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Full text of "Electricite_et_optique"

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i 


COURS  DE  LA  FACULTÉ  DES  SCIENCES  DE  PARIS. 


COURS  DE  PHYSIQUE  MATHÉMATIQUE. 


.i 


lECTRICITÉ  ET  OPTIQUE 

LA  LUMIÈRE 

ET  LES 

THÉORIES  ÉLECTRODYNAMIQUES. 

LEÇONS  PROFESSÉES  A  LA  SORBONNE  EN  1888.  1890  ET  1899 

266    ■ 

H.   POINGARÉ, 

]M(iin])re  do  ITiistitut, 


DEUXIÈME    ÉDITION,    REVUE    ET    COMPLÉTÉE 


JULES    BLONDIN, 

Agrégé  de  rUiiiversité. 


EUGÈNE    NÉCULCÊA, 

Licencié  es  Sciences. 


% 


PARIS, 

GAUTHlEli-VILLARS,  LMPRIMEUK-LJBRAIRE 

DU     BURKAU     DES     LONGITUDES,     DE     l'ÉCOLE     POLYTECHNIQUE, 
Quai  des  Grands-Augustins,  55. 


AVERTISSEMENT 


Ce  livre  conlienl  le  résinué  dos  locons  (|iio  j'ai  proCcssées 
à  la  Sorl)onne  en  1888,  ou  1890  ol  oa  i8()9.  Mos  cours  i\v. 
1888  et  (le  1890  oui  déjà  été  [)ul)].Lés,  uiais  l'édiliou  étaul 
é[)uiséc,je  uo  crois  pas  iuulilc  de  les  (aire  réiiupriuieravcc^ 
(|uolques  reiuauiouiouLs  et  uiodiliealious.  .Feu  ai  seiileuieut 
suppriuié  (!e  (|ui  se  rapportait  aux  (^\|)rrieuc(^s  do  ITortz  ; 
car  j'ai  eu  Tocc^asiou  de  reveulr  avec^  hoauconp  de  détails 
sur  <;es  expérieucc^s  daus  uue  série  de  lecous  reproduites 
daus  iuou  ouvrag(^  iutitulé  les  OscllUilions  hllcrlriqu.es,  L(^ 
rest(i  dc!  ces  l(u;ous  reuiplit  la  première  parli(*.  du  volume 
où  se  tr()uv(^utex|)osc(\s  les  ihéories  de  A[ax\V(dI  (itde  Hclui- 
holt/  el.  j'y  rapp(vl.l(^  01  oulrc^  li^s  |)rinci|)es  ess(Miti.els  do 
c(dl(\s  crAuipère  (^I.  d(^  Weber.  ('eLl(^  preur)èr(^  |)artie  con- 
lienl doucî  [outc(^  (pii  se  rapporte  à  réie(^!r()dyuami(|ue  des 
corps  en  repos. 

La  seconde  partie  couLi(uiL  mes  lecousde  i8()()([ui  iravaiiout 
])as  eu(M)re  été  pul)!iées,  (U  (|ui  ont  été  rédigées  par 
^f.  .Né(udcéa,  à  (|ui  je  suis  1res  heureux  d'adi'c^sser  ici  tous 
mes  remerci(uueuts.  J'y  c()m[)are  les  dilïereules  théories 
relatives  à  réhiclrodyuami([ue dc^s  corps  eu  uu)uvemeut  el 
dont  hîs  priii(!i()ah^.s  soûl  ccdU^s  (h^,  Hertz,  de  Ijonuil/  <U.  de 
Larmoi*. 

liieu  qu'aucune  de  c:^s  tlioorios  uo  juo  sond)le  entièrement 
satisfaisante,  (diacune  d'elles  contient  sans  doute  une  part 
de  vérité  et  la  comi)araison  peut  être  instructive. 


1  ^  "7  .i~l 


Il  AVERTISSEMENT 

De  toutes,  celle  de  Loi^ent/  me  paraît  (*ellc  (|ui  rend  le 
mieux  compte  des  faits. 

Depuis  que  Fimpression  est  commencce,  sont  venues  les 
expériences  de  M.  Crémieu  qui  peut-être  înodifierorU  eom- 
plètement  nos  idées  sur  i'électrodynamique  des  eorps  eu 
mouvement.  Mais  elles  sont  encore  tro))  récoules  pour  ([u'uu(^ 
théorie  nouvelle  en  ait  pu  sortir.  Elles  seront  (Faillcnirs  pro- 
bablement très  discutées  et  toute  tentative^  pour  eu  lircu* 
une  conclusion  quelconque  serait  prématurée. 


INTRODUCTION 


La  première  fois  qu'un  lecteur  iVançais  ouvre  le  livre  de 
Maxwell,  un  sentiment  de  malaise,  et  souvent  même  de  défiance 
se  mêle  d'abord  à  son  admiration.  Ce  n'est  qu'après  un  commerce 
prolongé  et  au  prix  de  l>eaucoup  d'efforts,  que  ce  sentiment  se 
dissipe.  Quelques  esprits  éminents  le  conservent  môme  toujours. 

Pourquoi  les  idées  du  savant  anglais  ont-elles  tant  de  peine  à 
s'acclimater  chez  nous  ?  C'est  sans  doute  que  l'éducation  reçue 
par  la  plupart  des  Français  éclairés  les  dispose  a  goûter  la  pré- 
cision et  la  logique  avant  toute  autre  qualité. 

Les  anciennes  théories  de  la  physique  mathématique  nous 
donnaient  à  cet  égard  une  satisfaction  complète.  Tous  nos 
maîtres,  depuis  Laphicc  jusqu'il  Cauchy  ont  procédé  de  la  môme 
manière.  Partant  d'iiypothèses  nettement  énoncées,  ils  en  ont 
déduit  toutes  les  conséquences  avec  une  rigueur  mathématique, 
et  les  ont  comparées  ensuite  avec  l'expérience.  Ils  semblent 
vouloir  donner  à  chacune  des  branches  de  la  l?hysiquc  la  môme 
précision  qu'à  la  Mécani([ue  Céleste. 

Pour  un  esprit  accoutumé  à  admirer  de  tels  modèles,  une 
théorie  est  dinicilement  satisiaisante .  Non  seulement  il  n'y 
tolérera  pas  la  moindre  apparence  de  contradiction,  mais  il 
exigera  que  les  diverses  parties  en  soient  logiquement  reliées 
les  unes  aux  autres  et  que  le  nombre  des  hypothèses  distinctes 
soit  réduit  au  minimum. 

Ce  n'est  pas  tout,  il  aura  encore  d'axrtres  exigences  qui  me« 
paraissent  moins  raisonnables.  Derrière  la  matière  qu'atteignent 
nos  sens  et  que  l'expérience  nous  fait  connaître,  il  voudra  voir 


INTRODUCTION 


une  autre  matière,  la  seule  véritable  à  ses  yeux,  ([ui  n'aura  plus 
que  des  qualités  purement  géométriques  et  dont  les  atomes  ne 
seront  plus  que  des  points  mathématiques  soumis  aux  seules  lois 
de  la  Dynamique.  Et  pourtant  ces  atomes  indivisibles  et  sans 
couleur,  il  cherchera,  par  une  inconsciente  contradiction,  à  se 
les  représenter  et  par  conséquent  à  les  rapprocher  le  plus  pos- 
sible de  la  matière  vulgaire. 
'  ^  C'est  alors  seulement  qu'il  sera  pleinement  satisfait  et  s'ima- 

.       „  ginera  avoir  pénétré  le  secret  de  l'Univers.  Si  cette  satisfaction 

r  est  trompeuse,  il  n'en  est  pas  moins  pénil)le  d'y  renoncer. 

I  '  Ainsi,  en  ouvrant  Maxwell,  un   Français  s'attend   à  y  trouver 

I  .  .    '    .  ... 

!  /  un  ensemble  théorique  aussi  logique  et  aussi  précis  ([ue  l'()pti([ue 

j  physique  fondée  sur  l'hypothèse  de  Téther  ;   il   se   [>ré[)are  ainsi 

j  une  déception  que  je  voudrais  éviter  au  Icîcteur  eu   Tavcrtissant 

I  .                        tout  de  suite  de  ce  qu'il  doit  chercher  dans  Maxwell   (M,  de  ce 

I  qu'il  n'y  saurait  trouver. 

\  Maxwell  ne  donne  pas  une  expllcalion  ni(k'a/fiqae  de  rèlectri-- 

\  cité  et  du  magnétisme  ;  il  se  home  à  démontrer  ([ue  cette  expli- 
cation est  possible. 

I  II  montre   également  que  les    phénomèm^s   oplicjues    n<^   sont 

I  qu'un    cas   particulier  des  phénomènes  électronian-nétiv[ues.   1)(^ 

i  '                           toute  théorie  de  l'électricité,  on  pourra   donc  déduire  Inunédia- 

I  tement  une  théorie  de  la  lumière. 

I 

I  La  réciproque  n'est  malheureusement  [)as  vrair  ;  (Tune  (^\pli- 

I  cation  complète  de  la  lumière,  il  n'est  pas  loujours  aisé  d(^  tirer 

;,  une  explication  complète  des  phénomènes  élcctrî<[u<'s.  (](da  n'est 

\     ^  p^s  facile,  en  particulier,  si   l'on    veut  partir  de   la    ihéorie   de 

j  /        '  Fresnel  ;  cela  ne  serait  sans  doute  pas  inipossibb^  ;  mais  on  ucn 

arrive  pas  moins  à  se  demander  si  l'on  ne  va  pas  être  forcé  de 

renoncer  a  d'admirables  résultats  ((ue  l'on  croyait  délinitivenient 

acquis.    Cela  semble   un   pas   en    arrière;   et  beaucoui)    de    bons 

esprits  ne  veulent  pas  s'y  résigner. 

Quand  le  lecteur  aura  consenti  à  borner  ainsi  s(\s  (\spéranc<'s , 
il  se  heurtera  encore  à  d'autres  difficultés  ;  le  savant  anglais  ne 
cherche   pas    a  construire    un    édifice  unique,  définitif  et   l)Ien 
ordonné,  il  semble  plutôt  qu'il  élève  un  grand  nombr(^  de  cons^ 
;  tructions  provisoires  et  indépendantes,  entre  lesquelles  les  coul- 

is munications  sont  difficiles  et  quelquefois  impossibles. 


INTRODUCTION  v 

Prenons  comme  exemple  le  chapitre  où  Ton  explique  les 
attraclious  électrostaticiues  par  des  pressions  et  des  tensions  qui 
régneraient  dans  le  milieu  diélectrique.  Ce  chapitre  pourrait 
être  supprimé  sans  que  le  reste  du  volume  en  devînt  moins  clair 
et  moins  complet,  et  d'un  aure  côté  il  contient  une  théorie  qnl 
se  suffit  à  elle-même  et  on  pourrait  le  comprendre  sans  avoir  lu 
une  seule  des  lignes  qui  précèdent  ou  qui  suivent.  Mais  il  n'est 
pas  seulement  indépendant  du  reste  de  l'ouvrage  ;  il  est  difficile 
de  le  concilier  avec  les  idées  fondamentales  du  livre,  ainsi  que  le 
montrera  plus  loin  une  discussion  approfondie  ;  Maxwell  ne  tente 
même  pas  cette  conciliation^  il  se  borne  à  dire  :  /  haçe  not  heen 
able  io  make  the  nexl  slep,  nanielj/^  to  accoiint  hy  meclianical 
considérations  for  thèse  stresses  in  the  dielectric  ('.>/'  édition , 
t.  I,  p.  ï54). 

Cet   exemple   suflira    pour    faire    coniprendre    ma  pensée  ;   je 
pourrais  en  citer  ])eaucoup  d'autres.  Ainsi,  (pii  se  douterait,  eu 
lisant   les   pag(\s   consacrées  a  la  polarisation  rotatoire   magné 
tique  qu'il  y  a  identité  entre  les  phénomènes  optiques  et  magné- 
tiques ? 

On  n(^  doit  donc  pas  se  flatter  d'éviter  toute  contradiction  ; 
mais  il  faut  en  prendre  son  parti.  Deux  théories  contradictoires 
peuvent  en  edel,  pourvu  (|u'on  ne  les  mêle  pas,  et  qu'on  n'y 
cherche  i)as  h^  fond  des  choses,  être  toutes  d(Mix  d'utiles  instru- 
ments de  r(;clierches,  (;t  peut-êtr(^  la  lecture  d(î  Maxwell  serait- 
elle  moins  suggestiv(^  s'il  n(^  nous  avait  pas  ouvert  tant  de  voies 
nouvelles  divei'gontes. 

Mais  ridée  fondain<Milale  se  trouve  de  la  sorte  un  peu  masquée. 
Kile  Test  si  bien,  que  dans  hi  plupart  des  ouvrages  de  vulgarisa- 
tion, elle  est  le  S(nil  point  (jul  soit  complètement  laissé  de  côté. 

Je  crois  donc  devoir,  pour  (mi  mieux  faire  ressortir  l'impor- 
tance, expli(pier  dans  cc^te  introduction  en  quoi  consiste  cette 
idée  fondamental (\ 

Dans  tout  phénomène  physique,  il  y  a  un  cerlain  nondjre  de 
paramètres  (|ue  Texpérience  atteint  directement  et  (pi'elle  permet 
de  mesurer. 

Je  les  appelle 


VI  INTRODUCTION 

L'observation  nous  fait  connaître  ensuite  les  lois  des  variations 
de  ces  paramètres  et  ces  lois  peuvent  généralement  se  mettre 
sous  la  forme  d'équations  difTérentielles  qui  lient  entre  eux 
les  q  et  le  temps. 

Que  faut-il  faire  pour  donner  une  interprétation  mécanique 
d'un  pareil  phénomène  ? 

On  cherchera  à  l'expliquer  soit  par  les  mouvements  de  la 
matière  ordinaire,  soit  par  ceux  d\m  ou  plusieurs  lluides  hypo- 
thétiques. 

Ces  fluides  seront  considérés  comme  formés  d'un  tvhs  grand 
nombre  de  molécules  isolées  ;  soient  /?^J,  ?n^.,,y  ni^,  les  masses  de 
ces  molécules  ;  soient  x^,  y^,  z-i,  les  coordonnées  de  la  molé- 
cule /?2j-. 

On  devra  de  plus  supposer  qu'il  y  a  conservation  de  Fénc  rgie, 
et  par  conséquent  qu'il  existe  une  certaine  fonction  —  U  des  3/; 
coordonnées  x^,  iji^  .z-i^  qui  joue  le  rôle  de  fonction  des  forces. 
Les  'ip  équations  du  mouvement  s'écriront  alors  : 


(0 


L'énergie  cinétique  du  svstème  est  égale  h  : 

L'énergie  potentielle  est  égale  à  U  et  Téquation  qui  exprime 
la  conservation  de  l'énergie  s'écrit  : 

T  +  U  =  const. 

On  aura  donc  une  explication  mécanique  complète  du  phéno- 
mène, quand  on  connaîtra  d'une  part  la  fonction  des  forces  —  U 
et  que  d'autre  part  on  saura  exprimer  les  3/;  coordonnées 
•^n  Uiy  -•i  ^^  l'aide  de  n  paramètres  q. 

Si  nous  remplaçons  ces  coordonnées  par  leurs  expressions  en 


/;?; 

de 

d\] 
~       d,;  ' 

"h 

dC 

d\} 

rUi 

d% 

de 

dU 
dz, 

INTRODUCTION  vu 

fonctions  des  rj,  les  équations  (i)  prendront  une  autre  forme. 
L'énergie  potentielle  U  deviendra  une  fonction  des  q  ;  quant  à 
Ténergie  cinétique  ï,  elle  dépendra  non  seulement  des  q^ 
mais  de  leurs  dérivées  q^  et  elle  sera  homogène  et  du  second 
degré  par  rapport  à  ces  dérivées.  Les  lois  du  mouvement  seront 
alors  exprimées  par  les  é({uations  de  Lagrange  : 

d     (IT         dJ         du 

:0. 


Si  la  théorie  est  bonne,  ces  équations  (2)  devront  ôtre  iden- 
tiques aux  lois  expérimentales  directement  observées. 

Ainsi  pour  ([u'une  explication  mécanique  d'un  phénomène 
soit  possible,  il  faut  qu'on  puisse  trouver  deux  fonctions  U  et  T, 
dépendant,  la  première  des  paramètres  q  seulement,  la  seconde 
de  ces  paramètres  et  de  leurs  dérivées  ;  que  T  soit  homogène  du 
deuxième  ordre  par  rapport  à  ces  dérivées  et  que  les  équations 
diderentielles  déduites  de  Texpérience  puissent  se  mettre  sous 
la  forme  {2). 

La  réciproque  est  vraie  ;  toutes  les  fois  qu'on  pourra  trouver 
ces  deux  fondions  T  et  U,  on  sera  certain  que  le  phénomène 
est  susceptil)lei  d'une  explication  mécanique. 

Soient  en  effet  U  (r/,,  </,,  ..,,yj,  T  {q\,  y^,...,  q\^;..,,  q,,q,,.--,  ^J 
ou  ])lus  simplement  U  (y  ),  '{'  (y'  ,  </  ),  ces  deux  fonctions. 

()uo  reste-t-il  à  fair(^  pour  obtenir  l'explication  complète  ? 

11  reste  à  trouver  p  constantes  //^p...,  ^fL^^  m^,,]  et  Zp  fonctions 
des  q  : 

?/(yn^2---^'7j.        '\i[<h^^lr"^^l,)>        ^ii'h^'fy^^Jn) 


ou 


a-^i,' 


ou  plus  brièvement 

'f/(y,,,)>     ■K-(7,,)>     6,(-7j 

que  Ton  puisse  considérer  comme  les  masses   et  les  coordon- 
nées 

des  y;  molécules  du  système. 


INTRODUCTION 


Pour  cela  ces  fonctions  devront  satisfaire  à  la  condition  sui- 
vante ;  on  devra  avoir  identiquement  : 


fn 


Comme  le  nombre;;  peut  être  pris  aussi  gmnd  ([U(^  Ton  veut, 
on  peut  toujours  satisfaire  à  cette  condition,  et  cela  d'une  infinité 
de  manières. 


Ainsi  dès  que  les  fonctions  U  (r//,),  T  (//,,<//,)  exist(Mil,  on  peut 
trouver  une  infinité  d'explications  mécani([ues  du  jdiénouiène. 

5/  donc  tin  phénomène  comporte  une  e.vpUvdlion  niècdn'ujue 
complète^  il  en  comportera  une  infinité  d'dfit/'cs  qni  re/idro/it  é^^'^i- 
lement  hien  compte  de  toutes  les  particuUtrités  révélées  pdr  V expé- 
rience. 

Ce  qui  précède  est  confirmé  par  Fliistoire  de  toutes  les  {)arli(\s 
de  la  Physique  5  en  optique  par  exemple;,  Fresned  croit  la  vibra- 
tion perpendiculaire  au  plan  de  polarisation  ;  Nemnanu  hi  iT<»'ard(; 
comme  parallèle  à  ce  plan.  On  a  cherché  h>no-t(Mnps  un  "  oj'pcri- 
mentum  crucis  »  qui  permît  de  décider  entre;  ces  cb^ix  ihéories 
et  on  n'a  pu  le  trouver. 

De  même,  saus  sortir  du  domaine  (\o  réiectricité,  nous  pouvons 
constater  que  la  théorie  des  deux  fluides  et  celb^  chi  llui(b'  unicjue 
rendent  toutes  deux  compte  d'une  façon  égaleme^nl  satisfaisanic 
de  toutes  les  lois  observées  en  électi'ostatique. 

Tous  ces  faits  s'expliquent  aisément  grâce  aux  pi*()j)t'iél('\s  (b's 
équations  de  Lagrange  que  je  viens  de  rappcder. 

Il  est  facile  de  comprendre  maintenant  quelle  est  Yu\r(^  Ibnda- 
mentale  de  Maxwell. 

Pour  démontrer  la  possibilité  d'une  explication  niécaniijne  de 
V électricité,  nous  n'avons  pas  à  nous  préoccuper  de  trouver  cette 
explication  elle-même,  il  nous  suffit  de  connaître  l'expression  des 
deux  fonctions  T  et  U  qui  sont  les  deux  parties  de  l'énergie,  de 
former  avec  ces  deux  fonctions  les  équations  de  Lui^ran^e  et  de 
comparer  ensuite  ces  équations  avec  les  lois  expérimentales. 


INTRODVCTION  i^ 

Entre  toutes  ces  cxplieiilioiis  possibles,  coinnieiit  laire  im 
choix  pour  lequel  le  secours  de  rexpérience  nous  lait  défaut  ? 
Un  jour  viendra  peut-être  où  les  physiciens  se  désintéresseront, 
de  ces  questions,  inaccessibles  aux  méthodes  ])ositives  et  les 
abandonneront  aux  métaphysiciens.  Ce  jour  n'est  pas  venu  ; 
l'homme  ne  se  résigne  pas  si  aisément  à  ignorer  éternellement 
le  fond  des  choses. 

Notre  choix  ne  peut  donc  plus  être  guidé  que  par  des  considé- 
rations où  la  part  de  l'appréciation  personnelle  est  très  grande  ; 
il  y  a  cependant  des  solutions  que  tout  1(^  monde  rejettera  à  cause 
de  leur  l)izarrerle  et  d'autres  que  tout  le  monde  pi'é(erera  à  cause 
de  leur  simplicité. 

Kn  C(^  ([ui  c(>ncern(^  l\'decti'icilé  et  le  magnétisme,  Maxwell 
s'abstient  d(^  faire  aucun  choix.  (]e  n'est  pas  ([u'il  dédaigne  sys- 
téinati([uement  tout  ce  {\ne  ne  peuvent  atteindre  hîs  méthod(^s 
positives  ;  le  iem[)s  (pi'il  a  consacré  à  la  théorie  cinétique  des 
gaz  en  fait  sullisamment  foi.  J'ajouterai  ([ue  si  dans  son  grand 
ouvrage,  il  n<^  (h3V(doppe  au(Uin(^  explication  complète,  il  avait 
antérieununcuit  tenté  d'en  doniu^r  une  dans  un  article  du  Philo- 
soplilcdl  Md^'iizinc.  l/étrangeté  et  la  complication  (U;s  hypothèses 
(pi'il  avait  été  obligé  d(^  fairc^l'avaient  amené  (msiiite  à  y  renoncei'. 

Le  même!  esprit  se  l'etrouve  dans  tout  Touvrage.  (!(*-  qu'il  y  a 
d'(^ss(uili(^l,  c\\st-Ji-dir(^  ce  (|ui  doit  restf'r  connïiun  \\  loutes  les 
Uiéoi'i(^s  (*st  mis  en  lumièr(^  ;  tout  (^<^  ({ui  ne  (N)nvi<Midrait  qu'il 
une  théorl(^  particulière  est  pres([U(^  toujours  passé  sous  sihmce. 
f.e  lecteur  se  trouve  ainsi  (^n  prés(Mic(^  d'une-  foi'me  presque  vich^ 
de  matière  <|u'il  est  d'abord  tenté  de  pr(Mu1re  ])our  une  ombre 
fugitive  et  insaisissable.  iMais  les  eflorts  aux([U(ds  il  est  ainsi 
condamné  hi  l'orcu^it  ;i  penser  (^t  il  finit  par  comjM'endre  ce  (pfil 
y  avait  souvent  d'un  peu  arti(iei(d  dans  les  (Miseml)l(\s  (héoricpu's 
([u'il  admii'ait  auh'cfois. 

C'est  en  él<u.'(rostati(|ue  ([ue  ma  tache  a  ét(''  le  pins  difficile  ; 
c'est  là  surtout  en  eflèt  ([ue  la  pi'écision  fait  d('d'aut.  Un  d(*s 
savants  français  cjui  ont  le  plus  approfondi  l'ccuvre  de  Maxwell 
me  disait  un  jour  :  (f  U\  compi'ends  tout  dans  son  livre,  excepté 
ce  (pie  c'est  qu'une  boule   éU^ctrisée.   n    Aussi    ai-je   cru    devoir 


X  INTRODUCTION 

insister  assez  longuement  sur  cette  partie  de  la  science.  Je  ne 
voulais  pas  conserver  à  la  définition  du  déplacement  électrique 
cette  sorte  d'indétermination  qui  est  la  cause  de  toutes  ses  obscu- 
rités; je  ne  voulais  pas  non  plus,  en  précisant  la  pensée  de  Fau- 
teur, la  dépasser  et  par  conséquent  la  trahir. 

J'ai  pris  le  parti  d'exposer  successivement  deux  théories  com- 
plètes, mais  entièrement  différentes.  J'espère  que  le  lecteur  dis- 
tinguera ainsi  sans  peine  ce  qu'il  y  a  de  commun  a  ces  deux 
théories  et  par  conséquent  ce  qu'elles  contiennent  d'essentiel.  Il 
sera  averti  en  outre  qu'aucune  des  deux  ne  représente  le  fond  des 
choses.  Dans  la  première  j'admets  l'existence  de  deux  fluides, 
électricité  et  fluide  inducteur,  qui  peuvent  être  aussi  utiles  que 
les  deux  fluides  de  Coulomb,  mais  qui  n'ont  pas  plus  de  réalité 
objective.  De  même  l'hypothèse  de  la  constitution  cellulaire  des 
diélectriques^  n'est  destinée  qu'à  faire  mieux  comprendre  l'idée 
de  Maxwell  en  la  rapprochant  des  idées  qui  nous  sont  plus 
familières.  En  agissant  ainsi,  je  n'ajoute  rien  à  la  pensé(^  de 
l'auteur  anglais  et  je  n'en  retranche  rien  non  plus  ;  car  il  importe 
d'observer  que  Maxwell  n'a  jamais  regarde  «  what  we  may  call 
an  electric  displacement  »  comme  un  véritable  mouvemc^it  d'une 
véritable  matière. 

Je  suis  très  reconnaissant  à  M.  Blondin  qui  a  bien  voulu 
recueillir  et  rédiger  les  leçons  que  j'ai  professées  pendant  le 
semestre  d'été  de  1888,  ainsi  qu'il  l'avait  déjà  fait  pour  celles 
que  j'avais  consacrées  à  l'optique  physique. 


PREMIKIIE    PAKTIE 


LES  i:rii:()iiiES  de  Maxwell 


Tlir:()lUK  KLK(:TIl().\LV(iNKTlQUE  Ï)K  LA  LUMIÈRE 


CHAPITRE   PREMIER 


F  0  11  M  u  1. 1^  S  1)1^:  I /  f^:  L 1^:  c  t  ïi  o  s  t  a  t  i  ()  u  e 


1. —  Avant  (r(uilr('pr(;n(lr<'  Tcxposr  des  i(lé(\s  de  CAin'k  Maxwell 
sur  rôlccU'icIlr,  nous  conuiicnccrons  |)ar  résiirncir  rapidement 
les  hypolhèses  londanienlales  <I<'s  théories  aetinilleinent  en  usage 
et  nous  ra|)[)ell(M'ons  les  théorè!n<^s  fi;énér*aux  de  l'électricité 
stati({U(^,  en  introduisant  dans  les  fonnuh^s  les  notations  de 
Maxw<^ll. 

2.  Théorie  des  deux  Jtluîdes,  —  Dans  la  l,héoi'i(ï  des  deu-v 
jliùdes^  l(^s  corps  <[ui  ne  sont  pas  éleetrisés,  <mi  (Tauti'es  ternies, 
([ui  sont  il  r(''lat  nenlr<^  sont  su[)posés  cliargés  d<'-  (piantités 
égales  d'électi'icité  positive  et  (rélectr'i<rité  négativ<^  On  adni<Mi 
(ni  outiM^  ([ue  ces  (piantilc's  sont  assez  grand(^s  pour'  (pi'aueun  [pro- 
cédé (Télectrisation  ne  |)e»'nn*tte  d^Mdfn'ei'  \\  iiit  corj>s  tout(^  son 
électricit('  de  Tune  ou  Tauti-e  (*s|)^c<^ 

3.  — -  Des  expériences  de  ('oulonil)  et  de  la  délinition  d<.'s 
(piantilés  d'él(M'tricit(%  il  résulte  (|ue  (i<Mix  cor'ps  placés  dans  l'air 
et  (diargés  de  <piaiilités  ///  et  m'  d\dectr'icllé,  exer<^ent  entr(^  (urx 
une  forcer  doniu'e  par  Texpi-ession 


(0 


V 


funv 


où   /'  désio:n( 

o 


distanc(i  d(^s  d(Mix  coi'[)s  éleetrisés,  supposée 
très  grandes  pai'  rapport  aux  dimensions  d(^  ces  corps.  Hue  valeur 
négative  de  I^'  indicjm^  un(i  répulsion  entre  les  corps  ;  à  une  va- 


4  FORMULES  DE  L'ELECTROSTATIQUE 

leur  positive  correspond  une  force  attractive,  f  est  un  coefficient 
numérique  dont  la  valeur  dépend  de  l'unité  adoptée  pour  la 
mesure  des  quantités  d'électricité. 

4.  Théorie  du  ûuide  unique.  —  Dans  la  théorie  du  fluide 
unique,  a  laquelle  se  rattache  la  théorie  de  Maxwell,  un  corps  à 
Tétat  neutre  est  supposé  contenir  une  certaine  quantité  d'élec- 
tricité positive.  Quand  un  corps  contient  une  quantité  d'électricité 
positive  plus  grande  que  cette  charge  normale,  il  est  dit  chargé 
positivement  ;  dans  le  cas  contraire ,  il  est  chargé  négative- 
ment. 

Pour  expliquer  dans  cette  théorie  les  attractions  et  les  répul- 
sions électriques,  on  admet  que  les  molécules  d'électricité  se 
repoussent,  que  les  molécules  de  matière  se  repoussent  égale- 
ment, tandis  qu'il  y  a  au  contraire  attraction  entre  les  molécules 
d'électricité  et  les  molécules  de  matière.  Ces  attractions  et  ces 
répulsions  sont  d'ailleurs  supposées  s'exercer  suivant  la  droite 
qui  joint  les  molécules  et  en  raison  inverse  du  carré  de  la  dis- 
tance. 

Dans  ces  conditions,  la  quantité  d'électricité  positive  contenue 
dans  un  corps  à  l'état  neutre,  doit  être  telle  que  la  répulsion 
qu'elle  exerce  sur  une  molécule  électrique  extérieure  au  corps 
soit  égale  à  l'attraction  exercée  sur  cette  molécule  par  la  matière 
du  corps. 

5.  Expression  de  la  force  électrique  dans  la  théorie  du 
fluide  unique.  —  Les  forces  qui  agissent  entre  deux  corps  élec- 
trisés  sont  alors  au  nombre  de  quatre  :  celle  qui  s'exerce  entre  les 
charges  électriques^,  la  répulsion  de  la  matière  qui  constitue  les 
corps,  enfin  les  deux  attractions  qui  ont  lieu  entre  l'électricité 
qui  charge  l'un  des  corps  et  la  matière  qui  forme  l'autre.  Si 
nous  désignons  par  7*  la  dislance  qui  sépare  les  corps,  par  jjl 
et  p.'  leurs  charges  électriques  respectives,  et  par  v  et  V  leurs 
masses  matérielles,  nous  aurons  : 

Pour  la  force  s'exerçant  entre  les  masses  matérielles. 


THÉORIE  DU  FLUIDE   UNIQUE 

pour  les  attractions  entre  l'électricité  et  la  matière, 


pour  la  répulsion  entre  les  charges  électriques, 


La  résultante  de  ces  forces  sera 


■  cfW  +  ?  (v[a'  +  v'ij.)  —  yiii. 


ou 


(=)F=-^[.(.-f)(,-f)+w(,-il)]. 

Telle  est  l'expression  générale  clc  la  force  qui  s'exerce  entre 
deux  corps  électrisés.  Cette  force  doit  se  réduire  à  l'attraction 
newtonlcnne,  quand  les  corps  considérés  sont  a  l'état  neutre. 
C'est  ce  qui  aura  lieu  si  la  charge  normale  d'un  corps  à  l'éiat 

neutre  a  pour  valeur  — ^  et  si,  puisque  la  force   doit  être  attrac- 
T 

tivCj   on  a  a  <-^  • 


6.  —  Si  nous  désignons  par  /?i  l'excès  de  charge  d'un  conduc- 
teur élcctj'isé  sur  sa  cliarge  normale  li  l'état  neutre,  la  formule  {'2) 
devient 

r  =  —  r  — :^ h    "^ a 


1       /  ^'^ 


Elle  se  réduit  à  la  formule  (i)  quand  on  laisse  de  coté  l'attrac- 
tion newtonicnne.  La  théorie  du  fluide  unique  conduit  donc 
pour  les  attractions  et  Jes  lépulsions  électriques  à  la  même 
expression  que  la  théoi'ie  des  deux  fluides.  Toutes  les  consé- 
quences de  la  formule  (  r)  subsistent  par  conséquent  dans  la  théorie 
du  fluide  unique. 


6  FORMULES  DE  L'ÉLECTROSTATIQUE 

1.  Unité  électrostatique  de  quantité.  —  Par  le  choix  d'une 
unité  convenable  de  quantité  d'électricité,  on  peut  faire  en  sorte 
que  le  coefficient  numérique  f  de  la  formule  (i)  devienne  égal 
à  I.  L'unité  de  quantité  ainsi  choisie  est  V  unité  électrostatique 
de  quantité  d' électricité  ;  c'est  la  quantité  d'électricité  qui,  agis- 
sant sur  une  quantité  égale  placée  àajis  Vair  à  l'unité  de  distance, 
exerce  sur  elle  une  force  égale  à  l'unité  de  force. 

On  a  alors  pour  la  valeur  de  la  force  qui  s'exerce  entre  deux 
masses  électi^ques  m  et  vt!  placées  dans  l'air  à  une  distance  /•, 

(3)  F==— ^. 


8.  JPotentieL  Composantes  de  la  force  électrique.  —  On 
appelle  potentiel  en  un  point,  le  travail  de  la  force  électrique 
agissant  sur  l'unité  d' électricité  positive  quand  celle-ci  ça  du  point 
considéré  à  V infini. 

Dans  le  cas  particulier  où  les  masses  électriques  sont  distri- 
buées dans  l'air,  le  potentiel  a  pour  valeur  \  — '~  ,  /-.  étant  la  dis- 
tance du  point  considéré  a  la  masse  m.;  et  la  sommation  s'étendanl 
à  toutes  les  masses  électriques  du  champ. 

Nous  désignerons  par  A  le  potentiel  en  un  point  P,  pour  nous 
conformer  aux  notations  de  Maxwell. 

Si  en  P  se  trouve  une  masse  électrique  égale  à  m' ,  les  compo- 
santes suivant  trois  axes  de  coordonnées  de  la  résultante  des 
actions  électrostatiques  qui  s'exercent  sur  P,  sont, 

/  d'h  ,  d'I  ,  d6 

a:r  ,  df/  dz 

9.  —  Si  on  suppose  le  point  P  à  Tintérieiir  d'un  conducteur 
homogène  et  en  écpilibre  électrique  la  résultante  des  actions 
électrostatiques  qui  s'exercent  sur  ce  point  doit  être  nulle,  car 
autrement  l'écjuilibre  serait  détruit.    Les  dérivées  partielles  du 

.        .  ,     4        d'h        d'I 
potentiel,  -— .,  — ^-  ,  --i-    sont  donc  nulles  ;  par  surte  le  poten- 
tiel est  constant  à  l'intérieur  du  conducteur. 


FLUX  DE  FORCE.  ■—  THÉORÈME    DE   GAUSS 

10.  JPiizx  de  force.  —    Considérons    un    élément    c 
cho  et  par  un  point  G  (fig.  i)  de  cet  élément  menons  1: 
normale  GN  dans  un  sens  quelconque  que  nous  prendrons 
sens  positif.  Une  masse  d'électricité  égale  à 
l'unité  située  en  ce  point  sera  soumise  à  une 
force  GF  dont  la  projection  sur  GN  a  pour 
expression 


dx 


djj 


d^ 


'i  étant  le  potentiel  en  G,  et  a,  ji,  y  les  cosinus  directeurs 
demi-normale  GN.  Cette  expression  peut  encore  s'écrire 

du 

dn    désignant  une   longueur  infiniment  petite  GG^  portée  dan^. 
le  sens  positif  de  la  normale  et  d^h  la  variation  du  potentiel  quand 
on  passe  du  point  Cx  au  point  G^ 
Le  produit 

d'I 


dn 


diù 


de  cette  force  par  l'élément  de  surface  r/co  est  ce  que  nous 
appellerons  le  /Iilt  de  force  à  Ircn^ers  Vêlement  r/co.  hi}  flux  de 
force  à  travers   une   surface  finie  sera  la   valeur   de  Tintégrale 


d^ 
dn 


dio 


étendue  à  tons  les  éléments  de  la  surface. 


11.  Théorème  de  Gauss. —  Lorsque  la  surface  est  fermée  la 
valeur  absolue  de  cette  intégrale  est  47tM,  M  désignant  la  quantité 
totale  d'électricité  libre  contenue  à  l'intérieur  de  la  surface  ; 
quant  au  signe  il  dépend  du  choix  de  la  direction  positive  de  la 
normale.  Si  l'on  convient  de  prendre  pour  direction  positive  de 
la  normale  en  un  point  de  la  surface  celle  qui  est  extérieure  à  la 


8  FORMULES  DE  L'ÉLECTROSTATIQUE 

surface,  le  flux  a  pour  valeur  4'^M  ;  on  dit  alors  que  le  flux  6^07'^de 
la  surface.  On  peut  donc  énoncer  le  théorème  suivant  : 

Le  flux  de  force  qui  sort  d'une  surface  fermée  à  V intérieur 
de  laquelle  se  trouve  une  quantité  d' électricité  libre  M  est  égal' 
à  +  47wM. 

12.  Relation  de  F*  ois  s  on. — .11  existe  entre  la  densité  élec- 
trique cubique  p  en  un  point  d'un  corps  élcctrisé  et  les  dérivées 
secondes  du  potentiel  en  ce  point  une  relation  importante  due 
à  Poisson.  Elle  s'obtient  très  simplement  en  écrivant  que,  d'après 
le  théorème  précédent,  le  flux  de  force  qui  entre  à  travers  un 
parallélipipède  rectangle  infiniment  petit,  de  cotés  dx,  dy ,  d.z, 
contenant  le  point  considéré  est  égal  à  —  4"^?  ^•^'  ^^V  ^^^"  ^^^  *^ 
alors 

d'^l        d'à        dVj 
-^^  +  7^  +  ^=-^"?- 

Maxwell  désigne  le  premier  membre  de  cette  relation  par 
—  A^'i,  notation  qui  se  rattache  à  la  théorie  des  quaternions  dont 
Maxwell  fait  d'ailleurs  un  usage  constant.  Nous  continuerons  à 
désigner  cette  somme  de  dérivées  secondes  par  la  notation  habi- 
tuelle A'i. 

Le  potentiel  étant  constant  à  l'intérieur  d'un  conducteur,  on 
a  A'|==o  et  par  suite,  d'après  la  relation  de  Poisson,  p  =  o.  A 
l'intérieur  d\in  conducteur,  il  n'y  a  donc  pas  d'électricité  libre. 

Une  autre  conséquence  de  la  relation  de  Poisson  est  qu'en 
tout  point  du  diélectrique  où  il  n'y  a  pas  d'électricité  libre  on 
a  A'L  =  o.  Par  conséquent,  le  potentiel  est  une  fonction  cons- 
tante à  l'intérieur  d'un  conducteur,  tendant  vers  zéro  à  l'infini 
et  telle  que  l'on  a  A»!/ =  o  en  tout  point  non  électrisé  d'un  dié- 
lectrique. 

13.  Flux  d'induction.  —  Lorsque  le  diélectrique  qui  sépare 
les  conducteurs  est  un  corps  autre  que  l'air,  les  phénomènes 
électriques  mesurables  changent  de  valeur.  Aussi  a-t-on  été 
conduit  à  introduire  dans  les  formules  un  facteur  que  l'on  appelle 
pouvoir  inducteur  spécifique  du.  diélectrique.  Maxwell  le  désiguc 
par  K. 


POTENTIEL  DU  A    UNE  SPHÈRE  ÉLECTRJSÉE 

Le   produit  du   flux  de   force  élémentaire    par  ce  facteu 
nommé  flux  d'induction. 

Le  jlîtx  d'induction  à  traders  une  suj-face  finie  est  la  valeii 
l'intégrale 

an 


étendue  à  tous  les  éléments  de  la  surface.    Quand  la  surfac 
fermée   nous   admettrons  (ce   que  Texpérience  confirme)  q 
valeur  de  cette  intégrale  est  ~\-  ^r^  M,  la  direction  positive 
normale  étant  extérieure  à  la  surface.  Dans  le  cas  où  le  p 
inducteur  spécifique  est  constant  on  a 


—±-  du)  -~  At,  m. 
an 


14.  Potentiel  d'une  sphère  èlectrisèe  en  un  point  extérieur.— 
La  considération  du  (lux  de  force  permet  de  trouver  facilement  la 
valeur  en  un  point  P  (flg.  :>.)  du  poten- 
tiel rcsultarvt  d'une  sph<'ro  conductrice,  \^ 
clectriscc  S  placée  dans  l'air.  On  trouve  \ 

M      , ,    , ,  .  1        s 

pour  cctle  valeur   —  ,  Al  désignant  la 


charge   do    la   sphri'e   et    /■   la   distance 

du  point  au    c(miIi'('    d('.   la    s[)liri'e.  De  / 

même  la  considération  du  llux  d'indue-  / 

tion  doiuH^  la  valeur  du   pot(^ntiel  en  I* 

(juand    la   splicre    est  placé('.    dans    un 

<liélectri(pie     hom()g('n(i    dont    1<;    pouvoir    inducteur    spccilique 

est  K. 

Du  centre  ()  cîe  la  sjdîcrc  vt  avec  nn  rayon  égal  <à  OP  décrivons 
un<'  sphère  S'.  Par  raison  de  syniéli'ie,  le  [)()tentiel  a  la  même  va- 
leui*  en  tout  point  de  S';  par  suil(% 

d'b  _  d6 
(in  (Ir 


10  FORMULES  DE  VÉLECTROSTATIQUE 

est  constant  sur  cette  surface.  On  a  donc  pour  le  flux  d'induction 
à  travers  S^ 

I    —  K  -y^  a  Cl)  =  —  K  ~~     I    rao  =:  —  K  — -—  ù^T.r- . 
I  an  dr     j  ar 


La  surface  étant  fermée  le  flux  d'induction  est  éo^al  à  iTiM.  Par 
conséquent  nous  avons 

dr 


ou 


et  par  suite 


ï    M 

<h  - 


K 


la  constante  d'intégration  étant  nulle  puisque  le  potentiel  a  pour 
valeur  zéro  quand  /'  est  infini. 

Le  potentiel  en  un  point  d'un  diélectrique  de  pouvoir  induc- 
teur spécifique  K  est  donc,  dans  le  cas  d'une  sphère,  égal  au 
f[uoticnt  par  K  de  la  valeur  qu'aurait  eue  le  potentiel  en  ce  polnl 
si  le  diélectrique  eut  été  l'air.  11  en  est  encore  ainsi  si,  au  Heu 
d'une  sphère  conductrice  élecLrlsée,  le.  chain|)  éh*ctrl([ue  est 
constitué  par  des  masses  électrupies  quelconques. 

15.  Uhmaiiquhs.  —  Cetle  consé([uenc(^  nous  pei met  de  tr()uv<'r 
l'expression  de  la  force  qui  s'exerce  entre  deux  molécules  éhn-- 
triques  A  et  A^  de  niasses  ?}i  et  /;/■  situées  dans  un  diéhuîtricpu' 
homogène,  l^^n  ellet,  soit  6  la  valeur  du  potentiel  au  point  où  s<' 
trouve  placée  la  niasse   /}i\  La  lorce  électri([ue  cjui  s'(^\erce  sur 

cette  masse  est  — Di^  —r~,  /'  désin;nantla  distancer  des  chnix  moh'^- 
dr  ^ 

cules  sLq)posées  seules  dans  le  champ.  Or  si  le  diéh^-tricpie  était 
l'air,  le  potentiel  au  point  A^  serait  —  ;  sa  valeur  dans  un  diéhic- 
trique  de  pouvoir  inducteur  spécifique  K  est  donc,  d'après  ce  qui 


EXTENSION  DE  LA   RELATION  DE   POISSON 

précède,  -z-^ et  la  denvee  de  cette  quantité  est ~ — - 

^  K     ;•  ^  Iv   7- 

suite,  nous  obtenons  pour  la  force  électrique 

,  (Il 


o 


ctr         K      /•-    ' 

elle  est  la  K^'  partie  de  la  force  qui  s'exercerait  entre  les  mèn 
masses  électriques  situées  clans  l'air. 

La  relation  qui  existe  entre  les  valeurs  que  prend  le 
en  un  même  point  suivant   que  le  diélectrique  est  Pair 
autre  corps,  permet  de  savoir  comment  doivent  varier  le 
avec  le  diélectrique  pour  que  le  potentiel  en  un  point  c», 
la  même    valeur    quel  que  soit    le   diélectrique.    Il   est  en 
évident  que,  puisque  pour  des  charges  identiques  le  potentlu 
trouve  divisé  par  K,  il  faut,  pour  avoir  le  môme  potentiel  en 
point,   que  les  charges  situées  dans  le  diélcctri([ue  de  pouA. 
inducteur  K  soient  K  fois  plus  grandes  que  dans  l'air. 

Si  donc  nous  considérons  deux  petites  sphères  électrlsées  et 
que  nous  mainlenions  constante  la  diderencc  de  potentiel  entre 
ces  deux  sphères,  raUraction  qui  s'exercera  entre  elles  sera  pro- 
portionuelle  au  pouvoir  inducteur  du  diélectrique  qui  les  sépare. 
I^^n  edet,  les  poLenLiels  étant  constants  les  charges  m  et  /;//  des  deux 
sph(M"es   seront   en   raison   directe  d(^  K  et  lattraction  doit   être 

,,     ,    nim! 
proportionnone  a  —y; — 

Ainsi  Callrciciioii  èleclrostatique  varie  en  raison  direcle  de  K 
,s7*  re  sont  les  po/en/ie/s  ////'on  nKiintient  cons(/tnts,  cl  en  raison 
inverse  de  K  ,s'/  ce  sonJ  les  clicirs^es  (ji/i  denie//ren(   conslanles. 

16.  Extension  de  la  relation  de  Poisson.  —  C.omme  nous 
l'avons  dit,  la  relation  de  Poisson  s'ohtient en  écrivant  (|ue  lellux 
de  force  ([ui  entr(^  à  travers  U^s  laec^scriui  [)arallélipipèdc  rectangle 
est  égal  il  — /i7zpd.vd//dz.  Le  Ihix  d'induction  à  travers  une  surlace 
fermée  étant  égal  il  -|-  /[TtM,  comme  le.  Hux  d(^  force  ii  travers 
cette  siu'lace,  nous  ti'ouverons  uru*  rc^lation  analogue  il  celle  de 
Poisson  en  écrivant  cpu^  lo  llux  d'induction  (jui  entre  à  travers  les 
faces  d'un  parallélipipède  élémentaire  est  égal  ii  —  ^izpd,rd(/d.z. 

Nous  pouvons  d'ailleurs  arriver  très  simplement  Ix  cette  rela- 
tion en     nous   servant    du   Icmme    ([ul    sert   ordinairement    ii   la 


12  FORMULES  DE  IJ É LE CTRO STATIQUE 

démonstration  du  théorème  de  Green,  lemme  exprimé  analyti- 
quement  par  l'égalité 

dans  laquelle  la  première  intégrale  est  étendue  à  une  surface 
fermée  et  la  seconde  au  volume  limité  par  cette  surface,  a  dési- 
gnant le  cosinus  de  l'angle  formé  par  l'axe  des  x  et  la  normale 
à  l'élément  <fco  de  la  surlace  et  F  une  fonction  quelconque,  mais 
continue,  des  coordonnées. 

Appliquons  ce  lemme  à  l'intégrale  du  flux  d'induction  à  travers 
une  surface  fermée. 


-f-^i4. 


_Kf  .„=/ -K(.J+?f +.§),<...  ==4.M. 


Nous  avons 


■      cil     ,  l     (l   .r  d'h 

dx  I     dx       d.v 


,,    d'h     ,  i     d    .,  dà 


et  en  ajoutant 


f     \  dx        dx  dj/         dij         dz        dz  j 

Si   nous  désignons  par  o  la  densité  cubiciuc   en   cIkkiiic   point, 
nous  avons 


\ 


EXTENSION  DE  LA  RELATION  DE  POISSON  i^ 

et  par  suite, 

//  d    ^^  d'h     ,      d    T.  d'I  d   ^,  d6\  ,  r    . 

Cette  égalité  ayant  lieu  quel  que  soit  le  volume  considéi"' 
sera    vraie    pour    un   volume    infiniment  petit  ;    nous    ol 
donc 

Dans  le  cas  particulier  où  le  diélectrique  est  homogène 
à-dire  dans  le  cas  où  K  ne  dépend  pas  des  coordonnées,  * 
relation  se  réduit  à 

jLd     dx    dx  '  ^   ' 


CHAPITRE   il 

THÉORIE  DU  DÉPLAGEMENÏ  ÉLECTRIQUE  J3E  MAXWELL 


n.  Fluide  inducteur.  —  La  caractéristique  de  la  théorie  clc 
Maxwell  est  le  rôle  prépondérant  qu'y  jouent  les  diélectriques. 
Maxwell  suppose  toute  la  matière  des  diélectriques  occupée  pijr 
un  fluide  élastique  hypothétique,  analogue  à  Vélher  qui,  en 
Optique,  est  supposé  remplir  les  corps  transparents  ;  il  rappelle 
èlectricilé.  Nous  verrons  par  la  suite  la  raison  de  cette  dénomi- 
nation ;  mais  comme  elle  peut  introduire  dans  l'esprit  une 
confusion  regrettable  pour  la  clarté  de  l'exposition,  nous  donne- 
rons le  nom  de  fluide  inducteur  à  ce  fluide  hypothétique,  con- 
servant au  mot  èleclricilé  sa  signification  habituelle. 

Quand  tous  les  conducteurs  situés  dans  le  diélectrique  sont  ii 
l'état  neutre  le  fluide  inducteur  est  en  èiiuilibre  normcil.  QuancL 
au  contraire,  ces  conducteurs  sont  électrisés  et  ([U(^  leur  système 
est  dans  l'état  que  Ton  définit  dans  la  théorie  ordinair(^  en  disant 
cpie  le  système  est  en  équilil)re  ékH.vtri([ue,  le  Ihiich*.  inducteur 
prend  un  nouvel  état  d'é([uilibre  ([ue  Maxwell  aj)pelle  ccjuiUhre 
contraint. 

18.  Déplacement  électrique. —  Lorsqu'une  molécule  dulluide 
inducteur  est  dérangée  de  sa  position  d'écjuilibre  noi'mal , 
Maxwell  dit  qu'il  y  a  dêplaeeinent  ètectfiquc.  Les  conq)()santes 
du  déplacement  sont  les  accroissements  des  coordonnées  de;  la 
molécule  ;  il  les  désigne  par  les  lettres/*,  g,  li,  et  il  admet  qu'elles 
ont  respectivement  pour  valeurs  : 

T^       ^  .r       d^  ,.       d^h 


^r.     '    ^  4^    '    "-  4^ 


INCOMPRESSIBILITÉ  DU  FLUIDE  INDUCTEUR 

Il  résulte  de  cette  hypothèse,  dont  nous  verrons  ForiginiN  <^ 
relations  entre  les  composantes  du  déplacement  et  la  (juaiiH 
d'électricité  libre  contenue  à  l'intérieur  d'une  surlVice  i<^rnirr  «• 
d'autre  part,  entre  les  dérivées  de  ces  composantes  cl  la  <hmisi 
électrique  en  un  point. 

En"  effet,  si  nous  portons  les  valeurs  des  dérivées  pa!*tïi*ll 
dei,  tirées  des  relations  (i),  dans  l'expression  du  flux  <rîii<Iii<'t  h 
à  travers  une  surface  fermée, 

nous  obtenons 

ex,  [j,  y  désignant  toujours  les  cosinus  directeurs    <!<»<    la    noriu;tl«' 
extérieure. 

En  second  lieu,  si  nous  portons  ces  valeurs  dans  la  r«»htiîi»ît 
de  ]\)isson  étendue  au  cas  d'un  diélectrique  (|u<^l<^(>fi<|u«%  iitut* 
avons 

[.\)  ^    +    ^     +  :^,p. 

((a;         dij         dz         ' 

19.  Incompressibilité  du  fluide  inducteux^  et  de  rôlaairivitt^ 
—  L'étude  (les  c()nsé(ju(Mic(*s  de  ces  relations  conduit    a   rr^^iid»  ï 
le    lluide    inducteur   et   l'électricité    connue    deux    fluîcl<-s    im  oui 
pressil)l(*s. 

D'abord,  d(*  l'hypolbèse  de  Maxwell  sur   la  valcMir    drs  «'ohiihi 
sautes  du  dé[)lacenuMrt  eu  un  point,  il  résult<^  itu  uu'Mlia  I  ««UM'it  I   iiii* 
si  l'électricilé  est  en   niouvenuMit  le  lluid(^  in(luc^l<Mir   %-    <»%{    ;iu^.'  i 
Vax  (\{\\\\.,  si   nous  niodillons  les   cliarf^^-es  électri<[ues    d<»s    ctMiftui 
leurs  placés   à  l'Intérieur   d'un   diélectricjuc^,    nous    laisoiis    \aii«î 
en  niônie  tejn[)s  la  valeur  du  potentiel  'i  (ui   un  poiul    qiudriHiinit 
du  diélectricpu',  et,  par  consécpient  les  vabuu-s  /',  ^\    /i    d<*H    riuii 
posantes   du    déplacenuuit   électiicpu^   (pu    souL    doiuuM's    par    |i 
relations  fi). 


.16  THEORIE  DU  DEPLACEMENT  ELECTRIQUE  DE   MAXWELL 

20.  —  Cela  posé,  considérons  une  surface  fermée  dont  l'inté- 
rieur est  occupé  par  un  diélectrique  homogène  et  par  des  con- 
ducteurs en  équilibre  électrique  possédant  une  charge  totale  M. 
Donnons  à  cette  charge  un  accroissement  rfM  et  supposons  que 
le  système  des  conducteurs  soit  encore  en  équilibi^e  électrique. 
Le  fluide  inducteur  passe  d'un  état  d'équilibre  contraint  à  un 
second  état  d'équilibre  contraint  et  pendant  ce  passage  il  y  a 
déplacement  de  chacune  de  ses  molécules  puisqu'il  y  a  mouve- 
ment de  l'électricité.  Cherchons  la  quantité  de  ce  fluide  qui  a 
traversé  la  surface  fermée.    Si  dt  est  le  temps  infiniment  petit  i 

pendant  lequel  s'est  efTectué  le  passage  de  l'état  initial  du  sys- 
tème à  l'état  final,  la  quantité  de  fluide  inducteur  qui  est  sortie  ^ 
par  un  élément  do)  de  la  surface  est 

dq  =  dtùdtY^^^ 

Yn  étant  la  projection  de  la  vitesse  du  déplacement  sur  la  normale 
extérieure  à  la  surface  fermée.  La  quantité  de  fluide  inducteur 
qui  sort  de  la  surface  est  donc,  pendant  le  môme  temps, 


dq_^dtfYjo). 


Mais  puisque  /',  g^  h  désignent   les  composantes  du    déplacc- 

df     di>'     dit  T  1     1        • 

ment,  —-,  —t-j  — r~  sont   les   composantes  de  la  vitesse,   et  par 
'    dt      dt      dt  ^  ^ 

suite  la  composante  normale  V^  a  pour  valeur 

dt  ^'  dt  ^^  dt 

Portons  cette  expression  dans  celle  de  (t/Q,  nous  ol^ienons 


L'intégrale  du  second  membre  de  cette  égalité  n'est  autre  cliose 
que  la  dérivée  par  rapport  au  temps  du  premier  membre  de  la 
relation  (a).  Nous  avons  donc 

cKl^dt^^d'Sl, 
^  dt  ' 


ELASTICITE  DU  FLUIDE   INDUCTEUR 


1.7 


c'est-a-cllre  que  la  quantité  de  fluide  inducteur  qui  sort  de  la 
surface  est  égale  à  la  quantité  d'électricité  qui  y  entre.  Tout  se 
passe  donc  comme  si  Télectricité  chassait  le  fluide  inducteur,  ou 
en  d'autres  termes,  comme  si  le  fluide  inducteur  et  l'électricité 
étaient  deux  fluides  incompressibles. 

21.  —  Remarquons  d'ailleurs  que  l'incompressibilité  du  fluide 
inducteur  pouvait  se  déduire  immédiatement  de  la  relation  (3). 
Cette  relation  devient,  quand  on  considère  un  point  du  fluide 
inducteur  contenu  dans  un  diélectrique  à  Tétat  neutre, 

clli 


df    ,     d^ 

dx.  ^  dy  ^   dz 


Son  premier  membre  n'est  autre  que  la  quantité  que  nous  avons 
désignée  par  6  dans  un  autre  ouvrage  (^)  et  nous  avons  démontré 
que  la  condition  6  =  o  exprimait  l'incompressibilité  du  fluide. 

22.  Image  de  l'effet  de  F  élasticité  du  fluide  inducteur,  — 

Considérons  d'une  part  deux  conducteurs  A  ctB  (fîg.3)  réunis  entre 


lug.  3. 

eux  par  un  fil  métallique  portant  un  commutateur  C  et  par  un 
second  fil  sur  le  trajet  duquel  se  trouvent  une  pile  P  et  un  com- 
mutateur D.  l^renons  d'autre  part  deux  récipients  fermés  A^  et  iV 
renfermant  de  l'eau  et  de  l'air  et  réunis  entre  eux  par  un  canal 
de  communication  portant  un  robinet  C^  et  par  un  autre  canal 
sur  le  trajet  duquel  se  trouvent  une  pompe  P^  et  un  robinet  D^ 
Supposons  maintenant  que  les  conducteurs  A  et  B  étant  à 
l'état  neutre  on  ouvre  le  commutateur  C  et  qu'on  lermc  le  com- 
mutateur D  :    il    s'établit  un   courant  de    courte    durée    dans   le 


(')  Voir  Tlicorle  înathéniatiquc  de  la  Lumière ^  p.  2.)  et  26. 
PoixcAKÉ.  Elcctficilc  et  Optique. 


M- 


i8  THÉORIE  DU  DEPLACEMENT  ELECTRIQUE  DE   MAXWELL 

fil  ADB  et  bientôt  nous  avons  un  état  d'équilibre  électrique 
dans  lequel  les  conducteurs  sont  chargés  d'électricités  de  noms 
contraires,  A  positivement  par  exemple,  et  B  négativement.  Si 
alors  nous  ouvrons  le  commutateur  D  et  fermons  le  commu- 
tateur C,  les  deux  électricités  des  conducteurs  se  recombinent 
à  travers  le  fd  ACD  et  ces  conducteurs  reviennent  à  l'état 
neutre. 

23.  —  Pour  comprendre  le  rôle  que  joue  le  fluide  inducteur  dans 
cette  expérience,  examinons  ce  qui  se  passe  dans  le  système  des 
deux  vases  A''  et  B^  quand  on  fait  jouer  la  pompe  et  qu'on  établit 
avec  les  robinets  C  et  D^  les  communications  que  nous  établis-  \ 

sions  précédemment  avec  les  commutateurs  C  et  ]).  Supposons 
que  les  niveaux  de  l'eau  dans  les  vases  soient  dans  un  même 
plan  horizontal,  fermons  le  robiuct  (y,  ouvrons  le  rol)inet  lY  et 
faisons  marcher  la  pompe  ;  l'eau  passe  d'un  vase  à  l'autre,  du 
vase  B''  au  vase  A''  par  exemple.  Il  en  résulte  une  diminution  d(ï 
la  force  élastique  de  l'air  de  B^  et  une  augmentation  de  celle  de 
l'air  de  A^  Si  nous  fermons  le  rolnnet  D^  et  si  nous  ouvrons  en 
môme  temps  C/,  la  diflerence  des  forces  éhistiques  de  l'air  dans 
les  deux  récipients  fait  repasser  l'eau  de  A^  dans  \V  jusqu'il  ce  que 
les  niveaux  soient  revenus  dans  le  même  plan  lioi'izonlal.  be 
système  est  donc  revenu  dans  son  état  inilial  comme  cbuis  l'ex- 
périence électrique  et  nous  pouvons  l'cgarder  Teau  comme  repré- 
sentant matériellement  le  (hiide  électri(|ue  ;  l'accroissement  du 
volume  de  l'eau  dans  A^  et  la  diminution  dans  IV  (|ui  résult<'nt  de 
la  première  phase  de  l'expérience  hydrostaticpie  r(q)rés(^nler()nl 
les  charges  positive  et  négative  des  conducteurs  A  et  l^  cbnis  la 
phase  correspondante  de  l'expérience  ék>ctri([ue.  (]uant  à  l'air, 
le  rôle  (ju'il  remplit  par  suite  de  sa  loi'ce  élasti(jin»  peut  éliw^ 
assimilé  au  rôle  ([ue  joue  le  lluide  inducteur  élasti([U(*  dans 
l'expérience  électrique.  C'est  donc  l'élasticité  du  lbii(b'  in(hicleui' 
contenu  dans  l'air  qui  sé|)are  les  conducteurs  (^t  d<q)lac(''  par  b's 
charges  de  ces  conducteurs  cpii  est  la  cause  de  la  combinaison  d<^ 
ces  charges. 

Ajoutons  immédiatement  (|ue,  ])ien  (pie  cette  image  hydi'osla- 
tique  nous  fasse  concevoir  la  manière  dont  se  compoi'te  le  lluide 
inducteur    dans  la   théorie  de    Maxwell,    elle  ne  peut    pas    élre 


TOUT  COURANT  EST   UN  COURANT  FERME  19 

poussée  trop  loin  car  le  niilde  inducteur  est  incompressible, 
propriété  dont  ne  jouit  pas  Tair  auquel  nous  l'avons  comparé. 
Cette  image  n'est  donc  utile  que  pour  faire  comprendre  reflet  de 
Tune  des  propriétés  de  ce  fluide  :  son  élasticité. 

24.  Tout  courant  est  un  courant  fermé, —  Le  rôle  prépondé- 
rant attribué  par  Maxwell  aux  diélectriques,  qui  dans  la  théorie 
ordinaire  jouent  un  rôle  passif,  n'est  pas  la  seule  différence  qui 
existe  entre  cette  dernière  théorie  et  celle  de  Maxwell.  Une 
autre  différence  provient  de  la  nature  des  courants. 

Dans  la  théorie  ordinaire  on  admet  l'existence  de  deux  -— '*^-" 
de  courants  :  les  courants  fermés^  en  général  permanents, 
courants  ouverts,  en  général  instantanés,  qui  cessent  quand  ] 
reOet  de  la  charge  il  se  produit  une  diflérence  de  potentiel  ég 
il  la  force  électromotrice  de  la   source   électrique.   Ces  coura 
ouverts   se  produisent  lorsque,  par   exemple,  on   met  les   p( 
d'une  pile  en  communication  avec  deux  conducteurs  ou  avec 
deux  armatures  d'un  condensateur. 

Dans  la  nouvelle  théorie  il  ne  peut  y  avoir  que  des  courants 
fermés.  En  eiVct,  considérons  le  courant  ouvert  ([ui  prend  nais- 
sance quand  nous  mettons  les  pôles  d'une  pile  en  communi- 
cation avec  deux  conducteurs  isolés  A  et  1^.  \a'.  couducteur  qui, 
en  adoptant  le  langag<^  de  la  tli(''<)ri(*  ordinaire,  se  chai'gc!  positi- 
venuMit,  doit  pr(Muh'e,  d'après  la  théories  do  iMax\v(dJ,  une  (|uan- 
til<'  de  fluide  élocti'ique  plus  graïuh^  ([U(i  C(dle  ((u'il  possède  à 
Tétat  neutre.  Dans  TautiM^  conducteur,  au  coiitraii'e,  la  ([uantilé 
<le  lluide  électricjue  doit  diminuer.  ]\hn"s  le  fluid(^  ('d(H'ti*i([U(^  étant 
ineonvpressii)le,  sa  densité  diMuenre  constante  et  on  ne-  peut  con- 
cevoir ([u'il  V  ait  condensation  d(i  ce  lluide  en  un  point  et  raré- 
faction en  un  autre.  Pour  concilier  cette  consé(pienc(^  de  l'incom- 
pressibilité (lu  llui(h^  électri(|in^  avec  \c  fait  expérimental  de 
l'i^xistence  du  courant,  Maxwell  fait  intervenir  Je  lluide  induct(Hir 
qui  remplit  lo  diélectri([ue  isolant  les  deux  conducteurs:  le  lluide 
électri(|ue  sort  de  l'un  des  conducteurs,  déplace  le  lluide  induc- 
teur du  diéhuîtrique  et  fait  rentrer  dans  l'autre  conducteur  une 
quantité  de  fluide  inducteur  égale  ii  la  quantité  de  lluide  élec- 
tri([ue  sortie  du  premier,  il  y  a  donc  iermeture  du  courant  à 
travers  le  diéleclricpie  et  comme  les  molécules  du  lluide  indue- 


20  THÉORIE   DU  DEPLACEMENT  ELECTRIQUE  DE  MAXWELL 

tcur  se  déplacent  suivant  les  lignes  de  force,  ainsi  qu'il  résulte 
immédiatement  des  équations  (i)  qui  définissent  les  compo- 
santes du  déplacement,  nous  pouvons  dire  que  les  courants 
ouverts  de  la  théorie  ordinaire  se  ferment,  dans  la  théorie  de 
Maxwell,  suivant  les  lignes  de  force  du  diélectrique. 

Les  courants  instantanés  qui  prennent  naissance  dans  la 
charge  ou  la  décharge  d'un  condensateur  peuvent  être  également 
considérés  comme  se  fermant  à  travers  le  diélectrique  qui  sépare 
les  armatures.  Dans  la  théorie  de  Maxwell  nous  n'avons  donc  que 
des  courants  fermés. 

25.  —  Ces  déplacements  du  fluide  électrique  et  du  fluide 
inducteur  dans  le  cas  d'un  courant  instantané  peuvent  être  maté- 
rialisés par  une  image  hydrostatique.  Il  suffit  de  remplacer  l'air 
et  l'eau  que  nous  avons  pris  précédemment  par  de  l'eau  et  du 
mercure.  Dans  ces  conditions  si  après  avoir  fermé  le  roljinet  il' 
(fig.  3)  et  ouvert  le  robinet  D^,  nous  faisons  jouer  la  pompe,  nous 
ne  pouvons  faire  passer  le  mercure  d'un  vase  dans  l'autre,  ces 
vases  étant  remplis  par  deux  fluides  incompressibles.  Le  passage 
du  mercure  ne  peut  avoir  lieu  que  si  nous  supposons  les  parties 
supérieures  des  deux  vases  reliées  par  un  canal  permettant  à 
l'eau  de  passer  en  sens  contraire.  Le  mercure  est  alors  l'image 
du  fluide  électri({ue,  l'eau  celle  du  fluide  inducteur  et  le  canal  de 
communication  peut  être  assimilé  à  un  tube  de  force  du  diélec 
trique. 

26.  Courants  de  conduction  et  courants  de  déplacement. — 
Les  courants  fermés  qui  ont  lieu  à  travers  un  circuit  conducteur 
sont  appelés  courants  de  rond/iclion  ;  les  courants  résultant  du 
déplacement  du  fluide  inducteur,  sont  nommés  couranls  de  dèpla- 
cement.  Lorsque  dans  un  même  circuit  fermé  nous  aurons  ii  hi 
fois  des  courants  de  conduction  et  des  courants  de  déplacement, 
ce  circuit  ne  sera  autre  qu'un  circuit  ouvert  de  la  th(U)r'le  ordi- 
naire. Mais  outre  ces  circuits  et  ceux  ([ui  ne  comprennent  (]uc 
des  courants  de  conduction,  les  seuls  que  l'on  considère  dans  la 
théorie  ordinaire,  nous  rencontrerons  dans  la  théorie  de  Maxwell 
des  circuits  fermés  comprenant  uniquement  des  courants  de 
déplacement;  ces  derniers  circuits  joueront  un  rôle  c()nsidéral)le 
dans  l'explication  des  phénomènes  lumineux. 


ENERGIE  POTENTIELLE  D'UN  SYSTEME  ÉLECTRISÉ  'ii 

Les  courants  de  conduction  étant  ceux  qui  se  produisent  dans 
les  circuits  bons  conducteurs,  ils  doivent  nécessairement  obéir, 
pour  être  d'accord  avec  l'expérience,  aux  lois  de  Ohm,  de  Joule, 
à  celle  d'Ampère  sur  les  actions  mutuelles  de  deux  éléments  de 
courants  et  aux  lois  de  l'induction.  Quant  aux  courants  de  dépla- 
cement nous  ne  savons  rien  sur  les  lois  auxquelles  ils  obéissent; 
le  champ  est  donc  ouvert  aux  hypothèses.  Maxwell  admet  qu'ils 
obéissent  à  la  loi  d'Ampère  et  aux  lois  de  l'induction  mais  que 
les  lois  de  Ohm  et  de  Joule  ne  leur  sont  pas  ajDplicables,  ces 
courants  ne  rencontrant  a  leur  établissement  d'autre  résistance 
que  celle  qui  résulte  de  l'élasticité  du  fluide  inducteur,  résis- 
tance de  nature  tout  à  fait  différente  de  celle  de  la  résistance  des 
conducteurs. 

27.  Énergie  potentielle  d'un  système  èlectrisè.  —  Considé- 
rons un  système  de  conducteurs  chargés  d'électricité  positive  et 
d'électricité  négative.  Ces  charges  représentent  une  certaine  éner- 
gie potentielle.  Dans  la  théorie  ordinaire  cette  énergie  potentielle 
est  due  aux  travaux  des  attractions  et  des  répulsions  qui  s'exerceuf: 
entre  les  différentes  masses  électriques  du  système  ;  dans  ^.. 
théorie  de  Maxwell,  elle  est  due  à  l'éhisticité  du  fluide  inducteur 
qui  est  dérangé  de  sa  position  d'équilibre  normal.  (](^ttc  énergie, 
([ui  est  susceptil)le  d'être  nu'sui'ée,  doit  avoir  dans  les  deux 
théoi'ies  la  même  vahuir,  et  ])ai'  conséquent  les  expressions  qui 
per'mett(Mit  d'eu  calculer  la  vabuir  (h)iv(Mil  ùlvc  identicpies.  (Test 
en  Caisant  cette  idenlilicatiou  ([U(^  nous  ti'ouv(M'ons  de  nouvelles 
propriétés  du  fluide  inducteur. 

28.  —  Chei'chons  d'ai)oi'd  l'expression  de  l'énergie  potentielle 
considérée  comme  l'ésultant  d(*s  travaux  des  forces  attractives  et 
des  forces  lépulsives. 

Soient  (h  un  élément  ([uelcon([ue  de  vol  mue  de  l'espace  .r,  7/ 
et  z  ses  coordonnées  et  p  la  densité  de  l'électricité  lii)re  dans  cet 
élément  ;  la  quantité  d'électricité  contenue  dans  cet  élément 
sera  ^(h  et  les  conq)osantes  de  la  force  électri([ue  qui  s'exerce 
sur  cette  ([uantité   d'électricité  seront  : 

,    d'b  ,    d'h  ,    d'h 


22     ,         THÉORIE  DU  DÉPLACEMENT  ÉLECTRIQUE  DE  .MAXWELL 

Supposons  qae  la  masse  électrique  contenue  clans  l'élément  d-z 
se  déplace  cle  façon  que  ses  trois  coordonnées  subissent  des 
accroissements  0x^02/^0.^, 

Le  travail  de  la  force  électrique  appliquée  à  cette  masse  élec- 
trique sera  donc 

Le  travail  total  des  forces  appliquées  aux  différentes  masses 
électriques  répandues  dans  tout  l'pspace  sera  représenté  par 
rîntégrale 

étendue  à  Tespace  tout  entier. 

Si  donc  nous  appelons  W  l'énergie  potentielle  cherchée  y 
raccroissement  de  cette  énergie  sera  donnée  par  la  formule  : 


(4) 


29.  — Mettons  cette  expression  sous  une  autre  forme  et  pour 
cela  évaluons  l'accroissement  oo  de  la  densité  électri([iie  0  à 
rintérieur  de  l'élément  d'z  dans  ce  déplacement. 

Considérons  cet  élément  comme  un  parallélipipèdc  rectangle 
dont  les  trois  arêtes  de  longueur  a,  p,  y  soient  respectivement 
parallèles  aux  trois  axes  de  coordonnées  de  sorte  ([ue  c/t  --^  a^y. 

La  quantité  d'électricité  qui  entrera  dans  ce  parai lélipiprJe  en 
passant  à  travers  l'une  des  faces  pei'pendiculaires  ii  rax(^  des  x 
sera  égale  à  0,  densité  du  (laide,  nuiltiplié  par  o.^•,  déplacement 
du  fluide  projeté  sur  l'axe  des  .r,  et  par  [jy  aire  cle  la  (ace  du 
pacallélipipède. 

Nous  aurons  donc  pour  l'expression  de  cette  quantité  d'éhn'- 
t ri ci té  : 

La  c^uantitc  d'électricité  qui  entrera  clans  le  parallélipipède  (mï 
passant  par  la  face  opposée  aura  une  expression  analogue.  Seu- 


ENERGIE   POTENTIELLE  D'UN  SYSTÈME   ÉLECTRISÉ  ^3 

lement  po.^:  n'aura  plus  la  même  valeur,  en  effet  p  et  S.r  sont  de 
fonctions  de  x,  y  et  ^;  or  quand  on  passe  d'une  face  à  la  lace  oppo 
sée,  X  a  augmenté  d'une  quantité  très  petite  a  et  ^ox  est  devenu 

cl  (oox) 


ÇjOX  • 


dx 


La  quantité  d'électricité  qui  passe  à  travers  cette  seconde  f: 
aura  donc  pour  expression 


[  dipùx)      "Iq 


Nous    prenons   le    signe  —   parce  que   la  normale  intérie 
cette  seconde  face  est  dirigée  vers  les  x  négatifs. 

Ainsi  la  somme  algébrique  des  masses  électriques  qui  cnti 
ront  dans  le  parallélipipcde  en  passant  à  travers  les  deux  fac 
perpendiculaires  à  l'axe  des  x  sera 

'^^P'^'^^")    .rD.._         <pS;r) 


dx        '^  '  dx 


(k. 


De  même  les  masses  électriques  qui  entreront  en  traversai 
d'une  part  les  deux  faces  perpendiculaires  à  l'axe  des  y,  d'autre 
part  les  deux  faces  perpendiculaires  à  Taxe  des  z  seront  respecti- 
vement : 

• '  r^^-^    d-Z  ri  VU..J„  (h^ 

dy  dz 

Or'  r/TOo  n'est  antt'e  chose  ([ue  la  somme  d(^s  masses  électri([nes 
([ui  entrent  dans  le  parallélipiprde  en  passant  à  travers  ses 
six  ("aces,  on  a  donc  : 

^'^  '  dx  dy  dz.       ' 

dette  é([uati()n  n'est  antre  (jue  celle  ([ui  est  connue  en  hydro- 
dynami([ue  sous  1(^  nom  d'é([uati()n  de  continuité. 

30.  —  Rappelons  ({ue  d'après  un  lemme  dont  nous  avons  déjà 
fait  usage,  on  a 


24 


THÉORIE  DU  DÉPLACEMENT  ELECTRIQUE  DE  MAXWELL 


F  étant  une  fonction  de  ;r, /y,  z  et  les  intégrales  étant  étendues, 
la  première  a  tous  les  éléments  dto  d'une  surface  fermée,  la 
seconde  à  tous  les  éléments  du  volume  limité  par  cette  surface. 

Lorsque  la  fonction  F  est  nulle  à  l'infini,  la  première  intégrale 
étendue  a  la  surface  d'une  sphère  de  rayon  infini  est  nulle,  chacun 
de  ses  éléments  étant  égal  à  zéro. 

On  a  donc  pour  une  telle  fonction 


dz=o. 


Dans  le  cas  où  F  est  un  produit  de  deux  fonctions  n  et  ç,  Tégalité 
précédente  devient 


et  nous  en  tirons 


nouvelle  égalité  qui  va  nous  servir  à  transformer  flW . 


31.  —  11  vient  en  applicpiant  celle  règh^  à  hi  fonction  '};po.r  ([ui 
s'annule  à  l'infini  puisque  le  poU^nliel  'L  s'annule  hii-nH^-mc^  à 
l'infini  ; 


(1,1  ^  ^ 


}77^(?2.'/W-. 


ÉNERGIE  POTENTIELLE  DUN  SYSTEME  ÉLECTRISÉ 

OU  en  additionnant  et  tenant  compte  des  équations  (4)  et  (5)  : 
ou,  en  vertu  de  l'équation  de  Poisson  généralisée  : 

En  appliquant  le  môme  lemme  que  tout  à  l'heure,  il  vient 


(i 


ou  encore,  en  remarquant  que  le  pouvoir  inducteur  K  n'est  pas 
altéré  par  les  déplacements  des  masses  électriques  et  par  consé- 
quent que  oK  ==:  o  : 


=[i('<5)]--   -5 


Ou  ol)tiendrail  par  symétrie  deux  autres  équations  analogues,  et 
en  les  additionnant  et  divisant  par  —  4'^?  <^i^  ti'ouverait  : 


L'énergie  potenliello  du  système  u  donc  pour  valeur 


/     8-  Zj  V  <(.T 


THÉORIE  DU  DÉPLACEMENT  ELECTRIQUE  DE  MAXWELL 

constante  crintégration  étant  nulle,  puisque  Ténergle  poten- 
tielle doit  être  nulle  quand  tout  l'espace  est  a  l'état  neutre,  et 
que  dans  ce  cas  le  potentiel  en  chaque  point  a  la  même  valeur, 
zéro. 

32.  —  L'intégrale  du  second  membre  de  l'expression  (6)  doit 
être  étendue  à  tout  l'espace,  mais  il  revient  au  même  de  ne 
l'étendre  qu'à  l'espace  occupé  par  le  diélectrique,  car  les  élé- 
ments de  l'intégrale  qui  correspondent  à  des  points  situés  à 
l'intérieur  de  sconducteurs  sont  nuls.  En  oJlet,  en  tout  point  d'un 
conducteur  le  potentiel  a  même  valeur  et  par  suite,  ses  dérivées 

•Il  ^'«1^         f-^'\>         «'^^  .1  n 

partielles   ~~ ,  -—-:  -— ,   sont  également  nulles. 
^  ax        dy       dz  ^ 

Cette  remarque  permet  de  transformer  l'expression  (6).  En 
tout  point  d'un  diélectrique,  nous  avons  d'après  les  hypolhèses 
de  Maxwell, 

et  en  portant  les  valeurs  des   dérivées  partielles  du  potentiel  ^h, 
déduites  de  ces  relations  dans  le  second  membre  de  (6),  il  vient 


W=    i    ^{P-\-i^-J^li^\d- 


Telle  est  l'énergie  potentielle  d'un  système  électrisé  exprimée 
à  l'aide  des  notations  de  Maxwell . 

33.  —  Cherchons  maintenant  l'expression  de  c(itt(^  énergie 
considérée  comme  résultant  de  la  déformation  du  Ihiide  induc- 
teur. 

Soient  X^/t,  Y<:/t,  V^h  les  trois  conrposant(^s  de  la  forcer  ([ul 
agit  sur  un  élément  d-z  du  (luide  Inducteur  l()t"S(j[ue  C(^  (Inidi^  S(^ 
trouve  en  équilibre  contraint  par  suite  de  la  charge  des  conchic- 
teurs  placés  dans  le  diélectrique.  Si  les  molécules  électi'uiues 
qui  composent  le  système  subissent  un  déplacement  iiilinlment 
petit,  les  composantes  f\  s>\  h^  du  déplacement  de  Télément  d-z 
du  fluide  inducteur  prennent  des  accroissements  lf\  Ig,  Zh.    i.e 


ELASTICITE  DU  FLUIDE  INDUCTEUR  l-j 

travail  élémentaire    de  la  force   qui   s'exerce  sur  cet  élément  u 
pour  valeur 

et  le  travail  total  sur  tous  les  éléments  du  fluide  inducteur  est 

l'intégrale  étant  étendue  à  tout  l'espace  occupé  par  le 
trique.  La  variation  de  l'énergie  potentielle  du  système 
diflere  que  par  le  signe  de  la  variation  du  travail,  est  do 


oW  =  — |'(Xo/+Y%-+Zo//)  ch. 


34.  Élasticité   du  fluide   inducteur.    —   L'identification 
cette  expression  avec  la  suivante 

0W=     /       Ç    (f?,f^oog^h?J,)dT, 


déduite  de  l'égalité  [y)^  nous  donne  pour  les  valeurs  des  compo- 
santes X,  Y,  X, 

X:^—  —/,      ^=-  — — -,     /--         ^  /i. 

Ces  relations  nous  montrent  (|ue  les  composaïUcs  de  la  force 
([ui  s'exerce  sur  un  élément  (h  du  (iuide  inducteur  sont  propor- 
tionnelles aux  composantes  du  déplacement  électrique.  La  force 
élasticjue  du  lluide  iiulucteur  est  donc  dirigée  suivant  le  déplace- 
ment et  1<^  rapport  d(^  sa  grandeur  à  celle  du  déplacement  est  égal 

à  -— .  Nous  verrons  plus  tard  (|ue  dans  le  cas  où  le  diélectri(|ue 

est  un  milieu  ci'istallisé  la  force  élasticjue  n'esi,  plus  dirigée  sui- 
vant le  déplacement  ;  les  conclusions  précédentes  ne  s'appli- 
([uent  qu'aux  milieux  cliélectricpies  isotropes. 

35.  —  H  est  à  peine  besoin  de  faire  remarquer  combien  l'élas- 
ticité du  lluide  inducteur  est  différente  de  l'élasticité  des   gaz  ou 


28  THÉORIE  DU  DÉPLACEMENT  ELECTRIQUE  DE  MAXWELL 

ether  lumineux.  Dans  les  gaz  et  clans  Téther,  l'énergie  poten- 
tielle dépend  seulement  des  positions  relatives  des  molécules  et 
non  de  leur  position  absolue  dans  Tespace  ;  par  suite  il  n'y  a 
pas  réaction  élastique  quand  un  de  ces  fluides  se  déplace  sans 
se  déformer.  Il  en  est  tout  autrement  pour  le  fluide  inducteur. 
Tout  se  passe  comme  si  chacune  des  molécules  de  ce  fluide  était 
attirée  proportionnellement  à  la  distance  par  sa  position  d'équi- 
libre normal.  Il  résulterait  de  là  que  si  l'on  donnait  à  toutes  ces 
molécules  un  même  mouvement  de  translation  sans  que  leur 
situation  relative  variât,  l'élasticité  n'en  devrait  pas  moins  entrer 
en  jeu.  Cette  élasticité  toute  particulière  que  doit  posséder  le 
fluide  inducteur  paraît  difficile  à  admettre.  On  ne  conçoit  pas 
comment  le  point  mathématique  où  se  trouve  une  molécule  de 
fluide  inducteur  en  équilibre  normal,  pourra  agir  sur  cette 
molécule  pour  la  ramener  à  sa  position  d'équilibre  quand  une 
cause  électrique  l'en  aura  déplacée.  On  concevrait  plus  Cacile- 
ment  que  ce  sont  les  molécules  matérielles  du  diélectrique  qui 
agissent  sur  les  molécules  du  fluide  inducteur  pénétrant  le  milieu 
pondérable.  Mais  cette  hypothèse  ne  lèverait  pas  toutes  les 
difficultés,  car  elle  n'expliquerait  pas  l'élasticité  du  fluide  induc- 
teur répandu  dans  le  vide.  En  outre,  l'action  delà  matière  sur  le 
fluide  inducteur  entraînerait  l'existence  d'une  réaction  de  ce  lluide 
sur  la  matière  ;  or,  on  n'a  constaté  aucune  manifestation  de  cette 
réaction. 

36.  —  On  pourrait  encore  supposer  l'existence  de  deux  Ihildes 
inducteurs  se  pénétrant  et  dont  les  niolécules  de  l'un  agiraient 
sur  les  molécules  de  l'autre  dès  qu'elles  seraient  dérangées  de 
leurs  positions  d'équilibre  normal.  Mais  si  cette  hypothèse  a 
l'avantage  de  ramener  l'élasticité  s])écîale  au  Ihiide  inchicteur  ii 
rélastlcité  telle  qu'on  la  conçoit  ordinairement,  elle  a  rinconvé- 
nient  d'être  plus  compliquée  que  celle  de  l'existence  d'un  seul 
fluide.  Aussi  croyons-nous  que  l'hypothèse  du  Ihilde  inducteur  àe 
Maxwell  n'est  que  transitoire  et  qu'elle  sera  remplacée  par  une 
autre  plus  logique  dès  que  les  progrès  de  la  Science  le  permet- 
tront. On  peut  nous  objecter  que  Maxwell  n'a  pas  introduit  cette 
hypothèse  du  fluide  inducteur  ;  mais,  comme  nous  l'avons  dit 
au  commencement  de  ce  chapitre,  si  le  mot  n'est  pas  dans  Fou- 


DISTRIBUTION  ÉLECTRIQUE  29 

vrage  de  ce  physicien^  la  chose  s'y  trouve  ;  seulement  ce  que 
nous  avons  appelé  fluide  inducteur  est  désigné  par  le  mot  électri- 
cité ;  dans  le  langage  de  Maxwell  Télectricité  des  diélectriques 
est  supposée  élastique,  tandis  que  l'électricité  des  conducteurs  est 
supposée  inerte.  Ces  propriétés  différentes  attribuées  à  deux 
fluides  désignés  par  le  même  nom  sont  la  cause  du  manque  de 
clarté  que  présentent  certains  passages  de  l'ouvrage  de  Maxwell. 
C'est  uniquement  pour  éviter  cette  obscurité  que  nous  avons 
introduit  le  mot  de  fluide  inducteur  dans  l'exposé  des  idées  de 
Maxwell. 

37.  Distribution  électrique.  —  Pour  achever   de  justifier  les 
hypothèses  de  Maxwell,  il  nous  faut  maintenant  montrer  qu 
lois  expérimentales  de  la  distribution  électrique  en  sont  une  c 
séquence  nécessaire. 

Commençons  par  rappeler  ces  lois.  On  sait  que  cette  distr 
tion  ne  dépend  que  d'une  certaine  fonction  i,  le  potentiel,  î 
jettie  à  diverses  conditions.  Dans  toute  l'étendue  du  diél'^'^* 
cette  fonction  4  est  continue  ainsi  que  ses  dérivées  et  sa 
la  relation 

d    ,,  d'h  d    ,.   d<b  d    ,^   dà 

a.r        dx         dij        dy  dz        d.z 

en  tout  point  d'un  conducteur  elle  a  une  valeur  constante,  mais 
en  un  point  de  hi  surface  ses  dérivées  ne  sont  pas  continues. 
Knfin  cette  fonction  s'annule  pour  les  points  situés  à  l'infini. 
L'étude  de  la  distribution  électrique  sur  un  conducteur  conduit 
à  iirtroduire  une  nouvelle  ([uantlté,  la  densité  électrique  supcrii- 
oielle.  Si  nous  désignons  par  q  la  (juanlité  d'électricité  répandue 
sur  un  élément  de  surface  do),  la  relation  de  Poisson^  étendue  au 
cas  où  le  diélectrique  est  autre  que  l'air,  donne 

I'  '^'^  / 


/n 


La  densitc  superficielle—/-    a  donc  pour  expression 

4  7^    dn 


THÉORIE  DU  DÉPLACEMENT  ÉLECTRIQUE  DE  MAXWELL 

Mais  on  peut  supposer  que  la  couche  de  fluide  électrique  répan- 
due a  la  surface  a  une  densité  constante  et  que  son  épaisseur  est 
proportionnelle  a  <7  ;  c'est  a  cette  derùîère  interprétation  que 
nous  nous  attacherons. 


38.  —  Revenons  à  la  théorie  de  Maxwell.  Dans  cette  théorie 
nous  avons  deux  fluides  incompressihles,  le  fluide  inducteur 
et  le  fluide  électrique  auxquels  nous  admettrons  que  Ton  puisse 
appliquer  les  lois  de  Thydrostatique.  On  sait  que  si  p  est  la 
pression  en  un  point  .r,  y,  z,  d'un  tel  fluide,  les  trois  compo- 
santes X,  Y,  Z,  de  la  force  élastique  résultant  du  déplacement 
de  ce  point,  ont  pour  valeurs 

dp  dp 


dx 


<Jy 


Z: 


(/; 


Si  nous  désignons  par  'h  la  pression  eu  un  point  du  (laide  in- 


ducteur, nous  avons 


X  = 


'lu 


INIais  nous  avons  vu  dans  le  paragraphe  34  que  les  composâmes 

de  la  force  élastique  sont  égales  aux  produits  des  composantes 

1      1.1                                4~ 
du  déplacement  par jr- 


Noas  avons  donc 


d'à 


K 


i 

dz 


/.r- 


h. 


De  ces  relations   on  déduit 


'  4~   dx 


4-    dij 


Ces  nouvelles  relations  sont  précisément  celles  (pii  définissenl 
les  composantes  du  déplacement,  h  désignant  alors  le  polonliel. 
Pour  justifler  la  manière  dont  nous  avons  déflul,  d'apri's  Max\v(Ml, 
les  composantes  du  déplacement  électri([iie,  il  nous  faut  montrer 
que  la  pression  i  en  un  point  du  fluide  inducteur  n'est  autre 
€hosc  que  le  potentiel. 


DISTRIBUTION  ÉLECTRIQUE  3i 

39.  —  T^e  flaicle  inducteur  étant  incompressible,  nous  avons  la 
relation 

df        rf-         dh 

^^+"^§■  +  7^  =  -' 

qui  devient,  en  tenant  compte  des  relations  (8), 

d    ,.  r/i  d    ,.  dl  d    ,.  d^h 

dx        dx         dy         dtj         d.z        d.z 

la  fonction  tL  satisfait  donc   à  Tune  des  conditions  ini] 
potentiel.  Elle  est  aussi,  comme  le  potentiel,  constan 
rieur  d'un  conducteur,  car  l'électricité  qui  remplit  le. 
teurs  n'est  pas  élastique,  par  conséquent  X,  Y,  Z  sont  nui&  v 
doit  en  être  de  môme  des  dérivées  de  A. 

Quand  on  passe  d'un  point  du  diélectrique  à  un  point  intérieu 
d'un  conducteur  les  dérivées  de  la  fonction  J>,  ne  sont  pas  continues 
puisqu'elles  passent  d'une  valeur  finie  à  zéro.  Mais  la  fonction 
elle-même  reste  continue.  En  effet,  si  la  pression  n^était  pas  la 
même  des  deux  côtés  de  la  surface  qui  limite  le  conducteur 
l'équilibre  n'existerait  pas,  puisque  le  iluide  électrique  étant 
inerte,  toute  différence  de  pression  aurait  pour  effet  de  faire 
mouvoir  ce  iluide. 

La  fonction  ^h  jouit  donc  de  toutes  les  propriétés  du  potentiel  ; 
par  suite  la  pression  du  (luide  inducteui'  en  un  point  est  précisé- 
ment le  potentiel  en  c(*  point. 


40.  —  Montrons  enfin  que  la  théoi'ie  de  Maxwell  conduit  à  la 
même  expiM^ssion  que  la  théorie  ordinaire  pour  Tépaisseur  de  la 
couche  éiectri([ue  située  il  la  surface 
d'un  conducteur. 

Soient  S  (lin-,  4)  la  surface  qui 
sépar(^  rélectricité  du  Iluide  induc- 
teur dans  l'état  d'é([uilihre  normal, 
et  S'  la  surface  de  séparation  dans 
l'état  d'équilibre  contraint.  L'éloc- 
tricité  lil)re  étant  l'exc^ès  de  la 
quantité  de  fluide  électrique  contenue  dans  le  conducteur  dans 
l'état    d'équilibre    contraint     sur     la    quantité     qui     s'y    trouve 


Fig".  4 . 


3a  THÉORIE  DU  DÉPLACEMENT  ÉLECTRIQUE  DE  MAXWELL 

normalement,  la  charge  du  conducteur  est  la  quantité  de  fluide 
comprise  entre  les  deux  surfaces  S  et  S^  Ce  fluide  étant  incom- 
pressible, la  charge  en  chaque  point  est  clone  proportion-" 
nelle  à  la  distance  normale  qui  sépare  les  deux  surfaces.  Consi- 
dérons une  molécule  du  fluide  inducteur  située,  dans  l'état  d'équi- 
libre normal,  en  un  point  m  de  la  surface  S  ;  dans  l'état  d'équi- 
libre contraint  cette  molécule  viendra  en  in^  sur  la  surface  S^ 
Le  triangle  mnm\  dont  le  côté  mn  est  la  distance  normale  qui 
sépare  les  deux  surfaces,  peut  être  considéré  comme  un  triangle 
rectangle  en  n.  L'épaisseur  de  la  couche  électrique  est  donc  égale 
a  la  projection  du  déplacement  sur  la  normale  à  la  surface  (en 
réalité  le  déplacement  est  normal  à  la  surface,  mais  nous  n'avons 
pas  besoin  de  faire  intervenir  ici  cette  propriété  du  fluide  induc- 
teur). Cette  projection  a  pour  valeur 

C'est  bien  la  valeur  que  donne  la  théorie  ordinaire  pour  l'épais- 
seur de  la  couche  électrique. 

41.  —  Dans  ce  qui  précède,  nous  avons  été  amenés  à  sup- 
poser que  la  pression  dans  le  fluide  inducteur  est  égale  à  i.  Nous 
nous  trouvons  donc  en  contradiction  avec  une  autre  théorie  de 
Maxwell,  où  l'on  trouve  que  la  pression  en  un  point  du  diélec- 
trique,   au    lieu   d'être   égale    au    potentiel,    est   proportionnelle 

à   y    (""7"^)    .  Nous  reviendrons  plus  loin  sur  cette  contiadiction. 

42.  —  La  méthode  précédente  n'est  pas  la  seidc  que  Ton 
puisse  employer  pour  déduire  de  la  théorie  de  Maxwell  les  lois 
de  la  distribution  électrique.  Elle  a  d'ailleurs  rinconvéïilent  d(^ 
ne  plus  subsister  si  le  fluide  Inducteur  n'existe  pas  ou  si  dans 
ce  fluide  il  n'y  a  pas  de  pression.  Ayant  fait  remarcpuM'  ([ue 
riiypothèsc  du  fluide  inducteur  ne  devait  être  considérée  (jU(^ 
comme  une  hypothèse  transitoire,  il  n'est  pas  inutih^  (rindl- 
quer  une  autre  méthode  donnant  les  lois  de  la  distribution  élec- 
trique sans  supposer  l'existence  de  ce  lluide.  Exposons  cette 
méthode. 


DISTRIBUTION  ELECTRIQUE  3 

Pour  qu'un  système  soit  en  équilibre,  il  faut  et  il  suffit  que  soi 
énergie  potentielle  soit  minimum.  Nous  obtiendrons  donc  le 
conditions  de  Téquilibre  électrique,  en  exprimant  que  l'éne 
gie  potentielle  W  est  minimum,  ou,  ce  qui  revient  au  mêm 
que  la  variation  de  W  est  nulle  quand  on  donne  à  f,  g^  A,  de 
accroissements  quelconques  compatibles  avec  les  liaisons.  Or 
quelle  que  soit  la  théorie  adoptée,  /,  g^  h^  doivent  satisfaire  à  ' 
relation 

^^^U-ii  — n 
dx'^  dy'^  dz  ~    ' 

qui  exprime  l'incompressibilité  du  milieu. 

D'autre  part,  considérons  un  quelconque  des  conducteL... 
système.  La  charge  M  de  ce  conducteur  sera  une  des  données 
la  question.  On  devra  donc  avoir 


/(«/■+P5'+Y/0^'^— M 


l'intégrale  étant  étendue  h  tous  les  éléments  rfw  de  la  surface  dt 
conducteur;  a,  [3, y  désignant  les  cosinus  directeurs  de  la  normale 
à  cet  élément  et  M  une  constante  donnée. 

Ecrivons  que  la  variation  de  l'énergie  potentielle   est  nulle  ; 
nous  avons 

oW=  /  ^(/3/"+^>%_i_/,S/,),/T=ro. 


Mais  à  cause  des  liaisons  nous  avons  aussi 
d    ^^  ^      d    r.      .      d    ^ 

/(^■¥+  P2i,>'  +  Y^/O  disy  =  o, 

rintégralc   étant  étendue   à  tous  les  éléments   do  volume  d'z  du 
diélectrique. 

Le  calcul  des  variations  nous  apprend  qu'il  existe  une  fonction 
i  telle  que  l'on  ait  identiquement 

PoiNCARÉ.   Electricité  et  Optique.  3 


34  THÉORIE  DU  DÉPLACEMENT  ÉLECTRIQUE  DE  MAXWELL 

En  intégrant  par  parties  l'intégrale  correspondant  au   second 
terme  de  la  parenthèse,  nous  obtenons 

Cette  équation  devant  être  satisfaite  identiquement,  tous  les 
éléments  de  la  première  intégrale  doivent  être  nuls  ;  on  a  donc 

ce  qui  est  précisément  la  relation  donnée  par  Maxwell. 
Il  reste 

L'intégrale  étant  étendue  à  tous  les  éléments  de  surface  de  îoris 
les  conducteurs. 

Cette  équation  devra  être  satisfaite  pour  toutes  les  valeurs 
de  o/J  og\  Zh  satisfaisant  aux  équations  de  liaison,  c'est-à-dire 
telles  que  Ton  ait  pour  chacun  des  conducteurs 

Les  règles  du  calcul  des  variations  nous  apprennent  que  cela 
ne  peut  avoir  lieu  que  si  i  est  constant  à  la  surface  de  chacun  des 
conducteurs. 

Ainsi  le  potentiel  h  a  une  valeur  constante  en  tous  les  points 
de  la  surface  de  chacun  des  conducteurs,  celte  valeur  pouvant 
varier  d'ailleurs  d'un  conducteur  à  l'autre. 


CHAPITRE    III 

THÉORIE   DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 
COMMENT  ELLE  PEUT  SE  RATTACHER  A  CELLE   DE   MAXWELL 


43.  Hypothèses  de  JPoisson  sur  la  constitution  des  diélec- 
triques. —  Dans  la  théorie  de  Poisson  le  rôle  des  diélectriques 
est  bien  moins  important  que  dans  celle  de  Maxwell.  Pour 
Poisson,  le  diélectrique  n'a  d'autre  but  que  d'empêcher  le  mou- 
vement de  l'électricité.  Mais  pour  expliquer  l'augmentation  de 
capacité  d'un  condensateur  quand  on  y  remplace  la  lame  d'air 
par  une  autre  substance  non  conductrice,  une  hypothèse  est 
nécessaire.  Une  difficulté  analoo^ue  rencontrée  dans  la  théorie  du 
magnétisme  avait  été  résolue  de  la  manière  suivante  par  Poisson. 

Il  s'agissait  d'expliquer  le  magnétisme  induit.  Poisson  regarde 
un  morceau  de  fer  doux  aimanté  par  induence  comme  un  assem- 
blage d'éléments  magnétiques  séparés  les  uns  des  autres  par  des 
intervalles  inaccessibles  an  jiiagnéiisme  et  de  dimensions  très 
petites.  Dans  chacun  de  ces  éléments,  auxquels  Poisson  attribue 
pour  plus  de  simplicité  la  forme  sphériquc,  les  deux  fluides 
magnétiques  peuvent  se  séparer  et  circuler  librement. 

Mossotti  n'a  eu  qu'à  transporter  cette  théorie  en  électrosta- 
tique pour  expliquer  les  phénomènes  observés  dans  les  diélec- 
triques. Dans  cette  hypothèse,  l'air  est  le  seul  diélectrique  homo- 
gène ;  quant  aux  autres  diélectriques,  il  se  les  représente  comme 
constitués  par  de  petites  sphères  conductrices  disséminées  dans 
une  substance  non  conductrice  jouissant  des  mêmes  propriétés 
que  l'air.  Les  phénomènes  attribués  au  pouvoir  inducteur  spéci- 
fique s'expliquent  alors  par  les  effets  répulsifs  et  attractifs  de 
Télectriclté  induite  par  Influence  dans  les  sphères  conductrices. 


36  THÉORIE  DES^  DIÉMCTRIQUES  DE  POISSON 

44.  —  Dans  cette  théorie  comme  dans  celle  de  Maxwell  il  existe 
des  courants  de  déplacement.  En  eiTet,  supposons  un  diélectrique 
autre  que  l'air  en  présence  de  conducteurs  électrisés  ;  l'électri- 
cité neutre  des  sphères  conductrices  du  diélectrique  est  décom- 
posée :  un  hémisphère  se  trouve  chargé  positivement,  l'autre 
négativement.  Si  alors  on  met  les  conducteurs  en  communica- 
tion avec  le  sol^  l'influence  sur  les  sphères  du  diélectrique  cesse 
et  ces  sphères  reviennent  à  l'état  neutre  ;  l'électricité  se  déplace 
donc  d'un  hémisphère  à  l'autre,  par  suite,  il  y  a  des  courants  de 
déplacement. 

Il  est  probable  cj[ue  c'est  la  conception  de  Poisson  et  Mossotti 
sur  la  nature  des  diélectriques  qui  a  conduit  Maxwell  à  sa  théorie. 
Il  dit  l'avoir  déduite  des  travaux  de  Faraday  et  n'avoir  fait  que 
traduire  sous  une  forme  mathématique  les  vues  de  ce  célèbre 
physicien  ;  or,  Faraday  avait  adopté  les  idées  de  Mossotti  (Cf. 
Expérimental  Researches,  Faraday,  série  XIV,  §  1679).  Ajoutons 
c£ue,  ainsi  que  nous  le  verrons  bientôt,  l'intensité  des  courants 
de  déplacement  n'a  pas  la  même  valeur  dans  la  théorie  de  Pois- 
son et  dans  celle  de  Maxwell.  Nous  montrerons  cependant  com- 
ment on  peut  faire  concorder  les  deux  théories. 

45.  —  On  a  fait  malheureusement  à  la  théorie  du  magnétisme 
de  Poisson  de  graves  objections  et  il  est  certain  que  les  calculs 
du  savant  géomètre  ne  sont  nullement  rigoureux.  Ces  ol)jections 
s^appliquent  naturellement  à  la  théorie  de  Mossotli  qui  n'en  dif- 
fère pas  au  point  de  vue  mathématique. 

C'est  ce  qui  me  décide  à  ne  pas  reproduire  ici  ces  calculs,  je 
me  bornerai  a  renvoyer  le  lecteur  qui  désirerait  en  faire  une 
étude  approfondie,  aux  sources  suivantes.  Le  mémoire  original 
de  Poisson,  sur  la  théorie  du  magnétisme  a  paru  dans  le  tome  V 
des  Mémoires  de  l'Académie  des  Sciences  (1821-181^9.).  Une  théo- 
rie plus  élémentaire,  mais  passible  des  mêmes  ol)jections,  est 
exposée  dans  le  tome  P^'  des  Leçons  sur  rElcctricitc  et  le  Magné- 
tisme de  MM.  Mascart  et  Joubert  (p.  162  à  177).  C'est  celle 
que  j'avais  développée  dans  mes  leçons. 

Je  renverrai  également  à  l'article  3i4  de  la  seconde  édition  de 
Maxwell,  où  le  savant  anglais  présente  d'une  façon  très  originale 
une  théorie  identique  au  point  de  vue  mathématique  à  celle  de 


SPHERE'  PLACÉE  DANS   UN  CHAMP  UNIFORME  87 

Poisson  et  de  Mossotti,  mais  s'appliquant  a  an  problème  phy- 
sique très  différent,  celui  d'un  courant  électrique  à  travers  un 
conducteur  hétérogène. 

Mais  je  recommanderai  surtout  la  lecture  du  mémoire  de 
M.  Duhem  sur  l'aimantation  par  influence  (Paris,  Gauthier-Vil- 
lars,  1888  ;  et  Annales  de  la  Faculté  des  Sciences  de  Toulouae), 
où  les  calculs  de  Poisson  et  les  objections  qu'on  y  peut  faire  sont 
exposés  avec  la  plus  grande  clarté. 

Je  vais  maintenant  développer  la  théorie  en  cherchant  a  me 
mettre  à  l'abri  de  ces  objections  ;  pour  cela,  j'ai  besoin  de  con- 
naître la  distribution  de  l'électricité  induite  par  une  sphère  pla- 
cée dans  un  champ  uniforme. 

46.  Sphère  placée  dans  un  champ  uniforme.  —  Prenons  une 
sphère  conductrice  placée  dans  un  champ  électrique  uniforme 
et  désignons  par  ^  la  valeur  du  potentiel  dû  aux  masses  élec- 
triques extérieures  en  un  point  de  ce  champ.  La  force  électrique 
s'exerçant  sur  l'unité  de  masse  électrique  située  en  un  point 
quelconque  a  pour  composantes 

dii  dii  d^ 

dx  '  dy^  d.z 

Si  l'on  prend  Taxe  des  .r  parallèle  aux  lignes  de  force  du 
champ,  cette  force  électrostatique,  que  nous  désignerons  par  cp, 
a  pour  valeur 

La  sphère  conductrice  placée  dans  le  champ  s'électrise  par 
influence  et  l'équilibre  électrique  est  atteint  quand  la  force  élec- 
trostatique duc  à  la  distribution  sur  la  surface  de  cette  sphère 
est  égale  et  directement  opposée  à  cp  en  tout  point  intérieur. 
Cherchons  l'expression  de  cette  force. 

47.  —  Lorsque  la  sphère  conductrice  est  à  l'état  neutre,  nous 
pouvons  la  considérer  comme  formée  de  deux  sphères  égales, 
nyant  même  centre,  chargées,  l'une  d'électricité  positive,  l'autre 
d'une  quantité  égale  d'électricité  négative  ;  chacune  de  ces  deux 


38 


THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 


charges,  au  lieu  d'être  seulement  superficielle,  étant  uniformé- 
ment répandue  dans  tout  le  volume  de  la  sphère  ;  la  résultants 
des  actions  exercées  par  ces  sphères  sur  un  point  extérieur  est 

évidemment  nulle,  comme  cela 
doit  être.  Si  nous  déplaçons  la 
sphère  négative  de  manière  que 
son  centre  vienne  en  0'  (fig.  5) 
le  centre  de  la  sphère  positive 
restant  en  0,  les  actions  de  ces 
sphères  ne  se  neutralisent  plus. 
Nous  pouvons  donc  regarder  la 
sphère  conductrice  soumise  à 
l'influence  comme  formée  de 
deux  sphères  égales,  électri- 
sées  en  sens  contraire  et  dont  les   centres   ne   coïncident  plus. 


Fig-  5. 


48.  —  On  sait  que  l'action  d'une  sphère  homogène  sur  un  point 
intérieur  situé  à  une  distance  r  de  son  centre  est  la  môme  que  si 
la  masse  électrique  contenue  dans  la  sphère  de  rayon  /•  était  con- 
centrée au  centre  de  la  sphère.  En  appelant  p  la  densité  élec- 
trique en  chaque  p^int  de  la  sphère,  on  a  pour  la  force  électro- 
statique s'exerçant  sur  le  point  considéré 

F  ==  —  -'^-  '-/■^o=  —  rro 


Si  donc  on  appelle  .Tj,,  ?/y,  z^  les  coordonnées  du  centre  de  la 
sphère,  .x%  y^  .z  les  coordonnées  du  point  considéré,  les  compo- 
santes de  Taction  exercée  par  hi  sphère  sur  runllé  de  masses  élec- 
trique placée  en  un  point  intérieur  ont  pour  vah'urs 


4 


4 


r.{:v—:v;)p,     _7x(?y_/yjp,  7:(.c;  — .'Jp. 


49.  —  Appliquons  ces  formules  aux  deux  sphères  qui  rempla- 
cent la  sphère  conductrice  électrisée  par  influence.  Prenons  pour 
origine  des  axes  de  coordonnées  le  centre  0  de  la  sphère  posi- 
tive et  pour  axe  des  x  la  droite  qui  joint  les  centre  0  et  0'  des 
deux  sphères.  Nous  aurons  pour  la  composante  suivant  O.r  de  la 


SPHÈRE  PLACÉE  DANS  UN  CHAMP   UNIFORME  3o 

résultante  des  actions  qu'exercent  les  deux  sphères  sur  Tui 
de  masse  électrique  située  en  un  point  intérieur /r,  ?/,  ^^ 

4  4      ,  N  4 

x^  désignant  l'abscisse  de  0^  Quant  aux  composantes  suivant  les 
axes  des  y  et  des  z^  on  voit  facilement  qu'elles  sont  nulles.  Il  faut 
donc,  pour  qu'une  molécule  électrique  intérieure  a  la  splière  soit 
en  équilibre  sous  l'action  du  champ  uniforme  cp  et  de  l'électricité 
développée  sur  la  sphère  par  influence,  que  la  ligne  des  centres 
des  sphères  positive  et  négative  soit  parallèle  au  champ  et  que  la 
distance  de  ces  centres  satisfasse  à  l'égalité 

4 

^  =  —  —  T.X,0. 

D'ailleurs,  comme  les  densités  des  sphères  ne  sont  assujetties 
qu'à  la  condition  d'être  égales  en  valeurs  absolues,  nous  pouvons 
supposer  que  ces  densités  sont  +  i  et  —  i .  Il  vient  alors 


(i)  cp  = -izx,, 


égalité  qui  nous  donne  la  distance  des  centres  des  deux  sphères. 

50.  —  Nous  pouvons  trouver  facilement  la  valeur  du  potentiel 
résultant  de  la  sphère  influencée  en  un  point  M  extérieur  à  cette 
sphère.  L'action  d'une  sphère  homogène  sur  un  point  extérieur 
étant  la  même  que  si  toute  la  masse  électrique  était  concentrée 
au  centre  de  cette  sphère,  le  potentiel  en  M  a  pour  expression 


R  désignant  le  rayon  de  chacune  des  sphères,  /•  et  r^  les  distances 
du  point  M  aux  centres  0  et  0'.  Nous  appellerons  to  l'angle  de 
la  direction  OM  avec  l'axe  des  x  et  nous  négligerons  les  quantités 


4ô  THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 

infiniment  petites  du  deuxième  ordre,  en  regardant  x^  comme 
du  premier  ordre.  Alors  l'expression  précédente  peut  s'écrire 

4  .r^cosco 

ou  en  tenant  compte  de  la  relation  (i) 

La  distribution  électrique  sur  la  sphère  induite  s'obtient  tout 
aussi  simplement.  L'épaisseur  de  la  couche  négative  en  un 
point  P  quelconque  est 

3  cûcos  iù 


PP^  =  PP^^  COS  OJ  =  X.  COS  CO  : 


47. 


par  suite,   l'épaisseur   de  la  couche  électrique    superficielle  est 

,,         ,  ,  .  ,,  .  3c;  COS  03 

donnée,  en  valeur  et  en  signe,  par  1  expression  — '—- 

On  dit  qu'une  sphère  conductrice  sur  laquelle  la  distribution 
électrique  est  la  même  que  si  elle  était  placée  dans  un  champ 
uniforme,  qs^I polarisée, 

51.  Polarisation  des  diélectriques,  —  Considérons  mainte- 
nant un  diélectrique,  constitué  comme  se  Timagine  Mossotti  et 
soumis  à  l'action  de  corps  électrisés  extérieurs.  Chacune  des 
sphères  qu'il  contient  va  se  polariser.  En  eOel  les  dimensions 
de  ces  sphères  étant  très  petites,  dans  le  voisinage  de  chacune 
déciles  le  champ  électrique  peut  être  regardé  comme  uniforme. 

Il  est  vrai  que  la  distribution  électrique  à  la  surface  d'une  de 
ces  sphères  pourra  être  troublée  par  rinfluence  des  sphères  voi- 
sines ;  mais  nous  n'aurons  pas  à  tenir  compte  de  ces  pcrturl)a- 
tions  : 

1°  Parce  que  les  sphères  étant  irrégulièrement  distribuées,  leur 
influence  tend  à  se  neutraliser  mutuellement  ; 

2^  Parce  que  si  l'on  admet  que  la  distribution  à  la  surface  d'une 
sphère  n'est  pas  la  même  qu'elle  serait  dans  un  champ  uniforme, 
ces  irrégularités  de  la  distribution  sont  exprimées  par  des  fonc- 
tions sphériques    d'ordre  supérieur;    si   donc    on    considère    le 


POLARISATION  DES  DIELECTRIQUES  4i 

potentiel  en  nn  point  situé  à  une  distance  ;•  du  centre  de  la  sphère, 
les  termes  qui  dépendent  de  ces  irrégularités  contiendront  une 

puissance  supérieure  de — et  seront  négligeables,  si?'  est  très 

grand  par  rapport  au  rayon  de  la  sphère. 

Nous  dirons  alors  qu'un  diélectrique  doiit  toutes  les  sphères 
sont  polarisées  est  lui-même  polarisé. 

52.  —  Nous  avons  maintenant  à  définir  les  composantes  de  la 
polarisation  électrique  qui  correspondent  a  ce  qu'on  appelle  dans 
la  théorie  du  magnétisme,  composantes  de  la  magnétisation. 

Nous  avons  vu  plus  haut  que  le  potentiel  de  notre  sphère  par 
rapport  à  un  point  extérieur  était  égal  à  : 

cosco 
cpn  — 7- 

7'" 

ou  à 

3  "- 


—  TZ-^'^ 


47r      ^    dx 

en  appelant  u  le  volume  de  la  sphère. 

Si  l'on  avait  pris  des  axes  de  coordonnées  quelconques,  nous 
aurions  trouvé  pour  le  potentiel  de  la  sphère  polarisée,  en  appe- 
lant .r,  7/,  .z  les  coordonnées  de  son  centre, 


3//    /  d'I         r         d'h         r     ^    d'\'         r 


dx  djj      dij  dz     dz 


Imaginons  maintenant  un  élément  de  volume  d-z  du  diélec- 
trique, contenant  un  nomljrc  très  grand  n  de  sphères,  et  cepen- 
dant assez  petit  pour  que  le  champ  puisse  y  être  regardé  comme 
uniforme.  Le  potentiel  des  n  sphères  contenues  dans  cet  élément 
sera  : 

d —  d —  d 

r  dà         r  d^ 


4îc    \  dx     dx  dy     dy      '     dz     dz 


42  THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE    POISSON 

Posons 

nu  =  hd^^ 

de  sorte  que  h  soit  le  rapport  du  volume  des  sphères  au  volume 
total  du  diélectrique. 
Posons  en  outre 

j^Tz    dx  ^  4'^     ^1/  ^  4"^    dz  ' 

il  viendra  pour  le  potentiel  dû  à  Félément  polarisé  d'z 

d  —  d  —  d  — 

d^(k—^  +  B^-4-C       '' 


ds  dij  dz 

Les  trois  quantités  A,  B  et  C  sont  les  composantes  de  la  pola- 
risation^ et  le  potentiel  dû  au  diélectrique  entier  s'écrira 


l'intégrale  étant  étendue  au  diélectrique  entier;  ou,  en  intégrant 
par  parties, 


r   \  dx  di]         hz  )  ^ 


La  première  intégrale  est  étendue  à  tous  les  éléments  c/o)  de 
la  surface  qui  limite  le  diélectrique,  /,  jn,  et  n  désignant  les 
cosinus  directeurs  de  la  normale  h  cette  surlace  ;  la  second(* 
intégrale  est  étendue  au  volume  entier  du  dléleclri(|ue. 

53.  —  Soit  maintenant  V^  le  potentiel  dû  aux  corps  électrisés 
extérieurs.  Soit  s  une  quelconque  des  petites  sphères  conduc- 
trices ayant  pour  centre  un  certain  point  0  et  exprimons  les 
conditions  de  l'équilibre  électrique  sur  cette  sphère. 

Décomposons  le  volume  du  diélectrique  en  deux  volumes  par- 


POLARISATION  DES  DIÉLECTRIQUES 

tiels  ^>'  et  {>'^ ;  le  second  de  ces  volumes  sera  très  petit  et 
tiendra  la  sphères. 

Considérons  une  molécule  électrique  située  en  0  ;  cette  i 
cule  devra  être  en  équilibre  sous  Faction  : 

i*"  Des  corps  électrisés  extérieurs  ; 

2°  Du  volume  ç'  du  diélectrique  ; 

3°  Des  sphères  autres  que  s  situées  à  l'intérieur  de  v'^  ; 

4"  De  la  sphère  s. 

Nous  supposerons  que  le   volume  ç^' ^    quoique   contenar 
très  grand  nombre  de  sphères,  est  assez  petit  pour  que  les 
posantes  A,  B,  C,  puissent  y  être  regardées   comme   const 
et  nous  choisirons  les  axes  de  façon  que  B  et  C  et  par  c 

quent  ——,  -^  soient  nuls. 
dij       dz 

54.  —  Écrivons   que  les    composantes  de   toutes   ces    ac 
suivant  l'axe  des  x  se  détruisent. 

Pour  éviter  toute  confusion  nous  appellerons  pour  un  ii 
.27,  y^  z  les  coordonnées  du  point  attirant,  i,  v],  Ç  celles  du 
attiré,  de  sorte  que  : 

Nous  rappelons  en  outre  que  A  désigne  le  potentiel  du  champ 

uniforme    qui   produirait    sur    chaque    sphère    conductrice    leur 

polarisation    actuelle,     et    que    le    potentiel    actuel    est    égal    h 

V  -j-  Vj  =  U.  Nous  continuerons  à  désigner  les  composantes  du 

,  ...  éh  dij  dij 

champ  unilorme  par ~,  —  -~-,  —  — r^  * 

^  ^  dx  dij  dz 

'     '^■^\ 
La  composante  due  aux  corps  extérieurs  sera jf^- 

La  composante    due   a   la  sphère  s  sera  -) puisque^  par 

hypothèse,    la   sphère   est  polarisée    comme    elle  le  serait  sous 

l'action  d'un  champ  uniforme  d'intensité —• 

^  d.v 

55.  —  Je  dis  que  si  la  surface  a  qui  sépare  les  deux  volumes 
partiels  ç^  et  (/^  est  convenablement  choisie,  l'action  des  sphères 
autres  que  s  et  intérieures  à  r'  sera  nulle. 


44  THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 

En  effet  soient  a,  b,  c  les  coordonnées  du  centre  d'une  de  ces 
point  0  étant  pris  pour  l'origine.  La  force  électrosla- 
.ercée  par  cette  sphère  au  point  0  aura  pour  composante 
l'axe  des  :v  : 

~    /ilZ    ^       dx^      ~    471     dx  /    2     I     72    1        o>4 

Il  résulte  de  là  que  les  actions  des  trois  sphères  qui  ont  res- 
:;tlvement  pour  centres  les  points 

[a,  h,  c),  [ù,  c,  a),   [c,  a,  h) 

étruisent. 

i    donc    la    surface    a-   possède    la    symétrie    cubique    et    ne 

aange  pas  cjuand  on  permute  les  trois  axes  de  coordonnées,  les 

actions  des  différentes  sphères  contenues  à  l'intérieur  de  cette 

surface  se  neutraliseront.  C'est  faille  d'avoir  fait  cette  hypothèse 

que  Poisson  napas  été  rigoureux. 

Nous  supposerons,  pour  fixer  les  idées,  que   la  surface  o"  est 
une  sphère  ayant  son  centre  en  0. 

56.  —  Il  reste  à  évaluer  l'action  du  volume  <^' . 
Cette  action  est  égale  à 


iy 


d\ 


en  appelant  V^  l'intégrale 


(l  —  d  —  d  — 

étendue  au  volume  v'  ;  et  on  aura 

V  =  V  —  V" 
V  désignant  la  même  Intégrale  étendue  au  volume  v" ,  d'où 


POLARISATION  DES  DIÉLECTRIQUES  45 

Nous  avons  d'ailleurs,  comme  on  l'a  vu  plus  haut 


V"=    /    ^,A  +  ,„B  +  „C)_       il(^+^+f 


la  première  intégrale   étant  étendue  à  la  surface  or  et  la  seconde 
au  volume  ^" . 
On  en  déduit  : 

I     ^^     f7K   ^      T>  ,     n\         i     ^'^     fdk        dB        dC\ 


Si  le  rayon  de  la  sphère  or  est  infiniment  petit,  il  en  sera 
même  de  la  seconde  des  intégrales  du  second  membre  de  l'éga 
précédente,  mais  non  de  la  première. 

D'ailleurs  si  ce  rayon  est  très  petit,  A,  B  et  C  soi 
constantes  et  nous  avons  supposé  que  B  et  C  sont  nuls.  I 
donc  : 


Or  l  est  le  cosinus  directeur  de  la  normale  à  la  sphère  ;  c'est 
donc  —  et  1  on  a  : 


57.  —  L'équation  d'équilil)re  s'écrit  donc  : 
dY,    ,    r/'>        dV        4 


+  777  — -7r  +  -T^^-  =  ^-^ 


d^     '    dx         dl     '    3 
ou 


</;      ~  <(5  ~T  \      * 


46 


THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 


Si  au  lieu  de  prendre  pour  axe  la  direction  de  la  polarisation 
au  point  considéré,  nous  avions  pris  des  axes  quelconques,  nous 
aurions  trouvé,  au  lieu  de  l'équation  unique  que  nous  venons  de 
démontrer,  les  équations  suivantes  : 

(i— K)  •^  =  4'n:A, 

(x-K)i^:==4^B, 


dy 
clz 


(i-K)4^  =  4:^C; 


en  posant  pour  abréger  : 

K— 1  = 
d'où 


3  A 


/(== 


K— 1 


Nous   écrivons  d'ailleurs  —, —  au  lieu  de  — =-  on  revenant  aux 

dx  de, 

notations   habituelles,    ce   qui    n'a   plus    d'inconvénient  puisque 
aucune  confusion  n'est  plus  à  craindre. 


58.  —  On  déduit  de  là  en  did'ércntiant  la  première  de  ces 
équations  par  rapport  à  x,  la  seconde  par  rapport  à  //,  la  troi- 
sième par  rapport  à  z  et  ajoutant  : 


ds   V     dx 


'  d,j  V     dz  1        dz  V      dz 


AU 


,    ,  r/A         dW 


dC 


dx     '     dtf     '      (/.: 
Or  Y^  est  le  potentiel  des  corps  extérieurs,  on  a  donc 


AV, 


:0. 


POLARISATION  DES  DIÉLECTRIQUES  47 

D'autre  part  Téquatlon   (3)   montre  que  V  peut  être   regardé 
comme  le  potentiel  dû  à  une  couche  de  densité 

répandue  à  la  surface  du  diélectrique,  moins  le  potentiel  d'une 
([uantité  d'électricité  répandue  dans  tout,  ce  volume  et  ayant  pour 
densité 

dh.        jm_        dC 

dij  dy  dz 

Il  en  résulte  que  : 

AU  =  AV  =  47t 


dx  dy  dz 

et  par  conséquent 


dx  \      dx  1        dy  \      dy  J        dz  \      dz  ) 

Or,  U  =  V  +  Vj  désignant  le  potentiel,  la  comparaison  de 
l'équation  à  laquelle  nous  venons  de  parvenir  avec  les  équations 
fondamentales  de  l'électrostatique  montre  que  K  n'est  autre 
chose  que  le  pouvoir  inducteur. 

59.  —  Ainsij  dans  un  diélectrique  constitué  comme  se  l'ima- 
gine Mossottl,  et  de  pouvoir  inducteur  K,  le  rapport  du  volume 
occupé  par  les  sphères  au  vohune  total  est  égal  à  : 

K  — I 


K  +  :>. 
On  trouve  d'ailleurs 

I  _  K  =  4^A  :^  _  3/,  __L . 

dx  dx 

Le    déphicemcnt   électrique  de    la   théorie  de  Maxwell  s'écrit 
alors  : 

K    d\]  _       3A       K       d^l^  _         3        K       d^ 
^n     dx  4'^   K — I    dx  4tc    K  +  2    dx  ' 


48  THÉOniE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 

Les  deux  autres  composantes  du  déplacement  électrique  sont 
nulles  si,  comme  nous  le  supposons,  nous  prenons  pour  axe 
des  X  la  direction  de  la  polarisation  au  point  considéré.  Si  en 
même  temps,  revenant  à  nos  notations  du  n''  46,  nous  appelons 
o  l'intensité  du  champ  uniforme  qui  polariserait  nos  petites 
sphères  comme  elles  le  sont  réellement,  nous  aurons  : 

_       d^h 
'  dx 

et 

(4)  /=■ 


4tt:    K  +  2    *■ 

60.  —  Nous  avons  vu  que  dans  la  théorie  de  Poisson  et  Mos- 
sotti  la  polarisation  des  petites  sphères  conductrices  varie  quand 
on  fait  varier  le  champ  électrique  dans  lequel  elles  se  trouvent 
placées,  et  que  les  courants  qui  se  produisent  dans  ces  petites 
sphères  et  résultant  de  cette  variation  peuvent  être  comparés 
aux  courants  de  déplacement  de  Maxwell.  Il  importe  de  com- 
parer rintenslt('^  de  ces  courants  de  déplacement  dans  les  deux 
théories. 

Pour  cela  je  vais  calculer  la  valeur  de  f  du  déplacement  élec- 
trique dans  la  théorie  de  MossottI  et  la  comparer  à  la  valeur  de  /' 
que  nous  venons  de  trouver. 

Chacune  de  nos  sphères  est  polarisée  comme  si  elle  était  sou- 
mise à  l'action  d'un  champ  uniforme  (rint(Misitc  cp. 

Donc  d'après  ce  que  nous  avons  vu  au  n''  49  tout  se  passe 
comme  s'il  existait  deux  sphères  de  même  rayon  que  la  sphère 
conductrice,  l'une  remplie  de  fluide  positif  de  densité  i,  l'autre 
de  fluide  négatif  de  densité  i,  et  si  la  splière  négative,  coïncidant 
dans  l'état  d'équilibre  normal  avec  la  sphèi'c  positive,  subissait 
sous  rinlluence  d'un  chani|)  uniforme  d'intensit(''  '3  un  déplace- 
ment ,x\  donné  })ar  la  formule 

'  =_i--r. 

Tout  se  passera  donc  comme  s'il  y  avait  déplacement  en  bloc 
des  fluides  électriques  de  chacune  des  petites  sphères.  Mais,  les 


fi 


POLARISATION  DES  DIELECTRIQUES  49 

splièi^es  conductrices  n'occupent  pas  le  volume  entier  du  dî'^l^- 
trique  ;    elles   sont    séparées    entre    elles  par  un   milieu  u 
jouissant  des  mêmes  propriétés  que   l'air,  et  la  somme  de 
volumes  est  au  volume  total  du  diélectrique  dans  le  rapport  ' 
à  I .    La  somme  des  charges  positives    qui  se   trouvent   sur 
sphères  est  donc  h  fois  plus  petite  que  la  somme  de  ces  me 
charges  dans  l'hypothèse  où  tout  le  volume  de  diélectrique  serai 
occupé  par  des  sphères  conductrices.  Comme  il  en  est  de  mêm 
des  charges  négatives,  il  revient  au  même  d'admettre  que  chacui 
des  fluides  est  répandu  dans  tout  le   diélectrique  avec  une  den 
site  A,  ou  que  chacun  d'eux  n'occupe  qu'une  fraction  h  du  volum 
du  diélectrique   avec  une  densité   1.   La  valeur  du  déplacemen 
moyen   sera  évidemment  la   même   dans   les   deux  cas/  Si  nr- 
adoptons  la  première  hypothèse   nous  pourrons   appliquer  ? 
sphère  diélectrique  les  formules   du    n°  49    ^^^  y  remplaçi 
par  IlVq,  puisque  dans  ces  formules  la  densité  est  supposé'^ 
à  I  et  que  maintenant  elle  est  h.   Cette  quantité  hx^^  est 
déplacement   moyen  que    subit   le  fluide   négatif  dans  le 
trique  soumis  à  l'influence  du  champ.  Si  nous  remplaç-^" 
sa  valeur    tirée    de  l'équation  (i)  nous   avons  pour    ce 

ment  —  h  -~~  et  par  suite    pour  le  déplacement  du  fluide  [ 

par  rapport  au  fluide  négatif,  qui  ne  diflere  que  par  le  signe  dn 
précédent, 

Or  on  a  : 


i'->j 


K-{-'2 


Mais  si  par  suite  de  cette  relation  les  actions  extérieures  des 
(liéleclrif^ues  sont  les  mêmes  dans  les  deux  théories,  les  intensités 
(les  courants  de  ([('placement  n'ont  pas  la  même  valeur  dans  l'une 
et  dans  raulr(^  Ku  effet,  si  nous  j)ortons  cette  valeur  de  A  dans 
Texpression  de/''  nous  ol^tenons  pour  la  valeur  du  déplacement 
dans  la  théorie  de  Poisson 

,,     ;vj  k —  I 


4-    K- 

PoiNCARK.  Electricilc  el  Optique. 


5o  THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON  |? 

F 

qui  diffère  de  celle  du  déplacement  dans  la  théorie  de  Maxwell,  f 

donnée  par  la  formule  (4).  Le  rapport  de  ces  quantités  est  $ 

h)  fL  =  l-=±,  4 

(7J  /'  K      ' 

c'est  aussi  le  rapport  des  intensités  des  courants  de  déplace- 
ment dans  les  deux  théories.  Dans  l'air  l'intensité  du  courant  de 
déplacement  est  nulle  quand  on  adopte  les  idées  de  Poisson 
puisque  la  formule  (6)  donne  f  =  o  pour  K  ==  1  et  que  le  pou- 
voir inducteur  spécifique  de  l'air  est  l'unité.  Dans  la  théorie  de 
Maxwell,  le  déplacement  dans  l'air  a,  d'après  la  formule  (4),  la 

valeur  /==  -—-?    et  par  suite,  contrairement  à  ce  qui  a  lieu  dans 

4'^      .  .  . 

la  théorie   de  Poisson,    l'intensité    du    courant    de   déplacement 

n'est  pas   nulle   dans   ce  milieu.  C'est   la   la   diflerence  la  plus 

importante  qui  existe  entre  les  deux  théories  dont  nous  venons 

de  comparer  les  conséquences. 


61.  Modification  de  la  théorie  de  Poisson.  Cellules.  —  Mais, 
ainsi  que  nous  l'avons  annonce  au  commencement  de  ce  chapitre, 
il  est  possible  en  introduisant  dans  la  théorie  de  Poisson  quelques 
modifications  secondaires  de  faire  concorder  ses  résultats  avec 
ceux  de  la  théorie  de  Maxwell.  C'est  ce  que  nous  allons  montrer. 

Remarquons  que  si  les  formules  (5)  et  (7),  cpii  donneut  //  et 
le  rapport  des  déplacements,  ne  sont  pas  homogr^nes,  cela  tient 
à  ce  que  nous  avons  pris  l'unilé  pour  le  pouvoir  inducteur  spé- 
cifique de  la  substance  isolante  qui  sépare  les  sphères  conduc- 
trices dans  celle  de  Poisson. 

Il  serait  facile  de  vérifier  que  si  nous  désignons  par  Kj  le  pou- 
voir inducteur  de  cette  substance,  les  formules  (5)  cl  (^)  devien- 
nent 

K  +  2K^  '  /•  K       * 

Cette  dernière  l'or  mule  montre  que  si  K^  est  très  petit  le  rap- 
port des  déplacements  est  voisin  de  l'unité.  Les  intensités  des 
courants  de  déplacement  auraient  donc  sensiblement  la  même 
valeur  dans  les  deux  théories  si  K^  était  infiniment  petit,  ce  qui 


PROPAGATION  DE  LA  CHALEUR  5i 

exige  que  h   diffère    infiniment   peu   de  l'unité,  c'est-à-dire  que 
l'espace  non  conducteur  qui  sépare  les  sphères  conductrices  soit 
infiniment  petit.    Or,  nous  n'avons   introduit   l'hypothèse   de  la 
forme  sphérique  des  conducteurs  disséminés  dans  le  diélectrique 
que  pour  avoir  plus  de  simplicité   dans  les  calculs  ;   les  consé 
quences  restant  vraies  pour  une  forme  quelconque  des  condr 
teurs   nous    pouvons  nous   représenter    un   diélectrique   co»^ 
formé  de  cellules  conductrices  séparées  par  des  cloison» «  -- 
ductrices.  Il  suffit  alors  pour  faire  concorder  la  théo 
son  avec  celle  de  Maxwell  de  supposer  que  ces  clois( 
épaisseur  infiniment  petite,  puisqu'alors  li  diffère  infinii 
de  l'unité  et  qu'elles  sont   formées  d'une   substance  isolante  c_ 
pouvoir  inducteur   spécifique  K^  infiniment  petit.  Montrons  que 
cette  concordance  se  retrouve  dans  toutes  les  conséquences  de  lii 
théorie  de   Maxwell  et  qu'au  point  de  vue  mathématique  cette 
dernière    théorie    est    identique    avec    celle     de    Poisson    ains 
modifiée. 

62.  jPropagSition  de  la  chaleur  dans  un  milieu  homogène 
—  La  suite  des  calculs  nécessaires  nous  conduira  à  des  relations 
tout  à  fait  pareilles  à  celles  qu'a  établies  Fourier  dans  l'étude 
de  la  conductibilité  de  la  chaleur.  Dans  le  but  de  faire  ressortir 
Tanalogic  mathématique  qui  existe  entre  les  phénomènes  élec- 
tri(jues  et  les  phénomènes  calorifiques,  nous  commencerons  par 
rappeler  l)rlèvement  la  théorie  de  Fourier. 

Cette  tliéoric  repose  sur  les  hypothèses  suivantes  :  quand  deux 
molécules  d'un  corps  sont  à  des  températures  différentes,  il  y  a 
passage  de  chaleur  de  la  plus  chaude  à  la  plus  froide  ;  la  quantité 
de  chaleur  (J[ul  passe  penchuit  un  temps  cU)nné  est  une  fonction 
de  \ix  distance,  (jui  tend  rapidement  vers  zéro  rpiand  la  distance 
croît,  et([ui  ne  (h'pend  pas  d(*.  la  température  ;  enfin  cette  quan- 
tité de  ehal(nir  (^st  proportionnelle  à  la  différence  V^  —  V^  des 
températuj'(\s  (h\s  deux  molécules.  11  résulte  de  ces  hypothèses 
que  la  ([uantité  d(^  chaleur  (pii  passe  pendant  un  temps  dt  d'une 
molécule  à  une  autre  est 

AV  représentant  la  variation  de  la  température  quand  on  se  dé- 


52 


THÉORIE  DES  DIELECTRIQUES  DE  POISSON 


B 

F 

B' 

A 

/U/iA 

/ 

A 

•::;f 

7" 

I 

)                    Il                   I 

)• 

place  clans  le  sens  clu  flux  calorifique  et  C  étant  une  quantité  indé- 
pendante de  la  température. 

63.  —  Considérons  un  parallélipipède  rectangle  infiniment 
petit  ABCD  A^B^C^'D^  (fig.  6)  situé  dans  le  corps  et  prenons  trois 
axes  de  coordonnées  respectivement  parallèles  à  trois  arêtes  du 
parallélipipède.  Soient  ch  son  volume,  dh^  la  surface  de  sa  section 
par  un  plan  perpendiculaire  a  Taxe  des  .r,  a  et  ù  les  coordonnées 
des  deux  extrémités  A  et  A^  d'une  arête  parallèle  à  cet  axe  ;  on 

a  la  relation 

(h  =  chù  [b  —  a). 

Cherchons  la  quantité  de  cha- 
leur Qdiodt  qui  traverse  la  sec- 
tion dco  pendant  l'intervalle  de 
temps  dt.  Pour  cela  calculons  de 
deux  manières  difïerentes  l'inté- 
grale 

(2)  f\(l<hodf)da; 

Fig.  (3.  qui  donne  la  somme    des   quan- 

tités de  chaleur  c[ui  traversent 
toutes  les  sections  du  parallélipipède  perpendiculaires  à  O.v  pen- 
dant le  temps  dt. 

L'intégration  donne  immédiatement,  si  l'on  regarde  comme 
constante  la  quantité  de  chaleur  qui  traverse  cha([ue  section  doy 
du  parallélipipède  infiniment  petit^ 

Qdcôdl  {/j  —  a)  =  Qdzd/. 

64-  —  Pour  trouver  une  autre  expression  de  cette  ([uantité, 
coupons  le  parallélipipède  par  une  section  ([uelconque  KFGH 
perpendiculaire  à  0:r  et  prenons  de  part  et  d'autre  deux  molé- 
cules M  et  iVP.  D'après  les  hypothèses  de  Fourier  la  quan- 
tité de  chaleur  qui  passe  de  l'une  à  l'autre  pendant  le  temps 
dt  est 


f 


^ 


(3) 


qdt  =  —  C^//A  V, 


PROPAGATION  DE  LA    CHALEUR  53 

et  la  somme  des  quantités  de  chaleur  qui  passent  par  toutes  les 
sections  du  parallélipipède  est 


[q  dt)  dx. 


Mais  pour  les  sections  c[ui  ne  sont   pas  comprises  entre   les 
molécules   il   n'y  a  pas   passage   de  chaleur  et  les  éléments   '^ 
l'intégrale  qui  correspondent  à  ces  sections  sont  nr^~     ^ 
donc   de    prendre  pour  limites  de  l'intégrale   les 
X  -\-  Lx  des  coordonnées  des  points  M  et  M^  ;  on  obt 


r 


{qdi)  dx  =  qLxdt. 


Les  autres  couples  de  molécules  du  parallélipipède  donnent 
des  quantités  analogues.  Leur  somme  est  précisément  la  valeur 
de  l'intégrale  (2)  et  nous  avons 

(4)  Cld'zdt^'Zqt^xdt. 

Mais  la  relation  (3)  nous  donne  pour  </, 


-(^-+f^.'+4^- 


? 


en  négligeant  dans  le  développement  les  puissances  de  Lx,  A?/, 
A3,  égales  et  supérieures  à  2^  ce  qui  est  permis,  les  échanges 
de  chaleur  ^X'iXWi  supposés  n'avoir  lieu  qu'entre  molécules  très 
voishies  et  les  termes  négligés  étant  alors  très  petits  par  rapport 
aux  premiers  termes  du  développement.  Portant  alors  cette 
valeur  de  q  dans  hi  relation  (4),  nous  obtenons 

(5)         Q,.  ^  _  Jjy^,^  -  -;^2CA.A,- 4^^CA.A., 


C  étant    par    hypothèse    indépendant  de  la    température.    Les 
coefilcients  des  dérivées  partielles  de  V  n'en  dépendent  pas  non 


54  THÉORIE  DES  DIÉLECTRiqUES  DE  POISSON 


A. 


il  vient 


dx   ' 


La  constante  A  est  le  coefficient  de  cojiductibililé  thermique  du 
milieu. 

Le  milieu  étant  supposé  isotrope  la  valeur  de  ce  coefficient  est 
la  même  pour  toutes  les  directions  ;  nous  aurons  donc  pour 
la  quantité  de  chaleur  par  unité  de  surface  à  travers  un  élé- 
ment de  surface  perpendiculaire  à  Tun  des  autres  axes  de  coor- 
données 


Q=-A 
Q  =  -A 


'IL 

dij 
dY 
dz 


D'une  manière  générale,  nous  aurons  pour  un  élément  orienté 
d'une  manière  quelconque 

dY 
(6)  Q=-A-£- 

dn  étant  une  longueur  infiniment  petite  prise  sur  la  normale  à 
l'élément. 


plus.  Par  conséquent  Q  est  une  fonction  linéaire  et  homogène  de  "^^ 

ces  dérivées.  |' 

65.  —  Si  le  corps   considéré  est   isotrope  cette   fonction  se  te' 

réduit  à  un  seul  terme.  En  effet;,  dans  ce  cas  l'expression  de  Q 
ne  doit  pas  changer  quand  on  y  remplace  x  par  — x  et  il  faut, 
pour  qu'il  en  soit  ainsi,  c[ue  les  dérivées  partielles  de  V  par  rap- 
port à  ?/  et  à  ^  disparaissent  du  second  membre.  Nous  avons  donc 
simplement 

QJt  =  — -^SCA:rS  "W 

et  si  nous  posons 

SCA:i-2 


DÉPLACEMENT  DE  V ÉLECTRICITÉ  DANS   LES    CELLULES  55 

66.  A^nalogie  avec  le  déplacement  de  F  électricité  dans  les 
cellules.  —  A  l'intérieur  de  chacune  des  cellules  conductrices  le 
potentiel  ^  est  constant,  mais  ce  potentiel  vaTie  brusquement 
quand  on  traverse  les  parois  isolantes  qui  limitent  les  cellules  ; 
•ji  est  donc  une  fonction  discontinue  des  coordonnées.  Nous  ne 
pourrions  introduire  cette  fonction  dans  nos  calculs  sans  faire 
d'hypothèses  sur  sa  forme*,  il  est  plus,  simple  de  considérer  à  sa 
place  une  fonction  continue  dont  la  valeur  en  chaque  point  dif- 
fère peu  de  celle  de  A.  Nous  supposerons  que  ces  deux  fonctions 

prennent  les  mêmes  valeurs  aux  centres  de  gravité  G^,  G^,  Gg 

des  diverses  cellules  ;  l'erreur  commise  en  substituant  à  ^  une 
fonction  continue  sera  alors   du  môme    ordre  de  grandei 
les  dimensions  des  cellules,  dimensions  que 
nous  pouvons  toujours  supposer  très  petites. 

Considérons  une  de  ces  cellules  (fig.  7). 
Lorsque  le  diélectrique  n'est  pas  soumis  à 
l'action  d'un  champ  cette  cellule  est  à  l'état 
neutre  j  dans  le  cas  contraire  elle  présentera 
sur  ses  faces  S^,  S^,  S3,  S^,  des  quantités 
d'électricité  q.^^  q.^^  q^,  q^,  mais  comme  la 
cellule  conductrice  ne  cesse  pas  d'être  isolée  la  somme  uc;  uc^ 
quantités  est  nulle  : 

Si  la  vah^ur  du  champ  vient  à  changer,  les  charges  de  chacune 
des  laces  de   hi  cellule  varient,  mais  leur  somme  restant  nulle, 

on  a,    en   appelant  dq^y  dq.^ les  variations  produites  pendant 

un  intervalle  de  temps  <://, 

d(i^  4-  dq.,^  +  d(i.^  +  dq^  =  o . 

11  ne  peut  donc  y  avoir  augmentation  de  la  charge  de  l'une  des 
laces  ([uc  s'il  y  a  diminulion  sur  ([uehpui  autre.  Supposons,  pour 
lixer  les  i(lé(\s  ([U(^  la  chai'gc;  de  S.^  auguKmte  et  cpic  celle  de  S, 
diminue.  \]n(\  certaine  ([uantité  (rélectritnté  passera  de  S^  ;i 
S.J  en  suivant  un  chcMuin  ([ue  nous  ï'e[)résen  torons  par  A  PB. 
Mais  il  revi(Mit  cvIdemnnMit  au  nn'^me  de  su[)poser  ([ue  rélecti'i- 
clté  suit  le  chemin  APCIPB  puisque^  la  portion  P(j  (|ui  joint  un 
point    ([uelconque  P  du  chemin    réel  au  centre  de   gravité  de  la 


THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 

cellule  est  parcourue  successivement  dans  les  deux  sens.  On 
peut  donc  considérer  le  passage  d'une  certaine  quantité  d'élec- 
tricité de  S^  à  Sg  comme  résultant  du  passage  de  cette  même 
quantité  de  G  à  S3  et  du  passage  d'une  quantité  égale  mais  de 
signe  contraire  de  G  k  S^.  Tout  se  passe  donc  comme  si,  par  suite 

de  la  variation  du  champ,  des  quantités  dq^,  dq^ d'électricité 

allaient  du  centre  de  gravité  G  aux  diverses  surfaces  de  la  cel- 
lule. 


Fig.  8. 


67.  —  Prenons  maintenant  deux  cellules  contiguës  de  centres 
de  gravité  G^  et  G^  (fig.  8).  Soient  S^  et  S.^  les  faces  de  chacune 
de  ces  cellules  qui  se  trouvent  en  regard.  Ces  deux  faces  peuvent 
être  considérées  comme  les  armatures  d'un  condensateur  a  faces 
parallèles   et  infiniment  voisines  et   si  nous    supposons   que    la 

charge  de  Sj  augmente  de  dq,  il  en  résulte 
nécessairement  une  diminution  de  charge 
—  dq,sxxv\^  surface  en  regard  de  S^.  D'après 
ce  que  nous  avons  dit  précédemment,  l'aug- 
mentation dq  de  la  charge  de  S^  peut  être 
considérée  comme  résultant  du  passage  de 
dq  de  G^  à  S^,  De  même,  la  diminution  de  la 
charge  de  S^  peut  être  regardée  comme  pro- 
venant du  passage  d'une  quantité  —  dq  àa  G^ 
à  Sg,  ou  ce  qui  revient  au  même,  du  passage  de  dq  de  S,  à  G^. 
Mais  alors  c'est  comme  si  la  quantité  dq  allait  de  G^  à  G^.  (3n 
peut  donc  dire  qu'il  y  a  échange  d'électricité  entre  les  molécules 
Gj^  et  G^  et  nous  commençons  à  voir  apparaître  l'analogie  avec 
les  phénomènes  calorifiques. 

68.  —  Appelons  G  la  capacité  du  condensateur  formé  par  les 
surfaces  S^  et  S2,  A^  et  '^^^  les  valeurs  du  potentiel  dans  chacune 
des  cellules  ;  nous  aurons  pour  la  valeur  absolue  de  la  quantité 
d'électricité  située  sur  S^  et  S., 

Comme  c'est  la  face  de  la  cellule  dont  le  potentiel  est  le  plus 
élevé  qui  se  charge  d'électricité  positive,  l'électricité  positive^ 
dans  le   déplacement    fictif  que   nous  avons  supposé  s'effectuer 


DÉPLACEMENT  DE  L'ÉLECTRICITÉ  DANS   LES    CELLULES 

entre  les  centres  de  gravité,  passe  d'un   centre  c^^   '"^^ 

autre  de  potentiel  moins  élevé.  Par  conséquent,  ^ 

variation  du  potentiel  dans  le  sens  du  déplac* 

pour  la  quantité  d'électricité  qui  passe  d'un  centre  cie  gravite  a 

un  autre 

Pendant  un  intervalle  de  temps  dt,  la  variation  de  la  différence 

cl 
de  potentiel  AA  entre   les  points   considérés   sera  dt  --7—  Ad;  ou 

di  A— -^;  par  suite,  la  cpiautité  d'électricité  qui  passe  d'un  de  ces 

points  à  l'autre  pendant  ce  même  intervalle  est 

d(j=—Cdt\^ 

Cette  formule  est  identique  à  la  formule  (i)  du  n°  62  qui  donne 
la  quantité  de  chaleur  qui  passe  d'une  molécule  à  une  autre,  C 
étant  d'ailleurs  dans  l'une  et  l'autre  formule  indépendant  de  la 
quantité  dont  la  variation  est  indiquée  par  A. 

69.  —  La  loi  des  échanges  d'électricité  étant  la  même  que  celle 

des  échanges  de  chaleur  dans  la  théorie  de  Fourier,  nous  ol)tien- 

drons  la   (juantité  d'électricité  rapportée   à  l'unité  de  surface   à 

Iravers  un  (dément  quelconque  eu  remplaçant  dans  la  (ormule  (6) 

M 
65;,  la  tempéi'ature  V  par  la  quantité  —— -- Imi  appelant,  comme 

l<i  fait  iMaxwell, 

iulu)d(,  vdiodl^  i\'diiydt 

les  quanlih'^s  d'éltM-tricité  (jui  traversent  pendant  le  temps  dl  des 
él(''menls  //(.)  i'(\sj)ectivemout  perpendiculaires  aux  axes  de  coor- 
données,  nous  aurons 

Il  r=---  A    —     T 


■7)  .'      ,....- A 


(//c/.v 
dldij  ' 


58  THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 

Or,  u^  {>,  w  sont  dans  la  théorie  de  Maxwell  les  composantes 
de  la  vitesse  du  déplacement  électrique,  et  par  suite,  puisque  f]g,  h, 
représentent  les  composantes  de  ce  déplacement, 

df  ds,r  dh 

U=z-f-,  ç=—^,  ^v=-—r-"    ■ 

dt  dt  dt 

Si  donc  on  adopte  pour  u^  ç,  w,  les  valeurs  que  nous  venons  de 
trouver,  on  obtient  pour  /J 

Comme  dans  la  théorie  de  Maxwell, 

_   JK_   d^ 
'~         4ti    dx' 

on  voit  que  la  théorie  des  cellules  concordera  avec  celle  de  Max- 
well si  nous  posons 

70.  —  Cherchons  à  trouver  la  relation  c[ui,  dans  la  théorie  de 
Maxwell,  exprime  rincomprcssil)ilité  du  (hiide  inducteur. 

I.a  quantité  totale  d'électricité  conlenue  dans  chaque^  cellule 
étant  nulle  à  chaque  instant,  la  (piautité  d'éku^triclté  ([ui  pénètre 
pendant  un  intervalle  de  temps  quelconque  \\  travers  un(^  surface 
fermée  qui  limite  un  volume  est  égalenieut  nulle.  Or,  u^  r,  ir,  étant 
les  composantes  suivant  les  trois  axes  de  la  vitesse  avec  la([uelle 
s'effectue  le  mouvement  de  l'électricité,  la  e>()ui[)()saut(^  de  cette 
vitesse  suivant  la  normale  à  un  élément  du)  de  la  surface  est 

a/^  +  [ïr  +  v(^', 

a,  ['i.  Y,  désignant  les  cosinus  directeurs  de  la  normale.  I\ir  suite, 
la  quantité  d'électricité  qui  traverse  <:/o)  pendant  l'unité  de  temps 
est 


DÉPLACEMENT  DE  VÉLECTRICITÉ  DANS  LES  CELLULES  09 

et  la  quantité  qui  traverse  la  surface   fermée  pendant  le  même 
temps  est  égale  à  l'intégrale 


J(az.+  (5p 


^^W)  cl  Lu 


étendue  à  tous  les  éléments  de  cette  surface.  Pendant  un  inter- 
valle de  temps  dt^  la  quantité  d'électricité  traversant  la  surface 
fermée  est  le  produit  de  l'intégrale  précédente  par  cit.  En  inté- 
grant par  rapport  au  temps,  on  aura  la  quantité  d'électricité  tra- 
versant la  surface  pendant  un  temps  quelconque,  et,  comme  cette 
quantité  est  nulle,  l'intégrale  obtenue  doit  être  égale  à  o.  Si  nous 
remarquons  que  u^  ç,  w  sont  les  dérivées  par  rapport  au  temps 
des  composantes  f,  g,  h  du  déplacement,  nous  avons  pour  <5ette 
intégrale 

(9)  /(«/•+ fe'  +  T/0^<^  =  o. 

Or,  on  sait  que 


/■ 


^fd^=-   I   ■J^^'^^ 


la  première  intégrale  étant   étendut;   u    u 

seconde,  au  volume  limité  par  cette  surface.  En  transformant  cic 

la  même  manière  les  deux  autres  termes  de  l'intégrale  (9),  nous 

obtenons 


Cette  égalité  devant  être  satisfaite  quel  que  soit  le  volume  con- 
sidéré, nous  en  concluons 

dx         dij  dz 

(^est  ])icn  la  relation  qui,  dans  la  théorie  de  Maxwell,  lie  entre 
elles  les  dérivées  des  composantes  du  déplacement  du  fluide  induc- 
teur d'un  milieu  diélectri([ue. 


D'ailleurs  si  C  est  la  capacité  du  condensateur  formé  par  les 
surfaces  considérées,  on  a 

et  le  terme  précédent  devient 

En  développant  Ai  par  rapport  aux  puissances  croissantes  de 
A.r,  A//,  A.::,  et  en  négliox^ant  les  ])uissances  de  ces  ([uanlllés  supé- 
rieures à  la  première,  nous  obtenons 

(Il    ,  (hl    ,  d'I    , 

A';  =  — ^A.r+— -A//  +  -~A.-. 
dx  dij  dz 

Considérons  donc  un  élément  de  volume  dz  assez  pclit  [Jour  ([uc 
nous  puissions  admettre  que  les  d(''rivées  par(i(dl('s  de  y  ont  la 
même  valeur  en  tout  point  d(^  cet  él(''m(Mit,  mais  assez  n-i-nid  tou- 
tefois pour  contenir  un  très  <ri'and  nombre  de  ccdlulcs,  el  par 
conséquent,  un  très  jj;'rand  nombre  de  condensai  eu  rs. 

L'énero'ie  potenlielle  d\\  d('  cet  (''h'^ncnl,  scvi\  la  somme  des 
énergies  potentielles  des  divers  [lelifs  condensaleurs  (jui  y  sonl 
contenus,  on  aura  donc  : 

(u>)  ,^v  =  l^ci^■lr^±myc^..^+±(l!^yi:^,r 

i>  jLi  :>-   \  d^r  /   -*-J  '•>.  \  df/  J  i-J 

+  —   -7-      >(:A-'  +  ™-»l.\(:A.rA//+... 
2   \dz  J   jLà  dx     du  M^ 


THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON  ^| 

I 

il.    Identité  des  expressions  de  l'énergie  potentielle.    —  1 

Montrons  enfin  que  la  théorie  des  cellules  conduit  à  la  même  5? 

expression  de  l'énergie  potentielle  que  la  théorie  de  Maxwell.  ;^ 

On  sait  que  l'énergie  potentielle  d'un  système  de  conducteurs  ^ 

électrisés  est  égale  à  la  demi-somme  des  produits  de  la  charge  de  f 

chaque  conducteur  par  son  potentiel.  Les  charges  des  surfaces  / 

en   regard  de  deux  cellules  contiguës  sont   égales  et  de  signes  \ 

contraires  ;  par  suite,  si  Aj  et  A^  sont  les  potentiels  de  ces  cel- 
lules, le  terme  fourni  à  l'énergie  potentielle  par  ces  charges  est 


^4  - 


ÉNERGIE  POTENTIELLE  DANS  LA  7IIE0RIE  DES  CELLULES 

Mais  nous  avons  fait  remarquer  à  pi^opos  des  phénomènes  ca 
rifiques  que  clans  le  cas  d'un  milieu  isotrope,  les  sommes 

VcA/rA?/,      yc\îjl.z,      VcA'A.'r 

sont  nulles.  Nous  avons  posé 

2CA;r2        SCA?/-         SCA.r 
A  =  -  —         '^     — 


(h  ck  (Il 


Par  conséquent,  nous  aurons  pour  l'énergie  potentielle 
ment  ^Zt, 

"w-^[(SV(f)V(-s 

Si   nous   remplaçons  dans   cette   expression  les  dérivées 
tielles  par  leurs  valeurs  tirées  de  la  relation  (8)  du  n^  (h), 

'  d.i' 

et  des  relations  analogues  qui  contiennent  i,»-  et  A,  et  si  nous  don- 
nons a  A  la  valeur  — — que  nous  avons  été  couduits  a  lui  attril)aer 

pour  Caire  eoucordcM'  la   IIk'^oi'u^  des  cellules  cl  de  cclh^  d(^  Max- 
W(dl,   nous  ohleuons 

l/énergle   polentudle  du  volume   (lui   sera   doinn^e    par  Tinté- 


(^(Mtc  expression  est  i(lentl([ue  ii  celle  que  nous  avons  déduite 
)i  ':]'?)  de  hi  théorie  de  Maxwell  et,  comme  daus  cette  dernière 
théorie^,  Ténergle  potentielle  d'un  système  électrlsé  se  trouv(^ 
dans  le  milieu  dlélectrupie  ([ui  sépare  les  conducteurs. 


62  THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 

72.  Remarque.  —  Dans  les  calculs  précédents,  nous  avons  admis 
qu'en  chaque  point  du  diélectrique,  la  force  électrique  ne  dépend 
que  de  l'état  électrostatique  du  système  électrisé.  S'il  en  était 
autrement,  si,  par  exemple,  outre  la  force  électromotrice  due  aux 
actions  électrostatiques,  s'exerçait  une  force  électromotrice  d'in- 
duction, les  formules  auxquelles  nous  sommes  parvenus  devraient 
être  modifiées. 

En  particulier,  la  composante /du  déplacement  ne  serait  plus 
donnée  par  la  formule 


mais  par  la  formule 


'~        4iT    rf.r' 


OÙ  X  désigne   la  composante  suivant  l'axe  des  x  de  la  force  élcc- 
tromotricc  d'induction. 

Pour  le  montrer,  cherchons  la  variation  Ai  du  potentiel  quand 
on  passe  du  centre  de  gravité  Gj  d'une  cellule  au  centre  de  gra- 
vité G^  d'une  cellule  contiguë.  Elle  est  égale  à  la  variation  brus- 
que II  qui  se  produit  quand  on  traverse  la  paroi  isolante,  augmen- 
tée du  travail  qu'il  faut  effectuer  a  l'encontre  des  forces  d'induc- 
tion pour  faire  passer  l'unité  d'électricité  positive  de  G^  à  G,,,  Si 
donc  —  X,  — Y,  —  Z  sont  les  composantes  de  la  force  électro- 
motrice d'induction  quand  on  passe  de  Gj  à  G^,  on  a  pour  Ai, 

A].  =  II  +  XAa  •  + YA// +  ZAr. 

La  charge  électrique  (j  d'un  de  nos  petits  condensa  leurs  sera 
égale  au  produit  de  la  capacité  de  ce  condensateur,  par  la  (Hlfé- 
rencc  de  potentiel  H  de  ses  deux  armatures  ;  il  viendra  donc  : 

y  ^  _  CI!  =  —  CAi  +  C  (Xlr  +  YA/y  +  ZAr) 
et,  au  lieu  d'avoir  simplement 

\  ((j-  ((//  dz 


4, 


CAS  DES  CORPS  ANISOTROPES 

on  aura 


Dans  toutes  nos  formules,  11  faudra  donc  remplacer 

dij        d^  dij 

dx        dy  dz 


par 


La  formule 


devient  donc 


d^  d^  c/A 

^~^'     lhi~^'    ~d^~^' 


/~         K    dx 


<'/.!•  '  IV     '   * 

73-  Cas  des  corps  anisotropes.  —  Il  iin|)()rl(',  pour  |)()Uvoir 
clahlir  la  ihroi'ic  ôlccIroinaj^'nrliijiK'  de  la  double  réiVaclion,  de 
voir  ce  ([ur  d('vi(Miiienl,  ces  formuh^s  dans   les   cor|)s  aîilsolropes. 

Reprenons  la   fonnuie  (lo)  du  n"  ni.   Si  dans  ceU(^  formule  on 

,   •     4      ^^'\^         ^^'^  1  ,         -        P 

reu'ardail. -— -^.  — 7™  et  -• —comun^  les  coordonnées  d  un  point  clans 

^  d.v  '  df/  dz  ^ 

res|)ac(*  <d,  ^/\V  comme  une  conslanU\  on  aurait  ré(|uation  d'un 
(dlipsoïd(\ 

Si  l'on  fait  un  clian^'<Mn(Mit  d'axes  de  coor(lonné(^s,  cet  cllij)- 
soïde  (ici  if  consei'vera  la  nn^nu*  lornn*,  nniis  sa  [)ositi()n  par  rap- 
j)oi't  aux  ax(\s  variera. 

Prem)ns  donc  pour  ax<^s  de  c()or(lonn<'es  les  axes  de  C(d.  cllip- 
soïdi^,  son  éipiation  deviendra  : 


d.r  J  i>      \  df/  J  'A       \  dz 


64 

et  on  aura  ; 


THÉORIE  DES  DIÉLECTRIQUES  DE  POISSON 


A  = T--5    A  —       ^^      '  ck 


^.A.rAy=^C 


^"^^  VcA.A,==yCA.A,=  =5;CA,A==o. 


er  (§64). 


Reprenons  la  formule  (5)  de  la  théorie  de  Fonri 
En  vertu  des  équations  (ii)  elle  se  réduira  a 

^  dx 

A  r    „„o  nnnv  iiiisser  de  la  théorie  de 
Or  nous  avons  vu  au  n"  69  que  poui  passe     uc 
ui  nous  avu.  -^  ,1'AiprHnrité  cfui  ont  heu  entre  nos 

Fourier  à  celle  des  échanges  d  electncite  qui 

nr     1      1       „„„  V  f-n —i-.  11  vient  donc  encore, 
cellules,  il  suffit  de  changer  Y  en    ^^^ 

et  de  même 

La  seule  diderence  avec  les  é<iuati..ns  (7),  c'es,  <iuo  les  cocdi- 
.      .      1       <^        '^''L    -iîi-  ne  sont  plus  égaux  ealre  eux. 
cientsde-^^,^^,^,   rf/'/'- 

On  en  déduit  : 


,bh 

K 

d'h 

/'= 

—  A 

dx 

-      4- 

dx  ' 

d'h 

K' 

d'h 

<J^ 

—  A' 

<t!l 

"       4^ 

<(y  ' 

d'h 

K" 

d'h 

h=^ 

—  A" 

dz 

-       4^ 

dz' 

en  posant 


K=4TtA, 


K'  =  4-A',       K"  =  4-^V". 


CAS  DES  CORPS  ÀNISOTROPES  65 

S'il  exisl:e  des  forces  électromotrices  d'induction  dont  les  com- 
posantes soient  X,  Y,  Z,  ces  formules  deviennent  : 

k=.-FL(^  _  z 


47c  V  dz 


On  trouve  d'ailleurs 


df    I     (Ig     ^     dh 
d:v  dij  dz 


et 


W==/.AV=j^.../.(gr+|^ 


]i' 


YJ'-' 


74.  Discussion.  —  La  théorie  des  cellalcs  ne  peut  pas  plus  être 
adoptée  définitivement  que  celle  du  fluide  inducteur.  Cette  cons- 
titution hétérogène  paraît  cliflicile  à  admettre  pour  les  diélec- 
triques liquides  ou  gazeux  ('Z  sïuUoul  pour  le  vide  ini er plané l aire, 
J'ai  tenu  néanmoins  à  exposer  ces  deux  théories  :  elles  seraient 
incompatil^les  si  on  les  regardait  comme  exprimant  la  réalité 
ol)jective,  elles  seront  toutes  deux  utiles  si  on  les  considère 
comme  provisoires.  Si  je  m'étais  jjornéîi  développer  Tune  d'elles, 
j'aurais  laissé  croire  (ce  que  croient  l)ien  des  personnes,  mais  ce 
(j[ui  me  semble  faux)  (|ue  Maxwell  regardait  le  déplacement  élec- 
trique comme  le  véritable  déplacement  d'une  véritable  matière. 

Le  fond  de  sa  pensée  est  bien  dillerent  comme  nous  le  ver- 
rons plus  loin. 


CHAPITRE  IV 


DÉPLACEMENT   DES    CONDUCTEURS    SOUS    L'ACTION 

DES    FORCES    ÉLECTRIQUES 

THÉORIE   PARTICULIÈRE  A  MAXWELL 


31 


"À" 
1\ 


75.  Forces  s' exerçant  entre  conducteurs  èlectrisés,  — Jus- 
qu'ici, nous  avons  supposé  dans  notre  étutle  que  les  conducteurs 
électrisés  restaient  immobiles.  Or^  nous  savons,  par  exemple,  que 
deux  conducteurs  électrisés  se  repoussent  ou  s'attirent  suivant 
qu'ils  sont  chargés  d'électricité  de  même  nom  ou  d'électricité  de 
noms  contraires.  L'électricité  agit  doue  sur  la  matlèr(^  Qu(îlle  est 
la  nature  de  cette  action  ?  C'est  ce  ([ue  nous  ne  pouvons  dire  avec 
précision^  ignorant  la  nature  de  la  cause  de  Factiou,  la  nature  de 
rélectricité.  Toutefois  nous  n'avons  nullement  Ix'soin  de  la  con- 
naître pour  avoir  la  valeur  de  la  lorce  (piI  s'oxcrce  enti'e  deux 
conducteurs  ;  il  nous  suilit  d'applicpun'  le  j)rin('ipe  de  la  conser- 
vation de  l'énergie. 

En  ell'et,  considérons  deux  conducleui's  C  r\  {':  p()ss(''dant  des 
charges  électri([ues  M  et  ^l'.  Suppos(Mis  ([ne  le  conducUuir  (] 
puisse  se  déplacer,  mais  sans  loui'uer  anioiir  de  son  eenlre  de 
gravité.  La  connaissance  des  coordonné<'s  ;,  y^,  '^  de  ee  point  suf- 
fira alors  pour  définir  la  [)osilIon  de  C  dans  r('spa<'<'.  I/<MH'i'gie 
potentielle  du  système  des  deux  conducteni's  d('p;'n(l  ('vid<Mnnu.ml 
de  la  position  du  conducteur  C  |)ar  l'apport  au  eondueteui'  iV  et 
aussi  des  charges  de  ces  conducteurs.  La  position  de  C  se  trouvanl 
définie,  d'après  notre  hypothèse,  par  les  coordonm-es  de  son  cmitre 
de  gravité,    rénergic   potentielle  W   du   système    est    donc  une 


FORCES  ENTRE  CONDUCTEURS  ÉLECTRISÉS  67 

fonction  de  ces  coordonnées  et  des  charges  M  et  M^  ;  nous  pou- 
vons poser 

W  =  F(?,-0,Ç,M,M'). 

Pour  que  le  système  soit  en  équilibre,  il  faut  appliquer  au 
conducteur  mobile  C  une  force  égale  et  contraire  à  la  force 
qu'exerce  sur  lui  le  conducteur  C^  ;  soient  — X,  —  Y,  —  Z  les 
composantes  de  la  force  qu'il  faut  appliquer  à  C.  Puisqu'il  y  a 
équilibre,  la  somme  des  travaux  virtuels  de  toutes  les  forces 
agissant  sur  le  système,  tant  intérieures  qu'extérieures,  doitétre 
nulle.  Pour  un  déplacement  0$  du  centre  de  gravité  de  C  le  travail 
de  la  force  extérieure  est  —  XoL  celui  des  forces  intérieures  est 

oç  ;  nous  avons  donc 


dl 


Nous  tirons  de  cette  équation  pour  la  valeur  de  la  composante  X 
de  la  force  exercée  par  C^  sur  C, 


X  = 


76. —  L'hypothèse  la  plus  simple  et  la  plus  naturelle  (pie  l'on 
puisse^  faire  pour  expliquer  les  allracllons  et  répulsions  entre 
conducteurs  électrisés  est  d'attril)iu;r  ces  actions  il  l'élasticité  du 
(luide  répandu  entre  les  conducteurs  et  de  chercher  à  ap[)li([uerà 
ce  (hiide  les  principes  ordinaires  delà  théorie  deTélastieité.  Malheu- 
reusenuMit  les  conséquences  de  cette  hypoth(^se  ne  sont  pas  con- 
formes aux  faits  expérimentaux.  Kn  elFet,  dans  un  (hiide  élastnpie 
les  forces  éhisti([ues  résultant  de  déplacements  très  petits  sont  des 
fondions  linéaires  de  ces  déplacements.  Par  conséquent  Thypo- 
thèse  dans  hujuelle  nous  nous  sommes  placés  conduirait  il  admet- 
tre que  la  force  (pii  s'exei'ce  entre  deux  conducteurs  électrisés  est 
une  fonction  linéaire  des  charges  électricpies  des  conducteurs. 
11  en  résulterait  qu'en  doublant  les  charges  de  chaque  conducteur 
on  devrait  avoir  une  force  double;  or,  on  sait  que  si  les  charges 
de  deux  conducteurs  viennent  il  être  doublées  la  force  qui  s'exerce 
entre  eux  est  quadruplée. 

Bien  d'autres  hypothèses  ont  été  proposées  pour  expliquer  cette 


68  DÉPLACEMENT  DES  CONDUCTEURS  ÉLECTRJSÉS 

action  des  conducteurs  électrîsés.  Si  quelques-unes  ont  le  mérite  1  ;;* 

de  conduire  à  des  conséquences  conformes  à  l'expérience  elles 
présentent  Tinconvénient  d'être  compliquées  et  aucune  raison  ne 
peut  être  invoquée  pour  faire  préférer  l'une  de  ces  théories  à 
l'autre .  Aussi,  ne  nous  étendrons-nous  pas  sur  ce  sujet  et  nous 
bornerons-nous  à  exposer  la  théorie  que  Maxwell  a  proposée. 


% 


X  =  p-^,        Y=-?-^,       X 


P  ■ 


d.T  '  '    dy'  '    dz 

Dans  l'idée  de  Maxwell,  qui  dans  toutes  ses  théories  cherche  à 
éviter  l'hypothèse  des  actions  électriques  s'exerçant  à  distance, 
les  répulsions  et  les  attractions  des  conducteurs  sont  dues  à  des 
pressions  sur  la  matière  pondérable  se  transmettant  à  travers  la 
matière  diélectrique.  —  Cherchons  la  résultante  de  ces  pres- 
sions. 


77.  Théorie  de  Maxwell.  —  Prenons  un  élément  de  volume  cZt  ^ 

d'un  conducteur  électrisé  et  soit  p  la  densité  de  Télectricité  libre 
au  centre  de  gravité  de  cet  élément.  Par  électricité  libre  nous  | 

entendons  dans  la  théorie  des  deux  fluides,  l'excès  de  l'électricité 
positive  sur  l'électricité  négative  ;  et  dans  la  théorie  du  fluide 
unique  l'excès  de  l'électricité  contenue  dans  l'élément  sur  la 
quantité  que  ce  même  élément  contiendrait  à  Tétat  neutre.  Les 
deux  théories  sont  d'ailleurs  absolument  équivalentes. 

La  masse  électrique  de  ^élément  est  donc  pd'z^  et  si  ^  est  la 
valeur  du  potentiel  au  centre  de  gravité  la  force  qui  s'exerce  sur 
cette  masse  électrique  a  pour  composantes 

,     dûj  y     dij  y    dii 

-P^^-^,       -P^^-^,        -P^^^-JT- 

L'expérience  nous  apprend  que  la  force  qui  agit  sur  Télé  ment 
matériel  lui-même  est  égale  à  celle  qui  agit  sur  l'électricité  qui 
y  est  contenue  et  par  conséquent  que  cet  élément  ne  pourra  se 
maintenir  en  équilibre  que  si  on  lui  applique  une  force  destinée  à 
contrebalancer  l'attraction  électrostatique. 

Si  on  appelle  X^t,  Yd-z,  Tjdz  les  composantes  de  cette  force,  on 
devra  avoir  : 

diff  dà  ^, d^ 


PRESSrON  SUM  UN  ÉLÉMENT  DE  SURFACE  69 

78.  —  La  pression  qui  s'exerce  sur  un  élément  de  surface  n'est 
pas  nécessairement  normale  à  cet  élément.  Désignons  par 

l\:,dio,  V^yd^,  Px=^^^? 

les  composantes  suivant  les  trois  axes  de  la  pression  qui  s'exerce 
sur  un  élément  perpendiculaire  à  l'axe  des  x  ;  par 


P„^(^0), 


\^yydiù, 


Vy-diù^ 


les  composantes  de  la  pression  sur  un  élément  perpendicul^' 
à  Oy  ;  enfin  par 

P./J?W,  V.ydlùy  '^^^diù^ 

les  composantes  sur  un  élément  perpendiculaire  à  Oz.  Ces  iiu 
quantités  suffisent  pour  déterminer  la  pression  sur  un  élément  de 
surface  orienté  d'une   manière  quelconque.  D'ailleurs,   ces  neuf 
quantités  se  réduisent  à  six.  En   effet  la  théorie    de  l'élasticité 
nous  apprend  qu'on  doit  avoir: 

(o\  P    — P  P     — P  P     =P 

79.  —  Considérons  maintenant  un  parallëlipipède  rectangle 
(fig.  9)  dont  les  arêtes,  que  nous  supposeroiis  parallèles  aux  axes  de 
coordonnées,  ont  pour  longueurs 
dx,  dij,  dz-,  et  écrivons  que  ce 
parallélipipède  est  en  équilibre 
sous  l'action  des  pressions  qui 
s'exercent  sur  ses  laces  et  sous 
l'action  delà  force  extérieure  dont 
les  composantes  sont  Xrfx,  Y<:fc, 
Zd-z, 

Les  équations  qui  expriment 
que  la  somme  des  moments  des 
forces  par  rapport  à  chacun  des 
trois  axes  de  coordonnées  est  nulle 
conduisent  précisément  aux  rela- 
tions ['2).  Exprimons  donc  seulement  que  la  somme  des  compo- 
santes suivant  un  des  axes  des  forces  qui  agissent  sur  le  parallé- 
lipipède est  nulle. 

La    pression  qui   s'exerce  sur  la  face  ABCD    a   pour  compo- 
sante parallèle  à  Ojt,  I\^  dij  dz\  la  pression  qui  s'exerce  sur  la  face 


l^^'g"-  9- 


7i>  DÉPLACEMENT  DES  CONDUCTEURS  ÉLECTRISÉS 

opposée  EFGH  a  pour  composante    suivant  la   même  direction 
""      ■  '^■'^   cf.'r)  <i?/ <:fe.  Nous  adopterons  la  notation  de  Maxwell 


\   "^    '       dx 

qui  regarde  les  tensions  comme  positives  et  les  pressions  comme 
négatives  ;  la  résultante  de  ces  deux  forces  se  réduit  alors  a 
leur  somme  algébrique. 

d?  dP 

r±^dxdydz  =  ^^d-., 
dx  dx 

Nous  trouverions  de  la  même  manière  pour  la  somme  algé- 
brique des  composantes  parallèles  à  Ox  des  pressions  qui 
s'exercent  sur  les  autres  faces  du  parallélipipède. 

<r/P  dP 


dij       "'         dz 

La  somme  de  ces  quantités  doit  être  égale  à  —  Xd^  ;  nous 
avons  donc 

^P,,  d?,,,  ./P,,,  ,Z,f; 

dx  dy  dz  '         dx 

En  écrivant  que  les  sommes  des  composantes  des  pressions 
suivant  les  axes  des  y  et  des  ,3  sont  égales  aux  composantes  de  la 
force  extérieure  suivant  les  mêmes  axes,  nous  obtiendrons  deux 
équations  analogues.  En  divisant  les  deux  membres  de  cbacune 
de  ces  équations  par  dx,  nous  aurons,  en  tenant  compte  des  rela- 
tions (2)  : 


^^-_  +  i_^^^/-     I      ^^1^.^"   ^        .    4 


(3) 


dx  dij    ^     dz  '^    dx 


dir  dy  dz  '    dy  ' 

d]\,,     ,     dP,„     .     dP,.  d'h 


dx  "^  dy  ^  dz  ~    ?in,' 

.80.  —  Ce  système  de  trois  équations  contient  six  inconn 


ucs  : 


PRESSION  SUR  UN  ÉLÉMENT  DE  SURFACE 


71 


il  admet  donc   une  infinité  de  solutions.  Maxwell  prend  la  sui- 
vante : 


8t.  l\d.vj  \ch/ 


dz) 


dij  J         \dzj  J 
'■'^~    %^Wdy)  \dz)         \dx]  J 


P.. 


(4) 


8t.  Wdz)         \dx/         \dij}  \ 

p  _p  _JSi^4 

"^  "~    "■'  ~  4t.  d.v    dy 

p  _p  -Ji^l^ 

i=!/— i,,,  —    ^^    ^^^y     ^i. 


p       =rP       = 


_K  4  4^ 

4  TU    (Tjl'.r     dz 


Montrons  que  ce  système  de  solutions  satisfait  bien  aux  équa- 
tions (3).  On  a 


dx 


K   /4  d'i^        4     d'Jj         dJj    d'ij 
^iz  \  dx    dxr'         dy    dxdy         dz   dxdz  )  ^ 


^p,. 


K    Id^  d-'\        d'h    d}<]f 


dy  4''^   V  dx  di/         dy  d.fdy  J  ' 

dP.,.        K 


dz 


_K_  /_4  ^         _4     dr'\>  \ 
4-   \  d.v  dJ  ~^  TE  ^&ï/.j  /  ^ 


et  le  premier  membre  de  lu  première   équation  dcvicul,  après 
réduction, 

K    d'\>    /d^\>       d''\>        J-d-N,         K     4 


on  a 


4'ît:    cte    V'^'i-'^    '    '■/!/'     '     '(':■/         4'i^    '^■'^ 
Or  on  a  vu    (12)  <iuc  dans  un  milieu  diélectrique  homogène, 


Par  conséquent  le  premier  membre  de  l'équation  considérée 

peut  s'écrire 

d'h 


7a  DÉPLACEMENT  DES  CONDUCTEURS  ÉLECTRISÉS 

ce  qui  montre  que  cette  équation  est  satisfaite.  On  s'assurerait  de 
la  même  manière  que  les  deux  dernières  des  équations  (3)  sont 
vérifiées  par  la  solution  adoptée  par  Maxwell.  'f 

81.  —  Prenons  pour  axe  des  ^  la  direction  de  la  force  élec- 
tromotï'ice  en  un  point  et  pour  axes  des  ?/  et  des  .z  deux  droites 
rectangulaires  perpendiculaires  à  cette  direction.  Si  nous  dési- 
gnons par  F  la  valeur  absolue  de  la  force  électifcmotrice,  nous 
avons  dans  ce  nouveau  système  d'axes 

dx  '       dy  '      d.z 

En  portant  ces  valeurs  dans  les  relations  (4),  nous  obtenons 

P  =^ 

p  ^p  =_^ 


p^  __        p  ;^         P^       ,^       p_^^  ,^         p_^  ^^         p^         ^^  ç^^ 

Il  résulte  de  ces  égalités  que  la  pression  sur  un  élément  de 
surface  perpendiculaire  à  la  direction  de  la  force  éleciromotrlce 
ou  parallèle  à  cette  direction  est  normale  à  cet  élément.  Sur  un 
élément  oblique  par  rapport  à  cette  direction,  la  pression  est 
oblique  ;  la  composante  suivant  la  direction  de  la  force  électro- 
motrice étant  positive,  il  y  a  ienaion  suivant  cette  direction  ; 
pour  une  direction  normale  la  pression  est  négative,  il  y  a  donc 
d'après  la  notation  adoptée  par  Maxwell,  pression  au  sens  propre 
de  ce  mot  suivant  cette  direction.  En  outre  la  tension  qui 
s'exerce  sur  un  élément  perpendiculaire  à  la  force  électromotrice 
et  la  pression  qui  s'exerce  sur  un  élément  parallèle  a  cette  force 
sont  égales  en  valeur  absolue. 

82.    Discussion.    —    La    théorie    précédente,    considérée    en  ^^ 

elle-môme,  rend  bien  compte  des  lois  connues  des  attractions 
électrostatiques.  Si  on  l'adopte,  il  faudra  admettre  que  ces  attrac- 
tions sont  dues  à  des  pressions  et  à  des  tensions  qui  se  déve- 
loppent dans  un  fluide  élastique  particulier  qui  remplirait  les 
diélectriques.  -^ 


i. 


PJRUSSION  SUB  UN  ELEMENT  DE  SURFACE  73 

Mais  il  faudra  supposer  en  même  temps  que  les  lois  de  Télas- 
ticité  de  ce  fluide  diffèrent  absolument  des  lois  de  l'élasticité 
des  corps  matériels  que  ijous  connaissons,  des  lois  de  l'élasticité 
admises  pour  l'éther  luminifère,  qu'elles  diffèrent  enfin  des  lois 
que  nous  avons  été  conduits  à  admettre  pour  l'élasticité  du  fluide 
inducteur. 

Pour  ces  deux  fluides  hypothétiques  en  effet,  comme  pour  le: 
fluides  pondérîîbles    eux-mêmes,  les  forces  élastiques  sont  p^ 
portionnelles  aux  déplacements  qui  les  produisent,  et  il  f 
de  même  des  variations  de  pression  dues  à  l'action  de  ce 
La  pression,  quelles  que  soient  d'ailleurs  les  hypothèses 
mentaircs  que  l'on  fasse,  devrait  donc    s'exprimer  linéaire^ 
à  l'aide  du  potentiel  et  de  ses  dérivées.  Au  contraire  nous  venons 
d'être  conduits  à  des  valeurs  de  la  pression  qui  sont  du  oS'  degré 
par  rapport  aux  dérivées  du  potentiel. 

Une  fois  que,  rompant  avec  des  habitudes  d^esprit  invétérées, 
nous  aurons  consenti  à  attribuer  ces  propriétés  paradoxales  au 
fluide  hypothétique  qui  remplit  les  diélectriques,  nous  n'aurons 
plus  d'ol)jection  à  faire  à  la  théorie  précédente  considérée  en 
elle  même.  Mais  cependant,  si  elle  n'implique  pas  de  contradic- 
tion interne,  on  peut  se  demander  si  elle  est  compatible  avec 
les  autres  théories  de  Maxwell,  par  exemple  avec  la  théorie  du 
(l<q)laceinent  élecl,rî([ue  que  nous  avons  exposée  plus  haut  sous 
le  nom  <h^  théories  du  fhiide  inducteur. 

Il  est  évid(^nt  (pie  la  conciliation  entre  ces  deux  théories  est 
inq^ossible;  car  nous  avons  été  conduits  à  attri])uer  au  lluide 
inducteur  luie  pression  égale  à  'i  ;  au  contraire  dans  la  théorie 
nouvelh^  la  pr(\ssion  du  fluide  qui  remplit  les  diélectriques  a  une 
valeur  toute  différente. 

Il  n(^  faut  [)as  attrll>uer  à  cette  contradiction  trop  dlmpor- 
tance.  j'ai  rxposé  plus  haut  en  effet  les  raisons  qui  me  font  pen- 
ser (ju(^  Maxwell  ne  regardait  la  théorie  du  déplacement  élec- 
trique ou  du  fluide  inducteur  ([ue  comme  provisoire,  et  que  ce 
thiide  inducteur  au<[U(d  il  conservait  le  non\  d'électricité,  n'avait 
pas  h  ses  yeux  pUis  de  réalité  objective  que  les  deux  fluides  de 
Couh)mb. 

83.  —  Malheureusement  il  y  a  une  difïiculté  plus  grave.  Pour 


74  DÉPLACEMENT  DES  CONDUCTEURS  ÉLECTRISÉS 

Maxwell,  et  c'est  un  point  auquel  il  tenait  évidemment  beaucoup, 
l'énergie  potentielle, 


w=  /  ~{r+g'-+h^-)ch 


est  localisée  clans  les  divers  éléments  de  volume  du  diélectrique, 
de  telle  façon  que  l'énergie  contenue  dans  l'élément  d^  a  pour 
valeur 

ou,  en  supposant  K  =  i,  pour  simplifier,  et  appelant  F  la  force 
électromotrice  ; 


Si  donc  F  subit  un  accroissement  très  petit  cl¥ ,  cette  énergie 
devra  subir  un  accroissement  égal  à  : 

Nous  prendrons  comme  élément  de  volume  ch  un  parallélipi- 
pède  rectangle  infiniment  petit  dont  une  arête  sera  parallèle  à  la 
force  électromotrice  F  et  dont  les  trois  arêtes  auront  pour  lon- 
gueurs a,  [B  et  y,  de  telle  sorte  que 


Cherchons  une  autre  expression  de  cette  énergie. 

Il  est  naturel  de  supposer  que  cet  accroissement  rfW  de  réncr- 
gie  localisée  dans  cet  élément  ch  est  du  au  travail  des  pressions 
qui  agissent  sur  les  faces  de  ce  parallélipipède.  Les  arêtes  du 
parallélipipède  qui,  lorsque  les  pressions  sont  nulles,  ont  pour 
longueurs  a,  [3,  y,  prennent  sous  l'influence  de  ces  pressions  des 
longueurs 

a(i+£j,  ?(i+s,),  Y(ï+s,). 

Si  nous  supposons  que  ces  quantités  s^,   s,,  £3,   prennent  des 


•f 


PRESSION  S  un  UN  ÉLÉMENT  DE  SURFACE  7$ 

accroissements  ch^^  rfs^,   ch^,   les  travaux  des  pressions  P^.,,  P^^, 
P^^,  sur  les  diverses  faces  du  parallélipipëde  seront 


.ch,= 

F^ 

8^ 

■ck 

ch. 

î 

871    ' 

{ide,= 

— 

F' 
8k 

■  ck 

'à-. 

Yh  = 

— 

dx 

ch,. 

La 

somme 

de 

ces  travaux  est 

172 

7     /  7 

\ 

-r. —  (h  (de,  —  de.,  —  dz^i . 
8-       /     ^  ^  ^^ 

Si  nous  attribuons  l'énergie  potentielle  aux  travaux  des  pres- 
sions, nous  devons  avoir  égalité  entre  ces  travaux  et  la  varia- 
tion dW  de  Ténergie,  c'est-à-dire 

F^  2F  dV 

-r —  d'z  (ds.  —  de.,  —  de.,)  =  --r: —  dx, 
87c        ^     ^  ^  ^^  87c  ' 

ou, 

2dF 

de^  —  de.^  —  de^  -. 


F 


En  intégrant  nous  ol)teTn)ns 


2^. c_^ £^  r=:  'A    log  F  +  COUS  t. 

Co  résultat  c^st  inadmissible,  car  dans  l'état  d'équililjre,  nous 
avons  F=^M)  et  l'égalité  précédent(^  ne  pourrait  alors  avoir  lieu 
([ue  si  e^  ou  e.^  dev(Miait  infini,  c()nsé<pnnice  évidemment  al)surde. 

84.  —  La  tbéori(^  du  Jj  77  est  donc  incompatible  avec  l'bypo- 
ibèse  (ondamentab^  de  la  localisation  de  l'énergie  dans  le  diélec- 
tricpu',  si  Ton  regai'd(^  cette  énergie^  comme  polenùelle.  11  n'en 
S(M.'ait  plus  de  ménu'.  si  Ton  regardait  cette  énergie  comme  clnè- 
I'kjuc^  c'(\st-î»-dire  si  Ton  supposait  ([ue  le  diélectrique  est  le 
sièg(^  d(^  mouv(nn(Mits  tourl)illonnalres  et  que  W  représente  la 
forcc^  vive  due  à  ces  mouvements.  Mais  on  ne  peut  encore  adopter 
cette  interprétation  de  la  pensée  de  Maxwell  sans  se  heurter  à 
de  grandes  dlCficultés. 


f 


76  DÉPLACEMENT  DES  CONDUCTEURS  ÉLECTRTSÉS  ||. 

Lorsque  le  savant  anglais  applique  les  équations  de  Lagrange  'A* 

"    lo    tViAnri'e    des    pliénomènes    électrodynamiques,    il    suppose  If 

*,   comme  nous  le  verrons  plus  loin,  que  l'énergie  % 


27C 


~    if+s'-  +  h-)ch 


l'énergie  potentielle   et  que  l'énergie   électrodynamique 
ire  cinétique. 

îrve-t-il  l'explication  par  les  mouvements  tourbil- 
ur  les  attractions  magnétiques  et  électrodynamiques 
e-t-il  pas  à  l'appliquer  aux  phénomènes  électrosta- 


rête    ici    cette   longue    discussion    qui    me    semble    avoir  ? 

uvé  que   la  théorie  précédente,   parfaitement  acceptable  en 
i-mème,  ne   rentre  pas   dans  le   cadre   général   des  idées  de  A 

Maxwell.  ^ 

On  pourrait,  il  est  vrai  supposer  que  rénergie  électrostatique 
W  représente  de  la  force  vive,  comme  l'énergie  électrodyna- 
mique, mais  qu'elle  en  diffère  parce  qu'elle  est  la  force  vive  due 
h  des  mouvements  beaucoup  plus  subtils  encore  que  ceux  qui 
donnent  naissance  à  l'énergie  électrodynamique.  Je  ne  crois  pas 
qu'il  y  ait  grand  avantage  à  développer  une  interprétation  aussi 
compliquée  ;  en  tout  cas  on  n'en  voit  pas  de  trace  dans  le  Traité 
de  Maxwell  sous  sa  forme  définitive.  -h 


CHAPITRE    V 

ÉLEGTROKINÉTIQUE 


85.  Conducteurs  linéaires.  —  La  propagation  de  l'électricité, 
en  régime  permanent  dans  les  conducteurs  linéaires  est  réglée 
par  deux  lois  :  la  loi  de  Ohm  et  celle  de  Kirchho/f. 

D'après  la  première,  la  force  électromotrice  qui  agit  entre  les 
extrémités  d'un  conducteur  est  proportionnelle  à  la  quantité 
d'électricité  qui  traverse  l'unité  de  section  de  ce  conducteur 
pendant  l'unité  de  temps.  Dans  le  cas  oii  la  section  du  conduc- 
teur est  partout  la  môme,  comme  dans  un  fil  cylindrique,  la 
force  électromotrice  est  proportionnelle  à  la  quantité  d'élec- 
tricité qui  passe  à  travers  cette  section  pendant  l'unité  de  temps. 
Cette  quantité  est  appelée  V intensité  du  courant  qui  parcourt  le 
conducteur  ;  nous  la  désignerons  par  i.  Si  le  conducteur  est 
homogène  et  si  aucun  de  ses  points  n'est  le  siège  de  forces 
électromotrices,  la  force  élcctromotricc  entre  ses  extrémités  est 
égale  à  la  diderencc  J/^  —  \.,  des  valeurs  du  potentiel  en  ces 
points  et  la  loi  de  Ohm  conduit  à  la  relation 

Mais  dans  le  cas  le  plus  général  il  existe  en  différents  points 
du  conducteur  des  forces  électromotrices  qui  sont  dues  soit  a 
un  défaut  d'homogénéité,  soit  à  des  phénomènes  calorifiques 
ou  chimiques,  soit  cnlin  à  des  effets  d'induction.  Ya\  désignant 
par  SE  la  somme  des  forces  électromotrices  de  cette  nature 
qui  existent  en  divers  points  du  conducteur  linéaire,  nous  avons 
alors 

(i)  Ri==J;^  — ^,  +  SE. 


78  ÉLECTROKINÉTIQUE 

Dans  ces  deux  formules  R  est  ce  qu'où  appelle  la  ?'ésistance 
du  conducteur.  Cette  résistance  est  liée  a  la  longueur  l  et  à  la 
section  dtù  clu  conducteur  par  la  relation 

où  C  est  un  facteur  ne  dépendant  que  de  la  nature  du  conduc- 
teur et  qu'on  nomme  coefficient  de  conductiçité. 

La  loi  de  Kirchhoff  n'est  autre  que  l'application  du  principe  de 
continuité.  D'aj^rès  cette  loi,  si  plusieurs  conducteurs  linéaires 
aboutissent  en  un  même  point  de  l'espace ,  la  somme  des  inten- 
sités des  courants  qui  les  traversent  est  nulle. 

86.  Nouvelle  expression  analytique  de  la  loi  de  Ohm.  —  Si 
nous  portons  dans  la  formule  (i)  la  valeur  de  la  résistance  donnée 
par  la  relation  (2)  nous  obtenons 

Considérons  un  élément  infiniment  petit  de  longueur  d.v  du 
conducteur.  Appelons  — d'I  la  différence  des  potentiels  entre 
deux  extrémités  quand  on  se  déplace  dans  le  sens  du  flux  d'élec- 
tricité, et  Xd,v  la  variation  des  forces  électromotrices  de  toute 
autre  nature.  L'équation  précédente  devient  alors 

ùLr  -,       ^^  , 

_~~  =  _  r/i  +  XJj: 
Lat.o  ' 

ou 

/  d'I 

r-  +  X. 


Cd(j}  dx 

INIais  puisque  /est  la  quantité  d'électricité  qui  traverse  pendant 
l'unité  de  temps  la  section  du  cojulucteur,  le  quotient  est  la 

vitesse    du   déplacement    de   l'électricité  ;    en    appelant    u   cette 
vitesse  nous  avons 

(3)  f  =  -#  +  ^. 

équation  équivalente  à  la  loi  de  Ohm  dans  le  cas  d'un  conducteur 
linéaire. 


CONDUCTEURS  DE  FORME  QUELCONQUE  79 

87 .  Conducteurs  de  forme  quelconque.  —  L'analogie  de  la  con- 
ductibilité électrique  et  de  la  conductibilité  calorifique  conduit  à 
.étendre  la  loi  de  Ohm  aux  conducteurs  a  trois  dimensions.  D'ail- 
leurs cette  extension  se  trouve  justifiée  par  la  concordance  des 
conséquences  théoriques  et  des  faits  expérimentaux  observés 
dans  quelques  cas  particuliers. 

Admettons   donc  cette    généralisation   de  la  loi  de  Ohm.  Si 
nous    appelons   A    le   potentiel    en   un    point    quelconque    d\ir 
élément  ch  du  conducteur,  X,  Y,  Z  les  composantes  de  ] 
électromotrice  d'origine  quelconque  qui  s'exerce  en  ce  f 
enfin,  z^,  <>>,  w  les  composantes  de  la  vitesse  de  rélectrici 
point,  nous  aurons  pour  chacune  des  directions  parallc*^ 
axes  de  coordonnées  une  relation  analogue  à  la  relation  (3).  Ce;. 
trois  relations  sont 


X, 


(4)  {^  =  -"1^+^^ 


\v 


cVj 


C  "~^       dz 


z. 


Remarquons  que  ?/,  c,  \v  désignenl  h's  mêmes  quanliLcs  qu'en 
éleetricUé  slali(|uc  :  les  composantes  de  la  vilessc  de  déphicè- 
meiit  électrique.  Ce  sont  donc  encore  les  dérivées  par  rapport  au 
temps  des  convposantes  f\  i^\  h  du  déplacement  de  Max^\'ell. 

Quant  il  lu  loi  de  Kirchhoir,  il  est  évident  cpi'elle  peut  être 
étendue  aux  couducLeurs  à  trois  dimensions  puis(prelle  n'esl 
(ju'uue  conséquence  du  principe  de  la  continuité.  Les  iiitensités 
étant  proportionnelles  à  //,  p,  (r,  cette  loi  conduit  à  la  relalion 

du  ds'  dn' 

d.r  dij  dz  _ 

Dans  la  théorie  de  Maxwell  où  rélectricité  est  supposée  incom- 
pressible, cette  relation^  qui  exprime  la  condition  d'incompres- 
sibilité du  fluide,  est  toujours  satisfaite,  que  le  régime  perma- 
nent soit  atteint  ou  ne  le  soit  pas. 


8o  ÉLECTROKINÉTJqUE 

88.  Différences  entre  les  courants  de  conduction  et  les  cou- 
rants de  déplacement.  —  Suivant  Maxwell,  le  fluide  inducteur 
qui  remplit  un  milieu  diélectrique  tend  à  se  déplacer  sous  Tin- 
fluencedes  forces  électromotrices  comme  Télectricité  qui  remplit 
un  milieu  conducteur.  Mais  tandis  que  dans  le  premier  cas  ce 
déplacement  s'arrête  bientôt  grâce  à  la  réaction  élastique  du  fluide 
inducteur,  il  n'en  est  plus  ainsi  dans  le  second,  le  fluide  répandu 
à  l'intérieur  des  milieux  conducteurs  ne  jouissant  pas  de  pro- 
priétés élastiques.  Il  en  résulte  que  les  courants  de  déplacement 
ne  peuvent  durer  que  pendant  le  temps  très  court  nécessaire  à 
l'établissement  de  l'équilibre.  Au  contraire  les  courants  de 
conduction  peuvent  se  maintenir  tant  qu'un  agent  extérieur 
maintient  une  force  électromotrice  entre  deux  points  d'un  con- 
ducteur. C'est  là  une  première  diflerence  entre  les  courants  de 
conduction  et  les  courants  de  déplacement. 

Une  seconde  différence  résulte  des  équations  qui  expriment 
les  lois  auxquelles  obéissent  ces  courants.  Les  équations  (4)  éta- 
blies pour  les  courants  de  conduction,  peuvent  s'écrire 

cLv  ~  C  ' 

15)  ^     ^^^  Y  ^' 

l    dz  '~  C  ' 

D'autre  part,  nous  avons  montré  (72)  que  s'il  existe  à  rinlé- 
rieur  d'un  diélectrique  des  forces  éleclromotrices  (<iue  nous 
avons  supposées  dues  à  l'induction,  mais  que  nous  pourrions 
supposer  d'une  autre  nature  s'il  était  possil^lo  d'en  concevoir), 
les  équations  des  courants  de  déplacement  doivent  s'écrire 


(6) 


4 

=  X- 

4a 

cbl 

4- 

dll 

==Y- 

K  ^■" 

4 

dz 

=3Z  — 

■!?"• 

COURANTS  DE  CONDUCTION  ET  COURANTS  DE  DÉPLACEMENT       Si 

Le  rapprochement  des  équations  (5)  et  (6)  fait  voir  immédiate- 
ment que  tandis  que  les  courants  de  déplacement  dépendent  de 
la  grandeur  du  déplacement,  les  courants  de  conduction  dépendent 
de  la  vitesse  de  ce  déplacement. 

89.  —  Pour  bien  comprendre  la  différence  qui  en  résulte  pour 
les  deux  courants  prenons  les  deux  exemples  suivants   comme 
termes  de  comparaison.  En  premier  lieu  supposons  qu'on  «^l^^v 
un  corps  pesant  le  long  d'un  plan  incliné  où  le  frotter 
nul  ;    on    accomplit   un   travail    qui   se  retrouve  sous  1 
d'énergie    potentielle    sensible.    Supposons    maintenant 
mouvement  s'eflectue  sur  un  plan  horizontal  où  le  frottemuu 
considérable  ;  quand  la  puissance  cessera  d'agir  le  corps  rester» 
en   repos  ;    le   travail   accompli  ne  se  retrouve  plus  sous  forme 
d'énergie  potentielle  sensible,  il  se  retrouve  sous  forme  de  cha- 
leur. Dans  le  premier  cas  le  travail  dépend  du  déplacement  du 
corps,  dans  le  second  de  sa  vitesse.  Nous  trouvons  quelque  chose 
d'analogue  dans  les  deux  espèces  de  courants  :  la  production  de 
courants    de    déplacement  produit    une   variation    de   l'énergie 
potentielle  du  système  qui  dépend  du  carré  du  déplacement  ;  les 
courants    de    conduction    donnent    lieu    à    un    dégagement    de 
chaleur. 

Une  autre  comparaison  empruntée  à  l'hydrodynamique  permet 
également  de  se  rendre  compte  de  la  diderencc  qui  existe  entre 


D 

C 

N 

^ 

F  A 

Fi''-.    10. 


les  deux  espèces  de  courants.  Prenons  une  pompe  P  (fig.  lo) 
portant  deux  tubes  latéraux  AB  et  FE  communiquant  entre  eux 
par  deux  tubes  verticaux  BC  et  ED  et  par  un  tube  horizontal  CD. 
Supposons  cette  pqmpe  remplie  de  mercure,  ainsi  qu'une  partie 

PoiKCAKK.  Electricité  et  Ox)tîquc.  6 


.  4 


ÊLECTROKINÉTIQUE 

...  tubes,  et  soient  M  et  N  les  niveaux  du  mercure,  situés  à 
l'origine  clans  un  même  plan  horizontal,  clans  les  tubes  verticaux. 
Admettons  enfin,  que  le  tube  CD  et  les  parties  des  tubes  verti- 
caux, non  occupées  par  le  mercure,  sont  remplies  d'eau.  Si  nous 
faisons  fonctionner  la  pompe,  un  courant  liquide  se  produit  dans 
l'appareil  et  dans  un  certain  sens,  le  sens  ABCDEF  par 
exemple,  et  le  niveau  du  mercure  s'élève  en  M  et  s'abaisse  en  N, 
jusqu'à  ce  que  la  différence  de  niveau  donne  lieu  à  une  pression 
suffisante  pour  empêcher  le  jeu  de  la  pompe.  Le  travail  dépensé 
est  alors  employé  à  produire  une  différence  de  niveau;  il  se 
retrouve  sous  forme  d'augmentation  de  l'énergie  potentielle  du 
système  et  cette  énergie  dépend  de  la  position  des  niveaux  du 
mercure.  Nous  avons  là  une  image  fidèle  d'un  courant  de  dépla- 
cement. 

Modifions  légèrement  l'appareil  précédent.  Donnons  aux  tubes 
une  très  faible  section  et  supposons  cjuc  ces  tubes  et  la  pompe 
soient  complètement  remplis  de  mercure.  Quand  on  fait  mou- 
voir la  pompe,  le  mercure  se  déplace,  et  par  suite  de  sa  viscosité 
il  oppose  une  résistance  au  mouvement  du  piston.  Lorsque  cette 
résistance  est  égale  à  la  puissance  qui  agit  sur  la  pompe,  le  mer- 
cure se  meut  avec  une  vitesse  constante  et  ce  mouvement  a  lieu 
tant  c|ue  dure  le  fonctionnement  de  la  pompe.  Le  travail  de  la 
puissance  se  retrouve  sous  forme  de  chaleur  développée  par  le 
frottement  des  molécules  liquides  et  la  quantité  de  chaleur 
dégagée  dépend  de  la  vitesse.  Nous  retrouvons  dans  cet  exemple» 
l'image  complète  d'un  courant  de  conduction  :  régime  variable 
pendant  la  période  d'établissement,  régime  permanent  se  pro- 
duisant ensuite,  transformation  du  travail  en  chaleur. 

90."  Loi  de  Joule.  —  La  quantité  de  chaleur  dégagée  dans  un 
conducteur  traversé  par  un  courant  est,  d'après  la  loi  de  Joule, 
proportionnelle  au  carré  de  l'intensité  de  ce  courant.  Dans  la 
théorie  de  Maxwell  le  travail  nécessaire  pour  vaincre  la  résis- 
tance opposée  par  un  élément  de  volume  ch  à  la  propagation  de 
l'électricité  a  pour  expression 


\^^f  +  -^  ^^S  +  ^  ^^N  ^^'^  ^fi ? 


LOI  DE  JOULE  83 

df^  dg^  dh  étant  les  composantes  cki  déplacement  qui  a  lieu 
pendant  un  intervalle  de  temps  dt.  Cette  expression  peut 
s'écrire  : 

/        df     ,  dg  dh\d'Z     - 

\      dt  dt  dt      C 


• ^  dz  dt. 

Pour  le  conducteur  tout  entier,  ce  travail  est 


Il  est  proportionnel  au  carré  de  l'intensité';  la  quantité  de 
chaleur  qui  résulte  de  sa  transformation  l'est  donc  aussi,  comme 
le  veut  la  loi  de  Joule. 

Maxwell,  dans  son  ouvrage,  consacre  plusieurs  chapitres  inté- 
ressants à  l'étude  de  la  conduction.  Nous  ne  le  suivrons  pas 
dans  tous  les  développements  qu'il  donne  sur  ce  sujet  et  nous 
bornerons  à  ce  que  nous  venons  de  dire  l'exposé  de  l'élcctroki- 
né  tique. 


CHAPITRE   VI 

MAGNÉTISME 


91.  F'iuides  magnétiques.  Lois  des  actions  magnétiques. 
' —   Rappelons  les  points  principaux  de  l'étude  du  magnétisme. 

Nous  savons  que  dans  les  phénomènes  magnétiques  tout  se 
passe  comme  s'il  existait  deux  fluides  magnétiques  jouissant, 
comme  les  fluides  électriques^  de  propriétés  opposées  dans 
leurs  actions  réciproques  :  les  fluides  de  même  espèce  se  repous- 
sent, les  fluides  d'espèces  contraires  s'attirent. 

Les  lois  de  ces  attractions  et  répulsions  sont  identiques  à  celles 
des  actions  des  fluides  électriques  :  la  force  qui  s'exerce  entre 
deux  masses  magnétiques  varie  en  raison  inverse  du  carré  de  la 
distance  et  proportionnellement  aux  masses  agissantes.  En  pre- 
nant pour  unité  de  masse  magnétique  celle  qui,  agissant  sur  une 
masse  égale  placée  à  l'unité  de  distance,  exerce  une  lorce  égale 
à  l'unité,  et  convenant  de  donner  des  signes  contraires  aux 
masses  magnétiques  de  nature  difierente,  nous  avons  pour  la 
valeur  de  la  force  s'exercant  entre  deux  masses  /;^  et  /;^'  placées 
à  une  distance  r, 

j.  nun' 


Dans  ces  conditions  une  force  répulsive  est  négative  ;  une 
force  attractive  est  positive.  La  formule  précédente  a  été  étalVIie 
expérimentalement  par  Coulomb  et  son  exactitude  est  coniirmée 
par  la  concordance  de  ses  conséquences  avec  les  résultats  de 
l'expérience. 

92.  Masse  magnétique  d'un  aimant.  —  La  seconde  loi  fonda- 
mentale du  magnétisme  est  que  dans  un  aimant  quelconque  la 


POTENTIEL  D'UN  ÉLÉMENT  D'AIMANT  85 

somme  algébrique  des  masses  magnétiques,  définies  comme  on 
vient  de  le  voir,  est  nulle.  Cette  loi  découle  du  Tait  expérimen- 
tal qu'un  aimant  placé  dans  un  champ  magnétique  uniforme, 
comme  celui  produit  par  la  Terre,  ne  prend  pas  de  mouvement 
de  translation.  En  effet^  si  la  masse  magnétique  totale  de  Tai- 
mant  n'était  pas  nulle,  l'aimant  serait  soumis  a  une  force  et  non 
à  un  couple  et  cet  aimant  se  déplacerait  sous  l'action  du  champ. 

93.  Constitution  des  aimants.  —  La  rupture  d'un  aimant  en  un 
grand  nombre  de  petits  morceaux  donne  naissance  à  autant  de 
petits  aimants  et  chacun  d'eux  présente    deux  pôles  de   même 
intensité  et  de   signes  contraires.  Rn  rassemblant  ensemble  ces 
petits    aimants    on   reproduit   l'aimant  primitif  avec  toutes  se; 
propriétés.    On  peut  donc  admettre  qu'un  aimant  est  constitué 
par  des  petites  particules  contenant  deux  masses  magnétiques 
égales  et  de  signes  contraires.  La  somme  algébrique  des  masses 
de    chaque  particule  est  nulle  et,  par  suite,  la  masse  totale  d 
l'aimant  tout  entier  est  aussi  nulle,  comme  l'exige  la  loi  précé 
dente.  Cette  hypothèse  sur  la  constitution  des  aimants  n'est  donc 
pas  en  contradiction  avec  l'expérience. 

94.  Potentiel  d'un  élément  d'aimant.  Composantes  de 
l'aimantation.  —  Prenons  une  des  particules  élémentaires,  do 
volume  rfT,  qui  composent  un  aimant  ^  p 
et  cherchons  la  valeur  du  potentiel 
en  un  point  P  (fig.  ii).  Soient  m 
et  —  m  les  masses  magnétiques  pla- 
cées aux  points  infiniment  voisins  A 
et  B  de  cet  clément  ;  /^  ;*^  les  ^  "  '^*  '^'' 
distances    de    ces    points    au    point    P.    Le  potentiel    en    P    est 

7..         7;z  m  /   I  I   \  r,  —  r, 


Abaissons  de  A  la  perpendiculaire  AC  sur  la  droite  BP  ; 
r^ —  j\  est,  à  des  infiniment  petits  du  second  ordre  près,  égal 
il  BC  Avec  la  môme  approximation  nous  avons,  en  appelant  da 
la  distance  AB,  et  s  l'angle  de  OP  avec  la  direction  BA, 

r\  —  j\^z=dacosEy 


86  MAGNETISME 

et  aussi 

r  étant  la  distance  du  point  P  au  point  0. 
Par  suite,  la  valeur  du  potentiel  en  P  est 

,  ,  -^         mda  cos  s 

(0  du-=z 


Transformons  cette  expression  en  y  introduisant  les  compo- 
santes A,  B,  G  de  V aimantation  ou  magnétisation  I.  Ces  compo- 
santes sont  définies  par  les  relations  suivantes 

m  dx  =  A^T,       7ndy  ==  B  ^i-:,       mdz=  Cdi, 

où  dxy  dy^  dz,  désignent  les  projections  de  la  droite  BA  suivant 
trois  axes  rectangulaires. 

Nous  avons,  si  Ç,  v),  Ç  sont  les  coordonnées  du  point  P  et  x^ 
y^  z  celles  du  point  0, 

dx     ?  —  X     ,     dy    7)  —  ?/     ,     dz     Z,  —  z 

cost=— 1-  -j^  — =^  +  -7 ? 

da         r  da         ;-  da         r 

et  par  conséquent  pour  la  valeur  de  c^Q, 

,^  dû  cos  s  (   \  X      ,        .       Ti  —  7/      y       .       Ç — z     y  \ 

dil  =  m 2 =  ^^^  [ 8 —  <^^*^'  H tT^  ^y  H H —  ^^^  )  • 

Mais  le  carré  de  la  distance  du  point  0  au  point  P  est, 

nous  en  tirons 


et 


dx 


7  ^  — 

l — X  I      dr  r 


r^  r'^     dx  dx 

Nous  aurons  de  la  môme  manière 

d ^  d  — 

7'^  dy    '  7'^  dz 


POTENTIEL  D'UN  AIMANT  87 

Nous  pouvons  donc  écrire  : 

d  —  d  —^  d 

dû  ==  /nda;  — r- u  mdi/  — ; \-7ndz  — = — , 

dx  ^     dij  dz 

ou  en  tenant  compte  des   relations    qui    définissent  les   compo- 
santes de  la  magnétisation, 

dù=(  k—j!—-+''^---^+C  — AV-^- 

\        dx  dij  dz  j 

95.  Potentiel  d'un  aimant.  —  Le  potentiel  d'un  aimant  s'ob- 
tiendra en  additionnant  les  potentiels  dus  à  chacun  de  ses  élé- 
ments ;  il  aura  pour  valeur 


Un  aimant  étant  limité  par  une  surface  fermée,  nous  pouvons 
modifier  cette  expression.  En  désignant  par  Z,  /n,  71  les  cosinus 
directeurs  de  la  normale  à  un  élément  dw  de  la  surface  de  l'aimant 
avec  les  axes  de  coordonnées  nous  avons  en  elfet. 


d      A     , 
dx      r 


ou 


SI   nous  transformons   de  la  môme  manière   les  deux  autres 


88  MAGNÉTISME 

termes  de  l'intégrale  qui  donne  il  nous  obtiendrons  pour  cette 
quantité; 

dk     ,     dB     ,     dC 


dio  — 


dx 


dij 


dz 


d-z. 


On  peut  donc  considérer  le  potentiel  en  un  point  comme  résul- 
tant d'une  couche  de  magnétisme  répandue  à  la  surface  de  Tai- 
mant  et  de  densité 

cr  ==  ^A  +  mB  H-  7zC, 

et  d'une  masse  magnétique  occupant  tout  le  volume  de  Faimant 

et  de  densité 

dk.     .    dB     .     dC^ 

dx 


dij 


dz 


96.  —  Remarquons  que  la  relation  de  Poisson  donne  pour  un 
point  extérieur  à  l'aimant  : 

AQ=:0, 


et  pour  un  point  intérieur  : 


dC 


dz 


97.  Potentiel  d'un  feuillet  magnétique.    —     ^Supposons    un 
aimant  limité   par    deux  surfaces   infiniment   voisines   chargées 

de  couches  magnétiques 
éo^ales  et  de  sio'ucs  con- 
traires.  Si  en  chaque  point 
de  hi  surface  la  magnéti- 
sation est  normale  à  cette 
surface,  et  si  le  produit  le 
de  l'intensité  de  magné- 
tisation I  par  l'épaisseur  e 
de  l'aimant  est  constant, 
l'aimant  prend  le  nom  de 
feuillet  /magnétique .  Le 
produit  constant  le  s'appelle  la  puissa/ice  <ï>  du  feuillet. 


Fig.  12. 


FORCE  MAGNÉTIQUE  EN  UN  POINT  EXTÉRIEUR  ^ 

Prenons  un  élément  A  d'aire  diù  sur  la  surface  du  feuillet  ;  la 
charge  de  cet  élément  est  adio^  a  étant  la  densité  de  la  couche 
magnétique  S  au  point  A.  La  portion  AB  du  feuillet  qui  corres- 
pond à  cet  élément  de  surface  peut  être  considérée  comme  un 
aimant  infiniment  petit  possédant  des  charges  o-r/to  et  —  ^diû  aux 
points  A  et  B  distants  de  e,  La  formule  (i)  du  §  94  donne  pour 
le  potentiel  en  P  de  cet  élément, 

,      ecose 
dû  =  o-ao) 


Cette  expression  peut  être  transformée.  En  eiEFet,  la  magnéti- 
sation étant  dirigée  suivant  BA,  on  a 

crdoye  =  I^t  ==  ïd(.oe  ==  <^<^to, 

et  par  suite 

,^^            ^>(^0)  cos  £ 
ciil  == r 


T._      .  diÙ    cos    £  1,     ■  1  1-17  1  1       1ÎO    -  1 

Mais 2 <^st  1  angle  solide  a'j>   sous  lequel  1  élément  de 

feuillet  est  vu  du  point  P  ;  on  peut  donc  écrire 

dû  =  (\nlz>. 

Pour  un  feuillet  de  dimensions  finies,  on  aura 

c'cst-à-dirc  : 

Le  potentiel  d'un  feuillet  magnétique  eu  un  point  extérieur 
est  égal  au  produit  de  sa  puissance  par  Tangle  solide  sous  lequel 
le  feuillet  est  vu  du  point  considéré  ;  ce  produit  est  pris  avec  le 
signe  +  ou  le  signe  —  suivant  que  la  face  vue  est  positive  ou 
négative. 

98.  Force  magnétique  en  un  point  extérieur,  —  Les  compo- 
santes de  la  force  qui  s'exerce  sur  l'unité  de  masse  magnétique 
positive  placée  en  un  point  extérieur  sont  les  dérivées  partielles 
du  potentiel  en  ce  point  prises  en  signe  contraire.  En  les  dési- 
gnant par  a,  p,  y,  nous  avons 

dû     ,,  dû  dû 

1^  =  — ^777^   ï 


dx  '    ^  dy'^  d.z 


90  .  MAGNETISME 

99.  Force  magnétique  dans  V intérieur  d'un  aimant,  —  Nous 
ne,  pouvons  connaître  la  force  qui  s'exerce  sur  Tunité  de  masse 
magnétique  placée  a  l'intérieur  cle  l'aimant  sans  y  creuser  une 
petite  cavité  permettant  d'y  placer  un  petit  aimant  d'épreuve  ; 
mais  l'existence  de  cette  cavité  modifie  l'action  de  l'aimant  et 
cette  modification  dépend  de  la  forme  donnée  à  la  cavité.  Pour 
faire  le  calcul  de  la  force  en  un  point  de  la  cavité,  il  faut  donc  en 
connaître  la  forme. 

Maxwell  ne  considère  que  deux  cas  particuliers  dans  lesquels 
la  cavité  est  un  cylindre  très  petit  dont  les  génératrices  sont 
parallèles  à  la  direction  de  la  magnétisation.  Dans  le  premier  cas 
la  hauteur  du  cylindre  est  infiniment  grande  par  rapport  à  sa 
section  ;  dans  le  second  elle  est  infiniment  petite. 

Appelons  Q  le  potentiel  de  Taimant  tout  entier  en  un  point 
intérieur  et  0^  le  potentiel  de  la  masse  cylindrique  enlevée  pour 
former  la  cavité  en  ce  même  point.  La  difïerence  0  —  Q^  est  la 
valeur  du  potentiel  de  l'aimant  en  P  quand  la  cavité  y  est  creusée. 
La  force  sur  l'unité  de  masse  magnétique  a  alors  pour  compo- 
santes 

^  dQ         dO^     _  dÙ_        dù^    _  dÙ^        dÙ^ 
d,v  dx  '  dij  dy  '  dz  dz 

100.  —  Cherchons  la  valeur  de  0^  quand  la  hauteur  du  cylindre 
est  grande  par  rapport  à  la  section.  Qj  est  la  somme  de  deux 
intégrales,  l'une  étendue  à  la  surface,  l'autre  au  volume.  Cette 
dernière  est  infiniment  petite  du  troisième  ordre  et  peut  être 
négligée  vis-à-vis  de  la  première.  Mais  dans  celle-ci  les  éléments 
correspondant  aux  bases  du  cylindre  peuvent  aussi  ôtre  négligés, 
ces  bases  étant  infiniment  petites  par  rapport  à  la  hauteur;  il  n'y 
a  donc  a  tenir  compte  que  de  la  surface  latérale.  Or,  en  tout 
point  de  cette  surface  la  normale  est  perpendiculaire  ii  la  direc- 
tion de  magnétisation;  par  suite,  la  projection  /A-|~/?zB-|-/iC  de 
la  magnétisation  sur  cette  normale  est  nulle  et  les  éléments  de 
l'intégrale  correspondante  à  la  surface  latérale  sont  encore  nuls. 
Il  en  résulte  donc  que  Ton  peut  alors  négliger  la  quantité  il^.  On 
a  pour  les  composantes  de  la  force  magnétique 

do.      ,^  da  du 

^^^-ZJ'  ^^'^1^'  '^"^-lîT' 


INDUCTION  MAGNÉTIQUE  91 

expi^essions  identiques  à  celles  qui  donnent  les  composantes  en 
un  point  extérieur. 

101.  Induction  magnétique.  —  Passons  maintenant  au  cas  où 
la  hauteur  de  la  cavité  cylindrique  est  très  petite  par  rapport  à  la 
base.  Comme  précédemment,  nous  pouvons  dans  la  valeur  de  ù^ 
négliger  l'intégrale  étendue  au  volume.  Dans  l'intégrale  double 
les  éléments  fournis  par  la  surface  latérale  sont  nuls  puisque  la 
normale  à  chaque  élément  de  surface  est  perpendiculaire  à  la 
direction  de  magnétisation  ;  il  suffit  donc  d'étendre  l'intégrale 
double  à  la  surface  des  bases  du  cvlindre. 

Pour  trouver  la  valeur  de  cette  intégrale  prenons  pour  axe 
des  X  une  parallèle  à  la  direction  de  magnétisation  ;  cet  axe  sera 
alors  perpendiculaire  à  chacune  des  bases  du  cylindre.  Poui 
chaque  élément  de  Tune  d'elles  nous  aurons  Z=I,;;^=:o,  ?i  =  o 
et  pour  chaque  élément  de  l'autre  1=  —  i^  m==Oy  n  =  o.  Dan 
ce  système  d'axes  particulier  nous  avons  donc  pour  la  valeui 
de  0., 


chacune  des  deux  intég:rales  étant  étendue  à  la  surface  des  bases. 
Cette  valeur  est  la  môme  que  si  Ton  supposait  que  chaque  base 
du  cylindre  est  recouverte  d'une  couche  do  magnétisme  ayant 
respectivement  pour  densités  -f-  A  et  —  A.  L'étendue  de  ces 
couches  étant  très  grande  par  rapport  à  leur  distance,  qui  est 
égale  à  la  hauteur  du  cylindre,  l'action  qu'elles  exercent  sur 
l'unité  de  masse  magnétique  placée  entre  elles  a  pour  valeur  4t^  A. 
Cette  force  est  dirigée  du  côté  de  la  couche  négativC;  c'est-a-dire 
en  sens  inverse  de  la  magnétisation. 

La  cavité,  qui  a  un  eOet  contraire  a  celui  du  cylindre  aimante 
de  même  volume,  produira  donc  une  auginenlation  de  la  force 
dans  la  direction  de  la  magnétisation  et  cette  augmentation  sera 
4'n:A.  Par  suite  la  composante  suivant  Ojc  de  la  force  exercée  par 
l'aimant  sur  l'unité  de  masse  placée  à  l'intérieur  de  la  cavité  est 

az==z 1-4'^A  =a-|-4'^A. 


9  a                                                        MAGNÉTISME  /f^ 

Il  est  évident  que  si  au  lieu  de  prendre  le  système  particulier  | 

d'axes  dont  nous  avons  fait  usage,  nous  prenons  des  axes  quel-  J 
conques  nous  obtiendrons  pour  les  composantes  de  la  force  des 

expressions  analogues  à  la  précédente.  < 

Ces  composantes  sont  donc  « 


( 


a=  a.-\-  ^Tzk, 

c  =  Y  +  4'^C. 


Maxwell  les  appelle  les  composantes  de  Vinduclion  magnétique 
à  Vintérieur  de  V aimant, 

102.  —  Remarquons  que  la  quantité 

(f.dx  +  ^dy  +  '^dz 

est  une  différentielle  totale,  puisqu'elle  est  égale  à  —  dù^  tandis 
que  la  quantité 

adx  +  bdy  +  cdz 

ne  Test  pas. 

Une  autre  différence  entre  la  force  magnétique  et  Tinduction 
magnétique  consiste  dans  la  valeur  de  la  somme  des  dérivées 
partielles  de  leurs  composantes  :  cette  somme  est  nulle  pour 
rinduction  magnétique  ;  elle  ne  Test  pas  pour  la  force  magné- 
tique. 

Montrons  en  effet  que 


da         db          de 
dx         dy         dz 

On  a 

da         db         de        rfa         d^    ■     dy         /    (  dl^ 
dx    '    dy     '    dz~  dx    '    dy    '    dz     '    "^'Xdx     ' 

dB        dC 
dy         dz 

ou 

da         db         de                             (dk         dB 
dx^^dy^dz-       ^^'^  +  4H./.r  +  ./^   ■ 

^§)- 

Or, 

dk        d^        dC 

dr       '       d„       '       ri-     ~  ?' 

MAGNÉTISME  INDUIT  gS 

et  la  relation  de  Poisson  donne",  pour  un  point  intérieur, 

AQ  =  —  ^-K^ . 
La  somme  considérée  est  donc  nulle. 

103.    Magnétisme  induit.  - —  Certains  corps  placés  dans  un 
champ  magnétique  s'aimantent  par  influence.  Poisson  ?>-i-.^+^ 
les  composantes  de  la  magnétisation  induite  en  m 
corps  sont  proportionnelles  aux  composantes  de  Ih 
tique  en  ce  point.  Posons  donc 

A==xa,        B=x[3,        C  =  xy. 

D'après  les  formules  précédentes,  les  composantes  de  l'induc- 
tion seront,  au  même  point, 

/  a  =:  a-\~  4'^A  =  (i  +  4^^)  ^'1 

Z,_[3  +  4..B  =  (i  +  4^x)^3, 

\  c  =  y  +  4'C  =  (i  +  ^T.x)  y. 

En  posant 

^a=.(H-4T:x), 

CCS  formules  deviennent  : 


Maxwell  appelle  iji  la  capacité  jnagnétique  inductipe.  Cette 
([uantité  est  analogue  au  pouvoir  indiictear  spécifique  K  de  Télec- 
trostatiquc  ;  elle  est  plus  grande  que  Tunitépour  les  corps  magné- 
liqnes,  égale  à  l'unité  dans  le  vide,  plus  petite  que  l'unité  pour 
les  corps  diamagnc tiques. 

104.  —  La  simplicité  des  formules  précédentes  peut  faire  illu- 
sion sur  la  difficulté  de  la  détermination  de  l'induction  en  un 
point  d'un  corps.  C'est  que  nous  n'avons  pas  tenu  compte  de  ce 
que  X  et  \}.  ne  sont  pas  des  constantes  ;  en  second  lieu  nous  avons 
supposé  n'avoir  en  présence  que  des  aimants  permanents  où  la 


MAGNETISME 

«.  coercitive  est  infinie  et  des  aimants  produits  par  influence 
s  lesquels  la  force  coercitive  est  nulle. 
ljCs  corps  naturels  ne  satisfont  pas  à  ces  conditions.  La  force 
îrcitive  ne  peut  jamais  être  ni  rigoureusement  nulle,  ni  rigou- 
isement  infinie.  De  plus  le  coefficient  x  n'est  pas  une 
Qstante.  C'est  une  fonction  de  Tintensitc  du  magnétisme 
.^  +  B'^  +  C"  à  laquelle  on  a  donné  le  nom  de  fonction  magné- 
ante.  On  n'a  le  droit  de  regarder  x  et  p.  comme  des  constantes 
^e  si  la  magnétisation  est  très  faible. 

C'est  ce  que  nous  supposerons  toujours  dans  ce  qui  va  suivre , 
-ela  sera  d'autant  plus  légitime  que  pour  la  plupart  des  corps  \k 
ère  très  peu  de  i . 


CHAPITRE    VII 

ÉLECTROMAGNÉTISME 


105.  Lois  fondamentales,  —  Plusieurs  modes  cVexposition 
peuvent  être  adoptés  pour  trouver  raction  exercée  par  mi  courant 
fermé  sur  un  pôle  magnétique  et  montrer  que  cette  action  peut 
être  assimilée  a  celle  d'un  feuillet  magnétique  de  même  contour. 
Nous  ne  suivrons  pas  celui  de  Maxwell  qui  prend  comme  point 
de  départ  Téquivalence  d'un  courant  infiniment  petit  et  d'un 
aimant  ;  nous  nous  appuierons,  pour  arriver  aux  formules  de 
Maxwell,  sur  trois  lois  démontrées  par  l'expérience  et  sur  une 
hypothèse. 

Les  trois  lois  expérimentales  sont  les  suivantes  : 

r^  Deux  courants  parallèles  de  même  intensité  et  de  sens 
inverses  exercent  sur  un  pôle  magnétique  des  actions  égales  et  de 
signes  contraires  ; 

2'^  Un  courant  sinueux  exerce  une  action  égale  à  celle  d'un 
courant  rectiligne  qui  aurait  les  mêmes  extrémités  ; 

3°  La  force  exercée  par  un  courant  sur  un  pôle  magnétique  est 
proportionnelle  à  l'intensité  du  courant,  c'est-à-dire  à  la  quantité 
d'électricité  qui  traverse  une  section  du  conducteur  pendant 
l'unité  de  temps. 

Les  deux  premières  de  ces  lois  ont  été  démontrées  par  Ampère  ; 
la  troisième  a  été  vérifiée  par  de  noml)reuses  expériences  :  les 
unes  effectuées  en  déchargeant  des  batteries  chargées  de  quan- 
tités d'électricité  connues,  comme  dans  les  expériences  de 
Colladon  et  de  Faraday;  les  autres  plus  précises,  faites  avec  le 
voltamètre. 

106.  Hypothèse.  —  L'hypothèse  que  nous  joindrons  aux  lois 
précédentes,  est  que  les   composantes  de  la  force  agissant  sur 


ÉLECTROMA  GNETISME 

o-nétique   sont  les   dérivées   partielles   d'une   même 

qiu  ne  dépend  que  de  la  position  du  pôle  par  rapport 

it, 

e  hypothèse  paraîtra  la  plus  naturelle  si  l'on  songe  qu'il 

avoir  conservation  de  l'énergie  dans  le  système.  Mais  fai- 

bserver  que  ce  n'est  pas  la  seule  qui  soit  compatible  avec 

icipe  de  la  conservation  de  l'énergie  ;  l'hypothèse  adoptée 

ût  donc  se  trouver  en  défaut  sans  que  le  principe  de  la 

jnservation  de  l'énergie  cesse  d'être  vérifié. 

^'après  cette  hypothèse  nous  pouvons  poser  pour  les  valeurs 

;les  composantes  de  la  force  agissant  sur  l'unité  du  pôle 

_        ^^  ft__i^  — _i^ 

''•~~^'  '  dy'         ^~        dz' 

onction  Ql  est  appelée  le  potentiel  du  circuit  parcouru  par 

courant.  Pour  en  trouver  l'expression  nous  aurons  recours  à 

quelques  théorèmes  que  nous  allons  établir  tout  d'abord.  Nous 

négligerons   d'ailleurs,   pour  plus   de   commodité,    la   constante 

d'intégration  de  la  fonction  ù, 

107.  Théorème  L  —  Le  potentiel  du  à  an  rirraite.st  és>'al  à  la 
somme  des  potentiels  dus  au.v  divers  ci/'cuits  suii^ant  lesquels  on 
peut  le  décomposer. 

Cette  propriété  découle  immédiatement  de  hi  loi  fondamcnlalo 
des  actions  ex(M'C(''es  par  deux  cou- 
rants parallèles   et  de  sens  inverses. 

Vax  ellVt,  soit  ABCI)  (lig.  i.'^)  un 
courant  i'cruié  ;  nous  pouvons  le  (b'com- 
poser  en  deux  circuits  AIUlAcl  ACJ)A 
parcourus  dans  \o  sens  ch^s  (lèch(\s.  Le 
cir'cuit  Ki]  étant  [)ai'couru  j)ar  deux  cou- 
rants de  même  inl(M\sit('  mais  tle  sens 
inverso  n'<;x(M'e<'  aucuni^  action  sur  un 
pôle  magnétique;  par  consé([uent  \o  polentîel  du  cii'cuit  total 
doit  être  égal  à  la  somme  d(is  potentiels  des  d(mx  circuits  par- 
tiels ABCA  et  ACDA. 

La  généralisation  de  ce  théorème  à  un  nombre  quelc()n([ue  de 
circuits  partiels  est  évidente. 


LOIS  FONDAMENTALES 


97 


1  0 

Fig.   i5. 


108.  Théorème  II.  —  Le  potentiel  d'u/i  circuit  fermé  plan  en 
un  point  extérieur  situé  clans  son  plan  est  nul. 

a.  Supposons  d'abord  que  le  circuit  possède  un  axe  de  symé- 
trie OA  (fig.  i4),  et  plaçons  un  pôle 
magnétique  en  un  point  quelconque  0 
de  cet  axe.  Si  nous  faisons  tourner  le 
circuit  autour  de  son  axe  de  symétrie, 
le  pôle  magnétique  conserve  toujours 
la  même  position  par  rapport  au  circuit 
et,  par  conséquent,  le  potentiel  en  0 
ne  varie  pas.  Mais  quand  le  circuit  a 
tourné  d'un  angle  de  iSo^^,  il  revient 
dans  son  plan  primitif  et  le  sens  du 
courant  représenté  dans  la  position 
initiale  par  les  flèches  de  la  figure  i4, 
est,  après  cette  rotation,  représenté  par 
les  flèches  de  la  figure  i5.  Le  courant  a  donc  changé  de  seiiî 
par  rappo)"t  au  point  0,  et  d'après  la  loi  des  courants  de  sens 
inverses,  la  force  qui  s'exerce  sur  le  pôle  a  changé  de  sens.  De 
ce  changement  dans  le  sens  de  la  force  résulte  un  changem^^^* 
dans  le  signe  du  potentiel  0;  comme  d'autre  part  ce  potenti 
doit  conserver  la  même  valeur  il  doit  être  nul. 

h.  Si  le  circuit  a  la  forme  d'un  rectangle  curviligne  BCDE 
(fig.  i6),  formé  par  les  arcs  de  cercle  BC  et  DE  et  par  les  por- 
tions BD  et  CE  des  rayons  BO  et  CO  le  potentiel. en  O  est  nul 
puisque  ce  point  appartient  à  Taxe  de  symétrie  OA  de  la  figure. 

c.  Quand  le  circuit  fermé  se  compose  d'une  série  d'arcs  de 
cercles  concentriques  AB,  CD,...  (fig.  17),  réunis  par  des  portions 
rectilignes  CD, DE,...  passant  par  le  centre  commun  0,  le  poten- 
tiel en  ce  point  est  évidemment  nul,  d'après  ce  qui  précède  et 
d'après  le  théorème  I. 

cL  Passons  enfin  au  cas  général  d'un  circuit  plan  de  forme 
quelconque  (fig.  18).  Prenons  sur  le  circuit  des  points  très  voi- 
sins A,  B,  C,...  et  par  ces  points  faisons  passer  des  arcs  de 
cercle  ayant  pour  centre  un  point  quelconque  0  du  plan  du  cir- 
cuit. En  menant  par  0  un  nombre  égal  de  rayons  convenable- 
ment choisis,  nous  pourrons  former  un  circuit  fermé  ahUcc'... 
dont  les   divers  éléments  sont  très  rapprochés  des  éléments  du 

Poiis'GARÉ.  Electricité  et  Optique,  7 


98  ÉLECTROMAGNÉTISME 

circuit  donné.  D'après  le  principe  des  courants  sinueux,  l'action 
de  ces  deux  circuits  sur  un  pôle  magnétique  est  la  même.  Or^ 
nous  venons  de  voir  que  le  potentiel  en  0  dû  au  courant  sinueux 


o 

Fig.  ifi. 


Fijv.   ,8. 


composé  d'arcs  de  cercles  concentriques  et  déportions  rectilignes^ 
dirigées  vers  le  centre  est  nul.  Par  suite  il  en  est  de  même  pour 
un  circuit  de  forme  quelconque. 


109.  TiiÉoniiME  III.  —  Quand  un  circuit  fermé  est  tracé  sur  la 
surface  latérale  d'un  cône^  de  telle  manière  que  chacune  des  géné- 
ratrices du  cône  rencontre  le  circuit  un  nombre  pair  defois^  zéro 
pouvant  être  un  de  ces  nombres,  le  potentiel  au  sommet  du  conCy 
supposé  non  ençeloppé  par  le  circuit,  est  nid. 


En  effet,  en  traçant  sur  la  surface  du  cône  (fig.  19)  des  généra- 
trices infiniment  voisines,  nous  pouvons  décomposer  le  circuit  en 
éléments  plans  tels  que  ACDBA.  Le  point  0   étant  situé  dans  les. 


LOIS  FONDAMENTALES 


99 


plans  de  chacun  de  ces  circuits  partiels  le  potentiel  en  ce  point 
dû  à  l'un  quelconque  d'entre  eux  est  nul;  la  somme  de  ces  poten- 
tiels, c'est-à-dire  le  potentiel  dû  au  circuit  total,  est  donc 
nulle. 


110.    THÉORiiME  IV.  —  Quand  deux  cijxuits  fermés^  tracés  sur 
la  surface  latérale  d^un  cône  et  coupant  toutes   les  génératrice- 
au  moins  une  foisy    sont  parcourus  par  des  courants  ^^   ^^^ 
intensité  et  de  même  sens  par  rapport  à  un  obserçatei 
sommet  du  cône  le  potentiel  en  ce  point  a  la  même 
chacun  des  circuits. 

Soient  ACE    et  BDF  (fig.  20)  les  deux  circuits  parcoaruo  ^^ 


des  courants  dont  le  sens  est  indiqué  par  les  flèches  placées  exté- 
rieurement. Si  nous  supposons  ces  circuits  parcourus  en  niénie 
temps  par  des  courants  égaux  en  intensité  mais  dont  le  sens,  in- 
diqué par  les  flèches  intérieures,  est  contraire  à  cehii  du  courant 
réel  (|ui  les  traverse,  ki  potentiel  en  0  ch'i  à  l'ensemble  de  ces 
quatre  courants  est  évidemment  nul.  11  sera  encore  nul  si  nous 
ajoutons  à  ces  courants  des  coui'ants  de  même  intensité  mais  de 
sens  diflerents  parcourant  deux  génératrices  <juelcon(|ues  du  eonc, 
AB  et  CD.  Mais  Tintensité  étant  la  môme  pour  tous  les  courants, 
nous  pouvons  considérer  le  système  comme  formé  : 

i"  Du  circuit  fermé  ACDB  parcouru  dans  le  sens  indiqiui  par 
Tordre  des  lettres;  2"^  du  circuit  fermé  ABFDCEA;  3Nlu  circuit 
BDF  ;  4"  du  circuit  yVKC.  Le  potentiel  en  0  dû  à  chacun  des 
deux  premiers  circuits  est  nul,  car  chacun  d'eux  satisfait  aux 
conditions  du  théorème  précédent.  Le  potentiel  dû  à  l'ensemble 
du  troisième  et  du  quatrième  ^nrcuit  est   donc  nul  et  par   consé- 


100  ELECTROMÂGNETISME 

qaeut  le  potentiel  résultant  du  circuit  BDF  parcouru  par  le  cou- 
rant réel  est  égal  et  de  signe  contraire  au  potentiel  résultant  da 
circuit  AEC  parcouru  par  le  courant  fictif  de  sens  contraire  au 
courant  réel  qui  traverse  ce  circuit.  Le  potentiel  du  courant  réel 
traversant  le  circuit  ACE  est  égal  et  de  signe  contraire  au  poten- 
tiel du  courant  fictif  qui  parcourt  ce  môme  circuit  en  sens  inverse  ; 
il  est  donc  égal  au  potentiel  du  courant  réel  c[ui  traverse  BDF. 

Faisons  d'ailleurs  observer  que  les  deux  circuits  considérés^ 
au  lieu  d'être  placés  sur  la  surface  d'un  même  cône^  comme  nous 
l'avons  supposé,  pourraient  appartenir  à  deux  cônes  distincts 
mais  superposables. 

m.  JPotentiel  d^un  courant  fermé.  —  Prenons  un  circuit 
fermé  quelconque  parcouru  par  un  courant,  et  cherchons  le 
potentiel  en  un  point  0  extérieur  au  circuit. 

Du  point  0  comme  sommet  traçons  un  cône  s'appuyant  sur  le 
contour  du  circuit.  Ce  cône  découpera  sur  la  surface  de  la  sphère 
de  rayon  unité  une  surface  dont  la  valeur  -j  mesure  Tangle  solide 
sous  lequel  le  circuit  est  vu  du  point  (3.  Nous  pouvons  décompo- 
ser ce  cône  en  une  infinité  de  cônes  infiniment  déliés  de  même 
angle  solide  et  supposer  le  circuit  donné  décomposé  en  une  infi- 
nité de  petits  circuits  fei/més  tracés  sur  la  surfac(^  de  ces  cônes. 
Ces  cônes  de  même  angle  solide,  étant  infiniment  petits,  peuvent 
être  choisis  superposables  et  le  |)ol<Mitiel  en  ()  esl  h^nême  pour 
chacun  des  circuits  tracés  sur  la  surface  de  Tun  d'eux.  Le  poten- 
tiel du  circuit  total  est  la  somme  de  ces  polenliels;  il  est  donc 
pro[)ortioniud  au  nombre  des  cônes  élémenlaires  et,  par  suite,  a 
l'angle  solide  '^. 

Mais,  d'après  la  troisième  loi  foiubnniMilale  (jue  nous  avons 
énoncée,  Taction  ex'-'vcrr.  par  un  courant  fernu'^  sur  un  pôle 
d'aimant  esl  [)ro[)orti()nn(dle  ii  l'intensilé  ib^  ce  courant;  par  con- 
séquent, en  néglig(uuit  la  constanle  (fintég-r'ation  dans  l'expres- 
sion de  la  foiu'.tion  potentielle,  cette  i'onclion  doit  également 
être  j)i'oportionnelle  li  rintensité  du  coui'ant.  Nous  pouvons  donc 
écï'ire 


l'intensité  étant  mesurée  au  moyen  d'une  unité  telle  que  le  coef- 


CAS  D'UN  CIRCUIT  INFINIMENT  PETIT  lOi 

ficient  cle  proportionnalité  soit  égal  k   i,  unité  que    l'on  appelle 
unité  éleciro -magnétique  d'intensité. 

L'action  d'un  circuit  sur  un  pôle  magnétique  changeant  de  signe 
quand  on  change  le  sens  du  courant  qui  le  traverse,  le  signe  de 
cp/  doit  dépendre  du  sens  du  courant.  Appelant  face  positiçe  du 
circuit  celle  qui  se  trouve  a  gauche  d'un  observateur  placé  sur  le 
circuit  dans  le  sens  du  courant  et  tourné  vers  l'intérieur  du  cir- 
cuit, on   convient    de    donner  à    la  valeur    de   l'angle  solid'^   "" - 
signe  -|~  ou  le  signe  —  suivant  que  c'est  la  face  positive  ou  In 
opposée  qui  est  vue  du  point  considéré.  En   adoptant  cette 
vention  et  celle  qui  consiste  à  regarder  comme  positive  une  1\ 
attractive  et  comme    négative    une    force  répulsive,    les   compo- 
santes de  la  force  exercée  par  un  courant  fermé   sur  Tunilé  de 
pôle  sont  données  par  les  relations  déjà  écrites  : 

du       ^j  __         da  _        du 

dx  '  dy^      '  dz 

112.  Cas  d'un  circuit  inûniment petit,  —  Soient  AA''  (fig.  21) 
hi  projection  d'un  circuit  infiniment  petit  et  AOA^  le  cône  élémen- 


A" 


V- •■''■■-          ^7^ 

'L-— - — """"^  ^ 

'        Y-li— ^ 

^ — —-^B 

A 

Fig.  y. t. 

taire   d'iingie    solide    do   passant  par  ce  circuit.    Le  potentiel  au 
point  0  a  })our  valeur 

du  ==  id'ij. 

Or,  d'-o  étant  Taire  de  la  section  BB^  découpé(^  par  le  cône  sur  la 
sphère  de  rayon  i,  Taire  de  la  section  kk"  découpée  par  ce 
même  cône  sur  la  sphère  de  rayon  ()A  ==^  /•,  est  rd's^.  D'ailleurs 
en  négligeant  les  infiniment  petits  d'ordre  supérieur,  on  peut 
considérer  cette  aire  AA/'  comme  la  projection  de  l'aire  rft.)  du 
circuit  AA^  sur  un  plan  pei'pendiculaire  à  OA. 
Nous  avons  donc 

r^d'^  =:  diù  cos  £, 


ÉLECTROMÀGNETISME 


et  par  suite 

(i),  dù= -^— 


Cette  expression  est  analogue  a  la  formule 

,    ,                                                         ^^          <ï>^ti)  cos  £ 
(2);  rfQ= y, 

que  nous  avons  trouvée  (97)  pour  le  potentiel  d'un  élément  de 
feuillet  magnétique  de  puissance  ^.  Par  suite  un  élément  de 
courant  fermé  a  le  même  potentiel  qu'un  élément  de  feuillet  de 
même  surface  et  de  puissance  égale  à  l'intensité  du  courant. 

113.  Équivalence  d'un  courant  fermé  et  d'un  feuillet  magné- 
tique. —  Les  intégrales  des  formules  (i)  et  (2)  étendues  à  une  même 
surface  donneront,  la  première  le  potentiel  d'un  courant  fermé 
de  forme  quelconque,  la  seconde,  le  potentiel  d'un  feuillet  de 
même  contour.  Si  on  suppose  fl>  =  i^  ces  intégrales  ont  la  même 
valeur,  à  une  constante  près.  Par  conséquent  les  composantes 
a,  fi, Y  ^^  1'^  force  exercée  par  un  courant  fermé  sur  l'unité  de 
masse  magnétique  sont  égales  à  celles  de  la  force  qu'exercerait 
une  feuillet  magnétique  de  même  contour  et  dont  la  puissance  f[> 
serait  égale  à  l'intensité  électromagnétique  i  du  courant.  Il  y  a 
donc  équivalence  dans  les  effets  d'un  courant  fermé  et  d'un  feuillet 
magnétique. 

Il  y  a  cependant  lieu  de  faire  remarquer  que  les  fonctions  po- 
tentielles ne  jouissent  pas  de  propriétés  Identiques  dans  les  deux 
cas.  Montrons  qu'en  effet  le  potentiel  d'un  aimant  est  une  fonc- 
tion uniforme,  tandis  que  le  potentiel  d'un  courant  fermé  peut 
prendre  en  chaque  point  de  l'espace  une  infinité  de  valeurs. 

La  variation  du  potentiel  d'un  courant  ou  d'un  feuillet  quand 
on  passe  d'un  point  à  un  autre  par  un  chemin  quelcon([ue  est  égale 
et  de  signe  contraire  à  l'intégrale 

/  cf.ds  -\-  [jdfj  -j~  -vdz 

prise  le  long  du  chemin  parcouru  puisque  a,  j3,  y  sont  les  dérivées 
partielles  du  potentiel  changées  de  signe. 


TRAVAIL  DES  FORCES  ELECTROMAGNETIQUES  lo'i 

Les  conditions  cVintéo^rabilité 


"D 


dct.         cU^  doL  dy  d'^  (^y 

dy         dx  '  dz         dx  '  dz        dy 

étant  remplies,  l'intégrale  prise  le  long  cFune  conrbe  fermée  C 
quelconque  sera  nulle;  il  y  a  toutefois  à  cela  une  condition. 

Par  cette  courbe  C  faisons  passer  nne  surface  quelconque  et 
soit  A  la  portion  de  cette  surface  qui  est  limitée  par  la  courbe 
fermée  C.  Pour  que  Tintégrale  soit  nulle,  il  faut  que  les  forces 
a,  [3,  Y  et  leurs  dérivées  premières  soient  finies  en  tous  les  points 
de  Taire  A. 

Mais  si  la  courbe  fermée  enlace  le  courant,  ce  courant  viendra 
certainement  couper  l'aire  A  au  moins  en  un  point,  et  au  point  de 
rencontre  les  forces  magnétiques  a,  [3,  y  seront  infinies.  L'inté- 
grale prise  le  long  d'une  courbe  fermée  enlaçant  le  courant  n^est 
donc  pas  nulle  et  la  fonction  Q,  peut  prendre  en  un  même  point 
deux  valeurs  diflerentes. 

114.  Travail  des  forces  électromagnétiques  suivant  une 
courbe  fermée  enlaçant  le  cii'cuit.  —  La  différence  entre  ces 
deux  valeurs,  qui  est  égale  à  l'intégrale. 


1  adx  +  [idy  -+•  ydz 


prise  le  long  de  la  courbe  décrite  C,  représente  le  travail  de  la 
force  électromagnétique  dans  le 
déplacement.  Pour  avoir  ce  tra- 
vail, considérons  le  feuillet  F(fig.  iii>.) 
équivalent  au  courant.  Le  potentiel 
de  ce  feuillet  étant  une  fonction 
uniforme  devra  reprendre  la  même 
valeur  (j[uand  on  reviendra  au  point 
P^  après    avoir   parcouru  la  courl>e 

fermée    C.  Or   la   variation  sul)ie   par  le   potentiel     est    égale   à 
l'intéc^rale. 


/" 


adx  -+-  pdy  -+-  ydz 
prise  le  long  de  la  courbe  C,  plus  lu  variation  brusque  que  subit 


104 


ELECTROMAGNETISME 


le  potentiel  quand  on  traverse  le  feuillet  en  allant  de  P'  au  point 
infiniment  voisin  P.  Soit  H  cette  variation;  on  aura  donc  : 


H  -+-   r  {(/.dx  -f  ^^dy  H-  ^;dz)  =  o . 


w 


Il  nous  reste  donc  à  calculer  cette  variation  brusque  H. 

Nous  avons  facilement  celte  variation  dans  le  cas  particulier 
où  le  feuillet  forme  une  surface  fermée.  En  un  point  extérieur  le 
potentiel  est  nul  puisque  Tangle  sous  lequel  le  feuillet  est  vu  de 
ce  point  est  nul.  En  un  point  intérieur  il  est  ±  47z<P,  suivant  que 
c'est  la  face  positive  du  feuillet  ou  sa  face  négative  qui  est  tour- 
née vers  l'intérieur  de  la  surface  fermée.  La  variation  du  poten- 
tiel quand  on  passe  de  la  faci?  négative  à  un  point  de  la  face  posi- 
tive est  donc  4'3^fl>. 

.Dans  le  cas  où  le  feuillet  ne  forme  pas  une  surface  fermée  la 
variation  du  potentiel  est  encore  la  même.  Soit  en  effet  ABC 
(fig.  23)  un  feuillet  dont  nous  supposerons 
la  face  positive,  située  du  côté  convexe. 
Au  moyen  d'un  second  feuillet  ADC  de 
môme  contour  et  de  même  puissance  que 
le  premier  et  dont  la  face  positive  est  éga- 
lement tournée  du  coté  convexe,  nous 
pouvons  l'ormer  un  feuillet  fermé  ABCD. 
Quand  on  passe  du  point  P  en  un  point 
P'  infiniment  voisin  et  situé  de  l'autre 
côté  du  feuillet  l'angle  sons  le([uel  on  voit 
ce  feuillet  fermé  augmente  de  4~-  Comme 
l'angle  sous  lequel  est  vu  le  feuillet  ADC  reste  le  même,  l'angle 
solide  correspondant  à  l'autre  feuillet  ABC  doit  augmenter  de  4'^- 
Par  suite  la  variation  du  potentiel  est  encore  4'3^^I^- 

Si  dans  la  figure  22  nous  siqiposons  que  la  face  négative  du 
feuillet  équivalent  au  courant  est  du  côté  du  point  P,  le  potentiel 
augmentera  de  4'^^"  quand  on  passera  de  P  en  P^  et,  d'après  ce 
que  nous  avons  dit,  le  travail  de  la  force  électromagnétique 
sera  —  /^tzc  quand  un  pôle  unité  décrira  la  courbe  fermée  PCPl^ 
dans  le  sens  indiqué  par  l'ordre  des  lettres  c'est-à-dire  en  péné- 
trant dans  le   feuillet  par  sa  face    positive.    Nous  pouvons  donc 


Fig.  'Xi. 


CAS  DE  PLUSIEURS  COURANTS  io5 

écrire  quand  l'intégrale    est  prise  le   long  cFune  courbe  fermée. 


le  second  membre  étant  pris  avec  le  signe  +  quand  le  contour 
d'intégration  enlace  le  circuit  en  pénétrant  par  sa  face  négative 
et  avec  le  signe  —  dans  le  cas  contraire. 

Faisons  observer  que  le  contour  d'intégration  peut  enlacer 
plusieurs  fois  le  circuit;  alors  le  travail  électromagnétique  est 
égal  à  autant  de  fois  ±  6^tû  qu'il  y  a   d'enlacements. 

115.  Cas  de  plusieurs  courants.  —  S'il  y  a  plusieurs  courants 
la  force  exercée  sur  l'unité  de  pôle  placée  en  un  point  de  l'espace 
est  égale  à  la  résultante  des  forces  exercées  par  chacun  d'eux,  et 
le  travail  électromagnétique,  quand  le  pôle  décrit  une  courbe 
fermée,  est  égal  à  la  somme  des  travaux  des  composantes,  c'est- 
à-dire  à  ^  =t  4  TU,  la  sommation  s'étendant  à  tous  les  courants 
enlacés  par  la  courbe.  On  a  donc 

(  I  )  fyJ.v  +  '^(Ifj  H-  ydz  :==  4-  ï  ±  /. 

(]ettc  relation  peut  d'ailleurs  être  interprétée  autrement,  lin 
effet  si  nous  considérons  une  surface  S  passant  par  la  eour].)e  (1, 
tous  les  courants  pour  lesquels  l'intensité  est  prise  dans  la  for- 
mule (i)  avec  le  même  signe,  le  signe  H- P^^i'  exemple,  traversent 
cette  surface  dans  le  même  sens  ;  les  courants  pour  lesquels 
rinlensité  est  prise  avec  le  signe  —  travers(Mit  au  contraire  la 
surface  en  sens  inverse,  f.'inlensih'^  d'un  courant  étant  la  quantité 
d'électricité  (pii  travers(^  une  seclion  du  circuit  pendant  l'unité 
de  t(Mnps,  nous  pouvons  considérer  ^  ^  l  comme  égale  l\  la 
(puintlté  d'électricité  (pii  traverse  dans  un  ccu'tain  sens  la  sur- 
face S  pendant  l'unité  de  tenq)s.  Par  conséquent,  le  travail 
électi'omagnéti(|ue,  ([uand  on  se  déplace  sur  une  courl)e  fermé(i  C 
enlaçant  plusieurs  circuits,  est  égal  au  produit  par  4'^  ^^  1*^ 
quantité  d'électricité  qui  traverse  pendant  Tunité  de  temps  une 
surface  S  limitée  à  la  courbe  C. 


io6  ÉLECTROMAGNÉTISME  |; 

116.   Nouvelle  expression  du    travail    èleetromstgnè tique  v 

suivant  une  courbe  fermée.  —  Si  nous  désignons  par  u,  ç,  iv,  les  I 

composantes  de  la  vitesse  de  l'électricité  dans  un  des  circuits,  par  # 


d(û  la  section  de  ce  circuit  par  la  surface  S  et  enfin  par  Z,  m^  n  les 
cosinus  directeurs  de  la  normale  à  cet  élément  prise  dans  une 
direction  convenable,  nous  aurons  pour  la  quantité  d'électricité 
qui  traverse  la  surface  S  : 

S  i  =  S  {lu  +  m^  +  7Z(i')  d^^^. 
Mais  nous  pouvons  remplacer  le  signe  S  du  second  membre  par 
le  signe  I  et  étendre  l'intégration  à  toute  la  surface  S,  les  élé- 
ments de  cette  surface  non  traversés  par  un  courant  donnant 
dans  l'intégrale  des  éléments  nuls.  Par  conséquent,  la  formule  (i) 
peut  s'écrire 

(2)  I  arf.-r  +  prfî/  -|-  ^^àz  =  4*^   I   {ln-Arm^-\-nw)  rfco, 

la  première  intégrale  étant  prise  le  long  de  la  courbe  C,  la 
seconde  étant  étendue  à  la  surface  S. 

117.  Transformation  de  F  intégrale  curvilign  e.  —  No  u  s  p  o  u- 
vons  transformer  l'intégrale  curviligne  du  premier  membre.  Dans 
le  cas  où  la  courbe  C  est  plane  cette  transformation  est  très  facile. 
Kn  effet,  si  nous  prenons  le  plan  de  cette  courlje  pour  plan  des 
.r/y,  rintégrale  considérée  se  réduit  à 


I  adx-{-[idj/, 


où  a  et  [3  sont  des  fonctions  continues  et  uniformes  des  coordon- 
nées X  et  y.  Or,  on  sait  que  dans  ces  conditions  la  valeur  de 
l'intégrale  précédente,  quand  le  contour  d'intégration  est  décrit 
de  telle  sorte  que  l'espace  illimité  se  trouve  à  gauche,  est  égale 
à  celle  de  l'intéorrale 

étendue  à  l'aire  plane  limitée  par  la  courbe  C. 


TRANSFORMATION  DE  C INTÉGRALE  CURVILIGNE 


107 


Effectuons  lane  transloirmation  du  même  genre  dans  le  cas  où 
l'intégrale  curviligne  est  prise  le 
long  d'un  contour  triangulaire 
ABC  dont  les  sommets  sont 
situés  sur  les  axes  de  coordon- 
nées (Kg.  24).  Nous  pouvons 
obtenir  la  valeur  de  l'intégrale 
en  prenant  successivement  pour 
contours  d'intégration  OAB, 
OBC,  OC  A  et  additionnant  les 
trois  résultats  obtenus,  puis- 
qu'en  opérant  ainsi  chacune  des 
droites  OA,  OB,  OC  est  prise 
deux  lois  en  sens  inverses  et  que 

les  côtés  du    triangle   sont   parcourus  dans   le  sens    ABC. 
avons  donc 


Fi^.  '1^ 


ABC  *^BC  «^OCA 

ou,  en  transloi'mant  les  intégrales  curvilignes  du  second  membre 
pour  lesquelles  le  contour  d'intégration  est  dans  un  des  plans 
de  coordonnées. 


«-'abc  I       \''  :/  ^^'^'  / 


dx        (  fj  /         ^ 


Supposons  le  lélraèdr(^  OABC  infiniment  petit  et  désignons 
par  dco  Taire  du  triangle  ABC  et  par  l,  m,  n  les  cosinus  direc- 
teurs de  la  normah^  au  plan  de  ce  tiiangle.  Nous  avons  pour  les 
projections  du  triangle  sur  les  plans  de  coordonnées^ 


OBC^Wo),         OCA-=:/;^r/o), 


OAB=/?^/o). 


io8  ÉLECTROMAGNÉTISME 

Les  intégrales  du  second  membre  de  l'égalité  précédente  devant 

être  étendues  à  l'une  de  ces  surfaces  infiniment  petites,  les  quan- 

lacées  sous  le  signe  d'intéo-ratlon  conservent  très  sensible- 

i  même  valeur  et  peuvent  être  placées  en  dehors  du  signe 

g^ration  ;    nous    avons    donc    pour   la  valeur  de  l'intégrale 

ligne   prise    le  long   d'un  contour    triangulaire    infiniment 

J.dy        d9j\  ,  (d'j.        dv\  ,  /de.         d%\  , 

\-di;-ii)'^''^'''[in-^)'^'''-^''[i^-7^)'^'''- 

itégrale  curviligne  doit  être  prise  le  long  d'une  courbe 

C[ue  C  limitant  une  surface  finie,  nous  pouvons  toujours 

3ser  cette  surface   en    éléments    triangulaires  infiniment 

ut  obtenir  l'intégrale  curviligne   en  faisant  la  somme  des 

.egrales  prises  le  long  des  contours  triangulaires  limitant  ces 

Cléments  ;  par  conséquent,  puisque  chaque  intégrale  triangulaire 

est  donnée  par  l'égalité  précédente,  nous  avons  j)our  Tintégralc 

curviligne  prise  le  long  du  contour  C, 


l^(yJ,r-{-[6di/  +  rd.z) 


dy\    ,        /^/3  r/a 


r/.r  J  \  cl  A'  dij 


L/o), 


l'intégrale  du  second  membre  étant  étendue  à   l'aii'c  liinitée  par 
la  courbe  C. 

118.  Relations  de  Maxwell.  — Reniphicons  dans  l'écpiation  (:>.) 
l'intégrale  curviligne  par  la  valeur  que  nous  venons  de  trouver', 
nous  obtenons 


:4-J>« 


-{-  niç  -\~  ruv)  db). 


•       ACTION  D'UN  POLE  SUR  UN  ÉLÉMENT  DE  COURANT  109 

Cette  égalité   devant  avoir  lieu  quelle  que  soit  la  surface  cFinté- 
gratiou  et  par  conséquent  quels  C£ue  soient  l,  m,  n,  il  vient 

_  J_(  (^  _  ^ 
4t:  V  dfj  dz 

I     /  d'y.  d^' 

i>  - 


471  \  d.z  d.T 

_     I     r  d[i  da 

^iz    \  dx  dy 

Ces  formules,  établies  par  Maxwell,  lient  les  composantes  //,  f^, 
w  de  l'intensité  du  courant  aux  composantes  a,  j3,  y  de  la  force 
électromagnétique.  Faisons  oljserver  qu^elles  s'appliquent  aux 
courants  de  déplacement  aussi  bien  qu'aux  courants  de  conduc- 
tion, les  courants  de  déplacement  étant  supposés  ol)éir  aux  lois 
d'Ampère. 

119.  Action  d'un  pôle  sur  un  élément  de  courant, — Puisque 
dans  la  théorie  de  Maxwel  tout  courant  est  un  courant  fermé, 
l'assimilation  d'un  courant  fermé  à  un  feuillet  magnétique  per- 
met de  déterminer  l'action  exercée  par  un  système  quelconque 
de  courants  sur  un  système  d'aimants.  Par  l'application  du  prin- 
cipe de  l'égalité  de  l'action  et  de  la  réaction  on  en  déduit  immé- 
diatement Faction  qu'exerce  un  système  d'aimnnts  sur  un  système 
de  courants.  J.e  problème  de  la  détermination  des  actions  réci- 
pro([U(^s  (|ui  ont  lieu  (Mitre  les  courants  et  les  aimants  se  trouve 
donc  complètement  résolu.  Mais  nous  pouvons  envisager  l'action 
ex<n'cée  par  un  pôle  (raimanl  sur  un  courant  fci'iné  comme  la 
résultantes  des  aclions  exei'ci'^es  par  \r.  pôle  sur  les  diflerents  élé- 
ments du  circuit  parcouru  par  le  courant.  Nous  sommes  donc 
conduits  ii  clierclusr  rcx[)i'ession  cb^  ces  actions  élémentaires. 

120.  —  (Considérons  le  système  formé  par  un  pôle  d'aimant 
égal  il  bunitc''  et  un  circuit  parcouru  \)i\v  un  courant  d'intensité  i. 
Si  cp  est  l'angle  solide  sous  le(juel  le  circuit  est  vu  du  point  P  où 
s(;  trouve  [)lacé  le  ])ole,  les  composantes  de  la  force  qu'exerce  le 
coui'ant  sur  ce  [)ole  sont 

r/'^  r/cp  r/cp 

~1Ù'    ~lly'    "~"  ~d7' 


ELECTROMA  GNETISME 


Les  composantes  de  la  force  exercée  par  le  pôle  sur  le  courant 
étant  égales  et  de  signes  contraires  à  ces  quantités,  le  travail  de 
cette  force  pour  un  déplacement  infiniment  petit  du  circuit  sera 
do^  c'est-à-dire  la  variation  de  Tangle  solide 
sous  lequel  le  circuit  est  vu  du  point  P. 

Cela  posé  prenons  un  circuit  AMB  dont  un 
élément  AB  (fig.  2  5)  peut  se  mouvoir  suivant  sa 
propre  direction.  Si  nous  donnons  à  AB  un 
déplacement  suivant  cette  direction  l'angle 
solide  sous  lequel  le  circuit  est  vu  du  point  P 
ne  varie  pas.  Le  travail  de  la  force  électroma- 
gnétique dans  ce  déplacement  est  donc  nul  et 
par  suite  cette  force  n'a  pas  de  composante  suivant  AB  :  Vo.cUon 
élémentaire  est  normale  ci  Vêlement. 


121.  —  Pour  avoir  l'expression  de  cette  force  et  déterminer 
complètement  sa  direction,  évaluons  de  deux  manières  diffé- 
rentes le  travail  qu'elle  accomplit  quand  l'élément  AB  du  circuit 
AMB  (fig.  26)  passe  de  la  position  AB  à 
la  position  AB^  Il  faut  supposer  (|u'il  y  a 
un  fil  métallique,  dirigé  suivant  BB^  et 
son  prolongement,  et  sur  kujuel  la  partie 
mobile  AB  du  circuit  glisse  en  s'appuyant 
constamment. 

Ce  travail  est  égal  à  l'angle  solide  chs 
sous  lequel  le  triangle  ABB^  est  vu  du 
pôle  P.  Les  dimensions  de  ce  triangle 
étant  infiniment  petites  par  rapport  aux 
longueurs  des  droites  PA,  PB,  PB^,  nous 
pouvons  regarder  ces  droites  comme  égales 
entre  elles  ;  autrement  dit  nous  pouvons  confondre  la  surface  du 
triangle  avec  la  surface  découpée  dans  la  sphère  de  rayon  PA=  r 
pa)'  l'angle  trièdre  P.  La  surface  du  triangle  ABB'  est  donc  /'-r/cp 
et  le  volume  du  tétraèdre  PABB^  est 


v\ 


■ 'K. 


3 


Mais  on  peut  évaluer  le  volume  de   ce  tétraèdre   d'une  autr 


ACTION  D'UN  POLE  SUR  UN  ÉLÉMENT  DE  COURANT  1 1 1 

manière  en  prenant  pour  base  le  triangle  PAB.  Si  nous  dési- 
gnons par  P  l'angle  BPA  sous  lequel  l'élément  de  coufant  est 
vu  du  point  P  et  par  h  la  projection  de  BB^  sur  une  normale  au 
plan  PAB  nous  avons  pour  le  volume  du  tétraèdre 

Pr— ~ 

et  en  égalant  les  deux  expressions  trouvées  pour  ce  volume, 
i  \  •■  P     A 

'7-2 

Tel  est  le  travail  de  la  force  /"qui  s'exerce  sur  l'élément  AB. 

Nous  en  aurons  une  autre  expression  en  écrivant  qu'il  est  égi 
au  produit  de  la  force  par  la  projection,  sur  la  direction  de  la 
force,  du  chemin  parcouru  par  le  point  d'application.  Si  nous' 
admettons  que  la  force  est  appliquée  au  milieu  C  de  l'élément,  le 
chemin  décrit  par  le  point  d'application  est  CC^,  qui  est  la  moitié 
de  BB^  En  appelant  h'  la  projection  de  BB'  sur  la  direction  de 
la  force  f^  le  travail  de  cette  force  est 

'       2. 

et,  puisqu'il  est  déjà  donné  par  la  relation  (i),  nous  avons 

P 

fh'  =  —  h, 

'  r 

.     .  P 

(]ette    égalité    est    satisfaite    si    fi  =   h'   et  si  /  =  —  ;    mais 

Il  =  h'  exprime  que  la  force  est  nornuile  au  plan  PAB.  Par 
consèqiietil  ht  force  exercée  par  un  pale  cTainiant  su/-  an  élément 
de  con/'a/il  esl  /lor/jiale  au  plan  passant  par  le  pôle  et  par  V élé- 
ment. Sa  valeur  pour  un  pôle  nuignétiquc  de  masse  m  et  pour 
une  intensité  i  du  courant  traversant  l'élément  est 

mi? 


Comme  l'angle  P  dépend  de  /*  et  varie  en  raison  inverse  de 
cette  quantité,  l'action  élémentaire  /'varie  en  raison  inverse  du 
carré  de  la  distance  du  pôle  à  l'élément. 


CHAPITRE    Vm 

KLEGTRODYNAMIQUE 


122.  Travail  è le ctro dynamique.  —  Nous  admettrons  que  deux 
circuits  parcourus  par  des  courants  d'intensité  i  et  i^  étant  en  pré- 
sence, le  travail  des  forces  agissant  sur  Tun  d'eux,  lorsqu'il  se 
déplace  par  rapport  a  l'autre,  est  donné  par  un  certain  potentiel 
T  proportionnel  aux  intensités  /  et  i^  et  ne  dépendant,  quand  i 
et  i^  restent  constants,  que  de  la  forme  et  de  la  position  relative  des 
deux  circuits.  Cette  hypothèse  se  trouve  vérifiée  expérimentale- 
ment par  les  conséquences  qui  s'en  déduisent. 

123.  Solènoïdes.  — Partng'cons  une  courhe  AB  (lig.  '.ly)  en  une 
infinité  d'arcs  égaux  ah  de  longueui'  infiniment  petite   S   et  par 

les  milieux  de  ces  arcs  menons  les  plans  C  nor- 
maux à  la  courbe.  Dans  chacun  de  ces  plans  traçons 
des  courbes  fermées  égales,  d'aire  du),  et  conte- 
nant le  point  d'intersection  de  leur  plan  avec  la 
courbe  AB.  Si  nous  supposons  chacune  de  ces  cour- 
bes parcourues  dans  le  même  sens  par  des  courants 
de  même  intensité  /,  ce  système  de  courants  porte 
le  nom  de  solénoïdc, 
'  '''  Chacun  des  courants  qui  composent  le  solénoïde 
est  équivalent,  au  point  de  vue  de  l'action  exercée  sur  un  pôle  d'ai- 
mant, à  un  feuillet  magnétique  de  même  contour  et  de  puissance  /. 
Si  nous  prenons  pour  épaisseur  de  ces  fcaillets  la  longueur  5  des 
arcs  élémentaires,  les  quantités  de  magnétisme  que  possède  cha- 
cune  de   leurs   faces  seront  -+-  ~  d(.ù  et ^  r/co  :    les   faces   en 

û  0 

contact  de  deux  feuillets   consécutifs  possèdent  donc  des  masses 
magnétiques  égales  et  de  signes  contraires  et  leur  ensemble  n'a 


5  OLE  NO  IDE  s  ET  CO  VRÂ  NTS  1 1 3 

aucune  action  sur  un  point  extérieur.  Par  conséquent  l'action 
du  solénoïde   se  réduit   à   celles    de    deux    masses   magnétiques 

H r-  d(jù'  et  —  -7-  <5fo3  situés  aux  extrémités  de  AB.  Ce  sont  les 

i  .  i 

pôles  du    solénoïde. 

Si  la  courbe  AB  est  limitée,  le  solénoïde  a  deux  pôles  égaux 
et  de  noms  contraires  ;  si  la  courbe  AB  a  une  de  ses  extrémités 
à  rinfini  le  pôle  correspondant  du  solénoïde  est  rejeté  à  l'infini 
et  l'action  du  solénoïde  se  réduit  à  celle  de  Fautre  pôle  ;  enfin 
si  la  courbe  AB  est  fermée  le  solénoïde  n'a  plus  de  pôles. 

124.  Solènoïdes  et  courants,  — L'expérience  montre  que  l'ac- 
tion d'un  solénoïde  fermé  sur  un  courant  est  nulle.  De  ce  fait 
expériai entai  il  est  facile  de  déduire  que 
l'actioa  d'un  solénoïde  ouvert  ne  dépend 
que  de  la  position  de  ses  pôles. 

Soient  T  le  potentiel  relatif  à  l'action 
exercée  par  un  solénoïde  ACB  (fig.  i8) 
sur  un  courant  se  déplaçant  dans  son 
voisinage  et  T'  le  potentiel  relatif  à 
l'action  d'un  second  solénoïde  BD  A  choisi 
de  manière  à  former  avec  le  premier  un  solénoïde  fermé;  nous 
aurons  pour  le  potentiel  de  l'ensemble  de  ces  deux  solènoïdes 

T  -i-T  =0. 

Cette  égalité  est  satisfaite  tant  que  le  solénoïde  ACBDA  reste 
fermé,  quelles  que  soient  les  déformations  que  nous  fassions 
subir  aux  portions  qui  le  composent.  Si  en  particulier  nous  ne 
déformons  que  le  solénoïde  ACB  le  potentiel  de  BDA  conserve 
la  même  valeur  T^  et,  à  cause  de  l'égalité  précédente,  T  ne  varie 
pas.  Le  potentiel  d'un  solénoïde  ACB  conserve  donc  la  môme 
valeur  quand  ses  pôles  A  et  B  restent  dans  les  mêmes  positions  ; 
en  d'autres  termes  le  potentiel  ne  dépend  que  de  la  position  des 
pôles  du  solénoïde. 

125.  —  Le  raisonnement  précédent  subsiste  encore  lorsque 
l'un  des  pôles,  B  par  exemple,  du  solénoïde  ACB  est  rejeté  à 
l'infini,   car  il  suffit  pour  obtenir  un  solénoïde  fermé  d'y  adjoindre 

PoiNCARK.  Electricité  et  Optique.  8 


1 1 4  ELECTRODYNAMiqUE 

un  second  solénoïde  dont  le  pôle  de  nom  contraire  à  B  est  égale- 
ment rejeté  à  l'infini.  Mais  dans  ces  conditions  l'action  du  solé- 
noïde ACB  se  réduit  a  celle  du  pôle  A  ;  le  potentiel  d'un  pôle 
de  solénoïde  dépend  donc  uniquement  de  sa  position  par  rapport 
aux  courants  qui  agissent  sur  lui. 

126.  —  Faisons  observer  qu'au  début  de  l' électromagnétisme 
nous  avons  admis  que  le  potentiel  d'un  pôle  magnétique  soumis 
à  l'action  de  courants  fermés  ne  dépendait  que  de  la  position  du 
pôle  par  rapports  aux  courants  ;  et  c'est  sur  cette  seule  hypo- 
thèse qu'ont  reposé  tous  nos  raisonnements.  Puisqu'il  en  est  de 
même  pour  le  potentiel  d'un  pôle  de  solénoïde  soumis  à  l'action 
de  courants  fermés,  nous  démontrerions  delà  même  manière  que 
dans  ce  nouveau  cas  le  potentiel  est  encore  de  la  même  forme. 
Le  potentiel  électrodynamique  d'un  pôle  de  solénoïde  sera  donc 
proportionnel  à  l'angle  solide  o  sous  lequel  on  voit  de  ce  pôle 
les   faces  positives  des  courants   qui  agissent    sur   lui,    et    à  la 

masse    magnétique  zh   — ?^ —   équivalente   au    pôle  du  solénoïde 

dans  les  actions  électromagnétiques.  Comme  d'autre  part  nous 
avons  admis  (121)  que  le  potentiel  d'un  courant  qui  se  déplace 
en  présence  d'un  autre  courant  d'intensité  i'  est  proportionnel 
à  i'  nous  aurons  pour  le  potentiel  d'un  pôle  de  solénoïde  soumis 
à  l'action  d'un  seul  courant 

i  =z{za- ?; —  cp. 

Des  expériences  précises  ont  montré  que  le  coefficient  a  est 
égal  à  l'unité  quand  les  intensités  sont  exprimées  en  unités 
électromagnétiques  ;  nous  avons  donc 

1  =dz  — f; —  l  CO, 
0  ' 

c'est-à-dire  que  l'action  électrodynamique  qui  s'exerce  entre 
un  pôle  de  solénoïde  et  un  courant  est  égale  à  l'action  électro- 
magnétique   qui  a  lieu  entre  ce  courant  et  une  masse  magné- 

tique  ±  — ^; —  dont  le  signe  est  déterminé  par  le  sens  du  courant 

dans  le  pôle  solénoïdal. 


POTENTIEL  ÉLECTRODYNAMIQUE  D'UN  COURANT  INFINIMENT  PETIT    ii5 

127 .  —  Lorsque  le  solénoïde  a  deux  pôles  A  et  B  (fig.  29)  on  peut, 
sans  changer  son  action,  lui  ajouter  un  solénoïde  BC  vA 
s'étendant  à  l'infini  dans  une  direction  C  et  par- 
couru par  deux  courants  de  sens  inverses  d'inten- 
sité égale  à  celle  du  courant  qui  parcourt  AB. 
L'ensemble  de  ces  trois  solénoïdes  peut  être  con- 
sidéré comme  deux  solénoïdes  infinis  dont  l'un  a 
son  pôle  en  A,  l'autre  son  pôle  en  B  et  dans  lesquels 
circulent  des  courants  de  même  intensité  et  de  sens 
contraires.  Ces  deux  pôles  équivalent  à  deux  masses 
magnétiques  égales  et  de  signes  contraires  de  sorte 
que  le  solénoïde  fini  AB  est  assimilable  à  un  aimant  uniforme  de 
même  longueur. 

128.  Potentiel  èlectrodynamique  d'un  courant  infiniment 
petit.  —  Un  courant  infiniment  petit  peut  être  considéré 
comme  un  élément  de  solénoïde  de  longueur  S.  Si  donc  sa  surface 
est  dio  et  son   intensité  i,  il  peut  être  assimilé   a    deux  masses 

magnétiques    -f-  —z —  et ;^ —  placées  en  A  et  B  a  une  dis- 
tance S  l'une  de  l'autre. 

Appelons    0     le    potentiel     de     l'action 
qu'exerce  le  système  des  courants  fixes  sur 
l'unité    de    magnétisme    positif    placée     au 
point  A  (fig.    3o).   Au  point   B,    infiniment 
FjV  3(7^  voisin  de  A,   le  potentiel  sera  ù  -\-  dû.  Par 

conséquent  le  potentiel  des  deux  masses 
magnétiques  qui  remplacent  le  courant  infiniment  petit  a  pour 
expression 

^    idb)         ,  ^        ,^,    idiù  T,.^  idxô 

0  ^  ^      ô  Ô 

En  désignant  par  .r,  y,  z  les  coordonnées  du  point  A,  il 
vient 

dû  dSl  dÙ 

dx  dy      "^         dz        ' 

ou  encore 

dû  =—  {adx  H-  ^dy  +  -^dz) , 


Ii6  ELECTRODYNAMIQUE 

a,  (3,  Y  étaiit  les  composantes  de  la  force  qu'exerce  le  système 
de  courants  fixes  sur  Tunité  de  pôle  magnétique  situé  en  A. 

Si  nous  appelons  l,  m,  n  les  cosinus  directeurs  de  la  direc- 
tion AB  de  la  normale  au  plan  du  courant  infiniment  petit,  les  -        pf 
quantités  dx y  dy^  dz  ont  pour  valeurs  f 

dx  =  ïù,  dy  =  7720,  dz  =  nù^ 

et  l'expression  de  dQ.  peut  se  mettre  sous  la  forme 
do.  z=z  —  (aZ  +  [3/72  H-  ^ri)  S. 
On    a  alors    pour    le   potentiel  du    courant  infiniment  petit, 

—  do.  — ïT-  =  i  (aZ+  [3/72  +  y/2)  <:/co, 

c'est-a-dire  que  le  potentiel  d'un  courant  élémentaire  est  égal  au 
produit  de  son  intensité  par  le  flux  de  force  qui  pénètre  par  sa 
face  positive, 

129.  .'Potentiel  électrodynamique  d'un  courant  fermé.  — 
Dans  le  cas  où  l'on  a  un  système  de  courants  fixes  agissant  sur  un 
courant  fini  mobile  on  peut  décomposer  le  courant  mobile  en  une 
infinité  de  courants  élémentaires  de  même  intensité  et  circulant 
dans  le  même  sens.  La  potentiel  du  courant  ainsi  décomposé  est 
égal  à  la  somme  des  potentiels  des  courants  élémentaires  ;  il  est 
donc 

(  1  )  T  =  z  r  {yd  +  f:i772  +  y/2)  dto , 

l'intégrale  étant  étendue  à  toute  la  surface  d'une  aire  courbe  ou 
plane  quelconque  limitée  parle  courant  mobile, 

130.  Autre  expression  du  potentiel  d'un  courant.  —  L'inté- 
grale précédente  étendue  a  une  surface  peut  être  remplacée  par  une 
intégrale  curviligne  prise  le  long  du  circuit  traversé  par  le  cou- 
rant. C'est  la  transformation  inverse  à  celle  que  nous  avons 
employée  au  paragraphe  117.  En  se  reportant  à  ce  que  nous 
avons  dit  à  cet  endroit  il  est  facile  de  voir  que  l'intégrale 


(2)  T  =  if{Fdx  +  Gdy  +  lldz) , 


CAS  D'UN  COUTANT  DANS  UN  MILIEU  MAGNÉTIQUE 

prise  le  long  du  circuit  mobile,  est  égale  à 


+"(^-^)]^« 


étendue  à  une  surface  limitée  par  le  même  circuit.  Si  de 
veut  que  l'intégrale  (2)  représente  le  potentiel,  donné  par 
grale  (i),  d'un  courant  fermé,  il  faut  qu'on  ait 


dll  clG 


(3)  P  = 


dy 

dz 

rW 

dll 

dz 

dx  ' 

dG 

dF 

dx  dy 


Les  quantités  F,  G,  II  ainsi  introduites  sont  appelées  par 
Maxwell  les  composantes  du  moment  électromagnétique  (le  mot 
moment  est  pris  dans  le  sens  de  quantité  de  mouvement). 

131.  Cas  d'un  courant  se  déplaçant  dans  un  milieu  magné- 
tique. —  Jusqu'ici  nous  avons  implicitement  supposé  que  s'il 
existe  des  aimants  en  présence  du  courant  mol)ile,  celui-ci  ne 
les  traverse  pas.  Examinons  le  cas  où  le  courant  mobile  se  déplace 
dans  un  milieu  magnétique. 

Il  peut  y  avoir  indécision  sur  le  choix  des  quantités  à  prendre 
pour  les  composantes  a,  [3,  y  de  la  force  qui  s'exerce  sur  l'unité 
de  pôle.  Nous  avons  vu,  en  effet,  à  propos  des  aimants,  ([ue  la 
force  qui  agit  sur  un  pôle  placé  à  l'intérieur  d'une  cavité  creusée 
dans  un  milieu  magnétique  dépendait  de  la  forme  de  la  cavité, 
et  parmi  les  valeurs  qu'elle  peut  prendre  nous  en  avons  consi- 
déré deux  :  l'une  (/a  force  magnétique)  ayant  pour  composantes 

du  ,^  da  du 


dx  '        ^~~~        dy'        '  dz 


I  ï  8  ÉLECTRODYNAMIQ  UE 

l'autre  {Vinduction  magnétique)  de  composantes 

a=:a+4'^A,      Z>=î3  +  47ïB,      c=:y+47uC, 

Q  désignant  le  potentiel  de  l'aimant  et  A,  B,  C  les  composantes 
de  la  magnétisation  au  point  considéré. 

Mais  la  forme  des  équations  (3)  permet  de  lever  facilement 
l'indétermination  et  montre  qu'il  faut  y  introduire  les  compo- 
santes de  l'induction  magnétique.  En  effet,  en  prenant  les  déri- 
vées des  deux  membres  de  chacune  d'elles  respectivement  par 
rapport  a  x^  y  y  z^  on  obtient 

da         d^         d-^ 
dx         dy         dz 

Or  nous  avons  vu  que  cette  condition  n'est  pas  satisfaite  par 
les  composantes  de  la  force  magnétique  dans  le  cas  d'un  point 
intérieur  aux  masses  magnétiques  tandis  qu'elle  l'est  toujours 
pour  les  composantes  de  l'induction.  C'est  donc  ces  dernières 
qu'il  faut  inti'oduire  dans  les  formules  ;  celles-ci  deviennent 

m      dG 

— - — , 


d)j 
,  ,         d¥         dll 

dG        d¥ 


dx  dy 


132.  —  Une  indétermination  du  même  genre  a  eu  lieu  pour 
les  formules  du  paragraphe  ii8  qui  donnent  les  composantes  ii, 
^,  w,  de  la  vitesse  d'un  courant  en  fonction  de  a,  [3,  y,  mais  il  est 
facile  de  la  lever  en  montrant  que  dans  ce  cas  on  ne  doit  pas 
prendre  les  composantes  de  l'induction. 

En  ejDPet,  plaçons-nous  dans  le  cas  particulier  oii  le  circuit 
mobile  n'est  traversé  par  aucun  courant  ;  nous  aurons  alors 
u  =  ç  =  iv  ^=0.  Si  donc  on  prenait  les  composantes  de  l'induc- 
tion il  viendrait 

de         dh  da         de  db         da 

dy         dz  '         dz         dx  .'         dx         dy  ' 


•  COMPOSANTES  DU  MOMENT  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  lig 

conditions  qui  ne  sont  pas  satisfaites  en  général.  Nous  ne  pouvons 
donc  prendre  les  composantes  de  l'induction  et  nous  devons  con- 
server les  composantes  a,  p,  y  de  la  force  magnétique.  Nous  nous 
contenterons  de  ce  double  aperçu,  en  l'absence  d'une  théorie 
plus  satisfaisante. 

133.  Déterminations  des  composantes  du  moment  électro- 
magnétique. —  Abandonnons  le  cas  où  le  courant  mobile  se 
meut  dans  un  milieu  magnétique  et  cherchons  les  composantes 
F,  G,  H  du  moment  magnétique. 

Les  trois  équations  différentielles  (3)  ne  suffisent  pas  pour 
déterminer  ces  quantités,  car  il  est  facile  de  voir  que  si  F,  G,  H 
est  une  solution  de  ces  équations,  le  groupe  de  valeurs 

"+£.  «+^.  ■'+^- 

OÙ  ^  est  une  fonction  quelconque  des  coordonnées,  est  également 
une  solution  du  système.  En  effet,  le  second  membre  de  la  pre- 
mière des  équations  devient  quand  on  substitue  à  F,  G,  H  les 
valeurs  précédentes, 

d?/  \  d.z  /        dz   \  dy  )        dy  dydz  dz 

dydz  dy  dz 

et  le  dernier  membre  de  cette  suite  d'égalités  est  égal  à  a  puis- 
que, par  hypothèse,  F,  G,  II  forment  une  solution  du  système. 
On  verrait  par  un  calcul  semblable  que  les  deux  autres  équations 
sont  également  satisfaites. 

134.  —  Pour  déterminer  les  composantes  F,  G,  Il  nous  devons 
donc  leur  imposer  la  condition  de  satisfaire  à  une  nouvelle 
équation.  Maxwell  prend  pour  cette  équation  de  condition, 

d¥        dG        dll 

(^)  '-u^-^-di-^'ir-''' 

En  tenant  compte  de  cette  relation  il  est  possible  de   trouver 


l'io  ÉLECTRODYNAMiqUE 

entre  les  composantes  u,  ç\  w  de  la  vitesse  du  courant  et  les 
composantes  F,  G,  H  du  moment  magnétique  trois  relations  qui 
nous  permettront  d'obtenir  les  valeurs  de  ces  dernières  quan- 
tités. Nous  avons,  d'après  les  formules  du  paragraphe  ii8  et  les 
formules  (3)  du  paragraphe  i3o: 

jr____i^[^  __■   ^'^        ^^'F        '^'^^         ^^'ti 

d]}         dz         dxdij         di/  dz'^  dxdz 

ou,   en  ajoutant  et   retranchant  au  second  membre  la  quantité 
Y  et  groupant  les  termes  d  une  manière  convenable 

d'^Y         d'G  dm         d'^Y        (P¥        d'¥ 


'dx'  dxdy  dxdz         dx^-  drf'  dz^ 

ou  enfin 
(6)  4„„_^_AF. 

Si  on  suppose  que  Téquation  (5)  est  toujours  satisfiiite,  c'est-à- 
dire  qu'elle  est  une  identité,  les  dérivées  partielles  de  J  sont 
nulles  et  la  relation  (6)  se  réduit  à 

AF  H-  4'^/^  ==:  0 . 

Cette  équation  étant  analogue  à  l'équation  de  Poisson,  F  peut 
être  considéré  comme  le  potentiel  d'une  matière  attirante  de 
densité  u.  D'après  ce  que  nous  savons  sur  la  forme  du  potentiel 
qui  satisfait  à  une  telle  équation  nous  pouvons  poser  immédia- 
tement 


../^., 


l'intégrale  étant  étendue  à  tous  les  éléments  dx  de  l'espace  tout 
entier  ;  u  est  la  valeur  de  la  première  composante  du  courant  au 
centre  de  gravité  de  l'élément  d'z  et  ;•  est  hi  dis  lance  de  cet  élé- 
ment au  23oint  x^  //,  z. 

Nous  obtiendrons  par  des  calculs  analogues 


.y^.,  „.|^ 


(h. 


COMPOSANTES  DU  MOMENT  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  121 

Ces  valeurs  de  F,  G,  H  satisfont  nécessairement  aux  équa- 
tions différentielles  (3)  ;  montrons  que  l'équation  de  condition 
(5)  est  également  satisfaite  et  pour  cela  cherchons  les  dérivées 
partielles  de  F,  G,  H  qui  y  entrent. 

135.  —  Donnons  à  un  point  de  coordonnées  x,  ij,.z  un  déplace- 
ment parallèle  à  l'axe  des  s  et  de  grandeur  da:  ;  la  distance  de 
ce  point  aux  différents  éléments  de  la  matière  attirante  fictive  de 
densité  u  croît  de  dr  et  le  potentiel  F  au  point  considéré  aug- 

mente  de  ~j—  dx.    Mais  supposons  qu'au  lieu    de    déplacer    le 

point  attiré  x^  y^  z,  comme  nons  venons   de  le  l\iire  en  laissant 
fixe  la  matière  attirante,  nous  donnions  aux  divers  points  de  1'^ 
matière  attirante,  un  déplacement  égal  à  —  dx,  en  laissant  fix 
le  point  X,  ?/,  z',  cela  reviendra  absolument  au  même.  L'accrois 
sèment  rf;-  de  la  distance  du  point  attiré  au  point  attirant  sei 
évidemment  le  même,  si  l'on  donne  au  point  attiré  un  déplac' 
ment  quelconque,  ou  si  c'est  le  point  attiré  qui  subit  un  dépla 
ment  parallèle  égal  et  de  sens  contraire.  Cela  revient  à  suppoi 
que  la  densité  u  au  centre  de  gravité  de  l'élément  devient  apr» 

le  déplacement,  u  -j —  dx.  Nous  avons  donc 


la  première  intégrale  étant  étendue  \\  tout  \v  volume  occupé  par 
la  matière  attirante  après  le  déplacement.  Oi'  ces  deux  champs 
d'intégration  sont  les  mêmes  puiscpie  tous  deux  comprennent 
l'espace  tout  entiet';  par  conséquent,  nous  avons  simplement 


dx  .  /  /' 

d'où 


^Pr 

dV     ., 

-7—    dx 
dx 

dF 

i          t       r/n 

laa  ÉLECTRODYNAMIQUE 

Nous  obtiendrons  des  expressions  analogues  pour  les  diffé- 
rentielles partielles  de  G  par  rapport  à  y  et  de  H  par  rapport 
a  z  ;  leur  addition  donne 


dç    ,     dw  \  , 
d-z. 


I   /  du        dç    .     dw  \ 
r  \  dx        dy  ~'~    d.z  J 


Tous  les  éléments  de  cette  dernière  intégrale  sont  nuls, puisque, 
pour  Maxwell,  F  électricité  est  incompressible  et  que  Téquation 
qui  exprime  cette  incompressibilité  est 

du         dv  dw  

dx         dy  d.z 

L'équation  de  condition  (5)  est  donc  satisfaite. 

136.  —  Revenons  au  cas  où  le  milieu  étant  magnétique,  les 
composantes  F,  G,  H  du  moment  électromagnétique  sont  liées 
à  celles  de  l'induction  par  les  équations  (4).  Il  est  facile  de 
s'assurer  que  ces  équations  et  l'équation  de  condition  (5)  seront 
satisfaites  si  l'on  prend  pour  F,  G,  Il  le  produit  des  valeurs  trou- 
vées par  le  coefficient  de  perméabilité  magnétique  [Ji  du  milieu  ; 
nous  avons  donc 


A    /    --  di^ 


p.    /    — di^  G==[A    /    — rfT, 


137.  Valeurs  de  F,  G,  H  pour  un  courant  linéaire.  —  Plaçons- 
nous  dans  le  cas  particulier  où  en  présence  du  courant  mol^ilc  il 
n'y  a  qu'un  seul  courant  dont  le  circuit  est  formé  par  un  fil  de 
faible  section  dcr.  L'intensité  de  ce  dernier  courant  étant  désignée 

par  ^,   la  vitesse   de   l'électricité    est -y- et  la  direction  de  cette 

d'y 

vitesse  est  celle  de  la  tangente  au  circuit  menée  dans  le  sens  du 

r  .  T  ,  dx      dy 

courant.   Les  cosinus  directeurs  de  cette  tan^eute  sont  —, — ,  — ^, 

^  ds  '    ds  ' 

-y-  (en  appelant  ds  l'élément  d'arc  du  circuit),  de  sorte  que  l'on 


FORMULE  DE  NEUMANN 

a  pour  les  composantes  u,  ^,  çv  de  la  vitesse  de  l'électricité 

i     dy  i      dz 


i      dx 
dcï     ds  ' 

ou,  puisque  d^ds  =  rfx, 

id:x 


W  ■■ 


(7) 


Par  conséquent  la 
tique  en  un  point  de 


et  nous  avons  poui'  les  trois  composantes 


G=« 


lî  =  i 


(8)       F  =  i 


i3S. Formule  de  Neumann.  —  Soit  C  (fig.  3i)  un  circi 
parcouru  par  un  courant  d'intensité  i^  et  C^  un  circuit  i 
parcouru  par  un  courant  d'intensité  i'.  Le  potentiel  électroayiic 
mique  ï  du  courant  C^  par  rapport  au 
courant  C  a  pour  valeur, 


T  =  i^  fiFdx'  +  Cdij'  + 1  Idz!) . 


Fi^.  3i. 


Dans  cette  expression  F,  G,  II  sont 
relatives  au  circuit  C  puisque  ce  circuit 
est  seul  en  présence  du  circuit  mo- 
bile ;  si  donc  nous  supposons  (pie  ce  cli'cuit  est  formé  d'un  fil 
de  faible  section,  F,  G,  Il  sont  données  par  les  expressions  (8) 
trouvées  précédemment  et  dans  lesquelles  /•  est  la  distance  du 
milieu  de  l'élément  ds  au  milieu  de  Félément  ds' ,  En  portant 
ces  valeurs  dans  l'expression  de  ï  nous  obtenons 


1 2  4  ÉLECTROD  YNA  MIQ  UE 

et,  en  appelant  e  l'angle  des  deux  éléments  ds  et  ds\ 


(9) 


Telle  est  la  forme  donnée  pai^  Neamann  au  potentiel  électro- 
dynamique d'un  courant  par  rapport  à  un  autre. 

La  symétrie  de  cette  formule  par  rapport  a  i  et  i',  h.  ds  et  ds' 

"^^ntre  que  le  potentiel  électrodynamique  de  C^  par  rapport  à  C 

?gal  au  potentiel  électrodynamique  de  C  par  rapport  à  G^ 

Ue  expression  du  potentiel  électrodynamique 
—  La  formule 

ï  ^  iC{Fd^v-hGdij  +  lldz) 

c  facilement  se  mettre   sous  une  autre  forme  qui  nous    sera 
tile  dans  ce  qui  va  suivre. 
Des  valeurs  (7)  établies  au  n^  137  on  tire  immédiatement 

id.v  =  nd-z^        idy  ■=  vd-z^        Idz  =  ivd'z, 
et  en  portant  ces  valeurs  dans  l'expression  de  T,  il  vient 
(10)  T  :=J[?u  +  G('  +  ILv)  d-., 

l'intégrale  étant  étendue  à  l'espace   occupé  par    la  malière  con- 
ductrice qui  constitue  le  circuit  mol^ile. 

140.  Potentiel  èlectro dynamique  d'un  courant  par  rapport 
à  lui-même.  —  On  peut  par  la  pensée  décomposer  un  circuit  ti'a- 
versé  par  un  courant  en  une  infinité  de  circuits  d(;  section  infini- 
ment petite.  Chacun  des  courants  ainsi  ol)tenus  possède  par 
rapport  aux  autres  un  potentiel  électrodynami(|no  ;  la  somme  de 
ces  potentiels  est  ce  qu'on  appelle  le  potentiel  du  courant  par 
rapj^ort  à  lui-même.  (Cherchons  l'expression  de  ce  potentiel. 

Soient  i(y  r,  sv  les  composantes  de  la  vitesse  de  Télectricité 
en  un  point  du  circuit,  F,  G,  II  les  composantes  du  moment 
électromagnétique  en  ce  mémo  point,  etT  le  potentiel  du  courant 


POTENTIEL  ÉLECTRODYNAMIQUE  12^ 

par  rapport  à  lui-même.  Si  nous  donnons  Ixii,  r,  jr,  les  accroisse- 
ments cliL^  dç,  dwy  ces  quantités  F,  G,  H,  et  T  prendront  respec- 
tivement les  accroissements  d¥ ^  dG,  dll  et  dT.  Le  courant  qui 
circule  alors  dans  le  circuit  peut  être  considéré  comme  résultant 
de  la  superposition  du  courant  primitif  et  du  courant  provenant 
de  l'accroissement  donné  à  la  vitesse  de  l'électricité  ;  nous 
appellerons  ce  dernier,  courant  supplémentaire.  I/accroisse- 
ment  dT  du  potentiel  peut  donc  être  regardé  comme  égal  à  la 
somme  du  potentiel  du  courant  ancien  par  rapport  au  courant 
supplémentaire  et  du  potentiel  du  courant  supplémentaire  par 
rapport  à  lui-même.  Le  potentiel  du  courant  primitif  par  rapport 
au  courant  supplémentaire  est,  d'après  l'expression 
potentiel  d'un  courant 


j\udF-\-çdG-\-^^'dll)d-. 


Quant  au  potentiel  du  courant  supplémentaire  par  rapport 
lui-même,  ce  sera  une  quantité  infiniment  petite  du  second  ord 
et  on  pourra  le  négliger  ;  on  a  donc 

dT=:j\udF  +  pdG  +  miU)  d-z. 

Mais  on  peut  considérer  dT  comme  étant  égal  au  potentiel  du 
courant  supplémentaire  par  rapport  au  courant  primitif  aug- 
menté du  potentiel  du  courant  supplémentaire  par  rapport  à 
lui-même.  En  néa'lio:eant  ce  dernier,  il  vient 

dT=f\Udu  +  Gdv  +  ildiv)  d^, 

et   en   additionnant  les   deux  valeurs  de  dT  puis  divisant  par  2, 


dT  =  -~    I    [Fdu  -+-  lulF  H-  Gdi>  -+-  (v/Ci  +  lldn'  +  mlll)  di, 


dT  =  —d    I    {Fn  +  Gç  +  lhi')di:. 


I  'i6  ÉLECTRODYNAMiqUE 

L'intégration  donne  pour   la  valeur  du  potentiel  du  courant 
par  rapport  à  lui-même 

(il)  T=—    I    (F;^,  +  Gf^+H^v)iT 


^  141.  — Remarquons  que  le  raisonnement  qui  nous  a  conduit 
à  cette  expression  s'applique-  tout  aussi  bien  au  cas  d'un  système 
de  plusieurs  coui\ints  qu'à  celui  d'un  courant  unique.  Cette 
expression  représente  donc  d'une  manière  générale  le  potentiel 
électrodynamique  d'un  système  de  courants  par  rapport  à  lui- 
même.  Il  faut  alors  étendre  l'intégration  à  tout  le  volume  occupé 
par  les  conducteurs  matériels  du  système^  ou  bien  encore  a 
l'espace  tout  entier,  ce  qui  revient  au  même  puisque  le  système 
est  supposé  n'être  en  présence  d'aucun  autre  système  de  courants. 

142.  Expressions  diverses  du  potentiel  dun  système  de 
courants  par  rapport  à  lui-même.  —  Nous  avons  établi  au  para- 
graphe 134  que  la  composante  F  du  moment  électromagnétique 
en  un  point  de  l'espace  est  donnée  par  la  formule 


r  étant  la  distance  du  point  considéré  à  l'élément  de  volume  ch^ 
pour  lequel  la  composante  de  la  vitesse  est  ?/.  Au  point  de  l'es- 
pace occupé  par  un  élément  de  volume  ck  d'un  système  de  cou- 
rants les  composantes  du  moment  électromagnétique  relatif  au 
système  lui-même  seront  donc 

G=    I    .       11  = 


En  portant   ces  valeurs  dans    l'expression    (lo)    du    potentiel 
électrodyiuunique  du   système  par  rapport  à   lui-même  il  vient 


EXPRESSIONS  DIVERSES  DU  POTENTIEL 


Ï1'] 


Chacune  des  intégrales  doubles  du  second  membre  de  cette 
égalité  doit  être  étendue  à  toutes  les  combinaisons  possibles  de 
deux  éléments  d-  et  dx^ .  Ces  éléments  appartenant  au  même 
système  de  courants,  un  même  élément  de  volume  joue  le  rôle 
de  d'z  et  de  di'  et  chaque  intégrale  contient  deux  fois  le  même 
élément  différentiel.  Si  l'on  ne  prend  qu'une  seule  fois  chaque 
élément  différentiel  il  faut,  dans  l'égalité  précédente,  porter  le 
double   du    résultat  obtenu  par  l'intégration  ainsi  conduite.  Le 

facteur  —  disparaît  donc  et  on  a  la  formule 


(la) 


UU'    -X-     ^9'  -\-WiV^  y  ,       , 

■ az  ar. 


143.  —  Dans    l'expression  (11)   du   travail  électrodynamique, 
nous  pouvons  remplacer  z/,  ^,  w  par  leurs  valeurs  : 


~  kT.xdij  dzr 

i    /  dy  dy\ 

I    /rfp  da.\_ 

4tz  \  dx  dy  J  ' 


L      \di,        dz}^     \dz       dxl 


H-"(S-|)]-- 


Considérons  l'intégrale 


en  intégrant  par  parties,  il  vient 


Y^d.-. 
dy 


Fy7>2rfw  — 


dF  ^ 


128  ÉLECTRODYNAMiqUE 

m  étant  le  cosinus  de  l'axe  des  y  avec  la  normale  a  l'élément 
cfco  de  la  surface  qui  limite  le  volume  d'intégration.  Si,  comme 
nous  en  avons  le  droit,  nous  étendons  les  intégrales  triples 
à  l'espace  tout  entier,  les  composantes  a,  (3,  y,  de  la  force  qui 
s'exerce  sur  un  point  de  la  surface  limitant  le  volume  sont  nulles, 
puisque  le  point  est  rejeté  à  l'infini.  Les  éléments  de  l'intégrale 
double  sont  donc  nuls  et  l'intégrale  elle-même  est  égale  à  zéro. 
Nous  avons  donc  simplement 


En    efTectuant  une  transformation    analogue   pour    les    autres  \ 

-ntégrales  de  l'expression  précédente  de  T  et  portant  les  valeurs  \ 

obtenues  dans  cette  expression,  on  obtient  { 

144.  —  Cette  nouvelle  forme  du  potentiel  peut  être  simplifiée  en 
tenant  compte  des  groupes  d'équations  (3)  et  (4)  qui  donnent  les 

valeurs  des  différences  des  dérivées  partielles  de  F,  G,  II,  dans  le  | 

cas  où   le  système  de  courants  est  dans  un  milieu  non  magné-  \ 

tique  et  dans  le  cas  où  il  est  au  contraire  dans  un  milieu  magné-  I 

tique.  Nous  avons  dans  le  premier  cas  ] 

et  dans  le  second 

145.  Cas  d'un  système  de  conducteurs  linéaires.  —  Quand 
les  circuits  qui  composent  le  système  sont  linéaires,  le  potcutiel 
électrodynamique  du  système  par  rapport  a  lui-môme  peut  se 
mettre  sous  la  forme  qu'a  donnée  Neumann  au  potentiel  de  deux 
systèmes    de   courants  linéaires   l'un  par   rapport   à  l'autre.   En 


CAS  D'UN  SYSTEMS!  DE  CONDUCTEURS  LINEAIRES  129 

effet,  d'après  les  formules  (7)  et  (8)  établies  au  n°  137  les  compo- 
santes de  la  vitesse  de  l'électricité  en  un  point  sont 


id:r  idy  id. 


z 


"=^^'       ^=1F'       '""-^^ 

et  les  composantes  du  moment  électromagnétique  au  même  point 
sont 


G  =  ï^     /    :i^,  H  =  ï' 


En  portant  ces  diverses  valeurs  dans  l'expression  (9)  elle  devient 

dx  dx'  -\-  dy  dy'  +  dz  dz' 


ou,  en  appelant  e  l'angle  formé  par  deux  éléments  quelcon< 
du  système  de  courants. 


rr        ï    •/     i        l     ds  ds^  cos  £ 

1  =  — II' 


146.  Cas  d'un  système  de  deux  couinants  linéaires,  — 
Appelons  G^  et  C^  ces  deux  courants  et  affectons  les  quantités  qui 
entrent  dans  nos  formules  des  indices  i  et  2  suivant  qu'elles  se 
rapportent  au  courant  C^  ou  au  courant  C^.  Nous  avons  pour  les 
composantes  du  moment  électromagnétique  en  uu  point 


ce  sont  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  des  intensités  i^  et  r^. 

PoiNCARÉ.  Electricité  et  Optique.  9 


'''m 


i3o  ÉLECTRODYNAMIQUE 

Le  potentiel  électrodynaniîque  de  ce  système  de  courants  par 
rapport  a  lui-même  est  donné  parla  formule  (i  i) 


T  =  —  fçFu  +GÇ-+-  lïi^>)  dz. 


Or,  en  un  point  du  premier  circuit  on  a 

?£  <f T  =  i^  dx^ ,  i>dz  =  z'i  dy^ ,  [wd'z  =  i^  dz^ , 

et  en  un  point  du  second 

u  dx  =  4  dx^ ,  çdi  =  \  dy^ ,  wdz  ===  ^  dz,^ . 

Par  conséc|uent  l'intégrale  (9)  donne 


i^Ydx,+Qdy,~^lU.z,)+^    I    (Fdx,-+-Gd?j,^lldz,) 


T  est  donc  une  fonction  linéaire  et  homogène  par  rapport 
à  i\  et  ?2  et  par  rapport  à  F, G, H.  Mais  nous  venons  de  voir  que 
ces  dernières  quantités  sont  homogènes  et  du  premier  degré 
en  i^  et  4  ;  par  conséquent  T  est  une  fonction  homogène  et  du 
second  degré  en  r\  et  z^,  et  nous  pouvons  écrire 

Les  cj[uantités  L,  M,  N  ne  dépendent  évidemment  que  de  la 
forme  et  de  la  position  relative  des  deux  courants  Cj  et  C^.  11  est 
d'ailleurs  facile  de  voir  leur  signification.  En  effet  M  étant  le 
coefficient  de  i^   i^  dans  la  valeur  de  T,  M  est  égal  à  l'intégrale 

/  dx^dx^  +  dy^dy^  +  dz^  dz^ 


prise  le  long  d'un  des  circuits  ;  c'est  donc  le  potentiel  électro- 
clynamic|ue  de  l'un  des  courants  par  rapport  à  l'autre.  On  cons- 
taterait aussi  simplement  que  L  est  le  potentiel  du  courant  C^ 
supposé  seul  par  rapport  à  lui-même  et  que  N  est  le  potentiel 
de  C^  supposé  seul  par  rapport  à  lui-même. 


CH 

I 


147.  Forces  électromotrices  d'induction.  —  Dans  réUidc  de 
réîectromagnétisme  et  de  l'électrodyiiamique  nous  avons  impli- 
citement supposé  que  les  intensités  des  courants  restaient  cons- 
tantes. Or  on  sait  que,  lorsqu'il  y  a  déplacement  relatif  de  cou- 
rants ou  de  courants  et  d'aunants,  il  se  produit  des  phénomène? 
particuliers  connus  sous  le  nom  de  pliènomcmes  cV induction  et 
dont  la  découverte  est  due  à  Faraday.  Ces  phénomènes  se  mani- 
festent dans  les  circuits  par  la  production  de  courants  tempo- 
raires dont  les  intensités  s'ajoutent  à  l'intensité  du  courant  pri- 
mitif et  qui  peuvent  être  attril.)ués  à  des  forces  électromotrices 
que  Ton  nomme  forces  èlectroniolrices  cV induction. 

Des  expériences  faites  sur  rinduction,  il  résulte  ([ue  si  les 
intensités  /^  et  /^  de  doux  courants  fixes  (Ij  et  (].,  sul)isscnt  dans 
rintervallo  de  temps  dt  des  accroissements  di^  et  r//.,,  les  foi'ces 
électromotrices  d'induction  dével(>j)pées  dans  les  circuits  sont, 
pour  le  circuit  C^^ 


et  pour  le  cii'cuit  C^ 


dt     "^       dt  ' 


H  A  +  ci^l 
dt  dt 


148.  Cherchons  rexpr(^.ssion  de  la  force  électromotrlcc  résul- 
tant du  déplacement  de  circuits  traversés  par  des  courants 
d'intensités  constantes. 

Prenons  d'ahord  le  cas  où  un  seul  des  circuits  se  déplace  de 
C  cnC^  L'expérience  prouve  que  tout  se  passe  comme  si  le  cou- 


i3a                                                            INDUCTION  I 

I 

rant  C   était  supprimé  et  qu'en  C  soit  créé  un  nouveau  courant  l 

^le   même  intensité.  Or,  d'après  ce  que  nous  avons  dit   dans  le  | 

l^at^agraphe  précédent,  à  une  variation  dl  de  l'intensité  i  du  cou-  i 

rant  C    correspond  une  force  électromotrice  d'induction  A  --j—  | 

dans  le  circuit  C.  Par  conséquent,  la  suppression  du  courant  C,  f 

qui    équivaut  à  une  diminution  i  de  l'intensité   de   ce  courant,  f 

l>roduit  une  force  électromotrice -7—;  et  la  création  du  cou-  t 


rant  C^  une  force  électromotrice  (A  +  dA)  -j- ,  dk  étant  la  varia- 
tion du  coefficient  A  quand  le  courant  passe  de  C  en  C  Nous 
avons  donc  pour  la  force  électromotrice  résultant  du  déplace- 
ment 

Il  serait  facile  de  voir  que  si  deux  courants  Cj  et  Q  sont  en 
présence  les  forces  électromotrices  résultant  de  leur  déplace- 
ment relatif  sont,  pour  le  circuit  C^, 

.   ^A         .    d'è 


et  pour  le  circuit  C^ 


.  ^        .   d£^ 

''   dt  ~^''   dt 


Dans  le  cas  où  les  deux  courants  varient  d'intensité  en  même 
temps  qu'ils  se  déplacent,  les  forces  électromotrices  d'induction 
sont,   pour   chacun   des    deux   circuits,    égales    à  la  somme  des  ^ 

iV)rces   électromotrices  qui  résultent  de  chaque  genre  de  variation 
pris  séparément;  on  a  donc  pour  le  circuit  C^, 

.     di^     ^   ^  di,    '     ,   dk    ^    .    dB  d   .,,       ^.,  f^ 

et  pour  l'autre  circuit  C^,  ' 

■T.  ^h    \   r  di,  dB        .    dC         d  I 


DÉTERMINATION  DES  COEFFICIENTS  A,  B,  C  i33 

149.  Détermination  des  coefficients  A,  B^  C.  —  Les  coeffi- 
cients qui  entrent  clans  l'expression  des  forces  électromotrices 
d'induction  peuvent  être  déterminés  par  l'application  du  prin- 
cipe de  la  conservation  de  l'énergie. 

Prenons  deux  circuits  dans  lesquels  les  courants  d'intensités  i^ 
et  iy  sont  fournis  par  des  piles  de  forces  électromotrices  E^  et  Eo. 
La  quantité  d'énergie  chimique  détruite  dans  la  pile  se  trans- 
forme en  partie  en  chaleur  dans  la  pile  elle-même  tandis  que 
l'autre  partie  se  retrouve  sous  forme  d'énergie  voltaïqvie.  L^expé- 
rience  apprend  que  la  quantité  d'énergie  voltaïque  produite 
dans  le  temps  dt  est 

Cette  énergie  voltaïque  se  retrouve  sous  forme  de  chaleur  pro- 
duite dans  les  conducteurs  par  le  phénomène  de  Joule  et  sous 
forme  de  travail  mécanique  résultant  du  déplacement  de«  rnnrlnr»- 
teurs.  Si  R^  et  R^  sont  les  résistances  des  deux  circuits 
tités  de  chaleur  dégagées  sont  R^q  dt  RJld/.  Quant  au 
mécanique  fourni  par  le  système,  il  est  égal  à  la  variation  di 
potentiel  éleotrodynamique  du  système  par  rapport  à  lui-mômt;, 
ou  plus  exactement  à  la  partie  de  cette  variation  qui  est  due  au 
déplacement  des  circuits,  sans  tenir  compte  de  la  partie  de  cette 
variation  due  à  l'augmentation  des  intensités.  Ce  potentiel  a  pour 
expression  dans  le  cas  de  deux  circuits 


On  en  tire. 


T  =JL|L/^4..,Mv,-hN/:]. 


rfT  =  —  1 /fr/L  +  :^/ /.//M  + /;;./N  1. 


L'excès  de  Ténergie  voltaVcpu^  fournie  au  système  pendant  le 
temps  dl  sur  l'énergie  recueillie  sous  forme  de  chaleur  et  de 
travail  mécanique  pendant  le  même  temps  est  donc 

(0  E,i,d(-^EJjù  —  RJid/^RJldi  —  d.T. 

D'après  le  principe  de  la  conservation  de  l'énergie,  cette 
expression  doit  cire  nulle  dans  le  cas  où  le  système  décrit  un 


INDUCTION 


En  multipliant  les  deux  membres  de  ces  relations  respective- 
ment par  i^dt  et  i^dt^  nous  obtenons 

^^i^dt  —  ?xfidt  = —  \d{ki^  +  B/^) , 
et 

E^4^/  —  R.j\dt  =  —  iid  (B/^  +  CQ , 

Si  nous  remplaçons  les  quatre  premiers  termes  de  l'expression  (i) 
par  la  somme  des  seconds  membres  des  relations  précédentes, 
nous  avons 

(2)  _?;^(Aî;+B/,)— 4^(B/^+C/J ^K^L+  2z>VM  +  /irfN]. 

Dans  le  cas  où  il  n'y  aurait  ni  déplacement  ni  déformation  des 
circuits  cette  expression  se  réduirait  à 


—  ki^di^  —  B//Z/, — B/V/i^  -^  Cijll^^ 


ou 


clic  serait  donc  la  différentielle  exacte  de  la  quantité 

(3)  -_^(AtJ+2Bv,  +  Cr^). 


fermé.  Si  le  cycle  n'est  pas  fermé,  elle  doit  être  une  différ  ( 

elle  exacte.  En  exprimant  que  c'est  une  différentielle  exacte  f 

obtiendrons  les  valeurs  de  A,  B,  C. 


t 


D.    —   Pour  transformer  l'expression  (i),  écrivons    les  lois  I 

ni  pour  chacun  des  circuits  en  observant  que,  puisqu'il  y  a  1 

Lcement  des  circuits  il  y  a  production  de  forces  électromo-  t 

;  d'induction  ;  nous  avons  | 


THÉORIE  DE  MAXWELL  i3i 

Quand  il  y  a  déplacement  des  circuits  la  différentielle  de  cette 
quantité  est 

— ki^dl^  ~T-  Bi^dL^  —  Bi.^di^  —  CL^di.^ ildA.  —  iJ.^dB ildC 

et  pour  que  l'expression  (2)  reste  la  différentielle  de  la  mem( 
quantité  (3)  il  faut  qu'il  y  ait  identité  entre  cette  différentielle  e 
le  développement  de  l'expression  (2)  qui  est 

—  ki^di^  —  Bl^di^  —  Bi^dl^  —  Ci^di^  —  r^dk  —  2iJ.^dB  —  il 

ildL  —  iJ.dM iîd 

2  2 

L'identification  donne  les  relations 

J-  dk  ==dk-^—  dL , 

'2  '1 

dB^2dB  +  dyi, 

-dC  =  dC  +^rfN, 
2  2 

(jui  se  réduisent  a 

dk  :=:  —  dL         dB  -.  —  dM.         dC  ^  —  dN  ; 
d'où  Ton  tire  en  intégrant  et  en  supposant  nulle  la  constante  d'in- 


légralioiî 


1^         -M,         C    -.       N. 


Ainsi  les  coelïicicnts  (jui  (Mitrent  dans  l'i^xpression  des  forces  élcc 
tromotrices  d'inducliou  sont,  au  signe  ])rès,  les  coedicients  L,  M, 
X  de  r(^xpres'^Ion  du  potcMiticl  él(H'.tr()dynanri(j[U(^  du  système  de 
courants.  Aussi  a[)|)eIle-t-on  généra lennuit  coelïicients  d'induction 
ces  derniers;  L  et  N  sont  des  rocf/lc/c/Us  de  self-lnducllon  et  M 
le  coc/ficîc/if  d' uiddrtion  DiulueUe  des  d(Uix  courants. 

151.  Théorie  de  Maxwell. —  Vax  théorie  de  l'Induction  sous 
la  forme  (|ue  nous  venons  de  lui  donner,  a  été  développée  pour 
la  première  fols  par  llelmlioltz  dans  son  mémoire  sur  la  Conser- 
iuUio/i  de  lit  force  et  ])eu  de  temps  après  par  lord  Kelvin  ;  celle 
de  Maxwell  est  di  de  rente  et  plus  complète  à   Inen  des  égards. 


3a  INDUCTION 

peut  en  effet,  par  rapplication  des  équations  de  Lagrange  à 
iide  du  mouvement  des  molécules  du  fluide  impondérable  que 
xiwell  suppose  présider  a  la  manifestation  des  phénomènes 
3trîques,  retrouver  les  lois  de  l'Induction  et  celle  de  l'Électro- 
laniique. 

.52.     Dans   les  chapitres  qui  précèdent,  nous  avons  été  ame- 
à  conclure  que  les  hypothèses    faites   par  le  savant  anglais 
taient  que  provisoires,  et  que,  tout  en  nous  satisfaisant  mieux 
'  Thypothëse  des  deux  fluides,  elles  n'avaient  pas,  même  aux 
"^.e  leur  auteur,  plus  de  réalité  objective.  Au  contraire  nous 
ns  ici,  à  ce  que  je  crois ,  à  la  craie  pensée  de  Maxwell. 
début  de  sa  théorie,  Maxv^ell  fait  les  deux  hypothèses  sui- 
es  : 

'  Les  coordonnées  des  molécules  du  fluide  impondérable 
dépendent  des  coordonnées  des  molécules  matérielles  des  corps 
soumis  aux  phénomènes  électriques  et  aussi  des  coordonnées  des 
molécules  matérielles  des  fluides  hypothétiques  (électricité  posi- 
tive et  électricité  négative)  de  la  théorie  ordinaire  de  l'Electri- 
cité ;  mais  nous  ignorons  complètement  la  loi  de  cette  dépen- 
dance ;  ^ 

^^  Le  potentiel  électrodynamique  d'un  système  de  courants 
n'est  autre  que  la  demi-force  vive  du  fluide  de  Maxwell  ;  c'est  donc 
de  l'énergie  kinétique. 

153.  Pour  introduire  dans  les  équations  de  Lagrange  les 
paramètres  qui  définissent  la  position  d'une  molécule  du  Iliiidc  de 
Maxwell  il  faut^  par  suite  de  la  première  hypothèse,  connaître  les 
pîiram êtres  qui  définissent  la  position  d'une  molécuhi  de  nos 
fluides  hypothétiques.  Or  la  position  d'une  molécule  d'électricité 
A  c[ui  parcourt  un  circuit  linéaire  C  est  parfaitement  déterminée 
si  on  connaît  d'une  part,  la  position  du  circuit  dans  Tespace,  cl 
d'autre  part,  la  longueur  6^  de  l'arc  OA  compté  à  partir  d'une 
origine  déterminée  0.  Par  conséquent  si  .rp  .r^,  .^3,...  sont  les 
paramètres  qui  définissent  la  position  des  molécules  matérielles 
qui  constituent  le  circuit,  la  position  d'une  molécule  du  fluide 
impondérable  de  Maxwell  dépend  des  paramètres  ,s',  .r^,  .r,,  r-^. 

Mais,  au  lieu  de  s  on  peut  prendre  une  fonction  de  cet  arc  car 


APPLICATION  AU  CAS  DE  DEUX  CIRCUITS 

la  connaissance  de  cette  fonction  permettrait  de  déterminer  5  cl 
par  suite  la  position  d'une  molécule  d'électricité  sur  le  circuit  C; 
Maxwell  prend  la  quantité 

t 

y  =  /  idf, 

qui  est,  ainsi  que  nous  allons  le  démontrer,  une  fonction  de  s. 

En  effet  la  section  du  conducteur,  cpi  peut  être  variable  d'un 
point  à  un  autre,  est  une  fonction  cp  [s]  de  l'arc  s)  la  vitesse  de 
l'électricité,  quotient  de  l'intensité  par  la  section  du  conducteur. 

.,  i  .  .  ,         ds 

est  alors  — pr  et  comme  cette  vitesse  a  aussi  pour  valeur  —  nous 


devons  avoir 


d'où  nous  tirons, 


et 


dt 


ds  i 

dt         cp(.v)  ' 


J  idt  =    /  o[s)ds  =  i^{s)^ 


s^  étant  la  position  do  la  molécule  d'électricité  à  l'origine  des 
temps.  Par  conséquent,  //  est  uiui  l'onction  de  s  soulejncivt  et  nous 
pouvons  prendre  pour  les  parani(',tres  dont  (lé[)end  la  position 
d'une  molécule  du  lluide  impondérable  de  Maxwell  les  (pian- 
tités  //,  .i'j,  .r^,.. .  :i\,. 

154.  Application  au  cas  de  deux  circuits.  —  SI  nous  dési- 
gnons par  /\  et  i\,  les  intensités  des  courants  (pil  traversent  ces 
circuits  et  si  nous  posons 

!/i  =    v/^       <^i'       !/->.^    v^^ 

Jo  .'0 

la  position  d'une  molécule  du  lluide  impondérable  de  Maxwell 
dépendra  des  paramèti'cs  j/^  et  //^  et  des  n  paramètres  .r^,  .. .,  .r,^  qui 
définissent  la  position  des  molécules  matérielles  des  conducteurs. 


i38  INDUCTION 


^m 


,}' 


conséquent  le  mouvement  du  système  formé  par  les  deux  ;| 

/ants   sera  donné  par  un    système   de   7^  +  2  équations  de  f 

r^a  grange  | 

cl    (Tï         clT  ^ 

311  rji  est  un  quelconque  des  paramètres  et  Q^.  le  coefficient  de  ùq,- 
dans  l'expression 

lu  travail  correspondant  à  un  déplacement  virtuel  du  système. 

155.  L'énergie  kiné tique  T  qui  entre  dans  ces  équations  est  la 
somme  de  la  demi-force  vive  Tj  des  molécules  matérielles  du 
système  et  de  Ténergie  kinétique  des  molécules  du  fluide  impon- 
dérable de  Maxwell.  Cette  dernière  étant,  d'après  la  seconde 
hypothèse,  le  potentiel  électrodynamique  du  système  par  rapport 
a  lui-même,  nous  avons  dans  le  cas  considéré  où  deux  courants 
seulement  sont  en  présence, 

Le  premier  terme  T^  de  cette  somme  ne  dépend  que  des  déri- 
v^ées  <'r/,  x.J...,  x-n  des  paramètres  x\,  x.,...  x^,^  des  molécules 
matérielles. 

La  position  des  molécules  du  fluide  impondérable  dépendant 
les  paramètres  ?/j,  JJ.^-,  x^^  x.,...  x,,  rensemble  des  trois  derniers 
:ermes  de  la  somme  précédente  pourrait  dépendre  de  ces  /i  -{~  2 
paramètres  et  de  leurs  dérivées.  MaisL,  M,  N,  ne  dépendant  que  de 
la  forme  et  de  la  position  relative  des  circuits,  sont  des  (onctions 
de  x^,  x\,...  Xy^  seulement;  de  plus  i^  et  i,  sont,  d'après  les  inté- 
grales qui  définissent  ij^  et  y.^,  les  dérivées  ?//  et  ?//  de  ces  quantités 
par  rapport  au  temps.  Par  conséquent  l'énergie  kinétique  des 
molécules  du  fluide  impondérable  dépend  uniquement  de.r^.r.,. .. 
r„,  et  de  y/  et  ?//. 

156.  Occupons-nous  maintenant  du  second  membre  des 
équations.   Si  nous  supposons  le  courant  qui  parcourt  le  circuit 


VALEURS  DES  FORCES  ELECTROMOTRÎCES  D'INDUCTION  i39 

Cl  entretenu  par  une  pile  de  force  électroniotrlce  E^,  la  quantité 
d'énergie  voltaïque  qu'elle  fournit  pendant  le  temps  dt  est  E^/^rf/ 
ou  E^oy^.  Or  dans  les  idées  de  Maxwell  la  force  électromotrice 
est  une  force  qui  agit  sur  les  molécules  du  fluide  impondérable  ; 
par  suite  E^Sz/j  est  un  travail  résultant  du  déplacement  des  molé- 
cules de  ce  fluide. 

Mais  la  force  électromotrice  de  la  pile  n'est  pas  la  seule  force 
qui  agit  sur  les  molécules  du  fluide  impondérable  ;  il  faut  encore 
tenir  compte  de  la  résistance  qu'oppose  le  milieu  au  mouvement 
de  ces  molécules  et  dont  le  travail  se  retrouve  sous  forme  de 
chaleur  dans  le  conducteur.  La  quantité  de  chaleur  ainsi  produite 
étant,  d'après  la  loi  de  Joule,  R^ifd/,  le  travail  accompli  par  le 
fluide  impondérable  est  —  IX^iidl^  ou  — I"^/i2//i. 

Nous  avons  donc  pour  le  travail  du  fluide  impondéral^le  dans  le 
circuit  C^ 

et  pour  rensemblc  des  deux  circuits 

(Jouant  au  travail  des  molécules  matérielles,  il  ne  dépend  que 
des  paramèlres  .r^,  .r^,  ....r|,;   nous  le  représentons  par 

X'jO.r,  +  X/^.r,...  +X,,o.r,,,, 

de  sorte  que  nous  aurons  poui*  le  travail  aec'ompli  dans  un  dépla- 
cement virtuel  tant  pai' l(\s  molécules  du  (luide  impondérable  ([ue 
par  les  inoléeub^s  ma  lé  ri  telles 

(E,  — U^/,;oy^  H-  (E,— Iî/,;o//_,   |-X,o.rj  +  X,o.i-,  -h  ... -^X,  o.r,,, 

et   il    nous    faudra,    dans    ehaeiine   des    é(|uatioiis    de    La<n'an<''e 
prendre  pour  second   inenihi-e  le  eoeflieient  de   l'expression  pi'<''- 
eédenh^  ([ui  se  rapporte  an  pnranii'jre  eonsidc'ri'. 

157.  Valeurs  des  forces  électvomotricos  d'induction,  ~- 
l/é([uati()n  de  Eagrange  r(dative  au  paranièlre  //    est 


i4o  INDUCTION 

Mais  T  ne  dépend  pas  de  ij^  puisque  aucun  de  ses  termes  n'eu 

dépend;  par  conséquent -^^ — =  o.  On  a  aussi       /  =  o  car   T^ 

étant  Ténergie  kinétique  des  molécules  matérielles  il  ne  dépend 
pas  de  ?//.  I/équation  précédente  se  réduit  donc  à 

OU 

La  force  électromotrice  d'Induction  est  donc  la  dérivée  par 
rapport  au  temps,  changée  de  signe,  de  LXj^-j-Mï^.  C'est  l'expres- 
sion à  laquelle  nous  étions  parvenus  par  la  méthode  de  lord  Kelvin. 

En  écrivant  l'équation  de  Lagrange  relative  au  second  para- 
mètre ?/2,  nous  trouverons  pour  la  force  électromotrice  déve- 
loppée dans  le  second  circuit 

158.  Travail  des  forces  èlectrodynamiques.  —  Si  nous  pre- 
nons une  des  équations  de  Lagrange  relatives  aux  paramètres 
ji\,  a\y..,  X,,,  nous  obtiendrons  le  travail  des  forces  électrodynami- 
ques pour  un  déplacement  correspondant  à  l'accroissement  o:v,-  du 
paramètre  considéré. 

En  effet,  en  observant  que  L/f+2  M/^/,4-N/|  ne  dépend  pas 
de  la  dérivée  .r^,  que  T^  ne  dépend  pas  de  .i\-  et  que  i^  et  l^  ne  dé- 
pendent ni  de  .t\-  ni  de  .x^y  nous  avons 


Si  nous  supposons  en  outre  qu'à  l'instant  considéré  le  système 
soit  au  repos,  Tj  sera  nul,  et  nous  aurons  pour  le  travail  résul- 
tant d'un  déplacement  virtuel, 


Mais  ce  travail  est  celui  des  forces  extérieures  qui  agissent  sur 


TRAVAIL  DES  FORCES  ÉLECTRODYNAMIQUES  i4i 

les  molécules  matérielles  du  système;  celui  des  forces  électrody- 
iiamiques  est  de  signe  contraire.  Il  est  donc  égal  a  la  variation 
de  la  fonction 

2 

qui  est,  comme  cela  devait  être,  le  potentiel  électrodynamia" 
du  système  par  rapport  à  lui-même. 

159.    Cherchons  maintenant  le  travail  des  forces  électr 
miques  exercées  par  le  courant  C^,  supposé  fixe,  sur  le  circu 

Le  circuit  C^  ne  se  déformant  pas,  8N  est  nul  et  le  travail  ut 
forces  électrodynamiques  se  réduit  à 

Mais  le  premier  terme  de  cette  somme  se  rapporte  à  Faction 
que  le  courant  C^  exerce  sur  lui-même.  Par  conséquent  le  travail 
des  forces  électrodynamiques  dues  à  Faction  du  courant  C^  sur  le 
circuit  C^  a  pour  expression  iJ,.^M.,  D'ailleurs  M/^z^,  potentiel 
électrodynamique  du  courant  C^  par  rapport  au  courant  C^  a  pour 
valeur  (129) 


M, 


i^i^  =  i^  Hla  +  m  [j  +  n^')  du 


quand  C^   se   déplace  dans  un   milieu   non   magnétique,  ou  plus 
généralement 


Mi^i.^  =  i\  I  [la  ~\- mh  +  Jic)  db) 


quand  C^  se  déplace  dans  un  milieu  magnétique  en  un  point 
duquel  les  composantes  de  l'induction  magnétique  sont  a,  b,  c; 
nous  aurons  donc  pour  le  travail  des  forces  électrodynamiques 
qui  s'exercent  entre  Cj,  et  C^ 


i^h  \{la  +  mb  -f-  ne)  dio  . 


ï42 


INDUCTION 


160.  Expression  des  forces  èlectrodynamiques.  —  Si  nous 
désignons  par  Xck^  Yrfx,  Zdi  les  composantes  de  la  force  électro- 
dynamique  due  à  l'action  du  courant  C^  sur  un  élément  x,  ?/,  z 
du  circuit  Cp  le  travail  de  ces  forces  quand  l'élément  se  déplace 

de  Sx,  5?/,  o.z  sera 

(X5.'r  +  Y%  +  ZS.3)rfT; 

par  suite  le  travail  des  forces  électrodynamiques  qui  agissent  sur 
C   sera,  quand  le  circuit  tout  entier  se  déplace  ou  se  déforme, 


Cck(X^j:x;-+-Yhj-{-Zcz), 


l'intégration  étant  prise  le  long  du  circuit  C^  En  égalant  cette 
expression  du  travail  a  celle  que  nous  avons  trouvée  précédem- 
ment nous  obtenons  la  relation 

(i)         f(k  (Xrk  +  Yo?/  +  Zoz)  =^  i\o  I  {la-\-mh  +  îic)  diù, 

dont  nous  allons  évaluer  le  second  membre, 

Soient  Cj  [fiiJ^.  Sa)  la  position  du  circuit  C^  et  C'j  sa  position 
finale.  Nous  pouvons  par  ces  deux  posi- 
tions faire  passer  une  surface  A  et  prendre 
pour  champ  d'intégration  de 

/  (^la  +  mh  -\-  ne)  (ho y 

l'aire  limitée  sur  cette  surface  par  la 
courl)e  G,.  La  variation  de  cette  in téirrale 
([uand  le  circuit  passe  de  Cj  en  C\  est  alors 
la  valeur  de  cette  même  intégrale  étendue  à  Taii'c  comprise  errtre 
les  deux  courbes.  Pour  trouver  cette  valeur  considérons  un  élément 
mn  du  courant  C^  dont  la  position  après  le  déplacement  est  /;^'/^^ 
La  figure  ?nn  m'/i'  peut  être  considérée  comme  un  parallélogi-amme 
dont  le  côté  iiin  a  pour  projcclions  (Li\  dj/,  dz  et  le  côté  mn^, 
égal  au  déplacement,  o.v^  otj,  oz\  nous  avons  donc  pour  les  aires 
des  projections  de  ce  parallélogramme  sur  les  plans  de  coordon- 
nées 

ld(x>  =  oydz  —  ozdij, 
mdiù  =  ozdx —  ùxdz^ 
ndo)  =  o.xï/?/  —  o?/d:i\ 


CAS  D'UN  NOMBRE  QUELCONQUE  DE  COURANTS 

et,  par  conséquent, 

§  1  [la  -+-  mb-i-  ne)  dto  ^=  j  a  [oijdz  —  o.zdi/)  +  b  [ozdx  —  ?ixdz) 

-\-c  ipxdy —  Bi/dx. 

En  portant  cette  valeur  clans  l'égalité  (i)  il  vient, 

I  d'z  (Xox  -\-  "Y 8?/  +Z5.3)  =  /j  /  [cdj/  —  bd.z)  ox  -\-  (ad.z  —  cdx)  hj 

[bdx  —  adx)  Zz  ; 

ce  qui  nous  donne  en  identifiant 

'Xdz=  i\  [cdy  —  bdz), 
ydz  =  i\  [adz  —  cdx)^ 
J.A'z  =  /j  [bdx —  cidy). 

Mais  on  sait  que 

ud'Z=.  i^dx,  çd7  =  i^d?j.  n'd-z  =  i^dz, 

par  conséquent,  les  trois  équations  précédentes  peuvent  s'écrire 

X  =  cç    biK' 


(2)  Y  =  cm'  —  c/f 

Z  =  bfi  —  a  ç . 

161.  Cas  d'izj2  nombre  quelconque  de  courants.  —  Forces 
èlectrodynamiques. —  Les  formules  précédeutes  s'appliquent  au 
cas  où  un  iioniljre  (|uelcou(|ue  de  courants  (].,,  C3..,.,  ('/„  agissent 
sur  l'élénient  considéré  du  circuit  C^.  ¥a\  edet,  appelons  r/o,  b,,^c,, 
a.^,  b.^...y  c^,  les  conqiosantes  de  l'induction  niagnétl([ue  due  aux 
divers  courants  au  point  où  se  trouve  l'élénient  de  C^.  I.a  force 
électroclynanii({ue  produite  [)ar  rensenible  des  courants  est  la 
résultante  des  ("orces  produites  par  chacun  d'eux;  sa  composante 
suivant  l'axe  des  x  (^st  donc 


Z  =  c_^>  ^  b^^iv  +  r,('  —  b,jv  +  . . .  4-  ('u^'  —  h'^'^ 


ou 


X  =  {c\  H-  6",  +  . . .  +  c,,)  ^  —  [b..  H-  b^  +  . . .  +  b,,)  w 
ou,  enlin,  en  désignant  par  a,  b^  c  les  composantes  suivant  les 


\  INDUCTION 

..ois  axes  de  la  résultante  des  inductions  magnétiques  dues  aux 

courants  C^,  C3...  C„ 

X  =  cf'  —  biv, 

'^n  peut  également  tenir  compte  de  la  force  électrodynamique 

au  courant  C^  lui-même.   Pour  cela  décomposons  ce  courant 

eux  portions,  l'une  ne  comprenant  que  l'élément  considéré, 

tre,  le  reste  du  circuit.  On  peut  négliger  l'action  de  la  pre- 

mère    portion    sur    elle-même    et   on    est    alors    ramené    à    la 

recherche  de  la  force  électrodynamique  due  à  l'ensemble  de  n 

courants  c^^c^,  c^...  c,,.  Si  donc  on  appelle  a,  b,  c  les  composantes 

le  l'induction  magnétique  due  à  tous  ces  courants  on  a  encore 

Dour  la  composante  suivant  l'axe  des  x 

X  =  cr  —  biv. 
Les  formules  (2)  sont  donc  générales. 

162.  Forces  électromotrices  d^ induction.  —  Nous  avons 
trouvé  que,  lorsqu'il  n'y  a  qu'un  seul  courant  C^  placé  en  présence 
du  courant  C^,  la  force  électromotricc  totale  d'induction  déve- 
loppée dans  le  circuit  C^  est 

Le  terme  —7-^  ne  dépendant  que  de  Taction  du  courant  G^  sur 
lui-môme,  la  force  électromotricc  d'induction  duc  seulement  au 

courant  C,  est  donnée  par — 7-^,  dérivée  que  nous  allons  mettre 

'  ^         dt    '  ^ 

sous  une  autre  forme. 

La  variation  SM/^  de  la  quantité  M/.^,  <|uand  le  circuit  C^  se 
déplace  et  que  les  intensités  des  courants  varient,  peut  être  con- 
sidérée comme  la  somme  de  la  variation  résultant  du  déplace- 
ment, les  intensités  restant  conslantcs,  et  de  la  variation  due  au 
changement  des  intensités  dans  les  cii'cuils  supposés  fixes.  Or 
nous  avons  démontré  (157)  ([ue  la  variation  de  M/^/^  due  au  dépla- 
cement relatif  des  deux  circuits  dans  lcs([uels  les  intensités  con- 
servent les  mêmes  valeurs,  est 

oMiJ^=  i^  1  a  {oydz — o.zdif)  +  b(o.zdd' —  oxdz)  +  c  [oxdy  —  hjdx)  ; 


FORCES  ÉLECTROMOTRICES  D'INDUCTION  i45 

par  conséquent,   nous  aurons  pour   la   variation  correspondante 
de  M4,  l'intégrale  du  second  membre. 

Pour  avoir  la  variation  de  M^  résultant  du   changement  des 
intensités  prenons  M^?^  sous  la  forme 

Mz>;  =  z;    f  Fdx  +  Gdij  +  Edz. 

Puisque  les  circuits  ne  se  déforment  ni  se  déplacent,  le  contour 
d'intégration  reste  le  même  et  la  variation  de  ML  se  réduit  h 


Jci 


^  hFd.T-+-oGd?j  +  md.z. 

Cl 

Nous  aurons  donc  pour  la  variation  totale  de  Mi., 
j  a  [ofjdz  —  ozdi/)  +   /;    [ozdx  —  o:vd.z^  -\-   c   [oxdjj   —   ùyd.z 

~\-  j  oFcZ.x'  +   oCxdt/  + 
et  par  suite,  pour  la  force  électromotrice  d'induction 

dMi, 


dt 


a  [ijdz—  z'dy) + /;  [z'dx—x'd.z)+-  c  {x'dy  —  y'd.r) 


dV    ,  dC.   ,      ,     dW    , 

^d,r+^dy+^dz 


ou  encore 


dMi,  If;,  d^\      y  I         ,  ,  <^(^      \       J 


-\^[h:r'  —  ay'-~-~^'-jj')dz. 


463.  Si  nous  désignons  par  P,  i),  Il  les  composantes  sui- 
vant les  trois  ax(^s  de  la  (orc(^  électronnotrice  d'induction  par 
unité  (l(^  longueur,  la  lorce  électroniotrice  dans  le  circuit  i\  est 
donnée  par  l'intégrale 


X' 


\\lr^(ldij  +  ]Xdz. 

PoiNCARK.  Elo(îlrî<'ilc  el  O])li([uo. 


INDUCTION 


identifiant  avec  l'expression  précédente  de  la  force  électro- 
de nous  obtiendrons  trois  relations  dont  la  première  est 


/ 


Vdx^    I    icy'-bz'—^)d:v. 


Nous  en  tirons  par  difFérentiation 

(0  p=:cty^bz^ 


dF 


dt   ' 


il  est  évident  que  nous  pouvons  ajouter  au  second  membre 

îtte  dernière  relation  la  dérivée  partielle 7-^  d'une  fonc- 

uniforme  —  i,  car,  en  intégrant,  l'intégrale  relative  a  ce 
ine   sera  nulle  et  la  relation  (i)  sera  encore  satisfaite.  Nous 
avons  donc  pour  les  composantes  de  la  force  électromotrice  d'in- 
duction par  unité  de  longueur 

•^  dt  dx 

r  \  }    r\  I  ,         dG         dij 

^  ^  ^    ^  dt  dîj 

r^         j    ,  r        dll  dii 

R  =  bx^  —  a?/  — 


dt  d.z  ' 

164.  Montrons  maintenant  que  ces  équations  sont  encore 
applicables  au  cas  où  un  nombre  quelconque  de  courants  C^, 
C3,...  C^  sont  en  présence  du  courant  C^. 

La  force  électromotricc  d'induction  développée  dans  C^  par  l'en- 
semble des  ?i  —  I  autres  courants  est  égale  à  la  somme  des  forces 
électromotrices  développées  par  chacun  d'eux;  on  a  donc  pour 
la  composante  P, 

-^  dt  dx 


+  c^'~hz! 


dt  dx 


^'"^       *"-  dt  dx 


SIGNIFICATION  DE  ^  14^ 


OU 


Lm^  Am  di  dx 

^^'  A_A^^Z_A^  ^^^^^  ^^^  composantes  suivant  deux  des  axes  de 
rinductlon  magnétique  au  point  considéré  sur  C^;  \^F  est  la 
composante  du  moment  électromagnétique  au  même  point  ;  quant 
à  N  ^J;  c'est  une  fonction  uniforme  des  coordonnées.  Par  consé- 
quent la  première  des  équations  du  groupe  (2)  s'applique  au  cas 
d'un  nombre  quelconque  de  courants  pourvu  que  l'on  prenne 
pour  Z>,  6',  et  F  les  valeurs  de  ces  quantités  dues  a  l'ensemble 
des  courants  agissants.  On  verrait  de  la  même  manière  que  les 
deux  autres  équations  sont  également  applicables. 

165.  On  peut  aussi  tenir  compte  de  l'action  du  courant  C^ 
sur  lui-même.  En  effet  nous  pouvons  considérer  [le  circuit  C^ 
comme  formé  de  deux  portions.  Tune  se  réduisant  à  l'élément  de 
circuit  pour  lequel  on  cherche  les  composantes  de  la  force  élec- 
tromotrice, l'autre  comprenant  le  reste  du  circuit.  Cette  dernière 
portion  peut  être  confondue  avec  le  circuit  C^  lui-même,  de  sorte 
que  si  l'on  néglige  l'induction  de  l'élément  sur  lui-môme  Tinduc- 
tioii  provient  des /^  circuits  Gp  C^,...  C^,.  Les  composantes  de  la 
iorce  clectromotrice  seront  donc  données  par  les  formules  (2)  où 
//,  //,  c^  F,  G,  H  seront  les  valeurs  dues  à  tous  les  courants. 

166-  Signification  de  ^.  —  La  fonction  ^  est  une  fonction 
quelconque  des  coordonnées  assujettie  à  la  seule  condition  d'être 
uniforme.  Maxwel  admet  que  c'est  le  potentiel  électrostatique 
résultant  des  masses  électriques  qui  peuvent  exister  dans  le  champ. 

C.ctte  hypothèse  aurait  besoin  d'être  vérifiée  expérimentale- 
ment par  la  concordance  entre  les  valeurs  mesurées  des  forces 
électromotrices  d'induction  dans  un  circuit  ouvert  et  les  valeurs 
fournies  par  les  équations  (2)  011  ^  serait  donnée  par  l'expérience 
et  les  quantités  a,  h,  e,  F,  G,  Il  par  les  formules 

c  =  Y  +  4'^C, 


^'« 


INDUCTION 


Y  =  I    ^^^^  ^         '    ^^'^  ^^         '     ^'^^^ 


Toutefois  il  est  toujours  permis  de  prendre  pour  A  le  potentiel 
électrostatique  car  les  quantités  F,  G,  H  n'ont  pu  être  détermi- 
nées qu'en  les  supposant  liées  par  l'équation  différentielle 

dF    ,     dG    ,     dlî 


dx  dy  dz 


3  sommes  libres  d'abandonner  cette  hypothèse.   Si  nous 
ls  pas  introduit  cette  hypothèse,  nous  aurions  trouvé  pour 
J,  II  des  valeurs  de  la  forme 


dx  ' 


7-  étant  une  fonction  arbitraire  des  coordonnées,  et  pour  les  com- 
posantes P,  Q,  R  de  la  force  électromotrice  par  unité  de  lon- 
gueur 


hz'  — 


Q  =  a-J  —  ex' 


R: 


ay  — 


du    ch 

d}-L 

dij 

dt      r 

dxdt 

dx  ' 

dy    d- 

d-A 

dû, 

dt      r 

di/di 

dy' 

dw    di 

d'-V. 

4 

de      r  dzdt  dz 


Il  est  donc  toujours  possible,  en  choisissant  convenablement  la 
fonction  arbitraire  X  de  faire  en  sorte  que  la  fonction  ^J;  qui  entre 
dans  ces  équations  et  les  équations  (2)  représente  le  potentiel 
électrostatique. 


;|. 


r- 


CHAPITRE  X 

ÉQUATIONS   DU  CHAMP  MAGNÉTIQUE 


iQl.  Équations  du  champ  magnétique.    —  Récapitulons   les 
équations  qui  lient  entre  elles  les  composantes   en   un  point 
Tincluction  magnétique,  de  la  force  et  du  moment  électromagné- 
tiques, de  la  force  électromotrice  d'induction  et  de  la  vitesse  de 
l'électricité. 

Dans  le  §  103  nous  avons  vu,  que  si  a,  p,  y  sont  les  compo- 
santes de  la  force  magnétique  en  un  point  d'un  milieu  magnétique 
dont  le  coefficient  de  perméabilité  est  pi,  les  composantes  de 
l'induction  magnétique  au  même  point  sont  données  par  les 
équations. 

(0  )    ^^=l4^ 

\  (-  =  i^y. 

Si  au  point  considéré  passe  un  liux  d'électricité,  les  com- 
posantes ?/,  r,  i'i'  de  la  vitesse  de  ce  llux  peuvent  être  déduites 
des  composantes  de  la  force  magnétique  au  moyen  des  relations 
établies  au  §  H8  : 

.    ^  dj         d& 

,  di/  dz 

]  doL  dy 

[  ,„^ ^ 

d.v         dy 

Quant  aux  composantes  F,  G,  H  du  moment  électromagné- 
tique elles  sont  liées  (§  131)  à  celles  de  l'induction   magnétique 


ÉqU AXIONS  GÉNÉRALES  DU  CHAMP  MAGNÉTIQUE 

es  équations  dIfFérentielles 


dy 

dz 

dF 

dE 

dz 

dx  ' 

dx 

dY 
dy  ■ 

(III) 


Mais  puisque  a,  b,  c  sont  les  produits  de  a,  p,  y  par  un  facteur 
constant  [x  et  que  a,  p,  y  dépendent  de  ;^,  ^,  w  les  composantes 
F,  G,  H  du  moment  électromagnétique  sont  elles-mêmes  des 
fonctions  de  u,  ^,  çi^.  D'après  ce  que  nous  avons. dit  aux  §  137 
et  166  ces  fonctions  ont  pour  expressions  : 

u   j     ,     d'I 

7^^  +  ^' 


r  dy 


w   ,    ,    dX 

Enfin  la  force  électromotrice  résultant  de  Tinduction  électro- 
magnétique et  des  masses  électriques  à  Tétat  statique  a  pour 
composantes,  ainsi  que  nous  l'avons  montré  au  §  163, 

dF         dij 

(V) 


dt 

dx 

dQ 

di 

dt 

dy 

dl\ 

4 

dt  dz 


168.  Équations  des  courants  de  conduction.  —  Dans  les  for- 
mules (III),  u^  (.,  çç  désignent  les  composantes  de  la  vitesse  de 
l'électricité  sans  distinction  du  mode  de  mouvement  :  conduction 


ÉQUATIONS  DES  COURANTS  DE  DÉPLACEMENT  i5 

OU  déplacement.  Dans  le  cas  où  l'on  a  un  courant  de  conduction 
ces  composantes  doivent  en  outre  satisfaire  aux  équations  qui 
expriment  la  loi  de  Ohm.  Au  §  87  nous  avons  vu  que  si  C  désigne 
la  conductibilité  électrique  du  milieu  etX  la  variation  par  unité  de 
longueur  de  la  projection  suivant  l'axe  des  oc  des  forces  électro- 
motrices résultant  de  toute  autre  cause  qu'une  difiérence  de 
potentiel  statique,  nous  avons  pour  la  première  de  ces  équations, 

u  di^ 


C  dx 


X. 


Lorsqu'on  suppose'  que  ces   forces  électromotrices  se 
uniquement  a  l'induction  exercée  par  les  masses  magnétiques  c 
les  courants  qui  varient  ou  qui  se   déplacent,  dans  le  champ,  le 
second   membre  de    cette   dernière  équation    est  égal  à  P.  Par 
conséquent,  nous  avons  alors  pour  les  trois    composantes  de  la 
vitesse  de  l'électricité  dans  un  courant  de  conduction 

/   u  =  CP, 
(VI)  ,  =  CQ, 

(  (V  =  CR. 

169.  Équations  des  courants  de  déplacement.  —  Les  équa- 
tions précédentes  ne  sont  pas  applicables  aux  courants  de  dépla- 
cement, ces  courants  étant  supposés  ne  pas  suivre  la  loi  d'Ohm. 
Quant  aux  équations  (111),  elles  doivent  ôtre  satisfaites  puisque^ 
comme  nous  Tavons  déjà  dit  (H8),  Maxwell  admet  que  les 
courants  de  déplacement  obéissent  aux  lois  électromagnétiques 
et  électrodynamiques  d'Ampère.  Mais  outre  ces  dernières  équa- 
tions, il  en  existe  trois  autres  qui  lient  les  composantes  de  la 
vitesse  de  l'électricité,  dans  un  courant  de  ce  genre,  aux  com- 
posantes de  la  force  électromotricc. 

Nous  avons  vu,  en  ciïet  (72),  que  les  composantes  du  déplace- 
ment électrique  sont  données  par  trois  équations  dont  la  pre- 
mière est 

_  K   /^  \ 

X  ayant  dans  cette  formule  la  même  signification  que   dans  le 


i52  ÉQUATIONS  GÉNÉRALES  DU  CHAMP  MAGNÉTIQUE 

paragraphe  précédent.  Si  donc,  nous  admettons  que  les  forces 
électromotrices  soient  dues  uniquement  a  une  diflFérence  de 
potentiel  statique  et  k  l'induction  des  aimants  et  des  courants 
placés  dans  le  champ,  le  facteur  entre  parenthèses  dans  Fexpres- 
sion  de  f  est  égal  à  ^ —  P  ;  par  suite,  nous  avons  alors, 

En  dérivant  ces  équations  par  rapport  au  temps,  il  vient  pour 
.s  composantes  ^^,  ç^  çç  de  la  vitesse  du  déplacement  électrique 

^iz    dt  ' 

\    "         4^    dt  ' 

no.  Équations  des  courants  dans  un  milieu  imparfaitement 
isolant.  —  Le  groupe  d'équations  (VI)  s'applique  aux  milieux 
conducteurs  comme  les  métaux  ;  le  groupe  d'équations  (VIIl) 
s'applique,  au  contraire,  aux  milieux  parfaitement  isolants.  Lors- 
que le  corps  est  imparfaitement  isolant,  Maxwell  admet  que  le 
courant  électrique  ^rai,  duquel  dépendent  les  phénomènes  élec- 
tromagnétiques, a  pour  composantes  la  somme  des  composantes 
du  courant  de  conduction  et  du  courant  de  déplacement  ;  nous 
avons  donc  dans  ce  cas 

/^iz    dt 


^iz    dt 


ÉQUATIONS  DES  COURANTS  DANS  UN  MILIEU  ISOLANT  i^'^ 

Remarquons  que  Thypothèse  de  Maxwell  soulevé  une.  dilïicultc'^. 
En  effet,  le  milieu  possédant  des  projDriétés  intermédiaires  cnLrt' 
celles  des  conducteurs  et  celles  des  isolants,  la  force  clecLromo- 
trice  qui  produit  le   courant  doit  vaincre  deux  espèces  de  résis- 

tance    :    l'une  analogue    à   la  résistance  —  des    métaux,     1  autre 

du  genre  de  celle  qu'oppose  un  isolant.  Il  seml)lc  donc  ([ue,  eon- 
trairement  aux  vues  de  Maxwell,  l'intensité  du  courant  <îl.,  par 
suite,  les  quantités  u,  p^  w  dussent  alors  être  plus  peiilc^s  ([ue 
dans  un  milieu  conducteur  ou  un  milieu  parfoitenieut  isolant. 

m.  M.  Potier  a  substitué  à  riiypothése  de  Max\V(dl  une 
hypothèse  plus  rationnelle.  Il  admet  que  la  ioree.  éh'<cl  l'oiuolr-"" 
en  un  point  est  la  somme  de  celle  qui  donne  lieu  au  eouranl  cli» 
conduction  et  de  celle  qui  produit  le  déplacenuMil,  Nous  avouH 
alors,  en  tirant  des  équations  (VI)  et  (VII)  les  valeurs  dc^s  eon 
posantes  de  la  force  électromotrlcc  et  additionnant  : 

'  P  _  ii    .   i]l/.; 
C    ^   K  /* 

(X) 


Q  = 

C    +    K  é'' 

R^ 

172.  Ja^s  formules  (IX)  et  les  (orniules  (X)  s<^  r<'^(luls<'nl  \\  e<dl«'H 
des  courants  de  conduction,  les  preinièr(?s  poiii;  K  -  o.  les  s<"cotHli's 
pour  K  =  co  .  Un  conducteur  doit  (Mre  considéré,  d'après  Ma\u  ell, 
comme  un  diélectrique  de  pouvoir  induclcui*  nul,  rt.  d'après 
M.    l?()tier,    comme  un  diél(^ctrique   d(i    pouvoir    uidii(*leur  îtilîn!. 

La  conséquence  de  Hiypothèsc;  de  M.  Potier  s'uilcrp rèh*  l'aeile- 
ment  dans  la  théorie  des  celkiles. 

Dans  cette  théorie,  (m  eflèt,  on  se  repr(:\senl(^  un  diéleel  riqui» 
parlait  comme  formé  par  des  cellulc^s  parfaihMuenI  eonduetrices 
séparées  les  mies  des  autres  par  des  intervalles  parfaiîrnicuî 
isolants. 

Qu'arrivera-t-il    alors    pour   un   corps    tenant    h^   niiliru    enlrr 
les  diélectriques  et  les  conducteurs,  c'est-à,~-dir<^  pour  un   diéltM- 
trique  imparfait? 


i54  ÉQUATIONS  GÉNÉRALES  DU  CHAMP  MAGNÉTIQUE 

Les  formules  de  Maxwell  et  celle  de  M.  Potier  donnent  à 
cette  question  deux  réponses  différentes. 

Adoptons-nous  les  formules  de  Maxwell  ?  C'est  supposer  que 
les  intervalles  qui  séparent  les  cellules  ne  sont  plus  parfaitement 
isolants  mais  que  leur  conductibilité  spécifique  C  n'est  plus 
nulle. 

173'  Adoptons-nous  au  contraire  les  formules  de  M.  Potier; 
cela  revient  a  supposer  que  les  cellules  conductrices  ne  sont  plus 
parfaitement  conductrices  et  que  leur  conductibilité  C  n'est  plus 
infinie. 

Il  est  peu  probable  que  la  réalité  soit  aussi  simple  que  le  sup- 
posent Maxwell  et  M.  Potier.  Peut-être  devrait-on  adopter  une 
combinaison  des  deux  hypothèses  :  des  cellules  imparfaitement 
conductrices,  séparées  par  des  intervalles  imparfaitement  iso- 
lants. 

Tout  cela  a  d'ailleurs  peu  d'importance  ;  toutes  ces  hypothèses 
ne  peuvent  être  regardées  que  comme  une  première  approxima- 
tion, appropriée  à  l'état  actuel  de  la  science  ;  et  dans  cet  état 
actuel,  on  n'a  intérêt  à  considérer  que  des  conducteurs  ordi- 
naires ou  des  diélectriques. regardés  comme  parfaits. 


CHAPITRE  XI 

THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 


174.  Conséquences    des   théories    de    Maxwell.    —    D 
diverses  théories  que  nous   avons   exposées   clans    les  Cliapiti 
précédents,  il  résulte  nettement  que  la  préoccupation  constant 
de  Maxwell  est  de  trouver  une  explication  des  phénomènes  élec 
triques    et    électromagnétiques,   généralement    attribués    à    de 
actions    s'cxereant  à   distance,    par  le    mouvement  d'un    fluid 
hypothétique  remplissant  l'espace.  Nous  avons  pu  constater  qu 
Maxwell  n'avait  qu'imparfaitement  atteint  son  but;  en  particulie 
nous  avons  vu  dans  le  Chapitre  vi  que, ^'il  est  possible  de  rendre 
compte    des    attractions   et    des    répulsions    électrostatiques    au 
moyen  des  pressions  et  des  tensioils  d'un  fluide  remplissant  les 
diélectriques,  les  propriétés  qu'il  faut  alors  attribuer  à  ce  fluide 
sont  incompatibles   avec  celles   que    Maxwell  lui   suppose   dans 
d'autres  parties   de  son    ouvrage.    Ainsi,   malgré   les    cilorts   de 
Maxwell,  nous  ne  possédons  pas   encore  une  explication  méca- 
nique complète  de  ces  phénomènes  ;  néanmoins  les  travaux  de 
ce  physicien  ont  une  importance  capitale  :  ils  démontrent  la  pos- 
sibilité d'une  telle  explication. 

175.  Mais  laissons  de  coté  les  quelques  contradictions  que 
nous  avons  relevées  dans  l'œuvre  de  Maxwell  et  attachons-nous 
plus  spécialement  à  la  théorie  qu'il  a  proposée  pour  expliquer 
rElectromagnétisme  et  l'Induction  et  que  nous  avons  exposée 
dans  le  Chapitre  ix.  Une  des  conséquences  les  plus  importantes 
de  cette  théorie,  et  cette  conséquence  mérite  à  elle  seule  toute 
notre  admiration,  est  l'identité  des  propriétés  essentielles  de 
Téther  qui,  d'après  Fresncl,  transmet  les  radiations  lumineuses 
et  du  fluide  que  Maxwell  suppose  présider  aux  actions  électro- 


i56  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 

magnétiques.  Ainsi  que  le  fait  observer  ce  dernier,  cette  iden- 
tité de  propriétés  est  une  confirmation  de  l'existence  d'un  fluide 
servant  de  véhicule  a  l'énergie. 

«:  Remplir  l'espace  d'un  nouveau  milieu  toutes  les  fois  que 
l'on  doit  expliquer  un  nouveau  phénomène  ne  serait  point  un 
procédé  bien  philosophique  ;  au  contraire,  si,  étant  arrivés  indé- 
pendamment, par  l'étude  de  deux  branches  différentes  de  la 
science,  à  l'hypothèse  d'un  milieu,  les  propriétés  qu'il  faut 
attribuer  à  ce  milieu  pour  rendre  compte  des  phénomènes  élec- 
tromagnétiques se  trouvent  être  de  la  même  nature  que  celles 
que  nous  devons  attribuer  h  l'éther  luminifère  pour  explic[uer 
les  phénomènes  de  la  lumière,  nos  raisons  de  croire  à  l'exis- 
tence physique  d'un  pareil  milieu  se  trouveront  sérieusement 
confirmées.  »  Maxwell.  Traité  d'Electricité^  t.  II,  §  781. 

n6.  L'éther  et  le  fluide  de  Maxwell  jouissant  des  mêmes 
propriétés,  la  lumière  doit  être  considérée  comme  un  phénomène 
électromagnétique  et  le  mouvement  vibratoire  qui  produit,  sur 
notre  rétine,  l'impression  d\uie  intensité  lumineuse  doit  résulter 
de  perturbations  périodiques  du  champ  magnétique.  S'il  en  est 
ainsi,  des  équations  générales  de  ce  champ  doit  pouvoir  se  déduire 
l'explication  des  phénomènes  lumineux.  C'est  à  cette  explication 
qu'on  adonné  le  nom  de  Théorie  électromagnétique  de  ladumière. 

Cette  théorie  conduit  nécessairement  à  des  relations  entre  les 
valeurs  des  constantes  optiques  et  des  constantes  électriques 
d'un  même  corps.  Si  ces  relations  se  trouvent  satisfaites  numéri- 
quement par  les  données  de  l'expérience,  elles  constitueront  autant 
de  vérifications,  indirectes  mais  néanmoins  très  probantes,  de  la 
théorie.  L'une  des  meilleures  vérifications  de  ce  genre  est  l'ac- 
cord satisfaisant  que  l'on  constate  entre  les  valeurs  trouvées  par 
Foucault,  Fizeau  et  M.  Cornu  pour  la  vitesse  de  propagation  de 
la  lumière  et  celle  qu'pn  déduit  de  la  théorie  électromagnétique. 
Cherchons  donc  la  formule  qui  exprime  cette  vitesse  en  fonction 
des  constantes  électriques  mesurables  du  milieu  où  s'effectue  la 
propagation. 

m.  Équations  de  la  propagatipn  d'une  perturbation 
magnétique  dans  un  diélectrique.  —  Tous  les  corps  transpa- 
rents étant  des  isolants  jdIus  ou  moins  parfaits,    si  toutefois  on 


ÉQUATIONS  DE  LA  PROPAGATION  D'UNE  PERTURBATION 

excepte  les  solutions  électrolytiques,  bornons  d'abord  notre  étud< 
h  la  considération  des  diélectriques.  De  plus  admettons  que  le  ; 
molécules  matérielles   du  milieu  qui  propage  les  perturbation 
magnétiques  sont  en  repos. 

Par  suite  de  cette  dernière  hypothèse  les  composantes  x^,  y',  z 
de  la  vitesse  d'un  point  matériel  sont  nulles  et  les  équations  (\ 
du  §  167  se  réduisent  aux  suivantes  : 

rfF         d^ 


p-  k- 

dx  ' 

d^ 

n              '^^II 

d<h 

^==-7?- 

d.z  ' 

Le  potentiel  électrostatique  A  étant  du  à  des  masses  électri      e 
ne  variant  ni    en  grandeur  ni  en  position,  cette  quantité  e      C: 
dérivées  partielles  par  rapport  h  .r,  ?/,  .::,  sont  indépendante     ^ 
temps  ;  par  conséquent  en  dérivant  les  équations  précédente* 
rapport  à  /^  nous  o])tcnons 

/    dP  d'F 


dt       ^  dt- 

dO  rf^G 


dt  dtr  ' 

dR  d'il 


It  ^      dl'' 


La  perturbation  magnétique  étant  supposée  s'cirectuer  dans  un 
milieu  diélectrique,  les  composantes  u,  f,  w  de  la  vitesse  de 
Lélectricité  sont  liées  aux  composantes  de  la  force  électromo- 
trice par  les  équations  (VIII)  d'où  nous  pouvons  tirer  les  déri- 
vées de  P,  (^,  \\  par  rapport  h  t.  En  portant  les  valeurs  de  ces 
dérivées  dans  les  équations  précédentes  nous  avons 


i58 


THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIERE 


Pour  avoir  les  équations  différentielles  qui  donnent  F,  G,  H  en 
fonction  du  temps,  il  nous  faut  exprimer  u.,  ç^  w  en  fonction  de 
F,  G,  H  et  des  dérivées  de  ces  quantités.  Pour  cela  adressons- 
nous  aux  groupes  d'équations  (I),  (II)  et  (III). 

Les  équations  (I)  et  (III)  nous  donnent 


txa  = 

rfH 

dy 

dG 

dz 

[-?  = 

dF 

dz 

dR 

dx 

[XY  = 

dG 
dx 

d¥ 
dy 

Au  moyen  de  ces  équations  calculons  les  dérivées  de  a,  [3,  y,  par 
rapport  à  ^,  y,  z  et  portons  les  valeurs  ainsi  trouvées  dans  les 
équations  (II)  ;  nous  obtenons 


^■KlkU  =     , 


X 

dy 


-AF, 

-AG, 


^^J  ATT 


J  désignant  la  somme  des  dérivées  partielles  : 
J 


dV        dG_       m 
'■^  dy'^   dz  ■ 


dx 


L'élimination  de  u,  c,  w  entre  ces  dernières  équations  et  les 
équations  (2)  nous  conduit  aux  équations  diirérentielles  cher- 
chées. 

d'F         .  „        (^J 

IL 
dy  ' 

dJ 

dz  ■ 


(A) 


/    Ku 


di' 
d'G 
'dF 
dm 

dl^ 


:  AF 
AG- 
-.  AH  — 


Sous  cette  forme,    ces  équations  sont  semblables  à    celles  du 


EQUATIONS  DE  LA  PROPAGATION  D'UNE  PERTURBATION  iSg 

mouvement  d'une  molécule  d'un  milieu  élastique  (^)  et  par  con- 
séquent à  celles  du  mouvement  d'une  molécule  d'éther  ;  c'est  une 
première  confirmation  de  Thypothèse  sur  la  nature  électroma- 
gnétique des  vibrations  lumineuses. 

178.  Ces  équations  étant  linéaires  et  à  coefficients  constants, 
les  dérivées  par  rapport  à  une  variable  quelconque  des  fonc- 
tions F,  G_,  H  qui  y  satisfont,  sont  aussi  des  solutions  de  ces  équa^ 
tions  ;  en  outre,  il  en  est  encore  de  même  de  toute  combinaison 
linéaire  de  ces  dérivées.  Par  conséquent  les  composantes  a,  Z>,  c 
de  rinduction  magnétique,  liées  aux  composantes  du  moment 
électromagnétique  par  les  relations  (III),  satisfont  aux  équa- 
tions (A).  D'ailleurs  dans  ce  cas  ces  dernières  se  simplifient  caria 
quantité  J  est  alors 

^         da         dh  de 

ax  dy  dz 

et  nous  savons  que  cette  somme  de  dérivées  partielles  est 
nulle  (102).  Nous  avons  donc 

d^a 


=  ^a, 

=  Ab, 

„      d'c 

=  Af. 

Quant  aux  composantes  a,  ^i,  y  de  la  force  magnétique  elles 
doivent  également  satisfaire  aux  équations  (A)  puisqu'elles  ne 
diffèrent  de  a,  i,  c  que  par  un  facteur  constant  ;  la  somme  J  des 
dérivées  partielles  subsiste  alors  dans  les  équations. 

Enfin  les  composantes  u,  ç,  ^{'  de  la  vitesse  du  déplacement 
étant  des  fonctions  linéaires  et  homogènes  des  dérivées  de  a,  [3,  y 
sont  aussi  des  solutions  des  équations  (A).  L'hypothèse  de  l'in- 
comprcssiljllitc  de  rélectricité  étant  exprimée   par  la  condition 

du  d^         div 

d.v         dy  dz 

J  disparaît  des  équations. 


i6o  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 

179.  D'ailleurs  si  comme  le  suppose  Maxwell  (133),   les  com- 
posantes   F,    G,    H    du   moment    électromagnétique    satisfont  a 

ridentitê 

d¥        dG        d\ï 


dx         dy  dz 


dû  dz" 

d'G        d'G 


t 


les  équations  (A)  et  celles  qui  donnent  les  composantes  de  la  force 
magnétique  ne  contiennent  pas  J.  Mais  Tabandon  de  cette  hypo- 
thèse ne  modifie  en  rien  les  résultats  auxquels  conduit  la  théorie 
électromagnétique  de  la  lumière  car  J  disparaît  lorsqu'on  suppose 
périodiques  les  perturbations  du  champ  magnétique. 

En  eflfet  dérivons  les  équations  (A)   par  rapport  Ixx,  y,  z^   et 
additionnons  ;  nous  obtenons  après  simplification 

J  doit  donc  être  une  fonction  linéaire  du  temps,  ou  une  cons- 
tante, ou  zéro  ;  il  en  est  de  même  pour  les  dérivées  de  J  par  ^-jf 
rapport  à  x,  ?/,  z.  Or,  si  F,  G,  II  sont  des  fonctions  périodiques 
du  temps,  J  et  ses  dérivées  sont  également  des  fonctions  pério- 
diques ;  par  suite  ces  quantités  ne  peuvent  être  ni  des  fonctions 
du  premier  degré  en  t,  ni  des  constantes  ;  elles  sont  donc  nulles. 


'■î 


180.  Cas  des  ondes  planes.  —  Supposons  que  les  phénomènes 
électromagnétiques  qui  ont  lieu  dans  le  diélectrique  ne  dépen-  /| 

dent  que  du  temps  et  de  la  coordonnée  z  du  point  considéré. 
Dans  ce  cas  ces  phénomènes  sont,  au  môme  instant,  identiques 
pour  tous  les  points  d'un  plan  parallèle  au  plan  des  xy  ;  on  dit 
alors  que  les  perturbations  magnétiques  forment  des  ondes pla/ies. 

Les  composantes  F,  G,  Il  du  moment  électromagnétique  ne 
dépendant  pas  de  x  ni  de  ?/,  les  dérivées  de  ces  quantités  par 
rapport  Ixx  et  à  ;/  sont  nulles  et  les  équations  (A)  se  réduisent  à 

,.      ^r-F         d'F 


VITESSE  D'UNE  ONDE  PERIODIQUE  PLANE  i6 

Cette  dernière  équation  montre  que  clans  le  cas  où  les  perturba- 
tions sont  périodiques  la  composante  H  est  nulle.  Par  conséquent 
le  moment  électromagnétique  est  situé  dans  le  plan  de  Tonde.  11 
en  est  de  même  des  autres  quantités,  vitesse  de  rélectriclté,  force 
électromagnétique,  etc.,  dont  les  composantes  satisfont  à  des 
équations  semblables  aux  équations  (B).  On  peut  donc  dire  que, 
comme  les  vibrations  de  Téther  dans  la  théorie  ordinaire  rl^  ^-^ 
lumière,  les  perturbations  électromagnétiques  périodiqucf 
trajis^^ej'sales. 

181.  Vitesse  de  propagation  d'une  onde  périodique 
—  Si  nous  posons 

I 


les  deux  premières  des  équations  (B)  deviennent 


•1  ? 


dl^  dz 

d'Or  ...^.,    rf"G 


dt'  dz' 

Sous  cette  forme,  ces  équations  sont  identiques  à  celles  C[ui 
donnent  les  composantes  du  déplacement  d'une  molécule  d\in 
milieu  élastique  dans  le  cas  d'un  mouvement  par  ondes  planes 
transversales.  Nous  pouvons  donc  considérer  les  perturbations 
électromuguéti({U8s  c;)inin;3  se  propageant  avec  une  vitesse  égale  à 

I 

182.  Valeur  de  cette  vitesse  dans  le  vide.  —  Le  coefficient 
de  perméabilité  |ji  du  vide  étant  égal  à  i  dans  le  système  de 
mesures   électromagnétique,  la  vitesse  de  propagation  des  ondes 

planes  dans  ce  milieu  est  égale   à  —i^  ,K  étant  exprimé  dans  le 

môme  système.  (Cherchons  la  valeur  de  cette  quantité. 

L'une  des  composantes  du  déplacement  électrique  est  donnée 
par  la  formule 

K_  dà 


4^    d:v 
PoiNCARK,  Electricité  et  Optique. 


1 


i62  THÉORIE  ÉLlîCTROMAGyÉTiqUE  DE  LA  LUMIÈRE  •  ^/|* 

Le  pouvoir  inducteur  spécifique  n'ayant  pas  de  dimensions 
dans  le  système  électrostatique,  les  dimensions  du  déplacement 
dans  ce  système  sont  celles  du  cjuotient  d'un  potentiel  pai^  une 
longueur  et,  par  suite,  celle  du  quotient  d'une  quantité  cVélectri- 
cité  par  le  carré  d'une  longueur.  Il  s'ensuit  que  si  on  passe  d'un 
système  de  mesures  à  un  autre  dans  lequel  l'unité  de  longueur  a 
conservé  la  même  valeur  que  dans  le  premier,  les  nombres  qui 
mesurent  le  déplacement  dans  l'nn  et  l'autre  système  sont  dans 
le  même  rapport  que  ceux  qui  expriment  une  môme  quantité 
d'électricité.  Si  donc  nous  appelons  rie  rapport  del'unité  électro- 
magnétique de  quantité  d'électricité  à  l'unité  électrostatique^  le  /  ff 
nombre  qui  exprime,  soit  une  cpiantité  d'électricité,  soit  un  -'{l 
déplacement   dans  le   premier  système    est  égal  au    produit   de  \\ 

—  par  le  nombre  qui  mesure  la  môme  grandeur   dans  le  système  î 

électrostatique.  D'autre  part  on  sait  que  le  rapport  des  unités  de  ' 

force  électromotrice  dans  les  deux  systèmes  de  mesure  électrique  J 

est  inverse  de  celui  des  unités  de  quantité  ;  donc  le  nombre  qui  i^^ 

exprnne  —y-^  dans  le  système  électromagnétique   est  le  produit  j 

de  ç  par  la  mesure  de  cette  quantité    au  moyen  de  l'unité  élcc-  j 

trostatique.    Il    en    résulte    que  la  valeur    du   quotient  de  /'  par  j 

— j^  et,  par   suite,  la  valeur  de   K    se    trouvent  multipliées  par  1 

—^  quand  on  passe  du  système  électrostatique  au    système  élec-  \ 

tromagnétiquc.    Le  pouvoir  inducteur   sp6ci(i(pie    du  vide    étant  j 

I    dans    le    svstème    électrostatique,    sa    valeur    est  -  „    dans   le  j 

(^-  j 

système  électromagnélique. 

Si   nous  portons    cette  valeur    de   K    dans    l'expression    de  la 
vitesse,  nous  avons 

I  I 

la  vitesse  de  propagation  d'une  pcrturlxitiou  éIectromagiiéti([uo 
est  donc  égale  au  rapport  v  des  unités  de  quantité  d'électricité 
dans  les  deux  systèmes  de  mesures  électriques. 


VITESSE  DANS  LE  VIDE  iu^ 

183.  —  Cette  dernière  quantité  a  été  déterminée  par  de  nom- 
breux expérimentateurs  au  moyen  de  méthodes  que  l'on  peut 
classer  en  trois  groupes  suivant  que  ^  est  donné  par  le  rapport 
des  unités  de  quantité  d'électricité,  ou  par  celui  des  forces  élec- 
tromotrices, ou  enfin  par  la  comparaison  des  capacités.  Voici  les 
résultats  de  quelques-unes  de  ces  déterminations  pour  le  quotient 
par  10  ^"^  de  la  valeur  de  ç>  exprimée  en  unités  C.  G.  S. 

V 

i^ï'' groupe.      Weber  et  Kohlrausch 3,107 

/  Maxwell,  1868 2,841 

W.  Thomson  et  Kiug,  1869 2,8080 

l   Mac  Kicliau,  1872.    .    . 2,8960 

j  Sliida   1880 2,c)5')o 

2'^^G  groupe.  ^  ,,  ^^ 

]  Lxner,  1882 2,9200 

Lord  Kelvin,  1889 3,oo4 

Pellat,    1891 3,0092 

\  Hurmuzescii,  1896 3, 0001 

/  AyrLoa  et  Pcrry,   C879 2,96 

;   Stolctow,  1881 2,99 

'    J.-J.  Thonison,  i883 2,9(330 

1                         [   1881  . i'    3,019 

l  Klemeiioic'       1884 ]    3, 0180 

\                      (  1886 f   3.014*2 

-^'^^^i^^-  ''                         ^   1886 ,     3.00V5 

Ilimstedt.    ]    1887 j    3,0049 

[    1888 f    3,0092 

•    I<].-B.  Rosa,  1889 3,0004 

■    J.-J.  Tliomsoii  et  Searle,  1890     ....        2,995  > 
Abraliaiii,  1892 '^,991  "^ 

Pour  la  vitesse  de  la  lumière  dans  le  vide,  M.  Coi'uu  a  trouve 
3,oo4X  10'"  centimètres.:  seconde  avec  une  erreur  prol)ablement 
inférieure  à  Viono*  ^^^  ^^^'^^  ^P^^  ^^  nombre  ne  dillere  que  d'une 
([uantité  très  petite,  de  l'ordre  des  erreurs  expérimentales,  des 
valeurs  de  ^  données  par  MM.  Klemencic,  Ilimstedt,  Rosa, 
d'après  des  méthodes  paraissant  présenter  la  plus  grande  préci- 
sion. La  théorie  de  Maxwell  reçoit  donc  une  confirmation  aussi 
satisfaisante  qu'il  est  permis  de  la  souhaiter. 

D'autre  part,  M.  Hertz,  en  mesurant  la  vitesse  de  propagation 
des  ondes    électromagnétiques,  a  trouvé  un  nombre    du   môme 


i64  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIERE 

ordre  de  grandeur  que  la  vitesse  de  la  lumière.  C^est  encore  une 
vérification  très  satisfaisante  de  la  théorie  électromagnétique  de 
la  lumière. 

184.  Relation  entre  Findice  de  réfraction  et  le  pouvoir 
inducteur  d'une  substance  isolante.  —  La  perméabilité  magné- 
tique des  milieux  transparents  étant  très  sensiblement  égale  à 
celui  du  vide,  le  rapport  de  la  vitesse  de  propagation  V^  des 
ondes  électromagnétiques  dans  le  vide  et  de  la  vitesse  V  de  ces 
ondes  dans  un  milieu  transparent  est 

K  étant  le  pouvoir  inducteur  spécifique  de  ce  dernier  milieu 
exprimé  dans  le  système  électrostaticjue. 

D'après  la  théorie  ordinaire  de  la  lumière  ce  rapport  est  égal 
à  l'indice  de  réfraction  absolu /^.  11  en  résulte  que  Ton  doit  avoir 

K  =  /^^ 

Mais,  puisque  /^  varie  avec  la  longueur  d'onde,  cette  relation 
ne  peut  évidemmcut  être  satisfaite  que  si  les  quantités  K  et  n  se 
rapportent  à  des  phénomènes  de  môme  période.  Nous  devons 
donc  prendre  Findice  de  réfraction  qui  correspond  à  des  ondes 
de  très  longue  période,  ces  ondes  étant  les  seules  dont  le  mouve- 
ment puisse  se  comparer  aux  opérations  lentes  à  l'aide  desquelles 
on  détermine  le  pouvoir  inducteur  spécifique.  La  valeur  de  cet 
indice  peut  être  obtenue  approximativement  en  faisant  1  z=  ce 
dans  la  formule  de  Gauchy, 

nous  avons  ainsi  n  =  A. 

Des  expériences  faites  sur  le  spectre  calorifique,  il  résulte  que 
la  formule  de  Gauchy  ne  suffît  pas  pour  représenter  les  indices 
des  radiations  de  longue  période  ;  la  formule  qui  les  représente 
le  mieux  est  de  la  forme  : 

71  =  AX2+  B  -h~. 
On  trouverait  ainsi,  pour  À  =  oo  ,  /i  ==  oo    ce  qui  est  inadmis- 


INDICE  DE  RÉFRACTION  ET  POUVOIR  INDUCTEUR 

slble  :inais  ce  qui  montre  combien  il  faut  peu  se  fier  à  des  extra- 
polations de  ce  genre.  C^est  sans  doute  là  la  principale  cause 
des  divergences  que  nous  signalons  plus  loin. 

185.  —  Au  moment  où  Maxwell  écrivait  son  Traité,  la  paraffine 
était  le  seul  diélectrique  dont  le  pouvoir  inducteur  ait  été  déter- 
miné avec  une  exactitude  suffisante.  Une  seule  vérification  de  la 
relation  K  =  n^  était  donc  possible  ;  encore  était-elle  peu  sur- 
faisante. MM.  Gibson  et  Barclay  avaient  trouvé  pour  le 
inducteur  de  la  paraffine  solide  1,975,  dont  la  racine 

i,4o5.  Or  ce  nombre  diffère  sensiblement  de  la  valeur 
rindice  de  réfraction,  pour  une  longueur  d'onde  infinie 
des  expériences  du  D^'  Gladstone  sur  la  paraffine  fondue,  iou.. 
fois,  les  nombres  comparés  se  rapportant  à  deux  états  différents 
de  la  paraffilne,  leur  divergence  ne  peut  infirmer  la  théorie  ;  aussi 
Maxwell  en  conclut-il  seulement  que  si  la  racine  carrée  de  K  n'est 
pas  l'expression  complète  de  l'indice  de  réfraction,  elle  en  forme 
le  terme  le  plus  important. 

186.  —  Depuis,  on  a  fait  de  nombreuses  déterminations  des 
pouvoirs  inducteurs  spécifiques  des  corps  transparents  ;  en 
voici  les  résultats,  au  point  de  vue  qui  nous  occupe. 

Pour  les  solides  la  racine  carrée  de  K  diffère  de  Tindice  de 
réfraction  d'une  quantité  quelquefois  considérable.  D'après 
M.  llopkinson  les  indices  de  réfraction  des  différentes  espèces 
de  verre  sont  toujours  plus  petits  que  la  racine  carrée  de  leur 
pouvoir  inducteur  ;  pour  certains  verres  ils  ne  sont  que  la  moitié 
de  cette  racine. 

La  relation  K  =  rr  se  trouve  un  peu  mieux  vérifiée  dans  le 
cas  des  liquides.  Pour  certains  hydrocarbures  liquides,  les  expé- 
riences de  MM.  llopkinson,  Ncgréano,  Palaz  montrent  que  la 
vérification  est  assez  satisfaisante.  Les  deux  tableaux  suivants 
résument,  le  premier  les  résultats  de  M.  Négréano,  le  second 
ceux  de  M.  Palaz  ;  dans  ces  tableaux  l'indice  de  réfraction  se  rap- 
porte à  la  raie  D  du  sodium. 

I  ___ 

Bonziiie  pure 2,2921     i,5i39     i,5o62 

Toluène 1,1/^10     i,4949     i>49i2 


i66  THÉORIE  ÉLECrROMAGNÉTiqUE  DE  LA  LUMIERE 

K  \/K  72n 

Xylène (mélange de  plusieurs  isomères)  2,2679  ï,5o59  ï;4897 

Métaxylène  .    . 2,8781  i,542i  i,4977 

Pseudocumènc 2,43io  1,5591  1,4887 

Cymènc 2,4706  1,5716  1,4887 

Essence  de  térébenthine 2,2618  1,5089  1,4726 

II 

Benzine 2,8877  i,5i7  i,4997 

Toluène  n*^  i 2,8646  1,587  i,4949 

))        no  2 2,8649  i>5'^7  1,4848 

Pétrole  ordinaire  n*^  I 2^1284  1,457  1,4487 

»             »           no  2 2,0897  1,445  x,4477 

»         rectifié 2,1950  1,481  1,4766 

La  vérification  est  beaucoup  moins  bonne  si  Ton  prend  des 
huiles  végétales  ou  animales.  Pour  celles  sur  lesquelles  il  a 
opéré,  M.  liopkinson  a  toujours  trouvé  n  >  V  K.  M.  Palaz  arrive 
à  une  conclusion  inverse  pour  l'huile  de  navet  et  Fhuile  de  ricin  : 

Huile  de  navet yK  rr  1,787       /Zj,  =  1,4706 

Huile  de  ricin  . 2,147  1/1772. 

En  1888,  M.  Gouy  (^)  a  mesuré  le  pouvoir  inducteur  spéci- 
fique de  Teau  par  l'attraction  qu'éprouvent  deux  plateaux  élec- 
trisés  entre  lesquels  se  trouve  une  couche  de  ce  liquide  ;  il  a 
trouvé  K  =  80.  Il  en  résulterait,  d'après  la  j'clation  do  Maxwell, 
71  =9  environ,  nombre  à  peu  près  sept  fois  plus  grand  que  l'in- 
dice de  réfraction  réel  ;  cette  relation  est  donc  dans  ce  cas,  tout 
à  fait  en  défaut.  Il  est  vrai  qu'elle  n'a  été  établie  que  pour  les 
corps  isolants,  condition  qui  est  loin  d'être  satisfaite  par  l'eau, 
toujours  plus  ou  moins  conductrice  par  suite  des  sels  qu'elle 
contient.  Mais  au  moins  on  devrait  trouver  pour  K  des  valeurs 
de  plus  en  plus  petites  lorsqu'on  prend  de  l'eau  de  plus  en  plus 
pure  ;  or  c'est  précisément  l'inverse  qui  paraît  avoir  lieu. 

Enfin,  si  nous  passons  aux  gaz,  nous  trouvons  un  accord  très 
satisfaisant  entre  les  valeurs  de  ^/K  et  celles  de  n.  Le  taldeau 
suivant  donne    les  valeurs  de  ces  quantités  pour  quelques   gaz  ; 


t 


(')  Comptes  rendus,  t.  GVI,  p.  54 8;  i^ 


v/r 

71 

1,000:295 

,000294 

1,000473 

.000454 

i,oooi32 

,oooi38 

i,ooo34*> 

,000335 

1,000492 

,ooo5i6 

1, 000056 

,000720 

1,000472 

,000443 

INDICE  DE  REFRACTION  ET  POUVOIR  INDUCTEUR  167 

les  valeurs  du  pouvoir  inducteur  spécifique  résultent  des   expé- 
riences de  M.  Boltzmann. 

K 

Air 1,000590 

Acide  car])onique 1^000946 

Hydrogène 1,000264 

Oxyde  de  carboiiLi 1,000690 

Protoxydc  d'azote 1,000984 

Bicarbure  d'hydrogène    ....        i,ooi3i2 

Protocarbure  d'hydrogène.    .    .        1,000944 

187.  — En  résumé,  la  relation  K  =  iv  est  vérifiée  pour  les 
gaz  et  quelques  liquides  ;  elle  est  en  défaut  pour  la  plupart  des 
liquides,  des  solides,  et  surtout  pour  Tcau.  INlalgré  la  multipli- 
cité des  recherches,  nous  ne  sommes  donc  pas  mieux  renseignés 
que  Maxwell  sur  le  degré  d'exactitude  qu'on  doit  accorder  à  cette 
relation. 

Mais  si  l'on  excepte  l'eau,  qui  s'écarte  complètement  des  dié- 
lectriques par  sa  nature  élcctrolytique  dès  qu'elle  renferme  une 
trace  d'un  sel  en  dissolution,  les  divergences  constatées  entre  71 
et  la  racine  carrée  de  K  ne  sont  pas  de  nature  à  lairc  abandon- 
ner cette  relation,  surtout  si  l'on  tient  compte  des  conditions 
défectueuses  dans  lesquelles  on  rappli([ue.  En  premier  lieu  les 
substances  étudiées  en  vue  de  sa  vérification  sont  souvent  loin 
d'être  des  isolants  parfaits  comme  le  suppose  sa  démonstration . 
Comme  isolants,  la  plupart  des  solides  sont  beaucoup  moins  bons 
que  les  gaz  et  quelques  liquides  tels  (pic  le  pétrole  et  la  benzine 
bien  pure  ;  or  ce  sont  précisément  ces  derniers  corps  qui  véri- 
fient le  mieux  la  relation  de  Maxwell.  En  second  lieu,  le  pouvoir 
inducteur  et  l'indice  de  réfraction  varient  avec  la  température, 
et  généralement  les  mesures  des  deux  quantités  à  comparer  sont 
faites  à  des  températures  dilïerentes.  jMifin,  on  sait  que,  ([uelle 
que  soit  la  méthode  employée  pour  la  mesure  de  K,  les  résultats 
dépendent  de  la  rapidité  des  variations  du  champ  dans  lequel  se 
trouve  placée  la  substance  ;  peut-être  donc,  la  relation  dont  il 
s'agit  se  trouverait-elle  mieux  satisfaite  si  les  variations  du  champ 
étaient  aussi  rapides  que  les  vibrations  lumineuses.  Pour  ces 
diverses  raisons  il  ne  faut  pas  s'étonner  si  la  vérification  de  cette 
relation  n'est  pas  aussi  satisfaisante  que  la  comparaison  du  rap- 
port ç  et  de  la  vitesse  de  la  lumière  dans  le  vide. 


i68  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉriQUE  DE  LA  LUMIÈRE 

188.  Direction  du  déplacement  électrique.  —  Considérons 
une  onde  plane  électromagnétique.  Prenons  pour  plan  des  xy  un 
plan  parallèle  à  Tonde  et  choisissons  pour  axe  des  .r  une  direc- 
tion parallèle  a  celle  du  moment  électromagnétique  ;  nous  avons 
alors  G  =  0,  H  ==  o.  Quant  à  F,  son  expression  dépend  de  la 
nature  de  la  perturbation  ;  admettons  qu'on  ait 

F  =  A  cos  ^  (z  —  V/). 

D'ajDrès  les  équations  (III)  du  chapitre  précédeilt,  les  compo- 
santes de  l'induction  magnétique,  sont  alors 

_  («I         ^G  __ 
^~   dy         Hz    ~^' 


=  —  A  -A  sin  -^(-  —  V/), 


dz  dx  \ 

dG        dF 
dx  dy 


L'induction  magnétique  est  donc  parallèle  \\  Taxe  des  y,  c'est- 
à-dire  perpendiculaire  à  la  direction  du  moment  électromagné- 
tique. Il  en  est  de  même  de  la  force  magnétique  qui  a  même 
direction  que  l'induction  puisque  les  comjDosantes  de  ces  deux 
quantités  ne  diffèrent  que  par  un  facteur  constant  a. 

Les  composantes  de  l'induction  étaut  connues^  les  équations  (II) 
permettent  de  calculer  celles  de  la  vitesse  du  déplacement  ;  nous 
trouvons 

dz  dx  ' 


r^S  do 


a 


équations  qui  nous  montrent  que  la  vitesse  du  déplacement  est, 
comme  le  moment  électromagnétique,  parallèle  à  l'axe  des  x. 
C'est  évidemment  aussi  la  direction  du  déplacement  lui-même, 
et  d'après  les  équations  (Vil),  celle  de  la  force  électromotrice 
qui  le  produit. 


.,^ 
% 


,     ^ ^j^ 

-"    ""  dx         dy  ""'"'  l 


^ 


y\ 


DIRECTION  DU  DEPLACEMENT  ÉLECTRIQUE 

Ainsi  en  un  point  d'une  onde  plane,  le  déplacement  élecm^. 
et  le  moment    électromagnétique  ont   même  direction  ;  la  foret 
électromotrice     et  Tinduction  leur    sont    perpendiculaires  ;    ces 
directions  sont  d'ailleurs  situées  dans  le  plan  de  Fonde. 


189.   —   Mais,   lorsque  les  perturbations    électromagnétiques 
sont  assez  rapides  pour  donner  naissance  aux  phénomènes  lumi- 
neux,   quelle    est   la  direction   du  déplacement    électrique   j 
rapport  au  plan  de  polarisation  de  la  lumière  ?  L'hypothèse 
Maxwell    sur  l'expression  de  l'énergie  kinétique  du  milie^ 
transmet   les  ondes  et  Tétude  des  diverses  théories    pro 
pour  Texplication   de  la  réflexion   vitreuse  nous   permetten 
répondre  facilement  à  cette  question. 

Nous  savons  que  dans  les  théories  ordinaires  de  la  lumière,  les 
phénomènes  observés  dans  les  milieux  isotropes  s'interprètent 
tout  aussi  bien,  soit  en  admettant,  avec  Fresnel,  que  les  vibra- 
tions de  l'éther  sont  perpendiculaires  au  plan  de  polarisation, 
soit  en  admettant,  comme  le  font  Neumann  et  Mac-Cullagh,  que 
ces  vibrations  s'effectuent  dans  le  plan  de  polarisation.  Nous 
avons  montré,  en  outre,  à  propos  de  la  réflexion  vitreuse  (^) ,  que 
ces  deux  hypothèses  conduisent  à  des  résultats  opposés  pour  la 
densité  de  l'éther  ;  si  Ton  adopte  celle  de  Fresnel,  la  densité  doit 
être  considérée  comme  varial^le  ;  si  l'on  prend  celle  de  Neumann 
et  Mac-CuUagh,  cette  densité  est  constante. 

Mais  dans  runc  et  l'autre  théorie  réncrgle  kinétique  a  pour 
valeur 


'  r r.     (t''^  A-  -r'-^ 

—  J  ?  U    +  ^. 


+  K'-')d'z, 


p  désignant  la  densité,  l\  r/,  ^'  les  composantes  de  la  vitesse  de 
la  molécule  d'éther.  Suivant  Maxwell,  Ténergie  kinétique  n'est 
autre  que  le  potentiel  électrodynamique  du  système  de  courants 
qui  existent  dans  le  milieu;  l'expression  de  cette  énergie  est  donc, 
dans  le  cas  où  le  milieu  est  supposé  magnétique  (143), 

_  I   (y^a  +  |3/;  +  Y6-)  ch, 


{')  Théorie  matliéniatlquc  de  hi  Lumière^  p,  3uo  et  suiv. 


i;o  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 

OU,   en  exprimant  les  composantes  de  rinduction  au  moyen  des 
composantes  de  la  force  électromagnétique, 


l-^j[a}-^^^-^f)d-z. 


Pour  faire  cadrer  la  théorie  de  Maxwell  avec  la  théorie  ordinaire 
de  la  lumière  qui,  jusqu'ici,  s'est  trouvée  d'accord  avec  l'expérience, 
nous  devons  admettre  que  dans  ces  deux  théories  les  expres- 
sions de  l'énergie  kinétique  sont  identiques.  Nous  devons  donc 
avoir 

0— -li 

Or.  u.  étant  constant  pour  un  milieu  isotrope,  la  première  de 
ces  égalités  ]ious  indique  que  la  densité  p  de  l'éther  doit  être 
constante;  nous  devons  donc  adopter  l'hypothèse  de  Neumann 
et  Mac~Cullagh.  INIais  alors  la  force  électromagnétique,  qui, 
d'après  les  trois  dernières  égalités,  a  môme  direction  que  la 
vibration  de  la  molécule  d'éther,  est  située  dans  le  plan  de  poh\- 
risation.  Par  conséquent,  en  nous  reportant  à  ce  qui  a  été  dé- 
montré dans  le  paragraphe  précédent  nous  arrivons  à  celte 
conclusion  :  le  déplacement  électrique  est  perpendiculaire  au 
plan  de  polarisation,  si  toutefois  l'on  adopte  les  hypothèses  d(i 
Maxwell. 

190.  Propagation  dans  un  milieu  anisotrope.  —  Double 
j^èfraction.  — Jusqu'ici  nous  avons  inrplicitcment  supposé  que  le 
milieu  isolant  qui  propage  les  perturl)ations  électromagnétiques 
est  isotrope;  cherchons  maintenant  ce  que  deviennent  les  équa- 
tions du  champ  lorsque  le  diélectrique  est  anisotrope. 

Nous  avons  vu  (73)  que  l'analogie  de  la  loi  des  échanges  d'élec- 
tricité entre  les  cellules  d'un  diélectrique  avec  la  loi  des  échan- 
ges de  chaleur  dans  la  ihéorie  de  Fourier,  conduit^  si  l'on  choisit 
convenablement  les  axes  de  coordonnées,  aux  valeurs  suivantes 
pour  les  composantes  du  déplacement  électrique  dans  un  milieu 


PROPAGAriON  DANS  UN  MILIEU  ANISOTROPE  171 

anisotrope, 


,  Y 

4^  \dy 

^  désigne  le  potentiel  électrostatique,  X,  Y  et  Z,  les  composantes 
de  la  force  électromotrice  due  à  toute  autre  cause  qu'une  diffé- 
rence de  potentiel.  En  supposant  cette  force  électromotrice  due 
uniquement  à  Tinduction  produite  par  les  courants  et  les  aimants 
du  champ,  ces  égalités  deviennent 

/     4-   ' 

191-  —  Mais  il  n'est  pas  nécessaire  pour  établir  ces  formules 
de  s'appuyer  sur  l'hypothèse  de  la  constitution  cellulaire  des 
diélectriques. 

D'après  les  formules  (Vil)  du  Chapitre  précédent,  les  compo- 
santes du  déplacement  électrique  dans  un  milieu  isotrope  sont 
proportionnelles  à  celles  de  la  force  éleclromotrice  ;  par  suite, 
l'hypothèse  la  plus  simple  qui  se  présente,  est  d'admettre  que, 
pour  un  milieu  anisotrope,  f\  g^  h  sont  des  (onctions  linéaires  et 
homogènes  de  P,  (^,  R, 

/•^AP    -h-BQ   4-CR, 

/,  =  A^T  +  B'^Q  +  (yil. 

D'ailleurs  les  neuf  coefficients  A_,  B,  C,...  ne  sont  pas  absolu- 
ment arbitraires.  Montrons  en  effet  qu'ils  forment  un  déterminant 
symétrique. 

Si  nous  donnons  aux  composantes  du  déplacement  des  accrois- 


172  THÉORIE  ÉLECTROMAGyÉTIQUE  DE  LA  LUMIERE 

sements  df^  dg,  dh,  le  travail  correspondant  de  la  force  électro- 
motrice  est 

ou,  d'après  les  relations  précédentes, 

;^\  (A^ZP  +  BrfQ  +  CdK)  +  Q  {k'd?  +  BWQ  +  G^^m) 

+  R  (A^WP  +  Wd(l  +  CdR), 

on  encore 

(  AP  +  A'Q  +  A^^R)  ^P  4-  (BP  4-  B'Q  +  B^^R)  ^Q 

Pour  qu'il  y  ait  conservation  de  l'énergie  cette  expression  doit 
être  une  différentielle  exacte.  Cette  dernière  condition  s'exprime 
par  trois  égalités  dont  la  première  est 

^(APH-A^Q  +  A^^R)  __  ^^(CP  +  eQ  +  C^^R) 
^R  ~  di'  ' 

nous  en  tirons 

A^^  =  c:. 

Les  deux  autres  égalités  nous  donneraient 
B  =:  A^  a  =  B^ 

ce  qui  montre'bien  que  le  déterminant  des  coelllcienls  est  symé- 
trique 

Le  nombre  de  ces  coefFicients  se  trouve  donc  réduiL  à  6.  Par  le 
choix  des  axes  de  coordonnées  nous  disposons  des  valeurs  de  trois 
d'entre  eux;  nous  pouvons  donc  faire  ce  choix  de  telle  sorte  que 
les  coelficients  qui  ne  sont  pas  sur  la  diagonale  du  déterjninant  se 
réduisent  à  zéro;  les  valeurs  de  /*  g,  h  se  réduisent  alors  aux 
expressions  (i). 

192.  —  Nous  devrions  faire,  pour  les  équations  qui  donnent  les 
composantes  a^  /;,  c  de  l'induction  magnétique  en  fonction  des 
composantes  a,  [B,  y  de  la  force  électromagnétique,  la  môme  hypo- 
thèse que  celle  que  nous  venons  d'adopter  pour  exprimer  f^  g,  h 
eu  fonction  de  P,  Q,   R.  Nous  serions  ainsi  amenés  à  remplacer 


PROPAGATION  DANS  UN  MILIEU  ANISOTROPE 

les  éejuations  (I)  du  Chapitre  précédent  par  trois  équations  d 
même  forme  n'en  différant  qu'en  ce  que  le  coefficient  |i  aurai 
dans  chacune  d'elles  une  valeur  différente  jjl,  jj.',  [x'^  Mais  la  pei 
méabilité  magnétique  des  corps  transparents  étant  toujours  trè 
voisine  de  l'unité,  ce  coefficient  n'a  guère  d'influence  sur  1 
résultat  des  calculs.  Pour  ne  pas  compliquer  inutilement  lu 
questionnons  admettrons  que  p.  est  constant  et  égal  a  i . 

193.  —  En  dérivant  les  équations  (i)  par  rapporta  ?,  et  rei 
plaçant  dans  les  seconds  membres  des  équations  ainsi  trouvée 

—  ,  _Jt  et  -_  par  les  valeurs  obtenues  au  §  177,  nous  avons  les 
dt      dt         dt  ^ 

relations 


471^.  =  —  K' 


d'Y 
di'   ' 
rf-G 


ai" 

dm 

di^ 


qui  peuvent  s'écrire 


dû  K    "*''    ' 


(C)  ilZF— -F^""' 

Nous  avons  d'ailleurs  (167) 

l      "  d]f  dz  ' 

^  dz         dx 


l     /^ à^^  drf, 

dx         dy  ' 
Enfin,  puisque  nous  avons  supposé  ^  =  i,  les  équations  (III)  du 


174  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 

§  167  deviennent 

i  dy  dz 

\  o^_   d¥   ___   dll 


dz  dx 

dO         d¥ 
dx  dy 


Tels  sont  les  trois  groupes  créquations  qui  permettent  de  déter- 
miner les  valeurs,  à  un  moment  quelconque,  des  éléments  d'une 
perturbation  magnétique  en  un  point  d'un  diélectrique  anisotrope, 
lorsqu'on  connaît  leurs  valeurs  initiales. 

194.  —  S'il  est  vrai  que  la  lumière  est  due  à  une  perturbation 
le  ce  genre,  ces  équations  doivent  nous  conduire  a  l'explication 
de  la  double  réfraction  que  présente  la  lumière  lorsqu'elle  tra- 
verse un  milieu  anisotrope.  L'étude  que  nous  avons  faite  de  ce 
phénomène  (^),  nous  perinet  de  montrer  qu'il  en  est  bien  ainsi, 
sans  entrer  dans  de  longs  développements. 

Nous  savons  que  si  on  désigne  les  composantes  du  déplacement 
de  la  molécule  d'éther  par  ^^  r^,  Ç  dans  la  théorie  de  M.  Sarrau, 
par  X,  Y,  Z  dans  la  théorie  de  Neumann,  par  u,  c,  iv  dans  celle 
de  Fresnel,  on  a  les  neuf  relations  ,(^) 


dr-  ~ 

—  au, 

d\ 

ho 

dC 

in', 

d.% 

de 

t  n  , 

dV. 

d\ 

du  dz 

dX  d'I 

dz.  11?  ' 

d\'  dx 

d.v  dy  ' 


PROPAGATIO.t  DANS  UX  MILIEU  AMSOTROPE 


X  == 
Y  = 


dij  dz 

À  _i(l 

dz  d:v  ' 

d'f\  de, 

dx  ciij  ' 


Ces  équations  clevieiineiit  identiques  aux  groupes  (C),  (D)  et 
(E)  du  paragraphe  précédent  si  nous  y  faisons 

___  ^  j  J_  _ï_ 

// =  4-//,...,  X=a,...,  ?=F,.... 

Or  les  trois  théories  optiques  de  Fresnel,  de  Ncuniann,  et  de 
M.  Sarrau  expliquent  également  bien  tous  les  faits  ol)servés 
puisque,  jusqu'ici,  luieune  expérience  n'a  pu  faire  préférer  l'une 
à  l'autre;  nous  pouvons  donc  être  assurés  que  les  groupes  d'écpia- 
tions  (C),  (D),  (E),  déduits  de  la  théorie  de  MaxAvell,  permet- 
tront d'expliquer  tous  les  phénomènes  connus  et  ne  seront  en 
contradiction  avec  aucun  d'eux. 

195.  —  En  particulier,  Téquation  des  vitesses  do  propagation 
des  deux  ondes  planes  provenant  d'une  même  onde  incidente 
doit  être  identique  dans  la  théorie  éh'ctr()nmguéti(|ue  et  dans  les 
tliéorles  oji tiques.  Dans  ces  dernières  elle  est 


l,  m,  a  étant  les  cosinus  directeurs  de  la  normale  au  |)lan  de 
Tonde;  par  conséquent  elle  devient  avec  les  notations  de  la  théorie 
é  1  e  c  t  r  o  m  a  g  n  é  ti  (  [  u  e 


11  en  résulte  que  les  vitesses  de  propagation  suis'ant  les  axes 
de  coordonnées  sont  inversemeiit  proportionnelles  aux  racines 
carrées  des  pouvoirs  inducteurs  suivant  ces  mômes  axes  ou,  ce 
qui  revient  au  même,  que  ces   racines  carrées  sont  proportion- 


176  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 

nelles  aux  valeurs  des  indices  de  réfraction  suivant  les  axes  d'élas- 
ticité du  milieu. 

196.  —  Cette  relation  se  trouve  assez  bien  vérifiée  pour  le 
soufre  cristallisé.  Les  pouvoirs  inducteurs  suivant  les  trois  axes 
d'élasticité  d'un  cristal  de  cette  substance  sont  respectivement, 
d'après  M.  Boltzmann  (^)  :  4^773,  —  3, 970,  — 3,8ii.  Les  racines 
carrées  de  ces  nombres  :  2^  18 5,  —  ijQtj  —  i^qS  diffèrent  peu 
des  indices  de  réfraction  correspondant  aux  mêmes  directions  : 
2,143,  —  1,96  —  1,89. 

Les  autres  substances  anisotropes  étudiées  donnent  des  résultats 
bien  moins  satisfaisants.  D'après  les  expériences  faites  par  M.  J. 
Curie  (")  sur  le  quartz,  le  spath,  la  tourmaline,  béryl,  etc.,  la  racine 
carrée  de  K  est  toujours  beaucoup  plus  grande  cj^ue  Findice  de 
réfraction;  toutefois,  conformément  à  la  théorie,  les  cristaux 
positifs,  comme  le  quartz,  possèdent  un  pouvoir  inducteur  plus 
grand  suivant  la  direction  de  l'axe  optique  que  suivant  une  direc- 
tion perpendiculaire,  tandis  que  pour  les  cristaux  négatifs, 
comme  le  spath  dislande,  c'est  suivant  cette  dernière  direction 
que  le  pouvoir  inducteur  est  le  plus  grand. 

La  relation  K  =/i^  n'est  donc  que  très  imparfaitement  vérifiée. 
Mais,  comme  dans  le  cas  des  corps  isotropes,  nous  devons  faire 
observer  que  les  conditions  que  suppose  l'établissement  de  cette 
relation  ne  sont  pas  remplies  par  les  substances  étudiées.  Plu- 
sieurs d'entre  elles  sont  hygrométriques  et  acquièrent,  par  la 
couche  d'eau  qui  les  recouvre,  une  conductibilité  qui  peut  expli- 
quer jusqu'à  un  certain  point  les  divergences  observées.  Otte 
manière  de  voir  se  trouve  d'ailleurs  confirmée  par  les  résultats 
obtenus  pour  le  soufre,  substance  remarquable  par  ses  propriétés 
isolantes  et  par  la  difficulté  avec  laquelle  la  vapeur  d'eau  se 
condense  sur  sa  surface. 

197.  —  L'identification  des  équations  des  §  193  et  194  nous 
permet  de  déterminer  les  directions  relatives  des  diverses  quan- 
tités qui  définissent  le  courant  de  déplacement  en  un  point,  et 


(*)   Wiener  Sitzmiosberlchte,  t.  LXX,  part.  Il,  p.  242,   i8;4. 
(-)  Lumière  Électrique,  X.WX,^.  c^;,  1888. 


A/ 


Fi-.  33. 


PROPAGATION  DANS  UN  MILIEU  IMPARFAITEMENT  ISOLANT       177 

leurs  directions  par  rapport  au  rayon  lumineux  et  par  rapport  au 
plan  de  polarisation. 

Nous  savons  que  les  directions  ON  et  OF  [fig,  33)  des  vibra- 
tions de  Neumann  et  Fresnel  sont  rectangulaires  entre  elles  et 
situées  dans  le  plan  de  Tonde,  et  que 
les  directions  OS  et  ON  des  vibrations 
de  M.  Sarrau  et  de  Neumann,  égale- 
ment perpendiculaires  entre  elles,  sont 
dans  un  plan  normal  au  rayon  lumineux 
OR.  Or,  de  l'identité  des  équations  que 
nous  venons  de  rappeler,  il  résulte  que 
la  vitesse  du  déplacement  électrique  est 
parallèle  à  la  vibration  de  Fresnel,  la 
Ibrcc  électromagnétique  parallèle  à  celle 
de  Neumann,  enfin  le  moment  électromagnétique  et,  par 
suite,  la  force  électromotrice  parallèles  a  la  vibration  de 
M.  Sarrau.  Nous  en  concluons  que  le  déplacement  électrique 
s'cllectue  dans  le  plan  de  l'onde  perpendiculairement  a  la  force 
électromagnétique,  et  que  cette  dernière  quantité,  située  dans  le 
plan  de  l'onde,  est  perpendiculaire  \\  la  direction  du  rayon  lumi- 
neux et  à  la  force  électromotrice,  elle-même  normale  au  rayon. 
Dans  le  cas  d'un  corps  isotrope,  la  direction  de  ce  rayon  se  con- 
fond avec  celle  de  la  norniidc  0/^  au  plan  de  l'onde  et  par  con- 
séquent la  force  électro-.uotrlcc  prend  la  direction  du  déplace- 
ment comme  nous  le  savions  déjà. 

Quant  aux  directions  par  rap[)()rt  au  plan  de  polarisation  il 
résulte  de  ce  que  nous  savons  sur  la  position  de  ce  plan  relative- 
ment aux  vil)rations  de  l'élher  que  la  force  électromotrice  et  le 
déplacement  sont  presque  normaux  au  plan  d(i  polarisation  tandis 
que  la  force  élcctromaguétl(j[ue  lui  est  sensi])lement  parallèle.  Si 
Von  passe  au  cas  d'un  milieu  Isotrope  ces  quantités  deviennent 
rigoureusement  perpendiculaires  ou  parallèles  au  plan  de  polari- 
sation. 


198.  Propagation  dans  un  milieu  imparfaitement  isolant. 
—  Absorption  de  la  lumière.  —  Nous  avons  dans  ce  cas  le  choix 
entre  les  formules  (IX)  de  Maxwell  et  les  formules  (X)  de  M.  Potier 
(170   et  ni).   Ces   deux    groupes    de    formules    conduisant  aux 

PoI^'CARÉ.  Élcclricilé  et  Optique.  i*-* 


178  TIJÉeRIE'ÉLECTROMAGNEriQUE  DE  LA  LUMIERE 

mêmes  résultats,  prenons  celles  de  Maxwell  et  cherchons  quel 
est  alors  le  mode  de  propagation  d'une  onde  plane  électroma- 
gnétique. 

Si  nous  prenons  le  plan  à(is  ocij  parallèle  au  plan  de  l'onde  et 
Taxe  des  x,  parallèle  à  la  direction  du  moment  électromagnétique, 
nous  avons  G  =:  H  =  o,  et  les  équations  (i)  du  paragraphe  177 
se  réduisent  à  la  première 

dP  __         d^¥ 
dt 


d'où  nous  tirons 


dC 


^   ""         dt' 


en  négligeant  la  constante  d'intégration  qui  doit  être  nulle  lors- 
que les  perturbations  sont  périodiques.  En  portant  ces  valeurs 
dans  la  première  des  équations  (IX)  de  Maxwell 


CP 


nous  obtenons  : 

(0 


dV 


■4^    di  ' 
K    d'Y 


di 


4ti:     di' 


Mais  les  groupes  d'équations  (1),  (II),  (III)  du  paragraphe  167 
nous  donnent  : 


^-ÎZIL 


dy 


dz 


<r 


d.:~ 


ou,  puisque,  par  suite  du  choix  dos  axes   dv.   coordonnées,  F  ne 
dépend  pas  de  7/ 


ï     d'-^V 
a     d.zr 


l 


nous  avons  donc  en  éliminant  n  entre  l'équation  (i)  et  celte  der- 
nière 


(-) 


d.z' 


de' 


Cette  équation  est  satisfaite  par  une  fonction   périodique   du 
temps  de  la  forme 


PROPAGATION  DANS  UN  MILIEU  IMPARFAITEMENT  ISOLANT        179 

pourvu  que  les  coefficients  n  et  ni  satisfassent  à  la  relation 

Mais  71  ayant  pour  valeur  ^,  ï  désignant  la  période  de  la  fonc- 

tioUj  cette  quantité  est  réelle;  par  suite  ??i'  est  une  quantité 
essentiellement  imaginaire.  Il  en  est  de  même  de  m  et  nous  pou- 
vons poser 

m  ^=  q  —  pi. 

En  portant  cette  valeur  de  m  dans  l'égalité  précédente  et  cl 
écrivant  qu'il  y  a  égalité  entre  les  parties  réelles  et  les  parties 
imaginaires  nous  obtenons  les  deux  conditions 

.^s  \   T  —  F  =  [^^K^i% 

La  fonction  périodique  satisfaisant  à  Téquation  (2)  peut  alors 
s'écrire 

dont  la  partie  réelle,  la  seule  qui  nous  intéresse  au  point  de  vue 
des  conséquences  expérimentales,  est  : 

F  ==::  e~^'-  cos  [/U  —  rjz). 

199.  —  Si  l'on  fait  abstraction,  des  variations  de  F  résultant 
du  facteur  cos  (^nl  —  q.z)^  cette  expression  nous  montre  que  la 
valeur  du  moment  électromagnétique  varie  comme  Texponen- 
tielle  e~-''^.  Or,  d'après  la  seconde  des  équations  de  condition  (3), 
j)  et  q  sont  de  môme  signe;  par  suite,  si  la  direction  de  propaga- 
tion de  Tonde  plane  considérée  est  celle  des  .z  positifs,  /;  et  q  sont 
positifs  et  e~^'^  décroît  quand  .z  augmente.  La  valeur  du  moment 
électromagnétique  diminue  donc  à  mesure  que  Fonde  pénètre  plus 
profondément  dans  le  milieu  considéré. 

Il  en  est  de  môme  pour  le  déplacement  électrique  et  la  force 
électromagnétique  puisque  les  valeurs  de  ces  quantités  se  dédui- 
sent de  celles  du  moment  électromagnétique  par  une  suite  d'équa- 
tions différentielles  linéaires  et  du  premier  ordre  qui  laissent  sub- 
sister dans  leurs  expressions  le  facteur  e~^'^. 


i8o  THÉORIE  ÉLECTROMAGSETiqUE  DE  LA  LUMIERE 

Il  en  est  encore  ainsi  pour  la  vitesse  de  déplacement  d'une 
molécule  d'éther  luminifère  puisque  nous  avons  vu  (189)  que 
cette  vitesse  est  proportionnelle  a  la  force  électromagnétique. 

Par  conséquent,  lorsque  les  perturbations  magnétiques  seront 
assez  rapides  pour  donner  lieu  aux  phénomènes  lumineux,  l'in- 
tensité de  la  lumière,  proportionnelle  au  carré  de  la  vitesse 
moyenne  d'une  molécule  d'éther^  devra  varier  comme  e"^'"". 

200.  —  Dans  le  cas  où  la  substance  considérée  possède  un  pou- 
voir inducteur  spécifique  très  faible  et  une  perméabilité  magné- 
tique voisine  de  ï,  la  valeur  de^;  déduite  des  équations  (3)  montre 
que  cette  quantité  est  sensiblement  proportionnelle  à  la  racine 
carrée  de  C.  11  résulte  donc  de  ce  qui  précède  que  l'intensité  de 
la  lumière  transmise  par  un  tel  milieu  est  d'autant  plus  faible 
que  C  est  plus  grand;  en  d'autres  termes,  plus  un  corps  est  con- 
ducteur pour  l'électricité,  plus  il  est  opaque  pour  la  lumière. 

Il  y  a  un  grand  nombre  d'exceptions  à  cette  règle.  Toutefois, 
d'une  manière  générale,  les  corps  solides  transparents  sont  de  bons 
isolants  tandis  que  les  corps  solides  conducteurs  sont  très  opa- 
ques. En  outre,  il  résulte  des  recherches  de  M.  1.  Curie  (^)  sur  les 
diélectriques  que  la  liste  de  ces  corps  rangés  par  ordre  de  con- 
ductibilité croissante  est  presque  identique  à  celle  de  ces  mêmes 
corps  rangés  par  ordre  de  diathermanéitc  décroissante.  A^olci 
ces  deux  listes  ;  celle  des  pouvoirs  diathermes  est  déduite  des 
travaux  de  jMelloni. 

CoiiduoLibililc  éleclri(pio  Pouvoii'  (lialhoriiiani* 

croissant  du  prcuiier  an  clernicr.  dccroissanl  du  preiuier  au  dernier. 

Soufre.  Sel  gemme. 

Sel  gemme.  Soufre. 

Fluorine.  Fluorine. 

Spath  d'Islande.  Spath  d'Islande. 

Quartz.  Quarlz 

Barytine.  Verre. 

Alun.  Barytine. 

Verre.  Tournaline  foncée. 

Tourmaline  foncée.  Alun. 


(^)  Lumière  Électrique,  l.   XXIX,  p.  3^2,    1888. 


REFLEXION  DES  ONDES  i8i 

0;i  pourrait  encore  citer  Tébonite  qui^a  été  signalée  comme 
se/aissant  facilement  ti*averser  par  les  radiations  obscures. 

201.  —  Contrairement  à  la  loi  précédente  les  électrolytes  sont 
bons  conducteurs  de  l'électricité  et  généralement  transparents. 
JNIaxwell  explique  ce  fait  en  faisant  observer  que  la  conductibi- 
lité des  électrolytes  n'est  pas  de 'même  nature  que  la  conductibi- 
lité des  métaux.  Dans  ceux-ci  les  molécules  matérielles  sont  en 
repos  ;  et  l'électricité  seule  est  en  mouvement  ;  dans  les  électrr 
lytes,  au  contraire,  les  ions  se  meuvent  d'une  électrode  à  l'au 

et  le  transport  de  l'électricité  s'effectue  par  les  ions  qui  dévie 
nent  ainsi  les  co/i^ectenrs  de  l'électricité. 

On  peut  trouver  une  autre  explication  qui  a  été  également 
donnée  par  Maxwell.  L'énergie  absorbée  par  le  passage  de 
l'onde  à  travers  la  substance  doit  se  retrouver  nécessairement  sous 
une  forme  quelconque.  Dans  les  métaux,  elle  se  transforme  en 
chaleur.  Dans  les  électrolytes,  elle  sert  à  effectuer  la  séparation 
des  ions.  Mais  le  sens  du  mouvement  des  ions  dépend  de  celui 
du  mouvement  électrique  ;  par  suite,  l'effet  produit  par  le  passage 
d'une  certaine  quantité  d'électricité  dans  un  sens  se  trouve 
détruit, par  le  passage  d'une  même  quantité  en  sens  inverse  et 
une  succession  de  courants  alternatifs  comme  ceux  qui  résultent 
des  peï'turbations  capables  de  produire  la  lumière  ne  peut  donner 
lieu  il  une  décomposition.  Il  n'y  a  donc  pas  d'énergie  absorbée 
et  l'intensité  lumineuse  à  la  sortie  d\in  élcctrolyte  doit  être  sen- 
siblement égale  à  l'intensité  de  la  lumière  incidente. 

202.  —  Maxwell  a  fait  quelques  expériences  pour  vérifier 
(juantitativement  si  l'intensité  lumineuse  décroit  bien  comme 
rexponcntielle  e~'^"^.  Il  a  opéré  sur  le  platine,  l'or,  l'argent,  qui 
réduits  en  lames  très  minces,  laissent  passer  la  lumière.  Il 
semble  résulter  que  la  transparence  de  ces  corps  est  beaucoup 
plus  grande  que  ne  le  voudrait  la  théorie.  Mais  ce  résultat  s'ex- 
plique facilement;  l'épaisseur  des  lames  n'est  pas  uniforme  et 
une  forte  proportion  de  la  lumière  transmise  traverse  une  épais- 
seur beaucoup  plus  faible  que  la  valeur  de  .z  prise  dans  le  calcul 
de  l'exponentielle. 

203.  Réflexion  des  ondes.   —  Les  lois  de  la  réflexion  de  la 


l82  THEORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIERE 

lumière  peuvent  se  déduire  des  équations  du  champ  magnétique. 
Dans  une  note  publiée  dans  la  traduction  française  du  traité  de 
Maxwell  (t.  II,  p.  5oy)  M.  Potier  a  montré  qu'on  retrouve  ainsi 
les  formules  données  par  Fresnel  pour  la  réflexion  vitreuse  et 
celles  de  Caucliy  et  Lamé  pour  la  réflexion  métallique.  Ces  for- 
iiules  ayant  été  vérifiées  par  l'expérience,  leur  déduction  de  la 

théorie  de  Maxwell  est  une  nouvelle  confirmation  de  cette  théorie". 

) 

Cependant,  les  valeurs  numériques  des  constantes,  déterminées 

par  les    méthodes   optique  et   électrique  ne  concordent  pas  ;   le 

^^^'^«^uccord,  notable  pour  les  diélectricjues  transparents,  est  encore 

ïuarqué  pour -les  métaux.  En  particulier  la  réflexion  de  la 

;re  sur  le  fer  devrait  différer,  d'après  la  théorie  de  Maxwell, 

réflexion  sur  les  autres  métaux  puisque   le  coefficient  de 

éabilité  magnétique  du  fer  est  environ  3o  fois  plus  grand 

.  celui  de  la  plupart  des  métaux  ;  or  l'expérience  n'a  jusqu'ici, 
révélé  aucune  particularité  dans  les  lois  de  la  réflexion  sur  le  fer. 

Cette  divergence  peut  s'expliquer  si  l'on  suppose  que  l'induc- 
tion magnétique  est  un  phénomène  qui  n'est  pas  instantané.  Avec 
des  vibrations  extrêmement  rapides,  le  phénomène  n'aurait  pas 
le  temps  de  se  produire. 

On  pourrait  invoquer  un  argument  à  l'appui  de  cette  manière 
de  voir.  Les  expériences  de  M.  Fizeau  sur  la  vitesse  de  propaga- 
tion de  l'électricité  à  travers  un  fil  ont  prouvé  que  cette  vitesse 
est  plus  faible  dans  le  l^r  que  dans  le  cuivre.  Cela  s'explique 
aisément  car  grâce  au  phénomène  de  l'aimantation  transversale 
qui  se  produit  dans  un  fil  de  fer  parcouru  par  un  courant,  la  self- 
induction  du  fer  est  plus  grande  que  celle  du  cuivre. 

Au  contraire,  les  expériences  de  Hertz  donnent  pour  la  vitesse 
dans  le  fer  la  même  valeur  que  pour  la  vitesse  dans  le  cuivre^ 
comme  si,  dans  ces  alternances  extrêmement  rapides  réalisées 
par  l'illustre  physicien  de  Carlsruhe,  le  fer  n'avait  pas  le  temps 
de  se  magnétiser  par  induction.  «  Auch  lllisendrahte  machen 
keine  Ausnahme  von  der  allgemeincn  Regel,  die  Magnetlsirbar- 
keit  des  Eisens  kommt  also  ])ei  so  schnellen  Beweî?unoen  nichtin 
Betracht  )>  (Hertz,  WiecL  Ann.,  t.  XXXIV,  p.  f^58). 

204.  Energie  de  la  radiation.  —  Dans  les  théories  ordinaires 
des  phénomènes  lumineux,  le    milieu  qui  transmet  la   lumière 


ENERGIE  DE  LÀ  RADIATION  i83 

renferme  de  Fénergle  sous  forme  d'énergie  potentielle  et  sous 
forme  d'énergie  kinétique  ;  Ténergie  potentielle  est  due  à  la 
déformation  du  milieu,  supposé  élastique  ;  l'énergie  kinétique 
résulte  de  son  mouvement  vibratoire.  L'énergie  totale  d'un  élé- 
ment de  volume  reste  constante  et  par  suite,  quand  l'énergie 
potentielle  varie,  l'énergie  kinétique  varie  en  sens  inverse  d'une 
quantité  égale. 

Dans  la  théorie  électromagnétique,  on  suppose  égaleme 
l'énergie  clu  milieu  est  en  partie  potentielle,  en  partie  kin 
L'énergie  potentielle,   due  aux  actions  électrostatiquesi, 
expression  (32) 


W 


=/-f-(/*^  +  S-^  +  ^^)^. 


l'énergie  kinétique  est  le  potentiel  électrodynamique  du  système 
de  courants  développés  dans  le  milieu,,  c'est-a-dire  (144) 


T  =f-^  [^-a  +  p6  +  yc)  dx. 


Cherchons  les  valeurs  de  ces  deux  quantités  dans  le  cas  d'une 
onde  plane  parallèle  au  plan  xy  et  dans  laquelle  le  moment  élec- 
tromagnétique est  dirigé  parallèlement  h  l'axe  des  x.     , 

Nous  avons  alors,  d'après  le  paragraphe  181, 

G  =  II=o,       Q  =  R  =  o,"     g=h=o, 


et  les  expressions  des  deux  formes  de  l'énergie  deviennent 

Mais  les  équations  (VII)  et  (III)  du  champ  électromagnétique 
nous  donnent 


THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIERE 

le  sorte  que  nous  avons  pour  les  valeurs  de  Ténergie  potentielle 
t  de  l'énergie  kinétique  rapportées  h  l'unité  de  volume 

La   fonction   F,   devant  satisfaire  à   l'équation    différentielle 
(180) 


-.     d'Y         dW 
^^^  dt^    ~   d.z-^  ' 

est  de  la  forme 

F  =/•(.- V/), 

où 

nous  avons  donc 

dF 

^.^'-      f'h       Yt 

dz 
et  par  conséquent 


L  <^^   J  1^-  L  dz  J 


Les  valeurs  (i)  et  (2)  des  deux  formes  de  l'énergie  sont  donc 
égales  entre  elles  ;  quand  l'une  d'elles  varie,  l'autre  varie  dans  le 
même  sens  de  la  même  quantité.  Nécessairement,  puisqu'il  y  a 
conservation  de  l'énergie  dans  le  système  tout  entier,  l'énergie 
perdue  dans  un  élément  de  volume  doit  se  retrouver  dans  un  'autre 
élément.  Ces  conséquences  diffèrent  de  celles  des  théories  ordi- 
naires de  la  lumière  que  nous  avons  rappelées  en  commençant. 

205.  Tensions  et  pressions  dans  le  milieu  qui  transmet  la 
lumière.  —  Nous  avons  vu  (81)  que  dans  un  milieu  diélectrique 
en  équilibre  contraint,  un  élément  de  surface  perpendiculaire 
aux  lignes  de  force,  subit  une  tension  normale  dont  la  valeur  par 


TEA'SIOJVS  ET  PMESSIONS  i85 

unité  de  surface  est  égale  au  produit  de -^  par  le  carré  de  la  force 

électromotrice,  tandis  que  sur  les  éléments  parallèles  aux  lignes 
s'exercent  des  pressions  qui,  rapportées  à  Tunlté  de  surface,  ont 
la  même  valeur  que  cette  tension.  Si  donc  nous  prenons  Taxe 
des  X  parallèle  aux  lignes  de  force  et  si  avec  Maxwell,  nous  con- 
venons de  représenter  les  pressions  par  des  quantités  négatives, 
nous  aurons  pour  les  valeurs  des  tensions  et  des  pressions-  r»-^* 
unité  de  surface,  qui  s'exercent  sur  des  éléments  perpei 
laires  aux  axes  de  coordonnées, 


17-  T  r  T  r 

^    p2  n ^^    p2  ]:> ^^ 

07Z  07Z  Oi^ 


Mais,  avec  ce  système  d'axes,  l'énergie  électrostatique  rappor- 
tée a  l'unité  de  volume  a  pour  valeur 

^^  —  K    /    ~  87:  ^    ' 

par  conséquent  les  tensions  et  pressions  par  unité  de  surface  sur 
les  éléments  considérés  sont  égales  à  l'énergie  électrostatique 
par  unité  de  volume. 

206.  —  La  loi  des  attractions  et  des  répulsions  étant  la  môme 
pour  les  masses  électriques  et  les  masses  magnétiques  nous 
devons  nous  attendre  à  trouver  des  tensions  et  des  pressions  ana- 
logues aux  précédentes  dans  le  champ  magnétique.  Maxwell 
traite  le  cas  général  où  il  existe  dans  le  champ  des  aimants  et  des 
courants.  La  méthode  qu'il  emploie  est  sujette  à  des  objections. 
Mais  il  est  inutile  d'envisager  le  cas  général  puisque,  d'après 
l'hypothèse  d'Ampère,  le  magnétisme  permanent  s'explique  par 
des  courants  particulaires.  Nous  pouvons  donc  supposer  qu'il  n'}' 
a  que  des  courants  circulant  dans  un  milieu  dont  la  perméabilité 
est  égale  a  i  ;  nous  y  gagnerons  en  rigueur  et  en  concision. 

Considérons  un  élément  de  volume  dz,  et  soient  ii,  ç^  iv  les 
composantes  de  la  vitesse  de  l'électricité  au  point  qu'il  occupe. 
D'après  notre  hypothèse,  l'induction  magnétique  en  ce  point  se 
confond  avec  la  force  électromagnétique  et  les  formules  (2)  du 
paragraphe  160  qui  donnent  les  composantes  de  la  force  électro- 


'■   dx  ' 

da. 

dx 

^,    de/.              da. 

^'^<, +r  d.  - 

d.       d{i 

-  "■  dx         ''   dx 

dv 
'    dx 

i86  rilÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 

dynamique  rapportées  à  runité  de  volume  deviennent 

X  =  yf^  —  [^iv, 
Y  =atv  —  y//, 
Z  =  ^ju  — ar. 

Les  composantes  u,  ç,  w  de  la  vitesse  de  Télectricité  étant  liées 
à  celles  de  la  force  électromagnétique  par  les  équations  (II)  (167), 
la  première  des  équations  précédentes  peut  s'écrire 

ou,  en  ajoutant  et  retranchant  au  second  membre  le  produit 

du 


47:X  =  a 


Mais,  puisque  la  (orce  électromagnétique  est  égale  à  Tinduc- 
tion  magnétique,  la  relation  qui  lie  les  composantes  de  cette  der- 
nière quantité  (102) 

da  db  de 

dx  .       dy  dz            ' 
devient 

da.  d?j  dr 

dx  a  y  d.z 

(da.     ^     r/3  ^Z-\ 

nous    pouvons  donc  aiouter  le  produit  a    —; j 1 7^     au 

^  \dx         dy  dz  I 

second  meml)re  de  la  relation  qui  donne  4^X  sans  en  changer  la 
valeur  et  nous  avons 

,   ^  da.  da  da  da  ,.    cZS  dy 

4.X^a~  +  p_+y  — -a  — _p-J-_-;_^ 

dv.  d'it  dy 

-+-0.- h  a -7 — ^"--r-- 

dx  dy  dz 

En  rangeant  convenablement  les  termes  du  second  membre  on 


TENSIONS  ET  PRESSIONS  187 

voit  que  Ton  peut  écrire 
et  de  même 

207.  — Supposons  maintenant  que  les  forces  électroclynamiques 
soient  dues  a  des  pressions  ou  tensions  résultant  de  l'élasticité  du 
milieu  et  désignons  les  composantes  des  tensions  par 

P^^.dto,  P.r//<^<j->7  ^xz^'^^  pour  un  élément  normal  à  l'axe  des  ,t, 
Pyjo),  l^yydoù,  ^'yzdio,  —  —  y^ 

P„,.<^CO,    P::,y<^tO^    P-2<^t0,  z. 

Un  parallélipipëde  élémentaire  de  volume  dz  et  dont  les  faces 
sont  parallèles  aux  plans  de  coordonnées  doit  être  en  équilibre 
sous  l'action  de  ces  neuf  forces  et  des  trois  composantes  ILd-z,  Ydz 
7jdz  de  la  force  électrodynamique.  En  écrivant  que  ce  paralléli- 
pipëde ne  peut  prendre  aucun  mouvement  de  rotation  autour 
d'un  quelconque  des  axes  de  coordonnées,  nous  obtenons  les 
relations 

p    _,  p  p    ^^  p  p     ,^  I  )     . 

•*•  ;///  ^  !/.r  -*•  yx  -^  zy  ^  yz  *•  xz    7 

et,  en  écrivant  qu'il  ne  peut  y  avoir  translation  suivant  ces  mômes 
axes,  nous  avons 

dp  dP  ^-^'^ 


Y  =  - 
Z  = 


dx  dy    •  dz 

d[\.„    .    d[\.„   ,    .n\„ 


dx  dy  dz 

JP,,  ^P,,,  d\\^. 


dx       '        dy  dz 


L'identification  de  ces  valeurs  de  X,  Y,  Z  avec  celles  que  Ton 
déduit  des    équations  obtenues   dans   le   paragraphe    précédent 


i88  THÉORIE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  DE  LA  LUMIÈRE 


8^ 
I 

8^ 


P    =P    ^^ 

•^     7/3  *•    SU 


P  =   P  — 


! 


nous  donne  :  1, 


P„  =  4_(v^_a^_fi^),  .       f- 


r. 


va  \ 


ï' 


Lorsqu'on  prend   les    axes   de  coordonnées  de  telle  sorte  que  4 

axe  des  x  soit  parallèle  à  la  force  magnétique,  on  a  [^  =  ^==0 
et  par  conséquent  les  six  dernières  composantes  des  tensions  que 
nous  venons  de  calculer  sont  nulles.  Les  trois  preniiëres  devien-  ^ 

nent 

P     — -^  p    __i^  P    __  J^ 

8-  '  '"■'  ~        8-  ^  ''~        8~  * 

Un  élément  perpendiculaire  aux  lignes  de  force  magnétique 
éprouve  donc  une  tension  normale  et  les  éléments  parallèles  à 
ces  lignes  de  force,  des  pressions  normales.  Les  valeurs  de  cette 
tension  et  de  ces  pressions  rapportées  à  l'unité  de  surface,  sont 
égales  entre  elles.  Elles  sont  aussi  égales  à  l'énei'gic  électi'ody- 
namique  par  unité  de  volume  puisque  cette  énergie,  par  suite  du 
choix  des  axes  de  coordonnées,  devient 

208.  —  Appliquons  ces  résultats  au  cas  d'un  milieu  transmet-  "^ 

tant  des    ondes  planes,    en    prenant  le  plan   des  xij  parallèle  ii 
l'onde  et  l'axe  des  x  parallèle  au  moment  électromagnétique. 

La  force  électromotrice  ayant  même  direction  que  le  moment 
électromagnétique,  les  lignes  de  force  électrique  sont  parallèles 
h  l'axe  des  x  ;   un  élément  perpendiculaire  à  cet  axe  subit  donc 


INTERPRÉTATION  DES  PRESSIONS  ÉLECTRODYNAMIQUES  189 

une  tension  normale  dont  la  valeur  par  unité  de  surface  est  égale 
à  l'énergie  électrostatique  W  rapportée  à  l'unité  de  volume.  Mais 
les  lignes  de  force   magnétique  sont  perpendiculaires  aux  lignes 
de    force  électrique  puisque  la  force    électromagnétique     et    la 
force   électromotrice  sont  rectangulaires   entre  elles  ;  par  si 
l'élément  considéré  est  parallèle  aux  lignes  de  force  magnétiqut 
et  de  ce  fait,  il  éprouve  une  pression  normale  dont  la  valeur  par 
unité  de  surface   est  égale  à  l'énergie  électrodynamique  ï  rap- 
portée à  l'unité  de  volume.  Ces   deux  quantités   W   et  T   étar 
toujours    égales    entre   elles    (204)  la  pression  et  la  tension  qu 
s'exercent  sur  l'élément  se  compensent. 

On  verrait  qu'il  en  est  de  même  pour  un  élément  perpendi- 
culaire à  l'axe  des  y. 

Pour  un  élément  perpendiculaire  à  l'axe  des  .r,  c'est-à-dire 
parallèle  au  plan  de  l'onde^  la  pression  électrostatique  s'ajoute 
à  la  pression  électromagnétique,  de  sorte  que  la  pression  totale 
par  unité  de  surface  est  égale  à  l'énergie  totale  par  unité  de 
volume. 

209.  —  Maxwell  a  calculé  la  pression  qui  s'exerce  sur  une  sur- 
face éclairée  par  le  soleil.  En  admettant  que  l'énergie  de  la 
lumière  qu'un  fort  rayon  de  soleil  envoie  sur  un  espace  d'un 
mètre  carré  est  de  124,1  kilogramniètres  par  seconde,  l'énergie 
moyenne  contenue  dans  un  mètre  cube  de  l'espace  traversé  par 
le  rayon  est  d'environ  4^,36 X  io~^  kilogrammètre  ;  par  suite  la 
pression  moyenne  par  mètre  carré  est  4i,36x  lo"'*'  kilogramme 
ou  o,ooo4i36  gramme. 

La  moitié  de  cette  pression  étant  égale  a  l'énergie  électrosta- 
tique et  à  l'énergie  électrodynamique,  il  est  facile  d'obtenir  les 
valeurs  de  la  force  électromotrice  par  unité  de  longueur  et  de  la 
force  électromagnétique.  Maxwell  a  trouvé  que  la  force  électro- 
motrice est  d'environ  600  volts  par  mètre  et  que  la  force  électro- 
magnétique est  de  0,193  en  mesure  électromagnétique,  soit  un 
peu  plus  du  dixième  de  la  composante  horizontale  du  champ 
magnétique  terrestre  en  Angleterre. 

210.  Interprétation  des  pressions  èle  ctro  dynamique  s .  — 
Nous    avons    fait  remarquer  (84)   que  l'existence    des    pressions 


IQO 


THÉORIE  ÈLECTROMAGNÉTiqUE  DE  LA   LUMIERE 


^^Ippirostatiqucs  s'accordait  mal  avec  riiypothèse  fondamentale  de 
..oation  de  l'énergie  dans  le  milieu  diélectrique.  Les  pres- 
lectrodynamiques  s'interprètent  plus  facilement  et  dans  un 
re  publié  dans  le  Philos  ophical  Magazine {^),  Maxwell  en  a 
une  explication  qui  présente  un  certain  intérêt. 

nergie  électrodynamique  / ^ ^c^x  étant  supposée  de 

;rgie  kinétique  nous  pouvons  regarder  le  milieu  dans  lequel 
.ectuent  les  phénomènes  électrodynamiques  comme  constitué 

des  molécules  animées  de  mouvements  de  rotation.  Si  aJ ,  ■^' ^^' 

^  1^s  composantes  du  mouvement  de  rotation  d'une  des  molé- 

ée  libre,  l'énergie  kinétique  résultant  de  ce  niouve- 

oportionnelle  a ^— .  Il  est  donc  possible 

l'expression  de  l'énergie  électrodynamique  avec  celle 
rgie  du  milieu  tourbillonnant  en  prenant  les  composantes 

a\  rotation  proportionnelles  à  celles  de  la  force  électromagné- 
Lic^ue.  La  direction  de  cette  force  devient  alors  celle  de  l'axe  de 
rotation  de  la  molécule. 

Si  nous  supposons  cette  molécule  sphérique,  elle  tendra  à 
s'aplatir  aux  pôles  et  à  se  renfler  à  l'équateur.  Un  élément  de 
surface  perpendiculaire  à  Taxe  de  rotation  se  trouvera  sollicité 
par  une  force  normale  dirigée  vers  le  centre  de  la  molécule;  au 
contraire,  un  élément  situé  sur  l'équateur  parallèlement  à  l'axe 
subira  une  force  normale  dirigée  vers  l'extérieur  de  la  molécule 
tournante.  Comme  l'axe  de  rotation  a  môme  direction  que  la 
force  magnétique,  un  élément  perpendiculaire  à  cette  i'orce  est 
donc  soumis  à  une  tension,  tandis  qu'un  élément  parallèle  est 
soumis  à  une  pression.  La  diiïerence  algébrique  entre  les  valeurs 
de  cette  pression  et  de  cette  tension  est  due  à  la  force  centrifuge  ; 
elle  est  proportionnelle  à  a'-  -j-  [ï'^  +  y'',  c'est-à-dire  au  double  de 
l'énergie  kinétique.  Nous  retrouvons  donc  bien  les  résultats  du 
paragraphe  307. 

Dans  son  mémoire,  Maxwell  suppose  que  la  rotation  des  molé- 
cules magnétiques  se  transmet  de  l'une  à  l'autre  au  moyen  d'un 
mécanisme  de  connexion  formé  de  petites  molécules  sphéri([ues 


if 


(i)  Phil  Mag.,  années  18G1  et  iSfvJt. 


INTERPRETATION  DES  PRESSIONS  ELECTRODYNAMIQUES  191 

dont  le  rôle  peut  être  assimilé  à  celui  crengrenages.  L'induction 
magnétique  est  alors  due  à  l'inertie  des  sphères  tournantes,  la 
force  électromotrice  est  l'efFort  exercé  sur  le  mécanisme  de  con- 
nexion, enfin  le  déplacement  de  l'électricité  est  le  déplacement 
résultant  des  déformations  de  ce  mécanisme. 


CHAPITRE    XÏI 

POLARISATION   ROTATOIRE    MAGNÉTIQUE 


211.  Lois  du  phénomène.  — La  rotation  du  plan  cle  polarisa- 
tion de  la  lumière  sous  l'influence  d'un  champ  magnétique  crée 
par  des  aimants  ou  des  courants  est  le  phénomène  le  plus  remar- 
quable de  ceux  qui  mettent  en  évidence  les  actions  réciproques 
de  la  lumière  et  de  l'électricité. 

Découverte  par  Faraday  en  i845,  la  polarisation  rotatoirc  ma- 
gnétique a  été  ensuite  étudiée  par  Verdet  qui  a  établi  les  lois 
suivantes  : 

i*"  La  rotation  du  plan  de  polarisation  d'une  lumière  simple  est 
proportionnelle  à  l'épaisseur  du  milieu  traversé  par  le  rayon; 
elle  varie  à  peu  près  en  raison  inverse  du  carré  de  la  longueur 
d'onde  de  la  lumière  employée; 

2°  Elle  est  proportionnelle  à  la  composante  de  l'intensité  du 
champ  magnétique  suivant  la  direction  du  rayon;  la  rotation  est 
donc  maximum  quand  la  direction  du  rayon  coïncide  avec  celle 
du  champ;  elle  varie  comme  le  cosinus  de  l'angle  formé  par  ces 
deux  directions  lorsqu'elles  ne  coïncident  pas; 

3*^  Sa  grandeur  et  son  sens  dépendent  de  la  nature  du  nrilieu. 
Les  corps  diamagnétiques  dévient  le  plan  de  polarisation  dans 
le  sens  du  courant  qui,  tournant  autour  du  rayon,  donnerait  au 
champ  sa  direction  actuelle;  les  corps  magnétiques,  comme  les 
dissolutions  de  perchlorure  de  fer  dans  l'alcool  ou  l'éther  don- 
nent une  rotation  inverse.  Toutefois  cette  dernière  loi  présente 
quelques  exceptions;  ainsi  le  chromate  neutre  de  potasse,  quoique 
diamagnétique,  produit  comme  le  perchlorure  de  fer  une  rota- 
tion de  sens  inverse  à  celui  du  courant. 

212.  —  Une  différence  importante  distingue  la    polarisation 


LOIS  DU  PHÉNOMÈNE  19*3 

rotatoire  magnétique  de  la  polarisation  rotatoire  que  présentent 
naturellement  certaines  substances  cristallisées  comme  le  quartz, 
et  plusieurs  liquides  comme  l'essence  de  térébenthine. 

Dans  ce  dernier  phénomène  la  rotation  du  plan  de  polarisation 
est  encore  proportionnelle  à  l'épaisseur  de  la  substance  tra^ 
sée,  mais  le  sens  de  cette  rotation  change  en  même  temps  qu 
direction    de  propagation  du  rayon;  en  d'autres  termes  le  s 
de  rotation  reste  toujours  le  même  pour  un  observateur  qu 
place  de  manière  à  recevoir  le  rayon  de  lumière.  Par  suite, 
plans    de  polarisation   de    deux    rayons   traversant,  suivant 
directions  opposées,  une  même  épaisseur  d'une  substance  act 
subissent    des    déviations    égales    mais    de    sens    inverse.   Il    .... 
résulte   que    si  un  rayon    polarisé    rectilignement,    après    avoir 
traversé  une  substance,  est  réfléchi  sur  lui-même  de  manière  à 
la   traverser  une  seconde   fois  en  sens  inverse,  le  plan  de  pola- 
risation de    la   lumière  émergente  se  confond  avec  celui  de  la 
lumière  incidente. 

Dans  la  polarisation  rotatoire  magnétique  le  sens  de  la  rotation 
est  indépendant  de  la  direction  du  rayon  ;  il  ne  dépend,  pour  une 
substance  déterminée,  que  de  la  direction  du  champ  magnétique. 
Un  rayon  lumineux  que  l'on  fait  passer  deux  fois  en  sens  in- 
verses à  travers  cette  su])stance  au  moyen  d'une  réflexion  subit 
donc  une  rotation  double  de  celle  qui  résulterait  d'un  seul  pas- 
sage. 

Cette  propriété  a  été  mise  à  profit  pour  augmenter  consldéra- 
l)lement  la  rotation  observée  en  faisant  traverser  plnslcurs  fois  la 
substance  par  le  même  rayon  S,  à  l'aide  de  deux  miroirs  plans  M 
et  M'  (fig.  34)  disposés  presque  nornuilenicnt   à  la  direction  du 


Fig.  'M. 

rayon.  Cet  artifice  et  l'emploi  d'un  champ  magnétique  très  puis- 
sant ont  permis  à  M.  II.  Becquerel  et  à  M.  Bichat  de  découvrir 
presque  simultanément  le  pouvoir  rotatoire  des  gaz  qui  avait 
échappé  aux  observations  de  Faraday  et  de  Verdet. 

PoiNCARi':.  Electi'icilé  et  Optique.  1 -J 


igî  POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

213.  JEssals  d'explication  de  la  polarisation  rotatoire  ma- 
gnétique. —  Avant  Maxwell  plusieurs  tentatives  avaient  été  faites 
dans  le  but  d'expliquer  la  rotation  du  plan  de  polarisation  sous 
rinfluence  d'un  champ  magnétique. 

Dès  l'année  qui  suivitla  découverte  de  Faraday,  Airy  (^)  proposa 
plusieurs  formules  exprimant  cette  rotation  en  fonction  de  la 
longueur  d'onde  dans  le  vide  de  la  lumière  employée  et  de  l'indice 
de  réfraction  de  la  suljstance  pour  cette  lumière.  Airy  avait  été 
conduit  h  ces  formules  par  les  travaux  antérieurs  de  Mac-Cullagh 
sur  la  polarisation  rotatoire  du  quartz.  Comme  nous  l'avons  vu 
dans  un  autre  ouvrage  (^)  la  rotation  du  plan  de  polarisation 
d'un  rayon  se  propageant  suivant  l'axe  du  cristal  s'explique 
par  l'addition  de  certaines  dérivées  du  troisième  ordre  des 
composantes  du  déplacement  d'une  molécule  d'éther  aux  seconds 
membres  des  équations  du  mouvement  de  cette  molécule  ;  ces 
équations  deviennent  alors,  si  l'on  prend  pour  axe  des  z  la 
direction  du  rayon  lumineux. 


en     en       d' 


a  • 


df  dz'     '         dz' 

d\  d'y^  d'^'q 


dC'  d.zr  dz' 


En  substituant  aux  dérivées  du  troisième  ordre,  par  rapport 
z,  les  dérivées  du  même  ordre  prises  par  rapDort  à  z  et 
d\  d'I  1  11 


a  t,-]~—^~-  et 7-T77,  Airv  obtint  la  formul 


dz\lt  dz'dt 


c 


il)  ^  =  mS^ii-\lL 

A-   \  dt 

OÙ  m  est  un  eoellicient  dépendant  de  rintensitc  du  champ  magné- 
tique, A  la  longueur  d'onde  dans  le  vide,  z  Findice  de  réfraction. 
La  su])stitution  de  dérivées  du  troisième  ordre  prises  unicpiement 
par  rapport  au  temps +i^  ^^-$'  ^^  conduisit  it  une  autre 
formule 


m  -^—  [i  —  A 
A^  \  dt 


C)  Philosopîucal  Magazine,  juin  184G. 

(-)   Théorie  mathématique  de  la  Lumière,  ^.  182. 


'^L 


ESSAIS  D'EXPLICATION  DE  LA   POLARISATION  ROTATOIRE         igS 

Enfin,  en  prenant  les  dérivées  du  premier  ordre  par  rapport 
au  temps  -| — —  et 7-,  il  arriva  a  une  troisième  lormule 

(III)  e  =  ,»(^-.4 

214.  —  Quoique  très  différentes,  ces  formules  rendaient  compte 
des  faits  observés  par  Faraday  qui  n'avait  fait  aucune  mesure 
quantitative.  Ce  physicien  avait  seulement  démontré  que  la  rota- 
tion dépend  de  la  nature  de  la  radiation  en  constatant  qu'avec 
la  lumière  blanche,  l'image  donnée  par  Tanalyseur  présente 
des  colorations  rapidement  variables  avec  la  position  de  la  sec- 
tion principale  de  celui-ci  ;  toute  formule  contenant  la  longueur 
d'onde  était  donc  acceptable.  En  1847,  ^-  ^^^'  Becquerel  (^) 
compara  le  phénomène  de  Faraday  à  la  polarisation  rotatoirc 
présentée  par  l'eau  sucrée  ;  il  trouva  que  ces  deux  phénomènes 
étaient  absolument  analogues  ;  par  suite  la  loi  de  Biot  semblait 
applicable  à  la  polarisation  rotatoirc  magnétique,  c'est-à-dire 
que  la  i^otation  devait  être  en  raison  inverse  du  carré  de  la 
longeur  d'onde.  La  formule  (III)  qui  est  loin  de  remplir  cette 
condition  devait  donc  être  re jetée. 

Des  expériences  directes,  faites  avec  le  plus  grand  soin, 
furent  entreprises  par  Vcrdct,  en  i863,  pour  mesurer  la  rotation 
du  plan  de  polarisation  de  radiations  simples,  de  longueurs 
d'onde  connues,  sous  rinfluencc  d'un  champ  magnétique;  leurs 
résultats  furent  compares  aux  valeurs  fourni(\s  par  chacune  des 
formules  précédentes  dans  lesquelles  le  coeOicIent  m  étîût 
déterminé  au  moyen  des  données  d'aine  expéri(mce.  Comme  on 
devait  s'y  attendre  d'après  les  résultats  de  M.  Becquerel,  la  for- 
mule (ÏIl)  donne  des  nombres  s'écartant  beaucoup  de  ceux  four- 
nis par  l'expérience  ;  la  formule  (II)  convient  mieux,  mais  la 
formule  (I)  est  celle  qui  est  préférable  ;  en  particulier,  pour 
le  sulfure  de  carbone,  les  nombres  donnés  par  cette  dernière 
formule  ne  diflerent  des  résultats  de  l'expérience  que  d'une 
quantité  de  l'ordre  de  l'erreur  expérimentale.  Des  trois  formules 
proposées  par  Airy  la  première  est  donc  la  seule  à  conserver. 


(^)  Comptes  rendus  de  i Académie  des  Sciences,  t.  XXf,  p.  g!)2. 


*?l 


196  POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

215.  —  Mais,  si  la  concordance  de  la  formule  (I)   avec  l'expé- 

.  d\  (Pi 

rience  iustifie   l'introduction   des    dérivées  -\ —5-7-  et j-rr- 

^  dz-dt  dz^dt 

dans  les  seconds  membres  des  équations  du  mouvement  d'une 
molécule  d'éther,  aucune  considération  théorique  ne  préside  au 
clioix  de  ces  dérivées,  à  l'exclusion  des  autres  ;  on  ne  possédait 
donc  pas  encore  de  théorie  de  la  polarisation  rotatoire  magné- 
tique. 11  est  vrai  que  Airy  n'avait  pas  proposé  ses  formules 
comme  donnant  une  explication  mécanique  de  la  rotation  du 
plan  de  polarisation  mais  seulement,  dit-il,  «  pour  faire  voir 
c[u'elle  peut  être  expliquée  par  des  équations  qui  semblent  de 
nature  à  pouvoir  se  déduire  de  quelque  hypothèse  mécanique 
plausible,  quoique  l'on  n'ait  pas  encore  formulé  cette  hypo- 
thèse. » 

Quelques  années  avant  les  expériences  de  Verdet,  M.  Ch.  Neu- 
mann  (*)  avait  tenté  de  combler  cette  lacune.  Neumann  suppose 
que  les  molécules  du  fluide  électrique  des  courants  particulaires 
qui,  d'après  Ampère,  prennent  naissance  à  l'intérieur  d'un  corps 
aimanté  agissent  sur  les  molécules  d'éther  ;  en  outre  il  admet 
que  ces  actions  réciproques,  comme  celles  qui  s'exercent  entre 
deux  molécules  électriques  dans  la  théorie  de  Weber,  sont  modi- 
fiées par  le  mouvement  relatif  de  ces  molécules.  Il  résulte  de  ces 
hypothèses  qu'une  molécule  d'éther  est  soumise  non  seulement 
aux  forces  résultant  de  l'élasticité  de  réther,mais  encore  à  des 
forces,  variables  avec  le  temps,  provenant  des  actions  des  molé- 
cules électriques  voisines.  Neumann  démontre  que  la  résultante 
de  ces  dernières  forces  est  à  chaque  instant  proportionnelle  à 
la  vitesse  de  la  molécule  d'éther  et  à  la  force  magnétique  et 
perpendiculaire  au  plan  de  ces  deux  directions.  Par  conséquent, 
si  nous  considérons  une  onde  plane  se  propageant  suivant  la 
direction  du  champ  magnétique,  et  si  nous  prenons  le  plan 
des  xy  parallèle  à  l'onde,  les  composantes  suivant  les  axes 
des  X  et  des  ?/,  de  cette  résultante  auront  respectivement  pour 
valeurs 

di  dt 


(^)  Die  magïieiische  Drehung  der  Polarisaiionsebene  des  Lichtes.  Halle,  i803. 


THÉORIE  DE  MAXWELL  197 

a  étant  un  coefficient  proportionnel  à  Tintensité  du  champ. 
Nous  aurons  donc  pour  les  équations  du  mouvement  d'une  molé- 
cule d'éther 

P    de  ~  dz'    '^'^    dt   ' 

d\         d^'r\  de, 

^    d{^  dz'^  dt  ' 

Ces  écjuations  ne  diffèrent  des  équations  de  Mac-CuUagli  (213) 
que  par  la  substitution  des  dérivées  de  'r\  et  Ç  par  rapport  à  t 
aux  dérivées  du  troisième  ordre  de  ces  mêmes  quantités  par  '^'^*^- 
port  a  z  ;  par  suite  elles  doivent  conduire  pour  la  valeur  a 
rotation  du  plan  de  polarisation  à  la  formule  (III),  formule  en 
complet  désaccord  avec  l'expérience.  La  théorie  de  Neumann, 
bien  que  remarquable  par  la  simplicité  des  hypothèses,  doit 
donc  être  rejetée. 

216.  Théorie  de  Maxwell.  —  Ainsi,  au  moment  où  Maxwell 
écrivait  son  Traité,  il  était  reconnu  que  la  théorie  de  Neumann 
conduisait  a  une  formule  en  complète  contradiction  avec  les 
résultats  expérimentaux,  et  que,  des  formules  proposées  par 
Airy,  la  formule  (I)  était  celle,  qui  s'accordait  le  mieux  avec  ces 
résultats.  Il  suffisait  donc,  pour  obtenir  une  théorie  acceptable 
de  la  polarisation  rotatoire  magnétique,  d'expliquer  par  des 
hypothèses  plausibles,  l'addition  des  deux  dérivées  du  troisième 

ordre  -\ t-tt-  et rr-r-  aux  ecruations  du  mouvement  d  une 

dz'dt  dzrdt  ^ 

molécule  d'éther  dans  un  milieu  isotrope. 

Faisons  observer  que  l'introduction  de  ces  dérivées  dans  les 
équations  du  mouvement  peut,  indépendamment  de  toute  idée 
théorique,  s'eflectucr  de  deux  manières  dKïerentcs. 

Pour  le  montrer  rappelons  eu  quelques  mots  comment  on 
arrive  aux  équations  du  mouvement  d'une  molécule  d'éther  dans 
un  milieu  isotrope  (*).  Si  nous  appelons  U  la  fonction  des  forces 
qui  résultent  de  l'élasticité  de  Téthcr  lorsqu'un  ébranlement  se 
propage    dans    ce    milieu,    le    mouvement    d'une    molécule    de 


(')   Tliéorie  ïnathcmaticpLe  de  la  Lumière,  pp.   i  à  48  et  176  à  iSii. 


igS  POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

masse  ?n  subissant  un  déplacement  Ç  suivant  l'axe  des  x^  est 
donné  par  l'équation 

où  ^  n'est  qu'une  des  composantes  du  déplacement;  y\  et  *C  étant  les 
deux  autres  composantes,  nous  aurions  en  outre  deux  équations 
analogues.  Lorsqu'on  admet  que  les  forces  qui  s'exercent  entre 
les  molécules  n'agissent  qu'à  des  distances  excessivement 
petites,  la  fonction  U  peut  s'écrire 


U 


=/w.., 


V^  étant  la  valeur  de  la  fonction  des  forces,  raj)portée  à  Tunité 
ue  volume,  au  point  occupé  par  l'élément  dz^  et  ^intégrale 
étant  étendue  à  tout  l'espace  occupé  par  Tétlier,  L'étaclc  de  W 
montre  que  c'est  une  fonction  des  dérivées  partielles  des  divers 
ordres  de  Ç,  v],  J^  par  rapport  aux  coordonnées  .r,  y,  z^  et,  par 
diverses  transformations,  on  arrive  à  mettre  les  équations  du 
mouvement  (i)   sous  la  forme 

P  ' 


V^   ci     d\\        Y*    ^^^ 


di'  Zjds     dl'     '  Zjd.'v'    cK'  '"  ' 

^'  étant  l'une  quelconque  des  dérivées  de  Ç  par  rapport  à  .r,  //,  z  ; 
Ç'^  une  quelconque  des  dérivées  secondes  de  ç  par  rapport  à  ces 
mêmes  variables.  Ces  équations  nous  montrent  que  les  lermcs 
de  W  qui  ne  contiennent  ces  dérivées  qu'à  la  première  puis- 
sance doivent  disparaître  lorsqu'on  suppose  les  déplacements 
périodiques.  Par  conséquent,  si  nous  négligeons  les  ternies  du 
troisième  degré  par  rapport  à  ces  dérivées  et  si  nous  désignons 
par  Wg  l'ensemble  des  termes  du  second  degré,  l'équation  pré- 
cédente devient 


d     d\M,     ,   V»    <'l''     ^W, 


'^+y. 


^     de  j^  dx      d'cj      '  ^  dx^      d'cj' 

En  général,  le  second  membre  de  cette  équation  contient  des 
dérivées  de  i,  t^,  Ç,  par  rapport  à  ^,  ?/,  ;:,  de  tout  ordre  à  partir 
du  second,    mais  pour  les  milieux  isotropes  les  dérivées  d'ordre 


'à 


THÉORIE  DE  MAXWELL  199 

impair  disparaissent.  Cette  équation  se  simplifie  encore  dans  ce 
cas,  lorsqu'on  considère  une  onde  plane  perpendiculaire  à  l'axe 
des  z;  il  ne  reste  plus  que  les  dérivées  d'ordre  pair  de  ^  par 
rapport  à  z.  L'équation  précédente  peut  alors  s'écrire 

Les   deux  autres  équations  du   mouvement  s'obtiendraient 
remplaçant  dans  celle-ci,  \  par  -/j,  puis  par  'Q. 

Mais  les  équations  générales  telles  que   (2)  peuvent  se 
sous  la  forme  indiquée  par  Lagrange, 

^^^  dt     (Tci  cil    "~    dl    ' 

où  U  a  la  même  signification  que  précédemment  et  oii  T  désigne 
l'énergie  kiné tique, 


T=i-    r+v/^+n^T, 


5',  7/,  'C  représentant  maintenant  les  dérivées  par  rapport  au 
temps.  Cette  dernière  équation  n'étant  qu'une  transformation 
de  l'équation  (:^),  il  est  évident  qu'elle  ne  peut  contenir,  comme 
celle-ci,  que  des  dérivées  d'ordre  pair  dans  le  cas  d'un  milieu 
isotrope.  Par  conséquent,  pour  que  les  équations  du  mouvement 
contiennent  des  dérivées  d'ordre  impair  il  faut  Introduire  des 
termes  complémentaires,  soit  dans  l'expression  de  la  (onction  LI 
relative  aux  corps  isotropes,  soit  au  contraire  dans  l'expression  T 
de  l'énergie  kinétique.  On  a  donc  deux  moyens  dlderents  pour 
arriver  aux  formules  d'Airy. 

217.  — Dans  les  théories  ordinaires  de  la  lumière  c'est  la  fonc- 
tion U  qui,  changée  de  signe,  réprésente  l'énergie  potentielle  du 
milieu,  que  l'on  modifie  toutes  les  fois  qu'il  s'agit  d'expliquer 
les  phénomènes  présentés  par  les  milieux  anisotropes.  Dans  la 
théorie  de  la  polarisation  rotatoire  de  Maxwell,  c'est,  au  con- 
traire, l'énergie  kinétique  T  qui  est  modillée,  U  conservant  la 
môme    expression     ([ue    dans    un    milieu    isotrope.    Quant   aux 


POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNETIQUE 


raisons  invoquées  par  ce  physicien  pour  justifier  cette  modifica- 
tion et  surtout   pour  arriver   aux  termes   complémentaires   qu'il 
convient  d'introduire  dans  T  pour  retrouver  la  formule  (I),  elles 
;  beaucoup  à  désirer  comme  précision    et   comme   clarté, 
reviendrons  plus  tard  ;  pour  le   moment  acceptons  sans 
tions  le  résultat  des  spéculations  de  Maxwell  et  montrons 
at  l'équation  (4),    et  les   deux  qui   s'en  déduisent  par  la 
ition   de  -/)  et  ^  à  ?,  conduisent  dans   le  cas    d'une    onde 
,  a  la  formule  (I). 
■  nous  posons 

do 


dz 


dx 


^  do 


dz 


nction  quelconque  et  a,  p,  y  les  composantes  de  la 
clique,  le  terme  complémentaire  introduit  par  Maxwell 
-.nergie  kiné tique  a  pour  expression  : 


-'   '^/^4(-f-èH^(4 


cK 


dx 


av   V  dx 


f)]- 


Dans  le  cas  d'une  onde  plane  parallèle  au  plan  des  .r//,  les 
composantes  S,  v],  Ç  ne  dépendent  ni  de  x^  ni  de  ?/ ;  par  suite, 
on  a  : 


do 


■-'{■ 


dz 


et  le  terme  complémentaire  se  réduit  à 


dh 


dz}         "    d-J 


'.]d.. 


L'énergie  kiné  tique  est  donc  égule  l\ 


V'H-C")f^--t-C 


1?' 


d-:. 


THÉORIE  DE  MAXWELL  ao. 

218.  —  Cherchons  ce  que   devient  l'équation  (4)   lorsqu'on  y 
porte  cette  valeur  de  T. 

Si  nous  supposons  y  constant,  nous  avons 

d     dT 

dt     d'c. 

Le  terme  principal  de  T  ne  donne  rien  dans--jr-  ;  quant  au  tei^ 

complémentaire,   il  faut  le   transformer   pour   pouvoir    calci 
sa  dérivée  par  rapport  à  \.  Or,  on  peut  écrire 


dz  I      dz     dz 


la  première  intégrale  du  second  membre  étant  étendue  à  la 
surface  du  volume  considéré,  et  ).  désignant  le  cosinus  de  l'angle 
formé  par  l'axe  des  x  avec  la  normale  à  l'élément  d<j)  de  cette 
surface.  SI  nous  supposons  les  intégrales  de  volume  étendues  à 
l'espace  tout  entier  les  éléments  de  l'intégrale  double  se  rap- 
portent à  des  points  situés  à  l'infini.  Comme  on  peut  supposer 
que  ?,  -/],  K  sont  nuls  à  l'infini,  les  éléments  de  cette  intégrale 
sont  également  nuls,  et  nous  pouvons  écrire 


En  effectuant  une  transformation  analogue  pour  l'intégrale  du 
second   membre    de    l'égalité  précédente,  nous  obtenons 


La  dérivée  par  rapport  à  'i  de  cette  dernière  intégrale  est 


/ 


dz' 


ao2  POLARISATION  ROTATOIRE   MAGNÉTIQUE 

par  suite  le  terme  complémentaire  cle  T  donne 


dans  Téquation  (4)  et  celle-ci  peut  s'écrire  : 

^    dt^  ^'    ^'    dz^dt  dl 

D  après  Cauchy  '     >.    a  pour  expression  dans  un  milieu  isotrope 
.      drl     ,     .     d%     , 


dz'    ^     '   d.z'    '    •*• 

C'est  d'ailleurs  ce  qui  résulte  de  la  forme  du  second  membre 
de  l'équation  (3).  L'équation  (4)  et  celle  qui  s'en  déduit  en  rem- 
plaçant \  par  Tj  deviennent  donc 

drl  d\  d-l  d''l 

219.  —  Cherchons  à  satisfaire  à  ces  équations   en  posant 

($=:/•  cos  {m  —  q=) 
\    7^=  7-sin  [nt —  qz) 

égalités  qui  expriment  que  la  molécule  considérée  décrit  une 
circonférence  de  rayon  /•.  En  substituant  ces  valeurs  de  \  et  Yj, 
nous  obtenons,  après  suppression  des  facteurs  communs,  l'équa- 
tion de  condition. 

(8)  p«^  -  ^CrP'  =  k,<f  +  A,.y ■'  + . . . 

En  divisant  les  deux  membres  par  y"  nous  avons  une  équation 
du  second  degré  en  — .Ce rapport  exprimant  la  vitesse  de  pro- 
pagation du  mouvement,  nous  avons  donc  deux  valeurs  pour  cette 
vitesse.  Mais  le  cofficient  A^,  étant  positif  et  les  coefficients  Aj..., 


THEORIE  DE  MAXWELL  2o3 

étant  très  petits,  l'une  de  ces  valeurs  est  négative  et  il  n'y  a  pas 
lieu  de  la  considérer,  si  l'on  ne  s'occupe  que  des  phénomènes  qui 
se  passent  au-dessus  du  plan  des  xy. 

Si  nous  donnons  à  n  deux  valeurs  ne  difFéi^ant  que  parle  signe, 
ce  qui  correspond  à  deux  molécules  décrivant  la  circonférence  de 

rayon  /•  en  sens  inverses,  les  valeurs  positives  de  —  sont  difie- 

rentes,  pourvu  toutefois  que  y  ne  soit  pas  nul.  Un  rayon  ri^^'^n^^i 
droit  ne  se  propage   donc  pas  avec  la  même  vitesse  qu' 
circulaire  gauche,   par  conséquent  l'un  d'eux  prend  unt 
sur  l'autre  et  si  ces  rayons  proviennent  d'un  même  ray 
risé  rectilignement  ils  se  composent   à  la  sortie  du  milieu  y 
donner   un  rayon  polarisé  rectilignement  mais   dont  le  plan  uc 
polarisation  n'a  pas  le  même  azimut  que  la  lumière  incidente;  il 
y  a  donc  rotation  du  plan  de  polarisation. 

220.  —  Evaluons  cette  rotation.  On  sait  qu'elle  est  égale  à  la 
moitié  de  la  différence  de  phase  que  les  rayons  droit  et  gauche 
contractent,  l'un  par  rapport  à  l'autre,  en  traversant  le  milieu  el 
qu'elle  s'efFectue  dans  le  sens  du  mouvement  des  molécules  du 
rayon  qui  va  le  plus  vite.  Si  donc  nous  désignons  par  q'  et  par  (j" 
les  valeurs  de  q  pour  le  rayon  droit  et  pour  le  rayon  gauche  et 
par  c?  l'épaisseur  du  milieu  traversé,  le  plan  de  polarisation  tour- 
nera dans  le  sens  des  aiguilles  d'une  nu)utre  d'un  angle  égal  à 

Mais  d'après  l'équation  de  condition  (8),  <y  dépend  de  y.  (lommc 
d'ailleurs  la  variation  de  q  due  à  l'action  magnétique  n'est  tou- 
jours qu'une  très  faible  fraction  de  la  valeur  même  de  (/,  nous 
pouvons  écrire 

dq 

q^  étant  la  valeur  de  q  pour  une  force  magnétique  nulle.  Cette 
quantité  q^  doit  donc  satisfaire  à  l'équation  (8)  dans  laquelle  on 
prend  y  =  o  ;  par  suite  on  a 


a 


'-=A,/y^  +  A/y*+ 


POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

quantités  q'  et  q'^  doivent  satisfaire  à  cette  même  équation 
is  laquelle  on  donne  à  n  des  valeurs  ne  difTérant  que  par  le 
,  à  la  valeur  positive  de  n  correspondra  la  valeur  q"  puis- 
après  les  équations  (7)  on  a  un  rayon  circulaire  gauche  se 
géant  suivant  la  direction  positive  de  l'axe  des  z  quand 
t  positif;  à  la  valeur  négative  de  n  correspondra  au  contraire 
aleur  <y';  par  conséquent  nous  aurons 


comparaison   des   trois   dernières  relations  montre  immé- 
ent  que  l'on  a  (/>q^  et  q"  <q^  ;  nous  devons  donc  écrire 

dq'  „  dq" 

bL  nous  portons  ces  valeurs  de  q'  et  q"  dans  l'expression  de  la 
rotation,  nous  obtenons 

2    \dy   ^   dy   J' 

ou,  en  confondant  les  valeurs  des  dérivées  de  q'  et  de  q"  par  rap- 
port à  y, 

221.  —  En  dérivant  par  rapport  à  y  les  deux  membres  de  Féqua- 
tion  (8)  où  nous  considérons  n  comme  constant,  nous  avons 

Mais,  admettre,  comme  nous  l'avons  fait,  que  la  quantité  q  ne 
varie  que  très  peu  sous  l'influence  d'un  champ  magnétique,  c'est 
supposer  que   le  coefficient  C  est  très  petit.  Nous  pouvons  donc 

négliger  le  terme  ^iCyqn  -yL  p^^i»  rapport  aux  termes  du   second 

membre,  et  il  vient  alors 

(lo)  dy  ^       <r/Q 

dq 


THEORIE  DE  MAXWELL  2 

Si  maintenant,  dans  Téquation  (8)    nous  regardons  y  comi; 
constant  nous  avons  en  dérivant  par  rapport  à  Ji 

.p«-aCy.//^-4Cyry.-^=(.A„r/+4A,./+ )^=^j^ 

Pour  la  même  raison  que  précédemment  le  terme  2Cyrfn  pe 
être  négligé  par  rapport  à  2pn  et  le  terme  /iCyqn  -~—  par  rappc 
à  ceux  du  second  membre  ;  par  suite  nous  obtenons 

_  ^^Q    dq 

'^^  dq     du 

Si  nous  portons  dans  la  relation  (lo)  la  valeur  de — -, —  tirée  de 
^  ^     ^  d(i 

cette  dernière  égalité,  nous  avons  pour  la  valeur   de   la   dérivée 

partielle  -7^, 
^  ay 

(11)  ÈL^  —  SllLll. 

^     ^  dy  p      dn 

Pour  exprimer  cette  dérivée  en  fonction  clc  la  longueur  d'onde 
dans  le  vide  X,  de  la  lumière  considérée  et  de  l'indice  de  réfrac- 
tion i  du  milieu,  remarquons  que  l'on  a 

y  A  =  2ixi  et  nX  =  27rV5 

V  étant  la  vitesse  de  propagation  dans  le  vide.  De  ces  deux  rela- 
tions nous  tirons 

in 


_^  ___!_/.,       _^\ 


-et  par  conséquent 

En  outre,  en  dlllercntiant  la  seconde,  nous  ol)tcnons 
Idn  +  ?id\  =  o, 


<l'oii 


71  ).  di  -     di 

dn  dX  dn  '  <r/>. 


POLARISATION  liOrATOIRE  MAGNÉTIQUE 

ju'égalité  (12)  peut  donc  s'écrire 

dq  i    ( .      ^    di  \ 

1  nous  portons  cette  valeur  clans  la  relation  (ri)  et  si  clans  cette 
elation  nous  remplaçons  q  par  sa  valeur  -^— ,  nous  obtenons 
d(j  l^T^Ç.     v-   f .       ^    di 

'ar  consécj;uent  en  posant 


pV 
valeur  de  la  rotation  donnée  par  la  formule  (9)  deviendra 


6  =  jHcy  ^rr-  [i  —  î^  —rT-]  ' 


i""   f .       ^    di 

Nous  retrouvons  donc  bien  la  formule  (I)  d'Airy. 

222.  Interprétation,  du  terme  complémentaire  de  F  énergie 
kinétique.  —  11  s'agit  maintenant  d'explicjuer  l'introduction  du 
terme  complémentaire  (5)  dans  l'expression  de  Ténergie  kiné- 
tic{ue  du  milieu.  Comme  nous  l'avons  dit,  les  explications  de 
Maxwell  n'ont  pas  toute  la  rigueur  cju'on  désirerait  y  rencontrer. 
Essayons  cependant  de  les  reproduire. 

Maxwell  pose  ainsi  la  cjucstion  :  L'expérience  apprend  qu'un 
milieu  isotrope  soumis  à  l'action  d'un  champ  magnéticjue  fait 
tourner  le  plan  de  polarisation  de  la  lumière;  par  conséc[uent  un 
rayon  polarisé  circulaire  ment  ne  se  propage  pas  avec  la  môme 
vitesse  suivant  c|u'il  est  droit  ou  gauche.  Or  si  les  composantes  du 
déplacement  d'une  molécule  d'éther  sont  exprimées  par  les  écjua- 
tions  (7),  nous  aurons  un  rayon  circulaire  droit  ou  gauche  sui- 
vant c|ue  n   est  négatif  ou  positif.  La  vitesse  de  propagation  des 

z  est ;  comme  elle    doit   avoir   une   valeur  différente  pour  le 

rayon  droit  et  pour  le   rayon   gauche,    a   deux  valeurs  de  n   ne 
différant  que  par  le  signe  doivent  correspondre  deux  valeurs  de 


L\TERPJRÉTATION  DU  TERME  COMPLÉMENTAIIÎE  207 

rj  différentes  et  de  signes  contraires;  ou  bien,  ce  qui  revient  au 
même,  aune  valeur  de  rj  doivent  correspondre  deux  valeurs  de 
n  différant  par  la  valeur  absolue  et  parle  signe.  Mais  le  milieu 
considéré  constitue  un  système  dynamique  dont  l'état  est  déter- 
miné, à  chaque  instant,  par  un  certain  nombre  d'équations.  Nous 
avons  donc  à  rendre  compte  de  ce  fait  que,  pour  une  valeur 
déterminée  donnée  à  l'une  et  à  l'autre  des  quantités  rj  et  /-,  il  y 
a  deux  valeurs  distinctes  de  n  qui  satisfont  a  ces  équations. 
Ecrivons  l'équation  de  Lagrange  relative  au  paramètre  /', 

d     dT         dT  dU 


dt     dr'  dr  dr 

Ce  paramètre  ayant  une  valeur  déterminée  ne  changeant  pas 
avec  le  temps,  ;•'  est  nul;  par  conséquent  le  premier  terme  dispa- 
raît de  l'équation  précédente,  qui  devient 

rfï     ,     dl] 

llF+~dr='' 

Mais  T,  énergie  kinétique  du  système,  est  une  fonction  homo- 
gène du  second  degré  des  vitesses  de  ce  système;  T  contient 
clone  ir^  puisque  n  est  la  vitesse  angulaire  d'une  molécule 
d'éther.  Il  peut  également  contenir  des  termes  où  se  trouvent  les 
produits  de  n  par  d'autres  vitesses  et  aussi  des  termes  dans  les- 
(juels  ces  vitesses  entrent  au  second  degré  mais  où  ne  figure  pas 
/^.  Quant  à  U,  Maxwell  suppose  qu'il  conserve  la  valeur  ([u'il  pos- 
sède dans  un  milieu  isotrope  non  soumis  à  l'action  du  magné- 
tisme; par  suite,  U  no  renferme  que  des  dérivées  de  ç  et  r^  par 
rapport  à  Z]  il  ne  contient  donc  pas  n.  Par  conséquent  l'expres- 
sion la  plus  générale  de  l'équation  de  Lagrauge  que  nous  venons 
de  considérer  est 

An-  -+-  B/z~h  C  =:=  o. 

Puisque,  d'après  ce  qui  précède,  cette  équation  doit  être  satis- 
iaite  pour  deux  valeurs  de  n  inégales  en  valeur  absolue,  il  faut 
nécessairement  que  B  soit  diflerent  de  zéro.  Comme  les  termes 
T>n  proviennent  uniquement  de  l'énergie  kinétique,  celle-ci  con- 
tient donc  au  moins  deux  séries  de  termes.  L'une,  A;i-,  est  homo- 
gène et  du   second  degré  par  rapporta  n;  c'est    l'expression  de 


'  2o8  POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

Ténergie  kinétique  d'un  milieu  non  soumis  à  Taction  du  magné- 
tisme. L'autre  contient  la  première  puissance  de  n;  elle  est  due 
au  champ  magnétique  et,  par  suite,  elle  représente  le  terme 
complémentaire  qu'il  s'agit  d'expliquer  ou  au  moins  une  partie 
de  ce  terme. 

223. — Voici  maintenant  les  conclusions  que  Maxwell  déduit  de 
ce  qui  précède  : 

(c  Tous  les  termes  de  T  sont  du  second  degré  par  rapport  aux 
vitesses.  Donc  les  termes  qui  renferment  n  doivent  renfermer 
quelque  autre  vitesse.  Or  cette  autre  vitesse  ne  peut  être  ni  j-' 
ni  q' ^  puisque,  dans  le  cas  que  nous  considérons,  r  et  q  sont 
constants.  C'est  donc  une  vitesse  existant  dans  le  milieu,  indé- 
pendammeat  du  mouvement  qui  constitue  la  lumière.  De  plus, 
ce  doit  être  une  quantité  ayant  avec  n  une  relation  telle  qu'en  la 
multipliant  par  n  le  résultat  soit  une  quantité  scalaire;  car,  T 
étant  une  quantité  scalaire,  ses  termes  ne  peuvent  être  que  des 
quantités  scalaires.  Donc  cette  vitesse  doit  être  dans  la  môme 
direction  que  n  ou  dans  la  direction  contraire,  c'est-à-dire  que  ce 

doit  être  une  vitesse  anmdaire  relative  à  l'axe  des  z. 

o 

(C  Or  cette  vitesse  ne  peut  être  indépendante  de  la  force  ma- 
gnétique; car,  si  elle  se  rapportait  à  une  direction  fixe  dans  le 
milieu,  les  phénomènes  seraient  diflérents  quand  on  retourne  le 
milieu  bout  pour  bout,  ce  qui  n'est  pas  le  cas. 

«  Nous  sommes  donc  amenés  à  cette  conclusion,  que  cette 
vitesse  est  obligatoirement  liée  à  la  force  magnétique,  dans  le 
milieu  où  se  manifeste  la  rotation  magnétique  du  plan  de  polari- 
sation (T/'az^é  «rreZecifr/ciVi?,  t.  II,  §  820).  )) 

Un  peu  plus  loin  (§  822),  Maxwell  ajoute  : 

(C  Lorsqu'on  étudie  l'action  du  magnétisme  sur  la  lumière  po- 
larisée, on  est  donc  conduit  à  conclure  que,  dans  un  milieu  soumis 
à  l'action  d'une  force  magnétique,  une  partie  du  phénomène  est 
due  à  quelque  chose  qui,  par  sa  nature  mathématique,  se  rap- 
proche d'une  vitesse  angulaire  agissant  autour  d'un  axe  dirigé 
suivant  la  force  magnétique. 

«  Cette  vitesse  angulaire  ne  peut  être  celle  d'aucune  partie  de 
dimensions  finies  du  milieu,  tournant  d'un  mouvement  d'ensem- 
ble.  Nous  devons  donc   penser   que  cette   rotation  est    celle    de 


INTERPRErATION  DU  TERME  COMPLEMENTAIRE  209 

parties  très  petites  du  milieu  tournant  chacune  autour  de  son  axe. 
Telle  est  l'hypothèse  des  tourbillons  moléculaires.  » 

224.  —  Ainsi,  d'après  Maxwell,  l'explication  de  la  polarisation 
rotatoire  magnétique  doit  résulter  de  l'existence  de  tourbillons 
dans  le  milieu  soumis  à  l'action  d'un  champ  magnétique,  tour- 
billons que  nous  avons  déjà  vu  intervenir  dans  l'interprétation 
des  pressions  électrodynamiques  (210).  Mais  quelles  sont  les  lois 
qui  régissent  les  mouvements  de  ces  tourbillons?  Maxwell  avoue 
notre  ignorance  absolue  sur  ce  sujet  et,  faute  de  mieux,  il  admet 
que  les  tourbillons  d'un  milieu  magnétique  sont  soumis  aux 
mêmes  conditions  que  ceux  que  Helmholtz  (^)  a  introduits  dane 
l'Hydrodynamique ,  et  que  les  composantes  d'un  tourbillon 
en  un  point  sont  égales  à  celles  de  la  force  magnétique  en  ce 
point. 

Une  des  propriétés  des  tourbillons  de  Helmholtz  peut  s'énon 
cer  comme  il  suit  :  soient  P  et  Q  deux  molécules  voisines  su 
l'axe  d'un  tourbillon  ;  si  le  mouvement  du  milieu  a  pour  effe 
d'amener  les  molécules  en  P'  et  en  Q^,  la  droite  P^Q^  représent 
la  direction  de  l'axe  du  tourbillon,  et  la  grandeur  de  celui-ci  est 
modifiée  dans  le  rapport  de  PQ  à  P''Q'. 

Si  nous  appliquons  cette  propriété  aux  tourl^illons  d'un  milieu 
soumis  au  magnétisme,  nous  aurons,  en  appelant  a,  [3,  y?  ^cs 
composantes  de  la  force  magnétique  au  point  P,  7/,  [j^,  y',  les 
composantes  de  cette  jnéme  force  cpiand  le  point  J^  est  venu  en 
P^,  et  ç,  7^,  Ç,  les  composantes  du  déplacement  du  point  P, 


7/  ^^^  a  -1-  a  ~ 


<ll      .     o    <^^      ,  ^5 


l^ 


'")         ]   ""■^'^  +  "'7Ar 


(Ij/      '     '      dz 


fj 


'  du  ^■'  ,hy 

225.  —  l.es  composantes  de  la  vitc^sse  angulaire  d'un  élément 


(')  Sur  U  moufcmcnt  tourhillu/inain' ;  Journal  <lc  Crcllc,  vol.  LV,  i,sr).S. 

PoI^'CAKK.  Electricité  ot  OpLiquo.  i/, 


1110  POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

du  milieu  ont  pour  valeur 

/   o\  j  I      d   /  de,  d'Q 


I  î      d    /  d^  dr^ 

^         2     dt\dy  dz 


2     dt  \  dz  dx 

I      d   /  d'r\  d\ 


^4)' 


^         2     dt\dx  dy 

Or,  puisque  d'après  les  conclusions  du  §  223  l'énergie  kiné- 
tique  doit  contenir  cette  vitesse,  le  terme  correspondant,  dans  le 
cas  où  les  axes  de  coordonnées  sont  quelconques  par  rapport  \\ 
la  direction  de  la  force  magnétique,  doit  être  de  la  forme 

le  terme  complémentaire  de  Ténergie  kinétique  d'un  certain 
volume  du  milieu  a  pour  expression 

Si  dans  cette  expression  nous  remplaçons  a! ^  [3^,  y'  par  les 
valeurs  (12)  et  ct»^,  co,,  co^^  par  les  valeurs  (i3)  nous  obtenons 


^S(f-g^|- 


■  dx  \dx        d7j  J ~^  ''  dy  \dx        dy  ) "^  ''  dz  \  dx        dy  }  J   ' 
Montrons  que  si  l'on  étend  l'intégration  à  l'espace  tout  entier 


'""Ib* 


INTERPRETATION  DU  TERME  COMPLÉMENTAIRE  i\ 

la  première  intégrale  de  cette  somme  est  nulle  dans  le  cas  qu 
nous  occupe.  En  effet,  en  intégrant  par  parties,  le  premier  terme 
de  cette  intégrale  donne 


CL— —  (]f T  =    I    cfX^dxdy  — 


L'intégrale  de  surface  se  l'apportant  a  la  surface  limite^  < 
à  l'infini  d'après  notre  hypothèse,  'Q  et  a  sont  nuls  ;  pai 
l'intégrale  elle-même  est  égale  à  zéro.  Dans  l'intégrale  tri 

second  membre  entre  la  dérivée  -y-  ;  si  donc  le  champ  magné- 
tique est  uniforme,  comme  c'est  généralement  le  cas  lorsqu^on 
étudie  la  polarisation  rotatoire  magnétique,  cette  dérivée  est 
nulle  et  l'intégrale  triple  l'est  aussi.  En  prenant  ainsi  successive- 
ment tous  les  termes  de  la  première  intégrale  de  l'expression  du 
terme  complémentaire,  on  verrait  qu'ils  sont  tous  égaux  à  zéro. 
Il  n'y  a  donc  à  considérer  que  les  trois  autres  intégrales  de  cette 
expression. 

Celles-ci  peuvent  se  mettre  sous  une  autre  forme.  Considérons 
en  effet  le  premier  terme  de  la  première  d'entre  elles  ;  nous  obte- 
nons, en  intégrant  par  parties 


ou,  puisque  l'intégrale  de  surface  est  nulle  pour  les  mômes  rai- 
sons que  précéclcmnicnt 


<ll     dK'    ,  /     ^,      d% 


d.==^-         aC'-7-4-'?^. 


dx    du  I     '       dxdy 

Le  second  terme  de  l'avant-dernière  intégrale  du  terme  com- 


POLÀRTSAriON  ROTATOIRE  MAGNÉTJqUE 

)iémentaire  nous  donne,  en  opérant  de  la  même  manière, 


et  nous  avons  pour  la  somme  des  deux  termes  considérés 


,^    d     /  d'f\  di 


dx   \  dx         dy 


d-.. 


Jne  transformation  analogue  effectuée  sur  tous  les  termes  et  \ 

groupement  convenable  de  ceux-ci  montreraient  que  l'expres- 
jii  (i4)  se  réduit  bien  à  l'expression  (5)  qne  nous  avons  intro- 
duite (217)  comme  terme  complémentaire  dans  l'énergie  kinétique 
du  milieu  soumis  a  Faction  du  magnétisme. 

226.  Difficultés  soulevées  par  la  théorie  de  Maxwell.  — 
Dans  la  théorie  que  nous  venons  d'analyser,  Maxwell  semble 
avoir  complètement  abandonné  la  théorie  électromagnétique  de 
la  lumière.  Nous  avons,  en  effet,  implicitement  admis  avec  ce 
physicien,  que  lorsqu'une  onde  se  propage  dans  un  milieu  placé 
dans  un  champ  magnétique,  les  composantes  ?,  v]  et  Ç  du  déplace- 
ment d'une  molécule  d'éther  ne  dépendent  pas  directement  de  la 
force  magnétique.  Or,  nous  avons  vu  (189)  que  la  concordance 
de  la  théorie  électromagnétique  de  la  lumière  avec  les  théories 
actuellement  adoptées  pour  l'explication  des  phénomènes  lumi- 
neux exigeait  que  les  dérivées  par  rapport  au  temps  de  ^,  7],  Ç 
soient  respectivement  égales  aux  composantes  a,  [3,  y  de  la  force 
magnétique.  Pour  que  la  théorie  de  Maxwell  sur  la  polarisation 
rotatoire  magnétique  s'accorde  avec  la  théorie  électromagnétique 
il  faudrait  qu'il  en  fut  encore  ainsi  ;  c'est  ce  qui  ne  semble  pas 
avoir  lieu. 

D'autre  part  les  formules  de  Helmholtz  semblent  assez  di(Ii- 
cilement  applicables  au  cas  qui  nous  occupe.  Klles  s'appuient 
sur  les  principes  de  l'Hydrodynamique  qu^il  serait  sans  doute 
malaisé  d'étendre  à  l'éther,  puisqu'il  faudrait  y  supposer  une 
pression  uniforme  dans  tous  les  sens. 


DIFFICULTÉS  SOULEVÉES  PAR  LA  THÉORIE  DE  MAXWELL  i. 

Elles  supposent  en  outre  qu'il  y  a  entre  les  composantes  du 
déplacement  et  celles  du  tourbillon,  certaines  relations  qui  pour- 
raient s^écrire  : 


d% 


p 


dydt  dzdt  ' 

d'^  d% 

dzdt         dxdt  ' 


d\  d'i 

Y  =: ! _ 

*         dxdt         dydt  ' 
et  dont  Maxwell  ne  tient  pas  compte. 

227.  —  Admettons  pour  un  instant  que  les  dérivées  c! ,  'r\  ,  t 
sont  respectivement  égales  à  a,  [3, y  et  cherchons  les  conséquence 
de  cette  hypothèse . 

Le  terme  principal  de  l'énergie  kinétique  devient 


J^J(a^+P^4-f)^^-- 


Les  binômes  alternés  qui  entrent  dans  l'expression  (i4)  du 
terme  complémentaire  ou  les  dérivées  par  rapport  au  temps  de 
ceux  qui  se  trouvent  dans  l'expression  (5)  de  ce  même  terme  ont 
alors  pour  valeurs 

(l'Q  d-r^'    _  d,'  d{i 

d^ 
dx  ' 

da 
dij  dx  dy 

Mais  d'après  les  équations  (II)  du  paragraphe  167  les  seconds 
membres  de  ces  égalités  sont  respectivement  égaux  à4T^/^,  4'^^',  ù^ï^w . 
Gomme  n^  f»,  (v,  sont  les  dérivées  par  rapport  au  temps  des  com- 
posantes f^  g,  h  du  déplacement  électrique  nous   obtenons   donc 


'('/ 

dz 

'lu 

f/î' 

dK' 

da 

dz 

d.v 

dz 

d:r! 

dl 

rffi 

ii4  POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

en  intégrant, 

(f^         dy 

Par  conséquent  l'expression  (5)  du  terme  complémentaire  peut 
s'écrire 

7  ^ 

Les  quantités  désignées  par  les  symboles  -r-**''  renfermant  les 

produits  des  composantes  de  la  force  magnétique  par  les  dérivées 
du  déplacement  électrique  prises  par  rapport  à  x,  ?/,  z^  ce  terme 
complémentaire  est  du  troisième  degré  par  rapport  à  ces  quan- 
tités. Dans  le  terme  principal  de  T,  a,  ^8,  y  entrent  au  second 
degré,  mais  les  dérivées  du  déplacement  électrique  n'y  figurent 
pas.  Par  conséquent,  en  général  les  équations  du  mouvement 
seront  linéaires,  comme  cela  a  lieu  dans  les  théories  ordinaires 
de  la  lumière  ;  dans  la  polarisation  rotatoire,  elles  cesseront  d'être 
linéaires  par  suite  de  l'introduction  du  terme  complémentaire.  11 
en  résulte  que  dans  ce  dernier  cas  la  vitesse  de  propagation  des 
perturbations  constituant  la  lumière  dépendra  de  a,  p,  y  et  par 
conséquent  de  Tintensité  lumineuse  qui  est  fonction  de  ces  quan- 
tités. Cette  conséquence  est  tout  a  fait  contraire  aux  faits  obser- 
vés dans  tous  les  autres  phénomènes  lumineux;  toutes  ces  diffi- 
cultés n'ont  été  définitivement  levées  que  par  la  théorie  de 
Lorentz  dont  nous  parlerons  à  la  fin  de  cet  ouvrage. 

228.  —  Toutefois^  dans  les  conditions  où  se  font  les  expé- 
riences, on  se  trouve  dans  un  des  cas  particuliers,  où  cpoiquc 
le  terme  complémentaire  soit  du  troisième  degré,  les  équations 
du  mouvement  sont  linéaires. 

Pour  le  montrer,  considérons  une  onde  plane  polarisée,  et  pre- 


I 

% 

h 


DIFFICULTES  SOULEVÉES  PAR  LA  THÉORIE  DE  MAXWELL         2i5 

nous  pour  plan  des  xy  un  plan  parallèle  à  Fonde.  Le  déplace- 
ment électrique  s'eiïectuant  dans  le  plan  de  Tonde  (180)  la  com- 
posante h  est  nulle.  En  outre /*et  g  ne  dépendent  ni  de  x  ni  de  ?/. 
Par  conséquent  le  terme  complémentaire  (i6)  se  réduit  à 


Les  composantes  a,  [3,  y  de  la  force  magnétique  peuvent  être 
considérées  comme  la  somme  des  composantes  de  la  force  magné- 
tique du  champ  constant  dans  lequel  se  trouve  le  milieu  traversé 
par  Tonde  et  des  composantes  de  la  force  magnétique  du  champ 
dont  les  perturbations  périodiques  donnent  lieu  aux  phénomènes 
lumineux.  Ces  dernières  composantes  sont  variables  avec  le 
temps.  Mais  nous  savons  que  la  force  magnétique  du  champ  pé- 
riodique est  dirigée  dans  le  plan  de  Tonde  ;  sa  composante  sui- 
vant Taxe  des  z  est  donc  nulle  dans  le  cas  qui  nous  occupe.  Par 
suite  la  quantité  y  qui  entre  dans  T expression  précédente  du 
terme  complémentaire  a  pour  valeur  la  composante  suivant  Taxe 
des  z  du  champ  constant  produit  par  les  aimants  ou  les  courants. 
Cette   quantité    étant  constante    le  terme    complémentaire  n'est 

plus  crue   du   second  dee^re  par   rapport  a  a,    p,  -r^  et -7^  et   les 
\  0111  '     dz       ciz 

équations  du  mouvement  redeviennent  linéaires. 

On  peut  d'ailleurs  faire  voir  autrement  que  y  ^st  une  cons- 
tante. Vax  effet,  écrivons  Téquation  de  Lagrange  relative  à  cette 
(quantité;  nous  aurons 

d     (H        dl         (IM 


dl     d.^('  dr  d-'f 


Or  d'après  Cauchy,  U  ne  dépend  pas  de  Ç;  par  suite  il  est  indé- 
pendant de  y  et  le  second  membre  de  cette  équation  est  nul.  Le 
premier  terme  est  aussi  nul  puisque  T,  qui  a  ici  pour  valeur 


I* 

i  '^' 
POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNETiqUE  f| 

ne  contient  pas  y.  Par  conséquent  l'équation  précédente  se  réduit 
à 


^r  bz^     '^r  K"^  ~  ^^)  J ^ 


ou  enfin 


Mais  Ç  et  Tj  étant  les  composantes  du  déplacement  d'une  molé- 
cule d'éther,  ces  quantités  satisfont  aux  équations 

$  =  /•  cos  [ni  —  (jz), 
'/]  =  /•  sin  [ïii  —  <y.c). 

Si  nous  calculons  les  dérivées  de  ç  et  r\  par  rapport  a  /  et  leurs 
dérivées  secondes  par  rapport  à  z  et  si  nous  portons  les  valeurs 
ainsi  trouvées  dans  le  terme  précédent,  nous  obtenons 

ilr^'jKf  [ —  cos  (jil —  qz)  cos  [ni  —  qz) 

—  sin  [îit  —  qz)  sin  {iit  —  qz)]  =  —  Cr'hiq. 

C'est  donc  une  quantité  indépendante  de  t\  par  suite  v  est 
constant. 


I 


ou,  en  remplaçant  T  par  la  valeur  précédente  et  effectuant  la  dé- 
rivation, 

Pour  que  y  soit  constant  il  suffit  donc  que  le  second  terme  le 
soit  également.  Or,  si  nous  tenons  compte  des  relations  (i5)  qui  $ 

donnent  les  composantes  du  déplacement,  nous   avons  pour  ce 
terme 


ou,  puisque  l'onde  est  perpendiculaire  a  Taxe  des  z, 

(      d%  cl\  \  I 

C  1  P  —ri a  ——  ) ,  % 

dz"  dz^ 


f 


\ 


cCv-g-ï^). 


THÉORIE  DE  M.  POTIER  ^i^ 

229.  —  Une  autre  difficulté  de  la  théorie  découle  de  Tappll- 
cation  des  propriétés  des  tourbillons  d'Helmlioltz  aux  tourbillons 
moléculaires  d'un  milieu  soumis  au  magnétisme.  En  effet  il  faut 
nécessairement  que  l'énergie  de  ce  milieu  ait  pour  valeur 


|^/(a'-+P^+TV- 


Or,  si  a,  |3,  y  sont,  comme  l'admet  Maxwell,  les  compo- 
santes d'un  tourbillon  d'Helmlioltz  l'énergie  kinétique  du  milieu  a 
une  valeur  toute  difiPérente. 

Il  paraît  assez  difficile  d'aplanir  cette  difficulté.  On  ne  pourrait 
guère  y  parvenir  qu'en  modifiant  profondément  la  théorie  de 
Maxwell  et  ces  modifications  la  rapprocheraient  de  la  théorie 
proposée  par  M.  Potier. 

230.  Théorie  de  M.  Potier.—  Cette  théorie  est  fondée  sur  les 
deux  hypothèses  suivantes  : 

i^La  matière  pondérable  participe  dans  une  certaine  mesure, 
variable  avec  la  longueur  d'onde,  au  mouvement  de  l'éther; 

2"  Les  molécules  d'un  corps  pondérable  deviennent  de  vérita- 
l)les  aimants  sous  l'action  d'un  champ  magnétique. 

ÏA\  première  hypothèse,  déjà  admise  par  Fresnel,  semble  con- 
(Irniée  par  les  expériences  de  M.  Fizeau  sur  l'entraînement  de 
i'élJier;  la  seconde  est  conforme  au  mode  ordinaire  d'interpréta- 
tion des  propriétés  magnétiques  ou  diamagnétiques  des  milieux 
pondérables , 

De  ces  deux  hypothèses  il  résulte  que  chaque  molécule  aiman- 
tée du  milieu  éprouve  un  déplacement  périodique  lorsqu'un 
rayon  traverse  ce  milieu.  Dn  général  ce  déplacement  n'est  pas 
une  translation,  les  deux  polos  de  Taimant  se  déplaçant  de  quan- 
tités inégales;  la  direction  de  Taxe  magnétique  d'une  molécule 
cliange  donc  péiiodicfuement  ainsi  (juo  les  composantes  de  son 
moment  magnéticpie  et,  par  suite,  des  forces  électromotrices 
d'induction  prennent  naissance  dans  le  milieu.  Ces  forces  s'ajou- 
lant  à  celles  qui  résultent  de  la  perturbation  magnétique  consti- 
tuant la  lumière,  la  loi  qui  lie  cette  perturbation  au  temps  se 
trouve  modifiée  et  on  conçoit  que  le  plan  de  polarisation  change 
d'azimut 


2i8  POLARISATION  ROTAT 01  RE  MAGNETIQUE 

231.-—  Montrons^  en  effet,  que  les  hypothèses  de  M.  Potier 
conduisent  à  introduire  dans  l'expression  de  l'énergie  kinétique 
le  terme  complémentaire  de  Maxwell  et,  par  conséquent,  permet- 
tent de  retrouver  la  formule  (I)  d'Airy. 

Soient  ^,  y,  ^  et  ^  +  ùx,  y  +  oy,  z  +  oz  les  coordonnées  des 
pôles  d'une  molécule  aimantée  dans  sa  position  normale^  et 
_L  jn  et  —  m  les  masses  magnétiques  respectives  de  ces  pôles  ; 
nous  avons  pour  les  composantes  du  moment  magnétique  de  la 
molécule, 

mZx^       rnZy^       moz. 

Pour  avoir  les  valeurs  nouvelles  de  ces  composantes  lorsque  la 
molécule  est  dérangée  de  sa  position  d'équilibre  par  Teffet  de  la 
perturbation  lumineuse,  il  nous  faut  connaître  la  direction  sui- 
vant laquelle  la  matière  pondérable  est  entraînée  par  cette  per- 
turbation. Nous  admettrons,  ce  qui  est  le  plus  naturel,  que  cette 
direction  est  celle  du  déplacement  électrique.  Comme  d'ailleurs, 
dans  la  théorie  électromagnétique,  le  déplacement  électrique  est 
perpendiculaire  au  plan  de  polarisation  (189),  cette  hypothèse 
revient  à  admettre  que  la  matière  pondérable  se  déplace  suivant 
la  direction  de  la  vibration  de  Fresnel.  Si  donc  /*,  g,  h  sont  les 
composantes  du  déplacement  électrique  au  point  x,  ij,  r,  et  s  un 
coelficient  de  proportionnalité,  nous  aurons  pour  les  coordon- 
nées de  l'un  des  pôles  de  la  molécule  déplacée, 

et  pour  les  coordonnées  de  l'autre  pôle^ 

X  +  OX  +  £/^+  £0/;  ?/  +  3y  +  £^  +  £%,  Z+0Z-\~dl^Z0/l. 

La  variation  of  de  la  composante  f  dix  déplacement  pour  les 
variations  ox,  oy,  5r  des  coordonnées  peut  se  développer  suivant 
les  puissances  croissantes  de  ces  dernières  quantités;  en  négli- 
geant les  termes  du  second  degré  et  des  degrés  plus  élevés,  nous 
aurons 

Par  conséquent  les  composantes  du  moment  magnétique  de  la 


THÉORIE  DE  M,  POTIER  219 

molécule  déplacée  sont  données  par 

df       .  df       ^      ,         df       . 

m  [ooc  -^zof]  =  mùx  +  s  ~—  màx  +  £  --—  moy  ~\-  s  —j—-  moz , 

Ujji/  CL  U  et  .-o 

et  deux  autres  expressions  analogues. 

232.  —   Introduisons    les    composantes  de  la  ma ' "'''*'' 
Soient  A,  B,  C  ces  composantes  au  point  x^  y  z;  A' 
nouvelles  valeurs  quand  ce  point  s'est  déplacé  de  e/J 
avons 

Ad-z  =  J7ÎÙX,       Bot  =  mSy,       Cdi  =  mùz, 
A^ch  =  m  {ùx  +  £o/) ,  B'd-z  =  m  (ùy  +  EOg) ,  ÇJd^  =  m  [ùz  + 

d-z  étant  le  volume  de  la  molécule  aimantée.  Par  suite  la  dernière 
égalité  du  paragraphe  précédent  peut  s'écrire 


dx  dy 


JL). 

dz) 


i\!  =  xa  -  j-  £x  (  a  —~i r  |j  — ; 1-  ; 


Mais  les  composantes  de  la  magnétisation  sont  liées  à  celles  de 
la  force  magnétique  (103)  par  les  relations 

A  =  xa,  B=y.p,  C==xY 

X  étant  la  fonction  magnétisante.  Par  conséquent  l'égalité 
précédente  devient,  lorsqu'on  y  remplace  A,  B,  C  par  ces  va- 
leurs. 

dx  ^  '     di,  ^  '    dz 
ou 

233.  —  D'autre  part  l'induction    magnétique   a   pour  compo- 
santes 

a  =z  a.-\-  4t:A,  Z>  ==  [î  +  4'^B,  c  =  y  +  4^^G, 

et  ces  composantes  deviennent  après  le  déplacement  de  la  molé- 
cule 

a'  =  a^  +  4tuA^        //  =  P'  +  4î^B^        c'  =:  Y'  +  ^t.C . 


220  POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNETIQUE 

Montrons  que  les  composantes  al ^  ^'  y'  de  la  force  magnétique 
qui  entrent  dans  ces  dernières  égalités  sont  respectivement  égales 
à  a,  p,  y. 

Nous  avons  en  dérivant  par  rapport  à  œ  les  deux  membres  de 

l'écruation  (i). 

^A'  dd  d     df 

:  X  — \-  SX —  - 


dx  '   dx  dv     dx 

En  dérivant  B^  par  rapport  à  y  et  C  par  rapport  à  x;  et  addi- 
tionnant les  trois  dérivées  partielles  ainsi  trouvées,  nous  obte- 
nons 

div    j^  ,  j^_x_f^  1  ,_^     Al 

dx  dy  dz  dx  dy  '   dz 

Mais,  par  suite  de  Fincompressibilité  de  l'électricité,  la  somme 

I        1 ,   •    ,  •  n        df    d^    dh  ,     1     ^       , 

des  dérivées  partielles  -y—,  -^,  ~j-  est    égaie  a  zéro;  par  suite, 

l'égalité  précédente  se  réduit  à 

dk!    .    dW     .     dC         dk    ,    clB     ,    dC 


dx  dy  dz  dx  dy  dz 

Le  premier  membre  est,  au  sigae  près,  la  densité  au  point 
X  +  e/",  y  +  £^,  z  -\~  eh  de  la  distribution  magnétique  fictive 
pouvant  remplacer  dans  ses  effets  le  corps  soumis  à  Tiafluence 
du  champ;  le  second  membre  représente  la  même  cjuantité  au 
point  .r,  y,  z. 

Par  conséquent  la  distribution  fictive  n'est  pas  modifiée  par  le 
déplacement  des  molécules  aimantées.  La  force  magnétique  en 
un  point  doit  donc  conserver  la  même  valeur  que  ces  molécules 
soient,  ou  non,  dans  leurs  positions  d'équilibre. 

234.  —  Puisque  nous  avons 

nous  obtenons  en  remplaçant  A'  par  sa  valeur  (i) 

^  ^  dv 


THÉORIE  DE  M.  POTIER  221 

Or  on  sait  que 

I  +  47tx  =  |i.  ; 

par  suite  si  on  pose 

x£  =  StzC, 

(C  ne  désignant  pas  la   composante  de  la  magnétisation  suivani 
Taxe  des  z)^  on  obtient  pour  les  composantes  de  rinduction 

a'  =  [Jia  +  327r-C  —j- y 
h'  =  aS  +  32t:^-C  4^, 

c'  z=z    [xy  -4-  027I-C  — T"- 

L'énergie  kinétique  du  milieu, 

,1  '^ 

aura  donc  pour  valeur 

9./ 

Nous    retrouvons   donc  la  m(^me  valeur  que  dans  la  théorie  de 
Maxwell,    le  terme    complémentaire    étant   mis    sous    la    forme 

('fi)C). 


)a 


:t. 


[*)  Poslrrieurcinoiil  ù  l'époque  où  ces  lc<;oiis  ont  été  {'uilos  d'après  les  iiulioations 
verbales  (1(î  M.  Potier,  ce  savatrt  a  exposé  sa  lliéoric  de  la  polarisîilioii  rolaloirc 
inaguérupie  dans  deux  luUes  publiées,  l'uiu»  dans  la  lradu(Hiou  rraiicaise  du  Traite 
de  Maxveil  (L.  II.  j).  5')/|),  î'auLre  dans  les  Conipica  rendus  de  CAeudeniic  des 
Sc/enees,  (I.  CVIII,  p.  iHo).  Dans  e(,'s  deux  notes,  M.  Potier  déteriaine  les  ooni- 
[)o.santes  de  la  l'orée  éle('tronu;)lric(^  iuduile  j)ar  le  déplacement  des  molécules 
alinanlées  et  démontre  ((n'en  <'ha({iie  [)(»int  du  milieu  celle  ror(^(;  électcomotricc  est 
norujale  au  courant  qui  pass(^  par  ce  point,  dirig-ée  dans  le  ])lan  de  l'onde,  ])ro- 
])ortionn<dle  au  (ïourani  et  à  la  c()n)|)osant(î  suivant  la  direction  du  rayon  de  la 
i"or(;e  ina^néti(jue.  Introduisant  ensuite  les  composantes  de  c(>[le  l'orce  éleelro- 
molri(;e  dans  les  équations  du  (duuup  magnéti<[ue,  il  <'n  lire  les  écjualioiis  dillo- 
rentielles  Cjiii  donnent  à  chaque  inslant  les  com[)Osantes  de  la  perLurbation.  Il 
arrive  ainsi,  dans  le  cas  d'unie  onde  de  plan  ])arallèl(i  au  ])lan  des  xi/,  soit  aux 
équations 

..     </M-'  cK'.        diV 

iv  U.  -— —  -f~  ^  K  ai.. y  ■■■.■  ,  .   zz  -7—,  1 
'     dl-~       '      ^  dzhU        dz- 

r.     d^G         ,.    ^,     d'V        dKj 


POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

«35.  Théorie  de  M.  Rowland  (^).  —  Avant  M.  Potier, 
I.  Rowland  avait  essayé  de  concilier  la  théorie  de  la  polarisation 
rotatoire  magnétique  avec  la  théorie  électromagnétique  de  la 
lumière  en  introduisant  une  hypothèse  dont  l'origine  résulte 
d'une  interprétation  d'un  phénomène  découvert  peu  de  temps 
auparavant  par  M,  Hall  (^j. 

Rappelons  en  quoi  consiste  le  phénomène  de  Hall.  Soit  ABCD 
[fig,  35)  un  conducteur  métallique  très  mince  taillé  en  forme  de 


Fig.  31 

croix,  parcouru  par  le  courant  d'une  pile  de  A  en  B  et  dont  les 
extrémités  CD  de  la  branche  transversale  communiquent  avec  un 
galvanomètre.  En  déplaçant  les  points  d'attache  des  fds  du  gal- 
vanomètre on  arrive  facilement  à  ce  qu'aucun  courant  dérivé  ne 
traverse  le  galvanomètre.  L^appareil  étant  ainsi  disposé,  si  on  le 
place  dans  un  champ  magnétique  très  intense  de  telle  sorte  que 
son  plan  soit  perpendiculaire  à  la  direction  du  champ  on   voit 


qui  donnent  les  composantes  du  moment  électvornagaé tique,  soit  aux  équations 


9    —ri  —  2C7    ,  ,  ,   : 


d-'\ 


qui  donnent  le  mouvement  d'une  molécule  d'éthcr.  Ces  deux  groupes  d'équations 
contenant  des  dérivées  du  troisième  ordre  conduisent,  comme  nous  l'avons  vu,  à 
la  rotation  du  plan  de  polarisation. 

Le  mode  d'exposition  de  M.  Potier,  qui  n'est  d'ailleurs  pas  identique  dans  les 
deux  notes,  diffère  donc  beaucoup  de  celui  que  nous  avons  adopté;  il  se  rap- 
proche de  celui  que  nous  suivrons  dans  l'exposé  de  la  théorie  de  M.  Rowland. 

(^)  Phllosopfiîcal  Magazine,  avril  1881;  Masgart  et  Joubert.  Traité  d'électricité, 
t.  I,  p,  702  et  suiv. 

(^)  American  Journal  of  Matheinaiics,  t.  II.  i8;<). 


THÉORIE  DE  M.  ROWLAND  22 3 

raiguille  du  galvanomètre  dévier.  Pour  la  plupart  des  métaux  et 
pour  un  champ  magnétique  traversant  le  plan  de  la  figure  d'avant 
en  arrière  la  déviation  du  galvanomètre  indique  que  le  courant 
qui  traverse  cet  instrument  va  de  C  en  D  dans  la  branche  trans- 
versale du  conducteur;  le  courant  AB. paraît  donc  entraîné  sui- 
vant la  direction  de  la  force  électromagnétique  qui  s'exerce  sur 
le  conducteur  lui-même.  Pour  le  fer,  la  déviation  de  Taiguille 
du  galvanomètre  et,  par  suite,  le  courant  dérivé  changent  de 
sens;  néanmoins  on  peut  encore  dire  que  le  courant  est  entraîné 
suivant  la  force  magnétique,  puisqu'a  l'intérieur  d'une  lame  de 
fer,  par  suite  de  l'aimantation  sous  l'influence  du  champ  exté- 
rieur, le  sens  des  lignes  de  force  et  la  direction  de  la  force  — 
gnétique  ont  changé  de  signe. 

Ces  faits  peuvent  évidemment  s'interpréter  en  admettant  qu'une 
force  électromotrice  prend  naissance  sous  l'action  du  champ 
magnétique  et  qu'elle  est  dirigée  suivant  la  force  magnétique 
qui  agit  sur  la  matière  pondérable  du  conducteur.  Quant  à  sa 
grandeur,  comme  l'elfet  observé  est  toujours  très  petit,  on  peut 
admettre  qu'elle  est  proportionnelle  à  la  force  magnétique. 
Toutefois  cette  explication  est  peu  satisfaisante,  car  elle  devrait 
s'appliquer  à  tout  conducteur  quelles  que  soient  ses  dimensions, 
et  le  phénomène  de  Hall  ne  se  produit  plus  dès  que  l'épaisseur 
de  la  lame  dépasse  quelques  dixièmes  de  millimètre.  D'ailleurs, 
elle  a  été  mise  en  doute  par  des  expériences  récentes,  notam- 
ment par  celles  de  M.  Riglii  et  M.  Leduc,  qui  ont  montre  qu'une 
hétérotropie  spéciale  du  conducteur  sous  l'action  du  champ  était 
la  meilleure  explication  des  faits. 

236.  —  Quoiqu'il  en  soit,  M.  Rowland  adopte  l'hypothèse  de 
la  production  d'une  force  élcctromotricc  et  suppose  qu'une  force 
électromotrice  du  môme  genre  se  développe  dans  un  milieu  non 
conducteur  placé  dans  un  champ  magnétique  lorsque  ce  milieu 
est  parcouru  par  les  courants  de  déplacement  résultant  de  la 
propagation  de  la  lumière.  C'est  d'ailleurs  cette  môme  force 
électromotrice  que  M.  Potier  introduit  au  moyen  d'hypothèses 
plus  acceptables  que  celles  de  M.  Rowland. 

Cette  force  électromotrice  étant  proportionnelle  à  la  force 
électromagnétique  et   ayant  même   direction  que  celle-ci,  nous 


POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE 

*ons  pour  ses  composantes 


^  R^  =  £  [1)11  —  a{>). 


L'induction  magnétique  se  compose  de  l'induction  du  champ 
constant  auquel  est  soumis  le  milieu  et  de  l'induction  du  champ 
Dériodique  donnant  naissance  à  la  lumière.  Les  composantes  de 
a  première  sont  [jLa^,  jjijSj,  |j.Yp  les  composantes  de  l'intensité 
lu  champ  constant  et  uniforme  étant  a^,  [3^,  y^  ;  celles  de  la 
—  nde  sont  données  par  les  équations  (III)  du  §  167.  Nous 
donc, 

dR         clG 


dy  dz 

d¥         rfH 


dz  dx 

dCr  dF 


dx         dy 


+  I^Ti- 


237.  —  Si  l'on  considère  une  onde  plane  parallèle  au  plan  des 
xy  les  variables  ne  dépendent  ni  de  x,  ni  de  y  et  les  équations 
précédentes  se  réduisent  à 


Fi 


I-?.^ 


\  c 


Les  équations  (II)  du  §  167  qui  donnent  les  composantes  u,  c, 
iï'  de  la  vitesse  du  déplacement  électrique  deviennent 

A^u  —  —  ^  ----- L.  ii 

dz  a     dz  ' 

da.   I     da 

dz  \x     dz  ' 

/^TaV--=z  O. 

En    y  remplaçant  les  dérivées  de  a  et   de  b  par  rapport  à  -, 


THEOMIE  DR  M.  ROWLAND  '  21^ 

par    leurs  valeurs»   déduites   des    équations    (2),    nous^  obtenons 
puisque  a^,  Pn  Yi?  sont  constants 


I     ^-F        rfS.  I     d'F 


'\^i 


[j,     dz-  dz  \L     dz'  ' 

(3)  j    ^^  ^ I     d'G  da,   _         I     d'G 

!  i-k     dz^  dz  [j.     dz"-^   ' 

\  4^(^  =  0. 

Nous  pouvons'  donc,  à  Taide  des  relations  (2)  et  (3),  exprimer 
les  composiintes  de  la  force  électromotrice  données  paîi  les 
équations  (i)  en  fonction  du  moment  électromagnétique;  nous 
trouvons  pour  les  composantes  parallèles  au  plan  de  Tonde 

P   _  _   ^Ti    .f^L 

^^  4r.      dz'    ' 

<{uant  à  la  troisième  composante  il  est  inutile  dé  la  considérer, 
car  étant  perpendiculaire  au  plan  de  Fonde  elle  ne  peut  avoir 
aucun  effet  sur  la  perturbation  magnétique-constituant  la  lumière. 
Les  composantes  de  la  force  électromotrice  résultant  do  cette 
dernière  perturbation  étant  (177) 

■  dt  ^  dt 

nous  aurons  pour  les  composantes  parallèles  au  plan  de  Tonde  de 
la  force  électromotrice  totale 

p dV  £Y,     d'G 


Q^ 


di  4-      dz" 

dG  £Y,     d~F 


dt  ^T.      dz'  ' 

et,  par  suite  des  équations  (VIII)  du  n°  169, 

,^    d'F         Key,      d'G 


dt"  4,71  dz'dt  ' 

,                  ,.   ^^G  ,     Ksy,       d'Y 

^                  dt'  ^   47t  dzhk 

PoI^^CARÉ.  Électricité  et  Optique. 


^,2^  POLARISATION  ROTATOIBE  MAGNÉTIQUE 

En  remplaçant  les  premiers  membres  de  ces  équations  par 
leurs  valeurs  (3)  nous  obtenons  enfin 

dt'    "^     ^r.       dz'dt  u     dz^  ' 

dî-  4r.       dz'di  p.     dz"- 

D'après  la  remarque  faite  au  n^  178,  a,  fi,  y  satisfont  à  des 
équations  de  même  forme;  par  suite  il  en  est  de  même  des  com- 
posantes \,  71,  !;du  déplacement  d'une  molécule  d'éther  dont  les 
dérivées  par  rapport  aT  sont  \,t,,  Ç.  Nous  retrouvons  donc  les 
équations  du  mouvement  qui  ont  conduit  Airy  ù  une  expression 
de  l'angle  6  de  rotation  du  plan  de  polarisation  d'accord  avec 
l'expérience  i 

238.  Phénomène  de  Kerr,  —  A  la  polarisation  rotatoire  ma- 
gnétique se  rattache  un  phénomène  découvert  en  1876  par 
M.  Kerr  (^)  et  qui  consiste  dans  la  rotation  du  plan  de  polarisa- 
tion d'un  rayon  polarisé  réfléchi  sur  le  pôle  d'un  aimant. 

La  lumière  d'une  lampe,  polarisée  par  un  nicol  et  réfléchie  par 
une  lame  de  verre  inclinée  à  45%  tombe  normalement  sur  le 
pôle,  s'y  réfléchit  et,  après  avoir  traversé  la  lame  de  verre  et  un 
nicol  analyseur,  est  reçue  par  l'œil.  Une  masse  de  fer,  qui  est 
percée  d'un  trou  conique  pour  permettre  le  passage  aux 
rayons  lumineux,  est  placée  très  près  de  la  surface  réfléchis- 
sante, dans  le  but  de  rendre  très  intense  l'aimantation  de  cette 
surface. 

Ayant  placé  le  polariseur  dans  une  position  telle  que  les 
vibrations  qui  tombaient  sur  les  pôles  étaient  parallèkis  ou  per- 
pendiculaires au  plan  d'incidence,  et  ayant  tourné  .Tanalyseur 
jusqu'à  l'extinction,  M.  Kerr  vit  reparaître  la  lumière,  bien  que 
faiblement,  en  aimantant  par  un  courant  le  pôle  réfléchissant. 
Mais  comme  M.  Kerr  ne  disposait  que  d'une  faible  force  magné- 
tique, pour  rendre  l'action  plus  évidente,  il  déplaçait  légère- 
ment le  polariseur  ou  l'analyseur  avant  de  faire  l'expérieucc;  de 
manière  à   ce  que  l'extinction  ne  fut  pas  complète.  Au  moment 


I  Philosophîcal  Magazme,  ^^  série,  t.  HT,  p.  32i  (1877)  ;  t.  V,  p.  iCn   (1878). 


PHÉNOMÈNE  DE  KERH  ^ij 

OÙ  roM  fermait  le  courant  dans  une  certaine  direction,  la 
lumière  reçue  par  l'œil  augmentait;  dans  la  direction  contraire; 
elle  diminuait  et  souvent  l'on  arrivait  tout  à  fait  à  Textinction. 
Cette  diminution  de  l'intensité  se  produisait  si,  avant  le  passage 
du  courant,  on  avait  tourné  l'analyseur  dans  une  direction  con- 
traire a  celle  du  courant  d'aimantation.  M.  Kerr  en  conclut 
qu'il  se  produisait  par  l'aimantation,  une  rotation  du  plan  de 
polarisation,  en  sens  contraire  des  courants  d'Ampère. 

M.  Kerr  observa  également  une  rotation  lorsque  le  rayon 
tombait  obliquement  sur  la  surface  réfléchissante  ;  mais  dans  ce 
cas  les  phénomènes  se  compliquent  de  la  polarisation  elliptique 
due  à  la  réflexion  métallique,  à  moins  cependant  que  les  vibra- 
tions du  rayon  incident  soient  ou  parallèles  ou  perpendiculaires 
au  plan  d'incidence. 

239.  —  M.  Gordon  (^j  et  M.  Fitzgerald  (^)  répétèrent  bientôt 
ces  expériences  avec  des  champs  magnétiques  très  puissants; 
les  résultats  qu'ils  obtinrent  confirmèrent  les  travaux  de  M.  Kerr. 
Plus  récemment  l'étude  de  ce  phénomène  a  été  reprise  par 
iM.  Righi  [^)  qui  Ta  rendu  plus  facilement  observable  en  l'am- 
plifiant par  des  réflexions  successives  du  ra3X)n  lumineux  sur 
deux  pôles  d'aimant  convenablement  disposés.  Kniin  M.  Kuntz(.'') 
s'est  également  occupé  de  cette  question  ;  il  a  montré  que  la 
réflexion  sur  le  nickel  et  le  collait  donnait  aussi  naissance  au 
phétîoinène  d<'  Kerr;  de  plus,  il  a  reconnu  que  la  rotation  du 
plan  de  polarisation  dans  le  cas  de  rineidence  normale,  qui 
chang<'  de  valeur  avec  la  couleur  de  la  radiation,  esl  plus  gi^ande 
pour  les  rayons  rouges  que  pour  les  rayons  violets  :  lu  dispersion 
esl  donc  anormale. 

Mais  malgré  ces  nombreux  travaux  el  les  recherches  tbé()rit[ues 
de  M.    Righi    ("^)   l'explication   complète   du  phénomène  de  Kerr 


(')  PhilosopJiicaî  Magazine,  5"  série,  L.  IV,  p.  loj  (1S77). 
(-)  Pltllosopliical  Magazine,  5"  série,  t.  111,  p.  S'Xi)  (1877). 
(•i)  Métnoire  présenté  à  rAcadémie  roy'ali' des  Lin€i<:i  (i/|  décembre  i88|). 
(^j    Wiad.  Ann.,  octobre  i88/|. 

(")  Loc.  clL,  et  nouveau  Méiiuire  inséré  dans  les  Annales  de  chimie  et  de  Phi/iii</iu\ 
septembre  188G. 


228  POLARISATION  îtOTATOUŒ  MAGM-niQi'K 

fait  encore  défaut.  On  ne  peut  affiraier  si  cesl  un  plii»fi(nii«*iH* 
nouveau  ou  s'il  est  dû  «nic|ueuient  au  pouvdir  rolalciJn*  înîi«riît*» 
tique  de  l'air  qui  environne  les  pôles.  Aussi,  if  Jnsisli'r«ins-îioiiH 
pas-plus  longuement  sur  ce  sujet. 

Enrésumé,  Maxwell  n'est  pas  arriva*  à  s«*  tirc»r  tles   cliflinilti'N. 
quesoulève  le  phénomène  observé  paï'  Faraday.   M.  PoIÎit  vu  ii 
donné    une   théorie    satisialsante.    Nous    v^rrcnin   plus    loin    ifii** 
M.  Lorentz  est  également  ariivé  à  luie  expliratiiui   satisrainaiiî** 
qui  se  rattache  à  ses  idées  générales  suî'  la  iialur*»  dv  r«di*tiric*iti*. 
Disons  seulement  que  dans    la    ihéorîr  de    LchtiiIz  «•«iimiir  dsiii^ 
celle  de  Potier,  les   molécules  malérîcdlt\s    pri^iiiieiît    pari    n     h% 
vibration  et  que  c'est  cette  circonstance  cpii  priHluil  la  pidari^s,!- 
tion  rotataire  ;   seulement,  dans  la   HuM^rir  de  Potier,   les  iiiiil«*- 
cules  en  mouvement  agissent  parc(MprelIes  Iraiîsporteîil  avee  vWrn 
leur  magnétisme  ;    dans  celle    de   Lorenl/,  elles   a-isM^nt   paru' 
qu'elles  transportent  avec  (dles  une  charge  «decirH|ur. 


DEUXIEME  PARTIE 


THEORIES  ELEGTRODYNAMIQUES 

D'AMPÈRE,   WRBER,   IIELMOLTZ 


CHAPITRE  PREMIER 


FORMULE  D'AMPERE 


240.  Action  de  deux  éléments  de  courant.  —  Ampère  avait  la 
prétention  de  ne  rien  emprunter  qu'à  l'expérience  (^).  Cette  pré- 
tention n'est  pas  absolument  justifiée,  car  l'expérience  ne  peut 
porter  sur  deux  éléments  de  courant.  On  peut  observer  l'action 
d'un  courant  fermé  sur  une  portion  de  courant,  mais  non  l'action 
d'une  portion  de  courant  sur  une  autre. 

Si,  en  effet,  la  décharge  d'un  condensateur  par  exemple  cons- 
titue un  courant  qui  d'après  les  idées  antérieures  à  Maxwell  n'est 
pas  fermé,  ce  courant  est  de  trop  courte  durée  pour  qu'on  puisse 
l'utiliser  dans  les  expériences.  On  ne  peut  donc  expérimenter 
que  sur  des  courants  fermés  ;  on  peut,  il  est  vrai^  par  divers  arti- 
fices, rendre  mobile  une  portion  d'un  des  courants,  ce  qui  permet 
d'étudier  l'action  d'un  courant  fermé  sur  une  portion  de  courant 
(voir  ce  sujet  discuté  plus  loin,  n°  258)  ;  mais  cette  portion  mobile 
reste  toujours  soumise  à  l'action 
simultanée  de  tous  les  éléments 
de  l'autre  courant  fermé. 

Ampère  qui  énonce  une  loi 
applicable  à  deux  éléments  de 
courant  a  dû  par  conséquent  faire 
des  hypothèses.  Voici  ses  hypo- 
thèses :  Fig.  36. 

ï^  Pour  avoir  l'action  d'un  cir- 
cuit fermé  sur  un  élément  de  courant,  il   sullit  de  composer  les 


(^)  Le  titre  de  son  ouvrage  est  :  Théorie  mathématique  des  j?hénomènes  électro- 
dynamiques  uniquement  déduite  de  Feûcpéricnce,  1826. 


2  FORMULE  D'AMPÈRE 

actions  des  éléments   de   ce  circuit  fermé  sur  l'autre   élément  ; 

2^  L'action  de  deux  éléments  de  courant  est  une  force  dirigée 
suivant  la  droite  qui  les  joint. 

Soient  deux  circuits  G  et  G^  (fig.  36).  Soit  A  un  point  de  G.  Je 
définis  le  point  A  par  la  longueur  s  de  l'arc  OA  comptée  à  partir 
du  point  fixe  0. 

Soient  maintenant  AB  et  A^B'  deux  éléments  appartenant  res- 
pectivement aux  circuits  G  et  C  Soit  0^  un  point  fixe  de  C^  à 
partir  duquel  nous  compterons  les  arcs,  et  appelons 

0A==5,        0'M  =  s^  - 
l'autre  part, 

OB  =  5  -f-  d^,       Q'W  =  s'  ■+■  ds'  ; 
d'®ù 

5et  tie  même, 

A«^=r&^. 

En  appelant  .r,  ?/,  z  les  coordonnées  de  A 

j:  -i- d.i- ^  ^f -\-  dy.,  z-{-dz^  celles  de  B 

:rVf/',.^',  ))  A' 

ir^  -4-  d^.',  ij  -h  dy\  d  +  d.z\  »  B' 

la  distance  des  deux  éléments  AB  et  A'B'  est  donnée  ;p4ir 

(i)  r"-  =  {X  -  -a^Y  +  (y  -  yj  +  (=  _  ,J  ■ 

r  est  fonction  de  5  et  s' 

T  .  T       .  1     A  T^  ^^'^'      dij      dz 

Les  cosinus  directeurs  de  AB  sont— 7—,  — p-,  — --, 

ds      ds      ds 

1      i/T,>         dx'      dif     dz! 


de  AA' 


•// 


7"  /•  r 

Soieilt  6  Tïïngle  de  AB  tivec  AA^, 
Ô'       »       de  A^B'  avec  AA^ 
£        »      des  deux  éléments  A  B  et  A(B^ 


ACTION  DE  DEUX  ELEMENTS  DE  COURANT 

On  a  : 

/        ^         dx     x'  —  X     ,    du      11'  —  ?/         dz      z'  —  - 

cose  =  -y-. h-T^- ^-+-7-- 

i  as  r  as  r  as  r 

\        ,,        dx'     x'  —  X        di/      11' — ?/        dz'     z'  —  c 


^.  l^  ~  ds''         r       ^  ds'  '         r        '     ^6'^ 

dx      dx'         dy     d\J         dz     dz' 

ds  '    ds'  d^  '   ds'         ds  '  ds'  ' 


COS    £: 


Entre  ces  trois  cosinus  et  les  dérivées  de  la  fonction  /•  existent 
certaines  relations. 

On  trouve  en  effet  par  différentiation  : 

dr       'H^  X  —  x'     d,v  . 

\     ds       Za       r  ch 


(4) 


^      dr 


6'^  ~L       r 


ds'      ^       r  ds' 


cos  h'. 


le  signe  lu  indiquant  mie  permutation  circulaire  à  eilec tuer  sur 
les  lettres  x,  y,  z;  x' ^  y' ,  z'. 

DifTérentions   malntemint  la  relation  (3)  par  rapport  à   s'  ;   il 
vient, 

dr      dr  d'^r  ^  dx'     dx 

ds      ds'  dsds'  /j  ds'      ds 


5.) 


d'où,  «n  tenant  compte  des  relations  (4), 

d'-r  . 

/■  =  cos  'i  cos  U  — eos  t, 

dsds' 

L'action  de  ds  sur  ds'  est  évidemment  proportionnelle  aux  lon- 
gueurs ds  et  ds'  des  deux  éléments  et  aux  intensit^és  /  et  i'  des 
deux  courants  ;  elle  dépend  d'autre  part  de  la  distance  r  des  deux 
éléments  et  des  angles  9,  6^  et  £.  Elle  ne  peut  manifestement  dé- 
pendre d'aucune  autre  quantité.  Nous  pouvons  donc  représenter 
cette  action  par  la  formule  : 

/W6Y/6-7(r,e,  0'',  s). 


234  FORMULE  D'AMPÈRE 

Il  nous  reste  a  déterminer  la  fonction  /. 
Afin  d'abréger  les  écritures  nous  supposerons 


quitte  à  rétablir  à  la  fin  du  calcul  le  facteur  il'. 

Ampère  a  emprunté  à  Texpérience  les  trois  principes  suivants 
qui  serviront  de  point  de  départ  à  l'analyse  qui  va  suivre  : 

i''  Le  principe  des  courants  sinueux; 

2°  L'action  d'un  courant  fermé  sur  un  élément  quelconque  est 
normale  à  cet  élément; 

3^  L'action  d'un  solénoïde  fermé  sur  un  élément  quelconque 
est  nulle. 

Soit  Kdxds'  l'action  qu'exercerait  sur  ds'  un  élément  de  cou- 
rant dx  qui  serait  la  projection  de  ds  sur  l'axe  x ;  de  même  Bdyds' 
et  Cdzds' ,  Le  principe  expérimental  des  courants  sinueux  qui  est 
le  premier  emprunt  fait  par  Ampère  à  l'expérience,  nous  apprend 
que  l'action  de  ds  sur  ds'  est  la  résultante  des  actions  de  ses 
projections  suivant  les  trois  axes,  et,  comme  toutes  ces  forces 
sont  dirigées  suivant  la  même  droite  AA',  on  a  : 

/'(r,  e,  9^  e)  dsds'=: kdxds' -^Bdyds'.^  Cdzds' ; 


/•=  A  ~ -l-B -^  +  C  — 
ds  ds  ds 

La  fonction  f  est  donc  linéaire  par  rapport  aux  cosinus  direc- 
teurs de  AB, 

La  fonction  /dépend  de  ;-,  0^  9  et  s  ;  /-  et  ^'  ne  dépendent  pas 

des  cosinus  directeurs  -f-,  ~,-,— ;  cos  fl  et  cos  s  sont  linéaires  et 
ds     ds    ds 

homogènes  par  rapport  à  ces  cosinus.  Donc  /ne  peut  être  linéaire 

et  homogène  par  rapport  à  ces  mêmes  cosinus  directeurs  que  si  /' 

est  linéaire  et  homogène  en  cos  ô  et  cos  e,  ou,  ce  qui  revient  au 

dr         d'-r 
même,  en -7-7  et   ,   ,  ■ . 
as'        dsds 

dr  ^^" 

Hllle  est  de  même  linéaire  et  homogène  en  -7-  et 


ds        dsds'  ' 


ACTION  DE  DEUX  ÉLÉMENTS  DE  COURANT  235 

Donc  elle  doit  être  linéaire  et  homogène  en  --7-.  jy  d'une  part 


72, 


et   %  -j  j  d'autre  part. 
Donc, 

Or,  A  et  B  sont  fonctions  de  r  seul;  je  puis  donc  poser  : 

et  (6)  devient  alors, 

(6  Lis)       fdsis'  =[^  (.)  ^.  |1+  a,  (.)  -i^]  ,sd,. 

241.  —  Pour  déterminer  ces  deux  fonctions  tj;  et  cp,  *1  faudra 
deux  expériences. 

Ampère  a  montré  qu'un  arc  de  cercle  quelconque  mobile  autour 
de  son  centre  et  soumis  à  l'action  d'un  courant  fermé  dont  la 
forme  est  quelconque,  ne  se  déplace  pas  ;  l'action  tangentielle 
exercée  sur  un  élément  quelconque  de  cet  arc  de  cercle  est 
donc  nulle.  Donc  l'action  d'un  courant  fermé  sur  un  élément  est 
normale  à  cet  élément  :  c'est  le  second  principe  d'Ampère  énoncé 
plus  haut. 

Donc  l'intégrale 

lorsqu'elle  est  prise  le  long  du  circuit  C,  qui   est  quelconque. 
Posons, 

-H  dr 

l'intégrale  précédente  devient 

La  quantité   sous  le  signe  |  est  donc  la   dijQTérentielle  exacte 


^3 G  .FOnmULE  D'AHWEjRE 

à'Mue  fonction  des  deux  ?^ariables  indépendantes  r  et  p,  c'est-à- 
dire  qu'on  a 5 

2p'i(r)=:2pcp'(r), 

nous  reste  donc  a  déterminer  la  fonction  cp,  ce  que  le  troi- 
le  principe  expérimental  d'Ampère  nous  permettra  de  faire  ; 
attendant,  tirons  4^ ul es  les  conséquences  des  deux  premiers 
icipes  et  montrons  d'abord  c[ue  Taction  élémentaire  (6  bis] 
s'écrit  maintenant, 

'  L  '    ^  -^   ds    ds'  '  ^  •    dsds'  J 

t  se  mettre  sous  la  forme  Y— r-r--,  Y  et  U  étant  fonctions  de  r 


n  effets  nous  pouvons  écrire, 

âU  _        dr 
ds  ds  ' 

crivant  U    pour  -7—  ;   et, 
dr 

^^    ^W    '^'''      I    W"  ^^''    'K 
dsds'  dsds'  "^        ds    ds'  ' 


^y  d^\} 

privant  U''  pour  -j-r- 


dsds'  —     ^    dsds'  ^  ds     ds' 


et  on  identifiant  avec  [G  ter)  il  vient 


\\}"-^o'^ 

TT"  ,a' 


DEPLACEMENT  RELATIF  DE  DEUX  CWCllTS 


logU'=:  log  Cp, 


L'action  de  deux  éléments   de  courant  est  mise    ainsi  sous   la 
l'orme 

d'il 


2dsds'U- 


fisds' 


242.  Travail  produit  par  un  déplacement  relatif  de  deux 
circuits.  —  Si  nous  donnons  à  r  un  accroissement  S/-,  l'action  de 
l'élément  AB  sur  aVB^  produira  un  certain  travail.  Nous  choisi- 
rons les  signes,  suivant  les  conventions  ordinaires  en  électrody- 
namique, de  façon  que  la  force  soit  positive  quand  elle  est  attrac- 
tive ;  alors  le  travail  élémentaire  du  l\  une  variation  oj'  est  : 

—  'idsds'Uor.    4^  =  —  ^^dsd^oU-'^~^ 


dsds'  '         dsds^  ' 

et  le  travail  dû  à  l'action  totale  d'un  des  circuits  sur  l'autre  est 


->     /-% 


dm  H 


Transformons  cette  expression  en  intégrant  par  parties. 
Nous  savons  que, 


d^> 

Il  —7—  ds  =[//(' 
as 


car   le    contour   d'intégration,  qui  n'est   autre  que  le  circuit  C, 
étant  fermé,  uv  a  la  même  valeur  aux  deux  limites  d'intégration. 
Donc, 


a38 

par  conséquent, 


FORMULE  D'AMPERE 


8T  =2 


cm  ,d\}  ..  j , 

as         as 


et  comme  rien  ne  distingue  C  de  C  on  a  aussi  : 

'  cW  .  dU 


ST  =  2 


ds       ds 


Donc, 


8T: 


r  d\}  .  d\}       d\\  ,  ^?U  1  ,  , , 


ou  encore, 


ST  = 


^U  ^U 


^67/6'^ 


ds    ds' 
5  T  est  par  conséquent  raccroîssement  de  la  fonction 


(7) 


ds    ds 


dsds' 


Le  Ira^^ail  èlèmenialre  est  donc  la  difJerenileUe  d' une  fonction  T 
dépendant  se.nlenieni  des  positions  i-eUitives  des 
deux  circuits.  Cette  fonction  (')  est  le  potentiel 
électrodynamique  mutuel  des  deux  circuits. 
Cette  forme  élégante  donnée  à  l'expression  du 
travail  élémentaire  est  due  à  M.  Bertrand  (^^). 

243.  —   iXous  avons    ainsi    démontré  l'exis- 
tence d'un  potentiel  pour  Taction  de  deux  cou- 
Fïg.  37.  ranls    fermés,  en    nous    appuyant   simplemenl 

sur  le  fait  que  l'action  d'un   courant   fermé  sur 
un  élément  de  courant  est  normale  a  l'élément. 


(')  Le  travail  est,  en  grandeur  et  en  signe,  l'accroissement  du  potentiel,  si  l'on 
convient,  comme  nous  l'avons  fail,  de  considérer  comme  positive  une  ibrco  alti- 
l'ante. 

(2)  Théorie  maihématiqne  de  Vclectrlcitë  (1890),  §  i3i,  p.  175. 


DETERMINATION  DE  LA  FONCTION  U  siSy 

On  peut,  réciproquement,  montrer  que  ce  fart  expérimental  est 
une  conséquence  nécessaire  de  Texistence  d'un  potentiel. 

Soit  un  élément  AB  (fig.  87),  mobile  suivant  sa  propre  direc- 
tion. S'il  se  déplace  en  A''B^,  le  courant  conserve  la  même  position 
dans  l'espace,  il  décrit  le  même  circuit.  Le  potentiel  électrodyna- 
mique, s'il  existe,  n'a  pas  varié,  donc  pas  de  travail,  ce  qui  prouve 
que  la  force  est  normale  au  chemin  parcouru. 

244.  Détermination  de  la  fonction  U.  —  Pour  aller  plus  loin 
il  faut  de  nouveau  recourir  à  l'expérience.  Nous  nous  appuieron 
sur  ce  fait  que  l'action  d'un  solénoïde  fermé  sur  un  élément  de 
courant  est  toujours  nulle. 

Nous  avons  vu  précédemment  que, 


'-I  i^>"''' 


ce  qui  peut  s'écrire,  en  remarquant  que 

dV  y  dr  dM        ^,1  dr 


ds  ds  ds^  ds^ 


dr    dr 


sas-' 


ou,  en  tenant  compte  des  équations  (4)  : 


,,   dr     X      x[  ^^^, 


EL  /  u'i  II.  y  ~  y'  ^4.'+  il  /  u'^  — .  "  ~  "'  d-j  1 . 

ds     f  ds'  r  ds     I  ds'  r  J 


On  peut  encore  écrire  pour  abréger  : 

T=  r(F^x+  Gdi/-+-Edz), 


Wfm 


40 
in  posant  : 


FOIiMULE  D'AMP  EUE 


/  as  r 


«y 


as'         !• 


as  r 


En  effectUcint  les  intégrations  le  long  du  contour  C^  on  peut 
écrire  : 


'u  posant 


/•'('■)= 


U'^ 


liitcgrons  pur  parties  ;  le  terme  Uni  est  mil  et  l'on  a 
F^  -   /  /■(,.)  ^^-^^  'h'  =  /•/•(,■)  ./.,■', 


:ar 


d  [X  —  .r^) (hx' 

ds'        ""~"7Z7" 


Sous  cette  l'orme  il  est  aisé  de  voir  ([u'on  a  : 


y.i 


di^        dG        dU 

4--^—  -h-7-==0. 


d.v  dij  d.z 


lîn  effet 


dF_ 

dx 


m_,,,^_ 


d. 


dx'.. 


car 


POTENTIEL  ÉLECTRODYNAMiqUE  D'UN  SOLÉNOIDE  241 

dr  dr 

dx  dx'  * 


Donc, 


d¥       dC       dll  _ 

dx        dy         dz  J     Kdx'^"^^    ^  dy 


C.  Q.  F.  D. 


Les  quantités  F,  G,  H  définies  plus  haut  sont  ce  que  Maxwe 
appelle  les  composantes  du  potentiel  vecteur  du  a  un  courant  d'in- 
tensité I  parcourant  le  circuit  C^  Pour  avoir  le  potentiel  vecteur 
dû  à  un  courant  d'intensité  i  parcourant  le  même  circuit,  il  fau- 
drait multiplier  par  ?*  les  intégrales  (8). 

245.  —  Proposons-nous  maintenant  de  calculer  le  potentiel 
clectrodynamique  d'un  solénoïde  par  rapport  au  courant  C^  et 
d'exprimer  que  ce  potentiel  est  nul  quand  le  solénoïde  est  fermé. 

Nous  avons  trouvé, 


T  =f[¥dx  +  Gdy  +  \ld£), 


P\  G,  H  étant  les  composantes  du  potentiel  vecteur  dû  a  G'  et 
l'intégrale  étant  prise  le  long  de  C. 

Nous  allons  transformer  cette  intégrale  de  li^j^ne  en  une  inté- 
grale  étendue  à  l'aire  d'une  surface  passant  par  le  contour  C  et 
limitée  à  ce  contour.  Appliquons  pour  cela  le  théorème  de 
Stokes.  Ge  théorème  nous  donne 


m 


lid.z)=  j[. 

dV        dll\       JdQ        '^^]']j 
dz         dx  )  \  dx  dij  I  J 


De 


Poing  ARE.  Électricité  et  Optique.  iG 


vf « 


a42  FORMULE  D'AMPERE 

diù  étant  un  élément  de  Taire  considérée,  et  l^  772,  n  les  cosinus 
directeurs  de  la  normale  à  cet  élément. 

Rappelons  brièvement  la  définition  d'un  solénoïde.  Un  solé- 
noïde  ^est  un  ensemble  d'une  infinité  de  courants  infiniment 
petits  construits  de  la  manière  suivante  : 

Soit  un  arc  de  courbe  quelconque  que  l'on  appelle  l'axe  du 
solénoïde.  Partageons  cet  arc  de  courbe  en  une  infinité  d'éléments 
d^  tous  égaux  entre  eux. 

A  chacun  de  ces  éléments  correspondra  un  courant  élémentaire 
^■^fini  comme  il  suit  : 

T, 'intensité  de  ce  courant  sera  i ; 

courant  parcourra  un  circuit  infiniment  petit  dont  le  plan 
mal  à  r élément  cfcr  ; 
circuit  limitera  une   aire   plane  infiniment  petite  égale 

t 

4°  Le  centre  de  gravité  de  cette  aire  coïncidera  avec  le  milieu 
de  da  ; 

5^  Les  valeurs  de  i  et  de  rZco  seront  les  mômes  pour  tous  les 
courants  élémentaires. 

L'ensemble  de  ces  courants  élémentaires  constituera  le  solé- 
noïde. 

Nous  sommes  convenus  plus  haut  de  supposer  provisoire- 
ment î=  ï  pour  abréger  un  peu  les  écritures. 

Soient  donc  un  solénoïde  et  un  élément  d'arc  d'y  pris  sur  son 
axe  et  dont  les  cosinus  directeurs  sont  /,  ni,  11.  Dans  le  plan 
normal  à  l'axe  mené  par  l'élément  di,  circule  un  courant  qui 
embrasse  une  aire  infiniment  petite  Joj.  Le  potentiel  T  du  à  l'ac- 
tion de  ce  courant  se  calcule  aisément.  L'intégrale  (10)  se  réduit 
en  effet  à  un  seul  élément  qui  peut  s'écrire, 

^        jT,(d\l        dG\   ^        fd?        d\l\  /dG         dV\l 

(/c.)  r      fclR       dG\    ,    ,    fdF       dll\  ,    ,  /dG      dF 

en  remarquant  que 

dx  ==  Id^y  dy  =  md<jy  dz  =  nd^. 


ACTION  DE  DEUX  ÉLÉMENTS  DE  COURANT  24! 

Comme  diù  et  dé  sont  des  constantes,  quand  on  passe  d'un 
élément  du  solénoïde  à  un  autre,  il  faut,  pour  avoir  le  potentiel 
du  au  solénoïde  total,  intégrer  par  rapporta  dx^  dy,  <^g  le  long 
de  Taxe.  On  obtient  ainsi, 

^^-^j  r'Kdi-~d7n^y\-dF-^ 

'dG        dF 


-hdz 


] 


.  dx  dy 

246.  —  L'action  d'un  solénoïde  fermé  est  nulle  ;  donc  la  quan 
tité  sous  le  signe  l  est  une  différentielle  exacte,  ce  qui  s'écrit  : 

d   fd¥        dl\\         d  fdG         d¥ 


d.z  \  dz         d.v  /         dy  \  dx  dy 

d'F 


ou  encore  en  ajoutant  et  en. retranchant- 


d 


iV 


AF  — —  f— -4-—  —\  — 
d.v  \  dx         dtj  dz  I 

0)',  d'aprt's  l'équiition  (9) 

dx'^  dij   +  dx.  ""°' 


Ahus  (244) 


A  F 


AF=-[V(.).Ar'. 


11  fauL  t!.>nc  que  A/ (/•)  soit  une  conslaiitc,  pour  que  Tintégralc? 
précédente,  prise  le  Joug  d'un  circuit  fermé  quelconque,  soit 
nulle.  En  ellet  cette  intégrale  ne  peut  être  nulle  que  si  A/'(/')  est 
fonction  de  x'  seulement.  Mais  A/  ('")  est  une  fonction  de  /•  seule- 
ment. I^ulle  ne  peut  donc  être  fonction  de  x^  qu'en  se  réduisant  \\ 
une  constante.  Ecrivons  donc  : 

A/(r)  =  /i. 
On  tire  de  là  : 


»44  FORMULE  D'AMPERE 

La  fonction /*  (r)  devant  s'annuler  à  Finfini,  h  et  k  sont  néces- 
sairement nuls,  et  il  vient, 

V expérience  montre  que  k'  =  i  en  valeur  absolue  ;  il  faut  donc 
ici  faire  intervenir  Texpérience. 

Nous  avons  pu,  en  effet,  par  une  convention  arbitraire,  choisir 
l'unité  de  magnétisme,  puis  celle  d'intensité  de  façon  que  le 
coefficient  qui  entre  dans  Texpression  de  l'action  mutuelle  de 
deux  aimants  soit  égal  à  i ,  de  même  que  celui  qui  entre  dans 
l'expression  de  l'action  d'un  courant  sur  un  aimant.  Il  n'en  est 
plus  de  même  ici  ;  nous  ne  disposons  plus  du  choix  de  l'unité 
que  les  conventions  précédentes  ont  jGxée  définitivement;  c'est 
donc  l'expérience  seule  qui  peut  nous  faire  savoir  que  le  coeffi- 
cient k'  est  bien  égal  à  i . 

De  plus,  nous  devons  prendre  le  signe  +  ;   nous  avons  donc 

c'est  encore  l'expérience  qui  l'indique,  les  conventions  de  signe 
étant  celles  qui  ont  été  faites  plus  haut.  Jusqu'ici  nous  n'avions 
considéré,  en  effet,  que  des  expériences  dans  lesquelles  on  avait 
une  action  nulle  ;  une  nouvelle  expérience  pouvait  donc  seule 
décider  si,  entre  deux  éléments  parallèles  et  de  même  sens, 
s'exerçait  une  attraction  ou  une  répulsion. 
Ainsi  donc, 

/•(.■)=-^=^, 

d'où  : 

Voilà  par  conséquent  la  fonction  U  déterminée.  Cela  va  nous 
permettre  de  mettre  Texpression  de  l'action  de  deux  éléments 
de   courant  sous  une  forme  très  simple. 

Nous  avons, 


dsds 


j  y 


FORCE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  ET  POTE/STÎÏÏ7L  r^IGT^EUIS  H^ 

OU  en  remplaçant  U^  et  U'^  par  leurs  valeurs, 

,^/    d'^V    I      dr    dr  i       i^r 

dsds'        if^  ds    ds'  r     is^ds' 

La  force  attractive  exercée  entre  deux  éléra&  nts    est    do  nc^ 
. ,  ,   ,  i^y    d^U  ii'dsds^  /  dr     dr  i^^' 


dsds^  r^       \  ds    ds'  k(€i^ 

En  tenant  compte  de  la  relation, 


et  des  relations. 


r  ■  ■  =  cos  9  cos  6'  —  c  os£  , 

dsds' 


dr  ^ 

-T-=: COS  tj 

ds 

^^'  Cl/ 

--—  =;COS  b', 


cette  force  attractive  peut  encore  s'écrire, 

,     ,  2u'dsds^  (  3  .        f, 

II)  5 COS£ COS  lie  OS  IJ 


24T.  Relation  entre  la,  force  èlectronxdig^nè-^i^vsLU  tl&s  poten» 
tiel  vecteur.  —  On  a  vu  dans  la  prenûbrc  pai—tie  (Ifll)r  que 
Taction  exercée  par  le  circuit  C\  sur  un  j)ôle  m  ajiL-étiqiie  égal 
à  I  {^)  est  une  force  qui  dérive  d'un  potentiel  et  (lonnt  Ws  com- 
posantes sont, 

_       dÙ 
d,r  ' 

dÙ 
Q  est  le  potentiel  magnétique  dû  à  un  feui  llet    liiinité    an  con- 


(')  On  peut  avoir  un  pôle  magnétique  isolé,  en  con3i<iàaintunn  stl-^iioïcrlunagné- 
tique  de  longueur  infinie  dont  an  seul  p61e  est  à  dista.ncc  Aie    . 


û46 


FORMULE  D'AMPÈRE 


tour  du  circuit  C^  et  de  puissance  égale  à  l'intensité  du  courant. 
Soit  d(ù'  un  élément  de  Taire  limitée  au  contour  CJ,  et  ?,  m',  n\  les 
cosinus  directeurs  de   la  normale  ;  ce  potentiel   a   pour  valeur, 


d- 


dl^  d^ 


dx' 


^'^+-'-^ 


dd 


ico' 


Or  —  est  fonction  de  x  —  x' ,  y  —  y\  .:■  —  z'  ;  par  suite 


d~ 
r 


d- 


d- 


d-- 
r 


d- 


dx   ~         dx'  '  dy         "       dy'  '  dz  dd  ' 

Il  -vient  donc,  pour  la  valeur  du  potentiel  magnétique, 


0  =  _ 


dl^  d^  dl-\ 

dx  dy  dz    J 


Cela  donne  pour  les  composantes  (a,  [î,  y)   de  la  force  magné- 
tique les  valeurs  suivantes, 


d^^ 


à^-L.        d'  -i- 

dx-  axai/  dxdz 


cP±.  d-^±  d-^J._- 

dxdy  dy-  dydz 


d' 


I 


I 


\      •  f         \      dxdz 

Transformons  maintenant 


dydz 


dz' 


F=    /  f{r)dx': 


FORCE  ÉLECTROMAGNÉTIQUE  ET  POTENTIEL  VECTEUR  247 

en  une  intégrale  étendue  à  l'aire    |  ico^  limitée  au  contour  0/ , 
Il  vient, 


Nous  aurons  de  la  môme  manière, 


d-L-        dS- 
dc^'\  l'—L — „'      ' 


rf.5 


d- 


dx 


—  l' 


dij 


,,  ,     ,         dll         dC, 

Calculons  — ; ; —  ;  nous  avons, 

dy  d.z 


dll        dG 

d,j  ~  dz 


dtM  \  m  —r—, i 


+ 


dxdy  dif 


j  '^"A'^i:^ 


d-j 


et,  en  ajonlaivt  ridenlilé  suivante, 


^- 


d'- 


il vient, 


dxcLic  ctx' 


d\\         dG  I     7    7/,    I 

dy  dz  I  r 


*48  FORMULE  D AMPERE 

Or, 


A- 

-=o; 

ne, 

dl\ 

■  dy 

dG 

dz  =  ='• 

Un  calcul  analogue  au  précédent  donne  de  même, 

d¥ 

-  ds    ■■'^' 

dz 

dG 

dx  ■ 

d¥ 

dy  -^- 

Or  on  a,  d'une  manière  générale,  entre  la  force  et  Tinduction 
magnétique  les  relations  suivantes, 

(12)  b  =  {i  +  47zB, 

[    6'=y+47rC. 

Si  le  milieu  n'est  pas  magnétique,  A  =  B  =  C  =  o  el  a^  b,  c 
se  confondent  avec  a,  [j,  y. 

Les  formules  précédentes  peuvent  donc  s'écrire  dans  ce  cas 


(.3) 


248.  — Ces  formules  sont  démontrées  pour  un  milieu  non  ma- 
gnétique;   on    a    toujours    supposé,   dans  les  calculs,  que  —   et 

ses  dérivées  restaient  finies,  ce  qui  suppose  que  le  point  où  est 
placé  le  pôle-unité  est  extérieur  aux  masses  attirantes  ;  il  n'y 
avait  ici  de  masses  attirantes  que  le  feuillet  C 

Nous  verrons  plus  loin  (216,  271)  que  les  formules  (i3)  sont 
encore    vraies    dans  un   milieu    magnétique  ;    on   n'a   plus   alors 


du 

dG 

a 

dy   - 

dz 

b^ 

dF 

dW 

dz 

dx 

dG 

dV 

C  =z 

d.v 

di, 

a 


POTENTIEL  ÉLECTRODYNAMiqUE  DE  DEUX  CIRCUITS  2  4^ 

=  —j—  =  —7^,  formule    équivalente    à    la  première   des    for- 

l^es  (ï3)  dans  un  milieu  non  magnétique.  Maxwell  admet  sans 
lonstration   que   ce   sont  les  formules    (i3)   qui  conviennent 
ls    le    cas    d'un    milieu   magnétique;   ou    plutôt,  il  définit,   \\ 
pos    du    magnétisme,  les   quantités    F,  G,  H,  par   les  équa- 
is    (i3),   et  les  appelle  les   composantes  du  potentiel  çeclc" 
l  induction   magnétique  (^)  ;    deux   cents    pages  plus  ^'^^'^ 
."odait  les  quantités  F,  G,  H,  en  électromagnétisme 
is    les    avons   introduites  précédemment,    et   il    d*' 
étions  F,  G,  H,  ne  sont  autre  chose  que  les  com 
entiel  vecteur,  qu'on  a  déjà  rencontré.  »  Enfin,  uu  ^ 
1,   il    dit  :   <(   Nous  aç>07is  démontré  que  les  composante» 
duction  sont  liées  par  les  relations  (i3)  aux  composantes  du 
entiel  vecteur,   »  Nous  donnerons  plus  loin    cette    démons- 
tion  que  Maxwell  ?ia  pas  donnée  (275,  276). 
Vppliquons    maintenant  les    relations    (i3)    que   nous  venons 
btenir,  pour  transformer  l'expression  (10)   du  potentiel   élec 
dynamique.  Nous  avions, 


^=/['(f-f 


m 


JF        dli 


dz  dx 

I  dCr  dF  \  1 

-'i-d7-7i)r 


te  expression  peut  s'écrire  maintenant 

'Y  z=  l  (la  -{-  m  h  +  /ic)  do) . 

249.  JPotentiel  électro dynamique  d'un  système  voltaïque 
astitué  par  deux  circuits.  —  Le  potentiel  mutuel  de  deux 
cuits  peut  recevoir  une  expression  très  simple.  Nous  avons 
»uvé 

T^j\Fd,v  +  Gdjj  +  Hd.z), 


F:=f  fir)d. 


./ 


)  Maxwell,   Traite  cV électricité  et   Je   magnétisme^  ti'adacLion    française,    t.  H, 
)5,  p.   3ià,  §  589-59?.,  p.  266-'>.G9,  et  §  61G,  p.  290. 


or  (n°  246), 


donc. 


FORMULE  D'AMPERE 


A-O-T 


F=    - 
'  c/ 

L'expression  j)récédente  peut  alors  s'écrire 

Il     dxdx'  -\-di/dy^  -\--dzdz'  /        /     dsds' cas  t 

Si  les  intensités  qui  étaient  jusqu'ici  prises  égales  à  i,  étaient 
quelconques,  on  aurait  : 


T  =  zr 


dsds'cos  £ 


et,  en  posant, 

M: 


dscls^  cos  c 


il  vient  finalement 

(i4)  T  =  zVM. 

M  est  ce  qu'on   appelle  le  coefficient  d'Induction  nuitndle  des 
circuits  C  et  C^ 

250.  —  Soit  maintenant 

dsds'  cos  s 


L  = 


le  coefficient  d'induction  mutuelle  du  circuit  C  et  d'un  autre  qui 
coïnciderait  avec  C.  L  est  ce  qu'on  appelle  le  coefficient  de  self- 
induction  du  circuit  C. 


B,_i^ 


TRAVAIL  DU  AUX  ACTIONS  ÉLECTRODYNAMIQUES  25' i 

Les  divers  éléments  du  circuit  C  exercent  évidemment  Tun  sur 
Fautre  une  certaine  action;  si  le  circuit  se  déforme,  cette  action 
produira  un  certain  travail  oT.  Proposons-nous  d'évaluer  ce  travail. 

Nous  avons  vu  plus  haut  c{uel  est  le  travail  du  à  l'action  d'an 
courant  sur  un  autre  courant.  Quand  on  veut  en  déduire  l'ex- 
pression du  travail  dû  à  l'action  d'un  cou- 
rant sur  lui-même^  on  rencontre  une  petite 
difficulté  que  nous  tournerons  par  l'artifice 
suivant  : 

Supposons    deux   courants    différents    C 
et  C  d'intensités  i  et  i'  parcourant  un  même 
circuit    C.    Nous   pouvons   appliquer  à  ces 
deux  cour'ants  differenU  la  formule  (i4)  et,  si  nous  appelons  oT^ 
le  travail  dû  à  leur  action  mutuelle  nous  pouvons  écrire  : 

oTj  =  oLu^ 

Il  nous  reste  a  comparer  oT  à  ST^. 

Soient  di  un  élément  du  courant  C  d'intensité  i;  d^'^  l'élément 
du  courant  C  d'intensité  i'  qui  coïncide  avec  di  ;  soient  d^^  un 
autre  élément  de  C,  et  rfo-^^  celui  des  éléments  de  QJ  qui  coïncide 
avec  <^cr^ 

Si  [JL  est  le  travail  de  l'action  de  di  sur  rfc^. 


SI  tr 
si  À 


de  d^'  sur  f/o-^ 
de  di  sur  r/o- 


et  si  oTj  est  le  travail  élémentaire  total  de  Taction  du  courant  (^ 
sur  le  courant  C^  et  oT  le  travail  de  l'action  de  C  sur  lui- 
même,  on  a  : 


Or 


n'=/x. 


À 


et 


FORMULE  D'AMPÈRE 

.a  travail  oT^  |clevlent  alnsî, 


BT^=/.^X  =  .4ST, 


3T=—  8(U2). 

potentiel    électroclynamiqiie    total    du   système    voltaïque 
'  deux  circuits  C  et  C,  par  rapport  à  lui-même,  a  donc 
ssion  : 


i^  +  M»'+i^ 


-.  coefficient  de  self-induction  de  C 
j  cravail  dû  aux  actions  électrodynamiques  est  : 

^-5L4-a^V5M+/^"5N 

2 

Il  se  compose  en  effet, 

1°  Du  travail  de  Taction  de  C  sur  lui-même,  égal  à, 

r    . 
—  oL  : 

2 

2^  Du  travail  de  l'action  de  C  sur  G ,  égal  à, 

3^^'  Du  travail  de  raction  de  Q!  sur  lui-même,  égal  ii, 

—  3N. 


CHAPITRE    II 

THÉORIE    DE    L'INDUCTION 


251.  —  L'opinion  reçue  est  qu'une  fois  connues  les  lois  dt 
l'électrodynamique,  l'application  du  principe  de  la  conservation 
de  l'énergie  suffit  a  trouver  les  lois  de  l'induction.  M.  Bertrand 
a  cherché  à  réfuter  cette  opinion  (^).  Je  vais  discuter  ses  objec- 
tions en  détail,  mais  on  verra  que  la  plus  grande  partie  du 
champ  de  bataille  restera  à  M.  Bertrand. 

On  a  deux  courants  en  présence.  Chacun  est  alimenté  par  une 
pile  ;  les  conducteurs  s'échauffent.  S'ils  sont  mobiles  et  se 
rapprochent,  il  se  produit  un  travail  mécanique,  ce  travail  a  dû 
être  emprunté  à  quelque  chose  :  il  faut  clone  admettre  qu'un 
phénomène  ignoré  jusqu'ici  introduit  dans  les  équations  un 
terme  nouveau.  La  loi  dÇl  =  Ri^dt  est-elle  encore  applicable  ? 
Pourquoi,  dit  M.  Bertrand,  de  môme  que  la  vapeur  qui  travaille 
refroidit  le  vase  qui  la  contient,  l'électricité  n'aurait-elle  pas  un 
effet  analogue  ?  On  pourrait  concevoir  que  les  conducteurs 
s'échauffent  moins  quand  le  courant  travaille  et  ne  serait  ce 
pas  aussi  vraisemblable  que  de  supposer  que  les  intensités 
varient  ? 

On  peut  répondre  :  non,  cette  hypothèse  ne  serait  pas  a  priori 
aussi  i>raisemblable  que  celle  qui  est  confirmée  par  l'expérience. 
Supposons  que  la  loi  de  Joiile  ne  s'applique  plus  ;  les  conduc- 
teurs s'échauffent  moins;  on  a  cZQ  =  R^"^/  —  HA,  II  étant  une 
quantité  positive  dépendant  de  la  vitesse  des  conducteurs.  On 
pourra  rendre  II  très  grand,  en  donnant  à  la  vitesse  une  valeur 
très  grande,  et  il  pourra  arriver  que  </Q  soit  négatif.  On  em- 
prunterait  donc   de  la  chaleur  au   circuit  qui  se  refroidirait  et 


(')  Théorie  mathématique  de  V électricité ,  ch.  xi,  p.  208. 


2  54  THEORIE  DE  ViSDUCTIOy 

Ton  pourrait  la  transformer  en  travail  mécanique  susceptible 
d'être  transformé  a  son  tour,  par  frottement,  en  chaleur  à  tem- 
pérature aussi  élevée  qu'on  voudrait  ;  ce  serait  contraire  au 
principe  de  Clausius. 

Une  autre  conjecture  est  possible  :  la  loi  de  Joule  s'appli- 
querait, mais  la  pile  consommerait  davantage  pour  donner  le 
même  courant.  En  d'autres  termes  la  loi  de  Faraday  ne  s'appli- 
querait pas  aux  courants  qui  produisent  un  travail  mécanique,  — 
Cette  hypothèse  est  fort  invraisemblable  ;  si  j'ai  une  pile  à  Paris 
et  que  je  la  relie  par  des  fils  à  une  machine  située  à  Creil,  il 
serait  étrange  que,  l'intensité  restant  toujours  la  même,  la  loi  de 
Faraday  cessât  de  s'appliquer  à  Paris  quand  le  courant  travaille 
à  Creil. 

Malgré  rinvraisemblance  de  ces  deux  hypothèses,  on  a  peut- 
être  eu  tort  d'en  regarder  la  fausseté  comme  évidente,  mais 
j'appellerai  plus  particulièremejit  l'attention  sur  deux  autres 
objections  de  M.  Bertrand  qui  me  semblent  l)eaucoup  plus 
graves.  Il  no  s'agit  plus  en  effet  d'hypothèses  que  l'expérience 
démontre  fausses  et  qu'on  n'aurait  pas  du  pourtant  rejeter  a 
priori^  mais  de  circonstances  réelles  dont  on  a  souvent  oublié 
de  tenir  compte  en  s'exposant  ainsi  à  des  erreurs. 

En  premier  lieu,  lorsque  deux:  couraiils  s'attirent,  Ils  de- 
viennent solidaires,  et  l'on  n'a  pas  le  droil,  (pioicpi'on  le  lasse 
constamment,  d'appliquer  le  principe  de  la  conservation  de 
l'énergie  a  l'un  d'entre  eux  seulement  :  il  faut  considérei'  le 
système  des  deux  courants. 

Ce  n'est  pas  tout  :  i'éther  a  une  force  vive  varial)b:  dont  il 
faut  tenir  compte  dans  les  calculs,  comme  de  la  force  vive  de 
l'air  que  met  en  mouvement  un  moulin  à  vent,  ici  il  y  a  deux 
manières  de  présenter  l'objecLion  :  on  peut  sup])oser  qu'un 
courant  permanent  rayonne  de  la  force  vive  comme  une  lampe 
constante  rayonne  de  la  lumière  ;  on  peut  supposer  au  contraire 
que  la  iorce  vive  de  I'éther  reste  constante  dès  (pic  Tétat  de 
régime  est  atteint  et  qu'il  n'y  en  a  point  d'empruntée  au  cou- 
rant :  c'est  seulement  pendant  la  période  variable  que  la 
force  vive  de  I'éther  varie;  quand  le  courant  croît,  I'éther 
absorbe  de  la  force  vive  qu'il  restitue  au  moment  où  le  courant 
décroît. 


COEFFICIE.\TS  D  IN  DICTION  2  5  5 

La  première  hypothèse,  celle  du  rayonnement  indéfini,  est 
contredite  par  Texpérience,  puisque  avec  un  courant  permanent 
la  chaleur  produite  dans  les  conducteurs  est  l'équivalent  de 
Ténergie  voltaïque  de  la  pile.  Il  est  vrai  de  dire  que  Yexpé- 
rience  seule  nous  Ta  appris. 

Quant  à  la  seconde  hypothèse,  non  seulement  elle  n*est  pas  \\ 
rejeter,  mais  il  y  a  certainement  à  tenir  compte  de  la  fc 
communiquée  à  l'éther,  sous  peine  de  ne  pas  tenir  con 
faits.  En  la  négligeant  on  s'expose  à  l'erreur. 

On    pourrait  varier  les   objections    à    l'infini,   et    l'oj 
conduit  à  des  conjectures   plus  ou  moins  invraisemblab.. 
faudrait  rejeter  l'une  après  l'autre.  C'est  en  quoi  M.  Bertrauv 
raison  de  dire   que   V expérience  seule  pouvait  montrer  que   les 
lois  de  Joule,  de  Faraday   et    de   Ohm    sont   encore  applicables 
aux  courants  qui  travaillent. 


/c" 


Fin 


252.  —  Nous  allons  prendre  comme  point  de  départ  ce  fait 
expérimental  ;  et,  de  plus,  nous  admettrons  que  l'éther  a  une 
énergie  éleclrocinétique  constante 
quand  le  courant  est  constant,  mais 
variable  avec  l'intensité  du  cou- 
rant. Mais  nous  devons  emprunter 
plus  encore  à  l'expérience. 

Soient  deux  circuits  fermés  C 
et  C,  parcourus  par  des  courants  / 
trt  i' ^  l'expérience  montre  que 
quand  i  varie,  il  en  résulte  dans  C 

une   force  électromotrice  A.  — 7- ,  A  étant  un  coefficient  cV indue- 

lit 

lion  de  C^  sur  C,  coetficient  indépendant  des  intensités.  Si  (7  se 
déplace  et  est  parcouru  par  un  courant  constant  i' ^  si  au  bout  du 
temps  cll^  C  prend  une  position  infiniment  voisine  QI\  le  dépla- 
cement du  circuit  de  G  en  C'^  pendant  le  temps  dt  produit  une 

c  ,^  .        ./    <^B      <:/B    ,  .  .,,   . 

(orce    electromotrice   i   -— — ,  —r-  étant   aussi  un   coeincient  ne 

di  '     dt 

dépendant  que  des  conditions  géométriques  des  deux  circuits. 

Ici  se   présente   une   hypothèse   toute   naturelle,    il   est   vrai, 

mais  qui  a  besoin  d'être   confirmée   par   l'expérience;    soient  A 


f'^MfJ^ 


i^G  THEORIE   DE   L'INDUCTION 

le  coefficient  d'induction  de  C  sur  C;  A -]- 6/A,  celui  de  C" 
sur  C. 

Supposons  qu'à  l'époque  /,  nous  ayons  en  C^  un  courant  di' 
et  en  C^  un  courant  0.  Le  courant  di'  se  déplace  en  conservant 
son  intensité  et  vient  en  C^'  au  temps  t  -^' dt  :  on  a  alors  un 
courant  0  en  C,  et  un  courant  di^  en  C\ 

On  peut  imaginer  qu'on  est  passé  du  même  état  initial  au 
même  état  final  par  une  autre  modification  en  faisant  varier  les 
intensités  :  Tintensité  en  C^  primitivement  égale  à  di^  a  décru 
jusqu'à  s'annuler  et  pendant  ce  temps  l'intensité  en  C^^  primi- 
tivement nulle  est  devenue  dù\  Les  circuits  C^  et  C^^sont  d'ailleurs 
demeurés  fixes.  Il  est  naturel  de  supposer  que  l'efFet  produit 
sur  C  est  le  même  clans  les  deux  cas. 

Dans  le  premier    cas,   la   force    électromotrice    née  en   A    est 

d'é  —--  ;  dans  le  second,  elle  est  la  difTérence   entre  —  A  —7-,  et 

dt   '  '  dt  ' 

/.     .     ,,v   di^       ,        ,    ,.       dk.di'      , 

(A  +  «A    —r- ,  c  est-a-dire ; ;  donc, 

^  ^   di  ■  dt      ' 

dk=^dB, 

Si  le  courant  se  déplace  et  varie  eu  jiiôme  temps,  les  deux 
forces  électromotrices  ont  pour  somme  : 

dl'     .    ,    dk         d{kl'] 


It  dt  dt 


Nous  admettrons  cette  équation,  cousé(|iieuce  de  l'égalilé 
^/A  =  dB^  comme  un  fait  expéri/nentaL 

253.  —  L'application  du  principe  de  la  conservation  de 
l'énergie  va  nous  permettre  de  déterminer  les  coefficients  d'iu- 
duction  définis  comme  précédemment. 

Soient  A  le  coefficient  d'induction  de  C  par  rapport  à  lui-même 
»      B  »  C  »  C 

))     B'  »  a         »         c 

w       D  ):>  c/  »j  lui-même 


COKSEMVATION  DE  LÉXERGIK  25; 

La  loi  de  Ohm,  appliquée  aux  deux  circuits,  donne  : 

dt  di 

EcTiv-on*s  épe  TéHei^gie  se  conserve.  L'éniergie  voifcirïcpTe  dé- 
pem^sée  dasm^s  le  ife-mps  et  est 

Elle  se  retrouve  sous  trois  formes  : 
1°  Chaleur  de  Joule  ; 
^°  Travail  électrodynamique  ; 

3*^  Accroissement  d'énergie  électrocînétique  de  l'éther. 
Si  cette  énergie  de   Féther  est  représentée  par  U,  Téquation 
s'écrit  : 

(a)  Mi  +  Wi')  di  =  WihU  +  Wi^'dt 

-+.  _!.  [ihiL-i-oAi'dM-+-rum)-+~dXi. 

Je  ne  connais  rien  sur  la  l'onction  U  ;  j'écris  seulement  que 
d\}  est  une  difïerentielle  exacte.  Remplaçons  dans  l'expression 
de  d\\,  E  —  Rf  par  sa  valeur  tirée  de   (i)    : 

.,  3)  ^/U  =  Id  (kl)  +  id  {Bq  +  l'd  (B'^j  +  î^d  (Dr') 

^JL(Pdh  +  2u'dM  +  /'VN). 

Supposons  que  les  intensités  varient  seules.  Le  dernier  terme 
disparaît  et  dU  se  réduit  à  : 

d\]  =Aùli-+-Bidl' -+-B'î'dl-+-Di'dt  -, 

du  étant  difïerentielle  exacte,  il  faut  qme 

d'où 

B==B'; 

PoiNCARÉ.  Électricité  et  Optique.  i; 


THÉORIE   DK   INDUCTION 


dH  =  kidi  +  M  [li')  -4-  D/W, 


nt 


U==-Al  +  BÙ-'4-i^ 


-const. 


ite  ne  dépendant  pas   des  intensités.  Comme  U  est  nul 
L    n'y  a  pas  de   courant,  quand  i=zi'=o^  la  constante 

le. 
^    '^^.la,  quand  les  intensités  sont   constantes   et  que   les 
•e  déplacent,  dV  se  réduit  à  : 

^U  =  J^{i^dA  +  2ii'dB  +  i''dD), 

non  qui  doit  être  identique  à  la  valeur  du  second  membre 
^>j,  quand  on  fait  di  =  di^  =  0,  c'est-à-dire  à  : 

f-^A  -l-2/WB+i^'JD ^  {ihlL  -h  2ii^dM  +  «''^N). 

En  identifiant,  il  vient, 

—  dA  =^  rfA dL, 


dB  =  '2dB  —  dm 

-  dD  =  dD ~  </N 

dK=^dL, 


ou  encore, 
d'où 


car   A  et  h  s'annulent  quand   les  conducteurs    sont   à   une    dis- 
tance infinie  et  de  môme 

B  =  M 


et 


T  =  U. 


LOI  DE  OHM  259 

Le  potentiel  èlectroàijnamique  représente  donc  V énergie  électro- 
cinétique  de  VétheiK 

On  peut  écrire,  d'après  cela,  la  loi  de  Ohm  : 

^.         d(Li-+-lsli')  d 


_  — 

dt  dt'     di 


E'_R'2/=4-.    ^^ 


di  '    di' 

Cette  forme  rappelle  celle  des  équations  de  Lagrange. 

Maxwell  a  montré,  —  et  c'est  là  une  des  parties  les  plus  origi- 
nales de  son  œuvre  — ,  que  les  lois  des  actions  électrodyna- 
miques et  de  l'induction  peuvent  être  mises  sous  la  forme  des 
équations  de  Lagrange  ;  les  forces  électromotrices  d'induction 
seraient  ainsi  des  forces  d'inertie  (^). 


(')  Voir  la  première  partie,  n»  i5i,  p.  i35  et  suivre. 


wm 


t: 


CHAPITRE  m 
THÉORIE   DE    WEBER  (^ 


254.  Explication  des  attractions  èlectrodynamiques.  — 
Weber  a  voulu  rendre  compte  des  attractions  électrodynamiquesj 
en  considérant  les  courants  comme  produits  par  des  masses 
électriques  se  déplaçant  dans  les  conducteurs,  et  supposant 
qu'entre  deux  masses  électriques  s'exerce  une  action  qui  dépend 
de  leur  mouvement  et  qui  se  réduit  à  Faction  déterminée  par  la 
loi  de  Coulomb  quand  elles  sont  au  repos. 

Soient  deux  masses  e  et  e\  au  repos  :   la  l'orce  répulsive  qui 

s'exerce  entre  elles  est  égale  ix~\ 5-,  en  unilés  êlcclroslatlques, 

Weber   admet  que    si    elles    sont    en    mouvcnuMit,    la    répulsion 
devient  : 

À  et  B  étant  fonctions  de  ;•  seul. 

Il  s'agit  de  déterminer  A  et  B  de  manière  \\  retrouver  la 
Ibrmule  d Ampère,  en  vertu  de  laquelle  la  rcpiiislon  entre  deux 
cléments  de  courant  est,  en  iinllès  cleclrom(ii^néli(nics  : 

,   .  il'dsds'  (        d'r  dr      dr 

_    Les  quantités  d'électricité  e  et  e'  sont  supposées  parcourir  les 


(')  Eîectrodynaînisclie  Maassbesiininiun^en,  p.   .'îo,"). 


I 


ArTRACriONS  ÉLECTRODYNAdMIQUES  a^iï 

deux  circuits  avec  des  vitesses   constantes  9  et  9' ,   La  distance  r 
est  fonction  de  s  et  de  s'  et  on  a  : 

ds  j        ds' 

^'~'dt'         ^  ^IT' 

dr         dr  dr     , 

d^r         i^r     ,  d-r  d^r      .^ 


2 


(^/'  \  ^   0    ,        ^''     dr  (dry    ,^ 


La  répulsion  électrodynamique  [le  second  terme   de  l'expres- 
sion fi)l  devient  ainsi  : 

t 

Xee'9^  -f-  2[j.e(?^rr^  +  v^r/p^-, 
en  posant,  pour  abréger  : 

dn-  ^,  dr     dr 


jj,3=:A  -;-^4-B 


./  "*' 


dnds'  ds     ds 

,     d^'r         -.  /  dr  \  - 

Supposons  que  ds  conlienne  e  trélcctrieilé  positive,  e^  d'élec- 
U'icilé  négative  (^c\  est  un  noml)re  osseirtiellement  négalil";  quand 
le  coi'ps  est  à  TéLat  neutre  e  -\-  c^  ^^=0).  La  vitesse^  de  e  est  r,  de  e^ 
est  Tj.  Dans  ds'  on  a  de  mémo  une  ([uantité  c'  d'électricité  posi- 
tive et  une  (prantltér^j  d'éleetrieilé  n('^gative  animées  rc^spectlve- 
meiit  de  vitesses  9'  et  9\. 

La  répulsion  totale  de  ds  sur  ds'  s'obtient  en  composant  les 
répulsions  des  (puuiitités  e  et  l\  d'électricité  contenues  dans  ds 
sur  les  quantités  e',  et  e\^  conteuMcs  dans  ds' . 

11  vient  donc  : 

R  =  A  \  ce'9--\-'2^j.  \  ee'99'  +  V  \  ee^>  " , 


2  62  THÉORIE  DE    WEBER 

en  posant  : 

De  même 

yee'ç^'  =  \eç  +  ^,(>J  [é^'  +  ^^^i) , 


VeeV^-: 


Le  débit  électrique  du  premier  circuit  est  : 


e         ei> 


pour  l'électricité  positive  ; 

Il  est  égal  h-j~^  pour  l'électricité  négative.   Le  débit  total  est 

donc  j — i— '  ; 

as 

D'autre   part    l'intensité    /   est    par    définition    le    débit  total 

exprimé  en  unités  électromagnétiques.    Le    débit  total    exprimé 

en  unités    électrostatiques    est   donc  ci\   c   étant    le    rapport  des 

unités,  de  sorte  qu'on  a  : 

L — L^  =  Cl. 

as 
Donc  : 

\  ^a'ç^,'  ,:^  c'-ii'dsds' . 

J^a  répulsion  électrodynaniique  est  nulle  entre  un  conducteur 
chargé  d'électricité,  mais  où  ne  passe  pas  de  courant,  et  un 
autre  parcouru  par  un  courant  sans  (Hre  charge. 

R  doit  être  nul  si  le  conducteur  C  n'est  pas  chargé  mais  est 
parcouru  par  un  courant,  c'est-à-dire  si  e-\-e^==-o,  et  si  le  con- 
ducteur C   est  chargé   mais  n'est  parcouru  par  aucun  courant, 


ATTRACTIONS  ÉLECTRODYXAMIQUES  2  63 

Mais  si  ^^^=2/^  =  0  les  deux  derniers  termes  de  R  s'annulent; 
le  premier  terme  doit  donc  s'annuler  également  ;  donc  on  a  : 

X(e^+e;)(erï+c^,ri)  =  o. 

À  n'est  pas  nul   en  général  ;  e  -j-  e\^o  si  le  conducteur  C  est 
chargé  ainsi  c£ue  nous  l'avons  supposé. 
Donc  on  a  : 

er^  H- ^1^1  =  0, 

et  de  même  : 

eV-  ~]-e[i>'^'=z  G. 

Voilà  des  conditions  bien  étranges  et  bien  artificielles.  En 
outre  elles  obligent  d'admettre  l'existence  réelle  des  deux 
fluides.  Il  y  a  plus  :  Rowland  a  réalisé  des  actions  électrodyna- 
miques avec  un  disque  chargé  d'électricité  et  animé  d'un  mou- 
vement rapide  (voir  plus  loin,  p.  iiSa)  ;  alors 

{}=  r^,       d'où  ev'-{-e^i>l  ==(eH-eJ  (-»-, 

et  ni  (Mii  e+e^  n'est  nul.  Il  esl.  vrai  qu'en  faisant  le  calcul  on 
reconnaît  que  ce  facteur  est  absolument  négligeable  dans  les 
expériences  de  Rowland. 

255.  —  On  peut  présenter  la  théorie  de  Wober  sous  un  jour  plus 
favorable.  Rien  n'est  plus  loin  de  ma  pensée  que  de  la  défendre  ; 
mais  je  veux  montrer  seulement  en  quoi  on  pourrait  la  rendre 
moins  étrange.  On  peut  supposer  cet  e^  séparément  très  grands, 
très  supérieurs  en  valeur  al)solue  à  leur  sonnne  algébrique  e-\-e^  ; 
e  et  c\  seraient  de  l'ordre  de  grandeur  d'une  quantité  très 
grande  N,  e-\-e^  de  l'ordre  de  grandeur  de  Tunité  et,  au  con- 
traire, r  et  ç^  de  l'ordre  de  ~  .  Ceci  pouri'a  paraître  assez   natu- 

rel  d'après  la  vitesse  que  certains  physiciens  attribuent  à  l'élec- 
tricité dans  les  élcctr()lyt(^s,  vitesse  qui,  Ji  les  en  croire  ne  dé- 
passerait pas  quelques  millimètres  par  seconde;  je  ne  veux  dis- 
cuter ici  en  aucune  façon  leurs  conclusions.  Il  n'est  pas  nécessaire 
d'ailleurs  que  c  et  p^  soient  si  petits  pour  pouvoir  être  regardés 
comme  très  petits.  11  sullit  en  effet  que  p  soit  petit  par  rapport 
à  6',  qui  est  égal  à  la  vitesse  de  la  lumière. 


264  THÉORÎE  BE   WEBER 

ep~\-e^ç^   sera   de    l'ordre   de   grandeur  de   i;  e<^- -\^  e^^'^^,    de 

Tordre  de—  .  Le  produit  (ev-~\-e^ç>^^  (^^+^'i)  sera  dès  lors  très 

petit,  de  Tordre  de  ^  ;    et   deux  des  termes  de  R,    les  termes 

en  \  et  en  v  sont  complètement  négligeables  en  présence  du 
terme  en  \k.  On  n'a  plus  alors  les  mêmes  difllcultés,  et  Ton  rend 
compte  des  expériences  de  Rowland. 

256.  —  On  trouve    en  somme,    en  ne    tenant  compte  que  du 
terme  en  fji  et  remplaçant 


y  eeVf'^ 


par  sa  valeui', 


R  =  ^.c'iidsds' (  A  --j—r-j  +  B  —, — 

as  as'  ds    ds 


'  1  ' 


en  identifiant  avec  (sj,  il  vient, 

A  =  -^  ,        B  : 


donc  Texpression  de  la  répulslou   électrodynamiqne   entre  deux 
masses  en  mouvement  est  : 


ec  r  I     d~r  \     /  dr  \  '  | 


257.  — Une  question  se  pose  :  Tliypotlièse   de  Weber  est-elle 
conforme  au  principe  de  la  conservation  de  Téiiergie  ? 
Le  travail  de  la  répulsion  élrclrodynaninpie  est    : 


ee'  r  dr    d-r         dr  f  <^f'Y  l 
7^1     /•    lIF~lj^\dr)   J* 


et  doit  être  égal  à  —  dl  s'il  existe  un  potentiel  et  qu\)n  appelle 
4  ce  potentiel.  Mais  on  a  : 

dr      d-r  i     dr  dr 

r  '  1iF~~~~dT'    '  1û' 


POTENTŒL  ÉLECrRODYNAMiqiJE  ^65 


d'où  : 


ee 

c 


?'  V  i     dr      j     dr         dr  i    /  dr  \  -  j 

li?\dr) 


ed   J    I    /  dr 


Le  potentiel,  total  (obtenu  en  tenant  compte  à  la  fois  de  la 
répulsion  électrostatique  et  de  la  répulsion  électrodynamique) 
de  deux  masses  e  et  e^  est  donc, 

J'  U       2c"  \dl  )  A 

Chei'îchons,   d'après   cela,   le    potentiel    mutuel    de   deux  élé- 
ments de   courant  (en  nous  bornant  ici   au  potentiel  électrod 
namique)  ;  c'est  : 

__i_V„.  (|:) 


Le   premier    et   le    dernier   terme    disparaissant,    il    i 

terme  du  milieu  crui  est  ^crU'dsds'  ~r  •  —rr  ?  ^^  potentiel  éiecti 

^  as      ((s 

dynamique  est  donc, 

—  Li  dscis  —J-  •  —rr  ■ 
as     as 

258.  —  Nous  avons  ià  une  dlderencc  avec  la  lli('*oric'  d'Am- 
père, d'après  laquelle  l'action  réciprocpie  d<'  deux  circulls  fei"- 
més  admet  Ijien  un  potentiel,  mais  non  l'action  réciproque  tie 
deux  (Uémenis,  ni  même  l'acliou  récipro([U(^  d'un  coui'aul  fermé 
et  d'une  portion  de  courant.  Je  dis  ([ue  dans  la  tliéorie  d'Ain- 
pèr(i  un  élément  de  courant  n'a  pas  de  [)()tontie!  par  rapport  à 
un  courant  fermé  ;  eu  ellet,  soit  un  élément  AB  cpii  se  déplace 
sous  l'action  d'un  courant  fermé  et  vient  en  A'IV;  je  puis  choi- 
sir AA',  tel  qu<^  le  travail  edectué  dans  ce  déplacement  ne  soit 
pas  nul.  Je  pourrai  toujours  ramener  l'élément  en  AB  sans  tra- 
vail, si  la  loi  d'Ampère  est  vraie;  en  edet,  je  fais  tourner  A13' 
autour  de  A^^,  jusqu'à  ce  que  sa  direction  coïncide  avec  AA^  Le 
travail  edectué  dans  cette  relation  est  un  infiniment  petit  d'ordre 
supérieur.    Je  fais   ensuite   mouvoir   l'élément    d^ms   sa    propre 


266 


THÉORIE  DE   WEBER 


iii^ 


direction  :  il  vient  en  AB^^  :  aucun  travail,  puisque  Taction  d'un 
courant  fermé  est  normale  à  Télément  ;  une  rotation  autour  de 

A  le  ramène  ensuite  en  AB,  et  en 
n'effectuant  encore  qu'un  travail  infini- 
ment petit  d'ordre  supérieur.  Il  n'existe 
donc  pas  de  potentiel,  puisqu'on  a  pu 
ramener  l'élément  à  sa  position  initiale 
sans  que  le  travail  total  effectué  soit  nul  ; 
ce  travail  total  se  réduit  à  celui  qui  a 
été  effectué  pour  amener  AB  en  A'B^ 
La  contradiction  avec  la  théorie  de 
Weber  n'est  qu'apparente.  On  a  sup- 
posé, dans  cette  théorie,  les  molécules 
électriques  animées  d'un  mouvement 
uniforme  ;  cela  n'est  possible  que  pour 
un  courant  fermé,  non  pour  un  courant 
ouvert.  A  l'extrémité  d'un  courant 
ouvert  en  effet  les  molécules  électriques  s'arrêtent;  leur  accélé- 
ration n'est  donc  pas  nulle.  Les  éléments  voisins  des  extrémités 
n'obéiraient  pas  à  hi  loi  d'Ampère,  parce  qu'il  y  aurait  à  tenir 
compte  de  l'accélération  des  molécules  électriques  qui  y  circu- 
lent, accélération  qui  n'est  plus  nulle.  Il  y  aurait  donc  diver- 
gence entre  les  deux  théories  si  on  avait  \\ 
l'aire,  par  exemple,  à  un  courant  fermé  et  à 
une  portion  de  courant  entièrement  libre. 

Mais  ce  n'est  pas  le  cas  où  Ton  se  place  d'or- 
dinaire quand  on  examine  expérimcMitalement 
l'action  d'un  courant  Cermc  sur  un  élémenl  de 
courant. 

En  effet,  quand  on  étudie  racLion  d'un  con- 
ducteur fermé  sur  un  élément  mobile  AMB,  cet 
élément  mobile  AMB  fait  partie  lui-même  d'un 
courant  fermé  et  ses  extrémités  A  et  B  soni 
mobiles  le  long  de.  conducteurs  fixes.  Il  n'y  a  pas  alors  d'accéh'- 
ration  pour  la  molécule  qui  arrive  en  A  ou  en  A'  ;  et,  dans  ce 
cas,  la  théorie  de  Weber  nous  conduit  à  la  loi  d'Ampère.  On 
trouve  alors,  en  effet,  que  les  forces  qu'indiquent  les  deux  lois 
admettent  toutes  deux  un  potentiel,  et  le  même  potentiel;   seu- 


Fig-.  41. 


INDUCTION  DANS  LÀ   THÉORIE  DE  WEBER 

lement  dans  la  théorie  d'Ampère,  il  n'y  a  un  potentiel  qu'en  v 
des  liaisons   particulières  imposées  au  système.  Si,  au  contra 
on  considérait  des  courants  instantanés^  ouverts,  la  loi  d'Ani] 
et  l'hypothèse  de  Weber  conduiraient  à  des  résultats  diffé: 
mais  dans  ce  cas  Texpérience  ne  semble  guère  possible. 

259.  L'induction  dans  la  théorie  de  Weher,  —  La  ] 
Weber  satisfait  au  principe  de  la  conservation  de  l'eu 
Donc,  d'après  Maxwell,  les  lois  de  l'induction  doivent  s' 
duire.  Dans  l'espèce,  ce  raisonnement  ne  vaut  rien  :  ^ 
trouverait  les  lois  ordinaires  de  l'induction  en  partant  de  1 
thèse  de  Weber,  qu'en  supposant  qu'on  n'a  que  des  co 
fermés,  et  nullement  si  on  suppose  qu'on  a  des  circuits  o\ 
Maxwell  a  commis  dans  son  calcul  (^)  des  erreurs  graves,  lu». 
en  a  commis  deux  qui  se  compensent. 

Cherchons  l'induction  de  C  sur  G^  Les  deux  circuits  sont  r 
biles,  la  distance  r  de  deux  éléments  ds  et  ds^  est  ici  fonction 
seulement  de  s  et  de  s\  mais  encore  du  temps  l  ;  on  a  donc 

ds  ..        .       , 

— —  =  Pj      ç  lonction  de  s  et  L 
dt 

ds' 

—~—  ==  /,      {>'  fonction  de  a'  et  l' . 
dt 

L'action  électrodynamique  est  : 
.  ee'   r     iVr  i    (  ^rV~\ 

;  je  représente   par   des  ^  Jes   dérivées   totales,  et  par  des  d  les 
dérivées  partielles). 

—  et  — -  ont  pour  valeur, 


dr 

dr             dr     .         dr 
d.'^r     ^           d^r        .        d'r     ,,    .            d'r                  d'r 

(V- 

c/â    •'     '  '■  dsds'  '■''     '     ds'-'  '        1      _-  dsdt  '     '    ^  ds'dt 

d^r          dr    dp         dr    di>'         dr    dv              dr    dv' 

"^  df     '     ds    dt.     '    ds'    di     '    ds    ds   '    '     ds'   ds' 

(')    Maxwell,   Klectr.   et   Magii.,   irad.    ("rano.,    L  \{,  %   S5()-8(3o,   p.    5:Kr;")58,   voir 
Comptes  rendus,  t.  GX,  p.  8'Ji5  ['xi  avril  1890J. 


'iW  THÉORIE  DE   WEBER 

Maxwell  oublie  les  deux  termes  que  nous  avons  mis  entre 
parenthèses. 

Dans  ds  nous  avons  e  crélectricité  positive,  animée  de  la  vi- 
tesse p;  et  e^  de  négative,  animée  de  la  vitesse  {\  ;  dans  ^6"',  on  a 
des  quantités  d'électricité  e^  et  e\^  animées  de  vitesses  r^  et  p^  . 


Si  R^estla  répulsion  de  e  sur  e\ 
R,  de  e^  sur  e^, 

R.  de  e  sur  e\, 

H 4  de  e^  sur  e\y 

\m  répèilsîon  totale,  précédemment  trc)«uvée,  est 


La  force  électromotrice  d'induction  est  évidemment  propor- 
tiomnelle  à  la  force  qui  tend  à  séparer  Félectricité  positive  de 
réleetricité  négative  dans  l'élément   cLs' ;    ce  seralî^  +  R^ — R.. 


d/' 


—  R,;    et  il   faudra   multiplier  par  cosB'=—  ,    pour    avoir  la 

composante  delà  force  dans  la  direction  du  fil.  La  force  électro- 
motrice clierchée  est  donc  égale  à 

(4;  E  -=  /:  cos  8^  (R^  +  R,  —  R,  —  R,; , 

k  étant  un  coeflicient  constant  qui  dépend  de  l'unité  à  laquelle 
sont  rapportées  les  forces  électromoti'ices. 

Pour  déterminer  ce  coelîicieut /•  exauunons  un  cas  |)arliculier, 
par  exemple  celui  où  les  masses  électri(|ues  sout  au  repos  et  où 
les  forces  électromotrices  se  réduisent  par  conséquenl  aux  i'orcos 
électrostatiques. 

Dans  ce  cas,  si  Fou  pose  pour  abréo-cr 


n 


11  r=3cos  0'(R,  + 11,  — R^^—R,; 


il  vient  : 

11 


Ir  i    ,  ,         ,,    ^/'^ 


u/ 


:,;__-_l. -.,;-- 


en  représentant  par  cp  le  potentiel  électrostati([ue 


i     e- 

c 


INDUCTION  DANS  LA  THÉORIE  DE  WEBER 

La  force  électromotrice  électrostatique  est  d'ailleurs 
E  = r-7  ds^=- 


ds'  e'~—e\ 

et,  comme  par  définition  E -=yi H,  il  vient  : 

ds' 


.(5)  k 


{e'-d,)  ' 


Nous  pourrons  donc  en  général  déduire  la  force  électr       >- 
trice  E  de  la  connaissance  de 

II  =:cos9^(R,  +  R,— R3— R,). 

260.   —  En  se  reposant  aux  expressions  de   (  ~j    et  -^--^ 

reconnaîtra  que  H  contient  des  termes  en  ^-,  i>'^,  m>' ^  p,  {>' ,  qui 

.  d{>    dç'       dv         ,d^>' 

tous  connus  ;  et  des  termes  en  -r-,  —7-  ,  (^  -7-  et  (-»  -7-7. 
*  dt     dt  '     ds  ds' 

Si  on  laisse  de  côté  un  coefficient  dépendant  sevilement  d 

position  et  du  mouvement  relatifs  des  deux  éléments  ds  t 

mais  qui  est  indépendant  de  e,  e^,  v  et  i\  et  de  e' ^  e\^  i^'  et  p\ 

les  termes  en  ç^  seront  {e^'  -\-  e^ç^^)  [e'  —  g\), 
en  çi>'  [eç'-^e^i^)  [e'ç'  —  <^V'^j)j 

en  r'-  (^-+-^1)  (eV-  — e>7), 

en  i>  .  (t^p_|_c>j:J  ^e'  —  e',), 

en  ç'  {e-+-e^)  {e'^>'  —  ^V'^)> 

connus  :  (e+e^)  [e' — e\)  ; 

•     1         .  11  ^<'        (^^^' 

on  aurait  de  même  ce  (rue  donnent  les  termes  en—;-,   r -r ,  etc. 
^  dt        ds 

Dans  les  courants  vol  laïques  ordinaires,  on  a  : 

Tous  les  termes  disparaissent,  sauf  le  terme  en  v  et  le  terme 

dç  I .  <r/r, .  .  1        .  .  1 

en -7-  (  le  terme  en  v  -y-  disparaissant  pour  la  même  raison  que  le 

terme,  en  p"].  Les  seuls  termes  qui  importent  dans  Texpression 


ik^B-  TIJEOIUE  DE  WEBER 

de  ^--r  sont  donc  le  terme  ^--7-  et  le  terme  a  -7— r-  ç.  eiui  est  un  de 
ceux  que  Maxwell  a  oubliés. 
Dans  (-— )    qui  a  pour  valeur, 


^', 


L'action  électrodynamique  (3)  s'écrit  donc,  après  l'avoir  multi- 
pliée par 

dr 

COS   (J    =  —77- 

da 

pour  avoir  la  composante  de  la  force  dans  la  direction  du  fil, 

[e'--e\)  V      dr  (     dç        .      dsr,\    ,    l  d:-r  ) 

c'r'       L      ds  \     dt  '    dt  )  ^  {        dsdt     ^    ^    '  ^^) 

dr      dr     ,  xH  <^'* 

Or, 


/dry      /  dr\\  ,    /dry  „  ,   /dry  ,       dr 
[dJ=[ds)''-^[ds')''Hdt)+'ds 

dr 
dt 

c 

dr      dr        , 
+  ^    ds     ds'    "'-^^ 

dr 
ds' 

dr 
dt 

.  dr  dr 
on  aura  a  conserver  2  — -  -^  f . 
ds  dt 

11= 


:  cl  du 

dç  di>,  dt     ^ 

c  — 1_  e.  —-^  =  c  —7-  ds. 

dt  ^    dt  dt 

Donc, 

e,  —  e')     ,    r      dr     di        v         drr    .  v        dr     dr    ~\  di 


,.-2,.2 


^    r      dr     di         i         cr/'    .  ^        r/fr     dr    .  j  ar 
L      ds     dt        1/^^    dsdt^  )        ds     dt     A  ds' 

D'où  la  valeur  de  la  force  électromotrice, 

L==/ili  =  6'---; .  C  — :j-r-^ — ds\  r  —z [-]  iir     ,    .    [ 

[e'—e\)  c'r^  [       ds      dt         (         dsdt  ^ 

dr     dr    .Hj  dr  dsds'  V      dr     di         ^     .      d'r  ^ 

ds      dt      J  ds'  7'      L'    ds    lïT       ^  ^^'    dsdl  ) 


.    dr      d/ 
-i 


dr      dr    1  dr 
ds      dt    J  ds' 


FORCE  ELECTROMOTRICE 


/•^    L  ds  dt  ds'      '  ds  dt  17 y-'^'"^'  lîslûTt\T)- 

Donc, 

t/6'    ^s^   dt\r  )~  l        r         ds'    dsdt  \' 


Maxwell  néglige  le  second  terme  et  écrit  le  premier 

d  /  dr    dr     i 
lh\ds  ~d7"7 


E  =  dsds^S(~  —  ^\. 


ce  qui  n'est  pas  exact.  Car, 

t 

dt  I    ds     ds 


j  j  j   d  r  dr    dr     i  ~\ 

\_  ds     ds'     r  J 


y    ,  /  df     dr      d   i  i 

ds    ds'     dt  \  r 

idsds'r  dr     d'r  dr      d'-r 


/•      [  ds    ds'dt  '^17  'JTlt}  ' 


il  oublie  donc  le  second  terme. 

En  dernière  analyse,  la  somme   algébrique  des  termes  négli- 
gés 

2idsds'    dr      d'r 


et 


s  écrit 


/•         <:/,s'     dsdt 
idsds'  \   dr      d'r  dr      d'-r 


dr      d.'r     \ 
ds'    dsdt  J 


/•      L  ds    ds'dt 
idsds'  r   dr     d'-r  dr      d'-r 


hds'  r   dr     d-i 
r       L  ds    ds'a 


it         ds'    dsdt  \ 

Ainsi  donc,  d'après  Maxwell,  la  force  électromotrice  totale  (i) 
pour  valeur,  en  intégrant  par  rapport  à  5  et  s', 


-xyi  TUÉmUE  DE    WEBER 

<'e  qui  n'est  vrai  que  si  Fintégrale  des  termes  uégligés, 
iduâs'  r  dr     d'-r  dr     d^r 


/        i     idnJ.s'  r  dr     à 

J  J  ^^^  ^ 


sd/  ds    ds'dt 


est  nulle. 

Or,  cefte  intégrale  n'est  nulle  que  si  les  Jeux  circuits  auxquels 
on  étend  Fintégration  sont  fermés. 

.Afontrons  cela.  Considérons  à  cet  elïet  rintém'ide. 


d>i'    cPr     dr 
"7"  dsdl    ds' 


<[ui,  iutégiée  par  parties,  donne, 


r  ds'     d'r     dr       r,  (/-/•  "I         f\  d'r        ,  . 

J  ~iûdri7==r^''-i^\-j  ^'''-'-■i;;d^'"- 

Le  circuit  considéré  étant  lérmé,  le  premier  terme  du  second 
membre  de  cette  expression  est  nul,  sa  valeur  étant  la  même 
aux  deux  limites.  11  reste  donc, 


ds'      d'r     dr  /  ,  d^r 

:=-- I     loo-  /'.  -7 — r-r-T-  d><  ■ 


r      dsdt    ds' 


dsds'dl 


Intégrons  par  rapport  à  s;  il  vIenL 


dads'     dn'     dr 


dsdl    ds' 


d' 


dsds'df 


dsds' . 


Cela  veut  dire  que  le  premier  membre  est  (''gai   à  une  expres- 
sion qui  ne  change  pas  quand  on  y  permute  ,s  et  ,s^  Par  suite, 


dsds'     d'^r      dr 
r       dsdt  17 


dsds'     d-r      dr 
~T~~'d7dî~d7  ' 


et  c'est  précisément  ce  que  nous  voulions  montrer. 

Mais,  je  le  répète,  ceci n  est  vrai  que  pour  deux  courants  fermes. 


CHAPITRE    IV 


THÉORIE   DE  HELMHOLTZ 


261.  —  L'expérience  nous  fait  connaître  l'action  mutuelle  de 
deux  courants  fermés  ;  pour  en  déduire  l'action  de  deux  élé- 
ments de  courants,  Ampère  a  été  obligé  de  faire  une  hypothèse  : 
il  suppose  que  cette  action  se  réduit  a  une  force  dirigée  suivant 
la  droite  qui  joint  ces  deux  éléments.  Cette  hypothèse  n'est  pas 
\ix  seule  qu'on  puisse  faire.  Nous  avons  vu  plus  haut  comment 
Weber,  guidé  par  une  théorie  qui  concorde  avec  celle  d'Ampère 
dans  le  cas  des  courants  fermés,  a  été  conduit  à  admettre  ([in) 
deux  éléments  ont  un  potentiel  mutuel  qui  a  pour  expression  : 

...    dsds^     dr     dr 

—  Il' j-j> 

r        ds     ds 

D'un  autre  côté  F.  Neumann  admet  pour  le  potentiel  mutuel 
de  deux  éléments  l'expression  : 

a  dsds 


llelmholtz  cherche  une  lorinule  générale  comprenanl  celles  de 
Weber  et  de  Neumanu  el  il  lait  à  cel:  elfel  les  hypothèses  suivantes  : 

i"  Il  existe  un  potentiel  mutuel  de  deux  éléments  de  courants; 

pJ*  Ce  potentiel  est  inversemeiil;,  proportionnel  à  /'. 

Comme,  en  vertu  du  prlnci[)e  des  courants  sinueux,  ce  poten- 
tiel doit  être  linéaire  en  cos  £  et  cos  0  cos  G'  (CC.  n''  240,  p.  2.34  ) 
llelmholtz  est  conduit  à  lui  donner  pour  expression  : 

cos  £        ^  cos  9  cos  0^ 


u'dsds'ik-—- h-B- 


où  A  et  B  sont  des  coefficients  constants. 

PoiNGARÉ.  Electricité  et  Optique.  i8 


4  riIÉORIE  DE  HELMHOLTZ 

Cette   expression  peut  s'écrire,  en  se  rappelant  que  (n°240), 


cos  9  cos  6^  =  cos  £  +  7* 


dsds'  ' 


Si  Ton  a   deux  courants  fermés^  leur  potentiel    électrodyna- 
niique  mutuel  sera  Tintégrale  double 

.W4(A  +  B)^+B^]. 

econd  terme   est  nul,  l'intégrale  étant  prise  le  long  d'un 
^^rcuic  fermé  ;  donc, 


Le  potentiel  électrodynamique  se  réduit  alors  à, 


(A  +  B)    I       I    liJsds 


cos  £ 


I/expérience  montre  que  Ton  doit  prendre  (n^'  246  et  249) 

A+B  =  i. 

Mais  tant  que  rexpérience  porte  sur  des  courants  i'cj'niés,  elle 

est  impuissante  à  déterminer  le  coefficient  B  du  terme- — —.  ;  c'est 

dsds 

pourquoi,  dans  diverses  hypothèses,  on  a  pu   attriljuer  a  B    dc^s 
valeurs  différentes. 

En  posant  avec  Ilelmhollz 

B=-i=:A, 


l'expression  du  potentiel  élémentaire  devient, 

'  cos  £  I  — k     d'r 


ii'dsds',-  ,  -   -^^^^, 

C/vO  lA/O 


POTENTIEL  ÉLECTRODYNAMiqUE  27* 

La  formule  de  Weber  est  un  cas  particaller  de  celle  de  Helm- 
holtz  ;  on  la  rétro aye  en  donnant  à  k  la  valeur  —  i  ;  alors  le 
potentiel  a  la  forme  : 

../,    7  //cos£  d'r  \  ii'dsds'    dr     dr 

\     r  dsds'  J  r         ds     ds' 

En  faisant  À- =  i,  on  a  Texpression  du  potentiel  G[u'avait  pro- 
posée Franz  Neumann.  En  faisant  k  =  o,  dit  Helmholtz,  on 
retrouverait  l'électrodynamique  de  Maxwell.  Cette  assertion  de 
Melmholtz  a  été  parfois-  mal  comprise  ;  nous  y  reviendrons  plus 
loin  (n^  285). 

262.  —  La  formule  d'Ampère  peut- elle  être  considérée  comme 
nn  cas  particulier  de  celle  de  Helmholtz  ?  En  aucune  i'açon.  Nous 
avons  vu,  en  edct,  que  dans  la  théorie  d'Ampère  l'action  mutuelle 
de  deux  éléments  u'a  pas  de  potentiel.  La  i'ormule  d'Ampère  est 
la  seule  qui  explique  les  faits  par  une  action  entre  deux  éléments, 
l'éduite  a  une  force  dirigée  suivant  la  droite  qui  les  joint.  Dès 
(ju'on  admet  que  cette  action  dérive  d'un  potentiel,  comme  le 
potentiel  dépend  de  l'orientation  des  éléments,  ses  dérivées  par 
ra|)poi't  aux  angles  qui  définissent  cette  orientation  ne  sont  pas 
l(]enti(|uemcnt  nulles,  et  il  en  est  de  mémo  du  travail  virtuel 
([u'enti'auie  une  vai/lalion  infinitésimale  cle  ces  angles  ;  c'est  dire 
(juc,  outre  Ui  foi'ce  dirigée  suivant  la  droile  de  jonction,  existent 
(h's  couph'.s  (pii  tendent  à  faii'e  tourner  les  éléments  et  dont  les 
moments  sont  de  Tordi'i^  'le  grandeur  de  la  l'orce.  M.  Bertrand  a 
l'ail  il  c(^  sujet  des  <)l)jections  à  la  ihéorie  d<^  Jlelmholtz  (^(■o/np/es 
rcndiiH,  LXXIII,  j).  ()()5;  IjXXV,p.  8()o  ;  LXXVli,  p.  io4(.));  selon 
lui,  tous  Cv'.;  couples,  agissant  sur  tous  les  ('léments  d'un  lil 
conducteur  [parcouru  par  un  courant  et  soumis  à  Faction  d'un 
aulre  courant  ou  de  la  terre,  devraient  immédiatement  briser 
le  lil  et  le  réduire  en  poussière,  llehulioltz  répondait  qu'une 
aiguille  aimantée  ne  se  brisait  pas  sous  raction  de  la  terre, 
(|uoi({ue  sur  clnujue  élément  de  longueur  agit  un  couple  dont 
le  moment  est  de  l'ordre  de  grandeur  de  l'élément.  M.  Bertrand 
a  réplujué  que  personne  ne  croyait  plus  aujourd'hui  à  Texis- 
lence  réelle  des  fluides  magnétiques  de  Coulomb  et  que  la 
ré[)onse  de  Helmholtz  n'avait  pas   de  sens  ;  il  semble  que  Ilelm- 


'■iZ^Jt 


276 


THÉORIE  DE  IIELMHOLTZ 


X 


Bx 


G, 


J- 


B. 


Fip:.  00. 


lioltz  aurait  pu  dire  qu'on  ne  croyait  pas  davantage  à  Texis- 
tence  objective  d'un  courant  matériel  circulant  dans  un  con- 
ducteur. 

Je  ne  veux  pas  m'immiscer  dans  cette  polémique  ;  je  veux 
toutefois  montrer  en  quoi  consiste  le  malentendu  qui  sépare  ces 
deux  savants  éminents. 

Pour  M.  Bertrand,  le  courant  se  compose  d'éléments  extrê- 
mement petits,  dont  le  nombre  est  extrêmement  grand  quoique 

fini  ;  à  chacun  d'eux  est 

appliqué  un  couple  dont 

les  deux  composantes  ont 

iC     une    existence    réelle    et 

un     point     d'application 

parfaitement  déterminé. 

Sur  la  figure,  les  éléments 

sont  représentés  par  les 

quatre  rectangles  en  trait 

plein  et  les   couples  qui  leur  sont  appliqués   sont  A^F^,    B^G^  ; 

A,F„  B,G,  ;  A3F,,  B3G3  ;  A,F„  B,G,. 

Dans  ces  conditions,  il  est  clair  que  la  rupture  se  produira 
suivant  la  ligne  pointillée  XY. 

Pour  M.  von  Helmholtz  au  contraire  le  couple  n'est  qu'une 
sorte  de  tendance  à  tourner  qui  a  une  existence  pioprc  indépen- 
dante de  ses  deux  composantes,  qui  peuvent  ne  pas  avoir  de 
point  d'application  déterminé.  Le  couple  existe  toutes  les  fois 
que  la  rotation  produit  un  travail. 

En  d'autres  termes  Helmholtz  suppose  que,  si  loin  que  Ton 
pousse  la  division  de  la  matière,  chaque  partie  restera  toujours 
soumise  à  un  couple.  M.  Bertrand  croit  au  conti'airc  qu'il 
arrivera  un  moment  où  les  parties  ultimes  de  la  matière  seront 
soumises  à  une  force  unique  et  qu'en  adoptant  une  autre  jua- 
nière  de  voir,  on  est  dupe  d'une  fiction  mathématique  (|ui  cache 
la  réalité  des  faits.  Il  ne  serait  peut-être  pas  impossible,  même 
en  acceptant  le  point  de  vue  de  M.  Bertrand,  d'imaginer  une 
distribution  des  forces  qui  n'entraînerait  pas  la  rupture  des 
conducteurs.  Mais  elle  serait  probablement  compliquée  et  peu 
naturelle. 

Je  me  bornerai  à  rappeler  que,   dans  la  théorie    de    Weber, 


ÉQUATIONS  FONDAMENTALES 

qui  n'est  qu'un  cas  particulier  de  celle  de  Helmholtz,  on 
tout  expliquer  en  supposant  que  l'action  mutuelle  de  c 
cléments  se  réduit  à  une  force  unique  dirigée  suivant  la  d] 
qui  les  joint.  J'ai  dit  au  n^  258  comment  cela  peut  se  conc 
avec  le  fait  de  l'existence  d'un  potentiel  qui  est  en  appar< 
contradictoire. 

263.  Équations  fondamentales^  —  Nous  avor 
tiel  électrodynamique  mutuel  de  deux  circuits 
(n°  249). 

(i)  T  =  iC(Fdx  +  Gdij  +  llch) 

dans  le  cas  d'un  circuit  feimé. 

Ici,  on  a,  pour  deux  circuits  quelconques  : 


iiUlsds'y — - 


s£  I  — k      d^r 

'"        '2        dsds^ 


Or  on  a  d'autre  part, 

cos  £  dsds'  =  da:du:^  +  dijdi/  +  dzdz\ 

d'^r     ,  d'r     ,     ,       d^V'     ,  dv' 

——-  ds  -=  -j~r-.  d.v  +  -7—7-7  djj  -h  -j-JT  ^  -  • 
dsds'  d:rds'  dt/ds'  d.zds' 

Kn  substituant  dans  T  cotte  valeur  de  7-7-7,  que   nous  venons 

dsds' 

(le  trouver,  nous  pouvons  donner  à  T  la  rornie  (i)   déjà  trouvée 

dans  le  cas  d'un  courant  fermé,  en  posant, 


(:5) 


rilÉORIE  DE  HELMBOLTZ 

clinTOKs   que  F,  G,  H  sont  les  composantes  clii  poieritiel 


égrale  •  étant  étendue   au   contour   C^  et   étant  nulle  clans  le 
i'un  courant  fermé  ;  en  cliflFéreatiant  par  rapport  à  x,  il  vient, 


dx  f       dxds' 

j,  H  deviennent  donc, 

i'dx'         I  —  k    di^ 


*ïr 


^ 


1  peut  écrire  aussi, 

i  effet  si  on  regarde  x,  y,  .z  comme  des  constantes  ou  a, 

,  dr    ^  ,         dr     ,  ,         dr     ,  ,         dr     ,  , 

dr  =  -—  ds'=:  -— -  d:jc'  +  -— -  di/  +  — --  dz' . 

ds'  dx'         ^  dy'     -^         dz'  ^f 

! 
4.  —  Donnons   a   ces   équations  une    forme  applicable   aux  j 

ucteurs  à  trois  dimensions.  i 

p   est  la  densité  de  l'électricité  libre,  ^d-z   est   la    quantité  j 

ctricité    contenue    dans   le  volume  dr:  \  lultst  est  la  quantité 


CONDUCTEURS  A  TROIS  DIMEySIOXS 


^79 


d'électricité  qui  traverse  dans  runité  de  temps  l'aire  chy  normale 
à  0.2:;  de  même,  çdtù  c'est  la  quantité  d'électricité   qui  traverse 
l'aire  rfo)  normale  à  Oij;  wchy^  celle  qui  traverse  ch)  normale  à  Oz^ 
On  a  : 

dw  do 


du  dç 

dx      ■   dy 


d.z 


dt 


C'est  l'équation  dite  de  continuité  (Cf.  i^*^  partie,  n°  29). 

Le  fil  conducteur  peut  être  assimilé  à  un  cylindre  de  f 
^0).  L'élément  de  longueur  étant  ds^  l'élément  de  volume 
valeur  dr:  =  dt^ds. 

La  section  par  un   plan  perpendiculaire  a  dœ  est  -j-^  . 

Donc, 

dz 


d'où, 


et  pour  l'élément  ds^ 


Donc, 


avec, 


(7) 


THEORIE  DE  HELMHOLTZ 


il 


.sforn.ons  maintenant  l'expression  (6)  ;  nous  avons,  i 


SI  nous  cherchons  le  potentiel  électrodynamique  mutuel  total 
ous  avons  à  prendre  Télément  différentiel  : 

(Fz^  +  Gr  +  Hp^')iT 

F,  G,   H  sont  des   Intégrales    étendues  à  tous  les  éléments 

^^ns  les    conducteurs,  dx  excepté.  En  opérant  de  la  sorte 

e  deux  fois  dans  Tintégrale  double  le  potentiel   mutuel 

)le  d'éléments  d^  tl  di' .  Donc  il  faut  diviser  par  i  l'inté- 

si  calculée  pour  avoir  T  : 


(8)  T=_L    I    (F^/.  +  G^^  +  Hk')^/-:. 


On  peut  dire  que  l'intégrale  est  étendue  à  tout  l'espace,  car 
en  dehors  des  conducteurs,  u^  ç,  h'  sont  nuls. 

On  pourra,  dès  lors,  appliquer  le  théorème  de  Green,  relatif  à 
l'Intégration  par  parties  dans  tout  l'espace  (^)  ;  cela  nous   donnera 


(^)  Nous  intégrons  par  partie  par  rapport  à  x  entre  les  limites        co  et  —    ce  cl, 
comme  u'  est  supposé  nul  à  rinfini,  le  terme  tout  connu  disparaît. 


POTENTIEL  ÉLECTROSTATIQUE 

A  prend  alors  la  forme 


(9) 


Ch'' 


dy' 


265.  —  Considérons  deux  quantités  d'électricité  e',e^  ;  ell 

I    66^ 

repoussent   avoc   une    force   d'intensité   -  •— r  ,  a  étant  une  ( 

tante.  Si  l'on  adopte  les  idées  universellement  reçues,  ).  est 
le  système  d'unités  électrostatiques  et  est  le  carré  de  la 
de  la  lumière  dans  le  système  électromagnétique.  Je  consc 
parce  que  nous  serons  conduits  à  modifier  un  peu  les  idées  re 
Le  potentiel  électrostatique  cp  est  donné  dès  lors  par, 


d'où,  par  diUercntialion, 


'^  ,u 


Or 


cl  comim^ 


.4,., 


(Ir  ,v  — ,v' 


[.v—.v)- 


<L 


(Lv  r 


il  en  résulte^  ([ue 

Donc, 

(ç)  lus) 


\r 


riTEOmE   DE   IIELMFIOLTZ 


pliquons  maintenant  aux  deux   membres  des  équations  (n) 
rateur  A  ;    il  vient  pour  les  premiers"membres  de  ces  équa- 
ons,  d'après  le  théorème  de  Poisson, 


/\T4V. 


En  ce  qui  concerne  les  seconds  membres,  nous  avons, 


dx         ci 


-  A^p  ;  etc., 


et,  en  tenant  compte  de  (9  his] 


A— L~=2A 


I        dx 


dx  '   dxdt  ' 

dif  dydt 

riz  dzdl 


De 


AF==— 47c/.Hh(i— Z-))^      '^''^ 


(10)  AG  =  -4i.r-+-(i  -~~k)\. 

AI1  =  — 47:^r  +  {i—k)  A. 


dxdt  ' 

d'Z) 

djjdt  ' 


dzdl 

Calculons  maintenant 

^F         dG  ^"^  _j 

c/.r  ('Z//  <:/.:: 


POTENTIEL  ÉLECTROSTATiqVE  2%l 

Nous    avons    en    clifFèrentiant    la  première    équation     7     pai 
rapport  a  ;r, 

d¥  \      ,,  /~  ,     I— A-    iV-'l 

■  =    f     udr  ' 


Oi 


Donc, 


ds  I  dx  2        dx- 


r  r 


dx  dx' 


d-L      r    ^  d^ 

dx  J  dx 

M,  en  appliquant  le  théorème  de  Green, 

/  -7  \     d-z-    du' 

l<:ii  edecluant  des  transformations  analogues  sur 

dG  I       ,r/^~    ,      I— -^^    Éï. 


Cl 


on  li'ouvfv 


dW  l     __._,j^,  '^   ' 


i_A-    dM 


,„V;,.  +  -^, 


dF  ___    [   d-z'  _^  ,   _LZlii-L 
dC.  ___    r  dx'  jh^        i—J'  iX 

,/][  __  r  d-j  _^  ,  _Li=li!i. 

-U"  -  I  -T"  dz'  "^     2      ^c^ 


THEORIE  DE  HELMHOLTZ 


L'expression  que  nous  nous  sommes  proposé  de  calculer  s'écrit 
donc, 

^F        clG         cm  /    d^' fdu'    .    di>'    .    d^>'\   .    I— A-     , 


doo         dy  dz  /      '*    ^^^^'        ^V'  ^' 

et  en  tenant  compte  de  Téquatlon  de  continuité, 
d¥         dQ         d\l 


dx         dy  dz 

encore,  d'après  (9  hk^^ 

d 

dt      '    ^'       ''^  "  di 


-.    dz>     ,    ,  ...    do 


On  a  donc  finalement, 

d¥  dG        ^__jr    ^h 

dx  dy  dz  '    dt 

On.  voit  que  J  serait  nul  en  particulier  si  on  faisait  /i  =0. 
266.  Équations  de  la  loi  de  Ohm,  —  La  formule, 

diun 


m=:E 


dt 


s'applique  aux  courants  fermes.  Si  on  l'applique  à  une  portion 
de  courant,  il  faut  tenir  compte  de  la  diiïerence  de  potentiel  aux 
extrémités.  Appelons  cp^ — cp^  cette  différence  de  potentiel;  on  a 
donc  dans  ce  cas, 

d  (m') 


R/==:,n    _.o    +E 


dt 


Si  on  a  un  élément  rectilignc  parallèle  à  0.^',  cp,  — z>^  devient, 

do 


-~dx, 
dx 


On  peut  poser, 

E^Xdx 


ÉQUATIONS  DE  LA  LOI  DE  OIJM 

et,  ^j.^ 

Cttco 

C  étant  la  conductibilité  spéclficiue  ;  cVoù 

idx  udx 

ï^'=crf^"   C  • 

Quant  à  la  force  électromotrice  d'induction,  on  a  ici  : 


f[(m=d...^^' 


d'où 

d 

Les  équations  de  la  loi  de  Ohm  s'écrivent  donc 
c  "~        dx  dt 

(12)  )     C  ""        ày  dt 


0„  p.ut  dire  qu'il  y  a  quatre  forces  électromotrices  se  faisant 

,'■  La  force  èleci roula liqae  {--  j^  ,        ^y  '        dz  )  ' 

a"  La  force  d'indiiclion  (^ ^  >         ^/^   '         dl  )  ' 

;/,,., •,.,/!•/'     M'oriffine    chimique, 
;V  ,/v/.    /orr<!    cleclronwtnce^    cxlericiuc     (U  ou^ 

(hcrmoélcclrique,  cLc.)   (X,  \,  '/■')  ;  ^        ^^  ^_  ^^, 

4"  L«  force  ckclroinolrlce  résisUinle  (- -q  '- TT  '  "  "C  J ' 

,;hypo,h.se    sur    laquelle    reposent   les    ^-^^;;^^ ^J::;^ 


THEORIE  DE  IIELMUOLTZ 

inslons   une   hypothèse   qui   paraît   s'imposer  [voir   formule 

his)y   n^  270],  les   formules   (12)  s'accordent  avec  le  principe 

la  conservation  de  l'énergie.  Il  y  a  plus  :  on  pourrait  appli- 

r    aux    conducteurs    à    trois    dimensions    les    équations    de 

grange  et  de  la  théorie  de  l'induction  de  Maxwell  (i^*^  partie, 

151)  ;  si  je  ne  donne  pas  dans  ces  leçons  ce  calcul,  c'est  qu'on 

a   ici   un  nombre   infini   de  paramètres,  et    que  je    serais    forcé 

d'employer  le  calcul  des  variations. 

Je  me  bornerai  à   dire  que  si  Von  admet  la  formule  (18  his)^ 
calcul  conduirait  aux  équations  (12). 

Î67.  Déïînitîon  de  la  force  magnétique.  —   Dans  le    cas  où 

5  les  courants  sont  fermés.^  la  force  magnétique  est  susceptible 

deux  définitions  équivalentes. 

i^  On  peut  dire  que  la  force  magnétique^  dont  nous  avons 
appelé  les  composantes  a,  [3,  y,  est  la  résultante  de  toutes  les 
actions  électromagnétiques  appliquées  à  un  pôle  magnétique 
égal  à  I.  C'est  la  définition  que  nous  avons  donnée  plus  haut 
au  n""^  147.  Un  pôle  magnétique  peut  être  assimilé  à  un  solénoïde 
indéfini.  En  elFet  l'action  d'un  courant  fermé  sur  un  solénoïde 
fermé  est  nulle  ;  son  action  sur  un  solénoïde  limité  ne  dépend 
par  conséquent  que  de  la  position  de  ses  deux  extrémités  qui 
peuvent  être  assimilées  à  deux  polos  magnétiques  égaux  et  (U' 
signe  contraire  ;  son  action  sur  un  solénoïde  indéfini  est  donc 
la  même  que  sur  un  pôle  magnétique  unique  situé  à  l'extrcMniti'' 
liljre  du  solénoïde  (Cf.  i^'*^^  partie,  n"  124)  ; 

2'^  Considérons  un  élément  magnéti([ue  et  soient  Kch^  Jlih^ 
Cch^  les  composantes  de  son  moment  nuignétl(|ue.  Les  ac^tions 
subies  par  cet  élément  peuvent  se  réduire  à  une  forc(i  uni(|uc 
appliquée  au  centre  de  gravité  de  rélément  et  dont  les  compo- 
santes sont  : 


/  (la 

['77 

A  + 

dy. 
d;, 

B  + 

da. 
dz 

c)./., 

\  /  df. 

j\dx 

A  + 

./fi 
du 

B  + 

./fi 
dz 

C)r/T, 

•  [dx 

A  + 

dy 
dy 

B  + 

dy 
dz 

Cjd-., 

FORCE  MAGNÉTIQUE  287 

et  à  un  couple  dont  le  moment  a  pour  composantes  : 

(Cp  —  Bv)  ch, 

(AY-Ca)rfT, 
(Ba  — Aj3)rZT. 

En  cFautres  termes  le  moment   de   ce   couple   est  normal  au 
plan  des  deux  vecteurs  qui  représentent  le  moment  magnétique 
de  Télément  et  la  force  magnétique  et  est  égal  au  produit  de  c^ 
deux  vecteurs  par  le  sinus  de  leur  angle. 

Si    l'élément   change    de    direction    sans    que    son   centre   a 
gravité  se  déplace  et  sans  que  la  grandeur  de  son  moment  varie, 
le  travail  de  ce  couple  est  égal  à  la  variation  du  produit  de  ces 
deux  mêmes  vecteurs  par  le  cosinus  de  leur  angle,  c'est-a-dire  à 
la  variation  de  l'expression  suivante  : 

(Aa  +  Bfd  +  Cv)rfT. 

Imaginons  maintenant  un  circuit  fermé  infiniment  petit, 
parcouru  par  un  courant  d'Intensité  i;  soit  dtù  l'aire  de  ce  circuit  ; 
/,  /;<!,  Ji  les  cosinus  directeurs  de  son  plan.  Ce  circuit  sera  équi- 
valent à  un  élément  magnéti(jue  dont  le  moment  aura  pour  com- 
posantes : 

/  Adx  =  Ildo), 

'  B(h^=im.d(o^ 

f  Cd'z-=uuh^). 

Les  actions  sul)ies  pîir  ce  circuit  se  réduiront  donc  à  une  i'orce 
nni([ne  ap[)li([née  au  centre  tic  gravitt!'  du  circuit  et  à  un  couple 
dont  le  moment  aura  pour  conq)osantes  : 


(,./.«) 


'  idb)  (/y  —  f^y)-, 


Si  le  circuit  cliange  de  direction  sans  (|ue  son  centre  de 
gi'avité  se  (lé[)lace,  sans  se  déformer  et  sans  que  l'intensité  / 
varie,  le  travail  de  ce   C()n[)le  sera  la  variation  de  l'expression  : 

(  I  A  Icr)  idio  (/a  +  i)i  1^  +  /ly) . 


288  TlIEOniE  DE  UELmiOLTZ 

D'où  la  définition  suivante  de  la  force  inagnèilque  : 
Cest  un  çecteur  dont  j'appellerai  les  composantes  a,  [S,  y  et 
fui  est  tel  que  V action  exercée  sur  un  circuit  infiniment  petit 
e  réduise  à  une  force  appliquée  au  centre  de  gravité  du  circuit 
t  à  un  couple  dont  le  moment  a  pour  composa7ites  les  expr es- 
dons  (i2  lis)  et  dont  le  travail  est  égal  à  la  çariation  de  V expres- 
sion (ï2  ter). 

Imaginons  maintenant  un  système  S  contenant  des  courants 
non  fermés, 

La  première  définition  de  la  force  magnétique  na  plus  aucun  sens. 
'^st  en  effet  impossible  de  réaliser  un  pôle  magnétique  isolé 
le  d'un  solénoïde  indéfini.  Voici  pourquoi  : 
:îtion  d\in  courant  non  fermé  sur  un  solénoïde  fermé  n'est 
ulle  ;  son  action   sur  un   solénoïde  non   fermé   ne  dépend 
lonc  pas  seulement  de  la  position  des  deux  extrémités   mais  de 
la  forme  du  solénoïde  ;  et  son  action  sur  un  solénoïde  indéfini  ne 
se  réduit  pas  à  une  force  unique  appliquée  a  son  extrémité  libre. 
Nous  sommes  donc  conduits  à  adopter  la  seconde  définition. 
Chercbons  Texpression  du  potentiel  électrodynamique  T  d'un 
circuit  fermé  quelconque  C  par  rapport  au  système  S. 

Supposons  d'al)oi'd  que  le  circuit  (1  soit  infiniment  petit, 
Taction  du  système  S  sur  ce  circuit  se  réduira  à  une  force 
appliquée  à  son  centre  de  gravité  et  à  un  couple.  Si  le  circuit 
change  de  direction  sans  se  déformer,  sans  (pie  l'intensité  varie 
et  sans  que  son  centre  de  gravité  se  déplace,  le  travail  de  la 
force  sera  nul  ;  celui  du  couple  sera  par  défuiùon  égal  à  la 
variation  de  l'expression  (12  ter).^  c'est-ii-dlre  a  : 

idu)  {a?jl-\-  9jrjni-\-Y^n). 

Si  donc  rintenslté  /  du  courant,  Faire  c/to  du  circuit,  les  coor- 
données Xj  //,  z  de  son  centre  de  gravité  ne  changent  })as  ;  si  par 
conséquent  les  cosinus  directeurs  /,  m,  n  varient  seuls,  ou  aura  : 

oT  =  idh)  [o.Zl-]-  [jo/;/  +  yo/z) . 
On  en  déduit  : 

T  =  idw  (aZ  -|~  p/n  +  y/i) 

+  fonction  arbitraire  de  zV/co,  de  x^  de  jj  et  de  z. 


POTENTIEL  ELECTRODYNAMiqUE 

Cette  fonction  arbitraire  qui  ne  contient  pas  les  cosinus  direc- 
teurs l,  m  et  n  est  évidemment  nulle;  car  T  doit  changer  d( 
signe  quand  le  courant  change  de  sens,  ou  ce  qui  revient  ai 
même,  quand  on  fait  tourner  le  circuit  de  180''  autour  d'un  ax< 
situé  dans  son  plan,  ou  ce  qui  revient  encore  au  même,  quand  01 
change  ?,  m,  n  en  —  l^  —  m^  et  —  /z. 

On  a  donc  finalement  : 

T  =  idiù  (a^-f-  i^^  +  y^O  • 

Si  le  circuit  C  est  fini,  on  le  décomposera  en  une  infinité  de 
circuits  infiniment  petits  ainsi  qu'il  a  été  dit  au  n^  107  de 
hi  première  partie  et  on  aura  : 

(  1 3)  T  =  I  tcZo)  (ai  +  |i/n  +  Y^O' 

l'intégration  étant  élenduc  à  tous  les  éléments  cUù  d'une  aire  A 
appartenant  à  une  surface  d'ailleurs  quelconque  passant  par  le 
circuit  C  et  limitée  par  ce  circuit. 

Quant  à  Z,  m^  n,  ce  sont  les  cosinus  directeurs  de  rélément 
ihù  ou,  ce  qui  revient  au  même,  de  la  normale  à  hi  surface  à 
laquelle  appartient  Taire  A. 

268.  —  On  a  I  équation  fi)| 

Transformons  cette  écpiation  a  raidc  du  théorème  de  Stokcs  ; 
il  vie  ni 


'/"•■'['(f"S 


,„      .,,!,/  d\\       (K\\  i  dV       d\\\         /  di\       d.V 


Comme  on  a  par  définition  de  (a,  j3,  y), 

(13)  ï  =  i  (\la  +  m fj  -f-  Jiy)  dh), 


PoiNCAiiÉ.  lileclriciLo  et  Optique. 


290 

il  s'ensuit  que 


(M) 


TBEORIE  DE  ilELMUOLTZ 


1  dy 


Calculons  maintenant 


dll        dCr 
dy  dz  ' 

'         c/.c  dij  ' 


Nous  avons,   en  différentiant   la  troisième  des  équations  (i4) 
par  rapport  a  xj  et  la  seconde  par  rapport  a  z. 


dy 


d'G         d'F 


•   dj/  d.rdij  dij' 

d'^  _  £F        dm 
77  ~77"~~"d7d7' 


et  en  ajoutant  ridentlté 

d'¥        dH' 


d.v'  d.l 


o. 


il  vient, 


dy (J^_    d     fdV         <K\         d\\ 

ITJ  ~  dz  ""  7/7  \(Lf  ^  Tîy^  ~7h 


Or,  nous  savons  déjà  que  |  équations  (lo)  cl  (ii^ 


M\ 


IV 


.     d-^ 


d.vdf 
d-^ 
dJ^U' 

(/-'Si 
d^/l  ' 


\G  =  —  4T.f'  4-  ['  I  —  /■  i  ). 


Ail  =-4-.,.+  ;.  _/.■;>._; 


d.v  ~^  dy  ~^lh   ""~      '\// 


,.   '/? 


r 


ÉQUATION  DE  CONTINUITE 

Donc, 

dy         dz         dx  "  ^  dxdt  ~^  ^''^^        ^^        ^      ^/.tY/. 


dxdt  ' 
Un   calcul   analogue   au   précédent    nous    donnera  — 

<i^j::         ri?/  ' 
On  obtient  ainsi  finalement, 

i    di/         dz  ~""^'^''  7^' 


dx         '  '  dydl  ' 

dy.        ,  ^     d^^D 

A-T-™-. 


dx         dy  ''  r/:;r/^ 

Dans  Maxwell,  les  derniers  termes  n'existent  pas.  Nous  veri 

en  efFet  que  Maxwell  suppose  \  =  o. 

Les  équations  (i5)  se  prêtent  à  la  vérification  suivante  : 

En  dilleren liant  la  première  des  équations  (i3)  par  rapport  l\x, 

la  seconde  par  rapport  à  y,  la  troisième  par  rapport  à  c,  et  ajoii- 

taivt  il  vient  : 

[du         dv         d^v\  do 

V  dx         dy         dz  )  dt 

iJmi  -effet,  noiiâs  -savons  -que  (n"  465), 


d'où, 


AA'^  ==:=  —  47rp 


et  en  dillerentiant  par  rapport  à  /, 


THEORIE  DE  IIELMIIOLTZ 


^dx        dy         dz         dt 


Nous  retrouvons  ainsi  l'équation  de  continuité. 


CONSERVATION    DE    L  ENERGIE    Eï    STABILITE     DE    L  EQUILIBRE 

.  Expression  de  F  énergie  èlectrocinètique  T  et  de 
ie  électrostatique  U.  —  Je  vais  donner  de  T  une  expres- 
ivelle.  Remplaçons  dans  l'équation  (8) 


6)  ^=7    /   (F^'  +  Gr  +  n^v)  dz, 


u,  ç^  iv  par  leurs  valeurs  tirées  de  (iS).  II  vient  alors, 


Su     /     2j  \dj/ 


[.6  1ns)  T=.-^     I     VÏ4l-§)F./. 


8t:     I     ^J      <^/.rf/^ 


où  le  signe  ^    indique  une  permutation  circulaire  à  eirecLucr  sur 

les  lettres  a,  [j,  y;  ;r,  ?/,  z  et  F,  G,  11. 

En  intégrant  par  parties  dans  lout  Vespcicc  on  a, 


$^'^^^=-  /  tIt'"^- 


CONSERVATION  DE  V ÉNERGIE 


è"'=-   f«". 


(^Y  I    dG 


f  "*=-  /  ^^^*. 


La  première  intégrale  de  (i6_^Z>/6')  a  donc  pour  valeur 


hf[' 


dR       dG\    ,    ,,  /rfF        fm\  (dG        dV\  . 

if-ir)  +  '-'  \ih--dF)  +'^' te— ÂT^  ''^^ 


=  «^      (a^+fi^  +  rV- 


811: 


d'après  (i4). 

La  seconde  intégrale  de  (16  bis)  se  transforme  de  môme,  et  on 
obtient 

F    -y-^-    d-  =  — 


C;  J^dz=.- 


dydi 


Il  -7—7-  <'^'^  ■ 
dzdt 


dV 
d.v 

dl 

dG 
d;, 

d'f 

d\{ 

dz 

pd.. 
dl 

THÉORIE  BE  HELMIIOLTZ 

finalement, 


J^'^     ,  A      /    d'D  (dF    ,    clG    ,    dl\\    j 


dxdt  St.     f     dl    \  dx  dy  d.z 

en  tenant  compte  cle  (ii), 


16  bis)  devient  donc  finalement, 

Fa-     /    /rf<c\2 


œ" 


+  ^+f)^+-^      [-t)'^'^- 


Si  k  est  positif  ou  nnl,  tous-  les  éléments,  de  rintégrailo  sont 
positifs,  et  si  T  est  nul,  c'est  que  tous  ses  éléments  sont  nuls  ; 
au  contraire,  si  k  est  négatif,  on  ne  peut  atllrmcr  cjuie  du  moment 
que  T  est  nul,  tous  les  éléments  soient  nuls  et  qu'il  n'y  ait  pas- 
de  courant.  " 

T,  éuergie  électrocinétique,  n'est  qu'un  des  termes  de  rénergie. 
L'autre  terme  est  l'énergie  électrostatique 


U 
Or: 
Donc, 


V         -»  H'-j-^- 


Or,   d'après  le  théorème  de  Gi'cen, 


-fiUM^'-m'} 


CONSERVATION  DE  IJ ÉNERGIE  2 9 5- 

L'expression  U  s'écrit  alors, 

C^)  "-è/[(l)"H-(^)*+(*)> 

U  est  donc  essentiellement  positif. 

L'énergie  totale  T  +  U  est  positive  si.  k  '^  0,    Si  ''■  "   ' 
T  +  U  peut  être  de  signe  quelconque. 

Supposons  que  F,  G,  H,  soient  tels  que  Ton  ait, 

Y  =  ÈL,         G  =  ^         11  =  ^, 

d:r  '  djj  '  d.z^ 

y  étant  une  fonction  quelconque  de  x,  ?/,  c;  les  trois  binômes  (i4) 
sont  alors  nuls,  et  le  premier  terme  de  (ï6  le?')  disparaît.  Le  se- 
cond ne  disparaît  pas. 

Supposons  maintenant  que  cp  =  0  à  Torlgine  des  temps;  T+  U 
sera  négatif;  comme  ç  =  o  à  Torigine  des  temps,  il  n'y  a  pas 
d'électricité  libre  au  délnrt,  mais  il  y  en  a  tout  de  suite  après, 

do      ,  , 

car  ~-  i"i  est  pas  nul. 

dt  ^ 

270.  Conservation  de  Vènergie.  ~  Vérifions  que  Fénergic  se 
conserve,  c'est-à-dire  que  la  variation  T  ■\-  U  est  égale  au  travail 
accompli  par  les  forces  électromotrices  extérieures  (chimiques, 
thermo-électriques,  elc),  diminuée  de  la  chaleur  dégagée  dans  les 
résistances  en  vertu  de  la  loi  de  Joule  : 

(18)      r/(T+U)=— ^//    I    '''"^'^^"""'~'''"  d-+di  ^\\u-^\,>-\-'Lv)d-.. 

^^ 
lleporlons-Mous  aux  étprations  (1  2)   et  multiplions  la   première 
par  —  lid-z,  la  seconde  par  —  suh,  la   troisième   par  —  (vc/t,  puis 
intégrons  dans  tout  l'espace  et  ajoutons  ;  il  vient, 


ir-4-  p--4-  ir- 


/    /    d':.  d'^  d'^\    ,  /    /    dF    ,      dG  dÙ 


296  THEORIE  DE  UELMBOLTZ 

Nous  allons  démontrer   que  la  première  intégrale  du  second 

membre  est -7-5  et  la  seconde —= — 
cli  dt 

■ — p; chj  c'est  la  chaleur  de 

Joule.  Montrons  cela.  Une  ligne  de  courant  est  une  ligne  qui  sa- 
tisfait aux  équations  différentielles  ==~-:^==-^    c'est-à-dire 

qui  a  pour  tangente  en  chaque  point  la  vitesse  de  l'électricité. 

Un  conducteur  à  trois  dimensions  peut  être  considéré  comme 

formé  d'une  infinité  de  conducteurs  linéaires  élémentaires  ayant 

la  forme  de  cylindres  infiniment  petits,  de  hauteur  ds^  de  section 

droite  65f(jL),  de  volume  d'^  =  dsd(j^  et  dont  la  hauteur  est   dirigée 

nt  les  lignes  de  courant. 

j-idmettons  que  la  loi  de  Joule  s'applique  à  ces  conducteurs 
Linéaires  élémentaires. 

Si  l'on  considère  l'un  d'eux,  la  chaleur  dégagée  par  le  passage 
du  courant  est  R/V^  ;  or 

P  ds 


et 


donc 


Cr/co  ' 

r  z=r  (/r  -(-  ç^  +  iv-]  du 


( 1 8  bis)        Ri-dt  = — ^ dsdiûdi  = —~ di:.  dt. 

C.  Q.  F.  D. 

271.  — Je  me  propose  maintenant  de  démontrer  que  la  pr 
mière  intégrale  du  deuxième  membre  (de  ï8^)  est  égale  à  -y-. 
Nous  avons  vu  que, 


U 


CONSERVATION  DE  L'ÉNERGIE 


Je  di 


Car, 


que, 


dt 


et, 


En  effet. 


Nous  tirons  de  là, 


(i8/e/') 


(h       (hd'z' 


dp'    dzdi' 


car  la  première  intégrale  ne  change  pas,  si  on  permute  p  et  p^  en 
même  temps  que  dx  et  d-z' ,  puisque  les  deux  intégrations  par  rap- 
port à  di  et  d-z'  s'étendent  à  tout  respace. 
Donc, 


C.Q.F.D. 


D'autre  pai't. 


di 


par  conséquent, 

dl]  I     do 


dt 


dl 


ùd'z  ==  ■ 


du  dv  div 

1 1_.  

d,v  dfj  d.z 


f  du         dv  rfpi'\ 


THÉORIE  DE  UELMIIÙLTZ 

égraiit  par  parties  dans  tout  Tespace  il  vient  finalement, 

-St  ce  que  nous  voulions  démontrer. 
272.  —  Passons  maintenant  à  l'intégrale 

d¥  dO  dE\  , 

is  avons  vu 


que, 


T=^    f    (F/,  4- Gp  +  lLr)r/T, 


d'où 


dT 
dt 


le  signe  y-    ayant  la  môme  signification  que  précédemment.  Je 
dis  que  ces  deux  intégrales  sont  égales.  Pour  le  démontrer,  po- 


2        dx 


avec, 


L'identité  à  démontrer  devient  alors, 


CONSERVATION  DE  L'ENERGJE  29^ 

Or^  on  a, 

l^d.=J     u  —  rh, 
car 


(t.^ 


les  intégratibtis  paai-  rapport  à  ^fc  eUrf^^  s'étendant  à  tout  Fespace. 
En  ce  qui  concerne  les  intégrales 

je  dis  que, 

V  ^■^    '^'^    ^  /     V        ^^-'i     , 


En  elïet,    en  intégrant  par  parties  clans  tout  l'espace,  il  vient 
pour  la  première  intégrale, 

^^    I Il     d~u 

dv    r//~'^"~~    /     ^  T^f       ' 

et  pour  la  seconde, 

^/''i>        ,  /    d'I  du    , 

d.vdt  I      d(   d.r 

11  laut  donc  cléinoiUrer  que 


Or  on  a, 

i"^  du 


^    d'n    _        r/-p 
jiLldxdt  IF  ' 


THÉORIE  DE   HELMUOLTZ 

i  part, 


par  un  artifice  de  calcul  analogue  à  celui  qui  nous  a  servi  à  la 
iionstratlon  de  Tégalité  (i8  ter-),  on  obtient  l'égalité, 


^  ^  dxdt         1     Aj  dt    dx 

C.  Q.  F.  D. 

En  remplaçant  les  deux  intégrales  du  second  membre  de  (i8^) 
par  les  valeurs  ainsi  trouvées,  on  a: 

— 1— i== —    I    •- ci^^  j  i^Xu-{-\^ -\- LiVjd'i:. 

Si  on  multipliait  cette  équation  par  rf/,  le  premier  membre  re- 
présenterait l'accroissement  de  l'énergie  tant  électrodynamique 
qu'électrostatique,  la  seconde  intégrale  du  second  mcmljre  repré- 
senterait le  travail  des  forces  électromotrices  extérieures  (chi- 
miques, thermo-électriques,  etc.);  la  première  intégrale  du  second 
membre  représenterait  l'énergie  perdue  sous  forme  de  chaleur 
de  Joule. 

Cette  équation  exprime  donc  bien  qu'il  y  a  conservation  de 
Ténergie. 

273.  Stabilité  de  F  équilibre.  —  Dans  le  cas  où  il  n'y  a  aucune 
force  électromotrice  extérieure  au  système, 

~~~dT—=-  I  ^ ^'^' 


ÉrVDE    DES    MILIEUX   MAGNÉTIQUES 

la  dérivée  de  T  +  U  par  rapport  au  temps  est  donc  essentielle- 
ment négative  dans  ce  cas. 

Si  la  constante  k  de  Helmholtz  est  ^  o,  l'équilibre  est  stable. 
En  effet,  ï  +  U  est  essentiellement  positif  et  ne  s'annule  que 
s'il  n'y  a  ni  électricité  libre  ni  courants  dans  l'espace  ;  si  T  -|-  l 
est  très  petit,  c'est  que  les  courants  et  la  densité  de  l'électricité 
libre  sont  partout  très  petits.  Partons  de  l'équilibre  :  T  +  U  =  o, 
et  faisons  subir  une  petite  perturbation,  T  +  U  prendra  une 
valeur  positive  très  petite;  mais  si  nous  abandonnons  le  système 
il  lui-même,  T  -(-  U  va  aller  en  diminuant,  tout  en  restant  po- 
sitif ;  T  H-  U  restera  donc  très  petit,  ce  qui  ne  peut  avoir  lieu 
que  si  les  courants  restent  eux-mêmes  très  petits.  Donc  il  y  a 
stabilité. 

Au  contraire,  si  k  est  négatif,  nous  pouvons  encore  partir  de 
l'équilibre  absolu  et  faire  sul)ir  au  système  une  perturbation  très 
petite  ;  mais  nous  pouvons  toujours  supposer  cette  perturbation 
telle  que  la  valeur  initiale  très  pclite  que  prend  T  -|-  U  soit  néga- 
tive. A  partir  de  la,  T  +  U  va  diminuer;  sa  valeur  absolue  va 
aller  en  croissant,  et  on  s'éloignera  de  plus  en  plus  de  l'équilibre 
primitif.  L'équilibre  est  instable. 

Nous  devons  donc  rejeter  toute  théorie  ([ui  donne  à  h  une  va- 
leur négative,  en  particulier  la  théorie  de  Weber,  qui  se  déduit 
de  celle  de  Ilclmboltz,  en  faisant/»:  = —  i. 


KT  u  !)  i>:   I  )  i:  s  Mi  u  i:  u  x   m  a  (  ;  n  i<:  t  i  n  u  n  s 

274.  —  (|uc  dcvieiineirt,  dans  les  milieux  magné li([ues,  les 
équations  (  i  4)  et  (i  3)  ? 

Définissons  d'abord  la  force  el  l'induction  magnétique  (ur  un 
point. 

La  force  magnéti([ue  sera  la  somme  géométrique  de  deux  vec- 
teurs : 

i*'  La  force  éleclro-magnétique,  due  aux  courants  fermés  ou 
iu)n,  et  définie  comme  au  n'^  9.85  telle  qu'elle  serait  au  point  con- 
sidéré si  le  milieu  n'était  pas  magnétique  :  cette  force  pourra  ne 
pas  dériver  d'un  potentiel,  cela  aura  lieu  si  au  point  considéré  le 
courant  électrique  n'est  pas  nul. 


Î02  THÉORIE  DE  IIELMHOLTZ 

2°  La  force  magnétique  due  aux  armants  permanents  ou  non  ; 
elle  pourra  se  réduire  à  l'action  qu'exerce  l'armantation  induite 
par  les  courants  dans  la  masse  magnétique  à  l'intérieur  de  la- 
quelle est  pris  le  point  considéré.  Cette  force  dérive  toujou*rs 
d'un  potentiel^  du  potentiel  magnétique  : 

Donc, 

7  - 

dk!        dW        da\        r       , 

dx'  "^  dij  ~^  dx/j    dx 

Quant  à  Tinduction  magnétique,  elle  est  la  somme  géométriq^ue 
de  la  force  magnétique  et  de  l'aimantation  au  point  considéré, 
multipliée  par  4"^- 

275.  —  Je  dis  que  dans  un  milieu  magnétique,  les  équations  [il\) 
doivent  être  remplacées  par  les  équations  : 


i\\ 

dG 

\ 

a  — 

dy 

dz 

('9) 

i  = 

d\< 
dz 

d\\ 

dx 

\ 

dG 

rfF 

.= 

dx 

'l'J 

•et  que 

les 

éqii 

lations 

(' 

5) 

restent  eaicore  vi 

aies. 

276,  —  En  effet,  considérons  un  aimant;  supposons  qu'il  n'y 
ait  pas  de  courant  extérieur.  L'aimant  peut  être  considéré  comme 
'Constitué  par  un  système  de  courants  particulaires  d'après  les 
idées  d'Ampère. 

La  composante  F  du  potentiel  vecteur  du  à  l'un  de  ces  courants 
■est  : 


ÉTUDE  DES  MILIEUX  MAUMiTIQUES 

ci 
Tous   les  courants  particulaires  étant  fermés,    la  dérivée  -^^ 

disparaît^  et  il  reste 


En  transformant  cette  intégrale  de  ligne  an  une  inté. 
surface  il  vient 


(Uyy'  étant  1  élément  de  Taire  embrassée  par  le"  courant  ;  cette  aire 
est  infiniment  petite;  donc  l'intégrale  se  réduit  au  seul  élément 


cl-  d^ 

dz/        ''    du'  / 


i'dw'X    m'  -T-7  —  Il 


Le  courant  est  équivalent  à  un  élément  magnétique,  dont  le 
iuoment  a  pour  composantes  k-'âx' ^  BV/t',  CVZt', 

^  Wd-J  ^  i'nt'dw', 
[  Cd-J  ■=.  hiUU  ; 

par  suite  la  composante  F  du  [)()teutiel  vecteur  du  à  cet  élément 
est 

./i  dl\ 

Pour  avoir  la  composante  due  à  l'aimant  entier  il  faut  intégrer 
par  rapport   aux  éléments  d'z^  du  volume  de  l'aimant,  ou,  ce  qui 


THÉORIE  DE  ÎÎELMUOLTZ 

it  au  même,  intégrer  dans  tout  l'espace,  car,  à  l'extérieur, 
.  B'  =  C^  =  o.  Il  vient  clone 


1 


F  = 


^oici  le  point  délicat  du  calcul  :  /•  est  la  distance  de  deux  élé- 
ats  di  et  rfV  et  l'élément  ch  est  à  l'intérieur  de  la  masse  ;  donc  r 

I 

/• 


it  être  infiniment  petit  ;  ~  est   alors    infiniment    grand  :    s'il 


I 


infiniment    grand    du   premier    ordre, -y-^,  l'est  du    second, 

et  —r-rr  du  troisième;  et  ainsi  de  suite. 
dx-" 

J'ai   à  prendre   des  intégrales   triples;  si   j'ai  sous    le  signe  I 
des  termes  en  —,  Fintégralc  est  finie  et  détermiiiée,  de  même  pour 


r 


des  termes  en -7-7,  mais  il  n'en  est  plus  ainsi  si  l'on  a  des  dérivées 
dx' 

secondes.  Si  on  ne  faisait  j)as  attention  \\  celte  i'emar(pie,  on  dé- 
montrerait aisément  que  A\'  est  nul  même  \\  l'intérieui'  du  cor[)s 
attirant,  ce  qui  est  faux. 

Je  dois  donc  m'arranger  pour   ne  pas  introduire,    comme  aux 

n"147  et  n"  148,  les  dérivées  secondes  de;  —  par  rapport  aux  cor- 

r 

données. 

En  intégrant  par  parties  dinis  tout  fespcicc^  on  a, 


""'lu''- 


ÉTVBE  DES  MILIEUX  MAGNÉTIQUES  3o5 

L'expression  de  F  que  nous  voulions  transformer  devient  donc, 


/ 


F: 


dC        dB'\i    ,,        , 

-j-T  —  -j^  j  -  «T  ,  et  de  même  : 


•^^/if-SH-. 


-/f§:-f)i- 


Calculons  maintenant  l'expression  qui  nous  intéresse, 

^H         dCr 

dy  dz  * 

Il  vient  en  dill^rcntiant  la  troisième  relation  (20)  par  rapport 
à  y  et  la  deuxième  par  rapport  à  ;:  : 


(...) 


Considérons  encore  l'idenlilé, 


d-J  — 


dy  d.v 


Transformons  ces  intégrales  ;  nous  savons  que, 


3o6 


riJÉOJRIE  DE  liELMIIOLTZ 


parce  que  r  est  fonction  de  .r  —  x' ,  y  —  y'  et  z  —  z/.  On  a 
clone  en  tenant  compte  de  cette  identité  et  intégrant  par  parties 
dans  tout  l'espace  par  rapport  à  y  : 


T  dz' 


dœ'dy'  r  "^^  ^ 


et,  en  intégrant  de  nouveau  par  parties  par  rapport  à  x' 


d'W    I 
dx'dy'  r   ^'^  ==  ■ 


d —  l        ir^i     d 


dy'  dx^''^'^  = 


d^ 

dy'    "cU^^^' 


Donc^ 


dy'     dx    '^^^ 


et  de  même, 


/        d-J     dx    '^''• 


?. 


D'autre  part,  si  l'on  pose 


V  = 


k'd-J 


nous  avons 


41=  /  A'l/:./.'= 

dx  I  dx 


I 


di- 


ETUDE  DES  MILIECX  MACyÉTIQUES 

et,  en  iiitégraut  par  pai-ties  dans  tout  l'espace,  il  vient 


dV 


chV     I 
cl.v'     r 


ck' 


'ioj 


d'où,  en  diDPérentiant  par  rapport  à  a:, 


d'Y         I     dA'    '^  /•■ 


d:r 
el  par  un  calcul  analogue, 

d'Y 
df  = 


dx'     d.v 


/-', 


diV    ^~7 


'■^'J    !-h 


h\ 


d'Y 


d:r 


dz'       d.z 


-éh'. 


Les  o([uations  (21)  s'écrivent  alor; 


t 


d\[ 

du 

dV, 


dz 


d\y   '^   r  d-\ 

dij      d.v       '         djf-  ' 


dVJ   ',■    -,  ,       d'Y 

■  d-  - 


dz'       d.i 


dA.  r 


dx'      dx 


ih'- 


d-r    ' 
d'Y 


dx' 


En  additionnant  membre  ii  membre  ces  écjualions  on  obtient, 
dll  dC. 


dij  dz 


7    ' 
diV         ^B'  da  \        r 


dx'  "*"   dy'     '     dz'  J     dx 


d^'—AY; 


)8  THÉORIE  DE  HELMHOLTZ 

l'autre  part  la  relation  de  Poisson  nous  donne, 

AV  =  —  4^A. 

Il  vient  donc, 

dR  dG  ,     ,    . 


dij  dz 

et,  en  tenant  compte  des  relations  (12)  du  n*^  8,  il  vient  finalement, 

^H         ^G  _ 
dy  dz  ' 

,  par  un  calcul  analogue  au  précédent, 

dF  rfH 


dz  dx 

dG  d¥ 


-^ 


dx  di/ 


C.  Q.  F.  D. 


277.  —  Prenons  maintenant  un  milieu  magnétique  parcouru 
par  des  courants  finis  ;  if^  ç^  w  sont  les  composantes  du  courant  ; 
a^,  ?i7  Yj  sont  les  composantes  de  la  force  électro-magnétique 
due  aux  courants  finis,  F^,  G^  11^  les  composantes  de  leur  poten- 
tiel vecteur.  De  même,  a,,  [3.^,  y^  seront  les  composantes  de  la  lorce 
magnétique  due  aux  courants  particulaires  ;  a^^  i^,  c^  les  compo- 
santes de  l'induction  qui  leur  est  due,  et  F^,  G^,  11^  les  compo- 
santes de  leur  potentiel  vecteur.  On  a  pour  les  composantes  de 
la  force  magnétique  totale,  de  l'induction  totale  et  du  potentiel 
vecteur  total  ; 

/  a  =  a^  +  a„ 

f     V  ==  V     -4-  Y 
[  il       1^     i  21 

f     c  =  C^  H-   6',, 

/F==F,  +  F„ 
^  G=G,  +  G„ 
(  H  =  H.  +  1L . 


ÉTUDE  DES  MILIEUX  MAGNÉTIQUES 

Or,  d'après  le  n°  268,  on  a,  pour  les  courants  finis, 

!    "'  ~     d?J  d.Z    ■ 


/ 


et 


rf.3  rf:r  dydt  ' 


dx  dy  dzdt 

Pour  les  courants  particulaires,  d'après  le  n^  275,  on  a, 

i  '''^"~  dy  dz    ' 

)      _  dP,         dli, 
j    '  ~   d.z  dx  ' 

^'2 


et 


W: 


d.v  d;j   ' 

dy  dz    ~''' 


I   d{i. 


ïz  dx 

dy.. 


\    d.v  dij 

\i\\  ajuutantces  qualre  séries  cl'cujuations  membre  ;i  membre  il  vient, 

'  d\\         dC. 

/  "~    dij  dz 

)  _^  _  d\\ 


dz  d.x- 

dC.         dF 


c 


dx         du  ' 


3 1^0  THÉORIE  DE   fJELMHOJ.TZ 

et  . 

da,  dy  ,  ^     «^'cp 


/: 


dz  dx  dydt  ' 

<r/.'r  r//y         "^'"'^  '   dzdt' 


ce  qui  était  à  démontrer. 


CHAPITRE  V 

PASSAGE   DE  LA  THÉORIE  DE   HELMHOLTZ 
A  CELLE  DE  MAXWELL    . 


278.  —  Pour  se  rendre  compte  de  la  façon  dont  on  peut  pas- 
ser de  la  théorie  de  Helmhoilz  à  celle  de  Maxwell,  qui  n'en  est 
qu'un  cas  particulier  ou  plus  exach^nent  qu'un  cas  limite,  il  faut 
connaître  les  diverses  hypothèses  faites  au  sujet  du  magn(3tisnie 
induit  et  de  la  polarisation  diélectrique.  Le  présent  chapitre  est 
intimement  lié  ou  chapitre  III  de  la  première  partie  où  j'ai  exposé 
des  idées  analogues  à  celles  de  Ilelmholtz  sous  une  forme  diffé- 
rente. 

Avant  d'aljorder  la  question  de  la  polarisation  diélectriq-ue,  rap- 
pelons les  théoj-ies  du  magnétisme  induit.  Nous  commencerons 
par  celle  de  Poisson,  la  plus  invportante  au  point  de  vue  de  ce  qui 
va  suivre.  Mais  comiiie  les  calculs  ont  été  expos^'^s  en  détail  dans 
la  première  jKirtie  de  ce  volume  (u"'  52  à  BQj^nous  nous  hot'uerons 
à  rappeler  succinctement  les  r<''sultats.  Je  ch)îs  avertir  toutefois 
([ue  la  tliéoi'ie  (^xp()sée  dans  les  nunu'ros  cil  es,  52  à  59,  se  rap- 
portant pkis  pai'liculièi'ement  aux  di(VhH'ti'i(pies,  il  faut,  |)our  eu 
déduire  !a  tliéorie  du  nuignétisme  <|ui  n'en  dillere  pas  au  point 
de  vue  mathématicpie,  changer  queI([U(^s-unes  des  notations. 

.; .       ,       iii]    ,  , 

i]  <'st  ainsi  (|U(^  ce    (pie  j  ai    appeh^ ■"  et  /i  dans  ces  para- 
fai? 

graphes  s'appellera  ici  a  et  z.  1^'n  elFet  U  r{q)résentait  le  poten- 
tiel électri<|ue  ;  il  doit  élre  remplacé  ici  par  le  pot(MUiel  magné- 
tique dont  les  dérivées  changées  de  signe  ne  sont  autre  chose 
(|ue  les  composantes  de  la  force  magnétique.  De  même  ce  que 
nous  appelions  K  s'appellera  ici  |jl. 

279.  Induction  magnétique.  —  Poisson  attribue  les  phéno- 


în 


3  12     PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  IIELMUOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

mènes  magnétiques  à  deux  fluides,  austral  et  boréal.  Un  corps 
magnétique  est  constitué  par  de  petites  sphères  conductrices  du 
magnétisme,  distribuées  irrégulièrement  dans  un  espace  inter- 
médiaire isolant.  Chaque  sphère  peut  être  regardée  comme  étant 
la  superposition  d'une  sphère  solide  de  fluide  austral  et  d'une 
de  fluide  boréal  :  l'effet  de  l'aimantation  est  de  faire  glisser 
Tune  de  ces  sphères  par  rapport  à  l'autre  d'une  quantité  plus 
ou  moins  grande  ;  on  a  ainsi  des  couches  de  glissement  (^). 

Poisson  admet  que  les  actions  mutuelles  de  toutes  les  autres 
sphères  sur  Tune  d'elles  se  neutralisent.  Si  m  est  la  masse  de 
chacune  des  sphères,  australe  et  boréale,  et  si  ^,  ?],  !^  sont  les 
composantes  du  déplacement  du  centre  de  la  sphère  qui  glisse, 
on  a 

Kd-Zy  B^/t,  Cd'z  étant  les  composantes  du  moment  magnétique  de 
cet  élément  sphérique. 

Pour  pouvoir  définir  la  force  magnétique  en  un  point  inté- 
rieur, il  faut  supposer  une  cavité  creusée  autour  du  point,  et  la 
force  dépend  de  la  forme  de  cette  cavité,  contrairement  à  ce  que 
croyait  Poisson.  Elle  a  pour  composantes  a,  [3,  y  à  l'intérieur 
d'un  cylindre  infiniment  long  par  rapport  à  sa  base  et  dont 
Taxe  est  dirigé  suivant  l'aimantation  ;  les  composantes  sont 
a-f-4'î^A,  [3+4^:6,  y  +  4'^C  à  Fintérieur  d'un  cylindre  infini- 
ment plat,  parallèle  aussi  à  l'aimantation  ;  eu  fia,  elles  sont 

à  l'intérieur  d'une  sphère. 

Décrivons  autour  du  point  0  une  sphère  cr  de  volume  cZt,  très 
petite  d'une  façon  absolue,  mais  grande  par  rapport  aux  élé- 
ments sphériques  ;  écrivons  qu'il  y  a  équilibre  à  l'intérieur  d'un 
de  ces  éléments,  s.   L'action  des  corps  extérieurs    à  la  sphère  cr 


(')  Voir  pour  cette  théorie  des  couches  de  glissement,  première  partie,  ch.  m. 


INDUCTION  MA GNÉTIQ UE  3 1 3 

a  pour  composante  parallèle  a  0^,  a -j-  tj-  t^A.  A,  B,  C  sont  les 
composantes  de  la  magnétisation.  Si  s  est  le  rapport  du  volume 
des  petites  sphères  s  au  volume  d'z  de  a-,  l'aimantation  de  chacun 
de  ces  éléments  s  a  pour  composantes  —  ,  —  ,  — .  L'action  sur  un 

point  intérieur  à  g-  des  éléments  sphériques  extérieurs  à  .9,  mais 
intérieurs  h  o-,  est  supposée  nulle  (Cf.,  première  partie,  \\^  55). 
L'action  de  l'élément  s  lui-même  a  pour  composante  parallèle 
«A  4     A 

0        £ 

L'équation  de  l'équilibre  s'écrit  ainsi 

I    4     ,       4     A 

(l)  a4--y7rA—    yTU—  =o, 

d'où, 


et, 


a 

= 

4 
3 

£ 

£ 

4^ 

-A= 

3£a 

.1  £ 

7 

donc 


et  en  posant 


il  vient  finalement 


:  a  H-  4t^  A  =    ^  ^  '''^  a  , 


T  +  2£ 


|j.a, 


-11—=:  [jt.  est  ce  qu'on  appelle  la  pcnnèahUilê  magnéliqifc. 


J'insiste  sur  la  signification  de  l'équation  (i). 

Une  molécule  magnétique  située  à  l'intérieur  de  la  sphère  s 
qui  est  conduclrico  du  magnétisme  doit  être  en  équilibre  sous 
l'action  de  toutes  les  forces  qui  agissent  sur  clic.  Si  l'on  consi- 
dère seulement  les  composantes  parallèles  à  l'axe  des  Xy  la 
somme  de  ces  composantes  doit  ôtrc  nulle.  On  a  donc  : 


3i4     PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  lŒLMHOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

A^ctioii  des  aimants   extérieurs  et  des  éléments  magnétiques 
extérieurs  à  cr  =  a  +  — 'û:A]  +  (action  des  éléments  magnétiques 


intérieurs    a    cr    et    autres     que    5=:oj-j-    (action    de    s 

4     A^ 


La  théorie  présente    des  difficultés   ;    c   doit  ètrc<~r,  ce  qui 

impose  à  [ji  une  limite  supérieure  qui  est  dépassée  pour  le  1er. 
On  peut  dire,  il  est  vrai,  que  rien  n'obligeait  à  considérer  des 
éléments  sphériques  ;  on  peut,  comme  l'a  fait  M.  Mathieu, 
prendre  des  éléments  d'autres  formes,  et  l'on  échappe  à  cette 
difficulté. 

Une  autre  difficulté  c'est  que  ix  n'est  pas  une  constante  mais 
varie  avec  la  force  y  a*-^  -]-  [j'  -1-^". 

Weljer  suppose  des  éléments  déjà  polarisés,  mais  orientés 
d'une  manière  quelconque  :  la  force  magnétique,  les  ramène  a 
une  direction  commune,  ce  qui  se  rapproche  des  idées  d'Am- 
père. 

Quant  au  diamagnétisme,  remarquons  que  pour  s'en  j'endre 
compte  dans  les  idées  de  Poisson,  il  faut  admettre  que  le  vide 
est  susceptible  de  polai'isation  magnétique  et  ([ue  h's  corps  dia- 
magnétiques  sont  seulement  moins  magnétiques  que  le  vide. 
Alors  le  |x  du  vide  n'est  plus  i  :  on  nous  aNait  d(''iiul  Tunité  de 
magnétisme  en  admettant  ([ue  deux  pob\s  égaux  à  i  s'attirent 
avec  une  force  i  à  l'unité  de  dislance;  si  jj.  ~-  ï  pour  h*  vide, 
l'attraction  observée  dans  le  vide  est  bi(ui  rallraciion  r('^ene.  Il 
n'en  est  plus  de  même  si  [x>  \. 

280.  Polarisation  diélectrique.  —  Mossotli  est  arrivé  l\ 
rendre  compte  des  phénomènes  (|ue  présentent  les  diélectri(|ues 
dans  les  idées  de  (^louloml),  en  transportant  l(\s  théories  de 
Poisson  à  l'électricité,  et  ces  théories,  (|ui  ne  sont  plus  (|ue  de 
l'archéologie  en  magnétisme,  peuvent  encore  servir  chms  l'i^tude 
des  diélectriques,  sans  pourtant  correspondre  pr()l;)ab[ement  à 
aucune  réalité  objective. 

Les  diélectriques  seraieirt  composés  de  sphères  conductrices 
plongées  dans  un  milieu  isolant.  Ce  qui  joue  le  rôle  de  Taiman- 


POLARISATION  DTELECTRiqUE 

tation,    c^'est    la  polarisation   diélectrique^  que  Maxwell  appclit 
déplacement  électrique  :  /",  g",  h. 
On  a  donc  clans  ce  cas, 

.   m'i^^fdx, 

\  ni^  =  /uk. 

Un  diélectrique  constitué  de  la  sorte  est  tout  à  fait  assimi- 
lable à  un  aimant;  je  veux  dire  que  le  fluide  électrique  y  est 
distribué  absolument  de  la  même  façon  que  le  fluide  magnétique 
dans  un  aimant  constitué  comme  le  suppose  Poisson. 

Le    potentiel   magnétique    d'une     masse     magnétique     m    p; 

rapporta  un  point  extérieur  est  — .  i.e  potentiel  (4ectri(|ue  cl  une 
masse  électrique  /?i  est  de  même,  d'après  les  notations  que  nous 


1        ,         ni 
avons  adoptées,  ^; — 


Le  potentiel  d'une  des  sphères  de  Poisson  par  rapport  à  un 
point  extérieur  est,  en  appelant  Adi,  Bd-z,  Cd-z  les  composantes 
du  moment  magnétique  de  cette  sphère  : 


]Je  même  le  potentiel  d'une  des  sphères  de  ^lossotii  par  rap- 
port à  un  point  extérieur  sera  : 


De    même  donc  (pie   le  potentiel    d'un   aimant  est   repi'ésenté 
par  rintégrale  : 


d-^      d^ 

0=    /    d,\  A'-^  +  B'-^ 


3i6    PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  HELMHOLTZ  A  CELLE  DE  3TAXJVELL 

celui  d'un  diélectrique  sera  représenté  par  l'intégrale  : 


o  ■ 


La  force  magnétique  (parallèle  à  l'axe  de  .r)  due  à  un  aimant 
est  en  un  point  extérieur  a= j^',   la  force    électrostatique 

due  à  un  diélectrique  sera  de  même — -j-  . 

Si  Ton  veut  calculer  cette  force  en  un  point  intérieur,  ou 
retrouve  l'analogie  avec  les  aimants.  Il  faut  pour  la  définir  sup- 
poser une  petite  cavité  creusée  dans  le  diélectrique  autour  du 
point  considéré  ;  on  voit  alors  que  la  composante  parallèle  \\ 
l'axe  des  x  est  égale  à  : 

~-  SI  la  cavrte  est  un  cylindre  très  alionrrc  : 

dx  -^  ^ 

JL-\ !j-  si  elle  est  un  cylindre  très  aplati  ; 

dx  1  "^  ^ 

--L.-J — — £_  SI  elle  est  sphérique. 

Ecrivons  comme  précédemment  les  équations  de  Téquilibre; 
il  faut  seulement  ajouter  ici  les  forces  électrouiotriccs  d'induc- 
tion, et  d'autre  part  les  forces  électromotrices  d'origine  quel- 
conque, chimique  par  exemple  ou  thermoéleetrique,  et  dont 
j'appelle  les  composantes  X,  Y  et  Z. 

/ 

a  doit  être  ici  remplacé  par y^  o  étant  le  potentii^l    élec- 

ax    '  *■ 

trostatique. 

Une  molécule  électrique  située  à  l'intérieur  d\inc  des  sphères 
de  Mossotti  doit  être  en  équilihre  ;  si  donc  on  considèr('  h^s 
forces  électromotrices  d'origine  diverse  auxquelles  celU^  inoh- 
cule  est  soumise  et  les  composantes  de  ces  forces  suivanl  Taxe 
des  X,  la  somme  de  ces  composantes  doit  être  nulle,  ce  qui  nous 
donne  une  équation  tout  à  fait  analogue  à  Féquation  (i)  ;  iions 
supposerons  comme  plus  haut  que  l'on   a  creusé  dans   le  diélec- 


POLARISATION  DIÉLECTRIQUE  3 1 7 

trique  une  cavité  limitée  par  une  sphère  o-  concentrique  a^  ;   on 


aura 


(action  des  conducteurs  extérieurs   et  de  la  portion   du   dié- 
lectrique extérieure  a  «7  =  —  T^+'^^T)  "^  (^^^^^^  ^^^  sphères 


de  Mossotti  intérieures  a  a-  et  autres  que  s  =^  o)  -j-  (action 
s  z=z  —  -ttI-J  _[_  (forces  d'induction  =:  —  _.j  ~j_  (^forces  él 
tromotrices  extérieures,  d'origine  diverse  =X)==o,  c'est-à-di: 

a:v         ai  0         /.         0        £A 


d'où. 


et  en  posant, 


on  a  : 


4         f    i  —  £  <:/'f         <^F 

— —  7C  -^ = ~ 1—  a: 

o         À        £  dx         dt 


I  £ 

471/'    _       d'jj        ^/F 


K  — À  dx         dt 


+  X. 


K  est  \e  pouvoir  Indue  leur  spèciliijue  du  milieu. 

Proposons-nous  maintenant  d'évaluer  le  courant  de  déplace- 
ment qui  se  produit  dans  un  diélectrique  (juand  son  étal  de 
polarisation  se  modilie.  Nous  avous  défini  plus  haut  les  com- 
posantes n,  i>  et  n'  du  courant.  C.ette  délinition  peut  encore 
s'énoncer  comme  il  suit  : 

iid-z  est  la  projeciion  sur  Vuxe  des  x  de  la.  (jiianlilê  de  mou^^e- 
ment  de  toutes  les  nioUcules  électriques  contenues  dans  Vêlement 
de  çolume  d-z. 

Considérons  un  élément  dx  contenant  une  sphère  de  Mossotti. 
Quand  cette  sphère  est  polarisée  on  peut  la  regarder  comme 
formée  de  deux  sphères,  l'une  de  lluide  positil',  l'autre  de  fluide 
négatif,  dont  les  masses  électriques  sont  égales  et  de  signe 
contraire,  qui  ont  même  volume  et  dont  les  centres  ne  coïncident 


jj8     passage  de  la  théorie  de  UELMîIOLTZ  a   celle  de  MAXWELL 

pas  (voir  première  partie^  îi'^47).  Soîeiit-|- ^^^  et — ;;z  les  masses 
des  deux  sphères  ;  soient  a\,  //^  .z^  les  coordonnées  du  centre  de 
la  sphère  positive  ,;  -^'â^^^'j  —  ^7 !/-2^^^l/i  — '^i?  -"i^"^^--'!  —  ^  celles  du 
centre  de  la  sphère  négative. 

Alors   ç,    r^,    Sj   ^^it    la    même    signification    qu'au    débul    du 
paragraphe. 

On  a   pour  la  composante  parallèle   à  Od'  du  courant    du  au  •       m 

déplacement  relatif  des  deux  sphères  : 


or. 


r/.i",  clv,  (Iç 

dt  de  ^  1T 


donc, 


et  de  même 


AL 

dt  ' 


d^ 
di  ' 
dh 
dt  ' 


281.  —  Le  potentiel  électrostati([ue  o  esl  du  à  l'éleclricité  ré~ 
pandtie  dans  les  conducteurs  et  à  celle  qui  pohirlso  les  diélec- 
triques :  ceux-ci  se  comportent  comme  des  aiuuurts. 

On  a  donc 


en  appelant  cr  la  densité  au  point  (.r,  /y,  z)  du  conducteur.  Dans 
cette  équation  la  première  intégrale  représente  le  potentiel  du 
à  l'électricité  libre  des  conducteurs,  la  seconde  le  potentiel  du 
à  r  électricité  polarisée  dans  les  diélectriques. 

D'ordinaire  il  n'y    a    d'électricité    libre    qu'à  la    surface    des 


POLAIUSA  riOX  DIÉLECTRIQUE  3  1 9 

conducteurs.  Appelons  [cr]  la  densité  superficielle  de  cette  élec- 
tricité au  point  .2',  //,  z  clc  cette  surface,  [g-'J  la  densité  superfi- 
cielle au  point  x\  y' ^  z' .  S'il  y  a  de  l'clectricité  non  seulement 
à  la  surface,  mais  à  l'intérieur  des  conducteurs  j'appellerai  de 
même  c  la  densité  de  volume  de  réicctricité  au  point  .r,  y/,  r- 
du  conducteur. 

Nous  avons  alors  : 


la  première  intégrale  devant  être  étendue  à  tous  les  éléments  de 
volume  ch'  des  conducteurs,  la  troisième  à  tous  les  éléments  ch' 
des  diélectriques  et  la  seconde  à  tous  les  éléments  chù'  de  la  sur- 
face qui  sépare  les  conducteurs  des  diélectriques. 

La   troisième    intégrale  peut  se  transformer  par  l'intégration 


I^=f^,'f-^.ni'o'^jr,h')d,,' 


chj'     '      <(z' 


Dans  Le  second  membre,  la  [)remièi'e  intégi'ale  doit  être  éten- 
due à  tous  l<;s  éléments  db)'  de  la  sui'fac(^  (jui  limite  les  dlélec- 
tri([ues  et  la  seconde  \\  tous  les  él(Mnents  d(;  volume  des  diélec- 
tri([ues. 

Pour  abréger  les  écritures  dans  ré(pKvtion  (3),  j'ai  supposé 
que  les  propriétés  du  diélectrique  varient  d'une  manière  conti- 
nue de  telle  soi'te  que  f\  g,  h  soient  des  fonctions  continues;  si 
donc  on  a  plusieurs  diélectriques  différents  je  supposerai,  qu'ils 
sont  séparés  les  uns  des  autres  par  une  couche  de  passage  très 
mince.    Au    contraire,   je    regarderai    les    diélectriques    comme 


320    PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  UELMIIOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

séparés  des  conducteurs   par  une   surface  géométrique  de    telle 
façon    que  les  propriétés  du  milieu  varient  hrasquement    quand 
on  traverse  cette  surface. 
Posons  maintenant 

p=:cr 

dans  les  conducteurs  ; 

df         clg         dit 
^  dx  dy  dz 

dans  les  diélectriques  ; 

[p]  =  [^]  +  ^/+ '^i?  H~  ^'^^ 

..  la  surface  de  séparation  des  conducteurs  et  des  diélectriques. 
Il  viendra  alors, 


En  d'autres  termes  tout  se  passera  comme  si  Ton  avait  de  l'élec- 
tricité répandue  dans  tout  l'espace  avec  une  densité  p  et  d'autre 
part  de  l'électricité  répandue  h  la  surface  des  conducteurs  avec 
la  densité  superficielle  [p|. 

Il  est  aisé  de  se  rendre  compte  de  ce  résultat  : 

Si  l'on  considère  un  aimant,  on  suit  que  tout  se  passe  comme 

.  ,      ,       .   ,  ,  .  ,,,...  ,     .         dA       dB       dC 

SI  la  densité  map;netique  a  i  intérieur  était et 

a,v        d  ij        dz 

la  densité  superficielle    à   la  surface   de  l'aimant   cg-ale   à   kl-\- 

B/;2  +  C^.   Les   diélectriques    étant  assimilables   à   des    aimants, 

tout  se  passe  comme   si  on  avait  à  l'intérieur    des   diélectriques 

,       .  ,   ,,        .  df      di^       dit       .   ,  r  1 

une  densité  électrique ^ ~ r-  et  a  la  surlace  une  deii- 

d.v      dij        dz 

site  égale  a  lf-\-mg-{-  n/i. 

Si  on  considère  donc  la  surface  de  séparation  d'un  conducteur 
et  d'un  diélectrique,  qui  sera  par  exemple  extérieur  à  cette  sur- 
face, nous  aurons  à  l'intérieur  de  cette  surface  une  couche  élec- 
trique infiniment  mince  de  densité  [cj],  provenant  de  l'électricité 
qui,  libre  de  circuler  dans  le  conducteur,  s'est  portée  à  sa  sur- 
face ;  et  nous  aurons  d'autre  part,  à  l'extérieur  de   cette  surface, 


NON  HOMOGÉNÉITÉ  DU  DIÉLECTRIQUE 


321 


une  couche  infiniment  mince,  de  densité  lf-\-  mg'~\-  nh^  prove- 
nant de  la  polarisation  du  diélectrique. 

Tout  se  passera  en  définitive  comme  si  nous  avions  vine  cou- 
che unique  de  densité  [p]. 

Il  importe  de  ne  pas  confondre  ces  deux  densités  superfi- 
cielles [p]  et  [(j]  dont  la  définition  est  très  différente. 

Dans  un  diélectrique,  on  a  : 


df 


dx 


do' 

dy 


dh 
dz 


et  en  difFérentiant  par  rapport  au  temps,   en  tenant  compte  dt 

1     •  df  ,,.... 

relatujns  u  =  -j-,  etc.,  on  retrouve  1  équation  de  continuité  : 


du 
dx 


dç> 


d\v 


dy 


dz 


dt 


282.  —  ïl  y  *t  une  remarque  à  faire.  Une  molécule  électrique 
situé  à  riutérieur  d'une  sphère  de  Mossotti  est  soumise  à  une 
force  électrostatique  dont  la  composante  parallèle  a  0.^'  est  : 


(4) 


X  =  - 


d-D 


K  — a' 


On  peut  s'étonner  de  voir  que  sa  force  n'est  pas  la  dérivée  du 
potentiel,  changée  de  signe.  C'est 
([ue  le  dlèleclrique  n'est  prrs  un  mi- 
lieu homo<j;ène  ;  le  polentiel  vrai  va- 
rie irrégulièi'cment  ;  à  l'état  sta- 
tique, par  exemple,  il  est  constant 
à  riut(''rieur  de  chacune  des  sphères 
de  Mossolli  et  variable  au  ch^hors.  — ^ 
Un  observateur  traversant  le  diélec- 
trique en  ligne  droite  verra  h^  |)oten- 

tiel.  varier  suivant   une   courbe  telle   (|ue    la  courbe  M^N^  de   hi 
(igure  8  ;  cette  courl)e  présente  des  sinuosités. 

La  fonction  'j:  définie  par  les  é(|uations  du  n"  276  est  au  con- 
traire continue  ainsi  que  tontes  ses  dérivées  ;  ce  n'est  qu'à  cette 
condition  qu'elle  peut  être  introduite  dans  les  calculs  avec  avan- 
tage ;    cette  fonction  '^,   qu'on  pourrait  appeler  potentiel  moyen ^ 

Poiis'CARÉ.  Klectrjcité  et  Optique.  ar 


Fin 


32a     PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  IlELMIIOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

n'est  donc  pas  rigoureusement  égale  au  potentiel  vrai,  mais  la 
différence  est  très  petite  et  du  même  ordre  de  grandeur  cpie  la 
distance  qui  sépare  deux  sphères  de  Mossotti  (^). 

Ce  potentiel  vrai  oscille  autour  d'une  valeur  moyenne  qui  est  '^, 
les  deux  courbes  représentant  le  potentiel  vrai  (MW)  et  le  po- 
tentiel moyen  (MN)  sont  extrêmement  voisines,  mais  les  tangentes 
sont  très  différentes^  et  c'est  pourquoi  la  force,  qui  est  la  dérivée 
du  potentiel  vrai  (au  signe  près),  est  très  différente  de  la  déri- 
vée du  potentiel  moyen. 

283.  Expression  de  F  énergie  électrostatique  dans  le  cas 
de  diélectriques.  —  Une  force  électromotrice  (X,  Y,  Z)  appli- 
quée a  une  masse  d'électricité  m  placée  en  un  point  (.r,  ij,  r) 
produit  dans  le  temps  dt  un  travail. 

\      dt  dl  dt  ] 

Pour  toutes  les  masses  de  l'élément  c/t,  le  travail  rapporté  à 
l'unité  de  temps  est  : 

■  ^       dt 


{^)  Si  on  considère  ])ar  oxem])lo  un  point  situé  en  dehors  de  cos  sphères  le polen- 
licl  moyen  est  égal  ù  Vuitcgralc 

cL  le  potentiel  vrai  est  éy^al  à  la  Homme 

obtenue  en  décomposant  le;  volinue  du  diéleetricjue  en  éléments  \-!  <'()iitenant  cha- 
cun une  sphère  de  Mossotti  et  uuii  setde  et  par  ('onsé([uent  finis  (^uoicpie  extrême- 
ment petits. 

On  voit  ainsi  avec  quel  degré  d'approximation  h^  «  potentiel  moyen  »  représent(ï 
le  «  potentiel  vrai  y.  Ces  difierenecs  n'ont  aneune  importance,  puisque  d'une  part 
rien  n'empêche  de  supposer  les  sphères  aussi  petites  qu'on  le  veut,  et  que  d'autre 
part  les  hypothèses  de  Mossotti  ne  doivent  être  considérées  que  comme  une  ma- 
nière comniodç  de  considérer  les  choses  et  n'ont  probablement  aucun  rapport  avec 
la  réalité  des  faits.  J'ai  cru  néanmoins  devoir  entrer  dans  tous  ces  détails  afin  de 
lever  une  apparente  contradiction. 


ÉNERGIE  ÉLECTROSTATIQUE  3^3 

et  pour  le  volume  entier,  ou  a  le  travail  : 
Or  on  a  (4)  n*^  282. 


_        ^cp       -47^/(1 -s) 

dv 

4t:/ 

dx               3  As 

dx 

K— }.' 

K-y? 

^'~        dz 

4^A 
K  — A  ■ 

Le  travail  cliangé   de  signe,  est -^  (en   appelant  U  Féncrgic 
électrosUitique)  ;  donc  : 

r 


La  prciiiii'iv  inlégrale  esL  ôgale  h  (en  inirgrani:  par  pai'lîes  clans 
louL  rcspae,':, 

d'^  dû  d-^\    , 


(h(     ,     ^/i'     ,     d\v 
7z 


^\d,-  "i-  7/-+-r)^^' 


cl  (Ml   (cnanl  eoinpU^  de  J'iMpialion  de  eonliiuiih', 


\  d.r  dij  dz  1  I     '    ,// 


s        \  ((•(  (iij  az  j    ''  I    -^    ,      i  ^• 


Mais 


324    PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  IIELMHOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

L'intégrale  est  donc, 

do    ^  I        /  .      ^A'j    ,  ^^       /      A   ^'^    7 

dt  ^T.      I       '     dt  4-      I     '      dt 


f  m 


! L_  _| } !_  _J ! L_   ]  ^-^ 

4t:     I     V  dx   dxdt         dij    dydt         d.z    dzdt 


2lA 

8-    dt 


[m'+m'+m"w 


dx)         \dyj    ^\dz 


La   seconde   intégrale  est,   en   tenant    compte   des    relations 
_df 


Il  =-y-,  etc. 
dt' 


K^^    /   («/+.^-+..'/,).fc^j^^" 


Jf  ,       d^-   ,    ,  r//(\  ^ 


2-    r/ 


K  — A     .// 


(/■H-^-H-/r)'/-. 


L'expression  du  travail  devient  ainsi, 

è4  im^m^-wh 


dt   """8^ 


ç/ 

Nous  supposerons  qirà  l'origine  des  temps  tous  les  coiiductcMirs 
partent  de  l'état  neutre  et  cpi'il  n'y  a  ui  électricité  libre  ni  cou- 
rant. 

On  a  donc  pour  f:=:=zo: 


U  =  o 


ÉNERGIE  ÉLECTROSTATIQUE  325 

et  pour  une  époque  ultérieure  quelconque;, 


K- 


7î    \    {r-+g'  +  h'')d-^. 


284.  —  Telle  est  l'expression  générale  de  l'énergie  électrostf 
tique.  Quand  on  a  affaire  à  des  phénomènes  purement  électrc 
statiques,  l'expression  se  simplifie;  on  a  en  effet: 

do  K— X 
'~~'       dx       /\t. 

et  deux  autres  équations  analogues  ;  d'où  : 

r>-         _  K— À  (d^ 


li  —  \i  8-     \djc 

Il  vient  donc  : 


le  signe  \  indicruant  une  permutation  circulaire  sur  les  lettres  .r, 

/ l  a.  i.  7 

!h  - 

On  enfin, 

D'autre  part,  nous  avons  à  rintéi'îeur  des  conducteurs  : 

(6)  '^rrrrCOnSt. 

A   l'intérieur   des   diélectriques,   l'équation   de   Poisson    nous 
donne  : 

df 


aA3= — 4^?' 


■■^^■li 


E  DE  LA  THÉORIE  DE  EELMUOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

ayant  la  même  signification  cpie  plus  haut;  d'où,   en 
mplaçant  /*par  sa  valeur  n°  284, 

'•2*=-Ei["^-'-)i] 

:|ui  peut  encore  s'écrire. 


VA 


dx 


Considérons  maintenant  un  point  de  la  surface  de  séparation 
des  conducteurs  et  des  diélectriques.  Nous  poserons,  conformé- 
ment à  une  notation  généralement  adoptée  : 

f^.  d's>         ,  d'^  do     ,        dz) 

an  dx  dy  dz 

Nous  aurons  alors  (en  nous  rappelant  que  C2  est  constant  à  Fin- 
téricLir  des  conducteurs)  en  un  point  situé  dans  le  diélectrique 
mais  infiniment  voisin  de  la  surface  de  séparation  : 

Nous  avons  posé 

[?]■=  H +//+/»é^ +«/',- 

nous  supposions  alors  que  Z,  ni^  ii  élaienl  les  cosinus  direcleurs 
de  la  normale  dirigée  vers  le  conducleur  ;  si  nous  supposons 
comme  dans  la  formule  (8)  que  /,  m,  n  sonL  les  cosinus  de  la 
normale  dirigée  vers  le  diéleelriqne,  il  faudra  écrire  : 

[?]  =  M  —  (^^4-  ^^^A^'-h  ^^/O 
d'où 

>^^  —  4t:l^JH~4^  [If-V-mg+nh), 

et  en  remplaçant  f,  g^  h  par  leurs  valeurs 
^  d'z>    K  —  À 


ENERGIE  ÉLECTROSTATIQUE  '^'l'] 

il  vient, 


À4£=-4^M-(K->0f^'^'' 


4-W-(K->0K-7r+'«4r  +  « 


Z'i3 


dn  L  j      V  \    dx  djj  dz 


-         d'^  ,        r-      ^  /Tr  ^       d'^ 


OU  enfin 


(9)  ^i  — 4^W- 

J'observe  encore  que  l'on  a  : 
(  t  o)  charge  à'm\  conducteui'  quelconque  =  \  [cr]  r/co, 

Fintégration  étant  étendue  à  tous  les  éléments  di-o  de  la  surface 
de  ce  conducteur. 

Les  équations  (6),  (7),  (9)  et  (10)  suffisent  pour  nous  faire  con- 
naître la  fonction  '^  quand  on  connaît  la  charge  de  chaque  con- 
ducteur. 

L'équation  (5)  nous  fait  connaître  ensuite  Ténergie  U  et  comme 
nous  savons  que  le  travail  virtuel  des  attractions  électrostatiques 
est  égal  à  Laccroissement  virtuel  de  cette  énergie,  nous  pouvons 
en  déduii'e  la  valeur  de  ces  attractions. 

Ainsi,  si  nous  connaissons  la  charge  et  la  position  de  chaque 
conducteui',  les  équations  (f)),  (6),  (7),  (())  et  (10)  nous  feront 
connaître  les  attractions  électrostaticpies.  Mais  dans  ces  é(|ualions 
la  conslante  A  ne  ligure  pas  ;  nous  n'y  voyons  figurer  (jue  le  pou- 
voir inducteur  K. 

Les  atti'actions  éhn'trostaticpies,  |)()ur  des  cliai'ges  et  des  posi- 
lions  données  des  conducteurs,  {jni  so//i  ffutifjfœ  objet  des  ex- 
pèrlences  élccn'os(ali(/in's,  ne  dépendent  donc  pas  de  A.  Ces 
expériences  ne  peuvent  donc  pas  nous  (aire  connaître  ).,  mais 
seulement  le  pouvoir  inducteur  K  qui  est  fonction  à  la  fois  de  A 
et  de  £. 

Nous  désignerons  par  K^  le  pouvoir  inducteur  du  vide  et  par  £,, 
la  valeur  de  s  relative  au  vide. 

Dans  les  théories  anciennes  on  suppose  que  le  vide  ne  contient 


e 


PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  IIELMIIOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

ie  sphères  de  Mossotti,  qu'il  ne  s'y  produit  pas  de  polarisa- 
î  diélectrique,  c'est-a-dire  que  s^  =  o  d'où  : 

.  pour  un  diélectrique  quelconque  : 

K-K. 


K  +  2K. 


Mais  rien  n'oblige  à  supposer  e^  =  o.  C'est  ainsi  que  dans  la 

du  magnétisme  induit,  après  avoir  supposé    que  pour  le 

=  0,  pi  =  I  on  a  été  conduit,  pour  expliquer  le  diamagné- 

a  supposer  que  le  [jl  du  vide  est  plus  grand  que  i,  c'cst-à- 

ae  le  vide  est  faiblement  magnétique  (Cf.  n°  274).  On  peut 

ci  une  hypothèse  'analogue. 

-omme  les  expériences  électrostatiques  ne  nous  font  connaître 

que  K  et  K^,  les  phénomènes  électrostatiques  pem^ent  s'expliquer 

quelle  que  soit  la  ç aie ur  plus  petite  que  K^,  attribuée  à  X  pourvu 

que  l'on  suppose  en  même  temps  : 


et  pour  un  diélectrique  quelconque  (^) 

K  — A 


OÀ 


K  est  exprimé  en  tbnction  de  A  et  de  s,  mais  ni  A,  ni  s  n'entrent 
séparément  dans  l'expression  de  l'énergie  électrostati(|ue.  Si  on 
change  X  en  môme  temps  que  s  de  manière  à  laisser  K  invariable,, 


(')  Ces  formules  su])poscnt  que,  comme  Poisson  eLMossolli,  on  allril)iie  la  forme 
sphériquc  aux  parties  coiuluetrieos  du  diéleelriquc.  Celle  liypolhèse  ne  join^  dans 
la  lliéorie  aucun  rôle  cssenliel,  elle  scrl  seulement  à  simplifier  les  (^ahuils.  Si  on 
supposait  que  la  forme  dos  ])arlies  eoiiduetrices  est  queh'onqne,  on  ai'riverait  à  nu 
résultat  analogue  et  on  trouverait  : 

I   +  2s  . 

ç   [t)   étant  une   fonction  qui  se  comporte  comme  ,  je   veux   dire  qu'elle 


DIÉLECTRIQUES  32« 

on  ne  changera  rien  à  l'expression  de  ce  que  nous  pouvons  con- 
naître  expérimentalement.  L'expérience  ne  nous  fera  donc  pas 
connaître  X  si  nous  nous  en  tenons  aux  phénomènes  électrosta- 
tiques. 

285. —  Dans  les  idées  de  Mossotti^  ordinairement  reçues,  £=0 
Alors 

"  I    £ 

Deux  unités  d'électricité  placées  à  l'unité  de  distan( 
poussent  avec  une  force 

I  I 

Mais  on  peut  aussi  expli(fuer   les  phénomènes   en   admettani 
que  £y  ne  soit  pas  nul,  même  j)our  Tair  et  pour  le  vide.  Alors 

I\>A,  et-:J->-j^. 

A  XV  y 

La  répulsion  réelle   entre    deux   unités    d'électricité  est  plus 

grande  quejr-,  mais  la  répulsion  ohnerpée  dans  le  vide  est  tou- 

I  ' 

jours—:  elle  n'est  pas  modifiée.  Elle  est  seulement  plus  petite 

(jue  hi  répulsion  réelle  à  cause  de  raclion  de  sens  coutraii'e  due  \\ 
la  présence  des  sphères  polarisées.  La  ihcorie  de  ÈLixwell  con- 
sis/e  à  faire  X  =  o.  Pour  ([ue  K  soll  fini,  il  faut  que  s  soîL  égal  à  i . 
(yest-à-dire  que  les  parties  coiuhtclrices  occupent  la  tolalilé  du 
volume  du  dlélectri([ue.  delà  l'cvieirl  à  se  r(q)réseul(vr  les  diélec- 
tricjues  comme  des  cellules  coiuluclrices  séparées  par  des  cloisons 
isolantes  d'épaisseur  inlininu^nl  pelile  par  ]'ap[)()rt  aux  dimen- 
sions de  ces  cellules  {^)  (Cf.  i'"''  partie,  u"  61  ^qq.)-  La  répulsion 
réelle  entre  deux  molécules  unités   serait  infinijnent  grande,  X 


(')  Ceci  lïù  doit  joas  èlre  pris  à  la  lollro,  11  serait  diïïicilc  d'admettre  que  le  vide 
eût  une  semblable  constitution.  11  ne  faut  voir  là  qu'une  ('a(;on  d'exprimer  ce  fait 
(jue,  dans  le  diéleelriquc,  l'éleetrieité  ne  circule  pas,  ne  se  déplace  pas,  il  y  a  seu- 
lement polarisation. 


3o     PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  HELMÏÏOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

tant  nul,  mais  la  répulsion  observée  entre  ces  deux  molécules , 

plongées  clans  le  diélectrique,  est  finie. 

Les  phénomènes  électrodynamiques   ordinaires  ne  dépendent 

pas  non  plus  de  la  valeur  de  A  et  ne  peuvent  nous  faire  connaître 

d¥ 
'^-elte  valeur,  —-j—  est  nul  pour  des  courants  constants.  L'équation 

i),  n-'  280,   s'écrit  donc: 

K  —  >.  dx 

*sque   les   forces  électromotrices  d'origine   diverse  que  nous 

is  représentées  par  X  sont  généralement  nulles). 

n  retombe  donc  sur  les  équations  du  n*^  280. 

d¥ 
ans  le  cas  des  courants  variables  ordinaires,  — - — est  généra- 

,aent  négligeable,  il  faudra  avoir  recours  a  des  courants  alter- 

.latifs  très  rapides,  comme  dans  les  expériences  de  Hertz  si  Ton 

d¥ 
veut  que  —7—  soit  assez  grand  pour  que  rinfluence  du  terme  en  \ 

se  fasse  sentir. 

Lathéorie  de  Maxwell  n'est  donc  en  définitive  qu'un  cas  Unùîe 
plutôt  qu'un  cas  particulier  de  la  théorie  de  Ilelmholtz.  11  faut  pour 
passer  de  l'une  a  l'autre  attrilmer  à  A  une  valeur  Infiniment  peiile. 

Voyons  ce  que  deviennent  dans  ce  cas  les  diverses  ([uantités 
que  nous  avons  envisagées  : 

1^*  Le  potentiel  électrostatique  cp,  ainsi  que  les  densités  cr  el 
[t|  qui,  d'après  le  n''  280,  ne  dépondent  pas  de  la  valeur  attribu('e 
à  À.  restent  finis  ; 

1^  Au  contraire  les  densités  que  nous  avons  appelées  p  et  \f\ 
sont  des  infiniment  petits  du  môme  ordre  (jue  "a. 

On  peut  s'étonner  que  le  potentiel  '^  et  les  attractions  élec- 
trostatiques restent  finis  bien  (pie  les  densités  électriipies  p  et 
Ip]  soient  infiniment  petites;  mais  je  rappellerai  : 

1"  Que  nous  avons  trouvé  : 


W±^  i  É^l^ 


Ir        '      ;         }.,/■ 


DIELECTRIQUES  ^i 

d'oii  il  suit  que  cp  est  fini  si  o,  [p]  et  \  sont  des  infiniment  petits 
de  même  ordre  ; 

2*^  Que  le  travail  des  forces  électrostatiques  qui  est  égal  à  la 
variation  de  la  fonction  U  définie  par  l'équation  (5)  du  n°  284  est 
également  fini. 

On  peut  d'ailleurs  s'expliquer  la  chose  d'une  autre  ma- 
nière. 

Rappelons,  ainsi  que  je  l'ai  exposé  dans  la  ] 
que,  d'après  la  manière  de  voir  que  nous  avonj 
adopter,  les  diélectriques  sont  constitués   par  d 

ductrices   séparées  par   des   cloisons   infiniment  

chacune    de    ces   cloisons  isolantes  représente  un  condeubu  . 
dont  les  deux  cellules  voisines  sont  les  armatures. 

Ces  deux  armatures  ont  des  charges  égales  et  de  signe  con- 
traire <7  et  —  q\  comme  la  cloison  est  infiniment  mince,  l'ac- 
tion de  ces  deux  charges  sur  un  point  extérieur  est  du  même 
ordre  de  grandeur  que  l'épaisseur  5  de  la  cloison  divisée 
par  A  et  multipliée  par  q  ;  si  donc,  comme  nous  le  supposons, 
h  et  X  sont  de  même  ordre,  cette  action  sera  de  môme  ordre 
que  q. 

Il  y  a  deux  remarques  a  faire  au  sujet  du  calcul  des  actions 
électrostatiques  : 

i"  Nous  avons  fait  ce  calcul  en  partant  de  l'expression  de  U . 
On  emploie  souvent  en  électrostatique  une  autre  méthode  qui 
st  aj)plicahle  à  un  conducteur  libre  placé  dans  un  diélectrique 
inipohu'isable  ('c=:o).  Ou  considère  les  diverses  molécules  élec- 
tri([ucs  répandues  à  la  surface  des  conducteurs  et  les  forces  aux- 
quelles elles  sont  soumises  et  on  les  compose  d'après  les  lois  de 
la  statique.  (k;tte  méthode  appll([uéo  à  uu  conducteur  placé  dans 
un  diélectri([ue  polarisahle  constitué  d'après  les  idées  de  j\Ios- 
sotti  donnerait  des  résultats  erronés  et  si  on  l'appliquait  au  cas 
d'un  diélectrique  constitué  conlormément  à  la  théorie  de 
Maxwell  et  aux  idées  exposées  dans  le  présent  numéro,  on  trou- 
verait une  attraction  infinie.  En  eflet  ce  conducteur  ne  pourrait 
se  déplacer  sans  déranger  les  sphères  de  Mossotti  ou  les  cellules 
conductrices,  ce  qui  produirait  un  travail  électrostatique  néga- 
tiC  et  par  conséquent  une  résistance  dont  il  y  a  lieu  de  tenir 
compte  ; 


e 


332      PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  HELMIIOLTZ  A   CELLE  DE  MAXWELL 

2°  Il  ne  faudrait  pas  non  plus  pour  calculer  U  partir  de  la  for- 
lule  : 


qui  donnerait  U==o  puisque  p=o. 

ï^aU.  efFet  la  fonction  n'est  pas  continue  puisqu'elle  varie  brus- 
q  lement  quand  on  passe  d'une  cellule  à  l'autre.    Si   nous  révé- 
lons aux  petits  condensateurs  dont  je  parlais  tout  à  l'heure  et  si 
is   appelons   q   et  q'  les  charges  des  deux  armatures,  cp  et  o' 
^^'-Xiûol  \  q  ~{- q'  sera  de  Tordre  de  X,  mais  ce  n'est  pas  une 
•ur  qu'il  en  soit  de  même  de  ^'f  +  '/^'f'  puisque  '^  —  cp' 
un  infiniment  petit  de  l'ordre  de  \, 
.'ailleurs 


les  intégrations  étant  étendues  à  un  volume  quelconque  et  les 
SQUimations  à  tous  les  petits  condensateurs  contenus  dans  ce 
volume. 

On  conçoit  donc  comment  la  première  intégrale  peut  être 
nulle  sans  que  la  seconde  le  soit. 

286.  Vitesses  de  propagation  des  perturbations  électro- 
magnétiques,  —  Cherchons  comment  se  propagent,  dans  les 
diverses  théories  électromagnétiques  en  pi'ésenec,  les  pertur- 
bations électrodynamiques.  Si  les  vitesses  de  propagation  (jui 
sont  fonctions  des  quantités  A,  /:  et  K  sont  acccssil)les  à  l'expé- 
riencc,  ce  sera  un  moyen  de  déterminer  quelqu'une  de  ces  (pian- 
tités. 

On  a  dix  équations  aux  dérivées  partielles  définissant  les  dix 
quantités  //,  r,  w,  a,  [3,  y^  ^^j  ^?  ^^  ^^  'f  • 

Considérons  en  effet  un  diélectrique  de  pouvoir  inducteur  K. 

On  a(n°280,  éq.  [2]), 

4-f rfy.         ^F 

K  —  A  d.r         dt 


PERTURBATIONS  ÉLECTROMAGNÉTIQUES  B'i 

En   différentiant  par  rapport   à    t,  et  en   tenant  compte   des 


relations  11.  =  —-  ,  etc.,  il  vient 
(U 


I^T.u  d''!}         rf-F 


K— }.  dxdt         di"  ' 

K—l^^'dydt'^'lF' 

^■K^\>  d^o  d^VL 

K  — A  ^^        dzdt         dF' 


d'autre  part  on  a  les  équations  (i5)  du  n"  268 

1  ^'^^''^'dji~in'^^^'7h^' 

]  ,  da.         dr  d'-^ 

^'''=17--I^'^^'~did7' 

d&         doL        ^     d'Z' 

47ÛK'=:  -^ 7-   +  A-       -'- 


dj'        dy  ^  ^  dzdt  ' 
les  équations  (19)  du  n*^  275 


cl 


d\\         d(.\ 
0        dV         d\\ 

/^  =  [-i^  =  ^-77 


dV         dG        d\\  ,.    d'^ 


dv  dij  dz  dt 

Considérons  maintenant  une  porturbalion  élcclr()inagnéli(|ue 
dans  le  milieu  diélcclri(|ue.  Supposons  qu'on  ait  une  onde  plane 
j)erpendiculaire  a  0,v  :  les  cpiantités  qui  ligurenl  dans  les  équa- 
tions précédentes  seront  donc  fonctions  seulement  de  .r  et 
de  /. 


f'ASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  IlELMIIOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

^es  équations  deviennent  par  suite, 


I) 


(Vil) 


(VII 


(IX) 

fxi 


K  — À 

dxdl 

^/f- 

4-0 

d'G 

K  —À     ~ 

df  ' 

K— À 

dl-  ' 

/          1    '^''^ 

1 

7 

./[i 

^"'"  =./!•' 

aa=o. 


1^?^ 


r/c; 


^y^— , 


<'/.2'  '  '    di 


i"    KlLulions  crabord    l'oxde  i,o\f;iTui)L\.VLE.    Supposons    donc 


îl    l'ostc  F,  '^,  //  et    on   n'a  qu'à  satisfaire   aux  trois   (''(|ualions 
[]),  (lY)  et  (X)  :  les  autres  sont  satisfaites  d'ellj^s-memes. 
C o  m  p  a  r o  n  s  (  I  )  e t  (  l  V)  ;  o n  a , 


(IV) 


4^,,=_    K_A  ^-_  (1V_A  , 

^  ^  d.rdt  dr    '  ' 

.      d-3 
dxdl 


ONDE  TRANSVERSALE  3i5 

croù 


K — À    clj'dt  dxdt         di^ 

cFoLi  encore, 

cP¥  d'-D-f  1     \  d'^s       K 


dr^  dxdt  \     '    K  — a;  dxdt  lï  —  i' 

crautre  part  en  différentiant  la  relation  (X)  par  rapport  à  a 
vient 

dx^  '  dxdt 

d"^  I      d'¥ 


dxdt  k\     dx'~ 

d'-F 

La  relation  précédente  en  ■     ,  devient  ainsi 

^^F        d'F  K 


di^         dx'    (K— à)/.'). 
La  vitesse  de  propagation  des  ondes  longitudinales  est   donc. 


Y       "        '^ 


(K— A)A7. 

'.>"  ()m)î:s  thansvi^rsales.  —  On  peut  satisfaire  aux  équations  en 
posant 

lleslent  G,  y,  t'  et  les  trois  é(pialious  (II),  .  V)  et  (IX'' 
Comparons  (II)  et  (V)  ;  on  a 

d'où 

I        dj^  _  £G_  ^ 
K  —  A    f/.r  dt"    ' 


PASSAGE  DE  LA  THÉORIE  DE  HELMHOLTZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

u  uutre  part  en  cUfïerentiaiit  (IX)  par  rapport  à  ^,  il  vient, 

rfv  I     d'Qj 

dx         [x    dx' 

Il  en  résulte  que, 

d^G  _  I  d'G 

dt-  \j.  (K  —  a)    dx-  ' 

La  vitesse  de  propagation  est  donc, 


^^""V  p.(K— a)' 

Î7.  —  Il  y  a  des  cas  où  Tonde  longitudinale  ne  peut  se  pro- 
uger.  Ce  sont  les  cas  où, 

/.•  =  o; 

A=:o; 

K  :=:./. 

La  vitesse  de  propagation  est  alors  infinie.  C/est  Thypollièse 
de  Maxwell  j  les  vibrations  sont  alors  transversales. 

Pour  les  ondes  transversales,  si  A^K,  la  vitesse  de  propagation 
est  infinie.  C'est  ce  qui  a  lieu  dans  Taneienne  théoi'Ie  de  Mos- 
sottip  d'après  laquelle  a  est  égal  à  la  valeur  K^,  du  pouvoir  in- 
ducteur du  vide;  |a^j=i.  Dans  cetle  théorie,  dans  le  vide  (ou 
dans  l'air),  il  n'y  a  pas  propagation  d'onde  transversale,  pas  plus 
que  d'onde  longitudinale. 

Dans  la  théorie  de  MaxAvell,  il  n'y  a  que  des  vil)rati()ns  trans- 
versales et  leur  vitessse  de  propagation  Y,,  est  égale  l\  la  vitesse 
r  de  la  lumière.  Nous  nous  supposons  placés  dans  le  système 
électromagnétique,  l'expérience  nous  apprend  que  K,,  est  l'in- 
verse du  carré  de  la  vitesse  de  la  lumière  ;  a^j=  i.  Si  on  cU)nne  ii 
A  la  valeur  G,  on  a  Y^  =  ç^  Si  on  donne  à  A  une  valeui'  positive 
différente  de  o,  on  a  pour  V^  une  vitesse  supérieure  à  celle  de  la 
lumière.  ]ja  théorie  de  Maxwell  se  déduit  donc  de  la  théorie  de 
Helmholtz  en  Taisant  A  =  o, 


ONDE  TRANSVERSALE 

288.  — Reprenons  les  équations  du  n''46  avec  cette  valeur  de 
Nous  avons, 

i  K  dx  dt 

\  ^r.g  _  ^y  da 

i  K    '""  dîj  '~dt' 

\  ^rdi  ___  d<f  dll 

\  K    "~  dz         dt' 

;  .  dy        d^ 

'  dof.  dr 

j  dz  dx  ^ 

'    ,  dfj  da, 

dx  dxj 


I  a  =  u.y.- 


■■[^P 


dll  dG 

dij  dz 

d¥  dli 

dz  dx 

dG  dF 

dx  djj 

dx  dij  dz 

Didcrentions  les  équations  du  second  groupe  respcctivcnient 
par  rapport  à  .r,  ij ,  z  ;  il  vient 

du  dv  d\v 

— \ :,™    (-_) 

dx  dij  dz 

c'est-à-dire  — -=  o.  L'électricité  est  incompressible;    tous  les 

courants  sont  fermés. 

p  ne  varie  pas  avec  le  temps;  si  p  ===:  o  à  Torigine,  la  densité 
vvdle  de  l'électricité  est  toujours  nulle. 

On  voit  en  somme  que  si  ).  =  o,  le  k  d'IIelmholtz  n'entre  pas 
dans  les  équations.  On  passe  donc  à  la  théorie  de  Maxwell  en 
faisant  }s  =  o  et  en  laissant  k  quelconque. 

PoixcARK.  Elcc'li'icité  et  Opliqno.  ^^^ 


338     PASSAGE  DE  LA   THEORIE  DE  IIELMIJOLrZ  A  CELLE  DE  MAXWELL 

,  Ilelinlioltz  dit  dans  sa  préface  qu'on  passe  à  la  théorie  de 
Maxwell  en  faisant  k  =  o.  Ce  n'est  pas  exact;  on  obtient  Lien, 
en  faisant  k  =  o,  Téquation  J  -:=  o  (n°  26),  mais  pour  déduire  de 
la  formule  donnant  Vg  la  vitesse  des  ondes  transversales  telle 
qu'elle  est  dans  Maxwell,  on  est  obligé  d'introduire  des  lij^po- 
thèses  complémentaires.  C'est  d'ailleurs  ce  qu'llclmholtz  explique 
dans  le  courant  de  Touvrage  en  complétant  ainsi  l'assertion  de 
sa  préface  qui  a  cependant  trompé  quelques  personnes  (^). 

Au  contraire,  en  faisant  A  =  o,  cela  suflît.  Il  n'est  pas  éton- 
nant qu'on  n'ait  pas  à  donner  à  k  une  valeur  particulière  pour 
faire  rentrer  la  théorie  de  Maxwell  dans  celle  de  Ilelmholtz  : 
Maxw^ell  ne  considère  que  des  courants  fermés,  /:  doit  donc  tou- 
jours disparaître  des  équations. 

Nous  avons  montré  seulement  jusqu'ici  en  quoi  consisie  la 
théorie  de  Maxwell  et  comment  on  peut  la  faire  rentrer  dans 
celle  de  Ilelmholtz.  11  restera  à  donner  les  raisons  qui  doivent  la 
faire  adopter  de  préférence  à  toutes  les  autres. 

289.  —  Revenons  aux  ondes  transversales  :  le  courant  est  di- 
rigé suivant  Oij  et  la  force  magnétique  suivant  Oz  ;  ces  deux  per- 
turbations, électrique  et  magnétique,  sont  dans  le  plan  de  l'onde, 
mais  perpendiculaires  entre  elles. 

La  lumière,  d'après  Maxwell,  est  une  perlurl)ation  électro- 
magnétique; mais  on  peut  supposer  que  le  plan  de  polarisation 
de  la  lumière  est  perpendiculaire  ii  la  vi]>ration  électri(|ue  et 
contient  la  vibration  nnignétique,  ou  faire  Tliypo thèse  inverse. 
La  question  de  la  direction  de  la  vibration  par  rapport  an  plan 
de  polarisation  paraît  plus  accessible  à  l'expérience  cbuis  le  cas 
de  l'électricité  que  dans  le  cas  de  la  lumière;  et  Ton  j)eut  attendre 
des  expériences   élcctromagnéti(]_ues  des  arguinents  en  fav(uir  de 


Cj  llemlliûlt/  dit  enoffcl  ([ue  pour  ])asser  do  sa  Uuk)i'i('  à  ("die  de  Maxwell  il  ('(lu- 
vienl  de   (aire  : 

A=o,  E  =  co  0  =  0), 

ce  qui  avec  nos  nulaliona   revient  à    l'aire  : 

k  =  o,  À  =  0,  X  =  ce  . 


ONDE  TRANSVERSALE  33c 

Tune  des  deux  hypothèses.  Pour  Maxwell,  la  vibration  lominetisc 
est  parallèle  à  la  l'orce  magnétique  ;  et  celle-ci  est  dans  le  plan 
de  polarisation,  conformément  à  Thypothèse  de  Neumann  et 
contrairement  à  celle  de  Fresnel  ;  le  courant  est  perpendiculaire 
au  plan  de  polarisation. 

Une  remarque  encore  sur  la  vitesse  de  propagation  des  oi 
longitudinales.  A  étant  dillerent  de  zéro,  on  pourrait  se  dé 
rasser  de  ces  ondes  en  faisant  /i  ==  o  ;  mais  on  pourrait  arrive 
même  résultat  en  faisant  k  négatif.  On  aurait  alors  des  raj 
évanescents  et  Ton  retomberait  sur  les  idées  de  Cauchy  (^),  i 
dans  ce  cas  l'équilibre  est  instalde  comme  iioiis  Vavons  démo; 
(n"34). 

J'ai  exposé  d'ailleurs  dans  la  T/fco/u'e  f)i(Uhèi}iall([iie  de  la  lu 
niière  qu'avec  les  idées  de  Cauchy,  L'éther  serait  en  équililn*' 
insta])le. 


(')   PoiMCARK,    Thcoric   mathcinatiquc   de   la  laniïcrc,    j).  5f>,   ii"  4;.    Ci.   Carre  ol 
C.  Nnud,  (kl i tours. 


TROISIEME  PARTIE 


NOUVELLES 

THÉORIES  ÉLEGTRODYNAMIOUES 

THÉORIE  DE  HERTZ  ET  THÉORIE  DE  LORENTZ 


CHAPITRE  PREMIER 

THÉORIE   DE   HERTZ 
ÉLECTRODYNAMIOUE  DES  CORPS   EN  REP' 


290.  —  Avant  d'entrer  dans  l'étnde  détaillée  de  cette  tli* 
commençons  par  indiquer  en  quelques  lignes  les  idées  que  Lui .. 
avait  sur  le  point  de  départ  des    autres  théories  électrodynami- 
ques proposées  avant  lui. 

Il  constate  d'abord  qu'en  allant  de  Vidée  de  la  simple  action  à 
distance  à  Taction  par  Fintermédiaire  d'un  milieu,  on  peut  se 
placer  à  plusieurs  points  de  vue  différents  (^)  : 

1°  Avlion  à  dislance.  —  Pour  que  cette  action  puisse  s'exercer 
il  faut  que  les  deux  corps  entre  lesquels  elle  s'exerce  existent  en 
même  temps  ;  s'il  n'y  en  a  qu'un  seul,  cette  action  électrique  ne 
peut  pas  exister  :  c'est  le  point  de  vue  astronomique  de  l'attrac- 
tion réciproque. 

2"  Po'uil  de  vue  de  la  ihéorlc  du  polenlkd.  —  On  suppose 
([ue  la  force  électrique  existe  même  avec  un  seul  corps  électrisé, 
avant  (pi'on  introduise  dans  le  champ  un  autre  corps  électrisé. 

3"  Polarlsalion  du  diélectrique.  —  Ou  siqrposc  les  diélecti'i- 
([ues  constitués  de  cellules  qui  s'électi'isent  par  influence.  Si  on 
considèi'e  un  condensateur,  Ic^s  l'oi'ces  (jul  s'exei'cent  entre  les 
armatures  seraient  alors  ducs  non  seul(Miient  aux  char<xes  des 
deux  armatures^  mais  aussi  aux  chai'<^"<'s  des  cellules. ,  C'est  le 
point  de  départ  de  la  théorie  de  Poisson. 

Si  on  attril.)ue  aux  cellules  le  rôle  principal,  les  forces  à  dis- 
tance ne  jouent  plus  alors  (pi'unrole  mîirlme  ;  on  ne  peut  cepen- 
dant les  négliger  faute  de  supprimer  en  même  temps  l'action  par 
influence  sur  les  cellules  :  c'est  l'idée  de  Ilelmholtz. 


(')    Hi'RTZ.    UntcrfiKchangeii    ilbcr     Ansbreltung    der    elcctrischen    Kraji,    p.    'ïl 
(Leij)ziy',  fjarlli,  jSq';^).  Voir  aussi  La  Luniicrc  électrique  du  î^i  mai   iSq^. 


344  THÉORIE  DE  HERTZ 

4*^  Suppression  de  toute  action  à  distance.  —  Le  champ  con- 
siste alors  en  une  certaine  polarisation  du  diélectrique  :  c'est  l'idée 
de  Maxwell.  Cependant  le  livre  classique  de  Maxwell  ne  s'expli- 
que pas  complètement  en  partant  de  là.  Hertz  attribue  ce  défaut 
de  clarté  à  deux  causes  : 

a)  Le  mot  «  électricité  )>  n'a  pas  un  sens  précis  dans  ses  rai- 
sonnements :  il  l'emploie  pour  désigner  l'électricité  dans  le  sens 
vulgaire,  dans  le  sens  fluide  incompressible,  etc. 

b)  L'ouvrage  de  Maxwell  ne  forme  pas  un  seul  ensemble 
d'idées  :  il  donne  plusieurs  théories  se  rapportant  au  même 
sujet,  puis  il  les  abandonne  successivement,  de  sorte  qu'on  y 
trouve  plutôt  un  mélange  de  théories  qu'une  théorie  unique. 

En  somme,  Hertz  n'admet  que  les  équations  établies  par 
Maxwell,  en  laissant  de  côté  le  texte  de  son  ouvrage  classique 
comme  étant  obscur,  et  il  essaie,  en  se  posant  ses  équations 
finales  d'avance,  de  faire  une  théorie  y  conduisant. 

C'est  cette  théorie  de  Hertz  que  nous  nous  proposons  d'expo- 
ser et  discuter  en  détail 

Toute  la  théorie  de  Hertz  est  contenue  dans  deux  mémoires 
célèbres  qu'il  a  publiés  en  1890  et  qui  sont  intitulés  :  Siw  les 
équations  fondame7itales  de  V electrodijnaniique  des  corps  en 
repos  (^)  et  l'autre  Sur  les  équations  fondamentales  de  V électro- 
dynamique des  corps  en  mouvement  (').  Il  y  aurait  peut-(M.re 
des  réserves  à  faire  sur  cette  distinction  peu  justifiée,  car  les 
actions  électriques  étant  mesurées  au  moyen  de  petits  corps  qui 
sont  mis  en  mouvement,  ces  petits  corps  en  mouvement  modi- 
fient un  peu  le  champ  ;  mais  on  peut  supposer  qu'ils  le  modi- 
fient peu. 

Nous  diviserons  donc  l'étude  de  la  théorie  de  Hertz  en  deux 
parties  :  l'électrodynamique  des  corps  en  repos  et  l'électrodyna- 
mique  des  corps  en  mouvement,  et  nous  emploierons  les  nota- 


(^)  Heutz.    yacliriclUcti  <>oa  der  Kœiilgl.   Gcselischaft,  inavs    1890,   ùi  La    Lumière 
électrique  du  19  juillet  1890  et  numéros  suivants. 

(-)  Hertz.  Wiecteman's  Annalen,  t.  XLI,  p.  3G9;  ou.  La  Lumière  électrique  du  6  dé- 
cembre 1890  et  numéro  suivant. 


ELECTRODYNAMiqUE  DES  CORPS  EN  REPOS 


345 


tions   de    Maxwell   qu'on    retrouvera    aussi   dans   la  théorie   de 
Lorentz, 


ÉLECTRODYx\AMIQUE    DES    CORPS    EN    REPOS 

291.  JPreiïiière  loi  fondamentale.  —  Considérons  une  sur- 
lace S,  quelconque,  limitée  par  une  certaine  courbe  fermée  C. 
Nous  savons  que  si  le  champ  varie  et  si  le  contour  de  la  surface 
est  constitué  par  un  fil,  il  naît  alors  dans  ce  fil  un  courant  d'in- 
duction et  la  force  électromotrice  d'induction  est  représentée 
par  l'intégrale  de  ligne, 


CiJ>dx-JrQ_du~\-Rdz) 


que  nous  écrirons  plus  simplement 


le  signe  ^  s'étendant  aux  composantes  du  vecteur  (P,  Q,  R)  qui 

représente  la  force  électrique,  et  aux  coordonnées  .r,  ?/,  .::. 

Ij' expérience  nous  apprend  ([ue  celte  force  clectromotrice  qui 
prend  naissance  dans  les  circonstances  énoncées  plus  haut,  est 
égale  à  la  dérivée  par  rapport  au  temps  du  flux  d'induction  ma- 
gnétique ({ui  traverse  la  surface  S  limitée  par  le  circuit  en  ques- 
tion. 

On  a  donc, 


(0 


[j.  (  b.  4-  tii  P  +  n-^)  dw , 


l'intégrale  du  premier  membre  étant  étendue  a  toute  la  courbe  C 
(|ui  limite  la  surface  S  et  l'intégrale  du  second  membre  s'éten- 
chuit  à  toute  la  surface  S. 

(/,  ni^  ji  sont  les  cosinus  directeurs  de  l'élément  (li.ù.) 


346  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES  CORPS  EX  REPOS 

292.  Equations  fondamentales  de  Hertz  et  de  Maxwell,  — 
Transformons  le  premier  membre  de  la  relation  (i)  à  l'aide  du 
théorème  de   Stokes  ;  il  vient, 


^J  \  (iz  (UJ  j 


'intégrale  du  second  membre  s'étendant  à  toute  la  surface  S. 
La  relation  (i)  devient  donc, 


E 


Wo) (  ^  —  ^~-r-\  =r.~^     I      y\  adojh 


=    y«„ 


ch 


(Il 


D'où,  en  identifiant  les  cociricients  de  Wco,  rncho,  /idto, 

(hjSJ.  di)  d\\ 


I  (U.  (A 

(,)  ^   du.?-'  " 


(Il  dz  dtj  ' 

/R  r/P 

ïz' 

__^  _^^ d(l 

di  djj  d.v 


I     dt  dj'  0 

'    d'j.r       dV        0 


Ce  sont  les  premières   èquatiojis  fou  dame  ni.  aie  s  de  llerlz. 

Si,  au  lieu  de  considérer  le  Ikix  d'indiictiou  nKin'iiéLï(|uc 
d'après  Hertz,  on  considère  le  flux  d'inducliou  magncHiquc 
d'après  Maxwell  qui  désigne  par  a,  /;,  c  les  coniposaïUes  de  Tin- 
ductlon  magnétique,  on  obtient 


'    d 


da  _^  dq  d\\ 

ir'~'7h,  df' 

dh  _  d\\  d\' 

dt  d.v  dz  ' 

c   _  d?  dO 

dt  dy  dx 


EQUATIONS  FONDAMENTALES  3 

Introduisons  maintenant  le    potentiel   vecteur  ;    posons   av 
Maxwell 


dt  dx  ' 

\  ^        da      d'h 

^        dji     dûj 

dt  dz 

F,  G,  II  étant  les  composantes  an  potentiel  vecteiu^ 

.  ,     ,  .  ^/F    dQr    dll 

potentiel  électrostatique  , —r- ,  -7—^  — r  représentent   les  c 
'  ^      '  dt      dt      dt        ^ 

santés  de  la   force  électromotrice  d'induction  d'origine    magi 

d^h     d^     d'I  ,  ,  1     1      ,> 

ticrue  et  V-,   -7^,  —  représentent   les    composantes  de  la   toi 
^  d.r    dy     dz       ^ 

électromotrice  d'induction  d'origine  électrostatique. 

Remplaçons  dans  (2)  P,  Q,  R  par  leurs  valeurs  (3)  ;  il  vient, 

■    da  dm  d'G 


]  db 

dydt 

d-dl  ' 

d:'¥ 

dm 

1'" 

'     de 

dzdt 

dxdl  ' 

d'G 

d-F 

dt 

d.vdl 

djjdl  ' 

'dû,  par  inl:('gralioii, 

((Il  ^K,r  ^^. 

,  df/  dz 

dz  ri.r 

d.v  df/ 

Mais    on  peut  supposer  uuUe  la   constante   d'intégration;  en 
efïetj  nous  avous  la  relation  (n^l02) 

da         db  de  ,     ,,|-  ,.n 

_| .  „| _.  =  0       (xMaxwell) 


d<r         dif  dz 


348  ÉLECTRODl'NAMIQVE  DES  CORPS  EN  REPOS 

et,  d'autre  part,  nous  ne  savons  définir  le  potentiel  vecteur  crue 
par^ses  dérivées;   il  n'est   donc  déterminé  qu'à  une    constante 

Il  reste  alors, 

I  dR        dG 

;     t1    T-— 

dz  ' 
(4)  J/.=^___^ 


dz     ' 

dx  ' 

dG 

dx 

dF 

dy  ' 

293    Coaz-az^^  to^«,.  __  R,pp^l^^^  ^ 

courant  de  déplacen  nt  t  •  '  """"\'^  '^""'^"'^'^"'^  Pl-  le 
électrique  ?-'co;s^iXonsurT""'""  P"'  ^^^Pl''— "t 
électrique  ■  ce  d'^Ieot  L  '^^''^'^'"'ï"^  P^"*^*^  dans  ua  champ 

^Sirr:::e:r;^-^,r^^^ 

;I  -présente  ses  co.posanTes  ;:/f /l^'ir;""  ^■^^^""'1-' = 
les  composantes  du  courant  de  .onvl     I-"       '  '^"'  "'"    ""''■'' 

électrique  dans  leaueTse    ,t  ''""f  "'^^^T  P'^'V^,  q,  r.  Si  le  chan.p 

déplacLentélectiler  "  r    n  ''^'^'^*'-'^I-  -'  -riable,   1. 
cette  variation   du  tp        ^  T'm  """*  ""''^''^  ^'  '^  ''-"'^^  d« 

Maxwell  appelle.  J::r:;L:rrn  Z^^^-^-   'i- 
santés  par  J  "'■^emenl.  H  désigne  ses  comp,,- 


-^  dg_  dh 

^'  dt  '        H^ 


qui  sont,    comme  on  le  vn,>    i.      r  -  • 


ces   de 


COURANT  TOTAL  349 

Ainsi  donc,  d'après  Maxwell,  le  courant  total  est  représenté  par, 


/ ,     df 

ig 


u  =■  p 
-7- 


dt 


dh 

294.  — Voyons  maintenant  quelles  sont  les  lois  qui  régissent 
les  courants  de  conduction  et  de  déplacement. 

Les  courants  de  conduction  sont  régis  par  la  loi  d'Ohm, 

).  étant  un  coefficient  dépendant  de  la  conductibilité  du  milieu 
Seulement,  cette  loi  suppose  que  dans  le  milieu  conducteur  con 
sidéré,  le  courant  n'a  à  vaincre  que  ce  qu'on  appelle  la  résis 
tance  caractéristique  de  ce  milieu  qu'il  traverse  ;  mais  si  dans  c^ 
milieu  il  y  avait  aussi  des  forces  électromotrices  d'origine  chi 
mique  ou  thermique,  des  effets  l^eltier,  etc.,  il  faudrait  alor; 
représenter  dans  notre  formule  ces  forces  par  un  terme  complé- 
mentaire; appelons  P^,  Q^,  R^^  ces  termes  complémentaires  ;  il 
viendrait  alors  daus  ce  cas, 

(^Quntau  déplaceincnl  élcctiM.([ue  il  est  proportionnel  à  P,  Q,  R  ; 
Maxwell  représente  ses  composantes  par 

/•..Ji-P,        ....Ji-Q,        ,=.J^R. 

'471  4~  4^ 

K  est  ce  qu'on  appelle  le  pouvoir  inducteur  spécifique  du  dié- 
lectrique. Dans  le  vide,  ce  coellicient  est  égal  à  l'inverse  du 
carré  de  la  vitesse  de  la  lumière. 

Maxwell  démontre  en  outre  la  relation  suivante  (n*^  87), 

.  ,^  du         dv         d\v 

C.ette  relation  signifie  que'  si  l'on  tient  compte  des  courants 
(le  conduction  et  des  courants  de  déplacement,  il  n'y  a  alors  que 
des  coiwanls  fermés. 


J5o  ÉLECTIWDYSAMIQUE  DES  CORPS  EN  REPOS 

Hertz,  dans  sa  théorie,  iiitrodnif:  à  la  place  du  vecleiir  (/;^^>',  h)  dv 
Maxwell  un  autre  vecteur  qu'il  appelle  inducùon  eleclrifjKc  et 
dont  il  représente  les  composantes  par 

KP,       KO,       KR. 

On  voit  que  ce  nouveau  vecteur  de  lïertz  est  égal  au  veeîrur 
'/,  i>\  In  de  ^iaxwell  au  facteur  4  ~  prés. 

295.  Seconde  loi  fondsimentale.  —  Reprenons   la   stirlace    S 

précédemment  considérée,  limitée   par  la  courhe    (]  (^t    coiisich''- 

rons  une  masse  magnétique  décrivant  cette  courbe  ;    celte   masse 

agnétiquc  est  soumise  delapart  du  champ  extérieur'  l\  une  loi'ce  ; 

travail  de  cette  force  est  représenté  par  rinlégrale  de   Ii«>-iH\ 

1  intégrale  étant  étendue  au  contour  G. 

Ue.vpénence  nous  apprend  que  cette  inlégrah'  esl  rtniU^  au 
produit,  changé  de  signe,  du  facteur  constajit  4k  par  In  <juanlih' 
d'électricité  qui  traverse  h\  surface  S;  on  a  donc. 


(Ifi -{-/// i>-~\-  //sr"  (,'(0. 


296.  —  Transformons  la  première  inlégrale  par  !e  lUrovnur 
de  Stokes,  comme  nous  l'avons  fait  précédenimenl  pour  Tinlé.. 
grale  de  ligne  de  la  force  électrique,  larelallon  (-)  dcslrnï  alors 


V 


/fnfio 


d^oii,  en  identifiant  les  coefficients  de  /cuo 


,    DKkU),    /l(,U)^ 


4t:,' 


relations  de  Maxwell. 


; 

d.v 


dz  ' 

r/v 

i^ 

d'j. 


ÉQ  VA  TIONS  FONDAMESTA  LES  3  5  i 

Mais  il  importe  de  remarquer  que  rexpérience  n'a  jamais  porté 
que  sur  des  courauts  fermés  ;  son  extension  au  cas  des  courants 
non  fermés  (décharge  d'un  condensateur  par  exemple)  a  été  faite 
par  Maxwell,  comme  nous  Tavons  déjà  dit  plus  haut,  à  condition 
de  prendre  pour  courant  total  la  valeur 

df 

297.  —  llomplaçons  maintenant  dans  (9)  //,  f,  ir,  par  leurs 
valeurs  (5),  il  vient 

dfj  dz  ''    dl 

[    r/3  da.  ,  ,      dh 

._,  4^,.  _|_  4^. 

dx  dij  (IL 


',n\ 


Oi 


,.       KP  ,,   ,    df 


r      dKP 

47:      dt 


elc 


les  l'clations  (lo)  deviennent  clone, 

dKP   __r/v 
(//  di/ 

\    dKQ        d'j. 


7/7 -4-/^ 


Ix 
d% 


dz  dx  ' 


-4^/-. 


di 
dKW  ___    ./-i 
'~'d/  '      '  d.v         T/y 

C Civile  deti.vicjjic  ii/'()/(j)c  des  cqiidllons  fondanienhilcs  de  /Icr/z. 

298.  —  La  frlalion   (y)  peut  se  mellre    sous  une  autre  forme. 
Nous  avons, 


dz         di,) 


llldiù. 


352  ÉLFXTRODYNAMiqVE  DES  CORPS  EN  REPOS 

Or,  d'après  (ii) 
donc 


—    1     y^arf.'r  =  47:     /     X^^'^^ 


dw-^/^T. 


Remarquons  que  si  notre  surface  S  se  trouve  placée  daus  un 
diélectrique,  le  courant  de  couduction  est  nul  et  la  relation  (12) 
devient, 

299-  Définition  de  Vélectricitè  et  du  no.agnètisme  d'après 
Hertz.  —  Voici  comment  Ileii/  définit  les  ([iianlilés  (r(''lc('li*i(*l!é 
et  de  maf^niétisme  ([ui  se  IronvcMil  l\  rinl(''i'ieur  (Tuii  xolunic  T 
limité  pai,'  une  surface  S. 

Hertz  (llstinu'uc  (Tahord  le  mao-nétisme  libre  (M  \r  matiiiélisnu* 
vrai,  puis  ['(dectricité  lihi'c  cl   r(d(H'Iri("il('  vt'aie. 

r.a  quantité  dr  nias^nùlisiife  libre  ;i  rinlc'rlcni-  du  volninc  T  est, 
par  dèfaiiùon^  le  (lux  de  foi'cc  mao-nélicpic  loUd  îi  Iravci's  In 
surface  S  ([ui  limile   le  volume  T,  divisf'   par  .\-. 

\.c  mas^nèlisinc  s^rdi  i^{'  (hWinit  de  la  même  manii're,  seulement 
au  lien  (1(^  considérer  le  llux  de  loi'ce  inann(»|  {(jnc  on  eonsidèi'e 
le  llux  <rin(luclion  ma^né(i(pi(\  On  peni  par  cons(''(|nenl  ('crii*e 
SYmi)oli(piem(Mil, 

(lux  de  (orce  mannrj  i(Mi(> 
m  a  li'n  ('  1 1  s  m  e  lin  r  (.'  ~— , ~ , 


\ 

I                  .                 .            llux  d'induclion   mae'nc'l  itiue 
macrnétisme  vrai        • — 


«   -  4t 


DEFINITION  ANALYTIQUE  DU  MAGNETISME  LIBRE 

h' électricité  libre ^  c'est  le  fluK  de  force  électrique  divisé  pa 
4tc  ;  seulement  comme  je  prendrai  les  unités  électromagnétiques 
il  faut  introduire  en  plus  le  facteur  K^  (valeur  de  K  dans  1 
vide). 

L'électricité  craie,  c'est  le  flux  d'induction  électrique  clivis 
par  4'^. 

On  a  donc  encore, 

,,        ..,,.,             flux  de  force  électrique        ^^ 
électricité  libre  ==• ; ~ — X  K., 

47U 

,,         .  .           .           flux  d'induction  électrique 
électricité  vraie  = — . 

47: 

Nous  voyons  donc  que,  pour  Hertz,  ce  qu'on  appelle  électricité 
et  magnétisme  ce  n'est  pas  un  fluide,  ce  n'est  pas  quelque  chose 
de  matériel,  mais  bien  une  expression  purement  analytique  : 
une  intégrale  ;  ce  qui  existe  effectivement  c'est  la  force  élec- 
trique et  la  force  magnétique.  Hertz  suppose  le  champ  électi'ique 
et  le  champ  magnétique  bien  déterminés  quand  on  se  donne  eu 
chaque  point  la  valeur  du  vecteur  appelé  force  électrique  ou 
force  magnétique  (^). 

300-  —  Traduisons  les  définitions  ])vécédcntQs  analjj/i^jfœnient. 
Commençons  par  le  magnétisme  libre. 

MagnclisDie  libre.  —  (Considérons  un  élément  de  voluin<'  dz^ 
limité  par  une  surface  S.  L(^.  flux  de  (orce  magnéti([ue  \\  travers  S 
a  pour  valeur  : 

'  (h.       r/3       ^/r 


dx         djj         dz  / 

Désignons  par  M  la  densilé  du   maginW/isr.ic  libre;  nous  avons 
pour  cette  densité,  par  délinition, 


^     ^  dx  du  dz        Zj  dx 


(')  Ilerlz  indique  doux  cas  où  la  coiinaissanco  dos  dcu^'  vocLoiirs  (P,  Q,  R)  ;  (a,  [îi, 
y)  wit  sulVil  pas  [)Oiir  détcnuiiiei'  toulcs  les  propriéLés  du  champ  magnéliqiie;  e'esl 
le  cas  du  niiignetisnie  perniancni  ot  le  cas  de  la  dispersion.  (Voir  Poi^'CAKK,  Oscilla- 
tions électriques^  P-  7-  G.  Carré,  éditeur.) 

Poirs'CAKK.  Eleclricitc  et  Opliqnc.  '?.'] 


354  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES  CORPS  EN  REPOS 

Or,  d'après  Maxwell, 

\1  (h. 


et 


[    <r-t  =  a4-47:A, 


par  conséquent, 


VI  Aï VI   da  VI  (lA  

^  da;        Zj  dx  Z>J  dx 


I     \1  ^a  \1  dA 

4tc    Zu  dx  jLà  dx 

est  la  densité  du  magnétisme  libre. 

Magnétisme  vrai,  —  On  a,  en  appelant  M^  la  densité    du    ma- 
gnétisme vrai, 


(rr,) 


SI  nous  posons, 


4^M. 


d.r  ' 


a  =  [j.a  +  47:A,„ 
b  ^  i^^i  +  4^li.„ 
c  =  ay  +  4-(;„  ; 

de  sorte   que  A„,  B,,,  C„  soient  les  coinposanles  de   raiiiiiiiiUdioii 
permanente,  on  aura, 

yii^o^y^  +  ^.Vi^. 


par  conséquent, 

(t6) 


M. 


La  densité  du  magnétisme  vrai  a  clone*  la  même  cxin'cssion 
que  celle  du  magnétisme  libre,  à  cela  près  (|ue  Jes  eoin|)(>sanleH 
de  l'aimantation  totale  sont  rempiaeées  par  Jes  composantes  de 
l'aimantation  permanente . 


L 


ÉLECTRICITÉ  VRAIE  ET  ÉLECTRICITÉ  LIBRE  355 

Le  magnétisme  libre  c'est  donc  le  magnétisme  total,  tant 
permanent  qu'induit  ;  le  magnétisme  vrai,  c'est  le  magnétisme 
permanent. 

Electricité  vi^aie.  —  C'est  celle  qui  se  porte  par  conduction  ou 
convection  sur  la  surface  des  conducteurs  ;  on  a,  en  désignant 
par  p  sa  densité, 

^"^^  ^  In^  ' 

or, 

-.-  =  f;  etc., 
4,1. 

donc 

( 

relation  de  Maxwell. 

Electricité  libre.  —  En  appelant  0^  la  densité  de  l'électricité 
libre,  on  a. 


d'où 

ficS) 


I 


,\ 


^  d\\V 


4-  ^    (Li 


(hielle  (riiïereiice  y  a-t-i!  au  point  de  vue  |)liysi<[ue  entre  ces 
■([eux  ([nantîtes  d'ébx'lricité  ?  Pour  nous  rendre,  cbniple  (l(*  cett(^ 
(liflerencr  considérons  un  conduet(nir  électrisé  et  un  diélee- 
tri(|iu'  séparé  du  conduelenr  j)av  une  lame  d'air,  il  y  a  de 
l'éleclricité  vi'aie  à  la  surface  du  conducteur  ;  mais  il  n'y  en  a 
pas  à  la  surface  du  diél.ectri(pie.  (]uaut  a  Félectricilé  libre,  elle 
existe  à  la  surface  du  conducteui*  et  à  même  densité  (jue  l'élec- 
tricité vraie,  mais  il  y  a  aussi  de  l'électricité  libre  à  la  surface 
du  diélectri([ue.  I^]lle  est  àna  aux  cliarges  «  apparentes  ))  pro- 
duites par  la  polarisation  du  diélectri({ue. 

Si  maintenant  Je  conducteur  est  au  contact  du  diélectri(|ue 
qui,  par  exemple,  le  recouvrira  complètement,  il  y  aura  de 
l'électricité  vraie  h  la  surface  du  conducteur,  mais  il  n'y  en  aura 


ÉLECTRODYNAMiqUE  DES  CORPS  EN  REPOS 

irface  extérieure  du  diélectrique  ;  il  y  aura  électricité 
irface  extérieure  du  diélectrique  ;  il  y  en  aura 
I  surface  de  séparation  du  conducteur  et  du  diélec- 

_t  densité  de  rélectrlcité  libre  et  celle  de  l'électricité 
v.v.ae  surface  ne  seront  pas  les  mêmes. 

iQi,  Remarque   —  Supposons  que  nous  ayons  une  surface  S 

niée  et  placée    dans   le  vide  ;    supposons    qu'à   l'intérieur   de 

e  surface  puissent   se  trouver   des    corps    conducteurs,    des 

ectriques  ou  des  corps   magnétiques.  En    tous   les  points   de 

urface  S  on  a 

[i.  =  I  ;       K  =  K,  ; 

conséquent  sur  cette  surface  il  y  a  égalité  entre  la  force 
^nétique  et  Tinduction  magnétique  ;  quant  à  la  force  élec- 
ui.xv|Ue  et  l'induction  électrique,  elles  sont  égales  au  facteur  KjDrès. 
Les  flux  correspondants  seront  par  suite  égaux  deux  à  deux  :  il 
en  résulte  que  la  quantité  totale  d'électricité  vraie  est  égale  à  la 
quantité  totale  d'électricité  libre  et  que  la  quantité  totale  de 
maguétisme  libre  est  égale  à  la  quantité  totale  de  magnétisme 
vrai.  Seulement  à  l'intérieur  de  la  surface  on  pourrait  avoir  une 
répartition  difierente. 


VERIFICATION      DU      PRINCIPE      l)  !•:      LA      CONSIUIVATION      DU      MACJNETISMR 
ET     DU    PRINCIPE    DE    LA    CONSERVATION     DE     u' ÉLECTR  ICITE 


302. 


Ao)(:^ 


—  Commençons  par  le  principe  d(^  la  consei'vation  du 
magnétisme  et  faisons  cette  vérification  (mi 
partant  du  magnétisme  vrai. 

Considérons  une  surlace  S  fermée.  Il  s'aa*it 
de  démontrer  que  le  (lux  magnéti([u(^  à  travers 
cette  sui'face  est  constant. 

Détachons  de  S  un  élément  de  surface  (h). 
La  surface  restante  S^  sera  ainsi  ouverte.  Le 
flux  d'induction  à  travers  la  surface  totale  S 
dillere  infiniment  peu   du   flux   d'induction    à 

S^   Il  s'agit   donc  de  démontrer  que  le  flux  à  travers  S^ 


CONSERVATION  DU  MAGNÉTISME  357 

est    constant    et    que    par    conséquent    sa    dérivée     est    nulle. 
Or  nous  avons 


Yi^'^'^^Tt    /  2^^°"^"' 


la  première  intégrale  étant  étendue  à  la  courbe  C  limitant 
l'élément  de  surface  io)  et  la  seconde  à  la  surface  S^;  or,  cette 
courbe  est  infiniment  petite  vu  la  petitesse  de  «nfco  ;  l'intégrale 
de  ligne  en  question  peut  par  conséquent  être  considérée  comme 
nulle  et  il  reste  alors, 


I      y   ]j.laLdiù  =  o, 


et  par  suite 


303.  —  Pour  V\'leclrlcllé,on  démontrerait  de  la  même  manière 
que 

>    y,d,r  =  O, 


Fintégrale  étant  étendne  à  la  c(>url)e  C. 


I^]t  en  tenant  compte  de  (ri>) 


les   intégrales  étant  étendues   à   la  surface    S^  ou    a   la    surface 
fermée  S  qui  en  diffère  infiniment  peu. 

Or,  la  première  intégrale  représente  la  quantité  d'électricité 
qui  sort   de   la  surface  S  par  conduction;   la    seconde  intégrale 


58  ÉLECTRODYNÂMIQUE  DES  CORPS  EN  REPOS 

eprésente  le  flux  d'induction  électrique  à  travers  la  surface  S  ; 
'est  bien  là  le  principe  de  la  conservation  de  rélectriciié. 


VERIFICATION  DU  PRINCIPE    DE    LA   CONSERVATION    DE    L  ENERGIE 

304,  —  Les  équations  de  Hertz  sont-elles  conformes  au 
n'incipe  de  la  conservation  de  l'énergie? 

Pour  vérifier  cela,  voyons  de  quoi  se  compose  cette  énergie. 
z  admet  c[ue  Ténergie  totale  se  compose  de  l'énergie  élec- 
e  et  de  Ténergie  magnétique.  D'après  Maxw^ell^  l'énergie 
rique  a  pour  expression 


que  nous  écrirons  pour  abré<xei 


b^'  ' 


('9) 


f^lr 


l'intégrale  étant  étendue  à  l'espace  tout  entier. 
D'après  Hertz  l'énergie  électrique  a  pour  valeur 


(20j 


fil- 


Ces  deux  expressions  (19)  et  (oq)  sont  équivalentes;  il  sullit,  en 
cflet,  de  nous  rappeler  que  le  vecteur  (KP,  KQ,  KR)  de  Hertz 
est  égal  au  vecteur  (/;  g,  h)  de  Maxwell  au  facteur  4'^  pri's. 

Mais  il  n'en  est  plus  do  même  pour  l'énergie  magnétique. 
Dans  ce  cas  non  seulement  il  n'y  a  plus  accord  entre  la  formule 
donnée  par  Maxwell  et  celle  donnée  par  Hertz,  mais  encore 
les  tomes  I  et  H  du  Trnlîé  classique  de  Maxwell  ne  sont  pas 
d'accord  entre  eux  sur  ce  point. 

Ainsi  Maxwell  dans  le  tome  I  de  son  traité,  quand  il  s'occupe 


ÉNERGIE  MAGNÉTIQUE  359 

des  aimants  sans  parler  de  courants,  donne  pour  expression  de 
Ténergie  électromagnétique 

(.1)         -    /  (Aa  +  B,3+CT)^  =  -    /  ^2^^"' 

l'intégration  étant  étendue  à  tous  les  éléments  de  volume  cIt  de 
l'espace. 

Quand   il   s'occupe   des   courants    il    donne    l'expression    si 
vante. 


22 


f'^'-+''?+-'>i-fi.l'"- 


Or,  il  est  aise  de  voir  que  ces  deux  expressions  de  Maxwell 
ne  sont  pas  compatibles  entre  elles.  En  elFet,  s'il  n'y  a  pas  de 
courants  mais  seulement  des  aimants,  la  deuxième  expression 
de  Maxwell  est  nulle.  Placous-nous  dans  ce  cas.  On  a  donc, 

Or, 

,/  =^-  7.+  4 -A,  etc.  ; 

donc 


d'où 

(23j  ~-        I      :iiyAa::=:: 


Or  le  premier  membre  de  cette  relation  représente  la  pre- 
mière expression  de  Ténergie  électromagnétique  de  Maxwell. 
On  voit  donc  que  ces  deux  expressions  de  Maxwell  sont  com- 
plètement inadmissibles. 


36o  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES  CORPS  EN  REPOS 

Hertz    donne  comme   expression   de  Ténergie   magnétique  la 
formule  suivante, 

(^4) 


On  remarque  facilement  que  cette  expression  est  identique  à 
l'expression  (22)  de  Maxwell  quand  il  ny  a  pas  de  magnétisme 
permanent  (A^  =  B^  =  C^,  ==  0). 

S'il  n'y  a  que  du  magnétisme  permanent  et  pas  de  magné- 
le  induit  (ui  =  i)  alors  Texpression  de  Hertz  se  réduit  à 


axpression   identique  à  l'expression  (21)  de  Maxwell  (d'après  la 
relation  (sS)  que  nous  venons  d'établir). 

305.  —  Adoptons  l'expression  de  Hertz.  Hertz  donne  comme 
expression  d'énergie  totale  tant  électrique  que  magnétique  l'ex- 
pression suivante. 


J 


d'où,  en  différentiant  par  rapport  à  t, 


Itemplacons  dans  cette  relation  — - —  et  — V-  par  leurs  valeurs 
^      "  dt  dt     ^ 

tirées  des  équations  (1)  et  [W]  de  Hertz  (p.  346  et  'i^)i)  il   vient, 
f   r\  '^^  l   "^^   Vin  f'h         ^ii^\  /^Q  ^RM 

\ppd.. 


CONSERVATION  DE  IJ ÉNERGIE 


Je  dis  que  la  première  intégrale  du  second  membre  est  nul] 
En  effet,  remarquons  que  cette  intégrale  peut  s'écrire, 

l'intégration  étant  étendue  à  l'espace  tout  entier. 

D'autre    part  nous  savons   que,  U   étant   une    fonc 
conque,  on  a 

dx 


car  toutes  nos  fonctions   s'annulent  à   l'infini   et  nos  intégra" 
sont  étendues  a  l'espace  entier.  On  a  donc, 

«y  —  ûo   «y  —  co 

il  en  résulte  que  l'intégrale  (27)  et  par  conséquent  la  première 
intégrale  du  second  membre  de  (26)  est  nulle. 
La  relation  (26)  devient  donc 


.8) 


(Quelle  est  la  signification  de  cette  équation  ?  —  Prenons  l'axe 
des  a:  parallèle  à  la  direction  du  courant  dans  l'élément  dz  et 
prenons  pour  élément  de  volume  un  petit  cylindre  de  section  drr 
et  de  longueur  dS. 

On  a, 

dz  =  di  dS^ 

la  relation  (28)  peut  donc  s'écrire^ 


■/ï' 


36'2  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES  CORPS  EN  REPOS 

Or  P<:/S  exprime  la  force  électromotrice  ;  désignons-la  par  E  ; 
Tautre  facteur  pd'j  exprime  Tintensité  du  courant  ;  désignons 
par  i  cette  intensité;   la  relation    (29)  devient   donc  finalement, 

(U_  _ 


Or  \ii  représente  la  chaleur  de  Joule  ;  le  principe  de  la  con- 
irvation  de  l'énergie  est  donc  vérifié  par  les  équations  de  Hertz. 
^-^'^nression  de  V énergie  magnétique  de  Hertz  est  donc  la  seule 
'Me. 


I 


CHAPITRE  II 


ÉLEGTRODYNAMIQUE   DES  CORPS   EN   MOUVEMENT 


Jusqu'à  présent  nous  ne  nous  sommes  occupé  que  des  corps  en 
repos  :  nos  circuits  ne  se  déplaçaient  pas.  Nous  allons  envisager 
maintenant  le  cas  des  circuits  en  mouvement.  L'étude  des  phéno- 
mènes qui  se  présentent  dans  ce  cas  constitue  l'électrodynamique 
des  corps  en  mouvement. 


306.  Dérivées  par  rapport  au  temps.  —  Désignons  les 
composantes  de  la  vitesse  de  la  matière  par  ^^  tj,  'Ç  et  soit  U  lu 
valeur  d'une  fonction  en  un  point  M  Çr,  y,  :;)  ;  cherchons  la 
dérivée  par  rapport  au  temps  de  cette  fonction. 

Deux  cas  peuvent  se  présenter  : 

i'*  Le  point  M  (.r,  ?/,  c)  est  fixe. 

o/'  Le  point  M  (.r,  //,  .:•)  est  entraîné  dans  le  jnouvcment  de  la 
matière. 

On  aura  pai*  conséquent  deux  sortes 
de  dérivées  par  rapport  au  temps  : 

i"  La  dérivée  de  hi  fonction  U  en  sup- 
posant M  (.r,  jy,  ~j   fixe  ; 

2''  \a{  dérivée  de;  hi  fonction  U  eu  sup- 
posant ([ue  ^l  (x,  ij^  z\  est  entrahié  dans 
le  mouvement  d(^  la  matière, 

Dans  le  premier   cas,   la   valeur    de  U    au    temps  l-\-cU  sera 

dl]...        .        ,        ÙU     , 

(Uj   eu  desi- 


iM^-.  .](]. 


\]  _[..-  --^"f//  qx,  dans  le  second  cas,  elle  sera  U 
dt  ' 


(V 


guantpar  —  (avec  des  ù  ronds)  les   dérivés  d'une   fonction   pi 


0/ 


rapport  au  temps   quand  le    point   (.r,  //,  z)  est  entraîné  dans  le 


mouvement  de  la  matière: 


nous  ferons  usage  de  cette  conven- 


364  ÉLECTRO.DYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

tion  toutes  les   fois   qu'on  aura   à  considérer   des   dérivées   par 
rapport  au  temps. 

Calculons  maintenant  cette  dérivée  —  • 

Considérons  donc  un  point  M  (.r,  y,  .:?),  successivement  a 
Tépoque  t  et  à  Tépoque  t  +  dt.  Ce  point  étant  entraîné  dans  le 
mouvement  de  la  matière,  ses  coordonnées  .r,  y,  z  subissent  des 
iccroissements- 

dy  =  'r4i, 
dz  =  l,dt, 

dent  alors  pour  valeur  de  cette  dérivée 

^_i£ _LpiH__j>  iH-o-^— 

>  U~~   dt    '^^  dx  "^  '''  dy  '^^  dz' 

30T.  Induction  dans  un  circuit  en  mouvement.  —  Considé- 
rons un  vecteur  quelconque  (a,  j3,  'f),  une  surface  S  limitée  par 
une  courbe  C  et  l'expression 


Proposons-nous  d'évaluer  la  dérivée  de  cette  expression  par 
rapport  au  temps. 

Pour  fixer  les  idées  supposons  que  le  vecteur  considéré  soit  la 
force  magnétique  (a,  [3,  y)  ;  l'expression  (a)  représentera  alors  ce 
qu'on  appelle  le  liux  de  force  magnétique  à  travers  la  surface 
considérée. 

Il  y  a  deux  manières  d'envisager  la  question. 

1°  On  peut  supposer  que  la  surface  S  reste  fixe,  et  dans  ce  cas 

la  dérivée  en  question  s  écrit  — — (avec  des  d  ordinaires)  d  après 

notre  convention. 

2°  On  peut  supposer,  qu'au  contraire,  la  surface  S,  au  lieu  de 
rester  fixe,  se  déplace,  entrai uée  dans  le  mouvement  de  la  matière, 

et  vienne  en  S^  :  dans  ce  cas  c'est  la  dérivée  -^favecdesô  ronds) 

qu'il  faut  considérer. 


CIRCUIT  EN  MOUVEMENT 


365 


Je  me  propose  crévaluer  cette  seconde  dérivée  -:- —  .  Quand  t 

augmente  et  dt  et  qu'en  même  temps   la  surface  S  est  entraînée 
dans  le  mouvement  de  la  matière 
et  vient  en    S^   <ï*  subit  alors  un 
accroissement  représenté  par 


dt. 


Fig.  47. 


Cet  accroissement  peut  être  dé- 
composé en  trois  parties  distinc- 
tes. Soit  S''^  une  surface  annulaire  qu'on  peut  faire  passer  pu. 

circuits   CC,    C'C^    qui   limitent  les    Sui- 
"^>Qa    faces  S,  S'.  Les  trois  parties  de  Faccrois- 
semeiit  sont  : 

i'^    L'accroissement    subi    pendant    le 
temps  dt   par  le  flux  qui  traverse  la  sur- 
*y^      face  S.  Cet  accroissement  a  pour  valeur 


dt. 


2°  Le  flux  qui  traverse  la  surface  annu- 
laire S^^  Je  désignerai  par  Zfi  cet  accrois- 
sement ; 

3'^  La  dinereuce   entre  le  flux  qui  tra- 
verse   S+S'^  el   le  flux  qui  travei'se   S'. 
J'appellerai  o^<I>  celle  dilTérence. 
On  a  donc, 


Fig-.  4H. 


"^) 


(>I> 


dA^ 


i)t  dt  II'- 


Evaluons  chaque  ternie  du  second  membre  séparément. 
D'abord,   pour  — ~  ,    on   a,  en    dlHerentiant    <I>   par    rapport 


dt 


a/, 


(4) 


^^  /  yid. 
fil    I  /  j 


da. 

dt 


366 


ÉLECTRQdYNAMiqUE  DES  CORPS  ES  MOUVEMEXT' 


Calculons  maintenant  o^cp. 

Soit  ce  la  courbe  qui  limite  la  surface  S  ;  au  bout  du  temps  dt 
cette  courbe  vient  en  C^C'' et  si  nous  considérons  deux  points  PP, 
limitant  un  arc  PP^  sur  la  courbe  G,  au  bout  du  temps  dl  cet 
arc  viendra  en  PT^^. 

Considérons  le  petit  quadrilatère  PP^P^^P^  formé  par  les  deux 

arcs  PP^  etP'P^,  et  les  deux  petites  droites  PF,  P^P^^.  Ce  petit 

:juadrilatère  est  assimilable  à  un  parallélogramme.  Appelons  dw 

ion  aire  et  évaluons  le  flux  de   force  magnétique  k  travers  cette 

've.    A  cet   effet  menons  par  les   sommets    du    petit   parallélo- 

s  droites  PQ,  P,Q^,  P^Q',  P^.QV  représentant  la   force 

en    grandeur  et  direction,    et   considérons   le   petit 

de  ainsi  formé.  Je  dis  que  le  volume  de  ce  parallé- 

résente  le  flux  cherché.  En  effet 


voP  du  paraP  =  dio  X  hauteur 

et  la  hauteur  c'est  la  composante  normale  de  la  force  magnétique, 
par  construction. 

Le  calcul  du  flux  cherché  se  ramène  donc  au  calcul  du  volunn^ 
du  parallélipède  Pl\  V^?' ,  QQ^  (/Q^ 

Evaluons  ce  volume.  01)servons  a  cet  eîFet  que  PI*'  c'est  ie 
chemin  parcouru  pendant  le  temps  di  par  le  point  P  ;  les  trois 
composantes  de  ce  petit  chemin  sont,  en  désignant  par  ç,  r^,  u, 
les  coniposaiîles  de  la  vitesse  du  point  P  (([ui  est  la  iném(^  que  la 
vitesse  de  la  mal! ère),  ^d(^  r/it,  'idl. 

Le  volume  du  [larallélipipède  en  question  est  donc 

dij     d: 


dx 

du 

dz 

d.v 

d'.. 

Ut 

■f^dt 

■Çdl 

=j/ 

t 

■r\ 

a 

fi 

Y 

a 

fi 

Pour  avoir   le  Ikix  total  il   faut  intégrer  cette    expression,    il 
vient  alors. 


dl-         '■ 


d.v 

du 

dz 

"r 
^ 

CIRCUIT  EN  MOUVEMENT 


Développons  le  déterminant  qui  figure  dans  le  second  membre 
en  désignant  parX,  Y,  Z  ses  mineurs,  il  vient, 


donc 


o,4> 


dt 


x= 

-ri-?v 

Y  = 

=<—tl. 

Z  = 

=  |3;  —  ar,  ; 

dx 

dy     dz 

% 

r,       K 

= 

a 

?      T 

==      /     2jXdr, 


la  dernière  intégrale  étant  étendue  au  contour  C. 

Transformons    cette   dernière    intégrale    par  le    théorème    de 
Stokes,  il  vient, 


-fi"-a 


d\'       dZ\ 


d'j>  ' 


Calculons  maintenant  o^fI>. 

Nous  avons   désigné  par  ce  symbole  la  diflerence  des  flux  qui 
traversent  S-)-  S'^  et  S'.  Remar- 
quons d'aboi'd  que  ces  surfaces 
sont    limitées    pai    une    même 
courbe  VJ . 

Pour  avoir  o/!>  considérons 
un  éh'ment  de  siirl'acc  r/o)  de  S 
et  pat'  les    diderents  poitrts  de 

cet  élément  menons  des  lignes  de  force  ;  nous  déterminerons 
ainsi  des  tul)es  de  iorce  qui  découperont  sur  S^  un  élément  cIm' . 
Quel  est  le  ilux  total  qui  traverse  le  petit  cylindre  ainsi  formé  ? 
Si  nous  désignons  par  th  le  volume  de  ce  cylindre  infiniment 
délié,  ce  ilux  a  pour  valeur 


fo) 


dl 

dy 


EL 

dz 


d^ 


et  il  provient  de  l'excédent  du  Ilux  qui  traverse  d<.o  sur  celui  qui 
traverse  dco'  et  du  flux  qui  traverse  les  parois  latérales  du  cylindre. 


368  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

Mais  remarquons  que  ce  dernier  est  nul  :  à  travers  les  parois 
d'un  tube  de  force  ne  passe  pas  de  flux.  Le  flux  total  (6)  est 
donc  la  différence  entre  le  flux  qui  traverse  dto'  et  celui  qui  tra- 
verse d(D  :  c'est  précisément  la  quantité  que  nous  voulions  cal- 
culer. 

Mais  il  nous  reste  encore  à  évaluer  dz.  Or  nous  avons  sur  la 

figure 

H  étant  la  hauteur  du  petit  cylindre  dont  les  bases  sont  r/co  et  r/o/, 

c'est-à-dire  la  projection  de  AB  sur 
la  normale  à  S. 

Remarquons  que  le  point  A  sur  la 
surface  S,  à  Fépoque  /,  appartient  à  la 
surface  &  à  l'époque  l  -{~df  :  il  vient 
en  C,  voisin  de  B.  D'autre  part,  on  a, 

proj.  AB  :==^  pï'<>j.  AC  +  pi'oj.  (^B, 

et    comme  CE  est  un  arc  situé  sur  S^   la   projection  de  CU  est 
un  infiniment  petit  d'ordre  supérieur. 

Reste  donc  à  évaluer  la  projection  AC. 

Or,  les  trois  projections  AC  sur  les  axes  sont 


A   d(ù 


Idt^  -f.dl,  tjU  ; 


par  conséquent 


proj.  AB  =  (/ç- 


-  /?i'r 


''s;  ^i 


dt. 


Voilà  donc  la  hauteur  du  cylindre  (en  sup[)osant  ([ue  l<\s  deux 
surfaces  S,  S^  sont  infiniment  rapprochées  Tune  d(^  Tautre). 
La  valeur  du  volume  d-z  est  alors 

d",  =  [t\  +  mr,  -h  /^sj  didh)  :^:^  dwd(  y   l\, 
et  Texpression  (6)  devient, 

Â^       \dx         dij 


d-.' 
'dz 


ou  encore 


=""'"!  «S^^^ 


CIRCUIT  EN  MOUVEMENT  3^9 

En  intégrant  cette  expression  il  vient, 


La  relation  (3)  peut  maintenant  s'écrire, 

ld<j) 


"-   2'-^. 


+/E-(f-f)- 


ou  encore 


H  en  remplaçant  X,  Y,  Z  par  leurs  valeurs, 


ai  f     jLJ         \    dt         dz  ^ 


s- 


Posons  pour  simplifier, 

PoiNCARK.  lillccU'icité  et  Opliquc.  v/, 


370  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES  CORPS  EN  MOUVEMENT 

la  relation  en  -— -  devient 


=/e^^k^-w 


C'est  la  lormiile  que  nous  voulions  établir. 

Les  considérations  qui  précèdent  s'appliquent  h  un  vecteur 
quelconque  :  on  n'aura  qu'à  remplacer  dans  (lo)  le  vecteur 
(a,  p,  v)  par  un  vecteur  quelconque  ;  on  aura  ainsi  des  expres- 
sions analogues  a  [a],  [|3],  [-)]  qu'on  déduira  des  relations  (9)  en 
remplaçant  le  vecteur  a  par  le  vecteur  considéré. 

308.  Théorème.  — Nous  nous  proposons  de  démontrer  encore 
le  théorème  suivant  qui  nous  sera  utile  dans  la  suite. 

Prenons  un  vecteur  quelconque  —  (a,  [3,  y)  pour  préciser  les 
idées  —  et  considérons  la  valeur  al:)Solue  de  ce  vecteur,  valeur 
que  je  désignerai  par  N  de  sorte  que 


dis  que 


N-  =  a-  +  3-  4-  • 


^,   (\\        \1       r/a        \1     ,     ^ 


Pour  démontrer  cette  relation,  considérons  un  élément  de 
surface  diù  quelconque  et  expi'imons  le 
(lux  qui  traverse  cet  élément. 

Soit  N^  la  normale  à  cet  él(''ment  et 
désignons  par  0  l'angle  que  (ait  1<^  vecteur 
(et,  [j,  y)  i^vec  cette  noi'niale. 

Le  Hux  en  question  a  alors  pour  valeur, 

(J>:^.NcosOr/(M. 


ï^'jp:-  5i.  ..  ,     ,  M^ 


Calculons  -—  .    Supposons   pour  cela 

que  nous  ayons  affaire  à  un  coï'ps  solide  ;  dans  ce  cas  si  c,  7,, 
Ç  sont  les  composantes  de  la  vitesse  de  la  matière,  ces  conqio- 
santes  satisferont  à  une  certaine  relation  qui  exprimera  (|ue  le 


THÉORÈME  371 

corps  solide  se  déplace  sans  se  déformer,  c'est-à-dire  qu'on  aura, 
dJi         d't\         âX^ 


dx         dij         (Iz 


o. 


dy         dx         dz  dij         dx         dz 

Formons  — r —  .  Il  vient 

-r— =  -7-  cos  Ur/co  —  xS  sin  IJ  -r 

Supposons  qu'à  l'instant  i  le  vecteur  N  soit  perpendiculaire  à 
<ico  ;  on  a  alors 

0-.=  o;  cosO=î;  sin  0  =  0; 

et  la  relation  précédente  devient, 

m  _  ÙN 
0^  0/ 

Cette  nouvelle  expression  de  04>  doit  être  égale  à  celle  trou- 
vée précédemment  (10).  En  identifiant  ces  deux  expressions  il 
vient 


(ui  miiltipliiiiil,  ceLtc  rcli>Lli)ii  par  N  et  eu  l'cinai'quimt  ([ue 

il  vient  finalement 

r>N       \-l      dy. 


...  UN       \1      r/a         \1     „  . 


c'est  la  relation  annoncée.  Mais  n'oublions  pas  que  ceUe  dé/nons- 
IraLLon  suppose  que  Vêlement  de  surface  dw  appai' lient  à  un  corps 
solide. 


ÉLECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOU'VEMENT 

^     'Equations  fondamentales  de  Hertz.  —  Ces   prélimi- 

^blis  voyons  comment  fait  Hertz  pour  trouver  les 

imentales   cle    rélectrodynamiqne   des    corps    en 

pour  cela  les  lois  fondamentales   que   nous   avons 
our  les  corps  en  repos, 
^^jjii^xv^vjrons  une  surface  S  limitée  par  une  courbe  C. 

Première  loi.  —  L'intégrale  de  ligne  de  la  force   électrique, 
wi.,c.   \    la  courbe    C,  est  égale  à  la  dérivée   par   rapport  au 
d'induction  magnétique  qui  traverse  la  surface  S 
mtour  C,  c'est-a-dire 


7  lu.'xdb. 

/  j  ^ 


Comment  cette  loi  doit-elle  être  interprétée  pour  les  corps  en 
mouvement  ?  Doit-on  supposer  la  surface  S  fixe,  ou  bien  entraî- 
née dans  le  mouvement  de  la  matière  ?  —  Cette  question  est 
tranchée  par  rexpérience  :  l'expérience  jh'ouvc,  en  eirct,  qu'on 
doit  supposer  la  surface  S  comme  étant  entraînée  dans  le  mou- 
vement de  la  matière. 

C'est  ainsi  qu'un  circuit  moljile  dans  un  champ  invariable  est 
le  siège  de  courants  d'induction.  Je  n'insisterai  pas  sur  ces  faits 
expérimentaux  :  j'admettrai  seulement  la  conclusion.  (]'est  donc 

la  dérivée  -—  (avec  des  0  ronds)   (pi'on   doit  considérer  pour  les 

corps  en  mouvement. 

JPremière  loi  fondamentale.  —  11  résulte  de  ce  qui  précède  que  : 
IJ  intégrale  de  ligne  de  la  force  êleclri(jiu%  clendue  a  a  con- 
tour C,  es l  égale  à  la  dérivée  par  raj)j)()r{  au  fe/nps  du  jlu.r  d'in- 
duclion  niagnéiiqae  qui  Iracerse  lu  s  tir  face  S  limitée  par  le  con- 
tour C,  cette  surface  étant  sujj/josée  co/)inie  entraînée  dans  le 
mouvement  de  la  matière. 

L'expression  analyticpie  de  cette  loi  est  la  suivante. 


(i2)  /     \Vdj:=.-j    l     yUarko. 


•     ÉQUATIONS  FONDAMENTALES  3', 

Transformons  cette  expression.  Le  théorème  de  Stokes   nous 
donne  pour  la  première  intégrale, 

,,    .d(l        dK 


d.z         dy 


Quant  au  second  membre  transformons-le  en  lui  appliquant 
théorème  que    nous   avons 'démontré  plus  haut  (formule   ic 
qui,  avons-nous  dit,  s'applique  à  un  vecteur  quelconque. 

Nous  avions  pour  le  vecteur  (a,  (3,  y) 


-fi'Hi-i^^)-' 


pour  le  vecteur  (|xa,  ^[i,  jjiy),  qui  nous  intéresse  en  ce  moment, 
nous  aurons  donc, 

La  relation  (12)  peut  alors  s'écrire, 

et  en   identifiant  les    coefficients    de-/<'/co,    j)idw^  ndto  des   deux 
memlji'csde  cette  relation,  il  vient 

dij.y.         d.{)         d[{     ,    ,       , 

~ —  ~-  ™7 -,—  +    [J^y-  , 

Y  3  c/// 


1         (If  (< 

^  ^  l     (il  dx         dz.        ''  '  ' 


ce  sont  les  équations  fondamentales  de  Hertz  pour  les  corps  en 
mouvement. 


3^4  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES  CORPS  EN  MOUVEMENT 

Rappelons  que  [[xa],  [^^],  [[xy]  ont  pour  valeurs, 

.qiO.  —  Maxwell  raisonne  de  la  même  manière,  seulement  au 
de  considérer  le  vecteur  (p.,  [xp,  [xy),  il  considère  le  vecteur 
•    c)  qui  représente  l'induction  magnétique  suivant  lui  ; 
it  ainsi, 

da        dQ        dR    ,  .   , 

\  db         dR        d?    ,    rn 


r/c         r/P         rfQ    , 


A         f/y         f/:^' 
[a],  [/;],  \e\  ayant  poiii'  valeurs 

[/^]  =  ^  ('"^^  —  '^'0  —  ^  (/^^  —  ^'-v»  ' 

car  les  derniers  termes  ç    >  —7--  ,  r,  >  --7 — ,  s  7  "1 —  ^^^'"^^  ^^^^'^ 
si  on  lient  compte  de  la  relation  de  iMaxweli 

Ij-dJ-'- 

Dans  ces  équations  (i3)  de  Maxwell,  les  deux  premiers  termes 
des  seconds  mcml^res  expriment  Tindaction  niagnéli([ue  due  a 
la  variation  du  champ  et  le  troisième  terme  [a],  [ù\^  [c\  exprime 
l'induction  magnétique  duc  au  mouvement  du  circuit. 


COMPARAISON  ENTRE  LES  EQUATIONS  DE  HERTZ  ET  MAXWELL       875 


COMPAÏIAISON    ENTRE    LES    RELATIONS    FONDAMENTALES    DE   HeUTZ 
ET    CELLES    DE    MaXWELL 

311.  —  Y  a~t-il  identité  entre  les  équations  (I)  de  Hertz  et  les 
équations  (i3)  de  Maxwell?  Remarquons  que  si  les  deux  systèmes 
d'équations  paraissent  avoir  une  certaine  analogie  quant  à  leur 
forme,  il  n'en  est  plus  de  même  des  vecteurs  c|ui  y  figurent  :  le 
vecteur  de  Hertz  a  pour  composantes  [j.a,-  (jlJ3,  [jLy,  tandis  que 
celui  de  Maxwell  a  pour  composantes 

..  =  Y  +  4^C. 

Pour  qu'il  y  ait  identité  outre  ces  deux  vecteurs,-  il  faut 
que 

a 

c'est-à-dire  qu'il  n'y  a  identité  entre  ces  deux  vecteurs  que  dans 
les  corps  dépourvus  de  j)iagnctlsnie  permanent  ;  n'ayant  par  con- 
séquent que  du  nia<^nèllsme  Induit . 

Cependant  les  é([uati()ns  (1)  et  (i!5)  peuvent  a  certaines  con- 
ditions se  ramener  Tune  à  l'autre. 

Posous  en  effet, 

a  =  |j.a  +  4?:  A,, 

h^.:^^  4^B.p 
c  ^^.  .y.Y  +  47i(:,3, 

A,p  B,p  (],,  étant  les  coinposanlos  de  ralmantatlou  permanente. 
On  tire  de  ces  relations 

[a]  -^  \<j.y.\  +  44 A„; 

("4)  |/.|  =  |;.pj  +  44B»N 

[    [r]=[;.Y|+4<C„], 
car  a,  p,  y  entrent  linéairement  dans  |aj,  |  |ï|,  |r  |. 


376  ,       ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

Cela  posé,  retranchons  membre  a  membre  les  relations  (r.3)  des 
•elations  (I)  ;  il  vient 

d\x.aL         da         r     -1         r   -1 


t5) 


dt  dl 


A  deux  autres  équations  symétriques   de  celles-là  que  je  n'écris 
pas. 

Ces  équations  doivent  être  satisfaites  pour  qu'il  y  ait  identité 
ntre  ces  équations  de  Hertz  et  celles  de  Maxwell. 
Tirons  [^a]  —  [a]  des  relations    (i4)   et  substituons  sa  valeur 
(i5),  il  vient, 

rfaa         da  /TA  -; 

OU,  en  remplaçant  a  par  sa  valeur 

a  =  [i.a  -+■  4^Ay, 


I       di 

(..6)  f  ==  [B„], 

f     <r/C„  _ 

''.  HT  ~  ^^»J- 

les  deux  dernières  de  ces  équations  s'obtenant  comme  la  pre- 
mière. 

Ainsi  il  y  aura  identité  entre  les  é(piaLi<)ns  de  Hertz  et  celles 
de  Maxwell  si  les  équations  (16)  ont  lieu. 

Supposons  maintenant  que  les  aimants  [)ermanents  soient  des 
corps  solides  qui,  en  se  déplaçant,  (MitrahuMit  n\'cc  eux  leur 
aimantation  permanente.  Je  dis  que,  dans  ce  dei'uier  cas,  les 
relations  (16)  sont  légitimes.  Considérons,  en  efïet,  dansun  solide 
aimanté  ({ui  entraîne  avec  lui  son  aimantation  [)ernianente,  un(^ 
surface  quelconque  et  évaluons  le  flux  (<J>)  ([ui  travers(_»  cette 
surface  et  qui  correspond  au  vecteur  (A^^,  B^,  C^^).  L'aimantation 
permanente  étant  entraînée  en  bloc,  on  a  alors 

lu 


COMPARAISON  ENTRE  LES  ÉQUAriONS  DE  HERTZ  ET  MAXWELL       877 

Or  nous  avons,  pour  le  vecteur  (A^,,  B^,  Cj  (p.  870), 


""  t§^  -  [^. 


donc 


et  par  conséquent, 


dt 

=  [Ao], 

di\ 

dt 

-[BJ, 

dC, 
di 

=  [C„]- 

C.  Q.  1 

^  D. 

Ce  sont  bien  les  relations  (16)  que  nous  obtenons.  Il  y  a  donc 
identité  entre  les  relations  (1)  de  Hertz  et  les  relations  (i3)  de 
Maxwell,  à  condition  que  l'alniantation  soit  permanente  et  qu'elle 
ne  soit  pas  modifiée  par  le  déplacement  de  Taimant.  Ces  relations 
cesseraient  d'être  é([uivaleiites  si  les  corps  aimantés  ne  conser- 
vaient pas  leur  aimantation  permanente,  si  par  exemple  ils  étaient 
désaimantés  par  la  chalenr.  Si  les  corps  aimantés  ne  sont  pas 
des  corps  solides,  mais  s<^  dé[)lacent  en  se  délormantj  il  n'y  aura 
pas  non  pins  écjnivalcmce  (^Ure  les  deux  systèmes  cré(jnations,  à 
moins  qu'on  ne  lasse  des  liy[)otlièses  particnlières  sur  rinlluence 
de  ces  déformations  sur  raimantalion. 

Donnons  un  exemple  à\u\  cas  on  les  deux  systèmes  d'équa- 
tions conduisent  à  des  conclusions  contradictoires.  Considérons 
nn  tore  d'acier  aimanté  uniformément  ;  il  n'a  pas  d'action  sur 
un  morceau  de  fer  placé  à  l'extérieur,  nuiis  sa  magnétisation 
n'est  pas  nulle  :  on  peut,  en  eflct,  la  faire  apparaître  en  coupant 
le  tore  en  deux  parties  qui  agiront  comme  deux  aimants  ;  par 
contre*  il  n'y  a  pas  de  magnétisme  vrai  à  l'intérieur  du  tore, 
—    Modifions    maintenant    son    aimantation     en    le     chauffant 


378  ÊLECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

après  l'avoir  entouré  d'im  fil  conducteur  enroulé  en  hélice. 
Que  va-t-il  s'y  passer  ?  Les  relations  de  Maxwell  annoncent 
un  courant  d'induction  dans  le  fd  ;  d'après  les  relations  de 
Hertz,  il  ne  doit  pas  y  avoir  de  courants  d'induction  dans  le 
lil.  On  obtient  donc  des  conclusions  contradictoires,  —  Peut- 
être  d'ailleurs  aucune  des  deux  formules  n^est-elle  applicable  à 
un  cas  de  ce  genre. 

3f2.  Deuxième  loi  fondamentale.  —  Nous  avons  trouvé  pour 
les  corps  en  repos  la  relation  suivante, 


y  (j.dx  =  /\r^    I     y  lpdtô-\ — -7-     I     y  IKPdio, 


où  le  premier  membre  représente  Tintégrale  de  ligne  de  la 
force  magnétique;,  le  premier  terme  du  second  mem])re  exprime 
la  quantité  d'électricité  qui  traverse  la  surface  S  par  conduction 
et  le  dei'nier  terme  du  second  membre  représente  le  llux  d'in- 
duction électrique  qui  traverse  cette  même  surface. 

Cette  relation  est- elle  encore  valable  pour  les  corps  en  mou- 
vement ?  En  d'autres  termes,  faut-il  supposeî'  la  surface  S  flxc^ 
ou  l:>ien  entraînée  dans  le  mouvement  de  la  matière  ? 

Pai'  analogie  avec  le  cas  précédent,  où  on  considérait  le  llux 
d'induction  magriétique,  Hertz  (id/ïicl  ([u'on  doit  c()nsid(''rer  la 
surface  S  comme  étant  entraînée  dans  le  uiouveinent  de  la  tna- 
tière. 

C'est  donc  aux  vérifications  expéi'i mentales  de  confirmer  ou 
d'infirmer  cette  hypothèse  de  Herlz.  Nous  verrons  dans  la  suite 
que  beaucoup  d'expériences,  confirment  les  c()ns<M[uences  (ju'on 
tii'c  des  formules  de  Hertz  bâties  sur  cette   hypothèse. 

La  relation  (i^)  devient  donc  peur  h's  corps  en   mouvement, 


iB)         —     I     y  a./.,r -..:  471     rV/y,,/o)  +  ^     I     y/KP,/(,), 


et    elle   constitue  la    seconde  loi    fondamentale  de  rélectrt)dyna- 
mique  des  corps  en  mouvement. 


COMPARAISON  ENTRE  LES  ÉQUATIONS  DE  HERTZ  ET  MAXWELL      37( 

313.  Courant  total  de  Hertz.  — Transformons  cette  relation  (i8) 
Le  premier  membre  devient  en  lui  appliquant  le  théorème  d 
Stokes, 

D'autre   part,  le   dernier  terme   du   second   membre    a 
valeur,  d'après  un  théorème  précédemment  démontré  (p.  2 


.y2,KP.„=j2' 


^    y«P.„=    y«„(i5ii-[K,,). 


La  relation  (  1 8)  devient  donc, 


d'où  l'on  tire. 


r/a  d^(  ,         .     r/KQ 


(.y)  U7-7::  =  4-/  +  -^-|lvQ|, 


(Lv         dij  (il 


Posons  mainieiianl, 


4t:/;  +  ~^j I  KP  I  =  4-71// , 


ELECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

.,    ,  w  seront  les  composantes  du   courant   total  (courant   sus- 
îe    ible  de  se  manifester  par  un  champ).  Les  relations  (19)  de- 
nent  ainsi, 


dy  dz 

d%  dy 

dz  dx 

dx  dij 


ations  sont  analogues  aux  équations  (19)  de  Maxwell, 
:5orps  en  repos  (n*^  57),  à  cela  près  que  u^  ç>,  w  ont  des 
différentes  de  celles  appartenant  aux  mêmes  lettres  des 
>ns  (19). 
..oyons  en  quoi  diffèrent  ces  valeurs. 
Des  équations  (20)  on  tire 


1 
u  ~ 

,      I     dKP 

i^KP], 

\ 

I     ^/KQ 

^'^+4-     dt 

■  41  t'^^J' 

4~     de 

-i^'- 

or 

KP         .     , 

> 

il  vient  donc 

df 

- 1/1^ 

(21) 

'                 ,    'k 

i"-'^-^dc 

-\g\^ 

I    ^^^^       [/ 1 


dt 


COMPARAISON  ENTRE  LES  ÉQUATIONS  DE  HERTZ  ET  MAXWELL      38 1 

[/],  [g\.  [Il]  ayant  cU ailleurs  pour  valeur, 

k'l  =  ^('-.-é<)-^fe5-/--o)-,2i. 
['.l=^(A-''5)-^(M-ê<)-ç2f- 


Comparons  ces  relations  (21)  que  nous  venons  d'obtenir  avec 
les  relations  (5)  de  Maxwell  (n°  293),  on  voit  que  dans  le  cas 
présent  on  a  des  termes  complémentaires  qui  ne  figurent  pas 
dans  les  relations  analogues  de  Maxwell.  Ce  sont  les  termes  [/], 

tei,  [/']■ 

314.  —  Quelle  est  la  signification  de  ces  termes?  Pour  le  voir, 
explicitons  d'abord  ces  termes.  A  cet  effet,  posons. 


d'antre  part  nous  avons, 


p  clant  la  densité  de  l'électricité. 
Les  relations  ('.>.  i)  deviennent  alors 


X   =    //Y, 

-é<, 

Y  =  /"C 

-/'?, 

Z  =  gl  . 

-A; 

V  'V 

Zj  d.r.  ' 

=  ?, 

df  I  d\        dL  ■ 

dg  (d7.        dX\ 


,    dà  ^  ^   ,    /dX       dM 

Ces  relations  nous  indiquent  que  le  courant  total   se  compose 
de  quatre  parties  : 


382  ÉLECTRODYNAMIQVE  DES  CORPS  EN  MOUVEMENT 

i"  Le  courant  de  conductiou  (jj,  y,  r), 

(  df     di>     dh\ 
déplacement  (^-^,-^,-^j, 

3^  »  convection  (oç,  prj,  pÇ), 

^  ^^  '^  t'Th       1?/'      (Lx        d.z'       dij        dx  \' 


Indiquons  sommairement  comment  l'expérience  a  pu  déceler 
Texistence  des  deux  derniers  courants. 

M.  Rowland  (^)  a  reconnu  que  le  transport  mécanique  d'une 
charge  électrostatique  équivaut  à  un  courant  dirigé  dans  le  sens 
du  mouvement  :  En  employant  un  disque  isolant  électrisé,  et  en 
le  faisant  tourner  avec  une  grande  rapidité  il  a  observé  la 
création  d'un  champ  magnétique. 

Supposons  maintenant  qu'un  diélectrique  se  déplace  dans  un 
champ  électrique  constant  mais  non  uniforme  ;  supposons,  par 
exemple,  un  disque  d'éljonite  mobile  autour  d'un  axe  vertical  et 
un  système  de  quatre  secteurs  métalliques  qui  couvrent  complè- 
tement le  disque;  en  électrisant  les  secleurs  en  diagonale,  comme 


•+•■*— ♦•++-♦--(--«-+ 


l'indique  la  figure,  ou  ol) tient  deux  champs  de  sens  conti'aires  : 
celui  de  gauche  est  dirigé  de  haut  en  l)as  et  celui  de  droite  de 
bris  en  haut.  Le  champ  en  un  point  quelcoiupie  de  r<.'space  sera 
invariable,  mais  le  disque  qui  est  animé  d'un  mouvcnient  dr  rota- 
tion traversera  successivement  des  régions  où  le  clnunp  aura  d(^s 
valeurs  égales  et  de  signes  contraires  :  la  polarisation  du  diélec- 
trique subira  des  variations  rapides  et  on  aura  comme  résultat  un 


(*)  Les  cxpéi^'ences  de  M,  Rowland  oui  clé  connues  d'abord  par  rin  rapport  iU\ 
Helmtiolz  (Pog-g-.  Ann.,  l.  CLVIII,  p.  487)  et  publiées  ensuite  dans  V Amcrivaii 
Journal,  1878.  A'oir  aus.si  Journal  de  Phi/sique,  i'"  série,  t.  VI,  p.  -ja)  cl  L,  A'JII, 
p.  '214.  —  RowL.VND  et  lIuTCiii>;sON.  P/ûl.  Mag.,  !)û  série,  t.  XXVM,  p.  //lîi  et  Jour- 
nal de  Phi/sif/ue,  2°  série,  t.  VIÏ,  p.  î)']ù,   18S9, 


COMPARAISON  ENTRE  LES  ÉQUATIONS  DE  HERTZ  ET  MAXWELL      383 

courant  qui  pourra  être  mis  en  évidence  par  un  galvanomètre. 
C'est  ce  courant  qui  a  été  mis  en  évidence  par  Rôntgen  ('). 

Seulement  les  conditions  expérimentales  sont  très  compliquées 
et  les  expériences  excessivement  délicates  et  d'ailleurs  purement 
qualitatives,  de  sorte  que  les  résultats  obtenus  par  Rontgen  ne 
peuvent  ni  confirmer  ni  infirmer  l'exactitude  de  l'expression 
analyticjue  de  ce  courant. 

315.  —  Interprétons  ces  résultats.  ' —  Considérons  un  diélec- 
trique et  adoptons  pour  l'instant  les  idées  de  Mossotti  sur  les 
diélectriques  sphères  conductrices  extrêmement  petites,  dissé- 
minées dans  une  substance  non  conductrice  jouissant  des 
mêmes  propriétés  que  l'air,  qui  s'élcctrisent  par  influence  et  qui 
produisent  ainsi  la  polarisation  du  diélectrique  (-)  .  Plaçons  eo 
diélectrique  dans  un  champ  électrique  :  deux  cas  peuvent  se 
présenter. 

1°  Le  champ  est  çariahle  açec  le  temps.  —  Dans  ce  cas  on 
observera  un  courant  dans  les  petites  sphères  conductrices  ;  \q, 
courant  aura  pour  composantes 

K-K„    df 


K 

(W 

K-K„ 

dg 

K 

di' 

K-K„ 

dh 

K 

dt  ' 

1  "  1  '' 

c'est  le  courant  de  cUplacemen/,  de  ^îaxwell  au  (acteur p — ~  près. 

Rappelons  que  K  désigne  1(^  pouvoii'  inducteur  spécifique 
du  diélectrique   et  K^^  le  pouvoir  inducteur  spécifique  de  l'air. 

Remarquons  que  si  le  diélectrique  élait  de  l'air,  K  deviendrait 
égal  à  Ky  et  le  courant  de  déplacement  disparaîtrait  dans  ce 
cas. 


(')  Rontgen.   SitzungsbcrLcJite  dcr  Bcrlincr  Ahademie  dcr   Wisscnschafleii  ;  oA\  fé- 
vrier i885,  cl  PhlloiiopJiical  Magazine,  mai  iSSj. 


384  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

2^  Supposons  maintenant  le  diélectrique  mobile  et  le  champ 
non  uniforme,  mais  ne  variant  pas  avec  le  temps.  Les  sphères  de 
Mossotti  seront  alors  le  siège  d'un  courant  de  la  forme, 

K  — K,   fdY         dZ 


0 


d/j\ 
K         \d:.   ~'dy)'' 

K  — K„   f  dZ        dX' 


I. 


K  V  da:  dz  1  ' 


K— K,  ld\        dX 


K         \dij         dx 

le  courant  de  Rontgeu  au  facteur r^^ — ^-  près. 

_  courant  est  donc  du  à  un  changement  d'orientation  du 
diélectrique  même  sans  que  le  champ  électrique  varie.  Ainsi  un 
observateur  invariablement  lié  au  diélectrique  verra  varier  l'état 
de  polarisation  du  diélectrique  et  il  y  aura  par  rapport  à  lui  pro- 
duction de  courants  de  déphiccment. 


Passons  maintenant  aux  idées  de  ]\laxAvell  sur  les  diélec- 
triques. 

D'après  Maxwell,  tous  les  diélectriques  sont  constitués  de  hi 
même  manière  :  des  petites  sphères  conductrices  séparées  par 
des  interstices  remplis  d'un  isolant  dont  le  pouvoii'  inducteur 
spécifique  est  extrêmement  petit  ;  l'air,  le  vide,  sont  constitués 
de  la  même  manière  d'après  Maxwell  :  c'est  là  la  dillerence 
entre  les  idées  de  Mossotti  et  les  idées  de  Maxwell  sur  les  diélec- 
triques. Le  rôle  de  diélectrique  est  ici  joué  par  les  intersiices, 
ou,  pour  être  plus  précis,  par  la  maLicre  qui  remplit  ces 
interstices  et  qui  a,  avons-nous  dit,  v\\\  pouvoir  inducteur  spé- 
cifique extrêmement  petit.  En  faisant  par  conséquent  KQ--=:ro  dans 
les  relations  précédentes  on  doit  trouver  les  expressions  des 
mêmes  courants  d'après  Maxwell  et  Hertz.  On  trouve^  eu  eilèt, 
comme  composantes  du  courant   de  déplacement 

éL   ^  é!l 

dt   '    dt   '    d(  ' 


VÉRIFICATION  DU  PRINCIPE  DE  LA  CONSERVATION  DE  VÉLECTRICITÉ  38. 

et  comme  composantes  du  courant  de  Rontgen 


C'est  bien  l'expression  du  courant  de  Rœntgen  qui  figure 
dans  les  seconds  membres  des  relations  (12).  —  On  aurait  donc 
là  un  moyen  de  décider  sur  la  légitimité  de  l'hypothèse  de 
Maxwell  ou  de  l'hypothèse  de  Mossotti  sur  les  diélectriques. 
Malheureusement  les  expériences  que  Rœntgen  a  instituées  pour 
mettre  en  évidence  l'existence  de  ce  courant  sont  insudisantes 
et  d'ailleurs  purement  qualitatives,  comme  nous  l'avons  déjà 
fait  remarquer  :  elles  ne  peuvent  nous  fixer  sur  lu  valeur  exacte 
de  ce  courant. 

Quoi  qu'il  en  soit  on  arrive  à  la  conclusion  suivante  :  Le  cou- 
rant total  se  compose  de  quatre  parties, 

i*^  Le  courant  de  condiictloji. 


2" 


»  de  placement^ 


y  ))  llowland^ 


VHUiriCATION     DIÎS    PIUNCIPHS    ÏW.       lA    CONSKil VATION     DK     I.  KLKCTIUCITE 
HT     l)I<:     I-A    CONSKIiVATION     DU     MACNKTÏSMK 

316.  —  Nous  allons  montrer  ([uc^  la  théorie  de  Hertz  pour 
réleetrodynauriquc  des  coi'ps  eu  mouvement  est  conforme  aux: 
principes  de  la  conservation  de  Téleclricité  et  du  magnétisme. 
Commençons  par  le  principe  de  la  conservation  du  magnétisme. 

PvuwlpQ  (le  la  co/ise/'i>alion  du  Diagnélisme.  —  Considérons 
une  surface  S  et  supposons  qu'elle  soit  presque  complètement 
fermée  et  entraînée  dans  le  mouvement  de   la  matière. 

PojNCAiiÉ.   ÉlecLricilé  et  OpLiquc.  2.5 


sas  ÊLECTRODYNAMIQUE  DES    CORPS  EN  MOUVEMENT 

Nous  avons  la  relation  (') 


/    Zj     '^        ()t    j    Zj 


(0  >,p^-  =  -^     >  w- 


l'intégrale  cla  premier  membre  étant  étendue  à  la  courbe  qui 
limite  la  surface  S.  Dans  le  cas  particulier  où  nous  nous 
sommes  placés,  cette  intégrale  de  ligne  est  très  petite,  et  à 
la  limite,  quand  la  surface  S  est  complètement  fermée  elle  est 
nulle.  La  relation  iï)  devient  donc  dans  ce  dernier  ras 


ce  qui  signifie  que 


I      y  l^sjÀw  =  o. 


lli'y.chù  =  O"" 


Or  cette  intégrale  représente  le  flux  d'induction  magné ti{[uc 
qui  traverse  la  surface  S,  et  qui  est,  au  facteur  constant  4"^  pi'<-'s, 
la  '  quantité  de  magnétisme  vrai  à  l'intérieur  de  la  surface 
en  question  (d'après  la  définition  même  du  magnétisme  vrai); 
c'est  précisément  le  principe  de  la  conservation  du  magné- 
tisme. 

Principe  de  la  conser^'ation  de  V èleciricilè .  —  Nous  avons 
trouvé 

l'intégrale  de  ligne  du  premier  membre  s'étenclant  au  contour 
qui  limite  la  surface  S. 


(*]   Page  372,  éq.  (12). 


PRINCIPE  DE  LA  CONSERVATION  LE  V ÉLECTRICITÉ  887 

Si  cette  surface  est  fermée,  cette  intégrale  est  nulle  et  il  reste 

or  —-    I     y  ldo)KP  exprime  la  quantité  d'électricité  vraie  (par 

définition).  La  relation  (2)  montre  donc  que  la  variation  de  la 
quantité  d'électricité  vraie  qui  se  trouve  a  l'intérieur  de  la 
surface  fermée  entraînée  dans  le  mouvement  de  la  matière 
est  égale  à  la  quantité  d'électricité  qui  traverse  la  surface  S 
par  conduction  :  c'est  le  principe  de  la  conservation  de  Félecr- 
tricité 

317,  Première  remarque.  —  Remarquons  que  les  équations 
de  .Hertz  ne  cessent  pas  d'être  conformes  au  principe  de  la 
conservation  de  l'électricité  si  on  y  supprime  les  termes  corres- 
pondant au  courant  de  RotMvtgen.  Pour  montrer  cela,  il  me  suflitde 
l'aire  voir  que  la  quantité  d'électricité  qui  traverse  la  surface  S 
sous  forme  de  courants  do  RdMilgen  est  nulle.  Or  cette  quantité 
d'électricité  a  pour  expression 


■E'(S 


dy 


Je  dis  ([ue  cette  intégrale  esl  nulle.  Pour  le  voir  il  me  sultit 
de  d(Mn()nti'(M'  <|ue, 

(ù:  \ d.z       du  J  ^ 7/7 \d7 ~~ ~7r) "^  dz  \ du       d,v 

Ov,  cette  dernière  relation  est  une  identité  bien  connue. 

Ainsi,  donc, 

Le  principe  de  la  consei^'alioii  de  V eleclricllà  esl  ^'érifiê  soiù 
avec  les  è(j{ialLons  proprenienl  dites  de  llerlz,  soit  avec  ces  ècjua- 
tions  niodi fiées  par  la  suppression  des  termes  correspondant  an 
courant  de  liœntL^e/i. 


388  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

318.  Deuxième  remarque.  —  Je  dis  maintenant  que, 

Les  équations  de  Hertz  conser^>eJit  la  même  forme ,  soit  qii  on 
idopte  des  axes  fixes ^  soit  qu'on  adopte  des  axes  mobiles  ;  en 
Vautres  termes, 

Les  équations  de  Hertz  gardent  la  même  forme  dans  le  mouve- 
ment relatif  et  dans  le  mouvement  absolu. 

En  elTet,  les  deux  lois  fondamentales  d'où  sont  déduites  ces 

'^'-nintions  peuvent  s'énoncer  ainsi  :  une  intégrale  simple  prise  le 

l'une  certaine  courbe  doit  être  égale  à  la  dérivée  par  rap- 

'■•  temps   d'une   intégrale    double   étendue    à  une    surface 

par  cette  courbe,  cette  courbe  et  cette  surface  étant  sup- 

jntraïnées  dans  le  mouvement  de  la  matière.  Il  est  mani- 

.^...e  qu'un   pareil  énoncé  est  indépendant  du  choix  des  axes  et 

c[u'il    reste  le   môme,   que  ces  axes  soient  fixes  ou  mobiles.  Les 

équations   qu'on    en  déduit  doivent  donc   être   aussi  les  mêmes 

dans  les  deux  cas. 

Prenons  en  particulier  la  première  équation  fondamentale  de 
ïlertz, 

rZ^.a        dq        d.R 


dt  d.z  dïj 


H-  [r^-] 


et  plaçons-nous  dans  le  cas  le  plus  simple  :  supposons  que  toute 
la  matière  soit  entraînée  dans  un  mouvement  de  translation.  Ceci 
revient  à  supposer  que  ç,/,,  Ç  sont  des  constantes. 

Considérons  maintenant  un  système  d'axes  mobiles  entraînés 
dans  ce  mouvement.  Je  dis  que  nous  tomberons  sur  les  mêmes 
équations  que  dans  le  cas  d'un  corps  en  repos. 

En  effet,  [a],  dont  la  valeur  est 

devient  dans  ce  cas  [où  (ç,  r,,  ï)  =  C^'], 

r   ^  ^   r/a  da.  dv. 


CONSÉQUENCES  SSg 

et  en  remplaçant  dans  l'équation  de  Hertz  ci-dessus  [aa]  par  la 
valeur  que  nous  venons  de  calculer ,  il  vient, 

dl  dx  dy  dz  d.z  dy 


a 


d\ya        y.    d'X  da,       ^  da         ôiii 

di    ^^   dx  ^  '  dy  ^^  dz  ÔZ 

c'est  la  dérivée  par  rapport  au  temps  du  flux  d'induction  magr 
tique  en  supposant  que  la  surface  S  est  entraînée  dans  le  mouv( 
ment  de  la  matière  ;  il  vient  donc, 

DijL^  _  ^Q         ^R 
^t  dz  dy 

relation  analogue  à  celle  que  nous  avons  trouvée  poar  l'électro- 
dynamique  des  corps  en  repos  (n^  292). 

Il  résulte  donc  de  là  que  la  dérivée  -y"  joue  par  rapport  au 

mouvement  relatif  le  même  rôle  que  jouait  la  dérivée  -:p  par 

rapport  au  mouvement  absolu. 

319.  Conséquences.  — Cette  dernière  remarque  entraine  deux 
conséquences  :  riinc  heureuse,  l'autre  lâcheuse.  La  conséquence 
heureuse  c'est  que  les  équations  de  Hertz  sont  conformes  au 
principe  de  l'égalité  de  l'action  et  delà  réaction;  la  conséquence 
fâcheuse,  c'est  ({ue  ces  équations  ne  peuvent  pas  rendre  compte 
de  certains  phénomènes  optiques. 

(Considérons  un  milieu  transpai'cnt  animé  d'un  mouvement  de 
translation  et  traversé  par  des  ondes  lumineuses  et  considérons 
un  observateur  situé  en  un  point  de  ce  milieu  et  entraîné  par  le 
mouvement  de  ce  milieu.  Pour  cet  o])servatcur  tout  va  se  passer 
comme  si  le  milieu  était  en  repos  ;  par  conséquent  la  vitesse  rela- 
tive, par  rapport  à  des  axes  mobiles  invariablement  liés  au  milieu 
et  à  l'observateur j  sera  la  même  que  si  le  milieu  était  en  repos. 
Pour  avoir  la  vitesse  absolue  il  faut  ajouter  la  vitesse  de  transla- 
tion des  axes  ;  les  ondes  seront  donc  entraînées  totalement  dans 
le  mouvement  de  la  matière. 


390  ÉLECTRODYNAMiqUF.    DES  CORPS  EN  MOUVEMENT 

Or,  Fizeau,  dans  une  expérience  célèbre  qu'il  fit  pour  confirmer 
des  vues  théoriques  de  Fresnel,  montra  que  les  ondes  lumineuses 
ne  sont  pas  entraînées  par  Tair  en  mouvement,  mais  si  Ton  rem- 
place l'air  par  de  Teau  il  y  a  entraînementy^^^v^/eZ  des  ondes.  Les 
équations  de  Hertz  sont  donc  impuissantes  pour  expliquer  ces 
phénomènes  optiques. 

Pour  expliquer  cet  entrainement  partiel  il  faudrait  modifier 
un  peu  les  équations  de  Hertz.  Or,  rappelons-nous  que  les  équa- 
tions de  Hertz  ne  cessent  pas  d'être  conformes  au  principe  de  la 
'^'^nservation  de  l'électricité  si  on  y  supprime  les  termes  conte- 

'*  le  courant  de  Rœntgen;  nous  Tavons  montré  un  peu  plus 
Seulement  en  faisant  cela,  elles  ne  conservent  plus  la  même 
c  dans  les  deux  mouvements  :  relatif  et  absolu  ;  on  pour- 
o  alors  se  demander  si  ces  équations  ainsi  modifiées  ne  pour- 
i^aient  pas  expliquer  l'entraînement  partiel  des  ondes  lumineuses 
et  qui  ne  pouvait  en  aucune  façon  être  expliqué  par  les  équa- 
tions de  Hertz  non  modifiées.  C'est  ce  que  nous  allons  tenter  de 
voir. 

320.  Entraînement  partiel  des  ondes  lumineuses.  —  Sup- 
posons donc  cjue  nous  ayons  affaire  à  un  milieu  transparent  et 
écrivons  les  équations  foudamentales  de  Hertz  pour  ce  milicLi  ; 
nous  avons, 

]   d^i^  d\\         d\^ 


dt         '  ^  '  -^         d.v         dz 

dt         ^'  '■'  dy  d.v 

dli?        ,,_^,        d.y  ^/iJ 


dt  '        ^        djj  dz 

dt  '      ^^~~~'~dz        ILv 

—      iKR  —    ' 


\     dt  '        -'        dx         dij 

Modifions  ces  équations  en  affectant  les  termes  en   (  ua  i 


ENTRAINEMENT  PARTIEL  DES  ONDES  LUMINEUSES  Sgi 

[KPl, ......  par  des  coefTicients  II,  11^  que  nous  ne  déterminerons 

pas  pour  le  moment;  il  viendra  (i) 

)   da'i       „,    ,,       dR         dP 

du.r       T^r      ^        dP         dO 
dû  ^'  ^^        dy         dx 

dt  i        L  J  ^ly  ^1^ 

— II.  K(H=.- J-, 

dt  ^^-        -^        ^-  r/.r 

r/KR        ,,  ,,...-,        ^i3  rZa 


■IUKR]=-;.L 


\      dt  ^^      ■  dx         dy 

Supposons  maintenant  que-  nous  ayons  allaire  à  des  ondes 
planes  et  prenons  le  plan  de  Fonde  perpendiculaire  à  Taxe  des  .r  ; 
cela  fera  que  nos  fonctions  ne  dépendront  que  de  x  et  dô  t.  Sup- 
posons de  plus  que  le  plan  de  polarisation  soit  perpendiculaire  à 
l'axe  des  .::  ;  cela  veut  dire  que  toutes  les  quantités  qui  figuraient 
daus  les  (brmulcs  précédentes  sont  nulles  à  présent,  excepté 
[:j  et  il.  Supposons  enfin  que  [jl -==  i,  ce  qui  n'est  pas  loin  de  la 
vérité  y  car  en  g-énéral  les  milieux  transparents  ne  sont  pas  magné- 
ti([ues,  et  écrivons  la  deuxième  équation  du  groupe  (i)  et  la  troi- 
si(Mne  du  gi'oupe  ['.>)  dans  ces  hypothèses. 

D'ahord 


G^) 


-[y-?]- 

"    d.r  ' 

-1KU|==--. 

'^^   d.r 

Les 

rel 

ations 

en 

question  deviennent  d 

onc, 

\ 

f  +  "^ 

dx  ~ 

d[\ 

dx  ' 

1 

U 

n^-. 

''  dx)' 

d^^ 
~  dx 

^2  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

Appelons  Y  la  vitesse  des  ondes  ;  on  a  alors, 

R  =  cp(;r  — VO 
Toù 

dx 

dK  _^^, 
dx         ' 

signant  par  cp^  et  ^'  les  dérivées  de  cp  (.r  —  V/)  et  de 
-  V^).  Calculons  encore  les  dérivées  de  [j  et  de  R  par  rap- 
,u  temps  ;  il  vient 

dt 

dl  ^* 

Les  équations  (3)  s'écrivent  alors, 

_A'(V-m)=:C?', 

En  éliminant  cp^  et  'V  entre  ces  deux  équations  on  trouve  fina- 
lement, 

(V-L?;(;V-I1,^)==^, 

qu'on  peut  encore  écrire 

v_il±i,)-_(ilz^)V=i. 

Or  \  c'est  la  vitesse  de  la  matière,  qui  est  tri^s  petite  i)ar  rap- 
port à  V  ;  le  terme  en  ;"  est  donc  uégligeal^le  par  rapport  au 
premier  et  il  reste  simplement 


d'où  enfui, 


'      ,     "  +  H,  r. 


V/K 


ENTRAINEMENT  PARTIEL  DES  ONDES  LUMINEUSES  898 

Cette  relation  nous  montre  que  l'entraînement  de  l'onde  n'est 

H— I— H 

pas  total,   à  cause  du  terme  en ^  j  c'est  en  effet  ce  qu^on 

constate  par  l'expérience  ;  seulement  pour  que  cette  formule 
soit  d'accord  avec  les  expériences  de  Fizeaii  il  faut  que  le  coef- 

H-l-H 

ficient (coefTicient   d'entraînement   des  ondes)   ait  pou? 

valeur 

II  +  H,  ^  K-K, 
2  K 

Concliisioji.  —  Pour  que  les  équations  de  Hertz  puissent  rendre 
compte  de  certains  phénomènes  optiques,  en  particulier  des 
expériences  de  Fizeau,  nous  avons  été  obligés  d'affecter  le  terme 

en  [[i.a]  du  coeflîcient __i.  et  outre  que  rien  ne  justifie  l'in- 
troduction d'un  pareil  coefficient  on  pourrait  encore  se  demander 
si  on  ne  se  trouvait  pas  en  contradiction  avec  les  expériences 
d'induction  magnétique  (qui  dépendent  directement  du  terme 
en  [[-'.oc]);  mais  je  n'insiste  pas  davantage  sur  cette  question,  du 
moins  pour  le  moment;  j'ai  voulu  seulement  indiquer  les  diffi- 
cultés qu'on  a  à  vaincre  pour  expliquer  ces  phénomènes  optiques 
en  parlant  de  la  théorie  de  Ilerlz  ;  ce  sont  ces  difficultés  que  la 
théorie  de  Lorentz  avait  pour  hut  de  tourner. 

321.  Remarque.  —  Dans  le  calcul  que  nous  venons  de  faire, 
nous  avons  airccté  le  terme  en  |KP|  et  par  conséquent  le  terme 
en  l/'l  d'un  certain  cocCficient  JI^.  Or  ce  terme  en  [/]  représente 
les  courants  de  Rowland  et  de  RixMitgen.  —  l^'n  ce  (lui  concerne 
le  courant  de  RdMilgen,  nous  avons  dit  précédemment  qu'on  ne 
peut  pas  encore  fixer  sa  valeur  ;  mais  il  n'en  est  plus  de  môme 
(Ui  courant  de  Rowland;  car  on  peut  se  faire  une  idée  de  sa 
valeur. 

Les  coefficients  II  ou  11^  ne  devraient  donc  pas  aflecter  les 
termes  [KP]  tout  entiers,  mais  seulement  la  partie  de  ces  termes 
(|ul  se  rapporte  au  courant  de  Rœntgen,  celle  qui  se  rapporte  au 
courant  de  Rowland  conservant  le  coefficient  i.  11  n'y  a  rien  à 
changer  de  ce  fait  à  l'analyse  qui  précède  et  qui  se  rapporte  aux 


3^1  ÉLECTRODYNÂMIQUE  DES    CORPS  EN  MOUVEMENT 

phénomènes  optiques,    car,  clans  les  phénomènes    optiques    les 
;)ndes  étant  transversales,  on  a 


Or  (n'^SOO),  éq.  (k 


Zjdx 


p   étant  hi  densité  de  l'électricité   vraie.    Donc  p  rr=:  o  ;  il  n'y  a 
onc  pas  d'électricité  vraie,  et  par  conséquent, 

■     '''  „ 

pr,     =  0 
e  courant  de  Rowland  n'existe  donc  pas. 


VKHIFICATION    DU    PIUNCIPE     DE    LA    COXSK HVATIOX     DE     L  ENElUilK 

322.  —  Les  é(j[uations  de  ïlcrtz  |)()ur  IVdectrodynamique  des 
corps  en  mouvement  sont-elles  coniormes  au  princij)e  de  la  con- 
servation de  l'énergie  ?  Pour  le  voir,  considérous  rexpression  de 
l'énergie  totale,  tant  é]ectri(|ue  ([ue  mannéti(pic, donnée  par  Hertz, 


ÊLIr-'+S'^'"]' 


(k'tte  énergie  provient  de  plusieurs  causes.  11  y  a  d'abord 
Ténergie  fournie  parla  pile  (moius  IVuuM'gie  dépensée  sous  forme 
de  chaleur  de  Joule,  eilet  Peltier,  etc.).  Représentons  par 

dl  fUd-z 

raecroissenient  de  cette  énergie  pendant  le  temps  df. 

Ensuite,  si  nous  considérons  un  élément  ri-r  de  la  matière,  cet 
élément  subit  de  la  part  du  champ  extérieur  des  actions  méca- 
niques ;  soient, 


VERIFICATION  DU  PRINCIPE  DE  LA   CONSERVATION  DE  L'ÉNERGIE  3g  " 

les  composantes  crime  force  extérieure  au  système,  qui  compense 
ces  actions  du  champ.  L'élément  d-z  étant  soumis  à  ces  deux 
forces  antagonistes  n'acquerra  pas  de  vitesse,  ce  qui  permettra 
de  négliger  la  force  vive  de  la  matière. 

Quel  est,  maintenant,  le  travail  des  forces  extérieures  qui  ten- 
dent à  accroître  J  ?  En  nous  rappelant  que  nous  avons  désigné 
par 

Idt,  r.dl,  Ut 

les  composantes  du  déplacement  de  Télément  dz,  ce   travail 
alors  représenté  par 


fftJrfr(X?  +  Yr,  +  X:) 


et  le  principe  de  la  conservation  de  l'énergie  s'exprime  par  la 
relation  suivante, 


d'autre  part,  nous  avons  en  différentiant  (i)  par  rapport  a  /?, 


di  i      d".   r\^  d[j,v:- 

dl    ~    I      Ht.  \  ^     di 


Or    le    second   membre    de   cette  relation   étant    une    fonction 
linéaire  de  ;,  •/•.,  'C  et  leurs  dérivées,  nous  pouvons  écrire, 


<k  (n„  +  V,? + v.r.  +  \;^  +  V,.  -^  +  •  ■  •)  ; 


où  U„  représente  renseinble  des  termes  indépendants  de  5,  Vj,  'C. 
L'intégration  par  parties  nous  donnera, 


pnis(jne  les    intégrations  sont   étendues  à  tout  l'espace    et    que 
toutes  nos  fonctions  s'annulent  à  l'infini. 


396  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

La  relation  (3)  devient  clone 

4=J^..[u„+?(v.-§-...)+.(v,-...)+ç(v.-...)] 


ou  encore 


=    /    ^^(U„+X„?  +  Y„r,  +  Z„Ç). 


(4) 


'^'^  identifiant    cette   expression   (4)   à   la  précédente    (2),  on 

Y Y 

Y=Y„, 

ce  qui  signifie  que  la  force  qu'il  faut  appliquer  à  l'élément  de 
volume  d-z  pour  équilibrer  l'action  du  champ  sur  cet  élément,  a 
pour  composantes, 

X/t, 


\ 


et  C[ue,  par  conséquent,  l'action  du  champ  est 


(]ela  va    nous   permettre    de    calculer    l'action    chi   cliamp   sur 
l'élément  d^. 


I 


■-''**# 


323.  Energie  éleetro-cinètique  et  énergie  élastique  d'un 
champ  magnétique.  —  Mais  avant  de  passer  au  calcul  de  cette 
action,  indiquons  une  transformation  utile  pour  les  calculs  qui 
vont  suivre. 


ÉNERGIE  ÉLECTRO-CINÉTIQUE  D'UN  CHAMP  3IAGNÉTIQUE        897 

L'énergie  magnétique  a  pour  expression,  d'après  Hertz, 


/-2. 


(0  /-i^>;f-- 

d'autre  part  nous  avons 

/  a  =  CL  ~\~  4^A.  ==  [jia  +  4*3^^^, 

(A,  B,  C)  étant  le  vecteur  que  nous  avons  appelé  aimantatioi 
totale  et  (A^,  B^,  CJ  étant  le  vecteur  que  nous  avons  appelé 
aimantation /;e/7;^<77^e/?ife  ;  nous  tirons  de  là, 

(a-i)a  =  4^(A-A„), 

(r--')T=4^(C-C„), 

(A  —  A„,  B  —  By,  c  —  CJ  étant  les  composantes  de  l'aimanta- 
tion induite.  On  en  déduit  aisément, 

(l^  -  i)  ='•'  =  --~  (A  —  A„)^  ;  etc. , 


d'où 


(A— A„)-;  etc. 


I^]n  sal)sli tuant  ces  valeurs  de  ixa',  ix|i',  jj.y^,  dans  la  relation  (i), 
cette  relation  devient, 

OÙ  la  seconde  inté^^rale  du  second  membre  est,  au  facteur 

,  .  ...  1^~' 

près,  le  carré  de  Taimantation  induite. 


P 


Quelle  est  la  signification  physique  de  cette  relation  ? 

Nous    savons    que,    d'après   Ampère,   dans  un  aimant  tout  se 

passe   comme   s'il  était  parcouru  par   d'innombrables    courants 


SgS      '  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

partlcLilaires.  Dans  les  aimants  permanents  ces  courants  sont  tous 
orientés  de  la  même  manière  ;  mais  il  n'en  est  plus  de  même 
dans  les  aimants  induits.  Pour  expliquer,  en  effet,  le  fait  que  ces 
corps,  susceptibles  de  s'aimanter  par  induction,  s'aimantent  dans 
un  champ  magnétique  et  qu'ils  perdent  leur  aimantation  dès  que 
l'action  du  champ  est  supprimée  ou  est  obligé  de  faire  une  hypo- 
thèse supplémentaire  :  il  faut  supposer  que  ces  courants  d'Am- 
père ont  une  direction  variable.  Tant  que  le  corps  à  aimanter  ne 
se  trouve  pas  encore  dans  le  champ  magnétique  ces  courants 
particulaires  sont  orientés  indifféremment  dans  tous  les  sens;  le 
moment  magnétique  est  par  conséquent  nul  :  l'aimantation  résul- 
tante est  nulle;  mais  dès  que  le  corps  en  question  se  trouve  placé 
dans  un  champ  magnétique,  les  courants  particulaires  vont  tendre 
à  se  rapprocher  d'une  orientation  commune  ;  le  moment  magné- 
tique ne  sera  plus  nul  et  l'aimantation  induite  apparaîtra.  Le 
champ  magnétique  vient-il  à  être  supprimé  ?  Les  courants  vont 
reprendre  leur  orientation  primitive  et  le  moment  magnétique 
redeviendra  nul.  Tout  se  passe  comme  si  le  milieu  nuignétique 
était  déformé  par  l'action  du  champ  (comme  le  serait  par  exemple 
un  ressort  bandé)  et  reprendrait  sa  position  d'équilibre,  en  vertu 
de  la  force  élastique  mise  en  jeu  par  cette  dél'ornuition,  (h\s  que 
le  champ  aurait  cessé  d'agir.  Il  en  résulte  que  l'énergie  lotale 
magnétique  se  composera  de  deux  parties  : 

1^   Uènergle    cleclro-ci/iêliqiie   des    courants    particulaires,    et 
2''  Véne/'^ie  due  à  la  force  èUisdqiie^  dont  je  viens  de  parler. 

Le  premier  terme  de  l'expression  (2)  est  Ténergie  électro-ciné- 
tique et  le  second  terme, 


-A,)^ 


représente  cette  énergie  élastique  |)ai'ticulière. 

IMaxwell,  dans  son  raisonueaient  sur  les  aimants,  a  cahnflé 
seulement  le  travail  des  forces  magnétiques  proprement  dites; 
il  néglige  le  travail  de  la  force  élastique  que  nous  venons  d'In- 
voquer ;  aussi  son  expression  de  l'énergie  magnétique  est  en 
désaccord   avec    le  principe   de  la   conservation  de  l'énergie   et 


ÉNERGIE  ÉLASTIQUE  D'UN  CHAMP  MAGNÉTIQUE 

môme  avec  les  résultats  qu'il  a  obtenus  lui-même  dans  une  autre 
partie  de  son  Traité  classique. 

Voyons  maintenant  la  valeur  de  celle  énergie  élastique.  Sup- 
posons que  les  courants  particulaires  soient  écartés  de  leur 
position  d'équilibre  primitif  par  Faction  d'un  champ  magné- 
tique ;  l'énergie  potentielle  qui  en  résulte  est  proportionnelle  à 
cet  écart,  si  cet  écart  est  petit  ;  par  conséquent  le  mom'^»' 
magnétique  résultant  sera  proportionnel  à  l'écart 


s/^(^- 


et  par  suite  le  carré  de  l'aimantation  induite  sera  proportionnel 
au  carré  de  l'écart.  Il  en  résulte  que  le  travail  dos  forces 
élastiques  est  proportionnel  au  carré  de  cette  mémo  quantité  : 
c'est  bien  ce  que  la  seconde  intégrale  de  la  relation  ['.>.)  in- 
dique. 

324.  Calcul  des  actions  mécaniques  exercées  par  le  champ 
électromagnétique  sur  la  matière.  —  Nous  avons  vu  précédem- 
ment que  l'énergie  totale  se  conq^osc  de  l'énergie  magné li(|ue 
et  de  l'énergie  électrique.  Désignons  la  première  par  .1^  et  la 
seconde  par  ,1^.  Nous  avons  donc. 


Su:  Zj 


domine  nous  l'avons  déjii  dit  nous  mettrons  le  principe  de  h 


*  principe 


conservation  de  l'énergie  sous  la  lornie, 


IV/^H-    ^    (X„;+Y„r.    f- /,,;)  ./t. 


La  première  intégrale  exprime  l'énergie   fournie    par  la  pile 


^lOO  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMEN'I 

noins    l'énergie   dépensée  sous  foTme  de  chaleur  de  Joule,  efFet 

^eltier,  etc.  Il  suffit  pour  s'en  convaincre  de  remarquer  que  ce 

est   indépendant  de   la  vitesse    de  la  matière.  Il  a   donc 

expression  que  dans  le  cas  des  milieux  en  repos,  que  nous 

examiné  plus   haut.  La    seconde   intégrale  représente  le 

des    forces   extérieures   que    nous  avons   invoquées  pour 

reries  actions  mécaniques  produites  par  le  champ.  L'ac- 

champ  aura  donc  pour  composantes  suivant  les  trois  axes, 

'  -  Z„  ch. 

der  ces  composantes  je  supposerai  que  les  différents 
.  riels   conservent  le   même    ^  et   le    même    K  en    se 
.cioant  dans  l'espace.  Ceci  revient  a  écrire  que, 

or, 

0^  dt.  dx  dij  dz 


ce  qui  peut  s  écrire, 
donc 

■^-_ 

dl  j^  "  (/.i 

—~  est  donc  fonction  linéaire    de   ;,  r^,  Ç-    —  Prenons    inainle- 
nant  {[xy.]  et  développons  cette  ex])ression,  il  vient, 


\vM---i-v^{^--r:)-^  ^(.;:-^.^-l 


on  voit  que  cette  expression  est  également  une  fonction  linéaire 

d  'j,y. 
de  i,  VijC  et  It'Urs  dérivées  et  il  en  sera  de  même  de — - — ,  etc. 


ACTION  ÉLASTIQUE  DU  CHAMP  MAGNÉTIQUE  4oi 

Eli  effet,  les  équations  fondamentales  de  Hertz  s'écrivent, 


dt             d.z 

-         ,ly   +[H,  etc.; 

d^J^OL 

dt 

da,     .         du. 

■^  dt  ^"  dt' 

da. 
^  dt" 

_  d^%        ^  d^x  _ 

dt          '  dt  ' 

d'où 


1 
ijL  —y-  sera  donc  encore  une  fonction  linéaire  de  ?,'/],  Ç  et  leurs 

dérivées. 

Ceci  étant  établi,  évaluons  -~~ .  Nous  avons   en  diflercntiant 

dt 


par  rapport  à  t  l'expression  de  J^, 


d.},  I     dz  \^  /  ,  da  dy.\ 

-dr=  I  -s^liV-'ur-^^'-'^'-dr]' 

et  nous  voyons,  d'après  ce  que  nous  venons  d'étal>lir,  que  la 
{onction  qui  figure  sous  le  signe  1  est  linéaire  par  rapport  à 
ç,  Y,,  Z,  cl  Icui's  dérivées.  Je  puis  donc  écrire 


dr  (U,  +  11.) 


oii  Uj  est  l'enscinl)l(^  (l(\s  ternies  no  dépendant  pas  de  ç,  r^,  'C^  et  de 
l(Mirs  dérivées  oi  11^  celui   des    ternu's  dé^xuidant  de  ç,  r,,  î^  et  de 
leurs    déi'ivées;    11^   sera    donc    un    p()lynf)nie    homogène    et    du 
preini(U'  degré  par  rap[)ort  à  $,  vi,  Ç  et  à  leurs  dérivées. 
On  trouvera  par  un  calcul   analogue 


Pui.NCAiiK.  ElecLricilc  et  OpLiqne.  y.O 


40"4 


Kl.ECTRODYyAMiqVE  DES   COUPS  E^•  MOUVEMENT 

L'intégration   par    parties   nous    permettra    de    mettre  j  II//t 
et  iWjh  sous  la  forme  suivante, 


H,rfT=:    /    ./c(X,i+Y.r,  +  Z,g 


=    /    ^^^. 


H,  (k  =    I   ckY  X,i, 


urte  que  —j-  acvient  Imalcnicnt, 


777 


r/-(r,  +  U,;+    I    (h 


yx,i+yx.=" 


Kn  idciUiriaut  cetlc  relallou  avec  la  rclallon  (i)  on  Irouvc, 

Y„  .---=  Y,  +  V,, 
/„  =.=  /,  -h  z.,. 


I.a  prcnnère  relalion 


u  -  i\  +  u., 


nous  apprend  (pu;  U;  +  '^'3  (■i)rres[)()nd  ii  r('Herjj,-ic  cn'éc  iiar  la 
iiile  moins  celle  <[ni  disparail  sons  lornie  de  (dialciii-  de  Joule. 
IjCS  aulres  relations  nous  niontrenl  (pu;  l('s  pr'ojeclions  de 
Taclion  du  cluuni)  sur  les  ti'ois  axes  sonl 

-  ix, +  x;)./t, 

-  iV,  +  Yj  ./-, 

-  (Z,  4-  Z.,1  <h. 


ACTIONS  MÉCANIQUES  DU  CHAMP  MAGNÉTIQUE  4o3 

Ces    composantes     comprennent,    comme    on    le    voit,    deux 
parties. 


-X,^T, 

—  X,  dx. 

-  Y,  ./t, 

-Y,dx, 

-  Z.  iv, 

-Z,d.^ 

( — Xj^^T,  —  Yj^T, —  Z^di)  représentent  les  composantes  de  l'actior 
du  champ  magnétique  sur  la  matière  ;  les  autres  composantes 
sont  celles  qui  proviennent  de  Faction  du  champ  électrique  sur 
la  matière. 

325.  —  Calculons  chacune  de  ces  actions  en  particulier. 


I.  —  Actions  mécaniques  nu  champ  magnétique 

,Ie  commencerai  par  faire  une  hypothèse  :  je  supposerai  qu'il 
pourra  y  avoir  des  corps  susceptil)les  d'aimantation,  c'est-à-dire 
des  corps  tels  ([ue  pour  eux  [a  <^  i,  et  des  diélectriques  pour 
lesquels  Iv  ^  i  ;  mais  je  ferai  une  restriction  :  je  supposerai  (j[ue 
si  le  système  considéré  peut  contenir  des  corps  |)Our  les<[uels 
[X  -^  i  et  K  ^  I,  ces  corps  seront  solides.  On  n'aura  donc  n! 
ci)r|)s  ma^Miétiques  (luides,  ni  diélectri(|ues  fluides  autres  cpie 
l'air.  —  Va\  dehors  de  ces  corps    solides  je   supposerai    toujours 

\L  zr:^   I  . 


d-  V      ..    I       /     dz  \S  , 


la  [)remlère  intégrale  du  second  m('ml>re  sera  étendue  à 
l'espace  tout  entier;  la  seconde  lu.'  s'ôtendra  (|u'aux  aimants 
solides. 

Nous  avons  trouvé  pi écédemment 

(a-r)a==4^(A-A„); 


4o4  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

Posons  maintenant, 

(.^_  i)a  =  4^  (A— A,)  =  a^    \ 
et  de  même  >  (2) 

on  en  tire  aisément 

:    [Aa  =  a  +  a', 

(  i^ï  =  T  +  r'  ; 

et  la  relation  (i)  devient, 

Formons   maintenant  -~- .   DifTérentions    pour    cela    la    rela- 
tion  (3)  sous  le  signe  |  .  Seulejnent,  pour  avoir  1(^  droit  dci  dillo- 

rentier  sous  le  signe  |  il  faut  que  le  champ  crintô<»Talion  soit  le 
même  au  temps  t  et  au  temps  t  -f-  dl.  Pour  la  pi'cnilcr(^  inté- 
grale on  n'a  pas  de  difficulté,  car  elle  s'étend  \\  Pcspacc^ 
tout  entier  ;  mais  ce  n'est  pas  ce  qui  arrive  \)(n\v  la  seconde 
intégrale  qui  ne  s'étend  qu'aux  solides  aimantés.  l^ltcMidons 
cette  intégrale  à  un  seul  solide  aimanté;  ce  solides  s(^  ilépla- 
çant,  le  champ  d'intégration  sera  variable  au  tern|)s  /  et  au 
temps  t  +  cti.  Mais  tournons  la  didlculté  en  considéi'ant  un 
observateur  lié  à  ce  solide  :  pour  c(it  observateur  le  champ 
d'intégration  sera  le  même  à  l'épcxpui  /  et  à  rép()(|uc  /  -4-  d(  ; 
seulement  il  nous  faudra  alors  prendre  la  d('' rivées  par  l'apport 
au  temps  avec  des  ô  ronds.  On  aura  donc, 


k        I  ù   \^ 


871:    \x  —  I     0/ 


5  a, 
car  -"Y"  =  ^  comme  nous  1  avons  supposé  plus  haut. 


V 


ACTIONS  MECANIQUES  DU  CHAMP  MAGNETIQUE. 

Mais  comment  obtenir  cette  dérivée-^—    >  a^^? 

Pour  calculer  cette  dérivée  utilisons  le  théorème  que  nouî 
avons  démontré  un  peu  plus  haut  (308)  ;  nous  avions  dé- 
montré que  si  N  est  la  valeur  absolue  d'un  vecteur  (a,  [3,  y),  on 
a  alors, 

5N        \1        di       \^      ,  -, 


N 


ou  bien,  en  remplaçant  N  par  sa  valeur, 

et  souvenons-nous  que  la  démonstration  de  ce  théorème  supposait 
que  le  point  considéré  appartenait  à  un  corps  solide  :  c'est 
précisément  notre  cas.  Appliquons  ce  théorème  au  vecteur  a^  ; 
il  vient, 

En  divisant  les  deux  membres  de   cette  relation  par  [x —  i  et 
en  tenant  compte  des  relations  (2),  on  aura 


^  V   -       V      '^^^'      V      r  M 

r\/   /  I  /  1        ///  /  1      I.    -I  ' 


'l[lX—   l)      ^t  jLà'      '        jLà      '     (Il 


c'est    précisément   hi    valeui'    de    la   dérivée    que    nous    voulions 
évaluei'. 

La  rcdation  (4)  devient  donc, 

/* 


hlviiluons 

(h.         d'j! 

ll(Mnplar()ns  \\  cet  eUel  dans  les  écpiatlons   de  Hertz:   [i.a  par  sa 
valeur  [•>.  bîsj.  (]ela  nous  donne, 

(h.         (h!         (Ul         d\\         ,    , 

dl    ^    <ll  <lz  d,j    ^l^-H^I^J 


io6  ÉLECTRODYNAMiqVE  DES  COUPS  EN  MOUVEMENT 

d'où 

La  relation  (5)  peut  donc  s'écrire, 
,..  di,  fd^    s-r     /dq        dR 

(^)  -dT-j  4^  L^'i'dr-ifi 

Remarquons  maintenant  que  la  quantité  sous  le  signe  j  con- 

tient  deux  parties  dinerentes  :  la  première  partie  — = -— —  est 

*  d.z  djj 

indépendante  de  ^jTj,  l,  et  de  leurs  dérivées  et  l'autre  partie  en  [aj 

qui  dépend,   au   contraire,  de   ces   quantités  et  leurs  dérivées  : 

elle  est  fonction  linéaire   de   ces  quantités.  La  relation  (6)  peut 

donc  se  mettre  sous  la  forme, 

d'où,  en  identifiant  avec  (6) 

Tl    =V-^  /^Q         dK\ 
^'       ^4^  \dz  dy)' 

et 

(7)  4^:1.1,  =2|"-W- 

Maintenant,  une  fois  que  nous  avons  11^  nous  allons  en    tirer 
Xj.  Voici  comment. 

Par  intégration  par  parties,  H^  peut  se  mettre  sous  la  l'orme 


(7^6-)  /    11//^=    /    ^x,  +  Y/o  +  Z,g./T, 

ou 5  en  y  faisant  r^ 

(8)  /   iv/t=  /  ^U-, 


ACTIONS  MÉCANIQUES  DU  CHAMP  MAGNÉTIQUE  407 

d'autre  part,  en    développant  (7)  et  en   y  faisant  r,  =:  ';  =  o,  il 


vient 


'  '  dy  dz  ^    ^ /j  dx        '     dx  '    dx 


dy 
car,  avec  y]  =  ^  =  o 

«Il  a  donc, 


'  dx      ^  dx  r 


<'.\.  Cl)  intcgi'unt  par  parties 


ii-./T, 


d^^    /  /      >•    ^^T    / 

dx  I     '      dx 


4o8  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

la  relation  (lo)  peut  donc  s'écrire, 


*(?^S+^-'è+'^Zè 


en  comparant  cette  dernière  relation   à  la  suivante  (obtenue  en 
multipliant  les  deux  membres  de  (8)  par  4^) 

il  vient 

,_..    ..  .^?  ,  ..^^.Viî-^ 

df/        '   ^Z.- 


^  d?j  dr  \1  da        .,  dy.  dy. 


Voyons  maintenant  la  signification  de  cette  équation. 
D'abord,  nous  avons  vu  précédemment  (300)  que, 

m  étant  la  densité  du  magnétisme  lil)re,  c'est-à-dire  la   densité 
du  magnétisme  total  en  tenant  compte  du  magnétisme  permanent 
et  du  magnétisme  induit. 
D'autre  part  nous  savons  que 

4^rS 

d^,         dy  ~  ^"^^'- 

En  tenant  compte  de  ces  dernières  relajtions  et  de  la  relation 
(12),  la  relation  (11)  devient, 

X^  =  [B(i'  —  yp  —  a/??. 


^Y 

d{i 

dy 

dz 

(la 

dy 

dz. 

d.v 

d[i 

dx 

ACTIONS  MECANIQUES  DU  CHAMP  ELECTRIQUE 

L'action  mécanique   du   champ    magnétique    sur  l'élément  d 
a  clone  pour  projection  suivant  Taxe  des  x 

—  X^c?T  =  [ajii  +  Yf>  —  ^w)  dr:, 

et  on  aura  par  un  calcul  tout  a  fait  analogue  (en  faisant  succes- 
sivement dans  (7)  et  (7  bis)  ^  =  Ç  =  0  et  ?  =  7]  =  0) 

—  X^d'z  =  ([3/;2  +  cfW  —  ^u)  6?T, 

—  Ij^di  =  [^;m  -{-  ^(c  —  ap)  d'Z. 

Dans  ces  relations  [oLmdz,  fjind'Zy  ^md^)  représentent  l'actio 
champ  sur  la  masse  magnétique  mdi:  et  les  deux  derniers  tei me. 
de  chaque  parenthèse  reiDrésentent  évidemmcntraction  du  champ 
magnétique    sur   le    courant  total  [a,  r,  (iC')  (^)  ;    cette    action    se 
calcule  par  la  formule  d'Ampère. 

Maxwell  donne  pour  la  première  composante  de  cette  force 

(a/;^  -)-  c^>  —  h[v)  di  \ 

mais  cette  expression  n'est  pas  conforme  au  principe  de  la  con- 
servation de  l'énergie. 

Remarque.  —  Tout  ce  que  nous  venons  de  dire  s'applique 
seulement  aux  cas  où  les  corps  aimantés  sont  des  solides  qui  se 
déplacent  sans  se  déformer,  en  conservant  leur  pouvoir  induc- 
leiir  [JL  (^t  en  entraînant  avec  eux  leur  aimantation  permanente. 
S'il  y  avait  des  corps  magnéticpies  Ikiides  ou  déformahles,  on  ne 
[)()U riait  fair(^  le  calcul  sans  faire  des  hypolhi'ses  au  sujet  de 
rinfluc^nce  de  la  déformation  sur  le  coelïicient  a  et  sur  la  distri- 
l)ulion  (lu  magnélisnie  ix^'uiancnt.  I)'aul.r(^  j)art  1(^  [)i'inci[)e  de 
la  C()ns(M'vati{>n  (1(^  rén{M'<ri<^  m-  pourrait  plus  élre  appli([ué  sous 
la  niéuK^  forme  ;  car  c<^s  défoi'niations  et  les  variations  qui  en 
résullerai(Mit  pour  a  el  \^<>^^^'  raiinantation  |)ermanente  pourraient 
(uiti'aîner  des  dén-atrements  de  chaleur. 

Le  résultat  (pie  nous  vmmious  d'obtenir  nous  montre  une  (ois 
(l(^  plus  (pie  l'exiH'ession  (pi'il  convient  d'adopter  pour  l'énergie 


(1)  Courant    loUil   zz=z    oour.   de   coiulucLioii   -H   cour.   cl(i   (l('j)hicomcnL  -i-  cour,  do 
Ilowhind  4-  cour,   de  Udcntgoii. 


4io  ÉLECTRODYNAMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

magnétique  est  celle  de  Hertz  et  non  aucune  de  celles  de  Max- 
well. 

II.   —  Actions  mécaniques  du  champ  électiuque 

326.  —  Calculons  maintenant  les  expressions  des  ibrces 
lécaniques  qui  s'exercent  entre  les  corps  en  mouvement  dans 
n  champ  électrique. 

Prenons  comme  point  de  départ  le  deuxième  groupe  d'équa- 
ows  fondamentalies  de  Hertz  pour  l'électrodynamique  des  corps 
i  mouvement, 

r/KR        r/,3         da. 


dt  dx         dij 


et  posons, 

(K  -  K,)  l>  =.  1", 

(2)  (K-KJQ  =  Q'. 

^(K-K„)R  =  1V; 

l'induction  électrique  de  Hertz  devient  alors, 

KP  ==  K„P  4-  P', 

KQ^K„QH-Q', 

'  KR  =  K„R+R'; 

et  pur  suite  le  système  d'équations  (i)  devient, 
fZK„P    .    rfP'        ,h'        d?j 


(il     ~^    dt    '      dij         dz 


+  (K„PJ  +  [P'I  -  4^/.. 


dW       d&        d-j. 


dt  dl         dx        dij 


_+[K,R]  +  [R']-4-/-. 


ACTIONS  MÉCANIQUES  DU  CHAMP  ÉLECTRIQUE 

L'énergie  électrique  est,  d'après  Hertz, 

(4)  ■'^=/^2^^" 

or,  de  (2)  nous  tirons, 

p/2 


KP2  ==  K„P2  + 


K-K„  ' 


la  relation  (4)  devient  donc 
J.. 


la  première  intégrale  est  étendue  à  l'espace  tout  entier  ;  h 
seconde  ne  s'étend  qu'aux  diélectriques  solides  dont  le  pouvoii 
inducteur  spécifique  K^  o  et  K^K^. 

Le  reste  du  calcul  est   calqué  sur  le  calcul   précédent  (chani 
magnétique).  On  obtient  ainsi 


dl  /      4^  Zj         dl.  j      871 


^4- y  F- 


K.  —  K.,     ù/:  Zj 


or,   en   appli(|uant    le    théorèmes  cité    plus  Iiaut,    en   divisaiit  par 
K  —  \\  ^  ('t  en  tenant  compte  des  relations  (:>>)y 


I  0    \-^ r  \^  ..   d\" 


.Vi-^J\ 


[> 


SnnJ; 


ou  eiicor<',  en  tenant  c()nipt(^  de  (,'i) 


r/.L 


/     ^^'^  V   iJ'  ^^Y  ^A'^  /  .  ,^  ,.,1 


4ia  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

On  déduit  de  là,  en  remarquant  qwe\      [KqP]    est     fonction 
linéaire  de  ;,  r^,  K  et  leurs  dérivées, 

:t 

3s  deux  quantités  étant  reliées  par  la  relation 


dt 


d^{\],+  E,); 


)T   rintégration    par  j)arties  nous   donne  pour   (    II  ^  ch,  après 
multiplication  par  4^ 

Prenons  la  relation  (5)  et  développons  [P],  il  vient 
tQ]=.4(R.-Qg-A(Q^-P,)-,V4;i 

-    Pour  avoir  X^  faisons  r^  =  ï^  =  o  dans  ces  relations  ;   il  vient 
ainsi, 

'  ^~  d>/  ~^   dz    ~''Zj'd7' 


[R]  =  - 


d.v  - 


ACTIONS  MÉCANIQUES  DU  CHAMP  ÉLECTRiqUE 

et  par  conséquent  la  relation  (5)  devient 


4i3 


Hs)  -|L  fii^d.^  id.\p i^ + P  ^  _  Piy4 


et  en  intégrant  par  parti* 


P^.- 


:-  I  Rï4r'^^' 


«^-§"- 


r/.r 


cla: 


(.")  A/.s*)  devient  alors, 


;)  /^v' 


(Lv  cil/  I  \  dz         dx 


-pvii: 


P'aisons  niainlcMiant  r,  —  !^  o,  dans  la  relation  ((i)  et  compa- 
rons la  relation  ([ni  (\\\  résnltc  avec  la  rcdation  (5  /e/')  ;  on  trouve 
ainsi, 


K„      ~'^\ds  du)  \dz.  dx  )         ±^dx 


Or  «u  a 


^  *  (1   /       / 


:4-(^, 


/ji4  ÉLECrkODYNÀMiqUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

e  étant  la  densité  de  l'électricité  libre,  c'est-à-dire  non  seulement 
Télectricité  qui    se  trouve  a  la  surface  (électricité  vraie),   mais 
aussi  Télectricité    apparente  qui  parait  se  porter  a  la  surface  des 
diélectriques  placés  dans  un  champ  électrique. 
Il  vient  donc, 

i\  \  d.i'  dy  J  \  dz  dx  j  K^ 

Les  deux  premiers  termes  du  second  membre  de  cette  relation 

tentent    la   force    de    Herlz.    Le   dernier  terme   qui    dans 

ession  de  X  ^  prendra  la  forme  —  Pe  et  qui,  pi^r  conséquent, 

ra  Pedx  pour  l'action  du  champ  sur  la  masse  edz  d'électri- 

eprésente  la  force  électrostatique  ordinaire  s'exercant  non 

^nt   sur  l'électricité    vraie,    mais  sur  ce  qu'on  a    appelé 

ité  libre. 

327.  —  La  force  de  Hertz  est  trop  petite  pour  que  l'expérience 
paisse  la  mettre  en  évidence  :  elle  est  restée  jusqu'ici  inscnsiljle 
aux  expériences.  Cherchons  néanmoins  de  nous%rendrc  compte 
de  la  signilication  de  cette  force  ;  pour  bien  la  faire  comprendre 
je  suis  forcé  de  faire  une  digression  sur  le  parallélisme  et  la  réci- 
[)rocité  des  phénomènes  électriques  et  magnétiques  et  sur  hi 
notion  nouvelle  du  courant  de  déplacement  magnétique. 

/Considérons  un  diélectrique  et  admettons  pour  le  moment  les 
idées  de  Mossotti  sur  les  diélectriques  (sphères  conductrices  extrê- 
mement petites  disséminées  dans  une  substance  non  conductrice 
jouissant  des  mêmes  propriétés  que  l'air,  qui  s'électrisent  par 
influence  et  qui  produisent  par  suite  la  polarisation  du  diélectri- 
([ue).  Supposons  que  ce  diélectrique  ait  la  forme  d'une  lame  ii 
(aces  planes  et  qu'il  soit  placé  dans  un  champ  magnéti([ue  cons- 
tant. On  aura  une  distribution  d'électricité  positive  sur  une  des 
faces   de    la   lame   et    de    l'électricité   nés'ative   sur   l'autre    face. 

o 

La  densité  électri([ue  de  ces  couches  est,  d'après  les  calculs  de 
Mossotti, 

K  —  K,  K  — K, 

47Z  K       '' 

Lorsque  le  champ  est  variable  on  a  alors   des  courants  analo- 


ACTIONS  MÉCANIQUES  DU  CHAMP  ÉLECTRIQUE  /n^î 

gnes  aux  courants  de  déplacement  de  Maxwell  ;  ces  courants  ont 
pour  valeur, 

K  — K,    ^P  ^  K— K,   df    • 

4?:  dt  K         de  ' 

Supposons  maintenant  que  nous  ayons  deux  diélectriques  de 
pouvoirs  inducteurs  spécifiques  K  et  K^,  appliqués  l'un  contre 
l'autre  ;  on  aura  sur  la  face  des  premiers  une  couche  électrique  de 
densité 


47. 

sur  l'autre  diélectrique  on  aura 

ol.  la  couche  de  séparation  résultante  aura  pour  densité 

Généralisons  maintenant  ces  idées  de  Mossotti  en  les  combinant 
avec  celles  de  Maxwell.  On  aura  alors  des  petites  sphères  conduc- 
trices séparées  par  un  milieu  hypothétique  de  pouvoir  inducteur 
spécifique  K^  Il  faut  donc 
sotti  Kq  par  K^  Il  vient  alors  pour  ja  acnsicc  superlicieile. 

Jiiziilp 

et  pour  le  courant  de  déplacement 

K— K^    dP 

Si  ou  a  deux  diélcctri([acs  appli([ué.s   Wui   contre  l'autre    dont 
Tun  est  constitué  par  Fair,  on  a  alors 

Iv  —  K/ 
r'  couche P  ; 

4- 

:>/■  couche —- —^  P  ; 

47: 

1  1  ^^  —  'v,    .. 

couche  résultante  ~  P. 

47: 


4i6  HLECTRODrSAMiqVE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

On  obtient  donc  le  môme  résultat  clans  les  deux  théories  au 
point  de  vue  électrostatique.  Mais  il  n'en  est  plus  de  même  au 
point  de  vue  électrodynamique  :  les  actions  électrodynamiquès 
sont  en  elFet  différentes  dans  les  deux  ordres  d'idées. 

Passons  maintenant  aux  corps  magnétiques.  On  aura  la  même 
chose  ;  nous  savons  en  effet  que  la  théorie  de  Mossotti  sur  les 
diélectriques  n'est  que  la  traduction  de  la  théorie  de  Poisson  sur 
les  milieux  magnétiques  ;  on  passe  de  Tune  à  l'autre  en  changeant 
le  mot  flux  électrique  en  flux  magnétique  et  réciproquement. 

Considérons  donc  une  lame  d'un  corps  magnétique  placé  dans 
un  champ  magnétique  ;  la  lame  magnétique  va  s'aimanter  et  nous 
aurons  deux  couches  de  magnétisme  de  densité 


en  prenant  [x  =  i  pour  le  vide. 

Si  on  appelle  a^  le  coeiïîcient  du  vide,  nous  aurons  alors 

a. 


4t. 

Si  le  champ  n'est  pas  constant,  tout  va  se  passer  comme  si  les 
charges  magnétiques  variaient,  comme  si  le  magnétisme  passait 
d'une  lace  à  l'autVe.  On  aura  donc  un  véritable  courant  macrnéti- 
que  de  densité 

4-         dl  * 

Mais  pour  que  le  parallélisme  soit  complet,  il  laul  modifier  la 
définition  de  ce  courant  de  déplacement  magnétique  en  intro- 
duisant une  théorie  nouvelle  qui  sera  pour  ainsi  dire  à  celle  de 
Poisson  ce  que  celle  de  Maxwell  est  à  celle  de  Mossotti. 

Supposons  maintenant  que  le  vide  soit  comme  les  autres  corps  : 
magnétisable.  Les  sphères  magnétiques  seront  alors  séparées  par 
un  milieu  de  perméabilité  magnétique  a'  et  à  la  surface  de  ces 
sphères  on  aura 


fOilCE  DE  HEUrZ  Î17 

t'I.  le  ciHiniîiî   »îagiii»tii|iie  srra 

'X — 'X      fi  7. 


4^         ^// 

Si  lUHîs  rc»nsic!éroiis  eiifiii  la  siiiiae*.*  de  sêpaniliiiii  ties  «Irux 
ïïûlieux  :  corps  nuignétic|iie  —  vîtlc%  iic>ii>  aurons  alors  une  clfiiilik» 
couche 


4- 

et  la  couche  résiiltanle  sera 


Les  deux  théories  sont  donc  coiicordiiiiles  au  point  de  \iw  des 
phénomènes  statî(|ues. 

Dans  cette  manière  de  voir,  les  corps  diaiiiagiiéti<|ues  sont 
moins  magnétiques  que  le  milieu  qui  les  entoure,  par  conséquent 
moins  magnétiques  que  le  vide.  Cela  s'accorde  avec  lliypothèse 
que  nous  venons  de  faire  et  d'après  laquelle  le  vide  serait  magné- 
tique. Xous  devons  avoir  pour  un  corps  quelconque  y,  >  u'  ; 
mais  si  le  vide  est  magnétique  nous  avons  »i^  >  u  ;  ii  |ieuî  donc 
y  avoir  des  corps  pour  lesquels  ^x  <  a,  :  ce  sont  les  cc^rps  diama- 
gnéti(pies. 

liepreiions  Fexpression  j"  du  courant  de  déplacement  magné- 
tique et  passons  à  la  limite  :^comme  tait  Maxwell  pour  les  cou- 
rants de  déplacement  électrique  en  ptisant  'x'  r:=u;:  o  ;  ie  courant 
magnétique  sera  alors 

;x       .h 

ou  encore 

I       (i'xy. 

Or,  d'après  Hertz, 


dt  dz  dij 

Poi.NCAHÉ.  Éleelricité  et  Oplit£ue. 


4i8  ÉLECTHODYNAMiqUE  DES   CORPS  EX  MOUVEMENT 

Posons  alors, 


d[i 

d(l 

d'j.% 

'hi 

dz   ■" 

dt 

rfP 

d\\ 

47:^- 

./-- 

d.v 

I\,  ■■ 

(H) 

d\^ 

J\7:\\ 

d.v 

du 

K„ 

11  résulte,   en  comparant  ces  relations  avec  les  relations, 

^1^-^  =  4-, 


^v 


=  4^., 


4'^r^ 


que  îioiis  avons  (à  des  facteurs  constants  près"  entre  les  courants 
niagnétiques  et  le  champ  électrique  la  même  relation  qu'entre  les 
courants  électriques  et  le  champ  magnétique.  Par  conséquent, 
un  courant  électrique  produirait  un  champ  magnétique  et  de 
même  un  courant  magnétique  produirait  un  champ  électrique.  11 
y  a  donc  réciprocité  parfaite.  Cette  réciprocité  mise  en  évidence 
par  Hertz  peuts'énoncer  sous  une  forme  indiquée  par  ]\I,  Blondlot. 
Soit  une  niasse  électrique  cjui  se  déplace:  les  expériences  de 
Rowland  prouvent  qu'un  tel  déplacement  produit  les  ell'ets  élec- 
trodynamiques d'un  courant  ;  on  crée  donc  un  champ  magné- 
tique. Considérons  d'autre  part  un  pôle  magnétique  mobile  ;  s'il 
sr  déplace  au  voisinage  de  conducteurs  il  donne  naissance  à  des 
eflefs  d'induction.  Dans  la  pensée  de  Maxwell  le  déplacement  de 
c«.'  pôle  dans  un  diélectrique  produit  aussi  dans  le  diélectricpie 
des  forces  électromotrices  d'induction  :  la  seule  diderence  est([ue 
dans  le  diélectrique  ces  forces  électromotrices  donnent  lieu  a  un 
déplacement  électrique  au  lieu  de  produire  un  courant  de  con- 
duction ;  le  mouvement  du  pôle  magnétique  crée  donc  un  champ 
électri(|ue. 

On  peut  énoncer  la  réciprocité  entre  les  phénomènes  électri- 
ques et  magnétiques,  en  disant  que  si  deux  pôles,  l'un  électrique, 


FORCE  DE  HERTZ  jici 

rautre  magnétlquej  sublsseiU  le  nî«>mc'  tlrplacemeriL  ils  tiiiniieiii 
naissance  au  même  champ. 

xViusi  donCj  prenons  un  circuit  C,  le primnire.  et  un  autre  rir- 
cuit  C,  le  secondaire  ;  rexpérience  nous  apprend  t|iie  si  rinleii- 
sité  du  courant  qui  passe  dans  le  primaire  varie,  îl  îiaiî  altirs  un 
courant  d'induction  dans  le  secondaire.  D'après  îa  iiiaîiii-re  de 
voir  de  Hertz,  cette  action  serait  indirecte;  le  eoiiraiii  c|iii  passe 
dans  le  primaire  produit  un  champ  magnétique  ;  si  riiiteositr  de 
ce  courant  est  variable,  le  champ  magnétique  sera  lui-iiM^ine 
variable  ;  ses  variations  donneront  naissance  à  un  dèpîavemeni 
magnétique  :  à  un  courant  magnétique  ;  ce  courant  !iiagîîétif|iie 
produira  a  son  tour  un  champ  éleclriqu.'  (|ui  se  iiiaîiîlVsIrni  dims 
le  secondaire  par  un  courant  électrique.  On  aura  donc  par  suite  de 
la  variation  de  Tintensité  du  courant  primaire  on  courant  dans  le 
secondaire.  Ainsi  donc,  des  courants  magnétiques  produisent  un 
champ  électrique,  de  même  que  les  courants  électriques  produi- 
sent un  champ  magnétique.  D'autre  part,  une  force  magnétique 
exerce  une  action  mécanique  sur  la  nialière  qui  est  traversée  par 
un  courant  électrique.  Par  réciprocité  une  force  électrique  doit 
exercer  une  action  mécanique  sur  la  malière  qui  est  traversée  par 
un  courant  magnétique.  C'est  cette  action  mèainique  qiiiivnsiiine 
La  foj'ce  de  Hertz. 

328.  —  Reprenons  maintenant  le  calcul  de  X.^. 
Nous  avions, 

-rT  ^^\Zr~  Hjr  [l^      d.r  }      «-  ./.<■  • 

Eu  tenant  compte  des  relations  en  U.  Y,  W  et  Je  la  n-lutiou 

K,  ^^  da- 
il  viendra  finalement, 

X,  =  Q\V  — HV  — Pi'. 

Par  conséquent  le   champ  électrique  exerce  sur  Félément  de 
volume  d'   une  action   mécanique  dont  la   projection  sur  1  axe 

des  .r  est 

(Pe+RY— Q\V  d^. 


420  ÉLECTRODYNAMIQUE  DES   CORPS  EN  MOUVEMENT 

Voyons  la  signification  de  cette  relation.  Qu'est-ce  que  Pech'^ 
Nous  avons  déjà  dit  que  c'est  l'action  exercée  par  le  cliamjD  élec- 
trique sur  la  masse  électrique  eck  ;  cette  action  électrique  est 
exercée   par  la  force   électrique    ioUile  P  qui  a  pour  expression 

d'après  Maxwell, 

p   _        d'L      ■    d? 
dx  dt    . 

et  qui  comprend  aussi  bien  la  force  d'origine  électrostatique  que 
la  force  électrique  due  à  Tinduction  magnétique. 

Qu'est-ce  que  (QW  —  RV)  ?  —C'est  l'action  du  champ  élec- 
trique sur  le  courant  magnétique.  Cette  action  est  nécessaire  pour 
que  le  principe  de  l'égalité  de  Faction  et  de  la  réaction  soit 
vérifié.  Si,  en  effet,  un  courant  électrique  variable  produit  des 
courants  magnétiques,  et  par  ces  courants  une  force  électrique 
d'induction,  laquelle  agit  sur  une  charge  électrique  e,  il  faut  qu'il 
y  ait  réaction  de  cette  charge  e  soit  sur  la  matière  traversée  par 
ces  courants  magnétiques,  soit  sur  le  circuit  parcouru  par  le  cou- 
rant électrique  variable.  D'après  Hertz  ce  serait  la  première 
hypothèse  qui  serait  réalisée.  —  L'expérience  n'a  pas  encore 
vérifié  ces  prévisions. 

VÉRIFICATIOX  DU  PRIXCÏPE  DE  L'ÉCALrrÉ  DE  l'aCTIOX  ET  DE  LA  REACTION 

329.  —  Démontrons  encore,  pour  finir  avec  la  théorie  de 
Hertz,  que  cette  théorie  est  conforme  au  principe  de  l'éu'alité  de 
Faction  et  de  la  réaction. 

Nous  avons  déjà  montré  que  les  équations  de  Hertz  gardent  la 
même  forme  dans  le  mouvement  relatif  et  dans  le  mouvement 
absolu.  Il  est  aisé  de  voir  d'autre  part  que  l'expression  de  l'éner- 
gie totale  garde,  elle  aussi,  la  même  forme  dans  ces  (Jeux  mou- 
vements. 

Nous  savons  que, 

_d] 

dt 

Or,J  LV/t  ne   dépend  pas   de  q,    r,,  l,    ni   de    leurs   dérivées 

par  conséquent  cette  intégrale  sera  la  même  dans  les  deux  mou- 
vements. 


ÉGALITÉ  DE  CACTIOX  ET  DE  lA  HÉACTiOX  ,i,ii 

Quant  au  second  terme 

X^p  Yy.  Zo  ne  changent  pas  non  plus  dans  les  deux  iriciiiveiiH'îiH 
car  toutes  ces  quantités  ne  contiennent  pas  ;,  r,,  I,  ni  hnir^^ 
dérivées. 

En  appelant  ^,  -/;,  t  les  composantes  de  la  vitesse  relative, 
ÇpYip  v^  celles  de  la  vitesse  d'entraînement,  alors  ;  +  ;,,/,  +  7,^, 
ï  +  sj  représenteront  les  composantes  de  la  vitesse  diiiis  le  niim- 
vement  absolu. 

Nous  aurons  donc   dans  le  mouvement  absolo, 

et  dans  le  mouvement  relatif 


iL=p,(r.+yx,). 


En  retranchant  ces  deux  relations  membre  à  meniiire.  il 
vient. 

Cette  relation  est  vraie  quels  que  soient  ;,,  Y,p  !.. 
Supposons  que  le  mouvement  en  question  soit  un  mouvement 
de  translation  ;  alors 

et  l'intégrale  précédente  devient  dans  ce  cas, 

La  composante  de  translation  totale  est  donc  nulle  :  le  pria- 
cipe  de  P égalité  de  r action  et  de  la  réaction  est  donc  vérifié  par  les 
équations  de  Hertz, 


CHAPITRE    III 

THÉORIE  DE  LORENTZ 
CONDUCTEURS 


330.  —  La  théorie  de  Hertz  est,  comme  nous  l'civons  vu,  par- 
faitement cohérente  ;  mais  si  elle  rend  compte  des  phénomènes 
électriques  elle  ne  rend  pas  compte  de  certains  phénomènes  opti- 
ques et  en  particulier  des  phénomènes  optiques  en  mouvement 
(entraînement  partiel  des  ondes  lumineuses,  aberration  astrono- 
mique, etc.).  En  revanche,  elle  est  parfaitement  en  accord  avec 
le  principe  de  la  conservation  de  l'énergie,  avec  le  principe  de 
la  conservation  de  Télectricité  et  du  magnétisme,  et  avec  le  prin- 
cipe de  Tégalité  de  l'action  et  de  la  réaction. 

Ncnis  allons,  maintenant,  exposer  une  nouvelle  théorie  électro- 
dynamique qui  explique  assez  bien  les  phénomènes  optiques  qui 
ne  pouvaient  pas  être  expliqués  par  la  théorie  de  Hertz,  mais 
qui,  malheureusement,  n'est  pas  conforme  au  principe  de  Tcgalité 
de  l'action  et  de  la  réaction  :  c'est  la  Théorie  de  Lorcnlz. 

Avant  d'entrer  dans  l'étude  délaillée  de  cette  théorie  nous  al- 
lons commencer  par  énumérer  les  hypothèses  fondamentales  de 
Lorentz. 

331.  Hypothèses  fondamentales.  —  D'apiès  Lorentz  : 

i*^  //  ni/  a  pas  de  magnétisme  :  les  apparences  de  magnétisme 
sont  dues  aux  courants  particulaires  d'Ampère. 

i""  Il  ny  a  pas  de  courants  de  conduction  :  Lélectricité  adhère 
a  la  matière.  Les  phénomènes  électriques  sont  dus  à  certains  pe- 
tits corps  matériels,  extrêmement  tenus  et  chargés  d'électricité, 
que  Lorentz  appelle  ions  ou  électrons.  Ces  molécules  matérielles 
sont  des  corps  solides  qui  se  déplacent  sans  se  déformer  ;  les 
charges   électriques   sont  portées  par  ces   molécules   dont   elles 


COXDVCTErRS  |al 

sont   inséparables.    La   charge    de    eluirune  de  ces  iiîtilerult^s  »:•-! 
constante  et  la  distribution  en  est  invaruthli^ 

Conducteurs,  —  A  rintérieur  à\m  iMM-ps  cinîcliieleiir  iit|iiiilr 
ou  solide),  ces  molécules  peuvent  se  nioiivcnr  liljreiiic»ïil,  vï  n-s 
mouvements  produisent  les  courants  appelés  voliait/nes.  Seule- 
ment dans  ce  mouvement  elles  ont  à  surmonter  une  espèce  êe 
frottement. (ou  de  résistance]  de  la  part  dit  eoiicîiieleiir  :  un  corps 
est  d'autant  meilleur  conducteur  cpf  il  oppose  iimiîiîs  de  résis- 
tance au  mouvement  de  ces  particules.  En  d'autres  termes,  les 
courants  qui  traversent  un  conducteur  métal licpie  se  propage- 
ront par  le  même  mécanisme  (|ue  ceux  «|ui  Iraverseni  un  i'4ec'irit 
lyte  ;  les  molécules  ou  particules  a  charge  invariable  si,-  compor- 
teront donc  de  la  même  manière  que  les  icins  des  éleclrt^îytes  : 
cela  justifie  leur  dénomination. 

Ces  particules  sont  chargées  les  unes  positivement,  les  autres 
négativement.  Si  un  corps  est  chargé  positivement^  c'est  qui! 
contient  plus  de  molécules  chargées  positivement  <|ue  de  molé- 
cules charofées  nésrativement. 


a 


Diélectriques,  —  La  masse  des  diélectriques  est  parsémi'-c 
d'ions  comme  celle  des  conducteurs,  seulement,  chacun  de  c»'s 
ions,  au  lieu  de  pouvoir  se  déplacer  librement  ii  l'intérieur  du 
diélectrique,  ne  peut  s'écarter  que  très  peu  de  sa  position  d  équi- 
libre :  dès  qu'il  s'en  éloigne,  une  force  antagoniste  due  a  î  action 
des  ions  voisins  tend  a  l'y  ramener  :  cette  force  est  proportion- 
nelle, à  l'écart,  si  cet  écart  est  petit. 

Quand  le  diélectrique  est  placé  dans  un  champ  électri«|oe 
force  électrique  extérieure  tend  a  éUùgner  Lion  de  sa  position 
d'équilibre  et  il  s'en  écarte  légèrement  jusqu'à  ce  que  cette  force 
extérieure  soit  contre-balancée  par  l'attraction  des  ions  voisins 
qui  tend  à  ramener  Lion  à  sa  position   d'équilibre  primitive. 

En  d'autres  termes  le  diélectrique  se  polarise. 

Une  analyse  qui  ne  diiïere  pas  essentiellement  de  celle  a  la- 
quelle conduit  l'hypothèse  de  Poisson  et  de  Mossotti  montre  que 
h\  polarisation  du  diélectrique  est  proportionnelle  à  Fintensité  du 
champ  extérieur;  on  retombe  donc  sur  les  formules  bien  connues 
de  la  théorie  des  diélectriques. 


4-24  TIIÉOniE  DE  LORENTZ 

Voyons  maintenant  comment  M.  Lorentz  a  réduit  ces  hypo- 
thèses en  équations.  Commençons  par  les  conducteurs. 

ï.  —  CONDUCTEURS 

332.  —  On  peut  étudier  ce  qui  se  passe  dans  les  conducteurs 
en  nous  plaçant  à  deux  points  de  vue  différents.  D'abord,  consi- 
dérons un  observateur  ayant  les  sens  très  subtils,  et  voyons  com- 
ment se  présenteront  à  lui  les  phénomènes  qu'on  observe  dans 
les  conducteurs.  —  Grâce  à  ses  sens  très  développés,  très  sub- 
tils, il  sera  en  état  d'apercevoir  les  courants  particulaires  d'Am- 
père ;  il  distinguera  même  les  ions  et  les  verra  se  mouvoir  :  pour 
lui,  le  magnétisme  et  les  courants  de  conduction  n'existei"ont 
pas.  —  Si,  au  contraire,  nous  considérions  un  observateur  ayant 
les  sens  grossiers  —  comme  les  nôtres,  —  le  mouvement  des 
ions  ne  lui  sera  pas  accessible  ;  il  ne  verra  que  des  phénomènes 
moyens,  des  effets  d'ensemble,  et  c'est  ainsi  qu'il  sera  conduit  à 
admettre  l'existence  des  courants  de  conduction  et  du  magnétisme. 

Nous  allons  étudier  les  conducteurs  en  nous  plaçant  successive- 
ment à  ces  deux  points  de  vue  différents. 

A.  PHÉNOMÈNES   QUI    SE    PRESENTENT   A   UN   OliSEIlVATEUll 

AYANT   LES   SENS   TRIIS    SUBTILS 

333.  —  Considérons  le  courant  total  ;  d'après  Lorentz,  il  se 
compose  de  deux  parties  :  le  courant  de  déplacement  et  le  cou- 
rant de  convection  de  Rowland. 

Désignons,  comme  précédemment,  par  u,  c,  i\>  les  composantes 
du  courant  total  ;  il  vient  alors 


dh 
Nous  admettrons  aussi  la  relation 


COyDLTTEVRS  .|:4 

C'est  là  une  liaison  que  nous  imposons  im  tlr|îliii*eMii-iîl  'f.z:^  k  - 
D'ivutre  part,  les  particules-  élaiil  lifs  stiliile>  iiîVîiîiïiblrs  ri 
emportant  leurs  charges  avec  elles  on  uiira  : 


dl   ~   dt  ~^^   dx  "^  '•  dij  "^  ^  'iiz 


do         V    ^/o  dz         ,.  r/p 


^/  ^  "  d.v     '     '   ^///     '     '    dz 


donc 

(3) 

et  de  plus 

/  <f  ;        <h,        d: 

puisque  la  dilatation  des  particules  est  nulle. 

En  additionnant  les  relations  l'S)  et  î4}  membre  à  membre  ii 
vient, 

</?    ^     </.r    ^    <///    ^     ./: 
«u  encore, 

DilFérentions  maintenant  la  première  équation  du  système    i 
par  rapport  à  x,  la  seconde  par  rapport  à//,  la  troisième  par  rap- 
port a  z  et  ajoutons,  il  vient, 

~~  dt  ^  d.v  ^^  d.r    ' 


ou,  eu  tenant  compte  des  relations  'ji]  et  J>) 

sr\  du 

(6y  2j7/7  =  °- 


U 


426  THEORIE  DE  LORENTZ 

Cette  dernière  relation  exprime  le  principe  de  la  conservation 
de  réleetricité. 

334.  — Introduisons  maintenant  le  potentiel  vecteur  (F,  G,  H). 
On  a  d'après  le  théorème  de  Poisson 

^  AH=  — 4w. 

En  difïerentiant  la  première  de  ces  relations  par  rapport  à  x^ 
la  seconde  par  rapport  à  y,  la  troisième  par  rapport  à  z  et  en 
ajoutant,  il  vient, 

et  en  vertu  de  la  relation  (6) 

\ydF  .         ,         . 

/   ~f7  c^pi'iïiie  donc  le  potentiel  de  la  masse  attirante  dont 

du     dv     dw 
et  il  vient  alors. 


la  densité  [~-r-.-r-.  ^\  est  nulle.   Ce  potentiel  est  donc  nul, 


Z^  dx' 


335.   —  Montrons  maintenant  qu'il  n'y  a  pas  de  magnétisme 
permanent  ou  induit.  Introduisons  pour  cela  la  force  mao-nétiaiie 

on  D  1 

a,   ^j,  -').  Posons, 


;9; 


rfll 

d'J 

dC. 

dz 

=  a 

dz. 

dll 

dx 

=  ? 

dG 

dF 

dx         dij 
Différentions  la  première  de  ces  équations  par  rapport  à  x,  la 


COXOrCTEllLS  la; 

seconde  par  rapport  à  //,  la  troisième  par  rapport  à  :  ri  kipuîmi^; 
il  vient 

\1  ch 

G.  Q.  VAK 
336.  — Formons  maintenant  les  expressions, 

dtf         dz  ' 
f/o.  __^ 

'77  "~  r/,r' 

que  nous  avons  rencontrées  dans  la  théorie  de  lleriz. 

En  remplaçant  dans  ces  expressions  x,  3,  ^^  par  ieiirs  valeurs 
tirées  de  (9),  on  obtient  pour  la  première 

ÈL^ÉA         <^'G-  ^'F        ^^'F         f/-II 

ajoutons  et  retranchons  au  second  membre  -7-7,  u  vient, 

<:/y  <:/3  dx-     '    dxdif     "    d.r^iz 

ou  encore, 

EL       i^— _  AF-1-  — V!(L. 
^///  dz  '    d.v  ..««^  f/.r 

et  enfin,  en  tenant  compte  des  relations   7    et    8    un  olitieiit 
dij  dz 


,      ,  \     dv.         d-         , 

(10)  __=,.., 

!     ^3 


dx        dij  "■ 


337.   —  Pour  aller  plus  loin  je  me  servirai  des  éi|oalioiis  de 


Lagrangc. 


j.^B  THÉORIE  DE  LORENTZ 

Je  supposerai  que  le  système  est  composé  d'un  grand  nombre 
de  variables,  et  que  les  coordonnées  des  diverses  particules  char- 
gées de  la  matière,  dépendent  des  paramètres  q^,  y;,  «Zav  '/n  ; 
les  déplacements  dépendront  aussi  de  ces  quantités. 

Désignons  par  T  la  force  vive  totale  du  système  ;  elle  se  com- 
pose de  la  force  vive  de  la  matière,  T',  et  de  la  force  vive  de 
Féther  que  je  désignerai  par  T' .  On  aura  donc 

T  =  T'  +  r^ 

Et  si  U  désigne  l'énergie  totale  du  système,  U'  l'énergie  due 
aux  forces  autres  que  les  forces  électriques,  U^'  l'énergie  due  aux 
forces  électriques,  on  aura  encore, 

Les  équations  de  Lagrange  peuvent  alors  s'écrire, 

d    dl         dT    ,    dV. 
■     ^  H — —  =  0. 


^      '  dl    dq'  dq  dq 

Mais  quelles  sont  les  valeurs  explicites  de  T^^  et  U^^  ? 
Je  suppose  que  P' soit  représenté  par  l'énergie  magnétique  ; 
cela  revient  à  écrire 


'-fi^"^ 


d'où,  par  un  calcul  bien  connu, 
{i%  his)  T"  = 


/ès--/^s-- 


U''  c'est  Ténergie  potentielle  de  l'éther;  je  suppose  que  c'est 
Ténergie  électrique  ;  donc. 


(.3) 


COSnCCTEURS 

Calculons  maintenant  les  dérivées  -^-r-r-,  ^~r-~  el 
Il  vient  y 


ii|i 


if/    ^       fi(j  ffr| 


4) 


En  ce  qui  concerne  T^^,  remarquons  dans  {12  k's)  que  F  est  le 
potentiel  d'une  masse  attirante  dont  la  deiisilé  est  a;  et  si  jedoiint* 
alors  un  accroissement  0/^  à  //,  raccroissemeiit  eorresptHidaal 
de  F  sera  oF  ;  l'intégrale  (12  bis'^  s'accroîtra  par  eiiîiséqiient  ile 
(en  ne  considérant  que  le  premier  terme  de  ï 


or,  en  vertu  d'un  théorème  bien  connu, 

d^  F  on  =  j  (h  iioF, 


donc 


— -  [F ON  -f-  ^/oF°  =  I  dzF  5w, 


et  par  suite, 


1 


l'O 


drj  /  ^       dq 


et  de  la  même  manière, 
dT 


(16) 


dq' 


11  nous  reste  encore  à  calculer  -1^  et  -^.  Et  ici  nous  sommes 

dq         dq 

amenés  à  distinguer  deux  sortes  de  coordonnées  q  : 

i''  Les  coordonnées  du  centre   de  gravité  de  la  particule  con- 
sidérée.  Ces  coordonnées  suffisent  pour  déterminer   complète- 


43o  THEORIE  DE  LORESTZ 

menl  la  situation  de  la  particule,  si  on  suppose  que  la  particule 
ne  peut  pas  tourner  sur  elle-même.  Lorentz  a  d'ailleurs  démon- 
tré que  les  particules  étant  infiniment  petites,  le  moment  du 
couple  qui  tendrait  à  les  faire  tourner  sur  elles  mêmes,  est  un 
infiniment  peliurordre  supérieur.  Nous  ne  reproduirons  pas  cette 
démonstration,  faute  de  temps  ;  nous  nous  Lornerous  à  admettre 
la  conclusion. 

Les  variables  de  la  première  sorte  suffisent  donc  pour  déter- 
miner la  position  de  la  matière  et  par  suite  la  position  de  Télec- 
tricité  qui,  d'après  Lorentz,  est  invariablement  liée  à  la  ma- 
tière. 

2°  Les  coordonnées  qui  définissent  la  position  de  Téther.  La 
matière  et  par  suite  l'électricité  ne  seront  pas  affectées  par  la 
variation  de  ces  coordonnées  ;  par  contre,  le  déplacement  (/J  g^  li) 
subira  des  variations,  car  le  vecteur  (/J  g^  li)  est  fonction  de  la 
position  de  Téther. 

Maintenant,  quand  les  variables  de  la  première  sorte  subiront 
des  accroissements,  ces  variations  affecteront  en  môme  temps  la 
matière  et  Tétiier  :  rélectricité  et  le  déplacement  électrique. 

338.  a.  Equations  qui  dèûnissent  l'état  de  Fèther.  — Cette 
distinction  de  coordonnées  étant  faite,  revenons  à  notre  question  ; 

,     T  du        du 

calculons  — j— et-^— r. 
arj        dq' 

Commençons  par  nous  placer  dans  le  cas  des  ^>ariahles  de  la 

deuxième  sorte^  qui  définissent  la  position  de  Véther. 

D'abord 

df    ,      . 

il  faut  par  conséquent  dlfférentier  cette  relation  par  rapport  a  q. 
Or,   z  ne  dépend  pas  de  q  (variable  de  la  deuxième  sorte),  sa 
dérivée  est  par  suite  nulle,  et  il  vient  alors, 


s; 

(ht 

_    d     df 
d(i    dt 

Je  dis  f|iie 

J_  li_J     df  ___    d'f   _ 
d(j    dt    ~  de     dq  dldq  ' 


ÉQrATÎOys  QUI  BÉFIMSSE.XT  VETaI'  DE  l'iriiEH 

Nous  avons  en  efFetj 

et  en  diffère  ntiant  par  rapport  à  q 

d    d£_'S^     d'f      , 
d(j  dt       Zmi  d<j,dq  '^  " 
donc 

^    '^'  d(]     (il  dî     d(J         ,^d(f:dij    ^" 

C.  il.  F.  13. 
L'équation  (i8   devient  alors, 

^^    .  du  _    d-f 

'^^   '  dq  dldq  ' 

Calculons  encore    -7-: . 
dq 

Nous  avons, 

d      df  _    df 
dq  i     dt  dq- 

donc, 

,      ,  du   _    df 

^      '  dq  dq 


fh 


l^crivons  maintenant  les  équations  de  Lagrange  «'m  ne  consi- 
dérant ([ue  les  variables  de  la  deuxième  sorte.  —  Ces  fqualit>iis 
se  simpliiient  si  nous  remarquons  que  T  et  U  ,  se  rrléranî  a  la 
matière,  ont  des  dérivées  nulles  par  rapport  aux  varialiîes  de  la 
deuxième  sorte  qui  se  réfèrent  a  rétlier.  Lt*s  équations  i  ï  s  écri- 
vent alors,  en  tenant  compte  des  relations  ï5  .  16),  lio  ri 
(21}, 

^      '  dt      I         jLà      dq  J         j,u^      didq 


/jl-i  THEORIE  DE  LORE^TZ 

Transformons  ces  équations.  Prenons  lu  première  intégrale  et 
eirectuons  la  diflerenLiation  par  rapport  à  /;  il  vient, 


La  relation  [9.2)  devient  donc, 

Zj\dt      chj,^K,     '    dql 


df    d? 
dq    dt  ' 


Or  nous  avons 


/J  d.v 


et  en  difrérentiaut  par  rapport  à  q, 

Zmk  dxd(j  dq    ' 

multiplions  maintenant  les  deux  membres  de  cette  relation  par, 
y  (/t  :;j  étant  une  fonction  quelconque,  qui  s'annule  à  l'infini) 
et  intégrons  dans  tout  l'espace  ;  on  a, 


/^"=Zâ,-/^"^ 


dq 


niais    remarquons  que   0    ne    dépend    pas    de    q    (variable   de   la 
deuxième  sorte)  donc, 

)u  encore  en  intégrant  par  parties  dans  tout  Fespace, 
\  jLà  dxdq  J     '       ^  dx'    dq 


ÉqrArioys  qui  défi.xisse.\t  vetat  bi-  VEruEH  411 

et  en  introduisant  cette  ibiictioii  '!»  dans  It*s  rc-|iîalîfiîif^  ■a,'!,,  lir  La- 
grange  on  obtient, 


N)         -Ef(^-S-fn=«. 


Pour  que  cette  relation  soil  salisfaite,  il  suffit  que 


i 


dt         dij        Kfi  ^ 

dW        d'I        4^   , 
dt  dz         K 


On  pourrait  montrer  cela  en  se  servant  du  calcul  des  varia- 
tions qui  nous  montrerait  de  plus,  qu'il  n\v  a  que  cette  manière 
pour  satisfaire  à  cette  relation  (24)  [si  entre  p  el  /  il  nV  a  pas 
d'autre  relation  que  la  relation  (2)]. 

JD'autre  part  il  est  évident  que  les  équations  de  Lagraoge  ne 
peuvent  comporter  qu'une  seule  solution. 

Cherchons  donc  une  fonction  y  satisfaisant  aux  conditions    -iS  . 

Différentions  à  cet  effet  la  première  des  relations  25  par 
rapport  a  .^'  la  seconde  par  rapport  à  //,  la  troisième  par  rapport 
à  z  et  ajoutons  ;  il  vient  ainsi 

jLJ  (Lv  \  dt   ^  dx    '     K,  ] 
ou  encore, 

^     ^  dt  ^^  dw  '         \\,y  .«^  dx 

mais, 

jLà  dx  jLd  dx 

La  relation  (26)  devient  donc, 

il- 

K,.  '^• 


(^7)  ^'^  =  - 


Cette  équation  nous  montre  que  la  fonction  y  satisiaisant  aux 
PoiNCARÉ.  Électricité  et  Optique.     .  '^^ 


4^4  THÉORIE  DE  LORENTZ 

eoiidiclions  (25),  jouit  des  propriétés  d^un  potentiel  :  cVst  le  poten- 
tiel  d'une  masse  attirante  de  densité  |t- . 
Posons  maintenant, 


:>8)  \h'  =  ^- 


I 


\  ^.=R, 


"■c 


et  écrivons  les  relations  (aS)  avec  ces  notations  ;  il  vient, 

^F         d'il 
dt  dx' 

I   ^  ^G         d'b 

i^9)  )^=—ir-'di' 

f/II  _  dé_ 

\  ^^— "TT      dz  ' 

relations   qui   présentent  une    grande    analogie    avec   celles   de 
Maxwell  in"  292,  p.  347). 

En  différentiant  la  seconde  de  ces  équations  par  rapport  à  z, 
la  troisième  par  rapport  à  ij  et  en  retranchant,  on  obtient 

dq,  __dR_ d    fdlï         dG' 

dz-         dy  di    \  dij         dz 


«^  (9)' 


donc, 


rfH        dG 


dÇj  d\\  _  da^ 

1z  dij           dt 

dR  _  ^/P  _  d^ 

Ix  dz    ""    dt 

(W  d()          d-{ 

7i 


!3ol 


dy  dœ  dt 

Les  deux  dernières  équations  s'obtenant  eomme  la  première. 
Tels  sont  les  équations  qui  définissent  Tétat  de  Tétlier. 


COMPARAISOy  AVEC  LES  HEIAIIOXS  TjE  HEUT/,  415 

339.  Comparaison  avec  les  relations  de  Hertz.  ~  En  cmii- 
parant  les  relations  de  Lorenlz  avec  eeiles  île  lirrlz,  nri  viiil 
immédiatement  une  diflerence  1res  miirf|iiée  :  K  rst  lîm-rnti 
constant  et  égal  à  K^  et  a  a  complètement  dispani  «lans  li-*^ 
équations  de  Lorentz.  Cela  tient  aux  liypotlièses  que  îums  îi%-<iîis 
laites  au  commencement:  nous  n'avons  admis  ni  magiiétisnir,  nî 
diélectrique  autre  que  le  vide.  On  remarque  aussi  la  disparititm 
des  termes  contenant  les  courants  de  condactîcin.  (>k  ne 
doit  pas  nous  étonner,  car  nous  avons  négligé,  dans  Fespres- 
sion  du  courant  total,  les  courants  de  RcFntgen  et  les  cou- 
rants de  conduction  [p^  q,  r  :  celle  difTé renée  est  visililr  eii 
comparant  les  équations  Ibndamentaies  de  Hertz  en  //  faisant 
a==  i)  et  les  équations  (3o'  de  Lorentz. 

Comparons  en  effet  les  premières  équations  de  chaque  groupe. 
On  a, 


dt  dz         dy 

rZa         ^Q         d\\ 


[Hertz) 
'Lorentz; 


dt  dz  dij 

et  c'est  précisément  le  terme  en    a    qui  contient  le  courant  de 
Rœntgen  et  que  nous  avons  négligé. 

Et  bien,  je  suppose  qu'on  ait  repris  ie  calcul  précédent  en 
tenant  compte  des  termes  qui  contiennent  le  courant  deRienIgen 
qui  a  pour  expression  : 

dz  ^' "         '^^         dïj  '  ^"       ^^"  ' 
en  d'autres  termes  je  suppose  que  u  ait  pour  valeu 


r. 

dans  cette  hypothèse  on  aurait  trouvé  comme  co^idilions  à  salis- 

l'aire 

^F  di         4t:  ,.  ,     ,., 

dt  ~^  di/^  K,  ^^  +  '"*''       ^"^      '"^ 

dll        d'I        i-  .       . 

'■+-Tr-  f'-  -r  J.^  —  ïA  =  o  ' 


■dt  ^  dz    '    K 


l^. 


435  THÉORIE  DE  LORENTZ 

et  en  posant  toujours 

i^  /  =  P 

Ko 

on  aurait  trouvé  à  la  place  des  relations   (29)  les  relations  sui- 
vantes, 


dt 


et  finalement 


dy.        dO         dR 


-M, 


+  1 


dt         d:  dy 

)    rf^  _  dR  d? 

!dt         dx  dz 

dt  ~  du  d.v    "^  ^^^  ' 

c'est  précisément  les  équations  de  Hertz, 

Ainsi  donc  en  tenant  compte  des  courants  de  Rœntgen  dans 
les  équations  de  Lagrange  on  retrouve  les  équations  fondamen- 
tales de  Hertz.  Ceci  doit  attirer  notre  attention.  Rappelons-nous, 
en  elTet,  que  nous  avons  été  conduits  à  introduire  les  termes  [a], 
13],  yi  en  tenanf  compte  des  expériences  d'induction  magnétique. 
11  sera  donc  intéressant  d'expliquer  comment  les  équations  de 
Lorentz  sont  capables  de  rendre  compte  de  Tinduction  magné- 
tique ;  nous  verrons  dans  la  suite  qu'elles  en  rendent  parfaite- 
ment compte. 

340.  b.  Variables  de  la  première  sorte.  — Considérons  une 
particule  m  et  appelons  //   Tabscisse  de   son  centre  de   gravité. 


VARIABLES  DE  LA  Pli EM! ERE  SOUTE  ,|l7 

Calculons  —5 —  et  —7--,  • 
ctfj         d(f 

D'abord,  T'^  c'est  la  force"  vive  de  la  iiiatiêre  ;  par  ciiiiséc|iïeîit, 

a  2  2 

q,  <7i,  q.>y"'>  étant  les  abscisses  des  centres  de  gravité  des  cliUe- 
rentes  particules. 

On  voit  que  cette  force  vive  dépend  des  variables  de  lu  pre- 
mière sorte  et  elle  ne  dépend  que  de  leurs  dérivées  ;  il  en  résulte 
que 

dT  __ 

dq    ~'' 

et  par  suite, 

d    lï'        cH' 

T-,  .  11.-.       '^T  '       (Tï      ,      ,,         , 

bn  ce    qui  concerne  les   dérivées  — r —  et  -r-^  ,   les  lonnules 

(Ifj         dij 

(10)  et  (16)  nous  donnent  ces  dérivées.  Nous  avons  en  ellel 


(4) 


=    1    </.Vf4^.: 


dq'  ]       --^      d,, 


,  ,       ,     .        du  du 

il  reste  donc  a  calculer  -^ —  et  -^—r . 

dq  dq 

du 
341.  —  Commençons  par  calculer— 7-^ 
^  «^ 

Nous  avons, 


438  THÉORIE  DE  LORENTZ 

diIFérentions  cette  relation  par  rapport  a  q  et  remarquons  que  p 
ne  dépend  que  de  la  position  actuelle  de  la  matière  ;  il  est  par 
conséquent  indépendant  de  q'  ;  on  a  alors, 

du  ^/_!        J±_ 

Or,  à  V intérieur  de  la  particule  m  on  a  |  =  ^r^  donc 

dq'~^' 
en  dehors  de  cette  particule  on  a  p  =  o  et  par  suite, 

dX 

convenons  alors  d'appeler  p^  une  variable  telle  qu'à  l'intérieur  de 
la  particule  sa  valeur  devienne  p^  =  p  et  en  dehors  de  cette  par- 
ticule p^  =  0. 

La  relation  (5)  s'écrit,  avec  ces  notations 


^rç  du^ J£^ 

^    ''  dq'    ~   dq   "+"  ^'' 

r.  .  di>         ^    d\v  _.,„ 

Un  ce  qui  concerne  -j~^  ,  et  -—  ,   on   a,  en   dmerentiant   par 

rapport  a  q'  les  relations  qui  nous  donnent  v  et  k', 

dv   dg  d'r\ 

lûf~^~^^~df' 

dw         dh  d'C, 

"d^^~d^  '^^^  1^' 

Mais  remarquons  qu'à  Tintérieur  de  la  particule  /n^  on  a  r,  =  q\, 
q^  étant  Fordonnée  du  centre  de  gravité  de  cette  particule  ;  il  en 
résulte  que 

dq' 
et  par  un  raisonnement  analocfue 

dZ 


VAIilABLES  DE  LA  PiiE3IiÈME  SOfiTE  4  k^ 

Les  relations  précédentes  tievieiiiît'iil  donr, 

fns  dw  dh 

dff         dq  ' 

342.  —  Calculons  maintenant 

du     dp     dtv 
dq  '  dq  '   dq  ' 

On  a,  en  différentiant  par  rapporta  q  îe§  rekilîons  (pii  oiius 
donnent  u^  p,  tr, 

.      ^<7  didq  '~^^  dq   ~^  '"   dq  ' 

I     dq   ~  dtdq  ~^'''~t['^  ^^1^' 

^  —  "^''^       ^  EL      .   '^^ 

dq  dïdq         "  'dq'        "  ~dq   ' 

Qu'est-ce  que 

dl  dr,  dZ,    .^ 

'     dq  '  '     dq  '  '     ^'7    * 

Nous  avons    vu    qu'à  Fintérieur  de   la   particule   wi    on    avait 
;  =  y'  et  par  suite 

en  dehors  des  particules  on  a  p  =  o  ;  on  a  donc  partout 

dl    ' 


et  de  même 


?77=- 


440  •  THÉORIE  DE  LORENTZ 

Les  relations  précédentes  deviennent  donc, 


^^9)  j     dq   ~  dtdq  "^  '"'    dq  ' 

\     dw  d'-^/i         ^    dp 

\     dq  dtdq  dq 

343.  —  Les  relations  (3)  et  (4)  deviennent  donc, 


Ces  dérivées  figurent  dans  les  équations   de  Lagrange  sous  la 
forme 

d    dV         dV 


Il     dq'  dq 


du  d'f         y    dp 

dq         dtdq  dq  '  ^ 


î 


F  Pc-  I 


V 


Calculons  cette  expression  en  nous  servant  des  relations  (3  bis) 
et  (4  bis). 
Il  vient, 

d    dJ"        dT"         r^xydF    df         r,    dF 

Nous  allons  transformer  cette  expression.  Considérons  les  deux  f 

dernières  intégrales.  Dans  la  première,  remplaçons  --^  par  sa  '* 

dt     ^  0 

valeur  | 

dt  2u    dx    '  \ 


VAmADLES  DE  LA  PMEMiERE  Si'JRTE 


il  vient  ainsi. 


Intégrons  par  parties  ;  cela  nous  dooiie, 


et  l'intégrale  en  question  devient. 


II 


/"-S*-/-.=.(^f 


(IF       ^  dF 

dif  dz 


12 


Transformons  maintenant  Fautre  intégrale  : 


drj 


Fi. 


ch 


Ou  est-ce  que  --^  ?  —   A  Fextérieur  de  la  particule -y-  =  o  ; 
^        dq  "7 

cela  veut  dire  qu'en  déplaçant  la  particule  m,  la 
densité  électrique  ne  varie  qu'a  son  intérieur. 
Quelle  est  cette  variation  ?  —  }\>ur  voir  cela, 
considérons  un  point  M  à  Fintérieur  de  la  parti- 
cule en  question  et  soit  o  la  densité  électrique 
en  ce  point.  Si  la  coordonnée  q  du  point  M  aug- 
mente de  dq,  le  point  M  viendra  en  M'  et  on  a 
^rsV  =  dq.  D'autre  part  la  densité  au  point  M'  sera  différente  de 
la  densité  en  M.  Elle  aura  pour  valeur 

o+^dq. 


442  THÉORIE  DE  LORENTZ 

En  un  point  IsV  symétrique  de  M'^  par   rapport  à  M,  on  aura 
MM'^  =  dq  et  comme  densité, 

d? 


^         dx 


ou 


(L 


On  a  donc, 

1°  A  l'intérieur  de  la  particule, 


d?  _ 

dq~ 

dp    . 
dx   ' 

2^  Al 

'extérieur  de  la 

particule 

d. 

dq 

=  0. 

Donc 

avec  les 

conventions  préc 

;édentes, 

^?0 

dx' 

et  notre  intégrale  (12)  devient 


-f'^'iti^i- 


En  intégrant  par  parties,  on  obtient, 


■''*=■'--*»§, 


1^^K  =  -   I  ^.,.K§-. 


1 


VARIABLES  DE  LA  PHEMIEBE  SORTE  ||1 

car  le  moiivemenl  de  la  particule  se  réiliiisaîit  h  mu  iiîriîi%'r'iiirîi| 
de  translation,  H,  r,  ",  ne  dépendt^iit  pas  âe  j\  ^,  r,  à  riiiît*rîfîîr 
de  la  particule;  ce  sont  des  eonslanles. 
L'intégrale  (i!?^  peut  alors  s'écrire, 


,  iiV  dG        ^  lilV', 


Revenons  maintenant  à  la  somme  des  deux  dernières  iiilégrales 
de  (ïo)  ;  cette  somme  a  pour  valeur,  en  tenant  compte  des  rela- 
tions (il)  et  (i3)  que  nous  venons  d"éial)lir. 


or. 


donc. 


m         cIG  _ 
dij  dz 

I     d:  d.r 


^'^%-^4S^=-"^  ■=--'■•■■• 


l'.cnvons  m 


alntenaiit  la  relation    lO    :  elle  devient. 


,    ,  d     dT'         dT'  _    r  j    Vil-iï- 

*■'"  ^'"'       Tt   W  — W  ~  /       ^  dt    d<i 


H-/^^f>=«-^/'^ '="--'■■■ 


444  THÉORIE  DE  LORENTZ 

344.  —  Calculons  encore  -7 —  . 
Aous  avons  vu  que 

d'où,  en  clifTérentiant  par  rapport  à  q, 

345.  —  Prenons  maintenant  l'équation  de  liaison, 
et  différentions-la  par  rapport  a  q  ;  il  vient 

Y  dY       dp 

jLà  dxdq  dq 

Multiplions  cette  relation  par  i  d-z,  'i  étant  une  fonction  quel- 
conque s'annulant  à  l'infini,  et  intégrons  dans  tout  l'espace  ;  on 
obtient  ainsi, 

/  * 

'  \LJ  dxdq  dq  j 


d 


0 


dq  dx  ' 

(.5)  [d-Ay,Jlî^+^ 

dxdq  dx 


f-4li 


Intégrons  par  parties  ;  cela  donne, 


i 


VJniABlES  DE  LA  PilEJUERl'  SfJilTE 

et  rintégrale  (i5)  devient, 


[i5  l)is\  I    d^ 


'^  dj'     dq    ^    I    '^V.  "^ 


346.  —  Nous  avons  maintenant  tous  les  éléments  iiéeessjiires 
pour  écrire  les  équations  de  Lagninge  :  nous  n'avons  pliis  cjhIi 
additionner  membre  à  membre  les  relations  {2},  (10  im;,  (i|)  et 
(i5  l/îs),  que  j'écris  encore  une  fois  pour  faciliter  le  eiilcul. 


d    dV 

dT 

dU 

..   ,    dU 

di    dcf 

dq 

'   '/'y 

-'"'l   +    dq 

d 

dT' 

dT' 

=  fd-r^^i 

dt      dq  dq  I        "^   dt      dq   ^     I    "  "  '  ■  f/, 


■j 


H  J        ^^    K     àq 

C  j  V  ^'i    ^f  1    (\     ^^v 

'    -f   dx     dq  I         '  '  d.r 

La  somme  des  premiers  membres  de  ces  équations  nous  donne 
zéro  ;  et  ce  qui  reste  peut  s'écrire  sous  la  forme, 

■■^ 
,.       dV  l     ,\^df  ,'  ,/F  d-l         4-    /i 

■     '  '  dq  J         ,_j  </</  \  a/  </.r  Kg 


f)-/--^>--- 


+  /  ^^^?.(^+-^^+  /  ^?-?.;r5— c'-o. 


or, 

f/r  ^  rf.r  ^  K„  '         ' 


^0 


.146  THÉORIE  DE  LOIîE.\rZ 

cFoù 

dt  ^  dx  ~      K/  ' 
et  k  relation  (i6)  devient  alors, 

dans  cette  relation  q"  représente  laprojection^  suivant  Taxe  des  .r, 
de  raceélération  de  la  particule;  mq"  représente  donc  la  projec- 
tion suivant  Taxe  des  x  de  la  force  qui  agit  sur  cette  particule  ;  le 
terme  en  U,  représente  des  forces,  autres  que  les  forces  électri- 
ques, qui  agissent  sur  la  matière  ;  le  terme  en-p— ,  c'est  la  force 

électrostatique  et  enfin  le  troisième  terme  du  second  membre 
représente  Faction  électrodyuamique. 

Il  en  résulte  donc,  d'après  Lorentz,  qu'il  y  a  une  force  due  au 
champ  électrique  et  une  autre  force  due  au  champ  magnétique. 

346.  Comparaison  avec  la  théorie  de  Hertz.  —  Comparons 
maintenant  ces  résultats  de  Lorentz  avec  ceux  de  Hertz. 

D'après  Hertz,  la  matière  doit  subir  quatre  actions  de  la  part 
du  champ  électromagnétique,  et  de  ces  quatre  actions  résultent  : 

i^  La  force  magnétique  ; 

2^"  La  force  électrique  ; 

3'^  La  force  électrô dynamique  ; 

4"*  La  force  de  Hertz. 

Dans  la  théorie  de  Lorentz  on  ne  retrouve  pas  la  première 
force;  cela  ne  doit  pas  nous  étonner,  car  nous  avons  supposé  qu'il 
n'y  a  pas  de  magnétisme. 

La  force  électrique  proprement  dite,  c'est-à-dire  la  force  élec- 
trique totale  .due  aux  phénomènes  d'induction  magnétique  et  aux 
actions  électrostatiques]  subsiste  dans  les  deux  théories  ;  donc, 
accord  avec  la  théorie  de  Hertz  sur  ce  point. 

En  ce  qui  concerne  l'action  électrodynamique,  il  y  a  une  diffé- 
rence assez  marquée  entre  les  deux  théories,  et  cela  s'explique. 


VÉRIFICATION  DES  PRIXCIPES  GÉNEilAUX  BE  LA  .MEfAMQll-       4|; 

Rappelons-nous,  en  eflel,  que  dans  la  tiiécirie  île  ilerîz  Ir  eoiiniîi! 
total  se  composait  de  quatre  parties  :  le  eouraiil  dt»  ecuiduttiiiii, 
le  courant  de  déplacement,  le  courant  de  Rmviaîid  et  le  c«iiiraiîl 
de  Rœnttren,  tandis  que  dans  la  théorie  de  Loreiit/.  le  emiraîii  tle 
conduction  et  le  courant  de  Rtentgen  n'entrent  jki.s  ni  ligne  de 
compte. 

De  plus,  dans  la  théorie  de  Hertz,  la  force  éIeclrodvnïiiiiif|iie 
agit  sur  le  courant  total  ;  dans  celle  de  Lorentz  elle  agit  sur  le 
courant  de  convection  et  n'agit  pas  sor  le  eotirant  de  dépliice- 
ment. 

Quant  à  la  force  de  Hertz,  elle  ne  peut  pas  exister  imiîi  plus 
dans  la  théorie  de  Lorentz,  car  cette  force  est  inlimemenl  liée  à 
Texistence  du  courant  de  Ronit^en. 


& 


En  résumé,  d'après  Lorentz,  la  force  mécanique  totale  t|iii  agit 
sur  l'ion  considéré  a  pour  projection  sur  Taxe  des  x, 


?'¥+  /  ?^:v 


r intégration  étant  étendue  seiilenient  à  la  particule  considèrte  ei 
non  pas  à  fespace  tout  entier  car  nous  avons  vu  qu'en  dehors  des 
particules  c  =  o] 


VÉIUFICATIOX    DES    PRINCIPES    GENERAUX    DE    LA    >ÎECAM01"E 

347.  —    11   nous  reste  encore  à  voir  comment  la   théorie  de 
Lorentz  s'accorde  avec  les  principes  généraux  de  hi  mécanique. 
i"  Principe  de  la  conservation  du  magnètisnae.  —  Il    n  y  a 
pas  de  magnétisme  dans  la  théorie  de  Lorentz. 

fi*"  Principe  de  la  conservation  de  rèlectricitè.  —  Ce  prin- 
cipe est  satisfait,  car  nous  avons  vu  que 

Vdu 
jLÙ  dx 

qui  est  précisément  l'expression  même  du  principe  de  la  conser- 
vation de  l'électricité. 


448  THEORIE  DE  LORESTZ 

3*"  Principe  de  la  conservation  de  F  énergie.  —  Ce  principe 
est  satisfait  également,  car  notre  point  de  départ  a  été  l'appli- 
cation des  équations  de  Lagrange. 

4*"  Principe  de  F  égalité  de  F  action  et  de  la  réaction.—  Il  n'est 
pas  satisfait,  et  c'est  là  le  point  faible  de  la  théorie  de  Lorentz. 

343,  —  Supposons,  en  effet,  une  particule  chargée  isolée  et  une 
perturbation  électromagnétique  venant  de  dehors  et  qui  atteigne 
la  particule.  La  force  électrique  due  à  cette  perturbation,  en  agis- 
sant sur  la  particule  chargée,  ou  plutôt  sur  la  charge  de  cette  par- 
ticule, donnera  naissance  à  une  force  pondéromotrice  agissant  sur 
la  particule  en  question.  Or  cette  particule  étant  supposée  isolée 
il  n'y  aura  pas  de  réaction  :  la  force  pondéromotrice  ne  sera  pas  . 
contre-balancée. 

Mais  insistons  un  peu  plus  sur  ce  point.  Envisageons  seule- 
ment la  résultante  de  translation  et  projetons-la  sur  l'axe  des  x. 

Nous  avons, 


Transformons  cette  expression.  Commençons  par  la  première 


intégrale 


■  #-  /  ?^-^  /•• 


Nous  avons 

d.i- 


.=-s- 


ÉGALITÉ  DE  VACTiOJ  ET  IjE  LA  HÉAfTioX  449 

L'intégrale  ^20)  devient, 

riutêgrale  étant  étendue  à  tout  Fespace. 

Intégrons  par  parties  ;  il  vlentj  en  remarquant  que 


1      a.v 


4~ 


K„      /     V    ^-  dif  ch  1 

ajoutons  maintenant  à  cette  intégrale,  sous  le  signe  j  ,  les  déri- 

n    .  <^^  7    ^/'  .    ,,.         . 

vées  parraitcs  ij^-~-Ql  fi—r-^  car  nous  savons  que  si  1  inleffration 
^  ^  cLv  a  A'  ^  ^ 

est  étendue  à  tout  l'espace, 

fi--- 


dh  , 


Il  vient  ainsi, 


mais  remarquons  que, 

47:  [  df  '^/'\_  <1 


47:  fdg         àf  _\  ih 


ï\  V^/.r         dy       J   dt 
PoixcARÉ.  Electricité  et  Optique. 


THÉORIE  DE  LORENTZ 


noire  intégrale  devient  alors 


Je  dis  maintenant  que  la  seconde  intégrale  de  (19)  est  nulle, 
Xous  savons,  en  effet,  que 

(fa  d"^ 

dz         d:v 

d?j         da 


dx         dy 
rintégrale  en  question  peut  donc  s'écrire 


En  intégrant  par  parties  dans  tout  l'espace  et  en  ajoutant 


«^-. 


qui  est  nulle  si  l'intégrale  s'étend  à  tout  Tespacc,  on  obtient 


_i_    /    ^^/^/^    .    ^/3    .    d- 


4*^     /  \  dx  dy  d.z 

00  encore  en  tenant  compte  de  la  relation 

d 


4-    /         ^  dx 


C.  Q.  F.  D, 


n 


l 


yd'j. 


ÉGALITÉ  DE  VACTÎtK\'  ET  ÎJE  LA  îlKAfliijS  y,i 

L'expression  (19)  de  vient  alors,  en  It^iiinit  €«iii|itr  île     »n  iés  . 


X 


ou  encore 


X 


4r  f'--  ■»' 


Voila  la  résultante  de  traiislatiou  ;  on  voit  (|irelle  iTes!  pas  iiiillt». 
Le  principe  de  T égalité  de  Faction  et  de  la  réaction  n'est  doue 
pas  satisfait. 

350. — M.  Liénardî^^'.  croit  atténoer  ce  désaccord  en  disant  cjue  : 
u  ce  résultat  n'a  rien  qui  doive  surprendre  :  du  iiioment  i|iie  ïmi 
«  rejette  la  théorie  des  actions  à  dislance,  el  i|ue  Fc»»  adeiet  au 
u  contraire  que  les  forces  mettent  un  certain  temps  à  se  propa- 
u  ger  à  travers  Fétlier,  il  ne  peut  plus  y  avoir  à  ehat|iie  insiaiit 
«  égalité  entre  Faction  et  la  réaction,  Faeti«>n  et  la  réaction  ne  se 
((  produisant  pas  au  même  moment.  Tout  ce  f|u'un  prit!  deiiiaî 
u  der,  c'est  que  la  résultante  de  t«)utes  les  forces  soiî  nu 
u    movenne,  et  c'est  ce  qui  a  bien  lieu  pour  îa  tlii'orie  de  Lorentz.  >' 

Ln  eiiet,  la  valeur  moyenne  de  X  pendant  Finie rvalle  de  temps 
/^  à  î^  est  donnée  par 


en 


or  l'intégrale  du  second  membre  restera  toujours  finie  car  la  per- 
turbation électrique  et  magnétique  ne  peut  pas  croître  au  deia 
de  toute  limite  :  cette  intégrale  est  donc  inférieure  limw  certaine 


/)  L'Édairage  Électrique.  Liéxard,  La  tlit-urie  de  LoreolZj  t.  XIV.  p. 


45-1  THÉORIE  DE  LORENTZ 

quantité  donnée  M,  de  sorte  que 

M 


X 


0 


et  cette  valeur  moyenne  sera  d'autant  plus  voisine  de  zéro  que 
rintervallc  de  temps  t^—  î^  sera  plus  grand.  Si  au  commencement 
et  à  la  fin  le  champ  est  nul,  ou  a  la  même  valeur,  la  valeur 
moyenne  de  la  résultante  X  sera  même  rigoureusement  nulle. 

351.  —  Mais  il  est  facile  de  voir  que  cet  argument  de  M.  Lié- 
nard  en  faveur  de  la  théorie  de  Lorentz  n'est  pas  suffisant. 

Désignons,  en  effet,  par  A  l'abscisse  du  centre  de  gravité  de 
la  particule  et  par  M  sa  masse  ;  on  a  alors 

X  i^  =  M  -^ 


et  on  voit  que  quand  la  perturbation  sera  teiminée  le  centre  de 
gravité  de  la  particule  aura  subi  une  impulsion  finie  ;  la  valeur 
de    cette    impulsion    est    représentée    par    Taccroissement    de 

Rappelons-nous,  d'autre  part,  le  théorème  de  Poynting(^)  : 
considérons  une  perturbation  qui  se  produise  en  un  point  quel- 
conque ;  ce  point  sera  un  centre  d'émanation  d'énergie  dans  tou- 
tes les  directions,  et  évaluons  la  quantité  d'énergie  qui  traverse 
une  surface  donnée.  D'après  le  théorème  de  Poynting,  cette 
énergie  est  représentée  par  le  produit  de  la  surface  en  question 
par  le  pecleiw  radiant  dont  les  composantes  sont  représentées  par 
Cjh — Yé5*')î  (y/ — ^^0'  (p'-S' — h/):  ^^  sorte  que  la  quantité  d'é- 
nergie qui  traverse  l'élément  de  surface  chù  perpendiculaire  à  l'axe 
des  .r  est  représentée  par, 

Voyons  alors  ce  qui  va  se  passer  si  on  considère  une  perturba- 
tion se  propageant  de  gauche  à  droite  par  exemple  ;  la  perturba- 
is* H.  PoiNGARÉ.  Oscillations  électriques,  p.  27,  Gr.  Carré  et  G.  Naud,  éditeurs. 


EGALITE  DE  L'ACTIOX  ET  DE  lA  HÉAfTIoy  i7l 

tion  se  produisant  en  0  et  cessant  après  qiieîc|iirs  îîist:îîil>,  ii  ne 
restera  plus  que  des  ondes  se  propacreaiil  vers  la  droite  «•!  s'eliii- 
gnant  de  plus  en  plus  du  centre  d'èbranlemeiil  I).  Xain'  îfiit\^rfi' 
tion  devra  donc  s*êtendre  à  celte  partie  de  f  espace  tm  in  periarki- 

\       \       \ 


^       I       I         I         j 
Fig.  54. 

tion  subsiste  encore.  Pour  avoir  l'énergie  totale  il  faiil  foiisitlêrer 
une  infinité  de  droites  émanant  d«'  O,  dans  toiis  les  sens,  et 
intégrer  par  rapport  a  tous  les  plans  perpendiculaires  a  ces  drtiîtes. 

Il  résulte  donc  de  là  : 

i"  Que  cette  énergie  totale  mesure  Fimpulsion  qui  a  produit 
la  perturbation. 

2°  Que  si  le  système  produisant  de  l'énergie  électromagnétique 
n'envoyait  cette  énergie  que  dans  une  seule  direction,  il  recule- 
rait comme  le  ferait  une  pièce  d'artillerie. 

3**  Que  si  le  système  envoie  de  Fénergie  dans  tous  les  sens  îi 
y  aura  compensation  entre  ces  impulsions  partielles  et  par  suite 
le  centre  de  gravité  du  système  restera  au  repos. 

Il  ne  suffit  donc  pas  de  dire  que  la  valeur  moyenne  de  la  résul- 
tante est  nulle. 

■Mais  traduisons  cela  en  chilTres  pour  taire  voir  que  le  recul 
prévu  par  la  théorie  de  Lorentz  n'est  pas  négligeable.  Suppt»- 
sons  un  svstème  qui  envoie  dans  une  direction  (|ueiconque  une 
quantité  d'énergie  représentée  par  trois  millions  de  j<mles  ;  le 
calcul  montre  que  le  recul  correspondant  pourrait  imprimer  a 
une  masse  de  i  kilogramme  une  vitesse  de    i  cm.  par   seconde. 

352.  —  On  pourrait  encore  dire  que  si  le  principe  de  Fégaliîé 
de  l'action  et  de  la  réaction  semble  violé,  cela  tient  peut-être  à 
ce  qu'on  n'a  pas  tenu  compte  du  mouvement  de  Féther.  Tenons 
donc  compte  de  cette  objection  et  voyons  à  quelle  conclusion  cela 
nous  conduira.  Pour  que  le  principe  en  question  ne  soit  pas  violé 
il  faut  que  la  projection  de  la  vitesse  de  Féther  sur  Faxe  des  x 
soit  représentée  par  iph—^;^^  :  c'est  le  vecteur  radiant  à  une 
constante  près  ;  cela  nous  amène  à  la  conclusion  suivante  :  si  le 


454  THÉORIE  DE  LORENTZ 

champ  vient  à  être  doublé,  la  vitesse  de  l'éther  sera  quadruplée. 
Cela  n'est  évidemment  pas  satisfaisant. 

353.  Intégration  des  équations  de  Lorentz,  —   Résumons  les 
équations    de  Lorentz  que  nous  avons  établies  précédemment. 
Nous  avons  trouvé, 

/     _  clE         dQ 

"""^   ^U         ^-  ' 
^  _  d¥         dll 

^~'jr~~d7' 

dG  ■      dF 
*         dx  dy 

d^_d^ 

dy         d.z 


dy.  dy 

d.z         dx 

d^ rfa 

dx 

AF  =  —  4™, 


4,,  =  _____, 


dx         dy 


UH  =  — 4-w'. 
Ai  =  -4^0. 

k/^    dt   "^  dx  ~"' 

K„  *+  dt  '^lif  ~°' 

4^   ,    ,     dll         d'I 
K„  dt  d.z 


^  d.v  ~ 


^F 


LXTKGRATIO.X  DES  EQl'JTiÙXS  DE  /.ri/IE.YrZ  i>/> 

Nous  mms  proposons  criiitêgri'»!-  ve^  «njîiiîliniis  fii  siippcissiiil 
ronnu  le  mouvement  de  toutes  les  |Kiîiiriile<,  re  ipii  rin-imil  a 
regarder  p,  c,  y,,  Z,  comme  connus, 

354.  —  La  méthode  que  nous  rdîons  empîover  va  tire  îiiniînf^iie 
à  celle  dont  nous  nous  sommes  servis  dans  les  oscilliiîiiiiis  iiert- 
zlennes  (^).  Rappelons  à  ce  sujet  la  défiiiilion  de  ce  qii'ttii  appelle 
potentiel  retardé. 

Considérons  un  certain  nombre  de  points  attîraïits  M  el  sciit 
Mj,  le  point  attiré  ;  soit  encore  m^  la  masse  du  point  attiré  et  i\ 
la  distance  des  points  attirants  an  point  alîiré.  Le  p«îeiilif4  en 
Isl^  est  par  définition, 


Y 


V  m. 


n 


^,Wis  si  les  masses  m^  dépendent  du  temps,  à  cause  de  la  densité  s 
qui  est  fonction  de  .i\  tj^  .z  et  t,  le  potentiel  va  alors  dépendre, 
lui  aussij  du  temps.  En  effet,  la  propagation  d'une  perturba  lion 

(électrique  ou  magnétique)  se  faisant  avec  une  vitesse  finie  y  — ^, 

(qui  est  la  vitesse  de  la  lumière"^,  le  potentiel  pour  se  propager  de 
M  en  M,,  mettra  alors  un  temps  i\\  K.,  ;-  Faction  eo  M,  se  calcu- 
lera donc  en  donnant  à  la  masse  m.^  non  la  valeur  qu'elle  a  a  Fins- 
tant  t.^  mais  la  valeur  ni^  qu'elle  avait  à  l'instant  t  —  /\  \  K  ;  la 
valeur  du  potentiel  sera  alors  représentée  par, 


V: 


-V 


et  c'est  à  cette  nouvelle  expression  du  potentiel  qu'on  donne   le 
nom  de  potentiel  retardé. 

On  peut  encore  considérer  les  potentiels  retardés  dus  â  une 
matière  attirante,  qui  au  lieu  d'être  répartie  en  un  certain 
nombre  de  points  attirants,  se  constituerait  en  un  volume  attirant. 
Soit  fU\  ij,  z  ;  t)  la  densité  de  la  matière  attirante  et  soit  d-z  un 


(*)  H.  PoiNCARÉ.   Oscillations  élecinques,  p.  74.  G.  Carré  et  C.  Xaïuî,  t-diteors. 


^56  THÉORIE  DE  LORENTZ 

élément  de  volume  de  coordonnées  x',  y',  d .  Le  potentiel  ordinaire 
de  ce  volume  attirant  sera 

V 

r  étant  donné  par 

Si  la  propagation  d'une  perturbation  se  fait  avec  la  vitesse  de 
la  lumière,  lepotentiel  retardé^  défini  comme  ci-dessus,  aura  alors 
pour  valeur, 

En  examinant  ces  deux  dernières  formules,  on  voit  que  dans 
le  cas  des  potentiels  ordinaires  le  numérateur  (qui  représente  la 
masse  attirante)  ne  dépend  que  de  ,t',  ?/,  ,c^  Tandis  que  dans  le 
cas  des  potentiels  retardés  il  est  fonction  non  seulement  de  .r^,  /y',  r/ 
mais  il  dépend  aussi  de  .r,  //,  z,  par  l'intermédiaire  de  ;*. 

355.  —  Ces  préliminaires  étant  rappelés,  voyons  ce  que  devient 
la  relation  de  Poisson  dans  le  cas  des  potentiels  retardés. 
Dans  le  cas  des  potentiels  ordinaires  nous  avions, 

AV  =  -  4<. 

Avec  les  potentiels  retardés  nous  aurons 5 

Pour  abréger  Técriture  nous  allons  introduire  le  symbole  sui- 
vant, en  posant, 

où  U  désigne  une  fonction  quelconque. 


IXTÉGBAnOX  DES  EQV.iTiOXS  DE  LOfiSXTJ 
Avec  cette  notation  l'«"n|iîiitioiî  de  P«issiiîi  ilin'îi'îit. 


□V=_  i^r 


Celle  équation  si  on  y  reganle  f  comme  ilmïu**e  el  \  c^iiiiiiiir 
iuconnuej  n'a  pas  d'autre  solution,  pourvu  que  l\m  atlirirlît*  f|iir 
Ton  part  du  repos  et  que  toutes  les  fonctions  s'ariiiiilriil  k 
rinfini. 

Il  résulte  de  ce  qui  précède  que  la  relation 

nU  ==  dV  • 

entraîne  la  suivante 

U  =  V. 

356.  — Appliquons  ces  principes  à  la  questicui  qui  nous  «ceiipr. 

Introduisons  une  fonction  analogue  à  •}  c|iie  j'appellerai  «V  cl 
qui  va  jouer  le  rôle  du  potentiel  électrostatique  :  '1  sera  le  poten- 
tiel retardé  du  à  la  même  matière  que  dans  îe  cas  des  potentiels 
ordinaires. 

On  aura  donc 

Faisons  de  même  pour  le  potentiel  vecteur  ;  iîitrotloisons  un 
vecteur  de  composantes  F',  G',  IF  analogue  au  potentiel  veeleur. 
Cette  quantité  sera  définie  par 


4-?; 


le 


et  il  convient  de  taire   une  petite  remarque   à  ce  sujet  :  dans 
cas  du  potentiel  vecteur  ordinaire  nous  avions, 

AF=-4:://=-4::sH-4r:^. 

F  était  donc  le  potentiel  ordinaire  du  à  une  matière  attirante  dont 
la  densité  était  le  courant  total 

"  -  -  "^  dt  ' 

dans  le  cas  actuel,  la  tleiisité  de  la  matière  iictive  est  seulement 
le  courant  de  convection. 


4)8  THÉORIE  DE  LORESTZ 

Ornons  avons  supposé  que  p,  ;,  y;,  ^sont  connus;  il  en  résulte 
donc  que  F',  G',  II'  seront  également  connus. 

357.  —  Je  me  propose  maintenant  de  démontrer  les  relations 
suivantes, 

(IIV         dC 


3= 


d¥' 


dll' 


dz 
dG 


4< 


dx 
d¥' 


dx  ' 

di' 


K„ 


df  '^^  —  ''' 


4-g        dG'        dà' 
K„   "^    dt    '^  d'y  ~°' 


^0 

4-h 


dlV 


dt 


d^ 
'd7 


0. 


Ces  relations  nous  domneront  le   champ  tout  entier  et  le  pro- 
blème sera  alors  complètement  résolu. 
Calculons  d'abord  czF. 
Nous  avons, 


□p  —  \p T.-    d-F  d-F 


dt         ^»   dt'  ' 

calculons  alors  —  A- -"^  —  K  ~ 
Partons  de  Féquation, 

_4^  .  ,    dF         dà 

K„  '^1^-^17  =  ° 

qui,  différentiéc  par  rapport  au  temps,  donne, 

,.    d'-i 


4.i^  +  Kiï. 


t 


dxdt 


LXTEGliATloy  DES  £C^/-JJIo.V5  M:  lÙêiESn  |jt| 

oii 
I.a  relation  en  i:F  devient  clone. 


iF  =  dF  +  K, 


iLnii 
et  on  obtiendrait  par  un  calcul  analogue 


z:ïl  =  zi!l"4-K,' 


Différentions  maintenant  la  troisième  de   ces    équalitins    par 

rapport  h  ij,  la  seconde  par  rapport  à  .::,  et  retranchons  ;  il  vient 

ainsi, 

d      ,,        d       ^  (M'        dG\ 

d'où 

(/!I  dG 


d!/          dz   • 

et  par  un  calcul  analogue 

0 

dF-         dll 

dz           d.v 
dG-        d¥ 

* 

d.v            dij 

C.  (l.  F.  D 

Démontrons  maintenant  1 

a  relation, 

tf^ 

dF    ,    d-l- 
dt     '    d.r 

=  0. 

Calculons  pour  cela, 

°  îr  / = 

-    dt 

-  d.r  • 

46o 


THÉORIE  DE  LORESTZ 


Nous  avons, 


di'  ' 


dV 


rfF' 


a 

di 

= 

D 

dt 

+-K 

n 

d'\ 
dx 

= 

a 

dV 
dx 

-K 

Cela  nous  permet  d'écrire, 


rfF 


»  dxdC-  ' 
'  dxdi-  ' 


d'V 


dt       ■       dx 


d'où  la  relntion  cherchée 
K 


47:  ^      dF'        d'h' 


et  de  hi  même  manière, 


4-A'-        dG'    ,    ^/'V 


K 


rf/      '     df/ 


4tJi        dïV        d6' 


358.  —  Considérons  encore  la  relation, 
dp     ,  V^   dpq 

qui,  multipliée  par  —  4".  donne 

de,         Y*  '^?~- 


C.Q.F.D. 


Or 


d"où 


et  puis 


□•V  =  - 


PHÉ.yOMÈSES  POUR  IW  OBSEiîrATEL'ii  DE  SEXS  f;Bi}S.sii:ils        ;|tii 
d'où 


dx  "^  i/.r 

la  relation  en  question  devient  donc, 

d'où  enfin, 

^    di        Aj  ilx 

Nous  voyons  donc  que  la  solution  est  complète.  J'ajoute  qu'elle 
est  unique  si  l'on  suppose,  comme  nous  ravims  fait,  qu'on  part 
du  repos  et  que  nos  fonctions  s'annulent  àî'hîfîiii.  Cellr^  dernière 
hypothèse  suppose  qu'il  n'y  a  pas  de  pcrlurhation  Y«»îKiîit  dr 
l'extérieur:  les  perturbations  sont  limitces.  La  perUiî-balioïi  ttilalr 
sera  donc  la  somme  des  perturbations  partielles,  et  le  champ 
total  sera  alors  la  somme  des  champs  partiels  diis  îi  chaque  par- 
ticule, le  champ  de  chaque  particule  étant  calculé  comme  si  la 
particule  existait  seule. 

B.    —   PnÉXOMi^XES    QUI    SE    PRÉSENTENT    A    T  N    OBSERVATEtl 
AYANT     LES     SEXS     GUOSSIEIÏS 

359.  —  Examinons  maintenant  les  phénomènes  tels  qiilîs 
apparaissent  h  un  observateur  ayant  les  sens  grossiers  conime  les 
nôtres. 

Considérons  une  particule  chargée  en  niouvenienl  e!  cherchons 
les  conditions  d'équilibre  de  cette  particule.  Ecrivons  que  celle  par- 
ticule, en  vertu  du  principe  de  d'Alemliert,  est  en  équiiilire  soos 
l'action  des  forces  agissant  sur  elle,  y  compris  !a  ftH'ce  d'inertie. 

Evaluons  ces  dllFérentes  forces.  Nous  avons  : 

1°  La  force  d'inertie  delà  particule;  celte  force  est  négligeable 
(du  moins  dans  notre  casi  car  nous  avons  supposé  que  la  parti- 
cule a  des  dimensions  très  petites. 

2"*  Action  du  champ  électromagnétique  sur  la  particule.  Celte 
action  est,  comme  nous  l'avons  vu,  exprimée  par 


Hi-'f+      ?./-,v.— : 


46i  THEORIE  DE  LORENTZ 

Celle  action  peut  être  divisée  elle-même,  en  deux  parties  : 

a']  Pi'emier  champ  partiel,  du  au  mouvement  de  la  particule 
elle-même,  et 

//)  Deuxième  champ  partiel  du  au  mouvement  de  toutes  les  par- 
ticules intérieures  et  extérieures  au  conducteur  fermé. 

La  première  de  ces  actions  est  négligeable.  Elle  serait  rigou- 
reusement nulle  si  le  principe  de  l'égalité  de  l'action  et  de  la 
réaction  était  vérifié  par  la  théorie  de  M.  Lorentz.  M.  Lorentz  a 
calculé  cette  action  de  la  particule  sur  elle-même  et  d'après  ses 
calculs  sa  valeur,  proportionnelle  d'ailleurs  a  la  force  d'inertie, 
serait  tout  h  fait  négligeable. 

En  ce  qui  concerne  le  champ  du  a  l'action  de  toutes  les  parti- 
cules sur  la  particule  considérée,  on  peut  le  supposer  uniforme, 
car  cette  particule  étant  très  petite  f,^{,  a,  y,,  ï  peuvent  être 
regardés  comme  constants,  de  sorte  que  si  nous  posons 


/■ 


l  0 


d-:: 


e  étant  la  charge  de  la  particule  en  question,  nous  trouvons  alors 
pour  projection  de  cette  action  sur  Taxe  de  .r, 

3*^*  Le  frottement  de  la  particule  contre  le  conducteur  dans 
lequel  elle  se  déplace  ;  cette  force  est  proportionnelle  à  la  vitesse 
relative  de  la  particule  par  rapport  à  celle  du  conducteur.  Si 
nous  appelons  ;,  r,,  Ha  vitesse  de  la  particule  et  ç^.  r^^,  Uj  la 
vitesse  du  conducteur  à  travers  lequel  cette  particule  se  déplace 
et  si  d\iutre  part  nous  désignons  par  À  le  coefticlent  de  frottement, 
cette  ibrce  sera  représentée  par, 


de  sorte  que  le  principe  de  dWlembcrt  est  exprimé  par  la  relation 
suivante. 


-4'- 


COyDITIOXS  B'EqilIJBIiE  U'tXE  pjHJifi-if:  J4I 

360.  —  Considérons  iiiaiiitt'îiiiiil  li»  i'i«»îîifîi!  îîr  viiliiînr  IIt.  irr^ 
petit  par  rappini,  à  nos  sens  grossiers,  iums  siiliisaiiriiiieiit  ^rniml 
cependant  pour  contenir  nn  assez  grand  muiilir,'  ili-  |i;iriîrîilt*s. 
Si  nous  appelons  p,  la  densité  mi^ijenne  ûv  r«d»nii'irîlt^  daîi.  cet 
élément  de  volume,  nous  avons, 

D'autre  part  ces  particules  qiii  se  trouvent  à  riiitérieiir  ciii 
volume  Dt  considéré,  sont  en  mooveiïieiît  :  il  y  a  di)rir  îin  eniirant, 
dont  les  composantes  sont, 

V  ,-     V        V  - 


Dt     '       Dt    '       Dt 
or  on  a  identiquement, 


^    ez          ^^é»;:  —  ;^^ 

]3t                    Dt 

^       Dt 

^-««^             — «i 

,    .««.d 

Dt                     Dt 

^       Dt 

V.:, 

-»— ^             — ^ 

Dt  Dt  ^       Dt 

Le  premier  terme  des  seconds  meiiî!>re.'S  de  ct.^s  ri'hiîiuiis  qui 
est  du.  comme  on  le  voit,  au  mouveîîîcîil  relatif"  de  la  particule. 
représente  le  courant  de  coiidiivlion .  liésigiioîts  ses  ci^mposaiiles 
par  y;,  q,  /■  :  nous  aurons  ainsi 

^-^3- ^y>,  etc.  : 


V 


■  ç;>=/^dt 


;;;  théorie  de  LORE?iTz 

et  de  même, 


yje(-/i  — r,^)  =  yDr, 


I.e  deuxième  ternie  du  second  membre  des  identités  pré- 
cédentes représente  le  courant  de  correction  \  il  peut  donc 
s'écrire. 


2 -^ '.=?.'.  ° - 


de  sorte  que  Fidentité  en  question  devient,  en  .tenant  compte  de 
ces  relations, 


yc>:=D.(.+  p,g. 


Ce  sont  les  trois  composantes  du  courant  qui  provient  du  mou- 
vement des  particules  qui  se  trouvent  à  l'intérieur  du  volume  Dt 
considéré. 

361-  Calcul  de  r action  mécanique.  —  Quelle  est  la  valeur 
de  Taction  mécanique  qui  s'exerce  sur  Télément  de  volume  Dt 
considéré  ? 

La  particule,  nous  l'avons  vu,  frotte  sur  le  conducteur  dans 
lequel  elle  se  déplace,  et  Faction  exercée  sur  cette  particule 
de  la  part  du  conducteur  (la  résistance  opposée  au  mouvement 
de  la  particule)  a  pour  projection  sur  l'axe  des  .r, 


CALCVL  DE  VaCTIOX  3!É€A.\lQr£ 
La  réaction  de  la  parlîcuîe  sera  cliiiif, 


et  la  somme  de  ces  réactions  sera. 


Ainsi  donc  pour  avoir  Faction  mécanique  qiii  s'exerce  sur  Féîé- 
ment  de  volume  Dt  considéré,  il  faut  faire  la  somme  de  tiiiiles 
les  actions  partielles  exercées  sur  chaque  particule  (|iii  fait  par- 
tie de  Télément  Dt. 

Ici  encore  on  peut  décomposer  le  champ  d'iiitégralion  »'îi  tl«'iîx 
parties  : 

i^  Le  champ  du  aux  particules  qui  se  trouvent  à  l'ietérieiir 
de  Dt  ; 

2^  Le  champ  dii  aux  particules  qui  se  trouvent  it  Textérieur 
deDT. 

Remarquons  que  le  premier  champ  serait  nul  si  le  principe 
de  Légalité  de  Faction  et  de  la  réaction  n'était  pas  violé  |)îtr  la 
théorie  de  Lorentz;  mais  si  Lénergie  est  distribuée  d'une  ùiemi 
symétrique  (*)  le  principe  en  question  est  à  peu  près  vérifié.  Or 
cette  distribution  symétrique  de  l'énergie  sera  en  général  réa- 
lisée :  le  champ  d'intégration  qui  nous  occupe  peut  par  cunsé- 
quent  être  supposé  nul. 

Le  deuxième  champ  partiel  peut  être  considéré  comme  cons- 
tant à  lintérieur  de  Lélénient  de  volume  Dt  :  cela  revient  a 
supposer  que  ç,  r, ,  ^  sont  constants. 

Il  vient  alors  pour  l'action  mécaniipie  cherchée. 

Le  premier  terme  du  second  membre  de  celte  relation  repré- 
sente Faction  du  champ  électrique,  sur  l'élément  de  volume  Dt. 
Cette  action  est,  comme  on  le  voit,  proportionnelle  à  îa  charge 

électrique  e  de  Félément  Dt  et  à  la  force  électrique  -yt-/:  cette 


[^)  Voir  précédemment,  p.  45'i. 

Poi>'CARÉ.  Electricité  et  Optique. 


466  THÉORIE  DE  LORENTZ 

force  électrique  est  ici  la  force  électrique  totale  ;  ce  n'est  donc 
pas    seulement    la    force    électrique    d'origine    électrostatique 

/ —  -^J   mais  aussi  celle  due   à  l'induction   électromagnétique 
Il  V  a  donc  accord  sur  ce  point  avec  la  théorie  de 


dt 
Hertz. 

Le  terme  que  nous  avons  mis  entre  crochets  représente  l'action 
mécanique  du  champ  magnétique.  Dans  la  théorie  de  Hertz  le 
courant  qui  subit  cette  action  mécanique  est  le  courant  totale 
c'est-à-direlecoui*ant  de  conduction,  plus  le  courant  de  déplace- 
ment, plus  le  courant  de  Rowland  et  plus  le  courant  de  Rontgen  ; 
ici,  le  courant  qui  intervient  c'est  simplement  le  courant  de  con- 
duction plus  le  courant  de  convection. 

Le  courant  de  déplacement  ne  subirait  donc  pas  d'action  jnéca-- 
nique  d'après  les  idées  de  Lorentz. 

362.  Calcul  de  la  force  èlectroxxxotrice.  —  Calculons  mainte- 
nant la  force  électromotrice.  Evaluons  pour  cela  y;.  Nous  avons, 

''= — e; — 

e  A 
Multiplions  les  équations  (2)  par  — —  et  faisons  la  somme,  il 

vient, 

et  employons  le  même  artifice  de  calcul  que  tout  à  l'heure  :  nous 
avons  identiquement, 


CALCri  UE  LA  FOHVE  ELEl'rRmKJTHiff: 

La  relation  (3)  peut  donc  s'écrire, 


16  : 


Yev. 


l4; 


13- 


[V  ^  V 


Je  puis  supposer  que 


V 


e-  r 


v.-_ 


Dt 


i>T 


:0. 


A   priori,    cette    hypothèse    parait    inadmissible  ;    en^  effet, 

2  G  (ç  —  ii)i  /  ^  ("^  —  >u)?   /  .^  l*^  —  -Ci^  'ï^  sont  pas  nuis  et  par 

conséquent  il  n  y  a  pas  de  raison  pour  que     >  e"  (;  —  ç^^,  etc., 

le  soient.  Cela  s'explique  cependant  par  ki  façon  dont  on  conçoit 
le  mécanisme  par  lequel  se  propage  un  courant.  Il  tant,  en  etiet, 
se  représenter  un  courant  commi'  le  moiivemenl  de  deux  sortes 
de  particules,  les  unes  positives,  les  autres  négatives,  qui  se 
meuvent  en  sens  contraires.  Si  on  ne  considère  que  des  parti- 
cules positives,  ç  —  ç^,  etc.,  auront  aiors  un  signe  bien  déter- 
miné ;  on  aura  la  même  chose  pour  les  particules  négatives,  à 
cela  près  que  le  signe  sera  changé.  (Jr  cuinme  il  en  est  de  même 

de  e  il  en  résulte  que  ^  e  ;  —  Cj  ,  etc.,  ne  seront  jamais  nuls. 
Mais  si  on  considère  les  produits     >  e-  ;  —  ç,    etc., ^^étant essen- 


tiellement positif,  2  '\  —  Çj' ,  etc.,  pouvant  être  positifs  et  né- 
gatifs, il  y  aura  donc  neutralisation  complète  des  termes  sous  le 
signe    y  .  Et  maintenant  on  conçoit  bien  la  nullité  des  expres- 


sions   y  e'  (i  —  Çj},  etc. 


468  THÉORIE  DE  LORE^TZ 

Cela  étant  établi,  l'équation  (4)  peut  s'écrire, 


2- 


Dt 


(^ /+■«-«). 


Le  fiicteur  ^^ —  qui  figure  au  second  membre  de   cette  rela-  i 

tion,   représente  la  conductibilité  spécifique   du  milieu  conduc-  i 

teur  ;  on  voit  donc  que  le  coefficient  de  conductibilité  est  propor-  'l 

tionnel  au  coefficient  de  frottement  a.  Le   terme  qui   est   entre  f 

crochets  représente  la  force  électromotrice,  ou  plutôt  sa  projec-  | 

tion  sur  l'axe  des  x,  ! 

363.  —  Ce  résultat  m'inspire  deux  réflexions. 

1°  D'abord,  nous  voyons  que  Taction  mécanique  dépend  de  la 
somme  des  actions  mécaniques  subies  par  les  particules  posi- 
tives et  par  les  particules  négatives  à  l'intérieur  du  conducteur. 
La  force  électromotrice,  qui  tend  à  écarter  les  particules  posi- 
tives et  les  particules  négatives,  ne  dépend,  au  contraire,  que  de 
la  différence  des  actions  qui  s'exercent  sur  les  particules  posi- 
tives d'une  part,  et  sur  les  particules  négatives  d'autre  part. 

2^  Le  terme  -77—/"  est  ce  que  nous  avons  appelé  la  force  élec- 

tricjue  ;  nous  voyons  alors  cjue  la  force  électrique  diffère  de  la 
force  électroniotrice  :  la  force  électromotrice  contient  en  plus  le 
terme  (r^y  — ^1  ?)•  D^^iis  la  théorie  de  Hertz,  il  y  avait,  au  con- 
traire, identité  parfaite  entre  la  force  électrique  et  la  force  élec- 
tromotrice-: c'était  la  même  force  qui  exerçait  les  actions  méca- 
niques et  produisait  les  courants  de  déplacement. 

Pourquoi  n'y  a-t-il  pas  égalité  dans  la  théorie  de  Lorentz,  en- 
tre ces  deux  forces  ?  C'est  parce  que  les  courants  de  convection 
sont  dus  au  mouvement  des  particules  qui  subissent  deux  sortes 
d'actions  mécaniques  : 

i"^  L'action  du  champ  éfectrique,  parce  que  les  particules  por- 
tent une  charge  électrique  ; 

1"  L'action  du  champ  magnétique,  parce  que  les  particules  su- 
bissent des  courants  de  convection. 


CAim  DE  LA  fOHCE  ÉlECTiMAHOTHIfE  1% 

Dans  la  tliéorie  de  Hcrlz  nous  avitaïs, 

Ky  '  dt  f/.r         '■■^•^*       ^^'^ 

de  sorte  que  la  force  électrique  était  représentée  par 

K,  ^  ^^^  dx  ^^*'^        ^'""^^ 

et   la   force  électromotrice   était   représentée  par  la  même   for- 
mule. 

Il  n'en  est  plus  de   même  dans  la   théorie   de    Lorentz.   Xoiis 
avons  vu,  en  effet,  que 

4^:    ^         dF  d'I 

K,  ^~^   dt   '^  d.r 


o? 


de  sorte  que  la  force  électrique  a  pour  expression, 

4-    ._        dF         dû 
K,   '~         dt  dx' 

alors  que  la  force  électromotrice,  que  je  désignerai  par  P\  a  pour 
expression,  comme  nous  venons  de  le  voir, 


c'est-à-dire 

^  —        dt  dx      '    •'^'         -''^^ 

L'expression  de  la  force  électromotrice  est  doncla  même  dans 
les  deux  théories.  Par  contre,  la  force  électrique  a  des  valeurs 
différentes. 

Pour  mieux  faire  comprendre  cette  diOereiice,  exprimons  notre 
pensée  sous  une  autre  forme. 

Si  je  prends,  dans  la  théorie  de  Hertz,  un  circuit  fermé  C  qui 
limite  une  surface  S,  en  désignant  par  P'  la  force  électromotrice, 
Texpression  suivante  : 


470 


TEÉORIE  DE  LORENTZ 


qui  représente  rintégrale  de  ligne  de  la  force  électrique  (inté- 
grale prise  le  long  du  contour  C),  est  égale  à  la 
dérivée  du  flux  d'induction  magnétique   qui  tra- 
verse S,  cette  surface  étant  regardée  comme  en- 
/"^    traînée  dans  le  mouvement  de  la  matière. 

Dans  la  théorie  de  Lorentz   nous  avons  pour 
rintégrale  de  ligne  de  la  force  électromoti^ice 


Fig.  55. 


^?'dx, 


par  conséquent  la  même  chose  que  dans  la  théorie  de  Hertz. 
Il  n'en  est  plus  de  même  pour  l'intégrale  de  ligne  de  la  force 
électrique.  En  effet,  dans  ce  cas  nous  avons 


Qu'est-ce  que  cela  veut  dire  ?  Rappelons-nous  que  P  dérive  de 
P'  en  y  faisant  i^  =  Tj^  ==  î^^  =  o  ;  cette  intégrale  aura  par  con- 
séquent la  même  interprétation  que  dans  la  théorie  de  Hertz,  mais 
en  supposant  la  surface  S  non  entraînée  dans  le  mouvement  de 
la  matière. 

Voici  alors  ce  que  représentent  P  et  P'  dans  la  théorie  de 
Lorentz. 

i^  En  ce  qui  concerne  la  force  électromotrice  P',  on  a  d'abord 

le  terme  —  -—-  :  c  est  la  lorce  électromotrice  d'origine  électros- 


tatique  :  ensuite  le  terme 


dt 


:  c'est  la  force  électromotrice 


d'induction  due  à  la  variation  du  champ  magnétique  ;    et  enfin 
-  ^j|B'  :  c'est  la  force  électromotrice  d'induction  due  au  mou- 


vement  du  circuit. 


termes  : 


Pour  la  force  électrique  P,  on  n'a  que  les  deux  premiers 
d^j     .         iF 


_i_  et —  :  elle  sera  donc  produite  par  les  ac- 
tions électrostatiques  et  par  la  variation  du  champ  magnétique 
seulement.  Le  déplacement  de  la  matière  dans  ce  champ  ne  pro- 


(luira  donc  pas  de   force  éleetrii|iii*,  imûi^  une  tiirre   éltTlrciimi- 
trice. 

Ainsi  donc,  supposons  un  diéleclrii|iif',  de  Yulr  p:ir  i»xi^'îiiplt\ 
en  mouvement  dans  un  champ  non  unitornie  ;  d'après  Li»r«'îitz  ii 
ne  se  produira  pas  de  courant  de  déplacement  puisf|ull  «"v  aura 
pas  de  force  électrique.  La  théorie  de  Hertz  prévoit,  an  con- 
traire, la  naissance  d'un  courant  de  déplacement. 

Considérons,  pour  bien  nous  rendre  compte  de  îa  Eature  de 
cette  action,  un  conducteur  qui  se  déplace  dans  un  champ  ma- 
gnétique perpendiculaire  à  la  fois  à  la  vilesse  du  condiiclear  et 
à  la  direction  du  fil  conducteur  et  par  conséqui'iit  au  plan  an  ta- 
bleau ;  alors,  en  envisageant  deux  parllcules.  une  chargée  ptisi- 
tivement,  Tautre  chargée  négativement,  les  particiili's  pusiîîves 
entraînées  par  le  conducteur  en  mouvement  pro-  -, 

dulront  un  courant  de  convection  ;  les  particules 
négatives  produironj.  un  autre  courant  de  convec- 
tion de  sens  contraire  au  précédent.  —  Quelle 
sera  Faction  du  champ  magnétique  sur  les  deux 
particules  considérées?  —  On  aura  pour  la  pre- 
mière particule  une  force  dirigée  dans  un  certain 
sens  et  pour  l'autre  particule,  une  force  dirigée 
en  sens  contraire  de  la  précédente  :  Faction  mé-  „, 

canique  sur  le  conducteur  est  la  somme  algébrique 
de  ces  deux  forces  égales    et   de    sens  contraire  ;  elle  est  donc 
nulle.  La  force   électromotrice  qui  tend  à  séparer  les  parliciiles 
est  la  différence  de   ces  deux  forces  ;  elle  n'est  pas  nulle  :  c'est 
là  rorio-ine  de  la  force  électromotrice  d'induction. 

o 

364.  rhènomène  de  Hall  —  Considérons  un  conducteur  im- 
mobile. L'équation   '2'    devient  dans  ce  cas, 

et  de  même  (5)  devient, 


y/'>-.. .  E-'-'- 


-btI^^+tt- «■■■--?■ 


472  THÉORIE  DE  LORENTZ 

Je  remarque  d'abord  que  la  particule  étant  très  petite  le  pro- 
duit eX  est  très  petit;  donc,  à  une  première  approximation 

1  =  0, 

et  de  la  même  manière 

•/l  =  o, 
Ç=o. 

Cela  veut  dire  que  les  vitesses  des  particules  sont  très   petites 
par  rapport  à  la  vitesse  de  la  lumière. 
En  seconde  approximation  nous  avons, 


et 


par  conséquent, 


K 


Dt 

;  =eAp- 


!-'■ 


et  de 


même 


^'^v    - — 1 

■  s- 


v»  -V  JL/T 


Remarquons  que  le  facteur  ^  ^  représente  la  conductibi- 
lité spécifique  du  corps,  que  je  désignerai  par  C  ;  nous  poserons 
donc 


PHEXOMEyE  DE  HALl  I7I 

et  les  relations  précédentes  clevir'nclroîit. 


C 

En  remplaçant/;,  q,  r;  ;,  r,,  t  par  leurs  valeurs,  il  vient  fina- 
lement, 

'•  =  c  -j^  +  >  — ^  {/.  i  —  yz;, 


K„        Zj  CD 


d'où 


force  (dectromoVice  =     -^  = -— ^ }-  >  n — p-  , 


Comme  e  est  très  petit  et  a  également  très  petit,  et  comme  il 
y  a  d'une  part  des  particules  positives  et  d'autre  part  des  parti- 
cules négatives,   N  e'^A-   est  négligeable  et  il  reste  simplement, 

[4-/^       47:"-        IrJi  1 
—J~,        S  ^    — rz—'\=  force  êlecinque, 
K,         K,  Ko  J      ' 

Si,  au  contraire,   \  e^  a- n'est  pas  négligeable,  ce  qui  arrive  pour 

irJ       4-dr      irJi       , 
certains  corps,  à  la  force  électromotrice  -p — ,    -j~-,    -^-,  vient 


f'> 


4;4  THÉORIE  DE  LORESTZ 

alors  s'ajouter  une  force  électromotrice  supplémentaire, 

V  ''^'■'  < «.^ 


â^^T■:-'•% 


S-â^^''*-^'-) 


3-,  2 


e'K 


V 


(/^?-r-)- 


C'est  le  phénomène  de  Hall. 

C'est  une  force  électromotrice  perpendiculaire  cFune  part  au 
conducteur  et  perpendiculaire  d'autre  part  au  champ,  magné- 
tique- 

365.  —  Ce  résultat  m'inspire  une  réflexion.  Il  y  a  d'autant  plus 
de  chances  que   ^  e^  soit  grand  que   ^  e    sera   lui-même    plus 

grand,  c'est-à-dire  que  le  conducteur  sera  fortement  chargé. 

On  serait  ainsi  conduit  à  rechercher  si  le  phénomène  de  Hall 
n'existe  pas  pour  tous  les  métaux  quand  ils  portent  une  forte 
charge  et  s'il  ne  change  pas  de  signe  avec  cette  charge,  quand 
cette  charge  est  forte. 

L^ expérience  serait  intéressante  ;  elle  ne  saurait  toutefois  être 
décisive  ;  si  elle  réussissait,  en  effet,  le  succès  pourrait  s'expli- 
quer d'une  foule  de  manières,  en  dehors  de  la  théorie  de  Lorentz. 
Si  d'autre  part  elle  échouait,  ce  ne  serait  pas  un  argument  irré- 
futable contre  cette  théorie,  puisque  nous  ne  pouvons  à  priori 
nous  faire  aucune  idée  de  l'ordre   de    grandeur  du  phénomène. 


CHAPITRE  IV 
DIÉLECTRIQUES 


366.  —  Lorentz  considère  la  masse  des  dit*ltHirii|iit*s  iiai-si'- 
mée  de  particules  chargées  —  d*i«>iis  —  cmnmv  t'ellr  ilrs  rmi- 
ducteiirs.  Mais  tandis  que  dans  ces  derniers,  dîncinîe  d«^  ces  par- 
ticules pouvait  se  déplacer  librement  en  allant  à  toutes  dislaiifes, 
dans  les  diélectriques^  au  contraire,  elies  ne  peuvent  s'écarter 
que  très  peu  de  leur  position  d'équilibre,  car  dès  qu'elles  s'en 
éloignent,  une  force  antagoniste  due  à  Faclioa  des  particules 
voisines  tend  à  les  y  ramener.  Cette  force  est  propcirtioimelle  à 
l'écart  si  cet  écart  est  petit. 

Dans  la  théorie  de  Lorentz,  comme  do  reste  dans  !«iiiles  les 
théories  des  diélectriques,  Létal  d'un  diélectrique  peut  èire  com- 
paré à  l'état  d'un  aimant.  Quand  le  dieleetrî(|ue  es!  placé  daiis 
un  champ  électrique,  les  particules  s'écarleni  alors  de  leur  posi- 
tion d'équilibre  formant  des  petits  couples  de  deux  parlieules 
chargées  d'électricité  contraires  :  le  diélectrii|oe  est  polarisé. 
Chaque  couple  de  deux  particules  chargées  d'électricités  con- 
traires, ou  plutôt  chaque  élément  diélectrique  pour  abréger  le 
langage,  est  assimilable  à  un  petit  aimant,  et  de  même  qu  un 
aimant  est  un  assemblage  d'éléments  magnétiques,  un  diélec- 
trique sera  un  assemblage  d'éléments  diélectriques. 

L'état  d'un  diélectrique  polarisé  est  donc  assiinilable  à  eekii 
d'un  aimant.  Les  principes  de  la  théorie  des  aimants  seront  donc 
applicables  aux  diélectriques. 

Rappelons  en  quelques  mots  ces  principes. 

367.  Potentiel  magnétique.   —  Maxwell  désigne  les  compo- 


4;  6  DIELECTRIQUES 

santés  d'aimantation  par  A,  B,  C  et  il  obtient  comme  expression 
du  potentiel  magnétique, 


i-L 


E^'^^- 


s' j  ])\  z!  étant  les  coordonnées  du  point  attiré,  x^  ?/,  z  les  coor- 
données du  point  attirant,  ;■  la  distance  qui  les  sépare,  èz'  un 
élément  de  volume,  A^  B^  C  les  composantes  d'aimantation  au 
point  (V  ]i  z!). 

Intégrons  par  parties  cette  expression  du  potentiel  ;  il  vient, 

La  première  intégrale  doit  être  étendue  à  tous  les  éléments  cfco' 
de  la  surface  qui  limite  Taimant,  et  la  seconde  au  volume  tout 
entier  de  l'aimant  ;  V ^  m' ,  n'  désignent  les  cosinus  directeurs  de 
rfco'  de  telle  façon  que 

représente  la  composante  normale  d'aimantation. 

Le  potentiel  de  l'aimant  en  question  peut  donc  être  considéré 
comme  la  somme  de  deux  potentiels  : 

i^  Le  potentiel  d'une  surface  attirante  dont  la  densité  serait 

y  A'  l\  et 

o!"  Le  potentiel  d'un  volume  attirant  dont   la   densité    serait 

Remarquons  que  ce  résultat  subsiste  non  seulement  avec  la  loi 
de  l'inverse  du  carré  de  la  distance  mais  aussi  avec  n'importe 
quelle  loi  d'attraction. 

Si  par  exemple  le  potentiel  avait  pour  expression 


y 


m 


-  ['■). 


FORCE  MAGXEnqVE  A  L'iXTEiUEnî  ETA  L'EXTEiHErU  iïi'S  AIMAXT     i": 

on  obtiendrait  encore,  en   rêpélant   îe   niisciiiîîeiiieiil  |irrrrileîil, 
la  même  rorniule  iînale. 

En  particulier  ce  résultat  reste  encore  vrîij  si  je  sii|,i|}<»st»  i|in' 
l'attraction  au  lieu  de  se  propager  instaiitîiîiénieïit.  st'  |irii|iiigf 
avec  la  vitesse  de  la  lumière;  ceci  revient,  coniiiie  îîcris  Ir  sa- 
vons déjiij  à  introduire  les  potentiels  relardés. 

368.  Force  magnétique  à  rextèrieur  d'un  aim&nt,  —  Les  com- 
posantes de  la  force  magnétique  qui  s'exerce  sur  ruiiité  de  masse 
magnétique  positive  placée  en  un  point  extérieur  ii  raiiiiaîil  ont 

pour  valeur,  en  les  désignant  avec  .Maxwell  par  x,  'j,  -;, 

JÙ  ,  dû  ^iiï 


369.  Force  magnétique  à  F  intérieur  d'un  aimant  —  Four  con- 
naître la  force  magnétique  exercée  sur  Tunité  de  masse  magné- 
tique positive  placée  à  Tintérieur  de  raimant,  il  faut  creuser 
dans  cet  aimant  une  petite  cavité  où  on  pourra  mettre  un  petit 
aimant  (fêprein'e.  Mais  le  potentiel  se  trouve  modifié  par  la  pré- 
sence de  cette  cavité,  c'est-a-dire  que  a,  j,  ^  dépeiuiront  de  la 
forme  de  la  cavité. 

Maxwell  considère  deux  formes  particulières  de  cavités  : 

1^  Cavité  cvlindrique  de  section  infiniment  petite  :  haiiteii 
très  grande  par  rapport  a  la  section  droite.  Les  génératrices  de 
ce  cvlindre  sont  parallèles  à  la  direction  de  raimanîaîion.  Dans 
ce  cas  le  potentiel  en  un  point  intérieur  de  cette  cavité  sera  la 
différence  entre  le  potentiel  primitif,  quand  la  cavité  n'existait 
pas,  et  le  potentiel  de  la  masse  cylindrique  qu'on  a  enlevée  pcHir 
creuser  la  cavité.  Ce  dernier  potentiel  est,  d'après  ce  que  nous 
avons  dit  plus  haut,  la  somme  de  ces  deux  autres  potentiels  : 

a).  Le  potentiel  provenant  de  la  surlace  du  petit  cylindre  con- 
sidérée comme  surface  attirante.  Je  dis  que  ce  potentiel  est  nul. 
Remarquons,  en  effet,  que  cette  surface  se  compose  de  deux 
bases  de  section  infiniment  petite  et  de  la  surface  latérale.  Le 
terme  provenant  des  deux  bases  est  négligeable,  fjuant  à  celui 
provenant  de  la  surface  latérale,  il  est  nul;  car  la  normale  à  cette 
surface  étant  perpendiculaire  à  la  direction  de  raimaulation    tes 


r 


478  DIÉLECTRIQUES 

génératrices  clu  cyliiiclre  lui  étant  parallèles) 


E 


Ml'  =  o. 


b).  Le  potentiel  provenant  du  volume  de  la  petite  cavité.  Ce 
potentiel  est  négligeable  car  le  volume  est  un  infiniment  petit  du 
troisième  ordre. 

Le  potentiel  en  un  point  intérieur  à  cette  cavité  est  donc  le 
même  que  si  cette  cavité  n'existait  pas. 

2^  Cavité  cylindrique  infiniment  aplatie.  Par  des  raisonnements 
tout  à  fait  analogues  aux  précédents,  les  potentiels  provenant  du 
volume  et  de  la  surface  latérale  de  la  cavité  sont  nuls.  11  ne 
reste  que  le  potentiel  qui  provient  des  deux  bases  de  la  cavité; 
il  a  pour  valeur, 


chacune  des  intégrales  étant  étendue  à  la  surface  de  chaque  base 
du  cylindre  en  question. 

Or  ces  deux  bases  ayant  une  très  grande  surface  par  rapport  à 
leur  distance,  leur  action  sur  un  point  intérieur  est  4  "^A.  On  a 
donc  en  appelant  a  la  force  en  un  point  de  la  cavité  en  question. 

et  de  même, 

C'est  ce  que  Maxwell  appelle  composantes  de  l'induction  ma- 
gnétique. 

3'  Pour  une  cavité  sphérique  on  trouve, 

4 
a  =  a  +  -TT-A,  etc. 

0 

Tous  ces  résultats  subsisteront,  comme  nous  Pavons   déjà  dit, 


1:LE€TR0STJIIQIE  i;i, 

avec  les  potentiels  reliirdés,  eiir  un  |>c'iil  regarder  la  ilriisilt- 
comme  constante  peuiliuit  que  lu  |'ierîerli;iîii>ii  travrrsf  la  rsivitr 
;en  supposant  bien  entendu  que  les  cliineiiskuis  tir  la  r^iiiîi*  siiit*»! 
très  petites  par  rapport  ti  la  longiieiir  ci'oiîtii?  riiiplint-e  . 

370.  —  Indiquons  maintenant  pour  finir  avec  res  |irrliiiii- 
naires,  les  conditions  d'équilibre  d'un  élément  iiiagïietiqiie. 

Prenons  pour  cela  cet  élément  comme  centre  iriine  splirre  S. 
Il  doit  être  en  équilibre  sous  Faction  des  forées  <|iii  agissent  î^iir 
lui. 

Quelles  sont  ces  forces  ?  —  On  a, 

i"  Les  actions  dues  au  volume  extérieur  ii  celle  splierr  S, 

2^  Les  actions  dues  aux  éléments  intérieurs  a  la  sphère.  Ces 
actions  sont  nulles. 

3'^  La  force  qui  tend  a  amener  la  particule  à  sa  position  d'équi- 
libre. Cette  Torce  est  proportionnelle  à  l'écart  si  cet  écart  est 
petit,  elle  est  donc  proportionnelle  à  a  et  par  consé€|neiit  à  A. 

Voilà  les  préliminaires  que  je  voulais  établir  pour  iaciliter 
l'étude  des  diélectriques  d'après  Lorentz. 

Nous  passerons  maintenant  à  la  théorie  de  Loreiifz  elle- 
même. 

.4.  —  Electrostatiqie 

371 .  —  Appliquons  les  principes  de  calcul  que  nous  venons  de 
rappeler  aux  diélectricpies.  Considérons  une  particule  ei  elier- 
chons  les  conditions  d'é([uilibre  de  cette  particule  sous  1  action 
des  forces  qui  agissent  sur  elle. 

Décrivons  autour  de  cette  particule  une  sphère  très  petite  d'une 
manière  absolue,  mais  pourtant  assez  grande  pour  qu'elle  con- 
tienne un  assez  grand  nombre  de  particules.  Ooelies  sont  les 
forces  qui  agissent  sur  cette  particule  ?  Ce  sont  : 

i"*  Les  forces  extérieures  à  la  sphère  que  nous  venons  de  amS' 
truire.  Evaluons  ces  forces.  Introduisons  pour  cela  un  vecteur 
qui  joue  le  même  rôle  que  l'aimantation. 


48o  DIÉLECTRIQUES 

Soient,  :r^  y^  z^  les  coordonnées  d'un  point  à  Tétat  d'équilibre 
et  X,  y,  z  les  coordonnées  de  ce  même  point  à 
Tétat  actuel.  Le  moment  électricj[ue  aura  pour 
composantes,  en  désignant  par  e  la  charge  de 
r*    la  particule, 

e  (.r  —  .r^), 

Fig.  :>;.  e  (..-  —  ^o)- 

Soit  D-:  le  volume  de  la  sphère  que  nous  avons  décrite  autour  de 
la  particule  considérée  et  désignons  par  X,  Y,  Z  la  valeur 
moyenne  de  e  (.r — x^),  etc.;  on  aura 

\  e(^  —  ^o)  =XDt, 
^e  {y  —  yo)  =  YDt, 

Le  signe  \    s'étendant  à  toutes  les  particules  qui  se  trouvent 

à  rintériear  de  la  sphère  S^. 

X,  y,  Z  joueront  donc  le  même  rôle  que  A,   B,  C. 

Dans  le  cas  du  magnétisme,  nous  avons  vu   que  la  densité   du 
mao-nétisme  à  l'intérieur  de  l'élément  de  volume  d^  était 


2Sd^' 


Dans  le  cas  d'un  diélectrique  nous  aurons  d'une  manière  ana- 
logue, en  remplaçant  le  vecteur  (A,B,  C)  par  le  vecteur  (X,  Y,  Z) 


■/jl/7 


Donc, 


i^  jLj  dx  ' 

le  signe  y    du  premier  membre  indiquant  que  la  sommation  doit 
s'étendre  à  toutes  les  particules  contenues  dans  le  volume  Dt,  et 


t'LECrmsTJ  TKjl'E  .fil 

le  signe   >  du  seccuul  nieMiiliiv  iiiili<|ii;iîit  une  prriiiiiliitiiiii  rîreii- 

laire  entre  les  lettres  X,  Y,  '/;  j\  //,  :. 

Dans  le  cas  du  niagniHisme,  la    relatiun  de  Fiiis>«iîi   s'rrrivaiî, 


Ai 
nous  aurons  maintenant 


-^'Z^-. 


en  désignant  par  y  le  potentiel  f'deelro>taii«|îie  et  en  divisa»!  le 
second  membre  de  cette  relation  par  K.,.  car,  riiiuiin*  nous  Favons 
déjà  dit,  nous  emploierons  les  unités  é!«*c!niiiiagiîé!i(|»t*s. 

Si  la  cavité  a  la  forme  d'un  cylindre  infini  ment  délié  et  si  eîie 
est  orientée  comme  le  vecteur  i.X,  Y,  Z  ,  la  force  élec!rîf|iie  aura 
pour  valeur 

iLv  ' 

Si  la  cavité  est  cylindrique,  mais  infiniment  applatie,  la  force 
électrique  sera, 

7.'  '- 

lLv    '      K.    "  ^ 
Dans  le  cas  d'une  sphère  on  aura, 

'^'^  cLv^  -S       K.. 

et   c'est    ce   dernier   cas    qui   nous  intéresse    pour    le   moment. 
L'expression  (i)   représente  la  force   clectrii|ue  due  à  la  partie 
extérieure  a  la  sphère  S. 
Or  nous  savons  que 

P-JîL/-        '^'^       ''^' 

/  - 


m 

vecteur  est  nul. 

PoiNCARH,  ÉlecU-icité  et  Optique. 


Ko  ^  cLv  dt 


/F 
lis  dans  le  cas  actuel  (état  d'équilibre     -r—  =  o  :   le  potentiel 


4  8  2  DIELECTRiq  CES 

Il  reste  cloue 


L'expression  (r)  devient  alors 


4-  .  ,    4-   X 


^0 


ou  encore  si  la  charge  de  la  particule  est  (?, 

4^    /^  ,    X 


lâ! 


^0 


^4f+ 


kt^V"^  3;- 


2^  Action  des  particules  intérieures  à  la  surface  S''.  Comme 
dans  le  cas  des  aimants  cette  action  est  nulle. 

3*^  La  force  qui  ramène  la  particule  a  sa  position  d'équilibre. 
Cette  force  est  proportionnelle  à  Fécart  si  cet  écart  est  petit.  On 
a  donc  pour  cette  force. 

,3:  _^,  (,._,, g. 

372.  —  La  somme  des  deux  projections  (2)  et  (3)  doit  être  nulle; 
ceci  s'écrit 

I:'(/-+t)= !;:'(—■•!• 

d'où  en  multipliant  par  e  les  deux  membres  de  cette  relatiou. 

Pour  avoir  X,  faisons  la  somme  des  relations  pareilles  pour 
toutes  les  particules  qui  sont  a  l'intérieur  du  volume  Dt  et  divi- 
sons par  Dt  ;  il  vient  ainsi, 

y^f^r  — .rj 


Dt  -jLi  :^Dt  l'  ^  â 


£i£€Taosrj  riQti: 
Posons  oiaîiîtenanl, 


La  relation  (4}  devienf. 


r=/-H 


d'où 

«•>■„,„<,„'„„,„„  j  ;  '      J;  l"-"l;»«...n„»l,„-..  i,-„i.„,,i  „,„„ 


d'autre  part 


4"  4-  '^• 


4^  .  dû 


d.v 


irf— 


d'où 


donc. 


d'où 


4^     c/.r  ' 


£±1  _  /■ 


Le  Aicteur  de  proportionnalité  a  donc  pour  valeur  Jîi- 

K — K 


484  DiELEcrmq  ues 


B.  Electrodynamique  des  corps  en  repos. 

313. —  Il  convient  de  remarquer  que  nos  sens  grossiers  ne  peu- 
vent atteindre  que  la  valeur  moyenne  des  phénomènes  ;  on  aura 
besoin  par  conséquent^  dans  la  suite,  de  considérer  la  valeur 
moyenne  de  nos  fonctions  ;  il  s'agit  alors  de  voir  si  les  formules 
que  nous  avons  trouvées  précédemment  subsisteront  dans  ce 
cas. 

D'abord,  la  valeur  moyenne  d'une  fonction  ii  au  point  (;r,  y,  z) 
c'est 

^      fud. 
u=- 

3      ''^ 

rintégrale  étant  étendue  à  une    petite  sphère  de  rayon  s  ayant 
pour  centre  le  point  (.r,  ?/,  c). 
Il  résulte  de  là  que 

du  du 

dx  dx 

374.  —  Les  relations  que  nous    avons  trouvées  précédemment 
étant  linéaires,  subsisteront  donc  encore  dans  le  cas  présent. 
On  aura  par  conséquent, 


I 


d 

d9. 

dy 

'  dz  ' 

da. 

d'.' 

dz 

7/7' 

d?. 

d:/. 

4^,v=    i  _      -, 

dx  dy 

d\V         dG 


V-^J 


dy  dz 

dV         dïV 


dz  d.f 

dG'         dV 
dx  dy 


ELECTHODYXAMiQrE  DES  COUPS  EX  HEPOS  |8*, 

F^,  Cy,  ir,  étant  les  ccimposanles  diî  vecit»iîr  cpii  lait  «iïirr  lir 
potentiel  vecteur  et  qui  est  le  p«»leiitit4  rehinlr  d'imt^  iiiasht*  aîîi- 
ranle  ayant  pour  densité  les  trois  eDïiiposîiîiIrs  dii  eniîraiiî  êe 
convection. 


On  aura  ensuite 


4-  ,{¥'  ^  di' 


I     K^  '         dl         d.r 

(3)  4!!.+  '^^''   .   '^v 


K„  '^  dl  dij 

4-  ,       d\\    ,    d-l 


K„     "^    dl     ■     d- 

df\ 


(4)  ^aC/  =  -4.(,.-^) 


(6- 


375.  —  Quant  à  la  relation, 

(il      '    '"'' 

elle  ne  garde  pas  la  même  ("orme.  Pour  voir  ce  qu'elle  devient, 
cherchons  la  valeur  moyenne  de  p;. 
Nous  avons  pour  cette  valeur  moyenne, 

donc, 

df         dX 

(:)  ^^^-TF  +  lîT' 


486  DIÉLECTRIQUES 

376.  Conditions  d' équilibre  d'une  particule. —  Considérons 
une  petite  cavité  sphérique  entourant  la  particule  et  évaluons 
les  forces  qui  agissent  sur  cette  particule.  Nous  avons  : 

i*"  La  force  d'inertie;  cette  force  a  été  négligée  pour  les   con- 
.  ducteurs,  mais  on  ne  peut  plus  la  négliger  maintenant,  car  dans 
le  cas  des  diélectriques  on  peut  avoir  des   vibrations   extrême- 
ment rapides.  Cette  force  a  pour  valeur, 

m 


K.         cli'  ' 


2^  L'action  du  champ.  Cette  action  peut  être  décomposée  en 
trois  parties, 

a)  Le  champ  produit  par  la  particule  elle-même.  Ce  champ  est 
négligeable.  Lorentz  Ta  calculé  mais  nous  ne  reproduirons  pas 
ici  son  calcul,  faute  de  temps. 

h)  L'action  produite  par  les  particules  qui  se  trouvent  à  l'inté- 
rieur de  la  sphère  entourant  la  particule  en  question.  Cette  action 
est  nulle. 

c)  L'action  du  champ  extérieur.  Cette  action  a  pour  valeur, 

Mais  qu'est-ce  que  fl  —  Nous  avons, 

d'où  nous  déduisons  la  valeur  de  f.  Seulement,  rappelons-nous 
que  nous  avons  creusé  une  petite  cavité  sphérique  dans  l'élément 
D-  autour  du  point  (.r,  ?/,  z)  et   cette    cavité  modifie   le  champ. 

Quelle  est  cette  modification? — D'abord,  le  terme  en—--  n'est  pas 

dt  ^ 

modifié  ;  et  cela  se  comprend,  car  le  potentiel  vecteur  F^  pro- 
vient d\îne  matière  dont  la  densité  est  -^ ,  Mais    il   \\ei\  est 

di- 

plus   de   même  du  terme  -r^  .  xVyant    affaire    à    une   sphère  ce 

dx         "^  ^ 

terme  est  modifié  par  le  changement  de /"en /'+45- .  (Voir  précé- 
demment, n"  371). 


COXDITIfjys  b'EQl'iLUlFli:  l^'USE  PJJiïlilU: 

On  aura  clone. 


t'i^^f)^  ■■:■■■-'-:■ 


3"'   La    loiTc  élastique  qui    tend  à  raiîieîi*^'  hi  partiriilt-   ,1    >,i 
position  cFéquilibre.  Cette  forée  est'représeiilée  par, 

-rr-  u  (.r  —  .r,;. 
L'équation  cFéquilibre  de  la  partieiile  e^nisïtlérée  s'écrit  cltiiie. 


]j.  .r  —  .IV. , -f- -7^-/ii — ~-==---r— e    /-t- ---■-—  I'   '/-' ■ — ^ii. 


377. —  ^îultiplîons  par  e  les  deux  membres  de  celte  équatimi  ; 
il  vieutj 

eut    (l'\i'         e~   /,,       X\        e~   .  ^r  ■    K, 

'■*'  a      al  a    V  •>  /         î^  4^ 

Faisons    maintenant  la  sommation  pour  toutes  les   partieules 

qui  se  trouvent  à  Fintérieur  de  Dt  et   divisons  par  I)t  :  il  vient, 

m         .  ,  .     - 

en  supposant  que  —  est  le  même  pour  toutes  les  parliciiies. 


m  \^      d\r 
e 


Dt  L)t  .«^:iD 

K 


Or. 


d"()ù 


D'autre  part, 


%    t>    .r  — .r 

jimmd           ^ 

Y 

Dt 

V^        d\v 

d'X 

\y- 

~  di-  ■ 

V   '' 

=  L. 

:8  DIÉLECTRiqrES 

L'équation  de  Téquilibre  devient  donc, 


378.  —  Si  nous  avons  afliiire  à  des  corps  en  repos,  alors 

'  dt' 


(h/ 
(ft 


et  par  conséquent, 

47:  Zj  Dt  4^       Zj   Dt  ~~   47:    ^  Zj  "D^ 

4t:         ('/Z 
On  aura  par  un  calcul  analogue, 
K,        dZ 

4-  ^"TT- 

Ces  relations  ne  sont  vraies  que  si  la  charge  e  est  la  même 
pour  toutes  les  particules  mobiles.  Si  cette  hypothèse  n'est  pas 
tout  à  fait  rigoureuse,  elle  nous  permettra  au  moins  de  voir  le 
sens  général  du  phénomène. 

On  aura  donc  ainsi 

;x     dt'  \'^  ■ij^  4r.    ...  [^     dt  I"  dl 

Posons  maintenant 


m 


et 


4^    'jlL 


L'équation  précédente  devient, 

L  df-        '^  ^     '    ^\'    dt         ''-JT 


mmmmmmm 


ELECTRODryAMlQrE  DES  COUPS  EX  MfM'fEMEXT  |8f| 

OU  encore. 

Mais  remarquons  que 

Vl       :W      k-k.  ' 

cela  nous  donne  finalement. 


379. —  Si  le  champ  n'est  pas  puissant  le  second  terme  do  smnicl 
[lie  ml 


embre  est  négligeable  et  on  obtient  une  relation  entre       "     ,  X 


Si,  de  plus,  on  est  au   repos,  a  ■     ^    est    alors  luil  et    on   re- 
tombe sur  réquation 


/=X 


K  —  K, 


A  acquiert  une  importance  très  grande  quand  on  a  alîaire  à  des 
oscillations  très  rapides. 

Cette  équation  ■  8  ^   n'est  plus  valable   si  les  particules    sul)is~ 

sent  un  frottement   :  il  faudrait  dans  ce  cas   ajouter  ao  premier 

•       11-  '-   '^^ 

membre  un  ternie  complémentaire  de  la  iorme  a   — 7-  . 

^  dl 


C.  —  Electrodyxamique   des  corps  en  mouvement 

380.  — Nous  allons  étendre  maintenant  les  résultats  que  nous 
avons  trouvés  pour  les  corps  eu  repos  aux  corps  en  mouve- 
ment. 

Il  y  a  d'abord  un  certain  nombre  d'équations  que  nous  avons 


4t|0  DIÉLECTRIQUES 

trouvées  pour  les  corps  en  repos  et  qui  n'ont  pas   de  raison  de 
chano-er  pour  les  corps  en  mouvement. 
Ce  sontj 


(0 


(^) 


^31 


4^« 

d"         dp 
-    dy         d,' 

d-j.      d-: 

~   d.z         dx  ' 

Jpj         dci.  _ 
"~    dx         dy  ' 

oF'  = 

-4=(«-;r 

aG'  = 

-^K'-ï 

Dlî'  = 

P'y  = 

4r.  Y  f/X 

~  K„  Zj'  dx  ' 

dt    "^   f/.r  ~ 

4-^-  , 

fZG'         d'I' 

Ko     ' 

dt     '     f/y  ~ 

4-A    , 

dW        di' 

Ko     ' 

dt     '     rf-   ~" 

D'autre  part  nous  avons  trouvé,  quand  il   n'y  a  pas  de   champ 
magnétique  intense  ti  pour  les  corps  en  repos, 

-^  ^  ir—ir-  —  A 


cit^     '  K_K 


Mais  cette  équation,  comme  nous  Tavonsvu,  peut  perdre  de  sa 
sinq)licité  quand  on  a  affaire  à  un  champ  magnétique  très  intense  ; 
dans  ce  cas  il  faut  en  efFet,  compléter  la  relation  que  nous  venons 
d'écrire  par  le  terme  complémentaire  suivant, 

cIY         ,^   cTL 
dt  '"    dt 


KLFxnoDYy.iMiQVE  DES  COUPS  /:.v  mrrrMi:\r  „^, 

c'est  le  loi'me  correspoïKlimi  //   l,i  pal,!ris,iti„n  ruialoire  m.ii^/ie- 
////"<?  i-'t  in\  jihcnoini'nc  (le   'Aecnuih. 


381.  — Pour  /(\s-  corps  en  niouveinent.  on  ohli.Til  ,!•■    hi    uù-mr 
manière, 

,r-.v 

X 


m  S^      d-.v 


et  par  des  transformations  analogues  a  exiles  ijUi^  îiîhh  :ivtiiisi.''îiî- 
ployées  quand  il  s'agissait  de  ri"Ieeirod\iiaiiî!f|iii'  des  coijîn  r» 
repos, 

^,  7j,  ^  représentent  ici  les  composantes  de  la  vitesse  de  la  ma- 
tière. En  ejDTet,  si  le  champ  magnéti(|ue  n'es!  pas  très  intense,  et 
en  négligeant  la  vitesse  relative  de  la  particule  par  rapporî  à 
celle  de  la  matière,  c,  y,,  IÇ  représentent  alors  bien  la  vitesse  de  la 
matière  elle-même. 

En  divisant  par  L   les    deux   membres    de   la   relalinn     t'M  «m 
obtient, 


wJ 


dt- 


382.  —  En  ce  qui  concerne  la  relalit>n  en  // j-   elle  va  être 


iii 


peu  modifiée  pour  les  corps  en  mouvement. 
Nous  avons j 

dt  I  ^^       dl  - 


'8) 


le  signe  y  indiquant  que  la  sommation  s'étend  à  toutes  les  par- 
ticules qui  se  trouvent  à  l'intérieur  du  volume  Dt. 

Pour  faire  le  calcul  nous  allons  employer  un  artifice  très  utile 
toutes  les  ibis  qu'on  aura  à  calculer  des  valeurs  moyeniies. 


ï  m 


4t^'i  DIÉLECTRIQUES 

Nous  savons  que 

Considérons  une  (onction  cp  quelconque  ;  nous  n'assujettirons 
cette  fonction  qu'à  une  seule  condition  :  qu'elle  varie  assez  len- 
tement pour  qu'à  Fintérieur  du  volume  Dt  elle  puisse  être  con- 
sidérée comme  constante.  Nous  aurons  alors, 


=XD^=2(p.(.r-.r„). 


Décomposons  le  volume  Dt  en   éléments  de  volume  d'z  très 
petits  (au  sens  ordinaire  du  mot)  ;  on  peut  alors  écrire 

(9)  /   cpXr/T==^cp(^(.'r  — ag, 

où  le  signe  1  comme    le   signe  y    s'étend   au    volume    Dr    tout 
entier. 

Plus  généralement  la  valeur  moyenne  U  d'une  fonction  U  quel- 
conque sera  donnée  par  la  formule 


on  aura  ainsi 


chr 
dt 


383.  —  Quelle  est  la  valeur  de  la  densité  moyenne? —  Il  faut 
pour  cela  calculer  ^  ce. 
Posons 

?o  i^eprésentant  la  valeur  de  la  fonction  cp  quand  la  particule  passe 


ELECTIiODiyJMIQUE  DES  COUPS  ES  MlM'rEMEST  |«jl 

par  sa  position  tlÏMjuilîhrf  '.r,.  //„,  zj.  Or,  ;i  r^hil  tr«*fjiiiliiire.  îa 
densité  moyenne  est  nulle  ;  clcmc. 

(l  l)  >     tS^/>=  11. 

D'autre  part  (^',  y,  z)  étant  voisin  de  u'^,  f^,,  r^^ ,  tin  peiiî  t*rrire, 

?  =  ?i+24  !^f  — ^^;.  ^^ 

et  par  conséquent 

le   deuxième    signe  >    du  second  membre   s'élendaiil    aux  trois 

coordonnées. 

En  tenant  compte  de  la  relation  iiï)  et  de  îa  relation  ''t|';  c|iii, 
différentiée  par  rapport  à  .r  nous  donne, 

X  — —   (h=^     C'A'  —  j\     ~T~-. 
ax  t      '  ''    ilx 

la  relation  (12]  devient 

et,  en  intégrant  par  parties. 


La  formule 


,3) 


v..=_ 


î,|i  DIÉLECTRIQVES 

nioiilrc  que  lu  deasité  moyenne  est 

LJ  du-  ■ 

384.  —  Cliei-elious  inainfenaiil  la  valeur  du  courant  total  a. 
Partons  de  rtMiuation  {>.)]  et  dillerentions-lu  par  rapport  à  /  ;  il 
vient. 


'4 


i       d\    j        \y      .  s  d-^    ,   V         d.v 

^  '        dt 


Eu  effet,  z  ne  dépend  pas  direetenicnt  de  t  :  il  est  fonction 
tie.r,//,  z  seulement;  mais  dans  le  premier  membre  .i\ij,z  repré- 
sentent les  coordonnées  de  Télément  de  volume  (h,  tandis  que 
dans  le  second  membre  .r.  //,  r  réprésentent  les  coordonnées 
de  c\  qui  sont  mobiles;  qui  sont  par  conséquent  fonction  de  t. 
C'est  pour  cette  raison  que  la  fonction  z>  est  traitée  dans  le 
second  membre  comme  dépendante  de  t  et  dans  le  premier 
membre  comme  indépendante  de  cette  variable. 

Or  nous  avons, 

le  siorne  >    s'étendant  aux  trois  coordonnées. 

j 

Le  premier  terme  du  second  membre.de  (i3)  devient  donc. 


n 


\ 


En  intégrant  par  parties,  on  ol)tient, 


x./.y^ 


d.v 


EXPRESSIOy  Dr  COrBJNT  TOTAL  I/JPIiES  iJMEXT^  4sS 


J\..^^^j\.^. 


Xik: 


et  par  consêriuenf, 


Zik 


i/x: 

iiz 


(fi^ 


dz  r 


Passons  maiiîteuant  au  troisit'iiie  ternit*  île     ï.|    ;  i|ii<4l«'  fsl   ki 

sigiiihcalKHi  de        '   .  —  L  esl   la  vitesse  ijii  |.ioi!i!    .i  ...  //...  :     .  ee 

poiiiî    «''tant  eoîisidih'é   eoiiinie   eiilrauié    dans    le    iimineiiiriiî  de 
la   matière  :  c'est  doue  ce  (|iie  nous  avons  appelé  ;.  C  lu  a  alors 

dt 


:'\^il.-  '.., 


et  comme   '.r,.   //„,   ;,'    est  très  voisin   de    .r.  //.  ;    on   peut  dttnc 
écrire 


Jt  ■         ^- 

en  posant^ 

dv 


Jz 

17 


Le    calcul    de    >   ze  — r—  revient   donc    maintenant    au    calcul 
.^'        dl 

1  \n     -       1  V^     -- 
de  7  zez  et  de  >  /^t'o;. 

Commençons  par   calculer    ^   'zez. 
Nous  avons. 

Là'  Ï       '    Li    dx 

J 

~         1     'V  dx^'-  d,j    •  '■  dzj- 


(•(^, 


t/ 


496 


DIÉLECTRIQUES 


Pour 


Vsr 


nous  avons, 


cil    , 


dij 


d.z 


Ecrivons  maintenant  la  relation  (i4)  en  tenant  compte  des 
relations  (i5),  (i6)  et  (17)  que  nous  venons  d'établir;  elle 
devient, 


r/X 
dl 


,d.[u-^ 


Nous  n'avons  plus  maintenant  qu'à  identifier  les  coefficients  de 
'Dih,  car  cette  égalité  doit  subsister  cjuelle  que  soit  la  fonc- 
tion cp. 

En  faisant  cette  identification  nous  trouvons, 


dt 


«-f)+i!^--^-'J- 


d 


(xî;  -  VX), 


d'où  enfin. 


^f    .     dX  d  ,  d     ^ 


:..  ^ 


dg 


dt 


.     d>/ 


Xy 


dt         dt 
dh 


H-;^.(Yi-x.o--^(z-,-Yr: 


^y=z 


dl^  d 


d 


dt  dt      '    du   ^     '  ''         d,v  ^    ^  ^ 


Cest  Vexpression  du  courant  total  d'après  Lorentz. 

385.  Comparaison  avec  la  théorie  de  Hertz.  —  Comparons 
cette  expression  à  celle  du  courant  total  d'après  Hertz.  Nous 
avons  vu  que  le  courant  total  dans  la  théorie  de   Hertz   est   la 


COMPJRAISOy  A  V£C  LA   THÉomE  DE  HERTZ 


■is: 


somme  de  quatre  courants  :  le  eoiiraiil  de  ccinciiieliiiii,  îe 
courant  de  déplacement,  le  courant  de  conveetion  de  Fiinvlaiid 
et  le  courant  de  RciMitgen.  Nous  n'avtms  pas  ici  de  coiiraiiî  de 
convection  analogue  à  celui  de  Rowland  et  cela  se  ciiiiipreiid,  car 
la  densité  de  rélectrîcité  vraie  est  nulle,  atleiidw  cfiie  licuis 
sommes  dans  un  diélectrique.  Eh  ce  qui  concerne  le  couninî  de 
déplacement,  on  le  retrouve  dans  la  théorie  de  Lorcntz,  seule- 
ment il  est  dédoublé  :  il  se  compose  du  courant  de  Jéplaceinc^nt 


proprement  dit, -^^  et  du  courant   de  poîarîsalîoE -^.  Quant 


di 


au   dernier  terme   de  la  relation  :^i8;  c'esl  une  expression  ana- 
logue à  celle  qui  représente  le  courant  de  lijentj^en  à  cela  près 
que  le  vecteur  'f\  if,  h]  est   remplacé  par  le  vecteur  fX,  Y,  Z 
dans  la  théorie  de  Lorentz.  Nous  avons,  en  eilei.  dans  la  théorie 
de  Lorentz 

dans  la  théorie  de  Hertz,  nous  avions  trouvé 


(19) 


J-^       ^-•:       ^^  .r^^      Z'. 


d.z 


Mais  il  importe  de  remarquer  que  Hertz  désigne  par  /,  g,  k 
le  déplacement  îolal  {déplacement  -\-  palarisaîiun  que  Lorentz 
représente  par  f -\-  X,  i,'- +  Y,  h  -\-  Z.  Avec  les  notations  de 
Lorentz  il  faudrait  donc  dans  l'expression  !i|  remplacer /"l if. /i 
par  /'+  X,  if  +  Y,  h  +  Z. 

Maintenant  si  nous  prenons  Téquation 


d'\ 
dt- 


X 


K  —  K., 


=  /• 


que  nous  avons  trouvée  précédemment  et   si  nous  y  négligeons 
la  dérivée  seconde —rr- nous  trouvons   que  X  est   proportionnel 


di' 


—  .  Le  courant 


à  fet  que  le  facteur  de  proportionnalité  est p- 

de  Rœntgen  prévu  par  la  théorie  de  Lorentz  est  donc  à  celui 
prévu  par  la  théorie  de  Hertz  comme  X  est  à  X  -f-/,  c  est-a-dire 
comme  K  —  1\  est  à  K. 

PoiNGARÉ.  Electricité  et  Optique.  ^^ 


498  DIÉLECTRIQUES 

Ainsi  dans  le  vide  (K  =  Ky)  il  n'y  a  pas  de  courant  de  Rœnt- 
gen, d'après  Lorentz,  alors  que  d'après  Hertz  il  doit  y  en  avoir 
un.  Mais  comme  nous  l'avons  déjà  vu  précédemment,  quand 
nous  nous  sommes  occupés  de  la  théorie  de  Hertz,  les  expé- 
riences de  Rœntgen  sont  tout  à  fait  insuffisantes  pour  trancher  la 
question. 

386.  —  Revenons  maintenant  à  l'équation  fondamentale, 

nous  avons  vu  que  le  terme  ).       .,    du  premier  membre  de  cette 

équation    est  négligeable  (sauf  le  cas  où  on  a   des   oscillations 
rapides)  de  sorte  qu'on  peut  écrire^ 

La  quantité  que  Hertz  ou  Maxwell  appelle  déplacement  total 
est;  comme  nous  venons  de  le  remarquer,  X  +  /1  Calculons  cette 
quantité.  Il  vient, 

X  +  /■==  -|-  /■+  ^^^  (vr  -  ??), 

iYq  4"- 

ou  encore 

\  +  t  =  —Y~f+  — ^^—  ivr-  ..^)J. 

Cela  veut  dire  que  dans  la  théorie  de  Lorentz  le  déplacement 
de  Maxwell  est  le  produit  de  deux  facteurs  :  l'un  ■- — ,  l'autre  la 

4- 

force  électi'omotrice  (d'après  Lorentz).  Or,  dans  les  conductears, 
hi  lorce  électroniotrice  a  pour  expression 

on  voit  donc  que  la  diilerence  est  seulement  dans  Tintroduction 

du  iacteur  — r^ — -. 
K 


! 


CO.VPAÏLilSOX  AVr.C  LA   niEOHIE  IjE  ilElfi/  i,^,, 

387.  —  Interprétons  ces  résultais. 

i*^  Supposons  que  nous  ayons  un  corps  inirHliitit'iir  liieliilr 
placé  clans  un  champ  magnétique  invarialilt*.  iiiw  vii-l-il  >\  iim- 
duire  d'après  la  théorie  de  Hertz?  —  Il  cî*>it  craljtiril  s"v  |irtitîiiiri» 
une  ibrce  électromotriee  qui  donnera  naissanee  à  iiii  eininiiit 
d'induction. 

D'après  Lorentz,  bien  qu'il  n'y  ait  pas  de  force  éleclrit|iii»  âimu 
le  sens  propre  du  mot,  il  y  aura  cepeïîdaiil  iHie  forée  élerlrti- 
motrice  qui  aura  la  même  expression  que  dans  lîi  iliéurie  île 
Hertz,  puisque  nous  retrouvons  le  terme  t.-;  —  ZJj.  Celle  ftirre 
électromotrice  donnera  naissance  au  mrmt»  coiiranî  ilt*  «in- 
duction que  dans  la  théorie  de  Hertz. 

On  voit  donc  que  dans  la  théorie  de  Loreniz  les  lois  «Je  llii- 
duGtion  magnétique  ne  se  trouvent  pas  en  déîaol. 

2^  Supposons  maintenant  que  nous  considérions  ne  diélec- 
trique mobile  dans  un  champ  magnétique.  D'après  Hertz,  il 
doit  s'y  produire  un  déplacement  électrique  prûporticmïiel  à  la 
force  électrique.  D'après  la  théorie  de  Loreniz  le  déplaeeiiieiil 
électrique  total;,  X  -{-  f,  existe  toujours  mais  sa  valeur  est  plus 
faible    que   dans   la   théorie  de  Hertz  :    il    est  diminué   dans  le 

rapport — ^ — ~,  Par  exemple  si  le  diélectrique  est  ronslilué 

par  de  l'air,  alors  K  — K,,  =  o  :  il  n'y  aura  rien  du  tout. 

En  résumé,  le  résultat  obtenu  par  Lorogitz  revient  a  alTeeter 
les    termes    laal    et   'f    de    la    théorie     de    Hertz    do    eoelli- 

cient  -. . 

K 

(3r,  rappelons-nous  que  les  équations  de   Hertz   nr  pouvaient 

rendre  compte  des  expériences  de  Fizeau  ([ue  si  on  k-s  alit-elait 
du  coedicient  ^  ~  ^'  :  on  peut  donc  prévoir  que  îa  théorie 
de  Lorentz  est  entièrement  conforme  aux  faits  expérîmeolaux 
cités. 


CHAPITRE  V 

PHÉNOMÈNES   LUMINEUX  DANS  LES  DIÉLECTRIQUES 


DISPERSION 

388,  —  Nous  allons  maintenant  aborder  l'étude  des  phéno- 
mènes lumineux  dans  les  diélectriques.  Nous  commencerons  par 
le  cas  le  plus  simple  :  c'est  le  cas  où  il  n'y  a  pas  de  champ  ma- 
gnétique intense.  Nous  supposerons  de  plus,  que  le  corps  trans- 
parent considéré  est  en  repos  :  cela  nous  débarrassera  des  termes 
complémentaires  que  nous  avons  été  obligés  d'introduire  pour 
les  corps  en  mouvement.  Seulement,  nous  tiendrons  compte  du 
frottement  que  les  particules  pourraient  subir  :  ceci  revient  à 
tenir  compte  de  l'absorption . 

Nous  aurons  donc  les  équations  suivantes 

1     ''"    dl    "^    di    ' 


dt     '      dl   ' 
dk^         d7^ 
dt    "^    dt  ' 


en      ^;,J^_^y^  -VQ  ^;^_ 


a 

fv 

K„ 

1 

K 

Ko 

Ko 

dt"  dt  Iv  — K, 

389.  —  Nous  allons    d'abord  montrer    que    si    on  suppose  la 
lumière  îiionocliromatique  les  nhrations  sont  transçersales. 


UISPEIlsioX  ^^, 


l)ifférentions  à  cet  ellet  la  prenni-re  .•..i.u.tiun  .  ,Mr  ...pporl 
a  X,  la  seconde  par  rapport  à  >j,  la  iun.iinm  p«r  nn.p..rî  i,  r  •  i! 
vient. 


A 


£_  '^X  ,/    ,/x    ,         K,         ,/x         ,//  li 


L. 


,       '^«^     dy  dt    dy   '^   K—K,    dff    '-If' 

^/^   rf^  "^  ■  ,//  dz  ^  K-K,  77  "=-;??•  {: 

En  faisant  la  somme  de  ces  trois  t-quations  on  obtient  II 

Or 


donc 


et,  pour  avoir  une  couleur  déterminée,  il  i'aut  que  les  exponen- 
tielles aient  une  période  déterminée.  On  conclut  donc  que 

d\ 


(4)  y  4^=.. 


11  n'y  aurait  exception  que  pour  a'  =  o,  et  cela  encore  pour  une 
couleur  déterminée. 


f 
/  riTT  ^^^^s^^'^^t  donc   à  une   équation   différentielle  linéaire  /^ 

du  second  ordre  :  nous  en  concluons  que   cette  fonciion  est  une  i 

somme  de  deux  exponentielles.    Mais   pour    que  la  lumière  soit  ] 

monochromatique  (car  nous  nous  sommes  placés  dans  ce  cas.   il 

faut  que  ces  exponentielles  soient  à  période  réelle,   e'est-à-dire 

qu'il  faut  que  leurs  exposants  soient  purement  imajjinaires  ;  il  faut 

donc  que  ^ 


502  PIIÉXOMÈNES  LUMINEUX  DANS  LES  DIÉLECTRIQUES 

Qj.  \  __L-  =z  o  siofnifîe  crue  les  vibrations  sont  transversales  : 
c'est  précisément  ce  que  nous  cherchions  à  montrer. 

390.  —  Ceci  étant  établi  voyons  ce  que  deviennent  les  relations 
en  D'^  et  uf. 
Nous  avions, 

4-  y  r/X 


o.y=^2' 


2^X 
' — - — =0,  nous  avons  maintenant 
dx 

(5)  n^y  =  o . 

D'autre  part, 

4-  . ,  ./F^  • ,  d^y 


d'où 


^  Ko     d      ^,        K.     fi?       ,, 

'^  4-     rfif  47:    ^/.r       '  ' 


or 


nous  venons  de  voir  que  □  '!;'  =0  donc 


d'autre  part 


^  K„     d       T-,. 

^  4-     <:// 


oF'=^4=("-|). 


et  d' 


après  (ij 


donc 


df  _  dX 

dt  ~ir' 


la  relation  en  □/'devient  alors, 
(6>  n/^K,^ 


^'X 


di' 


oisi'Kiisifjy 


391.  —  Supposons  niainlenaiil  .pie  nous  avons  affaire  a  iks 
ondes  planes  :  toutes  nos  fonctions  lu-  dépendroi.i  que  «k-  :  el 
de  t,  par  conséquent 


et  d'après  (6] 
(6  his] 


ri-c- 


Or  nous  avons. 


(7) 


A  — ^:r-  -+-  )!  — — 


rf/^ 


Posons  alors, 


K  — K 


-X=:/. 


K; 

1 1 


«,. 

"a' 

= 

K 

■! 

K, 

/^ 

K 

— 

K, 

(ï 

L'équation  (j)  deviendra 


(7  /^'«) 


cPX  dX    .      .,.. 


La  lumière  a  été   supposée  nionoclironialique  ;    on    peut  donc 
appliquer  l'artifice  habituel  des  imaginaires  :  posons, 

X  =  X,/, 

/  =  /:/■ 


avec 


P=ip  nz\  i\  —  i]' 


Comme  les  équations   sont  linéaires  à  coeiricieiils  rix4>,  imiiy 
pouvons  écrire. 

X  =  partie  réelle  de  X/^, 
f  =  partie  réelle  de  f,/^. 


r- 


5o4  PIIÉNOMÈA'ES  LUMINEUX  DANS  LES  DIÉLECTRIQUES 

et  ces  nouvelles   solutions  qui    sont   réelles  nous    donneront  les 
valeurs  réelles  de  nos  fonctions. 

Soit/;  un  nombre  proportionnel  au  nombre  des  vibrations  par 
seconde,  de  sorte  que  la  période  T  est  donnée  par 

P 
n  représente  l'indice  de  réfraction  j  si  ii  est  imaginaire  alors 

n  =  ji!  -\~  in!'  ^ 
et  dans  ce  cas 

partie  réelle  de  1./  =  Xe'"""^'^^'-  cos  /;  {n'z  s/K^  —  t), 

le  coefficient  d'absorption  est  alors  proportionnel  à  iv'  et  l'indice 
de  réfraction  estn^ 

392. —  Que  deviennent  nos  équations  {j  bis)  dans  ce  cas  ?  * 
Nous  avons, 

cPX 

d^f  _ 


dt^  -  '^''f^ 

dX 

-dr=—'J'^' 

L'équation  (7  bis)  devient  alors, 

et  l'équation  (6  bis)  prend  la  forme 

-«V^K„/'+K.//'=-K„/;^X, 
OU  encore 

d'où 

X 

n-  =  I  -f- 


DISPERSIOX 
OU,  en  tenant  compte  de  f  j  1er) 


%m% 


(8) 


1  + 


pl  —  1///;,,  —  // 


Discussion.  —  En  général  b^  est  très  petit,  par  criîisrtjiienl  le 
terme  iph^  est  négligeable  devant  />/  —  /r,  el  alors  n^  lievieiit 
réel  : 


(9) 


I   +  ■ 


Fi— r 


Il  y  a  exception  dans  le  cas  où  p/  — p'  est  très  petit  ;  liaiis  ce 
cas  le  terme  en  b^,  n'est  plus  négligeable,  le  déiMnniïiîilear  s€!ri 
très  petit  et  par  conséquent  la  fonction  très  grande  ;  n  seratloiie 
imaginaire  dans  ce  cas.  Bref,  quand  p^^  est  diflereiit  de  /i,  iî  n'y  a 
pas  d'absorption  ;  et^  au  contraire,  quand  /i^  est  viiisin  de  p  il  v  a 
absorption  (à  cause  du  terme  imaginaire  ipb^^^. 

Cela  explique  l'existence  de  raies  d'absorption  très  étroites  dans 
le  spectre. 

393.  —  Pour   mieux  voir  la  variation  de  /r,  eoostmisons  la 


Pl'-P' 


courbe  représentant  les  variations  de  cette   ibnetion.   i^orlons /r 

en  abscisses    et  n^  en    ordonnées  et    représentons    les  droites 

/r  =  -^  ,  /i'^  =  I  et  puis  /v  =/r  et  /r  =  o. 

Faisons  ensuite  p-  =o  dans  la  lormule  19  ;  il  vient  ainsi 


Pô 


5o6 
or 

donc 


PIlÉXOMkSES  LUMINEUX  DANS  LES  DIÉLECTRIQUES 
K  -  K, 


11.- 
Pô 

1  + 


K  -  Ko 
K. 


K. 


Kn 


La  courbe  est  donc  tangente  à  la  droite  jr  =  -^. 

Maintenant  si/;  augmente,  le  second  terme  du   second  membre 

de  (9)  augmente  avecp,  et  pour  /y  =P->  le  terme  en        .> .    cie- 

vient  infini  :  il  s'ensuit  que  n"  devient  infini  :  on  a  une  asymptote. 

Si;)  continue  à  augmenter,  pour  une  valeur  de  p  légèrement 
supérieure  à  p^  on  aura  ir  =  —  00  :  on  aura  donc  encore  une 
asymptote. 

Si/;=  ce,  c'est-à-dire  si   on  a  affiiire    h  des  ondes   infiniment 


-pô=p- 


Fig-.    ;)«j. 

courtes,  alors  ir  =  i  :  on  a  ainsi  une  brandie  tangente  à  la  droite 
jr  ==  I . 

On  voit  d'ailleurs  que  la  courbe  ainsi  obtenue  est  une  hyper- 
bole. 

394.  —  1''^  Observation.  —  La  présence  des  asymptotes  que 
nous  venons  de  trouver,  correspond-t-cUe  à  la  réalité  des  choses  ? 
Et  d'abord  comment  avons-nous  trouvé  ces  asymptotes?  —  Nous 
les  avons  trouvées  en  faisant  y;/  =  /;-  dans  la  lormule  (9),  hypo- 
thèse qui  ne  correspond  à  aucune  réalité  puisque  pour  /;^  =/;  nous 
n'avons  plus  le  droit  de  négliger  le  terme  en  iph^. 


Tenons  compte,  au  contraire,  de  ce  terme  H  rfirrige«.iiii.  imltt 
courbe  en  représentant  en  pointillé  les  portions  c|iii  m»  peu%'-eiit 
pas  manifester  leur  existence  par  rexpérieeeis  par  siiifi*  ér  i*al.i« 
sorption.  On  obtient  alors  une  courbe  tloiit  Yiûlim  etit  inJiipîrr 
par  la  figure  Sg. 

395.  —  5'««  Ohserçation.  —  Que  nous  iiuliqiî*-  la  ^mwht  i|îir 
nous  venons  de  tracer  ?  Elle  nous  iiiclicitie  la  préstnice  «I'îiïh»  snih^ 
raie  d'absorption  :  c'est  la  raie  qui  eorrespoml  à  //  ==/i/.  MiiUmi 
se  trouve  cette  raie  dans  le  spectre  ?  Piiiir  voir  eria,  reiïîari|iiiiïi^ 
que  dans  la  partie  gauche  de  la  ccnirlie  on  a  /i  >  i,  «lansln  parlii» 
droite  /z  <  i  et  enfin  pour  />  =  x  on  a  /i  =  i  :  »-  =  p,;*  se  Iriiav** 
donc  dans  une  région  très  éloignée  dii  spectre  einiiiiî.  n-  ipii 
signifie  que  la  raie  d'absorption  sort  du  spectre  cciîîïiiî. 

Comment  faire  alors  pour  expliquer  la  présence  des  raies  d'ab- 
sorption que  l'observation  décèle  dans  le  spectre  ccieiiii?  —  Ûi 
est  amené  a  faire  une  nouvelle  hypothèse  :  il  faut  admelire  qui!  if 
a  des  particules  de  plusieurs  sortes. 

Particules  de  plusieurs  sortes.  —  Xous  avons  vu.  en  effet, 
que' ces  particules  sont  caractérisées  par  leur  masse  /w,  par  leur 
charge  e  et  enfin  par  leur  coefficient  dVlasticité  «x,  qui  tend  à  les 
ramener  à  leur  position  d'équilibre,  Nous  avons  supposé  en  mitre 

que  le  rapport  était  constant    le  même  pour  tuiites  lesparti- 

cules)  :  c'est  précisément  à  cause  de  cehi  que  nous  iraviiiis  uliteiiii 
comme  résultat  de  notre  analyse,  qu'une  seule  raie  d  al»>i»rp!itiîi 
dans  le  spectre.  C'était  là  une  hypothèse  resiriclive.  Mais  mndi- 
fions  maintenant  cette  hypothèse  en  admettant  l'existence  de  par- 
ticules de  n  sortes  dilFérentes. 

Pour  chaque  sorte  de  ces  particules  X  sera  diiterent.  Dési- 
gnons par  Xi,  X,,  X3...  X^  les  polarisations  de  ehaciine  de  ces 
catégories  de  particules.  La  polarisation  totale  Xde  ces  particules 
sera  alors  la  somme  des  polarisations  partielles  X^  X^,...  X,  ih 
chaque  catégorie  de  particules.  Xous  pouvons  donc  cerne 

x=Vv 


5o8  PHÉNOMÈNES  LUMINEUX  DANS  LES  DIÉLECTHIQUES 

et  d'autre  part  : 


^a)  î 


le  signe    ^     étant  étendu  dans  la    lormule  (lo  bis)  l\  toutes  les 

particules  de  K''  sorte  contenue  dans  Télément  de  volume  Dt. 
Les  équations 

.    ^Z-X     ,     X        ^,        X 
._  +  _  =  /  +  _   etc. 

que  nous  avons  trouvées  précédemment,  et  qui  expriment  la  con- 
dition d'équilibre  d'une  particule  deviennent  donc  en  tenant 
compte  de  Thypothèse  que  nous  venons  de  faire, 


A, 


rf-X.,    ,     X.,        ^  ,     X 


f+-^. 


(il)  '     -    di'      '    L, 

d'X,     .     }L        .  .     X 


A,, 


+Tr=^+-3 


l^.A^,...  A„;L,,  L,,,..  L,,  étant  des  coefficients  caractéristiques 
des  particules  de  la  première,  deuxième,...,  K^  sorte. 

396.  —  Transformons  ces  équations. 

Nous  avons  vu  précédemment  que  si  nous  supposons  les  ondes 
planes,  alors 

i!/_Kiï-Ki!l 

dz'        '^o  di'  ~  '^0   dl'   ' 
et  si  la  lumière  est  monocliroma tique, 

(.3)  #^-/X. 

Ecrivons  cette  dernière  équation  pour  la  particule  de  la 
K«  sorte  et  substituons  la  valeur  de  ^]\;  ainsi  trouvée  dans  la 
dernière  équation  de  (ri)  ;  il  vient 


DIÉLECrmQi-ES  jiH, 

Posons  maintenant, 

X  étant  défini  par  la  relation  ,^io\  Cette  expression  île  #  est, 
comme  on.  le  voit  une  forme  quadratique  homogène  par  rajipiirt 
àX,. 

Posons  encore, 

(i6)  $'=^V-^, 

c'est  encore  une  forme  quadrati(|ue  iKHiiugt'iie. 

Cela  posé,  on  remarque  facilement  que  noire  ëqualHin  j4;peiil 
s'écrire  en  tenant  compte  de  (i5)  et  [i6^. 

en  d'autres  termes  cette  équation  se  traduit  par 

4)  — p-C^'  —  fX  ==:  maximum. 

Or  nous  savons  que  quand  nou>  avons  deux  expressituis  qua- 
dratiques quelconques,  on  peut  les  réduire  toutes  deux  à  des 
sommes  de  carrés,  en  faisant  un  changement  linéaire  de  variables. 
Faisons  ce  changement  et  écrivons  les  relations  i  .1  et  16  dans 
cette  hypothèse  ;  il  vient, 

x' 


(r6H  ^^'=Ei' 


D'autre  part,  X  sera  une  fonction  linéaire  des  X,  eî  je  pm 
pposer  que  ses  coefficients  sont  égaux  h  l'unité,  de  snrîe 


supposer  qu 

X  =yx.. 


is  alors 
que 


s  10  rUÉyOMÈNES  LUMINEUX  DANS  LES  DIÉLECTRIQUES 

La  condition  (i  j)  devient  alors 
d'où 


et  par  conséquent, 


pi— F 


d'où,  en  égalant  cette  valeur  de  X  avec  celle  donnée  par  Téqua- 
tion  (12) 


fio) 


397.  —  Représentons  ce  résultcit  graphiquement  en  employant 


y 

\J 

\ 1 

\J 

1      "^l 

«-'=  1 

:./" 

Fi g.  Go  et  Gi . 


un  raisonnement  analogue  à  celui  que  nous  avons  emplové  dans 
la  théorie  simple.  On  obtient  ainsi  le  graphique  ci-contre  (fig.  60). 

Ceci  est  vrai  quand  on  néglige  le  frottement.  Mais  il  n'en  est 
plus  de  même  quand  on  passe  au  voisinage  des  raies  d'absorp- 
tion :  au  voisinage  des  asymptotes. 

En  modifiant  notre  courbe  pour  ce  cas,  c'est-à-dire  en  tenant 
compte  du  frottement  on  obtient  la  forme  qui  est  représentée  par 
la  figure  (61). 


BISPEIiSmX  ÉlECTiHQlT  J.TOJ|j£f  '„  , 

Les  traits  en  pointillé  correspiiiiilciit  aux  Imiuy^  ii\iL>»ii|ili»iii, 
qui  ne  sont  pas  visibles. 

398.  Remarque.  —  En  suivant  sur  le  gra|î!iîi|iii*  îr>  irmu  ni 
/>>/é?m  on  voit  que /z"  va  en  croissanl  ;  e'esî  le  eiiiilmirr  ipii  arrive 
pour  les  traits  en  pointillé. 

La"  distance  entre  deux  bandes  d'alisorptiiiii  €«iisrrtili%-cs, 
est  plus  courte  que  la  montée  entre  ces  deux  raies  rtinseriitives. 
Cependant  pour/;  suflisanmient  grand /i  doit  aller  en  tMiiiiiiiiant. 
car  si  y;-  croit  indéfiniment,  nous  nous  IrtMivciiis  en  desstias  tie  la 
droite  /z'-  ==  i .  Il  en  résulte  cpie  pour  ^r  =  x  ciiides  exIriHiierneiit 
courtes)  /^-  est  très  voisin  de  l'unilé,  ee  «|iîi  sigriiiie  qu'il  ii\-  a 
pas  de  réfraction  pour  ces  ondes-là.  f,^iiei(|ii»/s  |i«-i'si»îiiirs  sr  mimI 
appuyées  sur  ce  résultat  pour  assimiler  les  rayuns  Uii-'iil|4*'îi  à  des 
rayons  de  très  courte  longueur  d'onde. 

^L  H.  Becquerel  a  obtenu  ces  courbes  parla  plM»tiigrapiîie  .''U 

Faisons  observer  en  passant  que  la  théorie  de  Ilelîîiîiolz  cciiidiiit 

à  une  formule  tout  a  fait  analogue  à  celle  que  nous  avons  trciavee. 

DISPERSION    ÉLECTRIQUE    ANOMALE 

399.  — La  dispersion  électrique  a  été  étudiée  tout  rt^eeîiîîneiit 
par  ]\L  Barbillion  [-'.  pour  des  ondes  lierziennes  de  grande  lon- 
gueur d'onde.  Pour  la  plupart  des  corps  la  dispersion  est  hîîi»- 
niale  :  au  lieu  que  ?i  croisse  au  commencement,  il  deerciit,  dt* 
sorte  qu'on  obtient  comme  commencement  de  coiirlie  de  disper- 
sion, la  portion  indiquée  en  pointillé  sur  la  ligure  ri-jiiiiile. 


Fi-.  «5^. 


On  peut  se  rendre   compte  de  cette  anomalie  de   îa  inaîiiére 
suivante  :    Supposons  que  jj  soit  très  petit  :  le  second  terme  de 


('j  H.  Becquerel,  C.B.,  1S9S;  iSdq. 

(2)  L.  Barbillion,  Thèse  de  doctorat,  24  janvier  iSt^j. 


5i2  piiÉyoMkyES  lumineux  dans  les  diélectriques 

la  relation  (i5)  se  réduit  alors  à 

a 
Pl  ' 

Le  terme  qui  correspond  \\  la  première  asymptote  est 


qui  complété  par  le  terme  du  au  frottement  devient, 


pt—ipl^o  —  F 


mais  nous  avons  supposé  p  très  petit  ;  p^   est  donc  négligeable 
par  rapport  à  p;,  et  il  reste  alors 


Pl  —  ^P'^  ' 


donc 
Posons 


pl  —  ipb. 


r/,=  2/?ar. 


La  relation  (i6)  devient  alors. 


îù  -—n-Ji-^ :5- 


en  y  supposant  c  très  petit  et   en  extrayant  la  racine  carrée,  il 
vient, 

c 


n^uAi  -\ 


pl  —  ipb. 


La  partie  réelle  de  n  sera  donc, 

partie  réelle  de  n  =  n 


<^Pl 


pl-\-p'l>i 

Quand  p  augmente,  le  dénominateur  de  cette  expression  aug- 


DISPEIlSm.X  iJA.XS  LES  fliiSTAl'I  'ni 

mente    aussî,   par  conséquent  n  criiiiinue  :    ce    iiui    «^^|ilii|iM.   i,. 
spectre  anomal  observé. 

AOO.  Remarque,-  y^oiis   avons    dit    pri'reilrîiîïiirni    f|ii,.    It..^ 
équations 

pouvaient  s'interpréter  en  disant  que 

Nous  pouvons  représenter  la  ch:)Si.^  saîi>  inie  aiiln*  loriiie. 

Ecrivons  les  équatiî>ns  symélri(|ue>  de  ia  precéilcnlr  :  on  imm 
alors  le  système, 

\    Y.        -     ,,.  ^  Y 

— -A, /;-\  =  ..+_. 


r; 


posons  maintenant, 

^_YX;+V;  +  /;        x^-4-y^-z^ 

nos  équations  ^i  j'  signifient  alors  que  l'expression  siiivanlr 
e_^;^H^_-_y'X  — -Y  — /fZ 

est  maximum,  c'est-à-dire   que   sa  dérivée  par  rapport  à  X^  «^^1 
nulle. 

401.  Dispersion  dans  les  cristaux.  — I.a  remarque  (pie  non- 
venons  de  faire  sert  a  passer  ii  la  dispersion  dans  les  cristaux. 

Supposons,  en  effet,  que  nous  ayons  affaire  à  un  ct^rps  aniso- 
tropCj   un   cristal    ortliorhombique     par    exemple,    qui    a    trois 

PoiNCARÉ.  Electricité  et  Op'.iiiîîe.  -^'^ 


5i4  PHÉxXOMÈNES  LUMINEUX  DANS  LES  DIÉLECTRIQUES 

plans  de  symétrie  rectangulaires.  Prenons  ces  trois  plans  de 
symétrie  pour  plans  des  coordonnées  et  considérons  la  force  qui 
ramène  une  molécule  à  sa  position  d'équilibre.  Cette  force,  nous 
le  savons  déjà,  est  proportionnelle  a  l'écart  et  dans  un  corps 
isotrope  elle  ne  dépend  pas  de  la  direction  de  cet  écart. 
On  a  donc  pour  les  trois  composantes  de  cette  force, 

^[^(y  — z/o/S 

Dans  les  milieux  anisotropes,  on  a,  au  contraire, 

il    résulte    de    là    que    nous   trouverons    les    mêmes   équations, 
excepté  pour  l'équation  en  -~  et  celle  en  —  qui  seront  remplacées 

par  des  équations  en  —  et  en  .™  . 

En  ce  qui   concerne  B  et   (■)',   6'  conservera  la  même   forme, 
mais  6  prendra  la  forme  suivante, 


«=S-f(i 


XI     ,    Y^     ,     n  \       X-^  +  Y^  +  Z^ 


[         I    /      ^         X    II 

Les  équations  (i^)  subsisteront  et  signifieront  encore  que 


(  1 8)  e  ~pK^'  —  fX—  gY  —  KL  = 


maximum. 


et  le  calcul  sera  poursuivi  comme  précédemment. 

Si  le  cristal  n'est  pas   orthorhombique,    nous    serons,  par  un 
calcul  analogue,  amenés  à  poser 


e=;^0. 


x^+Y-^  +  z-^ 


0^  étant  une  forme  quadratique  en  X^,  Y,„  Z^,  il  faudra  écrire 
encore  que  le  premier  membre  de  (i8)  est  maximum. 

Pour  les  corps  orthorhombiques,  si  Técart  a  lieu   suivant  les 


DisPKHsiay  D.i.v.N'  LES  cmsrÂtx  ^iS 

axes  des  coordonnées,  la  iorei^  sera,  rlle  aussi,  dirigée  sui%iiîit 
ces  axes,  seulement  le  coelTicienl  de  prcipfirlîoîïîiîiîiié  sera  ilif- 
terent  suivant  que  récart  sera  dirigé  {Miraîlêlenieiit  îi  j\  |iaraî- 
lëlement  à  y  ou  parallèlement  à  z. 

Si  on  a  un  écart  oblique  par  rapport  âox  axes  des  eoerderinérsi 
la  direction  de  la  force  ne  coïncidera  plus  avec  la  direction  êe 
l'écart. 

On  a  donc  dans  le  cristal  trois  directiiHis  principales  |»iiiss«iit 
de  cette  propriété  que  si  Técart  est  dirige^  siiivanl  Fiine  de  ces 
directions,  les  forces  qui  tendront  à  ramener  la  ïîi(il*»caîe  à  sa 
position  d'équilibre,  seront  dirigées  suivant  la  même  dirertioii 
que  l'écart. 

Pour  un  cristal  qui  n'est  pas  orlhorliombiqiie,  cm  troiiverail 
encore  pour  chaque  espèce  de  particule  trois  dirccticiiis  princi- 
pales qui  seraient  les  axes  de  Feilipsoïde  B^==  i  ;  seuîenient  ces 
j  directions  ne  sont  pas  les  mêmes  pour  les  particules  des  éîffé- 

I  rentes  sortes,  et  par  conséquent  on   ne  peut  plus  prendre  ees 

"^  directions,  comme    axes  des  coordonnées  ;   et   k  symétrie  dis- 

paraît. 
i  On  voit  donc  que  les  résultats  sont  à  peu  près  les  mêmes  que 

dans  la  théorie  de  Helmholtz. 


CHAPITRE  VI 

PHÉNOMÈTsîES  OPTIQUES  DANS  UN  CORPS  EN  MOUVEMENT 


402.  —  Le  plus  important  de  ces  phénomènes  c'est  Vaherra- 
tioii  astronomique.  Ce  phénomène  met  en  évidence  le  mouve- 
ment i*elatlf  de  Téther  et  du  milieu  pondérable  qu'il  pénètre. 
Rappelons  en  quelques  mots  en  quoi  il  consiste. 

Dirigeons  une  lunette  vers  un  astre  quelconque  :  on  aura 
rimage  de  cet  astre  dans  le  plan  focal  de  cette  lunette  ;  seule- 
ment, comme  la  vitesse  de  la  lumière  n'est  pas  infinie  et  comme 
la  terre  se  meut  par  rapport  à  cet  astre,  cette  image  et  l'astre 
lui-même  ne  seront  plus  dans  la  direction  de  l'axe  optique  de 
rinstriimeiit  :  l'angle  de  la  position  réelle  de  l'astre  et  de  son 
image  dans  h\  lunette  (angle  qui  peut  aller  jusqu'à  20")  est  préci- 
sément ce  qu'on  appelle  l'aberration  astronomique. 

On  voit  que  ce  phénomène  ne  pourrait  exister  s'il  n'y  avait  pas 
de  vitesse  relative  de  la  terre  par  rapport  aux  ondes  lumineuses. 

Fresnel  a  montré  que  le  mouvement  de  la  terre  n'a  pas  d'in- 
fluence sur  la  réflexion  et  la  réfraction  (^i.  Il  imagina  Thypothèsc 
suivante  :  il  suppose  que  dans  les  milieux  réfringents  autres  que 
Pair  et  le  vide,  il  y  a  entraînement  partiel  des  ondes.  Pour  voir 
la  valeur  du  coelfiGient  de  cet  entraînement,  appelons  d^^  la  den- 
sité de  Téther  et  soit  cZ  la  densité  d'un  milieu  réfringent  quelcoiî- 
que  ;  la  fraction  d'éther  entraînée  est  d'après  Fresnel 


d'autre  part 


d-d„  __  ^ 

<h 

d 

'^„      ^'' 

d      \i 

Cj  Voir  pour  pins  (Je  délails,  H.  Poixcark,  Tlieorie  mathématique  de  la  lumière, 
t.  1,   p.  385,  Ji'  -^S."). 


V   et   Vo  étant  les  vitesses   «le   prcipîig.iliiiïi   des   miâes  thus  les 
deux  milieux  de  densité  d^  et  //  ;  m\ 

\y  /r  ' 

/i  étant  rindice  de  réfraction  du  milieu  eoiisicléré;  donc 

d  —  (L  I 


d 


n 


c'est  la  valeur  du  coefficient  dVnIraiiiemeiit  d'éiprès  Fresiiel. 

Ces  vues  théoriques  de  Fresnel  ont  été  eimfiriiiées  |Mir  les  c^xpé- 
riences  de  Fizeau.-ll  mettait  en  évidence  cet  eïiii'jiîneiîîeiil  par- 
tiel des  ondes  au  moyen  du  déplacement  des  iVanj^es  cFiiilerfé- 
rence  qui  avaient  traversé  de  l'eau  en  mouvement  vilrsse  de 
j  mètres  par  seconde.')  De  plus  le  déplacement  des  franges  itviiil 
lieu  tantôt  à  droite,  tantôt  à  gauche,  suivant  le  sens  du  moiive- 
nient  de  Teau.  La  valeur  de  ce  déplacement  comcicîait  sensible- 
ment avec  le  résultat  théorique  de  Fresnel.  Ces  mêmes  expérien- 
ces répétées  avec  de  Tair  ont  donné  un  résultat  négatif,  conloriiie 
encore  aux  vues  théoriques  de  Fresnel. 

Ces  expériences  de  Fizeau  ont  été  reprises  dans  des  comli- 
tions  plus  favorables  par  ^NDI.  Michelson  et  Morleyi/  .  Le  dépla- 
cement de  la  frange  centrale  dans  leurs  expériences  alieignail 
presque  une  frange  entière  0,899  frange  exactement  .  Les  mêmes 
expériences  répétées  avec  de  Tair  (vitesse  de  :i^  mètres  par 
seconde)  ont  donné  un  résultat  néi^atif. 


D 


403.  —  Depuis  de  nombreuses  expériences  ont  été  laites  pour 
mettre  en  évidence  le  mouvement  de  la  terre  au  moyeu  des  phé- 
nomènes optiques.  Dans  ces  expériences  la  source  iumineuse  et 
tous  les  appareils  optiques  étant  sur  la  terre  avaient  même  vitesse 
et  n'étaient  pas  en  mouvement  relatif  les  uns  par  rapport  aux 
autres.  Toutes  ces  expériences  ont  donné  des  résultais  iiégatiîs. 

Il  y  a  cependant  une  exception  :  ^L  Fizeau  a  cru  observer  une 
influence  du  mouvement  de  la  terre  sur  la  rotation  du  plan  de 
polarisation  dans  la  réflexion  vitreuse  de    la  lumière    polarisée. 


{')  American  Journal  of  Science;  vol,  XXXt,  mai  iSmî. 


I  5i8         PHÉNOMÈNES  OPTIQUES  DANS  UN  CORPS  EN  MOUVEMENT 

/  Mais  ces  expériences  sont  excessivement  délicates  et  M.  Fizeau 

m'a  fait  connaître  lui-même  les  cloutes  qu'il  conservait  à  l'égard 
du  résultat  que  nous  venons  de  citer. 
,'  On  reconnaît  facilement  que  pour  qu'il  n  y  ait  pas  d'influence 

1  du  mouvement  de  la  terre  sur  les  phénomènes  optiques,  il  faut, 

|/  d'après  Fresnel,  que  le  coefficient  d'entraînement  ait  pour  valeur 

û  , 

ll>  Mais  qu'est-ce  que/z?  Est-ce  l'indice  de  réfraction  corespondant 

f  h  chaque  couleur  ou  bien  VùicUce  moijenl  — >    Pour  Fresnel,   n 

|.  est  l'indice  de  réfraction  moyen  :  pour  lui  la  vitesse  d'entraîne- 

*l*  ment  de  l'éther  est  indépendante   de  la  longueur  d'onde  de  la 

'  lumièi^e.  Or  en  réalité  n  n'est  pas  une  constante  ;  il  dépend  de  la 

couleur  du  rayon  lumineux  et  n'est  pas  le  même  pour  un  rayon 

ordinaire  et  un  rayon  extraordinaire  dans  un  milieu  biréfringent. 

/i  L'hypothèse  de  Fresnel  demande  donc  à  être  modifiée. 

?  404.  —  Lathéorie  de  Lorentz,  comme  nous  allons  le  voir,  expli- 

que assez  bien  ces  faits.  Il  faut  cependant  faire  une  hypothèse  : 

l  Si  on  (peut  que  les  phénomènes  optiques  ne  soient  pas    influencés 

par  le  mouç^ement  de  la  terre  il  faut  qu'on  néglige  dans  les  for^ 
mules  les  tenues  de  Tordre  du  carré  de  r  aberration   (c'est-à-dire 

de  Tordre  de  — r  1  • 

10^    / 

Si  l'on  tient  compte,  au  contraircf  de  ces  termes,  le  mouvement 
delà  terre  exerce  alors  son  infkience  sur  les  phénomènes  optiques. 

Dans  presque  toutes  les  expériences,  ces  termes  sont  en  effet 
négligeables;  il  y  a  exception  toutefois  pour  une  expérience  de 
Michelson,  qui  montre  que  le  mouvement  de  la  terre  n'a  pas  d'in- 
fluence sur  les  phénomènes  optiques  qu'on  observe  à  sa  surface 
et  où  il  se  trouve  que  les  termes  de  l'ordre  du  carré  de  ra])er- 
ration  ne  sont  plus  négligeables. 

Voyons  maintenant  comment  la  théorie  de  Lorentz  expll(|ue  ces 
phénomènes. 

405.  Explication  de  ces  phénomènes  par  la  théorie  de 
Lorentz.  —  Nous  nous  proposons  de  démontrer  que  si  on  néglige 


EXPUCATIOS  DE  CES  PHKyOMÊXES  PAU  LA  TiKùMH:  iàF  lùiif  M/  Vi^i 
les  termes  de  Tordre  du  carrp  de  raliernilitiii  h  nif^llirirïîl  il'*-»- 
traînement  des  ondes  est  i . 

Supposons  que  nous  rapportions  le  syst^oir  k  drs  axi-s  îiiolii- 
les,  entraînés  dans  le  mouvement  de  ht  lerre;  ariiîîif»;^  par  rwisr- 
quent  d'un  mouvement  de  translation  iinilornie  dont,  h»  ciinî|Mi- 
santes  sont  ç,  r,,  Ç. 

Appelons  j:,  y,  z  les  coordonnées  d'un  point,  prises  par  rapport 
aux  axes  fixes  et  .r,  y\  z  les  coordonnées  de  ce  iiième  jMiiiil.  pri- 
ses par  rapport  aux  axes  mobiles. 

On  a  comme  relation  entre  ces  deux  catégories  de  eocirdiiiiîîées, 

Xous  continuerons  à  désigner  par  -y  (avec  des  â  ordinaires)  les 

dérivées  prises  par  rapport  au  temps  en  supposant  le  point  (.r, 
?/,  z)  fixe,  —  ce  seront  les  dérivées  correspondant  au  moiiveinent 

absolu  du  point  — ,  et  par  -^  (avec  des  d  ronds)  les  dérivées  pri- 
ses par  rapport  au  temps,  mais  en  supposant  que  le  point  x,  f , 
.::)  est  entraîné  dans  le  mouvemenî  de  la  terre  :  ce  seront  les  déri- 
vées correspondant  au  mouvement  relatif  do  point  en  question. 
Rappelons-nous  que  dans  ce  dernier  cas  on  a 

D  cl         ^    d  d         ^    d 


I    - 


(\[  dt         ^  d.v     ■     '   dy     '     '    dz 

Cela  posé,  supposons  que  nous  ayons,  comme  précédemment. 
(a)  x=X/^'-^^^-^  . 

En  prenant  comme  variables  j.\  y\  z\  nous  aurons  de  même 
(//:  X  =  X/^'' ."■^'^'^~^', 

et  en  identifiant  les  deux  exposants  il  vient, 

p  (nz  \  %—l]  =//  ^n'z'  \  K,  —  t\.       ^ 


520         PHESOMÈNES  OPTIQUES  DANS  UN  CORPS  EN  MOUVEMENT 

d'où 

—  représentera  alors  la  période  vibratoire  du   mouvement  et 

—  représentera  la  période  relative  d'une  vibration  telle  qu'elle 

P' 

apparaîtrait  à  un  observateur  entraîné  dans  le  mouvement  de  la 

terre.  Le  principe  de  Fizeau  nous  apprend,  en  effet,  que  quand 

un  observateur  vient  au-devant  de  l'onde  la  période  vibratoire  lui 

semble  raccourcie  et  ciu'elle  lui  semble  augmentée  au  contraire, 

quand  il  marche  dans  le  même  sens  que  l'onde. 

Cela  posé,  des  équations  [a]  et  [h]  on  tire, 

H  #  =  -"-^. 

M  ^''<'"^- 

406.  —  Rappelons  maintenant  les  équations  que  nous  avons 

trouvées  pour  un  corps  en  repos  et  pour  les  corps  en  mouvement. 

Pour  les  corps  en  repos  nous  avons  trouvé  (formules  1 1,  p.  5o8) 


\. 


d-'^.     .     Y 


=/■+■ 

X 

"3  ' 

=  é.'-+ 

Y 

==/'  + 

z 

6 

-    \    ■'     df    ^  L, 

Pour  les  corps  en  mouvement  il  convient  d'ajoulei'  un  terme 
complémentaire  aux  seconds  membres  des  équations  précédentes, 

-     t^"X„     ,     X,      ^ X  K„  , 

•l~T-      y       -\ 


i^^Y„    ,     Y„  ,    Y     .     K„ 


_^=_<.+  _-  +  _i    :a 


CQ 


"^+Tr=''  +  T-^-4r^^'^ 


EXPLICATroy  DE  CES  PHÊXOMÏiXEs  PAR  £„î    î'ÏIIJCillII*  BE  iJJiîEXÏ'I    tji 

T écris  ici  la  dèriçèe  par  rapporî  an  iemps  ^ret  des  è  mnJg^ 
Rappelons-nous,  eu  efîet,  cciîmiieiit  «iius  avtnis  «liîmii  ct'lti* 
équation. 

Nous  sommes  partis  de  réquation  de  rrt|iiiliîjre  iriîiie  |iartiriiît* 

^,^  +  .,._.,  =4;-+ 4.- J^  ,,.;,,]. 

et  nous  avons  fait  la  somme  de  ces  éc.|iîalio!is  par  rapport  aux 
particules  de  K"  sorte,  comprises  dans  le  voliinie  !)-:;  nous  uroiis 
ainsi  trouvé, 

Si  e  est  une  constante  et  si  le  mouvement  di'  la  pîtrliiHile  est 
uniforme,  nous  avons  vu  que 


dt- 


>  e  —j-r  =  \  -7-7  ^  -t*  -—  '^'n  =  i^~  ~T7" 


Mais  la  dernière  dérivée  par  rapport  au  temps  est-elle  prise 
par  rapport  au  mouvement  relatif  ou  bien  par  rapport  au  iîîou- 

vement  absolu?  Remarquons  à  cet  eflel  que  le  signe     ^     s  rteod 

toujours  au  même  élément  de  volume  Dt,  et  comme  cette  parti- 
cule Dt  ,  est  entraînée  dans  le  mouvement  de  la  matière,  c  est  la 
dérivée  avec  des  ù  ronds  qu'il  faut  considérer. 
C'est  ce  que  nous  voulions  montrer. 

407.  —  Nous  avons  encore  comme  équations   p.   41)6,  èq.    iH. 

,  dt  ^   dt  dz   ■  dij 

ds;        dX     .     d    ,,..      ^.   ,         '/ 


YH-Xr- ^  Zr,-ï:. 


dt  '^   dt    ^  d.r  -   ^      "    '•         dz 


__  dh         dZ     .    ji_  ■/.  _  Y^ iL   X"  —  '/'- 

'''^If^W^  d,j  ■  '''         ~         dx  ■'  ^ 


5!2'i  PHÉNOMÈNES  OPTIQUES  DANS  UN  CORPS  EN  MOUVEMENT 

Ici  nous  n  avons  plus  de  raison  cFccrire  les  dérivées  avec  des 
(S  ronds. 

Nous  avons  ensuite, 


(^} 


(4) 


dF'  = 

h- 

~  dt)' 

-4^(»'- 

dt)' 

-4^(.v- 

dh\ 
dt  )' 

fi* 

Ko 

■fi* 

4?: 

dt 

■  :i-  i .- 

La  première  question  qui  se  pose  est  celle  de  savoir  si 

c'est-à-dire  si  les  vibrations  sont  transversales.  La  réponse  est 
négative  :  l'expression  précédente  n'est  plus  nulle  dans  le  cas 
actuel  (mouvement  de  translation)  mais  il  est  évident  qu'étant 
nulle  dans  le  cas  des  corps  en  repos,  dans  les  corps  en  mouve- 
ment elle  est  très  petite,  de  r ordre  de  V aberration. 

408.  —  Supposons  maintenant  que  nous  ayons  alïaire  à  des 
ondes  planes;  nos  formules  vont  se  simplifier;  et  si  on  suppose 
de  plus  que  le  plan  de  Tonde  est  perpendiculaire  à  l'axe  des  c, 
nos  fonctions  ne  dépendrons  que  de  z  et  de  t. 

La  première  relation  (s»)  devient  alors, 

,'.    /.  X  df        dX         ^    dX         .    dZ 

^^'"^        "—ir+-dr-^--^-'77- 

La  première  relation  (4)  se  simplifie  aussi  ;  elle  devient, 

(4  bis)  □/■=_i.^  □];■/_ 

4^     dt 


EXPUCATION  DE  CES  PliÉNOMÈyES  P.iit  LA   TilÉOUm  DE  iJiÊEXTd  ^il 

De  plus,  notre  expression 


qui  se  réduit  ici  à 


Sî 


dz 


est  de  Tordre  de  laberration  ;  or  ;,  7,,  ^  étant,  eux  aussi,  âe  ftir- 
dre  de  Taberration,  Texpression 


dl 

77 


sera  de  Tordre  du  carré  de  Taberralioii  :  nous  iié<fTi«er«îis  titiîir 
ce  terme  dans  l'expression  [ibis],  conrorniémcnt  h  luitrc  hvpo- 
fhèse.  Cette  relation  devient  alors, 


'2  ter) 


(If       dX 


ili 


dt 


^  d\ 
■'   dz 


D'autre  part,  développons  l'expression    4  ^'■'''  :  <^1!*?  """*  donne 


^  -/'-  '^    dl-  4- 


dz' 


di 


et  en  remplaçant  uF'  par  sa  valeur    3 


d-r 


dY  _ 


dzr 


"    ,/l' 


K.^i" 


dt 


ou  encore,  en  tenant  compte  de  (2  ter 

a'-X 


de 


'"^  dzdt 


409.  —  Evaluons  séparément  chaque  terme  de  celte  relaiion  et 
pour  simplifier  supposons  que  la  lumière  soit  monochronia!i<iui-. 
autrement  dit  supposons  que  toutes  nos  fonctions  contiennent  en 

facteur  e'^!'"^'"^-". 


Il  5'2Î         PÎIÉSOMEXES  OPTIÛVES  DAXS  UX  CORPS  EX  MOUVEMEXT 

i 

I  Nous  aurons  alors 

I  rv 

D'autre  part  (n"  393,  p.  5o4) 

La  relation  (4  ter)  devient  donc, 

ou  finalement, 

(5)  (/z^— i)/=:X(i  —^^nsJK;). 

410.  —  Transformons  maintenant  les  équations  (i). 
Dans  le  cas  d'un  corps  en  repos  la  première  équation  (e)  nous 
donnait 


X: 

tPΗP' 


dans  le  cas  d'un  corps  en  mouvement  elle  doit  être  remplacée 
par  l'équation  (t)  qui  en  diffère  pour  deux  raisons;  d'abord/' 
est  remplacé  par 

/'+|^(■^T-î;?)• 

Ensuite  la  dérivée  — -^  est  remplacée  par     ,'  '-■  .    Il    faut   donc 

dans  la  formule  précédente   remplacer  /^'par  /'-j ['^r{  —  ^?) 

et  p  par />'  ce  qui  donne  : 


KxrucAiîox  DE  CES  iw^xoMEyEs  pjn  £j  iwmm:  de  imui^m^  5.; 
Evaluons  la  quantUé  c|ii'î   fi^mn.  d;m<,  h  iKirniîIirse  iliî  t^wiiiiî 
membre  en  négligeant  les  termes  île  F.irtlre  ilu  r;,rrf*  tir  ralit^rni- 
lion. 

Pour  les  corps  en  repc^s  nous  avions  - -=  ik 
D'antre  part 


47://, 


(il/  iiz 


qui  devient  en  y  faisant  ^  =  0 


ou  encore, 


(.roii 


4^.„  =.  _  <1 


il 


or,  pour  les  corps  en  repos, 

(/r-,7-=X, 

(\\m 

et  par  consé(|uent 

de  sorte  ([ue  nous  avons  en  définitive 

'       \  K. 

ces  équations  ne  sont  vraies,  je  le  répète,  qu'en  supposant  qoll 
n'y  a  pas  de  mouvement  ;  elles  sont  donc  vraies  aux  lermes  près 
(le  Tordre  de  Taberration. 
On  a  donc 

y^Y  =  O, 


^■26         PUKXOMKXES  OPTIQUES  DANS  VN  CORPS  EX  MOUYEMEXT 

qui  sont  vraies  aux  termes  près  de  l'ordre  du  carré  de  l'nberr-, 
tion,  que  nous  sommes  convenus  de  négliger. 
11  vient  donc  pour  un  corps  en  moucement, 

ou  enfin, 
En  multipliant  les  relations  (5)  et  (7)  membre  à  membre,  il 


vient, 


ou  encore, 


de  sorte  que  (8)  peut  s'écrire, 


n- —  I 

ni 


ou  encore 

(9)  'i'  —  n 


'<■   — ni 

U  ;i;:ss?'d.:l:":;"T  ""^'  '^  ^°^'''^^^"*  crentminement. 
.stione"  ""'"'  '•'^'""^-^^  «"'-  q-  le  corps  en 


question  est 


I 


EXPUCATIOS  DE  CES  PIlEXOMÈyES  PAU  Li  TUmRiE  BE  lOMEXil   rj; 
La  vitesse  dans  le  ecirps  en  nmiiveîiîeiîl  ej;! 

I 


S'il  n'y  avait  pas  d'entraineinenl  nous  auriiiris, 
I  I 

s'il  y  avait  entraînement  total  des  ondes,  nous  aiiriiMîs, 


^'V'ï^ii        ^^A  ^. 


et  enfin  s'il  y  a  entraînement  partiel  des  ondes,  avec  le  enetlrit'îil 
£,  nous  avons 

I  I         .    ^ 


Nous  tirons  de  là, 

__!_  ___!__   ;      _^^^^^  ^^ 

et  comme  la  différence  entre  n  et  /?,,  est  de  Tordre  de  Faberra- 
tion 

—  =  —;!+  Zm  \  ''K:  , 
n  n.^ 

d'où,  

ou,  en  négligeant  les  termes  de  l'ordre  de  Z\ 

d'où 

/r  — n'i  ^       — 

^ =  —  2^c/i\    k,, 

et  enfin 


5iS        PIIÉWOMÈyES  OPTIQUES  DAXS  UX  CORPS  EN  MOUVEMENT 

or  cVaprès  (i  i) 


donc 


I     r 

ni  71^ 


I  '         ■                                                                                       C.  Q.  F.  D. 

I 

|.  Ceci,  en  négligeant  les  termes  de  Tordre  du  carré  de  Taber- 

I  ration,  car,  avons-nous  dit,  la  différence  entre  n  et  n^  est  de  Tor- 

f  *                  dre  de  l'aberration. 

f  Nous  voyons  donc  que  la  valeur  de  n  qui  figure  dans  l'cxpres- 

I  sion  du  coefficient  d'entraînement  ne  représente  pas  l'indice  de 

I  .    réfraction  moyen  comme  les  vues  primitives  de  Fresnel  le  feraient 

J  prévoir,  mais  qu'il  dépend  de  la  couleur  considérée  et  n'est  pas 

)l  le  même  pour  un  rayon  ordinaire  ou  pour  un  rayon  extraordi- 

I  '                 naire. 

I  '                               La  théorie  de  Lorentz  explique  donc  très  bien  ce  fait  paradoxal 

I  que  rexpérience  nous  avait  conduits  à  admettre,    mais  qui  sem- 

I  blait  d'abord  difficilement  conciliablc  avec  les  idées  de  Fresnel. 

*  Précisons  davantao;e  le  sens  de  cette  formule. 

I 

— ?:=  représente   la^  vitesse   absolue    de    translation    de   Tonde; 


' 7=:- représente  la  vitesse  avec  laffuelle  se  propao-erait  Tonde  si 

^^oVX  i  i  1       O 

la  terre  était  en  repos  et  si  la  période  du  mouvement  vibratoire 
était  relative,  en  tenant  compte  du  principe  de  Doppler-Fizeau.  I.e 

dernier    terme    U  i j-  J  représente  le  produit  de   la    vitesse 

d'entraînement  t  par  le  facteur!  i :;-  j ,  /i  se  rapportant  à  la 

couleur  considérée. 

412.  — Nous  allons  maintenant  démontrer  un   théorème    plus 
général. 

Théorème,  Le  mouvement  de  la  terre  ninjl.ue  pas  sur  les  phé- 
nomènes optiques  si  on  néglige  les  carrés  de  q,  */i,  t^. 

Démonstration.  — Pour  démontrer  ce  théorème  rappelons  les 


TIIEOIIKME  Vj«, 


équations  qui  nous  ont  servi  à  expliquer  les  phénoniJ-nes  opiiques. 
Ce  sont. 


i^) 


(4) 


*:) 


X 

=Z 

X.; 

v.Vv. 

z=y/. 

1 

+ 

X. 

-z'-^- 

» 

'  \ 

+  - 

Y. 

=.+^. 

4^  ^''='~^" 

» 

>.. 

+  - 

--4^ 

■4" 

: 

1 

dt 

==- 

4::    (dh 

dt 

=  - 

4^  /  df 

K  \  dz 

d/t\ 

d.r)' 

\ 

d'.; 
de 

d" 

4-   fdi,' 

df). 

dy)  ' 

\ 

<'/ 

./;  =  ^^ 

//, 

dy. 

,/.. 

1 

dz- 

</.;  =^"' 

'- 

<^ 

(/a 

d.v 

'/i.  =  ^^ 

r: 

f  = 

'^'  1 

dl 

■  + 

^^^■^- 

Xv.  . 

= 

</Y 

+ 

cLv 

-;:'- 

vr, 

v  = 

dZ 
dl 

+  - 

dl/    ■ 

Z-:  ; 

h-dl--'' 
PoiNCARt:.  Électricité  et  Optique. 


53o         PHÉNOMÈNES  OPTIQUES  DANS   CN  CORPS  EN  MOUVEMENT 

Faisons  le  changement  de  variable  suivant,  posons, 

K„ 


I  .  /w+^(v:'-^p: 


I    ^  (8)  ■h'-'=é'-+|r(^--?T). 

il     ;.'  4"- 

I    !!  i    *'  =  a  —  4-  (■>'yt  —  Ci,'')  7 

I  r  (9)  ?'=p.-4^(ç/--?A), 

I     ,,  et  prenons  comme  variables  x' ,  y\  z\  //,  définies  par, 

I 

I  (II)     .  ^^=:=^—  K.y^^i. 

f 

1  Disons  deux  mots  sur  la  nouvelle   variable  i'  :   c'est  ce    que 

]  Lorentz  appelle  le  temps  local.  En  un  point  donné  t  et  t'  ne  diiïè- 

reront  que  par  une  constante,  t'  représentera  donc  toujours  le 

[  temps  mais  l'origine  des  temps  étant  différente   aux  diflerents 

points:  cela  justifie  sa  dénomination. 

Quelle  est  l'ordre  de  grandeur  de  ce  temps  local?  Considérons 
à  cet  effet  deux  horloges  situées  a  i  kilomètre  de  distance  l'une  de 
Fiiutre  et  entraînées  dans  le  mouvement  de  la  terre.  D'après  la 
définition  du  temps  local  de  Lorentz  il  y  aurait  une  difierence 

dans  les  indications  de  ces  horloges  de-rr— r-secondes. 

Dans  les  calculs  qui  vont  suivre  je  négligerai  constamment  les 
carrés  de  ç,  r,,  ^. 

Des  relations  (lo)  et  (ii)  je  tire, 


:^'  +  Iv 


o2j    '^^' 


TëUPS  WCM.  UI:  I.OHEM/. 


d'où 


dl 

Jl. 

dx 

A. 

dz. 


dl 
dx 


.V 


II.-  :    <^ 


1-1  = 
f    dy 


d  d 

'lî^-^^'^-dï- 


En  faisant  ce  changement  de  variable,  les  équations  fondamen- 
tales que  nous  avons  transcrites  ci-dessus  (p.  329    devieiinenl, 


X 


=Yx. 


"Tï.;        z=Y/... 


K 


dt" 

df- 
dl'' 


d^' 


dl' 

dV 


dl' 


Y. 


^1     =    o'-U    — 


3  ' 
Y 


z 

1" 


4-   /^/A'         du' 


[dit  dg 

4-  /^//'       c//^ 


/_„^\ 

K.  V  dz  dx'  ) 


dt'  K,  V^^-i'"       <y/' 


et  en  posant. 


,_  df  _^  ^ 


dl_ 
dl' 


dl'  ' 

il 
dl" 


dh'.       d'L 
''  dt'  "^  dl'  ' 


f'' 


53a        PHÉNOMÈNES  OPTIQUES  DANS  UN  CORPS  EN  MOUVEMENT 

il  vient, 


dy' 
da! 


dr' 


dz' 
d^ 


dx' 
d^ 


dx'         dij 
Z  dx'  ^Z  dx'  ~  ""' 

^  dx' 

On  obtient  donc  les  mêmes  équations  que  dans  le  cas  du  repos 
à  cela  près  que  les  lettres  sont  accentuées  dans  le  cas  actuel. 

Quelles  conclusions  pourrions-nous  tirer  de  là?  Que  va  voir 
un  observateur  entraîné  dans  le  mouvement  de  la  terre?  D'abord^ 
nous  savons  que  dans  les  expériences  d'optique  les  mesures  les 
plus  précises  sont  celles  de  position:  la  position  d'une  frange 
d'interférence  par  rapport  h  une  autre,  etc.  ;  on  constate  par  con- 
séquent qu'en  certains  points  on  a  de  la  lumière  et  qu'en  d'au- 
tres points  on  a  de  l'obscurité.  Aux  endroits  oii  il  n'y  a  pas  de 
lumière  c'est  que  /,  ^',  A;  a,  [3,  y,  s'annulent  à  la  fois;  or  ol',  [3\ 
T^  fi  é'^  ^^^  s'annulent  en  même  temps  que  a,  j3,  v;  f\  g,  h  :  les 
phénomènes  observés  seront  donc  les  mêmes,  que  le  déplace- 
ment électrique  soit  f^  g,  h  ou  f'^  g',  h' ,  ou  que  la  force  magné- 
tique soit  a,  p,  y,  ou  a',  fJ,  y'.  Or  x',  y',  z' ,  sont  les  coordonnées 
prises  par  rapport  aux  axes  mobiles  (qui  suivent  le  mouvement 
de  la  terre)  par  conséquent  la  conclusion  précédente  revient  à 
dire  que  les  phénomènes  optiques  sont  les  mêmes  que  si  les  coor- 
données étaient  .r,  y,  z  :  que  si  la  terre  était  en  repos. 

En  ce  qui  concerne  la  différence  de  temps  local,  cette  diffé- 
rence est  trop  faible 


TT- ^secondes  par  kilomètre  de  distance 

pour  être  appréciée.  Les  phénomènes  optiques  ne  permettent 
donc  pas  de  déceler  le  mouvement  de  la  terre  (en  négligeant  les 
carrés  de  ç,  yj,  'Ç).  On  pourra  combiner  de  toutes  les  manières 
possibles  les  phénomènes  dé  réflexion  vitreuse,  polarisation,  etc.  ; 


REMARQl'ES  îîî 

on  n'aura  rien.  C'est  qu'en  effet  Jans  nos  équalicHis  «crus  n'iiTcins 
nullement  supposé  que  nous  avions  iiilaire  k  iiii  iiiiîicni  lioiîici- 
gène. 

413.  —  On  pourrait  faire  une  objection  a  la  etiBelusittii  que 
nous  venons  de  faire  :  on  pourrait  dire  que  si  îa  position  des 
franges  n'est  pas  modifiée,  il  ne  résulte  pas  de  là  que  leiir  iateii- 
sité  ne  le  soit  pas  ;  et  si  Ton  pouvait  mesurer  cette  variât ioii  crinteiî- 
site  on  aurait  un  moyen  pour  déceler  le  mouvenienl  de  îa  terre 
par  des  phénomènes  optiques.  Mais  nous  allons  voir  qu'il  n'en 
est  rien  :  il  y  a  impossibilité  matérielle  de  mesurer  «ne  pareille 
variation  d'intensité. 

Voyons  eela. 

L'intensité  lumineuse  est  proportionnelle  a  l'énergie  électrique 
ou  magnétique  et  l'énergie  électrique  localisée  dans  un  élément 
de  Dt,  rapportée  à  l'unité  de  volume,  a  pour  expression, 

K  Zj^  * 
Eh  bien,  comparons  cette  expression  à  la  suivante, 

En  remplaçant  /'  par  sa  valeur  et  en  négligeant  les  carrés  de 
;,r.,  :,  il  vient, 

.      »-  V      . 

■    C        T         w 

K    /j  /  Iv  Zj  '  ' 

D\'iutre  part,  l'énergie  magnétique  rapportée  à  Tunîté  de  volume 
a  pour  expression, 


8.^" 


comparons 


-là  h 


é      \ 


î 


534        PHÉNOMÈNES  OPTIQUES  DANS  UN  CORPS  EN  MOUVEMENT 

.  Cette  dernière  expression  a  pour  valeur 


a     p     y 


/• 


Comparons  doncles  trois  quantités  suivantes, 


2- 

K„ 


ç    '^i 

S 

a     p 

r 

/■    è' 

// 

Si  les  ondes  sont  planes  on  trouve  aisément  que  ces  trois  quan- 
tités sont  entre  elles  comme, 


I 


COS    CD 


lOOOO 


('^  étant  l'angle  de  la  vitesse  de  la  matière  et  de  la  direction 
de  propagation  de  l'onde). 

Qu'est-ce  qu'il  résulte  de  là?  C'est  que  le  terme  complémen- 
taire. 


f 


h 


est  très  petit  ;  le  rapport  de  ce  terme  à  l'intensité  totale  sera  une 
très  faible  fraction  de  l'intensité  totale.  Ce  serait  au  plus        ^ 


to  000 


de  l'intensité  totale.  Or,  on  est  absolument  dans  l'impossibilité 
de  mesurer  une  intensité  lumineuse  à  — 


0  000 


près  ;  si  on  photo- 
graphie les  franges  d'interférence,  on  ne  peut  pas  apprécier  sur 
la  plaque  photographique,  d'un  point  à  l'autre,   une  différence 

d'intensité  de ;  on  voit  par  conséquent  que  cette  variation 

d'intensité  lumineuse  prévue  par  les  considérations  précédentes, 
n'est  pas  abordable  expérimentalement. 


414.  —  Remarquons  cependant  que  les  considérations  précé- 


liEMAm^VES  %i% 

dentés  supposent  que  les  (lUffes  st»iit'|-ilaiirs.  En  griirral  li^s  ciiitir* 
employées  en  optique  sont  planes.  Je  iir  r«iiiiais  i|iir  Feipr- 
rience  cUOtto  Wiener!./)  où  les  ondi^s  iie  Simnil  pas  tuyt  ;i  iaiî 
planes.  M.  Wiener  fait  interférer  deux  «miles  ii  nm^y  «irtiit;  il 
obtient  des  franges  excessivement  fines  ^'eiivirtm  4  p;ir  iîiiiliriiie 
de   millimètre).    Dans  ces    conditions    on  n'a  plus  alairt*  à  des 

ondes  planes  et  -j^  y  ^p  peut  alors  s'aniîuîer  sans  ipir  le  terwie 
complémentaire  (le  déterminant  ci-dessiisj  s'annule  en  niêitie 
temps,  par  conséquent  sans  (|ue -^  7*  f'  s'aiiriiile;  les  fraiiges 
pourraient  donc  être  déplacées  par  le  jiKiiivement  de  la  lierre  il** 


I 


•  de  leur  valeur.:  un  pareil  déplacement  est  tout  a  fait  inap- 
1000  ^  ^  * 

préciable  ;  on  est  déjà  très  content  de  pouvoir  voir  ces  franges, 

mais    on   ne  peut  chercher  à  mesurer   un   déplacement  c|iii   ne 

dépasse  pas de  leur  largeur   (qui  est  elle-mt^nie  cîe~7€ie 

millième  de  millimètre)  ;  ce  serait  peine  perdue. 

415.  —  La  différence  provenant  du  temps  local  ne  peut  pas 
non  plus  être  mise  en  évidence.  Nous  avons  vu,  en  eiîeî,  tjoe  d'a- 
près Lorentz  la  différence  entre  le  temps  vrai  et  le  temps  local 

pour  I  kilomètre  de  distance  est  de-rj ~  secondes,  i'e  temps 

est  sulîisamment  long,  il  est  vrai,  par  rapport  à  une  période  vibra- 
toire, et  par  conséquent  il  paraîtrait  pouvoir  être  mis  en  évidence 
par  les  interférences,  seulement  il  faut  se  rappeler  c|ii*on  ne  peut 
pas  observer  directement  les  différences  de  phase  entre  deux 
vibrations  se  produisant  en  deux  poinls  lUjJèrenls. 

Les  phénomènes  optiques  ne  peuvent  donc  pas  être  aiiêrês  par 
le  mouç^enient  de  la  terre. 

416.  —  Sous  ce  rapport,  la  théorie  de  Lorentz  est  parfaitement 
d^iccord  avec  Vexpérience.  Mais  M.  Michelson  a  fait  interférer 


(^;,  Otto  Wiener.  Wieti.  Ann.,  t.  XL. 


t  H 


'i  i 

I  "  I  536        PHÉNOMÈNES  OPTIQUES  DANS  UN  CORPS  EN  MOUVEMENT 

\     I  deux  rayons  lamineax  dans  les  conditions  suivantes  :   le  premier 

l     I  subissait  une  réflexion  sur  une  glace  sans  tain  placée  dans  l'azi- 

l^     I  mutli  45°,  puis  une  réflexion  sur  un  miroir  dans  l'azimuth  90°;  et 

I     I  traversait  ensuite  la  glace  sans  tain  par  transmission  ;  le  second 

I     l  rayon  traversait  d'abord  cette  même  glace   et  subissait  ensuite 

une  réflexion  sur  un  miroir  dans  l'azimuth  o^  puis  une  réflexion 
sur  la  glace  sans  tain. 

Dans  les  conditions  de  l'expérience,  les  termes  de  l'ordre  du 
carré  de  l'aberration  auraient  du  devenir  sensibles  et  cependant 
le  résultat  a  encore  été  négatif.   La  théorie  de  Lorentz  comme 
1 ,    1  toutes  les  autres  théories  optiques  faisait  prévoir  un  résultat  posi- 

tif.   ■ 
fi  On  a  alors  imaginé  une  hypothèse  supplémentaire.   Tous  les 

I      f  corps  subiraient  dans  le  sens  du  mouvement  de  la  terre  un  rac- 

7     ')  I 

I      :  courcissement  de 5-  de  leur  longueur. 

I     'l  2x10^  ^ 

I      l  Cette    étrange   propriété    semblerait  un   véritable   «    coup  de 

J      î,  pouce  »   donné   par   la   nature  pour   évltisr    que   le  mouvement 

I      \  absolu  de  la  terre  puisse  être  révélé  par  les  phénomènes  optiques. 

I       I  Cela  ne  saurait  me  satisfaire  et  je  crois  devoir  dire  ici  mon  sen- 

^       '  timent  :  je  regarde   comme  très   probable  que  les  phénomènes 

\  optiques  ne  dépendent  que  des  mouvements  relatifs  des  corps 

;  matériels  en  présence,  sources  lumineuses  ou  appareils  optiques 

et  cela  non  pas  aux  cpiantités près  de  V ordre  du  carré  ou  du  cube 
de  Vaherration^  mais  rigoureusement,  A  mesure  que  les  expérien- 
ces deviendront  plus  exactes,  ce  principe  sera  vérifié  avec  plus  de 
précision. 

Faudra- 1- il  un  nouveau  coup  de  pouce ^  une  hypothèse  nouvelle, 
a  chaque  approximation?  Evidemment  non:  une  théorie  bien 
faite  devrait  permettre  de  démontrer  le  principe  d'un  seul  coup 
dans  toute  sa  rigueur.  La  théorie  de  Lorentz  ne  le  fait  pas  encore. 
De  toutes  celles  qui  ont  été  proposées,  c'est  elle  qui  est  le  plus 
près  de  le  faire.  On  peut  donc  espérer  de  la  rendre  parfaitement 
satisfaisante  sous  ce  rapport  sans  la  modifier  trop  profondément. 


CHAPITRE    VII 

INFLUENCE    DU    MOUVEMENT    DE    LA   TERRE    SUR   LES 
PHÉNOMÈNES  ÉLECTRIQUES  PROPREMENT  DITS 


417.  —  Voyons  maintenant  ce  qui  concerne  les  phéiitiniriies 
électriques  proprement  dits  qui  ont  pour  siège  les  condiieieurs. 

Quelles  sont  les  équations  fondamentales  de  Lorentz  dans  ce 
cas  ?  Remarquons  d'abord  qu'avant  affaire  à  des  conducteurs  ©a 
n'a  plus  de  polarisation  et  que  par  conséquent  Féqualion  en  !& 
doit  être  remplacée  par  l'équation  qui  exprime  la  loi  d'Ohm,  à 


^^î=-K  c^+  .^^  — -;. 

4'*''  7     ,     •*■  o 


X  étant  la  résistance  spéciiique. 
Quant  aux  autres  équations,  on  a 


dt  ~"         K^  \  dij         d 
d'^  4^    idf        dh 


&)■ 


(//  K„  \  dz       d.t 


^0 


d^ ^iiE_'If\  . 

dt^        K,  U.r        dij]' 


538  LWLUENCE  DU  MOUVEMENT  DE  LA  TERRE 

)     //a  (fy 

f    #  f/a 

df 

Vl    dy. 

2udF^°- 

I    doI_        dy' 

f    d^  __  do.' 
en  posant  '    ^^'        ^==^™^'' 

I  dt'  +/'' 

dt'~^''^ 


,    df^    (W     ,w 

^"  7/7' 7/7"' "^/TT  î^^Pî't'seiîteiil   le  eoiiveaii   ciiiiraiil   clr  liéplae-r- 

ment  et  (;;,  (j,  r)  le  courant  de  cciiidiiciitui. 

Quant  au   frroupe  (i;  d'équations    (muhmemiihs  de    Ltirrnu, 
il  devient 


Posons  encore 


ou 


S^' 


il  vient  alors 


r 

î/'  ^ 

k          r* 

K.V=,,, 

i>  =  i/'  - 

-  'f//  -T"  >; 

=  0. 

418.  —  On  trouve  donc  les  mêmes  équations  que  si  îa  terre 
était  en  repos;  à  cela  près  que  les  lettres  non  accentuées  sont 
remplacées  par  les  mêmes  lettres  accentuées.  ÎI  n'y  a  qu'un  petit 
changement  :  en  ce  qui  concerne  p,  qui  est  remplacé  par 

Voyons  alors  si  ce  changement  de  la  densité  éleeîric|iie  a  init* 
influence  sur  les  phénomènes  électrostatiques. 

Remarquons  d'abord  que  le  principe  de  la  conservaiion  de  l'élec- 
tricité n'est  pas  altéré  par  ce  changement  de  z.  Nous  avons  vu.  en 
eflet  que  les  équations  fondamentales  de  Lorentz  sont  compatililes 
avec  ce  principe  et  comme  les  équations  que  nous  venons  d'obtenir, 
en  supposant  la  terre  en  mouvement,  gardent  la  même  lornie  que 
celles  pour  le  cas  où  elle  est  en  repos,  il  en  résulte  qu'elles  sercmî 
encore  compatibles  avec  le  principe  de  la  conservation  de  1  élec- 
tricité. 

419.  —  ;\{ais  on  pourrait  se  demander  si  ce  changement  de 
p  n'aurait  pas  d'influence  au  point  de  vue  des  effets  mécaniques 
que  l'on  observe. 


J 


54o 


INFLUENCE  DU  MOUVEMENT  DE  LA  TERRE 


Pour  voir  cela,  considérons  un  conducteur  parcourn 
courant  pernaanent  et  évaluons  les  forces  auxaue  les Tl  1^''  "" 
mis  en  les  rapportant  à  l'unité  de  volume.  '  '""" 

Ce  conducteur  sera  soumis  : 

I"  A  la  force  électrostatique 


K 


■/; 


-thU^t.s::t:;rci^^^^     ^-  ^  ^'-ion 

exerce  son  action  sur  le  coumnt  T        j  ^ '"''^°^%"e 

le  courant  de  convecti on   J;    oiro^*""  P^'  ^^'  "^  "  '"^• 
action  électrodynamique  '    ^'  '"'''  ''^"^  P^"^  ««^^te 

on  aura  donc  en  tout, 
4^  „ 

qui  peut  encore  s'écrire 
4r. 


(0 


ceci  si  la  terre  était  en  repos. 
^»ns  le  cas  du  mouvement  on  a 


co.xDccirms  4|, 

(2)  p    ~—rr    ^,-7.    ~p-    , 

Evaluons  le  surcroît  d'effort,  c'est-à-dire  faîsciiis  la  dilTéreacc 
des  deux  efforts  (i)  et  (a)  ;  il  vient,  en  se  rappelant  c|ae 


\... 


or 
donc 


/,'  =  /, -4-  -^   H'i  — ï,a\ 
4~o  /  V--  +  ''  •  *  —  ^^   —  1'  .".  —  V  • 


ou  encore,  en  se  rappelant  qne 


.    4^;  (//^  +  ^'v  +  /"•:  =  4^i^//'. 

4-r,  (//;  +  -y  -f-  /ir   =  i~r, ^Jp, 
4-:  (//;  +  i,vy  +  An  =  4-^y//'- 


ê 


54-i  INFLUENCE  DU  MOUVEMENT  DE  LA  TERRE 

Or  nous  avons  en  désignant  par  P,  Q,  R  les  composantes  de 
la  force  électrique 

K  '' 


donC;, 


\   4T.r^^fp=K-r,^Pp, 


Quelle  est  la  signification  de\Py;?  Nous  avons  vu  antérieure- 
ment (p.  36i)  en  parlant  de  la  théorie  de  Hertz,  que  y  Ppck  re- 
présentait la  chaleur  de  Joule  produite  dans  l'élément  de  volume  d-z 
pendant  l'unité  de  temps  si  dans  cet  élément  de  volume  il  n'y  a 
pas  de  cause  produisant  de  Ténergie  électrochimique  ou  thermo- 
électrique  (efiFet  Peltier,  etc.)  ('). 

Par  conséquent  si  nous  considérons  un  circuit  parcouru  par 
un  courant  permanent,  la  chaleur  de  Joule  dépensée  dans  ce 
circuit  est  égale  à  l'énergie  produite  par  la  pile.  Par  conséquent 

rintégrale  /  P/;  étendue  à  tout  le  circuit  est  nulle  :  l'intégrale  de 

la  force  supplémentaire  étendue  à  tout  le  conducteur,  ou  ce  qui 
revient  au  même,  à  tout  l'espace,  est  identiquement  nulle. 

La  force  complémentaire  ne  donne  donc  pas  de  résultante  de 
translation  :  elle  se  réduit  au  plus  à  un  couple. 

M.  Lorentz  dans  son  mémoire  de  i895(-)  arrive  au  contraire  à 


(*)  Dans    ce   dernier  cas    il    faudrait  défaquer   de  l'expression   ci-dessus    cette 
é;ierg-îe  électrique  due  aux  phénomènes  thermo-électriques,  etc. 

(-)  LoREMTZ.  Versuch  einer  Théorie  in  bewegten  Korpern,  Leiden,  1895. 


coyDrcTEiiis  i|i 

dire  que  cette  force  compléaienlairf  clii  premier  iiriire  ii\*xi*»lt* 
pas.  Nous  avons  vu  pourtant  que  Faiialyse  qui  préeècle  iî©iis  fa 
montrée  assez  facilement. 

420.  —  Pour  nous  faire  une  idée  claire  de  îa  grandeur  tit* 
cette  force  citons  un  exemple  numérique  de  M.  iiénard  ,^^  \ 

M.  Liénard  considère  une  dynamo  de  loo  poiicclets  -^.=  €1$  kilo- 
watts et  il  suppose  que  sa  résistance  extérieure  est  égale  ii  sa 
résistance  intérieure. 

L'équivalent  mécanique  de  la  chaleur  dégagée  par  ser©!ick 
dans  le  circuit  extérieur  sera, 

—  loo  X  100  kgiii. 

La  force  supplémentaire  exercée  sur  le  circuit  extérieur,  ci» 
les  forces  électromotrices  sont  nulles,  aura  pour  valeur, 

Ki  —  loox  loo; 

2 

or  .-y j=_ _2_   _ 

^\'^  ~  yi  ~~   V  •  V 

-i-  le  rapport  de  la  vitesse  de  la  terre  â  celle  de  la  lumière  est 

écral  à  I0-'  et  Y  la  vitesse  de  la  lumière  est  égale  ii  3X1^^"-  eii 
prenant  pour  unité  de  longueur  le  mètre. 
On  obtient  donc 

l^o^  —  i^^Xï^^— 3xio«    2  6Xîo^     ^        bov 

cVst-a-dlre  une  force  tout  a  fait  négligeable. 

En  résumé  on  voit  donc  que  dans  le  cas  de  phénomènes  élec- 
trostatiques, bien  qu'il  y  ait  des  termes  du  premier  ordre,  il  n  y  a 
pas  d^actionqui  puisse  être  mise  en  évidence  expérimentalement. 

La  théorie  de  Lorentz  reste  donc  compatible  avec  les  faits 
expérimentaux. 


{')  Eclairage  électrique,  t.  XYI,  p.  324. 


CHAPITRE  VIII 

POLARISATION  ROTATOIRE  MAGNÉTIQUE  ET  PHÉNOMÈNE 

DE  ZEEMAN 


421.  —  Rappelons  en  quelques  mots  en  quoi  consistent  ces 
phénomènes. 

Faraday  a  montré  que  certains  corps,  lorsqu'ils  sont  placés 
dans  un  champ  magnétique  intense  et  qu'ils  sont  traveji'sés  par 
un  rayon  de  lumière  polarisée,  ontia  profÇieté'dà'-faire'tourner 
le  plan  de  polarisation  de  ce  rayon  de.  lunmre  quand  le  champ 
magnétique  est  parallèle  au  rayon  p<^larisé  considéré.  Si  le 
champ  est  perpendiculaire  au  rayon  poliirisé  on  n'observe  rien  de 
particulier  ;  enfin  si  le  champ  est  oblique  on  a  une  action  qui  est 
provoquée  par  la  composante  du  champ  parallèle  au  rayon, 
l'autre  composante  n'ayant  pas  d'influejice  :  on  obtient  donc  le 
même  résultat  que  si  la  composante  du  champ  parallèle  au  rayon 
existait  toute  seule. 

L'explication  cinématique  de  ce  phénomène  est  la  suivante  : 
il  faut  et  il  suffit  que  la  vitesse  de  propagation  du  rayon  circu- 
laire droit  soit  différente  de  la  vitesse  de  propagation  du  rayon 
circulaire  gauche. 

M.  Lorentz  en  appliquant  sa  théorie  a  cet  ordre  de  phéno- 
mènes a  prévu  des  résultats  nouveaux  qui  ont  été  vérifiés  expéri- 
mentalement par^I.  Zeeman.  Résumons  ces  résultats  : 

i*^  Lorsque  le  champ  magnétique  est  parallèle  au  rayon,  chaque 
raie  se  dédouble  en  deux  autres  raies  polarisées.  La  polarisation 
sera  totale  et  circulaire  droite  pour  une  des  raies  et  tolale  et 
circulaire  gauche  pour  l'autre  raie. 

2^  Si  le  champ  magnétique  est  perpendiculaire  au  rayon,  ou 
obtient  un  triplel  ;  les  trois  raies  sont  polarisées  mais  cette  fois-ci 
reciiligîieme7it;  le  plan  de  polarisation  de  la  raie  médiane  est  per- 


PHK.XOMEXE  DE  ZEEMAS  Sli 

pendiculaire  au  champ;  le  plan  de  polarisîtlioii  cl«,?s  clt-iix  aiilres 
raies  symétriques  de  la  raie  mtkliaiie  est  parallèle  nu  rliarnî». 

Voilà  les  découvertes  expérimeiitaîes  de  Zeemyii. 

]\Ials  avant  d'aller  plus  loin  faisons  remar(|iier  ipie  h^  pliénci- 
mène  de  Faraday  et  les  phénomènes  de  Zeeiiiaii  stiril  riitirn-ineiit 
différents  Tun  de  l'autre  quant  à  Tactioii  du  cbanip  ïii:igîiéli«|iie 
sur  les  ondes  lumineuses.  Dans  le  premier  phéiioiiièiit»  faeliiiiî 
du  champ  magnétique  s'exerce,  en  efief,  sur  la  vitesse  de  propa- 
gation des  ondes  lumineuses  ayant  déj-à  acquis  leur  régiiiie  per- 
manent ;  dans  le  phénomène  de  Zeemaii  Faclioii  du  eiiaiiip  magné- 
tique sur  la  source  de  lumière,  oii  les  ondes  sciiit  pmir  îiinsi 
dire  a  Tétat  naissant,  s'exerce  sur  la  pèritide  vil.iraîi.iir«*  de 
Tonde. 

422.  —  La  découverte  du  triplet  Zeeman  [^)  parut,  un  iiishoït 
une  confirmation  éclatante  de  la  théorie  de  Lorentz.  Mais  liieiitèt 
après  M.  Cornu  (-)  décou-vrait  que  la  plupart  des  raies  ne  se 
décomposent  pas  seulement  en  trois  dans  le  champ  niagnéliqiie 
mais  bien  en  quatre  composantes  symétriques  deux  à  deux  par 
rapport  à  la  raie  primitive  a  ;  les  deux  raies  bb,  les  iiiiiins  écar- 
tées de  la  raie  primitive  a,  sont  polarisées  rectiiîgîiemeiit,  seule- 
ment leur  plan  de  polarisation  est  parallèle  au  champ. 

Pour  d'autres  corps  on  n'observe,  à  proprement  parler,  qu'un 
triplet,  seulement  la  raie  médiane  apparaît  très  élargie,  et  on 
peut  conclure  qu'elle  est,  elle  aussi,  dédoublée,  mais  ces  deux 
composantes  ne  sont  pas  suffisamment  séparées. 

Enfin  il  v  a  certaines  raies  du  fer  pour  lesquelles  on  a  bien  uo 
triplet,  mais  comnie  M.M.  Becquerel  et  Deslandres  Font  mon- 
tré, la  polarisation  des  raies  est  renversée  :  c'est  la  raie  médiane 
dont  le  plan  de  polarisation  est  parallèle  au  champ  et  les  deux 
raies  extrêmes  qui  sont  polarisées  perpendiculairement  au  champ. 


■iiii-e 


(1)  Zeema>'  (P.).    L'intlucnce  du   magfiiétisme  sur  la  iiaîore  de  la  lami-n-  r 
i)ar  une  substance.  Eclair,  electr,,  t,  XI,  p.  Sil. 

Lignes  doubles  et  triples  produites  dans   le  spectre  sous  iliiflueiiee  d  uii  riianip 
niag-nétique  extérieur.   Eclair,  electr.,  t.  XIII,  p.  a:'». 

(-)  C0R>;u  (A.).    Sur  quelques  résultats  nouveaux  relatifs  au  phéiiomt-ue  àv  Zee- 
man. Eclair.  élecir.,l.  XIV,  p.  iS5. 

\,^j  Eclair,  electr.,  t.  XV,  p.  i;!,  23  avril  i8<,S. 

PoiNCARÉ.  Électricité  et  Optique.  ^  * 


il'  ^ 


/)46 


PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 


D'après  M.  Michelson  (^)  ces  phénomènes  paraissent  encore  plus 
compliqués. 


CORNU  BECQUEREL 


Primitivement. 


Phénomène  de  Zee- 
man  transversal. 


Pas  de  polarisation. 


Polarisation  perpen- 
diculaire aux  li- 
gnes de  force. 


Polarisation  paral- 
lèle aux  lignes  de 
force. 


Phénomène  de  Zee- 
man  longitudinal. 


Polarisation    circu- 
laire droite. 


Polarisation     circu- 
laire gauche. 


En  somme  on  volt  que  ces  phénomènes  sont  plus  compliqués 
que  Lorentz  ne  le  supposait;  aussi  sa  théorie,  sous  sa  forme  pri- 
mitive, paraissait  incapable  de  rendre  compte  de  tous  ces  faits.  Il 
la  modifia  en  y  introduisant  Thypothèse  des  ions  complexes  que 
nous  examinerons  un  peu  plus  loin.  La  théorie  perdait  ainsi  sa 
simplicité  séduisante;  il  y  a  lieu  cependant  d'examiner  dans 
quelle  mesure  elle  est  devenue  conforme  aux  faits  observés.  C'est 
cet  examen  que  je  me  propose  de  faire. 

i22-  Champ  magnétique  intense,  —  Commençons  par  étu- 
dier  l'action    d'un    champ  magnétique   intense.    Les    équations 


(1)  Pkîl.  niag.,  t.  XLÏV,  p.   109-116,  juillet  1897, 


lîAYOX  PAItALlElE  Ai'  C7liJfF  1|^ 

déduites  des  conditions  d'équilibre  des  parllriiîc^s  rliarffées  en 
tenant  compte  de  Faction  mécanique  du  clianip  îîîïîgïielic|ue  sur 
ces  particules  sont,  comme  nous  le  savons  déjà 

.    d-\^    ,    X^         ^       X  fi 


K    ^-Y,    ,    Y,  Y 


1  ^•''  dl' 

n:-^+t+^- 

^l:-^'+4+^« 

,dt    ' 

dl 

'  d^.  0 

.A-.  ^^ 

Deux  cas  intéressants  peuvent  se  présenter  : 

1^  Le  champ  est  parallèle  au  rayon  lumineux, 

2°  Le  champ  est  perpendiculaire  au  rayon  lumineux. 

Commençons  par  étudier  le  premier  cas. 

A2i.  Rayon  parallèle  au  champ.   —   Supposons   d'abord    îe 
champ  parallèle  au  rayon,  c'est-à-dire  parallèle  à  Taxe  des  c, 
i  Supposons  en  d'autres  termes 


le  champ  se  réduit  alors  à  sa  composante  *;,  et  les  équations    i) 
deviennent, 


/     \ 

,,    d^\^    ,     X,        ,  ,    X    ,    __,  d\\ 

(2J 

'  ''^  de  +  L, -^^+3      -<  dt  • 

et  nous 

avons  encore 

(3)  \,         \'. 

425.  Rayon  circulaire  droit.  —  Examinons  maintenant  com- 
ment se  propage  un  rayon  circulaire  droit. 
Nous  savons  que 

f=  partie  réelle  de  f/''  '•"=  ^"^'*-  **  . 
Ce  qui  caractérise  le  rayon  circulaire  droit  c'est  que  i:  es!  îa 


548  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

♦  partie  imaginaire  de  cette  même  fonction  /,  de  sorte  que  nous 

avons,  _ 

De  même  les  expressions  de 

X  +  A^ 

*f  \  et  de 


1 


I 


sont  proportionnelles  à  cette  même  exponentielle  imaginaire. 
Posons  alors 

(5)  X„  +  a;  =  U,„ 

(6)  X  +  ïY  =  U=2u„ 
il  vient,  en  tenant  compte  de  (3). 

Nos  équations  (2)  deviennent  alors, 

.     ^-U,         U,  U  U         .        rZU.. 

(8)  ^--77r^+T^=^;F-— +  --r-^^.T 


D'autre  part  nous  aurons  encore, 

Nos  équations  (8)  peuvent  clone  s'écrire, 

En  éliminant  U,,  entre  ces  équations  et  en  se  rappelant  que 

on  trouvera  une  relation  entre  n,])  et  y;   cela  nous   permettra 
de  construire  la  courbe  de  dispersion. 


RArox  cimT'iAHiE  BMmr 
Pour  (aire  cette  élimination  je  pose. 


Ijf 


2    ' 


*-2^- 


Nos  équations  (lo)  devieiiiienl  alors, 

<ï>  d'après  sa  forme  c'est  une  forme  quadratique  îiomogène  par 
rapport  aux  U^  ;  nous  avons  donc  en  vertu  du  théorème  des  Ibïie- 
tions  homogènes, 

et  par  conséquent,  d'après  [ii* 
(i3)  H  =  o. 

Ces  équations  nous  donnent  d'abord  les  valeurs  de  L\  et  elles 
nous  donnent  en  outre  la  valeur  de  /i  en  fonctions  de  deux 
variables  ;  en  fonction  du  champ  magnétique  *;*,  et  en  fonction 
de  p,  c'est-à-dire  en  fonction  de  la  couleur. 

Nous  pouvons  donc  regarder  les  U^  et  n  comme  des  fonctions 
de  deux  variables  indépendantes  :  p  et  y. 

En  différentiant  l'équation  (i3^  par  rapport  à/;  je  trouve, 

^e  de   dn        Y    ^^^     f^  _ 

dp  dn    dp        j^u  dV^     dp 


I  .F;,  S6o     ■  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

I  I  ;  ou,  en  tenant  compte  de  (ii) 

t  t  f 

I  W  (  A\  ^e  d%   dn  ^^ 

î  I  ;  ^  ^  dp  dn    dp 

I  I  I  ■  .^       .  ,     ■ 

I  i  I  Nous  aurons  de  même  en  difiérentiant  par  rapport  a  la  seconde 

I  ^,  f  -  variable  y, 

\'%  ^'^'  ^~^  dn    dr  —'"' 


I 


1 

î 
.i    ; 

I  ï 

f    I 
4 


L'équation  (i4)  nous  donne  -y-  :  c^est  la  dispersion  chroma- 
tique ordinaire,  c'est-à-dire  la  variation  de  l'indice  avec  la  cou- 
leur.  L'équation  (i5)  nous  donne  la  valeur   de  -j~  dont  dépend 

la  polarisation  rotatoire  magnétique. 

En  comparant  ces  deux  expressions  (i4)  et  (i5)  nous  voyons 

dn         dn         ^      ^  ^       ^>  -    ,  ,  ,,       dS 

que  -7—  et  — —  sont  entre  eux  comme  les  dérivées  partielles  — r— 

dp         dy  ^  dp 

et—-. 
dy 

Calculons  ces  deux  dérivées  partielles.  Nous  avons  d'abord, 

mais  Y<î>j  est  très  petit  par  rapport  au  premier  terme  ;  on  peut 
donc  le  négliger  et  il  vient  alors 


(16) 

dp  =       ^^^*' 

et  cVautre  part 

('7) 

a.,  =-7^*3, 

dn         dn 

_.  et  -—sont  donc  entre  eux  comme  2^^  et  <ï>3. 

Et  bien,  si  l'on  suppose  que  les  quantités c^  sont  proportionnelles 

a  \  (hypothèse  qui  n'est  pas  loin  de  la  vérité)  le  rapport  — ^  est 


B.iroy  CIRCi-LAlRE  GAVCHE  55, 

alors  constant,  par  conséquent, 


(18)  II. 

dn 


:C-; 


on  pourra    donc    dire  que  -^  est  sensîbkment   pmporliôniieî 
,   dn 

^  Cette  loi,  énoncée  par  M.  Becquerel  est  vénfiée,  taiitèt  gros- 
sièrement, tantôt  avec  une  certaine  précision. 

426.  Haies  d'absorption,  —  Pour  avoir  les  raies  d'abscirptioo 
il  faut  chercher  les  asymptotes  de  la  courbe  de  dispersion  ;  il 
faut  donc  faire  dans  Téquation  de  cette  courbe  ^  =  x  et  reirarder 
/;  comme  une  fonction  de  y.  On  trouve  ainsi 

de_   dp^        dB  _ 

dp   'd^~^lf~~^' 

d'où  en  tenant  compte  des  relations   lôl  et    îj), 


.^  Éi—^jti^—     J!i 


d^;  de  2<î>^ 

formule  qui  nous  fait  connaître  le  déplacement  de  la  raie  d'ab- 
sorption par  Faction  du  champ  magnétique  en  supposant  la  pola- 
risation circulaire  droite. 

427.  Rayon  circulaire  gauche.  —  Supposons  maintenant  que 
nous  ayons  affaire  à  un  rayon  circulaire  gauche.  Dans  ce  cas,  ce 
n'est  plus /"-h  z^  et  X  +/¥  qui  sont  égaux* au  produit  d\me 
exponentielle  parmi  facteur  constant,  mais  bien/' — igel  X  —  z  Y; 
c'est  là  la  condition  qui  caractérise  un  rayon  circulaire  gauche. 
Nous  devons  donc  poser, 

X,  —  A'  =  b'K5 


'  I  *' ij  552                                       PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

i  "'' 

I  /  et,   en  répétant  les  calculs  que  nous  avons  faits  plus  haut,  nous 

I  -                 retomberons  sur  Téquation  (8)  avec  cette  seule  différence  que  le 

I   ;  signe  du  terme  en  y  sera  changé.    Nous  obtiendrons   donc   les 

''  I  1  mêmes  résultats   que  plus  haut,  à  cela    près  que  les  signes  de 

^  ;  ,  •— —  et  de  -T~  seront  chansjes. 

La  différence   d'indice  des   deux  rayons,  droit  et  gauche,  est 
donc 

I  ^  ^'^ 

II  ■  ''^"^' 

H  .                  .                            .          ,,     .        dn 

1  I  par  suite,  la  polarisation  rotatoire  est  proportionnelle  a  p  — — , 

f   I  OU  encore  en  tenant  compte  de  la  relation  (i8),  elle  sera  sensible- 

I   I  ,             ment  proportionnelle  a 

l    ^^ 

<    \  dn 

II  '^' 

I    i 

I    [  c'est  la  loi  récemment  énoncée  par  M.   H.   Becquerel  (7-  Mais 

^  cette  formule  de  dispersion  n'est  pas  la  seule  qui  ait  été  propo- 

i    I'  sée.  On  a  proposé  également  les  formules  suivantes,  qui  sont  déjà 

moins  heureuses  que  celle  de  M.  Becquerel  : 


ny 

(" 

+p 

dn\ 
dp)' 

p' 

('■ 

+p 

dn\ 
dp)' 

n 

+p 

dn 
dp- 

La  raie  d'absorption  qui  correspond  au  nombre  p,^  se  décom- 
posera donc  en  deux  autres  raies  qui  correspondront  aux  nombres 


^,v  (I)' 


2$. 


^'P^  +  -^' 


et  qui  seront  polarisées  circulairement,  la  première  à  droite,   la 
seconde  à  gauche  :  c'est  le  doublet  de  Zeeman. 


n  H.  Becql'erel,  g.  R.,  1898  et  1899. 


RAFOX  PEMPEXDKTLAmE  .!£'  CilJMP  m 

La  théorie  de  Lorentz  est  donc  mtkfuimmie  dam  le  nm  mi  le 
raijon  lumineux  est  parallèle  au  champ  magnêiifpie  :  eiie  remé 
bien  compte  des  phénomènes  obserws. 

428.  Rayon  perpendiculaire  au  champ.  —  Siippiisiins  main- 
tenant que  le  rayon  soit  perpendiculaire  au  clianip,  ee  i|i,ii  revient 
à  faire 

,3  =  Y  =  o. 
Nos  équations  (i)  deviennent  dans  ce  cais 


Al  4-^  —  £,a- 


On  aura  d'ailleurs 

(-)  lyiriïî; 

mais  la  relation  entre  //  et   Z  sera   ditrérente  ;   on   n\!iif'a  pas 
[ff- —  i)  h  =  Z.  Nous  avons  en  effet 

j^  ax        ^^j_  dx 

si  Tonde  est  plane,  les  dérivées  prises  par  rapport  à  x  et  à  y  sont 
nulles  et  cette  équation  se  réduit  à 

,     ,  ^7//         dZ 

et  comme  h  et  Z  doivent  être  des   fonctions  périodiques  de   r, 

//  +  Z  =  o, 

donc 

(^3)  h=—'L. 

Que    devrait-on    donc    observer    d'après    Lorentz  ?  D'abord, 


554  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

pour  la  première  équation  (20),  il  n'y  a  pas  de  déplacement  ;   la 
raie  qui  est  perpendiculaire  au  champ  ne  devrait  donc  pas  bou- 
ger. Quant  aux  autres  raies,  voici  ce  qu'il  devrait  s'y  passer  : 
i^  Lorsqu'il  n'y  a  pas  de  champ  du  tout  (a  =  o),  on  a 

Z  =  A  =  Z,  =  o, 

c'est-à-dire  que  les  vibrations  des   particules    comme  celles  de 
l'éther  sont  transversales . 

2°  Si  le  champ  est  du  premier  ordre  (et  un  champ  de  3o  000  uni- 
tés C.  G.  S.  qui  produit  le  dédoublement,  mais  un  dédoublement 
très  faible,  peut  encore,  à  ce  compte,  être  regardé  comme  très 
petit)  les  quantités  A,  Z  et  Z^  seront  très  petites  du  premier 
ordre,  le  terme  en  s^  sera  donc  du  second  ordre  et  pourra  être 
négligé,  et  on  aura  alors, 

.    i^X.    .    X.        .^  X 


.    ^^Y,         Y,  .    Y 

^  ^    di'    ^   K       ^  ^    3  ' 

ce  qui  signifie  que  le  champ  n'aura  aucune  action  sur  les  raies. 
Or,  ce  n'est  pas  du  tout  ce  qu'on  observe.  L'expérience  nous 
apprend  que  non  seulement  le  champ  a  encore  une  action  dans  ce 
cas,  mais  encore  que  la  polarisation  des  raies  s'intervertit. 

A  ce  compte^  la  théorie  de  Lorentz  sous  sa  forme  primitive  ne 
serait  donc  pas  plus  capable  d'expliquer  le  triplet  de  M.  ZeeniaTi 
que  le  quadruplet  de  AI.  Cornu, 

429.  — Rappelons  le  raisonnement  approché  que  l'on  faisaitpour 
expliquer  le  triplet  de  Zeeman  ;  on  faisait  dans  les  formules  (20) 

C'est  qu'en  effet  on  se  croyait  en  droit  d'envisager  «  les  vibra- 
tions propres  »  d'un  ion  ou  d'un  système  d'ions  en  laissant  de 
côté  l'action  de  l'éther  ;  par  conséquent,  pour  avoir  les  raies 
d'absorption,  on  faisait  dans  l'équation  de  la  courbe  de  dispersion 
n  =  c/D  ;  il  en  résultait 


THEORIE  DES  IONS  COMPLEXES  SSI 

et  en  faisant  de  plus  h  =  o,  on  retrouvait  le  triple!  île  /.eeiiian. 
Mais  a-t-on  droit  de  faire  h  =  o? —  Xcm,  car  rrc|iîaticni 

/(=— Z. 

est  une  véritable  équation  de  liaison  entre  les  nitiuveiiieiit^  àt 
Téther  et  ceux  des  ions  :  h  ne  peut  s'anniiier  qu'en  ni è me  temps 
que  Z. 

430.  —  Il  s'agissait  donc  de  modifier  la  tlîé#rie  de  L^renti, 
en  imaginant  des  hypothèses  supplémentaires.  CVs!  ce  cpie 
Lorentz  a  fait  lui-même  en  imaginant  la  théorie  des  iiins  rc*»- 
plexes,  qui  n'est  qu'une  généralisation  de   sa  premirre  llîéiirie. 

Je  dois  ajouter  que  dans  un  travail  récent,  M.  LorenlE  a  elierchr 
à  rendre  compte  du  triplet  et  a  échapper  aux  ohjfclîriîis  précé- 
dentes. Pour  cela,  il  a  fait  des  hypothèses  parliciilières  snr  la 
grandeur  des  coefficients.  Le  raisonnement  précédent  subsiste 
et  pour  un  champ  infiniment  petite  le  dédoublement  de  la  raie 
est  encore  infiniment  petit  d'ordre  supérieur  ;  mais  le  tripîet  peut 
se  produire  pour  un  champ  fini  et  on  peut  faire  des  hypothèses 
parfaitement  admissibles  et  pour  lesquelles  un  champ  de  20  ooci 
à  3o  000  unités  donnerait  un  triplet  sensible. 

On  n'a  pas  le  droit  de  faire  h  =  0,  puisqu'on  a  h  =  —  Z; 
mais  l'action  de  l'éther  sur  la  matière,  grâce  aux  hypolhèses 
faites,  est  assez  faible  pour  être  négligée  en  première  approxi- 
mation, de  sorte  que  tout  se  passe  comme  si  Ton  avait  h  =  o. 

La  théorie  de  Lorentz  rendrait  ainsi  compte  du  triplet  ;  mais 
l'expérience  nous  ayant  appris  qu'il  n'y  a  pas  de  triplet,  mais  un 
quadruplet,  il  n'en  faut  pas  moins  avoir  recours  aux  ions  com- 
plexes. 

Il  n'y  a  donc  pas  lieu  d'insister  davantage  sur  ces  hypothèses. 

Nous  allons  maintenant  examiner  cette  théorie  des  ions  com- 
plexes pour  voir  dans  quelle  mesure  elle  est  conforme  aux  faits 
observés. 

THÉORIE    DES    lOXS    COMPLEXES 

431.  _  Les  ions  simples  que  nous  avons  considérés  jusqu'il 
présent   se   comportaient   comme    des   points    matériels;    nous 


î 


556  PIIÉNOMÈ.YE  DE  ZEEMAN 

n'avons  envisagé  que  leur  mouvement  de  translation.  Supposons 
maintenant  que  ces  ions,  au  lieu  d'être  simples,  soient  formés 
d'un  système  dynamique  plus  compliqué  comprenant  plusieurs 
points  matériels  qui  pourront  être  assujettis  a  des  mouvements 
quelconques.  ^ 

Pour  représenter  l'état  du  système,  je  choisirai  des  coordon- 
nées généralisées  quelconques  que  je  désignerai  par  T^. 

Soit  H  la  force  vive  des  ions  :  ce  sera  une  forme  quadratique 

homogène  par  rapport  aux  —z — . 

Soit  P^  Ténergie  potentielle  due  aux  actions  mutuelles  des 
ions  :  a  cause  de  la  petitesse  des  déplacements,  ce  sera  encore 
une  forme  quadratique  homogène  par  rapport  aux  T^. 

Soit  — Pj  l'énergie  potentielle  due  à  l'action  électrostatique 
de  l'éther  sur  les  ions  ;  nous  pourrons  supposer 

P.-A+é'Y  +  AZ. 

X,  Y,  Z  représentant  toujours  les  composantes  de  la  polarisa- 
tion électrique,  ce  seront  des  formes  linéaires  par  rapport 
aux  T^. 

Soit  enfin 


2 


V.2T„ 


le  travail  virtuel  des  forces  dues  à  l'action  du  champ  magnétique 
sur  les  ions,  quand  ces  ions  subissent  des  déplacements  vir- 
tuels oTj,. 

Les  équations  de  Lagrange  s'écrivent  alors, 

dt 
et,  comme  nous  avons  toujours  les  équations 

(/r-.)/-=X, 

A=  — Z 


'  "Ml   -Wl^PII^^^Uppippil 


THÉORIE  DES  /O.V.V  COMPLEXES 

la  valeur  de  dP^  peut  s'écrire 

dl\  =  fdX  +  -r/Y  +  /ii/Z, 
— .  ^5 .  —  Zrî -, 

Notre  équation  (i)  devient  alors, 

^/ 
ou  encore 


:+^(".-^&^-^)=v.. 


Pour  avoir  les  raies  d^absorption,  il  faut  faire  "dans  cette  éipia- 
tion  n  =:  ce  ^  ce  qui  nous  donne 

Considérons   alors    deux  formes  quadratiques  H   et  P.-- — 

et  comme  nous  avons  le  choix  des  coordonnées  T^,  clioisissoiis- 
les  de  façon  que  ces  deux  formes  quadratiques  se  réduisent  à  une 
somme  de  carrés,  de  sorte  que 


^U  2   \  dt    I 


Notre  équation  (3)  prendra  la  forme. 


(4,'  -in^^r^^ 


Il   \  558                                          PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

I  i  Mais  qu'est-ce  que  V^? 

|,;  Nous  avons  vu  que  V^ST^  représente  le  travail  virtuel  des  forces 

V'it,  dues   a   Faction   du  champ  magnétique  sur   les  ions   quand  ces 

I  ''t\  ions   subissent    des    déplacements  virtuels  oY^  ;    or,    les   forces 

tJj  magnétiques    sont  proportionnelles  d'une  part  aux  vitesses  des 

I  I  ions  et  au  champ  magnétique  d'autre  part.  Les  quantités  Vk  sont 

I  \\  '  donc  hiluiéaires  par  rapport  à  a,  [3,  y  et      ,  ""  .  Mais  ce  n'est  pas 

I  p  j  tout;  l'action  d'un  champ  magnétique  sur  un  courant  est  toujours 

\,r  ;  perpendiculaire  à   ce   courant;    dans  le  cas  du  mouvement  des 

I  I'  ;  ions,  oii   il  s'agit   d'un  courant   de   convection,   cette  action  du 

I   h  champ  sera  perpendiculaire  à  la  vitesse  de  l'ion  :  son  travail  sera 

I   |,    .  donc  nul.  On  aura  par  conséquent  identiquement, 


i:--^-«- 


432.  Lumière  mono  chromatique,  —  Supposons  maintenant 
que  nous  ayons  affaire  a  une  lumière  monochromatique  ;  on  aura 
dans  ce  cas, 

Voici  la  signification  de  la  première  de  ces  équations  ;  T,,  est 
la  partie  réelle  du  produit  d'un  facteur  constant  par  une  expo- 
nentielle imaginaire.-  Ce  produit  satisfiiira  lui-même  aux  mômes 
équations  que  Tj,.  Nos  équations  comportent  ainsi  une  solution 
imaginaire  plus  aisée  à  traiter  que  la  solution  réelle  et  d'où  il  est 
facile  de  déduire  cette  solution  réelle. 

Nous  allons  substituer  par  un  artifice  bien  connu  cette  solution 
imaginaire  à  la  solution  réelle. 

Désignons   par  Wk  ce  que   devient  V,,   quand  on   y  remplace 

les  quantités  —  par  les  T  ;  \\\  sera  donc  une  forme  hilinéaire 

d'une  part  par  rapport  a  a,  [5,  v  et  par  rapport  a  T.,  d'autre  part. 
On  aura  donc 


DÉPIACEMEM  DES  MAIES  1% 

et  puis 
d'où 

(7)  (p2— r)T,=— /p\v,. 

433.  Déplacement  des  raies.  —  Cherchons  maîiitenaat  le  clé- 
placement  des  raies.  Deux  cas  peuvent  se  présenter  : 

i*"  Le  champ  magnétique  esi  nul.  —  S'il  n'y  a  pas  de  champ  ma- 
gnétique, nous  aurons  une  certaine  éc|iiatîon  do»!  les  racines 
seront 

et  à  chacune  des  racines  p^  correspondra  une  raie  du  spectre  ; 
mais  par  suite  de  la  présence,  dans  le  second  membre,  du  terme 
en  z,  les  raies  pourront  se  doubler  et  même  se  tripler. 

Supposons  que  les  équations  qui  nous  donnent  p-  puissent  avoir 
des  racines  multiples,  on  a  alors 

(8)  (/^î  — r)T,=— ^/;Wk         (K=i-2,3....«;, 
et  si  le  champ  est  nul 

(9)  {pl—p-)^K=o       pourK^/î, 
et 

(10)  {pl—jn  Tk=o       pour  K>/i, 

ceci,  je  le  répète,  en  supposant  que  parmi  les  /\  il  y  en  ait  n  : 
7;^,  p,^,  7^3,....  Pu  <^Fi  soient  égaux  entre  eux,  de  sorte  que 


P^  =  Pi 


K^n 


Maintenant  si  p==p,  (pour  K^/z,  l'équation  9;  est  satisfaite 
d'elle-même  ;  mais  l'équation  (10)  exige  pour  p,  ^  p,  pour 
K  >  ?i)  que 

Donc,  quand  il  n'y  a  pas  de   champ   magnétique,  toutes  les 
coordonnées  T,  s'annulent,  h  l'exception  des  n  premières. 


56o  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

434.  2^  Champ  magnétique  faible,  —  Quand  le  champ  magné- 
tique, sans  être  nul,  est  très  faible,  toutes  les  quantités  Tj.  sont 
alors  très  petites,  sauf  les  7i  premières.  Par  conséquent,  dans  Wk, 
les  termes  qui  contiennent  T^,  T^,....  T,^  seront  du  premier  ordre, 
et  les  autres  termes,  k  partir  de  T,^,  c'est-a-dire  T^^^  _i,  T,^^  2,... 
seront  du  second  ordre.  Négligeons  ces  termes  du  second  ordre 
dans  nos  équations  et  appelons  W^k  ce  que  devient  Wk  quand  on 
y  néglige  ces  termes. 

Nos  équations  deviennent  alors, 

{^Ins)        {pl^p^-)T,=  -ipW.        (K=i,2,3,...n). 
Posons 

—  ip 

Si  je  pose  en  outre 

comme  op  sera  très  petit,  S  sera  très  sensiblement 

c  _        2  S/; 

l 

et  par  conséquent 

i    Q 
on  = b . 

S  nous  fera  donc  connaître  le  déplacement  de  la  raie.  Pour  que 
op  soit  réel,  il  faut  que  S  soit  purement  imaginaire. 
Nos  équations  deviennent 

W^K  satisfaisant  à  la  condition 


.  12 


2wX  =  o     (Iv=-,,2,3,...  «). 


Ce  sont  là  des  équations  linéaires  et  homogènes   entre   les  n 
variables. 

T    T    T        T   • 

En  égalant  a  zéro  le  déterminant  de  ces  équations  on  aura  une 


CHAMP  MAGyÉTIQVE  FAIBLE  |<|, 

équation  en  S  algébrique  et  du  .f-  ordre  ;  mxn  racines  tîe  eetîc 
équation  correspondront  n  raies  qui  proviendront  âm  âéimlàe^ 
ment  de  la  raie  p  =^p^. 

Cette  équation  en  S  aura  une  forme  tout  à  fait  parliciilière,  et 
€ela  à  cause  de  W/  qui  satisfait  à  Tidentité 


i3) 


V  WkT^  =  o. 


435.  —  Pour  le  fiiire  comprendre  écrivons  eomplèteniefit  cette 
équation  en  supposant  ;i  =  4;  on  a  : 


i3) 


S         a 

—  a        S 

—  h  —  cl 
~  c  —  e   —  f      S 


h       c 
d       e 


Je  dis  que  les  racines  de  cette  équation  sont  purement  iiiia^n- 
naires  ;  considérons,  en  effet,  le  système  d'équations  différen- 
tielles linéaires  a  coefficients  constants 


^T. 


:w:. 


'^''^  dt 

ce  système  s'intègre  immédiatement  et  nous  obtenons  eomnie 
solution  particulière 

Multiplions  les  équations  [a)  par  T^  et  faisons  la  somme,  il 
vient  : 

ou,  en  tenant  compte  de  l'identité  (12) 

dl. 


S'^-ï" 


:0, 


d'où  : 


\  Tf=  constante. 

PoiNCARÉ.  Electricité  et  Optique. 


56'i  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

Supposons  maintenant  que  S  soît  réel  ou  complexe^  mais  non 
purement  imaginaire  ;  supposons  par  exemple 

S^  n'étant  pas  nul. 

Si  S  est  imaginaire,  la  solution  particulière  est  elle-même 
imaginaire,  seulement  sa  partie  réelle  satis(\iit  à  l'équation  diffé- 
rentielle et  alors  cette  partie  réelle  est  une  solution  réelle  de 
l'équation. 

Considérons  cette  solution  réelle. 

Supposons  d'abord  que  S^  soit  positif;  dans  ce  cas-là  si  on  fait 
?  =  —  00  ,  alors 

lim.  partie  réelle  de  e^^  =  o, 

par   conséquente  Ak  e^' tendra  vers  zéro.  Tous  les  Tk  tendront 
donc  vers  zéro  et  par  conséquent 


lim.  y  Tk^  =0. 


Comme  \  Tk"'  est  une  constante,  cette  constante  est  nulle,  ce 

qui  ne  peut  avoir  lieu  que  si  tous  les  Tk  sont  identiquement  nuls. 
Maintenant  si  S^^  est  négatif,  on  aura  encore 

lim,YTJ=:o 
pour  /  =  co    et  par  conséquent  encore 

La  partie  réelle  de  S  ne  peut  donc  être  ni  positive  ni  négative. 
Les  n  valeurs  de  S  sont  donc  purement  imaginaires;  les  n  valeurs 
de  op  seront  par  suite  réelles,  de  sorte  que  les  n  raies  du  dédou- 
blement existeront  réellement.  De  plus,  les  racines  de  l'équation 
en  S  (étant  imaginaires  conjuguées  deux  à  deux)  devront  être 
deux  à  deux  égales  et  de  signes  contraire;  c'est-à-dire  que  les 
raies  dédoublées  devront  être  deux  à  deux  symétriques  par  rap- 
port à  la  raie  primitive.  '  Si /?  est  impair  une  des  racines  doit  être 


-r  le  triplet  de  Zeeman  et  ,  l,!    ^'^  '"-'^  «  =  ^^  P-r  r.^ 
de  Cornu.  "-"^  P"»''  «trouver  1.  .jua«Jra|.k.t 

436.  Isotropie  dans  le  plan  de  l'or,Ha        o 
de  tous  les  phénomènes  observés  il  (Z    ~  T'  '''"*^''*  ^^'»P«* 

donné..  T.  de„x  «égori.s  difcls  """  •■"■""  '"  ""'- 

''  U,  coorioméa  reacridles  qui  .emnl  !..  ™ 
v.c..„,s  r,xe,  dans  l'espace,  „.ai.  1.       ;,„  e  ,  o^r,"'"  •■' 

varieront  daDrès  le»!  UJc  „   i-     -  ■P'"J'^"'""s  !>ur  les  a.xes 

ucipies  les  lois  ordinaires  ouand  on  f»-..  » 
axes  et  :  '■["■tua  on  lera  tourner  ces 

a°  Zes  coordonnées  scalaires    mi;  „„  ,.    ■ 
axes  tourneront.  '  ^        '  '""'™"'  P=»^  *I"='«d  '« 

Prenons  le  cas  de  «  =  4  et  supposons  que  l'on  ait  d.„v 
données   vectorielle.;  Y    »t  v  M"''  i  on  ait  deu.x  coor- 

vectorielles  X,  et  ^.composantes  d'un  même  vecteur 
e  deux  coordonnées  scalaires  que  je  désignerai  par  T  ,  ' 
Nos  équations  (ii)  s'écriront  :  "P-"l.tti.. 


SX,  ~\\-==o, 

'iiùh)  Uy,  —  \y:  =  o, 

/  ST,  -  W'  =  o, 

'  st;  -  ^^'^  =  o. 


Quand  les  axes  tournerontd'un  angle  .^,  les  quantités  X,  4-  /Y 
-  +  i,   seront   multipliées  par  e'>  et  les    quantités  conjuTaiéè; 
Z  ''::;;^°7.^V/+n\V  doit  être  également  multiplié  par  e.  ; 
W3 ,  VY/  ne  doivent  pas  chancrer. 

J'en   conclurai  que  l'on  pe'î.t  toujours  choisir  les  deux  coor- 


(j  3  bis 


—  ay 

—  ba 

-c3 


«y 

S 

b?> 

COL 


O. 


564  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

données  scalaires  de  telle  sorte  que  notre  équation  en  S  soit  de 
l,a  forme  : 

/>>a         c 

b^  —  6'a 

S  chi 

d^  S 

Si  nous  voulons  donc  satisfaire  aux  conditions  d'isotropie  du 
milieu,  il  faut  que  l'équation  en  S  soit  de  cette  forme. 

Mais  ce  n  est  pas  tout;  le  milieu  n'est  pas  seulement  isotrope, 
il  est  encore  symétrique.  Nos  équations  ne  doivent  donc  pas 
changer  quand  on  remplace  notre  système  d'axes  par  un  système 
symétrique  (le  plan  de  symétrie  étant  le  plan  des  xz  par 
exemple), 

.  Nous  sommes  ainsi  amenés  à  distinguer,  parmi  les  coordonnées 
vectorielles,  celles  de  la  première  et  de  la  deuxième  sorte,  selon 
que  le  vecteur  correspondant  conserve  son  signe  ou  change  de 
signe  quand  on  passe  d'un  système  d'axes  à  son  symétrique  et 
nous  distinguerons  de  même  parmi  les  coordonnées  scalaires  celles 
de  la  première  sorte,  qui  conservent  leur  signe  et  celles  de  la 
deuxième  sorte  qui  en  changent. 

Supposons  donc  que  notre  équation  soit  de  la  forme  (i3  bis)  : 
quand  y  change  de  signe,  y^  ^-^  Y^  et  T^  doivent  changer  de  signe, 
c'est-a-dire  que  Xk  et  Y^  sont  des  coordonnées  vectorielles  de  la 
première  sorte,  T^  une  coordonnée  scalaire  de  la  première  sorte, 
Tk:  une  coordonnée  scalaire  de  la  deuxième  sorte. 

En  développant  le  déterminant  (i3  bis)^  on  trouve  : 

S'^+  S-^  {a'f  +  Pa}  +  P[6'  +  cV^  +  r^'  +  (lY) 

+  {adf  +  Z;ca-  +  br[-!i'Y  =  o. 

Nous  considérerons  quatre  cas  remarquables  : 

a  =z  b^  û?  ==  6', 
ou 

<2  =  6*,  d  =  b^ 
ou 


POLARISATION  DES  RAIES  Ȕ 


# 


dans  chacun  de  ces  cas  les  racines  île  réf|iialifMî  en  S  tpie  icias 
venons  d'écrire  ne  dépendront  qoe  de  la  soiîîrîc* 


qui  représente  Tintensîté  du  champ.  Ces  niciiies  ne  d#|M»înlr«iiit 
donc  pas  de  la  direction  de  ce  champ,  et  par  coîîsf*f|iieïït  Zp^ 
c'est-à-dire  l'écartement  des  raies  dédoublées,  serait  le  nièiiie  f|Be 
le  champ  soit  parallèle  ou  perpendiculaire  ait  rayciri.  En  est-il 
effectivement  ainsi  ? 

L'expérience,  en  tout  cas,  ne  paraît  pas  défavoralile  à  eelle 
hypothèse,  mais  à  ma  connaissance  je  ne  crois  pas  c|ii'il  existe  <k*s 
mesures  assez  précises  a  ce  sujet  et  qui  puissent  par  etniséqueiil  ■ 
trancher  la  question. 

437.  Polarisation  des  raies.  —  Supposons  maintenant 

.3=0, 

et  étudions  les  conditions  de  la  polarisation  des  raies. 

Il  faut  pour  cela  déterminer  le  rapport   -^  pour  les  quatre 

valeurs  de  S. 

Pour  que  la  polarisation  soit  rectiligne,  le  plan  de  polarisalioiî 
étant  perpendiculaire  à  la  composante  du  champ  normal  au  rayon, 
il  faut  que  Yk  s'annule.  En  faisant, 

on  trouve 


ce  qui  concorde  avec  [l'i  bis)  si  Ton  y  tait 


a  =  c\ 
d  =  h. 


Pour  que  la  polarisation  soit  rectiligne,  le  plan  de  polarisation 
étant  parallèle  à  la  composante  du  champ  normal  au  rayon,  il 
faut  faire  X^  =  0,  d'où 


566  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

ce  qui  concorde  avec  (i 3  bis)  si  l'on  suppose 

a  =  Z>, 


d 


c. 


Dans  les  deux  cas  il  y  a  deux  raies  {r-aies  moyennes]  dont  la 
polarisation  est  toujours  rectiligne,  et  qui  disparaissent  pour 
Q^__Q  et  Jeux  raies  [raies  extrêmes)  dont  la  polarisation  est  recti- 
ligne pour  Y  =  0,  elliptique  en  général  et  circulaire  pour 
a==o. 

Dans  la  première  hypothèse  (<^  =  6*,  d=:^h)  la  polarisation  des 
raies  moyennes  est  perpendiculaire  au  champ;  celle  des  raies 
extrêmes  parallèle. 

Dans  la  seconde  hypothèse  [a  =  h,  c  =  d)  c'est  le  contraire  qui 
doit  se  produire. 

C'est  donc  la  première  hypothèse  que  l'expérience  semble 
confirmer. 

438.  Isotropie  dans  F  espace.  —  Nous  n'avons  considéré  jus- 
qu'à présent  que  Tisotropie  dans  le  plan  de  l'onde  et  cela  ne 
remplit  pas  toutes  les  conditions  imposées  pour  la  symétrie  du 
milieu.  En  effet,  notre  milieu  étant  isotrope,  les  équations  précé- 
dentes doivent  rester  les  mêmes  quelle  que  soit  l'orientation  du 
plan  de  l'onde  ;  de  plus,  elles  ne  doivent  pas  changer  quand  on 
remplace  le  système  des  axes  par  un  système  symétrique  par  rap- 
port k  Torigine,  puisque  le  milieu  n'est  pas  seulement  isotrope 
sans  symétrie  (comme  l'essence  de  térébenthine  par  exemple) 
mais  il  est  isotrope  et  symétrique. 

Nous  sommes  ainsi  conduits  à  distinguer  deux  sortes  de  coor- 
données : 

1°  Les  coordonnées  sectorielles  que  j'appellerai  X,,  Y,,  Z.,  et  qui 
seront  les  composantes  d'un  vecteur;  et, 

2^  Les  coordonnées  scalaires  que  j'appellerai  T,,  et  qui  seront 
tout  à  fait  indépendantes  du  choix  des  axes. 

L'introduction  de  ces  coordonnées  scalaires  ne  doit  pas  nous 
étonner.  Justifions,  en  effet,  par  une  image  mécanique,  l'emploi 
dé  ces  coordonnées.  Considérons  une  sphère  puisante  de  Bjerknes, 
susceptible  en  outre  d'un  mouvement  de  translation;  eh  bien, 


ISOTROPIE  DAXS  L'ESPACE  Igj 

pour  définir  lu  situation  du  système  on  a  besoin  de  .,„.i„  emr- 
données  :  le  rayon  de  la  sphère  qui  sera  une  coordonnée  seabir. 
et   es  coordonnées  cartésiennes  du  centre  de  la  sphère,  qui  ser«nt 

des  coordonnées  Yectorielles. 

Cela  posé,  en  vertu  de  la  symétrie  du  milieu  : 

i^  H  sera  une  combinaison  linéaire  de  diverses  eipressîtit 
cl  une  des  formes  suivantes  : 

dt       dt 


dt       dt 

dl,    dl, 
dt      dt 


di      dt   ' 


U  peut  èlre  égtî  a  K) 

2"  P,  sera  une  combinaison  linéaire  d'expressions  d^iiae  des 
Ibrmes  suivantes 

3'  Pj  qui  a  pour  valeur 

P,  =  /x  +  ^<rY+AZ, 

sera  une  combinaison  linéaire  d'expressions  de  la  forme 
/X,+^Y,  +AZ,, 
4°  L'expression  de  oJ, 

MÊmÊÀ 

sera  une  combinaison  linéaire  d'expressions  de  la  forme_y 


oXi  oXi  oZ^ 


+ 


X,    Y,     Z, 
oX^  oYk  oZs 


T,         aX,    +3Y.  +vZ, 


On  voit  que  dans  P^  et  H  les  termes  qui  dépendent  des  X, 


fi; 


"h 


568  PHENOMENE  DE  ZEEMAN 

ceux  qui  dépendent  des  Y,   ceux"  qui  dépendent  des  Z,  ceux  qui 
dépendent  des  T,  sont  entièrement  séparés  les  uns  des  autres. 
Soient 

H.    H,     H,     H„ 

ces   huit  ensembles   de  termes  où  P^  représente  Tensemble  des 
termes  de  P^  qui  dépendent  des  Xy  etc. 

D'après  le  théorème  des  formes  quadratiques  nous  pouvons  choi- 
sir les  Xk  et  les  Tj^.,  de  telle  façon  que 


et  alors  on  verrait  que  H^  et  P^  sont  formés  avec  les  Y  et  IL  et  P. 
avec  les  Z,  comme  H^  et  P^  les  sont  avec  les  X. 

On  obtiendra  ainsi  une  série  d'équations  analogues  aux  équa- 
tions 

obtenues  précédemment. 

Voici  cette  série  d'équations. 

•^u  'îK'  '^K!  ^KJ  "^K  sont  des  quantités  qni  jouent  par  rapport  à  X„,  Y^, 
Z^,  T„  le  même  rôle  que  jouait  — i/;W  par  rapport  à  T,  dans 
les  équations  («). 

439.  —  Nous  allons  traiter  les  équations  (/>)  comme  nous  avons 
fan  des  équations  (a).   Les  seconds  membres  des  équations  {ù) 


ISOTROPIE  DAXS  L'ESPACE  It^uj 

comme  ceux  des  équations  [a]  sont,  très  petits.  Aiiiniît»iiî.-lfH  •*« 
première  approximation  et  faisons /i--=pj  ;  imm  f»iilit'ïittr«ii**  «»•* 
série  d'équations  linéaires  entre  les  quantités  X^.  Y^.  Z^,  'l\,  Hîi 

vertu  de  ces  équations  un  certain  nombre  de  ces  i|aaïililt**  ^'ïpi-  f^ 

nuleront.  Par  exemple  X^  s'annulera  si  p^  nVst  pas  f*|ral  iî|#^  h  |]j 

Tk  s'annulera  également  si  </k  n  est  pas  égul  îipj.  Di*  plii?^.  rrlk^  ''ff 

de  ces  quantités  qui  ne  s'annuleront  pas,  poiirroiit  ne  pa<*  rrslt*i  |îl 

indépendantes,  mais  il  pourra  y  avoir  entre  elles  eerlaine!;  Ma-  '\5^^ 

tions  linéaires.  % 

Pour  mieux  mettre  le  fait  en  évidence,  je  distinguerai  paritii  |fi 

les  Zk  deux  catégories  :  ceux  pour  lesquels  --p^  sera  îiiîlîr  ri  ijiir  |. 

j'appellerai  les  ZJ.  ;  ceux  pour  lesquels  cette  dérivée  ne  swi  pa^  ,% 

nulle  et  que  j'appellerai  les  Z^'.  J'appellerai  X^  et  Y^  k*s  X^  et  l 

les  Yk  qui  correspondent  aux  Z|.  et  X^'  et  Y^'  ceux  qui  ccirresjMiïi-  | 

dent  aux  Z'  .  Çi 

Je  poserai  «r 

Z=^      ^K^-Kn  Jf' 

et  je  désignerai  par  />;  et  ^  les  valeurs  des  coefîîcieîils  p^  et  I,  <|iii  * 

correspondent  aux  Zi,  par  p^  et  Z;^  celles  qui  correspontlenî  mm  ; 

Zk'  ;  il  résulte   de  cette   définition  et  de  celle  des  Z,  q«e   itms  ^ 
les  Z^  sont  nuls. 

Nos  équations  [b]  privées  des  seconds  membres  s'écriroiil  iilors 

quand  on  y  aura  fait  p=Pj^ 
W  j^p-_p^)YL^=o, 


avec 


't'jll 
S.  '-&  * 


On  peut  toujours  supposer  qu'un  au  plus  des  j>.  est  égal  a  r,  : 


570  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMÂN 

le  cas  où  il  y  en  aurait  plus  d'un  se  ramènerait  immédiatement  a 
celui  où  il  n'y  en  a  qu\in. 

Si  aucun  desy^^  n'est  égal  à  p^,  tous  les  X^^^  sont  nuls. 

Si  un  des  p'^  que  j'appelerai  par  exemple  p'-  est  égal  a  p^, 
l'équation  (^U)  relative  a  Zf ,  montre  que  Z  est  nul  ;  les  équations 
relatives  aux  autres  ZJ/  montrent  ensuite  que  tous  ces  7J-J,    sont 

nuls  ;  l'équation  Z  =\  l'^Z[lmoniv(i  enfin  que  Z-^=o. 

Il  est  donc  impossible  que  Tun  des  X^^  et  l'un  des  Z'^  soient  en 
même  temps  différents  de  zéro. 

440.  —  Mais  on  peut  généraliser  l'hypothèse  ;  ne  supposons  plus 

V^^fX  +  gX+hZ', 

abandonnons  cette  hypothèse  trop  restrictive  et  supposons  toujours 

mais  au  lieu  d'avoir, 

on  aura 

Z  =  >  mj.^, 

les  coelïicients  /;?,.  étant  ditlerents  des  coefficients  I^^. 
Nous  pouvons  supposer  alors, 


l'/^o, 


et  on  pourra  avoir  \\  hi  lois 


x;'>o, 


En  vertu  des  équations  (//)  quel([ues-unes  de  nos  coordonnées 
s'annuleront;  les  autres  s'exprimeront  linéairement  à  l'aide  d'un 
certain  nombre  d'entre  elles  qui  resteront  indépendantes  et  qui 


ISOTROPIE  DASS  L'ESPACE 


joueront  le  rôle  des  -coordonnées  T^,  T,,  T^ T,  thm  hs.  «pa- 
rions (8  bis).  Subsrituons  les  valeurs  ainsi  clédiiîtes  ihs  «%{iiaiiiiii< 
[h),  ce  que  nous  pouvons  faire  en  négligeant  les  ternirs  il«  !4t*riiiîiî 
ordre  ;  nous  obtiendrons  des  équations  linéaires  aiiaîninîr»  wm\ 
équations  (8  bis)  et,  en  égalant  à  zéro  le  déterraiiiaiït  ih  te\  riji»- 
.tions  linéaires^  nous  obtiendrons  une  équation  analiigue  k  rripi- 
tion  (i3). 

-441.  Discussion.  —  Si  nous  voulons  rendre  eiimpte  àm  nua- 
druplet  il  faut  que  cette  équation  soit  du  quatrième  degré;  pôtir 
cela  il  .faut  que  quatre  et  quatre  seulement  de  nos  ecwiriftiifiéf f 
ne  s'annulent  pas  en  vertu  des  équations  'h^). 

Supposons  d'abord  que  les  coeflkients  appelés  pliis  liait  w^ 
soient  égaux  aux  coefficients  h.  Alors,  les  coordonnées  qui  ne 
s'annulentpas  pourront  être  trois  coordonnées  vectorielles  Xî,Ys/£J 
et  une  coordonnée  scalaire  T,.. 
L'expression, 


-V  (i,ox.  +  v,,oY, + :,o4  +  ^^:h 


qui  joue  le  même  rôle'que  jouait  Texpression 
par  rapport  aux  équations  (8)  sera  de  la  forme, 


?    T 


V    Y'   7' 

2x;  sy;  oz; 


T. 


ax;  -4-  JiY".  ^  -;'''= 


iS'otre  équation  en  S  s'écrit  alors, 

S  —  «-;       "'"-' 
rtv  s   —  aa 

a^        aa.      •     S 


_h^  -l'a  -  Ir. 


ia 
S 


=  o, 


ce  qui  correspond  a  l'équation  (i3  bis^  dans  Thypothèse  .  =  c. 
b^tl 


,4^ 


572  PHÉNOMÈNE  DE  ZEEMAN 

Le  problème  semble  donc  résolu  d'une  manière  satisfaisante. 
Il  n'en  est  rien  encore   cependant.  Reprenons  l'équation  dont 
dépend  Xî 

{Pi—p)  \  =  ^i' 

Elle  a  été  tirée  d'une  équation  dilTérentielle  (que  j'écris  en  sup- 
primant le  second  membre  qui  dépend  du  champ  magnétique  et 
est  très  petit). 

Mais  d'après  la  définition  même  des  Xj^ ,  le  coefficient  l[  doit 
être  nul.  Il  reste  donc, 


df- 


+  y4X;  =  o. 


On  voit  que  dans  cette  équation  différentielle  le  déplacement 
électrique  n'entre  pas. 

La  coordonnée  X^  pourra  donc  éprouver  des  oscillations,  mais 
ces  oscillations  ne  se  conimiuiiquerojit  pas  à  Véiher.  La  solution 
qui  précède  est  donc  illusoire. 


Nous  sommes  donc  réduits  à  s 


uppos 


et 


k  ^  i^K. 


Pi    =Pv 

m'I  ==  0, 

;;  >o. 


Soient  alors,  Xf,  \7,  l'J  et  T^  les  coordonnées  qui  ne  s'annu- 
lent pas  ;  l'expression  de  oJ  sera  de  la  forme, 


x;^  y;'  z[' 


ï,  aXr  +  ?Yr    +  yZ'/ 


ISOTROPIE  DAys  L'ESPACE 

et  nous  retombons  sur  Téquation 


i:i 


S  - 

-  «■-      «.S 

/va 

ay 

S   —  aa 

//i 

-a? 

aa           S 

b-; 

—  ia   - 

-  i3    —  Z-r 

S 

=  0, 


O^nalogue  à  l'équation  (i3  bis)  dans  lliypoOièse  «  =  t\  é  =  fi 
D'ailleurs  l'équation  différentielle, 


cPXl 


dt- 


-piXi=i-fl 


contient  le  déplacement  électrique  et  nous  sommes  ii  râl>ri  lie 
l'objection  que  je  faisais  tout  a  Theure. 

On  voit  donc  qu'il  est  a  la  rigueur  possible  de  rendre  oimpt** 
du  quadruplet  de  M.  Cornu  par  la  théorie  de  Lorentz  irihiéralisiV, 
Je  laisse  de  côté  les  cas  plus  compliqués  où  l'on  aurait  des  srxliî- 
plets  ou  des  phénomènes  encore  plus  complexes. 

Quoique  le  caractère  artificiel  de  ces  hypothèses  soit  Hiiiiiiesle 
il  convient  donc  de  conserver  proçisoirementlti  théorie  de  Loreiiti 
généralisée  qui  seule ^  jusqu  à  présent,  permet  de  relier  entre  eux 
les  faits  obsen>és. 


QUATRIEME   PARTIE 


A    PROPOS 


THEORIE   DE  LARMOR 


A    PROPOS 

DE    LA 

THÉORIE    DE    LAHMOIl 


442.  —  Cette  dernière  partie  de  notre  cours,  ne  peut  être 
regardée  ni  comme  un  exposé  ni  comme  une  crilit|iie  cîw  îravail 
que  M.  Larmor  a  récemment  présenté  a  la  société  nivale  th  Lmi- 
dres  sous  le  titre  suivant  :  A  Dijnamical  Theonj  of  ike  eieiirir  mmé 
huninifej'ous  médium  (^).  Elle  contiendra simpîemeiïl  le  rrsiiiiiéik'?i 
réflexions  que  m'a  suggérées  la  lecture  de  cette  importante  coin inu- 
nication  et  qui  m'entraîneront  souvent  bien  loin  de  la  théorie  àe  bir- 
mor.  C'est  ce  qui  justifie  le  titre  que  j'ai  choisi  pour  ee  chapîîri». 

THÉORIES    OPTIQUES 

443.  —  Et  d'abord  je  suis  conduit,  comme  M.  Larinur  lui- 
même,  a  débuter  par  un  résumé  des  diverses  théories  |iroposi*€s 
par  les  savants  qui  se  sont  occupés  d'optique.  Les  expérii^iicessiir 
l'optique  physique  ont  mis  en  évidence  rimportaiice  de  ileiix 
vecteurs  que  j'introduirai  ici  sans  faire  aucune  liypolht*se  sur  leur 
signification  théorique.  Dans  les  milieuxisotropes,  auxquels  je  nie 
bornerai  toujours,  pour  ne  pas  compliquer  cette  exposilitiii,  h 
premier  de  ces  vecteurs  esL  perpendiculaire  au  plan  de  polarisa- 
tion ;  j'en  désignerai  les  composantes  par  \\  Q,  Fuel  je  rappel- 
lerai vecteur  de  Fresnel  Le  second  vecteur  est  perpentiiculiiin- 
au  rayon  lumineux  et  parallèle  au  plan  de  polarisation.  Je  rap- 
pellerai vecteur  de  Neumann  et  je  le  désignerai  par  s.  i.  ;-!. 
11  v  a  entre  ces  deux  vecteurs,  dans  un  milieu  isotrope  r\lnm<' 


parent,  des  relations  très  simples.  Si  Ton  désigne  par    -^ 


1-X\n. 


(^)  Larmor,  Proceedlngs  of  Royal  Society,  t.  LIV,  p.  -JoS:  :  àtWtnuhw  i^ 
La  Lumière  électrique,  t.  LU,  J).  35i. 

PoiNCARK.  Électricité  et  Optique.  ' 


578 

verse 
le  car 


A  PROPOS  DE  LA  THEORIE  DE  LARMOR 


du  carré  de  la  vitesse  de  la  lumière  dans  le  vide  et  par  K 
ré  de  l'indice  de  réfraction,  on  aura, 


(0 


I 

da 

dR 

dÇi 

k; 

dt    "" 

dy 

dz. 

I 

d(^ 

d? 

dR    i 

Ko 

dt 

dz 

da-    1 

I 

dy  _ 
dt 

dQ_ 

d.v 

d? 

dy     . 

I 

,.  dP 

d{i 

dy 

k; 

ï^   dt 

~  d.z 

dy 

I 

Ko 

^^   dt 

dy 
■~   dx 

da. 
dz 

I 

,r    ^'R 

da. 

./p 

K,         dl  dy 


dx 


c'est-à-dire  que  la  dérivée  par  rapport  au  temps  de  chacun  des 
vecteurs  est  proportionnelle  au  (c  ciui  »  de  l'autre  vecteur  pour 
employer  l'expression  anglaise. 

11  est  aisé  de  voir  que  les  équations  (i)  résument,  pour  ainsi 
dire,  les  principaux  faits  expérimentaux  relatifs  à  ropti(juc  et 
cela  indépendamment  de  toute  théorie. 

C'est  dans  l'interprétation  théorique  que  les  dlvei'geiuM's  com- 
mencent. Pour  Fresnel  la  vitesse  d'une  molécule  d'cther  est  re- 
présentée en  grandeur,  direction  et  sens,  par  le  vecteur  (1?,  Q,  H)  ; 
pour  Mac  Gullagh  et  Neumann,  elle  est  représentée  par  h^  vec- 
teur (a,  j3,  y).  En  d'autres  termes,  pour  Fresnel,  la  vlhi'aliou  est 
perpendiculaire  au  plan  de  polarisation,  pour  Xeumann  eUe  es! 
parallèle  à  ce  plan. 

Dans  toutes  les  théories  mécaniques  de  la  hiniière,  h\s  vihra- 
tions  de  Téther  sont  attrihuées  à  son  élasticité  ;  maison  peut  faire 
sur  cette  élasticité  plusieurs  hypothèses;  la  plus  siiiq)h'  est  de 
la  supposer  analogue  à  celle  des  solides  qui  tendent  îi  r(q)i'endi'e 
leur  lornie  primitive,  quand  une  force  extérieure  les  en  a 
écartés.  Pour  forcer  les  molécules  d'éthcr  à  s'éloio-ner  de  leur 
situation  d'équilihre,  il  faut  donc  dépenser  un  certain  travail  (pii 
s'emmagasine  dans  le  fluide  et  qu'il  restitue,  quand,  rendu  à  lui- 


THÉORIES  OPTiqi'ES  ,|«.,. 

même,  il  revient  à  lY^quiiibre.  C'est  £mi  i^ii mue, smi  imt.h^r.i 
un  réservoir  d^énergie.  Le  travail  ainsi  enmré^^.i.lm^  |..|  r,*  .|ii'«ii 
appelle  Ténergie  crélasticiié  de  Félher. 

Dans  rhypothèse  de  Fresnel,  la  torec^  vivt^  tir  Frili.*!  4  tm. 
expression^ 


|»Wiit 


-^    /    K(P+Q^+R-u/., 


et  son  énergie  potentielle 


(3) 


-    dz 


IL 


fW^ 


Les  intégrations  sont  étendues  à  tous  les  éléiiieiils  île  viiliime  ik 
de  Tespace.  Cela  revient  à  dire  que  la  densité  de  Téliier  est  |ir»- 
portionnelle  à  K;  la  masse  de  Télément  (k  est  alors  pr<i|M»rîi<iii» 
nelle  à  K(k  ;  comme  la  vitesse,  dans  Thypothèse  de  Fresnei»  mî 
représentée  par  le  vecteur  (I\  Q,  IV ,  la  force  vive  dr  riVleiiienl  ik 
est  proportionnelle  à 

Kd^T  ;F  4- Q- -t- R^ , 

D'autre  part,  tout  se  passera  comme  si  î'êiîer|:,^ie  poleriiielle 
localisée  dans  un  élément  ck  très  petit,  était  propurtioinie lie  au 
volume  de  cet  élément  multiplié  par  le  carré  du  vecîeor  de  \eii- 
mann. 

Dans  riivpothèse  de  Xeumann,  au  contraire,  c'est  1  expres- 
sion (2)  qui  représentera  Ténergie  potentielle  et  1  expressiite  J; 
qui  représentera  la  force  vive. 

Le  carré  de  la  vitesse  est,  dans  cette  hypothèse,  2"  -4-  j'  4"  *."  ^ 
l'expression  de  la  force  vive  montre  que  la  densité  de  Fetlier 
est    supposée  constante. 

Quant  à  Ténergie  potentielle  localisée  dans  un  eleiiieiil  !re^ 
petit  de  Tespace,  elle  est  proportionnelle  au  carré  du  vecteur  dr 
Fresnel  multipliée  par  le  facteur  K  qui  représente  alors  1  rLi>!i» 
cité  de  l'étlier. 

Dans  l'hypothèse  de  Xeumann,  relasiicilé   est  donc   xmuthh 


58o  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

et  la  densité  constante  ;  c'est  l'inverse  dans  la  théorie  de  Fresnel. 

Cette  variabilité  de  l'élasticité  donne  lien  à  une  difficulté  qui 
est  spéciale  h  la  théorie  de  Neumann  et  de  Mac-Cullagh.  La  pres- 
sion de  l'éther  dans  l'état  d'équilibre  ne  peut  être  nulle,  ce  que 
l'autre  hypothèse  aurait  permis  de  supposer.  Elle  ne  peut  non 
plus  être  constante,  elle  doit  dépendre  de  K,  et,  par  conséquent, 
elle  n'est  pas  la  même  dans  deux  milieux  différents.  Pour  que 
l'équilibre  se  maintienne  malgré  cette  différence  de  pression,  il 
faut  admettre  qu'à  la  surface  de  séparation  de  deux  milieux, 
l'éther  est  soumis  à  une  force  particulière  qui  rappellerait  dans 
une  certaine  mesure  la  capillarité  des  liquides.  C'est  ce  qu'on 
appelle  la  ce  force  de  Kirchfio/f  )) . 

On  peut  échapper  à  cette  hypothèse  supplémentaire,  qui  n'est 
d'ailleurs  pas  très  gênante,  en  adoptant  les  idées  de  lord  Kelvin 
sur  l'élasticité. 

L'axe  d'une  toupie  en  rotation  tend  à  rester  dans  la  position 
verticale  ;  si  on  l'en  écarte,  il  décrira  un  petit  cône  autour  de  la 
verticale,  comme  le  fait  le  fil  d'un  pendule  conique  sous  l'in- 
fluence de  la  pesanteur  qui  tend  à  le  ramener  à  sa  position  d'équi- 
libre. Pour  un  observateur  qui  ignorerait  son  mouvement  de 
rotation,  la  toupie  semblerait  obéir  à  luie  sorte  de  force  élastique. 
On  peutimaguier  des  appareils  plus  compliqués  qui  repi'oduisent 
plus  exactement  encore  les  propriétés  des  corps  élastiques  et 
c'est  ce  qu'a  fait  Lord  Kelvin.  Supposons  des  systèmes  articulés 
dont  certaines  pièces,  jouant  le  rôle  de  gyrostats,  sont  animées 
d'une  rotation  rapide.  Dans  ces  systèmes,  aucune  lorce  n'est  en 
jeu;  et  pourtant  ils  se  comporteront  comme  s'ils  élaieut  doués 
d'élasticité.  En  apparence,  on  peut  y  emmagasiner  de  rénergie 
potentielle  ;  mais  ils  ne  possèdent,  en  réalité,  que  de  rénei'gie 
cinétique.  On  peut  donc  se  demander  si  l'éther  n'est  pas  cons- 
titué de  la  sorte  ;  si  un  observateur,  disposant  de  moyens  assez 
puissants  pour  pénétrer  toutes  les  délicatesses  de  sa  structure 
intime,  ne  découvrirait  pas  que  toute  son  énergie  est  duc  à  la 
force  vive  des  tourbillons  infinitésimaux  qui  y  sontrenCermés.  Son 
élasticité,  que  la  théorie  ordinaire  explique  par  des  attractions  à 
distance  s'exerçant  entre  les  molécules,  serait  due  alors  à  de 
simples  forces  apparentes  d'inertie,  analogues  dans  une  certaine 
mesure  à  la  force  centrifuge. 


niÉoiuEs  opriQtEs  ^^^^ 

11  y  a  toutefois  une  diflerence  entre  iVlustîrilruniiïi.iîi,.  ,vl}r 
des  solides,  et  Vèlasliciiê  roiaihmnelie  île  Lcirti  m,in.  i  I,,aîi4  um 
déforme  un  solide,  son  élasticité  est  mise  eii  jeu  ;  mdl  Ay  fw 
Test  plus  quand  on  le  fait  tourner  en  clKingeaïil  s»»  mlrnUtim 
dans  respace,  mais  sans  changer  sa  ftiriiM*:  il  ii^*»  ,^>|  p;,,  mm 
des  systèmes  articulés  de  Lord  Kelvin. 

On  ne  peut  changer  leur  orienlatioii  saas  afiiir  a  i;iiîîrrr  mtf 
sorte  de  résistance  élastique. 

On  peut  donc,  avec  cette  nouvelle  manière  cii*  ii«r,  mtfqmmf 
que  les  diverses  parties  de  l'éther  lendeiH  à  immsrrM^rlrm  «rirB- 
tation,  qu'on  ne  peut  les  en  écarter  sans  ciepeii^rr  liii  tunéll 
et  qu  elles  y  reviennent  quand  la  force  extérieure  rrî^^t^  irii|fîr. 

On  peut  grefîer  Thypothése  de  Lord  Kelviiu  suit  <iir  l;i  Ûwmlt 
de  Fresnel,  soit  sur  celle  de  Xeumaon.  Dans  Fuii  un  Tmilie  tm 
Ténergie  totale  est  représentée  par  la  somme  de>  expri-îi^iim*,  'i  i 
et  (3)  et  elle  est  tout  entière  cinétique. 

Seulement,  dans  Thypothèse  de  Fresiiel,  r^\^pïTî^hiiiîi  j] 
représente  la  force  vive  des  vihrations  de  Féllier  qui  simiI  rrhiii-» 
vement  des  mouvements  d'ensemble  ;  l'expression  ",l  rqir»'^eiilt» 
la  force  vive  de  mouvements  tourbilloiiiKiires  lieiiiinnip  |*1îi§ 
intimes  encore  (ou  plutôt  la  partie  variable  de  €«^îte  f«>re«*  \h'r  . 

Dans  l'hypothèse  de  rseumann,  c'est  Finverse  :  mi  uki  pla»! 
d'ailleurs  à  supposer  Fexistence  de  la  force  de  Kirrhli^ff. 

Dans  Fun  et  Fautre  cas  on  peut  appeler  éeer^icie  p<iteitîîi*lle 
apparente,  la  partie  de  Fénergie  totale  qiii  est  due  aux  ïiîiiiîve- 
ments  tourbillonnaires  intimes. 

On  peut  s'étonner  qu'en  partant  de  deux  points  de  î,bqjarliiiissi 
diiférents.  on  arrive  à  la  même  expression  de  Feneri^^ie.  Ihins  la 
théorie  ordinaire,  une  rotation  sans  déformation  iFeiiiniîîie  pas 
de  résistance  élastique,  tandis  que.  dans  îa  thécirie  ât  Lcirti  Kd- 
vin  elle  en  fait  naître.  Comment  Fénergie  tctiale  a-l-eîle  iiiénie 
valeur  dans  les  deux  casPX'est  ce  qu^iu  premier  abiiril  oïi  a 
quelque  difficulté  à  s'expliquer. 

On  s'en  rend  compte  en  remarquant  que  Féther  est  on  iiiilieu 
indéfini  ;  une  perturbation  ne  peut  atteindre  cpFuiie  partie  iiîiie 
de  ce  milieu,  les  parties  les  plus  éloignées  restant  en  rrpi»>. 

Il  est  aisé  de  se  rendre  compte  que  dans  un  pareil  îîiili«:^ii  mw 
partie  ne  peut  tourner  sans  se  déformer,  sans  que  d  aiitrt-s  par- 


:  l 


582  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

ties  subissent  une  déformation.  Si  Ton  supposait  par  exemple  un 
cylindre  tournant  autour  de  son  axe  tout  d'une  pièce  pendant  que 
le  reste  de  l'éther  demeure  en  repos,  il  y  aurait  là  une  disconti- 
nuité que  Ton  ne  saurait  admettre  ;  il  faut  supposer  entre  le 
cylindre  qui  tourne  avec  une  vitesse  angulaire  uniforme  et  réther 
extérieur  en  repos,  une  couche  de  passage,  qui  pourra  d'ailleurs 
être  aussi  mince  qu'on  le  voudra,  et  où  la  vitesse  ira  en  décrois- 
sant d'une  manière  continue  quand  on  ira  vers  l'extérieur.  Cette 
couche  de  passage  serait  dans  tous  les  cas,  le  siège  de  déforma- 
tions. 

THÉORIES     ÉLECTRIQUES 

444.  — Les  équations  que  résument  les  lois  observées  des  phé- 
nomènes électriques  présentent  une  remarquable  analogie  avec 
celles  de  Foptique.  Maxwell  a  le  premier  remarqué  cette  analogie 
et  ce  sera  son  éternel  titre  de  efloire. 

Dans  un  milieu  non  magnétique  et  diélectrique,  ces  quantités 
seront  liées  par  des  équations  identiques  aux  équations  (i),   le 

coefficient  —  ayant  même  valeur  numérique  dans  les  équations 
électriques  optiques. 

Dans  un  milieu  magnétique  et  conducteur,  les  écpiations  sont 
un  peu  plus  compliquées  et  il  faut  y  introduire  deux  autres  para- 
mètres ;  a  savoir,  le  coefficient  de  perméabilité  [x  et  le  coefïicicnt 
de  conductibilité  A.  Les  équations  (i)  prennent  alors  la  forme  sui- 
vante, 

;    _i__  ,    _^  __  d\\        dil 


'(4) 


_i__       cB  _  r/P         cm 
Ko  ^^   dt   ~  dz        77' 

_L     EL  __f^  _  i^  . 

K(,  '    dt         d.v         dtj  ' 

.K(,        (Il         dz        du         K„    '    ' 

_L  K  '^—  tL  _i^  _  in  ;  (> 
K„    ^   dt  ~  d.v  '    dz        K"      -^' 

_i_  „  c/R  dy.         dfj         ^-K 

K,         dt         dij        d.v        K„ 


TlléORIES  ÉlECTËiQl'ES  1^) 

^  Les  équations  (4)  contieniienl  les  éi|iiîititiiîs  :;i  m'hiiiïm»*  r^.|Mf^ 
ticuUer  et  on  obtient  ces  dernières  en  iaisaîil 


Il  nous  sera  permis  clans  ce  qui  va  suivre  de  srîi|i|>.i*.-r  -i  „■„  t. 
Nous  pouvons  en  effet  adopter  îliypotliHe  crAinp,*î'i\  Alin*  l^> 
milieux  qui  nous  semblent  magnéliq«esclevrjieiit,piiiïr  mmh^^^f^ 
vateur  dont  les  sens  seraient  assez  subtils,  ;i|îjKir.iitri»  rmmm* 
dénués  de  magnétisme  mais  pareoiiriis  parmi  tiv^i^ro^^  îiiiiiîlir** 
de  courants  particulaires. 

L'identité  de  la  lumière  et  de  Féleclricilé  seniMe  lnns  «1**  4iiiilr 
d'après  ces  considérations  que  des  expériences  cmiî  riiîiiiriiit^tH  ♦.*! 
on  y  a  d'abord  cherché  une  explication  nouvelle  dt»s  pliriiiiiiii^iifi* 
optiques  destinée  a  faire  oublier  les  anciennes  explicîiîi«iis  an-rj- 
niques. 

Puis  on  a  cherché  une  explication  mécanique  c«ïiii«!i!ie  it  la 
lumière  et  de  l'électricité,  et  alors  l'idée  la  plus  iiîitiir^'lîe  ^*tMl 
de  revenir  aux  théories  élastiques  dont  j'ai  parlé  plus  iMiiiî  et  i|iî 
avaient  si  longtemps  paru  tout  à  fait  satisfaisantes.  Piiîsi|îi't*ik*i 
rendaient  compte  de  la  lumière,  il  s'agissait  de  lrssiiîiipt«*r  ikïtx- 
plication  de  l'électricité. 

L'adaptation  aurait  été  immédiate,  si  les  éqiiaiitjns  dt*  l'rledri- 
cité  n'étaient  comme  nous  venons  de  le  voir,  plus  geiirraîes  ipe 
celles  de  l'optique.  ]\Ialheureusement  les  éqiiaîicinà  i  ne  sont 
que  des  eus  particuliers  des  équations  j  . 

Cette  circonstance  ne  doit  pas  toutefois  nous  déecïiînigt-r  :  pre- 
nons une  quelconque  des  théories  optiques,  celle  de  Fresîieî 
par  exemple  ;  dans  cette  théorie  la  vitesse  de  IViher  es!  repré- 
sentée par  le  vecteur  (P,Q,R  :  supposons  par  consêf|iîeiil  que  h 
vitesse  de  l'éther  soit  représentée  par  la  force  électrique,  Repre- 
nons les  équations  14!,  et 'interprétons-les  en  consécjiîeiiee,  elles 
exprimeront  certaines  propriétés  de  Féther  ;  ce  serein!  les  pro- 
priétés qu  il  faudra  attribuer  à  ce  lluide,  si  Ton  veiit  rcinserver 
la  théorie  de  Fresnel. 

Au'  Heu  d'appliquer  ce  procédé  d'adaptation  à  ht  lliecirie  de 
Fresnel,  on  peut  l'appliquer  à  celle  de  Neumann  et  ^lac-Ciill^gîî 
et  c'est  ce  qu'a  fait  M.  Larmor. 

Dans  l'un  et  l'autre  cas,  on  est  conduit  à  attribuer  à  Feîlier  des 


I    .  584  '^  PROPOS  DE  LA  THEORIE  DE  LARMOR 

^  propriétés  assez  étranges  et  faites  pour  nous  surprendre  au  pre- 

î  mier  abord.  11  convient  en  tout  cas  d'insister  sur  ces  étrangetés, 

I  soit  qu'on  veuille  familiariser  les  esprits  avec  elles,  soit  qu^on  les 

I  reo*arde  comme  des  obstacles  insurmontables  qui  ne  permettent 

I 

I  pas  d'adopter  ces  explications. 

j  ADAPTATION  DE  LA  THEORIE  DE  FRESNEL. 

I 

I  445.  —  La  théorie  électromagnétique  de  la  lumière,  aujour- 

|.  d'hui    confirmée   par  l'expérience,  nous  apprend  que  ce   qu'on 

J  appelle  en  optique  le  vecteur  de  Fresnel  n'est  autre  chose  que 

I  la  force  électrique,  et  que  le  vecteur  de  Neumann  est  identique 

i'  avec  la  force   magnétique.    Si   donc  nous  voulons   conserver  la 

I  théorie  de  Fresnel,  il  faut  que  nous  admettions    que  la  vitesse 

i  de  l'éther  est  représentée  en  grandeur,  direction  et  sens,  par  la 

.|  force  électinque. 

:  Mais  cette  hypothèse   entraîne  des  conséquences  singulières. 

Considérons  une  petite  sphère  électrisée  ;  la  force  électrique  est 
partout  dirigée  suivant  le  rayon  vecteur  qui  va  au  centre  de  la 
sphère  ;  telle  devrait  donc  être  aussi  la  direction  de  la  vitesse  de 
l'éther. 

11  en  résulterait  qu'une  sphère  électrisé.c  positivenioiU,  par 
exemple,  absorberait  constamment  de  l'éther  et  qu'une  sphère 
électrisée  négativement  en  émettrait  constamment. 

Va  cette  absorption  ou  cette  émission  devrait  durer  tant  que  la 
sphère  conserverait  sa  charge. 

En  d'autres  termes,  les  parties  de  l'espace  où  nous  disons  ([u'il 
y  a  de  rélectricité  positive  ou  négative  seraient  celles  où  h»  den- 
sité de  l'éther  va  constamment  en  augmentant,  ou  constamment 
en  diminuant. 

Cela  seml)le  })ien  dillicile  à  admettre  ;  comment  hi  densité  ckî 
^  Téther  pourrait-elle  varier  si  longtemps  toujours   dans  le  mémo 

sens,  sans  que  les  propriétés  de  cet  étlier  en  paraissent  modifiées  ? 
:  Faudra-t-il   donc  supposer  que  la  densité   est   très  grande   et  sa 

vitesse  dans  un  champ  électrique  très  petite,  de  sorte  cpie,  mal- 
gré la  durée  de  l'électrisation,  les  variations  relatives  de  la  den- 
sité soient  peu  sensibles  ? 

Poursuivons  néanmoins  notre   examen.  Vovons  si   cette  corn- 


ADAPTATIOX  DE  LA  TilEOim:  DE  n£,\U:i  llî 

pressibilité  indéfinie  de  Féther  n'est  pas,  sinon  pliw  intelligiliît, 
au  moins  plus  conforme  aux  hypolliëses  lialMlaelles  ipll  i^ 
semble  au  premier  abord. 

Un  gaz  ne  transmet  pas  les  vibrations  Iransver^îiles  ;  r**lalîi*nl 
à  ce  qu'un  glissement  intérieur  entre  les  eoudies  gimmim^^  ii'i* 
provoque  pas  de  résistance  élastique  ;  si  iiièîiie  le  gm  élail  ir- 
pourvu  de  viscosité,  un  mouvement  de  glissc^iiienl,  une  f«iîîi€*«in- 
mencé  se  poursuivrait  indéfiniment. 

De  même  Téther  ne  transmet  pas  les  vilir*ili«>iii»  liMigiliiili- 
nales,  ce  qui  peut  s'expliquer  de  deux  niiiîiiêres  :  <iïï  priît  sii|i- 
poser  qu'il  est  absolument  incompressible  ;  cm  peat  iiiiagiin*r, 
et  c'est  là  riiypotliése  que  Fresnel  est.  obligé  tle  faire  |Miiir  expli- 
quer la  réflexion,  qu'il  est  au  contraire  incapable  île  rt»sistt*r  ii  11 
compression. 

La  compression  dans  Tétber,  de  même  ciiie  le  grisseiiiriit  ilaiis 
les  gaz,  ne  doit  donc  pas  provoquer  de  résistance  élaslî<|iit»  ;  et 
alors  quand  une  particule  d'éther  a  commencé  à  se  eiiiitracler  #a 
à  se  dilater,  cette  contraction  ou  cette  dilatation  se  poiirs-tiirra 
indéfiniment. 

Les  bvpotbèses  anciennement  admises  eîilraiiiîiieiîî  ilmir  lîéja 
cette  conséquence  que  nous  jugeons  invraisemblable  ;  wi  1rs  ae- 
ceptalt  pourtant  parce  qu  on  croyait  qu'elles  ifétaienl  ipi'ap|irô- 
cbécs;  pour  adapter  la  tbéorie  de  Fresnel  aux  pliencimt^nes  élec- 
triques, il  faut  au  contraire  les  supposer  1res  |,irrs  tïrlre 
rigoureusement  réalisées,  et  c'est  de  Ih  que  vient  la  cliiTiciillr. 

Je  ne  chercberai  pas  li  la  lever:  mais  je  ne  puis  plisser  s.hîs 
silçnce  Lanalogie  entre  les  considérations  cpii  prrr.HirnI  ri  1rs 
sphères  puisantes  de  Bjerknes,  Pendant  <pie  l'une  dr  es  spîieres 
se  contracte,  le  mouvement  dans  le  liquide  environiianl  esl  toiit 
à  fait  pareil  a  celui  que  la  théorie  précédente  allribiie  a  .Hier 
dans  le  voisinage  d'une  charge  électrique  positive,  qmuà  rrile 
sphère  se  dilate,  elle  est  au  contraire  assimilable  a  une   iiKisse 

électrique  négative. 

Ou  sait  que  la  représentation  des  phénomènes  ^.^ro,UU,pv. 
par  les  sphères  de  Bjerknes  n'est  q„-imparlaile  et  cela  ,K.«r  d.av 
raisons.  La  première  sur  laquelle  on  a  surtout  .ns.ste.  .  e.,  qu. 
le  signe  des  phénomènes  est  change.  ,;..„/,.• 

I.f  seconde  n'est  pas   moins  importante.  Bjerkno.  .a,.    a,n 


'   f  586  i  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

r 

;  t  l'une   sur  l'autre  deux  sphères,    dont  les   pulsations    ont  môme 

'  \  période,  de  plus  les  pulsations  ont  toujours  même  phase,  ou  bien 

I  phase  opposée,  de  telle  façon  que  la  différence  de  phase  est  tou- 

J  jours  égale  a  o  ou  à  ti. 

;  \  En  se   restreignant  ainsi,  il  représente  les  phénomènes  élec- 

.  j  triques   au  signe  près;  il  serait  arrivé  sans  cela  à  des  lois  beau- 

;  j  coup  plus  compliquées;  supposons,    par  exemple,  trois   sphères 

'' j    ,  puisantes  A,  B  et  C  ayant  même  période,  mais  ayant  respective- 

^  r  ment  pour  phase  o,  —  et  t:;  A  n'agirait  pas  sur  B,  ni  B  sur  C  ; 

;  I  mais  A  agirait  sur  C.  On  n'a  plus  du  tout  la  reproduction  des 

'  I   .  lois  de  l'électrostatique. 

,/  Or  si   Ton  admet  que   l'électricité    est    due   à   de    semblables 

'  I  oscillations,  on  pourra  supposer  à  la  rigueur  que  ces  oscillations 

:  aient  toujours  même  période  ;  mais  il  n'y  a  aucune  raison  pour 

i  que  la  dillerence  de  phase  soit  toujours  o  ou  t:. 

\  Bjerknes  était  bien  forcé  de  donner  à  ses  sphères  un  mouve- 

I  ment   alternatif,    mais  i'éther  indéfiniment   compressible    de  la 

\  théorie    de    Fresnel    adaptée,   nous   donne    l'image    de    sphères 

j  puisantes  dont   la   contraction  ou  la   dilatation    durerait  indéh- 

i  niment  et   pour   ainsi    dire    de    sphères    puisantes    de    période 

5  infinie. 

I 

J  Les    attractions    électrostatiques    seraient     donc     immédiate- 

\,  ment  expliquées,    s'il    ne  restait  la   difliculté  du  changeuient  de 

;  signe.  Elle  n'est  pas  insurmontable  et  nous  y  reviendrons. 

Voici  maintenaut  la  siguification  des  é(piatious  (4)  ;  adoptant 
l'hypothèse  d'Ampère  je  suppose  \x  ^=  i.  D'où  provI(Mit  le  terme 
en  A  qui  s'introduit  dans  les  milieux  conducteurs  ?  L'interpréta- 
tion en  est  aisée;  dans  les  conducteurs  (pii  sout  ]e  siège  d'un 
courant  voltaïque,  il  y  a  réellement  un  courant  conliim  d'éfher; 
il  y  en  a  un  aussi  à  travers  les  diélectriques  dans  un  champ  éhnv 
trique  ainsi  que  je  l'ai  dit  plus  haut  ;  mais  tandis  (pie  TcMlier 
pourrait  se  déplacer  à  travers  les  diéU'ctricpies  sans  sifbir  aucun 
frottement,  il  frotterait  sur  la  matière  des  conducteurs,  et  ce 
serait  la  force  vive  détruite  par  ce  frottement  qui  se  ti'ansforme- 
rait  en  chaleur  et  qui  échaufferait  le  circuit  voltaïque. 

Parmi  les  mouvements  dont  I'éther  peut  être  le  siège,  il  y  en 
a  qui   ne   provoquent  aucune  résistance  élastique  ;  ce    sont    des 


TIIÉOmE  BE  LAMMm  "-#- 

mouvements  de  cette  sorte  qui  se  priMlîiÎM^iil  ii«H  i.^  Miî4!.4-r 
<run  circuit  parcouru  par  uu  coiikhiI  wi1|;iïi|iî4*  fnmMWHt, 
Mais  on  ne  peut  directement  passer  «îii  ri'|ifis  à  «p  .»^iii|iiil4,= 
mouvenient  ou  inversement  ;  il  y  a  niH-e.^sïiiri^iii,*»!  «iî^  j.lm^,. 
transitoire  où  d'autres  mouvements  st*  |iîiiiiiîisrii!,  ijiii  .^i^ 
sont  transversaux  et  doivent  mettre  en  jeu  réliihlirifr  ih  W^ûtm . 
Ce  serait  cette  réaction  élastique  qui  priiiltiiraii  h^  plii'wwim*»*** 
d'induction. 

Nous  reviendrons  plus  loin  en  détail  sur  li>iis  r»»^  |iiiiîil> 


THEORIE    DE    LÂÏIMOB 

446.  —  La  théorie  de  Larmor  n>st  autre  ehiise  f|ue  ratia|ila- 
tion  de  la  théorie  de  jXeumann.  La  vitesse  de  rétine*  est  ailcirs  re- 
présentée en  grandeur,  direction  et  sens  par  le  veeletir  tie  Xt*ii- 
mann,  c'est-à-dire  par  la  force  magnétique. 

Comme  nous  supposons  çjl  =  i  on  a  piirtoiit, 

ch.         ^/3         ch 


dx        (lij         dz 

et  Téther  apparaît  comme  incompressible. 

Si  Ton  considère  un  fil  rectiligne  parcouru  par  iiii  eciiiraiil  vciî- 
taïque,  dans  le  voisinage  de  ce  fil  Féther  est  en  l'utalitiii  :  eîiai|iit' 
molécule  décrivant  une  circonférence  c|ui  a  pour  axe  1  axi*  riîthîîr 
du  fil  ;  la  vitesse  angulaire  de  rotation  est  en  raison  iiiveî-se  du 
carré  du  rayon  de  cette  circonférence. 

Les  phénomènes  d'induction  éleetromagnéîiqiie  stm!  tlik  sim- 
plement à  l'inertie  de  Téther. 

L'éther  est  doué  de  Télasticité  rotationnelle  teîlr  que  îa  «mii- 
prend  Lord  Kelvin;  on  ne  peut  donc  écarter  une  parlicuie  iftHlier 
de  son  orientation  primitive  sans  avoir  à  dépenser  tîu  tnivaiL 
Mais  cette  résistance  n'est  pas  toujours  de  même  miliire. 

Dans  les  diélectriques,  cVst  une  résistance  élastique,  rî  «ne 
particule  d'éther,  écartée  de  son  orientation  primitive,  y  revirtit 
dès  qu'on  l'abandonne  à  elle-même  ;  dans  les  comluflrtirs  et^ 
une  résistance  analogue  à  la  viscosité  des  liquides,  relie  parti- 
cule ne  tend  pas  à  revenir  d'elle-même  à  son  orieolaticiîi  iiriiiii- 


588  A  PROPOS  DE  LA  THEORIE  DE  LARMOR 

tive,  et  tout  le  travail  dépensé  pour  l'en  écarter  a  été  transformé 
en  chaleur. 

Les  choses  malheureusement  ne  sont  pas  aussi  simples  que 
cela,  et  il  y  a  une  difficulté  qui  mérite  quelque  attention.  Le 
couple,  qui  dans  cette  théorie,  tend  a  ramener  une  particule 
d'éther  à  son  orientation,  est  représenté  en  grandeur,   direction 

i  et  sens,  parle  vecteur  de  Fresnel,  c'est-à-dire  par  la  force  élec- 

trique (P,  Q,  R). 

I  Si  l'élasticité  rotationnelle  de  Lord  Kelvin  demeurait  inaltérée, 

I  au  moins  dans  les  diélectriques,    on    devrait  avoir  à  un  facteur 

I  constant  près, 


f 


I 


Kl 


K,  '^^         dz  cly 


Ky  dx  dz 


^5 


Kq  dfj         dx 

r^,  s  désignant  les  composantes  du  déplacement  d'une  molé- 
cule d'éther  à  partir  de  sa  position  primitive. 

Il  en  résulterait  que  le  ilux  de  force  électrique  qui  traverse 
une  surface  fermée  quelconque  dans  le  diélectrique  devrait  être 
nul  ;  en  d'autres  termes  la  charge  totale  d'un  conducteur  isole 
devrait  être  nulle. 

Il  est  donc  nécessaire  d'introduire  dans  la  théorie  une  modifi- 
cation profonde  et  cette  nécessité  n'a  pas  échappé  à  M.  Larmor 
qui  s'explique  sur  ce  point  en  quelques  lignes  [Procecdin^j^s, 
7  déc.  1893,  p.  44"?  ligues  -j  \\  1^). 

Pour  voir  quelle  est  la  modification  conveuable  il  n'y  a 
qu'une  chose  à  faire;  reprenons  les  équations  (4),  interprétons- 
les  dans  le  langage  de  la  théorie  de  Larmor  et  vovons  ce  qu'elles 
signifient. 

Posons 

K,  dz  dy  ' 

la  seconde  équation  (4)  deviendra, 

(5)  ^KiL(£^  =  „|L,P. 

K  dt  K, 


f 

I 


THÉORIE  DE  URMOM  *  |% 

Si  ).  était  constamment  nul,  on  aurait  P  =.  P\  cVst-a-tlîrt  qmt 
le  couple  développé  par  Télasticité  de  Fétlier  lenilraîl  a  raiiiefM?r 
chaque  particule  d'éther  à  son  orientaliori  pririiilive. 

Supposons  maintenant  que  A  soit  variable  :  ti"aln>rtî  îimL  r»' 
coefllcient  prendrait  une  valeur  positive  peiidaiil  i|iîrlt|îî»*  t*nii|ï*^. 
puis  redeviendrait  nul.  C'est  à  peu  près  ce  qui  mine  iLiiis  !♦*  m* 
d'une  décharge  disruplive  ;  Fair  d'ahord  ist^laiit.  rt**%*4r  tir  Y^m* 
pendant  quelques  instants  au  moment  de  la  dèelîarg*»  ri  |M*rtl  **ii- 
suite  de  nouveau  ses  propriétés  conductrices. 

Quelle   est   alors   la  signification  de  l'équatitin     5-.'  On  aiiri 


=-*r 


Kïhii. 


Tintégrale    1  A  P  di  devant  être  étendue  a  toute  îa  durée   tie   îa 

décharge,    et  étant  par  conséquent  proportionnelle  a  îi  i|iiaii- 

tité  d'électricité  qui  a  passé  pendant  cette  décîiarg*-  ;  je  puis  d#iir 

écrire, 

P  — P'  =  Avs, 

/i  étant  un  coefficient  constant  et  i-  étant  cette  quanlilé  il'elee- 

tricité. 

/Vprès  la  décharge,  le  couple  élastique  ne  îeiid  plus  à  rame- 
ner la  particule  d'éther  a  son  orientation  primîïive,  c-'esl-a-cMre 
à  une  orientation  telle  que  P  =  o,   mais  à  une  orienlyliwî  lellr 

que  P  =  ks. 

Pendant  la  décharge  le  diélectrique  perd  son  clastirilé  rtila- 
tionnelle  ;  après  la  dV^iarge  il  hi  recouvre,  mak  iin^mdtmmt 
modifiée  par  le  passage  de  T électricité. 

L'élasticité  des  solides  nous  olVre  des  phénomènes  tout  sem- 
blables. Une  barre  d'acier  soumise  à  une  traction  s'alkirige, 
mais  pour  revenir  à  sa  longueur  primitive  dès  que  la  îrarîiciii 
cesse.  Si  on  la  chauffe  au  rouge,  elle  perd  son  êlasîirilr  et  ih- 
vient  ductile  ;  sous  la  traction,  après  s'être  aHongee,  elle  cmser- 
vera  la  loncrueur  qu'elle  aura  ainsi  acquise  même  quand  eelîe  Irai- 
tion  aura  cessé.  Si  ensuite  on  la  refroidit,  elle  reccmvreni  s.ni 
élasticité,  mais  cette  élasticité  sera  modifiée,  car  elle  ne  teiidni 
pas  à  ramener  la  barre  à  la   longueur  qu'elle  possédait  .vaiiî 


590  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

toutes  ces  opérations,  mais  à  la  longueur  qu'elle  avait  au  moment 
où  l'élasticité  a  été  recouvrée. 

Que  se  passe-t-il  alors  dans  l'étlier  cj[ui  entoure  un  corps  élec- 
trisé  ? 

Chaciue  particule  est  soumise  à  un  couple  élastique  qui  tend  à 
la  ramener  à  une  orientation  donnée,  différente  (au  moins  pour 
celles  qui  ont  été  traversées  par  de  l'électricité  pendant  la 
charge)  de  celle  qu'elle  possédait  avant  l'électrisation.  Les  par- 
ticules étant  solidaires  les  unes  des  autres,  les  orientations 
qu'elles  tendent  à  prendre  sont  en  général  incompatibles.  Il  se 
produit  alors  un  équilibre  où  chacune  de  ces  particules  est  com- 
parable à  un  petit  ressort  tendu.  Le  travail  des  forces  élec- 
trostatiques n'est  autre  chose  cjue  l'énergie  emmagasinée  dans 
ces  petits  ressorts. 

Cette  explication  ne  me  satisfait  pas  encore  complètement 
parce  que  nous  n'avons  envisagé  que  la  décharge  disruptive, 
et  que  nous  avons  laissé  de  côté  le  cas  où,  pour  modifier  les 
charges  de  deux  conducteurs  on  les  met  en  communication  à 
Laide  d'un  fil  métallique^  pour  les  isoler  ensuite  de  nouveau  en 
écartant  le  iil. 

INIais  là  on  a  affaire  à  des  corps  en  mouvement,  et  la  dilllcullé 
est  plus  grande.  Au  lieu  des  équations  (4)  qui  sont  celles  de 
Hertz  [Grundgleicliimgen  cler  Electroclijnaniik  fur  ruliende  Kôr- 
per,  Wiedemaniis  Annalen,  4o,  p.  377,  et  la  Lumière  éleclrique 
t.  XXXYII,p.  187,  1885  23g)  il  i'aut  considérer  les  équations 
beaucoup  plus  compliquées  du  second  mémoire  de  Hertz  sur  les 
corps  en  mouvement  [Grundgleicliungen  der  Eleclrodtjnunilk 
fur  hewegte  Kijrper,  Wledemanns  Ànnaleii,  /ii  ^  (^i  la  Lumière 
électrique,  t.  XXXVIII,  p.  488  et  54:^).  J'étudierai  ces  équations 
un  peu  plus  loin  et  je  chercherai  quelle  est  leur  signihcatioii 
quand  ou  les  interprète  soit  dans  le  langage  de  la  théorie  de 
Fresnel  achiplée,  soit  dans  le  langage  de  la  théorie  de   Larmor. 

J'aurai  ainsi,  du  même  coup,  l'explication  dans  l'une  et  dans 
1  autre  théorie,  des  phénomènes  mécaniques  dont  un  champ  élec- 
tro-magnétique est  le  siège,  c'est-à-dire  des  attractions  électros- 
tatiques et  des  actions  mutuelles  des  courants. 

Pour  achever  de  tracer  le  programme  des  questions  que  je 
veux  traiter  dans   ce  qui  va  suivre,  j'attirerai  encore  Tattention 


11^ 


THEORIE  BE  lA!i3if)Ê  «^lî 

sur  deux  autres  diiïicultés  que  nous  aiirwis  a  r.\aiïiiiîfr  m  i^^ljîL 
Généralement  dans  les  recherches  sur  rêlei-lririlr  ,m  n4ui*4  nm* 
les  déformations  des  corps  élastiques  sont  lrr>  |irtif*»%  :  iri  mw 
semblable  hypothèse  n'est  plus  permise;  clans  mi  rhainj*  iiu^ttr. 
tique  constant  la  vitesse  de  Féther  est  égaleiiit*iilriiîi>iiiiii*M|'a|ii*'% 
l'hypothèse  de  Larmor,  et  toujours  dans  le  im'^îiit^  >»*iî^.  Au  i»i»iil 
d'un  certain  temps,  les  molécules  cl'étliercî«*iv<fiil  mmr  r|irin«i* 
des  déplacements  sensibles,  et  cek' ittéiiie  en  HiipjMï^*iiil  r«*llr  li- 
tesse  constante  très  petite  ;  car  dans  les  tm'fs  iiw;(iîf!isjîj«*^,  iî 
faut  supposer   l'existence  de  courants  partiriilain'»  j*¥îîîiaiir'iit* 
qui  doivent  durer  depuis  Forigine  du   !iîi»iidi\  Im-u  t|iî'iK  îî«^  ^»* 
manifestent  que  quand  le  corps  est   a    iièiii:ii('iiKL'  .>.  r"r^t-lî-llir#' 
quand  tous  ces  petits  courants  sont  ramenés  par  ii!ir  r;iiiM*  rxle- 
rieure  à  une  orientation  commune.  Quelqui'   pt4ilf   qm*  Mtii  h 
vitesse  de  Féther,  un  mouvement  qui  se  pruduil  Itiiijiiuib  tkiîis  h- 
même  sens  depuis  Forigine  du  monde,  a  néeessaireiiieiiî  |iriiiliiil 
des  déplacements  considérables. 

En  second  lieu,  dans  un  champ  niagîiétîC|iît%  Yèûwr  e^î  snfî- 
posé  en  mouvement  et  il  devrait  entraîner  les  tiiitl»'?  îami- 
neuses. 

M.  Larmor  dit  à  ce  sujet  à  la  fin  de  son  travail  : 
(c  Le  professeur  0.  Lodge  a  bien  voulu  exainiiier  felFel  cl'iiîi 
))  champ  magnétique  sur  la  vitesse  delà  hiiiîii*re  :  niais  iFa  pii 
))  en  décéler\aucun,  bien  que  les  moyens  qu'il  empluyait  fîisseiit 
»  extrêmement  délicats  ;  il  en  résuiterall.  dans  nuire  lliniri*^ 
»  que  le  mouvement  dans  un  champ  magnétique  est  ti'.-s  h'uK 
»   et  par  conséquent  la  densité  du  milieu  très  gnmûr.  » 

Ainsi  ce  mouvement  était  si  lent  c|ue  les  experIeîIcr^  ih  M.  i*, 
Lodge,  quoique  très  précises,  ne  Fêtaient  pas  eneure  a>>ez  |ii»iîr 
le  mettre  en  évidence.  Pour  dire  toute  ma  penst'-e,  j'esiiiiie  c|im% 
ces  expériences  eussent-elles  été  cent  ou  nulle  fois  plus  prmses, 
le  résultat  aurait  encore  été  négatif. 

Je  n'ai  à  donner  à  Fappui  de  cette  opinion  qiie  des  nmmis  de 
sentiment;  si  le  résultat  avait  été  positif,  on  aurait  pu  iii..iirer 
la  densité  de  Féther  et,  si  le  lecteur  veut  bien  me  parcWmier  .. 
vulgarité  de  cette  expression,  il  me  répugne  de  penser  qm  I  rttiei 
soit  si  arrivé  que  cela. 


592  A  PROPOS  DE  LA  THEORIE  DE  LAIîMOR 


ÉLECTBODYXAMIQUE    DES    COUPS    EN    MOUVEMENT 

447.  —  Ainsi  que  je  l'ai  dit  précédemment,  je  ne  peux  pour- 
suivre l'examen  de  la  théorie  de  Larmor  qu'en  examinant  ce  qui 
se  passe  dans  un  champ  électromagnétique  où  il  y  a  des  corps  en 
mouvement. 

Le  plus  simple  paraît  être  de  prendre  comme  point  de  départ 
les  équations  de  lïex^tz  [Grujidgleichungeji  der  Electrodynamik 
fur  hewegle  KorpeVy  Wiedemamis  Aiuialen^  40  '\^'ide  supra 
p.  090)  et  de  les  traduire  ensuite  soit  dans  le  langage  de  la 
théorie  de  Fresnel  adaptée,  soit  dans  celui  de  la  théorie  de  Lar- 
mor. 

Mais  une  première  question  se  pose.  Ces  équations ,  qui  ne  re- 
posent, en  somme,  que  sur  quelques  inductions  hardies,  peuvent- 
elles  être  acceptées  telles  quelles  ;  cela  est  fort  douteux. 

Nous  avons  vu  plus  haut  en  elFet  (p.  389,  n*^  Sig)  que  les  ondes 
lumineuses  devaient  être  entraînées  totalement  par  un  milieu 
diélectrique  en  mouvement. 

Cela  est  absolument  contraire  à  l'expérience  célèbre  de  Fizeau 
qui  nous  apprend  que  l'entraînement  n'est  que  partiel  ;  on  devrait 
avoir  (p.  392) 

;,r,,î^  étant  les  composantes  de  la  vitesse  de  la  matière. 

Les  équations  de  Hertz  doivent  donc  être  modifiées.  Mais  quelle 
modification  faut~il  y  introduire  ?  On  peut  être  un  peu  embar- 
rassé pour  répondre  à  cette  question. 


THEORIES    ])E    HELMIIOLTZ 

448.  —  Représentons-nous  deux  milieux  qui  se  pénètrent, 
Téther  et  la  matière  ;  soit  p  la  densité  de  l'éther,  p^  celle  de  la 
matière  ;  soient  ç^,  r^^,  ^^  les  composantes  du  déplacement  de 
l'éther  ;  \,,  r^,,  î^^  celles  du  déplacement  de  la  matière. 

Une  particule  d'éther  est  soumise  à  deux  forces  :  Tune  due  à 
l'action  de  l'éther  environnant  et  qui  estla  même  que  si  la  matière 


*r 


THÉ  OR!  ES  DE  MELWÎOLn  Sfl 

n'existait  pas  ;  soit  L,M,X  celle  fiirce  ;  faiilre  due  h  racliiifi  dt 
la  matière  sur  Téther  et  doiîl  les  ciimposaiilcî^  serein! 

B(l-H,l.       Bj.-r,,,       B:,-;. 

Une  particule  de  matière  es!  également  smiiiiisr  y  .î*-ii\  ïiiis  ^'^ , 
Tune  est  la  réaction  de  Tétlier  sur  la  nialii^rr  ri  a  |iiiiîi  r^«"ii|ii*- 
santés, 

B  (;.-;,%       B(^,-V'       B  :,-;,■ 

L'autre  est  une  sorte  de  froîlemeiil  àmil  licifiitwiîlz  îi*»'i}*li#|iîr 
pas  très  bien  Torlgine  et  qui  a  p«)iîr  comptisaiites 

_cA       _ci^      -c-^. 

(Il  '   (ii  "    iii 

B  et  C  sont  des  constantes  qui  dépendent  de  la  iKiliireilii  riir|is. 
Les  équations  du  mouvement  deviennent  alors, 


:L4-B;;,-V, 


C'est  à  l'aide  de  ces  éqîiations  que  Ileîmliîslt/  n^iicl  €cini|ïlr  tî«*  h 
dispersion.  Mais  tel  n'est  pas  notre  IhiI  ;  omis  \\mhm>  im  r«ii- 
traire  nous  en  tenir  au  premier  degré  d*approxîiiKiti«ii  cm  tm 
néglige  la  dispersion  et  pour  cela  il  tant  siippost^r  i|iie  B  «Haril 
très  grand,  on  a  sensiblement  z^  =  ;_^. 

En  ajoutant  les  deux  équations  précédentes  el  iaisaiil  ;^  =  ;, 
il  vient 

(5)  ^^+?i  7/^-T-=^^"^^l?r* 

Il  nous  reste  a  voir  ce  qui  arrive  si  on  suppose  Fetlier  îiiiin.- 
bile  (sauf  son  mouvement  de  vibration  bien  enleiulii  el  h  iiirn 
tière  en  mouvement.  ^ 

Nous  désignerons  par  ;,  t.,  :  les  composantes  de  la  vIles^,'  û. 

la  matière.  ^  .. 

Nous  représenterons  par  ^  et  par  ^  la  projection  «»  TaKo 

PoixcARÉ.  Électricité  et  Optique. 


594  --i  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

des  X  de  la  vitesse  et  de  l'accélération  d'une  molécule  matérielle, 
de  sorte  que 

^t  ~  dt  "^^  dx  '^  '  di/  ~^^  d.z  ' 
et  en  négligeant  les  carrés  et  les  dérivées  de  ?,  v],  ^  : 

H'   ~  dt'  ~^^^  dxdt  '^^^'  dydt   ^  ^'^  dzdt  ' 
L'équation  (o)  devient  alors, 

Il  est  aisé  de  voir  d'abord  que  cette  formule  (5  his)  rend  compte 
de  l'expérience  de  M.  Fizeau.  Imaginons  en  effet  que  le  milieu 
soit  un  diélectrique  parfait  (d'où  C  =  o)  et  que  les  ondes  lumi- 
neuses soient  planes^  le  plan  de  Tonde  étant  parallèle  au  plan 
des  xij  ;  alors  ç^  est  fonction  de  z  et  de  t  seulement  et  Ton  a  : 


1^' 

X  étant  un  coefficient  constant. 

Supposons  de  plus  que  la  vitesse  de  la  matière  soit  constante  et 
parallèle  à  Taxe  des  .c,  de  sorte  que 


^^-7~7r4 


^e       dt"  ^-  dzdt  ~^^   dz'" 

On  a  d'ailleurs 

K(]  étant  la  vitesse  de  la  lumière  dans  le  vide,   et   Téquation 
(5  Lis)  devient  ; 


-p. 


^^-^  =pK^ 


'  di'    '  '^\dt''  ^^^7hdF~^^'7J 

d'où,  si  l'on  appelle  pour  un  instant  U  la  vitesse  de  propagation 
de  Tonde  : 


f^ 


P  +  p,)U^+aS:p,U  +  i;\o,  =  pK5; 


TIIÉOEIES  DE  HELMimiTZ 

d'où  en  négligeant  le  carré  de  :; 


*ft 


^==K\/^ 


Il  est  clair  que, 
il  vient  donc  finalement, 


V==K^\/^-^.{.-±). 


On  voit  donc  que  cette  théorie  rend  bien  eoeiple  lîe  rentral- 
nement  partiel  des  ondes  constaté  par  Fizeau   p.  5i|!4  . 

Mais  elle  cessera  de  paraître  satisfaisaiite  si  on  veiîi  rappliciier 
aux  phénomènes  électriques. 

Reprenons  les  équations  (5  ùis)  en  supposant  C  ==  0,  il  vîeal, 


'     dt'    ^" 

1-- 

et  de  même, 

'   dt'    ^  " 

0/- 

(P-:, 

c    ^f.      .   ri 

cV^ 

Comme  on  a 

. 

dL        f/M 

d.v     '     dij 

,    dS 

-+-  ,/r.   -  "■ 

si  Ton  pose 

d.v 

'h:            'l~.: 

d,j     ■     dz 

il  viendra, 

^^                    f6) 

0-^ 

L(?5  ^Z  ordinaires  représente?}!  toujours  les  dérivées  prî.ses  par 
rapport  à  t  en  supposant  le  point  x,  //,  z  fi.re  et  les  Promis,  en  sup- 
posant le  point  x,  j/,  z  entraîné  par  la  matière. 

Pour  nous  rendre  compte  de  h  signification  de  crile  ri|iiîiti«^îi. 


596  A  PROPOS,  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

reportons-nous  à  ce  que  nous  avons  dit  plus  haut  de  la  théorie  de 
Fresnel  adaptée.  Nous  avons  vu  que,  dans  cette  théorie,  aux 
points  011  il  y  a  de  rélectricité  positive,  la  densité  de  Téther  va 
constamment  en  augmentant. 

Or,  d'après  une  formule  bien  connue,  9  représente  la  conden- 
sation de  Téther,  c'est-à-dire  l'excès  de  sa  densité  actuelle  sur  sa 
densité  normale.  Dans  cette  manière  de  voir,  la  densité  de  Télec- 

tricité  libre  serait  donc  proportionnelle  a  —7-. 

Il  pourrait  y  avoir  doute  dans  le  cas  où  les  corps  chargés  d'élec- 
tricité sont  en  mouvement.  On  peut  se  demander  alors  si  la  den- 

sité-  de  1  électricité  doit   être   représentée    par  — --  ou  par  -^  ; 

mais  le  résultat  que  j'ai  en  vue  n'en  sera  pas  changé. 

Supposons  que  ^  =  rj  =  o,  (^=  constante;  l'équUtion  (6)  devient 

D'ailleurs  -— -  et  —7-  satisferont  comme  0  a  l'équation  (6  his). 
&t         de  ^  ^ 

Cette  équation  est  contredite  par  l'expérience,  l'électricité 
devrait  être  entraînée  avec  la  môme  vitesse  que  la  matière  puis- 
qu'elle reste  attachée  aux  corps  qui  en  sont  chargés  et  on  dévorait 
avoir, 

d^      aô     .  ^  . 

—-et  -TT  satislaisant  comme  G  aTéquadon  (6  fc/-). 

Cette  nouvelle  théorie  n'est  donc  pas  plus  satisfaisante  que  la 
première. 

Mais  ce  n'est  pas  là  la  forme  à  laquelle  Ilelmholtz  s'est  arrêté; 
à  la  théorie  de  la  dispersion  que  nous  venons  de  discuter  et  qu'il 
avait  développée  avant  le  triomphe  de  la  doctrine  de  Maxwell,  il 
en  a  substitué  une  autre  qu'il  a  exposée  sur  la  fin  de  sa  vie  dans 
le  lome  XLVIII  des  An7iales  de  Wledeniann  [Eleciromagneilsche 
Théorie  der  Farhenzerstreuung),  A  ce  mémoire  de  Ilelmholtz  se 
rattache  un  travail  de  Reif  [Wled.  Ann.,  t.  L,  Fortpflanzung  des 
Llchles),  qui  examine  les  conséquences  de  la  théorie  de  Ilelniholtz 


THEORIES  DE  HEiJmOlTI  1^^ 

précisément  au  point  de  vue  qui  lioiis  «ceup,  c'rst-ii-tlirf  ai 
point  de  vue  de  renlraînemeiit  partit*!  âe^  miih*'^  |i*iâ*  liii  mllh-m 
en  mouvement,  llelmholtz  syppostM|iie  dim^  hs  àh4$H-i^uiue>*  h 
polarisation  électrique  se  décompose  ru  tlmix  parlî*^-.  :  li  îmhm- 
sation  de  Téther  dont  nous  désignerons  h->  rfiîii|«*s,în!*'*  jur 
X,  Y,  Z  et  la  polarisation  delà  matière  que  mnn  4esipi^*um^  |i;ir 
/,  g-,  A,  et  que  le  savant  allemand  alirilme  ii  unr  ntirîî*  *|\'|*»cfr»i- 
lyse  incomplète. 

Le  courant  de  déplacement  lolal  a  alors  pour  fiii!t|»»^jîilt''<: 

- ^x    AL     £L    EL     ÉL^Jl 
dt  "^  dt  '     di  ^iF'    ir  '  'iff' 

L'énergie  électrostatique  localisée  dans  le  viiliiiin' cir  thl  iraiitre 
part  la  somme  de  trois  termes,  un  terme  en  X"  -^  ¥'  -r-  '/*%  i» 
terme  en  f-  -{-  g'  -\~  h'  et  un  terme  en  X/'-f-  \i!  -t-  ïJi»  En  flir- 
tant de  ces  hypothèses,  Helmholtz  rend  compte  des  Inis  tl«*  la  dis- 
persion ;  mais  Reif  a  voulu  voir  comment  on  pourrait  ex|ilMnier 
dans  le  même  ordre  d'idées,  Texpérieiice  de  Fizeaii  rr|j€lée  |iar 
Michelson  et  Morley.  Il  a  reconnu  qu'il  faudrait  siî|i|Miser  ifiie  la 
matière  transporte  avec  elle  rélectricité  qui  engeiiclre  la  secôfiie 
composante  /,  g,  h  de  la  polarisation,  tandis  «ftie  Felher  esl 
entraîné  partiellement  en  transportant  avec  kiî  releriricilé  iiai 
engendre  la  première  composante  X,  \ ,  Z. 

M.  Reif  a  alors  songé  à  modifier  lliypollièse  de  Ilt4iiilitilli 
en  supprimant  dans  l'énergie  électrostatique  le  leriîie  en 
Xf~^^g-^lh.  Le  résultat  est  alors  beaucoup  plus  sim|il»».  L\*ii- 
traînemcnt  de  l'éther  est  alors  nul. 

Je  transcris  les  équations  de  llelmholtz  [Sîiziingskiirhie  Je 
Berlin,  1892,  LUI,  p.  1098  éq.  i'aK  iiï,  i-./.  seiil.iiieiil  jm 
désigné  par  X,  Y,  Z  ;  /',  g.  h  ce  que  llelmholtz  représente  par  les 
■  lettres  gothiques  X,  Y,  Z,  .r,  ^,  .  ;  de  phis  je  siippuserai 
^  ^  K  =  I  ;  je  représenterai  enfin  par  a,  %  7  ce  ipie  llrlnikilti 
représente  par  les  lettres  gothiques  L,  M,  X.  Il  vient  aiiisi 

T      dx  d'L^h)         d\ — g 

(7)  T,~dt^       'dJi  dz 

i  d  r  (i^^  ^^V 

avec  les  équations  qu'on  en  aéduirait  par  synu-tri.-. 


il 

il 


598  A  PROPOS  DE  LA  TUÉ  OUÏE  DE  LARMOR 

Avec  l'hypothèse  de  Reif,  il  faut  dans  l'équation  (7)  et  celles 
qu'on  en  déduit  par  symétrie  remplacer  F  —  f,  G  —  g^  II  —  A 
par  F,  G,  H. 

Malheureusement  il  y  a  un  obstacle  dont  Reif  ne  se  tire  pas 
mieux  que  Helmholtz. 

Si  le  milieu  est  en  mouvement,  la  composante  f^  g^  h  est  en- 
traînée par  la  matière  et  l'équation  (8)  devient, 

__Li£     _^^_#_ ^ 

Ko     dt         Ky     ô^  ~  dz  ly" 

On  déduit  de  là  : 

d   fdl.        dX        dZ\   ^    /df         dg         dh\ 
dt\dx~^  dy  '^  dz  l~^  U\dx     ^  dy  '^   dz  )~'^' 

L'expression 

df  dg  dh   

dx  dy  dz 

est  proportionnelle  à  la  densité  de  Télectricité  c-. 
D'autre  part  Helmholtz  trouve, 

a%  m  et  k  étant  des  coefficients  constants. 

Si  les  mouvements  sont  très  lents,  les  deux  derniers  termes 
disparaissent  et  il  reste, 

d'où 

^x    ,    dX       dZ 

dx  dy  dz 

d'où  enfin 

,    d^  Ocr 

dt  dt 

Si  q  ~-'f^  =  0,  c'est-à-dire  si  la  vitesse  de  la  matière  est  paral- 
lèle h  l'axe  des  ;:,  il  vient 

/   9    ,      \   (^'^     ,         dG 


THÉORIE  DE  LORENTZ  |^ 

ce  qui  veut  dire  que  les  charges  éleelricpies  m  mm\  lu^fmîmmH^. 
avec  la  matière  comme  Fexige  îe  principe  Je  k  ^mis.tvMun  i, 
1  électricité,  mais  qu^elle  est  eiilrainée  avec  «ne  vili'..r  pla.  m  fm^ 
égale  a 


la  théorie  de  Helmholtz  conduisant  soiis  ce  rappcirt  au  iiiéait 
résultat  que  celle  de  Reif,  Fune  et  Fautre  me  paraissent  immr 
être  rejetées. 


THEORIE     DE    LOEENTZ 


449.  —  ]\I.  Lorentz  a  imaginé  une  théorie  éleclrtMl¥iiaiiiiï|iM^ 
des  corps  en  mouvement  fondée  sur  des  principes  eiiliereinent 
différents  et  à  certains  égards  plus  satisfaisante.  Xons  ravdit 
exposée  plus  haut  (p.  422  à  oj'i). 

Cette  théorie  rend  compte,  comme  nous  l'avons  vu^  diipriacipe 
"de  la  conservation  de  Félectricité,  puisque  Fhypollièse  fiMiclaintii- 
tale  n'est  autre  chose,  après  tout,  qu'une  IraJuctiim  de  ce  prin- 
cipe lui-même. 

Elle  rend  compte  également  de  Fentraiiiemeiit  parliel  tles 
ondes. 

Malheureusement  il  reste  une  dillicullé  grave:  ii  n'y  a  plus  éga- 
lité entre  Faction  et  la  réaction.  C'est  ce  que  nous  avons  deinoîilre 
pages  448  ^^  454-  Pour  s'en  rendre  compte,  sans  entrer  Juns  le  détail 
des  calculs,  il  nous  sulfirait  d'ailleurs  d'un  exemple  simple.  Cuesidé- 
rons  un  petit  conducteur  A  chargé  positivement  et  eiiloore  J'ellier. 
Supposons  que  Féther  soit  parcouru  par  mie  onde  eleclrcimsigiie- 
tique  et  qu'à  un  certain  moment  cette  onde  atteigne  A,  là  lbrc€* 
électrique  due  à  la  perturbation  agira  sur  la  charge  de  A  eî  pro- 
duira une  force  pondéromotrice  agissant  sur  îe  cûrps  A.  Celle 
force  pondéromotrice  ne  sera  contrebalancée  ao  point  de  vue  du 
principe  de  Faction  et  de  la  réaction  par  aucune  dnxe  agis>atîil 
sur  la  matière  pondérable.  Car  tous  les  autres  corps  prinderable^ 
peuvent  être  supposés  très  éloignés  et  en  dehors  de  la  reginii  Je 
Féther  qui  est  troublée. 

On  s'en  tirerait  en  disant  qu'il  y  a  réaction  de  corps  A  sur 


î 


'é 


eoo  A  IROPOS  DE  LA  THEORIE  DE  LARMOJR 

Téther  ;  il  n'en  est  pas  moins  vrai  qu'on  pourrait,  sinon  réaliser, 
au  moins  concevoir  une  expérience  où  le  principe  de  réaction 
semblerait  en  défaut,  puisque  Texpérimentateur  ne  peut  opérer 
que  sur  les  corps  pondérables  et  ne  saurait  atteindre  Téther. 

Cette  conclusion  semblera  difficile  à  admettre. 

La  théorie  de  Hertz  ne  donnait  pas  lieu  a  cette  difficulté  et 
était  parfaitement  d'accord  avec  le  principe  de  la  réaction  [inde 
supra^  p.  4^0).  Dans  cette  théorie  et  dans  l'exemple  qui  nous 
préoccupait  plus  haut  il  y  aurait  réaction  du  corps  A  non  seule- 
ment sur  l'éther,  mais  sur  l'air  où  se  trouve  cet  éther  ;  et  quel- 
que raréfié  que  soit  cet  air,  il  y  aurait  égalité  parfaite  entre  l'ac- 
tion subie  par  A  et  la  réaction  de  A  sur  cet  air. 

Cela  tenait  à  ce  que  dans  la  théorie  de  Hertz,  l'éther  était 
entraîné  totalement  par  la  matière  j  dans  la  théorie  de  Lorentz, 
aa  contraire,  il  n'en  est  pas  de  même,  la  réaction  subie  par  l'air 
n'est  qu'une  très  faible  fraction  de  l'action  subie  par  le  corps  A, 
et  cette  fraction  est  d'autant  plus  faible  que  l'air  est  plus  raréfié. 

En  réfléchissant  il  ce  point,  on  voit  que  la  difficulté  n'est  pas 
particulière  à  la  théorie  de  Lorcntz  et  qu'on  aura  beaucoup  de 
peine  à  expliquer  l'entraînement  partiel  des  ondes  sans  violer  le 
principe  de  l'égalité  de  l'action  et  de  la  réaction.  Nous  verrons 
plus  loin  si  la  conciliation  est  possible. 


THEORIE     J)K     J.-.I.    THOMSON 

450-  — Dans  ses  «  Récent  liesearckes  »,  J.-.l.  Thomson  consacre 
unparagraphe  a  la  propagation  de  la  lumière  dans  un  diélecti'ique 
en  mouvement  (§  44o,  p.  543).  Ce  travail  a  été  analysé  en  détail 
par  M.  Blondin  dans  la  Lumière  électrique,  du  4  novemln'c  189^, 
p.  201,  et  je  n'y  reviendrai  pas. 

Je  me  contenterai  de  rappeler  les  principaux  résultats. 

Soit  V  la  vitesse  de  propagation  de  la  lumière  dans  le  diélec- 
trique en  repos  ;  soit  9  la  vitesse  de  la  matière  du  diélectrique, 
ou  plutôt  la  projection  de  cette  vitesse  sur  la  direction  de  la  pro- 
pagation des  ondes;  soit  ^^^  la  vitesse  de  l'éther  dans  le  diélec- 
trique qui  serait  nulle  s'il  n'y  avait  pas  d'entraînement,  qui  serait 
égale  \  9  û.  l'entraînement  était  total  et  qui  aurait  des   valeurs 


m  KO  RIE  DE  J.^J.  TMOMSG.V  fe, 

intermédiaires  si  rentraiiiemeîit  él;iil  partiel.  I.a  %lltm€  et  h 
lumière  dans  le  diélectrique  en  iiioiivemeiil  srra 

Y  4_  ç^  _|_  ç^^ 

i\,  ^2  pouvant  avoir  diverses  valeurs  suivant  h'^  ln|i«ili,**...H 

Dans  un  conducteur  en  mouvement  il  pinil  s»^  prinliiitr  iïpn\ 
sortes  de  forces  électramotrices  dliidiielioii,  h  jiri'îïii**ii- |iî»t\^»- 
nant  de  la  variation  du  champ  magiiélit|iîi%  lit  seromît*  jwmrnmi 
du  déplacement  du  conducteur  dans  n.^  cliaiit|i.  Il**  inètm*  $Lii|4  «« 
diélectrique  en  mouvement  il  doit  se  dtH'ij!ti|>|ier  îiiiï*  itirr*'  rht- 
tromotrice  d'induction  due  au  déplacenit'iit  de  n»  <ri»»l«*rt!ii|iii*  ; 
elle  dépendra  évidemment  de  la  vitesse  de  re  iliélf'iiiitiiî*' ;  iinii^ 
est-ce  de  la  vitesse  de  la  matière  du  diéleclriqwe  eu  ût  h  ilw^^** 
de  l'éther  qui  y  est  contenu  ?  on  peut  faire  les  àvn\  liik|Millii'sF%, 

Dans  le  premier  cas  ç>,  sera  éoral  à  — ,  dans  le  secDiid  y  — , 

D'autre  part,  si  un  diélectrique  se  déplace  dans  iiii  r!tJitt|i 
électrique,  s'il  passe  dans  une  région  où  ilîiîeIi^itr  du  t"ii;iiii|* 
est  plus  grande  ou  plus  petite,  sa  polarisation  vaiiiT.î  :  «h  |ii*iit 
se  demander  si  cette  variation  de  la  poUirisaîi<»îi  pruiJîiini  mn 
courant  de  déplacement  susceptible  d'agir  sur  iim^  aii;iiilît* 
aimantée.  On  peut  faire  î\  cet  égard  plusieurs  liypotlirst^s. 

On  peut  supposer  que  quand  la  polarisation  é!erlrii.|iie  en  on 
J7iéme  point  de  V espace  demeure  constante,  iî  n'y  a  pas  «le  ccia- 
rant  de  déplacement,  quand  même  le  dielectriqut*  en  sr  tleplii- 
çant  passerait  dans  une  région  où  cette  polarisalioîi  e^l  diilé- 
rente. 

En  d'autres  termes  les. composantes  du  courant  de  dï^pLit-reieiit 

seraient, 

df  diT  dh_^ 

~dt'        17^  e//  ' 

/",  o^,  h  étant  les  composantes  du  déplacement  eii  iiii  puiiiî  cinîmé 
invariablement  lié  à  la  matière  du  diélectrique  muliile. 

On  peut  supposer  enfin  que  les  composantes  tlii  rîHîraîît 
sont  ^,  ^^  —^  et  que  /;  i,^  h  sont  les  ctiîiiiiti>;iiitt.^^  du 
déplacement  en  un  point  donné  invariablement  lié  ;i  Frllier  piir- 
tiellement  entraîné  par  le  diélectrique  mobile. 


li  602  A  PROPOS  DE  LA  THÉOlilE  DE  LAIÎMOR 

P  Dans    le  premier    cas,    ç,^  est  égal   à   zéro,    clans   le    second 

"'/  a   -— ,  dans  le  troisième  a  --^  . 

k  ^     .        .  ^  . 

I,  La  discussion  de  J.-J.  Thomson  laisse  donc  place   à  un  grand 

i  nombre  d'hypothèses,   mais  aucune  n'est  satisfaisante  ;  la   seule 

f  .       .       ,         "  .  1         •  /  ^' 

1;  qui  soit  d'accord   avec   l'expérience  de    Fizeau  (  (^^  =  (^^  =  — ^ 

I'  ^     .  ^  ^  ~^ 

f  soulèverait  les  mêmes   difficultés  que  les  théories  de  Helmholtz- 

i;  Reif  et  Lorentz. 

f  On  voit  donc  combien  il  est  difficile  de  rendre  compte  par  une 

i  même  théorie  de  tous  les  faits  observés  ;  les  contradictions  aux- 

I  quelles  toutes  les  hypothèses  peuvent  se  heurter  paraissent  tenir 

l  à  une  cause  profonde.  Dans  tous  les  cas  un  examen  plus  attentif 

I  est  nécessaire  et  j^^  reviendrai  plus  loin. 

à 

DISCUSSION    DE    LA    THEORIE    DE    HERTZ 

l  451.  —    Nous  avons    vu  dans   ce  qui  précède    les  conditions 

'\  "  auxquelles  il  semble   que    devrait  satisfaire  toute    théorie   élec- 

f  trodynamique  des  corps  en  mouvement. 

i^  Elle  deçraît  rendre  compte  des  expériences  de  Fizeaii^  c'est- 
à-dire  de  Ventramemejit  partiel  des  ondes  lumineuses,  ou,  ce  qui 
revient  au  même^  des  ondes  électromagnétiques  transç>ersales. 

2^*  Elle  doit  être  conforme  au  principe  de  la  conservation  de 
V électricité  et  du  magnétisme. 

3'  Elle  devrait  être  compatible  avec  le  principe  de  V égalité  de 
t action  et  de  la  réaction. 

Nous  avons  vu  qu'aucune  des  théories  proposées  jusqu'ici  ne 
remplit  simultanément  ces  trois  conditions  :  la  théorie  de  Hertz 
satisfait  aux  deux  dernières,  mais  pas  a  la  première  ;  celles  de 
Helmholtz  ne  satisfont  pas  à  la  seconde;  celle  de  Lorentz  satis- 
fait bien  aux  deux  premières  mais  pas  à  la  dernière. 

On  peut  se  demander  si  cela  tient  à  ce  que  ces  théories  sont 
incomplètes  ou  si   ces  trois   conditions   ne  sont  réellement  pas 
1  compatibles,  ou   ne  le  deviendraient  que  par   une    modification 

1  profonde  des  hypothèses  admises. 


DlSCiSSmx  DES  AtTEES  TiimUES  feî 


DISCUSSION     DES    AUTRES     TIliûllES 

452.  —  Ainsi  la  théorie  de  llerlz  salisîail  aux  «l**ii\  ihnùru^-^ 
conditions  ;  il  nous  reste  à  voir  qifelle  est  la  M.*îi!e  ijiii  i  *«j!i%- 
fasse. 

Quelles  que  soient  les  hypothèses  qml  ïioiis  M^nifiHii  rtiniiii^^ 
point  de  départ,  nous  arriverons  toujours  à  deux  gi«ii|iï*f*  ilr  tnii* 
équations  aux  dérivées  partielles,  aiialogoes  à  çAh*  lî**  li.'fti 
et  auxquelles  devront  satisfaire  les  deux  veetinirn  i,  ^'l,  •  et 
(P,  Q,  R). 

Remarquons  que  les  équations  de  Hertz  salistciiit  um%  tr«is 
conditions  suivantes  : 

i^  Elles  sont  linéaires  et  homogènes  par  r.ipptirî  ii  i,  J^.  7  ; 
P,  Q,  R  et  a  leurs  dérivées; 

2"  Elles  sont  linéaires  mais  non  homogènes  par  rapport  à  ;.  7,,  ^ 
et  à  leurs  dérivées; 

3"^  Elles  ne  contiennent  que  des  dérivées  du  premier circlre  tant 
par  rapport  a  t  que  par  rapport  à  .r,  ?/  et  -. 

Je  dis  qu'on  peut  toujours  supposer  que  les  éqiîalîc»iis  <|ii«» 
Ton  doit  substituer  à  celles  de  Hertz  satisloiit  à  ces  mêmes  con- 
ditions : 

i^  On  peut  supposer  qu'elles  sont  linéaires  par  nif-iport  aux 
composantes  de  la  force  électrique  et  de  la  force  îmigîitHic|iîe  :  si 
en  effet  elles  ne  Tétaient  pas  et  si  les  perturlialinîis  rlecirtniKi- 
gnétiques  étaient  très  petites,  les  termes  d'ordre  siiinmem  dis- 
paraîtraient  devant  les  termes  du  premier  ordn»  ;  si  tUiie  res 
équations  étalent  compatibles  avec  les  principes  de  Y-M'lum  et  ie 
la  réaction  et  de  la  conservation  de  rélectricil.^  eî  du  niagiif- 
tisme,  elles  ne  cesseraient  pas  de  Tètre  quand  oiijes  reciiiirâit 
à  leurs  termes  du  premier  ordre  par  rapport  ii  a,  >,  7:  i^  «i,  i^- 
2^  On  peut  supposer  qu  elles  sont  linéaires  par  rapport  ;iî« 
composantes  de  la  vitesse  l',,  :;  si,  en  effel,  on  siipp.s.  qiir 
ces  composantes  sont  très  petites,  les  termes  du  seemul  d.-r.  et 
de  de^ré  supérieur  en  l  r.,  r,  seront  négligeables:  si  d«iir  rrs 
quantités  étalent  compatibles  avec  les  principes,  elies  11.  e.sM- 
raient  pas  de  l'être  quand  onjes  réduirait  it  leurs  termes  d  .r~ 
dre  0  et  i  par  rapport  à  ;,  7^,  -; 


\  I 


6o4  'A  PROPOS  DE  LA  IHEORIE  DE  LARMOR 

3^  On  peut  supposer  qu'elles  ne  contienneut  que  des  dérivées 
du  premier  ordre  ;  si  en  effet  on  suppose  que  la  perturbation 
varie  très  lentement,  c'est-a-dire  qu'elle  est  cl  très  grande  Ion- 
gueur  d'onde,  les  dérivées  d'ordre  supérieur  seront  négligeables  : 
si  donc  les  équations  étaient  compatibles  avec  les  principes, 
elles  ne  cesseraient  pas  de  Tètre  quand  on  les  réduirait  à  ceux  de 
leurs  termes  qui  dépendent  des  dérivées  du  premier  ordre. 

Supposons  donc  remplies  les  trois  conditions  énoncées  plus 
^haut. 

Pour  former  les  équations  nouvelles,  nous  reprendrons  les 
équations  de  Hertz  et  nous  ajouterons  respectivement  aux  pre- 
miers membres  des  trois  équations  du  premier  groupe  les  termes 
complémentaires, 

*       AR,,         AR,,         AR3; 

Nous  ajouterons  de  même  respectivement  aux  premiers  mem- 
bres des  trois  équations  clu  second  groupe  les  termes  complé- 
mentaires. 

AS,,         AS,,         AS3. 

Nous  avons  obtenu  le  principe  de  la  conservation  du  ma- 
gnétisme en  opérant  sur  les  équations  du  premier  groupe, 
les  différentiant  respectivement  par  rapport  à  a\  y  et  z  et  ajou- 
tant. En  opérant  de  cette  manière  on  retrouvera  Féquatlou  de 
la  conservation  du  mugnétisme,  mais  avec  le  terme  complé- 
mentaire 

,   /^/R,        dix,        d\\.: 


dy  dz 

le  principe  de  la  conservation  du  magnétisme  exige  donc  que 
d\\^  dK         dTK^ 

Tr-^~dy-^-d7^''^ 

de   même  le   principe  de    la   conservation   de   Télectricité  exige 
que 

dx    '^    dy    "^    dz    ~  °' 


Disci'ssiox  DES  Aiims  Timoums  ■  ^1 

Ces  équations  niontreiU  que  Ton  jieiil  priser 


'/;,  dy. 


' 

'/.'/ 

d-7 

R,  = 

<il 

"^. 

dz 

d.v 

R,= 

S,=: 

iiz 

Si  = 

dz 

ti.r 

s_  = 

dm, 

^^/, 

d,v  f/i/ 

Si  nous  voulons,  comme  nous  Favoos  soppusé  plus  liaol,  ^me 
les  équations  ne  contiennent  que  des  dérivées  du  premier  ©rdre, 
il  faut  que  les  nouvelles  fonctions  aoxiliciires  ;,,,  7,,,  l,;  1,  j»,,  m.. 
dépendent  seulement  de  a,  %  y;  P,  O.  R  ;  ijr^^ttîmim  pas  i:^ 
leurs  dérivées. 

Ces  fonctions  seront  d  ailleurs  linéaires  e!  liomcigèiîes  par  rap- 
port a  a,  |ii,  v;  P,  Q.  R,  puisque  les  équations  ilnivent  être 
linéaires  et  homogènes  par  rapport  à  ces  composa  et  es  et  à  leurs 
dérivées. 

Elles  seront  d'autre  part  linéaires  et  liomogêiies  par  rapport  à 
H,  7,,  V  ;  en  effet  les  équations  ne  doivent  contenir  que  drs  lermes 
d'ordre  o  et  d'ordre  i  par  rapport  à  ces  eomposanîes  et  u  leurs 
dérivées  ;  il  est  évident  d'ailleurs  que  ;„,  */^,,  Z,:  /,.  m^,  /i^,  qui  doi- 
vent disparaître  dans  les  équations  relatives  à  ré!eclrii(îyiîaiiii<|iie 
des  corps  en  repos,  ne  contiennent  pas  de  fermes  de  degré  ci 
en  ;,  r,,  <. 

Il  nous  reste  à  voir  si  ces  équations  peuvent  être  eonipalililrs 
avec  le  principe  de  la  réaction.  Pour  cela  je  rappelle  coninieiil 
nous  avions  obtenu  dans  la  théorie  de  Hertz  îe  principe  tie  la 
conservation  de  Ténergie  i^çide supra^  2**  partie'.  Xiiii>  élimis  arri- 
vés à  une  équation 
,.,  d}  ^,-..       ,. 


«°6  .,  PROPOS  DE  LA  TIIEOmE  DE  LARMOR 

Où  J  représentait  l'énergie  électromagnétique     ^let,.     -,    , 
forces  extérieures,  K  la  chaleur  de  Joule  "'^   ^'' 

tiend"rot?"'^'"^"^^^"^-^^^-----^orn.ée3   .ous   ob- 

'''^'  f+^  +  ^^.  =  K, 

■S"  figure  déjà  dans  l'équation  /ni  •  I^      ^   7       , 

plementaires  R     R         c  ^'^^^^^«t  <^^es  termes  corn- 

On  aura  donc, 

Soient  »,{,,._  les  c„,„„„s,„,. 
«  «.«orie  de  H„.u  ;  soie,,,  a  +        .IT"  '"""'"■""»"«">  <1."U- 

Comme  la  forr-P  rî^    i     .i  . 

v:r/:;;:;:7j:;::rr:^^'-.cc..,,.,.„,e„,,,,,„,,^ 


DISCUSSION  DES  AlTiiES  TMEùtiKS  ..  ,• 

Si  donc  nous  donnons  à  l  r,,  :;,  des  valeur.  rnn^Uuh^,  *i.L 
conques,  et  que  nous  remplacions  y.,  %  y;  l\  ti^  I|  j^^^  ,i,.,  |"^^^^^,^ 
tions  quelconques  de  .r, //,  -  s'aniiiikini  i  ïmimu  ïmîe^nd*^  %^ 
devra  s'annuler.  ^  ' 

Mais  'IS^  peut  encore  sV^crire  sous  ia  iciririe  crtine  mimm^  4.» 
trois  termes  en  posant  : 

^,  ==  U  +  V  +  w, 
et 


d-z    /,    d}  rf;  ./IJ  ,/l|  , 

4-    \      dx  -  (/.,r  ^   ,/,r  *  ^/i    I 

'4^:    V-^    dij         -'^  d> 


'i.     ,     .    dïl  ./F 


,,,  I     ^T    /      da         ^     e|3  ifl>  flQ.. 


Je  dis  que  les  trois  termes  L\  V,  W  doivent  s  aiiniiler  tous  les 
trois. 

En  effet,  remplaçons  les  sÏn:  composantes  a,  },  --;  P,  f>,  ft  par 
six  fonctions  quelconques  de  ,t\  y,  z:  la  soniine  U  -^  V  -4-  W 
devra  s'annuler. 

Remplaçons  maintenant  ces  mêmes  eomposiioles  par  les  siï 
mêmes  fonctions  de  A^.r,  A,?/,  A.3;  "a^,  a,,  A^èla!î!  Irciis  caeifirlriits 

constants  arbitraires).  U   se    chan«xera  en  -^:-i — ,  V    en  -~t-T — -, 
Wen  -^^ — .  Et  comme  T,  reste  touiours  nul,  cm  devra  îivtiir, 

A^A,, 

i:        \        w 


A.  A, 


et  cela  quels  que  soient  les  coellicienls  a;  on  doit  donc  avilir  st-pii- 

rément, 

U  =  Y  =  W  =  o. 

Dans  U,  la  fonction  sous  le  signe  |  est  linéaire,  d'iioe  piiîl  par 


$       X 


!  * 
!  ! 


608  A  PROPOS  DE  LA   THÉORIE  DE  LARMOR 

rapport  à  a,  [3,  y  ;  P,  Q,  R,  diantre  part  par  rapportaux  dérivées 
de  ces  six  composantes  prises  par  rapport  à  ^j 
Considérons  une  intégrale  de  la  forme, 


Quelle  est  la  condition  pour  que  cette  intégrale  "  s'annule, 
quelles  que  soient  les  fonctions  o^  îp^  qui  seront  seulement  assu- 
jetties à  s'annuler  à  l'infini? 

Je  dis  que  la  condition  nécessaire  est  suffisante,   c'est  que  la 

quantité  sous  le  signe  /soit  une  dérivée  exacte.  En  effet,  d'après 

ce  que  nous  avons  dit  plus  haut,  la  condition  est  évidemment  suf- 
fisante et  on  a  en  pai'ticulier, 


'■  /..il.-/.ii,.^/(,,^+,.^),.=  o. 


L'intégrale  proposée  se  réduit  donc  à 


(B-c)  ;  ,.-gf^. 


Comme   ç.,   est   une   fonction  arhilraire    de    .-r,   y,   z,    le   pro- 

duit  '^.,  — 7^-^  sera  aussi  une  fonction  absolument  arbitraire  de  ces 

*"     dx 

variables  et  l'intégrale  ne  pourra  s'annuler  que  si 

B  =  C, 

c'est-à-dire  si, 

K'^.  d'o,  A-  B'^,  do,  -I-  C'j:,  d'3,  -\~  D'^,  rf'^,, 

il  il         '  1-  i  x  '  il  ii'  i2  iâ' 

est  une  différentielle  exacte. 

La  condition  est  donc  nécessaire. 

Considérons  maintenant  une  inté^-rale  où  la  fonction    sous  le 


DlbCiSSÎOy  DES  AITRES  TliEiMims  tkf^ 

signe  j  sera  linéaire,  d'une  part  par  ni|i|M>rl  a  n  fiiiirtînii*  arliî- 


traires. 


d'autre  part  par  rapport  à  leurs  dérivées  : 


^?i      ^^ 


dx  '   (Lr  ''**    i£r 


La  condition  nécessaire  et  sulïisaiile  pour  c|iie  celle  intégrilt 
s'annule  toujours^  sera  encore  que  la  c|iiaiîtilé  sous  le  signe  |  s#il 

une  dérivée  exacte. 

La  condition  est  évidemment  suiTisanle.  Je  dis  c|ii'elle  est  éga- 
lement nécessaire. 

En  effet  les  fonctions  '^  étant  arbitraires,  ilntégrale  tle%'ra  être 
nulle,  en  particulier  quand  toutes  ces  fonctioiîs,  seroat  iJeîitîinit- 
ment  nulles  sauf  deux  ;  si  donc  nous  égalons  a  zéro  toiit€*s  les  ioac- 

tions  cp,  sauf  deux,  la  quantité  sous  le  signe  |  doit  être  iiae  ilérî%"é€ 


<h. 


d-^i 


exacte  ;  les  termes  'j;  -^V^  et  s^  -^  doivent  donc  avoir  nièiiic 

'      dx         '      dx 
coefficient:  ce  qui  veut  dire  que  les   conditions   d'intégraiiiîté 

doivent  donc  être  remplies. 

Appliquons  cette  règle  au  cas  qui  nous  occupe.  Xuus  verroBS 
que, 


et  de  même 


doivent  être  des  différentielles  exactes. 

La  première  de  ces  expressions,   où  ne   figurent  ni  i%  ni  clF 
doit  être   la  différentielle  d'une  fonction  indêpeedanle  de  2  el 


n^  ne   dépendent  ni    de  %  ni  de  P  ;  et  cîc 


de  P. 

Donc,  i,,  7;,,  n^  et  m,  ^  ,      ,  -  ,1 

même  ?„  t  h^  ^i  ^^^  dépendent  ni  de  P  m  de  Q  :  t,.  ;,.  ^».el  I, 
ne  dépendent  ni  de  y  ni  de  R. 

PoiNCARÉ.  Électricité  et  Optiqt:e.  ^-^ 


6 10  A  PROPOS  DE  LA   THÉORIE  DE  LARMOR 

Il  résulte  cle  là  que  E^  et  l^  peuvent  dépendre  seulement  de  a 
et  de  P;  vi^  et  w^  seulement  de  [3  et  de  Q  ;  Ç^  et  n^,  seulement 
de  Y  et  de  R. 

Les  conditions  d'intégrabllité  nous  donnent  ensuite, 


dX,,__ 

dr,,            dl_ 
dp  '          rfa   . 

d^,           d-f\^ 
dy   '        d^   ~ 

d'où 

dy.   ~  d\i 

df 

On  trouverait  de  même 

dL  dm,         dn, 


dP         dq         dR 


0. 


Ainsi  ^^,  71^,  ^p  l^y  m^,  /z^,  ne  pourront  dépendre  respectivement 
que  de  a,  [3,  y;  P,  Q,  R. 

Les  conditions  d'intégrabilité  donnent  enfin, 

d^,  dr^^  d'Ç,  dl^  dm.^  dn^ 

11^  ^  ISl^lK"^  ~~d^'^  df  "^  J-f' 

c'est-à-dire  que  ç^i  '^iai  S^?  A?  ^^^v  ^^  devront  se  réduire  à  un  nié/ne 
facteur  près  à  P,  Q,  R  ;  —  a,  —  j3,  —  y. 

Ce  facteur  constant  devra  d'ailleurs  être  une  fonction  linéaire 
et  homogène  de  ^,  t],  Ç. 

Mais  si  nous  faisons  intervenir  une  condition  nouvelle,  celle 
de  Visotropie,  nous  verrons  que  ce  facteur  constant  doit  être  nul; 
car  si  ce  facteur  s'écrivait  par  exemple. 

\a  4-  /,rd  +  \., 

la  direction  dont  les  cosinus  directeurs  sont  proportionnels  à 
Ap\,  A3  jouerait  un  rôle  prépondérant. 

Il  résulte  de  là  que  les  termes  complémentaires  q^,  7,,,  'Ç,,  l^,  ni^, 
/ip  doivent  être  nuls. 

Ainsi  la  théorie  de  Hertz  est  la  seule  qui  soit  compatible  a<^^ec  Le 
principe  de  la  conservation  de  V électricité  et  du  magnétisme  et  avec 
celui  de  P  égalité  de  V  action  et' de  la  réaction. 


«^ 


f 


coycLusioxs  PRonsmuEs 


CONXLL'SICINS    PHOVlSClîlîES 


453-  —  Il  résulte  de  tout  ce  (pi  précède  iiîî'auciiEt*  lliéiirii*  iit 
peut  satisfaire  à  la  fois  aux  trois  condilioiis  ♦hiciiici^es  au  tiéiml  liii 
n°  451  ;  car  la  théorie  de  Hertz  est  k  seule  c|ai  satisla^M»  aiii 
deux  dernières  et  elle  ne  satisfait  pas  à  îa  première. 
•  Nous  ne  pourrions  par  conséquent  espérer  cférliapper  à  ecllt 
difficulté  qu'en  modifiant  profondément  les  îcléi*s  géiiérilemfiit 
admises;  on  ne  voit  pas  bien  d'ailleurs,  dans  qui*!  sens  ceîU  nic»- 
dification  devrait  se  faire. 

Il  faut  donc  renoncer  à  développer  une  tliéorie  parfaite  m  eut 
satisfaisante  et  s'en  tenir  provisoirement  lï  la  iiiciliis  fléfeeliiciise 
qui  paraît  être  celle  de  Lorentz.  Cela  me  suilira  pour  fin»»  tilijet 
qui  est  d'approfondir  la  discussion  des  idées  de  Larnior. 

Sous  quelles  formes  pourrons-nous  mettre  celle  théorie  de 
Lorentz  ? 

Ces  formes  sont  diverses  et  on  doit  choisir  Fiiiie  ou  failre 
^  selon  le  but  qu'on  se  propose. 

•  Dans  cette   théorie,  on  envisage   une  multiiiitîe  de  partieiiles 

chargées  mobiles,  qui  circulent  à  travers  un  éther  iiiiiiitilile  en 
conservant  une  charge  invariable. 

L'éther  est  d'ailleurs  parcouru  par  des  perlurkilions  éleelr»- 
magnétiques. 

Nous  pouvons  alors  conserver  les  équations  de  Hertz,  mais  en 
donnant  aux  quantités  qui  y  entrent  des  valeurs  îrés  tlillV* rentes, 
:  f  selon  que  le  point  xt/z  se  trouvera  dans  une  particule  eiî;irgee  m 

dans  Téther. 

Dans  l'éther  on  aura, 

r  V 


puisque  l'éther  n^est  pas  supposé  entraîné  par  le  iiioiiveiiîeiit  ât 
la  matière. 

On  aura  d'autre  part 

K   =    p,   =    I,  p    =   0-  =  0,  H   =   V   ==   li'   =0. 

Dans  une  particule  chargée  on  aura, 

^    __   Qte  3-  =  0,  a  =  Ç  =  ^ï'  =  Oy 


'X   .=    !, 


k 


(5 12  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

puisque  la  charge  demeure  constante  et  que  ces  particules  ne 
sont  pas  le  siège  de  courants  de  conduction  proprement  dits. 

Dans  cette  manière  de  voir  il  n'y  a  nulle  part  de  magnétisme 
proprement  dit  et  le  magnétisme  apparent  est  dû  seulement  aux 
courants  particulaires  d'Ampère. 

Sous  cette  forme  les  phénomènes  électromagnétiques  sont  vus 

pour  ainsi  dire  au  microscope  et  les  apparences  ayant  disparu, 

on  ne  voit  plus  que  la  réalité  ou  plutôt  ce  que  Lorentz  regarde 

comme  tel.  On  est  ainsi  en  possession  d'un  instrument  qui  peut 

'être  utile  pour  la  discussion  que  nous  avons  en  vue. 

Mais  les  équations  sous  cette  forme  se  prêtent  mal  aux  appli- 
cations où  les  apparences,  c'est-à-dire  en  somme  les  phénomènes 
moyens,  importent  seuls. 

En  se  plaçant  à  ce  point  de  vue,  on  peut  écrire  les  équations 
de  la  façon  suivante  ;  on  conservera  les  équations  de  Hertz,  seu- 
lement dans  les  équations  (i)  et  (2),  on  affectera  les  termes   : 

rfu,  dT\,  dn  dm 

dij  dz  dij  d.z 

de  coefficients  constants  qui  dépendront  de  la  nature  du  milieu, 
qui  seront  égaux  à  o  pour  l'éther,  à  i  pour  les  conducteurs  par- 
faits et  auront  des  valeurs  intermédiaires  pour  les  diélectriques 
autres  que  l'air. 

11  est  à  peine  nécessaire  d'ajouter  que  celte  théorie,  si  clic 
peut  nous  rendre  certains  services  pour  iiotre  ol)jet,  en  fixant  un 
peu  nos  idées,  ne  peut  nous  satisfaire  pleinement,  ni  être  regar- 
dée comme  définitive. 

11  me  parait  bien  difficile  d'admettre  que  le  principe  de  réac- 
tion soit  violé,  même  en  apparence,  et  qu'il  ne  soit  plus  vrai  si 
l'on  envisage  seulement  les  actions  subies  par  la  nialière  pondé- 
rable et  si  on  laisse  de  côté  la  réaction  de  cette  nuitièrc  sur  l'éther. 

11  faudra  donc  un  jour  ou  l'autre  modifier  nos  idées  en  quel- 
que point  important  et  briser  le  cadre  où  nous  cherchons  à  faire 
rentrer  à  la  fois  les  phénomènes  optiques  et  les  phénomènes 
électriques. 

Mais  même  en  se  bornant  aux  phénomènes  optiques  propre- 
ment dits,  ce  qu'on  a  dit  jusqu'ici  pour  expliquer  l'entraînement 
partiel  des  ondes  n'est  pas  très  satisfaisant. 


IMITA TIOXS  MYDRODrXâMiQl'ES  êî î 

L'expérience  a  révélé  une  foule  de  faits  ipii  piivriîl  m^  riHii- 
mer  dans  la  formule  suivante  :  il  est  iniiiossilik*  cii*  umim*  iiuiiî- 
leste  le  mouvement  absolu  de  la  matière,  cm  iiîic*iix  It*  ïiiiiairiiiriil 
relatif  de  la  matière  pondérable  par  rappurl  iilVtl«»r:  hmi  r#* 
qu'on  peut  mettre  en  évidence,  c'est  ie  œiiiiveim^îil  ilt^  la  iiKili»'fr 
pondérable  par  rapport  à  la  matière  pondérable. 

Les  théories  proposées  rendent  bien  eoiiipte  de  cette  lui.  mmm  i^ 

à  une  condition  : 

Il  faut  négliger  le  carré  de  raberralioii  ; 

Or  cela  ne  suffit  pas  ;  la  loi  semble  être  vraie  iiiî^iiie  fan*  %:%'% 
restrictions,  ainsi  que  Ta  prouvé  une  récente  exprileiir**  à^ 
M.  Michelson. 

Il  y  a  donc  la  aussi  une  lacune  qui  peut  ne  pîis  *4rt*  hà^% 
quelque  parenté  avec  celle  que  le  présent  paragniplie  a  piiiii  lniî 
de  signaler. 

Et  en  efiet,  l'impossibilité  de  mettre  en  évidence  «h  iniiiive- 
ment  relatif  de  la  matière  par  rapport  à  Féther,  eî  IVgalîté  tjtii 
a  sans  doute  lieu  entre  Faction  et  la  réaction  sans  tenir  eiwiiplr 
de  l'action  de  la  matière  sur  Féther,  sont  deiiK  laits  àmil  la  €#»- 
nexité  semble  évidente. 

Peut-être  les  deux  lacunes  seront-elles  comblées  en  mèmw 
temps. 

IMITATIONS    HYDRODYNAMIQUES 

J'ai  parlé  précédemment  des  sphères  puisantes  de  BjerLiies  et 
de  l'imitation  par  ces  sphères  des  phénomènes  électrostaliques. 
J'ai  fait  ressortir  Fanalogie  des  mouvements  qui  se  reprodaiseiil 
dans  l'eau  au  voisinage  des  sphères  pulsaiiles  et  de  ceux  qui  m 
produiraient  dans  Féther  au  voisinage  d'un  corps  eîeelrisé  clans 
la  théorie  de  Fresnel  adaptée. 

Malheureusement,  ainsi  que  j^ai  dit  plus  haut,  Faiialugie  îi>st 
pas  complète  ;  les  mouvements  des  sphères  puisantes  et  re«x 
qu'elles  excitent  dans  les  liquides  sont  alternatifs  et  prricHlHiiies. 
Avec  la  théorie  de  Fresnel  adaptée,  au  contraire  les  nmmtmtiiU 
qui  régnent  dans  Féther  doivent  être  continus. 

Bjerknes    a    été    amené    à    adopter    des    mouveiiieiiîs   pt^iîii- 
diques  par  suite  de  nécessités  mécaniques:  mais  il  en  rr5iîlt»% 


s  6i4  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

!  comme  je   l'ai  dit  plus  haut,   que  son  imitation  est  imparfaite  ; 

i  deux  sphères  pulsaMes  dont  la  phase  est  la  même  sont  assimi- 

lables à  deux  conducteurs  portant  de  l'électricité  de  même  nom  ; 
\^  deux  sphères  dont  la  phase  diffère  de  tt  sont  assimilables  a  deux 

.;  conducteurs  portant  de  Vélectricité  de  nom  contraire  ;  mais  deux 

i  sjJières  dont  la  différence  de  phase  nest  ni  o  Jii  tz  ne  sont  assùni" 

]i  labiés  à  rien. 

l  L'imitation  serait    bien    plus    parfaite     si    le    mouvement  des 

I  sphères    était    continu  au  lieu  d'être  alternatif  ;   si  le  rayon  de 

;  chaque   sphère   variait   toujours    dans   le  même    sens    avec   une 

vitesse  uniforme.  Seulement  il  faudrait  c[ue  le  rayon  des  sphères 
:!  fut  assez  grand,  la  vitesse  de  pulsation  assez  lente,  la  durée  de 

/  Texpérience  assez  courte  pour  que  pendant  cette  durée,  les  varia- 

:  tions  du  rayon  fussent  négligeables.  Ces  conditions  sont  difficile- 

;,  ment  réalisables  si  l'on  veut  que  les  actions  mutuelles  des  sphères 

;  soient  sensibles.  Si^'elles  l'étaient  cependant,  on  se  rapprocherait 

1  des  conditions  de  la  théorie  de  Fresnel  adaptée  et  on  s'affranchi- 

rait de  la  difficulté  relative  de  la  phase  que  je  viens  de  signaler. 
Une  difficulté  capitale  subsisterait  encore  pourtant;  les  effets 
hydrodynamiques  sont  bien   l'image  des  effets  électrostatiques, 
mais  ils  en  sont  une  image  renversée. 

Deux  sphères  de  même  phase  s'attirent,  tandis  que  deux  corps 
portant  de   l'électricité    de    même   nom    se   repoussent.    Il   y  a 
!  inversion. 

Les  phénomènes  électrodyuamiques  de  même  que  les  phéno- 
mènes électrostatiques,  sont  susceptibles  d'une  imitation  hydro- 
dynamique. Lord  Kelvin  dans  ses  Popidar  lectures  parle  d'un 
projet  de  modèle  hydrokinétiquc  dont  je  voudrais  rappeler  suc- 
cintement  les  principes. 

Imaginons  que    dans   un  liquide  indéfini  soient  plongés  deux 

corps  solides  C   et  C^  dont  la  forme  sera  annulaire  ;   chacun  de 

ces  corps  sera  formé  d'un  fil  de  faible  section  qui  sera  rccouil)é 

de  façon  que  ses  deux  extrémités  se  rejoignent  ;  on  obtient  ainsi 

\  une  sorte  d'anneau  fermé. 

Soient  u^  r,  \v  les  composantes  de  hi  vitesse  d'une  molécule 
liquide  et  envisageons  l'intégrale 


/  [udx  +  {>dy  +  ^vdz) , 


mir.iTioxs  nrmoDrxAMiQVE^  $,i 

prise  le  long  d'un  contour  fermé  quelconque.  Nous  dkli«g«r«w 
trois  sortes  de  contours  fermés  auxquels  tous  les  autre,  L„v.«t 

se  ramener. 

Ceux  de  la  première  sorte  seront  ceux  cpii  «e  s Viilreiar«t  pat 
avec  les  corps  annulaires  C  et  C'  ;  o«  peut  les  rédaire  a  ii,i  jM^irt 
par  déformation  continue  et  sans  qu'ils  cessent  ti>lre  tiitit  eiilieft 
dans  le  liquide,  sans  qu\n  aucun  moment  ils  toiiclieiil  C  ©ii  C, 

Ceux  de  la  seconde  sorte  s'entrelacent  une  fois  mi*t  C.  Tfl 
serait  par  exemple  le  périmètre  de  la  sectiiMi  du  il  «piî  fornir  h 
corps  C. 

Ceux  de  la  troisième  sorte  s  entrelacent  une  i«is  n%w  C.:'. 

Il  est  clair  qu  un  contour  (pielconque  peu!  être  regardé  «iiiîiiit 
la  combinaison  de  divers  contours  appartenant  kïmw  àt  tm 
trois  sortes. 

Je  suppose  qu'a  Torigine  du  temps  on  ait  : 

/  [udx 4-  vdy  -f-  wdz)  =  o, 

pour  un  contour  de  la  première  sorte, 

/  [udx  +  {^dfj  +  iiv/c.  =  JTiij 

pour  un  contour  de  la  deuxième  sorte, 

/  [udx  -f-  vdij  -f-  \vdz-    =  4-1  î 

pour  un  contour  de  la  troisième  sorte. 

En  vertu  du  théorème  de  Ilelmholîz  sur  les  kHirliilkiiis,  ees 
équations  vraies  à  l'origine  des  temps,  ne  cesseront  jainâîs  de 
l'être.  Les  lettres  i  et  î'  désio:nent  donc  des  constantes. 

Mais  si  l'on  se  rappelle  les  lois  suivant  lesquelles  iiiî  rlianifi 
magnétique  est  engendré  par  un  courant,  on  apereevra  iîiiriir- 
diatement  la  conséquence  suivante, 

La  vitesse  u,  r,  iv  du  liquide  représente  en  grandeur,  clirerfuiii 
et  sens,  la  force  magnétique  engendrée  par  deux  coiîraiiîs,  Fiiiî 
d'intensité  i  suivant  le  fil  C,  l'autre  d'intensité  i   suivaiit  le  fil  C  . 

Ainsi  dans  le  modèle  de  Lord  Kelvin,  la  viti-sse  du  liqiiitlt.^  ri^t 


;1 


êi6  A  PROPOS  DE  LA  THÉ  OUÏE  DE  LARMOR 

dirigée  suivant  la  force  magnétique,  tandis  que  dans  le  modèle 
de  Bjerknes  elle  est  dirigée  suivant  la  force  électrique.  En 
d'autres  termes,  dans  le  modèle  de  Lord  Kelvin,  la  vitesse  du 
liquide  est  la  même  que  celle  de  l'éther  dans  la  théorie  de  Lar- 
mor  :  dans  le  modèle  de  Bjerknes  elle  est  la  même  que  celle  de 
la  théorie  de  Fresnel  adaptée. 

Lord  Kelvin  a  montré  que  les  deux  corps  C  et  C^  ainsi  plongés 
dans  un  liquide  en  mouvement,  exercent  l'un  sur  l'autre  des  actions 
mécaniques  apparentes,  et  que  ces  actions  sont  les  mêmes,  au 
sens  près  que  celles  qui  s'exerceraient  entre  les  deux  courants  que 
je  viens  de  définir,  et  qui  suivent  l'un  le  fil  C  avec  l'intensité  /, 
l'autre  le  fil  C  avec  l'intensité  i' , 

Les  actions  mécaniques  d'origine  hydrodynamique  suivent  ab- 
solument les  mêmes  lois  que  les  actions  d'origine  électrodyna- 
mique :  seulement  il  y  a  ùiçersion  ;  si  les  premières  sont  des 
répulsions,  les  secondes  seront  des  attractions  et  inversement. 

Il  est  manifeste  que  l'explication  des  actions  électrostatiques 
dans  la  théorie  de  Fresnel  adaptée  doit  se  rattacher  aux  expé- 
riences de  Bjerknes  ;  et  que  d'autre  part  l'explication  des  actions 
mutuelles  des  courants  dans  la  théorie  de  Larmor  doit  se  rattacher 
au  modèle  de  Lord  Kelvin.  Mais  la  difficulté  provient  de  l'inver- 
sion. Il  nous  faut  avant  tout  pénétrer  les  raisons  de  cette  in- 
version. 

CAUSES    DE    l'iNVEUSION 

454.  —  Pour  cela  il  faut  remonter  aux  principes  généraux  de 
Ta  mécanique.  Considérons  un  système  dont  la  situation  soit 
définie  par  un  certain  nombre  de  paramètres. 

que  j'appellerai  ses  coordonnées. 

Soient  y'^,  q'.^,...  (j\  les  dérivées  de  ces  quantités  par  rapport 
au  temps  ;  c'est  ce  que  j'appellerai  les  messes. 

Soit  T  l'énergie  cinétique  du  système,  U  son  énergie  poten- 
tielle due  aux  forces  intérieures.  Soit  enfin 


CAUSES  DE  rirmasim'  §,* 

le  travail  virtuel   des  forces    extérieures  au  m'%îrmw  |iiiiir  tîr* 
variations  virtuelles  or/,  des  coordonnées  f  ^. 
Les  équations  de  Lagrange  s'écrivent 

^'^  dt     dq\   ^7^.  +■%  ~^*■^■^' 

A  l'exemple  de  Helmhok  dans  sa  théorie  àt%  s\%hmit^i^  mmtm* 
cycliques,  nous  distinguerons  deux  sortes  ile  eiM>rilf«iiiri**. 

Les  coordonnées  à  variation  lente  que  Jt?  drsigiieiiiî  pur  *j^. 

Les  coordonnées  à  variation  rapide  que  je  clr*iî;:!i»*nii  par  i^^tî 
qui  se  distinguent  des  premières  par  deux  cciîicîiîiiiii*  : 

T  et  U  ne  dépendent  pas  des  (ji  mais  seiileiiieiil  il**  înir*  ili^rî- 
vées. 

Les  vitesses  q^  sont  beaucoup  plus  grandes  que  les  %"ilî**.^iH  y  . 

Ainsi  U  dépend  des  y^  seulement;  T  dépend  des  |,,,  ilt^s  q  ,  tï 
des  q\,  il  est  homogène  et  de  degré  deux  par  rappiirt  a!ixy«  ri 
aux  q\. 

Les  équations  de  Lagrange  se  réduisent  alors,  en  ce  qui  riMi- 
cerne  les  qf„  à 

d    c/ï 


Nous  poserons. 


dl  d<ii, 


dl 


et  les  quantités  p^  s'appelleront  les  moments  Au  sy^lriiie. 

Il  y  a  ainsi  trois  sortes  de  quantités  à  considérer  en  iiirciiiiiqur, 
les  coordonnées,  les  vitesses  et  les  moments. 

L'équation  !2)  devient 

^  =  .1,. 

Je  supposerai  que  Q^  est  nul  ce  qui  cloiiue 

(3)  P,,  =  C-. 

si  donc  il  n'y  a  pas  de  force  extérieure  tendant  a  i'^iire  Mirwf  la 
vitesse  des  coordonnées  q,  a  variation  rapide,  les  momeiit-  cor- 
respondants sont  des  constantes.  Je  suppose  malnU^nanl  que  1rs 


Ijl  6i8  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

tf  forces  extérieures  Q,,  soient  choisies  de  façon  h  maintenir  cons- 


<> 


tants  les  </,,.  Les  r/„  sont  alors  nuls  et  les  équations  (3)  dont  les 

premiers  membres  dépendent  des  {/i,,  des  q,,  qui  sont  constants 

il  et  des  r/a  qui  sont  nuls,  ces  équations,  dis-je,  dont  le  nombre  est 

f  j  éaal  à  celui  des  </'^,  montrent  que  les  fj\  sont  des  constantes. 

1*  Le  système  se  trouve  ainsi  dans  une  sorte  de  mouvement  sta- 

I*  tionnaire,   c'est-à-dire  d'équilibre   apparent  et   les  Q,,  nous  font 

|l  connaître    les   forces  extérieures    qu'il    faut   lui  appliquer  pour 

y  .        .  ,     .1-1  /^  ^^T         ,  -  ^ 

maintenir  cet  équilibre  apparent.  Comme  --7-7  ne  dépend  que  des 

Çfj,  des  q'^  et  des  q\  qui  sont  nulles  ou  constantes,  cette  quantité 
est  également  une  constante,  de  sorte  que, 

d    dT 

Si,  de  plus,  on  suppose  qu'il  n'y  a  pas  de  forces  extérieures  au 
système,  c'est-à-dire  que  U  =  0,  l'équation  de  Lagrange  relative 
à  q^  se  réduit  à 
/  A\  dT 

Les  q\^  étant  nuls,  T  ne  dépend  plus  que  des  q^,  et  des  c/'/,,  elle 
est  homogène  et  du  second  ordre  par  rapport  aux  (f ,,  de  sorte 
qu'on  a, 

Les  /j^  étant  des  constantes,  il  paraîtra  naturel  de  faire  un  chan- 
gement de  variables  et  d'exprimer  ï  en  fonctions  des  ry,,  et  desy;,,  ; 
mais  pour  éviter  toute  confusion,  nous  écrirons  avec  des  d  ordi- 
naires les  dérivées 

il  ^ 

^^'la  ^  dq[  ' 

prises  par  rapport  aux  variables  anciennes  et  avec  des  0  ronds 
les  dérivées 

l^rises  par  rapport  aux  variables  nouvelles. 


On  aura  alors 


CAUSES  BE  iiNrmsim 


!#lf 


(3) 


^La  comparaison  de  la  première  et  de  la  drnii.^ie  ilr.  miimfmm 
(5)  donne, 


^T 


.V 


.  ffh  (fpi, 


V 


^. 


La  comparaison  de  Téquation  ainsi  obtenue  avec  la  seeiiiiiit 
équation  (f)}  donne 

dT  _ 


'Il 


OT 


de  sorte  que  l'équation  (i 

(6) 


\  devient 


t^'/.r 


=    i). 


Ces  équations  sont  vraies  quand  cm  suppose  le>  f/_ci  îrs  i^ ,, 
constants;  mais  elles  le  sont  encore  a|îproxîiîîativeîiirïiî  *ii  mi 
suppose  que  les  </^,  varient  d'une  façon  excessivemeii!  l<eiile.  Ali»rs 
les  ^/,  varieront  d'une  façon  excessivement  leiiîe,  mais  ils  l'arii-'- 
ront  ;  tandis  que  les  pi,  seront  rigoureusement  cnïisiaiîls  ri  h% 
Qi,  sont  nuls. 

Supposons  maintenant  ([ue  les  i^^,  ne  soient  pas  niik,  ratiis  iiulk 
aient  des  valeurs  telles  que  les  q^,  demeureiil  rigi,»«ri;*iiseïiieiît 
constants,  tandis  que  les  pi,  et  les  y,^  varieront  d'une  îîieiiii  rxres- 
sivement  lente.  Il  convient  alors  de  prendre  pour  viirialiles,  îicwî 
plus  les  pf,  et  les  y,,  mais  les  q),  et  les  q.,  et  de  reveiiir  a  rrifiia- 

lion  ;'4  ■ 

r/T 

dq. 


O  . 


I 


620  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

Dans  cet  état  de  mouvement  stationnaire  ou  quasi-stationnaire, 
dans  cet  état  d'équilibre  apparent,  le  système  semble  soumis  à 
certaines  forces  apparentes,  égales  et  contraires  aux  forces  exté- 
rieures qu'on  est  obligé  d'appliquer  pour  maintenir  l'équilibre. 

Quand  on  donne  aux  q^  des  accroissements  virtuels  S^^  le  tra- 
vail virtuel  de  ces  forces  extérieures  sera 


E«- 


Ô^a- 


C'est  la  définition   même  des  Q^.  Le  travail  virtuel  des  forces 
apparentes  qui  leur  font  équilibre  sera  donc 


-VQaS^^a, 


'     Si  les  moinents  pj^  sont  maintenus  constants,  l'équation  (6)  nous 
donne  pour  ce  travail  virtuel 


V  IL 


^; —  '^qa  =  —  oT. 


Cela  signifie  que  ces  forces  apparentes  tendent  à  diminuer 
l'énergie  T  du  système  (et  d'ailleurs  on  ne  saurait  supposer  le  con- 
traire sans  admettre  le  mouvement  perpétuel). 

Si,  au  contraire,  ce  sont  les  vitesses  q\,  c[ui  sont  maintenues 
constantes,  l'équation  (4)  nous  donne  pour  ce  travail  virtuel, 


s 


Cela  signifie  que  ces  forces  apparentes  tendent  a  augmenter 
l'énergie  T  du  système  ;  cela  n'est  pas  contraire  au  principe  de  la 
conservation  de  l'énergie,  et  en  effet,  pour  maintenir  les  q'j^  cons- 
tants, il  faut  que  les  Q/,  ne  soient  pas  nuls,  il  faut  donc  faire 
intervenir  une  force  extérieure,  ce  qui  peut  entraîner  une  dépense 
de  travail. 

Avant  d'appliquer  ces  principes  a  Télectricité,  il  sera  peut-être 
utile  de  les  éclaircir  par  un  exemple  mécanique  simple.  Je  choi- 
sirai le  régulateur  à  force  centrifuge. 

Nous  aurons  un  paramètre  a  variation  lente  q,,  qui  sera  l'écar- 


APPLICATION  A  V ÉLECTROSTATIQUE  fiai 

tement  des  deux  boules  et  un  paramètre  à  variation  rapide,  dont 
la  dérivée  q'^  sera  la  vitesse  de  rotation  du  régulateur. 
L'énergie  cinétique  T  sera  (A  étant  un  facteur  constant) 


(7) 

et  le  moment  sera 


T  =  -ÀMA 


p^  =  kqlq\, 
ce  sera  le  moment  de  rotation.  On  a  donc, 


(8) 


^Mi 


La  force  apparente  est  ici  la  force  centrifuge  qui  tend  à  écar- 
ter les  deux  boules  ;  elle  est  éojale  a 


dl 


ôT 


dqa 


àq^ 


Elle  tend  à  augmenter  q^.  Si  donc  il  n'y  a  aucun  couple  exté- 
rieur tendant  à  maintenir  constante  la  vitesse  de  rotation,  le  ro0- 
ment  de  rotation  est  constant  et  la  force  centrifuge  tend  à  dimi- 
nuer T  parce  que  dans  Féquation  [81  [oii  Ton  suppose /?è  constant) 
q^  est  au  dénominateur.  Si,  au  contraire,  il  y  a  un  couple  extérieur 
qui  maintient  constante  la  vitesse  de  rotation ^  la  force  centrifuge 
tend  à  augmente?' T^  parce  que  dans  Féquation  ij  ou  Fou  sup- 
pose q'i  constant]  q^  est  au  numérateur.  Seulement,  quand  les 
boules  s'écartent,  il  faut  dépenser  du  travail  qui  est  emprunté  au 
couple  extérieur. 


APPLICATION    A    L  ELECTROSTATIQUE 

455.  —  Dans  la  théorie  de  Larmor,  on  regarde  Fénergie  élec- 
trostatique comme  de  Fénergie  potentielle  ;  dans  un  champ  élec- 
trique constant,  on  a  donc 

T  =  0, 
ou,  si  l'on  désigne  par  E  Fénergie  totale  T  -j-  L\ 

E=:U. 


6i2  -1  PROPOS  DE  LA  THÉO  PIE  DE  LARMOR 

Si  ce  champ  est  engendré  par  deux  petites  sphères  électrisées, 
cette  énergie  U  dépend  des  charges  des  deux  sphères  qui  sont 
des  constantes  et  de  leur  distance,  qui  sera  notre  paramètre  à 
variation  lente  et  que  j'appellerai  q^. 

Ces  deux  sphères  exerceront  Tune  sur  Tautre  une  attraction  ou 
une  répulsion  qu'il  faudra  contrebalancer  par  une  force  exté- 
rieure, si  l'on  veut  maintenir  l'équilibre.  Cette  force  extérieure, 
je  la  désigne  par  Q«,  conformément  aux  notations  adoptées  ;  si 
|;;  Q„  est  positif,  les  deux  sphères  s'attirent  et  la   force  extérieure 

y  qui  doit  contrebalancer  cette  attraction  doit  tendre  a  écarter  les 

deux  sphères  l'une  de  l'autre. 

Comme  Test  seul,  l'équation  de  Lagrange  se  réduit  à 

^U         Q 


>'  : 


Mi 


àqa 


cm 

(9)  -;^==Q. 

Passons  à  l'imitation  hydrodynamique  de  Bjerknes,  que  je 
modifierai  un  peu,  afin  d'éviter  la  difficulté  provenant  des  diffé- 
rences de  phases. 

La  distance  des  deux  boules  q„  sera  notre  paramètre  à  variation 
lente. 

Leurs  rayons  <y^  et  q^  seront  nos  paramètres  à  variation  rapide. 
Je  supposerai  que  les  vitesses  q'j,  et  q'^  sont  constantes,  mais 
assez  faibles  pour  que,  pendant  hi  durée  de  l'expérience,  q^,  et 
Qç  n'éprouvent  pas  de  variation  sensible. 

Si  donc  je  regarde  q^,  et  q,  comme  des  paramètres  «  à  variation 
rapide  »,  ce  n  est  pas  que  leurs  dérivées  q\  tXq\  sont  très  grandes 
d'une  manière  absolue  (elles  sont,  au  contraire^  très  petites) 
c'est  parce  qu'elles  sont  beaucoup  plus  grandes  que  q',^. 

Comme  dans  l'imitation  de  Bjerknes,  ce  sont  ces  deux  vitesses 
q\tl  7^,  qui  correspondent  aux  charges  des  sphères,  elles  doivent 
être  maintenues  constantes. 

L'équation  (4)  nous  donne  alors, 


APPLICATION  A  VÉLECTROSTATiqUE 


Sal 


et  comme 

on  peut  écrire 
(lo) 


U==o, 


T  =  E, 


dE 


(iqa 


=  Q.. 


La  comparaison  des  équations  (9)  et  (10)  montre  qulî  v  a  mmr- 
sion.  Observons  de  plus  que  si  la  vibration  des  fplières  n'étiiil 
pas  entretenue  par  une  force  extérieure,  les  vitesses  (f^  et  f  V  »^ 
resteraient  pas  constantes  quand  la  distance  cj^  varierait.  P#îir 
maintenir  ces  vitesses  constantes  (ou  en  supposant  des  pîilsâtî#iis 
périodiques,  comme  dans  Texpérience  réalisée  par  Bjerknes,  p#iir 
maintenir  constante  Tamplitude  des  vibrations),  il  faut  une  inter- 
vention extérieure,  tandis  qu'aucune  intervention  n'est  nécessaire 
pour  maintenir  les  charges  de  deux  sphères  électrîsées  quaiié 
elles  s'éloignent  ou  se  rapprochent.  C'est  encore  là  une  diflc- 
rence  entre  le  phénomène  électrique  et  son  imitation  hydrodyna- 
mique, différence  qui,  d'ailleurs,  comme  nous  allons  le  voir^  est 
intimement  liée  à  l'inversion. 

Supposons  maintenant  qu'on  ait  réalisé  une  autre  iiiiîtatioa 
dynamique  où  intervient  un  système  dépendant  de  3  paramètres 
</«?  </iî  '/cî  1^  premier  à  variation  lente,  les  deux  autres  à  varialioii 
rapide.  —  Le  premier  serait  la  distance  des  deux  corps  ipii 
rempliraient  le  rôle  des  deux  sphères  électriques. 

Mais  je  suppose  que  les  charges  de  ces  deux  sphères,  au  lieu 
d'être  représentées  par  les  {nlesses  (f,,  et  q',.,  soient  représentées 
par  les  moments  correspondants/;/,  et y;^- 

Je  suppose  en  outre  que  la  force  vive  T  ==  E  du  système  suit 
éo-ale  à  l'énergie  électrostatique  des  deux  sphères. 

Il  arrivera  d'abord  que,  sans  aucune  intervention  exièrieitrêy 
ces  moments  demeureront  constants,  ainsi  que  font  les  charges 
électriques  qu'ils  représentent. 

De  plus,  comme  ces  moments  sont  constants^  Féqualion  (6) 
nous  donnera  ; 


OR 


=  Q,.- 


31 


624  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  LE  LARMOR 

Il  ny  a  donc  plus  d'inversion. 

J'ai  dit  plus  haut  que,  parmi  les  quantités  qu'on  est  amené  à 
envisager  en  mécanique,  il  faut  distinguer  les  coordonnées,  les 
vitesses  et  les  moments,  et  Ton  peut  résumer  la  discussion  qui 
précède  en  disant  que  V inversion  dans  V expérience  de  Bjerknes 
provient  de  ce  qu'on  a  représente  les  charges  électriques  par  des 
vitesses^  tandis  qu'il  fallait  les  représenter  par  des  moments. 


APPLICATION    A    L  ELECTUODYNAMIQUE 

456.  —  Appliquons  les  mêmes  principes  à  l'appareil  de  Lord 
Kelvin,  et  pour  cela  rappelons  d'abord  quelles  doivent  être  les 
bases  de  toute  théorie  dynamique  du  champ  électrodynamique. 
Nous  n'avons  qu'a  nous  reporter  à  un  chapitre  célèbre  du  grand 
traité  d'électricité  de  Maxwell,  4*^pi^rtie,  chapitre  VI,  article  568. 

Il  convient  de  supposer  que  l'énergie  électromagnétique  du 
champ  représente  la  force  vive  T  de  l'éther  ;  l'état  du  système 
est  défini  par  un  certain  nombre  de  paramètres  à  variation  lente 
q,,  qui  définissent  la  position  relative  des  deux  circuits,  et  par 
deux  paramètres  à  variation  rapide  qi^  et  q,.. 

L'hypothèse  admise  par  Maxwell,  c'est  que  les  intensités  des 
deux  courants  ne  sont  autre  chose  que  les  dérivées  q'i,  et  q',  de  ces 
paramètres.  Ce  sont  donc  des  vitesses. 

Nous  exprimerons  donc  T  en  fonction  des  intensités  et  des 
//„,  c'est-k-dire  de  </^/„  de  q',  et  des  q^^  ;  l'équation  (4)  nous  don- 
nera alors, 

(4,  -^=.Q„. 

D'autre  part,  q'i^etq'c  étant  des  vitesses  et  non  dos  moments, 
ne  se  conserveront  pas  constantes  s'il  n'y  a  pas  d'intervention 
extérieure.  Les  intensités  des  courants  ne  peuvent  donc  demeurer 
constantes  si  une  cause  extérieure  ne  les  maintient  pas;  et  c'est 
en  effet  ce  qui  arrive  ;  cette  cause  extérieure  nécessaire  pour 
entretenir  1  mteusité  du  courant,  c'est  l'énergie  fournie  par  lu 
pile. 

Je  précise  davantage  ma  pensée  ;  quand  même  la  position  rela- 
tive des  deux  circuits  ne  varierait  pas,  les  courants  ne  pourraient 


APPLICATION  A  VÉLECTROBYNAMiqrE     ,^  ftl 

se  maintenir  qu  en: empruntant  de  l'énergie  à  la  pîle.  Cette  éncr- 
gie  destinée  à  surmonter  la  résistance  des  eirciiits  se  retr©wt 
sous  forme  de  ch?.deur  de  Joule. 

Mais  ce  n'est  pas  seulement  cela  que  je  yciîx  dire.  St  les  cir- 
cuits étaient  des  conducteurs  parfaits,  Finteiisité  des  ri>araats 
pourrait  se  .maintenir  constante  sans  rien  emprunter  à  îa  pile, 
pourvu  que  la  position  de  ces  circuits  ne  varie  pas. 

Si,  au  contraire,  la  position  des  circuits  varie  (Weii  ipc  ii#tt* 
les  supposions  absolument  dépourvus  de  résistance i  rinîensîté  »t 
pourra  demeurer  constante  sans  Tintervention  de  la  piie. 

En  effet,  l'équation  de  Lagrange  nous  donne. 


d     dT 


dt     dfi 


r  =  Q. 


et  ICI, 


qk 


■  Eè  —  R/i, 


Eô'  étant  la  force  électromotrice  de  la  pile  du  premier  cincuît, 
i,,  =  ql  l'intensité  correspondante,  R^  la  résistance  du  eireiiit.  Si 
le  circuit  est  un  conducteur  parlait  et  si  la  pile  nlntervieiit  pas, 
on  aura 

d'où 


et  par  conséquent 


De  même  p,  sera  une  constante.  Les  moments  /j,.  et  />  dépendent 
de  q'„  et  (/;  et  des  </„  ;  si  ces  moments  sont  constants  et  si  les  f, 
varient,  il'  faut  donc  bien  que  les  <jl  et  les  //,:  varient  égalemenl. 

Dans  le  cas  de  la  nature,  les  circuits  ont  une  résistance  fiiue, 
et  il  l\iut  toujours  emprunter  de  l'énergie  à  la  pile,  seulement  « 
les  circuits  ne  se  meuvent  pas  l'énergie  empruntée  à  la  pile  est 
égale  à  la  chaleur  de  Joule  ;  s'ils  se  déplacent  elle  est  plus  grande 
ou  plus  petite  parce  que  la  force  électromotrice  d'induction  v.enl 
s'ajouter  à  celle  de  la  pile. 

Passons  maintenant  à  l'appareil  de  Lord  Kelvin. 

PoiNCAKK.  Électricité  et  Optique.  ■'"' 


'Il 


i 


6a6  A  PROPOS  DE  LA  THÉORIE  DE  LARMOR 

Les  intensités  sont  représentées  par  des  intégrales  de  la  forme 


(^iid.T  +  vdy  -\~  i'^'d.z). 


En  vertu  du  théorème  de  llelmholtz,  ces  intégrales  demeurent 
constantes  sans  l'intervention  d'aucune  force  extérieure. 

Cela  nous  avertit  déjà  que  les  intégrales  qui  représentent  les 
intensités  sont  des  moments  et  non  pas  des  vitesses. 

Avec  nos  notations,  il  convient  donc  de  les  désigner  par/^^  et 
Pc  de  sorte  que  si  l'énergie  ï  est  exprimée  en  fonction  des  inten- 
sités et  des  rjai  T  sera  une  fonction  de  /:>,,,  p^  et  des  rj^. 

L'équation  [h)  nous  donne  alors, 


(6) 


ôT 


^'Ja 


Q„. 


Ce  résultat  est  d'ailleurs  une  simple  conséquence  du  pi-incipe 
de  la  conservation  de  l'énergie.  Soû,  en  effet,  oy„  racoroissemenl 
virtuel  de  //^^,  le  travail  virtuel  des  forces  extérieures  sera 


Oa  devra  donc  avoir, 


Q,o.y.  =  ol  =2j-ô;^  oy„  +  —  0/..  +  ^  0/,,. 

Mais  comme  les  intégrales  y;^,  ety;^  sont  constantes  en  vertu  du 
théorème  de  Helmholtz,  opi,  et  op^  sont  nuls  et  il  reste 


y,Q»%„=2|-ô:^^^^" 


ou  en  identifiant 


Q. 


IL 

H. 


La  comparaison  des  équations  (4)  et  (6)  montre  qu'il  y  a  inver- 
sion, d'où  la  conclusion  suivante  : 

S'il  ij  a  im'ersion  dans  V appareil  de  lord  Kelcin,  c'eut  parce 


FORME  DÉFINITIVE  DE  L.i  THÉORIE  DE  URitOM 


êâ7 


cjaoïi  a  représenté  les  intensités  par  des  mmmnis,  àmim  iiuli 
fallait  les  représenter  par  des  ntesses, 

^    Dans  rexpérlence  de  Bjerknes  et  dans  celle  de  lord  Keliiii,  li 
cause  de  rinversion  est  analogue,  mais  pour  ainsi  dire  mmtm. 

FORME    DÉFINITIVE    DE    LA    THÉORIE    DE    LâRMOl 

Les  lignes  qui  précèdent  sont  la  reproduction  prescjac  texlitllt 
de  quatre  articles  parus  dans  U Éclairage  Ékctriqme  fl.  11, 
n^^  i4  et  20;  t.  V,  n^^  4o  et  48).  On  a  seelenieal  modifié  les 
notations  pour  les  mettre  en  harmonie  avec  celles  qaî  mm% 
employées  dans  ce  volume  ;  et  d'autre  part  on  a  sapprinié  les 
passages  qui  pouvaient  faire  double  emploi. 

Depuis  l'époque  où  ces  articles  ont  paru,  M.  Larmor  a  complété 
sa  théorie  et  lui  a  donné  sa  forme  définitive.  11  y  est  parvesa  cii 
s' appropriant  les  hypothèses  de  M,  Lorentz  et  en  les  c©nîMiitiit 
avec  les  siennes  propres. 

Reprenons  les  équations  de  Lorentz, 


.m. 


{') 


qui  expriment  ce  qui  se  passe  a  l'intérieur  d'un  ion  et  qui  ditiisie 
vide  (c'est-à-dire  pour  p  =  0)  se  confondent  avec  celles  de  Maxwell. 

Dans  ces  équations  0  représente  la  densité  de  Félectricité 
transportée  par  Fion  ;  q,  rj,  ^  la  vitesse  de  Fion;  a,  3.  7  la  force 
magnétique  (c'est-à-dire  d'après  Larmor  la  vitesse  de  féther)  ; 
/;  g,  h  le  déplacement  électrique  (c'est-à-dire  d  après  Larmor,  le 
couple  développé  dans  Féther  par  Félasticité  rolationnelîe  de 
Lord  Kelvin). 

L'énergie  magnétique, 


%\ 


m 


représente  toujours 


la  force  vive  de  Féther. 


628  A  PROPOS  DE  LA  TIIKOBIE  DE  LARMOR 

Nous  avons  ensuite  les  trois  équations  de  Lorentz, 


\  dz         dij  J       '  dt  ^ 


(3) 


^.V^//^^ 


\Jxdz)~~  dt  ' 

EL; 
dt 


et  l'équation  qui  définit  l'énergie  électrique, 

(4y  '  u  =  2^\'f(f+  /- + h')  d-, 

laquelle  n'est  autre  chose  que  l'énergie  duc  à  l'élasticité  rota- 
tionnelle. 

Soient,  X,  Y,  Z  les  composantes  du  déplacement  de  l'éther  de 
telle  façon  que 


fZY 

HT' 

d'L 


et  posons, 


t/Z 
dxj 


dj 

dz 


-=-4^L, 


rfX         dZ 


dx 


dX 


dxj 


:4-N 


L,  M,  N  sont  proportionnels  à  la  rotation  d'une  petite  niasse 
d'éther  autour  du  point  envisagé. 

Dans  la  théorie  de  l'éther  gyrostatique  de  Lord  Kelvin  sous  sa 
forme  primitive,  le  couple  /",  g,  h  provoqué  par  la  rotation  était 
proportionnel  à  cette  rotation,  c'est-à-dire  à  L,  M,  N. 


FORME  DÉFmriVE  DE  LA  THÉORIE  m  USMOR 

Alors  en  faisant 


§»§ 


on  trouve, 

il. 

dy 
et  de  même 


d'Z 


d.z    ~  dijdt         dzdi 


dx  -^"W 


dx 

d.z 

d?^  &_  __^  ^     dh^ 

dx  dy        ^'^  dt  ' 

c'est-a-cUre  qu'on  retrouve  les  équations  (i)  dam  Félher  1ère. 

Mais  considérons  une  surface  fermée  située  tout  entière  iims 
Téther  libre  mais  contenant  à  son  intérieur  des  ions  et  parc#tt- 
séquent  des  charges  électiiques  dont  la  somme  algébrique  n'est 
pas  nulle  ;  formons  l'intégrale, 


(5) 


/  [lf-\-mg-\~nIijdo), 


et  étendons-la  à  tous  les  éléments  dd)  de  cette  surface,  /,  m.  et« 
étant  les  cosinus  directeurs  de  Télément  du). 

Cette  intégrale  devrait  être  nulle  si  Ton  avait  dans  tout  Féther 
libre 

'a  =  x. 

D'un  autre  côté  elle  ne  peut  être  nulle,  puisqu'elle  est  propor- 
tionnelle à  la  charge  électrique  totale  contenue  à  son  întêrieBr 
et  que  nous  avons  supposé  cette  charge  différente  de  zéro. 

C'est  cette  difficulté,  ainsi  que  nous  Favons  vu,  qui  oblige 
M.  Larmor  a  modifier  la  théorie  primitive  de  Lord  Kelvin  pour 
F  adapter  aux  phénomènes  électriques. 

Supposons  alors, 

<.  =  M-M„,    ■ 

A  =  N-X,„ 


Pi 


i- 


41  . 


'i 


'il| 


"ê 


î  • 


-Mi 


63o  A  PROPOS  DE  LA  TIIÉOPIS  DE  LARMOU 

OÙ  L^,  M(j,  Nq  sont  des  constantes  ;  alors  le  couple  {f,  s>',  h)  pj^o- 
çoquépar  V  élasticité  rotationnelle  ne  tend  plus  à  ramener  la  petite 
masse  d'éther,  sur  laquelle  il  s'exerce^  à  son  oriejitation  primi- 
tive (orientation  qui  serait  définie  par  les  équations  L=z=o,  M==:o, 
N  ==  o)  mais  à  une  orientation  différente  que  l'on  peut  appeler  la 
nouvelle  orientation  d' écjuilibre  (et  qui  est  définie  par  les  équations 

Ce  couple  n'est  plus  pi^oportionnel  à  l'angle  dont  cette  masse 
s'écarte  de  son  orientation  primitive,  mais  à  l'angle  dont  elle 
s'écarte  de  sa  nouvelle  orientation  d'équilibre. 

L'énergie  élastique  conserve  évidemment  la  même  expression. 

On  aura  encore, 

;   iy  d^^  _    d^Z    _        dh 

dy  dz  dijdt  dt 


da.  d-^  c^^X  dW 

I                                                         \~dz  dx  dzdt  dt 

I     *                                                  \   d^ da,  _  d'X  _        d^ 

^                                                           dx  dy  dxdt  dt 

î^    ,  de  sorte  que  les  équations  (i)  deviennent, 

'  /  dh  _       df 

•m  di^- 


dH         ^   .     dh 


d'où, 


dt  — '■'^■^   di   ' 


p,___., 
'~    dt    ' 


d'où  cette  conclusion  : 

Dans  Véther  libre  la  a  nouvelle  orientation  d'équilibre  »  ne  varie 


FORME  DÉFINITIVE  DE  LA  rHÉORIE  DE  LARMOM 


ill 


V 

I 
! 
I 


pas  ;  elle  ne  ^arie  pas  non  plus  dans  un  ion  en  repm;  mmiê  elle 
carie  dans  les  ions  en  mouvement. 

Je  ii'iû  pas  à  revenir  sur  les  équations  (3)  qui  expriment,  àmm 
la  manière  de  voir  de  Larmor,  que  raccélération  de  Fétlier  est 
proportionnelle  a  la  force  produite  par  Faction  des  couples  élas- 
tiques. 

Mais  il  faut  revenir  sur  Tintégrale  (5)  ;  cette  intégrale  est  égab 
à 


elle  varie  donc  quand  L^,  M^  et  N^  varient,  c'est-à-dire  quiiiid  tisi 
ion  porteur  d'électricité  traverse  la  surface  à  laquelle  rialéfrralt 
est  étendue  ;  c'est-à-dire  enfin  quand  on  fait  varier  la  cliarge 
électrique  totale  située  à  Tintérieur  de  la  surface.  On  s  explique 
ainsi  comment  cette  intégrale  peut  être  proportionnelle  à  celte 
charge. 

En  résumé,  d'après  l'iiypotlièse  de  Larmor,  le  passage  des  îoiis 
à  travers  l'étlier  modifie  les  conditions  de  l'élasticité  rotationnelle 
de  cet  étlier. 

Cette  action  de  l'ion  sur  l'éther  doit  être  accompagnée  d  ane 
réaction  de  l'éther  sur  l'ion.  C'est  sans  doute  a  cette  réaction  que 
sont  dues  les  forces  mécaniques  subies  par  la  matière  dans  ue 
champ  électromagnétique. 

Il  resterait  à  expliquer  dans  le  détail  le  mécanisme  de  celle 
action  et  de  cette  réaction. 

C'est  ici  que  la  difficulté  commence.  Pas  plus  que  Loreotz, 
Larmor  ne  respecte  le  principe  de  l'égalité  de  Faction  et  de  k 
réaction.  La  difficulté  s'est  même  accrue.  Lorentz  pouvait  s  ea 
tirer  eii  supposant  que  le  principe,  violé  en  apparence  si  Vm 
envisageait  la  matière  seule,  se  trouverait  rétabli  si  Fon  ccmsi- 
dérait  a  la  fois  la  matière  et  Féther. 

Cela  pouvait  aller,  parce  que  Lorentz  ne  faisait  aucune  Ii}p0- 
thèse  sur  la  vitesse  de  Féther.  Mais  Larmor  en  fait,  puisque  cette 
vitesse  est  d'après  lui  représentée  en  sens  et  en  grandeur  par  îa 
force  magnétique.  Il  est  aisé  de  constater  alors  que  la  compeii- 
sation  qui  devrait  se  faire  entre  les  actions  et  réactions  mulueîles 
de  la  matière  et  de  Féther  ne  se  fait  pas. 

Nous  avons  vu  plus  haut,   dans  les  chapitres  consacres  a  k 


'  il' 

m 

m 


'M 


.  m 


'■'M 

m 


g32  A  PROPOS  DE  LA  TI/ÉORIE  DE  LARMOR 

théorie  de  Lorentz,  quelles  valeurs  devaient  avoir  les  compo- 
santes de  la  vitesse  de  l'éther  pour  que  cette  compensation 
ait  lieu  et  ces  valeurs,  loin  d'être  proportionnelles  à  a,  [5,  y, 
étaieixt  proportionnelles  à 

Un  exemple  simple  fera  d'ailleurs  mieux  comprendre  la  na- 
ture de  la  difficulté.  Considérons  un  corps  quelconque,  par 
exemple  un  morceau  de  verre,  il  sera  entraîné  par  le  mouve- 
ment de  la  Terre;  si  Téther  n'est  pas  entraîné,  notre  corps  sera 
en  mouvement  relatif  par  rapport  à  l'éther.  Tout  devrait  donc  se 
passer  comme  s'il  était  traversé  par  un  courant  d'élher.  Mais, 
d'après  la  théorie  de  Larmor,  un  courant  d'éther,  c'est  un  champ 
magnétique.  Notre  morceau  de  verre  devrait  donc  se  comporter 
comme  dans  un  champ  magnétique,  il  devrait  par  (^xeniph^  pré- 
senter les  phénomènes  de  la  polarisation  rotatoire    magnclicjue. 

Dira-t-on  que  l'effet  ne  se  produit  pas,  parce  ([ue  hi  vit(^ss(^  de 
Téther  étant  très  grande  dans  un  champ  magnéti<[ue,  une  vll(^sse 
de  3o  km  :  sec.  correspond  à  un  champ  très  lîul)h'  ?  ÎVhiis,  d'apivs 
une  expérience  de  Lodge  citée  plus  haut  (p.  5()i)  la  vlh^sse  d(ï 
l'éther  dans  un  champ  magnétique  devrait  au  conlralre  Aire  très 
faible. 


TABLE  DES  MATIÈRES 


PREMIÈRE  PARTIE 

Avertissement   de  la  seconde  édition. ,  | 

Introduction ,     H  à  X 


CHAPITRE  PREMIER 

FORMULES   DE  'l  ELECTROSTATIQUE 

Théorie  des  deux  fluides I 

Théorie  du  fluide  unique , ,  | 

Expression  de  la  force  électrique  dans  la  théorie  du  fluide  unique.   .    .  | 

Unité  électrostatique  de  quantité S 

Potentiel.  —  Composantes  de  la  force  électrique § 

Flux  de  force 7 

Théorème  de  Gauss 7 

Relation  de  Poisson -   .  8 

Flux  d'induction i 

Potentiel  d'une  sphère  électrisée  en  un  point  extérieur § 

Remarques lO 

Extension  de  la  relation  de  Poisson •    •  ** 


CHAPITRE  II 

THÉORIE    DU    DÉPLACF.MENT  ÉLECTRIQUE    DE    MAXWELL 


Fluide  inducteur 

Déplacement  électrique ■       • 

Incompressibilité  du  fluide  inducteur  et  de  l'électricité. 
Image  de  l'eflet  de  Pélasticité  du  fluide  inducteur  .    .    . 

Tout  courant  est  un  courant  fermé 

Courants  de  conduction  et  courants  de  déplacement  .    . 

Energie  potentielle  d'un  système  électrisé 

Elasticité  du  fluide  inducteur 

Distribution  électrique 


2f 


i' 


634  TABLE  DES  MATIERES 

CHAPITRE  III 

THÉORIE    i)ES  DIÉLECTRIQUES    DE    POISSON.    COMMENT    ELLE    PEUT 

SE    RATTACHER    A    CELLE    DE    HELMÏÏOLTZ 

Hypothèse  de  Poisson  sur  la  constitution  des  diélectriques 35 

Sphère  placée  dans  un  champ  uniforme 37 

Polarisation  des  diélectriques. 4o 

Modification  de  la  théorie  de  Poisson.  --  Cellules k) 

Propagation  de  la  chaleur  dans  un  milieu  homogène 'îr 

Analogie  avec  le  déplacement  de  rélcctricité  dans  les  cellules V) 

'^Identité  des  expressions  de  l'énergie  potentielle 60 

Remarque. ^'-^ 

Cas  des  corps  anisotropes 03 

Discussion 0'> 

CHAPITRE  IV 

DÉPLACEMENT    DES    CONDUCTEURS    SOUS    l'aCTION    DES    FORCES    ÉLECTRIQUES 
THÉORIE    PARTICULIKUE    A    MAXWELL 

Force  s'exerçant  entre  conducteurs  éleclrisés GG 

Théorie  de  Maxwell GH 

Discussion 7"-* 

CHAPITRE  Y 

ÉLECTROKINÉTKiUE 

Conducteurs  linéaires 77 

Nouvelle  expression  analytique  de  la  loi  de  Ohm 78 

Conducteurs  de  forme  quelconque.    .    .' 7() 

Différences  entre  les  courants  de  conduction  et  les  courants  do  (l(q>la- 

cement 80 

Loi  de  Joule 87. 

CHAPITRE  M 

MAGNÉTISME 

Fluides  magnétiques.  Lois  des  actions  magnétiques H.\ 

Constitution  des  aimants ^5 

Potentiel  d'un  élément  d'aimant.  Composantes  de  raimantation.    ...  S') 

Potentiel  d'un  aimant ^« 

Potentiel  d'un  feuillet  magnétique 88 

Force  magnétique  en  un  point  extérieur 8q 


TABLE  ÙES  MATIÈRES  ^35 

Force  magnétique  dans  l'intérieur  d'un  aimant 

Induction  magnétique 

Magnétisme  induit •    .    .    .       y 


CHAPITRE  YII 

ÉLECTROMAGXÉTISME 

Lois  fondamentales r 

Hypothèses ^c 

Théorème  I ^g 

Théorème  II q_ 

Théorème  III qg 

Théorème  IV qq 

Potentiel  d'un  courant  ferme   .    .    .    .  - iqq 

Cas  d'un  circuit  inlîniment  petit ^ iqj 

Equivalence  d'un  courant  fermé  et  d'un  feuillet  magnétique loi 

Travail  des  forces  électromagnétiques  suivant  une  coui-]>e  fermée  enla- 
çant le  circuit io3 

Cas  de  plusieurs  courants lo^ 

Nouvelle  expression   du  travail  électromagnétique   suivant  une  courbe 

fermée ^, ro6 

Transformation  de  l'intégrale  curviligne io6 

Relations  de  Maxwell io8 

Action  d'un  pôle  sur  un  élément  de  courant 109 


CHAPITRE  YIII 


ELKCTRODYXAMiqUE 


l'ravail  éloctrodynaïuiquc iri 

Solénoïdes H'-* 

vSolénoïdes  et  courants ii3 

Potentiel  élcctr()dyiianii(iue  d'un  courant  infiniment  petit Jîj 

Pot(Mitiel  électrodynaniiquc  d'un  courant  fermé 116 

AuU*e  expression  du  potentiel  d'un  courant 116 

<:as  d'un  courant  se  déplaçant  dans  un  milieu  magnétique 117 

Détermination  des  composantes  du  moment  électromagnétique  .    ...  119 

Valeurs  de  F,  Ci,  II,  pour  un  courant  linéaire ï2.2 

Formules  de  Neuniann.    .    .    ' ^^^ 

Nouvelle  expression  du  potentiel  électrodynamique  d'un  courant  .    .    .  ÏI4 

Potentiel  électrodynamique  d'un  courant  par  rapport  à  lui-même  .    .    .  124 
Expressions  diverses  du  potentiel  d'un  système  de  courant  par  rapport 

à  lui-môme 

Cas  d'un  système  de  conducteurs  linéaires ^^^ 

Cas  d'un  système  de  deux  courants  linéaires ^'^^ 


636 


TABLE  DES  MATIÈRES 


m 


'é 


fi 


% 

■'4-  I 
II 

'^j   II 

.;    .ri 


CHAPITRE  IX 

INDUCTION 

Forces  électromotrices  d'induction.    .^ \  ^^ 

Détermination  des  coefficients  A,  B,  C ^^^^ 

Théorie  de  Maxwell . 

Application  au  cas  de  deux  circuits   •    •    •    • ^  .^ 

Valeurs  des  forces  électromotriccs  d'induction ^^9> 

Travail  des  forces  électrodynamiques ^'^^ 

Expression  des  forces  électrodynamiques ,"'',"'  ^  ^^ 

Cas   d'un   nombre  quelconque    de    courants.  -^   Forces   clcctrodyna- 

i/|> 

miques *    *    '    ' /  ' 

Forces  électromotrices  d'induction ^'^'* 

Signification  de  o *-' 

CHAPITRE  X 

ÉQUATIONS    DU    CHAMP    MAGN](^;TIQUK 

Equations  du  champ  magnétique "  jî> 

Equations  des  courants  de  conduction" ^'^^^> 

Equations  des  couinants  de  déplaccmonl, ^y 

Equations  des  courants  dans  un  milieu  imparfaitement  isohuit    ....  in- 

CHAPITRE  X[ 

THÉORIE    ÉLlîGTROM.VGNKTKiUK    DK    KA     I.U.MIKUK 

Conséquences  des  théories  de  Maxwell '  >> 

Equations   de  la  propagation  d'une   perturbation  magn(Hi(iu('  dans    un 

diélectrique ^  >^*> 

Cas  des  ondes  planes ï'><> 

Vitesse  de  propagation  d'une  onde  plane  périodique i'>i 

Valeur  de  cette  vitesse  dans  le  vide l'ji 

Relations  entre  Piadice  de  réfraction  et  le  pouvoir  inducteur  (runc  subs- 
tance isolante i<>1 

Direction  du  déplacement  électrique i<)H 

Propagation  dans  un  milieu  anisotrope  .  — Double  réfraction 170 

Propagation  dans  un  milieu  imparfaitement  isolant.  —   Absorption  do. 

la  lumière 177 

Réflexion  des  ondes 181 

Energie  de  la  radiation 182 

Tensions  et  pressions  dans  le  milieu  qui  transmet  la  lumière iS/i 

Interprétation  des  pressions  électrodynamiques 189 


TABLE  DES  MATIÈRES 


637 


CHAPITRE  XII 

POLARISATION    KOTATOIRE    MAG^'ÉTIQuÈ 

Loi  du  phénomène.    . jo..^ 

Essais  d'explication  de  la  polarisation  rotaloire  magnétique 194 

Théorie  de  Maxwell lo^ 

Interprétation  du  terme  complémentaire  de  l'énergie  kinétique  ....  206 

Difficultés  soulevées  par  la  théorie  de  Maxwell 21a 

Théoine  de  M.  Potier 217 

Théorie  de  M.  Rowland 222 

Phénomène  de  Kerr 226 


DEUXIEME  PARTIE 

THÉORIES    ÉLECTRODYNAMIQUES    d'aMpIîRE,    AVEBER,    HELMHOLTZ 


CHAPITRE  PREMIER 


FORMULES    D  AMPERE 


Action  do  deux  éléments  de  courant aSi 

Travail  produit  par  un  déplacement  relatif  de  deux  circuits 287 

Détermination  de  la  fonction  U ^Sq 

Relation  entre  la  force  électromagnétique  et  le  potentiel  vecteur.   .    .    .  24^ 
Potentiel  électrodynamique  d'un  système  voltaïque  constitué  par  deux 

circuits.    .    .    .  " 249 

CHAPITRE  n 

TuÉOIUE    DE    l'induction '^^^ 


CHAPITRE  ni 

THÉORIE    DE    WEBER 


l'explication  des  attractions  électrodynamiques ^61 

L'induction  dans  la  théorie  de  VVeber ^^7 


CHAPITRE  IV 

THÉORIE    DE    HELMHOLTZ 


Equations  fondamentales  .... 
Définition  de  la  force  magnétique 


286 


ni 

M 

M 

m': 

i' 

4  ■ 

.4{i 

{M';  ' 

"'r^ 
é^ 

1  '•- 

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'Û' 

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\\ 

ir 

?,.l  • 

.il 

638  TABLE  DES  MATIÈRES 

Conservation  de  l'énergie  et  stabilité  de  l'équilibre 292 

Expression  de   l'énergie    électrocinétique  et   de  l'énergie  électrosta- 
tique U ^9^ 

Conservation  de  l'énergie '-^9^ 

Stabilité  de  l'équilibre 3oo 

Ktude  des  milieux  magnétique'^  .    . 3oi 

CHAPITRE  Y 

PASSAGE    DE    LA    THÉORIE    DE    HELMIIOLTZ    A    CELLE    DK    MAXWELL 

Induction  magnétique 3ii 

Polarisation  diélectrique 3 14 

Expression  de  l'énergie  électrostatique  dans  le  cas  des  diélectriques    .  3a2 

Vitesses  de  propagation  des  perturbations  électromagnétiques.    ...  332 


TROISIEME  PARTIE 

NOUVELLES  THEORIES  ÉLECTRODYNAMIQUES 
THÉORIES  DE  HERTZ  ET  DE  LORENTZ 


CHAPITRE  PREMIER 

théorie  de  hertz 

Electrodynamïque  des  corps  en  repos :J.|^) 

Première  loi  fondamentale 3.'j"') 

Equations  fondamentales  de  Hertz  et  Maxwell 'i,jG 

Courant  total 3  jj^ 

Lois  qui  régissent  les  courants  de  conduction  et  déplacement    ....  ,']  19 

Seconde  loi  fondamentale 350 

Deuxième  groupe  d'équations  fondamentales  de  Hertz 'J5r 

Délinition  de  lélectricité  et  du  magnétisme,  d'après  Hertz 'Vri 

Remarque 35(3 

■Vérilication  du  principe  de  la  conservation  du  magnétisme  et  du  prin- 
cipe de  la  conservation  de  l'électricité :\% 

Vérification  du  principe  de  la  conservation  de  l'énergie 358 

CHAPITRE  H 

electrodynamïque  des  corps  en  mouvement 

Dérivées  par  rapport  au  temps 3^3 

Induction  dans  un  circuit  en  mouvement 354 


TABLE  DES  MATIEIŒS  689 

Théorème 3^^^ 

Equations  fondamcuLalcs  de  llerlz 3^,^ 

Equations  fondamentales  de  Maxwell 3„/ 

(Comparaison  entre  les   relations  fondamentales  de   Hertz  et  celles  de 

Maxwell 3„5 

Deuxième  loi  fondamentale 3^g 

Courant  total  de  Hertz 3^q 

Discussion  du  courant  total 3g j 

Interprétation  des  résultats 333 

Vérilîcation  du  principe  de   la  conservation  du  magnétisme  et  du  prin- 
cipe de  la  conservation  de  l'électricité 335 

Première  remarque 3g« 

Deuxième  remarque 33^ 

Conséquences 3g^ 

Entraînement  partiel  des  ondes  lumineuses 3qo 

Remarque 3(^3 

Vérilîcation  du  principe  de  la  conservation  de  Téner^ie 3c)4 

Energie  électrociuéti(iue  et  énergie  élasti(pie  d'un  cliamp  uiagn(Uique  .  39() 
('alcul  des  actions  mécani<[ues  (^xercu'es    [)ar   le    champ  électromagné- 
tique sur  la  matière 3Qq 

i)  Actions  mécaniques  du  chaujp  maguéticjue /^ojj 

Remarque /j^jq 

2)  Actions  mécaniifues  du  (duunp  éh'otr'i(jue ^lo 

V'orce  de  llei'lz 

Vérilicalion  (hi    principe  d(^   l'égaliti'  (h'  l'action  et  de  la  réaction. 


414 

4 '2  0 


CHAIMTUE    ni 

lUKOlUI-:    1)1'.    I.OUIINTZ 

(Conducteurs /.^j 

A.  Puî:n()mi:m.:s  ()Ui  sk  imu';si.:.nti;.nt  a  un  <)nsi;uvATi:im  avant  i.k.s  skns  tuks 
suiJTii.s r.i^/ 

Introduclion  des  ('(piatious  de   Lagrauge /['^n 

i\)  Jù/iiado/is  f/ui  (lô/iinssail  l'ôlal  (le  L'ctlicr fîo 

(Comparaison  avec  les  relations  de   Hertz /J/i'^ 

h)    Variables  de  l<(  itreniière  sorte 4^(3 

(Com[)ar"aiHon  avec  la  théorie  de  lleriz /\/[(^ 

Véri/lralion  des  prinrip<\s  générfaf.v  de  la   niéca/nqae  : 

j'*  Prin('i[)(^  de  la  conservalion  du  njagn<'ti.sm<' 44-7 

■i"  Princii>e  de  la  conservation  (!<'   r<*le(H,ricité 447 

3"  l'rincipe  de  la  conservalion  de  r<'nergi(^ 448 

4'-»  l'rincip(^  de  l'égalité  de  Faction  et  de  la  réaction 448 

Intégration  d;'s  é<piati()ns  de  Eorenlz ,/[•)/[, 

Potentiel  relai*<l(; ^55 

B.  PuKNOMKNl'S   <)UI    SK     PUKSIl.NTI-lNT     à      UN      OIJSKU VATKUU     AYANT     r.KS    SHNS 
GKOSSIKllS 4(3l 

(Calcul  de  l'action  mécanii[U(î 464 

('alcul  de  la  force  éIectromotric(» 4G6 

Phénomène  de  Hall 4yi 


^/^Q  TABLE  DES  MATIERES 


CHAPITRE  lY 

DIÉUKCTRTQUES 


Potentiel  magnétique .    .    . 4?^ 

Force  magnétique  à  l'extérieur  d'un  aimant 477 

Force  magnétique  à  l'intérieur  d'un  aimant 477 

A.  Electrostatique. 479 

B.  Electrodynamique  des  corps  en  repos 4B4 

Conditions  d'équilibre  d'une  particule i^^ 

C.  Elegtrodynamique  des  corps  en  mouvement 489 

Comparaison  avec  la  théorie  de  Hertz 49^ 


CHAPITRE  Y 
phénomènes  lumineux  dans  les  dielectriques 

Dispersion ^^^^ 

i^'û  observation '^^^ 

2<3  observation >^->7 

Particules  de  plusieurs  sortes ^^^7 

Remarque ^"^^ 

Dispersion  électrique  anomale ^ 

Remarque > 

Dispersion  dans  les  cristaux 


5i3 


:  i 

^  r  CHAPITRE  YI 


PHENOMENES   OPTIQUES  DANS  LES  CORPS  EN  M0UVE.MENT 


Explication  de  ces  phénomènes  parla  théorie  de  Lorentz ^iB 

I  \  Théorème. —  Le  mouvement  de  la  terre  n'influe  pas  sur  les  phénomènes 

'      .  optiques  si  on  néglige  les  carrés  de  ^,  r^,  t, tyiS 

l     '  Temps  local 5,io 

\  Objections  possibles 533 


CHAPITRE  YII 

Influence  du  mouvement  de  la  terre  sur  les  phénomènes  optiques 

proprement  dits  537 


k 


r. i nijù  DES  M. i  riEHF.s  {\.\  i 


CHAÏUTUK  Vin 

Polarisation  r(>tal()n-i^  inagnt'li(iu('  <•(  plu'iiiMuriu' (le  Zrciaati  .     ....  'i  17 

Champ  ina<?ri(Hique  iiiLi'îisc' ')Î7 

Rayon  parallèle  au  cfiamj) ''>i7 

a)  Rayon  circulairo  droil ^lij 

Raies  d'absorptio:i .  ">h 

/>)  Rayon  cirrulairo  j^aurhc  . ■»')! 

Rayon  perpendiculaire  au  c/iamp    .................  ')')'i 

TiiKOun-:  DHs  IONS  comim.kxks.    ..........,,..,,...  ">')'> 

Lumière  monochronialicpic ......,,>.. YiH 

Déplacement  des  raies V>*j 

Isotropie  dans  le  plan  de  l'oiidt* t'(r4 

Polarisation  des  raies Vï'i 

Isotropie  dans  l'espace '")(jf> 

DIsciLssion ...  ">7.> 


(H'ATHIKMK   PAirHK 


.\    i>iu)i»<)s    ni:    i.A    ini'.otui:    i>i:    i.AUMon 


'riié()rie.s  ()pli(jU('s .  V"" 

Tlu'ories  <'Ie('Lri(|  ues * \}\  » 

Adaptation  d(»  la  tlx'orie  de  I«'r'('sa(d ...  .       ^H  J 

'rh(''()i'ie  de  liarnior ,      ^H"* 

l']le('tro(lynatni((iie  des  eoeps  <Mi  moiiNeiuent .     , 

Tliéoi'ie  de  Ilehnlioll/. 

Théoi'ie  de  Loreul/, 


• '>ir^ 

>[)[> 

Tlu'oi'icMle  J.-J.  'l'Iioinsori  (',,>,> 

Discussion  de  la  llK'oric  d<»   Ilr'ii/  Cxri 

Discussion  des   aulres  lln'oricN  ,  (>  »  i 

('oiudusions  provisoires .  lii  i 

Iinilalioiis  livdr'odyiianii(jues  (">l^ 

(Causes  de  l'im ci'sion {',l('>. 

Application  à    r<'l('etroslali<pH' ,                        .     .     ,  !>  u 

A])pUcalion   à  riiydrodyuaiJiiipie                        .                                               .     .     ,  iW^ 

Forme  délniitive  dv  la  lli('ort<'  de   hai-in  >r ,  (ii.- 


PoixcAUi':.  Kh^îtricili'  et  ()pli«pic,  /,  i