Die graphische Statik der Baukonstruktionen / 2

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I.

H. F. B. MÜLLER-BRESLAU

GRAPfflSCHE STATIK DER

j BAUKONSTßUKTIONEN.

>

DIE

GKAPHISCHE STATIK

DER

BAUKONSTRUKTIONEN

VOH

HEINRICH F' Bf MÜLLER-BRESLAU,

OEH. REGIERÜNOSBATH UND PROFESSOR AN DER KGL. TECHNISCHEN HOCHSCHULE

IN BERUN.

Dritte wesentlich vermehrte Anflage.

Band IL

Erste Abtheilung.

Formändening ebener Fach werke. — Untersuchung der ebenen,

statisch unbestimmten Fachwerke.

Mit 436 Textfignren und 7 lithograph. Tafeln.

LEIPZIG,

Baumgärtner*ä Buchhandlung.

1903.

Druck von Grimme & Trömel in Leipzig.

v

c

J ^

Vorwort.

Die vorliegende Abtheilung der Statik der Baükomtrüktionen
beschäftigt sich mit einer der wichtigsten Anwendungen der Elasti-
citätslehre; sie stellt sich die Aufgabe^ die Formänderungen ebener
Fachwerke und die Theorie des statisch unbestimmten ebenen Fach-
werks möglichst vollständig darzustellen.

Den Ausgangspunkt bildet hierbei das Gesetz der virtuellen Ver-
rückungen und der aus diesem gefolgerte, zuerst von Maxwell fiir
einen einfachen Sonderfall bewiesene und vom Verfasser erweiterte
Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen Formänderungen*), eine
analytische Grundlage, die auf den ersten Blick für ein Lehrbuch der
graphischen Statik nicht recht geeignet erscheint. — Wer sich aber auf
das Gebiet der Elasticitätslehre begiebt, ist immer gezwungen, gewisse
Vorarbeiten durch Rechnung zu erledigen, und angesichts dieser Sach-

*) Ich habe diesen Satz zu Ehren des berühmten englischen Gelehi-ten den
MaxwelPschen Satz genannt, mache aber darauf aufmerksam, dass die Ab-
handlang von Maxwell im Phiiosophical Magazine Bd. 27 (1864) S. 294 keines-
wegs jene Zurückführung aller Einflusslinien auf Biegungslinien enthält, durch
welche die Untersuchung der statisch unbestimmten Systeme sich so ausserordent-
lich einfach und übersichtlich gestaltet hat. Die in diesem Buche zu diesem
Zwecke benutzten Gewichte w habe ich in einer Beihe von in den Jahren 1883
und 1884 erschienenen Abhandlungen über die wichtigsten Trägersysteme ein-
geführt, und die allgemeine Deutung der Einflusslinien der Summen ^SoSa^s
^SpSb?*" als Biegungslinien gab ich in der Zeitschrift des Hannoverschen
Archit. u. Ing.-Ver. 1885, ohne hinsichtlich der Grössen X einschi-änkende Vor-
aussetzungen zu machen; schliesslich habe ich in meinem Buche „Die neueren
Methoden der Festigkeitslehre u.s.w.", Leipzig 1886, die allgemeinen Elasticitäts-
gleichungen

Xo 4" 5a ^at = 2 Pm ^ma Xa ^aa — Xb ^bo — Xe 8«, — ' * *

aufgestellt. Ich hebe dies hervor, weil diese Gleichungen öfter benutzt und mit
der Bemerkung „nach Maxwell" begleitet worden sind. "Wer sich davon über-
zeugen will, dass der vorstehende Einspiiich gerechtfertigt ist, möge die kurze
Arbeit Maxwells nachlesen.

13-^010

VI Vorwoi-t

läge liesse es sich kaum rechtfertigen, ein so vortreffliches Rüstzeug wie
die neuere analytische Theorie beiseite zu legen und durch umständ-
lichere Hilfsmittel zu ersetzen. Dem zeichnerischen Verfahren bleibt
immer noch ein weites Feld: die Auftragung der Verschiebungspläne
und die Benutzung dieser Liniengebilde zur Herleitung der Einfluss-
linien und Einflusszahlen, welche auf alle bei der Untersuchung eines
gegebenen Fach Werks zu stellenden Fragen die bündigste Antwort geben.

Unser Buch ist folgendermassen gegliedert:

In der Einleitung werden die Grundgesetze der neueren analy-
tischen Theorie unter der Voraussetzung hergeleitet, dass für den
Baustoff eine Proportionalitätsgrenze besteht und die Beanspruchung
innerhalb dieser Grenze liegt, eine Annalime, welche bei den hier
ausschliesslich in Betracht kommenden Trägem aus Schweisseisen,
Flusseisen und Stahl zulässig ist. Der Verfasser hat sich hierbei
möglichster Kürze befleissigt, hofft aber, die Schwierigkeiten, welche
diese allgemeinen Lehren dem Anfänger zu bieten pflegen, durch Ein-
flechtung von leicht zu überschauenden Sonderfällen gehoben zu haben.

Der L Abschnitt lehrt in den §§ 1 — 4 die verschiedenen
Darstellungsweisen der Knotenpunktsverschiebungen ebener Fachwerke
und zwar in erster Linie die zeichnerischen Verfahren, nebenbei aber
auch den in vielen Fällen einfacheren rechnerischen Weg. Dieser
wichtigste Theil des Buches ist besonders ausführlich behandelt
worden ; es wurden auch schwierigere Aufgaben mit Zuhilfenahme der
Kinematik behandelt. § 5 enthält sodann als Fortsetzung der Ein-
leitung eine Reihe von Aufgaben über das statisch unbestimmte Fach-
werk und zeigt, dass sich die Ermittelung der statisch nicht be-
stimmbaren Grössen stets mit Hilfe von einfachen Verschiebungs-
plänen durchführen lässt und dass der vorgetragene Lehrstoff selbst
bei Behandlung verwickelterer Fälle nicht im Stiche lässt

Damit ist die Theorie des ebenen Fachwerks abgeschlossen. Der
H. Abschnitt enthält ledigUch Anwendungen; es werden die wich-
tigsten statisch unbestimmten Träger ausführlicher beti-achtet, zuerst
der Zweigelenkbogen , sodann die versteiften Stabbögen, der beider-
seits eingespannte Bogen, der Balken auf mehreren Stützen, ver-
schiedene seltenere Anordnungen statisch unbestimmter Balken-,
Bogen- und Kettenbrücken und die mehrtheiligen Fachwerkbalken.
Dieser für den praktischen Ingenieur bestimmte Theil des Buches
hat in der neuen Auflage erhebliche Erweiterungen erfahren. Den

Vorwort. VII

Schluss der reichhaltigen Aufgabensammlung bildet die Untersuchung
eines viertheiligen, dreifach statisch unbestimmten Netzwerks; sie ist
besonders wichtig, da Träger dieser Art für zerlegbare Brücken ge-
wisse Vorzüge besitzen. Hier galt es , nicht allein durch Vorführung
einer strengen Untersuchung die im I. Bande vorgetragene bequeme
angenäherte Berechnung zu prüfen und zu bestätigen, sondern auch
falsche Ansichten zu bekämpfen, die neuerdings auf diesem Gebiete
laut geworden sind.

Alle Untersuchungen des IL Abschnitts sind als Beispiele zur
Erläuterung der allgemeinen Theorie aufgefasst worden, ein Verfahren,
welches der Verfasser in seinen Vorträgen an der hiesigen technischen
Hochschule als vortheilhaft erkannt hat und welches die Bewältigung
dieses wichtigen Lehrstoffs ohne grossen Zeitaufwand gestattet. Der
Lernende hat in der That nur nöthig, ein einziges schwierigeres Bei-
spiel sorgfältig durchzuarbeiten, um sich volle Sicherheit auf dem
ganzen Gebiete zu erwerben. Dass diese auf die Beherrschung der
allgemeinen Gesetze hinzielende Vortragsweise seitens des Studirenden
anfangs etwas mehr geistige Anstrengung verlangt als die Beschrän-
kung auf die einfachsten Sonderfälle, von denen jeder von Grund aus
entwickelt wird, ist selbstverständhch. Dafür bietet sie aber auch mehr
als eine Gebrauchsanweisung für die Behandlung leichter Aufgaben.

Berlin im Juni 1902.

H. Müller-Breslau.

VUI

Berichtigungen zu Band 11, Abth. 1.

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11

V

Seite 8, Zeile 1 v. o. lies § 84 statt § 38.

8, Zeile 3 v. u. hinter Band I. ist einzuschalten: (2. Auflage.)

19, Zeile 4 v. u. lies X=0 statt X=0.

31, Zeile 1 v. u. lies (32) statt (20).

48, Zeile 7 v. u. lies +t, y* statt +t, y»-

46, Zeile 1 v. u. lies ^fQd^=ff(. ...) dV anstatt

^fQdii = f{ )rfr.

47, Zeile 10 bis 12 lies dyx=^dr^ statt =-3rT,.

dyp = -±7 dTy statt = — Ty.

O- Cr

dy, = "77 dT, statt = — t,.

Cr Cr

bB, Zeile 1 v. o. lies Atti della academia delle scienze statt Atti delle Scienzi.

59, Zeüe 1 v. o. lies empfiehlt statt empfliehlt

64, Zeile 1 v. u. lies § 41 statt § 42.

69, Fig. 45 ist der doppelt eingekreiste Punkt 0 nicht Ö, der Punkt rechts

daneben ist f* nicht f

74, Zeile 13 v. u.' lies Abschnitt XHI statt Abschnitt XIV.

80, Zeile 11 v. u. lies (13 • tr) statt 13 fr).

85, Zeüe 6 v. o. lies Abschnitt XIII statt Abschnitt XIV.

91, Fig.. 62 a lies «, (d,) statt «(aj).

91, Fig. 62 b oben lies C statt Cj.

103, Zeile 18 v. u. lies: (Seite 95) statt Seite 95).

109, Fig. 91 b lies — [t^ und + \h s^^ {jl« und [u.

110, Fig. 93 b lies — m und — [Lf statt m und fj^.
119, lies F^. 105 statt Fig. 106.
121, Zeile 12 v. u. lies § 33 statt § 20.
127, Zeile 2 v. o. lies § 45 und § 46 statt § 46 und § 47.
127, Zeile 5 v. o. lies Anfang statt Anhang.
127, Zeile 6 v. o. lies § 46 statt § 47.
127, Zeile 10 v. u. lies 10000 A'i4 = — 577 statt = — 555.
142, Zeile 17 v. o. lies ^ = ^ — ^'2:, B = Bo — B'X statt

Ä = Ao — A'T, B = Bo — B'A".
161, Zeile 5 v. o. lies (f II) statt (I' II'J.
163, Zeile 21 v. o. lies Xd= — 1 statt Xs = — 1.
169, Zeile 1 v. o. lies Q'LJ' statt G'L'J\
173, Zeile 1 v. u. lies u. s. w. statt u. s.

176, Zeile 9 v. u, lies § 80, S. 242 statt § 35.

177, Zeile 3 v. u. lies § 84 und 38 statt § 35 und 39.
182, Zeile 11 v. o. lies § 40 statt § 41.
192 u. 193. Die Literaturangaben unter 9, 10, 11 und 15 beziehen sich

auf die in der neuen Auflage im Bd. I, Abschnitt XIII enthaltene
kinematische Untersuchung des statisch bestimmten Fachwerks.

209, Zeile 16 v. o. lies 410 Fo statt 420 F©.

225, Zeile 5 v. o. Die Worte: „nach Band I, Anhangt' sind zu streichen.

256, Zeile 1 v. u. lies p • X statt p • y.

301, Zeile 17 v. o. lies Jlf«"= Xm', 3f«,"' = y«, statt

Mm = ; Mm =

IX

Seite 801, Zeile 8 v. u. ües X' = P :^- statt X' = P J^"
802, Zeile 10 v. o. lies 176 statt 175.

11

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11

802, Zeile 16 v. o. lies Füllungsstäben statt Füllungslinien.

804, Zeile 5 v. o. lies Fig. 808 statt Fig. 207.

„ 818, Zeile 14 v. o. lies aj, o,, o« . . . statt a^, o,, ag . . . .

881, Zeile 9 v. o. lies h'm-j = hm-j — 0,SO statt h'm-i = hm-i = OfiO,

849, Zeile 8 v. o. 3fo = 0,90X ist zu streichen.

849, Zeile 16 y. o. 0 ist zu streichen.

ii Je *l,

„ 853, Zeile 1 v. u. lies J = ' ^ (i -j. «) _ . . . statt

o *

>, 867, Zeile 5 v. o. lies Wk statt u^.

898. Die Gleichungen auf den Zeilen 14, 17, 21 und 22, 26 erhalten die
die Nummern 29 bis 32.

899. Die Gleichungen auf den Zeilen 8 und 5 erhalten die Nummern 88
und 84.

899, Fi^. 877 lies LV und Itr statt L' und It.

415, Zede 6 v. o. fehlt hinter der Formel für Xt die Formel

X = P«^.

X X^ . .. X X^

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11

:i

425, Zeile 4 v. o. lies Wi) = , - statt ~ — .

448, Fig. 420 im Felde m bis m + A lies (A fO statt [A u].
457, Fig. 422 fehlen bei der Ox -Linie folgende Mafszahlen:

unter Punkt 4 { jjä^f >

1' '1

1'

(0,1 -.'5)
0,13

'' ^^ 10,00.

^ 10,13

Nachträgliche Berichtigungen zu Band I.

Seite 97, Zeile 7 und 8 v. unten lies Jn = J + Fr*-'2f llA^

tzCR^-^r*). ^_, ,. , 16»»/

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11

4 ' ' ' 3-5-7

117, Zeile 18 v. u. lies Fig. 108 statt 107.
119, Zeile 15 v. o. lies DE statt CE.

123, Fig. 115 muss P, bis an den Polstrahl /// gehen statt bis zur Schluss-
linie B,
180, Zeile 1 v. u. lies max Qp statt mvx Qp.

142, Zeile 5 v. u. lies y = yt + f ^4 — y8>) y = ys y""^ y* ' y ^^^

y = ys + (^4 — uJ Y = y« y + y* -j^-

Seite 143, Zeile 10 v. u. lies (a'h') statt (ab).

„ 144, Zeile 14 v. u. lies Crg statt Pg.

,, 144, Zeile 13 v. u. lies CGD' statt CGD.

190, Zeile 3 v. u. lies Mojp statt Jfjt.

191, Zeile 8 v. u. lies E'DB' statt E'DB.
203, Zeile 1 v. o. lies fj statt b^.
211. Zeile 17 v. o. lies C statt e.
222. Zeile 12 v. u. lies No. 132 statt 133.

1'

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11
11

P

248, Zeile 15 v. ii. lies C/? -j- Dg statt Cp + ~Df.

259, Zeile 17 v. u. lies dritte statt zweite;

267, Fig. 255 muss das Mafs x^ l»is zur Senkrechten durch Punkt 3 statt
durch den Punkt 2 gehen.

275, Zeile 13 v. o. lies Konst. =: — statt = %t'

Sf /*

288. Zeile 11 v. o. lies Fig. 282 und 283 statt Fig. 290 und 291.

301, Zeile 7 v. o. lies Fig. 300 statt Fig. 295.

310, Zeile 12 v. o. lies Xo. 85 statt No. 84.

344, Zeile 2 v, u. lies Versehen statt Verfahren.

401, Fig. 402 (d) lies '-{- statt ^''-.

o o

444, Zeile 6 v. o. lies unbekannten statt linkekannten.

444, lauten die beiden ersten Gleichungen (8):

Y'=Yo + Ya Za+ n' Zt+ Yc Zc-}- . . . .+ Y„' Zn.^0

Y" = Y:' + Ya' Za + n" Zt+Yc" Zc + 4- YJ' Z« = 0

[Y: statt Yc und r;' statt Yo".

462, Fig. 457 fehlen die punktierten Linien 6' V und (6') (7')-

477, Fig. 469 lies ^ anstatt P.

478, Zeile 7 v. o. lies (9) statt (2).
481, Zeile 3 v. u. lies w statt cü.

488, Fig. 481 muss das Mals von der Senkrechten durch 2 bis zur Senk-
rechten durch Bx statt x heissen.
494, Zeile 1 v. o. lies (IV)i statt (IVi).

502, Fig. 499 (a) lies 6' und 9' statt 6 und 9; ferner ist die unterste
schraff. Fläche mit (d) statt (b) zu bezeichnen.

503, Zeile 3 v. u. lies Fig. 499 d statt Fig. 499 c.
505, Fig. 500C lies — l\ statt — U^.

520, Zeile 1 und 9 von oben lies vierteilig statt zweiteilig.

520, Zeile 4 v. o lies Fig. 512 statt 513.

534, Zeile 4 v. o. und Zeile 19 v. o. lies 227 statt 225.

535, Zeile 2 v. u. lies 227 statt 225.
555, Zeile 9 v. o. lies 220 statt 209.

Tafel II, Fig. 197 a sind die Pfeile von T, umzukehren.
., II, Fig. 197 b ist die obei-ste Ust P statt 2 P.
„ IV, lies Seite 309 statt 380.

„ V, Fig. 345 ist das von Punkt C ausgehende Mafs -V*i nicht — *-

A A

Inhalt.

Einleitung.

Grundgesetze der Theorie der elastischen Träger. seite

A. Das Fachwerk 1

B. Gesetze für beliebige isotrope, feste Körper 38

Literatur zur Einleitung 52

I. Abschnitt.

Bestimmung der Formveränderungen ebener Fachwerke, mit
Anwendungen auf die Untersuchung statisch unbestimmter

und statisch bestimmter Träger.

§ 1. Vei"schiebungspläne nach dem Verfahren von Williot 57

§ 2. Darstellung der Form Veränderung von Stabzügen mit gelenkai*tigen

Knoten 86

§ 3. Die Biegungslinie als Seilpolygon betrachtet • . 99

§ 4. Einflusslinien und Einflusszahlen für elastische Verschiebungen . . 137

§ 5. Das statisch unbestimmte Fachwerk 140

§ 6. Allgemeines über das Auftragen der Einflusslinien 174

Literatur zum I. Abschnitt 192

IL Abschnitt.

Formeln, Regeln und Beispiele für die Berechnung der wich-
tigsten statisch unbestimmten Fachwerke.

§ 7. Ber Bogen mit zwei Gelenken 194

§ 8. Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange und verwandte Träger-
arten 248

§ 9. Kette, versteift durch einen Fachwerkbalken 265

§10. Einfach statisch unbestimmte Bogen- und Kettenbrücken mit

mehreren OefFnuugen 289

XII Inhalt.

Seite.

§ lt. Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern 296

§ 12. Dorcbgehender Balken mit drei Stützpunkten 359

§13. Durchgehender Balken mit vier Stützpunkten ........ 368

§ 14. Durchgehender Baiken mit beliebig vielen Stützen 882

§15. Verschiedene Ai'ten statisch unbestimmter Bogen- , Balken- und

Kettenbrücken 402

§16. Beispiele für die Einführung eines statisch unbestimmten Haupt-
systems 433

§ 17. Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken 439
§18. Untersuchung der Formveränderung eines viertheiligen statisch be-
stimmten Netzwerks Mehrtens*scher Bauart 469

§ 19. Herleitung der Biegungslinien aus den Momentenlinien 473

Literatur zum ü. Abschnitt 479

Einleitung

Grundgesetze der Theorie der elastischen

Träger.

A.. Das Facliwerl(.

a. Vorauif ttuimen und ErkWriiiigOT. Elatticittttl>t4lhigymwi. fietiz von dtr

Zutammenzahlung der einzelnen Wirkungen.

L — Wird ein aus elastischen Stäben .gebildetes und auf elasti-
schen Stützen ruhendes Fachwerk der Einwirkung^von äusseren Kräften
und Temperaturänderungen ausgesetzt, so erfährt es ..vor Eintritt des
Oleichgewichts/ dessen schiiessliches Zustandekommen vorausgesetzt werden
möge, im Allgemeinen eine Formveränderung. Die Verschiebungen,
welche die Knotenpunkte dabei erfahren, bezeichnet man als elastische,
sobald sie nur eine Folge der Dehnbarkeit der Stäbe und der Elasti-
cität der Widerlager sind. Ihre Werthe sind meistens so klein, dass
es zulässig ist, sie als verschwindende Grössen zu behandeln und bei
Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen sämmtliche Kräfte in den
für starre Stäbe und Stützen gültigen Lagen zu denken.

Die folgenden Untersuchungen sind an die Annahme ganz allmäh-
lich wachsender Kräfte gebunden, setzen also voraus, dass der Gleich-
gewichtszustand eintritt, ohne dass Schwingungen entstehen. Sie be-
schäftigen sich mit ebenen und räumlichen Fach werken, beschränken sich
aber auf den Fall sehr kleiner und nur elastischer Formänderungen.
Ihr erstes Ziel ist die Herleitung von allgemeinen Beziehungen zwischen
den Aenderungen der Stablängen und den Verschiebungen der Knoten-
punkte — Beziehungen, die nicht allein die Bestimmung der Gestalt
des verschobenen Fachwerks möglich machen, sondern auch die Grund-
lage für die Ermittelung der Spannkräfte und Stützenwiderstände der-'
jenigen statisch unbestimmten Fachwerke bilden werden, welche sich
durch Beseitigung von Stäben oder Auflagerbedingungen in statisch be-
stimmte und ausschliesslich elastischen Formänderungen unterworfene
Stabgebilde verwandeln lassen.

Möller- Breslau, Oraphiacbe Stetik U. 1. i

2 Einleitung.

2. — Es wird znnftchst angenommen, dass die äusseren Kräfte
nnr in den Knotenpunkten angreifen, mitbin sämmtliche Stäbe aus-
Bchliesslicb anf Zng oder auf Druck beansprucht werden. Die Gewichte
der Stäbe sind hierbei auf die Knotenpunkte vertheilt zu denken. Alle
gegebenen äusseren Kräfte werden Lasten genannt, zur Unterscheidung
derselben von den an den Auflagern hervorgerufenen Widerständen.
Eine Last werden wir allgemein mit P bezeichnen, hingegen den Buch-
staben Q anwenden, wenn es dahingesteUt sein soll, ob die damit ge-
meinte äussere Kraft eine Last oder ein Stützenwiderstand ist. Vor
Einwirkung der äusseren Kräfte und der Temperaturändemngen seien
sämmtliche Stäbe spannungslos.

Es wird vorausgesetzt, dass ftir den Baustoff eine Proportionalitäts-
grenze besteht und die Beanspruchung innerhalb dieser Grenze liegt,
eine Annahme, welche bei den hier ausschliesslich in Betracht kom-
menden Trägem aus Schweisseisen, Flusseisen und Stahl zulässig ist.
Bedeutet dann

S die Spannkraft in irgend einem Stabe,

8 die anfängliche Länge dieses Stabes,

As die Strecke, um welche s zunimmt (sie ist negativ, sobald sich

der Stab verkürzt),

A«

— das VerlängerungsverhäUnis des Stabes,

F den Querschnitt des prismatisch vorausgesetzten Stabes,
E die für alle Punkte des Stabes gleich gross angenommene Elasti-
citätsziffer (auch Elasticitätsko^fficient oder Elasticitätsmodul ge-
nannt),
t die für alle Punkte des Stabes gleiche Temperaturerhöhung,
i das einer Temperaturerhöhung um 1^ Cels. entsprechende Ver-
längerungsverhältnis,

S
ff = — r die im Stabe hervorgerufene Spannung — positiv, sobald

der Stab gezogen wird, so ist
(1) -=- + e<==^^, + e,.

2^5 Q -1- ^Et

Schreibt man — = — , so erkennt man, dass die Temperatur-

s Jb

erhöhung denselben Einfluss auf As besitzt, wie eine Zunahme der
Spannung um &Etf ein Gesetz, von dem wir später Öfter Gebrauch
machen wollen. Man darf im Mittel annehmen

für Schweisseisen i:= 2000000 %^
„ Flusseisen ^=2150000 ^

Elasticitätsbedingong. 3

für Stahldraht 1;= 2150000 7,«„
„ Flussstahl i;= 2200000 „
„ Stahlguss 17=2150000 „
ferner für

Schweisseisen Flusseisen Stahl

6 = 0,0000121, 0,0000118, 0,0000124

el?= 24*/U «^= 25%^ eJ5;= 27 V

= 240 7^ =250V =270 7^

3. — Ein räamliches Fachwerk sei auf ein rechtwinkliges Koordi-
natensystem Xf y, z bezogen, i nnd h seien irgend zwei durch einen Stab
von der Lftnge s^, verbundene Knotenpunkte. Die Koordinaten (Ti^fZt),
{^h Vk ^hi derselben mögen infolge der Formänderung des Fachwerks
nm {^i tkyi ^Zt\ {£lxj, ^yj, ^Zj,) zunehmen. Dann bestehen die Gleichungen:

(2) Sa* = (xj, — x,y-{-(y^ — y,y-\-(z^ — z,y und

(3) (,^+ AäJ« = [(x* + Aar,)— (a:,+A^,)]«+[(y,+Ay,)— (y.+Ay.)]*

+ [(0*+A^,)— (^,+A^,)]«

= [(x^ — xd +{A;c,— A^,)]»+ [(y»— y.) + (Ay*— A:c,)]«

+ l(z,—z,)^(^z^—üy,)]*
und man erhält, wenn man (2) von (3) absieht:

(4) 25aA#a+ AÄ«,fc= 2(a;» — x,)(Aarfc — Aa-rf) + (Aar» — Ax,)«

+ 2 Cv* — y/) (Ay;, — At/,) + (Ay,— Af/,)«
+ 2 (zj, — z,) i^z^, — äjs,) + (A^* — A;»,)*.

Werden nun die Werthe A^, Ay, A2:, A« so klein vorausgesetzt,
dass es zulässig ist, die kleinen Grössen zweiter Ordnung gegen die-
jenigen der ersten Ordnung zu vernachlässigen, so geht (4) über in

(5) 2«,* ikSit = 2 (a?k — Xi) (äXk — Aa?<) + 2 (y* — y,) (Ay* — Ay,)

+ 2(z^, — Zi) (Aarjt — A«,),
d. i. in eine Gleichung, welche man auch erhalten kann, indem man
die Gleichung (2) differentiirt und das Differentialzöichen d durch das
Zeichen A ersetzt; sie ist nur dann streng richtig, wenn die Ar, Ay,
A2r, äkS unendlich klein sind.

Bedeuten Oit^ %j^ y^i, die Winkel, welche
die Richtung des Stabes 84^ mit den Richtungen
der Achsen x, y, z einschliesst, so ist:

^h — a:, = Sij, cos Orf»; y* — y, = Sn, cos ß^*;

^k — ^1 = Sil, cos Yifc ^

(vergl. Fig. 1, welche sich auf ein ebenes Fach- "* ^ "^^ "*''*^

werk bezieht) und es kann deshalb (5) um-
geformt werden in

(6) A«,» = (Aarjfc — Aa-,) cos OLft, + (Ay, — Ay,) cos ß,,

+ i^Zk — ^Zi) cos T^ifc,

1*

4 Einleitang.

oder mit Rücksicht anf Oleichang (1) in:

+ (A^r^ — A2<) COS Yrffc.

Wir nennon die Gleichung (7) eine Elasticitätabedifigung* Ist die
Anzahl der Fachwerkstähe = r, so lassen sich r Elasticitatsbedingungen
aufstellen.

4. — Die Anfgahe der Theorie des Fachwerks besteht in der ßr-
mittelang der Sttttsenwiderst&nde und Spannkräfte, sowie in der Auf-
suchung der Oestalt des verschobenen Fachwerks. Der letztere Theil
dieser Aufgabe ist als gelöst zu betrachten, sobald die Seitenver-
schiebungen A:t;, Ay, A^ sämmtlicher Knotenpunkte bekannt sind.

Als gegeben wollen wir ausser den auf das Fach werk wirkenden
Lasten P und den Temperaturftndemngeti i vorläufig auch die Ver*
Schiebungen der Stützpunkte annehmen, denn diese können meistens
nur geschätzt oder durch Beobachtung bestimmt werden ; sie lassen sich
in den seltensten Fällen durch die auf die Widerlager wirkenden Kräfte
und die Temperaturänderungen der Stützen ausdrücken, da wichtige
Ursachen jener Verschiebungen, wie das Nachgeben des Baugrundes
und die Formänderung der Mauerwerk körper, bislang noch sehr wenig
erforscht sind.

Wir setzen zunächst voraus, dass an den Auflagerstellen keine Rei-
bungswiderstände auftreten und unterscheiden dann drei Arten von
Stützung:

a) Der Stützpunkt w wird auf einer Fläche geführt. Der Stützen-
widerstand wirkt rechtwinklig zu der in u? an jene Fläche gelegten
Berührangs^biMie ; seine Richtung ist gegeben, seine Grösse wird ge-
sucht. Bei ruhendem Widerlager ist die Verschiebung von kr in der
Richtung des Auflagerdruckee = 0 ; im Gegenfalle möge dieselbe einen
durch die Beobachtung gefundenen, gegebenen Werth annehmen. .

b) Der Stützpunkt u? wird auf einer Linie geführt; er kann sich
in der Richtung der in tc an jene Linie gelegten Tangente frei be-
wegen. Der in w angreifende Anflägerd^uck liegt in der zur Tangente
rechtwinkligen Ebene und muss durch Angabe zweier Seitenkräfte be-
stimmt werden. Bei ruhendem Widerlager, jsind die in die Richtungen
dieser Seitenkräfte fallenden Seitenvercchiebungen des Punktes w gleich
Null. Giebt das Widerlager nach, so mögen jene Verschiebungen ge-
gebene, durch Beobachtung gefundene Werthe besitzen.

c) Kann sich ein Stützpunkt tv nach keiner Richtung bin frei be-
wegen, so ist zur Bestimmung des an demselben angreifenden Wider-

Anzahl der Bedingungen. 5

Standes die Angabe von drei Seifcenkräften erforderlich, und diesen
JCräfjben stehen bei nachgebendem Widerlager drei beobachtete Seiten-
yerschiebnngen gegenüber.

Wie also die Stützung eines Punktes w immer beschaffen sein mag —
stets ist die Anzahl der an dem Auflager auftretenden unbekannten
äusseren Kr&fte ebenso gross wie die AnzaU der gegebenen Seitenver-
schiebungeuy welche letztere die Auftagerbedingungen genannt werden
sollen.

Die Anzahl deir Knotenpunkte sei = A;, diejenige der Stäbe = r.
Für jeden Knotenpunkt lassen sich drei Gleichgewichtsbedingungen auf-
stellen; Bedeuten nämlich Q^ept, Q^^, Q,^ die den Achsen x, y, z pa-
rallelen Seitenkräfte der in irgend einem Knotenpunkte m angreifenden
äusseren Kraft Q^, ferner S^, Sg, . .. . S, die Spannkräfte in den von m
ausgehenden Stäben und a^, o^, . . . a^,, ß^, ß^, . . . ß^, Yi, T«» • • • T
die Neigungswinkel der Stabachsen gegen die Achsen x, ij, z^ so
muss sein:

p

(8)

^,«4- 2 fi' cos a = 0

1
1

Im Ganzen stehen beim räumlichen Fachwerk zur Verfügung:
3^ Gleichgewichtsbedingungen,

r Elasiicitätsbedingungen von der Art der Gleichung (7),
a Auflagerbedingungen,

und diese Gleichungen enthalten als Unbekannte:

r Spannkräfte S^

a nacb bestimmten Richtungen wirkende Stützenwiderstände,
Sk Seiten Verschiebungen ^x, Ay, Az von k Knotenpunkten.
(Beim ebenen Fach werk tritt 2& an die Stelle von 3A;).

Die Anzahl der Unbekannten ist also ebenso gross wie die Anzahl
der Gleichungen. Letztere sind durchweg vom ersten Grade; sie lassen
sich eindeutig auflösen, sobald ihre Nennerdeterminante einen von Null
▼ersohiedenen Werth besitzt — was hier vorausgesetzt werden soll. Eine
nähere Untersuchung dieser Nennerdeterminante ist überflüssig, weil später
ein anderer, viel einfacherer Weg zur Lösung der gestellten Aufgabe
eingeschlagen und aus der vorstehenden Untersuchung nur gefolgert
werden soll,

dass sich die Spannkräfte S, ferner die nach bestimmten Bich-
tungen wirkenden Stützenmderstände C und die SeitenverschU'

Einleitung.

bttngen ^x, tky, tkz darstellen lassen als lineare Funkiianen der
den Koardinatenaehsen parallelen SeUenkräfte P^, Pj , P3 . . .
der Lasten, der Aenderungen t^, t^, t^ . , . der anfänglichen
StdUemperaiuren und der nach bestimmten Richtungen erfoL-
genden VersehiAungen h^^, h^^, h^^, . . . der Stutzpunkte w.

Für jede der zu euchenden Unbekannten, die wir allgemein mit Z
bezeichnen wollen, ergiebt sich hiernach ein Ausdmck yon der f^orm:

(9) Z= Xi P, + X, Pg 4- Xs P3 + . . .

wobei X, pi, V Werthe sind, welche von den Abmessungen nnd Rich-
tungen der Stäbe, den Werthen E und e, den Koordinaten x, y, z der
Knotenpunkte und von der Art der Stützung des Fachwerks abhängen,
nicht aber Ton den Grössen P, t, &«,.

Ist insbesondere die Anzahl der Stäbe und der Auflagerkräfte zu-
sammen = 3 Ar für das räumliche und = 2A; für das ebene Fach werk,
und besitzt die Nennerdeterminante der Gleichgewichtsbedingungen einen
von Null verschiedenen Werth, so ist es möglich, sämmtliche 8 und C
mit Hilfe dieser Gleichungen (oder mittels anderer bequemerer Ver-
fahren, die für das ebene Fachwerk im ersten Bande mitgetheilt worden
sind und für das räumliche im dritten Bande folgen werden) als lineare
Funktionen der Lasten P darzustellen; sie sind dann unabhängig von
den t und 5«, und das Fach werk ist ein statisch bestimmtes.

«

6. — Wird ein Fachwerk durch bestimmte Lasten P beansprucht,

bestimmten Temperaturänderungen unter-
worfen, und erleiden die Stützpunkte be-
stimmte Verschiebungen, so sagen wir:
das Fachwerk wird von bestimmten Ursachen
P, t, i„ angegriffen, und sprechen dann
kurz von einer bestimmten Angriffsweise des
Fachwerks,

Erfolgt die Stützung stets in denselben
Punkten und in jedem dieser Punkte immer
auf dieselbe Art, so nennen wir das Fach-
werk ein solches von unveränderlicher Stütz-
ungsart.

Beispiele für veränderliche Stützungsart bieten die Figuren 2 bis 4. An
dem in Fig. 2 abgebildeten Auflager eines ebenen Fachwerks wirken einer Ver-
schiebung des Stützpunktes in der Richtung des Pfeiles 1 zwei Widerstände V
und H entgegen, einer VerschiebuDg in der Richtung 3 nur ein Widerstand F,
einer solchen in der Richtung 3 nur ein Widerstand //, während sich der Pimkt
w in der Richtung 4 frei bewegen kann.

Fig. 2.

Veränderliche Stützongsart und Gliederung.

l/1Aj^sN\JA^ANN

Fls. 3.

Fig. 4.

Der Fachwerkbalken in Fig. 8 wird bei geringer Belastung der Aussen-
f eider nur in zwei Punkten gestützt und ist dann statisch bestimmt. Infolge kleiner
Senkungen der Enden kann er in einen auf vier Stutzen ruhenden, mithin zwei*
fach statisch unbestimmten Baiken über-
gehen.

Eine mit der AngrifCsweise verän-
derliche Art der Stutzung kann auch
durch grössere Beibungswiderstände ver-
ursacht werden. Erhält z. B. der in
Fig. 4 dargestellte ebene Träger links
ein festes und rechts ein bewegliches
Auflager, und ist der an dem letz-
teren auftretende Reibungswider-
stand gross genug, um eine Bewe-
gung des Stützpunktes zu hindern,
so ist der Träger statisch unbe-
stimmt (Bogen mit zwei Gelenken).
Sonst ist er statisch bestimmt, und
es darf dann der in der AuÜager-
bahn wirkende Widerstand C=^fB
angenommen werden, wo f die Rei-

bungszüFer und B den zur Auflagerbahn rechtwinkligen Widerstand bedeutet.
Der Sinn von C ist entgegengesetzt dem Sinne der Verschiebung des Stütz-
punktes w,

Lässt sich ein Fachwerk in Theile zerlegen, welche im Falle un-
elastischer Stäbe starr wären, und ist die gegenseitige Stützung dieser
Theile von unveränderlicher Art, sind femer sämmtliche Stäbe wider-
standsfähig gegen Zug und Druck, so bezeichnen wir das Fach werk

als ein solches von unveränderlicher Gliederung.

Ein Beispiel von veränderlicher Glie-
derung in Folge wechselnder Art der gegen-
.seitigen Stützimg einzelner Theile zeigt Fig. 5.
Dieselbe stellt zwei durch ein Gelenk G ver-
bundene gegliederte Scheiben eines ebenen
Fachwerks dar. Die Scheiben sind so ge-
formt, dass sie sich in Folge einer sehr
kleinen, im Sinne der beigefügten Pfeile
erfolgenden Drehung in den Punkten m be-
rühren, während sie bei Eintritt einer ent-
gegengesetzten Drehung nur in G aufeinander wirken. Im zweiten Falle sind
die beiden Punkte m als zwei verschiedene Knoten zu behandeln, und es er-
geben sich für dieselben vier Gleichgewichtsbedingungen. Anderenfalls bilden
sie einen einzigen Knotenpunkt, für den sich nur zwei Gleichgewichtsbedingungen
aufstellen lassen.

Eine veränderliche Gliederung liegt auch vor, wenn das Fachwerk Stäbe
besitzt, die nur nach einer Richtung widerstandsfähig sind, die also aus Seilen
oder Ketten bestehen und deshalb nur Zugkräfte aufnehmen können, oder die
sich mit halbcylindrischen Endflächen gegen die in den Knoten angeordneten
Oelenkbolzen stützen und in Folge dessen nur Widerstand gegen Druck leisten.

Flg. 5.

g Einleitung.

Das wichtigste Beispiel hierfür ist der im ersten Bande (§ 38) dieses
Buches Untersuchte Fachwerkbalken mit Gegendiagonalen. Die früher für
diesen Träger aufgestellte Theorie ist durch die Bemerkung zu veryoUstäu-
digen, dass zuweilen in allen oder einzelnen Feldern beide Diagonalen gleich-
zeitig gespannt werden, und der Träger in Folge dessen statisch unbestimmt
wird, dass aber die genaueren Werthe der Spannkräfte von den früher an-
gegebenen stets sehr wenig abweichen und die schärfere Berechnung deshalb
unterbleiben darf.

Ein anderes Beispiel fühii die Fig. 6 vor. Das hier abgebildete ebene

Fachwerk ist im Allgemeinen fünf-
fach statisch unbestimmt, weil es 36
Knotenpunkte und 74 8täbe besitzt,
mithin die Anzahl der Stäbe um 5
grösser ist als die Zahl 2 . 36— 3 = 69,
wo 3 = Anzahl der an den Wider-
lagern auftretenden Unbekannten*).
Sind die Stäbe 1 bis 9 nur im Stande,
Zugkräfte zu übertragen, und wird
das Fachwerk so beansprucht, dass
Fig. 6. die Stäbe 2 und 3 spannungslas wer-

den, so ist es für die fragliche An-
grilTsweise nur dreifach statisch imbestimmt. Werden auch noch 5, 7, 8
spannungslos, so treten 1, 4, 6, 9 ebenfalls ausser Thätigkeit (weil sonst Gleich-
gewicht an den Knoten e und f nicht möglich ist) und das Fachwerk geht in
ein statisch bestimmtes über.

Die Untersuchung von Fach werken mit veränderlicher Gliederung
und Stützungsart kann grosseh Schwierigkeiten begegnen, da es häufig
nicht möglich ist, von vornherein die bei einer bestimmten Angriffs-
weise in Thätigkeit tretenden einseitig widerstehenden Stäbe zu be-
zeichnen und die augenblickliche Art der gegenseitigen Stützung ein-
zelner Theile des Fachwerks, sowie die Art der Stützung durch die
Widerlager anzugeben, so dass man vielfach auf den Weg des Versuchs
angewiesen ist.

e. — Bei einem Fachwerke von unveränderlicher Gliederung und
Stützungsart sind die Zahlen k, r, a (vergl. 8. 5), ferner die in
der Gleichung (9) auftretenden Werthe >e, |X, v unabhängig von der
Angriffs weise. Wirken auf das Fach werk einmal die Ursachen, P\ i^ S'^^
hierauf die Ursachen P", i\ S"^^ und entspricht den ersteren der
Werth Z' der gesuchten Unbekannten, den letzteren der Werth Z",
so folgt aus den linearen Beziehungen (9), für den von den Ursachen
P, iy V^^ P", t", 8"^ hervorgerufene Werth Z die Gleichung

z = z+ z'\

*).Man darf, den Träger auch als ein Gebilde betrachten, welches aus
einer statisch bestimmten gegliederten Scheibe und 9 Stäben (1 bis 9) besteht.
Dann erhält man nach Seite 230, Bandl: 2 (^' + 2^" -{- 8/" -f . .) + r + «
= 2.0 + 9-1-3 = 12, ferner 3« + 2A;= 8 . 1 -f 2 . 2 = 7. Wegen 12 — 7 = 5
ist der Träger fünffach statisch unbestimmt.

Gesetz von der ZusammenzähluDg der einzeben Wirkungen. 9

Es ist also bei der Bestimmang der Spannkräfte S, sowie der nach
bestimmten Richtungen wirkenden Aoflagerkräfte und der nach be-
stimmten Richtungen gebildeten Seitenverschiebungen der Knoten-
punkte zulässig die Einflüsse der einzelnen auf das Fachwerk wirkenden
Ursachen getrennt zu ermitteln und schliesslich zusammen zu zählen
— ein sehr wichtiges Gesetz, welches in der Folge das Gesetz von
der Zusammenzähiung der einzelnen Wirkungen genannt werden soll.
Dasselbe gilt nur für Fachwerke von unveränderlicher Gliederung und
Stützungsart.

Hat man aber bei Untersuchung eines in bestimmter Weise ange*
griffenen Fachwerks mit einseitig widerstehenden Stäben die wirkungs-
losen Stäbe ausgeschieden, so darf man auf das übrig bleibende Stab-
gebilde das eben bewiesene Gesetz anwenden. Hierbei dürfen die
Einflüsse der einzelnen Ursachen auf die Spannkraft S eines nur gegen

ID kl ^^^^^^^^^^>£>®^ Stabes I ^... \ ausfallen. Bedingung ist

nur, dass sich für die Summe S sämmtlicher Beiträge ein | ^ . . [

Werth ergiebt. Auch wenn die Stützungsart yeränderlicb ist,- darf
jenes Gesetz — fiills eine bestimmte Angriffsweise vorliegt — ange-
wendet werden. Es ist dann zunächst die Art der augenblicklichen
Stützung zu ermitteln, und diese Stützungsart muss der Berechnung
sämmtlicher einzelnen Wirkungen zu Grunde gelegt werden. Dies gilt
sowohl für die Stützung durch die Widerlager, als auch für die gegen-
seitige Stützung einzelner Theile des Fachwerks.

h. Gaset! der virtuellen Vertchiebungen. Arbeitsglelchyngen. Clapeyron'tches Gesetz.

7* — Um zu einer sehr einfachen und fruchtbaren Beziehung
zwischen den Aenderungen tks der Stablängen und den von denselben
Ursachen herrührenden Verschiebungen der Fachwerksknoten zu gelangen,
multipliciren wir die auf Seite 8 abgeleitete Gleichung
A*» = (tkXf, — tiXi) cos o^A, 4- (Ai/a, — ^tfi) cos ß.,, + (A^:* — Lz^ cos y«
mit einer Spannkraft, welche im Stabe i — h durch irgend einen nur
gedachten Belastungszustand des Fachwerks erzeugt sein möge, und die
zur Unterscheidung von der wirklichen Spannkraft Siu mit Sot bezeichnet
.werden soll. Hierauf stellen wir eine ähnliche Gleichung für jeden
Stab auf, addiren alle diese Gleichungen und erhalten:

S5»A«& = 2 [Sil, ( Aä:* — Aar<) cos o^j + 6^ ( Ayjt — Ay<) cos ß»

-|- Sfk (Azfc — Az,) cos Ytt],

10 Emleitong.

wofür auch geschrieben werden darf:

(10) SiSftAÄft = — 2 [(Sa cos otftAjTi + Sa COS ßfl. Ay^ + Sa cos Y» A2:<)

+ (Sm cos a«A:c» + 5m cos ßw Ay* +5« cos Y« A^r*)],
denn es ist cos a^ = — cos o^y cos ß»
^J = — co8ßft,_cos Yk = — cosYfti bin-
'^1 ! gegen Su = 'S'ib. Man vergleiche die auf
"/ij. v^aM^-v" ®^ ebenes Fachwerk sich beziehende
* \'^*^--a]fc^. Figur 7, in welcher die 8 als Krftfte
Sjfy^^ 'a^/^ anfgefust worden sind, welche an den
"" Knotenpunkten angreifen, also den weg-
genommenen Stab ik ersetzen.

♦ov Das Bildnngsgesetz der rechten

Seite der Gleichung (10) lässt sich wie
^' ' folgt aussprechen: Man zerlege die in i

wirkende Kraft Sa in die den Achsen x, y, z, parallelen Seiten-
kräfte Sa COS Oifc, Sa COS ß», Sa COS Y«» multiplicire diese Kräfte der
Reihe nach mit den Seitenverschiebungen Arr<, Ay<, ^i ihres Angriffs-
punktes i, verfahre in gleicher Weise mit sämmtlichenEjräften S und addire
alle diese Produkte. Ordnet man nun die so erhaltene Summe nach^den
Knotenpunkten und bezeichnet die Ordnungsziffer eines beliebigen
Knotens mit tn, so gelangt man (wenn man auf der linken Seite den
jetzt entbehrlichen Zeiger ik fortlässt) zu der Gleichung

(11) 2ÄÄ5 = — 2(Aa?^S^^~co8_a -f Ay^2^~cos ß + A^^ S^ä'cos y),
in welcher sich die Summen 2^6^ cos a , ^^S cos ß, ^^S cos y über alle
in m angreifenden Spannkräfte S erstrecken.

Die äusseren Kräfte des ^«(ZacA^^n Belastungszustandes sollen, damit sie
von den in Wirklichkeit auftretenden äusseren Kräften Q^ unterschieden
werden, mit Qm bezeichnet werden; sie mögen mit den Achsen x^ y, z
die Winkel ^«.y f{m^ Km einschliessen. JERnsichUieh der Kräfte Q und S
wird nur vorausgesetzt, dass sie miteinander im Gleichgewichte sind. Für
den Knotenpunkt m erhält man die Bedingungen:

Qm cos ^ + S„5^cos a = 0

(12) Q^ cos 5^+ ^mS cos ß = 0

Qm cos Zm + ^mS COS Y = 0,

und es lässt sich nun (11) umformen in:

2^^ (A:r« cos 5« + Ay« cos t)^ + A^^ cos Zm) = ^8^s,
Diese Gleichung kann man aber noch kürzer fassen, wenn man
beachtet, dass die Projection 5^ der wirklichen Verschiebung mm' des
Knoten m auf die Richtung der gedachten Kraft Q^ durch die Formel

8^=Ax«,cosC«+ Ay^cosT)« + A^^ cos S«

Gesetz der virtaellen Yerschiebungen. 11

bestimmt ist. Es ergiebt sich dann die Gleichung:

(13) 2^:8^ = 2^5,

in welche die Verschiebung &« als positive oder negative Grösse ein-
zufahren ist, je nachdem sie denselben oder den entgegengesetzten Sinn

hat wie die Kraft Q^,

Das Produkt Qm^m iässt sich als dii^enige mechanische Arbeit
deuten, welche die Kraft Q^ verrichtet, wenn ihr Angrifi&punkt m im
Sinne von Q^ um die Strecke 5«, verschoben wird, um nun auszu-
drücken, dass diese Verschiebung durch Ursachen erzeugt wird, welche
von den Kräften Q ganz unabhängig sind, bezeichnet man h^ als eine
virtuelle Verschiebung des Angriffspunktes m der Kraft Q«, und nennt
das Produkt Qj^m clie virtuelle Arbeit der Kraft Q^, Ebenso bezeichnet
man den Ausdruck ( — S^äiSa) als die virtuelle Arbeit der beiden in
den Knotenpunkten i und k angreifenden, gegen einander gerichteten
Kräfte Sfk (Fig. 7) und A«« als die gegenseitige virtuelle Verschiebung
ihrer Angriffspunkte.
Die Gleichung

2^X — 25Aä = 0
drückt demnach den unter dem Namen

Princip der virtuellen Geschwindigkeiten ,t^. y

{oder hesser: Gesetz der virtuellen Verschie- / \ '(yr

bungen) bekannten Satz aus: J^ V^

Die Summe der virtuellen Arbeiten
sämmüicher in den Knotenpunkten an- ^^
greifenden äusseren und inneren Kräfte ^\ : y^f ^.

Q und 8 ist im Falle einer verschwin-
dend kleinen Formveränderung des Fach- fi 8 *^
Werks gleich Null.

Dieser Satz ist zuerst von Mohr zur Berechnung des Fach werks benutzt worden.

Man nennt auch das Produkt (+ Sik^Sa,) die virtuelle Formände-
rungsarbeü des durch die beiden Kräfte Sa, beanspruchten Stabes 5«
und den Ausdruck ^Stks die virtuelle Formänderungsarbeit des Fachwerks.
Die Gleichung (13) sagt also aus: dass die virtuelle Arbeit der äusseren
Kräfte ebenso gross ist wie die virtuelle Formänderungsarbeit des Fachwerks.

Die Anwendung dieses Gesetzes auf den wirklichen Belastungs-
zustand und den wirklichen Formänderungszustand liefert die Gleichung:

(14) :^QJ^ = 25A«,

in welcher jetzt 5«, die Projektion des wirklichen Weges des Knotens m
auf die Richtung von Q» bedeutet.

Wir werden die Gleichungen (18) und (14) auch als Arbeitsbe-

^^m.

12 Einleitung.

dingungen oder Arheitsgleichungen bezeichnen und z. B. die am h&nfigsten
benutzte Gleichung (18) kurz die Arbeitsgleichung für den Belastungen
zustand (Q) nennen, wobei wir dann stillschweigend yoraussetzen, dass
es sich um den wirklichen Verscfaiebungszustand handelt.

8. — Für die Folge ist es wichtig, die von den äusseren Kräften
Q verrichtete mechanische Arbeit A zu bestimmen, und zwar für den
Fall, dass das anfangs spannungslose Fachwerk keinen Temperatur-
änderungen unterworfen wird.

Die äusseren und inneren Kräfte wachsen allmählich von KuU bis
zu ihren Endwerthen Q und jS^ an. Sind Q,, S, gleichzeitige Zwischen-
werthe dieser Kräfte, und nehmen in dem Augenblicke, in welchem die
Q, und S^ wirken, die Verschiebungen h und £is um dh xxnd d(l8)
zu, so ist nach (13):

und diese Gleichung gilt für jedes der unendlich kleinen Zeittheilchen,
in welche sich die ganze fiewegungsdauer zerlegen lässt. Hieraus folgt

aber ( mit A« = -— — ) :

Q S S

(15) 21^^5 = 2 /i^Aa = 2/*Ä.^ = 2^=>25A,.

0 0 0

Da nun nach (14)
ist, so erhält man für die gesuchte Arbeit A=^ j Q^dh den Ausdruck:

0

(16) A=^2Q^h^

und gelangt zu dem zuerst von Clapeyron bewiesenen Gesetze:

Wird ein anfänglich spannungsloses Fachwerk, dessen Tem-
peratur sich in keinem Punkte ändert, von äusseren Kräften
ergriffen, welche dllmählich von Null aus anwachsen ^ so ist die
mechanische Arbeit der äusseren Kräfte unabhängig von dem Ge-
setze, nach welchem diese Kräfte zunehmen und auch unabhängig
von der Reihenfolge, in der die äusseren Kräfte am Fachwerke
angebracht werden; sie ist stets halb so gross, als wenn sämmt-
liehe Kräfte Q während der ganzen Formänderung ihre End-
werthe hätten.

Formänderung statisch bestimmter Fachwerke.

13

c Anwendung der Gleichung ^Q^ = S^Ag auf tiatitch bestUnmie Fachwerke.

Fig. 9.

9. — Die Aendemngen A« der Siablängen s eines statisch be-
stimmten Fach Werks seien bekannt; anch seien die dnrch Nachgeben
der elastischen Widerlager entstandenen Verschiebnngen der Stützpunkte
gegeben. Zu lösen seien folgende Aufgaben:

1. Aufgabe. Gesucht ist die Strecke 5«,» um welche sich die Ent-
fernung zweier Knotenpunkte m und m^ ändert.

Man nehme in m und m^
zwei entgegengesetzt gleiche,
zusammenfallende Kräfte von
der Grösse eins an (Fig. 9)
und wähle den Sinn derselben
so, dass sie in Folge der Ver-
grösserung der Entfernung mm^
um 5«, die positive virtuelle
Arbeit 1 . b^ verrichten. Hier-
auf bestimme man mit Hilfe
der Gleichgewichtsbedingungen

die von_ jenen Kräften erzeugten Stützen widerstände C und Spann-
kräfte S und schreibe für diesen gedachten Belastungszustand die
Arbeitsgleiehung 2^S = ^S^n an. Bezeichnet man die virtuelle Arbeit
der Kräfte C mit L, so erhält man die Gleichung

(17) 1.8« + L=25Aä.

aus welcher sich b^ unmittelbar berechnen lässt.

Die beiden in m und m^ angreifenden
Kräfte Eins mögen (nach Mohr) die Be-
lastungseinheü des PuhkUpaares m, m^ ge-
nannt werden und 5«, die gegenseitige Ver-
schiebung des Punhtepaares m, m^. Ist m^
ein ausserhalb des Fachwerks liegender
fester Punkt, so giebt die Gleichung (17)

die Verschiebung 5« des Knotens m im Sinne m^m an d. i. die Pro-
jektion des Weges des Knotens m auf die Richtung m^m. (Fig. 10
veranschaulicht den Fall zweier anfänglich senkrecht übereinander lie-
gender Punkte m^ m.; sie stellt einen Theil eines 6^«r6ßr-schen Balkens
vor, dessen schwebender Theil (I) bei m ein bewegliches Aufläger erhält.)

Es sei beispielsweise die Aufgabe gestellt, für den in der. Figur 11 an-
gegebenen Belastungszustand eines Bogenti'ägers mit drei Gelenken die wage-
rechte Vörschiebimg Äa des Scheitelgelenkes G 2u berechnen. In Folge der

Fig. 10.

14

Einleitung.

Elasticität der Widerlager mögen sich die Kämpfeigelenke A und B in waage-
rechter Richtung um gj beziehungsweise S, verschieben und in senkrechter
Richtung um t\^ bezw. y),. Die Richtungen dieser Verschiebungen sind in

Flg. 11.

Fig. 12.

Fig. 11 durch gestrichelte Pfeile angedeutet worden. Es sollen Temperatur-
veränderungen berücksichtigt werden. Dann ist A« = -— — -|- et«, welcher

Er

Werth nach Ermittelung der wirkliehen Spannkräfte S für jeden Stab des
Fachwerks berechnet wird. Fig. 12 giebt den gedachten Belastungszustand an.
Die Yerschiebung ^h soll nach links positiv gezählt werden, und es wurde daher
in G eine nach links gerichtete Last Eins angenommen; diese ruft Kämpfer-
drücke Kl und K^ hervor, welche beziehungsweise die Richtungen AG imd
GB haben und durch das Kräftedreieck ORT bestimmt sind. Ihre wagerechten
und senkrechten Seitenkräfte seien = ^|, //,, Ä, B. Die virtuelle Arbeit der
Auilagerkräfte ist dann:

^ = — ^t)i — jy^gi + St), -t- 0,5, ;
denn die Kräfte Ä^ IIi haben den entgegengesetzten Sinn wie die Verschie-
bungen T]i, El, während B, IT, von gleichem Sinne sind wie die Verschie-
bungen tj„ £,. Die Bedingung:

l.ÖA + i' = S5Aj? liefert

In gleicher Weise kann man die senkrechte Verschiebung ^^ des Scheitel-
gelenkes O bestimmen und hierauf Ä* und Ä, zur Gesammtverechiebung des
Punk-tes G zusammensetzen.

2, Aufgäbe. Es wird die Aenderung h^ des Winkels 9 gesucht,
welchen die beiden darch die Knotenpunkte i, k bezw. t\, Ar^ bestioimten
(Geraden (m) und (w^) eines ebenen Facbwerks miteinander bilden. Fig. 13.

um 5m zu erbalten, wird die Gleichung 2 ^5 = 2 5 As auf den

^s=^sC

Formänderung statisch bestimmter Fachwerke.

15

in der Figar 18 dargestellten gedachten Belaatungszusiand und den
wirMidien Versehiebungszustand angewendet. In i und k sind zwei
zur Geraden (m) rechtwinklige, entgegengesetzt gleiche Erftfte von

1 *)
der Grösse — angenommen worden , und in i^ und k^ zwei zur

K/

Fig. 13.

Geraden (m^) rechtwinklige, entgegengesetzt gleiche Kräfte — Der Sinn

^1
dieser Kräfte wurde so gewählt, dass die beiden Kräftepaare (deren

Momente gleich — e = 1

1 i" i' i^'^'V--

und gleich — «j = 1 sind) fir'^ •.-^-- t-X-^r;^

in Folge VergrOsseruog des .^
Winkels 9 um 5«, die posi-
tive Arbeit 1 . h^ verrichten.
Der Werth dieser Arbeit er-
giebt sich aus der folgen-
den Betrachtung.

Dreht sich eine unbegrenzte Gerade (m), welche die Angriffs-
punkte i und k eines zur (m) rechtwinkligen Kräftepaares enthält (Fig. 14),
um den verschwindend kleinen Winkel t in die Lage (m'), und sind %\ k'
die schliesslichen Lagen von «, ky so nehme man, behufs Bestimmung der
Arbeit des Kräftepaares, zunächst an, dass % und k die Kreisbogen-
theilchen t» ' und kk" beschreiben, deren gemeinsamer Mittelpunkt der
Schnittpunkt von (m) und {m) ist. Hierauf verschiebe man i' und k"

Fig. 14.

•) 1 = 1 1 = Krafteinheit X ^^^Me^?!?^*.
€ e e

16 Einleitung.

in die Lagen % nnd U, Während des ersten Tfaeiles dieser verschwin-
dend kleinen Bewegung verrichtet das Kräftepaar, dessen Moment M=^Qe
sein mISge, die Arbeit QU" — Qkk" = Qex = Mx, und während des
zweiten Theiles ist die geleistete Arbeit = 0, weil die Verschiebungen i' %
und h" Tc rechtwinklig zu Q sind. Mithin giebt Mx die Gesammtarbeit
des Kräftepaares an. Drehen sich also die Geraden (m) und (m^) der
Figur 13 im Sinne der in t und k beziehungsweise in i\ und k^ an-
greifenden Kräftepaare (deren Momente = 1 sind) um die Winkel t
und Ti , so ist, wegen t + Tj = 5„, die von beiden Paaren verrichtete
Arbeit = 1 • t + 1 • Tj = 1 5^, wobei 8^ als Bogenlänge für den Halb-
messer 1 aufzufassen ist.

Bezeichnet man nun die virtuelle Arbeit der von den beiden
Kräftepaaren etwa erzeugten Sttttzenwiderstände mit L und die Spann-
kräfte des gedachten Belastungszustandes mit S, so ergiebt sich zur
Bestimmung von 5^ die mit (17) der Form nach übereinstimmende
Gleichung:

8^ + X = 2ÄA5 .

Sind t\ und k^ zwei ausserhalb des Fachwerks gelegene feste Punkte,
so liefert die vorstehende Gleichung den Drehungswinkel 8^ der Ge-
raden fit.

Die Aenderung 8^ des Winkels 9 in Figur 13 nennen wir die
gegenseitige Drehung des Geradenpaares {m) {m^) und die vier in t, ä?, »\, k^

angreifenden Kräfte ( * — j fassen wir unter dem Namen Belastungs^

einheit des Gerad^npaares (m) (m|) zusammen. Es entsprechen diese Be-
griffe den auf Seite 13 erklärten, auf das Punktpaar m, m^ sich be-
ziehenden.

!©• — Bei Lösung der beiden in No. 9 vorgeführten Aufgaben
ist nach folgender Regel verfahren worden. Um die Verschiebung bezw.
Drehung 8^ zu bestimmen, wurde das Fach werk so belastet gedacht,
dass die angenommenen Lasten zusammen die virtuelle Arbeit 1 . 8«,
verrichten. Auf diesen gedachten Belastungszustand und auf den wirk-
lichen Verschiebungszustand wurde die Bedingung 2^8^ = S/SA^ ange-
wendet und eine Gleichung erhalten , aus welcher sich 8^ unmittelbar
berechnen Hess.

Nach dieser Kegel lassen sich nun die verschiedenartigsten Auf-
gaben lösen.

Soll beispielsweise für ein ebenes Fachwerk die Aenderung h^ der
in bestimmter Richtung gemessenen Entfernung tnf eines Knotens m
von einer durch zwei Knoten i und k gehenden Geraden {m{) er-
mittelt werden, so denke man das Fachwerk auf die in Fig. 15 an-

Formänderong statisch bestimmter Fachwerke. 17

gegebene Weise belastet Die in m angenommene Last Eins hat die
RichtuDg fm; die ihr parallelen, in i nnd k wirksamen Krftfte 1 -j-

nnd 1 -— besitzen eine mit der Geraden tnf zusammenfallende, von m

nach / gerichtete Mittelkraft von der Grösse eins. Die gesammte vir-
tnelle Arbeit dieser drei Lasten ist = 1 • 5«., nnd es ergiebt sich daher
nach Bereehnnng der von diesen Lasten her^orgemfenen Spannkräfte S

Fig. 15.

nnd Stätxenwiderstände (welche letztere die Arbeit L verrichten mögen)
die Arbeitsbedingong:

1.8^ + Z = 2äA«,
welche dieselbe Form hat wie die Gleichnng (17).

Noch yerschiedenartiger sind die bei räumlichen Fachwerken zu
stellenden und mit Hilfe der oben angegebenen Regel lösbaren Auf-
gaben. Wir begnügen uns damit, eine derselben anzuführen. Es sei
die Aenderung der Länge des Lothes gesucht, welches von einem
Knotenpunkte m auf die durch irgend drei Knotenpunkte A, «, k be*
stimmte Ebene [m|] gefällt ist und dessen Fusspunkt f sein möge.
Man nehme in tn eine von f nach m gerichtete Last Eins an, femer
drei in A, •*, k angreifende, zur Ebene [m|] rechtwinklige Lasten, deren
Mittelkraft in die Gerade tnf fällt, von m nach ^ gerichtet ist und die'
Grösse eins besitzt. Die Gesamrotarbeit der vier Lasten ist 4ann
= 1 • 5m» ^uid ^&8 oben angegebene Verfiihren ermöglicht wieder die
unmittelbare Berechnung von h^»

d. Anwendung der Gleichung Sgö=^5Ag auf ttatitch unbettimmte Fach werke.

IL — Wir leiten die Berechnung der statisch unbestimmten Fach-
werke durch Lösung einer einfachen Aufgabe ein, wenden aber hierbei
ein ganz allgemeines, stets zum Ziele führendes Verfahren an.

Hflller-BrciUn, OnpbUobe SUtlk. II. 1. 2

18

Einleitung.

Es soll der in Fig. 16 dargestellte, über drei OefiPhnngen ge-
spannte, ebene Bogenträger untersncht werden. Bei Ä nnd D sind
feste, bei B und C bewegliche Auflagergelenke angeordnet. In den
auf wagerechten Geraden geführten Stützpunkten B und C greifen senk-
rechte Widerstände B und C an. Die senkrechten und wagerechten
Seitenkrftffce der in A und D wirksamen Auflagerkräfte seien Ä und H^
beziehungsweise D und X«.

Die Anzahl der an den Auflagern auftretenden unbekannnten Kräfte
ist = 6, die Anzahl der Stäbe ==83, diejenige der Knotenpunkte = 48.

Fig. 16.

Da 6 + 83 > 2 • 48 ist, so ist das Fachwerk (Bd. I Absch. XIII) statisch
unbestimmt, und zwar ist es dreifach statisch unbestimmt, weil
6 + 83 — 2 • 43 = 3 ist*). Werden drei der zu berechnenden Un-
bekannten zunächst als gegeben angenommen, z. B. die Auflagerkraft X«
(deren Angriffspunkt die Ordnungsziffer a erhalten möge) und die Spann-
kräfte X» und Xg der beiden Stäbe hhi und ce^^ so lassen sich die
übrigen Spannkräfte und Auflagerkräfte für jeden Belastungszustand
mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen eindeutig berechnen. Zu diesem
Zwecke wird das Fachwerk durch Beseitigung der beiden Stäbe hb^
und cc^ und 'durch Umwandlung des festen Auflagergelenkes D in ein
auf wagerechter Bahn verschiebbares statisch bestimmt gemacht, und
hierauf werden, damit der Spannungszustand des Faehwerks ungeändert
bleibt, die Spannkräfte X», X^ der beseitigten Stäbe als äussere Kräfte
wieder hinzugefügt. Auch wird in a die wagerechte Kraft X^ ange-
bracht. Fig. 17. Die Kräfte X., X5, X^ in Fig. 17 werden vorüber-
gehend zu den Leisten gerechnet.

Das in Fig. 17 dargestellte statisch bestimmte Fachwerk nennen

*) Man erkennt auch ohne weiteres, dass der aus drei gegliederten Scheiben
und zwei Stäben bbi, cci bestehende Träger statisch bestimmt wäre, wenn nur
drei Stützenwiderstände vorhanden wären. Nim treten aber deren 6 auf, so dass
eine dreifache tJnbestimmtheit vorliegt.

Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke.

19

wir das Hauptsysiem des fraglichen Trägers; seine Stäbe heissen die
Hauptstäbe oder anch die nothwendigen Stäbe, während bb^ und CC| . iq
Fig. 16 überzählige Stäbe genannt werden. In gleicher Weise unter-
scheidet man nothwendige und überzählige Auflagerkräfte. Eine über-
zählige Anflagerkraft ist X« in Fig. 16.

Fig. 17.

Die Spannkraft S in irgend einem Hauptstabe ist, da sämmtliche
Gleichgewichtsbedingungen vom ersten Grade sind, eine lineare Funktion
der Kräfte P, X«, X», X^; sie lässt sich in der Form darstellen:

(18) S = Sq Ofl-Aa S^JLi SeJi-o ,

worin S^., S^, S^ sowohl von den Lasten P als auch von den Kräften X
unabhängig sind, während Sq eine Funktion ersten Grades der gege-
benen Lasten P ist. Die Werthe -So, 5'., 5'j, Sg können wie folgt ge-
beutet werden.

Das Glied Sq stellt diejenige Spannkraft vor, welche in dem frag-
lichen Stabe entsteht, sobald X«, X», X^ gleich Null angenommen wer-
den, sobald also nur die Lasten P auf das Hauptnetz wirken, ein Be-

Fig. 18.

lastungszustandi welcher in Fig. 18 dargestellt worden ist und in der
Folge kurz der „Zustand X=*0" heissen möge. '

8a darf .als diejenige Spannkraft aufgefasst werden, welcbd in dem
fraglichen Stabe erzeugt wird, sobald sämmtliche Lasten P und ebenso

-die Grössen X», X^ gleich Null angenommen werden, während X^-= — 1

... .^. ■ <

20

Emleitimg.

gesetzt wird. Dieser Belastungsznstand möge der „Zustand Xa = — 1*
heiseen; er ist in der Fig. 19 angegeben worden. Die im Pankte a
angreifende wagerechte ImH X^ = — 1 mft an den Aaflagem des
Hanptnetxes Widerstände hervor, über deren OrOsse die Fig. 19 Anf-
schlnss giebt. (Der bei A erzengte Widerstand mnss die Bichtnng BÄ
nnd eine wagerechte Seitenkraft von der GrOsse 1 haben; seine senk-

e

rechte Seitenkraft besitzt deshalb die Grösse 1

/,

Ebenso schliesst

man anf den senkrechten Widerstand bei D und findet dann die in B
nnd C angreifenden Anflagerkrflfte.)

at'

'f

Ht - l -

Tig. 19.

In gleicher Weise können S^ und 8^ als die den Belastungszuständen:
X^ = — 1 und JT« = — 1 entsprechenden Spannkräfte betrachtet werden.
Diese beiden Zustände sind in den Figuren 20 und 21 dargestellt worden.
GrOsse und Richtung der Auflagerkräfte sind den Figuren zu ent-
nehmen. Im BelastuDgsfalle Fig. 20 sind die Stäbe des Theiles CD
spannungsloSy im Belastungsfalle Fig. 21 diejenigen des Theiles AB.

Alle diese Spannkräfte Sq, 5«, S^, 8, lassen sich mit Hilfe der im
ersten Bande unseres Buches entwickelten Verfahren bestimmen, worauf <S
gegeben ist durch Gleichung (18), während ftlr die nothwendigen Auf-
lagerkräfte A, B, C, IT die folgenden Werthe gefunden werden:

e ,. Ä*)

(19)

A — A.^ -J— Jifi — — -Aj

'■

C Co Xa .

*1

^* l

D—D, + X.~

'i

-X *

/i == H^ -\- X^*

m

♦) Den Zuständen X«=s— l;X*c= — 1: A", = — 1 müssen entsprechen:
^=: — — ; ^ = -1-^; ^ = 0. Vergl. Fig. 19, 20, 21. Auf dieselbe Weise
prüfe man die Ausdrücke für B, C, D, H.

Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke.

21

Die Anfgabe der Berechnung des Fachwerks ist jetzt auf diejenige
zurückgeführt: „die siatiaeh nicht hesHmmbarm Oröasen X^, X^, X« zu
ermitteln*^, und diese Aufgabe kann^ man in einfacher Weise lösen, in-
dem man die Arbeitsbedingnng 2^5 = 25A« der Reihe nach auf die
drei gedachten Belastungszustände: Xa = — 1; -X* = — 1; X^=^ — 1
und — in allen drei Fftllen — auf den wirklichen Verschiebungszustand
anwendet. Man gelangt dann zu drei Gleichungen ersten Grades, welche
nur die Unbekannten X«, X^t Xc enthalten.

/ if.A

^iHj

Fig. 80.

lager

Nehmen wir an, dass sich in Folge der Nachgiebigkeit der Wider-

Stützpunkt Ä in senkrechter Richtung um 5^ nach abwärts verschiebt,
Ä „ wagerechter „ v ^e n liuks,

B „ senkrechter „ „ &^ „ abwärts,

rt
»

V

n

7}

D

D j, wagerechter

»
ff
ff

ff Sc

ff ^D

ff K

ff
ff

ff

ff

rechts.

*r^/^^

Flg. 21.

SO lautet die Arbeitsgleichung für den Zustand X^ = — 1 (Fig. 19):
(1) JD. + 1 • 8. = 25.A5, wobei

L.= 1-j^ (5^ — 8, — 8c + 8i>)+ 1 -Sir
•i

die Tirtuelle Arbeit der an den Auflagern des statisch bestinunten Haupt-
netzes angreifenden Stützenwiderstände bedeutet.

22 Einleitung.

Für den Zustand X^ = — 1 ergiebt sich, wenn S» die Aendernng
der Länge St, des überzähligen Stabes bh^ bezeichnet;

(II) Lj + 1 • 8* = ^S,^8, wo

Li, = — 1 -T— Sji + 1 {-j 1 — 7- ) 8^ — 1 -y-8c=virtuelleArbeitder

Anflagerkräfte, und für den Zustand X« = — 1 (wenn 8« = Aenderung
der Stablänge cc^ = «<,)

(III) Z., + 1 . 8, = ^SM wo

^•=-'T»'+'(T+i)'"-' J-'-

Ss
Wird Aä = - — -[- 6^« gesetzt und zur Abkürzung die Bezeich*

nnng p = -^

eingeführt, so gehen mit Berücksichtigung von (18) die Gleichungen
(I), (II), (HI) über in:

(20) \L^+K=2S,Saf —Xa^S^a9 —X,^S,^f — X,2^Äp + 2i^66<«
U,+8,=2äAP — X,25AP — ^»2ääP — XS5,«P +25,ef5.
Die auf der rechten Seite stehenden Summen erstrecken sich über

sämmtliche nothwendigen Stäbe.

Bezeichnet man nun mit Ft, F^ die Querschnitte der beiden über-
zähligen Stäbe, mit J?», E^ die Elasticitätsziffem, mit t^f t^ die Tempe-
i*aturänderungeh, und mit e^, e« die Verlängerungsverhältnisse für ^ = 1^,
so hat man in die Gleichungen (20) zu setzen:

(21) 8* = -yJt + Sft^*«*; 8, = ^^ + 6,^,5,,

und ist jetzt im Stande, die Unbekannten Xa^ X^, X^ zu berechnen,
vorausgesetzt, dass die Formänderungen der Stützen bekannt oder als
Funktionen von X darstellbar sind. Dass die letztere Aufgabe meistens
auf unüberwindliche Schwierigkeiten stösst, wurde bereits auf Seite 3
angeführt und begründet. In Folge dessen begnügt man sich in der
Regel damit, bei der Untersuchung neuer Arten statisch unbestimmter
Träger festzustellen, welchen Einfluss die gegenseitigen Verschiebungen
der Stützpunkte auf den Spannungszustand des Trägers ausüben. Ist
dieser Einfluss ein wesentlicher und schädlicher, so dürfen die fraglichen
Träger nur dann ausgeführt werden, wenn auf nahezu unverschiebliche
Stützen gerechnet werden darf; sie sind z. B. bei unsicherem Bau-
grunde zu Yerwerfen; auch ist in diesem Falle bei der Aufistellung der
Träger besonders darauf zu achten, dass die Stützpunkte genau die in
der Rechnung vorausgesetzte Lage erhalten.

/ ./ ./

hß = -z^^^ & t h

S<7 = ^ w 6 < Ä .

Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke. 23

Zuweilen aber ist es möglich, die ForrnftnderuDgen der Widerlager
bei der Berechnung der Träger iheil weise zu berücksichtigen. Wird
z. B. der in der Fig. 1 6 dargestellte Träger bei B und C durch Säulen
von der Länge h' gefi^tützt, und entsprechen diesen Säulen die Werthe
E', F^j t\ t\ so ist bei Vernachlässigung der Formänderung der Orund-
pfeiler und des Baugrundes zu setzen:

S^ = der durch den Druck B erzeugten Verkürzung der Säule,
yermindert um die Dehnung dieser Säule in Folge der Tem-
peraturerhöhung, d. i.

Bl{_
und ebenso ist einzuführen:

er

Nun drückt man B und C mittels (19) durch X^, X^y X^ aus und
löst Bchliesslich die Gleichungen (20) nach den drei Unbekannten X auf.

12. — Die in den Gleichungen (20) stehenden Summenausdrücke
lassen sich auf eine sehr einfache und für die Folge sehr nützliche
Weise deuten. Zu diesem Zwecke bezeichnen wir mit

^ma die Verschiebung, welche der Angriffspunkt m irgen.d einer Last P«»
in der Richtung von P«, erfährt, sobald auf dos statisch be-
stimmte Hauptnetz nur die Belastung Jf« = — 1 wirkt [Zu-
stand jr. = — 1 (Fig. 19)],

^«1» desgleichen die Verschiebung von m im Sinne von P« und in Folge
von.-X; = — 1 (Fig. 20),

h^ desgleichen die Verschiebung von m im Sinne von P«, und in Folge
von X, = — 1 (Fig. 21),
femer mit

Sm die nach rechts positiv gezählte wagerechte Verschiebung des
Punktes o, für den Fall, dass auf das statisch bestimmte Haupt-
netz nur die Belastung JT« = — 1 wirkt,

8,ft die wagerechte Verschiebung von a in Folge von -Xi = — 1 ,

weit^ mit

Sto die gegenseitige Verschiebung des Punktpaares h, h^ d. i. die
Aenderung der Strecke hh^ für den Fall, dass auf das statisch
bestimmte Hauptnetz nur die Last X« = — 1 wirkt,

5j* die Aenderung der Strecke hb^ in Folge von Xf,=^ — 1,

*** » n '^ n ^^1 n n 1 ^c ^^ If

'ۥ

24 Einleitung.

hct die Aenderang der Strecke ccj in Folge von X^= — 1,

schliesslich mit

h^ die nach rechts positive, wagerechte Verschiebung des Punktes a,
für den Fall, dass das statisch bestimmte, unbelastete Hauptnetz
nur einer Temperaturftnderung unterworfen wird,

&M die in diesem Falle entstehende Aenderung der Strecke 5^^,

sodann setzen wir fest, dass bei der Ermittelung aller hier aufgeführten
Verschiebungen 5 die Stützen des statisch bestimmten Hauptnetzes Yoll-
kommen starr angenommen werden sollen.

Jetzt schreiben wir die Arbeitsbedingung für den Belastungszu-
stand ^= 0^(Fig. 18) an, setzen in dieselbe die dem ZustandeXa = — 1

(welcher die Spannkräfte Sa und Aenderungen A^« = -^ hervorruft;)

Er

entsprechenden Verschiebungen ein, und erhalten

SP^8^ = S^o As. = S5o 1^.,

s
woraus, mit — = p :

(22) SÄoÄ.p = SP^S^;

und ebenso finden wir:

S5o5*p = SP^8^; S^o^.p = 2P^5^,.

Wird die Arbeitsbedingung für den Belastungszustand X« = — 1 an-
geschrieben, und werden in dieselbe der Reihe nach die den Zuständen
Xa = — 1, Xj = — 1, X* = — 1 entsprechenden Verschiebungen ein-
geführt, so entstehen die Gleichungen

1.5«. = S5. A«.; 1 . 8.6 = 2Sa A«»; 1.8., = 25. A«,,
und aus diesen folgt

25a5'aP = 8,.; SS'.S'ftp = 8.»; S^.Scp = 8.^.

^23) \ ^^^^^^ yfir^ erhalten:

25,5.p = 8^; 2Ä,Ä,p = 8«; S5»Ä,p = 8^;

Sä,5„p = 8^; 25Ap = »c*; 25Ap = »«;

•

Schliesslich liefern die für die Belastnngszustände JIT. = — 1, X^^= — 1,
X« = — 1 angeschriebenen und jedesmal auf die nur von den Tem-
peraturändeiningen herrührenden Verschiebungen angewandten Arbeits-
bedingungen die Gleichungen:

<24) S5„e<s= 1 .8.,; 2566^5=1.8^; 25,6^« = 1. 8^.

Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke. 25

Die drei Bedingungen (20) lassen sich nun umformen in:

Z, + 8, = SP«8^ — X.&^ — ^,5« — Z,8^ + 8«
-^« + 8^ = SP«8„e — -^a8«, — ^^8^ — -Ae8^^ + 8rt,
und hierin ist nach Gleichung (23):
(26) 8a5 = 86«; 8,^ = 8^; 8^ = 8^^.

Die Gleichungen (25) werden sich später in vielen Fällen als sehr
nützlich erweisen, da sich die Verschiebungen 8 der Knotenpunkte der
meisten Fach werke in sehr einfacher Weise durch Zeichnung feststellen
lassen. Wir werden die Figuren, welche diese Verschiebungen liefern,
in der Folge Verschiebungapläne nennen. (Vergleiche Abschnitt I.) Um
die Unbekannten X«, X^, Xe mit Hilfe der Gleichungen (25) bestimmen
zu können, genügt es, für das statisch bestimmte Hauptnetz vier Ver-
schiebungspläne zu zeichnen, den ersten für den Belastungszustand
JIT. == — 1, den zweiten für den Zustand X^ = — 1, den dritten für
Xg= — 1 und schliesslich den vierten für das unbelastete und nur
Temperataränderungen ausgesetzte Hauptnetz.

18. — Das in No. 9 zur Berechnung eines statisch unbestimmten
Fach Werks benutzte Verfahren führt stets zum Ziele; dasselbe besteht
darin, die Spannkräfte der überzähligen Stäbe und die überzähligen
Stützenwiderstände mit Hilfe von Arbeitsbedingungen von der Art der
Gleichung (13) zu bestimmen. Zuweilen stellt es sich nun als zweck-
mässiger heraus, zunächst andere Werthe als Unbekannte einzuführen
und die überzähligen Stabkräfte und Auflagerkräfte als lineare Funk-
tionen dieser statisch nicht bestimmbaren Grössen darzustellen. So
könnte man z. B. bei Untersuchung des Trägers in Fig. 16 an Stelle
der in den Stäben bb^ und CC| auftretenden Spannkräfte, die auf die
Drehpunkte B und C bezogenen Momente 'S».»! • A und Se.ei * h dieser
Kräfte (die sogenannten Siützenmomente) zu Unbekannten wählen und
mit Hilfe von Arbeitsbedingungen berechnen.
Man darf also allgemeiner aussprechen:

SämmiUche Spannkräfte S und nach bestimmten Biehiungen
wirkenden Auflayerkräfte C eines statisch unbestimmten Fach-
werks lassen sich auf die Form bringen:
(27) ^ = '^o — '^'^' — S"X'' — 8'"X"'

,'ff -wv-fff

C=Cq— C'X' — C"X" — C" X'

wobei X', X", X'" .... gewisse statisch nicht bestimmbare
Grössen bedeuten, während Sq, S', S" . . . .; Cq, C\ C" . . . .
Werthe vorstellen, welche von den Unbekannten X unabhän^g
sind. Insbesondere bedeuten Sq und Cq die Spannkräfte und
Auflagerkräfte des statisch bestimmten Hauptnetzes , in welches
das Fachwerk übergeht^ sobald sämmtliche Grössen X verschrnn"

26 Einleitung.

den; sie sind geradlinige Funktionen der Leuten P, während die
S', S'\ . , ,, C't C" . . . . von den P unabhängig sein aollen*
Beispielsweise lassen sich S' und C' als diejenigen Werthe deuten^
welche die Spannkräfte und Äuflagerkräfte annehmen, sobald
sämmtliehe Lasten P und sämmtliche X verschwinden, ausge-
nommen X\ welchem der Werth ( — 1) beizulegen ist — ein
Belastungszustand, welcher kurz der Zustand X' = — 1 ge-
nannt werden soU,
Weiter darf man sagen:

Die durch die Ursache X' = — 1 hervorgerufenen Äuf-
lagerkräfte C' und Spannkräfte S' sind miteinander im Oleichr
gewicht, und ebenso sind die C" im Gleichgewichte mit den S* ,
die C'" mit den S'" u. s. w.

In Folge dieser Auffassung gelten die Gleichungen (27) nicht nur
für die nothwendigen, sondern auch für die überzähligen Stäbe und
Auflagerkrftfte. Ist z. B. X'' die Spannkraft in einem Überzähligen
Stabe, so entsprechen diesem die Werthe:

8q = 0, S' = 0, S" = — 1, S"' = 0, 5"" = 0 u. s. w.
und es folgt dann S = X",

Schreibt man nun die Arbeitsbedingung (13) der Beihe nach für
die Belastungszustände

X' = — 1] X'' = — 1 ; -T" ^= — 1 ;

an und wendet sie jedesmal auf den wirklichen Verschiebungszustand
an, so gelangt man zu den Gleichungen:

(28) L' = :SS'lis; L" = ^S" Uls-, r" = Sfi^'"A«;

in denen L\ ll\ L"\ .... die beziehungsweise von den Auflager-
loräften C\ C'\ C"\ .... verrichteten virtuellen Arbeiten bedeuten.

Die Anzahl der Gleichungen (28) ist ebenso gross wie die Anzahl
der statisch nicht bestimmbaren Grössen. Führt man ein:

Ad = h tts.

EF "^

drückt S mit Hilfe der ersten der Gleichungen (27) aus und setzt schliess-

lieh zur Abkürzung: — p, so gelangt man zu den Bedingungen:

EF

(L' —2S'tt8 =2SoS'p — jr2Ä'«p —X"'SS'S"g

— JC"'2S'S"'p— ...
L" — SS"«<» =SÄo^"p — -X'25"S'p — X"SS"«p

(i9){ — r"ss"is"'p— ...

L'" — Sä"'«<» = SSo S"'f — X'2S"'S'f — je"S5"'Ä"p.

_X"'SS"'«p — ...

Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke. 27

Alle in diesen Gleichungen stehenden Summenausdrücke erstrecken

sich Xiher sämnUliehe Stäbe des Fachwerks, über die nothwendigen und

überzähligen.

Auf den letzten Satz ist besonders zu achten. Wendet man z. B. die
Gleichungen (29) auf den in No. 11 untersuchten und in der Fig. 16 darge-
stellten Träger an, und setzt man X* = X., X" = JT», JT" = X«, so entsprechen
dem überzähligen Stabe bbi die Werthe:

fifo = 0; 5^ = 0; 5"== — 1; «"' = 0
und dem überzähligen Stabe eoi die Werthe:

5i = 0; 5^ = 0; 5" = 0; 5"' = — 1.
Für jeden nothwendigen Stab ist S^ = Sa\ S" = Sb\ 5"' = ^.

Die Summen SiS"«p, SS"'»p. S5"e<«, SS^'c^a unterscheiden sich von den
in den Gleichungen (20) stehenden Summen: 25fr*p, 25o*p, 25»et6, ^2 Seit 8
(tceJche letztere sich nur auf die nothwendigen Stäbe beziehen) um die den
überzähligen Stäben entsprechenden Glieder. Es ist also

S5r'»p = SS"« -^-„ = Sä« -„-^ + ^' ** == SÄ«p + '* ■

EF • EF • EbFi '^ ' EtFb '

2S'"'p=SÄ«p + j^;

SS"e<« = SSftet« — 1 • tbtbSk., S5f"e^« = l^S^tta — 1 • e«^*««.
Hingegen ist SSoS"p = SiS'oS6p; S5f"!S"'p = S5»ScP, weil für jeden über-
zähligen Stab ^0 = 0 und entweder S" = 0 oder S"' = 0 ist, und ebenso folgt,
dass in allen übrigen Summen S' durch Sa ersetzt werden darf, 5" durch Ä und
S'" durch Sc

Bei der Berechnung von L' ist die im Belastungsfalle Xi = — 1 am
Stützpunkte a angreifende wagerechte Kraft 1 zu den Aufiagerkräften zu
rechnen, weil Xa eine Aufiagerkraft ist, und es folgt deshalb L' = Z/« -f- 1 • ^ai
während L" = Lh und Z»'" = Lc ist.

Formt man nun die Gleichungen (29) für den vorliegenden Fall auf diese
Weise um, und beachtet noch, dass

«6 = -^T^r^ + ^hthSb und Ö, = -- - - -|- tcteSc
JCdb Jf b J^t P c

\S^^ so erhalt man die auf Seite 22 abgeleiteten Gleichungen (20).

Bei der Anwendung der Gleichungen (29) kommt es hauptsäch-
lich darauf an, die yon den Lasten P abhängigen Summen möglichst
schnell zu bestimmen. In der Regel wird es sich empfehlen, den in
No. 12 eingeschlagenen Weg zu wählen und zu setzen:

(30) S^o^P = SP^SJ; ^S^S"^ = SP^SJ'; u. s. w.

wobei hjy ij' .... diejenigen Verschiebungen bedeuten, welche der
Angriffspunkt m irgend einer Last P«. in der Richtung von P«, erföhrt,
sobald auf das Fach werk beziehungsweise nur die Ursache X' = — 1
oder nur die Ursache X*' = — 1, u. s. w. wirkt.

Alle übrigen (8q nicht enthaltenden) Summenausdrücke sind un-
abhftngig Von den Lasten; sie brauchen also nur einmal bestimmt zu
werden und werden häufig am schnellsten durch Rechnung gefunden,

28 Einleitung.

nachdem man die Spannkräfte S\ S'\ . . . berechnet oder mit Hilfe
von KräfteplOnen ermittelt hat. Es lassen sich aber diese Sammen
anch auf dem in No. 13 angegebenen Wege als Verschiebungen deuten
und dann oft mit Hilfe einfacher Verschiebungsplftne angeben.

14. — Hat man die statisch nicht bestimmbaren Grössen X auf
dem in No. 11 bis 13 beschriebenen Wege ermittelt und hiei-auf mit
Hilfe der Gleichungen (18) bezw. (27) die Spannkräfte 5 berechnet, so
kann man die Aenderungen Is sämmtlicher Stablängen 8 angeben und
ist nun im Stande, alle die in No. 9 und 10 behandelten Aufgaben
zu lösen und zwar genau nach dem früher benutzten Verfahren. Das-
selbe besteht in der Anwendung der Gleichung ^Q^h^ = ^S^$ auf
den wirklichen Verschiebungszustand und auf einen gedachten Be-
lastungszustand, welcher letzterer so zu wählen ist, dass die virtuelle
Gesammtarbeit der Lasten = 1*5«, ist, wobei 5«, die gesuchte gegen-
seitige Verschiebung eines Punktpaares tn, mj oder die gesuchte gegen-
seitige Drehung eines Geradenpaares u. s. w. bedeutet. Hierbei ist zu
beachten, dass zwischen den gedachten äusseren und inneren Kräften Q
und S nur Gleichgewicht zu bestehen braucht, dass also die Spann-
kräfte in den überzähligen Stäben und die überzähligen Auflagerkräfiie
gleich Null gesetzt werden dürfen.

Es liege beispielsweise der in Fig. 16 dargestellte Bogenträger
vor. Gesucht sei die Verschiebung h^, welche irgend ein dem mittleren
Bogen angehörender Knotenpunkt m in der Richtung m|fn erfährt.
Die auf Seite 21 angegebenen Verschiebungen der Stützpunkte sollen
berücksichtigt werden.

Zuerst wird der Träger durch Beseitigung der überzähligen Stäbe
und Auflagerbedingungen statisch bestimmt gemacht (Fig. 22). Hierauf
wird in m eine von mj nach tn gerichtete Last von der Grösse eins

Formanderong statisch anbestimmter Fachwerke. 29

angebracht und znr Berecfannng der durch diese Last an den Auflagern
des Hauptnetsses henrorgerufenen Widerstftnde A, B^ . . . , geschritten.
Bildet m^m mit der Wagerechten den Winkel ol, und ist der loth-
rechte Abstand des Stützpunktes B von der inm| gleich r, so lauten
die Gleichgewichtsbedingungen :

H= 1 • cos a;^ Al^ — He=^0
C/— 1 •r = 0; ~Ä+^+C= 1 -sina
und aus diesen findet man:

— e cos OL — r

TT - / . « COS a r \*)

Nun bestimmt man die von den äusseren Kräften 1, A^ B, C, H

in den Stäben des Hauptnetzes hervorgerufenen Spannkräfte S und
schreibt die Arbeitsgleichung an:

1 • 8« — Ähjt — Fijf — C8c — ^H = S^A«,

in welche die wirklichen Aenderungen As der Stablängen einzuführen
sind« E& ist also zu setzen:

EF

A« = -^^ + U8 wo S = Sq— S^X^ — S^Xt, — S,X^

Auf diesem Wege erhält man stets 8«, als lineare Funktion der
Lasten P, der Temperaturänderungen ty der statisch nicht bestimm-
baren Grössen X und der nach bestimmten Richtungen erfolgenden
Verschiebungen der Stutzpunkte. Da nun zwischen den X, P, t, eben-
falls nur Beziehungen ersten Grades bestehen, so folgt, dass im Falle
unveränderlicher Gliederung und Stützungsart das in No. 6 ausge-
sprochene Gesetz von der Zusammenzählung der einzelnen Wirkungen
für alle diejenigen GrOssen 5^ gilt, welche sich mittels einer Bedingung

von der Form 1 • 8^ -f- 2/ = 25A« bestimmen lassen.

16« — Es m^gQ noch darauf hingewiesen werden, dass bei der
Auswahl der als überzählig zu bezeichnenden Stäbe und Auflagerbe-
dingungen innerhalb gewisser Grenzen nach Willkür verfahren wer-
den darf.

Führt man z. B. die Widerstände der beiden Mittelstützen des in
der Fig. 23 dargestellten durchgehenden Balkens als statisch nicht be-

*) Wir empfehlen dem Leser, diese Kräfte auch durch Zeichnung zu be-
stimmen.

30 Einleitung.

fitimmbare Grössen (X) ein, so erhält man das in der Fig. 24 abge«
bildete Hanptnetz; dasselbe ist ein einfacher Balken. Hingegen gelangt
man zu dem ans drei Einzelbalken bestehenden Hauptnetze (Fig. 25)

Fig. 28.

Flg. 24.

/^C7^^7Y^r7\^/^;7\7\

Flg. 25.

/\7\/\/\/\/\/\/\?\

Fig. 26.

oder zu dem einen (rerd^r'schen Balken vorstellenden Hanptnetze
(Fig. 26), je nachdem man die beiden Stäbe bc oder die beiden Stäbe
ab als überzählig bezeichnet.

Auch ist hervorzuheben, dass bei der Ermittelung der Verschie-
bungen 5m andere Hanptnetze gebildet werden dürfen, wie bei der
Bestimmung der Spannkräfte.

e. Per Maxweirsche Sati von der Gegenseitigkeit der ela8ti<chen Forwänderungen

und das Gesetz von Betti.

16. — Wir betrachten ein auf starren Stützen ruhendes, ebenes
oder räumliches Fach werk von unveränderlicher Oliederung und Stützungs-
art (Seite 6) und setzen einen spannungslosen Anfangszustand voraus.
Auch nehmen wir an, dass keine Temperaturänderungen entstehen.
Es gilt dann das auf Seite 12 nachgewiesene Clapeyron'sche Gesetz,
und es ergiebt sich für die mechanische Arbeit A der äusseren Kräfte
<3er nur von den Lasten P abhängige Ausdruck:

(31) ^ = iSP8 = i(PA + P686 + -- + P«8^ + ---),

in welchem bis jetzt unter P«,, P«, . . . P^ . . . Einzellasten verstanden
wurden und unter 8«, 5», . . . 5^ . . . die wirklichen Verschiebungen

Einführung der Begriffe: Belastung und Weg einer Belastung. 31
der Angrififspunkte a^ b, .... m ... . derselben, im Sinne der

Für die Folge ist es nun ntltzlich, den Buchstaben P und 5 eine
allgemeinere Bedeutung beizulegen und unter jedem der in der Gleichung
auftretenden Produkte ^ Fh die mechanische Arbeit einer ganzen Gruppe
von Lasten zu verstehen.

Solche Gruppen lassen sich leicht an der Hand der Untersuchungen
in No. 9 und No. 10 bilden.

Werden z. B. die beiden Lasten Eins in der Fig. 9 mit P«» mul-
tiplicirt (wobei man natürlich entweder Eins oder P« als Zahl zu be-
trachten hat), so entsteht eine Lastengruppe, deren Beitrag zur Arbeit
A gleich ^ Pm^m ist, wenn S«» die gegenseitige Verschiebung des Punkt-
paares m, nti bedeutet.

Multiplicirt man die vier Lasten in Fig. 13 mit P«., so erhttlt man
eine Gruppe, deren entsprechendes 5^ gleich der im Bogenmass aus-
gedrückten gegenseitigen Drehung des Geradenpaares (m), (mj) ist.

In gleicher Weise lässt sich aus der Figur 15 durch Multiplikation
der dort angenommenen Lasten mit P^ eine LastengiTippe ableiten,
deren zugehöriges 5«, gleich der Aenderung der Entfernung mf ist.

Die vorliegenden Beispiele dürften genügen, um die Bildung von
Lastengruppen zu erläutern, und es sei nur noch hervorgehoben, dass
jede am Fachwerk vorkommende Last stets nur einer einzigen Gruppe
zugewiesen werden darf. Der Kürze wegen nennen wir eine solche
Gruppe von Kräften eine Betastung und das entsprechende 8 den
Weg dieser Belastung. Unter anderem werden wir in der Folge Öfter
von der Belastung P„» eines Pnnktpaares m, m^ oder eines Geraden-
paares (m), (m^) sprechen, Belastungen, die nach der vorstehenden Er-
kliürung durch Multiplikation der auf Seite 13 und 16 eingeführten
Bdastungseinheüen jener Paare mit P^ entstehen.

Sftmmtliohe 8 sind lineare Funktionen der Belastungen P; sie
lassen sich daher auf die Form bringen:

(32)

K = 8..P. ^- 8^P, H 1- 8.^P^ +

». = S».P. + 8^P, H 1- 8^P^ +

8« = 8^. P. + 8^ P, H h »«.-. P^ +

wobei die mit einem Doppelzeiger behafteten Werthe 8 unabhängig
sind von den Belastungen P. Um diese Werthe zu deuten, setze man
in irgend einer der Gleichungen (20) sämmtliche P gleich Null, mit

32 Einleitung.

Ausnahme eines einzigen, dem man den Werth Eins beilege. Dann
ergiebt sich beispielsweise 5«,^ als derjenige Werth, welchen der Weg
5m ^^ ^^^ F&U annimmt, dass auf das Fach werk nur die Belastung
F^ = 1 wirkt

17. — Wir setzen jetzt voraus, dass nur zwei Belastungen auf-
treten, etwa P« und P„. Die entsprechenden Wege sind

^m '""' ^iH IM ■*■• I ^m N ■*i»
^n = \m Pm + Kn Pn-

Wird zuerst nur die Belastung P^ aufgebracht, so ist der Weg
derselben = hmmPmf nnd es verrichtet deshalb die von Null aus all-
ml&Hch anwachsende Belastung P«» die mechanische Arbeit ^ hmmPm^'
Fügt man die ebenfalls von Null aus anwachsende Belastung P« hinzu,
80 nimmt die Arbeit der äusseren Kräfte erstens um ^ S^^P»^ zu, weil
die wachsende Belastung P« den Weg S«»P» zurücklegt, und zweitens
um Pm(SmiiP»)9 weil der Weg der bereits vorhandenen Belastung P«
die Vergrösserung Sm«P» erfährt. Im Ganzen entsteht:

Wird zuerst die Belastung P« aufgebracht und nachher P«, so
ergiebt sich durch Vertauschung von m und n:

Nach dem Clapeyron sehen Gesetze müssen aber die beiden für A
gewonnenen Ausdrücke übereinstimmen, und es folgt daher die wich-
tige Gleichung:

(33) o„,^ == o,„„.

Dieselbe wurde zuerst von Maxwell bewiesen und soll in der Folge
stets als Maxwell' scher Lehrsatz angeführt werden.

Von den vielen Sätzen, welche sich aus der Gleichung (83) er-
geben, sind die folgenden für die späteren Untersuchungen von be-
sonderer Bedeutung.

1, Die gegenseitige Verschiebung h„^ eines Punktpaares m, m^
in Folge der Belastungseinheit eines anderen Punktpaares n, n^
ist ebenso gross wie die gegenseitige Verschiebung inm des Punkt"
paares n, n^ in Folge der Belastungseinheit des Punktpaares
tn, f7i| .

2. Die gegenseitige Drehung h^^ eines Geradenpaares (m),
(m^) in Folge der Belastungseinheit eines anderen Geraden^
paares (n), (n^) ist d^enso gross wie die gegenseitige Drehung
&»« des Geradenpaares (n), (n^) in Folge der ßelastungeeinheit
des Geradenpaares (m), ('mj^. '

Der Maxweil^sche Satz.

33

3. Die gegenseitige Ve^'sekiehung eines Puhktepaarea tn, m^

in Folge der Belaetungseinheit eines Geradenpaares (n), (n^)

ist eibenso gross wie die gegenseitige Drehung des Geradenpaares

(n), (n^) in Folge der Belastungseinheit des Punktepaares m, m^ .

Die Sfttze (2) und (3) besuehen sich auf ein ebenes Fachwerk. Die

Erklärungen der Begriffe: Punktpaar, Geradenpaar, Belastungseinbeit

eines Punkt- oder Geradenpaares finden sich auf Seite 13 und 16.

Noch sei ein Beispiel aogeführt, welches besonders geeignet sein dürfte,
von der Fmchtbarkeit des MaxwelPschen Satzes zu überzeugen. Man darf
nSmlich mit Hinweis auf die Figuren 27 und 28, welche ein und dasselbe
Fachwerk auf verschiedenartige Weise belastet darstellen, aussprechen: Die

Ky

Fig. S7.

Fig. 38.

Strecke, um welche sich der Abstand mf in Fig. 28 ändert, sobald auf das

Fachwerk nur die in der Fig. 27 angenommenen Lasten — undj — wirken, ist

ebenso gross wie die im Bogenmaass ausgedrückte Aendenmg, weIcEe der Winkel
9 (Fig. 27) erfährt, falls das Fnchwerk auf die in Fig. 28 angegebene Art be-
lastet wird. (Die gleichbezeichneten Strecken e, e^ der Figuren 27 und 28
brauchen nicht gleich gross zu sein.)

XAller-BrealftQ, C^phlsehe Stfttlk. n. 1. 3

34 Einleitung.

18« — Zu einem anderen Beweise für den Maxweirsohen Satz
führt die folgende Betrachtung.

Ein Fach werk, welches den in No. 16 angeführten Voraussetzungen
genügt, werde von beliebigen Belastungen P„ ergriffen. In Folge dessen
entstehen Spannkräfte S^ und Aenderungen der Stablängen um

A««= •

EF

Nach Entfernung der P«, mögen andere Belastungen P«» auf das
Fachwerk wirken und die Spannkräfte 5« sowie die Längenftnderungen

As; = hervorbringen.

Es bedeute nun (5«J den Werth, welchen der Weg 5^ irgend
einer Belastung P«, annimmt, wenn auf das Fach werk nur die Be-
lastungen Pm .wirken, femer (5«,^) den nur durch die Belastungen P^
hervorgerufenen Weg irgend einer Belastung P«. Die Werthe h wurden
durch Klammern ausgezeichnet, da sie eine andere Bedeutung haben
als die früher erklärten &»„ und h^„, deren ersteres z. B. den Werth
von S«, für den Fall vorstellte, dass nur eine Belastung P« wirkt und
diese die Grösse Eins besitzt.

Schreibt man nun die Arbeitsbedingnng (13) einmal an

für den Eräftezustand (P„, SJ) und den hiervon unabhängigen

Verschiebungszustand [(&»•<•) AsJ
und hierauf

für den Eräftezustand (P^, S^ und den hiervon unabhängigen

Verschiebnngszustand [(inm) As«»]»
so erhält man die Gleichungen:

2P. (8«0 = 2ä« As, = 2^« -^ und

2P„ (KJ = 2^. As^ = 25, ^

und gelangt zu dem zuerst von BeUi nachgewiesenen Gesetze
(84) SP«(&«,) = 2P.(8_).

Wirkt auf das Fach werk das eine mal nur eine Belastung P«, = 1,

sodann nur eine Belastung P«= 1, so entsteht aus (84):

i

und hieraus folgt, dass der HdcucweWBohe Satz nur ein besonderer Fab
des viel allgemeineren, aber erst später entdeckten J9«^^i^schen Satzes ist.

19. — Um die Anwendung des MaxwelFschen Satzes auf die Be*
rechnung statisch unbestimmter Fachwerke zu erläutern, bebandeln wir

Anwendung des Maxweirschen 8atzes. 35

zunächst die in No. 11 und 13 bereits auf anderem Wege gelöste Auf-
gabe: die überzählige Auflagerkraft X„ und die Spannkräfte Xi,, X^ der
überzähligen Stäbe des in der Fig. 16 dargestellten Bogenträgers zu be-
stirnmen.

Es sollen sowohl Temperaturänderungen als auch die auf Seite 2 1
angeführten Verschiebungen der Stützpunkte berücksichtigt werden.

Wir rechnen (wie in Fig. 17 auf Seite 19) die Kräfte -X^, Xj, X^
zu den auf das Hauptnetz wirkenden Lasten und erhalten für die Wege
S., h^, h^ der Belastungen X«, X», X^ die Werthe:

K = ^PmKm 8«aX« 8«jXj 8«,X« + S«, + 5«,

ik = SP^Sj« — 8ft«Xa — ^mX^ — i*«X^ + ^w 4" Sj„

= ^Pm^em i«iX. S«frX» — 8^ X, + 8^ + 8«,.

Hierbei bezeichnet:

8.« den Einfluss der Ursache P«» = 1 ^^^ den Weg 8«,
8«i desgl. den Einfluss der Ursache X. = — 1 ,

\h n » n n » Xj = 1 ,

"«« n n r> r> V -^« ^^ * >

8^ desgl. den Einfluss von Temperaturänderungen,

8m» n f) » » Verschiebungen der Stützpunkte,

und ebenso lassen sich die übrigen, mit Doppelzeigem behafteten Werthe

8 deuten.

Um 8m, zu bestimmen, wird die Arbeitsbedingnng für den Be-

lastungszustand X« = — 1 (Fig. 1 9) angeschrieben und dabei jedem

Stabe die Längen&nderung A^ = 0 beigelegt. Es ergiebt sich dann

(85)

e

1 • 8«, + 1 . 8jr+ 1 • — (8^ — 8j, — 8c+ 8,>) = 0

und hieraus und aus ähnlichen, für die Belastungszustände X» = — 1 ,
X, = — 1 aufgestellten Gleichungen folgt

8^ = — Zr.; 8j^ = — L^; 8^ = — L^ (vergl. Seite 22).

Setzt man nun diese Werthe in (85) ein und beachtet, dass die
Buchstaben der Doppelzeiger miteinander vertauscht werden dürfen,
dass also 8.^ = 8^, 8^^ = 8^, 8^ = 8^, 8^ = h^, . . . ist, so ge-
langt man zu den auf Seite 25 erhaltenen Gleichungen (25).

Der eben eingeschlagene Weg führt immer zum Ziele. Man darf
aussprechen:

Jedes statisch unbestimmte Fachwerk lässt sich durch Beseitigung
▼on überzähligen Stäben und Auflagerkräften in ein statisch bestimmtes
Fachwerk (Hauptnetz genannt) verwandeln. Auf dieses Hauptnetz wir^
ken ausser den gegebenen Lasten P^ und den Temperaturändernngen
noch gewisse vorläufig unbekannte Belastungen X«, X^, X«, X^ . . .

3*

36 Einleitung.

deren Wege S«, R^, S«, S< . . ., jedoch befitimmten Bedingungen nnier*
worfen sind. Es gelten die Gleichungen:

L, — i^ + \ = SP«».. — h^X.—h^X^—h^X,—h^X^— . . .

^ — Sj^ + 8> = 2P^5^ — ^thX^ — ihbX^ — f>t^X„ — b^kX^ — • . •

(86) {L. — h^+h. = SP^8^. — a^x. — KX,—i^X.—h^X^— . . .

1^4 8« + S< = SP« 8^ iadXa &M-^fr ^edX^ ^däX^ . . .

welche eine schnelle Berechnung der statisch nicht bestimmbaren GrOesen
X gestatten, sobald sich die den Belastungszuständen X« = — 1,
-Xi = — If Xe = — 1 , . . . entsprechenden Formänderungen des Haupt-
netzes bequem darstellen lassen, und ebenso die von den Temperatur-
ftnderungen herrtthrenden Werthe 81^« ^m» • • • • Begegnet die Er-
mittelung dieser Verschiebungen Schwierigkeiten, so wende man die
in No. 11 und 18 abgeleiteten Gleichungen (20) oder (29) an.

f. BaflwM uwriclittger Abttngitng Dberithllger Sttbe. Künstliche Ampaimyiij.

20. — Die bisherigen Untersuchungen setzten voraus, dass jeder
Stab genau diejenige L&nge erhält, welche dem spannungslosen Zu-
stande des Fachwerks entspricht. In statisch unbestimmten Fachwerken
können jedoch geringfttgige Fehler bei der Ablängung der überzähligen
Stäbe wesentliche Aenderungen der Spannkräfte zur Folge haben.

Soll z. B. in ein aus 5 Stäben gebildetes ebenes Viereck (Fig. 29)
ein sechster Stab ah eingefügt werden, welcher die zu geringe Länge

abi besitzt, so ist dieser Stab vorher so anzu-
spannen, dass er sich um h^h verlängert. In
Folge dessen aber wird er auf das ursprüng-
liche Fachwerk in a und b gewisse Kräfte aus-
üben, welche in den Stäben desselben Span-
nungen hervorrufen.

Damit man die früher entwickelten Glei-
chungen auch unmittelbar zur Berechnung von
ng. 29. statisch unbestimmten Fachwerken benutzen

kann, deren überzählige Stäbe wegen unrich-
tiger Ablängung mit Aufongsspannungen eingesetzt werden müssen,
stelle man sich vor, es seien jene Herstellungsfehler durch Abkühlung
beziehungsweise Erwärmung der unrichtig bearbeiteten Stäbe beseitigt
worden und zwar vor Einfügung dieser Stäbe in das Fachwerk. Die
Länge 8 eines Stabes, dessen Temperatur um t' zunimmt, wächst um
it'Sf und es muss deshalb die Temperatur eines um ci« zu kurzeu

Ausnahmefäile. 37

Stabes um t' = — erhöht, diejenige eines um CJ9 zu langen Stabes

s

§ <*>
um f = — erniedrigt werden.

Nach Einsetzen sllmmtlioher Stäbe denke man die ursprünglichen
Stabtemperaturen wieder hergestellt, schreibe also den erwärmten Stäben
die Temperaturänderung ( — i'\ den abgekühlten die Temperaturerhöhung
(-}- <0 '^u* ^A erkennt dann, doss man den fraglichen Bearbeitungs-
fehlem Rechnung trägt, wenn man die in die früheren Ent Wickelungen
eingeführten Temperaturänderungen i für die um o« zu langen oder

zu kurzen Stäbe um ^ = - - vergrössert beziehungsweise verkleinert.

Werden überzählige Stäbe absichtlich mit unrichtigen Längen ein-
gesetzt, so bezeichnet man das Stabgebilde als ein Fachwerk mit künat-
Ucher Anspannung.

g. Aufnahmefälle.

2L — Alle vorstehenden Entwickelungen sind an die Voraus-
setzung gebunden, dass es zulässig sei, bei der Aufstellung der Gleich-
gewichtsbedingungen die Formänderung des Fachwerks zu vernach-
lässigen; sie gelten also nur für Stabgebilde, deren Knoten sehr geringe
Verschiebungen erleiden, und führen, auf Träger von ungenügender
Steifigkeit (z. B. mangelhaft versteifte Kettenbrücken) angewendet, mit-
unter zu ganz unrichtigen Ergebnissen. Es giebt aber auch Fälle, in
denen bereits sehr geringe elastische Formänderungen die angenäherte
Berechnungs weise unbrauchbar machen, und hierzu gehören die
im ersten Bande, Abschnitt XIII,

als Fachwerke von unendlich kleiner . g

Verschiebbarkeit bezeichneten Stabge- f ^ ^ ^ ^

bilde, deren Knotenpunkte sich selbst f* ^ **

dann gegeneinander (wenn auch nur
unendlich wenig) verschieben würden,
wenn sämmtliche Stäbe und Stützen
starr wären. Ein besonders einfaches
Fachwerk dieser Art stellt Fig. 80 dar.
Die Achsen der beiden wagerechten
Stäbe ac und hc fallen in dieselbe Ge-
rade, a und h sind feste Auflager- ng. so.
gelenke. Die um a und b mit den

Halbmessern « geschlagenen Kreise haben ein Bogenelement gemein, inner-
halb dessen sich c frei bewegen kann. Wird das Fachwerk durch eine senk-

38 EinleitiiDg.

rechte Last P beanspnicht, und verschiebt sich jedes der beiden Auflager-
gelenke um die gleiche wagerechte Strecke ^, so entstehen in den Stäben
ae und hc gleich grosse Spannkräfte S, Man erhält:

25sin Aa = P;
sinAa = V^l — cos'Aa; cosAa = — ; — -— ; As = — — -; also

*^ 1 8^{EF+Sy \ '

und diese Gleichung liefert für 8 einen bestimmten endlichen Werth,
welcher desto grösser ist, je grösser E und F sind. Werden die Wider-
lager und die Stäbe vollkommen starr angenommen, so ergiebt sich
(wegen $ = 0; A» = 0; sinAa = 0) für die Spannkraft S, selbst
bei sehr kleiner Last P, der unrichtige Werth S=oo,

Zu einem ähnlichen Ergebnisse führt die genauere Berechnung des
auf Seite 208 und 211 des ersten Bandes angeführten Paskarschen
Sechsecks. Gleichgewicht tritt hier selbst bei starren Stäben im All-
gemeinen erst nach einer gegenseitigen Verschiebung der Knotenpunkte
ein. Da diese Formänderung aber unendlich klein ist, so darf bei
Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen die ursprüngliche Gestalt
des Fachwerks beibehalten werden, und es ergeben sich dann (nach
Band I, Abschnitt XUI) für die Spannkräfte 8 unendlich grosse oder un-
bestimmte Werthe. Werden aber die elastischen Verschiebungen be-
rücksichtigt, so liefern die Gleicbgewichtsbedingungen für jede Spann-
kraft 8 einen ganz bestimmten endlichen Werth. Immerhin ist es rath-
sam, derartige bereits ausgeführte Fach werke zu vermeiden, wegen der
verhältnissmässig grossen Anstrengungen, welche die Stäbe selbst bei
geringer Belastung erleiden.

B. Gesetze fUr beliebige Isotrope, feste Korper.

a. Vorautsefaungen und Erklärungen. Gesetz der virtuellen Verschiebungen.

22. — Wir werden in diesem Buche ausser Fachwerken noch Träger
untersuchen, die aus irgendwie miteinander befestigten geraden oder
krummen Stäben zusammengesetzt sind und Siabwerke genannt werden
mögen. Die Theorie derselben leiten wir durch Entwickelung einiger
Gesetze ein, welche für beliebige feste Körper, die nur elastische, ver-
schwindend kleine Formänderungen erleiden, gelten.

28. — An irgend einer Stelle eines im Gleichgewichte befindlichen
festen Körpers denken wir uns ein unendlich kleines Theilchen abge-

Allgemeinere ünterauchuiig fester Körper. 39

grenzt. Die auf die Seitenflächen desselben wirkenden Kräfte sollen
Fläehenkräfte genannt und insbesondere als innere Kräfte oder Ober'
fiächenkräfte bezeichnet werden, je nachdem die durch sie beanspruchten
Flächen im Innern des Körpers liegen oder zur Oberfläche gehören;
ausser ihnen wird an dem Körpertheilchen im Allgemeinen noch eine
auf die Masse desselben wirkende äussere Kraft angreifen, welche eine
Massenkraft heisst (z. B. die Erdanziehung, Ergänzungskräfte der rela-
tiven Bewegung).

Nehmen wir nun an, es erleide ein anfänglich im Gleichgewichte
befindlicher Körper durch Hinzutreten äusserer Kräfte und durch Tem-
peraturänderung eine Umgestaltung. Dieselbe hört auf, sobald sich ein
neuer Gleichgewichtszustand gebildet hat und bestehen bleibt; während
ihrer Erzeugung werden die Flächenkräfte des betrachteten Körper-
theilchens eine bestimmte Arbeitssumme verrichten, und von dieser ist
besonders derjenige Theil von Wichtigkeit, der nur von der Form-
änderung des Körpertheilchens abhängig ist, der also verschwindet,
wenn sich das Theilchen bewegt, ohne seine Gestalt zu ändern. Man
nennt diesen Theil der Gesammtarbeit der Flächenkräfte die Form-
änderungsarbeit des Körpertheilchens; ihre Integration über den ganzen
Körper liefert die Form änderungsarbeit des Körpers. Bei der Berech-
nung dieser Arbeit ist zu beachten, dass die Flächenkräfte, deren
schliessliche Werthe wir ganz allgemein mit i? bezeichnen wollen, sich
im Verlaufe jener Umgestaltung ändern.

Denkt man sich hingegen die Flächenkräfte während der ganzen
Dauer der Formänderung mit ihren Endwerthen R wirkend und be-
stimmt die von den R geleistete Form änderungsarbeit unter der Voraus-
setzung einer tvillkürlichen Formänderung, die man sich zwar als mög-
lich vorstellen kann, die aber nicht von den die Kräfte R erzeugenden,
sondern von irgend welchen anderen Ursachen herrührt, so erhält man
einen Ausdruck dA^, welcher die virtuelle Formänderungsarbeit des
Körpertheilchens heisst, während jene willkürliche, mögliche Umge-
staltung eine virtuelle Formänderung genannt werden soll.

Wir fassen jetzt eine unendliche kleine virtuelle Formänderung
eines im Gleichgewichte befindlichen Körpers und insbesondere die Be-
wegung und Umgestaltung eines Körpertheilchens ins Auge und be-
zeichnen die virtuelle Arbeit der auf dieses Körpertheilchen wirkenden
Massenkraft mit dA^, diejenige der Flächenkräfte mit dAf. Letztere
Arbeit besteht aus zwei Theilen; der eine, dA^y hängt nur von der
Umgestaltung des Körpertheilchens ab, der andere, nämlich c^^/ — dA^
von der Bewegung des Massenmittelpunktes und der Drehung des
Körpertheilchens um diesen Punkt. Somit stellt dA^-^r dAy — dAp
diejenige virtuelle Arbeit vor, welche sämmtliche auf das Körper-

40 Einleitung.

theilohen wirkenden Kräfte verrichten, wenn dessen Bewegung ohne eine
Formyeränderang vor sich geht. Diese Arbeit muss aber = Null sein,
da die Mittelkraft der auf das Körpertheilchen wirkenden Krftfte (des
vorausgesetzten Gleichgewichtszustandes wegen) zu Anfang = Null ist
und auch während der ganzen Dauer der gedachten unendlich kleinen
Bewegung bis auf eine verschwindende Grösse den Werth Null behält.
Es folgt mithin dA^-\' dAf='dA, und, wenn entsprechende
Gleichungen für sämmtliche Körpertheilchen gebildet und hierauf addirt
werden,

(37) A^-\-Ay=A^.

Da sich nun in dem Ausdrucke A/ die Arbeiten der inneren
Flächenkräfte gegenseitig tilgen, weil auf die Flächen, in denen an-
einander grenzende Körpertheilchen zusammenhängen, bei gleichen Ver-
schiebungen entgegengesetzt gleiche Kräfte wirken, so leuchtet ein, dass
Af die virtuelle Arbeit der Oberflächenkräfte, mithin A/ -f- A^^ die 9»r-
tuelle Arbeit sätnmtlicher äusseren Kräfte vorstellt, und es drückt des-
halb die Gleichung (37) das Gesetz aus:

Bei einer verschwindend kleinen virtuellen Formänderung eines
im Gleichgewichte befindlichen Körpers ist die virtuelle Arbeit
der äusseren Kräfte gleich der virtuellen Formänderungsarbeit.

Die Ableitung dieses Satzes nimmt an, dass alle anfänglich sich
deckenden Seitenflächen von aneinander grenzenden Körpertheilchen auch
während des ganzen Verlaufs der Formänderung sich decken, weil nur
dann die Arbeiten der auf diese Flächen wirkenden Kräfte sich auf-
heben. Besteht nun der betrachtete Körper aus mehreren einander
berührenden Theilen, von denen jeder einzelne der gemachten Annahme
entspricht, und finden gegenseitige Verschiebungen von anfänglich zu-
sammenliegenden Berührungsflächen je zweier Theile statt, so müssen,
wenn das bewiesene Gesetz gelten soll, alle diese Flächen zur Oberfläche
gezählt werden, d. h. es sind die auf diese Flächen wirkenden Kräfte,
soweit sich ihre Arbeiten nicht tilgen, zu den äusseren Kräften zu
rechnen. So sind z. B. bei aufeinander reibenden Theilen eines Körpers
die an den Berührungsstellen wirkenden Reibungs widerstände als äussere
Kräfte aufzufassen.

24. — Um einen allgemeinen Auisdruck für A^ abzuleiten, be-
ziehen wir den Körper auf ein rechtwinkliges Koordinatensystem und
denken an irgend einer Stelle, aber innerhalb eines Körpertheiles, dessen
Spannungen sich stetig ändern, ein Parallelopipedon von den anfäng-
lichen Kantenlängen dXy dy, dz abgegrenzt.

Die Spannung in der zur a;-Achse senkrechten, den Punkt (x, y, z)
enthaltenden Seitenfläche dydz sei in die Seitenspannungen

^gemeinere ünteFsachuDg fester Köxper.

41

a^ parallel der o;- Achse und positiy, wenn im Sinne von ( — x) wirkend,

'»m

»

9>

y

91

»>

t9

»»

>»

}»

» (-y)

»f

>>

n

Z"

>9

»}

»9

>>

>>

l>

» (-»)

f>

Fig. 31.

zerlegt, *nnd in gleicher Weise mögen die Spannungen in den dem
Punkte (x, y, z) anliegenden Seitenflächen dzdx und dxdy durch ihre
Seitenspannungen

*y«i

'yv>

gegeben werden. Die a sind Zug- oder Druckspannungen, die t Schub-
spannungen (Band I, Seite 56).

Durch Multiplikation dieser Spannungen mit den entsprechenden
Flächeninhalten gelangt man zu den Kräften, welche jene Flächen be-
anspruchen. Auf die Fläche dydz wirken z. B. die drei Kräfte:

a^dydz, '^»ydydz, x^dydz.

Wird die Momentensumme
aller am Parallelopipedon dxdy dz
angreifenden Kräfte in Bezug auf
die der y-Achse parallele Schwer-
achse des Körpertheilchens gleich
Null gesetzt und hierbei davon
abgesehen, dass sich die Span-
nungen in gegenüberliegenden Sei-
tenflAchen um Differentiale unter-
scheiden, weil die Berücksichtigung
dieser unterschiede zu unendlich
kleinen Grössen der vierten Ord-

Flg. SS.

42 Einleitang.

nnsg fuhren wttrde, welche gegen die der dritten Ordnung verschwinden,
80 erhftlt man, (mit Hinweis auf Fig. 32, in der die Projektion des
Körpertheilchens auf die (zx^Ehene dargestellt ist) die Gleichung:

('z„dxdy)dz = ('r:„dydz)dx (vergl. auch Band I, § 12),

und hieraus und aus ähnlichen Momentengleichungen für die der a;-Achse
und 2^- Achse parallelen Schwerachsen des Körpertheilchens folgt:

weuhalb die kürzere Bezeichnung eingeführt werden soll:

T, —— Ty, —— w^{ Ty Tjjp ^xm\ ^* "~~" ^«y ^^»

wobei zu bemerken ist, dass

Es ändere sich nun die ausgliche Länge dx um die Strecke

Ada; = A' (-——) + A" (-—) so zwar, da8S sie die dem Punkte

(^9 Vj ^) anliegende Fläche gegen den Massenmittelpunkt M im Sinne

der ( — x) um A' (-^) verschiebt und die gegenüber liegende Fläche

/, / dx \
im Sinne der {-{- x) um A (~^~ )• Die auf jene Flächen wirkenden

Kräfte:

a^fdydz und la^-^—^dxjdydz

lidem dann zur virtuellen Formänderungsarbeit den Beitrag:

und hierfür darf man nach Streichung der kleinen Grösse vierter Ord-
nung : , dx dy dz A" \-r-dx) setzen :
dx V. 2 /

^dx
Cg,dydz^dx^= a, — - — dV

ax

worin dV= dxdydz den Inhalt des Körpertheilchens bedeutet.

Hieraus und aus ähnlichen Betrachtungen folgt: Aendem sich die
anfänglichen Längen dx, dy, dz um Strecken ^dx, ä^dy, Adz und
bezeichnet man die in der Folge Dehnungen genannten Verlängemngs*
Verhältnisse mit
, , /idx ^dy ^dz

(38) «. = — i — , ß* = -ir— » e.=

dx ' ' dy ' ' dz

Allgemeinere Untersnchung fester Körper. 43

80 ist der von den Spannungen a«, a,, a« abhängige Theil der vir-
tuellen Formänderungsarbeit dA^ des Eörpertheilchens {dxdydz)
gleich

(39) (<y.e, + cj^s, + cj.6.)(iF. .

Gleichzeitig mit den Dehnungen entstehen Winkeländerungen und
in Folge dessen leisten auch die Schubkräfte Arbeit. £$ sei, mit Be-
zugnahme auf Fig. 31

Y« die Aenderung des Winkels YOZ,

Yy >> » >» »> ^UJLf

T* i> »> » » JLU !•

Man nennt Y*i Yy> T»> ^^^ Gleitungen im Punkte a?, y^ z\ sie seien
positiv oder negativ, je nachdem sie Verkleinerungen oder Vergrösse-
rungen der Winkel YOZ, ZOX, XO Y vorstellen. 5ei Berechnung
der in Folge der Gleitungen von den Schubkräften verrichteten vir-
tuellen Formänderungsarbeit darf man wieder die Spannungsunter-
schiede in den einander gegenüber liegenden Flächen vernachlässigen
und den Punkt xyz an Stelle des Massenmittelpunktes als ruhend an-
nehmen.

Aendert sich der Winkel YOZ um y«» so verschiebt sich die
Fläche YO' im Sinne OZ gegen die Fläche OY' um Yx^y, wobei die
in YO' und senkrecht zvl dx wirksame Schubkraft T^dxdz die vir-
tuelle Arbeit %dxdz'^^dy verrichtet, oder es verschiebt sich die Fläche
ZO' im Sinne OY gegen die Fläche OZ' um die Strecke y^dz, bei
welcher Bewegung die in ZO' und senkrecht zu e^o; wirkende Schub-
kraft T^dxdy die Arbeit ii^dxdyi^dz leistet. In beiden Fällen wird
die Arbeit

T,Y« dx dy dz = t, y* ^ ^

erhalten, und ebenso ergeben sich für die den Gleitungen y,, Yy ^^^'
sprechenden Arbeiten die Ausdrücke '^^'^pdV und '^»y^dV, so dass die
gesammte virtuelle Formänderungsarbeit der an dem Theilohen (dxdydz)
angreifenden Flächenkräfte gleich

dA^ = (a, e, + cj^ Sy + a.s. + z^y^ + r^Yy + '^.yi!)dV

ist. Für den ganzen Körper erhält man:

(40) A, = j (<ya, e« + <yy 6y + cJ. s. + T, Y« + T^Yy + -^.T.) d V.

Bei unstetigen Spannungen muss der Körper in Theile zerlegt werden,
innerhalb welcher alle Spannungen stetig sind. Die Werthe A^
werden für die einzelnen Theile gesondert berechnet und schliesslich
addirt.

44 Einleitung.

Setzt man (nach N. 23) Ä^ gleich der virtuellen Arbeit der äusseren
Kräfte Qj so erhält man:

(41) S QJ>^ = 1 (cj^s. + a^e, + a.e. + T.y. + x^y, + T,y.)d F,

wo S« die den Dehnungen e«, s,, s, und Gleitungen Y«i Yyi Y« ^^^*
sprechende V^^hiebung des AngrifiGspunktes m der Kraft Q,^ im Sinne
von Q^ bedeutet, d. i. die Projektion des Weges von m auf die Bich-
tung von Q^. Zu erinnern ist daran, dass bei Ableitung der Glei-
chung (41) hinsichtlich der äusseren und inneren Kräfte nur die Er-
füllung der Gleichgewichtsbedingungen vorausgesetzt wurde, und dass die
Dehnungen, die Gleitungen und die ihnen entsprechenden Verschiebungen
h von den Kräften Q und den Spannungen a und t unabhängig zu
denken sind und von irgend welchen anderen Ursachen herrühren
können.

26. — Wir setzen jetzt fest, dass e«,, Sy, e„ y„ y^, f. die bei
einer gegebenen Angriffsweise des Körpers entstehenden wirklichen Deh-
nungen und Gleitungen sind, bezeichnen mit Q, a«, Oy, a«, t«, t^, t«
die äusseren Kräfte und Spannungen eines nur gedachten Belastungs-
zustandes, wenden auf den letzteren und auf den wirklichen Form-
änderungszustand die Gleichung (41) an, und erhalten die Beziehung:

(42) Se«8,H = j (<y.6. + ay 6y + a.6. -f t,y. + -Cy Yy + T.y.) d T,

welche der für das Fachwerk abgeleiteten Gleichung (13) gegenüber
zu stellen ist, und in welcher 5« die Projektion des wirklichen Weges

des Punktes m auf die gedachte Kraft Q^ bedeutet.

Die wirklichen Dehnungen und Gleitungen sollen hier nur für den
isotropen (d. h. in allen Punkten gleichbeschaffenen) Körper angegeben
werden. Bs wird ein spannungsloser Anfangszustand angenommen. Die
anfängliche Temperatur ändere sich im Punkte (a;, y, z) um t

Die Seite dx des Körpertheilchens (dxdydz) erleidet, wenn die

Spannung a, allein wirkt, die Dehnung — - — = -^» während die

dx h

tidx
Temperaturänderung den Einfluss —- — = e^ erzeugt und in Folge

dx

. , ^dx o^ -4- Cg ,. 1- 1. ITT 11

von Cy und a, entsteht: — ; — = ^^— r= — , wobei — die Werth-

' dx mE m

Ziffer der Querdehnung (abgerundet \ für Eisen und Stahl) bedeutet.*)
Das Zusammenwirken aUer Ursachen ruft die Dehnung hervor:

*) Vei^L Band 1, § 12.

Allgemeinere ünteTSuchung fester Körper.

46

(48)

6.=

<Jt+<J.

<.K

E

5

E

mE

-|- ft< und ebenso ergiebt sich:

mE

- + s^

E

<J.+ <Jy

mE

+ «^

während die nnr von den Schnbspannungen abhängigen Oleitangen
die Werthe annehmen:

(44)
wobei

T.=

G'

Tr =

(45)

G =

G'

mE

T.=

G '

2 (m + 1)
die Sehüb-Elagticitätsziffer (auch Gleitmodul genannt) bedeutet."')

b. Anwendung der CJeJchung (42).

26. — Wir werden bei Berechnung der Stabwerke die Olei-
chung (42) in derselben Weise benutzen wie die Gleichung (18) bei
Untersuchung des Fachwerks. Zunächst werden wir die nach bestimmten
Biehtungen wirkenden Seitenkräfte C der Stützenwiderstände sowie die
Spannungen c und t als lineare Funktionen der gegebenen Lasten P
und gewisser statisch nicht bestimmbarer Grössen X\ X*\ X*'
darstellen, und zwar in der Form:

rc = Co —C'X' — C"X" — Cf"X"' —

• • •

(46)

Cm == <y«n Ö« A <J- JL Ca -A

'«0

(Jy = c^ — Cy X — Cy X — Cy X —

a. = 0.« - «; JT' - ö/'r- - «rr^^ -

Ty -A Ty -A.

T. = T^— T.X — T^ X — T, X —

Die mit dem Zeiger 0 behafteten Werthe sind Funktionen ersten Grades
der Lasten P und unabhängig von den Grössen X! ^ X'\ .... Die
Werthe C\ C" . . . , c\ a" . . . , t', t" . . . sind unabhängig von den
P und X

Es bedeuten:

*) Yeigl. n. A. Qraahof^ Theorie der Elasticität und Festigkeit, 2. Auflage,
Berlin 1878, Seite 24 und 80.

46 Einleitung.

C\ a\ t' die Sttttzenwiderstände und Spannangen

für den Znstand X' == — 1 ,
C \ c\ 'z" die Stützenwiderstände and Spannungen
für den Znstand X' = — 1 u. 8. w.
Wird nnn die Gleichung (42) der Beihe nach auf die Belastungs-
zustände: X! = — 1, X'' =^ — 1, . . . angewendet und jedesmal auf
den wirklichen Versohiebungszustand, so ergeben sich die zur Berech-
nung der Grössen X", X^\ . . . ausreichenden Bedingungen:

(47)

L" = I (a/'e. + aj\ + a/'s, + t," y, + V y^ + t/' y.) d V

unter L\ Li' . . . die den Zuständen X' = — 1, X" = — 1, . . .
entsprechenden virtuellen Arbeiten der Auflagerkräfbe verstanden.

27. — Wird die durch bestimmte Dehnungen und Gleitungen
^ari Sy» &«» Tci Yy» Y« bedingte gegenseitige Verschiebung S«, zweier
Punkte m und m^ des Körpers gesucht, so bringe man in m und m^
zwei entgegengesetzt gleiche, in die Gerade mm<^ follende und von ein-
ander weg gerichtete Kräfte Eins an (Fig. 9) und stelle für diesen
gedachten Belastungszustand und für den wirklichen Verschiebungssu-
stand die Gleichung (42) auf. Man erhält:

(48) 1 • 5^ + Z = j (<J-r6* + ö;6y + ö^e. + T,Y. + t^y^ + t.y.) d F,

worin a, t und C Spannungen und Stützenwiderstände bedeuten, welche
mit der Belastungseinheit des Punktepaares m, m^ im Gleichgewichte sind.
Auf diese Weise lassen sich alle die Aufgaben behandeln, welche
in No. 9, 10, 14 für das Fach werk gelöst worden sind.

c. Pas Clapeyron'tche Gesetz und die Sätze von MaxweH und Betti.

28, — Es wird vorausgesetzt, dass die äusseren und inneren Kräfte
allmählich von Null aus wachsen, dass also auch die Umgestaltung des
Körpers allmählich vor sich geht, ohne das Schwingungen entstehen.
Für jede der unendlich kleinen Formänderungen, in welche sich die
ganze Formänderung zerlegen lässt, gilt die Gleichung (42) und es er-
giebt sich daher die Beziehung

(49) 2 J Qdh = /(a.d6.+ayd6^+a.dc.+T.dY.+Ty(iTy+T.dY.)dF,

Allgemeinere üntersnohung fester Körper. 47

^0 Q9 ^«f ^if» ^mj '^mf 'fy» 'C, die Werthe der äasseren Kräfte und
Spannungen in dem Augenblicke bedeuten, in welchem die Verschie-
bungen 5 um dh zunehmen und die Dehnungen und Oleitungen um
ds., d«y, dc„ dy,, dy^, dy^

Der Ausdruck auf der linken Seite der Gleichung (48) giebt die
meehanisehe Arbeit der äusseren Kräfte Q an, der Ausdruck rechts die
wirkliche Formänderungsarbeü Ä des Körpers. Behält der Körper in
jedem Punkte die anfängliche Temperatur, ist also ^ = 0, so er-
giebt sich:

c«e. = -l(c^a.-^da,-i-d0.); d^. = ^x.,

dt^ = — {d(5^ da. day); dY. = — t., also

= -^ \<5^dc^ + a^da^ + Ma. — — ««(a^a. + a.a. + a.ay)J

und hieraus durch Integration:

(50) A = ^f[cj + ö,« + «-" - ^ K«' + «-<^- + «-«»)] -^

Nun gilt aber auch andererseits die Oleichung:

und diese lässt sich leicht umformen in

2^8 = 2^.

Da nun, nach (50), 2 Qdi = A ist, so ergiebt sich:

48

Emleitang.

JQdh =

Qi

and hieraus folgt, dass das in No. 8 für das Fach werk bewiesene
Clapeyran'sehe Gesetz anoh für den isotropen festen Körper gilt.

Ans der Gültigkeit des Clapejron'schen Gesetzes folgt aber auch
ohne weiteres diejenige des in No. 1 7 fUr den Fall t = 0 nnd L = 0
abgeleiteten MaxweU^Bohen Lehrsatzes,

— um den Maxwell*schen Satz noch anf eine ähnliche Weise
wie in No. 18 als besonderen Fall des allgemeineren Gesetzes von Betti
herzuleiten, nehmen wir an, dass anf den Körper zuerst beliebige Be-
lastungen Pm wirken. Den Körper denken wir durch drei einander
rechtwinklig schneidende Flächen-Schaaren in unendlich kleine Theilchen
zerlegt, in deren Seitenflächen nur Normalspannungen auftreten, welche
dann Hauptspannungen heissen und mit Jj', c^\ a^' bezeichnet werden
sollen. Die entsprechenden Dehnungen sind (wegen ^ = 0)

(51)

die Gleitungen sind = 0 .

Jetzt ersetzen wir die Belastungen P^ durch andere Belastungen
P^, behalten aber die vorhin angenommene Zerlegung des Körpers bei.
Es treten dann Normalspannungen c^', c^'\ c^" auf, und diese erzeugen
Dehnungen:

(52)

ff I // ^ t *f \ ^ ff\\

Ausserdem werden durch die P» Schubepannungen x' und Oleitungen
y" hervorgerufen.

Bezeichnen wir nun mit (8^J den Weg irgend einer Belastung F^
für den Fall, dass auf den Körper nur die Belastungen P« wirken, und
mit (5mn) ^en Weg irgend einer Belastung P„ in Folge ausschliesslicher
Wirkung der P«, und wenden wir die Gleichung (42) zuerst an

Allgememere Untersuchung fester Körpei*. 49

auf den Belastungszustand (P„) und den hiervon unabhängigen,
den Belastungen P„ entsprechenden Verschiebungszustand ,

£odann:

auf den Belastungszustand (P„) und den hiervon unabhängigen,
den Pm entsprechenden Verschiebungszustand,

so erhalten wir, da die Stützen widerstände, der Voraussetzung gemäss,

keine Arbeit verrichten, die Gleichungen:

bei deren Aufstellung zu beachten ist, dass den Gleitungen 7" die

Schubspannungen t' = 0 gegen tiberstehen und den Schubspannungen t '

die Gleitungen 7' = 0. (In der ersten Veröffentlichung dieses Beweises in

des Verfassers Buch: ,,Die neueren Methoden der Festigkeitslehre u. s. w."

Seite 176 wurden die c' irrthUmlich als Hauptspannungen bezeichnet.)

Mit Hilfe von (51) und (52) lässt sich nun leicht nachweisen, dass
/ // I f ff t f ff ff f t ff f i ff f

ist, und deshalb auch

2P.(8«.) = SP„(8.J.

Hieraus aber folgt, wie auf Seite 34, als besonderer Fall:

'm» '-'um*

d. Die Castigliano'schen Sätze.

30. — Betrachtet man die statisch nicht bestimmbaren Grössen X
(welche sich stets auf Kräfte zurückführen lassen) ebenso wie die P als
unabhängige Veränderliche der Gleichungen (46), d. h. rechnet man
die X vorübergehend zu den Belastungen, so dürfen die Werthe
g', a", . . . t', V, ... als Diiferentialquotienten der 0 und x aufgefasst
werden; denn es ist

cc^ f cc^ ,^ '(?(;, f cx^

CX ex CA CX

Die Gleichungen (47) lassen sich dann auf die gemeinsame Form
bringen

(03) - L. =j (e. — + e, -. -^- + e. ---

Möller- Breslau, Graphiache Statik. IL 1.

50 Eiüleitimg.

wobei X irgend eine der atatisch nicht bestimmbaren OrOssen und Lx
die virtuelle Arbeit der Auflagerkrftfte für den Zustand X= — 1 be-
deutet. Fahrt man für die Dehnungen und Oleitungen die durch (43)
und (44) gegebenen Werthe ein, so gelangt man zu dem übersicht-
lichen Gesetze:

(54) ^;^- - Lx = 0,

WO

(55) A, = Ä -{-jic, + <J, + (J.) U d V

und A gleich der wirklichen Formttnderungsarbeit ist. (Siehe Glei-
chung 50.)

Verrichten die Sttttzenwiderstftnde keine Arbeit (Lx = 0) und findet
an keiner Stelle des Körpers eine Aenderung der anfänglichen Tempe-
ratur statt (< = 0), 80 geht (54) über in

(56) ^ = 0

und diese Gleichung sagt aus:

dasB die statisch nicht bestimmbaren Grössen X die Form-
änderungsarbeit A, welche als Funktion der zuerst unabhängig
veränderlich gedachten Werthe X darzustellen ist, zu einem
Minimum machen.

Dieses Gesetz der kleinsten Formänderungsarbeit ist zuerst von
Castigliano scharf bewiesen worden.
Setzt man in Gleichung (41):

wobei 2Pm8m die virtuelle Arbeit der Belastungen P^ nnd L diejenige
der Sttttzenwiderstände bedeutet, und beachtet, dass Gleichung (41)
auch für den Fall gilt, dass die 8, e„ e,, «,, r„ x^ x, von den Kräften Q
unabhängig sind, so findet man durch theilweise Differentiation jener
Gleichung nach P^, bei unveränderlich angenommener Formänderung:

^-+ ^P^~JV' ^P. '^'' ?P. +'' dK

und diese Beziehung lässt sich umformen in

sie liefert, falls die Stützenwiderstände keine Arbeit leisten und t = 0

dV

Allgemeinere Untersuchung fester Körper. 61

ist, das ebenüeills von Castigliano bewiesene Gesetz:

(58) 8^ = ^-

Dasselbe l&sst sich auch wie folgt ableiten. Auf einen Körper mögen
die Belastungen P«, P», .... P^, ... . wirken; ihre Wege seien
5«, 5^, ... S^, . . . (yergl. Seite 81). Im Falle L == 0 und f :^ 0 ist

^* = 8^P. + »**P*+ . • . +»*«P-»+ . . .

Wachst P^ um ^P«, während die übrigen Belastungen ungeändert
bleiben, so nehmen S«, 5», ... 5«, ... zu um

^8. = 8,^3P,^; ^86 = 8*„?P^; . . . ^8« = 8,^?P^; . . .

und die Formftnderungsarbeit Ä^ welche ebenso gross ist wie die me-
chanische Arbeit der äusseren Kräfte, wächst um

^Ä = P.Z\ + P»98, + . . . + p^?8^ + . . .
Man erhält

^Ä = (h^ p^ 4- 8^ p^ 4- . . . + 8_ p^ 4- . . .) ^ P^ ,

wofür man (nach dem Gesetze: 8«,„ = 8««) auch schreiben darf:
^^~p~ ^^^ 8p,.P<, + öip^Pft -j- . . . -j- ö^^P„ -{-...= o^.

Da die Gleichung (41) hinsichtlich der äusseren und inneren Kräfte
nur die Erfüllung der Gleiohgewichtsbedingnngen verlangt, so ist es
erlaubt, bei Anwendung der Formeln (57) und (58) die statisch nicht
bestimmbaren Grössen X als willkürliche Veränderliche aufzufassen.
Differentiirt man also nach P^, so darf man nicht nur alle übrigen
Belastungen sondern auch sämmtliche X als unveränderlich ansehen.

Wendet man die Castigliano' sehen Sätze auf das Fach werk an
(welches ja nur ein besonderer Fall des eben untersuchten Körpers ist)
so hat man zu setzen:

(59) A,= :Sy~^, + SttSs.

Literatur zur Einleitung.

1. Lam^, LeQons sur la theorie mathematigue de Velasticiii des eorps solides,
Paris 1852 imd 1866 (2. Auflage).

2. Clerk MaxweU, On the calculation of ihe equilibrium and stiffness of
frameSf Philosophical Magazine, Band 27 (1864), Seite 294. Diese Abhand-
lung enthält die erste allgemeine Theorie des statisch unbestimmten Fach-
werks, allerdings nur für den Fall eines spannungslosen Anfangszustandes
und unter der Voraussetzung, dass keine Temperaturänderungen eintreten.
Die Grundlage bildet das in unserem Buche (Seite 32) der Maxwell'sche
Lehrsatz genannte Gesetz, welches aber nur für Verschiebungen, nicht auch
für Drehungen bewiesen wird.

3. Mohr, Beitrag zur Theorie des Fcuihwerks, Zeitschr. des Hannov. Arch.
und Ing. -Vereins 1874 und 1875 foitgesetzt im Civilingenieur 1885. In
dieser Arbeit wird, vom Gesetze der virtuellen Verschiebungen ausgehend,
die erste vollständige Theorie des statisch unbestimmten Fachwerks auf-
gestellt und dabei auch der Satz von der Gegenseitigkeit der elastischen
Formiindeningen entwickelt, letzterer zwar auch nur für Verschiebungen,
jedoch in einer Weise, welche die Verallgemeinerung dieses Satzes durch
blosse Aenderung der Bedeutung der Buchstaben möglich macht.

4. Castigliano« Theorie de Viquilihre des systemes elastigues, Tuiin (bei
Kegroj 1879. An der Spitze dieses hervorragenden Werkes steht der mit
Hilfe des Clapeyron'schen Gesetzes entwickelte Satz von der Abgeleiteten
d(»r Formändeningsarbeit (Gleichung 58 auf Seite 51 unseres Buches) sowie
der aus diesem folgende Satz von der kleinsten Formänderungsarbeit.
Castigliano wendet sein Verfahren auch auf die Unteisuchung von Stab-
gebilden an, welche auf Biegung, Torsion und Abscheei-ung beansprucht
weixlen.

5. Fränkel, entwickelt in der Abhandlung: Das Frincip der kleinsten Arbeit
der inneren Kräfte elastischer Systeme und seine Anwendung auf die Lösung
baustatischer Aufgaben, (Zeitschrift des Hannov. Arch. u. Ing. -Vereins 1882)
— unabhängig von Castigliano — den Satz von der kleinsten Formänderungs-
arbeit, und zwar ebenfalls zuei"st für das Fachwerk, dann aber auch für
den isotropen festen Körper.

Literatur zur Einleitun«,'. 53

6. Caatigliano, Intomo ad unaproprietä dei sistemi el{i8tici, Atti delle Scienzi
di Torino, Band 17 (1882) Seite 705; enthält die ei-ste allgemeine (d. b. fin-
den beliebig geformten isotropen elastischen Körper giltige) Entwickeluug
des Maxweir sehen Satzes, sowie einen Bericht über das auf Seite 34 u. 48
unsei'es Buches abgeleitete Gesetz von Betti. Letzteres schliesst den Max-
weirschen Satz als besonderen Fall ein und wii-d von Betti in der Form
gegeben :

I p {Xh + Ir' + Zw') dS+ I (Lti' -1- Mv + Nw') ds

S H

= / ? (X'u 4- F'r + Z'ir)dS-{- \ (f/u + M'r+N'ir) ds.

Dabei bedeuten: p XdS, p YdS. pZdS die an einem Körpertheilchen
dS=^dxdy dz angreifenden, den Koordinatenachsen x. //, z paralleleu
Massenkräfte (p =: Dichtigkeit an der Stelle xyz)^ feiner Lds^ Mda, Nds
die auf ein Oberflächentheilchen d8 wirkenden ebenfalls den Koordinaten-
achs<m x, y, z parallelen äusseren Kräfte, und u, v, w die von allen diesen
Kräften herrührenden Verschiebungen eines Punktes (xyz) im Sinne der
X, y, ar, während u\ v\ w' durch die Kräfte pX'dS^ p Y'dS, pZ'dS.
L'ds^ M'ds. N'ds erzeugt werden.

7. Swain» On the appUcation of ihe pnncipU of Virtual velocities io the
deteriniuation of ihe deflection and «tresses of frames. Journal of the
Franklin Institute, 1883, Febr. bis April. Seite 102, 194, 250.

8. Melan, lieber den Einfluss der Wärme auf elastische Systeme. Woch(^n-
schrift des Österreich. Arch. u. Ing.-Ver. 1888, S. 183 u. 202. Erweiteiimg
des Castigliano'schen Satzes von der kleinsten Formändeningsarbeit.

9. Mtdler-Breslan, Der Satz von der Abgeleiteten der ideellen Formände-
rungsarheit. Zeitschr. des Arch. u. Ing.-Ver. zu Hannover, 18S4, S. 211.
Erweiterung der Sätze Castigliano's.

10. Krohn, Der Satz von der Gegenseitigkeit der Verschiebungen und Anwen-
dung derselben zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerkträger ;
Zeitschrift des Hannov. Arch. u. Ing. -Vereins 1884. Herleitung des Max-
weU'schen Satzes und Anwendung desselben auf die Bereclinimg statisch
unl)estimmter Fachwerke.

11. Melan, Beitrag zur Berechnung statisch utibestimmter Stabaysteme. Zeit-
schrift des Österreich. Arch. u. Ing.-Ver. 1884, S. 100.

12. Weyrauch, Arbeitsbedingungen fär statisch unbestimmte Systeme, Wochen-
blatt für Arch. u. Ing. 1884, S. 200.

18. Mttller-Breslan, Bedingungsgleichungen für statisch unbestimmte Körjjcr.
AVochenblatt für Arch. u. Ing. 1884.

14. Weyrauch, Theorie elastischer Körper. Leipzig (bei Teubner) 1884.

15. MttUer-Breslaii, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre und der Statik
der Baukonstruktionen, Leipzig 1886 (Baumgärtner's Buchhandlung). Hier
wird darauf hingewiesen, dass der Maxweirsohe Satz nicht nur für Ver-
schiebungen, sondern auch für Drehungen gilt.

54 Literatur zur Einleitung.

16. Forchheimer, Die Gegenseitigkeit der Versehiebungeti, Zeitschr. des Öster-
reich. Ing. u. Arch. Vereins 1886; giebt u. A. eine sehr übersichtliche, auf
das Glapeyron'sche Gesetz sich stützende und auf Seite 32 dieses Buches
wiedeigegebene Ableitung des Maxweirschen Satzes, von der dasselbe gilt
wie von der Beweisführung Mohr's.

17. Land. Die (xegenaeitigkeit ektstiseher Formänderungen u. s. w. Wochen-
blatt für Baukunde 1887. Seite 14.

ERSTE ABTHEILUNG.

Formänderung ebener Fachwerke. — Untersnchnng der ebenen,

statisch unbestimmten Fachwerke.

I. Abschnitt.

Bestimmung der Formveränderungen ebener
Fachwerke, mit Anwendungen auf die Unter-
suchung statisch unbestimmter und statisch

bestimmter Träger.

§ 1.

yerscliie1)iiiig8pläne nach dem TerfSftliren ron WUliot.

31. — Ein statisch bestimmtes ebenes Fachwerk sei durch ge-
gebene Lasten beanspracht und gegebenen Temperaturänderungen aus-
gesetzt. Die in den Stäben hervorgerufenen Spannkräfte S, welche
(nach Seite 6) von den Temperaturänderungen unabhängig sind, seien
mit Hilfe der im ersten Bande unseres Buches entwickelten Verfahren
gefunden, auch seien die Aenderungen A« sämmtlicher Stablängen s
mittels der Gleichung

^8 = -^''^,^^ ets (vergl. S. 2)

berechnet. Gesucht seien die Verschiebungen der Knotenpunkte. —
So lautet die Aufgabe^ deren geometrische Lösung das Ziel unserer
nächsten Untersuchungen ist.

Die Knotenpunkte werden wir mit kleinen Buchstaben, welche die
Stelle von Ordnungsziffern vertreten, bezeichnen, die Stäbe hingegen
mit arabischen Ziffern. Die Längen der Stäbe 1,2,... seien = «i, «s» • • •»
für ihre Aenderungen A^], A^^f • • • mögen, um übersichtliche Figuren
zu erhalten, die kürzeren Zeichen AI, A2; . . . eingeführt werden.

Wir beginnen mit der Behandlung des einfachsten und wichtigsten,
fast alle Anwendungen umfassenden Falles, nämlich mit der Unter-
suchung eines Fachwerks, welches man in der Weise erzeugen kann,
dass man zu einem Stabdreieck abc (Fig. 33) zwei neue Stäbe fügt.

58

Ereter Abschnitt. — § 1.

die in einem neuen Knoten d miteinander verbunden sind, hierauf an
zwei beliebige Knoten dieses Stabgebildes wieder zwei neue Stäbe mit

einem neuen Knoten e anschliesst, u. b. f.
Die Bestimmung der durch gegAene Aende-
rungen der Stabl&ngen herrorgerufenen Ver-
schiebungen der Knotenpunkte eines der-
artigen Fachwerks stützt sich auf die LOsnng
der folgenden Aufgabe.

82. Brate Hauptanfkabe« Der Knoten-
punkt c ist mit den Knoten a und h durch
zwei Stäbe 1 und 2 verbunden, deren Längen
8^ und B^ sich um die gegebenen Strecken AI und A2 ändern, wäh-
rend sich die Punkte a und h in die neuen Lagen d und h' bewegen.
Gesucht ist die Verschiebung cc des Punktes e (der mit a und h nicht
in derselben Geraden liegen darf). Fig. 84 a.

Um die neue Lage von c durch Zeichnung zu bestimmen, löse
man bei c die Verbindung beider Stäbe, verschiebe den Stab 1 parallel

Fig. 33.

i>C'

Fig. 34 1

Fig. 34 b.

mit sich selbst in die Lage ac^ und den Stab 2 parallel mit sich
selbst in die Lage h'c^. Hierauf ändere man die Längen der Stäbe
in der vorgeschriebenen Weise. Wird z. B. der Stab 1 gedehnt, der

Stab 2 verkürzt, so verlängere man aC| um 0^05== AI und bringe

von h'e^ die Strecke c^c^ = A2 in Abzug. Nun schlage man mit den
neuen Stablängen ae^ und h'e^ als Halbmesser Kreisbögen, deren
Mittelpunkte a und h' sind. Der Schnittpunkt e jener Bögen giebt
die gesuchte neue Lage des Punktes c an. In dem hier vorausgesetzten
Falle verschwindend kleiner Verschiebungen dürfen die Kreisbügen c^e
und c^c durch die auf den Geraden ac^ und h'e^ errichteten Lotbe
ersetzt werden.

Verschiebungspläne.

59

Es empfliehlt sieb nun, die Verschiebung cc in einer besonderen
Figur und in gehöriger Vergrösserung darzustellen. Von einem beliebig
gewählten Punkte 0 aus (welcher der Ursprung oder der Pol genannt
wird, Fig. 84b) trage man die gegebenen Verschiebungen Oa = aa
und Oh' =^hh' der Punkte n und h nach Grösse, Richtung und Sinn
auf. An die Polstrahlen Oa und Ob' füge man in a und h' die den
St&ben 1 und 2 parallelen Lftngenänderungen AI und A2 und errichte
in den Endpunkten der letzteren Lothe, deren Schnittpunkt c dann die
verlangte Verschiebung des Punktes e bestimmt; dieselbe wird nach
Grösse, Richtung und Sinn durch den Polstrahl Oc dargestellt.

Besonders zu achten ist auf den Sinn, in welchem die L&ngen-
änderungen AI und A2 anzutragen sind. Man merke Folgendes:

Ist der Kneten c mit a durch einen Stab 1 verbunden, welcher
gedehnt wird, so verschiebt sich e gegen a im Sinne ac, und es
muss desshalh AI an a im Sinne ac gefügt werden.

Ist der Knoten c mit b durch einen Stab 2 verbunden, welcher
verkürzt wird, so verschifft sich c gegen b im Sinne cb, und
es muss deshalb ä2 an b' im Sinne cb angetragen werden.
Durch wiederholte Lösung der eben behandelten Aufgabe ist man
im Stande, die Verschiebungen der Knotenpunkte einer gegliederten
Scheibe von der in No. 31 beschriebenen Art für den Fall zu bestimmen,
dass die Richtungslinie eines Stabes (der im allgemeinen einem der bei-
den Dreiecke abe und abd, Fig. 83, angehören muss) ungeändert bleibt
und die Verschiebung eines Punktes der Mittellinie dieses Stabes gleich

k i*j j

Fi«. 35«.

Flg. 35 b.

Null ist. Als Beispiel wählen wir das in der Figur 35a dargestellte
Fachwerk und setzen voraus, dass der Punkt a und die Richtung des

60 Ei-ster Abschnitt. — § 1.

«

Stabes 1 festliegen. Die in der Figur mit dem Zeichen (-|-) versehenen
Stäbe 3, 5, 6 mögen Dehnungen, alle übrigen aber Verkürzungen er-
leiden.

Punkt 0 in Fig. 85b ist der beliebig angenommene Pol. Die
Verschiebung von a ist gleich Null, mithin fällt der Punkt a mit
0 zusammen. Die Verschiebung Ob' des Punktes h ist gleich der Ver-
kürzung AI des Stabes 1. Der Knoten c wird mit a durch den Stab 2
und mit h dui'ch den Stab 3 verbunden, er nähert sich a um A2 und
entfernt sich von b um A8. Trägt man also an a im Sinne ca die
Strecke A2 || 2 an und an b' im Sinne bc die Strecke A8 |{ 8 und
errichtet auf diesen Strecken in ihren Endpunkten Lothe, so bestimmt
deren Schnittpunkt die Verschiebung Oc des Punktes c. Der Knoten
d ist mit a und c durch 4 bezieh. 5 verbunden, seine Verschiebung
Odr erhält man, wenn man A4 {| 4 an a' im Sinne da anträgt, ferner
A5 II 5 an c im Sinne cd, und auf A4 und A5 in deren Endpunkten
Lothe errichtet, deren Schnittpunkt der Punkt d' ist. Auf dieselbe
Weise wird Punkt e bestimmt.

Die Figur 35 b, deren Polstrahlen Ob\ Oc\ .... nach Grösse,
Richtung und Sinn die Verschiebungen der Knoten 5, c, . . . . dar-
stellen, nennen wir den Verschiebungsplan des Fachwerks abcde oder
auch — nach dem Erfinder des vorstehenden Verfahrens — einen
Williot'BchQn Verschiebungsplan .

83. Zusaznmensetsung der Versohiebungeii in Folge von
zwei getrennt betrachteten, verschwindend kleinen Bewegungen.
— Bewegung einer starren Scheibe. Will man die Form Veränderung
einer irgendwie gestützten, gegliederten Scheibe, die aber äusserlich
statisch bestimmt sein möge, untersuchen, so nehme man zuerst die
Richtung eines Stabes und einen Punkt der Achse dieses Stabes als
festliegend an, zeichne den Verschiebungsplan auf die vorhin beschrie-
bene Weise, und ertheile hierauf der Scheibe — die
jetzt als starr anzusehen ist — eine Bewegung,
durch welche die wirklichen Auflagerbedingungen
erfüllt werden. Den Weg, den irgend ein Kno-
tenpunkt m in Folge dieser zweiten Bewegung
zurücklegt, stelle man durch einen Polstrahl w" 0
(Fig. 86) dar, der fiach dem Pole hinzeigt, weil
hierdurch die Zusammensetzung dieser Verschiebung
rig 36 mit der zuerst gefundenen elastischen Verschie-

bung Oin erleichtert wird. Denn es giebt nun
die Strecke wt'W nach Grösse, Richtung und Sinn den Weg des Kno-
tens m für den Fall an, dass die beiden getrennt betrachteten Be-
wegungen gleichzeitig erfolgen.

Verechiebungspläne.

61

Die Verschiebungen der Punkte einer starren Scheibe erhält man
unmittelbar durch Anwendung des Satzes, dass sich jede verschwindend
kleine Bewegung einer starren Figur auf eine Drehbewegung um einen
festen Punkt ^ zurttckfQhren lässt. Stellen nämlich die Polstrahlen
a 0, }}' 0, c' 0, . . . (Fig. 37) nach Grösse, Richtung und Sinn die
Verschiebungen der Knoten a, ft, c, . . . dar, so muss sein
(l) a"0_La^; h" O X^h%', c"0 J_c^^ ;

denn die Richtung der Verschiebung eines jeden Punktes einer starren
Figur ist rechtwinklig zu der Geraden, welche diesen Punkt mit dem
augenblickliehen Drehpunkte verbindet, und weiter ergiebt sich

(II) a 0\VO\c O. =a%\h''S^\v,%\ ;

weil sich die Verschiebungen der Punkte a, 6, c, . . . zu einander ver-
halten wie die entsprechenden Geschwindigkeiten und die letzteren wie
die Entfernungen der Punkte vom Drehpol ^.

Aus den Beziehungen (I) und (II) folgt aber:

1. Verbindet man die Punkte a\ b'\ . . . des Verschiehungs-
planes so durch gerade Linien, dass Jedem Fachwerkstabe ik
eine Gerade i'k" entspricht, so bilden diese Geraden eine Figur,
welche der sich bewegenden starren Scheibe ähnlich ist,

2. Die Verbindungsgerade zweier beliebiger Punkte m, n der
Scheibe ist rechtwinklig zu der Verbindungsgeraden der ent-
sprechenden Punkte m", n\ (Fs ist beispielsweise in Fig. 37:
ä"^" J_ ö6; a"e" J_ ae.)

Hat man also mit Hilfe der Auflagerbedingungen zwei Punkte der
Figur a'b"c' . . . bestimmt, so ist man im Stande diese Figur zu
zeichnen.

62

Erster Abschnitt. — § 1.

Es sei noch hervoigehoben, dass sich die vorstehenden Ergebnisse auch
aus den in No. 82 entwickelten Gesetzen ableiten lassen. Weixlen beispielsweise
die Aenderungcn A5, A6, A7 der Seiten des Stabdreiecks c (7« in Fig. 85 a gleich
Null angenommen, so entspricht diesem Dreieck in der Fig. 85b ein ähnliches
Dreieck c ^ e\ dessen Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des
Dreiecks cde sind. Auch aus Fig. 34 folgt ohne weiteres, dass der Yerbindungs-
geraden zweier starr mit einander verbundener Punkte a und e (wegen AI = 0)
im Yerschiebungsplane eine zu ac rechtwinklige Gerade ac entspricht.

84. Faohwerkträger mit einem festen und einem beweg-
lichen Anflagergelenk. Gesucht ist der Verschiebungsplan des in der

Fig. 38 a dargestellten Trägers, der bei
a ein festes und bei g ein auf schräger
Bahn geführtes Auflagergelenk besitzt.
Die mit dem Zeichen (-]-) Tersehenen
Stäbe mögen Verlängerungen erleiden.
Wird zuerst die Richtung des
Stabes 1 als festliegend vorausge-
setzt, 80 lassen sich die von den
gegebenen Aenderungen der Stab-
längen herrührenden elastischen Ver-
schiebungen Oh\ Oc\ . . . Og der
Knotenpunkte h, c, , . . g auf die in
No.82 beschriebene Weise bestimmen.
Dieselben müssen noch mit denjenigen
Verschiebungen h"0, c'O, . • . g' 0
zusammengesetzt werden^ welche die
Knotenpunkte erfahren, wenn das
starre Fachwerk so um a gedreht
wird, dass sich f^r den auf einer
festen Geraden geführten Punkt g
eine Gesammtverschiebung g" g' er-
giebt, welche zu dieser Geraden pa-
rallel ist. Die Yon den Punkten
a\ }}\ c\ . . . g" gebildete, der

Figur abcdefg ähnliche Figur

// 1 ff ff jff ff jfff '/ • j a 1 j I

a b e d e f g ist demnach durch

die Bedingungen bestimmt, dass a'
mit a zusammenfallen muss, weil a
ruht, und dass femer a" g" \ ag
und g''g' parallel zur Bahn des Auf-
lagergelenkes g sein muss. Die (in
der Fig. nicht ausgezogenen) Strecken h"b\ c'c\ . . . g''g' stellen nach Grösse,
Richtung und Sinn die gesuchten Verschiebungen der Knotenpunkte 6,
Cf • . • g dar.

Fig. 38.

Verschiebungspläne.

63

Meistens ist es zweckmässig, zuerst einen Knotenpunkt in der Nähe
der Trägermitte and einen yon diesem Punkte ausgehenden Stab fest*
znhalten« weil sich nach dem in Fig. 88 befolgten Ver&hren für die
Yom festen Auflager entfernter liegenden Knotenpunkte zuweilen sehr
groese elastische Verschiebungen ergeben. Als zweites Beispiel ist des-
halb in Fig. 39 der Verschiebungsplan eines ein&chen Fachwerkbalkens
vorgeßlhrt worden. Zuerst wurde der Knoten a und die Richtung des
Stabes 1 festgehalten, und die Lage der Funkte b\ c\ > . . . h' ermittelt,
wobei, der Deutlichkeit der Figur wegen, die Zeichen AI, A2, . . . durch
die blossen Zi£fem 1, 2, ... ersetzt worden sind. Hierauf wurde die
der Figur hgadechf ähnliche Figur }i' g" a ä' e' c' }>' f mit Hilfe
der Bedingungen bestimmt, dass

erstens V mit V zusammenfallen muss, weil die Verschiebung
Ton h gleich Null ist,

zweitens t' e wagerecht sein muss, weil sich e auf einer Wage-
rechten bewegt,

drittens r e" J, he sein muss.

-C<r'

Flg. 39.

Damit sind die Verschiebungen 2^ 6 , c c , . . . der Knotenpunkte
6, 0, . . . gegeben.

64

Erster Abschnitt.

§ 1.

Projicirt man die Punkte h' , g\ a', d', e in h^, g^^ Oq, cIq, e^
auf die Senkrechten durch die entsprechenden Knotenpunkte h, g, a, d, e
und verbindet h^ und e^ durch eine Gerade, welche jene Senkrechten
in f/", a'", dt" schneiden mögen, so geben die Strecken g" go, a" Oq^
d'" <Jq an, um wie viel sich die Knotenpunkte g, a, d in senkrechter
Richtung verschieben. Man nennt diese Projektionen der Gesammt-
Verschiebungen auch Durchbiegungen und beispielsweise g"' gg die senk-
rechte Durchbiegung des Fachwerks an der Stelle g.

Das Polygon hQ g^ a^ d^ e^ heisst Biegungspdygon oder BiegungsUnie
der unteren Gurtung und die Gerade h^ e^ die Schlusslinie. Wird nur
das Polygon h^ g^ Oq ^^ e^ verlangt (was häufig der Fall ist), so braucht
in dem hier vorliegenden wichtigen Falle eines Trägers mit wagerechter
Auflagerbahn die Figur li' g' a i' e' c' })' f nicht gezeichnet zu werden.

36. Gerber'soher Faohwerkbalken. Es sind zwei Fälle zu
unterscheiden. 1. Die Koppelträger cd und gh werden gelenkartig
mit den gestützten Theilen verbunden. 2. Jeder Koppelträger wird
(wie ein einfacher Balken) an dem einen Ende mit einem festen, an
dem anderen mit einem beweglichen Auflagergelenke versehen, tm

«•«^•♦i» -IP,-- >;

O^'

Fig. 40.

ersten Falle darf auf den Pfeilern nur ein festes Lager angeordnet
werden; alle flbrigen Lager müssen beweglich sein. Im zweiten Falle
erhält jeder der gestützten Theile ein festes und ein bewegliches Auf-
lagergelenk. (Vergl. Band I, Abschnitt X, § 42.)

Verschiebungspläne. 65

Ein Betspiel für die erste Anordnung zeigt die Figur 40. Die
KoppeltrSger // und IV sind mit den gestützten Theilen I und ///
durch die Gelenke c, d, g yerbunden. Das Auflagergelenk a ist fest,
während sich die Auflagergelenke 6, e, f, h auf wagerechten Bahnen
bewegen können. Die Darstellung der durch gegebene Aenderungen
der Stablftngen bedingten Verschiebungen der Knotenpunkte erfolgt
zweckmässig in vier getrennten Figuren, entsprechend den vier Schei-
ben J, //, Uly IV, Zuerst nehme man von jeder Scheibe einen be-
liebigen Punkt und die Richtung eines durch diesen Funkt gehenden
Stabes als festliegend an, bestimme die elastischen Verschiebungen der
Knotenpunkte auf die in No. 82 angegebene Weise und ertheile hierauf
den nunmehr als starre Gebilde anzusehenden Scheiben Bewegungen,
durch welche die Auflagerbedingungen erfüllt werden und der Zusammen-
hang der Scheiben in den Punkten c, d, g wieder hergestellt wird.
Der erste Theil dieser Untersuchung — die Bestimmung des irgend
einem Knoten m entsprechenden Punktes m — ist bereits durch mehrere
Beispiele erläutert worden, und es sind deshalb in die Fig. 40 nur die
wichtigsten dieser Punkte eingetragen worden, nämlich:

die Punkte c, i des Verschiebungsplanes für die Scheibe //,

>» »» ^ > ^ I r > ^ »» »» >> I» f> s^iL^

f» u g ^ >» »I >> »» >> ■* '^ •

Der Verschiebungsplan für die Scheibe / wurde überhaupt fort-
gelassen, da dieses Trägerstück ein festes und ein bewegliches Auflager-
gelenk besitzt, mithin ganz nach No 84 behandelt werden kann. Es
bleibt jetzt nur noch zu erläutern, wie die den Figuren cid, defg^ gkh
ähnlichen Figuren c'i" i\ d!'e"f' g'\ g"k"h" zu bestimmen sind.

Der Punkt c' des Planes // ist durch die dem Plane I zu ent-
nehmende Verschiebung c' c des Gelenkes c gegeben; von d!' ist vor-
läufig nur bekannt, dass c'i' _\_cd sein muss. Im Plane /// liegt e"
auf der Wagerechten durch e', und f auf der Wagerechten durch f\
weil sich die Auflagergelenke e und f auf wagerechten Bahnen bewegen.
Bedeuten Wi und w^' die in senkrechter Richtung gemessenen Abstände
der Punkte d!' und e\ beziehungsweise e" und f\ ferner u>^, w^ die
in wagerechter Richtung gemessenen Entfernungen der entsprechenden
Punkte d, e, f, so verhält sich

und mittels dieser Beziehung lässt sich w^' = w^' —^ bestimmen und

damit auch die Lage der in Fig. 40 strichpunktirten Wagerechten, auf
welcher der Punkt d^' liegen muss. Diesen Punkt selbst aber flndet
man, indem man c' et aus dem Plane // in den Plan /// überträgt

Müller-BretUn, Onphlaohe Stetik U. 1. 5

66 Erster Abschnitt. ~ § 1.

nnd c ä! \_cd zieht Ist noch mit Hilfe der Geraden i' %' _[_ d9 der
Punkt e' ermittelt worden, so sind zwei Punkte der Figur i'tf'g"
bekannt, und damit ist diese Figur vollständig bestimmt. — Nun über-
trägt man ü' aus /// in den Plan // und zeichnet die Figur e'Cd'\
macht hierauf in IV die Strecke g g' gleich und parallel der ebenso
bezeichneten Strecke des Planes ///, zieht g"h" ^gh bis zur Wage-
rechten durch K und erhält auf diese Weise zwei Punkte der nunmehr
bestimmten Figur g"k''K\

Ein Beispiel für die zweite Anordnung ist in der Fig. 41 darge-
stellt worden. Bei a und g wird der Träger durch feste, bei b und f
durch bewegliche Auflagergelenke (letztere mit wagerechten Bahnen)
unterstützt. Der Koppelträger II ist bei e durch ein Qelenk
mit I verbunden und erhält bei d ein wagerechtee Gleitlager. Di^

Vd'

im

Fig. 41.

Verschiebungspläne für die Scheiben / und /// werden nach No. 34
gezeichnet. Von der Scheibe // nehme man zuerst wieder einen be-
liebigen Punkt und die Richtung eines durch diesen Punkt gehenden
Stabes als festliegend an, und ertheile hierauf dieser Scheibe eine Be-
wegung, durch welche bei c der Zusammenhang der Scheiben J und 77
wieder hergestellt und der Bedingung genügt wird, dass die senk-
rechten Projektionen der Verschiebungen der Punkte d und e gleich
gross werden. Hiemach findet man die der Figur ckd ähnliche Figur
c*k" d" auf die folgende Weise. Man macht die Strecke c'c nach
Grösse, Bichiung und Sinn gleich dem durch den Verschiebungsplan
für die Scheibe 7 gegebenen Wege des Knotens c und die Strecke e' d[
gleich der aus dem Plane ftlr die Scheibe 777 zu entnehmenden Ver-
schiebang des Punktes e. Hierauf zieht man c'd" _\_^cd bis zur Wage-
rechten durch e' und erhält in der Strecke d^'i nach Grösse, Rich-
tung und Sinn die Verschiebung von d. Die Figur c"lc' cf' ist durch
die beiden Punkte c" und d" vollständig bestimmt.

86. Bogenträger mit drei Gfrelenken. Die beiden gegliederten
Scheiben 7 und 77, welche bei a und b feste Auflagergelenke besitzen
und bei c durch ein Gelenk miteinander verbunden sind, werden

Yerschiebungspläne.

67

zuerst getrennt untersacht, wobei Ton jeder Scbeibe ein beliebiger Punkt
und die Richtung eines durch diesen Punkt gehenden Stabes als fest»
liegend angesehen werden.

Hierauf werden den als starr j f

anzusehenden Scheiben Be-
wegungen ert heilt, welche
die Auflagerbedingungen be-
friedigen und den Zusam-
menhang der Scheiben bei
c wieder herstellen. Fig. 42
giebt nur die Lage der den
Gelenken a, &, c entsprechen-
den Punkte a\ b\ c der
beiden Verschiebungepläne /
und // an ; die den übrigen
Knoten m entsprechenden
Punkte m wurden fortge-
lassen. Zur Bestimmung
der den Figuren acd und
bee ähnlichen Figuren a'c'd" und h"e'e
dingungen zur Verfügung:

Flg. 42.

stehen die folgenden Be<

ff /

2.
3.

4.

1. Die Verschiebung a a von a ist gleich Null; mitbin muss
a mit a zusammenfallen.

Aus gleichem Grunde muss h" mit h' zusammenfallen.

Im Plane / muss sein: a"c"_[_ac und im Plane //:

Die Pläne I und II müssen für die Verschiebung von c
denselben Werth c'c liefern.

Man lege nun im Plane I durch a eine zu <zc rechtwinklige Ge-
rade, ziehe durch c zu ac eine Parallele, welche jene Gerade in h
schneidet und bestimme auf diese Weise die Projektion kc der Ver-
schiebung c"c auf die Richtung ac. Diese Projektion übertrage man
in den Plan //, errichte hier in k auf ck ein Loth und bestimme
dessen Schnittpunkt c" mit der durch h" rechtwinklig zu 6 c gezogenen
Geraden b"c\ Jetzt ist die Figur b"c'e' gegeben, da zwei Punkte
derselben bekannt sind. Ueberträgt man noch kc' aus dem Plane II
in den Plan J, so kennt man auch zwei Punkte {a" und c") der Figur
a'c'd*\ kann also auch diese Figur zeichnen. Auch lässt sich im
Plane II die Projektion ic von c'c auf die Richtung bc finden und
in den Plan I übertragen, worauf dann c" mittels c'i _}_ ci bestimmt
werden kann.

5*

68

Ereter Abschnitt. — § 1.

87. — Dem in No. 3 1 beschriebenen und als Fachwerk einfachster
Art bezeichneten Stabgebilde lässt sich ein sehr wichtiges Scbeibenge-
bilde von ähnlicher Bntstehungsweise an die Seite stellen. Man erhfilt
dasselbe, indem nmn drei gegliederte Scheiben I, II, III durch drei
Gelenke g^^ g^^ g^ zu einem Scheibendreieck vereinigt (Fig. 43)^
an dieses zwei weitere Scheiben IV and F, die in einem Oelenke g^
aneinanderhängen, mittels zweier Gelenke g^ nnd g^ anscbliesst, in der-
selben Weise zwei neue Scheiben VI und VII hinzuftlgt und so fort-
fährt. Sind sämmtliche Scheiben Fach werke von der in No. 31 ange-
gebenen Art, so ist es möglich, den Verschiebungsplan des Gebildes
durch wiederholte Losung der in No. 82 behandelten Aufgabe zunächst
unter der Voraussetzung zu erhalten, dass nnr die Richtung eines Stabes

Sa 9n

Fig. 48. Flg. 44.

(der im Allgemeinen dem Scbeibendreiecke / // /// angehören muss) und
ein Punkt in der Achse dieses Stabes festliegen, und hierauf können dann
mit Hilfe von No. 33 auch solche Fälle erledigt werden, in denen das Ge-
bilde in anderer, aber ebenfalls statisch bestimmter Weise gestützt wird.
Soll z. B. das in Fig. 43 dargestellte Fach werk untersucht werden ,.
und gehört der Stab, dessen Richtungslinie zunächst festgehalten wird,
der Scheibe 7 an, so denke man die übrigen Scheiben auf die in der
Fig. 44 angegebene Weise durch Stäbe ersetzt und schreibe diesen
Stäben Längenänderungen zu, welche mit den wirklichen gegenseitigen
Verschiebungen ihrer Endpunkte übereinstimmen,, so dass z. B. die-
Längenänderung des gedachten Stabes g^g^ gleich der gegenseitigen
Verschiebung des der Scheibe // angehörenden Pnnktepaares g^ , g^ ist.
Es liegt jetzt ein Fach werk von der in No. 31 beschriebenen Art vor;,
man ist im Stande, der Reihe nach die Verschiebungen der Gelenke
^8» 9h> 9b^ 9i^ 9%^ 99* 9io* 9iu 9i2 anzugeben,, und hierauf mit Hilfe
von No. 33 die wirklieben Auflagerbedingungen zu befriedigen. Um.

Yersohiebungspläne.

69

^en zweiten Theil dieser Aufgabe lösen zu können, müssen die Stütz-
punkte in passender Weise mit den Gelenken durch Stäbe verbunden
gedacht werden. Besitzt z. B. das Scheibengebilde zwei Auflagergelenke
« und h (von denen das eine fest, das andere beweglich sein muss), so
flind noch die Stäbe agnf o^^igj ^9iot ^9it hinzuzufügen.

Der auf dem angegebenen Wege erhaltene Verschiebungsplan soll
kurz der Plan I heissen; er enthält die den wirklichen Auflagerbe-
dingungen entsprechenden Verschiebungen m'm sämmth'cher Knoten-
punkte m der Scheibe I, die Verschiebungen g^'g' sämmtlicher Mittel-
gelenke g und die Verschiebung des beweglichen Auflagergelenks.

Um nun die zur Anfertigung des Planes / erforderlichen Längen-
ändernngen der gedachten Stäbe zu erhalten, muss im Allgemeinen für
jede einzelne Scheibe ein besonderer Verschiebungsplan unter der Vor-
aussetzung gezeichnet werden, dass die Richtung eines Stabes der frag-
lichen Scheibe und ein Punkt in der Achse dieses Stabes festliegen.
Fig. 45 stellt einen Theil des auf diese Weise für die Scheibe III er-
haltenen Planes (kurz Plan III genannt) vor; er dient zur Bestimmung
der Aenderungen A(^i^,), ^(gsgn), ^(gugO der Entfernungen g^g^,
999iif9ii9i- Behufs Ermittelung vonA(^i^,), projicire man die Polstrahlen
Ogi und Og^' in 0 g^ und Og^ auf eine zur g^g^ parallele Gerade 1 — 8.
Es stellt dann Og^ die Verschiebung von g^ in der Richtung g^g^ dar,
femer Og^ die Verschie-
bung von g^ in derselben
Richtung und es giebt
mithin die Strecke

9i99 =^(gi9i)
die gegenseitige Verschie-
bung des Punktepaares

9it 9i ^°y s^® ^^^ densel-
ben Sinn wie die Strecke
g^g^ und bedeutet des-
halb eine Verlängerung
•des gedachten Stabes ^1 ^3 .
Auf dieselbe Weise wird
derWerth A(^,^,i) durch
Projiciren der Punkte g^'
und <^|| auf die zur
9z9\i Parallele Gerade
3 — 11 gefunden und A(^, ^n) mittels der Projektionen von g^' und
yi/ auf die Gerade 1—11. Für ^g^gn) ergab sich in der Fig. 45
ein positiver Werth, für ^{g^gn) hingegen ein negativer, so dass dem
gedachten Stabe g^gn eine Verkürzung zuzuschreiben ist.

Flg. 45.

70

Erster Abechnitt. — § 1.

Der in Fig. 45 für die Scheibe JII gezeichnete Einzelplan lässt
sich mit Vortheil yerwerthen, nm nach Vollendung des Planes / die
wirklichen Verschiebongen r'r sämmtlicher Kröten r dieser Scheibe
darzustellen. Zn diesem Zwecke übertrage man die im Plane I für
die Gelenke g^y g^, g^ gefundenen wirklichen Verschiebungen gi'gif
9i'9$i 9\\ 9\\ ^ ^®^ ^\wa III und zeichne hierauf die der Scheibe ///
ähnliche Figur gi' g^' r" 9ii\ welche bereits durch zwei der Punkte
9\'^ 9z' i 9\\ bestimmt wird, so dass man die Schürfe der Zeichnung
leicht prüfen kann. Hat man nämlich 9\ g^ ^ 9i' 9z ^ 9\\' 9\\ ^^^
Plan / in Plan III übertragen, so muss bei sorgfältiger Zeichnung sein:

9\9z 1.9\9t^ 9z'9\\ \-.9z9\x "^^^ 9\\ 9i \^9\\9\'

ZahlenbeispieL Znr Erläuterung untersuchen wir den auf Tafel 1 im

MaaBSstabe 1 : 100 angetragenen Dachbinder, und zwar zunächst mit Hilfe

des allgemeinen Verfahrens. Auf die im vorliegenden und in vielen anderen

f^en möglichen Vereinfachungen werden wir an geeigneter Stelle hinweisen.

Die von dem Eigengewichte des Dachstuhls und dem Schnee herrührende

senkrechte Belastung jedes der mittleren Knotenpunkte betrage 1125*, jedes

Eadknotens: 1 1125*. Der auf jedes Feld der linken Dachhälfte wirkende

Winddruck sei = 700*. Die mit HiKe eines Cremona'schen Kräfteplanee (der

hier nicht wiedergegeben worden ist) erhaltenen Spannkräfte S^ sowie die

Stablängen «, Querschnitte F (ohne Abzug für Nietlöoher) und Längenände-

Ss
rungen A«= sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden. Tem-

peraturänderung<

m blieben unberücksichtigt

Die ElasticitätszifPer wurde (für

Schweisseisen): .

fi?= 1800000

* f. d. qcm angenommen.*)

Zur besseren Uebersicht

Linke

Trägerhälfte

Rechte Trä§

rerhälfte

Stab

S

F

8

A«

Stab

S

F

8

^8

1

-9910

44

212

— 0,27

1'

— 9530

44

212

— 0,26

2

— 9110

44

212

— 0,24

2'

— 8730

44

212

— 0,23

8

— 8320

44

212

— 0,22

8'

— 7940

44

212

— 0,21

4

— 7520

44

212

— 0,20

4'

— 7140

44

212 —0,19

5

1-8970

13

245

+ 0,94

5'

+ 6970

18

245

+ 0,73

6

h7470

18

245

+ 0,78

6'

--6170

13

245

+ 0,65

7

h4110

12

254

+ 0,48

8

h4210

12

245

+ 0,48

8'

+ 2820

12

245

+ 0,32

9

f-5710

12

245

+ 0,65

9'

+ 8620

12

245

+ 0,41

10

-1500

9

122

— 0,11

10'

— 800

9

122

— 0,06

11

+ 1500

5

245

+ 0,41

11'

+ 800

5

245

+ 0,22

18

— 3000

16

245

-0,26

12'

— 1600

16

245

— 0,14

18

+ 1500

5

245

+ 0,41

18'

+ 800

5

245

+ 0,22

14

— t500

9

122

— 0,11

14'

— 800

9

122 — 0,06

l

cilogr.

gcm»

em.

mm.

kilogr.

qem.

cm*

fffffi.

*) Bei Berechnung von Formveränderungen empfiehlt es sich im Allgemeinen,
E nicht zu hoch anzunehmen, um den schwierig zu berechnenden Einfluss der Ver-
schwächung durch Niete und das Nachgeben der Verbindungen zu bei-ücksichtigen.

Yerschiebungspläne. 71

worden die As (in Millimetem) auch in das Trägemetz auf Tafel 1 einge-
schrieben.

Der zu untersuchende Träger besteht aus den beiden gegliederten Scheiben
aeh und iqh^ welche kurz mit /und II bezeichnet werden sollen und die mittels
des Gelenkes h und des Stabes ai mit einander verbunden sind.

Zuerst wurde in Fig. 47 der Yerschiebungsplan für die Scheibe I unter
der Voraussetzung aufgetragen, dass der Knoten a und die Richtung des Stabes
ah festliegen. Sämmtliche Verschiebungen wurden in zwanzigfacher Vergrosse-
rung gezeichnet 0 ist der beliebig angenommene Pol. a Wlt mit 0 zusammen.
Die Verschiebung Ob' des Punktes b ist ^eich der Längen&nderung Al2 des
Stabes 12. Die Punkte c', d\ e ferner f^ g\ K wurden nach dem in No. 32
beschriebenen Verfahren bestimmt. Hierauf wurde der (roth ausgezogene) Ver-
schiebxmgsplan // für die Scheibe II in Angriff genommen, vorerst für den
Fall, dass Punkt t und die Richtung des Stabes ik festgehalten werden. Nach
Ermittelung der Punkte k\ T, m\ q und n\ p\ V konnte die Aenderung A(At)
der Entfernung A« als Projektion der Strecke }{% auf eine zu \% parallele Ge-
rade angegeben werden und ebenso die Aenderungen A(t9) und A(^g) der Ab-
stände iq und hq* [Im vorliegenden Falle wäre allerdings hierzu die Aufzeich-
nung des Planes II nicht nöthig gewesen, denn es ist offenbar A(^i) gleich der
Summe der Längenänderungen der Stilbe 9' und 8', d. h. A(A») = + 0,41 + 0,82
= + 0,73*" und ebenso findet man ohne weiteres: A(Äg)=A4'+ A3'-j-A2'
+ A1'=-- 0,19 — 0,21- 0,28 — 0,26 = — 0,89-- \md A(#^) = A6' + A5' =
+ 0,65 + 0,73 = + 1,38—].

Jetzt war es möglich, den Plan / zu vollenden. Mit Hilfe von A(^i) und
A7 wurde die Lage von i\ femer mittels ^(A^) und A(»g) die Lage von g' ge-
funden und hierauf den Auflagerbedingungen genügt Da e festliegt und q auf
einer Wagerecüten geführt wird, so fällt t mit t zusammen, während q der
Schnittpunkt der rechtwinklig zu «g gezogenen Geraden i' q mit der Wage-
rechten durch q ist. Durch die Punld» e' und q ist die dem gegebenen Fach-
werke ähnliche Yi^x e' ^'h" g'H' f aC q' vollständig bestimmt, und damit sind
auch die Verschiebungen sämmtlicher Knoten der Scheibe I sowie diejenigen der
Punkte t und q gegeben.

Behu& Darstellung der Verschiebungen der Knotenpunkte der Scheibe //
wurden die Verschiebungen q q und W aus Plan /in // übertragen und auf
diese Weise zwei Punkte der Figur qmtc'p'Ji'nx'V* gefunden. Bei sorg-
fältiger Zeichnung muss q^Ü' S^qk sein, femer muss die Verschiebung {"%
mit der bereits im Plane / erhaltenen Verschiebung x'x nach Grösse imd
Richtung übereinstimmen. [Wegen der geraden Gurtung Ixlc hätte man auch
im Plane I einen Punkt Ap' mit Hilfe von A12' und A(Äifc) = — 0,19 — 0,21
= — 0,40— ermitteln können, hierauf n mittels A13' und A8', p mittels
Ad' und A14' sodann V und m'. Plan // kann also bei Untersuchung des
vorliegenden Trägers entbehrt werden; er ist aber nöthig, sobald ä, /?, A?, m, q
oder ^ n, i oder /, /, q nicht in einer Geraden liegen.

Vergleichende Messungen zeigen, dass im vorliegenden Falle von allen
Engten des Trägers der Punkt g die grösste Verschiebung erfiOirt. Man findet
g' g = 7,6—. Die wagerechte Verschiebung des Punktes q ist: qq = 6,5—.

Die Figuren 49 bis 52 zeigen weitere Arten von Fach werken,
deren Ver8chiebnngq>lftne auf dem im yorstehenden Beispiele angegebenen
Wege erhalten werden können.

72

Erster Abschnitt. — § 1.

Der einfache Fachwerkbalken in Fig. 49 besteht aus den beiden
Scheiben abe and bde (deren Bfinder darch Schraffimng hervorgehoben

wurden) und dem Stabe ce. Die sich schneidenden Diagonalen und
Vertikalen sind an den Ereuzungsstellen nicht miteinander verbunden.
Fig. 50 stellt einen versteiften Gelenkbogen (vergL Band /, Ab-
schnitt XII) dar, welcher in die Scheiben I und II und den Stab ce

^^^kP^Ä^W^^^^^^SRö.

Flg. 50.

Flg. 51.

zerlegt werden kann, Fig. 51 einen Fachwerkbogen mit drei Gelenken,
dessen Kämpfer durch eine Stange verbunden sind.

Soll die Formveränderung des in Fig. 52 abgebildeten Trägers

Flg. 52.

untersucht werden, so nehme man zunächst den Punkt c und die Rich-
tung des Stabes ce als festliegend an, ermittele e, sodann:

Veisciiiebiiiigspl&iie. 73

i mit Hilfe yon A(dc) und tk{dt)

h' „ „ „ A(6c) „ A(*d) = A5 + A6+A7+A8
« „ „ „ A(ac) „ A(a6) = Al+A2 + A8 + A4,
und ebenso bestimme man f und g\ Nun befriedige man die Auf-
lagerbedingungen, übertrage die hierbei gefundenen Verschiebungen
}/'b\ d" d\ f"f\ g'g der Punkte 6, d, f^ g in die nach No. 82 für
die einzelnen Scheiben angefertigten Plftne und zeichne in diese letzteren
schliesslich die den Scheiben ah, bd, df, fg ähnlichen Figuren a'b'\
b a , a f , f g em.

88. Faohwerktrftger versohiedener Art. Liegt ein Fachwerk
Yor, von anderer als in den yorstehenden Untersuchungen beschriebener
Art, so verwandele man dasselbe — am besten durch Aenderung der
Stützung — zunächst in ein solches, dessen Verschiebungsplan durch
wiederholte Lösung der in No. 82 yorgeführten Hauptaufgabe erhalten
werden kann, nachdem man vorher nOthigenfalls für einzelne Theile
(Scheiben) besondere Pläne zur Bestimmung der gegenseitigen Ver-
schiebungen derjenigen Gelenke gezeichnet hat, in denen diese Theile
aneinandef hängen. Hierauf beseitige man die neu hinzugefügten Stützen,
und schreibe den starr zu denkenden Gliedern des nunmehr beweglichen
Fachwerks Verschiebungen und Drehungen zu, durch welche die wirk-
lichen Auflagerbedingungen erfüllt werden. Die folgenden Beispiele
werden genügen, dieses Verfahren zu erläutern.

1. Beispiel. Das in Fig. 58 dargestellte Fach werk besteht aus
zwei gegliederten Scheiben / und //, die im Gelenke e aneinander
lü&ngen und durch die Stäbe 4 und 7 mit dem Kopfe e der Pendel-
sänle 5 verbunden sind. Bei a ist ein festes, bei g ein auf wagerechter
Bahn bewegliches Auflagergelenk angeordnet. Will man die Verschie-
bungen der Knotenpunkte dieses Fachwerks ermitteln, so bestimme man
zunächst mit Hilfe von Einzelplänen (i) und (/i), die nach No. 82 für
die Scheiben / und II aufgetragen werden, die Aenderungen AI, A2,
A8, A9 der kurz mit 1, 2, 8, 9 bezeichneten Strecken a&, ac, dg^ cg.
Hierauf nehme man an, der Knoten g sei frei, setze dafür aber b in
der Bichtung ab geführt voraus und zeichne den Plan Fig. 58 A.

0 ist der beliebig angenommene Pol. a und f' fallen mit 0 zu-
sammen, da a und f feste Punkte sind. Die Wagerechte 0&' = Ai
giebt die Verschiebung von b an. Mittels A2 und A8 wird nach No. 82
der Punkt c bestimmt, hierauf der Beihe nach: e mittels A4 und A5,
d^ mittels A6 und A7, g' mittels A8 und A9*).

*) Anstatt Scheibe / in ( zu führen, kann man auch die Richtung des
Stabes ah festlegen. Der Plan (i) wird dann überflüssig, da man die Knoten-
punkte der Scheibe I schrittweise durch je zwei Stäbe an den Stab ah an-

74 Erster Abschnitt. — % i.

Jetzt Tsrwaadele man du Fwbwerk dorch Beaeitigang der Foh-
mag des Fnnktea b in eine zwuiglBn&ge kincmatiMhe Kette, drebe die

Scheibe 1 so um das Anflagergelenk a, dass der Pnaht ff eine (im
Plane A durch einen Strahl ff"0 darznetellende) Verschiebung erfilhrt,
die, mit der Torbin gefundenen Og' nuammengeeetzt, eine wagereobte
Gesammtrerschiebong g'ff ergiebt, and bestimme schlieaglicb anch die
Ton den Knotenpunkten d, c, e, b bei dieser Bewegung beechriebeuea
W^e: d"0, e' 0, t'O, b"0.

Zn einer einfachen LOsnng dieeer Aufgabe ftthren die im ersten
Bande (Abschnitt XIV) mitgetheiltenÜntorsnchnngen kinematischer Ketten.
Die dort fOr die Geschwindigkeiten der Ponkte solcher Ketten abge*
leiteten Oesetie gelten anch fDr die Verechiebangen dieeer Ponkte, eo-
bald nnr voransgesetit wird, dasa alle diese Verschiebongen in dem-
selben Zeitthetlchen erfolgen nnd sieb mithin ni einander verhalten,
wie die entsprechenden Oeschwindigkeiten.

Stellt man also die vorlftufig willkürlich anzunehmende OrDsee
der Verschiebung des Punktes b durch eine Strecke bh^ dar, welche,
von b ans, auf dem nach dem augenblicklichen Drehpunkte (Dr^poU) a

schliessen kaou. Plan {11) ist auch bei der oben angenommenen StütEongsart
entbehrüch, doch möge wiedeibolt werden, dass die Anfertigung von SÜniet-
plinen für die veischiedenen Scheiben den Vorzog der grösseren Uebeisichtlicb'
keit besitzt

YerBchiebiuigspläQe. 75

gezogenen Strahle ba abgetragen wird, nnd zieht man bQÜQ \\ be bis zam
Polfltrahle ea, so giebt ccq die GrOsse der Verschiebung von e an.
Macht man weiter b^eQ || 6e, so erhält man in der Strecke ee^ die Grösse
der Verschiebung des Pnnktes e, der um f sich drehenden PendelsKnle,
nnd hieranf kann man mittels CqcIq \\ cd und e^dQ \\ ed die Verschie-
bung dd^ von d, sodann mittels e^gQ \\ eg und d^g^ || dg die Verschie-
bung gg^ von g bestimmen. Die Richtungen der Verschiebungen der
Punkte hy e, fy dy g sind rechtwinklig zu den entsprechenden Strecken
^^09 ^^09 ^^0* ^^o> 99o (welche letztere deshalb „um 90° gedrehte Ver-
sdikbungefif' genannt werden sollen) und damit sind die Richtungen
der Strahlen bestimmt, die im Plane Ä die Punkte g", i\ c . . . .

mit dem Pole 0 verbinden. Es ist ^"O _[_ 9%^ ^'^ _L ^^o» ^' ^ -L ^<^o
u. s. w. Die Länge des Strahles g" 0 folgt aus der Bedingung, dass
g" auf der Wagerechten durch g' liegen muss, und hierauf ist i' ge-
geben durch g' i' J_ ^<^i c" durch: c' i' _L cc? oder g" c' _L pc, femer
6" durch: c'll' \_cby sodann e' durch }!' e' \^be oder i' e' J_ de.

Wir theilen noch drei andere Verfahren mit, die Punkte i\ e\
b'\ e" zu ermitteln:

1. Man zeichne einen Linienzug gxd^e^b^e^^ dessen Seiten den
entsprechenden Seiten des Zuges ^o^o^o^o^o P&rallel sind (so dass also
9x^1 II gdy d^e^ || de, . . . .) und dessen Ecken auf den Geraden gg^,

dd^y ee^ liegen. Macht man hierbei ggi =g"Oy so ist auch

d^'0=^ddiy e"0 = e^,, u. s. w.

2. Man bestimme die Pole, um welche sich die einzelnen Glieder
der bewegten zwangläufigen Kette gegen das ruhende, kurz mit w be-
zeichnete Widerlager, dem die festen Punkte a und f angehören, drehen.
Der Pol (I'tv) der Scheibe 1 fällt mit a zusammen, der Pol (I'II)
Ton I gegen // mit dem Gelenke e. Die Glieder /, 4, 5 der Kette
bilden mit dem Widerlager zusammen ein Gelenkviereck, und es liegt
daher der Pol (4 • w) von 4 gegen w im Schnittpunkte der Geraden
ah und fe. Ebenso folgt, dass der Pol (4-/i) von 4 gegen // der
Schnittpunkt der Geraden ab und de ist, und nun lässt sich der Pol
(// • tc) von // gegen w mittels der Bedingungen finden, dass die drei
Punkte (/*tr), (I'II) und {II - w) in einer Geraden liegen müssen,
desgleichen die Punkte (4 • II)y (4 • ir), (11 -w). Durch den Pol (71 * w)
sind die Richtungen ggQ und ddQ gegeben, und man ist jetzt im Stande,
die Punkte /', d"y e'\ b'\ e auf die zuerst beschriebene Art zu be-
stimmen«

3. Man nehme die Verschiebung des Punktes b der um a sich
drehenden Scheibe 1 zunächst beliebig gross an und stelle sie in einem
besonderen Plane (Fig. 58 B) durch einen zur Geraden ba rechtwinkligen
Polstrahl b'" 0 dar, wobei es gleichgiltig ist, ob iS" unterhalb oder

76 Erster Abschnitt. — § 1.

oberhalb des Poles 0 liegend gewählt wird. Hierauf bestimme man
die gleichzeitig von den Punkten c, e^ d, g beschriebenen Wege, indem
man die Reihe zieht:

/// /'/ I , 1 /// ///

ae.

0 c _[_ üc und a e

b e J_be „ f e ±^fe,*)

/ff -mfff I m ttf .^/f -

c d j_ca „ € a ed,

ff* fft I -/// Ht •

^ 9 JL.^9 .» ^ 9 J_äg.
Die Strahlen, welche die Punkte b"\ c'\ e'\ i'\ g" mit dem
Pole 0 verbinden, stellen nach Grösse und Richtung die Verschiebungen
der Punkte 6, c, e, (f, g dar. Nun ermittele man im Plane {Ä) mit
Hilfe von g"0\g'"0 diejenige Verschiebung, welche^ erfahren muss,
damit die Auflagerbedingung bei g erfüllt wird, und hierauf die zuge-
hörigen Verschiebungen c"0, d"0, . . . indem man eine Figur g'* c' i' . . .

zeichnet, deren Seiten parallel sind den entsprechenden Seiten der Figur

V V j'/'

g c a ....

Die Figur (B) ist ofienbar nichts weiter als der TTi^/iot'sche Ver-
schiebungsplan deijenigen kinematischen Kette, in welche das zu unter-
suchende Fachwerk durch Beseitigung des beweglichen Auflagers g
übergeht**).

üeberträgt man schliesslich die auf einem der beschriebenen Wege
gefundenen Verschiebungen b"b\ c i\ d"d[, g"g' aus dem Plane {A)
in die für die Scheiben (/) und (//) angefertigten Einzelpläne, und
zeichnet in (J) die der Scheibe abc ähnliche Figur ab"c' (deren
Punkt a mit dem Punkte d dieses Planes zusammenfallt) sodann in
(//) die der Scheibe cdg ähnliche Figur c' i' g\ so ist man im Stande,
die Verschiebungen m %n sämmtlicher Knoten m der Scheiben / und //
anzugeben.

Auf ähnliche Weise wie das eben untersuchte Fachwerk kann auch
das in Fig. 54 dargestellte behandelt werden. Es ist zweckmässig, zu-
nächst den Punkt a und die Richtung von ab festliegend anzunehmen
und sich die Führung des Gelenkes m beseitigt zu denken. Hierauf
drehe man die Scheibe / so um a, dass der Punkt m eine wagerechte
Gesammtverschiebung m ni erfährt. Die Pole, um welche sich die
Scheiben // und /// in Folge dieser zweiten Bewegung drehen, sind
in der Fig. 54 angegeben worden***). An ihrer Stelle können auch die

♦) f* fäUt mit a " zusammen.

^i*) Dass es sich bei Aulzeichnung der Figur (B) in der That nur um die
wiederholte Lösung der in No. 82 vorgeführten Hauptaufgabe handelt, lehrt ein
Blick auf Fig. 84. Ist AI =0 und A2 = 0, so entsprechen den Geraden ac und
c6 in Fig. 34 a die zu ihnen rechtwinkligen Geraden a'c' und cH des Versohie-
bungsplanes Fig. 34 b. Veigl. auch den Anfang von Seite 62.

♦♦♦) Das Zeichen oo (4 • ZT) beutet an, dass der Pol (4 • II) mit dem unendlich
fernen Schnittpunkte der Stäbe 3 und 7 zusammenfällt.

Verschiebungspläoe.

77

tun 90° gedrehten Yerschiebnngen oder ein Williot*scher Plan benutzt
werden, und es wird dem Leser empfohlen, znr üebnng die betreffenden
Figuren selbst zn entwerfen*).

anpj

am/
"Ä-^r

fi. Setsptei. Fig. 55 zeigt einen statisch bestimmten Bogen-
trftger mit drei Oefinnngen. Derselbe besteht ans vier gegliederten
Scheiben, die in den Gelenken e, g, i aneinander h&ngen. Die Scheiben
/ und // sind durch zwei Stäbe mit dem Kopfe der PendelsKule ef
verbunden, in gleicher Weise /// und IV mit der Säule Im. Bei a
und n sind feste Auflagergelenke angeordnet.

Wird der Verschiebungsplan dieses Trägers verlangt, so setze man
zunächst voraus, es sei bei g die Verbindung der Scheiben // und ///

Fig. 55.

gelöst, nehme dafür aber den Punkt h in der Richtung ab geführt an
und den Punkt k in der Richtung nk. Für diese Stützungsart ermittele

*) Bei Polbestimmungen müssen häufig Gei-ade durch die Schnittpunkte
von ausserhalb des Zeichenblattes sich treffenden Linien gelegt werden, was zwar
keinerlei Schwierigkeiten bietet, immerhin aber umständlich genug ist, um dann
die Beyorzugung anderer Verfahren zu veranlassen.

78 Erster Abschnitt. — § 1.

man (genan wie im Beispiel 1) die Verschiebangen der Punkte 6, c,
e, d, g der linken Trftgerhälfte tmd der Pnnkte k, t\ l, h, g der reehten
Hälfte — am besten in zwei besonderen Figuren (L) und (£); deren
Pole Ol und Or seien. Hierauf drehe man die Scheiben I und IV so
um die Gelenke a bezieh, n^ dass der Zusammenhang der Scheiben II
und III in g wieder hergestellt wird.

Der erste Theil dieser Untersuchung mOge für den Punkt g der
linken Trägerhälfte die Verschiebung Oig' (Plan L) ergeben haben und
für den Punkt g der rechten Hälfte die Verschiebung Org' (Plan R).
In Folge der zweiten Bewegung dreht sich die Scheibe // um den
Pol (II »w), dessen Lage in der auf Seite 74 beschriebenen Weise ge-
funden wird, und es muss deshalb der Strahl /' 0, rechtwinklig zu der
durch die Punkte (//• tc) und g bestimmten Geraden sein. Im Plane
R hingegen ist g"Or rechtwinklig zur Geraden^ — (III 'w). Da nun
beide Pläne Verschiebungen g"g' liefern mtlssen, die nach Grösse, Sich-
tung und Sinn übereinstimmen, so lässt sich die Lage der Punkte g"
in folgender Weise ermitteln.

Man mache in (L) die Strecke g's gleich und parallel dem Strahle
g'Or des Planes (R) und lege durch den Punkt s, rechtwinklig zu
g — (III • iv) eine Gerade. Dieselbe schneidet die gegebene Bichtung
des Strahles g" Oi in g'\ Hierauf mache man in (R) die Strecke Org"
gleich der Strecke sg" in (L).

Jetzt ist man im Stande, genau wie bei Aufgabe 1 die der Ver-
schiebung g" Ol entsprechenden Wege d" Oi^ c'O^ . . . . der Punkte
(^, c, . . . zu bestimmen, desgleichen die Verschiebungen ä"0„ t"0„ . . .
der Punkte A, t, . . . .

3. Seispiel* Es soll der Verschiebungsplan einer durch einen
Balken mit Mittelgelenk versteiften Kette gezeichnet werden. Fig. 56.
Bei b ist ein festes, bei p ein auf einer Wagerechten geführtes Auflager-
gelenk angeordnet. Die ebenfalls auf wagerechten Bahnen beweglichen
Gelenke a und x der Tragkette aox sind durch Rückhaltketten, deren
Längen sich um die gegebenen Strecken A' und A^' vergrössern, mit
festen Punkten der Widerlager verbunden.

Von dem beliebig angenommenen Pole 0 aus (Plan Ä) wird A'
aufgetragen, und im Endpunkte dieser der linken Rückhaltkette paral-
lelen Strecke ein Loth errichtet, welches die Wagerechte durch 0 in a
schneidet. Oa stellt die Verschiebung von a dar. An a wird die
Verlängerung AI des Kettengliedes 1 angetragen und in dem auf AI
im Endpunkte errichteten Lothe der Ort des Punktes c gefunden.

Es empfiehlt sich nun, den Punkt c zunächst beliebig anzunehmen
und ge Wissermassen vorauszusetzen, es werde der Punkt c in der durch
den Strahl Oc angegebenen Richtung geführt; dafür aber denke man

Yerschiebimgspläne.

79

die wagerechte Führang des Punktes x beseitigt. Denn durch die
Annahme eines beetimmten c sind die Verschiebnngen sämmtlicher

^/JW*

ßr"V^»7M

Flg. 56.

Knoten des Fachwerks gegeben, da man schrittweise finden kann:

Punkt d' mittels ^(pd) und A2,

e „ A(6<?) „ ^(de),
f „ Mdf) „ A(e/),
g „ ^(dg) „ ^(fg\
ä' „ A4 „ A3,

n. 8. f. die Punkte i\ k\ l\ m\ n\ o, hierauf:

»»
ff

80 Erster Abschnitt ~ § 1.

Punkt p auf der Wagerechten durch 0 mittels Anj9,
q mittels A(ng) und ^{'pq)*)
^ b.{nr) „ A(5r)

,y / ,, A9 „ AlO u. 8. w. bis Punkt U).

Schliesslich erhält man den Punkt x\ indem man in 0 und «/ die
Strecken bl' (parallel zur rechten Bflckhaltkette) und A15 anträgt und
in den Endpunkten dieser Strecken Lothe errichtet.

Jetzt wird die vorübergehend angenommene Führung des Punktes c
wieder beseitigt, und hierdurch das Fachwerk in eine zwangläufige
kinematische Kette verwandelt, der eine Bewegung zu ertheilen ist,
durch welche der Punkt x eine Verschiebung x' 0 erfährt, die mit
Ox zusammengesetzt eine wagerechte Gesammtverschiebung x' x er-
giebt. Die Pole, um welche sich die einzelnen Glieder des Fachwerks
bei dieser zweiten Bewegung drehen, werden wie folgt ermittelt.

Der Pol (/'tr) der Scheibe / gegen das Widerlager fällt mit h
zusammen^ der Pol (1*11) mit n, während (II »w) durch den Schnitt-
punkt der Geraden (/•«?) — (I * IT) mit der Senkrechten durch p be-
stimmt ist, weil sich p auf einer Wagerechten bewegt.

Die Stäbe 5, 4, 6 bilden mit der Scheibe I ein Gelenkviereck,
und es ist deshalb der unendlich ferne Schnittpunkt von 4 und 6 der
Pol von 5 gegen /; derselbe liegt in der Senkrechten durch 6, denn
die Pole (5 •«?), (5 •/), (/«m^) fallen in eine Gerade. Da nun die Ver-
schiebungsrichtung des Punktes c rechtwinklig zur Achse des um a sich
drehenden Stabes 1 ist, und c auch dem Stabe 3 angehört, so ist der
Schnittpunkt ^ von 1 mit der Senkrechten durch h der Pol von ft
gegen U7, und es bewegt sich deshalb h rechtwinklig zur Geraden ^A.
Daraus ergiebt sich aber, dass (5 • w) mit $ zusammenfällt und ebenso
kann gefolgert werden, dass sich $ auch mit (7 • w) deckt.

Ganz ähnlich lässt sich beweisen, dass der Schnittpunkt $' der
Geraden $o mit der Senkrechten durch p der gemeinschaftliche Pol
der Stäbe 9, 11 und 13 ist, denn die Pole (9-tr), (11 -u?), 18 -u^)
liegen auf der Geraden, welche durch (// • w) und die unendlich fernen
Schnittpunkte der Stäbe 8 und 10, 10 und 12, 12 und 14 geht

Legt man nun durch $ und den oberen Endpunkt einer der lin-
ken Trägerhälfte angehörenden Hängestange eine Gerade, desgleichen
durch {I'U)) und den unteren Endpunkt, so erhält man im Schnitt-
punkte beider Geraden den Pol dieser Stange. Auf diese Art ist in
Fig. 56 der kurz mit (4) bezeichnete Pol (4 • w) des Stabes 4 bestimmt

*) L(pq) xmd A(n^) werden einem für die Scheibe II gezeichneten be-
sonderen Plane entnommen. Im Plane (Ä) haben wir, um eine übersichtliche
Figur zu erhalten; nur die Pxmkte a , c , (T, n , p q% m>\ x angegeben.

Yerschiebungspläne.

81

worden; der Beweis folgt daraus, dass die Pankte (5 -to), (4 • 5), (4 • w)
in einer Geraden liegen, desgleichen die Punkte {I'w\ (4*/), (4-u').
Aehnlich werden die Pole der Hängestangen der rechten Hälfte ermittelt.
An Stelle der Punkte $ und {I'w) treten hier die Punkte ^' und
(II »w). In der Figur sind die kurz mit (12) und (14) bezeichneten
Pole (12*tr) und (14 'tr) der Stäbe 12 und 14 angegeben worden.
Pol (8) von 8 ist der Schnittpunkt der Geraden ?ß$' und (/• ir) — (//. w).
Der Pol von (15 • m;) gehört der Geraden $' (14) und der Mittellinie der
rechten Bückhaltkette an.

Um die Verschiebungen zu ermitteln, welche die Punkte der be-
trachteten Kette erfahren, ziehe man im Plane Ä den Strahl x" 0 recht-
winklig zur rechten Rückhaltkette bis zur Wagerechten durch x\ hierauf
x" w'' I X w und 0 w" rechtwinklig zu der Geraden, welche den Punkt
w mit dem Pole ^ yerbindet. Den Punkt v' findet man mittels der
Bedingungen v' w" ^vw und r'0j_»(14) und den Punkt n mit
Hilfe von v' n \_vn und n" 0 _[_«(/• u?), womit je zwei Punkte der
den Scheiben n^q^ und nnib ähnlichen Figuren n' p" q' und n' tn' a"
bestimmt sind. Bei richtiger Zeichnung muss hierbei p" in die Wage-
rechte durch 0 fiftUen.

Damit Fig. {Ä) deutlich bleibe, haben wir die bereits gefundenen
Pankte x" w' v' n" p" in eine besondere Fig. {B) übertragen und in
dieser die Ermittlung der fraglichen Verschiebungen fortgesetzt. Nach
Anftragung der Figuren n' p" q und n m" a wurden der Beihe nach
bestimmt:

mittels: u w' ^uw und

I 8U

I 08

J_/0
±_hl
J_CÄ

Bei sorgfllltiger Zeichnung muss eine von c" aus rechtwinklig zu ea
gezogene Gerade den Pol 0 des Verschiebungsplanes treffen. Femer
muss sein:

u"0_\^u^\ 8"0\_8^\ o'0\_o^\ ^'0\_l% Ä"ö_LÄ5ß.
4* Beispiel. Fig. 57 stellt eine gegliederte Scheibe der folgen-
den Erzeugungsweise dar. An ein aus vier Stäben bestehendes G^lenk-
viereck 1, 2, 8, 4 werden die Knoten 5, 6, 7, .... n so angeschlossen,
daas 5 verbunden wird mit 4 und 2, 6 mit 5 und 3, 7 mit 6 und 4,
. . . . n mit n — 1 und n — 8, worauf schliesslich noch der Stab n 1
hinzugefügt wird. In Fig. 57 ist n = 8. Wird der Verschiebungsplan
für den Fall gesucht, dass der Knoten 1 und die Richtung des Stabes
1 — 2 festliegen, so nehme man zuerst an, es sei der Knoten 8 auf

X filler-Breslfta, Orftphisch« Statik. IL 1. 6

U

// //

f 8 U

//
0

y 0 8

t' ,:

r o'

h" ,

h" r

ff

c K'

u t

ff tf

8 r
ff ff
0 n

1 ff ff

rf"

ut
sr
on
Ih

cd.

82 Krater Abschnitt. — § 1.

irgend einer festen Geraden geführt, der Stab 1 — 8 hingegen beseitigt.
Trägt man dann vom Pole 0 des Verscbiebangsplanes aus die (in Fig. 57

Flg. 57.

positiv vorausgesetzte) Längenänderung A(2 — 8) des Stabes 2 — 8 auf
und errichtet im Endpunkte derselben ein Loth, so ist dieses der Ort
des Punktes 8^ Dieser Punkt selbst wird beliebig angenommen; die
Gerade, welche ihn mit 0 verbindet, giebt die Richtung an, in welcher
8 vorläufig geführt wird.

Nun bestimmt man der Reihe nach die Punkte 4', b\ 6', l\ 8\
beseitigt hierauf die Führung des Knotens 8 und ertheilt den nunmehr
starr zu denkenden, zwangläufig miteinander verbundenen Stäben Be-
wegungen, durch welche die Bedingung erfüllt wird, dass die gegen-
seitige Verschiebung der Punkte 8 und 1 gleich der Längenänderung
A(l — 8) des Stabes 1 — 8 ist. Dazu ermittelt man mit Hilfe der um
90° gedrehten Verschiebungen 8—80, 4 — 4^, .... 8 — 80 die zur Ge-
raden 8 — 80 rechtwinklige Richtung des Strahles 8^' 0 und bestimmt
auf diesem den Punkt 8'' mittels der Bedingung, dass die Projektion
der Gesammtverschiebung 8'' 8' des Punktes 8 auf eine zum Stabe
(1 — 8) parallele Gerade gleich der (in der Fig. 57 negativ ange-
nommenen) Längenänderung A(l — 8) dieses Stabes ist. Jetzt kann
man 7" finden mittels 7"— 8" J_ 7— 8 und 7"Oj^7— 70, hierauf
6'', 5", .... Damit sind die Gesammtverschiebungen m" m sämmt-
licher Knoten m bestimmt.

Dem eben betrachteten Stabgebilde entspricht ein Scheibengebilde

von ähnlicher Entstehungsweise. Ein Beispiel bietet der in Fig. 54

dargestellte ^Träger. Die Glieder /, 4, 5 bilden mit dem die festen

Punkte a und /'£verbindenden starren Widerlager ein Gelenkviereck,

an das der Knoten^d mittels // und 7 zwangläufig angeschlossen wird,

hierauf i mittels 12 und 18, sodann l mittels 15 und ///, welches letzte

Glied schliesslich bei m eine Führung erhält.

5. Beispiel* Es soll noch eine sehr lehrreiche Aui^bo mitgetheilt uud
auf zweierlei Art gelöst werden. Die zweite Lösung wird nach einem Verfahren
erfolgen, das selbst in den schwierigsten Fällen übersichtlich ziun Ziele führt.

Verschiebiuigspläne.

83

An ein ans Stäben gebildetes Gelenkfünfeck 1—2—8 — 4—5 seien weitere
Knoten 6, 7 8, .... m, .... n durch je zwei Stäbe in der "Weise ange-
Bchlosseo, dass 6 verbanden
wird mit 5 und 2, 7 mit 6
und 3, . . . . , m mit (m — 1)
und (m — 4), . . . ., n mit
(n — 1) und («— 4). Der Kno-
ten 1 und die Richtung des
Stabes 1 — 2 liegen fest; m werde
in einer ruhenden Geraden
»Wo mo geführt, ebenso n in w^wo-
Es soll der Verschiebungsplan
gezeichnet werden.

In Fig. 58a ist fit=8
und n = 1 1. Vom Pole 0 aus
(Fig. 58 b) wurden die Längen-
änderungen A ( 1 — 2) und A ( 1 — 5)
der Stäbe 1—2 und 1—5 auf-
getragen und an A(l — 2) die
Strecke A (2 — 3) gesetzt Die in
den Endpunkten von A(2— 3)
und A(l— 5; auf diesen Strecken

Fig. 58 a.

Fig 58 b.

6*

84 Erster Abschnitt. — § 1.

errichteten Lothe sind die Oerter von 8' beziehungsweise 5'. "Werden die
Punkte 3' und 5' vorläufig willkürlich angenommen, wird also gewissermaassen
zunächst vorausgesetzt, es seien die Knoten 3 und 5 (statt 8 und 11) in festen,
den Polstrahlen 0 3' und 0 b' parallelen Geraden geführt, so lassen sich die
Punkte 4', 6', 7', 8', 9', K/, 11' schrittweise bestimmen, da 4 durch zwei
Stäbe mit 3 und 5 verbunden ist, desgleichen 6 mit 2 und 5, u. s. f.

Jetzt hebe man die Führung der Punkte 3 und 5 wieder auf, und drehe
die Stäbe 2 — 3 und 1—5 so um die in Ruhe bleibenden Gelenke 1 und 2,
dass 8 eine Verschiebimg 8" 0 erfährt, die, mit 0 8' zusammengesetzt, eine
zur Führung 8o8o parallele Verschiebung 8" 8' ergiebt und ebenso fair den
Punkt 11 eine zu llo— IIa parallele Gesammtverschiebung 1 1" 1 T erhalten wird.
Behufs Darstellung dieser Bewegung zeichne man im Plane Fig. 58 b eine
Figur 1"— 2" — 8"— 4". . . 8". . . 11", deren Seiten rechtwinklig zu den ihnen
entsprechenden Stäben des Fachwerks 1—2 — 8—4 ... 8 ... 11 sind, deren
Punkte 1", 2" mit 0 zusammenfallen, und deren Punkte 8", H" in gegebenen
Geraden (^g) bezieh, (g^) liegen. Die zu 80—80 parallele (g^) ist durch den
Punkt 8' bestimmt, die zu lfo=llo parallele (^n) durch den Punkt 11'. Diese
rein geometrische Aufgabe lässt sich mit Hilfe des folgenden (bereits im ersten
Bande mehrfach benutzten) Satzes der Geometrie der Lage lösen.

Äendert ein n-Eck in der Weite seine Form, da 88 sämtnüiche
Seiten desselben durch feste Punkte einer und derselben Geraden
gehen (die im vorliegenden Falle die unendlich ferne Gerade ist)
während n — 1 Eckpunkte gerade Linien beschreiben, so bewegt sich
auch der letzte Endpunkt in einer Geraden.

Man nehme auf der zum Stabe 2—8 rechtwinkligen Geraden 0 3" zu-
nächst zwei beliebige Punkte (81", 8,") versuchsweise an, ebenso auf der zu
1—5 rechtwinkligen 0 5" zwei beliebige Pimkte (5i, 5j), ziehe durch 3i" und
Bi' gerade Linien rechtwinklig zum Stabe 8—4 und bestimme auf denselben
die Schnittpunkte 4i.i, 4i.,, A^-i^ 4t. < der durch 5] und 5, rechtwinklig za
5^4 gelegten Geraden. Es sind dann

[0, 8^", 4i.i, 5i]; [0, 3i", 4i.,, 5,]; [0, 8,", 4,.i, 5,]; [0, 3,", 4,.„ 5,]

vier versuchsweise Lösungen für das verlangte Viereck 0, 8", 4", 5".

Der ersten Lösung entsprechen die Punkte 61, 7i.i, 81-1,

„ zweiten „ „ „ „ 6^, 7i.|, 81.2,

„ dritten „ „ „ „ 6|, 7j.i, 81. 1,

„ vierten „ ., „ ,^ 62, if%i ©j.,.

Die Bestimmung von 6i, 7x.i, 81.1 erfolgt der Reihe nach mittels:

5i-6x±5— 6, 0-61 J. 2-6, 61— 7i.ii.6-7, 3i"-7i.i ±3-7,
7i.i— 8i.,±7— 8, 4i.i— 81.1 ±4—8,

und in gleicher Weise findet man 6s, S,.,.

In den Punkten, in denen die Geraden 81.1 — 81. t und 8,.i — S^.j die ge«
gebene (g^) schneiden, erhält man die zu (3i", 3,") gehörenden Lösungen (8,", 8,")
und ifft^nn nun in der Geraden 7i.i — 7i.2 den Punkt 7i" bestimmen, in der
Geraden 7,.i— 7,., den Punkt 7,", hierauf 61", 6," und 5r, 5,". (Die Er-^
mittelung von 4i" und 4," ist übeillüflsig.)

Weiter lässt sich jetzt angeben:

9x" mittels 81"— 9i"± 8— 9 und 5r— 9i"± 5— 9

10," „ v-ior± 9-10 „ 6r-ior±6— 10
iir ,, iOi"-iii"± 10-11 „ 7r-ii,"±7-ii

Yerschiebungspläne. 85

und ebenso 9j", 10,", 11,", worauf 11" bestimmt ist als Schnittpunkt der Ge-
raden llj"— 11/' mit der zur Führung 11^ — 11© parallelen g^i. Hat man aber
11" gefunden, so kann man auch 10", 9", 8", 7", 6", 5", 4", 3" ermitjkeln,
denn es liegen 10^", 10,", 10" in einer Geraden, desgleichen 9/', 9," 9" u. s, w.

Die mitgetheilte Lösung gilt für jedes m imd n und bezieht sich auch
auf gegliederte Scheiben von der in Abschnitt XIY des ersten Bandes be-
schriebenen Art. Wird die Führung des Knotens 11 durch einen Stab
ersetzt, der 11 mit 1 verbindet, so liegt 11" auf einer zum Stabe 11 — 1
rechtwinkligen Geraden, deren Abstand von 11' gleich der I^ngenänderong
dieses Stabes ist (Veigl. Beispiel 4, worin der Ort von 8" auf diese Weise
bestimmt wurde.) Auch wenn an die Stelle der Stäbe gegliederte Scheiben
treten, führt das entwickelte Verfahren zum Ziele.

Zu emer anderen, ebenfalls allgemeinen Lösung führt die folgende Be-
trachtung.

Beseitigt man wie vorhin die Stützungen der Punkte 8 und 11 (Fig. 58 a),
nimmt dafür aber an, es sei jeder der Knoten 8 und 5 mit einem aussej:halb
des Fachwerks liegenden festen Punkte durch einen Stab verbunden, und legt
man diesen Stäben (die zur Unterscheidung von den wirklichen Fachwerk-
stäben als gedachte bezeichnet werden mögen) beliebige Längenänderungen
Ao; und Ajy bei, so lassen sich die Verschiebungen sämmtlicher Enot^apunkte
dui'ch wiederholte Losung der ersten Hauptau^abe (No. 32) bestimmen. Punkt 8
wird sich im allgemeinen von der Führung 8o — 8o entfernen; die Projektion
seiner Verschiebung auf eine zu 80—80 rechtwinklige Gerade wird einen end-
lichen Werth dg annehmen, und ebenso wird sich auch für die Projektion der
Verschiebung von 11 auf eine zu Ho— 11© rechtwinklige Gerade ein endlicher
Werth Ä,j ergeben.

Zwischen dg, du imd den Aenderungen der Stablängen bestehen nach
No. 4 Beziehungen ersten Grades, die sich auf die Form

(I)

/dg =ao Aa? + ßo Ay-f dg'
l du = ttu Aa? + ^i Ay + d^'

bringen lassen, worin d^' und ^n' von den Längenänderungen der wirklichen
Stäbe abhängig sind und diejenigen Werthe bezeichnen, welche dg imd du
für den Fall annehmen, dass die beiden gedachten Stäbe starr vorausgesetzt
werden (Zustand Aa: = 0 und Ay = 0). Verschwinden auch die Längenände-
rungen der wirklichen Stäbe (was kurz durch A« = 0 angedeutet werden soll)
so eigiebt sich dg'ssO, dii'=0.

Weiter bedeuten:
Og, ttj! die Werthe von dg, du für den Zustand: Aa: = l, Ay = 0, A« = 0;
p87 Pu « ,» » dg, du „ „ „ Aa? = 0, Ay = 1, A* = 0;

und es können somit die sechs Eoefficienten der rechten Saiten der Gleichungen I
mit Hilfe von drei Verschiebungsplänen, welche den drei angeführten Zu-
ständen ent^rechen , bestimmt werden , worauf die Bedingungen : dg = 0 und
öi, = 0, d. h.

«8 Aa? + ßg Ay-f-V =0

aitAa:4- Pn Aa? + öii' = 0

diejenigen Längenänderungen Ao; und Ay liefern, welche den beiden gedachten
Stäben zugeschrieben werden müssen.

86

Erster Abschnitt. — § 2.

Eb leuchtet ein, dass sich auf diesem Wege die Ermittlung der Ver-
schiebungen der Knoten jedes statisch bestimmten Fachwerks auf die wieder-
holte Lösung der ersten Hauptaufgabe und die Auflösung einer Gruppe von
Gleichungen ersten Grades zurückführen lässt.

§ 2.

Darstellung der Formyerindemng toh Stabzflgen mit

gelenkartigen Knoten.

89. — Werden gerade Stäbe so aneinander gereiht, dase jeder Stab
nur mit dem vorhergehenden und dem nachfolgenden zusammenhängt,
80 entsteht ein Gebilde, welchem wir den Namen Stdbzug beilegen. Die
Knotenpunkte bezeichnen wir mit den Ziffern 0, 1, 2, . . . (m — 1),
m, (m -j- 1), . . . n, die Stablängen mit 5^, 5,, • . . «m» • • • 8^ and
die Winkel, welche die Mittellinien aufeinander folgender Stäbe ein-
sehlieesen, mit ^i, ^j, . . . ^^, . . . X-i* Fig* ^^'

Greifen alle äusseren Kräfte in den Knotenpunkten an, und sind
die Stäbe durch reibungslose Gelenke miteinander verbunden — was

'yr-/

Flg. 59.

beides hier vorausgesetzt werden mOge — so wird jeder Stab nur auf
Zug oder Druck beansprucht; seine Mittellinie bleibt gerade, und die
gegenseitigen Verschiebungen der Knotenpunkte des Gebildes sind be-
stimmt durch die Aenderungen A^^, Asj, . . ., A^^, A^,, . . . der
Längen s und Winkel ^. Eine ttbersichtliche Darstellung dieser Ver-
schiebungen ist u. A. von Werth ftlr die Theorie des Fachwerks, dessen
Knotenpunkte häufig durch Stabzüge mit leicht zu berechnenden Winkel-
ftnderungen A^ verbunden werden kOnnen.

Zunächst werde angenommen, es seien sämmtliche As und A^
bekannt, auch werde vorausgesetzt, dass die Richtung der Achse irgend

Stabzüge mit gelenkartigen Knoten.

87

eines Stabes und ein Pnnkt dieser Aehse festliegen, beispielsweise die
Richtung des Stabes 8^ und der Knotenpunkt 0. Die übrigen Stäbe
(«g, «3, ...««,,.. . äJ werden sich um gewisse Winkel vj^gt +s» • • •
^«,, . . . ^» drehen, und zwar ist:

Wir betrachten nun einen beliebigen Stab 8, dessen Endpunkte die
Ordnungsziffem a und h tragen mögen. Fig. 60. Der Weg aa des
Punktes a sei gegeben. Behufs Bestimmung der neuen Lage b' des

Fig. 60 ft.

Flg. 60 b.

Punktes h verschieben wir den Stab ab parallel mit sich selbst in die

Lagea'5|, ftndem seine Länge um das gegebene Maass 6i6| = A5 und
drehen ihn schliesslich um den gegebenen Winkel ^. Hierbei beschreibt
b^ den Kreisbogen

b^b' = (8 + ^8) ^,

der aber — wegto der Beschränkung unserer Untersuchung auf sehr
kleine Verschiebungen — durch ein in b^ auf ab^ errichtetes Loth
Ton der Länge

g = 8^
ersetzt werden darf.

Es empfiehlt sich nun, die Knotenpunktsverschiebungen (wie im § 1)
in einer besonderen Figur und in gehöriger Yergrösserung von einem
beliebig gewählten Pole 0 aus aufeutragen, so zwar, dass jede Ver-
schiebung nach GrOsse, Bichtung und Sinn durch einen vom Pole aiM-
gehenden Strahl dargestellt wird. In Fig. 60b bezeichnet Oa die ge«
gebene Verschiebung des Punktes a; an diese wurde die dem Stabe 8
parallele Strecke As angetragen und hieran die zu s rechtwinklige
Strecke p; es stellt dann der Strahl Ob' die gesuchte Verschiebung
des Punktes b yor.

Auf diese Weise sind in Fig. 59b die Verschiebungen der Knoten-
punkte des in der Fig. 59a abgebildeten Stabzuges schrittweise ermittelt
.worden. Die Werthe A« und p = «v); wurden in der Beihenfolge

A«i, Aäj, Pj, A«5, Ps, . . . ., A«^, p-, . . . ., A«^, p^

88 Erster AbBchnitt. — § 2.

nach Grösse, Richtang and Sinn aneinander gesetzt, wobei allgemein
^^m II 9mi pM J.^«- Anstatt der Zeichen A^^, A«^» • - • • wurden die
kürzeren A 1 , A 2 , . • . . gebrancht. Die (in der Figur nicht ausge-
zogenen) Polstrahlen 0 l\ 0 2\ 0 8', ... . stellen nach GrOese, Rich-
tung und Sinn die gesuchten Verschiebungen der Knoten 1, 2, 3 . . .
dar. In Fig. 59 geben kleine Pfeile den Drehungssinn der einzelnen
Stäbe an. Einem positiven ^ entspricht im vorliegenden Falle eine
Drehung nach links, einem negativen eine Drehung nach rechts. Die
an die Stäbe gesetzten (-{-) und ( — ) bedeuten die Vorzeichen der ent-
sprechenden A«. Die ein (-{-) tragenden Stäbe werden gedehnt, die
übrigen verkürzt.

Wird der Stabzug in einer anderen als der eben vorausgesetzten
Art gestützt, so nehme man zuerst die Richtung irgend einer Stabachse
und einen Punkt derselben als festliegend an, zeichne den Verschiebungs-
plan auf die beschriebene Weise und ertheile hierauf dem nunmehr als
starres Ganzes zu betrachtenden Gebilde eine Bewegung, durch welche
die wirklichen Auflagerbedingüngen befriedigt werden. Die Verschie-
bungen, welche die Ejiotenpunkte in Folge dieser zweiten Bewegung
erfahren, werden — genau wie im § 1 (No. 38) — durch Strahlen
m" 0 dargestellt, die nach dem Pole hinzeigen, und deren Zusammen-
setzung mit den Strahlen 0 ni die Gesammtverschiebungen ni' m liefern
(Fig. 36, S. 60).

Wir werden die Ergebnisse der vorstehenden Betrachtungen haupt-
sächlich auf die Darstellung der Formänderungen von gegliederten
Scheiben anwcDden, die sich in Dreiecke zerlegen lassen. Die Winkel ^,
zwischen den aufeinander folgenden Seiten der die Knotenpunkte der-
artiger Scheiben verbindenden Stabzttge sind entweder Dreieckswinkel,
oder sie setzen sich aus solchen zusammen, und es erfordert daher die
Berechnung der A^ nur die Lösung der folgenden, auch für spätere
Untersuchungen sehr wichtigen Aufgabe:

40. — Zweite Hauptaufgabe. Gegeben seien die Aenderungen

A«i, A«s, A53 der Seitenlängen «1, 9}, b^ eines Dreiecks ABC, ge-
sucht die Aenderungen Aa|, Attj, Aaj der Winkel cl^, oe^, o^.
Fig. 61a.

Zu einer sehr einfachen Darstellung der Aa gelangt man mit Hilfe
eines Williot'schen Verschiebungsplanes. Man nehme A und die Rich-
tung der Seite ^^ als festliegend an. Dann fällt A' mit dem Pole O
zusammen (Fig. 61b) und ÄJi = A53 giebt die Verschiebung von B an.
In A' und B' trage man die Strecken Asj und A^^ an und errichte
auf diesen in ihren Endpunkten Lothe, deren Schnittpunkt C' die Ver-
schiebung OC' von C bestimmt. Denkt man sich nun den Punkt C'

Stabzüge mit gelenkartigen Knoten.

89

auf dem in No. 89 beechriebenen Wege mitielB der dem Stabe 8^ ent-
sprechenden Wertbe Aa^ and Ps=^s^» gefunden, 80 erkennt man,

■ I '

Flg. 61 <

Flg. 61b.

dass das Loth C'C^ von C' anf Asg gleich P| ist. Der Stab 8^ dreht
sich aber, da 8^ festliegt, nm Aa^; es erg^ebt sich daher:

und ebenso findet man (indem man den Pol von ä' nach B' verlegt,
also B als ruhend ansieht):

Wir bezeichnen nnn den Schnittpunkt von A5| und A«, mit C^, errich-
ten in einem beliebigen Funkte 0 der ä'B' auf dieser Geraden ein
Loth, ziehen durch C^, C^, C^ Parallelen zu ä'B', welche jenes Loth
in 1, 2, 8 schneiden und erhalten:

0 1 : A«j = Ä : 5^ ; 0 1 = A«^ — ;

Ö2 = ^ä;

Ö8 = ^Ä,

8m

wo A die ZU AB rechtwinklige Hohe des Dreiecks ABC bedeutete

Weiter projiciren wir die Strecken C^C' und C^C' auf eine zur
A* B^ parallele Gerade und finden für die Projektionen die Werthe:

C^C' Bm(ti==g^Bm(ti==82sm(ti^0Li==^<iih xxnd C^C sin(X2 = Aa2A,

deren algebraische Summe == — Aot^A ist, weil die Summe der Dreiecks-
winkel auch nach der Formänderung 180° beträgt, mithin

Aa^ -j- Aocg + Aa, = 0 ist.

Ersetzt man in Fig. 61b die Längenänderungen As^, Asj, A^j

Atf« A^* Atfa

durch die Vexhältnisszahlen —7-=-, — r^, —7^ (welche nach eiaem

h h h

JZoAJaiiniaassstabe durch Strecken dargestellt werden), so liefert diese
Figur die Werthe Ao^, Ao,, Ao^.

90 Erster Abschnitt. — § 2.

Es braucht übrigenB nur das durch die Punkte 1, 8, 2 bestiminte
Viereck CiC^C^& gezeichnet zu werden. 3 wird beliebig gewühlt;
1 und 2 haben yon 8 die Abetfinde:

81

—

A«i
»1

•

9

28 —

A»,

Behufs Vermeidung yon Fehlem bei der Feststellung Yon Vor-
zeichen der Aa, yersehe man die Strecken C^C und C^C' mit Pfeilen,
die nach C' hinzeigen. Diese Pfeile geben an, in welchem Sinne sich
die Seiten 8^ und s^ gegen die Seite ^3 drehen. In dem in der Figur
dargestellten Falle dreht sich 8^ nach rechts, «^ nach links; Aa^ und
Aa, sind also positiy, w&hrend sich für A 03 ein negativer Werth ergiebt.

Aus der Fig. 61b, deren Längenabmessungen wir uns durch h
diyidirt denken, Iftsst sich auch eine ein&che Formel ableiten. Es ist
nämlich:

— Aag = CjCj cos tti + ^8^1 <508 Oj

^ ^ \ 8^ «3 / Sin a^ ** * \ 81 «3 / sm o,

und es folgt daher:

(1) A«, = (^_J^)cotg«, + (-^-^)ootg«..

A3 Äj ^ >• ^3 ^2

Sind die Längenänderungen lediglich Folge von Spannkräften
Su S^, 8^y welche die Spannungen

Ol Sa Si

8

''- F,' "«""i?',' *~ F,

erzeugen, so hat man

A«i öj A52 ffg Aä3 O3

Bei gleich grossen Elasticitätsziffem (E) ergiebt sich

1^Aa3 = (<J3 — a,) cotg a^ + (a^—c^) cotg a,
£ Aa, = (ög — a^) cotg a^ + (<Jf — c^i) cotg Og
^Aa^ = (öl — <jg) cotg 03 + (^1 — «y») cotg o,.

In diesem Falle ist es zweckmässig, die Werthe ^Aa (an Stelle der Aa)

A«
durch Zeichnung darzustellen, also in Fig. 61b die h durch die

8

entsprechenden a zu ersetzen. Man gelangt dann zu dem in der Fig. 62
angegebenen Verfahren, das einer weiteren Erläuterung nicht mehr be-
darf. Zu achten ist auf die Vorzeichen der Spannungsunterschiede
^1 — ^3 und ög — a,. In Fig. 62b wurden beide Werthe positiv an-

Siabzüge mit gelenkartigen Knoten.

91

genommen, in Fig. 62c der entere positiv, der andere negativ. In
letzterer Figur C^ mit 3 zusammenfallend gewählt. Hinsichtlicli der
Vorzeichen der Winkeländernngen stimmt Fig. 62 b mit Fig. 61b überein.

u. .-M^^j....

-SAag

•fJS^a.

Flg. 62a.

Flg. 6Sb.

Fig. 62 0.

In dem in der Fig. 62 c dargestellten Falle erfährt sowohl a^ als auch
5^ eine Drehnng nach rechts; es ist mithin Aa^ negativ, Attj positiv*

Will man die Werthe j^Aa herechnetij so führt man zweckmässig die
Hilli^gTÖssen ein:

«1 = cotg «1 (a, — a,); »« = cotg o, (ffs — ^i); »s = cotg a, (ffj — ff,)
xmd hat dann:

j^A 01 = cdg — tt, ; i?Aa, = tt| — u,; j^Aa^sfo, — Oi.

Zur besseren Übersicht schreibe man anf jede Breieck-
seite die betreffende Spannung nnd in jeden Winkel dessen
Gotangente, wie dies Fig. 63 angiebt. Für das dort dar-
gestellte (mit dem Breieck 11—12—18 des anf Tafel 2 ab-
gebildeten Fischbanchträgers übereinstimmende) Breieck,
in dessen Seiten die Spannungen:

— 141, + 463, — 17 higr f. d. qem

herrschen, erhalt man:

öj = 0,496 {+ 463 -f 17) = + 238 ;

w, = 1,079 (— 17-1- 141) = 4- 184;

0». = 0,295 (— 141 — 463) = — 178;
^Aai = — 178 — 134 = — 312* f. d. qem\ jBAa, = + 238+ 178 = + 416
jrAa,= 134 — 238 = — 104.

Sehr zweckmässig ist es auch, die Werthe co zeichnerisch zu ermitteln
und hierzu ein in möglichst grossem Maassstabe angefertigtes Trägernetz zu
benutzen, i^g. 64 (Tafel 2, welche zwei Breiecke' des auf dieser Tafel abge-
bildeten Fischbauchtra;fers darstellt) giebt eine Anordnung an, die recht über-
sichtlich ist. Bie auf den Stäben stehenden rothen Zahlen bedeuten die Span-
nungen in hlgr f. d. qem, Bie Spannungsunterschiede in den die Winkel a^,
0,, Og einschliessenden Seiten sind für das Breieck J:

+ 463 + 17 = + 480; — 17 + 141 =+ 124; — 141 — 463 = — 604
und für das Breieck //:

— 128 + 141 = + 13; —141 + 576 = + 435, — 576 + 128 = — 448;

92 Erster Abschnitt — § 2.

dieselben werden beziehungsweise mit cotg ai, ootg o^, cotg a, multiplicirt
Die Ergebnisse sind für das Dreieck Z:

ä)i = + 238; «, = + 134; «8 = — 178
und für das Dreieck //:

Wi = + 13; öi = +177; «, = —183.
Die Strecken, welche diese Werthe « darstellen, wurden in Fig. 64 durch
Doppellinien bezeichnet. Der Spannungsmaassstab lautet: 4""" = 100*f. d. gern;
nur für «I im Dreieck // wurde der Maassstab l"" = 1* f. d. gern gewählt.

Ist für jedes Dreieck nur eine Winkeländerung Aa
zu bestimmen [ein Fall, der vorliegt, wenn das Fach-
werk in Fig. 77 (Seite 95) durch den mittels kraftiger
Linien angedeuteten Stabzug ersetzt werden soll] so
gewährt die folgende Darstellungsweise die beste
Üebersicht. Tom Scheitel A Fig. 65 des fraglichen
Winkels ai wird auf die gegenüberiiegende Seite ein
Loth gefällt, und auf diesem werden die absoluten
Werthe der Spannungsunterschiede aufgetragen, indem

AAi=i<Ji — a, und AA^ = ai — ex,
gemacht wird. Zieht man nun Ai B \\ «i, ebenso A^ C || «|,

so ist ^iB=(ai — a,) cotg a, und ^C=(ffx— ex,) cotg a,.
Tf^' ^' Die Vorzeichen werden an die Strecken geschrieben.

In Fig. 65 ist (Xi>a, und a,>>9| vorausgesetzt worden.

Dann folgt: E^ol^ = Ä^^A^C.

Temperaturänderungen können saeb Seite 2 durch VergrOssemng

der Spannungen a = — nmeJ^^ berücksicbtigt werden. Ist beispiels-

weise für einen schweisseisemen Stab: 5=20000^ ^=50 qem.^

S
also -—=400, und wird der Stab um 30 0. erwärmt, so ist dem-

selben bei Ermittlung der ^Aa nach dem zuletzt beschriebenen Ver-
fahren eine Spannung a = 400 + sEt = 400 + 22 • 80 = 1060* f. d.
qetn zuzuschreiben^ wobei e = 0,000012 und j&=: 1800000 ange-
nommen wurden. Im Falle einer Abkühlung um 80^ erhält man
a = 400 — 22 • 80 = — 260.

4L Untersuchung der Formänderung eines Faöhwerkbalkens.
ZahlenbeispieL (Figuren auf Tafel 2.) Es sollen die Verschiebungen
der Knotenpunkte der unteren Gurtung des auf Tafel 2 abgebildeten
Hauptträgei's einer zweigleisigen Eisenbahnbrücke für die in Fig. 66
angegebene Probebelastung bestimmt werden.*) Die durch diese Be-
lastung erzeugten Spannkräfte sind in Fig. 67 ai^ folgende Weise er-
mittelt worden.

Mit beliebiger Polweite H wurde in Fig. 66 zu den Achsenbe-
lastungen eine Seillinie gezeichnet und in diese ein Polygon I II III . . , X

*) Bei Belastungsproben handelt es sich stets um die Elrmittlung der von
der beweglichen Belastung allein hervorgerufenen Durchbiegungen.

Stabzüge mit geleDkartigen Knoten. 93

einbeschrieben, dessen Ecken den in der oberen Gartang liegenden
Angrifbpankien 0, 2, 4, .... 18, 20 der Zwischenträger entsprechen.
Hieraaf warden in Fig. 67 mittels eines Büschels, dessen Strahlen /,
//,... X parallel den gleichbezeichneten Polygonseiten sind, aaf einer
vom Mittelpankte 0 des Büschels am H entfernten Senkrechten die
Knotenlasten Pg» ^4» ^6' • * • • As abgeschnitten and durch einen
zar Schlasslinie des Seilpolygons parallelen Strahl 8 die an den Stutz-
punkten 0 und 20 angreifenden Auflagerdrttcke Ä und B bestimmt.
Schliesslich wurde ein Cremona*6cher Krftfteplan gezeichnet. In dem-
selben bedeuten:

^1) ^3> ^5» • • • die Spannkräfte der oberen Gurtung,
^1» C/,, C/;, • • • „ „ „ unteren „

/>,, D3, />4, . . . „ „ ^ Fflllungsstäbe.

Die Figuren 68 und 69 bieten eine übersichtliche Zusammen-
stellung der Stablängen (in cm)^ Querschnittsinhalte (9cm), Spannkräfte
{Tennen) und Spannungen (kilogr. f. d. qcm). Die in den Figuren 70
bis 75 abgebildeten Querschnitte wurden toU gerechnet; die Elastidtäts-
Ziffer wurde (für Schweisseisen) = 1800000* f. d. qcm angenommen.

Der Füllungsstab 1 — 2 erhält den Querschnitt: Fig. 72 mit F= 52 qem
Die Füllungsst. 2— 3, 3— 4 erhalten , Fig. 78 , F= 60 „

4— 5, 5— 6, 6-7, 7—8 „ Fig. 74 „ i?'=68 „
8—9,9—10 „ Fig. 75 „ i^=90 „

Fig. 76 zeigt den Verschiebungsplan der einen Sfcabzug bildenden
unteren Gurtung. Die nach No. 40 ermittelten Werthe ^Aa der an
dieser Gurtung liegenden Dreieckswinkel a sind in die betreffenden
Winkel eingeschrieben worden; sie bestimmen die Aenderungen A^ der
Stabzugswinkel ^. Zuerst wurde der Knoten 9 und die Richtung des
Stabes 7 — 9 festliegend, der Stabzug aber sonst frei angenommen. Es
entspricht dann:

dem Stabe 7—5 der Werth Jg?\^7_5= £:A% = + 212 + 868 + 294

= + 869* f. d. qcm.
5—3 „ „ £:vp5_3 = + 869 + (301 + 489-f-426)

= + 2035,
3—1 „ „ f?\^3_i = 2035 + (447 + 541 + 412)

= + 8435,
1—0 „ „ ^\^i^ = 3435 + (2170 + 926)

= + 6581,

und ebenso ergeben sich für die rechts an 9 sich schliessenden Stäbe-
der Reihe nach die Wertbe:

JE;^=850; 1754; 2483; 3421; 4943; 8389.

>» 99

ff »>

>> >>

94 Erster Abschnitt. — § 2.

Alle auf der linken Seite des mhenden Stabes 7 — 9 befindlichen

Stäbe erfahren eine Drehung nach rechts, die auf der rechten Seite
eine Drehnng nach links.

Für den Stab 0 — 1 erhält man nun

8'E^ 6581

^^ ^ ^ E 1800000 ' *

mm

für den folgenden Stab: p = 6,21"""u. s. f. Diese Werthe wurden in
Fig. 66 (in Klammem) an die einzelnen Stäbe geschrieben; desgleichen

wurden die Längenänderungen ^^==^ ^Tp^=~^ angegeben. Für den

El F E

AHO 071

Stab 0—1 ergiebt sich z. B.: A»o_i = , - l;r^ — 0,072'* = 0,72"^.

* ® * 1800000 .

Nach Erledigung dieser Rechnungen konnte der Verschiebungsplan
aufgetragen werden. An die Strecke 7' — 9'= As ^„g = 0,94"""
(Maassstab 2:1) wurden links der Reihe nach angetragen:

As7^5 = 0,98--, P7-5 = 1J7-, Asg^a = 1,00--, p^., = 4,25-",

U. 8. W.

und rechts die Strecken:

A^e-n =0,95-, p^.^^ = 1,70-, A^ii^^j = 0,93-, Pn-i8=3,58-

U. 8. f.

Die Endpunkte der Strecken P7.5, P5.3» • • • bestimmen die Punkte
5', 8', . . . ., denjenigen yon P9-11, Pn-ist • • • die Punkte iT, 18', . . .

Schliesslich wurde zur Erfüllung der wirklichen Auflagerbeding-
ung^n geschritten und die dem Stabzuge 0 — 1 — 8 — 5 ... 19 — 20
ähnliche Figur O" — l" — 3" — 5" . . . 19" — 20" gezeichnet Der
Punkt 0" fällt mit O' zusammen, weil Knoten 0 festliegt, während 20"
auf der Wagerechten durch 20' liegen muss, da der Knoten 20 auf
einer wagerechten Auflagerbahn geführt wird; O" — 20" ist recht-
winklig zu 0—20.*)

Damit sind die Verschiebungen l" l', 8" 8', . . . . der Knoten
1, 8, . . . . nach Grösse, Richtung und Sinn bestimmt.

In Fig. 76 wurde noch die ßiegungslinie der unteren Ourtung
eingetragen. Die Eckpunkte 0^, 1q, Sq, .... derselben liegen senk-
recht unter den entsprechenden Knoten 0, 1, 8, ... . und auf den

♦) Probe: Die Verschiebung 20" — 20' muss im vorliegenden Falle gleich
der Summe der Längenänderungen As der Stäbe der oberen Gurtung sein. Da
diese Stäbe gleiche Länge und gleichen Querschnitt haben, so findet man:

-00" -20' - -i- 2S- 360 •1592000" _

^^ ''°-J5F^^-T8Ö0000-278 -*'^^ -^^'^ •

Stabzüge mit gelenkartigen Knoten.

95

Wagerechten durch die Punkte O', l', 8', .... ; die gröaste senkrechte
Verschiebung (28,8"*") erfährt der Knotenpunkt 9. Wird nur das
Biegungspolygon gesucht, so braucht die Figur O" — i" — 2" . . . 20"
nicht gezeichnet zu werden.

Will man die Verschiebungen sämmtiicher Knotenpunkte haben, so muss
man den in Fig. 77 kräftig ausgezogenen Stabzng 0—1—2—8 . . . 18—19—20
untersuchen. In Fig. 77 sind die Läugenänderungen der Stäbe (in mm) und in

Fig. 78 die Werthe J&Aa (in Idg f. d. gern) angegeben worden. Dem Leser wird
empfohlen, diese Auj^be zu lösen. Es ist zweckmässig, zuerst den Knoten 10
und die Richtung des Stabes 10— 9 als ruhend anzusehen.

42. — Wir wollen die im Vorstehenden gelehrte Darstellungs-
weise der Verschiebungen kurz das Stdbzugverfahren nennen; dasselbe
liefert übersichtlichere Figuren als das Verfahren von Williot und ver-
dient namentlich dann den Vorzug, wenn die nach Williot zur Be-
stimmung der Punkte wl auf den A^ zu errichtenden Lothe sich unter
sehr spitzen Winkeln schneiden. Dagegen erfordert das Stabzugver-
fahren etwas mehr Zeit, es sei denn, dass die Winkeländerungen noch
anderweitig gebraucht werden, was beispielsweise der Fall ist, wenn
fCLrJein unter der Voraussetzung gelenkartiger Knoten berechnetes, in
Wirklichkeit aber vernietetes Fachwerk die von den festen Verbindungen
herrührenden Spannungsänderungen nachgewiesen werden sollen — eine
Aufgabe, die sich, wie in der zweiten Abtheüung dieses Bandes gezeigt
werden wird, mit Hilfe der Winkeländerungen besonders einfach lösen
lässt. Hierbei wird allerdings vorausgesetzt, dass diese Zusatzspannungen
(welche auch Nebenspannungen heissen) und die Verschiebungen für ein
und denselben Belastungszustand verlangt werden, ein Fall, der häufig
eintritt.

Auch die Anwendung eines gemischten Verfahrens ist oft am Platze.
So kann es z. B. vortheilhaft sein, bei Untersuchung der in den Figuren
50 bis 56 dargestellten Träger die für die einzelnen Scheiben erforder-

96

Erster Abschnitt. -- § 2.

liehen 8oDderpläne sach dem Stabzagverfahren lu zeichnen, während
es im übrigen zweckmBssig ist, den früher befolgten Weg einzuschlagen.

48. ZeiolmeriBohe Ermittlung der Werthe p. Wir betrachten
(wie in No. 89) einen Stabzng 0 — 1 — 2 — ... — n Pig. 79, dessen
Knoten 0 nnd Stabrichtnng 0 — 1 festliegen nnd suchen die nur von
den Winkeländerungen A^ abhängigen Verschiebungen, nehmen also
an, e9 seien sämmtliche A5= 0. Der Verschiebungsplan besteht
dann aus einem Linienzuge 0 — 2' — 3' — . . . — n\ dessen Seiten

02' = p2 = «1 A^2» 2^8^ = Ps ^^ ^s ^^8> * • • beziehungsweise recht-
winklig zu den Stäben 5|, «3, ... sind, und der offenbar bestimmt ist,
sobald die Projektionen 8^', 83', . . . der Verschiebungen 02', 08', . . .
auf eine Gerade AB (deren Richtung aber keiner der Stabachsen parallel
sein darf, damit sie von keiner Seite p rechtwinklig geschnitten wird)
gegeben sind.

Die Seitenverschiebungen h' lassen sich sehr leicht finden. Dazu
nehmen wir zunächst an, es ändere sich nur der Winkel ^j , es drehe

Flg. 79.

sich also der Stabzug 1 — 2 — ...» um A^,. Punkt m, der vom Dreh-
punkte 1 den Abstand e haben möge, verschiebt sich in einer zur Geraden
1 — m rechtwinkligen Richtung und um eine Strecke: S^'i^^^^^^n
deren Projektion h'^.^ auf die zur AB parallele mm^ durch die
Gleichung:

Stabzüge mit gelenJ^aitigen Esotes. 97

beetimmt ist, worin x^ den Abstand des Knotens 1 Yon der Geraden
mm^ bedeutet. Man erhält:

nndy wenn sftmmtliche Winkel die Torgeschriebenen Aendemngen A^
er£shren:

(8) 8'. = iCiA^i+a;,A5'j-f- . . . iF«.,A^«., = S^rAS".

1

Die Winkelftndemngen A^^, A^«^i, . . . sind ohne Einflnss auf die
Bewegung yon m.

Der auf der rechten Seite der Gleichnng (3) stehende Ansdruck
Iftsst sich nnn denten als das auf den Punkt m bezogene statische Mo^
ment von Kräften A^^, A% .... A^^-i» todehe in den links von m
gelegenen Knotenpunkten angreifen und die Richtung AB haben, und
hieraus (nnd ans Band I) ergiebt sich das folgende Ver&hren, die
Werthe p dnrch Zeichnung zu bestimmen.

Man zeichne za den Gewichten'*') A^j, A^^, . . . A^-i mit der Pol-
weite 1 (2aA20neinheit) ein Seilpolygon, dessen erste Seite zweckmässig
rechtwinklig zu ^B angenommen wird. Die den Knotenpunkten 2,
3, ... m, ... n entsprechenden, parallel za AB gemessenen Abstände
des Seilpoljgons von der Seite I ßind dann beziehungsweise = h^\
\\ . . . S./, . . . 5/. Zieht man also durch die Punkte 1, 2, ... m, ... n
des Seilpolygons Parallelen zur Seite I und zeichnet einen Linienzug
0'2\ . . m' . . . M^ dessen Ecken in jenen Parallelen liegen, und dessen
Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des Stabzuges sind,
so erhält man die Werthe:

Pf=0'— 2', p8=2'— 3', . . . , p„=(n— 1)' — n.
Will man diese Strecken p in v-facher Vergrössemng erhalten, so er-
setze man die A^ durch die Gewichte vA^ oder die Polweite 1 durch

die Pol weite — •

V

In' Fig. 79 wurde angenommen, dass die Winkel ^«-i und ^^
abnehmen, alle übrigen ^ hingegen eine VergrOsserung erfahren.

Wir empfehlen dem Leser, die auf Tafel 2 in Fig. 76 angegebenen Werthe p
durch Zeichnnng zu bestimmen, nnd die Ergebnisse mit den durch die Rechnung
gewonnenen zu vergleichen. Sollen die p im Maassstabe 2 : 1 erhalten werden, so
sind (wenn die Polweite = 1 gewählt wird) die Knoten des im Maassstabe 1 : 800

gezeichneten Fachwerks mit den Gewichten 2 • 300 Aä = — r-^ = zu

1800000 3000

belasten. Dem Knoten 1 entspricht z. B. ^Ad = 2170 -f 926 ss 8096, nnd es

ist daher seine Belastung = 1,082.

*) Der Ausdruck Gewicht ist hier natürlich in mathematischem Sinne zu
nehmen. Die A^ sind Zahlen, ihre Auftragong macht die Anfertigung eines be-
sonderen Zahlenmaassstabes nöthig.

M&ller-BreaUn, Onphiaehe BUtik. n. 1. 7

9g Erster Abschnitt — § 2.

44, Iiängenändening einer Stabnigselme. Eine fOr die Folge
wiohtige Anfgabe besteht darin, die Längen&ndemng der zwei Knoten
0 nnd n eines Stabzages (Fig. 80) yerbindenden Sehne durch die Längen-
ftndenmgen A« und Winkeländeningen A^ auszudrücken. Wir bezeich-
nen den Abstand irgend eines Knotens m Yon der Sehne 0 — n mit y«,,
den Neigungswinkel des Stabes «« gegen die 0 — n mit 9«. und setasen
*- cos 9« = €^.

Die Vergrösserung yon ^^ ^^ ^^m erzeugt für sich allein
^l = ym^^m} ein Ergebnis, das ohne weiteres aus No. 43 (und auch
aus Fig. 80) folgt, während der Aenderung der Stablänge ««. um A«^
AI = A«Meos9M entspricht. Im ganzen entsteht daher:

A/ = sV^A^« + S A5« cos 9«*)

«.—^

l< i ^ äjW»

Fig. 80.

und für den Fall ^ == 0 (wegen A5 = -^ J:

(4) AZ="iy.AX + 2-^««.

1 1 Ml

m

Will man diese Formel auch dann anwenden, wenn Temperaior-
änderungen berücksichtigt werden sollen, so muss die Spannung

a = -^ um den Betrag eEt erhoben. Vergl. den Schluss Yon.No. 40.

Der Ausdruck 2yA^ Iftsst sich als das auf die Sehne 0 — n be-
zogene statische Moment von Gewichten A^^, A%, . . . deuten^ welche
in den Knoten 1, 2, . . . des Stabzuges angreifen und parallel zu 0 — n
sind. Es ist also möglich, diesen Ausdruck mit Hilfe eines Seilpoly-
gons darzustellen.

M-l ll»=»-l

*) S^mA^m = 2y«.A^m bedeutet die Summe der Werthe yi A^i, yt^^ • • •
bis y»-iAd».|.

Die Biegongslinie.

99

§3.

Die Biegungsllnle als Sellpolygon betrachtet.

46. AufßBkBsung eines beliebigen Polygons als Seilpolygon.
Jeder ans Geraden bestehende Linienzng 0 — 1 — 2 — 8 — . . . (Fig. 81)
lässt sich als das Seilpol jgon endlicher Erftfte P|, P,, P3, . . . deuten,
die in den Punkten 1,
2, B, . . . angreifen, nnd
deren Richtungen inner-
halb gewisser Grenzen
willktirlich gew&hlt wer-
den dürfen. Das Grössen-
yerhaltniss dieser ErftfLe
ist durch die Seiten
eines zweiten Linienzuges
AB CD . . . bestimmt,
dessen Ecken auf den
durch einen beliebigen
Pol O parallel zu den Ge-
raden 0 — 1, 1 — 2, 2 — 8, . . . gezogenen Strahlen I, II, III, . . .
liegen, und dessen Seiten AB, BC, CD, ... die Richtungen der Kräfte
Pj, P,, P3, . . . haben. Es verhält sich:

PiiP^iP^i . , . =ÄB: BC: C^: . . .

Sollen alle Kräfte endlich werden, so darf die Richtung keiner Kraft
in eine der beiden angrenzenden Seiten des Linienzuges 0 — 1 — 2 — 8 — . . .
fallen, es darf also z. B. P^ weder die Richtung von II noch die yon
/// haben.

Wird ein Linienzug 0 — 1 — 2 — 8 — . . . als das Seilpolygon
paralleler Kräfte betrachtet (Fig. 82), so bestehen zwischen der Pol-
weite H, den Kräften P und den in der Richtung der P gemessenen
Abständen "viif 'iQtf "^Isf • • • ^^^ Punkte 1, 2, 8, . . . yon einer beliebigen
Geraden AB einfache Beziehungen, die es gestatten, die P durch die
i| auszudrücken. Legt man nämlich durch den Punkt 2 eine Parallele
zu AB, welche die Richtung von P, in %' trifft und verlängert 1 — t
bis %", so erhält man:

8" -3' = (11, -7),)

*8

X,'

8 — 8'='»i3 — tj,, also

X.

8" — 8 = 8"— 8' — 8 — 8' = ('«i, — T),)

\

(■»1» — •»!»).

wobei \ nnd X, die Projektionen der Seiten 1 — 2 und 2 — 8 anf

100

Elster Abschnitt. ~ § 3.

eine zai Bichtnng der P rechtwinklige Gerade bedeuten. Weiter fin-
det man:

X.

3 — 3:X3=Pg:^, mithin: 3 — 8 = P,

H

Flg. 82.

nnd daraus folgt dann:

— ii "n^ —

H

und allgemein:
(1)

p^=H r '^'" ~ '^'"-' _ v+i—'^- 1

40« Die Biegungsliiiie. An der Hand der vorstehenden Betrach-
tungen möge nun die Biegungslinie eines Stabzuges 0 — 1 — 2 — . . . m . . .
(Fig. 83) als Seilpolygon paralleler Eröfte gedeutet werden.

Den in einer senkrechten
Ebene angenommenen Stab-
zug beziehen wir auf ein

beliebiges rechtwinkliges
Achsenkreuz x, y, dessen
Wahl an die einzige Ein-
schränkung gebunden ist^
dass keiner der Neigungs-
winkel ß|, ßt» ßs * > . der
Stftbe 8i, 9|, ^8 • • * g^^^
die X-Achse gleich 90^ sein
darf. Sodann setzen wir
voraus, es seien die Ver-
schiebungen sämmtlicher
Knotenpunkte in je zwei den Achsen x und y parallele Seitenver-
schiebungen Ax und Ay (das sind die Aenderungen der Coordinaten

Fig. sa.

Die BiegongsUme. 101

X and y) zerlegt und denken uns die Ay anf den durch die Knoten-
punkte parallel zur y-Acbse gelegten Geraden yon einer beliebig an-
genommenen Geraden AB aus aufgetragen. Den Linienzug, welcher
die Endpunkte der Ay yerbindet, nennen wir die Biegungslinie und die
▼on dieser Linie» yon der AB und den Ay^, Ay, begrenzte Flftche die
Biegungsfläche für die Richtung y. Die der y-Achse parallelen Kräfte,
deren Seilpolygon die Biegungslinie ist, bezeichnen wir mit u>-^yW^^ . . .
ir«,, . . . ; sie sind, wenn die Pol weite = 1 gemacht, bestimmt durch:

(9\ .. — ^y^ — ^y^-x ^ym+i — ^ym

Differentiiren wir nun die Gleichung

y— i — y- = «-.8inß«

und ersetzen (da es sich hier nur um yeracfawindend kleine Verschie-
bungen handelt) das Differentialzeichen durch das Zeichen A, so er-
halten wir:

Ay«-i — Ay« = A*« sin ß« + 5« cos ß« Aß«

und (nach Diyision durch X«, = «•, cos ß«) :

Ay^ — Ay^.i _ A««

> — ; — tg P- — A(5«.

Ebenso ergiebt sich:

Ay,.^., — Ay« _ A««+^

weshalb entsteht:

u>^=^- Aß. + Aß,+ . - ^ tg ß. + ~^iii ß«+..

Nun ist aber: ß«.+ 1 + 1 80° — ß« = X,

mithin : A ß«+ 1 — A ß« = AX,

und es findet sich schliesslich

(8) «,. = AX-4^tgß. + ^^^=±ltgß„+..

Für ß^=90** oder ß^^i = 90** wird w^ unendlich gross, und
es leuchtet ein, dass die zu Anfang der Untersuchung hinsichtlich der
Lage des Achsenkreuzes gemachte Einschränkung geboten ist, wenn alle
w endlich sein sollen.

Bleiben die anfänglichen Stabtemperaturen ungeftndert, ist also fQr

o , A« 8 c

jeden Stab: —====-—==—, und besitzen sämmtliche Stäbe die

102 Enter AbBdmitt — § 3.

gleieha ESattieitfttBziffer ^^ so ist es zweckmissig, die Biegoogslmie als
das SeUpoljgon tob Kriften

(4) w^ = ^AX — <J. tg ß. + a^+i tg ß^+,

KobxdamBa. Wählt man dann die Polweite E^ so erhftlt man die Ay
in demselben Maassstabe, in welehem der Stabzng gezeichnet ist. Will
man die Ay in v-mal grosserem Maassstabe darstellen« so mache man

E
die Polweite = — • Es ist dieses VerÜEdiren — bei überall gleichem E —

aneh dann zu empfehlen, wenn TemperatnrSndemngen berücksichtigt
werden sollen; man mnss dann aber die Spannungen a = — am %Et

yergrOssem. VergL den Schloss Yon No. 40.

Nach AnfEeicbnang des Seilpolygons sind die Ay bestimmt, sobald
die Scblnsslinie AB gegeben ist, sobald also beispielsweise zwei Ver-
schiebongen Ay bekannt sind.

ZahlenbeiBpiel (Figuren auf Tafel 2). Es sollen die senkrechten Seiten-
▼erschiebongen der Knotenpunkte der oberen Gortong des in Fig. 84 abgebildeten
Fiflchbauchträgers bestimmt werden. Die Belastung ist in Fig. 66 angegeben;
den Eräfteplan zeigt Y\g. 67*). Die Stablängen s und Querschnittainhalte F
sind in Fig. 68 zusammengestellt, die Spannkräfte S und Spannungen a in Fig. 69.
Die rothen Zahlen in Fig. 84 bedeuten die nach No. 40 ermittelten Werthe E^ol
(hgr f. d. qcm) der Dreieckswinkel, aus denen sich die Winkel ^a, ^4, . . . zu-
sammensetzen. Es eigiebt sich:

^A^, = + 1719 + 1373+243=3335* f. d.g<?m; ^A^4 = 298 + 713 + 25 = 1036;
jBA%=l871; ^A^g = 457; £rA:^,^= 1246; J^A5„=581; -&A^u=1025;
jE?A!^j»=1150; -&Aäjg=3858.

Da die Neigungswinkel sämmtlicher Obei^gurtstäbe gegen die wagerechte
«-Achse gleich Null sind, so folgt aus Qleich. (4),

Die Gewichte Wm wurden im Maassstabe: 1000* f. d. ^cm = 5"*" auf-
tragen. Der Längenmaassstab der Trägerzeichnung ist 1 : 800, der für die
Verschiebungen ist 600 mal so gross (nämlich 2:1), und es wurde daher die

Polweite -^= ^^^^ =3000* f. d. gcw = 15-- gewählt. Nach Auf-
600 600

Zeichnung des Seilpolygons wurde die Schiusalinie AB mittels der Bedingungen

festgelegt, dass die senkrechten Verschiebungen der Knoten 0 und 20 gleich

Null Snd. Die für die Durchbiegungen gefundenen Werthe wurden in die

Figur eingeschrieben.

Im vorliegenden Falle lassen sich auch die wagerechten Verschiebungen

der Knoten 2, 4, . . . der oberen Gurtung sehr schnell angeben. 80 erfährt

*) Vergl. No. 41; dort ist die Formänderung der unteren Gurtung dieses
Trägers untersucht worden.

Die Biegongslinie.

103

8 eine Yerschiebong nach links, welche gleich der Summe der (in die lig. 84
eingetragenen) Verkürzungen der Stäbe 0 — 2, 2—4, 4 — 6, 6 — 8 ist, also
= 1,09 + f, 12 + 1,16 + 1,17=4,54— . Für den Knoten 18 erhält man die
wagerechte YerBchiebung: 10,82"*^. Das ganze Verfahren ist sehr übersichÜich
nnd liefert aach recht zaverlässige Ergebnisse.

Wir empfehlen dem Leser, zur XJebnng auch die Biegongslinie der unteren
Oortnng dieses TrSgers durch ein Seilpolygon darzustellen. Zuerst müssen die
den einzelnen Stäben entsprechenden Werthe 9tgß berechnet werden, wobei
die Vorseichen streng zu beachten sind. Für die Stäbe 0—1 bis 7 — 9 ist ß
negativ, für 11 — 13 bis 19—20 positiv (veigL auch die Textfignr 88 auf S. 100).
Man erliält mit den in der Fig. 68 angegebenen Höhenzahlen:

für den Stab 0—1: atgß

=-.«iÄ=_

258

n

n

tt

. o * a ,^«2,546-1,268

1-8: <7tgP = — 492-^ r-jr-? = —

8,0

210

+ 219; +264.

für die folgenden Stäbe der Reihe nach:

otgp = — 151; —98; —47; 0; +47; +98; +151;

Die J^A^ sind für die Knoten 1, 3, 5, .... 19:

8096; 1400; 1166; 869; 850; 904; 679; 988; 1522; 8446,

und es ergeben sich mithin für die Gewichte Wm nach Gleichung (8) die Werthe
{Jdgr f. d. qem)

wi = 3096 + 253 — 210 = 3189
w^ = 1400 + 210 — 151 = 1459
«75=1166+151— 98 = 1219
w,= 869+ 98— 47= 920
»,= 850+47+ 0= 897

iPu= 904— 0+47= 951
frj,= 679— 47+ 98= 780
fr,5= 988— 98 + 151 = 1041
•r„ = 1522 — 151 + 219 = 1590
iTrt = 8446 — 219 + 264 = 3491.

Die Pol weite wähle man wie vorhin = 3000* f. d. qcm; man erhält dann die
senkrechten Verschiebungen im Maassstabe 2:1.

Will man die senkrechten Verschiebungen eämmUieher Knotenpunkte des
Tragers mit Hilfe eines Seilpolygons darstellen, so betrachte man den in Hg. 77
Seite 95) durch kräftige IJnien daigestellten Stabzug. Dieser letztere Weg
führt aber nur dann zum Ziele, wenn alle Füllungsstäbe (wie im vorliegenden
Beispiele) eine gegen die Senkrechte geneigte Lage haben:

Wollte man die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte beider
Gurtungen des in ¥ig. 85 abgebildeten Trägers durch ein Seilpoiygon dar-
stellen, und zu diesem Zwecke den Stabzug 0 — 1 — 2 — 3 — 4 — 5 — ....
9 — 11 — 10—18— .... 16 untersuchen,
so würde man unendlich grosse tr-Kräfte
erhalten, da den senkrechten Stäben
Winkel ß = 90*' entsprechen. Hat man
aber für dieses Fachwerk die Biegungs-
linie der einen Gurtong ermittelt, so
findet man diejenige der anderen sehr
schnell mit Hilfe der Bedingung, dass sich die senkrechten Verschiebungen
entsprechender Punkte (z. B. 1 und 0, 3 und 2, u. s. w.) nm die liüigen-
änderong des Verbindungsstabes unterscheiden. Verschiebt sich also beispiels-
weise 4 um 84 nach abwärts und verkürzt sich der Stab 5 — 4 um A«, so
ist ^ = 84 + A«.

Flg. 85.

104

Erster Abschnitt. — § 8.

47« — Fflr das einfache Dreieeknetz mOge noch eine andere
Berechnnngsweise der w gezeigt werden, wobei dahingestellt bleiben
m5ge, ob dieses Fachwerk einem einfachen oder einem Gerber'schen
Balken, einem Bogen mit drei (Gelenken oder einer anderen Trftgerart
angehört. Wir unterscheiden drei F&lle.

X» F€Mm Sämmtliche Stäbe schliessen mit der 2: -Achse Winkel
ein, die kleiner oder grOsser als 90° sind (Strebenfaehwerk). Oesucht
sind die Verschiebungen Ay der Knotenpunkte beider Gurtungen.

Mit Bezugnahme auf die aus Fig. 86 zu ersehende Bezeichnung
der Knotenpunkte sollen bedeuten:

0«, die Länge des einem Knotenpunkte m der unteren Gurtung

gegenttberliegenden Obergurtstabee,
u^ die Länge des einem Knotenpunkte k der oberen Gurtnng

gegenttberliegenden üntergurtstabes,
d^ die Länge der Diagonale (m — 1) — m,
X^ die Projekton Yon (i»» auf die a;-Achse,
ß« den Neigungswinkel von 0«. gegen die x-Achse

9-

n
n

n

n
n

n

n

Fig. 86.

Wir denken uns das Dreieck (m — 1) — tn — (m-f-1) in den
Punkten (m — 1) und (m -|- 1) mit den im Sinne der ( — y) ange-

nommenen Kräften ^ und ^^

belastet, Fig. 86 b, und im Punkte m

Die Biegongsiinie. 106

geBtütsEt nnd wenden anf dieBen Belashmgsznstand nnd den wirklichen
Versehiebongszostand die anf Seite 11 der Einleitung entwickelte Ar-
beitsgleiehnng ^Qh = ^8äk8 an. Da sich m — 1 gegen m im Sinne
der (+ y) nm ä^y^-i — ^y«. Terschiebt und (m -f- 1) gegen m um
^y«.+i — ^ymf so ist die Yirtnelle Arbeit der äusseren Kräfte (mit
Bücksicht anf Gleichung 2, Seite 101):

S ^8 = — — (Ay^.i — AyJ — r (Ay«+i — AyJ = w^.

Die absoluten Werthe der in den drei Stäben o«» d^, <f|„^i in
Folge der gedachten Belastung entstehenden Spannkräfte seien = (JL^,
m? (^; sie kennen auf die in Fig. 86 o angegebene Weise ermittelt
werden, worauf dann

(5) tc^ = :SQh = S^A« = — (1.1 Ao^ + iijAd^ + (x, Ad^+i

erhalten wird. Das erste Glied ist negatiy, weil der Stab o^ durch (jl^
gedrückt wird.

Bezeichnet man nun mit h^ die parallel zur y -Achse gemessene
Hohe des Fachwerks im Punkte m, so findet man:

1 sec &m

(ij: — =X«secß^:Ä», und hieraus (jLi=-— — ,

1 sec Om

^ 'Vi

seco.+i
ebenso: V^ = — / »

weshalb der oben für tr«. angegebene Ausdruck übergeht in:
,^v — Ao« sec ß« + Ad^ sec 9« + Ad^+i sec 9«+»

(3anz ähnlich wird entwickelt:

+ Attfc sec TTfc — Adfc sec 9» — Ad»+i sec 9»+i
(7; «^=: —

Die Pol weite ist = 1 (ZsA^einheit) oder = — zu wählen, je

nachdem die Ay in demselben oder im v-fachen Maassstabe der Träger-
zeidmung dargestellt werden sollen.

Es dürfte hier noch eine Bemerkung über die Vorzeichen der
Winkel ß, y, 9 am Platze sein.

Liegt die durch den Knoten r parallel zur y- Achse gezogene Ge-
rade zwischen den Knoten (r — 1) und (r -f- 1), wo r eine beliebige

106

£rBter Abschnitt — § 8.

Ordnungsziffer bedeutet, so genügt die Festsetzung, dass unter ß, f, 9

die 9pUzen Neigungswinkel der Stftbe
fi>^®^ ^^ a; -Achse zu yerstehen sind.
Ob diese Winkel nach oben oder unten
poeitiT gezfthlt werden, ist gleichgültig,
weil die Ausdrücke fllr w^ und Wu nur
die Sekanten enthalten und seo ( — a)
= sec (+ a) ist. — Anders in dem in
Fig. 87 dargestellten, zuweilen bei Bogen-
trftgem yorkommenden Falle. Bedeutet
hier r einen Knotenpunkt der unteren
Ourtung, so ist sec 9^ positiv oder nega*
tiy, je nachdem r — 1 links oder rechts
Ton r liegt, und sec 9^+1 positiT oder
negativ, je nachdem sich r -\- 1 rechts
oder links von r befindet Auch ist zn
beachten, dass die U7-Kräfte in der Reihen-
folge . . . M^r^if M'r) M'r+u • • • durch das
Seilpolygon verbunden werden müssen,
und dass K der in der Richtung der y

gemessene Abstand des Knotens r von der Verlängerung des Stabes

(r — 1) — (r + 1) ist.

Zur Abkürzung führen wir die Bezeichnungen ein:
^0 = Ao sec ß, äi^'u = äkU sec y, A'd = Ad sec 9
und schreiben:

Flg. 87.

(8)

(9)

A'o, -f" ^'<'« ~1~ A'**«*!

Am

+ A't*i — A'dfc — A'(fi+ ,

UfM =

K

Für das Fftchwerk in Fig. 86 haben A 0, A'u, b!d dieselben Vorzeichen
wie die Längenftnderungen Ao, A«, Ad; sie sind also positiv oder
negativ je nachdem die entsprechenden Stftbe gedehnt oder verkürzt
werden. Wendet man aber die Gleichungen (8) und (9) auf das Fach-
werk in Fig. 87 an, so hat (wenn r einen Knoten der unteren Ourtung
bedeutet) A^ dasselbe oder das entgegengesetzte Vorzeichen wie Ad^
je nachdem r — 1 links oder rechts von r liegt, und A'dr+i dasselbe
oder das entgegengesetzte Vorzeichen von Adr^-i J6 nachdem r -{- 1
rechts oder links von r liegt.

Die A'^o, b!u^ tkd bestimme man durch Zeichnung und benutze
hierzu ein in groesem Haassstabe angefertigtes TrBgemetz.

Die BiegUDgslmie.

107

ZahienbeispieL Es sollen die senkreohten Yerschiebuiigeii sammtlioher
Xnotenpunto des in Fig. 88 daigestellten schmiedeeiseinen Netzwerks unter der
Toranssetzong bestimmt werden, dass in jedem Knoten der unteren Gurtung die
Last 12^ angreift \md E den überall gleichen Werth 1800000* f. d. qcm hat.
Der TiBger ist symmetrisch in Bezug auf die Senkrechte durch die Mitte. Es
genügt deshalb, die eine Hälfte zu untersuchen.

In die rechte Hälfte des Trägemetzes wurden die Spannkräfte in Tannen
und die Querschnitte in qem (eingeklammerte Zahlen) eingetragen, und in die

f-ftL..-.

-- W'O,7Z0O^»'

/'J5^*//'^*V

Fig. 88.

linke Hälfte die 180-faohen, mit den Sekanten der Stabneigungswinkel mul-
tiplicirten Längenänderuugen (in cm). Für einen wagerechten Gurtungsstab ist
A'o = Ao bezieh. A«=Aii, z. B. für den Stab 1—3:

.CAA' Oo 48000*. 400«» ^_,^

Für einen Füllungsstab erhält man (wegen <{ = X sec 45 <> ^ > V^-

22>X

180Ad = 180Ady = ^-^-^^^

lOOOOF

z. B. für den Stab 1—2:

180A'il =

2 -84000* '200

10000*50
Die Gleichungen (8) und (9) liefern nun:

= 27,2-

«^4 = t4t [+ 28,8 4- 22,7] = 0,2575
iP5 = ^ 26,2 =0,1810.

+ 24,0 + 22,7 — 27,2] = 0,0975

4- 27,4 + 27,2 — 18,0] = 0,1880

+ 25,8 + 18,0 — 22,7] = 0,1080
Die Werthe w und die Polweite U sind Zahlen, Wählt man J7= 1, so
liefert das Seilpolygon die 180 fachen Durchbiegungen im Maassstabe der Träger-
zeichnung (d. i. in 1 : 250). In Fig. 88 wurden die Durchbiegungen im Maass-
stabe 1:1 daigestellt und deshalb die Polweite J7=(|f = 0J2 angenommen.
Der Maaasstab für die Zahlen w lautet: 1 = 50'

108

Erster Abschnitt — § 3.

XL XkM* Gesucht sind die senkrechten Verschiebungen der
Knotenpunkte der unteren Ourtung eines (in senkrechter Ebene ange-
nommenen) Fach Werks mit Vertikalen (Ständerfackwerk).

Fig. 90.

Wir bezeichnen (Fig. 89 und 90) mit
0«, die Länge des Obergurtstabes

im m

ten

Felde,

!«,„„„ „ üntergurtstabes

d«, n n doi' Diagonale

Am » » » Vertikale mm^

ß« den Neigungswinkel von o^ gegen die Wagerechte,

Xm die Feldweite.
Sodann führen wir (wie auf Seite 106) die Abkürzungen ein

A'o = Ao8ecß; A'f« = Au8eoY; A'd = A{2 8ec9

und heben hervor, dass im vorliegenden Falle A'o, A'ti, b!d stets die-
selben Vorzeichen haben wie Ao, Au, Ad.

Zunächst sei die in Fig. 91 dargestellte Anordnung der Füllungs-
stftbe (linkssteigende Diagonalen zu beiden Seiten der Vertikale mttii
vorausgesetzt. Der Kr&fteplan für den in der Fig. 91b angegebenen,
gedachten Belastungs&ll liefert für die Gnrtstäbe o«», u^^n und die
Diagonalen d^^ d^^i folgende Spannkräfte (JL (ohne Vorzeichen):

1^1 =

sec ß,

sec 9«

,, _ secTm+i .
„ _ sec 9^4.1 ♦)

''*~~x —

*) Veigl. Seite 105.

Die Biegangslinie.

109

Fttr die Spannkraft (x^ der Vertikale mm erh&lt man

1^5-

Am+I

= A'«+i:Ä^ also |Xß =

^m + \

^•• + 1 «„,

Flg. 91».

/^t.

Flg. 91 0.

worin V«,+ i den Abstand des anteren Knotens m-\- 1 von dem Punkte
bedeutet, in welchem die (m -f- 1)^ Vertikale die Verlängerung des Stabes

o^ schneidet, In der (m — !)*•" Vertikale entsteht |jig=— • Die in

der Fig. 91b durch gestrichelte Linien bezeichneten Stäbe sind span-
nnngslos.

Mit Rücksicht auf die in die Fig. 91b eingetragenen Vorzeichen
der Spannkräfte |JL erhält man nun (nach Gleich. 5, Seite 105):

d. L

(10)
rng. 91.]

worin

ö— 1 = AÄ«.,

nnd 2»M = AA«,

Ä,»+l

Die Werthe a^.i, ^«, (welche dasselbe Vorzeichen haben, wie AA^-i
bezieh« ühj) werden zweckmässig anf die in Fig. 91a angegebene Weise
durch Zeichnung bestimmt; auch ist es häufig zweckmässig, die Multi-
plicationen der Längenänderungen mit den Sekanten zeichnerisch aus-
zuftkhren und die Olieder des Elammerausdruckes mit dem Zirkel zu
addiren. Nur achte man hierbei auf die Vorzeichen!

Durch Betrachtung des Spiegelbildes der Fig. 91 ergiebt sich ftir
die in der Fig. 92 dargestellte Anordnung der Ffillungsstäbe (und mit
der dort ftlr V«..! angegebenen Bedeutung):

110

Erster Abeclmitt. — § 8.

(11)

worin ai+ , = AÄ«+ , und 6^ = AÄ^ J""' •

kA*w-:

imf/

Flg. 91

Ist links von der Vertikale mm eine linkssteigende Diagonale und
rechts davon eine rechtssteigende angeordnet, Fig. 93, so erhftlt man:

L.Ä.-Hi...>! .

y».

/»•/

m-/

,'

'' Vm'

"^

r/

J

/

A'

*-/

/l..-.,

/ '»*1«.,

^fl^y

^*f

mtt

Fig. 98 a.

Flg. 93 b.

Flg. 980.

secß« _secß^^HM_. sec 9^ secy^^.!

f^i =

^•6 =

Am

l^ =

1^

AM '

t^4 =

1

IXj sin ß« — [Xg sin ß^+, == — (tg ß^ — tg ß^+i);

^=^1

K^

^+1

mithin :

Die Biegungslinie.

111

(12)

worin c„ = AÄ«(tgß« — tgß«+i); ai„_i = AÄ„.i-r^;

«■•+1 = AÄ»+i-r-

+1

Liegt der in Fig. 98 a dargestellte Werth c^ oberhalb der VerlängeroDg
von Om (ist also ß^+i ^ ß«) so hat c^ das entgegengesetzte Vorzeichen
von AA«.

Bei der in Fig. 94 abgebildeten Anordnung ergiebt sich für die
rnf* Vertikale die Spannkraft

(jLj = |i, sin 9^ + 1X4 sin 9^+1 = —7 — sm9«H sm 9^+1

^ ^*t m^l

Hg. 94».
nnd man findet deshalb:

Fig. 94 b.

ng. 94c.

(13)

«^n. = T- [+ A'«*- + A Wm+l AX — AX + 1 + «J

t««- •*•! I worin «^ = ^h^ {ig 9« + tg 9«+i).
XZX jPall« Ständerfaehwerk; gesucht sind die senkrechten Ver-
schiebungen der Knotenpunkte der oberen Ourtung. Man gelangt auf
dem Torhin eingeschlagenen Wege zu den folgenden, den in Fig. 95,
96, 97, 98, dargestellten Anordnungen der Ftlllungsstäbe entsprechen-
den Formeln:

(14)

[Hg

. 9b.i I

«'• = -jr-[— Ao^ + A'f4^+i + AX— AV^+i— J.+Oi^+i]

worin b^ = AA^

a«+i = Aä«+

Bister Abachnitt — § 8.

I worin bm^ ^flm

».t,

= A*.-,

"-711

^^--'•^

.•1

'"^

y

«.

'id

'-^'

■■-J

■^.,

Hat man die Biegnngslinie der einen Qartang bestimmt, so findet
man di^enige der anderen mittels der Bedingung, dass mch die beiden

Die Biegongslinie.

113

senkrecht ttbereinander gelegenen Knotenpunkte m gegen einander um
äkh^ Terschieben.

Ein Zahlenbeispiel findet sich in No. 49.

Die Berechnung der Weithe Wm mit Hilfe der Gleichungen (8) — (17) ist
dem in No. 46 angegebenen Yer&hren Yorzoziehen, sobald die Aenderangen
der Dreieckswinkel nicht ohnehin zu anderen Zwecken (z. B. Untersuchung Ton
Nebenspannnngen) berechnet werden müssen.

Anmerkungen zu No, 47.

1. — liegt ein Fachwerk von der unter Fall I behandelten Art vor,
und wird nur die Biegungslinie der oberen Gurtung verlangt, so ist es zu-
weilen zweckmässig, die den Knoten der unteren Gurtung entsprechenden Ge-
wichte w auf die benachbarten oberen
Knotenpunkte zu vertheüen. Von Wm
in Fig. 99 kommt auf den Knoten (m — 1)

der Theil: W = Wm

(m-f 1) der Theil: Wm' = tPm
Yertheilung von Wr liefert:

und auf
^. Die

Xr-.;i

Fig. 99.

Wr = — Wr '— nnd Wr =-\- Wr •

a a

Nun wird wj' zu Wm^i addirt, Wm zu
Wm+i u. s. w., so dass sich z. B. für
den oberen Knoten (m — 1) im ganzen
eigiebt:

Dieses Yeriahren ist namentlich
dann am Hatz, wenn die durch einen
Knoten r der unteren Gurtung parallel
ziur Yerschiebungsrichtnng ge-
legte Gerade nicht zwischen
r — 1 und r 4" 1 hegt Bei
derartigen Fachwerken kann
es vorkommen, dass einzelne
Stabachsen mit der Yerschie-
bungsrichtung zusammenfal-
len, wie beispielsweise d^ in
fig. 100. Man berechne dann
die Werthe w zunächst ohne
Rücksicht auf diejenigen Fül-
lungsst&be, welche die Rich-
tung der w haben und deren
Einflufls auf die w dann nach-

trSglich gesondert anzugeben ist So findet man für das Fachwerk in Fig. 100
un'ter der vorläufigen Annahme A<?5 = 0 die Werthe:

ICailer-BretUv, OnphlMhe BUtUc IL 1. 8

m, 100.

114 Erster Abechzuti. — § 3.

«., = j^ (- a\ + A'ci, + A'd,): «^. = j^ (+ A'«, - A'(i, - AVJ
i*'« = T- (— ^'ö4 + A'cii); iTj = — (+ A'ttj — AVft)

«»e = T- (— A'ot + A'de + A'd,) u. s. w.

sodann: m^^ = ir»' + ir,; 1^5 = «74 + «'s + W 5 ^i = w^i + Wt + i^s" ; u. 8. w.
wobei zu beachten ist, dass ^'d^ das entgegengesetzte Vorzeichen von ^d%
hat, weil der Knoten 3 links Ton der Senkrechten durch 2 liegt (veiigl. Seite 106).

Der Einfloss von Ld^ auf to^ ist = — \L^^di^ worin 114 den mittels des Kräfte-
planes in Fig. 100 c bestimmten Werth bedeutet «^ ist unabhängig von Ld^

— Ldt.
und der Einfluss von ^d^ auf tr« ist =-| ^, weshalb schliesslich erhalten

wird:

«^t = ^% + «'s + — T^ ; «^6 = «^4 + «^5 + K'i" — M-« A<i; «V = W + M^T + W^s"-

Ol

Aehnlich wird verfahren, wenn die BiegongsUnie der unteren, Ourtung
gesucht wird. Die den oberen Knoten entsprechenden Gewichte %€m werden
in den angeführten Sonderfällen zweckmässig auf die Knotenpunkte der unteren
Gurtung vertheüt

2. — Es verdient hervorgehoben zu werden, dass die Spannkräfte \k durch
parallele äussere Kräfte erzeugt werden und sich in Folge dessen auch mit
Hilfe der im ersten Bande (IX. Abschnitt) für den einfachen Fachwerkbalken
entwickelten Formeln berechnen lassen. So sind z. B. die Spannkräfte in den
Stäben Om-, dm^ dm-\.\ des in der (Fig. 86) daigestellten Fachwerks, falls auf
dieses nur äussere Kräfte, welche die Richtung der %d haben, wirken:

Om = V ; Dm=[-T 7 soc 9«, ;

Am \ Am. Am-i /

— / Mm Mm+l \

und es ergeben sich (da die gedachten Lasten -r — und -r die Momente:

If^. 1 = 0, Mm=t, Mm+\=0 erzexigen) für die Spannkräfte jjli, |a,, y^ die

Werthe:

secßm , sec<pi„ sec9m+i
M-i = 1 — 5 »^i = -i 1 ; f^» = i 7

Am A«H Am

Auch leuchtet ein^ dass die Glieder des Ausdrucks:

__ AomSecßm . AdmSecym . Arf,„+isec9m+i __ A'om ■ ^'dm

hm hm hm hm Am

als diejenigen Spannkräfte gedeutet werden dürfen, welehe in den Stäbe» Om,
dm, dm+i entstehen, wenn Mm-i = 0 und 3fm+i == 0 angenommen werden,
wShrend Mm der Reihe nach die Werthe ^Om, ^dm, A(fm+i beigelegt werden.
Bestimmt man nun diese Spannkräfte mit Hilfe des im § 36 des ersten
Bandes mitgetheilten Zimmermann'schen Verfahrens, so gelangt man zu der
in Fig. 101 angegebenen Darstellung der Glieder von Wm. Es wurde auf der
durch den Knoten 2 in der Richtung von w^ gelegten Geraden abgetragen:

Die Biegungslmie.

116

sodann wurden durch /<, I, k zum Obergurtstabe o, die Parallelen hh\ «i', ä;X;'
gezogen und erhalten:

*1 ^ *t

Trägt man an SteUe der Werthe 4^, 4^, -^ die Werthe Ao,-^,

A, X| Ag A^

A<2| -r— , A(^-r— auf, wo « eine beliebige, aber für alle Knotenpunkte gleich

gross angenommene Strecke bedeutet, und zeichnet man das Seilpolygon der
Erftfte:

Wm

t€h

r ^'

'dm+l "j

80 geben die Oidinaten desselben die mit e multiplicirten Verschiebungen an.

Sind die Strecken X^, X,, X,, . . . . gleich gross (=X) oder hat die Mehrzahl

derselben die gleiche Grösse X, so wähle

man 0 ^ X. Die schliesslich nöthig werdende

Division der Ordinaten des Seilpolygons

durch e bezieh. X kann natürlich auch durch

Wahl einer geeigneten Polweite imigangen

werden.

Aehnliche Untersuchungen lassen sich
auch für das Fachwerk mit Vertikalen durch-
führen. So folgt z. B. aus der für die Ver-
tikale mm in Fig. 93 bei unten angreifender
Belastung gefundenen Formel

F« = X^(tgP-.~tgß«+0

ohne weiteres, dass die Längenänderung
A^M dieser Vertikalen nur auf das Gewicht
iT«. i^infliiaa besitzt, Und dass die Grösse

■4C

I

1
I

Fig. 101.

dieses Einflusses:

jAÄm
hm

(tgp« — tgp«+i) ist. Es lässt sich dieser Werth als

diejenige Spannkraft deuten, welche in der fraglichen Vertikale entsteht, sobald
das Moment Mm^=^hm wird.

Für die Vertikale mm in Fig. 95 wurde bei oben angreifender Belastung
gefunden:

Mm-l Mm r. ^(tgßm + teY*»+l)

rm=

b-

Am Am

ein Ausdruck, der sich leicht umformen lässt in:

Mm-l Mmh m~l

■J.

Fm =

Am ^mhm

und aus dem dann gefolgert werden kann, dass der Einfluss von A^ auf den
Werth vm-i gleidi -^ ist und auf Wm gleich ( — -^^^O-

*^m \ Am Am '

8*

116

Erster Abschnitt — § 8.

48. Bestiinmimg der LäDgenflnderung einer StabBugsehne.
Wir betrachten einen Stabzag 0 — 1 — 2 — •... — n, der in einer
senkrechten Ebene liegen mOge, nnd dessen Sehne On mit der Wage-
reohten den Winkel a bildet Die senkrechten Seitenyerschiebnxigen
seien mit Hilfe eines Seilpolygons gefunden, dessen Gewichte w^ nach
No. 47 (also ohne Zuhilfenahme der WinkMnderungen) berechnet worden
sind. Oesncht sei die Aenderong Hl der Länge l der Sehne On. Bedeutet:

if)« die Länge des yom Knoten m auf die Sehne On gefüllten
LotheSy

9m den Neigungswinkel des Stabes 8^ gegen On,
so ist nach Seite 98:

f»-i

M = St]« AX + SA«« cos 9«,

nnd [diese Beziehaog wird zweckmässig so umgeformt, dass A/ durch
die bereits bei Ermittlung der Biegungslinie benutzten Werthe w aus-
gedrückt wird. Dazu führen wir ein:

tg ß«+i (nach Gleich. (8) auf Seite 101),

A% = IT« + -7— tg ß« —

9m ^ ^m-i-l

"flm = tfm COS a, 9« = ß,, — a.

tt/'

WO ß«, den Neigungswinkel des Stabes e^ gegen die Wagerechte,

y« den in senkrechter Richtung gemessenen Abstand des Kno-
tens m Ton der Geraden On
bedeutet, und erhalten:

wenn

A/ = cos a I 2y«M^« + c J,

A«« cos (ß« — a)

cosa

Die BiegoDgsiiiiie.

117

Der Stab «« liefert za dem Werthe c die drei Glieder:

^*- * ft I ^*- * ft I A««. cos (ß« — a)

«1»

cosa

deren Summe 1 wegen y^ — y«,.i = X^ (tgß« — tga) = — ^ 1

L COS OL J

gleich

cos a

[tg ß^sin (ß« — a) + cos (ß« — a)] = A*« sec ß«

ist, weshalb sich ergiebt: c = 2 A^^ sec ß«, and

(18)

A/ = cos a r Sy^M^« + 2 A«^sec ß^J

Diese Formel ist ansserordentlicb bequem, weil sowohl die m' als auch
die Äff sec ß bereits zur Bestimmung der Biegungslinie berechnet
worden sind.

Gleichung (18) setzt voraus, dass keiner der Winkel ß gleich 90^
ist. Will man nun die Aenderung A2 der Sehne AB des in der
Fig. 103 dargestellten Fachwerks mit Endvertikalen, für dessen obere
Gurtnng die Biegungslinie bereits nach No. 47 bestimmt sei, durch die
Werthe w ausdrücken — eine für die Folge wichtige Ausfgabe — so

jt'^ '.

I0L

4

'«V-r

IV

Fig. 108.

denke man sich die starren Stäbe Oä\ A'A, nBl", B'B hinzugefügt.
A^A und B'B erhalten die Richtung AB, und es ergiebt sich dann

M = ^(AB) = ^{A'B')\
so daaa die Aufgabe zurückgeführt ist auf die Bestimmung der Aenderung

118

Erster Abschnitt. — § 8.

der Länge der Sehne Ä^ eines Stabznges ^'012 . . . m . . . nB\
dessen An&ngspnnkt und Endpunkt in der fraglichen Sehne liegen.
Man erhält

(19) A/ = Sy«ir^ + SAö^.

• 1

worin A'om = ^^«s^ ßmi v^rgl. Seite 106.

Für den in der Fig. 103 dargestellten Fall, welcher der Fig. 98,

Seite 112 entspricht, ist:

(20)

M^o = — (A'fii — A'dj — <?o + «i)

\ 1

i^» = ^ (A u» — A'c^» — <?* + fl*-i)

worin : c^ = AAq (tgTi — *^g*) (wenn Yj nach oben positiy gezählt wird) nnd
aj = AAi ^* Vergl. Fig. 108, in welcher Cq, a^, c», a».i beziehungb-

weise dieselben Vorzeichen haben, wie A^q, AA^, AA», A^».i.

Hinzugefügt werde, dass w^ nnd k^,. nur zur Berechnung von A/,
nicht aber bei Au£seichnung der Biegungslinie A^SB^ gebraucht wer-
den, und dass die Schlusslinie durch die Aenderungen AAq und AA^ der
Längen der Endvertikalen bestimmt ist. In Fig. 103 wurde[AA0 positiv,
AAt» negativ angenommen; es erfährt dann bei ruhenden Punkten A
und B der Knoten 0 eine Verschiebung nach oben, Knoten ti eine solche
nach unten.

Hat man die senkrechten Verschiebungen der Knotenpunkte beider
Gurtungen des in Fig. 104 abgebildeten Fachwerks, dessen FüUungs-

Fig. 104.

Stäbe mit Ausnahme der Bndvertikalen schräg stehen, nach No. 47,
Fall I, ermittelt, also w^ bis U7».i nach Oleich. (8) und (9) berechnet.

Die BiQgüngjBliine.

80 bestimmt man A^ mit Hilfe der Gleicknng:

(21) AZ = Sy«ii;« + iA'(f«

e 1

worin sn eetsen ist:

M^O = T- (A'«0 — ^'«^1 ^o)

119

Wn = T- (A'm« A'd» — Cn).

Cq und e^ haben die in Fig. 108 angegebene Bedentnng. Die Summe
SA'd«, erstreckt sich über alle schrägen FoUnngsstäbe (d^ bis d^).

Afufgdbem Es soll die Biegnngslinie der unteren Oortnng des
in der Fig. 105 dargestellten Fachwerkträgers bestimmt werden. Bei
(0) hat der Träger ein festes, bei (5) ein bewegliches Anflagergelenk.
Letzteres wird auf einer anter dem Winkel ^ geneigten Geraden geführt.

Nachdem die Gewichte tr^ bis u?^ mittels Formel (10) berechnet
worden sind, wird mit der Pol weite 1 das Seilpolygon III III IV V
gezeichnet nnd die Schlnsslinie eingetragen. Diese Linie ist durch die
Bedingungen bestimmt , dass der Knoten (5) die senkrechte Verschie-
bung $5 = — AZ sin ^ erfährt, wo A/ die Aenderung der Stabzugsehne

Fig. 106.

0 — 5 bedeutet, und dass femer 5o = 0 ist. Für AZ aber ergiebt sich,
wenn 0 — 5 als Sehne des Stabzuges 0 — 1 — 2 — 8 — 4 — 5 au%efiisst
wird, der Werth:

AZ = — Sy^u;, + SA'ii«,*)
1 1

und zwar ist das erste Glied negativ, weil die Knoten 1, 2, 8, 4 unter-

*) Die Bedeutmig yon L'u ist auf Seite 106 erklärt.

120

Erster Abschnitt — § 3.

halb der Sehne 0 — 5 liegen. Werden nnn u^j, u^i, u;,, 1^4 als wage-
rechte Kräfte betrachtet, die Yon 0 — 5 beziehungsweise die Abstände
OLifif ay^, OLy^f ay^ haben, wo a eine beliebige Zahl bedeutet,*) und
wird zu diesen wagerechten Kräften mit der Polweite 1 ein Seilpolygon
gezeichnet, so besteht zwischen der Strecke fr, welche die änssersten
Seiten dieses Polygons auf der Verlängerung von 0 — 5 abschneiden
und den Gewichten w die Beziehung:

* * 6

i •b = ^ay^w^y und hieraus folgt: ^y^w^= — •

1 i (X

Da dem Seilpolyon III... und t II' . . . dieselbe Polweite entspricht,
so ist / J_ J, i/ _L JJ, . . . . In Fig. 105 wurde a = 2 gewählt,
weshalb sich schliesslich

85 = — AZ sin ^ = sin ^ (^ 6 — S A'w«)

1

ergiebt. Fig. 105 setzt voraus, dass S5 negativ ist, dass sich also

Punkt (5) nach oben verschiebt.

Werden die 5 in v-facher VergrOsserung dargestellt (werden also

die Polweiten 1 durch die Polweiten 1 : v ersetzt) so müssen in die

Formel für h^ natürlich auch die v-fachen Werthe A'u eingeführt werden.

40. AufflMBUxig der Biegungsfläche alB Momentenflfidhe.
Bereclinuxig der I>iirchbieg:!xngen. Es sei 0'l'2'^ . . . m' . . . n

(Fig. 106) die Biegungslinie des
Stabzuges 0 — 1 — 2 — . . . m . . . it
für die Verschiebungsrichtung
ÄA' und AB die Schlusslinie.
Die Durchbiegung an der Stelle
m sei 5m, und der zwischen dem
Seilpolygon .und der Geraden O'n
gelegene Theil von S^ möge mit
iQm bezeichnet werden. Den Stab-
zug denken wir uns in einer senk-
rechten Ebene.

Die von der Biegungslinie
und der Geraden O'n einge-
schlossene Fläche lässt sich als
die Culmann''sche Momentenfläche
eines einfachen Balkens A' ß'
deuten, dessen bewegliches Auf-
lagergelenk auf einer zu AA'

m/

*mr

L W

Fig. 106.

*) Je flacher der Stabzug ist, desto grösser muss a gewäht werden, damit
eine deutliche Figur erhalten wird.

Die Biegongslinie.

121

rechtwinkligen Bahn geführt wird, dessen Stützpunkte auf den durch
0 und n zur Verschiebungsrichtung gezogenen Parallelen liegen und
der mit m7^, fr^, . . . «7«, . . . ta^^i belastet ist. Sind die w mittels einer
der Qleicbungen (8) oder (6) bis (17) berechnet worden, so igt die
Polweite des Seilpolygons gleich der Zahl 1, und es besteht dann
zwischen dem Biegungsmomente jUC» des Balkenquerschnitts m und der
Verschiebung iQ^ die Beziehung:

(22) 1 • •Jq.H = IC.-.

Wurde w^ ans Gleich. (4), Seite 102, gefunden, so ist die Pol weite
= Ej und es ergiebt sich:

(28) 1- = ^-

Hiermit ist die Bestimmung der Durchbiegungen irj auf die Be-
rechnung der Biegnngsmomente eines einfachen Balkens zurückgef&hrt.
Sind die Verschiebungen \ und 5» bekannt, so findet man nach Er-
mittlung der IT) die 5 mit Hilfe von:

3/m

K = ''lm + h ~f~ + S

l

Die BerechnuDg der Momente ist namentlich dann sehr einfach (und
meistens schneller zum Ziele führend als die Aufzeichnung des Seilpolygons)
wenn der Balken Ä ^ symmetrisch belastet wird und die u^-Eräfte in gleichen
Abständen X wirken. Man beachte dann das im § 20 des ersten Bandes gelehrte
Verfahren und berechne zuerst die Verhältnisse lf„ | X.*)

SSahlenbeispieL Für den auf Seite 107 (Fig. 88) untersuchten Fach-
werkbalken wurde erhalten:

«71 = 0,0975; «7, = 0,1830; 1^5 = 0,1030; 1^4 = 0,2575; «^5 = 0,1310,
und zwar entsprechen diese Werthe den 180 -fachen Längenänderungen der
Stäbe. Die w wurden mittels der Oleichungen (8) und (9) berechnet, weshalb
nach (22):

Mtc,m X {M^,m I X)

180 "■ 180

tj« =

T/ "k. ^s ^ '^s ^^ ^j f^t 'P/

J-i — :: — \ \\ ^\ i i i t ,

t % 1' 1^ '*^ T 1 ' i

Fig. 107.

und mit X = 2000"^:

100

t)- = -j^(lf-.«|X) Miüimtter,

♦) Jf|X =

M

122

ETBtei Abaohiiitt — § 3.

IHe Berechnnng der Qaerkrifte <) und der (JfJ | i.) gesohiebt i
folgendem Ansatz:

^. = ) 10. = 0,0655 I (Ä.. , I 1) = ft = 0,1065
+ 0,2575 = «■« ■

9. = 0,3230
+ 0,1030 =

«-.

Ä = 0,4280

+ 0,1830 =

"t

ft = 0,6090
4- 0,0975 =

•"i

<if-,U) =

e, = 0,7085
Hierauf ertiält man (da B,
biegungen:

8i = ih =

(«-..|X)= 2,1300.

= 0 and 8, = 0 ist, Terj^. Yi%. lOfl) die Dnrdi-

100

. 0,7065 = 7,85—; 9, = — - • l,8t95 = 14,«'

'; 8. = 22,9— ; a» = 23,7—;

mit den in ¥^. 88 durch Zeichnung ermittelten Verachi^^

8,= 19,85
dieselben stimme:
bnngen überein.

50, AnfiBrnben. Die folgenden fieüpiele uigen die Anwendong
der in No. 45^-46 entwickelt«! Gesetze aaf die ErmittlDiig der Bie-
gnngslioien der wicbtigsteo itatiidi bestimmten Trager. Die Form der
Lösungen wKblen wir so, dass anoh die rechnerische Bestimmong der
Darohbiegnngen erledigt wird, indem wir angeben, in welcher Weise die
Biegnngslinien am zweckmAssigsten als Momentenlinien gedeutet werden.
Wir setzen Toraos, dass
die Werthe w mittels der
Qleichnng (8) oder mit
HUfe von (6) bis (17)
berechnet worden sind.
Wird Qleichnng (4) an-
gewendet, BD liefern die
folgenden Kegeln die E-
fochen Durchbiegungen.
1, Beispiel. Oe-
sQOht sind die Dnroh-
biegnngen &■, ig, . . . .
des in Fig. lOS darge-
stellten Frnträger».

Man zeichne das Seil-

poljgon der gedachten

ErAfte w^ bis u?, (welche

in Fig. 108 negatir, als»

nach oben gerichtet angenommen wnrden) ond mache die erst« Seite

desselben zur Schlnsslinie. Der neben &g stehende Ffül giebt die

Die Biegangslinie.

123

Richtung der positiven Verechiebnngen an. Die schraffirte Biegangs*-
fl&che läset sich als Momentenfläche eines Balkens AB deaten, der bei
B eingespannt, sonst aber frei und mit uf^, f^^, . . . belastet ist. Hat
man also die Momente M^i, Jf,^, . . . dieses Balkens berechnet, so
findet man:

2. JBei^piel. Gesucht sind die senkrechten Verschiebungen der
Knotenpunkte der unteren Gurtung des in der Fig. 109 abgebildeten
Faehwerkbalkens mit überstehenden Enden. Ob Ä oder B auf einer
wagerechten Bahn yerschiebbar ist, ist gleichgültig.

Man bestimme (durch Zeichnung oder Rechnung) die Momenten-
linie C'a'NB'D' eines bei C' und D' frei aufliegenden Balkens, auf
welchen die Lasten u^^ , u^^ , . . .
(die in Fig. 109 theils positiv,
also abwärts wirkend, theils ne-
gativ, mithin aufwärts gerichtet,
angenommen wurden) wirken,
bringe hierauf die Auflagersenk-
rechten in Ä' und B^ mit der
Momentenlinie zum Schnitte und
lege durch diese beiden Punkte
die Schlusslinie. Die in der Figur
sehrafflrte Fläche ist die ver-
langte Biegungsfläche. Beispiels-
weise sind die Senkungen der
Knotenpunkte 0 und 5 gleich
5^ besieh. S^.

3» Seispiel. Es soll die Biegungsfläch^ der oberen Gurtung
des 6^r^'schen Balkens in Fig. 110 ermittelt werden. Die Verthei-
lusg der auf wagerechten Bahnen beweglichen Auflagergelenke ist
gleichgültig.

Nach Berechnung der w, welche theils positiv, theils negativ aus-
fallen, werden die folgenden Momentenlinien aufgetragen:

C' Nif für den einfi^hen Balken C' D' mit den Lasten w^ bis tr^.

Fig. 109.

}>

»}

»}

W

4 M
18 "

W

19>
15«

Jj LEi „ „ ,, , „ DE

E RF „ „ „ „ E'F' „ „ „ M^ij „ Wy

Hierauf werden die Senkrechten durch die Punkte Ä und B mit der
Momentenlinie D' LE' in J! und B^ zum Schnitte gebracht, die
Strecken:

J! Ä' = 6' = Senkung des Punktes -4,

B

gg' = 8" =

»>

99

99

124

Etster Abschzdlt — § 8.

abgetragen und sohliesslich der durch Ä' uud El' gehende Linienzug
C'D"E"F'^ dessen Ecken senkrecht unter D und E liegen, einge-
zeichnet.

Fig. 110.

Die Fläche zwischen diesem Linienzuge und den Momentenlinien
ist die gesuchte Biegungsfläche.

Bei starren Stützen Äq und Bq sind h' und h" beziehungsweise
gleich den Längenänderungen der Vertikalen AÄq und ^^o* Erleiden
diese Stäbe Verkürzungen, so liegen Ä' und If' oberhalb j! und If^
sonst unterhalb.

^* Seispiel. Gesucht ist die Biegungslinie für die obere Onr-
tung des in Fig. 111 dargestellten Fachwerkbogens mit drei Gedenken.
Die Werthe to^ bis w^ und w^ bis w^ seien nach No. 46 mit Hilfe
der Winkeländerungen A^ berechnet worden. Ist auch w^ bekannt, so
lässt sich die Momentenlinie des durch die Lasten w beanspruchten ein-
fitchen Balkens Alf ermitteln, worauf die Durchbiegungen S«, = J^.»
gegeben sind. Um w^ berechnen zu können, muss man die Winkel-
änderung A^4 haben, und diese lässt sich wie folgt bestimmen.

Nach Gleich. (4), Seite 98 ist die durch die Aenderungen der
Winkel ^ und der Spannungen a in den Gurtstäben bedingte Aende-
rung A^ der Stützweite AB zunächst für den Fall t = 0:

M = Vi A^i + y^ A^, + y, A^j + y4 A^4 + ys ^^6 + ^6 ^% + y? ^^7

und man erhält somit, bei gegebener Verschiebung A^, für A^4 den
Werth:

Die Biegungslinie.

ISO

(24)

A^4 =

1 S 1 iSr

^4

Bei starren Stützen ist A/=0. Sind die Kämpfer A nnd B durch
eine Zugstange vom Querschnitte Fq Terbunden, so ist AZ gleich der

Verlängerung dieser den Horizontalschub H des Bogens aufiiehmenden

Hl

Stange; es folgt dann A/ =

EFn

Bollen Temperaturänderungen be-

rficksichtigt werden, so sind die Spannungen a in Gleich. (24) zu er-

Fig. 111

setzen durch die Werthe a^+s^d während für A{ der^Werth

Hl

-|- %t^l einzuführen ist. Hierbei bedeutet C die ^Temperatur-

EF^

126

Erster Ihschnitt -r § 3.

ftnderung für den Stab 8^ der oberen Gartnng und ^ die Temperatar-
änderong für die Stange AB.

Will man die Biegnngslinie ermitteln, ohne die Winkeländemngen
zu berechnen, so bestimmt man tTj bis w^ (Fig. 112) und uf^ bis w^^
mit Hilfe der in ^o. 47 entwickelten Formeln und wendet dann die
Beziehung :

• It u

1 ' S 1

an. Man erhält:

it

u

A2 — ^y^w^ — Sy^u^M — 2 A'(^^

Wn

Vi

Zahlenbeispiel. (Figuren auf Tafel 2). Es soll die Biegungs-
linie der unteren Gurtung des in Fig. 1 1 8 abgebildeten Fachwerkbogens
mit drei Gelenken für den Fall bestimmt werden, dass auf den Tr&ger
nur eine im Scheitelgelenk angreifende Einzellast 1000^ wirkt.

Sämmtliche Stäbe sind aus Winkeleisen zusammengesetzt; die In-
halte ihrer Querschnitte (ohne Abzug für Nietlöcher) sind in der fol-
genden Tabelle sowie in Fig. 113 zusammengestellt worden.

»

Form
des
Quer-
schnitts

Winkoieisensorte

Inhalt
des
Quer-
schnitts

Obere Gurtung

nr

80-80- lO*^

80***

untere* „

JL

90-90.11 „

74 „

Bndvertikale

nr

90-90-11 „

37 „

Vertikale bei (1)

ir

80 . 80 - 10 „

80 „

„ (2) (3) (4)

nr

60-60. 10 „

22 ,.

!*• Diagonale

ir

90-90- 11 „ :

87 „

2** und 5** Diagonale

-ir

80-80. 10 „

30 „

3*« Diagonale

ir

70-70-10 „

26 „

4** ,.

Die in die linke Hälfte des Ti

^gernetzei

60-60-10 „
\ (Fig. 118) eingesc

22 „
ihriebenen

Zahlen geben die Spannkräfte (in küogr.) an; dieselben können u. A.

*) Die Stäbe Al^ 6 — 7, 7 — 8 und 18£, werden hier zweckmässig mit
^it <^i c'bi ^\a bezeichnet.

Die Biegongalinie. 127

sehr scbnell mit Hilfe eines Cremona*schen Kräfteplanes erhalten werden.
[Der vorliegende Trfiger wurde im ersten Bande, § 46 und § 47, für
▼erschiedene Belastnngsweisen nntersnoht. Die in Fig. 118 angegebenen
Spannkräfte stimmen mit den früher mit Sa bezeichneten überein und
sind — in Tarmen ausgedrückt — in der Tabelle am Anhang von
§ 47, Band I, enthalten. Die dort fehlende Spannkraft im ersten
Stabe des Untergurts findet man, indem man den Horizontalschub
J7= 1875'' mit der Sekante des Stabneigungs winkeis multiplicirt; es
ergiebt sich der Druck: 1875 |^# = 2081*.]

Die schwarzen Zahlen in der rechten Hälfte des Trägemetzes
(Fig. 113) bedeuten die Stablängen (in cm), während Fig. 114 eine
übersichtliche Zusammenstellung der 10000-fachen Längenänderungen
(aufgetragen im Maassstabe 1 : 40) bietet. Diese Werthe sind für
E= 1 800 000** f. d. qcm (Schweisseisen) berechnet worden, und es er-
gab sieh beispielsweise für den ersten Stab der oberen Gurtung:

.^^^^4 10000 -OjOi , 10000 -315 -800 , ^^ ^^

10000 Ao, = i-?- = -J = 4- 17,5'*

^ EF ^ 1800000-80 ^ '

= + 175

für die Diagonale des ersten Feldes:

^,, 10000 'D.d. 10000.509-485

10000 Ai, = i-i = = — 87,1

^ EF 1800000-37

= — 371'

und für die End vertikale:

10000 AAo

10000. FoÄo , 10000-400.525 , „^ ^

EF ' 1800 000-37

= + 815'^.
!Nach Berechnung dieser Längenänderungen wurden die 10 000 -fachen
Werthe A'«, ^'d (vergl. Seite 108) durch Zeichnung ermittelt. Für
den ersten Stab der unteren Gurtung wurde z. B. der durch eine kräftig
ausgezogene j mit dem fraglichen Stabe zusammenfallende Linie darge-
stellte Werth 10000 A'« = — 555"^ gefunden, für die erste Diago-
nale: 10000 A'(i = — 600**". Die Gewichte w wurden mittels Glei-
chung (10), Seite 109, bestimmt, da die FtiUungsglieder die in der
Fig. 91 dargestellte Anordnung haben. Es ist im vorliegenden Falle
A'o = Ao und h„ = a„y vergl. Fig. 91, also:

v^m==j-(— 1^0^ + A'tt«+i + A'tf« — A'rf^+i — a^.i + aj.

Die 10000-fachen Werthe a sind ebenfalls in der Fig. 114 ange-
geben*). Man erhält (mit Weglassung des Faktors 10000)

•) Die Strecke, welche og darstellt, wurde ^ weil sehr klein — nicht ein-
gezeichnet.

128

Erster Abschnitt — § 8.

— 175—600 — 600 + 477—400+201

-372 — 633—477 + 800—201+ 77
u^,=y^[--529 — 663 — 800— 104— 77— 11

=—0,29
=—0,49
=—0,89
= — 1,15

— 473—616+104-601+ 11— 53
SA «=—(577 + 600+633+663+616) • 2=— 6178.

Da nnn im vorliegenden Falle:

M=2 Syf«7 + yg iTg + S A'u = 0
1

ist, 80 folgt

(2yfr)2 + SA'u

yiirj = — 417,6«
y,iii, = - 1254,4
y.tr» = — 2990,4
y4iP4 = — 4416,0

2yfr= — 9078,4

= +

9078,42 + 6178

= +6,08.

y« 4000

Die Ordinaten ^i, Sj» • • . der gesuchten Biegnngslinie sollen zu-
n&chst berechnet und zu diesem Zwecke als Biegungsmomente eines mit
tv^f uf^t ' ' • belasteten einfachen Balkens gedeutet werden. Für die
Werthe (IC | ^) erhält man dann folgenden Ansatz:

— 1,15=11^4

<>4 = + 1.8Ö

— 0,89 = tt?a

ft = + 1,00

— 0,49 = M7g

Ä = + 0,51

— 0,29 = iTj

iM^.^\\) = Qi = 0,22

+ 0,51 = g,
(3C., I X) = + 0,78

+ i.OO = ft
(3f^., I X) = + 1,73

+ 1,89 = Q^

(JC.4U)= +8.62

+ 8,04 = gg

(M^.^\\)= +6,66

ft = + 0,22

Da nun in die Formel für w die 10000-fachen Längenänderungen
eingeführt wurden, so ergiebt sich:

JC X (M^^ I X) 8000 {M^^ I X)

8»,=

10000

10000

10000

also:

5, = 0,8 0,78 = 0,219
8^ = 0,3 -3,62 = 1,086

5^ = 0,8.0,22 = 0,066
83 = 0,8.1,78 = 0,519'
5g = 0,8 • 6,66 = 1,998'

Will man diese Werthe durch Zeichnung finden und zwar im
Maassstabe 25 : 1, so ist für das Seilpol jgon der Gewichte w die Pol-

114

weite 10000- = —- anzunehmen, weil der LSngenmaassstab

300 25 3 ®

der Trägerzeichnung = 1 : 800 ist Die Werthe w und die Polweite

sind Zahlen, für welche in Fig. 118 der Maassstab 1 = 12"* gewählt

wurde.

Die Biogiingslime. 129

Nach Ermittlung der Biegnngslinie der unteren Gnrtung ist die-
jenige der oberen Gurtang durch die Bedingung bestimmt, dass sich
der Abstand zweier senkrecht übereinander gelegenen Knotenpunkte m
um die Strecke AA.» ftndert. Für den oberen Knotenpunkt 2 ergiebt
sich hiemach eine senkrechte Verschiebung von 0,219 — AA2 = 0,219
— 0,012 =0,207"^. In Fig. 118 sind die auf zwei Stellen abgerun-
deten Werthe der Durchbiegungen zusammengestellt worden.

51. Vollständige Bestimmimg der Verschiebimgen« Durch
Au£seichnung einer Biegungslinie erhfilt man zunächst nur die Projek-
tionen der Verschiebungen der Knotenpunkte auf eine feste Richtung,
nicht aber diese Verschiebungen selbst. Wird also die vollständige Be-
stimmung der FormKnderung eines Fachwerks verlangt, und will man
diese Aufgabe mit Hilfe des Seilpolygons
lOsen, so muss man zwei Biegungslinien
zeichnen. Wurde hierbei der Träger ein-
mal auf ein Achsenkreuz (x^yy^), dann
auf die Achsen (x^^y^) hezogen, Fig. 115,
und sind mtn^ und mni^ die für den
Knoten m erhaltenen Ordinaten der für
die Richtungen yi und yj ermittelten
Biegungslinien, so ist die Verschiebung
tnm des Punktes m bestimmt durch
nii ni JL ♦**! ♦'*» wij m' J_ m^ m. Es müge
aber noch eine andere Darstellungsweise der Verschiebungen (die meistens
den Vorzug verdienen wird) gezeigt werden, darin bestehend, dass nach
Auftragung einer Biegungslinie das im § 2 gelehrte Stabzugverfahren
zu Hilfe genommen wird« In Fig. 116 ist dieser Weg erläutert worden.

Gegeben seien die Verschiebungen Ay des auf ein rechtwinkliges
Achsenkreuz (a;,y) bezogenen Stabzuges 0 — 1 — 2 — 3 — ....; ausser-
dem sei die Verschiebung Lx irgend eines Knotens bekannt. Es werde die
vollständige Darstellung der Verschiebungen sämmtlicher Knoten gefordert.

AB sei die Schlusslinie der Biegungslinie 0"l"2"3" Die

Punkte O", l", 2" . . . projicire man durch Parallelen zu AB auf eine
zur y- Achse parallele Gerade, welche von der Scblosslinie in A ge-
schnitten werde, und ziehe durch A und durch die Projektionen 0''\
l'", 2'" . . . der Punkte O", l",2", . . . Parallelen ^^»^o'^i'^s» • • • • ^^^
d;- Achse. Auf der gA nehme man den Pol 0 des verlangten Ver-
schiebungsplanes beliebig an und bestimme nun zunächst die Verschie-
bung desjenigen Knotens, dessen Aa; bekannt ist.

In Fig. 116 wurde Aa;, als gegeben angenommen und der Strahl
02^ welcher die Verschiebung des Punktes 2 nach Grösse, Richtung
und Sinn darstellt, eingezeichnet; sein Endpunkt %' liegt auf der Ge-

MüUer-Brealftu, Gnphiflclie SUtik. n. 1. 9

130

Erster Abschnitt — § S.

raden g^ (weil die Projektion Yon 02' auf die Biohtang y gleich Ay,
«ein moBs) und im (negativ voraasgesetzten) Abstände Aa;, von der
durch 0 parallel zur y- Achse gezogenen (Graden 00',

Trftgt man nnn an 2' die dem Stabe 8^ parallele Strecke A2 an,
welche gleich der Aendemng der Lftnge b^ ist nnd den Sinn 2 — 1
oder 1 — 2 erhftlt, je nachdem der Stab 8^ gedehnt oder verkllrzt

*jp^

Flg. 116.

wird, und errichtet man im Endpunkte von A2 auf A2 ein Loth (p,),
welches die Gerade ^| in l' schneidet, so giebt der Polstrahl 0\' nach
Or&sse, Richtung und Sinn die Verschiebung des Knotenpunktes 1 an,
wie ohne weiteres aus dem im § 2 gelehrten Stabzugverfahren hervor-
geht. Auf dieselbe Weise wurde die Lage des Punktes O' bestimmt
und — wieder von 2' aus — der Reihe nach 3', 4', b\ %' festgelegt.
In Fig. 116 ist vorausgesetzt worden, dass alle Stäbe mit Ausnahme
von «5 Verkflrzungen erleiden.

Will man die Ax durch Reclinung bestimmen, so differenzire man die
und ersetze das Differentialzeichen durch das Zeichen A. Man eiiiält:

28m^8m =^ 2 (Xm^l — Xm) (^Xm-l — ^Xm) + 2 (y»»-i — yj (Ay«-! — Ay«)

und hieraus

A«„-i — ^Xm = A««, sec ß^ — (^ym-i — Ay«) tg ß,»,

wo ßjN den Neigungswinkel des Stabes Sm gegen die o?- Achse bedeutet Kennt
man also einen der beiden Werthe Axm^i nnd Axm, so kann man auch den
anderen angeben, so dass es möglich ist, mit Hilfe der vorstehenden Formel
und mittels des in Nr. 49 zur Bestimmung der Ay entwickelten Verfahrens
sämmtliche Seitenverschiebungen Ax, Ay eines Stabzuges durch Beehnung

Die Biegungslinie.

131

zu finden, sobald ein Werth äx und zwei Werthe Ay bekannt sind. Ein
anderes rechnerisches Verfahren lässt sich leicht durch Projiciren des im § 2
eingeführten, durch Aneinanderreihung der A« und p entstandenen Linienzuges
auf zwei rechtwinklige Achsen x und y ableiten.

62. EinfOhrung stellvertretender Stabsttlge. Die in der Fig. 116
gezeigte DarstelluDgsweise der Verschiebungen wird besonders übersicht-
lich, sobald sämmtliche A« = 0 sind, weil der Verschiebnngsplan dann
ans einem Linienzage 0'l'2' . . . . besteht, dessen Eckpunkte O', l',
2', .... in den Geraden ^o» ^i» ^t» • • * • liegen^ nnd dessen Seiten
O' — l', l' — 2', . . . rechtwinklig za den entsprechenden Stabrichtungen
0 — 1, 1 — 2, . . . . sind.*) Anch ist zu beachten, dass sich im Falle
des Verschwindens der A« für die Gewichte w (nach Gleich. 3, S. 101)
die van der Lage des Achsenkreuzes x,y unabhängigen Werthe

M?« = AX

«rgeben, nnd es liegt daher der Gedanke sehr nahe, dass es zuweilen
Tortheilhaft sein dürfte, den elastischen Stabzug behufs Darstellung der
Verschiebungen seiner Knotenpunkte durch einen aus starren Gliedern
bestehenden zu er-

A

eetzen.**)

Zu einem sol-
chen stellvertreten-
den Btabzuge ge-
langt man, indem
man zwischen je
2wei aufeinander
folgenden Knoten-
punkten m — 1, m
einen neuen Knoten
fito annimmt und
diesen sowohl mit
m — 1 als auch mit
m durch starre (in
Fig. 117 gestrichelt
angegebene) Stäbe

Terbindet. Der neue Randwinkel bei m sei (X^ = ^« + Wm + Hm+i, der
Bandwinkel bei m^ sei t^. Die Aenderungen von t^ und o^ sind:

Big. 117.

*) Vergl. auch Seite 96, Fig. 79. Dort wurde dieses Gesetz bereits auf
anderem Wege abgeleitet.

**) Der Umstand, dass t^«, = A^« von der Lage des Achsenkreuzes (x, y) un-
abhängig ist, yereinlacht auch die Anwendung zweier Biegungslinien. Schliessen
die beiden Richtungen, welche den Gewichten w zugeschrieben werden sollen,

9*

132 Erster Abechnitt — § 3.

A T« = -— (cotg K« + COtg 6) J

Aa« = AX + Aa)«+AK«+i = AX ^cotgx^ ^^^^ cotg «„+i.

Betrachtet man die At nnd Aa als Kräfte, welche in der Richtnng r
wirken, und verbindet man dieselben dnrch ein Seilpolygon mit der
Polweite Eins, so ist dieses Seilgoljgon die Biegnngslinie des ans
starren Oliedem bestehenden Stabznges für die Richtung r, und das
eingeschriebene Polygon, dessen Ecken den Knoten . . . (m — 2), (m — 1),
m, (m-{-l) . . . entsprechen, ist die Biegnngslinie des elastischen Stab-
zuges . . . (m — 2) (w — 1) m (m+1) ....

Die Punkte tnQ wird man so annehmen, dass die Cotangenten der
Winkel x und o ronde Zahlen sind. Wählt man z. B. ci)^ = >c^ = 4ö°,
so erhält man sehr einfach:

Hat die Elasticit&tsziffer E für alle Stäbe denselben Wertb, so
ersetze man die Gewichte At und Aa durch die Gewichte E^x bezw.
E^OL und die Polweite 1 durch die Pol weite E. Sollen dann Tem-
peraturänderungen unberücksichtigt bleiben, so treten in den vorstehen-

den Winkel ^ ein, so denke man das Eräftepolygon nach AufzeichnuDg der
ersten Biegaogslinie um ^ gedreht, um einzusehen, dass jede Seite des zweiten
Seilpolygons mit der entsprechenden Seite der ersten Biegungslinie den Winkel
^ bilden muss. Mit Rücksicht auf die käuflichen Winkelbrettchen wird man
für 4> einen der Winkel: 30**, 60°, 45°, 90° wählen. Auf weitere Beziehungen
zwischen den beiden Biegungslinien gehen wir nicht ein, da sich der Linien-
zug 0'1'2'3' . . . ebenfalls schnell zeichnen lässt und die Verschiebungen sofort
nach Grösse und Richtung liefert, so dass man die Zusammensetzung der Seiten-
verschiebungen (nach Fig. 116) spart.

' *) Es ist darauf zu achten, dass keiner der hinzugefügten starren Stäbe
die Richtung r erhalten darf, wenn ausser der Biegungslinie noch die voll-
standige Darstellung der Yerschiebungen mit Hilfe des Linienzuges 0'1'2' . . .
(Fig. 116) ohne jede weitere Zwischenrechnung erfolgen soll. Diese Zwischen-
rechnung, welche, wie leicht einzusehen ist, in der Ermittlung des Werthes p
für jeden in die Richtung r fallenden Stab bestehen würde, ist zwar nicht
schwierig, immerhin aber umständlicher als die Annahme besonderer Winkel
«> und X für diese Stelle des Stabzuges. Wird nur die Biegungslinie für die
Richtung r verlangt, so dürfen Stäbe von der Richtung r vorkommen, denn es
entsprechen dann den beiden Endpunkten solcher Stäbe im Sinne r gleichgrosse
Verschiebungen. Zu beachten ist auch, dass die Gewichte Ar und Aa in der
Reihenfolge . . . At«.i, Aocm-I) At»,, Aa«) Atm+i, Aocm+i • • • durch das Seil-
polygon verbunden werden müssen.

Die Biegungslinie.

133

den Formeln an die Stelle der Verlängerungsverhältnisse Hals die Span-
nungen a, Ist G) = )c= 45° 80 erhftlt man:

Fttr die in der Fig. 118 angegebene Lage der eingeschalteten Punkte
«Mq ergiebt sich:

At^ = (cotg x^ + cotg G) J

Ao^ = AX 4- -r^ cotg x« + -—=±1 cotg o^+i.

^«Ü

*m+l

;»-^^

Fig. 118.

Welche der beiden Anordnungen (Fig. 117 oder Fig. 118) gewählt
wird, ist für das Ergebniss gleichgiltig. Man strebe zur Erzielung
übersichtlicher Eräflepoljgone nach Möglichkeit gleiche Vorzeichen der
Gewichte w an. Z. B. wird man

bei ein&chen Balkenbrücken in der ^ . y- , ^5^ «^a, ,- «&//

Begel für die Aa der oberen und
auch der unteren Gurtung positive
Werthe erhalten und sich infolge-
dessen bei Untersuchung einer obe-
ren Gurtung für die in Fig. 118
gegebene Anordnung entscheiden,
weil die A« und c der Obergurt-
si&be negativ sind. Bei einer unte-
ren Gurtung wird besser nach Fig. 117 verfahren.

Eine andere Behandlungsweise des siellvertretenden Stabzuges
schliesst sich der auf Seite 104 bis 112 gelüsten Aufgabe an: die Ge-
wichte tü^ zu bestimmen, ohne vorher die Winkeländemngen A^ zu
berechnen. Dieses Verfahren kommt natürlich nur dann in Frage, wenn
die Winkeländerungen nicht ohnehin zu anderen Zwecken**) angegeben
werden müssen; dasselbe möge an dem in Fig. 119 dargestellten Bei-
spiele erläutert werden.

Gesucht sei die Biegungslinie (für die Richtung r) der Gurtung
. . . (fit — l)fit(m-4-l). •• eines einfachen Dreiecknetzes. Die den ein-
geschalteten Knoten ihq entsprechenden Gewichte Ar«, werden wie vor-
hin berechnet, das Gewicht tr^ für einen Knoten m der Gurtung hin-
gegen nach der auf Seite 105 bewiesenen Gleichung:

«7«. = 2|j.- A9.

^) Veigl. 6. 102. Dem Einfliiss von Tempeiataninderangen t kami man
auch Bechnmig tragen, indem man a ersetzt durch a-\-t Et,

**) Z. B. Bestimmung von Nebenspannmigen. Vei^l. auch Seite 95.

134

Elster Absohnitt

§3.

Hierin bedeutet |jl die Spannkraft, welche in einem Stabe des in Fig.
119^ herausgetragenen Fachwerktheiles in Folge der drei unter sich im

Qleichgewichte befindlichen parallelen äusseren Kräfte — , — , ( {-—r)

e e \ e e /

entsteht und A« die Längenänderung des Stabes für denjenigen Be-
lastungszustand, fär welchen die Biegungslinie gesucht wird, e und e'
sind die gegenseitigen Abstände jener 8 Kräfte, deren Richtung ge-
legentlich der früheren Ableitung der Gleichung u>^='2[Lji8 parallel
den u> vorausgesetzt wurde, jetzt aber willkürlich gewählt werden darf,
weil ja die Grösse der w eines aus starren Gliedern bestehenden Stab-
zuges unabhängig Yon der Richtung r ist. Die Summe 2 erstreckt

Fig. 119.

sich über die in der Fig. 119^ mit den Ziffern 1, 2, 8, ... 6, 7 be-
zeichneten Stäbe, deren Spannkräfte |JL in Fig. 119° mittels eines
Cremona*schen Kräfteplanes dargestellt wurden. Für die Fachwerkstäbe
8 und 5 ergaben sich Zugkräfte (i, ftlr die übrigen Druckkräfte. Sind
also die Längenänderungen der Stäbe 1, 2, 3 . . . bezieh. = A^, 4|,
A3, ... so folgt:

Es wird sich empfehlen , die Richtung der Kraft — so zu wählen, dass

e

e einen festen, durch eine runde Zahl ausdrückbaren Werth annimmt.
Bei Ermittlung der verschiedenen w sind also verschiedene Krafb-
richtungen anzunehmen.

Eine wichtige Anwendung der steüpertretenden Stabzüge findet sich
in No. 75,

Tfebungsauf gäben zu den %% 1 bis 3.

1» Aufgabe* Es soll die Aendenmg A^» des Rand winkeis d» des in
Fig. 120 dargestellten Fachwerks mit Hilfe eines Williof sehen Yerschiebangs*
planes bestimmt werden.

Die Biegung iuie. 13&

LSmng. Han aehine den Paukt a und die BiolituDg des Stabee at al»
lesükgend an, ermittle naoh No. 88 1^. ÖS) der Beibe nach die Venchiebiuigen
06', Oe', Oi-, Oe der Punkte h, e, d, t ond denke hierauf die Verschieliung
Ton t nach dem StabiogvetlahTen beetimmt. Man eiiennt dann, dass das Loth
Ton i Kai AT ^eioh. «,&äi ist ond findet

Der SrehnngBsinn von «, gegen ■, ist in der Figoi darch einen Pfeil angagebea
worden; hiernach ist A3» positdT. Wir setzten yoraus, dasa die Stäbe 2, 4^ K ge-
dehnt, die übrigen veikürzt «erden.

n«. 111.

2. Aufgabe. Behofa Dsretellnng der Biegongslinie der oberen OurtODg
des in Fig. ISI abgebildeten Facbwerks soll das Oewioht vt mit Hilfe eines
Williot'scben Planes dargestellt werden nnd swar ohne gesonderte Ermitthing
Ton Ad».

LSttitig, Han füge die zn w» parallelen starren beliebig langen Stäbe
8 nnd 1] hmzn, femer die starren StSbe 9 und 10. Dann ist (wenn die Pol-
wette I gewählt wird) ick — As», welcher Werth non anf die soeben gezeigte
Weise bestimmt wird. Man nehme hierbei a, und die Richtong des Stabes 9
als festliegend an.

8. Aufgabe Kit Beiugnahme anf Fig. 121 beweise mau, dass, sob^d

die Folweite ^ E gewählt wird ond ^ -=- ist, das Oewioht wt nach der

Formel

tp* = cotg«, (0 — o,)*) + colg 0,(0, — a,)4-ootgn, (0,-0,) + ■»*«"» (".— »»)

+ 00% «, (o, — o,) + cotg a, (o, — o,) + ootg «, (ff, — o^) + cotg 0, (0 — 3,)
berechnet werden darf.

LOiunff. Hau gelangt zur vorstehenden Formel ohne weiteres, indem
man nach Ol. (!) Seite 90 die Aenderungen der Droiecfcswinkel, ans denen sioh

*) Zar besseren Uebersicht wurden die Spannungen 0 der Stäbe 8 und 11
mit aufgeführt.

136

Erster Abschnitt — § 3.

xik zusammensetzt, bestimmt nnd dieselben addiri Die Multiplikationen mit
cotg. weiden zweckmässig zeichnerisch ausgeführt Man könnte auch den Ans-
dmok nach den Spannungen a ordnen. Der Einfluss von a, auf m?» ist dann

= 9| — ^, wo 8, die L2lnge des Stabes 2 und r, das Loth von h auf 2 bedeutet

Wie stellt man den Einfluss der Spannung eines von b ausgehenden Stabes z. B.

den von a^ am bequemsten dar?

4» Aufgabe» Gesucht sei die Biegungslinie (für die Richtung r) eines

Stabzuges, dessen A< und Ad gegeben sind; einzelne Stäbe haben aber die

Richtung r.

Lösung, flllt Sm
mit der Richtung r zu-
sammen, 80 schalte man
nach Flg. 122 zwischen
m — 1 und m mittels
starrer Stäbe, welche mit
8m Winkel von 45* ein-
schliessen, einen neuen
SüiotenfHo ein, dessen Ge-
wicht WmQ = — 2 ist.

Für Wm-i und Wm erhalt
man:

Ufm-l = Ad»-i +

8m

Fig. 122.

Ufm = ^fim +

Af-

Bm

Ist ^8m positiv, SO ist iOmo üu Sinuc (— r) anzunehmen. Figur 122 setzt also
voraus, dass der Stab 8m gedrückt wird. Zu beachten ist, dass die Gewichte
in der Reihenfolge itm-i, Wm^^ Wm durch das Seilpolygon verbunden werden
müssen wie dies in Fig. 122 angedeutet ist

5. Aufgabe. Es soll der Yerschiebungsplan für die untere Gurtong
0^2—4 — 6 des in der Fig. 128 daiigestellten Trägers mit Hilfe eines stellver-
tretenden, aus starren Glie-
dern bestehenden Stabzuges
0—1 — 2—3—4 — 5—6 ge-
zeichnet werden.

Die Lösung besteht da-
rin, dass zuerst nach No. 52
die Biegungslinie für die zur
Bahn des beweglichen Auf-
lagers rechtwinklige Richtung
r gezeichnet wird, weil dann
die Schlusslinie O^G" sofort
gegeben ist. Eierauf wird der
Linienzug 6'5'4'8'2'1'0' nach
No. 51 bestimmt Die Strah-
len 00', 02', 04' stellen nach
Grösse, Richtung und Sinn die
Verschiebungen der Punkte

Einfinsslinien und EinfLusszahleii. 137

0, 2, 4 dar. — Von den drei für diesen Träger in diesem Buche mi1;getheilten
Yerfahren (veigl. Fig. 88, 105, 123) ist das erste im allgemeinen das einfachste.
Die Losung in Fig. 105 verdient den Vorzug, sobald die lothrechten Yerschie-
bungen 8 durch Rechnung bestimmt werden sollen und die zuletzt angegebene
(Fig. 123) wird Tortheilhaft, sobald die Winkeländerungen noch zu anderen
Zwecken (z. B. zur Ermittlung von Nebenspannungen) gebraucht werden.

ß» Aufgabe» Ein Fachwerk sei in der Weise erzeugt, dass zu einem
Stabdreieck ahe zwei neue Stäbe gefügt werden, die in einem neuen Knoten
d miteinander verbunden sind, hierauf an zwei beliebige Knoten dieses Stab-
gebildes wieder zwei Stäbe mit einem Knoten e angeschlossen werden u. s. f.
Es sollen die Winkeländerungen dieses Fachwerks berechnet werden.

Die Lösung stützt
sich auf die Gleichung

A«i = AAax-j- ^costtg

+ A^gCoso«,
welche einen besonderen
Fall der auf 8. 98 für
M abgeleiteten Formel
darstellt, und durch
welche die Aenderung
der Seitenlänge Si eines
Dreiecks (Fig. 125) be-
stimmt ist, sobald die Fig. I2i. Fig. 125.
Aendemngen des Gegen-
winkels und der beiden anderen Dreieckseiten bekannt sind.

Liegt beispielsweise das Fachwerk in Fig. 124 vor, so berechnet man auf
die in No. 40 gezeigte Weise die Winkeländerungen der Dreiecke acb und abd
und drückt hierauf die Aenderung der Entfernung cd durch die Längenände-
roDgen Aac und ^ad der Seiten ae und ad imd durch die Winkeländerung
A(ead) = ^(cab) — ^(dab) aus. Jetzt bestimmt man die Winkeländerungen

der Dreiecke aedj cdb und ede, drückt Ae& durch Aee, Acb und A(eeb) aus, u.s. w.
Auf diesem Wege lassen sich z. B. sämmtliche Winkeländerungen der in
den Figuren 49 und 50 abgebildeten Fachwerke berechnen, wie denn überhaupt
leicht einzusehen ist, dass sich mit Hilfe der Formel für A«i und mittels der in
No. 37 u. 38 durchgeführten allgemeineren Untersuchungen die in den §§ 2 u. 8
angegebenen Darstellungsweisen auf ähnliche Art erweitem lassen, wie dies im
§ 1 mit dem von Williot ursprünglich auch nur für einen sehr einfachen Fall
gegebenen Verfahren geschehen ist

§4.

EinflassUnien nnd Einflnsszahleii ffir elastische

YerschlebimgeiL

68« — Mit Hilfe der in den vorigen Paragraphen gelehrten Ver-
fahren ist man im Stande, die Formänderung eines statisch bestimmten,
irgendwie belasteten Fachwerks festzustellen. Es bedürfen aber diese
Untersuchungen noch einer Erg&nzung ftlr den Fall, dass der Einfluss
der am Fach werk angreifenden Lasten /\, P^» - * - ^^^ irgend eine der

138

Erster Absclmitt — § 4.

die FormUndening bestimmenden GrOesen gesondert angegeben werden
soll, etwa za dem Zweck, die Grenzwerthe dieser GrGsse (für welche
natürlich das Gesetz von der Zusammenz&hlung der einzelnen Wirkungen
gelten muss) zu ermitteln. Zwar kOnnte man diese Aufgabe in der
Weise behandeln, dass man das Fachwerk zuerst nur mit P, belastet,
dann nur mit P^, u. s. w. und fOr jeden dieser Fälle einen Yerscbie-
bungsplan zeichnet; doch ist dieses Verfahren so umständlich, dass die
Aufsuchung einer anderen LOsung geboten erscheint. Die Handhabe
hierzu bietet der Maxwell^sche Satz von der Gegenseitigkeit der elas»
tischen Formänderungen (S. 80), dessen Anwendung zunächst an zwei
Beispielen gezeigt werden soll.

!• Aufgabe. Gesucht ist die Einflusslinie für die Senkung 5«
des Knotenpunktes m eines durch lothrechte Lasten F beanspruchten
Fachwerkträgers.

Man nehme das gewichtslose Fachwerk nur mit einer in m an-
greifenden lothrechten Kraft Eins belastet an, ermittle die herbei ent-
stehenden Spannkräfte i^
und Längenänderungen
A« und bestimme (nach
einem der inden§§ 1 — 8
angegebenen Yerfieihren)
die diesen A« entspre-
chende Biegungslinie
derjenigen Gurtung (bei-
spielsweise ACß)^ an
welcher die Lasten P an-
greifen sollen. Ist nun
die bei k gemessene
Ordinate dieser Biegungslinie ='V]»> so yerschiebt die in m angreifende
Last Eins den Knoten k im lothrechten Sinne um f\t,, und es wird des-
halb (nach dem Maxweirschen Satze) eine in k angreifende Last Eins
den Knotenpunkt m ebenfalls um 'ri^ verschieben. Hieraus folgt aber,
dass die gezeichnete Biegungslinie die Einflusslinie für h„ ist.

Die Lasten P|, P^, Pg denen die Ordinaten iq^, ir)^' 'Ha entsprechen,
verursachen beispielsweise bei m die Senkung

Beispiel. In Fig. 113 auf Tafel 2 wurden die senkrechten Yerschiebiingen
der KnoteDpnnkte eines Bogenträgeis mit drei Gelenken für den Fall aufge-
tragen, dass im Scheitelgelenk eine Last l'sslOOO'' wirkt Die für die untere
und obere Gurtung erhaltenen Biegongslinien sind daher die Einflusslinien für
die lothrechte YerschiebuDg $ des Scheitelgelenks; mit Hilfe der ersteren kann
der Einfluss von Lasten festgestellt werden, welche in den unteren Knoten-
punkten angreifen, mittels der zweiten der Einfluss der Belastung der oberenr

EinfluBslinien und Einfiiisszahlen.

139

Knoten. Ist die oben angreifende YerkehislaBt: p = 0,665' f. d. Meter und

p]k = 0,665*3,0 = 2' f. d. Knotenpunkt, so folgt fiir volle Belastung (also mit

Vernachlässigung der kleinen negativen Beitragsstrecken an den Trägerenden)

^^z=p\ [2,00 + 2 (1,10 + 0,52 + 0,21 + 0,04)] = 11,5*^.

Von der ständigen Belastung ^X =0,37 •3,0= 1,11' eines Feldes möge
der Theil ^«X=:0,27 (Gewicht der Hälfte eines Feldes des Hauptträgers) an
der unteren Gurtung angreifend angenommen werden, der Theil ^o^ = 0,84' an
der oberen Gurtung. Die Durchbiegung in Folge der ständigen Belastung be-
tragt dann:

«, = ^«X [2,00 + 2 (1,09 4- 0,52 + 0,22 + 0,07)]
+ ^oX [2,00 + 2 (1,10 + 0,52 + 0,21 + 0,04 — -^^y^)] = 6,4--.

2. Avfgdbe* Ein Fachwerk sei mit beliebig gerichteten Erftften
Pj, P^s . . . belastet Gesucht sei die Projektion 5^ der Verschiebung
eines Knotens C auf eine feste Richtung r. Der Einflnss jeder La8t2P
soll gesondert angegeben werden.

Man zeichne den Verschiebongsplan für den Fall, dass auf das
Fachwerk nur eine Last P^ = 1 wirkt , welche in C angreift und die
Bichtnng r hat. Für irgend einen Knoten m ergebe dieser Plan die
Verschiebung m' fn\ deren Projektion auf die Richtung von P«, mit
+ h^r bezeichnet werden möge,**) wobei das obere oder untere Vor-
zeichen gelten soll, je-
nachdem der Sinn je-
ner Projektion mit dem
Sinne von P«, überein-
stimmt oder nicht.

Nun ist aber nach
dem Mazweirschen
Satze die gesuchte Ver-
schiebung hrmj welche
Punkt C in der Rich-
tangrund in Folge von

P«, = 1 erfährt, ebenso gross wie die bereits dargestellte Verschiebung
h^r welche der Punkt m in der Richtung P^ und in Folge von Pr= i
erleidet und daraus folgt, dass der Einfluss yon P„ auf die Verschie-
bung 5^ gleich Pm^mr ist. Auf die gleiche Weise findet man die Ein-
flüsse der Lasten P|, P,, . . . so dass man schliesslich

hr = Py^ir + P^\r + • • • + Pm^rnr + • • •

*<X 3b"*'

Fig. 127.

*) Die Knotenpunkte an den Trägerenden sind nur mit -q-^o^ belastet.
) Nach der auf Seite 81 eingeführten Bezeichnungsweise.

«*

140 EiBter Abschnitt — § 5.

erhält. Die Grössen 5^^, 5^^, . . • nennen wir kurz die den einzelnen
Lasten P|, P^ . . . entsprechenden Einflusazahlen; sie ergeben sich
sämmtlich ans dem ftlr P^ = 1 gezeichneten Verschiebangsplane.

54. — Das in den vorstehenden Beispielen angewandte Verfahren
ist ein allgemeines nnd fahrt auch dann zum Ziele, wenn die h nicht
Verschiebungen und die P nicht Einzellasten bedeuten, sondern diese
Buchstaben zur Bezeichnung der auf Seite 81 erklärten Begriffe „Weg
einer B^attung^' und „Belastung'' dienen. Stets wird man die darzu-
stellende Grösse

mittels des Maxweirschen Satzes umformen in

K = KrPm + KrPh +••••"!" ^mrPm + • • • •

und dann die Einflusszahlen S«^, 5»^, . . . . S^^, . . . einem fär den Zu-
stand Pr= 1 gezeichneten Verschiebungsplane (an dessen Stelle häufig
eine Biegungslinie treten darf) entnehmen. E$ verdient hervorgehoben
zu werden, dose diese Regel auch für etatieeh unbestimmte Fach"
werke gut.

§ 6.

Das stattsch unbestimmte Faehwerk.

a. Berecltnym iler statisch wicht bestimmbaren GrBtten mittels des Waxweirschen Satze«,

66. — Wir haben bereits in der Einleitung gezeigt, dass die Be*
rechnung eines statisch unbestimmten Fachwerks in die Lösung zweier
Aufgaben zerfällt. Erstens sind die Spannkräfte der Stäbe und die
Stützenwiderstände mittels der Oleichgewichtsbedingungen durch die
gegebenen Lasten P und gewisse statisch nicht bestimmbare Grössen X
auszudrücken ; und zweitens sind die Grössen X mit Hilfe von Glei-
chungen zu berechnen, welche man erhält , indem man die Formver-
änderung des statisch bestimmten Fachwerks, in welches das unbe-
stimmte im Falle des Verschwindens sämmtlicher Grössen X übergeht,
gewissen Bedingungen unterwirft.

Der einzuschlagende Weg ist meistens sehr leicht zu finden, wie
die folgenden Aufgaben zeigen werden, bei deren Lösung wir von den
in der Einleitung angestellten allgemeineren Untersuchungen zunächst
nur den Maxwell^schen Satz zu Hilfe nehmen, während wir uns im
übrigen lediglich auf die §§ 1 — 3 stützen. Denn es kommt uns besonders

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

141

darauf an, za zeigen, dass die Berechnung eines gegebenen statisch
unbestimmten Fachwerks für denjenigen eine sehr leichte Aufgabe ist,
welcher sich mit der Darstellung der Formänderungen statisch bestimmter
Fachwerke vertraut gemacht hat und das von uns kurz als Maxweirscher
Satz bezeichnete allgemeine Gesetz kennt.*) Später werden wir auch
die übrigen in der Einleitung angegebenen Verfahren yerwerthen.

66. tTntenmohung eines über Bwei Oeffiiiuigen geetreokten
Balkens ACJB^ Fig. 128, welcher durch lothrechte Lasten P bean-
sprucht wird.

Der naheliegendste Bechnungsgang ist der folgende. Wäre der
Widerstand X der Mittelstütze bekannt, so liessen sich die in A und
B angreifenden Stützendrücke und sämmtliche Spannkräfte S des aus
aneinandergereihten Dreiecken bestehenden Fachwerks angeben.

Nimmt man zunächst
X=0 an, so entsteht ein ^^^S
einfacher Balken AB^ des-
sen Stützenwiderstände A^ -r — r^ fc» -HPirr — 1x> ^fe J**«- 128.

2P6 , „ SPa

= : — und Bn = ,

sind, und dessen Spannkräfte
Sq leicht gefunden werden
können, beispielsweise mit-
tels eines Cremona'schen
Kräfteplanes. Dieser ein-
fache Balken wird an der
Stelle C eine lothrechte
Durchbiegung Sq erfahren,
deren Grösse sich nach einem
der in den §§ 1 — 8 gezeigten
VerfiEthren ermitteln lässt.

(Das gestrichelte Polygon in Fig. 129 sei die Biegungslinie der Gur-
tnng A CB). Denkt man jetzt die Kräfte P beseitigt und belastet den
einfachen Balken AB nur mit einer in C angreifenden, nach oben ge-
richteten Last Xj so wird der Punkt C im lothrechten Sinne um b' X

Fig. 129.

Fig. ISO.

♦) Die Untersuchung von Fachwerken, welche erst entworfen werden sollen,
ist nur insofern umständlicher, als die statisch nicht bestimmbaren Grossen
von den zunächst unbekannten Stabquerschnitten abhängen. Im allgemeinen
wird man die Querschnittsgrössen zuerst schätzungsweiBe annehmen, hierauf
die X imd S ermitteln, die erforderlichen Querschnitte bestimmen und im Falle
grosserer Unterschiede zwischen den gerechneten und den geschätzten Quer-
schnitten das ganze Verfahren wiederholen. Vereinfachend wirkt hierbei der
Umstand, dass der Einfluss der Belastung auf die Grössen X nur von dem gegen-
seitigen Verhältniss der Querschnitte abhängt Vergl. auch No. 74.

142 Erster Abschnitt. — § 5.

gehoben, wobei h' die mit Hilfe eines zweiten Verschiebimgsplanes za
bestimmende lothrechte Senkung bedeutet, welche C erfährt, sobald der
einfache Balken AB nur durch eine in C angreifende, lothrechte, ab-
wärts gerichtete Last Ton der OrOsse 1 beanspracht wird. Sind nun
die Stützen des in Fig. 128 abgebildeten Trttgers ToUkommen starr, so
mnss die lothrechte Verschiebong von C gleich Null sein, urd es folgt
hieraas die Bedingung: Sq — h'X=0, aus welcher sich

ergiebt. Würde sich, bei nachgebenden Widerlagern, Punkt C gegen
die relativ festliegend gedachte Gerade AB in lothrechter Bichtung um
i„ nach unten verschieben, so w&re Xaus der Gleichung \ — h'X=i^
zu berechnen. Nach Bestimmung von X kOnnen die Spannkräfte 8 in
den Stäben des Balkens ACB mittels der Formel

S=So—S'X
gefunden werden, unter S^ die Spannkraft für den in Fig. 130 dar-
gestellten Belastungsfall X= — 1 verstanden, und ganz ebenso erhält
man die Stützen widerstände : A = Aq — A'X', B = Bq — B^X',

Den Einfluss von Temperaturänderungen wird man stets gesondert
bestimmen; man wird also die Verschiebung 5^ des durch die Lasten P
beanspruchten Balkens AB (Fig. 129) unter der Voraussetzung ermit-

teln, dass die Stäbe die Längenänderungen A^^ = -^—-erfahren, und

schliesslich wird man mit Hilfe eines dritten Verschiebungsplänes diejenige
lothrechte Verrückang 5« feststellen, welche der Punkt C des einfachen
Balkens ^^ erfährt, sobald sich die Stablängen um As« = et« ändern.
Der entsprechende Widerstand der Mittelstütze ist dann:

A.— 1 ^, ,

er erzeugt im Träger -4 C^ (Fig. 128) die Spannkräfte: Ä = — S'X,.
Im Falle gleichmässiger Erwärmung sämmtlicher Stäbe ist 5« = 0, so-
bald die drei Punkte A, B, C in derselben Wagei*echten liegen.

Unsere Aufgabe ist hiermit gelöst. Die Auflösung leidet aber
noch an einer Weitläufigkeit, die darin besteht, dass 5^ für jeden zu
untersuchenden Belastungsfall von neuem bestimmt werden muss. Diese
Schwierigkeit lässt sich nun durch Anwendung des Maxweirschen Satzes
leicht heben. Bezeichnet man nämlich mit h'^ die dem Knoten m ent-
sprechende Ordinate der in Fig. 130 für den Zustand X= — 1 ge-
zeichneten Biegungslinie, so darf man schliessen: Eine in C angreifende
lothrechte Last Eins senkt den Punkt tn um 5'mi und es wird daher
eine in tn angreifende Last Eins den Punkt C ebenfalls um h' senken

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

143

und eine Last P^ wird auf die Senkung \ den Einfluss \ = Pm^'m
aasüben. Darana folgt aber

h,=P,h\+P,i\ + . . . +P^8'^+ . . .*)
und es ist daher der ßinflnss der Lasten P auf X

X = -^ [P^h\ + P^i\ + . . . + P«8 « + ...] = |.- 2P«8'«.

Man darf aussprechen:

Die fttr den Znstand X= — 1 gezeichnete Biegnngslinie der
ZOT Aufnahme der Lasten bestimmten Gnrtnng ist die Einflusslinie
für X. Der Multiplikator dieser Linie ist = 1 1 &'.

67. Untersuchung eines Faohwerkbogens mit K&mpferge-
lenken und ohne Scheitelgelenk, Fig. 131. Der Träger sei durch
beliebig gerichtete Lasten
P beansprucht. Die an den
festen Auf lagergelenken Ä
und B angreifenden Wider-
stände seien in die zur Ge-
raden AB rechtwinkligen
Seitenkräfte A und B und
die in die Gerade A B fal-
lenden Seitenkräfte C und
X zerlegt.

Wird X=0 ange-
nommen, wird also das feste
Auf lagergelenk durch ein
in der Richtung AB be-
wegliches Lager ersetzt, so
geht das Fachwerk in ein
statisch bestimmtes über
(Fig. 132). Die Auflager-
kräfte Aq^ Bq, Cq und die
Spannkräfte Sq lassen sich
für diesen Zustand leicht
angeben.

Um X zu ermitteln,
wird das erhaltene statisch
bestimmte Fachwerk mit
einer Kraft X= — 1 belastet (Fig. 183), welche die Spannkräfte S' und

Aenderungen (As) = — — der Stablängen herrorraft; dann wird für

diese Angriffsweise ein Yerschiebungsplan gezeichnet.
*) Yergl. auch Seite 188.

m/

Flg. 131— ISS.

144 Bnter Abschnitt. — § 5.

Dieser Plan mOge für den Punkt B die za AB parallele Ver-
schiebung B''B' = h' liefern und ftlr irgend einen Knotenpunkt tn die
Verschiebung tn'tn. Bezeichnet hj die Projektion der Strecke m'm
auf die Richtung von P«, so folgt:

Eine in B und im Sinne AB angreifende Kraft 1 verschiebt den
Punkt m im Sinne von P«, um h'„, und es wird deshalb eine in m
angreifende Last P„=l eine Verlängerung der Stützweite AB^=l
um 5'm yerursachen und eine Last P« eine Verlängerung um P^S'«».
Da nun eine von B nach A gerichtete Kraft X eine Verkürzung von
AB um Xh' herbeiführt, so beträgt die Aenderung tou l im ganzen:

Hieraus folgt aber für das Bogenfechwerk in Fig. 131 für den Fall
unbeweglicher Widerlager (d. h. für A2 = 0):

JC=— j,

Geben die Widerlager nach und yerschiebt sich hierbei B gegen A
um i^9 so ändert sich Xum einen Werth AX, der durch die Gleichung

6^ = — AX8'

gegeben ist. Den Einfluss Xt einer Temperaturänderung findet man,
indem man die Aenderungen li8t = sta der Stablängen berechnet, die
hierdurch bedingte Vergrösserung S« der Strecke AB mit Hilfe eines
Verschiebungsplanes bestimmt und die Bedingung 0 = 5« — Xth' auf-
stellt. Es ergiebt sich:

AX = — 1 -^und Xt^=l -j^r-

Bei gleichmässiger Erwärmung ist ht = &tL

Sobald X bekannt ist, können sämmtliche Spannkräfte S des Bogen-
fachwerks mittels der Formel

S=So — S'X

berechnet werden. Für die Stützenwiderstände erhält man: A = Aq,
B = Pq, C = Cq -\- X.

68. Der Binder eines Freidaohes (Fig. 184) sei bei B und C

mittels fester Auflagergelenke und ausserdem noch durch eine Stange
AD gestutzt, welche bei D gelenkartig mit dem Widerlager Ter-
bunden ist.

Der Träger wird statisch bestimmt, sobald der Stab AD (dessen
Spannkraft = X sei) weggenommen wird. Für diesen Zustand X= 0
werden die Spannkräfte Sq ermittelt und hierauf wird der Verschiebungs-
plan für den in Fig. 136 dargestellten Zustand X= — 1, dem die

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

145

Spannkrftfte 8' entsprechen mOgen, aufgezeichnet. *) Die Verschiebnng
iron A sei dargestellt durch den Polstrahl 0A\ diejenige von m durch
Om, Die Projektion von OA' auf die Richtung von AD sei 5' (positiv
im Sinne der in Fig. 186 angenommenen
Kraft 1), diejenige von Om auf P^ sei
S^M (positiv im Sinne von P«,)- Dann kann
wie in der Torigen Aufgabe mittels des
Maxweirschen Satzes die Beziehung ge-
funden werden:

yro l die L&nge des Stabes AD bedeutet«
Besitzt dieser Stab den Querschnitt F^^
und die £lasticitätsziffer E^, so ist seine
durch die Spannkraft X hervorgebrachte
Längen&nderung :

XI
M = ,

und man erhält schliesslich für X den
Werth:

2P.8'.

X =

»' + -..

/

E,F,

Wird noch der £influ8s einer Aende-
rung der Temperatur gesucht» so be-
stimmt man mit Hilfe eines zweiten Ver-
schiebungsplanes die von den Aenderungen
^8 = tt8 herrührende gegenseitige Ver-
schiebung hf des Punktepaares Ay D und stellt die Bedingung auf:

M = i, — X,i\

in welche für A/ jetzt der Werth:

^ e~f"^^^^^

einzusetzen ist, unter e^ und t^ die Ausdehnungsziffer und die Tem«
peraturänderung des Stabes AD verstanden. Man findet:

6( 6j ti l

x =

5' +

/

El Fl

*) BeispielsweiBe nach dem in No. 32 angegebenen Verfahren.

Mftller-BresUn, Oraphiaohe SUtik. II. 1. tO

146 Erster Absohnitt — § 5.

69. Untersuchung des in Fig. 137 dargestellten Daohstuhls
einer dreisohiffigen HaUe. Bei A ist ein festes, bei B ein auf wage-
rechter Bahn bewegliches Auf lagergelenk angeordnet. CD und ^Fsind
S&nlen mit Eopf- und Fassgelenken (sogenannte Pendelsäulen oder
Schwingstützen). Die lothrecht wirkenden Widerstände X« nnd X» der
S&ulen sollen als die statisch nicht bestimmbaren Grössen eingefQhrt
werden; ihre Angriffspunkte erhalten die Ordnungsbuchstaben a und h*)

Den Znstand X« = 0, X» = 0 (den wir kurz den Zustand X = 0
nennen wollen) zeigt Fig. 138; die Zustände X« = — 1 und X^=: — l
sind in den Figuren 139 nnd 140 dargestellt worden. In allen drei
Fällen handelt es sich um die Untersuchung eines einfachen Fachwerk*
balkens ÄB\ die Stützenwiderstände und die Spannkräfte {S^^ 5«, S^
lassen sich also leicht ermitteln. Ist dies geschehen, so werden die von
den Spannkräften S^ und S^ sowie von Temperaturänderungen t henror-
gerufenen Längenändemngen

Ad« = . Aä* = , li8* = tts

• EF EF

berechnet nnd die durch diese A« verursachten Verschiebungen der Kno-
tenpunkte ermittelt.

Der erste dieser Pläne liefert:
8^,= Verschiebung von m im Sinne von P«**) in Folge X« = — 1
o.a == „ „ a ,, ,, ,, -Xa= ly) „ X. = — 1

0»a = n II ^ »» i> »I X>^ 1 „ A« = 1.

Der zweite Plan liefert:
8^5 = Verschiebung von m im Sinne von P^ in Folge X* = — 1
ö«i = }) u ö I» t» »» Xa= 1 „ Xj = — 1

Ow == u »» ^ ♦> »» »> X5==- 1 „ Xft = — 1;

der dritte Plan endlich:
h^t = Verschiebung von m im Sinne von P«, in Folge der t

öfl« n »> ^ >> ♦» if -^a 1 >j »

öfr« = ff f, V ., ,, „ -X>= 1 „ t

(Nach dem Maxweirschen Satze muss sich h^h = Km herausstellen, eine
Bedingung, die zur Prüfung der Zuverlässigkeit der Zeichnung benutzt
werden kann).

*) Wir wählen jetzt dieselben Bezeichnungen wie in der Einleitung.
**) Abgekürzte Ausdnicksweise an Stelle von: 0«« = Projektion der Ver-
schiebung von m auf die Richtung von P«, positiv im Sinne von P»,. Zu be-
achten ist, dass der zweite Buchstabe des an S gesetzten Doppeizeigers stets
auf die Ursache der Verschiebung hinweisen soll und mit dem Zeiger der Be-
lastung X übereinstimmt.

t) Diese Verschiebung wird also positiv gezählt im Sinne der in a (Fig. 139)
angenommenen Last 1.

Das statiscli unbestiinmte Fachwerk.

147

Die GleichuDgen zur Berechnung der X ergeben Bich nnn wie folgt.

Die auf das Fach werk AB wirkenden Belastungen P«,i X^^ Xf, werden
im Verein mit Temperaturänderungen t und etwaigen anderen Ursachen
(z. 6. Bewegungen der Widerlager A und B) die Punkte a und h im
Sinne JT. = — 1 und X* = — 1 um Strecken 8. und 8* verschieben,
welche geradlinige Funktionen der P, X«, JT», t sind*) und sich auf die
Form bringen lassen:

8. = 2P«,80«» — -X.8,. — Xi,\^ + 8«, + 8«^,

8» = SP«8fr^ — X«8ft« — Xi,\i, + '*« + ^»t»»

wobei die Grössen 8«» und 8»« den Einfluss jener ,, anderen Ursachen^

zum Ausdruck bringen. Die Koefficienten der X sind, bereits vorhin

erklärt worden (8.^ ist z. B. der Werth, den 8« annimmt, wenn nur

Fig. 187 n. las.

Flg. 1S9 n. 140.

die Ursache X« = — 1 wirkt) und ganz ebenso lassen sich die 8««, und
8». deuten, welche bezw. den Einfluss von P»= 1 auf 8« und 8^ darstellen.
Nun ist aber nach dem Maxweirscben Satze die Verschiebung 8««,
welche a im Sinne Xa= — 1 und in Folge der Last Pm= 1- erfahrt, ebenso
gross wie die Verschiebung 8|„«vonm im Sinne von P«.» hervorgerufen
durch X«= — 1, und in gleicher Weise ergiebt sich 8»m = 8m», so dass
obige Gleichungen übergehen in

8a = 2P,.8Ma X.8aa XjS.j + ^mi + ^au>

8» = 2P«,8«,» — X«8j. — X*8»ft + 8», + 8»^.

*) Diese Eigenschaft ist in der EinleitoDg erörtert worden; sie folgt aber
auch ohne weiteres aus den Untersuchungen in den §§ 1 — 3; denn zwischen
den auf feste Richtungen projicirten Verschiebungen ^ und As bestehen nur
Beziehungen ersten Grades, ebenso zwischen den As und den Lasten.

10*

148 Erster Abschnitt — § 5.

Die auf der rechten Seite stehenden 5 sind mit Ausnahme der 5«^
und 5»^ durch die Torhin angeführten drei VerschiebungsplSne bereits
bestimmt; für S« und \ sind die lothrechten Verschiebungen der Stütz-
punkte a und b einzuführen.

Setzen wir bei A und B starre Widerlager voraus, nehmen wir
femer an, dass weitere Ursachen, welche „Stürungsglieder*' S.«, h^^
erzeugen, nicht vorhanden sind, so ist K^ = 0, 5(^ = 0. Vernach-
lässigen wir noch die Zusammendrückung der Grundpfeiler der Säulen
und des Bangrundes, so ist S« gleich der Verkürzung der durch X^ auf
Druck beanspruchten Säule CD^ vermindert um die Verlängerung, welche
diese Säule in Folge der Temperaturerhöhung erfährt.*)

Es ergiebt sich:

worin ^«, F^, t^, e«} K bezieh, die Elasticitätsziffer, den Querschnitt, die
Temperaturerhöhung, die Ausdehnungsziffer für t= 1^ und die L^nge
der Säule CD bedeuten: und ebenso folgt:

^* ~ ~ä^~c^ eft/jÄj,

Jetzt können die Grössen X«, X» aus den beiden für 5« und 6^
abgeleiteten Gleichungen berechnet und hierauf die Spannkräfte:

S = Sq — SftX^ — OftX^.
bestimmt werden.

60« Uebungsaufgaben. Der im vorstehenden Beispiele einge-
schlagene Weg führt bei jedem statisch unbestimmten Fachwerker
welches sich durch Beseitigung von überzähligen Stäben und Auflager-
bedingungen in ein statisch bestimmtes verwandeln lässt, zum Ziele.
Treten mehrere statisch nicht bestimmbare Grössen X«, X», X,, . . . auf»
so erhält man:

*) Es ist streng darauf zu achten, dass bei der Untersuchung des Ein«
flusses der Bewegungen der Stützen auf die Glieder $«» und ^^w nur die Wi-
derlager des statisch bestimmten Trägers (hier der einfache Balken AB) m
Betracht kommen; die X« und Xb sind gewissermassen Lasten, welche ausser
den P auf diesen statisch bestimmten Träger wirken. Die Bewegungen der
überzähligen Stützenpunkte {C und E) werden bei Aufstellung der Bedingungen
berücksichtigt, denen die Verschiebungen S« und d» schliesslich unterworfen wer-
den. Als weitere Ursachen von Störungsgliedem $«« und d»v kommen in Wirk-
lichkeit nur noch künstliche Anspannungen und unrichtige Ablängungen von
Stäben in Betracht; diese lassen sich aber nach Seite 86 bei Wahl der Tem-
peraturen t berücksichtigen. In der Regel werden die Glieder da» und ^^w ge-
strichen, da sie sich schwierig schätzen lassen. Vei^l. auch Seite 22 den
letzten Absatz.

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

149

8.=

ma

I'-

2P,8,

2P.8,»

SP-S

mc

-XfcSaj — X^5.^ — . . . . + 8., -{■ 8

^k^bb ^e\c • • • • + S», + 5*

^bKb ^cK» . . . . + 8c« + 8,

aw

ew

Die als Coefficienten der P und X auftretenden 8 sind bestimmt,
sobald die den Belastnngsznständen X« = — 1, X»= — 1, X^,= — 1...
entsprechenden Verschiebungen der Knotenpunkte ermittelt worden sind.

Fig. 141.

Fig. 142.

Fig 143.

Fig. 144

^!^^^

y^^.

Fig. 145.

Die 8«^, 8«^, 8«^ . . . werden in der Regel = 0 gesetzt. Will man
sie berücksichtigen, so beachte man, dass (nach Seite 35) 8«« = — X«,
\^ = — X^ . . . ist, wobei X« die virtuelle Arbeit der Stützenwider-
stftnde des statisch bestimmten Hauptnetzes für den Belastungszustand
-X^ = — 1 ist, L» für den Zustand -Xi = — 1, u. s. w. Die 8«, 8»,
8« . . . werden schliesslich gewissen Bedingungen unterworfen und hierauf
werden die Gleichungen (I) aufgelöst. Btm Leser wird empföhlen, an
dieeer Stelle das in der Einleitung vorgeführte Beispiel noch einmal an der

160

Erster Abscbnitt -

Band des MaxweU'echtn Satzei durehsugehen und dann die in den Fi-
guren 141 Ms 145 abgel^ldeten Faehwerke in derselben Weise xv behandeln.
Welche QrOesen ah stKÜsoh nicht bwtimmbar einznftthren siod, ist ia
den Fignren angegeben woiden. Feste Anfla^rgelenke Bind mit (ft)
bezeichnet.

ei. Usber dl« Wahl der OrOssen X In der Regel wird es
nicht schwer &llen, diejenigen Spannkrifle und Stfltzen widerst finde
eine« statisch an bestimmten Fachwerks heraoEznfiDden , welche zweck-
mässig m den mit Hilfe Ton Eluticitatsglelchnngen zn bestimmenden
QrOesen X gewihlt werden. Vor allem wird man danach streben, dass
das statisch bestimmte Fachwerk, welches dni'ch Beseitigung der als
überzählig bezeichneten Stäbe und Änflagerbedingnogen gewonnen wird,
möglichst einbch ist. So leuchtet z. B. obnes weiteres ein, dass die in
No. 57 darchgefahrte Verwandlung des Bogene mit zwei festen Ge-
lenken in ein Facbwerk mit einem festen nnd einem beweglichen Ge-
lenke zweckmässiger ist als die Vernandlnng in einen Bogentrtlger mit
drei Gelenken, za welcher man dnrch Wegnahme eines Qnrtsiabes ge-
langt wBre; denn die Darstellnng der Formäcdemng ist fUr diesen
Bogentiltger etwas umständlicher ala flir das Fachwerk in Fig. 132.

Sodann ist hervorzuheben, dass nicht jeder Stab und jede Anf-
lagerbedingnng eines statisch unbestimmten Facbwerks als flberzEhlig
bezeichnet werden dflrfen. Wollte man z. B. bei dem in Fig. 146 ab-
gebildeten sichelförmigen Bogentrfiger, dessen Gnrtftäbe EO und JF
sich in einem Punkte C der Geraden AB schneiden, die Spannkraft
de« SchrBgstabeB EF zur GrSsse X wOhlen, so wUrde man mit X= 0
einen Bogentrftger mit einem Gelenkviereck erhalten, der zwar im
allgemeinen steif, im Torliegenden Sonderfalle aber yon unendlich
kleiner Beweglichkeit wKre, da die drei Punkte A, C, B ia dieselbe
Gerade fallen. Dass EF ein nothwendiger Stab ist, mithin nicht
entfernt werden darf, erkennt man auch, wenn man die Spann-
kraft D des Stabes EF mittels des Bitter'soben VerßUirens berechnet.

Das statiBch unbestimmte Fachwerk.

161

d. h« die Summe der anf den Drehpunkt C bezogenen Momente-

der am Trägertheile links vom Schnitte it angreifenden Kräfte = 0

setzt. In cUeser Qleichnng kommen ausser D nur noch die Lasten

Pi, P| und der Stützen widerstand Ä vor, und für den letzteren findet

SP6
man aus der Momentengleichung für den Punkt B den Werth A = — = — ,

so dass für D ein nur von den Kr&ften P abhängiger Ausdruck er-
balten wird, der nur bei ganz bestimmter Lastvertheilung verschwindet.

Ein besonders lehrreiches Beispiel bietet der Träger in Figur 147*),.
welcher drei feste Auflagergelenke A, P, C und zwei Mittelgelenke 2>
und E besitzt und einfach statisch unbestimmt ist. Er sei so geformt^
dass sich die Geraden AD und CE in einem Punkte F der Senkrechten
durch B schneiden.

Sind die Scheiben I und II ^

unbelastet I so gehen die Wider-
stände der Stützen A und C be-
ziehungsweise durch die Gelenke
D und E. Zerlegt man nun den
Widerstand der Mittelsttttze in
die senkrechte SeitenkrafI; B und
in die wagerechte H^ und be-
lastet die Scheibe III mit einer

Kraft P, 80 erhält man (mit den in die Figur eingetragenen Hebel-
armen h und r) die Gleichgewichtsbedingung

und erkennt, dass H im allgemeinen nicht = 0 gesetzt werden darf;
und in der That führt die Beseitigung der wagerechten Stützung des
Punktes B zu einem Fachwerke, welches zwar die erforderliche Anzahl
Ton Stäben und Auflagerbedingungen besitzt, trotzdem aber verschieb-
lich ist, wie am sichersten und einfachsten mit Hilfe der im Band I Ab-
schnitt XIII eingeführten Figur F^ nachgewiesen werden kann. Zu diesem
Zwecke ersetzen wir zunächst die steifen Scheiben I, 11 und III, deren
Gestalt für die anzustellende Untersuchung gleichgiltig ist, durch ein-
facher geformte. Dämlich I und II durch je einen Stab und III durch
ein Dreieck (Fig. 148); sodann verbinden wir jedes feste Auflagergelenk
durch zwei Stäbe und das bewegliche Auflagergelenk durch einen in die
Richtung des Stützenwiderstandes B fallenden Stab mit dem die 6e-
sammtheit der Widerlager vorstellenden Dreiecke HJK und erbalten
auf diese Weise ein sehr leicht zu übersehendes Fachwerk. Dass sich

Fig 147.

*) Yerg^ auch Fig. 148, Seite 149.

162

Erster Abschnitt — § 5.

/ V ! / \

nun für dieses Stabgebilde eine Figur (F') zeichnen Iftsst, welche der
Fachwerksfigor {JP) unähnlich ist, lehrt ein Blick auf die Abbildung
148'*'); und damit ist bewiesen, dass jenes Fach werk beweglich ist.
Die Beweglichkeit ist allerdings — starre St&be vorausgesetzt — eine
unendlich kleine, der Träger ist aber in Folge dessen unbrauohbar.

Es möge schliesslich noch darauf
>t^ hingewiesen werden, dass im allge-

meinen ein statisch unbestimmtes Fach-
werk mit Hilfe der Figur jP' auf Be-
weglichkeit untersucht wei*den muss,
noch ehe auf die Frage, welche GW^-
sen mit X zu bezeichnen sind, ein-
gegangen wird; denn es kann vor-
kommen, dass die Beweglichkeit nicht
Fig. 148. erst durch Beseitigung von Stäben oder

Auflagerkräften herbeigeffihrt wird,
sondern schon vorher besteht. Beispiele hierfür bieten die Figuren 149
und 150. Erstere stellt ein ebenes Stabgebilde von endlicher Beweg-
lichkeit vor, was leicht zu erkennen ist, weil das Gebilde aus der Form
a in die Form h gebracht werden kann, und letztere zeigt ein ebenes

urj

*M

Fig. 149.

Flg. 16a

Fach werk, welches selbst dann von

unendlich kleiner Beweglichkeit

sein würde, wenn sämmtHche Stäbe

starr wären; denn die Scheibe

\ — 2 — 8 — 4 kann sich so lange um den Punkt C, in welchem die

Achsen der an der Scheibe angreifenden Stäbe zusammentreffen, drehen,

bis jene Achsen nicht mehr durch einen Punkt gehen, was nach einer

unendlich kleinen Drehung der Scheibe der Fall sein wird. Bezüglich

*) Die Punkte Ä^ C\ H\ J*, JT wurden beziehw. mit A, Cy JT, J", K zu-
sammenfallend angenommen.

Das statisch unbestiinmte Fachwerk. 153

der Stabgebilde von unendlich kleiner Beweglichkeit verweisen wir
noch auf die in der Einleitung, Seite 87, angestellten Betrachtungen.
Dort wurde gezeigt, dass bei solchen Fachwerken die Vernachlässigung
der Längenftnderungen der Stäbe nicht erlaubt ist, auch henrorgehoben,
dass derartige Stabwerke als Träger ungeeignet sind.

b. Vereinfachung der mittels des ilaxweil'tchen Satiei abgeleiteten

Elasticitittgieichungen.

02. Allgemeines. Die Elastidtätsbedingungen I auf Seite 149
(b. auch Seite 85, Qleich. 85) lassen sich stets so umformen, dass in
jeder Bedingung nur eine unbekannte X vorkommt, welche dann ohne
weiteres aus dieser Qleichung berechnet werden kann. Um dies zu er-
reichen, muss man die statisch nicht bestimmbaren Ghrössen so wählen,
dass alle diejenigen Coefficienten h der X verschwinden, welche einen
aus zwei verschiedenen Buchstaben gebildeten Zeiger haben, nämlich:
8,ft = 8»., 8.^ = 8^., 8», = 8,», u. s. f.

Es ergeben sich dann die einfachen Beziehungen:

Sa = 2 Fjb^^ — XJha^ -f- 8a# + \w
\ = SP^8^» — -^ftS^ft + ^ht + \w

(11)

Diese Umformung bezweckt nicht allein die Umgehung der an und
für sich einfachen Aufgabe, Gleichungen mit mehreren unbekannten auf-
zulösen, sondern auch die Vermeidung grosserer Fehler, die bei An-
wendung der Bedingungen (I) meistens unausbleiblich sind, sobald die
Verschiebungen 8 auf zekknerischem Wege ermittelt werden. Liegt
beispielsweise ein zweifach statisch unbestimmtes Fachwerk vor, fUr
welches der Einfluss einer Einzellast Pm auf die Grössen X^ und X^ an-
gegeben werden soll, so hat man (wenn 8. = 0 und 8^ = 0 sind):

0 = Pt^imu, ^mKa ^hKb

0 = Pm^mh ^\a ^h^hb

und hieraus:

^a S^«S»ft S^»Sa» X» 8^»Sa» S«„a8fta

Man erhält also, falls die Glieder, aus denen die vorstehenden Brüche
bestehen, positiv sind, die X:P als Verhältnisse von unterschieden
und kann schon bei geringen Zeichenfehlem zu ganz unrichtigen Er-
gebnissen gelangen. Wurden z. B. für Zähler und Nenner von X^ : P»»
die Werthe 151,87 — 149,12 = 2,75 und 223,81 — 220,58 = 8,23

164 Erster Abschnitt — § 5.

anstatt der genaueren: 151,58 — 149,34 = 2,24 nnd 224,67 — 220,68
= 3,99 erhalten, so findet man

A = ^'- = 0,85 statt A = - "^'-t = 0.56,
P^ 3,23 ' P^ 3,99 • '

bekommt also trotz den geringen Fehlern in den einzelnen Zahlen einen
um 52% zu grossen Werth X^iP^,

Nach den Erfahrungen des Verfassers empfiehlt sich die Anwendung
der Gleichungen (I) bei mehrfach statisch unbestimmten Fach werken nur
dann, wenn die Verschiebungen 5 durch Rechnung ermittelt werden
und zwar auf mehrere Decimalstellen, die erst nach Bestimmung der
X zum Theil abzuwerfen sind. Meistens kommen nur parallele Lasten
in Betracht, in welchem Falle nur die Berechnung von Biegungslinien
nach dem in No. 49 gelehrten Verfahren verlangt wird.

Entscheidet man sich aber für die Anwendung von Versohiebungs*
planen, so forme man die Gleichungen (I) auf die im folgenden ge-
lehrte Weise in II um. Dabei wird sich zeigen, dass diese Umwand-
lung bei Fachwerken Von niedrigerem Grade statischer Unbestimmtheit
(und diese kommen ja fiftst allein Tor) sehr einfach ist. Je grOseer die
Anzahl der X, desto umständlicher wird es, die Gleichungen (II) her-
beizuführen.

Vorausgeschickt werde noch, dass in den nachstehenden Unter-
suchungen die X entweder Einzelkrfifte oder Momente von an starrea
Scheiben angreifenden Erfiftepaaren bedeuten. Im ersten Falle bezeichnet
das zugehörige h eine Verschiebung, im zweiten einen (im Bogenmaass
ausgedrückten) Drefaungswinkel. Ist also z. B. X^ eine im Punkte a «Dr
greifende Einzelkraft, so bedeutet 5« die Projektion der Verschiebung^
von a auf die Richtung X^, Stellt JT. das Moment eines an einer
stan'en Scheibe [d] angreifenden Erftftepaares vor, so giebt &« den
Winkel an, um den sich die Scheibe [a] dreht. Die 5«, S», . . • werden
in entgegengesetztem Sinne positiv gezählt wie die zugehörigen Grössen X»
Bezüglich der übrigen Bezeichnungen verweisen wir auf Seite 35 (vgl.
auch No. 59). Greifen zwei Einzelkräfte X^ X, an demselben Punkte
an, so wählen wir für diesen den Buchstaben r oder 9, je nachdem
wir den Punkt als den Angriffspunkt von Xr oder von X« besonders
ins Auge fassen.

Schliesslich machen wir darauf aufmerksam, dass in den folgenden
Beispielen bei unverschieblichen Widerlagern mit den Grössen h^^^ 5»^, . . »
auch stets die S«, 5», . . . verschwinden, so dass sich für den Einfiusa
der Lasten P auf die Grössen X die Formeln ergeben:

(in) x„ = ^^^; x»=^^-*-»

Km S|

. . . •

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

156

nnd für den Einflass von Temperaturänderangen die Ausdrücke:
(IV) X.= l-|^; X..= l ^*'

• • • •

Flg. 151.

68. Bas Bweifach Btatifloh unbestiminte Fachwerk. Als statisch
nicht bestimmbare Grössen lassen sieb hier stets zwei in einem und
demselben Punkte angreifende Einzelkräfte X« und X« einführen. Die
Gleichungen II gelten, sobald 5^« = S«« = 0 ist. Um dies zu er*
reichen, nehme man die Richtung von X« willktLrlich an, bestimme die
Verschiebung a<ii, welche a in Folge des Be-
lastungszustandes Xa= — 1 erleidet und nehme
X» rechtwinklig zu aa^ an. Dann wird S»« = 0,
denn es bedeutet ita ^lo Verschiebung, welche
b in der Richtung X» erföhrt, wenn nur die
Ursache X^= — 1 wirkt. Trägt man nun den
Verschiebungsplan tür den Zustand Xi,= — 1
auf, so muss sich bei sorgfältiger Zeichnung
für den Punkt h eine zu X« rechtwinklige
Verschiebung hb^ ergeben, denn sobald 5»« = 0
ist, muss auch 5«ft=0 sein, weil 86.= S^j ist.

1. Beispiel,
Der in Fig. 152 dar-
gestellte, über zwei
Oeffnungen gespannte
Bogenträger, welcher
bei A und C feste, bei
B ein bewegliches Auf-
lagergelenk besitzt, ist
zweifach statisch unbe- j^--
stimmt. Als Grössen X
sollen die nach festen
Richtungen wirkenden
Seitenkräfte XaUndXb
des in A angreifenden
Stützen Widerstandes
eingeführt werden. Im
FalleX«=Ou.X»— 0
geht der Träger in

einen statisch bestimmten Balken mit den Stützen B und C und einem
auskragenden Arme BA über. Für diesen Balken wird nach willkür-
licher Wahl der Richtung von X. der dem Zustande X. = — 1 ent-
sprechende Verschiebungsplan gezeichnet, welcher für a die Verschiebung
aa^ und für irgend einen Knoten m die Verschiebung tniUi ergeben

Flg. 158. 158. 154.

166

Erster Abschnitt — § 5.

mOge. Nan wird X^ rechtwinklig zu aai angeDommen und der Ver-
echiebungsplan lür X» = — 1 aufgetragen; derselbe liefert für den
Punkt b eine zu X^ rechtwinklige Verschiebung bb^ und far m die Ver-
schiebung tnm^. Nach Bestimmung der in die Figur 152 eingetragenen
Projektionen 5««, S»», 5««, 5«», (von denen 5«. negativ ist) erhält man
den Einfluss von P^:

X = P.

8..

X, = F^

mb

^bh

Wird sämmtlichen Stäben die gleiche Temperaturfinderung t zuge-
schrieben, und liegen Ä, B^ C m einer zur Bahn des Lagers B paral-
lelen Geraden, so erfährt der Endpunkt Ä des Balkens ABCiw Folge i
eine wagerechte Verschiebung von der Grösse Ul (wo l = AC)f deren
Projektionen auf die Richtungen von X« = — 1 und X^ = — 1 be-
ziehungsweise 5«« = s/2 und 5*1 = et; cos 9 sind (wo 9 den Neigungs-
winkel von Xi gegen die Wagerechte bedeutet) und es ergiebt sich
deshalb:

ttl et/ cos 9

JCfc, = 1 — r

Obb

X.,= l

8..'

2. Seispiel. Der Fachwerkbogen in Fig. 155 ist bei Ä und B
fest gelagert und besitzt einen überzähligen Stab CD; er ist also zwei-
fkch statisch unbestimmt. Wir verwandeln das feste Gelenk in ein be-
wegliches, denken uns aus dem Stabe CD ein Stück EF herausge-
schnitten, führen die Punkte E und F in der Geraden CD, fügen die

FIc. 155.

Flg. 156.

starren Stäbe EO, FG, GH und AH hinzu und bringen in H zwei
Kräfte X^ und X^ an, welche wir so bestimmen, dass die gegenseitige
Verschiebung des Punktepaares CD ebenso gross wird wie die Längen-
ändemng des überzähligen Stabes und dass femer (unbewegliche Widerlager
vorausgesetzt) die Verschiebung des Punktes A den Werth Null annimmt.
Dann stimmen die Spannkräfte der Träger in den Figuren 155 und 156
miteinander überein. Die Spannkraft des Stabes AH giebt den wage-
rechten Widerstand des festen Auflagergelenks ^ an. Zu beachten ist,

Das statisch unbestimmte FachwerJt.

167

das8 GH_\_ CD und /__ EGH= l_ FGH sein mnae, damit sich für
die Stäbe CE and FD gleich grosse Spannkräfte ergeben; auch em-
pOehlt es sich, den Stäben CE und FD Querschnitte F\ F" und Tem-
peraturänderungen t', C zuzuschreiben, welche zur Folge haben, dass die
Summe der Längen änderungen von CE und FD gleich der LSngen-
änderung des überzähligen Stabes CD ist. Entsprechen dem letzteren
daher die Werthe F, % und ist CD = 8f CE = s\ FD = 8\ so muss

sein:

-^ + 1^ = — und t's + fs' = t8.

Es wird dann ausser der Verschiebung des Punktes Ä die gegen-
seitige Verschiebung des Punktepaares EF gleich Null gesetzt und hier-
aus 5« — 0, S» = 0 gefolgert. Wählt man nun nach willkürlicher An-
nahme der Bichtung Ton X«, die Kraft Xi, rechtwinklig zu der Ver-
schiebung, welche a in Folge von JT« = — 1 erfährt, so gelten wie
vorhin die Gleichungen:

X.= P^

hau

X, = P^

Schreibt man sämmtlichen Stäben die gleiche Temperaturänderung t
zu (mit Ausnahme der Stäbe CE und FD^ für welche 1^ bezieh. ^"^
anzunehmen sind) so erhält man wie im vorigen Beispiele:

eil .. . &tl cos 9

X., = 1

8

X* = — 1

bb

Das Minuszeichen ist erforderlich, weil Xj, jetzt einen anderen Bichtungs-
pfeil besitzt.

S.Beispiel. Träger
mit einem festen und drei
beweglichen Auflagergelen-
ken, Fig. 157. Das Ver-
^Eihren ist in der Abbildung
angegeben worden. Die
Stäbe ÄE und CF sind
rechtwinklig zu den Bahnen
der Auflager Ä und (7; ihre
Endpunkte E und F werden
in den Bichtungen ^l^und
CF geführt

64« Bas dreifach sta-
tisch unbestimmte Faohwerk. Man schliesse an das statisch be-
stimmte Fach werk, in welches das unbestimmte in Folge Beseitigung der

Flg. 157, 1&8.

168

Erster Abschnitt. — § 5.

überzähligen Stftbe und Aaflagerbedingnngen übergebt, auf irgend eine
Weise eine starre Scheibe an nnd belaste diese mit einem Kräftepaare,
dessen Moment = X^ ist, femer mit zwei in demselben Pankte (&, c)
angreifenden Einzelkräften X» nnd X«. Hierauf nehme man die Werthe
S« (Drehungswinkel der Scheibe), 5» (Verschiebung von h im Sinne
X» = — 1) und hc (Verschiebung von c im Sinne X, = — 1) so an,
dass die an der Scheibe angreifenden Kräfte auf das statisch bestimmte
Fachwerk genau dieselbe Wirkung ausüben, wie die beseitigten über-
zähligen Glieder. Wählt man nun den Pol, um den sich die Scheibe
in Folge des Belastungsfalles X« = — 1 dreht, zum Angriffspunkte von

X^ und X«, so erzielt man, dass
8j^ = 0 und hca = 0 wird, und
es müssen sich dann bei sorg-
fältiger Zeichnung oder Rechnung
die Drehungs Winkel 5«^ und 5.^,
welche die Scheibe in Folge
Xi = — 1 und X;, = — 1 erfuhrt,
ebenfalls = 0 ergeben. Nimmt
man schliesslich, bei willkürlich
gewählter Richtung von X», die
Richtung von X« rechtwinklig zu
der Verschiebung an, welche der
Punkt Q>, c) in Folge der Ursache
Xt= — 1 erfährt, so wird8<.ft=0
und damit auch 6(J=0, und es
gelten dann die Gleichungen II.
1. Beispiel. Liegt der in
Fig. 159 dargestellte, in der
Regel als Fachwerkbogen mU ein'
gespannten Enden bezeichnete Trä-
ger vor, so ersetzt man das linke
Widerlager durch die starre
Scheibe ^^X nnd den nach Lage
und Grösse vorläufig unbekannten
Kämpferdruck X durch einKräfte-
paar mit dem Momente X« und
durch zwei nach festen Richtungen
wirkende Einzelkräfte X» und X«.
Hierauf zeichnet man den Verschiebungsplan für den Belastungszustand
Xa = — 1 9 indem man in Ä und B zwei entgegengesetzt gleiche im

Abstände e von einander wirkende, parallele Kräfte von der Grösse —

e

Fig. 159, 160, 161, 162, 168.

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

169

annimmt, Gestimmt die Verschiebangen ÄAi und BB^ von A and B
und wählt hierauf den Angri&pankt L von Xj, und Xc so, dass LA \ ÄA^
und LB \_BBi ist. Dann ist L der Drehpol der Scheibe fdr den Za-
stand X. = — I ; es ergiebt sich 8», = 0, 8,. = 0 und deshalb auch

Oah =^^ ^> 8.^ = 0.

Die Richtung von X« wird willkürlich gewählt und die Richtung
von X« rechtwinklig zu der Verschiebung angenommen, welche L in
Folge X* = — 1 erfährt, damit 8.» = 8*^ = 0 werde. Schliesslich wer-
den bei starren Widerlagern die Werthe 8«, 8» und 8«, = 0 gesetzt und
die Gleichungen (II) aufgelöst. Für den Einfluss von P^ gelten die
Oleichungen III, für denjenigen Ton t die Gleichungen IV (S. 154 u. 155).

2. BeispieL Soll der in Fig. 164 abgebildete, über 8 Oeff-
nungen gespannte Bogenträger mit den festen Auflagergelenken A, D
und den beweglichen Auflagergelenken jB, C untersucht werden, so er-
setze man die Stützen A und C auf die in der Figur angegebene Weise
durch eine starre Scheibe AF und einen zur fiahn des Auflagers C
rechtwinkligen Stab CF^ belaste die Scheibe mit einem Kräftepaare X«
und zwei in demselben Punkte L angreifenden Einzelkräften X«, X« und

Fig. 164.

Terfiahre wie bei Lösung der vorigen Aufgabe. Behufs Bestimmung
des Punktes L ermittle man für den Zustand X^ = — 1 die Ver-
schiebungen von A und C, hierauf die Verschiebung von F und trage
AL und FL rechtwinklig zu den Bewegungsrichtungen der Punkte A
bezieh. F ein. Bei starren Widerlagern sind 8., 8» und 8« gleich Null
zu setzen.

65. Bas vierflaoh statiBoli unbestimmte Fachwerk. Man lasse
die Kräfte X«, X», X«,, X^ auf eine aus zwei starren Scheiben I, II und
zwei starren Stäben l', it gebildete kinematische Kette (Fig. 165) wir-
ken, welche mit dem statisch bestimmten Hauptsysteme so verbunden
wird, dass sich die von den Ursachen X« = — 1, X^ = — 1, X« = — 1,

160 Erster Absohnitt — § ö.

^« ^ — 1 herroFgerafenen Spannkräfte S,, St, S„ St eindeutig and auf
möglichst einfache Weise mittels der Oleichgewichtobedingnngen be-
etimmen lassen. Die Scheibe I belaste man hierbei mit den Einzel-
brftften X. und X/), die Scheibe // mit den Einielkraften X. nnd X^.
Die ganze Anordnung wfthle man so, dass man die Belastangszustände
X, = — 1 und Xt= — 1 vollständig erledigen kann, ohne die Lage
der Scheibe U zn kennen.

Die Lage von X^ darf willkürlich angenommen werden; X» rnnse
dnrch den Pol /, gehen, am den sich die Scheibe / in Folge der Be-
lastung X, = — l dreht. Man erreicht dann: 8», ^Sa,= 0.

Nach Bestim-

<?^ mnngderVeischie-

/,' bangen inFolgeder

^ ' UreaoheX,= — 1,

welche fOr die

Scheibe I den Pol

/» liefern mSge, gebe

man der Scheibe //

eine solche Lage,

dass die Pole //,

nnd Ilt um welche

sich // bei Eintreten

der Belaatungsm-

stände X, ^ — 1

andX^^ — 1 dreht,

zosam men&llen,
nnd diesen gemein-
schaftlichen (in der
Fig ,65. Fig. I65)mit£be.

zeichneten Pol wähle
man zum Ängri&ponkte der Krftfte X, und Xc Dann wird nSmlich
8,, = 0, 8,» ^ 0, 8^, ^ 0, Sit ^ 0 nnd in Folge dessen auch 8,, = 0,
8t, ^ 0, 8.J := 0, hi4 = 0. Schliesslich nehme man bei willkürlicher
Wahl der Richtung Ton X. die Kraft Xj rechtwinklig zu der Ver-
schiebung an, welche Punkt L in Folge X, = — 1 erfahrt, damit
84, = 8,j=0 werde. Die Gültigkeit der Elastioittttsgleichnngen II ist
hiermit erreicht.

Die Lage des Punktes L bestimmt man am schnellsten mit Hilfe
des im I. Bande Abschnitt XIII abgeleiteten Satzes von ^en drei
Polen. Die Pole {/ ■ f) Ton I gegen /' und (f • II) von l' gegen II

•) Die Kraft X, darf auch durch ein Eräftepaar ersettt weiden.

Das statisch unbestimnite Fachwerk.

161

fallen mit Gelenk B bezieh, dem Schnittpunkte von AB und CD zn-
sammen, Pol (I'll) mit A. Die dnrch 7« and (I'f) ferner durch /^
und (/•/") gelegten Geraden sind die Oerter der Pole // und //, nm
welche sich f in Folge von X« = — 1 bezw. Xi, = — 1 dreht, und
welche mit (l' 'it) in derselben Geraden liegen. Da nun weiter die
8 Pole (I-II)y Imt lim in einer Geraden liegen müssen, desgleichen die
Pole (I'II) Ibn Ilbi 80 ergiebt sich die folgende Bestimmongsweise der
gesncfaten Kette.

Man nehme (I'II) in der Geraden 7« — 7^ an, wfthle die Lage
des Stabes BC nach Belieben, bestimme die Pole ij und 7/ nm welche
sich l' in Folge X. = — 1 und X^ = — 1 dreht, bringe die Geraden
7/ — 7/ und ^^ in (7^ 77) zum Schnitt und stelle nun die (durch
den Punkt I* • II gehende) Richtung des Stabes CT), dessen Länge will-
kürlich ist, fest Schliesslich findet man L als Schnittpunkt der Ge-
raden 7/ — Ih nnd J. — /^.

BeispieL Li Fig.
166 ist das beschriebene
Verfahren auf einen über
drei Oeffiaungen gespann-
ten Bogentr&ger mit den
festen Gelenken A und E
und den auf wagerechten
Geraden beweglichen Ge- A^
lenken B, C und 7> ange-
wendet worden. Die
Seheibe I wurde mit dem
Kräftepaare X. und der
Einzelkraft X» belastet.
Die Einführung eines
Kräftepaares X« bietet
den Vortheil, dass sich
die Spannkräfte 5« und
Längenänderungen A«.
für den Zustand X« = — 1
angeben lassen, ohne dass {y
über die Länge des Stabes ^-—
CG etwas festgesetzt zu
werden braucht, denn
wie lang auch CQ gewählt wird, stets werden durch die Scheibe 7 in
Folge X^ = — 1 auf die Punkte A und C des statisch bestimmten

Hauptsjstems zwei entgegengesetzt gleiche lothrechte Kräfte — Über-

— e —

rig. 166.

Mftller-Brealaai OraphUche Statik. II. 1.

11

162 Erster Abschnitt — § 5.

tragen , wobei e ^ dem wagerechten Abstände Ä C ist. Hat man nnn
fttr diesen Belastnngszustand die Verschiebnngen der Pankte A nnd C
ermittelt, so kann man durch eine passende Wahl des Punktes G eine
bequemere Lage des Poles erzielen, um den sich / dreht und durch den
ddnn Xi, gehen muss. Ist der Belastungsfall X« = — 1 erledigt, so
untersucht man den Zustand X^ = — 1. Hierbei braucht man die Lagen
der Stäbe /' und it noch nicht zu kennen und wird diese nachträglich
so wühlen, dass der Angriffspunkt L (d. i. der Pol //« und zugleich
der Pol //ft) günstig liegt, wobei zu beachten ist, dass man den Stab
DF auch nach Fig. 166'' durch zwei Stäbe 2>J und FJ ersetzen darf,
deren gemeinsames Oelenk J in lothrechter Richtung geführt wird. Bei
starren Widerlagern wird schliesslich 8^ = 0, 8* = 0, 8^ = 0, 8^ = 0
gesetzt.

66« Träger von höherem Grade ataÜBoher Unbestinimtheit.
Ist die Anzahl der statisch nicht bestimmbaren Werthe X grösser als
4, 80 ist es möglich, das gesteckte Ziel durch wiederholte Lösung der in
Fig. 165 behandelten Aufgabe zu erreichen: die Pole //« und //» mitein-
ander zur Deckung zu bringen, um dies an einem Beispiele zu zeigen,
denken wir uns den Bogenträger in Fig. 1 66 rechts von ^noch um mehrere
Oe&ungen verlängert und nehmen an, dass über sämmtlichen Mittel-
stützen bewegliche Lager mit wagerechten Bahnen angeordnet sind, an
beiden Enden hingegen feste Auf lagergelenke. Die beweglichen Auflager
seien beseitigt, an ihre Stelle mögen lothrechte Stäbe treten, an welche
in gleicher Weise wie an die Stäbe CG und DF noch weitere starre
Stäbe und Scheiben angereiht werden sollen. Ebenso wie nun die
Scheibe II in Abb. 166 an den Stab DF und an die Scheibe / so an-
geschlossen wurde, dass sich // in Folge der beiden Belastungszustände
X. = — 1 und Xj = — 1 um denselben Pol L dreht, denken wir uns
weitere Scheiben ///, IV, V hinzugefügt, deren Anzahl mit derjenigen
der rechts von E sich anreihenden Trägeröffnungen übereinstimmt, die
sämmtlich mit / und mit je einem der von den beseitigten Stützpunkten
ausgehenden lothrecbten Stäben so verbunden sind, dass jeder Scheibe
für die beiden Belastungszustände X„ = — 1, Xt = — 1 derselbe Dreh-
pol entspricht, und zwar falle ///« mit IIIj, in M zusammen, 7F. mit
IVb in N usw. Es bleiben dann alle etwa noch an die Punkte L, M,
N, . . . anzuschliessenden Stäbe und Scheiben bei Eintreten jener bei-
den Belastungszustände in Ruhe, und es folgt, wenn an diesen Qliedem
Kräfte X,, Xy, X^, ... angreifen: 8,« = 8^, = 0, 8,« = 8./ = 0, . . .
5,5 = 8», = 0, hfl, = 8^/ = 0, . . . Gesetzt nun, es sei der Träger fünf-
fiEtch statisch unbestimmt, ein Fall der vorliegt, wenn rechts von E in
Fig. 166 noch eine Oeffnung hinzutritt. Dann kommen nur die Scheiben
II und /// in Betracht ; man füge die inVeinem Gelenke T aneinander-

Das statisch unbestimmte Fachwerk. 163

bftngenden Olieder L T und TM hinzu, bestimme die Pole S« und S«i,
um welche sich die Scheibe S = TM in Folge von -X"^ = — 1 bezieh.
^«1 = — 1 dreht und belaste S mit einer in die Gerade S«S<2 fallenden
Einzelkraft X«. Dann ergiebt sich 5«« = 5«,« = 0 und 5« ^ = S^« = 0,
und es gelten die Oleichungen (5), weil sämmtliche S, die in den Glei-
chungen 4 in Verbindung mit den X auftreten und deren Zeiger aus
zwei ungleichen Buchstaben bestehen, verschwinden.

W&re der Träger sechsfach statisch unbestimmt, so wUrde man
an die Scheiben //, III, IV eine Scheibe S' auf irgend eine Weise so
anzuschliessen haben, dass die Dreh pole S'« und S'«i sich decken, und
hierauf wQrde man diesen gemeinschaftlichen Pol zum Angriffspunkte
von zwei Einzelkräften X^ und Xf wählen, wobei die Richtung von Xf
rechtwinklig zu der Richtung der Verschiebung sein muss, welche der
Angriffispunkt dieser Kraft in Folge X, = — 1 erfahrt. Die Möglichkeit
nun, im Falle noch höheren Gi*ade8 statischer Unbestimmtheit, weitere
Scheiben S'\ S"^ ... so anzureihen, dass S"« mit S'^j zusammenfällt,
^"\ mit 9!"d usw. bildet die Handhabe zur planmässigen Ausbildung
unseres Verfahrens; denn alle an die gemeinschaftlichen Pole ange-
schlossenen folgenden Stäbe und Scheiben bleiben nicht nur beim Ein-
treten der Zustände Xa = — 1, -Xi = — 1, sondern auch in den Be-
lastungsfällen X^ = — 1 und Xi,= — 1 in Ruhe.

Der Verfasser hält übrigens bei in höherem Grade statisch unbe-
stimmten Fach werken die in No. 67 bis 70 durch Aufgaben erläuterte
Berechnungs weise für unbedingt zweckmässiger, und hat sich aus diesem
Grunde auch damit begnügt, von den verschiedenen möglichen Ver-
fahren, die Gültigkeit der Gleichungen // auf Grund kinematischer
Untersuchungen herbeizufuhren, nur das eine anzugeben.

c. Anwendung der Eiasticitätsgieichunjen:

(V)

welche voraussetzen, dass sämmtliche Spannkräfte 8 und (nach festen
Richtungen wirkenden) Stützenwiderstände C des statisch unbestimmten
Fach Werks auf die Form gebracht worden sind:

s=s, — s'x' — s"x" — s'"x:" — . . .

C = £o — C'X — C"X'' — C"'X" — . . .
wobei X\ X", X'" ... die statisch nicht bestimmbaren Grössen be-
deuten. *)

*) Vergl. Seite 25 bis 27.

11

164 Erster Abschnitt ^ § 5.

^m I &«»')••• siiid die Verschiebangen, welche der AngrifiBpunkt m
einer Last P«, erföhrt, sobald auf das Fach werk beziehungsweise nnr
die Ursache X' = — 1 oder nar die Ursache X"' = — 1 a. s. w. wirkt,
wfthrend L\ L'\ ... die virtuellen Arbeiten der Stützenwiderstftnde
C , C ... bedeaten. Alle in den obigen Gleichungen enthaltenen,
von den S\ 8'\ S*" . . . abhftngigen Summenansdrücke erstrecken sich
über sämmtliche Stäbe des Fachwerks, über die nothwendigen und über-
zähligen. Der Werth p ist

8

^~ ef'

Meistens werden die Widerlager starr angenommen und die virtuellen
Arbeiten L = 0 gesetzt.

Die Anwendung der vorstehenden Oleichungen ist namentlich dann
zu empfehlen, wenn die Werthe X', X" . . . durch Rechnung bestimmt
werden sollen, was (wie schon auf Seite 153 hervorgehoben wurde) im
allgemeinen geboten ist, sobald nicht jede Grösse X mittels einer ein-
zigen Gleichung gefanden werden kann. In der Hegel hat man es mit
lothrechten Lasten zu thun; die 5«,', h^\ im\ • - • sind dann Ordinaten
von Biegungslinien, deren Berechnung sich (nach No. 49) stets auf die
Ermittlung von Angriffsmomenten einfacher Balken zurückführen lässt.
Aber auch der Einfluss schräg gerichteter, nicht paralleler Kräfte P
kann auf dem am Schluss von No. 51 angegebenen Wege leicht durch
Rechnung erledigt werden, nachdem die den Zuständen X* =^ — 1,
X" = — 1, . . . entsprechenden Biegungslinien für irgend eine Ver-
schiebungsrichtung bestimmt worden sind» Wenn wir also in den fol-
genden Beispielen durchweg lothrechte Lasten annehmen, so geschieht
dies nur der kürzeren Darstellungsweise wegen. Vergl. auch No. 75.

67. Untersuohiing eines über drei Oeffniingen gespannten
Bogenträgers, Fig. 167, mit Scheitelgelenken in den Seitenüffhungen,
festen Kämpfbrgelenken und wagerechten Gleitlagern über den Mittel-
pfeilem.

Der Träger ist einfach statisch unbestimmt; als statisch nicht be-
stimmbare Grösse wird zweckmässig der Horizontalsohub X eingeführt.
Die Spannkräfte S sollen in der Form

S = Sq — s'x

dargestellt werden. Wird X=0 gesetzt, so geht der Bogen in einen
Oerber'&chen Balken über, dessen Spannkräfte 8q sich leicht bestimmen
lassen. S' bedeutet den Werth, welchen S annimmt, sobald X= — 1
gemacht wird. Diesen Belastungszustand zeigt Fig. 168. In ^ und B
greifen die wagerechten, nach aussen gerichteten Kräfte 1 an; ausser-
dem müssen — damit sich die Bogentheile AE und BF nicht um die

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

165

Gelenke E und F drehen — die lothrechten, nach unten gerichteten

2h
Kräfte — — angebracht werden. Letztere bedingen bei C und D gleich

grosse, nach oben wirkende Widerstände.

Nachdem die Spannkräfte 8' für sämmtliche Stäbe bestimmt wor-
den sind (beispielsweise mit Hilfe eines Cremona*schen Kräfteplanes)
kann X mit Hilfe der Elasticitätsbedingnng

ng. 167.

P!g.l66.

ng.169.

berechnet werden. Am besten bestimmt man getrennt:

den Einflass einer Last P:

Temperaturändening

X =

X,=

P8'

Ton Verschiebungen der Stützen AX=

S5'«p

^8'ti8

Sä'«P

SiS'«p

Die Werthe Xt und AX können bereits nach Ermittlung der S^
anegerechnet werden. L^ bedeutet die virtuelle Arbeit der an den
Stfltspunkten A, B, C, D angreifenden äusseren Kräften des Zustandes
X= — 1. Wird z. B. der Einfluss einer Yergrösserung der Bttttcweiie

166 Erster Abschnitt. — § 5.

AB um ^l gesucht, ferner der Einfloss Yon'^Senlniiigen der Punkte C
und D um Strecken yf and y]", so hat man za setzen:

•i
weil den in A und B angreifenden wagerechten Krftfken 1 die positive
virtuelle Arbeit 1 • Hl entspricht und den nach oben gerichteten Kräften

-j — die negative Arbeit ( : — yf — f{j'

Zur Bestimmung von X in Folge von P muss — da P an der oberen
Gurtung angreift — die Biegungslinie dieser oberen Gurtung ermittelt
werden, und zwar ftlr den Zustand X= — 1. Entscheidet man sich
beispielsweise ftir den in No. 46 (Seite 100) angegebenen Weg, so be-

rechne man die von den Spannungen a' = -^abhängigen Aenderungen

ü'^ der Bandwinkel ^, schreibe den Knoten 1, 2, 3 . . . die Gewichte
Wi = A'^^, w^ = A'^s, fTg = A'^g, ... zu (denn die obere Gurtung
ist wagerecht und es verschwinden in Gleich. 3, Seite 101 die Glieder
mit A«) und verfahre im übrigen nach Beispiel 8 auf Seite 123. In
Fig. 169 wurden die Gewichte tr^, w^t tTj,, w^^ positiv, die anderen
w negativ vorausgesetzt.

Die Linienzüge A'LBf, E'CBD'F^ und F' TB" sind die Momen-
tenkurven einfacher Balken A' E\ E'F" und F'B', welche bezieh w. be-
lastet sind mit w^, tr,, mit w^ bis Wn und mit tr^g» ^is* ^^^ Schluss-
linienzug Ä' E" F^' Bl' ist bestimmt durch die Längenänderungen der
Vertikalen AA^^ CCq^ DDq und BB^; es ist nämlich:

Diese Vertikalen werden gedrückt, und es liegen daher die Punkte
Ä\ C'\ Bf', Bl' oberhalb Ä, 0\ D\ B,*) Die in Fig. 169 schraffirte
Fläche ist die gesuchte Biegungsfläche und gleichzeitig Einflussfläche
fOr X (mit dem Multiplikator 1 :25'''p); der mittlere Theil derselben
ist negativ, weshalb Lasten, die in den Knoten 6 bis 8 angreifen,
einen negativen Horizontalschub X hervorbringen.

Hinzuzufügen bleibt, dass der für Xt abgeleitete Ausdruck sich für
den in der Regel vorausgesetzten Fall einer gleichmässigen Erwärmung
des Bogens noch vereinfiEichen lässt. Zu diesem Zwecke schreiben wir
den Stablängen « des bei B auf wagerechter Bahn verschiebbar ge-
dachten Bogens die verschwindend kleinen Aenderungen A« = q« zu,
wobei (i> fUr alle Stäbe gleich sein soll, und wenden auf diesen Ver-

*) Wir erinnern daran, dass wir die lothrechten Verschiebimgen stets nach
imUn poeitiv zählen.

Das statisch unbestimmte Faohwerk. 167

BchiebnngsziiBtand und auf den BelastongsziiBtand JS* = — 1 das Gesetz
der virtaellen Verschiebungen an. Wir erhalten dann, da sich 1=1^ -{-^h
nm Ll = ol ändert, die Beziehung

i'Oi = :ss'o8, d. h. :ss'8 = i

und finden nun (falls neben t auch e einen festen Werih besitzt)

_ 6t2S'8 _ ttl

68. Kette, Yerstelft durch einen Gtorber^sohen Balken. Wir

knüpfen an die im ersten Bande (§ 49) durchgeführte Unter-
suchung an, welche lehrte, dass eine über beliebig viele Oefhungen
gespannte Kette mit durchgehendem Yersteifangsbalken ein statisch be-
stimmtes Tragwerk ist, sobald der Versteifungsbalken ebensoviel Mittel-
gelenke erh&lt ab die Brücke Oeffhungen besitzt, und die Mittelgelenke
so yertheilt sind, dass nach Weglassung irgend eines derselben (welches
wir kurz das Qelenk Cf nennen wollen) der Versteifungsbalken ein
Oerber*scher wird.*) Wir zeigten auch, dass nach Bestimmung des
Horizontalzuges H der Kette die Spannkr&fte Z der Hftngestangen sich
mittels des Gesetzes leicht angeben lassen, dass die Kette das Seilpoly-
gon der Kräfte Z ist, womit dann alle am Balken angreifenden Kräfte
bestimmt sind; und schliesslich ermittelten wir J7, indem wir das An-
grifimoment für den Balkenquerschitt G' gleich Null setzten. Fehlt
nun das Gelenk 0\ wird also die Kette durch einen Gerber'schen Balken
yersteiffc, so entsteht ein einfach statisch unbestimmtes Tragwerk, als
dessen statisch nicht bestimmbare Grösse X am zweckmässigsten der
Horizontalzug der Kette gewählt wird. Zur Berechnung von X dienen,
wenn sämmtliche Spannkräfte S auf die Form

8 = 8q—8'X

gebracht werden, die Formeln:

PI' -.^
Einfluss einer Einzellast: JS' =

^S'tta
Temperaturänderung: X =

r

von Vei-schiebungen der Stützen: AX = —

Sä'«p

*) Wie beim Gerber'schen Ballren die Gelenke über die yerschiedenen
OefiEhungen zu yertheilen sind, lehrt Abschnitt VI von Band I.

**) Es handelt sich hier nur um diejenigen Lasten, welche nach Ansfohrong
der Versteifong der Kette angebracht werden, in der Begel also nur um di^
bewegliche Belastung. Veigl. Band I, § 49.

168

Erster Abschnitt — § S

Daa Verfithren mOge an dem in Fig. 170 Bbgebildeteii TrSger er-
läutert werden. Der Yei'stoifongBb&lken beeitzt liier zwei in der Mittel-
Sffonng liegende Gelenke 0 nod J. Um den Belaatangaztutand X= — 1
in erhalten, denke man in den Kettengliedern Drücke S/, S^', 3^', . . .
erzeugt, denen «n Horizontalschnb von der GrSsse Eiru eutspricbt.
Fig. 170** giebt an, wie diese Kräfte and die zugehcrigen Drücke
^'i ^101 i^ii' ■ ■ ■• '° ^B" Hftngestangen dargestellt werden kOnnea,
wobei es genUgte, die linke TrBgerbBlfte zu behandein. Die Drücke
Sf', 5,„', ^,i' . . . bilden die Belastangen des Verst^fongsbaltens, dessen
Statzenwiderat&nde A', S^, (f , D' nach Abschnitt VI, Band I, m be-

Jli

stimmen sind, worauf die Spannkräfte ^ der Stäbe des Balkens mit
Hilfe einee Cremona'sohen Kräfteplanes gezeichnet werden kennen. Ist

dies geschehen, so werden die Spannungen a' = — oder die Lftngen-
änderongen (As)' ^ — -^ sämmtlicher Balkenstäbe berechnet, hierauf

nach No. 46 oder No. 47 die Gewichte w ermittelt und die in Fig. 170^
sohrafGrte Biegungsfllche der Qnrtung A^ D^ bestimmt. Dieselbe ist

die EinfluBsfläche für X (^Multiplicator = _ ,, J und wird begrenzt

Das statisch uDbestimmte FachwerL 169

durch die Momentenlinien ÄäG\ G' L' J\ J' C' D' der mit den
entsprechenden Gewichten tr belasteten einfachen Balken J!(^, G' J\
v'D'nnd den Schlasslinienzag XG"J"D\ welcher bestimmt ist durch

die Verkürzungen 'Wll und C" C der Vertikalen B^B und C^C*)
Zu beachten ist, dass sich der Ausdruck 1L8'^^ auf sämmtliche Stäbe
des Tragwerks (Balkenstäbe, Hängestangen, Glieder der Tragketten und
Bttckhaltketten) bezieht.

Bei der Berechnung von Xi wird meistens angenommen, dass sich
die dem spannungslosen Anfangszustande entsprechenden Temperaturen
sftmmtlioher Stabe um den gleichen Betrag % ändern. Es stellt sich
dann heraus, dass der Einfluss der Temperaturänderungen der Balken-
stäbe und Hängestangen ein yerhältnissmässig sehr geringer ist, und
dass es genügt, im Zähler des für Xt erhaltenen Ausdruckes nur die
Glieder der Tragketten und Bückhaltketten zu berücksichtigen. Für
ein unter a gegen die Wagerechte geneigtes Glied der Tragkette er-
hält man S' = — 1 • sec a, und ftlr die Glieder der Bückhaltketten er^
geben sich z. B. bei der in Fig. 171 yeranschaulichten Anordnung die
Werthe S' = — 1 sec a\ Daraus folgt dann:

Xt = — "25^1 ^* sec a + 2 (j?. + «») sec a ) |,

worin Sa = KKi und s^ ^= K^K^. Die Summe 2« sec a erstreckt sich
nur über die Glieder der Tragkette. In Folge einer Erhöhung der Tem-
peratur wird der Horizontalzug der Kette
Terkleineri.

Verschiebungen der Widerlager bleiben
meistens unberücksichtigt, obgleich Längen-
■änderungen schlanker Mittelpfeiler und ein
Nachgeben der Verankerungen von merk-
lichem Einfluss auf X sein können. Es senke
eich z. B. der Stützpunkt E um 7]^, Fum if],»
4iuch yerschiebe sich der Stützpunkt K im
Sinne KK^ um i^g und der entsprechende .g. ^^^

Stützpunkt des rechten Endpfeilers um t[^.
In den Punkten E und K greifen beim
Eintreten des Zustandes X= — 1 die Stützenwiderstände an:

*) Die Vertii^alen A^A und DqD des in der Fig. 170 abgebildeten Trägers
.sind für den Belastongszustand X= — 1 spannongslos; ihre LängenSnderangen
.sind also =0.

170 £iBter Abschnitt — § 5.

-^ = 1 (tg «4 + ig OL^)f nach abw&rts gerichtet
K^ = 1 seo OL , „ oben „ *)

und entsprechend gleiche Widerstände wirken bei F und N.
Die TiHaelle Arbeit dieser Anflagerkräfte ist:

Ii' = (tga4+tga5)(7]i + Tf),) -f sec a (Tf), +7]J
und man erhält daher:

^X=— 25>Tr [(^««4 + tgas) ("^1 + •*]2) + seca (ti3 + tq jj .

69. Kette, über eine OefOaung gespannt nnd duroli einen
Bogentrfiger mit 2 Kftmpfergelenken Yerateift, Fig. 172. Dieses
Tragwerk ist zweifach statisch unbestimmt. Als statisch nicht bestimm-
bare Grössen werden zweckmässig der Horizontalzug X' der Kette und
der Horizontalschub X^' des Bogens eingeführt. Die Spannkräfte werden
auf die Form S = S^—S'X^ — S"X" gebracht.

Fig. 175 zeigt den einfachen Balken AB, in welchen das Fach-
werk im Falle X' = 0 und ^T'' = 0 übergeht, während die Figuren
178 und 174 diesen Balken im Belastungszustande X' = — 1 bezieh.
X" = — 1 darstellen.

Bei Eintreten des Zustandes X' •= — 1 greifen am Balken AB
die lothrechten Lasten 8^\ S^\ ... an (d. h. die Drttcke in den Hänge-
stangen, welche genau so bestimmt werden wie im vorigen Beispiele),
und im Belastungsfalle X" = — 1 befindet sich der Balken unter dem
Einflüsse zweier wagerechter Kräfte 1. Nach Berechnung der den
Spannkräften S' und 8" entsprechenden Knotenpunktsgewichte to und
w" werden die Biegungslinien {h' und h'') als Momentenlinien einfacher
Balken AB ermittelt*'*') und schliesslich die Elasticitätsgleichungen
aufgelöst:

jrS^'5'p + :r'SÄ"«p =P8" + S5"e<» — X".

*) Wir setzen voraus, dass bei Ki und JT, bewegliche Lager angeordnet
sind. Der Widerstand des auf wagerechter Bahn geführten Stützpunktes K^
ist lothrecht, der Widerstand bei Ki halbire den Winkel KKiK^. Dann wird
jedes der beiden Kettenglieder KKi und Ifilf, durch eine Spannkraft
Xseca' beansprucht, wo a den Neigungswinkel von KiK^ gegen die Wage-
rechte bedeutet In K greift also ein von K^ nach Ki gerichteter Widerstand
XBQCa' an und im Falle X= — 1 ein von K^ nach Ki gerichteter von der
Grosse Iseca'.

**) In Fig. 173 und 174 wurden die Längenänderungen der Endständer
äAq und BBo vernachlässigt.

Das statisch unbestiminte Fachwerk.

171

worin

Man erh&lt den £infln8s der Belastung

G)

N ' N ' N

ng.172.

lig. 178.

Vlg. 174.

Flg. 17&.

femer den EinflnsB einer Temperatar&ndernng:
und den Einflnss einer Bewegung der Stützen:

Die von 8' abh&ngigen Snmmenaosdrücke erstrecken sich über die
Stäbe des Bogens, die Hftngestangen, die Tragkette und die Bückhalt-

172

Erster Absohnitt — § 5.

ketten, die von S" abhängigen nur über den Bogen, da für die Ketten-
glieder nnd Hftngestangen 8'' = 0 ist.

Wird eine gleichmässige Temperatarttnderang angenommen, so darf
man, wie im vorigen Beispiele,

rig. 177.

ng. 179.

rrn

Fig. 178.

Fig. 180. Fig. 181.

^S'&ts = 2« sec a + 2«' sec ol

setzen, worin sich 2«8eca nur über die Glieder der Tragkette er-
streckt und a' die Länge einer Bückhaltkette (bis zur Ankerplatte
gemessen 1) bedeatet. Dabei ist yoransgesetzt, dass die Bückhaltkette
entweder geradlinig oder, wenn gebrochen, derart mit Zwischenstütsen
yersehen ist, dass die Spannkraft in der ganzen Kette gleich groas

Das statisch unbestimmte Fach werk. 173

ist. Yergl. Fig. 171. Weiter darf man (ähnlich wie beim ersten Bei-
spiel, Fig. 167)

setzen.

Sollen ÜX' und HX" unter der Voraussetzung berechnet werden,
dass sich die Stützpunkte C und D um r^^ bezieh, irj, senken, dass
femer die Ankerplatten links und rechts in der Richtung der Bttck-
haltketten um ^i^ bezieh. 7]^ nachgeben und / sich um Hl ändert, so
hat man zu setzen:

L' = 1 • (tg Oo + tg a) (-»ii + -»lg) + 1 • sec a (7)8 + fiJ
L" = \ ' Hl (Vergl. das vorige Beispiel).

70. Uebnngaaiifgaben. Die durch einen eingehen Balken yer-
steifte Kette in Fig. 176 ist einfach statisch unbestimmt. Kennt man
den Horizontalzug X, so kann man die Spannkräfte in den Hänge-
stangen mittels der Bedingung finden, dass die Kette das Seilpolygon
dieser Kräfte ist.

Figur 177 stellt ein dreifiEush statisch unbestimmtes Hängewerk
(System Ordish'Lefeuvre) dar. Sind die Spannkräfte X^, X'\ X'" der
lothreohten Hängestangen bekannt, so sind die in den Tragketten AC^
CD, EB, ED, AD, DB und in den Rückhaltketten auftretenden Kräfte
gegeben. Die durch eine gestrichelte Linie angedeutete Kette hat nur
das Gewicht der Tragketten aufzunehmen. Bei symmetrischer Anord-
nung ist die Biegungslinie für X!" = — 1 das Spiegelbild der Biegungs-
linie für X' = —U

Ein ähnliches Hängewerk zeigt Figur 178; dasselbe ist 4 -fach
statisch unbestimmt. Die Belastungszustände ^ = — 1, X" =^ — 1»
-3^" = — 1, jr"' = — 1 des Versteifungsbalkens sind in der Figur
dargestellt worden; es ist zu beachten, dass am festen Auflager A
schräge Widerstände hervorgerufen werden.

Das Balkenfachwerk in Fig. 179 besitzt in jedem Felde zwei sich
kreuzende Diagonalen, welche aber beide im Stande sind, Zug- und
Druckkräfte zu übertragen. Hat das Fachwerk also n Felder, so ist es
n-ÜMh statisch unbestimmt. In der Figur ist der Kräfteplan für
X!"=^ — 1 vorgefahrt worden; die Wirkung dieser Kraft erstreckt sich
nur über die Stäbe 9, 10, 11, 12, 13, und es treten daher nur zwei
Gewichte u> auf, nämlich w^"' und w^''\ welche am besten nach No 47
Gleich. 10 berechnet werden. Man erhält für w^'" einen positiven, für
w^'" einen negativen Werth und gelangt daher zu der in der Abbil-
dung angedeuteten Biegungslinie (S'^'). Ebenso werden die Zustände
X' = — 1, X" = — 1, u. s. untersucht.

174 Ereter Abschnitt. — § 5.

Die Figuren 180 und 181 zeigen zweifach statisch unbestimmte
Tragwerke, welche in ähnlicher Weise behandelt werden wie die ver-
steiften Kettenbrücken in Fig. 170, 172, 176.

Wir heben zum Schluss noch einmal herror, dass bei Anwendung
der Gleichungen V auf Seite 168 die Summe 2 sich über sftmmtliche
Stäbe erstreckt, über die noth wendigen und überzähligen. So ent-
sprechen beispielsweise dem überzähligen Stabe des ersten Feldes des
Trägers in Fig. 179 die Werthe: 5'=— 1; 5"=0; 5''" = 0; 5""=0;
u. 8. w. dem des zweiten Feldes: 5' = 0 ; 5" = — 1 ; S'" = 0; 8'"' = 0
u. s. w. Man vergl. auch Seite 26 der Einleitung.

§ 6.
Allgemeines Aber das Auftragen der Einflnssllnlen.

71« Sind die Einflusslinien für die Grössen X eines durch parallele
Lasten P beanspruchten Fachwerks nach einem der in No. 56 bis 69
angegebenen Verfahren bestimmt worden, so lassen sich die Binfluss-
linien der Spannkräfte S und Stützenwiderstände C mittels der zwischen
den 8t C und X bestehenden Beziehungen ersten Grades darstellen.
Soll beispielsweise die Einflusslinie für eine Spannkraft

S ^= 8q — SaXf^ — 8iXi — SfXg — ....

aufgetragen werden, so nehme man zuerst sämmtliche X= 0 an, zeichne
die ^0 -Linie des statisch bestimmten Hauptsystems auf die im I. Bande
gezeigte Weise und verkleinere die Ordinaten derselben um die Summe
der beziehungsweise mit Sat Si,, iS^«,, . . . . multiplicirten entsprechenden
Ordinaten der Binflusslinien für ^«, X», X^ . . . ., wobei es sich em-
pfiehlt, die Multiplikation mit Hilfe von Winkeln a, ß, y . . . . aus-
zuführen, welche der Reihe nach durch

ig OL = 8a, tgß = Ä4, tgY = S„ . . . .
bestimmt sind.*)

In Fig. 182 ist dieses allgemeine Verfahren an einem Bogenträger
mit festen Kämpfergelenken (Ä, B) und auf wagerechter Bahn beweg-
lichem Auf lagergelenke C erläutert worden. Als statisch nicht bestimm-
bare Grössen sind eingeführt: der Horizontalschub Xa und der Wider-
stand X^ der Mittelstütze. Gesucht sei die Einflusslinie fQr die Spann-
kraft 8 im iStabe t — k der oberen Gurtung. Werden X^ und X^=0
gesetzt, so liegt ein einfacher Balken AB vor, und es besteht deshalb
die 5o-Linie aus zwei Geraden ÄC und CB, welche nach Fig. 182^

•P
durch Auftragung von AJ=^ — 1 — ^ bestinunt sind, wobei r^ das

» m

*) Auch der Proportionalcirkel leistet gute Dienste.

Das statisch unbeatioimte Fachverk. 176

Lolh Tom Knotenpunkt m auf den Stab ik bedeutet. Die den Be-
iMtongMOHtanden Jf, = — 1 nnd JT, = — l entsprechenden Spann-
kräfte S, nnd St atellen eich hier negativ heraus, wfihrend X, und X»
nur positive Werthe besitzen; das Glied: — (S.X. + ÄjX») ist also
positiv; addirt man dasselbe zu dem negativen Werthe Sg, so erhalt
man fflr P= 1:

S = So — S,X,. ~ S,X, = Pti

und gelangt zu der In der Fig. 182° voll schrafGrten Einflaseflache für

8. Dieselbe ermöglicht fOr jeden Belastungszustand die Ermittlung Ton

S='SP7t.

72. Die ziemlich umfangreiche Arbeit, welche die Äuftragung der
Binflusalinien für aSmmtliche Spannkräfte i9 eines mehrfach statisch an-
bestimmten Fachwerks verursacht, lasst sich durch Verwerthung der
mischen den einzelnen Orfissen S stattfindenden statischen Beziehungen
meistens erheblich abkürzen. In der Hegel liegen Fachwerke vor, die
ans aneinander gereihten Dreiecken besleben ; es ist dann zn empfehlen,
die Spannkräfte in den Fullnngsstaben durch die GnrtkrHfte auszu-
drtickea. Bei belasteter oberer Qnrtung betrachte man einen onteren
Knotenpunkt m (Fig. 188), nehme zuerst f.,, = + 1 und ü".^, = 0
an und bestimme mit Hilfe des in Fig. 18S* dargestellten Kräftepol^-
gons die entsprecbenden Spannkräfte: — >c. (Drock) nnd + ■x^^., (Zug)
der Wandglieder 2>. und D^+,. Ganz ebenso ermittle man fUr den
Zustand ü„^i = 0 und (7„+i=+l die Spannkräfte + v„ und — v,+,

176

Erster Abschnitt — § 6.

jener Glieder, um hierauf die für jeden BeUutnngszaatand gültigen
Formeln zu erhalten:

i>m = — yc^ ü;-! + v^ i/«+, = ^^f—2^ u^t ^ u\

Die £infln68linien für die Elammeransdrttcke wollen wir kürz die
Binflnsslinien ftlr D^ beziehungsweise D^+i nennen und die Faktoren
v« und v«,+i als MtdHplikatoren dieser Linien bezeichnen. Die D«- Linie
erhält man, wenn man die mit vc^ : v« multiplicirte CT^.i- Linie yon der

^

-«^^.^p^.,

fUf^m-f

Fig. 183.

Flg. 184.

C/^^i-Llnie in Abzug bringt, und ganz entsprechend erg^ebt sich die

Z)«,^i- Linie. Zur Ausführung der Multiplikationen mit x«, : v^ nnd

>Cm+i : v.,4.1 benutze man Hilfswinkel oder den ProportionalcirkeL

Bei belasteter unterer Gurtung drücke man die Spannkr&fte D durch

die Spannkräfte 0 aus.

Die oben für D«. und Dm-t-i abgeleiteten Gleichungen gelten auch für den
Fall belasteter unterer Gurtung so lange im Knoten m keine Last angreift. Liegt
die Lasteinheit bei m, so treten rechts noch Glieder p«, bezieh, p^+i hinzu,
die der Fig. 184c zu entnehmen sind. Hierauf ist zu achten, wenn beide Gurte
belastet sind. Yergl. auch das ähnliche allgemeine Verfahren in Band I, § 35.

Sind nicht nur die Lasten, sondern überhaupt alle äusseren Kräfte
(also auch die Stützenwiderstände) einander parallel, ein Fall der bei
Balken auf mehreren Stützen, sowie bei den Versteifungsbalken von
Kettenbrücken in der Regel vorliegen wird, so gehe man, falls sämmt-
liche Wandglieder gegen die Richtung der Lasten geneigt sind (Fig. 184),
Ton den bereits im I. Bande benutzten Gleichungen ans:

I>« cos 9« = — V^.x cos Y«_i — 0« cos ß«
2)«+i cos 9«+i = — IT^+i cos Yi.+, — 0^ cos ß,

'•••

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

177

Sind dann mittels des in No. 71 beschriebenen Verfahrens die Ein-
flusslinien für die 0 cos ß und U cos y gefanden worden, so sind aach
die Einflnsslinien für die D cos 9 bestimmt.

Für das in Fig. 185 dargestellte, von parallelen äusseren Kräften
^gegriffene Fachwerk, dessen Stäbe zum Theil in die Kraftrichtung fal-
len, gelten die Beziehungen:

M *)

— 0« cos ß,. = + U^+i cos Y^+, = —--

D„ cos 9^ =

h'„.x\ M„,.i Ä„_i -^«1 r i. fw. j.

V^ = -r — — -7 7— Last am Obergurt

A„ L Ä«,_i Ä^_i h^ J

h «+i r JC -äC+l ^m+\ 1 T i. TT X _i.

F« = -r — ^ — v~ * I'' — ^*®^ *°^ Untergurt;

>»</

Fig. 186.

aus denen hervorgeht, dass es zweckmässig sein wird, zunächst die

Einflussflächen für die Werthe

M

darzustellen, um in dem Unter-

M

schiede zweier aufeinanderfolgenden —-Flächen eine D cos 9 -Fläche zu

erhalten. Auch die F^- Fläche ist durch zwei aufeinanderfolgende

M

— — Flächen, von denen aber die eine mit einem Höhen verhältniss mul-

*) Mm bedeutet das AngriJfsmoment für den Knoten m; dasselbe wird in
der Form :Mm = M^— M'^ X' — M''^ X" — .... dargesteUt, wenn X', X", . . .
die statisch nicht bestinmibaren Grössen sind. Die Formeln für 0, D und V
sind im I. Bande, § 85 u. 39, abgeleitet worden. Die Ausdrücke für die V
wurden oben in anderer Form geschrieben wie früher. Die Formeln für 0 und
ü gelten bei beliebig gerichteten äusseren Kräften

M&ller-Breslaa, Onphische Statik. II. 1. 12

178

Erster Abschnitt. — § 6.

tiplicirt werden muss, bestimmt; femer treten bei den F-Fläcben Mul-
tiplicatoren aaf.

Bei gerader Ourtung wird die Ermittlung der Kräfte V wesent-
lich einfacher. So findet man z. B. für den in Fig. 186 dargestellten
Fall einer geraden anteren Qurtung die Gleicbgewicbtsbedingung:

(V^ — P) 8in a^-jr D^ ein ^^ = 0

und hieraus:

D^sm^^. Bin^^ f r, ^ , Pcos9«sina^\

sm OL^ sin a«, cos 9m ^ siii Vm ^

So lange die über den Träger wandernde Lasteinheit ausserhalb
der Felder X«, und X«,+i liegt, unterscheidet sich die Einflussfläche für
den Elammerausdruck yon der D^cos 9M-Fläch0 nur durch das Vor-
zeichen ; an der Stelle m ist zu der in entgegengesetztem Sinne zu nehmen-

den Ordinate der D«, cos 9M-Linie noch der Betrag:

1 • cos 9^ sin ou

zu

8in^„

addiren. Ist die untere Guiiiung rechtwinklig zur Richtung der Lasten,

sin ^m

so wird -; = tg 9„.

sm (Xm cos 9m

Besonders einfach wird die ganze Untersuchung für Parallelträger,
deren äussere Kräfte rechtwinklig zu den Gurtungen sind. Hier kommt
es nur darauf an, die Momente und Querkräfte zu bestimmen, aus denen
sich dann sämmtliche Stabkräfte berechnen lassen.

JlZ"

\/

•

A ^

Flg. 187.

Fig. 188.

Für das in Fig. 187 dargestellte Fach werk ergiebt sich z. B.,
wenn Qn^ die Querkraft für das m^ Feld bedeutet,

— 0«Ä = + 17«+! h = IL; D„ sin 9« = Q^
Vm = — Qmt Last oben,
V„, = — Qm^u littst unten.

Das statisch unbestimmte Fachwerk. 179

Da nun ö« == "r~ C-^-» — ^«-i) ißt, so kann man nach Ermitt-

Inng der If- Flächen jede ^X- Fläche als den Unterschied zweier auf-
einanderfolgender 3f-Flächen gewinnen, oder man zeichnet znerst die
^X-Fl&chen und benutzt hierauf die Beziehung

um aus der einen If-Flftche schrittweise alle übrigen abzuleiten.

Liegt das Fachwerk in Fig. 188 vor, und sind m — 1 und m+ 1
Knotenpunkte der belasteten Gurtung, ferner Q die Querkraft für das
Feld (m — 1) — (»• + 1), so beachte man die Beziehungen:

D^ sin 9« == — l>«+i sin 9^+1 = + ö-

78. Auf eine sehr übersichtliche Weise lassen sich die Einfluss-
flftchen für die Spannkräfte einfach statisch unbestimmter Träger ge-
winnen; denn hier erscheint ^S^ in der Form

= 5^, — 8 X = 8 ( -^7 X j ,

8'

und es ist daher möglich, wenn S' als Multiplikator herausgezogen wird,
jede <9-Fläche als den Unterschied der X- Fläche und einer meistens
yon nur wenigen Geraden begrenzten 5o/5'-Fläche (deren Aufzeichnung
ebenso schnell vor sich geht, wie die der 5q -Fläche) darzustellen.

Wir werden meistens die X und die 'r{ = SqI8' (Figur 189*)
von derselben Geraden N'N aus auftragen und erhalten dann die 8-
Fläche (deren Ordinaten mit yi bezeichnet werden mögen) gewisser-
massen auf die X-Linie als gebrochene Null-Achse bezogen.^ Gie'bt
man aber der Einführung einer allen j9-Flächen gemeinsamen geraden
Nulllinie (die bei lothrechter Belastung meistens wagerecht gewählt
wird) den Vorzug, so gelangt man zu der Darstellungs weise in Fig. 189^,
in welcher die Ordinaten rf von der X-Linie aus aufgetragen wurden,
und aus welcher ohne weiteres das Gesetz abgelesen werden kann, dass
innerhalb eines Gebietes, in welchem die 8qI8' 'Linie der Fig. 189* gerad-
linig verläuft, entsprechende Seiten der 5-Linie und X-Linie sich in
Punkten einer Geraden schneiden, welche durch den Nullpunkt der
iS^Q/^'-Linie geht und parallel zu Pist.*) Auf Grund dieser Eigenschaft

*) Die £^Linie ist also innerhalb eines von einer geraden So- Linie be-
herrschten Gebietes affin mit der X-Iinie.

12*

180

Erster Abschnitt — § 6.

läset sich die ^Linie aus der X-Linie ableiten, sobald eine Ordinate
und die Nullpunkte der S^j/Ä'-Linie bekannt sind.*)

m

Hg. 189.

^BeUpUH. Fttr den in Fig. 190 abgebildeten, einfoch statisch
unbestimmten Bogentrftger sei nach dem in No. 67 beschriebenen Ver-
fahren die Einflusslinie für den Horizontalschab X ermittelt und von
der geraden Nulllinie J! B' aus aufgetragen worden.**) Es soll die Ein-
flussfläche für die Spannkraft 0 des dem Knotenpunkte m gegenüber-
liegenden Stabes der oberen Gurtung gezeichnet werden.

Den Belastungszustand X= — 1 zeigt Fig. 198. In ^ und B
wurden Kräfte {K') angebracht, deren wagerechte nach aussen gerichtete
Seitenkräfte von der Grösse 1 sind und welche durch die Gelenke E
und F gehen müssen, damit sich die Bogentheile ÄE und BF nicht
um E bezieh. F drehen. Sodann wurden die einander gleichen Kräfte

*) Wir erinnern hier u. A. an die Ermittlung der Nullpunkte der 5o-Linien
mit Hilfe von Polbestimmungen kinematischer Ketten. Band I, XTTT. Abschnitt
♦♦) In Figur 190 vernachlässigten wir die dem Zustande X= — 1 ent-
sprechenden Längenänderungen der von den Stützpunkten Ä^ C, D, B aus-
gehenden lothrechten Füllungsstäbe. Vergl. Fig. 169, Seite 165.

Das statisch unbestimmte Fachwerk.

181

(C') und (Z)') hinzagefügt, welche den (K') das Gleichgewicht halten«
Der aus drei Geraden bestehende Linienzag Ä, C^^ D^^ B ist das Seil-
polygon (Mittelkraftspolygon) der Kräfte K\ C\ D\ E! ,

Ein behufs Bestimmung der Spannkraft 0' durch das Faohwerk
geführter Schnitt tt trifft die Seilpolygonseite CiD^, welche die Lage
der Mittelkraft (R) der links von tt wirksamen äusseren Kräfte K' und

r&y (DJ

Fig. 190, 191, 192, 193.

C' bestimmt. Misst man also den lothrechten Abstand y^ des Punktes
m von der Seite C^B^ und erwägt, dass die wagerechte Seitenkraft von
E die GrGsse 1 besitzt, so lautet die Bitter'sche Momentengleichung
fttr den Drehpunkt m:

O'r^ — 1 • y„. = 0, woraus 0' = -}- 1 — ,

182 Erster Abschnitt. — § 6.

weshalb schliesslich

erhalten wird.

[Die Torstehende Beschreibung der Bestimmungsweise der Spann-
kräfte S' berücksichtigt eine beliebige Neigung der vom Schnitte ii ge-
troffenen Seite des Mittelkraftspoljgons ; sie liefert z. B. für den Ober-

gurtstab des ersten Feldes: 0 = — 1-^— , für den Untergurtstab des
b'^ Feldes: C^'== — 1-^, für die vom Schnitte it getroffene Dia-

rn

gonale: D = — 1 , wo r< das Loth von i auf D bedeutet.]

Im Falle X=0 geht der Trüger in einen Gerber^schen Balken
über, und es besteht deshalb (nach Band J, § 41) die Einflusslinie fEü:

*"- Oo aus 4 Geraden Ä E'\ E"C'm\ m" D' F" und F" B' (Fig. 191),

deren Nullpunkte den Auflagergelenken entsprechen und deren Schnitt-
punkte in den Senkrechten durch E, m, F liegen. Die Gerade D^m"
muss auf der Senkrechten durch C die Strecke:

t/m ^ r„y y«

f
abschneiden. Bringt man nun von der — ^ • Oq- Fläche die X- Fläche

in Abzug, so erhält man die in Fig. 191 durch Schraffirung hervorge-
hobene 0-Fläche; der Multiplikator derselben ist = ynjr^^ Lothrechte
Lasten P erzeugen:

In Fig. 192 ist die 0-Fläche noch einmal, auf eine wagerechte
Nulllinie bezogen, dargestellt worden. Nach Auftragung der JST-Linie
wurde die Gerade D'm mit der Senkrechten durch C' in J zum Schnitt

gebracht, die Strecke JiT^' = 1 — ^ abgetragen und mittels der Geraden

J"D' der Punkt m' der 0-Linie bestimmt. Zur Festlegung der Punkte
F" und E" dienten die aus dem Verlauf der O^ -Linie (welche man
für diesen Zweck nur zu skizziren braucht) gefolgerten Bedingungen,
dass sich die Geraden m'F" und mF' in einem Punkte der Senk-
rechten durch D' schneiden müssen und die (in unserer Figur nicht
ausgezogenen) Geraden m E'* und m E' in einem Punkte der Senkrechten

Das statisch unbesümmte Fachwerk.

183

durch C\ nnd schliesslich wurden die sechs Zweige der 0-Linie in der
auf Seite 180 beschriebenen Weise (vergl. auch Fig. 189) aus den ent-
sprechenden Zweigen der X-Linie abgeleitet.

Die Darstellungsweise in Fig. 1 9 1 ist unbedingt die übersichtlichere
und verdient stets den Vorzug. Nach den Erfahrungen, welche der
Verfasser bei den von ihm selbst und von den Hörern seiner Vorträge
durchgeftlhrten Berechnungen gesammelt hat, empfiehlt sich folgendes
Vorgehen,

Man vertheile die Zeichnungen im allgemeinen*) auf 4 Blätter,
welche der Reihe nach zur Auftragung der Einflusslinien für die Ober-
gurtstäbe, Untergurtstäbe, Diagonalen und Vertikalen benutzt werden.
Auf jedem dieser Blätter bestimme man mit Hilfe einer einzigen X-
Linie nach dem in Fig. 191 angewandten Verfahren die Einflusslinien
für die in Frage kommenden Spannkräfte, und trage schliesslich jede
Einflusslinie von einer besonderen, geraden Nulllinie aus auf, wo-
bei die Ordinaten der nach Fig. 191 angefertigten Zeichnung zu ent-

/^

F-r.

Fig. 194.

nehmen sind. Nun gebe man die gefährlichsten Zugstellungen (welche
am besten durch Versuche bestimmt werden) an und schreibe neben
jede Einflusslinie die folgenden Werthe:

1. den Multiplikator (den wir von jetzt an stets mit [X bezeichnen
werden),

2. die den Lasten P entsprechenden Werthe 2P7), wobei es sich
empfiehlt, durch einen an das Zeichen 2 gesetzten Zeiger -|- oder

— anzudeuten, dass es sich um den Einfluss der auf den posi-
tiven oder den negativen Beitragsstrecken liegenden Lasten P
handelt,

3. diejenigen Grössen, durch welche der Einfluss der ständigen Be-
lastung bestimmt wird. Bei ungleichen Feldweiten ist es am
zweckmässigsten, die Inhalte F und F des positiven bezieh.

*) Auf Vereinfachungen, die sich an der Haud der Betrachtungen in No. 72
ergeben, werden wir in dem von den wichtigsten Trägem handelnden Ab-
schnitt n hinweisen.

184 Ei-ster Abschnitt — § 6.

negativen Theiles der Einfinssfläche zu berechnen nnd die von der
ständigen Belastung {g für die Längeneinheit) herrührende Spann-
kraft Sf mittels der Formel Sf = g (F — F) zu ermitteln , wo-

+
bei die unter den F stehenden + und — nicht Vorzeichen son-
dern nur Zeiger bedeuten. Haben sämmtliche Felder die gleiche
Länge X so ist die Rechnung mit Knotenlasten g\ vorzuziehen.
Man bestimme dann die Summe aller positiven, an den Knoten-
punkten gemessenen Ordinaten, desgleichen die Summe aller nega-
tiven Ordinaten, bezeichne diese Summen kurz mit 2 und 2 und

setze schliesslich Sg = ^X (S — S). "**

+ -

Auf diese Weise erhält man sehr übersichtliche Kräftepläne, die
von Jedermann schnell geprüft werden können.

Die Formeln zur Berechnung der Grenzwerthe der Spannkräfte
lauten mit den vorstehenden Bezeichnungen und mit Berücksichtigung
des Einflusses (5i = ± Ä'' Jfi = ± |JlX<) einer Erwärmung bezieh. Ab-

und bei gleichlangen Feldern:

I _S=n[+2P7i+<?X(S — 2) + jr.]

^^^ \ .,.S=(Ji[-SP^+j,X(S — S) — X.].

Es ist darauf zu achten, dass die neben die Einflusslinien zu schreiben-
den: (Ji, 2Pi], SPifj, P, F, S, S die absoluten Werthe der fraglichen

+ — + - + -

Grössen vorstellen.

Aehnlich verfahre man bei mehrfach statisch unbestimmten Fach-
werken. Den Maassstab für die Einflusslinien (den man für die Gurt-
kräfte und die Spannkräfte in den Füllungsstäben im allgemeinen ver-
schieden annehmen muss) wähle man nicht zu gross, damit man mög-
lichst viele Ordinaten mit dem Cirkel addiren kann. Bei Bestimmung

der SPt) und ^Pf\ beachte man das auf Seite 120 des L Bandes gesagte.

+ -

Bei gleichförmiger Verkehrslast p erhält man (mit der Bezeichnung

^^g+P)' r 1

S=\f.\qF—gF+X,^

(8)

max'

I «*-5=p.[(7F — gP— Xe]

wofür man bei gleichlangen Feldern auch setzen darf:"")

*) Band I, Seite 118.

Das statisch unbestimmte Fachwerk. 185

(4)

mtix

min

Noch sei hervorgehoben, dass es manchmal zweckmässig ist, den
Einfloss Sg der ständigen Belastung nach Ermittlung von X^ gesondert
mit Hilfe eines Cremona^schen Eräfteplanes zu bestimmen, und im Falle
gleichförmiger Verkehrslast die folgenden für alle Träger von unver-
änderlicher Gliederung und Stützungsart (Vgl. Seite 6 u. 7) geltenden
Beziehungen zu benutzen.

Die Spannkraft „„^cS entsteht, wenn die positiven Beitragsstrecken
mit g, die negativen mit g belastet werden, und die Spannkraft ^inS
erhält man, wenn man die positiven Beitragsstrecken mit g und die
negativen mit q belastet. Die Zusammenzählung beider Belastungen
führt zur gänzlichen Belastung des Trägers mit q -\- g- Hat man nun
S, in der Form

(5) S, = gC,

dargestellt, wo Cq den Werth bedeutet, den S^ im Falle ^=1 an-
nehmen würde, so findet man

(6) .a.S -\- ^,nS = (q + g) C^

kann also nach Berechnung des einen Grenzwerthes ohne weiteres den
anderen angeben.

Ist die Berechnung von ,^^8 einfacher als die von muSf so wird
man den Einfluss von p in der Form

(7) n^S,=pC^
ermitteln und erhält dann

/gj I ««5' = ^Co+^Ci

mim8 gCp pCi

Probe: ,^5 + ^S = (^ + 2) Cq.
Sollte die Berechnung von n^inS die einfachere sein, so suche man

(9) ^inS = —pC^

auf, um dann zu erhalten:

/jQN j ^inS — gC^ — pC^

Die Gesetze (6) bis (10) gelten nicht nur für Spannkräfte, sondern
auch für die nach festen Richtungen gebildeten Seitenkräfte von Stützen-

186 Erster Abschnitt — § 6.

widerstanden y für Angriffsmomente und Querkräfte; sie gestatten in
vielen Fällen eine wesentliche Abkürzung der Rechnung. Zu beachten
ist, dass die nach den Oleichungen (8) und (10) berechneten Grenz-
werthe S noch um den Einfluss St einer Temperaturändenmg zu ver-
grössem sind.

Annahmen, behufs Vereinfachung der Berechnung von neu zu entwerfenden

statisch unbestimmten Trägem.

74« Die genaue Berechnung von neu zu entwerfenden statisch
unbestimmten Fachwerken wird durch den Umstand sehr erschwert,
dass die Grössen X von den vorläufig unbekannten Stabquerschnitten
oder — wenn es sich nur um den Einfluss der Belastung handelt —
von dem gegenseitigen Verhältnisse dieser Querschnitte abhängen. Es
müssen deshalb im allgemeinen die Querschnittsflächen zunächst ab-
geschätzt und hierauf an der Hand der Ergebnisse der schärferen Unter*
suchung geändert werden. Bei wesentlichen Abweichungen zwischen
den so erhaltenen und den zuerst angenommenen Querschnitten muss
die ganze Bechnung wiederholt werden.

In allen wichtigen Fällen lässt sich nun eine Abkürzung (ohne
dass die Ergebnisse der Bechnung an Zuverlässigkeit einbüssen) dadurch
erzielen, dass bei der Berechnung der Grössen X die Formänderungen
der Füllungsglieder des statisch bestimmten Hauptsjstems vernachlässigt
und hinsichtlich der Gurtungen vereinfachende Annahmen (z. B. Ein-
führung eitaes gleichen Querschnitts für die Stäbe einer oder auch beider
Gurtungen) gemacht werden.

Es liege z. B. der in No. 57 untersuchte Fach werkbogen vor. Be-
hufs Bestimmung von X muss für den Zustand X = — 1 , welchem

S's
die Längenänderungen (As)' = --— entsprechen, ein Williot'scher Ver-

schiebungsplan gezeichnet werden. Hierbei weise man jedem Füllungs-
stabe zunächst den Werth (As)' = 0 zu, was zur Folge hat, dass einem
zwei Knoten i und k verbindenden Wandgliede ik im Verschiebungs-
plane eine zu ik rechtwinklige Gerade tk' entspricht, und ferner nehme

man für alle Gurtstäbe gleich grosse Werthe ~ - - an. Setzt man nun

(As)' = S's ( anstatt As' = -— — ) so liefert der Verschiebungsplan die

EF'fsichen Knotenpunktsverschiebungen; es bleibt aber die Gleichung

X= r,—^ bestehen, da in Zähler und Nenner die in gleichem

o

Das statisch unbestimmte Fachwerk. 187

Maasse vergrösserten Verschiebangen 8'« und 8' eingeführt werden.
Hingegen ist die (einer gleichmässigen Temperaturerhöhung entsprechende)

ttl zEFtl

Formel Xt = l -r,- zu ersetzen durch X^ = r? Meistens sind

ö ö

die Feld weiten annähernd gleich und dann empfiehlt es sich, den Werth
für alle ßurtstäbe gleich gross anzunehmen und mit (A«)' = 8'

8

EF

zEFtl
zu rechnen. Der Einfluss von t ist jetzt: -Xe = ^t — • Will man

für die obere und die untere Gurtung verschieden grosse Querschnitte

F. und F^ einführen und einem Obergurt-Stabe den Werth (As)' = S'

F
zuweisen, so muss man für einen Untergurtstab {i^s)' = S' —^ an-

eEFjl

nehmen und X = ^, — setzen. Hervorzuheben bleibt aber, dass

so

im allgemeinen unter F^ und F^ nicht die mittleren Querschnitte der
oberen und unteren Gurtung zu verstehen sind und unter 8 nicht eine
mittlere Stablänge, sondern dass häufig die Längenänderungen gewisser
Stäbe von ganz hervoritigendem Einflüsse auf die Formändeiiing des
Fach Werkes sind und die Abmessungen dieser Stäbe daher besonders
ins Gewicht fallen. Erhält z. B. der betrachtete Bogenträger im Scheitel
eine wesentlich geringere Höhe wie an den Kämpfern, so muss man
für jPo, F^ und 8 die Gurtquerschnitte und die Stablänge im Scheitel
wählen.

Indem wir hinsichtlich der bei den wichtigsten Fachwerken einzu-
führenden Annahmen auf den folgenden Abschnitt verweisen, heben wir
noch hervor, dass die dort, bevorzugte Benutzung der Biegungslinien
den Vortheil bietet, bereits bei Berechnung der Werthe w häufig das
besondere Gewicht einzelner Stäbe erkennen zu lassen. Es ist dieser
Weg nach den Erfahrungen des Verfassers unbedingt dann vorzuziehen,
wenn nur Lasten gleicher Bichtung in Betracht kommen, wenn es sich
also beispielsweise um den besonders wichtigen Fall lothrechter Lasten
handelt.

In der Regel greifen die Lasten P in den Knotenpunkten des
statisch bestimmten Hauptsjstems an, und dieses Hauptsjstem ist
meistens ein einfaches Dreiecknetz.- Werden die Gleichungen (V) auf
Seite 163 angewendet, so handelt es sich zunächst darum, die den
Belastungszuständen X' = — 1, X" = — 1, . . . entsprechenden Bie-
gungslinien (5', 5'' . . .) dieses Dreiecknetzes zu bestimmen.

Bezeichnet nun M'^ das durch die Ursache X' = — 1 hervorge-
rufene Angrififsmoment für den Knotenpunkt m, so ergiebt sich für den

188

Erster Abschnitt — § 6.

dem Pankte m gegenüberliegenden Gortstab 5«. die Spannkraft S'^ =
"^ -_ — , wobei r^ die Länge des Lothes von m auf 8^ bedeutet. Das

rm

obere Vorzeichen bezieht sieb auf die obere, das untere auf die untere
Ourtung. Das Gewicht u/^ des Knotens m ist (nach No. 47)

(1)

r.

und ebenso erhält man für die Zu-
stände X'' = — 1, X'" = — 1, . . .
die Gewichte

^m

tr

///

///

l^m =

M^ 8^

Fig. 195.

üat E für alle Stäbe denselben
Werth, so multiplicire man die w\
w\ . . . mit E, Ausserdem empfiehlt
sich stets noch die Multiplikation
mit einer vorläufig beliebigen Quer-
schnittsgrösse Fe (die aber für alle

w gleich genommen werden muss) womit sich dann

Mjs^ Fe „ Mj's^ Fe

(2)

to

2

r^- F^ ' ^'" rj F^ '

ergiebt. Legt man diese Gewichte der Berechnung der Ordinaten h\
8", . . . der den Zuständen X' = — 1, Jf" = — 1, . . . entsprechenden
Biegungslinien zu Grunde, so muss man alle Glieder der Gleichungen V
(mit Ausnahme der Glieder SP^8'„, SP^5^" . . . .) mit EFc multipli-
ciren. Auch ist zu beachten, dass eine weitere Multiplikation mit v
erforderlich wird, sobald die Werthe w\ u>' . , , aus irgend einem Grunde
mit V multiplicirt werden.*)

Wendet man diese Regeln beispielsweise auf das einfach statisch
unbestimmte Fachwerk an, so erhält man zur Berechnung von X die
Gleichung :

*) "Wäre z. B. das Fachwerk in Fig. 195 ein Parallelträger von der Höhe
Ä, und hätten sämmtliche Gurtstäbe die gleiche Länge X, so wäre-^ = -7r-.

Man würde dann die u;\ %o\ .... mit v = -y- luuJtipliciren und einfacher

%o = M\

Fe_

F„

u. s. w. setzen.

Das statisch unbestimmte Fach-werk. 189

EF,L! = SP^SJ — X^S'^'s -^ + EF.'SetS's

F

und findet bieraas für den Einfloss einer Last P, für den Einflnss von
Temperatnrändemngen und für den Einfluss von Verschiebungen der
Widerlager der Beibe nach die Werthe:

I

X=P„ J" ; X, = '^ — , A.Y =

SR ' ' SR ' SR

(3)

wo SR = 25'*«-^

F

Diese Gleichungen (2) und (3) werden wir im folgenden Abschnitte
vorzugsweise anwenden.

Verwertbung von stellvertretenden, aus steifen Gliedern gebildeten StabzOgen.

76. Bedeutet X die Spannkraft eines Stabes ik, der als über-
zählig bezeichnet werden darf, durch dessen Beseitigung also das 0-fach
statisch unbestimmt angenommene Fachwerk seine Steifigkeit nicht ver-
liert, und werden alle Spannkräfte auf die Form

(1) S = @o — @'^

gebracht, unter @q und ©' die den Zuständen X=0 und X= — 1
entsprechenden Werthe von S verstanden, so lautet die Arbeits-
gleichung für den Zustand X = — 1 :

(2) 0 = S@'Aä,

wobei vorausgesetzt wird, dass Bewegungen der Widerlager ausge-
schlossen sind und die Summe in (2) auch den Stab ik, dem @' = — 1
entspricht, umschliesst. Die Einführung von A5 = iS^p = (@o — @'-X)p,
wo g=^s:EF, und die Beachtung der Gleichungen (30) auf Seite 27
liefert den Ausdruck

in welchem hj die Verschiebung bedeutet, die der Angriffspunkt m
von Pm im Sinne von P«, erfahrt, sobald auf das nunmehr (z — l)fach
statisch unbestimmte Fach werk nur die Ursache X= — 1 wirkt.*)

Auf Grund dieses Gesetzes darf die Einflusslinie für jede Stabkraft
und — wie ohne weiteres einleuchtet — auch für jeden nach einer
festen Richtung wirkenden Stützenwiderstand als Biegungalinie (deren

♦) Gleichung 3 hat dieselbe Form wie die früher für das einfach statisch

2P8'
xmbestimmte Fachwerk aufgestellte Beziehung: JC= , ; vgl. S. 166 u. 167.

190

Erster Abschnitt — § 6.

Multiplikator in dem hier betrachteten Falle = 1 : 2@'^p ist) gedeutet
werden, wobei nur die Einscbrftnkung besteht, dass das Fach werk in
Folge Beseitigung des fraglichen Stabes nicht seine Steifigkeit und in
Folge Aufhebung des fraglichen Stützenwiderstandes nicht seine Stand-
festigkeit einbüsst.^) Zu beachten ist allerdings, dass die Anwendung
der Gleichung (B) zur Aufsuchung der X-Linie die Aufbragung der
Biegungslinie für ein durch die Ursache X= — 1 belastetes (z — l)fach
statisch unbestimmtes Fach werk erheischt; sie bietet nur in ganz be-
stimmten Fällen (die wir bei den späteren Anwendungen behandeln
wollen) einen Ersatz für den früher gewiesenen Weg: die Einflusslinien
für z passend ausgewählte Grössen X\ X'\ . . . mit Hilfe von z
Biegungslinien eines statisch bestimmten Fachwerks zu ermitteln und
hierauf die Einflusslinien aller übrigen Grössen mittels der Gleichge-
wichtsbedingungen zu gewinnen.

0^'

ie

/ i

^4^1 \\\\\ W \W\ j

T9

Fig. 196.

Trotzdem ist die in Gleich. (8) ausgesprochene Deutung jeder
Einflusslinie als Biegungslinie stets von Vortheil, denn sie gestattet eine
unmittelbare Yerwerthung der in No. 51 behandelten Beziehungen zwi-
schen den vollständigen Verschiebungsplänen und den Biegungslinien —
Gesetze, die uns bei Beachtung des in No. 52 gelehrten Kunstgriffs
der Einführung von stellvertretenden steifen Stabzügen in den Stand
setzen, nach Auftragung der Einflusslinien für eine feste Lastrichtung
schnell Figuren zu zeichnen, welche auch die Wirkung anders gerich-
teter Kräfte P bestimmen.

Zwei Beispiele werden genügen, dieses Verfahren zu erläutern.
In Figur 196 handelt es sich um die Ermittlung des rechtsseitigen

*) Vei^l. No. 61.

Das statisch uabestinimte Fachwerk.

191

wagerechten Sttttzen Widerstandes H eines Bogenträgers mit festen Käm-
pfergelenken. Nach Einschaltnng der Knotenpunkte 1, 3, 5y7y...l5
sei die einer lothrechten Belastung entsprechende Einflusslinie nach einem
der früher beschriebenen Verfahren aus der dem Zustande X = — 1
entsprechenden Biegungslinie des aus starren Gliedern bestehenden Stab-
znges 0-1-2-8-4- ... -16 abgeleitet und der besseren üebersicht wegen
Ton einer wagerechten Oeraden aus aufgetragen. Zieht man dann durch
die Punkte 0, 1, 2, . . . der IT-Linie wagerechte Geraden g^, g^^ g^y ' ' *
w&hlt in gQ einen beliebigen Pol O^O' und zeichnet von O' aus einen
Linienzug O' l' 2' 8' . . . 16', dessen Seiten rechtwinklig zu den ent-
sprechenden Seiten des Stabzuges 0 1 2 8 ... 16 sind, und dessen Eck-
punkte in den Geraden ^j, ^s» j^s» - * • liegen, so sind die Polstrahlen

Flg. 197.

Ol', 02', 03', . . . proportional den Verschiebungen, welche die Punkte
l', 2', 8', ... in Folge des Belastungszustaudes H==^ — 1 erfahren, und
ihre Richtungen stimmen (auch dem Sinne nach) mit den Verschiebungs-
richtungen ttberein. Greift also in 2 eine Last P, ^° ^^^ ^^ ^a ^^®
Projektion des Strahles 02' auf die Richtung von P^, so ist der Ein-

fluss von Pj, auf H:

H. ^= Pj wj .

Fig. 197 zeigt die Einflusslinie für die Spannkraft TT im Unter-
gnrtstabe eines Bogenträgers der eben behandelten Art, setzt aber
Torans, dass die Berechnung des Trägers auf Grund der Annahme starrer

192 Erster Abschnitt — § 6.

Füllungsglieder dnrchgeftlhrt werden darf. Bei Bestimmung der einer loth-
rechten Belastung entsprechenden IT-Linie und der hieraus nach No. 73
abgeleiteten {/-Linie wird dann nur die Einschaltung von zwei Knoten-
punkten (1 und 9) und von vier starren Stäben erforderlich.*) Der
Linienzug O' l' 2' 3' . . . 9' lO' muss sich bei sorgfältiger Ausführung
der Zeichnung schliessen, weil er als Verschiebungsplan für den Zu-
stand ü= — 1 aufgefasst werden kann und für diesen Belastungsfall
die Punkte 0 und 10 festliegen. Die Lasten P^ und P^ in Fig. 197
erzeugen, wenn die U-Liaie einen Multiplikator (x besitzt,

Literatur zum I. Abschnitt.

1. Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Zeitsclir. d. Arch. u. Ing. Ver.
zu Hannover 1875, S. 17. Hier wird zum ersten Male die Biegungslinie
des Fachwerks als Seilpolygon behandelt.

2. Williot, Notations pratiques sur 1a statique graphique, Publications seien-
tifiques industrielles, 1877; enthält die Begründung der von uns als das
Williot'sche Verfahren bezeichneten Darstellungsweise der Yerschiebungen.

3. Herzmanaky, Durchbiegung eiserner Fachwerhe, Zeitschr. d. österr. Ing.
u. Arch. Ver. 1878, S. 185—189.

4. Steiner, F., Studien über Fachwerker Techn. Blätter 1880, S. ISi. Unter
anderem wird die lothrechte Biegungslinie einer wagerechten Gurtung als
Seilpolygon der Winkeländerungen A5^ dargestellt

5. Skibinski« Das Deformationspolygon und dessen Anwendung zur graphi-
schen Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke, Zeitschr. d. österr. Ing.
u. Arch. Ver. 1888, S. 28.

6. Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Civilingenieur 1885.

7. MtÜler-Brefllan, Beitrag zur Theorie des Fachwerks, Zeitschr. d. Arch.
u. Ing. Ver. zu Hannover, 1885. Berechnung der Gewichte w auf die im
§ 8 des vorliegenden Buches gezeigte Weise und (wohl die erste) ganz allgemeine
Benutzung der Biegungslinien zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerke.

8. Müller-Breslan, Die neueren Methoden der Festigkeitslehre, 1886. (Zweite
Auflage: 1893.) Die §§ 5—11 behandeln die Darstellung und Verwerthung
der Biegungslinien.

9. MüUer-Breslau, Beitrag zur Theorie der ebenen Träger, Schweiz. Bauz.
1887, Band IX, S. 121; Band X, S. 129 und 1888, Bd. XI, 8. 45. In diesen
Aufsätzen, welche sich mit statisch bestimmten Trägern beschäftigen (vgl.
§ 6 des vorliegenden Buches) wird zum ersten Male auf die Darstellung
der Verschiebungen (u. Geschwindigkeiten) kinematischer Ketten mittels des
"Williot'sohen Verfahrens hingewiesen.

*) Kommen lothrechte Füllungsstäbe vor, so beachte man die Lösung der
Aufgabe 4 auf Seite 186.

Literatui* zum I. Abschnitt. 193

\0, Mohr, üeber Geschwindigkeitspläne und BesehJeunigungspläne, Civil-
iDgenienr 1887. Zeigt die Anwendung des Williot'schen Verfahrens auf die
Darstellung der Geschwindigkeiten und schliesslich auch der Beschleunigungen
kineniatificher Ketten.

11. Müller-Breslau, Berechnung statisch bestimmter ebener Träger mit Hilfe
der geometrischen Bewegungslehre, Zeitschr. d. Arch. u. Ing. Ver. zu Han-
nover 1888, S. 91. Zeigt u. A. öie Berechnung der Fachwerke mit Hilfe
von Williot'schen Verachiebungsplänen.

12. OvozEa, Sul caleolo delle deformazioni dei sistemi artieolati, Atti della
Academia delle Scienze di Torino, vol. XXIII, 1888.

13. Ovazza, Sul caleolo delle freccie elastiee delle travi reticolari, Atti della
Academia delle Scienze di Torino, vol. XXIII, 1888.

14. Müller -Breslan, Beitrag zur Theorie der ebenen, elastischen Träger,
Zeitschr. d. Arch. u. Ing. Ver. zu Hannover, 1888, S. 605. Einführung des
Stabzugverfahrens; vergl. § 2 des vorliegenden Buches.

15. Land, Kinematische Theorie der statisch bestimmten Träger, Zeitschr. d.
österr. Ing. u. Arch. Ver., 1888, S. 11 u. 162 stützt sich hauptsächlich auf
die Anwendung der Williot'schen Verschiebungspläne kinematischer Ketten.
Ein Anhang beschäftigt sich mit den Biegungslinien elastischer Stabzüge;
dabei ist die Ersetzung der elastischen GebUde durch Gliederketten aus
starren Scheiben beachtenswerth. Diese Umwandlung verdankt ähnlichen
Gründen ihre Entstehung, wie der von uns in No. 52 Seite 131 des vor-
liegenden Buches eingeführte stellvertretende Stabzug; während aber die
Form dieses Stabzuges einmal angenommen und dann für alle Belastungs-
zustände beibehalten wird (was namentlich für die Anwendungen in No. 75
sehr wichtig ist), ändert die von Land benutzte Gliederkette mit wechseln-
der Belastung ihre Gestalt.

16. Müller -Breslan, Beiträge zur Theorie der ebenen, elastischen Träger,
Centralblatt der Bauverwaltung, 1889, zeigt n. A. die auf Seite 153 — 168
des Yorlieg. Buches angegebenen Umformungen der Elasticitätsgleichungen.

♦ ••■ »

Mällcr-Brenlao, Graphiaclie Statik. IT. 1. 13

IL Abschnitt

Formeln, Regeln und Beispiele
für die Berechnung der wichtigsten statisch

unbestimmten Fachwerke.

76. Mit Hilfe der im § 5 enthaltenen Untersuchungen läast sich
die Berechnung jedes ebenen statisch unbestimmten Fachwerks, das
durch Kräfte von beliebiger Richtung beansprucht wird, durchführen.
Zweck des vorliegenden Abschnitts ist es nun, die aus jenen allge-
meinen Betrachtungen für die wichtigsten Trägerarten und für den
Fall lothrechter Lasten sich ergebenden Formeln und Regeln in mög-
lichst übersichtlicher Weise zusammenzustellen und zu erläutern. Dabei
söU von allen die Rechnung vereinfachenden Annahmen, soweit dieselben
zulässig sind, Gebrauch gemacht, und der Werth der angenäherten
Theorie durch vergleichende Zahlenrechnungen geprüft werden.

§ 7.
Der Bogen mit zwei Grelenken.

a. Bestimmung det Horizontaischubs.

77. Allgemeines Verfahren. Wirkt auf einen Fachwerkbogen
mit 2 Eämpfergelenken und ohne Scheitelgelenk eine Einzellast P in
den Abständen a und b von den Auflage rlothrechten (Fig. ^98), so ent-
stehen Stützenwiderstäude, deren jede sich in eine lothrechte Seitenkraft
A bezieh. B und in eine Seitenkraft It nach der Richtung der Schluss-
linie AB zerlegen lässt. Die wagerechte Seiten kraft von H' (d. i. der
Horizontal schuh) ist

7/ = H' cos a,

wobei a den Neigungswinkel der Schlusslinie bedeutet.

Der Bogen mit zwei Gelenken.

195

Die Kräfte A und B stimmen mit den Auflager widerständen einefl
einfachen Balkens überein und sind

A =

Fb

I

B =

Fa

l

Die statisch nicht bestimmbare Kraft H ist von den Längenände-
rungen sämmtlicher Stäbe abhängig und wird, falls die für das Er-
gehniss umcesentlichen Formänderungen der FiiUungsstäbe vernachlässigt
tcerden, wie folgt ermittelt.

Man berechne für jeden Gurtstab die Ausdrücke:

(1) tv„ = *" J* --' und- z^ =y^w.

r«.

my

wobei s^ die Länge des Gart-
stabes bedeutet,
m die OrdnungszifPer
des gegenüberliegen-
den Knotenpunktes,
r„ das Loth von m

auf 8„,
y^ den lothrechten Ab-
stand des Punktes m ^v \ \\\ j^ \ n^^ f*«- ^^•
von der Schlusslinie,
F^ die Querschnitts-
üäche des Stabes s^,
F„ eine beliebige, aber
für alle Stäbe gleiche Quer-
scbnittsflfiche, welche im
allgemeinen gleich dem am
häufigsten vorkommenden
Gurtquerschnitte gesetzt
wird, damit möglichst viele
der Verhältnisse F^: F„= 1
werden.

Nun bestimjne man . X '»sT l I Js* / *^8 ^^'

(durch Rechnung od. Zeich-
nung) die Biegungsmo-
mente M^i , M^ , . . . M^^, . . .
für einen einfachen (d. h.

einen bei A' und B\ Fig. 199, frei aufliegenden) Balken, dessen Stütz-
punkte lothrecht unter A bezw. B liegen, und auf welchen lothrechte,
durch die entsprechenden Knotenpunkte des Bogens gehende Lasten n'if
1^2, .. . ta„, . . . wirken, worauf man für eine im Knoten k des Bogens

13*

Fig. 199.

196

Zweiter Abschnitt. — § 7.

angreifende Last P den Horizontalschnb erhält.

(2)

H^ = P

S«»

Darin ist: S«« ^ «o "1~ ^» ~l~ *» "i" • • • 4" ^»•

Es folgt dieses Verfahren aus Gleichung Y Seite 163. Hiernach wird

jy^ == P * , WO p = -^rs» femer Ö* die Ordinate der Biegungslinie für den

Znstand Jf= — 1 und S' die Stabkraft für H=—l ist Man erhält für

einen Stab der oberen, bezw. unteren Gurtung: 5' = und S' = + — ,

r r

80 dass der Nenner des für Hh angegebenen Bruches nach Multiplikation mit

EFc in EFe'^S'*

8

= S

y*s F,

EF r« F

No. 74 als Momentenlioie eines mit den Gew^ichten Wm =

= Sar überseht. Die Ö'-Linie darf nach

Jb. m8m Fe

be-

rm" F^

lasteten einfachen Balkens au^efasst werden, wobei M'm=ym das AngrifOs-
moment in Folge H=- — 1 ist. Damit ergeben sich die oben angeführten Ge-
wichte Wm*

Die anf diese Weise berechneten Werthe H^, H^, . . . bestimmen
in Figar 200 die ans Geraden bestehende Einflasslinie für den Fall
oben angreifender Lasten, und ganz entsprechend würden JS^j, j9^, . . .
die Einflnsslinie für unten wirkende Lasten liefern. Der erstere Fall
liegt in der Regel vor, nnd es ist dann meistens znlttssig, auch die
ständige Last ausschliesslich auf die oberen Knotenpunkte za vertheilen.
Man kommt dann mit der Einflasslinie A" S" B" in Fig. 200 aus.
Will man die JS'-Linie durch Zeichnung bestimmen, so nehme man

die Polweite tcj^ des
die Gewichte w ver-
bindenden Seilpolj-
gons so an, dass
dessen Ordinate f^k
(Fig. 201) den Hon-
zontalschub Ht an-
giebt. Stellt man
dann die Lastein-
heit durch eine
Strecke c dar, so
erhält man (wegen
M^jt = Wj,f\^ die
Bedingung

Fig. 201.

CWh'^k

H, = -^-^ = T.

^S^m

'1*

Der Bogen mit zwei Gelenken.

197

und hieraus folgt die Polweite

2^.

Wh =

Drückt man bei Berechnung der z„ alle Abmessungen in Metern
au8, so muss man auch r in Metern angeben. Wird beispielsweise
der Kräflemaassstab 50*""* = 1' gewählt, und ist die Trägerzeichnung ji^
Maassstabe 1:75 gefertigt, so wird die Lasteinheit durch eine Strecke
Ton der Länge c = 75*0,050 = 3,75** dargestellt, und man muss dann

t^A = -^Tzy- Wählen. tVß, und w„t enthalten dieselbe Einheit; sie sind,,
3,75

wenn die Oleichung (1) angewandt wird, Zahlen und bedingen die An-
fertigung eines besonderen Zahlenmaassstabes.*)

Man könnte auch den Ausdruck ^Zm = ^ymWm als das anf die Achse AB
bezogene Moment von Kräften itm, welche parallel zu. AB sind, auffassen und
mittels eines Seilpolygons bestimmen, jedoch führt die Bei*echnung von ^z^^
schneller und übersichtlicher zum Ziele. Ebenso unzweckmässig wäre es, die
Gewichte ir» durch Zeichnung zu ermitteln.

Hinsichtlich der Werthe w und
z ist noch folgendes zu bemerken.
Werden die Gurtungen nach Fig. 202
am Auflager zusammengeführt, so
weise man den Stab s^ dem loth-
recht über 2 gelegenen Punkte 1
des Stabes 8^ zu. Bezeichnet dann
r^ die Länge des Lotbes von 1 auf

8

1»

so findet man für den Paukt 2
des Balkens AB das you den Stäben

und «2 herrührende Oewicht:

(8)

w.

_ yi»i

r,

<

F

-- +

_ Vx \ F.

F,

+

El
F»

F,

ferner:

Beim Ständerfachwerk in Fig. 203 geben wir zwei lothrecht über-
einandergelegenen Knotenpunkten dieselbe Ordnungsziffer und bezeichnen
die lothrechten Abstände der Knotenpunkte von der Schlusslinie mit

^MM für den unteren Knoten m und mit

ymc 91 M oberen „ m.

*) In Folge von Kürzungen wird die Einheit der tch und Wm später' zu-
weilen eine andere werden.

198

Zweiter Abschnitt. — § 7.

K---^-H

\^, y^ j^

s'

Fig. 208.

Ferner nennen wir:
h^ die lothrechte TrMgerhöhe

in w,
ßm» Tm den Neigungswinkel des

m**° Stabes der oberen bezw.

unteren Ourtung gegen die

Wagerechte,
A^ die Weite des m*««» Feldes
F„^ den Querschnitt des m**"

Obergurtstabes,
Ftt^ den Querschnitt des »i*®**

Üntergurtstabes,
und erhalten für den oberen Kno-
tenpunkt m, welchem der («i + 1 ) *•
Stab der unteren Gurtnng gegen-

überliegt, (aus Gleich. 1 nach einfacher Umformucg):

Wm = Vmo -r-2 8ec^ Y«+i —

sec**Y«+,

F.

h\

-'"(m+l)

während dem unteren Knoten m entspricht:

M?.

sec' p

1/* >

Durch Zusammenfassung der in dieselbe Lothrechte fallenden Ge-
wichte tc ergiebt sich:

F.

(4)

U'-. = TT" ( y— ^- se^^'ß« -ET- + y«o>^«+i sec«Y„+, - ^— )
^m = 7i-(i^*i-X-.8ec»ß«.— " +y^m,X,+i8ec^Y^+t " )•

l n m ^ -Tom -r. („+,)/

:^;

3'

i<--.

Fig. 204.

Flg. 205.

Bildet der Ständer bei m, Fig. 204» die Grenze zwischen den links-
und rechtssteigenden Diagonalen, so liegen dem Knoten m zwei Ober-

I

« •' I«

Der Bogen mit zwei Gelenken. 199

gnrtstäbe gegenüber und man erhält:

(5) M?«=|^(x«8ec^ß^-_- + X„+iSec*ß„+i -^^— ); z^ = y^

Ebenso ergiebt sich für den Fall in Fig. 205:

(6) «r„= ^(x^sec'Y« -' +X.+1 sec«Y^+, — -^^— ); z^^^y^^w^.

Liegt die Lothrechte durch einen Knoten r rechts von r-\-\ (oder links
von r — 1) — vergl. Fig. 99 auf Seite 118 — so ist bei der zeichnerischen
Bestimmung der Momente Mw zu beachten, dass die Gewichte in der Reihen-
folge iTr-i, tPri «»r+i dufcli das Scilpolvgon verbunden werden müssen. "Will

man rechnen, so vertheile man im Falle ^ - angreifender Belastimg sämmt-

unten

oberen
liehe Gewichte w auf die ^ Knotenpunkte. Auf die Punkte r — 1 und

unteren

r + 1 würden z. B. bei Zerlegung von icr die Antheilo: — wv-. — , und + irr

Ar — Ar+I

(1 — ^ — ^-^* — I kommen. Dieses Verfahren ist zuweilen auch daun zuempfeh-
/r Ar+l/

len, wenn r zwischen r — 1 und r+1 Ji^*g^-

78. EinfluBB der Temperatur. Wächst die bei der Aufstellung
des Bogens herrschende Temperatur überall um den gleichen Betrag ^
so ändert sich der Horizontalschub um

(7) Ilt = ^,

Zm

Meistens genügt es, mit i:=d: 35° Gels, zu rechnen. Dann ist
für Schmiedeisen und Stahl (mit 6E=2iO' für das qm.):

IF
(8) Ht = ± 8400 V. -'- sec* a Tonnen,

worin die Abmessungen in Metern einzuführen sind.

Die Formel (7) folgt aus Gleich. (Y), Seite 163. Danach ist H, = ^'^ ,\ *

=: -/T Wendet man nun das Gesetz der vii'tuellen Verschiebungen

auf den Zustand H= — 1 an , und führt als mögliche Formändoningen die
Aenderungen A8 = tt8 der Stablängen ein, ferner die ihnen entsprechende
Aendening e^Zseca der AVeite ^B = ?seca, so erhält man: 1 seca-ctseca
= S5'e<« und gelangt zur Formel (7).

79. Der Sichelträger, Fig. 206. Bei der Ermittlung der i/-
Linie sichelförmiger Träger empfiehlt sich die Annahme eines überall
gleichen Gurtquerschnitts. Man versteht dann unter F, den Mittelwerth
aller F^ und F^ und setze die in den Gleichungen (1), (3), (4) auf-
tretenden Querschnittsverhältnisse = 1 . Haben alle Felder gleiche (oder
annähernd gleiche) Weite, so weichen (bei nicht zu grosser Pfeilhöhe)

200

Zweiter Abschnitt. — § 7.

auch die Längen der Gurtstäbe wenig von einander ab, and es ist dann

rathsam , für s^ -^ einen festen Mittelwerth einzuführen und sämmt-

liehe %o und z durch diesen Werth zu diyidiren. Man setze also z. B.
fllr den in Fig. 206 dargestellten Träger

(9)

wv

«-. = y«M;-

berechne dann aber Hi mittels der Formel:

6 EIF^ sec^ OL

(10)

H,=

^^Zm

t*).

Zahlenbeispiele. L Die Knotenpunkte der Gurtungen des in Fig. 206
abgebildeten Sichelträgers liegen in Parabeln von 4,0 bezieh. 2,5** Pfeilhöhe.
Die Stützweite ist = iO"» , die Feldweite = 2"* . Die Ordinaten y, Strecken r,
Gewichte w und Grössen z sind in der folgenden Tabelle angegeben. Für «t,
bis M^io und ar, bis Ziq gelten die (Heich. (9), während «;, und Zi nach den Gleich.
(5) zu berechnen sind. Der ei-ste Untergurtstab ist als hall>er Stab behandelt
woiden.

m

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

ym

0,475
1,440
1,275
2,560
1,875
3,360
2,275
3,840
2,475
4,000

rm

0,20
0,52
0,63
0,94
1,01
1,26
1,29
1,45
1,44
1,525

Ausnahmefälle

5,33
3,21
2,90
1,84
2,12
1,37
1,88
1,19
1,72

7,67
4,10
7,42
3,45
7,11
3,11
7,01
2,95
6,88

ff

_ 0,475 1^0J2^ _
'~ 0,20»^ 2 0,22» -^^'^^ ^

0,475« , 1 0,72» , , ^^
^i = V. er..- + « A-^«. = 1 1,00

0.20'*

2 0.22»

2;?« = 2 'S ^ + ^10 = 2 • 53,82 + 6,88 = 1 14,52.

Für den mit den Gewichten w belasteten Balken AB' wurden jetzt von
der Mitte aus die Querknifte nach der Formel Qm = Qm+i + ^m berechnet,
hierauf die Momente Ifw = Ifm-i + ^i«X' und schliesslich die Ordinaten Hm

— _^* .♦♦♦) der if-Linie. Wegen X' = 1 ist Mm=Mn..i + Qm. ^Mlre X' nicht

^Zm

♦) Streng genommen wäre X durch den Mittelwerth von (»••«-)

zu er-

setzen, doch erwäge man die Schwierigkeit, t zutreffend zu schätzen imd rechne
daher so einfach wie möglich. Aus diesem Grunde wird man auch, falls a klein
ist, sec» a = 1 setzen.

*♦) Die Ordinate des lothrecht über 1 gelegenen Punktes 1' der oberen
Gurtung ist =0,72 und das Loth von 1' auf die Verlange ruug des ersten Unter-
gurtstabes =0,22.

♦*♦) ßoi den Mm und Qm haben wir den Zeiger tr hier fortgelassen.

t 2wei Cttlenken.

= I, aber kontibuit, no wüide man trotzdeot Ik' =: I setzeo, dafür aber Sz. durch
X' 3ivi£n)n. Wir schreiben iea vollständigen Ansatz der Rectiniing hin.
, = 39,98 = ^1

+ JOfii_

, = 60.61

15.82

, = 75,93

J2._ll

« = 88,0.1

9,21

, = 97,25

_7.^

, — 104.62

_5,2S

, = 109,87

1«',.=

0,86

+

1,IB

ft=

1,05

1,83

ft =

3,88

1.87

ft =

5,25

2,12

e.^

7,sr

1.84

«.=

9.21

2,90

p.^

12,11

3.21

ft =

15^82

5,33

ft =

20;65

19,31

«,=

89,98

= 113,75

^.05_

= "11530

0.86

= 116.66"

113,75
114,52 "

116,66

' 114,52 "

Fig. 106.

Die gleichfÖiTiiig angynominene sländige Belastiing sei y = 1.45' f. d. m,
»Iso für ein Feld; pX = 2,90'; nie erzeuj^:

H, = gl {2 (th + //, + Ä«+ Ht)-\-H„) = 2,90 ■ T.42 = 21.5'.
En Tom rechten Auflager bis zum Querträger 12 vorgeschohener Lasten-
BOg (mit den in der Fig. angegebenen Achaend rücken und Eadstanden) ruft hervor:
/f=2Pi] = 39.0'.
Der Einlluss einei- gleichmSssigen Temperaturerhöhung um t = 85" C. ist
Dach Qleioh. 10:

202

Zweiter Abschnitt. — § 7.

2,0-114,52 ^^^^'^

wobei Fe den mittleren Gurtquerschnitt in qm. bedeutet.

IL In neuerer Zeit sind mehrfach Sichelträger von bedeutender Pfeilhöhe
ausgeführt worden, z. B. für die Douro- Brücke bei Porto und den Garabit-
Viadukt Es ist hier zulässig, die Werthe y«, Sm und ß«, zur Vereinfachung
der Rechnung auf eine durch die Mitten der Höhen hm geführte Bogenachse zu
beziehen und, mit Hinweis auf Figur 207, die (ihMchungen 4 zu ersetzen durch

irm =

2y.

8'

Fe

Jf$H

hm Am

Zm = ym ICm -

Kürzt man säromtliche w durch 2,
und nimmt man für Fm einen festen
Mittel worth F« an, so erhält man:

^ 4 V ym frm

11} »«•- — T,- Ar

/im Am

und für den Eiutluss von f.

Zm = ym IT.

12) //,__^^^^ f.

Wir wenden die Fonneln (11)

und (12) auf die Berechnung des

Horizontalschubes der Eisenbahnbrücke über den Douro bei Porto an. Figur 208

stellt die Hälfte des sichelförmigen Bogenträgers dar. Die folgende Tat>olle

giebt an:

die in den Mitten der Felder gemessenen lothrechten Höhen ä«,
die Längen Sm der Verbindungslinien der Mittelpunkte der aufeinander-
folgenden Vertikalen,
die Ordinaten der Mittelpunkte der Streckern «m,
die Feldweiten Xm, Gewichte tcm und Werthe Zm-

m

ym

Sm

1 hm

Am

yms^m

'"-""PmX^m

Zm — ym tCm

1

1

8,20

8,51

2,17

5.60

13,35

42,74

2

9,33

8,07

5,19

5,55

5,91

55,14

3

15,06

8,17

6.79

5,95

5,03

75,75

4

20,61

8,62

8,02

6,65

4,64

95,65

5

24,45

3,72

8,64

3,00

1,87

45,70

6

28,23

10,01

9,01

8,45

4,88

137,90

7

33,15

10,14

9,38

9,10

4,74

157,25

8

37,13

10,81

9,63

9,70

4,66

173,15

9

40,09

10,68

9,80

10,40

4,71

188,92

10

41,90

10,47

9,89

10,40

4,55

190,46

11

42,50

10,40

9,93

10.40

4,48

190,51

'S.Zm

10

-2 2;?m +

Zu 2 1

162,66+ 1

90,51 = 2515,1

B3.

Der Bogen mit zwei Gelenken

1

2f

'"

Querkräfte

.K Momente

^^2515783

11

Qu

= iw„:=2,24

1 >M, = Ö, 2,8 =158,42

0,068

10

Qu

6,78

2 .Jf, = if, + V.5ia8 = 399,65

0,159

9

^q'i<, + ^* =

1,50

3 ■Jf.=3f, + 0.5,71 = 613,86

0,244

S

9^i6,ie

4 ; 3f= 817,29

0,325

7

20,90

950.84

0,378

6

25.78

6

1098.56

0,487

5

27.65

7

1281,85

0,509

4

32.29

«

1483,76

0,570

8

37,32

(1

1549,33

0,615

2

49,23

10 1 1619,95

0,644

'

56,5S

11

1H43,24

0,653

Flg. !oa.

Nach Aufzeichnung d^r Eintlusslinie fiir H misst mau, entsiirechend den
ÄDgri^pnnL'ten C, D, E, F der Fahrbahnl>elastiiD^', die Ordinaten

0,878 0,592 0,630 0.649,

wählend Sfgrig in seiner VerÖffeiitlichnng: Le pont aur le Douro i Porto

206

Zweiter Atechnitt. — § 7.

Zur Erleichterung der Benutzung dieser Formel diene die folgende Tabelle,
welche gestattet, zwischen Kämpfer und Scheitel 10 Punkte der ff-Linie schnell
festzulegen. Im Allgemeinen wird man diese Punkte durch eine krumme Linie
verbinden und in diese ein Polygon beschreiben, dessen Ecken den Querträgem
entsprechen.

a

a

l

«1

«1

T

«1

a«

0,05

0.0496

0,88

0,30

0,1527

1,68

0,10

0,0813

0,72

0,35

0,1619

1,82

0,15

0,1057

1,02

0,40

0,1683

1,92

0,20

0,1251

1,28

0,45

0,1720

1,98

0,25

0,1406

1,50

0,50

0,1733

2,00

Für den in Figur 206 dai'gestellten parabolischen Sichelträger ist z. B.
/;, = 4,0"*; fu = 2fi*^; ^ = 20*", mithin

30

^-"299"**

299

a

und man erhält demnach für — = 0,1 0,2 0,8 0,4 0,5 die Werthe

H = 0,50 0,75 0,89 0,97 1,01,

welche sich von den vorhin berechneten:

H=0,bS 0,77 0,91 0,99 1,02

nur unwesentlich unterscheiden.

Für den von Temperaturändeningen parabelförmiger Bögen herrührenden
Horizontalschub Ht findet man, indem man in Gleich. (10) den Werth X^Zn*

m

durch / ( -~-sec* ß + ^^sec^YI <!^^ ersetzt, die einfache Fonnel:

(15)

Hi = tEFct

8 /« (/o« + M + 32 foV«'
und beispielsweise für den Bogenträger in Fig. 206 (mit eJ^=240; ^ = 35°):

3 • 20» (4,0 — 2,5)«

Ä = 240i?'c35

= 759 i?V Tonnen.

3 • 20* (4,0^* + 2,5*) + 32 . 4,0* • 2,5*
Vorhin ergab sich der hiervon nur wenig verechiedene Werth Ht = 733 Fe.

8L Bogenträger mit fast wagereohter oberer Ghirtung. Zu

den am häufigsten ausgeführten Arten von Bogenträgern gehört der in
Figur 210 dargestellte Träger mit annähernd oder genau wagerechter
oberer Gurtung. Meistens wird die Höhe im Scheitel sehr klein ge-
wählt, und es stellt sich dann heraus, dass die Querschnittsverhältnisse
der dem Scheitel zunächst gelegenen Gurtstäbe von wesentlichem Bin-
fluss auf die Ergebnisse sind. Die Gewichte w der Knoten in der Nähe
der Auflager spielen eine untergeordnete Bolle. Wir empfehlen bei
Berechnung der ^-Linie folgende Annahmen:

Der Bogen mit zwei Gelenken.

207

Man benutze die Oleichnngen (4), ersetze die veränderlichen Glie-

^« Fe Fg

der sec'ßi,, — — und sec'y^+i - - — durch die festen Werthe — ^ bezw.

J'om -^«m+l Fo

Fe

' , nehme die willkürliche Querschnittsfläche Fc = F^ an und kürze

F.

die w und z durch die (konstant gedachte) Feldweite X. Man erhält
dann:

(16) w^ = yy^^ + y„, -^ j jj- und z^ = \y\^ + y\. ^J ^,

wo für jp; : F^ das Verhält-
nis» der Querschnitte der
oberen und unteren Gurtung
in der Nähe des Scheitels
einzusetzen ist.

Für den Knotenpunkt 0
und für den Scheitel 8 hat
man bezw. zu setzen:

Fig. 210.

(17)

(18)

tr.

1

w,=

F.

2y. F.
h*. F.

F.

n 0 Tu

(19)

Der Binfluss einer Teinperaturänderung ist:

eEFJt

H*=-

X2

ZahienbeispieL I. Für den schmiedeeisernen Bogentniger in Fig. 211
erhüF man mit Fo'-Fu= l (ein Querschnittsverhältniss, für welches der Vor-
fassei in einer ganzen Koihe von Fällen recht befriedigende Ergebnisse er-
zielt hat):

Fig. Sil.

208

Zweiter Abschnitt. — § 7.

_ 0,9 + 8,0 _ _0,9*+3,0«_

^1 — 2T*~ ' ^~" 2 1» -2,224

1,6 + 3,0
«^« = ' ^J' = 2,85

ebenso ir, = 6,30; «^4 = 15,00
schliesslich ir» = —^^—^ = 20,00

1,6« + 3,0«
«i=-^r^- 5,898

2r, = 16,556;«r4 — 41,000
2 . 2,5«

«6 =

0,5«

= 50,00

zo = 1,000

SiTi« = 66,678
0

^2m= 2 • 66,678 + 50,000 = 183,356.

Die Momente des mit den Gewichten uf belasteten Balkens A'B^ sind,
wenn die Feldweite X = 1 gesetzt wird (vergl. das ZahlenbcLspiel auf S. 214):

iri = 84,53; lf8 = 68,18; Af8 = 99,48; ir*^^ 124,48; ir8 = 184,48.

183 856
Der durch X dividirte Werth 2 z«, ist - — '- - =91,678, und es ei-giebt

sich daher:

_ 34,53 _ 68,18 _

^*- 91,678-^'^^' ^«"-l)i;678'-^'^*'

ebenso JHi = 1,0» ; H^ = 1,36; H^ = 1,47.

Ist die ständige Belastung g = 1,45' f. d. t», so ist die Belastung eines
Knotens:

^X = 1,45 • 2,0 = 2,9'.

Der Horizontalschub in Folge des Eigengewichtes beträgt dann:

H, = g\ [2 (Hl + If, + Äs + ^4) + Hol = 2,9 • 8,61 = 25,0*.

Der Einfluss einer Temperaturändenmg um t = 85° ist:

m=

tEtlFo

X2«m

240-35-20F« ^^^ ,, , , ...

-2,ÖVi83;356- = ''^ ^^ (abgerundet).

//. Will man die Untersuchung für verschiedene QuerBohnittsverhältnisse
F»:Fu durchführen, so berechne man (unter der Voraussetzung: X=:l)^die

Momente Mm in Folge der Gewichte: Wm = -/'"l- und die Momente MJ' in Folge

nm

der WwT = t— r und bestimme Hm mittels der Formel :
hm*

(20)

Bm =

Mm' + ^[ Mm

t{^'-

+

'■•)

2v
Für den Scheitel ist w» = -^ und «?," = 0; z,' = y,ir! und »," = 0. Der

TJHnflnfta von t ist:

(21)

Ht = -

X

tEtlF.

(^^-'+-fe^^"")

Der Bogen mit zwei GelenkeD.

209

Man erhalt:

m

ICm

tOm

Mm

Mn

0

1

2
3
4
5

0,20
0,82
2,60
6,67
20,00

0

1,000

0,68

0,184

2,041

20,29

14,24

1,53

1,306

4,592

40,38

27,80

3,70

5,444

11,111

59,65

39,83

8.33

16,000

25,000

76,^2

48,16

0

50,000

0

86,32

48,16

95,868
87,488

Die nach Gleichung (20) berechneten Werthe Hm sind für verschiedene
Verhältnisse B\ : F» in der folgenden Tabelle zusammengestellt worden.

m

! 0,7

1

1 0.39

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1

0,39

0,38

0,38

0,37

0,37

2

, 0,77

0,76

0,75

0,74

0,73

0,73

3

1,13

1,11

1,10

1,09

1,07

1,06

4

1,42

1,40

1,38

1.36

1,34

1,32

5

1 1,55

1,52

1,49

1,47

1.44

1,42

Der Einfluss von e = 85* C. wird der Reihe nach (abgerundet):
Ht=^h\^Fo\ 510 Fo; 480 Fp; 460 F«; 440 F«; 420 Fo.

In der Nähe des Scheitels weichen also die tf-Dnien wesentlich von ein-
ander ab. Den Einfluss dieser Unterschiede auf die Spannkräfte werden wir
später besprechen. Vergl. No. 85.

82. Bogentrftger von nahesu imyeränderlloher Höhe, Die in
den Figuren 212 nnd 213 dargestellten Bogenträger mit annähernd
konstantem r«., welche häufig der Kürze wegen Parallelträger genannt
werden y sind meistens so gebildet, dass die oberen und unteren Kno-
tenpunkte in Kreisbögen mit
gemeinsamem Mittelpunkte lie-
gen. Bedeutet dann h den Un-
terschied der beiden Kreishalb-
messer, so darf man r„ durch h
ersetzen und, bei gleichen (oder
annähernd gleichen) Feldweiten,
die Formeln

Fig. 212.

U

h'm F^

; z = y^w^\

H,=

tElF,

\^z.

t

Hg. 213.

anwenden. Man vergl. die Begründung von (9) und (10). Kürzt man
alle w und z durch 1 : A '«. und nimmt einen überall gleichen Gurt-
querschnitt an, so erhält man sehr einfach:

Möller-BretUii, Oraphitche SUtlk. II. 1. 14

210

Zweiter Abschnitt — § 7.

(22)

, ^ tEFJh\

In den Formeln für Ht bedeutet F^ einen mittleren Gnrtquerschnitt.

Die Gleichungen (22) liefern auch dann noch brauchbare Werthe,
wenn die TrägerhOhe h sich vom Scheitel nach dem E^mpfer hin etwas
ändert. In den Ausdruck ftlr Ht muss dann ein Mittelwerth h einge-
setzt werden.

Will man für die obere und untere Ourtung verschiedene mittlere

Querschnitte F^ und F^ einführen, so wfthle man Fe=^Fo und setze

für einen Knoten tn der unteren und einen Knoten k der oberen Ghir*

tung bezw.:

jr ^

(28) w^ = y^; Zm = y^m und wu = yu^', ^* = y**-ir-

Für Parabelhögen lassen sich die gewonnenen Ergebnisse noch erheblich
vereinfachen. Dazu nehmen wir mit Bezugnahme auf Fig521i an, es] folgen
die Gurtungen den Gesetzen:

y» = .y + Ä« bezw.
y« = y — hu,
wobei

ifx (l — x)

y = ^i — -

die Gleichung einer Pa-
rabel von der Pfeühöhe
f ist Sodann ersetzen
wir (alinlich wie in
No. 80) die Einzellasten
w durch eine stetige Be-
lastmig, welche an der
Stelle X die Höhe

«^ = y- + yo

k- -

a

->

>.» %^» • • *•• »««tf

i -

if---* -f

m i

mm • t^fm tf •««• •*»*^^«*4

x\

I

JE.

Flg. SU.

Fo

Fu

= y — Äm + (y + *«) "TT" ^**i ^^^ welcher dann die Momentengleichung

Tu

dx» " ^'~ f

^(■+*)-

*'^+*-

entspricht Duich zweimalige Integration dieser Beziehvmg finden wir

lf- = -^(afP-2/a;» + a!«)(l + -^) + l^Ä.^-*.)x(/-ar),

wobei die Eonstanten mittels der Bedingung bestimmt werden , dass x := 0
und x=^l den Werth if = 0 liefern müssen. Das Moment Mw dividiren wir
durch

« = [[(y - *-)•

+ (y+*.)

'*]"-

8^/ Fo + Fu

(24)

0 = 1 -h

5 hoFo — huFu

+

15 Fu

15 h\Fo+hKFu

c», wo

2 f (/; + !?•«) ' 8 r{Fo-^Fu)

Der Bogen mit zwei Golenken.

211

Der von einer Temperaturänderung t herrührende Werth H ist:

e,EFolh*t

(25)

H,=

gj^ ,d. i.

lbtEth*FoF^

Sr(Fo + Fu)iA

Indem wir dann schliesslich x durch a ersetzen, erhalten wir den Einfloss
einer Einzeltetft P auf H:

(26) j=P-^-=-^--«(/_a)Ll' + «(/-«) + y-^r+^

Die nach Gleichung (26) aufgetragene ^-Linie weicht so wenig von einer
Parabel ab, dass der Gedanke nahe liegt, sie durch eine Parabel zu ersetzen,
80 zwar, dass beide Linien mit der Nulllinie gleichgrosse Flächen einschliessen.
Die Bedingung hierfür lautet:

]

Z2l

8

=ih

dx

und liefert für Z den Werth:
(27)

(28) V =

f(F^ + Fu) + 1,25 (KFo — KF^)

f(Fo + Fu) + 2,5 (KFo - KFu) + 4t (h\Fo-\-h\Fu)

Die Gleichung der parabelförmigen IT-Linie ist:

(29) ^=^^5

sie liefert auch für flache Kreiehögen sehr zuverlässige Ergehnisse,

Für den in Fig. 212 daigestellten Fall ist A« = % und lb» = 0. Man findet:

f{Fo + Fu) + \,VihFo

(30)

f(Fo + Fu)-\'2fihFo[\ + 0,lbj^

Ht —

IbtEth^FoF,

^f\_f{F,+ Fu) + 2fihF,(l + 0Jbj^'j

Setzt man einmal F» = Fu-, sodann Po = 2F«, so erhält man, wenn f=Ah
ist, v = 0,84 bezw. v = 0,81 und erkennt hieraus, dass das QuerschnittsTeihält-
niss FoiFu in der Regel keinen wesentlichen Einfluss auf H haben wird. Mit
der zulässigen Vereinfachung Fo = P» gehen die Gleichungen (28) für den Träger
in Fig. 212 über in:

8f4-5Ä

(31)

Sf+2fih(^ + Sj) '

Flg. 212.

Ä =

IbtEth^Fc

wo jetzt Pj einen Mitteiwerth der Querschnitte P, und Fu bedeutet.*)

*) Maasagebend sind hauptsächlich die Querschnitte in der Nähe des Scheiteis.

14*

212

Zweiter Abschnitt. — § 7.

Für den zweiten wichtigen Sonderfall in Fig. 213 ergiebt sich mit
'-Fo = Fu = Fc (wegen ä. = ä«=Jä):

(82)

V =

Flg. 218.

1 +

15 Ä*

und J¥« =

16f«

82 P

Der Verfasser empfiehlt die Anwendung parah^förmiger H-Linien auf das
dringendste, Yergl. des Verfassers : Theorie und Berechnung der eisernen Bogen-
brücken, Berlin 1880, Seite 84.

b. EnliiWung d<r 8|>aniikrafte.

88. Allgemeine Besiehungen. Nach BestimmQng des Horizontal-
schnbes H lässt sich das Angriffiamoment JC für den Knotenpunkt m
(Fig. 198) in der Form darstellen:

(88) M^ = M^^ — Ity^ cos a = M^^ — Hy^

wo Jlfo«, den Werth des Momentes für den Fall H=0 bedentet, d. L
das Angrifismoment für den Knoten m eines einfachen Balkens AB.

im^f

Fig. 215.

Fig. 216.

Durch Jf«, aber ist die Spannkraft des dem Knoten m gegenüberliegen-
den Onrtstabes bestimmt. So erhält man für die Gnrtkräfte 0^ und
Ujj in Fig. 198 die Werthe:

0, = -- ^und C^, = + -f .

Soll die Spannkraft J) in Fig. 215 aus der Momentengleichung
für den Schnittpunkt i der Gurtkräfte TJ und 0 ermittelt werden, so
findet man:

(84) Mt—Drt=0 wo Mi=M,t — Hyt

und M^i, das Angriffsmoment der links vom Schnitte t — t wirksamen
lothrechten Kräfte A und P in Bezug auf den Punkt t bedeutet, während
— Hyi den Einfluss von H' angiebt; r< ist der Hebelarm von 2>.

Der Bogen mit zwei Gelenken. 213

Bei Berechnnng der Angriffsmomente und Spannkräfte für das
Ständerfachwerk (Fig. 216) führen wir die Bezeichnungen ein:

M^ = Angrififsmoment für den oberen Knotenpunkt m
ü^«= 9) ,j 99 9, unteren „ w

und finden dann:

(85) ö^ = — . ---o ; c^^ = + -.-- '

hm cos ß^ ' *" Ä^,, cos Y«

Die Spannkräfte in den Füllungsstäben kann man wie vorhin mittels
der durch Formel (34) dargestellten Bitter^schen Momentengleichung be-
stimmen, oder auch auf die folgende Weise:

Man führt durch 0«,» D^t U^ einen lothrechten Schnitt, setzt die
Summe der links vom Schnitte wirkenden wagerechten Kräfte = 0,
erhält dann zunächst

Dm cos 9« + 0^ cos ß^ + Um cos Ym + // = 0,

drückt nun 0 und ü mittels Gleich. (35) aus und berücksichtigt schliess*^
lieh, dass

isty weil sich beim Uebergange vom unteren zum oberen Knoten m nur
der Einfiuss von // auf das Moment ändert. Man gelangt dann zu
der übersichtlichen Formelgruppe:

(86)

O^COSß« = — -; U^co8y^= + —

"m n^-l

^ ^ Ml Ml., Ml Ml,,

hm h^^i h^ A^_i

Hiemach ist man z. B. im Stande, mit Hilfe der Einflusslinien für
die Grössen: M**:h und M'' : h sämmtliche Spannkräfte 0, üf D zu
bestimmen.

Auch die Spannkräfte in den Ständern lassen sich durch die Mo-
mente M* und if" ausdrücken. Greift die Belastung oben an, auf
welchen Fall wir uns hier beschränken wollen, so folgt aus dem Gleich-
gewicht der am unteren Knotenpunkte m angreifenden Kräfte:

Vm + D^ sin 9« + Un,+i sin y^+i — Um sin y^ = 0,

und aus dieser Bedingung erhält man, wenn man D^y Um+i und U^
mittels der Gleichungen 36 bestimmt und die Beziehungen

tg 9« + tg Ym = -^ und tg 9^ + tg y^+, = -^~
beachtet, die einfache Formel:
(87) F.= ^-^(^-- ^-_^).

214

Zweiter Abschnitt. — § 7.

Darin bedeutet A'^-i die obere der Strecken, in welche A«^i durch
die Verlängerung des Stabes U^+i zerlegt wird.

Auf ähnliche Weise können auch die Spannkräfte D des Streben-
fachwerks dargestellt werden. Man denke sich die punktirten Ständer
eingeschaltet, Fig. 217, und findet:

hm ""

(38)

Dm cos 9^ = -_ - —

Kt—\

f^m

■«li— 2

In m—2 -«*••- 1 —

D^.i cos 9^1 = = -

^m^2 ««fr-l »m-l

^.1

Werden in jedem Felde zwei sich kreuzende steife Diagonalen an-
geordnet (Fig. 218); 80 ist die genaue Berechnung der Spannkräfte

eine ausserordentlich mühsame Arbeit, weil
ausser H noch in jedem Felde eine statisch
nicht bestimmbare Orösse, nämlich die Spann-
kraft in einer der beiden Diagonalen, auftritt.
Wir begnügen uns deshalb hier mit einem An-
näherungBverfahren. *)

Es bedeuten: D die Spannkraft, d die
Fig. 217. Länge und F den Querschnitt der linksstei-

Fig. 218.

Flg. 219.

genden und D\ d\ F' die entsprechenden Werthe der rechtssteigenden
Diagonale irgend eines Feldes, femer seien für die übrigen Stabläagen
und die Winkel die in der Fig. 219 angegebenen Bezeichnungen ge-
wählt. Auf die Aenderung Ay der Winkel y haben die Längenände-

*) Das genauere Verfahren findet sich in: Mittler' Breslau, Theorie und
Berechnung der eisernen Bogenbrücken (Berlin 1880) Seite 72. Eine nachträg-
liche schärfere Berechnung, die allerdings wesentlich mühsamer ist, dürfte
meistens nicht zu entbehren sein. Mit Rücksicht hierauf ist die Anordnung des
Gitter^^erks nach Fig. 218 wenig zu empfehlen.

Der Bogen mit zwei Gelenken. 215

rnngen A<2 und Ld' einen hervorragenden Einfluss, und es sei deshalb
ans der Gleichung

d*=Äj -|-nf — 25oWiCos Yi,

unter Vernachlässigung von A^«, An^ die Beziehung

2(2 Ad = 25oWiSin Yi AYj

gebildet und hieraus (und auf ähnliche Weise) sei erhalten:

d^d , d'tld' , dtid , d'Ai'

AYi = ; Ay2= ; ; Ay8= -. ; Ay4= :

«o«iSinYi «„niSinYg s^n^^m'^^ «o^gSiaY*

Da nun die Summe der Viereckswinkel Yi* t^y Ys» T4 ^^^ °^^
der Formänderung =360° ist, so ergiebt sich AYi + ^Y» + ^Ys
+ AY4 = 0 und hieraus folgt dann:

^^^ g^WasinYa + gp^iSinYi ^'^^' gpfig sin Y4 + ^*«>»i sin Y«

sin Yi sin Ys sin Y2 sin Y4 '

oder, da der Inhalt des Vierecks sowohl = \ (5^11, sin Ys + 9^^\ sin Yi)
wie auch = \ (Soti^ sin Y4 + ^«Wj sin Y2) gesetzt werden darf,

^d d' sinYiSinYs

Ld ' d sin Yg s^in Y4

Bd , D'd'

Nach Einführung von Ad = und Ad = . ergiebt sich

D d'* F sin Yi sin Ys

D' d^ F' sinYgSiuYs

und, wenn s^ || 8^ ist, wenn also sin Yi = sin Yg nnd sin Ys = sin Y4 ist,

<^^) -D^=—d^ -V'

Man nehme (wenigstens bei der ersten Berechnung) F= F' an,
und benütze die vorstehende Gleichung auch dann, wenn 9« und s,, nur
annähernd parallel sind.

Werden nuU; vom Kreuzungspunkte J der Diagonalen aus, auf
diesen die Strecken JC und JE (Fig. 218) so angetragen, dass
JC:JE = d'*F:d^F' ist, und wird das Parallelogramm JF gezeich-
net, so giebt JF die Richtung der Mittelkraft D aus den Spannkräften
2> und D' an. Sind 0 und u die Schnittpunkte der Geraden JF mit
den Gurtungen, ferner Mo und Mu die für die Punkte 0 und u be-
rechneten Angriffismomente, so ergeben sich die Spannkräfte für die
Gurtungen:

(40) 0 = — -^ und U=+ ^*

ru r«

wenn r« das Loth von Punkt 0 auf die untere Gurtung und r« das
Loth von u auf die obere Gurtung bedeutet.

216

Zweiter Absclmitt. — § 7.

Die Spannkräfte D und D' werden durch Zerlegung von 2) ge-
funden, und bei Berechnung von % verehrt man genau so, als be-
finde sich in dem fraglichen Felde nur eine die Punkte o und u ver-
bindende Diagonale.

Behufs Ermittlung der ^-Linie nach No. 7 7 werden den Punkten

SoV*

F.

zugeschrie-

0 und u die Gewichte ir, = **a* -=^ und tv^ = .^

ben, femer die Werthe J?o = w?oyo; «« = «^«y»- Die Berechnung von
Hi erfolgt dann nach Gleichung 7. In der Regel sind die in No. 82
angeführten Vereinfachungen Wo = y« und to^ =- y^ zulässig oder —
was noch mehr zu empfehlen ist — die Benutzung der parabelförmigen
IT-Linie.

Zur Bestimmung der Grenzwerthe der Spannkräfte bedient man
sich im Allgemeinen am zweckmässigsten der Einflusslinien.

84. EinfluBslinien fOr die Angriflfsmomente und Spannkräfte.
Die Einflussfläche für das Angrifflimoment

(41)

M„ = M^„ — Hy„ = ymy HJ

ergiebt sich — wenn y,„ als Mul-
tiplikator angesehen wird*) —
als der Unterschied der(l/,«, : y J-
Fläche und der F-Fläche. Nach
Aufzeichnung der ^-Linie^'iS'B'
(Fig. 220) trage man auf der
Lothrechten durch Ä die Strecke

ÄÄ' = 1

Vm

ab**), ver-

JfQFlaa^,^.y^

Fig. 220.

binde A" und B' durch eine
Gerade, bestimme auf dieser
senkrecht unter m den Punkt
m und ziehe Äni. Die schraf-
firte Fläche ist dann die Ein-
flussfläche für jSf«***); sie ge-
stattet die Berechnung der

*) Vergl. Seite 174. Wir werden die Multiplikatoren der Einflussflächen
mit (i bezeichnen und stets an die betreffenden Flächen setzen.

Xm

**) Die zeichnerische Bestimmung von 1 • — ist in der Figur 220 ange-

beutet worden. Der Verfasser zieht die Berechnung vor.

♦♦*) Wäre ÄÄ' = 1 • xm, so wäre das Dreieck ÄmB nach Band 1, S. 134,
die Einflossfläche für das Moment Mom-

Der Bogen mit zwei Gelenken.

217

Grenzwerthe „^M»» nnd ^^M^ in der Form:

wobei 2Pt], SPy), /* und F die auf Seite 188 erklärte Bedeutung

+ - + -

haben; dort ist auch gezeigt, dass man im Falle gleich langer Felder
auch setzen darf:

,(^-/') = ,X(2-^).

Figur 220 setzt voraus, dass m der oberen Gurtung angehört und
die Belastung oben angreift. Ist m ein Knoten der unbelasteten Gur-
tuDg (Fig. 221), so beachte man, dass jedem Felde F^F^ eine gerade
Einflnsslinie L^L^ entsprechen muss.

Durch die Momente if«,
sind die Spannkräfte in den
Gurtungen bestimmt.

Bei Untersuchung eines
Füllungsstabes gehen wir, mit
Bezugnahme auf Fig. 215, von
der für jeden Neigungswinkel
des Stabes gültigen Gleichung
Dri =^±Mi aus und ermitteln
zunächst die Einflussfläche für
M, = M,, — Hy^. Nach Auf- ^
Zeichnung der ^-Linie machen

wir A'ä" = 1 . -^, Fig. 222,

Vi

J^ftäehe^./t*^

Fi«. 221.

ziehen die Gerade A" h\ be-
stimmen auf dieser senkrecht unter % den Punkt t', verbinden i and
A' und tragen schliesslich die dem Felde F^F^ entsprechende Gerade
LjZ, ®^n. Fassen wir jetzt die in Fig. 222 schraffirte Fläche als Bin-
flussfläche für die Spannkraft T> auf, so ist der Multiplikator derselben

P- =

Vi

Die Einflussflächen für D und Mi haben gleiche oder entgegenge-
setzte Vorzeichen, je nachdem die Spannkraft D in Fig. 215 links oder
rechts um t dreht. Bei Feststellung dieser Vorzeichen schlage man
zur Vermeidung von Irrthümem folgenden Weg ein. Man nehme eine

218

Zweiter Abschnitt. — § 7.

rechts von F^ gelegene Last P an, und setze zunächst H=0, be-
trachte abo den Trftger als einfachen Balken. Am linken Auflager

greift dann nur A = P -— an , und man erhält aus der Gleichung

D'I'iae^i^'f^

Linie

Flg 222.

Flg. 223.

I'Q^

N

pr T ^\ >i

M

(

V\ \ \

5---»
•«I

• ' - - ^

t >* 9 ^m^% 1 f 1 1 1 1 i iLl^^

iL 3l??iT?5^l^!l jfll Ii1U*»tt-7«
öf T jm||i^jjpjiiM^

Fig. 224.

Flg. 225.

Ax, — Dri=0 mit P= 1 den Werth:

Xi , b Xi ^ h Xt

Der Bogen mit zwei Gelenken.

219

wo t\^, die unter P gemessene Ordinate der Geraden B'A'' bedeutet.
Für den Einfluss von it^^HsecoL hat man nun: -BTyi + Z>r< = 0,
woraus D = — ji.jy, weshalb sich im Ganzen

ergiebt, woraus für den vorliegenden Fall folgt: dass D positiv ist, so
lange fi^'^ H ist. Brwägt man übrigens, dass die Gerade B'ä" die
mit Xtiyt multiplicirte ^-Linie ist, so braucht man zur Entscheidung
der Vorzeichenfrage nur den Einfluss von A und H* = H oeoa zu
prüfen. So findet man in dem in Fig. 223 dargestellten Falle, dass
A sowohl wie H eine Zugkraft D hervorbringen, und folgert dann, dass
die Ordinaten der Geraden B'A" zu denjenigen der J^-Linie zu fügen
sind, und dass die Einflussfläche rechts von F^ positiv ist. Auf die-
selbe Weise prüfe man die Figuren 224 und 225.

Bislang haben wir vorausgesetzt, dass der Punkt i auf dem Zeichen-
blatte liegt. Fällt er über dassell)e hinaus, so lässt sich der zur Fest-
legung der Geraden B'a'' dienende Werth a;, : y^, sowie der Multipli-
kator |JL = yi : Vi wie folgt ermitteln. Man verlängere die Gurtstäbe O
und U (Fig. 226) und ziehe an beliebiger Stelle eine Gerade ST pa-
rallel zu dem links an den fraglichen Füllungsstab D sich anschliessen-
den Wandgliede F^F', Hierauf lege man durch S und T Parallelen
zu AF^ und AF', bestimme deren Schnittpunkt t« und messe die in
der Fig. 226 mit ir)<, ^i, p< bezeichneten Strecken, p^ bedeutet das Loth
von S auf den Stab D, Man erhält dann:

= -^ und -^ =

Jii.

Der Punkt t liegt in der
Geraden Ai^, was bei der
Yorzeichenbestimmung zu
beachten ist.

Auf ähnliche Weise liesse
sich auch die von der Ge-
raden A'B" (Fig. 222) auf
der Lothrechten durch B ab-

geschnittene Strecke 1 • — ^

Fig. 226.

ermitteln, doch ist dies nicht nöthig, da man die Gerade A' B'' schneller
auf andere Weise bestimmen kann. Man muss nur daran denken, dass
der Geradenzug A'L^L^B' die Einflusslinie für die Spannkraft D des
einfachen Balkens AB ist.

In Fig. 227 ist beispielsweise die Z>- Fläche eines rechtssteigenden

220

Zweiter Abschnitt. — § 7.

Füllimgsstabes dargestellt worden. Punkt i liege ausserhalb des Blattes;
daher wurde X| : y< = ^< : iq^ gefunden. Die Hilfslinien zur Ermittlung
von t« sind wieder ausgelöscht worden, t« ergab sich oberhalb der Ge-
raden AB, und es liegt daher auch t oberhalb AB. Die Kräfte A

und It ^ HsecoL erzeugen in D Drücke, weshalb A'A" = 1 —^ nach

oben aufgetragen wurde. '^) Zur Festlegung der Geraden L^L^ und
A'Li wurden zwei Ver&hren angewandt, erstens die Bestimmung
des Nullpunktes N auf dem im I. Bande, § 80, gezeigten Wege,

JD^^ffächeyU^i^

Flg. 227.

zweitens durch Ermittlung der Strecke L^ 1\ welche die Geraden
B' A" und A' B" auf der Senkrechten durch den der belasteten Qur-
tung angehörenden Endpunkt F^ des Stabes D abschneidet. Wir wiesen
früher das Gesetz nach : Zerlegt man P = 1 nach den Richtungen von
0 und D und ist die zu D parallele Seitenkraft = [Z>] , so ist L^ T
= [/>], vorausgesetzt, dass die Einflnssfläche den Multiplikator 1 hat**).

*) Die .ff-Linie wollen wir stets nach unten liegend zeichnen.
**) Vergl. Band I, § 80.

Der Bogen mit zvei Qelenken.

221

Da nan im vorliegenden Falle ein Multiplikator |JL = -^- eingeführt ist.

An die Stelle von

1 r

80 mnss F= 1 ersetzt werden durch — = 1 —

V- Vi

[2>] tritt jetzt der in Fig. 227 gefundene Werth Z. Die zweite Be-
stimmungsart der Geraden A'Ly^ und L^L^ verdient natürlich den Vorzug.

Femer ist zu beachten, dass die Strecke A'A"-= 1 •— ^ = D^ —

Vi Vi

ist, wo Da den absoluten Werth der von einem Stützen widerstände

Ä=\ im fraglichen Wandgliede erzeugten Spannkraft bedeutet, und

ebenso lässt sich B'B" = D^ aus der durch 5=1 hervorgerufenen

Vi

Spannkraft Db berechnen , während schliesslich 1 -^ = Dr gleich dem

absoluten Werthe der Spannkraft in Folge einer in A angreifenden, von
A nach B gerichteten Belastung 1 sec a ist. Hiemach kann man den
Linienzug A'L^L^B' mit Hilfe von zweien der drei Strecken: A'A"
= Dji : Dh, B' B" = DbI Dm und Z bestimmen.*)

Die Benutzung der Spannkräfte 2>^, Db, Dh liefert wohl die über-
sichtlichsten und schärfsten Zeichnungen, vorausgesetzt, dass man die
geringe Mühe nicht scheut, diese Werthe durch Bechnung zu bestimmen.
Man gehe dann von den Gleichungen (36) und (88) aus.

Als Beispiel sei hier die
Ermittlung der Dai Dbj
Dh für den auf S. 201 dar-
gestellten Sichelträger mit-
getheilt; denn gerade für
diese Träger ist das frag-
liche Verfahren besonders
am Platze. Durch die un-
teren Knotenpunkte 1', 3',
5', 7', . . . . wurden senk-
rechte Geraden gezogen,
welche die obere Gurtung
in 1, 3, 5, 7, . . . schneiden**). Aus den Angriösmomenten ifi, if,, if,, M^^ M^y . . .
findet man dann für jeden Belastungszustand für eine linkssteigende Diagonale:

!»•«

Fi«. 22S.

*) Vergl. auch Band I, § 30; dort wurden die Da und Db mit />' bezw. D"
bezeichnet.

**) Der bequemeren Schreibweise der Momente wegen ist die Bezeichnung
der unteren Knotenpunkte anders gewählt wie in Fig. 206.'^

}

222

Zweiter Abschnitt. — § 7.

Dm COS 9., = -Y^ — v^-^

und für eine rechtssteigende Diagonale:

M(m-l) Mm

Dm GOe(pm =

z. B. Dj cos qpj = -— • ~-

z. B. D4 cos ©4 = -T-^ ;-=-

*•» — l Am

Den Zuständen ^ = 1, JE^ = 1, /f=l, entsprechen nun für den Knoten m
der Reihe nach die Werthe:

Mm=l'Xm^ ifm=l-af'm, 3f m = 1 ' ym

ao^dass man z. B. für D» und D« die Gleichungen erhält:

Einfluas von A = l; D5 cos 95 = -r^ r^; D4CO8 94 = -^ —-;

Ä» /I4 At A4

»?

ij

,, S=l; I>.cos95 = -Tj- — -^;D4Coe94 = -T^ — -T^;

A4

;., A4

„ ir=i;DeC0S95 = -^--|5.;Z)4C0S94 = ^--|^.

/»4 /«5 /t4 /If

Die Ei^ebnisse der Rechnung sind iu den folgenden Tabellen zusammen-
gestellt worden.

m

Xm

« m = / — Xm

^

.Vm

Xm

hm

Xm
hm

lfm

hm

1

1,0

19,0

0,245

0,72

4,082

77,550

2.989

2

2,0

18,0

0,565

1,44

8,540

81,858

2,549

8

8,0

17,0

0,725

2,00

4,188

28,448

2,759

4

4,0

16,0

0,985

2,56

4,061

16,244

2,599

5

5,0

15,0

1,085

2,96

4,608

18,825

2,728

6

6,0

14,0

1,285

8,86

4,669

10,895

2,615

7

7,0

18,0

1,825

8,60

5,288

9,811

2,717

8

8,0

12,0

1,465

8,84

5,461

8,191

2,621

9

9,0

11,0

1,445

8,92

6,228

7,612

2,718

10

10,0

10,0

1,525

4,00

6,557

6,557

2,628

Einfluas von

A=:l

ß = l

H=i

D, COS9, =

+ 0,542

+ 45,692

— 0,890

D, CO69, ==

+ 0,598

— 8,410

— 0,210

D4 CO894 =

+ 0,077

+ 7,204

— 0,160

Dft CO89, =

+ 0,547

— 2,419

— 0,129

De C08 9e =

— 0,061

+ 2,980

— 0,118

Dt cos 9, —

+ 0,614

— 1,084

— 0,102

Ds 006 98 =

— 0,178

+ 1,620

— 0,096

D9 CO89, =

+ 0,767

— 0,579

— 0,092

D,oCOS9io =

— 0,829

+ 1,055

— 0,090

Mit Hilfe dieser Werthe lassen sich die Einflusslinien für die Spannkräfte
D oder" — was zweckmässiger ist — für die D 00S9 sehr schnell auftragen.

Der Bogen mit zwei GaleolieD. 223

Fig. 229>> seigt die J), cos 9,-Fläohe. Die Einflüsse tod ä und H haben gleiche-
VorMiohen und ea'wurde daher A'A" = 1 ■ ■■' = 1,85 auf der entgegenge-
setzten Seite der £^-Fläche at^tragen, damit sich die Einflttsae von A und H
sommiren. Die Oentde A' K" konnte nicht mittels der Streolce ^-8"= n^™="
^ 16^8 fee^elflgt werden, da dies zu viel Platz etfordert hätte, sondern wurde
bestimmt mit Hilfe von Fi, = -f^ ■ 16,88 = Öfl6- Der Multiplikator der ge-
aeicbnet«n ETmflnssfiäche ist |i = 0,096.

Wir wollen an der vorliegenden Figur noch die Berechnung der Spann-
kräfte in Folge einer gleichförmigen BelsNtong erlSatem und □ohmen zu diesem
Zwecke eine ständige Belastung g = l,4y f. d. m. der Stützweite und eine
bewe^iohe p ^ 2,8' an. Die Knotenlasten sind dann: pX = l.iö - 2,0 = 2,9'
und p\ = 2,0 2,0 = 5,2'. Um _»i), zu erhalten weiden, die Knoten redits
von Dt nur mit g'k belastet, die Knoten links davon mit q\=:[g -\- p)X^i,\:
Man misst nun:

S = »h + 1i + ^ = 7,92; S = ij, + ii„-|-i)„ + i)„ + il„4-,l,» = 9,10

224 Zweiter Abschnitt. — § 7.

und erhält:

««, Dg cos 98 = »A (?3iS — yX3\*) = 0,096 (8,1 • 7,92 — 2,9 • 9,10) = + 3,6*.

Yertanscht man g und q^ so findet man:
^D^ cos 98 = »Jt (^^^ — g3^2\ = 0,096 (2,9 • 7,92 — 8,1 • 9,10) = — 4,9'.

Zu diesen Werthen tritt noch in Folge Erwärmung bezw. Abkühlung

Dg cos 9 8 = + »1 Hi.**)

In den vorstehenden Untersuchungen wurden sämmtliche Einflussflächen
aus derselben J7-Linie mittels Ziehen weniger Geraden abgeleitet. Dieses ein-
fache Verfahren führt bei den Gurtstäben stets zum Ziele, versagt aber zu-
weilen bei Berechnung der Spannkräfte in den Wandgliedem ; denn hier kann
es bei sehr nahe an der Geraden AB liegenden Punkten i vorkommen, dass
die Werthe Xi.yi (bezieh. Da' Da), welche bei endlichem «< mit y< = 0 un-
endlich werden, sehr gross ausfallen, und dass infolgedessen die fraglichen
Einflussflächen zu viel Platz beanspruchen. Das Herausziehen eines Multipli-
kators muss dann unterbleiben; die Einflussfläche ist zunächst für H=0 auf-
zutragen, und hierauf muss der Einflttss von H mit Berücksichtigung der
Vorzeichen hinzugefügt werden. In dem zuletzt durchgeführten Beispiele

(Q -170 \ Q

statt -^-j und FLi =-^ • 1,62

statt -— • ^ 1 machen , xmd schliesslich würde man die H-Linie durch die

(0,096 ^)- Linie ersetzen, wobei die Multiplikation der Ordinaten H mit 0,096
nach Seite 174 am übersichtlichsten mit Hilfe eines Kinkels, dessen Tangente
= 0,096 ist, außgefülirt wird.

Der Verfasser pflegt dieser letzteren Darstellungsweise nach Möglichkeit
aus dem Wege zu gehen, indem er gleich von vornherein die ff-Iinie nach zwei
verschiedenen Maassstäben (unter umständen auch noch nach einem dritten
sehr kleinen Maassstabe) aufträgt und dann die 'grössere IT-Linie zur Unter-
suchung aller Gurtstäbe benutzt, die kleinere zur Berechnung der Füllungs-
glieder. Nur bei den Wandgliedem von Sichelträgem sind diese Maassregeln
zuweilen fruchtlos.

Bezüglich der Einführung wagerechter Nullachsen, sowie der übersicht-
lichen Zusammenstellung der Einflussflächen und der Ergebnisse der Rechnimg
verweisen wir auf No. 73.

c. Voilsttndiges Zahlenbeispiei. Berechnung eln<r Elsenbahnbrilcke mit Bogentrigefw.

(Tafel 3 und 4.)

86. Eine eingleisige Eisenbahnbrücke soll zwei Hauptträger mit den in
Fig. 230 auf Tafel 3 angegebenen Längenabmessungen erhalten. Die Knoten-

(

*) Vergl. Seite 184. Genauer ist «««D cos <p = tx /gF — gF\', doch ist

der oben angegebene Weg schneller zum Ziele führend und sein Eigebniss ge-
nügend scharf.

**) Wie man Ht in die Rechnung einführt, darüber giebt das in No. 85
behandelte vollständige Zahlenbeispiel Auskunft.

Der Bogen mit zwei Qelenken.

226

Fig. 231.

punkte der unteren Gortongen liegen auf einer Parabel; die obere Gnrtung

ist wageredit. Das Gewicht der nach Fig. 281 angeordneten Brückenbahn

betiSgt TOO'vf. d. Meter Gleis und das

Gewicht der beiden Haupttriiger und des

Qnerverhandes wird nach Band I, Anhang

mit 150 + 30i = 150 -f 80 • 20 = 750*» in

Bechnong gestellt Es ist dann für jeden

Hanptträger g = i (700 + 750)*^, mithin die

ständige Belastung eines Trägerfeldes:

gl = 1450^ = 1,45'. Die Baddrücke und

Badstände der Fahrzeuge sind in Fig. 242

(Tafel 8) angegeben worden. — Gesucht

sind die Spannkräfte und Querschnittsab-

messungen des Hauptträgezs.

1. Die H'Linie des vorliegenden Trägers wurde bereits in No. Sl (Seite 207,
Fig. 211) berechnet Das Querschnittsverhältniss Fo'.Fu ist gleich 1 gewählt;
demselben entsprechen die in Fig. 240 eingeschriebenen Werthe H.

2. Die Sptmnkräfte Sg in Folg^ der Händigen Belastung wurden, nach
Berechnung von ^,= 12,5''^) in Fig. 282 mittels eines Cremona'schen Kräfte-
planes bestimmt und hierauf in die Fig. 288 eingetragen.

8. Die Spannkräfte Sp in Folge der beweglichen Belastung sind mit Hilfe
von Einflusslinien nach dem in No. 84 gelehrten Verfahren bestimmt worden.
Dabei waren einige Yereinfachimgen möglich, die sich aus der gewählten Träger-
form ergeben.

Liegt in Fig. 221 der Punkt m der unteren Gurtung auf einer Parabel

von der Gleichung y^= — - ^ , so erhält man für den Abstand des Punktes

—T- = 1 ;- = 1 --,; und

l ym l 4/"

m von der Geraden Ä B> den Ausdruck: A'Ä

es ist daher der Ort von m eine zu Ä B^ parallele Gerade. Im vorliegenden
Falle ißt J = 20* und f=2,5"*, mithin — = 2,0*, und durch diesen Werth sind

sämmtliche 0-Flächen bestimmt; vergl. Fig. 240, in der die 0, -Fläche durch
Schraffirung hervorgehoben ist, und welche die Ordinaten der aiif wagerechte
Nulllinien bezogenen 0-Flächen liefert.

Fig. 241 enthält die Darstellung der Einflussflächen für L\, C/-„ U^, ü^.
Behufs Ermittlung der (schraffirten) C^j- Fläche wurde ^4" gleich dem für
den obeFen Knotenpunkt 4 berechneten Werthe a:4:yo4 = X4:Äo = f ' gemacht,
sodann auf der Geraden 4" B der Punkt 4' lothrecht unter 4 bestimmt und
die Gerade A4* gezogen. Da nun y^ den festen Werth ho besitzt und die
Trägerf eider gleich lang sind, so zerlegen die den Knotenpunkten 1, 2, 8 ent-
sprechenden Punkte 1", 2", 8" die Strecke ^44" in gleiche Theile**), mid damit
sind die iänflussflächen für 27,, Uf^ L\ bestimmt Für den ersten Stab der unteren

♦) Vergl. Seite 208; dort wurde für ^X = 2,90' der Werth Äp = 25,0' ge-
fundeo.

^ Hieraus folgt, dass die Punkte 1', 2', 8', 4' auf einer Parabel liegen,

deren Pfeil = 1

/

4^0

ist.

Möller-Breilftii, OnpbiMhe BUtlk. II. i.

15

226

Zweiter Abschnitt. — § 7.

Gurtung erhält man t/i = ff secYi = 1,097 JET und, da die in Fig, 240 oberhalb
der if-Linie eingezeichnete Laststellong den Horizontaischub Ji^ = 2P-i) = 48,2'
erzeugt, Uip = 1,097 • 43,2 = 47,4«.

Die Ermittlung der Spannkräfte in den Fällungsstäben wird durch den
Umstand vereinfacht, dass sich die Gurtstäbe Om-i und Um iu demselben
Punkte « schneiden wie Om und Um- Hat man also in Fig. 234 die D4-FlaGhe
mit Hilfe von AA^^^Xi^iho als den Unterschied der von Geraden begrenzten
Fläche ÄLiL^BA und der ^-Fläche erhalten, so findet man die F,-Flache
(indem man Ltljt durch L'L" ersetzt) als den Unterschied der Fläche AL'L"BA
und der JET-Fläche. Links von Fq und rechts von F^ stimmen also die Einiluss-
flächen für D4 xmd Fg überein; die Vorzeichen sind jedoch entgegengesetzte,
auch sind die Multiplikatoren verschieden, nämlich fi, = ^:r4 für die D4-Fläche
und fi, = ^ : {xti — a:g) ftir die Fg-Fläohe. Es liefert also die Fig. 244, welche
die auf die J?-Lime als gebrochene Nullachse bezogenen D-Flächen enthält, auch
sämmtliche F-Flächen*).

^

Flg. 234.

Nach Aufzeichnung der Einflussflächen wurden auf den Tafeln 3 und 4
die gefährlichsten Zugstellungen durch Probiren bestimmt und die denselben
entsprechenden Werthe 2Pv) und !SPV) ermittelt; letztere sind nebst den Multi-
plikatoren auf den Tafeln angegeben. Die Multiplikation der Ordinaten v) mit
den P ist mit Hilfe von Maassstäben ausgeführt worden. 80 wurde z. B. auf
Tafel 3 die .F-Iinie im Maassstabe l* = 25"^ auftragen und hierauf wurden

*) Wir heben noch hervor, dass sich die F«-Fläche, wegen Vo = A —
HtgYi = tgYi (Acotgyi — H), auch als den Unterschied der A ootgYi- Fläche
und der jB-Fläche deuten lässt Der Multiplikator ist =ltgYi = 3,0: 6,67 =
0,45. Die A cotg Vi-Fläche ist ein Dreieck AAiB^ welches bestimmt ist durch

ÄÄ^ = 1 cotg Yi = 6,67 : 3,0 = 2,22.

Der Bogen mit zwei Gelenken. 227

die den Raddrücken 6,5* and 4,5' entsprechenden Ordinaten der Einflnsalinien
mit den Maassstäben 6,5' = 25"*"* bezw. 4,5' = 25"^ gemessen. Für die Füllungs-
stäbe wurden auf Tafel 4 kleinere Maassstäbe gewählt

Die Berechnung der von der beweglichen Belastung herrührenden Spann-
kräfte Sp erfolgte nach den Formeln:

+ -

Die £igebnisse wurden in Fig. 236 zusammengestellt.

4. E%nflu8$ der Temperaturänderung, Ausser den Spannkräften Sg und
Sp entstehen in Folge einer (hier gleichmässig vorausgesetzten) Aendemng der
Aufstellungstemperatur um f noch Spannkräfte St^ deren absolute Werthe

sind. Hinsichtlich der Vorzeichen ist zu beachten, dass ein positives Ht in der
oberen Gurtung und in den Vertikalen Zugspannungen, in den übrigen Stäben
Druckspannungen erzeugt Wird < = ± 35° C. angenommen, so ist (nach Seite 208)
abgerundet ir« = ±460jP«, wo für Fo zur Sicherheit der grösste Obeigurtquer-
schnitt (der immer einem der mittelsten Felder angehören wird) gesetzt werden
soll; derselbe wird wie folgt berechnet

Die obere Gurtung wird vorwiegend auf Druck beansprucht Ist also a
die zulässige Spannung, so muss sein:

— a^o = «w-0 = — jJtSPtj + 0,+ 0« = — jJtSPtj + 0, — pLJHi

= — jjl^SPt) + 0, — ji 460 Fo
und hieraus folgt:

Fo =

ff — 460 |x
Für das 5. Feld ist \l = 5,0, SPtj = 8,9, 0, = — 10,0 mithin, wenn a = 700*» f.

d. gern = 7000* f. d. qm gestattet wird,

7000 — 460-5,0 *

Für das 4. Feld eigiebt sich:

^.= 4g_104±M 0,0097 < 0,0116
7000 — 460-4,0 ' '

und man findet dalier

Ht = ± 460 Fommx = ± 460 • 0,0116 = ± 5,3* und Si = ± 5,3 |i.

Die hiernach berechneten Spannkräfte 8t sind in die Fig. 235 eingetragen
worden; die oberen Vorzeichen gelten für den Fall einer Zunahme der Tem-
peratur.

5. Die Gesammtspannkräfte, welche durch Zusammenzählung der Ein-
flüsse der ständigen und beweglichen Belastung, sowie der Temperatnränderung
eihalten werden, sind in die Fig. 287 eingeschrieben worden.

6. üeber die gewählten StabguersehnUte und die grössten Beanspruchun-
gen giebt die folgende Tabelle Aufschluss. Zu derselben ist zu bemerken,
dass die untere Gurtung in der Nähe des Scheitels denselben Querschnitt er-
halten hat wie die obere Gurtung, damit die in die Rechnung eingeführte
Annahme f « : F« = 1 erfüllt werde. Bei den vorzugsweise auf Druck bean-

15*

228

Zweiter Abschnitt — § 7.

spraohtem Gnitstaben und Yeitikalen worden die NieÜÖdter nicht in Abzug
gebracht, wdd aber bei den von gtöeseran Zngkitften ergriffenen Diagonalen.

Obere Gurtung. (i*p= Querschnitt

Feld

Winkeleisen-
sorte

Inhalt des ToUen
Querschnittes F

GroRste Spann-
kraft S

s

^ F

5 n. 4

8
2 n. 1

10 -15 -1,2 cm.

10 10 1,0 „

7- 70,9 „

114 qem.
76 „

47 „

81000»»

50000

30000

710*» f. d. qcm,

€80 „ „ „
«40 „ „ „

Untere Gurtung.

/JL

hr

Querschnitt)

Feld

WinkeleiBen-
sorte

Inhalt des vollen
Quei^ohnittes F

Gröeste Spann-
kraft S

S

5 u. 4
8, 2U.1

10-15-1,2 em.
10-10.1,8 „

114 qcm.
97 „

66000*»
67000

580*» f. d. qem.

690 n » T»

DiagonaUn. (T P = Querschnitt)

Feld

Winkeleisen-
sorte

Inhalt des vollen
Querschnittes F

Grösste Spann-
kraft 8

^ *^

^-^_2cßj"

5 u. 4
3
2
1

14*14-1,4 cm.

11 11 -1,3 „
9-9.1,3 „
9-9.1,1 „

74 qcm.
54 „
43 „
87 ,,

39 000*»
29 000
27 000
21000

580*» f. d! ^cm.

ÖOO „ „ „
720 „ „ „
650 „ „ „

Vertikalen. (H F = Querschnitt)

Winkeleisensorte durchweg 7,5 - 7,5 - 1,2; jP = 33 qem; 5= 21 000*»

21000

CT =

83

= 640*» f. d. qcm.

Die Knickfestigkeit der gedrückten Stäbe wird am besten mittels der Euler'schen
Formel beurtheilt Hiemach soll das kleinste Trägheitsmoment J des Querschnitte
bei 5 f acher Sicherheit mindestens sein:

5 58«_ hSs*
TZ^E ~ 10-2000000
wo $ die Stablange in cm. bedeutet Für die erste Diagonale ist z. B. erforderiich:

5-10000-290' _
10-2000000"" '

hingegen vorhanden: J= 2 - 139,7 = 279,4. Auf dieselbe Weise überzeugt man
sich, dass auch die übrigen Stäbe genügende Sicherheit gegen Knicken bieten.

*) d = Nietdurchmesser = 2,2 em.; 8 = Eisenstärke =: 1,4, 1,8 und

1.1 CM.

Der Bogen mit zwei Gelenken. 229

7. EimfluM des QuerschnüttverhäUniasea F^iF«. Es sollen noch einige
Bechnungaeigebnisse mitgetheilt weiden, welche den .EinÜTifis des Queischniits-
verhiütnisaes F« : Fu auf die Spannkräfte klarlegan. Nimmt man, anstatt
F«:F«=?1, eiunal F^:Fm = OJ sodann 1V:F« = 1)2 an, so eiMlt man die
lolgenden Ordinaten der H-*Iinie und WerÜhe Hg nnd M:*)

^» = (o;37)**^' ^^^(olisr ^» = {l!oe)' ^* = (i;32)' ^ = (1,42)

^'^(s^s) ^^ = (12^2)' ^' = (410) ^*

und hieraus ergeben sich für den am stärksten beanspruchten Obeigurtstab Os
die Werthe:

Der erforderliche Querschnitt Fe ist daher (vgl. Seite 227)
für A-07 F ^^0'7,0 + 7,5_

für ^•-12 5,0 > 104 + 12,5 _

während sich für F« : F« = 1,0 der Werth F^ = 0,0116 qm. er^.
Der Horizontalschub in Folge einer Temperatuiänderung wird

„ _ . /540 . 0,0099\ _ , /5,8V
■"* ~" * U20 • 0,0127/ "" ■*■ [bfil '

er stimmt also mit dem für Fo : F« ="• 1 berechneten Hg = ± 5,3' überein, so dass
die in Fig. 235 zusammengestellten Spannkräfte St gütig bleiben.

Für den üntergurtstab ü^ (der stärker beansprucht wird als ü^) findet man

?^ = (u;?)' ^' = -(?;S); & = -i7.'»; ^=3.87

^u,=- (i-sp.) + s, + & = - g;;).

Diesen Spaniüaäften würden bei einer zulässigen Inanspruchnahme von
0 = 700** f. d. 2«*». die Querschnitte

genügen. Es ist jedoch erforderlich, das in die Rechnung eingeführte Quer-
sehnittsverhäUniss Fo : Fu auch der Ausführung zu Gründe zu legen, oder sich
dock demselben möglichst zu nähern, da dieses Yerhältniss von bedeutendem
ISnflnss auf die Beanspruchung namentlich der oberen Gurtung ist; und es em-
pfiehlt sich daher, die soeben berechneten Querschnitte Fn zu ersetzen durch

F 99 F 127

JPt. = ^ = 7r-;r = 142 qcm. bezw. durch Fu = -r-~ = :r « = 106 ^<^'

Für die Ausführung wäre nun streng genommen derjenige Werth F# : Fu
zu ermitteln, der den billigsten Träger liefert, welche Forderung man im vor-
liegenden Falle auch durch die des kleinsten Trägergewichtes ersetzen darf.
Die genaue Beantwortung dieser Frage würde aber sehr mühsame und zeit-

^ YeigL No. 81, Seite 209.

**) In den folgenden Werthangaben bezieht sich die obere Zahl auf
F9 : Fu = 0,7, die untere auf Fo'.Fu^^ 1,2.

230

Zweiter Abschnitt — § 7.

raubende Beohnnngen verlangen und kann daher nur angenähert gegeben
werden. Dazu beachte man, dass von den äusseren Kräften nur der Horizontal-
schub H von Fo : jP« abhängt und der Einfluss einer Aenderung von H desto
grösser wird, je grosser |x ist Da die Werthe |i der Ourtstäbe nach den
Kämpfern hin abnehmen, so werden auch die unterschiede der Stabkräfte für
verschiedene F«: F« in den äusseren Feldern kleiner sein als in den mittleren.
Dies zeigt in der That die folgende Tabelle, welche die absoluten Werthe der
grössten Spannkräfte angiebt

F^lFn

0,

0,

0,

0,

0.

u.

ü.

u.

u.

u^

0,7

69
81
89

68
71
78

46
50
50

29
30
32

13

69

76
66
64

73
65
64

70
64
68

72
67
65

1,0

18
14

61
57

1,2

Tonnen.

Da nun weiter eine Aenderung von H auf die Spannkräfte in den Fällungs-
stäben einen bedeutend geringeren Einfluss hat als auf die Gurtkräfte, so ist
ersichtlich, dass es hauptsächlich darauf ankommen wird, das Gewicht der
Gurtungen der Mittelfelder miteinander zu vergleichen. Dieses Gewicht ist
proportional F« -{- F«, weshalb wir noch folgende Zusammenstellung geben,

FoiFu

F.

F.

Fo+Fn

0,7

99

142

241

0,8

105

181

236

0,9

111

123

234

1,0

116

116

282

1,2

127

106

288

gem.

aus welcher hervoiigeht, dass sich wesentliche unterschiede in den Gewichten
der für die letzten vier Querschnittsverhältnisse berechneten Träger nicht heraus-
stellen werden.*) Das Ergebniss, dass in der Nähe von F«:F«=1 eine Aen-
derung dieses Werthes nur eine geringe Aenderung von F« -[- F« nach sich zieht,
fand der Verfasser auch in anderen Beispielen bestätigt, und dies ist der Grund,
der ihn veranlasste, dem Werthe F« : F» = 1 den Vorzug zu geben, um so mehr
als die gleichartige Ausbildung der beiden Gurtungen in der Nähe des Scheitels
(Verwendung derselben Eisensorten) nur Vortheile bietet.

8. Berüeksichiigung der Längenänderufigen der Füllungsstäbe bei Er^
mitüung der H-IAnie, Bei Berechnung der H-Iinie wurden bislang die Form-
änderungen der Wandglieder vernachlässigt xmd auch hinsichtlich der Querschnitts-
änderung der Gurtungen Annahmen gemacht, welche der Wirklichkeit nicht ganz
entsprechen. Es erscheint daher nicht unwichtig, die Zulässigkeit jener Voraus-

*) Man erwäge auch, dass sich bei Ausarbeitung des Entwürfe stets Ab-
weichungen zwischen den berechneten und schliesslich gewählten Querschnitten
eilgeben werden. Z. B. haben wir vorhin F=116 durch F= 114 ersetzt

Der Bogen mit zwei Gelenken. 231

setzimgen zu prüfen. Wir wollen die genauere Berechnung der H-IAme nach

drei verschiedenen Verfahren durchführen.

Erstes Verfahren. Es werden die Spannkräfte S' für den Zustand

H = — 1 (Figur 246, Tafel 4) und die denselben entsprechenden Längen-

S'a*)
änderungen ä$ = ^=r= (Fig. 247) berechnet, am besten für ^=1, und nun

wird für diesen Zustand ein 'Williot'scher Yerschiebungsplan gezeichnet. Der
Knotenpunkt V und die Richtung des Stabes Vb (yergl. Fig. 245) werden zu-
nächst festliegend gedacht; es fällt dann F' und (da der Stab Vb spannungslos
ist) auch 5' mit dem Pole 0 zusammen. Nach Bestimmung der Punkte 4', IV\

8', iU', 0', A\ welche auf die in No. 32 beschriebene Weise erfolgt,

ist man im Stande, die Biegungsiinie für den Zustand i7= — 1 zu zeichnen
und die Aenderung ^a der Stützweite anzugeben. Diese letztere ist doppelt so
gross, wie die wagerechte Verschiebung von A gegen den Knotenpunkt V
nämlich

8^ = 2 • 2200 = 4400**.

Aus den in die Fig. 245 eingeschriebenen Ordinaten fig? ^i? • • • • <ier Biegungs-
linie erhält man nun die Ordinaten

Sm = 1 -r— ,

oa

der H-Iinie, nämlich

_5980_ ^_6400_

^* "" 440Ö " ^'^^' ^* - 4400 - ^'^^'
dieselben weichen von den früher berechneten Werthen:

0; 0,38; 0,74; 1,09; 1,36; 1,47

nur unwesentlich ab. Man findet nun weiter IT, = 12,6' (statt 12,5') und für
den Stab Oft:2Pv) = 8,3' (statt 8,90) erhält also nahezu dieselben Spannkräfte

Sg und S, wie früher.

Nur für Ht findet man einen wesentlich anderen Werth, nämlich (nach
Seite 144)

o^ o^ 4400

Im Obei^gurtstabe O5 verursacht also eine Temperaturänderung um t =
35*» Geis, eine Spannkraft: Ä = qF5 • 3,8 = T19* (statt T 26,5*). Worin diese
Abweichung ihren Grund hat, ist bereits auf Seite 204 gelegentlich der Unter-
suchung der Douro- Brücke hervorgehoben worden; es ist ein Vorzug der
Näherungstheorie, für Ht stets zu grosse Werthe zu liefern, da gerade die
Schätzung von t auf sehr unsicherer Grundlage beruht, und es sich deshalb
dringend empfiehlt, nicht zu günstig zu rechnen. Zu beachten ist auch, dass

*) In diese Formel sind die vollen Querschnitte einzusetzen; dieselben
sind in Figur 238 auf Tafel 3 zusammengestellt worden, die Stablängen in
Hg. 289.

**) Die Multiplikation des Zählers mit E ist erforderlich, weil ^a für i^^= 1
berechnet wurde. Zu beachten ist femer, dass { in dm und £ in Tonnen f. d.
qdm auszudrücken sind.

232

Zweiter Abechnitt — § 7.

ein Ausweichoa der Widerlager um äl eine Aenderong von H um Ai7 =

— 1 -^ — verorsacht, so dass beispielsweise dem kleinen Werthe AZ = 5""

= 0,05'"' bereits

200000.0,05 _ ^.,

^^= 44ÖÖ -"■ 2'*

entspricht.

Ms zweites Verfahren wählen wir das im § 2 beschriebene Stabzttg^^er-
&hren und berechnen zu diesem Zwecke zunächst die Aenderungen Ad der
oberen Randwinkel d. In Fig. 248 geben die auf den einzelnen Stäben stehen-

den Zahlen die Spannungen a' = -^ für den Zustand IT = — 1 in lEoanen

für das qdm an und die in die Winkel eingeschriebenen Zahlen die Gotangenten

rrÄazT: tttsti rr??s3~T-— — tthestt — .^rs.*««! 1 rza

^i

Fig. 243.

dieser Winkel*). Die Aenderung von dg wird beispielsweise (für ^=1)

Adg = 2,222 (2,43 + 8,07) + 0,450 (2,43 + 1,52) + 0,150 (2,96 -\- 1,52) + 2,122
(2,96 — 2,85) + 0,800 (— 0,76 — 2,35) = + 15,08,

und auf diese Weise erhalt man:

Ado = — 2,42; Adi = + 5,33; Ad, = + 7,93; Ad, = +15,03; Ad4 = + 88,54;

AdB = + 46,94.

Wird nun zunächst der Stab F5 festgehalten, so sind die Drehungswinkel ^
der Obergurtstäbe (5) (4) . . . (1) sowie der Endvertikale (^):

^5 = J Ada = 28,47; ^4 = +5 + Ad4 = 57,01; i^i, = 11*4+ Ad, = 72,04 u. s. w.

vl>, = 79,97; +1 = 85,80; vl>o= 82,88

*) Fig. 248 wurde verzerrt gezeichnet, damit die Zahlen in der Naiie des
Scheitels Platz fanden.

Der Bogen mit zwei Gelenken. 233

and die den Stäben entsprechenden Werthe p (d. i. Drehongswinkel mal Stab-
lange*)

Pt = 20-23,47 = 469,4**; p* = 20-57,01 = 1140,2*ü; p, = 20-72,04 = 1440,8*-;
p, = 20 • 79,97 = 1599,4'"*; Pi = 20-85,30 = 1706*»; Po = 30-82,88 = 2486,4**.

Berechnet man nun noch .die (in Fig. 247 zusammengestellten) Längen-
änderungen A(5) = -^87,7, A(4) = — 70,2, A(l)=3:— 18,8, AÄ» = — 40,9

der Stäbe (5), (4X (1), K und reiht (nach Fig. 245) die Strecken

A(5), P5, A(4), P4, A(3), p„ AÄo, Po

aneinander, so erhält man dieselben Punkte 4', 3', .... Ä'^ deren Lagen vor-
hin mittels des Wüliot'schen Yer&hrens festgelegt worden sind. Das Stabzug-
verfahren erfordert etwas mehr Zeit, liefert aber übersichtlichere und vor allem
genauere Zeidmungen.

Das dritte Verfahren besteht in der Herleitung der Biegungslinie aus den
Momenten Afeines einfachen Balkens, der mit den Gewichten A^i, A^„ . . . A^5,
belastet wird. Man findet für diese Momente die Werthe

lfi = 1706»0; 3f, = 8305,4; Jf, = 4746,2; 3f4 = 5886,4; Jf5 = 6855,8

fügt zu denselben die Verkürzung (40,9) der Endvertikale (Fig. 247) und erhält

«1 = 1746,9; «,=3346,3; «,==4787,1; «4 = 5927,3; «5 = 6396,7.

Die dem Zustande H= — 1 entsprechende Aenderung der Stützweite wird
nach Gleich. (4) auf Seite 98 (mit E=X)

«^ = ÄeSA^ + XSa'

= 80 [46,94 + 2 (88,54 -h 15,03 + 7,93 + 5,33 — 2,42)]
— 20 (4,39 + 3,51 + 3,07 + 2,43 + 0,91) 2 = 4400,4

und es eigiebt sich daher:

„ «o 40,9 ^^^ _ 1746,8 ^,^

^-=«7=44Öö;4=^'^^' ^^= 44ÖÖ;4 =^'^^' ^

Ein viertes Verfahren würde in der Berechnung der «-Linie aaf dem in
No. 47 gezeigten Wege bestehen. Die Gewichte w werden hier unmittelbai: aus
den Längenänderungen der Stäbe berechnet, während die Bestimmung von «^ nach
No. 48 zu erfolgen hat Wir halten die Durchführung der Zahlenrechnung für
entbehrlich, da dieses Verfahren bereits auf Seite 126 bis 128 durch ein Bei-
spiel erläutert worden ist

d, EinfPhrung der KämpferdriicMinie und der zweiten g-Linie.

86. Die B^ämpferdrucklinie ist der geometrische Ort des Punktes
F, Fig. 248, in welchem die von einer Einzellast hervorgemfeDen Kämpfer-
drttcke K^ and K^ diese Last treffen; zur Bestimmung derselben zeichne
man die Einflosslinien fttr die Stützenwiderstände A nnd H und setze Ä
mit Zr=Wseca zar Mittelkraft Ki zusammen. Der in senkrechter
Bichtong gemessene Abstand y) des Punktes ^von der Oeraden ^^ ist

*) Vergl. Seite 87. Nicht zu verwechseln mit der im § 5 eingeführten

8

Bezeichnung ? = Yrp'

234

Zweiter Abschnitt. — § 7.

durch die Gleich. ri:a = A:H gegeben. Mit A = — — folgt hieraus:

(42) if) =

P ab

H l

In Fig. 248 haben wir der Einfachheit wegen die IT-Linie und
auch die Kftmpferdrucklinie stetig gekrümmt gezeichnet. Meistens ist

die IT-Linie ein Vor
Ijgon, dessen Ecken
den Quertrftgem
entsprechen, und es
setzt sich dann auch
die K&mpferdruck-
linie Ä^ Bq nach
Fig. 250 aus einzel-
nen Eurrenstficken
zusammen, die in

den Trennungs-
punkten 2q, 4^,...
keine gemeinschaft-
lichen Tangenten
besitzen.

Wird die Ein-
flusslinie für den
Horizontalschub H eines Trägers von nahezu unveränderlicher Hohe h
durch eine stetig gekrümmte Parabel ersetzt, deren Gleichung nach
Seite 211

Fig. 248.

lautet, so ergiebt sich

(48)

•»1 =

3v'

und hieraus folgt dann, dass die Kämpferdrucklinie eine zur Sehluss-
linie AB parallele Gerade ist.

87« BelastungBBCheiden. Im I. Bande wurde die Kämpferdruck-
linie des Dreigelenkbogens zur Ermittlung von Belastungsscheiden be-
nutzt; sie lieferte gewisse ausgezeichnete Punkte der Einfiuselinien und
führte zu mancher Vereinfachung bei Auftragung dieser Linien. In
ähnlicher Weise lässt sich natürlich auch die Eämpferdrucklinie des
Bogens mit zwei Gelenken verwerthen. Wird z. B. die Einflusslinie
für das Angriffsmoment M^ gesucht, so lege man durch das linke Ge-
lenk und den Knotenpunkt m eine Gerade und bestimme den Schnitt-

Der Bogen mit zwei Gelenken.

236

punkt E derselben mit der Kämpferdmcklinie. Einer durch E gehenden
Last entspricht ein durch m gehender Kämpferdruck f^ und mithin
ein Moment M^ = 0, woraus dann folgt, dass lothrecht unter E der
Nullpunkt Eq der gesuchten Einfiussfläche liegen muss, und damit ist
der Linienzug ÄniB' und in Folge dessen auch die schraffirte Jf«,*
Fläche bestimmt. Es verdient indess hervorgehoben zu werden, dass
die Ermittlung der Einflussfl&chen auf dem in No. 84 gewiesenen Wege
im allgemeinen den Vorzug verdient, weil die Aufzeichnung der Kämpfer-
drucklinie des Zweigelenkbogens in der Regel wesentlich umständlicher
ist als die des Bogens mit drei Gelenken. Auch liefert das frühere
Verfahren schärfere Zeichnungen.

88. Die zweite i^-Lixiie« Die Verkehrslast eines Bogenträgers
sei von B aus um die Strecke ^ vorgerückt und erzeuge in dieser Lage
(Flg. 249) am linken Auflager die Widerstände Ä und H, Letztere
seien an der Stelle ^ als Ordinaten aufgetragen; ihre Endpunkte be-
schreiben, während die Last von ^ bis ^ vorgeschoben wird, zwei
Linien, welche zur Unter-
scheidung von den Einfluss- k. «» .>!

linien für A und fTdie zweUe , tVV I 1 1 i

A'Ume bezw. die zweüe H- -Ttt Ul ttt-J

Urne genannt werden sollen,
und zuweilen mit Vortheil
zur Berechnung der grössten
Spannkräfte in denFttllungs-
Btftben verwendet werden
können. Die zweite ^-Linie
vnirde bereits (unter der
Bezeichnung: ^-Polygon) im
I. Bande bei der Berechnung

der Balkenbrücken benutzt; ihre zeichnerische und rechnerische Ermitt-
lung findet sich dort auf Seite 137 bis 139, 145 bis 152 und 187
(Oleich. 6). Die zweite /T- Linie aber bestimmt man, indem man H für
verschiedene Zugstellungen mit Hilfe der Einflusslinie für H berechnet.

Die Anwendung dieser beiden Linien ist zu empfehlen, sobald sich
für die Mehrzahl der Füllungsstäbe nur eine Belastungsscheide ergiebt
und diese in dem Felde F^ F^ (Fig. 222 bis 225) liegt, welches der
durch den fraglichen Stab und ausserdem noch durch zwei Gurtstäbe
geführte Schnitt trifft, ein Fall, der namentlich bei parabelförmigen
Sichelträgem vorkommt. Hier sind die Belastungsgesetze meistens die-
selben wie für den einfachen Balken, weil der Einfluss von H verhält-
nissmässig gering ist, und es stellt sich in der Regel heraus, dass in
einer linkssteigenden Diagonale D (Fig. 249) der grösste Zug bezw.

Fig. 249.

236 Zweiter Abschnitt — § 7.

der grösste Druck auftritt, je nachdem die Belastiuig Ton B aas bis F^
oder von A aus bis F^ rekht.*)

Wegen der TerhältnissmttsBig kleinen Feldweiten der BogenbrUeken
erweisen sieh in der Begel die im I. Bande als GrundMhmgen beaeioh*
netten Lagen der Verkehrslast als die ungünstigsten; d. h. es ist die
erste Achse des von B aus vorrückenden Zages über F^ su setzen und
die erste Achse des von Ä aus auffahrend«! über F^. Will man bei
grösseren Feldweiten sicher gehen, so nehme man die erste Achse
etwas stärker belastet an. Man vergl. das im I. Bande in No. 148 über
die Berechnung von Balkenbrücken gesagte.

Sind nun 2>^ und Da die Spannkräfte, welche in dem fraglichen
Fttllungsstabe D in Folge ^=1 bezw. £r= 1 hervorgerufen werden,
so ist der Einfluss der von B bis F^ vorgeschobenen Verkehrslast:

und ebenso erhält man den Einfluss der von Ä bis i^\ reichenden Be-
lastung :

^D = BDj,'\-HDh

wo B und IT die am rechten Auflager hervorgerufenen Widerstände
sind und Dß die Spannkraft in Folge ^ = 1 bedeutet.

89. Zahlenbeispiel. Es liege der in Fig. 250 daigestellte Tiäger vor,
dessen iT-Linie auf Seite 201 ermittelt wurde. ^2o4o . . • B^ ist die Kämpfer-
drucklinie; sie wurde nach No. 86 bestimmt; ihre äussersten Theiie sind gerade
Linien ^o2o und J9ol8o, welche bezw. durch B und A gehen, wie sich leicht
aus Gleichung 42 folgern lässt.

Die ständige Belastung sei ^ = 1,45' f. d. m., also für ein Feld: g\ =
1,45 • 2,0 = 2,9'; die bewegliche Belastung bestehe aus einem Eisenbahnzuge mit
den in Fig. 250 angegebenen Achsenlasten und Radständen. Die in die Figur
eingeschriebenen, den Knoten der oberen Gurtung entsprechenden Oidinaten der
zweiten ^-linie wurden mit Hilfe der Tabelle I auf Seite 810 des I. Bandes
berechnet, und die Ordinaten der zweiten Jff-Iinie auf die in No. 79 an einem
Beispiele gezeigte Weise aus der Einflusslinie für H» Gesucht seien die Grenz-
werthe der Spannkraft Dg. Die Einflüsse D^, Da, Du von ^ = 1, B = l, H=l
sind bereits auf Seite 222 berechnet worden.

Zunächst ist anzugeben, bei welchen Laststellungen diese Grenzwerthe
entstehen. Bewegt sich über den Träger eine Einzellast von J3 bis 8, so be-
schreibt der zugehörige linke Kämpferdruck den Winkel BqA%^\ er dreht stets
links um den Schnittpunkt t von 0 und CT, und es kann ihm daher nur durch
einen rechts um i drehenden, am linken Trägerstücke angreifenden Druck D^
das Gleichgewicht gehalten werden. Rückt die Last von ^ bis 6 vor, so be-
schreibt der rechte Kämpferdruck den Winkel ^oB6o, er dreht links um t und
erzeugt einen Zug Dg, welcher, am rechten Tragerstücke angreifend, rechts um
i dreht Es entsteht also minD oder »m^D, je nachdem der Eisenbahnzug von B
bis 8 oder von A bis 6 vorgerückt ist.

*) Ob dieser Fall vorliegt oder nicht, kann auch mit Hilfe der Kämpfer-
drucklinie entschieden weiden, vergl. No. 89.

Der Bogen mit zwei (Gelenken.

237

Der Tcm B bis zum Knoten 8 vorgeschobene Eisenbahnzug erzeugt am
linken Auflager: A = 25,7 und H= 59^ In Folge von A=^l würde entstehen:
i)^C06ips = — 0,178 und J5r=l würde erzeugen: Dg cos 99 = — 0,096. Daher
entsteht in IMge der Yerkehrslast:

1,^ De 008 9s = — 0,1 78 • 25,7 — 0,096 • 59 = — 10,24'.

Zar Hervorbtingnng von mtaDg muss der läsenbahnzug von Ä bis 6 vor-
gerückt werden; es entsteht dann am rechten Auflager: ^ = 9,0^, ^=31'*)
tiBd man eiitält (da B = 1 den Eintluss Dg cos 98 = 4- 1^620 ausübt):

«o^Dg cos 98 = + 1,620 • 9.0 — 0,096 • 81 = + ILÖO*.

jfniek -^

«^^r^

-" ^*^^

%P^

«»''

w

■^

.-V

Flg. 250.

Der Einiluss der ständigen Belastxmg wird nun wie folgt bestinunt Die
rechts vom Schnitte tt in den Knotenpunkten 8 bis 18 angreifenden Lasten g\

erzeugen: ^ = ^X (^^ + — + — + — + — + ^ J = 2,1 g\ = 6,1» und die links

(1 2 8 4 \
TV + Tg + Tg + TqJ = 1,0 ^X = 2,9 her-
vor; femer ist nach Seite 201 der von der gesammten ständigen Last hervor-
gerufene Horizontalschub if, = 21,5', weshalb der "RinflTiRa von g auf Dg:.

Dg cos 98 = — 0,178 . 6,1 + 1,620 • 2,9 — 0,096 • 21,5 = + 1,58'
gefanden wird. Im ganzen erzeugt also die Belastung:

•A, Dg cos 9g = — 10,24 + 1,58 = — 8,7«
mmmD^ COS 9g = + 1 1,60 + li58 = + 13,1'

wozu noch der Binfluss der Temperaturänderung mit Dg cos 9^ = — 0,096 J3f'

*) Diese Werthe sind den Spiegelbildern der in Fig. 250 gezeichneten
Linien zn entnehmen; sie erscheinen in Fig. 250 unter dem Knoteiq^vnkte 14.

238

Zweiter Abschnitt. — § 7.

= 70,096*788 Fe hinzutritt, wenn Fe den Mittel werth der Gortquerschnitte
bedeutet.

In derselben Weise dürfen die Spannkräfte i)«, D5, i)«, D,, D^ Dyt^ be-
rechnet werden. Für D^ und £>, gelangt man zu anderen Belastungsgesetzen;
es verdient dann die Anwendung der Einflusslinien den Yorzug.*)

90. Nftherongaformel für die zweite JEF-Linie im Falle gleiohmftasiger
Belastimg. Die Yerkehrslast sei =^ f. d. Längeneinheit der Stützweite l und

bedecke die Strecke £, Fig. 251 ;

II

einem Lasttheilchen pdx ent-
spreche der Horizontalschub

5

d£r. Dann

ist H=jdH,

und

es lässt sich H als Funktion von

S darstellen, sobald dH als

Funktion von x ausgedruckt

werden kann, eine Aufgabe,

deren Lösung für den in No. 80

behandelten parabelformigen

Sichelträger und den in No. 82

untersuchten Bogenträger mit

nahezu unveränderlicher Höhe k

zu einfachen Eigebnissen führt

a. Der parabolische SicheUräger. Ersetzt man in Gleich« 14 (Seite 205)

P durch pdx^ femer a durch { — x und h durch or, so erhält man

äH= '^'

und, indem man diesen Ansdraolc von o bis £ integrirt:

' j^ 8 P^ y. + f') W* + 1« f-f') ' - f'f»<^"]

(44)

8 P (A* + /■-') + 32/'.«/;»

wo a' = I i-^ + ^ log nat ^ — 2_-§! log nat

S

A)

«nda" = ||;(8-2|)

Zur Erleichterung der Berechnung diene die folgende Tabelle, in welcher
die Werthe a und a ' für g = 0 bis S = 0,6 { angegeben sind und zwar für
10 Theüpunkte der halben Stützweite. Der Verlauf der zweiten JET-Linie für
$>-0,5Z eigiebt sich aus der folgenden Betrachtung.

Ist C^Ep (Fig. 251) die Ordinate der gesuchten Linie für £ = 0,5 /, so ent-
spricht der vollen Belastung die Ordinate AÄ* = 2CoEm' Bedeckt nun die
Last von B aus die Strecke { — £, so nehme man zunächst gänzliche Belastung
des Trägers an und bringe den Einfluss einer von A aus um S vorgeschobenen
Belastung in Abzug, indem man von einer durch A' za AB gezogenen Paral-

*) Die Berechnung von i>, ist überflüssig, da man am Bogenende ein volles
Stehblech anordnen wird.

Der Bogen mit zwei Gfelenken.

239

lelen aus die Strecke CE'^^CE abträgt Es ist dann E' ein Punkt der
zweiten JT-Iinie.

l

a

00

OL

5
/

OL

a"

0,05

0,00140

0,0097

0,80

0,02920

0,2880

0,10

0,00471

0,0878

0,35

0,03707

0,3757

0,15

0,00941

0,0810

0,40

0,04584

0,4698

0,20

0,01 520

0,1887

0,45

0,05886

0,5670

0,25

1

0,02185

0,2088

1

0,50

0,06250

0,6667

In Folge gänzlicher Belastung (£ = /) entsteht:

^^P^'(ra + />)(8P + 16f.^)

(45)

Ersetzt man in dieser Formel p durch g^ so erhält man den Einfloss der
ständigen Belastung. Für den in No. 79 in anderer Weise behandelten Sichel-
träger, .eigiebt sich z B. wegen ^=1,45*:

,^ 1,45 • 20« (4,0 + 2,5) (8 - 20« + 16 ■ 4,0 » 2,5) ^
'• 8 [8 . 20« (4,0» + 2,5«) + 32 • 4,0« • 2,5«] '

ein 'Werth,''der von dem früher erhaltenen IT, = 21,5' fast gar nicht abweicht.

b. Bogenträger von nahezu unveränderlicher Höhe h (Fig. 212 und 218
auf, Seite 209). Hier empfiehlt es sich, von der parabelförmigen Einflusslinie
für'J? auszugehen und Gleich. 29 auf Seite 211 zu benutzen. Man erhält dann
für ein LasttheUchen pdx:

JTT Bpdx'x{l — Ä?)v
4fl
und, indem man diesen Ausdruck von 0 bis E integrirt,

Zur Erleichterung der Berechnung der iT-Linie diene die folgende Tabelle,
•deren Werthe nooh mit-^v zu multiplidren sind.

5

i

H

5

H

0,05
0,10
0,15
0,20
0,25

0,00725
0,02800
0,06075
0,10400
0,15625

0,80
0,85
0,40
0,45
0,50

0,21600
0,28175
0,85200
0,42525
0,50000

pZ«

• =- — V

In Folge gänzlidier Belastung des Bogens entsteht

(4T) H,^^.

240

Zweiter Abschnitt

§7.

und in Folge der ständigen Belastung

(48)

Die Ziffer v ist nach einer der Gleichungen 28, 30, 31, 82 (Seite 211 u. 212)
zu berechnen.

Aufgabe* Gesucht sei die durch eine gleichfönnige Belastung hervor-
gerufene Spannkraft mmeeDp des linkssieigenden Piillungsstabes eines Trägers von
nahezu unveiändeilicher Höhe h. Fig. 252. Es sollen die zweiten Linien für
A und H sowie die Kämpf erdrucklinie benutzt werden; wobei es erlaubt sei, die
Lasten unmittelbar am Bogenträger angreifend anzunehmen*).

Fig. 252.

Die KämpferdrucMinie ist nach No. 86 eine wagerecfate Gerade im Ab-
stände 4/':3v von der AB\ sie wird von der durch das Gelenk A und den
Schnitipunkt t der Stäbe 0 und V gelegten Geraden in B gesduiitten. Die
Senkrechte durch E ist eine Belastungsscheide, denn eine durch E gehende
Last ruft am linken Auflager einen Kämpferdruck hervor, der die Richtung
Ai hat und das Moment Mt = 0 erzeugt. Lasten rechts von E verursachen
bei A Kämpferdrücke, welche links um t drehen und den fraglichen Stab D
auf Druck beanspruchen, denn eine am Trägeratück links vom Schnitt tt an-
greifende Zugkraft würde ebenfalls links um i drehen. Durch Lasten, welche
zwischen E und Ff aufgebracht werden, wird D gezogen, während Lasten links
von Fl wieder Drücke D hervorbringen. Dies letztere einzusehen, stelle man
für die rechts von tt angreifenden Kräfte die Momentengleichung in Bezug auf
i auf. Die Aufsuchung der Belastungsscheide zwischen Fi Ff darf man sparen;
man rechnet genügend genau, wenn man behufs Erzeugung von maxD den Trager
zwischen E und der MUte C des Feldes Fi F, belastet und den auf den Quer-
träger Fl entfallenden Theil der Belastung des Feldes Fi Ff unberücksichtigt

*) Rechnet man mit gleichförmiger Belastung (die stets einer Schätzung
unterliegt), so ist die Annahme unmittelbarer Belastung immer zulässig. Man
gestalte dann überhaupt die ünter^chung möglichst einfach.

Der Bogen mit Ewei Orienten.

241

lisst, also links von tt nnr die ausseien Krafte A nnd H annimmt Dabei ist
A ^eich dem unterschiede der bei C nnd E gemessenen Ordinaten der zveiten
^-Linie, und ganz entsprechend wird ancli H gefanden. Schliesslich eriialt man
mit den auf Seite 221 eingeführten Bezeichnnngen Da nnd Du:

m«D = Dj.A-^DaB.'^

Man tonnte auch A nnd H zum Eftropferdmcke K zusammensetzen und hierauf
nach Band I, No. 184 verfahren.

Wird Htoü gesacht, so werden die Mnflüsse der auf den beiden ne^tiven
Beitragsstrecken A^C und EB, aufzubringenden Belastungen getrennt ermittelt
and dann zosammengezählt Wird die Strecke A^C belastet, so handelt es
sich um die Bestimmung der am rechten Auflager herrorgerufenen 'Widerstände
B und H.

«. Fwtlii tir 4\9 ll«m>nl« gtelchiiilMlfl lwlrt«tBr BogtnWgw, Amn J-Uale

«Im Paralttl tot

M. Es handle sich um Bogentiüger von nahezu unTeiänderiichei Höhe
A (P^. 212 u. 213 Seite 209), deren JT-Linie nach S. 211 eine Parabel von der

Ffeilhöhe — - » =; — -; ist, wobei zui Abkürzung

Pfi i iiiiiiimTMTnr

gesetzt werden möge. Die Kämpferdmcbtinie ist eine wagerechte Gerade i
AbStande jf von der AB:-')

*) Wir erinnern daran, daaa es häußg zweckmässiger ist, DCOS9 zu 1
rechnen.

**) Es wird wie in der Anfgahe auf Seite 240 die zulässige Annahme t
mittal^rer Belastung gemacht.

Iiail*i-Bi*il>D, OnpUMlHSUtlk. u. 1. 16

242 Zweiter Abschnitt — § 7.

Gesucht seien die Gienzwerthe der Momente U* und Jf* für die Knoten-
punkte 0 der oberen und u der unteren Gurtung.

Wir bestimmen zunächst den Einfluss der ständigen Belastung g^ weldie

den Horizontalschub J7, = ^^ v hervorbringt, legen durch die Eämpfeigelenke

A und B eine Parabel ASB^ deren Pfeilhöhe

ist und messen die senkrechten Abstände c^ und Cu der Punkte o und u von
jener Parabel. Degt o oberhalb und u unterhalb der Parabel ASB^ so ist:

(49) { L

Gelingt es nun, die Momente mumM^p imd mtnM^p in der Form

darzustellen, so sind die Grenzwerthe von M^ und Mm (nach der aiof Seite 185
durchgeführten Untersuchung):

„^M* = — g — Co +pC» + Äy»

(51)

wo ff« den absoluten Werth des Horizontalschubes in Folge einer Temperatar-
änderung bedeutet.

Zur Ermittlung von mtnM^p legen wir durch A und o eine Gerade, welche
die Kämpf eidrucklinie in der Belastungsscheide E schneidet, bestimmen senkrecht
unter E den Punkt N der J7-Parabel und erhalten in dem schraffirten Parabel-
abschnitte den zur negativen Beitragsstrecke BoE gehörigen Theil der IP-Flache.
Der Inhalt dieses Abschnittes verhält sich zum Inhalt der J7-FiSche wie £ S : Z',

ist also = -;! • I • — ^ V • l = -^ und daraus folgt, dass die von B« bis E reichende
*• lo/ 8»/

Belastung das Moment

(58) ^M', = -p^^^ = -£^

erzeugt Schneidet nun eine durch B und o gelegte Gerade die Eämpferdrack-
linie innerhalb der Stützweite in E'. wie dies Fig. 258 voraussetzt, so muss noch
die Strecke A^E' belastet werden, und es entsteht dann:

(54) «*-Afo, = -^(5J + £.'»)

In diesem Falle ist

(55) a = ^^(5l+5o'«).

Der Bogen mit aswei Gelenken.

243

Liegt E' links von Ai so ist in vorstellender Gleichung S«' = 0 zu
setzen.

Ganz ebenso erhalt man für Cm den Ausdruck

(56)

Cn

(ö + &.'•).

ÄnmerbHng. Weitere analytische Untersuchungen dieser Art findet der
Leser in des Verfassers ,,Theorie und Berechnung der eisernen Boge&brucken^,
Berlin 1880. Dort ist allerdings nur der Fall v=:l behandelt worden, und es
unterscheiden sich daher die gewonnenen Formeln von den hier abgeleiteten
dadurch, dass ^ an die Stelle von f tritt Dem Leser wird es hiernach keine
Schwierigkeiten bereiten, auch die in dem angeführten Buche für EinzetUuten
gegebenen einfachen und bequemen Gleichungen für den Fall eines von 1 ver-
schiedenen Werthes v umzubilden.

ö

§8.

Zireigeleiikbogen mit gesprengter Zagstange und rerwuidte

Trigerarten.

ra. Eine ftlr Daohstflhle wiehtige Anordnung des Bogens mit zwei
Oelenken ist die in Fig. 255 dargeateUte. Die Eftmpfer Ä und B sind
durch ein Zugband Ter- . ^

bunden, welches an • * ^ --'/?* iT

dem Pachwerkbogen -- -i-^-'T'-^k^

durch senkrechte Stäbe
befestigt ist; das Auf*
lager Ä ist fest, das
andere (^) wird auf einer
wagerechten Oeraden
geführt. Zur Bestim-
mung der Sttttcenwider-
etSnde sind die Gleich-

gewifihtsbedingungsn
ausreicbend; der Trftger
▼erhalt sich in dieser
Besdehung wie ein ein-
facher BaUken; er ist
jedoch irmerUeh statisch
utibutimmt. Als statisch

nicht bestimmbare
Or068ewirdKweckm8s8ig ^^ **'

die wagerechte Projektion H der SfMumkraft des Zugbandes eingeführt;
diesalbe ist für alle Glieder gleioh2gross. Zieht man tob einem Punkte
0 aus ParaUelen zu den Stäben /, //, ZT/, ... so schneiden diese auf

16*

244 Zweiter Abschnitt — § 8.

einer im Abstände H Ton 0 eingetragenen Senkrechten die Spannkrifte
Z der Hftngestangen ab, und die LSngen der ron 0 ansgehenden Strahlen
geben die Spannkräfte Si^ 8uj Smy • • • der Stäbe J, //, ///, ... an.
Damit sind alle am Fachwerkbogen angreifenden Kräfte bekannt.

Will man die Stabkräfte ans den Momenten M berechnen, so führe
man dnreh m einen senkrechten Schnitt nnd zerlege die Spannkraft der
geschnittenen Zugstange in eine senkrechte nnd eine wagerechte Seiten-
kraft; die erstere geht durch den Drehpunkt m, und die letztere übt
das Angrifonoment — Hy^ aus. Da nun die äusseren Kräfte mit
denen eines einfachen Balkens übereinstimmen, so erhält man

(1) H» = 3^«. — ^Vm

d. i. dieselbe Gleichung, welche auf Seite 212 für den Bogen mit festen
Kämpfergelenken gefunden wurde. Nur bedeutet jetzt y nicht mehr
den Abstand des fraglichen Knotenpunktes von der Geraden AB sondern
Ton dem Zugbande.

Wird behufs Berechnung einer Spannkraft D das Angriffsmoment
für den Schnittpunkt » der an 2> grenzenden Gurtstäbe 0 und U ge-
sucht, so misst man den senkrechten Abstand y< des Punktes % von
demjenigen Gliede der Zugstange, welches der durch 0, 2>, 27 geführte
Schnitt tt trifft und erhält:

(2) M, = Jf,, — Hy,,
oder allgemeiner

M,^M,,±Hy,,

wobei das Vorzeichen von der Lage des Punktes i abhängt.

Es bedarf jetzt nur eines Hinweises darauf, dass die in No. 84
gelehrten Verfahren, die Einflussfiächen für senkrechte Belastung aus
ein und derselben J5'-Linie deren Bestimmuny in No, 93 gezeigt werden
wird, zu ermitteln, auch auf den vorliegenden Fall angewendet werden
dürfen; man hat nur auf die andere Bedeutung tou y zu achten.

Hinsichtlich der Gestalt des Stabzuges /, //, III, ... ist die vor-
stehende Untersuchung an keinerlei Voraussetzungen gebunden. Dieser
Stabzug darf auch nach unten gesprengt werden ; es entstehen dann Träger
der in den Fig. 256 bis 259 dargestellten Art. Die senkrechten Zwischen-
stäbe werden hier auf Druck beansprucht. Die Tragwerke in den
Figuren 258 und 259 bezeichnet man auch als verspannte Balken, und
den Träger in Fig. 257 als versteifte Kette, und man nennt dann das
Dreieckfachwerk ACBA den VereteifungsbdUcm der Kette ASB. Nicht
unzweckmässig dürfte es sein, den mit dem Dreieckfach werk durch senk-
rechte Stäbe verbundenen Stabzug in allen den hier vorgeführten Fällen
die dritte Gurtung zu nennen und festzusetzen, dass, £eü1s kurz von der

Zweigelenkbogen mit geepiengter Zugstange n. s. w.

246

oberem und der unteren Gnrtong gesprochen wird, hienmter die Onr-
tnngen des Dreieckfachwerks zu Torstehen sind. Die dritte GKirtang
kann anch oberhalb des Dreieok&ohwerks liegen; sie wird dann auf
Druck beanspmcht, während die Zwischenstäbe (eine durchweg nach
unten hohl liegende dritte Ourtung Torausgeeetzt) Zugspannungen er-

Tn

Flg. 296.

m

^

\y\\ M

^

^

f-sec^

Flg. S58.

Fig. 269.

leiden. Bezeichnet man für diesen in Figur 260 dargestellten Fall mit
ß die wagerechte Seitenkraft des in der dritten Gurtung auftretenden
Druckes, so bleibt die Gleichung M^ = M.^ — Hy^ gültig. Für Jf,
erhält man je nach der Lage des Punktes i gegen den vom Schnitte
i — t getroffenen Stab der dritten Gurtung: Mi=^M^±Hyi.

Den in Fig. 260 abgebildeten Träger pflegt man auch einen durch
einen Balken versteiften Stabbogen zu nennen und bezeichnet dann
das Dreieckfachwerk als den Vereteifungebalken des Stabhogens, *) Dieser
Balken, welcher zugleich bestimmt ist, den Horizontalschub des Bogens

r

Fig. 260.

aufisunehmen, erhält meistens (abgesehen von den Endfeldem) parallele
Gurtungen. Die Untersuchung der Füllungsstäbe gestaltet sich dann
besonders einfach. Es handele sich z. B. um die linkssteigende Diago-
nale D des Trägers in Fig. 261. Führt man den Schnitt tt^ zerlegt
den Druck J7sec a des von U getroffenen Stabes der dritten Gurtung
in die Seitenkräfte H (wagerecht) und Htga (senkrecht) und setzt

*) Unseres Wissens ist diese TrSgerart zuerst von dem verstorbenen
österreichischen Ingenieur Langer gegeben worden und dürfte daher wohl am
besten Langer^eeher Balken genannt werden.

246

Zweiter Abschnitt — § 8.

man schliesslich die Summe aller links TOm Schnitte tt wirkenden loth-
rechton Krftffce = 0, so erhält man:

t
A — SP— 2> sin 9 — Hig a = 0,

wo 2 P die Summe der links vom Schnitte t angreifenden Lasten be-
dentet. Hierin ist nim

A — 2P=Q,

0

die Qnerkraft fttr den Schnitt tt eines einfachen Balkena AB^ nnd es
ergiebt sich daher

D sin 9 == 9, wo

(8) Q=Qo — HigOL = igaL{Q.QoXgoL — H).

h " --

Flg. 261.

Man nennt Q die Qnerkraft ftlr den Schnitt ft des Vereteifunga-
balkens, betrachtet ig a als Multiplikator und erhält dann die Einfluss-
fläche ftir 9 als den Unterschied der Qo cotg a-Fläche und der J7-Fläche.
Macht man also (Figur 261) ^'^" = 1 cotga, zieht A"B\ hierauf
A'Li II B^A"y schliesslich L^L^^ so ist die schraffirte Fläche die ^Fläche;
denn wäre A'A"=s 1, so würde nach Band I, Seite 182 der Linien-
zug ÄLyL^tf die auf die Achse Ätt bezogene Q^-Linie sein.

Auf dieselbe Weise werden die Spannkräfte in den Follungsstäben
der in den Figuren 258, 259, 270 abgebildeten Versteifnngsbalken
bestimmt.

Zweigeleiücbogen mit gesprengter Zugstange u. s. w. 247

08. Die Bestimiirang der BinflusBlInie für M unterscheidet
sich yon der in No. 77 gelehrten Weise, die IT-Linie eines Zweigelenk-

bogens zu berechnen, nur dadurch, dass die Summe: S , welche

Er

sich bisher nur auf die Stäbe des Bogens bezog, und für welche der

Ausdruck— —20«, gefunden wurde, nm die der dritten Gurtung und

den senkreekten Zwisehenstäben entsprechenden Glieder yermehrt werden
musB. Bind nun a^, 04, ... die Neigungswinkel der Glieder der dritten
Gurtung, so sind die Spannkräfte S und Z,

(4) iS^i =fl'sec a^; Ä, = /rseca,; . . .*)

(5) Zj = FCtg tti — tg a,); Z, = If (tg a, — tg 03); ...

und man erhält für die allgemein mit S^ bezeichneten Spannkräfte des
Zustandes H=^ — 1 die absoluten Werthe:

/ ^^ ^^ ®®^ ^ ^^^ ^^ **** Glied des Zugbandes,

\ Sj = (igoir — tg ar+\) für die r** Zwischenstange.

Sind also die Längen dieser Stäbe = Sr bezw. Zr und ihre Querschnitte
= F,r beaw. = F^r so ergiebt sich:

^'^ ^ EF EF, "^ EF,r ^ EF,r

Man darf nun stets die Annahme machen, dass sich der Quer-

ZTsec OLr
schnitt der dritten Gurtung so ändert, dass die Spannung c = =

einen festen Werth annimmt. Erfordert also H den Querschnitt F^
(d. i. der Querschnitt eines wagerechten Gliedes der dritten Gurtung),
so wird F,r = Fj, sec oc^, und man erhält, wenn man für alle Zwischen-
stäbe denselben Querschnitt F, annimmt,

(8) S^ = ^js^^+ JsX,8ec«a,H-^^S^.(tga,-tga,+.)»}-

wo \r die Horizontalprojektion von s^ bedeutet (Fig. 255®).

Die Bestimmung der i?- Linie geschieht jetzt nach folgender Hegel:
Man berechne die Momente M^,^ eines mit den Gewichten

1/ s F
w^= ,** -^ belasteten einfachen Balkens A' B' (vergleiche

^m F^

*) Es sind dies die absoluten Werthe. Die unterhalb des Dreieckfachwerks
liegende dritte Gurtung (Fig. 255 bis 259) wird gezogen; ist sie nach oben ge-
sprengt, 80 werden die lothrechten Zwischenstäbe auf Zug beansprucht, sonst auf
Drock. liegt die dritte Gurtong oberhalb des Dreieekfachwerks, Fig. 260, so
wird sie gedrückt; die Zwischenstäbe werden dann gezogen.

248 Zweüer Abschnitt — § 8.

Fig. 198 bis 200) und dwidirs sie durch
(9) 3l = 2^^ + ^SV8ec«a. + -|^S^r(tga, — tg(v+0"»

wobei z^ = y^w^. Das Ergebniss ist: H^==

3t

Die beiden letzten Glieder des Ausdmckes für 91 sind von ver-
hftltnissmttsBig geringem Einfloss auf H und lassen sich meistens er-
heblich yereinfitcben. Liegen z. B* die Knotenpunkte der dritten Our-
tung in einer Parabel mit der Gleichung

y. = 4A ""^^^7^^ (^^- 255)

und folgen aach die Längen z der Zwischenstäbe dem Gesetze:

x(l — x)

z = if.

l

80 darf man stets genügend genan setzen:

Sz.(tg«. - tg«.,.)' = X,S., ^^g '^ - *g '^■>' = xjzäx [^J

o

= \j zdx {-^) = X. (j^ jzdx = -^ X, -|^,

wo \ den Mittelwerth der annähernd gleich grossen Feldweiten X, be-
deutet, und man erhält dann den schnell zu berechnenden Aosdrack:

nm n> ^ .L-^'/^i _i_ ^* /J\ , 128 F.. ftf,

(10) 3l = S^. + _i(^H-__j + ___X»-^.

Fttr den Fall eines Zweigelenkbogens mit wagereehter Zugstange
(/6 = 0 in Fig. 255) ergiebt sich

(11) 5R = 2^^ + ^Z,

ein Werth, der auch bei geringer Sprengung des Zugbandes g^ügend
genau ist und daher auch für die in den Fig. 256 und 275 dargestellten
Träger brauchbar bleibt. Bei Berechnung von Dachbindern dieser Art ist
es sogar zulässig, 3t ^^z^ zu setzen, weil ja die Bestimmung des
grössten Sohneedruokes und besonders des Winddrucks auf einer nem-
lieh unsicheren Schätzung beruht.

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange u. s. w. 249

Eürznngen der Werihe w^ und z^ ziehen natürlich auch eine ent-
sprechende Aenderung der beiden letzten Glieder des Ausdruckes 91
nach sich. Ninunt man z. B. bei Untersuchung des in Fig. 261 dar-
gestellten Tr&gers für alle Obergurtstfibe denselben Querschnitt F^ an
und ftlr alle üntergurtstäbe denselben Querschnitt F^y und setzt man
die willkttrliche Querschnittsfläche F^ = F^^ so empfiehlt es sich, einem
Knotenpunkte m der unteren Gurtung das Gewicht

(12) . . . ir« = y^ (statt w^=^^ = ^^)

zuzuschreiben und einem oberen Knotenpunkte k das Gewicht:

(18) «^ = y.-^ (statt «^ = -^ -^).

Diese besonderen Werthe tr sind aus den allgemeineren durch
Division mit X : A' erhalten worden, und es müssen daher auch die beiden
letzten Glieder von 91 mit \:h^ dividirt werden. Man erhält:

(14)3l=Syi+gSy2+y[^2V8ecV+^3^,(1«a,-tga,W»]

wofür man stets

(15) 3l = Sy. + _Sy, + -|^i,(^l+_-^;+__X-g-J

setzen darf; auch ist es in der Regel erlaubt, das zweite Glied des

(16 f^\
1 + — -3- ) zu streichen. Man

erhält dann:

(16) 5^ = 2^- + :^2y2+*^^-^.

94. Der BixifluBB einer Temperaturftndenmg auf J^ ist durch
die allgemeine, für jedes einfach statisch unbestimmte Fachwerk gültige
Gleichung gegeben:

EF

wo 8' die Stabkraft für H= — 1 ist. Sind s und i für sämmtiicke
Stäbe gleich gross, so wird ^^ = 0 ; denn setzt man in die dem Span-

*) Fär die Stäbe ÄC und EB^ deren Spannkräfte nur von den Stiitzen-
dräcken abhängen, ergiebt sich iS' = 0; dte dritte Onrtong reicht nur von C
bis E. Ihr Ffeü ist =/^», ihre Spannweite =Z».

260 Zweiter Abfiolmitt — § 8.

nnBg8sii8taiide jEr= — 1 entsprechende Arbeitsgleichnng

welche fttr beliebige mögliche A« gilt, A9 = o«, wobei o eine Kon-
stante ist, d. h. nimmt man an, dass die geänderte Form des Fach-
werks der ursprünglichen ähnlich ist, so findet man

2ä'« = 0.

Wird nun Toransgesetzt, dass sich die dem spannnngslosen An-
fangsznstande entsprechenden Wärmegrade der Stäbe des Dreieckfitch-
werks nnd der Zwischenstäbe am t ändern, diejenigen der dritten Gnr-
tnng hingegen nm t-^-äty so erhält man für fT« den Werth

EF

wobei sich 2/ über sämmtliche Stäbe erstreckt, hingegen 2xf nur über
die dritte Gurtung. Erstere Summe ist = 0, und letztere geht für
den Fall einer gezogenen dritten Ourtung [wegen jS^r = H* i^sec o^. und
Ä>' = — sec 0^.] in — SVsec'a^ über, weshalb sich

. V _ eAfSVsec^g^

EF

giyji^,A<2Vsec'tt^

F Ff \*

ergiebt, und hieraus folgt: wird die dritte Gurtung stärker erwärmt
als die übrigen Theile des Bogens, so nimmt der Horizontalst«^ ab; im
Gegenfalle wächst jETum ein positives Ut^ Für den in der Fig. 260 dar-
gestellten ^räger findet man, dass der HorizontalcIrucA; H zu- oder ab-
nimmt, je nachdem die dritte Gurtung mehr oder weniger erwärmt
wird, als der Versteifungsbalken.

Es ist nun stets zulässig, die Formel (18) durch die einfachere:

(19) g. = T ^'

ZU ersetzen; denn, da die Wahl von A^ einer groben Schätzung unter-
liegt, so hat es natürlich keinen Zweck, die übrigen Glieder allzu pein-

lieh zu berechnen. Für z^ ist in (19) der Werth «^ = — \ =- ein-

znführen. Eine Kürzung der z bedingt auch eine entsprechende Aen-
derung des Zählers von i^. Setzt man z. B. für den Tri^^er in.

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange u. s. w.

251

F F^

Figur 261, u?^ = y- und iri, = y»^, ferner ««, = yi, 2r» = yJ—^, so

8 \

muss man den Ztthler von fli in Oleich. (19) durch -y = -j-j dividiren;
68 ergiebt sich dann:

(20) M = T

sEFAh^Ht

95. Nahemngsformeln für den durch einen Balken mit parallelen
Ourtungen versteiften Parabelbogen. Wir bezeichnen mit ho und hu die
Abstände der Onrtongen von der die Bogenenden AB verbindenden wage-
rechten Geraden, mit y die auf die Gerade AB bezogene Ordinate des Bogens
an der Stelle x; sodann betrachten wir den Bogen als stetig gekrümmt und
setzen für eine Einzellast P (unter Yemachlässigong der Dehnung der Hänge-
stangen*):

H=P

5,..x + J:sy..x + Ä.J^(i + f^)

= F

M„

wobei 1-^ = y- + y* -^^ = y' + Ä« -I- (y — Äo) ^-

dx*

, , ^fxil — x)

Flg. 262.

♦) Dafür wollen wir die Abmessungen h und ff, (Fig. 261) durch die
grösseren l und f ersetzen.

262

Zweiter Abschnitt — § 8.

Man veigleiche die ähnliche Entwicklung in No. 82, Seite 210; in der-
selben Weise wie dort ergiebt sich

^=87^^P"-^>r + ^^^-")+2 7 F. + F. J-

_ . hKFu—KF. \bK^Fu+K^Fo . 15*«/ 16f«\ FuF.
""" "^2 f{Fu + Fo) ^ 8 f*(F^ + Fo) "^'8 M^"*" 8 W

(21)

wo

f{Fu + Fo) ' 8 P{Fu + Fo) ' S P\ ' S l^JF^Fu+F.)

Die hiemach aui^tragene H-Linie weicht nur wenig von einer Parabel
ab; sie darf durch eine Parabel von der Pfeilhöhe

(22)

ersetzt werden, wobei

(23) v =

16^

f(Fu + Fo) + 1,25 (huFu — KFo)

f (F.+F.)+2,5 (huFu - A.Fo)+ 15 (VF«+ VJF;)+ y j(^+Y^)

FuFg

~Fi'

ist Sollen die LängenAnderungen der Hängestangen berücksichtigt werden, so
tritt im Nenner noch das Glied

15 V 128 FuFo Xr ___ hnp FuF.
■*■ 8 f 8 Fm ^ ""^ Z* F,

hinzu. Für die in den Figuren 263 und 264 daigestellten SonderfiUle er-
hält man:

(25)

)» =

Kt+O-^'^sfc

(86)

''(k + 0 + 1'25*

(Kg. 268).

Kfe+')+»«+¥>'['+('+V'?)ft

]

(Fig. 264).

^***/Ar*

liff. 268.

In Folge einer von B aus um die Strecke S yoigeschobenen gleichförmigen.
Belastung ji entsteht:

(27)

«=f?'?(-4)''

*) Yergl. Seite 289, Gleichung 46.

Zveigelenkbogen mit gesprengter Zugstange n. s. w.

253

Der Ijünflnas einer den ganzen Träger bedeckenden gleichförmigen Be-
lastoDg ist:

(28)

(2»)

Die ständige Belastung erzeugt:

In Folge einer Temperaturänderong entsteht:

H.=^-'4^

^^^^ ^' " 8 f f(F^ + Fu) + 1,25 (huFu - KFo)

wobei zu beachten ist, dass der Horizontaldrueib H in der dritten Oxutang
vei^grössert mrd, sobald diese Gtutung um A^ mehr erwärmt wird als die übrigen
Theüe des Fachwerks.

Für den Fall einer gleichförmigen ständigen und beweglichen Belastung
lassen sich sehr einfache Formeln gewinnen, welche den in No. 91 für den
Zweigelenkbogen abgeleiteten ähnlich sind.

1. Jngriffsmomente. Wäre i7=0, so würde sich für den Enotenpimkt

u (Fig. 265) in Folge der ständigen Belastung das AngrifGsmoment lf«*^ = j^-^

ergeben, und es entsteht daher mit Berücksichtigiing von Hf=~^ v das

of

Moment:
(81)

M^-^g^-^^W + hJj.

XX

wonras, wegen y =4/-=^, nach Division durch ä**)

•"»j.- : -^;

4f — * <~— — — — jif— .^~.

1

Flg. 265.

15 tE^tK^F F
♦) Abgeleitet aus Ä = 3^«/^ jl. p\^ ' welche Formel der Gleichung (25)

auf Seite 211 entspricht.

M

**) Wir berechnen die-^-, weil die Spannkräfte in den Ourtstäben diesen

Werthen proportional sind.

254

Zweiter A1>sclmitt — § 8.

(82)

(88)

Ebenso erhalt man für einen Knotenpunkt der oberen Gurtong:

Zeichnet man also eine Parabel A'S'B\ deren Pfeil ^——-(v — 1) ist,

%h

zieht die z\k A' B' parallelen Geraden CD und EF in den Abständen

Sfh

bezw. -r-A£- von der A'B\ und misst entsprechend u und o die Abstände y«
ofh

und Fo der Parabel von jenen Gei'aden, so findet man

(84)

3r/__

= -irr«,

J^O'«

=+^r«,

denn die auf ^'^' bezogene Ordinate der Parabel an der Stelle x kt sst

"»' — »Ä — ^*^ ^ kh — ^^^ ® voraus, dass v>l ist Er-

giebt sich v < 1, so liegt S* oberhalb A'B\

Behu& Ermittlung von M^p bringen wir die untere Gurtung des Ter-
steifungsbalkens in Am und Bu mit den Auflagersenkrechten zum Schnitt,
bestimmen den lothrecht über u gelegenen Punkt u des Bogens und folgern

aus der Gleich. W=iMo — -ffy«.

tdt4

-— <i

in welcher Jf« das Moment für den
Querschnitt x eines einfachen Bal-
kens bedeutet, dass Mm dieselbe
Form hat wie das Moment für dea
Punkt u eines in den Punkten Am
und Bu gestützten Zweigelenk-
bogens. Diesem Zweigelenkbogeii
muss natürlich der für den ver-
steiften Bogen gefundene Wertii v

(Gleich. 23, Seite 252) zugeschrieben werden. Die Eämpferdruoklinie ist eine

4f
Wagerechte im Abstände -^ von der AuBu und werde von den Geraden AmU

und BuU in Punkten E, E* geschnitten, deren Abstände von den Auflager-
senkrechten im und £»' sind, Fig. 266.

Fl«. 266.

Dann eigiebt sich

^ = -

pCui wo

(35)

^ _ y.(6,» + r>»)v
^"" Sflh

Die beiden Grenzwerthe von M^:h sind nun

iMtt

(86)

M,

= '-gYu-'pCm

= — gYu + pC

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange u. s. w.

266*

and ebenso eigiebt sich:

(87)

(88)

mim

M^

Af

= + gYo—i)C^

= + jFo+pCo, wo

C.=

y*(e.' + 5V)v

%flh

Die ErmitÜimg von £« und
fo zeigt die ohne weitere Eitiä-
rung verständliche Figur 267. Liegt
E' links von A^ so ist S'==0 zu
setzen, hingegen E = 0, wenn E
rechts von B fällt — Durch die
vorstehenden Fonneln sind die
Spannkräfte in den Gurtungen
bestimmt.

2. Querkräfte. Wird zunächst ff, = 0 angenommen, so entstehen Momente
Jfo#i welche gleich den Ordinaten eines in eine Parabel vom Pfeil ^ einge-
schriebenen Polygons sind und für das m^ Feld eigiebt sich die Querkraft:

Fig. 867.

Q^mg

Momg — Jg(»(m— l)y ^__

= i%^. Fig. 268.

ÜESEI!

JllJ--i"it-f-*

Fig. 168.

Mit BeraokBiohtigang von Hg erhält man also:

gi^

flUr = ©•■•y — ^tg «• = tgßm — ^ V tg ou.

imcl wogen i«a«:tgfr„ = f:^,

(89) Qmg = - Qom, (v - 1).

Man hat also nur nöthig, die im entoa Bande Seite 128 für die Quer-
kiSfte Qog des einfachen Balkens gewonnenen Wertiie mit — (v ~ 1) vx mul-

♦ 266

Zweiter Abschnitt — § 8.

tipliciren und gelangt zu der in Fig. 268 dai^gestellten Querkiaftsfiftdie. Will
man rechnen, so setze man

(40) Qmp^ — gxJ'i^ — l).

Die Bestimmung des Einflusses der beweglichen Belastung p geschieht sehr
übersichtlich wie folgt.

4f
Im Abstände—^ von der AB wird die Wagerechte A'B' gezogen, und

durch A eine Parallele zum mten Stabe {F'F") der dritten Gurtung gelegt
(Fig. 269), welche die A'B' in E schneidet Eine durch E gehende Last P
erzeugt — eine stetig gekrümmte J7-Linie vorausgesetzt —

„ SPab Pb a Pb ^ ^ .

^=-^fl >'=-y;^ = -yCotgflu=^cotgou.

':^jAid^^*^

Flg. 269.

und bringt die Querkraft

?- = ^ — -fftgo« = 0
hervor. Eine links von E liegende Last P' verursacht J3^=^ootga und die

Querkraft p«=^--^cotga'tgou.= ^(l — ^^], welche positiv ist, weü

tg Om < tg a ist, während Lasten rechts von E negative Querkräfte Qm erzeugen.
Liegt aber P links von m — 1, so entsteht

g.n = ^ — P— -fftg ou. = — B — irtga^
und hieraus darf man schliessen, dass zur Endelung von mmmQmp nur die zwischen
dem Schnitte tt und der Senkrechten durch E gelegenen Knotenpunkte' (mit
je pX) zu belasten sind.*) Zeichnet man nun die Einflusslinie für H und A

*) Wir machen die zweckmässige (etwas zu ungünstige) Annahme fester
Kiiotenlasten jpy. Veigl. Band I Seite 118.

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange xl s. w. 257

unter der Voranssetzimg, dass sich über den Träger die Last 1 • X bewegt und
addirt die unter den belasteten Knotenpunkten gemessenen Ordinaten H und A^
so erhält man

wobei in dem in der Fig. 269 dargestellten Falle

3^ = ^, + ^ + J, + Je; ^H=^Hn + H, + H^ + H.
ist Die beiden Grenzwerthe 7on Q sind nun

-0.0-.= - ^a?*" (v — 1) + 1> (^^ - lg o^ 3fl)
^ft,= -^ar«"(v-l)-p(S^-tga^SJ50;

durch dieselben sind die Spannkräfte der beiden Diagonalen Dr und Di be-
stimmt.

Die vorstehend abgeleiteten
Formeln lassen sich auch zur Be-
rechnung der Spannkräfte des in
der Fig. 270 daigestellten Trägers
benutzen. In den Gleichungen (31)
bis (SO) zur Bestimmung von E
mu88 mun h^ mit hu vertauschen^ n«. S70.

Fm mit Fm*

96. Zahlenbeispiel. Es soll die H-Iinie des in Fig. 271 dargestellten
Trägers zunächst angenähert, sodann aber mit Berücksichtigung der Längen-
ändenmgen sänmitlicher Stäbe ermittelt werden. Die Enotenpxmkte der dritten
Gurtung liegen in einer Parabel, deren Pfeil f =6,12** ist.**)

1. VemaeJdä99igung der Längenänderungen der FWungsetähe, Die Ge-
wichte w der einzelnen Knotenpunkte des Yersteifungsbalkens sind nach den
Gleich. (12) und (18) zu berechnen, worauf 92 durch Gleich, (16) und H durch
die Formel

Mm

H = P

^

bestimmt ist Geschätzt seien: ^ = 0,87 ; ^ = 0,40. Man erhält

fax einen unteren Knotea «i; ww=sfM

F
für einen oberen Knoten h\ tr» s: yib — ^ = 0,37 yi,

und wenn die den Knoten 1, 3, 5, 7, . . . entsprechenden w auf die AngrifEs-
punkte 2, 4, 6, . . . der Querträger Tortheilt werden:

w^ z= 1,87 + 4 • 1,435 . 0,37 = 2,14

fp^ = t . 1,435 • 0,37 + 8,40 + \ • 2,795 • 0,87 = 4,18
w^ =i' 2,795 . 0,87 + 4,59 + { • 8,815 • 0,37 = 5,80
M, = 1 . 3,81 5 • 0,37 + 5,44 + i - 4,495 • 0,37 = 6,95
Ml,» =s 4 . 4,496 • 0^7 + 5,»5 + i • 4,885 • 0.37 =^7,64
Wit=^\' 4385 - 0,37 + 642+ I -^^ * <^d7 = '^^^

*) Figur 271 ateUt den Hanpttxäger einer 1889 in Hannover nach den
Plänen des Yerfassers erbauten Straumkrücke iÜMr die Ihme dar.
Kftller-Bretlan, Gnpbiaohe Statik. IL 1. 17

258

Zweiter Abschnitt. — § 8.

Die AngrifEsmomente Jf» des mit diesen Gewichten w belasteten Balkens
A'B' sind, wenn die Feldweite X = l gesetzt wird:*)

Mt^ = 30,65
Nun findet man:

M^= 83,49
M^ — 102,02

M^it = 117,54

9l = 3y«» + ^3y»«+^*J = 2(l,87«+3,40»+4,59»+5,44«+5,95«)+6,12»
+• 0,87 . 2 (1,435» + 2,795»+ 8,815»+4,495«+4,885«) + -^4t^^ 0,40=296,20

0,1^0

(MinaUninMeitm

»"f«k^J

yr \f yr

n 4 <^ <^ <- <•

Flg. 271.

nnd (da die M^ vorhin für X = 1 berechnet worden sind) mit P= 1:

Ja«9 . X 3f«« • 8,125 AI«« I

"" 296,20 "~ ~296,20 "" 94,78 ' *

80,65

ir, = ^j^ = 0,82; £r4 = 0,62; jEre = 0,88; fli = l,08; jErio = 1,20; jET,, = 1,24.

2. Berüclmehtigung der Längenänderungen sämmüicker Stäbe. Die In-
halte der Stabqnerschnitte (ohne Abzug für Nietlöcher) sind in Fig. 272 zu-
sammengestellt worden. Zur Ermittlung der jET-Linie soll Gleichung (F) auf
Seite 168 benutzt werden. Dieselbe liefert

XZfw ■* ••

«-

sy

EF

wo jS^' die Stabkraft in Folge jEr= — 1 und d«, die durch diesen Belastongs-
zustand verursachte lothrechte Verschiebung des Knotenpunktes m bedeutet.
Die Summe 2 umf asst sämmtLiche Stäbe des Fachwerks. Den Eräfteplan für
i7 = — 1 zeigt Fig. 278*. Man denke sich in den Stäben der dritten Guitung

*) Yergl. Seite 208. Die rechnerische Bestimmung der 3/« ist der zeich-
nerischen Ermittlung unbedingt vorzuziehen.

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange n. s. w.

259

Zugkräfte Ä^i, 5',, . . . hervorgerufen, deren wagerechte Seitenkraft = 1 ist,
bestimme die in den lothrechten Zwischenstäben hierdurch erzeugten Drucke,
S' = Z' (welche beim Parabelbogen von Reicher Feldweite den konstanten

Werth — =— ] = — 0,11 annehmen) und zeichne hierauf für den mit

den Kräften S\ und Z' belasteten Yersteifungsbalken einen Gremona'schen Plan.

4fiS

Fig. 272.

Die Ergebnisse sind in die Fig. 278i> eingeschrieben, ebenso (in Klammem) die
den Stäben der dritten Gurtung entsprechenden Werthe-^^* Bei Berechnung der
letzteren wurde die für alle Stäbe gleiche Elasticitätsziffer E^ deren Grösse

8**8

auf das Yerhältniss 8» : 2 -=;^ ohne Einfluss ist, = 1 gesetzt Als Einheiten

wurden die Tonne und das cm gewählt, so dass sich beispielsweise für das dritte
Feld der Werth

ig'»g_ 1,07» '884
EF~ 1-519

= 0,788

ergab.

Jetzt wurden für den Zustand J7= — 1 die Längenänderungen A«=:

5j
EF

der Stäbe des Yersteifungsbalkens berechnet und in Fig. 274*) zusammenge-

S'*8

stellt (nicht eingeklammerte Zahlen), desgleichen die Werthe =,Sf^Ag

(eingeklammerte Zahlen). Für den zweiten üntergurtstab wurden z. B. er-
halten:

A« = ii^,^!^ = 0,7282 = 0,78 xmd S'A« = 1,20 -0,7282 = 0,874.**)
1 ■ 515

Die Durchbiegungen hm lasseti sich als Momente Jf« eines einfachen
Balkens Ä'B' (Fig. 271) deuten, welcher mit Gewichten w belastet wird, zu
deren Berechnung die Gleictiungen (6) und (7) auf Seite 105 dienen. Wogen

^M _. .« _j 1>97 _

\ • 8,125

sec 91 = — -^—^ — = 1,46 und sec 9 =: , "„ Joe = 1» 26 ergeben sich, wenn die

1,12

*) Diese Figur ist verzerrt gezeichnet worden, um Platz für die Zahlen
zu gewizmen.

**) Die Stablängen (in Metern) sind in Fig. 271 angegeben.

17*

260

Zweiter Abodmitt. -• § 8.

überall gleiche Abmessang h snnäohst = 1 gesetzt wild, für die unteren Knoten
die Werthe:

IT, = 2,61 + 1,49 • 1,46 — 2,32 • 1,26 = 1,8622

w^ = 4,09 + (2,82 — 1,83)
iTt = 5,54 + (1,88 — 1,80)
w, = 6,55 + (1,30 — 0,59)
tt'io = 9,69 + (0,59 — 0,20)
K-,9 = 9,96 + (0,20 + 0,20)

1,26 = 4,7074

1,26 = 6,2078

1,26 = T,4446

1,26 = 10,1814

1,26 = 10,4640

^^^^^^

S'P w i^'^i^ (if Z'^V ^^ Uf-*P9 Af ^-^4» wy Ul^^^MfftU

^k-

Fig. 275.

^» f^mj rff,ss7J (z^xw fx%ei$j m,0sü) (so,i§fj

{^mi

a 9S4J ^

T

T

T

T

n» 2^

T

und für die e^rea Knotenpunkte:

HH = — M9 • U6 = — 2,18
IT, == 0,78 ♦)
%Pg = 1,41

wx =1,93
fr, =2,28
«^11 = 2,45.

*) An jedem Knoten 3, 5, 7, ... . greifen zwei Diagonalen 'an, deien
lüngenänderangen en^g^^ngeeetzt gleiok aind und sieh daher tilgen.

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange u. s. w. 261

"Werden die Gewichte der oberen Knoten auf die Querträger -Angrifb-
punlrte 2, 4, 6, . . . vertheilt, so erhält man für diese letzteren die Gewichte:

tr^ = 4,7074 + i (0,73 + 1,41) = 5,78
fr. = 6,2078 + i (1.41 + 1,93) = 7,88

denselben entsprechen mit X = l die Momente:

iTs = 7,4416 + 1 (1,93 + 2,28) = 9,55

fr„ = 10,1814+4 (2,28 + 2,45) = 12,55
iTi, = 10,4640+ } (2,45 + 2,45) = 12,91,

M^ = 43,045
M^ = 85,260

1/^=121,695
M^ = 150,250

M^io = 169,255
Af.^j = 175,710.

Die Zusammenzählung der in die Figuren 273 und 274 eingeschriebenen
(eingeklammerten) Werthe -^tet giebt für beide Trägerhälften:

S*^8

S^-pi = 362,937

und hierzu tritt noch für die Hängestangen, für welche durchweg 5' = — 0,11
und F= -f 90 qcm ist, das Glied:

^'^^ ■ [2 (1,87 + 3,40 + 4,59 + 5,44 + 5,95) + 6,12] = 0,00654*)

1-90
weshalb

S -^^ = 862,937 + 0,654 = 363,59.

Da nun bei Berechnung der M^ sowohl /» = 1 als auch X = 1 gesetzt
wurde, so folgt jetzt für P=l

„^ M^ \ _M^' 312,5 _ M^ ,
363,59 ' h 363,59 • 120 139,62 ' ^

Ja; = Y|^ = 0,31; ir4=0,61; ^e=0,87; ir, = l,08; irio=l,21; iri, = l,26.

Diese genaueren Werthe weichen von den vorhin berechneten nur un-
wesentlich ab.

Wir empfehlen dem Leser, zur üebung die 3M-Linie noch mit Hilfe eines
Williot'schen Planes oder mittels des Stabzugverfahrens zu bestimmen.

97. Einfloss schräger Lasten. Wir schliessen diesen § mit einer
üntersacbang des Einflusses schräger Lasten auf einen Zweigelenkbogen
mit gesprengter Zugstange (Dachbinder) nnd machen aaf diejenigen
Annahmen aufmerksam, welche zur Vereinfachung des im § 5 er-
ledigten strengeren Verfahrens gemacht werden dürfen. Der allgemeine
Ausdruck für H in Folge einer Einzellast P«, ist (nach der ersten der
Gleichungen V auf Seite 163):

(41) H = P^-^

EF

*) Man übersieht hier recht deutlich den geringen Einfluss dieses Oliedes.

262

Zweiter Abschnitt. — § 8.

worin 8' die dem Zustande H= — 1 entsprechende Spannkraft irgend
eines Stabes des Fachwerks ist, and ij die Verschiebung bedeutet,
welche der Angrififsponkt m der Last P«, im ' Sinne von P^ erfährt, so-
bald nur die Ursache H= — 1 wirkt. Die Ermittlung der Ver-
schiebungen i\ die in Fig. 275 mit Hilfe eines Williotschen Planes
erfolgte, darf stets unter der Voraussetzung starrer Füllungsstäbe durch-
geführt werden ; auch ist es zul&ssig, sämmtlichen Gurtstäben denselben

-o

(b)

— — — -t-A JO

Flg. 275.

Querschnitt F^ zuzuschreiben. Setzt man dann bei der Berechnung* der

S'b
Längenänderungen A« = — — - der Gurtstäbe sowohl j& = 1 als auch

^0=1, so muss man in Gleich. (41) den Nenner durch den Werth

F
2iS^'*« "' ersetzen. In Fig. 275 liegt ein symmetrischer Träger vor.

Es wurde bei Aufzeichnung des Verschiebungsplanes zunächst der Mittel-
punkt und die Richtung des Stabes s^ als festliegend angesehen
hierauf 6'4' = A5*) gemacht und 5'4'J_54, 5'6'J_5 6 gezogen.

♦) Wir erinnern an die Bezeichnung Aff5 = A5.

Zweigelenkbogen mit gesprengter Zugstange lu s. w. 263

Die Ansohliessniig der Pnnkte 8', 1^ O', A' erfolgte nach No. 82. —
Die Punkte 8', 10', B' liegen in Bezug anf die Senkrechte durch h'
symmetrisch zn 2', l', A! \ und ebenso würde man, falls aaoh in den
Knoten 1, 8, 5, 7, 9, (7, D Lasten angreifen sollten, die symmetrisch
zn 8' and l' gelegenen Pnnkte l\ 9', eintragen und endlich C\ D\
welche in Fig. 275 fortgelassen sind, bestimmen. Behufs Erftlllung
der wirklichen Anflagerbedingnngen musste schliesslich der Verschie-
bangspol aus dem Mittelpunkte Yon A5 .in den dem festen Auflager Ä
entsprechenden Punkte ä' gelegt werden, worauf sich beispielsweise
die Verschiebung h^' des Knotens 2 im 8inne yon P^ gleich der Pro-
jektion des Strahles ä'2,' und die Sichtung Ton P, ergab.*)

Wären nun Zugstange und Zwischenstftbe nicht Torhanden, so
würde sich

^S'^8^ = hB=A'B'

ergeben, d. h. gleich der Verschiebung, welche B in Folge des Belastungs*
zustandes IT = — 1 erfährt. Im vorliegenden Falle ist aber

25'»«-^ = 8,' + S.S'««^,

wobei sich das Zeichen 2, über die Glieder der Zugstange und die
Zwischenstäbe erstreckt und hierfür darf stets

F , F

2S'».-J- = 8,' + i^

gesetzt werden,**) womit sich

H=P^

h^^l ^'

F,

ergiebt, oder, falls man die Lasteinheit durch eine Strecke von der

Fe
Länge 8^ + 1 -~- darstellt.

Will man die Punkte b\ 6', 4', ... in Fig. 275* aus der nach
No. 98 für die lothrechte Lastenrichtung ermittelten Biegungslinie ab-
leiten, was manchmal Yortheilhaft ist, so beachte man die Beziehung:

*) Die bei unsymmetrischem Träger nach No. 83, Seite 61, zu zeichnende
Figur A" 0" 1" . . . B" schrumpft hier zu einem mit A' sich deckenden Punkte
zusammen.

♦♦} Veigl. Seite 248, Gleich. (11).

264

Zweiter Abschnitt — § 8.

tp^n == — — (absolid genommen). Hat man also die Gewichte w nicht

mittels der Gleichongen anf Seite 247 berechnet, sondern von den
später gezeigten Vereinfachungen Gebranch gemacht, so mnss man bei
Aufzeichnung des Linienzuges 5', 4', 2\ 0\ l\ A' die Lftngen&nde-

rungen A« = irr auftragen und auch das Glied l — ^— entsprechend

ändern. Liegt z. B. ein Sichelträger vor und wird nach Seite 200 das

Ge¥richt w^ = -^- I statt -^-g — I eingeführt, so folgt fttr den dem

Knoten m gegenüberliegenden Gurtstab: A««, = — — und es muss

l F^ F^
=— an die Stelle von ^^f" treten, wo 8^ die mittlere Gurtstab-

länge bedeutet. Sind sämmtliche Füllungsstäbe mit Ausnahme eines
etwa Torhandenen Endständers gegen die Lothrechte geneigt, so be-
stimme man 4', 3', 2', O', indem man 5' — 4' JL 5 — 4, 4' — 8'J_4 — 8,
8'— 2'^8 — 2, 2'— l'J_2 — 1 und l'— o'Xl— 0 zieht, worauf^'
am schnellsten mit Hilfe von A^e = A0 festgelegt wird.

Schliesslich sei noch daran erinnert, dass sich die Punkte 4\ 2\
0\ Ä auch nach dem Stabzug verfahren ermitteln lassen, wie das in
No. 85 durchgeführte Zahlenbeispiel gezeigt hat.

Wird die Zugstange durch geneigte Stäbe mit dem Fachwerkbogen
verbunden, Fig. 276"*"), so führe man die Spannkraft X irgend eines

Fig. 276.

Gliedes derselben als statisch nicht bestimmbare Grösse ein, ermittle
die von der Ursache X= — 1 hervorgerufenen Spannkräfte und Längen-
änderungen und zeichne — wie in Figur 275 — einen Williotschen
Verschiebungsplan. Die Bestimmung der S^ für die Glieder der Zug^

*) In dieser Weise sind z. B. die Dachbinder der Queens-Street-Station
der North British R. in Glasgow azigeordnet

Kette, Yeisteift durch einen Fachwerkbalken. 265

Stange und für die Zwischenst&be hat hierbei nach Fig. 276^ zu er*
folgen.'*') Zu betonen ist, dass alle Yorhin als znlässig bezeichneten
Annahmen anoh für den Fall schräger Hängestangen statthaft sind^
die Berechnung Ton X darf dann bei der üblichen geringen Sprengung
der Zugstange mittels der Formel

X = P^ =-— - (vergl. Seite 268)

»•• + '7f

erfolgen.

Hinsichtlich der bei der Berechnung von Dachbindern in Betracht
zu ziehenden Belastungsfälle wird auf Band I, § 39 Terwiesen.

§9.
Kette, rerstelft dureh einen FachwerkbalkeiL

98. Eine sehr wichtige Trägerart, deren Berechnung sich von der
Untersuchung der im Torigen § behandelten Stabgebilde nur wenig
unterscheidet, ist die in Fig. 277 dargestellte, durch einen einfachen
Balken yersteifte Kette. Bei R und T seien auf wagerechter Bahn
geführte Auflager angeordnet; die Hängestangen seien lothrecht.

Da es zweckmässig ist, den Versteifungsbalken nur durch die beweg-
liche Belastung zu beanspruchen, so wird man das Bauwerk zunächst als
unversteifbe Kettenbrücke ausführen und die Dreiecke des Versteifungs-
balkens erst dann schliessen, wenn die Kettenglieder und die Hänge-
stangen die der ständigen Belastung entsprechenden Längenänderungen
erfahren haben.

Die Aufsuchung der Form der meistens durch drei angenommene
Punkte B, TT, T geführten Kette und die Ermittlung der Spannkräfte
in Folge der ständigen Belastung ist bereits im I. Bande (S. 404 — 408)
unseres Buches beschrieben worden, und wir fügen nur noch hinzu,
dass auf dem dort angegebenen Wege die Gestalt der durch die ständige
Belastung gespannten Kette — nicht diejenige der spannungslosen —
gefunden wird, dass also die Längen, welche den Kettengliedern und

« . , ^ , , . , S^s ,
Hängestangen m der Werkstatt zu geben smd, =s =-=- sem müssen,

*) Die unterschiede in den Spannkräften der einzelnen Glieder werden
stets gering sein; durch entsprechende Neigung der Hängestangen lässt sich
sogar erreichen, dass in allen Theilen der Zugstange dieselbe Spannkraft X
auftritt.

266 Zweiter Al)echmtt. — § 9.

wenn allgemein 8 die Länge des fraglichen Stabes anf Omnd der er-
wähnten Formbestimmnng und 8, die Spannkraft in Folge der ständigen
Belastung bedeutet. Dass ausserdem nooh der unterschied zwischen
An&tellungs- und Werkstattstemperatur berücksichtigt werden muss,
ist selbstverständlich, ebenso dass bei Bemessung der Pfeilerhohen der
Verkürzung Rechnung zu tragen ist, welche die Pfeiler in Folge der
ständigen Belastung erfahren werden.

Wird nur ein Theil (g,) der ständigen Belastung (g) vor Aus-
führung der Versteifung aufgebracht, der Best (g^) erst nach Einfügung
des Balkens, so ist in der yorstehenden Betrachtung jS^^ an die Stelle
Yon Sg zu setzen. Die beschriebene Formbestimmung liefert die Ge-
stalt der mit g, belasteten Kette und der Einfluss von g^ muss, ebenso
wie derjenige der beweglichen Belastung, nach den in den folgenden
Untersuchungen abgeleiteten Verfahren festgestellt werden.

Andererseits könnte man aber auch ausser der gesammten stän-
digen Belastung (g) noch eine Belastung g' auf die unyersteifte Brücke
bringen und nach Vollendung des Versteifongsbalkens wieder entfernen.
Es würde dann, bei Untersuchung der nach der Versteifung hinzu-
tretenden Lasten, g' als eine negative Belastung aufzufassen sein.

Aehnliche Verhältnisse lassen sich natürlich bei jedem statisch unbe-
stimmten Träger herbeiführen. So könnte man z. B. einen Zweigelenkbogen
zmiächst mit Scheitelgelenk ausführen und dieses Gelenk nach Aufbringung
der gesammten ständigen Belastmig g oder eines Theiles von g veinichten;
auch eine später wieder zu beseitigende Belastung g' könnte zuweilen von Vor-
theil sein.

Die Untersuchung des Einflusses der nach erfolgter Versteifung
der Kette auf den Balken gebrachten Belastungen beginnen wir wie
immer mit der Betrachtung der Wirkung einer Einzellast.

99. Der Horizontalsug H in Folge einer Einsellast. Verbindet
man die senkrecht über den Balkenstützen A, B gelegenen Punkte A'\
B" der Kette durch eine Gerade (die Schlusslinie) und bezeichnet die
Strecke, welche Kette und Schlusslinie auf der Lothrechten durch irgend
einen Knotenpunkt m abschneiden, mit y^ (Fig. 277), so ist das auf
m bezogene Angriffsmoment:

M^ = Mo^ — 7/y„,

wo ifo« den Werth von M^ für den Fall bedeutet, dass der von den
Lasten P ergriffene Balken nicht an der Kette hängt, sondern nur in
A und B gestützt wird. Für den Zustand 11= — 1 ergiebt sich
Mj = y^ und hieraus folgt, dass die Berechnung des von einer Ein-
zellast P hervorgerufenen Horizontalzuges H sich von der Ermittlung
der Werthe H für die im vorigen § behandelten Trägerarten nur in-

Kette, Terateift durch einen Fachwerkbalken.

sofern nnterscheidet, als die im Nenner des allgemeinen Aosdiraoks i

' EF

Die Spannkraft der nnter a' geneigten liokeu BQckhaltkette ist
= ffsec a' und nimmt tüx H= — 1 den Werth S'=— seca' an.
Ist also die Länge dieser Rette ^= s' und der Querschnitt F^ F^ sec a,
wo J» den inr Äafnabme der Spannkraft S ^^ H,^ bestimmten

Hg. S77.

ergiebt sieb
'vr~ • wobei allerdings voransgesetzt wird, dass sKmmt-

Sebeitel- Querschnitt der Tragkette RWT bedeutet, so

S'*s «'seoa

EF ~ ~E~f7

liehe Glieder der RUckbaltkette gleich gespannt sind, daes also die
Stntznng derbelben anf die in Figar 171 (Seite 169) dargestellte
Weise erfolgt. Bezeichnen s und a die entsprechenden Werthe der
lecbtea Rflckhaltkette , so führen die vorstehenden Betracfatnngen zn
der folgenden Bestimmnngsweiee der Einflasslinie für H.

I

268 Zweiter Abschnitt. — § 9.

Man berechne die Momente M^ eines mk den GewiehUn

w^= ^^ -"- belasteten einfachen Balkens ä' B' (unter F. eine

beUtbig grosse^ aber konstante Quersehnittsfläche verstanden) und
dividire dieselben durch

F

(1) 31 = S«« 4" IT C2 V ««?* a^ + «' See ol + s" see 9,")

F

4- ~^' ^Zr (tg dr — tg Oh-i;*,

worin Zm = ym^m' I^(^ Ergebniss ist H=-^»*)

Die zweite der Sammen in Oleichnng (1) erstreckt sich über sftmmt-
liche Glieder der Tragkette, die dritte über alle Hängestangen. Für
beide Sammen lassen sich einfache, genügend genaue Näherangsformeln

*-v\A

Flg. 278.

Fig. 279.

und

ableiten. Zu diesem Zwecke betrachten wir die Kette als stetig ge-
krümmte Parabel und setzen mit Bezugnahme auf die Bezeichnungen
in Fig. 279:

, if^xiL — x) , ex

^ = — r« ^~r

o

ferner 2 ^, (tg a, - tg «,+.) * = ^^ 2 (ä' - y ') X (^8 «. - tg <k^,^ «

*) Die Bezeichnungen sind dieselben wie im vorigen §; sie wurden über-
dies in die Figuren 277 und 278 eingetragen. Die Knotenpunkte des Balkens
und der Kette wurden für sich nummerirt; . . . m — 1, m, m + 1 • • • sind die
Ordnungsziffem der Knotenpunkte des Balkens, ...r — 1, r, r+1... die-
jenigen der Knotenpunkte der Kette.

wo

8 sec a .

Kette, Teisteift dmxsh emen Fachwerkbalken. 269

= %)''-(»--|^.-T> '

Wir orhalieii dann:

Das Ton deu Abmeasongen der Hängeetangen abhängige letzte
Glied Yoa 9t darf in der Begel gestrichen werden; sein Einfluss ist
sehr gering. Bei Berechnung der Werthe w^ und z^^ ist es zulässig,
allen Qnrtstäben denselben Querschnitt zuzuschreiben. Man setze daher

und Terstehe unter dem bislang willkürlichen F^ den Mittelwerth der
Gurtquerschnilte.

Erfolgt die Versteifung der Kette durch einen nach Fig. 282 (S. 274)
angeordneten Parallelträger Ton der Höhe hj so nimmt bei gleichlangen

Feldern der Ausdruck — ?- den festen Werth -7-^- an. Setzt man dann

(5) «»- = y- und «« = yti,«p« = yi,
so muss man mit

(6) 3l = Sy.4- — |^_,„ + -^-J

rechnen.

Für die dordi einen Parallelträger versteifte Xette ist aber noch eine
weitere Yereinfaohnng mög^h» bestehend in der EJnfnhmng einer parab^-
föimigen J7- Linie. Die Entwicklung ist ähnlich der in No. 92 für den Hori-
zontaÜaehub eines Zweigelenkbogens gegebenen Ableitung. Man betrachte die
Kette als stetig gekrümmte Parabel, deren Gleicbnng

y = p

ist, (Ftg. 880), und ersetze die Einzelgewichte w duioh eine stetige Beketung,
•0 zwar dass das Balkentkeilchen dx mit 2ydx belastet wird, wobei die
Ziffer 2 ansdrockt, dass an der Stelle dx die Gewichte zweier Knoten (eines
oberen und eines unteren) zu berücksichtigen sind. Man erhäkt dann an der

270

Zweiter Abschnitt. — § 9.

AngriCbstelle von P das Moment

Jf, = |^(aP-2/a» + a«)*)

und findet nun: H^

9?

wo

9? = 2fy»

dx + h*

Fk

15

Fk

Der unwesenÜiohe Einfluss
der Hängestangen ist hierbei
Temaohlässigt worden. Ersetzt
man die auf diese "Weise er-
haltene JJ- Linie durch eine
Parabel (veiigl. Seite 211) so
findet man den Pfeil derselben:

J

Z =

17)

(8) v =

wo

. 15 ^« 8o Fe

"^16 f» / Fk

Flg. 280.

Die Gleichung der Para-
bel ist

(d)

H=

Der Werth «o ^^ ^^^ Gleich. (8) zu berechnen. Fe bedeutet den mitt-
leren Querschnitt der Baikengurtung, Fh den Querschnitt der Kette im Scheitel.

100. HorisontalBug in Folge einer Temperatur&ndemng. Eine
gleichmässige Aendemng der Aafstellnngstemperatur nm t° erzengt:

(10)

Ä =

EF

'S.S'l

8

Fe

91

WO 31 der darch Gleicbang (1) auf Seite 268 bestimmte Werth ist.
Zablenrechnnngen beweisen, dass der Einfluss der Spannkräfte 8' der
Stäbe des Balkens auf die Samme ^8' 8 ganz an wesentlich ist, nnd
dass es genügt, in den Zähler der Gleichung (10) nur die den Ketten-
gliedern nnd den Hängestangen entsprechenden Wertbe 8'$ einzusetzen«

*) Yeigl. den Ausdruck für Jf« auf Seite 210. An die Stelle von x ist

F \ I F \

a getreten; f wurde durch 2f ersetzt; die Glieder — ^ und -5- ( h^ -^ ä, ) •

Fm 2 \ Fu ■ '

ap(/ — a?) wurden gestrichen.

Kette, versteift durch einen Fachwerkbalken. 271

Wir fahren ein:
für die Tragkette: SS' 8 = — S sec a« = — SX sec* a

Bückhaltketten: SS' 8 = — («' sec a' + «" sec a'')
H&ngestangen: SS's = — Sz^ (tg ot^ — tg o^.+i)

9» >t
99 99

=-(f)/V-/)-=-4f'.(»'-l'.-i)

und erhalten:

r,n H-_ «-E^^.'f. , Sf,(dh' — 2f, — l,bc)-\

wobei 91 nnd Sq nach Gleichung (2) and (3) zu berechnen sind.

Das Vorzeichen deutet an, dass in Folge einer Erhöhung der Auf-
etellungstemperatar der Horizontalzug der Kette abnimmt.

Wird die Kette durch einen Parallelträger versteift, so lässt sich Gleich. (11)
noch erheblich vereinfachen. Man ersetze dann nach Streichung des unwesent-
lichen Einflusses der Hängestangen und Einführung eines mittleren Gortquer-
Schnittes den Werth

«=2'-=f +^*.

durch

•" - 2 j -fci— + >r »0 - 15 Ä« + Fi ••'

o

xmi dann zu erhalten:

ff.^^.EF.t^^''^

16/^ / F> . 15 A« gp Fe

"^ 16 P l Ft
oder nach einfacher Umformung:

(12) Ä = — e EFkt (1 — v),

wo V nach Gleich. (8) auf Seite 270 zu berechnen ist.

lOL Büiflussllflohen. Die Einflnssflilcfaen für die Momente
H» = -Äfo^ — Hy^ und M^+i = ifo«,+i — ^y-.+i

sind in den Figuren 277^ und 277 ** (für den Fall in den oberen Balken-
knoten angreifender Lasten) dargestellt worden. Ihre Au&eichnung be-

272

Zweiter Abschnitt. — § 9.

darf keiner weiteren Erläaterang mehr, da sie nach den in den §§ 7
nnd 8 für die 3f-Flllchen gegebenen Regeln erfolgt. Nach Berechnung
der Momente Jf«, iC+i findet man die Spannkräfte in den Gnrtnngen:

ü. = + -^; 0.+,=

M^

+1

''••+1

(vergl. Fig. 277^).

Anch die Ermittlung der Spannkräfte in den Füllnngsstäben ge-
staltet sich ganz ähnlich wie beim Zweigelenkbogen und bei den im
§ 9 untersuchten Trägerarten. Wir führen durch Ä und B (Fig. 281)
lothreohte Schnitte, welche die Tragkette in A'' bezieh.^'' treffen,
zerlegen die Spannkräfte 8i und S^ der äussersten Kettenglieder in die

lothrechten Seitenkräfte A^, Bo und die in die Schlusslinie fallenden
Seitenkräfte H\ und finden zunächst aus der «uf B'' bezogenen Mo-
mentengleichung :

(A. + AJl — Fb = Q,

Ph
dass A^^A^ ebenso gross ist» wie der Sttttsenwideniand ^ = -t—

eines einfachen Balkens AB, und dass femer B^-^ B^ = B = —r— ist.
Soä$am Ittbren wir behu& Bestimmung ▼on 2> den Sekaitt it^ wlUeD

Kette, versteift durch einen Fachwerkbalken. 273

den Treffponkt i von 0 und U zum Drehpunkt, bestimmen die Strecke
tfi^ welche der Eettenstab S und die Schlnsslinie A''B'' auf der Loth-
ipeohten durch i abschneiden, zerlegen die Spannkraft S (welche auf die
in der Fig. 281 angegebene Weise in ihrer Bichtung verschoben wird)
in eine lothrechte Seitenkraft und in die zur Schlusslinie parallele
^=jEr8ecT (wo T den Neigungswinkel der Schlusslinie bedeutet) und
erhalten die Momentengleichung

(18) Moi — Hy,-\'Dr, = 0.

Hierin bedeutet Moi das auf den Punkt t bezogene Angriffsmoment
für den Fall, dass ^^ ein einfacher, nicht an der Kette hängender
Balken ist, ein Balken also, dessen Stützen widerstände A^-\'Ä^ = Ä
und B^, -{' Bu = B sind; r< aber ist der Hebelarm von D in Bezug
auf i. Die Oleichung (13) hat dieselbe Form wie Gleichung 84 auf
Seite 212, und hieraus folgt die aus der Figur 281 ersichtliche Be-
stimmungsweise der D- Fläche. Man vergleiche die Figuren 222 bis
225 auf Seite 218 und beachte behufs Feststellung der Vorzeichen,
dass bei der in Fig. 281 angenommenen Lage des Punktes i der Ein-

fluBS von H auf D gleich -}- H— (also positiv) ist, während sich im

Falle H=0 die Momentengleichung

— (^ + X)x, + Dn=0
und hieraus der ebenfalls positive Werth

2) = + ^-'-

ergeben würde.

Es leuchtet ein, dass sich auch die anderen im § 7 zur Bestim-
mung der 2>- Flächen angegebenen Verfahren auf den vorliegenden
Fall anwenden lassen; wir führen dies aber hier nicht weiter aus, em-
pfehlen vielmehr dem Leser, diese leichte Arbeit selbst vorzunehmen
und weisen nur noch auf den wichtigsten Sonderfall hin, nämlich den
in Fig. 282 abgebildeten Versteifungsbalken mit parallelen Gurtungen.
Hier ergeben sich die Spannkräfte in den FüUungsstäben in bekannter
Weise aus den Querkräften Q, und es genügt daher, die Ermittlung
der ^Fläche für irgend ein Feld F^F^ zu zeigen.*)

Sind Ml und Jf, die Angriffsmomente für die Knoten F^^ F^,
so besteht, da auf den Balken nur lothrechte Kräfte wirken, die Be-

*) BOdet die vom Schnitte t getroffene Diagonale (D) mit der Wagereohten
den Winkel 9, so ist D sin 9 =^9.

Müll er- Breslau, Oraphlache StotUc. II. 1. lg

274
ziehtmg

Q =

Zweiter Abschnitt — § 9.

M^ — Mi _ Jfoa — gy> — l/pi + gyi _ ^ rr y«— Vi

r — r — Vo -" ^[^

WO Qq die Qnerkraft für das Feld i^^^s ^^^^ eiii£Eu:hen nicht an der
Kette hangenden Balkens AB bedeutet. Trägt man die Ordinaten
y^y^ ^^^ ^^S* 282^ yon einer wagerechten Schlnsslinie ans auf and

Flg. S82.

bezeichnet man die Neigungswinkel der auf diese Weise erhaltenen
nenen Eettenlinie mit a\ so erhält man die Gleichung

(14) Q = Qo — Higa=tgOL' (Q^ cotg a — 10,

welche dieselbe Form hat wie Gleichung (3) auf Seite 246; sie führt
zu der in Figur 282® angegebenen Darstellungsweise der Q-FlSohe.
Figur 282^ zeigt schliesslich die EiDflussfläche für den Auflagerdruck
A^, unter der Voraussetzung, dass bei A ein Querträger angeordnet ist;
sie gilt fUr Ti'äger beliebiger Gurtform und folgt ohne weiteres daraus.

Kette, versteift durch einen Fachwerkbalken. 276

dass dem Balkenqnerschnitte Ä die Qnerkraft Q = A^ entspricht. Fehlt
der Endquerträger, wird also der erste Zwischenträger unmittelbar anf
das Widerlager gelegt, so ist das Dreieck A' J' B' durch das Dreieck
A'f'B' zu ersetzen.*)

102. Formeln für den gleichmäsfidg belasteten Yersteifongsbalken mit

parallelen Gnrtnngen. Wird die statische Berechnung auf Grund der stets

zulässigen Annahme durchgeführt, es liegen die Knoten der Kette in einer

4 fx (i x)

Parabel , deren Gleichung y = — - — ^ ^ ist, Fig. 280, und wird femer die

auf Seite 270 abgeleitete parabelfönnige ff- Linie benutzt, so lassen sich die
von einer gleichförmigen Belastung verursachten Momente M xmd Querkräfte Q
auch schnell durch Rechnung bestimmen. Die bezüglichen Formeln und Begeln
sollen hier zusanmiengestellt werden; sie werden in ähnlicher Weise entwickelt,
wie die auf Seite 241 — 243 imd 258—257 für den Zweigelenkbogen bezw. den
versteiften Stabbogen hergeleiteten Gesetze.

1. Kette und Hängestangen. Es möge der allgemeinere Fall vorausgesetzt
werden, dass nur ein Theil (^«) der ständigen Belastung g vor Ausführung
der Yersteifung aufgebracht werde, der Best gn = g — g^ hingegen erst nach

Vollendung des Balkens. Die Belastung g^ erzeugt: Hi = ^ , während

gn nur H% = Q hervorbringt. In Folge gänzlicher gleichförmiger Belastung

8/

des Balkens mit p entsteht Hp-=----^ und in Folge einer Erniedrigung der
•Aufetellungstemperatur Ht^-^-tEFhtil — v), weshalb der Grösstwerth von JH":

(15) H^=^^\g, + {gn+p)>i\ + tEFi,t{l--y)

ist. Die grösste Spannkraft in einem unter a geneigten Gliede der Kette
ist nun

(16) £Ua»=HM»8eoa

und die grösste Spannkraft in einer Hängestange:

(17) Zma» = i/m« (tg «r — ig Or+l) = H,

2. Momente und Querkräfte des gänzlich hdastetm Balkens, Ist der ganze
Balken mit p für die Längeneinheit belastet, so entsteht an der Stelle x das
Ifoment

(18) ir,=^^iF^(i-v)

*) Die Auflager des Versteifungsbalkens und des ersten Zwischenträgers
sind bündig liegend angenommen.

*♦) Wir vernachlässigen hier den Umstand, dass die Stützweite der Kette
in der Regel etwas grosser ist als die des Balkens.

18*

276

Zweiter Absohnitt. — § 9.

und im Felde FiF^ (Fig. 286) dessen Mitte von der TrSgeimitte den Abstand x"
haben möge, die Querkraft:

9, = ^ — pa: — JBptga =px — '%^^*-

Der Winkel a", den das Kettenglied des fraglichen Feldes mit der vorerst
in eine wagerechte Lage gebrachten Schlusslinie Ä'^B" bildet, ist ebenso gross,
wie der Neigungswinkel einer an der Stelle x an die Parabel vom Pfeile f ge-
legten Tangente, weshalb

^ dx l^ ^ ' P \ 2 / /«

X

»*

und
(19)

Qp = pa:"(l— v).

Kf und Qp sind also ebenso gross wie Moment und Querkraft für den
Querschnitt x eines nicht an der Kette hängenden, nur bei A und B auf-
liegenden Balkens, der gleichmässig mit p (1 — v) für die Längeneinheit be-
lastet ist

Den Einfluss Mg bezieh. Qg der ständigen Belastung erhält man, indem
man p durch gn ersetzt.

k S **

Fig. 283.

3. Gp-enzioerthe der Momente in Folge der beweglichen Belastung. Um das
Moment mtnMpm für einen (oberen oder unteren) Knoten m an der Stelle x zu
bestimmen (Fig. 283, in welcher der Parallelträger durch eine Gerade ersetzt ist)

4f
mache man 5"r = -^, ziehe T8\\B"Ä'\ lege durch den Kettenpunkt m'

(senkrecht über m) die Geraden A"E und B^'E* imd belaste den Balken rechts
von E und links von E'. Es entsteht dann (veigl. Seite 242):

Kette, vereteift durch einen Fachwerkbalken.

277

(20)

-*Jf, = -^(5' + 6"),

während die BelastuDg der positiyen Beitragstrecke EE^ hervorbringt:

px (l — x)

(21)

»JMi= + -f^(p + e'o +

2

(1-v),

weil mlmM, + maxM, = Mp ist.

Die Ergebnisse der Gleich. (20) lassen sich anch recht übersichtlich wie
folgt durch Zeichnung darstellen. Man trage von der Geraden AB (Fig. 288)
ans eine kubische Parabel BJ auf, deren Gleichung

r=

e;

ist, und verbinde den lothrecht unter E liegenden Punkt Eq dieser Parabel mit Ä.
Die Gerade AE^ schneidet dann auf der Lothrechten durch m die Strecke

y _ pyvS'

FD = Y-?^ =

AI

8v

(absolut genommen)

ab, und es ist deshalb D ein Punkt der «,«,1^- Linie, zunächst allerdings unter
der Voraussetzung, dass nur eine Belastungsscheide E in Betracht konmit
Bestimmt man aber die Punkte D für alle Querschnitte, die zwischen A und
der Stelle C liegen, welcher g=:0 entspricht, zeichnet dann das Spiegelbild
C' B der so erhaltenen Kurve xmd addirt schliesslich zwischen C' und C die
Ordinaten beider Kurven, so erhält man die endgültige mk^Mp-Ume. Dieselbe
wurde in Fig. 283 durch Schraffirung hervoigehoben. Behufs Aufzeichnung
der kubischen Hilfsparabel berechne man für iigend eine Abscisse Ei die Or-

6/
Y= Yt -tT ' ^^^ bequeme Konstruktion dieses Ausdrucks ist in der ohne

dinate Fi =

und bringe dann die Gleichung der Parabel auf die Form:

6i'

weiteres verständlichen Fig. 284 angegeben; die Geraden LM imd NO sind
parallel zur Abscissenachse.

Die Ordinaten F wachsen sehr
schnell, weshalb es sich empfiehlt,
ii nicht grösser anzunehmen, als
gerade erforderlich, damit die
Zeichnxmg nicht zu viel Raum be-
ansprucht. Am besten ist es, die
Punkte der kubischen Parabel nur
für diejenigen Querschnitte zu be-
stimmen, für welche die Momente
gesucht werden. Man vergleiche
das auf Tafel 5 durchgeführte
Beispiel.

Will man die Momente rech-
nen, so setze man (indem man Tig. 284.
zunächst nur die Belastungsscheide
E berücksichtigt):

278

Zweiter Abschnitt — § 9.

und beachte, dass y =

4fx(l — x)

femer

{Z-£):ar = i^:y

ist Man erhält dann für die Kurve ADC (Fig. 283) die Gleichung

(22)

min^p — —

_ px[8v«' — q«

54v«ar'*

lig. 285.

worin x'=l — x ist Die Berücksichtigung der zweiten Belastungsscheide

erfolgt in derselben Weise wie beim zeichnerischen Verfahren. Der Punkt C

l l

(Fig. 288) liegt bei x = l ^ und der Punkt C' bei a; =

4. Die Momente Mt in Folge einer Temperaturänderung sind:

(23)

-„ _- SHtf a?(^ — a?) ,

Mt = + Hty = +

sie sind ebenso gross wie die Momente eines nicht an der Kette hangenden

einfachen Balkens AB^ welcher gleichmässig mit 4.

SHtf

für die Längenein-

heit belastet ist

5. Die Oesammtmomente :

mtnM =mim^p — Htff + Mg
n^M^ma^Mp + Hty + ^9

=^ — miHMf + Mp-\'Hty+Mg

lassen sich nun sehr übersichtlich wie folgt darstellen.

Man zeichne zuerst die Linie AD SB, deren Ordinaten die grössten nega*
tiven Momente minMp angeben und addire hierzu die Ordinaten einer Parabel
ASiB von der Pfeilhöhe.

ÄiJ^-Ä/'+^^U-v).

Je nachdem Htf

> gn^

< Sf

(1 — v) ist, wird diese Parabel imterhalb oder

oberhalb der AB aufgetragen-, ihre Ordinate an der Stelle x ist

x{l — x)

EDi = — Äy + gn

(l-v) = -JBiy + 30

und es ergiebt sich daher: i„,„lf= — DDi.

Jetzt zeichnet man eine zweite Parabel AS^B, welche die Pfeilhöhe

Kette, veiBteüt durch einen Fachwerkbalken. 279

P

S,J^ Htf+ (p + g.) -g^ (1 - V)

hat und deren Ordinate an der Stelle x

x{l — x)

ist, weshalb man ma»M=-\- DD^ erhält

6. Das grÖBste äUer Bätken- Momente entsteht sehr nahe der Stelle

X = — L Es kommt dort nur eine Belastungsscheide in Betracht, und es ist
daher (wegen y = — f):

M=^M, + M, + Htg = - ^M, + M, + M, + -^^^

^pxlS^tx-iy pxx' gnxx' ^N, ÖÄ/^

1 3

Mit x=^—-l xmd x* =-—l geht dieser "Werth über in
4 4

<2*) ^=|U(>-|)+l(p+i'.)'»(i-v)+|Är.

Für den Gurtquerschnitt des Yersteifungsbalkens ergiebt sich nun an der
betrachteten Stelle der Werth

wo 9 die zulässige Spamiung bedeutet. Es empfiehlt sich, den auf diese Weise
gefundenen Querschnitt der Berechnung der Ziffer v zu Grunde zu legen, weil
die Momente mit abnehmendem v wachsen und es deshäib rathsam ist, den
Werth V eher etwas zu klein als zu gross zu nehmen. Wir setzen daher:

7. Grenzwerthe der Querkräfte in Folge der beweglichen Belastung,
Nachdem die Schlusslinie A" B" in wagerechte Lage gebracht worden ist

(Fig. 282 u. 286), wird im Abstände 5^ß^=4f:8v die Wagerechte SS' einge-
tragen.*) Hierauf wird, behufs Ermittlung der Querkraft mmxQp des Feldes
FiF^ durch A" eine Parallele zu dem Kettengliede F* F" gezogen, der Schnitt-
punkt E dieser Geraden mit SS' bestimmt und (vorausgesetzt dass E links von
B" liegt) der Balken zwischen E und der Feldmitte belastet Für diesen Be-
lastungszustand weiden nun mit Hilfe der zweiten ^- Linie und der zweiten
JET-Linie die Werthe A und H dargestellt und dami wird gefunden:

(26) ^0, = ^ — JEftga"

wo a" den Winkel bedeutet, welchen F'F" mit der Wagerechten einschliesst
Die zweite ^-Linie ist eine Parabel, deren Scheitel bei B^ liegt, xmd die zweite
JEF- Linie wird in derselben Weise bestimmt wie beim Bogen mit zwei Ge-
lenken (Gleich. 46, Seite 239); nur mit dem Unterschiede, dass v einen an-
deren Werth annimmt Vergleiche auch die auf Seite 240 gelöste A^i^g&be.

*) Damit Figur 286 recht deutlich werde, nahmen wir die Balkenachse
zusammenfallend mit der Geraden jS'iS^' an.

280

Zweiter Abschmtt. — § 9.

Liegt E rechts toh jBq, so wird der Balken von der Mitte des Feldes FiF% bis
B belastet

Zur Berechnung von minQp dient schliesslich die Gleichung

(27) minQp + -.«& = Op = i? a:" (l — v).

Ein zweites Verfahren,

-^_4r...^_-,-L.-.^ U, .^^ m^Jip zu ennitteln, ist auf

^kz-T^yfrr" — c ~ j/T-tt Seite 256 und 257 erläutert

worden; dasselbe setzt
gleicheFeldweiten und feste
Werthe der Enotenlasten
voraus; und ein drittes Ver-
fahren, ebenfalls für gleich-
lange Felder und feste
Enotenlasten, eigiebt sich
wie folgt:

Belastet man r Knoten-
punkte, von B aus gezählt,
Fig. 287, mit je pX, so
entsteht

prX(r-f 1)X

Fig. 286.

(28) Ar^

21

Fig. 287 a. 288.

und (nach der Formel 9, Seite 270, mit l = n\):

^'• = -^^[l(n-l) + 2(n-2) + 3(«-8) + .... + r(n-r)]x«
_ pX»v

(29)

Sfl

r(r+l)(8n— 2r--l),

Kette, veiBteift durch einen Fachwerkbalken. 281

wofür man mit Rücksicht auf Gleich. 28 auch schreiben darf

(80) ff,=^Mi=Ml:zri,

Zur zeichnerischen Bestimmung der Werthe Ar nnd Hr mache man (nach

pl

Rg. 287) -4ot/=-^, bestimme senkrecht unter r + 1 auf der Geraden BoJ

den Punkt £, ziehe LR^Ä^Bo und verbinde E mit B», Die Geraden BoÄ4t
und BitR schneiden auf der Senkrechten durch r die Kraft r"r=Är ab.

Verlängert man jetzt BoÄo um ^C= 0,5 y — X), macht CD = 2/^: v und
bringt die Gerade Dr* mit der Wagerechten durch r in r" zum Schnitt, so
erhält man rr"=^.Hri welcher "Werth nun von einer Wagerechten A'B' aus
als Ordinate auftragen wird.

SoU nun die Querkraft mtaQr für das Feld F^F^ bestimmt werden, so
suche man mit Hilfe von Ä* E)\F' F" die Belastungsscheide E auf und nehme
nur die zwischen E xmd dem Schnitte tt gelegenen Knoten belastet an. Es
seien dies die Knoten r, (r — 1), .... ä?+ 1. Dann entsteht

A=iAr — Au\ H=Hr-Hk] n^Q,==A-Htga\*)

8. Die Querkräfte Qt in Folge einer Temperaturänderung sind

ft = H-Ätga = + — Y^— iT ;

sie sind ebenso gross wie die Querkräfte eines nicht an der Kette hängenden

einfachen Balkens AB^ welcher gleichmässig mit ip — '—-^ f. d. Längeneinheit

belastet ist

0. Die Gesammtquerhräfte:

mmaQp = maxQp H ^ X + ß^**)
minQp = mtmQp J^ x" + Qg

= -^Qp + Qp--^^x' + Q.

lassen sich jetzt übersichtlich wie folgt darstellen.

Man trage von der Wagerechten A'B' aus (Fig. 289) die Querkräfte
mmQp auf und addire zu denselben die Querkräfte eines gleichmässig mit

^»(1 — v)H ^j-^ für die Längeneinheit belasteten Balkens, welche letztere

in bekannter Weise mittels einer Geraden JiM gewonnen werden, wobei

A'M=:^ l TmdJiA' = g^il — v)4-+ ^^f' ist Das Ergebniss ist:

*) Dieses Verfahren lässt sich selbstverständlich auch beim Zweigelenk-
bogen mit annähernd konstanter Höhe A, sowie bei dem im vorigen § behandelten
Versteifnngsbalken mit parallelen Gurtungen anwenden.

♦*) Hi sei der absolute Werth des Horizontalzuges in Folge einer Temperatur-
änderung.

282 Zweitor Abschnitt. — § 9.

Ersetzt man die Gerade J,M dnrch die mit Hilfe voi
7?= ^^ - (!I. + r) (1 - ■) y

..«, + 2\^.^ = _rf,+ -!^»--r(l-.)»-

-y.a

= _9,+ ^.--?,-«,=-

--.«.

rig. m.

103, ZahlenbeUpiel (Tafel 5). Es soll eine vereteifte Kettenbriicte
mit folfrenden Abmessimgeo ijerechuet werden:

Stützweite der Kette /, = 75-, des Balkens i = T2"; Pfeil der Kette, ge-
messen bis zur Sclilusslinie^^9,0" <fi =:nuid 9,7"); Länge der unter b'= 35°
geneigten RücUialtkettc «' = 27"; Höhe des Versteif ungsbalkens h = 2,0";
Feldweit« X = S'.

Die ständige Belastung für jeden der beiden die Brückeubahn stiitzeodea
Haupttrager sei jj -_= 2,8' f. d. Meter, die bewegliche p^l,5', Es sei in Aus-
sicht genommen, die Brücke zuerst unverstcift auBznföhren (ret^l. Seite 266)
weshalb g,^g^= 2,8' und g^ = 0. Die Temperaturänderung sei I ^ + 40° Cela.

1. Ah»c\tittK«g dM $u(r*cAn(Mst>erAdIt»issM F<:Ft(f< = OurtqiierBchnitt
des Balkens, F» = Quersclinitt der Kette im Scheitel) behufs Beredmong der
Ziffer t. Es ist

^ \«, P l Fi ' ' Ft

Schützt man zuerst F„: Fi, = 0,40 bis 0,45, so erhält aua t
= 0,957, also rund » = 0,96. Aus der Formel

«=-.^lp. + {y- + f.)v]

Kette, versteift durch einen Fachwerkbalken. 283

folgt nun der erforderliche Eettenquerschnitt im Scheitel

^ _ ^ [^^ + to» 4- jt>) v]
8/^[cj — e^^(l-vj]
und, wenn für eine schweisseiseme Flacheisenkette die Beanspruchung

a = 1000*' f. d. qcm = 10000* f. d. qm
zugelassen und tE = 2W f. d. qm gesetzt wird:

72' (2,8 + 1.5 • 0.961 _oo317<«.

** - 8 . 9 [10000 - 240".IÖ^."Ö:Ö4] " °'*'^" 2«-

Der Neigungswinkel a der äussersten Glieder der parabelförmig gerechneten
Kette ist durch

sec

.,=j/.+'-«!=)ATr=|^

0 0317 .-
bestimmt, und es muss daher der Kettenquerschnitt bis zu jF* sec a, = -^- — t/^

= 0,0856 9m anwachsen. Im vorliegenden Falle empfiehlt es sich, der Kette
den überall gleichen Querschnitt 0,0356 ^m zu geben, also auch ^jb = 0,0356
zu setzen.

Nun ergiebt sich der Horizontalzug in Folge der Temperaturänderung:

Et = zEFht (1 — v) = 240 • 0,0856 • 40 • 0,04 = 13,7'

und der Gurtquerschnitt des Balkens nach Gleich. 25 (wegen ^,=z=0):

'••=Ä»-f[-i(-ir+<-)]+^f-

Wird a=r750*»' f. d. qem = lbW f. d. qm gestattet, so folgt:
Hiemach ist:

f = St = °'«» '^"'^ ^ = T+öro9l-o;r38- = «'«'^^«'

also rund v = 0,96, übereinstimmend mit dem zuerst gefundenen Werthe von v.
Eine Wiederholung der Rechnung ist daher nicht erforderlich, und es darf
die Untersuchung des Versteifungsbalkens mit v = 0,96 durchgeführt werden.
Ber grösste Horizontalzug der Kette ist

^fl = -g^ (öT + p V) + Ä = -g^ (2,8 + 1,5 . 0,96) + 13,7 = 819'

und der grösste Zug in einer Hängestange:

-^= Ä«, (tg eu- lg a«+.) = Ä^ -?^';^- = 319 -il^l^ = 14«.

Für die Rückhaltkette erhält man:

^tmax — — -uaiaa} SOC öü — öo" ,

und der Druck auf den Kettenpfeiler ist:

H^ (tg 35'^ + tg a,)*) = 319 [0,7 + 0,5] = 883*.

4f
*) Genügend genau ist tg a^ = -j-

284 Zweiter Abecfanitt — § 0.

2. Spannkräfte in den Gurtnngen, Fig. 290. Die zur ErmitÜimg der
Belastongsscheiden dienende Wagerechte SS' liegt im Abstände

8v 8*0,96 '

von der A"B"\ ihre Schnittpunkte lo, 2», So, . • . . mit den Geraden A"l'j
A"2\ A"S", . . . bestimmen die den Knotenpunkten 1, 2, 8, . . . entsprechen-
den Belastungsscheiden. In Fig. 290 wurde die Kette parabolisch angenommen.
Auf der Senkrechten durch B" wurde die Strecke ^"0" = 4/^=S6* aufge-
tragen und in 24 gleiche Theile zerlegt. Die von den Theilpunkten 1", 2",
8", . . . nach A" gezogenen Strahlen schneiden dann die Senkrechten durch
1, 2, 8, ... in den Kettenpunkten 1', 2\ 8' . . . und die Gerade SS^ in den
Punkten 1«, 2o, 80, . . . .

M

Die Werthe'-r- wurden nach dem auf Seite 276 bis 279 zur Ermittlung
h

der Momente M benutzten Verfahren bestimmt Punkt 1« liegt im Abstände
Si = 45,91"* von der Senkrechten B"B'^ und es ist daher die zugehörige Ordi-
nate der nach Fig. 284, Seite 277 aufzutragenden kubischen Hilibparabel:

Die Pfeilböhen der gemeinen Parabeln A'LiB* und A^L^B^ sind (wegen
ffn = 0)y bezw.

-^^ = -iM-l?^r= 61,65 Tonnen = rund 62 Tonnen
h 2,0

und

Äf , pP ,^ V ^, aK I 1,5 -72* -0,04 j n. m

' +^(l-v) = 61,65 + -^———^~ = rund 81 Tonnen.

h • 8Ä ' ' ' • 8-2,0

Die Zeichnung liefert für die Knoten 1, 2, 8, ... 12:

^ = 4-82; +59; +80; +97; +108; +115; +118; +118; +115;
+ 111; + 109; + 108 Tonnen
-.M-^ = — 29; —53; —72; —86; —95; —101; —102; —101; —97;

— 93; —90; —89 Tonnen.

Durch diese Werthe sind die in Fig. 298 zusammengestellten Spannkiafte
in den Gurtungen bestimmt.

8. Spannkräfte D in den Diagonalen. In einer unter dem Winkel 9
gegen die Wagerechte geneigten Diagonale entsteht die Spannkraft

D = + ^^,

~ sm9

wo Q die Querkraft für das fragliche Feld bedeutet Das obere Vorzeichen
gilt für eine linkssteigende, das xmtere für eine rechtssteigende Diagonale.

Da 9 für sämmtliche Diagonalen gleich gross ist 1-^ = 1,8028], so wurden

an Stelle der Querkräfte Q sofort die Werthe Q' = .^ dargestellt und zwar

nach dem auf Seite 280, Fig. 287 und 288 für die Ermittlung der Kräfte Q an-
gegebenen Verfahren. Hiemach sind die Ordinaten der für feste Knotenlasten
pX aufgetragenen zweiten (^ : sin 9)-Linie durch die Strecke (11g. 291)

Kette, versteift durch einen Fachwerkbalken. 286

i;;j=^= ^''^•^''•^'«°^» = 97,85«

2 sin 9, 2 '

bestimmt Die Ordinaten der zweiten (JJ: sin 9)-Linie wurden nach Fest-
legung des Punktes D [nüttels J^=: i p — X) = 4" (72 — 8) = 84,50- und

05"= -^ = -^^=18,75-] auf die früher beschriebene Weise (Fig. 287)

aus den Werthen ^:8in9 heigeleitet; die Hil&linien sind grösstentheils wieder
ausgelöscht worden. Für ^ : sin 9 imd J?: sin 9 wurden auf Tafel 5 die kürzeren
Zeichen A' und JET' eingeführt

Wird nun beispielsweise maxQp' für das dritte Feld gesucht, so zieht man
von ^" aus zu dem Kettengliede III eine Parallele, bringt diese mit der Wage-
rechten 88' in /I/o zum Schnitt und erhält in der Senkrechten durch III^ eine
Belastungsscheide.*) Hierauf nimmt man die zwischen dem fraglichen Felde
und JiJo gelegenen Knotenpunkte 8, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 mit je ^X belastet an
imd findet für diesen Zustand:

= ^,' — Au'; -^ = S,' — Ä„', mithin

sm 9 sm 9

~C,' = (A' - Ai*) - W - -ffii') te «••

Der Kürze wegen haben wir auf Tafel 5 den Werth u4j' — Au^ mit Aai
bezeichnet und den Werth (JBTj' — An') tg a^ mit Tni' Die letztere Kraft ist
mittels der zum Kettengliede III rechtwinkligen Geraden IIV bestimmt worden.

Auf dieselbe Weise wurde die Kraft mamQp* für alle Felder der linken
Balkenhälfte in der Form dargestellt:

««rÖW=^/— Ti\ maMQ^,n = An— Tn', u. s. w.

wobei zu beachten ist, dass nur den Feldern / bis VIII Belastungsscheiden
2i . . . . FJZJo entsprechen. Für das IX^ Feld entsteht maxQp sobald sänmit-
liche rechts von diesem Felde gelegenen Knoten belastet sind, weshalb
Aix^A^* und 2£r=irotga,, und ebenso folgt ^x = -Aio', Ix = ifio' <g «lo
u. s. w.

Die so gewonnenen Kräfte mmxQp sind in Fig. 292 im Maassstabe 1"*"* = 1*
von der Geraden A M aus nach unten aufgetragen worden. Hierauf wurde die
Gerade JiM mittels

ÄJ, = ^-^ = *-'i-''^' . 1,8028 = 12,85.
* ;sm9 72

festgelegt und für jedes Feld die Kraft .^Q' nach dem auf Seite 281, Fig. 289,
angegebenen Verfahren bestimmt

Zur Ermittlung der mtnQ^ müsste die Gerade JiM durch eine Gerade J^M
(Fig. 289) ersetzt werden, wobei

AJ^=z4^ ^(1 — v)-4- =11,96'

zu machen wäre. Es unterscheiden sich aber die Ordinaten der Geraden JiM
und J^M BIO wenig voneinander, dass es im voiiiegenden Falle erlaubt ist,
,^g» = — 1„«^' zu setzen.

*) Ist die Kette paitibelfönnig, so sind die von ^" aus nach den bereits
in Fig. 290 benutzten Punkten 1", 8", 5", 7", .... gezogenen Geraden be-
ziehungsweise parallel zu den Kettengliedern /, //, III^ IV^ .

286

Zweiter Abschnitt — § 9.

Die Ergebnisse lauten für die Felder 1, 2, 8, .... 12:

Ö' = + 39*; 33«, 29'; 26'; 24'; 28'; 28': 24'; 25*; 25*; 25*; 25';

denselben entsprechen die in die Figur 293 eingeschriebenen Spannkräfte D.

Der Widerstand A am linken Auflager des Balkens ist, falls kein End-
querträger angeordnet wird:

^ = Dl sin 9, woraus maxA = -f 21,6'; mi»Ä = — 21,6*.

Der positive Widerstand ist nach oben gerichtet, der negative Werth A muss
durch einen Anker aufgenommen werden.

Ist ein Endquerträger vorhanden, so entsteht

.^ = 21,6 + ^ = 21,6 + -^^

+ 24',

während mit»A den oben angegebenen Werth behält, weil bei der Belastung,
welche mtt^A erzeugt, der Ejioten 0 unbelastet bleibt

Wir empfehlen dem Leser, auf Grund der angegebenen Spannkriifte nun-
mehr die Längenänderungen sämmtlicher Stäbe zu berechnen, die genauere
Einflusslinie für H als Biegungslinie für den Zustand H = — 1 darzustellen
und für einige Momente und Querkräfte die Einflussflächen abzuleiten. Diese
schärfere Ermittlung der JET- Linie erfolgt genau wie bei dem in No. 96 behan-
delten Zahlenbeispiele, und es dürfte deshalb überflüssig sein, hier näher darauf
einzugehen.

104. Der Stabbogen mit darüber liegendem Versteiftuige-
balken, Flg. 294, lässt sich als umgekehrte versteifte Kette deuten
und mit Hilfe der im vorstehenden entwickelten Verfahren untersuchen.
Die Glieder des Stabbogens und die senkrechten Zwischenstäbe werden
natürlich BJif Druck beansprucht; auch muss man zur Bestimmung der

Punkte A'' und B"
die äussersten Glieder
des Bogens über B
und T hinaus ver-
Iftngem. Endlich sind
bei Berechnung des
Horizontalscbubes H
mit Hilfe der für den

Horizontalzug der
Kette abgeleiteten For-
meln die Längen s'
und s" der Bückhalt-
ketten gleich Null zu
setzen.
In Fig. 294 ist ein bei A und B auf den Pfeilern gelagerter Balken
gezeichnet worden, in Fig. 295 ein an den Enden mit den Kämpfer-
gelenken durch senkrechte Stäbe verbundenes Yersteifungsfachwerk.

^;^^

i'

Vlg. M4.

stabbogen mit darüber liegendem Versteifungsbalken.

287

Während das erstere Tragwerk Lasten beliebiger Richtung aufzunehmen
yermag, ist letzteres nur senkrechten Lasten gewachsen. Damit es fähig
werde, auch wagerechte Lasten auf die Pfeiler zu übertragen, lege man
einen Knoten des Versteifnngsbalkens auch im wagerechten Sinne fpst,
z. B. i^ in Fig. 295 \ Führt man dagegen den Stabbogen bis an den
Balken heran, Fig. 296, so erhält man ein Fachwerk, welches nur in
den Punkten B und T gestützt zu werden braucht; dasselbe ist steif
und einfach statisch unbestimmt.

a it---i — y

Fig. 295.

Flg. 295 a.

Fig. 295 b.

Flg. 29«.

Für den in Fig. 295 daxgestellten Träger ist die Anzahl der Knoten-
punkte k = 27, der Stäbe « = 50 und der Seitenkräfte der Stützenwiderstände
a = 4*), mithin

2k = 8 + a (d.h. 54 = 50 + 4),

80 dass man versucht sein könnte, den Träger für einen statisch bestimmten
zu halten. Ein Blick auf die in Fig. 295^ eingetragene Figur' F" lehrt aber,
dass hier ein bewegiiohes Stabgebilde vorliegt, ein Tragwerk, welches sich nur
in gewissen Belastungsfällen als brauchbar erweist, dann aber statisch unbe-
stimmt ist; und zwar ist leicht einzusehen, dass einer am Yersteifungsbalken
angreifenden wagerechten Last erst dann von den Spannkräften der an&nglich

*) Wir erinnern daran, dass bei Ermittlung der Zahl a der Widerstand
eines festen Auflagers in zwei Seitenkräfte zerlegt werden muss. Einem be-
weglichen Auflager entspricht a = 1.

28S Zneiter Abschnitt. — g 9.

senkrecht Btohendea ZwisoheostSbe das Oleichgenicht gehalten werden kann,
wenn diese Stäbe in Fulge einer Verschiebung des Balkens eine geneigte Lage
angenommen haben. Fällt der Stabbogen mit der Geraden B T zasamnien
(f=Q), Bo ist das Fachwerk ein solcheH von endlicher BewegÜcbkeit; Oleich-
gewicht ist in diesem Falle bei einer wagerechten Belastnng des VerataifungB-
balkeoB überhaupt nicht möglich. Sonst ist die Bewe^chkeit — starre Stäbe
TOransgcsetzt — eine unendlich kleine, und es liegt einer der auf Seite B7 her-
Torgehobetien Ausnahmefälle vor.

Haben Stabbogen an<j Versteifangsbalkeii einen Enotenpnnkt ge-
mein und wird trotzdem das eine Balkenauflager fest gemacht (Fig. 297),
so entsteht ein steifes, zweifoch etatiscb unbestimmtes Fachwerk. Als
statisch nicht bestimmbare GrSsBen fDhrt man zwechm&ssig die wage-
rechten An Säger widerstftnde H, und E, ein; man berechne sie mit

Hilfe des im § 5 gelehrten allgemeinen Verfahrens and leite die ESd-
flnsslinie für H, and H^ ans den BJegnngslinien fQr die Znst&nde
H, = — i nnd ff. := — 1 ab.

Eine solche zweifache atatische Unbestimmtheit entsteht natQrlicb
auch dann, wenn eine der Hängestangen der in Fig. 277 dargeateUten
varateiften Kettenbrücke die Lfinge Null erhalt; und man kann hieraus
schon Bchliesaen, dass im Falle sehr kurzer mittlerer HBngeatangen die
unter der Vorauasetzung einer einfachen statischen Unbestimmtheit ge-
wonnenen Ergebnisse nicht mehr ganz scharf sein können, eine Tbat-
Sache, die sich auch in der Weise erklären ISast, daas die Neigungs-
winkel sehr knrier StAbe schon bei einer geringen FormTeübiderang
des Fachwerks sich wesentlich Bndem kOnnen, was dann zur Folge
hat, dasa die Annahme verschwindend kleiner Winkeländernngen nicht
mehr zutrifft.

Bogen- und Kettenbrücken mit mehreren Oeffiinngen. 289

§ 10.

Einfiieli statlseli nnbesthninte Bogen- und Kettenbrficken

mit mehreren Oefhimgen.

106. Die nächste üntersnchnng beschäftigt sich mit einer Beihe
einfctch staUseh unbestimmter Bogen' und Kettenbrücken mit mehreren
Oeffnungen, deren Berechnung sich eng an die üntersachnngen der
Yorigen Paragraphen anschliesst. Als statisch nicht bestimmbare Grösse
wird durchweg der Horizontalschub (bezieh. Horizontalzug) H eingeführt
und zur Ermittlung von H in Folge einer senkrechten, in m angreifen-
den Last Pm wird die Gleichung

8«

//=P«

2S'h ^'

F

benutzt, wobei h' die mit EF^ multiplicirte senkrechte Verschiebung
bedeutet, welche m bei Eintreten des gedachten Belastungszustandes
J{= — 1 erfahren würde, während S' die Stabkraft für den Zustand
H= — 1 ist. Die zu betrachtenden Tragwerke lassen sich in zwei
Gruppen scheiden; bei den Gebilden der einen Gruppe besteht das
statisch bestimmte Hauptnetz aus einer Reihe von Einzelbalken, während
die anderen im Falle H=0 in Gerbersche Balken übergehen.

a. Das statisch bestimmte Hauptnetz besteht aus einer Folge von Einzelbalken.

106. Bogenbrüoke mit mehreren Oeffiiimgen. Die über einem
Mittelpfeiler zusammentreffenden Bögen erhalten dort ein gemeinschaft-
liches, auf wagerechter Bahn geführtes Eämpfergelenk, damit diese
Pfeiler nur senkrechte Drücke erfahren. An den Enden sind feste
Kämpfergelenke angeordnet, Fig. 298.

Liegen sämmtliehe Gelenke in einer wagerechten Geraden, so sind
die senkrechten Stützen widerstände A, B, C unabhängig von H und
ebenso gross als bestände das Tragwerk aus einzelnen Balken ACj^,
CjCg, . . . Man erhält z. B. für die in Fig. 298 angenommene Be-
lastung:

Um die ^- Linie zu bestimmen, berechne man für jede einzelne

f/Ä F
Oeffnung die den Gewichten w = — ^ — -f- entsprechenden einfachen

Balkenmomente M^ — genau wie beim Zweigelenkbogen (Seite 195) —

Mäller-BresUn. Orftphlacho Statik. IL 1. 19

290

Zweiter Abschnitt — § 10.

und dividire dieselben durch die über die Enotenponkte sämmüicher
Oefihungen anfizadehnende Snmme: 2z = 2yw. Man erhält für P= 1 :

H=

2^

Aus der durchweg positiyen JJ-Linie werden alle übrigen Ein-
flusslinien ganz in derselben Weise abgeleitet wie beim Zweigelenkbogen.

Flff. 298.

In Fig. 298 ist beispielsweise die JC-Fläche für einen Knoten-
punkt m der Mittelöffnung C^C^ dargestellt worden; sie unterscheidet
sich Ton der ilfM*Fläche eines Zweigelenkbogens C^C^ (abgesehen von
den kleineren Ordinaten der ^-Linie) nur dadurch, dass sie links von
Ci und rechts Ton C^ einen aus den negativ zu nehmenden J7-Flächen
bestehenden Zuwachs erhält. Denn Lasten, welche ausserhalb der Oeff-
nung CiC^ liegen, beeinflussen das zweite Glied des Ausdruckes

M^ = M^^ — Hy^.

Für den in Folge einer gleichmässigen Zunahme der Anfangstem-
peratur um t^ entstehenden Horizontalschub findet man (vgl. S. 199)

wo 2Z die Summe der Stützweiten sämmtlicher Oeffnungen bedeutet.
107. Kette» versteift durch mehrere Einselbalken. Der in
No. 106 behandelten Bogenbrücke kann man die in Fig. 299 dargestellte,
durch Einzelbalken versteifte Kettenbrücke an die Seite stellen. Jeder
Balken erhält ein festes und ein bewegliches Auflager. Behufs
Ermittlung der J7- Linie berechne man auch hier für jede einzelne

Oeffnung die den Gewichten w

r« F

entsprechenden einfEUshen

Balkenmomente IC ui^d dividire dieselben durch den Ausdruck

Bogen- und Kettenbrücken mit mehreren Oeffnungen.

291

9? = 2;2f + — ^ (SX^ sec* OLr -{- s' sec OL ■-{- b" sec a")

dessen Snmmen sich über sftmmtliche Oeffnungen erstrecken. Man
erhält fUr P = 1 :

3f^

77 =

5R

Ans der durchweg positiven /f-Linie werden die übrigen Einflass-
linien in derselben Weise abgeleitet wie im § 9, No. 101. In Fig. 299
ist als Beispiel die 3C-Fläche für einen Knotenpunkt der Mittelöfifhung
gezeichnet worden.

Flg. 299.

Für den Horizontalzag in Folge einer Temperaturändernng erhält
man nach Seite 270 und 271:

fl; =

zEF.i^S's

zEFA

[SX, sec* a + s' sec ol + «" 86C ol'

SR 3?

+ ^Zr (tg a^ — tg a^+i)].
Die in den vorstehenden Formeln noch enthaltenen Snmmenaus-
drücke darf man für die einzelnen Oeffnungen nach den Foimeln berechnen :

64/";(3ä' — 2/'i — l,5c)X

^Zr (tga, — tga^+,)* =

S^^(tga^ — tga^+i) =

3/J
8fi (8ä'— 2fi— 1,5c)

3/,

wo^i, /\ und c die in Fig. 279 auf Seite 268 angegebene Bedeutung haben.
Die im § 9 für Versteifungsbalken mit parallelen Gurtungen nach-
gewiesenen Vereinfachungen sind natürlich auch bei der Kettenbrücke
mit mehreren Oeffnungen ausführbar.

19*

292

Zweiter Abschnitt. — § 10.

108. Hängebrücke über drei OefOiiingen, bestehend ans drei
Scheiben» Fig. 800» 801. Jede Scheibe ruht auf zwei Oleitlagern.
An den beiden äusseren Scheiben greifen die Rückhaltketten 8i and S^
an, 80 dass jede dieser beiden Scheiben durch drei Widerstände gestützt
wird, deren Sichtungen sich nicht in einem und demselben Punkte
schneiden. Die mittelste Scheibe wird durch vier Kräfte gestützt, näm-
lich durch die an den beiden beweglichen Auflagern auftretenden Wider-
stände und durch die Spannkrtlfte S^ und 8^, welche an den mit Hilfe
der Stäbe 82 und 8^ festgehaltenen Gleitlagern C angreifen. Das Tor-
liegende Tragwerk ist deshalb ein&ch statisch unbestimmt; es unter-
scheidet sich von dem im I. Bande, § 47, Seite 389 untersuchten
Hängewerke nur dadurch, dass das Scheitelgelenk fehlt. Als statisch
unbestimmte Grösse wird wieder der Horizontalzug, d. i. die überall
gleiche wagerechte Seitenkraft H der Eettenstäbe 81 ^ 82, 8^9 8^^ 8^^
8^ eingeführt. Man findet dann für die MittelOffhung, mit den aus
der Figur ersichtlichen Bezeichnungen, die Angrifiismomente

M^ = Mq^ — Hij„

wo JfoM tind Mqu die Angriffs momente für die Punke m und k eines
einfachen Balkens von der Stützweite l bedeuten. Berücksichtigt man
bei Ermittlung der Durchbiegungen h' für den Zustand H= — 1 nur
die Formänderungen der Ourtungen, so erhält man

w = ^^^ = I ^'"^'"

Will man auch die Formänderungen der Füllungsglieder berück-
sichtigen, 80 bedient man sich am zweckmässigsten der Formeln 6 und 7
auf Seite 105. Die Vertikalen sind für den Belastungsfall H= — 1
spannungslos, sie haben also keinen Einfluss auf die Durchbiegungen h\

Bogen- und Kettenbnicken mit mehreren OeShnngen.

293

Für die über die Seitenöfinung gelegte Scheibe findet man, nach
Zerlegung Ton 8^ in A' und It (Fig. 801) und Ton 8^ in B' und
H^j die Qleichgewichtsbedingungen

(Ä — Ä')l = Fb (^ + J5')Z = Pa
^' = ir(tgai — tga) J9' = lf(tga, — tga)

mithin

Pb
A = — + H(ig(i^ — tg(i)

Pa

^ = -1 J5r(iga, — tga).

Die Angriffsmomente sind

Die Spannkraft in einer Diagonale ist

f cu ^* if >

Fig. 801.

WO Vi das Loth von t auf D bedeutet. M^^^ Mqj,, Dq sind die Werthe für
den einfachen Balken AB, Damit sind auch die Gewichte tv bestimmt.
Zu beachten ist, dass in der Formel

8«

H=P^

F

die im Nenner stehende Summe die drei Scheiben und die 6 iSt&be 8^
bis S^ umfasst. Bezüglich des Einflusses der ständigen Belastung g
und einer Belastung g' wird auf Seite 266 verwiesen.

b, Pas ttatlsch bestimmte Hauptnetz ist ein Gerbertcher Balken.

109. AxLaleger-Bogenbrüoke mit drei Oeffiiiingen« Das Trag-
werk in Figur 802 besteht aus einem Zweigelenkbogen AB mit Aus-
legern AGi und BO29 welche zur Unterstützung der Einzelbalken
COi und G^D bestimmt sind. Wird eines der beiden festen Lager

I

294

Zweiter Abschnitt. -— § 10.

A, B in ein auf wagerechter Bahn bewegliches verwandelt, so ent-
steht ein Gerberscher Balken (Znstand jEr= 0), dessen Angri&-
momente mit Mo bezeichnet werden mögen, und dessen senkrechte
Stützenwiderstände = A, B, C, D seien. Durch Hinzutreten der Wider-
stände H werden die senkrechten Anflagerkräfte sowie die Spannkräfte
in den äusseren Oefinungen CA und BD nicht geändert. Nur im
mittleren Theile AB sind die Stabkräfte <S^ abhängig Ton H; sie lassen
sich auf die Form bringen: 8=Sq — S'H wo 8q den Werth Ton S
flir jy=0 bedeutet und S' die Spannkraft in Folge H= — 1 ist.

Fig. 302.

Zur Ermittlung der ^-Linie benutzen wir wieder das Gesetz:

F

wo h' die mit EF^ multiplicirte Ordinate der Biegungslinie für den
Zustand H= — 1 vorstellt. Diese Biegungslinie besteht zwischen A
und B aus einem Polygon, welches genau so bestimmt wird, wie für
einen gewöhnlichen Zweigelenkbogen AB, femer aus den Geraden ÄG^'^
Gl' C' und B' G^\ (^% D\ welche den bei Eintreten des Zustandes
H= — 1 spannungslos bleibenden Auslegern und Einzelbalken ent-
sprechen. Wird die Biegungslinie des Theiles AB durch Aufzeichnung*
eines Seilpolygons gewonnen, so erhält man die Geraden ÄG^' und
B' G^' als die äussersten Seiten dieses Polygons. Meistens führt jedoch
die Berechnung der J7-Linie mittels der Formel

^=-^(vergl. § 7).

schneller zum Ziele. In diesem Falle empfiehlt es sich, behu& Ver-
längerung der JJ-Linie über A' und B' hinaus, sämmtiüche Gewichte

Bogen- und Kettenbrücken mit mehreren Oeffiaungen. 295

l

w zar 2tt7 zn vereinigen, das Moment 2tc —r- zn berechnen, welches

4

dieses Gewicht in der Mitte eines einfachen Balkens A'B' heryorbringt,

hierauf senkrecht zu ^ ^ die Strecke RT= ani^atragen und

die Geraden TA' und TB' zu ziehen. Es ist dann A' G^" die Ver-
längerung der Geraden TA' und B' G^' ^*® Verlängerung von TB\
Lasten P, welche links von A' oder rechts von B' aufgebracht werden,
rufen einen negativen Horizontalschub H hervor.

Hätte beispielsweise der mittlere Theil AB die Abmessmigen des in
Fig. 211 auf Seite 207 dargestellten Zweigelenkbogens, so würde zwischen A
und B die in Fig. 211 dargestellte £-Linie ohne jede Aendenmg beizubehalten
sein. Man würde dann 2 ir = («^o + «'i + «'t + «^s + «'J 2 -|- «75 = (0,33*)
+ 0,88 + 2,35 + 15,00) 2 + 20,00 = 57,12 erhalten, mithin

— _Sirg_ 5742 »20 _
^^"-42;?- 4. 183,356 "" ^'^®-

Der Horizontalschub in Folge einer Temperaturänderung ist ebenso
gross wie der eines Zweigelenkbogens AB.

Behufs Herleitung der übrigen Einflusslinien aus der IT- Linie
beachte man, dass sich die Mittelöffnung bei unbelasteten Seiten-
öffnungen genau wie ein gewöhnlicher Zweigelenkbogen verhält. Will
man also beispielweise die 3fM-Fläche zeichnen , so trage man (wie in

^11»

Fig. 220, Seite 216) A'J=\-^ auf, ziehe J5', bestimme m loth-

recht unter m, verbinde m mit A und subtrahire die JJ-Fläche von

dem die ^-Fläche vorstellenden Dreiecke A'm'B', Der unterschied

beider Flächen ist die if^^Fläche des Zweigelenkbogens AB\ der Mul-
tiplikator ist = y«,* Verlängert man nun die Geraden m A' und m B'
bis zu ihren Schnittpunkten Gi^ G^' mit den Senkrechten durch G^^
G^j und zieht man schliesslich die Geraden G^'C'^ G^B' so giebt der
Linienzug C' G^' A' m B' G^' D' die auf A' B' als Nulllinie bezogenen

— ^— -Linie des Gerber'schen Balkens CABD an, und die in Fig. 802

y-

schraffirte, zwischen dieser Linie und der jQT-Linie gelegene Fläche ist
daher die gesuchte 3f«,- Fläche.

UO. Stabbogen, versteift durch einen Qerber'sohen Balken.
Ganz ebenso wie der in No. 109 untersuchte Träger werden die in den
Figuren 803 und 804 dargestellten Stabgebilde behandelt. Zuerst
werden die Einflusslinien fOr die Mittelöffnung genau so gezeichnet, als

V 1

♦) Der Werth «»0 = -^ = -r-rr = 0,33 wurde früher nicht gebraucht, da

er ohne Einflnss auf die Momente Jf» ist.

296 Zweiter Abwimitt — § 10.

w&TWi die SeitenSffiiangeii gar nicht Torbanden, und schliesslich werden
de Ober A! tmd B' hinaus anf die vorhin beschriebene Weise rei-
längert In Fig. 808 ist eine ^FlOohe eingeieiclmet worden.

§11.
Faehverkbf^D mit eingespannten ESmpfem.

111. Der bereite auf Seite 158 in gani allgemeiner Weise be-
handelte Bogentr&ger mit eingespannten Enden ist dreifach statisch
nnbestimmt nnd erfordert daher die Anfstellnng TOn drei Glasticitate-
bedingangen. Diese soll hier nach zwei verschiedenen Verfahren er-
folgen, von denen das erste an die Voranssetzung senkrechter Lasten
gebonden ist, wElhrend die zweite ünteranchnng Einzelkräfte beliebiger
Bichtnng berücksichtigen wird. Besonders hervorznbeben ist, dass bei der
Herleitong der ElasticitBtsgleichnngsn die Ltlngenlndernngen der Fdl-
InngSBtäbe in der Regel vemachl&ssigt werden dfirfen. Bmio Bogen mit
eingespannten EBnipfem erweist sich der Einfloss der Temperatarftnde-
mngen (welche doch nar geschätzt werden können) als so bedeutend,
dass eine alizn peinliche Ermittlong der Übrigen Einätlsse noch viel
weniger am Platze ist, wie beim Zweigelenkbogen. Aach die Annahme
eines Überall gleichen oder nach einem einfachen Gesetze sich ändernden
Gnrtqnerschnitts ist znr Vereinfachung der Bechnong meistens anznratben.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

297

a. EfitM Verfahrm,

112« EinfluBS einer senkreohten EinBeUast (Fig. 305). Die
Einzellast P erzeugt Stützenwiderst&nde (Eftmpferdrücke) K^ und K^,
welche P in demselben Punkte C treffen, und deren Schnittpunkte mit
den Senkrechten durch die äussersten Stützpunkte A und B mit F^
und F^ bezeichnet werden mögen. Der Linienzug F^CF^ heisst das
Mütelkraftspolygon und die Gerade F^F^ die Schlusslink.

Der senkrechte Abstand NQ eines Punktes des Mittelkraftspolygons
von der Schlusslinie ist gleich dem durch den Horizontalschub H des
Bogens diyidirten Biegungsmomente Mo eines durch die Last P bean-

Flg. S05.

spruchten einfachen Balkens A'B\ dessen Stützweite = l ist und der
an den Enden frei aufliegt.^ Es folgt deshalb

*) Man betrachte FiCF^ als Culmann'sche Momentenfläche des einfachen
Balkens Ä'B\

298 Zweiter Abedmitt — § 11.

Pab

IH '
und hiernach ist das Dreieck F^ CF^ nnd somit auch die Bichtnng Yon
Ky und K^ bestimmt, sobald die Schlnsslinie F^F^ und der Horizontal-
schnb H gegeben sind.

Wir beziehen den Bogenträger auf eine senkrechte Achse Ä^ und
eine schräg liegende Achse ^,. Neigung der Ä^ und Lage des Ur-
sprungs 0 seien Torläufig beliebig. Die Lage der Schlusslinie be-
stimmen wir durch Angabe ihres Schnittpunktes F. mit der Achse Ä^
d. h. durch Angabe der Strecke z. in Fig. 805 ^ femer durch die
Strecke e^ welche die zur Schlusslinie parallele Gerade JiJ% auf der
Senkrechten durch B abschneidet.

Behu& Ermittlung des Angrifbmomentes if«, für irgend einen
Knotenpunkt m führen wir durch m einen senkrechten Schnitt, zer-
legen den Ton diesem Schnitte in N getroffenen Eämpferdruck (hier K^)
im Punkte N in eine senkrechte und eine wagerechte Seitenkraft und
erhalten: M^ = H'~Nm.

Sind nun y^ und x^ der senkrechte bezw. wagerechte Abstand
des Punktes m yon den Achsen A^ und A^, so ergiebt sich

Nm='NQ — y^ — z,
z — Zo e . €

= — , also «= — ar« + ^,
x^ l l

mithin (wegen H' NQ = M^:

(1) M^ = M^ — Hy^ — x^ — Bz.,

Lidem wir nun die Bezeichnungen einführen

(2) Hz, = X'; -4^ = Z"; H=X

fft

erhalten wir die Gleichung

(8) M^ = M^ — X' — X"x^ — X'"y^ ,

welche die Berechnung der Momente if«, gestattet, B(Mid die drei
statisch nicht bestimmbaren Grössen X\ X'\ X'" gefunden sind.

Zur Berechnung der X bedienen wir uns der Gleichungen (V) auf
Seite 168. Wir nehmen starre Widerlager an, setzen also Zr' = 0,
L' = 0, L'" = 0. Auch yemachlftssigen wir die Formänderung der
Füllungsstäbe.

Die Spannkraft des einem Knotenpunkte m gegenüberliegenden
Gurtstabes ist

(4) S=T —

Fachweikbogen mit eingespannten Kämpfern. 299

und zwar gilt das obere Vorzeichen für die obere, das untere für die
untere Gurtung. Den Zuständen X'= — 1, X"= — 1, X"'= — 1
entsprechen die Momente:

(5) Mj= + 1; Mj' = + x^', Jt.'" = + y.

und die Stabkräfte:

(6) s' = T — ; Ä" = T^=^; S'^'^T-^'

T T T

Wählen wir nun das Achsenkreuz A^ Äy derart, dass die Summen

25-5"-^; ^8'8'"-^; 28" 8"'-^
EF EF EF

Torschwinden, dass also die Bedingimgen:

0) 2---t?^ = 0; S ^^"'". =0; S "'^"'^ = 0
EF,rJ EF,r„* ' EF^rJ

erfttllt werden, so gehen die Oleichnngen (V) ftlr eine Einzellast P über in:

^" S ^ '■ - =PS' +2S'6<«

(8) { X" 2 -^^^ = P8" + SS"tt8

wo h\ h'\ i'" die an der Stelle P gemessenen Ordinaten der den Zu-
stftnden X'= — 1, X"= — 1, X'"= — 1 entsprechenden Biegungs-
linien bedeuten.

Zur weiteren Vereinfachung der Bechnung schreiben wir sämmt-
lichen Ourtstftben denselben Querschnitt F (Mittelwerth der FJ) zu und
setzen feste Werthe E, e, t voraus. Multipliciren wir dann die Glei-

wir mit aer uezeicnnung: -
den Einfluss einer Einzellast P:

chungen (8) mit EF, so erhalten wir mit der Bezeichnung: Vy =*t>J**)

(9) r = P^; X"=p4^r; X"' = P^^

femer den Einfluss einer gleichmässigen Erwärmung um t^:

^._ ^EFt^S's ,._&EFt^S^ ,„_zEFt^8^

*) In den angezogenen Gleichungen (V) ist p = -i;f^-

**) Sollen yeischieden grosse Gortquerschnitte Fm berücksichtigt werden,

8 F

so mnss ir«,' = — ^ -^— gesetzt werden.

Zweiter Abaobnitt — § 11.

Die Bedingangeii , welche durch geeignete Wahl der Logen der
Achsen .4., A, zu erfüllen sind, Unten:

(11)

Sa;,w.' = 0, Sy.»«' = 0, S:r_y.w«' = 0.

Wird dem Knotenpunkte m das Gewicht loj beigelegt, so fordern
die Gleichungen (11):

1. Der Ursprung 0 moss mit dem Schwerpunkte der Gewichte
IC zosammen fallen.

2. Die Bichtnng der Achse A, mass so gewählt werden, dasa
daa Centrifngalmoment der Gewichte w' gleich Nnll ist.

In der Bagel wird der Bogen symmetrisch sein in Bezog auf die

Senkrechte durch die Mitte. Dann ßUlt die Achse A^ mit der 87m-

metrieachse zasammen and

die Achse A, mit der wage-
rechten 8chweraohee der Ge-
wichte w'.

Einen steigenden Bogen
leite man, falls der unter-
schied in der Höhenlage der
Kampfer gering ist, nach
Fig. 806 ans einem aym-
metrischen Bogen ab und
schreibe den einander ent-
sprechenden Knotenpunkten
beider Bogenhälften gleiche
«#■ «»■ Gewichte u>' zu.*) Uan er-

reicht hierdurch, dass die
Achse Af mit der Mittelsenkrechten und die A, mit der zu A'B' paral-
lelen Schwerachse der Gewichte w' zuBammenfUUt.

üanz allgemein findet man die
Achsen A,, A^ wie lolgt Man be-
zieht den Bogen znnächat anf ein
beliebiges rechtwinkliges Achsen-
kreuz x\ y mit wagerechter«' -Achse
(Fig. 307) berechnet die Sommeu;

bezeichnet mit |, i] die Eooidinaten
von 0 in Bezug auf x\ y', mit a
den Neigungswinlel der Am gegen

*} Diese Annahme ist ebenso zuläs^, wie die Annahme F:F„:

Fachwerkbogen mit eingaspannten Kämpfern. 30I

die x'-Achse xmd hat dann:

a: = 6 — x'

y = y' — »'<«« — (tj — 5 tga).
Die Gleichungen 2u;'a: = 0, '2«7'y = 0, :SM>'a?y = 0 liefern nun:

(12)

^ 6 2 «7' a:' — 'S IT' a?'«

Schliesslich bestimmt man noch

Sir'a:« = 2u;'a?'" — 5"2ir'
Sir'y« = "Sir'y'« — tf^w' — tg« a Sir'a:«.
Natürlich kann man auch die auf der Barstellung von Momenten zweiter

Ordnung beruhende Ermittlung von tga auf zeichnerischem Wege mit Hilfe

von Band I, §5—7 ausführen.

Nach FestleguDg der Achsen Ay^ A^ bestimme man die Zähler der
für X , X!\ X!" gefundenen Ausdrücke (9) wie folgt.

Man erwöge, dass den Zuständen X'=— 1, X"=— 1, X"'=—\
die Momente

(13) M:=U MJ' = ^; Jfr=^

entsprechen, und dass sich die mit EF multiplicirten Durchbiegungen
i , h\h'" als die Momente eines einfachen Balkens A'B' (des statisch
bestimmten Hauptsystems) deuten lassen, welcher beziehungsweise be-
lastet wird mit den Gewichten:

Wm = ö- ; t€^ = o- ; tc« = j — *), d. h. mit

f f f

(14) ir^=— ; U?^ = r-; IT« = =-.

rj rj rj

Bezeichnet man also die unter P gemessenen Ordinaten dieser ein-
fachen Momentenlinien mit Jf«,', 3f„", JC" so erhält man: EFb'= Mj\
EFh"=Mj'\ EFh'"=Mj" und findet schliesslich für die Einfluss-
linien der Grössen X', X", X"' die Gleichungen:

(15) r = P^ ; X" = P--^^„ • X'" = P-^^^ ' **)

F
*) Vergl. Seite 188, Gleichung (2), in welcher -^= 1 zu setzen ist.

♦♦) Die Gleichung für if = X"' stimmt mit der im § 7 zur Berechnung
des Horizontalschubes eines Zweigelenkbogens erhaltenen Formel überein. Nur
ist jetzt y auf eine andere Achse bezogen. "Wir machen noch auf die im § 7
für verschiedene Sonderfälle gezeigten Umformungen und Kürzungen der Ge-
wichte w aufmerbBam; dieselben sind natüilich auch bei eingespannten Bogen-
trägem brauchbar.

302 Zweiter Abschnitt. — § 11.

Aus den Einflusslinien ftlr die Grössen X\ X!\ X"' kann man
jetzt alle übrigen Einflusslinien ableiten und zwar lassen sich hierzu
verschiedene Verfahren anwenden.

1. Mit Hilfe der Gleichungen

*^m *^m "m *^m "m

ermittle man die (Jf : ^)- Linien und hieraus nach Seite 218 und 214
die Einflusslinien für die Stabkräfte.

An Stelle von — — schreibe man — — r— , wo d eine beliebig an-

Am d h^

X'

zunehmende Strecke bedeutet. Die Multiplikation der -— - , X", X!"

d

mit -— , -f - , -^-- führe man (nach Seite 174 und 175) mit Hufe
Ä« n^ h^

von Winkeln aus, deren Tangenten gleich den Multiplikatoren sind.

2. Man bestimme für verschiedene Lagen der Einzellast P= 1
die Mittelkraftspolygone F^CF^ (Fig. 805) und benutze diese zur Be-
rechnung der Ordinaten (Jlf : ^)- Linien.

3. Nach Aufzeichnung der Einflusslinien für die Gurtkrftfte be-
stimme man die Einflusslinien für die Spannkr&fte in den Füllungslinien
nach No. 72.

4. Man nehme die Lasteinheit P der Beihe nach in sämmÜichen
Querträgerangriffspunkten an, zeichne für jeden einzelnen dieser Be-
lastungszustftnde einen Cremona'schen Eräfteplan und bestimme die Ein-
flusslinien der Stabkräfte mit Hilfe dieser Kräftepläne.

118. Die Aufgabe, das Mittelkraftspoljgon F^CF^ (Fig. 805) zu

X'

zeichnen, lässt sich — ausser durch Bestimmung der Werthe z^ = -—

X"

und e = —=r l — noch in folgender Weise lösen.

Verbindet man die Gewichte to' und tc" durch Seilpolygone
(Fig. 805), deren Pol weiten Wi und tOn sein mögen*), so erhält man
nach Eintragung der Schlusslinien «', s" die Momente

Mj = wit\', Mj' = wn-q ". (Fig. 80 5 « '»• •).

Die äussersten Seiten des ersten Seilpolygons schneiden sich auf
der Achse A^f da ja diese Gerade die senkrechte Schwerachse der Ge*

*) Zum ersten Seilpolygon haben wir in Fig. 805 c^ das zugehörige Erafte-
polygon theilweise gezeichnet.

Fachwerkbogen mit eingeepannten Kämpfern. 303

wichie w' ist, und man findet:

Sf^' :wi = m:k also Sm?' = «^j-r- und (nach Gleich. 15)

m
Die äossersten Seiten des zweiten Seilpolygons schneiden auf der

Achse ^y die Strecke t? = ab; sie sind einander parallel, weil

die Summe der Gewichte m?" (nämlich Str" = ^xw') gleich Null und
deshalb die Mittelkraft der tv'' unendlich klein und unendlich fem ist.
Es ergiebt sich nach (15):

X" = P

•*)

//

V

und, wenn die Lasteinheit P durch eine Strecke von der Länge v dar-
gestellt wird:

X =ifi ; Jr= Tf] =ny\ ,

m

wobei n nach Fig. 294 mittels der parallel zu den äussersten Seiten
des ersten Seilpoljgons gezogenen Geraden g^ und g^ (Fig. 305®) be-
stimmt werden kann.

Zerlegt man nun die Eämpferdrücke K^, K^ nach senkrechter
Richtung und nach der Richtung der Achse A,^ und bezeichnet man
die senkrechten Seitenkräfte mit A und B (Fig. 805^), so findet man
leicht:

Pah

A\H={cD-\--^ a\:a, wo CD =

weshalb

^=^+^=^+^-=f+^"

und hieraus folgt, dass das Seilpoljgon der Gewichte tr die Strecke
p = P, welche seine äussersten Seiten auf der Last P abschneiden in
die Theile

ir]^ = -4 und tq^ = J5

zerlegt. Hat man also den Horizontalschub H mit Hilfe eines die
Gewichte w'" verbindenden Seilpolygons durch eine Strecke t\*' dar-
gestellt (was möglich ist, weil nach Gleichung 15 die Kraft X"' =^ H
proportional f\" ist), so ist man im Stande, die Eämpferdrficke nach
Grösse und Richtung anzugeben, und braucht jetzt nur noch einen Punkt
des Linienzuges F^CF^ zu bestimmen (Fig. 808).

Besonders einfach gestaltet sich nun die Bestimmung der Schnitt-
punkte R der Eämpferdrücke mit der Achse A». Wir bezeichnen die

304

Zweiter Abschnitt — § 11.

Entfernung des Punktes R^ von der A^ mit ^ und berechnen

Strecke, indem wir die Samme der Momente der im Oleichgewichte

befindlichen Kräfte K^^ K^y P in Bezug auf F^ gleich Null setzen.

Vorher ersetzen wir jedoch P durch die beiden in Fi und F^ angreifen-

Pb Pa

den Seitenkräfbe — r- und — j— zerlegen Ki und K^ auf die in Fig. 297

angegebene Weise, verschieben die in die Achse A^, fallende Seitenkrafb

Fig. ao8.

Ton Kl nach 0 und zerlegen sie dort nach wagerechter und senkrechter
Richtung. Die fragliche Momentengleichnng lautet dann:

Pb

A^+Hz, r-A:=0, d.h.

TQ^^ + nTf]' — PyÄ:=0;

sie liefert, wegen v — = n :

tn

5 = JL(6-

7\a \

71^ \ l ^ ) 7]^ '

WO t)^ in Fig. 305 die Strecke bedeutet, welche das Seüpolygon der
Gewichte u/ und die letzte Seite dieses Polygons auf der Last P ab-
schneiden. Die hieraus sich ergebende zeichnerische Bestimmung des
Punktes P^ zeigt Fig. 808 ; die von dem im festen Abstände n Yon O
gelegenen Punkte T aus gezogene Qerade TPi ist parallel zur Ge-
raden g.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 305

Auch der Funkt F^ lässt sich schnell festlegen. Man trage zu

diesem Zwecke vom unteren Endpunkte von K* die Strecke t), — nach

m

oben auf, ziehe die Gerade g und hierauf OF^ || g'. Der Beweis ist
leicht zu finden.

Besonders einfach gestaltet sich die doppelte Bestimmung der Lage
von JTg, wenn man die willkürliche Polweite des Seilpolygons // so
wählt, dass 9 = m wird (was durch zweimaliges Aufzeichnen dieses Seil-
polygons zu bewirken ist). Dann wird t), — = ij^ und n^k.

tn

114. Wir wenden nun das im Vorstehenden entwickelte Verfahren auf
einen symmetrischen Bogenträger (Fig. 309*) an und stützen uns hierbei auf die
im ersten Bande unseres Buches, Seite 23 u. 24, Fig. 26, gezeigte Darstellung
der höheren Momente paralleler Kräfte.

Die durch Rechnung zu bestimmenden Gewichte w' = — r-*) werden

r"

zunächst als lothreehte Kräfte aufgefasst und in der Reihenfolge jt/, m»,', w^^ . . .

durch den Seilzug I (Pol Oj, Polweite tci) verbunden. Die Polweite wj darf

beliebig gross angenommen werden. Die Seiten des Seilpolygons / schnei-

den auf der Achse A^ die den Gewichten to'* proportionalen Strecken

wi

ab, welche für die Knotenpunkte der linken Tragerhälfte positiv sind, für die-
jenigen der rechten negativ. Betrachtet man diese Strecken als senkrechte,
an die Stelle der w* tretende Kräfte, verbindet sie durch ein Seilpolygon II
(Pol OiT, beliebige Polweite = tr/j), und misst man senkrecht unter der in Frage
kommenden Last P die durch den Seilzug // und dessen äusserste Seiten be-
stimmten Strecken t)^, t^b, v, so erhält man

und für den Kräftemaassstab P= r:

Da die ar- Achse wagerecht ist, so sind A und B die senkrechten Stützen-
widerstände.

Jetzt wird die Achse Am als wagerechte Schwerachse der Gewichte w' be-
stimmt Hierbei empfiehlt es sich, zur Erzielung einer recht deutlichen Zeich-
nung den Bogen verzerrt aufzutragen.

In Fig. 309* wurden die Höhen verdoppelt, auch sind die Gewichte te* zu-
nächst in der Reihenfolge Wi\ w^\ w^^ ir,', u»4', \ tre'**) durch einen Seilzug III
(Pol 0x27, beliebige Pol weite wut) verbunden worden, um eine Durchkreuzung
aufeinander folgender Seiten zu vermeiden. Der Schnittpunkt der äussersten
Polygonseiten bestimmt die ^, und auf dieser Achse werden von den Seiten

des Seilzuges die den Gewichten m>"' proportionalen Strecken ^ abge-

schnitten, welche positiv oder negativ zu nehmen sind, je nachdem sie ober-
halb oder unterhalb der A» liegenden Knotenpunkten entsprechen. Diese

♦) Vei^l. die Fussnote auf Seite 299.
**) \ w't^ ^®il ii^i' die Hälfte des symmetrischen Bogens betrachtet wird.

Müller-BreiUn, Onpbiiche BtaUk. U, 1. 20

306

Zweiter Abschnitt. — § 11-

Vig. 809.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 307

Strecken wurden (an Stelle der to') als wagerechte Kräfte au%efasst und durch
einen Seilzug IV (Pol Ojf, beliebige Polweite wir) verbunden, dessen äusserste
Seiten auf der A^ eine Strecke u abschneiden, für welche die Beziehung gilt:

^ to\2y
utciv=^ 2 =^ 2y. .

iCUI

Hieraus folgt für eine Bogenhälfte Str'y* = Jw/i/ir/ru und für den
ganzen Träger:

"Sii^'^' = \ waiwiru.

Um nun die zur Ermittlung von

Mt0

H = X"' = P

Si^'y'

dienenden Momente Mj" zu bestimmen, wurden die Strecken — ^ — (an

Steile der w) als senkrechte Kräfte aufgefasst und durch ein Seilpolygon V
(Pol Or, Polweite wr) verbunden, jetzt aber in der Reihenfolge 1, 2, 3, . . .*).
Ist rf" die Ordinate dieses Seilzuges, so ist das Biegungsmoment des mit den

Oewichten — - — belasteten Balkens A' B' gleich itfi)'", und man erhält daher

für einen durch die Gewichte w" ^-wy beanspruchten Balken:

Mj** = \ ¥fuiwrt{'\ weshalb

H=P — — = in .

Wir ' u wir u

Wählt man also trr= (z. B. wrr=^iv und tcr = iu wie dies in

V

Yig. 809^ geschehen ist)'*^) so findet man:

und ist jetzt im Stande, für jede ISnzellast F die Kämpferdrücke Ki und Kf
xa. ermittdn. Um die Lagen dieser Kräfte anzugeben, bestimmt man mit Hilfe
•der zur ersten Seite des Seilzuges I parallelen Geraden ED die Strecke n und
trägt dieselbe auf der Achse Ap von 0 aus nach T hin ab. Nun dreht
man die vom Seilzug I und dessen letzter Seite auf P abgeschnittene Strecke
-!)• um 90° nach links, verbindet ihren Endpunkt mit dem Endpunkte der
Strecke hia durch eine (strichpunktirte) Gerade und zieht zu dieser von T aus
•eine Parallele; dieselbe schneidet die ^^ im Durchgangspunkte von Ki,

115. SinfluBS einer Temperatorftaderang. Zar Berechnung
-der Ton einer Temperatnrttndemng herrührenden Werthe X könnten
•die Gleicbangen (10) tind (6) benutzt werden; der folgende Weg yer-
«dient jedoch den Vorzag.

*) Im zugehörigen Kräfteplan ist die Reihenfolge der Strahlen durch
'liSera angegeben.

**) i^r ist die einzige Polweite, welche nicht willkürlich, sondern durch die
vorhei^gehenden Polweiten bestimmt ist Der Maassstab, in welchem die tc' auf-
getragen werden, ist, so lange nur der Einfluss von Lasten in Frage kommt
^nicht auch der von Temperaturänderungen) ganz gleichgültig.

20*

I

308

Zweiter Abschnitt. — § 11-

,///

Wir denken die Spannkräfte 5'" = q: 1 ^"*

r^

durch zwei entgegen-

gesetzt gleiche, nach aussen gerichtete Kr&fte von der Grösse 1 sec a
(Fig. 310) hervorgerufen, welche mit der Achse A^ (deren Neigungs-
winkel = a sei) zusammenfallen und deren Angriffspunkte L^ und L^
mit den Bogenenden durch starre Stäbe verbunden seien.*) Sodann
fassen wir 1 sec a als eine Spannkraft (und zwar als einen Druck) auf,
der in einem die Knoten

Li und Zr, verbindenden Li

Stabe auf irgend eine
Weise erzeugt wird und
wenden auf das nunmehr
nur von inneren Kr&ften
beanspruchte und in kei-
nem Punkte gestützte
Fachwerk das Gesetz der
virtuellen Verschiebungen
an, indem wir den Stab-
längen 8 die Aendeiiingen o • 8 zuschreiben, wo o einen festen Werth
vorstellt. Wir erhalten dann die Arbeitsgleichung

Flg. 310.

25 (d« + 2ä oä — 1 8eca-a)X|Xg = 0

1

wobei sich das erste Glied auf die Stäbe des Bogenfachwerks bezieht,
das zweite auf die hinzugefügten starren Stäbe, mit Ausnahme von
L^L^f das dritte schliesslich auf den Stab L^L^, Wird o gehoben
und werden die Punkte JD^, L^ so angenommen, dass ^S"'8 = 0 wird,

so ergiebt sich

Sßf"'« = XjXj sec OL

und wir erhalten sehr einfiäch:

BEFtr' sec OL

(16)

xr =

ff/

WO t" die Länge der Strecke L^L^ bedeutet.

Zur Bestimmung des Punktes L^ bezeichnen wir die Längen der
Stäbe ÄL^j CL^, AC mit a, 6, c, die durch die Kraft 1 sec a in diesen
Stäben erzeugten Spannkräfte* mit Sj'\ 5/", 5/" und suchen die Er-

♦) Diese Kräfte erzeugen das Angriffemoment Mm = 1 sec a (y^,, cos a) = y«,
und die Stabkraft An'" = + — • Biese Formel gilt auch für die FüUungs-

fm

Stäbe; an Stelle der Knoten m treten die bekannten Drehpunkte der Ritter*schen
Momentengleichungen.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

309

füllnng der Gleichung

herbeizuführen. Geht der erste Füllungsstab des Bogenfachwerks durch
den Punkte, so ergiebt sich der in Fig. 311 dargestellte Eräfteplan,
in welchem S,'" die Spannkraft im ersten Gliede der unteren Gurtung
bedeutet. Mit den aus der Figur zu entnehmenden Bezeichnungen der
Winkel folgt, wenn AE und AE' so gezogen werden, dass <^ LiEA=^
und <iLiE'A=^ wird:

— S"' 8m(q> — y) CE CE

Sr sin (180° — +) AC c

and hieraus:

— S.'" Binp LiE' LiE'
V sinß JL^ a

S^a + Sr (CE + L,E') + S^c = 0.

^Ik^^ecof

Fig. 311.

Die oben aufgestellte Bedingung wird hiernach erfüllt, sobald

CE-^-l^E' = h, d. h. sobald ß = ^ wird.

Aehnlich folgt: Geht der erste Füllungsstab von (7 aus (Fig. 312),
so muss, damit aSl" + hSi'' + c5;"=0 werde, der Winkel L^LiC=<^

sein.

In derselben Weise wird der Pankt L^ bestimmt und damit die

Lange der Strecke LjLji = r" gefunden. Man vergleiche Fig. 318, in
welcher die äussersten Füllungsstäbe durch A bezieh. B gehend ange-
nommen wurden.

310

Zweiter Abschnitt. — § 11.

Durch eine Reihe ganz Ithnlicher Schlussfolgeningen wird für die
im Zahler des Ansdmckes fQr X" stehende Samme der Werth

(17)

26'"5 = r' und damit X/' = ^—

//

gefunden, wobei l" den gegenseitigen Abstand der auf der Achse A^
gelegenen Punkte N^ und N^ bedeutet, welche erhalten werden, so-
bald man von Ä und B aus Gerade zieht, die mit der Achse Ä^ die
Winkel ^ und ^' bilden.

Flg. 813.

Um schliesslich noch die Summe ^S' 8 in einfacher Weise zu be-
rechnen, denken wir uns die Momente Jf'=l und Spannkräfte

Sj = 7 — durch an den Bogenenden angreifende rechts drehende Eräfte-

paare hervorgebracht, welche aus zur Achse A^ parallelen Erftften von
der Grösse 1 bestehen und deren Arm = 1 ist, Fig. 814. Sind E^^

T\fi. 814.

J^g, J^, Jg die Schnittpunkte dieser Kräfte mit den Geraden AL^^ und
BL^i so folgt aus den vorstehenden Untersuchungen

^S'a = J^J^ — E^ E^ = cotg vp + cotg vj>'

1

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 3J[l

und es ergiebt sich daher:

(18) x:= ^^^^<^Q^g^+<^Qtg^O

FOr den in Bezog auf die Senkrechte durch die Mitte symmetri*
sehen Bogen ist l" = 0 also auch X" = 0. Ist ausserdem, was ebenfalls
in der Regel (zum mindesten annähernd) zutreffen wird, \]> = vp' = 90^
also cotg ^ = cotg 4^' = 0, so folgt auch X' ^^=0 und (wegen a = 0)

(19) xr = H, = ~~

sEFtr

ifff

worin l die gegenseitige wagerechte Entfernung derjenigen Punkte
der Eftmpfer bedeutet, von denen die ftussersten Fttllungsstftbe aus-
gehen.'*') In diesem wichtigen Falle erzeugt also die Temperaturände-
rung zwei in die Achse A^. fallende Eämpferdrücke von der Grösse H^.

Wird die Gestalt eines leicht ansteigenden Bogens nach Seite 800
aus einer symmetrischen Grundform entwickelt, so ist es ebenfalls zu-
lässig, als Folge der Temperaturänderung einen mit der ^.- Achse
zusammenfallenden Kämpfer widerstand anzunehmen. Die Grösse des-
selben ist (wegen jBT, = H^ sec a = AV" sec a)

,///

/«^x T^ ^EFtl seca

(20) K, = -

2 ff*

Wird der Einfluss der Belastung nach No. 114 mit Hilfe von Seilpoly-
gonen dargestellt, so wii^ man auch die in den Nennern der Werthe Xt\ Xi\
XT' auftretenden Sunmienausdiücke mittels jener Seilzüge berechnen. Man muss
dami auf die Einheiten der in Frage kommenden Grössen achten. Für den in
Fig. 309 untersuchten Bogen ist z. B.

„ zEFtr' iEFtr

Jat -

2/// ~~~ ^ • »

und 2 yS, Wm' = 4 irm wiru^ weshalb

tEFtr'

Ht = 2

wniwiru

9m

Nun ist ir,«'=-7- der reeiprok** TTerth einer Länge, also !SyJ,u7«,' eine

1*11»

Länge und man muss deshalb eine der drei Strecken irur, tcir-, u (gleichgültig
welche) mit dem Ifaassstabe messen, in welchem die w' aufgetragen worden
sind, öie andern beiden aber mit dem Längenmaassstabe der Zeichnung.

♦) Für den Träger in Fig. 306 ist Z'" = A' b\

312

Zweiter Abschnitt — § 11-

b. Zureitet Verfahren,

116. Wir entwickeln noch ein zweites Verfahren, welches auch
über den Einflass schräger Lasten Anfsehlass giebt und sich eng an
die in No. 64, Seite 158, gegebene allgemeine Lösung anlehnt. Zu
dem Zwecke ersetzen wir das linke Widerlager durch eine starre Scheibe
(Fig. 815*), und ftlgen in dem vorläufig beliebig angenommenen Punkte
0 derselben zwei sich aufhebende Kräfte JT^ hinzu, welche dieselbe
Richtung und Grösse haben, wie der linke Kämpferwiderstand K^ . Die
eine dieser beiden Kräfte bildet mit dem Kämpferwiderstande Ki ein
Kräftepaar, dessen Moment K^c wir mit X^ bezeichnen; die andere zer-
legen wir in X^ (senkrecht) und X« (mit vorläufig willkürlicher Rich-
tung). X«, X», X„ führen wir als die statisch nicht bestimmbaren
Grössen ein. Sind dieselben bekannt, so lässt sich Ki wie folgt finden:
Zunächst stellt man Grösse und Richtung von K^ mittels des Kräfte-

Flg. 815.

zuges Xc Xj, in Fig. 315^ fest. Nun bestimmt man die in Fig. 315*
mit Z bezeichneten senkrechten Kräfte, welche ein dem Kräftepaare
(Xi, Ki) gleichwerthiges Paar bilden, mittels der Bedingung Zk = X.,
bildet hierauf in Fig. 315^ die Mittelkraft L von Z und K^ und zieht
durch 0 zu L eine Parallele; sie schneidet die Senkrechte durch Ä im
Durchgangspunkte JF\ des Kämpferdruckes -fiT^.

Bei Aufstellung der Elasticitätsbedingungen legen wir dem Punkte
0 die Ordnungsziffern h oder c bei, je nachdem wir 0 als den An-
griffspunkt von Xb oder X^ bezeichnen wollen. Zur Berechnung des
Einflusses einer in m angreifenden, beliebig gerichteten Last P«, be-

Facliwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 313

nutzen wir die Gleichungen:

(21) X. = P, -"-•- , X, = P^ ^-'- , X = P- ^'

in denen die & die in der Einleitung erklärte Bedeutung haben, und deren
Gültigkeit voraussetzt, dass der Angriffspunkt von X», X^ und die
Kichtung von X^ nach den auf Seite 158 und 159 (im Beispiel 1) gegebenen
Regeln bestimmt werden. (Erzielung von 5«j = 8j. = 0; 8.^ = 8^.=rO ;
Sic = 8,» = 0).

Wir fassen (Fig. 316) den Stabzug 0—1 — 2 — 8—4 8—9

mit der ruhenden Seite 0 — 1 ins Auge, und schliessen an diesen den
(vorläufig noch nicht gegebenen) Punkt 0^ 10 mittels der starren Stäbe
9 — 10 und 8 — 10 an. Das Dreieck 8 — 9 — 10 ist dann die das
linke Widerlager vertretende Scheibe. Die Stablängen bezeichnen wir
mit dif dj, d^ ... und die in demselben Sinne zu messenden Winkel
zwischen den aufeinander folgenden Seiten mit a^, a^, a^ » , ,

Werden die Formänderungen der Füllungsstäbe vernachlässigt, was
meistens erlaubt ist, so sind die Verschiebungen der Knotenpunkte durch
die Aenderungen Aa der Winkel a vollständig bestimmt. Dabei ist
mit den geläufigen Bezeichnungen 8„ und r„:

(22) Aa^ = + -^-'" bezieh. Aa„. = — — -

T f

je nachdem a^ ein Dreieckswinkel ist oder nicht.

M^ 3/",,, Sf^

Dem Angriffsmomente M^ entspricht ^S« = -f und A «^ = -f- — -— ,

wobei sich das obere Vorzeichen auf die obere Gurtung bezieht, das
untere auf die untere Gurtung. Ist a ein Dreieckswinkel, so ist 8 ein
Untergurtstab, anderenfalls ein Obergurtstab, so dass allgemein:

(23) Aa„ = + -f"^ und £F.Aa, = ^''' |s

WO Fo eine beliebig grosse, aber konstante Querschnittsgrösse bedeutet.
Rechnen wir also mit

(24) Aa^= *r l' M^

so erhalten wir die JSJF^- fachen Verschiebungen, eine Vergrösserung,
die auf das Ergebniss der Gleichungen 21 ohne Einfluss ist, da in
diesen nur Verhältnisse von Verschiebungen vorkommen.

314 Zweiter Abeclmitt. — § 11.

Fach werkbogen niit eiDgespanuten Kämpfern. 315

Den Zaständen Xa = — 1, X5 = — 1, X^ = — 1 entsprecben
die Momente:

und in Folge dessen die Winkeländeningen:

r F ^r F r F

deren absolute Werthe mit den im ersten Verfahren benutzten 6e*
Wichten wj, wj\ wj" übereinstimmen, wobei nur zu beachten ist,
dass jetzt y rechtwinklig zu X, gemessen werden muss.*)

Die Au&eichnung der Verschiebungspläne geschieht nun in folgen*
der Weise.

/. Versehi^mngsplan für den Zustand X^ = — 1. Man betrachte
die Winkeländerungen — ^olJ als lothrechte nach abwärts gerichtete
Kräfte und verbinde sie durch einen Seilzug /, dessen erste Seite
wagerecht anzunehmen ist und dessen Polweite trj willkürlich ge-
wählt werden darf. Durch die den Knotenpunkten 1, 2, 3, ... 9
des Stabznges entsprechenden Punkte des Seilzuges lege man wage-
rechte Gerade ffn g^, g^f • • • nnd zeichne von dem beliebig in gi an-
genommenen Punkte l' aus einen Linienzug l' 2' 3' 4' ... . 9^ dessen
Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des Stabzuges 1 — 2
— 3 — 4 .... 9 sind. Die yon dem mit l' zusammenfiällenden Pole
0. nach den Punkten 2\ S\ 4' . . . gezogenen Strahlen stellen dann
die Verschiebungen der Knoten 2, 8, 4, . . . nach Grösse und Richtung
dar, und man findet daher den einer Einzellast P», entsprechenden Werth
h^„ als Projektion des Strahles O^m' auf die Richtung yon P«, und
zwar in einem Yon der Polweite Wj und den Werthen E, F abhängigen,
vorläufig gleichgültigen Maassstabe. Da nun der (die Ziffer 10 tragende)
Punkt 0 in Ruhe bleiben soll, muss lO' mit 0« zusammenfallen und
es ist mithin die Lage von 10 durch die Bedingungen: 9 — 10_L9' — lO',
8 — 10_L8' — 10' bestimmt; auch leuchtet ein, dass Punkt 10 in der
senkrechten Schwerachse der Gewichte — Aa' = tr' liegt, wodurch
das Zusammenfallen von X^ mit der früher benutzten Achse A^ be-
wiesen ist.

Ein zweites Verfahren der Aufzeichnung des Linienzuges l' 2' 3' . . .
besteht in der Berechnung der Drehungswinkel ^ und Werthe p = vpc^

*) Es wird sich später zeigen, dass die Richtung von Xc mit der Rich-
tang der Achse Ax in Fig. 805 zusammenfällt Wäre die wagerechte Pro-
jektion von Xe (d. i. H) als statisch nicht bestimmbare Grösse eingeführt
worden, so würde die üebereinstimmung der Aa"' mit den früheren u?'" eine
vollständige sein.

316

Zweiter Abschnitt. — § 11.

für die einzelnen Stäbe d^^ d^ . . , Man erhält:

+1 = Aa^; ^, = v|>i + Aa^; 4^3 = +« + ^«aJ

pi = <^i^i; p« = ^% +2; Ps = ^8 4^3;

und macht nun:

1' — 2' = pi; 2' — 3' = p,; 3' — 4' = p^ ;

Ein drittes Verfahren stützt sich auf den Umstand , dass die
Strecken p nur von den Aa und d abhängen, nicht aber von der Ge-
stalt des Stabzuges. Beibt man also die Btablängen d wagerecht an-
einander, wie dies die in kleinerem Maassstabe gezeichnete Fig. 317

zeigt, so findet man die

-^.ae^ -^.ofg -^(Xg -4ctt -i^cc^-Ja^ -Jce^

-Jet,

i,\ d^jaXd,

4,. d,

yri

Flg. 3t7.

Wcrthe p als die Unter-
schiede aufeinander fol-
gender Ordinaten eines
die Gewichte — Aa ver-
bindenden Seilpolygons«
Schliesslich könnte
man viertens die Punkte

1', 2', 3' mit

Hilfe eines Williot*schen

Yerschiebungsplanes
festlegen. . .

Das erste Verfahren
lä&st im Stich, sobald
der Stabzug lothrechte
Stäbe enthält, und es

führt zu ungenauen Ergebnissen, falls Stabrichtungen vorkommen, die

von der Lothrechten nur wenig abweichen.

Man denke sich z. B. den Stab 7 — 8 der lothrechten Lage genähert, um
einzusehen, dass eine genaue Bestimmung des Punktes 8' in Folge des ent-
stehenden schleifenden. Schnittes schwierig ist. Man würde dann p, berechnen
oder von dem Seilpolygon in Fig. 317 das Stück 6—7 — 8 aufzeichnen, welches
durch pe luid Ao^ bestimmt ist. Besitzen mehrere Stäbe eine solche Lage, so
wird man von der Anwendung des ereten Verfahrens ganz absehen. Am über-
sichtlichsten ist die Bestimmung der p nach Fig. 317.

Nach Ermittlung von 5^« findet man den Einfluss von P«, auf
Xa mittels der ersten der Gleichungen 21, in der 5«. den Drehungs-
winkel (vp) der Scheibe 8 — 9 — 10 für den betrachteten Belastung»-
zustand -XT« = — 1 bedeutet. Nun entspricht dem Stabe 9 — 10 der

9' — 10' 5.

Werth p9 = 9' — 10' also der Drehungswinkel 4^g =
und man erhält daher:

9—10

Fach werkbogen mit eingespannten Kämpfern. 317

und für die dnrch die Gleichung Zk=Xa bestimmte Kraft Z den Werth:

Einer in 5 angreifenden lothrecbten Last F^ entspricht:

Z — j^--

d. L ein Werth, zu dessen Ermittlung die Aufzeichnung des Seilzuges /
genügen würde.

//. Versehiebungsplan für den Zustand Xi, = — L Die Gewichte
— Aa = —5--- werden durch die Gewichte — Aa = , — „

r r r F

(welche rechts von 0 positiv also abwärts gerichtet sind) ersetzt und nun
wird das vorhin beschriebene Verfahren wiederholt. Der die neuen Ge-
wichte verbindende Seilzug // kann aus dem Seilzuge I in derselben Weise
abgeleitet werden wie in Fig. 809. Nur muss die Lage des Poles Ou
(bei beliebig anzunehmender Polweite it/j) so gewählt werden, dass die
erste Seite des Seilzuges II wagerecht liegt. Nach Eintragung des vom
Pole Ot aus gezeichneten Linienzuges l' 2' 8' .... B' 9' findet man
den einer schrägen Last P«, entsprechenden Werth S«» als Projektion
von O^m auf die Bichtung von P«, und die Verschiebung 5»» des An-
griffspunktes 6^10 von Xi, als Projektion des Strahles 0^ lO' auf
die Bichtung von X» = — 1. In Folge dessen findet man den Einflnss
der schrägen Last P«:

xr p ^"i

-A* — ■*!» t

und den Einfluss einer lothrechten Last P.

8...

-Aj P5 -.— •

Obb

Zur Ermittlung des letzteren Werthes würde die Aufzeichnung des
Seilzuges // genügen.

Noch sei aus dem Zusammenfallen der Punkte 8', 9', lO' der
Schluss gezogen 9 dass sämmtliche Punkte der Scheibe 8 — 9 — 10 bei
Eintreten des Zustandes Xi,= — 1 dieselbe Verschiebung 0^8' = 0|,9'
= OjlO' erfahren, dass also der Drehungswinkel S.t = 0 wird —
eine Bedingung, an welche die Gültigkeit der Gleichungeji (21) be-
kanntlich gebunden igt.

318 Zweiter Abschnitt. — § 11.

IIL Verschiebungsplan für den Zustand Xg = — 1. Da die Ver-
schiebung 5«^, welche der AngrifiPspoDki c von Xc im Sione von X«
und in Folge von X^ = — 1 erfährt, gleich Null sein soll, so muss die
Richtung von Xc rechtwinklig zum Strahle Oi, 10^ des soeben gezeich-
neten Versehiebungsplanes angenommen werden. Ist dies geschehen, so

werden die Gewichte ti"oL^=^y^-^ ~-=^y„w^ (absolut genommen)

bestimmt oder aber es werden — was meistens bequemer ist — Ge-
wichte ermittelt, welche den Werthen y^w^ proportional sind, beispiels-
weise die in der Figur 816 (im Kiäfteplane der w) dargestellten:

— ymt^mf wo ß eine beliebige runde Zahl bedeutet. Die algebraische

Summe dieser theils positiven theils negativen Gewichte muss gleich
Null sein (eine sehr scharfe Zeichenprobe!). Da nämlich die Bichtung
von Xc durch die Bedingung 5«^ = 0 bestimmt wurde, so muss nach
dem Maxwellschen Satze auch S^^ = 0 sein, d. h. es muss die Ver-
schiebung des Angriffspunktes b von X^ in der Richtung von X^ und
hervorgerufen durch Xc = — 1 gleich Null sein. Hieraus folgt aber:
OciO' J^Xj,, was nur der Fall ist, wenn die äussersten Seiten des Seil-
zuges /// zusammenfallen.

Man erhält schliesslich fttr eine schräge Last P«, und eine senk-
rechte Last F5 : >

^ und Xc = P^, 4'^

WO hcc die Projektion von 0..10' auf die Richtung von Xc bedeutet.
Die gestellte Aufgabe ist somit gelöst; und es möge nur noch
daran erinnert werden, dass man die den Linienzug 0^2' 8' ... . lO'
bezieh. 0^2' 8' .... lO' bestimmenden Strecken p auch in der bei
Herleitung des Verschiebungsplanes fttr X« = — 1 beschriebenen Weise
durch Rechnung oder mit Hilfe eines gestreckten Stabzuges (Fig. 817)
oder mittels eines Williotschen Planes ermitteln kann — und dass diese
Abänderung des in der Fig. 816 befolgten Verfahrens zuweilen geboten ist.

Es verdient hervoigehoben zu Werden, dass ganz hesondere Soigfalt auf
die Bestimmung der Lage des Punktes 0 und der Richtung der Kraft X, zu
verwenden ist. Etwa hierbei begangene Zeichenfehler sind von grossem Einfluss.
Will man diesen Theii der Aufgabe durch Rechnung lösen, so beachte man«
dass (wegen 'SyM7' = 0) der Punkt O mk dem Schwerpunkt^ der Gewichte w'
und die Kraft X« mit der früher benutzten Achse A« zusammen&Ut, weshalb
die auf Seite 318 abgeleiteten Formeln brauchbar sind; die y dürfen hierbei zu-
nächst lothrecht gemessen werden.

Andererseits liefern die vorstehend entwickelten Yerschiebungspläne einen
Beitrag zur Lehre vom Schwerpunkte und den Momenten zweiter Ordnung.

X, = P.-^ und X, = P^i -r- ,

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 319

Mit Hilfe des Linienzuges 0, 1' 2' .... . (den man dann um 90° nach links
drehen wird) vermag man den Schwerpunkt 0 einer Gruppe von Punkten zu
bestimmen, welche mit den Gewichten tc belastet sind und die Linienzüge

0hl' 2' , 0« 1' 2' können zur Ermittlung der Trägheitsmomente

^w'a^ und ^w'y^ benutzt werden. Man findet nämUch:

^hh — ^ ; ^oc — ^ — =^;

V!l tüJZ tCl WIU

also für ir/^ tonz=. ufin= 1 und p = 1 :

IV. Einfluss einer Temper aturänderung. Wir gehen von den
Formeln ans:

(25) X.,= i-^; X„=l^;X,,= i^

ö«a 0*6 0««

in welchen \t den Yon der Temperatnränderang hervorgemfenen
Drebnngswinkel der Scheibe 8 — 9 — 10 bedeutet, w&hrend \^ und 8,<
die von der gleichen Ursache herrührenden Verschiebungen des Punktes
10 im Sinne von X^ bezw. X^ sind.

Wir nehmen eine gleichmässige Erwärmung des Trägers an und machen
zur Vereinfachung der Becbnung die stets zulässige Annahme, dass sich
auch die Strecken 1 — 0 und 8 — 9 in demselben Maasse ausdehnen können,
wie die Fachwerkstftbe. Es sind dann alle Winkeländerungen = 0 und

der Stabzug 1 — 2 — 3 8 nimmt eine Form an, welche der

anfUngliehen Gestalt ähnlich ist. Man erhält 5.f = 0, ferner, da die
Verschiebungen yon 10 mit denen des Punktes 8 übereinstimmen:

wo U lind l, die Projektionen der Strecke 8 — 1 auf die Richtungen
von Xi und X, bedeuten. Hiemach ergiebt sich:

^ TT _ «^^6 xr _ e</c

Xmt 0 ; X^t ""£ 1 -^et * •

Sollen hierein die in Fig. 816 dargestellten Strecken 5»» und 5««
eingesetzt werden, so ist zu beachten, dass jene Verschiebungspläne
die ^F«- fachen Verschiebungen liefern, dass also die Zähler der Aus*
drücke fQr X»«, X« mit EF^ multiplicirt werden müssen. Weitere
Umformungen sind dadurch bedingt, dass die ' Pol weiten der Seilzüge
//, III (welche letztere die Biegungslinien für Xj== — 1 und X^= — 1
vorstellen) nicht = i sondern = Wa bezieh. Wjn sind, dass also die
entsprechenden Verschiebungen noch mit Wn bezieh. Wm zu multipli-
ciren sind. Schliesslich wurden die Gewichte to' = xw' und u/'^ = yw

durch die Gewichte - - und — - — ersetzt; was eine. weitere Mul-

VOi

tiplication mit Wi bezieh, -r- zur Folge hat. Man erhält daher:

P

320 Zweiter Abschnitt. — § 11.

_ 6EFUt , ^ - eEF.l.t
-*»« =^ ^^ — quci JL^f = p

Von den in den Nennern erscheinenden drei Strecken (trj, tcn, h^^
bezieh. Wj, Wjat 8««) müssen je zwei mit dem Lftngenmaassstabe ge-
messen werden (z. B. ttu and S»» femer tcm und S««) and je eine
(nämlich beidemale Wj) mit dem Maassstabe, nach welchem die Gewichte
tv angetragen worden sind.*)

2^Mchnet man die Verschiebungspläoe nach dem Verfahren Ton TVilliot,
so fassf man die den Zuständen Xm = — 1, X* = — 1, Xs = — 1 entprechen-
den Spannkräfte Smt St, Se, als Zahlen aof. Die mit EFe mnltiplicirten Langen-
ändeningen

ASm = SaSat ^8h= SbSh, A«c = &A««

sind dann L&ogen, welche in einem geeigneten — vom Maassstabe der Zeichnung
unabhängigen — Maassstabe aufgetragen werden, mit dem auch die d^^, 5re ge-
messen werden. Man erhält dann:

Xki = e^EFct-^; X^, = gEF.t '*

117. Der Rämpferdmck , dessen Zerlegung die Unbekannten X«,
X», X, liefert«, ist die Mittelkraft der Spannkräfte in den drei am
Widerlager angreifenden Stäben. Ersetzt man diese drei Stäbe durch
drei andere, von irgend einem Schnitte it getroffene Stäbe, Fig. 318,
so gelangt man zn der folgenden LOeong, die sich von der eben be*
schriebenen nur anwesentlich onterscheidet and deshalb nur einer knizen
Erläntening bedarf.

Man betrachte zunächst den links vom Schnitte tt gelegenen Theil
des Bogenträgers, Fig. 319, ersetze die Spannkräfte in den durch-
schnittenen Stäben wieder durch ein Kräftepaar X« und zwei Einzel-
kräfte Xfr und X« und stelle sich vor, es greifen X^, X» und X« an
einer starren Scheibe / an, welche mit den durchschnittenen Stäben
durch drei in der Linie tt liegende Gelenke, von denen auch zwei zu-
sammenfallen dürfen, befestigt ist. Diese Scheibe wird sich beim Ein-
treten des Belastungszustandes X« = — 1 um einen leicht zu bestim-
menden Pol (/) drehen.

In derselben Weise verfahre man mit dem rechten Trägertheile,
Fig. 320, und ermittle den Pol (//) der Scheibe II ftlr den Zustand
X« = — 1. Nun suche man den in der Verbindungsgeraden der
Pole (/) und (//) liegenden Pol (///) von I gegen II auf und wähle
diesen Punkt zum Angriffspunkte von X» und X«; er spielt dieselbe
Rolle wie der Punkt 0 in Fig. 315 und möge bezeichnet werden

*) Vergl. den Schluss von No. 115, Seite 811.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

321

mit hj als Angrifbpnnkt der an / angreifenden Kraft X^,

ff

>>

//

1»

it

ff

Hg. 818.

i!
I

Fig. 319.

Hg. 320.

Es bedeutet danp, mit den anf Seite 31 und 32 erklärten Begriffen,
\m die gegenseitige Verschiebung des Pnnktepaares hiha im Sinne der

Belastung X^=^ — 1 und in Folge der Belastung X„ = — 1,
5«.« desgleichen des Punktepaares C/ Cn im Sinne X« = — 1 und in

Folge von X, = — 1 ,
^«* desgleichen des Punktepaares Cx Cjj im Sinne Xg = — 1 und in

Folge von JT» = — 1.
Da nun der Punkt (///) im Belastungsfalle X^==^^l als gemein-
schaftlicher Punkt der beiden Scheiben I und // angesehen werden
darf, so ist

8j, = 0 und 8,. = 0.

Soll auch 5eft verschwinden, so muss, nach willkürlicher Annahme der

MtlUr-BreiU«, Onphtoche SUtik. II. 1. 21

322

Zweiter Abschnitt — § 11.

Biohtnng ron X^, die Bichtnng von X, rechtwinklig zn der Geraden
Ci Ca gewählt werden, wo c/ und Cn die Endpunkte der Strecken Ocx
und Ocn sind, welche die Verschiebungen der Punkte Ci und Cu für
den Belastungszustand X^ = — 1 darstellen.

Als Bechen- und Zeichenproben stehen die Bedingungen

*.* = 0, K. = 0, \, = 0

zur Verfügung, welche der Reihe nach aussagen: es müssen die Winkel,
um welche sich die Scheiben /und //in den BelastungsfUlen Xb= — 1
und X^, = — 1 gegeneinander drehen, gleich Null sein, und es muss
die Gerade bj hn mit Xt einen rechten Winkel bilden, wo &/ und ha
die Endpunkte der Strecken Ohi und 0ha sind, durch welche die Ver-
schiebungen der Punkte 6/ und ha für den Belastungszustand X«= — 1
dargestellt werden.

Wir heben noch henror, dass

EF

EF

EF

den Winkel bedeutet, um den sich die Scheibe I gegen die Scheibe //
dreht. Die Summe 2/ bezieht sich hierbei auf den Trftgertheil links
vom Schnitte tt (wobei die linken Abschnitte der durch den Schnitt tt

Flg. 821.

getheilten Stäbe mitzurechnen sind) und die Summe Sa umfasst das
Stabwerk rechts von tt; die erste Summe ist gleich dem Drehungs-
winkel der Scheibe i, die zweite gleich dem Drehungswinkel von IL
Das Verhältniss der beiden Strecken ei und eat in welche die Strecke
(/)(//) durch deü Pol (HI) zerlegt wird, ist

ei

ea

*TZ

EF
EF

Fach werkbogen mit eingespaanten Kämpfern.

323

In Fig. 321 ist der Schnitt tt durch einen Knotenpunkt der
oberen Qurtung geführt worden. Punkt G erfahre als Punkt der
Scheibe I die zum Polstrahle G (1) rechtwinklige Verschiebung 5/ und
als Punkt der Scheibe // die zu G (II) rechtwinklige Verschiebung ha-
Macht man dann (/) Fj = (/) G und (//) Fn = (11) G und errichtet
man auf der Geraden (I) (II) in den Punkten Fj und Fu die Lothe
FjEx =p 5x und FnEu = S/j, so bestimmt der Schnittpunkt E der
beiden Geraden (I) Ej und (II) En den Pol (///). Es ist E(in)
± (/) (11).

Fig. 822.

Besitzt der Träger eine Symmetrieachse tt, so halbirt der Pol (///)
die Strecke (/) (//), Fig. 322. Ist eine Scheitelvertikale vorhanden,
80 halbire man sie durch einen längs der Achse geführten Schnitt und
weise je eine Hälfte derselben jedem der beiden Trägerthetle zu. Be-
züglich der Einzelheiten dieser Untersuchung verweisen wir auf den
zweiten Theil des folgenden Zahlenbeispiels.

/'

Flg. 323.

Fallen die beiden Kämpfer zusammen, so entsteht der Fachwerk-
ring, Fig. 323, dessen Berechnung mithin durch die vorstehenden Be-
trachtungen ebenfalls erledigt ist.

21*

324

Zweiter Abfichnitt — § 11.

c Zahteiibeitplel. Erttir Tli»ll.

118. Aufjg^abe. Es sollen die Einflosslinien für den in Fig. 824 dargestellten
Bogentrager ermittelt werden. Spannweite nnd Pfeilhöhe der unteren Gurtnng
sind 00^ und 15"*, lAnge der Scheitelvertibüe 1,5"*, der Vertikale am Kämpfer
3,95**. Die Knotenpunkte 0, 1, 2, ... . beider Gartungen liegen in Parabeln; ihre
auf die Sohlusslinie Ä B der unteren Gurtung bezogenen Ordinaten y'« und y «
sowie die Höhen hm=^y9m — y'«» sind, auf zwei Decimalstellen abgerundet, in
der Tabelle I, Seite 826, zusammengestellt worden. Die Verkehrslast wird nur
auf die Knotenpunkte 1, 8, 5, 7, 9, 9', 7^, . . . . übertragen, sie sei gleichmassig
vertheilt und p = 2,5' f. d. m. Ebenso gross sei die gleichförmig vertheilt an-
genommene stiUidige Belastung g.*)

f \ f [ i i

rr

^,

^jt

^^ ^;

Flg. 324.

ir, «^

^*

T

119. Die Gewichte Wm sollen zunächst unter der Voraussetzung starrer
Füllungsstäbe berechnet werden. Es ist dann (nach Gl. 14 auf Seite 111):

Wm = -r~ (— Ä om sec ß« + A ««+1 sec y«+i)

flm

sec ßm + - ^ ^ sec ym+ij

EFom ^^ ' EFu(m^\)

und, da o» = X sec ß,», Um+\ = X sec y«+i ,

Om = ^j — sec ß«, Um^\ = + -r— 8e<5 Y^+i »

ffm ftm

*) Diese Annahme machen wir hier der Einfachheit wegen. Bei einer
Bogenbrücke mit grösserer Pfeilhöhe wächst g nach dem Kämpfer hin.

Fachwerkbogen mit eingespannteD Kämpfern. 325

(1) u?m = -rr\ Mm ^« h Mm -=r^

hm L JCäJfom /Si'H(M-f-l) -I

WO 3f 1 das Angriffismoment für den m^** Knotenpunkt der unteren Gurtung,
Mm desgl. für den m*" Knotenpunkt der oberen Gurtung bedeutet.

Wegen der grossen Reilhöhe wachsen die Gurtquerschnitte Fo und Fu vom
Scheitel nach dem Kämpfer ziemlich stark an, und es möge deshalb die für die
Rechnung besonders bequeme Annahme gemacht werden,

Fmm = F, SeC » P«, Fm{m^\) = F# SCC » Y»i+1

WO F, den Gurtquerschnitt im Scheitel des Bogens bedeutet. Es geht dann
Gleich. (1) über in

(2) '^-=iöri^k^^*-+^"^

und nach Heben des konstanten Faktors -v-^=- in

EF,

(8) Wm^-^^Ml + M'i).

Bei Ermittlung des Einflusses der Temperaturänderung ist später daran zu
denken, dass die auf Grund der Gleich. 8 gewonnenen Verschiebungen noch mit

multipliciert werden müssen.

EFa

Wir wenden zur Ermittlung der Kämpferdrücke das unter a beschriebene
Verfahren an, wollen aber die Ordmaten der Seillinien durch Rechnung bestimmen.

hl.

120. Znstand JC' = — 1. Es ist Jlf 1 = Jif i = + 1, mithin u^'« s= -^, wofür

(4) Wm = -j^

gesetzt werden darf. Nach Berechnung der Momente M' eines mit den Ge-
wichten wm belasteten Balkens von der Stützweite /=r 60* Fig. 305 c erhält man

(5) A" = -^4 •

Die Berechnung der M' erfolgt am schnellsten nach dem auf Seite 201
beschriebenen Verfahren mit Hilfe der Querki-äfte Q'm^=^Q*mJ^\'\-iCm nach der

M* Af'

Formel — r-^ = — ^^ + Q'm und ist in der Tabelle I übersichtlich zusammen-

gestellt worden. X* wurde nur für die Knotenpunkte 1, 8, 5, 7, 9 ausgerechnet,
da es im vorliegenden Falle zulässig ist, auch die ständige Belastung ausschliess-
lich auf diese Knotenpunkte zu veitheilen.

121. Zustand X" = — 1. Es ist 3f « = 3/i = 1 • Xm, mithin w'm = ^,

hm

wofür

(6) t". = i:-

gesetzt werden darf. Für die linke Trägerhälfte sind die w" positiv, für die
rechte negativ. Für einen mit den tr' belasteten einfachen Balken von der
Stützweite / (Fig. 805 e) eigiebt sich ün vorliegenden Falle, wegen der sym-
metrischen Tiägerform, in der Mitte das Moment jlf":=0. Es darf deshalb die
If''. Linie der einen Trägerhälfte auch als Momcntenlinie eines Balkens von der

326

Zweiter Abschnitt — § 11.

II

^

CO

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«O CO <p-i <^ 05
Q "^ c^^ -^ O

O O -^ OJ -f
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0,756

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0,950
0,850
0,750
0,650
0,550

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0,04374

0,107

0,129

0,106

0,041

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Facbwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

327.

I

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II C4 (M
II 99 O)

2 O O

s • • •»

^ ^ >»

04 0)04

1-1 M

r» «

328 Zweiter Abschnitt. — § 11.

Stützweite \ l au^efasst werden. Der Stützenwiderstand Ä" ist dann

und die Querkraft für das Feld Ol

Q =:A -Wo »

Aus den Momenten M'* findet man

2«;"a: 2 2^^

Die Tabelle I enthält die Ausrechnung der Werthe X** und die aus ihnen
folgenden lothrechten Seitenkräfte der Kämpf erdrücke fürP=l, nämlich (vergl.
Seite 308)

(8) ^ = ly + -X" und 5=1 — X

Für die rechte Trägerhälfte erhält man dieselben Berthe X^\ nur sind dieselben
negativ.

122. Zustand X'*' = — 1. Bezeichnen y« und y« die Ordinaten der Gurt-
knoten in Bezug auf eine mit X"' zusammenfallende x- Achse, so ist MZ = 1 - y«
imd Mit = 1 - y« tind

(9) «^«"' = -^(y-4-y-).

Die neue a;- Achse muss so bestimmt weixien, dass 2trM'" = 0 wird; ihr
Abstand Cu von der Schlusslinie AB der unteran Gurtnng ist

(10)

0

y«'+yp')

1
Vi,

Cu —

^2 ^

Die Untersuchung des Zustandes X'" = — 1 ist in Tabelle II durchgeführt
worden. Aus der Summe der Glieder der dritten Spalte und der vorhin ge-

fundenen Summe 2 -j-r- = 2,45 ei-giebt sich c^ = » \ .^ = 12,99-', und die

Summe der auf Grund dieses Werthes berechneten Gewichte tr'",

Sm^'"== — 6,208 + 6,206,

weicht nur unwesentlich von Null ab.

Aus den Momenten 3f '" ergeben sich für den Horizontalschub die AVerthe

(11) H^X — ^i ^ ""2-58,586

2S(yi + yJ)~-

M"' 1 Af'" l

"" X 2 ♦ 58.536 X 39,024

3,0

188. Berechnung der Lage der Kämpferdrftcke. Um die Kämpfer-
drücke möglichst genau aufzeichnen zu können, empfiehlt es sich, die Ordinate y*

Faohwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

329

der Kämpferdnicklinie und die Schnittpunkte der Kämpferdrücke mit der a;-Achse
durch Rechnung zu bestimmen. Mit den aus der Fig. 825 ersichtlichen Be-
zeichnungen findet man

(12) / = ^,e" = -^^*

Das Angriffsmoment für den Punkt 0 ist, nach Gleich. (3), Seite 298 (wegen
a?m = 0 und y,, =0):

andrerseits ist aber auch

mithin ei^giebt sich (für P= 1)

/ 2

Nun ist

folglich

a

(13) BV^~-X\

yi-(e + r}^

(14)

Hyk = Be-]r- a- X\

Flg. 335.

und für die Knotenpunkte 1, 3

Hyu = 0,00626
= 0,048
= 0,121
= 0,244
= 0,409

5, 7, 9 der Reihe nach

27 + 1,5 — 1,46327 = 0,20575
21+ 4,5 — 4,224 =1,179
15+ 7,5-6,637 =2,678
9 + 10,5 — 8,498 = 4,198
3 + 13,5 — 9,533 = 5,194.

I.

330

Zweiter Abschnitt — ^11.

Aus diesen Werthen ergeben sich

fürm=l 3 5 7 9

die Strecken yt= 6,09- 5,78"« 5,50- 5,26- 5,18-

«'= 0,21- 1,23- 3,05- 5,55- 8,79-

ö" = 32,87- 27,42- 22,18- 17,20- 12,70-.

In Fig. 326 auf Tafel 6 sind die Eämpferdrücke dargestellt worden.

124. Beaehnngen sswiachen den Spannkrftften XJ, 0, D, V und den
Momenten ilf *, Fig. 327. Durch die AngrifEBmomente M* für die Knotenpunkte
der oberen Gurtung sind die Spannkräfte 17 ohne weiteres bestimmt; es empfiehlt
sich, die Einflusslinien für die wagerechten Seitenkräfte

(15) (7«+iC0SY«+i = + -T-^

ftm

aufzutragen. Für die obere Gurtung erhält man dann

Om COS ßm = — i7,» + l COS ym + i — H

I

1

(16)

Om COS P„ = —

Diese Gleichung gilt auch für Oio>

hm

— H.

e«-2r

Y

Fig. 327.

Flg. 328.

Die Spannkräfte D« sind bestimmt durch

(17)

Dm cos 9» =

Ml.

Ml.

hm hm—l

und die Spannkräfte V (mit Ausnahme von K« und FjJ durch

h'm-i

(18)

KfwXfM = Mm-]

Mm

hm

Zu dieser Formel, die wir früher nur für senkrechte äussere Kräfte herge-
leitet haben, gelangt man am schnellsten durch Betrachtung des Gleichgewichts
der am unteren, unbelasteten Knotenpunkte m angreifenden Kräfte. Zerlegt man
17m 4.1 und Um nach Fig. 328 in ihre wagerechten und senkrechten Seitenkräfte
imd wählt man den oberen Knotenpunkt m — 1 zum Drehpunkt, so findet man

KwX», = Um cos fm ' Ä»-l — Um-hl COS Y»+i h'm~l

FachwerkbogeD mit eingespannten Kämpfern.

331

und aus dieser Gleichung findet man mit Hilfe der Formel 15 sofort die
Gleichung 18.*)

Die Berechnung der Strecken h'm-\ gestaltet sich besonders einfach« da die
Knotenpunkte der untei'en Gurtung in einer Parabel vom Pfeile f = 15,0*" liegen.
Es ist nämlich

8 f\
tg Y« — tg Y« +1 = Konstante = — ^ -

mithin

h'm-i^hm-i— y^ (tgYm- tgY«+i)=Ä— i TT" = ^"»-^ ~ "önt

(19)

Man erhält für

m = l
hm-\ = 3,65

*'— = 1,05

Am

8

Ä'—i = Ä«-i = 0,30.

6

8,18 I 2,77 2,40 2,08 I 1,81 > 1,59
1,04 I 1,03 I 1,01 0,99 I 0,96 , 0,92

8
1,42

0,89

9
1,30-

0,86

Die Spannkraft in der Scheitelvertikale ergiebt sich, da der obere Knoten-
punkt 10 unbelastet ist, ohne weiteres aus Oio (Fig. 830), und für die Spann-
kraft Vq finden wir durch Untersuchung des Gleichgewichts am oberen, unbe-

*) Greifen die Lasten in den Knotenpunkten der unteren Gurtung an, so
betrachte man den Gleichgewichtszastand der am oberen Knotenpunkte m an-

I
I

X^m.*i ^

'^m^l ^

Fig. 329.

greifenden Kräfte. Man findet dann aus der Momentengleichung für den unteren
Knotenpunkt (m-f 1) (Fig. 829)

>mX«+l = Om+l cos ß«+l • Äw+l — Om COS ?mÄ"m+l

und , da Om cos ß.^ = — ^7^ ist ,

(18 a)

hm

K'm
h^

+1

332

Zweiter Abschnitt. — § 11.

lasteten Knotenpunkte 0 nach Fig. 831 die Gleichung

TpXi + Oo cos Po • ÄJ + ^1 cos 9i . Äj = 0
(20) Fo Xi = — 0,095 Oo cos ßo —•8,48 D^ cos 9|.

\

Fig. 330.

k A^, •>

Fig. 831.

-^D,c»f,

125. Einflnsslinien fftr die Momente M*. Bedeutet v) den in senkrechter
Richtung gemessenen Abstand eines Knotenpunktes tn von dem zu einer Last 1
gehörigen Mittelkraftspolygon (Fig. 325), so ist der Einfluss dieser Last 1 auf das
Angriffsmoment Mm nach Seite 298

es ist positiv oder negativ, je nachdem m unterhalb oder oberhalb des Mittel-
kraftspolygons liegt. Auf diese Weise kann man die Einflüsse der in den Knoten-
punkten 1, 8, 5 ... angreifenden Lasten 1 auf sämnitliche Angriffsmomente Mm
schnell ermitteln. Auch die Anwendung der Formeln

Mm = Bx** — Hym (für die Knotenpunkte rechts von der Last)
Mm = Ax' — Hym (für die Knotenpunkte links von der Last)

führt bei gleichen Feldweiten sehr schnell zum] Ziele, weil sich die Werthe
Bx" und Ax' von Knotenpunkt zu Knotenpunkt um die konstanten Betrage BX
und A \ ändern. Die Ergebnisse der Rechnung sind für alle Momente M* in der
Tabelle III zusammengestellt worden. Die Tabellen IV, V, VI und VII enthalten
die mittels der Formeln 15 bis 20 berechneten Ordinaten der Einflusslinien für
die t/'cosY, Ocosß, DCOS9 und V\.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

333

CO

iCi

a>

k'

a

B

o

:4

lA

00

iOO»OOQ-^t«QOOOO»aO
i^000000-^*^00

ooooooooooo

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I I

O'^C000C4'^C0r<-C000O
OOOOOOOOOOO

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+ 1

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i-i-^iO-^-^COOSOOOiO«©

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OOOOOOOOOOO

+++I i M M M

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000000'*H'*Hv-(00

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OOOO'-^^^i^^hOOO

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+

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MM 1++++

C0O00iA^'^9>i-«fc«<0'i#

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^OiAOOOlOiAO'AQOO»

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COtHiHOOOOOOOO

OOOOOOOOOOO

-H-+++++1 I I

.. •• •• •• .« •• •• •• •■ •• ••

e

V. Om COS ß«, =

hm

— U.

Last in

00 cos

01 cos
0, cos
Oi cos
O4 cos
Oö cos
Oe cos
O7 cos
Og cos
Ob cos
Oiocos

9

9'

r

5'

I

3'

1'

ßo
ßi
ß.
ßs
ß*

ß5
36
ß7

ße

ß9

ßio

+ 0,59
—046
—0,14
—0,13
—0,11
— 0,09
—0,07
—0,04
—0,02
+ 0,00
+ 0,02

+ 1.21

+0,72
+0,05

— 0,84
!— 0,73
I - 0,60
'—0,46
-0,81

— 0,15
-0,02
+ 0,09

+ 1,06+0,34
+ 0,84+0,38
+ 0,50+0,36

-0,00

— 0,71

— 1,67
-1,33

— 0,95
-0,56

+ 0,23

— 0,04

— 0,50

— 1,19

— 2,13

— 1,46

— 0,21—0,82
+ 0,081-0,27

-0,57—1,19

— 0,34 j— 0,89

— 0,13-0,57
+0,031—0,27
+ 0,12—0,00
+ 0,07 + 0,20
-0,141+0,29

— 0.57 1+0,22
-l,26i-0,06

-2,19 0,58
-1,30 1,30

-1,27

— 1,00
—0,72
-0,42,
—0,13
+0,13,
+0,831
+0,42
+ 0,87|
+ 0,14!

— 0,27

—0,90

—0,73

—0,54

—0,34

—0,14

+0,05

+0,21

+0,32

+0,34

+0,27i

+0,08'

—0,41
—0,34
—0,26
— 0,17
—0,08
+ 0,01
+0,08
+ 0,14
+ 0,17
+ 0,15
+ 0.09

—0,07
-0,06
—0,05
—0,03
—0,02
—0,00
+ 0,01
+ 0,02
+ 0.03
+ 0,03
^+0,02

VI. DmQ0^9m=-

Ml

hm

Ml.

hm^l

Last in

Dl cos 9i
D2 cos 9j
Dg cos 98
2)4 cos 94
Ds cos 95
/>6 cos 9a
J)f cos 97
Dg cos 98
Dg cos 99
Diocos9xo

+ 0,75

— 0,01
-0,02
-0,02
-0,02

— 0,02

— 0,02
—0,02
—0,02
-0,02

+0,49
+ 0,67
+ 0,89
-0,11

— 0.13
-0,14
—0,15

— 0,15

— 0,14

— 0,11

9'

r

5'

3'

1'

+0,22
+ 0,34
+ 0,50
+ 0,71
+ 0,96
-0,35

— 0,38
-0,38

— 0,85

— 0,29

— 0,05
+ 0,03
+ 0,13
+ 0,27
+ 0,46
+ 0,69
+0,95
—0,67

— 0,64

— 0,56

-0,23

— 0,21
-0,16
-0,08
+ 0,04
+ 0,21
+ 0,43
+ 0,68
+ 0,94'+

— 0,89 +

+
+

0,31
0,31
0,30
0,27
0,20
0,09
0,07
0,28
0,51
0,73

— 0,27

— 0.29

— 0,30
-0,29

— 0,26

— 0,20
-0,09
+ 0,05
+ 0,23
+ 0,41

— 0,17
—0,19

— 0,20
-0,20
—0,19

— 0,16
—0,11

— 0,03
+0,08
+0,19

—0,07
-0,08

— 0,09
-0,09
-0,09

— 0,08
-0,06

— 0,08
+ 0,02
+ 0,06

— 0,01
—0,01
—0,01
—0,02

— 0,02
—0,01
—0,01

— 0,01
+ 0,00
+0,01

vn. r«.x.

Last in 1

Vi\

y,x

FgX
F4X
V5X

FsX
FgX

-2,66
— 2,92
+ 0,08
+ 0,07
+ 0,07
+ 0,07
+ 0,06
+0^
+0,04
+ 0,02

9'

r

5'

8'

1'

1,83—0,85
2,23—1,25
2,40—1,47
2,54—1,68
0,45—1,85
0,42—1,94
0,38+0,98
0,32 +0,85
0,25+0,68
0,16+0,48

+ 0,13!
-0,171

— 0,42:

— 0.69!

— 0,95
-1,17
-1,34,
-1,38|
+ 1,35.
+ I1O3

+ 0,87
+ 0,73
+0,48
+0,19
-0,11
—0,41

— 0,71
—0,95

— 1,10

— 1,15

+ 1,18
+ 1.18
+ 0,97
+ 0,72
+ 0,43
+ 0,13

— 0,19
^^0,51
—0,76

— 0,95

+ 1,06
+ 1,13
+0,98
+0,80
+ 0,58
+ 0,85
+0,08

— 0,20

— 0,43

— 0,64

+ 0,69
+0,75
+ 0,67
+ 0,56
+0,44
+ 0,80
+ 0,18
—0,05
—0,20
— 0,34

0,30
0,88
0,80
0,26
0,21
0,15
0,08
0,00
0,07
0,09

+ 0,05
+0.06
+0,05
+ 0,04
+0,04
+0.03
+0,02
+0,00
—0,01
—0,02

■■
»

•:

334

Zweiter Abschnitt — § 11.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 335

126. Einflaas einer Temperatnrändeximg. Aendert sich die dem span-
nungslosen Anfangsznstande entsprechende Temperatur um t", so entsteht nach
No. 115

(21) H,^xr= , ^ ^^^'" ^ ,

-X" = 0, T angenähert = 0.

Der im Nenner von X«'" stehende Faktor -^-=- ist derselbe, der auf Seite 825

EF,

beim Uebeigang von Gleich. 2 zur Gleich. 3 gehoben worden war. Für V darf

/ = 60" gesetzt werden. Es entsteht dann, mit e^=250 t/qm für Flusseisen,

(22) m = '^^^'' = '^^'^^-^'^ = 42,7 F.t.

4 » / . . .^ 2.58,536 *^»'-^'''

wo Fg den Gurtquersohnitt im Scheitel der Brücke bedeutet*) In der Regel
genügt es, mit « = + 85° C. zu rechnen. Dies würde Ä< = ± 15001^. liefern.
Wir wollen aber, da der Einfluss der Füllungsglieder diesen "Werth erheblich
verkleinert, nur

Z/< = ±1400Jp;

annehmen. Die Berechnung von F, soll mit HUfe der auf Seite 185 abgeleiteten
Näherungsformeln (4) erfolgen.

Die Summe der positiven Ordinaten der Einflusslinie für Oio cos ßjo ist

:S = 2 (0,02 + 0,09 + 0,08) = 0,38

+

die Summe der negativen Ordinaten

2 = 2 (0,27 + 1,80) = 8,14.

Die Knotenlast setzt sich zusammen aus der ständigen Last 2,5 * 6,0 =^15' und der
ebenso grossen Verkehrslast 15*. Der grösste Druck Oio ist, wegen sec p,o = 1,00,

•*»0i« = — 80 . 3,14 + 15 . 0,88 = — 88,5*; ».«rO < «fc.O.

Der Cinfluss von Ht auf Oio ist

Äjo 1,5

Wird eine Beanspruchung von a = 950 kg/qcm = d500 t/qm gestattet, so eigiebt
sich F0 aus der Gleichung

88,5 + 1880 F» = 9500 F,.

Man erhalt K = 0,0116 qm.

Ganz ebenso findet man für J/^o cos Yiq = üi^ die Werthe

2 = 1,22, 2 = 3,04

+ —

«/•r,o = — 30 • 3,04 + 15 • 1,22 — -

Ht • yo9

= _73„1^^^^, = ^ 73-3110 F..

1,0«

*) Da die Quei'schnitte der beiden Gurtungen nicht gleich gross ausfallen,
so setze man für F, den Mittelwerth der beiden Gurtquerschnitte.

336

Zweiter Abschnitt — §11*

Aus der Gleichmig

73 + 81 10 F. = 9500 i?;

folgt F« = 0,0114 qm. Der mittlere Oortqnerschnitt betrSgt also im Scheitel
nind F«=: 0,012 qm und es darf daher mit

JTf = ± 1400 0,012 = 17*

gerechnet werden. Dieser Horizontalschab erzeugt die folgenden Momente

für Knotenpunkt 0 12 8 4

lf = + 158,68; ±113.22; +76,84; ±44,88; ± 17,17 «m

für 5 6 7 8 9 10

M* = + 6,29; + 25,50; +40,46; +51,17; +57,46; +59,67 fm

und aus diesen Momenten eigeben sich mit Hilfe der Formeln 15 bis 19 die in
Tabelle VIII zusammengestellten Spannkräfte in Tonnen.

Vm. Einfloss der Temperaturänderung.

1

tn

± Um cos Y«

±OmOOS^m

± Dm COS 9.,

+ r«x

0

56*

26*

1

39'

50

6*

35

2 '

33

42

8

83

8

25

34

8

81

4

17

24

10

27

5

7

14

4

23

6

3

4

10

18

7

13

7

11

12

8

24

15

8

5

9

82

21

6

2

10

88

23

8

127. QnerBclmittsbereolmiiiig. Es genügt hier, die Berechnung eines
Stabquerschnittes zu besprechen. Wir wählen die Diagonale D^ Die Einfluss-
linie für De cos <p^ liefert 2 = 0,90, 2 = 1,05. Es eigiebt sich also einschliess-

+ —

lieh des Einflusses der Temperaturänderung

-«.De cos 9e = — 30 • 1,05 + 15 • 0,90 — 10 = — 2«*,
^^De = — 28 sec 9e = — 28 • 1 ,03 = — 29 *.

•.a«I>6 ist kleiner als mtnD^. Das erforderliche Trägheitsmoment des Queischnitts

ist bei 5-facher Knicksicherheit nach der EuUr'schen

^1 I J^ = 2,5 Dd « cm*,

"** '^™* wo d die Länge der Diagonale in Metern bedeutet Maa

erhält
'*«• ^^- Jmin = 2,5 . 29 . 9,58 = 695 cm«.

Zwei gleichschenklige Winkeleisen von den Abmessungen 12*1,1 cm, Fig. 332,
besitzen Jmtm = 2 • 340 = 680, genügen also. Der Querschnittsinhalt ist F=2 • 25,4
= 50,8 qcm und die Beanspruchung

29
ff = z-^ = 0,57 t/qcni = 570 kg/qcm.

Oü,o

Fachwerkbogen mit eingespannteii Kämpfem.

337

Die auf diesem Wege gewonnenen Querschnitte sind in der Tabelle IX zu-
sammengestellt woixien unter Beifügung der Werthe

8 Stablänge in cm

— — SS» -■ — - - ■ - - — ■ •

F Querschnittsinhalt in qcm

Die Stablängen sind für die Gurtungen, Diagonalen und Vertikalen mit o, w, d, h
bezeichnet worden.

«w-

79. io

tvn-

J¥.lP

ent-

t9-ty.l,Z.

Flg. 334.

IX. Qaerschnitte.

a) Gurtungen.

F 0

I 0

F

L

4 Winkeleisen 13-1,2

1 Platte 34 1,1

2 Platten 16 -1,1 Fig. 883

193

259

193383

1,3
2,0

F

u

Winkeleisen 18 • 1,2
Platten 34-1.0
„ 16 -1,0 Fig. 834

252
252

414
394

n

1,6
1,6

0,
O,

0,

O, I

o.

11

Winkeleisen 18
13
18
13
13
13
18
13
13

^1

11

•M

189

•1,2 120

^1,2

120

1,2

120

•li2

120

•1.2

120

•1,2

120

•M

139

•1,2

120

369
354
342
330
321
312
307
302
300

2,6
3,0
2,8
2,8
2,7
2,6
2,6
2,2
2,5

1

4 Winkeleisen 13-1,2

1 Platte 34-1,0

2 Platten 16 -1,0 Fig. 835

186
186

375
358

U,\ 4

u, „

Winkeleisen 13
13
13
13
13
13

„
,1
11
11

•1,4 139

342

•1,4 139

329

-1,4 139

318

- 1,4 1139

309

•1,4 139

303

-1,2 120

300

b) Füllungsstäbe.

2,0
1,9

2,5
2,4
2.3
2.2
2,2
2,5

F

d
F

2>iol

2 Winkeleisen 12

11

,,

,1

51

11
11

11
11
•1

11

11

11

11

11

11

11

11

12

1
45 320 6,3

12

45 314 6,2'

12

45 311

6il

12

45 '310

6,1

12

45|310

6,1

12

45 310

6,1

13-

li2

54 312

5,2

13.

1)2

54 315

5,2

13.

1,2

54 321

5,3

14-

1,3

63 '330

5,7

V

2 Winkeleisen

11

1^
11

,1

1'

101 1,

J1
1)

11

11

11

n

11

11

11

15

•li4

81

15

•1,4

81

13-

li2

60

13

1,2

60

11

I1O

42,5

11

1,0

42,5

9-

1,1

37,5

9-

1,1

37,5

8'

1,0

30

8-

1,0

30

8'

1,0

30

395
348
307
270
238
211
189
172
160

4,9
4,3
5,1
4,5
5,6
5,0
5,1
4,6
5,3

1525,0
150,5,0

Hüller-BreBlau. Graphische Statik. II. 1.

22

338

Zweiter Abschnitt — § 11.

d, Zahlenbtisptoi, »wHer Thtil.

128. Im Anschluss an die vorstehende Querschnittsberechnung stellen wir
uns jetzt die Aufgabe, die Kämpf erdrücke mit Berücksichtigung der Längen-
änderungen sämmtlicher Stäbe zu berechnen. Als statisch unbestimmte Grossen
.sollen die auf den Scheitelquerschnitt des Bogens wii-kenden JS^, JT» und Xc ein-
geführt werden, Fig. 336, vergl. auch Fig. 818 bis 320. Da ein synunetrischer
Träger vorliegt, so nehmen wir Xh senkrecht und Xc wagerecht an.

Fig. 336.

Die Gewichte ic sind nach der Formel
(23) Wm-= -T— I — ^Om soc ß« -\- Am«+i soc y«+i -f ddm scc <p„ — Acfm+i sec C^m+\

— ahm — ^^^ + A//.H+1 .
zu berechnen, mit Ausnahme von u?c*) und itiq, für welche man die Werthe

(24) WC = 4^ und

(25) i M'iQ = V— [— ^ ''w s®^ ?w + ^ ^" ^^ ^10 "■ ^*io ^ ^wl

*) Mit C ist der linke Endpunkt des Gurtstabes O© bezeichnet worden.
Fig. 387.

Fach werkbogen mit eiDgespannten Kämpfern.

339

erhält, ^trio ist das auf eine Bogenhälfte entfallende Gewicht des Knoten-
punktes 10. Bei der Berechnung von Wo denke man die Stützpunkte C und A
in Fig. 337 durch einen starren Stab verbunden, der die Rolle einer Diagonale
spielt. Der für alle Stäbe gleich grosse Elasticitätsmodul E darf = 1 gesetzt
werden.

129. Znatand X« = — 1. Die Tabelle X enthält die durch die Mo-
mente 3f* = — 1 bestimmten und mit Hilfe der Gleichungen 15 bis 18 auf
Seite 330 berechneten Spannkräfte sowie alle zur Berechnung der Ge-
wichte IT« erforderlichen "Werthe.

Tabelle X,

m

Oa

0

F

A0. = &|;

Oa^Ou

secß

A 0 sec ß

0

+ 0,329

1,3

+ 0,43

+ 0,141

1,30

+ 0,56

1

+ 0,867

2,0

— 0,78

— 0,268

1,28

+ 0.93

r

2

+ 0,401

2,6

+ 1,04

--0,417

1,23

+ 1,28

3

+ 0,437

8,0

— 1,81

--0,572

1,18

+ 1,55

4

+ 0,479

2,8

+ 1.34

--0,642

1,14

+ 1,53

o

5

+ 0,521

2,8

+ 1,46

--0,761

1,10

+ 1,61

2

6

+ 0,566

2,7

+ 1,53

- - 0,866

1,07

+ 1,64

£

7

+ 0,604

2,6

+ 1,57

--0,948

1,04

+ 1,63

o

8

-f 0,638

2,6

+ 1,66

--1,059

1,02

+ 1,69

9

4- 0.665

2,2

+ 1,46

- - 0,97 1

1,01

-1,47

10

1 4-0,667

2,5

+ 1,67

--1,114

1,00

+ 1,67

Summe:

7,759

Summe :

15,56

22*

340

Zweiter Abschnitt. — § 11.

1

n

Uu

1

•

1

u

F

Au- ^-

UAu

secY
1,38

A u sec Y

1

— 0,349

1,6

— 0,56

+ 0,195

— 0,77

tu

2

— 0,376

1,6

— 0,60

+ 0,226

1,31

— 0,79

c

3

- 0,407

2,0

— 0,81

>- 0,830

1,25

—.1,01

4

— 0,440

1,9

— 0,84

+ 0,370

1,19

— 1,00

w

5

— 0,479

2,5

— 1,20

+ 0,575

1,14

— 1,37

p

6

— 0,521

2,4

— 1,25

+ 0,651

1,10

— 1,38

o

7

— 0.561

2,8

— 1,29

+ 0,724

1,06

— 1,37

8

- 0,598

2,2

— 1,32

— 0,789

1,03

— 1,36

9

— 0,631

2,2

— 1.39

— 0,877

1,01

— 1,40

10 ,

- 0,658

2,5

— 1,65

+ 1.086

1,00

— 1,65

Summe :

5,823

1
1

D

d
F

A. = Z>|

D^d

sec 9
1,07

Ad sec 9

1

0,037

6,3

0,23

+ 0,009

— 0,25

2

— 0,040

6,2

— 0,25

— 0,010

1,05

— 0,26

a

3

— 0,046

6,1

— 0,28

— 0,013

1,04

— 0,29

4

- 0.051

6,1

— 0,31

+ 0,016

1,03

— 0,32

0

- 0,055

6,1

— 0,34

+ 0,019

1,03

— 0,35

1

6

- 0,057

6,1

— 0,35

— 0,020

1,03

— 0,86

7

0,054

5,2

- 0,28

+ 0,015

1,04

— 0,29

8

0,046

5,2

- 0,24

— 0,011

1,05

- 0,25

9

- 0,035

5,3

- 0,19

+ 0,007

1,07

- 0,20

10

- 0,010

4,7

- 0,05

+ 0,000

1,10

— 0,05

Summe: ; +0,120

Vm

hn.

. , rmflm

V Afc

Am— 1

AÄ *'"-l

K.-1

^^''-r

0

F

ahm-^ JP

' m-^f^m

X

AÄ« ^

A

+ 0,035

4,9

+ 0,17

+ 0,006

2,10*)

+ 0,36

1

+ 0,016

4,3

— 0,07

--0,001

1,22

+ 0,08

1,32

- - 0.09

2 1'— 0,012

5,1

— 0,06

--0,001

1,06

+ 0,06

1,16

- - 0,07

8. + 0,009 j 4,5

+ 0,04

--0,000

0,92

— 0,04

1,02

- - 0,04

'rt

4 ,— 0,003,5.6

+ 0,02

--0,000

0,80

— 0,01

0,90

--0,02

5

— 0,005 5,0

— 0,02

— 0,000

0,69

— 0,02

0,79

— 0,02

6

- 0,014

5,1

- 0,07

— 0,001

0,60

— 0,04

0,70

— 0,05

>

7

— 0,025

4,6

— 0,12

— 0,003

0,53

— 0,06

0,63

— 0,07

8

- 0,038

5,3

0,20

— 0,008

0,47

— 0,09

0,57

— 0,11

9 - 0,048

5,0

- 0,24

— 0,012

0,43

— 0,10

0,53

— 0,13

10 — 0,058

2,5**)

0,14

+ 0,008

0,51

— 0,18

Summe:

+ 0,040

A',

2, SO

*) -^ = -j-^ö" + *g ft = 1,15 + 0,95 = 2,10.
**) Es ist nur die halbe Scheitelvertikale in Hechuung gestellt worden.

Fachwerkbogen mit eingespannten KänipftMu.

341

Die Gewichte ir« für den Zustand X« = — 1 sind mm

0 17
itfca= '^f. = + 0.08 (nach Gleich. 24)

— 0,56 — 0,77 - 0,00 + 0,25 0,86 + 0,09) = - 0,34

— 0,93 — 0,79 — 0,25 + 0,26 — 0,08 + 0,07) = - 0,49

— 1,28 I.Ol - 0,26 + 0,29 — 0,06 + 0,ü4) = — 0,74
-- 1,55 - 1,00 - 0,29 + 0,82 - 0,04 + 0,02) = - 0,94

- 1,58 — 1.37 — 0.32 + 0.85 — 0,01 — 0,02) = — 1.22

1,61 1,38 — 0,85 + 0,86 + 0,02 — 0,05) = — 1,43

- 1,64 — 1,37 - 0,36 + 0,29 + 0,04 - 0,07) = - 1,65

- 1,68 — 1,36 — 0.29 + 0,25 + 0,06 — 0,1 1) = - 1,79

— 1,69 - 1,40 — 0,25 + 0,20 + 0,09 — 0,13) = - 1,99

— 1,47 — 1,65 — 0,20 + 0,05 + 0,10 — 0,18) = 2,17.

linie für den Zustand X» = — 1 lässt sich als die Momenten-
linie eines Freiträgers CG deuten, dessen Einspannungsstelle dem Scheitelquer-
schnitt des Bogens entspricht, Fig. 338, *) und der mit den Gewichten — ir« be-
lastet ist. Nach Berechnung der Querkräfte:

tCom

—

1 .
8.95 ^

Wia

—

1
3,48" ^

irja

—

1
8,07" '

t^s«

—

1

2,70 ^

tO^a

=

l
2.38 ^

IC^a

=

1
2,11 ^

tr^a

=

1
1,89 ^

tCta

=

1
1,72 ^

W^a

—

1
1,60' '

W^a

1
1.52 ^

Die

Biegimgs

9o = - - 0,08

Ci = — 0,08 + 0,34 = 0,26

ft = 0,26 4- 0,49 = 0,75

^4 = 2,43
^5 = 3,65
Qt = 5,08

(>g= 0,75+0.74 = 1,49 | ft = 6,73

Mo

^8 — 8,52
Co =10,51
^10— 12.68

findet man M^ = — 0,08 • 2,0 also - — — 0,08 • j = — 0,05

A

Jf,:X = — 0,05 + 0,26 = 0,21 i M^.X^ 8,53

J|f,:X= 0,21+0,75 = 0.96 3f«:A= 13.61

Jlf, :X= 0,96 + ^49 = 2,45 . if, : X = 20.34

Jlf^ : X = 2,45 + 2,43 = 4,88 ;

3/«

:X

= 28,86

3/9

:X

- 39,37

Mio

:X

= 52,05

Nun ist

8

iJi« = S5J -- = SÄ«^5a

= SOAo + S C'^Au + SDAd + S TA»

= 2 [7,759 + 5,828 + 0,120 + 0,040] = 2 • 13,74

und man erhält daher aus den die Durchbiegungen dm« (für JE7=:1) voi-stellenden
Momenten Mi

Mn.
^ma . J/m X Mm I X

Xa = P.

'" 8„„ ^2.13,74 2-13,74

9.16

8.0

♦) Vergl. auch Seite 122, Fig. 108.

342

Zweiter Abschnitt — § 11.

Den in den Knotenpunkten 1, S, 5, 7, 9 angreifenden Lasten entspricht
also der Reihe nach

^..,=^^ = 2,225

^0 .9

946
89,87

946

= 4,298.

SiZZZ^sl^l

Fig. 888.

Wir wenden uns jetzt zur Bestimmung des Poles (I), um den sich eine
nach Seite 321, Fig. 819 an die Scheitelvertikale angeschlossene starre Scheibe /
dreht, und ermitteln zunächst die wagerechte Verschiebung 8a des oberen Knoten-
punktes 10 nach dem in Nr. 51, Seite 129, beschriebenen Verfahren. Aus der,
einen Sonderfall der Fig. 116, Seite 130, bildenden (nur als Skizze anzusehenden)
Figur 838 folgt die einfache, leicht zu beweisende Gleichung

10 0

8a = S Ao« sec p« + 28«. (tg ß- — tg ^m~\) + 8io« tg p,o.

Da nun die Knotenpunkte 0, 1, 2, ... 10 der oberen Ourtung in einer Parabel

Fachwerkbogen mit emgespannten Kämpfern. 343

von der Pfeilhöhe f« = 12,55 und der Spannweite /s=60"* = 20X liegen, und
da femer die Feldweite konstant ist, so ergiebt sich

* fl * o 0*0 ^f-^ 8. 12,55 0,2510

tgP«-tgp^,i = 2tgg,o= -/r = 20'X "^ X
und

«* = 15,56 + (i^.. + ^ «10. ) — -^ = 15,56 + (I ^ + ~f) 0,2510

wo Mm die vorhin berechneten Momente in Folge der Gewichte u;« sind.
Es eigiebt sich (für E=\)

«* = 15,56 + (119,16 + 26,02) 0,2510 = 52,00.

Bezeichnet man den Abstand des Poles (I) vom Knotenpunkte 10 mit 8 und be-
achtet man, dass sich die Scheibe I in Folge von X«^ — 1 um den Winkel
I 8«a dreht, so findet man für die Verschiebung des Ponktes 10 den Werth
|5«a<. Da nun andrerseits die Verschiebung des Punktes 10 durch die Strecke

8«

G10" = -^' ,

dax^estellt wird, so ergiebt sich die Gleichung

8*

i^am8 =

sin\{)
und man findet daher

• . ^* 52,00

e. = .8.n + = _-= ^3^ = 8,78-

c» = 16,5 — 8,78 = 12,72"

während sich vorhin (?« = 12,99"* ergab. Die Lage der Kraft Xc ist nunmehr
bekannt, Fig. 836.

180. Eine zweite Besümmangaweise von c« ergiebt sich aus der Be-
dingung

wo Sc die Spannkräfte in Folge von ^ '

Xr = — 1 bedeuten. Fügt man zu der y^yy"""^^ ^

Kraft X, = — -1 in beliebiger Höhe X^^ y^ / ^ n^ '^

(z. B. in der Höhe 10-, Fig. 389) zwei / / "^T ^ ' ^ "^

sich aufhebende Kräfte 1 hinzu und be- \^ / \f9'^

zeichnet man die Spannkräfte in Folge \/ i

der durch einen gefiederten Pfeil dar- ^

gestellten Kraft 1 mit S\ und den Pig, 389.
Hebelarm des ausser dieser Kraft noch
angreifenden Kräftepaares mit «, so ist

5e = 5' + S.-«

und man erhält

^ EF ^ EF^
woraus (wegen ((.„ = 2 • 13,74)

_____0 — ___?

^ Ka " 18,74 '

344

Zweiter Abschnitt. — § 11.

In der Tabelle XI sind die Spannkräfte S**)^ die aus Tabelle X über-
nommenen LÄngenänderungen A«« in Folge X«^ — 1 und die Produkte S'^Sa
zusammengestellt worden. Man erhält

14,7572 + 20,6182 + 1,6929 + 0,2690

' = 13J4 = "^

also, wie vorhin, c« - 10,0 + 2.72 = 12,72»".

Tabelle XI.

Gurtungen.

0' Ao.

1
1

O'Ao«

1

U'

AWa

17' Au.

0,

+ 8,29

+ 0,43

+ 1,4147 1

0.

+ 2,68

+ 0,73

+ 1,9199 .

, f^i

— 2,11

— 0,56

+ 1,1816

0,

+ 1.84

— 1,04

+ 1,9136

L\

— 1,38

— 0,60

+ 0,8280

0»

— 1,03 —1,81

+ 1,3493

u»

-0,62

— 0,81

— 0.5022

0,

+ 0,19 + 1,34

+ 0,2546

V,

+ 0,15

— 0,84

— 0,1260

0.

— 0,65

+ 1,46

— 0,9490

Ut

+ 0,95

— 1,20

— 1,1400

0,

— 1,47

— 1,53

— 2,2491

Ut

+ 1J5

— 1,25

— 2,1875

0,

— 2,21

+ 1,57

— 3,4697

u,

+ 2,52

- 1,29

— 3,2508

0.

— 2,81

- 1,66

— 4,6646

u»

+ 3,22

— 1,32

— 4,2504

0,

— 3.28 1 +1,46

— 4,7158

i ^»

+ 8,77

— 1,89

— 5,2403

0,0

— 3,33 i

+ 1,67

— 5,5611

: r,o

+ 4,20

— 1,65

— 6,9300

Summe:

— 14,7572

Summe:

— 20,6182

Füllung

jsstäbo

•

1

D'

Sda

D'iida

1

1
1

r'

I

r'AA.

r.

— 0,634

+ 0,17

— 0,1078

D,

— 0,510

— 0,23

— 0,1173

Vt

— 0,732

— 0,07

— 0,0512

/>,

+ 0,584 — 0,25

— 0,1460

r.

— 0,698

+ 0,06

— 0,0416

i>s

--0,653 —0,28

— 0,1828 '

r.

— 0,630

+ 0,04

— 0,0252

A

+ 0,723 1 —0,31

— 0,2241

r*

— 0,545

+ 0,02

— 0,0109

A

--0,783

— 0,34

— 0,2662

Vt

- 0,449

; -0,02

- - 0,0090

i>6

+ 0,807

— 0,35

— 0,2825

r»

— 0,357

1 - 0,07

- - 0,0250

A

--0,776

— 0,28

— 0,2173

r,

- 0,150

— 0,12

--0,0180

A

--0,659 —0,24

— 0.1582

y» ;

— 0,010

! —0,20

— 0,0020

A

+ 0,479 — 0,19

— 0,0910

r» ■

+ 0,174

— 0,24

— 0,0418

r>u. i

+ 0,149

, —0,05

— 0,0075

1 ^1« ;

+ 0,289

1 -0,14

— 0,0405

Summe:

— 1,6929

Summe:

— 0,2690

131. Für den Zastand X* = — , den wir an Stelle des Zustandes

X

Xh^= — 1 unterauchen wollen, ergeben sich die Momente M*^ = — - und — für

♦) Die Berechnung der S' erfolgte wieder mit Hilfe der Formeln 15 bis 20
auf Seite 330.

Fachwerkbogen mit eingespaanteii Kämpfern.

345

die linke Bogenhälfte — die in der Tabelle XII angegebenen Spaimkräfte Sb und
Läugenänderungen ^8b^

Tabelle XII.

1

Ob

0

F

00
^Ob = -^

Ob- ^Ob

sec ß

i

i

1 AoftSecß

1

0

+ 8,29

1,3

+ 4,28

14,081

1,30

+ 5,56

fcc

1

+ 3.31

2,0

+ 6,62

21,912

1,28

+ 8,47

2

+ 3,21

2,6

+ 8,35

26,803

1,23

+ 10,27

X

3

— 3,06

3.0

— 9,18

28,091

1,18

+ 10,83

C

4

+ 2,87

2,8

— 8,04

23,075

1,14

— 9,17

c

5

+ 2,61

2,8

— 7,31

19,079

1,10

+ 8,04

<3)

6

+ 2,26

2,7

+ 6,10

13,786

1,07

— 6,53

o

7 1

— 1,81

2,6

+ 4,71

8,525

1,04

+ 4,90

8 1

' —1,28

2,6

+ 8,83

4,262

1,02

+ 3,40

9

1 + 0,66

2.2

+ 1,45

0,957

1,01

+ 1,46

Summe: i 160,571

u

Uu

■

1

Üb

F

Al/6- ^.-

T\ • Sub

1
i

sec Y

A Ub sec Y

1

— 3,49

1,6

— 5,58

19,474

1,38

— 7,70

2

-8,39

1,6

— 5,42

18,374

1,31

— 7,10

3 '

— 3,26

2,0

— 6.5J

21,255

1,25

— 8,15

4 ,

— 3,09

1,9

— 5,87

18,138

1,19

— 6,99

c

5 '

— 2,87

2,5

— 7,18

20,607

1,14

— 8.19

6

— 2,61

2.4

— 6,26

16,339

1,10

— 6,89

7 1

— 2,24

2,3

— 5,15

11,536

1,06

— 5,46

¥^

8

-1,80

2,2

— 3,96

7,128

1,03

— 4.08

9 1

-1,26

2,2

— 2,77

3,490

1,01 !

— 2,80

10 1

— 0,66

2,5

— 1,65

1,089

1,00 1

— 1.65

Summe: 137,430

CS

o

5

1

2
3
4

5
6

7

8

9

10

Dt,

+
+
+
+
+
+
+
+

0,058
0,021
0,011
0,074
0,156
0,261
0,887
0,519
0.634
0,724

d
F

6,3
6,2
6,1
6,1
6,1
6,1
5,2
5,2
5,3
4.7

Ac7i =

F

— 0,37

— 0,13
+ 0,07
+ 0,45
+ 0,95
+ 1,59
+ 2,01
+ 2,70
+ 3,36
+ 3,40

Db' ^db sec 9 j Adb sec 9

0,021
0,003
0,008
0,033
0,148
0,415
0,779
1,401
2,130
2,462

1,07
1,05
1,04
1,03
1.03
1,03
1,04
1,05
1,07
1.10

— 0,40

— 0,14
+ 0,07
+ 0,46
+ 0,98
+ 1,64
+ 2,09
+ 2,84
+ 3,60
+ 3,74

Summe :

7,400

1

346

Zweiter AbBchsitt — § 11*

1

1

1 V

hm
F

V'Ah

X

h'm-l . -

X ^*-

hm-l

X

*^A*.

0

— 0,017

4,9

— 0,08

0,001

2,10

— 0,17

li

— 0,183

4,3

— 0,79

0,145

1,22

— 0,96

1,32

-1,04

a

2

- 0,227

5,1

— 1,16

0,263

1,06

— 1,23

1,16

— 1,35

9

1

3

— 0,263

4,5

- 1,18

0,810

0,92

— 1,09

1,02

- 1,20

4'

— 0,318

5,6

— 1,75

0,548

0,80

— 1,40

0,90

— 1,58

5

— 0,350

5,0

-1,75

0,613

0,69

-1,21

0.79

•

— 1,38

>

6

- 0,387

5,1

— 1,97

0,762

0,60

— 1,18

0,70

— 1,38

7 , — 0,413

4,6

— 1,90

0,785

0,53

— 1,00

0,63

— 1,20

8 ! — 0,407

5,3

— 2,16

0,879

0,47

— 1,02

0,57

— 1,23

911—0,880

5,0

— 1,90

0,722

0,43

— 0,82

0,53

— 1,01

Samme:

5,028

Für die Gewichte wt erhält man die Werthe:

«.« = — «f =-0,04

»^76 =

3,95

1
3,48

1
3,07

1

2,70
1

2,38

1
2,11

1

1>9
1

1,72
1

1,60
1

l,5i

Die Momente
für A = 1 (in derse

— 5,56 - 7,70 — 0,00 + 0,40 + 0,17 — 1,04) = — 3,48

— 8,47 — 7,10 — 0,40 + 0,14 + 0,96 - 1,35) = — 4,66

— 10,27 - 8,15 — 0,14 — 0,07 + 1,23 — 1,20) = — 6,06

— 10,83 — 6,99 + 0,07 — 0,46 + 1,09 — 1,58) = — 6,93

— 9,17 - 8,19 + 0,46 — 0,98 + 1,40 — 1,38) = — 7,50

— 8,04 — 6,89 + 0,98 — 1,64 + 1,21 — 1,88) = — 7,47

— 6,53 — 5,46 + 1,64 — 2,09 + 1,18 — 1,20) = — 6,59

— 4,90 — 4,08 + 2,09 — 2,84 + 1,00 — 1,23) = — 5,79

— 3,40 - 2,80 + 2,84 — 8,60 + 1,02 — 1,01) = — 4,34

— 1,46 - 1,65 + 3,60 — 3,74 + 0,82) = — 1,60.

Mm eines mit den Gewichten fci belasteten Freiträgers sind
ben Weise berechnet wie auf Seite 341)

Mc=^ 0,03
Mi= 3,55
Jlf, = 11,73
M^ = 25,97

lf4= 47,14
M^= 75,81
lf« = 111,95

Jf, =203,20
M9 =256,06
irio = 310,52.

Mf = 154,68

Da nim Xh proportional Mm ist und für eine mit dem Sdieitel zusammen-
fallende Last 1 den Werth J^ = 0,5 annehmen muss, so entsprechen den in
den Knotenpunkten 1, 8, 5, 7, 9 angreifenden Lasten 1 der Beihe nach die
Werthe

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

347

-X»i =

8,55

2 • 310,52

= 0,00572

^» = o ^of^.n = 0,042
• 2 • 310,52 '

X»5 = 0,122
Xn = 0,249
Xt9 = 0,412.

Andrerseits mnss auch sein

Mm

Mm

S5J

^Sh^Sb

EF

wo nach Tabelle Xu

Sä A«» = 2 (160,571 + 187,430 + 7,400 + 6,028) = 2 • 310,43.

Dieser Werth stimmt mit 2 • Ifio in befriedigender Weise überein. Noch sei
hervorgehoben, dass für alle linlrä vom Scheitel gelegenen Lasten

B = Xi, und A=^\—Xh ist.

182. ZnstaBd X« = — 1. Tabelle XIII enthält die Spannkräfte 5« in Folge
der in der Höhe c» = 12,72"* angreifenden Belastung jr« = — 1 sowie die zu-
gehörigen A««.

TabeUe Xm.

i

1

0

0

F

A ^^

,0- Ao

secß

Aosec^

0

+ 4,19

1,8

-f-5,45

22,886

1,80

+ 7,08

1

- - 3,68

2,0

+ 7,26

26,854

1,28

+ 9,2»

2

- - 2,98

2,6

+ 7,62 •

22,327

1,28

+ 9,37

3

3

--2,22

8,0

+ 6,66

14,785

1,18

+ 7,86

4

- - 1,50

2,8

+ 4,20

6,300

1,14

+ 4,79

o

5

--0,77

2,8

+ 2,16

1,663

1,10

+ 2.88

2

6

- - 0,07

2,7

+ 0,19

0,013

1,07

+ 0,20

7

— 0,57

2.6

— 1,48

0,844

1,04

— 1,54

o

8

— 1,07

2,6

-2,78

2,975

1,02

— 2,84

9

-1,42

2,2

— 3,12

4,480

1,01

— 8.15

10

— 1,52

2,5

-3,80

5,776

1,00

— 3,80

Summe :

108,303

u

üu

V

F

At* =

F

Utiu

See Y

Atfsec Y

1

— 8,07

1,6

— 4,91

15,074

1,38

— 6,78

U*

^m

2

— 2,41

1,6

— 3,86

9,803

1,31

— 5,06

8

— 1,78

2,0

- 3,46

5,986

1,25

— 4,32

» _

3

4

— 1,04

1,9

-1,98

2,059

1,19

- 2,86

O

5

— 0,35

2,5

— 0,88

0,808

1,14

— 1,00

£

6

+ 0,38

2,4

+ 0,79

0,261

1,10

+ 0,87

0)

7

--1,09

2,3

+ 2,51

2.736

1,06

— 2,66

8 '

--1,59

2,2

+ 3,50

5,565

1,08

+ 3,60

9 1

- - 2,07

2,2

+ 4,55

9,419

1,01

+ 4,60

10 i

•

+ 2,40

2,5

4-6,00

14,400

1,00

+ 6,00

Summe :

65,111

348

Zweiter Abschnitt. — § 11.

d

Dd

D

F

F

Dld

sec9

A(2sec 9

1

+ 0,418

6,3

+ 2,60

1,074

1,07

+ 2,78

2

+ 0,474

6,2

+ 2,94

1,394

1,05

+ 3.09

a

3

+ 0,527

6,1

+ 3,21

1,692

1,04

+ 3.34

"5

4

+ 0,584

6,1

+ 3,56

2,079

1,03

+ 3,67

5

+ 0,633

6,1

• + 3,86

2,443

^ 1,03

+ 3,98

1

6

+ 0,652

6,1

— 3,98

2,595

1,03

+ 4,10

■ •M

P

7 1

— 0,635

5,2

— 3,30

2,096

1,04

+ 3,43

8 '

--0,528

5.2

+ 2,75

1,452

1.05

— 2.89

9

+ 0,876

5,3

+ 1,96

0,787

1,07

+ 2,10

10 ,

+ 0.021

4,7

+ 0,10

0,002

1,10

+ 0,10

Summe: 15,564

d

>

0' -0,550
li —0,687
i. — 0,657
31 — 0,603

4 —0,541

5 —0,458

6 —0,353
7' — 0,223
8 —0,090

9
10

+ 0,047
+ 0,132

4,9
4,3
5,1
4,5
5,6
5,0
5,1
4,6
5,3
5,0
2.5

— 2,70

1,318

— 2,95

. 2,027

— 3,35

2,201

— 2,71

1,634

— 3,03

1,639

— 2,29

1,049

— 1.80

0,685

— 1,03

0,230

— 0,48

0,043

+ 0,24

0,011

+ 0,33

0,044

Summe :

10.831

2,10
1,22
1,06
0,92
0,80
0,69
0,60
0,53
0,47
0,43

— 5,67

— 3,60

— 3,55

— 2,49

— 2,42

— 1,58

— 1,08

— 0,56

— 0,23
+ 0,10

1,32
1,16
1,02
0,90
0,79
0,70
0,63
0,57
0.53
0,51

— 3.89

— 3,89

— 2,76

— 2.73

— 1,81

— 1.26

— 0,65

— 0,27
+ 0,13
+ 0.17

Für die Gewichte tce erhält man die

2.70
•^^- = ~ 2,0

tfi^c — -^Q - [— 7,08 — 6,78 + 0,00

Wie = J—[— 9,29 — 5,06 + 2,60
o,4o

'''-" "^ '3,07 f ~ ^'^^ "■ ^'^^ + ^'^'^

2,70
1

2,38
1

[— 7,86 — 2,86 + 3,21
[— 4,79 — 1,00 + 3,56

w,c = "2 jY [- 2,38 + 0,87 + 3,86

1

w;^ = -^ [- 0,20 + 2,66 + 3,98
^ [+1,54 + 3,60 + 3,30

trTc

1,72

Weiihe:

— - 1,85

— 2,60 + 5,67 -

- 3.89] = — 3,72

— 2,94 + 8,60 -

- 8,89] = — 4,30

— 3,21 + 8.55-

- 2,76] = — 4,29

— 8,56 + 2,49 -

- 2,73] = — 4,00

— 3,86 + 2,42 -

-1,81]— —2,80

3,98 + 1,58 -

- 1.26] = — 0,62

— 3,30+1,08-

-0,65] = +1,89

- 2,75 + 0,56 -

- 0,27] = + 3,48

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 349

if^sc = ^ gQ [+ 2,84 + 4,60 + 2,75 — 1,96 + 0,23 + 0,13] = + 5,37
«V = -^ [+ 3,15 + 6,00 + 1,96 — 040 - 0,10 + 0,17] = + 7,34

i ti^ioc = -^\^ [+ 3,80 + 0,10 - 0,33 . 0,46*)] = + |^ = + 2,500.

Das Gewicht ^Wmt hat keinen Einfluss auf die Momente M des mit den

Gewichten to belasteten Freiträgei-s; es wuixie aber berechnet um die Probe

9

Sit« + «rce + i irjoc = + 20,58 — 20,58 = 0
0

ausführen zu können. Aus den Momenten

Mo= 0,90 X
Mi= 5,97 X
M^ = 1 5,34 X
Mi = 29,00 X

ergeben sich die Werthe

JI/4= 46,66 X ; Ms = 121,10 X

M6= 66,62 X ! M9 = 130,94 X

M^= 87,20 X 1 JV/io = 133,44 X

Mj ^ 105,89 X I

^ _ M M

wo nach Tabelle XIII

^Sc^Sc = 2 (108,803 + 65,111 + 15,564 + 10,831) = 2 • 199,809.
Für die Knotenpunkte 0, 1, 3, 5, 7, 9 erhält man

X.i = 0,0448 X,T = 0,795

Xe„ = 0,218 Xc9 = 0,983

XcB = 0,500 I

188. Die Gleichung der Kämpferdmcklinie ergiebt sich aus der Gleich-
gewichtsbedingung (Fig. 336)

Xci/k = Xbe-\- Xa-
Man findet für die Knotenpunkte 1, 3, 5, 7, 9 der Reihe nach

X.i/* = 0,1773 I y* = 3,96'»

Xcyk=\M9 ' ;;;fc = 5,27-

Xci/h = 2,761 1 ijk = 5,52-

Ä'ry* = 4,466 ^jfc = 5,62~

Xcfjk^b.bSi \ y* = 5,63-.

Bezogen auf die Schlusslinie AB der unteren Gurtung, erhält man die Ordi-
nalen (y'* = y* + c«):

y'4 = 16,68•^ 17,99«; 18,24"; 18,84"; 18,35"
dieselben weichen von den früher erhaltenen Ordinaten

y't= 19,08"; 18,77"; 18,49"; 18,25"; 18,17"
nur in der Nähe des Kämpfers wesentlich ab.

184. EinflnsB der Temperatnrändemng. Aendert sich die dem span-
mingslosen Anfangszustande des Bogens entsprechende Temperatur überall um

*) 0,46 = tg 9.0 = -^

350

Zweiter Abschnitt. — § 11.

denselben Betrag t^ so entsteht ein Kämpf erdruck Xet-, der sehr annähernd iu
der Höhe c» = 12,72'" über der Schlusslinie AB der unteren Gurtung liegt und
den "Werth

kg

__tEtr' __

~~ "«• * "" 2 . 199,809

400

besitzt wo (nach Fig. 812 auf Seite 809)

r'=zl + 2cu cos ^ = 6000 + 2 • 1272 • 0,026 = 6066 cm
ist.*) Mit ^ = + 85° Geis, ergiebt sich

25 • 35 • 6066

Xet —

400

= 13300 kg.

Früher erhielten wir Afl« = 17000 kg, ein Werth der erst bei * = 35

17000

13300

= 45* Gels, entstehen wird. Man vergl. die auf Seite 204 an die Berechnung
des Horizontalschubes Ht der Douro-Brücke bei Porto geknüpfte Bemerkung.

e. Naheningtforreetn zur Berechnung der Kampterdriicke.

185. Formel fttr Xi. Um zu einfachen, geschlossenen Formeln für die
Unbekannten Xa> Xh und X« zu gelangen, ersetzen wir die Einzelgewichte tp«,
Whi Wc durch stetige Belastungen.

Flg. 840.

8 1

*) Wir haben die Werthe -- (Seite 837) in — ausgedrücki Man erkennt,
dass man genügend genau V"=zV setzen darf.

Fachwerkbogen mit eiDgespannten Kämpfern. 351

An Stelle der lOa nehmen wir die in Fig. 840 daigestellte trapezförmige
Belastungsfläche an, deren Höhe am Kämpfer =a, und im Scheitel = 1 sein
möge. Im Abstände xa von A ist die Belastungshöhe

h
Der Freiträger AG wird dann an der Stelle xa durch das Moment

ax\ x\

3^=-^ + (l-a)

2 ' ' '6^

beanspracht, wo l^=:\l ist. Der Inhalt der Belastungsfläche ist, für beide
Bogenhäiften,

und man erhält daher (für XA=^a<,l^

(1 + «) Ix

Für den vorhin untersuchten Bogenträger ergab sich am Kämpfer »« = 0,34,
in der Nähe des Scheitels $^« = 247. Das Yerhältniss dieser beiden Werthe ist

und es folgt daher (mit /j =30"^)

Xa = ^ (2,069 + 3,621 y) •
Dies giebt für _«_ ^ q^^ ^^ ^ ^ ^2431 im

= 0,3 = 0,284

= 0,5 = 0,970

= 0,7 = 2,256

= 0,9 =4,316,

d. 8. TVerthe, die mit den früher gefundenen befriedigend übereinstimmen.
Jedenfalls wird die Formel bei einer vorläufigen Querschnittsberechnung recht
gute Dienste leisten; es kommt dann nur darauf an, das Verhältnias a. der Ge-
wichte Wm für die Knotenpunkte am Kämpfer und im Scheitel von vornherein
zu schätzen.

186. Formel für Xi. Wir nehmen die Belastungshöhe an der Stelle x

^®^^ (db = (da O: = (da (^1 — - xa)

[a-|.(i_a)^^](^-a:^

)

*) Da die Querschnittsabmessungen bei einem neu zu entwerfenden Bogen
nicht bekannt sind, so muss man a zuuächst schätzen. Man nehme etwa

hiV ^^ f

wo hm und ht die Werthe von h im Scheitel nnd am Kämpfer bedeuten. Im
vorliegenden Falle liefert diese Formel zufällig ebenfalls a=- 0,16.

352 Zweiter Abschnitt. — § 11.

au, und erhalten M durch zweimalige Integration der Differentialgleichung

d

^ = [a + (1 - a) -^^ ] (?, - xa).

Die Integrations-Konstanten weixien mit Hilfe der Bedingungen bestimmt:

a-^ = 0 muss liefern - = 0

uxa

TA = 0 „ „ Af = 0.

Es ergiebt sich

x\ 3C^. x\

Da nun Xh proportional M ist und für xa = h den Werth 0,5 annehmen muss,
so folgt für a?^ = a < ?i

A^

n.^ /** rt*

a/.- + (t-2a); -(l-a),|^

0^ /* /a 78

' «'.2 +(i-2«)-v-(i-«);v

und schliesslich

<*) '^'» = -3T+-1 7.'" [3 « + (1 - 2 «) { - 0,5 (1 -«)-!*-]•

Lasten, welche rechts vom Scheitel liegen, nifen negative Werthe Xh hervor.
Vergl. Fig. 336; die Linie A'DD'B* ist die Einflusslinie für JT*. VeiBchiebt
man den Zweig D'B' um die Strecke 1 nach unten,. so entsteht die stetige
Kurs'e ÄDB'\ und diese ist die Einflusslinie für den senkrechten, rechtsseitigen
Stützenwiderstand B.

Für ar=0,16 ergiebt sich:

Xi= ~
und für ^

= ;|;[0,324 4-^(0,460-0,284-;;)]
= 0,1 X* = 0,00367

= 0,3 =0,0893

= 0.5 —0,121

= 0,7 = 0,248

= 0,9 =0,411,

welche "NVerthe mit den früher gefundenen ebenfalls befriedigend übereinstimmen.

187. Formel für c. Die mit der Kraft Xe zusammenfallende or -Achse
habe vom Mittoli)unkte der Schoitelvei-tikale den Abstand c. Es ist

J (i^«w« 4- y'u^^dxA
f-c-.--—- ■■

J ((i)a + Wa) dXA
o

WO, mit den in die Figur 340 eingetragenen Bezeichnungen,

2 -v=f-r /7.

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 363

ist. Es ergiebt sich also

h h

"" r"" V "0,5(1 + a)/,~"6(l + ä)'^

J tüadXA

0

und l-fSa

W - = -6(r4--aT^-

Für unser Beispiel ist f. = 12,55-, fu = 15,00-, /^= 4 (/; + /«) = 13,775- und
a = 0,1 6i mithin

c = 2,93- und c« = 12,82-,

während wir auf Seite 828 und 343 die Weithe c» = 12,99- und c« = 12,72- fanden.

138. Formel fttr X«. Ist M das Angriffsmoment an der Stelle X des
Freiträgers AO \r Folge einer dem Gesetze

^e = Cd« (yo + y«) = 2 co„y = 2 j^l — (l — a) -^ J y^ — fjr)
folgenden stetigen Belastung, so ist

x = - ""

2/(yS + yS)«adar

Integiirt man die Differentialgleichung

und bestimmt man die beiden Integrationskonstanten mit Hilfe der Bedingungen :

a: = 0 muss liefern — — =z 0

dx

x = li „ „ Jf=0

so erhält man

m-$)-'i~{'-m''-
'[4('-^)-^-('-r.)]'.--

Da nun , Ä, ^ x*

ist, so folgt

2 " /i»

ar' . - „ 37*

yo» + y.« = Ä:i«-V^^, -f Vt;^

wo Ari*r=2c» + JÄ.«

^•>* -= 2 c (fo + r«) — Ä. (Äi -//.)

Es eigiebt sich dann

Mfiller-BresUa, Onphlache SUtik. II. 1. 23

354

Zweiter Abschnitt. — §11-

und für eine bei x=^e gelegene Last 1 :

WO

Ar» = h' (1 + a) - J V (1 + 3a) + -^- Je,* (1 + 5a).

Drückt man r, fo und f« durch f, ä, und A* aus. so erhält man

und gelangt schliesslich zu der Formel (für x>Ö):

(7) A^^ = Yi— ^{y,-~[t.+ /-{y.-Y5^)]}

2 (-2 + 10a + 3a«)

wo

(7»)

Yi

ß

15(1 + 3a)

Y9 =

r.(l--a)(l+8a)

_ 15(l + a)
9(1 — a«)

Y.= .r-

ß-.^(7 + 42a+15a») + --^^+-^ [Ä.«(ll + 5a) + Ä.Ät(3 + 5a)

+ Ä*Ml + 5a)].
Für imser Zahlenbeispiel ist

f= 18,775", /i = 30", Ä,= l,5", Äfc = 3,95", a = 0,16;

man findet ß = 7,12577 imd

X = l,032 — yV {3,1 15- ^[0,872 + ^(2,442 -1,231 y-)]}.

Es ergeben sich daher die folgenden Ordinaten der Xc- Linie und der KÜmpfer-
dnicklinie:

e

Xc

y**) ;y'* — c« + /^i — 12,82" + yji.

0,9
0,7
0,5
0,3
0,1

0.0198

0,184

0,476

0,792

1,002

6,23"

6,03

5,85

5,67

5,54

19,05"

18,85

18,67

18,49

18,86

*) Nach der auf Seite 349 abgeleiteten Fomiel

y* =

a:

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 355

139. Die Formel fttr X< in Folge einer Temperaturändernng lautet

Xet

2Ao» + y-')«a ^"^

0 EF.K^

denn es ist zu beachten, dass der AVerth 10« = 1 im Scheitel mit \:EF»hg'*
multiplicirt werden muss. Man erhält

(8) Xet = 2zEt-l^ F..

Zwischen k und ß besteht die Beziehung

(9) k^ ==

90 (1 + a)
Für unserZahlenbeispiel(a=r 0,16, f=13,8, //,«=:2,25, f = 35^ eJ5; = 25,

F, = 120 qcm) ergiebt sich k^ = -' ' ' —- = 28,3 und

90 •1,16

.Yc» = 16700 kg.

Dieser WeiUi darf natürlich nur mit der in Nr. 126 unter Yemachlässigong der
Längenände rangen der Füllungsstäbe gefundenen Zahl Xet = 17000 kg verglichen
werden.

140. Für den Sonderfall a == 1,0 erhält man nach einer einfachen
Zwischenrechnung für eine Last P = 1 :

1 a*
(10) Xa = -^- ^-

CO A-.= i^-(,-^-)^

(12) X,y^ = Xte + X« = ^'** •

Die Strecken za und zbi welche die ar- Achse und die Kämpferdrücke Ki
und Ä", auf den Senkrechten durch A imd B abschneiden, Fig. 341, sind durch
die Gleichungen bestimmt

XcZb = Xh^i — Xa = 77V

XcZA = 1 • (t Xbfi Xa = . f « •

4/1-

ond man findet daher

i/k 0 yjc a

Ist also die Kämpferdrucklinie bekannt, so kann man die Schnittpunkte Fi
und F% der Kämpfei*drücke Ki und K^ mit den Senkrechten durch A und B
wie folgt bestimmen. Man verbindet den Punkt C der Kämpf erdmcklinie mit
den Punkten J^ und J,, in denen die a:- Achse die Senkrechten durch A und B
trifft durch Gerade und zieht OFi \\ CJi und OFj \\ CJ^. Dieses einfache Ge-
setz ist nur an die Annahme eines konstanten Werthes (o« gebunden;
es ist also nicht nothwendig. dass die Mittellinie des Bogens para-
bolisch ist.

Liegt P sehr nahe an A^ so ist die Ennittlung des Punktes Fi unbequem.
Man bestimmt dann die Richtung von Ki zweckmässiger durch Berechnung dos
Schnittpunktes L^ von TT, mit der ar- Achse. Man findet

23*

Zweiter Abachoitt. — § 11.

D setze I
(15)

Die weiteren Entwicklungen setzen einen Parabelbogen voraus. Für diesen ist

ferner nach Gleich. 5

md nach Gleich. 6

£,^-

-X« :

Flg. 341.

Führt mau die Strecken

ein, so lindet man schliesslich
(16) A

15 o't'

■ 32 /■(,' '

3 Sh.' + ih.ht+Shi*

Für y» erhält man den lonstanten IVerth
II») !"= ,'.,'

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern.

357

Beim Parabelbogen ist also für a = 1 die Kämpferdrucklinie eine wage rechte
Gerade.

Der Horizontalschub in Folge einer Temperaturänderung ist (nach Gleich. 8
mit dem oben für k^ angegebenen Werthe)

Xet = -%^Et^-^]-^Fe
8 p

Xct = etEtF. y^ V

wofür man auch rund

(19)

setzen darf.

Für unser Zahlenbeispicl ergiebt sich mit a = 1

v = 0,92, c = 4,59"», f« = 1146~ y*=7,99"', /* = 19,15'
ferner für

a:l

Xa

X^
0,007

Xc

0,1 1

0,075

0,034

0,3

0,675

0,061

0,244

0,5

1,875

0,156

0,528

0,7

3,675

0,282

0,778

0,9

6,075

0,425

0,920

Xc« = 6 • 25 • 35

120 -jl^ 0,92 = 6850 kg.

Die Werthe c, c», Xa und Xot weichen von den früher gewonnenen er-
heblich ab, während die von den senkrechten Lasten herrührenden, auf Tafel 6,
Fig. 342, dargestellten Kämpfei*drücke mit den früher ermittelten befriedigend
übereinstimmen. Diese Uebereinstimmung herrscht aber nur bezüglich der
Grösse dieser Kräfte, die Unterschiede der Lagen sind so wesentliche, dass
die Annahme a = 1 ,0 höchstens für eine ganz rohe Uebei-schlagrechnung brauch-
bar ist. Ein gutes Bild von der Zulässigkeit der verachiedenen Näherungsver-
fahren liefert die folgende Untersuchung.

141. Vergleichnng der auf verschiedenen Wegen geftindenen Werthe
mimOio ^TOi^ minüi. Dic nächstfolgende Tabelle enthält die Ordinaten der Einfluss-
linie für das Moment If; bezogen auf den oberen Knotenpunkt 0 imd zwar:

I nach dem im ersten Theile unseres Zahlenbeispiels durchgefühi-ten
Verfahren ( ir' = - ,- ) ,

II auf Grund der im zweiten Theile durchgeführten genaueren, die Längen-
änderungen sämmtlicher Stäbe berücksichtigenden Untersuchung*)

III auf Grund der für a = 0,16 berechneten "Wei*the Jf«, X*, Xc,

IV auf Grund der Annahme a = l.

*) Die Ordinaten sind für eine links vom Scheitel gelegene Last P = 1
mittels der Formel Ml = Xa + Xhli + Xc(cu — ijo) — Pxa berechnet worden.
Liegt P rechts vom Scheitel, so wird Xb negativ und das Glied Pxa fällt fort.

358

Zweiter Abschnitt. — § 11.

Jf^- Linie.

TASt 1

in

!
I 1

II

1
lU

1
1

1 IV

i

1

- 2,470 1

— 2,413

— 2,789

- 2,470

3

5,590

5,561

— 5,905

— 4,786 •

5

— 6,105

— 6,024

— 6,178

— 4,638

7

— 4,473

— 4,333

— 4,279

— 3,256

9

— 1,705

1

— 1,721

— 1,466

— 1,542

9'

+ 0,755'

+ 0,559

+ 0,874

— 0,042

7; ,

-- 1,887,

+ 1,727]

+ 1,841,

■

+ 0,824

5' ,

+ 1,635

+ 1,656

— 1,56^

+ 1,002

3'

•

+ 0,880,

+ 0,919

+ 0,737

+ 0,604

1'

+ 0,150

+ 0,244

+ 0,189

+ 0,110

Summe

— 20,848 + 5,267

— 20,052 + 5,105

1—20,617 + 5,203

— 16,684 + 2,540

Xet=^

! 17,0«

13,3'

16,7«

6,8*

Cu yoQ

12.99 — 3,95

8,77-

8,87*

7,21"

1

-9,

04" 1

!

1

Die standige Belastung eines Knotenpunktes beti'ägt 15', die bewegliche ebenfaUs
15'. Da nun j^.^^^^^ 3^. ^ 3^

* Äo 3,95

ist, so ergiebt sich der EinAuss der Belastung:

= 0,35 Mt

1 minUi = 0,Sb
II nUnUi = 0,3b

— 20,843 • 30 + 5,257 • 15

— 20,052-80 + 5,105.15

— 20,617 •80 + 5.203.15

— 16,684.30 + 2,540.15

= — 186'
= — 183'
= —189«
= — 163«

IV «<« 1^1= 0,35
und der Einfluss der Temperaturänderung

I V\=± 0,35 . 17,0 . 9,04 = ± 54«
II 1^1 = + 0,35 -13,3. 8,77 = ±41«

III üi = + 0,35 . 16,7 . 8,87 = ± 52'

IV (7i=:±0,85. 6,8« 7,21 = ±17'.
Im ganzen entsteht also

im Falle I II HI IV

^,^6^, = — 240' —224« —241' —180«.
Für die Spannkraft minOio erhalt man mittels der in der Tabelle angegebenen
Ordinaten der Einflusslinie (wegen cos ßto = 1,0)

Last in

II

III

IV

1

3
5
7
9

, + 0,02

+ 0,09
+ 0,08

— 0,27

— 1,30

+ 0,05
+ 0,15

+ 0,14 .

— 0,28 '

,-1,37,

+ 0.01
+ 0,08
+ 0,04

— 0,35

— 1,42

+ 0,04
+ 0,17
+ 0,10

— 0,46
-1,70

Summe

+ 0,19 —1,57

+ 0,34 — l,65l

+ 0,13

— 1,77

+ 0,31

— 2,16

17,

2,C

1,

0' :

)1

5"

13,3'
2,28

1 1,5

16,
2,1

1,.

7«

8
5

6,1
8,8

1 1,-

J'
4
5

Fachwerkbogen mit eingespannten Kämpfern. 359

in Folge der Belastung

I ^f^Oio = 2 [— 1,57 • 30 + 0,19 • 15] = _ 88,5'

- 1.65 . 80 + 0,34 • 15] = — 88,8*
— 1,77 • 30 + 0,13 . 15] = — 102,8

- 2,16 • 30 + 0,81 . 15] = — 120,3

n «,hOio = 2

III minOi9 = 2

IV ^inOio = 2

t

t

und in Folge einer Temperaturänderung
I -.-O., = ± '-^'^.-^ = + 22,8« ' m .„0„ = ±A«^V/-^®-=±24,3'

it" r\ _L 6,8 • 8,84 lAtit

1^0

1,5 - ' : """*'' - 1,5

II «*«0,o = ± ~^, -^^- = ± 20,2*

1,5

Es ergiebt sich also im ganzen

im Falle I II III IV

^,«Oi> = --lll* -109* -127* —138*.

Die TJebereinstimmung der nach I und III berechneten Werthe mit den
nach II (d. i. unter Berücksichtigung der Längenänderungen sämmÜicher Stäbe)
gefundenen kann als befriedigend bezeichnet werden, denn man darf nicht ausser-
acht lassen, dass der ohnehin auf einer ziemlich rohen Schätzung beruhende
Einfluss der Temperaturänderung eine grosse Rolle spielt. Dagegen müssen die
Abweichungen der Ergebnisse II und IV als zu gross bezeichnet werden, so dass
die Annahme a = 1 nicht zu empfehlen ist

Schliesslich werde noch hervoi^gehoben , dass sich der Bogen mit einge-
spannten Kämpfern nur bei verhältnissmässig grosser Pfeilhöhe zur Ausführung
empfiehlt, weil geringe Pfeilhöhen stets beträchtliche Spannungen durch Tempe-
raturänderungen im Gefolge haben.

§ 12.
Durchgehender Balken mit drei Stfitzpunkten.

142. Die Einflusslinie f&r den Widerstand C der MlttelstfLise,
mit deren Anfzeichnang die üntersucbang des Trägers zweckmässig be-
gonnen wird, erhält man nach No. 56, Seite 141, indem man für den
Znstand C = — 1 die Biegangslinie der zur Aufnahme der Lasten be-
stimmten Gurtung zeichnet und ihre Ordinaten (?)) durch die demselben
Zustande entsprechende Senkung (c) des Stutzpunktes C, welcher auch
der anderen, unbelasteten Gurtung angehören kann, dividirt. In Fig. 843
ist die fragliche Biegungslinie als Seilpolygon von Gewichten to aufge-
fasst worden. Dreieck A'B'C' stellt die Momentenfläche des mit
C = — 1 belasteten einfachen Balkens vor; i/„ sei das Moment an der
Stelle m. Dann ergiebt sich mit der stets zulässigen Vernachlässigung

der Formänderungen der Füllungsstäbe : tr^ = , *" , wofür bei kon-

r^EF,

stantem E

e
' m * m

Zweiter Abschnitt — § 12.

gesetzt werden möge, anter F^ eine beliebige Querschnittsfläcbe ver-
standen. Diese Abändening der w ist aaf Ana Ergebnis»

Durchgehender Balken mit drei StützpuDkten. 361

welches nnr von dem Verhältniss t| : c abhängig ist, ohne Einfluss und
aus demselben Grunde leuchtet ein, dass sowohl die Höhe des Momenten-
dreiecks Ä B' C' als auch die Pol weite des Seilzuges willkürlich ge-
wählt werden dürfen. Aus der C-Linie lassen sich nun mit Leichtig-
keit alle übrigen Einflusslinien ableiten.

Anmerkung. Die Gewichte w erscheinen in derselben Form wie beim
Zweigelenkbogen , § 7; die früher für gewisse Arten des Fachwerks gezeigten
Umformungen der to lassen sich natürlich auch hier verwerthen. Es empfiehlt
sich in der Regel, Fe : jP« = 1 anzunehmen. Für Parallelträger mit gleichlangen
Feldern setze man Wm = f/m.

Noch sei hervorgehoben, dass wir es in P'ig. 343 c, des kleinen Maassstabes
wegen unterliessen, den Seilzug durch ein einbeschriebenes Polygon, dessen Ecken
den Querträgera entsprechen, zu ersetzen.

148. Bie EinfluBsfläche für den Widerstand A der linken
Stütse (Fig. 843^) wird als Unterschied des Dreiecks B"JÄ\ dessen
Seite B" J durch C" geht, und der C- Fläche erhalten; ihr Multipli-
kator ist [JL = — , wo V = A" J, Wäre nämlich der Balken nur in A

und B gestützt, so bestände die ^-Fläche aus einem Dreiecke Ä'JB"
von der Höhe Ä'J = 1 , und von diesem Dreieck muss nun der Ein-
fluss von C so in Abzug gebracht werden, dass einer im Stützpunkte C
angreifenden Last die Ordinate ^ = 0 entspricht. Der Multiplikator

i" T . . ... Mtr

— ist erforderlich, weil A J^=^v ist, statt A J=^\,

V

144. Die if^-Fläche (Fig. 343«) erhält man, indem man auf
der Geraden B" C" senkrecht unter in den Punkt m" bestimmt und
die Gerade Ä'm" zieht. Wäre Ä' J =^ x^, so wäre das Dreieck
Ä' m B" die Jf^- Fläche des einfachen Balkens AB und Dreieck A"m" C"
die iC- Fläche des einfachen Balkens AC, Da^'V=t7 ist, muss der
Multiplikator [JL = a;^ : t; eingeführt werden. Zu demselben Ergebniss
führt die üeberlegung, dass rechts von m gelegene Lasten das Moment
^V^ = ^ar„ hervorrufen, weshalb sich rechts von m die Jlf«,- Fläche von
der ^-Fläche nur durch den Multiplikator unterscheidet. Durch die
Momente If«, sind die Gurtkräfte gegeben.

146. Die D-Fläohe in Figur 343' ergiebt sich aus ähnlichen
Ueberlegungen wie sie in No. 143 und 144 angestellt worden sind.
Der auf die Ä' B^' als Nullachse bezogene Linienzug Ä'LiL^B*' lässt
sich als die D- Linie des einfachen Balkens AB auffassen, und der
auf die Nullachse Ä' C" bezogene Linienzug Ä' Ly^L^C" als D-Linie
des einfachen Balkens Ä' Cf\ Die Geraden Ä' Ly^ und B" L^ müssen
sich daher senkrecht unter dem Schnittpunkte / der Gurtstäbe 0 und U

362

Zweiter Abschnitt. — § 12.

treffen, und die Pankte X^ , X^ in denen L^ L^ von den Geraden A B
und A''C" geschnitten wird, müssen senkrecht unter den Belastungs-
scheiden A\ und E^ liegen, welche man erhält, wenn man D als
Füllungsstab eines einfachen Balkens AC^ oder eines einfachen Balkens
AD ansieht. Damit ist der Punkt Lj auf dreifache Weise bestimmt.
Treten nur rechts von r Lasten auf, so greift links von dem durch
die Stäbe 0, i), U geführten Schnitt nur die äussere Kraft A an und
die Momentengleichung in Bezug auf Punkt i lautet:

— Dri — AXi= 0;

sie liefert: D = — A- - und führt zu den in der Figur 848' ange-
gebenen Vorzeichen der Z)-Fläche. Auch lehrt sie, dass der Multiplikator

- ^< _ .P^_

^

ist, wo Dji der absolute Werth der durch A= 1 im fraglichen Fül-
Inngsstabe erzeugten Spannkraft bedeutet.

Eine vierte, besonders einfache Bestimmungs weise des Punktes L^
ergiebt sich schliesslich aus dem früher bewiesenen Gesetze, dass die
Strecke L^H \m Falle (Ji = 1 gleich der durch Zerlegung von P= 1
nach den Richtungen von U und B gewonnenen Seitenkraft [j9] sein
muss'*'), bei Auftreten eines Multiplikators fj. also gleich der Seiten-
kraft einer Last (Fig. 343«).

146. Die Einflussfläohe für die Querkraft Q im Felde F^F^

zeigt Fig. 344; ihre Aufzeich-
nung empfiehlt sich bei Unter-
suchung von Parallelträgem ;
da hier die Spannkräfte in den
Füllungsstäben durch die Qner-
kräfte Q bestimmt sind. Nach
Eintragung der Geraden B"j
wird A" L^ H B" L^ gezogen.
Der Multiplikator ist = 1 : r.
Der Beweis wird wie in No. 145
geführt.

Den Kräftemaassstab wird man in Figiir 343 und 344 zweckmässig so
wählen, dass die l^asteinheit durch eine Strecke von der Länge v dai^gestellt

^ FldcAe,yi^ ^

Fig. 844.

♦) Vergl. Band 1, Seite 240, Fig. 226. Bei obenliegender Fahrbahn erfolgt
die Zerlegung nach den Richtungen 0 und D.

Durchgehender Balkea mit drei Stützpunkten.

363

wird. Dann wiiti der Multiplikator der ^-Fläche und $- Fläche =1, der J/«-
Fläche =ar,H und der D- Fläche = Da.

147. Gehört der Stützpunkt C nicht der belasteten Ourtnng an,
so ist C" kein Punkt der dem Seilznge Ä' C" B" einbeschriebenen C-
Linie. Die Gerade B"J gebt aber nach wie
vor durch den Punkt C'\ und c bedeutet auch
hier den Abstand des Punktes C" von der
Scblusslinie Ä' B", Vergl. Fig. 345, welche
einen Theil der ^-Fläche darstellt.

148. Der BinfluBs einer Temperatur-
änderang auf den Stützen widerstand C ist
ganz allgemein:

C.= l

et

8«'

Fig. 845.

WO h^t und S«e die Senkungen bedeuten, welche der Knotenpunkt C
des einfachen Balkens ^^ in Folge einer Erw&rmung bezieh, in Folge
der Belastung C = — 1 erfahrt. Wird eine gleichmässige Erhöhung
der Aufsteliungstemperatur vorausgesetzt und der Abstand des Punktes C
von der Wagerechten AB mit e bezeichnet, so ergiebt sich h^t=-^^^'
Für 8,, ist der Werth

einzuführen, unter Wp die Pol weite des Seilzuges Ä' C" B" verstanden.
Es muss nämlich die Ordinate c des für den Zustand C = — 1 ge-
zeichneten Seilpolygons multiplicirt werden: mit 1 : EF^y weil die EF^-
fachen Gewichte w benutzt worden sind, mit mVi weil die Polweite nicht

= 1 gewählt worden ist und mit ~i~~r7;"~ • y»» weil die Höhe des

Momentendreiecks Ä C' B' für den Zustand C= — 1 gleich -,— ^,^—
statt = ijn ist. Infolgedessen ergiebt sich der Stützenwiderstand

(1)

cl^l^ Wp

dessen Einfluss auf die Stabkräfte am besten mit Hilfe eines Gremo-
na'schen Kräfteplanes untersucht wird. In der vorstehenden Formel
ist Wp als Zahl aufzufassen, welche mit dem Maassstabe gemessen wird,

nach welchem die Zahlen w

aufgetragen worden sind. Die

Strecken e, y«» ^i* ^s» ^ messe man mit dem Längenmaassstabe der
Zeichnung.

364 Zweiter Abschnitt. — § 12.

In der Regel wird beim durchgebenden Balken der Einflass einer
Temperaturänderung gar nicht berücksicbtigt und für nnwesentlicb
erachtet. Dies letztere trifft aber nur bei gleichförmiger Erwärmung
zu, und es möge daher noch der wichtige Fall betrachtet werden, dass
die obere Gurtung in Folge Sonnenbestrahlung eine um A^ höhere Tem-
peratur annimmt als die untere. Man rechnet dann genügend genau,
wenn man den Füllungsstäben und der unteren Gurtung den Werth
^ ^ 0 zuschreibt und die Längenänderungen der Obergurtstäbe (zu-
nächst für e = 1) nach der Formel A5 = «A^ bestimmt. Nun er-

As ^A^

mittle man die Gewichte tVt = — — = der unteren Enoten-

r r

punkte, verbinde dieselben durch ein Seilpoljgon (Polweite = Wt^ und

messe unter C die Ordinate c< (Fig. 318*). Man findet dann 8^,= — sir^pc^

(2) c, = - ll'l^Mj^b + y_ Jf- A t

Wtp ist eine Zahl, welche mit dem Maassstabe gemessen werden muss,
nach welchem die Zahlen Wi aufgetragen worden sind.*) Ist die obere
Gurtung um A^ knlter als die untere, so entsteht ein positives C«.

Es möge noch für die Iq Fig. 346 dargestellte Trägerform eine Nähenmgs-
formel für Ct aufgestellt werden. Dazu gehen wir von dem Ausdrucke

(3) C. = -^^,

EL

aus, wo S' die durch die Belastung C= — 1 in den Stäben des einfachen Bal-
kens AB hervorgerufenen Spannkräfte bedeuten. Wir berücksichtigen nur die
Längenänderungen der Gurtstäbe, imd erhalten für diese Stäbe die Werthe

S' ^=-\- -TTzl: f\T (^^°^^ Seitenöffnung)
(«1 ~r '2/ '*

_ Ix

S' = H^ —j — ri~, - (rechte SeitenöfFnung).
(«1 + '«) Ä

Die oberen Vorzeichen gelten für die obere, die unteren für die untere Gurtung.
Es ergiebt sich also, bei unendlich kleiner Feldweite

" EF ~' (li + y- L*" / h^EF ^ ' J h^EFJ

0 o

Diesen Ausdruck schreiben wir in der Fonn

2S'«— ?

EF

=-EFji?Ti;-+w (^^'ß'-<^^+h^A^<^4

*) In der Regel empfiehlt es sich, für die verhältnissmässig grossen Ge-
wichte tvt einen anderen Maassstab zu wählen wie für die Gewichte ir.

Durchgehender Balken mit drei Stützpunkten.

365

wo Ft und K die AVerthe von F und h über der Mittelstütze bedeuten, während

(0 =

h^F

ist Die Querschnittsinhalte F mögen sich mit x so ändern, dass cd eine lineare
Funktion ist, welche an den Trägerenden die Werthe «j bezw. o, annimmt.*)
Dann ist

und man erhält

Fig. 846.

Weiter ergiebt sich, für die um A^ em-ärmte obere Gurtung

is.A<.=- _-L/.y--- +h]-j^-}

Da nun

In

1 —

^1

— 1

so gelangt man schliesslich zu der Formel
(4)

7,4i, + /,4ij

C, = - 6 eBF.At ML-y.) - , , ^ryT, , , ,

h h h (3 + o,) +!t(3 + a,)

h h

wo (mit den abkürzenden Bezeichnungen — ^ = Tj und ' = t^)

Äi /r,

(5)

(6)

(Zi SS — , QCa nz; — - •

♦) Es ist dies dieselbe einfache Annahme, die in No. 135 bei der Berechnung
des Biogens mit eingespannten Kämpfern gemacht wui^e.

366 Zweiter Abschnitt — § 12.

Das Biegungsmoment, welches Q über der Mittelstütze erzeugt, ist

es ruft in der oberen oder unteren Gurtung die Spannkraft

und die Si)amuuig

. M

a = ±

hervor. Man erhält also über der Stütze die Beanspruchung

('7\ ^ ^a.ip A4 'i^^i + ^^i

^ - M3 + a») + /<(3 + a,)

Der Stützenwiderstand ist absolut genommen.

(8, a=oF.ML±R.

Ist /j =: /, = /, i{>, r= vj>, = 4^, a, = a< = a

so ergiebt sich

(9) a = 6e^A«3*-^

(10) G = 2aF.*-'-

Für

T = l 2 3 4 5 6 7 8 9 10

erhält man

^^ = 0.500 0,614 0,676 0.717 0,747 0 770 0.788 0,808 0,816 0,830

Für Ä, = 0 also für t = oo wird vj> = 1.

Es sei z. B. 1^ = 1^ = 30*^, ä, = 4,5"', ä, =ä, = 2,25"*, alsoÄ.:Äi = 2
und vj> = 0,614 ; femer Fi = 100 qcm und F, = 300 qcm, mithin a = 3 • 2* = 12.
Dann ergiebt sich für Af = 20" und für Flusseisen

femer

a = 6 • 25 • 20 «— r .\ = ^' 1 20 kg/qcm

ö -j- 12

Ci = — 2 • 120 . 300 4'^- = — 10800 kg.

SO

Die vorstehenden Fonneln gelten auch für den Fall einer geneigten oberen
Gurtung, weil sec 3 so wenig von 1 abweicht, dass man Afsec^ konstant an-
nehmen darf.

Wir erinnern wieder daran, dass der voi'stehenden Rechnung die ungünstige
Voraussetzung starrer FüUungsstäbe zu Grunde liegt. Dafür ist der durch
Formel (1) gegebene Einfluss einer gleichmäs-sigen Erwännung vernachlässigt
woixien. Will man nach Berechnung sämmtlicher Stabquerschnitte Ct genauer
bestimmen (was immer zu empfehlen ist) so benutze man die Formel (1). Dass
dies nicht ganz überflüssig ist, haben wir in dem im § 11 durchgeführten Zahlen-
beispiele gesehen.

149. Bei der Drehbrücke .,Neuhof** über den Reiherstieg bei Hainbui^-
Neuhof hat die Maschinenbaugesellschaft Nürnberg die in der Figur 347 darge-

Durchgehender Balken mit drei Stützpunkten.

367

stellte eigenartige Anordnung der Füllungstäbe gewählt. Es mögen die Formeln
für die Gewichte tr mit Bemcksichtigung der Längenändenmgen der Füllungs-
stäbe aufgestellt werden. Zu beachten ist zunächst, dass im Belastungsfalle
C = — l sämmtliche Vertikalen spannungslos sind, dass also die Gewichte tom und

Fig. S47.

tc?* der dem gewöhnlichen Strebensystem angehörigen Knotenpunkte m und k
nach den auf Seite 105 abgeleiten Formeln

— ^Om SeC ßw + A//^ SeC (pm -^ ^dm+\ SeC fm + l

hm

Wm

+ ^Uk — ^dk sec 9fc — Aefjt+i sec (pk-k-i

«•*= k,

zu berechnen sind.

j
X

±

■ - I ■ >

1'

X'

Fig. 348.

Flg. 349.

Um M7« für den Knotenpunkt a zu finden, berechne man für den in Fig. 848
dargestellten Belastungsfall die Stabkräfte |a; man findet

für den Stab o den Werth |jl = — -

1? 1"

»1

d ys

u

^^

»^ ff ««

^'\

ha

secqp

"T„ ■

cotg 9"

"X "
1_

• A Sin 9

, / l , cotg 9 \

368 Zweiter Abschnitt. — § 13.

und hierauf, mittels der auf Seite 105 abgeleiteten Formel

— A 0 sec p + A d See 9 + A (T sec qp' cotg 9"

«.,= — ^^ . +__^_

(Ad' See 9' — A(f' sec 9" — Au').

In derselben Weise werden die Gewichte Wd und ir, berechnet

Nun bestimmt man für den in Fig. 349 angegebenen Belastungszustand

für den Stab u den Werth |i = + £2^

V *.1 17

17 ?7 77

, cotg 9

77

77 77 77

und findet schliesslich

X"

_, cotg 9'

cT „ „ |i = ^^8ec9

j'" cotg 9 ,,,

d „ „ fji = ^„^— sec9

„ /, cofg9' cotg 9" \

d ,7 „ tt-|^+— ^. j^,— ;

sec 9

/*/

^, = ^^ (A^- + Ad" sec <p" - AcT sec 9 ) + ^^

( A u" — A (f' sec 9" — A d"' sec 9'").

In dei'selben Weise berechnet man u;«, tr/ und Wp.

Die vorstehende Entwicklung zeigt, dass die Berechnung der Gewichte w
für Ausnahmefälle nicht die geringsten Schwierigkeiten bereitet. Man denke
aber auch daran, dass für solche Fälle noch das sehr allgemeine Wiüiotsche
Verfahren zur Verfügung steht. Im vorliegenden Falle giebt der Verfasser
allerdings der Vei'wendung der Gewichte w den Vorzug, weil nach Berechnung
der für beide Verfahren erforderlichen Längenänderungen Ao, Au und Ad die
Ausrechnung der Werthe w so wenig Zeit in Anspruch nimmt, dass die grössere
Einfachheit und Genauigkeit der Seillinie, gegenüber dem zeichneriscb viel um-
ständlicheren und mit grösseren Fehlem behafteten Verfahren von WiUiot, die
geringe rechnerische Mehrarbeit wieder ausgleicht. Auch lassen sich die Seil-
linien stets schnell durch Rechnung bestimmen.

§ 13.

Durchgehender Balken mit ?ier Stutzpunkten.

160. Die Widerstände der Endetütsen. Als statisch nicht be-
stimmbare Grössen führen wir die Widerstände Xa = Ä und Xi= B
der Endstützen ein, weisen den Angriffspunkten derselben die Ordnangs*
Ziffern a und b zu und erhalten mit den auf Seite 146 erklärten all-
gemeinen Bezeichnungen:

(1)

Durchgehender Balken mit vier StiitzpuDkten.

369

wo h„, S» die lothrechten Verscliiebungen sind, welche die Punkte a und
b in Folge der Nachgiebigkeit der Widerlager gegen die dnrch die beiden
mittleren Stützpunkte bestimmte Gerade erfahren; sie werden in der
Kegel gleich Nall gesetzt.

Das statisch bestimmte Haaptsystem (Zustand A = 0, B = 0) ist
ein Balken mit über die Stützen C,', Cg' ragenden Enden; seine
Biegungslinien, gezeichnet für die Zustände A = — 1, B = — 1, liefern
die Verschiebungen 8«,, 8.., 85«, 8«», 8«^, 845.

/Prj

Fig. S»).

Die Momentenfische des Zustandes A = — 1 besteht aus einem
Dreieck / (Fig. 350^) von der Höhe — /|, mit dessen Hilfe die tr-
Kräfte genau so berechnet werden, wie im vorigen Paragraphen. Bei-
spielsweise ist bei Vernachlässigung der Formänderungen der Füllungs-

stäbe das Gewicht des Knotens Je: u/ = o-

F,

Die Gewichte

tc sind negativ; es entspricht ihnen also ein nach oben gebrochener
Seilzug I*), dessen rechte Endseite als Biegungslinie des spannungslosen
Trägertheiles C^B^ — der nur eine Drehung aber keine Formver-

♦) In Fig. 350 zeichneten wir der Einfachheit wegen Seilkurven. Auch
haben wir die Höhen der Momentendreiecke in kleinerem Ma&ssstabe aufgetragen.
Mfiller-BresUn, Oraphische Stotlk. IL 1. 24

370 Zweiter Abschnitt. — § 13.

Änderung erfährt — aufzufassen ist. Nach Eintragung der durch die
Stützpunkte C/Cj' bestimmten Schlusslinie ergiebt sich die in Fig. 321^
schraffirte Fläche als Biegungslinie für den Zustand ^ = — 1 ; sie
liefert die Verschiebungen h„„f h^a, ^ba-

Ganz in derselben Weise wird die Biegungsfläche für den Zustand
B ^= — 1 erhalten und damit 8^, S^t, 8„j, gewonnen (wobei die
Zeichenprobe S^^sSi,« zu beachten ist), so dass jetzt alle Werthe ge-
geben sind, durch welche der Einfluss einer Last P„ bestimmt ist.
Dieser ergiebt sich aus den Gleichungen

f 0 = P«

Äht,^ Bhi

und zwar erhält man A und B als lineare Funktionen der Veränder-
lichen S„„, 8«ft. Beispielsweise wird

(3) A = K^h^a + K.h^b

wo Ka und Kb feste, von der Lage der Last P unabhängige Werthe
sind, und dafür darf man auch schreiben: A =K^ (8^a-|- K'h^^ wo K'
einen neuen Festwert h bedeutet. Da nun nach diesem Gesetze A pro-
portional der um K'h^i, vermehrten Ordinate 8^„ ist, da femer einer
im Stützpunkte C^ oder C^ angreifenden Last P der Werth ^ = 0 ent-
spricht, und da endlich die im Stützpunkte A wirksame Last P den
Gegendruck A = P hervorruft , so ergiebt sich die folgende einfache

Darstellungsweise der ^-Fläche (Fig. 3500-

" ip

Man zeichne den Seilzug II der Gewichte w' ■= — jj — ^ mit be-

i/'ä F
liebiger Polweite und führe hierauf das die Gewichte w = -=— ^ — ~-

verbindende Seilpolygon / durch die Punkte 1, 2 und 3, in denen das
Polygon II die Senkrechten durch die Stützen C^, Cg, B schneidet. Die
von beiden Seilzügen eingeschlossene Fläche ist die gesuchte ^-Fläche.
Mit den aus Fig. 350' ersichtlichen Bezeichnungen t[ und e? erhält man:

(4) A = ^-'P

und, wenn die Lasteinheit P durch eine Strecke von der Länge v dar-
gestellt wird, was hier vorausgesetzt werden möge, A=^t\.

Das Seilpolygon. I lässt sich sehr schnell zeichnen, weil die rechte
äusserste Seite durch die Punkte 2 und 3 festgelegt ist. Bringt man
diese Seite mit der Mittelkraft der zwischen den Stützpunkten C^ und C^
liegenden Gewichte w zum Schnitt, so bestimmt dieser Schnittpunkt
und der Punkt 1 die Lage der durch 1 gehenden Seite des Polygons i.

Durchgeheader Balken mit vier Stützpunkten.

371

151. Temperaturanderungen. um noch die wichtige Aufgabe
des Einflusses der ungleichen Erwärmung der beiden Gurtungen zu
lösen, zeichnen wir das Seilpolygon (///) (Fig. 350) der Gewichte

Wt= , wo s die Stablängen der um A^ stärker erwärmten Gurtung

r
bedeuten, bestimmen die Strecken S«, und hf,^ und lösen die Gleichungen

Athaa -\- Bth„f, = eKtU'ni

wo Wui die Polweite des Seilpolygons III bedeutet. Die Multiplikation
mit dem Ausdehnungskoefficienten e ist erforderlich, weil Wt nicht gleich

= sondern = gesetzt worden ist.

r r

Man erhält

r

Bt = sivjjj

Kt — Kt

\a

= ^if'm

'aa

h

hb

[. \a ^«6_1
h„a 8^6 J

Fig. 351.

■-'..^.

Bestimmt man nun mittels der durch die Punkte 1 und 2 der Seil-»
polygone / und // gelegten Geraden die Strecken tq««, Tr)„6 und iqta = tq^j,
Fig. 351, ßo findet man, da ja /und Hin einem gewissen, hier gleich-
gültigen Maassstabe die Biegnngslinien für die Belastungszustände
A=^ — 1 und ß = — 1 vorstellen.

ha "^ba

aa

= und

IQ««

a_ Ogfc '^iba '^ab ''lab

8— 8*6 *^«a '^bb \

Da nun weiter

'aa

bb

\ta

Wn-'^hb

ist, wo Wn die Pol weite des Seilpolygons bedeutet, so erhält man schliessr

lieh den einfachen Ausdruck

24*

372

Zweiter Abschnitt. — § 13.

B, = tEF,

^lU ^ht'^iua Ö«,t]6„

und auf dieselbe Weise findet man

^n ^iii ^iii ^^^^ Zahlen, welche mit dem Maassstabe gemessen werden,
in welchem die entsprechenden Gewichte w\ w\ Wt aufgetragen worden
sind.

162. Untersuchung einer SeitenöfiEhung, Aus der Einflusslinie
für Ay welche zweckmässig auf eine wagerechte Nulllinie {JCx'C-i'B"

Flg. 352.

in Fig. 352) bezogen wird, lassen sich nun alle zur Berechnung der
ersten Oeffhung erforderlichen Einflussflächen auf dieselbe Weise ab-
leiten wie dies im § 12 für den Träger mit drei Stützen geschehen

Durchgehender Balken mit vier Stützpunkton. 373

ist. Die Figuren 352^'®»^ sind ohne weiteres verständlich, wenn be-
achtet wird, dass der Einflnss der rechts vom Schnitte tt gelegenen
Lasten auf das Moment M^, die Querkraft Qm+i und die Spannkraft I>
proportional dem Stützenwiderstande A ist, weil dann links von tt nur
die äussere Kraft Ä angreift, und dass alle Einflussflächen in die einem
einfachen Balken AC^ entsprechenden übergehen müssen, sobald die
gebrochene ^- Linie durch die Gerade Ä' C^' (d. i. die ^- Linie des
einfachen Balkens ACi) ersetzt wird.

Um die MncFläche zu erhalten, bestimme man m' senkrecht unter
m und ziehe die Gerade Ä'm\ Multiplikator = x^^.

Die Q' Fläche für das (m + 1)*« Feld entsteht nach Ziehen
der wagerechten Geraden Ä' L^ durch Eintragung der Geraden L^L^.
Multiplikator = 1.

Der Punkt L^ der D-Fläche ist in Fig. 352^ auf vierfache Weise
bestimmt worden, nämlich mittels der Bedingung, dass der Schnitt-
punkt t" von L|v4" und B"J senkrecht unter dem Treffpunkte i der
Gurtstäbe 0 und U liegen muss, sodann mit Hilfe der den einfachen
Balken ACi, AC^, AB entsprechenden Nullpunkte iV^, N^y ^s*)
Das einfachste aber ist, die Strecke HL^ mit Hilfe von [D], vergl.
Fig. 348 f u. ^, zu ermitteln.

In Fig. 850® wurde noch mittels der ^- Linie die Einflussfläche
für das Moment Mci {Stützenmoment), welches wir in der Folge kürzer
mit Mi bezeichnen wollen, bestimmt; der Multiplikator ist =li; und
in derselben Weise Hesse sich mit Hilfe der ^-Linie die Einflussfläche
für das Stützenmoment Mc2 = Mn herleiten.

Zwischen den Momenten Mj und Mn besteht eine für die folgen-
den Untersuchungen wichtige Beziehung. Bringt man nämlich nur eine
rechts von C^ und im Abstände s von Cg angreifende Last auf (Fig. 353),

^5 «
so entspricht dieser nach Fig. 350® der Werth h^„ = — ^ — und die erste

's
der Gleich. (1) geht (wegen Kb = ^ba) mit 8« = 0, 8„, = 0 über in:

0 = P8,. f-—AK„ — Bh,„;
's

sie lässt sich mit Hilfe der Gleichungen

Al^ = Mi und Bl^ — P^ = Mn
umformen in Mn ^3 8.a

Mi /j Sfca

und führt zu dem wichtigen Gesetze:

♦) Die Hilfslinien wiii-den in Fig. 352 foi*tgelassen. Vergl. dafür Fig. 343 a u. f.

374

Zweiter Abschnitt. — § 13.

Wird nur eine Aussenöffnung belastet f so nimmt das Ver-
hältniss Mn : Mi einen von der Grösse und Lage der Lasten
unabhängigen Werth an,*)

Die Momentenlinie der Oeffnnng /g besteht also, falls nur die OefiT-
nung ^5 belastet wird, aus einer durch einen festen Punkt L gehenden
Geraden, und die Lage dieses Punktes kann auf die in Fig. 353 ge-
zeigte Weise ermittelt werden. Man findet nämlich:

— Mu : Mi = / : « = cotg ß : cotg a = ( -^^— ) '• ( ~¥^~ ) *

Fig. Sb3.

Ganz in derselben Weise lässt sich mit Hilfe von S»» und S«» der
feste Punkt R bestimmen, durch welchen im Falle ausschliesslicher
Belastung der Oeffnung l^ die Momentengerade der Oeffhung I2 geht.
Man nennt die Punkte L und R Festpunkte, die ihre Lage bestimmen-
den Lothrechten sind in Fig. 350 c und e (strichpunktirt) eingetragen
und mit (L), (R) bezeichnet worden.

In der Folge werden wir für die Verhältnisse zwischen den Strecken,
in welche die Oeffnung Z, durch die Festpunkte zerlegt wird, die Be-
zeichnungen einführen :

e
e

LC,

5<;

RC^

y..

LCi RC2

Wir erhalten dann, je nachdem nur die rechte oder nur die linke
Aussenöffnung belastet wird,

Mu = — x-Mj bezw. Mi= — ycMju.

Wenn man die ^-FJäche nach dem in Fig. 350' angegebenen
Verfahren zeichnet, so stellen die Seilpolygone I und II die Biegungs-

*) Kennt man also den zur Oeffnung l^ gehörigen Zweig der 3f/- Linie,
so kann man sofort den entsprechenden Zweig der Ifrr- Linie zeichnen, oder
umgekehrt. Hat man innerhalb Oeffnung l^ einen Belastungszug so aufgestellt,
dass Mi (absolut genommen) möglichst gross ist, so entspricht derselben Zug-
stellung auch ein Gr()sstworth von MtI'

Durchgehender Balken mit vier Stützpunkten.

375

linien für die BelastoDgszustände A = — 1 und B^ — 1 in ver-
schiedenen Maassstäben vor. Dies macht aber nichts aus, da es bei
der Bestimmung der Festpunkte nur auf die Verhältnisse 5«« : h^^ tmd
Sfrb : hah ankommt.

168. XTntersucshTmg der MittelöfiChiing. a. Querkräffce. Für
das m^ Feld ergiebt sich nach Band I, Seite 162, Gleich. 2

(6)

_ . Mn — M,

*2

WO Qom die Querkraft f(ir das m^ Feld eines einfachen Balkens
/ — II bedeutet. Die aus Gleich. 6 gefolgerte Darstellung der

Flg. 354.

^M* Fläche zeigt Fig. 354; sie erfordert nach Auflragung der durch
die Einflusslinien für Mi und M^ bestimmten -^ (Mji — 3//) -Linie nur

l

2

das Ziehen der parallelen Geraden 7J" und IlX und der Geraden L^L^;
die letztere ändert ihre Lage von Feld zu Feld, die anderen Linien
können für die ganze Mittelöffnung benutzt werden.

b. Momente. Zwischen den Querkräften und den Momenten be-
stehen Beziehungen von der Form

(7)

,. ^Im J/m-l

*»n

Bei gleichlangen Feldern kann man also mittels der Gleichung

die J/: X -Flächen schrittweise aus den Q-Flächen herleiten, indem man
von der bereits durch die M/: Z^- Fläche bestimmten ifj: X-Fläche ausgeht.

376

Zweiter Abschnitt — § 13.

Zu einer anderen Darstellung der Einflusslinien für die Momente
gelangt man, wenn man den Einfluss einer Einzellast P auf sämmt-
liche Querschnitte verfolgt. Fig. 355* zeigt die Momentenfläche für
den im Punkte C mit F belasteten Balken; sie ist bestimmt durch
die Stützenmomente Jfj = r^i und Mu = '"Qu und durch das Moment

— sr

CS = P——. welches P im Querschnitte C eines einfachen Balkens III

l

2

erzeugen würde. Die Punkte 8 liegen in einer Parabel, deren Pfeil-

7 7

höhe für P = 1 gleich -^ ist. Es empfiehlt sich, den Werth 1 ^

4 "" " ' 4

als Moment aufzufassen und den Maassstab hierfür nicht zu klein zu

k Z

Fig. 355.

wählen. Der Einfluss von P= 1 auf das Moment für irgend einen
Querschnitt E ist M=Pfl. Zeichnet man also die Momenten flächen
für alle Lagen von P = 1 , so erhält man sämmtliche Ordinaten der
Einflusslinien für die Momente. Wir wollen aber die in Fig. 355 dar-
gestellte Konstruktion nur zur Ermittlung der Ordinate iq« des Punktes C
benutzen, den wir in der Folge kurz die Spitze nennen wollen. Die
Zweige IC und CII (Fig. 855^) lassen sich dann sehr schnell mit
Hilfe der folgenden einfachen Betrachtung zeichnen.

Durchgehender Balken mit vier Stützpunkten.

377

In Fig. 356 haben wir den Ort der Spitzen C und die Zweige
CII einer Mittelöflfnung mit 10 gleichlangen Feldern dargestellt. Für
den mit der Stütze I zusammenfallenden Querschnitt ist dieser Zweig
die M/- Linie. Liegt nun die Last P= 1 im Knotenpunkte 4, so ist
für die ersten 4 Felder:

^1 = ^2 = ^3 -= 94

und daraus folgt, wegen Q„ =

) bei konstantem \

(8)

M^ — Mi=M^ — M^ = 3/3 — M2 = M^ — 3/3.

Flg. 856.

Es wird also der Abstand C^D^ des Orts der Spitzen von der A//- Linie
durch die rechten Zweige der Einflusslinien für A/3, M2 und M^ in
vier gleiche Theile zerlegt und ganz allgemein der Abstand C„D^ in
m gleiche Theile.

Tritt die Last auf die rechte Seitenöffnung über, so ist die Quer-
kraft Q für sämmtliche Felder der Mittelöffnung gleich gross. Besitzt
also die rechte Seitenöffnung n gleich weite Felder, so hat man zur Be-
stimmung der zu l^ gehörigen Zweige der Einflusslinien für Mi, M2,

i/3 Mn.i nur nöthig, die von den Einflusslinien für Mj und M^

auf den Senkrechten durch die Knotenpunkte abgeschnittenen Strecken
in n gleichlange Theile zu zerlegen. In Fig. 857 ist dies für den Fall
dargestellt worden, dass die Oeffiiung /-// 6 gleichlange Felder besitzt.

Sind die Feldweiten nicht gleichlang, so findet man an Stelle von
Gleich. 8 die Beziehung

378

Zweiter Abschnitt. — § 13.

(9) (üf, - Mj) : (M^ — A/,) : (M^ — M^) : (i/, — M,) = X, : X, : X, : X,;

man mnss also die Strecke D^C^ in Theile zerlegen, die, von nnten
nach oben gezählt, sich zn einander verhalten wie X^:X2:X3:X4.

J^ffLime

T

-f-

3

-+-

«

-4-

Fig. 357.

Fig. 358, die sich anf eine Mittelöffnnng mit 6 Feldern bezieht, zeigt
die Ausführung dieser Theilung. Es empfiehlt sich, mindestens zwei
Schaaren von Parallelen, für grössere und kleinere Ordinaten zu be-
nutzen.

In derselben Weise werden die linksseitigen Zweige der Jtf- Linie
bestimmt.

J>s

/ / / ''^^^

/ / /

Flg. 358.

Kennt man aber die Einflusslinien für die Momente if, so bereitet
die Darstellung der Einflusslinien für sämmtliche Stabkräfbe nicht die
geringsten Schwierigkeiten. Wir verweisen besonders auf das ausführ-
liche Zahlenbeispiel im § 11*) und machen nur noch auf eine Verein-
fachung aufmerksam, die bei dem in der Regel vorliegenden Falle einer

•) Im vorliegenden Falle sind natürlich die Momente Mm für zwei senk-
recht übereinander liegende Punkte m gleich gross; "Sl^ z=M**,

W% IM

Durchgehender Balken mit vier Stützpunkten. 379

geradlinigen oberen oder unteren Gurtung zu einer erheblichen Zeit-
ersparnise führt.

Ist die eine Gurtung, beispielsweise die obere Gurtung, geradlinig
und ß ihr Neigungswinkel, Fig. 359, so besteht zwischen V^ und
-Om+i die Beziehung

Vm cos ß + Z>«+, cos (ß + 9«+,) + P,„ cos ß = 0

und aus dieser folgt

V P

= ^m+l COS 9^+1 ■

Y

COS (ß + 9^+1)

wo y =

COS ß cos 9,^+1

Flg. 359.

So lange also der Knotenpunkt m unbelastet ist; stimmt die Einfluss-
linie für — ^m *• T ™i* ^^^ Einflusslinie für

£),„+i cos 9„.+i = — — 1."

überein. An der Stelle m unterscheiden sich die Ordinaten dieser beiden
Linien um den Werth 1 : y«

Wir wollen noch zwei andere Verfahren zur Ermittlung der Ein-
flusslinien der Stabkräfte angeben.

Das erste setzt gleiche Feld weiten Toraus und beruht auf Ver-
werthung des in Band I, § 33 mitgetheilten Zf mm^r mann' sehen Ver-
fahrens. Es ist in Fig. 360 für einen Theil eines Ständerfach werks
mit obenliegender Fahrbahn dargestellt worden. Mit Hilfe der Ordi-
naten vj' und 7]" der if^:X- Linie und *V,„_i : X- Linie sind die irgend
einer Lastlage P entsprechenden Ordinaten t]^ und r^v der D^- Linie
und F^- Linie bestimmt worden.

Ein anderes Verfahren bringt die Spannkräfte S in den Stäben
auf die Form

380

Zweiter Abschnitt. — § 13.

wo Sq die Spannkraft für lf/= 0 und Mu = 0 ist, d. h. für den Fall,
dass die Mittelöfifnnng durch Beseitigung der den Mittelstützen C^ und
C, gegenüberliegenden Qurtstäbe in einen einfachen Balken verwandelt

wird, während Sj und Sji die
Spannkräfte für die in den Fi-
guren 361 und 362 darge-
stellten Belastungszustände
Mi= 1 und Mii= 1 bedeuten.
154« Die bei der Unter-
SQchung von Eisenbahnbrücken
zu leistenden zeichnerischen Ar-
beiten werden erheblich verein-
facht, wenn man die im I. Bande
auf Seite 168 unter No. 99
gegebenen und begründeten
Rathschläge befolgt. Danach
empfiehlt es sich, bei der Unter-
suchung der in den Stäben der
Mittelöffnung durch möglichst
ungünstige Belastung der Mit-
telöffnung hervorgerufenen Be-
anspimchungen , einzelne Theile von Fahrzeugen zu vernachlässigen,
welche auf die Seitenöffnungen zu stehen kommen. Man braucht dann
von den Einflusslinien für die Momente, Querkräfte und Stabkräfte S
der Mittelöffnung nur die zwischen den Stützen I und // liegenden

Fig. 860.

Flg. 361.

Flg. 362.

Zweige zu zeichnen, und findet die ungünstigste Wirkung der Belastung
der Seitenöffnung auf die in Rede stehenden M, Q und S sehr schnell
wie folgt. Man stellt über der rechten Seitenöffnung den Eisen bahnzug
so auf, dass ein möglichst grosses Moment Mn entsteht; vernachlässigt
hierbei den etwa über der Mittelöffnung stehenden Theil des äussersten
Fahrzeugs und zeichnet mittels des Festpunktes L die in Fig. 353
schraffirte Momentenfläche; diese giebt den Einfluss der behandelten
Belastung auf das Moment für jeden Querschnitt der Mittelöffnung an.

Durchgehender Balken mit vier Stützpunkten. 381

Mij—Mi

Die für das TrUgerstück C^ C^ konstante Querkraft ist Q =

'«

und der Einflnss auf die Stabkräfte 8 der Mittelöffnung ist S=SjMi
-f-ftxlf//. Und ganz in derselben Weise wird der Einfluss der Be-
lastung der linken Seitenöffnung untersucht.

165« Die Widerstände der MittelstätBen. Es seien r — 1, r,
r -\- 1 drei aufeinander folgende Stützpunkte eines über beliebig viele
Stützen greifenden Balkens, Mr-u ^n Mr+i die Stützenmomente, CV.i,
Cr, Cr+\ die Stützenwiderstände. C^r bedeute den Werth, welchen
Cr annehmen würde, wenn sämmtliche Stützenmomente gleich Null
wären, wenn also die Trägerstücke /^ und Ir+i in einfache Balken ver-
wandelt würden. Üeben die ein-
fachen Balken Ir und Ir+i auf die ^ .

Stütze r die Drücke Br und Ar+i ''[ ^^ \ " T""

aus, so ist fr/ 'fT^ ^^/

Nun ist die Querkraft für Fig. 3G3.

einen unmittelbar rechts oder
links von r gedachten Querschnitt des durchgehenden Balkens:

Q2 = + ^r+i H ^=7 bezieh. Qi = — BrA

und man erhält daher wegen Q^ = Q^ -\- Cr, den allgemeinen Ausdruck:

*f 'r+l

Hiemach ergiebt sich für den Stützenwiderstand C\ des Trägers
mit drei Oeffnungen (da das Moment M für die Endstütze gleich 0 ist)
der Werth

und es ist deshalb die C^- Linie bestimmt durch die in Fig. 364 dar-

B

— *

I

Fig. 364.

gestellte 0«i- Linie, und die Einflnsslinien für Jlf/ und Mu. In gleicher
Weise wird auch die Cg- Linie ermittelt.

382

Zweiter Abschnitt. — § 14.

166. Die Einflusslinie für die Vertikale über der Mittelstütse

erhält man mit Hilfe einer Bedingung für das Gleichgewicht der am
oberen oder unteren Knotenpunkte (Fig. 365) angreifenden Kräfte.

Ist die obere Gurtung geradlinig, so
zerlege man die in n angreifenden Kräfte
rechtwinklig zu 0 und nach der Rich-
tung von 0 und setze die Summe der
rechtwinklig zu 0 wirkenden Kräfte
gleich Null. Man erhält dann F« aus-
gedrückt durch D^, D^ und P«. Sonst
betrachte man den unteren Knotenpunkt,
bilde die in der Richtung der einen
unteren Gurtung und rechtwinklig hierzu
wirkenden Seitenkräfte und setze wieder
die Summe der letzteren gleich Null.
Man erhält dann V ausgedrückt durch
C/\ und C oder U^ und (7.
Andere Behandlungs weisen des durchgehenden Balkens auf 4 Stützen
findet man in den folgenden Paragraphen.

Fig. 365.

Darchgehender Balken mit beliebig yicien Stützen.

157. Die Elasticitätsgleichimgen. Ein über (n -{- 1) Stütz-
punkte greifender, nirgends durch ein Gelenk unterbrochener Balken
ist in — l)-fach statisch unbestimmt, weil es der Beseitigung Ton

I / , H 1

r-t

— l,. .

'/'*/

kr z

u

i_l_L

r r

y>-i

\

^r

t^-

-'-a

Flg. 366.

(n — 1) Stützen bedarf, um diesen Träger in einen statisch bestimmten
zu verwandeln. Die Untersuchung dieses Balkens soll zunächst ganz
allgemein durchgeführt werden, ohne Rücksicht darauf, ob ein Fach-
werk oder ein voll wandiger Träger vorliegt.

Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen.

383

Drei beliebige aufeinander folgende Stützpunkte mögen die Ord-
nungsziffern r — 1, r, r -j- 1 tragen, ihre wagerecfaten Abstände seien
Ir, Ir+u Pig- 366. Die Geraden r — (r — 1) und r — (r-j-l), welche
den Punkt r mit den benachbarten Stützpunkten verbinden, nennen wir
das r** Geradenpaar^ und den Winkel, um welchen sie sich in Folge des
Nachgebens der Widerlager gegen einander drehen, bezeichnen wir mit
T^. Bedeutet 5^ die nach oben positiv genommene lothrechte Verschie-
bung des Stützpunktes r gegen die Punkte (r — 1) und (r-f- 1), so
besteht die Gleichung

(1) Ct,

8,. — d. Ii. T,.

welche gestattet, aus einem gegebenen h,
schliessen. Drückt man
nun andrerseits t^ durch
die auf den Balken wir-
kenden Kräfte und die

Tem peratur änderun gen
aus, so erhält man eine

Elasticitätsbedingung ,
und es leuchtet ein, dass
sich durch Wiederholung
dieses Verfahrens ebenso
viele Gleichungen auf-
stellen lassen, als Mittel-
stützen vorhanden sind —
im ganzen also (n — 1)
Bedingungen.

Als statisch nicht be-
stimmbare Grössen sollen
die Stützenmoniente 3/,,

3/2, . . . Mr,U ^rj Mr+l,

... 3f„_i eingeführt wer-
den, und es kommt daher
zunächst darauf an, die
Biegungslinien für die
Zustände

auf die Drehung t^ zu

Fig. 367.

3fj — ■ — 1 , Afj — — I ,

3/. = — 1, 3f„.i = — 1

au&utragen, sowi^ die gegenseitigen Drehungen der den Mittelstützen
1, 2, . . . r — 1, r, r+l, . . . n — 1 entsprechenden Geradenpaare zu
ermitteln. Hierbei bezeichnen wir allgemein mit Tp, die gegenseitige

384 Zweiter Abschnitt. — § 14.

Drehung des p^^ Geradenpaares in Folge ifg= — 1 und erinnern an die
in der Einleitung bewiesene Beziehung

Fig. 367** zeigt die Momentenfläche für den Zustand Mr=^ — 1,

erzeugt durch die aus vier Kräften (-7-, -7 — ) bestehende Belastungs-

einheit des r**^ Geradenpaares.*) Fig. 367® sei die zugehörige Biegungs-
linie, d. i. das Seilpolygon der in bekannter Weise aus dem Momenten-
dreiecke A^ berechneten Gewichte 1^**); die äussersten Seilseiten sind
als Biegungslinien der links von r — l und rechts von r -{- 1 gelegenen,
bei Eintritt des Zustandes Mr'= — 1 spannungslosen Balkenstücke
aufzufassen, und es leuchtet zunächst ein, dass der fragliche Belastungs-
fall nur auf die gegenseitige Drehung des (r — l)*®**, r**"* und (r-|- 1)*®°
Geradenpaares von Einfluss ist, dass sich also

ergiebt. Drückt man demnach die Drehung t^ durch die Lasten P,
die statisch nicht bestimmbaren Grössen M und die TemperaturSnde-
rungen aus, so erhält man mit Rücksicht auf die Gleichungen (3) die
der Stütze r entsprechende Elasticitätsbedingung :

WO Xrt den Einfluss der Temperaturänderung bedeutet.

Die Werthe 8„^, T^(r-i) = V-d»-» '^r,-. T^(r+i) = T(^+i)r sind durch
die Biegungslinie in Figur 367® gegeben; während sich t^i mit Hilfe
eines die Gewichte m\ verbindenden Seilpolygons in der Form

(5) t.. = Ch-^^

darstellen lässt, Fig. 367®. Werden noch die für den Fall sehr kleiner
Formänderungen — der hier ausschliesslich ins Auge gefasst wird —
giltigen Beziebungen

(6J
eingeführt, so geht (4) über in:

♦) Vergl. Seite 31—33.

*♦) Für das Fachwerk erfolgt die Berechnung der w nach § 12, No. 117.
Es ist in der Regel zulässig, den Einfluss der Füllungsstäbe zu vernachlässigen.
Für den vollwandigen Balken, für den obige Gleichungen ebenfalls gelten, wiixi
die Ermittlung der Gewichte w in der zweiten Abtheilung dieses Bandes gezeigt
werden.

Durchgehender BalJien mit beliebig vielen Stützen. 385

(7) J/... A + jtf r J:- + ^) + Mr^, -^ = .V., wo

(8)

.V, = - { 2P»S„, + -TT- (K + c,.) }•

Dabei ist das Vorzeichen des Gliedes 2PM5Mr umgekehrt worden,
iceil von jetzt an unter 8„^ stets der absolute Werth der fraglichen Or-
dinate der BiegungsUnie verstanden werden soll.

Wir wollen in diesem Paragraphen voraussetzen, dass die Stützen-
verschiebungen hr gegebene, durch Beobachtung gefundene Grössen
sind, sie mögen also von Ursachen herrühren, die sich der Vorausbe-
rechnung entziehen, wie beispielsweise das Nachgeben der Fundamente.
Wären die 5^ abhängig von den Stützendrücken, so müsste man diese
Drücke auf die in No. 155 beschriebene Weise durch die Stützenmo-
mente ausdrücken. Ist dann 5^ nur abhängig von Cr, so treten in
der Gleichung 7 ausser den Momenten 3fr- n ^r und Mr+\ noch die
Momente Mr. 2 und Mr^% auf. Eine allgemeine Untersuchung dieses
Falles soll in der zweiten von den vollwandigen Systemen handelnden
Abtheilung dieses Bandes gegeben werden ; sie ist für den vollwandigen
Balken wichtiger als für den gegliederten; ihr Hanptanwendungsgebiet
bilden die Schiffbrücken und die durchlaufenden gelenklosen Schienen-
träger der Eisenbahnbrücken.

Die (n — 1) Gleichungen, welche sich nach Art der Gleichung 7
aufstellen lassen, nennen wir die Grundgleichungen; wir werden sie
später meistens in der bequemeren Form schreiben:

(9) a, JJf,_ , + ß, Mr + a,+ , 3/",+ , = K
wobei also:

Ehe wir uns mit der Auflösung dieser Gleichungen beschäftigen,
machen wir darauf aufmerksam, dass bis jetzt stillschweigend voraus-
gesetzt worden ist, es seien die Biegungslinien mit der Pol weite 1 ge-
zeichnet und die Gewichte iv aus den Längenänderungen der Fachwerk-
stäbe berechnet. Wählt man nun die Polweite = tcp, giebt dem Drei-
eck Ar die beliebig gewählte, aber für alle Stützpunkte feste Höhe y^,

ys F, ys

— — -„ statt xo = —^ —

r* F r^EF

80 muss man die Werthe (7, c und h^r uoch mit Wp : EF^yc multipli-

ciren, oder — was auf dasselbe hinauskommt — das Glied 5^ + ^n

durch jenen Ausdruck dividiren. Sind ausserdem die Gewichte Wt für

e= 1 berechnet (Seite 87 1) worden, so muss r« in (8) noch mit 8

Müller-Brealftii, OraphiBche Statik. 11. 1. 25

und setzt man schliesslich '^ = -72~-Er statt «^ = 7^17^ (Seite 859),

386 Zweiter Abschnitt. — § 14.

multiplicirt werden und man erhält, wenn die Polweite des die Ge-
wichte Wt Terbindenden Seilzuges =trtp angenommen wird:

Die Strecken 5^^, y^, K, Cn, /r» lr+\ werden mit ein und dem-
selben Längenmaassstabe gemessen, Wp und Wtp sind (ebenso wie die tr)
Zahlen. EF„ ist eine Kraft, Nr ein Moment.

Solange nur der Einflora der Lasten P untersucht wird, hat man
lediglich darauf zu achten, dass sämmtliche Momentendreiecke A die-
selbe Höhe ye erhalten und sämmtliche Seilzüge mit der gleichen Pol-
weite Wp gezeichnet werden; wie gross y^ und Wp gewählt werden, ist
dann gleichgültig.

168. Die Festpunkte X und S. Erstes Verfahren zur Auf-
lösung der Elasticitätsgleichungen« Wir verfolgen jetzt nur den
Einfluss der Lasten P, nehmen also 5^=0 und c^« = 0 an; auch
setzen wir zunächst voraus, dass nur ausserhalb der Oeffhungen Iry Ir+i
Kräfte P auftreten. Die Momentenlinien der Balkentheile 7^, Z^+i be-
stehen dann aus zwei durch die Stützenmomente 3fr- 1, Mr, Mr+i be-
stimmten Geraden mit den Nullpunkten Lr, L^+i, und zwischen jenen
drei Momenten gelten die Gleichungen:

(12) a^Mr^, + ^rMr-\-OLr+iMr+i = 0

(13) Mr-^ = — Mr—; Mr+, = — Mr— (s. Fig. 368),

0 a

aus denen sich die einfache Beziehung

0 a

ergiebt. Mit Hilfe derselben lässt sich die Lage des einen Nullpunktes
leicht bestimmen, sobald die des anderen gegeben ist. Bringt man
nämlich die Senkrechten durch Lr und L^+i mit den Kussersten Seiten
der für den Belastungsfall Mr = — 1 gezeichneten Biegungslinie in Z,/
und Lr+i zum Schnitt, so findet man:

a

Z Lr'r (r— l)' = a =a^ — *); Z L^+i'r (r + 1)' = a"=a^+,
also: ß^ = a' -f- a"

h'

*) Man denke daran, dass es sich hier um sehr kleine Formänderungen
handelt In Fig. 868 wui-den nur die Punkte (r — 1)', /, (r+l)' und die
äussersten Seiten der fraglichen Biegungslinie gezeichnet Vergl. auch Fig. 867c.

Durchgehender BaUcen mit beliebig yielen Stützen.

387

' ei

nnd hieraus folgt, da9i die drei Punkte Lr, r, Lr^i in einer Geraden
Hegen*)

Wir setzen voraus, dass nur die r^ Oeffnnng belastet wird, and dass
die Stützen momente Mr.\ und Mr anf irgend eine Weise gefunden sind.
Innerhalb einer unbelasteten Oeffnung besteht die Momentenlinie aus
einer Geraden, Fig. 369. Die Nullpunkte dieser Geraden seien links von
der belasteten Oeffnung: X^, L^, X5, . . . rechts davon: i?«, i?«.!, i?«.2 . . .
Der Punkt L^ fällt mit
dem Stützpunkte 0 zu- l '^l J_ ^

sammen; seine Lage ist
also bestimmt, und damit
sind auch schrittweise
mittels des soeben be-
wiesenen Gesetzes die
Punkte L,, Zr^, . . . ge-
geben, und ganz auf
dieselbe Weise kann man,
von Rn ausgehend, der
Reihe nach i^».i, Bn.%, ...
finden.

Die Lage der Punkte L und R ist ganz unabhängig von der Be-
lastung des Balkens; sie ist vollständig bestimmt durch die den Zu-
ständen Jifi = — 1, M^'=^ — 1, ... entsprechenden Biegungslinien. Es
führen deshalb diese Punkte den Namen Festpunkte; ihre Ermittlung

/^V

rr^/j '

Fig. 368.

^^..

Fig. 369.

ist die erste Arbeit, welche bei Untersuchung eines über mehrere
Stützen greifenden Balkens auszuführen ist. Kennt man die Punkte L
und R^ so ist man nach Figur 869 im Stande, den Einfluss der Be-
lastung irgend einer Oeffnung auf die Momente aller übrigen Oeff-
nungen schnell anzugeben, sobald die Momente für die jene belastete
Oefiiaung begrenzenden Stützpunkte gefunden sind.

♦) Ein Sonderfall dieser Beziehung wurde bereits im § 13 gefunden.

25*

388 ' Zweiter Abschnitt. — § 14.

Wir bezeichnen nun mit a^ und K bezieh, a/ nnd 5/ die Strecken,
in welche die Oeffnung K dnrch den Festpunkt Lr bezieh, den Fest-
punkt Br zerlegt wird, Fig. 370, setzen

...x hr^ ^/^ /

Or ttr

und erhalten für den Fall, dass nur rechts von r Lasten auftreten,
dass also die Momentenlinie der Oefifnung lr eine durch den Punkt Lr
gebende Gerade ist, die Beziehung:

Mr= — x^ilC 1 ,
welche in Verbindung mit der Eiasticitätsbedingung :

(lr.lMr-2 + ßr-l^r-1 + (X,rMr= 0

ZU der Gleichung

(15) OLr.iMr.2 + ßr-1-a^.-l = ^irO^Mr^l

führt, und diese letztere bleibt auch bestehen, wenn zwischen r — t
und r Lasten hinzutreten, weil hierdurch das VerhAltniss zwischen den
Momenten Mr^-i und if^_, nicht beeinflusst wird. Die Gültigkeit der
Gleichung (15) ist nur an die Bedingung gebunden, dass der Träger
zwischen 0 und r — 1 unbelastet bleibt; und ganz ebenso lässt sich
zeigen, dass zwischen 3/^ und Mr+i die Beziehung besteht:

(16) OLr+lMr+i + f^rMr = K-' Oir^r,

sobald rechts von r keine Lasten auf den Balken wirken. Ist also
nur die Oe£fnung lr belastet, so gilt sowohl (15) als (16) und die
beiden Elasticitätsbedingungen :

arMr-l + ^rMr + dr+l Mr+l = ^P^h„r

gehen über in

(17)

«r dr

«r dr

sie führen zu einer sehr einfachen Darstellung der Momente J/r-i und Mr^

Trägt man nämlich Mr^i und Mr bei (r — 1) und r als Ordinaten

auf, Figur 370, und verbindet die Endpunkte derselben durch eine

Gerade, so sind die Ordinaten dieser Geraden an den Stellen Lr und P,.:

Cr V 'r

f

Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen.

389

woraus mit Beachtung der Gleichungen t7:

(18) r=— 5^sp»8„„_„; r = — "'

dr

"^■^m^mrf

und diese Werthe lassen sich leicht zeichnerisch bestimmen. In Fig. 370
ist beispielsweise die Ermittlung von Y und Y' für den Fall einge-
tragen, dass nur eine Einzellast P wirkt, und damit ist die Aufgabe
gelöst, die Zweige (r — 1) — r der Einflusslinien für 3/^.i und M^ zu
zeichnen.

Flg. 370.

Will man den Einfluss der Last P= 1 nicht nur auf Mr-i und
Mr sondern auf sämmtliche Momente der Oeffhung Ir haben, so muss
man die in Fig. 370 dargestellte durch Schraffirung hervorgehobene

Momentenfläche auftragen; dieselbe ist bestimmt durch z = P-—^ denn

das Dreieck ECE' ist die Momentenfläche eines einfachen Balkens Ir.
Die Strecke z aber wird als Ordinate einer Parabel erhalten, deren
Pfeil =0,25 Plr ist.

Jetzt lassen sich alle bei der Untersuchung des Balkens auftreten-
den Fragen auf dieselbe Weise erledigen wie bei dem im § 18 be-
handelten, auf 4 Stützen ruhenden Balken. Wir verweisen besonders
auf die in den Figuren 355 bis 357 dargestellten Verfahren. An die
Stelle von Mi und Mu treten Mr.\ und if^. Ebenso können für die
Qnerkräfte die früheren Untersuchungen benutzt werden. Die ()-Flächen
für die Oeffnung Ir lassen sich z. B. nach dem in der Fig. 354 dar-
gestellten Verfahren aus der Einflusslinie für den Ausdruck (Mr — Mr^\)*Ar
herleiten.

Den Einfluss der Belastung der übrigen Oe&ungen auf die Stab-
kräfte der Oeflhung Ir kann man auch mit Hilfe der Gleichung finden

(19) S = Sr^l Mr,X + SrMr,

390

Zweiter Abschnitt — § 14.

welche der auf Seite 381 benutzten Gleichung entspricht. Wird
z. B. der Einfluss der Belastung einer rechts von Ir gelegenen Oeff-
nung l, gesucht, so bestimme man mittels des von Stütze (v — 1) bis
Stütze V laufenden Zweiges der if,_i -Linie das Moment M^-i, hierauf
mittels eines nach Fig. 369 durch die Festpunkte L^.i, L^~t^ • • • •

geführten Geradenzuges die Momente Mr,-2j ^«»s» > ^ry ^r~i

und setze die letzteren in die Gleichung (19) ein.

Auch leuchtet ein, dass man durch Anwendung der Gleichung

S = S,-\-Sr.iMr.i'^SrMr (eutsprecheud der Formel auf Seite 379)

die zwischen (r — 1) und r gelegenen Zweige der 5-Linien gewinnen kann.

Ganz besonders einfach gestaltet sich die Untersuchung eines End-
feldes. So kann man z. B. alle zur Behandlung der Oeffnung l^ er-
forderlichen Einflusslinien auf die im § 13 in No. 152 gezeigte Weise
aus der Einflusslinie für den Widerstand A der Endstütze herleiten,
nachdem man die ^- Linie mit Hilfe der if|- Linie bestimmt hat. Es
liegt hier die um kehrung der in No. 152 gelösten Aufgabe vor; dort
wurde die Jf|- Linie aus der ^- Linie entwickelt.

150. Zweites Verflahren Eur Auflösung der Orundgleichxmgeii:

Wir setzen einen beliebigen Belastungs- und Temperaturzustand vor-
aus, denken die Stützenmomente nach Fig. 871 als Ordinaten aufge-

Fig. 871.

tragen, ihre Endpunkte durch die Geraden g^ g^j • . . verbunden und
nennen den auf diese Weise entstandenen Linienzug kurz das M-PcHy^on,
Pig. 371 stellt das (r— 1)*« und r^ Feld dieses Polygons dar. Wird
die Senkrechte Ir so gezogen, dass sich die Strecken, in welche sie /^

Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen. 391

zerlegt, zu einander verhalten wie a^ zu ß^, so ist die von der Geraden
gr auf der Senkrechten I^ abgeschnittene Ordinate:

(20) y_, -^r-l«r + 3Cßr

und die r*® Grundgleichung lässt sich mithin auch schreiben:

(21) (a, + ß,) Y-^rOLr^^Mr^^ = Nr.

Zieht man nun die Senkrechte Ilr so, dass sie die Strecke lr^x-{-OiX
im Yerhältniss

(22) c':c = (a,+ ß,):a.+,

theilt, so schneidet die Gerade U' C\ welche die Endpunkte von Tund
Mr^x verbindet, auf Ilr die Ordinate

(28) T = ^g' + ^r-fig ^ r(a. 4- ß,)+ 3/^^.1 a,^i

0 -{-c a^ + ß^ + a^+,

ab, und es folgt aus der Vergleichung dieses Ausdruckes mit der Be-
ziehung (21) das Gesetz:

Die mit Hufe der Senkrechten Ir bestimmte Gerade U' C'
schneidet auf der Senkrechten 11^ das gegebene Moment ab:

(24) e:x= 7; = :t-^

Jetzt werde angenommen, es sei ein Punkt L/ der Geraden g^ ge-
geben. Denkt man durch Z// verschiedene Geraden gr gelegt, so kann
man zu jeder derselben die zugehörige Gerade gr+i finden, indem man
von dem Punkte ü\ in welchem die gr von der /^ geschnitten wird,
durch den festen Punkt Er die Gerade U' Er C zieht und C' mit B'
verbindet. Alle die Geraden ^^^.i, welche in dieser Weise zu verschiedenen
Geraden gr gezeichnet werden können, schneiden sich in einem Punkte
L'r+u welcher auf der durch die Punkte LJ und Er bestimmten Geraden
liegt und gefunden wird, indem zu einer beliebigen gr die zugehörige
^r+i gezeichnet und mit der Geraden Lr Er zum Schnitt gebracht wird.*)

üebersichtlicher aber verfährt man, wenn man, von dem senk-
recht unter L/ gelegenen Punkte Lr ausgehend, zunächst auf die Lage
von LrJ^i schliesst. Man legt durch Lr eine beliebige Gerade, welche

♦) Es folgt dies aus dem bekannten Satze der Geometrie der I^e: Be-
wegen sich die Ecken {ü\ B\ C) eines Dreiecks auf drei Sti-ahlen (Ir^ B' B^
C'C) eines Strahlenbüschels, und gehen hierbei zwei Seiten {gr und VC) des
Dreiecks durch feste Punkte {Lr und JE?/)? so geht auch die dritte Seite d^r+i)
durch einen festen Punkt (Z/r+i')^ welcher mit den beiden anderen festen Punkten
in einer Geraden liegt.

392

Zweiter Abschnitt. — § 14.

die Senkrechten /^ und b' B in TJ' bezw. B schneidet, führt hierauf
durch U" und Er eine Gerade bis zu ihrem Schnittpunkte C" mit der
Senkrechten durch C und zieht schliesslich die Gerade C" B'\ Letztere
bestimmt dann den Punkt L«.+i.

Mit Hilfe der vorstehenden Entwicklungen ist man im Stande, das
3f- Polygon zu zeichnen. Die Gerade ^i Fig. 372 geht (wegen i/^ = 0)
durch den Stutzpunkt 0; es fällt also L^ mit 0 zusammen. Aus der

ft'¥

Lage von L^ schliesst man in der vorhin beschriebenen Weise auf die
Lage von L^, sodann auf die von L^, L^ . . ., und*zeichnet den Linien-
zug Li Li Li , . . , dessen Seiten auf den Senkrechten II^ , 11^ , 11^ , , ,
die gegebenen Momente 7\ , Tg , T^ ... abschneiden. Jetzt ist in jeder
Oeffnung ein Punkt L^ des il/- Polygons bekannt, und da die Gerade
g„ nicht nur durch L^' sondern auch durch den Stützpunkt n gehen
muss, so ist der Linienzug g^ ffm-u • • • ^i bestimmt.

Man kann natürlich auch in der Weise vorgehen, dass man nicht
von 2/j, sondern von dem in der letzten Oeffnung gegebenen, mit Stütz-
punkt n zusammenfallenden Punkte F^ ausgeht, in den vorhergehenden

Oeffnnngen Punkte B^.u Bn^j, /?i auf ähnliche Art bestimmt,

wie vorhin die Punkte Lg» -^3» • • •» hierauf mit Hilfe der Th-i, T„_j, . . .
einen Linienzug i?'n-i» i?'n-s • • • zeichnet und schliesslich g^ durch Li
und i?i' legt. Zur Ermittlung der Punkte B sind (an Stelle der /^)
Senkrechte J/ zu bestimmen, welche /r+i im Verhältniss ot^+i : ß^
theilen, Fig. 373.

Es ist leicht einzusehen, dass die Punkte L und B mit den früher
benutzten Festpunkten übereinstimmen. Zu diesem Zwecke nehme man
nur eine einzige Oeffnung belastet an und streiche die von den Tem-
peraturänderungen und Stützensenkungen abhängigen Glieder der
Werthe T, Dann gehen die Geraden g der links von der belasteten
Oeffnung gelegenen Oeffnnngen durch die Punkte L und die Geraden g

Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen.

393

der rechtsseitigen Oeffnnngen durch die Punkte B. Hieraus folgt,
dass man die beiden hier mitgetheilten Verfahren zur Ermittlung der
Stützenmomente auch miteinander vereinigen kann, so zwar dass man
die Punkte L und E auf die früher gezeigte Weise mit Hilfe der
Biegungslinien bestimmt und nun das Jf- Polygon aus den Momenten T
ableitet. Dieser Weg ist sehr zu empfehlen bei Aufsuchung des Ein-
flusses von Temperaturänderungen auf einen im übrigen nach No. 131
mittels Einflusslinien zu behandelnden Träger. Die Momente T sind
hier durch die Gleichung bestimmt:

— 1 eEFMr-\-lr+x) Vc

Tr =

Oft

i-?„

^r-\- ^r-h (X^+l KK+l ^iP

Werden negative T in Fig. 872 oberhalb der Achse 0 — n auf-
getragen, so sind auch die Stützenmomente negativ, sobald sie durch
oberhalb der 0 — n liegende Ordinaten dargestellt werden.

. In Figur 373 ist noch gezeigt worden, wie die Senkrechten J^,
77^, 7/ mit Hilfe der Biegungslinie für den Zustand Jtf"^ = — 1 gefunden
werden können. 77^ geht durch den Schnittpunkt der äussersten Seil-
seiten, Ir und 7/ gehen durch die Punkte, in denen die Endseiten von
den Schlusslinien (r 4" 1)' — ^' bezieh, (r — 1)' — / getroffen werden.
Der Beweis ist leicht zu führen.

Es sei schliesslich noch
hervorgehoben, dass das
zweite Verfahren, die Elas-
ticitätsbedingungen aufzu-
lösen, insofern von grosser
allgemeiner Bedeutung ist,
als es die zeichnerische Be-
handlung von Gleichungen
gestattet, welche dieselbe
Form haben, wie die Be-
ziehungen

und Gleichungen dieser Art

begegnet man in der That bei statischen Untersuchungen sehr häufig.
Eine besonders wichtige Anwendung wird der den Nebenspannungen
gewidmete Theil unseres Buches bringen.

160. Angenäherte Ermittlung der StütBenmomente. Zu be-
deutenden Vereinfachungen gelangt man, wenn man bei der Berechnung

g

der Gewichte w (Seite 885) die Werthe , konstant annimmt und

Fig. 373.

394

Zweiter Abschnitt. — § 14.

die Einzelkräfte w durch eine, unendlich kleinen Stablängen entsprechende,
stetige Belastung ersetzt, ein Verfahren, das nach den Erfahrnngen des
Verfassers bei Parallelträgem und bei Trägem mit schwach gekrümmten
Gartangen recht befriedigende Ergebnisse für den Einflass der Lasten P
liefert. Die in Fig. 874^ dargestellte Momentenfläche für den Zustand
Mr = — 1 wird als Belastungsfläehe aufgefasst. Das zagehörige Seil-

Fig. 874.

polygen (Polweite = 1) zeigt die Fig. 374*; es liefert die Werthe h^r,
drf dr+if Cr- Dic Belastungsfläche besteht aas zwei Dreiecken von den

Inhalten -- and

l

-^; sie erzeugt an der Stelle r eines einfachen in

den Punkten r — 1 und r -\- 1 unterstützten Balkens das Biegungs-
moment

Betrachtet man die beiden Dreiecke als Belastungsflächen einfiEtcher
Balken von den Stützweiten /^ und /^^i, so findet man für die in r — 1

Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen. 395

und r-}- 1 angreifenden Stützen widerstünde die Werthe — Ir und — ^^+1.

6 6

Da nun die Qaerkräfte für die Balken -Qnerschnitte bei (r — 1) und

(r -{- 1) gleich den entsprechenden Stützenwiderständen sind und da

dM
weiter allgemein ^ = — — ist, so ergeben sich nach Fig. 874* die Be-

dx

Ziehungen

dr 'r j "r+I 'r+\

= -— und == — - —

Ir 6 lr+\

und die auf Seite 385 abgeleitete Gleichung 7 geht über in

(25) Mr,Jr + 2 Mr(lr + /.+ ,) + Mr+Jr+r = iV,

WO (26) JV, = — 6SP„8„^

Dabei ist S^r das Biegungsmoment für den Querschnitt m eines mit
der Dreiecklast \ Ir belasteten einfisu^hen Balkens Ton der Stützweite Ir.
Man findet

•"•"'6 ^ // 2 * 3 ~ 6 \/, Ir^J'

Bezeichnet man also den nur von dem Verhältniss ^ : Ir abhängigen
Klammerausdruck mit tOj), wobei der Zeiger D an die Dreiecklast ei-
innem soll, und nimmt man in jeder der beiden OefTnungen eine Einzel-
last an, so erhält man die Gleichung

(27) Mr,Jr + 2 Mrilr + ^r+l) + ilf.+ l^.+ l = " Plr' iOj, — P' K+l' (^D

wo

(28)

"^=v-^.

3

k' r

8

Wl> = . .3

/ 7^

Die Werthe tOj^ und Od' sind in der Tabelle auf Seite 396 für 9 Theil-
punkte angegeben. Man wird die mit ihrer Hilfe für die Stützen-
momente berechneten Einflusslinien zunächst als stetig gekrümmte
Kurren zeichnen und schliesslich Polygone einbeschreiben, deren Ecken
den AngrifEjBpunkten der Querträger entsprechen.

396

Zweiter Abschnitt. — § 14.

Tabelle.

5

/

r

l

(i)i>

(i)D

i

0,1

0,099

0,171

0,9

0,2

0,192

0,288

0,8

0,3

0,273

0,357

0,7

0,4

0,336

0,384

0,6

0,5

0,875

0,875

0,5

0,6

0,884

0,336

0,4

0,7

0,357

0,273

0,3

0,8

0,288

0,192

0,2

0,9

0,171

0,099

0,1

Zu einer einfachen Bestimmnng der Festpunkte L und R führt
die folgende Untersuchung. Die Stützenmomente bestimmen nach
Fig. 375 einen Linienzug . . . . ^^, ^r+i, • • • • welcher auf den in den

Abstanden -~ und -^^ von r eingetragenen Senkrechten d" und (Z^+i'
o o

die Momente

^' — v"^~r

k--^--

tÖKl-^

— ^/

->f

lig. 375.

abschneidet. Die Verbindungslinie der oberen Endpunkte der Y", Jh-i'
bestimmt auf der verschränkten Stutzensenkrechten fr, die von d" den

u

K

Abstand — — und von dr+i den Abstand -^ hat, eine Strecke T^ fttr

8

Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen.

397

welche sich der Werth ergiebt

und man erhält daher den nur Ton der Belastung der beiden OefT-
nungen Ir und Z^+i abhängigen Werth

Kennt man also die Lage der Geraden g^j so ist man im Stande, mit
Hilfe von Nr die Lage der Geraden g^+i anzugeben. Sind die beiden
Oeffnungen unbelastet, so ist T^ = 0.

Wir setzen nun voraus, dass nur rechts von r + 1 Lasten an-
greifen. Die Geraden g^ und ^^^.i gehen dann nach Seite 390 durch
die Festpunkte L^ und Lr+i. Da der Maassstab, in welchem die M
aufgetragen werden, gleichgültig ist, so können wir, wenn der Fest-
punkt Lr gegeben ist, die Lage von Lr^i wie folgt finden. Wir legen

7=Ätr

Flg. 376.

7^/

durch Lr die beliebige Gerade gr und bringen sie mit dr und der
Senkrechten durch den Stützpunkt r m U und B zum Schnitt. Hierauf
legen wir durch U und den Schnittpunkt der Geraden Vr und r(r+l)
eine Gerade, welche die dV+i in ^V trifft und ziehen die Gerade WB,
sie schneidet die Achse r {r -{- 1) im Punkte Lr+u Auf diese Weise
kann man, von dem mit dem Stützpunkte 0 zusammenfallenden ersten
Festpunkte L^ ausgehend, alle Festpunkte L und dann ganz ebenso
von Stütze n ausgehend alle Festpunkte R bestimmen.*)

*) Auch die in der Fig. 372 dargestellte Konstruktion der Stützenmomente
mit Hilfe derWei^the T lässt sich leicht den vereinfachten Annahmen anpassen ^
die Senkrechten v spielen dieselbe Rolle wie die Senkrechten // in Fig. 371.

398 Zweiter Abschnitt. — § 14.

Sehr einfach gestaltet sich anch die Berechnung der Strecken a, 6»
a'y h\ in welche die Stützweiten l durch die Festpunkte zerlegt werden.
Sind n&mlich die Oeffnungen \ bis l^^x unbelastet, so gelten die
Gleichungen

und in diese ist einzusetzen:

Mr.\ = 3fr-i— J -Wi.+ 1 = ^r ^ *

T— , 3fr+i = — i/i. —
Es ergiebt sich daher

und man erhält die einfache Formel

^r+1 « /7 I 7 X 7 ^r

2ar + Wl) — ^r

K

mit deren Hilfe man die Zahlen -r- schrittweise berechnen kann. Aus

o

der ersten Gleichung folgt

\ 2 a, + /,)

Sind die Festpunkte gefunden, so ermittelt man den Einfluss einer
über der Oeffnung l^ ruhenden Last P auf die Momente Jf^.i und Mr
mit Hilfe der Gleichungen (17). Diese gehen jetzt über in

I

V^Mr.^ + 1fr = ^ = — PK*1>D

und liefern, da x^ = , x^ = — ,- ist, mit der Bezeichnung

Ir — ar — ar=c^ (Fig. 377)
den Werth

iWr = PI Oj) a)i) j = P (Or Wi) «rÖD ).

\ Cr Cr ^ Cr

Errichtet man auf der Achse (r — 1) r im Punkte Rr das Loth

BrBr=Or ^ud legt man durch Lr und i?/ eine Gerade, Fig. 377,
so schneidet diese auf den Stützensenkrechten die Strecken

Durchgehender Balken mit beliebig vielen Stützen.

399

Cr Cr

ab und man erhält daher schliesslich den einfachen Werth

Mr = P (fr(^D VrOv)'

Und ganz ebenso findet man

WO kr die in Fig. 877 mit Hilfe der Geraden Lr Er bestimmte Strecke
bedeutet.

Flg. 377.

ZalUenbeispiel. Gesneht sind die Einflusslinien für die Stützenmomente
des in der Figur 378 dargestellten Balkens.

Zj =: 21-, k = 33-, h = 80-, ^4 = 24-, h = 21-.

In Figur 878» sind, von Li aus, die Festpunkte L,, Zs, L^, L^ und, von
i?5 aus, die Festpunkte A4, Ä,, Ä„ B^ mit Hufe des auf Seite 897 (Fig. 876)
beschriebenen Verfahrens bestimmt worden. Sodann wurden in Fig. 378^ die
Strecken /", h und 0 ermittelt Die Ergebnisse lauten:

für die erste OefPnung /^jss 4,48-

für die zweite Oeffnung \ f—ioii*^ f t?t = 3,10-
f = 959- J *'» ~ 2,48-

für die vierte Oeffnung *. J ~ 688- f ^'^ ^^ 1,64-
für die fünfte Oeffnung k^ = 5,24-.

400

Zweiter Abschnitt. — § 14.

Flg. 378.

DnrcbgebeDder Balken mit beliebig vielen Stützen.

401

Von der Einflusslinie eines Stützenmomentes wurden nur die beiden Zweige
gezeicbuet, welcbe den durch den fraglichen Stützpunkt getrennten Oeffhungen
angehören. Die Gleichungen dieser Linien sind:

M^

Ma

M,

M,

linker Zweig Jtf| = — 4,48 t^D

rechter Zweig ifj = — 11,03 «i)' + 8,10 «i)

linker Zweig if, = — 10,17 o>j> +3,10 »d'
rechter Zweig Jf, = — 8,41 Wi)' + 2,48 od

Imker Zweig Ifj = — 9,59 wd + 2,48 «d'
rechter Zweig Jfj =z= — 6,14 (i>d' + 1,64 wd

linker Zweig M^ = — 6,88 «d + 1,64 «i)'
rechter Zweig lf4 = — 5,24 ud'

Mit Hilfe dieser Gleichungen und der Tabelle auf Seite 896 sind die Ordinaten
für 9 TheUpunkte mittelst der Crtlle'schen Rechentafel (Verlag von Reimer in
Berim) ermittelt worden. Das Verfahren führt ausserordentlich rasch zum Ziele.

10L NflOieraxigsformeln fOr gleiohförmige Belastung* Der

Einflnss einer über der Oeffnung Ir stehenden Einzellast P auf das
Glied Nr der Oleicbnng 25 auf Seite 395 ist

(85)

K = — Plli^t, = — PI; (-1 — 1-)

1^- a ^^^

T^f I

TTT]

ülÜiii

TÜTT

7?

iii

K-^--

^

— >l

A' -

- ^.

—^

WWWWWT^^

!l|iini''|'llll||!liH!!|||!l|i|]1!

ül

Tig. 879.

Fig. SSO.

und es ergiebt sich daher für eine zwischen den Grenzen ^ = e^undi
^ = cf (Fig. 379) aufgebrachte gleichmässige Belastung der Werth

(36)

p(d' — e^(2li — d' — e'^

Nr= —

4/.

Muller-Brealftu, anphlsche Statik. IL 1.

26

402 Zweiter Abschnitt. — § 14.

Qitd ganz ebenso erhält man

(87) K.X — ^;

Einer gleichfSnnigen Belastung der ganzen Oeffnnng (Fig. 880) entspricht

(88) JV,., = JV; = — -^ .

Anmerkung. Die ans der Festigkeitslehre bekannten Clapeyron'schen
Gleichungen

Mr-Xlr +2Mr (ir + Ir+l) + Mr+llr+l = Nr

gelten streng genommen nur für den voliwandigen Balken konstanten Quer-
schnitts und sollen in der zweiten Abtheilung dieses Bandes noch ausführlicher
behandelt werden. Sie liefern aber auch für Fachwerkträger mit parallelen oder
leicht gekrümmten Gurtungen brauchbare Werthe und eignen sich daher be-
sonders zur schnellen überschläglichen Berechnung der Querschnittsabmessungen
in solchen Fällen, in denen eine genauere Berechnung der statisch unbestimmten
Grössen unter Berücksichtigung der Längenänderungen sämmtiicher ^Stäbe be-
absichtigt wird.

§ 16.

Yersehiedene Arten statiseh unbestimmter Bogen-, Balken-

nnd Eettenbrficken.

162. Dreifach statiflch unbestimmte Bogqnbrüeke mit drei
Oeffimngen, Fig. 881 und 882. Als statisch unbestimmte Grössen
werden zweckmässig die auf den Scheitelqaerschnitt wirkenden Erftfte
X^, X», X« eingeführt. Das statisch best^nmte Hauptsystem besteht
dann aus zwei Auslegerbalken. Damit 5«», S^« und S«. gleich Null
werden, ist nach der in No. 117 gegebenen Anweisung zu Terfaliren.
Ein Zahlenbeispiel möge die Ermittlung der Ei^iflusslinien für die
Werthe X«, X^, Xc eines symmetrischen Trägers erläutern. Einem
senkrechten Xt entspricht hier ein wagerechtes X«. Bei der Berech-
nung der Gewichte w empfehlen sich im ersten Bechnungsgange (und
nur dieser soll hier Torgeführt werden) dieselben Annahmen, wie beim
Bogen mit eingespannten Kämpfern.

Wir setzen also für m = 1 bis 5 und m = 7 bis 18 nach Gleich. 8

auf Seite 825

... Ml^MZ
(1) w^ = -^,- ,

für m = 6 und m = 14
(2) Wq = — -y^ (weil zu 6 zwei üntergurtstäbe gehören)

W ^ii=^-ä^(r, «14 ^ Obergurtstäbe „ )

Vei8(^edene Arten statiach unbestimmter Bogoib-, Balken- u. Kettenbrücken. 403

und rechnen ^u*,« znr linken nnd ^iTj^ znr rechten TrKgerhOlfte. Die
zu diesen Gewichten u> gehBrigen Seillinien liefern die Durchbiegungen

1 MawBStabe, der voranseetzt, dase -

> F, den mittleren Oartquerechnitt im Scheitel der BrOcke bedeutet;

▼ergl. Seite 325. In die Formeln
(4) X, = P^^, X,= pJ

fuhren wir die Werthe ein

<5)

404

Zweiter Abschnitt — § 15.

Da nmi für einen Obergnrtttab

SU

M

m: X

EF V EF. h^ EF.
und fOr einen üntergnrtBtftb

SU M'J Xsec'Y

Mi

Ä' EF^

Ä' [EF.

EF
ist, 80 ergiebt sich

(6) Ka = 2««., Sftft = S«i»j, 8c« = 2«^,

wo

(7)

j^L+^ für „ = 1 bis 5 und « = 7 bis 14,

/Im

»« =

«1« =

2Jf;
hl

hl

14

^^I^^I5]?1.>1 T>

i3E>'n/i — "

/— /a

>s^i»a^

Flg. 382.

Dass 5«» und S^« gleich Null sind, folgt ohne weiteres ans der
Symmetrie. Die Bedingung

geht über in

EF

S ^'^' = 0

Ä«

und lautet, mit BUcksicht auf die für >n= 6 und m= 14 bestehenden
Ausnahmen

(

m:m: + itf: jf

).+«(^^).+(^)„=«>

(8)

die Summe 2 umfasst m == 1 bis 5 und m= 7 bis 18.

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Baiken- u. Kettenbrücken. 405

Bei der Berechnung des Einflnsses der Temperaturänderungen

ist der waggehobene Werth

EF.

(9)

Xaf

».•

x^.=

einzuführen. Man erhält

^ EF.Kt
X2z

X^t wird, der Symmetrie wegen, gleich NoU. Die Ermittlnng der bei
gleichmftsaiger Erwärmung entstehenden Verschiebungen 8«, und S«« soll
zunächst an der allgemeineren Figur 888 erläutert werden. Man wähle
das Eämpfergelenk 0 zum Pole eines TP»/!^io^*8chen Verschiebungsplanes
und stelle die Längenänderungen

tkB^ = %t8i^ tk8^=^ti8^^ £k8^=^6t8^

durch die Strecken «|, «,' 't ^^* ^^^ erhält dann die Verschiebung
Ol' des wagerecht geführten Punktes 1, indem man in 1 auf Ol ein
Loth errichtet und mit der Wagerechten durch 0 zum Schnitt bringt«

^"

/y

±.I^^--ZZ ^

Flg. 883.

Macht man nun TT" = 12 1| 1 2 und errichtet in 2'' und 2 auf l' 2''
und 02 Lothe, so treffen sich diese im Punkte 2\ Von 2' aus trage
man die senkrechte Strecke 2' 3" == 2 8 an und bringe das in 8 auf
08 errichtete Loth mit der Wagerechten durch 8" in 8' zum Schnitt.
Bezaidmet man dann die Strecken 8'^ 3' und 28 mit e und h„ ao ergiebt

406 Zweiter Abschnitt — § 15. .

.sich für den Winkel, um den sich! die SoheitelTertikale dreht;' der Werth

^= -—r ^nid ^8 drehen sidi daher die nach No. 117 mit den Scheiteln
K

der beiden Trägerhftlften befestigt gedachten starren Scheiben gegen-
einander nm

■ » •

Das Zeichen — ist zn nehmen, weil sich die ScheitelTertikale 2 — 3
nach links also im Sinne Ton X« dreht, während S.« im entgegenge-
setzten Sinne positiT ^ez&hlt wiird wie X«. ''

' Die wagerechte Verschiebung des Punktes 2 wird ^UTCh daß vom
Punkte 2 auf diö Senkrechte durch 0 gefällte Loth d dargestellt; sie
Ist also'= ttdf und 'Sie Verschiebung des Aiigriffspunktes, L der Kraft
Xc beträgt, wenn die Strecke 2L mit k bezeichnet wird,

» ' • ■ • ' . • ^ ■ . hff.

so da$s 'sich' schliesslich, ergiebt , . , . .'.'"-

h,, = 2tt(d + k-^y

Liegen die Punkte 1 und 2 in einer Wagerechten, wie bei dem in
Fig. 881 dargestellten ScHiderfiille, so wird mit den aus Fig. 388 er-
sichtlichen Bezeichnungen:

(10)

8.*== — 2«^-^, K. = 2a(i^—^y

Einflnssliinie fttr Xa. Im Belastungsfalle Xa = — 1 entsteht am linken

Endanflager ein abwärts gerichteter Widerstand -=- . Die AngrifEsmomente sind

h

für die SeitenöfBaung Mma = Mma = — 1

„ „ Mittelc^nung 3f «. = Mma = — 1.

Berechnet man nun die Gewichte Wma und Werthe 2rMa nach den Formeln (1) bis (3)
und (7) und dividirt diese Grössen durch den sich später hebenden Faktor 2, so
erhält man

für m = l bis 5 Wma^ r~Tt~ = --"-FTi-5 ^-»• = — -^mu»«,«

»1 nm OAot O

für m = 6 bis 14 Wma = zj-] iemm = + ^,-

und für den ganzen Trager ,

• •• f'**i''- •

(ii) 8« = S«^ = -^S«.ifr,.+.2S-|i--l:-ji., ....

Die Höben Ä« und- Gewichte %Oma sind in den Tabellen I und ll '^^usamiüenge-
stellt Jv^dtden. Die Berechnnng der Träg^rform iirt in Band I,- Seife 486, als

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- n. Kettenbrücken. 407

Beispiel zur Linienführung der Gurtungen gebracht worden,
sich nach Gleich. 11 der Werth

«— = Y 0,908 + 2 . 2,041 + 0,694 = 5,079.

Für 8a o ergiebt

m

0
1
2
3
4
5

K.

1,20
1,33
1^5
2,51
3,64
5,19

U

1,44
1,77
3,06
6,30
13,2
26,9

Tabelle I Seitenöffhimg.

Äi

trmo = —

0,694
0,565
0,327
0,159
0,076
0,037

m

6 Am

mwa

0

0,094

0,109

0,079

0,051

0,031

0,094
0,218
0,237
0,204
0,155

— 2m tr«

1

= 0,908

U>mh=^^tOmi

0

0,75
0,87
0,63
0,41
0,25

2 • 5,93 w.

0
-1,11
-— 1,23

— 0,94

— 0,60
-0,37

1

Tabelle II Mittelöfihimg.

m

A«.

1 .-

1
"- -hl

m Ufmh — m Wma

2,54 — hm

6

7,20

5,19
3,75
2,74
2,07
1,64
1,38
1,24

1,20

0,139

0,019

0,037
0,071
0,133
. 0,233
0,372
0,526
0,650

8

7
6
5
4
3
2
1

0

— 0,15

— 0,26

— 0,43

— 0,67

— 0,93

— 1,12

— 1,05

— 0,65

0

+ 0,05?)

7
8
9

10
11
12
13

0,193
0,267
0,365
0,433
0,610
0,725
0,806

0,833

-0,10

— 0,09 '

— 0,03
+ 0,11
+ 0,33
+ 0,61
+ 0,85

14

0,694

+ 0,10»)

4,282')

.2;041*)'

1

0 4,282 = 2

7

Ä-'

" 1

») 2,041 = 3 3^-,

6 nm

') tCßt
*) «^14

= 2^ =

hl
hü

0,05;
= 0,10.

Die ^a- Linie darf als die Momentenlinie eines mit den Gewichten Wa be-
lasteten Balkens CAD aufgefasst werden, der bei C frei aufliegt, bei D einge-
spaimt und bei A durch ein Gelenk unterbrochen ist. Für den mit iti« bis w^
belasteten Koppelträger CA erhält man in C und A die Stützendrücke*)

__ 0,09 . 5 + 0,11 • 4 + 0,08 . 3 + 0,05 • 2 + 0,03 _
^ = — 0,15

*) Die Gewichte w wurden auf zwei Decimalstellen abgerundet.

408

Zweiter Abschnitt — § 15.

femer die Querkräfte

^i = — 0,21, C, = — 0,21 + 0,09 = — 0,12, ft = — 0,01, ^^ = + 0,07,
C, = + 0,12, e. = + 0,15

und Werthe M.X

lfi:X = — 0,21, ir,:X = — 0,21—0,12 = — 0,83, Jf,:X = — 0,84,
lf4:X = — 0,27, Jf»:X = — 0,15, Jf»:X = 0.

Für den mit w^ bis wna nnd ausserdem in A mit — 0,15 belasteten FreitrSger
AD findet man

ft = 0,15 + 0,02 = 0,17, Q^ = 0,17 + 0,04 = 0,21, ft = 0,21 + 0,07 = 0,28
fto = 0,41, fti = 0,64, ft, = l,01, ft.= l'54, ^4 = 2,19
femer

jrT:X = 0,17, jr,:X = 0,17 + 0,21 =0,38, Jf» : ^ = 0,88 + 0,28 = 0,66,
jrio:X = l,07, Jfji:X = l,71, Jf„:X = 2,72, Jfu.X = 4,26, Jfi4:X = 6,45.

Nun erhält man

^aa ^mm ^ d<

aa

X«i = — 0,124
Xi, = — 0,195
JTfl, = — 0,201
Xi4 = — 0,160
Xw = — 0,089

X^ = + 0,100
Xoi = + 0,225
X,^ = + 0,390
X.io= + 0,682

Xaii= + 1,011
i„ = + M08
X,„ = + 2,518
-Xoi4^ + 3,812.

EinflitBBlime fOr X^. In Folge von Xh^=^ — 1 entsteht am linken End-
auflager der abwärts gerichtete Stützenwiderstand 1 -r^, weshalb

*i

für die Seitenö&ung Mmh = Mmh = j-Xm

„ „ MittelöfiFnunglfI,j = Jfj;6 = — l-a?'«.
Mit Xm = mX und x'm = fnX ergeben sich also die Gewichte

und dafür nehmen wir

für die Seitenöffhung tr«» = — 8

m

ehi

= 9Wmi

n 11

MittelöfEnung u^«,» =^ —

tn

hm

Die Berechnung von 6»» ist überflüssig, da Xb in der Mitte des symmetrischen
Tragers den Werth 0,5 hat Man berechnet also genau wie voriiin die durch
die Gewichte wh hervoigeruf enen Momente M und findet dann aus der Gleichung

Xbm Mm

■X*14

X^m = 0,5

Mm

U

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, BaUcen- u. Kettenbrücken. 409

Auf diese Weise erhält man;

JCj, = — 0,030
JSi, = — 0,047

J^s = - 0,048
JKi* = — 0,058

Xi^ = + 0,024
X*s = + 0,052
Xit = + 0,089
Xki. = + 0,136

Ami = + 0,200
X6i, = + 0,284
^1, = + 0,386
Xii^ = + 0,500.

Xh = — 0,021

Für die rechte Trägerhälfte eigeben sich dieselben Ordinaten mit den entgegen-
gesetzten Vorzeichen.

Ermittliuig der Lage von X- Fig. 382. Am linken Endauflager wird
durch die im Abstände Cm von den Kämpfern angreifende Belastung Xt:= — 1

der Widerstand C= — 1-^ hervorgerufen, und es eigiebt sich daher mit den

n
aus der Figur 382 ersichtlichen Bezeichnungen

für fii==l bis 5 Jf;=:3/; = —

c^x

c^m

„ m = 6 ,, 14 Ml = + 1 'Co

Da nun

für m = 1 bis 5 Ma = Ml = — 1 — = --

n 6

„ Iff = 6 „ 14 Mm ^ Ma ^ — 1

ist, 80 geht die Gleichung 8 auf Seite 404 über in

* m <?!.*'* Ü i/"» 15. 1 Cm V\A
2 2_-il T^I. co^— 2— ?^ = 0

16 6»«> Tlu« • 7 Ä«> V AM*

und, wegen yM = c. — A», in

1» /"l 1\"1

Es folgt also, mit <:« = A« — e« = 7,2 — c«

(12)

c# =

16 '* 1

O 1 7 nm

" 1 i i~6

6 Ä«" /I14' ö 1

_ 2,4 » 0,908 + 4,282 ^

^' "" 2 . 2,041 + 0,694 + i • 0,908 '
<?. = 7,2 — 1,27 = 5,98*.

EinfluMlinie ftlr X. Setzt man die für Jf« angegebenen Werthe in die
Gleichung 1) 2) 3) und 7) ein, so erhält man mit ym = c« — Am = 1i27 — hm

für m = 1 bis 5: ICme = — 2 ^* ^ = 2 CntCmm = 12,0 iCma

für m = 6

a^« = 2
1^00 = 2

6ÄJ

c«« m«

Co

V

£:!_

V

410 Zweiter AbschDitt. — § 15.

für m = 7 bis 18: Wmc=^ — ^« O —

fürm = 14 «,^,. = 2^V = 2^^^" •'

und es ergiebt äcb daher für den ganz/en Träger

+ 2*^-4^ + 2

'»1« '•li -

0 6 IS 1 1 U 1

Ol. 6 Am' »14 7 nm

und, mit Beachtung von Formel 12:

2 5 "1

Öe. = — -r- c-Ät^mw;«. — 2c.S ^— + 16 = 81,95.

01 1 flm

Die 5m «-Linie der Trägerstucke CA und ^B darf als' die Momentenlinie
der mit den Gewichten Wt belasteten einfachen Balken CA und AB betrachtet
werden. £s folgt dies daraus, dass $«« = 0 ist, dass also die beiden Scheitel-
vertikalen (14) der das statisch bestimmte Hauptsystem bildenden Auslegerbalken
sich im Belastungsfalle 2r« =^ ^ 1 niiht gegeneinander drehen tind in senkrechter
Richtung dieselben Yerrückongen erfahren. Diese Eigens<Äaft kann auch zur
Berechnung von cw benutzt werden. Für den Querschnitt D..<les mit. den. t0«.be^
lasteten einfachen Balkens ^^ ist nämlich das Biegungsmoment gleich dem

' ~ • -' 1 ' —

statischen Momente der Gewichte u^c, w^e > • . u^ite und — n^uc^zogen auf die

Stütze A, d. i. '■'^'' "'' '" ^ ' "^ • - ^

^ 1

während sich für D als Querschnitt des Trägers CAD das Moment eigiebt

.1 *i e

Setzt man diese beiden Werthe einander gleich, so findet. man
* m . " , " 1

und, wegen (m'-\- tn^X^i^ht nach Einführung der ir«:

-^3mir«« + 2r-j + 5 — j-, 1 j-j^^ = 0 oder

das ist dieselbe Gleichung, die auf Seite 409 auf anderem Wege gewonnen
wurde.

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Ballten- u. Kettenbrücken. 44)

Die Berechnung der Momente der Balken CA und AB liefert:

Ml '. A — — 2,48

Jz] ! A = — .3^o4

3f,:X = — 3,98
3f4:X = — 8,17
Jkfö:V= — 1,7T

und es ergiebt sich daher

X =

Xi = — 0,238
Xi = — 0,361
Xs = — 0,374
X4 = — 0,298
-Ycs = — 0,166

M^ :X = +1,73
Jfg :X = + 3,56

M^ :X:==-|-5,48
^fxo : X = + 7,43

if„:X = + 9,27
jri2iV::= + 10,78
3fj,:X== + 11,68
lf,4:X = + 11,73

lf:X

3f:X

8«, : X 10,65

X7 = + 0,162
X, =-)t 0,334
Xb = + 0,515
Xio — + 0,693

= 0,0939

M

Xeii = + 0,870
X„ = + 1,012

Xis = + 1,097
Xi, — + 1,101.

Einflusslinie fttr den Widerstand C der linken Endsttttze. liegt die
Last P=l im Abstände | von der Stutze A und- wird gnaeh links- positiv |^*
rechnet, so folgt :...:.

Ch = 1 . g + Xi, + Xi+ X(?M
und hieraus

• e==-^ft + 24X+X.+ 5,93X> ' • -

j t

Liegt P rechts von der Mitte des Trägei-s, «0 ist das OJied jE stq. streichen, J)^
mit Hilfe dieser Gleichung berechnete C-Linie ist in K^. 381 dargestellt wöMen.
.1 . Die weiteire UntersuchuAj^ doi^ MitteTöf&iung erfolgt nun nach- dem im § 11
in dem Zahlenbeispiele angegebenen Yerfahren. Man berechne der Reihe nach
die Einflussiinien für

M\

und

Mm Mm

— = Um+l cos Y».+|, Om = 7 -ff.

nm. hm,

Mm Mm-\

Dm cos 9« = -£

hm hm - 1

; i ,

und schliesslich jiie Einflussiinien für

\ Vm cotg 9,^+1 s= — Dm+i COS 9«+i — Pcotg 9„4i.

Diä Seitenöffhung wird in derselben Weise untersucht wie die Seitenöffnung
eiues auf 4 Stützen ruhenden Balkens (Fig. 352, Seite 872); aus der C-Linie
laäjsen sich hier ;die Einflusslinien für alle Stabkräfte schneli herleiten. Die Ein-
flus^mie. für di^ Vertikale-über der Mittelstütze wird jjach dera-auf^Bütte 3S2
beschriebenen Verfahren bestimmt; man beni^tzedie Gleichgewichtsbedingung
für den oberen ^otenpunkt 6.

Der EinflnsB einer gleichmftsugen Erwärmnng um 85** ist (für Fluss-
eifien) abgeliindet und^liuf Tonnen iind Meter bezogen " -- ^

JLat — — ^T"Tä

= — 2

6,0 250 « 85 P^
18,0 .3,0 ' 5^0

= — 400 P.

412

Zweiter Abschnitt. — § 15-

^-'(«.-f)-^
=j(«_ »•)">»'••

3 32

= 4000 F,.

Der Einfluss der Temperatoränderaogen ist verhältnissmässig gross, und es
empfiehlt sich daher stets die Anwendong der genaueren, die Formänderungen
sämmtlicher Stäbe berücksichtigenden Formeln

Xaf =

SÄ.«

8

Xct =

EF

"Sä

EF

Ausser der gleichmässigen Erwärmung, welche

Ä«, = — 2 -p £f und Äc« = 2 (i, — -y-) e«

liefert, prüfe man noch den Einfluss einer ungleichmässigen Erwärmung der
beiden Gurtungen. Dann ist

^tn = ^ttSuB und d«« = 2c^5«t
zu setzen.

168. Der Balken auf 4 StütBen, der bereits im § 13 (Fig. 350)
nntersncht worden ist, kann auch auf dem in No. 162 eingeschlagenen
Wege berechnet werden. Es ist X« = 0.

164. Die Bweiflaoh atatisoh unbestimmte Bogenbrüoke mit

ng.a84.

Vetschiedene Arten statisch aabestimmter Bogen-, Balken- n. Kettenbrücken

413

drei Oefbnmgen, Fi^. 884, wird in Kbnlicher Weise nntersticlit wie
der in Ho. 162 behandelte TiHger. Es ist X.::= 0, nnd ausserdem ist
der Angritbpankt von X* and X, voa Tomberein gegeben.

168. Bingelankbalken mit dr«i OcShungen. Fig. 885. Ea

«ird X,^f), nnd man erb&lt nacb Zeicbnnng der^Biegnugslinie fDr
X^=' — 1 den Ginflnss Ton P

4U

Zweiter Abschnitt. — § 15.

Ax = P

In den Figuren B85 sind aus der X^* Linie die EinflössHnfen für die Mo-
mente M^ abd 34» ^ den Sttttzenwiderstand A nnd die Bpimnkrftftel) nnd
D' hergeleitet worden. Der Erftftemaassstab ist h^^ = P= 1. Der Ein-
flnss einer gleichmässigen Erwärmung ist eijitweder gleich Null > oder (falls
der Träger unsymmetrisch ist und* die ; Auflager nicht in- derselben
Wagereehten liegen) unwesentlich, üngleichmässfge Erwärmung, z. B.
Sonnenbestrahlung 4er! oberen Gurtung, kann dagegen gi^öss^re Spann-
kräfte hervorbringen. Man berechne d^nn JT^f mittelsj der Formel

-Aji —

"2.81

8 I

'ef

und berücksichtige die Längenänderungen sämmtlicher StäbeL

166. Der Eingelenkbogen, Fig. 386. Das statisch bestimmte
Hauptsjstem besteht au6 zwei Freiträgern; die Untersuchung dieses

1
1

S

M

u

<r

pJ

y1\

y

^

XJ

\

X \

K

/ \

§^y\y

/ ?

^ \ . \

\M>^

/ ^

/ \

'nV\M

/

V

Fig. 386.

Trägers untersclieidet sich also von der im § 11, No. 116. durcjbge*
führten nur dadurch, dass X. = 0 ist und der Angrifl&punkt von X^

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, BaDcen- u. Kettenbrücken. 415

and Xc mit dem Scbeitelgelenk zasammenftUt. Fig. 386 zeigt einen
Tbeil des Verscbiebnngsplanes für Xi, = — 1. Die Strahlen Oc^ und
Oc^' stellen die Verschiebungen' dar, welche das Scheitelgelenk als
Punkt des linken oder rechten Freitrftgers erführt. Otn ist die Ver-
schiebung des Angriffspunktes m von P«. Wählt man X« J|_ CiC^\ so ist

8«*

Xi Pm

h

hb

Näherangsformeln. Für einen symmetrischen Bogen mit parabelförmigen
Gortungen lassen sich auf dem im § 11 unter e^ Seite 850, eingeschlagenen
Wege genügend genaue Formeln zur Berechnung der von senkrechten Lasten
hen-orgerufenen Kräfte Xb und X herleiten. Das Scheitelgelenk habe von der

Fig. 387.

oberen Gurtung den Abstand «o, von der unteren den Abstand ««; bezüglich der
übrigen Bezeichnungen verweisen wir auf Fig. 387 und auf die Untersuchung
im § 11. Für X* gilt die auf Seite 852 für P= 1 abgeleitete Formel

und für Xe erhält man (vergl. Seite 853)

X,=

Af

wo

(0 ==: a + (1 — a)

xa

416 Zweiter Abschnitt. — § 15.

und M durch die Gleichung erklärt wird

dar«

Uj^ — ^^^rU 7-, + «- J

Da 3f das Biegungsmoment eines an der Stelle xa =■ h eingespannten, durch die
stetige Belastung u beanspruchten Freitragers ist, so sind die Integrationskon-
stanten der vorstehenden Diffei-entialgleichung durch die Bedingungen bestimmt.

ap^ = 0 muss liefern -— ^ — = 0

Man erhält
lf=(^^±P[80, + 10(l-8a)^-5(2-3a)^^+8(l-a)|f]^

ferner

+ /i («-» + «.•)(! + et).
Es ergiebt sich also schliesslich für eine an der Stelle «^ = a liegende Last Pr= 1
der Werth

X = ^[y(r. + /-.)T + 6(e.-e.)T']
wo *« = 2 (/;• + f.») (1 + 5a) +10 (/»«. - f.*,) (l + 3o)+80 (A.'+«,»)(l+a)

r = [80a + 10(l-8a)|--5(2-3a)-^ + 3(l-a)-^].^

Der Einfluss einer gleichmassigen Erwärmung um f* ist, wenn F» den mittleren
Gurtquerschnitt in der Nähe des Scheitels bedeutet, Xbt^=0 und

_ 2&EthF,Ih^
Act — r

0

k^

Sonderfall «o = «« = ^A«. Fig. 388.

^« = -^f?[30ot + 10(l-3a)-^~5(2-3a)|l + 8(l-a)-^]

wo

V = 4fMl + 5a)H-Ä,«(ll+5a) + Ä.Ä*(3+5a) + Ä*Ml + 5a).

Der Einfluss einer gleichmassigen Erwärmung ist

^'' = ^

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- u. Kettenbrücken. 4 j 7

Für a = 1 erhält man

wo

Hierzu gehört

24/- /.»V /. ^/,«/

Xet =

24 f
6 *-*.» ^g

1 +

8Ä.« + 4Ä.Ä*+3Äfc«

Xö =

12^

T-#(»-f)-

Flg. 388.

Für a = 0 ergiebt sich

^•=i7f^['»-"f + «a

Xct = l^tEF,t^^

wo

V =

1

1 +

Hierzu gehört

llh.^ + Sh.hk + hk'
4tP

^-$0-°'^t)-

Die folgende Tabelle enthält für die Grenzfälle a = 1 und a = 0 die Werthe

f Vh

Xh und Xc -V- sowie die Zahlen -v ^i ^^ y* ^^ Ordinate der durch die Gleichung
^h f

yk = (h — ö)

Hüller-Breilav, Oraptaische Statik. IL 1.

27

418

Zweiter Abschnitt — § 15.

bestimmten Kämpferdrucklinie. Die Zahlen beweisen, dass der Einfluss von a
recht erheblich ist Da nun beim Eingelenkbogen die Steifigkeit vom Scheitel
nach dem Kämpfer stärker zunimmt wie beim gelenklosen Bogen, so wird es
sich empfehlen, bei der ersten Ueberschlagsrechnung a noch kleiner zu wählen
als nach dem auf Seite 351 in der Fussnote gemachten Vorschlage. Den Einfluss
der Temperaturänderung wird man auf jeden Fall noch einmal genauer mittels
der Formel

Xtit^=^

^Jh

3Ä

8

EF

berechnen, deren Nenner sich über die Stäbe der einen Bogenhälfte erstreckt.

a

1

X

f

y*

V

f

h

a = l

a — 0

a = l

a = 0

a = l

a = 0

0,0

0

0

■

0

0

0,600

0,400

04

1 0,007

0,001

0,0117

0,0023

0,558

0,879

0,2

0,028

0,007

0,0437

0,0162

0,518

0,855

0,8

0,061

0,023

0,0917

0,0491

0,464

0,327

0,4

0,104

0,051

0,1520

0,1087

0,411

0,296

0,5

0.156

0,094

0,2214

0,1797

0,853

0,261

0,6

0,216

0,151

0,2970

0,2743

0,291

0,220

0,7

0,282

0,223

0,3767

0,8833

0,224

0,174

0,8

0,852

0,307

0,4587

0,5018

0,153

0,122

0,9

0,425

0,401 1

0,5417

0,6251

0,079

0,064

1^

0,500

0,500

0,6250

0,7500

0

0

167. Dreifach statiBch unbestimmte Kettenbrücke mit drei
OefOiungen. Fig. 889. Die Ketten CÄqj ÄqBq und BqD werden
durch eine auf vier Stützpunkten ruhende gegliederte Scheibe versteift,
und sind mit den Endpunkten dieser Scheibe befestigt. Die Veranke-
rung der Kette wird also erspart und man kommt mit schwachen
Widerlagern aus.*) Das ganze System besitzt nur ein festgehaltenes
Auflagergelenk und drei in wagerechten Bahnen geführte Stützpunkte.
Trennt man den Yersteifungsbalken in der Mitte durch einen senk-
rechten Schnitt, Fig. 890, und bringt man (nach No. 117) an den
Scheiben I und // die Kräfte X«, Xi,, X^ an, so besteht das statisch
bestimmte Hauptsystem aus zwei Auslegerbalken, die durch die Kette
miteinander verbunden sind. Den in Fig. 890 angenommenen wage-
rechten Verbindungsstab hat man sich unendlich klein zu denken. Bei

*) Dafür ist allerdings der Eisenverbrauch verhältDissmässig gross. Das
System wirkt aber in ästethischer Beziehung recht vortheilhaft; es wurde von
meinem ehemaligen Hörer, Herrn Diplom -Ingenieur Eyde bei der Mühlenthor-
Brücke in Lübeck zur Ausführung gebracht Veigl. die Mittheilungen über den
Elbe-Trave-Kanal in der Zeitschrift d. Yer. deutsch. Ing. 1900.

Tersohiedene Arten statisch uDbestimmter Bogen-, B^sn- u. Kettenbrücken. 4 1 9

D11B71D metrischer Anordsang des Tragwerlcs wird die Erfüllung der
Oleichongen 8„^0, J., = 0, J„ = 0

anf die in No. 117 beschriebene Weise herbeigeiUhrt. Ist der TrSger
Bymmetrisch, so werden die beiden ersten Bedingnngen durch ein senk-
rei^tes X^ nnd ein wagerecfates X, befriedigt. Der Abstand c der Kraft
Xc TOm Scheitel der Kette wird mittels der Gleicbang

bestimmt. Der Gang der Becbniuig ist derselbe wie in dem in No. 162
dnrchgefnhri»n Zahlenbeispiele. In den BelastangsfHllen X,= — 1 und
Xi = — 1 werden nnr die Stabe des Versteifungsbalkens beanspracht;
die Kette, die Hftngestangen nnd der Ständer AqA bleiben spannnngslos.
Es Bind also nnr ftlr den Einflnes Ton X, neue Formeln anfsiiGteUen.
Der Einflnss der statisch nnbestimmten GrQssen X anf den Wider-
stand C der Endstütse und auf die Momente M" nnd M" fttr die oberen
ond unteren Knotenpunkte des Versteifungebalkeus ist mit den in den
Figuren 369 bis 891 angegel)enen Bezeichnungen;

h

L

' i, '

für die SeitenQflhung:

M'=Cx + X.!,. = X,^-\-X,^ — X.(^ — V.)

27*

M-=Cx-i-X.y. = X.-

420

Zweiter Abschnitt — § 15.

und ftlr die MittelOffinmg

M' = X. + X,x — XAe — Vo)

Flg. 391.

Nähenmgsformeln. Ist der Yersteifangsbalken ein Paralleltrager mit
konstantem Gurtquerschnitte, so lassen sich einfache Naherongsformeln aufstelleny
die auch im Falle schwach gekrümmter Gurtungen zur ersten Abschätzung der
Querschnittsverhältnisse benutzt werden können. Die Endpunkte C der Kette
sollen in der Mitte zwischen den beiden Gurtungen angenommen werden. Wir
rechnen mit unendlich kleinen Feldweiten, setzen also

und erhalten, da für die Seitenö&ung Jf ^ = If^ = — -^ und für die Mittelöff-
nung MI = MZ = — 1 ist

(1) jEFä«».« = 4f^dx + Afdx = '^ ft + 3«.

0 0

Xlm

Nun ist weiter, für die Seitenöffnung Mb = Mb = j^ und für die Mittel-
Öffnung Ml = Ml = ''X

EFh^^bb=f(Mt' + MV)dx = il^^dx + 4fx'^dx

0 0

(2) J^FÄ«8»» = -iv(^ + W-

Zur Berechnung der Lage von X, dient die Bedingung d«« = 0, das ist

EFK'nuc=({MlMl-{-MlM't)dx = 0,

Es genügt, diesen Werth für die Hälfte des symmetrischen Trägers zu berechnen.
Für die Seitenöf&iung ist

^-^•=-f(f-^-)

M •• • X ( cx \

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- u. Kettenbrücken. 42 1

für die MittelÖffhung

ir:jf: = --l.(c-y.)

If J Af ? = — 1 • (c — y»)
and man erhält daher (wegen y* -j~ y» = 2y) die Gleichung

h h

(3) ff(^-y\dx+f(e^tf)dx = 0

0 0

und nach Ausführung der Integration unter der Voraussetzung einer parabel-
förmigen Kette

Hieraus folgt die einfache Gleichung

^*) '-*' k + Sl, *

Zu dem Werthe

liefern auch die Ketten, die Hängestangen und die Ständer A^A einen Beitrag.
Es ist aber für unsero Zwecke zulässig, den Einfluss der Hängestangen und
Ständer zu vernachlässigen und die Annahme Fa = FjbSeca zu machen, wo
Fa den Querschnitt eines um a gegen die Wagerechte geneigten Kettengliedes
und Fh den Querschnitt der Kette im Scheitel bedeutet Der Zug in einem
Kettengliede ist gleich 2!^ sec a; es ist also Sc = — 1 • sec ot, und man erhält für
den Beitrag der Kette zu dem Werthe EFh^^t» nach Seite 268 für eine Seiten-
ö£&iung und die halbe MittelÖffhung den Ausdruck

+ '-('+X^)]-
Für die linke Hälfte des Yersteifungsbalkens ist der Beitrag zu EFh*^cc'-

{EFh^^cc)^ = f( Ml"" + mV) dx,

0

wo für die SeitenÖf&iung

«r+»r-(f-,+i)'+(f-,-A)*

^ Man beachte, dass J yxdx das auf die Senkrechte durch C bezogene

statische Moment der Fläche ist, die von der Parabel CA^i dem Ständer A^A
und der Balkenachse begrenzt wird; man erhält

r^ ^ h,li 21, 2 - , /i

422 Zweiter Abschnitt. — § 15.

und für die Mittelöffnung

und es ergiebt sich daher mit Rücksicht auf Gleich. 8
(EFh^^c.)B = 2 fy^dx - 2 y- fyxdx+2fy^dx - 2c fydx+ -^(k + k)

0 0 0 0

0 0

Da nun für die Seitenöf&iung

X ,
yr=hp—^y

ist und für die Mittelöffhung

y = Äp — y"i

so folgt mit Rücksicht auf Gleich. 4:
h h

= y(^i+3/t)Äp(2c-Ä,) + -^(/iV, + /;•«.

= y (^1 + 3/,)ÄplZc - Ä,j -h -
Mithin wird

und, da wir nur die Hälfte des Balkens berücksichtigt haben,

(5) y ^FÄ«5e.= ^ {f,n, + f.'W - y (»^ - ^)'(^, +^h)+\ h^l, + 4)

wonn

• .=,(.+^£l+id) + ,(, + -JVL)

+:£■*'*•'

Nun lassen sich die E^infiusslinien für die Grössen Xo^ Xk und X^ sehr
schnell ermittebi. Die Gewichte

M^ + W X

tp

ersetzen wir wieder durch eine stetige Belastung

«0 =

h^EF '

multipliziren diese mit — A'J^i'^ und erhalten der Reihe nach für die Seiten-

*) Dieser Werth für die Summe des zweiten und vierten Gliedes der vor-
stehenden Gleichung folgt ohne weiteres aus Gleich. 3.

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Baiken- u. Kettenbrücken. 423

öfi&iung die folgenden Belastungsordinaten, die wir als Mittelwerthe von M^ und
üf** mit M bezeichnet haben. Es sind dies gewissermassen die auf die Balken-
achse bezogenen Momente

Ma = -^ (Ma -[" Ma) = f

k H-U ^

Fig. 392.

und für die Mittelöffnung

lfa = — 1, lf6 = — Ix, Mc = c — y.
Die so gewonnenen Belastungsflächen sind in den Figuren 892*. ^i« durch Schraf-
finmg hervorgehoben worden, die ihnen entsprechenden Momente geben durch

424 Zweiter Abschnitt — § 15.

die entsprechenden Werthey J&jPÄ«eS.., —EFh^^bh^ y J&F仫« dividirt, die

Ordinaten der Einflusslinien für Xi, J&, X an. Bei der Berechnung von X«
und Xh handelt es sich um die ErmitÜiiDg der Momente für einen Balken CAD^
der bei D eingespannt, bei C frei aufliegend ist und bei ^ ein Gelenk besitzt;
während die Ordinaten der X- Linie sowohl über der SeitenöfEnung als über der
Mittelöffnnng den Biegungsmomenten einfacher Balken CA und AB von den
Stützweiten ^ und 7 = 22, proportional sind. Man veigl. auch das Zahlenbeispiel
in No. 162. Da sich die Belastungsflächen aus Rechtecken, Dreiecken und Pa-
rabelabschnitten zusammensetzen, so können die in der Tabelle auf Seite 425
für zwanzig Theilpunkte der Stützweite beredineten Zahlen benutzt werden.
Die Zeiger Jff, D, P weisen auf das Rechteck, das Dreieck und den Parabelab-
schnitt als Belastungsfläche hin; die grösste Belastungshöhe ist mit z bezeichnet
Durch die über der Tabelle stehenden Figuren nnd die darunter stehenden Formeln
dürfte die Tabelle genügend erläutert sein.*) Die Anwendung dieses Verfahrens
auf den vorliegenden Fall liefert für die Seitenöfihung die Gleichtmgen:

Xa = —

Xt = —

6 4^FA«.„. ^^^« + ^'*'

^—L 6 +"' TJ EFh^Sc.

WO — EFh^^ec durch die Gleichung 5, bestimmt ist.

Um X« für die Mittelöf&iung zu berechnen, beachte man, dass der Koppel-

2 L
träger CA in Fig. 392« in A auf den Freiträger AD den Druck— - -^ ausübt

o 2

An der Stelle x des Freiträgers entsteht also

Z, X

s

Dividirt man diesen "Werth durch — JFJP'ä'ö««, so erhält man

und ganz ebenso entwickelt man die Oleichang

Für die Mittelöfbiung erhält man

"^ L 3 2 J EFh^^cc '

*) Die Zahlen cod haben wir bereits bei der Berechnung der durchlaufenden
Balken auf Seite 896 benutzt.

**) Die für Xm und Xh gefundenen Gleichungen gelten auch für den Balken
auf vier Stützen; die für Xb erhaltene auch für den in No. 165 untersuchten
Eingelenkbalken.

Yeischiedene Arten statisch unbestiminter Bogen-, Balken- u. Kettenbrücken. 426

Tabelle der Werthe Ob, f^D, <*>p» <>>p*

jiilgl^^

Zw = 9

X

T

Zm

X*

A = B^

zl

'*~"6 ~ 2

zl _B
'*~12~8

4zx(l — x)

Ä = B =

zl

M =

iäS

Zt^

Zl*

«dp

Zt^

12

(dp

3"

X

T

a? 0?"

X 0?'

W2> — -^ p

X X*

""-T—W

Ci>p' = 2wi) — wp

0,05
0.10
0,15
0.20
0,25

0,0475
0,0900
0,1275
0,1600
0,1875

0,0499
0,0990
0,1466
0,1920
0,2344

0,0500
0,0999
0,1495
0,1984
0,2461

0,0498
0,0981
0,1488
0,1856
0,2227

0,30
0,35
0,40
0,45
0,50

0,55
0,60
0,65
0,70
0,75

0,2100
0,2275
0,2400
0,2475
0,2500

0,2730

0,2919

0,8071

0,3350

0,8360

0,3744

0,3589

0,4090

0,3750

0,4375

0,2475
0,2400
0,2275
0,2100
0,1875

0,3836
0,3840
0,8754
0,8570
0,3281

0,4585
0,4704
0,4715
0,4599
0,4336

0,2541
0,2793
0,2976
0,8089
0,3125

0,3089
0,2976
0,2793
0,2541
0,2227

0,80

0,1600

0,2880

0,85

0,1275

0,2359

0,90

0,0900

0,1710

0,95

0,0475

0,0926

0,3904
0,3280
0,2489
0,1355

0,1856
0,1488
0,0981
0,0498

Die Zahlenwerthe up und f^s dieser Gleichung entsprechen der Stützweite 1 = 21,.

l i \
Ist z. B. li=li und /i=/t -i- = -rA» ^ ergtobt sich

" 4

9 /• ^ /•

und

l^™^-i&'.'+"+'-^('+Tf+-^)-

Für f, =7, = 82», ft = 8", f, = 2,0-, fc= 2,0-, Äp= 10- wird »p — c= 4,6- und

y EFh* -^ = 22,583 + 8,81 -^

426

Zweiter Abschnitt — § 15.

also für

^=0,5in, i--^-^

27

>' = 0,62F», „ =28

F=0,78F*, „ =29

jP=0,85F*, „ =80.

Ist F= 0,62 Fhi so ergiebt sich für die SeitenöfFnung

^ 32 r 4,5 , , 2,01

18«2>+ 16<i)i»'

"" 2r"~

und für die Mittelöffnung

„ 4-82r. ,8 4,51

256ci>'i>— 216(d£

Xc =

21

Xa : ^1 und Xt sind nur von dem Yerhältniss /^ : l^ abhängig. Man erhält für

Xa ^D

für die Seitenöffnung

X^ =

Xa

16

(dp

8

für die Mittelöffnung

^1

M^+»f)f

'T[('+'t)f-f]

Die hiemach berechneten Werthe sind in der folgenden Tabelle zusammen-
gestellt worden.

Seitenöffhung

Mittelöffnung

X

h

X.

Xt

Xc

X

h

X.

X

T ^

0,2

0,4
0,6
0,8

— 0,884

— 0,672

— 0,768

— 0,576

— 0,024

— 0,042

— 0,048

— 0,036

— 0,048 '

— 0,105 ;

— 0,146

— 0,125

0,2
0,4
0,6
0,8
1,0

+ 1,04
+ 2,56
+ 4,56
+ 7,04
+ 10,00

- 0,064

- 0,152

- 0,258

- 0,876

- 0,500

0,1
0,2
0,3
0,4
0,5

+ 0,270
+ 0,617
+ 0,988
+ 1,159
+ 1,288

Den EinfliuM von Temperatarändernngeii berechne man mit Hilfe der
genaueren Formeln

JLat , J^t

^Sa

8

SÄ

8

EF ^ EF

und berücksichtige die Längenänderungen sämmtlicher Stäbe. Xht wird =0,
weil der Träger symmetrisch ist Die Lage von Xd bestimme man mittels der
Bedingung

^ Sa8c8 ^

^~EF'-^'

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- u. Kettenbrücken. 427

Für den ersten Bechnungsgang empfiehlt sich die folgende Entwicklung. Man
schreibe den Gliedern der Kette die Temperaturänderung /*, der oberen Gurtung
den "Werth to und der unteren Gurtung den Werth tu zu und lasse die Füllungs-
glieder, die Hängestangen und die Ständer A^A ausser acht Man erhält dann

y8ae=S5aCf«= j^ j MUx - ^ J MUx

0 0

und, wegen Ml = Ml = Ma^

k^k

1 ^ t(tu — to)

-TT Ä«| = ZX^ "ZL I Jlif^clx.

Das Integral stellt den Inhalt der in Figur 392* schraffirten Jf«- Fläche dar,
weshalb

1 » tit» — to) (h

ir^at =

iU--)

2 "• h

und

Weiter ist

, . , k+k k+k

1 ^+'i ^+^j s.t r tt c

und, wegen Ml= Me-\--^hund Me = Mc r-Ä,

k+k

Y Ä,, = — gtj,8o + Y e (^ + ^) (l, + h)+ ^^^\ ^"^ fMcdx,

0

Das Integral stellt den Inhalt der in Fig. S92<' schraffirten If«- Fläche dar, und
man erhält daher

i.8., = -efc*o+4-e(/« + M(?i + W+'^'-

2 ^v, -.-^p , 2 ''^•* ' ••'^^'* '■'-'' h

^-^[J(f^h+m

-(Äp-c)(i + ^)]

Das letzte Glied darf als belanglos vernachlässigt werden; auch ist es zulässig,
$o durch /i -f~ ^ 2^ ersetzen; es handelt sich ja nur um eine Annäherung und
die Einführung der Zahlenwerthe U und f« beruht ohnehin auf einer ziemlich
groben Schätzung.*) Man erhält also schliesslich

xind _ ^et

JLtt=— — •

Occ

*) In unserem Zahlenbeispiele würde die Summe der beiden letzten Glieder
_ £(28<^ + 25^)(/i + M ggj^^ ^^^ ^^^ür darf man setzen -1 t{tu + t,) (h + h)-

2S • 384 *

428 Zweiter Abschnitt — § 15.

In unserem Zahlenbeispiele ist

folglich (für Flnsseisen und bezogen auf Tonnen und Meter)

X.i = 281,25 (/« — ^J-F
Xi = c£rF(t« + fo— 2**)-|^ = 250if(<«^-fo-2f«)y
Im Falle u=^iu^=ih wird X«i = 0 und X^ = 0.

Liegt die obere Gurtung oberhalb der Fahrbahn, so ist sie ebenso wie die
Eette der Sonnenbestrahlung ausgesetzt Setzt man für diesen Fall t»==0,
f^ = /^ = 15 o^ so erhält man

wo Ft einen mittleren Gurtquerschnitt bedeutet

Da nun c = 5,5"* und 1^ = 2,0"* ist, so entstehen in der MittelÖfifhung die
Gurtkräfte

t;^= -^ = + 0,5 A., — 0,5 Xri (5,5 — yo)
h

O = -^ = -0,5X.t + 0,5X.«(5,5 — y«).

In der Mitte des Trägers ist yo = l,0'", y« = 3,0'" also

^■= + 3200^,, 0 = — 2800F*.
Ueber der Mittelstütze ist y^ = 9,0'", y«= UjO"" und

V= 4- 1200 Fe, 0 = — 600 Fe.

"Wäre in der Mitte F« = 1,25 F« und über der Mittelstütze F* = 2 F«, so würden
sich an diesen Stellen in der oberen Gurtung die Spannungen

2800 600
ffa = --— -t/qm = 224 kg/qcm und ffo = 5^ = — 80 kg/qcm

ergeben. Man erkennt, dass ungleichmässige Erwärmung ziemlich erhebliche
Spannungen hervorbringt. Die genauere Rechnung liefert geringere Werthe,
da da« und 9«« grosser ausfallen.

168. ZweiflBioh staÜBoh xinbeBtimmter» durch einen Balken
mit parallelen Ghutungen versteifter Stabbogen, Fig. 898. Im
Bogen entsteht oberhalb des Versteifangsbalkens der Horizontalschab X„
unterhalb des Balkens der Horizontalschub X^. Bei starren Wider-
lagern lauten die Elasticit&tsgleichungen

Im Belastungsfalle Xa = — 1 bleiben die in Fig. 393* durch gestrichelte
Linien dargestellten Stäbe spannungslos.

Der Einfluss der Längenänderungen der Diagonalen des Yersteifungsbalkens
auf die GröBsen 7« und X^ ist leicht zu berücksichtigen. Es sollen daher die
Gewichte uf mittels der Formeln 6 und 7 auf Seite 105 berechnet weiden.

Yerschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- n. Kettenbrücken. 429
unteren i ^^^^^^ ^'^^ ^^^ Länge 2 X ergiebt sich

^dfüx eine {^^^igj,,} Diagonale

WO F und Fd die konstant angenommenen Querschnitte der Ourtungen und

Diagonalen bedeuten. In den Stäben des über dem Balken liegenden Bogens

entstehen die Spannkräfte Sa = — sec ou«. Der Bogen habe im Scheitel den

Querschnitt Fb] für den um a« geneigten Stab des Bogens sei F = FbSQoaL^ so

, 8m*s sec'aX . ,
dass „„ = „„ wird.
EF EFh

-4^

Ts ^ 1 s 7 9 3 ti V n Ja ^ ts ie V

^-i

^

T^

..-''^^/'V^'-'^-'

.^^

l.ife_:i^_^.

;?. i# i^

aL.a.jj,^-:iiA.aL^^aiji5i.aA3Lai.5L^ai

J^Lini*

Fig. 393.

Man erhält nun nach Gleich. 6, Seite 105, für einen Knotenpunkt der
unteren Gurtung

430 Zweiter Abschnitt. — § 15.

2X

und nach AVeglassung des konstanten Faktors

h^EF

1 F d^

u^- = y« + y (t«a,n — tgou+i)X ^-j^y.

Zu demselben Ausdrucke führt die Gleich. 7, Seite 105, für einen Enotenponkt
der oberen Gurtung. Dem Knotenpunkte 3 entspricht

1 . . F d}
ir. = -ytga,X — -.

Liegen die Knotenpunkte des Bogens in einer Parabel, was hier vorausgesetzt
werden möge, so ist

tg a«, — tg flu+1 = -f--,

I <Ä* ^* f ^

^ ' I Vt — hFtP

Für $«0 eiigiebt sich der Werth

"• SF 7 Ä« EF^ i^^h* EFä^ 4 EFt'

und wenn (genügend genau)

gesetzt wird,

2X»

(8) «..=

EFh^

[^y* 10 F d^ 1 Ä* F I

X ^ 4 ^ Fd X« ^ 2 • X» Fft J

Schätzen wir Fd = 0,85 F und Fb = 2,5 JP, so erhalten wir mit den in die
Fig. 892 eingetragenen Abmessungen

4A_ = 4.4,9 — =.--, -.- = —.1,40 = 4,0

f/j». = y« + 0,4

ITg = f€^i7 = 2,6.

2y«« = 2 (2,8» + 4,8« + 6,0«) + 6,4« + 2 (2,4« + 4,0« + 4,8«) = 264,32

4

4 XS i^ «o« = -^ (1,3« + 1,1* + 0.9« + 0,7« + 0,5« + 0,8« + 0,1«) = 6,07

4 0,U

Betrachtet man die Gewichte le als Lasten eines einfachen Balkens A B und
berechnet die zugehörigen Biegungsmomente Mm unter der Annahme X = 1, so
besteht zwischen den Mm und den Durchbiegungen d«,« die Beziehung

*) Veigl. Seite 249. Für unser Beispiel ist 1 + -^ 4t = 1-07.

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- n. Kettenbrücken. 43 1
Für die Momente Mm erhält man die folgenden Wertbe

Ms = 142,0
lfe'= 166,6
Jf/= 186,0

M^ =201,0
M^' =209,6
Jlfio'= 218,0.

lfi'= 28,0
J//= 56,0
M^^ 84,0
Jf4'= 114,6

In Fig. 393^ sind die im Belastungsfalle Xk = — 1 spannungslos bleibenden
Stäbe durch gestrichelte Linien dargestellt worden ; der obere Bogen ist spannungs-
los xmd wurde weggelassen. Man erhält für einen | ylf I^^ } Gurtstab von der

Länge 2X

_ _ t)^ . _. t)« 2X

für die Diagonalen der ersten beiden Felder

d d^

Ä = — tgai-r-, A»t = — tgotj

Ä = + tg«,— , Afi* = + tga,

Ä ' " ' ^ ' hEFä

für den imteren Bogen

8b = — secou., ^8b = — seca«,

EFb

und gelangt [nach Division der Gewichte io mit 1 zu den Formeln

^ \ EFh^J

X F d^ X* F d*

«<'i = TQi + Y (*g *i — tg «2) ;pr -j^T = ^1 + ^ A TT ^ "XT = "'i«

w ^ fr, = 7), + Ytga, — — =1^18

tcm = rim (gültig für m = 8 bis m = 17)

]

8 '• 2X

(6) 8a6 = 25.56 -^y = 'Sy^7,^-^^p;^.

Die Einsetzung der Zahlenwerthe liefert

u?i = wi9 = tii + 0,4 = 2,8

IT, = Wie = 8,6 H ^ — - — '— • 4 = 7,0

^r^'i = 2 • 1,9« + 9 • 8,6» + 8 • 5,1« = 881,94

^/x a . X . V 1,9« +1,7« 6,5

^^ X{tg«a, + tg««,) = -^^ = ^

i'y^tj« = 3,6 (2,8 + 4,8 + 6,0) 2 + 8,6 • 6,4 + 5,1 (2,4 + 4,0 + 4,8) 2 = 235,20
4

8*6 = -^^ [110,65 + 8,67 + 0,60] = 120 -^^

^''''^'EFh*"''^'^'

*) An Stelle von { h in Gleich. (3) setzen wir 2X; rechnen also mit sec a = 1.
Da F : Fb ohnehin geschätzt werden muss, ist dies zulässig.

432 Zweiter Abschnitt — § 15.

Die Momente Jf " in Folge der Gewichte w sind für X = 1

Mi"= 42,3
3£f == 82^8

Mt = 167,5
Jfe" == 186,7

if," = 115,3 ! Jf/' = 202,3
lf/'= 143,2

Ms" =212,8
Jf," = 219,7
Jf,o"= 221,5

Zwischen den Momenten Mm" nnd den Durchbiegungen 8m » besteht die Beziehnng

"•' ~ EFh* '
Die Gleichungen (1) gehen also über in

96.3 X + 78,4 Jii=3fJ +-^^^^-

78.4 Xa + 120 Xö = if^" + -^^ Ä*

sie liefern für den £influ8S der Last Pm=l die Werthe

... i Xa = 0,0222 Mm' — 0,0145 MJ'

^^ \Xb = 0,0 J 78 Mm" - 0,0145 ifj

und für den Einfiuss der Temperaturänderungen die Werthe

EFh*
Xai = ■=j^ (0,0222 Äai — 0,0145 «6*)

Xi, = -yj^ (0,0178 Ä6, — 0,0145 ««,)

Die mit Hilfe der Gleichungen (7) berechneten Ordinaten der EiDÜusslinien für
Xa und Xb sind in die Figur 393 eingetragen worden.

Belastet man jeden Knotenpunkt mit gX, so entsteht

Xa = 14,5gX, Xt=15,2gX.

Die Werthe mamXa und maxXb weichen also nur wenig von einander ab.
In Folge einer gleichmässigen Erwärmung findet man

8„« = 2ciÄ« = 0, ^bt = ^itSb8 = etl*),
mithin

Aa/ = — 0,0145 e^^F ^**

Xbt = + OyOnStEtF

2X«
2X«

und für &E=2bO (Flusseisen) * = 35^ ; = 60'", ä:X = —

Xai = — 950F
Xbt = + 1160 F.

Für den oberen Knotenpunkt 3 des Yersteifungsbalkens erhält man das Angnfiis-
moment

3/,* = — 11601''. 5,1

und in dem gegenüberliegenden Gurtstabe die Spannkraft

1,5

*) Die Spannkräfte in den Vertikalen sind hierbei berücksichtigt worden.
Man vergl. die Untersuchung von Ht auf Seite 199.

Verschiedene Arten statisch unbestimmter Bogen-, Balken- u. Kettenbrücken. 433

Wäre der Querschnitt dieses Gurtstabes zufallig gleich dem Mittelwerthe F^ so würde
in ihm in Folge der gleichmässigen Erwärmung die Spannung a = — 394 kg/qcm
entstehen.

§ 16.

Beispiele fttr die Einffiltrung eines statiseli unliestiiiimteii

Hauptsystems.

160. Wird ein n-fach statisch unbestimmtes Fachwerk durch Be-
seitigung von k überzähligen Steifigkeitsbedingungen, denen die statisch
unbestimmten Grössen Xat Xj,, . . . Xjt entsprechen mögen, in ein (n — A;)-
fach statisch unbestimmtes System verwandelt, so bestehen zwischen
den Grössen X die A;-G]eichungen

Lb-\- ih — Sil = SP^S^j — X„hf,a — Xf,hf,i, — ... — Xj^hif,

-^fc + Sfc — hift — 2 Pm^mk — -ST« hf,„ — -STjSift — . . . — X^h

ki \

welche die Berechnung von JT«, JT», ... Xf, gestatten, vorausgesetzt,
dass die Grössen X^+i bis X^ bereits bekannt sind. An die Stelle des
statisch bestimmten Hauptsystems ist ein (n — A;)-fach unbestimmtes
System getreten. Dass diese Einführung eines unbestimmten Haupt-
systems zuweilen sehr nützlich ist, wird die Lösung der folgenden
Aufgaben zeigen.

170. Kettenbrücke über drei Oeffhungen mit durchlaufen-
dem Versteifiingsbalken und Hückhaltketten. Fig. 394. Es
handele sich um den ersten Rechnungsgang, und es möge der Hori-
zontalzug Xe der Kette in Folge einer Einzellast P== 1 und einer
gleichmässigen Erwärmung unter der Voraussetzung bestimmt werden,
dass für den Balken die in No. 160 (Seite 393) eingeführten An-
nahmen gemacht werden dürfen und der Quer6chnitt eines unter a
gegen die Wagerechte geneigten Kettengliedes Fa = F^secoL ist, wo
Ft den Querschnitt der Kette im Scheitel bedeutet. Die ganz un-
wesentlichen Längenänderungen der Hängestangen sollen vernachlässigt
werden. Die Kettenlinien seien durch stetig gekrümmte Parabeln er-
setzt. Die Bezeichnungen sind aus der Figur zu ersehen; man achte
darauf, dass für die Kette über der Seitenöffnung der auf die Sehne
DqBq bezogene Pfeil mit fo und der zur Sehne C^A^^ gehörige mit f^
bezeichnet worden ist. Man begeht aber keinen wesentlichen Fehler,
wenn man in den folgenden Formeln f^ und Iq dnrch f^ und l^ ersetzt.

Wäre die Kette durch drei Einzelbalken versteift (Fig. 299,
Seite 291), so wäre das durch die Ursache X, = — 1 hervorgerufene

Müller-Breslau, Graphische Statik. IL 1. 28

434

Zweiter Abschnitt. — § 16.

AngriffiBmoment für irgend einen Knotenpunkt der oberen oder unteren
Gartang:

wo y die dem Knotenpnnkte entsprechende Ordinate der Kette, be-
zogen aaf den Sehnenzag CiA^B^D^ bedeutet. Da nun aber der
Versteifungsbalken ein durchlaufender ist, so tritt an die Stelle des
Sebnenzuges C^AqBqDi der durch die Stützenmomente c bestimmte
Linienzug C^AiBiD^, Für die Strecke c ergiebt sich nach Gleich. 25,
Seite 895, die Beziehung

Fig. 394.

WO N nach Gleich. 38, Seite 402, für eine gleichförmige Belastung zu
berechnen ist, die für die Längeneinheit der SeitenOlfhung Zi und der
Mittelöffnung e beträgt, und durch die Gleichungen

1-A

^ih'

8

i'f =

zV
8

bestimmt ist. Man erhält also

8

8

N= —
und absolut genommen,

z. L ' zV

^ ^ 2?, + 3;

Damit sind die Momente

m: =M:=fi

Beispiele für die Einführung eines statisch unbestimmten Hauptsystems. 435

für den Belasttmgsziistand Xc = — 1 des statisch nnbestimmten Haupt-
sjstems gefonden, und die Berechnung yon

auf eine sehr einfache Aufgabe zurückgeführt. Bezeichnet man mit h
die Höhe des Balkens und mit F den mittleren Ourtquerschnitt, so
«rhält man, mit Beachtung der Entwicklungen auf Seite 268,

5..=/(iC'+ iC-) g^+ ^/.r. « .. + 1^

0 0

wo

<2) ,. = 2/.(l+^-^ + -^)+z(l+^^) + 2,'8ec«'.

/ bedeutet die Länge einer Bückhaltkette C^i^o^o ^^^ ^ ^^^ Neigungs-
winkel des obersten Gliedes C^R^^ yergl. Seite 169. Für die beiden
Integrale ergeben sich die Werthe

0 0

I l

jy^Ux=f(3, — c)*dx = f^ri-^-{-eU

0 0

und es folgt schliesslich mit Beachtung von Gleich. (1) die Formel

<8) ^%. = -^V2A*/.+/'»0-^(2/x+80+i^-^.

Die 5^0- Linie ist die Biegungslinie des Balkens für den Belastungs-
austand X = — 1. Die endlichen Gewichte tc^ ersetzen wir durch

, . dx 2,t\dx

EFh^
und erhalten die Werthe — - — S^c als Ordinaten einer Seillinie die mit

4er Polweite 1 zu der in Fig. 894 schraffirte Bela8tnungsfl8.che ge-

EFh^
zeichnet ist. Wird die Polweite gleich — - — 8,^ gewählt, so ist die

28*

436 Zweiter Abschnitt. — § 16.

SeiUinie die Einflnsslinie für X«. Da die Belastungsfläche aus Drei-
ecken, Parabelabschnitten nnd einem Rechtecke besteht, führt die
Rechnung ebenfalls schnell zum Ziele. Mit der Bezeichnung

(4) ^(2A*/i+f»0-y(2/x+8/)+^-^ = *'

ergiebt sich für die Seiten5ffnang, deren Belastnngsfläcbe gleich dem
Unterschiede des Parabelabschnittes C^SAq and des Dreiecks C^AqJ^
ist, nach der Tabelle auf Seite 425

(5) j:. = ± (i- o;f,i, » - ^ o^ci, »)

nnd für die Mittelöffnnng

(6) X. = ^ (-^ o/fi» - -i- 6>«ci»).

In Folge einer gleichmässigen Erwärmung um t entsteht

(7) X,, =

'CO

wo, für die obere bezw. untere Ourtung des Balkens

s. = _»-. s.=+«

O

e

und für die Kette

5^ = — 1 • sec a.

Da M: = M: ist, wird für den Balken S5,a = 0. Für die Kette ist
S5^e* = — «•» mithin

(8) X, = —

2k

8

2^hlenb€ispiel. Es sei /^ = -— / = 80"', /i = — f=2'*^ « = 9"»y

2 4

h = 1,5 "», * = 12"*, sec a = 1,05. Dann ergiebt sich (wenn Za = ^ und /« = f,

gesetzt wird)

c = — /i=4,5-

30 V V

wo

1 1

t + J^.J^J^JL 1+032^

^ 139 2/i /i« F* ^^^''*^:Fvr

Beispiele für die Einfühnrng eines statisch unbestimmten Hauptsystems. 437

Man erhält also

für die Seitenöffnung Xc = (1,079 wj»' — 1,214 wj)) v
für die Mittelöffnung Xc = (17,266 «/ — 14,568 Wi?) v
und ist nun im Stande, die Xc- Linie mit Hilfe der auf Seite 425 stehenden
Tabelle für verschiedene Werthe von v schnell zu berechnen.
Die Angriffsmomente für den Versteifungsbalken sind

Jf = lf« = 3f, — Xt),

wo Mo das Moment für den nicht an der Kette hängenden, zweifach statisch un-
bestimmten durchlaufenden Balken bedeutet. Die Momente Mo werden am
zweckmässigsten nach dem in No. 160 angegebenen Verfahren ermittelt; sie
sind unabhängig von v.

Gleichmässige Erwärmung erzeugt

Xet = — Z JE Fht

30 80 Ä« F

139 21, fi» Fk

und dieser Ausdruck lässt sich umformen in

Xc« = — e^F*<(l — v).

Für

erhält man
und mit

F:Fk = 0,A 0,5 0,6 0,7

v = 0,89 0,86 0,84 0,82

tJS?=250, ^ = 35'»

— -^'''=963, 1225, 1400, 1575.

Den einzusetzenden "Werth v ermittle man mit Hilfe von Versuchsrechnungen.
V hängt u. A. von dem Verhältniss der ständigen Belastung zur Verkehrslast ab
und ist für Kabelbrücken kleiner als für Kettenbrücken.

171« Ganz in derselben Weise wird das in Fig. 895 dargestellte
Tragwerk nntenacht. Der durchlaufende Balken ist nur in der Mittel-

K-Jß-^

Flg. 895.

Öffnung mit der Kette durch Hängestangen befestigt.
zur Berechnung von c lautet

und liefert, absolut genommen,

(1) c =

2fl

2/1 + 3;

Die Gleichung

438 Zweiter Abschnitt. — § 16.

Weiter wird

(2) ». = z(l+-^-p) + 2«'8eca'

WO 8 die Länge einer Rttckhaltkette A^T bedeutet.

X

üeber der Seitenö£fnnng wird ij = c — , mithin ist

h

/

h

^1 j^ ^ ^1

^ "~3~

und

wofür man mit RtLcksicht auf Gleich. 1 auch setzen darf

Die Gleichung der X«- Linie lautet

(4)

für die SeitenOffhung X^ = -t^d

0

„ MittelöfEnnng X = ^ (y «pYJ» — y Oaci») •

Der Einflnss einer gleichmfissigen Erw&rmmig am t ist

(5) X,. = ^,

Bei der Berechnung der Seitenöffnung achte man darauf, dass sich die
Einflusslinien für sämmtliche Stabkräfte nach dem im § 18 beschriebenen
VerÜEÜiren aus der Einflusslinie fUr den Widerstand C der Endstütze
herleiten lassen; und diese Linie findet man mit Hilfe der Einflusslinie
für das Stützenmoment.

172. Die Kettenbrücke über swei OefBiungen mit duroh-
laufendem Versteifoxigsbälken, Fig. 896, wird in derselben Weise
behandelt. Die Strecke c ist bestimmt durch die Gleichung

(1) 2c{l'\-T) = — 2fl— 2fl, woraus c = —f.

Weiter erhält man

(2) ,,= 2;(l+y-(v + -f^) + 2a'8eca'

l

2Jyi»dx=2J(y — f^ydx=^f*l

Beispiele für die Einführung eines statisch unbestimmten Hauptsystems. 439

(8) i« = |/^i + i^

^\g

=i^(i"'^'*-T"^^'0

-— /4 — ^ — ^4 — ^

Flg. 896.

und dieser Werth Ifisst sich amformen in

(4)

X = Y^y (2op' — (02,)v

wo

(5)

1

1 o.A^^^Z

Der Einfluss einer gleichmässigen TemperatnrändeniDg um t^ ist

(6) X,, = — eEF,t{l — ^y

§17.

Aufgaben fiber statisch unbestlinnite mehrthellige

Fachwerkbalken.

178. Im ersten Bande (No. 229 bis 230) haben wir die ange-
näherte Berechnung statisch unbestimmter mehrtheiliger Fach werke nach,
dem zur Zeit fast allein üblichen Verfahren der Zerlegung in statisch
bestimmte Theilsysteme gezeigt und bereits dort darauf hingewiesen,
dass die genauere Berechnung nicht immer entbehrt werden kann,
weil diese Zerlegung öfter zu wenig befriedigenden Ergebnissen führt.
Es soll daher die strengere Untersuchung dieser in neuerer Zeit wieder
mehr in den Vordergrund getretenen Systeme an zwei Beispielen erläutert

440 Zweiter Abschnitt. — § 17.

werden. Vorweg heben wir hervor, das8 die Längenändemngen der
Fdllongsstäbe nicht vemacblSssigt werden dürfen. Bei den vom Verfasser
antersachten mebrtheiligen Netzwerken lieferte eine znerst anf Grand
der Zerlegung in statisch bestimmte Theilsysteme durchgeführte Be^
rechnung Stabquerschnitte , die sich znr Einführung in den genaueren
Rechnungsgang eigneten. Denn es kommt bei der Aufstellung der
Elasticitätsgleichungen nicht auf die Querschnittsinhalte selbst an,
sondern nur auf das gegenseitige Verhältniss dieser Inhalte. Die
Spannungszustände X = — 1 sind namentlich für Netzwerke mit pa-
rallelen Gurtungen ganz ausserordentlich einfach, so dass die genaue
Berechnung dieser Fach werke keineswegs umständlicher ist, als die vieler
anderer mehrfach statisch unbestimmter Systeme.

1. Untertuchung einet zweitheiligen Netzwerks mit gebrochenen Owtongen.

Figuren auf Tafel 7.

174. Es soll der in Fig. 397 dargestellte Fachwerkträger unter-
sucht werden. Stützweite 36**, Höhe in der Mitte 6"*, an den Enden
2*", Feldweite Sjö"*. Die Knotenpunkte der Gurtungen liegen in Pa-
rabeln. Der Träger ist einfach statisch unbestimmt. Als statisch
nicht bestimmbare Grösse möge die Spannkraft X des Stabes ll' ein-
geführt werden.

Zuerst wurden in Fig. 400 die Spannkräfte (Sj) für den Zustand
X = — 1 ermittelt, und zu diesem Zwecke der Reihe nach die Kräfte-
polygone für die Knotenpunkte l, l\ k, k\ t, »', gezeichnet.

Zugkräfte wurden blau, Drücke roth ausgezogen. Die Gurtkräfte
wechseln von Fach zu Fach die Vorzeichen, ebenso die Spannkräfte in
den Schrägstäben. Es genügte, die Stabkräfte der linken Trägerhälfte
darzustellen; rechts von der Mitte ergeben sich dieselben Werthe, nur
mit entgegengesetzten Vorzeichen. Die Ergebnisse wurden in die
Figur 402 eingeschrieben (blaue Zahlen).

Die nächste Arbeit bestand in der Aufzeichnung der Biegungslinie
für den Zustand JC= — 1. — Ist nämlich

8,, die gegenseitige Verschiebung des Punktpaarea /, /' in Folge

X= — 1 und im Sinne X= — 1,
h^i die Verschiebung des Angriffspunktes »n einer Last P«, im

Sinne von P^ und in Folge von X= — 1,

so ist der Einfluss von P^ auf X:

(1) X=P.^'-'

II

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 441

Wird also die Lasteinheit durch eine Strecke von der Länge ha dar-
gestellt, so erzeugt eine in m angreifende Last Eins im überzähligen
Stabe die Spannkraft X = b^i. Die fragliche Biegungslinie ist dann
gleichbedeutend mit der X- Linie; ihre Ermittlung mnss durch eine
Querschnittsabschätzung eingeleitet werden, und zwar kommt es hierbei
nur auf das gegenseitige Verhältniss der Stabquerschnitte an, weil in
Gleich. (1) nur das Verhältniss zwischen zwei Ordinaten der Biegungs-
linie vorkommt. Aus demselben Grunde darf, falls E ftlr sämmtliche
Stäbe den gleichen Werth besitzt, was hier vorausgesetzt wird, jE^=^ 1
angenommen werden. Die Zahlen in der linken Hälfte der Figur 401
geben nun die Stablängen in dm an, in der rechten Hälfte die abge-
schätzten Querschnittsverhältnisse und die rothen Zahlen in Figur 402
schliesslich die hiernach berechneten Längenänderungen der Stäbe für
den Zustand X= — 1. Beispielsweise entspricht einem Schrägstabe
des dritten Faches:

Die Einheiten sind gleichgültig, da es sich nur um das Verhältniss
hmi • hu handelt. Die Bestimmung der Biegungslinie erfolgte mit Hilfe
eines Williotschen Verschiebungsplanes. Zuerst wurde Punkt a, und
die Eichtung des Stabes aa festliegend angenommen und aa gleich
der Längenänderung AO des Stabes 0 gemacht. An a und a wurde
b mit Hilfe von AI und A2 angeschlossen, hierauf der in Bezug auf
die Wagerechte durch die Mitte von aa symmetrisch zu b liegende
Punkt b' bestimmt, sodann c fest gelegt mittels A3 und A4, nun-
mehr c symmetrisch zu c liegend gefunden u. s. w.*) Man vergleiche
die ausfuhrliche Beschreibung des Williotschen Verfahrens im § 1 und
namentlich die Untersuchung in No. 34 (Fig. 89), in welcher die Her-
leitung der Biegungslinie aus dem Verschiebungsplane eingehend er-
örtert worden ist. In Figur 398 stellt die ausgezogene Zickzacklinie
die Biegungslinie für den Fall Fahrbahn unten vor, die strichpunktirte
für den Fall Fahrbahn oben, beide bezogen auf die Gerade al als Null-
achse. Da im Verschiebungsplan der Punkt V oberhalb l liegt (also
ebenso wie im Fach werke), so ist die gegenseitige Verschiebung hu des
Punktpaares /, V positiv, und es entsprechen daher nach Gleichung (1)
den positiven S«,?} d. h. den abwärts gerichteten Verschiebungen, auch
positive Werthe X In Figur 398 sind die positiven und negativen
Zweige der als JT- Linien aufzufassenden Biegungslinien durch blaue

*) Die Hilfslinien sind mit Ausnahme der zur Bestimmung von a dienenden
wieder weggelöscht worden. Der Maassstab wurde so gewählt, dass eine Ijängen-
änderung As = 10 durch eine Strecke von 5""" Länge dargestellt wiid.

442 Zweiter Abschnitt. — § 17.

bezieh, rothe Schraffinmg besonders kenntlich gemacht. Da sich die
Strecke 8« = 42,7*"' ergab, so ist der Maassstab für die X- Linien:
1*=42,7'^.

Nach AnfzeichnuDg der X-Linien lassen sich die Einflusslinien fttr
die übrigen Stabkräfte leicht bestimmen. Wir begnQgen nns damit,
die Untersnchnng eines FOllnngsstabes und eines Oartstabes durch-
zuführen.

1. ErmiUlung der Spannkraft D im FüUungsstabe h' g, Fig. 403.
Bezeichnet Dq den Werth von D für den Fall, dass das Fachwerk
durch Beseitigung des Stabes iV statisch bestimmt gemacht wird, so
gilt für jeden Belastungszustand die Gleichung:

(2) D = Do — S,X = Do+ 0,43 X

Zur Bestimmung der X)^- Linie wurde das Band I No. 215 beschrie-
bene Verfahren benutzt und zu diesem Zwecke das statisch bestimmte
Hauptsjstem durch Beseitigung des Stabes h'g in eine zwangläufige
kinematische Kette verwandelt. Es wurde zunächst die starre ge-
gliederte Scheibe ad g'hga ruhend angenommen, dem Punkte Ji eine
Geschwindigkeit von vorläufig willkürlicher Grösse ertheilt und nun
der Reihe nach die Geschwindigkeit von t, von % u. s. w. nach dem
Williot*schen Verfahren bestimmt. Die Punkte ^, g\ h des Geschwindig-
keitsplanes Fig. 404* fallen mit dem Pole zusammen; g'h' ist recht-
winklig zur Richtung des Stabes g'k' ebenso h'i_\_hU, hij^hi u. s. w.
Die ausgezogene Zickzacklinie in Fig. 404^ liefert — bezogen auf die
Nullachse la — die senkrechten Seitengeschwindigkeiten der Punkte
der unteren Fachwerksgurtung, die strichpunktirte diejenigen der Punkte
der oberen Gurtung. Entspricht dem Punkte i beispielsweise die Ordi-
nate 5o und bezeichnet h die Projektion der Geschwindigkeit g'h' auf
die Richtung des Füllungsstabes D, so ist der Einfluss einer in i an-
greifenden senkrechten Last 1' auf die Spannkraft Dq (nach dem Gesetz
der virtuellen Verschiebungen): durch die Gleichung bestimmt:

Do» + 1 • 8, = 0
und man erhält — für den Kräftemaassstab 1' = 8 —

2>o = — 8*-

Die beiden Linienzüge in Fig. 404^ sind also die Einflusslinien
für Dg, der ausgezogene für Fahrbahn unten, der strichpunktirte für
Fahrbahn oben. Rechts von g, g' foUen beide Einflusslinien zusammen.
Die positiven und negativen Zweige dieser Linien wurden wieder durch
blaue bezieh, rothe Scfaraffirung kenntlich gemacht. Der Maassstab
lautet: 25"""= 1*.

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtiieilige Fach-werkbalken. 443

In den Figuren 405* nnd 406* sind nun die ans den D^-Linien
mittels der Gleichung (2) abgeleiteten D- Linien dargestellt worden.
Dabei geschah die Ermittlung der Werthe 0,43 X mit Hilfe einer Ge-
raden, welche in Fig. 398^ auf die Weise bestimmt wurde, dass durch
den oberen Endpunkt von hu parallel zur Nullachse eine Gerade ge-
zogen und auf dieser von der Senkrechten durch a aus die dem Stabe
h'g entsprechende Spannkraft 81 = 0,43 abgesetzt wurde. Diese Spann-
kraft ist dem ebenfalls im Maassstabe 25**^= 1' gezeichneten Erttfte-
plane des Zustandes X= — 1, Figur 400, entnommen worden. Der
Verschiedenheit der Maassstäbe der J^- Linien in Figur 398 und der
D- Linien ist hierdurch Rechnung getragen, und es konnten daher
die Ordinaten der Dq- Linien mit denjenigen der 0,43 X- Linie ohne
Weiteres (mit Berücksichtigung der Vorzeichen!) addirt werden. Bei-
spielsweise ist, absolut genommen,

ifl,= 8, — 8/ (Fig. 405*, 404^ und 898»)

und t\i negativ, weil 8^ > 8/.*)

Dem hiermit erledigten genaueren Verfahren ist nun folgendes
Näherungsverfahren gegenübergestellt worden. Es wurde vorausgesetzt,
dass Diagonale hg' spannungslos sei, dass also der durch h'g geführte
senkrechte Schnitt im ganzen nur drei beanspruchte Stäbe treffe. Die
Einflusslinie besteht dann sowohl für Fahrhahn unten als auch ftkr Fahr-
bahn oben aus drei Geraden ÄL^^ L^L^, L^B (Fig. 405^ und 406^)
und wird erhalten, indem man Strecke ÄJ gleich der Spannkraft D^
macht, welche im fraglichen Füllungsstabe durch einen Auflagerwider-
stand ^ = 1 hervorgerufen wird , und indem man femer die Strecke
L^H gleich der Seitenkrafb [Z>] macht; die in Fig. 407 durch Zerlegung
der Lasteinheit nach den Eichtungen U und D gewonnen wurde. Die
Bestimmung von Dj erfolgte in Fig. 407 nach dem Culmann^schen
Schnittverfahren; die Schnittpunkte {U, Ä) und (0, D) in Figur 403
wurden durch die Gerade {L) verbunden, hierauf wurde ^=1* nach
den Richtungen U und L zerlegt, schliesslich L nach den Richtungen
0 und D. Nachdem auf diese Weise der Linienzug ÄL^L^B festge-
legt war, wurde angenommen, dass Lasten, welche in den Knoten-
punkten Ar, t', A, /, /*, e'y d, c\ b des die fragliche Diagonale D nicht
enthaltenden Strebenzages angreifen, auch keinen Einfluss auf die Spann-
kraft D haben — sie wirken gewissermaassen auf das andere Theilfach-

*) Für den Fall obenliegender Fahrbahn werden die Ordinaten der D-Linie
bei r und a nicht genau gleich Null; sie ergaben sich aber — selbst in der
vom Verfasser im doppelten Maassstabe hergestellten Zeichnung — so klein, dass
sie =0 gesetzt werden durften.

444 Zweiter Abschnitt. — § 17.

werk — und aus dieser Annahme ergeben sich schliesslich die in den
Figuren 405^ und 406^ schraffirten angenäherten D- Flächen.

Wir wollen nun die Ergebnisse der genaueren und genäherten
Rechnungsweise prtlfen und setzen hierbei einen Zug von LokomoÜTen
nüt den aus den Figuren ersichtlichen Radständen und Achsenbelastnngen
voraus. Die Mittelachse des Tenders ist von der Mittelachse der Loko-
motive um die doppelte Feldweite entfernt — eine sehr ungünstige An-
nahme. Den eingezeichneten Zugstellnngen entsprechen die folgenden
Werthe:

Fiihrbahn unten. Fahrbahn oben.

j _Z), = SPti = + 3l' I ^asD^= + 24'

^'°"^U..J^, = -SP.) = +11' ; ^,.Z), = _19'

D, = + 1 9' (Fehler21o/o)

angenähert ( ^». = + 25.5' (F....r ,..„>

Die ständige Belastung sei ^ == 1,74' f. d. Mtr. also = 1,74 • 3,6
= 6,3' für jeden Knotenpunkt. Es stellt sich heraus, dass die ge-
naueren und genäherten Einflusslinien dieselben Ergebnisse liefern,
nämlich :

für Fahrbahn unten Dg = 6,3 • 0,62 = 4*

für Fahrbahn oben D, = 0.

2. Spannkraft in einem Gurtstabe. Der einzuschlagende Weg ist
derselbe wie bei Untersuchung der Füllungsstäbe. Durch Beseitigung
des Stabes i'h\ nach dessen Spannkraft 0 (Fig. 408) gefragt sei, wurde
das statisch bestimmte Hauptnetz in eine zwangläufige kinematische
Kette verwandelt und nun wurden mit Hilfe eines Geschwindigkeits-
planes (Band I, Seite 508 u. Fig. 499^) die Oq- Linien für die beiden
Fälle Fahrbahn unten und Fahrbahn oben gezeichnet. Die Geschwin-
digkeit hi' des Punktes i' wurde so gewählt, dass die Projektion von
hi' auf die Richtung von 0 gleich 25"** ist. Der Kräftemaassstab fQr
die Oq- Linien lautet dann: 1* = 25""".

Dem Stabe i'h' entspricht Si = — 0,30, weshalb

0 = Oo — i^/X = Oo + 0,30 X,

und hierdurch ist die O-Linie gegeben; sie wurde in kleinerem Maass-
stabe (1*=12,5"'*) gezeichnet — für Fahrbahn unten in Fig. 410*,
für Fahrbahn oben in Fig. 411*.*)

Die Figuren 410^ und 411^ enthalten die Ergebnisse der Nähe-
rungstheorie; es wird genügen, die Entwicklung von 410^ zu geben.

*) Zur Umsetzung der Strecken aus dem Maassstabe 1* = 25'*'* in den
Maassstab 1*=12,5'""' diente der Winkel oberhalb Fig. 400.

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 446

Der fragliche Gurtstab liegt in dem einen der beiden Tbeilfachwerke
dem Knotenpunkte h gegenüber, in dem anderen dem Knoten i. Be-
deuten Mxt Mi die Angriffsmomente, bezogen auf h bezieh, i und r«,
Vi die Lothe von h und i auf 0, so ergiebt sich — jenachdem die
Spannkraft im Stabe ih' oder im Stabe %h gleich Null angenommen
wird —

— 0 = oder — 0 = — - •

Die Einfiusslinie für Mj^ : r« besteht aus den Geraden Ä H und
HB''y sie ist bestimmt durch

x^Xj! (8 . 3,6) (7 . 3,6)

•"" ^^^ — i ^^^^ — ~, — 7. — ir~zi — . ^ ^ — = 1,42

Irj, (10 -3,6) -5,34 '

während die aus den Geraden ä' J und JB' bestehenden {Mi : r,)-Linie
durch die Strecke

Xixl (2. 3,6) (8 -3. 6)

Ivi (10 -3,6). 4,51

gegeben ist. Mit üilfe der {M^ : rA)-Linie wird der Einfluss der in den
Knotenpunkten A;, \ f, d, h angreifenden Lasten gefunden, mittels der
(Mi : r<)- Linie der Einfluss der übrigen Knotenlasten; schliesslich werden
die Endpunkte der auf diese Weise bestimmten Ordinaten durch gerade
Linien verbunden. Ganz ebenso wird die Fig. 411^ erhalten. Den in
die Figuren eingezeichneten Zugstellungen sowie der ständigen Last
g= 1,74' entsprechen die Werthe:

Fahrbahn unten. Fahrbahn oben.

, ., — 2P7) = — 125'
genau ^ ' '

^(i

,^ j,XS7;= — 48'

= 119' (Fehler 5o/o)

43'

0, = — SP7)= — 114^
0, = — (7X27) = — 41'

0, = — 112*
a = — 42'.

Die Uebereinstimmung zwischen der angenäherten und genaueren
Rechnung ist also hier eine befriedigende.

Die gewöhnliche Zerlegung in zwei Theiif achwerke, von denen jedes für
die Hälfte der Belastung zu berechnen ist, würde wenn in jedem Tbeilfachwerke
die wirkliebe Richtung des Gurtstabes %}C beibehalten wird, zu der Formel

2 \ r< r* /

führen und hierein wird man zweckmässig, um allen überflüssigen Feinheiten
aus dem Wege zu gehen, für Mi und M\ gleichzeitig die Grösstwerthe einführen,
trotzdem diese bei verschiedenen Zugstellungen entstehen. "Wir würden dann

446 Zweiter Abschnitt — § 17.

nach Band I, Seite 142*) erhalten

Mi = 702«" Mh = 918'- also

2 \ 4,51 ^ 5,34 /

während sich vorhin eigab

für Fahrbahn unten 0 = — 125 — 48 = — 168'
für Fahrbahn oben 0 = - 114 — 41 = — 155'.

Es leuchtet ein, dass Formel 3 jedenfalls der Abschätzung der Qaerschnitts-
abmessungen zu Grande gelegt werden darf, falls eine schärfere Untersuchung
verlangt werden sollte. Nach Ansicht des Verfassers ist die Gleich. 3 aber auch
für die endgUtige Berechnung genügend genau.

"Wesentlich anders verhält es sich mit den FüUungsstäben. Hier befrie-
digte schon das Ergebniss der genäherten Einflusslinien nicht sonderlich, und
noch ungenauer wird die Rechnung auf Grund der Zerlegung in Theilfachwerke
mit den halben Lasten.

Betrachten wir beispielsweise behufs Bestimmung von mamDp im Stabe h'g
das Theilfachwerk Ik'ih'g . . ., Fig. 412. Der Eisen bahnzug sei bis h* vorge-
schoben und die den Schrägstab D auf Druck beanspruchende Belastung des
Knotens i sei vernachlässigt — eine jedenfalls sehr ungünstige Voraussetzung.
Es entsteht am linken Auflager A = 26' und

mtMt'p = "i~ «* j )

während sich vorhin maxDp = + 31' ergab. Der Fehler beträgt also 41 7o-

Hinzugefügt werde noch, dass sich nach Aufzeichniing der X-Linie
die übrigen Einflusslinien ausser auf die vorhin beschriebene Art noch
nach verschiedenen anderen Verfahren zeichnen lassen. So . könnte man
nach Ermittlung der 0- Linien und 17- Linien die D- Linien auf die
in Band I, Seite 242 angegebene Weise bestimmen, desgl. nach Seite 176
des vorliegenden Bandes. Drittens ist es möglich, mit Hilfe der für
die Knotenpunkte l\ l, k\ k, , , . aufzustellenden Gleichgewichtsbe-
dingungen schrittweise die Einflusslinien für die Spannkräfte in den
Stäben 19', 20', 19, 20 u. s. w. herzuleiten.

Ein viertes Verfahren besteht darin, die Lasteinheit der Reihe nach
in den sämmtlichen Knoten anzunehmen und für jeden dieser Belastungs-
föUe einen das ganze Fach werk umfassenden Ej*äfteplan zu zeichnen.

*) An der angezogenen Stelle sind die Maximalmomente eines Balkens von
SB* Stützweite und 3,6*" Feldweite berechnet worden, g ist = 1,74' f. d. Meter.
Der Eisen bahnzug stimmt mit dem im vorliegenden Beispiele eingeführten nicht
ganz überein; man wird aber auch, falls man Gleichung 8 anwendet, mit den
sonst üblichen Eadständen rechnen, nicht mit den besonderen auf Tafel 7 an-
genommenen.

**) "Wir haben in Fig. 412 ma^Dp kinematisch ermittelt. Beseitigt man D
und schreibt man dem Punkte h" die lothrechte Geschwindigkeit h'h" zu, so
entsprechen den Punkten i und l die Geschwindigkeiten ii" und IV\ "Wählt
man h'\ so dass das Loth von h" auf D gleich Ä ist, so ist das Loth von V auf
A gleich wHMxDp^

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 447

Die 80 gewonnenen Pläne enthalten dann die Ordinalen aller Einflnss-
linien. In Figur 899 auf Tafel 7 ist ein Theil eines solchen Planes
gezeichnet worden; er entspricht einer in h angreifenden Last 1.

2. UiitertHchung einet dreifach statisch unbettimmten viertheiiigen Netzwerfcs,

175. Allgemeines über die Bereehnmig der Formänderungen.

Das in Fig. 413 dargestellte viertheilige Netzwerk von 30"* Spann-

# <^ ^ ^ ^ ^J f ^ S Oj, g ^' .^ ^ ^ ^' ^ ^ -^ ^' ^f ^ ^ ^ *^ ^' ^ ^' *f

1 Ji^ Jt -u^ ^ n^ ^ -u^ S -»^ ß -Ug 7 u^ S Tu^ B ■U'^

Fig. 418.

weite, 2** Feldlftnge, 4** Höhe und unten liegender Fahrbahn ist im
I. Bande in Ko. 230 nach dem angenäherten Verfahren der Zerlegung
in vier statisch bestimmte Systeme berechnet worden und soll nunmehr

Fig. 414.

genauer untersucht werden. Als statisch bestimmtes Hauptsystem be-
trachten wir den in Fig. 414 abgebildeten, durch Beseitigung der drei
Vertikalen v\ v^ und r/ erhaltenen Träger; seine Knotenpunkte sind der

448

Zweiter Abschnitt. — § 17.

Reihe nach zweistäbig an die linke, ans aneinander gereihten Dreiecken
bestehende steife Endscheibe angeschlossen, nnd es lassen sich daher
die elastischen Verschiebungen der Knotenpunkte leicht zeichnerisch
ermitteln, am besten wohl mit Hilfe eines Williot'schen Verschiebungs-
planes. Aber auch die analytische Berechnung der Verschiebungen
gestaltet sich sehr einfach und möge hier, ihrer grösseren Genauigkeit
wegen, bevorzugt werden.

Zunächst ändern wir die Stützung des Hauptsystems in der Weise,
dass wir den unteren Knotenpunkt 0 des Stabes v und die Richtung
dieses Stabes festhalten und berechnen die vertikalen Verschiebungen
^lit fli • ' * f\m ' ' ' der Knoten 1, 2, . . m, . . . . der unteren Gur-
tung, nach dem in No. 9, Seite 13 und 14 entwickelten, zu der
Gleichung 8^ = 25'Aä führenden Verfahren. Fig. 413 giebt Auf-
schluss über die Bezeichnung der Stablängen*); in die Figuren 415,
416, 417, 418 und 419 sind die Spannkräfte eingetragen worden,

/j

1

+Jt

m*x

Lt^Oj

/\

.1

W

f\

u

/

\

+

-,*

/

-y \

7 Ci^uJ km

OLU.J

Fig. 415 bis 420.

welche eine der Reihe nach in den Knotenpunkten 1, 2, 8, 4^ 5 an-
genommene Last 1 in den Stäben des Hauptsystems erzeugt. Mit
Hilfe dieser Werthe erhält man

*) Die Bezeichnung ist so gewählt worden, dass die vier, die beiden End-
scheiben verbindenden Strebenzüge

cL^ d^ d^ * . . . rfia , d^ di dj » * . e^g
und dnd^d^. . . . «ig, a^d^d'f . . . d^^

gut hervortreten.

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 44g

Tfji = 0,5 ]/2 (A^a — A55) + Ap. — 0,5 Ar,

71j=ti,5y2A«,— 0,5>^A58— V2A54+A1?«— l,5Af?+V2Adg— Awi,
7)3= >/2 (A«i — A«4) 4- 1,5 y2 (A^j — Aäj) + Ar. — 2 Ar. — 0,5 Ar

+ y'2Arf,— (Af*i + A«,),
•»14= 2 > 2 A«i+ 1,5 V2 Aäj— 2,5 V2 Aäj, — y2 Aä4— 2 Ar^ + Ar«

+ 0,5 Ar + V2 (Acf^' — Arf,') — (Amj + Aw, + A«,) + 2 Aoj,

1]^= 2 V2(A»i — A«^) + 2,5 V2(A5,— ^8^) — 2 Ar, + 8 Ar. - 0,5 Ar

+ V2(A(f/ — AO — (A«i+Af*,+ A«i3+AuJ + 2(Aoi+Ao,).

Die übrigen Verschiebungen r^ findet man mit Hilfe der mittels
Fig. 420 abgeleiteten Formel

flm+i — -»l«. = 2 1/2 (A5i + A«, — Aä3 — AäJ + 2 (Ar. — Ar,)

+ 1/2 (Ad^+, — Arf^+O — (Au) + 2 {[Ao] — [Af*]}

wo

(Att) die Längenändemng der Strecke m (m 4~ 4)

1 (m— 2)

bedeutet.

Zur Berechnung von tii^ — r^^^ betrachten wir den in Fig. 421
dargestellten Belastungszustand. In den Diagonalen entstehen die

/ ', * *

*

^^^os e 4J,

^

^^?

'y

^«

^i

« «r « /f

t'

K

>^

/ N^

><

?

>^

^

><

«

/ «*, »a •y »Ir f «V »X «V ^ "-^ ' "> Hr "^ ^ "^i^-* "i ^m K

Fig. 421.

Spannkräfte +0,5y2; in der oberen Gurtung werden die Stäbe Oj,
0^1 ©et H ™i* 4" ^ beansprucht, in der unteren Gurtung die Stäbe 1/3 ^
ttf und u^ mit — 1 ; die übrigen Gurtstäbe sind spannungslos. Von
den Stäben der Endscheiben werden nur die folgenden beansprucht:

«j und «3' mit + 0,5 yT,
«d » U yt — ^fi V2^ ^ßd r mit + ^,5.
Es ergiebt sich daher

ii^g— i1j5 = 0,5 y2 (A«i+ A^a' — A53— Aä/)_+ 0,5 Ar + A(ii+ Ao^
H-Aoe'+Aoa'— A«3— Ai/7-Am/ + 0,5V2(— Ac^Z + Aii/— Arfe'
+ . . . + A(fie') + 0,5 yi (— A(i3+ AJ5— Arf7+ — Ae/i^).

Mnller-Breilan, antphlsche SUtlk. IL 1.

29

450 Zweiter Abschnitt. — § 17.

176. Bereohnung von X., X^ und X>. Als statiscb nnbeBÜmmte
Grössen führen wir nicht die Spannkräfte F/, Vj, V* in den drei
überzähligen Stäben »/, i?/, v sondern drei Werthe -X., -Xi, X^ ein,
die mit den Grössen F«', Fj, F' durch die Gleichungen

Vq ^^ Xa — ~ -Aft -Aß

f;=+x.— X»— X,

F' = 2X
yerbunden sind.*) Im Belastungsfalle X^=^ — 1 ist also

F; = + 1 f; = — 1 F' = 0.
Dem Zustande X^ = — 1 entsprechen die Werthe

f; = + i f; = + i f' = o

und der Zustand X« = — 1 erzeugt

F; = + 1 F; = + 1 F' = — 2.

Die Tabelle I enthält die Werthe 5«, 5^ und iS^, für sämmtliche Stäbe
und man erkennt sofort, dass

8

EF

ist, weil sich für die einander entsprechenden Stäbe der linken und
rechten Hälfte des Trägers gleiche Spannkräfte S^ und entgegengesetzt
gleiche Spannkräfte S^ ergeben. Weiter findet man

während 5.« im allgemeinen einen endlichen Werth annimmt.

um die Bechnung thunlichst weit mit Buchstaben durchführen zu
können, haben wir die Querschnittsverhältnisse i^« : jP für die Gurtungen

mit a,, ot,, .... für die Diagonalen mit —j—, — ^, .... und

\2 >2

für die Glieder der Endscheiben mit v, v', — z-=- bezeichnet und diese

V2

Zeichen in die Tabelle eingetragen.**) F^ ist ein beliebiger, konstanter

Querschnittsinhalt. Zwei in einem unbelasteten Knotenpunkte zusammen-

stossende Diagonalen erhalten gleiche Querschnitte also auch gleiche

Werthe ß. Die Querschnitte der einander entsprechenden Stäbe der

., = SÄ'.^,:^r^=0

*) Vergl. No. 13, Seite 25.
**) Die Querschnittsverhältnisse Fe ' F ninde man gut ab. Die Einführung

runder "Werthe Fe >^2 : F für die Diagonalen erleichtert die Rechnung ausser-
ordentlich.

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 451

öl

o,

04
05
09

<h

o,'

o:

Ol'

V
Vo

Fe

«1

«1

«1

«4

«6

«•

«T

«7

«•

«6

«4

o»

«1

Tabelle I.

a) Gurtungen und Ständer.

F

8
Sc

So

So

1,0
0,6
0,4
0,4
0,8
0,3
0,3
0,8
0,3
0,3
0,4
0,4
0,6
1,0

0,6
1,5
1,5

— 1

— 1

+ 1

1

— 1

1

+ 1

— j

_ — 1

— 1

+ 1

-- 1

+1

i

+ 1

— 1

1

+ 1

+ 1

— 1

+1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

— 1

+ 1

+ 1

+ 1

+ 1

0

0

+ 2

— 1

— 1

+ 1

-|- 1

— 1

Se

Wl
**•

Vo'

F

«1
«•

«4

a»

Oft

«1

«7
«6
«5
«4
«8
«1

Fo_
F

1,0
0,6
0,4
0,4
0,3
0,3
0,3
0,3
0,8
0,3
0,4
0,4
0,6
1,0

0,6
1,5
1,5

8

8e

Sa

+
+
+
+
+
+
+

+

Ä

+
+

+
+

+
+

+
+

+

+

Sc

+ 1

— 1

— 1

+ 1

+ 1

— 1

— 1

+ 1

+ 1

— 1

— 1

+ 1

+ 1

— 1

— 2

+ 1
+ 1

b) Diagonalen.

dt

d,
ds
ds
di9

di4

d,
ds
dl
d^

d^i

«4

FcV^

FcY^

vT

ß.

1,3

ß.

2,4

ß.

2,4

ßio

5,7

ß..

5,7

ß.

2,4

ß.

2,4

ß.

1,8

ßs

1,5

ßr

3,3

ßr

3,3

ß.

4,8

ß.

4,8

ß.

2,1

ß.

2,1

v"

1,2

v"

1,2

»"

1,2

v"

1,2

1

2
2
2
2
2
2
1

2

2
2
2
2
2
2

0,5
0,5
0,5
0,5

Sa

V2

+
+
+

+

+

+
+
+

0

0
0
0

St

yT

Sc

V2

FcV2

F

0
0
0
0
0
0
0
0

— 1

+ 1

— 1

+ 1

— 1

+ 1

— 1

0
0
0
0

— 1

+ 1

— 1

+ 1

— 1

+ 1

— 1

+ 1

0
0
0
0
0
0
0

+ 1

— 1

— 1

+ 1

dio^
di%[

die
d,'

^.
''..;

#

H

^4

ß4
ß4

ßs
ßa
ßs
ßs

ß4
ß4

ß«
ß5
ß9

ßo

ßT

ßr

ß.

Fclf^
F

1,8
1,8
4,2
4,2
4,2
4,2
1,8
1,8

2,1

2,1
4,8
4,8
3,3
3,3
1,5

1,2
1,2
1,2
1,2

Y2-

Sa

Sj,
V2

1
2
2
2
2
2

2
2
2
2
2
2
2

0,5
0.5
0,5
0,5

29*

+
+

+
+

+
+
+

0
0
0
0

0
0

0
0
0
0
0

— 1

+ 1

— 1

+ 1

— 1

+ 1

— 1

5.
V2

— 1

+ 1

0 — 1

+ 1

— l

+ 1

— l

+ 1

0

0
0
0
0
0
0

0 -1

0 +1

01 + 1
0—1

452 Zweiter Abschnitt — § 17.

oberen nnd unteren Gnrtnng unterscheiden sich von einander so wenige
dass es stets zulässig ist, ihnen gleiche Werthe F^ : F beizulegen.
Die dritte Spalte der Tabelle enthält di& Verhältnisszahlen « : ««> wo
8c die Feldlänge, d. i. die Länge eines Gurtstabes, bedeutet.
Mit diesen Bezeichnungen ergiebt sich nun

und dieser Werth wird gleich Null sobald

ist, eine Bedingung, welche sich stets durch geringfügige und für die
Endergebnisse der Untersuchung belanglose Aenderungen der auf Grund
der angenäherten Berechnung gewonnenen Querschnittsflächen erfüllen
lassen.'*') Die Zahlen werthe der vierten Spalte der Tabelle genügen
der vorstehenden Bedingung, und es sind daher die drei Elasticitäts-
gleichungen von einander unabhängig. Der Einfluss einer im Knoten-
punkte m angreifenden Last P« = 1 auf die statisch unbestimmten
Grössen ist also

-jr Oma . y Ow»^ ^ _^

0«« Oh Occ

und hierein ist, mit den Bezeichnungen

ßs+2ß5+2ß, + 2ß, = 4;i
ß2+4ß6+2ßio=3ß,+ 4ß8 = 4;,
zu setzen:

WW st F ^

JPJP st W '

:^8„ = SSjf 9-=4Sa. + 4v'+8(v + v'^ + 84.,,

Sg 8e I^ i

me

♦) Die zunächst nach der. Näherungstheorie berechneten Stabquerschnitte
und die ihnen entsprechenden Werthe a, p und v sind in der Tabelle VUI zu-
sammengestellt worden; Fe wurde gleich 100 qcm gewählt Es ergaben sich die
nur wenig von einander abweichenden "Werthe

ß. + ^ße + 2ß,o = 1,33 + 4 • 2,57 + 2 • 5,66 = 22,93 und
8ß4 + 4 Ps = 3 . 1,77 + 4 . 4,04 = 21,47.
Der Querschnitt von d^ wurde nun gleich 29 qcm (statt 25) angenommen; sodann
wurden die Werthe ß, v und v' so abgerundet, dass sie den Theiler 8 erhielten.

7

Ebenso wnrde dafür gesorgt, dass Sa ohne Rest durch 3 getheilt werden konnte.

Diese Maassnahmen erleichtem die Zahlenrechnungen, da t},ea, T|je»nnd %»• durch
30 getheilt werden müssen.

Aafgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Faohwerkbalken. 453
Man erhält

Sa^ = 8.8, 4^1=21,9, 4^2 = 22,2.

EF. EF^ FF

^8.. = 372,0, ^^^8*,= 194,4, -~^8,,= 211,2.

EFc

An Stelle der Darchbiegnngen 8« berechnen wir die Werthe h^,

Sc

indem wir die Längenänderangen As = -=^ ersetzen durch ^$

EF 8c

9 Fe EF^
= S — •-— -. Den sich hebenden Faktor streichen wir. Zunächst

Sc F 8,

nehmen wir das statisch bestimmte Hauptsjstem i^uf die in Fig. 421
angegebene, Art gesttltzt an, berechnen für die Zustände X^ = — 1,
JTft = — 1 und Xc= — 1 die Durchbiegungen ir] und finden dann für
den im Abstände x„ vom linken Stützpunkte liegenden Knotenpunkt m

8^ = 1^^ — ^16~~f"

Die senkrechten Verschiebungen der Stützpunkte Ä und B stimmen

mit denen der Knotenpunkte 0 und 16 überein , weil die Ständer O^i

und 16^ in den hier in Frage kommenden drei Belastungsfällen
spannungslos sind.

Mit Hilfe der auf Seite 449 abgeleiteten Formeln ergeben sich die
folgenden Werthe ir).

Znstand X« = — 1
•>li. — v'=l,5

irij.= v'-2ßa-- tti =- 2,1

•»l6.='»)2. + 4v'--8ße-4a, + 3(a,-a,)+ (ol,-ol,) =- 18.6

•*lio.='»)««+4v'--8ßio-4a.+4(aa-a,)+4(a»-ae)+2(a«-aT)=- 61,0

•»lu«='»lio.+ 4v-8ß8-4ai+3(a.2-a8)+ (a^-a») =- 77,5

^8.= +3v'+4ß,-.(a,-a,) =+ 10,1

•»)7a='*l3-+4v'+8ß7-4(ai-a,)-3(a8-a,)- (a^-oO- =+ 40.9

•*liia='>l7«+4v'+8ß,-4(a,-a,)-4(a3-a0-8(a5-a«) ==+ 83,7

Tli5.=T1iia+4v'+8ß5-3(a,-aa)- (aa-aO =+105.3

y\*a= - +3v'-6ß4-8ai+ (Oa-o.) =- 9,1

•»l8a=> + 4v-8ß8-4ai+4(a2-a,)+3(a4-a5)+(a8-aT)=- 39,6
•*ltj.='5Q8.+4v'-8ß8-4aj+4(aa-a3)+8(a4-a5)+(a«-a,)=- 70,1

451

Zweiter Abschnitt — § 17.

+5v'+8ß5— 8(ai— a,)— (a,— aj
^5.+4 v'+8 ßj— 4 (ai— o,)— 4 (otj— aj
'^9-+4 v'+8 ß^— 4 (a, — o,)— 3 («3 — aj

'*ii6«— "»ilö

'^2> =
**llO» =

**l7» =
"^166 =

= — 2a-

1i6= 105,8 — 91,5 = 18,8

Znstand X^ = — 1
1i» = v'= 1,5

a.

■3(a5— Oe)
2(4^1+^2) = — 91,5

+ 28,1
+ 65,9
+ 96,7

14»
**ll2*

%4c

= + 0,5

1>* + as— Os+a*— «5 = + 0,8
'neb = + 0,8, Tfjj^j = 7]jj = + 0,5

— V — 4ß3— (a, + a,) =_ 9,1

'nsb — 8ß7 — (a8+a4+a5+a6) = — 36,9
•>l7» — Ößs— (a7 + a7 + ae+a5) = — 76,5
Int— 8ß5—(a4+ «3 + 0,+ a,) = — 95,7

= — v'+ai — Oj+Oa = — 0,7

= ^46 —«4+ «6— «6+07 = — 0,8

= '*l4* = — 0,7

= v' +8ß5+ai+a2 + a8+a^= + 20,7
= lö 6 + 8 ß» + «5 + tte + a^ + «7 = + 60, 8

= "»Is» + 8 ß7 + «6 + ag + a^ + Oj = + 88.1

7

1i6* — 1,5» = Sa + 2^1 = 47,1

1

1i6» = — 95,7 + 47,1 = — 48,6

Znstand X^ = — 1
'nic = — v' — v = — 2,1
= — 2v"-8v — v'— 2ß, — a, =— 9,8

--flic — Sße — (aj+a8+a4+a5) = — 30,2

'nee — Ößio — (a6+a7 + «7 + aö) = — 77,0

= 1io«— Sße — («4+03 + «2+ «1) = — 97,9

:v'— V— a, + ttg = + 0,5

^''Is. — «8+ «4— «0+ «6= + 0,5

'nie — a6+a5= + 0,5

•*i 1 1 c — a^ + ttg — a, + a 1 = + 0 , 9

2v" + v' + v+6ß,+ a,+ a,+ a3 = + i7,8

'n^c + Sßs + «4 + «5 + «6 + «7 = + 52,2

•^se + 8ßg + a^ + ttß + a5+ a4 = + 87,1

Au^ben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 455

— 1.7

— 1,7

— 1,7

•»Is. = — v' — v + a, — 0,4-0,-04 =
"^ic ='*i5. +«5 — 0« =

'"11»«= lg«' +«6 — *5~l~"< — «3 =

"Hie. — "»115. = V + 2 v" + So + 2«|<, = 50,7

1

•*ii6c= 0,9 + 50,7 = 51,6.
Die aus den Werthen t) berechneten Grössen

^'^-tS"^"~T'^''')

sowie die in der weiteren Untersuchung gebrauchten Ausdrücke

-'s ^^^ -^« \ ^e
Y^ == Jl^ Xe

sind in der Tabelle II zusammengestellt worden.

M — ^» I -^*
■*2 ^^^ -^« -^6

Tabelle n.

m

jsr.

X,

X,

1^1

Y,

Yt

Y,

1

+ 0,003

+ 0,016

— 0,018

+ 0,019

— 0,013

— 0,015

—

h 0,021

2

— 0,009

+ 0,027

— 0,068

— 0,018

— 0,036

— 0,077

-

- 0,059

3

+ 0,021

— 0,006

— 0,038

+ 0,015

— 0,027

— 0,017

—

- 0,059

4

— 0,033

+ 0,055

— 0,025

+ 0,022

— 0,088

— 0,008

— 0,058

5

+ 0,051

+ 0,181

— 0,081

+ 0,232

1

- 0,130

— 0,030

+ 0,132

6

— 0,064

+ 0,096

- 0,232

+ 0,032

— 0,160

— 0,296

+ 0,168

7

+ 0,094

— 0,081

— 0,104

+ 0,013

+ 0,175

— 0,010

+ 0,198

8

— 0,125

+ 0,121

— 0,125

. — 0,004

— 0,247

0

— 0,250

9

+ 0,156

+ 0,452

— 0,146

; + 0,608

— 0,296

— 0,010

— 0,302

10

— 0,18ö

+ 0,162

— 0,518

— 0,024

— 0,348

— 0,704

+ 0,332

11

+ 0,199

— 0,219

— 0,169

— 0,020

+ 0,418

+ 0,030

+ 0,368

12

— 0,217

+ 0,188

+ 0,225

— 0,029

— 0,405

+ 0,008

— 0,442

13

+ 0,229

+ 0,662

- 0,212

+ 0,891

— 0,433

+ 0,017

+ 0,441

14

— 0,241

+ 0,228

— 0,682

— 0,013

— 0,469

— 0,928

— 0,441

15

+ 0,247

— 0,251

— 0,232

1 — 0,004

1

+ 0,498

+ 0,015

—

h 0,479

177. Spannkräfte in den Stäben der Endscheiben« Für die

Spannkräfte in den Stäben p/, r/, vj, s^', 8^\ 8^\ s^ der rechten End-
•ftcheibe gelten die Formeln

456

Zweiter Abschnitt. — § 17.

IV = — 2Xe, F'a = — Xf, — Xt, — Xcf Tu — ~r-Xa X^ X^
S^' sin 9 = — 5,' sin 9 = + X
5'/ sin 9 = — ^3 ' sin 9 = i (B + F' ) = 0. 5 ^ — X„

wo B den Widerstand der rechten Stütze bedeutet. Die Einflosslinien
für die Spannkräfte V und S der linken Endscbeibe sind die Spiegel-
bilder der Einflusslinien der entsprechenden Kräfte V' und S' der rechten
Scheibe. In der Tabelle III sind die Ordinaten der Linien ftlr F«, F»
und j8'4 zusammengestellt worden. Die 54sin9-Linie und die F^- Linie

Tabelle III.

m

Vu

Vo

;S'4 8in9

m

Vu

Vo

S^ sin 9

1

+ 0,730

+ 0,236

+ 0,251

9

+ 0,279

+ 0,091

+ 0,113

2

+ 0,218

+ 0,695

— 0,282

10

+ 0,072

+ 0,200

— 0,049

3

— 0,221

— 0,679

— 0,205

11

— 0,049

- 0,151

--0,069

4

— 0,630

— 0,196

+ 0,608

12

— 0,113

— 0,047

--0,142

5

+ 0,587

+ 0,189

+ 0,181

18

+ 0,065

+ 0,023

- - 0,045

6

— 0,170

-r0 542

— 0,201

14

+ 0,082

+ 0,050

— 0,018

7

— 0,150

— 0,462

+ 0,137

15

+ 0,005

— 0,001

— 0,001

8

— 0,872

- 0,121

+ 0,375

1

zeigt Fig. 422; vergleicht man sie mit den im I. Bande auf Seite 529
nach dem Näherungsverfahren gewonnenen Linien, so findet man eine
recht gute Uebereinstimmung. Um die Vergleichung zu erleichtern,
haben wir die Geraden, in denen die Punkte der angenäherten Einfluss-
linien liegen, mit eingezeichnet; sie schneiden auf der Senkrechten
durch A die Strecken 0,25, 0,50 und 0,75 ab."*") Als Lasten sind
drei- oder yierachsige Lokomotiven von 1,2"* Badstand und 16' Achs-
druck angenommen worden. Die ständige Belastung beträgt ^= 1,67»
also 3,2' für jeden der Knotenpunkte 2 bis 14 und 2,4' fttr jeden der
Punkte 1 und 14. Den Einfluss des Eigengewichts ermittelt man in
der Weise, dass man

^-, = + 0,20', A^,,=: + 5,41', X, = -f 6,60*

bestimmt und hierauf die Formeln 1 benutzt. Man erhält auf diesem
Wege die folgenden grössten Stabkräfte, denen die nach dem Näherungs-
verfahren gewonnenen in Klammer beigefügt worden sind.

F =

min

V =

max

max

V.=

S^ sin 9

^j. + ^» = — 108,5 — 13,2 = — 122' (— 122')
V.,-{-r,, = -\- 42,2+ 1,4 = + 44« (+450
V>p-\-V., = + 41,8+ 1,0 = + 42' (+48')

= + 42,5+ 5,0 = + 47,5' (+47,5')
^Si Bin 9 = i r= — 61« (—61').

*) Man achte darauf, dass wir im I. Bande die ^Si- Linie, jetzt aber die
i8^iSin9-Linie daiigestellt haben.

Angaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwertbalken, 457

458 Zweiter Abschnitt. — § 17.

Dm üebereinstimmung der genauen und angenäherten Werthe ist
eine ganz vorzügliche, und es folgt daraus ohne weiteres, dass auch die
Of U und D nach dem Nähernngsverfiethren berechnet werden dürfen.
Wir wollen aber trotzdem die genauere Berechnung auch für die übrigen
Stäbe durchführen und noch verschiedene Vergleichungen mit den an-
genäherten Ergebnissen vornehmen.*)

178« Die Spannkräfte in den Diagonalen ergeben sich aus den
Oleichgewichtsbedingungen für die einzelnen Knotenpunkte. Für die
Spannkräfte D^, 2>g, 2>4^ D^' gelten die Formeln

Z>j sin 9 = Do, sin 9 -f X« + X« = D^j sin 9 -}- ^s
D, sin 9 = D03 sin 9 — X« + A"» = D^j sin 9 — Y^
D^'sin 9 = D«4'sin 9 + X. — X, = Do4'sin 9+^4
D5'sin 9 = D05' sin 9 — X« — X* = Dog'sin 9 — 1\.

Die Do-Linien lassen sich nach dem im I. Bande angegebenen Verfahren
ermitteln. Fig. 414 zeigt die Einflusslinien für Do2sin9 und Dos sin 9*

Die übrigen Kräfte D sind durch die Gleichungen bestimmt

Dg' = — D4', D3' = — D5', D4' = — De, u. 8. w.
Dq sin 9 = — D4 sin 9 = D, sin 9 — P,
D7 sin 9 = — D5 sin 9 = D3 sin 9 — P3
Dg'sin 9 = — Dg'sin 9 = D4'8in 9 — P4

U. 8. W.

wo Pj, P3 . . die in 2 oder 8 u. s. w. angreifende Knotenlast be-
deutet. Die Tabelle IV enthält die Ordinaten der Einflusslinien für
alle linkssteigenden Diagonalen. Die D3 sin 9 -Linie ist in Fig. 422
dargestellt worden; sie weicht nur unwesentlich von der im I. Bande
nach dem genäherten Verfahren der Zerlegung des Netzwerks in statisch
bestimmte Theilsysteme gewonnenen ab. Für die mm,D sin 9 ergeben
sich die folgenden Werthe, denen die nach dem NäherungsverÜEÜiren.
gewonnenen in Klammem beigefügt worden sind.**)

*) Herr Professor G. Mehrtene hat in der Deutschen Bauzeitong 1902,.
Seite 75, die von mir im ersten Bande dieses TS^erkes durchgeführte Näherungs-
berechnung als einen ^^unzureichenden Nothbehelf^ bezeichnet und damit nur
gezeigt, dass er selbst die Spannkräfte eines derartigen Systems noch nie genau
untersucht hat.

*'*') Yergl. Band L Seite 589 und 530. Die dort angenommene Belastung
haben wir etwas geändert, indem wir der Einfachheit wegen die Mittelachse des
Tenders an einen Knotenpunkt ruckten.

Angaben über statisch unbestiininte mehrtheilige Fachwerkbalken. 459

TabeUe IV.

m

2>,8m9

D^^n<p

D^SUKp

2>B'sin9 De sin 9

1 1

DjSmtp Dg' sin 9 Dg' sin 9

1

D,oSin9

1
2
8
4
5

— 0,015
+ 0,923

— 0,017

— 0,008

— 0,030

- 0,004

— 0,014
+ 0,890

— 0,029

- 0,020

+ 0,004
+ 0,009

— 0,024
+ 0,825

— 0,018

— 0,019 -0,015

— 0,0181-0,077

— 0,015 — 0,017

— 0,022 — 0,008
+ 0,768 — 0,080

— 0,004

— 0,014

— 0.110

— 0,029

— 0,020

+ 0,004
+ 0,009

— 0,024

— 0,175

— 0,018

— 0,019

— 0,018

— 0,015

— 0,022

— 0,232

— 0,015

— 0,077

— 0,017

— 0,008

— 0,030

6
7
8
9
10

+ 0,704
— 0,010

0
+ 0,010
+ 0,296

— 0,023
+ 0,608

— 0,003
+ 0,013
+ 0,031

— 0,015

— 0,019
+ 0,500
+ 0,019
+ 0,015

— 0,082

— 0,013
+ 0,004
+ 0,392
+ 0,024

+ 0,704
— 0,010

0
+ 0,010
+ 0,296

— 0,023 — 0,015 — 0,032
+ 0,608 — 0,019-0,018

— 0,003 + 0,500 + 0,004
+ 0,018 + 0,019 + 0,892
+ 0,031 + 0,015 + 0,024

— 0,296

— 0,010
0

+ 0,010
+ 0,296

11 +0,030

12 +0,008

13 1+ 0,017

14 + 0,077

15 + 0,015

+ 0,232
+ 0,022
+ 0,016
+ 0,019

+ 0,018
+ 0,175
+ 0,024
— 0,009

+ 0,019 — 0,004

I

+ 0,020
4-0,029
+ 0,109
+ 0,018
+ 0,004

+ 0,080
+ 0,008
+ 0,017
+ 0,077
+ 0,015

+ 0,232
+ 0,022
+ 0,016
+ 0,019
+ 0,019

+ 0,018
+ 0,175
+ 0,024

— 0,009

— 0,004

+ 0,020
+ 0,029
+ 0,109
+ 0,018

+ 0,030
+ 0,008
+ 0,017
+ 0,077

+ 0,004 + 0,015

,«,D, sin 9 = ,^Z>2, sin 9 + D,|, sin 9 = 54,4 + 6,4 = 60,8' (60,0*)

^Dj sin 9 = 47,8 + 5,6 = 58,4' (52,1')
.«.D^ sin 9 = 41,3 + 4,8 = 46,1' (45,5')
«„Dß'sin 9 = 85,5 + 4,0 = 89,5* (39,6')
.«.De sin 9 = 28,1 + 8»2 = 81,8' (31,0')
D^ sin 9 = 22,5 + 2,4 = 24,9' (24,9')
^D^'sin 9 = 17,9 4- 1,6 = lÖ,ö' (20,2')
.«.D/ sin 9= 18,4 + 0,8 = 14,2' (16,8')
Djoßin 9 = 10,2 + 0 = 10,2' (12,4').

ma»'

maae-

max-

179. Die Spannkräfte in der oberen GuAiuag« Man erhält,
da 9 =? 45** ist,

Ol = S^ sin 9 — D3 sin 9

0, = Ol + D/ sin 9 — D4' sin 9 = Oj — 2D4' sin 9

03=0, — 2 Dg' sin 9, 0^=03 — 2D3 8in9, u. s. w.

Tabelle V enthält die nach diesen Formeln berechneten Ordinaten der
0-Linien. In Tabelle VI haben wir diese Linien nach dem Nähemngs-
ver&hren berechnet nnd zwar für eine Lasteinheit von P= 120. Die
angenäherte S^ sin 9-Linie zeigt Fig. 428; die Werthe D sin 9 sind der
Tabelle anf Seite 580 des ersten Bandes entnommen worden; sie
mnssten mit 4 mnltiplicirt werden, da jene frühere Untersuchung die
Lasteinheit P = 80 voraussetzte. Dieses Näherungsverfiahren führt
ausserordentlich rasch zum Ziele und liefert vorzügliche Ergebnisse.
Bei der Berechnung von 0| wurden dieselben Achslasten und Rad-

460

Zweiter Abschnitt. — § 17.

stände angenommen, wie bei der Ermittlung der F, S und D. Die
übrigen Werthe 0 sind für den neuen preussischen Belastuugezug^
(Band I, Seite 388) berechnet worden. Man yergleiche die Figur 422,

S^smf

Flg. 423.

Tabelle V.

*

• m

-0,

-0,

-0,

-0,

-O5

~'(h

-0,

1

0,228

0,236

0,198

0,168

0,160

0,168

0,130

2

0,668

0,686

0,650

0,496

0,468

0,486

0,450

3

1,102

1,054

1,024

0,990

0,770 .

0,746

0,716

4

r- 0,254

1,396

lj352

1,336

1,278

0,928

0,884

5

0,149

0,113

1,649

1,589

1,549

1,513

1,049

6

0,495

0,465

0,401

1,809

1,763

1,733

1,669

7

0,754

0,716^

0,690 J

0,670

1,886

1,848

1,822

8

— 0,128

0,872

0,880

0,88a

0,874

1,874

1,882

9

0,117

0,155

0)939

0,959

0,985

1,023

1,807

10

0,263

0,298

0,341

0,933

0,995

1,025

1,073

11

0,313

0,349

0,389

0,449

0,913

0,949

0,989

12

— 0,003

0,347 .

0,405 .

0,421

0,465

. 0,815

0)873

13

0,054

0,102

0,320

0,354

0,386

0,434

0,652

14

0,087

0,069

0,095

0,249

0,287

0,269

0,295

15

0,087

0,029

0,037

0,067

0,105..

0,097.

0,105.

Aufgaben über statisch unbestimmte mehitheilige Fachwerkbalken. 461

o

04

I!

lA

eo

09

PO

lA

00

C^

•^•^O O »O »ftOOOO.OO 00

I I

I I

I I

Oi

Od

O)

oa -^

00

CO

00
CO

00
CO

CO
CO

1

1

o

1

lA O

•

lA

lA

lA O

kA
00

1 1

t^

t-g

O)

O)

O)

^18

lA

O

lA

O

+

+

1

Od CO lA lA

00 ^ ^

lA

lA 04

I I

00
00

CO
CO

CO
00

CO 00
00 00

tH
C9.

Tl

t4

-

•

•

1

•1

00

00

CO"^
,1H

tH

\

1

"■

lA lA O iA

Tl tH OJ O

+ +

kA
O

»A

O

»A O lA
O G<9 »4

Tl tH ©<

kA
Ol

MI I

t« OÖ- kA
Tl CO 00

kA
CO

kA CO T-4 T^ Tl

00 00 d C«) d

▼-« C4 C«) Ol

^^^^^^^

kA kA kA

t<» C4 O)

kA kA O
iH CM

O)
O
C4

o

04

O)

o

04

t I I I I II

O) CM

-•^ 00 o»
CM CO 00

Od

00

O)

00

Od CM t«

00 t^ T-l

r II i I I 1+ 1

CO
CM

00 -^ tH
04 00 CO

CO

"»-I CO lA
CO kA O

o

+ +

+

kA O kA

oa o CM

kA
CM

kA
CM

*A O kA
CM «^ 00

kA

00

kA

00

I 1 +

^4

00 ■

1

00

1

00 00 CM lA

1 +

1»- t^

kA kA

Od
CM

04

O) 00 Tl w
04 CM CM

+ 1

CM

T-i 00 CO
CM T-i

+

9" q

05^

a- 8-

a a

00 oS

le«

O ^ O cf O cj o ^ o

CM CM CM CM CM

I I I I

CM

462

Zweiter Abschnitt. — § 17.

in der die Einflusslinien für 0| und 0^ abgebildet sind. Alle einge-
klammerten Zahlen sind Ergebnisse der angenäherten Berechnung.
Man erhält

^Oi = ^0,, + 0,, = - 85,4 — 12,2 = — 98* (— 950

^0^ = — 121,0 — 21,8 = — 148' (— 189')

^^Öj = — 157,9 — 29,8 = — 188' (— 187*)

^^0^ = — 184,9 — 36,2 = — 221' (— 221')

^05 = — 204,1 — 89,4 = — 244' (— 245')

^^Oe = — 219,4 — 42,6 = — 262* (— 258')

^A = — 213,2 — 44,2 = — 257' (—254').

180« Die Spannkräfte in der unteren Gurtung wurden mit
Hilfe der Formeln

üi = /S^ sin 9 — i>j' sin 9

U^ = I7i-+ 2>, sin 9 — 2)4 sin 9 = üi + 2 Dj sin 9 — P,
U^= CT, + 2 2)3 sin 9 — P, u. 8. w.
untersucht. Zur Probe wurde U>i noch mittels der Gleichung

^7=^o7— -är. + x, + x

Tabelle VII enthält die Ordinaten der Einflusslinien.

berechnet.
Man findet

Ui = ^üi, + U^, = 70,1 + 9,0 = 79'
U^= 92,7 + 18,6 = 111'
Cr3= 126,1 + 26,6 = 158'
ü;= 147,8 + 33,0 = 181'
U^= 167,1 + 87,8 = 205'
17^=197,7 + 41,0 = 239'
17^=215,9 + 42,6 = 258'

TabeUe VII.

in

U^

ü.

u.

U,

Us

u.

u,

1

0,232

0,202

0,194

0,202

0,164

0,134

0,126

2

— 0,250

0,596

0,568

0,586

0,550

0,396

0,368

8

0,190

0,156

0,936

0,888

0,858

0,824

0,604

4

0,586

0,570

0,512

1,162 '

U18

1,102

1,044

5

0,949

0,089
1,175

0,849
1,129

0,813

1,849

1,289

1,249

6

— 0,233

1,099

1.035

1,443

1,397

7

0,124

0,104

1,320

1,282

1,256

1,286

1,452

8

0,379

0,379

0,373

1,373

1,381

1,381

1,375

9

0,505

0,525

0,551

0,589

1,373

1,393

1,419

10

— 0,025

0,567

0,629

0,659

0,707

1,299

1,361

11

0,089

0,149

0,613

0,649

0,689

0,749

1,218

12

0,171

0,187

0,231

0,581

0,639

0,655

0,699

13

0,154

0,188

0,220

0,268

0,486

0,520

0,552

14

— 0,005

0,149

0,187

0,169

0,195

0.349

0,887

15

0,003

0,038

0,071

0,068

0,071

0,101

0,139

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 463

ISl. Eine sehr schnell zum Ziele führende angenäherte Berechnung
der grössten Gurtspannkräfte ist die folgende. Man ermittle mit Hilfe
der im I. Bande auf Seite 589 abgedruckten Tabelle der grössten
Biegungsmomente den Werth

3fc. 882

-^ = ——=208',

femer den Werth

-K

8F

gr

4,0
1,6-30«

= 45',

h Sh 8-4,0

zeichne über der Stützweite l eine Parabel vom Pfeile 45' und stelle
die ^,taxMp : h'LmiQ nach Band I Fig. 526 durch zwei Parabektücke
und eine gerade Linie von der Länge 0,12 Z==: 3,6"* dar. Dann setze

i ^6 —

-, u. 8. w. Man erhält, Fig. 424:

manO,=- ^ _, ^

0^ = — 253', Oe= — 252', 05= — 244', 0^= — 225*,

03 = — 194', 0, = — 153', Ol = —100',

das sind Zahlen, die von den vorhin ermittelten nur wenig abweichen.

1
1

1 i

^^^

\

i

^y'^i

k

4
«
t

X s

k

§

1

\

5

\

r

21.

^^

^■""••«„^^ 1

'

\

— i

'

[_ '

'

A

Fig. 424.

182. Einfluss einer ungleiohmässigen Erwärmung. Schreibt
man allen Stäben der unteren Gurtung die Temperatur t^, den Stäben
der oberen Gurtung die Temperatur to und den Ständern (r) und
Streben (s u. d) die Temperatur t, zu, so entsteht

JCat

^SJ

8

Sc

EF

2&

s F.

8.

WO 2, 2, 2 sich der Reihe nach auf die untere und die obere Gurtung

und auf die Füllungsglieder beziehen; und ähnliche Ausdrücke erhält
man für X^ und X^.

464

Zweiter Abschnitt — § 17.

Mit Hilfe der Tabelle I findet man nan

S5j5 = 2,0, S5,Ä = 2,0, 2S^8~ — 4,

mithin

J5r., = 0, X„=0

_ _iEF, 2<.4-2t, — 4<.
^K j ;•

1

Für unser Zahlenbeispiel ergiebt sich, wegen F^ = 0,01 qm, s^. = 2,0*"
und &E=2bO*l^

1,25(2«, + 2f« — 40

X..=

194,4

Macht man die wohl am nächsten liegende Annahme

80 erhält man X^t = 0. Nimmt man an: t^ = 0, to = 2b°, «^=5°,
so erhält man trotz der sehr ungünstigen Voraussetzung den vemach-
lässigbaren Werth X^t = 0,2^ Temperaturänderungen spielen also gar
keine Rolle.

IBS. Untersuohimg der Diirchbiegttxigen. Uebtingsaiifgaben.

Wir beginnen mit der Berechnung der Biegungslinie für den in Fig. 425

dargestellten Belastungsfall. Dieser ist so gewählt, dass die vier ver-
schiedenen Theilsysteme möglichst ungleichmässig belastet werden. Der
Strebenzug d^' d^ d^' . . • . wird sogar nur durch das Eigengewicht be-
ansprucht. Die auf die einzelnen Knotenpunkte ent&llenden Lasten
sind, einschliesslich des Eigengewichts, der Beihe nach

11,4' 21,2' 12,2' 3,2* 12,8' 32,0' 12,8' 3,2' 12,2' 21,2' 11,4';

sie erzeugen in den Ständern die mittels der Einflusslinien berechneten
Spannkräfte

r= — 102,0', ^,. = +24,4', F, = 28,8*.

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheiJige Fachwerkbai ken. 465

Die übrigen Spannkräfte sind mit Hilfe der für die einzelnen Knoten-
punkte aufgestellten Gleichgewichtsbedingungen berechnet und in der
Tabelle VIII, Spalte S\ zusammengestellt worden; sie erzeugen die
Längenänderungen

A'« =

JiF

Tabelle Vin.

a) Guitungen und Ständer.

Ol
0^

8
8c

S'

EFc^'s

s

ma»

98
143
Os I 188
04 221

07

V

244
262

257

122
42
44
t

125 1

180 '
275 j
275'
328!
328'
328

0,80
0,56
0,36
0.86
0,30
0,30
0.30

166 0,60

66 1,51

66 1,51

qcm

+
+

73
83
114
178
193
201
207

102
28,8
24,4
t

— 58

— 46

— 41

— 64

— 59

— 60

— 62

— 61
+ 43

+ 37
t

«1

1*4

79
111
153
181
205
239
258

100
140
228
228
260
325
325

Fr

F

EFctis

1,00
0,71
0,44
0,44
0,38
0,31
0,31

Fe = 100 qcm

+ 18
+ 103
+ 136
+ 142
+ 160
+ 192
+ 200

+ 18
+ 73
+ 66
+ 62
+ 61
+ 60
+ 62

b) Diagonalen.

Ommjt' F

86 '1O8

FcV^

8

^' ^'^^^''\ . ^

FrV^

8

Ä'

EFcti'8

F

1,31

8c V^

/2

«c/2 ,

^max X-

F

8c Vi

8cV^

</,

1

+ 53,2 +70 d,'

64 80 1,77

1

- 4,8

— 8

d*

44 55

2,57

2

— 32,0 —16 d^'

64 .80 1,77

2

+ 4,8

+ 17

rfe

44

55

2,57

2

+ 32,0' —16 <■ 28 ,35' 4,04

2

- 1,6

— 13

rf, 14

25

5,66

2

0

0 <

28 35' 4,04

2

+ 1,6

+ ia

'k

76 ; 95

1,49

2

+ 22,2

+ 66 'rfa'

56 70' 2,02

2

— 15,6

— 63

dt

35 44

3,22

2

-10,0

- 64 ^5'

56 70 1 2,02

2

+ 15,6

+ 63

(2, , 35 i 44

3,22

2

+ 10,0

+ 64 W 20 25 , 5,66

2

— 2,8

— 31

rf, 20 26

5,66

2

+ 2,8i +31 d;

20 1 25 5,66

2

+ 2,8

+ 31

s, , 86 115

1,23

0,5

- 51

— 31

,

«j

86 115

1,23

0,5

— 51

+ 31

»»i 67

115

1,23

0,5

— 2.6

2

«1

67

115

! 1,23

0,5

+ 2,6

+ 2 ,

1

Die erste Spalte der Tabelle VIII giebt die absoluten Werthe der für
die Querschnittsberecbnung massgebenden grössten Spannkräfte an, sie
enthält also eine Zusammenstellung der in No. 177 bis 180 berecb-

Müller-BreilftQ, Gnphische SUtik. 11. 1.

80

466

Zweiter Abschoitt. — § 17.

EF,b!s
neten Werthe. An Stelle der A 8 wurden die Werthe bezieh.

EF^L's .

Sc

V2b,

in Tonnen angegeben. Mit Hilfe dieser Zahlen findet man

nun mittels der in No. 175 abgeleiteten Formeln die Verschiebungen

71^ = 0,5.2(31 +2) + 87 + 0,5.61 = 100,5

7jj= 1,5 . 2 . 31 + 0,5 . 2 • 2 — 2 . 2 + 37 + 1,5 . 61 + 2 . 70 — 18

= 280,5
il3=2(— 31 — 2) + 1.5. 2 (81 + 2) + 87— 2 -48 + 0,5. 61 + 2. 66

— (18 + 73) = 85,5
7)4= — 2 . 2 . 31 + 1,5 . 2 . 81 + 2,5 . 2 . 2 — 2 . 2 — 2 . 43 + 87

-0,5-61 + 2 (17 + 8) — (18 + 73 + 66) — 2 . 58 = — 827,5
1)5 = 2 . 2 (— 31 — 2) + 2,5 . 2 (81 + 2) — 2 . 48 + 3 . 37 + 0,5 • 61

+ 2 (63 + 63) — (18 + 73 + 66 + 62) — 2 (58 + 46) = — 56,5
1), = •»),— 12*) + 2 (16 + 16) — (73 + 66 + 62 + 61)

+ 2 (— 58 — 46 — 41 — 18) = — 255,5
Y)^ = 1Q3 — 12 + 2 (64 + 64) — (66 + 62 + 61 + 60)

+ 2 (— 58 — 46 — 41 — 64 — 18 — 78) = — 519,5
7)8 = 7i4— 12 + 2 (13 + 13) — (62 + 61 + 60 + 62)

+ 2 (— 58 — 46 — 4 1 — 64 — 59 — 18 — 78 — 66) = — 1382,5

Fig. 426.

Für irjjg ergiebt sich mit Hilfe des in Fig. 426 dargestellten Belastungs-
falles der allgemeine Ausdruck

11^^=7,5 >^2(A«i + A^,)— 8 /2'A53— 7 "/2As4+0,5/2(A/j—A./4)

— 8 Ar, + 7 Ap,. + 7 Aoi + 6 (Ao, + Ao, + Ao^) + 5 AO5

+ 4 (Aoe + A07 + Ao/) + 3 Ao/+ 2 (Ao/+ Ao/+ Ao,') + Ao,'

— 7 (Awj + A«,) — 6 Amj — 5 (AM4 + AW5 + At/ß) — 4 Aw^

— 3 (Awy' + AUß' + Attg') — 2 A W4' — (Af/3 + Au, + Auj )

+ 0,5/2(A(/3 — A(i5+Arf7 — Ae^e+Arfi, — Arfi3 + Ad,5)

— 0,5/2(A(f/— Ad^+Ac^e'- A(?8'+Arfio'— ^^i2'+^^i4'— ^^le').
Da nun ein symmetrischer Belastungsfall Yorliegt und ausserdem

*) 2 (t^vu — Af>^) = 2 (87 - 43) = — 12.

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 467

A5i = — äkS^, und Aa3 = — A«4 iat, 80 geht die vorstehende Formel
über in

%e= — ÖAt7o+7Ar«+7(+Aoi+Ao2 — Auj— A«4+Ao5+Aoe — Am^)

+ 8(— Awi— Ai/jH- Aoj + A04 — Af/g — Awg + A07)

+ 0,5 V2(+ A(i3- A(iö+ A(i,- Arfj>+ A(?/- Arfß'+Arfj').

Die Einsetzung der Zahlenwerthe liefert

iflje= — 8 • 48 + 7 • 87 -j- 7 (— 58 — 46 — 66 — 62 — 59— 60— 62)

4-8(— 18 — 73 — 41 — 64 — 61— 60 — 62)
. + 0,5 . 2 (+ 66 + 64 + 64 — 81 — 31—63 — 63)

d. i. abgerundet ijie = — 6000.

Der mit u4= 107,2' belastete untere Theil des Endständers, dessen
Querschnitt 180 qcm beträgt, wird um

Ss 107,2.100 ^^„,«-,,

^« = -;7^ = o, * ,^^ = 0,03"-*)

EF 2150-180 ' ^

verkürzt, und es ergeben sich daher die Senkungen 5 der Knotenpunkte
ans der Formel

*-=^G--''"t) + «'"

,03'""
EF. 2150-100

wo

8c 200

Man findet der Beihe nach

8==3,1'"'" 8,5— 10,4"'"' 10,3— 16,5"" 18,4"" 19,7"" 15,4'
und erkennt, dass sich bei den unbelasteten Knotenpunkten 4 und 8 in der

Gurtung Knicke von — (10,4 + 16,5) — 10,8 = 8,2"" bezieh. 19,7

— 15,4 = 4,8"" Pfeil bilden, die bei der kurzen Feldweite genügen,
um in einer gelenklosen steifen Gurtung erhebliche Biegungsspannungen
hervorzurufen. Aus diesem Grunde ist das untersuchte Netzwerk nur
für Träger mit Bolzengelenken zu empfehlen.

Weiter möge noch die Durchbiegung \ für den in Fig. 427 ab-
gebildeten Belastungsfall angegeben werden. Da \ nur von den Längen-
änderungen des den Strebenzug d^^ ^5', d>i\d^ . . . . enthaltenden
Theilsjstems abhängig ist, so wenden wir die Foimel

»3 = 25'^
® EF

auf die wirklichen Spannkräfte S und auf die Spannkräfte S' in Folge

♦) Es wurde für Flusseisen ^=2150000 *^/gf» = 2150 Vje« gesetzt.

80*

468

Zweiter Abschnitt. — § 17.

einer am Theilsysteme in 8 angreifenden Last 1 an. Ersetzen wir
diese Last 1 durch eine Last von der Grösse 8, so nehmen die S' die
in die linke Hälfte der Figur eingeschriebenen Werthe an und wir er-,
halten daher

858=S5'Afi=2[l-Aoi — 7(A08+A<?s+A04+A05)— 15(Aoe+Ao7)

+ 3 (A«i+ Aw, + A1/3) + 1 1 (AK4 + A1/5 + Af/e + A«,)

+ 4 VT (— A(// + Arf/ — A(^e' + ^r'g') — Ar, — 3 Af7,
+ 2 Ar + Y2 (A^i— A«,) — 3 y2 (As»— A«J] + 8,.

H'iH

*f *».

1.45-1.^5-4* fr J*t5-J

n // // // //*

Fig. 427.

ir IT ir ir iT^

Hierin sind Ao, Au, A(^, . . . Mittelwerthe aus den Längen&nderungen
der einander entsprechenden Stäbe der linken und rechten Trägerhälfte.
Beispielsweise erfährt der Stab 0^ durch die angegebene Verkehrslast
und durch das Eigengewicht einen Druck von 75*, Stab 0/ einen solchen

von 65'; wir schreiben also beiden Stäben den Druck— - (75 +65) = 70'

zu. Auf diese Weise sind die in die rechte Hälfte des Trägemetzes
eingetragenen Spannkräfte bestimmt worden. Die f(ir die geneigten

Stäbe angegebenen Werthe sind noch mit r2 zu multipliciren. &, be-^
deutet die Verkürzung des untersten Theiles des Endständers. Man
erhält schliesslich

8g = 23— = — ^ /.
® 1300

Die in Fig. 425 dargestellte Biegungslinie lässt sich durch Hin*
zufügung eines Mittelständers, der mit den ihn kreuzenden Diagonalen
befestigt werden muss, erheblich verbessern. Es werden gewissermassen
die vier Theilsysteme an der Stelle 8 mit einander verbunden und ge-
zwungen, sich bei 8 gleichstark durchzubiegen. Die Berechnung dieses
fünffach statisch unbestimmten Systems ist ziemlich einfach und keines-
wegs zeitraubend, sie sei dem Leser als Uebungsaufgabe empfohlen.
Mit der Anzahl eingeschalteter Ständer bessert sich einerseits die

Aufgaben über statisch unbestimmte mehrtheilige Fachwerkbalken. 469

üebereinstimmaDg der Biegangslinien der Theilsysteme, während anderer-
seits die Schwierigkeiten der genauen Berechnung wachsen.

Als weitere üebnngsanfgaben empfehlen wir die Untersuchung
des in Fig. 429 dargestellten fünffach statisch unbestimmten sechs-
theiligen Netzwerks, dessen Elasticitätsbedingungen sich leicht von

Fig. 428.

Fig. 429.

Fig. 430.

einander unabhängig machen lassen und schliesslich des in Fig. 430
abgebildeten. einfach statisch unbestimmten Systemes, dessen Uauptsjstem
im Band I, No. 228, untersucht worden ist.

§ 18.

Untersuchung der Formreränderung eines riertlielllgen
statisch bestimmten Netzwerks Hehrtens'scher Bauart.

184. Die Besprechung des Verschiebungsplanes des in Fig. 482 darge-
stellten Netzwerks muss ich durch eine Bemerkung einleiten, die sich auf einen
zwischen Herrn Professor G. Mehrtens und mir in der Deutschen Bauzeitung
stattgehabten Meinungsaustausch bezieht.*) Die Veranlassung hierzu gab die im
ersten Bande dieses Werkes an einem mehrtheiligen Fachwerke Mehrtens'scher
Bauart von mir geübte Kritik. Ich hob auf Grund emer allgemeinen Untersuchung
des statisch bestimmten mehrtheiligen Netzwerks und der Berechnung eines Sonder-
falles (I, No. 227) hervor, dass der Schlusssatz einer von Hen*n Mehrtens über
derartige Fachwerke veröffentlichten Abhandlimg in allen Punkten unrichtig sei,
und betonte besonders, dass von dem seitens des Herrn Mehrtens den Netzwerken
semer Bauart zugeschriebenen Vorzuge, alle Lasten gleichmäsaig über das ge-
sammte Stabwerk zu vertheilen, gar keine Rede sein könne. Ich zeigte, dass in
der Diagonale 2), des als Beispiel untei'suchten vtertheiligen Trägers sogar eine
Spannkraft erzeugt wird, die ebenso gross ist, als in der Diagonale eines ehi-

*) Deutsche Bauzeitung 1901, No. 80 u. No. 90 und 1902, No. 12.

470 Zweitor Abschnitt. — § 18-

tbeiligea Systems gleicher Spannweita und wies darauf hin, dass man mit mehr-
theiligen Facbwerten vor allem das Streben nach Yerkleiaerong dar Bean-

spnu^mig der Wandglieder verbinden müsse. Nach einem erfolglosen Versuche,
die Behauptung einer gleiclunässigeD BeanRpruchung seines Stabwerks zu recht-

Formverändenmg eines statisch bestimmten mehrtheiligen Fachwerkbalkens. 471

1' *' a' ♦'

Fig. 4S2.

S's

S's

Smtax

F

8

S'

F

Smax

F

8

S'

F

Ol

111

140

200

— 108

— 154

«1

76

95

200

— 40

— 84

Oi

177

235

200

— 162

— 138

te.

138

175

200

— 14

— 16

09

188

235

200

— 83

— 71

w*

178

225

200

hl77 +157

04

233

325

200

— 80

- 49

M4

230

290

200

-228

--157

Os

257

325

200

-245

— 151

f»

212

290

200

hl42

+ 98

Ofi

302

380

200

— 293

— 154

«•

254

325

200

hll3

-- 70

0,

275

380

200

— 210

— 111

«7

258

325

200

-246

--151

Os

286

380

200

-146

77

Wh

288

360

200

1-281

--156

09

262

880

200

— 248

— 131

«9

233

310

200

1-180

--116

Oio

300

380

200

270

-142

t#,o

248

310

200

hl07

-- 69

Oll

209

285

200

— 159

112

te,i

208

290

200

-190

--181

Ol%

226

285

200

— 68

48

i«it

231

290

200

h209

--144

0,8

138

200

200

— 133

— 133

<*19

102

150

200

h 80

--107

Ou

160

200

200

— 149

— 149

«14

119

150

200

— 40

+ 53

^1*)

53

70

283

+ 38

+ 154

d,o

61

80

566

+ 16

+ 111

566

+ 307

^'n

97

125

566

78

— 853

^«

157

200

566

+ 153

+ 433

rf,j

79

100

566

— 64 j — 362

</>

108

135

566

— 56

— 235

diz

85

115

566

+ 46

+ 226

d.

37

50

566

— 3

— 34

141

+ M

<f5

117

150

566

+ 117

+ 441

du

90

115

424

+ 11

+ 40

^e

48

60

566

+ 34

+ 321

566

+ 54

dl

95

125

566

— 65

— 294

141

— 99

</«

57

80

566

— 39

— 276

dis

142

150

424

105

— 297

d.

96

125

566

+ 72

+ 326

566

— 396

.) Die Spannkraft D ist für eine |^^ Diagonale als ^. posi-
tiv angenommen. Yergl. Band I, Seite 516.

472 Zweiter Abschnitt. — § 18.

fertigen'*'), erklärt Herr Mehrtens schliesslich: „Er habe durchaus nicht an eine
gleichmässige ^/yannikra/'evertheilung gedacht, sondern die konstruktiven Mängel
der ungleichmässigen Formänderungen im Auge gehabt, die daraus entspringen,
dass die einzelnen Theils^'steme der Wand bei den in Yeigleich gezogenen un-
bestimmten Anordnungen die wandernden Einzellasten nicht gleich massig über-
tragen. Bei der übb'chen Zerlegung in Theilsysteme erscheine sogar nur dasjenige
Wandsystem gespannt, in welchem die Knotenlast F liegt; alle anderen IrVand-
systeme seien spannungslos. ^' Mit seinen mehrtheiligen Wandgliederungen be-
hauptet nun Herr Mehrtens, bessere Wirkungen zu erzielen; dass er sich aber
auch in diesem Punkte irrt, beweist der in Fig. 4SI für einen Träger seiner
Bauart (Fig. 432) — dasselbe viertheilige Netzwerk, dessen Beanspruchung in
Band I, No. 227 untersucht worden ist — gezeichnete Verschiebungsplan. Die
beigegebene Tabelle enthält die absoluten Werthe der mittels Einflusslinien und
auf Grund der im Band I angegebenen Belastungen gefundenen grössten Spann-
kräfte S^ femer die Querschnitte und Längen der Stäbe, die Spannkräfte S' in
Folge der in Fig. 432 dai^estellten Belastung (Zugstellung für maxDs) einschliess-

lieh der Wirkung des Eigengewichts und die Werthe JS7A8 = — =7- in t\cm. Das

feste Auflager liegt bei Stütze 0. Die senkrechten Verschiebungen der Knoten-
punkte 1 und 2 wurden mit Hilfe der Fonnel Öss^ä'A« berechnet, ihre wage-
rechten Verschiebungen sind Ami und Aui -|- ^%- ^^^ Bestimmung der Ver-
schiebungen der übrigen Knotenpunkte wurde das Wüliot'sche Verfahren benutzt.
Als Zeichnungsproben standen die Bedingungen zur Verfügung, dass die gegen-
seitige senkrechte Verschiebung der Knotenpunkte 16 und 17 gleich der
Längenänderung des Stabes 16 — 17 und die Senkung des Punktes 17 ^eich der
Verkürzung des Stabes YIB sein muss. Ausserdem wurde die Senkung des
Knotenpunktes 5 nachti-äglich noch gerechnet; sie stimmte mit der zeichnerisch
gefundenen genau überein.

Das Ergebniss dieser Untersuchung ist ausserordentlich ungünstig. Die

grösste Durchbiegung beträgt 43"'", also — -- der Stützweite. Die in Fig. 432

700

dargestellten Biegungslinien der Gurtungen bilden einen Zickzack, gegen den sich
die Knicke in der für das unbestimmte System gefundenen und in demselben
Massstabe gezeichneten IJnie recht winzig ausnehmen. Neun Knotenpunkte be-
wegen sich aufwärts. Die Strecke, um die Punkt 1' nach oben rückt, ist grösser
als die grösste Durchbiegung des vorhin untersuchten unbestimmten Systems. Die
gegenseitige senkrechte Verschiebung der Punkte 1 und 1' beträgt 60"^ d. i.

•j^ der Stützweite. Und ebiönso gross ist auch die gegenseitige senkrechte

Verschiebung der nur 4"* von einander entfernt liegenden Knotenpunkte 8 und 5.
Der erste Knotenpunkt neben dem festen Auflager senkt sich bereits um SO**.
Dies hat eine ganz unzulässige Drehung des Stabdreiecks 0 — 15 — 1 zur Folge
und bewirkt, dass sich der Knotenpunkt 15 um rund 40"^ in wagerechter Rich-
tung verschiebt. Da nun die wagerechte Verschiebung des oberen Endpunktes 0'

♦) S. Deutsche Bauzeitung 1901, No. 80. Dort verlangt Herr Mehrtens,
dass man eine gleichmässige Vertheilung der Lasten immer dann anerkenne,
wenn sämmtliche Stäbe an deren Uebertragung theihiehmen, ohne Bücksicht auf
das Gesetz, das diese Theilnahme regelt und ohne zu i)rüfen, ob hierbei nicht
etwa die grösste Unregelmässigkeit herrscht.

HerleituDg der Biegungslinien aus den Momentenlinien. 473

des Endständers verhältnissmässig gering ist, so zeigt der nur 4"* hohe Endständer
in der Mitte einen KnicJi von rund 35** Pfeil. Beim Anblick dieser beiden
merkwürdigen Biegungslinien wird man unwillkürlich an die bekannte Nürnberger
Scheere erinnert.

Unsere Untersuchung zeigt, dass der in Fig. 432 dargestellte Träger in
jeder Hinsicht eine verfehlte Konstruktion ist. Zu den ungünstigen statischen
Eigenschaften tritt noch — bei der Vergleichung mit dem unbestimmten Netz-
werke — trotz der kleineren Spannweite ein Mehrgewicht von etwa 25 v. H.,
femer der aus der unsymmetrischen Gestalt für Zeichenstube und Werkstatt
entspringende, die Herstellungskosten unnöthig erhöhende grossere Arbeitsaufwand.

§ 19.

Herleltang der Biegungslinien aus den Momentenlinien.

186. Wir schliessen unsere Untersachung des ebenen Fachwerks
mit der Angabe eines Verfahrens: die Biegungslinien in der Weise aus
den Momentenlinien herzuleiten, dass die Ermittlung der Durchbiegungen
für eine Heihe von Belastungsfällen immer nur die Neubestimmung
der Momentenlinie erfordert, während alle von den Querschnittsab-
messungen und Stablängen abhängigen Grössen nur einmal berechnet
werden müssen.

Zu diesem Zweck setzen wir voraus, es seien die Stabkräfte durch
die auf die Knotenpunkte . . . (w — 1), m, (tn -f-l) . . .bezogenen
Angriffsmomente . . . ICi, M^^ i^m+iy • • • ausgedrückt und auf die Form

(1) 8= + ^.-lif^-i + +«3C + +«.+iiL+i + .....

gebracht, unter ^ Wertbe verstanden, welche von dem jeweiligen Be-
lastungszustande unabhängig sind. Es ist dann nach Seite 115 der
Einfluss der Aenderung A« einer Stablänge 8 auf die Gewichte wx

(2) , fr„.i = ^«-lA«, w^ = +»Aä, i^„+i = 4^«+i A«,

Ss
oder, wenn Aä = gesetzt und S mittels Gleich. (1) bestimmt wird:

EF

fll O

w^ = ^."^ (. . . ^^-iM^ + +«lf^ + +^+iiL+i . . ,)

Bildet man auf diese Weise die Beiträge, welche die einzelnen
Stäbe zu den Gewichten w liefern, so gelangt man schliesslich zu Aus-
drücken von der Form:

^m= + h ^ h — 1-

»(iH-l)». "m,m »(■•+1)1»

474

Zweiter Abschnitt. — § 19.

worin die Werthe a von der Oestalt des Fachwerks und den Qner-
schnittsabmessuDgen abhängig sind, nicht aber von dem Belastungs-
znstande.

Anstatt nun die Durchbiegungen mit Hilfe eines Seilpolygons zu
bestimmen, welches mit der Polweite Eins zu den Gewichten w ge-
zeichnet wird, kann man auch in der Weise verfahren, dass man das
Gewicht w^ (und ebenso alle übrigen iv) durch die Gewichte

A»*l-1> ■«*»» ^m + l9

in den Abständen

^{m-l)mt ^(m+l)m

vom Pole 0 ersetzt. Denn die nach den Endpunkten der Gewichte

Mm-i, M^, M^^if gezogenen Strahlen zerlegen fr«, in

die Abschnitte:

öc«t-

(«-1)1

<imm

^'(w+Om

Fig. 488 a.

Fig. 483 b.

Fig. 488 c.

Vergl. Fig. 488^, in der ein von drei Momenten abhängiges Gewicht w
vorausgesetzt wurde. Treten negative Werthe a auf, so werden die
entsprechenden M als negative Gewichte aufgefasst, wie dies die in der
Begel vorliegende Figur 488° angiebt.

Durch die im Vorstehenden beschriebene Aenderung des Eräfte-
zuges ist das gesteckte Ziel erreicht. Die von den Lasten unabhängigen
Werthe a werden ein fUr allemal berechnet, und die Untersuchung
eines neuen Belastungszustandes erfordert nur die Aufzeichnung der
neuen Momentenlinie. Ein Beispiel möge das Verfahren erläutern.

HerleituDg der Bieguagslinien aas den Momentenlinien.

475

186. Zahlenbeispiel* Es liege der in Fig. 485 dargestellte Hauptträger
einer Eisenbahnbrücke von 86"* Spannweite mit 10 Feldern vor.

Die Spannkraft in einem Stabe der oberen Gortung ist (Fig. 484):

M»

0, = -

rm

und die Aendening der Stabiftnge Om bat nur JSinfluss auf »••; sie erzeugt:

AOm OmOm MmOm

Ufm = = —

= +

fm JEFmU'm E FmTm

und man erhalt, mit den in der folgenden Zusammenstellung angegebenen
Querschnittsabmessungen , zunächst für £ = 1 die nachstehenden Beiträge zu
den Gewichten Wx^ w^ tr».

Stab

Om Tm

Fm

Ol

ö,

0%

7,31

7,28
7,20

8,58
4,58
4,92

0,0160
0,0820
0,0320

Wi 85,64 Ml
IT, = 10,77 3f,
fr5= 9,30 ifß

Mf

ter

qm

Dem üntergurtstabe Ur entspricht (wegen ric

, d. i.

= Äifc)

Stab

"4

MkUh

frfc =

EFkhl

Uk

Vk

Fk

7,20
7,20

4,28
4,92

0,0240
0,0820

IT, = 16,88 3f,
«?4= 9,80 3f4

--^•:

Für die Diagonale des m^^ Feldes ergiebt sich:

dm

^- = (±-^ + ^)

wobei die oberen Vorzeichen für eine linkssteigende, die unteren für eine rechts-
steigende Diagonale gelten. Aus der Gleichung für Dm folgt

irm = +

- ■ -^— ^—

hm An»

dm I Dm dm dm

dl

EFmhm Am

— ^dm dm _ -p Dm dm dm

hm~l Am EFmnm-l Am

dl

J Mm —

dl

E Fm^mhm~lhm

dl

E Fm^mhm-lhm

3fi»+

EFm^mhm^X

Mm-l

Mm-

476

Zweiter Abschnitt, t- § 19.

Stab

dm

F-

dx

4,69

0,0210

«»1= 28,61 3fi

rf.

5,59

0,0150

IT, = 49,05 3f,—

• 57,68 Ifi", iTi

— 57,68 if,+ 67,82 Ifi

rf.

5,59

0,0070

fr, 90,99 M^ —

• 97,80 3f,; ir.

— 97,80 3f8 + 105,lllf,

^4

6,10

0,0060

1^4 = 120,591/4 —

- 128,98 Jf,; fr,=

— 128,98 3f4 + 137,95 Jfj

d.

6,10

0,0060

«^5 = 120,59 M^ -

1 20,59 If«; ^»4 =

— 120,59 lf5 + 120,59 3f 4

f. ¥00

Flg. 435.

F — — .^^^ also «i, — — -^ — — ^0^0
Fo-- , also«.,- -^- -— -

= +

Dem linken Endständer entspricht

X

und mit Fq = 0,0160 gm:

%Oi = 14,47 Ifi.

Für den Pfosten mm in Fig. 435 würde man, wenn Km die Belastung des
Knotens m bedeutet, erhalten:

Herleitung der Biegongslinien ans den Momentenlinien.

477

Vm = H" -BT», = Qm+l Qm =

Mm+l — M^ Mm—Mm^

mit

worein zu setzen:

A

AÄm =

EF

im

EF\

(-4/m+l — Z Mm — Mm- l).

Eine derartige ninständliche Berücksichtigung der Längenänderimgen Mi
der Zwischenpfosten ist jedoch (im vorliegenden Falle entbehrlich. Man denke
sich diese Stäbe 'vielmehr beseitigt, zeichne eine Biegungslinie, welche die loth-
rechten Verschiebungen der Knoten 1, 3, 5, 7, 9 der unteren Gurtung und der
Knoten 0, 2, 4, 6, 8, 10 der oberen Gurtung angiebt und beachte schliesslich, dass
sich die Verschiebungen von zwei durch einen lothrechten Stab verbundenen
Knoten um die Längenänderungen dieses Stabes nnterscheiden (vgl. S. 103).

Die Zusammenzählung der an denselben Knotenpunkten angreifenden Ge-
wichte ic ergiebt nun:

tt»i = 35,64 Ifi + 28,61 Jfj - 57,68 Af, + 67,82 M^ + 14,47 M^, d. i.

Wi = 146,55 Ml — 57,68 M^ uiid ebenso:

ir, = — 57,63 Ml -f 170,54 M^ — 97,80 M^

1^8 = — 97,80 Jf, + 239,71 Af, — 128,98 M^

«^4 = - 128,98 Ms + 250,48 if^ — 120,59 M^

iTfi = — 120,59 J/4 + 250,48 Ms — 120,59 M^*)

imd z^'ar gelten diese Werthe f ür ^ = 1 . "Wird beispielsweise ^ = 1 SOOOOQ^/qcm
= 18000000Vgm gesetzt, so sind sämmÜiche w durch 18000000 zu dividiren.

Die Momente M werden zweckmässig mit Hilfe eines Seilpolygons auf
die Form

Mm = Hlfm

gebracht, wo H die Polweite bedeutet. "W^'ird H in Tonnen ausgedrückt, so-
müssen die y im Längenmaassstabe der Trägerzeichnung gemessen und in Metern
ausgedrückt werden. Die Gewichte tr sind Zahlen.

Li unserem Beispiele wählen wir für den Träger den Maassstab 1 : 400 und
für die Durchbiegungen den Maassstab 1:1; femer J5r=135*. Wir müssen
dann in die für die Gewichte w gefundenen Ausdrücke setzen:

400 ^ym

und erhalten:

"* 18000000

wi = 146,55 ^^ - 57,68

und auf dieselbe Weise:

ir, = —

5,78

-\-

ir, = —

y«

3,41

+

«»4 = —

y«

2,58

--

fr6 = —

?/4

2,76

+

ys

ys

1,95
1,39

1,33

ys
1,33

3,41
2,58

ys

2,76

_y«

2,76

1

1000

8yj _

yi ys

1000

2,27 5,78

^6 = —

y» 1 ye

2,76 ' 1,33

.V7

2,76

1^7= —

ye , t/1
2,58 • 1,39

ye

2,58

fr8 = —

yi , ye

3,41 ' 1,95

y9

3,41

M^O — —

y* 1 y9_.

*) Bei Berechnung von tct denke man an den Einfluss von De-

478

Zweiter Abschnitt — § 19.

Die in den Nennern stehenden Zahlen geben die Polweiten a der Gewichte y
in Metern an, sie werden im Maassstabe 1 : 400 aufgetragen.

Nach Eriedigung dieser vorbereitenden Rechnungen, welche für jedes
Fachwerk nur einmal auszuführen sind, ist man im Stande, die Biegungslinien
I, II, III .... für irgend einen Belastungszustand schnell aus dem die Mo-
mentenlinie vorstellenden Seilpolygone abzuleiten.

Die Sichtung der Seite / wird willkürlich angenommen. Mit Hilfe von
yi und y^ wird die Richtung der Seite // festgestellt, hierauf mittels yi, y^, y,
die Richtung von II u. s. w. Man vergleiche Fig. 485^, welche durch wieder-
holte Anwendung des in Fig. 4S3<^ dargestellten Verfahrens entstanden ist und
einer weiteren Erläuterung kaum bedarf. Die Funkte 1, 2, 8, . . . dieser Figur
sind in so grossen Abständen von einander angenommen worden, dass die den
einzelnen Knoten entsprechenden Eräftezüge ym-i, ym^ yw+i gut überschaut
weitien können.

187. Das in No. 184 beschriebene Verfahren zur Ermittlang der

Biegnngslinien gilt auch für den
Fall beliebig gerichteter Süsserer
Kräfte» denn seine Anwendung er-
heischt nur die Bestimmung der
Stabkrttfte mit Hilfe der Angriffs-
momente. Für das in Fig. 436
dargestellte Ständerfachwerk gelten
die in No. 88 und No. 124 abge-
leiteten Formeln, die wir hier noch
einmal übersichtlich zusammenstellen
"«• ««• wollen.

(1) 0^ = —

Ml

Ä« cos ß« '

(2) D, cos 9« = -r^ —

r; ^» = +

iC.i

A«-iCosY^

3/:.,

Ml

3C_i

hm

(8)

(4)

V^ =

m:u

ff

m-l

3C+I
" X.

(Fahrbahn oben.)

gültig fOr Fahr-
bahn oben und
Fahrbahn unten.

(Fahrbahn unten.)

Die Strecken V»,.! und /^"m+i sind durch die Verlängerungen von
Om und Ut^^i bestimmt. Aus den Gleichungen 1 — 4 ergeben sich die
folgenden Einflüsse der Längenänderungen Ao^i Au^t Ac?^, AA^ auf die
Gewichte w„.

h„ cos ß

Arf.

M'm =

— > t^m-l =

t

gültig für die
Biegungslinien
der oberen und
unt. Gurtung.

Herleitimg der Biegungslinien aus den Momentenliaien. 479

Am I nur für die Biegungslinie der oberen

Gurtnng gültig.

w^ = —

M^«. = +

AÄ«Ä „,^.1

M^m+l =

AÄ..

W+1

1

^m-hi^^m I nur für die Biegungslinie der un-

teren Gurtung gültig.

Mit Hilfe dieser Gleichungen ist es möglich, die Gewichte w^ durch
die Momente M* und J/** auszudrücken.

Literatur zum n. Abschnitt.

Mohr, Beitrag zur Theorie des Fachwerks. Zeitschr. des Archit. u. Ing.-Ver,

zu Hannover 1874 S. 509 u. 1875 S. 17. Grundlegende Arbeit, welche

bereits am Schluss unserer Einleitung erwähnt worden ist.
Fr&nkel« Anwendung der Theorie des augenblicklichen Drehpunktes auf die

Bestimmung der Formänderung von Fachwerken u, s. w. Civiüngenieur

1875, S. 121.
Winkler« Beitrag zur Theorie der Bogenträger, Zeitschr. des Archit. u. Ing.-

Ver. zu Hannover, 1879, S. 199.
Mohr, Beitrag zur Theorie der Bogenfachwerkträger. Zeitschr. des Archit. u.

Ing.-Ver. zu Hannover, 1881, S*. 243.
Müller -Breslau, Theorie der durch einen Balken versteiften Kette. Zeitschr.

des Archit. u. Ing.-Yer. zu Hannover, 1881 S. 57 und 1883 S. 347. Enthält

die erste genauere Theorie dieser Trägei-art.
MüUer- Breslau, Theorie des durch einen Balken verstärkten steifen Bogens,

Civiüngenieur 1883, S. 18. Sonderdruck im Verlag von Arthur Felix

in Leipzig.
Müller-Breslau, Influenzlinien für continuirliche Träger mit drei Stützpunkten,

Wochenblatt f. Archit. u. Ing. 1888, S. 858.
Müller-Breslau, Zur Theorie der Versteifung labiler und flexibler Bogenträger»

Zeitschr. f. Bauwesen 1883, S. 812.
Swain, On the application of the principle of Virtual velocities to the deter*

wination of the deflection and Stresses of frames. Journal of the Franklin

Institute 1883, Febr. bis April, S. 102, 194, 250.
Stelzel, Berechnung der Ferdinamlsh rücke in Graz. Enthalten in der Schrift:

V. Gabriely u. "Winter, Ferdinandsbrücke in Graz, Mittheilungen des

Polytechnischen Klubs in Graz 1883.
MüUer* Breslau, Beitrag zur Theorie des durch einen Balken versteiften

Bogens. Zeitschr. f. Bauwesen 1884, S. 323.

480 Literatar zum IL Abschnitt.

Krohn, Der Satz vo7i der Gegenseitigkeit der Verseht ehtifi gen und Auirendung
desselben zur Berechnung statisch unbestimmter Fachwerkträger. Zeitschr.
des Arohit. u. Ing.-Ver. zu Hannover 1884, S. 269. Verwerthet den Max-
weirschen Satz in Verl)indung mit dem Williot'schen Verschiebiingsplan.

Müller-Breslau, Vereinfachung der Theorie der statisch utibesiimmten Bogen-
träger. Zeitschr. des Archit u. Ing.-Ver. zu Hannover 1884, S. 575. Ein
Sonderdruck erschien bei Schmorl u. von Seefeld in Hannover.

Müller^Breslan, Beitrag zur Theorie des Faehwerks. Zeitschr. des Archit. u.
Ing.-Ver. zu Hannover 1885. Enthält die Zurückführung der Einflusslinien
statisch unbestimmter Grössen auf Biegungslinien, ohne hinsichtlich dieser
Grössen eiDSchränkende Voraussetzungen zu machen.

Melan« Beitrag zur Berechnung statisch unbestimmter Stabsysteme. Zeitschr.
des österr. Archit. u. Ing.-Ver. 1884, S. 100.

Melan, Theorie der eisernen Dogenbrüeken im Handbuch der Ingenieurwissen-
schaften, IL Band, IV. Abtheilung. 1888.

Land« Veber die Ermittlung und die gegenseitigen Beziehungen der Einfiuss-
Unten für Träger. Zeigt u. A. die Bestimmung der Festpunkte durch-
gehender Balken mit Hilfe von Biegungslinien (Seite 387, Fig. 368 unseres
Buches). Das von uns in Fig. 189 gegebene allgemeine Gesetz wird von
Land für einige Sonderfälle entwickelt. Zeitschr. f. Bauwesen 1890, S. 165.

Müller-Breslau, Ueber einige Aufgaben der Statik, welche auf Gleichungen der
Clapeyronschen Art führen. Enthält die auf Seite 390 dieses Buches ge-
gebene Lösung der Gleichungen airMr~\'\-'^rMr'\- «r+i -Wr+i = Nr nebst
verschiedenen Anwendungen. Centralblatt d. Bauverwaltg. 1891. Sonder-
druck bei Ernst u. Sohn, Berlin.

Müller-Breslau, Berechnung statisch unbestimmter Auslegerbogenbrücken, Cen-
tralblatt d. Bauverwaltg., 1898.

Druck von Qriznme & Trömel in Leipzig.

Ueberslcht nnd Eintheilung des Werkes

Die Graphische Statik der
Bauconstructionen

von

Heinrich F. B. Müller -Breslau.

Hiervon bisher vorliegend:
Band I:

Zusammensetzung nnd Zerlegung der Kräfte in der Ebene.
Trägheitsmomente und Gentrifngalmomente ebener Quer-
schnitte. Spannungen in geraden Stäben. Theorie der statisch
bestimmten Träger mit Ausschluss der Untersuchung der
Formänderungen. 3. wesentlich vermehrte Auflage 1901.
Mit 541 Textfiguren und 7 lithographischen Tafeln. Brosch.
18 Mk. In Halbfranz geb. 20 Mk.

Band II, Abth. 1:

Formänderung ebener Fachwerke. Das ebene statisch unbe-
stimmte Fach werk. 3. verbesserte Auflage 1903. Mit 436
Textflguren und 7 lithographischen Tafeln. Brosch. 16 Mk.
In Halbfranz geb. 18 Mk.

Band II, Abth. 2, Lieferang 1:

Formveränderung des geraden Stabes. Der Balken auf meh-
reren Stützen. Mit 110 Textflguren und 2 lithograph. Tafeln.
Brosch 3 Mk.

Band II Abth. 2 Liefg. 2 (Schluss von Bd. II, Abth. 2), sowie
Band III (Theorie des Erddrucks, Untersuchung der Stutz-
mauern, Gewölbetheorie, Steinerne Pfeiler und Widerlager)
sollen so bald als möglich nachfolgen.

Als vortrefflich geeignet zur Einführung in die Lehren der
Graphischen Statik ist ferner zu empfehlen:

Die Geometrie der Lage.

Vortrage von

Dr. Theodor Reye.

Abth. I. 4. Aufl. Mit 90 Textfiguren. Broschirt 8 Mark.

lu Halbfranz gbdn. 10 Mark.

Inhalt: Einleitung. 1. Die Methode des Projicirens und Schneidens.
Die sechs Grundgebilde der neueren Geometrie. 2. Unendlich ferne Elemente.
Dos Beziehen der Grundgebilde auf einander. 3. Das Princip der Redprocität
oder Dualität. Einfache und vollständige necke, nseite, nkante u. s. w. 4. Das
Beziehen vollständiger necke, nseite und nkante aufeinander. Harmonische
Gebilde. 5. Projective Verwandtschaft einförmiger Grandgebilde. 6. Curven,
Büschel und Kegel zweiter Ordnung. 7. Folgerungen aus den Lehrsätzen des
Pascal und des Brianchon. 8. Pol und Polare in Bezug auf Curven zweiter
Ordnung. 9. Durchmesserund Axen der Curven zweiter Ordnung. Gleichungen
derselben. 10. Regelnchaaren und Begelfläclien zweiter Ordnung. 11. Pro-
jective Verwandtschaft von Elementargebilden. 12. Involutionen. 13. Me-
trische Relationen von Involutionen. Brennpunkte der Curven zweiter Ord-
nung. 14. Aufgaben zweiten Grades. Imaginäre Elemente. 15. Hauptaxen
und Symmetrie-Ebenen, Focalazen und cyclische Ebenen eines Kegels zweiter
Ordnung. — Conttructions-Aufgaben und Lehrsätze. Harmonische Gebilde. Pro-
jective Verwandtschaft einförmiger Grundgebilde. Curven, Büschel u. Kegel
zweiter Ordnung. Pol und Polare; Durchmesser der Curven zweiter Ordnung.
Das Princip der reciproken Radien. Regeischaaren und Regelflächen. Pro-
jective Elementargebilde; geradlinige Flächen dritter Ordnung. Involutionen.
Brennpunkte der Curven zweiter Ordnung. Aufgaben zweiten Grades. Focal-
azen und cyclische Ebenen von Kegeln zweiter Ordnung. Polvierecke und
Polvierseite von Kegelschnitten Lineare Systeme und Gewebe von Kegel-
schnitten. Lineare Kegelschnitt -Systeme und -Gewebe dritter und erster
Stufe. Das Kegelschnittnetz und die Schaarschaar.

Abth. II. 3. Aufl. Mit 26 Textfiguren. Broschirt 9 Mark.

In Halbfranz gbdn. 11 Mark.

Inhalt: 1. Collineation und Correlation von Grundgebilden zweiter Stufe.
2. Collineare und reciproke ebene Curven. 3. Perspective Lage collinearer
Felder und Bündel. Ausgeartete Collineationen und Correlationen. 4. Col-
lineation und Correlation räumlicher Systeme. .*>. Flächen zweiter Ordnung,
ihre Enseugung und Classificirung. 6. Polarentheorie der Flächen zweiter
Ordnung. Durchmesser, Mittelpunkt und Hauptaxen derselben. 7. Affinität,
Aehnlichkeit und Congruenz ebener Felder. Affine Kegelschnitte. 8. Affinität,
Aehnlichkeit, Congruenz und Symmetrie räumlicher Systeme. Affine Flächen
zweiter Ordnung. 9. Conjective collineare Grundgebilde. Involutorische Col-
lineationen in der Ebene und im Räume. 10. Symbolisches Rechnen mit
geometrischen Verwandtschaften. Vertauschbare Collineationen und Cor-
relationen. 11. Cyclische Collineationen. 12. Harmonische Verwandtschaften,
insbesondere harmonische Projectivitäten und Collineationen. Vertauschbare
involutorische Verwandtschaften. 13. Conjective reciproke Felder. Polare
Felder und Bündel. 14. Conjective reciproke Räume. Räumliche Polarsysteme.
15. Der Axencomplex eines räumlichen Polarsystemes. Coaxiale Flächen zwei-
ter Ordnung. 16. Die Focal curven eines räumlichen Polarsystemes. Confocale

Flächen zweiter Classe und ihre Focalaxen. 17. Weitere Eigenschaften der
confocalen Flächen hinsichtlich ihrer Erümmungslinien, Focalcurven, Focal-
axen, Kreisschnitte und Normalen. 18. Der lineare Strahlencomplex und das
Nullnystem. Durchmesser, Hauptaze und Axencomplex des NuUsystemes.
19. Die lineare Strahl encongruenz. Projective Beziehung des linearen Strahlen-
complexes auf den Punktraum. 20. Die Strahlencongrucnzen, welche durch
collineare BQndel oder Felder erzeugt werden. Raumcurven und Ebenen-
büschel dritter Ordnung. 21. Proiective Beziehungen und Polarität der cubi-
schen Raumcurven und Ebenenbüschel. 22. Gonjugirte Punkte bezüglich einer
cubischen Raumcurve. 23. Bündel cubischer Raumcurven. Invariante Be-
ziehungen cubischer Raumcurven zu Polarsystemen und cubischen Ebenen-
büscheln. 24. Projective Ver'vandtschaft einer Congruenz erster Ordnung und
eines ebenen Feldes. Biquadratische Rogelflächen, erzeugt durch projective
Ebenenbüschel zweiter Ordnung. 25. Geometrische Verwandtschaften zweiten
Grades. 26. Lineare Strahlencomplexe als Träger anderer linearer Gomplexe.
Anhang. Aufgaben und Lehrsätze. Gollineation und Correlation. Flächen
zweiter Ordnung. Polare Felder und Bündel; räumliche Polarsysteme. Pol-
fünfecke und Polsechsecke eines räumlichen Polarsystemes. Der Axencomplex.
die Normalen und der Focalcomplex einer Fläche zweiter Ordnung. Ver-
schiebungssehnen u. Hauptaxe congruenter Bäume und das zugehörige Null-
system. Gubische Raumcurven und geometrische Verwandtschaften zweiten
Grades. Gubische Ordnungscurven eines NuUsystemes oder linearen Strahlen-
complexes Zwei merkwürdige periodische Bewegungen eines starren Körpers.
Lineare Strahlencomplexe und ibre Büschel, Bündel und Gebüsche. Projec-
tive Erzeugung quadratischer Strahlencomplexe.

Abth. 111. 3. Aufl. Broschirt 6 M. In Halbfrauz gbdu. 8 M.

Inhalt: 1. Strahlencomplexe zweiten Grades, erzeugt durch collineare
Räume. 2. Büschel von Flächen zweiter Ordnung; Schaaren von Flächen
zweiter Glasse. Raumcurven und Ebenenbüschel vierter Ordnung erster Art.
3. Projective Beziehungen der /''•-Büschel und der Kegelschnittbüschel. 4. Er-
zeugniss eines F'-Büschels mit einem zu ihm projectiven Ebenenbüschel. Die
vier Hauptarten der ^'-Büschel. 5. Achnliche, concentrisch und ähnlich
liegende Flächen zweiter Ordnung und ihre Normalen. 6. Strahlencongruenzen
zweiter Classe, erzeugt durch collineare Flächen zweiter Ordnung. 7. Flächen
dritter Ordnung, ihre Abbildung auf einer Ebene und die zugehörigen Bündel-
netze. 8. Ebene Gurven dritter Ordnung. 9. Die 27 Geraden und die Kegel-
schnitte der allgemeinen cubischen Fläche. 10. Die zweite Steiner'sche Er-
zeugung der cubischen Fläche. Die Regelfläche dritter Ordnung. 11. Polaren-
theorie der cubischen Fläche. 12. Polaren von Geraden und Ebenen bezüglich
der cubischen Fläche. 13. Die Polhexagder der cubischen Fläche und das
Pentaeder ihrer Kernfläche. 14. Büschel und Bündel coUinearer Räume;
lineare Gomplexe von projectiven Ebenenbüscheln und coUinearcn Bündeln.
Die cubische Raumverwandtschaft. 15. Bündel von Flächen zweiter Ordnung.
16. Das ^"-Gebüsch, seine projective Beziehung auf ein räumliches System
und die Steiner'sche Fläche vierter Ordnung. 17. Besondere Fälle des F*-
Gebüsches. 18. Die Strahl encongruenz zweiter Ordnung zweiter Classe und
die Kummer^sche Fläche vierterOrdnung mit sechszehn Knotenpunkten. 19. Das
F*-Gebüsch mit einer Basisgeraden.

Anhang. Aufgaben und Lehrsätze. TetraSJrale quadratische Strahlen-
complexe. Specielle i^*-Büschel und tetraedrale Gomplexe. Flächen dritter
Ordnung. Die acht associirten Schnittpunkte von drei Flächen zweiter Ord-
nung. Der .F*-Bündel mit Poltetraßder. Das F'-Gebüsch; specielle Flächen
vierter Ordnung. Das F*-Gebüsch mit Poltetraßder. Vertauschbare Col-
lineationen und Corrclationen, und solche, die eine gegebene Gollineation
oder Correlation umkehren.

m%m

Femer erschienen in unserm Verlag:

Die neueren Methoden

der Festigkeitslehre and der Statik der BaDkonstmktionen.

Von Heinrieh F. B. MQIIer-Breslau,

Qeh. Reg.-Bath and Prof. an der Kgl. TechD. Hochschule in Berlin, ord. Mitglied

der Königl. Akademie des Bauwesens.

Zweite Aufl. Mit 188 Textabb. Gr. 8«. Brosch. 7 M. 20 Pf., in Halbfrz. geb. 9M. 20 Pf.

Bekanntlich ein ausgezeichnetes Werkchen, wichtig für jeden, welcher sich
mit dem jetzigen Standpunkte der Festigkeitslehre vertraut machen will.

Das Centralblatt der Bau Verwaltung, Berlin, sagt hierüber In einer Besprechung:
Der mit dem Entwerfen Ton Tragwerken aller Art besohUUgte Ingöiieur wird wohl
ausnahmslos die Werke dieses ausgeMlchnetcn Lehrers und Forschers im täglichen Ohebrauch
haben. Insbesondere möchten wir aber erw&hnen, dase gmns besonders das Jetxt in zweiter
Auflage erschienene Buch: „Die neueren Methoden der Festigkeitslehre u. s. w.** Tonüglich
geeignet cur Einführung in diesen Wissenszweig ist.

HaDdboeh der FDndieroDgsmetliodeo "" """^XülJStTitu^

Zweite, völlig neu bearbeitete Auflage. Grösstes Lex.-8*. Mit 580 Textabbildungen.

Preis broschiei-t 15 M., in Halbfrz. geb. 17 M.

Biese neue Auflage des voi*stehenien anerkannt trefflichen Buches ist völlig
umgearbeitet und steht das Werk somit jetzt wieder auf der Höhe der alier-
neuesten Fortschritte. Die Anzahl der Textbogen hat sich von 12 auf über 20
vermebi't. Bie Anzahl der Abbildungen von 166 auf 580.

Inhalt: Der Baugrund. Die zur Verwendung kommenden Maschinen und Apparate.
Kalk, Cement und Beton. Spundwftnde und Fangedimme, Ausführung; auf Sand und Stein-
sohüttung, auf Betonschüttung, auf Pfahlrost und Schraubenpfihlen, in Caissons und Schwimm-
pfeilem, auf Senkbrunnen, Pneumatische Fundierungen. Gefrierverfkbren. Sicherung gegen
Senkungen und gegen Erdbeben. Kosten der verschiedenen Methoden.

Aug. Bitter,

Oeh. Reg.-Rath und Professor an der Könlgl. Technischen Hochschule Aachen.

Lelirbaeh der Aoalytiseheo Nechanik.

Dritte Auflage. Mit 224 Textiiguren. Brosch. 8 M., geb. 10 M.

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Dritte Auflage. Mit 612 Te.xtfigureu. Brosch. 16 M., geb. 18 M.

Lehrboeii der TeehDiseben Meehanik.

Achte, neu durchgesehene und vermehrte Auflage. 1900. Mit fast 900 Textabbild.

Brosch. 20 M., geb. 22 M.

Feiner von demselben Verfasser:

Elementare Theorie and Bereehuung

Eiserner Dach- nnd BrnekeB-KonstraktioneD.

Fünfte, neu durchgesehene Auflage. Mit 495 Textabbildungen. Gr. 8®. Brosch.

10 M., in Halbfranz geb. 12 M.

Das Gesetz der statischen Momente lässt sich bekanntlich auf einfache
"Weise für Bestimmung der Spannungen benutzen, welche durch Belastung hervor-
gebracht werden. Das Buch behandelt die Resultate dieser Methode, wobei
Aufgabenberechnusgen und Anwendungen auf ausgeführte Konstruktionen der
Natur der Sache nach einen grossen Raum einnehmen. Hierbei sind aiie Arten
von Trägern ausfDIiriicIi und grUndllcli durcligereclineL

1}

T

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