-| aus den übrigen, und feilte von den Ableitzahlen
irgend eine Null fein, fo würde zwischen den n übrigen, g<'gen
die Vorausfetzung eine Zaiilbeziehung herrschen. Dasfelbe gilt
für die Grössen bi-'-b„|.j. Nun fei
'■"-' \b„+i = ,3,b. +.-.-,3„b„,
alfo a,, d„, ßi, |S„ alle ungleich Null.
Ferner feien Ci,-'--c„^, die Grössen, welche beziehlich
den Grössen Bi,- - -ani, entsprecJien und den Grössen b^- ■ ■^-{.i
kongruent teln feilen. Aus diefen Kongruenzen folgt, dass
für jeden Index r von 1 bis n -|- i fich c^ als Produkt von b^
in eine Null verschiedene Zahl x, muss darstellen lassen, alfo
(b) c^ = xA-
Da ferner c,,' ■ • -Cn.!.! den Grossen a,,--aB4_i fo ent-
spreclion follen, dass die Vereine verwandt find, fo muss
(nach 401)
(cj c„-|,, = ß,c, -\ a„c„
fein. Substituirt man in (c) die Werthe aus (b) und dividirt
mit Zq-j-i, fo erhält man
Aber aus (a) hat man zugleich
y Google
278 (*«*
alfo muss (nach 39)
Xi«i _g 3«i!_--g
Hierdurch bestimmen fich alle Unbekannte bis auf eine.
Setzen wir x„i.i=,l, fo wird
((i) Xi = -^-^, ■ ■ - ■ , Xu = -!-2-, Xn_j.i t= A.
Wenn diefe Bedingungen (d) erfüllt find, fo wird auch
umgekehrt die Gleichung c erfüllt. Dann find alfo die Ver-
eine verwandt in Bezug auf die n + 1 Grössen a, ■ ■ -aun und
die ihnen entsprechenden Ci----Caii und jeder Grösse
P ^^"i^i H ■ "Jn^u
entspricht die Grösse
q = UjCi 4-' ■ • ■ U^Cn,
oder, indem man statt Ci--Cn ihre Werlhe aus (bj und dann
statt Xi---'X„ ibre Wertbe ans (d) felzt,
d. h, q ist mit Ausnahme eines konstanten Faktors X genau
bestimmt.
Anm. Es ISsst ficli die Verwandtediaft zweier Vereine, abgefehe«
von den metrischen Werthen der entspreclienden Grössen, auch in der
Art bestimmen, dasa man festfetzt, es foüen jeden drei in einer Zalil-
beziebuEg zu einander stehenden Grössen dos ersten Vereins aucb
drei in einer ZalilbezieJiiiiig zu einander stehende Grössen des zweiten
und umgekehrt entsprechen. Der Beweis der Identit&t diefer Bestim-
ntang mit der oben gegebenen (wenn man von den metrischen Wer-
theu der entsprechenden Grössen abfieht) ergiebt [ich leicht, wenn
man die von Mäbius in feinem barycentrischen Calcul in §. 200—306
und befonders in §. 203 gegebene vortreffliche Entwickelung der Col-
lineation auf die hier betraclitete allgemeine Verwandtschaft überträgt.
4L09. Der Raum und die Ebene lassen fich in der Art
einander verwandt fetzen, dass jedem Punkte im Räume ein
Kreis in der Ebene entspricht und umgekehrt. Dann ent-
sprachen den in Einer Ebene liegenden Punkten des Raumes
folche Kreife, welche von Einem und demfelben Kreife fenk-
recht geschnitten werden. Und zwar kann man fünf helie-
bige Punkte des Raumes, von denen keine vier in Einer
Ebene liegen, mit fünf beliebigen Kreifen der Ebene, von
y Google
*05) 279
denen keine vier von Einem Kreife fenkreclit gescbnilten
werden, entsprechend fetzen. Dann aber ist zu jedem Puniite
des Ratimos der entsprechende Kreis der Ebene und urage-
kelirt beslimml. Jeder Satz der Slüreomolrie lässtfich in diefem
Sinne auf Kreife der Ebene, und umgekehrt jeder Satz über
Kreife der Ebene auf Punkte des Raumes übertrag:en.
Beweis. Nach 395 ist jede Kreisfunktion aus vier be-
liebigen in keiner Zahlbeziehung zu einander stehenden Kreis-
funktionen numerisch ableitbar, und nach 333 ist jeder Punkt
im Räume aus vier beliebig'en in keiner Zalilbeziehung zu
einander stehenden Punkten numerisch ableitbar. Folglich
kann man (nach 404), wenn die Punkte des Raumes und die
Kreife einer Ebene zwei verwandte Vereine bilden füllen,
fünf beliebige Punkte des Baumes, von denen keine vier in
einer Zahlbeziehung stehen, d. h. keine vier in Einer Ebene
liegen, und fünf beliebige Kreife der Ebene, von denen keine
vier in einer Zabibeziehung stehen, d. h. keine vier von
Einem Kreife fenkrecht geschnitten werden, annehmen und
festfetzen, dass jenen fünf Punkten des Raumes diefe fünf
Kreife entsprechen feilen, dann ist zu jedem Punkte des Rau-
mes der entsprechende Kreis der Ebene und umgekehrt be-
stimmt. Ferner, da nach dem Begriffe der Verwandtschaft
(400 jede Zahlbeziehung, welche zwischen den Grössen des
einen Vereins herrscht, aucfi zwischen den entsprechenden
Grössen des verwandten Vereins besteht, fo folgt, dass wenn
zwischen vier Punkton des Raumes eine Zahlbeziehung herrscht,
auch zwischen den vier entsprechenden Kreifen eine folche
herrschen nuiss, d. h. wenn die vier Punkte in Einer Ebene
liegen, fo müssen die vier entsprechenden Kreife von Einem
Kreife fenkrecht geschnitten werden. Endlich die Uebertrag-
barkeit der Sätze folgt daraus, dass jeder S»tz des Raumes
fich vermittelst der vier Ahleilungszahlen, durch die jeder
Punkt darstellbar ist, in einen analytischen Satz kleidet, und
diefer fich wieder, indem man die vier Ableitzahlen als die
Ableitzahleu des jenem Punkte entsprechenden Kreifes fetzt,
in einen Satz über Kreife der Ebene verwandeln lässt, und
ebenfo umgekelirl.
y Google
280 (*««
4L06. Man kann in der Ebene zwei verwandte Vereine
von KreiTen annehmen, und dabei fünf beliebige Kreife des
einen fünf beliebigen Kreifen des andern Vereins entsprecliond
fetzen, voraus gefetzt, <Jass keine vier der in demfelben Ver-
eine angenommenen fünf Kreife von einem und demfelben
Kreife l'enkreciit geschnitten werden, dann ist zu Jedem 6-ten
Kreife des einen Vereins der entsprechende des andern be-
stimmt, und jeden vier Kreiien des einen Vereins, die von
Einem Kreife fenkrecht geschnitten werden, entsprochen vier
Kreife des andern, die gleichfalls von Einem Kreife fenkrecht
geschnitten werden.
Beweis ergiebt lieh aus dem Obigen von felbst.
Aiim. Wir nennen die fo eben beliandelte Verwand tscliaft die
fyn eye! i sehe. Von beCondercm Interesse ist der Fal! , wo fülelien
Kreifen, die ficli in Punkte zufammenziehen , aiicli in dem andern
Vereine gleiohfalla folehe enisprechea.
4101. Wenn der Kreis, dessen Gleichung
(a) aCx= + y^) + 2^x + 2^ + <J -=
istj wo a, ß, Y, d reell find, fich in einen Punkt zufammen-
ziehen füll, fo muss
Cb) aä = ß^ + Y^
fein, umgckeiirt, wenn die Gleichung (b) stattfindet und nicht
alle Koefficienten nuil find, fo niiiss der durch (a) dargestellte
Kreis fich entweder in einen Punkt zufammenziehen, oder in
die unendlich enlfcrnte Gerade umschlagen; letzteres, wenn
a, ß, y zugleich null find.
Beweis. Aus der Gleichung (a] ergiebt fich, wenn a
nicht null ist, für den Radius r des zu jener Gleichung ge-
hörigen Kreifes
woraus das Uebrige hervorgeht. Wenn hingegen a null ist,
fi) wird die Gleiciiung (a) die Gleichung einer geraden Linie;
aber dann folgt a s (b) la s ji -(- j"' null fei, d h. dass ß
und y null feiti ifo i>t ! n l e durch die Gleichung (a)
dargestellte Liie de u endl ch e tfernle.
4US. N nmt man x 1 y als (rechtwinklige) Koordi-
naten eines Veru ns von Kreilen und x' und y' als die eines
andern, und fetzt den vier Funktionen
y Google
dOS) 281
x^ + y', X, y, 1
nach der Reihe die Futiklionen
1, X', y', x"-f-y'^
entspreuhenil, fo dass alfo jedem KreiTe, dessen Gleichung:
(a) a(x* + yO + 2ßx + 2^ + ^ =
ist, derjenige Kreis entspricht, dessen Gleichung
(b) a + 2ßx' 4- 2n' + <I(x'= + y") -:
ist; fo entspricht jedem Punkte des ersten Vereines, mit Aus-
nahme des Anfangspunlttes der Abscissen, ein Punkt des zwei-
ten und umgekehrt; dem Anfangspunkte der Abscissen hin-
gegen entspricht in dem andern Vereine jedesmal die unendlich
entfernte Gerade.
Beweis, Wenn der Kreis, dessen Gleichung (a) ist,
fich in einen Punkt zufaiiunenzieht , fo ist aä = ß^ + y^ (407).
Wenn aber diefe Gleichung gilt, fo ist auch der Kreis, dessen
Gleichung (b) ist (407), entweder ein Punkt («'«-'nn rf ^ 0)
oder die unendlich entfernte Gerade, letzteres wenn ß, y, rf
null find, d.h. wenn der Punkt des ersten Vereins durch die
Gleichung «(x' -f- y^) = bestimmt, alfo Anfangspunkt der
Koordinaten ist.
^On. Wenn bei zwei fyncyclrsch verwandten Vereinen
von Kreifen der unendlich entfernten Geraden jedes Vereins
ein Punkt des andern entspricht, und allen übrigen Punkten
jedes Vereines wiederum Punkte des andern entsprechen, fo
kann man stets den (zu einander fenkrechtcn) Koonfinalen-
axen jedes Vereins eine folche Lage geben, und dem als
Einheit genommenen Maasse der Längen einen folchen Werth,
dass den vier Funktionen
x' + y*, X, y, 1
des ersten Vereines nach der Reihe die vier Funktionen
1, x', y', x'^ + s'^
des andern entsprechen.
Beweis, Die unendlich entfernte Gerade wird durch
eine Funktion dargestellt, welche bloss ans einer Konstan-
ten besteht. Der Punkt, welcher in jedem Vereine der un-
endlich entfernten Geraden des andern Vereines entspricht,
fei zum Anfangspunkte der Abscissen gemacht. Der Anfangs-
y Google
283 f*«»
punkl der Abseissen wird durch die Kreisfunktion x' + y^
dargestellt. Diefer Funktion entspreche in dem zweileii Ver-
eine die Konstante a, durch welche die unendlich entfernte
Gerade dargesteilt; ebenfo entspreche der Funktion x'^ -|- y'^
des zweiten Vereins in dem ersten die Konstante b. Man
ändere nun das als Einheit genommene IVfaass der Längen, fu
multipliciren Fich die Koordinaten mit einem konstanten Fakior
A, und es entsprechen fich dann
xxx' + r), i>
Es werde P fo bestimmt, dass a ;^'^:^^ : b, d. h. >i* = ali fei.
Setzen wir dann — = fi'', fo entsprechen fich
x^ 4- y^ 1
M, Mx"+y'*).
Nun werden aber diu räumlichen Gebilde, welche durch Funk-
tionen dargestellt werden, nicht veründert, wenn man diefe
alle mit einer konstanten Zahl, alfo hier mit ji divtdirt, und
wir können daher x^ -f- y^ und i mit 1 und x'^ -J- y'^ "^i'"
sprecliend fetzen. Es möge ferner den Funktionen x und y
des ersten Vereines die Funkliuneii f^ und f^, nämlich
f, = a.Cx'^ + r') + ß^x' + nf + S,
f,=(t,(x'^ + y'^) + ftx' + j',y' + tf,
entsprechen, fo dass alfo den Funktionen
x' -f- y^ ^1 Yi 1
die Funktionen
1, fi, fi, x'^ + y'ä
entsprechen. Aus den ersteren fei durch die Koefficlenten a,
ß, y, S eine Funktion f abgeleitet, fu entspricht ihr im zweiten
Vereine die Funktion f, welche durch diefelben Koefficienten
aus den vier letzten Funktionen abgeleitet ist. Die Bedingung
dafür, dass die erstero Funktion F einen blossen Punkt dar-
stellt, ist (nach 407)
(a) ^aS = ß-^ -{.y-^.
Für die zweite Funktion
f = ß4-(5fi + yf, +^Cx'» + y"J
= C^ + ^«: -f- j-KjCx'^ + y'^) + (^ft + yß^^x-
+ CM 'V ri-Jy' ^^^ßh^ yK
yGoosle
«O») 283
ist dterß Bedingung:
Führt man hier statt S den Werlh aus (a) ein, fo erhält man
((32 -f. j,2 -[- iaßüi + 4a)'aOCa + ß^i + j-iJs)
= a(ßßi + rß,y-i-<ßyi + my-
Diere Gleichung muss für beliebige Werlhe von et, ß,
Y gellen, alfo müssen die Koefficienten, die zu gleichen Po-
lenzen diefer Grössen gehören, auf beiden Seiten gleich fein.
Da die reclite Seite a nur in der ersten Potenz enthält, fo
müssen die Koefficienten der Glieder, welche a^ enihaiten,
und derer, welche « gar nicht enthalten, nuü fein, alfo find
Ol, «2) ^i> ^s null, d. h. fi und fj stellen gerade Linien dar,
welche durch den Anfangspunkt der Abscissen gehen. Legen
wir die Abscisseiiaxe fo, dass fie mit der durch fj dargestell-
ten Linie zu rammen fällt, fo reducirt fich fj bloss auf das
Glied, was y enthält, d. h. ß^ wird null. Dividiren wir dann
noch die fo reducirte, Gleichung durch ce, fo geht fie über in
ß'+f = ßW + ißn + my-
Da in der entwickelten Gleichung 2j',)'i der Koefficient von
ßy ist, fo muss YiYi"^^^ inin; Yi I^a"" nicht null fein, weil
fönst fj identisch gleich null wäre, alfo muss Yi "u'l fei"-
Dann erhält man
ni-ßi':) + rKi~n':) = o,
alfo ßi^= -{- i, Yi='+ '^- ^^ ö^f jeder der beiden Koordi-
naEenaxen die Seite, nach welcher die Koordinaten pofitiv
genommen find, beliebig gewählt werden können, fo können
wir ßi und j-^ = -(- 1 fetzen, und es wird dann fi=x', fj
= y', und entsprechen alfo den Funktionen
X* + y^ X, y, i
des ersten Vereins die Funktionen
i, X', y', x" -l-y'=
des zweiten
A n ni D e h er behandelte specielle Art d Ij j 1 hen Ver-
wandts halt 3t merst von Mobius aufgestellt und on 1 m K ver-
wandtsclaft gens t lorlen vergl. Möbius Ueb n ue Ver-
■WBtidtscIiaft ZV. echt eUni.n Figuren pn den B n It de K nigl.
Sachs Gefeüa 1 di,r W se 5 Febr. 1853). Es e e bf f h aus dem
Obigen dass dtrjci ge Punkt in jedem der beiden kreisvei wandten
y Google
284 C*tO
\ ereine als charakteristisch hcrvorlritt welehem im andern Vereine
die urendlich entfernte Gerode entspfflcht t-s fci diefer Punkt Cen
trijpunkt des 1 ereina genannt legt man nun die beiden ^erune fo
ouf einander daas die Centialpurtkte, die i Axen und die j Asea
fch gegenfeilig decken, To deckt auch jede durch den Centralpnnkt
gehende gerade Linie, z B die gerade Linie qx + ry = die ent
sprechende Schlagt man nun noch um den Centralpunkt mit der
Lange, wekhe i!b Maa" der Koordinatci zu Ciunde o'clegt ist einen
Kreis, weither Hauptkrcia liewe, fo stellt fch die ganze Kit d"s ge
genfeiligen Entsprechens aufs An'chaulichf.te dar D inn besteht die
Peripherie des Hauptkreifts auä dm lammtlichen Punkten, welche
ihre entsprechenden decken, |pdem Punkt im Innern dee Kreifts ent
«pricht im andern Vereine ein auf demlulben Radius hegender Punkt
auBserhalb des Kicifes, und zwai fo ddos der Radius stets die niitt
lere Proportionale zwischen den Abstö,nden der beiden fntsj rechenden
Punkte vom Centrum ist Leizteiea folgt fur einen Punkt der xAsc
fogieich 1U3 den cntifi eben kn F inktionen, denn die Kreib Gleichung
eines Punktes der x-Axe, dessen Abscis=e ^^ c ist, ist (x — c)* -}- y'
=iO, d. h. xi + y* - Ücx -j- c* = 0, alfo die des entsprechenden Punk-
s 1-
-2cs
+ '
:aCx' + y'j
-0, d. h. y
X-
tj+'
' = 0, alfo ist der
b t
d d
f
I kt
C tralp
kt
-L
während die des
tp
tg
ii. d
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J g
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Ce
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P kt
L 1
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1) 1
If 1
ttl P
P kt
g h d g
g llg
P
P
f d
d 1
dukt 1
t onale
x-Axe.
L nie ah
, d. h. die als Ein-
zwischen den Ab-
Da man nun jede
h
) x-Axe annehmen
statt der Annahme,
d d dl 1 tl t G 1 Punkt entsprechen foU,
d A hra 1 1 d d b d fy cycüschen Vereinen ohne
A ImjdmPktd \ n Punkt des andern ent-
ph fllf tplt hd dlicb entfernten Goraden
d ^ d il 1 tf t des andern , und man ge-
1 gt A 1 1 hli t 1 1 f ! If nf dlefe Weife der Kreis-
w dt 1 ft g g ab t 11t
^ 7 N male E nh ten d Funktionen, Stetigkeit
de let t n
410 Erkl ru g Norit ale Einheiten reeller
Grössen. Für die reellen Zahlen fetze ich 1 ais normale
Einheit, für ilie reellen exlenCiven Grössen fetze ich als nor-
male Einheilen die uräprünglichen Einheiten ei, ^2,--'^ai
y Google
*1«) 285
für die reellen extenfiven Grössen m-ter Stufe ferner die wohl-
geordneten (muUiplikaliven] Kombinationen ohne Wiederliolungf
zur m-len Klasse aus den ursprünglichen Einheilen, für die
reellen algebraischen Produkte von Grössen gleicher Stufe end-
lich die (wohlgeordneten) Kombinationen mit Wiederholung
aus den normalen Einheiten der Faktoren (wobei jede diefer
Kombinationen als algebraisches Produkt der darin enthaltenen
Elemente aufzufassen ist)
Anm La fiid hier nur die fnhci \ereinn-U -lorkomm nden Be
atimmuiigen zurtimmei gefasst Es kommt noch darauf an auch für
die reeilen Lücke nana drucke die normalen Einheiten ftsUustellen Wir
haben (in 363 Anm ) gefehen, doss daa Produkt der Faktoren welche
die Lücken eines Luckenaubdrucks ausfüllen follen als ein algebrai
scliea Produkt aufiufasaen ist mit welchem der Luckenau'idrnck mul
tipücirt werden foll folglich kommt es nur darauf an welche Wcrthe
der Lückei ausdruck annimmt, ^venn die normalen Einheiten jener
algebrajschi-n Produkte mit ihm miltiflitirt werden Es feien E,
Ej,--' die normaku Jmheiten diefer algebraiaohen Piodukte und L
der Lücken ausdruck , fo kom nt es auf die Wertlie LE LEj an
Diefe Wcrthe können Tnedt.r extenfve GrOasen fein die normalen
Einheiten derfelben feipn e ej , f o ergeben fich als normale Ein
heiten von L diejenigen Luoken ausdrucke, weicht, mit E, Ej mul
tiplicirt irgend eini, der Einhoifen e, ej liefern
411. Erklärung. Normale Einheiten reeller
Lückenausdrücke. Wenn E,, Ei,-- die normalen Ein-
heiten derjenigen algebraischen Produkte find, deren Faktoren
die Lücken eines reellen Lfickenausdruckes L auszufüllen ver-
mögen, und ei, e^ , ■ ■ - die normalen Einheiten derjenigen
Grössen find, in wdlche L nach Ausfüllung feiner Lücken
übergeht, fo fetze ich diejenigen Lückenausdrücke E^ , als
normale Einheiten von L, welche den Gleichungen
E,,,E, = e, und E,_,Et=0[t Jr]
genügen.
Anm, Es ist diefe Erklärung in Uebereinstiramung mit der in
381 für die Einheiten des Quotienten , d. h. des Lücken ausd rucke s mit
Einer Lücke gegebenen.
412. Jeder (reelle) Lückenausdruck lässl fich aus den
in 411 feslgefetzten normalen Einheiten desfelhen numerisch
ableiten, und diefe letzteren stehen in keiner Zahlbeziehung
zu einander.
Beweis wie in 38i.
y Google
286 (*t8
413. Erkl, Normale Einheilen einer Grössen-
gattung. Als Grössen (lerfelbnn Gattung Telze ich alle die-
jenigen Grössen, welche nach dem Früheren zu einander adiiirt
werden können. Die Anzahl der normalen Einheiten einer
Grössengattung nehme ich stets als eine gerade an, indem
die eine Hälfte derfelben reell ist, und die andere daraus
durch Multiplikation mit 1=:^ — i hervorgehl. Die Ableil-
zahten, durch welche eine Grösse aus ihren normalen Ein-
heiten numeriscli abgeleitet wird, nehme ich stets als reell an.
Anm, Für die allgemeinen Zahlgrössen find Mo 1 und / — 1
:=i die normalen Einheiten, für die allg-emeincn Grössen erster Stufe
6], ej,"-en, Cii, Cji,. . .Bni, wo e,, ej,-- -en die ureprünglichen Einheiten
find u. f. w.
414. Erkl. Numerischer Werth einer Grösse
heisst die pofitive Quadratwurzel aus der Summe der 0""-
drate aller Zahlen, durch welche jene Grösse aus ihren nor-
malen Einheiten ableitbar ist, d. h, wenn Ej, E,,--- die
normalen Einheiten einer Grösse P Hnd und
p = aiEi-f ajEa -;
ist, fo ist der numerische Werth von P gleich
y«; + «:-!-■■•.
Anw. Diefe Definition ist in Ue herein Stimmung mit der in 151
gegebenen. Der numeriBohe Werth einer liomplexen ZaUgrÖsae p -f- ^i
ist hiernach gleich Kp'-|-q^*.
419. Wenn der numerische Werth einer Grösse null
ist, To find alle Zahlen, durch welche diefe Grösse aus ihren
normalen Einheiten abgeleitet ist, einzeln genommen null.
Beweis, Es feien Ej, Ej,— - die normalen Einheilen
der Grösse P und fei
P = a,Ei -f a^Ej -j .
Wenn nun der numerische Werth von P null fein foll,
fo heisst das (nach 414)
ya\ +al -\ = , alfo
Da aber a^, Oj,--- (nach 413 Anm.) alle reell find, fo
kann die Summe ihrer Quadrate nicht anders null fein, als
wenn fie alle einzeln genommen null find, alfo
= ai = ai =■ ■ -.
y Google
4 t 9) 287
410. Erklärung. Wenn der numerische Werlh einer
Grösse a kleiner ist als der einer Grüsse b, To Tage ich, a fei
numerisch kleiner als b und schreibe dies
a num, < b.
317. Wenn ai, Cj,-" die Zahli>n find, durch welche
a aus reinen normalen Einheiten ableitbar ist, und ebenTo j?„
ßi,--- die Zaiilen, durch welche b aus Teinen normalen Ein-
heiten ableitbar ist, (o und die Vergleichungen
a num, -=^- b
und a] +al+-- ■-<§[ + ßl-\----
einander gleichbedeutend.
Beweis fülgt unmiltelbar aus 416 und 414.
318. Wenn p, q,--- pofitive Zahlwerlhe und a, b,---
beliebige (aus denlelben normalen Einheilen ableitbare) Grössen
von der Art Und, dass
a num. -< p, b num. -^ q, ■ • ■
fei, fo ist auch
a -f- b +■ ■ ■ num. < p + q H — .
Beweis 1 (für zwei Grössen). Es feien e^, ej ,• ■ ■ die
normalen Einheiten von a und b und fei
a^^aiOi -H «jej -(-■■■
b^ß,e,+ß,a, +■■-
und fei a der numerische Werlh von a, ß der von b und y
der von a -}- b, fo ist a ■< p, (3 < q, zu zeigen ist, dass
j- -c p -|- q fei. Nach 4ii ist
«' = «^ i- a\ -i
ß'=-ß\ + ßl+----
airo O /^ = a^ + j3' + 2Cß,(3i +as|3s +■••)-
Nun können wir zeigen , dass a,ßi -\- Oj/Sj -| =:^aß
foi. In der That ist
C««'-Wi+«A +■•■)'
= ia\+a\ + '-Kß\+ß\ + ----)-(a,ß^-i-a,ß^-l---y
= ia,ß,~a,ß,r + (a,ft - a.ßtT + ■ ■ ■ .
Die rechte Seite ist die Summe mehrerer Quadrate, alFu gleich
oder grösser als Null, alfe auch die linke, d. h.
(_aßy=::-ia,ß, -}• a.,ß, +-■■)%
yGoosle
288 (41»
alTo auch, da c und ß poHtiv find,
aß=':^- a,ßi -f- a^ß^ +■■■.
Wenden wir diefe Vergleicliung auf die Gleichung (*) an,
To folgt
yi = <: a' + ;S= + 2aß , d.h. y^ _ < (« ^ ßy^
ölfo, da y und a -{- ß pofiliv find,
aber da o und ß (^potiiiyc) Zahlen find, welche beziohlich
kleiner als die podtiven ZaJilun p und q find, fo ist
a+ß-<^-hq,
alfo Y "^P 4" 1 1
d. h. der numerische Werlh von a -f- 1) ist kleiner als p -f- ^J.
2. (für mehr Grössen). Da nun (nach Bciv. I) a -|- b
num. < p + q und (nach Hypothefis) c num. ■< r ist, fo ist
(nach Bew. 11 a 4- h + c "im. < p -f q + r u f. w. für be-
liebig viele Grössen.
^10. Wenn p und q pofitive Zahlwerlhe und a und b
beliebige (aus denfelben normalen Einheiten ableitbare) Grössen
von der Art find, dass
a num. -< p, b num. < q
ist, fu ist auch
a — b num. '^^ p + q.
420. Erklärung. Ich fage, eine Funktion fCq) einer
pofitjven Zaiilgrösse verschwinde mit q, wenn ficli zu jeder
püfitiven Zahl p ein pofitiver Wertb von q angehen lässt von
der Art, dass
f(q) num. < p
fei, und auch bleibe, wenn q beliebig abnimmt, aber pofitiv
bleibt. Wenn ausserdem f(0)^=0 ist, fo fage ich f(q) werde
mit q null.
Anm. Beide Ausdrücke: Mit (poritivem) q verschwinden und mit
q nu!l vserden, Tind alfo nicht idpntieeh', fondern nur der zweite
schlicsst den ersten ein, nicht umgekehrt', denn ea könnten für f(q)
die Bedingungen des Versehwindeiia mit q erfüllt fein, und konnte
dennoch f(q) für q =0 in einen ifolirten von Null verschiedenen Werth
Überspringen.
421. Wenn mehrere Funktionen fifq), f2Cq), ■ -j fnCq)
einer puniiven Zahlgrösse q mit q verschwinden, fo ver-
schwindet mit q auch
y Google
««!) 289
(a) ii,n(q) + a,f,(q)-F.-- + a„f„Cq),
wo ai, 3i,- ■ ■ Sq endliche Zuhleii, oder auch beliebige endliche
Lückeiiausifrücke mit je einer Lücke find, welche durch fjq,
f^q u. r. w. ausgefüllt werden kann. (Und ebeufo wenn jene
Funktionen mit q null werden, fo wird auch diefer letzte
Ausdruck (a) mit q null.)
Beweis 1 (für Zahlen). Sollten von den Grössen aj, ■ ■ ■ an
einige null fein, fo kann man in dem Ausdrucke (a) die Glie-
der weglassen, in denen diefe Koefficienten , welche gleich
null find, vorkommen. Wir nehmen an, dies fei schon ge-
schehen, und OS feien alfo a,,- ■ -an lauter von Null verschiedene
(endliche) Zahlen. Da nun (nach Hyp.) fjq mit q verschwindet,
fo muss fich (nach 420) zu jeder von Null verschiedenen Zahl,
z. B. zu — , ein pofitiver Werth q, von der Art angeben
lassen, dass fi(qi) numerisch kleiner als p : »lU fei und auch
bleibe, wenn qi beliebig abnimmt, aber pofitiv bleibt; aus
gleichem Grunde wird man auch einen pofitiven Werlh qj der
Art angeben können, dass fjfqj) numerisch kleiner als p : a^n
fei und auch bleibe bei abnehmenden qj, u. f. w. Wenn nun
q ein püfiliver Werth ist, welcher noch kleiner als jede der
Grössen qi, q^,- ■ -qn ist, fo ist auch fjq num. -- p ; aiU u. f. w.
oder
a,f,q num. <■ — , a,fjqnum. < -i-,. . ■ a„f„fq) num. < —;
folglich ist (nach 418) auch die Summe der linken Seiten
numerisch kleiner als die der rechten, d. h,
"ifil + "afsq + ■ ■ ■ + äJa'i num. < p,
eine Vergleichung, die auch bestehen bleibt, wenn q beliebig
abnimmt, aber pofitiv bleibt, d.h. es verschwindet der Aus-
druck (a), wenn üi,''-an Zahlen find, mit q.
2, Es reducire fich der Ausdruck (a) auf ajfiq, wo a,
eine normale Einheit eines Lückenausdruckes fei, dessen Lücke
durch fiq ausgefüllt werden kann; es feien ferner Ci, ej,---
die normalen Einheiten von aifiq, und Ei, E^,--- die von
f]q und fei
(b) f,q = Ei5P,q-f-E,9),q+--- =Z"E,iPaq,
yGoosle
290 (*»»
fo wird (nach 4H) aj die Eigenschaft haben, dass es mit
einer der Einheiten Ei, Ej,---, z. B. mit E,, mwltiplicirt,
eine der Einheilen ej, ej,---, z. B. die Einheil e^, Hefert, hin-
gegen mit jeder der üiirigen Einheiten Ej, Ej,--- mulliplicirt
null giebtj fo dass alfü dann
(c) aiE^=e,, aiEt = 0, für t ^ r
ist. Dann erhalten wir
aif|q = a|^E„ipaq ^=^aiE|,yoq [44]
Alfo ist (nach 414) der numerische Worth von aii'iq
gleich F(Vrl)^- Da nun (nach Hyp.) fjq mit q verschwindet,
fo lässt fich (nach 420) zu jeder pofiliven Zahl p ein Werth
von q der Art angeben, dass f|(q) num, "<p fei, und auch
bei abnehmendem q bleibe, d. h. (nach 417), dass
C<Piq)'' + CSPsq)^ -i < p'
fei und bei abnehmendem q bleibe. Da aber (nach 413) g>,q,
(p^q,-'' reell, alfo (fpipy, (<jPäq)S*'- poHtiv find, fo raiiss
jedes diefer Quadrate kleiner als p'* fein, alfo auch (5p^.q)°--"^p^
d. h. ajfjq num. < p, alfo verschwindet ajfjq mit q.
3. Es feien endlich a[, a^,- ■ ■ beliebige Lückenausdrücke
(mit je einer Lücke), und fei
a, = X«I7K~r^
wo Eri, Er2)''' die normalen Einheiten von a,. darstellen,
fo wird
ajfjq -\- f-ihq -h ■ ■ ■ ^=.^«o,ti^o,tf'aq-
Da nun (nach Bew, 2) Eojjfoq mit q verschwindet, fo
verschwindet (nach Bew. 1) auch die Viel fachen fumme diefer
Ausdrücke; alfo auch aif,q -f ajfjq -(-■■■ -. Wenn ausserdem
fi^i faqr") f^uf 1 = ^! auch null find, fo gilt dasl'elhe auch
für aifiq + a2f2q + ■ - ■, alfo, da ausserdem der letzte Aus-
druck mit q verschwindet, fo wird er nun auch mit q null,
322. Wenn zwei Funktionen fjq und f^q einer pofiliven
Zahlgrösse q mit diefer verschwinden (odt;r null werden), fo
muss mit ihr auch die Differenz fiq — fjq verschwinden (oder
null werden).
Beweis in 421.
y Google
4S«) 39,1
323. Erklärung. Wenn fx für einen bestimmten
Werth X die Eigenscliaft hat, dass fich aliemal ein konstantor
Werlh c von der Ärl angeben lässt, dass ffx -f qdx] - c jedes-
mal mit dem pofitiven Zahlwerthe q verschwindet, was für
eine endliche Grösse, die mit x von gleicher Gattung ist, auch
unter dx verstanden fein mag, fo fage ich, die Funktion fx
konvergire um x nach c.
A n m. Es ist hier alfu iicter dx vorläufig nichts weiter verstaDden,
alä eine beliebige endliche Grösse, welche mit x von gleicher Gattung
ist. Doch habe ich schon hier diefe Bezeichnung gewählt, da Ke für
das Folgende am bequemsten ist.
424. Wenn fx um x nach c konvergirt, fo kann es
um X nicht zugleich nach einem von c verschiedenen AVerthe
Ci konvergiren.
Beweis. Denn follte beides zugleich der Fall fein, fo
mussten (nach 423) f(x -f- qdx) — c und f[x 4- qdx) — Cj beide
mit q verschwinden, alfo (nach 422) auch die Differenz beider,
d.h. e — Ci, was unmöglich ist, da c und C] zwei verschie-
dene Konstanten find.
429. Erklärung. Eine Funktion fx heisst in x stetig,
wenn fx um x nach dem Werthe konvergirt, den fx in x hat.
426. Wenn fx in x stetig ist, fo verschwindet für
jedes endliche dx die Differenz f(x -j- qdx) — fx mit q.
Beweis unmittelbar aus 435, 423.
Anm. Wenn fx in x nicht stetig ist, l'o verschwindet nicht für
jedes endliche a die Differenz fCx-j-qdx) — fx mit q; fondern es könnte
f(x -{- qdx) für rersehiedene Grössen dx nach verschiedenen GrSnien
konvergiren, oder, wenn es auch für alle endlichen Werthe dx nach
ein und demfelben Werthe c liocvergirte , alfo (nach 4i3) die Funlction
fx felbst um X nach dieCem Werthe au Itonvergirte, fo würde doch
(fx), wenn es in x unstetig ist, dort in einen ?on o verschiedenen
Wertli überspringen.
427. Erklärung, Wenn f^x eine Zahlfunktion und fx
eine beliebige Funktion ist, und beide für denfelben Werth
von x^=a null werden, doch fo, dass der Quotient fx ; ffX
um x = a nach einem konstanten Werthe c konvergirt: fo
fx
'^*
im Uebrigon mit jenem Oioüenten übereinstimmt, aber für
y Google
x = a den Werth c annimmt, und bezeichne den Werlh c,
welchen dief'r Bruch für \ = a annimml nit
=B -
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r d W tk d V b I mmt t h I d
F 11 m t \ h I db d m Tl 1 m dl h
#a(i. 2. ^ifftrenjinlvcdjnmig.
§, 1. Differenzial erster Ordnnngr.
428. Erklärung, Wenn q eine reelle Zahlgrfisse, dx
aber eine beliebige endliche Grosse, welche mit x von gleicher
Gattung ist, bezeichnet, (o verstehe ich unter der (nach der
Veränderlichen x und dem Zahlfuktor q genommenen) Differenz
der Funktion fx, geschrieben dx^qü, diejenige Funktion, welche
der Gleichung
(a) d,,fx = '^^ + 1^^^-^^
genfigt (wobei die DiviHon durch q in dem 437 bestimmten
Sinne zu fassen ist).
430. Erklärung. Wenn der Ausdruck dj,qfx in q =
und in X (4',25) stetig ist, Fo bezeichne ich d^^^gfx mit d,fx
y Google
294 (480
und nenne djfx das nach x genommene DifTerenzial von fx,
d. h. ich fetze
Wenn <iK,qfx nicht die Kigenschaft hat, dass es in q^=0
und in x stetig fui, To Tage ich, dass auch d^fx unstetig fei.
Wenn in einer Formel das vor eine Funktion gefelzte Dif-
ferenzialzeicben d ohne jeden Index geschrieben ist, fe foll
das heissen, dass die Formel allgemein gellen foll, nach wel-
cher Variabein auch die dadurch ausgedrückte DifTerenzialion
genommen fei, d.h. welchen Index man auch dem d hinzu-
fügen mag, vorausgefetzt nur, tlass man dann in diefer Formel
jedem üifi'erenzialzeichen d (was vor eine Grosso tritt) den-
felben Index hinzufügt.
Anm. Es lässt fich der Begriff des Differemials auch für den
Fall, dass dosfelbe unstetig wird, featstellen, und lassen fiuh mit
folchen Differeniialen unter gewissen Umatändeu noch gültige Ver-
knüpfangen vornehmen. Doch ist es bei jeder Behandlung der Diffe-
renziulrechnung am zweck massigsten, diefen Fall zunächst gani aus-
zuschliessen, und namentlich den Fall, wo das DifTerenzial unendlich
wird, im Zufammen hange mit der allgemeinen Betrachtung unbegränzt
wachsender Funktionen in einem eigenen, die ganze Analylja des
Dnendlichen behandelndeu Abschnitte nachzuholen. Aus dem yorlie-
geiiden Werlse schliessen wir jedoch diefe Betrachtung aus , nnd Hetzen
im Folgenden bei jedem Differenaial voraus, dass es etetig fei. Noch
bemerke ich, das die Stetigkeit von difx vorausfetzt, dass f(x *J- qdx)
^ fx um q = gleichfalls null werde, d. h. dass auch fs stetig fei.
-äSO. Wenn dxfx stetig ist und fx = y gefetzt wird, fo ist
fCx 4- qdx) =^ fx -f- qCd;, fx + N)
= y + qC'l.y +N),
wo N mit der reellen Zahlgrösse q zugleich null wird.
Beweis. I\Ian felze
fCx + qdx)-fx_^^^^_^^
q
Da djfx stetig ist (nach Hyp.), fo ist (nach 429) auch
der Quotient - — ^t_3 — 2 -_ in q = stelig, und dann =:dsfx,
alfo wird N als die Differenz diefer beiden Ausdrücke mit q
zugleich null. Dann erhalten wir aber
fCx -j- qdx)^ fx -f q(d,fx + N) = y + -qCd.y + N>
yGoosle
<»«) 295
431. Wenn A ein konstanter Lückenausdruck mit n
Lücken (in jedem GUede) isl, in welche Grössen von der
Gattung X eintreten foUen, Co ist
(a) d>(^x"):=nJx''-'dx;
ins BefonJere ist
(l)) (I^C^x) = J
(c) dU = 0.
Beweis. Da für die Produkte, deren Faktoren in die
Lücken eines Lückenausdruckes eintreten follen (nach 363),
die gewöhnlichen Gefetze der Algebra gelten, fo folgt, wie
in der Algebra, dass
J(x -1- qdx)»^^x° + nq^x-'-Mx + q'ß
ist, wo B eine steigende Pütenzreiho von q ist. Hieraus folgt
unmittelbar, dass
^(x i- qdx)" - Ax" ^ ^, , , „
q
in q = stetig ist, alfo ist (nach 429)
d,(.4x'') = nÄx°'-'''dx.
Hieraus folgen die Formeln b und c für n ^ 1 und 0.
'233. Wenn u,, Ua,--* beliebigD Funktionen einer be-
liebigen Variabein x find, fo ist (wenn dui, du,,- ■ ■ stetig find)
d(ui + Ua H ) = dui -I- duj H .
Beweis. Es fei U( = f(Xj Uj = fjX u, f. w., fo ist
(nach 430)
f,(x + qdx) = Ui + qCdu. -(-NO,
wo N, mit q zugleich null wird, und fo iür jeden andern In-
dex. Alfo
XLCx -f qdx) = Zu- + q(d.u„ -H HJ.
Alfo ist
Zf;(-v+"qdx3_Z^ = Z d.u, -HH,
= ZfCuä +Xiv
Da nun Ni, Nj,--- mit" q null werden, wie gezeigt, fo wird
auch (nach 421) ihre Summe Z^a mit q null, alfo
y Google
296 C*8»
Die linke Seite ist aber d. ^f>x = d. ^u^, alfo
oder da die Formel für jeden Index x gilt,
333> Wenn y und z beliebige Funktionen von x find,
und [yz] ein beliebiges Produkt derrdben ist, fo ist (voraus-
gefetzl, dass dy und dz stetig find)
d[yz]=.[dy.z] + [y.dz].
Beweis. Es lei y=fx, z = Fx, fo ist (_nach 430)
fCx + q<lx) = y + q(dy + N),
F(x-[-qHx) = z +qC<!z-|-N'},
wo N und N' mit q zugleicb null werden. Somit ist
= [y-Cd,z -{-N'] + tt<'.y + N>] fürq = 0,
oder (nadi 429) mit Weglassung des Index,
d[yz] = [y.dz]-(-[Jy-z] + [y.N'] + [N'Z] für q-0.
Da nun N und H' mit q null werden, fo wird fnach 43t | auch
[y-l]N'+ [l-z]N, wo I eine Lücke, in welche N eintreten
foll, bezeichnet, mit q null, d. h, [y-N'] + [N-z] wird mit q
null, alfo ist
'^[yz] = [y-dzl + [<iyz].
334. Wenn y aus feinen normalen Einheilen Oi, e^,---
durch die Zalilgrüssen y, , yj,--- ableitbar ist, und y,, y2,'"
Funktionen einer beliebigen Variabein x find, fo ist Cvoraus-
gefetzt, dass dy, , dyj,--- stetig find)
dy =:e,dy, -f e^dy^ -[-■.-
Beweis. Da y = e,yi -j- e^y, + 'st (nach Hyp.), fo ist
dy^d{c,yi)-}-dCe,yO+--- [432]
= eidy, 4-ejdy, +•■• [433, 431c.].
A n m. Hierdurch lässt fleh das Differcnziol eiucr extenfiven Ftink-
tion auf die Differentiale von Zalilfutiktionen zurückfUliren.
g. 2. Differenzialquotient erster Ordnung;.
435. Erklärung. Unter -;-fx oder unter fx versiehe
" dx
ich (voraus gefetzt dass dxfx stetig fei), den Ausdruck, welcher,
y Google
mit jeder Grösse dx (die mit x von gleicher Gattung ist) mul-
tiplicirt, difx liefert, d. h, wciclier der Gleichung
d.. , f, . ,, rr(x + qdx) — fxl. ^^
-r-tx-dx=:f'x-dx = d,fx= - — —^ — ■ (q = 0)
dx L q J^
:h X genommenen Differenzial-
quotionten erster Ordmirig von fx, nnil f'x die erste abge-
leitete Funktion von fx.
4136. ErkJ. Wenn man die Differenzialquotienten einer
Funktion u^=f(x, y, — -) mehrerer Veränderlichen x, y,- —
auf die Weife bildet, dass man jedesmal den DilTerenzial-
quolienten nach einer diefer Veränderlichen nimmt, während
man dabei die übrigen Veränderlichen wie Konstante behandelt,
fo nenne ich die fe hervorgehenden Differenzialquotienten die
zu dem Vereine der Veränderlichen x, y, ■ ■ - gehörigen par-
tiellen Differenzialquolienlen, und bezeichne dann den in dielem
Sinne nach x genommenen Dillerenzialquetienten mit
-i-u, oder -i— r(x, y,- •)
dx ' dx ^ ' ■" -^
u. f. w.
A n m. Eh ist bei den partiellen DilTerenzialqiiotienteTi uniimgünglich
nothwendi^ (worauf schon Jacob i in Crclle's Journal B. 22 S. 321 auf-
merkaam gomacht hat) den zugeliörigen Vorein der Veränderlichen anzu-
geben, alfo nicht bloaa diejenige Veiänderliche za nennen, nach wcklier
der DüTerenKialquotient genommen werden Toil fondern auch diejenigen
llbdBldgdllb 11 ttbhdltwd flln
D B Gl lg 1 dyhtitf
ItfhdAülld^&dlh md hafft
B glblb y bg dbthftm
jttdfldV d\ dll llddfgwt
4- J t t e d B l t g d All m
dy " *
11t M b gt II V
d V ä d 1 h 3 d(^m 1
r m U d D rst U
y Google
298 (.*««
im Uebrigen willkürlichem Zeiclien etott -v— let^t, hat man dann die
Bedeutung dieies Zeichens angegeben, fu ist eine Vei'wechrelung un-
möglich. Die allgemeine liciejchnung durch -j— u, welche ich füi' die
partiellen Differenzialqaotienten nach x gewählt habe, bedarf, obwohl
Ge ungebräuchlich iät, wohl kaum einer Rechtfertigung, indem fie,
ohne willkürlich au fein, äusserst bequem jst, und eine fo ungehin-
derte Verwendung gestattet, wie keine andere.
331. Wenn e^, ej,--- die normnlen Einlioiten von x
= Xiei -j- x^e^ -| — • find, und <Jifx, d'jfx,--- die nach Xj,
Xj,--- genommenen DifTercnzialquolieiiten von x, welclie zu
dem Vereine der Veränderlichen x, , Xj--- gehören, bezeich-
nen, fo ist (vorausgefetzt, dass d^fx stetig ist)
d,fx = .T,(x-dx, -f (Jjfx'dxa -f ■■-.
Beweis 1. Es feien die normalen Einlieiten e,, Cj,- ■ in
zwei Gruppen zerlegt, und y aus der einen Gruppe, z ans
der andern numerisch abgeleitet, und zwar fo, dass x = y + z
fei, To zeige ich, dass dxfx=: d^fx 4- d^fx fei, wo bei den
durch dy, dj bezeichneten DiiFerenziationen y und z als den
Verein der Variabein bildend gedacht find. In der Tbat, es
fei dy aus denfelben Einheiten ableitbar wie y, um! dz aus
denfelben wie z, und fei dy --[- dz ^^dx^^ Cidxj 4" Cjdx^ -4-- ■ ■.
Nun !st(nach Hypothefis) d^fx stetig, d. h. es ist l - — ~ ~
für jeden Werth dx Cder aus Ci, ej,-- ableitbar ist) in q =
und in x stetig, alfo auch, wenn man dy statt dx fetzt, d.h.
es ist --1^—-"-?^-- in q=:0 und in x stetis ferner ist
q
f(x + qdy1-fx ^ f(y + qdy-fz) -^f{y-^z) _^ ^^
q. q ''" '
alfo ist djfx von dy, qfx verschieden um eine Grösse N, die
mit q null wird, fomit
' q
iiiiU cbeafo
^^^^^lt x + qdzj -_nc
<\
wo N und Ni mit q null werden, und die ersten Glieder in
y Google
489) 299
q ^: unil in x stetig find. Wenn nnn eine Funktion tpx in
X stelig- ist, fo liuisst Jas (nach 425), es konvc g e^l -{- läx)
wo dx eine beliiibigo Grösse, die mit x vor cle her Oatt
ist, lind q eine reelle Zahl bedeulel, um q = n 1 e en
Werliie zu, den es in q=:0 erreicht, d. I es 1 s e fcl
y(x -f- qdx) in der Form q)x -\- Nj darstellen o N m t (
null wird. Wenden wir dies auf dyfx an, i d fet n da n
5p(x + qdx) das dx willkürlich war, dafür d s ob ge Iz 1
erhalten wir
d fx= f(x + qdz 4- qdy ) — f(x + qdz) ^^ ^^ ^
Hier ist qdz -f qdy ^= qfdz -f (ly) ^ qfix, da wir oben dy + dz
= dx fetzten , aifo
djfx+djx
^ f(x-i-qdx)-f (x+qdz)-|-f(x+qdz) -fx ^ ^ ^ ^^^ ^^
Hier hebt ftch das zweite und dritte Glied im Zähler, und
da N-f Ni+N3 = iV (nach 421) mit q null wird, fo er-
halten wir
d.fx + djx= ff-^-+il^_^^i^ + N,
q ' '
wo JV mit q null wird, alfo
dyfx-hd.fx = d.f(x3.
2, Da man nun ebenfo, wie man x in y und z zerlegte,
wieder y oder z zerlegen kann, fo gilt der Satz auch für
beliebig viele Stücke, in die man x in der Art zerlegen kann,
dass jedes Stück aus einer Gruppe der Einheiten Ci , Ci,--
numerisch abgeleitet ist, und die verschiedenen Gruppen keine
gleichen Einheiten enthalten; alfo namentlich, wenn XiO, =yi,
x^e^ =^yä,- ■ ■ und demgemäss dyi ^= Cidxj, dy^ = e^dy,,- • ■
ist, fo ist
d,fx^dy.fx + dy,fxH ,
wo die durch dy^ u. f, w. bezeichneten partiellen Dliferenziale
fich auf den Verein der Veränderlichen yi, y^,--- beziehen.
3. Nun ist
Aber f(x + qdyi) = t(x 4- qcidx,) = fCxjei + z ^- qcjdxi),
y Google
wenn der Kürze wegen x^ej +^63 ■) ™'' 2 bezeichnet
wird, alfo ist f(x + qdyi) = f[eiCxi + Ifi^i) + 2], alfa
[nach 436]
und ebenfo für die Übrigen Intiices. Setzt man dieTe Wertlie
in die vurhergcfundene Gleichung ein, fo erbält man
d^fx^-J^fx-dx, -f Jjfx-dx, -i .
' dx-
von dx unabhängiger O'iotient, und zwar, wenn ej
die normalen Einheiten von dx :^: e^Xi -\- e^x^ -|- ■
fo ist
f'x-e.^:-i~l'x^=drfx
dXr
SJx,SJx,---
die zu dem Verein der Ver-
änderlichen Xi, x^,--- gehörigen Dill'erenziaiquotienten nach
Xj, Xi,- • bezeichnen.
Beweis. Wenn x eine Zahlgrösse ist, fo ist fiat^h 428)
auch dx eine Zahlgrösse nnd
dx, qfx_ f(x + qdx)— fx^fCx -!- q') — fx
dx ~" qdx q' '
wenn man qdx mit q' bezeichnet. Nun wird q' mit q null,
alfo ist
d.fx d. „fx ffCx-f-q') — fxT ,
■.0),
dx
stetig ist, fü ist auch ^, in q^O stetig, (i. h.
(nach 427) es konvergirt diefer Ausdruck, wenn x konstant
ist, um q' = nach einem konstanten (von q' unabhängigen)
y Google
*a8) 301
Werthe, welchen er in q' = erreicht; diefer Werth ist alfo
bei variablem x eine blosse Funktion von x, unabhängig von
q', d. h. von qdx. Es fei (iieTu Funklion (px, fo ist
alfo ist 9>x die Grösse, welche mit jedem dx niuUiplicirt, d,fx
liefert, d. li. (nach 435) yx ^= ^fx, alfo ist -pfx von dx un-
abhängig.
3. Es fei X — x,ei + x^e^ -| , fo ist (nach 437)
dsfx = ^ifxdx, -|- «Jäfx-dxj 4-' ■ '!
wo öj, iJj,-- die im Satze angegebene Bedeutung haben. Nun
ist f'x Cnach 435) der Ausdruck, welcher mit jedem dx^^
eidxt -|- ejdxj -(- ■ - ■ muUiplicirt d,fx giebt, alfo hat man
f'x(eidxi + Cjdx^ H ~)=6Jx.-^x,+S^fx-dix^-\ ,
alfo
f'x-eidxj + f'x'esdxj-]-- • ■ ^(Jifx-dx,-f<?ifx-dxa-|- ■ - ■,
Nun find nach Bew. i die Grössen rfifx, d^ix,--- blosse
Funktionen von x, bKo von dxj, dxi,--- unabhängig; d.h.
für jeden Werth x ist die rechte Seite obiger Gleichung eine
Summe von Produkten der variabeln Zahlgrössen dxj, dx;,- • ■
mit Grössen, welche bei unverändertem x fich nicht ändern;
alTo muss auch die linke Seite von gleicher Form, und müssen
die entsprechenden Koefficienten gleich fein, d, h, es ist
f'xej = ^1 fx , f'xcj =^ iJj fx , ■ ■ ■
und f'x ist als derjenige Ausdruck bestimmt, welcher, mit
e,, e^,--- einzeln multiplicirt, beziehlich die Werthe d'ifx,
djfx,--- liefert, d. li. (nach 377) es ist
Ci, Cj,- ■ •
A m H
C f d
1 h d Dff t
a 1 <ctennven
dp li D ff Iq
t t 1 Z hlgröBsen
Wh d 434 d Dff
1 d t f en Funk-
r re 1 Z ! If kt
ü kg 1 h t war, wo-
R d kt d h
r t 6 genomme-
Ifl t f
F kt die nach
mm Dff Iq t
Z hl nktioiien
y Google
303 (*»»
439, Wenn z eine beliebige endliche Grösse, welchu
mit X von gleicher Gallung ist, und q wie bisher eine reelle
Zahlgrössc bezeichnet, fo ist
f(x + qz) = fx -f- qCzf'x -)- N),
wo N mit q nuU wird (und vorausgefelzl ist, dass d^fx stetig
ist).
Beweis. Es ist für jede endliche Grösse dx, welche
mit X von gleicher Gattung ist, (nacli 430)
f(x + qdx) = fx + qtdx fx + N) ,
wo N mit q null wird. Es ist aber dann (nach 435) djfx
= dx-f'x, alfo
r(x + qdx) = fx -f q(dx - f'x -f N) ;
da aber z nach der Vorausfelzung diefelbe Bedeutung hat wie
dx, fo können wir auch jenes für diefes letzen und erhalten
die zu erweifende Gleichung.
440. Es ist
dfy = f'y-dy = /yfy(iy = d,fy
auch dann, wenn y wieder Funktion einer beliebigen Grösse
ist, auf weiche fich die durch das vorgel'etzte Zeichen d dar-
gestellte Differenziation bezieht (vorausgefetzt, dass dy und
dfy stetig find).
Beweis. Es beziehe fich die Differenziation auf x und
fei y c= gix, fu ist (nach 430)
(*) y(x-}-qdx) = y + q(dy +N),
wo N mit q null wird und
^ fy+q[(dr+«)ry + «1- iy^,^0j [439],
WO H' mit q null wird,
= f'y(dy + N) -H N' für q — ,
da nun N und N' mit q null werden, fo wird (nach 42t) auch
f'yN -j- N' mit q null, und alfo ist
dfy = f'y dy.
y Google
44») 303
441. Wenn x und y :^ fx aus den n ursprünglichen
F.inlieiten e,, ei,---e„ numerisch ableitbar find, und
X ^:. Xjei -(- XjCj +■ ■ • + X„B„
isl, und dxy stelig ist, fo ist der Potenzwerlh des Quolieiiten
dx
y gleich der Funlttionaldeterminiinte von yi, yj,--- nach
Xi , X2,---, d.h. gleicli der Determinante, welche aus den
partiellen Differenzialquotienlen der Funktionen y, , y^ , ■ ■ '
nach den Variahein x, , x,,--- gebildet wird, d. h.
lN-[a" = l=
dxi" dx,'' dx,
■ rfv ^'"
wo für jeden Index r von i bis n, das Zeichen —~ ''*'" P^^"
tiellen Diirerenzialquolienlen bezeichnet, welcher nach x^ fo
genommen ist, dass alle übrigen unter den Variabein Xi,- ■ -x^
(ausser xj hei der DüFerenziation als konstant geTetzl lind.
Beweis. Es ist, wenn das Zeichen - - der Kürze wegen
durch J, orfetzt wird, (nach 438)
alfo (nach 383) der Potenzwertb
[f'xr=[J,yrf,y-- J„y].
Aber da y = e,yi + e^y^ -{
ist
, ro
ist (nach 434)
^jy ^ejd'iy, + eiS,Y2 H , a'f«
[f'xp ^ [fe.^iy^ + eAl2 + ■ " OCd^;
lYi
+ 02^
.y.4---0---
(ei-^^yi -h e
■A
,y. +■
■•■)]
=^Z+'<Jiyr^2yj ^«Yu
[63],
indem nämlich [ ] ( h 4
AüKi. DerBg
on J^cobi
in Crelle's Jouni B p ff
:de, tritt
Wer als Potenaw F k
ihren Be-
deutang hervor; g
fich aua
dieCer Bedeutang
ing daher
dem Leier.
432. Wenn u eine beliebige Funktion der veränder-
lichen Grössen x, y, ■■■* isl, fo ist
y Google
dx ' dy ■" '
^=diU + djU -\ — ■,
wo -;-, -t— , ■ ■ die zu dem Verein der Veränderlichen x, v. ■ ■ •
dx rty' ' "
gehörigen partiellen Differeiizialquotienten und dx, dy,--- in
demfelben Sinne die partiellen Differenzialo bezeichnen (und
die letzteren als stetig vorausgefetzt l'ind).
Beweis. Ks fei x aus Teinen normalen Einheiten durch
die veränderlichen Zahjgrössen Xj, Xj,. ■ -, eberifo y aus feinen
normalen Einheiten durch die veränderlichen Zahlgrössen y,,
Ya,--' ableitbar u. f. w. Man bilde nun ein neues System
normaler Einheilen e, , Cj,- ■ ■, fi, fa, ■ ■ -, ■ • -i «nd fetze v ^^
XiOi -f Xjej -f. ■ ■ -j-yit"i -j- y^r, -j- . - - -!-■■•, fo wird u (nach
352) eine Funktion der einzigen Variabcin v und man erhält
(nach 437}
dvU =; -r— u dx. + -;— uox, -)-.■■ 4- -r— u-dy,
Qx, dXä oyi
+ 4u.dy.+.. .+■■.,
WO -7— u, f. w. fich auf den Verein der Variabein x, , x, , - ■
dX[ i> i'
yi> y2j---! •■■ beziehen. Da u eine Funktion von v ist, fo
können wir (nach 439) statt d„u auch du schreiben. Ferner
ist, wenn man y, z, ■ ■ ■, d. h, Yi, Yi,- ■ ■ 2,j,z.2,- • •, ■ ■ ■ kon-
stant felzt (nach 437)
<■ 1 __ *ä
—. — U ' OX n r — - u - vjAi -r- —, l
dx dxi dXä
dx
Alfo
(Iu =
; höherer Ordnung.
343. Erklärung. Wenn u eine beiiebige Funktion
und <J und d", zwei l)eliebiy;e DifTerenzKeichon (dx,q, d).,q)
y Google
*4*) 305
oder Differenzialzeiclien [dv, dy) find, bei denen fich jedoch
die DilTerenziation auf ein und denfelben Verein von Variabeln
bezieht, deren DiUTerenziale bei jeder DifTerenziation konstant
gefetzt werden, fu verstehe ich unter iji^iu den Ausdruck
^(J^u), und nenne iSi in diefem Sinne ein Produkt von Dif-
ferenzzeichen; und halte diefe Bestimmung auch dann noch
fest, wenn ä^ ein Produkt von DifTerenzzeichen ist, d. h.
ich fetze
Säi» = J(rfiu}
(Jdjdju = 6(6,3^11) = ^((fiCdaU))
U, f. w.,
wo ä, äj, iJj,'- fich auf denfelben Verein von Variabein be-
ziehen, deren Dilferenziale konstant gefetzt werden.
344. Erklärung. Wenn d ein beliebiges Differenz-
zeichen (d,,ql ist, fo fetze ich
^''u = u
^-l-'u = Wu,
letzteres jedoch nur, wenn n -f 1 eine ganze pofitive Zahl ist.
Anm. Es ISsst fich auch dem negativen Exponenten eioe Be-
deutung beilegen, waa Jedoch erst in der Integralrechuung klar wer-
den kann.
443. Es ist
(a) d,,qd,,qf(x,y)
^ ltx-|-qdx,y-i-q d y) — f( x-fqdx,y)— f(x, y-hqdy3+fx
auch wenn f(x,y) noch aiiilcre Veränderlicbe enthält, welche
aber alle bei der Dilferenziation konstant gefetzt werden, und
ebenfo ist
(b) di,qdj,^qU = dj.,qd,i,qU.
Beweis. Es ist (nach 443)
=dx,q['ly,.fCx,yj]
=4,, !I^y±.<idy)-ft^'l} 1435]
und dies nach dcmfelben Salze
^ f(x +qdx,y+qJy)-fCx +qd «,;)-f(» , y+dy ) + ((x,y1.
y Google
306 (44«
Alfo Formel a erwiefen. Aber aus diefer Formel foj^l
fogleich, dass dj'.qdi.qtix, y) denFelben Ausdruck liefert, wie
t'i,qily,ql'Cx, y), alfo aiicli Formel b erwiefen,
Arnn. Man. hätte aucli das zu j' gehörige q von dem an x goliö-
rigen verseliiedisn fetzen and jcaes etwa mit qi beieiolinen können,
fo wären die Formeln noch bestehen geblieben, eine Versll gemeine-
ruiig, die jedoch ohne befonderen Nutzen ist.
3^6. Die Ordnung der aufeinander folgenden Differenz-
zciclien (d^^q u. f. w.), unter denen die Differenzialzelchen
mit einbegriffen Hnd, ist gleichgültig für das Refultat.
Beweis. Denn nach 445b lassen fich je zwei auf ein-
ander folgende Differenzzeichen vertauschen.
JifLI. Wenn ein höheres Differenzial stetig ist, fo find
auch die niederen DifTerenziale, durch deren fortschreitende
Differenzialion jenes entstanden ist, stetig.
Beweis. Es fei u ein beliebiges Difrerenzial, und fei
diU stelig. Es »ird u im Allgemeinen eine Funklion der
Variabein x, ^, und ihrer Differcnziale fein. Allein da bei
der Differenziation nach x alte übrigen Variabein und fämmt-
liche DilferenziaJe als konstante behandelt werden, fu genügt
es für diefe Diiterenziation, u als blosse Funktion von x zu
betrachten. Es fei in diefem Sinne u=fx, fo Ist
Du nun d^u stetig ist, fo muss der in Klammer geschlossene
Bruch um q^=0 nach einer bestimmten endlichen Gränze
konvergiren, die es in q^:0 erreicht, alfo muss mit dem
Nenner (q) auch der Zähler null werden, d. h. I'(x -f- qdx)
^ fx muss mit q null werden, d. h. (nach 425) fx ist in x
stelig, alfo auch u. Durch Fortfetzung diefer Schlussweife
gelangt man zu dem allgemeinen Befultate des Salzes.
448. Es ist, wenn A einen Ausdruck mit n Lücken
von der Gattung x bezeichnet,
d^C^x") = _' ^ ^x°^'"dx'°.
Beweis 1. Der Satz gilt (nach 431) für m = l.
3. Wenn nun der Satz für irgend einen Werth m gilt,
Fo gilt er auch für ni -f 1; denn dann ist
y Google
ii^ + \Ax.''-) = 4:,(A^AK''') [448]
Un— m)! J
da nach iler Annahme der Beweis für den angenommeniSn
Werlh m gilt; da nun (nacli 443) dx bei der DilTerenziation
als konstant betrachtet werden MI, und es mit x von gleicher
Gattung- ist, fo ist , -^.^dx" ein Ausdruck mit n^ — m
Lnclfen, folglich erhalten wir (nach 431) den zuletzt gefun-
denen Ausdruck
(n — m)!
--^x''-"'--'dx'"-l',
(n— m— 1)!
A. h. der Satz gilt dann auch, wenn man m + ^ statt m fetzt;
da er nun (nach Bew. 1) für ni=:l gilt, fo gilt er auch für
m = 2, und weil für m = 2, fo auch für m = 3, alfo für
alle pofiliven Werthe.
349. Wenn e, , ej,-- die normalen Einheiten von
x = x,ei 4- x,ej -f-- ■ find, und Ji, ^2-- ■ ■ '''^ zu dem Ver-
eine der Veränderlichen x,, Xj,--- gehörigen partiellen Dif-
ferenziaiquotienten nach Xi, Xj,--- bezeichnen, fo ist (vor-
ausgefetzt, dass d^u stetig fei)
<'°i' ^ .^«^o'^t ■ ■ ■ -u-dxo-dxi ■ ■ ■,
wo die Anzahl der Faktoren dx^dx^---- in jedem Gliede tl
ist, und die Summe fich auf alle unter diefer Bedingung
möglichen ganzen pofitiven Werthe a, &,■■■ bezieht.
Beweis. Nach 437 ist
djU = ^d'„u-dxa.
Üifferenzirt man noch einmal nach x, fo ist, da bei diefer
Differenziation (nach 443) dx, alfo auch dx,, dx,,-- konstant
zu fetzen find, (nach 437)
d^u = X'*b'J-U'dx7di^"^ Xrfd'^r«"-"d^d!tr [446]
u. r. w.
330, Erklärung. Unter ^ — fx oder unler f'"Jx ver-
" dx"
verstehe ich (vorausgefetzt ^ dtiss il^fx stetig ist) den Aus-
y Google
308 (*»«
(tnick, welcher mit dx" multipltcirl, was auch <ix für eine
mit X ^leichgattige Grösse fein mag, d^Jfx liefert.
431, Wenn d^fx stetig ist, fo ist f'"^x derjenige Aus-
druck mit je n Lucken (in jedem Glicdo), welcher die Eigen-
sehaTt hat, dass
(a) f<'')xCe^e^--) = *A fx
ist, für jede Reihe von n Indices r, s, ■ ■ ■, wobei die Bedeu-
tung von ej, ej,'--, d',, ^i,---, diefelbe ist, wie in 449,
Beweis. Nach 450 ist zu zeigen, dass allemal P^'x-dx"
^=d°fx ist, wenn f'^'x der Gleichung (a) genügt. Es ist dann
((-»xdx" = fc^'xCeidx, + eidx, ^ )"
nach dem
nach 45)
allgeme
Erkli
lion derft
anler -^-
inen polynoni
!,e7^--->Mx6---
lischen Lehrfatze
(oder auch
432
eine Funki
= n ist, 1
= 2^^A fx-ds„dx6'-- [a]
= d°fx [449].
irung. Wenn x, y,--- Zahlgrössen und u
jlbenist, fo vorstehe ich, wenn a + b -f-- ■ ■
■ ■ -u den Ausdruck
«dyb.. .
dMb-...u
wo lieh die DiiTerenziationen auf den Verein der Var'abeln
X, y,--' beziehen, und dx, dy \on Null verschieden an
genommen lind
Anra, Die partiellen Diff(.iPnz alquotienti-n lieh \(,rachie(lPEen
extenfiten Variabein k innen fast Überali entbehit werden da man
mehrere extenfive Vanabeln stets auf eine einz ge zurucktiihreii kann
(nach 353).
493. Wenn y noch wieder Funktion einer beliebigen
Veränderlichen ist, fo i*.! (die Stetigkeit der vorkommenden
Differenziale vorausgefetzt)
n *-* — ^
r! \a! b! y
Wie in der gewöhnlichen Anaiylls,
y Google
g. 1. Die nnendlichen Reihen im Allgemeinen.
a3a. Erklärung. Eine Reihe u„ + u^ + u, ^
lieissl acht, wenn fich eine poniive Zahl T>1 finden lässt
von der Art, dass u«, UjT, UjT',--- bis ins Unendliche hin
endlich bleiben, d. h. dass fie numerisch kleiner bleiben als
eine gewisse endliche Grösse M, fo dass alfu
Urf num. < M
bleibt für jeden Index r.
499- Zufatz. Setzen wir -^ = t, fo können wir die
Bedingung der Aechtheil auch fo ausdrücken, dass fich zwei
pofitive Zahlen t «ml M, von denen Kl ist, linden lassen,
fo dass stets
u^: t' num. ■< M
bleibe.
il96. Jede ächte Reihe ist konvergent.
Beweis. Es fei R = Uo + «i + Us +■ ■ ■ "^ine ächte
Reihe, fo giebt es [nach 455) eine pofitive Zahl -< 1 von der
Art, dass, für jeden Index r, u, : f, was wir mit a^ bezeichnen
wollen, numerisch kleiner als eine gewisse endliche Cpofitive}
Zahl M fei; dann wird
R — Bo -f a,t + 3^1= H , wo a, num. -^ M.
Der Rest p„ diefer Reihe von dem Gliede aj," an ist
e„ = a^l'' + a„.^t"M-i-.--.
Nun ist «r num. < M, apf num. < Mt', ajfo (nach 418}
p„ num. <: Mf + ftlft* -j
num. -^MfCl + t 4- 1= -^ )
num. -< «'T~^\-
Nun lässt Hch hier n fo gross wählen, dass ^„ num. kleiner
wird als eine beliebig gegebene pofitive Grösse k, und auch
bleibt, wenn n noch wächst; dies wird nämlich erfüllt, wenn
'«■k(i^
,--G0
y Google
MO C*»«
ist. Da aKo der Rest po "li' waohfendom n nacli Null zü kon-
vergirt, fo ist die Reihe konvergent.
Anm. Um die Beiietiung zwischen ächten, unächten, konver-
genten und divei^enten Reihen nocli anschauliclier hervortreten zu
lassen, will ich hier noch die unächten Reihen berühren. Wenn die
fitramtlichen Glieder einer unüchtcn Reihe endlich bleiben , d. h. nume-
risch kleiner bleiben als eine endliche pofitive Zahl H, (o will ich
diefe Reihe eine Uebergangsreilie nennen, wenn dagegen die
Glieder einer Reihe unendlich werden, d, h. wenn es za jeder pofitiven
Zahl M Glieder der Reihe giebt, welche noch grösser als M find, fo
mag eine folche Reihe eine abfiirde lieissen. So z. B. ist die Reihe
' + i'^ + ä'*+' ■ ' ■ *i"S ächte, wenn der numerische Werth der Zahl-
gröflse t kleiner als 1 ist; fie wird eine Uebergangsreihe , wenn t nume-
risch gleich 1 wird, und zwar eine divergente Uebergangsreihe, wenn
t=l, eine konvergente, wenn t=: — 1 ist; fie wird abCiird, wenn
t num. ::=■ 1 wird. Eine folche abfiirde Reihe ist stets zu. verwerfen.
Hingegen hat die Uebergangsreihe mit der ächten noch das gemein,
dass fie den Werth der Funktion, welche durch die RcÜie dargestellt
werden foll, wirklich ausdrückt, gleichviel ob fie konvergirt oder
divergirt. Im letzteren Falle zeigt fie, falls fie fich dem Unendlichen
n&hert, dass für diefon Fall in der That die Funktion unendlich wird ;
fo z. B. ist die obige Reihe bekanntlich die R*ihe für —log (1 — t),
diefe Funktion wird mit t^l unendlich, ebenfo wie die Reihe t -{-
Jt"-f ät»+--; und diefe stellt lifo auch fdr diefeu Fall noch den
Werth jener Funktion dar Uder um ein einfacheres Beispiel au
wühlen, die Rtihe 1 + t + t' -}- "ird für t — ^1 eine Uebeigangs
reihe; und zwar nimmt fie für t = I, entsprethend der Funktion
, deren Entwickelung fn, darstellt, unendhchen Worth an
Wenn hingegen die divergente Uebergangsreihe fich keinem unend
liehen Werthe annähert, fondern stets, wie weit man fie auch ver
lolge zw hen lerschiedenen Werthen hin und her schwankt, wit
zBdeRelel + t + t^-f bei dem Werthe t^~l, fo lasst
I h denno h hi Werth ans der ttr^nze bestimmen , nach welcher jene
Re he konverg rt, wenn man t zuerst kleinei als 1 fetzt und fn,h dann
t der 1 unbegrSnzt annähern l'isst Aber alle diefe l'ebeigangsreihen,
felbst wenn f e konvergiren, dürfen niii mit^oificht angewandt wer
d da d c Rethnungsgefetzp Ichtei Reihen a if fie nuht mehi an
endba Tnd
'l'it Wenn a tine beliebige Gross-e. b, c, aber
Zahlgrossen find, lo ist der numerische Werth (pj des Pro-
duktes (abc ) dierer Grossen, gleich dem Produkte ihrer
numerischen Werthe [^a, ß, /, - -); d. h.
Q^aßy-.
yGoosle
45»^
311
; i. Für zwei Grössen. Es foien Ci, Cj,--- die
iej , ■ ■ - (i =7^— 1) Jle imag'inäreii Einheiten von
= ^CLa% + '»"aea! WO die «„ uiid >•„ alle reell find
= 3^ -\-eK Ferner ist
ab =^i3ai, — «/Je^ -f- i^äy^ + eaa)^«! »Ifo
Bewe
reellen, ie,
a und fei a
und fei b = tf -]- ei, Tu ist (nacli 414) «■
;^^ ^S'al
alfü,
, da Q, a, ß polltiv find,
e^CjS, d.h. abnum.^^ajS.
2. Da nun (nach Bew. 1) ab iiuni. =^ aß ist, fo
fich (nach Bew. 1) abcnum. = ajS}' n. f. w.
^S8. Wenn a und ai beliebige Grössen, b, c,
c,,-'- aber Zahigrössen find und
anum. < ai, b num. -< b^, c nuni, ^' c,,- ■ ■
find, fo ist auch
abc ■ ■ ■ nuin. •< aib^Ci ■ ■ ■ .
Beweis. Denn es feien a, ß, y, ■ ■ ■ , di, ßx, yi,
ziehlich die numerischen Werthe von a, b, c,- ■ ■, ai, b|, Ci,-
fo ist (nach 457) aßy--- der numerische Werth von abc
und OißiYi- ■ • der von aibiCi- ■ ■. Da aber a, ß, y,- ■•, et,,
ßi) Yw " pofitive Zahlen find und a < c,, ß < ßi, y^Yn'
ist, fo ist auch aßy- • • ^^a^ßiYi- ■, d, h. abc- ■ ■ num,-=iaibiCi
Anm. Diefe zwei Sätze, welche fystemati scher nach 419 ständen,
find hier nachgeholt, um He im l'olgenden verwenden zu können.
450, Wenn mehrere Reihen acht lind, fo ist auch ihre
Vielfachenfunime acht, d. h. wenn
il, = u, + u; + af> -i- u<äJ -I .
R^ — u, 4- u; + uP') + uf^' H
IJi,
be-
R„ = u„ 4- ul + uSf' + u!f' + ■ ■ ■
ächte Reihen find, und a,, «ar'-ttn beliebige endliche Zahl-
grössen lind, i'o ist auch die Heihe
R=u + ii' + ui*'+ui»>+---,
wo für jede« Zeiger s
y Google
3i2 (*•«
uW ^= aiuf> -L Will','' 4- ■ ■ - aniijf'
ist, eine ächte Reiiie.
Beweis. Ba Bi eine iiclite Reilio ist, l'o gielit es iiiacli
454) zwei pofitive Zahlen 'l\ und M,, vun denen die erstere
> i ist, von der Art, dass für jeden Zeiger s
u'^'T, num, ■^' Mi
Tei, Ebenfo lassen Hch für die ührig-en Reihen R^,- ■ ■ ßu folche
poHtiven Zahlenpaare T^, Mj,--- Tn, M„ finden, von denen
die erste jedes Zahlenpaares >■ i, und fo, dass
u'/^Ta num, < Mj,- • - nWT„ num, -< &!„
ist. Es fei T die kleinste der Zahlen Ti,---Tu, alfo noch
T :^- 1 , fo bleibt
u(''T num. < M,, ii<"T num, '=^Mj,- ■ n^''T num. '^~ Mn,
alfo auch (nach 458), wenn ft, ■ ■ (S„ die numerischen Werlhe
von Ol,- ■ ■ «n find,
a,uWT num. ^. ß^Mi, , a„u<f>T num. < ^„M„;
folglich, da die rechten Seiten diefer Vergleichung poriliv find,
fo ist (nach 418)
(tiufT-f .■-• -f- ß^u'^'T num. <;j5iiV!, -f- ■ ■ -f Ml„,
d. h.
u'**T num, < M ,
wenn ^iMj -(-■■■ ßußi^a '"'' ^'' bezeichnet ist; folglich ist die
Reihe R (nach 454) eine achte.
§, 2, Sie Keihen als Funktionen einer Zahlgrösse.
^60. Der nach der Zahlgrösse x genommene DilTerenzial-
quotient einer ächten Reihe R^=at, -f- aiX + aaX^4- ■ - ■ =^,a„x''
ist wieder eine ächte Reihe.
Beweis 1. Da R eine ächte Reihe ist, fo müssen fieh
(nach 455) zwei pof. Grössen t und M, von denen die erste
-c 1 ist, linden lassen, Fo dass für jedes r
~:- num, < M
ist. Nun fei t eine pofitive Zalil zwischen t und 1, d, li.
T>t aber '-- 1, fo zeige ich, dass alle Glieder der Reihe
y Google
die Eigenschaft haben, dass für jeden Index r bis ins UnenJ-
liclie hin der Ausdruck -^. — endlich fei. In der Tlial ist
Der zweite Faktor ist (nach HypothO numerisch kleiner als
M, alfo (nach 459) der ganze Ausdruck
nuin. -< -^Mj,
wenn wir der Kürze wegen den numerischen Werth von M : x
mit Ml bezeichnen. Nun fei n -* -, was stets maglicii ist,
da t grösser als t, alfo t — t ungleich null ist. Dann wird
n > (n + 1) — , oder, indem wir mit -^ multipliciren,
— -- (" + J)t°l"^
aus gleichem Grunde
(n + J)t°H .^ (n + 2)f +^ ^
T°-l-» i"+-i ■■'■■
Nun werden aber die Ausdrücke
t_ 21_^ nl"
da ihre Anzahl endlich ist, und fie alle endliche Wertho haben,
kleiner fein als eine gewisse pofitive endliche Grösse; diefe
iieisse ni. Da nun alle Ausdrücke ~ für jedes r, was grösser
als n ist, wie eben bewiefen, kleiner als -^ find, und dies
letztere *- m ist, fe werden alle jene Ausdrücke für jeden
Werth von r kleiner als m fein, alfo auch
VMi -<^ mM,.
Hier ist m eine endliche Grösse, aber auch M, , wenn
nicht elwa X gleich null ist, alfo auch mM, endlich, alfo auch
-~^ — numerisch kleiner als eine endliche Grosse, d. h. die
y Google
lull, tiass X 5 ist,
Wenn aber x =^ ist, fo ist — R = a,, alfo gewiss eine
ächte Reihe.
■ "■■■! -7-11
ax
weis 1^ aucli dessen Differenzialquütient nacli x, d. h. -t— Jl
eine ächte Reihe u. f. w.
461- Wenn eine Reihe aj -|- a,x -{- a^x^ + ■ ■ - für irgend
einen Werth x' der Zahlgrösse x acht ist, fo ist Tie es nucli
für jeden Werth der numerisch gleich oder kleiner als x' ist.
Beweis. Denn wenn die Reihe für x = x' acht ist, lu
müssen i'ich (nach 454^ zwei pofitive Werthe T und M, von
denen der erste ■> 1 ist, angeben lassen, lo diiss für jedes r
a,x"T' < M
ist. Dann ist aber, wenn xnum. = -^x' ist,
a^'T nura. = ■< a,x"'T'' [458]
num. < Mj,
d h die Reihe »o 4- ai\ -|- d x^ -|- ist dinn luth luil
ächte (mch 454)
Anm La tolgt lueiaus fogleicti (nach JbU) iibs auih du, i acli
X genommenea Ditlereiwialquotienlcn jener Reihe für jedes x was
uumensch gluich oder klemei als x ist ichte Reihen, alfu auch üteti^
fein müssen Daroua folgt auch unigekehit dass nenn eine Funktion
i\ iai irgend einen Werth ^on i. der numcnich klunir als x ist
ficli in einer achten Reihe foH entwickeln lassen nothwtndigiv uni
leine Differentiale lür jeden \\etth der numerifach gleich oder kleinci
als X ist auch stetig fein u ua^en Und ei kommt daiaat an ob
diefe Bedingung der Stetigkeit aiiieichtnd dafür ist, dasa fiih fx in
einer teilten Reihe entwickeln lasse Zu dem Ende konimt es darauf
nn fx fm die verschiedenen numenach gleichen 'Vi erthe zu betrachten,
namentlich füi eine Reihe foicher Weithe von denen jedei folgende
»US dem vorhergehenden durch gleiche cifLulare Aenüeiiing herior
geht Nun hat Lauchy nachgewiefen dass, wenn fx stetig ist das
arithmetische Mittel aller Wcrthc, welche tx erhalt, indem x fort-
schreitend einer konstanten circulüren Aenderung unterworfen wird,
bis X wieder zu. dem ursprünglichen Werthe zurückkehrt, ein Aus-
druck ist, wclfiliiir stets nach einer konstanten (von x unabhängigen)
y Google
le«) 315
GrunzG koincr^iit fibild der Winkel Iti tirculiren A nlirng \ i
EchvnndenO kluii »iriä Er hat aui dielcm Sitze luf <,iio ft^lir finii
ruclie Weife die Bedingung abgeleitet, untet welcher enic Funktion
fx Sich. In einer konvergenten (genauer in einer iclilcn) Reihe cnt
wickeln l&sst, worilber Moigno Lejone de calcul difforcnticl Tom 1
p ISOss sn vergleichen lat Di.r Gang der folgenden Entwickclnng
list im wefenthclien derCelbe wie er in dem angefühlten Werke ge
wählt lEt, doch ist hier die Betrachtung verallgemeinert, in fofern Ix
»Is extenfiTB brdsse betiachtet wird, wahrend *. reibst eine Zalil
grösee bleibt
^0*2 Lehrfatz und Erklärung Wenn fx stetig ist
für leiie Zahlgrosse x, deren numerisclicr Werth zwischen
den Gränzen a und b liegt, und & eine ii-te Wurzel der ab-
foluten Einheit und zwar 0=cos. h ' ''"■ — 'St, fo kon-
n n '
vergirt der Ausdruck
mit unendlich wachlendem n nach einer konstanten (von x
unabhängigen} Granze. Diefe konstante Gränze fei das zu
jenem Stetigkeilsgebiete gchörendu konstante Glied der
Funktion fx genannt und mit C(fx) bezeichnet.
Beweis des LehrTatzes. Da fx stelig ist, fo ist
(nach 439)
fCx -i- q) — fx =^ qCfx -1- JS),
wo N mit q null wird. Da nun 0° numerisch gleicli 1 ist,
l'o ist xö" numeriscii =x, alfo auch f'Cx®") stelig. Setzt man
nun in die obige Gleichung x®" stall x, und q ^^xÖ^fÖ— 1);
fo verwandelt fleh x -J- q in x©"-'^ und wir erhalten, wenn
wir noch dem iV den Zeiger a beifügen,
f(x©-+i) — fCx0») = x&'ie — l)[fCx0O -f- JVJ.
Nun ist, wenn wir ~ mit rf bezeichnen, .ffCx©") = ©"f'Cx®")
(nach 440); alfo wird
indem wir statt O'Na, welches mit JN'a numerisch gleich ist,
atfo, eben fo wie dies, mit q zugleich nidl wird, JV'a geschrie-
ben haben.
y Google
316 (4«3
Gehen wir nun zum aritlimetischen Mittel über, fii wirrf,
wenn die folgenden Summen von a = 1 bis n genommen
werden,
Die linke Seite ist null; denn die dort erscheinende Summe
ist gleich
rCx0° i-'J -f rCx®") -h h f(x0^) — fCxÖ») f[x©^)
— f(x03, alfo = fCx0''+-') — {(k&) = 0,
ila ©"^^l, alle x0''l* = x0 ist. Somit erhalten wir
/ . 11 n'^
Aber — ^A"a ist das arithmetische Mitlei der Grossen
N\, JV'a,'-', ist alfo, wie gross auch n fei, numerisch klei-
ner als der grösste numerische Werlh diefer Grössen, den
wir mit JV' bezeichnen wollen. Wenn nun n unendlich wird,
fo konvergirt @^=cos. — ^-ifin. — nach 1, alfo & — i nach 0,
aifo kunvergirl auch ii=^x&''{& — 1), was mit xf© - O nu-
merisch gleich ist, nach 0, alfo auch N'i, JV'^,---, alfo auch
/ - n
kleiner ist als der von JV'. Setzen wir die Gränze, nach
tll'o auch <S / , da fein numerischer Werlh noch
welcher y konvergirt =(px, fo haben wir alfo
tfyx = 0, d.h. gDX = Consl.
Aain. Ich habe hier den Satz, daas, wenn daa Differenzial einer
Funktion null bleibt, die Funktion konstant fei, als bekannt yoraus-
gefetzt, um hier nicht die Ent Wickelung zu unterbreLlicn Der Buieis
dieles Satzes ist im Eingange des folgenden Kapitels ^dei Integial-
rechnung) nachgeholt, und »war ohne dass in diefem Beweif« auf
irgend einen Satz des gegenwärtigen Kapitels zurückgegangen Xei
463. Das konstante Glied einer Vielfachenlumme von
Funktionen (deren erste abgeleitete Funktionen &tettg find), ist
die entsprechende Viel fach enfumme aus den konstanten Gliedern
der Funktionen, d.h. (wenn i\x, i^x,-- stetig find, in ist)
C[aJ^x -)-ß2l'2X + -.] = aiCCf|X) -[ ajCCt^v^-f- .
yGoosle
4S4> 3i7
Bewe'is. Wenn diefelbc Bedeutung wie in 462 hnl,
fü ist CCI'ix) ilie Gränze, nach welcher — ,Ajt'|fx@°) mit iin-
endlichem n knnvergirt, i]. h. es verschwindet — X^fiCx©")
— C(f.x) mit — , ebenfi. --^iaCx®») ^ Ctf^x) ii, f. w., alfo
(nach 43i) auch ihre Violfachenfumme, d. h.
— Xait-.Cx®") h«2f2Cx©°3H «iCtfix;) - «aCCfjx) ,
(1. h. es konverg-irt
— XßiUx©") -f- a,fjtx©« j"-f ■"""■"
nach OjCtfix) + «jCCfax) -f--'-'- '^'"^'' die Gränze, nacli
welcher jener Ausdruck konvergirl, ist (nach 463) mit
C(aif,x -f a^rjx 4-- bezeichnet, alfo
CCaJiX 'I- OifaX +■ -O^ßiCCfix) H- «aCCfäX) -f ■ - -.
464. Wenn m eine ganze Zahl, aber ungleich nuü ist,
fo ist
Beweis. CCx") ist (nach 463} die Gränze, nach welcher
— ^(xQ")"" mit unendlich wachfendem n knnvergirt. Es ist
aber — ^(x0''y"^= — ^&"^. Nehmen wir n fo gross an^
dass m nuni, -< n ist, und fetzen ^©"""^rs, fo ist
s = ©™ + 0^-" H + @n™
s = 1 -f ©"' + 0^ H + ©c-i)™,
weil 0'""=\ ist. Es geht aber der obere Ausdruck aus dem
unteren durch Multiplikation mit ©" hervor; alfo haben wir
s&"- = s, A. h. s(l — 0°') = O.
alfo ©■"
ist ©""^l, alfo füigt aus der Gleichung s(l — &'"') = 0, liass
y Google
s gleich null ist, alFo aticli — ^©"'»^O, d. !i. ^Z"tx0"3'"--O,
fübald n > m ist, nlTo itie Gränze, nach welcher (liefer Aus-
(Inick mit unendlich wachferidem n konvergirl, 0, d. h.C(x'");^0.
Anm. In diefen SHtien liegt der Grund der obigen Benennung,
indem, wenn fs eine beliebige (begrilnzte) Potenzreilie von^x mit
ganzen pofitiven oder negativen Exponenten und dem konstanten
GHede a ist, C(fx) gleicli diefem konstanton Gliode a ist.
AG9. Wenn x niim. >- a ist, fo ist
A — a
Beweis. Es ist
Alfo (nach 463)
X— a ^ Lx'-'(x — a)J
Nun ist das letzte Glied der rechten Seite (nach 462) nume-
risch kleiner als der grössle der Ausdrücke , welche aus
- _ — ■■ hervorgehen, indem man stall x beliebige mit x
numerisch gleiche Werihe fetzt. Der grösste diefer Ausdrucke
ist, wenn A und X die numerischen Werthe von a und x find,
kann man r stets fo gross wählen, dass x^::i7x"_j;;y) ""'"' ^ ^
wird, und auch bleibt, wenn p noch wächst; alfo wird dann
c[-^]_,„„„..:p,
d. h numerisch kleiner als jede pofitivc Grösse, d. h. ^^0, alfo
4«W. Wenn die zweite abgeleitete Funktion von fx stetig
ist für jeden Zahlwerth x, der numerisch kleiner als x' ist,
fo lässt fich fx in einer ächten, nach Potenzen von x auf-
steigenden Reihe entwickeln. Und zwar, wenn z nuni. -" ■ x,
y Google
«•«) 319
aber num. < x' ist und das Zeiclieii C (ich aiiT die Variable
z beziebt, während x als konstant gefetzt wivd, fo ist
-=i-^]=I-[^].
und wenn X und Z bezieblich die numerischen Wertlie von
X und z find, und F der grösste der numerischen Wcrtlie ist,
welche fz für die verschiedenen Werthe von z, welche nume-
risch = Z find, aiiiiimint, fo ist jedes Glied der obigen Enl-
wickelungsreihe von fx, und auch der Rest der Reihe numerisch
kleiner als das entsprechende Glied und als der entsprechende
Rest der nach Polenaen von X entwickelten Reihe
Z X /^Z"
Beweis, Es fei zunächst für z nur vorausgefetzt, dass
es numerisch kleiner als x' fei, fo ist (nach Hyp.) f"z stetig,
alfü (nach 447) auch fz und fz. Nun fei x als konstant be-
trachtet, und nur z als variabel, und fei das konstante Glied
der Funktion
. z(fz — fxl
* ÖJZ = -i
' Z — X
betrachtet; alfo zunächst die Stetigkeit von y'z unterfucht. Ks
ist zuerst für z = x der Ausdruck (nach 429, wo
z — X
man nur dx ^: ) , und x -f- q ^^ z zu fetzen hat^ = fx :^ f z,
alfo in diefem Fafle yz = zfz, alfo y'z in diefem Falle ^^ fz
4-zf"z, alfo stetig, da fz und fz es find. Forner, wenn
z^x, alfo z — x^O ist, fo ist
fz — fx , zfz z(fz - fx)
^^=T^-x +Z-X--CZ— iT'-
Da nun fz, fx, z stetig find, und z — x ^ ist, fo ist
auch in diefem Falle (p'z stetig; aUu g>'z fo lange stetig, als
z num. -< x' ist. Somit bleibt G(_giz) (nach 462) von unver-
ändertem Werthe, fo lange z num. -^ x' ist, aber für z={)
wird (nach*) q>z gleichfalls null, foniit ist C(<fO) = 0, alfo
auch C(^z), alfo erhalten wir die Gleichung
rz(fz — fx)-|
^'f^y
0.
y Google
320 (i«»
Nehmen wir jetzt z niiiiiCTiscli -^ x aber noch immer iiiini,
< x' an, fo ist z — x?0 nnd es riniJ daher - — — nnd
Z — X Z — X
fo wie iiire Differenz iale nach z stelig, allb (nach 463)
Aber C — = 1 (nach 465 , wo man nur z statt x , und
z — X ^ ' '
X statt a zu schreiben hat"), folglich hat man
Nun isl -?- = I + i + -J + • ■ + ^,' 1- -r,,"' V
Z X z z z'^' z'~'lz — XJ
«Ifo (nach 463)
-\z - X)*
Hier ist das letzte Glied (nach 462) numerisch kleiner
als der numerisch grössle der Ausdrücke, die man erhält, wenn
man in ^riT ~^ ^^'^^^ ^ ''"^ möglichen mit ihm nume-
risch gleichen Werthe fetzt. Der grösste der numerischen
Werllie, die dabei fz annimmt, ist oben mit F bezeichnet, die
numerischen Werthe von z und x aber mit % und X; der
numerisch grössle Werlh , den - - annehmen kann , ist
^ ' z — X '
gleichem Grunde find die übrigen Glieder, vom ersten anfan-
gend, numerisch kleiner als F, -^, ~fi-->' " "7t~i"J *''''^ '^'"''
aber die entsprechenden Glieder und ersteres der entsprechende
liest der Reihe -^ — = ^^ F y ^. Uu nun endlich die letzt-
genannte Reihe eine ächte ist, fo ist auch die Reihe für fx,
da ihre Glieder numerisch noch kleiner find, als die Glieder
diefer Reihe, eine ächte.
y Google
469) 321
467. Der Taylor'sche und Maclaurin'sche Satz. Wenn
("x stetig ist für jedes x, was numerisch kleiner als x' ist, f«
ist in deiiiCellien Umfange
fx - f(0) -h xf'(O) -I- -2-f"(0) + I -ffä'O + . .
^I
a!
Denn dann lässt üch fx (nach 466} in einer
Rtiilie entwickeln. Es fei iliefe Reihe
(*) {K = X^^
fo ist
p-J.x^ y ^ "' ,, a„x'-° [448],
^_, Ca — n) !
ali'o {<">0 = n! s^, da iille übrigen Glieder null find, alfo
" n!
Dies in (*} eingefetzt giebt die zu erweifende Gleichung.
Aum. Da f(a + s) als l''iinktioii von x bü trachtet werden kann,
Xo ist es Uborflüesig, den Sota in awei Sätze (den Taylor'sclien und
Maclaurin'achen) ku iiertrennen.
g. 3, Eiitwickelung der Funktionen mehrerer Zahlgrössen oder
Einer extensiven Grösse in Eeihen.
46S. Lehrfatz und Erklärung (Erweiterung von
462). Wenn fCx,, Xä,-—) eine. Funktion mehrerer veränder-
licher Zahlgrössen x„ x,,- . - ist, und die zu diefeni Vereine ge-
il
0,
j- [(Xi, xj, ■■-),■■ ■ allemal stetig find, fobald gleichzeitig der
numerische Werth von Xi zwischen den Gränzen a, und hi , der
von Xä zwischen den Gränzen »2 ^'"d 1»^ liegt u. f. w.; und wenn
,,. , ^ 2?r , ... Stt „ 271 , ,,^ in
endlich 01 = cos. h ''in. — , 0^ ^=cos, h ilin. — , - ■ -,
n, Ui nj ' nj' '
fo konvergirl der Ausdruck
yGoosle
332 f4«8
mit den irnbegränzt wachlenilen ganzen Zahlen ii,, nj,--- nach
einer konstanten (von Xj, Xj,--- unabhängigen) Gränzo. Diefo
konstante Gränzc fui das zu jenem Stetigkeitsgebiete gehijrende
konstante Glied der Funktion f(Xi, Xj,- - ■) g^iiannt und mit
C[r(Xi, Xs,---)] liezeichnel. Dann ist für 2 Variabeln
C[r(x„ x,)] = C^iC,HXx„ x^)]),
wo C5 lieh nur auf die Variable Xj bezieht (Xj als konstant
gefetzt) und C, fich nur auf die Variable Xi bezielit (x^ a!s
konstant gefetzt); und eiilsprecliend für melii' Variabelti.
Beweis i (für 2 Variabein). Nacli der Bedeutung di^r
Suminenbezeicbnung ist
"illi ^—^ "l^w H] -. . 1. ^ !/'
WO die innere Summe fich nur auf den Index b bezielil, die
äussere nur auf den Index a. Lassen wir nun zunächst nj
unbegränzt waclifun, fu konvergirt die innere Summe (nach
462) nach einer von x^ unabbängigen Gränze, welche wir mit
Cä[r(Xi05, Xa)j zn bezeiclinen haben. Diefe Gränze wird aifo
nur noch eine Funkliou von x,&<^ fein, und fei diefelbe Jiiit
<p(xi@'^) bezeichnet; fo ist die Gränze, nach welcher der obige
Ausdruck mit unbegränzt wachfendem n^ kouvergirl,
= lZ9'(xi0^);
wächst nun auch Uj unbegränzt, fo konvergirt (nach 462)
diefer Ausdruck uacb der auch von Xi unabiiängigen Gränze
C,[gix,]. Nach diefer Gränze konvergirt alfo der ursprüng-
liche Ausdruck, wenn in ihm fowohl nj als iij unl>egränzt
wachfeu; d. h. es ist
C[f(x„ X,)] = Gifyxi].
Aber es war (pix,&l) = C.,[iixi@l, xj] gelelzt, alfo ist (für
= 0), ?'Xi = C2[f(Xi, Xj)]; alfo
C[f(x„ x,)]=C,(Ca[f(x., X,)]).
2, Diefelbe Schlussreihe lässl fich auf beliebig viele Ver-
änderliche übertragen.
Anm. Es versteht ficli von felbst, dass mnn auch n, =;iij =- • -,
alfo aiicli ©I ^ ©1 = ■ ■ ■ fcUüu liann, ohne dass dci- öaU aufhört
i'ictitig zu foin.
y Google
40». (Erweiterung von 466). Wenn f(Xi, Xj,- ■■) eine
Funktion meljrerür verÄndcrlicIien Zalilgrössen x,, Xj,-— ist,
und (lii! za dem Vereine diefer Veränderlichen
parlielleii zweiten DJITerenzialquotienten -,~,f(Xi, x^,-"^,
-r-.J(^Xi, Xj, •■■)>■■■ allemal stetig find, fobald g-leichzeitig Xi
numerisch kleiner als x', , Xj numerisch kleiner als x'j ist
u. r. w., fü lässt fich fCx,, Xj," ■ ■) in einer nach ganzen homo-
genen Funktionen von x^, Xj, - ■ - aufsteigenden Bohlen Reihe
entwickeln. Und zwar wenn fich das Zeichen C auf die Ver-
änderlichen Zi, Za,--' bezieht, während Xi,X3-'- als konstant
gol'elzt werden, fi> ist
Ca3 f(xj, x^-O^cffCz,, z^,--)—- -' 1
(!>)
zIj Lz';, z\- ■ ■ J'
und wenn Xj , Zj , Xj, Zj,--- beziehlich die numerischen
Werthe von x^, Zj, Xj, Zj,.-- find, und F der grösste der
numerischen Werthe ist, welche fCzj, z,,--.) für die ver-
schiedenen Wertiio von z,, Zj, -■-, weiche beziehlich nume-
risch = Zi, Z,, ■ ■ ■ find, annimmt, fo ist jedes Glied der obigen
Entwickolungsreihe von f(Xi, x^,- • ■), fo wie auch jede Summe
joner Glieder und namentlich der mit dem homogenen Gliede
eines beliebigen (n-len) Grades beginnende Rest der Reihe
numerisch kleiner als das entsprechende Glied, oder die ent-
sprechende Summe oder der entsprechende Rest in der Reihe
t\
Z, — Xi Zj— X,
Beweis 1 (für 2 Veränderliche). Betrachten wir zu-
nächst Xi als konstant, fo ist (nach 466)
Der Ausdruck auf der rechton Seite ist nur noch eine
Funktion von x, und x^; diefe Funktion fei mit ytx,, Xj)
bezeichnet, fo ist (nach 466)
y Google
wo 0, rieh nur auf die Veränderliche z, bezieht. Solzen wir
nun statt g'Czi, x,) feinen Werth, welcher aus der rechten
Seite der obigen Gleichung (*) dadurch hervorgeht, dass man
z, statt X, fetzt, fo erhalt man
Da C; fich nur auf die Variahle Zj bezieht, alfo — - —
in Bezug auf Cj als konstant g^efetzt wird, fo können wir
(nach 463) auch das Zeichen Cj vor diefen Faktor fetzen und
erhalten
rCx„ ''2) = c,(c,^-^^.-^^^fCz„ z,:)])
= c\~^' -^--f(Zi,zol [nach468],
Lz^ — Xi Z, - Xj ^ ^' '-^J
alfo Formel (a) hewiel'en. Es kommt nun darauf an, hier den
in Klammern geschlossenen Ausdruck, in welchem wir der
Kurze wegen f statt f(Zi, Zj) schreiben wollen, in einer Reihe
nach steigenden ganzen homogenen Funktionen von Xj und x^
zu entwickeln, und den zugehörigen Rest hinzuzufügen, Setzen
wir Uo, Ui,-'-- Uu_t als die n ersten Glieder und r,, als den
zugehörigen Rest diefer Reihe, alfo
** _^i ?s f^u„ + Uj4--'- +«.-i+r„,
Zi — Xi Zj Xj
fo ist bekanntlich Uo = f , Ui = ( — + — V, und für jeden
Index r
•S** ,1 ^ > ^'•'^'^li,
und r„ = — «n,
Dann ist alfo
fCxi, x,)=u„ -I- CCuO + CCus] + ■ ■ ■ C(u„_0 + CtrJ,
Hier ist jedes Glied der rechten Seite (nach 462) nume-
risch kleiner als der numerisch grösste der Ausdrücke, die
y Google
4«») 325
man erhält, wenn man in die in Klammer geschlossene Funktion
von Zi und z^ statt diefer Variabein alle möglichen mit ihnen
numerisch gleichen Werthe fetzt. Der grösste der numerischen
Werthe, die dabei f annimmt, ist oben mit F bezeichnet, die
numerischen Werthe von z, und Zj, x^ und x^ mit Zj und
Zi, X, und Xj. Folglich ist
x"xH X;XtF
"zizf ""■"■■" -zVzf'
alfo da der Ausdruck rüclits pofiliv ist, To ist (nacli 418) aucli
airo auch (nach ***) für jeden Index r
Uj num. < Uj,
wo Uj dasjenige bezeichnet, was aus Uj hervorgeht, wenn
man darin Xj, Zj, Xj, Z^, F statt Xj, Zj, Xj, Zj, f fetzt, fo
dass all'o
wird, wo auch der Rest Rn aus r„ durch diefelben Substitu-
tionen hervorgehl. Diefer Rest ist noch zu uiiterfuchen. Es
ist, wie fo eben gezeigt,
«n num. ^ (J„
Ferner aber auch dt unter illen Werthen welche z^ — x-,
annehmen kann , wenn statt z, und x, alle mi)glichen mit ihnen
numerisch gleichen Werthe gefeilt werden, Zi — Xi der nume-
risch kleinste ist, fo ist
— ^ — num. < — * Y' ^'^'^ ^^^ gleichem Grunde
zj ^ Z,
Zj — Xj Zj — X2
Alfo da die beiden letzten Vergleichungen nur Zahlgrossen
enthalten, fo ist (nach 458}
Zj Xi Zj — Xj Z, — Xi Zj — Xj °
d. h. r„ nnm. •=: R„.
Alfo ist auch (nach 463)
C(u,) num. ■< U,, C(rJ num. <. R„,
yGoosle
326 (*«»
d. h. jedes Enlwickelungsglied der Reihe für [{xi, Xj), und
der Rest derfolben ist numerisch kleiner als ilas entsprecliendc
Glied und als der eiitsprcehcnde Rest der Entwickeiuirgsreihe
(****), Diefö letztere Reihe ist aber bekanntlich konvergent,
d. h, ihr Rest Rq konvergirt mit unbegränzt wachleiidem n
nach null; alfo thut dies auch der Rest Cfr„), da er noch
numerisch kleiner als Rn ist, d. h. auch die Entwickelungs-
reihe für ffx,, Xj) ist konvergent, fo lange nämlich die Be-
dingtitig erfüllt wird , dass x, num, -^ x' und Xj num. '=: x'^
bleibt. Die Reihe für f(xi, x,) war aber, wenn wir den Rest,
wie dies bei konvergenten Reihen gestattet ist, weglassen,
fCxi, xO-Uo +CCui:) + C(u,)+--.,
^=«Ilf
C(uJ = C > -■. ; (o + t = r), il. 1].
-2^^'<%f^>
+ b = r),
womit die Formel (b) hewiefen ist. Es bleibt noch zu zeigen,
dass die Reihe fCxj, x,") = Uo + 0(0,)+ CCu^) H "'cht
bloss eine konvergente, fondern auch eine ächte ist. Da Xi,
Xj num. < x'], x', find, fo find ~ und — - ntim. -'"• i; folglich
'■ 11 i I Xi Xj '6
muss es eine pofilive Zahl T geben, welche >■ I aber nume-
risch kleiner als — und -^ ist. Dann hat man x.T nuin,
Xi Xj
<: x'i und XjT num. -^ x'^ , folglich muss die Reihe für f(Xi, x^)
noch konvergent bleiben, wenn man x,T statt x^ und XjT statt
Xj fetzt; dann verwandelt Heb aber C(u,), da es eine homogene
Funktion r-ten Grades von Xi , Xj ist, in T''C(Uj), folglich
bleibt die Reihe
Uo + TCCuJ + T^C(uj)+---
konvergent, alfo auch ihre Glieder bis ins Unendliche hin end-
lich, alfo (nach 454) die Reihe
Uo +CtuO + C(u,)+--.
eine ächte,
2, Der Beweis i ist überall fo geführt, dass er fich un-
mittelbar auf beliebig viele Variable übertragen lässt.
y Google
470. T)or Taylor'sche Satz (467) gilt aiicli, wann x
oine beliebige cxteiiTive Grösse ist; (i. Ii. es ist auch in liiefom
FillllB
fx ^ f(0) + xf'O -h yf'O + . = 7 -^^'°'Ö'
vorausgefel^zl, dass d^fx für jeden Wertli x, der numerisch
kleiner als x' ist, stetig fei.
Beweis. Es fei x = Xiei -|- x^e^ -i- ■ ■ ■, wo e,, c^,- ■ ■
die normalen Einheiten von x find, fo ist (nacii Hyp.) liTx
stelig; aber (nach 449)
dSfx^^lfx-dxJ+d^rx-dx^-! +2Jid,fx-dx,dxa-f ■■,
wo S,, ^2,-'* ^i** 2u dem Vereine der Variabein x, , x^,--
gehörigen partiellen Differenz iaiquolienlen find. Diefe Glei-
chung gilt für jede Werlhreihe von dx^, dxa, ■ - ■ , allb nament-
lich, wenn man dxj, dxg,--- null fetzl. Dann aber wird d'fx
= ij|fx'dx*, alfu ist S^fx stetig, aus gleichem Grunde iJJfx
u. r. w.; allo iässt fich (nach 469) fx, als Funktion von x,,
Xj,-- in einer ächten Reihe entwickeln, deren Glieder nach
ganzen liomogonon Funktionen vun Xj , x^,--- furtschreilen,
es fei
fx:=^u„ -(- Ui 4- !is H
diefe Reihe, wo
u, — X'aä,V-^?*i'"t" + 1' +■■ =!■)
ist. Setzen wir hier
wo 1 eine durch x ausfilllbare Lücke liezeichnet, fo wird u^
=^ a,.x'', und alfo
(*) fx = a(, -|-a,x-ha,x^4----.
Setzen wir hier x^=yz, wo z eine Zahl ist; fi> wird
fx = f(yz) = ao + aiy-z -}- a.y^'Z^- ■ ■ =2^»^,^" -z'.
Alfu find (nach 460) die Differenzialquotienten diefer Reihe
nach z gleichfalls ächte Reiben, un(i es wird aifo
- f'X'Y, und
y Google
ebenfo ■ -/(yz) = fx-y'' u. f. w., —KY^-) = f<">x ■ y».
Alfo
v"= / -.
Setzt man nan z = 0, fo wird auch x=:yz:^0, alTu
f<'''0-y''^=n!n„-y",
da alle übrigen Glieder der rechten Seile verschwinden. So-
mit, da diefc Gleichung für jeden Werth y gilt, fu Ist, wie aus
357 leicht hervorgeht,
[WO = n!a„,
was, in diu obige Gleichung (*) eingeführt, die zu erweifende
Formel liefert.
fu]^. 4. 3ntfgrnlvrd)miitii.
§, 1. Integration von Differenzialausdrücken.
471. Wenn ft eine reelle Zahlfunktion der reellen Zahl-
Grösse t ist, und die abgeleitete Funktion f'l zwischen t=^l,
und tj stetig und pofitiv ist, fo vväciist zwischen deiifeiben
Gräiizen ft mit t; wenn dagegen ft stetig und negativ ist, lo
nimmt ft ab, während t wächst.
Beweis. Es ist (nach 439, indem man hier t slatt x,
und z = 1 fetzt)
f(t + (i) = ft + qCf't + JV3,
wo N mit q verschwindet, alfo
ftt-f-q)-ft-qCf't-fiV).
Da N mit q verschwindet, fo muss für gehörig kleine
Werthe von q auch Ct -]- iV mit ft gieichhezeichnol fein; alfo
wenn q und ft gleichbezeichnete Grössen find, fo wird dann
q(ft + IS) pofitiv, alfo auch l^t + q) :^ ft fein; d. h. ft wächst
mit l, wenn aber q und ft «ngleichhezeichnete Grössen find,
fo wird q(ft + JV) negativ, alfo f^t -|- q) -'' ft, d. h. ft nimmt
ab wenn t wächst.
4'72. Wenn die reelle Zahlfunklion ft der reellen Zahl-
Grösse t für t = ti denfelben Werlh annimmt, wie für 1 = 1^,
wo tj >- ti ist und ft für jeden Werth t, der zwischen t,
y Google
■i«*) 329
und tj liegt, stetig ist, fo muss für irgend einen Werth t,
der zwischen ti und t^ liegt, f't = fein.
Beweis. Wenn f't für jedes zwischen ti und t^ liegende
t von Null verschieden wBre, fo müsste es fortdauernd pofitiv
oder forldauernd negativ fein. Denn wäre f't für einige Werlhe
pofitiv, für andere negativ, fo müsste es mindestens einen
Werth geben, wo f't aufhörte pofitiv zu fein und anfinge
negativ zu werden oder umgekehrt; da aber f't (nach Hyp.)
stetig ist, fo müsste es bei diefem Werthe von t nolhwendig
null werden. Wenn aber f't dauernd pofitiv wäre, fo würde
(nach 471^ ftj > fl| fein, was mit der Voraus fetzung, dass
ft^ ^= ftj fei, streitet; es müsste alfo f't dauernd negativ fein;
allein dann würe ft^ ^ ftj (nach 471), was gleichfalls mit der
Vorausfetzung streitet, alfo ist die An ah e dass f (tj fr
jedes zwischen t| und la liegende t vo Null vers h ede le
unmöglich, d.h. f't ist für irgend ein zvscie t It le
gendes t null.
373. Wenn fl eine reelle Zal Ifu kt o er eell
Zahlgrösse t ist, und f't für jedes zwiscl on t und l I ^e le
t stetig ist, fo muss für irgend ein z v sei en I cf n Gra z
liegendes t
fein.
Beweis. Die Funktion
nimmt für t = ti den Werth fli, für l = t2 denfelben Wertli
fti on; da nun gi't= f't — (ft^ — ftj) : (ta/— tj) ist, fo ist alfo
auch qi't zwischen jenen Gränzen stetig, folglich giebt es (nach
472) einen zwischen denfelben Grunzen liegenden Werth l,
für welchen y'l^iO, d h,
"-'^
ist.
aia. Wenn fl eine beliebige Funktion der reellen Zahl-
grösse t ist, fo ist, fo lange f't = ist, auch ft nolhwendig
konstant.
y Google
330 (4«a
Beweis i. ft fei eine reelle Zahlfunktion. Angenom-
men, es habe fl für zwei verschiedene Werthe tj und tj un-
gleiche Werihe, alFo fti ^ fls, während doch Pt zwischen t,
und tj null fei, fo hätte man (nach 473) für irgend ein zwischen
ft, — ft,
ti und tj liegendes t, ft ^ t _ i ^"^^ ""gl^iich null, was
mit der Vorausfetzung streitet; alfu ist die Annahme, dass ft
für irgend zwei Werihe, weiche noch innerhalb der Gränzen
liegen, zwischen welchen f't^=0 ist, ungleiche Werthe an-
nehme, unmöglich, d. h. ft ist innerlialh dieler Gränzen Itonstant.
3. Wenn fl eine beliebige Funktion ist, und e,, e-i,---
ihre normalen Einheiten und f,t, fat,--- die zugehörigen Ab-
leitzahlen find, allb
ft = e,f,t-f-ei,f,t H
ist; fo ist (nach 434J
dft=eidfit -f e^dfjt -] , d. h.
f't^eif'it + ejf'jt -I .
Da nun vorausgefetzt war, dass f't^^O fei, fo Üni (nach 28)
f',t = f'jl = .-- =0,
alfo (nach Bew. 1, da fit u. f. w. Zahlfunklionen find) f,!, f^t,- ■ •
konstant, alfo auch ejfit -f-ejfit-l-- ■ - konstant, d. h. ft konstant.
473. Wenn d^fx innerhalb gewisser Gränzen, für jedes
dx, null ist, fo ist innerhalb derfelben Gränzen fx konstant.
Beweis, Es leien e, , e^,--- die normalen Einheiten,
und Xi, X2,--- die zugehörigen Ableitzahlen von x, alfo x =
Xje^ -|- XjOj -f- ■, und feien die zu dem Vereine der Variabein
Xi, Xj,-'- gehörigen parliellen Differenzialquotienten nach x„
Xj,'-- beziehlich mit 6^, S^,- • ■ bezeichnet, fo ist (nach 437)
dKfx^=(?£fx-dxi -f- ^afx-dxj +- ■ ■.
Da nun djfx (nach Hypoth.) für jedes dx null ist, alfo
auch wenn (ixj^O, dxjjdxg,*-- null find, fo hat man J^fx = 0,
alfo (nach 474) fx von x^ unaMiängig, und aus gleichem Gründe
auch fx von Xj, Xj,--- unabhängig, d, h, von x unabhängig,
alfo konstant.
476. Wenn innerhalb gewisser Gränzen die Differenziale
der Funktionen fx und ^x forldauernd gleich find, und für
irgend einen Werth x innerhalb jener Gränzen die Funktionen
y Google
499)
33 t
reihst einander gfloich Und , fo findet di'efe Gleichheit auch tiir
jeden andern zwischen jenen Gränzen liegenden Werth x statt.
Beweis. Es fei ¥x = fx — <px, fo hat man dFx=dfx
— dyx, alfo (!Fx innerhalb jener Gränzen, für welche die
Vorausfetzun^, dass dfx^^d^px fei, statt fand, null; alfo (nach
475) innerhalb derfelben Gränzen Fx konstant, d. h. fx — gox
= Konst. Da nun für einen gewissen Werth von x, nach der
Vorausfetzung, fx = 5px ist, fo ist die obige Konstante null,
ali'o für jeden Werth x innerhalb jener Gränzen fx — (px = 0,
d. h. fx := 9)x.
477. Erklärung. Wenn t eine pofilive Zahl ist und
die Funktion fl zwischen t = und t^^tj stetig ist, fo ver-
stehe ich unter dem Integral von ftdt diejenige Funktion Ft,
welche mit t null wird und deren nach t genommenes Ditfe-
renzial für jedes t, welches zwischen jenen Gränzen liegt,
gleich ftdt ist. Ich bezeichne dies Integral mit d~'ftdt;, d. h.
CS ist
d-'ft dl = Fl
nn dF(t) = ft dt d FCO) = t
AmDgwliUB h ggwht dg hüh
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^
+ t
f t
i d-K
+ t}dt
zu nehmen
und
nach der Integration 1
■ = h
f t N 1 b nerke ich, daes die Stetigkeit der zn intei^riron-
d t kt m F Igenden überall vorausgefetzt wird, auch wenn
diefe Bedingung n:cht ausdrücklich hinzugefügt ist.
4"78. Zufatz. Es ist
dt((l"ift-iil) = ft-dt, und [d-ift(lt](l = 0) = 0.
479. Wenn f(0) = ist, fo ist für jedes t, was zwisclien
den Gränzen und t' liegt, zwischen welchen dft stetig ist,
ä-U\{t = ft.
Beweis. Nach 478 ist, wenn alle Differenziale nach t
genommen find,
d(d"idft) = dft und [d-idftXl = 0)=:0;
alfo haben die beiden Funktionen d~'iirt und ft die Eigen-
schaft, dass für jedes zwischen und t' liegende t ihre Dif-
ferenziale gleich find, und dass für t=;0 beide Funktionen
einander gleich, nämlich gleich null werden; denn für d~*dft
haben wir es fo eben bewiefen, und für ft ist es (nach Hyp.)
der Fall. Alfo find (nach 476) beide Funktionen einander
gleich.
480. Eine Summe integrirt man, indem man die Stücke
integrirt, und ein Produkt, dessen einer Faktor konstant ist,
integrirt man, indem man den variablen Faktor integrirt, und
den konstanten unverändert lässt; oder beides zu einer all-
gemeineren Formel zufammengefasst,
d-'^^ÄCOdt = Z"aad-*f«COdt.
Beweis. Nach 478 wird die Funktion d-'fj(t}dt mit l
null, alfo auch ajd~'fa(t)dt, alfo auch die Summe diefer Aus-
drücke; folglich ist (nach 479}
y Google
<S3) 333
= ''"'Z*a«'l'i~'faO)'" [432, 433]
= d~'XäÄ(Öiit" [478].
481. Wenn fl stetig ist für jede zwischen den Gränzen
und l' liegende pofilive ZahJgrösse t, Co ist für jedes folche
t auch die Integration von ftdt ausführbar.
Beweis. Wenn ft eine reelle Zahlfunktion isl, fo ist
der Beweis bekannt (vergl. z. B. Moigno Calcul integral p. 1 ss.).
Wenn aber ft eine beliebige Grösse ist, und Cj, ei,--- ihre
normalen Einheilen, fjt, fjt,-'- ihre Ableitzahlen find, alfo
fl = eifit + ejfjt H isl, fü ist (nach 480)
d-iftdl = eid-'fitdt-f ejd-^fjtdlH .
Da nun (nach 413) fj!, fjt,- ■ ■ reell find, fo find, wie
eben gezeigt, die Integrationen d~'fildt, d~*f,tdt,-'' ausführ-
bar, alfo auch die Integralion d-*ftdt,
482, Wenn die pofilive Zahlgrösse l =; yu Funktion
einer andern pofitiven Zahlgrösse u ist, und gm mit u zugleich
null wird, fo isl
d-^ft-dl = d-ift-y'u-du.
Beweis. Es fei d-m-dt = Ft, d. h. dtFt = ftdt und
F(0) = 0. üa nun dtFt = F'tdl ist, fo folgt aus der ersteren
Gleichung F't = n. Nun isl (nach 440)
duFt = F't-d„t = F't-duyu
= F'l-5p'u-du [440].
Ferner isl, wie oben gezeigt, F't ^ ft, und Ft=^Fg)(u),
alfo da yu mit u zugleich null wird, fo wird Ft nicht bloss
mit t, fondern auch mit u null; und wir erhalten aifo
duF5p(u) = ft-y'u-du und
Fy(0) = 0,
alfo isl (nach 477) F^pu = d~'ft-<p'u-du; aber es war auch
Fyu = Fl = d-'ftdt, alfü
d~"^ftdl = d~*fty'U'du.
483- Erklärung. Wenn x eine beliebige Grösse isl,
deren numerischer Werlh t ist, und x:t mit e bezeichnet
wird (wo alfo der numerische Werth von e gleich i und x
= et ist), fo fetze ich
d-ifxdx = d-if(et)edt,
yGoosle
334 1*8*
wo e bei der Integration als konstant gefetzt und vorausgefetzl
wird, dass f(el) in t stetig ist, und auch bleibt, wenn l bis
null hin abnimmt. Wenn fich eine mit x verschwindende
Funktion von x finden lässt, deren nacli x genommenes Dif-
ferenzial fxdx ist, fo Tagen wir, dass in dierein Falte fxdx
allfeitig integrirbar fei.
Anw. Wir werden spätcrliin zeigen, dass jedesmal, wenn es eine
Funktion Fx von der Art gicbt, dass diFx^=fxcix, und F0-:0 fei,
dann auch für Jedea x jene Funktion Fx = d—'fxdx fei, wobei d-ifxdx
in dem oben gegebenen Sinne aufaufassen ist. Dagegen wird fich
zeigen , dass es nicht lu jedem fxdx eine Funlttion Fx von der ge-
nannten Eigenschaft giebt, während auf der andern Seite d— ifxdx
i=d~'f(.et)edt (nacli 481) stets gefunden werden Itann. Es ist alfo
d~fxdx in der Weife, wie wir es oben definirt haben, als das allge-
meine- stets mögliche Integral von fxdx aufzufassen, welches fich nur
in speciellen Fällen als Funktion von x in der Art dai-stcllen läsat,
dass das nach x genommene Differenzial diefer Funktion glcicli fxdx fei.
4S^. Statt eine Summe zu integriren, kann man die
SlMcke einzeln integriren, d. ii,
d-ViX + f^i 4- ' Odx = d-ifixdx -f d-'f^xdx + ■ •
oder
d~'^faX dx = .^d~*fjX ■ dx.
Beweis. Es fei x = et, wo t eine pofitive Zahlgrösse
und e numerisch gleich 1 ist, fu ist
d^^'X^ dx — d- '^f^ edt [483]
= d-iX^~^dt [39]
= Xd-'fäx-edt [480],
weil nämlich t eine poritive Zahlgrösse ist,
^X^-Xx-ix [483].
485. Statt ein Produkt zweier Fakloren, von denen der
eine konstant ist, zu integriren, kann man den andern Faktor
integriren, und den konstanten Faktor unverändert lassen, d. h.
d'^'afxdx = ad"''fxdx ,
wo fx im Allgemeinen einen Ausdruck mit zwei Lücken dar-
stellt, von denen die eine durch a, die andere durch dx aus-
gefüllt werden foll. Bezeichnen wir die erstere Lücke durch
1, die letztere durch li, und schreiben statt a und dx bezieh-
a , dx
T °"'' TT'
y Google
48a) 335
in die Lücke 1, und dx in die Lücke Ij eintreten foll, fo
können wir die obi^e Formel bezeichnender schreiben
, , a , dx a ._.. dx
d ._rx.~ = -j-d .fx.-j-.
Beweis. Setzen wir x = et (in dein Sinne von 483),
(o ist
>-
-'tu
in
1,
a
<l-'f(el)
.|d.
[483]
= (1-
.d[|d-
•fCel>
f-]
[479]
= cl-
tml
-dt
[433,
431 c]
= d-
'4-'(eO
fd.
[478]
=-d-^yfx~ [483].
Anm Fs iträtdi fch -lOn reibst daas wKnn eme dei Criaien
a oder k lalfo auch dx) ein, Zahlgrosse lat die zugihör ge Lucke
wegfallt und dabei die üi tersclie düng fle Lucken ubeiflüaeig wild;
ehenfo wenn die beiden Lucken vertan schbai find, d h -nenn stets
dasfelbe Relultat hervorgeht fobald von zwei beliebigen Grössen (hier
B, und dx) die eine in die eiste die andeie vn die Ewe te Liioke e n-
tritt, oder umgckehit jene m die ziveite, diefe iii die erste Noch
bemerke ich nai-htra;,litl dass in. dem ganzen voihert,ehe]iden Ab-
sdinitte übeiall wo von eii em Lucktnaus drucke mit n Lütken die
Rede ht ohne dabs eine ntihere Btstimmnig hinzi gefugt ist stets
die u Lucken als veitauschbar gefetzt fii d
äS6 Kt. ist fxd\ dann und nur dinn allfeitig integrir-
bar, nenn die ibgcleitett. Funktion f\ entweder om iücktn-
lüfer Ausdruck (d b \ eine leLlle Zahlgrossc) oder ein
Ausdruck mit zwei ^eitauschbaren Lucken ist, namlicb To,
dass es fui das Relultat gleiüi^uItiT ist, in welcher Vertliei-
lung zvtLi Glossen m die beulen Lücken emlrcttn Wenn
diei'e Bedingung erfüllt ist und Fx diu mit \ verschwindende
Funktion von \ ist, diren nach \ güntmmtnes Dilli^ienzial
fxdx ibt, fo ist allemal
Fx^d-'fxdx.
Beweis 1. Wenn es eine mit x verschwindende Funk-
tion Fx giebt, fo dass dxFx=:fxdx ist, fo istF'x=:rx (nach
y Google
336 (48»
435), alfo F"x = f'x (nach 450). Aber F"x ist (nach 451)
ein Ausdrucli mit zwei vertauschbaren Lüclien, alTo auch das
ihm gleiche f'x. WeflH die Lücken von niillter Stufe find
(d. h. X eine Zahlgrösse ist), fo Iiönnen die Lticlien wegge-
lassen werden, und wird dann fx ein lückenloler Aiisdrucli.
3, Es fei x=;yl, wo y numerisch gleich 1 und l eine
poTilive Zahl ist und fei vorausgefetzt, dass fx ein Ausdruck
mit zwei vertauschbaren Lücken fei, To hat man (nach 483)
d~'fxclx = d~'f(yt)ydt, wo bei der Integration y als konstant
betrachtet wird. Es fei dies Integral gieicli F(y, l) gefetzt,
d. h. es fei dtFCy, t) = f(yt).ydt, und FCy, 01^0, fo be-
weife ich, dass d,F(y, t) ^^ fxdx fei. Da y und l von ein-
ander unabhängig find, fo ist, wenn dy und dt die auf den
Verein diefer beiden Variabein bezüglichen Differenziale find,
(nach 437)
dxFty, t) = d,.FCy, l) + ■ltF(y, t) = dyF(y, t) -j- fCyt)-ydt.
Ferner ist (nach 446)
dt[dyF(y, t)] ^ dj.[d,F(y, tl] = dy[f{yt)ydt]
= f'tyl)-ldyydt + f(yt)(lyat [433]
= dtfCyt)-tdy + f(yt)dtdy [440]
= <i,[f(yt)-tdy] [433].
Da nun, wie oben gezeigt, F(y, 0) ^= ist für jedes y,
fo ist auch dj,F(y, 0) gleich null, ebenfo wird f(yt)'tdy mit t
null, alfo ist (nach 479)
dj,FCy, t)=f(yt).tdy.
Indem wir nun diefen Werth in den oben für dKF(y, t)
gefundenen Ausdruck einführen, erlialten wir
d,F(y, t) = f(yt)-tdy + f(yt)-ydt
=:f(yt)d(yt) = fx-dx.
Hier find y und t Funktionen von x (nämlich t=]''x*',
y :=x : ^x-*), alfo ist F(y, t) auch als Funktion von x zu fassen
und fei als folche mit Fx bezeichnet; fo haben wir alfo in
jedem Falle, wo f'x ein Ausdruck mit zwei vertauschbaren
Lücken ist (wohin auch der Fall gerechnet werden kann, wo
fx ein lückeniofer Ausdruck ist), eine mit x = yt verschwin-
dende Funktion Fx gefunden, deren nach x genommenes
DilTerenzial gleich fx-dx ist; und zwar war diefe Funktion
gleich d~'fx'dx.
y Google
489) 337
3. Ausser der Funktion Fx = d-"'fxdx kann es keine
andero Funktion qix gebün, deren nach x getiommenes Dif-
ferenzial in demfelben Umfange, wie das von Fx, gleich fxdx
ist, und welcJie mit x verschwindet; denn wenn d^Fx^ dx^px
und für irgend eine» Werlh (liier für x = 0) Fx = yx isl,
fu findet (nacii 476) diefe Gleichheit allgemein statt. Foigücii,
fü bald d,Fx = fxdx und FtO) = isl, muss auch Fx =-
d"~'fxdx fein.
SS"?. Wenn x aus feinen normalen Einheiten e„ei,--'
durch die Zahlen Xj, Xj, — ableitbar, all'ü x = Xiei-i-x^e-i + ■ • ■
ist, und wenn zugleich fxdx = Aidxi -(- Ajdx^ "i — ' 'sl, wo
Aj, Aj,-- Funktionen von Xj, x^,-- find: fo ist die Bedin-
gung (allfeitiger Integrirbarkeit], dass Px ein Ausdruck mit
2Wei vertauschbaren Lücken fei, identisuh der Bedingung, dass
für je zwei Indices r und s
i,\, = J,A,
fei, wo Ji, iJs,--- die zu dem Vereine der Veränderlichen
^i! ^i>' " gehörigen partiellen DifTerenzialquotienten nach dx,,
dxj,- ■ ' bezeichnen.
Beweis. Statt Ajdx, 4- Adxj -]-■■■ können wir, da
(nach 142) [er|ep]^=l, und [epje,] ^= ist, wenn r^s ist,
schreiben CAi[l|e,] -f- Ajtllejl +- -jdx. Alfü da, für jedes dx,
fxdx = CA,[i;e,l + AjOlej] H )dx isl, fu ist (nach 357)
fx = A,[l|e,] + As[l|es] + ■ ■ • =Z^}\^
Hun ist (nach 437)
djfx ^ X"(?|^l'x-dX|i= ^J^AJI[en)dx,j
1'x.lx =: Z<!.A.[i|e.][i,le,]p
WO i| eine Lücke ist, in welche dx eintrelon füll. Somit wird
(nach 357)
f'x-^Z<J6A„[l,e,][l,[06]:
Sind nun I und [^ vertauschhare Lücken, fo hat man für je
zwei Zeiger r und s
Da aller [erjej null ist für je zwei verschiedene Zeiger r und
s, und gleich 1 ist, für je zwei gleiche, fu erhält man
y Google
338 (488
^,Ä, = d,A„
und ebenfo geht umgekehrt aus diefeii letzteren Gleichungen
dio vorletzte, weiche die Vertausclibarkeit der Lücken aus-
fagt, l.ervor,
488. Wenn fx innerhalb gewisser Gräiizen, in denen
auch x = nnd x;=a liegt, stetig ist, und
FCx) = d-'ifxdx
ist, fo ist auch, wenn x = a -f- y ist,
Fta + y)-Fa = d-irCa+y)dy.
Beweis. Wenn F(x) = d" 'fCx)dx isl, fg ist d,Fx =
fxdx, (l,h.F'x=fx; allb d^ [F(a + y) — Fa] =- F'Ca -f y)dy
[nach 440] = fCa + y)dy. Ferner ist Ffa + y) — Fa für y=Ü
gleichfalls null, alfo Cnach487J FCa + y)~Fa = i|-'f(a + y)dy.
489. Es ist, wenn a einen Ausdruck mit n Lücken I
und einer Lücke 1, bezeichnet,
Beweis. Es fei x = et, wo t der numerische Werth
von X, und e numerisch gleich 1 ist, fü ist
Es fei ae"*-', was wir, da in die Lücken 1 und Ii in dem
Ausdrucke n -r ;t- dioi'elbe Grösse e eintritt, slalt diefes
Ausdruckes fetzen können, mit b bezeichnet, fo erhallen wir
_^r% Ydx
da der letzte Ausdruck mit t verschwindet und nach t differen-
ziirt bt"dt liefert, alfo
d-y 4- 1 ^ = d-ibfdt=— V-bl-^-',
_J_ ae-.ML'xf' ==^
1+1 n4-
4»0. Wenn die Beihe > ai ^ j"^, in welcher i
n I und
einen Ausdruck mit a Lücken I und einer Lücke 1, darstellt,
eine ächte ist, fo ist
y Google
4»t)
Man hat (nach 484)
-■h(^x-i^yf
-i^.
(iiacli 489).
Durch diefe Formol, welche nur dann daa allfeitige In-
tegral darstellt, wenn die Bedingung allfeit.igcr Integrirbarkeit (48(>)
erfüllt wird, ist die Aufgabe der Integration von DifTerenzialeue drucken
allgemein gelöat. Da es uns hier nur auf die Darstellung der In-
tegralrechnung in ihren wefentliehsten Zügen ankommt, fu können
wir mit diefer Lüfung der Aufgabe uns hier begnügen.
§. 3. Integration von Differenzia^leichungen , wenn die
unabhängig;e Variable eine Zah^össe ist.
-391. J'lrklätrung. Einen gegebenen Vorein von Diffe-
renzialgleichungen (der aber auch aus einer einzigen Gleichung
bestehen kann) vollständig intogriren, heisst ilio rämmllichen
Vereine von Gleichungen finden, welche keine Differenzialo
mehr enthalten, und vun denen jeder Verein die Eigenschaft
hat, dass, wenn er erfüllt ist, auch der gegebene Verein er-
füllt Tei; juHer folche Verein beisst ein (den gegebenen Verein)
inlegrirender Verein. Wenn alfo A ein Verein von DilForenzial-
gleichungen und B ein ihn integrirender Verein ist, fo heissl
das 1) B k Dff h J ) b d d
Gleicl J V ß
lassen d
nachw
h g n d V
alle V
t die g
hangigen Zahl grossen , Co können wir ein System von n Einlieiten ei,
Cj,' ■ • e^ annehmen und x,ei -| -[-^nen =^ ^ fetzen. Da t als die
unabhängige Variable angenommen ist , fo werden alle in den gege-
benen Dilferenzial gleich ungcn vorkommenden Differenzialquotienten
y Google
340
nach t gen ra X mU n. W d f D ff i Iq
bis zur m-tt Od g ftg f rtjid Cll
die Form h b 1 Z 1 If kt t d 1 DU
quotienten b tTd gl liOfttt
nun f, =0f==0 r=01f LI 1 g fft
%f. +---enl' =f f 1 b w ri \ g
'(-1^ r.')=»
auf ul f n 11 t 7 1 !{, ö se ist, hingegen x und die Funk-
t f u E nl t um Ii bleitbar find. Die Lßfung diefor
Gl 1 ng b Id t alfo den G n tond diefes §. Zuuäciist behandeln
w 1 e D ff n algle hungen erst r Ordnung, d. h. den Fall, wo
m^l t
492. Aufgabe. Die Gleichung fCt , x , ^x) = , in
welcJier t eine Zalilgrösse, x und f(t, x, Jx) Grössen firid, die
aus n Einheilen ableitbar find, und Jx das DilTerenzial von x
nach t bezeichnet, zu integriren; wobei vorausgefelzt wird,
dass fich fCt, X, dx) nicht aus weniger als n Einheiten ab-
ieilen lasse.
Äuflofung, Es feien ßi,- ■• Cq die Einheiten, aus denen
x^^x,ei -f-- ■ ■ x^Cn und f ^= e,fi -]-... e^f^ numerisch abge-
leitet find. Es wird vorausgefetzt, dass die Gleichungen
f, =0,---- fn^^O, weiche in r^=0 enthalten find, nicht
von einander abhängig find, d. h. dass keine derfelben aus
den übrigen fich mit Nolhwendigkeit ergebe. Denn dann
würde fich in der Gleichung f=0, f aus weniger als n Ein-
heiten numerisch ableiten lassen, was oben ausgeschlossen
wurde. Es find hier f,,-'- fn Funktionen der Zahlgrösson,
l, Xi,- ■ ■ Xn, (Jx,,- ■ ■ Sxg. Man bestimme aus einer der Glei-
chungen fi,- ■ ■ f„ eine der Unbekannten «ix,,- ■ ■ (Jx„ und fetze
den gefundenen Werth in die übrigen Gleichungen ein, mit
ilen fo erhaltenen, und überhaupt mit den jedesmal noch übrig
bleibenden Gleichungen, fo fern fie noch eine der Variabein
isi,- ■■ Sx„ enthalten, verfahre man ebenfo, fo erhält rnan
zuletzt entweder aus der zuletzt übrig bleibenden Gleichung
den Werth der letzten jener Unbekannten, und dadurch dann
nach und nach alle jene Unbekannten äx^,- ■ ■ «Jx,, als Funk-
tionen von t, Xi," ■ ■ x„, d. h. Sx als Funktion von t und x,
oder es find aus der letzten oder auch schon aus den letzten
y Google
4M) 841
m Gleichungen die fömmllichon Grössen ^x,,- ■ • 5x„ verschwun-
den. In diefem Falle bleiben m Gleichungen übrig, welche
nur Beziehungen zwischen t, x,,- ■ ■ x^ ausdrücken, und zwar
müssen diefe Gleichungen alle von einander unabhängig fein,
weil im entgegengefetzten Falle auch die n ursprünglichen
Gleichung-en von einander abhängig wSren, Diefe m Glei-
chungen bilden dann einen Theil der gefuchten Inlegralglei-
chungen. Durch fie kann man m der Werthe t, Xj,- ■ ■ x^
durch die übrigen n — m + ^ ausdrücken, und dadurch redu-
ciren fich die n — m ersten Differenzialgleichungen Cvermittelsl
welcher man n — m der Unbekannten 6xi, — (fx„ ausdrückte)
auf n — m Gleichungen, in weichen ausser l nur n — m der
Grössen Xj,- ■ - Xo und die entsprechenden n — m der Grössen
tfxi,' ■ ■ iJx„ vorkommen; und durch welche fich diefe letzteren
als Funktionen der ersteren darstellen lassen. Somit kommt
es nur auf die Integration der Gleichungen von der Form
rfx=:f(t, x), d.h. dx = f(t, x>lt an. Diefe Integralion foll in
den nächstfolgenden Nummern behandelt werden,
-5193. Wenn
dx = f(t)dt
ist, wo t eine Zahlgrösse und x eine aus einem Systeme von
n Einheiten ableitbare Grösse ist, fo ist
x = d7*f(t3dt -)- c,
wo c eine (aus n Einheiten ableitbare) willkürliche Konstante ist.
Beweis. Es fei d~'fCt5dt gleich y gefetzt, lo ist (nach
478) dy=f(_l}dt, alFo dx — dy=0, d. h. (nach 484) dCx — y)
= 0, alfo (nach 475) x — y konstant. Diefe Konstante, welche
mit X von gleicher Gattung, alfo aus n Einheilen ableitbar ist,
fei c, fo hat man x ^= y + c := d~'f(t)dt + c.
^94. Wenn
Ca) <Jx = f(x, t)
ist, und man überall mit d den ^illgemeinen Dilferenzialquo-
tienten nach l (auch x als von t abhängig gedacht), hingegen
unter -j~, -r- die partiellen Differenzialquotienlen in Bezug auf
den Verein der Variabein x, t, von denen die erste eine
y Google
343 (4»4
cxtenfivo Grösse, die letztere eine Zahlgrösso darstellt, be-
zeichnet: fo ist
dt (Ix
jä-+.x = ^W'x) + r>-<),
und wenn man
S'+'x = rxx, t)
felzt, ta ist
(C) X = C -}- f[c, 0)- 1 + f.Cc, 0)y + U0> 0)^4- ■•• ,
wo c eine willkürliche Konstante ist, nämlicli der Werlh, den
X annimmt, wenn t null wird, und wo vorausge fetzt wird,
ilass die Reihe auf der rechten Seile eine ächte fei. Aus der
Gleichung (d) findet man auch c als Funktion von x und t,
nämlicli :
(d) c = X - f(x, t> + fiCx, ll-^ - fjCx, t)^ + ■ ■ ■ .
Beweis. Die Formeln (b) ergeben fich unmittelbar aus
(a), indem, wenn g> eine beliebige Funktion von x und t ist,
und X als von t abhängig gedacht wird, dy^i-T-ydx + 'TTy'dt,
alfo -^, d. h, Sq):=Y^-Sx 4- -n-y ist; es ist aber nach (a)
Jx = f, alfo erhält man äw^f-rV 4--T-W, woraus die For-
' ' dx' dt
mein (b) hervorgehen, indem man statt y nach und nach ^x,
rf^x,- ■ ■ • «I'x fetzt. Dann aber ergiebt fich die Formel (c)
unmittelbar aus dem Taylor'schen (Mactaurin'schen) Satze (470),
Setzen wir x = Ftt), fo können wir den Taylor'schen Satz
auch in der Form darstellen
FCt + IT) = x + fCx, t)r + f.Cx, t) ~+ ■ . -,
oder , wenn wir 'v^= — t fetzen ,
FCO) = X - fCx, tit -i- f,(x, t)-^ - fs(x, t)^+ ■ ■ ■,
yGoosle
«»•) 343
fco;) ist aber der Werlh von x = Fffl für t = 0, d. Ii. FCO)
ist gleich c, foniit auch Gleichung (d) bemofen.
Anm. Eb versteht Tich von lulbst, daaa die willkürliche Konstante
c mit X von gleicher Gattung ist, und alfo n numerische Konstanten
cinschliesät, wenn x aus einem Systeme von n Einheiten ableitbar ist.
Die Integrationsgleichung in der Form (d) ist von befonderem In-
teresse, in fo fern in ilir eine Funlttion von x nnd t einer Konstanten
gleich gefetzt ist, und zwar derjenigen Konstanten, welclier x gleich
wird, wenn t;^0 wird, worauf wir im folgenden §. zurücltkommen
werden. Wir haben oben die Differcnzialquotienten d^x, iJ'x,'-' fort-
schreitend jeden aus dem n Siehst vorhergehen den abgeleitet. Es ist von
Interesse, auch eine unmittelbare Darstellung diefer Differenzialquo-
tioRten als Funktionen von x und t zu verfiichen; was in dem folgen-
den Satze geschehen ist, dessen fich leicht ergobcnden aber etwas
umstäudlichen Beweis ich dem Lefcr überlasse.
495. Wenn in dem Sinne von 494
Ja = fCx, t)
ist, Tu ist
-.x=2^«.,.,.,,^..
X u ■ d" ■^-
wo fich die Summe auf alle niiiglichen ganzen , aber nicht nega-
tiven Werthe a, a, b, b,- ■ ■ f bezieht, welche den Bedingungen
unterworren find, dass f ^ 1 -f Co — ^J + ClJ - H > ''"^s
ferner a-fa-t-I)4-b+---=^r, und die Summen a + fl,
b -|- t," ■ ■ alle grösser als null feien, und wo
_ a(a -i-b-l)(a + 6-Hc-2) --.
aa,a,b,6.. fj. — aXr — a — b — IXr — a — b- c — 2)-.-
n!
'alülblb!---
ist.
496. Aufgabe. Die Gleichung
nS'^x, ä'"-%- ■ ■ ■ 3''x,i}~0,
wo X fowohl als f aus einem Systeme von n Einheilen ableit-
bar find, t eine Zahlgrösse darstellt, 6 der allgemeine DifTe-
renzialquütient nacli t C^ ^is von t abhängig gedacbt) bezeichnet,
und rf^x statt x geschrieben ist, zu inlegriren.
Auflufung. Man felze J^x = p^, iJx = p,,- ■ ■ 6'"~^x
=^ Pm-i ) f" wird d"'}i = fJpm-i und man hat die m Gleichungen:
y Google
«5pi = pa
^Pm-l = Pm-1
und die Gleichung f(^pn,_i , p^-i ,• ■ ■ Pi , Poi = 0. Aus der
lelzten Gleichung hestimme man ^Pni_i , es fui
Nun nehme man ausser den n Einheiten ei,— - e^, aus
denen x abgeleitet ist, noch m neue Einheiten e"'^ e<^', ■ ■ e'"""^'
an und niulliplicire die obigen ni Gleichungen beziuhüch mit
e"", e'^', ■ ■ ■ ß'™"^^ """^ addire. Mnn fetze ferner
Poe(<" + p,e"J -\ -1- P^-ieC"-!» ^ p
und
Pl«'^'^' + PlC'^' -I 1- Pm-iC«™-*' + et-^-lVCPo.Pl, ■ ■ ■ Pm-f)
= F(p,l),
fo find p und F aus den nra Einheiten e<''e, (wo r jeden der
m Wertho bis m — 1, und s jeden der n Werthe I bis n
annehmen kann) ableitbar, und man erhält die Gleichung
dp = F(p, t).
Diefe Gleichung ist nach der Methode von 496 zu inte-
■ n d I' f t ■ E' h 't n C *" ) li 'tl
llku 1 h K
D Gl h n
CT d HA =
yGoosle
499)
3^
vorausretzeii, die n Hawptzahlen dos Bruches A, «nd aii'-'a^
die zugehörigen Hauptgebiele erster Stufe (388, 389) find,
ititcgrirt (lurcli die Gleichung
(ii) X = y^n„a^e.''<a^t ,
wo e die Bafis des natürlichen Logarithmenrystems ist, und
''ir''<<a wiltliürliche Itonstante Zahlen bezeichnen, und die
Summe fich auf a ^: 1 bis n bezieht. Die n Werlhe ni =
i«!,--- Nin find durch die Gleichung n-ten Grades
(c) [{A — ni)'']=0
bestimmt und die n Grössen Bi,--- a^ durch die Gleichung
Cd) a,= [(A-m,)"-'].
Beweis. Dass die n Haiiptzahltn m=:mi, m2,'--nin
die n Wurzeln der Gleichung (c) und dit, n zugehörigen Haupt-
gebiete ai,-.'-an durch die Gleichung (d) bestimmt find, folgt
fogleich aus 38S und 389, womit noch die Anmerkung zu 383
zu vergleiclieh ist, Die Hauptgebiete ai,--- a„ haben (nach
389) die Eigenschaft, dass fie in keiner Zahlbeziehung zu
einander stehen und Aac^^m^a^ ist. Es muss fich alfo x aus
^1)''' ^a numerisch ableiten lassen. Es fei
C*) x = Z^.
der Ausdruck diefer Ableitung, fü verwandelt fich die Glei-
chung (a) in
= Xä^^T-f XA!i„"-x^,
alfo da Aar^^mpU, ist, fo erhalten wir
— ^a,(_dx^ -h m^x^l
Da hier dx^ -J- m^Xa eine Zahlgrösse ist, und ai,- - ■ a„ in
keiner Znhlbeziehung zu einander stehen, fo hat man (nach
28) rfx„ + ni„x„ = 0, d.h. (Ix, = — m„x„dt, alfo
Xa = «ae'"'"at,
WO «a eine willkürliche konstante Zahl ist. Setzen wir drefen
Werth in die obige Gleichung (*) ein, lo erhalten wir
pt hl
1 1 1 s d
d : II
y Google
346 C«»»
obigen Satze entwickelt, und endlich, nachdem man die unendlich
kleinen Differenzen ans den Nennern weggeschafft bat, diefe Differenzen
gani verschwinden iBsst. Ob Wurzeln imaginär werden oder nicht, ist
für die ganze Behandlung gleichgültig; auch kann man die imaginären
Formen der EndrcCultate leiclit in reelle Formen nmretzen.
499. Wenn
Ca) Sx + Ax = f(.t)
isl, wo 3, X, A, t die Bodeiilung wie in 408 haben, fo wird
die übige Gleichung, wenn man auch den Grössen ni],- - ■ uiq,
a,,-' a„ diefelbe Bedeutung gieht, wie dort, und
(10 r(0 = a,f, +a,fj +-.-aA
ist, und d~'freinrtdt = Yr gefelzt wird, inlegrirt durch die
Gleichung
(c) A=XCya + «>'«'-' a„,
in welcher «[,■■■ «n willkürliche Konstanten find.
Beweis, Da a, ,••- a„ (nach 389) in keiner Zahlbezie-
hung KU einander stehen, To lassen fleh fowohf f (wie oben
geschehen), als auch x aus ihnen numerisch ableiten. Es lei
fo hat man, da fnach 389) Aa^ ^; m^Sa ist, aus der Glei-
chung (a)
= X'äTC'Jx, + m A - Q,
airo (nach 28) rfx^ -f iii„x„ — („ = 0, wo alle Grössen Zahl-
grdssen find, d. Ii. dXj -h ""oSadt ^^ fjdl. Setzt man hier x„
= Cya + '^Jc~'"ot, wu Yi ö'"6 Funktion von t ist, die mit t
verschwindet, und «a '"3"^^^''' '^^ ^° erhält man, indem man
dies in die vorige Gleichung einfetzt, dya = fae—m^tdt, alfo
(nach 477) y,, = d~'fae""«ijtdt, wie oben. Setzt man dann
statt Xa den gefundenen Werth in die Gleichung * ein, l'o
erhält man die zu erweifendu Gleichung.
Anm. Die Integration einer Gleichung, welche Differenzialtiuo-
tienten höherer Ordnung nach t enthält, im Uebrigen aber die Form
der Gleichungen 498 und 499 hat, reducirt fich nach der Methode in
497 auf Gleichungen, welche ganz diefe Form der Gleichungen 498
und 499 haben, nur dass statt der n. Einheiten e[,-- e^ hier, wenn
die Diffeienaialgleiehung von ni-tcr Ordnung ist, mn Einheiten hervor-
y Google
§. 3. Integration von Differenzialgleichung'en ,
wenn die nnabhängige Variable eine extensive Grösse ist.
900. Die InSegration jeder beliebigen partiellen Dlffereii-
zial gleich iing erster Ordnung lässl fich zurückführen auf die
Integration einer DiiTerenzialgleichung der Form Xdx = 0, in
welcher x eino extenfive Grösse, Xdx eine Zahlgrösse dar-
stellt.
Boweis. Wenn x, ,■■ x„ die unabhängigen Variabein
und Xp die von ihnen abhängige Variable ist, und x,,, x,,* ■ ■ Xn
Zahlgrössen find, fo wird jede partteile Differenzialgleichung
erster Ordnung zwischen diefen Grössen Och in Form einer
Gleichung darstellen lassen, welche zwischen den Grössen
Xn, X. ,-■■ x„, T— Xn, ',— Xn.-" -,-Xn Stattfindet. Bezeichnen
' dxi dxj dXn
wir die Grössen , Xn,- ■ ■-;— Xn mit p,,- ■ ■ ■ p,, fo können wir
dx, üx„ " "^ "^
vermittelst jener Gleichung eine der Grössen Pi,- ■ • ■ Pn, z. B.
p„, als Funktion der fämmtlichen Grössen Xo,- ■ -Xu, pi,-"pn_,
darstellen, und alfo der zu integrirenden partiellen Differenzial-
gleichung die Form geben
(*) Pn = fCXo, Xi,-.-X„, p„ Pj," ■■?„_.)- f.
Nun ist dxo = pidxj -j- p^dx^ -j Pndx„. Und umgekehrt,
wenn diefe Gleichung erfüllt ist, fo find Pi,- ■ ■ Pn die partiellen
Differenzialquütienten von Xj, nach Xj , Xä,--x„. Setzt man
daher in diefer Gleichung statt p^ feinen Werth aus der vorigen,
fo ist, wenn die Gleichung
C**) dXo = p,dx, -I Pn-l<IXii-l + Mxn
erfüllt ist, auch die gegebene erfüllt. Jeder Vorein von Glei-
chungen alfo, welcher die letztere integrirt, erfüllt auch die
erstere und es kommt alfo nur auf die Integralion diefer letzte-
ren an. Setzen wir nun Oo, ei,---en als ein System von
Einheiten und x = XoCo + K,ei -f ■ ■ ■ x„e„,, alfo dx = eodx,,
+ eidX| -]-■•■ Cn^'^n! u"^ felzen ferner, wenn 1 eine LQcke
darstellt,
X-[lleo]-p,[liei]-p,[lle,] P„-iLl|e„_i]-f[IW,
yGoosle
348 (*•*
To verwandelt rieh die Gleichung (**) in
Xdx = 0,
auf deren Integration es alfo nur ankümmt.
Anm. Die Integration der Gleichung Xdx^O, aaC welche es
Mer ankommt st ai d r beräl mten Pl'aff'sclca Metl oie we Tie
amentl d durliJacoh {G eile Journal B S p 347 n l B i7 p
138) ere nfa It 3t voll tfrndvg %a. lol odo genauer auf dem
Yor gen § bei anleiten I tegrat onon aur ck fuh en D e la atellang
und Ei^finzu g d efer Methode durch Anwendung exten f ver &r scn
du cl welol e r eh 1 e löfenden Fo mein g öaatcntl e la n e ner er
staune swerthen E nfa hhe t dj, stell folle den Hauptgegen taud
der folge de Entw kelun^ b Iden Docli olle w r zu o de a f
geatellten at a ch a t part eile D fferena al^le 1 ^e h h erOrl
301. Die Integration jeder beliebigen partiellen DilTe-
renzialgleichung von höherer als erster Ordnung lässt [ich
zurückführen auf die Integration einer Differenzialgleichung
der Form Xdx = 0, in welcher fowohl x als Xdx extenfive
Grössen darstellen.
Beweis. Es fei z die abhängige Variable und yi,- ■ ■ Yn
feien die unabhängigen Variabein, wo z, yi,- ■ ■ Ya Zahlgrössen
darstellen. Um die partiellen Differenzlalquotienten höherer
Ordnung bequem bezeiuhnen zu können, nehmen wir zunächst
ein System von n Einheilen ej,--- e^ an und fetzen y^e, -f-
ys^i -| — ■ + yn^a ^^ Yj ä^o werden die verschiedenen Diiferen-
zialquotienten bis zur m-ten Ordnung hin fich darstellen lassen
-• d= d"
-,— ,z,'-' T-^z. Hier sielll jeder diofer
dy= ' dy" ^
Differenzlalquotienten einen Ausdruck mit fo viel (unter ein-
ander vertauschbaren) Lücken dar, als die Ordnung des Dif-
ferenzialquotienten belrägt, und zwar in der Art, dass der
Ausdruck nach Ausfüllung diefer Lücken durch die Einheiten
von y, einen 7>ahlausdruck liefert und zwar jedesmal einen
der gewöhnlichen (numerischen) Differenzialquolienten; z. B.
sielll -i—.z einen Ausdruck mit zwei vertauschharen Lücken
dy^
dar und zwar fo, dass t— „z-e.e, = , — ,— -/. ist u. f. w. Es
dy' dyidyj
feien nun
y Google
ny dy-^ "^ ' dy" '^™
gefetzt, fo wird die partielle Differenzialgleichiing in ihrer
vollständigsten Allgemeinheit die Form annehmen
(*) i"(y, h Pi, p2,--p»)-o.
Von den hierin vorkomineniien Variabein ist nur z eine
Zahlgrösse, alle übrigen finii exlenfive Grössen, und zwar
enthält y, vermöge der ihm beigelegten Bedeutung, n ver-
änderliche Zahlgrössßn, und jede der Grössen pi,- ■ ■ pn, fo viel
veränderliche Zahlgrösseu, als es Kombinationen mit Wieder-
holung aus n Elementen zur fo vielten Klasse giebt, als der
Index jener Grösse beträgt. Die Anzahl der veränderlichen
Zahlgrössen, welche in den fämmtlichen in der obigen Glei-
chung (*) vorkommenden Variabein enthalten find, fei r, fo
kann man vermöge der Gleichung t*) eine diefer Variabcln
durch die übrigen r — 1 ausdrücken. Es bleiben aifo noch
r — 1 Variabein übrig. Jetzt erweitere man das System der
n Einheiten e,,-- e„ fo, dass es nun r — 1 Einheilen ent-
hält und muitipiicire mit jeder derfelben eine der r — i ver-
änderlichen Zahlgrössen, und fetze die Summe diefer Produkte
=:x, fo enthält X die fämmtlichen r — 1 veränderlichen Zahl-
grössen. Nun hat man ferner vermöge der oben angegebenen
Bedeutung der Grössen p,,- ■ ■ Pm
(**) dz = pidy, dp, =pady,-.- dp„_,=p„dy,
und wenn diefe Gleichungen erfüllt find, und z gle h ver
mittelst der Gleichung (*) eine der r veränderl I en Zahl
grossen, welche in jenen Gleichungen (**) entlalt f d
durch die (r — \) übrigen ausgedrückt find, fo t dan l d e
gegebene partielle Biifercnzialgleichung f*) erfüllt Folgl ch
kommt es nur darauf an, die Gleichungen C**J zi tcgr reu
Von diüfen ist nur die erste eine Zahigleichung I e folge le
enthalten, da dp, mit pi von gleicher Grössengattu g st u f v
jedesmal fo viel Zahlgleichungen als in den Grössen p,,- ■ ■ pm-i
veränderliche Zahlgrössen enthalten find. Die Anzahl der
fämmtlichen Zahlgleichungen, welche in den obigen Glei-
chungen [**) enthalten find, fei s, fo ist s hleiner als r (näm-
lich um fo viel als die Anzahl der veränderlichen Zahlgrössen
y Google
350
(AOl
beträgt, welche in y und p„ zufamincn enthalten firidj. Man
bringe dieTe Zalilgleichungen auf die Form, dass die rechte
Seite nuU ist, und multipjicire He nach der Reihe mit den
Einticilen e,,- ■ - e^, fo werden fie die Form haben ejXjdx^i^O,
ejXjrix = 0, - - ■, CjXjdx =: 0. Dann find diefe Gleichungen
gleichbedeutend der einen Gleichung c,X|dx -f- OjXjdx -f •■■
4-e,X,dx — 0, d. h. (e,Xi + ejXj H e.XJdx — 0; fetzt
man alfo ejX, 4- ^2X5 -{-■■■ ejXj = X, fo werden jene Glei-
chungen (**) gleichbedeutend der Gleichung
Xdx=0,
auf deren Integration es alfo aNein ankommt.
Anm. 1. Es ergiett ficb. leicht, dass die Zahlen r unrf s von n
und m auf die Weife abhängen, dass
, Cn-}-l)(n-|-a)-.-(ii + n.] _ _ (n+lXn + a)- -(11 + m-1 )
1
11-1
ist, ferner dass in dx, wie es in der Gleicliung Xdx hervortritt , nicht
die Differentiale aller r Unlekannte e tl alte find, fondern die
Differenziale der xu p^ ^ehnr gen verandc I chen Zahlgrösaen in dx
nicht erscheinen, die ZaI 1 der n merBclen Differenziale, die in ds
hervortreten, ist B-j-n. Als Be sp el fe d e partielle Differenzialglei-
chung 2-ter Ordnung
mit BW
e nabl ang g«
n\ar
ab ein gewählt. Man
evMIt damit, indem
w r d
e Beze cl nung
der Unbekannten
ändern,
drei Gleichungen der Foim
i =ii
+ ld
dp- i
+ d
Iq- d
+ tdj
1 1 d M A n
h 1
^ y p q
t
th tt
d
m tt 1 t d
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p t 11
Dff
1 1 1
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D Ef i (dx, dy d
dp dl)
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t 11 Dl
r 1
y Google
»o«) 351
gleichungen höherer Ordnungen anwendet, und welche auch für die
Löfnng dieCer allgemeineren Aufgabe förderlich fein würden, haben
nur eine äusserst beschränkte Sphäre, Daher werde ich nur den Fall
ins Auge fassen, wo Sds eine Zahlgrösac ist, und werde auf den
allgemeineren Fall nur gelegentlich hindeuten.
S02. Wenn die Gleichuiigf
Xdx = 0,
(in welcher, wie im Foi^enden überall, Xdx einu Zahlgrösse,
X eine Funktion von x, und x aus einem Systeme von m
Einheilen e,,--- Om numerisch ableitbar ist) durch einen Ver-
ein von n Zahlgleichungen u^ = Ci,- • - Un = Ca, ivo c,,- ■ ■ Cn
konstant find, integrirl wird, (o lässt Hch Xdx auf die Form
Xdx = üidui ~f -f U„du„
bringen.
Beweis 1, Es fei x ;=Xiei -]- ■ ■ • Xi^e^, Co fiml Ui,- ■ ■ «n
als Funktionen von x,,--- x„ aufzufassen. Da nun die Glei-
chungen u, = Ci , ■ ■ ■ u„ = Co eineil die Gleichung Xdx =
inlegrirenden Verein l)ilden, fo hcisst das (nach 491), es muss
rieh aus jenen Gleichungen die letztere ableiten lassen, d. h.
wenn man aus den Gleichungen dui=0, ■■■ dUn^^O, welche
in Bezug auf die ni Differenzialo lix^,- ■ ■ dx^, homogen vom
ersten Grade find, n diefer letzteren Grössen durch die übrigen
ausdrückt, und diefe Ausdrücke in Xdx einführt, fo muss da-
durch Xdx identisch g!eii.-h nuij werden, oder, was nach einem
bekannten Satze uns der Theorie der Gleichungen dusfelbe ist,
es müssen fich Grössen Ut, U^,--- V^ finden lassen, welche
die Gleichung
Xdx^Uidui -]--■■ +U„du„
erfüllen.
2. (Icii füge einen zweiten Beweis hinzu, um zugleich
die Grössen U, , • ■ ■ U„ finden zu lehren.) Die Funktionen
Ui, ■ • ■ Ua können ais von einander unabhängig aufgefasst wer-
den, weil fonsl die gegebene Gleichung schon durch einen
Tlieil deri'elben inlegrirt werden würde. Sind aber u,,---Uo
von einander unabhängige Funktionen von Xi,- ■ ■ x„, fo lassen
fich n diefer letzteren Grössen, z. B. Xj,- - ■ x„, als Funktionen
der übrigen und der Grössen u, , ■ ■ ■ u„ darstellen. Es fei,
x,e, -]-■■■ -j- x^Cn ^^ y, und x„(.,e„-|.i -{-■■■ -j- x^em^ z ge-
y Google
353 (»«a
fetzt, und feien die auf den Verein der Variabein «!,■■■ Un, z
bezüglichen partiellen DifTerenzialquolienteti erster Ordnung
nach der Relhü mit ^i,--- «Ja, ^ bezeichnet, von denen ali'o
der letzte nach der extenfiven Grösse z genommen ist, l'o
wird
dy = (Jiy-dui 4-' ■ ■ + ^oY-dUn 4- ^y-dz,
und alfo
Xiix = X(dy-!-dz)
= Xdiy-du, -f •■• -f Xtf„y-du„+(Xtfy-fX)dz,
oder wenn wir
Xdiy^U,,.-- X^„y-=U„
fetzen, fü wird
Xdx = U,dUi H + 0„du„ -f (X^y + X>lz.
Da nun, wenn man Ui,---Un als konstant Tetzt, Xdx
identisch gleich null werden muas, und da dann duj,--- dUy
= find, fo hat man (X.?y -f-X)dz — 0, und alfo
Xdx = Uidu, H + U„du„.
Anm. Ea gilt tliefer Satz auch, wenn Xdx eine estenJ'ivo Grösse
ist, und namentlich gilt der aweitc der oben mitgetheiUen Beweife
unmittelbar auch fiiv diefen Fall.
803, Wenn fich der Ausdruck Xdx (in dem Sinne von
502) auf n Glieder, nämlich auf U, du, -{-■•■ -J- U„du„ zurück-
führen lässt, aber nicht auf weniger als n folche Glieder, fo
wird die Gleichung
Ca) Xdx =
integrirt durch Vereine von je n von einander unabhängigen
Gleichungen, und zwar bilden die folgenden Vereine von je
n Gleichungen:
llj — y,(u^^.|,. . . «„),- -., U, = y/U^|.i,. .. ((„■)
^■dir;;^'+'--+^iu~*^ + ^^-^"-^**
diin*^ dUi,
wo r jeden der Werthe 0, 1, 2,--- n annehmen kann, und
<fii^- ■ • <fr willkürliche Funktionen bezeichnen, das vollständige
System der integrirenden Vereine. Wenn ins Bei'ondere r=^0
ist, fo hat man den Verein
y Google
508) 853
und wenn r = n ist, den Verein
WO Ci, ■■■ Co willkürliche Konstanten find.
Beweis. Die Gleicliung Xdx kann niclit durch einen
Verein von weniger als n Zahlgleichun^en integrirt werden,
weil fönst (nach 502) Xdx auf weniger als n Glieder der Form
lldu zurückgeführt werden könnte, was mit der Vorausfetzung
streitet. Es kommt alfo darauf an, Vereine von n Gleichungen
zu finden, welche die Gleichung Xdx =0 integriren und zwar
die ränimtlichen möglichen Vereine diefer Art. Es mögen die
n von einander unahhängigen Gleichungen v, =0, Vj ^:::0,- ■ •,
Vq = einen die Gleichung Xdx = integrirenden Verein
bilden, fo lassen fich die Funktionen Vi,---, v^, welche ur-
sprünglich als Funktionen der m Varibeln x^,- ■ ■ x„ angenommen
fein mögen, zugleich darstellen als Funktionen von Ui,-''U„
und von n — m der Grössen x,,-- - x^,, z, B. als Funktionen
von Uj, - •■ Un, x„^,, ■ • ■ x^. Wenn alle jene Funktionen Vj, ■ • -v^
dann nur Ui,- ■ ■ u„ enthalten, aber von x„_|_i,- • ■ x^ unabhängig
find, fo ergeben lieh Ui,--- u^ als konstant, und es tritt der
befondere Fall Cd) ein. Wenn aber mindestens eine der Funk-
tionen V], ■ ■ • v„, z. B. v„, noch mindestens eine der Variabein
Xn-f,,,--' x„, z. B. Xn,, cutiiült, fo lässt fich , vermittelst der
Gleichung ¥„=0, x„ durch die übrigen (ui,--- u„, Xn_|.i,- ■ •
Xa,_i) ausdrücken. Führt man diefen Ausdruck in die übrigen
Gleichungen vj = 0,- • • Vn_.i3=0 ein, fo ist es möglich, dass
in den fo erbaltenen Gleichungen noch mindestens eine der
Variabein Xn_|_i , ■ ■ ■ Xn,_i vorkommt, z. B. Xa,_i in v^^^^O;
in diefem Falle drücke man x^_i vermittelst diefer Gleichung
durch die noch übrigen Variabein Ui, • • ■ u^, Xu^-i, ■ ■ ■ x^—i aus,
und fetze diefen Ausdruck in die übrigen Gleichungen ein;
und fo fahre man fort, bis man endlich entweder alle Glei-
chungen Vi = 0,--' Ve = erschöpft hat, oder bis nur noch
folcho Gleichungen übrig bleiben, die nur u„- ■ ■ Un enthalten.
Im ersleren Falle muss (nach 491) der Ausdruck Uidu, -|
Undu^ identisch ^= werden, alfo U^ = 0,- ■ ■ Un = 0, was
den befonderen Fall (c) liefert. Im letzteren Falle mögen zu-
23
yGoosle
354
(SOS
letzt r Gleichungen V| =:0,-" v, = übrig geblieben fein,
welche nur die Variabein Ui,"- a^ enthalten, fo können wir
vermittelst diefer Gleichungen r der Grössen U| , ■ • - «n als
Funktionen der übrigen darstellen, z, B. Ui,---Uj als Funk-
tionen von u^fi,- ■ ■ Un. Der Vorein wird in diefem Falle stets
ein integrirender fein, wenn nur, von welcher Art auch jene
r Funktionen fein mögen, durcli fie der Ausdruck U,du, -(--■■
Undua identisch gleich null gemacht wird. Da wir u,,-'«^
als Funktionen von Urfi,--Un dargestellt haben, l'o erhal-
len wir
'äUi+I
U.sr". +•
-^l, +Ü,H=«
'du,
du„
+ U„ :
■- 0,
als die nothwendigen, aber ausreichenden Bedingungen, da-
mit in (liefern Falle UidUi -J-- ■ ■ Undu„ identisch gleich null
werde. Somit haben fich die Vereine b (von welchen (c) und
(d) nur speciellc Fälle darstellen) als die fämnitlichen mög-
lichen Vereine ergeben, welche die Gleichung Xdx = unter
der Vorausfotzung des Satzes integriren.
Anm. Es ist dieter Satz nach Teiner einen Seite hin in der an-
gefüln'ten Abliandlung Jacobi'a (Grelle Journal B. 2 p. 348) nacli-
gowicfen. Aber es ist doit die wichtigste Seite unferes Satsi^s, dass
Ca liäralich ausser den GlcichiingSTereinen (b) keinen Verein integri-
rendcr Gleiclrnngen gebe, nicht nadigewiefen. Auch ist dort nicht
gezeigt, worin der verschiedene Charakter der integriienden Vereine
(b) JQ nach dem Werthe des Index r bestehp, obgleich Jac obi mehr-
lai,h aif die loischn-denheit diefes Charakters hinweist. Offenbar
war Jacobi auüi mit dieler beite unfures Satzes vollkommen ver-
tnut, und es li^ nur in dem befondcren Zwecke jener Alihandlongen,
dass er Tich darüber nicht wLitei ausspiKht — Man fieht aus diefem
and dem vorbeigehenden Satze, dsas es dasfelbc ist, zu Tagen, es
lasse lieh idx = durch Vereine \on je n (und nicht weniger als n)
Olcichungen mtegure
Sinne von 50i) auf ei
dei der Form Udu /.a
dingungen aufzufinder
wenn diefe GLdiiiguii^
iugelien Um beides
I, oder zu fagen, es lasse ßch Xdx (.in dem
le Summe von n (und nicht weniger als n) Glie-
iltkfüliren Alfo kommt es darauf an , die Be-
, mter denen diife Redaktion möglich ist, und
::n fcilillt find, dii- Methode der Reduktion an-
iut ein^ Itichtc Weife zu erreichen, wird es
y Google
hmii g r i f lg d
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Xd—O gll lltdg tgthb UddfBthtg
litmdWg b twllmm}£fk
dfml Zldltglh g glg
30^- Erklärung, Wenn L einen Ausdruck mit n
Lücken gleicher Gattung darstellt, für welche jedoch nicht
Verlaiischharkeit der Lücken vorausgefetzt ist, fo verstehe ich
unter [Laia^--- a^] den Ausdruck, welchor hervorgehl, wenn
man ai,--- a^, in allen möglichen Ordnungen in die n Lücken
von L eintreten lässt, den erhaltenen Ausdrucken das Zeichen
4- oder — vorfetzt, je nachdem das kombinatorische Produkt
der Grössen, welche nach der Reihe in die n Lücken von L
eintreten, dem Produkte [aiaj-'-aJ gleich oder ontgegen-
gefetzt ist, und dann die Summe der fo erhaltenen Glieder
durch deren Anzahl dividirE. Wenn L weniger als n, z, B.
nur n — r Lücken enthält, fo verstehe ich unter [La,a2 ■ ■ ■ a^l
den Ausdruck, welcher hieraus hervorgeht, indem man dem
L noch r Faktoren i voranstellt, von denen man jeden als
Ausdruck mit einer Lücke betrachtet, indem nämlich, wenn
man diefe Lücke durch eine Grösse a ausgefüllt denkt, aus 1
die Grösse 1-a, d. h. a, hervorgeht. Hierdurch ist diefer
Fall auf den vorigen zurückgeführt. Wenn ins Befondere L
ein Ausdruck mit n — 1 Lücken ist, der durch Ausfüllung
diefer Lücken eine Zahigrösse wird, fo wird
[Laj ■ ■ . aj = — CaitLAj] + ■ ■ • aJLA J),
wo Aj [für jeden Index r) alle Grössen a,,--- a^, mit Aus-
schluss von a^, als Faktoren enthält und [a^A,] = [a,a2- ■ ■ a„
ist. Ich nenne auch diefe Produkte (wie überhaupt alle welche
durch die scharfe lilammer umschlossen find, f. 94) bezüg-
liche Produkte, und zwar fetze ich als das Hauptgebiet, auf
welches fie fich beziehen, das Gebiet der Einheiten, aus
y Google
356 (****
welchen die l^mmtlichon Grössen, welche in die Lücken ein-
zutreten fähig find, abgeleitet werden können.
305. Wenn L einen Ausdruck mit n Lücken bezeich-
net, und
O [a,-.--a„] = [bi---b„]
ist, Fo ist auch
[La,-..a.l = [Lb,-..bJ,
und wenn
2) [ai-.- aj =
ist, fo ist auch
[Lai--- a„] = 0.
Beweis. Wenn zwei der Grössen ai,--- ä^, z. B- a^
und a^, einander gleich werden, fo ordne man die Ausdrücke,
welche (.nach 504) bei der Entwickclung von [Lai- ■ ■ aj da-
durch hervorgehen, dass man ai,--an in allen möglichen
Folgen in die Lücken von L eintreten lässt, paarweife fo, dass
je zwei derfelben, bei denen fich die Reihenfolge jener Grössen
nur durch die gegenteitige Stellung von a,. und a^ unterschei-
den, ein Paar bilden. Dann werden die Ausdrücke jedes
Paares (nach 504) entgegen gefetztes Vorzeichen haben; wenn
nun a^ und a, einander gleich werden, fo werden diefe Aus-
drücke, abgefehen von dem entgegengefetzten Vorzeichen,
identisch; alfo wird ihre Summe null, alfo in diefem Falle
auch [Lai ■ • • a J =: 0.
3. Wenn [ai- ■ ■ aj =:0 ist, fo heisst das (nach 66), es
stehen die Faktoren ai,--- a^ in einer Zahlbeziehung, d. h.
(nach 2) eine derfelben, z, B. Sn, wird fich als Vielfachen-
fumme der übrigen a,,- ■ ■ a^-i ausdrücken lassen. Führt man
diefen Ausdruck für a^ in [La, ■ ■ ■ a„_ia„J ein, und löst die
diefen Ausdruck umschliessende Klammer auf, fo stellt fich
[Laj ■ ■ • an_ia„] als eine Viel fachen fumme von Ausdrücken dar,
deren jeder zwei gleiche unter den Grössen aj,- ■ - a^—i ent-
hält, alfo (nach Bew. 1) null ist. Alfo ist auch jene Viel-
fachenfumme, d.h. [Laf-Bn], gleich null,
3. Wenn die Reihe der Grössen ai,--- an eine einfache
lineale Aenderung erleidet (vergl, 71), z. B. a^ fich in a^ -f aa^
vonvandell, wo a eine Zahlgrösse ist, und r und s von ein-
y Google
»0*> 357
ander verschieden find, fo verwandelt fich [Lai- • - a,arfi ■ ■ • aj
in [Lai ■ ■ ■ ■ apaj+, ■ ■ ■ ■ aj + a[Lai ■ ■ • ■ ar_iasa,-)-i aj; der
zweite diefer Ausdrücke enthält, da s von r verschieden ist,
a, zweimal, ist alfo (nach Bew. 1) gleich null, aifo bleibt der
Ausdruck [La, •■■ aj von unverändertem Werthe, wenn die
Reihe der Grössen Sn- ■ ■ a„ eine einfache lineale Aenderunjj
erfährt, alfo auch, wenn fie wiederholt eine einfache lineale
Aenderung erfährt, d, h. (nach 71) wenn jene Reihe fich über-
haupt lineal ändert. Wenn nun [aiaj ■ ■ ■ a„] = [b,bä ■ • • bj ^
ist, fo lässl fich (nach 76) die Reihe b,, b2,---b„ aus der
Reihe a,, Hj,--- a^ durch lineale Aenderung ableiten, wobei,
wie eben bewiefen, der Werth von [La, ■ ■ • aj unverändert
bleibt, d. h. es ist dann [Lai ■ ■ ■ a J = [Lbj - ■ ■ bj,
-300. Erklärung. Wenn ein Ausdruck L mit n Lücken
die Eigenschaft hat, dass er mit je n Grössen a,- ■ ■ - am die
in die Lücken eintreten können, ein Produkt [Laj- ■ ■ a„] liefert,
welches null ist, fo fetze ich [L] = 0, Wenn ferner ein Pro-
dukt [a^ ■ - • En] = 1 ist, und L n Lücken enthält, fo fetze ich
[L] = [L.,. ■...].
Anm, Es ist schon früher bei der Behandlung des Potenzwerthes
eines Bruches Q (No. 383), obwohl nur gelegentlich., die hier gewählte
Bezeichnung angewandt, indem, wenn e,j-.en die n Henner find,
deren Produkt [ej' - • ej — 1 ist, und »i,- ■■ an die zugehörigen Z&hlcr,
unter [Qn] das Produkt [aj-'-an] verstanden war. Da nun Q als
Lückenausdruck mit einer LUcke aufgefasst werden, kann, indem näm-
lich (für jeden Index r) Qer:=ar ist, fo wird Qu ein Ausdruck mit
n Lücken, und gehört alfo [Q"] au den hier (in 506) definirten Aus-
drücken. Man überzeugt [ich leicht, dass auch nach diefer Definition
(506) der Ausdruck [Qn] = [ai-Sj- ■ ■ an] wird, und alfo beide Defini-
tionen in vollkommener Ueberein Stimmung stehen. Es hat fich mir
die Allgemeinheit der hier (in 504 und 506) aufgestellten Begriffe, und
ihre wefentliche Bedeutung für die Analyfis erst während der Arbeit
ergeben. Sonst würde ich diefe BegrÜTe und die daraus fliessenden
Sätze fogleich an ihrer Stelle (im ersten Kapitel diefes Theiies) be-
handelt haben. Da liier diefe Sätze den Gang der Entwickelung unter-
brechen, fo beschränke ich mich auf diejenigen Sätze, welche für die
folgende Darstellung unentbehrlich erscheinen.
S07. Wenn L zwei oder mehrere vertauschbare Lücken
enthält, fo ist [L] =0,
Reweis. Es ist zu zeigen, dass wenn von den n Lücken
y Google
358 ta»8
von L auch nur zwei mit einander vertauschbar find, allemal
[La,,- --an] null ist, was auch a,,---an für Grössen fein
mö^en. Denn es feien die ül)rigen Lücken durch beliebige
jener Grössen ausgefüllt, fo geht ein Ausdruck mit zwei ver-
tßuschbaren Lücken hervor, diefer Ausdruck fei P. Sind nun
b und c zwei beliebige Grössen, welche in diefe zwei Lücken
eintreten können, fo ist, da die Lücken vertauschbar find,
•1
Pbc = Pcb; aber [Pbc]=-^CPbc — Pcb), alfo =0, alfo auch
[Lac - ■ Bq] ^0, für beliebige Grössen ai,--- a„, d, h. (näch
506) [L]=0.
508. Wenn Aj,--- A,, Grössen mit je einer Lücke der-
felben Gattung find, welche entweder alle, oder doch alle bis
auf eine derfelben, nach Ausfüllung diefer Lücken Zahlgrössen
werden, und P ein Ausdruck mit beliebig vielen Lücken ist,
fo ist das Produkt
[Ar ■ ■ A,P1
ganz Ten Gefetzen der kombinatorischen Multiplikation (52ff.)
unterworfen und zwar in dem Sinne, dass Aj, ■■■ A^ als ein-
fache kombinatorische Faktoren betrachtet werden, namentlich
find zwei Produkte, welche ßch nur durch die gegenfeitige
Stellung zweier diefer Faktoren unterscheiden, einander ent-
gegengefelzt, d, h.
Ca) [Ai--A,--A,-.A„P] = [Ar-A,--A,-'A„P],
wo beide Seiten der Gleichung [ich nur durch die gegenfeitige
Stellung der Faktoren Ar und A^ unterscheiden, und wenn
zwei jener Faktoren gleich werden, fo ist das Produkt null, d. h,
(b) [Ai---A,---A,.--A„P] = 0.
Beweis. Betrachtet man z. B, nur die beiden ersten
Faktoren At und Aj und nennt das Produkt der übrigen Q,
und fetzt ei, ■ ■ ■ e„ als Einheiten, deren kombinatorisches Pro-
dukt 1 ist, fo ist
[AiAjO] = [AiAaOeiOjes ■ ■ • ej.
Hier foUen C'iacb 504) die Faktoren e^eieg ■ ■ ■ e^ in allen mög-
lichen Ordnungen in die Lücken von AiÄ^O eintreten, und das
Vorzeichen wird pofitiv, wenn Cj, Cj, e^,--- On entweder in
diefer Ordnung, alfo ei in Aj, e^ in Aj und die übrigen
y Google
50») 359
Cj- ■ Cn nach der Reihe in Q, eintreten, oder in irgend einer
andern Ordnung, welche durcii eine gerade Anzahl von Ver-
fetziingen aus jener Ordnung hervorgeht; ganz dierelbe ße-
(ieutung hat aber [AiA^OejCieä- ■ ■ ej, indem auch hier das
Zeichen pofitiv wird wenn ßi in Aj , e^ in Aj , und e^, ■ ■ ■ e^ in
diefer Reihe in eintreten u. f. w., alfo ist [AiAjOeie^ea ■ • - ej
=:[AsAi0e5eie3- -ej, letzteres ist aber, da (nach55)[e2eje3- -Cn]
= — [eiejeg- ■ -o^] ist, (nach 505) gleich — [ÄjAiOeiejöa ■ ■ -e^],
alfo [AiAaO] = — [A^AiQ]. Werden Aj und Aj einander gleich,
fo folgt aus diefer letzten Formel, dass dann [AiA^O] null "wird,
Dasfelbe gilt nun aus demfelben Grunde, wenn man statt der
beiden ersten Faktoren des Ausdruckes [AiAj--- AnP] irgend
zwei andere, A^ und A^, betrachtet. Somit gelton die For-
meln (a) und (b) und auf ihnen beruhen die übrigen Gefetze
der kombinatorischen Multiplikation.
309. Wenn A ein Ausdruck mit einer Lücke und B ein
Ausdruck mit m— 1 Lücken derfelben Gattung ist, und aj,- - 'O^
Grossen dicTer Gattung find, fo ist
[ABax--- aJ=A[Bai--' aj
wo Aj alle Faktoren aj,- ■ ■ a„, mit Ausnahme des Faktors a^,
enthält, und zwar fo, dass [a^Äa] ^= [aiaa- ■ ■ am] ist, und wo
die Summe fich auf die Werthe a^=l,-'--m bezieht.
Beweis 1. Um den Ausdruck [ABai- ■ ■ a„] zu entwickeln,
muss man in die Lücken von AU nach und nach alle mög-
lichen Anordnungen der Faktoren aj,--- a^ eintreten lassen;
dabei muss alfo in Ä nach und nach jede der Grössen ai, - ■ ■ a^
eintreten. Wenn nun zuerst in A die Grösse ai eintrilt, fo
müssen in ß die übrigen Faktoren, alfo die Faktoren von Aj in
allen möglichen Folgen und zwar gleichfalls mit dem Zeichen-
gefetz eintreten, dass zwei fo hervorgehende Ausdrücke gleiches
oder entgegengefetztes Vorzeichen haben, je nachdem die bei-
den Reihenfolgen ein gleiches oder entgegengefetzles kombi-
natorisches Produkt liefern. Die fo hervorgehenden Glieder
werden alfo ^ Aai[BAi] liefern. Hier ist jedoch das -[--Zeichen
zu wählen, weil [aA] :^ [aja^ ■ ■ ■ a^] ist. Aus gleichem Grunde.
y Google
360 (**»
ist die Summe der Glieder, bei denen in A die Grösse Ba ein-
tritt, = 4- ÄSäCBÄj] u. r, w.; alfo wird, da man diefe Summe
nocli durcli die Anzali) ihrer Glieder dividiren muss,
[ABar ■ ■ a„] = —XÄäjBÄJ-
m
2. Ferner ist Cnacii 504)
A[ßar--aJ=i-AZaIßAj"
= — ZAa,[ßA„] [39]
= [ABai--- a„] [Bew. i].
310. Wenn C ein Ausdrucli mit zwei Lüclten gleicher
Galtung ist, welcher durch Ausfüllung feiner Lücken eine
Zahlgrösse wird, und a eine Grösse jener Gatlung, B aber
ein Produkt von 2n — I reichen Grössen, und 2n die Anzahl
der Einheiten ist, aus welchen die Grössen diefer Gattung ab-
leitbar find, fo ist
[CatC-'ß]] = [C"aB]
fCtC-'ßla] = [CBa].
Beweis. [CaB] drückt, da die n Faktoren C alle ein-
ander gleich find, und nach Ausfüllung ihrer Lücken Zahl-
faktoren werden, alfo untereinander vertauschbar find, aus,
dass a in eine Lücke eines der Faktoren, z. B. des ersten
Faktors C, eintritt, während die 2n — i Faktoren von B in
die andere Lücke jenes Faktors und in die übrigen Faktoren
eintreten. Dasfelbe drückt aber die Formel [Ca[C"~'ß]] aus,
alfo find beide gleich. Auf gleiche Weife ergiebt fich die
zweite Formel.
an. Wenn Xdx (in dem Sinne von 502) auf n Glieder
der Form Udu zurückführbar fein feil, d. h.
Xdx = Uidui + --- U„du„
fein foll, fo muss nothwendig
fein.
Beweis. Es fei Ujdui -|- ■■■ Undu^ der Kürze wegen mit
^UadUa bezeichnet, fo ist
y Google
^ dx
aKo
^ Mx "
Somit
dx flx ^ . "dx "
2 Au .i-u 4- Vu ^y
dx " dx " ,^ "dx^ "*
Da ^-vu. ein Ausdruck mit zwei vertauschbaren Lacken
ist (45i), fo können wir bei der Substitution von -;-X in dun
^ ' dx
Ausdruck rx(^^x'A''] (nach 507) die Glieder /"u,^,u„
weglassen, und erlialten
\ r,, d d„ d d„ d 1
wo die Anzahl der Indices a, El, c,--* gleich n + 1 ist- Da
aber u nur n verschieilene Indices hat, fo müssen unter den
Indices a, b,---- nolhwendig mindestens zwei gleiche vor-
kommen; alfü werden auch unter den Grössen -^-u,, -r-"*)
' dx "' dx "'
-j— Uc, ■- nothwendig zwei gleiche vorkommen, alfo ist (nach
508J jedes Glied der obigen Summe null, alTo die Summe
reibst, d. h.
^d.
m^y]^
0.
Anm. Ich werde im FolgeiitTen zeigen, dasa diefe Bedingungs-
gleiohuiig BUgleicli die vollkommen ausreichende ist, fo dass, wenn
rie erfilllt wird, auch alleinal die Reduktion auf n Glieder der i'orm
Udu, alfo auch (nach 503) die Integration durch Vereine von n Glei-
changen möglich ist. Es ist daher diefe in der That wunderbar ein-
y Google
362 CS«»
fache rormel von fehr weitreichender Bedeiituug Der ßeweia dci
felben lat oben lo gefuhrt, dasa auch die Art, wie diefelbe gefunden
ist, unmittelbar hmdurLhleuclitet. Auch halt ea nicht sihwi.r, die
etitbiiieLhcnden Formeln für den lal! zu entnickilu, dasä \dY Pint,
extenfiye Grösse ist, und ich höbe dicfe letzteren Formeln hitr nui
di,shalb nicht aufgestellt, weil wie schon oben aigedenttt, die Be
handlung diefes allgemeinen, die ganze Integralrechnung abechheasen
den Falles hier unterbleiben musste Dagegen werde ich die oben
mitgetheilte Formel in der lolgenden Nummer in die gewöhnliche
Ai alj-riD kleiden
512. Aufgabe. Die Bedmgungsgleicliung au» 511,
nSmlich
durch Zahlgleichungtn zu erfetzen.
Auflöfung. Es fei x — XiCi -j x^e^, wo Ci,- ■ • e„,
das System der Einheiten bilden. Dann ist dx = eidxi -(-■■■
CmdXai; und es wird Xdx = Xe,-(!xi -f . . . Xe„dx„ = X,dx,
■f---Xn,dx„, wenn wir die Zahigrösson Xüi,- ■ ■ XCn, hezieli-
lich mit Xi,- ■ ■ X„ bezeichnen. Die obige Bodingungsgleicbung
fagt dann (nach 506), da X eine und -r-X zwei Lücken ent-
hält, aus, (iass
fei, und auch bleibe, wenn man statt Cj, Oj,- - ■ Caa+i beliebige
2n + l unter den in Einheiten Ci,' ■ ■ e^ Tetzt. Islm^2n + 1,
fo tritt keine andere numerische Bedingungsgleichung als die
Gleichung (*) hervor; ist m "^' 2n -|- 1 , fo tritt gar keine hervor,
weil dann je 3n + 1 Grössen, mit denen Ixf -pX) 1 multi-
plicirt werden mag, in einer Zahlbeziehung stehen, alfo
dann mit ihnen multiplicirt (nach 505^ null lie-
alfo (nach 506) felbst null ist. Wir nehmen daher jetzt
an, dass m =; > 2n -j- 1 fei; und Tuchen unter diefer Voraus-
fetzung in der Gleichung *, X und x durch die Zahlgrössen
Xi,- • ■ Xa, Xi,- • - Xm zu erfetzen. Nun ist nach dem Obigen
Km
y Google
-I^
Xe,= X„ alfo-^Xe,e, = -ix,e3 = .-X, (nach 451), folglich
verwandelt ficli die obige Formel (*) in
dXj dXg dXjQ-l-i
WO man die Indices auf alle möglichen Arten zu vertauschen
und dem jedesmaligen Gliede das Zeichen + oder — vorzu-
fetzen hat, je nachdem diu Anzahl der Vertauschnngen, durch
die es hervorging, eine gerade oder ungerade "war. Bezeich-
nen wir nach Jacobi's Vorgange (Grelle Journal 2, 351)
- — X, — T-X, mit (2, 3) u. r. w., oder aligemein fetzen wir
axg dx;
/X,-/X. = (r,,),
dXg ' äx,. ° >- ' "
fo können wir die vorige Formel auch schreiben
Ö = X+ Xi(2, 3)(4, 5) (2n, 2n + 1),
wobei die Vertauschungen je zweier in einer Klammer stehenden
Indices ausgeschlossen bleihen, Ebenfo können wir, ohne die
Bedeutung der Gleichung zu ändern, festfelzen, dass der erste
der beiden in Klammern geschlossenen Indices von einem Faktor
zum nächstfolgenden nur wachfe, nie abnehme. Denn da die
Ordnung der Zahlfaktoren (2, 3) u. f. w. gleichgültig ist, fu
können wir ihnen immer jene Anordnung geben. Wir be-
zeichnen in diefcm Sinne (mit Jacobi a. a, 0. p. 355) die
Summe X+(2, 3)-(4, 5) (3n, 2n -l- iy~mH (2, 3, 4, 5,
■ ■ ■, 2n, 2n + 1), fo verwandelt ficli die obige Gleichung in
= X+X,C2, 3,---- 2n -J- 1), d. h.
= X,(2, 3,--- 2n -I- 1) — Xi(l,3,---- 2n -f 1)
+ X3(1, 2, 4,--- 2n-|-I) ,
was Jacobi (a, a. 0. p. 356) schreibt
(*«) = Z'XiTcäTs^— ■ , 2n -I- 1).
Solcher Gleichungen giebt es fo viele, als es Kombina-
tionen ohne Wiederholung aus m Elemente» zur (2n -|- l)-len
Klasse giebt. Aber diefc Gleichungen find, wenn mT-»2n-]-l
ist, nicht unabhängig von einander. In der That können wir
zeigen, dass wenn die Gleichung (*), deren Transformirte die
y Google
364 (»i«
Gleichung (**) ist, für a!Ie Kombinationen aus ei,--- e„ zur
t2n + l)-ten Klasse, in denen eine Einheit et vorkommt, deren
zugehöriges Xe^ ^^X, nicht null ist, als geltend angenommen
wird, fie aucli für alle übrigen Kombinationen (in denen e^
nicht vorkommt) gelten muss. In der Thal, es fei X, ^ 0,
und gelte die Gleichung * für alle Kombinationen, in denen
e^ vorkommt, d. h. es fei allemal
wenn Ej eine beliebige Kombination ohne Wiederholung ans
Cjj''"- i^m ^i"" 2n-len Klasse ist, fo ist zu zeigen, es fei
auch allemal
[x(lx)"c.H.] =
= 0,
auch wenn e^ eine beliebige in E, nicht vorkommende Einheit
bezeichnet. In der That ist (nach 508) 1 X\^X jj allemal
null, alfo ist (nach 506) auch Ix^r^xTeie^Ej = 0, d.h.
2"+Xe,[x(-ixJe.E,] =
es ist
wo die Summe fich auf die verschiedenen Glieder bezieht,
welche aus dem unter dem Summenzeichen stehenden dadurch
hervorgehen, dass man Oj nach und nach mit jeder in e^Ej
vorkommenden Einheit vertauscht (und das Vorzeichen ändert);
allein alle diefe Glieder find null, weil dann l'^V j~X ) I ■"''
einer Kombination von Einheilen multiplicirl ist, unter denen
Ci vorkommt, und diefc Produkte nach der Vorausfetzung null
find, alfo bleibt das unter dem Summenzeichen stehende Glied
allein übrig, d. h, es ist
Nun ist gleichfalls vorausgefetzl , dass die Zahlgrösse Xoj
= Xi von Null verschieden fei, alfo erhält man
y Google
*«4) 399
was zu zeigen war. Wir fassen nun das Refultat in einen
Satz ziifammen:
513. Wenn der Ausdruck X,(]xi -f X„(lx„, in
welchem X,,- ■ • X„ Funktionen der Variabeln Xi, Xn, find,
fich auf n Glieder, nämlich auf Uidu, -f ■ ■ ■ U„dUn, foll rodu-
cirßii lassen kiinnen, oder, anders ausgedruckt, wenn die
Gleichung XjdXi -| — -XnidXm^^O, fich foll durch Vereine
von ja n Gleichungen inlegriren lassen können, Co muss erstens,
wenn tn^=2n ■]- 1 ist, die eine JJedingungsgleichung
^X,(2, 3,..-,2n -}- 1) = ,
welche die in 512 beschriebene Bedeutung hat, erfüllt wer-
den; wenn aber zweitens m ^' 2n + 1 ist, fo treten fo viele
(blcher Gleichungen hervor, als es Kombinationen aus m Ele-
menten zur (2n -f l)-ten Klasse giebt, indem man nämlich
statt der Indices 1 , 3, - ■ ■ , 2n + 1 in obiger Gleichung jede
andere Gruppe von ebenfo vielen Indices fetzen kann; doch
reicht unter diefen Gieichungen schon eine geringere Anzahl
aus, indem, wenn z, B. Xi ungleich null ist, es ausreichend
ist, wenn man in der obigen Gleichung statt der Gruppe der
Indices 2, 3,--2n + l, jede andere Kombination aus den
Indices 2, S---- m zur 2n-len Klasse fetzt. So bleiben nur
foviel ßedingungsgleichungen übrig, als es Kombinationen ohne
Wiederholung aus m — 1 Elementen zur 2n-ten Klasse giebt.
Anm Für den einfachsten Fall wom = 2n + list hatJacobi
(0 a O p 356) de Bcd n^ungsgle lung autgestellt F r den Fall
^O n = l st erh It man 1e beka nten Bei ngung gle eh nge de
Integrahltat wekhe (nach 511) n der G!e 1 g [\^xj=Ozi
fammengef ast ersehe nen Es kommt n lara f an de Zurück
5 hrung on \Ix auf Cl eder Icr Form Udu fobald nar d e Be
1 ng ngsgle eliu g (511) f Ir d e MogI cl k t d eler 7 nlckfiihrung er
füllt ist a ch w rkl c! z volk ehen Za d ele n En 1 1 U n r acl
Pfaff B ^orga ge d e folgende Aufgabe
514. Aufgabe. Die Zahlgleichung
(a) Xdx = 0,
in welcher X eine Funktion von x, und x = Xiei +■ ■ • x„e^
aus einem Systeme von m Einheiten abgeleitet ist, auf die
Form zu bringen, dass die hervorgehende Gleichung nur m — J
veränderliche Zahlgrössen enthalte.
y Google
366 (»t4
Äuflöfung. Es kommt zu dem Ende nur darauf an, x
als Funktion einer aus m -— 1 Einheiten ableitbaren Veränder-
lichen a, und einer veränderlichön Zahlgrösse l in der Art
darzustellen, dass, wenn man diefe Ausdrücke für x in die
gegebene Gleichung einführt, dann der Koefßcienl von dt in
der entwickelten Gleichung; null wird, und der Eoefüctent von
da entweder t gar nicht mehr enthält, oder nur in einem Zahl-
fflklor JV, fo dass, wenn man die Gleichung mit N dividirt,
die fo hervorgehende Gleichung t nicht mehr enthält. Be-
zeichnet man mit S' das Bilferenzial nach a, wobei t konstant
gefetzt ist, und mit <f den Differenzialquotienten nach t, wo-
bei a konstant gefetzt ist, fo erhält man dx = d'x -|- dx-dt;
folglich müssen, wenn die verlangte Aufgabe gelöst fein foll,
die beiden Gleichungen erfüllt werden
(b) X.Jx =
CO ^^ =0,
indem die letztere ausdrückt, dass SiJ'x ;iV nicht mehr von
t abhängig ist. Die letzte diefer Gleichung giebt, wenn man
fetzt,
(e) IXS'x = diX^'x) = <JX ■ 6'x -f Xrfd'x.
Differen^iirt man auch die Gleichung (b).nach a, fo er-
hält man
CO =rf'X-(fx + X<?'^x.
Subtrahirt man die zweite diefer Gleichungen von der
ersten, fo erhält man
(g) XXä'x = .JX . S'x - d'X .Jx
(Ix
(h) /lXrf'x = r^X J'x.^xl.
Hier ist -r-X ein Ausdruck mit zwei Lücken; und zwar
dx '
ist hier als erste Lücke, d. h, als diejenige Lücke, in welche
der zuerst gestellte Faktor (im ersten Gliede rf'x) eintreten
y Google
*!*> 367
foll, diejenige Lücke aufgetasst, welche in X enthalten ist,
und als zweite die diircli die Differenziation nach x und Divi-
fion mit dx hrriziitretendo. Die Gleicluing (h) wird nun offen-
bar erfüllt fein, wenn für jede Grösse c, die mit x (alfo auch
mit S'x) von gleicher Gattung ist,
(D «C = [i;X.C.&]
ist. Ich zeige nun, dass, fobald diefe Gleichung (i) (für jede
Grösse c) erfüllt ist, auch die beiden Gleichungen (Ij) iind (c)
erfüllt find, und alfo die verlangte Aufgabe gelöst ist, voraus-
gefctzl, dass X von Null vcrscliieden ist. Es ist ^'x mit x
von gleicher Grösscngattung, muss alfo, wenn die Gleichung
(i) allgemein gilt, in diofer Gleichung statt c eingefetzt wer-
den können, wodurch man die Gleichung ^li) erhält; alfo gilt
auch die Gleichung (g), da fie mit Ch) gleichbedeutend ist.
Ferner ist auch 6x von gleicher Gattung mit x, kann alfo
statt c in Gleichung (i) eingefetzt werden. Dann wird aber
die rechte Seite derfelben (nach 505) null, alfo erhält man
X\ds^O, alfo da^^O (nach Vorausfetzung), fo ergiebl fich
Xdx. = 0, d, U. die Gleichung (b) gilt. Dann aber gilt auch
die daraus abgeleitete (f)- Durch Addition der Gleichungen
(f) und (g) geht aber die Gleichung (e) hervor. Setzt man nun
log. JV^=d~Udt, fo wird auch die Gleichung (d) erfüllt, und
indem man den daraus fliessenden Werth von X in (e) einfetzt,
N ""^
Xdx=0 transformirte Gleichung, welche nur noch a, alfo
eine aus m — 1 Einheiten ableitbare Grösse als Variable ent-
hält, und die Aufgabe ist gelöst. Dies in einem Satze dar-
„Wenn die Zalilgleicliung
Ca) Xdx = 0,
in welcher X eine Funktion von x, und x aus m Einheiten
ableitbar ist, angenommen wird, und man x als Funktion einer
aus m — 1 ableitbaren Variabein a und einer veränderlichen
Zalil t fo bestimmt, dass, wenn 6' das Differenzial nach a,
wobei t konstant gefetzt ist, und S den DifTerenzialquotienten
y Google
36S (A>a
nach t, wobei a konstant gefetzt ist, bezeichnen, und c eine
beliebigfe mit x gleich gatttge Grosse, X aber eino noch unbe-
kannte jedoch von Null verschiedene Zahlgrösse darstellt, die
Gleichung
0) AXc^Fj^X-c-Jx]
erfüllt fei, fo wird die Gleichung (a^ erfetzt durch die Gleichung
W '^5 = 0,
(1) log. JV^d-Udl
ist.«
919. Fortfelzung. Es komnit zunächst darauf an, aus
der gefundennn Gleichung 5141 liio Grösse Sx auf eine Seite
allein zu schaffen. Wir thun dies zunächst unter der Vor-
ausfetzung, dass m = 2n fei. Jene Gleichung enthalt, wenn
man statt c nach und nach diu Einheiten Ci,--- e^^ fetzt, 2n
Zahlgleichungen, durch welche fich die Grossen rfx,,--- Sx^^,
welche in iJx = ei<Jx, -f---- e^n^Xan enthalten find, im Allge-
meinen ausdrücken lassen. Es gelingt dies auf eine fehr ein-
fache Weife, fobald vorausgefetzt wird, dass
feien. In der That hat man dann, um «Jx^ zu finden, nur in
5141 statt c den Werth ['('j-x'^ Er] zu fetzen, wo [e^EJ
= 1 ist und Er als Faktoren die 2n — 1 von e^ verschiedenen
Einheiten enthält. Da nämlich ( t-X j im Ganzen 2n — 2
Lücken enthält und E,. ein Produkt von 2n — 1 Einheiten isl,
fo wird (nach 504) |(;r-X ] E^ I '^'"ß Viel fachen fnmme der
Einheiten, aus denen x abgeleitet isl, alfo mit x von gleicher
Gattung und kann alfo statt c in die Gleichung 514 i einge-
fetzt werden. Dann verwandelt l'ich diefe in
y Google
Wandelt man die linke Seite diefer Gleichung (nach 509) und
die rechte (nach 510) um, indem man bedenkt, dass j-X ein
Ausfüllung ihrer Lücken Zahlgrössen werden, fo verwandelt
fich jene Gleichung in
Setzen wir hierin statt tfx Teinen Werth e^^Xi -(-■■■ Csndxjn,
Fo bleibt, da [E,ej], wenn r von s verschieden ist, gleiche
Fakloren enthält, alfo das Produkt I f — X J E^e^ I null wird,
und da (nach 58) [E^e,] = - [e^E,] — — 1 ist,
M {<E''T'^.]=-[a''j]-.-
Wenn nun die Vergleichungen (a) und (b) erfüllt find, und man
fetzt, fü erhält man
d. h. (nach 509)
oder (nach 3)
(0 Jx = [x(^ixJ"'].
Es. bleibt noch zu zeigen, dass der Werth ^x aus der
Gleichung (e), in welcher [t die durch (d) ausgedrückte Be-
deutung hat, in die Gleichung 514i eingel'etzt, diefe für jeden
beliebigen Werth c identisch macht. Setzt man zunächst statt
y Google
c eine der Einheiten, z. B. e^, fo wird die reclile Seite der
Gleichung 514 i
[M=''[s-K^^)"*]]-
Da x( —X j nach Ausfüllung feiner 2n — 1 Lücken
eine Zahlgrösse wird, fo können wir, ohne die Bedeutung
desfelben zu ändern, ilim noch eine Lücke l hinzufügen (nach
504). Diefe Lücke fei mit den übrigen von gleicher Gat-
tung, fo wird (nach 504) [x(^^)''"l = ['x(^xT~'l
= _- rxi-j-X^-M (nach 508), und dies wieder (nach 509)
^= / XeA l-r-X'^^^E, , wo E, die von e^ verschiedenen
2n^ L dx "J'
Einheiten zu Faktoren hat, und [euEJ = 1 ist; alfo erhält
man, da Xe^ eine Zahlgrösse ist, alfo in dem Produkte be-
liebig gestellt werden darf,
[5^».-]=-ligi5(FfV|]
Da nun E^ alle von e^ verschiedenen Einheiten als Fak-
toren enthält, fo enlhäll es, wenn a von r verschieden ist,
auch e^; dann aber ist [CrEJ (nach 60) null, alfo auch (nach
505) der ganze Ausdruck, in welchem e^Ej vorkommt, alfo
reducirt fich die obige Summe auf das Glied, für welches
a = r wird; da aber [ejE,] = 1 ist, fo erhält man dann den
obigen Ausdruck
Setzt man hierin statt ^ feinen Werlh aus (d), fo wird der
lelzte Ausdruck
= -lXe,.
Somit gilt die Gleichung 514 i für jede Einheit e„ die
statt c gefetzt werden mag, alfo auch für jede Vielfachen-
fumme diefer Einheiten, d. h. für jede Grösse c, die mit x
y Google
von gloichor Gattung ist. Alfo ist bewiefen, dass Jer Aus-
druck (e) für 3x unter den gemachten Vorausfetzungen die
Gleichung 514 i allgemein löst.
Anm. In der erwähnten Abhandlung hat Jacob j (Grelle 3, 35i)
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Slto F tfl „ W
1 W
A
g
Nummer,
c. [x(AxX■]^o,
aber W [(5X)"] =
ist, fo liefert die Gleichung 516c, welche von den Voraus-
felzungen 516a und b unabhängig ist, fiir ^ den Werth null.
Airo haben wir nicht mehr aur die Gleichung 5J4i zurückzu-
gehen, da diefe nur für den Fall, dass /l<0 fei, zu einer
Löfung der Aufgabe führte. Ks zeigt fich aber, dass dann
die Gleichung
wofür man auch die Kongruenz
y Google
372 (»»•
fetzen kann, die Auflöfun^ der Aufgabe 514 crgiebt, d. h. die
Gleichungen 514 b und c identisch macht. Denn dann wird
x& = ^x[x(Ax)"-']
(d) Xöx — [508].
Ferner wird aus gleichem Grunde, wie in 515,
nach der ersten Vorausreizung (a). Diefe Gleichung gilt für
jede Einheit e^^ ßi^•^ ■ Oi„, alfo aucli für eine beliebige Viel-
fachenfumme diel'er Einheiten, alfo auch für ^'x, da dies mit
X von gleicher Gattung, alfo auch aus den Einheiten e,,- ■ ■ e^n
numerisch ableitbar ist. Es wird alfo
r-ji-X.*'xtfx]=:0, d h.
-^Xi^'xiJx — ^-Xdxd'x =0.
dx dx
Es ist aber -^Xrfx^dX und -^-XiJ'x = J'X ; alfo hat man
dx dx
äXS'x — S'X-öx = 0.
Differenziirt man nun die Gleichung (d) nach a, während
t als konstant gefetzt ist, fo erhält man, da ä' das zu diefer
Differenziation gehörige Zeichen war,
d'X - (fx 4- X^rf'x = 0.
Addirt man diefe Gleichung zu der vorigen, fo hat man
SX-ä-x + XSä'x = 0, d.h.
fe) SiXä'x-) = 0, d. h.
es ist X«i'x von t unabhängig, und alfo, da (nach 504) Xdx
= Xd'x -j- X^x war, und XiJx^O ist,
Xdx = Xd'x,
wo der letzte Ausdruck von t unabhängig ist, alfo nur von
2n - 1 Variabein abhängt.
Anm. Die Gleichung (b) ist alfo (unter der Vorausfetzung a)
die Bedingungsgleichung dafür, daas der Ausdrack Xdx Hell unmittel-
y Google
5»«) 373
bar (ohne Ilinzntveten eines Faktors) in einen Ausdruck tranaformiren
lasse, der nur noch 2n — 1 veränderliche Zahlgrössea enthält; wenn
dagegen die Gleichang (b) nicht erfüllt ist, fo gelang diele Trans-
formation nur vermittelst eines veränderlichen Faktors, dessen recipro-
ker Werth oben mit iV bezeichnet war. Wenn ins Befondere n ^i:; 1 ist,
d. h. XAx die Form Sids^ -(-Xgdxi hat, fo ergiebt floh die Gleichung
j-X = 0, als Bcdingungsgleichung dafür, dass fich Xjdx, -{-X^ds^
in einen Differenzial aus druck Udo. mit nur einer veränderlichen Zahl-
grösse (u) verwandeln, alfo fich allfeitig integriren lässt. Die Gleichung
I —X =^0 fagt aber aus, dasa -r—X zwei vertaiiscfibare Lücken ent-
hält, was mit No. 486 stimmt. Ehe ich nun zeige, wie die Aufgabe
zu löfen ist, wenn die Bedingungsgleichung (a) wegfällt, will ich
noch durch Integration der Gleichung 515 e die angedeutete Trans-
formation wirklich vollziehen, wobei ich mich der Methode Jacobi's
(in Grelle 17 p. 138) bediene.
Sil. Forlfelzung'. Die Kongruenz oder Gleichung
bestimmt nur das Verhaltnisb der Differeiizialquotienten dxi,- ■ ■
Sx,^; wir können alfo enien derfelben willkärüch annehmen,
d. h. wir können l beliebig wählen. Setzen wir t=Xän, fo
wird Sx2a = i- Setzen wir dann für den Augenblick XiC^ -f-- ■ •
Xän-i^an-i = Yi ^^ wird X = y -(- ie^^ und iJx = Jy -f ejn,
dann erhält man
'y='*[<E''T'] -''■■■
Hier bestimmt fich [a aus der Vorausfetzung dx^^^ 1;
fetzt man hierin statt »Jx^n feinen Werth aus 515 d*, fo er-
hall man zur Bestimmung von fi die Gleichung
wo E^o = — [ejeä--- ejn-i] ist; foniit erhalten wir
Hier ist die rechte Seile eine Funktion von x, alfo von
y und t; und es kann daher diefe Gleichung nach der Methode
494 integrirt werden. Es ergab fich y (nach 494c) in der
y Google
374 C»««
wo 9> noch wieder eine Funktion von y und t, d, h. von x
ist, und wo a der Wurth ist, den y, und alfo auch x, für
t^O annimmt. Die Formel 494d lehrte zugleich a als Funktion
von y und t, d, h. hier als Funktion von x finden. Dann wird
ö'x, da S' die Differenziation nach a, wobei t konstant war,
bedeutet, gleich d'y =^ da i- lS'(p. AlTo wird XiJ'x : iV, was,
wie gezeigt, von t unabhängig ist, gleich X(da + l3'q>'):N.
Wenn wir daher statt X und N, um fie als Funktionen von
X zu bezeichnen, X(x), JV(x) schreiben, fo erhallen wir
XS'x _ XfxXda + tJ'y)
'N ~ Nix)
Da aber der Ausdruck links von t unabhängig ist, fo muss
es auch der Ausdruck rechts lein, alfo muss er denfelben
Werth behalten, den er für t=:0 hat. Da in diofem Falle
y = o wird, und alfo auch x C=:y + t^an) gleich a wird, fo
erhält man
X^^ _ X Cajda
N ~ iV(a) ■
Nun war, da XSx=!0 ist, Xdx=:XÄ'x = 0, alfo er-
hält man
X(a)da = 0,
als die Transformirte von Xdx^O; und zwar ist in jener a
aus den Einheiten ei,- ■ ■ &tn-i ableitbar, alfo nur von 2n — 1
veränderlichen Zahlgrössen abhängig, was verlangt war.
Anm, Wir hatten dem Satze in 494, den wir hier benutzten,
für den hier Torliegenden Zweck auch, die Form geben können; Wenn
X aua mehreren (m) Einheiten ableitbar ist, und dx = ffxl gegeben
ist, lo wird diefe Kongruenz integrirt dnrch eine Funktion (Fx) von
X, welche einer aus m — 1 Einheiten ableitbaren Konstanten a gleich
gefetzt ist ; und ins Befondere kann man dieser integrirenden Gleichung
Px^a (welche m — 1 Zahlgleichungen enthält) die Form geben, dass
a derjenige Werth wird, welchen x für den Fall annimmt, daea eine
der Ableitzahlen von x, z. B. sm, nnll wird. In diefer Form werde
ich den Satz in der Folge benntzen, indem ja der Beweis des Satzes
in diefer veränderten Form, ganz in dem oben Gefagten enthalten ist.
Um nun die vorliegende Anfgabe auch für den bisher ausgesclilossenen
Fall löfen zu können, will ich noch einen Hülfsfatz voranstellen, wel-
cher auch an fich von Interesse ist.
y Google
518. Wenn [xr^xYl =0 ist, fo ist auch [C^Xy^'l
= 0.
Beweis 1. Die Lücken des erstoren diefcr Ausdrücke
werden durch 2n + li die des letzteren durch 2n -f 3 Fak-
toren ausgefüllt. Ich zeige nun zuerst, dass der zweite Aus-
druck nach Ausfüllung feiner Lücken durch beliebige 2n -f 2
Faktoren aiBj ■ - ■ ■ a^n-i-i fich als Vielfachenfumme von Aus-
drücken der ersten Art darstellen lässt. Ich gehe, um beide
Arten von Ausdrücken zu vermitteln, von dem Ausdrucke
^''[(i^y"''"'- ■■•>■+']
aus. Ich will zu dem Ende mit F, das Produkt der von a,
verschiedenen Grössen ai,- ■• a^o+j bezeichnen, und zwar dies
Produkt fo genommen, dass [örFr] ^=[aia2 ■ ■ ■ • ha+ii ^'^'t ""d
ebenfo mit F,. j das Produkt der von a^ und a^ verschiedenen
unter jenen Grössen und zwar fo, dass [ar38pr,B]'=[aia2' ■ •aja+al
Tei. Dann wird der obige Ausdruck
Hierzu können wir, da [aiF^] , wenn b ^ 1 ist, nothwendig
den Faktor ai zweimal enthält, alfo in diefem Falle (nach
50,)J der obige Ausdruck null wird, fobald wir aiF^ statt aiF,
und gleichzeitig Xa^, statt Xa, schreiben würden, noch be-
liebig viele Ausdrücke diefer Art hinzufügen; und wir erhalten
den obigen Ausdruck
=2^'{ao""»'^J-
wo fich die Summe auf alle Werthe b = 1,- ■2n -f 2
füll. Diefer Ausdruck ist aber (nach 509)
wenn F( „ die oben angegebene Bedeutung hat, d. h. [ajaoF^ ,]
= [aia^- • ■ a2„+2], alfo [aaFta]=F6 ist, und alfo a von 6
verschieden ist und daher nur 2n + 1 verschiedene Werthe
annehmen kann. Fassen wir jetzt (nach 509) den ersten und
dritten der unter dem Summenzeichen stehenden Faktoren zu-
fammen, fo erhalten wir den gefundenen Ausdruck (nach 509)
y Google
=-I[s--][<sX>.].
wo das Minus- Zeichen zu fetzen ist, weil aus [afeüuFi^a] ^=
[aiBj- ■ -aan-i-i] folgt, dass [aaaeFa_nl = — [aiaj aan+s] '^*f
und alfo nach dem Princip der obigen Bezeichnung ¥t,:= —
[86^6 a] fein muss. Die gewonnene Formel ist, alfo
(=) x4(Axy-,p.]=- j[|x.:4<|x)V].
wo nach dem Obigen Fa ein Produkt ist, dessen Faktoren aus
einer beliebig gewählten Faktorenreihe ai, »aj-'-aja^-^ ge-
nommen find, und zwar fo, dass ausser a^ alle Faktoren diefer
Reihe darin vorkommen und [a^FJ = [aia^- ■ ■ ajn+a] ist.
2. Wenn nun Xf -pX ) \^=^ 'st, fo ist auch die rechte
Seite der Formel (a) null, alfo auch die linke, Alfo müsste ent-
weder Xa, oder [(^x)"^'.,K,], d. ],. [(^xj '"'.,». ■ •«>.+.]
null fein. Sollte das erstere der Fall fein, fo könnte man statt
ai irgend eine andere der Grössen a,, as,- ■ ■ a,n+ä fetzen; und
wenn auch nur für eine derfelben a, das Produkt Xa,^0 wird,
fo ergiebt fich schon der zweite Faktor j ( j— X J af • -ain+j I
gleich null. Sollten aber Xaj, Xas,- ■ ■ Xaj„+, fämmtlich null
fein, fo würde auch ^Xa^ für jeden Index r null, alfo auch
I -pXajag , alfo auch I ( -j-X ^ aj ■ ■ - ihn+t gleich null. Diefer
Ausdruck ist alfo für jede Faktorenreihe ai,'-- »2^+2 gleich
null, alfo Cnach 506} [r^xY 1 felbst gleich null.
919. Forlfetzung der Aufgaben 514—517. Es fei, wie
in 514, die Zahlgleichung
Ca] Xdx =
betrachtet, in welcher, wie dort, x aus einem Systeme von
m Einheiten ableitbar ist. Immer wird fich ein Werth n von
der Art angeben lassen, dass
y Google
fei. Denn die Vergleichiing (c) wird immer erfüllt, weoii
n = l ist, wo fie (ich auf X^O reducirt; und die Gleichung
(b) wird immer erfüllt wenn 2n + 1 > m ist; denn dann wird
zwischen jeden 2n -f- 1 Grössen, welche die Lücken des Aus-
druckes lx(-pX J j auszufüllen vermögen, eine Zahlbczie-
hung herrschen, weil fie aus weniger als 2n 4- 1, nämlich
aus m Einheilen numerisch ableitbar wären, folglich giebt jener
Ausdruck mit jedan 2n -[- 1 Grössen, die feine Lücken füllen,
multiplicirt (nach 505J null; alfo ist er feihsl null (nach 506).
Dies tritt allo stets ein, wenn 2n-f-l>m, d.h. n> — ^
ist, folglich muss es zwischen 1 und — ^ — einen Werth n
geben, für welchen die obigen Vergleichungen b und c er-
füllt find. Diefer Werth fei für n angenommen. Nun kommt
es- (nach 514) darauf an, die Gleichung
K-.-]-
■ylXe,=:0
für jedes s von 1 bis m zu erfüllen; indem, fobald diefe er-
füllt ist, und X nicht null ist, die Gleichung (a) durch die
Gleichung -i;;— =0, erfelzt wird, in welcher die Unke Seite
nicht mehr von t abhängt und JV durch die Formel 5H(1) be-
stimmt ist. Bezeichnen wir der Kürze wegen mit Gj den
Ausdruck
^E^H-
■^Xc,
fo können wir die obigen Gleichungen schreiben
= G, = Gs = ■ . ■ = G„.
Nun zeige ich, dass, wenn m > 2n ist, zwischen jeden
2n -|- 1 der Grössen G, ■ • ■ ■ G^ eine Zahlbeziehung herrscht.
Angenommen, es herrsche zwischen den 2n Grössen Gi,' ■ Gjn
24«
y Google
378 (*•«
noch keine Zuhlbeziehung, fo zeige ich, dass jede der übrigen
Grössen, z. B. G^ fich als VieKachenrumme von Gi,---Gsn
(iarslellen lasse. Bezeichnen wir mit E das Produkt [eie^ ■ ■ e2ue„]
und mit Fa das Produkt aller von Cj verschiedener Faktoren
des Produktes E, uiid zwar in dem Sinne, dass fe^Fa] = E fei,
und bezeichnen wir endlich mit a^ den Ausdruck I ( -p-X j F^ I,
fo wird, wenn man die folgenden Suramen auf die Werlhe
1, 2''- 3n, und m, welche a nach and nach annehmen fol!,
bezieht,
was nach dem Begnife der durch die scharfen Klammern be-
zeichneten Produkte
= - C2n + 1)[(^x)"''e] - «3„ + i)[x(ix)"E]
ist. Nun ist (nach b) [^("iO"! ^ '^ ' ""^ ^""^ ^'^'^''^ ^^^^
auch ( -j-X j =^0, alfo wird die ganze rechle Seite gleich
null, alfo auch
d. h. zwischen den Grössen Gi,- ■ ■ ■ G^^ und G^ und überhaupt
zwischen jeden 2n -f- 1 der Grössen G,,--- G^ herrscht eine
Zahlbeziehung. Es werden alfo unter ihnen 3n angenommen
werden können, etwa G,,--- Gjn, aus denen die übrigen nu-
merisch ableitbar find. Wenn alfo die Gleichungen GijGj,-'-
Gjn^O erfüllt find, fo werden auch die übrigen bis G^, ^
erfüllt. Alfo können wir auch von den Grössen Jx,,---Jx„„
deren Verhältnisse durch die Gleichungen G,,- ■ Gni^:0 be-
stimmt find, die Grössen (Jxän_)_i,- •■ ^Xm willkürlich annehmen,
z, B. alle gleich 0, d. h. wir können Xjn^i,--- x^j in Bezug
auf die durch S ausgedrückte Differenzialion als konstant an-
fehen. Dann haben wir alfo, immer unter der Vorausfetzung
dass ^^0 fei, die Gleichungen Gi^O,-> Ga„ = mit nur
2n Variabein (indem wir XjQf,,- ■ • x„ noch als konstant fetzen)
y Google
Äl»> 379
unii mit der Bedingung I x( — X ) 1^0. Dann erhallen wir
airo (nach 5J5)
(d) <?x = [x^^xY 'e, ■ ■ ■ ej J oder
fa = 4x(lx)-e,...c„]
a]s eine Grösse, die die Gleichungen Gi,---Gjn = 0) u"d
alfo auch (wie fo eben gezeigt) die Gleichungen G,, ■ • ■ G„ =
erfüllt, und alfo auch den Ausdruck Xä'x : N von t unab-
hängig, und Xdx null werden lässt. Inlegrirt man diefc Kon-
gruenz nach der Methode von No. 517 (vergl. Anm.) durch
eine Gleichung von der Form Fx = b, wo b den Werth be-
zeichnet, welchen Xje, -f ••■■ X2n_-iejj,__( fürt = X2„=::0 an-
nimmt, und fetzt a^b -]- Xjn+ißäa+i +■ ■ ■ -[-x^e,^, fo wird,
da Xjn-].,,--- Xn, von t unabhängig find, a der Werth den x
für t = annimmt; und da dann vermöge der Gleichungen
Gj =^- • • ^:Gni=^0, die Grösse XtJ'x : iV von t unabhängig
wird, fo erholt man aus demfelben Grunde, wie in 5i7,
X(a)da = als die Gleichung, welche die Gleichung X ■ dx ;=
oder X(x)dx = erfetzt, und welche nur noch von m — 1
veränderlichen Zahlgrössen, nämlich von den Zahlgrössen,
durch weiche a aus den Einheiten Oi, ■ • - Cia-i , iia+n ■ ■ ' ßm
ableitbar ist, abhängt. Es war auch hier noch vorausgefelzt,
dass ^^0 war. Diefe Vorausfetzung können wir erfetzen
durch die Vorausfetzung, dass I ( -pX J 1^0 fei. Nämlich,
man kann aus den Gleichungen d = Gj =■■ ■ Gjn^^O, ganz
wie in 515, die Gleichung (die dort mit c bezeichnet war
nämlich)
ableiten; fetzt man ins Befondere r^^2n, fo wird tfxi. ^ rfxj,
:= 1 , und man erhält
I f T~X J I von null verschieden, fo muss auch / von
Ist alfo
yGoosle
380 (»i»
null verschieden fein. Es ist alfo nur noch der Fall zu be-
rückficliligen , wo I f -j~X J \^^ 'Sl. Ist aber dieTc Gleichung
erfüllt, fo ergiebt ficb leicht, dass die Gleichung (d) gleich-
falls der Aufgabe genügt. Denn es ergiebt ficii dann, wie in
516d, dass XiJx = fei, ebcnfo ergiebt fich;
was fich ganz, wie der entsprechende Ausdruck in 515, iiin-
wandell in
—il^'KFJ'fi]'
wo [enEJ ^ [Cj • ■ ■ ■ Cj J und s jede der Zahlen 1 ■ - ■ ■ m foin
kann. Die rechte Seite ist nach der gemachten Vorausfetzung
null. Alfo
[k^'.*^] =
wo statt Oj jede der Einheiten ej,- ■ ■ e^,, alfo auch jede Viel-
fachenfumme derfelben, alfJ auch S'x gefetzt werden kanui
fomil erhält man
[Ax,..fa] =
0,
und hieraus ergiebt fich, wie in 516, <5(XiJ'x) = und Xdx
=:XiJ'x. Alfo hat fich der Satz ergeben:
„Wenn in der Zahlgleichung
(a) Xdx = 0,
in welcher X eine Funktion von x, und x aus den Einheiten
6|)" ■ ■ ßm durch die Zahlen x,,- • ■ x^ ableitbar ist, die Grösse
X die Eigenschaft hat, dass für irgend einen Werth n, der
kleiner als -^ ist,
und W Kh")""]?».
ist, fo lässt fich jene Gleichung (a) erfetzen durch eine
Gleichung
y Google
5«1) 381
(e) Ada = 0,
in welcher a aus m — i Einheilen ableitbar ist, (t, h. ntir
in — 1 veränderliche Zahlen einschiiesst, und A diefulbe Funk-
tion von a, wie X von x ist. Und zwar findet man die Grösse
a durch Integration der Gleichung
Cd) fa = ^[x(Axy^'e,...-e,.],
in welcher S den Differenzialquotienten nach einer der Varia-
bein Xi,- • • Xja, Z- B- nach x^^, bedeutet, und alfo ^Ä2n=l
ist, wodurch fich ii bestimmt, und in welcher Xjn-i-i, x^n.;.,,- ■ -x^
als konstante Grössen behandelt werden. Wenn nun in diefem
Sinne die Gleichung (d) durch eine Gleichung von der Form
CO Fx = b
integrirt wird, wo I» den Werth bezeichnet, den x^ei -f ■ ■ -
Xin-i^an— 1 für X2n=0 annimmt, To ist
tg) a = Fx-|-X2„ e + x^e^,
alfo a aus den Einheiten e e e +i,--- e^ ableitbar.
330. Zufatz 1. Wenn n 1er origen Hummer nur
die Gleichungen (ß) und (b) erfüllt f d aber nicht die Ver-
gleichung (c), fo lässl fich n g = 2n oder >■ 2n fein,
gleichfalls die Gleichung (a) a f m — 1 veränderliche Zahl-
grössen zurückführen und z v r auf e e Gleichung der Form
Ada=tO, wo A diefelbe F kt o o wie X von x, und
a aus m — 1 Einheiten ableitbar ist.
Beweis. Denn wenn auch Xf -pX j ^=0 fein follle,
fo muss, da doch schliesslich X^O ist, fich ein Ziblwerll
n' > n finden lassen von der Art, dass die Vergl chunge
(b) und (e) gelten, fobald man n' statt n felzl, da n n
oder = 2n war, fo ist m stets :> 2n', alfo kann na la n
nach dem vorigen Salze die Gleichung Xdx = gte chfalls auf
m — 1 veränderliche Zahigrössen zurückführen u, f. w.
321. Zufatz 2. Ins Befondere kann man, wenn m = 2n
ist, stets die Gleichung Xdx = auf m — 1 veränderliche
Zahigrössen zurückführen.
Beweis. Denn dann gilt die Gleichung (b) stets (nach
519); und wenn dann auch die Vergleichung Cc) gilt, fo findet
y Google
382 (*»«
die Zurilckführung (nach 517) statt; wenn jene Vorgleichung
aber nicht gilt, fo geschieht fie nach 530.
533. Wenn die Gleichungen (a) und (b) in demtelben
Sinne wie in 519 gelten, fo kann man die Gleichung
Xdx=0
allemal auf 2n — 1 veränderliche Zahlgrössen zurückführen,
und Kwar auf ilie Form
Ada = 0,
wo Ä diefelbe Funktion von a, wie X von x ist, und a aus
2n — 1 Einheiten ableitbar ist, d. h. nur noch 2n — 1 ver-
änderliche Zahlgrössen einschliessl.
Beweis. Es Toll hier nicht bloss der Salz crwiefen,
fondern auch gezeigt werden, wie die neue Variable a als
Funktion von x gefunden werden kann. Nach 530 kann man
Xdx^=0 durch eine Gleichung von der Form A^dai^O er-
fetzen, wo ai , was aus m — 1 Einheiten ableitbar ist, eine
bekannte Funktion von x, und Ai diefelbe Funktion von aj
ist, wie X von x. Da nun die Gleichung (b) fär jeden Werth
von X gilt, alfo auch wenn man ai statt x letzt, fo erhält man
Wenn alfo noch m — i (die Anzahl der Einheiton aus
denen a, ableitbar ist) grösser als 3n ist, fü kann man aber-
mals die Methode in 519 oder 530 anwenden, und erhält dann
eine Gleichung der Form Ajdai ^=0, wo 82, was aus m — 2
Einheiten ableitbar ist, eine bekannte Funktion von ai, alfo
auch von x ist, und A^ diefelbe Funktion von a2, wie A,
von a,, alfo auch wie X von x ist. Auf diefe Weife kann
man fortfahren, fo lange noch die Anzahl der übrig bleibenden
veränderlichen Zahlgrössen grösser als 2n ist; ja (nach 521)
auch noch, wenn diefe Anzahl =^2n ist. Wendet man dann
dies Verfahren noch einmal an, fo reducirl fich die Anzahl
der veränderlichen Zahlgrössen auf 2n — 1. Wenn dann die
fo refultirende Gleichung, die Gleichung Ada^O ist, fo ist
alfo a aus 2n — 1 Einheiten ableitbar, und eine bekannte
Funktion von x, und A ist diefelbe Funktion von a, wie X
von X,
y Google
Hh) ]
h Z hlg ö
1 t t
d i r A
t= — rt w R-ttb h dmd
ftt t = = dlfgwhl dk dj
Funktion in t:=0, d, h, m xu = c, stetig fei.
32ä. Aufgabe. Den numerischen Ausdruck Xdx, in
welchem X eine Funktion der extenliven Grösse x ist, unter
der Voraiisfetzuitg;, dass
« [x(Ax)>o
ist, auf die Form
Xdx = U,du, ^- ■■■U„du„,
wo üi,'-* Uu, u,,-'- Un Zahlgrössen find, zurückzufiiliren.
Auflöfung. Man kann (nach 522) die Gleichung Xdx =
auf 2n — i veränderliche Zahlgrössen zurückführen, welche
bekannte Funktionen von x find. Eine beliebige diefer ver-
änderlichen Zahlgrössen fei mit u, bezeichnet, fo ist u^ gleich-
falls eine bekannte Funktion von x. Nun fei Uj konstant ge-
letzt, fo bleiben nur noch 2n — 2 veränderliche Zahlgrössen
übrig. Folglich können wir (nach 521) die erhaltene Glei-
chung (welche nach den obigen Sätzen stets die Form Ada
hat) auf 2n ■— 3 veränderliche Zahlgrössen zurückliihren, welche
bekannte Funktionen der obigen 2n — 1 Veränderlichen, und
alfo auch bekannte Funktionen von x find; eine derl'elben fei
mit Uj bezeichnet, und fei Uj konstant gefetzt, fo hat man
nur noch 2n — 4 veränderliche Zahlgrössen, welche fich auf
2n - 5 Folcbe zurückführen lassen, u. f. w. Hat man diefe
Methode r mal angewandt, fo nämlich, dass man nach und
nach die Grössen u, , Uj, -■ u^, welche l^mmtlich bekannte
y Google
384 (SS 4
Funktionen von x Tind, konstant gefetzt hatte, fo bleiben nur
noch 2(n — r) — 1 veränderliche Zahlgrössen übrige. Setzt
man alfo r = n — 1, fo bleibt nur noch eine veränderliche
Zalilgrössc übrig und die rcfullirencie Gleichung hat die Form
UndUa = 0, wo Uq nur von der variabeln Zahlgrösse ü„ ab-
hängt Setzt man alfo auch u^ gleich einer Konstanten, fo
werden jetzt alle Dilferenziaigleichungen, alfo namentlich auch
die erste Xdx^=0 erfüllt, wenn die Funktionen u, , u^,- ■ • u„
Konstantun gleich gefetzt werden, alfo lässt fich nach der Me-
thode 502 Xdx in der Form
Xdx = Uidui 4.....U„du„
darstellen, und die Aufgabe ist gelöst.
S2a, Der numerische Ausdruck Xdx, in welchem X
eine Funktion der extenfiven Grösse x ist, ist dann und nur
dann auf eine Summe von n Gliedern der Form Udu, wo U
und u Zahlgrössen vorstellen, zurückführbar, wenn
M [x(ix)>o
ist.
Beweis. Wenn die Gleichung (a) erfüllt ist, fo ist die
genannte Zurückführung von Xdx auf n Gliedern der Form
Udu (nach 523} ausführbar, und wenn umgekehrt diofe Zurück-
führung möglich ist, fo wird (nach Sil) die Gleichung (a)
erfüllt.
323. Ziifatz. Wenn X aus 2n Einheilen abletthar ist,
fo lässt fich Xdx allemal auf n Glieder der Form Udu, wo
U und u Zahlen find, zurückführen.
Beweis. Denn wenn x aus 2n Einheiten ableitbar ist,
fo ist die Gleichung [xf xy| = (nach 519) stets erfüllt,
und alfo Xdx (nach 524) auf n Glieder der Form Udu zurück-
führbar.
A n ra. Es folgt aus diefen Sätzen fugleich, dass wenn fx^'-J-x'! 1
von null verschieden ist, fich auch die Gleichung Xdx^O riclit auf
weniger als 2ii — 1 veränderliche Zahlgrössen zurückfuhren lasse. Denn
liesse fie fich auch nur auf 2n — 2 folche zurüclcfiiiiren , und fei Ada
^0 die fo erliaheue Gleichung, fo liesse floh (nach 535) Ada auf
y Google
S»») 385
II — 1 Glieder der Form Udu zuröokführen. Aber da die Gleichangen
Xdx=iO und Ada^O fich gegenrpitig erCeten, fo können fie fich
nur durch einen Zahlfaktor unteraclieiden. Es fei Xdx = iVÄda, fo
wird nnn auch Xdx auf n — 1 Glieder der Form Udu zur iick geführt
fein; alfo (nach 511} [x^— xV 1=0 fein, was mit der Voraus-
fetzung Blreitet. Alfo ISsat fich unter der gemacliten Vorausfotzung
die Gleichung Xdx ~ nicht auf weniger als 2n — 1 yeränderliche
ZahlgrÖsscn zurückführen. Es bildet diefe Bemerkung eine schon oben
angedeutete Ergänzung zu dem Satze 522.
526. Aufgfabe. Die Zahlgleichung Xdx=0, in welcher
X Funktion der exlenfiven Grösse x ist, vollständig zu in-
tegriren.
Auflüfung. Es lässt fich (na<Jh 5J9J stets ein Werlh
n von der Art angeben, dass
fei. Dann lässt lieh Cnach 523, 524) Xdx stets auf u (aber
nicht auf weniger als n) Glieder der Form Udu (wo U und u
Zahlen find) zurückführen. Es fei
Xdx = U,dui +.■■ U„du„==0,
fo fuche man zu der Gleichung Uidu, -\ U„du„ = (nach
503) die Tiimmtlichen inlegrirenden Vereine von je n Glei-
chungen, fo integriren diefe Vereine alfo die mit jener iden-
tische Gleichung Xdx = 0.
52-3. Zufalz. Die Gleichung [\;^^J J^*^ 's"'''-'
nothwendige aber auch ausreichende Bedingungsgleichung da-
für, dass fich die Gleichung Xdx = durch Vereine von je
n Gleichungen inlegriren lasse.
Am N h 500 t m t der vollständigen Integration der Zahl-
gl h g \d = gl h d c der partiellen Differenzialgleichungen
t Od g U d t öhrend die Integration der partiellen Dif-
f Igl h g 1 h dnung (nach 501) auf die Integration
d xt r Gl h g \d =0 zurückführte, welche wir hier aus-
y Google