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Full text of "Electricite_et_optique"

i 



COURS DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE PARIS. 



COURS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. 



.i 



lECTRICITÉ ET OPTIQUE 

LA LUMIÈRE 

ET LES 

THÉORIES ÉLECTRODYNAMIQUES. 

LEÇONS PROFESSÉES A LA SORBONNE EN 1888. 1890 ET 1899 

266 ■ 

H. POINGARÉ, 

]M(iin])re do ITiistitut, 



DEUXIÈME ÉDITION, REVUE ET COMPLÉTÉE 



JULES BLONDIN, 

Agrégé de rUiiiversité. 



EUGÈNE NÉCULCÊA, 

Licencié es Sciences. 



% 



PARIS, 

GAUTHlEli-VILLARS, LMPRIMEUK-LJBRAIRE 

DU BURKAU DES LONGITUDES, DE l'ÉCOLE POLYTECHNIQUE, 
Quai des Grands-Augustins, 55. 



AVERTISSEMENT 



Ce livre conlienl le résinué dos locons (|iio j'ai proCcssées 
à la Sorl)onne en 1888, ou 1890 ol oa i8()9. Mos cours i\v. 
1888 et (le 1890 oui déjà été [)ul)].Lés, uiais l'édiliou étaul 
é[)uiséc,je uo crois pas iuulilc de les (aire réiiupriuieravcc^ 
(|uolques reiuauiouiouLs et uiodiliealious. .Feu ai seiileuieut 
suppriuié (!e (|ui se rapportait aux (^\|)rrieuc(^s do ITortz ; 
car j'ai eu Tocc^asiou de reveulr avec^ hoauconp de détails 
sur <;es expérieucc^s daus uue série de lecous reproduites 
daus iuou ouvrag(^ iutitulé les OscllUilions hllcrlriqu.es, L(^ 
rest(i dc! ces l(u;ous reuiplit la première parli(*. du volume 
où se tr()uv(^utex|)osc(\s les ihéories de A[ax\V(dI (itde Hclui- 
holt/ el. j'y rapp(vl.l(^ 01 oulrc^ li^s |)rinci|)es ess(Miti.els do 
c(dl(\s crAuipère (^I. d(^ Weber. ('eLl(^ preur)èr(^ |)artie con- 
lienl doucî [outc(^ (pii se rapporte à réie(^!r()dyuami(|ue des 
corps en repos. 

La seconde partie couLi(uiL mes lecousde i8()()([ui iravaiiout 
])as eu(M)re été pul)!iées, (U (|ui ont été rédigées par 
^f. .Né(udcéa, à (|ui je suis 1res heureux d'adi'c^sser ici tous 
mes remerci(uueuts. J'y c()m[)are les dilïereules théories 
relatives à réhiclrodyuami([ue dc^s corps eu uu)uvemeut el 
dont hîs priii(!i()ah^.s soûl ccdU^s (h^, Hertz, de Ijonuil/ <U. de 
Larmoi*. 

liieu qu'aucune de c:^s tlioorios uo juo sond)le entièrement 
satisfaisante, (diacune d'elles contient sans doute une part 
de vérité et la comi)araison peut être instructive. 



1 ^ "7 .i~l 



Il AVERTISSEMENT 

De toutes, celle de Loi^ent/ me paraît (*ellc (|ui rend le 
mieux compte des faits. 

Depuis que Fimpression est commencce, sont venues les 
expériences de M. Crémieu qui peut-être înodifierorU eom- 
plètement nos idées sur i'électrodynamique des eorps eu 
mouvement. Mais elles sont encore tro)) récoules pour ([u'uu(^ 
théorie nouvelle en ait pu sortir. Elles seront (Faillcnirs pro- 
bablement très discutées et toute tentative^ pour eu lircu* 
une conclusion quelconque serait prématurée. 



INTRODUCTION 



La première fois qu'un lecteur iVançais ouvre le livre de 
Maxwell, un sentiment de malaise, et souvent même de défiance 
se mêle d'abord à son admiration. Ce n'est qu'après un commerce 
prolongé et au prix de l>eaucoup d'efforts, que ce sentiment se 
dissipe. Quelques esprits éminents le conservent môme toujours. 

Pourquoi les idées du savant anglais ont-elles tant de peine à 
s'acclimater chez nous ? C'est sans doute que l'éducation reçue 
par la plupart des Français éclairés les dispose a goûter la pré- 
cision et la logique avant toute autre qualité. 

Les anciennes théories de la physique mathématique nous 
donnaient à cet égard une satisfaction complète. Tous nos 
maîtres, depuis Laphicc jusqu'il Cauchy ont procédé de la môme 
manière. Partant d'iiypothèses nettement énoncées, ils en ont 
déduit toutes les conséquences avec une rigueur mathématique, 
et les ont comparées ensuite avec l'expérience. Ils semblent 
vouloir donner à chacune des branches de la l?hysiquc la môme 
précision qu'à la Mécani([ue Céleste. 

Pour un esprit accoutumé à admirer de tels modèles, une 
théorie est dinicilement satisiaisante . Non seulement il n'y 
tolérera pas la moindre apparence de contradiction, mais il 
exigera que les diverses parties en soient logiquement reliées 
les unes aux autres et que le nombre des hypothèses distinctes 
soit réduit au minimum. 

Ce n'est pas tout, il aura encore d'axrtres exigences qui me« 
paraissent moins raisonnables. Derrière la matière qu'atteignent 
nos sens et que l'expérience nous fait connaître, il voudra voir 



INTRODUCTION 



une autre matière, la seule véritable à ses yeux, ([ui n'aura plus 
que des qualités purement géométriques et dont les atomes ne 
seront plus que des points mathématiques soumis aux seules lois 
de la Dynamique. Et pourtant ces atomes indivisibles et sans 
couleur, il cherchera, par une inconsciente contradiction, à se 
les représenter et par conséquent à les rapprocher le plus pos- 
sible de la matière vulgaire. 
' ^ C'est alors seulement qu'il sera pleinement satisfait et s'ima- 

. „ ginera avoir pénétré le secret de l'Univers. Si cette satisfaction 

r est trompeuse, il n'en est pas moins pénil)le d'y renoncer. 

I ' Ainsi, en ouvrant Maxwell, un Français s'attend à y trouver 

I . . ' . ... 

! / un ensemble théorique aussi logique et aussi précis ([ue l'()pti([ue 

j physique fondée sur l'hypothèse de Téther ; il se [>ré[)are ainsi 

j une déception que je voudrais éviter au Icîcteur eu Tavcrtissant 

I . tout de suite de ce qu'il doit chercher dans Maxwell (M, de ce 

I qu'il n'y saurait trouver. 

\ Maxwell ne donne pas une expllcalion ni(k'a/fiqae de rèlectri-- 

\ cité et du magnétisme ; il se home à démontrer ([ue cette expli- 
cation est possible. 

I II montre également que les phénomèm^s oplicjues n<^ sont 

I qu'un cas particulier des phénomènes électronian-nétiv[ues. 1)(^ 

i ' toute théorie de l'électricité, on pourra donc déduire Inunédia- 

I tement une théorie de la lumière. 

I 

I La réciproque n'est malheureusement [)as vrair ; (Tune (^\pli- 

I cation complète de la lumière, il n'est pas loujours aisé d(^ tirer 

;, une explication complète des phénomènes élcctrî<[u<'s. (](da n'est 

\ ^ p^s facile, en particulier, si l'on veut partir de la ihéorie de 

j / ' Fresnel ; cela ne serait sans doute pas inipossibb^ ; mais on ucn 

arrive pas moins à se demander si l'on ne va pas être forcé de 

renoncer a d'admirables résultats ((ue l'on croyait délinitivenient 

acquis. Cela semble un pas en arrière; et beaucoui) de bons 

esprits ne veulent pas s'y résigner. 

Quand le lecteur aura consenti à borner ainsi s(\s (\spéranc<'s , 
il se heurtera encore à d'autres difficultés ; le savant anglais ne 
cherche pas a construire un édifice unique, définitif et l)Ien 
ordonné, il semble plutôt qu'il élève un grand nombr(^ de cons^ 
; tructions provisoires et indépendantes, entre lesquelles les coul- 

is munications sont difficiles et quelquefois impossibles. 



INTRODUCTION v 

Prenons comme exemple le chapitre où Ton explique les 
attraclious électrostaticiues par des pressions et des tensions qui 
régneraient dans le milieu diélectrique. Ce chapitre pourrait 
être supprimé sans que le reste du volume en devînt moins clair 
et moins complet, et d'un aure côté il contient une théorie qnl 
se suffit à elle-même et on pourrait le comprendre sans avoir lu 
une seule des lignes qui précèdent ou qui suivent. Mais il n'est 
pas seulement indépendant du reste de l'ouvrage ; il est difficile 
de le concilier avec les idées fondamentales du livre, ainsi que le 
montrera plus loin une discussion approfondie ; Maxwell ne tente 
même pas cette conciliation^ il se borne à dire : / haçe not heen 
able io make the nexl slep, nanielj/^ to accoiint hy meclianical 
considérations for thèse stresses in the dielectric ('.>/' édition , 
t. I, p. ï54). 

Cet exemple suflira pour faire coniprendre ma pensée ; je 
pourrais en citer ])eaucoup d'autres. Ainsi, (pii se douterait, eu 
lisant les pag(\s consacrées a la polarisation rotatoire magné 
tique qu'il y a identité entre les phénomènes optiques et magné- 
tiques ? 

On n(^ doit donc pas se flatter d'éviter toute contradiction ; 
mais il faut en prendre son parti. Deux théories contradictoires 
peuvent en edel, pourvu (|u'on ne les mêle pas, et qu'on n'y 
cherche i)as h^ fond des choses, être toutes d(Mix d'utiles instru- 
ments de r(;clierches, (;t peut-êtr(^ la lecture d(î Maxwell serait- 
elle moins suggestiv(^ s'il n(^ nous avait pas ouvert tant de voies 
nouvelles divei'gontes. 

Mais ridée fondain<Milale se trouve de la sorte un peu masquée. 
Kile Test si bien, que dans hi plupart des ouvrages de vulgarisa- 
tion, elle est le S(nil point (jul soit complètement laissé de côté. 

Je crois donc devoir, pour (mi mieux faire ressortir l'impor- 
tance, expli(pier dans cc^te introduction en quoi consiste cette 
idée fondamental (\ 

Dans tout phénomène physique, il y a un cerlain nondjre de 
paramètres (|ue Texpérience atteint directement et (pi'elle permet 
de mesurer. 

Je les appelle 



VI INTRODUCTION 

L'observation nous fait connaître ensuite les lois des variations 
de ces paramètres et ces lois peuvent généralement se mettre 
sous la forme d'équations difTérentielles qui lient entre eux 
les q et le temps. 

Que faut-il faire pour donner une interprétation mécanique 
d'un pareil phénomène ? 

On cherchera à l'expliquer soit par les mouvements de la 
matière ordinaire, soit par ceux d\m ou plusieurs lluides hypo- 
thétiques. 

Ces fluides seront considérés comme formés d'un tvhs grand 
nombre de molécules isolées ; soient /?^J, ?n^.,,y ni^, les masses de 
ces molécules ; soient x^, y^, z-i, les coordonnées de la molé- 
cule /?2j-. 

On devra de plus supposer qu'il y a conservation de Fénc rgie, 
et par conséquent qu'il existe une certaine fonction — U des 3/; 
coordonnées x^, iji^ .z-i^ qui joue le rôle de fonction des forces. 
Les 'ip équations du mouvement s'écriront alors : 



(0 



L'énergie cinétique du svstème est égale h : 

L'énergie potentielle est égale à U et Téquation qui exprime 
la conservation de l'énergie s'écrit : 

T + U = const. 

On aura donc une explication mécanique complète du phéno- 
mène, quand on connaîtra d'une part la fonction des forces — U 
et que d'autre part on saura exprimer les 3/; coordonnées 
•^n Uiy -•i ^^ l'aide de n paramètres q. 

Si nous remplaçons ces coordonnées par leurs expressions en 



/;?; 


de 


d\] 
~ d,; ' 


"h 


dC 


d\} 


rUi 


d% 

de 


dU 
dz, 



INTRODUCTION vu 

fonctions des rj, les équations (i) prendront une autre forme. 
L'énergie potentielle U deviendra une fonction des q ; quant à 
Ténergie cinétique ï, elle dépendra non seulement des q^ 
mais de leurs dérivées q^ et elle sera homogène et du second 
degré par rapport à ces dérivées. Les lois du mouvement seront 
alors exprimées par les é({uations de Lagrange : 

d (IT dJ du 

:0. 



Si la théorie est bonne, ces équations (2) devront ôtre iden- 
tiques aux lois expérimentales directement observées. 

Ainsi pour ([u'une explication mécanique d'un phénomène 
soit possible, il faut qu'on puisse trouver deux fonctions U et T, 
dépendant, la première des paramètres q seulement, la seconde 
de ces paramètres et de leurs dérivées ; que T soit homogène du 
deuxième ordre par rapport à ces dérivées et que les équations 
diderentielles déduites de Texpérience puissent se mettre sous 
la forme {2). 

La réciproque est vraie ; toutes les fois qu'on pourra trouver 
ces deux fondions T et U, on sera certain que le phénomène 
est susceptil)lei d'une explication mécanique. 

Soient en effet U (r/,, </,, ..,,yj, T {q\, y^,..., q\^;..,, q,,q,,.--, ^J 
ou ])lus simplement U (y ), '{' (y' , </ ), ces deux fonctions. 

()uo reste-t-il à fair(^ pour obtenir l'explication complète ? 

11 reste à trouver p constantes //^p..., ^fL^^ m^,,] et Zp fonctions 
des q : 

?/(yn^2---^'7j. '\i[<h^^lr"^^l,)> ^ii'h^'fy^^Jn) 



ou 



a-^i,' 



ou plus brièvement 

'f/(y,,,)> ■K-(7,,)> 6,(-7j 

que Ton puisse considérer comme les masses et les coordon- 
nées 

des y; molécules du système. 



INTRODUCTION 



Pour cela ces fonctions devront satisfaire à la condition sui- 
vante ; on devra avoir identiquement : 









fn 



Comme le nombre;; peut être pris aussi gmnd ([U(^ Ton veut, 
on peut toujours satisfaire à cette condition, et cela d'une infinité 
de manières. 



Ainsi dès que les fonctions U (r//,), T (//,,<//,) exist(Mil, on peut 
trouver une infinité d'explications mécani([ues du jdiénouiène. 

5/ donc tin phénomène comporte une e.vpUvdlion niècdn'ujue 
complète^ il en comportera une infinité d'dfit/'cs qni re/idro/it é^^'^i- 
lement hien compte de toutes les particuUtrités révélées pdr V expé- 
rience. 

Ce qui précède est confirmé par Fliistoire de toutes les {)arli(\s 
de la Physique 5 en optique par exemple;, Fresned croit la vibra- 
tion perpendiculaire au plan de polarisation ; Nemnanu hi iT<»'ard(; 
comme parallèle à ce plan. On a cherché h>no-t(Mnps un " oj'pcri- 
mentum crucis » qui permît de décider entre; ces cb^ix ihéories 
et on n'a pu le trouver. 

De même, saus sortir du domaine (\o réiectricité, nous pouvons 
constater que la théorie des deux fluides et celb^ chi llui(b' unicjue 
rendent toutes deux compte d'une façon égaleme^nl satisfaisanic 
de toutes les lois observées en électi'ostatique. 

Tous ces faits s'expliquent aisément grâce aux pi*()j)t'iél('\s (b's 
équations de Lagrange que je viens de rappcder. 

Il est facile de comprendre maintenant quelle est Yu\r(^ Ibnda- 
mentale de Maxwell. 

Pour démontrer la possibilité d'une explication niécaniijne de 
V électricité, nous n'avons pas à nous préoccuper de trouver cette 
explication elle-même, il nous suffit de connaître l'expression des 
deux fonctions T et U qui sont les deux parties de l'énergie, de 
former avec ces deux fonctions les équations de Lui^ran^e et de 
comparer ensuite ces équations avec les lois expérimentales. 



INTRODVCTION i^ 

Entre toutes ces cxplieiilioiis possibles, coinnieiit laire im 
choix pour lequel le secours de rexpérience nous lait défaut ? 
Un jour viendra peut-être où les physiciens se désintéresseront, 
de ces questions, inaccessibles aux méthodes ])ositives et les 
abandonneront aux métaphysiciens. Ce jour n'est pas venu ; 
l'homme ne se résigne pas si aisément à ignorer éternellement 
le fond des choses. 

Notre choix ne peut donc plus être guidé que par des considé- 
rations où la part de l'appréciation personnelle est très grande ; 
il y a cependant des solutions que tout 1(^ monde rejettera à cause 
de leur l)izarrerle et d'autres que tout le monde pi'é(erera à cause 
de leur simplicité. 

Kn C(^ ([ui c(>ncern(^ l\'decti'icilé et le magnétisme, Maxwell 
s'abstient d(^ faire aucun choix. (]e n'est pas ([u'il dédaigne sys- 
téinati([uement tout ce {\ne ne peuvent atteindre hîs méthod(^s 
positives ; le iem[)s (pi'il a consacré à la théorie cinétique des 
gaz en fait sullisamment foi. J'ajouterai ([ue si dans son grand 
ouvrage, il n<^ (h3V(doppe au(Uin(^ explication complète, il avait 
antérieununcuit tenté d'en doniu^r une dans un article du Philo- 
soplilcdl Md^'iizinc. l/étrangeté et la complication (U;s hypothèses 
(pi'il avait été obligé d(^ fairc^l'avaient amené (msiiite à y renoncei'. 

Le même! esprit se l'etrouve dans tout Touvrage. (!(*- qu'il y a 
d'(^ss(uili(^l, c\\st-Ji-dir(^ ce (|ui doit restf'r connïiun \\ loutes les 
Uiéoi'i(^s (*st mis en lumièr(^ ; tout (^<^ ({ui ne (N)nvi<Midrait qu'il 
une théorl(^ particulière est pres([U(^ toujours passé sous sihmce. 
f.e lecteur se trouve ainsi (^n prés(Mic(^ d'une- foi'me presque vich^ 
de matière <|u'il est d'abord tenté de pr(Mu1re ])our une ombre 
fugitive et insaisissable. iMais les eflorts aux([U(ds il est ainsi 
condamné hi l'orcu^it ;i penser (^t il finit par comjM'endre ce (pfil 
y avait souvent d'un peu arti(iei(d dans les (Miseml)l(\s (héoricpu's 
([u'il admii'ait auh'cfois. 

C'est en él<u.'(rostati(|ue ([ue ma tache a ét('' le pins difficile ; 
c'est là surtout en eflèt ([ue la pi'écision fait d('d'aut. Un d(*s 
savants français cjui ont le plus approfondi l'ccuvre de Maxwell 
me disait un jour : (f U\ compi'ends tout dans son livre, excepté 
ce (pie c'est qu'une boule éU^ctrisée. n Aussi ai-je cru devoir 



X INTRODUCTION 

insister assez longuement sur cette partie de la science. Je ne 
voulais pas conserver à la définition du déplacement électrique 
cette sorte d'indétermination qui est la cause de toutes ses obscu- 
rités; je ne voulais pas non plus, en précisant la pensée de Fau- 
teur, la dépasser et par conséquent la trahir. 

J'ai pris le parti d'exposer successivement deux théories com- 
plètes, mais entièrement différentes. J'espère que le lecteur dis- 
tinguera ainsi sans peine ce qu'il y a de commun a ces deux 
théories et par conséquent ce qu'elles contiennent d'essentiel. Il 
sera averti en outre qu'aucune des deux ne représente le fond des 
choses. Dans la première j'admets l'existence de deux fluides, 
électricité et fluide inducteur, qui peuvent être aussi utiles que 
les deux fluides de Coulomb, mais qui n'ont pas plus de réalité 
objective. De même l'hypothèse de la constitution cellulaire des 
diélectriques^ n'est destinée qu'à faire mieux comprendre l'idée 
de Maxwell en la rapprochant des idées qui nous sont plus 
familières. En agissant ainsi, je n'ajoute rien à la pensé(^ de 
l'auteur anglais et je n'en retranche rien non plus ; car il importe 
d'observer que Maxwell n'a jamais regarde « what we may call 
an electric displacement » comme un véritable mouvemc^it d'une 
véritable matière. 

Je suis très reconnaissant à M. Blondin qui a bien voulu 
recueillir et rédiger les leçons que j'ai professées pendant le 
semestre d'été de 1888, ainsi qu'il l'avait déjà fait pour celles 
que j'avais consacrées à l'optique physique. 



PREMIKIIE PAKTIE 



LES i:rii:()iiiES de Maxwell 



Tlir:()lUK KLK(:TIl().\LV(iNKTlQUE Ï)K LA LUMIÈRE 



CHAPITRE PREMIER 



F 11 M u 1. 1^ S 1)1^: I / f^: L 1^: c t ïi o s t a t i () u e 



1. — Avant (r(uilr('pr(;n(lr<' Tcxposr des i(lé(\s de CAin'k Maxwell 
sur rôlccU'icIlr, nous conuiicnccrons |)ar résiirncir rapidement 
les hypolhèses londanienlales <I<'s théories aetinilleinent en usage 
et nous ra|)[)ell(M'ons les théorè!n<^s fi;énér*aux de l'électricité 
stati({U(^, en introduisant dans les fonnuh^s les notations de 
Maxw<^ll. 

2. Théorie des deux Jtluîdes, — Dans la l,héoi'i(ï des deu-v 
jliùdes^ l(^s corps <[ui ne sont pas éleetrisés, <mi (Tauti'es ternies, 
([ui sont il r(''lat nenlr<^ sont su[)posés cliargés d<'- (piantités 
égales d'électi'icité positive et (rélectr'i<rité négativ<^ On adni<Mi 
(ni outiM^ ([ue ces (piantilc's sont assez grand(^s pour' (pi'aueun [pro- 
cédé (Télectrisation ne |)e»'nn*tte d^Mdfn'ei' \\ iiit corj>s tout(^ son 
électricit(' de Tune ou Tauti-e (*s|)^c<^ 

3. — - Des expériences de ('oulonil) et de la délinition d<.'s 
(piantilés d'él(M'tricit(% il résulte (|ue (i<Mix cor'ps placés dans l'air 
et (diargés de <piaiilités /// et m' d\dectr'icllé, exer<^ent entr(^ (urx 
une forcer doniu'e par Texpi-ession 



(0 



V 



funv 



où /' désio:n( 

o 



distanc(i d(^s d(Mix coi'[)s éleetrisés, supposée 
très grandes pai' rapport aux dimensions d(^ ces corps. Hue valeur 
négative de I^' indicjm^ un(i répulsion entre les corps ; à une va- 



4 FORMULES DE L'ELECTROSTATIQUE 

leur positive correspond une force attractive, f est un coefficient 
numérique dont la valeur dépend de l'unité adoptée pour la 
mesure des quantités d'électricité. 

4. Théorie du ûuide unique. — Dans la théorie du fluide 
unique, a laquelle se rattache la théorie de Maxwell, un corps à 
Tétat neutre est supposé contenir une certaine quantité d'élec- 
tricité positive. Quand un corps contient une quantité d'électricité 
positive plus grande que cette charge normale, il est dit chargé 
positivement ; dans le cas contraire , il est chargé négative- 
ment. 

Pour expliquer dans cette théorie les attractions et les répul- 
sions électriques, on admet que les molécules d'électricité se 
repoussent, que les molécules de matière se repoussent égale- 
ment, tandis qu'il y a au contraire attraction entre les molécules 
d'électricité et les molécules de matière. Ces attractions et ces 
répulsions sont d'ailleurs supposées s'exercer suivant la droite 
qui joint les molécules et en raison inverse du carré de la dis- 
tance. 

Dans ces conditions, la quantité d'électricité positive contenue 
dans un corps à l'état neutre, doit être telle que la répulsion 
qu'elle exerce sur une molécule électrique extérieure au corps 
soit égale à l'attraction exercée sur cette molécule par la matière 
du corps. 

5. Expression de la force électrique dans la théorie du 
fluide unique. — Les forces qui agissent entre deux corps élec- 
trisés sont alors au nombre de quatre : celle qui s'exerce entre les 
charges électriques^, la répulsion de la matière qui constitue les 
corps, enfin les deux attractions qui ont lieu entre l'électricité 
qui charge l'un des corps et la matière qui forme l'autre. Si 
nous désignons par 7* la dislance qui sépare les corps, par jjl 
et p.' leurs charges électriques respectives, et par v et V leurs 
masses matérielles, nous aurons : 

Pour la force s'exerçant entre les masses matérielles. 



THÉORIE DU FLUIDE UNIQUE 

pour les attractions entre l'électricité et la matière, 






pour la répulsion entre les charges électriques, 



La résultante de ces forces sera 



■ cfW + ? (v[a' + v'ij.) — yiii. 



ou 



(=)F=-^[.(.-f)(,-f)+w(,-il)]. 

Telle est l'expression générale clc la force qui s'exerce entre 
deux corps électrisés. Cette force doit se réduire à l'attraction 
newtonlcnne, quand les corps considérés sont a l'état neutre. 
C'est ce qui aura lieu si la charge normale d'un corps à l'éiat 

neutre a pour valeur — ^ et si, puisque la force doit être attrac- 
T 

tivCj on a a <-^ • 



6. — Si nous désignons par /?i l'excès de charge d'un conduc- 
teur élcctj'isé sur sa cliarge normale li l'état neutre, la formule {'2) 
devient 

r = — r — :^ h "^ a 



1 / ^'^ 



Elle se réduit à la formule (i) quand on laisse de coté l'attrac- 
tion newtonicnne. La théorie du fluide unique conduit donc 
pour les attractions et Jes lépulsions électriques à la même 
expression que la théoi'ie des deux fluides. Toutes les consé- 
quences de la formule ( r) subsistent par conséquent dans la théorie 
du fluide unique. 



6 FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 

1. Unité électrostatique de quantité. — Par le choix d'une 
unité convenable de quantité d'électricité, on peut faire en sorte 
que le coefficient numérique f de la formule (i) devienne égal 
à I. L'unité de quantité ainsi choisie est V unité électrostatique 
de quantité d' électricité ; c'est la quantité d'électricité qui, agis- 
sant sur une quantité égale placée àajis Vair à l'unité de distance, 
exerce sur elle une force égale à l'unité de force. 

On a alors pour la valeur de la force qui s'exerce entre deux 
masses électi^ques m et vt! placées dans l'air à une distance /•, 

(3) F==— ^. 



8. JPotentieL Composantes de la force électrique. — On 
appelle potentiel en un point, le travail de la force électrique 
agissant sur l'unité d' électricité positive quand celle-ci ça du point 
considéré à V infini. 

Dans le cas particulier où les masses électriques sont distri- 
buées dans l'air, le potentiel a pour valeur \ — '~ , /-. étant la dis- 
tance du point considéré a la masse m.; et la sommation s'étendanl 
à toutes les masses électriques du champ. 

Nous désignerons par A le potentiel en un point P, pour nous 
conformer aux notations de Maxwell. 

Si en P se trouve une masse électrique égale à m' , les compo- 
santes suivant trois axes de coordonnées de la résultante des 
actions électrostatiques qui s'exercent sur P, sont, 

/ d'h , d'I , d6 

a:r , df/ dz 

9. — Si on suppose le point P à Tintérieiir d'un conducteur 
homogène et en écpilibre électrique la résultante des actions 
électrostatiques qui s'exercent sur ce point doit être nulle, car 
autrement l'écjuilibre serait détruit. Les dérivées partielles du 

. . , 4 d'h d'I 
potentiel, -— ., — ^- , --i- sont donc nulles ; par surte le poten- 
tiel est constant à l'intérieur du conducteur. 



FLUX DE FORCE. ■— THÉORÈME DE GAUSS 

10. JPiizx de force. — Considérons un élément c 
cho et par un point G (fig. i) de cet élément menons 1: 
normale GN dans un sens quelconque que nous prendrons 
sens positif. Une masse d'électricité égale à 
l'unité située en ce point sera soumise à une 
force GF dont la projection sur GN a pour 
expression 



dx 



djj 



d^ 




'i étant le potentiel en G, et a, ji, y les cosinus directeurs 
demi-normale GN. Cette expression peut encore s'écrire 

du 

dn désignant une longueur infiniment petite GG^ portée dan^. 
le sens positif de la normale et d^h la variation du potentiel quand 
on passe du point Cx au point G^ 
Le produit 

d'I 



dn 



diù 



de cette force par l'élément de surface r/co est ce que nous 
appellerons le /Iilt de force à Ircn^ers Vêlement r/co. hi} flux de 
force à travers une surface finie sera la valeur de Tintégrale 



d^ 
dn 



dio 



étendue à tons les éléments de la surface. 



11. Théorème de Gauss. — Lorsque la surface est fermée la 
valeur absolue de cette intégrale est 47tM, M désignant la quantité 
totale d'électricité libre contenue à l'intérieur de la surface ; 
quant au signe il dépend du choix de la direction positive de la 
normale. Si l'on convient de prendre pour direction positive de 
la normale en un point de la surface celle qui est extérieure à la 



8 FORMULES DE L'ÉLECTROSTATIQUE 

surface, le flux a pour valeur 4'^M ; on dit alors que le flux 6^07'^de 
la surface. On peut donc énoncer le théorème suivant : 

Le flux de force qui sort d'une surface fermée à V intérieur 
de laquelle se trouve une quantité d' électricité libre M est égal' 
à + 47wM. 

12. Relation de F* ois s on. — .11 existe entre la densité élec- 
trique cubique p en un point d'un corps élcctrisé et les dérivées 
secondes du potentiel en ce point une relation importante due 
à Poisson. Elle s'obtient très simplement en écrivant que, d'après 
le théorème précédent, le flux de force qui entre à travers un 
parallélipipède rectangle infiniment petit, de cotés dx, dy , d.z, 
contenant le point considéré est égal à — 4"^? ^•^' ^^V ^^^" ^^^ *^ 
alors 

d'^l d'à dVj 
-^^ + 7^ + ^=-^"?- 

Maxwell désigne le premier membre de cette relation par 
— A^'i, notation qui se rattache à la théorie des quaternions dont 
Maxwell fait d'ailleurs un usage constant. Nous continuerons à 
désigner cette somme de dérivées secondes par la notation habi- 
tuelle A'i. 

Le potentiel étant constant à l'intérieur d'un conducteur, on 
a A'|==o et par suite, d'après la relation de Poisson, p = o. A 
l'intérieur d\in conducteur, il n'y a donc pas d'électricité libre. 

Une autre conséquence de la relation de Poisson est qu'en 
tout point du diélectrique où il n'y a pas d'électricité libre on 
a A'L = o. Par conséquent, le potentiel est une fonction cons- 
tante à l'intérieur d'un conducteur, tendant vers zéro à l'infini 
et telle que l'on a A»!/ = o en tout point non électrisé d'un dié- 
lectrique. 

13. Flux d'induction. — Lorsque le diélectrique qui sépare 
les conducteurs est un corps autre que l'air, les phénomènes 
électriques mesurables changent de valeur. Aussi a-t-on été 
conduit à introduire dans les formules un facteur que l'on appelle 
pouvoir inducteur spécifique du. diélectrique. Maxwell le désiguc 
par K. 



POTENTIEL DU A UNE SPHÈRE ÉLECTRJSÉE 

Le produit du flux de force élémentaire par ce facteu 
nommé flux d'induction. 

Le jlîtx d'induction à traders une suj-face finie est la valeii 
l'intégrale 

an 



étendue à tous les éléments de la surface. Quand la surfac 
fermée nous admettrons (ce que Texpérience confirme) q 
valeur de cette intégrale est ~\- ^r^ M, la direction positive 
normale étant extérieure à la surface. Dans le cas où le p 
inducteur spécifique est constant on a 



—±- du) -~ At, m. 
an 



14. Potentiel d'une sphère èlectrisèe en un point extérieur.— 
La considération du (lux de force permet de trouver facilement la 
valeur en un point P (flg. :>.) du poten- 
tiel rcsultarvt d'une sph<'ro conductrice, \^ 
clectriscc S placée dans l'air. On trouve \ 

M , , , , . 1 s 

pour cctle valeur — , Al désignant la 




charge do la sphri'e et /■ la distance 

du point au c(miIi'(' d('. la s[)liri'e. De / 

même la considération du llux d'indue- / 

tion doiuH^ la valeur du pot(^ntiel en I* 

(juand la splicre est placé('. dans un 

<liélectri(pie hom()g('n(i dont 1<; pouvoir inducteur spccilique 

est K. 

Du centre () cîe la sjdîcrc vt avec nn rayon égal <à OP décrivons 
un<' sphère S'. Par raison de syniéli'ie, le [)()tentiel a la même va- 
leui* en tout point de S'; par suil(% 

d'b _ d6 
(in (Ir 



10 FORMULES DE VÉLECTROSTATIQUE 

est constant sur cette surface. On a donc pour le flux d'induction 
à travers S^ 

I — K -y^ a Cl) = — K ~~ I rao =: — K — -— ù^T.r- . 
I an dr j ar 



La surface étant fermée le flux d'induction est éo^al à iTiM. Par 
conséquent nous avons 

dr 



ou 



et par suite 






ï M 

<h - 



K 



la constante d'intégration étant nulle puisque le potentiel a pour 
valeur zéro quand /' est infini. 

Le potentiel en un point d'un diélectrique de pouvoir induc- 
teur spécifique K est donc, dans le cas d'une sphère, égal au 
f[uoticnt par K de la valeur qu'aurait eue le potentiel en ce polnl 
si le diélectrique eut été l'air. 11 en est encore ainsi si, au Heu 
d'une sphère conductrice élecLrlsée, le. chain|) éh*ctrl([ue est 
constitué par des masses électrupies quelconques. 

15. Uhmaiiquhs. — Cetle consé([uenc(^ nous pei met de tr()uv<'r 
l'expression de la force qui s'exerce entre deux molécules éhn-- 
triques A et A^ de niasses ?}i et /;/■ situées dans un diéhuîtricpu' 
homogène, l^^n ellet, soit 6 la valeur du potentiel au point où s<' 
trouve placée la niasse /}i\ La lorce électri([ue cjui s'(^\erce sur 

cette masse est — Di^ —r~, /' désin;nantla distancer des chnix moh'^- 
dr ^ 

cules sLq)posées seules dans le champ. Or si le diéh^-tricpie était 
l'air, le potentiel au point A^ serait — ; sa valeur dans un diéhic- 
trique de pouvoir inducteur spécifique K est donc, d'après ce qui 



EXTENSION DE LA RELATION DE POISSON 

précède, -z-^ et la denvee de cette quantité est ~ — - 

^ K ;• ^ Iv 7- 

suite, nous obtenons pour la force électrique 

, (Il 



o 



ctr K /•- ' 

elle est la K^' partie de la force qui s'exercerait entre les mèn 
masses électriques situées clans l'air. 

La relation qui existe entre les valeurs que prend le 
en un même point suivant que le diélectrique est Pair 
autre corps, permet de savoir comment doivent varier le 
avec le diélectrique pour que le potentiel en un point c», 
la même valeur quel que soit le diélectrique. Il est en 
évident que, puisque pour des charges identiques le potentlu 
trouve divisé par K, il faut, pour avoir le môme potentiel en 
point, que les charges situées dans le diélcctri([ue de pouA. 
inducteur K soient K fois plus grandes que dans l'air. 

Si donc nous considérons deux petites sphères électrlsées et 
que nous mainlenions constante la diderencc de potentiel entre 
ces deux sphères, raUraction qui s'exercera entre elles sera pro- 
portionuelle au pouvoir inducteur du diélectrique qui les sépare. 
I^^n edet, les poLenLiels étant constants les charges m et /;// des deux 
sph(M"es seront en raison directe d(^ K et lattraction doit être 

,, , nim! 
proportionnone a —y; — 

Ainsi Callrciciioii èleclrostatique varie en raison direcle de K 
,s7* re sont les po/en/ie/s ////'on nKiintient cons(/tnts, cl en raison 
inverse de K ,s'/ ce sonJ les clicirs^es (ji/i denie//ren( conslanles. 

16. Extension de la relation de Poisson. — C.omme nous 
l'avons dit, la relation de Poisson s'ohtient en écrivant (|ue lellux 
de force ([ui entr(^ à travers U^s laec^scriui [)arallélipipèdc rectangle 
est égal il — /i7zpd.vd//dz. Le Ihix d'induction à travers une surlace 
fermée étant égal il -|- /[TtM, comme le. Hux d(^ force ii travers 
cette siu'lace, nous ti'ouverons uru* rc^lation analogue il celle de 
Poisson en écrivant cpu^ lo llux d'induction (jui entre à travers les 
faces d'un parallélipipède élémentaire est égal ii — ^izpd,rd(/d.z. 

Nous pouvons d'ailleurs arriver très simplement Ix cette rela- 
tion en nous servant du Icmme ([ul sert ordinairement ii la 



12 FORMULES DE IJ É LE CTRO STATIQUE 

démonstration du théorème de Green, lemme exprimé analyti- 
quement par l'égalité 

dans laquelle la première intégrale est étendue à une surface 
fermée et la seconde au volume limité par cette surface, a dési- 
gnant le cosinus de l'angle formé par l'axe des x et la normale 
à l'élément <fco de la surlace et F une fonction quelconque, mais 
continue, des coordonnées. 

Appliquons ce lemme à l'intégrale du flux d'induction à travers 
une surface fermée. 



-f-^i4. 



_Kf .„=/ -K(.J+?f +.§),<... ==4.M. 



Nous avons 



■ cil , l (l .r d'h 

dx I dx d.v 






,, d'h , i d ., dà 



et en ajoutant 



f \ dx dx dj/ dij dz dz j 

Si nous désignons par o la densité cubiciuc en cIkkiiic point, 
nous avons 



\ 



EXTENSION DE LA RELATION DE POISSON i^ 

et par suite, 

// d ^^ d'h , d T. d'I d ^, d6\ , r . 

Cette égalité ayant lieu quel que soit le volume considéi"' 
sera vraie pour un volume infiniment petit ; nous ol 
donc 

Dans le cas particulier où le diélectrique est homogène 
à-dire dans le cas où K ne dépend pas des coordonnées, * 
relation se réduit à 

jLd dx dx ' ^ ' 



CHAPITRE il 

THÉORIE DU DÉPLAGEMENÏ ÉLECTRIQUE J3E MAXWELL 



n. Fluide inducteur. — La caractéristique de la théorie clc 
Maxwell est le rôle prépondérant qu'y jouent les diélectriques. 
Maxwell suppose toute la matière des diélectriques occupée pijr 
un fluide élastique hypothétique, analogue à Vélher qui, en 
Optique, est supposé remplir les corps transparents ; il rappelle 
èlectricilé. Nous verrons par la suite la raison de cette dénomi- 
nation ; mais comme elle peut introduire dans l'esprit une 
confusion regrettable pour la clarté de l'exposition, nous donne- 
rons le nom de fluide inducteur à ce fluide hypothétique, con- 
servant au mot èleclricilé sa signification habituelle. 

Quand tous les conducteurs situés dans le diélectrique sont ii 
l'état neutre le fluide inducteur est en èiiuilibre normcil. QuancL 
au contraire, ces conducteurs sont électrisés et ([U(^ leur système 
est dans l'état que Ton définit dans la théorie ordinair(^ en disant 
cpie le système est en équilil)re ékH.vtri([ue, le Ihiich*. inducteur 
prend un nouvel état d'é([uilibre ([ue Maxwell aj)pelle ccjuiUhre 
contraint. 

18. Déplacement électrique. — Lorsqu'une molécule dulluide 
inducteur est dérangée de sa position d'écjuilibre noi'mal , 
Maxwell dit qu'il y a dêplaeeinent ètectfiquc. Les conq)()santes 
du déplacement sont les accroissements des coordonnées de; la 
molécule ; il les désigne par les lettres/*, g, li, et il admet qu'elles 
ont respectivement pour valeurs : 

T^ ^ .r d^ ,. d^h 



^r. ' ^ 4^ ' "- 4^ 



INCOMPRESSIBILITÉ DU FLUIDE INDUCTEUR 

Il résulte de cette hypothèse, dont nous verrons ForiginiN <^ 
relations entre les composantes du déplacement et la (juaiiH 
d'électricité libre contenue à l'intérieur d'une surlVice i<^rnirr «• 
d'autre part, entre les dérivées de ces composantes cl la <hmisi 
électrique en un point. 

En" effet, si nous portons les valeurs des dérivées pa!*tïi*ll 
dei, tirées des relations (i), dans l'expression du flux <rîii<Iii<'t h 
à travers une surface fermée, 

nous obtenons 

ex, [j, y désignant toujours les cosinus directeurs <!<»< la noriu;tl«' 
extérieure. 

En second lieu, si nous portons ces valeurs dans la r«»htiîi»ît 
de ]\)isson étendue au cas d'un diélectrique (|u<^l<^(>fi<|u«% iitut* 
avons 

[.\) ^ + ^ + :^,p. 

((a; dij dz ' 

19. Incompressibilité du fluide inducteux^ et de rôlaairivitt^ 
— L'étude (les c()nsé(ju(Mic(*s de ces relations conduit a rr^^iid» ï 
le lluide inducteur et l'électricité connue deux fluîcl<-s im oui 
pressil)l(*s. 

D'abord, d(* l'hypolbèse de Maxwell sur la valcMir drs «'ohiihi 
sautes du dé[)lacenuMrt eu un point, il résult<^ itu uu'Mlia I ««UM'it I iiii* 
si l'électricilé est en niouvenuMit le lluid(^ in(luc^l<Mir %- <»%{ ;iu^.' i 
Vax (\{\\\\., si nous niodillons les cliarf^^-es électri<[ues d<»s ctMiftui 
leurs placés à l'Intérieur d'un diélectricjuc^, nous laisoiis \aii«î 
en niônie tejn[)s la valeur du potentiel 'i (ui un poiul qiudriHiinit 
du diélectricpu', et, par consécpient les vabuu-s /', ^\ /i d<*H riuii 
posantes du déplacenuuit électiicpu^ (pu souL doiuuM's par |i 
relations fi). 



.16 THEORIE DU DEPLACEMENT ELECTRIQUE DE MAXWELL 

20. — Cela posé, considérons une surface fermée dont l'inté- 
rieur est occupé par un diélectrique homogène et par des con- 
ducteurs en équilibre électrique possédant une charge totale M. 
Donnons à cette charge un accroissement rfM et supposons que 
le système des conducteurs soit encore en équilibi^e électrique. 
Le fluide inducteur passe d'un état d'équilibre contraint à un 
second état d'équilibre contraint et pendant ce passage il y a 
déplacement de chacune de ses molécules puisqu'il y a mouve- 
ment de l'électricité. Cherchons la quantité de ce fluide qui a 
traversé la surface fermée. Si dt est le temps infiniment petit i 

pendant lequel s'est efTectué le passage de l'état initial du sys- 
tème à l'état final, la quantité de fluide inducteur qui est sortie ^ 
par un élément do) de la surface est 

dq = dtùdtY^^^ 

Yn étant la projection de la vitesse du déplacement sur la normale 
extérieure à la surface fermée. La quantité de fluide inducteur 
qui sort de la surface est donc, pendant le môme temps, 



dq_^dtfYjo). 



Mais puisque /', g^ h désignent les composantes du déplacc- 

df di>' dit T 1 1 • 

ment, —-, —t-j — r~ sont les composantes de la vitesse, et par 
' dt dt dt ^ ^ 

suite la composante normale V^ a pour valeur 

dt ^' dt ^^ dt 

Portons cette expression dans celle de (t/Q, nous ol^ienons 



L'intégrale du second membre de cette égalité n'est autre cliose 
que la dérivée par rapport au temps du premier membre de la 
relation (a). Nous avons donc 

cKl^dt^^d'Sl, 
^ dt ' 




ELASTICITE DU FLUIDE INDUCTEUR 



1.7 



c'est-a-cllre que la quantité de fluide inducteur qui sort de la 
surface est égale à la quantité d'électricité qui y entre. Tout se 
passe donc comme si Télectricité chassait le fluide inducteur, ou 
en d'autres termes, comme si le fluide inducteur et l'électricité 
étaient deux fluides incompressibles. 

21. — Remarquons d'ailleurs que l'incompressibilité du fluide 
inducteur pouvait se déduire immédiatement de la relation (3). 
Cette relation devient, quand on considère un point du fluide 
inducteur contenu dans un diélectrique à Tétat neutre, 

clli 



df , d^ 

dx. ^ dy ^ dz 



Son premier membre n'est autre que la quantité que nous avons 
désignée par 6 dans un autre ouvrage (^) et nous avons démontré 
que la condition 6 = o exprimait l'incompressibilité du fluide. 

22. Image de l'effet de F élasticité du fluide inducteur, — 

Considérons d'une part deux conducteurs A ctB (fîg.3) réunis entre 




lug. 3. 

eux par un fil métallique portant un commutateur C et par un 
second fil sur le trajet duquel se trouvent une pile P et un com- 
mutateur D. l^renons d'autre part deux récipients fermés A^ et iV 
renfermant de l'eau et de l'air et réunis entre eux par un canal 
de communication portant un robinet C^ et par un autre canal 
sur le trajet duquel se trouvent une pompe P^ et un robinet D^ 
Supposons maintenant que les conducteurs A et B étant à 
l'état neutre on ouvre le commutateur C et qu'on lermc le com- 
mutateur D : il s'établit un courant de courte durée dans le 



(') Voir Tlicorle înathéniatiquc de la Lumière ^ p. 2.) et 26. 
PoixcAKÉ. Elcctficilc et Optique. 



M- 



i8 THÉORIE DU DEPLACEMENT ELECTRIQUE DE MAXWELL 

fil ADB et bientôt nous avons un état d'équilibre électrique 
dans lequel les conducteurs sont chargés d'électricités de noms 
contraires, A positivement par exemple, et B négativement. Si 
alors nous ouvrons le commutateur D et fermons le commu- 
tateur C, les deux électricités des conducteurs se recombinent 
à travers le fd ACD et ces conducteurs reviennent à l'état 
neutre. 

23. — Pour comprendre le rôle que joue le fluide inducteur dans 
cette expérience, examinons ce qui se passe dans le système des 
deux vases A'' et B^ quand on fait jouer la pompe et qu'on établit 
avec les robinets C et D^ les communications que nous établis- \ 

sions précédemment avec les commutateurs C et ]). Supposons 
que les niveaux de l'eau dans les vases soient dans un même 
plan horizontal, fermons le robiuct (y, ouvrons le rol)inet lY et 
faisons marcher la pompe ; l'eau passe d'un vase à l'autre, du 
vase B'' au vase A'' par exemple. Il en résulte une diminution d(ï 
la force élastique de l'air de B^ et une augmentation de celle de 
l'air de A^ Si nous fermons le rolnnet D^ et si nous ouvrons en 
môme temps C/, la diflerence des forces éhistiques de l'air dans 
les deux récipients fait repasser l'eau de A^ dans \V jusqu'il ce que 
les niveaux soient revenus dans le même plan lioi'izonlal. be 
système est donc revenu dans son état inilial comme cbuis l'ex- 
périence électrique et nous pouvons l'cgarder Teau comme repré- 
sentant matériellement le (hiide électri(|ue ; l'accroissement du 
volume de l'eau dans A^ et la diminution dans IV (|ui résult<'nt de 
la première phase de l'expérience hydrostaticpie r(q)rés(^nler()nl 
les charges positive et négative des conducteurs A et l^ cbnis la 
phase correspondante de l'expérience ék>ctri([ue. (]uant à l'air, 
le rôle (ju'il remplit par suite de sa loi'ce élasti(jin» peut éliw^ 
assimilé au rôle ([ue joue le lluide inducteur élasti([U(* dans 
l'expérience électrique. C'est donc l'élasticité du lbii(b' in(hicleui' 
contenu dans l'air qui sé|)are les conducteurs (^t d<q)lac('' par b's 
charges de ces conducteurs cpii est la cause de la combinaison d<^ 
ces charges. 

Ajoutons immédiatement (|ue, ])ien (pie cette image hydi'osla- 
tique nous fasse concevoir la manière dont se compoi'te le lluide 
inducteur dans la théorie de Maxwell, elle ne peut pas élre 



TOUT COURANT EST UN COURANT FERME 19 

poussée trop loin car le niilde inducteur est incompressible, 
propriété dont ne jouit pas Tair auquel nous l'avons comparé. 
Cette image n'est donc utile que pour faire comprendre reflet de 
Tune des propriétés de ce fluide : son élasticité. 

24. Tout courant est un courant fermé, — Le rôle prépondé- 
rant attribué par Maxwell aux diélectriques, qui dans la théorie 
ordinaire jouent un rôle passif, n'est pas la seule différence qui 
existe entre cette dernière théorie et celle de Maxwell. Une 
autre différence provient de la nature des courants. 

Dans la théorie ordinaire on admet l'existence de deux -— '*^-" 
de courants : les courants fermés^ en général permanents, 
courants ouverts, en général instantanés, qui cessent quand ] 
reOet de la charge il se produit une diflérence de potentiel ég 
il la force électromotrice de la source électrique. Ces coura 
ouverts se produisent lorsque, par exemple, on met les p( 
d'une pile en communication avec deux conducteurs ou avec 
deux armatures d'un condensateur. 

Dans la nouvelle théorie il ne peut y avoir que des courants 
fermés. En eiVct, considérons le courant ouvert ([ui prend nais- 
sance quand nous mettons les pôles d'une pile en communi- 
cation avec deux conducteurs isolés A et 1^. \a'. couducteur qui, 
en adoptant le langag<^ de la tli(''<)ri(* ordinaire, se chai'gc! positi- 
venuMit, doit pr(Muh'e, d'après la théories do iMax\v(dJ, une (|uan- 
til<' de fluide élocti'ique plus graïuh^ ([U(i C(dle ((u'il possède à 
Tétat neutre. Dans TautiM^ conducteur, au coiitraii'e, la ([uantilé 
<le lluide électricjue doit diminuer. ]\hn"s le fluid(^ ('d(H'ti*i([U(^ étant 
ineonvpressii)le, sa densité diMuenre constante et on ne- peut con- 
cevoir ([u'il V ait condensation d(i ce lluide en un point et raré- 
faction en un autre. Pour concilier cette consé(pienc(^ de l'incom- 
pressibilité (lu llui(h^ électri(|in^ avec \c fait expérimental de 
l'i^xistence du courant, Maxwell fait intervenir Je lluide induct(Hir 
qui remplit lo diélectri([ue isolant les deux conducteurs: le lluide 
électri(|ue sort de l'un des conducteurs, déplace le lluide induc- 
teur du diéhuîtrique et fait rentrer dans l'autre conducteur une 
quantité de fluide inducteur égale ii la quantité de lluide élec- 
tri([ue sortie du premier, il y a donc iermeture du courant à 
travers le diéleclricpie et comme les molécules du lluide indue- 



20 THÉORIE DU DEPLACEMENT ELECTRIQUE DE MAXWELL 

tcur se déplacent suivant les lignes de force, ainsi qu'il résulte 
immédiatement des équations (i) qui définissent les compo- 
santes du déplacement, nous pouvons dire que les courants 
ouverts de la théorie ordinaire se ferment, dans la théorie de 
Maxwell, suivant les lignes de force du diélectrique. 

Les courants instantanés qui prennent naissance dans la 
charge ou la décharge d'un condensateur peuvent être également 
considérés comme se fermant à travers le diélectrique qui sépare 
les armatures. Dans la théorie de Maxwell nous n'avons donc que 
des courants fermés. 

25. — Ces déplacements du fluide électrique et du fluide 
inducteur dans le cas d'un courant instantané peuvent être maté- 
rialisés par une image hydrostatique. Il suffit de remplacer l'air 
et l'eau que nous avons pris précédemment par de l'eau et du 
mercure. Dans ces conditions si après avoir fermé le roljinet il' 
(fig. 3) et ouvert le robinet D^, nous faisons jouer la pompe, nous 
ne pouvons faire passer le mercure d'un vase dans l'autre, ces 
vases étant remplis par deux fluides incompressibles. Le passage 
du mercure ne peut avoir lieu que si nous supposons les parties 
supérieures des deux vases reliées par un canal permettant à 
l'eau de passer en sens contraire. Le mercure est alors l'image 
du fluide électri({ue, l'eau celle du fluide inducteur et le canal de 
communication peut être assimilé à un tube de force du diélec 
trique. 

26. Courants de conduction et courants de déplacement. — 
Les courants fermés qui ont lieu à travers un circuit conducteur 
sont appelés courants de rond/iclion ; les courants résultant du 
déplacement du fluide inducteur, sont nommés couranls de dèpla- 
cement. Lorsque dans un même circuit fermé nous aurons ii hi 
fois des courants de conduction et des courants de déplacement, 
ce circuit ne sera autre qu'un circuit ouvert de la th(U)r'le ordi- 
naire. Mais outre ces circuits et ceux ([ui ne comprennent (]uc 
des courants de conduction, les seuls que l'on considère dans la 
théorie ordinaire, nous rencontrerons dans la théorie de Maxwell 
des circuits fermés comprenant uniquement des courants de 
déplacement; ces derniers circuits joueront un rôle c()nsidéral)le 
dans l'explication des phénomènes lumineux. 



ENERGIE POTENTIELLE D'UN SYSTEME ÉLECTRISÉ 'ii 

Les courants de conduction étant ceux qui se produisent dans 
les circuits bons conducteurs, ils doivent nécessairement obéir, 
pour être d'accord avec l'expérience, aux lois de Ohm, de Joule, 
à celle d'Ampère sur les actions mutuelles de deux éléments de 
courants et aux lois de l'induction. Quant aux courants de dépla- 
cement nous ne savons rien sur les lois auxquelles ils obéissent; 
le champ est donc ouvert aux hypothèses. Maxwell admet qu'ils 
obéissent à la loi d'Ampère et aux lois de l'induction mais que 
les lois de Ohm et de Joule ne leur sont pas ajDplicables, ces 
courants ne rencontrant a leur établissement d'autre résistance 
que celle qui résulte de l'élasticité du fluide inducteur, résis- 
tance de nature tout à fait différente de celle de la résistance des 
conducteurs. 

27. Énergie potentielle d'un système èlectrisè. — Considé- 
rons un système de conducteurs chargés d'électricité positive et 
d'électricité négative. Ces charges représentent une certaine éner- 
gie potentielle. Dans la théorie ordinaire cette énergie potentielle 
est due aux travaux des attractions et des répulsions qui s'exerceuf: 
entre les différentes masses électriques du système ; dans ^.. 
théorie de Maxwell, elle est due à l'éhisticité du fluide inducteur 
qui est dérangé de sa position d'équilibre normal. (](^ttc énergie, 
([ui est susceptil)le d'être nu'sui'ée, doit avoir dans les deux 
théoi'ies la même vahuir, et ])ai' conséquent les expressions qui 
per'mett(Mit d'eu calculer la vabuir (h)iv(Mil ùlvc identicpies. (Test 
en Caisant cette idenlilicatiou ([U(^ nous ti'ouv(M'ons de nouvelles 
propriétés du fluide inducteur. 

28. — Chei'chons d'ai)oi'd l'expression de l'énergie potentielle 
considérée comme l'ésultant d(*s travaux des forces attractives et 
des forces lépulsives. 

Soient (h un élément ([uelcon([ue de vol mue de l'espace .r, 7/ 
et z ses coordonnées et p la densité de l'électricité lii)re dans cet 
élément ; la quantité d'électricité contenue dans cet élément 
sera ^(h et les conq)osantes de la force électri([ue qui s'exerce 
sur cette ([uantité d'électricité seront : 

, d'b , d'h , d'h 



22 , THÉORIE DU DÉPLACEMENT ÉLECTRIQUE DE .MAXWELL 

Supposons qae la masse électrique contenue clans l'élément d-z 
se déplace cle façon que ses trois coordonnées subissent des 
accroissements 0x^02/^0.^, 

Le travail de la force électrique appliquée à cette masse élec- 
trique sera donc 

Le travail total des forces appliquées aux différentes masses 
électriques répandues dans tout l'pspace sera représenté par 
rîntégrale 

étendue à Tespace tout entier. 

Si donc nous appelons W l'énergie potentielle cherchée y 
raccroissement de cette énergie sera donnée par la formule : 



(4) 






29. — Mettons cette expression sous une autre forme et pour 
cela évaluons l'accroissement oo de la densité électri([iie à 
rintérieur de l'élément d'z dans ce déplacement. 

Considérons cet élément comme un parallélipipèdc rectangle 
dont les trois arêtes de longueur a, p, y soient respectivement 
parallèles aux trois axes de coordonnées de sorte ([ue c/t --^ a^y. 

La quantité d'électricité qui entrera dans ce parai lélipiprJe en 
passant à travers l'une des faces pei'pendiculaires ii rax(^ des x 
sera égale à 0, densité du (laide, nuiltiplié par o.^•, déplacement 
du fluide projeté sur l'axe des .r, et par [jy aire cle la (ace du 
pacallélipipède. 

Nous aurons donc pour l'expression de cette quantité d'éhn'- 
t ri ci té : 

La c^uantitc d'électricité qui entrera clans le parallélipipède (mï 
passant par la face opposée aura une expression analogue. Seu- 



ENERGIE POTENTIELLE D'UN SYSTÈME ÉLECTRISÉ ^3 

lement po.^: n'aura plus la même valeur, en effet p et S.r sont de 
fonctions de x, y et ^; or quand on passe d'une face à la lace oppo 
sée, X a augmenté d'une quantité très petite a et ^ox est devenu 

cl (oox) 



ÇjOX • 



dx 



La quantité d'électricité qui passe à travers cette seconde f: 
aura donc pour expression 



[ dipùx) "Iq 



Nous prenons le signe — parce que la normale intérie 
cette seconde face est dirigée vers les x négatifs. 

Ainsi la somme algébrique des masses électriques qui cnti 
ront dans le parallélipipcde en passant à travers les deux fac 
perpendiculaires à l'axe des x sera 

'^^P'^'^^") .rD.._ <pS;r) 



dx '^ ' dx 



(k. 



De même les masses électriques qui entreront en traversai 
d'une part les deux faces perpendiculaires à l'axe des y, d'autre 
part les deux faces perpendiculaires à Taxe des z seront respecti- 
vement : 

• ' r^^-^ d-Z ri VU..J„ (h^ 

dy dz 

Or' r/TOo n'est antt'e chose ([ue la somme d(^s masses électri([nes 
([ui entrent dans le parallélipiprde en passant à travers ses 
six ("aces, on a donc : 

^'^ ' dx dy dz. ' 

dette é([uati()n n'est antre (jue celle ([ui est connue en hydro- 
dynami([ue sous 1(^ nom d'é([uati()n de continuité. 

30. — Rappelons ({ue d'après un lemme dont nous avons déjà 
fait usage, on a 




24 



THÉORIE DU DÉPLACEMENT ELECTRIQUE DE MAXWELL 



F étant une fonction de ;r, /y, z et les intégrales étant étendues, 
la première a tous les éléments dto d'une surface fermée, la 
seconde à tous les éléments du volume limité par cette surface. 

Lorsque la fonction F est nulle à l'infini, la première intégrale 
étendue a la surface d'une sphère de rayon infini est nulle, chacun 
de ses éléments étant égal à zéro. 

On a donc pour une telle fonction 



dz=o. 




Dans le cas où F est un produit de deux fonctions n et ç, Tégalité 
précédente devient 




et nous en tirons 




nouvelle égalité qui va nous servir à transformer flW . 



31. — 11 vient en applicpiant celle règh^ à hi fonction '};po.r ([ui 
s'annule à l'infini puisque le poU^nliel 'L s'annule hii-nH^-mc^ à 
l'infini ; 



(1,1 ^ ^ 




}77^(?2.'/W-. 



ÉNERGIE POTENTIELLE DUN SYSTEME ÉLECTRISÉ 

OU en additionnant et tenant compte des équations (4) et (5) : 
ou, en vertu de l'équation de Poisson généralisée : 

En appliquant le môme lemme que tout à l'heure, il vient 



(i 






ou encore, en remarquant que le pouvoir inducteur K n'est pas 
altéré par les déplacements des masses électriques et par consé- 
quent que oK ==: o : 



=[i('<5)]-- -5 







Ou ol)tiendrail par symétrie deux autres équations analogues, et 
en les additionnant et divisant par — 4'^? <^i^ ti'ouverait : 






L'énergie potenliello du système u donc pour valeur 



/ 8- Zj V <(.T 



THÉORIE DU DÉPLACEMENT ELECTRIQUE DE MAXWELL 

constante crintégration étant nulle, puisque Ténergle poten- 
tielle doit être nulle quand tout l'espace est a l'état neutre, et 
que dans ce cas le potentiel en chaque point a la même valeur, 
zéro. 

32. — L'intégrale du second membre de l'expression (6) doit 
être étendue à tout l'espace, mais il revient au même de ne 
l'étendre qu'à l'espace occupé par le diélectrique, car les élé- 
ments de l'intégrale qui correspondent à des points situés à 
l'intérieur de sconducteurs sont nuls. En oJlet, en tout point d'un 
conducteur le potentiel a même valeur et par suite, ses dérivées 

•Il ^'«1^ f-^'\> «'^^ .1 n 

partielles ~~ , -—-: -— , sont également nulles. 
^ ax dy dz ^ 

Cette remarque permet de transformer l'expression (6). En 
tout point d'un diélectrique, nous avons d'après les hypolhèses 
de Maxwell, 

et en portant les valeurs des dérivées partielles du potentiel ^h, 
déduites de ces relations dans le second membre de (6), il vient 



W= i ^{P-\-i^-J^li^\d- 




Telle est l'énergie potentielle d'un système électrisé exprimée 
à l'aide des notations de Maxwell . 

33. — Cherchons maintenant l'expression de c(itt(^ énergie 
considérée comme résultant de la déformation du Ihiide induc- 
teur. 

Soient X^/t, Y<:/t, V^h les trois conrposant(^s de la forcer ([ul 
agit sur un élément d-z du (luide Inducteur l()t"S(j[ue C(^ (Inidi^ S(^ 
trouve en équilibre contraint par suite de la charge des conchic- 
teurs placés dans le diélectrique. Si les molécules électi'uiues 
qui composent le système subissent un déplacement iiilinlment 
petit, les composantes f\ s>\ h^ du déplacement de Télément d-z 
du fluide inducteur prennent des accroissements lf\ Ig, Zh. i.e 



ELASTICITE DU FLUIDE INDUCTEUR l-j 

travail élémentaire de la force qui s'exerce sur cet élément u 
pour valeur 

et le travail total sur tous les éléments du fluide inducteur est 

l'intégrale étant étendue à tout l'espace occupé par le 
trique. La variation de l'énergie potentielle du système 
diflere que par le signe de la variation du travail, est do 



oW = — |'(Xo/+Y%-+Zo//) ch. 



34. Élasticité du fluide inducteur. — L'identification 
cette expression avec la suivante 

0W= / Ç (f?,f^oog^h?J,)dT, 



déduite de l'égalité [y)^ nous donne pour les valeurs des compo- 
santes X, Y, X, 

X:^— —/, ^=- — — -, /-- ^ /i. 

Ces relations nous montrent (|ue les composaïUcs de la force 
([ui s'exerce sur un élément (h du (iuide inducteur sont propor- 
tionnelles aux composantes du déplacement électrique. La force 
élasticjue du lluide iiulucteur est donc dirigée suivant le déplace- 
ment et 1<^ rapport d(^ sa grandeur à celle du déplacement est égal 

à -— . Nous verrons plus tard (|ue dans le cas où le diélectri(|ue 

est un milieu ci'istallisé la force élasticjue n'esi, plus dirigée sui- 
vant le déplacement ; les conclusions précédentes ne s'appli- 
([uent qu'aux milieux cliélectricpies isotropes. 

35. — H est à peine besoin de faire remarquer combien l'élas- 
ticité du lluide inducteur est différente de l'élasticité des gaz ou 



28 THÉORIE DU DÉPLACEMENT ELECTRIQUE DE MAXWELL 

ether lumineux. Dans les gaz et clans Téther, l'énergie poten- 
tielle dépend seulement des positions relatives des molécules et 
non de leur position absolue dans Tespace ; par suite il n'y a 
pas réaction élastique quand un de ces fluides se déplace sans 
se déformer. Il en est tout autrement pour le fluide inducteur. 
Tout se passe comme si chacune des molécules de ce fluide était 
attirée proportionnellement à la distance par sa position d'équi- 
libre normal. Il résulterait de là que si l'on donnait à toutes ces 
molécules un même mouvement de translation sans que leur 
situation relative variât, l'élasticité n'en devrait pas moins entrer 
en jeu. Cette élasticité toute particulière que doit posséder le 
fluide inducteur paraît difficile à admettre. On ne conçoit pas 
comment le point mathématique où se trouve une molécule de 
fluide inducteur en équilibre normal, pourra agir sur cette 
molécule pour la ramener à sa position d'équilibre quand une 
cause électrique l'en aura déplacée. On concevrait plus Cacile- 
ment que ce sont les molécules matérielles du diélectrique qui 
agissent sur les molécules du fluide inducteur pénétrant le milieu 
pondérable. Mais cette hypothèse ne lèverait pas toutes les 
difficultés, car elle n'expliquerait pas l'élasticité du fluide induc- 
teur répandu dans le vide. En outre, l'action delà matière sur le 
fluide inducteur entraînerait l'existence d'une réaction de ce lluide 
sur la matière ; or, on n'a constaté aucune manifestation de cette 
réaction. 

36. — On pourrait encore supposer l'existence de deux Ihildes 
inducteurs se pénétrant et dont les niolécules de l'un agiraient 
sur les molécules de l'autre dès qu'elles seraient dérangées de 
leurs positions d'équilibre normal. Mais si cette hypothèse a 
l'avantage de ramener l'élasticité s])écîale au Ihiide inchicteur ii 
rélastlcité telle qu'on la conçoit ordinairement, elle a rinconvé- 
nient d'être plus compliquée que celle de l'existence d'un seul 
fluide. Aussi croyons-nous que l'hypothèse du Ihilde inducteur àe 
Maxwell n'est que transitoire et qu'elle sera remplacée par une 
autre plus logique dès que les progrès de la Science le permet- 
tront. On peut nous objecter que Maxwell n'a pas introduit cette 
hypothèse du fluide inducteur ; mais, comme nous l'avons dit 
au commencement de ce chapitre, si le mot n'est pas dans Fou- 



DISTRIBUTION ÉLECTRIQUE 29 

vrage de ce physicien^ la chose s'y trouve ; seulement ce que 
nous avons appelé fluide inducteur est désigné par le mot électri- 
cité ; dans le langage de Maxwell Télectricité des diélectriques 
est supposée élastique, tandis que l'électricité des conducteurs est 
supposée inerte. Ces propriétés différentes attribuées à deux 
fluides désignés par le même nom sont la cause du manque de 
clarté que présentent certains passages de l'ouvrage de Maxwell. 
C'est uniquement pour éviter cette obscurité que nous avons 
introduit le mot de fluide inducteur dans l'exposé des idées de 
Maxwell. 

37. Distribution électrique. — Pour achever de justifier les 
hypothèses de Maxwell, il nous faut maintenant montrer qu 
lois expérimentales de la distribution électrique en sont une c 
séquence nécessaire. 

Commençons par rappeler ces lois. On sait que cette distr 
tion ne dépend que d'une certaine fonction i, le potentiel, î 
jettie à diverses conditions. Dans toute l'étendue du diél'^'^* 
cette fonction 4 est continue ainsi que ses dérivées et sa 
la relation 

d ,, d'h d ,. d<b d ,^ dà 

a.r dx dij dy dz d.z 

en tout point d'un conducteur elle a une valeur constante, mais 
en un point de hi surface ses dérivées ne sont pas continues. 
Knfin cette fonction s'annule pour les points situés à l'infini. 
L'étude de la distribution électrique sur un conducteur conduit 
à iirtroduire une nouvelle ([uantlté, la densité électrique supcrii- 
oielle. Si nous désignons par q la (juanlité d'électricité répandue 
sur un élément de surface do), la relation de Poisson^ étendue au 
cas où le diélectrique est autre que l'air, donne 

I' '^'^ / 



/n 



La densitc superficielle—/- a donc pour expression 

4 7^ dn 



THÉORIE DU DÉPLACEMENT ÉLECTRIQUE DE MAXWELL 

Mais on peut supposer que la couche de fluide électrique répan- 
due a la surface a une densité constante et que son épaisseur est 
proportionnelle a <7 ; c'est a cette derùîère interprétation que 
nous nous attacherons. 



38. — Revenons à la théorie de Maxwell. Dans cette théorie 
nous avons deux fluides incompressihles, le fluide inducteur 
et le fluide électrique auxquels nous admettrons que Ton puisse 
appliquer les lois de Thydrostatique. On sait que si p est la 
pression en un point .r, y, z, d'un tel fluide, les trois compo- 
santes X, Y, Z, de la force élastique résultant du déplacement 
de ce point, ont pour valeurs 

dp dp 



dx 






<Jy 



Z: 



(/; 



Si nous désignons par 'h la pression eu un point du (laide in- 



ducteur, nous avons 



X = 






'lu 






INIais nous avons vu dans le paragraphe 34 que les composâmes 

de la force élastique sont égales aux produits des composantes 

1 1.1 4~ 
du déplacement par jr- 



Noas avons donc 






d'à 



K 



i 

dz 



/.r- 



h. 



De ces relations on déduit 



' 4~ dx 



4- dij 









Ces nouvelles relations sont précisément celles (pii définissenl 
les composantes du déplacement, h désignant alors le polonliel. 
Pour justifler la manière dont nous avons déflul, d'apri's Max\v(Ml, 
les composantes du déplacement électri([iie, il nous faut montrer 
que la pression i en un point du fluide inducteur n'est autre 
€hosc que le potentiel. 



DISTRIBUTION ÉLECTRIQUE 3i 

39. — T^e flaicle inducteur étant incompressible, nous avons la 
relation 

df rf- dh 

^^+"^§■ + 7^ = -' 

qui devient, en tenant compte des relations (8), 

d ,. r/i d ,. dl d ,. d^h 

dx dx dy dtj d.z d.z 

la fonction tL satisfait donc à Tune des conditions ini] 
potentiel. Elle est aussi, comme le potentiel, constan 
rieur d'un conducteur, car l'électricité qui remplit le. 
teurs n'est pas élastique, par conséquent X, Y, Z sont nui& v 
doit en être de môme des dérivées de A. 

Quand on passe d'un point du diélectrique à un point intérieu 
d'un conducteur les dérivées de la fonction J>, ne sont pas continues 
puisqu'elles passent d'une valeur finie à zéro. Mais la fonction 
elle-même reste continue. En effet, si la pression n^était pas la 
même des deux côtés de la surface qui limite le conducteur 
l'équilibre n'existerait pas, puisque le iluide électrique étant 
inerte, toute différence de pression aurait pour effet de faire 
mouvoir ce iluide. 

La fonction ^h jouit donc de toutes les propriétés du potentiel ; 
par suite la pression du (luide inducteui' en un point est précisé- 
ment le potentiel en c(* point. 



40. — Montrons enfin que la théoi'ie de Maxwell conduit à la 
même expiM^ssion que la théorie ordinaire pour Tépaisseur de la 
couche éiectri([ue située il la surface 
d'un conducteur. 

Soient S (lin-, 4) la surface qui 
sépar(^ rélectricité du Iluide induc- 
teur dans l'état d'é([uilihre normal, 
et S' la surface de séparation dans 
l'état d'équilibre contraint. L'éloc- 
tricité lil)re étant l'exc^ès de la 
quantité de fluide électrique contenue dans le conducteur dans 
l'état d'équilibre contraint sur la quantité qui s'y trouve 




Fig". 4 . 



3a THÉORIE DU DÉPLACEMENT ÉLECTRIQUE DE MAXWELL 

normalement, la charge du conducteur est la quantité de fluide 
comprise entre les deux surfaces S et S^ Ce fluide étant incom- 
pressible, la charge en chaque point est clone proportion-" 
nelle à la distance normale qui sépare les deux surfaces. Consi- 
dérons une molécule du fluide inducteur située, dans l'état d'équi- 
libre normal, en un point m de la surface S ; dans l'état d'équi- 
libre contraint cette molécule viendra en in^ sur la surface S^ 
Le triangle mnm\ dont le côté mn est la distance normale qui 
sépare les deux surfaces, peut être considéré comme un triangle 
rectangle en n. L'épaisseur de la couche électrique est donc égale 
a la projection du déplacement sur la normale à la surface (en 
réalité le déplacement est normal à la surface, mais nous n'avons 
pas besoin de faire intervenir ici cette propriété du fluide induc- 
teur). Cette projection a pour valeur 

C'est bien la valeur que donne la théorie ordinaire pour l'épais- 
seur de la couche électrique. 

41. — Dans ce qui précède, nous avons été amenés à sup- 
poser que la pression dans le fluide inducteur est égale à i. Nous 
nous trouvons donc en contradiction avec une autre théorie de 
Maxwell, où l'on trouve que la pression en un point du diélec- 
trique, au lieu d'être égale au potentiel, est proportionnelle 

à y (""7"^) . Nous reviendrons plus loin sur cette contiadiction. 

42. — La méthode précédente n'est pas la seidc que Ton 
puisse employer pour déduire de la théorie de Maxwell les lois 
de la distribution électrique. Elle a d'ailleurs rinconvéïilent d(^ 
ne plus subsister si le fluide Inducteur n'existe pas ou si dans 
ce fluide il n'y a pas de pression. Ayant fait remarcpuM' ([ue 
riiypothèsc du fluide inducteur ne devait être considérée (jU(^ 
comme une hypothèse transitoire, il n'est pas inutih^ (rindl- 
quer une autre méthode donnant les lois de la distribution élec- 
trique sans supposer l'existence de ce lluide. Exposons cette 
méthode. 



DISTRIBUTION ELECTRIQUE 3 

Pour qu'un système soit en équilibre, il faut et il suffit que soi 
énergie potentielle soit minimum. Nous obtiendrons donc le 
conditions de Téquilibre électrique, en exprimant que l'éne 
gie potentielle W est minimum, ou, ce qui revient au mêm 
que la variation de W est nulle quand on donne à f, g^ A, de 
accroissements quelconques compatibles avec les liaisons. Or 
quelle que soit la théorie adoptée, /, g^ h^ doivent satisfaire à ' 
relation 

^^^U-ii — n 
dx'^ dy'^ dz ~ ' 

qui exprime l'incompressibilité du milieu. 

D'autre part, considérons un quelconque des conducteL... 
système. La charge M de ce conducteur sera une des données 
la question. On devra donc avoir 



/(«/■+P5'+Y/0^'^— M 



l'intégrale étant étendue h tous les éléments rfw de la surface dt 
conducteur; a, [3, y désignant les cosinus directeurs de la normale 
à cet élément et M une constante donnée. 

Ecrivons que la variation de l'énergie potentielle est nulle ; 
nous avons 

oW= / ^(/3/"+^>%_i_/,S/,),/T=ro. 



Mais à cause des liaisons nous avons aussi 
d ^^ ^ d r. . d ^ 

/(^■¥+ P2i,>' + Y^/O disy = o, 

rintégralc étant étendue à tous les éléments do volume d'z du 
diélectrique. 

Le calcul des variations nous apprend qu'il existe une fonction 
i telle que l'on ait identiquement 

PoiNCARÉ. Electricité et Optique. 3 



34 THÉORIE DU DÉPLACEMENT ÉLECTRIQUE DE MAXWELL 

En intégrant par parties l'intégrale correspondant au second 
terme de la parenthèse, nous obtenons 

Cette équation devant être satisfaite identiquement, tous les 
éléments de la première intégrale doivent être nuls ; on a donc 

ce qui est précisément la relation donnée par Maxwell. 
Il reste 

L'intégrale étant étendue à tous les éléments de surface de îoris 
les conducteurs. 

Cette équation devra être satisfaite pour toutes les valeurs 
de o/J og\ Zh satisfaisant aux équations de liaison, c'est-à-dire 
telles que Ton ait pour chacun des conducteurs 

Les règles du calcul des variations nous apprennent que cela 
ne peut avoir lieu que si i est constant à la surface de chacun des 
conducteurs. 

Ainsi le potentiel h a une valeur constante en tous les points 
de la surface de chacun des conducteurs, celte valeur pouvant 
varier d'ailleurs d'un conducteur à l'autre. 



CHAPITRE III 

THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 
COMMENT ELLE PEUT SE RATTACHER A CELLE DE MAXWELL 



43. Hypothèses de JPoisson sur la constitution des diélec- 
triques. — Dans la théorie de Poisson le rôle des diélectriques 
est bien moins important que dans celle de Maxwell. Pour 
Poisson, le diélectrique n'a d'autre but que d'empêcher le mou- 
vement de l'électricité. Mais pour expliquer l'augmentation de 
capacité d'un condensateur quand on y remplace la lame d'air 
par une autre substance non conductrice, une hypothèse est 
nécessaire. Une difficulté analoo^ue rencontrée dans la théorie du 
magnétisme avait été résolue de la manière suivante par Poisson. 

Il s'agissait d'expliquer le magnétisme induit. Poisson regarde 
un morceau de fer doux aimanté par induence comme un assem- 
blage d'éléments magnétiques séparés les uns des autres par des 
intervalles inaccessibles an jiiagnéiisme et de dimensions très 
petites. Dans chacun de ces éléments, auxquels Poisson attribue 
pour plus de simplicité la forme sphériquc, les deux fluides 
magnétiques peuvent se séparer et circuler librement. 

Mossotti n'a eu qu'à transporter cette théorie en électrosta- 
tique pour expliquer les phénomènes observés dans les diélec- 
triques. Dans cette hypothèse, l'air est le seul diélectrique homo- 
gène ; quant aux autres diélectriques, il se les représente comme 
constitués par de petites sphères conductrices disséminées dans 
une substance non conductrice jouissant des mêmes propriétés 
que l'air. Les phénomènes attribués au pouvoir inducteur spéci- 
fique s'expliquent alors par les effets répulsifs et attractifs de 
Télectriclté induite par Influence dans les sphères conductrices. 



36 THÉORIE DES^ DIÉMCTRIQUES DE POISSON 

44. — Dans cette théorie comme dans celle de Maxwell il existe 
des courants de déplacement. En eiTet, supposons un diélectrique 
autre que l'air en présence de conducteurs électrisés ; l'électri- 
cité neutre des sphères conductrices du diélectrique est décom- 
posée : un hémisphère se trouve chargé positivement, l'autre 
négativement. Si alors on met les conducteurs en communica- 
tion avec le sol^ l'influence sur les sphères du diélectrique cesse 
et ces sphères reviennent à l'état neutre ; l'électricité se déplace 
donc d'un hémisphère à l'autre, par suite, il y a des courants de 
déplacement. 

Il est probable cj[ue c'est la conception de Poisson et Mossotti 
sur la nature des diélectriques qui a conduit Maxwell à sa théorie. 
Il dit l'avoir déduite des travaux de Faraday et n'avoir fait que 
traduire sous une forme mathématique les vues de ce célèbre 
physicien ; or, Faraday avait adopté les idées de Mossotti (Cf. 
Expérimental Researches, Faraday, série XIV, § 1679). Ajoutons 
c£ue, ainsi que nous le verrons bientôt, l'intensité des courants 
de déplacement n'a pas la même valeur dans la théorie de Pois- 
son et dans celle de Maxwell. Nous montrerons cependant com- 
ment on peut faire concorder les deux théories. 

45. — On a fait malheureusement à la théorie du magnétisme 
de Poisson de graves objections et il est certain que les calculs 
du savant géomètre ne sont nullement rigoureux. Ces ol)jections 
s^appliquent naturellement à la théorie de Mossotli qui n'en dif- 
fère pas au point de vue mathématique. 

C'est ce qui me décide à ne pas reproduire ici ces calculs, je 
me bornerai a renvoyer le lecteur qui désirerait en faire une 
étude approfondie, aux sources suivantes. Le mémoire original 
de Poisson, sur la théorie du magnétisme a paru dans le tome V 
des Mémoires de l'Académie des Sciences (1821-181^9.). Une théo- 
rie plus élémentaire, mais passible des mêmes ol)jections, est 
exposée dans le tome P^' des Leçons sur rElcctricitc et le Magné- 
tisme de MM. Mascart et Joubert (p. 162 à 177). C'est celle 
que j'avais développée dans mes leçons. 

Je renverrai également à l'article 3i4 de la seconde édition de 
Maxwell, où le savant anglais présente d'une façon très originale 
une théorie identique au point de vue mathématique à celle de 



SPHERE' PLACÉE DANS UN CHAMP UNIFORME 87 

Poisson et de Mossotti, mais s'appliquant a an problème phy- 
sique très différent, celui d'un courant électrique à travers un 
conducteur hétérogène. 

Mais je recommanderai surtout la lecture du mémoire de 
M. Duhem sur l'aimantation par influence (Paris, Gauthier-Vil- 
lars, 1888 ; et Annales de la Faculté des Sciences de Toulouae), 
où les calculs de Poisson et les objections qu'on y peut faire sont 
exposés avec la plus grande clarté. 

Je vais maintenant développer la théorie en cherchant a me 
mettre à l'abri de ces objections ; pour cela, j'ai besoin de con- 
naître la distribution de l'électricité induite par une sphère pla- 
cée dans un champ uniforme. 

46. Sphère placée dans un champ uniforme. — Prenons une 
sphère conductrice placée dans un champ électrique uniforme 
et désignons par ^ la valeur du potentiel dû aux masses élec- 
triques extérieures en un point de ce champ. La force électrique 
s'exerçant sur l'unité de masse électrique située en un point 
quelconque a pour composantes 

dii dii d^ 

dx ' dy^ d.z 

Si l'on prend Taxe des .r parallèle aux lignes de force du 
champ, cette force électrostatique, que nous désignerons par cp, 
a pour valeur 

La sphère conductrice placée dans le champ s'électrise par 
influence et l'équilibre électrique est atteint quand la force élec- 
trostatique duc à la distribution sur la surface de cette sphère 
est égale et directement opposée à cp en tout point intérieur. 
Cherchons l'expression de cette force. 

47. — Lorsque la sphère conductrice est à l'état neutre, nous 
pouvons la considérer comme formée de deux sphères égales, 
nyant même centre, chargées, l'une d'électricité positive, l'autre 
d'une quantité égale d'électricité négative ; chacune de ces deux 



38 



THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 



charges, au lieu d'être seulement superficielle, étant uniformé- 
ment répandue dans tout le volume de la sphère ; la résultants 
des actions exercées par ces sphères sur un point extérieur est 

évidemment nulle, comme cela 
doit être. Si nous déplaçons la 
sphère négative de manière que 
son centre vienne en 0' (fig. 5) 
le centre de la sphère positive 
restant en 0, les actions de ces 
sphères ne se neutralisent plus. 
Nous pouvons donc regarder la 
sphère conductrice soumise à 
l'influence comme formée de 
deux sphères égales, électri- 
sées en sens contraire et dont les centres ne coïncident plus. 




Fig- 5. 



48. — On sait que l'action d'une sphère homogène sur un point 
intérieur situé à une distance r de son centre est la môme que si 
la masse électrique contenue dans la sphère de rayon /• était con- 
centrée au centre de la sphère. En appelant p la densité élec- 
trique en chaque p^int de la sphère, on a pour la force électro- 
statique s'exerçant sur le point considéré 

F == — -'^- '-/■^o= — rro 



Si donc on appelle .Tj,, ?/y, z^ les coordonnées du centre de la 
sphère, .x% y^ .z les coordonnées du point considéré, les compo- 
santes de Taction exercée par hi sphère sur runllé de masses élec- 
trique placée en un point intérieur ont pour vah'urs 



4 



4 



r.{:v—:v;)p, _7x(?y_/yjp, 7:(.c; — .'Jp. 



49. — Appliquons ces formules aux deux sphères qui rempla- 
cent la sphère conductrice électrisée par influence. Prenons pour 
origine des axes de coordonnées le centre de la sphère posi- 
tive et pour axe des x la droite qui joint les centre et 0' des 
deux sphères. Nous aurons pour la composante suivant O.r de la 



SPHÈRE PLACÉE DANS UN CHAMP UNIFORME 3o 

résultante des actions qu'exercent les deux sphères sur Tui 
de masse électrique située en un point intérieur /r, ?/, ^^ 

4 4 , N 4 

x^ désignant l'abscisse de 0^ Quant aux composantes suivant les 
axes des y et des z^ on voit facilement qu'elles sont nulles. Il faut 
donc, pour qu'une molécule électrique intérieure a la splière soit 
en équilibre sous l'action du champ uniforme cp et de l'électricité 
développée sur la sphère par influence, que la ligne des centres 
des sphères positive et négative soit parallèle au champ et que la 
distance de ces centres satisfasse à l'égalité 

4 

^ = — — T.X,0. 

D'ailleurs, comme les densités des sphères ne sont assujetties 
qu'à la condition d'être égales en valeurs absolues, nous pouvons 
supposer que ces densités sont + i et — i . Il vient alors 



(i) cp = -izx,, 



égalité qui nous donne la distance des centres des deux sphères. 

50. — Nous pouvons trouver facilement la valeur du potentiel 
résultant de la sphère influencée en un point M extérieur à cette 
sphère. L'action d'une sphère homogène sur un point extérieur 
étant la même que si toute la masse électrique était concentrée 
au centre de cette sphère, le potentiel en M a pour expression 



R désignant le rayon de chacune des sphères, /• et r^ les distances 
du point M aux centres et 0'. Nous appellerons to l'angle de 
la direction OM avec l'axe des x et nous négligerons les quantités 



4ô THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 

infiniment petites du deuxième ordre, en regardant x^ comme 
du premier ordre. Alors l'expression précédente peut s'écrire 

4 .r^cosco 

ou en tenant compte de la relation (i) 

La distribution électrique sur la sphère induite s'obtient tout 
aussi simplement. L'épaisseur de la couche négative en un 
point P quelconque est 

3 cûcos iù 



PP^ = PP^^ COS OJ = X. COS CO : 



47. 



par suite, l'épaisseur de la couche électrique superficielle est 

,, , , . ,, . 3c; COS 03 

donnée, en valeur et en signe, par 1 expression — '—- 

On dit qu'une sphère conductrice sur laquelle la distribution 
électrique est la même que si elle était placée dans un champ 
uniforme, qs^I polarisée, 

51. Polarisation des diélectriques, — Considérons mainte- 
nant un diélectrique, constitué comme se Timagine Mossotti et 
soumis à l'action de corps électrisés extérieurs. Chacune des 
sphères qu'il contient va se polariser. En eOel les dimensions 
de ces sphères étant très petites, dans le voisinage de chacune 
déciles le champ électrique peut être regardé comme uniforme. 

Il est vrai que la distribution électrique à la surface d'une de 
ces sphères pourra être troublée par rinfluence des sphères voi- 
sines ; mais nous n'aurons pas à tenir compte de ces pcrturl)a- 
tions : 

1° Parce que les sphères étant irrégulièrement distribuées, leur 
influence tend à se neutraliser mutuellement ; 

2^ Parce que si l'on admet que la distribution à la surface d'une 
sphère n'est pas la même qu'elle serait dans un champ uniforme, 
ces irrégularités de la distribution sont exprimées par des fonc- 
tions sphériques d'ordre supérieur; si donc on considère le 



POLARISATION DES DIELECTRIQUES 4i 

potentiel en nn point situé à une distance ;• du centre de la sphère, 
les termes qui dépendent de ces irrégularités contiendront une 

puissance supérieure de — et seront négligeables, si?' est très 

grand par rapport au rayon de la sphère. 

Nous dirons alors qu'un diélectrique doiit toutes les sphères 
sont polarisées est lui-même polarisé. 

52. — Nous avons maintenant à définir les composantes de la 
polarisation électrique qui correspondent a ce qu'on appelle dans 
la théorie du magnétisme, composantes de la magnétisation. 

Nous avons vu plus haut que le potentiel de notre sphère par 
rapport à un point extérieur était égal à : 

cosco 
cpn — 7- 

7'" 

ou à 

3 "- 



— TZ-^'^ 



47r ^ dx 

en appelant u le volume de la sphère. 

Si l'on avait pris des axes de coordonnées quelconques, nous 
aurions trouvé pour le potentiel de la sphère polarisée, en appe- 
lant .r, 7/, .z les coordonnées de son centre, 



3// / d'I r d'h r ^ d'\' r 



dx djj dij dz dz 



Imaginons maintenant un élément de volume d-z du diélec- 
trique, contenant un nomljrc très grand n de sphères, et cepen- 
dant assez petit pour que le champ puisse y être regardé comme 
uniforme. Le potentiel des n sphères contenues dans cet élément 
sera : 

d — d — d 

r dà r d^ 



4îc \ dx dx dy dy ' dz dz 



42 THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 

Posons 

nu = hd^^ 

de sorte que h soit le rapport du volume des sphères au volume 
total du diélectrique. 
Posons en outre 

j^Tz dx ^ 4'^ ^1/ ^ 4"^ dz ' 

il viendra pour le potentiel dû à Félément polarisé d'z 

d — d — d — 

d^(k—^ + B^-4-C '' 



ds dij dz 

Les trois quantités A, B et C sont les composantes de la pola- 
risation^ et le potentiel dû au diélectrique entier s'écrira 




l'intégrale étant étendue au diélectrique entier; ou, en intégrant 
par parties, 




r \ dx di] hz ) ^ 



La première intégrale est étendue à tous les éléments c/o) de 
la surface qui limite le diélectrique, /, jn, et n désignant les 
cosinus directeurs de la normale h cette surlace ; la second(* 
intégrale est étendue au volume entier du dléleclri(|ue. 

53. — Soit maintenant V^ le potentiel dû aux corps électrisés 
extérieurs. Soit s une quelconque des petites sphères conduc- 
trices ayant pour centre un certain point et exprimons les 
conditions de l'équilibre électrique sur cette sphère. 

Décomposons le volume du diélectrique en deux volumes par- 



POLARISATION DES DIÉLECTRIQUES 

tiels ^>' et {>'^ ; le second de ces volumes sera très petit et 
tiendra la sphères. 

Considérons une molécule électrique située en ; cette i 
cule devra être en équilibre sous Faction : 

i*" Des corps électrisés extérieurs ; 

2° Du volume ç' du diélectrique ; 

3° Des sphères autres que s situées à l'intérieur de v'^ ; 

4" De la sphère s. 

Nous supposerons que le volume ç^' ^ quoique contenar 
très grand nombre de sphères, est assez petit pour que les 
posantes A, B, C, puissent y être regardées comme const 
et nous choisirons les axes de façon que B et C et par c 

quent ——, -^ soient nuls. 
dij dz 

54. — Écrivons que les composantes de toutes ces ac 
suivant l'axe des x se détruisent. 

Pour éviter toute confusion nous appellerons pour un ii 
.27, y^ z les coordonnées du point attirant, i, v], Ç celles du 
attiré, de sorte que : 

Nous rappelons en outre que A désigne le potentiel du champ 

uniforme qui produirait sur chaque sphère conductrice leur 

polarisation actuelle, et que le potentiel actuel est égal h 

V -j- Vj = U. Nous continuerons à désigner les composantes du 

, ... éh dij dij 

champ unilorme par ~, — -~-, — — r^ * 

^ ^ dx dij dz 

' '^■^\ 
La composante due aux corps extérieurs sera jf^- 

La composante due a la sphère s sera -) puisque^ par 

hypothèse, la sphère est polarisée comme elle le serait sous 

l'action d'un champ uniforme d'intensité —• 

^ d.v 

55. — Je dis que si la surface a qui sépare les deux volumes 
partiels ç^ et (/^ est convenablement choisie, l'action des sphères 
autres que s et intérieures à r' sera nulle. 



44 THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 

En effet soient a, b, c les coordonnées du centre d'une de ces 
point étant pris pour l'origine. La force électrosla- 
.ercée par cette sphère au point aura pour composante 
l'axe des :v : 

~ /ilZ ^ dx^ ~ 471 dx / 2 I 72 1 o>4 

Il résulte de là que les actions des trois sphères qui ont res- 
:;tlvement pour centres les points 

[a, h, c), [ù, c, a), [c, a, h) 

étruisent. 

i donc la surface a- possède la symétrie cubique et ne 

aange pas cjuand on permute les trois axes de coordonnées, les 

actions des différentes sphères contenues à l'intérieur de cette 

surface se neutraliseront. C'est faille d'avoir fait cette hypothèse 

que Poisson napas été rigoureux. 

Nous supposerons, pour fixer les idées, que la surface o" est 
une sphère ayant son centre en 0. 

56. — Il reste à évaluer l'action du volume <^' . 
Cette action est égale à 



iy 



d\ 



en appelant V^ l'intégrale 



(l — d — d — 

étendue au volume v' ; et on aura 

V = V — V" 
V désignant la même Intégrale étendue au volume v" , d'où 



POLARISATION DES DIÉLECTRIQUES 45 

Nous avons d'ailleurs, comme on l'a vu plus haut 



V"= / ^,A + ,„B + „C)_ il(^+^+f 



la première intégrale étant étendue à la surface or et la seconde 
au volume ^" . 
On en déduit : 

I ^^ f7K ^ T> , n\ i ^'^ fdk dB dC\ 



Si le rayon de la sphère or est infiniment petit, il en sera 
même de la seconde des intégrales du second membre de l'éga 
précédente, mais non de la première. 

D'ailleurs si ce rayon est très petit, A, B et C soi 
constantes et nous avons supposé que B et C sont nuls. I 
donc : 



Or l est le cosinus directeur de la normale à la sphère ; c'est 
donc — et 1 on a : 




57. — L'équation d'équilil)re s'écrit donc : 
dY, , r/'> dV 4 



+ 777 — -7r + -T^^- = ^-^ 



d^ ' dx dl ' 3 
ou 



</; ~ <(5 ~T \ * 



46 



THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 



Si au lieu de prendre pour axe la direction de la polarisation 
au point considéré, nous avions pris des axes quelconques, nous 
aurions trouvé, au lieu de l'équation unique que nous venons de 
démontrer, les équations suivantes : 

(i— K) •^ = 4'n:A, 

(x-K)i^:==4^B, 



dy 
clz 



(i-K)4^ = 4:^C; 



en posant pour abréger : 

K— 1 = 
d'où 



3 A 



/(== 



K— 1 



Nous écrivons d'ailleurs —, — au lieu de — =- on revenant aux 

dx de, 

notations habituelles, ce qui n'a plus d'inconvénient puisque 
aucune confusion n'est plus à craindre. 



58. — On déduit de là en did'ércntiant la première de ces 
équations par rapport à x, la seconde par rapport à //, la troi- 
sième par rapport à z et ajoutant : 



ds V dx 



' d,j V dz 1 dz V dz 



AU 



, , r/A dW 



dC 



dx ' dtf ' (/.: 
Or Y^ est le potentiel des corps extérieurs, on a donc 



AV, 



:0. 



POLARISATION DES DIÉLECTRIQUES 47 

D'autre part Téquatlon (3) montre que V peut être regardé 
comme le potentiel dû à une couche de densité 

répandue à la surface du diélectrique, moins le potentiel d'une 
([uantité d'électricité répandue dans tout, ce volume et ayant pour 
densité 

dh. jm_ dC 

dij dy dz 

Il en résulte que : 

AU = AV = 47t 



dx dy dz 

et par conséquent 



dx \ dx 1 dy \ dy J dz \ dz ) 

Or, U = V + Vj désignant le potentiel, la comparaison de 
l'équation à laquelle nous venons de parvenir avec les équations 
fondamentales de l'électrostatique montre que K n'est autre 
chose que le pouvoir inducteur. 

59. — Ainsij dans un diélectrique constitué comme se l'ima- 
gine Mossottl, et de pouvoir inducteur K, le rapport du volume 
occupé par les sphères au vohune total est égal à : 

K — I 



K + :>. 
On trouve d'ailleurs 

I _ K = 4^A :^ _ 3/, __L . 

dx dx 

Le déphicemcnt électrique de la théorie de Maxwell s'écrit 
alors : 

K d\] _ 3A K d^l^ _ 3 K d^ 
^n dx 4'^ K — I dx 4tc K + 2 dx ' 



48 THÉOniE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 

Les deux autres composantes du déplacement électrique sont 
nulles si, comme nous le supposons, nous prenons pour axe 
des X la direction de la polarisation au point considéré. Si en 
même temps, revenant à nos notations du n'' 46, nous appelons 
o l'intensité du champ uniforme qui polariserait nos petites 
sphères comme elles le sont réellement, nous aurons : 

_ d^h 
' dx 

et 

(4) /=■ 



4tt: K + 2 *■ 

60. — Nous avons vu que dans la théorie de Poisson et Mos- 
sotti la polarisation des petites sphères conductrices varie quand 
on fait varier le champ électrique dans lequel elles se trouvent 
placées, et que les courants qui se produisent dans ces petites 
sphères et résultant de cette variation peuvent être comparés 
aux courants de déplacement de Maxwell. Il importe de com- 
parer rintenslt('^ de ces courants de déplacement dans les deux 
théories. 

Pour cela je vais calculer la valeur de f du déplacement élec- 
trique dans la théorie de MossottI et la comparer à la valeur de /' 
que nous venons de trouver. 

Chacune de nos sphères est polarisée comme si elle était sou- 
mise à l'action d'un champ uniforme (rint(Misitc cp. 

Donc d'après ce que nous avons vu au n'' 49 tout se passe 
comme s'il existait deux sphères de même rayon que la sphère 
conductrice, l'une remplie de fluide positif de densité i, l'autre 
de fluide négatif de densité i, et si la splière négative, coïncidant 
dans l'état d'équilibre normal avec la sphèi'c positive, subissait 
sous rinlluence d'un chani|) uniforme d'intensit('' '3 un déplace- 
ment ,x\ donné })ar la formule 

' =_i--r. 

Tout se passera donc comme s'il y avait déplacement en bloc 
des fluides électriques de chacune des petites sphères. Mais, les 



fi 



POLARISATION DES DIELECTRIQUES 49 

splièi^es conductrices n'occupent pas le volume entier du dî'^l^- 
trique ; elles sont séparées entre elles par un milieu u 
jouissant des mêmes propriétés que l'air, et la somme de 
volumes est au volume total du diélectrique dans le rapport ' 
à I . La somme des charges positives qui se trouvent sur 
sphères est donc h fois plus petite que la somme de ces me 
charges dans l'hypothèse où tout le volume de diélectrique serai 
occupé par des sphères conductrices. Comme il en est de mêm 
des charges négatives, il revient au même d'admettre que chacui 
des fluides est répandu dans tout le diélectrique avec une den 
site A, ou que chacun d'eux n'occupe qu'une fraction h du volum 
du diélectrique avec une densité 1. La valeur du déplacemen 
moyen sera évidemment la même dans les deux cas/ Si nr- 
adoptons la première hypothèse nous pourrons appliquer ? 
sphère diélectrique les formules du n° 49 ^^^ y remplaçi 
par IlVq, puisque dans ces formules la densité est supposé'^ 
à I et que maintenant elle est h. Cette quantité hx^^ est 
déplacement moyen que subit le fluide négatif dans le 
trique soumis à l'influence du champ. Si nous remplaç-^" 
sa valeur tirée de l'équation (i) nous avons pour ce 

ment — h -~~ et par suite pour le déplacement du fluide [ 

par rapport au fluide négatif, qui ne diflere que par le signe dn 
précédent, 

Or on a : 



i'->j 



K-{-'2 



Mais si par suite de cette relation les actions extérieures des 
(liéleclrif^ues sont les mêmes dans les deux théories, les intensités 
(les courants de ([('placement n'ont pas la même valeur dans l'une 
et dans raulr(^ Ku effet, si nous j)ortons cette valeur de A dans 
Texpression de/'' nous ol^tenons pour la valeur du déplacement 
dans la théorie de Poisson 

,, ;vj k — I 



4- K- 

PoiNCARK. Electricilc el Optique. 



5o THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON |? 

F 

qui diffère de celle du déplacement dans la théorie de Maxwell, f 

donnée par la formule (4). Le rapport de ces quantités est $ 

h) fL = l-=±, 4 

(7J /' K ' 

c'est aussi le rapport des intensités des courants de déplace- 
ment dans les deux théories. Dans l'air l'intensité du courant de 
déplacement est nulle quand on adopte les idées de Poisson 
puisque la formule (6) donne f = o pour K == 1 et que le pou- 
voir inducteur spécifique de l'air est l'unité. Dans la théorie de 
Maxwell, le déplacement dans l'air a, d'après la formule (4), la 

valeur /== -—-? et par suite, contrairement à ce qui a lieu dans 

4'^ . . . 

la théorie de Poisson, l'intensité du courant de déplacement 

n'est pas nulle dans ce milieu. C'est la la diflerence la plus 

importante qui existe entre les deux théories dont nous venons 

de comparer les conséquences. 



61. Modification de la théorie de Poisson. Cellules. — Mais, 
ainsi que nous l'avons annonce au commencement de ce chapitre, 
il est possible en introduisant dans la théorie de Poisson quelques 
modifications secondaires de faire concorder ses résultats avec 
ceux de la théorie de Maxwell. C'est ce que nous allons montrer. 

Remarquons que si les formules (5) et (7), cpii donneut // et 
le rapport des déplacements, ne sont pas homogr^nes, cela tient 
à ce que nous avons pris l'unilé pour le pouvoir inducteur spé- 
cifique de la substance isolante qui sépare les sphères conduc- 
trices dans celle de Poisson. 

Il serait facile de vérifier que si nous désignons par Kj le pou- 
voir inducteur de cette substance, les formules (5) cl (^) devien- 
nent 

K + 2K^ ' /• K * 

Cette dernière l'or mule montre que si K^ est très petit le rap- 
port des déplacements est voisin de l'unité. Les intensités des 
courants de déplacement auraient donc sensiblement la même 
valeur dans les deux théories si K^ était infiniment petit, ce qui 






PROPAGATION DE LA CHALEUR 5i 

exige que h diffère infiniment peu de l'unité, c'est-à-dire que 
l'espace non conducteur qui sépare les sphères conductrices soit 
infiniment petit. Or, nous n'avons introduit l'hypothèse de la 
forme sphérique des conducteurs disséminés dans le diélectrique 
que pour avoir plus de simplicité dans les calculs ; les consé 
quences restant vraies pour une forme quelconque des condr 
teurs nous pouvons nous représenter un diélectrique co»^ 
formé de cellules conductrices séparées par des cloison» « -- 
ductrices. Il suffit alors pour faire concorder la théo 
son avec celle de Maxwell de supposer que ces clois( 
épaisseur infiniment petite, puisqu'alors li diffère infinii 
de l'unité et qu'elles sont formées d'une substance isolante c_ 
pouvoir inducteur spécifique K^ infiniment petit. Montrons que 
cette concordance se retrouve dans toutes les conséquences de lii 
théorie de Maxwell et qu'au point de vue mathématique cette 
dernière théorie est identique avec celle de Poisson ains 
modifiée. 

62. jPropagSition de la chaleur dans un milieu homogène 
— La suite des calculs nécessaires nous conduira à des relations 
tout à fait pareilles à celles qu'a établies Fourier dans l'étude 
de la conductibilité de la chaleur. Dans le but de faire ressortir 
Tanalogic mathématique qui existe entre les phénomènes élec- 
tri(jues et les phénomènes calorifiques, nous commencerons par 
rappeler l)rlèvement la théorie de Fourier. 

Cette tliéoric repose sur les hypothèses suivantes : quand deux 
molécules d'un corps sont à des températures différentes, il y a 
passage de chaleur de la plus chaude à la plus froide ; la quantité 
de chaleur (J[ul passe penchuit un temps cU)nné est une fonction 
de \ix distance, (jui tend rapidement vers zéro rpiand la distance 
croît, et([ui ne (h'pend pas d(*. la température ; enfin cette quan- 
tité de ehal(nir (^st proportionnelle à la différence V^ — V^ des 
températuj'(\s (h\s deux molécules. 11 résulte de ces hypothèses 
que la ([uantité d(^ chaleur (pii passe pendant un temps dt d'une 
molécule à une autre est 

AV représentant la variation de la température quand on se dé- 



52 



THÉORIE DES DIELECTRIQUES DE POISSON 





B 


F 


B' 


A 


/U/iA 


/ 


A 


•::;f 


7" 


I 


) Il I 


)• 



place clans le sens clu flux calorifique et C étant une quantité indé- 
pendante de la température. 

63. — Considérons un parallélipipède rectangle infiniment 
petit ABCD A^B^C^'D^ (fig. 6) situé dans le corps et prenons trois 
axes de coordonnées respectivement parallèles à trois arêtes du 
parallélipipède. Soient ch son volume, dh^ la surface de sa section 
par un plan perpendiculaire a Taxe des .r, a et ù les coordonnées 
des deux extrémités A et A^ d'une arête parallèle à cet axe ; on 

a la relation 

(h = chù [b — a). 

Cherchons la quantité de cha- 
leur Qdiodt qui traverse la sec- 
tion dco pendant l'intervalle de 
temps dt. Pour cela calculons de 
deux manières difïerentes l'inté- 
grale 

(2) f\(l<hodf)da; 

Fig. (3. qui donne la somme des quan- 

tités de chaleur c[ui traversent 
toutes les sections du parallélipipède perpendiculaires à O.v pen- 
dant le temps dt. 

L'intégration donne immédiatement, si l'on regarde comme 
constante la quantité de chaleur qui traverse cha([ue section doy 
du parallélipipède infiniment petit^ 

Qdcôdl {/j — a) = Qdzd/. 

64- — Pour trouver une autre expression de cette ([uantité, 
coupons le parallélipipède par une section ([uelconque KFGH 
perpendiculaire à 0:r et prenons de part et d'autre deux molé- 
cules M et iVP. D'après les hypothèses de Fourier la quan- 
tité de chaleur qui passe de l'une à l'autre pendant le temps 
dt est 



f 









^ 



(3) 



qdt = — C^//A V, 



PROPAGATION DE LA CHALEUR 53 

et la somme des quantités de chaleur qui passent par toutes les 
sections du parallélipipède est 






[q dt) dx. 



Mais pour les sections c[ui ne sont pas comprises entre les 
molécules il n'y a pas passage de chaleur et les éléments '^ 
l'intégrale qui correspondent à ces sections sont nr^~ ^ 
donc de prendre pour limites de l'intégrale les 
X -\- Lx des coordonnées des points M et M^ ; on obt 



r 



{qdi) dx = qLxdt. 



Les autres couples de molécules du parallélipipède donnent 
des quantités analogues. Leur somme est précisément la valeur 
de l'intégrale (2) et nous avons 

(4) Cld'zdt^'Zqt^xdt. 

Mais la relation (3) nous donne pour </, 



-(^-+f^.'+4^- 



? 



en négligeant dans le développement les puissances de Lx, A?/, 
A3, égales et supérieures à 2^ ce qui est permis, les échanges 
de chaleur ^X'iXWi supposés n'avoir lieu qu'entre molécules très 
voishies et les termes négligés étant alors très petits par rapport 
aux premiers termes du développement. Portant alors cette 
valeur de q dans hi relation (4), nous obtenons 

(5) Q,. ^ _ Jjy^,^ - -;^2CA.A,- 4^^CA.A., 



C étant par hypothèse indépendant de la température. Les 
coefilcients des dérivées partielles de V n'en dépendent pas non 



54 THÉORIE DES DIÉLECTRiqUES DE POISSON 



A. 



il vient 



dx ' 






La constante A est le coefficient de cojiductibililé thermique du 
milieu. 

Le milieu étant supposé isotrope la valeur de ce coefficient est 
la même pour toutes les directions ; nous aurons donc pour 
la quantité de chaleur par unité de surface à travers un élé- 
ment de surface perpendiculaire à Tun des autres axes de coor- 
données 



Q=-A 
Q = -A 



'IL 

dij 
dY 
dz 



D'une manière générale, nous aurons pour un élément orienté 
d'une manière quelconque 

dY 
(6) Q=-A-£- 

dn étant une longueur infiniment petite prise sur la normale à 
l'élément. 



plus. Par conséquent Q est une fonction linéaire et homogène de "^^ 

ces dérivées. |' 

65. — Si le corps considéré est isotrope cette fonction se te' 

réduit à un seul terme. En effet;, dans ce cas l'expression de Q 
ne doit pas changer quand on y remplace x par — x et il faut, 
pour qu'il en soit ainsi, c[ue les dérivées partielles de V par rap- 
port à ?/ et à ^ disparaissent du second membre. Nous avons donc 
simplement 

QJt = — -^SCA:rS "W 

et si nous posons 

SCA:i-2 



DÉPLACEMENT DE V ÉLECTRICITÉ DANS LES CELLULES 55 

66. A^nalogie avec le déplacement de F électricité dans les 
cellules. — A l'intérieur de chacune des cellules conductrices le 
potentiel ^ est constant, mais ce potentiel vaTie brusquement 
quand on traverse les parois isolantes qui limitent les cellules ; 
•ji est donc une fonction discontinue des coordonnées. Nous ne 
pourrions introduire cette fonction dans nos calculs sans faire 
d'hypothèses sur sa forme*, il est plus, simple de considérer à sa 
place une fonction continue dont la valeur en chaque point dif- 
fère peu de celle de A. Nous supposerons que ces deux fonctions 

prennent les mêmes valeurs aux centres de gravité G^, G^, Gg 

des diverses cellules ; l'erreur commise en substituant à ^ une 
fonction continue sera alors du môme ordre de grandei 
les dimensions des cellules, dimensions que 
nous pouvons toujours supposer très petites. 

Considérons une de ces cellules (fig. 7). 
Lorsque le diélectrique n'est pas soumis à 
l'action d'un champ cette cellule est à l'état 
neutre j dans le cas contraire elle présentera 
sur ses faces S^, S^, S3, S^, des quantités 
d'électricité q.^^ q.^^ q^, q^, mais comme la 
cellule conductrice ne cesse pas d'être isolée la somme uc; uc^ 
quantités est nulle : 

Si la vah^ur du champ vient à changer, les charges de chacune 
des laces de hi cellule varient, mais leur somme restant nulle, 

on a, en appelant dq^y dq.^ les variations produites pendant 

un intervalle de temps <://, 

d(i^ 4- dq.,^ + d(i.^ + dq^ = o . 

11 ne peut donc y avoir augmentation de la charge de l'une des 
laces ([uc s'il y a diminulion sur ([uehpui autre. Supposons, pour 
lixer les i(lé(\s ([U(^ la chai'gc; de S.^ auguKmte et cpic celle de S, 
diminue. \]n(\ certaine ([uantité (rélectritnté passera de S^ ;i 
S.J en suivant un chcMuin ([ue nous ï'e[)résen torons par A PB. 
Mais il revi(Mit cvIdemnnMit au nn'^me de su[)poser ([ue rélecti'i- 
clté suit le chemin APCIPB puisque^ la portion P(j (|ui joint un 
point ([uelconque P du chemin réel au centre de gravité de la 




THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 

cellule est parcourue successivement dans les deux sens. On 
peut donc considérer le passage d'une certaine quantité d'élec- 
tricité de S^ à Sg comme résultant du passage de cette même 
quantité de G à S3 et du passage d'une quantité égale mais de 
signe contraire de G k S^. Tout se passe donc comme si, par suite 

de la variation du champ, des quantités dq^, dq^ d'électricité 

allaient du centre de gravité G aux diverses surfaces de la cel- 
lule. 




Fig. 8. 



67. — Prenons maintenant deux cellules contiguës de centres 
de gravité G^ et G^ (fig. 8). Soient S^ et S.^ les faces de chacune 
de ces cellules qui se trouvent en regard. Ces deux faces peuvent 
être considérées comme les armatures d'un condensateur a faces 
parallèles et infiniment voisines et si nous supposons que la 

charge de Sj augmente de dq, il en résulte 
nécessairement une diminution de charge 
— dq,sxxv\^ surface en regard de S^. D'après 
ce que nous avons dit précédemment, l'aug- 
mentation dq de la charge de S^ peut être 
considérée comme résultant du passage de 
dq de G^ à S^, De même, la diminution de la 
charge de S^ peut être regardée comme pro- 
venant du passage d'une quantité — dq àa G^ 
à Sg, ou ce qui revient au même, du passage de dq de S, à G^. 
Mais alors c'est comme si la quantité dq allait de G^ à G^. (3n 
peut donc dire qu'il y a échange d'électricité entre les molécules 
Gj^ et G^ et nous commençons à voir apparaître l'analogie avec 
les phénomènes calorifiques. 

68. — Appelons G la capacité du condensateur formé par les 
surfaces S^ et S2, A^ et '^^^ les valeurs du potentiel dans chacune 
des cellules ; nous aurons pour la valeur absolue de la quantité 
d'électricité située sur S^ et S., 

Comme c'est la face de la cellule dont le potentiel est le plus 
élevé qui se charge d'électricité positive, l'électricité positive^ 
dans le déplacement fictif que nous avons supposé s'effectuer 



DÉPLACEMENT DE L'ÉLECTRICITÉ DANS LES CELLULES 

entre les centres de gravité, passe d'un centre c^^ '"^^ 

autre de potentiel moins élevé. Par conséquent, ^ 

variation du potentiel dans le sens du déplac* 

pour la quantité d'électricité qui passe d'un centre cie gravite a 

un autre 

Pendant un intervalle de temps dt, la variation de la différence 

cl 
de potentiel AA entre les points considérés sera dt --7— Ad; ou 

di A— -^; par suite, la cpiautité d'électricité qui passe d'un de ces 

points à l'autre pendant ce même intervalle est 

d(j=—Cdt\^ 

Cette formule est identique à la formule (i) du n° 62 qui donne 
la quantité de chaleur qui passe d'une molécule à une autre, C 
étant d'ailleurs dans l'une et l'autre formule indépendant de la 
quantité dont la variation est indiquée par A. 

69. — La loi des échanges d'électricité étant la même que celle 

des échanges de chaleur dans la théorie de Fourier, nous ol)tien- 

drons la (juantité d'électricité rapportée à l'unité de surface à 

Iravers un (dément quelconque eu remplaçant dans la (ormule (6) 

M 
65;, la tempéi'ature V par la quantité —— -- Imi appelant, comme 

l<i fait iMaxwell, 

iulu)d(, vdiodl^ i\'diiydt 

les quanlih'^s d'éltM-tricité (jui traversent pendant le temps dl des 
él(''menls //(.) i'(\sj)ectivemout perpendiculaires aux axes de coor- 
données, nous aurons 

Il r=--- A — T 



■7) .' ,....- A 



(//c/.v 
dldij ' 



58 THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 

Or, u^ {>, w sont dans la théorie de Maxwell les composantes 
de la vitesse du déplacement électrique, et par suite, puisque f]g, h, 
représentent les composantes de ce déplacement, 

df ds,r dh 

U=z-f-, ç=—^, ^v=-—r-" ■ 

dt dt dt 

Si donc on adopte pour u^ ç, w, les valeurs que nous venons de 
trouver, on obtient pour /J 

Comme dans la théorie de Maxwell, 

_ JK_ d^ 
'~ 4ti dx' 

on voit que la théorie des cellules concordera avec celle de Max- 
well si nous posons 

70. — Cherchons à trouver la relation c[ui, dans la théorie de 
Maxwell, exprime rincomprcssil)ilité du (hiide inducteur. 

I.a quantité totale d'électricité conlenue dans chaque^ cellule 
étant nulle à chaque instant, la (piautité d'éku^triclté ([ui pénètre 
pendant un intervalle de temps quelconque \\ travers un(^ surface 
fermée qui limite un volume est égalenieut nulle. Or, u^ r, ir, étant 
les composantes suivant les trois axes de la vitesse avec la([uelle 
s'effectue le mouvement de l'électricité, la e>()ui[)()saut(^ de cette 
vitesse suivant la normale à un élément du) de la surface est 

a/^ + [ïr + v(^', 

a, ['i. Y, désignant les cosinus directeurs de la normale. I\ir suite, 
la quantité d'électricité qui traverse <:/o) pendant l'unité de temps 
est 



DÉPLACEMENT DE VÉLECTRICITÉ DANS LES CELLULES 09 

et la quantité qui traverse la surface fermée pendant le même 
temps est égale à l'intégrale 



J(az.+ (5p 



^^W) cl Lu 



étendue à tous les éléments de cette surface. Pendant un inter- 
valle de temps dt^ la quantité d'électricité traversant la surface 
fermée est le produit de l'intégrale précédente par cit. En inté- 
grant par rapport au temps, on aura la quantité d'électricité tra- 
versant la surface pendant un temps quelconque, et, comme cette 
quantité est nulle, l'intégrale obtenue doit être égale à o. Si nous 
remarquons que u^ ç, w sont les dérivées par rapport au temps 
des composantes f, g, h du déplacement, nous avons pour <5ette 
intégrale 

(9) /(«/•+ fe' + T/0^<^ = o. 

Or, on sait que 



/■ 



^fd^=- I ■J^^'^^ 



la première intégrale étant étendut; u u 

seconde, au volume limité par cette surface. En transformant cic 

la même manière les deux autres termes de l'intégrale (9), nous 

obtenons 




Cette égalité devant être satisfaite quel que soit le volume con- 
sidéré, nous en concluons 

dx dij dz 

(^est ])icn la relation qui, dans la théorie de Maxwell, lie entre 
elles les dérivées des composantes du déplacement du fluide induc- 
teur d'un milieu diélectri([ue. 



D'ailleurs si C est la capacité du condensateur formé par les 
surfaces considérées, on a 

et le terme précédent devient 

En développant Ai par rapport aux puissances croissantes de 
A.r, A//, A.::, et en négliox^ant les ])uissances de ces ([uanlllés supé- 
rieures à la première, nous obtenons 

(Il , (hl , d'I , 

A'; = — ^A.r+— -A// + -~A.-. 
dx dij dz 

Considérons donc un élément de volume dz assez pclit [Jour ([uc 
nous puissions admettre que les d(''rivées par(i(dl('s de y ont la 
même valeur en tout point d(^ cet él(''m(Mit, mais assez n-i-nid tou- 
tefois pour contenir un très <ri'and nombre de ccdlulcs, el par 
conséquent, un très jj;'rand nombre de condensai eu rs. 

L'énero'ie potenlielle d\\ d(' cet (''h'^ncnl, scvi\ la somme des 
énergies potentielles des divers [lelifs condensaleurs (jui y sonl 
contenus, on aura donc : 

(u>) ,^v = l^ci^■lr^±myc^..^+±(l!^yi:^,r 

i> jLi :>- \ d^r / -*-J '•>. \ df/ J i-J 

+ — -7- >(:A-' + ™-»l.\(:A.rA//+... 
2 \dz J jLà dx du M^ 



THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON ^| 

I 

il. Identité des expressions de l'énergie potentielle. — 1 

Montrons enfin que la théorie des cellules conduit à la même 5? 

expression de l'énergie potentielle que la théorie de Maxwell. ;^ 

On sait que l'énergie potentielle d'un système de conducteurs ^ 

électrisés est égale à la demi-somme des produits de la charge de f 

chaque conducteur par son potentiel. Les charges des surfaces / 

en regard de deux cellules contiguës sont égales et de signes \ 

contraires ; par suite, si Aj et A^ sont les potentiels de ces cel- 
lules, le terme fourni à l'énergie potentielle par ces charges est 



^4 - 









ÉNERGIE POTENTIELLE DANS LA 7IIE0RIE DES CELLULES 

Mais nous avons fait remarquer à pi^opos des phénomènes ca 
rifiques que clans le cas d'un milieu isotrope, les sommes 

VcA/rA?/, yc\îjl.z, VcA'A.'r 

sont nulles. Nous avons posé 

2CA;r2 SCA?/- SCA.r 
A = - — '^ — 



(h ck (Il 



Par conséquent, nous aurons pour l'énergie potentielle 
ment ^Zt, 

"w-^[(SV(f)V(-s 

Si nous remplaçons dans cette expression les dérivées 
tielles par leurs valeurs tirées de la relation (8) du n^ (h), 

' d.i' 

et des relations analogues qui contiennent i,»- et A, et si nous don- 
nons a A la valeur — — que nous avons été couduits a lui attril)aer 

pour Caire eoucordcM' la IIk'^oi'u^ des cellules cl de cclh^ d(^ Max- 
W(dl, nous ohleuons 

l/énergle polentudle du volume (lui sera doinn^e par Tinté- 




(^(Mtc expression est i(lentl([ue ii celle que nous avons déduite 
)i ':]'?) de hi théorie de Maxwell et, comme daus cette dernière 
théorie^, Ténergle potentielle d'un système électrlsé se trouv(^ 
dans le milieu dlélectrupie ([ui sépare les conducteurs. 



62 THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 

72. Remarque. — Dans les calculs précédents, nous avons admis 
qu'en chaque point du diélectrique, la force électrique ne dépend 
que de l'état électrostatique du système électrisé. S'il en était 
autrement, si, par exemple, outre la force électromotrice due aux 
actions électrostatiques, s'exerçait une force électromotrice d'in- 
duction, les formules auxquelles nous sommes parvenus devraient 
être modifiées. 

En particulier, la composante /du déplacement ne serait plus 
donnée par la formule 



mais par la formule 



'~ 4iT rf.r' 






OÙ X désigne la composante suivant l'axe des x de la force élcc- 
tromotricc d'induction. 

Pour le montrer, cherchons la variation Ai du potentiel quand 
on passe du centre de gravité Gj d'une cellule au centre de gra- 
vité G^ d'une cellule contiguë. Elle est égale à la variation brus- 
que II qui se produit quand on traverse la paroi isolante, augmen- 
tée du travail qu'il faut effectuer a l'encontre des forces d'induc- 
tion pour faire passer l'unité d'électricité positive de G^ à G,,, Si 
donc — X, — Y, — Z sont les composantes de la force électro- 
motrice d'induction quand on passe de Gj à G^, on a pour Ai, 

A]. = II + XAa • + YA// + ZAr. 

La charge électrique (j d'un de nos petits condensa leurs sera 
égale au produit de la capacité de ce condensateur, par la (Hlfé- 
rencc de potentiel H de ses deux armatures ; il viendra donc : 

y ^ _ CI! = — CAi + C (Xlr + YA/y + ZAr) 
et, au lieu d'avoir simplement 

\ ((j- ((// dz 






4, 



CAS DES CORPS ANISOTROPES 

on aura 



Dans toutes nos formules, 11 faudra donc remplacer 

dij d^ dij 

dx dy dz 



par 



La formule 



devient donc 



d^ d^ c/A 

^~^' lhi~^' ~d^~^' 



/~ K dx 






<'/.!• ' IV ' * 

73- Cas des corps anisotropes. — Il iin|)()rl(', pour |)()Uvoir 
clahlir la ihroi'ic ôlccIroinaj^'nrliijiK' de la double réiVaclion, de 
voir ce ([ur d('vi(Miiienl, ces formuh^s dans les cor|)s aîilsolropes. 

Reprenons la fonnuie (lo) du n" ni. Si dans ceU(^ formule on 

, • 4 ^^'\^ ^^'^ 1 , - P 

reu'ardail. -— -^. — 7™ et -• —comun^ les coordonnées d un point clans 

^ d.v ' df/ dz ^ 

res|)ac(* <d, ^/\V comme une conslanU\ on aurait ré(|uation d'un 
(dlipsoïd(\ 

Si l'on fait un clian^'<Mn(Mit d'axes de coor(lonné(^s, cet cllij)- 
soïde (ici if consei'vera la nn^nu* lornn*, nniis sa [)ositi()n par rap- 
j)oi't aux ax(\s variera. 

Prem)ns donc pour ax<^s de c()or(lonn<'es les axes de C(d. cllip- 
soïdi^, son éipiation deviendra : 



d.r J i> \ df/ J 'A \ dz 



64 

et on aura ; 



THÉORIE DES DIÉLECTRIQUES DE POISSON 



A = T--5 A — ^^ ' ck 



^.A.rAy=^C 



^"^^ VcA.A,==yCA.A,= =5;CA,A==o. 



er (§64). 



Reprenons la formule (5) de la théorie de Fonri 
En vertu des équations (ii) elle se réduira a 

^ dx 

A r „„o nnnv iiiisser de la théorie de 
Or nous avons vu au n" 69 que poui passe uc 
ui nous avu. -^ ,1'AiprHnrité cfui ont heu entre nos 

Fourier à celle des échanges d electncite qui 

nr 1 1 „„„ V f-n —i-. 11 vient donc encore, 
cellules, il suffit de changer Y en ^^^ 

et de même 

La seule diderence avec les é<iuati..ns (7), c'es, <iuo les cocdi- 
. . 1 <^ '^''L -iîi- ne sont plus égaux ealre eux. 
cientsde-^^,^^,^, rf/'/'- 

On en déduit : 







,bh 


K 


d'h 


/'= 


— A 


dx 


- 4- 


dx ' 






d'h 


K' 


d'h 


<J^ 


— A' 


<t!l 


" 4^ 


<(y ' 






d'h 


K" 


d'h 


h=^ 


— A" 


dz 


- 4^ 


dz' 



en posant 



K=4TtA, 



K' = 4-A', K" = 4-^V". 



CAS DES CORPS ÀNISOTROPES 65 

S'il exisl:e des forces électromotrices d'induction dont les com- 
posantes soient X, Y, Z, ces formules deviennent : 

k=.-FL(^ _ z 



47c V dz 



On trouve d'ailleurs 



df I (Ig ^ dh 
d:v dij dz 



et 



W==/.AV=j^.../.(gr+|^ 



]i' 



YJ'-' 



74. Discussion. — La théorie des cellalcs ne peut pas plus être 
adoptée définitivement que celle du fluide inducteur. Cette cons- 
titution hétérogène paraît cliflicile à admettre pour les diélec- 
triques liquides ou gazeux ('Z sïuUoul pour le vide ini er plané l aire, 
J'ai tenu néanmoins à exposer ces deux théories : elles seraient 
incompatil^les si on les regardait comme exprimant la réalité 
ol)jective, elles seront toutes deux utiles si on les considère 
comme provisoires. Si je m'étais jjornéîi développer Tune d'elles, 
j'aurais laissé croire (ce que croient l)ien des personnes, mais ce 
(j[ui me semble faux) (|ue Maxwell regardait le déplacement élec- 
trique comme le véritable déplacement d'une véritable matière. 

Le fond de sa pensée est bien dillerent comme nous le ver- 
rons plus loin. 



CHAPITRE IV 



DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS L'ACTION 

DES FORCES ÉLECTRIQUES 

THÉORIE PARTICULIÈRE A MAXWELL 



31 



"À" 
1\ 



75. Forces s' exerçant entre conducteurs èlectrisés, — Jus- 
qu'ici, nous avons supposé dans notre étutle que les conducteurs 
électrisés restaient immobiles. Or^ nous savons, par exemple, que 
deux conducteurs électrisés se repoussent ou s'attirent suivant 
qu'ils sont chargés d'électricité de même nom ou d'électricité de 
noms contraires. L'électricité agit doue sur la matlèr(^ Qu(îlle est 
la nature de cette action ? C'est ce ([ue nous ne pouvons dire avec 
précision^ ignorant la nature de la cause de Factiou, la nature de 
rélectricité. Toutefois nous n'avons nullement Ix'soin de la con- 
naître pour avoir la valeur de la lorce (piI s'oxcrce enti'e deux 
conducteurs ; il nous suilit d'applicpun' le j)rin('ipe de la conser- 
vation de l'énergie. 

En ell'et, considérons deux conducleui's C r\ {': p()ss(''dant des 
charges électri([ues M et ^l'. Suppos(Mis ([ne le conducUuir (] 
puisse se déplacer, mais sans loui'uer anioiir de son eenlre de 
gravité. La connaissance des coordonné<'s ;, y^, '^ de ee point suf- 
fira alors pour définir la [)osilIon de C dans r('spa<'<'. I/<MH'i'gie 
potentielle du système des deux conducteni's d('p;'n(l ('vid<Mnnu.ml 
de la position du conducteur C |)ar l'apport au eondueteui' iV et 
aussi des charges de ces conducteurs. La position de C se trouvanl 
définie, d'après notre hypothèse, par les coordonm-es de son cmitre 
de gravité, rénergic potentielle W du système est donc une 



FORCES ENTRE CONDUCTEURS ÉLECTRISÉS 67 

fonction de ces coordonnées et des charges M et M^ ; nous pou- 
vons poser 

W = F(?,-0,Ç,M,M'). 

Pour que le système soit en équilibre, il faut appliquer au 
conducteur mobile C une force égale et contraire à la force 
qu'exerce sur lui le conducteur C^ ; soient — X, — Y, — Z les 
composantes de la force qu'il faut appliquer à C. Puisqu'il y a 
équilibre, la somme des travaux virtuels de toutes les forces 
agissant sur le système, tant intérieures qu'extérieures, doitétre 
nulle. Pour un déplacement 0$ du centre de gravité de C le travail 
de la force extérieure est — XoL celui des forces intérieures est 

oç ; nous avons donc 



dl 






Nous tirons de cette équation pour la valeur de la composante X 
de la force exercée par C^ sur C, 



X = 



76. — L'hypothèse la plus simple et la plus naturelle (pie l'on 
puisse^ faire pour expliquer les allracllons et répulsions entre 
conducteurs électrisés est d'attril)iu;r ces actions il l'élasticité du 
(luide répandu entre les conducteurs et de chercher à ap[)li([uerà 
ce (hiide les principes ordinaires delà théorie deTélastieité. Malheu- 
reusenuMit les conséquences de cette hypoth(^se ne sont pas con- 
formes aux faits expérimentaux. Kn elFet, dans un (hiide élastnpie 
les forces éhisti([ues résultant de déplacements très petits sont des 
fondions linéaires de ces déplacements. Par conséquent Thypo- 
thèse dans hujuelle nous nous sommes placés conduirait il admet- 
tre que la force (pii s'exei'ce entre deux conducteurs électrisés est 
une fonction linéaire des charges électricpies des conducteurs. 
11 en résulterait qu'en doublant les charges de chaque conducteur 
on devrait avoir une force double; or, on sait que si les charges 
de deux conducteurs viennent il être doublées la force qui s'exerce 
entre eux est quadruplée. 

Bien d'autres hypothèses ont été proposées pour expliquer cette 



68 DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS ÉLECTRJSÉS 

action des conducteurs électrîsés. Si quelques-unes ont le mérite 1 ;;* 

de conduire à des conséquences conformes à l'expérience elles 
présentent Tinconvénient d'être compliquées et aucune raison ne 
peut être invoquée pour faire préférer l'une de ces théories à 
l'autre . Aussi, ne nous étendrons-nous pas sur ce sujet et nous 
bornerons-nous à exposer la théorie que Maxwell a proposée. 



% 



X = p-^, Y=-?-^, X 



P ■ 



d.T ' ' dy' ' dz 

Dans l'idée de Maxwell, qui dans toutes ses théories cherche à 
éviter l'hypothèse des actions électriques s'exerçant à distance, 
les répulsions et les attractions des conducteurs sont dues à des 
pressions sur la matière pondérable se transmettant à travers la 
matière diélectrique. — Cherchons la résultante de ces pres- 
sions. 






77. Théorie de Maxwell. — Prenons un élément de volume cZt ^ 

d'un conducteur électrisé et soit p la densité de Télectricité libre 
au centre de gravité de cet élément. Par électricité libre nous | 

entendons dans la théorie des deux fluides, l'excès de l'électricité 
positive sur l'électricité négative ; et dans la théorie du fluide 
unique l'excès de l'électricité contenue dans l'élément sur la 
quantité que ce même élément contiendrait à Tétat neutre. Les 
deux théories sont d'ailleurs absolument équivalentes. 

La masse électrique de ^élément est donc pd'z^ et si ^ est la 
valeur du potentiel au centre de gravité la force qui s'exerce sur 
cette masse électrique a pour composantes 

, dûj y dij y dii 

-P^^-^, -P^^-^, -P^^^-JT- 

L'expérience nous apprend que la force qui agit sur Télé ment 
matériel lui-même est égale à celle qui agit sur l'électricité qui 
y est contenue et par conséquent que cet élément ne pourra se 
maintenir en équilibre que si on lui applique une force destinée à 
contrebalancer l'attraction électrostatique. 

Si on appelle X^t, Yd-z, Tjdz les composantes de cette force, on 
devra avoir : 

diff dà ^, d^ 



PRESSrON SUM UN ÉLÉMENT DE SURFACE 69 

78. — La pression qui s'exerce sur un élément de surface n'est 
pas nécessairement normale à cet élément. Désignons par 

l\:,dio, V^yd^, Px=^^^? 

les composantes suivant les trois axes de la pression qui s'exerce 
sur un élément perpendiculaire à l'axe des x ; par 



P„^(^0), 



\^yydiù, 



Vy-diù^ 



les composantes de la pression sur un élément perpendicul^' 
à Oy ; enfin par 

P./J?W, V.ydlùy '^^^diù^ 

les composantes sur un élément perpendiculaire à Oz. Ces iiu 
quantités suffisent pour déterminer la pression sur un élément de 
surface orienté d'une manière quelconque. D'ailleurs, ces neuf 
quantités se réduisent à six. En effet la théorie de l'élasticité 
nous apprend qu'on doit avoir: 

(o\ P — P P — P P =P 

79. — Considérons maintenant un parallëlipipède rectangle 
(fig. 9) dont les arêtes, que nous supposeroiis parallèles aux axes de 
coordonnées, ont pour longueurs 
dx, dij, dz-, et écrivons que ce 
parallélipipède est en équilibre 
sous l'action des pressions qui 
s'exercent sur ses laces et sous 
l'action delà force extérieure dont 
les composantes sont Xrfx, Y<:fc, 
Zd-z, 

Les équations qui expriment 
que la somme des moments des 
forces par rapport à chacun des 
trois axes de coordonnées est nulle 
conduisent précisément aux rela- 
tions ['2). Exprimons donc seulement que la somme des compo- 
santes suivant un des axes des forces qui agissent sur le parallé- 
lipipède est nulle. 

La pression qui s'exerce sur la face ABCD a pour compo- 
sante parallèle à Ojt, I\^ dij dz\ la pression qui s'exerce sur la face 




l^^'g"- 9- 



7i> DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS ÉLECTRISÉS 

opposée EFGH a pour composante suivant la même direction 
"" ■ '^■'^ cf.'r) <i?/ <:fe. Nous adopterons la notation de Maxwell 



\ "^ ' dx 

qui regarde les tensions comme positives et les pressions comme 
négatives ; la résultante de ces deux forces se réduit alors a 
leur somme algébrique. 

d? dP 

r±^dxdydz = ^^d-., 
dx dx 

Nous trouverions de la même manière pour la somme algé- 
brique des composantes parallèles à Ox des pressions qui 
s'exercent sur les autres faces du parallélipipède. 

<r/P dP 



dij "' dz 

La somme de ces quantités doit être égale à — Xd^ ; nous 
avons donc 

^P,, d?,,, ./P,,, ,Z,f; 

dx dy dz ' dx 

En écrivant que les sommes des composantes des pressions 
suivant les axes des y et des ,3 sont égales aux composantes de la 
force extérieure suivant les mêmes axes, nous obtiendrons deux 
équations analogues. En divisant les deux membres de cbacune 
de ces équations par dx, nous aurons, en tenant compte des rela- 
tions (2) : 



^^-_ + i_^^^/- I ^^1^.^" ^ . 4 



(3) 



dx dij ^ dz '^ dx 



dir dy dz ' dy ' 

d]\,, , dP,„ . dP,. d'h 



dx "^ dy ^ dz ~ ?in,' 

.80. — Ce système de trois équations contient six inconn 



ucs : 



PRESSION SUR UN ÉLÉMENT DE SURFACE 



71 



il admet donc une infinité de solutions. Maxwell prend la sui- 
vante : 



8t. l\d.vj \ch/ 



dz) 



dij J \dzj J 
'■'^~ %^Wdy) \dz) \dx] J 



P.. 



(4) 






8t. Wdz) \dx/ \dij} \ 

p _p _JSi^4 

"^ "~ "■' ~ 4t. d.v dy 

p _p -Ji^l^ 

i=!/— i,,, — ^^ ^^^y ^i. 



p =rP = 



_K 4 4^ 

4 TU (Tjl'.r dz 



Montrons que ce système de solutions satisfait bien aux équa- 
tions (3). On a 



dx 



K /4 d'i^ 4 d'Jj dJj d'ij 
^iz \ dx dxr' dy dxdy dz dxdz ) ^ 



^p,. 



K Id^ d-'\ d'h d}<]f 



dy 4''^ V dx di/ dy d.fdy J ' 

dP.,. K 



dz 



_K_ /_4 ^ _4 dr'\> \ 
4- \ d.v dJ ~^ TE ^&ï/.j / ^ 



et le premier membre de lu première équation dcvicul, après 
réduction, 

K d'\> /d^\> d''\> J-d-N, K 4 



on a 



4'ît: cte V'^'i-'^ ' '■/!/' ' '(':■/ 4'i^ '^■'^ 
Or on a vu (12) <iuc dans un milieu diélectrique homogène, 



Par conséquent le premier membre de l'équation considérée 

peut s'écrire 

d'h 






7a DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS ÉLECTRISÉS 

ce qui montre que cette équation est satisfaite. On s'assurerait de 
la même manière que les deux dernières des équations (3) sont 
vérifiées par la solution adoptée par Maxwell. 'f 

81. — Prenons pour axe des ^ la direction de la force élec- 
tromotï'ice en un point et pour axes des ?/ et des .z deux droites 
rectangulaires perpendiculaires à cette direction. Si nous dési- 
gnons par F la valeur absolue de la force électifcmotrice, nous 
avons dans ce nouveau système d'axes 

dx ' dy ' d.z 

En portant ces valeurs dans les relations (4), nous obtenons 

P =^ 

p ^p =_^ 



p^ __ p ;^ P^ ,^ p_^^ ,^ p_^ ^^ p^ ^^ ç^^ 

Il résulte de ces égalités que la pression sur un élément de 
surface perpendiculaire à la direction de la force éleciromotrlce 
ou parallèle à cette direction est normale à cet élément. Sur un 
élément oblique par rapport à cette direction, la pression est 
oblique ; la composante suivant la direction de la force électro- 
motrice étant positive, il y a ienaion suivant cette direction ; 
pour une direction normale la pression est négative, il y a donc 
d'après la notation adoptée par Maxwell, pression au sens propre 
de ce mot suivant cette direction. En outre la tension qui 
s'exerce sur un élément perpendiculaire à la force électromotrice 
et la pression qui s'exerce sur un élément parallèle a cette force 
sont égales en valeur absolue. 

82. Discussion. — La théorie précédente, considérée en ^^ 

elle-môme, rend bien compte des lois connues des attractions 
électrostatiques. Si on l'adopte, il faudra admettre que ces attrac- 
tions sont dues à des pressions et à des tensions qui se déve- 
loppent dans un fluide élastique particulier qui remplirait les 
diélectriques. -^ 



i. 



PJRUSSION SUB UN ELEMENT DE SURFACE 73 

Mais il faudra supposer en même temps que les lois de Télas- 
ticité de ce fluide diffèrent absolument des lois de l'élasticité 
des corps matériels que ijous connaissons, des lois de l'élasticité 
admises pour l'éther luminifère, qu'elles diffèrent enfin des lois 
que nous avons été conduits à admettre pour l'élasticité du fluide 
inducteur. 

Pour ces deux fluides hypothétiques en effet, comme pour le: 
fluides pondérîîbles eux-mêmes, les forces élastiques sont p^ 
portionnelles aux déplacements qui les produisent, et il f 
de même des variations de pression dues à l'action de ce 
La pression, quelles que soient d'ailleurs les hypothèses 
mentaircs que l'on fasse, devrait donc s'exprimer linéaire^ 
à l'aide du potentiel et de ses dérivées. Au contraire nous venons 
d'être conduits à des valeurs de la pression qui sont du oS' degré 
par rapport aux dérivées du potentiel. 

Une fois que, rompant avec des habitudes d^esprit invétérées, 
nous aurons consenti à attribuer ces propriétés paradoxales au 
fluide hypothétique qui remplit les diélectriques, nous n'aurons 
plus d'ol)jection à faire à la théorie précédente considérée en 
elle même. Mais cependant, si elle n'implique pas de contradic- 
tion interne, on peut se demander si elle est compatible avec 
les autres théories de Maxwell, par exemple avec la théorie du 
(l<q)laceinent élecl,rî([ue que nous avons exposée plus haut sous 
le nom <h^ théories du fhiide inducteur. 

Il est évid(^nt (pie la conciliation entre ces deux théories est 
inq^ossible; car nous avons été conduits à attri])uer au lluide 
inducteur luie pression égale à 'i ; au contraire dans la théorie 
nouvelh^ la pr(\ssion du fluide qui remplit les diélectriques a une 
valeur toute différente. 

Il n(^ faut [)as attrll>uer à cette contradiction trop dlmpor- 
tance. j'ai rxposé plus haut en effet les raisons qui me font pen- 
ser (ju(^ Maxwell ne regardait la théorie du déplacement élec- 
trique ou du fluide inducteur ([ue comme provisoire, et que ce 
thiide inducteur au<[U(d il conservait le non\ d'électricité, n'avait 
pas h ses yeux pUis de réalité objective que les deux fluides de 
Couh)mb. 

83. — Malheureusement il y a une difïiculté plus grave. Pour 



74 DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS ÉLECTRISÉS 

Maxwell, et c'est un point auquel il tenait évidemment beaucoup, 
l'énergie potentielle, 



w= / ~{r+g'-+h^-)ch 



est localisée clans les divers éléments de volume du diélectrique, 
de telle façon que l'énergie contenue dans l'élément d^ a pour 
valeur 

ou, en supposant K = i, pour simplifier, et appelant F la force 
électromotrice ; 



Si donc F subit un accroissement très petit cl¥ , cette énergie 
devra subir un accroissement égal à : 

Nous prendrons comme élément de volume ch un parallélipi- 
pède rectangle infiniment petit dont une arête sera parallèle à la 
force électromotrice F et dont les trois arêtes auront pour lon- 
gueurs a, [B et y, de telle sorte que 



Cherchons une autre expression de cette énergie. 

Il est naturel de supposer que cet accroissement rfW de réncr- 
gie localisée dans cet élément ch est du au travail des pressions 
qui agissent sur les faces de ce parallélipipède. Les arêtes du 
parallélipipède qui, lorsque les pressions sont nulles, ont pour 
longueurs a, [3, y, prennent sous l'influence de ces pressions des 
longueurs 

a(i+£j, ?(i+s,), Y(ï+s,). 

Si nous supposons que ces quantités s^, s,, £3, prennent des 



•f 









PRESSION S un UN ÉLÉMENT DE SURFACE 7$ 

accroissements ch^^ rfs^, ch^, les travaux des pressions P^.,, P^^, 
P^^, sur les diverses faces du parallélipipëde seront 











.ch,= 


F^ 

8^ 


■ck 


ch. 


î 








871 ' 


{ide,= 


— 


F' 
8k 


■ ck 


'à-. 










Yh = 


— 




dx 


ch,. 


La 


somme 


de 


ces travaux est 
















172 


7 / 7 








\ 



-r. — (h (de, — de., — dz^i . 
8- / ^ ^ ^^ 

Si nous attribuons l'énergie potentielle aux travaux des pres- 
sions, nous devons avoir égalité entre ces travaux et la varia- 
tion dW de Ténergie, c'est-à-dire 

F^ 2F dV 

-r — d'z (ds. — de., — de.,) = --r: — dx, 
87c ^ ^ ^ ^^ 87c ' 

ou, 

2dF 

de^ — de.^ — de^ -. 



F 



En intégrant nous ol)teTn)ns 



2^. c_^ £^ r=: 'A log F + COUS t. 

Co résultat c^st inadmissible, car dans l'état d'équililjre, nous 
avons F=^M) et l'égalité précédent(^ ne pourrait alors avoir lieu 
([ue si e^ ou e.^ dev(Miait infini, c()nsé<pnnice évidemment al)surde. 

84. — La tbéori(^ du Jj 77 est donc incompatible avec l'bypo- 
ibèse (ondamentab^ de la localisation de l'énergie dans le diélec- 
tricpu', si Ton regai'd(^ cette énergie^ comme polenùelle. 11 n'en 
S(M.'ait plus de ménu'. si Ton regardait cette énergie comme clnè- 
I'kjuc^ c'(\st-î»-dire si Ton supposait ([ue le diélectrique est le 
sièg(^ d(^ mouv(nn(Mits tourl)illonnalres et que W représente la 
forcc^ vive due à ces mouvements. Mais on ne peut encore adopter 
cette interprétation de la pensée de Maxwell sans se heurter à 
de grandes dlCficultés. 



f 



76 DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS ÉLECTRTSÉS ||. 

Lorsque le savant anglais applique les équations de Lagrange 'A* 

" lo tViAnri'e des pliénomènes électrodynamiques, il suppose If 

*, comme nous le verrons plus loin, que l'énergie % 



27C 




~ if+s'- + h-)ch 



l'énergie potentielle et que l'énergie électrodynamique 
ire cinétique. 

îrve-t-il l'explication par les mouvements tourbil- 
ur les attractions magnétiques et électrodynamiques 
e-t-il pas à l'appliquer aux phénomènes électrosta- 



rête ici cette longue discussion qui me semble avoir ? 

uvé que la théorie précédente, parfaitement acceptable en 
i-mème, ne rentre pas dans le cadre général des idées de A 

Maxwell. ^ 

On pourrait, il est vrai supposer que rénergie électrostatique 
W représente de la force vive, comme l'énergie électrodyna- 
mique, mais qu'elle en diffère parce qu'elle est la force vive due 
h des mouvements beaucoup plus subtils encore que ceux qui 
donnent naissance à l'énergie électrodynamique. Je ne crois pas 
qu'il y ait grand avantage à développer une interprétation aussi 
compliquée ; en tout cas on n'en voit pas de trace dans le Traité 
de Maxwell sous sa forme définitive. -h 



CHAPITRE V 

ÉLEGTROKINÉTIQUE 



85. Conducteurs linéaires. — La propagation de l'électricité, 
en régime permanent dans les conducteurs linéaires est réglée 
par deux lois : la loi de Ohm et celle de Kirchho/f. 

D'après la première, la force électromotrice qui agit entre les 
extrémités d'un conducteur est proportionnelle à la quantité 
d'électricité qui traverse l'unité de section de ce conducteur 
pendant l'unité de temps. Dans le cas oii la section du conduc- 
teur est partout la môme, comme dans un fil cylindrique, la 
force électromotrice est proportionnelle à la quantité d'élec- 
tricité qui passe à travers cette section pendant l'unité de temps. 
Cette quantité est appelée V intensité du courant qui parcourt le 
conducteur ; nous la désignerons par i. Si le conducteur est 
homogène et si aucun de ses points n'est le siège de forces 
électromotrices, la force élcctromotricc entre ses extrémités est 
égale à la diderencc J/^ — \., des valeurs du potentiel en ces 
points et la loi de Ohm conduit à la relation 

Mais dans le cas le plus général il existe en différents points 
du conducteur des forces électromotrices qui sont dues soit a 
un défaut d'homogénéité, soit à des phénomènes calorifiques 
ou chimiques, soit cnlin à des effets d'induction. Ya\ désignant 
par SE la somme des forces électromotrices de cette nature 
qui existent en divers points du conducteur linéaire, nous avons 
alors 

(i) Ri==J;^ — ^, + SE. 



78 ÉLECTROKINÉTIQUE 

Dans ces deux formules R est ce qu'où appelle la ?'ésistance 
du conducteur. Cette résistance est liée a la longueur l et à la 
section dtù clu conducteur par la relation 

où C est un facteur ne dépendant que de la nature du conduc- 
teur et qu'on nomme coefficient de conductiçité. 

La loi de Kirchhoff n'est autre que l'application du principe de 
continuité. D'aj^rès cette loi, si plusieurs conducteurs linéaires 
aboutissent en un même point de l'espace , la somme des inten- 
sités des courants qui les traversent est nulle. 

86. Nouvelle expression analytique de la loi de Ohm. — Si 
nous portons dans la formule (i) la valeur de la résistance donnée 
par la relation (2) nous obtenons 

Considérons un élément infiniment petit de longueur d.v du 
conducteur. Appelons — d'I la différence des potentiels entre 
deux extrémités quand on se déplace dans le sens du flux d'élec- 
tricité, et Xd,v la variation des forces électromotrices de toute 
autre nature. L'équation précédente devient alors 

ùLr -, ^^ , 

_~~ = _ r/i + XJj: 
Lat.o ' 

ou 

/ d'I 

r- + X. 



Cd(j} dx 

INIais puisque /est la quantité d'électricité qui traverse pendant 
l'unité de temps la section du cojulucteur, le quotient est la 

vitesse du déplacement de l'électricité ; en appelant u cette 
vitesse nous avons 

(3) f = -# + ^. 

équation équivalente à la loi de Ohm dans le cas d'un conducteur 
linéaire. 



CONDUCTEURS DE FORME QUELCONQUE 79 

87 . Conducteurs de forme quelconque. — L'analogie de la con- 
ductibilité électrique et de la conductibilité calorifique conduit à 
.étendre la loi de Ohm aux conducteurs a trois dimensions. D'ail- 
leurs cette extension se trouve justifiée par la concordance des 
conséquences théoriques et des faits expérimentaux observés 
dans quelques cas particuliers. 

Admettons donc cette généralisation de la loi de Ohm. Si 
nous appelons A le potentiel en un point quelconque d\ir 
élément ch du conducteur, X, Y, Z les composantes de ] 
électromotrice d'origine quelconque qui s'exerce en ce f 
enfin, z^, <>>, w les composantes de la vitesse de rélectrici 
point, nous aurons pour chacune des directions parallc*^ 
axes de coordonnées une relation analogue à la relation (3). Ce;. 
trois relations sont 






X, 



(4) {^ = -"1^+^^ 



\v 



cVj 



C "~^ dz 



z. 



Remarquons que ?/, c, \v désignenl h's mêmes quanliLcs qu'en 
éleetricUé slali(|uc : les composantes de la vilessc de déphicè- 
meiit électrique. Ce sont donc encore les dérivées par rapport au 
temps des convposantes f\ i^\ h du déplacement de Max^\'ell. 

Quant il lu loi de Kirchhoir, il est évident cpi'elle peut être 
étendue aux couducLeurs à trois dimensions puis(prelle n'esl 
(ju'uue conséquence du principe de la continuité. Les iiitensités 
étant proportionnelles à //, p, (r, cette loi conduit à la relalion 

du ds' dn' 

d.r dij dz _ 

Dans la théorie de Maxwell où rélectricité est supposée incom- 
pressible, cette relation^ qui exprime la condition d'incompres- 
sibilité du fluide, est toujours satisfaite, que le régime perma- 
nent soit atteint ou ne le soit pas. 



8o ÉLECTROKINÉTJqUE 

88. Différences entre les courants de conduction et les cou- 
rants de déplacement. — Suivant Maxwell, le fluide inducteur 
qui remplit un milieu diélectrique tend à se déplacer sous Tin- 
fluencedes forces électromotrices comme Télectricité qui remplit 
un milieu conducteur. Mais tandis que dans le premier cas ce 
déplacement s'arrête bientôt grâce à la réaction élastique du fluide 
inducteur, il n'en est plus ainsi dans le second, le fluide répandu 
à l'intérieur des milieux conducteurs ne jouissant pas de pro- 
priétés élastiques. Il en résulte que les courants de déplacement 
ne peuvent durer que pendant le temps très court nécessaire à 
l'établissement de l'équilibre. Au contraire les courants de 
conduction peuvent se maintenir tant qu'un agent extérieur 
maintient une force électromotrice entre deux points d'un con- 
ducteur. C'est là une première diflerence entre les courants de 
conduction et les courants de déplacement. 

Une seconde différence résulte des équations qui expriment 
les lois auxquelles obéissent ces courants. Les équations (4) éta- 
blies pour les courants de conduction, peuvent s'écrire 

cLv ~ C ' 

15) ^ ^^^ Y ^' 

l dz '~ C ' 

D'autre part, nous avons montré (72) que s'il existe à rinlé- 
rieur d'un diélectrique des forces éleclromotrices (<iue nous 
avons supposées dues à l'induction, mais que nous pourrions 
supposer d'une autre nature s'il était possil^lo d'en concevoir), 
les équations des courants de déplacement doivent s'écrire 



(6) 



4 


= X- 


4a 


cbl 




4- 


dll 


==Y- 


K ^■" 


4 

dz 


=3Z — 


■!?"• 



COURANTS DE CONDUCTION ET COURANTS DE DÉPLACEMENT Si 

Le rapprochement des équations (5) et (6) fait voir immédiate- 
ment que tandis que les courants de déplacement dépendent de 
la grandeur du déplacement, les courants de conduction dépendent 
de la vitesse de ce déplacement. 

89. — Pour bien comprendre la différence qui en résulte pour 
les deux courants prenons les deux exemples suivants comme 
termes de comparaison. En premier lieu supposons qu'on «^l^^v 
un corps pesant le long d'un plan incliné où le frotter 
nul ; on accomplit un travail qui se retrouve sous 1 
d'énergie potentielle sensible. Supposons maintenant 
mouvement s'eflectue sur un plan horizontal où le frottemuu 
considérable ; quand la puissance cessera d'agir le corps rester» 
en repos ; le travail accompli ne se retrouve plus sous forme 
d'énergie potentielle sensible, il se retrouve sous forme de cha- 
leur. Dans le premier cas le travail dépend du déplacement du 
corps, dans le second de sa vitesse. Nous trouvons quelque chose 
d'analogue dans les deux espèces de courants : la production de 
courants de déplacement produit une variation de l'énergie 
potentielle du système qui dépend du carré du déplacement ; les 
courants de conduction donnent lieu à un dégagement de 
chaleur. 

Une autre comparaison empruntée à l'hydrodynamique permet 
également de se rendre compte de la diderencc qui existe entre 



D 






C 


N 












^ 





F A 

Fi''-. 10. 



les deux espèces de courants. Prenons une pompe P (fig. lo) 
portant deux tubes latéraux AB et FE communiquant entre eux 
par deux tubes verticaux BC et ED et par un tube horizontal CD. 
Supposons cette pqmpe remplie de mercure, ainsi qu'une partie 

PoiKCAKK. Electricité et Ox)tîquc. 6 



. 4 



ÊLECTROKINÉTIQUE 

... tubes, et soient M et N les niveaux du mercure, situés à 
l'origine clans un même plan horizontal, clans les tubes verticaux. 
Admettons enfin, que le tube CD et les parties des tubes verti- 
caux, non occupées par le mercure, sont remplies d'eau. Si nous 
faisons fonctionner la pompe, un courant liquide se produit dans 
l'appareil et dans un certain sens, le sens ABCDEF par 
exemple, et le niveau du mercure s'élève en M et s'abaisse en N, 
jusqu'à ce que la différence de niveau donne lieu à une pression 
suffisante pour empêcher le jeu de la pompe. Le travail dépensé 
est alors employé à produire une différence de niveau; il se 
retrouve sous forme d'augmentation de l'énergie potentielle du 
système et cette énergie dépend de la position des niveaux du 
mercure. Nous avons là une image fidèle d'un courant de dépla- 
cement. 

Modifions légèrement l'appareil précédent. Donnons aux tubes 
une très faible section et supposons cjuc ces tubes et la pompe 
soient complètement remplis de mercure. Quand on fait mou- 
voir la pompe, le mercure se déplace, et par suite de sa viscosité 
il oppose une résistance au mouvement du piston. Lorsque cette 
résistance est égale à la puissance qui agit sur la pompe, le mer- 
cure se meut avec une vitesse constante et ce mouvement a lieu 
tant c|ue dure le fonctionnement de la pompe. Le travail de la 
puissance se retrouve sous forme de chaleur développée par le 
frottement des molécules liquides et la quantité de chaleur 
dégagée dépend de la vitesse. Nous retrouvons dans cet exemple» 
l'image complète d'un courant de conduction : régime variable 
pendant la période d'établissement, régime permanent se pro- 
duisant ensuite, transformation du travail en chaleur. 

90." Loi de Joule. — La quantité de chaleur dégagée dans un 
conducteur traversé par un courant est, d'après la loi de Joule, 
proportionnelle au carré de l'intensité de ce courant. Dans la 
théorie de Maxwell le travail nécessaire pour vaincre la résis- 
tance opposée par un élément de volume ch à la propagation de 
l'électricité a pour expression 



\^^f + -^ ^^S + ^ ^^N ^^'^ ^fi ? 



LOI DE JOULE 83 

df^ dg^ dh étant les composantes cki déplacement qui a lieu 
pendant un intervalle de temps dt. Cette expression peut 
s'écrire : 

/ df , dg dh\d'Z - 

\ dt dt dt C 



• ^ dz dt. 

Pour le conducteur tout entier, ce travail est 




Il est proportionnel au carré de l'intensité'; la quantité de 
chaleur qui résulte de sa transformation l'est donc aussi, comme 
le veut la loi de Joule. 

Maxwell, dans son ouvrage, consacre plusieurs chapitres inté- 
ressants à l'étude de la conduction. Nous ne le suivrons pas 
dans tous les développements qu'il donne sur ce sujet et nous 
bornerons à ce que nous venons de dire l'exposé de l'élcctroki- 
né tique. 



CHAPITRE VI 

MAGNÉTISME 



91. F'iuides magnétiques. Lois des actions magnétiques. 
' — Rappelons les points principaux de l'étude du magnétisme. 

Nous savons que dans les phénomènes magnétiques tout se 
passe comme s'il existait deux fluides magnétiques jouissant, 
comme les fluides électriques^ de propriétés opposées dans 
leurs actions réciproques : les fluides de même espèce se repous- 
sent, les fluides d'espèces contraires s'attirent. 

Les lois de ces attractions et répulsions sont identiques à celles 
des actions des fluides électriques : la force qui s'exerce entre 
deux masses magnétiques varie en raison inverse du carré de la 
distance et proportionnellement aux masses agissantes. En pre- 
nant pour unité de masse magnétique celle qui, agissant sur une 
masse égale placée à l'unité de distance, exerce une lorce égale 
à l'unité, et convenant de donner des signes contraires aux 
masses magnétiques de nature difierente, nous avons pour la 
valeur de la force s'exercant entre deux masses /;^ et /;^' placées 
à une distance r, 

j. nun' 



Dans ces conditions une force répulsive est négative ; une 
force attractive est positive. La formule précédente a été étalVIie 
expérimentalement par Coulomb et son exactitude est coniirmée 
par la concordance de ses conséquences avec les résultats de 
l'expérience. 

92. Masse magnétique d'un aimant. — La seconde loi fonda- 
mentale du magnétisme est que dans un aimant quelconque la 



POTENTIEL D'UN ÉLÉMENT D'AIMANT 85 

somme algébrique des masses magnétiques, définies comme on 
vient de le voir, est nulle. Cette loi découle du Tait expérimen- 
tal qu'un aimant placé dans un champ magnétique uniforme, 
comme celui produit par la Terre, ne prend pas de mouvement 
de translation. En effet^ si la masse magnétique totale de Tai- 
mant n'était pas nulle, l'aimant serait soumis a une force et non 
à un couple et cet aimant se déplacerait sous l'action du champ. 

93. Constitution des aimants. — La rupture d'un aimant en un 
grand nombre de petits morceaux donne naissance à autant de 
petits aimants et chacun d'eux présente deux pôles de même 
intensité et de signes contraires. Rn rassemblant ensemble ces 
petits aimants on reproduit l'aimant primitif avec toutes se; 
propriétés. On peut donc admettre qu'un aimant est constitué 
par des petites particules contenant deux masses magnétiques 
égales et de signes contraires. La somme algébrique des masses 
de chaque particule est nulle et, par suite, la masse totale d 
l'aimant tout entier est aussi nulle, comme l'exige la loi précé 
dente. Cette hypothèse sur la constitution des aimants n'est donc 
pas en contradiction avec l'expérience. 

94. Potentiel d'un élément d'aimant. Composantes de 
l'aimantation. — Prenons une des particules élémentaires, do 
volume rfT, qui composent un aimant ^ p 
et cherchons la valeur du potentiel 
en un point P (fig. ii). Soient m 
et — m les masses magnétiques pla- 
cées aux points infiniment voisins A 
et B de cet clément ; /^ ;*^ les ^ " '^* '^'' 
distances de ces points au point P. Le potentiel en P est 

7.. 7;z m / I I \ r, — r, 



Abaissons de A la perpendiculaire AC sur la droite BP ; 
r^ — j\ est, à des infiniment petits du second ordre près, égal 
il BC Avec la môme approximation nous avons, en appelant da 
la distance AB, et s l'angle de OP avec la direction BA, 

r\ — j\^z=dacosEy 



86 MAGNETISME 

et aussi 

r étant la distance du point P au point 0. 
Par suite, la valeur du potentiel en P est 

, , -^ mda cos s 

(0 du-=z 



Transformons cette expression en y introduisant les compo- 
santes A, B, G de V aimantation ou magnétisation I. Ces compo- 
santes sont définies par les relations suivantes 

m dx = A^T, 7ndy == B ^i-:, mdz= Cdi, 

où dxy dy^ dz, désignent les projections de la droite BA suivant 
trois axes rectangulaires. 

Nous avons, si Ç, v), Ç sont les coordonnées du point P et x^ 
y^ z celles du point 0, 

dx ? — X , dy 7) — ?/ , dz Z, — z 

cost=— 1- -j^ — =^ + -7 ? 

da r da ;- da r 

et par conséquent pour la valeur de c^Q, 

,^ dû cos s ( \ X , . Ti — 7/ y . Ç — z y \ 

dil = m 2 = ^^^ [ 8 — <^^*^' H tT^ ^y H H — ^^^ ) • 

Mais le carré de la distance du point au point P est, 

nous en tirons 



et 



dx 



7 ^ — 

l — X I dr r 



r^ r'^ dx dx 

Nous aurons de la môme manière 

d ^ d — 

7'^ dy ' 7'^ dz 



POTENTIEL D'UN AIMANT 87 

Nous pouvons donc écrire : 

d — d —^ d 

dû == /nda; — r- u mdi/ — ; \-7ndz — = — , 

dx ^ dij dz 

ou en tenant compte des relations qui définissent les compo- 
santes de la magnétisation, 

dù=( k—j!—-+''^---^+C — AV-^- 

\ dx dij dz j 

95. Potentiel d'un aimant. — Le potentiel d'un aimant s'ob- 
tiendra en additionnant les potentiels dus à chacun de ses élé- 
ments ; il aura pour valeur 




Un aimant étant limité par une surface fermée, nous pouvons 
modifier cette expression. En désignant par Z, /n, 71 les cosinus 
directeurs de la normale à un élément dw de la surface de l'aimant 
avec les axes de coordonnées nous avons en elfet. 



d A , 
dx r 



ou 




SI nous transformons de la môme manière les deux autres 



88 MAGNÉTISME 

termes de l'intégrale qui donne il nous obtiendrons pour cette 
quantité; 

dk , dB , dC 




dio — 



dx 



dij 



dz 



d-z. 



On peut donc considérer le potentiel en un point comme résul- 
tant d'une couche de magnétisme répandue à la surface de Tai- 
mant et de densité 

cr == ^A + mB H- 7zC, 

et d'une masse magnétique occupant tout le volume de Faimant 

et de densité 

dk. . dB . dC^ 

dx 



dij 



dz 



96. — Remarquons que la relation de Poisson donne pour un 
point extérieur à l'aimant : 

AQ=:0, 



et pour un point intérieur : 






dC 



dz 



97. Potentiel d'un feuillet magnétique. — ^Supposons un 
aimant limité par deux surfaces infiniment voisines chargées 

de couches magnétiques 
éo^ales et de sio'ucs con- 
traires. Si en chaque point 
de hi surface la magnéti- 
sation est normale à cette 
surface, et si le produit le 
de l'intensité de magné- 
tisation I par l'épaisseur e 
de l'aimant est constant, 
l'aimant prend le nom de 
feuillet /magnétique . Le 
produit constant le s'appelle la puissa/ice <ï> du feuillet. 




Fig. 12. 



FORCE MAGNÉTIQUE EN UN POINT EXTÉRIEUR ^ 

Prenons un élément A d'aire diù sur la surface du feuillet ; la 
charge de cet élément est adio^ a étant la densité de la couche 
magnétique S au point A. La portion AB du feuillet qui corres- 
pond à cet élément de surface peut être considérée comme un 
aimant infiniment petit possédant des charges o-r/to et — ^diû aux 
points A et B distants de e, La formule (i) du § 94 donne pour 
le potentiel en P de cet élément, 

, ecose 
dû = o-ao) 



Cette expression peut être transformée. En eiEFet, la magnéti- 
sation étant dirigée suivant BA, on a 

crdoye = I^t == ïd(.oe == <^<^to, 

et par suite 

,^^ ^>(^0) cos £ 
ciil == r 



T._ . diÙ cos £ 1, ■ 1 1-17 1 1 1ÎO - 1 

Mais 2 <^st 1 angle solide a'j> sous lequel 1 élément de 

feuillet est vu du point P ; on peut donc écrire 

dû = (\nlz>. 

Pour un feuillet de dimensions finies, on aura 

c'cst-à-dirc : 

Le potentiel d'un feuillet magnétique eu un point extérieur 
est égal au produit de sa puissance par Tangle solide sous lequel 
le feuillet est vu du point considéré ; ce produit est pris avec le 
signe + ou le signe — suivant que la face vue est positive ou 
négative. 

98. Force magnétique en un point extérieur, — Les compo- 
santes de la force qui s'exerce sur l'unité de masse magnétique 
positive placée en un point extérieur sont les dérivées partielles 
du potentiel en ce point prises en signe contraire. En les dési- 
gnant par a, p, y, nous avons 

dû ,, dû dû 

1^ = — ^777^ ï 



dx ' ^ dy'^ d.z 



90 . MAGNETISME 

99. Force magnétique dans V intérieur d'un aimant, — Nous 
ne, pouvons connaître la force qui s'exerce sur Tunité de masse 
magnétique placée a l'intérieur cle l'aimant sans y creuser une 
petite cavité permettant d'y placer un petit aimant d'épreuve ; 
mais l'existence de cette cavité modifie l'action de l'aimant et 
cette modification dépend de la forme donnée à la cavité. Pour 
faire le calcul de la force en un point de la cavité, il faut donc en 
connaître la forme. 

Maxwell ne considère que deux cas particuliers dans lesquels 
la cavité est un cylindre très petit dont les génératrices sont 
parallèles à la direction de la magnétisation. Dans le premier cas 
la hauteur du cylindre est infiniment grande par rapport à sa 
section ; dans le second elle est infiniment petite. 

Appelons Q le potentiel de Taimant tout entier en un point 
intérieur et 0^ le potentiel de la masse cylindrique enlevée pour 
former la cavité en ce même point. La difïerence — Q^ est la 
valeur du potentiel de l'aimant en P quand la cavité y est creusée. 
La force sur l'unité de masse magnétique a alors pour compo- 
santes 

^ dQ dO^ _ dÙ_ dù^ _ dÙ^ dÙ^ 
d,v dx ' dij dy ' dz dz 

100. — Cherchons la valeur de 0^ quand la hauteur du cylindre 
est grande par rapport à la section. Qj est la somme de deux 
intégrales, l'une étendue à la surface, l'autre au volume. Cette 
dernière est infiniment petite du troisième ordre et peut être 
négligée vis-à-vis de la première. Mais dans celle-ci les éléments 
correspondant aux bases du cylindre peuvent aussi ôtre négligés, 
ces bases étant infiniment petites par rapport à la hauteur; il n'y 
a donc a tenir compte que de la surface latérale. Or, en tout 
point de cette surface la normale est perpendiculaire ii la direc- 
tion de magnétisation; par suite, la projection /A-|~/?zB-|-/iC de 
la magnétisation sur cette normale est nulle et les éléments de 
l'intégrale correspondante à la surface latérale sont encore nuls. 
Il en résulte donc que Ton peut alors négliger la quantité il^. On 
a pour les composantes de la force magnétique 

do. ,^ da du 

^^^-ZJ' ^^'^1^' '^"^-lîT' 



INDUCTION MAGNÉTIQUE 91 

expi^essions identiques à celles qui donnent les composantes en 
un point extérieur. 

101. Induction magnétique. — Passons maintenant au cas où 
la hauteur de la cavité cylindrique est très petite par rapport à la 
base. Comme précédemment, nous pouvons dans la valeur de ù^ 
négliger l'intégrale étendue au volume. Dans l'intégrale double 
les éléments fournis par la surface latérale sont nuls puisque la 
normale à chaque élément de surface est perpendiculaire à la 
direction de magnétisation ; il suffit donc d'étendre l'intégrale 
double à la surface des bases du cvlindre. 

Pour trouver la valeur de cette intégrale prenons pour axe 
des X une parallèle à la direction de magnétisation ; cet axe sera 
alors perpendiculaire à chacune des bases du cylindre. Poui 
chaque élément de Tune d'elles nous aurons Z=I,;;^=:o, ?i = o 
et pour chaque élément de l'autre 1= — i^ m==Oy n = o. Dan 
ce système d'axes particulier nous avons donc pour la valeui 
de 0., 




chacune des deux intég:rales étant étendue à la surface des bases. 
Cette valeur est la môme que si Ton supposait que chaque base 
du cylindre est recouverte d'une couche do magnétisme ayant 
respectivement pour densités -f- A et — A. L'étendue de ces 
couches étant très grande par rapport à leur distance, qui est 
égale à la hauteur du cylindre, l'action qu'elles exercent sur 
l'unité de masse magnétique placée entre elles a pour valeur 4t^ A. 
Cette force est dirigée du côté de la couche négativC; c'est-a-dire 
en sens inverse de la magnétisation. 

La cavité, qui a un eOet contraire a celui du cylindre aimante 
de même volume, produira donc une auginenlation de la force 
dans la direction de la magnétisation et cette augmentation sera 
4'n:A. Par suite la composante suivant Ojc de la force exercée par 
l'aimant sur l'unité de masse placée à l'intérieur de la cavité est 

az==z 1-4'^A =a-|-4'^A. 



9 a MAGNÉTISME /f^ 

Il est évident que si au lieu de prendre le système particulier | 

d'axes dont nous avons fait usage, nous prenons des axes quel- J 
conques nous obtiendrons pour les composantes de la force des 

expressions analogues à la précédente. < 

Ces composantes sont donc « 



( 



a= a.-\- ^Tzk, 

c = Y + 4'^C. 



Maxwell les appelle les composantes de Vinduclion magnétique 
à Vintérieur de V aimant, 

102. — Remarquons que la quantité 

(f.dx + ^dy + '^dz 

est une différentielle totale, puisqu'elle est égale à — dù^ tandis 
que la quantité 

adx + bdy + cdz 

ne Test pas. 

Une autre différence entre la force magnétique et Tinduction 
magnétique consiste dans la valeur de la somme des dérivées 
partielles de leurs composantes : cette somme est nulle pour 
rinduction magnétique ; elle ne Test pas pour la force magné- 
tique. 

Montrons en effet que 



da db de 
dx dy dz 




On a 




da db de rfa d^ ■ dy / ( dl^ 
dx ' dy ' dz~ dx ' dy ' dz ' "^'Xdx ' 


dB dC 
dy dz 


ou 




da db de (dk dB 
dx^^dy^dz- ^^'^ + 4H./.r + ./^ ■ 


^§)- 


Or, 




dk d^ dC 




dr ' d„ ' ri- ~ ?' 





MAGNÉTISME INDUIT gS 

et la relation de Poisson donne", pour un point intérieur, 

AQ = — ^-K^ . 
La somme considérée est donc nulle. 

103. Magnétisme induit. - — Certains corps placés dans un 
champ magnétique s'aimantent par influence. Poisson ?>-i-.^+^ 
les composantes de la magnétisation induite en m 
corps sont proportionnelles aux composantes de Ih 
tique en ce point. Posons donc 

A==xa, B=x[3, C = xy. 

D'après les formules précédentes, les composantes de l'induc- 
tion seront, au même point, 

/ a =: a-\~ 4'^A = (i + 4^^) ^'1 

Z,_[3 + 4..B = (i + 4^x)^3, 

\ c = y + 4'C = (i + ^T.x) y. 

En posant 

^a=.(H-4T:x), 

CCS formules deviennent : 






Maxwell appelle iji la capacité jnagnétique inductipe. Cette 
([uantité est analogue au pouvoir indiictear spécifique K de Télec- 
trostatiquc ; elle est plus grande que Tunitépour les corps magné- 
liqnes, égale à l'unité dans le vide, plus petite que l'unité pour 
les corps diamagnc tiques. 

104. — La simplicité des formules précédentes peut faire illu- 
sion sur la difficulté de la détermination de l'induction en un 
point d'un corps. C'est que nous n'avons pas tenu compte de ce 
que X et \}. ne sont pas des constantes ; en second lieu nous avons 
supposé n'avoir en présence que des aimants permanents où la 



MAGNETISME 

«. coercitive est infinie et des aimants produits par influence 
s lesquels la force coercitive est nulle. 
ljCs corps naturels ne satisfont pas à ces conditions. La force 
îrcitive ne peut jamais être ni rigoureusement nulle, ni rigou- 
isement infinie. De plus le coefficient x n'est pas une 
Qstante. C'est une fonction de Tintensitc du magnétisme 
.^ + B'^ + C" à laquelle on a donné le nom de fonction magné- 
ante. On n'a le droit de regarder x et p. comme des constantes 
^e si la magnétisation est très faible. 

C'est ce que nous supposerons toujours dans ce qui va suivre , 
-ela sera d'autant plus légitime que pour la plupart des corps \k 
ère très peu de i . 



CHAPITRE VII 

ÉLECTROMAGNÉTISME 



105. Lois fondamentales, — Plusieurs modes cVexposition 
peuvent être adoptés pour trouver raction exercée par mi courant 
fermé sur un pôle magnétique et montrer que cette action peut 
être assimilée a celle d'un feuillet magnétique de même contour. 
Nous ne suivrons pas celui de Maxwell qui prend comme point 
de départ Téquivalence d'un courant infiniment petit et d'un 
aimant ; nous nous appuierons, pour arriver aux formules de 
Maxwell, sur trois lois démontrées par l'expérience et sur une 
hypothèse. 

Les trois lois expérimentales sont les suivantes : 

r^ Deux courants parallèles de même intensité et de sens 
inverses exercent sur un pôle magnétique des actions égales et de 
signes contraires ; 

2'^ Un courant sinueux exerce une action égale à celle d'un 
courant rectiligne qui aurait les mêmes extrémités ; 

3° La force exercée par un courant sur un pôle magnétique est 
proportionnelle à l'intensité du courant, c'est-à-dire à la quantité 
d'électricité qui traverse une section du conducteur pendant 
l'unité de temps. 

Les deux premières de ces lois ont été démontrées par Ampère ; 
la troisième a été vérifiée par de noml)reuses expériences : les 
unes effectuées en déchargeant des batteries chargées de quan- 
tités d'électricité connues, comme dans les expériences de 
Colladon et de Faraday; les autres plus précises, faites avec le 
voltamètre. 

106. Hypothèse. — L'hypothèse que nous joindrons aux lois 
précédentes, est que les composantes de la force agissant sur 



ÉLECTROMA GNETISME 

o-nétique sont les dérivées partielles d'une même 

qiu ne dépend que de la position du pôle par rapport 

it, 

e hypothèse paraîtra la plus naturelle si l'on songe qu'il 

avoir conservation de l'énergie dans le système. Mais fai- 

bserver que ce n'est pas la seule qui soit compatible avec 

icipe de la conservation de l'énergie ; l'hypothèse adoptée 

ût donc se trouver en défaut sans que le principe de la 

jnservation de l'énergie cesse d'être vérifié. 

^'après cette hypothèse nous pouvons poser pour les valeurs 

;les composantes de la force agissant sur l'unité du pôle 

_ ^^ ft__i^ — _i^ 

''•~~^' ' dy' ^~ dz' 

onction Ql est appelée le potentiel du circuit parcouru par 

courant. Pour en trouver l'expression nous aurons recours à 

quelques théorèmes que nous allons établir tout d'abord. Nous 

négligerons d'ailleurs, pour plus de commodité, la constante 

d'intégration de la fonction ù, 

107. Théorème L — Le potentiel du à an rirraite.st és>'al à la 
somme des potentiels dus au.v divers ci/'cuits suii^ant lesquels on 
peut le décomposer. 

Cette propriété découle immédiatement de hi loi fondamcnlalo 
des actions ex(M'C(''es par deux cou- 
rants parallèles et de sens inverses. 

Vax ellVt, soit ABCI) (lig. i.'^) un 
courant i'cruié ; nous pouvons le (b'com- 
poser en deux circuits AIUlAcl ACJ)A 
parcourus dans \o sens ch^s (lèch(\s. Le 
cir'cuit Ki] étant [)ai'couru j)ar deux cou- 
rants de même inl(M\sit(' mais tle sens 
inverso n'<;x(M'e<' aucuni^ action sur un 
pôle magnétique; par consé([uent \o polentîel du cii'cuit total 
doit être égal à la somme d(is potentiels des d(mx circuits par- 
tiels ABCA et ACDA. 

La généralisation de ce théorème à un nombre quelc()n([ue de 
circuits partiels est évidente. 




LOIS FONDAMENTALES 



97 





1 

Fig. i5. 



108. Théorème II. — Le potentiel d'u/i circuit fermé plan en 
un point extérieur situé clans son plan est nul. 

a. Supposons d'abord que le circuit possède un axe de symé- 
trie OA (fig. i4), et plaçons un pôle 
magnétique en un point quelconque 
de cet axe. Si nous faisons tourner le 
circuit autour de son axe de symétrie, 
le pôle magnétique conserve toujours 
la même position par rapport au circuit 
et, par conséquent, le potentiel en 
ne varie pas. Mais quand le circuit a 
tourné d'un angle de iSo^^, il revient 
dans son plan primitif et le sens du 
courant représenté dans la position 
initiale par les flèches de la figure i4, 
est, après cette rotation, représenté par 
les flèches de la figure i5. Le courant a donc changé de seiiî 
par rappo)"t au point 0, et d'après la loi des courants de sens 
inverses, la force qui s'exerce sur le pôle a changé de sens. De 
ce changement dans le sens de la force résulte un changem^^^* 
dans le signe du potentiel 0; comme d'autre part ce potenti 
doit conserver la même valeur il doit être nul. 

h. Si le circuit a la forme d'un rectangle curviligne BCDE 
(fig. i6), formé par les arcs de cercle BC et DE et par les por- 
tions BD et CE des rayons BO et CO le potentiel. en O est nul 
puisque ce point appartient à Taxe de symétrie OA de la figure. 

c. Quand le circuit fermé se compose d'une série d'arcs de 
cercles concentriques AB, CD,... (fig. 17), réunis par des portions 
rectilignes CD, DE,... passant par le centre commun 0, le poten- 
tiel en ce point est évidemment nul, d'après ce qui précède et 
d'après le théorème I. 

cL Passons enfin au cas général d'un circuit plan de forme 
quelconque (fig. 18). Prenons sur le circuit des points très voi- 
sins A, B, C,... et par ces points faisons passer des arcs de 
cercle ayant pour centre un point quelconque du plan du cir- 
cuit. En menant par un nombre égal de rayons convenable- 
ment choisis, nous pourrons former un circuit fermé ahUcc'... 
dont les divers éléments sont très rapprochés des éléments du 

Poiis'GARÉ. Electricité et Optique, 7 



98 ÉLECTROMAGNÉTISME 

circuit donné. D'après le principe des courants sinueux, l'action 
de ces deux circuits sur un pôle magnétique est la même. Or^ 
nous venons de voir que le potentiel en dû au courant sinueux 




o 

Fig. ifi. 





Fijv. ,8. 



composé d'arcs de cercles concentriques et déportions rectilignes^ 
dirigées vers le centre est nul. Par suite il en est de même pour 
un circuit de forme quelconque. 



109. TiiÉoniiME III. — Quand un circuit fermé est tracé sur la 
surface latérale d'un cône^ de telle manière que chacune des géné- 
ratrices du cône rencontre le circuit un nombre pair defois^ zéro 
pouvant être un de ces nombres, le potentiel au sommet du conCy 
supposé non ençeloppé par le circuit, est nid. 




En effet, en traçant sur la surface du cône (fig. 19) des généra- 
trices infiniment voisines, nous pouvons décomposer le circuit en 
éléments plans tels que ACDBA. Le point étant situé dans les. 



LOIS FONDAMENTALES 



99 



plans de chacun de ces circuits partiels le potentiel en ce point 
dû à l'un quelconque d'entre eux est nul; la somme de ces poten- 
tiels, c'est-à-dire le potentiel dû au circuit total, est donc 
nulle. 



110. THÉORiiME IV. — Quand deux cijxuits fermés^ tracés sur 
la surface latérale d^un cône et coupant toutes les génératrice- 
au moins une foisy sont parcourus par des courants ^^ ^^^ 
intensité et de même sens par rapport à un obserçatei 
sommet du cône le potentiel en ce point a la même 
chacun des circuits. 

Soient ACE et BDF (fig. 20) les deux circuits parcoaruo ^^ 




des courants dont le sens est indiqué par les flèches placées exté- 
rieurement. Si nous supposons ces circuits parcourus en niénie 
temps par des courants égaux en intensité mais dont le sens, in- 
diqué par les flèches intérieures, est contraire à cehii du courant 
réel (|ui les traverse, ki potentiel en ch'i à l'ensemble de ces 
quatre courants est évidemment nul. 11 sera encore nul si nous 
ajoutons à ces courants des coui'ants de même intensité mais de 
sens diflerents parcourant deux génératrices <juelcon(|ues du eonc, 
AB et CD. Mais Tintensité étant la môme pour tous les courants, 
nous pouvons considérer le système comme formé : 

i" Du circuit fermé ACDB parcouru dans le sens indiqiui par 
Tordre des lettres; 2"^ du circuit fermé ABFDCEA; 3Nlu circuit 
BDF ; 4" du circuit yVKC. Le potentiel en dû à chacun des 
deux premiers circuits est nul, car chacun d'eux satisfait aux 
conditions du théorème précédent. Le potentiel dû à l'ensemble 
du troisième et du quatrième ^nrcuit est donc nul et par consé- 






100 ELECTROMÂGNETISME 

qaeut le potentiel résultant du circuit BDF parcouru par le cou- 
rant réel est égal et de signe contraire au potentiel résultant da 
circuit AEC parcouru par le courant fictif de sens contraire au 
courant réel qui traverse ce circuit. Le potentiel du courant réel 
traversant le circuit ACE est égal et de signe contraire au poten- 
tiel du courant fictif qui parcourt ce môme circuit en sens inverse ; 
il est donc égal au potentiel du courant réel c[ui traverse BDF. 

Faisons d'ailleurs observer que les deux circuits considérés^ 
au lieu d'être placés sur la surface d'un même cône^ comme nous 
l'avons supposé, pourraient appartenir à deux cônes distincts 
mais superposables. 

m. JPotentiel d^un courant fermé. — Prenons un circuit 
fermé quelconque parcouru par un courant, et cherchons le 
potentiel en un point extérieur au circuit. 

Du point comme sommet traçons un cône s'appuyant sur le 
contour du circuit. Ce cône découpera sur la surface de la sphère 
de rayon unité une surface dont la valeur -j mesure Tangle solide 
sous lequel le circuit est vu du point (3. Nous pouvons décompo- 
ser ce cône en une infinité de cônes infiniment déliés de même 
angle solide et supposer le circuit donné décomposé en une infi- 
nité de petits circuits fei/més tracés sur la surfac(^ de ces cônes. 
Ces cônes de même angle solide, étant infiniment petits, peuvent 
être choisis superposables et le |)ol<Mitiel en () esl h^nême pour 
chacun des circuits tracés sur la surface de Tun d'eux. Le poten- 
tiel du circuit total est la somme de ces polenliels; il est donc 
pro[)ortioniud au nombre des cônes élémenlaires et, par suite, a 
l'angle solide '^. 

Mais, d'après la troisième loi foiubnniMilale (jue nous avons 
énoncée, Taction ex'-'vcrr. par un courant fernu'^ sur un pôle 
d'aimant esl [)ro[)orti()nn(dle ii l'intensilé ib^ ce courant; par con- 
séquent, en néglig(uuit la constanle (fintég-r'ation dans l'expres- 
sion de la foiu'.tion potentielle, cette i'onclion doit également 
être j)i'oportionnelle li rintensité du coui'ant. Nous pouvons donc 
écï'ire 



l'intensité étant mesurée au moyen d'une unité telle que le coef- 



CAS D'UN CIRCUIT INFINIMENT PETIT lOi 

ficient cle proportionnalité soit égal k i, unité que l'on appelle 
unité éleciro -magnétique d'intensité. 

L'action d'un circuit sur un pôle magnétique changeant de signe 
quand on change le sens du courant qui le traverse, le signe de 
cp/ doit dépendre du sens du courant. Appelant face positiçe du 
circuit celle qui se trouve a gauche d'un observateur placé sur le 
circuit dans le sens du courant et tourné vers l'intérieur du cir- 
cuit, on convient de donner à la valeur de l'angle solid'^ "" - 
signe -|~ ou le signe — suivant que c'est la face positive ou In 
opposée qui est vue du point considéré. En adoptant cette 
vention et celle qui consiste à regarder comme positive une 1\ 
attractive et comme négative une force répulsive, les compo- 
santes de la force exercée par un courant fermé sur Tunilé de 
pôle sont données par les relations déjà écrites : 

du ^j __ da _ du 

dx ' dy^ ' dz 

112. Cas d'un circuit inûniment petit, — Soient AA'' (fig. 21) 
hi projection d'un circuit infiniment petit et AOA^ le cône élémen- 



A" 



V- •■''■■- ^7^ 


'L-— - — """"^ ^ 


' Y-li— ^ 


^ — —-^B 


A 






Fig. y. t. 



taire d'iingie solide do passant par ce circuit. Le potentiel au 
point a })our valeur 

du == id'ij. 

Or, d'-o étant Taire de la section BB^ découpé(^ par le cône sur la 
sphère de rayon i, Taire de la section kk" découpée par ce 
même cône sur la sphère de rayon ()A ==^ /•, est rd's^. D'ailleurs 
en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, on peut 
considérer cette aire AA/' comme la projection de l'aire rft.) du 
circuit AA^ sur un plan pei'pendiculaire à OA. 
Nous avons donc 

r^d'^ =: diù cos £, 



ÉLECTROMÀGNETISME 



et par suite 

(i), dù= -^— 



Cette expression est analogue a la formule 

, , ^^ <ï>^ti) cos £ 
(2); rfQ= y, 

que nous avons trouvée (97) pour le potentiel d'un élément de 
feuillet magnétique de puissance ^. Par suite un élément de 
courant fermé a le même potentiel qu'un élément de feuillet de 
même surface et de puissance égale à l'intensité du courant. 

113. Équivalence d'un courant fermé et d'un feuillet magné- 
tique. — Les intégrales des formules (i) et (2) étendues à une même 
surface donneront, la première le potentiel d'un courant fermé 
de forme quelconque, la seconde, le potentiel d'un feuillet de 
même contour. Si on suppose fl> = i^ ces intégrales ont la même 
valeur, à une constante près. Par conséquent les composantes 
a, fi, Y ^^ 1'^ force exercée par un courant fermé sur l'unité de 
masse magnétique sont égales à celles de la force qu'exercerait 
une feuillet magnétique de même contour et dont la puissance f[> 
serait égale à l'intensité électromagnétique i du courant. Il y a 
donc équivalence dans les effets d'un courant fermé et d'un feuillet 
magnétique. 

Il y a cependant lieu de faire remarquer que les fonctions po- 
tentielles ne jouissent pas de propriétés Identiques dans les deux 
cas. Montrons qu'en effet le potentiel d'un aimant est une fonc- 
tion uniforme, tandis que le potentiel d'un courant fermé peut 
prendre en chaque point de l'espace une infinité de valeurs. 

La variation du potentiel d'un courant ou d'un feuillet quand 
on passe d'un point à un autre par un chemin quelcon([ue est égale 
et de signe contraire à l'intégrale 

/ cf.ds -\- [jdfj -j~ -vdz 

prise le long du chemin parcouru puisque a, j3, y sont les dérivées 
partielles du potentiel changées de signe. 



TRAVAIL DES FORCES ELECTROMAGNETIQUES lo'i 

Les conditions cVintéo^rabilité 



"D 



dct. cU^ doL dy d'^ (^y 

dy dx ' dz dx ' dz dy 

étant remplies, l'intégrale prise le long cFune conrbe fermée C 
quelconque sera nulle; il y a toutefois à cela une condition. 

Par cette courbe C faisons passer nne surface quelconque et 
soit A la portion de cette surface qui est limitée par la courbe 
fermée C. Pour que Tintégrale soit nulle, il faut que les forces 
a, [3, Y et leurs dérivées premières soient finies en tous les points 
de Taire A. 

Mais si la courbe fermée enlace le courant, ce courant viendra 
certainement couper l'aire A au moins en un point, et au point de 
rencontre les forces magnétiques a, [3, y seront infinies. L'inté- 
grale prise le long d'une courbe fermée enlaçant le courant n^est 
donc pas nulle et la fonction Q, peut prendre en un même point 
deux valeurs diflerentes. 

114. Travail des forces électromagnétiques suivant une 
courbe fermée enlaçant le cii'cuit. — La différence entre ces 
deux valeurs, qui est égale à l'intégrale. 



1 adx + [idy -+• ydz 



prise le long de la courbe décrite C, représente le travail de la 
force électromagnétique dans le 
déplacement. Pour avoir ce tra- 
vail, considérons le feuillet F(fig. iii>.) 
équivalent au courant. Le potentiel 
de ce feuillet étant une fonction 
uniforme devra reprendre la même 
valeur (j[uand on reviendra au point 
P^ après avoir parcouru la courl>e 

fermée C. Or la variation sul)ie par le potentiel est égale à 
l'intéc^rale. 




/" 



adx -+- pdy -+- ydz 
prise le long de la courbe C, plus lu variation brusque que subit 






104 



ELECTROMAGNETISME 



le potentiel quand on traverse le feuillet en allant de P' au point 
infiniment voisin P. Soit H cette variation; on aura donc : 



H -+- r {(/.dx -f ^^dy H- ^;dz) = o . 



w 



Il nous reste donc à calculer cette variation brusque H. 

Nous avons facilement celte variation dans le cas particulier 
où le feuillet forme une surface fermée. En un point extérieur le 
potentiel est nul puisque Tangle sous lequel le feuillet est vu de 
ce point est nul. En un point intérieur il est ± 47z<P, suivant que 
c'est la face positive du feuillet ou sa face négative qui est tour- 
née vers l'intérieur de la surface fermée. La variation du poten- 
tiel quand on passe de la faci? négative à un point de la face posi- 
tive est donc 4'3^fl>. 

.Dans le cas où le feuillet ne forme pas une surface fermée la 
variation du potentiel est encore la même. Soit en effet ABC 
(fig. 23) un feuillet dont nous supposerons 
la face positive, située du côté convexe. 
Au moyen d'un second feuillet ADC de 
môme contour et de même puissance que 
le premier et dont la face positive est éga- 
lement tournée du coté convexe, nous 
pouvons l'ormer un feuillet fermé ABCD. 
Quand on passe du point P en un point 
P' infiniment voisin et situé de l'autre 
côté du feuillet l'angle sons le([uel on voit 
ce feuillet fermé augmente de 4~- Comme 
l'angle sous lequel est vu le feuillet ADC reste le même, l'angle 
solide correspondant à l'autre feuillet ABC doit augmenter de 4'^- 
Par suite la variation du potentiel est encore 4'3^^I^- 

Si dans la figure 22 nous siqiposons que la face négative du 
feuillet équivalent au courant est du côté du point P, le potentiel 
augmentera de 4'^^" quand on passera de P en P^ et, d'après ce 
que nous avons dit, le travail de la force électromagnétique 
sera — /^tzc quand un pôle unité décrira la courbe fermée PCPl^ 
dans le sens indiqué par l'ordre des lettres c'est-à-dire en péné- 
trant dans le feuillet par sa face positive. Nous pouvons donc 




Fig. 'Xi. 



CAS DE PLUSIEURS COURANTS io5 

écrire quand l'intégrale est prise le long cFune courbe fermée. 



le second membre étant pris avec le signe + quand le contour 
d'intégration enlace le circuit en pénétrant par sa face négative 
et avec le signe — dans le cas contraire. 

Faisons observer que le contour d'intégration peut enlacer 
plusieurs fois le circuit; alors le travail électromagnétique est 
égal à autant de fois ± 6^tû qu'il y a d'enlacements. 

115. Cas de plusieurs courants. — S'il y a plusieurs courants 
la force exercée sur l'unité de pôle placée en un point de l'espace 
est égale à la résultante des forces exercées par chacun d'eux, et 
le travail électromagnétique, quand le pôle décrit une courbe 
fermée, est égal à la somme des travaux des composantes, c'est- 
à-dire à ^ =t 4 TU, la sommation s'étendant à tous les courants 
enlacés par la courbe. On a donc 

( I ) fyJ.v + '^(Ifj H- ydz :== 4- ï ± /. 

(]ettc relation peut d'ailleurs être interprétée autrement, lin 
effet si nous considérons une surface S passant par la eour].)e (1, 
tous les courants pour lesquels l'intensité est prise dans la for- 
mule (i) avec le même signe, le signe H- P^^i' exemple, traversent 
cette surface dans le même sens ; les courants pour lesquels 
rinlensité est prise avec le signe — travers(Mit au contraire la 
surface en sens inverse, f.'inlensih'^ d'un courant étant la quantité 
d'électricité (pii travers(^ une seclion du circuit pendant l'unité 
de t(Mnps, nous pouvons considérer ^ ^ l comme égale l\ la 
(puintlté d'électricité (pii traverse dans un ccu'tain sens la sur- 
face S pendant l'unité de tenq)s. Par conséquent, le travail 
électi'omagnéti(|ue, ([uand on se déplace sur une courl)e fermé(i C 
enlaçant plusieurs circuits, est égal au produit par 4'^ ^^ 1*^ 
quantité d'électricité qui traverse pendant Tunité de temps une 
surface S limitée à la courbe C. 



io6 ÉLECTROMAGNÉTISME |; 

116. Nouvelle expression du travail èleetromstgnè tique v 

suivant une courbe fermée. — Si nous désignons par u, ç, iv, les I 

composantes de la vitesse de l'électricité dans un des circuits, par # 



d(û la section de ce circuit par la surface S et enfin par Z, m^ n les 
cosinus directeurs de la normale à cet élément prise dans une 
direction convenable, nous aurons pour la quantité d'électricité 
qui traverse la surface S : 

S i = S {lu + m^ + 7Z(i') d^^^. 
Mais nous pouvons remplacer le signe S du second membre par 
le signe I et étendre l'intégration à toute la surface S, les élé- 
ments de cette surface non traversés par un courant donnant 
dans l'intégrale des éléments nuls. Par conséquent, la formule (i) 
peut s'écrire 

(2) I arf.-r + prfî/ -|- ^^àz = 4*^ I {ln-Arm^-\-nw) rfco, 

la première intégrale étant prise le long de la courbe C, la 
seconde étant étendue à la surface S. 

117. Transformation de F intégrale curvilign e. — No u s p o u- 
vons transformer l'intégrale curviligne du premier membre. Dans 
le cas où la courbe C est plane cette transformation est très facile. 
Kn effet, si nous prenons le plan de cette courlje pour plan des 
.r/y, rintégrale considérée se réduit à 



I adx-{-[idj/, 



où a et [3 sont des fonctions continues et uniformes des coordon- 
nées X et y. Or, on sait que dans ces conditions la valeur de 
l'intégrale précédente, quand le contour d'intégration est décrit 
de telle sorte que l'espace illimité se trouve à gauche, est égale 
à celle de l'intéorrale 

étendue à l'aire plane limitée par la courbe C. 







TRANSFORMATION DE C INTÉGRALE CURVILIGNE 



107 



Effectuons lane transloirmation du même genre dans le cas où 
l'intégrale curviligne est prise le 
long d'un contour triangulaire 
ABC dont les sommets sont 
situés sur les axes de coordon- 
nées (Kg. 24). Nous pouvons 
obtenir la valeur de l'intégrale 
en prenant successivement pour 
contours d'intégration OAB, 
OBC, OC A et additionnant les 
trois résultats obtenus, puis- 
qu'en opérant ainsi chacune des 
droites OA, OB, OC est prise 
deux lois en sens inverses et que 

les côtés du triangle sont parcourus dans le sens ABC. 
avons donc 




Fi^. '1^ 



ABC *^BC «^OCA 

ou, en transloi'mant les intégrales curvilignes du second membre 
pour lesquelles le contour d'intégration est dans un des plans 
de coordonnées. 



«-'abc I \'' :/ ^^'^' / 




dx ( fj / ^ 



Supposons le lélraèdr(^ OABC infiniment petit et désignons 
par dco Taire du triangle ABC et par l, m, n les cosinus direc- 
teurs de la normah^ au plan de ce tiiangle. Nous avons pour les 
projections du triangle sur les plans de coordonnées^ 



OBC^Wo), OCA-=:/;^r/o), 



OAB=/?^/o). 



io8 ÉLECTROMAGNÉTISME 

Les intégrales du second membre de l'égalité précédente devant 

être étendues à l'une de ces surfaces infiniment petites, les quan- 

lacées sous le signe d'intéo-ratlon conservent très sensible- 

i même valeur et peuvent être placées en dehors du signe 

g^ration ; nous avons donc pour la valeur de l'intégrale 

ligne prise le long d'un contour triangulaire infiniment 

J.dy d9j\ , (d'j. dv\ , /de. d%\ , 

\-di;-ii)'^''^'''[in-^)'^'''-^''[i^-7^)'^'''- 

itégrale curviligne doit être prise le long d'une courbe 

C[ue C limitant une surface finie, nous pouvons toujours 

3ser cette surface en éléments triangulaires infiniment 

ut obtenir l'intégrale curviligne en faisant la somme des 

.egrales prises le long des contours triangulaires limitant ces 

Cléments ; par conséquent, puisque chaque intégrale triangulaire 

est donnée par l'égalité précédente, nous avons j)our Tintégralc 

curviligne prise le long du contour C, 



l^(yJ,r-{-[6di/ + rd.z) 




dy\ , /^/3 r/a 



r/.r J \ cl A' dij 



L/o), 



l'intégrale du second membre étant étendue à l'aii'c liinitée par 
la courbe C. 

118. Relations de Maxwell. — Reniphicons dans l'écpiation (:>.) 
l'intégrale curviligne par la valeur que nous venons de trouver', 
nous obtenons 



:4-J>« 



-{- niç -\~ ruv) db). 



• ACTION D'UN POLE SUR UN ÉLÉMENT DE COURANT 109 

Cette égalité devant avoir lieu quelle que soit la surface cFinté- 
gratiou et par conséquent quels C£ue soient l, m, n, il vient 

_ J_( (^ _ ^ 
4t: V dfj dz 

I / d'y. d^' 

i> - 



471 \ d.z d.T 

_ I r d[i da 

^iz \ dx dy 

Ces formules, établies par Maxwell, lient les composantes //, f^, 
w de l'intensité du courant aux composantes a, j3, y de la force 
électromagnétique. Faisons oljserver qu^elles s'appliquent aux 
courants de déplacement aussi bien qu'aux courants de conduc- 
tion, les courants de déplacement étant supposés ol)éir aux lois 
d'Ampère. 

119. Action d'un pôle sur un élément de courant, — Puisque 
dans la théorie de Maxwel tout courant est un courant fermé, 
l'assimilation d'un courant fermé à un feuillet magnétique per- 
met de déterminer l'action exercée par un système quelconque 
de courants sur un système d'aimants. Par l'application du prin- 
cipe de l'égalité de l'action et de la réaction on en déduit immé- 
diatement Faction qu'exerce un système d'aimnnts sur un système 
de courants. J.e problème de la détermination des actions réci- 
pro([U(^s (|ui ont lieu (Mitre les courants et les aimants se trouve 
donc complètement résolu. Mais nous pouvons envisager l'action 
ex<n'cée par un pôle (raimanl sur un courant fci'iné comme la 
résultantes des aclions exei'ci'^es par \r. pôle sur les diflerents élé- 
ments du circuit parcouru par le courant. Nous sommes donc 
conduits ii clierclusr rcx[)i'ession cb^ ces actions élémentaires. 

120. — (Considérons le système formé par un pôle d'aimant 
égal il bunitc'' et un circuit parcouru \)i\v un courant d'intensité i. 
Si cp est l'angle solide sous le(juel le circuit est vu du point P où 
s(; trouve [)lacé le ])ole, les composantes de la force qu'exerce le 
coui'ant sur ce [)ole sont 

r/'^ r/cp r/cp 

~1Ù' ~lly' "~" ~d7' 



ELECTROMA GNETISME 



Les composantes de la force exercée par le pôle sur le courant 
étant égales et de signes contraires à ces quantités, le travail de 
cette force pour un déplacement infiniment petit du circuit sera 
do^ c'est-à-dire la variation de Tangle solide 
sous lequel le circuit est vu du point P. 

Cela posé prenons un circuit AMB dont un 
élément AB (fig. 2 5) peut se mouvoir suivant sa 
propre direction. Si nous donnons à AB un 
déplacement suivant cette direction l'angle 
solide sous lequel le circuit est vu du point P 
ne varie pas. Le travail de la force électroma- 
gnétique dans ce déplacement est donc nul et 
par suite cette force n'a pas de composante suivant AB : Vo.cUon 
élémentaire est normale ci Vêlement. 




121. — Pour avoir l'expression de cette force et déterminer 
complètement sa direction, évaluons de deux manières diffé- 
rentes le travail qu'elle accomplit quand l'élément AB du circuit 
AMB (fig. 26) passe de la position AB à 
la position AB^ Il faut supposer (|u'il y a 
un fil métallique, dirigé suivant BB^ et 
son prolongement, et sur kujuel la partie 
mobile AB du circuit glisse en s'appuyant 
constamment. 

Ce travail est égal à l'angle solide chs 
sous lequel le triangle ABB^ est vu du 
pôle P. Les dimensions de ce triangle 
étant infiniment petites par rapport aux 
longueurs des droites PA, PB, PB^, nous 
pouvons regarder ces droites comme égales 
entre elles ; autrement dit nous pouvons confondre la surface du 
triangle avec la surface découpée dans la sphère de rayon PA= r 
pa)' l'angle trièdre P. La surface du triangle ABB' est donc /'-r/cp 
et le volume du tétraèdre PABB^ est 




v\ 



■ 'K. 



3 



Mais on peut évaluer le volume de ce tétraèdre d'une autr 



ACTION D'UN POLE SUR UN ÉLÉMENT DE COURANT 1 1 1 

manière en prenant pour base le triangle PAB. Si nous dési- 
gnons par P l'angle BPA sous lequel l'élément de coufant est 
vu du point P et par h la projection de BB^ sur une normale au 
plan PAB nous avons pour le volume du tétraèdre 

Pr— ~ 

et en égalant les deux expressions trouvées pour ce volume, 
i \ •■ P A 

'7-2 

Tel est le travail de la force /"qui s'exerce sur l'élément AB. 

Nous en aurons une autre expression en écrivant qu'il est égi 
au produit de la force par la projection, sur la direction de la 
force, du chemin parcouru par le point d'application. Si nous' 
admettons que la force est appliquée au milieu C de l'élément, le 
chemin décrit par le point d'application est CC^, qui est la moitié 
de BB^ En appelant h' la projection de BB' sur la direction de 
la force f^ le travail de cette force est 

' 2. 

et, puisqu'il est déjà donné par la relation (i), nous avons 

P 

fh' = — h, 

' r 

. . P 

(]ette égalité est satisfaite si fi = h' et si / = — ; mais 

Il = h' exprime que la force est nornuile au plan PAB. Par 
consèqiietil ht force exercée par un pale cTainiant su/- an élément 
de con/'a/il esl /lor/jiale au plan passant par le pôle et par V élé- 
ment. Sa valeur pour un pôle nuignétiquc de masse m et pour 
une intensité i du courant traversant l'élément est 

mi? 






Comme l'angle P dépend de /* et varie en raison inverse de 
cette quantité, l'action élémentaire /'varie en raison inverse du 
carré de la distance du pôle à l'élément. 



CHAPITRE Vm 

KLEGTRODYNAMIQUE 



122. Travail è le ctro dynamique. — Nous admettrons que deux 
circuits parcourus par des courants d'intensité i et i^ étant en pré- 
sence, le travail des forces agissant sur Tun d'eux, lorsqu'il se 
déplace par rapport a l'autre, est donné par un certain potentiel 
T proportionnel aux intensités / et i^ et ne dépendant, quand i 
et i^ restent constants, que de la forme et de la position relative des 
deux circuits. Cette hypothèse se trouve vérifiée expérimentale- 
ment par les conséquences qui s'en déduisent. 

123. Solènoïdes. — Partng'cons une courhe AB (lig. '.ly) en une 
infinité d'arcs égaux ah de longueui' infiniment petite S et par 

les milieux de ces arcs menons les plans C nor- 
maux à la courbe. Dans chacun de ces plans traçons 
des courbes fermées égales, d'aire du), et conte- 
nant le point d'intersection de leur plan avec la 
courbe AB. Si nous supposons chacune de ces cour- 
bes parcourues dans le même sens par des courants 
de même intensité /, ce système de courants porte 
le nom de solénoïdc, 
' ''' Chacun des courants qui composent le solénoïde 
est équivalent, au point de vue de l'action exercée sur un pôle d'ai- 
mant, à un feuillet magnétique de même contour et de puissance /. 
Si nous prenons pour épaisseur de ces fcaillets la longueur 5 des 
arcs élémentaires, les quantités de magnétisme que possède cha- 
cune de leurs faces seront -+- ~ d(.ù et ^ r/co : les faces en 

û 

contact de deux feuillets consécutifs possèdent donc des masses 
magnétiques égales et de signes contraires et leur ensemble n'a 




5 OLE NO IDE s ET CO VRÂ NTS 1 1 3 

aucune action sur un point extérieur. Par conséquent l'action 
du solénoïde se réduit à celles de deux masses magnétiques 

H r- d(jù' et — -7- <5fo3 situés aux extrémités de AB. Ce sont les 

i . i 

pôles du solénoïde. 

Si la courbe AB est limitée, le solénoïde a deux pôles égaux 
et de noms contraires ; si la courbe AB a une de ses extrémités 
à rinfini le pôle correspondant du solénoïde est rejeté à l'infini 
et l'action du solénoïde se réduit à celle de Fautre pôle ; enfin 
si la courbe AB est fermée le solénoïde n'a plus de pôles. 

124. Solènoïdes et courants, — L'expérience montre que l'ac- 
tion d'un solénoïde fermé sur un courant est nulle. De ce fait 
expériai entai il est facile de déduire que 
l'actioa d'un solénoïde ouvert ne dépend 
que de la position de ses pôles. 

Soient T le potentiel relatif à l'action 
exercée par un solénoïde ACB (fig. i8) 
sur un courant se déplaçant dans son 
voisinage et T' le potentiel relatif à 
l'action d'un second solénoïde BD A choisi 
de manière à former avec le premier un solénoïde fermé; nous 
aurons pour le potentiel de l'ensemble de ces deux solènoïdes 

T -i-T =0. 

Cette égalité est satisfaite tant que le solénoïde ACBDA reste 
fermé, quelles que soient les déformations que nous fassions 
subir aux portions qui le composent. Si en particulier nous ne 
déformons que le solénoïde ACB le potentiel de BDA conserve 
la même valeur T^ et, à cause de l'égalité précédente, T ne varie 
pas. Le potentiel d'un solénoïde ACB conserve donc la môme 
valeur quand ses pôles A et B restent dans les mêmes positions ; 
en d'autres termes le potentiel ne dépend que de la position des 
pôles du solénoïde. 

125. — Le raisonnement précédent subsiste encore lorsque 
l'un des pôles, B par exemple, du solénoïde ACB est rejeté à 
l'infini, car il suffit pour obtenir un solénoïde fermé d'y adjoindre 

PoiNCARK. Electricité et Optique. 8 




1 1 4 ELECTRODYNAMiqUE 

un second solénoïde dont le pôle de nom contraire à B est égale- 
ment rejeté à l'infini. Mais dans ces conditions l'action du solé- 
noïde ACB se réduit a celle du pôle A ; le potentiel d'un pôle 
de solénoïde dépend donc uniquement de sa position par rapport 
aux courants qui agissent sur lui. 

126. — Faisons observer qu'au début de l' électromagnétisme 
nous avons admis que le potentiel d'un pôle magnétique soumis 
à l'action de courants fermés ne dépendait que de la position du 
pôle par rapports aux courants ; et c'est sur cette seule hypo- 
thèse qu'ont reposé tous nos raisonnements. Puisqu'il en est de 
même pour le potentiel d'un pôle de solénoïde soumis à l'action 
de courants fermés, nous démontrerions delà même manière que 
dans ce nouveau cas le potentiel est encore de la même forme. 
Le potentiel électrodynamique d'un pôle de solénoïde sera donc 
proportionnel à l'angle solide o sous lequel on voit de ce pôle 
les faces positives des courants qui agissent sur lui, et à la 

masse magnétique zh — ?^ — équivalente au pôle du solénoïde 

dans les actions électromagnétiques. Comme d'autre part nous 
avons admis (121) que le potentiel d'un courant qui se déplace 
en présence d'un autre courant d'intensité i' est proportionnel 
à i' nous aurons pour le potentiel d'un pôle de solénoïde soumis 
à l'action d'un seul courant 

i =z{za- ?; — cp. 

Des expériences précises ont montré que le coefficient a est 
égal à l'unité quand les intensités sont exprimées en unités 
électromagnétiques ; nous avons donc 

1 =dz — f; — l CO, 
' 

c'est-à-dire que l'action électrodynamique qui s'exerce entre 
un pôle de solénoïde et un courant est égale à l'action électro- 
magnétique qui a lieu entre ce courant et une masse magné- 

tique ± — ^; — dont le signe est déterminé par le sens du courant 

dans le pôle solénoïdal. 




POTENTIEL ÉLECTRODYNAMIQUE D'UN COURANT INFINIMENT PETIT ii5 

127 . — Lorsque le solénoïde a deux pôles A et B (fig. 29) on peut, 
sans changer son action, lui ajouter un solénoïde BC vA 
s'étendant à l'infini dans une direction C et par- 
couru par deux courants de sens inverses d'inten- 
sité égale à celle du courant qui parcourt AB. 
L'ensemble de ces trois solénoïdes peut être con- 
sidéré comme deux solénoïdes infinis dont l'un a 
son pôle en A, l'autre son pôle en B et dans lesquels 
circulent des courants de même intensité et de sens 
contraires. Ces deux pôles équivalent à deux masses 
magnétiques égales et de signes contraires de sorte 
que le solénoïde fini AB est assimilable à un aimant uniforme de 
même longueur. 

128. Potentiel èlectrodynamique d'un courant infiniment 
petit. — Un courant infiniment petit peut être considéré 
comme un élément de solénoïde de longueur S. Si donc sa surface 
est dio et son intensité i, il peut être assimilé a deux masses 

magnétiques -f- —z — et ;^ — placées en A et B a une dis- 
tance S l'une de l'autre. 

Appelons le potentiel de l'action 
qu'exerce le système des courants fixes sur 
l'unité de magnétisme positif placée au 
point A (fig. 3o). Au point B, infiniment 
FjV 3(7^ voisin de A, le potentiel sera ù -\- dû. Par 

conséquent le potentiel des deux masses 
magnétiques qui remplacent le courant infiniment petit a pour 
expression 

^ idb) , ^ ,^, idiù T,.^ idxô 

^ ^ ô Ô 

En désignant par .r, y, z les coordonnées du point A, il 
vient 

dû dSl dÙ 

dx dy "^ dz ' 

ou encore 

dû =— {adx H- ^dy + -^dz) , 




Ii6 ELECTRODYNAMIQUE 

a, (3, Y étaiit les composantes de la force qu'exerce le système 
de courants fixes sur Tunité de pôle magnétique situé en A. 

Si nous appelons l, m, n les cosinus directeurs de la direc- 
tion AB de la normale au plan du courant infiniment petit, les - pf 
quantités dx y dy^ dz ont pour valeurs f 

dx = ïù, dy = 7720, dz = nù^ 

et l'expression de dQ. peut se mettre sous la forme 
do. z=z — (aZ + [3/72 H- ^ri) S. 
On a alors pour le potentiel du courant infiniment petit, 

— do. — ïT- = i (aZ+ [3/72 + y/2) <:/co, 

c'est-a-dire que le potentiel d'un courant élémentaire est égal au 
produit de son intensité par le flux de force qui pénètre par sa 
face positive, 

129. .'Potentiel électrodynamique d'un courant fermé. — 
Dans le cas où l'on a un système de courants fixes agissant sur un 
courant fini mobile on peut décomposer le courant mobile en une 
infinité de courants élémentaires de même intensité et circulant 
dans le même sens. La potentiel du courant ainsi décomposé est 
égal à la somme des potentiels des courants élémentaires ; il est 
donc 

( 1 ) T = z r {yd + f:i772 + y/2) dto , 

l'intégrale étant étendue à toute la surface d'une aire courbe ou 
plane quelconque limitée parle courant mobile, 

130. Autre expression du potentiel d'un courant. — L'inté- 
grale précédente étendue a une surface peut être remplacée par une 
intégrale curviligne prise le long du circuit traversé par le cou- 
rant. C'est la transformation inverse à celle que nous avons 
employée au paragraphe 117. En se reportant à ce que nous 
avons dit à cet endroit il est facile de voir que l'intégrale 



(2) T = if{Fdx + Gdy + lldz) , 



CAS D'UN COUTANT DANS UN MILIEU MAGNÉTIQUE 

prise le long du circuit mobile, est égale à 




+"(^-^)]^« 



étendue à une surface limitée par le même circuit. Si de 
veut que l'intégrale (2) représente le potentiel, donné par 
grale (i), d'un courant fermé, il faut qu'on ait 



dll clG 



(3) P = 



dy 


dz 


rW 


dll 


dz 


dx ' 


dG 


dF 



dx dy 



Les quantités F, G, II ainsi introduites sont appelées par 
Maxwell les composantes du moment électromagnétique (le mot 
moment est pris dans le sens de quantité de mouvement). 

131. Cas d'un courant se déplaçant dans un milieu magné- 
tique. — Jusqu'ici nous avons implicitement supposé que s'il 
existe des aimants en présence du courant mol)ile, celui-ci ne 
les traverse pas. Examinons le cas où le courant mobile se déplace 
dans un milieu magnétique. 

Il peut y avoir indécision sur le choix des quantités à prendre 
pour les composantes a, [3, y de la force qui s'exerce sur l'unité 
de pôle. Nous avons vu, en effet, à propos des aimants, ([ue la 
force qui agit sur un pôle placé à l'intérieur d'une cavité creusée 
dans un milieu magnétique dépendait de la forme de la cavité, 
et parmi les valeurs qu'elle peut prendre nous en avons consi- 
déré deux : l'une (/a force magnétique) ayant pour composantes 

du ,^ da du 



dx ' ^~~~ dy' ' dz 



I ï 8 ÉLECTRODYNAMIQ UE 

l'autre {Vinduction magnétique) de composantes 

a=:a+4'^A, Z>=î3 + 47ïB, c=:y+47uC, 

Q désignant le potentiel de l'aimant et A, B, C les composantes 
de la magnétisation au point considéré. 

Mais la forme des équations (3) permet de lever facilement 
l'indétermination et montre qu'il faut y introduire les compo- 
santes de l'induction magnétique. En effet, en prenant les déri- 
vées des deux membres de chacune d'elles respectivement par 
rapport a x^ y y z^ on obtient 

da d^ d-^ 
dx dy dz 

Or nous avons vu que cette condition n'est pas satisfaite par 
les composantes de la force magnétique dans le cas d'un point 
intérieur aux masses magnétiques tandis qu'elle l'est toujours 
pour les composantes de l'induction. C'est donc ces dernières 
qu'il faut inti'oduire dans les formules ; celles-ci deviennent 

m dG 

— - — , 



d)j 
, , d¥ dll 

dG d¥ 



dx dy 



132. — Une indétermination du même genre a eu lieu pour 
les formules du paragraphe ii8 qui donnent les composantes ii, 
^, w, de la vitesse d'un courant en fonction de a, [3, y, mais il est 
facile de la lever en montrant que dans ce cas on ne doit pas 
prendre les composantes de l'induction. 

En ejDPet, plaçons-nous dans le cas particulier oii le circuit 
mobile n'est traversé par aucun courant ; nous aurons alors 
u = ç = iv ^=0. Si donc on prenait les composantes de l'induc- 
tion il viendrait 

de dh da de db da 

dy dz ' dz dx .' dx dy ' 



• COMPOSANTES DU MOMENT ÉLECTROMAGNÉTIQUE lig 

conditions qui ne sont pas satisfaites en général. Nous ne pouvons 
donc prendre les composantes de l'induction et nous devons con- 
server les composantes a, p, y de la force magnétique. Nous nous 
contenterons de ce double aperçu, en l'absence d'une théorie 
plus satisfaisante. 

133. Déterminations des composantes du moment électro- 
magnétique. — Abandonnons le cas où le courant mobile se 
meut dans un milieu magnétique et cherchons les composantes 
F, G, H du moment magnétique. 

Les trois équations différentielles (3) ne suffisent pas pour 
déterminer ces quantités, car il est facile de voir que si F, G, H 
est une solution de ces équations, le groupe de valeurs 

"+£. «+^. ■'+^- 

OÙ ^ est une fonction quelconque des coordonnées, est également 
une solution du système. En effet, le second membre de la pre- 
mière des équations devient quand on substitue à F, G, H les 
valeurs précédentes, 

d?/ \ d.z / dz \ dy ) dy dydz dz 

dydz dy dz 

et le dernier membre de cette suite d'égalités est égal à a puis- 
que, par hypothèse, F, G, II forment une solution du système. 
On verrait par un calcul semblable que les deux autres équations 
sont également satisfaites. 

134. — Pour déterminer les composantes F, G, Il nous devons 
donc leur imposer la condition de satisfaire à une nouvelle 
équation. Maxwell prend pour cette équation de condition, 

d¥ dG dll 

(^) '-u^-^-di-^'ir-''' 

En tenant compte de cette relation il est possible de trouver 



l'io ÉLECTRODYNAMiqUE 

entre les composantes u, ç\ w de la vitesse du courant et les 
composantes F, G, H du moment magnétique trois relations qui 
nous permettront d'obtenir les valeurs de ces dernières quan- 
tités. Nous avons, d'après les formules du paragraphe ii8 et les 
formules (3) du paragraphe i3o: 

jr____i^[^ __■ ^'^ ^^'F '^'^^ ^^'ti 

d]} dz dxdij di/ dz'^ dxdz 

ou, en ajoutant et retranchant au second membre la quantité 
Y et groupant les termes d une manière convenable 

d'^Y d'G dm d'^Y (P¥ d'¥ 



'dx' dxdy dxdz dx^- drf' dz^ 

ou enfin 
(6) 4„„_^_AF. 

Si on suppose que Téquation (5) est toujours satisfiiite, c'est-à- 
dire qu'elle est une identité, les dérivées partielles de J sont 
nulles et la relation (6) se réduit à 

AF H- 4'^/^ ==: . 

Cette équation étant analogue à l'équation de Poisson, F peut 
être considéré comme le potentiel d'une matière attirante de 
densité u. D'après ce que nous savons sur la forme du potentiel 
qui satisfait à une telle équation nous pouvons poser immédia- 
tement 



../^., 



l'intégrale étant étendue à tous les éléments dx de l'espace tout 
entier ; u est la valeur de la première composante du courant au 
centre de gravité de l'élément d'z et ;• est hi dis lance de cet élé- 
ment au 23oint x^ //, z. 

Nous obtiendrons par des calculs analogues 



.y^., „.|^ 



(h. 



COMPOSANTES DU MOMENT ÉLECTROMAGNÉTIQUE 121 

Ces valeurs de F, G, H satisfont nécessairement aux équa- 
tions différentielles (3) ; montrons que l'équation de condition 
(5) est également satisfaite et pour cela cherchons les dérivées 
partielles de F, G, H qui y entrent. 

135. — Donnons à un point de coordonnées x, ij,.z un déplace- 
ment parallèle à l'axe des s et de grandeur da: ; la distance de 
ce point aux différents éléments de la matière attirante fictive de 
densité u croît de dr et le potentiel F au point considéré aug- 

mente de ~j— dx. Mais supposons qu'au lieu de déplacer le 

point attiré x^ y^ z, comme nons venons de le l\iire en laissant 
fixe la matière attirante, nous donnions aux divers points de 1'^ 
matière attirante, un déplacement égal à — dx, en laissant fix 
le point X, ?/, z', cela reviendra absolument au même. L'accrois 
sèment rf;- de la distance du point attiré au point attirant sei 
évidemment le même, si l'on donne au point attiré un déplac' 
ment quelconque, ou si c'est le point attiré qui subit un dépla 
ment parallèle égal et de sens contraire. Cela revient à suppoi 
que la densité u au centre de gravité de l'élément devient apr» 

le déplacement, u -j — dx. Nous avons donc 




la première intégrale étant étendue \\ tout \v volume occupé par 
la matière attirante après le déplacement. Oi' ces deux champs 
d'intégration sont les mêmes puiscpie tous deux comprennent 
l'espace tout entiet'; par conséquent, nous avons simplement 



dx . / /' 

d'où 





^Pr 


dV ., 

-7— dx 
dx 


dF 


i t r/n 



laa ÉLECTRODYNAMIQUE 

Nous obtiendrons des expressions analogues pour les diffé- 
rentielles partielles de G par rapport à y et de H par rapport 
a z ; leur addition donne 




dç , dw \ , 
d-z. 



I / du dç . dw \ 
r \ dx dy ~'~ d.z J 



Tous les éléments de cette dernière intégrale sont nuls, puisque, 
pour Maxwell, F électricité est incompressible et que Téquation 
qui exprime cette incompressibilité est 

du dv dw 

dx dy d.z 

L'équation de condition (5) est donc satisfaite. 

136. — Revenons au cas où le milieu étant magnétique, les 
composantes F, G, H du moment électromagnétique sont liées 
à celles de l'induction par les équations (4). Il est facile de 
s'assurer que ces équations et l'équation de condition (5) seront 
satisfaites si l'on prend pour F, G, Il le produit des valeurs trou- 
vées par le coefficient de perméabilité magnétique [Ji du milieu ; 
nous avons donc 



A / -- di^ 



p. / — di^ G==[A / — rfT, 




137. Valeurs de F, G, H pour un courant linéaire. — Plaçons- 
nous dans le cas particulier où en présence du courant mol^ilc il 
n'y a qu'un seul courant dont le circuit est formé par un fil de 
faible section dcr. L'intensité de ce dernier courant étant désignée 

par ^, la vitesse de l'électricité est -y- et la direction de cette 

d'y 

vitesse est celle de la tangente au circuit menée dans le sens du 

r . T , dx dy 

courant. Les cosinus directeurs de cette tan^eute sont —, — , — ^, 

^ ds ' ds ' 

-y- (en appelant ds l'élément d'arc du circuit), de sorte que l'on 



FORMULE DE NEUMANN 

a pour les composantes u, ^, çv de la vitesse de l'électricité 

i dy i dz 



i dx 
dcï ds ' 

ou, puisque d^ds = rfx, 

id:x 



W ■■ 



(7) 



Par conséquent la 
tique en un point de 




et nous avons poui' les trois composantes 




G=« 




lî = i 




(8) F = i 



i3S. Formule de Neumann. — Soit C (fig. 3i) un circi 
parcouru par un courant d'intensité i^ et C^ un circuit i 
parcouru par un courant d'intensité i'. Le potentiel électroayiic 
mique ï du courant C^ par rapport au 
courant C a pour valeur, 



T = i^ fiFdx' + Cdij' + 1 Idz!) . 




Fi^. 3i. 



Dans cette expression F, G, II sont 
relatives au circuit C puisque ce circuit 
est seul en présence du circuit mo- 
bile ; si donc nous supposons (pie ce cli'cuit est formé d'un fil 
de faible section, F, G, Il sont données par les expressions (8) 
trouvées précédemment et dans lesquelles /• est la distance du 
milieu de l'élément ds au milieu de Félément ds' , En portant 
ces valeurs dans l'expression de ï nous obtenons 





1 2 4 ÉLECTROD YNA MIQ UE 

et, en appelant e l'angle des deux éléments ds et ds\ 



(9) 



Telle est la forme donnée pai^ Neamann au potentiel électro- 
dynamique d'un courant par rapport à un autre. 

La symétrie de cette formule par rapport a i et i', h. ds et ds' 

"^^ntre que le potentiel électrodynamique de C^ par rapport à C 

?gal au potentiel électrodynamique de C par rapport à G^ 

Ue expression du potentiel électrodynamique 
— La formule 

ï ^ iC{Fd^v-hGdij + lldz) 

c facilement se mettre sous une autre forme qui nous sera 
tile dans ce qui va suivre. 
Des valeurs (7) établies au n^ 137 on tire immédiatement 

id.v = nd-z^ idy ■= vd-z^ Idz = ivd'z, 
et en portant ces valeurs dans l'expression de T, il vient 
(10) T :=J[?u + G(' + ILv) d-., 

l'intégrale étant étendue à l'espace occupé par la malière con- 
ductrice qui constitue le circuit mol^ile. 

140. Potentiel èlectro dynamique d'un courant par rapport 
à lui-même. — On peut par la pensée décomposer un circuit ti'a- 
versé par un courant en une infinité de circuits d(; section infini- 
ment petite. Chacun des courants ainsi ol)tenus possède par 
rapport aux autres un potentiel électrodynami(|no ; la somme de 
ces potentiels est ce qu'on appelle le potentiel du courant par 
rapj^ort à lui-même. (Cherchons l'expression de ce potentiel. 

Soient i(y r, sv les composantes de la vitesse de Télectricité 
en un point du circuit, F, G, II les composantes du moment 
électromagnétique en ce mémo point, etT le potentiel du courant 



POTENTIEL ÉLECTRODYNAMIQUE 12^ 

par rapport à lui-même. Si nous donnons Ixii, r, jr, les accroisse- 
ments cliL^ dç, dwy ces quantités F, G, H, et T prendront respec- 
tivement les accroissements d¥ ^ dG, dll et dT. Le courant qui 
circule alors dans le circuit peut être considéré comme résultant 
de la superposition du courant primitif et du courant provenant 
de l'accroissement donné à la vitesse de l'électricité ; nous 
appellerons ce dernier, courant supplémentaire. I/accroisse- 
ment dT du potentiel peut donc être regardé comme égal à la 
somme du potentiel du courant ancien par rapport au courant 
supplémentaire et du potentiel du courant supplémentaire par 
rapport à lui-même. Le potentiel du courant primitif par rapport 
au courant supplémentaire est, d'après l'expression 
potentiel d'un courant 



j\udF-\-çdG-\-^^'dll)d-. 



Quant au potentiel du courant supplémentaire par rapport 
lui-même, ce sera une quantité infiniment petite du second ord 
et on pourra le négliger ; on a donc 

dT=:j\udF + pdG + miU) d-z. 

Mais on peut considérer dT comme étant égal au potentiel du 
courant supplémentaire par rapport au courant primitif aug- 
menté du potentiel du courant supplémentaire par rapport à 
lui-même. En néa'lio:eant ce dernier, il vient 

dT=f\Udu + Gdv + ildiv) d^, 

et en additionnant les deux valeurs de dT puis divisant par 2, 



dT = -~ I [Fdu -+- lulF H- Gdi> -+- (v/Ci + lldn' + mlll) di, 



dT = —d I {Fn + Gç + lhi')di:. 



I 'i6 ÉLECTRODYNAMiqUE 

L'intégration donne pour la valeur du potentiel du courant 
par rapport à lui-même 

(il) T=— I (F;^, + Gf^+H^v)iT 




^ 141. — Remarquons que le raisonnement qui nous a conduit 
à cette expression s'applique- tout aussi bien au cas d'un système 
de plusieurs coui\ints qu'à celui d'un courant unique. Cette 
expression représente donc d'une manière générale le potentiel 
électrodynamique d'un système de courants par rapport à lui- 
même. Il faut alors étendre l'intégration à tout le volume occupé 
par les conducteurs matériels du système^ ou bien encore a 
l'espace tout entier, ce qui revient au même puisque le système 
est supposé n'être en présence d'aucun autre système de courants. 

142. Expressions diverses du potentiel dun système de 
courants par rapport à lui-même. — Nous avons établi au para- 
graphe 134 que la composante F du moment électromagnétique 
en un point de l'espace est donnée par la formule 




r étant la distance du point considéré à l'élément de volume ch^ 
pour lequel la composante de la vitesse est ?/. Au point de l'es- 
pace occupé par un élément de volume ck d'un système de cou- 
rants les composantes du moment électromagnétique relatif au 
système lui-même seront donc 

G= I . 11 = 




En portant ces valeurs dans l'expression (lo) du potentiel 
électrodyiuunique du système par rapport à lui-même il vient 



EXPRESSIONS DIVERSES DU POTENTIEL 



Ï1'] 



Chacune des intégrales doubles du second membre de cette 
égalité doit être étendue à toutes les combinaisons possibles de 
deux éléments d- et dx^ . Ces éléments appartenant au même 
système de courants, un même élément de volume joue le rôle 
de d'z et de di' et chaque intégrale contient deux fois le même 
élément différentiel. Si l'on ne prend qu'une seule fois chaque 
élément différentiel il faut, dans l'égalité précédente, porter le 
double du résultat obtenu par l'intégration ainsi conduite. Le 

facteur — disparaît donc et on a la formule 



(la) 




UU' -X- ^9' -\-WiV^ y , , 

■ az ar. 



143. — Dans l'expression (11) du travail électrodynamique, 
nous pouvons remplacer z/, ^, w par leurs valeurs : 



~ kT.xdij dzr 

i / dy dy\ 

I /rfp da.\_ 

4tz \ dx dy J ' 




L \di, dz}^ \dz dxl 



H-"(S-|)]-- 




Considérons l'intégrale 



en intégrant par parties, il vient 



Y^d.-. 
dy 





Fy7>2rfw — 




dF ^ 



128 ÉLECTRODYNAMiqUE 

m étant le cosinus de l'axe des y avec la normale a l'élément 
cfco de la surface qui limite le volume d'intégration. Si, comme 
nous en avons le droit, nous étendons les intégrales triples 
à l'espace tout entier, les composantes a, (3, y, de la force qui 
s'exerce sur un point de la surface limitant le volume sont nulles, 
puisque le point est rejeté à l'infini. Les éléments de l'intégrale 
double sont donc nuls et l'intégrale elle-même est égale à zéro. 
Nous avons donc simplement 




En efTectuant une transformation analogue pour les autres \ 

-ntégrales de l'expression précédente de T et portant les valeurs \ 

obtenues dans cette expression, on obtient { 

144. — Cette nouvelle forme du potentiel peut être simplifiée en 
tenant compte des groupes d'équations (3) et (4) qui donnent les 

valeurs des différences des dérivées partielles de F, G, II, dans le | 

cas où le système de courants est dans un milieu non magné- \ 

tique et dans le cas où il est au contraire dans un milieu magné- I 

tique. Nous avons dans le premier cas ] 

et dans le second 

145. Cas d'un système de conducteurs linéaires. — Quand 
les circuits qui composent le système sont linéaires, le potcutiel 
électrodynamique du système par rapport a lui-môme peut se 
mettre sous la forme qu'a donnée Neumann au potentiel de deux 
systèmes de courants linéaires l'un par rapport à l'autre. En 



CAS D'UN SYSTEMS! DE CONDUCTEURS LINEAIRES 129 

effet, d'après les formules (7) et (8) établies au n° 137 les compo- 
santes de la vitesse de l'électricité en un point sont 



id:r idy id. 



z 



"=^^' ^=1F' '""-^^ 

et les composantes du moment électromagnétique au même point 
sont 



G = ï^ / :i^, H = ï' 






En portant ces diverses valeurs dans l'expression (9) elle devient 

dx dx' -\- dy dy' + dz dz' 




ou, en appelant e l'angle formé par deux éléments quelcon< 
du système de courants. 




rr ï •/ i l ds ds^ cos £ 

1 = — II' 



146. Cas d'un système de deux couinants linéaires, — 
Appelons G^ et C^ ces deux courants et affectons les quantités qui 
entrent dans nos formules des indices i et 2 suivant qu'elles se 
rapportent au courant C^ ou au courant C^. Nous avons pour les 
composantes du moment électromagnétique en uu point 




ce sont des fonctions linéaires et homogènes des intensités i^ et r^. 

PoiNCARÉ. Electricité et Optique. 9 



'''m 



i3o ÉLECTRODYNAMIQUE 

Le potentiel électrodynaniîque de ce système de courants par 
rapport a lui-même est donné parla formule (i i) 



T = — fçFu +GÇ-+- lïi^>) dz. 




Or, en un point du premier circuit on a 

?£ <f T = i^ dx^ , i>dz = z'i dy^ , [wd'z = i^ dz^ , 

et en un point du second 

u dx = 4 dx^ , çdi = \ dy^ , wdz === ^ dz,^ . 

Par conséc|uent l'intégrale (9) donne 



i^Ydx,+Qdy,~^lU.z,)+^ I (Fdx,-+-Gd?j,^lldz,) 



T est donc une fonction linéaire et homogène par rapport 
à i\ et ?2 et par rapport à F, G, H. Mais nous venons de voir que 
ces dernières quantités sont homogènes et du premier degré 
en i^ et 4 ; par conséquent T est une fonction homogène et du 
second degré en r\ et z^, et nous pouvons écrire 

Les cj[uantités L, M, N ne dépendent évidemment que de la 
forme et de la position relative des deux courants Cj et C^. 11 est 
d'ailleurs facile de voir leur signification. En effet M étant le 
coefficient de i^ i^ dans la valeur de T, M est égal à l'intégrale 

/ dx^dx^ + dy^dy^ + dz^ dz^ 



prise le long d'un des circuits ; c'est donc le potentiel électro- 
clynamic|ue de l'un des courants par rapport à l'autre. On cons- 
taterait aussi simplement que L est le potentiel du courant C^ 
supposé seul par rapport à lui-même et que N est le potentiel 
de C^ supposé seul par rapport à lui-même. 



CH 

I 



147. Forces électromotrices d'induction. — Dans réUidc de 
réîectromagnétisme et de l'électrodyiiamique nous avons impli- 
citement supposé que les intensités des courants restaient cons- 
tantes. Or on sait que, lorsqu'il y a déplacement relatif de cou- 
rants ou de courants et d'aunants, il se produit des phénomène? 
particuliers connus sous le nom de pliènomcmes cV induction et 
dont la découverte est due à Faraday. Ces phénomènes se mani- 
festent dans les circuits par la production de courants tempo- 
raires dont les intensités s'ajoutent à l'intensité du courant pri- 
mitif et qui peuvent être attril.)ués à des forces électromotrices 
que Ton nomme forces èlectroniolrices cV induction. 

Des expériences faites sur rinduction, il résulte ([ue si les 
intensités /^ et /^ de doux courants fixes (Ij et (]., sul)isscnt dans 
rintervallo de temps dt des accroissements di^ et r//.,, les foi'ces 
électromotrices d'induction dével(>j)pées dans les circuits sont, 
pour le circuit C^^ 



et pour le cii'cuit C^ 



dt "^ dt ' 



H A + ci^l 
dt dt 



148. Cherchons rexpr(^.ssion de la force électromotrlcc résul- 
tant du déplacement de circuits traversés par des courants 
d'intensités constantes. 

Prenons d'ahord le cas où un seul des circuits se déplace de 
C cnC^ L'expérience prouve que tout se passe comme si le cou- 



i3a INDUCTION I 

I 

rant C était supprimé et qu'en C soit créé un nouveau courant l 

^le même intensité. Or, d'après ce que nous avons dit dans le | 

l^at^agraphe précédent, à une variation dl de l'intensité i du cou- i 

rant C correspond une force électromotrice d'induction A --j— | 

dans le circuit C. Par conséquent, la suppression du courant C, f 

qui équivaut à une diminution i de l'intensité de ce courant, f 

l>roduit une force électromotrice -7—; et la création du cou- t 



rant C^ une force électromotrice (A + dA) -j- , dk étant la varia- 
tion du coefficient A quand le courant passe de C en C Nous 
avons donc pour la force électromotrice résultant du déplace- 
ment 

Il serait facile de voir que si deux courants Cj et Q sont en 
présence les forces électromotrices résultant de leur déplace- 
ment relatif sont, pour le circuit C^, 

. ^A . d'è 



et pour le circuit C^ 



. ^ . d£^ 

'' dt ~^'' dt 



Dans le cas où les deux courants varient d'intensité en même 
temps qu'ils se déplacent, les forces électromotrices d'induction 
sont, pour chacun des deux circuits, égales à la somme des ^ 

iV)rces électromotrices qui résultent de chaque genre de variation 
pris séparément; on a donc pour le circuit C^, 

. di^ ^ ^ di, ' , dk ^ . dB d .,, ^., f^ 

et pour l'autre circuit C^, ' 

■T. ^h \ r di, dB . dC d I 



DÉTERMINATION DES COEFFICIENTS A, B, C i33 

149. Détermination des coefficients A, B^ C. — Les coeffi- 
cients qui entrent clans l'expression des forces électromotrices 
d'induction peuvent être déterminés par l'application du prin- 
cipe de la conservation de l'énergie. 

Prenons deux circuits dans lesquels les courants d'intensités i^ 
et iy sont fournis par des piles de forces électromotrices E^ et Eo. 
La quantité d'énergie chimique détruite dans la pile se trans- 
forme en partie en chaleur dans la pile elle-même tandis que 
l'autre partie se retrouve sous forme d'énergie voltaïqvie. L^expé- 
rience apprend que la quantité d'énergie voltaïque produite 
dans le temps dt est 

Cette énergie voltaïque se retrouve sous forme de chaleur pro- 
duite dans les conducteurs par le phénomène de Joule et sous 
forme de travail mécanique résultant du déplacement de« rnnrlnr»- 
teurs. Si R^ et R^ sont les résistances des deux circuits 
tités de chaleur dégagées sont R^q dt RJld/. Quant au 
mécanique fourni par le système, il est égal à la variation di 
potentiel éleotrodynamique du système par rapport à lui-mômt;, 
ou plus exactement à la partie de cette variation qui est due au 
déplacement des circuits, sans tenir compte de la partie de cette 
variation due à l'augmentation des intensités. Ce potentiel a pour 
expression dans le cas de deux circuits 



On en tire. 



T =JL|L/^4..,Mv,-hN/:]. 



rfT = — 1 /fr/L + :^/ /.//M + /;;./N 1. 



L'excès de Ténergie voltaVcpu^ fournie au système pendant le 
temps dl sur l'énergie recueillie sous forme de chaleur et de 
travail mécanique pendant le même temps est donc 

(0 E,i,d(-^EJjù — RJid/^RJldi — d.T. 

D'après le principe de la conservation de l'énergie, cette 
expression doit cire nulle dans le cas où le système décrit un 



INDUCTION 



En multipliant les deux membres de ces relations respective- 
ment par i^dt et i^dt^ nous obtenons 

^^i^dt — ?xfidt = — \d{ki^ + B/^) , 
et 

E^4^/ — R.j\dt = — iid (B/^ + CQ , 

Si nous remplaçons les quatre premiers termes de l'expression (i) 
par la somme des seconds membres des relations précédentes, 
nous avons 

(2) _?;^(Aî;+B/,)— 4^(B/^+C/J ^K^L+ 2z>VM + /irfN]. 

Dans le cas où il n'y aurait ni déplacement ni déformation des 
circuits cette expression se réduirait à 



— ki^di^ — B//Z/, — B/V/i^ -^ Cijll^^ 



ou 



clic serait donc la différentielle exacte de la quantité 

(3) -_^(AtJ+2Bv, + Cr^). 



fermé. Si le cycle n'est pas fermé, elle doit être une différ ( 

elle exacte. En exprimant que c'est une différentielle exacte f 

obtiendrons les valeurs de A, B, C. 



t 



D. — Pour transformer l'expression (i), écrivons les lois I 

ni pour chacun des circuits en observant que, puisqu'il y a 1 

Lcement des circuits il y a production de forces électromo- t 

; d'induction ; nous avons | 






THÉORIE DE MAXWELL i3i 

Quand il y a déplacement des circuits la différentielle de cette 
quantité est 

— ki^dl^ ~T- Bi^dL^ — Bi.^di^ — CL^di.^ ildA. — iJ.^dB ildC 

et pour que l'expression (2) reste la différentielle de la mem( 
quantité (3) il faut qu'il y ait identité entre cette différentielle e 
le développement de l'expression (2) qui est 

— ki^di^ — Bl^di^ — Bi^dl^ — Ci^di^ — r^dk — 2iJ.^dB — il 

ildL — iJ.dM iîd 

2 2 

L'identification donne les relations 

J- dk ==dk-^— dL , 

'2 '1 

dB^2dB + dyi, 

-dC = dC +^rfN, 
2 2 

(jui se réduisent a 

dk :=: — dL dB -. — dM. dC ^ — dN ; 
d'où Ton tire en intégrant et en supposant nulle la constante d'in- 



légralioiî 



1^ -M, C -. N. 



Ainsi les coelïicicnts (jui (Mitrent dans l'i^xpression des forces élcc 
tromotrices d'inducliou sont, au signe ])rès, les coedicients L, M, 
X de r(^xpres'^Ion du potcMiticl él(H'.tr()dynanri(j[U(^ du système de 
courants. Aussi a[)|)eIle-t-on généra lennuit coelïicients d'induction 
ces derniers; L et N sont des rocf/lc/c/Us de self-lnducllon et M 
le coc/ficîc/if d' uiddrtion DiulueUe des d(Uix courants. 

151. Théorie de Maxwell. — Vax théorie de l'Induction sous 
la forme (|ue nous venons de lui donner, a été développée pour 
la première fols par llelmlioltz dans son mémoire sur la Conser- 
iuUio/i de lit force et ])eu de temps après par lord Kelvin ; celle 
de Maxwell est di de rente et plus complète à Inen des égards. 



3a INDUCTION 

peut en effet, par rapplication des équations de Lagrange à 
iide du mouvement des molécules du fluide impondérable que 
xiwell suppose présider a la manifestation des phénomènes 
3trîques, retrouver les lois de l'Induction et celle de l'Électro- 
laniique. 

.52. Dans les chapitres qui précèdent, nous avons été ame- 
à conclure que les hypothèses faites par le savant anglais 
taient que provisoires, et que, tout en nous satisfaisant mieux 
' Thypothëse des deux fluides, elles n'avaient pas, même aux 
"^.e leur auteur, plus de réalité objective. Au contraire nous 
ns ici, à ce que je crois , à la craie pensée de Maxwell. 
début de sa théorie, Maxv^ell fait les deux hypothèses sui- 
es : 

' Les coordonnées des molécules du fluide impondérable 
dépendent des coordonnées des molécules matérielles des corps 
soumis aux phénomènes électriques et aussi des coordonnées des 
molécules matérielles des fluides hypothétiques (électricité posi- 
tive et électricité négative) de la théorie ordinaire de l'Electri- 
cité ; mais nous ignorons complètement la loi de cette dépen- 
dance ; ^ 

^^ Le potentiel électrodynamique d'un système de courants 
n'est autre que la demi-force vive du fluide de Maxwell ; c'est donc 
de l'énergie kinétique. 

153. Pour introduire dans les équations de Lagrange les 
paramètres qui définissent la position d'une molécule du Iliiidc de 
Maxwell il faut^ par suite de la première hypothèse, connaître les 
pîiram êtres qui définissent la position d'une molécuhi de nos 
fluides hypothétiques. Or la position d'une molécule d'électricité 
A c[ui parcourt un circuit linéaire C est parfaitement déterminée 
si on connaît d'une part, la position du circuit dans Tespace, cl 
d'autre part, la longueur 6^ de l'arc OA compté à partir d'une 
origine déterminée 0. Par conséquent si .rp .r^, .^3,... sont les 
paramètres qui définissent la position des molécules matérielles 
qui constituent le circuit, la position d'une molécule du fluide 
impondérable de Maxwell dépend des paramètres ,s', .r^, .r,, r-^. 

Mais, au lieu de s on peut prendre une fonction de cet arc car 



APPLICATION AU CAS DE DEUX CIRCUITS 

la connaissance de cette fonction permettrait de déterminer 5 cl 
par suite la position d'une molécule d'électricité sur le circuit C; 
Maxwell prend la quantité 

t 

y = / idf, 

qui est, ainsi que nous allons le démontrer, une fonction de s. 

En effet la section du conducteur, cpi peut être variable d'un 
point à un autre, est une fonction cp [s] de l'arc s) la vitesse de 
l'électricité, quotient de l'intensité par la section du conducteur. 

., i . . , ds 

est alors — pr et comme cette vitesse a aussi pour valeur — nous 



devons avoir 



d'où nous tirons, 



et 



dt 



ds i 

dt cp(.v) ' 



J idt = / o[s)ds = i^{s)^ 



s^ étant la position do la molécule d'électricité à l'origine des 
temps. Par conséquent, // est uiui l'onction de s soulejncivt et nous 
pouvons prendre pour les parani(',tres dont (lé[)end la position 
d'une molécule du lluide impondérable de Maxwell les (pian- 
tités //, .i'j, .r^,.. . :i\,. 

154. Application au cas de deux circuits. — SI nous dési- 
gnons par /\ et i\, les intensités des courants (pil traversent ces 
circuits et si nous posons 

!/i = v/^ <^i' !/->.^ v^^ 

Jo .'0 

la position d'une molécule du lluide impondérable de Maxwell 
dépendra des paramèti'cs j/^ et //^ et des n paramètres .r^, .. ., .r,^ qui 
définissent la position des molécules matérielles des conducteurs. 



i38 INDUCTION 



^m 



,}' 



conséquent le mouvement du système formé par les deux ;| 

/ants sera donné par un système de 7^ + 2 équations de f 

r^a grange | 

cl (Tï clT ^ 

311 rji est un quelconque des paramètres et Q^. le coefficient de ùq,- 
dans l'expression 

lu travail correspondant à un déplacement virtuel du système. 

155. L'énergie kiné tique T qui entre dans ces équations est la 
somme de la demi-force vive Tj des molécules matérielles du 
système et de Ténergie kinétique des molécules du fluide impon- 
dérable de Maxwell. Cette dernière étant, d'après la seconde 
hypothèse, le potentiel électrodynamique du système par rapport 
a lui-même, nous avons dans le cas considéré où deux courants 
seulement sont en présence, 

Le premier terme T^ de cette somme ne dépend que des déri- 
v^ées <'r/, x.J..., x-n des paramètres x\, x.,... x^,^ des molécules 
matérielles. 

La position des molécules du fluide impondérable dépendant 
les paramètres ?/j, JJ.^-, x^^ x.,... x,, rensemble des trois derniers 
:ermes de la somme précédente pourrait dépendre de ces /i -{~ 2 
paramètres et de leurs dérivées. MaisL, M, N, ne dépendant que de 
la forme et de la position relative des circuits, sont des (onctions 
de x^, x\,... Xy^ seulement; de plus i^ et i, sont, d'après les inté- 
grales qui définissent ij^ et y.^, les dérivées ?// et ?// de ces quantités 
par rapport au temps. Par conséquent l'énergie kinétique des 
molécules du fluide impondérable dépend uniquement de.r^.r.,. .. 
r„, et de y/ et ?//. 

156. Occupons-nous maintenant du second membre des 
équations. Si nous supposons le courant qui parcourt le circuit 



VALEURS DES FORCES ELECTROMOTRÎCES D'INDUCTION i39 

Cl entretenu par une pile de force électroniotrlce E^, la quantité 
d'énergie voltaïque qu'elle fournit pendant le temps dt est E^/^rf/ 
ou E^oy^. Or dans les idées de Maxwell la force électromotrice 
est une force qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; 
par suite E^Sz/j est un travail résultant du déplacement des molé- 
cules de ce fluide. 

Mais la force électromotrice de la pile n'est pas la seule force 
qui agit sur les molécules du fluide impondérable ; il faut encore 
tenir compte de la résistance qu'oppose le milieu au mouvement 
de ces molécules et dont le travail se retrouve sous forme de 
chaleur dans le conducteur. La quantité de chaleur ainsi produite 
étant, d'après la loi de Joule, R^ifd/, le travail accompli par le 
fluide impondérable est — IX^iidl^ ou — I"^/i2//i. 

Nous avons donc pour le travail du fluide impondéral^le dans le 
circuit C^ 

et pour rensemblc des deux circuits 

(Jouant au travail des molécules matérielles, il ne dépend que 
des paramèlres .r^, .r^, ....r|,; nous le représentons par 

X'jO.r, + X/^.r,... +X,,o.r,,,, 

de sorte que nous aurons poui* le travail aec'ompli dans un dépla- 
cement virtuel tant pai' l(\s molécules du (luide impondérable ([ue 
par les inoléeub^s ma lé ri telles 

(E, — U^/,;oy^ H- (E,— Iî/,;o//_, |-X,o.rj + X,o.i-, -h ... -^X, o.r,,, 

et il nous faudra, dans ehaeiine des é(|uatioiis de La<n'an<''e 
prendre pour second inenihi-e le eoeflieient de l'expression pi'<''- 
eédenh^ ([ui se rapporte an pnranii'jre eonsidc'ri'. 

157. Valeurs des forces électvomotricos d'induction, ~- 
l/é([uati()n de Eagrange r(dative au paranièlre // est 



i4o INDUCTION 

Mais T ne dépend pas de ij^ puisque aucun de ses termes n'eu 

dépend; par conséquent -^^ — = o. On a aussi / = o car T^ 

étant Ténergie kinétique des molécules matérielles il ne dépend 
pas de ?//. I/équation précédente se réduit donc à 

OU 

La force électromotrice d'Induction est donc la dérivée par 
rapport au temps, changée de signe, de LXj^-j-Mï^. C'est l'expres- 
sion à laquelle nous étions parvenus par la méthode de lord Kelvin. 

En écrivant l'équation de Lagrange relative au second para- 
mètre ?/2, nous trouverons pour la force électromotrice déve- 
loppée dans le second circuit 

158. Travail des forces èlectrodynamiques. — Si nous pre- 
nons une des équations de Lagrange relatives aux paramètres 
ji\, a\y.., X,,, nous obtiendrons le travail des forces électrodynami- 
ques pour un déplacement correspondant à l'accroissement o:v,- du 
paramètre considéré. 

En effet, en observant que L/f+2 M/^/,4-N/| ne dépend pas 
de la dérivée .r^, que T^ ne dépend pas de .i\- et que i^ et l^ ne dé- 
pendent ni de .t\- ni de .x^y nous avons 




Si nous supposons en outre qu'à l'instant considéré le système 
soit au repos, Tj sera nul, et nous aurons pour le travail résul- 
tant d'un déplacement virtuel, 



Mais ce travail est celui des forces extérieures qui agissent sur 



TRAVAIL DES FORCES ÉLECTRODYNAMIQUES i4i 

les molécules matérielles du système; celui des forces électrody- 
iiamiques est de signe contraire. Il est donc égal a la variation 
de la fonction 

2 

qui est, comme cela devait être, le potentiel électrodynamia" 
du système par rapport à lui-même. 

159. Cherchons maintenant le travail des forces électr 
miques exercées par le courant C^, supposé fixe, sur le circu 

Le circuit C^ ne se déformant pas, 8N est nul et le travail ut 
forces électrodynamiques se réduit à 

Mais le premier terme de cette somme se rapporte à Faction 
que le courant C^ exerce sur lui-même. Par conséquent le travail 
des forces électrodynamiques dues à Faction du courant C^ sur le 
circuit C^ a pour expression iJ,.^M., D'ailleurs M/^z^, potentiel 
électrodynamique du courant C^ par rapport au courant C^ a pour 
valeur (129) 



M, 



i^i^ = i^ Hla + m [j + n^') du 



quand C^ se déplace dans un milieu non magnétique, ou plus 
généralement 



Mi^i.^ = i\ I [la ~\- mh + Jic) db) 



quand C^ se déplace dans un milieu magnétique en un point 
duquel les composantes de l'induction magnétique sont a, b, c; 
nous aurons donc pour le travail des forces électrodynamiques 
qui s'exercent entre Cj, et C^ 



i^h \{la + mb -f- ne) dio . 



ï42 



INDUCTION 



160. Expression des forces èlectrodynamiques. — Si nous 
désignons par Xck^ Yrfx, Zdi les composantes de la force électro- 
dynamique due à l'action du courant C^ sur un élément x, ?/, z 
du circuit Cp le travail de ces forces quand l'élément se déplace 

de Sx, 5?/, o.z sera 

(X5.'r + Y% + ZS.3)rfT; 

par suite le travail des forces électrodynamiques qui agissent sur 
C sera, quand le circuit tout entier se déplace ou se déforme, 



Cck(X^j:x;-+-Yhj-{-Zcz), 



l'intégration étant prise le long du circuit C^ En égalant cette 
expression du travail a celle que nous avons trouvée précédem- 
ment nous obtenons la relation 

(i) f(k (Xrk + Yo?/ + Zoz) =^ i\o I {la-\-mh + îic) diù, 

dont nous allons évaluer le second membre, 

Soient Cj [fiiJ^. Sa) la position du circuit C^ et C'j sa position 
finale. Nous pouvons par ces deux posi- 
tions faire passer une surface A et prendre 
pour champ d'intégration de 

/ (^la + mh -\- ne) (ho y 

l'aire limitée sur cette surface par la 
courl)e G,. La variation de cette in téirrale 
([uand le circuit passe de Cj en C\ est alors 
la valeur de cette même intégrale étendue à Taii'c comprise errtre 
les deux courbes. Pour trouver cette valeur considérons un élément 
mn du courant C^ dont la position après le déplacement est /;^'/^^ 
La figure ?nn m'/i' peut être considérée comme un parallélogi-amme 
dont le côté iiin a pour projcclions (Li\ dj/, dz et le côté mn^, 
égal au déplacement, o.v^ otj, oz\ nous avons donc pour les aires 
des projections de ce parallélogramme sur les plans de coordon- 
nées 

ld(x> = oydz — ozdij, 
mdiù = ozdx — ùxdz^ 
ndo) = o.xï/?/ — o?/d:i\ 




CAS D'UN NOMBRE QUELCONQUE DE COURANTS 

et, par conséquent, 

§ 1 [la -+- mb-i- ne) dto ^= j a [oijdz — o.zdi/) + b [ozdx — ?ixdz) 

-\-c ipxdy — Bi/dx. 

En portant cette valeur clans l'égalité (i) il vient, 

I d'z (Xox -\- "Y 8?/ +Z5.3) = /j / [cdj/ — bd.z) ox -\- (ad.z — cdx) hj 

[bdx — adx) Zz ; 

ce qui nous donne en identifiant 

'Xdz= i\ [cdy — bdz), 
ydz = i\ [adz — cdx)^ 
J.A'z = /j [bdx — cidy). 

Mais on sait que 

ud'Z=. i^dx, çd7 = i^d?j. n'd-z = i^dz, 

par conséquent, les trois équations précédentes peuvent s'écrire 

X = cç biK' 



(2) Y = cm' — c/f 

Z = bfi — a ç . 

161. Cas d'izj2 nombre quelconque de courants. — Forces 
èlectrodynamiques. — Les formules précédeutes s'appliquent au 
cas où un iioniljre (|uelcou(|ue de courants (].,, C3..,., ('/„ agissent 
sur l'élénient considéré du circuit C^. ¥a\ edet, appelons r/o, b,,^c,, 
a.^, b.^...y c^, les conqiosantes de l'induction niagnétl([ue due aux 
divers courants au point où se trouve l'élénient de C^. I.a force 
électroclynanii({ue produite [)ar rensenible des courants est la 
résultante des ("orces produites par chacun d'eux; sa composante 
suivant l'axe des x (^st donc 



Z = c_^> ^ b^^iv + r,(' — b,jv + . . . 4- ('u^' — h'^'^ 



ou 



X = {c\ H- 6", + . . . + c,,) ^ — [b.. H- b^ + . . . + b,,) w 
ou, enlin, en désignant par a, b^ c les composantes suivant les 



\ INDUCTION 

..ois axes de la résultante des inductions magnétiques dues aux 

courants C^, C3... C„ 

X = cf' — biv, 

'^n peut également tenir compte de la force électrodynamique 

au courant C^ lui-même. Pour cela décomposons ce courant 

eux portions, l'une ne comprenant que l'élément considéré, 

tre, le reste du circuit. On peut négliger l'action de la pre- 

mère portion sur elle-même et on est alors ramené à la 

recherche de la force électrodynamique due à l'ensemble de n 

courants c^^c^, c^... c,,. Si donc on appelle a, b, c les composantes 

le l'induction magnétique due à tous ces courants on a encore 

Dour la composante suivant l'axe des x 

X = cr — biv. 
Les formules (2) sont donc générales. 

162. Forces électromotrices d^ induction. — Nous avons 
trouvé que, lorsqu'il n'y a qu'un seul courant C^ placé en présence 
du courant C^, la force électromotricc totale d'induction déve- 
loppée dans le circuit C^ est 

Le terme —7-^ ne dépendant que de Taction du courant G^ sur 
lui-môme, la force électromotricc d'induction duc seulement au 

courant C, est donnée par — 7-^, dérivée que nous allons mettre 

' ^ dt ' ^ 

sous une autre forme. 

La variation SM/^ de la quantité M/.^, <|uand le circuit C^ se 
déplace et que les intensités des courants varient, peut être con- 
sidérée comme la somme de la variation résultant du déplace- 
ment, les intensités restant conslantcs, et de la variation due au 
changement des intensités dans les cii'cuils supposés fixes. Or 
nous avons démontré (157) ([ue la variation de M/^/^ due au dépla- 
cement relatif des deux circuits dans lcs([uels les intensités con- 
servent les mêmes valeurs, est 

oMiJ^= i^ 1 a {oydz — o.zdif) + b(o.zdd' — oxdz) + c [oxdy — hjdx) ; 



FORCES ÉLECTROMOTRICES D'INDUCTION i45 

par conséquent, nous aurons pour la variation correspondante 
de M4, l'intégrale du second membre. 

Pour avoir la variation de M^ résultant du changement des 
intensités prenons M^?^ sous la forme 

Mz>; = z; f Fdx + Gdij + Edz. 

Puisque les circuits ne se déforment ni se déplacent, le contour 
d'intégration reste le même et la variation de ML se réduit h 



Jci 



^ hFd.T-+-oGd?j + md.z. 

Cl 

Nous aurons donc pour la variation totale de Mi., 
j a [ofjdz — ozdi/) + /; [ozdx — o:vd.z^ -\- c [oxdjj — ùyd.z 

~\- j oFcZ.x' + oCxdt/ + 
et par suite, pour la force électromotrice d'induction 

dMi, 



dt 



a [ijdz— z'dy) + /; [z'dx—x'd.z)+- c {x'dy — y'd.r) 



dV , dC. , , dW , 

^d,r+^dy+^dz 



ou encore 



dMi, If;, d^\ y I , , <^(^ \ J 



-\^[h:r' — ay'-~-~^'-jj')dz. 



463. Si nous désignons par P, i), Il les composantes sui- 
vant les trois ax(^s de la (orc(^ électronnotrice d'induction par 
unité (l(^ longueur, la lorce électroniotrice dans le circuit i\ est 
donnée par l'intégrale 



X' 



\\lr^(ldij + ]Xdz. 

PoiNCARK. Elo(îlrî<'ilc el O])li([uo. 



INDUCTION 



identifiant avec l'expression précédente de la force électro- 
de nous obtiendrons trois relations dont la première est 



/ 




Vdx^ I icy'-bz'—^)d:v. 



Nous en tirons par difFérentiation 

(0 p=:cty^bz^ 



dF 



dt ' 



il est évident que nous pouvons ajouter au second membre 

îtte dernière relation la dérivée partielle 7-^ d'une fonc- 

uniforme — i, car, en intégrant, l'intégrale relative a ce 
ine sera nulle et la relation (i) sera encore satisfaite. Nous 
avons donc pour les composantes de la force électromotrice d'in- 
duction par unité de longueur 

•^ dt dx 

r \ } r\ I , dG dij 

^ ^ ^ ^ dt dîj 

r^ j , r dll dii 

R = bx^ — a?/ — 



dt d.z ' 

164. Montrons maintenant que ces équations sont encore 
applicables au cas où un nombre quelconque de courants C^, 
C3,... C^ sont en présence du courant C^. 

La force électromotricc d'induction développée dans C^ par l'en- 
semble des ?i — I autres courants est égale à la somme des forces 
électromotrices développées par chacun d'eux; on a donc pour 
la composante P, 

-^ dt dx 



+ c^'~hz! 



dt dx 



^'"^ *"- dt dx 



SIGNIFICATION DE ^ 14^ 



OU 



Lm^ Am di dx 

^^' A_A^^Z_A^ ^^^^^ ^^^ composantes suivant deux des axes de 
rinductlon magnétique au point considéré sur C^; \^F est la 
composante du moment électromagnétique au même point ; quant 
à N ^J; c'est une fonction uniforme des coordonnées. Par consé- 
quent la première des équations du groupe (2) s'applique au cas 
d'un nombre quelconque de courants pourvu que l'on prenne 
pour Z>, 6', et F les valeurs de ces quantités dues a l'ensemble 
des courants agissants. On verrait de la même manière que les 
deux autres équations sont également applicables. 

165. On peut aussi tenir compte de l'action du courant C^ 
sur lui-même. En effet nous pouvons considérer [le circuit C^ 
comme formé de deux portions. Tune se réduisant à l'élément de 
circuit pour lequel on cherche les composantes de la force élec- 
tromotrice, l'autre comprenant le reste du circuit. Cette dernière 
portion peut être confondue avec le circuit C^ lui-même, de sorte 
que si l'on néglige l'induction de l'élément sur lui-môme Tinduc- 
tioii provient des /^ circuits Gp C^,... C^,. Les composantes de la 
iorce clectromotrice seront donc données par les formules (2) où 
//, //, c^ F, G, H seront les valeurs dues à tous les courants. 

166- Signification de ^. — La fonction ^ est une fonction 
quelconque des coordonnées assujettie à la seule condition d'être 
uniforme. Maxwel admet que c'est le potentiel électrostatique 
résultant des masses électriques qui peuvent exister dans le champ. 

C.ctte hypothèse aurait besoin d'être vérifiée expérimentale- 
ment par la concordance entre les valeurs mesurées des forces 
électromotrices d'induction dans un circuit ouvert et les valeurs 
fournies par les équations (2) 011 ^ serait donnée par l'expérience 
et les quantités a, h, e, F, G, Il par les formules 

c = Y + 4'^C, 



^'« 



INDUCTION 



Y = I ^^^^ ^ ' ^^'^ ^^ ' ^'^^^ 




Toutefois il est toujours permis de prendre pour A le potentiel 
électrostatique car les quantités F, G, H n'ont pu être détermi- 
nées qu'en les supposant liées par l'équation différentielle 

dF , dG , dlî 



dx dy dz 



3 sommes libres d'abandonner cette hypothèse. Si nous 
ls pas introduit cette hypothèse, nous aurions trouvé pour 
J, II des valeurs de la forme 




dx ' 



7- étant une fonction arbitraire des coordonnées, et pour les com- 
posantes P, Q, R de la force électromotrice par unité de lon- 
gueur 



hz' — 



Q = a-J — ex' 



R: 



ay — 




du ch 


d}-L 


dij 


dt r 


dxdt 


dx ' 


dy d- 


d-A 


dû, 


dt r 


di/di 


dy' 


dw di 


d'-V. 


4 



de r dzdt dz 



Il est donc toujours possible, en choisissant convenablement la 
fonction arbitraire X de faire en sorte que la fonction ^J; qui entre 
dans ces équations et les équations (2) représente le potentiel 
électrostatique. 



;|. 



r- 



CHAPITRE X 

ÉQUATIONS DU CHAMP MAGNÉTIQUE 



iQl. Équations du champ magnétique. — Récapitulons les 
équations qui lient entre elles les composantes en un point 
Tincluction magnétique, de la force et du moment électromagné- 
tiques, de la force électromotrice d'induction et de la vitesse de 
l'électricité. 

Dans le § 103 nous avons vu, que si a, p, y sont les compo- 
santes de la force magnétique en un point d'un milieu magnétique 
dont le coefficient de perméabilité est pi, les composantes de 
l'induction magnétique au même point sont données par les 
équations. 

(0 ) ^^=l4^ 

\ (- = i^y. 

Si au point considéré passe un liux d'électricité, les com- 
posantes ?/, r, i'i' de la vitesse de ce llux peuvent être déduites 
des composantes de la force magnétique au moyen des relations 
établies au § H8 : 

. ^ dj d& 

, di/ dz 

] doL dy 

[ ,„^ ^ 

d.v dy 

Quant aux composantes F, G, H du moment électromagné- 
tique elles sont liées (§ 131) à celles de l'induction magnétique 



ÉqU AXIONS GÉNÉRALES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 

es équations dIfFérentielles 



dy 


dz 


dF 


dE 


dz 


dx ' 


dx 


dY 
dy ■ 



(III) 



Mais puisque a, b, c sont les produits de a, p, y par un facteur 
constant [x et que a, p, y dépendent de ;^, ^, w les composantes 
F, G, H du moment électromagnétique sont elles-mêmes des 
fonctions de u, ^, çi^. D'après ce que nous avons. dit aux § 137 
et 166 ces fonctions ont pour expressions : 

u j , d'I 

7^^ + ^' 



r dy 



w , , dX 

Enfin la force électromotrice résultant de Tinduction électro- 
magnétique et des masses électriques à Tétat statique a pour 
composantes, ainsi que nous l'avons montré au § 163, 

dF dij 

(V) 





dt 


dx 


dQ 


di 


dt 


dy 


dl\ 


4 



dt dz 



168. Équations des courants de conduction. — Dans les for- 
mules (III), u^ (., çç désignent les composantes de la vitesse de 
l'électricité sans distinction du mode de mouvement : conduction 



ÉQUATIONS DES COURANTS DE DÉPLACEMENT i5 

OU déplacement. Dans le cas où l'on a un courant de conduction 
ces composantes doivent en outre satisfaire aux équations qui 
expriment la loi de Ohm. Au § 87 nous avons vu que si C désigne 
la conductibilité électrique du milieu etX la variation par unité de 
longueur de la projection suivant l'axe des oc des forces électro- 
motrices résultant de toute autre cause qu'une difiérence de 
potentiel statique, nous avons pour la première de ces équations, 

u di^ 



C dx 



X. 



Lorsqu'on suppose' que ces forces électromotrices se 
uniquement a l'induction exercée par les masses magnétiques c 
les courants qui varient ou qui se déplacent, dans le champ, le 
second membre de cette dernière équation est égal à P. Par 
conséquent, nous avons alors pour les trois composantes de la 
vitesse de l'électricité dans un courant de conduction 

/ u = CP, 
(VI) , = CQ, 

( (V = CR. 

169. Équations des courants de déplacement. — Les équa- 
tions précédentes ne sont pas applicables aux courants de dépla- 
cement, ces courants étant supposés ne pas suivre la loi d'Ohm. 
Quant aux équations (111), elles doivent ôtre satisfaites puisque^ 
comme nous Tavons déjà dit (H8), Maxwell admet que les 
courants de déplacement obéissent aux lois électromagnétiques 
et électrodynamiques d'Ampère. Mais outre ces dernières équa- 
tions, il en existe trois autres qui lient les composantes de la 
vitesse de l'électricité, dans un courant de ce genre, aux com- 
posantes de la force électromotricc. 

Nous avons vu, en ciïet (72), que les composantes du déplace- 
ment électrique sont données par trois équations dont la pre- 
mière est 

_ K /^ \ 

X ayant dans cette formule la même signification que dans le 



i52 ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 

paragraphe précédent. Si donc, nous admettons que les forces 
électromotrices soient dues uniquement a une diflFérence de 
potentiel statique et k l'induction des aimants et des courants 
placés dans le champ, le facteur entre parenthèses dans Fexpres- 
sion de f est égal à ^ — P ; par suite, nous avons alors, 

En dérivant ces équations par rapport au temps, il vient pour 
.s composantes ^^, ç^ çç de la vitesse du déplacement électrique 

^iz dt ' 

\ " 4^ dt ' 

no. Équations des courants dans un milieu imparfaitement 
isolant. — Le groupe d'équations (VI) s'applique aux milieux 
conducteurs comme les métaux ; le groupe d'équations (VIIl) 
s'applique, au contraire, aux milieux parfaitement isolants. Lors- 
que le corps est imparfaitement isolant, Maxwell admet que le 
courant électrique ^rai, duquel dépendent les phénomènes élec- 
tromagnétiques, a pour composantes la somme des composantes 
du courant de conduction et du courant de déplacement ; nous 
avons donc dans ce cas 

/^iz dt 



^iz dt 



ÉQUATIONS DES COURANTS DANS UN MILIEU ISOLANT i^'^ 

Remarquons que Thypothèse de Maxwell soulevé une. dilïicultc'^. 
En effet, le milieu possédant des projDriétés intermédiaires cnLrt' 
celles des conducteurs et celles des isolants, la force clecLromo- 
trice qui produit le courant doit vaincre deux espèces de résis- 

tance : l'une analogue à la résistance — des métaux, 1 autre 

du genre de celle qu'oppose un isolant. Il seml)lc donc ([ue, eon- 
trairement aux vues de Maxwell, l'intensité du courant <îl., par 
suite, les quantités u, p^ w dussent alors être plus peiilc^s ([ue 
dans un milieu conducteur ou un milieu parfoitenieut isolant. 

m. M. Potier a substitué à riiypothése de Max\V(dl une 
hypothèse plus rationnelle. Il admet que la ioree. éh'<cl l'oiuolr-"" 
en un point est la somme de celle qui donne lieu au eouranl cli» 
conduction et de celle qui produit le déplacenuMil, Nous avouH 
alors, en tirant des équations (VI) et (VII) les valeurs dc^s eon 
posantes de la force électromotrlcc et additionnant : 

' P _ ii . i]l/.; 
C ^ K /* 

(X) 



Q = 


C + K é'' 


R^ 





172. Ja^s formules (IX) et les (orniules (X) s<^ r<'^(luls<'nl \\ e<dl«'H 
des courants de conduction, les preinièr(?s poiii; K - o. les s<"cotHli's 
pour K = co . Un conducteur doit (Mre considéré, d'après Ma\u ell, 
comme un diélectrique de pouvoir induclcui* nul, rt. d'après 
M. l?()tier, comme un diél(^ctrique d(i pouvoir uidii(*leur îtilîn!. 

La conséquence de Hiypothèsc; de M. Potier s'uilcrp rèh* l'aeile- 
ment dans la théorie des celkiles. 

Dans cette théorie, (m eflèt, on se repr(:\senl(^ un diéleel riqui» 
parlait comme formé par des cellulc^s parfaihMuenI eonduetrices 
séparées les mies des autres par des intervalles parfaiîrnicuî 
isolants. 

Qu'arrivera-t-il alors pour un corps tenant h^ niiliru enlrr 
les diélectriques et les conducteurs, c'est-à,~-dir<^ pour un diéltM- 
trique imparfait? 



i54 ÉQUATIONS GÉNÉRALES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 

Les formules de Maxwell et celle de M. Potier donnent à 
cette question deux réponses différentes. 

Adoptons-nous les formules de Maxwell ? C'est supposer que 
les intervalles qui séparent les cellules ne sont plus parfaitement 
isolants mais que leur conductibilité spécifique C n'est plus 
nulle. 

173' Adoptons-nous au contraire les formules de M. Potier; 
cela revient a supposer que les cellules conductrices ne sont plus 
parfaitement conductrices et que leur conductibilité C n'est plus 
infinie. 

Il est peu probable que la réalité soit aussi simple que le sup- 
posent Maxwell et M. Potier. Peut-être devrait-on adopter une 
combinaison des deux hypothèses : des cellules imparfaitement 
conductrices, séparées par des intervalles imparfaitement iso- 
lants. 

Tout cela a d'ailleurs peu d'importance ; toutes ces hypothèses 
ne peuvent être regardées que comme une première approxima- 
tion, appropriée à l'état actuel de la science ; et dans cet état 
actuel, on n'a intérêt à considérer que des conducteurs ordi- 
naires ou des diélectriques. regardés comme parfaits. 



CHAPITRE XI 

THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 



174. Conséquences des théories de Maxwell. — D 
diverses théories que nous avons exposées clans les Cliapiti 
précédents, il résulte nettement que la préoccupation constant 
de Maxwell est de trouver une explication des phénomènes élec 
triques et électromagnétiques, généralement attribués à de 
actions s'cxereant à distance, par le mouvement d'un fluid 
hypothétique remplissant l'espace. Nous avons pu constater qu 
Maxwell n'avait qu'imparfaitement atteint son but; en particulie 
nous avons vu dans le Chapitre vi que, ^'il est possible de rendre 
compte des attractions et des répulsions électrostatiques au 
moyen des pressions et des tensioils d'un fluide remplissant les 
diélectriques, les propriétés qu'il faut alors attribuer à ce fluide 
sont incompatibles avec celles que Maxwell lui suppose dans 
d'autres parties de son ouvrage. Ainsi, malgré les cilorts de 
Maxwell, nous ne possédons pas encore une explication méca- 
nique complète de ces phénomènes ; néanmoins les travaux de 
ce physicien ont une importance capitale : ils démontrent la pos- 
sibilité d'une telle explication. 

175. Mais laissons de coté les quelques contradictions que 
nous avons relevées dans l'œuvre de Maxwell et attachons-nous 
plus spécialement à la théorie qu'il a proposée pour expliquer 
rElectromagnétisme et l'Induction et que nous avons exposée 
dans le Chapitre ix. Une des conséquences les plus importantes 
de cette théorie, et cette conséquence mérite à elle seule toute 
notre admiration, est l'identité des propriétés essentielles de 
Téther qui, d'après Fresncl, transmet les radiations lumineuses 
et du fluide que Maxwell suppose présider aux actions électro- 



i56 THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 

magnétiques. Ainsi que le fait observer ce dernier, cette iden- 
tité de propriétés est une confirmation de l'existence d'un fluide 
servant de véhicule a l'énergie. 

«: Remplir l'espace d'un nouveau milieu toutes les fois que 
l'on doit expliquer un nouveau phénomène ne serait point un 
procédé bien philosophique ; au contraire, si, étant arrivés indé- 
pendamment, par l'étude de deux branches différentes de la 
science, à l'hypothèse d'un milieu, les propriétés qu'il faut 
attribuer à ce milieu pour rendre compte des phénomènes élec- 
tromagnétiques se trouvent être de la même nature que celles 
que nous devons attribuer h l'éther luminifère pour explic[uer 
les phénomènes de la lumière, nos raisons de croire à l'exis- 
tence physique d'un pareil milieu se trouveront sérieusement 
confirmées. » Maxwell. Traité d'Electricité^ t. II, § 781. 

n6. L'éther et le fluide de Maxwell jouissant des mêmes 
propriétés, la lumière doit être considérée comme un phénomène 
électromagnétique et le mouvement vibratoire qui produit, sur 
notre rétine, l'impression d\uie intensité lumineuse doit résulter 
de perturbations périodiques du champ magnétique. S'il en est 
ainsi, des équations générales de ce champ doit pouvoir se déduire 
l'explication des phénomènes lumineux. C'est à cette explication 
qu'on adonné le nom de Théorie électromagnétique de ladumière. 

Cette théorie conduit nécessairement à des relations entre les 
valeurs des constantes optiques et des constantes électriques 
d'un même corps. Si ces relations se trouvent satisfaites numéri- 
quement par les données de l'expérience, elles constitueront autant 
de vérifications, indirectes mais néanmoins très probantes, de la 
théorie. L'une des meilleures vérifications de ce genre est l'ac- 
cord satisfaisant que l'on constate entre les valeurs trouvées par 
Foucault, Fizeau et M. Cornu pour la vitesse de propagation de 
la lumière et celle qu'pn déduit de la théorie électromagnétique. 
Cherchons donc la formule qui exprime cette vitesse en fonction 
des constantes électriques mesurables du milieu où s'effectue la 
propagation. 

m. Équations de la propagatipn d'une perturbation 
magnétique dans un diélectrique. — Tous les corps transpa- 
rents étant des isolants jdIus ou moins parfaits, si toutefois on 



ÉQUATIONS DE LA PROPAGATION D'UNE PERTURBATION 

excepte les solutions électrolytiques, bornons d'abord notre étud< 
h la considération des diélectriques. De plus admettons que le ; 
molécules matérielles du milieu qui propage les perturbation 
magnétiques sont en repos. 

Par suite de cette dernière hypothèse les composantes x^, y', z 
de la vitesse d'un point matériel sont nulles et les équations (\ 
du § 167 se réduisent aux suivantes : 

rfF d^ 



p- k- 


dx ' 




d^ 


n '^^II 


d<h 


^==-7?- 


d.z ' 



Le potentiel électrostatique A étant du à des masses électri e 
ne variant ni en grandeur ni en position, cette quantité e C: 
dérivées partielles par rapport h .r, ?/, .::, sont indépendante ^ 
temps ; par conséquent en dérivant les équations précédente* 
rapport à /^ nous o])tcnons 

/ dP d'F 



dt ^ dt- 

dO rf^G 



dt dtr ' 

dR d'il 



It ^ dl'' 



La perturbation magnétique étant supposée s'cirectuer dans un 
milieu diélectrique, les composantes u, f, w de la vitesse de 
Lélectricité sont liées aux composantes de la force électromo- 
trice par les équations (VIII) d'où nous pouvons tirer les déri- 
vées de P, (^, \\ par rapport h t. En portant les valeurs de ces 
dérivées dans les équations précédentes nous avons 




i58 



THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIERE 



Pour avoir les équations différentielles qui donnent F, G, H en 
fonction du temps, il nous faut exprimer u., ç^ w en fonction de 
F, G, H et des dérivées de ces quantités. Pour cela adressons- 
nous aux groupes d'équations (I), (II) et (III). 

Les équations (I) et (III) nous donnent 



txa = 


rfH 

dy 


dG 

dz 


[-? = 


dF 

dz 


dR 

dx 


[XY = 


dG 
dx 


d¥ 
dy 



Au moyen de ces équations calculons les dérivées de a, [3, y, par 
rapport à ^, y, z et portons les valeurs ainsi trouvées dans les 
équations (II) ; nous obtenons 



^■KlkU = , 






X 

dy 



-AF, 

-AG, 



^^J ATT 



J désignant la somme des dérivées partielles : 
J 



dV dG_ m 
'■^ dy'^ dz ■ 



dx 



L'élimination de u, c, w entre ces dernières équations et les 
équations (2) nous conduit aux équations diirérentielles cher- 
chées. 

d'F . „ (^J 

IL 
dy ' 

dJ 

dz ■ 



(A) 



/ Ku 



di' 
d'G 
'dF 
dm 

dl^ 



: AF 
AG- 
-. AH — 



Sous cette forme, ces équations sont semblables à celles du 



EQUATIONS DE LA PROPAGATION D'UNE PERTURBATION iSg 

mouvement d'une molécule d'un milieu élastique (^) et par con- 
séquent à celles du mouvement d'une molécule d'éther ; c'est une 
première confirmation de Thypothèse sur la nature électroma- 
gnétique des vibrations lumineuses. 

178. Ces équations étant linéaires et à coefficients constants, 
les dérivées par rapport à une variable quelconque des fonc- 
tions F, G_, H qui y satisfont, sont aussi des solutions de ces équa^ 
tions ; en outre, il en est encore de même de toute combinaison 
linéaire de ces dérivées. Par conséquent les composantes a, Z>, c 
de rinduction magnétique, liées aux composantes du moment 
électromagnétique par les relations (III), satisfont aux équa- 
tions (A). D'ailleurs dans ce cas ces dernières se simplifient caria 
quantité J est alors 

^ da dh de 

ax dy dz 

et nous savons que cette somme de dérivées partielles est 
nulle (102). Nous avons donc 

d^a 





= ^a, 




= Ab, 


„ d'c 


= Af. 



Quant aux composantes a, ^i, y de la force magnétique elles 
doivent également satisfaire aux équations (A) puisqu'elles ne 
diffèrent de a, i, c que par un facteur constant ; la somme J des 
dérivées partielles subsiste alors dans les équations. 

Enfin les composantes u, ç, ^{' de la vitesse du déplacement 
étant des fonctions linéaires et homogènes des dérivées de a, [3, y 
sont aussi des solutions des équations (A). L'hypothèse de l'in- 
comprcssiljllitc de rélectricité étant exprimée par la condition 

du d^ div 

d.v dy dz 

J disparaît des équations. 



i6o THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 

179. D'ailleurs si comme le suppose Maxwell (133), les com- 
posantes F, G, H du moment électromagnétique satisfont a 

ridentitê 

d¥ dG d\ï 



dx dy dz 



dû dz" 

d'G d'G 






t 



les équations (A) et celles qui donnent les composantes de la force 
magnétique ne contiennent pas J. Mais Tabandon de cette hypo- 
thèse ne modifie en rien les résultats auxquels conduit la théorie 
électromagnétique de la lumière car J disparaît lorsqu'on suppose 
périodiques les perturbations du champ magnétique. 

En eflfet dérivons les équations (A) par rapport Ixx, y, z^ et 
additionnons ; nous obtenons après simplification 

J doit donc être une fonction linéaire du temps, ou une cons- 
tante, ou zéro ; il en est de même pour les dérivées de J par ^-jf 
rapport à x, ?/, z. Or, si F, G, II sont des fonctions périodiques 
du temps, J et ses dérivées sont également des fonctions pério- 
diques ; par suite ces quantités ne peuvent être ni des fonctions 
du premier degré en t, ni des constantes ; elles sont donc nulles. 



'■î 



180. Cas des ondes planes. — Supposons que les phénomènes 
électromagnétiques qui ont lieu dans le diélectrique ne dépen- /| 

dent que du temps et de la coordonnée z du point considéré. 
Dans ce cas ces phénomènes sont, au môme instant, identiques 
pour tous les points d'un plan parallèle au plan des xy ; on dit 
alors que les perturbations magnétiques forment des ondes pla/ies. 

Les composantes F, G, Il du moment électromagnétique ne 
dépendant pas de x ni de ?/, les dérivées de ces quantités par 
rapport Ixx et à ;/ sont nulles et les équations (A) se réduisent à 

,. ^r-F d'F 



VITESSE D'UNE ONDE PERIODIQUE PLANE i6 

Cette dernière équation montre que clans le cas où les perturba- 
tions sont périodiques la composante H est nulle. Par conséquent 
le moment électromagnétique est situé dans le plan de Tonde. 11 
en est de même des autres quantités, vitesse de rélectriclté, force 
électromagnétique, etc., dont les composantes satisfont à des 
équations semblables aux équations (B). On peut donc dire que, 
comme les vibrations de Téther dans la théorie ordinaire rl^ ^-^ 
lumière, les perturbations électromagnétiques périodiqucf 
trajis^^ej'sales. 

181. Vitesse de propagation d'une onde périodique 
— Si nous posons 

I 



les deux premières des équations (B) deviennent 



•1 ? 



dl^ dz 

d'Or ...^., rf"G 



dt' dz' 

Sous cette forme, ces équations sont identiques à celles C[ui 
donnent les composantes du déplacement d'une molécule d\in 
milieu élastique dans le cas d'un mouvement par ondes planes 
transversales. Nous pouvons donc considérer les perturbations 
électromuguéti({U8s c;)inin;3 se propageant avec une vitesse égale à 

I 

182. Valeur de cette vitesse dans le vide. — Le coefficient 
de perméabilité |ji du vide étant égal à i dans le système de 
mesures électromagnétique, la vitesse de propagation des ondes 

planes dans ce milieu est égale à —i^ ,K étant exprimé dans le 

môme système. (Cherchons la valeur de cette quantité. 

L'une des composantes du déplacement électrique est donnée 
par la formule 

K_ dà 



4^ d:v 
PoiNCARK, Electricité et Optique. 



1 



i62 THÉORIE ÉLlîCTROMAGyÉTiqUE DE LA LUMIÈRE • ^/|* 

Le pouvoir inducteur spécifique n'ayant pas de dimensions 
dans le système électrostatique, les dimensions du déplacement 
dans ce système sont celles du cjuotient d'un potentiel pai^ une 
longueur et, par suite, celle du quotient d'une quantité cVélectri- 
cité par le carré d'une longueur. Il s'ensuit que si on passe d'un 
système de mesures à un autre dans lequel l'unité de longueur a 
conservé la même valeur que dans le premier, les nombres qui 
mesurent le déplacement dans l'nn et l'autre système sont dans 
le même rapport que ceux qui expriment une môme quantité 
d'électricité. Si donc nous appelons rie rapport del'unité électro- 
magnétique de quantité d'électricité à l'unité électrostatique^ le / ff 
nombre qui exprime, soit une cpiantité d'électricité, soit un -'{l 
déplacement dans le premier système est égal au produit de \\ 

— par le nombre qui mesure la môme grandeur dans le système î 

électrostatique. D'autre part on sait que le rapport des unités de ' 

force électromotrice dans les deux systèmes de mesure électrique J 

est inverse de celui des unités de quantité ; donc le nombre qui i^^ 

exprnne —y-^ dans le système électromagnétique est le produit j 

de ç par la mesure de cette quantité au moyen de l'unité élcc- j 

trostatique. Il en résulte que la valeur du quotient de /' par j 

— j^ et, par suite, la valeur de K se trouvent multipliées par 1 

—^ quand on passe du système électrostatique au système élec- \ 

tromagnétiquc. Le pouvoir inducteur sp6ci(i(pie du vide étant j 

I dans le svstème électrostatique, sa valeur est - „ dans le j 

(^- j 

système électromagnélique. 

Si nous portons cette valeur de K dans l'expression de la 
vitesse, nous avons 

I I 

la vitesse de propagation d'une pcrturlxitiou éIectromagiiéti([uo 
est donc égale au rapport v des unités de quantité d'électricité 
dans les deux systèmes de mesures électriques. 



VITESSE DANS LE VIDE iu^ 

183. — Cette dernière quantité a été déterminée par de nom- 
breux expérimentateurs au moyen de méthodes que l'on peut 
classer en trois groupes suivant que ^ est donné par le rapport 
des unités de quantité d'électricité, ou par celui des forces élec- 
tromotrices, ou enfin par la comparaison des capacités. Voici les 
résultats de quelques-unes de ces déterminations pour le quotient 
par 10 ^"^ de la valeur de ç> exprimée en unités C. G. S. 

V 

i^ï'' groupe. Weber et Kohlrausch 3,107 

/ Maxwell, 1868 2,841 

W. Thomson et Kiug, 1869 2,8080 

l Mac Kicliau, 1872. . . 2,8960 

j Sliida 1880 2,c)5')o 

2'^^G groupe. ^ ,, ^^ 

] Lxner, 1882 2,9200 

Lord Kelvin, 1889 3,oo4 

Pellat, 1891 3,0092 

\ Hurmuzescii, 1896 3, 0001 

/ AyrLoa et Pcrry, C879 2,96 

; Stolctow, 1881 2,99 

' J.-J. Thonison, i883 2,9(330 

1 [ 1881 . i' 3,019 

l Klemeiioic' 1884 ] 3, 0180 

\ ( 1886 f 3.014*2 

-^'^^^i^^- '' ^ 1886 , 3.00V5 

Ilimstedt. ] 1887 j 3,0049 

[ 1888 f 3,0092 

• I<].-B. Rosa, 1889 3,0004 

■ J.-J. Tliomsoii et Searle, 1890 .... 2,995 > 
Abraliaiii, 1892 '^,991 "^ 

Pour la vitesse de la lumière dans le vide, M. Coi'uu a trouve 
3,oo4X 10'" centimètres.: seconde avec une erreur prol)ablement 
inférieure à Viono* ^^^ ^^^'^^ ^P^^ ^^ nombre ne dillere que d'une 
([uantité très petite, de l'ordre des erreurs expérimentales, des 
valeurs de ^ données par MM. Klemencic, Ilimstedt, Rosa, 
d'après des méthodes paraissant présenter la plus grande préci- 
sion. La théorie de Maxwell reçoit donc une confirmation aussi 
satisfaisante qu'il est permis de la souhaiter. 

D'autre part, M. Hertz, en mesurant la vitesse de propagation 
des ondes électromagnétiques, a trouvé un nombre du môme 



i64 THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIERE 

ordre de grandeur que la vitesse de la lumière. C^est encore une 
vérification très satisfaisante de la théorie électromagnétique de 
la lumière. 

184. Relation entre Findice de réfraction et le pouvoir 
inducteur d'une substance isolante. — La perméabilité magné- 
tique des milieux transparents étant très sensiblement égale à 
celui du vide, le rapport de la vitesse de propagation V^ des 
ondes électromagnétiques dans le vide et de la vitesse V de ces 
ondes dans un milieu transparent est 

K étant le pouvoir inducteur spécifique de ce dernier milieu 
exprimé dans le système électrostaticjue. 

D'après la théorie ordinaire de la lumière ce rapport est égal 
à l'indice de réfraction absolu /^. 11 en résulte que Ton doit avoir 

K = /^^ 

Mais, puisque /^ varie avec la longueur d'onde, cette relation 
ne peut évidemmcut être satisfaite que si les quantités K et n se 
rapportent à des phénomènes de môme période. Nous devons 
donc prendre Findice de réfraction qui correspond à des ondes 
de très longue période, ces ondes étant les seules dont le mouve- 
ment puisse se comparer aux opérations lentes à l'aide desquelles 
on détermine le pouvoir inducteur spécifique. La valeur de cet 
indice peut être obtenue approximativement en faisant 1 z= ce 
dans la formule de Gauchy, 

nous avons ainsi n = A. 

Des expériences faites sur le spectre calorifique, il résulte que 
la formule de Gauchy ne suffît pas pour représenter les indices 
des radiations de longue période ; la formule qui les représente 
le mieux est de la forme : 

71 = AX2+ B -h~. 
On trouverait ainsi, pour À = oo , /i == oo ce qui est inadmis- 



INDICE DE RÉFRACTION ET POUVOIR INDUCTEUR 

slble :inais ce qui montre combien il faut peu se fier à des extra- 
polations de ce genre. C^est sans doute là la principale cause 
des divergences que nous signalons plus loin. 

185. — Au moment où Maxwell écrivait son Traité, la paraffine 
était le seul diélectrique dont le pouvoir inducteur ait été déter- 
miné avec une exactitude suffisante. Une seule vérification de la 
relation K = n^ était donc possible ; encore était-elle peu sur- 
faisante. MM. Gibson et Barclay avaient trouvé pour le 
inducteur de la paraffine solide 1,975, dont la racine 

i,4o5. Or ce nombre diffère sensiblement de la valeur 
rindice de réfraction, pour une longueur d'onde infinie 
des expériences du D^' Gladstone sur la paraffine fondue, iou.. 
fois, les nombres comparés se rapportant à deux états différents 
de la paraffilne, leur divergence ne peut infirmer la théorie ; aussi 
Maxwell en conclut-il seulement que si la racine carrée de K n'est 
pas l'expression complète de l'indice de réfraction, elle en forme 
le terme le plus important. 

186. — Depuis, on a fait de nombreuses déterminations des 
pouvoirs inducteurs spécifiques des corps transparents ; en 
voici les résultats, au point de vue qui nous occupe. 

Pour les solides la racine carrée de K diffère de Tindice de 
réfraction d'une quantité quelquefois considérable. D'après 
M. llopkinson les indices de réfraction des différentes espèces 
de verre sont toujours plus petits que la racine carrée de leur 
pouvoir inducteur ; pour certains verres ils ne sont que la moitié 
de cette racine. 

La relation K = rr se trouve un peu mieux vérifiée dans le 
cas des liquides. Pour certains hydrocarbures liquides, les expé- 
riences de MM. llopkinson, Ncgréano, Palaz montrent que la 
vérification est assez satisfaisante. Les deux tableaux suivants 
résument, le premier les résultats de M. Négréano, le second 
ceux de M. Palaz ; dans ces tableaux l'indice de réfraction se rap- 
porte à la raie D du sodium. 

I ___ 

Bonziiie pure 2,2921 i,5i39 i,5o62 

Toluène 1,1/^10 i,4949 i>49i2 



i66 THÉORIE ÉLECrROMAGNÉTiqUE DE LA LUMIERE 

K \/K 72n 

Xylène (mélange de plusieurs isomères) 2,2679 ï,5o59 ï;4897 

Métaxylène . . 2,8781 i,542i i,4977 

Pseudocumènc 2,43io 1,5591 1,4887 

Cymènc 2,4706 1,5716 1,4887 

Essence de térébenthine 2,2618 1,5089 1,4726 

II 

Benzine 2,8877 i,5i7 i,4997 

Toluène n*^ i 2,8646 1,587 i,4949 

)) no 2 2,8649 i>5'^7 1,4848 

Pétrole ordinaire n*^ I 2^1284 1,457 1,4487 

» » no 2 2,0897 1,445 x,4477 

» rectifié 2,1950 1,481 1,4766 

La vérification est beaucoup moins bonne si Ton prend des 
huiles végétales ou animales. Pour celles sur lesquelles il a 
opéré, M. liopkinson a toujours trouvé n > V K. M. Palaz arrive 
à une conclusion inverse pour l'huile de navet et Fhuile de ricin : 

Huile de navet yK rr 1,787 /Zj, = 1,4706 

Huile de ricin . 2,147 1/1772. 

En 1888, M. Gouy (^) a mesuré le pouvoir inducteur spéci- 
fique de Teau par l'attraction qu'éprouvent deux plateaux élec- 
trisés entre lesquels se trouve une couche de ce liquide ; il a 
trouvé K = 80. Il en résulterait, d'après la j'clation do Maxwell, 
71 =9 environ, nombre à peu près sept fois plus grand que l'in- 
dice de réfraction réel ; cette relation est donc dans ce cas, tout 
à fait en défaut. Il est vrai qu'elle n'a été établie que pour les 
corps isolants, condition qui est loin d'être satisfaite par l'eau, 
toujours plus ou moins conductrice par suite des sels qu'elle 
contient. Mais au moins on devrait trouver pour K des valeurs 
de plus en plus petites lorsqu'on prend de l'eau de plus en plus 
pure ; or c'est précisément l'inverse qui paraît avoir lieu. 

Enfin, si nous passons aux gaz, nous trouvons un accord très 
satisfaisant entre les valeurs de ^/K et celles de n. Le taldeau 
suivant donne les valeurs de ces quantités pour quelques gaz ; 






t 



(') Comptes rendus, t. GVI, p. 54 8; i^ 



v/r 




71 


1,000:295 




,000294 


1,000473 




.000454 


i,oooi32 




,oooi38 


i,ooo34*> 




,000335 


1,000492 




,ooo5i6 


1, 000056 




,000720 


1,000472 




,000443 



INDICE DE REFRACTION ET POUVOIR INDUCTEUR 167 

les valeurs du pouvoir inducteur spécifique résultent des expé- 
riences de M. Boltzmann. 

K 

Air 1,000590 

Acide car])onique 1^000946 

Hydrogène 1,000264 

Oxyde de carboiiLi 1,000690 

Protoxydc d'azote 1,000984 

Bicarbure d'hydrogène .... i,ooi3i2 

Protocarbure d'hydrogène. . . 1,000944 

187. — En résumé, la relation K = iv est vérifiée pour les 
gaz et quelques liquides ; elle est en défaut pour la plupart des 
liquides, des solides, et surtout pour Tcau. INlalgré la multipli- 
cité des recherches, nous ne sommes donc pas mieux renseignés 
que Maxwell sur le degré d'exactitude qu'on doit accorder à cette 
relation. 

Mais si l'on excepte l'eau, qui s'écarte complètement des dié- 
lectriques par sa nature élcctrolytique dès qu'elle renferme une 
trace d'un sel en dissolution, les divergences constatées entre 71 
et la racine carrée de K ne sont pas de nature à lairc abandon- 
ner cette relation, surtout si l'on tient compte des conditions 
défectueuses dans lesquelles on rappli([ue. En premier lieu les 
substances étudiées en vue de sa vérification sont souvent loin 
d'être des isolants parfaits comme le suppose sa démonstration . 
Comme isolants, la plupart des solides sont beaucoup moins bons 
que les gaz et quelques liquides tels (pic le pétrole et la benzine 
bien pure ; or ce sont précisément ces derniers corps qui véri- 
fient le mieux la relation de Maxwell. En second lieu, le pouvoir 
inducteur et l'indice de réfraction varient avec la température, 
et généralement les mesures des deux quantités à comparer sont 
faites à des températures dilïerentes. jMifin, on sait que, ([uelle 
que soit la méthode employée pour la mesure de K, les résultats 
dépendent de la rapidité des variations du champ dans lequel se 
trouve placée la substance ; peut-être donc, la relation dont il 
s'agit se trouverait-elle mieux satisfaite si les variations du champ 
étaient aussi rapides que les vibrations lumineuses. Pour ces 
diverses raisons il ne faut pas s'étonner si la vérification de cette 
relation n'est pas aussi satisfaisante que la comparaison du rap- 
port ç et de la vitesse de la lumière dans le vide. 



i68 THÉORIE ÉLECTROMAGNÉriQUE DE LA LUMIÈRE 

188. Direction du déplacement électrique. — Considérons 
une onde plane électromagnétique. Prenons pour plan des xy un 
plan parallèle à Tonde et choisissons pour axe des .r une direc- 
tion parallèle a celle du moment électromagnétique ; nous avons 
alors G = 0, H == o. Quant à F, son expression dépend de la 
nature de la perturbation ; admettons qu'on ait 

F = A cos ^ (z — V/). 

D'ajDrès les équations (III) du chapitre précédeilt, les compo- 
santes de l'induction magnétique, sont alors 

_ («I ^G __ 
^~ dy Hz ~^' 



= — A -A sin -^(- — V/), 



dz dx \ 

dG dF 
dx dy 



L'induction magnétique est donc parallèle \\ Taxe des y, c'est- 
à-dire perpendiculaire à la direction du moment électromagné- 
tique. Il en est de même de la force magnétique qui a même 
direction que l'induction puisque les comjDosantes de ces deux 
quantités ne diffèrent que par un facteur constant a. 

Les composantes de l'induction étaut connues^ les équations (II) 
permettent de calculer celles de la vitesse du déplacement ; nous 
trouvons 

dz dx ' 



r^S do 



a 



équations qui nous montrent que la vitesse du déplacement est, 
comme le moment électromagnétique, parallèle à l'axe des x. 
C'est évidemment aussi la direction du déplacement lui-même, 
et d'après les équations (Vil), celle de la force électromotrice 
qui le produit. 



.,^ 
% 



, ^ ^j^ 

-" "" dx dy ""'"' l 



^ 



y\ 



DIRECTION DU DEPLACEMENT ÉLECTRIQUE 

Ainsi en un point d'une onde plane, le déplacement élecm^. 
et le moment électromagnétique ont même direction ; la foret 
électromotrice et Tinduction leur sont perpendiculaires ; ces 
directions sont d'ailleurs situées dans le plan de Fonde. 



189. — Mais, lorsque les perturbations électromagnétiques 
sont assez rapides pour donner naissance aux phénomènes lumi- 
neux, quelle est la direction du déplacement électrique j 
rapport au plan de polarisation de la lumière ? L'hypothèse 
Maxwell sur l'expression de l'énergie kinétique du milie^ 
transmet les ondes et Tétude des diverses théories pro 
pour Texplication de la réflexion vitreuse nous permetten 
répondre facilement à cette question. 

Nous savons que dans les théories ordinaires de la lumière, les 
phénomènes observés dans les milieux isotropes s'interprètent 
tout aussi bien, soit en admettant, avec Fresnel, que les vibra- 
tions de l'éther sont perpendiculaires au plan de polarisation, 
soit en admettant, comme le font Neumann et Mac-Cullagh, que 
ces vibrations s'effectuent dans le plan de polarisation. Nous 
avons montré, en outre, à propos de la réflexion vitreuse (^) , que 
ces deux hypothèses conduisent à des résultats opposés pour la 
densité de l'éther ; si Ton adopte celle de Fresnel, la densité doit 
être considérée comme varial^le ; si l'on prend celle de Neumann 
et Mac-CuUagh, cette densité est constante. 

Mais dans runc et l'autre théorie réncrgle kinétique a pour 
valeur 



' r r. (t''^ A- -r'-^ 

— J ? U + ^. 



+ K'-')d'z, 



p désignant la densité, l\ r/, ^' les composantes de la vitesse de 
la molécule d'éther. Suivant Maxwell, Ténergie kinétique n'est 
autre que le potentiel électrodynamique du système de courants 
qui existent dans le milieu; l'expression de cette énergie est donc, 
dans le cas où le milieu est supposé magnétique (143), 

_ I (y^a + |3/; + Y6-) ch, 



{') Théorie matliéniatlquc de hi Lumière^ p, 3uo et suiv. 



i;o THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 

OU, en exprimant les composantes de rinduction au moyen des 
composantes de la force électromagnétique, 



l-^j[a}-^^^-^f)d-z. 



Pour faire cadrer la théorie de Maxwell avec la théorie ordinaire 
de la lumière qui, jusqu'ici, s'est trouvée d'accord avec l'expérience, 
nous devons admettre que dans ces deux théories les expres- 
sions de l'énergie kinétique sont identiques. Nous devons donc 
avoir 

0— -li 

Or. u. étant constant pour un milieu isotrope, la première de 
ces égalités ]ious indique que la densité p de l'éther doit être 
constante; nous devons donc adopter l'hypothèse de Neumann 
et Mac~Cullagh. INIais alors la force électromagnétique, qui, 
d'après les trois dernières égalités, a môme direction que la 
vibration de la molécule d'éther, est située dans le plan de poh\- 
risation. Par conséquent, en nous reportant à ce qui a été dé- 
montré dans le paragraphe précédent nous arrivons à celte 
conclusion : le déplacement électrique est perpendiculaire au 
plan de polarisation, si toutefois l'on adopte les hypothèses d(i 
Maxwell. 

190. Propagation dans un milieu anisotrope. — Double 
j^èfraction. — Jusqu'ici nous avons inrplicitcment supposé que le 
milieu isolant qui propage les perturl)ations électromagnétiques 
est isotrope; cherchons maintenant ce que deviennent les équa- 
tions du champ lorsque le diélectrique est anisotrope. 

Nous avons vu (73) que l'analogie de la loi des échanges d'élec- 
tricité entre les cellules d'un diélectrique avec la loi des échan- 
ges de chaleur dans la ihéorie de Fourier, conduit^ si l'on choisit 
convenablement les axes de coordonnées, aux valeurs suivantes 
pour les composantes du déplacement électrique dans un milieu 



PROPAGAriON DANS UN MILIEU ANISOTROPE 171 

anisotrope, 



, Y 

4^ \dy 

^ désigne le potentiel électrostatique, X, Y et Z, les composantes 
de la force électromotrice due à toute autre cause qu'une diffé- 
rence de potentiel. En supposant cette force électromotrice due 
uniquement à Tinduction produite par les courants et les aimants 
du champ, ces égalités deviennent 

/ 4- ' 

191- — Mais il n'est pas nécessaire pour établir ces formules 
de s'appuyer sur l'hypothèse de la constitution cellulaire des 
diélectriques. 

D'après les formules (Vil) du Chapitre précédent, les compo- 
santes du déplacement électrique dans un milieu isotrope sont 
proportionnelles à celles de la force éleclromotrice ; par suite, 
l'hypothèse la plus simple qui se présente, est d'admettre que, 
pour un milieu anisotrope, f\ g^ h sont des (onctions linéaires et 
homogènes de P, (^, R, 

/•^AP -h-BQ 4-CR, 

/, = A^T + B'^Q + (yil. 

D'ailleurs les neuf coefficients A_, B, C,... ne sont pas absolu- 
ment arbitraires. Montrons en effet qu'ils forment un déterminant 
symétrique. 

Si nous donnons aux composantes du déplacement des accrois- 



172 THÉORIE ÉLECTROMAGyÉTIQUE DE LA LUMIERE 

sements df^ dg, dh, le travail correspondant de la force électro- 
motrice est 

ou, d'après les relations précédentes, 

;^\ (A^ZP + BrfQ + CdK) + Q {k'd? + BWQ + G^^m) 

+ R (A^WP + Wd(l + CdR), 

on encore 

( AP + A'Q + A^^R) ^P 4- (BP 4- B'Q + B^^R) ^Q 

Pour qu'il y ait conservation de l'énergie cette expression doit 
être une différentielle exacte. Cette dernière condition s'exprime 
par trois égalités dont la première est 

^(APH-A^Q + A^^R) __ ^^(CP + eQ + C^^R) 
^R ~ di' ' 

nous en tirons 

A^^ = c:. 

Les deux autres égalités nous donneraient 
B =: A^ a = B^ 

ce qui montre'bien que le déterminant des coelllcienls est symé- 
trique 

Le nombre de ces coefFicients se trouve donc réduiL à 6. Par le 
choix des axes de coordonnées nous disposons des valeurs de trois 
d'entre eux; nous pouvons donc faire ce choix de telle sorte que 
les coelficients qui ne sont pas sur la diagonale du déterjninant se 
réduisent à zéro; les valeurs de /* g, h se réduisent alors aux 
expressions (i). 

192. — Nous devrions faire, pour les équations qui donnent les 
composantes a^ /;, c de l'induction magnétique en fonction des 
composantes a, [B, y de la force électromagnétique, la môme hypo- 
thèse que celle que nous venons d'adopter pour exprimer f^ g, h 
eu fonction de P, Q, R. Nous serions ainsi amenés à remplacer 



PROPAGATION DANS UN MILIEU ANISOTROPE 

les éejuations (I) du Chapitre précédent par trois équations d 
même forme n'en différant qu'en ce que le coefficient |i aurai 
dans chacune d'elles une valeur différente jjl, jj.', [x'^ Mais la pei 
méabilité magnétique des corps transparents étant toujours trè 
voisine de l'unité, ce coefficient n'a guère d'influence sur 1 
résultat des calculs. Pour ne pas compliquer inutilement lu 
questionnons admettrons que p. est constant et égal a i . 

193. — En dérivant les équations (i) par rapporta ?, et rei 
plaçant dans les seconds membres des équations ainsi trouvée 

— , _Jt et -_ par les valeurs obtenues au § 177, nous avons les 
dt dt dt ^ 

relations 



471^. = — K' 



d'Y 
di' ' 
rf-G 



ai" 

dm 

di^ 



qui peuvent s'écrire 



dû K "*'' ' 



(C) ilZF— -F^""' 

Nous avons d'ailleurs (167) 

l " d]f dz ' 

^ dz dx 



l /^ à^^ drf, 

dx dy ' 
Enfin, puisque nous avons supposé ^ = i, les équations (III) du 



174 THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 

§ 167 deviennent 

i dy dz 

\ o^_ d¥ ___ dll 



dz dx 

dO d¥ 
dx dy 



Tels sont les trois groupes créquations qui permettent de déter- 
miner les valeurs, à un moment quelconque, des éléments d'une 
perturbation magnétique en un point d'un diélectrique anisotrope, 
lorsqu'on connaît leurs valeurs initiales. 

194. — S'il est vrai que la lumière est due à une perturbation 
le ce genre, ces équations doivent nous conduire a l'explication 
de la double réfraction que présente la lumière lorsqu'elle tra- 
verse un milieu anisotrope. L'étude que nous avons faite de ce 
phénomène (^), nous perinet de montrer qu'il en est bien ainsi, 
sans entrer dans de longs développements. 

Nous savons que si on désigne les composantes du déplacement 
de la molécule d'éther par ^^ r^, Ç dans la théorie de M. Sarrau, 
par X, Y, Z dans la théorie de Neumann, par u, c, iv dans celle 
de Fresnel, on a les neuf relations ,(^) 



dr- ~ 


— au, 


d\ 


ho 


dC 


in', 


d.% 




de 


t n , 


dV. 


d\ 



du dz 

dX d'I 

dz. 11? ' 

d\' dx 

d.v dy ' 



PROPAGATIO.t DANS UX MILIEU AMSOTROPE 



X == 
Y = 



dij dz 

À _i(l 

dz d:v ' 

d'f\ de, 

dx ciij ' 



Ces équations clevieiineiit identiques aux groupes (C), (D) et 
(E) du paragraphe précédent si nous y faisons 

___ ^ j J_ _ï_ 

// = 4-//,..., X=a,..., ?=F,.... 

Or les trois théories optiques de Fresnel, de Ncuniann, et de 
M. Sarrau expliquent également bien tous les faits ol)servés 
puisque, jusqu'ici, luieune expérience n'a pu faire préférer l'une 
à l'autre; nous pouvons donc être assurés que les groupes d'écpia- 
tions (C), (D), (E), déduits de la théorie de MaxAvell, permet- 
tront d'expliquer tous les phénomènes connus et ne seront en 
contradiction avec aucun d'eux. 

195. — En particulier, Téquation des vitesses do propagation 
des deux ondes planes provenant d'une même onde incidente 
doit être identique dans la théorie éh'ctr()nmguéti(|ue et dans les 
tliéorles oji tiques. Dans ces dernières elle est 



l, m, a étant les cosinus directeurs de la normale au |)lan de 
Tonde; par conséquent elle devient avec les notations de la théorie 
é 1 e c t r o m a g n é ti ( [ u e 



11 en résulte que les vitesses de propagation suis'ant les axes 
de coordonnées sont inversemeiit proportionnelles aux racines 
carrées des pouvoirs inducteurs suivant ces mômes axes ou, ce 
qui revient au même, que ces racines carrées sont proportion- 



176 THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 

nelles aux valeurs des indices de réfraction suivant les axes d'élas- 
ticité du milieu. 

196. — Cette relation se trouve assez bien vérifiée pour le 
soufre cristallisé. Les pouvoirs inducteurs suivant les trois axes 
d'élasticité d'un cristal de cette substance sont respectivement, 
d'après M. Boltzmann (^) : 4^773, — 3, 970, — 3,8ii. Les racines 
carrées de ces nombres : 2^ 18 5, — ijQtj — i^qS diffèrent peu 
des indices de réfraction correspondant aux mêmes directions : 
2,143, — 1,96 — 1,89. 

Les autres substances anisotropes étudiées donnent des résultats 
bien moins satisfaisants. D'après les expériences faites par M. J. 
Curie (") sur le quartz, le spath, la tourmaline, béryl, etc., la racine 
carrée de K est toujours beaucoup plus grande cj^ue Findice de 
réfraction; toutefois, conformément à la théorie, les cristaux 
positifs, comme le quartz, possèdent un pouvoir inducteur plus 
grand suivant la direction de l'axe optique que suivant une direc- 
tion perpendiculaire, tandis que pour les cristaux négatifs, 
comme le spath dislande, c'est suivant cette dernière direction 
que le pouvoir inducteur est le plus grand. 

La relation K =/i^ n'est donc que très imparfaitement vérifiée. 
Mais, comme dans le cas des corps isotropes, nous devons faire 
observer que les conditions que suppose l'établissement de cette 
relation ne sont pas remplies par les substances étudiées. Plu- 
sieurs d'entre elles sont hygrométriques et acquièrent, par la 
couche d'eau qui les recouvre, une conductibilité qui peut expli- 
quer jusqu'à un certain point les divergences observées. Otte 
manière de voir se trouve d'ailleurs confirmée par les résultats 
obtenus pour le soufre, substance remarquable par ses propriétés 
isolantes et par la difficulté avec laquelle la vapeur d'eau se 
condense sur sa surface. 

197. — L'identification des équations des § 193 et 194 nous 
permet de déterminer les directions relatives des diverses quan- 
tités qui définissent le courant de déplacement en un point, et 



(*) Wiener Sitzmiosberlchte, t. LXX, part. Il, p. 242, i8;4. 
(-) Lumière Électrique, X.WX,^. c^;, 1888. 




A/ 



Fi-. 33. 



PROPAGATION DANS UN MILIEU IMPARFAITEMENT ISOLANT 177 

leurs directions par rapport au rayon lumineux et par rapport au 
plan de polarisation. 

Nous savons que les directions ON et OF [fig, 33) des vibra- 
tions de Neumann et Fresnel sont rectangulaires entre elles et 
situées dans le plan de Tonde, et que 
les directions OS et ON des vibrations 
de M. Sarrau et de Neumann, égale- 
ment perpendiculaires entre elles, sont 
dans un plan normal au rayon lumineux 
OR. Or, de l'identité des équations que 
nous venons de rappeler, il résulte que 
la vitesse du déplacement électrique est 
parallèle à la vibration de Fresnel, la 
Ibrcc électromagnétique parallèle à celle 
de Neumann, enfin le moment électromagnétique et, par 
suite, la force électromotrice parallèles a la vibration de 
M. Sarrau. Nous en concluons que le déplacement électrique 
s'cllectue dans le plan de l'onde perpendiculairement a la force 
électromagnétique, et que cette dernière quantité, située dans le 
plan de l'onde, est perpendiculaire \\ la direction du rayon lumi- 
neux et à la force électromotrice, elle-même normale au rayon. 
Dans le cas d'un corps isotrope, la direction de ce rayon se con- 
fond avec celle de la norniidc 0/^ au plan de l'onde et par con- 
séquent la force électro-.uotrlcc prend la direction du déplace- 
ment comme nous le savions déjà. 

Quant aux directions par rap[)()rt au plan de polarisation il 
résulte de ce que nous savons sur la position de ce plan relative- 
ment aux vil)rations de l'élher que la force électromotrice et le 
déplacement sont presque normaux au plan d(i polarisation tandis 
que la force élcctromaguétl(j[ue lui est sensi])lement parallèle. Si 
Von passe au cas d'un milieu Isotrope ces quantités deviennent 
rigoureusement perpendiculaires ou parallèles au plan de polari- 
sation. 



198. Propagation dans un milieu imparfaitement isolant. 
— Absorption de la lumière. — Nous avons dans ce cas le choix 
entre les formules (IX) de Maxwell et les formules (X) de M. Potier 
(170 et ni). Ces deux groupes de formules conduisant aux 

PoI^'CARÉ. Élcclricilé et Optique. i*-* 



178 TIJÉeRIE'ÉLECTROMAGNEriQUE DE LA LUMIERE 

mêmes résultats, prenons celles de Maxwell et cherchons quel 
est alors le mode de propagation d'une onde plane électroma- 
gnétique. 

Si nous prenons le plan à(is ocij parallèle au plan de l'onde et 
Taxe des x, parallèle à la direction du moment électromagnétique, 
nous avons G =: H = o, et les équations (i) du paragraphe 177 
se réduisent à la première 

dP __ d^¥ 
dt 






d'où nous tirons 



dC 



^ "" dt' 



en négligeant la constante d'intégration qui doit être nulle lors- 
que les perturbations sont périodiques. En portant ces valeurs 
dans la première des équations (IX) de Maxwell 



CP 



nous obtenons : 

(0 






dV 



■4^ di ' 
K d'Y 



di 



4ti: di' 



Mais les groupes d'équations (1), (II), (III) du paragraphe 167 
nous donnent : 



^-ÎZIL 



dy 



dz 



<r 



d.:~ 



ou, puisque, par suite du choix dos axes dv. coordonnées, F ne 
dépend pas de 7/ 



ï d'-^V 
a d.zr 



l 



nous avons donc en éliminant n entre l'équation (i) et celte der- 
nière 



(-) 






d.z' 



de' 



Cette équation est satisfaite par une fonction périodique du 
temps de la forme 



PROPAGATION DANS UN MILIEU IMPARFAITEMENT ISOLANT 179 

pourvu que les coefficients n et ni satisfassent à la relation 

Mais 71 ayant pour valeur ^, ï désignant la période de la fonc- 

tioUj cette quantité est réelle; par suite ??i' est une quantité 
essentiellement imaginaire. Il en est de même de m et nous pou- 
vons poser 

m ^= q — pi. 

En portant cette valeur de m dans l'égalité précédente et cl 
écrivant qu'il y a égalité entre les parties réelles et les parties 
imaginaires nous obtenons les deux conditions 

.^s \ T — F = [^^K^i% 

La fonction périodique satisfaisant à Téquation (2) peut alors 
s'écrire 

dont la partie réelle, la seule qui nous intéresse au point de vue 
des conséquences expérimentales, est : 

F ==:: e~^'- cos [/U — rjz). 

199. — Si l'on fait abstraction, des variations de F résultant 
du facteur cos (^nl — q.z)^ cette expression nous montre que la 
valeur du moment électromagnétique varie comme Texponen- 
tielle e~-''^. Or, d'après la seconde des équations de condition (3), 
j) et q sont de môme signe; par suite, si la direction de propaga- 
tion de Tonde plane considérée est celle des .z positifs, /; et q sont 
positifs et e~^'^ décroît quand .z augmente. La valeur du moment 
électromagnétique diminue donc à mesure que Fonde pénètre plus 
profondément dans le milieu considéré. 

Il en est de môme pour le déplacement électrique et la force 
électromagnétique puisque les valeurs de ces quantités se dédui- 
sent de celles du moment électromagnétique par une suite d'équa- 
tions différentielles linéaires et du premier ordre qui laissent sub- 
sister dans leurs expressions le facteur e~^'^. 



i8o THÉORIE ÉLECTROMAGSETiqUE DE LA LUMIERE 

Il en est encore ainsi pour la vitesse de déplacement d'une 
molécule d'éther luminifère puisque nous avons vu (189) que 
cette vitesse est proportionnelle a la force électromagnétique. 

Par conséquent, lorsque les perturbations magnétiques seront 
assez rapides pour donner lieu aux phénomènes lumineux, l'in- 
tensité de la lumière, proportionnelle au carré de la vitesse 
moyenne d'une molécule d'éther^ devra varier comme e"^'"". 

200. — Dans le cas où la substance considérée possède un pou- 
voir inducteur spécifique très faible et une perméabilité magné- 
tique voisine de ï, la valeur de^; déduite des équations (3) montre 
que cette quantité est sensiblement proportionnelle à la racine 
carrée de C. 11 résulte donc de ce qui précède que l'intensité de 
la lumière transmise par un tel milieu est d'autant plus faible 
que C est plus grand; en d'autres termes, plus un corps est con- 
ducteur pour l'électricité, plus il est opaque pour la lumière. 

Il y a un grand nombre d'exceptions à cette règle. Toutefois, 
d'une manière générale, les corps solides transparents sont de bons 
isolants tandis que les corps solides conducteurs sont très opa- 
ques. En outre, il résulte des recherches de M. 1. Curie (^) sur les 
diélectriques que la liste de ces corps rangés par ordre de con- 
ductibilité croissante est presque identique à celle de ces mêmes 
corps rangés par ordre de diathermanéitc décroissante. A^olci 
ces deux listes ; celle des pouvoirs diathermes est déduite des 
travaux de jMelloni. 

CoiiduoLibililc éleclri(pio Pouvoii' (lialhoriiiani* 

croissant du prcuiier an clernicr. dccroissanl du preiuier au dernier. 

Soufre. Sel gemme. 

Sel gemme. Soufre. 

Fluorine. Fluorine. 

Spath d'Islande. Spath d'Islande. 

Quartz. Quarlz 

Barytine. Verre. 

Alun. Barytine. 

Verre. Tournaline foncée. 

Tourmaline foncée. Alun. 



(^) Lumière Électrique, l. XXIX, p. 3^2, 1888. 



REFLEXION DES ONDES i8i 

0;i pourrait encore citer Tébonite qui^a été signalée comme 
se/aissant facilement ti*averser par les radiations obscures. 

201. — Contrairement à la loi précédente les électrolytes sont 
bons conducteurs de l'électricité et généralement transparents. 
JNIaxwell explique ce fait en faisant observer que la conductibi- 
lité des électrolytes n'est pas de 'même nature que la conductibi- 
lité des métaux. Dans ceux-ci les molécules matérielles sont en 
repos ; et l'électricité seule est en mouvement ; dans les électrr 
lytes, au contraire, les ions se meuvent d'une électrode à l'au 

et le transport de l'électricité s'effectue par les ions qui dévie 
nent ainsi les co/i^ectenrs de l'électricité. 

On peut trouver une autre explication qui a été également 
donnée par Maxwell. L'énergie absorbée par le passage de 
l'onde à travers la substance doit se retrouver nécessairement sous 
une forme quelconque. Dans les métaux, elle se transforme en 
chaleur. Dans les électrolytes, elle sert à effectuer la séparation 
des ions. Mais le sens du mouvement des ions dépend de celui 
du mouvement électrique ; par suite, l'effet produit par le passage 
d'une certaine quantité d'électricité dans un sens se trouve 
détruit, par le passage d'une même quantité en sens inverse et 
une succession de courants alternatifs comme ceux qui résultent 
des peï'turbations capables de produire la lumière ne peut donner 
lieu il une décomposition. Il n'y a donc pas d'énergie absorbée 
et l'intensité lumineuse à la sortie d\in élcctrolyte doit être sen- 
siblement égale à l'intensité de la lumière incidente. 

202. — Maxwell a fait quelques expériences pour vérifier 
(juantitativement si l'intensité lumineuse décroit bien comme 
rexponcntielle e~'^"^. Il a opéré sur le platine, l'or, l'argent, qui 
réduits en lames très minces, laissent passer la lumière. Il 
semble résulter que la transparence de ces corps est beaucoup 
plus grande que ne le voudrait la théorie. Mais ce résultat s'ex- 
plique facilement; l'épaisseur des lames n'est pas uniforme et 
une forte proportion de la lumière transmise traverse une épais- 
seur beaucoup plus faible que la valeur de .z prise dans le calcul 
de l'exponentielle. 

203. Réflexion des ondes. — Les lois de la réflexion de la 



l82 THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIERE 

lumière peuvent se déduire des équations du champ magnétique. 
Dans une note publiée dans la traduction française du traité de 
Maxwell (t. II, p. 5oy) M. Potier a montré qu'on retrouve ainsi 
les formules données par Fresnel pour la réflexion vitreuse et 
celles de Caucliy et Lamé pour la réflexion métallique. Ces for- 
iiules ayant été vérifiées par l'expérience, leur déduction de la 

théorie de Maxwell est une nouvelle confirmation de cette théorie". 

) 

Cependant, les valeurs numériques des constantes, déterminées 

par les méthodes optique et électrique ne concordent pas ; le 

^^^'^«^uccord, notable pour les diélectricjues transparents, est encore 

ïuarqué pour -les métaux. En particulier la réflexion de la 

;re sur le fer devrait différer, d'après la théorie de Maxwell, 

réflexion sur les autres métaux puisque le coefficient de 

éabilité magnétique du fer est environ 3o fois plus grand 

. celui de la plupart des métaux ; or l'expérience n'a jusqu'ici, 
révélé aucune particularité dans les lois de la réflexion sur le fer. 

Cette divergence peut s'expliquer si l'on suppose que l'induc- 
tion magnétique est un phénomène qui n'est pas instantané. Avec 
des vibrations extrêmement rapides, le phénomène n'aurait pas 
le temps de se produire. 

On pourrait invoquer un argument à l'appui de cette manière 
de voir. Les expériences de M. Fizeau sur la vitesse de propaga- 
tion de l'électricité à travers un fil ont prouvé que cette vitesse 
est plus faible dans le l^r que dans le cuivre. Cela s'explique 
aisément car grâce au phénomène de l'aimantation transversale 
qui se produit dans un fil de fer parcouru par un courant, la self- 
induction du fer est plus grande que celle du cuivre. 

Au contraire, les expériences de Hertz donnent pour la vitesse 
dans le fer la même valeur que pour la vitesse dans le cuivre^ 
comme si, dans ces alternances extrêmement rapides réalisées 
par l'illustre physicien de Carlsruhe, le fer n'avait pas le temps 
de se magnétiser par induction. « Auch lllisendrahte machen 
keine Ausnahme von der allgemeincn Regel, die Magnetlsirbar- 
keit des Eisens kommt also ])ei so schnellen Beweî?unoen nichtin 
Betracht )> (Hertz, WiecL Ann., t. XXXIV, p. f^58). 

204. Energie de la radiation. — Dans les théories ordinaires 
des phénomènes lumineux, le milieu qui transmet la lumière 



ENERGIE DE LÀ RADIATION i83 

renferme de Fénergle sous forme d'énergie potentielle et sous 
forme d'énergie kinétique ; Ténergie potentielle est due à la 
déformation du milieu, supposé élastique ; l'énergie kinétique 
résulte de son mouvement vibratoire. L'énergie totale d'un élé- 
ment de volume reste constante et par suite, quand l'énergie 
potentielle varie, l'énergie kinétique varie en sens inverse d'une 
quantité égale. 

Dans la théorie électromagnétique, on suppose égaleme 
l'énergie clu milieu est en partie potentielle, en partie kin 
L'énergie potentielle, due aux actions électrostatiquesi, 
expression (32) 



W 



=/-f-(/*^ + S-^ + ^^)^. 



l'énergie kinétique est le potentiel électrodynamique du système 
de courants développés dans le milieu,, c'est-a-dire (144) 



T =f-^ [^-a + p6 + yc) dx. 



Cherchons les valeurs de ces deux quantités dans le cas d'une 
onde plane parallèle au plan xy et dans laquelle le moment élec- 
tromagnétique est dirigé parallèlement h l'axe des x. , 

Nous avons alors, d'après le paragraphe 181, 

G = II=o, Q = R = o," g=h=o, 



et les expressions des deux formes de l'énergie deviennent 

Mais les équations (VII) et (III) du champ électromagnétique 
nous donnent 



THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIERE 

le sorte que nous avons pour les valeurs de Ténergie potentielle 
t de l'énergie kinétique rapportées h l'unité de volume 

La fonction F, devant satisfaire à l'équation différentielle 
(180) 





-. d'Y dW 
^^^ dt^ ~ d.z-^ ' 


est de la forme 






F =/•(.- V/), 


où 








nous avons donc 






dF 




^.^'- f'h Yt 



dz 
et par conséquent 



L <^^ J 1^- L dz J 



Les valeurs (i) et (2) des deux formes de l'énergie sont donc 
égales entre elles ; quand l'une d'elles varie, l'autre varie dans le 
même sens de la même quantité. Nécessairement, puisqu'il y a 
conservation de l'énergie dans le système tout entier, l'énergie 
perdue dans un élément de volume doit se retrouver dans un 'autre 
élément. Ces conséquences diffèrent de celles des théories ordi- 
naires de la lumière que nous avons rappelées en commençant. 

205. Tensions et pressions dans le milieu qui transmet la 
lumière. — Nous avons vu (81) que dans un milieu diélectrique 
en équilibre contraint, un élément de surface perpendiculaire 
aux lignes de force, subit une tension normale dont la valeur par 



TEA'SIOJVS ET PMESSIONS i85 

unité de surface est égale au produit de -^ par le carré de la force 

électromotrice, tandis que sur les éléments parallèles aux lignes 
s'exercent des pressions qui, rapportées à Tunlté de surface, ont 
la même valeur que cette tension. Si donc nous prenons Taxe 
des X parallèle aux lignes de force et si avec Maxwell, nous con- 
venons de représenter les pressions par des quantités négatives, 
nous aurons pour les valeurs des tensions et des pressions- r»-^* 
unité de surface, qui s'exercent sur des éléments perpei 
laires aux axes de coordonnées, 



17- T r T r 

^ p2 n ^^ p2 ]:> ^^ 

07Z 07Z Oi^ 



Mais, avec ce système d'axes, l'énergie électrostatique rappor- 
tée a l'unité de volume a pour valeur 

^^ — K / ~ 87: ^ ' 

par conséquent les tensions et pressions par unité de surface sur 
les éléments considérés sont égales à l'énergie électrostatique 
par unité de volume. 

206. — La loi des attractions et des répulsions étant la môme 
pour les masses électriques et les masses magnétiques nous 
devons nous attendre à trouver des tensions et des pressions ana- 
logues aux précédentes dans le champ magnétique. Maxwell 
traite le cas général où il existe dans le champ des aimants et des 
courants. La méthode qu'il emploie est sujette à des objections. 
Mais il est inutile d'envisager le cas général puisque, d'après 
l'hypothèse d'Ampère, le magnétisme permanent s'explique par 
des courants particulaires. Nous pouvons donc supposer qu'il n'}' 
a que des courants circulant dans un milieu dont la perméabilité 
est égale a i ; nous y gagnerons en rigueur et en concision. 

Considérons un élément de volume dz, et soient ii, ç^ iv les 
composantes de la vitesse de l'électricité au point qu'il occupe. 
D'après notre hypothèse, l'induction magnétique en ce point se 
confond avec la force électromagnétique et les formules (2) du 
paragraphe 160 qui donnent les composantes de la force électro- 





'■ dx ' 






da. 

dx 


^, de/. da. 

^'^<, +r d. - 


d. d{i 

- "■ dx '' dx 


dv 
' dx 



i86 rilÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 

dynamique rapportées à runité de volume deviennent 

X = yf^ — [^iv, 
Y =atv — y//, 
Z = ^ju — ar. 

Les composantes u, ç, w de la vitesse de Télectricité étant liées 
à celles de la force électromagnétique par les équations (II) (167), 
la première des équations précédentes peut s'écrire 

ou, en ajoutant et retranchant au second membre le produit 

du 



47:X = a 



Mais, puisque la (orce électromagnétique est égale à Tinduc- 
tion magnétique, la relation qui lie les composantes de cette der- 
nière quantité (102) 

da db de 

dx . dy dz ' 
devient 

da. d?j dr 

dx a y d.z 

(da. ^ r/3 ^Z-\ 

nous pouvons donc aiouter le produit a —; j 1 7^ au 

^ \dx dy dz I 

second meml)re de la relation qui donne 4^X sans en changer la 
valeur et nous avons 

, ^ da. da da da ,. cZS dy 

4.X^a~ + p_+y — -a — _p-J-_-;_^ 

dv. d'it dy 

-+-0.- h a -7 — ^"--r-- 

dx dy dz 

En rangeant convenablement les termes du second membre on 



TENSIONS ET PRESSIONS 187 

voit que Ton peut écrire 
et de même 

207. — Supposons maintenant que les forces électroclynamiques 
soient dues a des pressions ou tensions résultant de l'élasticité du 
milieu et désignons les composantes des tensions par 

P^^.dto, P.r//<^<j->7 ^xz^'^^ pour un élément normal à l'axe des ,t, 
Pyjo), l^yydoù, ^'yzdio, — — y^ 

P„,.<^CO, P::,y<^tO^ P-2<^t0, z. 

Un parallélipipëde élémentaire de volume dz et dont les faces 
sont parallèles aux plans de coordonnées doit être en équilibre 
sous l'action de ces neuf forces et des trois composantes ILd-z, Ydz 
7jdz de la force électrodynamique. En écrivant que ce paralléli- 
pipëde ne peut prendre aucun mouvement de rotation autour 
d'un quelconque des axes de coordonnées, nous obtenons les 
relations 

p _, p p ^^ p p ,^ I ) . 

•*• ;/// ^ !/.r -*• yx -^ zy ^ yz *• xz 7 

et, en écrivant qu'il ne peut y avoir translation suivant ces mômes 
axes, nous avons 

dp dP ^-^'^ 



Y = - 
Z = 



dx dy • dz 

d[\.„ . d[\.„ , .n\„ 



dx dy dz 

JP,, ^P,,, d\\^. 



dx ' dy dz 



L'identification de ces valeurs de X, Y, Z avec celles que Ton 
déduit des équations obtenues dans le paragraphe précédent 



i88 THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE LA LUMIÈRE 



8^ 
I 

8^ 



P =P ^^ 

•^ 7/3 *• SU 



P = P — 



! 



nous donne : 1, 



P„ = 4_(v^_a^_fi^), . f- 



r. 



va \ 



ï' 



Lorsqu'on prend les axes de coordonnées de telle sorte que 4 

axe des x soit parallèle à la force magnétique, on a [^ = ^==0 
et par conséquent les six dernières composantes des tensions que 
nous venons de calculer sont nulles. Les trois preniiëres devien- ^ 

nent 

P — -^ p __i^ P __ J^ 

8- ' '"■' ~ 8- ^ ''~ 8~ * 

Un élément perpendiculaire aux lignes de force magnétique 
éprouve donc une tension normale et les éléments parallèles à 
ces lignes de force, des pressions normales. Les valeurs de cette 
tension et de ces pressions rapportées à l'unité de surface, sont 
égales entre elles. Elles sont aussi égales à l'énei'gic électi'ody- 
namique par unité de volume puisque cette énergie, par suite du 
choix des axes de coordonnées, devient 

208. — Appliquons ces résultats au cas d'un milieu transmet- "^ 

tant des ondes planes, en prenant le plan des xij parallèle ii 
l'onde et l'axe des x parallèle au moment électromagnétique. 

La force électromotrice ayant même direction que le moment 
électromagnétique, les lignes de force électrique sont parallèles 
h l'axe des x ; un élément perpendiculaire à cet axe subit donc 



INTERPRÉTATION DES PRESSIONS ÉLECTRODYNAMIQUES 189 

une tension normale dont la valeur par unité de surface est égale 
à l'énergie électrostatique W rapportée à l'unité de volume. Mais 
les lignes de force magnétique sont perpendiculaires aux lignes 
de force électrique puisque la force électromagnétique et la 
force électromotrice sont rectangulaires entre elles ; par si 
l'élément considéré est parallèle aux lignes de force magnétiqut 
et de ce fait, il éprouve une pression normale dont la valeur par 
unité de surface est égale à l'énergie électrodynamique ï rap- 
portée à l'unité de volume. Ces deux quantités W et T étar 
toujours égales entre elles (204) la pression et la tension qu 
s'exercent sur l'élément se compensent. 

On verrait qu'il en est de même pour un élément perpendi- 
culaire à l'axe des y. 

Pour un élément perpendiculaire à l'axe des .r, c'est-à-dire 
parallèle au plan de l'onde^ la pression électrostatique s'ajoute 
à la pression électromagnétique, de sorte que la pression totale 
par unité de surface est égale à l'énergie totale par unité de 
volume. 

209. — Maxwell a calculé la pression qui s'exerce sur une sur- 
face éclairée par le soleil. En admettant que l'énergie de la 
lumière qu'un fort rayon de soleil envoie sur un espace d'un 
mètre carré est de 124,1 kilogramniètres par seconde, l'énergie 
moyenne contenue dans un mètre cube de l'espace traversé par 
le rayon est d'environ 4^,36 X io~^ kilogrammètre ; par suite la 
pression moyenne par mètre carré est 4i,36x lo"'*' kilogramme 
ou o,ooo4i36 gramme. 

La moitié de cette pression étant égale a l'énergie électrosta- 
tique et à l'énergie électrodynamique, il est facile d'obtenir les 
valeurs de la force électromotrice par unité de longueur et de la 
force électromagnétique. Maxwell a trouvé que la force électro- 
motrice est d'environ 600 volts par mètre et que la force électro- 
magnétique est de 0,193 en mesure électromagnétique, soit un 
peu plus du dixième de la composante horizontale du champ 
magnétique terrestre en Angleterre. 

210. Interprétation des pressions èle ctro dynamique s . — 
Nous avons fait remarquer (84) que l'existence des pressions 



IQO 



THÉORIE ÈLECTROMAGNÉTiqUE DE LA LUMIERE 



^^Ippirostatiqucs s'accordait mal avec riiypothèse fondamentale de 
..oation de l'énergie dans le milieu diélectrique. Les pres- 
lectrodynamiques s'interprètent plus facilement et dans un 
re publié dans le Philos ophical Magazine {^), Maxwell en a 
une explication qui présente un certain intérêt. 

nergie électrodynamique / ^ ^c^x étant supposée de 

;rgie kinétique nous pouvons regarder le milieu dans lequel 
.ectuent les phénomènes électrodynamiques comme constitué 

des molécules animées de mouvements de rotation. Si aJ , ■^' ^^' 

^ 1^s composantes du mouvement de rotation d'une des molé- 

ée libre, l'énergie kinétique résultant de ce niouve- 

oportionnelle a ^— . Il est donc possible 

l'expression de l'énergie électrodynamique avec celle 
rgie du milieu tourbillonnant en prenant les composantes 

a\ rotation proportionnelles à celles de la force électromagné- 
Lic^ue. La direction de cette force devient alors celle de l'axe de 
rotation de la molécule. 

Si nous supposons cette molécule sphérique, elle tendra à 
s'aplatir aux pôles et à se renfler à l'équateur. Un élément de 
surface perpendiculaire à Taxe de rotation se trouvera sollicité 
par une force normale dirigée vers le centre de la molécule; au 
contraire, un élément situé sur l'équateur parallèlement à l'axe 
subira une force normale dirigée vers l'extérieur de la molécule 
tournante. Comme l'axe de rotation a môme direction que la 
force magnétique, un élément perpendiculaire à cette i'orce est 
donc soumis à une tension, tandis qu'un élément parallèle est 
soumis à une pression. La diiïerence algébrique entre les valeurs 
de cette pression et de cette tension est due à la force centrifuge ; 
elle est proportionnelle à a'- -j- [ï'^ + y'', c'est-à-dire au double de 
l'énergie kinétique. Nous retrouvons donc bien les résultats du 
paragraphe 307. 

Dans son mémoire, Maxwell suppose que la rotation des molé- 
cules magnétiques se transmet de l'une à l'autre au moyen d'un 
mécanisme de connexion formé de petites molécules sphéri([ues 



if 



(i) Phil Mag., années 18G1 et iSfvJt. 



INTERPRETATION DES PRESSIONS ELECTRODYNAMIQUES 191 

dont le rôle peut être assimilé à celui crengrenages. L'induction 
magnétique est alors due à l'inertie des sphères tournantes, la 
force électromotrice est l'efFort exercé sur le mécanisme de con- 
nexion, enfin le déplacement de l'électricité est le déplacement 
résultant des déformations de ce mécanisme. 



CHAPITRE XÏI 

POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 



211. Lois du phénomène. — La rotation du plan cle polarisa- 
tion de la lumière sous l'influence d'un champ magnétique crée 
par des aimants ou des courants est le phénomène le plus remar- 
quable de ceux qui mettent en évidence les actions réciproques 
de la lumière et de l'électricité. 

Découverte par Faraday en i845, la polarisation rotatoirc ma- 
gnétique a été ensuite étudiée par Verdet qui a établi les lois 
suivantes : 

i*" La rotation du plan de polarisation d'une lumière simple est 
proportionnelle à l'épaisseur du milieu traversé par le rayon; 
elle varie à peu près en raison inverse du carré de la longueur 
d'onde de la lumière employée; 

2° Elle est proportionnelle à la composante de l'intensité du 
champ magnétique suivant la direction du rayon; la rotation est 
donc maximum quand la direction du rayon coïncide avec celle 
du champ; elle varie comme le cosinus de l'angle formé par ces 
deux directions lorsqu'elles ne coïncident pas; 

3*^ Sa grandeur et son sens dépendent de la nature du nrilieu. 
Les corps diamagnétiques dévient le plan de polarisation dans 
le sens du courant qui, tournant autour du rayon, donnerait au 
champ sa direction actuelle; les corps magnétiques, comme les 
dissolutions de perchlorure de fer dans l'alcool ou l'éther don- 
nent une rotation inverse. Toutefois cette dernière loi présente 
quelques exceptions; ainsi le chromate neutre de potasse, quoique 
diamagnétique, produit comme le perchlorure de fer une rota- 
tion de sens inverse à celui du courant. 

212. — Une différence importante distingue la polarisation 



LOIS DU PHÉNOMÈNE 19*3 

rotatoire magnétique de la polarisation rotatoire que présentent 
naturellement certaines substances cristallisées comme le quartz, 
et plusieurs liquides comme l'essence de térébenthine. 

Dans ce dernier phénomène la rotation du plan de polarisation 
est encore proportionnelle à l'épaisseur de la substance tra^ 
sée, mais le sens de cette rotation change en même temps qu 
direction de propagation du rayon; en d'autres termes le s 
de rotation reste toujours le même pour un observateur qu 
place de manière à recevoir le rayon de lumière. Par suite, 
plans de polarisation de deux rayons traversant, suivant 
directions opposées, une même épaisseur d'une substance act 
subissent des déviations égales mais de sens inverse. Il .... 
résulte que si un rayon polarisé rectilignement, après avoir 
traversé une substance, est réfléchi sur lui-même de manière à 
la traverser une seconde fois en sens inverse, le plan de pola- 
risation de la lumière émergente se confond avec celui de la 
lumière incidente. 

Dans la polarisation rotatoire magnétique le sens de la rotation 
est indépendant de la direction du rayon ; il ne dépend, pour une 
substance déterminée, que de la direction du champ magnétique. 
Un rayon lumineux que l'on fait passer deux fois en sens in- 
verses à travers cette su])stance au moyen d'une réflexion subit 
donc une rotation double de celle qui résulterait d'un seul pas- 
sage. 

Cette propriété a été mise à profit pour augmenter consldéra- 
l)lement la rotation observée en faisant traverser plnslcurs fois la 
substance par le même rayon S, à l'aide de deux miroirs plans M 
et M' (fig. 34) disposés presque nornuilenicnt à la direction du 




Fig. 'M. 

rayon. Cet artifice et l'emploi d'un champ magnétique très puis- 
sant ont permis à M. II. Becquerel et à M. Bichat de découvrir 
presque simultanément le pouvoir rotatoire des gaz qui avait 
échappé aux observations de Faraday et de Verdet. 

PoiNCARi':. Electi'icilé et Optique. 1 -J 



igî POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

213. JEssals d'explication de la polarisation rotatoire ma- 
gnétique. — Avant Maxwell plusieurs tentatives avaient été faites 
dans le but d'expliquer la rotation du plan de polarisation sous 
rinfluence d'un champ magnétique. 

Dès l'année qui suivitla découverte de Faraday, Airy (^) proposa 
plusieurs formules exprimant cette rotation en fonction de la 
longueur d'onde dans le vide de la lumière employée et de l'indice 
de réfraction de la suljstance pour cette lumière. Airy avait été 
conduit h ces formules par les travaux antérieurs de Mac-Cullagh 
sur la polarisation rotatoire du quartz. Comme nous l'avons vu 
dans un autre ouvrage (^) la rotation du plan de polarisation 
d'un rayon se propageant suivant l'axe du cristal s'explique 
par l'addition de certaines dérivées du troisième ordre des 
composantes du déplacement d'une molécule d'éther aux seconds 
membres des équations du mouvement de cette molécule ; ces 
équations deviennent alors, si l'on prend pour axe des z la 
direction du rayon lumineux. 



en en d' 



a • 



df dz' ' dz' 

d\ d'y^ d'^'q 



dC' d.zr dz' 



En substituant aux dérivées du troisième ordre, par rapport 
z, les dérivées du même ordre prises par rapDort à z et 
d\ d'I 1 11 



a t,-]~—^~- et 7-T77, Airv obtint la formul 



dz\lt dz'dt 



c 



il) ^ = mS^ii-\lL 

A- \ dt 

OÙ m est un eoellicient dépendant de rintensitc du champ magné- 
tique, A la longueur d'onde dans le vide, z Findice de réfraction. 
La su])stitution de dérivées du troisième ordre prises unicpiement 
par rapport au temps +i^ ^^-$' ^^ conduisit it une autre 
formule 



m -^— [i — A 
A^ \ dt 



C) Philosopîucal Magazine, juin 184G. 

(-) Théorie mathématique de la Lumière, ^. 182. 



'^L 



ESSAIS D'EXPLICATION DE LA POLARISATION ROTATOIRE igS 

Enfin, en prenant les dérivées du premier ordre par rapport 
au temps -| — — et 7-, il arriva a une troisième lormule 

(III) e = ,»(^-.4 

214. — Quoique très différentes, ces formules rendaient compte 
des faits observés par Faraday qui n'avait fait aucune mesure 
quantitative. Ce physicien avait seulement démontré que la rota- 
tion dépend de la nature de la radiation en constatant qu'avec 
la lumière blanche, l'image donnée par Tanalyseur présente 
des colorations rapidement variables avec la position de la sec- 
tion principale de celui-ci ; toute formule contenant la longueur 
d'onde était donc acceptable. En 1847, ^- ^^^' Becquerel (^) 
compara le phénomène de Faraday à la polarisation rotatoirc 
présentée par l'eau sucrée ; il trouva que ces deux phénomènes 
étaient absolument analogues ; par suite la loi de Biot semblait 
applicable à la polarisation rotatoirc magnétique, c'est-à-dire 
que la i^otation devait être en raison inverse du carré de la 
longeur d'onde. La formule (III) qui est loin de remplir cette 
condition devait donc être re jetée. 

Des expériences directes, faites avec le plus grand soin, 
furent entreprises par Vcrdct, en i863, pour mesurer la rotation 
du plan de polarisation de radiations simples, de longueurs 
d'onde connues, sous rinfluencc d'un champ magnétique; leurs 
résultats furent compares aux valeurs fourni(\s par chacune des 
formules précédentes dans lesquelles le coeOicIent m étîût 
déterminé au moyen des données d'aine expéri(mce. Comme on 
devait s'y attendre d'après les résultats de M. Becquerel, la for- 
mule (ÏIl) donne des nombres s'écartant beaucoup de ceux four- 
nis par l'expérience ; la formule (II) convient mieux, mais la 
formule (I) est celle qui est préférable ; en particulier, pour 
le sulfure de carbone, les nombres donnés par cette dernière 
formule ne diflerent des résultats de l'expérience que d'une 
quantité de l'ordre de l'erreur expérimentale. Des trois formules 
proposées par Airy la première est donc la seule à conserver. 



(^) Comptes rendus de i Académie des Sciences, t. XXf, p. g!)2. 



*?l 



196 POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

215. — Mais, si la concordance de la formule (I) avec l'expé- 

. d\ (Pi 

rience iustifie l'introduction des dérivées -\ —5-7- et j-rr- 

^ dz-dt dz^dt 

dans les seconds membres des équations du mouvement d'une 
molécule d'éther, aucune considération théorique ne préside au 
clioix de ces dérivées, à l'exclusion des autres ; on ne possédait 
donc pas encore de théorie de la polarisation rotatoire magné- 
tique. 11 est vrai que Airy n'avait pas proposé ses formules 
comme donnant une explication mécanique de la rotation du 
plan de polarisation mais seulement, dit-il, « pour faire voir 
c[u'elle peut être expliquée par des équations qui semblent de 
nature à pouvoir se déduire de quelque hypothèse mécanique 
plausible, quoique l'on n'ait pas encore formulé cette hypo- 
thèse. » 

Quelques années avant les expériences de Verdet, M. Ch. Neu- 
mann (*) avait tenté de combler cette lacune. Neumann suppose 
que les molécules du fluide électrique des courants particulaires 
qui, d'après Ampère, prennent naissance à l'intérieur d'un corps 
aimanté agissent sur les molécules d'éther ; en outre il admet 
que ces actions réciproques, comme celles qui s'exercent entre 
deux molécules électriques dans la théorie de Weber, sont modi- 
fiées par le mouvement relatif de ces molécules. Il résulte de ces 
hypothèses qu'une molécule d'éther est soumise non seulement 
aux forces résultant de l'élasticité de réther,mais encore à des 
forces, variables avec le temps, provenant des actions des molé- 
cules électriques voisines. Neumann démontre que la résultante 
de ces dernières forces est à chaque instant proportionnelle à 
la vitesse de la molécule d'éther et à la force magnétique et 
perpendiculaire au plan de ces deux directions. Par conséquent, 
si nous considérons une onde plane se propageant suivant la 
direction du champ magnétique, et si nous prenons le plan 
des xy parallèle à l'onde, les composantes suivant les axes 
des X et des ?/, de cette résultante auront respectivement pour 
valeurs 

di dt 



(^) Die magïieiische Drehung der Polarisaiionsebene des Lichtes. Halle, i803. 



THÉORIE DE MAXWELL 197 

a étant un coefficient proportionnel à Tintensité du champ. 
Nous aurons donc pour les équations du mouvement d'une molé- 
cule d'éther 

P de ~ dz' '^'^ dt ' 

d\ d^'r\ de, 

^ d{^ dz'^ dt ' 

Ces écjuations ne diffèrent des équations de Mac-CuUagli (213) 
que par la substitution des dérivées de 'r\ et Ç par rapport à t 
aux dérivées du troisième ordre de ces mêmes quantités par '^'^*^- 
port a z ; par suite elles doivent conduire pour la valeur a 
rotation du plan de polarisation à la formule (III), formule en 
complet désaccord avec l'expérience. La théorie de Neumann, 
bien que remarquable par la simplicité des hypothèses, doit 
donc être rejetée. 

216. Théorie de Maxwell. — Ainsi, au moment où Maxwell 
écrivait son Traité, il était reconnu que la théorie de Neumann 
conduisait a une formule en complète contradiction avec les 
résultats expérimentaux, et que, des formules proposées par 
Airy, la formule (I) était celle, qui s'accordait le mieux avec ces 
résultats. Il suffisait donc, pour obtenir une théorie acceptable 
de la polarisation rotatoire magnétique, d'expliquer par des 
hypothèses plausibles, l'addition des deux dérivées du troisième 

ordre -\ t-tt- et rr-r- aux ecruations du mouvement d une 

dz'dt dzrdt ^ 

molécule d'éther dans un milieu isotrope. 

Faisons observer que l'introduction de ces dérivées dans les 
équations du mouvement peut, indépendamment de toute idée 
théorique, s'eflectucr de deux manières dKïerentcs. 

Pour le montrer rappelons eu quelques mots comment on 
arrive aux équations du mouvement d'une molécule d'éther dans 
un milieu isotrope (*). Si nous appelons U la fonction des forces 
qui résultent de l'élasticité de Téthcr lorsqu'un ébranlement se 
propage dans ce milieu, le mouvement d'une molécule de 



(') Tliéorie ïnathcmaticpLe de la Lumière, pp. i à 48 et 176 à iSii. 



igS POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

masse ?n subissant un déplacement Ç suivant l'axe des x^ est 
donné par l'équation 

où ^ n'est qu'une des composantes du déplacement; y\ et *C étant les 
deux autres composantes, nous aurions en outre deux équations 
analogues. Lorsqu'on admet que les forces qui s'exercent entre 
les molécules n'agissent qu'à des distances excessivement 
petites, la fonction U peut s'écrire 



U 



=/w.., 



V^ étant la valeur de la fonction des forces, raj)portée à Tunité 
ue volume, au point occupé par l'élément dz^ et ^intégrale 
étant étendue à tout l'espace occupé par Tétlier, L'étaclc de W 
montre que c'est une fonction des dérivées partielles des divers 
ordres de Ç, v], J^ par rapport aux coordonnées .r, y, z^ et, par 
diverses transformations, on arrive à mettre les équations du 
mouvement (i) sous la forme 

P ' 



V^ ci d\\ Y* ^^^ 



di' Zjds dl' ' Zjd.'v' cK' '" ' 

^' étant l'une quelconque des dérivées de Ç par rapport à .r, //, z ; 
Ç'^ une quelconque des dérivées secondes de ç par rapport à ces 
mêmes variables. Ces équations nous montrent que les lermcs 
de W qui ne contiennent ces dérivées qu'à la première puis- 
sance doivent disparaître lorsqu'on suppose les déplacements 
périodiques. Par conséquent, si nous négligeons les ternies du 
troisième degré par rapport à ces dérivées et si nous désignons 
par Wg l'ensemble des termes du second degré, l'équation pré- 
cédente devient 



d d\M, , V» <'l'' ^W, 



'^+y. 



^ de j^ dx d'cj ' ^ dx^ d'cj' 

En général, le second membre de cette équation contient des 
dérivées de i, t^, Ç, par rapport à ^, ?/, ;:, de tout ordre à partir 
du second, mais pour les milieux isotropes les dérivées d'ordre 



'à 






THÉORIE DE MAXWELL 199 

impair disparaissent. Cette équation se simplifie encore dans ce 
cas, lorsqu'on considère une onde plane perpendiculaire à l'axe 
des z; il ne reste plus que les dérivées d'ordre pair de ^ par 
rapport à z. L'équation précédente peut alors s'écrire 

Les deux autres équations du mouvement s'obtiendraient 
remplaçant dans celle-ci, \ par -/j, puis par 'Q. 

Mais les équations générales telles que (2) peuvent se 
sous la forme indiquée par Lagrange, 

^^^ dt (Tci cil "~ dl ' 

où U a la même signification que précédemment et oii T désigne 
l'énergie kiné tique, 



T=i- r+v/^+n^T, 




5', 7/, 'C représentant maintenant les dérivées par rapport au 
temps. Cette dernière équation n'étant qu'une transformation 
de l'équation (:^), il est évident qu'elle ne peut contenir, comme 
celle-ci, que des dérivées d'ordre pair dans le cas d'un milieu 
isotrope. Par conséquent, pour que les équations du mouvement 
contiennent des dérivées d'ordre impair il faut Introduire des 
termes complémentaires, soit dans l'expression de la (onction LI 
relative aux corps isotropes, soit au contraire dans l'expression T 
de l'énergie kinétique. On a donc deux moyens dlderents pour 
arriver aux formules d'Airy. 

217. — Dans les théories ordinaires de la lumière c'est la fonc- 
tion U qui, changée de signe, réprésente l'énergie potentielle du 
milieu, que l'on modifie toutes les fois qu'il s'agit d'expliquer 
les phénomènes présentés par les milieux anisotropes. Dans la 
théorie de la polarisation rotatoire de Maxwell, c'est, au con- 
traire, l'énergie kinétique T qui est modillée, U conservant la 
môme expression ([ue dans un milieu isotrope. Quant aux 



POLARISATION ROTATOIRE MAGNETIQUE 



raisons invoquées par ce physicien pour justifier cette modifica- 
tion et surtout pour arriver aux termes complémentaires qu'il 
convient d'introduire dans T pour retrouver la formule (I), elles 
; beaucoup à désirer comme précision et comme clarté, 
reviendrons plus tard ; pour le moment acceptons sans 
tions le résultat des spéculations de Maxwell et montrons 
at l'équation (4), et les deux qui s'en déduisent par la 
ition de -/) et ^ à ?, conduisent dans le cas d'une onde 
, a la formule (I). 
■ nous posons 

do 



dz 



dx 



^ do 



dz 



nction quelconque et a, p, y les composantes de la 
clique, le terme complémentaire introduit par Maxwell 
-.nergie kiné tique a pour expression : 



-' '^/^4(-f-èH^(4 



cK 



dx 



av V dx 



f)]- 



Dans le cas d'une onde plane parallèle au plan des .r//, les 
composantes S, v], Ç ne dépendent ni de x^ ni de ?/ ; par suite, 
on a : 



do 



■-'{■ 



dz 



et le terme complémentaire se réduit à 






dh 



dz} " d-J 



'.]d.. 



L'énergie kiné tique est donc égule l\ 



V'H-C")f^--t-C 





1?' 



d-:. 



THÉORIE DE MAXWELL ao. 

218. — Cherchons ce que devient l'équation (4) lorsqu'on y 
porte cette valeur de T. 

Si nous supposons y constant, nous avons 

d dT 

dt d'c. 

Le terme principal de T ne donne rien dans--jr- ; quant au tei^ 

complémentaire, il faut le transformer pour pouvoir calci 
sa dérivée par rapport à \. Or, on peut écrire 





dz I dz dz 



la première intégrale du second membre étant étendue à la 
surface du volume considéré, et ). désignant le cosinus de l'angle 
formé par l'axe des x avec la normale à l'élément d<j) de cette 
surface. SI nous supposons les intégrales de volume étendues à 
l'espace tout entier les éléments de l'intégrale double se rap- 
portent à des points situés à l'infini. Comme on peut supposer 
que ?, -/], K sont nuls à l'infini, les éléments de cette intégrale 
sont également nuls, et nous pouvons écrire 




En effectuant une transformation analogue pour l'intégrale du 
second membre de l'égalité précédente, nous obtenons 




La dérivée par rapport à 'i de cette dernière intégrale est 



/ 



dz' 



ao2 POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

par suite le terme complémentaire cle T donne 




dans Téquation (4) et celle-ci peut s'écrire : 

^ dt^ ^' ^' dz^dt dl 

D après Cauchy ' >. a pour expression dans un milieu isotrope 
. drl , . d% , 



dz' ^ ' d.z' ' •*• 

C'est d'ailleurs ce qui résulte de la forme du second membre 
de l'équation (3). L'équation (4) et celle qui s'en déduit en rem- 
plaçant \ par Tj deviennent donc 

drl d\ d-l d''l 

219. — Cherchons à satisfaire à ces équations en posant 

($=:/• cos {m — q=) 
\ 7^= 7-sin [nt — qz) 

égalités qui expriment que la molécule considérée décrit une 
circonférence de rayon /•. En substituant ces valeurs de \ et Yj, 
nous obtenons, après suppression des facteurs communs, l'équa- 
tion de condition. 

(8) p«^ - ^CrP' = k,<f + A,.y ■' + . . . 

En divisant les deux membres par y" nous avons une équation 
du second degré en — .Ce rapport exprimant la vitesse de pro- 
pagation du mouvement, nous avons donc deux valeurs pour cette 
vitesse. Mais le cofficient A^, étant positif et les coefficients Aj..., 



THEORIE DE MAXWELL 2o3 

étant très petits, l'une de ces valeurs est négative et il n'y a pas 
lieu de la considérer, si l'on ne s'occupe que des phénomènes qui 
se passent au-dessus du plan des xy. 

Si nous donnons à n deux valeurs ne difFéi^ant que parle signe, 
ce qui correspond à deux molécules décrivant la circonférence de 

rayon /• en sens inverses, les valeurs positives de — sont difie- 

rentes, pourvu toutefois que y ne soit pas nul. Un rayon ri^^'^n^^i 
droit ne se propage donc pas avec la même vitesse qu' 
circulaire gauche, par conséquent l'un d'eux prend unt 
sur l'autre et si ces rayons proviennent d'un même ray 
risé rectilignement ils se composent à la sortie du milieu y 
donner un rayon polarisé rectilignement mais dont le plan uc 
polarisation n'a pas le même azimut que la lumière incidente; il 
y a donc rotation du plan de polarisation. 

220. — Evaluons cette rotation. On sait qu'elle est égale à la 
moitié de la différence de phase que les rayons droit et gauche 
contractent, l'un par rapport à l'autre, en traversant le milieu el 
qu'elle s'efFectue dans le sens du mouvement des molécules du 
rayon qui va le plus vite. Si donc nous désignons par q' et par (j" 
les valeurs de q pour le rayon droit et pour le rayon gauche et 
par c? l'épaisseur du milieu traversé, le plan de polarisation tour- 
nera dans le sens des aiguilles d'une nu)utre d'un angle égal à 

Mais d'après l'équation de condition (8), <y dépend de y. (lommc 
d'ailleurs la variation de q due à l'action magnétique n'est tou- 
jours qu'une très faible fraction de la valeur même de (/, nous 
pouvons écrire 

dq 

q^ étant la valeur de q pour une force magnétique nulle. Cette 
quantité q^ doit donc satisfaire à l'équation (8) dans laquelle on 
prend y = o ; par suite on a 



a 



'-=A,/y^ + A/y*+ 



POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

quantités q' et q'^ doivent satisfaire à cette même équation 
is laquelle on donne à n des valeurs ne difTérant que par le 
, à la valeur positive de n correspondra la valeur q" puis- 
après les équations (7) on a un rayon circulaire gauche se 
géant suivant la direction positive de l'axe des z quand 
t positif; à la valeur négative de n correspondra au contraire 
aleur <y'; par conséquent nous aurons 






comparaison des trois dernières relations montre immé- 
ent que l'on a (/>q^ et q" <q^ ; nous devons donc écrire 

dq' „ dq" 

bL nous portons ces valeurs de q' et q" dans l'expression de la 
rotation, nous obtenons 

2 \dy ^ dy J' 

ou, en confondant les valeurs des dérivées de q' et de q" par rap- 
port à y, 

221. — En dérivant par rapport à y les deux membres de Féqua- 
tion (8) où nous considérons n comme constant, nous avons 

Mais, admettre, comme nous l'avons fait, que la quantité q ne 
varie que très peu sous l'influence d'un champ magnétique, c'est 
supposer que le coefficient C est très petit. Nous pouvons donc 

négliger le terme ^iCyqn -yL p^^i» rapport aux termes du second 

membre, et il vient alors 

(lo) dy ^ <r/Q 

dq 



THEORIE DE MAXWELL 2 

Si maintenant, dans Téquation (8) nous regardons y comi; 
constant nous avons en dérivant par rapport à Ji 

.p«-aCy.//^-4Cyry.-^=(.A„r/+4A,./+ )^=^j^ 

Pour la même raison que précédemment le terme 2Cyrfn pe 
être négligé par rapport à 2pn et le terme /iCyqn -~— par rappc 
à ceux du second membre ; par suite nous obtenons 

_ ^^Q dq 

'^^ dq du 

Si nous portons dans la relation (lo) la valeur de — -, — tirée de 
^ ^ ^ d(i 

cette dernière égalité, nous avons pour la valeur de la dérivée 

partielle -7^, 
^ ay 

(11) ÈL^ — SllLll. 

^ ^ dy p dn 

Pour exprimer cette dérivée en fonction clc la longueur d'onde 
dans le vide X, de la lumière considérée et de l'indice de réfrac- 
tion i du milieu, remarquons que l'on a 

y A = 2ixi et nX = 27rV5 

V étant la vitesse de propagation dans le vide. De ces deux rela- 
tions nous tirons 

in 



_^ ___!_/., _^\ 



-et par conséquent 

En outre, en dlllercntiant la seconde, nous ol)tcnons 
Idn + ?id\ = o, 



<l'oii 



71 ). di - di 

dn dX dn ' <r/>. 



POLARISATION liOrATOIRE MAGNÉTIQUE 

ju'égalité (12) peut donc s'écrire 

dq i ( . ^ di \ 

1 nous portons cette valeur clans la relation (ri) et si clans cette 
elation nous remplaçons q par sa valeur -^— , nous obtenons 
d(j l^T^Ç. v- f . ^ di 

'ar consécj;uent en posant 



pV 
valeur de la rotation donnée par la formule (9) deviendra 



6 = jHcy ^rr- [i — î^ —rT-] ' 



i"" f . ^ di 

Nous retrouvons donc bien la formule (I) d'Airy. 

222. Interprétation, du terme complémentaire de F énergie 
kinétique. — 11 s'agit maintenant d'explicjuer l'introduction du 
terme complémentaire (5) dans l'expression de Ténergie kiné- 
tic{ue du milieu. Comme nous l'avons dit, les explications de 
Maxwell n'ont pas toute la rigueur cju'on désirerait y rencontrer. 
Essayons cependant de les reproduire. 

Maxwell pose ainsi la cjucstion : L'expérience apprend qu'un 
milieu isotrope soumis à l'action d'un champ magnéticjue fait 
tourner le plan de polarisation de la lumière; par conséc[uent un 
rayon polarisé circulaire ment ne se propage pas avec la môme 
vitesse suivant c|u'il est droit ou gauche. Or si les composantes du 
déplacement d'une molécule d'éther sont exprimées par les écjua- 
tions (7), nous aurons un rayon circulaire droit ou gauche sui- 
vant c|ue n est négatif ou positif. La vitesse de propagation des 

z est ; comme elle doit avoir une valeur différente pour le 

rayon droit et pour le rayon gauche, a deux valeurs de n ne 
différant que par le signe doivent correspondre deux valeurs de 



L\TERPJRÉTATION DU TERME COMPLÉMENTAIIÎE 207 

rj différentes et de signes contraires; ou bien, ce qui revient au 
même, aune valeur de rj doivent correspondre deux valeurs de 
n différant par la valeur absolue et parle signe. Mais le milieu 
considéré constitue un système dynamique dont l'état est déter- 
miné, à chaque instant, par un certain nombre d'équations. Nous 
avons donc à rendre compte de ce fait que, pour une valeur 
déterminée donnée à l'une et à l'autre des quantités rj et /-, il y 
a deux valeurs distinctes de n qui satisfont a ces équations. 
Ecrivons l'équation de Lagrange relative au paramètre /', 

d dT dT dU 



dt dr' dr dr 

Ce paramètre ayant une valeur déterminée ne changeant pas 
avec le temps, ;•' est nul; par conséquent le premier terme dispa- 
raît de l'équation précédente, qui devient 

rfï , dl] 

llF+~dr='' 

Mais T, énergie kinétique du système, est une fonction homo- 
gène du second degré des vitesses de ce système; T contient 
clone ir^ puisque n est la vitesse angulaire d'une molécule 
d'éther. Il peut également contenir des termes où se trouvent les 
produits de n par d'autres vitesses et aussi des termes dans les- 
(juels ces vitesses entrent au second degré mais où ne figure pas 
/^. Quant à U, Maxwell suppose qu'il conserve la valeur ([u'il pos- 
sède dans un milieu isotrope non soumis à l'action du magné- 
tisme; par suite, U no renferme que des dérivées de ç et r^ par 
rapport à Z] il ne contient donc pas n. Par conséquent l'expres- 
sion la plus générale de l'équation de Lagrauge que nous venons 
de considérer est 

An- -+- B/z~h C =:= o. 

Puisque, d'après ce qui précède, cette équation doit être satis- 
iaite pour deux valeurs de n inégales en valeur absolue, il faut 
nécessairement que B soit diflerent de zéro. Comme les termes 
T>n proviennent uniquement de l'énergie kinétique, celle-ci con- 
tient donc au moins deux séries de termes. L'une, A;i-, est homo- 
gène et du second degré par rapporta n; c'est l'expression de 



' 2o8 POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

Ténergie kinétique d'un milieu non soumis à Taction du magné- 
tisme. L'autre contient la première puissance de n; elle est due 
au champ magnétique et, par suite, elle représente le terme 
complémentaire qu'il s'agit d'expliquer ou au moins une partie 
de ce terme. 

223. — Voici maintenant les conclusions que Maxwell déduit de 
ce qui précède : 

(c Tous les termes de T sont du second degré par rapport aux 
vitesses. Donc les termes qui renferment n doivent renfermer 
quelque autre vitesse. Or cette autre vitesse ne peut être ni j-' 
ni q' ^ puisque, dans le cas que nous considérons, r et q sont 
constants. C'est donc une vitesse existant dans le milieu, indé- 
pendammeat du mouvement qui constitue la lumière. De plus, 
ce doit être une quantité ayant avec n une relation telle qu'en la 
multipliant par n le résultat soit une quantité scalaire; car, T 
étant une quantité scalaire, ses termes ne peuvent être que des 
quantités scalaires. Donc cette vitesse doit être dans la môme 
direction que n ou dans la direction contraire, c'est-à-dire que ce 

doit être une vitesse anmdaire relative à l'axe des z. 

o 

(C Or cette vitesse ne peut être indépendante de la force ma- 
gnétique; car, si elle se rapportait à une direction fixe dans le 
milieu, les phénomènes seraient diflérents quand on retourne le 
milieu bout pour bout, ce qui n'est pas le cas. 

« Nous sommes donc amenés à cette conclusion, que cette 
vitesse est obligatoirement liée à la force magnétique, dans le 
milieu où se manifeste la rotation magnétique du plan de polari- 
sation (T/'az^é «rreZecifr/ciVi?, t. II, § 820). )) 

Un peu plus loin (§ 822), Maxwell ajoute : 

(C Lorsqu'on étudie l'action du magnétisme sur la lumière po- 
larisée, on est donc conduit à conclure que, dans un milieu soumis 
à l'action d'une force magnétique, une partie du phénomène est 
due à quelque chose qui, par sa nature mathématique, se rap- 
proche d'une vitesse angulaire agissant autour d'un axe dirigé 
suivant la force magnétique. 

« Cette vitesse angulaire ne peut être celle d'aucune partie de 
dimensions finies du milieu, tournant d'un mouvement d'ensem- 
ble. Nous devons donc penser que cette rotation est celle de 



INTERPRErATION DU TERME COMPLEMENTAIRE 209 

parties très petites du milieu tournant chacune autour de son axe. 
Telle est l'hypothèse des tourbillons moléculaires. » 

224. — Ainsi, d'après Maxwell, l'explication de la polarisation 
rotatoire magnétique doit résulter de l'existence de tourbillons 
dans le milieu soumis à l'action d'un champ magnétique, tour- 
billons que nous avons déjà vu intervenir dans l'interprétation 
des pressions électrodynamiques (210). Mais quelles sont les lois 
qui régissent les mouvements de ces tourbillons? Maxwell avoue 
notre ignorance absolue sur ce sujet et, faute de mieux, il admet 
que les tourbillons d'un milieu magnétique sont soumis aux 
mêmes conditions que ceux que Helmholtz (^) a introduits dane 
l'Hydrodynamique , et que les composantes d'un tourbillon 
en un point sont égales à celles de la force magnétique en ce 
point. 

Une des propriétés des tourbillons de Helmholtz peut s'énon 
cer comme il suit : soient P et Q deux molécules voisines su 
l'axe d'un tourbillon ; si le mouvement du milieu a pour effe 
d'amener les molécules en P' et en Q^, la droite P^Q^ représent 
la direction de l'axe du tourbillon, et la grandeur de celui-ci est 
modifiée dans le rapport de PQ à P''Q'. 

Si nous appliquons cette propriété aux tourl^illons d'un milieu 
soumis au magnétisme, nous aurons, en appelant a, [3, y? ^cs 
composantes de la force magnétique au point P, 7/, [j^, y', les 
composantes de cette jnéme force cpiand le point J^ est venu en 
P^, et ç, 7^, Ç, les composantes du déplacement du point P, 



7/ ^^^ a -1- a ~ 



<ll . o <^^ , ^5 



l^ 



'") ] ""■^'^ + "'7Ar 



(Ij/ ' ' dz 



fj 



' du ^■' ,hy 

225. — l.es composantes de la vitc^sse angulaire d'un élément 



(') Sur U moufcmcnt tourhillu/inain' ; Journal <lc Crcllc, vol. LV, i,sr).S. 

PoI^'CAKK. Electricité ot OpLiquo. i/, 



1110 POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

du milieu ont pour valeur 

/ o\ j I d / de, d'Q 



I î d / d^ dr^ 

^ 2 dt\dy dz 



2 dt \ dz dx 

I d / d'r\ d\ 



^4)' 



^ 2 dt\dx dy 

Or, puisque d'après les conclusions du § 223 l'énergie kiné- 
tique doit contenir cette vitesse, le terme correspondant, dans le 
cas où les axes de coordonnées sont quelconques par rapport \\ 
la direction de la force magnétique, doit être de la forme 

le terme complémentaire de Ténergie kinétique d'un certain 
volume du milieu a pour expression 

Si dans cette expression nous remplaçons a! ^ [3^, y' par les 
valeurs (12) et ct»^, co,, co^^ par les valeurs (i3) nous obtenons 



^S(f-g^|- 



■ dx \dx d7j J ~^ '' dy \dx dy ) "^ '' dz \ dx dy } J ' 
Montrons que si l'on étend l'intégration à l'espace tout entier 



'""Ib* 





INTERPRETATION DU TERME COMPLÉMENTAIRE i\ 

la première intégrale de cette somme est nulle dans le cas qu 
nous occupe. En effet, en intégrant par parties, le premier terme 
de cette intégrale donne 



CL— — (]f T = I cfX^dxdy — 



L'intégrale de surface se l'apportant a la surface limite^ < 
à l'infini d'après notre hypothèse, 'Q et a sont nuls ; pai 
l'intégrale elle-même est égale à zéro. Dans l'intégrale tri 

second membre entre la dérivée -y- ; si donc le champ magné- 
tique est uniforme, comme c'est généralement le cas lorsqu^on 
étudie la polarisation rotatoire magnétique, cette dérivée est 
nulle et l'intégrale triple l'est aussi. En prenant ainsi successive- 
ment tous les termes de la première intégrale de l'expression du 
terme complémentaire, on verrait qu'ils sont tous égaux à zéro. 
Il n'y a donc à considérer que les trois autres intégrales de cette 
expression. 

Celles-ci peuvent se mettre sous une autre forme. Considérons 
en effet le premier terme de la première d'entre elles ; nous obte- 
nons, en intégrant par parties 






ou, puisque l'intégrale de surface est nulle pour les mômes rai- 
sons que précéclcmnicnt 



<ll dK' , / ^, d% 



d.==^- aC'-7-4-'?^. 



dx du I ' dxdy 

Le second terme de l'avant-dernière intégrale du terme com- 



POLÀRTSAriON ROTATOIRE MAGNÉTJqUE 

)iémentaire nous donne, en opérant de la même manière, 



et nous avons pour la somme des deux termes considérés 




,^ d / d'f\ di 



dx \ dx dy 



d-.. 



Jne transformation analogue effectuée sur tous les termes et \ 

groupement convenable de ceux-ci montreraient que l'expres- 
jii (i4) se réduit bien à l'expression (5) qne nous avons intro- 
duite (217) comme terme complémentaire dans l'énergie kinétique 
du milieu soumis a Faction du magnétisme. 

226. Difficultés soulevées par la théorie de Maxwell. — 
Dans la théorie que nous venons d'analyser, Maxwell semble 
avoir complètement abandonné la théorie électromagnétique de 
la lumière. Nous avons, en effet, implicitement admis avec ce 
physicien, que lorsqu'une onde se propage dans un milieu placé 
dans un champ magnétique, les composantes ?, v] et Ç du déplace- 
ment d'une molécule d'éther ne dépendent pas directement de la 
force magnétique. Or, nous avons vu (189) que la concordance 
de la théorie électromagnétique de la lumière avec les théories 
actuellement adoptées pour l'explication des phénomènes lumi- 
neux exigeait que les dérivées par rapport au temps de ^, 7], Ç 
soient respectivement égales aux composantes a, [3, y de la force 
magnétique. Pour que la théorie de Maxwell sur la polarisation 
rotatoire magnétique s'accorde avec la théorie électromagnétique 
il faudrait qu'il en fut encore ainsi ; c'est ce qui ne semble pas 
avoir lieu. 

D'autre part les formules de Helmholtz semblent assez di(Ii- 
cilement applicables au cas qui nous occupe. Klles s'appuient 
sur les principes de l'Hydrodynamique qu^il serait sans doute 
malaisé d'étendre à l'éther, puisqu'il faudrait y supposer une 
pression uniforme dans tous les sens. 



DIFFICULTÉS SOULEVÉES PAR LA THÉORIE DE MAXWELL i. 

Elles supposent en outre qu'il y a entre les composantes du 
déplacement et celles du tourbillon, certaines relations qui pour- 
raient s^écrire : 



d% 



p 



dydt dzdt ' 

d'^ d% 

dzdt dxdt ' 



d\ d'i 

Y =: ! _ 

* dxdt dydt ' 
et dont Maxwell ne tient pas compte. 

227. — Admettons pour un instant que les dérivées c! , 'r\ , t 
sont respectivement égales à a, [3, y et cherchons les conséquence 
de cette hypothèse . 

Le terme principal de l'énergie kinétique devient 



J^J(a^+P^4-f)^^-- 



Les binômes alternés qui entrent dans l'expression (i4) du 
terme complémentaire ou les dérivées par rapport au temps de 
ceux qui se trouvent dans l'expression (5) de ce même terme ont 
alors pour valeurs 

(l'Q d-r^' _ d,' d{i 

d^ 
dx ' 

da 
dij dx dy 

Mais d'après les équations (II) du paragraphe 167 les seconds 
membres de ces égalités sont respectivement égaux à4T^/^, 4'^^', ù^ï^w . 
Gomme n^ f», (v, sont les dérivées par rapport au temps des com- 
posantes f^ g, h du déplacement électrique nous obtenons donc 



'('/ 


dz 


'lu 


f/î' 


dK' 


da 


dz 


d.v 


dz 


d:r! 


dl 


rffi 



ii4 POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

en intégrant, 

(f^ dy 

Par conséquent l'expression (5) du terme complémentaire peut 
s'écrire 

7 ^ 

Les quantités désignées par les symboles -r-**'' renfermant les 

produits des composantes de la force magnétique par les dérivées 
du déplacement électrique prises par rapport à x, ?/, z^ ce terme 
complémentaire est du troisième degré par rapport à ces quan- 
tités. Dans le terme principal de T, a, ^8, y entrent au second 
degré, mais les dérivées du déplacement électrique n'y figurent 
pas. Par conséquent, en général les équations du mouvement 
seront linéaires, comme cela a lieu dans les théories ordinaires 
de la lumière ; dans la polarisation rotatoire, elles cesseront d'être 
linéaires par suite de l'introduction du terme complémentaire. 11 
en résulte que dans ce dernier cas la vitesse de propagation des 
perturbations constituant la lumière dépendra de a, p, y et par 
conséquent de Tintensité lumineuse qui est fonction de ces quan- 
tités. Cette conséquence est tout a fait contraire aux faits obser- 
vés dans tous les autres phénomènes lumineux; toutes ces diffi- 
cultés n'ont été définitivement levées que par la théorie de 
Lorentz dont nous parlerons à la fin de cet ouvrage. 

228. — Toutefois^ dans les conditions où se font les expé- 
riences, on se trouve dans un des cas particuliers, où cpoiquc 
le terme complémentaire soit du troisième degré, les équations 
du mouvement sont linéaires. 

Pour le montrer, considérons une onde plane polarisée, et pre- 



I 

% 

h 



DIFFICULTES SOULEVÉES PAR LA THÉORIE DE MAXWELL 2i5 

nous pour plan des xy un plan parallèle à Fonde. Le déplace- 
ment électrique s'eiïectuant dans le plan de Tonde (180) la com- 
posante h est nulle. En outre /*et g ne dépendent ni de x ni de ?/. 
Par conséquent le terme complémentaire (i6) se réduit à 




Les composantes a, [3, y de la force magnétique peuvent être 
considérées comme la somme des composantes de la force magné- 
tique du champ constant dans lequel se trouve le milieu traversé 
par Tonde et des composantes de la force magnétique du champ 
dont les perturbations périodiques donnent lieu aux phénomènes 
lumineux. Ces dernières composantes sont variables avec le 
temps. Mais nous savons que la force magnétique du champ pé- 
riodique est dirigée dans le plan de Tonde ; sa composante sui- 
vant Taxe des z est donc nulle dans le cas qui nous occupe. Par 
suite la quantité y qui entre dans T expression précédente du 
terme complémentaire a pour valeur la composante suivant Taxe 
des z du champ constant produit par les aimants ou les courants. 
Cette quantité étant constante le terme complémentaire n'est 

plus crue du second dee^re par rapport a a, p, -r^ et -7^ et les 
\ 0111 ' dz ciz 

équations du mouvement redeviennent linéaires. 

On peut d'ailleurs faire voir autrement que y ^st une cons- 
tante. Vax effet, écrivons Téquation de Lagrange relative à cette 
(quantité; nous aurons 

d (H dl (IM 



dl d.^(' dr d-'f 



Or d'après Cauchy, U ne dépend pas de Ç; par suite il est indé- 
pendant de y et le second membre de cette équation est nul. Le 
premier terme est aussi nul puisque T, qui a ici pour valeur 



I* 

i '^' 
POLARISATION ROTATOIRE MAGNETiqUE f| 

ne contient pas y. Par conséquent l'équation précédente se réduit 
à 



^r bz^ '^r K"^ ~ ^^) J ^ 



ou enfin 



Mais Ç et Tj étant les composantes du déplacement d'une molé- 
cule d'éther, ces quantités satisfont aux équations 

$ = /• cos [ni — (jz), 
'/] = /• sin [ïii — <y.c). 

Si nous calculons les dérivées de ç et r\ par rapport a / et leurs 
dérivées secondes par rapport à z et si nous portons les valeurs 
ainsi trouvées dans le terme précédent, nous obtenons 

ilr^'jKf [ — cos (jil — qz) cos [ni — qz) 

— sin [îit — qz) sin {iit — qz)] = — Cr'hiq. 

C'est donc une quantité indépendante de t\ par suite v est 
constant. 



I 



ou, en remplaçant T par la valeur précédente et effectuant la dé- 
rivation, 

Pour que y soit constant il suffit donc que le second terme le 
soit également. Or, si nous tenons compte des relations (i5) qui $ 

donnent les composantes du déplacement, nous avons pour ce 
terme 



ou, puisque l'onde est perpendiculaire a Taxe des z, 

( d% cl\ \ I 

C 1 P —ri a —— ) , % 

dz" dz^ 



f 



\ 



cCv-g-ï^). 






THÉORIE DE M. POTIER ^i^ 

229. — Une autre difficulté de la théorie découle de Tappll- 
cation des propriétés des tourbillons d'Helmlioltz aux tourbillons 
moléculaires d'un milieu soumis au magnétisme. En effet il faut 
nécessairement que l'énergie de ce milieu ait pour valeur 



|^/(a'-+P^+TV- 



Or, si a, |3, y sont, comme l'admet Maxwell, les compo- 
santes d'un tourbillon d'Helmlioltz l'énergie kinétique du milieu a 
une valeur toute difiPérente. 

Il paraît assez difficile d'aplanir cette difficulté. On ne pourrait 
guère y parvenir qu'en modifiant profondément la théorie de 
Maxwell et ces modifications la rapprocheraient de la théorie 
proposée par M. Potier. 

230. Théorie de M. Potier.— Cette théorie est fondée sur les 
deux hypothèses suivantes : 

i^La matière pondérable participe dans une certaine mesure, 
variable avec la longueur d'onde, au mouvement de l'éther; 

2" Les molécules d'un corps pondérable deviennent de vérita- 
l)les aimants sous l'action d'un champ magnétique. 

ÏA\ première hypothèse, déjà admise par Fresnel, semble con- 
(Irniée par les expériences de M. Fizeau sur l'entraînement de 
i'élJier; la seconde est conforme au mode ordinaire d'interpréta- 
tion des propriétés magnétiques ou diamagnétiques des milieux 
pondérables , 

De ces deux hypothèses il résulte que chaque molécule aiman- 
tée du milieu éprouve un déplacement périodique lorsqu'un 
rayon traverse ce milieu. Dn général ce déplacement n'est pas 
une translation, les deux polos de Taimant se déplaçant de quan- 
tités inégales; la direction de Taxe magnétique d'une molécule 
cliange donc péiiodicfuement ainsi (juo les composantes de son 
moment magnéticpie et, par suite, des forces électromotrices 
d'induction prennent naissance dans le milieu. Ces forces s'ajou- 
lant à celles qui résultent de la perturbation magnétique consti- 
tuant la lumière, la loi qui lie cette perturbation au temps se 
trouve modifiée et on conçoit que le plan de polarisation change 
d'azimut 



2i8 POLARISATION ROTAT 01 RE MAGNETIQUE 

231.-— Montrons^ en effet, que les hypothèses de M. Potier 
conduisent à introduire dans l'expression de l'énergie kinétique 
le terme complémentaire de Maxwell et, par conséquent, permet- 
tent de retrouver la formule (I) d'Airy. 

Soient ^, y, ^ et ^ + ùx, y + oy, z + oz les coordonnées des 
pôles d'une molécule aimantée dans sa position normale^ et 
_L jn et — m les masses magnétiques respectives de ces pôles ; 
nous avons pour les composantes du moment magnétique de la 
molécule, 

mZx^ rnZy^ moz. 

Pour avoir les valeurs nouvelles de ces composantes lorsque la 
molécule est dérangée de sa position d'équilibre par Teffet de la 
perturbation lumineuse, il nous faut connaître la direction sui- 
vant laquelle la matière pondérable est entraînée par cette per- 
turbation. Nous admettrons, ce qui est le plus naturel, que cette 
direction est celle du déplacement électrique. Comme d'ailleurs, 
dans la théorie électromagnétique, le déplacement électrique est 
perpendiculaire au plan de polarisation (189), cette hypothèse 
revient à admettre que la matière pondérable se déplace suivant 
la direction de la vibration de Fresnel. Si donc /*, g, h sont les 
composantes du déplacement électrique au point x, ij, r, et s un 
coelficient de proportionnalité, nous aurons pour les coordon- 
nées de l'un des pôles de la molécule déplacée, 

et pour les coordonnées de l'autre pôle^ 

X + OX + £/^+ £0/; ?/ + 3y + £^ + £%, Z+0Z-\~dl^Z0/l. 

La variation of de la composante f dix déplacement pour les 
variations ox, oy, 5r des coordonnées peut se développer suivant 
les puissances croissantes de ces dernières quantités; en négli- 
geant les termes du second degré et des degrés plus élevés, nous 
aurons 

Par conséquent les composantes du moment magnétique de la 



THÉORIE DE M, POTIER 219 

molécule déplacée sont données par 

df . df ^ , df . 

m [ooc -^zof] = mùx + s ~— màx + £ --— moy ~\- s —j—- moz , 

Ujji/ CL U et .-o 

et deux autres expressions analogues. 

232. — Introduisons les composantes de la ma ' "'''*'' 
Soient A, B, C ces composantes au point x^ y z; A' 
nouvelles valeurs quand ce point s'est déplacé de e/J 
avons 

Ad-z = J7ÎÙX, Bot = mSy, Cdi = mùz, 
A^ch = m {ùx + £o/) , B'd-z = m (ùy + EOg) , ÇJd^ = m [ùz + 

d-z étant le volume de la molécule aimantée. Par suite la dernière 
égalité du paragraphe précédent peut s'écrire 



dx dy 



JL). 

dz) 



i\! = xa - j- £x ( a —~i r |j — ; 1- ; 



Mais les composantes de la magnétisation sont liées à celles de 
la force magnétique (103) par les relations 

A = xa, B=y.p, C==xY 

X étant la fonction magnétisante. Par conséquent l'égalité 
précédente devient, lorsqu'on y remplace A, B, C par ces va- 
leurs. 

dx ^ ' di, ^ ' dz 
ou 

233. — D'autre part l'induction magnétique a pour compo- 
santes 

a =z a.-\- 4t:A, Z> == [î + 4'^B, c = y + 4^^G, 

et ces composantes deviennent après le déplacement de la molé- 
cule 

a' = a^ + 4tuA^ // = P' + 4î^B^ c' =: Y' + ^t.C . 



220 POLARISATION ROTATOIRE MAGNETIQUE 

Montrons que les composantes al ^ ^' y' de la force magnétique 
qui entrent dans ces dernières égalités sont respectivement égales 
à a, p, y. 

Nous avons en dérivant par rapport à œ les deux membres de 

l'écruation (i). 

^A' dd d df 

: X — \- SX — - 



dx ' dx dv dx 

En dérivant B^ par rapport à y et C par rapport à x; et addi- 
tionnant les trois dérivées partielles ainsi trouvées, nous obte- 
nons 

div j^ , j^_x_f^ 1 ,_^ Al 

dx dy dz dx dy ' dz 

Mais, par suite de Fincompressibilité de l'électricité, la somme 

I 1 , • , • n df d^ dh , 1 ^ , 

des dérivées partielles -y—, -^, ~j- est égaie a zéro; par suite, 

l'égalité précédente se réduit à 

dk! . dW . dC dk , clB , dC 



dx dy dz dx dy dz 

Le premier membre est, au sigae près, la densité au point 
X + e/", y + £^, z -\~ eh de la distribution magnétique fictive 
pouvant remplacer dans ses effets le corps soumis à Tiafluence 
du champ; le second membre représente la même cjuantité au 
point .r, y, z. 

Par conséquent la distribution fictive n'est pas modifiée par le 
déplacement des molécules aimantées. La force magnétique en 
un point doit donc conserver la même valeur que ces molécules 
soient, ou non, dans leurs positions d'équilibre. 

234. — Puisque nous avons 

nous obtenons en remplaçant A' par sa valeur (i) 

^ ^ dv 



THÉORIE DE M. POTIER 221 

Or on sait que 

I + 47tx = |i. ; 

par suite si on pose 

x£ = StzC, 

(C ne désignant pas la composante de la magnétisation suivani 
Taxe des z)^ on obtient pour les composantes de rinduction 

a' = [Jia + 327r-C —j- y 
h' = aS + 32t:^-C 4^, 

c' z=z [xy -4- 027I-C — T"- 

L'énergie kinétique du milieu, 

,1 '^ 

aura donc pour valeur 

9./ 

Nous retrouvons donc la m(^me valeur que dans la théorie de 
Maxwell, le terme complémentaire étant mis sous la forme 

('fi)C). 






)a 



:t. 



[*) Poslrrieurcinoiil ù l'époque où ces lc<;oiis ont été {'uilos d'après les iiulioations 
verbales (1(î M. Potier, ce savatrt a exposé sa lliéoric de la polarisîilioii rolaloirc 
inaguérupie dans deux luUes publiées, l'uiu» dans la lradu(Hiou rraiicaise du Traite 
de Maxveil (L. II. j). 5')/|), î'auLre dans les Conipica rendus de CAeudeniic des 
Sc/enees, (I. CVIII, p. iHo). Dans e(,'s deux notes, M. Potier déteriaine les ooni- 
[)o.santes de la l'orée éle('tronu;)lric(^ iuduile j)ar le déplacement des molécules 
alinanlées et démontre ((n'en <'ha({iie [)(»int du milieu celle ror(^(; électcomotricc est 
norujale au courant qui pass(^ par ce point, dirig-ée dans le ])lan de l'onde, ])ro- 
])ortionn<dle au (ïourani et à la c()n)|)osant(î suivant la direction du rayon de la 
i"or(;e ina^néti(jue. Introduisant ensuite les composantes de c(>[le l'orce éleelro- 
molri(;e dans les équations du (duuup magnéti<[ue, il <'n lire les écjualioiis dillo- 
rentielles Cjiii donnent à chaque inslant les com[)Osantes de la perLurbation. Il 
arrive ainsi, dans le cas d'unie onde de plan ])arallèl(i au ])lan des xi/, soit aux 
équations 

.. </M-' cK'. diV 

iv U. -— — -f~ ^ K ai.. y ■■■.■ , . zz -7—, 1 
' dl-~ ' ^ dzhU dz- 

r. d^G ,. ^, d'V dKj 



POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

«35. Théorie de M. Rowland (^). — Avant M. Potier, 
I. Rowland avait essayé de concilier la théorie de la polarisation 
rotatoire magnétique avec la théorie électromagnétique de la 
lumière en introduisant une hypothèse dont l'origine résulte 
d'une interprétation d'un phénomène découvert peu de temps 
auparavant par M, Hall (^j. 

Rappelons en quoi consiste le phénomène de Hall. Soit ABCD 
[fig, 35) un conducteur métallique très mince taillé en forme de 



Fig. 31 

croix, parcouru par le courant d'une pile de A en B et dont les 
extrémités CD de la branche transversale communiquent avec un 
galvanomètre. En déplaçant les points d'attache des fds du gal- 
vanomètre on arrive facilement à ce qu'aucun courant dérivé ne 
traverse le galvanomètre. L^appareil étant ainsi disposé, si on le 
place dans un champ magnétique très intense de telle sorte que 
son plan soit perpendiculaire à la direction du champ on voit 



qui donnent les composantes du moment électvornagaé tique, soit aux équations 



9 —ri — 2C7 , , , : 



d-'\ 






qui donnent le mouvement d'une molécule d'éthcr. Ces deux groupes d'équations 
contenant des dérivées du troisième ordre conduisent, comme nous l'avons vu, à 
la rotation du plan de polarisation. 

Le mode d'exposition de M. Potier, qui n'est d'ailleurs pas identique dans les 
deux notes, diffère donc beaucoup de celui que nous avons adopté; il se rap- 
proche de celui que nous suivrons dans l'exposé de la théorie de M. Rowland. 

(^) Phllosopfiîcal Magazine, avril 1881; Masgart et Joubert. Traité d'électricité, 
t. I, p, 702 et suiv. 

(^) American Journal of Matheinaiics, t. II. i8;<). 



THÉORIE DE M. ROWLAND 22 3 

raiguille du galvanomètre dévier. Pour la plupart des métaux et 
pour un champ magnétique traversant le plan de la figure d'avant 
en arrière la déviation du galvanomètre indique que le courant 
qui traverse cet instrument va de C en D dans la branche trans- 
versale du conducteur; le courant AB. paraît donc entraîné sui- 
vant la direction de la force électromagnétique qui s'exerce sur 
le conducteur lui-même. Pour le fer, la déviation de Taiguille 
du galvanomètre et, par suite, le courant dérivé changent de 
sens; néanmoins on peut encore dire que le courant est entraîné 
suivant la force magnétique, puisqu'a l'intérieur d'une lame de 
fer, par suite de l'aimantation sous l'influence du champ exté- 
rieur, le sens des lignes de force et la direction de la force — 
gnétique ont changé de signe. 

Ces faits peuvent évidemment s'interpréter en admettant qu'une 
force électromotrice prend naissance sous l'action du champ 
magnétique et qu'elle est dirigée suivant la force magnétique 
qui agit sur la matière pondérable du conducteur. Quant à sa 
grandeur, comme l'elfet observé est toujours très petit, on peut 
admettre qu'elle est proportionnelle à la force magnétique. 
Toutefois cette explication est peu satisfaisante, car elle devrait 
s'appliquer à tout conducteur quelles que soient ses dimensions, 
et le phénomène de Hall ne se produit plus dès que l'épaisseur 
de la lame dépasse quelques dixièmes de millimètre. D'ailleurs, 
elle a été mise en doute par des expériences récentes, notam- 
ment par celles de M. Riglii et M. Leduc, qui ont montre qu'une 
hétérotropie spéciale du conducteur sous l'action du champ était 
la meilleure explication des faits. 

236. — Quoiqu'il en soit, M. Rowland adopte l'hypothèse de 
la production d'une force élcctromotricc et suppose qu'une force 
électromotrice du môme genre se développe dans un milieu non 
conducteur placé dans un champ magnétique lorsque ce milieu 
est parcouru par les courants de déplacement résultant de la 
propagation de la lumière. C'est d'ailleurs cette môme force 
électromotrice que M. Potier introduit au moyen d'hypothèses 
plus acceptables que celles de M. Rowland. 

Cette force électromotrice étant proportionnelle à la force 
électromagnétique et ayant même direction que celle-ci, nous 



POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE 

*ons pour ses composantes 



^ R^ = £ [1)11 — a{>). 



L'induction magnétique se compose de l'induction du champ 
constant auquel est soumis le milieu et de l'induction du champ 
Dériodique donnant naissance à la lumière. Les composantes de 
a première sont [jLa^, jjijSj, |j.Yp les composantes de l'intensité 
lu champ constant et uniforme étant a^, [3^, y^ ; celles de la 
— nde sont données par les équations (III) du § 167. Nous 
donc, 

dR clG 



dy dz 

d¥ rfH 



dz dx 

dCr dF 



dx dy 



+ I^Ti- 



237. — Si l'on considère une onde plane parallèle au plan des 
xy les variables ne dépendent ni de x, ni de y et les équations 
précédentes se réduisent à 






Fi 



I-?.^ 



\ c 



Les équations (II) du § 167 qui donnent les composantes u, c, 
iï' de la vitesse du déplacement électrique deviennent 

A^u — — ^ ----- L. ii 

dz a dz ' 

da. I da 

dz \x dz ' 

/^TaV--=z O. 

En y remplaçant les dérivées de a et de b par rapport à -, 



THEOMIE DR M. ROWLAND ' 21^ 

par leurs valeurs» déduites des équations (2), nous^ obtenons 
puisque a^, Pn Yi? sont constants 






I ^-F rfS. I d'F 



'\^i 



[j, dz- dz \L dz' ' 

(3) j ^^ ^ I d'G da, _ I d'G 

! i-k dz^ dz [j. dz"-^ ' 

\ 4^(^ = 0. 

Nous pouvons' donc, à Taide des relations (2) et (3), exprimer 
les composiintes de la force électromotrice données paîi les 
équations (i) en fonction du moment électromagnétique; nous 
trouvons pour les composantes parallèles au plan de Tonde 

P _ _ ^Ti .f^L 

^^ 4r. dz' ' 

<{uant à la troisième composante il est inutile dé la considérer, 
car étant perpendiculaire au plan de Fonde elle ne peut avoir 
aucun effet sur la perturbation magnétique-constituant la lumière. 
Les composantes de la force électromotrice résultant do cette 
dernière perturbation étant (177) 

■ dt ^ dt 

nous aurons pour les composantes parallèles au plan de Tonde de 
la force électromotrice totale 

p dV £Y, d'G 



Q^ 



di 4- dz" 

dG £Y, d~F 



dt ^T. dz' ' 

et, par suite des équations (VIII) du n° 169, 

,^ d'F Key, d'G 



dt" 4,71 dz'dt ' 

, ,. ^^G , Ksy, d'Y 

^ dt' ^ 47t dzhk 

PoI^^CARÉ. Électricité et Optique. 



^,2^ POLARISATION ROTATOIBE MAGNÉTIQUE 

En remplaçant les premiers membres de ces équations par 
leurs valeurs (3) nous obtenons enfin 

dt' "^ ^r. dz'dt u dz^ ' 

dî- 4r. dz'di p. dz"- 

D'après la remarque faite au n^ 178, a, fi, y satisfont à des 
équations de même forme; par suite il en est de même des com- 
posantes \, 71, !;du déplacement d'une molécule d'éther dont les 
dérivées par rapport aT sont \,t,, Ç. Nous retrouvons donc les 
équations du mouvement qui ont conduit Airy ù une expression 
de l'angle 6 de rotation du plan de polarisation d'accord avec 
l'expérience i 

238. Phénomène de Kerr, — A la polarisation rotatoire ma- 
gnétique se rattache un phénomène découvert en 1876 par 
M. Kerr (^) et qui consiste dans la rotation du plan de polarisa- 
tion d'un rayon polarisé réfléchi sur le pôle d'un aimant. 

La lumière d'une lampe, polarisée par un nicol et réfléchie par 
une lame de verre inclinée à 45% tombe normalement sur le 
pôle, s'y réfléchit et, après avoir traversé la lame de verre et un 
nicol analyseur, est reçue par l'œil. Une masse de fer, qui est 
percée d'un trou conique pour permettre le passage aux 
rayons lumineux, est placée très près de la surface réfléchis- 
sante, dans le but de rendre très intense l'aimantation de cette 
surface. 

Ayant placé le polariseur dans une position telle que les 
vibrations qui tombaient sur les pôles étaient parallèkis ou per- 
pendiculaires au plan d'incidence, et ayant tourné .Tanalyseur 
jusqu'à l'extinction, M. Kerr vit reparaître la lumière, bien que 
faiblement, en aimantant par un courant le pôle réfléchissant. 
Mais comme M. Kerr ne disposait que d'une faible force magné- 
tique, pour rendre l'action plus évidente, il déplaçait légère- 
ment le polariseur ou l'analyseur avant de faire l'expérieucc; de 
manière à ce que l'extinction ne fut pas complète. Au moment 



I Philosophîcal Magazme, ^^ série, t. HT, p. 32i (1877) ; t. V, p. iCn (1878). 



PHÉNOMÈNE DE KERH ^ij 

OÙ roM fermait le courant dans une certaine direction, la 
lumière reçue par l'œil augmentait; dans la direction contraire; 
elle diminuait et souvent l'on arrivait tout à fait à Textinction. 
Cette diminution de l'intensité se produisait si, avant le passage 
du courant, on avait tourné l'analyseur dans une direction con- 
traire a celle du courant d'aimantation. M. Kerr en conclut 
qu'il se produisait par l'aimantation, une rotation du plan de 
polarisation, en sens contraire des courants d'Ampère. 

M. Kerr observa également une rotation lorsque le rayon 
tombait obliquement sur la surface réfléchissante ; mais dans ce 
cas les phénomènes se compliquent de la polarisation elliptique 
due à la réflexion métallique, à moins cependant que les vibra- 
tions du rayon incident soient ou parallèles ou perpendiculaires 
au plan d'incidence. 

239. — M. Gordon (^j et M. Fitzgerald (^) répétèrent bientôt 
ces expériences avec des champs magnétiques très puissants; 
les résultats qu'ils obtinrent confirmèrent les travaux de M. Kerr. 
Plus récemment l'étude de ce phénomène a été reprise par 
iM. Righi [^) qui Ta rendu plus facilement observable en l'am- 
plifiant par des réflexions successives du ra3X)n lumineux sur 
deux pôles d'aimant convenablement disposés. Kniin M. Kuntz(.'') 
s'est également occupé de cette question ; il a montré que la 
réflexion sur le nickel et le collait donnait aussi naissance au 
phétîoinène d<' Kerr; de plus, il a reconnu que la rotation du 
plan de polarisation dans le cas de rineidence normale, qui 
chang<' de valeur avec la couleur de la radiation, esl plus gi^ande 
pour les rayons rouges que pour les rayons violets : lu dispersion 
esl donc anormale. 

Mais malgré ces nombreux travaux el les recherches tbé()rit[ues 
de M. Righi ("^) l'explication complète du phénomène de Kerr 



(') PhilosopJiicaî Magazine, 5" série, L. IV, p. loj (1S77). 
(-) Pltllosopliical Magazine, 5" série, t. 111, p. S'Xi) (1877). 
(•i) Métnoire présenté à rAcadémie roy'ali' des Lin€i<:i (i/| décembre i88|). 
(^j Wiad. Ann., octobre i88/|. 

(") Loc. clL, et nouveau Méiiuire inséré dans les Annales de chimie et de Phi/iii</iu\ 
septembre 188G. 



228 POLARISATION îtOTATOUŒ MAGM-niQi'K 

fait encore défaut. On ne peut affiraier si cesl un plii»fi(nii«*iH* 
nouveau ou s'il est dû «nic|ueuient au pouvdir rolalciJn* înîi«riît*» 
tique de l'air qui environne les pôles. Aussi, if Jnsisli'r«ins-îioiiH 
pas-plus longuement sur ce sujet. 

Enrésumé, Maxwell n'est pas arriva* à s«* tirc»r tles cliflinilti'N. 
quesoulève le phénomène observé paï' Faraday. M. PoIÎit vu ii 
donné une théorie satisialsante. Nous v^rrcnin plus loin ifii** 
M. Lorentz est également ariivé à luie expliratiiui satisrainaiiî** 
qui se rattache à ses idées générales suî' la iialur*» dv r«di*tiric*iti*. 
Disons seulement que dans la ihéorîr de LchtiiIz «•«iimiir dsiii^ 
celle de Potier, les molécules malérîcdlt\s pri^iiiieiît pari n h% 
vibration et que c'est cette circonstance cpii priHluil la pidari^s,!- 
tion rotataire ; seulement, dans la HuM^rir de Potier, les iiiiil«*- 
cules en mouvement agissent parc(MprelIes Iraiîsporteîil avee vWrn 
leur magnétisme ; dans celle de Lorenl/, elles a-isM^nt paru' 
qu'elles transportent avec (dles une charge «decirH|ur. 



DEUXIEME PARTIE 



THEORIES ELEGTRODYNAMIQUES 

D'AMPÈRE, WRBER, IIELMOLTZ 



CHAPITRE PREMIER 



FORMULE D'AMPERE 



240. Action de deux éléments de courant. — Ampère avait la 
prétention de ne rien emprunter qu'à l'expérience (^). Cette pré- 
tention n'est pas absolument justifiée, car l'expérience ne peut 
porter sur deux éléments de courant. On peut observer l'action 
d'un courant fermé sur une portion de courant, mais non l'action 
d'une portion de courant sur une autre. 

Si, en effet, la décharge d'un condensateur par exemple cons- 
titue un courant qui d'après les idées antérieures à Maxwell n'est 
pas fermé, ce courant est de trop courte durée pour qu'on puisse 
l'utiliser dans les expériences. On ne peut donc expérimenter 
que sur des courants fermés ; on peut, il est vrai^ par divers arti- 
fices, rendre mobile une portion d'un des courants, ce qui permet 
d'étudier l'action d'un courant fermé sur une portion de courant 
(voir ce sujet discuté plus loin, n° 258) ; mais cette portion mobile 
reste toujours soumise à l'action 
simultanée de tous les éléments 
de l'autre courant fermé. 

Ampère qui énonce une loi 
applicable à deux éléments de 
courant a dû par conséquent faire 
des hypothèses. Voici ses hypo- 
thèses : Fig. 36. 

ï^ Pour avoir l'action d'un cir- 
cuit fermé sur un élément de courant, il sullit de composer les 





(^) Le titre de son ouvrage est : Théorie mathématique des j?hénomènes électro- 
dynamiques uniquement déduite de Feûcpéricnce, 1826. 



2 FORMULE D'AMPÈRE 

actions des éléments de ce circuit fermé sur l'autre élément ; 

2^ L'action de deux éléments de courant est une force dirigée 
suivant la droite qui les joint. 

Soient deux circuits G et G^ (fig. 36). Soit A un point de G. Je 
définis le point A par la longueur s de l'arc OA comptée à partir 
du point fixe 0. 

Soient maintenant AB et A^B' deux éléments appartenant res- 
pectivement aux circuits G et C Soit 0^ un point fixe de C^ à 
partir duquel nous compterons les arcs, et appelons 

0A==5, 0'M = s^ - 
l'autre part, 

OB = 5 -f- d^, Q'W = s' ■+■ ds' ; 
d'®ù 

5et tie même, 

A«^=r&^. 

En appelant .r, ?/, z les coordonnées de A 

j: -i- d.i- ^ ^f -\- dy., z-{-dz^ celles de B 

:rVf/',.^', )) A' 

ir^ -4- d^.', ij -h dy\ d + d.z\ » B' 

la distance des deux éléments AB et A'B' est donnée ;p4ir 

(i) r"- = {X - -a^Y + (y - yj + (= _ ,J ■ 

r est fonction de 5 et s' 

T . T . 1 A T^ ^^'^' dij dz 

Les cosinus directeurs de AB sont— 7—, — p-, — --, 

ds ds ds 

1 i/T,> dx' dif dz! 



de AA' 



•// 



7" /• r 

Soieilt 6 Tïïngle de AB tivec AA^, 
Ô' » de A^B' avec AA^ 
£ » des deux éléments A B et A(B^ 



ACTION DE DEUX ELEMENTS DE COURANT 

On a : 

/ ^ dx x' — X , du 11' — ?/ dz z' — - 

cose = -y-. h-T^- ^-+-7-- 

i as r as r as r 

\ ,, dx' x' — X di/ 11' — ?/ dz' z' — c 



^. l^ ~ ds'' r ^ ds' ' r ' ^6'^ 

dx dx' dy d\J dz dz' 

ds ' ds' d^ ' ds' ds ' ds' ' 



COS £: 



Entre ces trois cosinus et les dérivées de la fonction /• existent 
certaines relations. 

On trouve en effet par différentiation : 

dr 'H^ X — x' d,v . 

\ ds Za r ch 



(4) 



^ dr 



6'^ ~L r 



ds' ^ r ds' 



cos h'. 



le signe lu indiquant mie permutation circulaire à eilec tuer sur 
les lettres x, y, z; x' ^ y' , z'. 

DifTérentions malntemint la relation (3) par rapport à s' ; il 
vient, 

dr dr d'^r ^ dx' dx 

ds ds' dsds' /j ds' ds 



5.) 



d'où, «n tenant compte des relations (4), 

d'-r . 

/■ = cos 'i cos U — eos t, 

dsds' 

L'action de ds sur ds' est évidemment proportionnelle aux lon- 
gueurs ds et ds' des deux éléments et aux intensit^és / et i' des 
deux courants ; elle dépend d'autre part de la distance r des deux 
éléments et des angles 9, 6^ et £. Elle ne peut manifestement dé- 
pendre d'aucune autre quantité. Nous pouvons donc représenter 
cette action par la formule : 

/W6Y/6-7(r,e, 0'', s). 



234 FORMULE D'AMPÈRE 

Il nous reste a déterminer la fonction /. 
Afin d'abréger les écritures nous supposerons 



quitte à rétablir à la fin du calcul le facteur il'. 

Ampère a emprunté à Texpérience les trois principes suivants 
qui serviront de point de départ à l'analyse qui va suivre : 

i'' Le principe des courants sinueux; 

2° L'action d'un courant fermé sur un élément quelconque est 
normale à cet élément; 

3^ L'action d'un solénoïde fermé sur un élément quelconque 
est nulle. 

Soit Kdxds' l'action qu'exercerait sur ds' un élément de cou- 
rant dx qui serait la projection de ds sur l'axe x ; de même Bdyds' 
et Cdzds' , Le principe expérimental des courants sinueux qui est 
le premier emprunt fait par Ampère à l'expérience, nous apprend 
que l'action de ds sur ds' est la résultante des actions de ses 
projections suivant les trois axes, et, comme toutes ces forces 
sont dirigées suivant la même droite AA', on a : 

/'(r, e, 9^ e) dsds'=: kdxds' -^Bdyds'.^ Cdzds' ; 



/•= A ~ -l-B -^ + C — 
ds ds ds 

La fonction f est donc linéaire par rapport aux cosinus direc- 
teurs de AB, 

La fonction /dépend de ;-, 0^ 9 et s ; /- et ^' ne dépendent pas 

des cosinus directeurs -f-, ~,-,— ; cos fl et cos s sont linéaires et 
ds ds ds 

homogènes par rapport à ces cosinus. Donc /ne peut être linéaire 

et homogène par rapport à ces mêmes cosinus directeurs que si /' 

est linéaire et homogène en cos ô et cos e, ou, ce qui revient au 

dr d'-r 
même, en -7-7 et , , ■ . 
as' dsds 

dr ^^" 

Hllle est de même linéaire et homogène en -7- et 



ds dsds' ' 



ACTION DE DEUX ÉLÉMENTS DE COURANT 235 

Donc elle doit être linéaire et homogène en --7-. jy d'une part 



72, 



et % -j j d'autre part. 
Donc, 

Or, A et B sont fonctions de r seul; je puis donc poser : 

et (6) devient alors, 

(6 Lis) fdsis' =[^ (.) ^. |1+ a, (.) -i^] ,sd,. 

241. — Pour déterminer ces deux fonctions tj; et cp, *1 faudra 
deux expériences. 

Ampère a montré qu'un arc de cercle quelconque mobile autour 
de son centre et soumis à l'action d'un courant fermé dont la 
forme est quelconque, ne se déplace pas ; l'action tangentielle 
exercée sur un élément quelconque de cet arc de cercle est 
donc nulle. Donc l'action d'un courant fermé sur un élément est 
normale à cet élément : c'est le second principe d'Ampère énoncé 
plus haut. 

Donc l'intégrale 

lorsqu'elle est prise le long du circuit C, qui est quelconque. 
Posons, 

-H dr 

l'intégrale précédente devient 

La quantité sous le signe | est donc la dijQTérentielle exacte 



^3 G .FOnmULE D'AHWEjRE 

à'Mue fonction des deux ?^ariables indépendantes r et p, c'est-à- 
dire qu'on a 5 

2p'i(r)=:2pcp'(r), 

nous reste donc a déterminer la fonction cp, ce que le troi- 
le principe expérimental d'Ampère nous permettra de faire ; 
attendant, tirons 4^ ul es les conséquences des deux premiers 
icipes et montrons d'abord c[ue Taction élémentaire (6 bis] 
s'écrit maintenant, 

' L ' ^ -^ ds ds' ' ^ • dsds' J 

t se mettre sous la forme Y— r-r--, Y et U étant fonctions de r 



n effets nous pouvons écrire, 

âU _ dr 
ds ds ' 

crivant U pour -7— ; et, 
dr 

^^ ^W '^''' I W" ^^'' 'K 
dsds' dsds' "^ ds ds' ' 



^y d^\} 

privant U'' pour -j-r- 



dsds' — ^ dsds' ^ ds ds' 



et on identifiant avec [G ter) il vient 



\\}"-^o'^ 

TT" ,a' 



DEPLACEMENT RELATIF DE DEUX CWCllTS 



logU'=: log Cp, 



L'action de deux éléments de courant est mise ainsi sous la 
l'orme 

d'il 



2dsds'U- 



fisds' 



242. Travail produit par un déplacement relatif de deux 
circuits. — Si nous donnons à r un accroissement S/-, l'action de 
l'élément AB sur aVB^ produira un certain travail. Nous choisi- 
rons les signes, suivant les conventions ordinaires en électrody- 
namique, de façon que la force soit positive quand elle est attrac- 
tive ; alors le travail élémentaire du l\ une variation oj' est : 

— 'idsds'Uor. 4^ = — ^^dsd^oU-'^~^ 



dsds' ' dsds^ ' 

et le travail dû à l'action totale d'un des circuits sur l'autre est 



-> /-% 




dm H 



Transformons cette expression en intégrant par parties. 
Nous savons que, 



d^> 

Il —7— ds =[//(' 
as 



car le contour d'intégration, qui n'est autre que le circuit C, 
étant fermé, uv a la même valeur aux deux limites d'intégration. 
Donc, 








a38 

par conséquent, 



FORMULE D'AMPERE 



8T =2 




cm ,d\} .. j , 

as as 



et comme rien ne distingue C de C on a aussi : 

' cW . dU 



ST = 2 




ds ds 



Donc, 



8T: 




r d\} . d\} d\\ , ^?U 1 , , , 



ou encore, 



ST = 




^U ^U 



^67/6'^ 



ds ds' 
5 T est par conséquent raccroîssement de la fonction 



(7) 




ds ds 



dsds' 



Le Ira^^ail èlèmenialre est donc la difJerenileUe d' une fonction T 
dépendant se.nlenieni des positions i-eUitives des 
deux circuits. Cette fonction (') est le potentiel 
électrodynamique mutuel des deux circuits. 
Cette forme élégante donnée à l'expression du 
travail élémentaire est due à M. Bertrand (^^). 

243. — iXous avons ainsi démontré l'exis- 
tence d'un potentiel pour Taction de deux cou- 
Fïg. 37. ranls fermés, en nous appuyant simplemenl 

sur le fait que l'action d'un courant fermé sur 
un élément de courant est normale a l'élément. 




(') Le travail est, en grandeur et en signe, l'accroissement du potentiel, si l'on 
convient, comme nous l'avons fail, de considérer comme positive une ibrco alti- 
l'ante. 

(2) Théorie maihématiqne de Vclectrlcitë (1890), § i3i, p. 175. 



DETERMINATION DE LA FONCTION U siSy 

On peut, réciproquement, montrer que ce fart expérimental est 
une conséquence nécessaire de Texistence d'un potentiel. 

Soit un élément AB (fig. 87), mobile suivant sa propre direc- 
tion. S'il se déplace en A''B^, le courant conserve la même position 
dans l'espace, il décrit le même circuit. Le potentiel électrodyna- 
mique, s'il existe, n'a pas varié, donc pas de travail, ce qui prouve 
que la force est normale au chemin parcouru. 

244. Détermination de la fonction U. — Pour aller plus loin 
il faut de nouveau recourir à l'expérience. Nous nous appuieron 
sur ce fait que l'action d'un solénoïde fermé sur un élément de 
courant est toujours nulle. 

Nous avons vu précédemment que, 



'-I i^>"''' 



ce qui peut s'écrire, en remarquant que 

dV y dr dM ^,1 dr 




ds ds ds^ ds^ 




dr dr 



sas-' 



ou, en tenant compte des équations (4) : 



,, dr X x[ ^^^, 



EL / u'i II. y ~ y' ^4.'+ il / u'^ — . " ~ "' d-j 1 . 

ds f ds' r ds I ds' r J 



On peut encore écrire pour abréger : 

T= r(F^x+ Gdi/-+-Edz), 



Wfm 



40 
in posant : 



FOIiMULE D'AMP EUE 



/ as r 



«y 



as' !• 



as r 



En effectUcint les intégrations le long du contour C^ on peut 
écrire : 



'u posant 



/•'('■)= 



U'^ 



liitcgrons pur parties ; le terme Uni est mil et l'on a 
F^ - / /■(,.) ^^-^^ 'h' = /•/•(,■) ./.,■', 



:ar 



d [X — .r^) (hx' 

ds' ""~"7Z7" 



Sous cette l'orme il est aisé de voir ([u'on a : 



y.i 



di^ dG dU 

4--^— -h-7-==0. 



d.v dij d.z 



lîn effet 



dF_ 

dx 



m_,,,^_ 



d. 






dx'.. 



car 



POTENTIEL ÉLECTRODYNAMiqUE D'UN SOLÉNOIDE 241 

dr dr 

dx dx' * 



Donc, 



d¥ dC dll _ 

dx dy dz J Kdx'^"^^ ^ dy 






C. Q. F. D. 



Les quantités F, G, H définies plus haut sont ce que Maxwe 
appelle les composantes du potentiel vecteur du a un courant d'in- 
tensité I parcourant le circuit C^ Pour avoir le potentiel vecteur 
dû à un courant d'intensité i parcourant le même circuit, il fau- 
drait multiplier par ?* les intégrales (8). 

245. — Proposons-nous maintenant de calculer le potentiel 
clectrodynamique d'un solénoïde par rapport au courant C^ et 
d'exprimer que ce potentiel est nul quand le solénoïde est fermé. 

Nous avons trouvé, 



T =f[¥dx + Gdy + \ld£), 



P\ G, H étant les composantes du potentiel vecteur dû a G' et 
l'intégrale étant prise le long de C. 

Nous allons transformer cette intégrale de li^j^ne en une inté- 
grale étendue à l'aire d'une surface passant par le contour C et 
limitée à ce contour. Appliquons pour cela le théorème de 
Stokes. Ge théorème nous donne 



m 



lid.z)= j[. 

dV dll\ JdQ '^^]']j 
dz dx ) \ dx dij I J 



De 



Poing ARE. Électricité et Optique. iG 



vf « 



a42 FORMULE D'AMPERE 

diù étant un élément de Taire considérée, et l^ 772, n les cosinus 
directeurs de la normale à cet élément. 

Rappelons brièvement la définition d'un solénoïde. Un solé- 
noïde ^est un ensemble d'une infinité de courants infiniment 
petits construits de la manière suivante : 

Soit un arc de courbe quelconque que l'on appelle l'axe du 
solénoïde. Partageons cet arc de courbe en une infinité d'éléments 
d^ tous égaux entre eux. 

A chacun de ces éléments correspondra un courant élémentaire 
^■^fini comme il suit : 

T, 'intensité de ce courant sera i ; 

courant parcourra un circuit infiniment petit dont le plan 
mal à r élément cfcr ; 
circuit limitera une aire plane infiniment petite égale 

t 

4° Le centre de gravité de cette aire coïncidera avec le milieu 
de da ; 

5^ Les valeurs de i et de rZco seront les mômes pour tous les 
courants élémentaires. 

L'ensemble de ces courants élémentaires constituera le solé- 
noïde. 

Nous sommes convenus plus haut de supposer provisoire- 
ment î= ï pour abréger un peu les écritures. 

Soient donc un solénoïde et un élément d'arc d'y pris sur son 
axe et dont les cosinus directeurs sont /, ni, 11. Dans le plan 
normal à l'axe mené par l'élément di, circule un courant qui 
embrasse une aire infiniment petite Joj. Le potentiel T du à l'ac- 
tion de ce courant se calcule aisément. L'intégrale (10) se réduit 
en effet à un seul élément qui peut s'écrire, 

^ jT,(d\l dG\ ^ fd? d\l\ /dG dV\l 

(/c.) r fclR dG\ , , fdF dll\ , , /dG dF 

en remarquant que 

dx == Id^y dy = md<jy dz = nd^. 



ACTION DE DEUX ÉLÉMENTS DE COURANT 24! 

Comme diù et dé sont des constantes, quand on passe d'un 
élément du solénoïde à un autre, il faut, pour avoir le potentiel 
du au solénoïde total, intégrer par rapporta dx^ dy, <^g le long 
de Taxe. On obtient ainsi, 

^^-^j r'Kdi-~d7n^y\-dF-^ 

'dG dF 



-hdz 



] 



. dx dy 

246. — L'action d'un solénoïde fermé est nulle ; donc la quan 
tité sous le signe l est une différentielle exacte, ce qui s'écrit : 

d fd¥ dl\\ d fdG d¥ 



d.z \ dz d.v / dy \ dx dy 

d'F 



ou encore en ajoutant et en. retranchant- 



d 



iV 



AF — — f— -4-— —\ — 
d.v \ dx dtj dz I 

0)', d'aprt's l'équiition (9) 

dx'^ dij + dx. ""°' 



Ahus (244) 



A F 



AF=-[V(.).Ar'. 



11 fauL t!.>nc que A/ (/•) soit une conslaiitc, pour que Tintégralc? 
précédente, prise le Joug d'un circuit fermé quelconque, soit 
nulle. En ellet cette intégrale ne peut être nulle que si A/'(/') est 
fonction de x' seulement. Mais A/ ('") est une fonction de /• seule- 
ment. I^ulle ne peut donc être fonction de x^ qu'en se réduisant \\ 
une constante. Ecrivons donc : 

A/(r) = /i. 
On tire de là : 



»44 FORMULE D'AMPERE 

La fonction /* (r) devant s'annuler à Finfini, h et k sont néces- 
sairement nuls, et il vient, 

V expérience montre que k' = i en valeur absolue ; il faut donc 
ici faire intervenir Texpérience. 

Nous avons pu, en effet, par une convention arbitraire, choisir 
l'unité de magnétisme, puis celle d'intensité de façon que le 
coefficient qui entre dans Texpression de l'action mutuelle de 
deux aimants soit égal à i , de même que celui qui entre dans 
l'expression de l'action d'un courant sur un aimant. Il n'en est 
plus de même ici ; nous ne disposons plus du choix de l'unité 
que les conventions précédentes ont jGxée définitivement; c'est 
donc l'expérience seule qui peut nous faire savoir que le coeffi- 
cient k' est bien égal à i . 

De plus, nous devons prendre le signe + ; nous avons donc 

c'est encore l'expérience qui l'indique, les conventions de signe 
étant celles qui ont été faites plus haut. Jusqu'ici nous n'avions 
considéré, en effet, que des expériences dans lesquelles on avait 
une action nulle ; une nouvelle expérience pouvait donc seule 
décider si, entre deux éléments parallèles et de même sens, 
s'exerçait une attraction ou une répulsion. 
Ainsi donc, 

/•(.■)=-^=^, 

d'où : 

Voilà par conséquent la fonction U déterminée. Cela va nous 
permettre de mettre Texpression de l'action de deux éléments 
de courant sous une forme très simple. 

Nous avons, 



dsds 



j y 



FORCE ÉLECTROMAGNÉTIQUE ET POTE/STÎÏÏ7L r^IGT^EUIS H^ 

OU en remplaçant U^ et U'^ par leurs valeurs, 

,^/ d'^V I dr dr i i^r 

dsds' if^ ds ds' r is^ds' 

La force attractive exercée entre deux éléra& nts est do nc^ 
. , , , i^y d^U ii'dsds^ / dr dr i^^' 



dsds^ r^ \ ds ds' k(€i^ 

En tenant compte de la relation, 



et des relations. 



r ■ ■ = cos 9 cos 6' — c os£ , 

dsds' 



dr ^ 

-T-=: COS tj 

ds 

^^' Cl/ 

--— =;COS b', 



cette force attractive peut encore s'écrire, 

, , 2u'dsds^ ( 3 . f, 

II) 5 COS£ COS lie OS IJ 



24T. Relation entre la, force èlectronxdig^nè-^i^vsLU tl&s poten» 
tiel vecteur. — On a vu dans la prenûbrc pai—tie (Ifll)r que 
Taction exercée par le circuit C\ sur un j)ôle m ajiL-étiqiie égal 
à I {^) est une force qui dérive d'un potentiel et (lonnt Ws com- 
posantes sont, 

_ dÙ 
d,r ' 

dÙ 
Q est le potentiel magnétique dû à un feui llet liiinité an con- 



(') On peut avoir un pôle magnétique isolé, en con3i<iàaintunn stl-^iioïcrlunagné- 
tique de longueur infinie dont an seul p61e est à dista.ncc Aie . 



û46 



FORMULE D'AMPÈRE 



tour du circuit C^ et de puissance égale à l'intensité du courant. 
Soit d(ù' un élément de Taire limitée au contour CJ, et ?, m', n\ les 
cosinus directeurs de la normale ; ce potentiel a pour valeur, 




d- 



dl^ d^ 



dx' 



^'^+-'-^ 



dd 



ico' 



Or — est fonction de x — x' , y — y\ .:■ — z' ; par suite 



d~ 
r 



d- 



d- 



d-- 
r 



d- 



dx ~ dx' ' dy " dy' ' dz dd ' 

Il -vient donc, pour la valeur du potentiel magnétique, 



= _ 




dl^ d^ dl-\ 

dx dy dz J 



Cela donne pour les composantes (a, [î, y) de la force magné- 
tique les valeurs suivantes, 




d^^ 



à^-L. d' -i- 

dx- axai/ dxdz 



cP±. d-^± d-^J._- 

dxdy dy- dydz 



d' 



I 



I 



\ • f \ dxdz 

Transformons maintenant 






dydz 



dz' 



F= / f{r)dx': 



FORCE ÉLECTROMAGNÉTIQUE ET POTENTIEL VECTEUR 247 

en une intégrale étendue à l'aire | ico^ limitée au contour 0/ , 
Il vient, 




Nous aurons de la môme manière, 




d-L- dS- 
dc^'\ l'—L — „' ' 



rf.5 



d- 



dx 



— l' 



dij 



,, , , dll dC, 

Calculons — ; ; — ; nous avons, 

dy d.z 



dll dG 

d,j ~ dz 



dtM \ m —r—, i 



+ 



dxdy dif 



j '^"A'^i:^ 



d-j 



et, en ajonlaivt ridenlilé suivante, 



^- 



d'- 



il vient, 



dxcLic ctx' 



d\\ dG I 7 7/, I 

dy dz I r 



*48 FORMULE D AMPERE 

Or, 



A- 


-=o; 


ne, 

dl\ 

■ dy 


dG 

dz = ='• 


Un calcul analogue au précédent donne de même, 


d¥ 


- ds ■■'^' 


dz 


dG 

dx ■ 


d¥ 

dy -^- 



Or on a, d'une manière générale, entre la force et Tinduction 
magnétique les relations suivantes, 

(12) b = {i + 47zB, 

[ 6'=y+47rC. 

Si le milieu n'est pas magnétique, A = B = C = o el a^ b, c 
se confondent avec a, [j, y. 

Les formules précédentes peuvent donc s'écrire dans ce cas 



(.3) 



248. — Ces formules sont démontrées pour un milieu non ma- 
gnétique; on a toujours supposé, dans les calculs, que — et 

ses dérivées restaient finies, ce qui suppose que le point où est 
placé le pôle-unité est extérieur aux masses attirantes ; il n'y 
avait ici de masses attirantes que le feuillet C 

Nous verrons plus loin (216, 271) que les formules (i3) sont 
encore vraies dans un milieu magnétique ; on n'a plus alors 





du 


dG 


a 


dy - 


dz 


b^ 


dF 


dW 


dz 


dx 




dG 


dV 


C =z 


d.v 


di, 



a 



POTENTIEL ÉLECTRODYNAMiqUE DE DEUX CIRCUITS 2 4^ 

= —j— = —7^, formule équivalente à la première des for- 

l^es (ï3) dans un milieu non magnétique. Maxwell admet sans 
lonstration que ce sont les formules (i3) qui conviennent 
ls le cas d'un milieu magnétique; ou plutôt, il définit, \\ 
pos du magnétisme, les quantités F, G, H, par les équa- 
is (i3), et les appelle les composantes du potentiel çeclc" 
l induction magnétique (^) ; deux cents pages plus ^'^^'^ 
."odait les quantités F, G, H, en électromagnétisme 
is les avons introduites précédemment, et il d*' 
étions F, G, H, ne sont autre chose que les com 
entiel vecteur, qu'on a déjà rencontré. » Enfin, uu ^ 
1, il dit : <( Nous aç>07is démontré que les composante» 
duction sont liées par les relations (i3) aux composantes du 
entiel vecteur, » Nous donnerons plus loin cette démons- 
tion que Maxwell ?ia pas donnée (275, 276). 
Vppliquons maintenant les relations (i3) que nous venons 
btenir, pour transformer l'expression (10) du potentiel élec 
dynamique. Nous avions, 



^=/['(f-f 



m 



JF dli 



dz dx 

I dCr dF \ 1 

-'i-d7-7i)r 



te expression peut s'écrire maintenant 

'Y z= l (la -{- m h + /ic) do) . 

249. JPotentiel électro dynamique d'un système voltaïque 
astitué par deux circuits. — Le potentiel mutuel de deux 
cuits peut recevoir une expression très simple. Nous avons 
»uvé 

T^j\Fd,v + Gdjj + Hd.z), 



F:=f fir)d. 



./ 



) Maxwell, Traite cV électricité et Je magnétisme^ ti'adacLion française, t. H, 
)5, p. 3ià, § 589-59?., p. 266-'>.G9, et § 61G, p. 290. 



or (n° 246), 



donc. 



FORMULE D'AMPERE 



A-O-T 



F= - 
' c/ 

L'expression j)récédente peut alors s'écrire 

Il dxdx' -\-di/dy^ -\--dzdz' / / dsds' cas t 

Si les intensités qui étaient jusqu'ici prises égales à i, étaient 
quelconques, on aurait : 




T = zr 



dsds'cos £ 



et, en posant, 

M: 



dscls^ cos c 



il vient finalement 

(i4) T = zVM. 

M est ce qu'on appelle le coefficient d'Induction nuitndle des 
circuits C et C^ 

250. — Soit maintenant 

dsds' cos s 



L = 



le coefficient d'induction mutuelle du circuit C et d'un autre qui 
coïnciderait avec C. L est ce qu'on appelle le coefficient de self- 
induction du circuit C. 



B,_i^ 



TRAVAIL DU AUX ACTIONS ÉLECTRODYNAMIQUES 25' i 

Les divers éléments du circuit C exercent évidemment Tun sur 
Fautre une certaine action; si le circuit se déforme, cette action 
produira un certain travail oT. Proposons-nous d'évaluer ce travail. 

Nous avons vu plus haut c{uel est le travail du à l'action d'an 
courant sur un autre courant. Quand on veut en déduire l'ex- 
pression du travail dû à l'action d'un cou- 
rant sur lui-même^ on rencontre une petite 
difficulté que nous tournerons par l'artifice 
suivant : 

Supposons deux courants différents C 
et C d'intensités i et i' parcourant un même 
circuit C. Nous pouvons appliquer à ces 
deux cour'ants differenU la formule (i4) et, si nous appelons oT^ 
le travail dû à leur action mutuelle nous pouvons écrire : 

oTj = oLu^ 

Il nous reste a comparer oT à ST^. 

Soient di un élément du courant C d'intensité i; d^'^ l'élément 
du courant C d'intensité i' qui coïncide avec di ; soient d^^ un 
autre élément de C, et rfo-^^ celui des éléments de QJ qui coïncide 
avec <^cr^ 

Si [JL est le travail de l'action de di sur rfc^. 




SI tr 
si À 



de d^' sur f/o-^ 
de di sur r/o- 



et si oTj est le travail élémentaire total de Taction du courant (^ 
sur le courant C^ et oT le travail de l'action de C sur lui- 
même, on a : 



Or 



n'=/x. 



À 



et 



FORMULE D'AMPÈRE 

.a travail oT^ |clevlent alnsî, 



BT^=/.^X = .4ST, 



3T=— 8(U2). 

potentiel électroclynamiqiie total du système voltaïque 
' deux circuits C et C, par rapport à lui-même, a donc 
ssion : 



i^ + M»'+i^ 



-. coefficient de self-induction de C 
j cravail dû aux actions électrodynamiques est : 

^-5L4-a^V5M+/^"5N 

2 

Il se compose en effet, 

1° Du travail de Taction de C sur lui-même, égal à, 

r . 
— oL : 

2 

2^ Du travail de l'action de C sur G , égal à, 

3^^' Du travail de raction de Q! sur lui-même, égal ii, 

— 3N. 



CHAPITRE II 

THÉORIE DE L'INDUCTION 



251. — L'opinion reçue est qu'une fois connues les lois dt 
l'électrodynamique, l'application du principe de la conservation 
de l'énergie suffit a trouver les lois de l'induction. M. Bertrand 
a cherché à réfuter cette opinion (^). Je vais discuter ses objec- 
tions en détail, mais on verra que la plus grande partie du 
champ de bataille restera à M. Bertrand. 

On a deux courants en présence. Chacun est alimenté par une 
pile ; les conducteurs s'échauffent. S'ils sont mobiles et se 
rapprochent, il se produit un travail mécanique, ce travail a dû 
être emprunté à quelque chose : il faut clone admettre qu'un 
phénomène ignoré jusqu'ici introduit dans les équations un 
terme nouveau. La loi dÇl = Ri^dt est-elle encore applicable ? 
Pourquoi, dit M. Bertrand, de môme que la vapeur qui travaille 
refroidit le vase qui la contient, l'électricité n'aurait-elle pas un 
effet analogue ? On pourrait concevoir que les conducteurs 
s'échauffent moins quand le courant travaille et ne serait ce 
pas aussi vraisemblable que de supposer que les intensités 
varient ? 

On peut répondre : non, cette hypothèse ne serait pas a priori 
aussi i>raisemblable que celle qui est confirmée par l'expérience. 
Supposons que la loi de Joiile ne s'applique plus ; les conduc- 
teurs s'échauffent moins; on a cZQ = R^"^/ — HA, II étant une 
quantité positive dépendant de la vitesse des conducteurs. On 
pourra rendre II très grand, en donnant à la vitesse une valeur 
très grande, et il pourra arriver que </Q soit négatif. On em- 
prunterait donc de la chaleur au circuit qui se refroidirait et 



(') Théorie mathématique de V électricité , ch. xi, p. 208. 



2 54 THEORIE DE ViSDUCTIOy 

Ton pourrait la transformer en travail mécanique susceptible 
d'être transformé a son tour, par frottement, en chaleur à tem- 
pérature aussi élevée qu'on voudrait ; ce serait contraire au 
principe de Clausius. 

Une autre conjecture est possible : la loi de Joule s'appli- 
querait, mais la pile consommerait davantage pour donner le 
même courant. En d'autres termes la loi de Faraday ne s'appli- 
querait pas aux courants qui produisent un travail mécanique, — 
Cette hypothèse est fort invraisemblable ; si j'ai une pile à Paris 
et que je la relie par des fils à une machine située à Creil, il 
serait étrange que, l'intensité restant toujours la même, la loi de 
Faraday cessât de s'appliquer à Paris quand le courant travaille 
à Creil. 

Malgré rinvraisemblance de ces deux hypothèses, on a peut- 
être eu tort d'en regarder la fausseté comme évidente, mais 
j'appellerai plus particulièremejit l'attention sur deux autres 
objections de M. Bertrand qui me semblent l)eaucoup plus 
graves. Il no s'agit plus en effet d'hypothèses que l'expérience 
démontre fausses et qu'on n'aurait pas du pourtant rejeter a 
priori^ mais de circonstances réelles dont on a souvent oublié 
de tenir compte en s'exposant ainsi à des erreurs. 

En premier lieu, lorsque deux: couraiils s'attirent, Ils de- 
viennent solidaires, et l'on n'a pas le droil, (pioicpi'on le lasse 
constamment, d'appliquer le principe de la conservation de 
l'énergie a l'un d'entre eux seulement : il faut considérei' le 
système des deux courants. 

Ce n'est pas tout : i'éther a une force vive varial)b: dont il 
faut tenir compte dans les calculs, comme de la force vive de 
l'air que met en mouvement un moulin à vent, ici il y a deux 
manières de présenter l'objecLion : on peut sup])oser qu'un 
courant permanent rayonne de la force vive comme une lampe 
constante rayonne de la lumière ; on peut supposer au contraire 
que la iorce vive de I'éther reste constante dès (pic Tétat de 
régime est atteint et qu'il n'y en a point d'empruntée au cou- 
rant : c'est seulement pendant la période variable que la 
force vive de I'éther varie; quand le courant croît, I'éther 
absorbe de la force vive qu'il restitue au moment où le courant 
décroît. 



COEFFICIE.\TS D IN DICTION 2 5 5 

La première hypothèse, celle du rayonnement indéfini, est 
contredite par Texpérience, puisque avec un courant permanent 
la chaleur produite dans les conducteurs est l'équivalent de 
Ténergie voltaïque de la pile. Il est vrai de dire que Yexpé- 
rience seule nous Ta appris. 

Quant à la seconde hypothèse, non seulement elle n*est pas \\ 
rejeter, mais il y a certainement à tenir compte de la fc 
communiquée à l'éther, sous peine de ne pas tenir con 
faits. En la négligeant on s'expose à l'erreur. 

On pourrait varier les objections à l'infini, et l'oj 
conduit à des conjectures plus ou moins invraisemblab.. 
faudrait rejeter l'une après l'autre. C'est en quoi M. Bertrauv 
raison de dire que V expérience seule pouvait montrer que les 
lois de Joule, de Faraday et de Ohm sont encore applicables 
aux courants qui travaillent. 




/c" 



Fin 



252. — Nous allons prendre comme point de départ ce fait 
expérimental ; et, de plus, nous admettrons que l'éther a une 
énergie éleclrocinétique constante 
quand le courant est constant, mais 
variable avec l'intensité du cou- 
rant. Mais nous devons emprunter 
plus encore à l'expérience. 

Soient deux circuits fermés C 
et C, parcourus par des courants / 
trt i' ^ l'expérience montre que 
quand i varie, il en résulte dans C 

une force électromotrice A. — 7- , A étant un coefficient cV indue- 

lit 

lion de C^ sur C, coetficient indépendant des intensités. Si (7 se 
déplace et est parcouru par un courant constant i' ^ si au bout du 
temps cll^ C prend une position infiniment voisine QI\ le dépla- 
cement du circuit de G en C'^ pendant le temps dt produit une 

c ,^ . ./ <^B <:/B , . .,, . 

(orce electromotrice i -— — , —r- étant aussi un coeincient ne 

di ' dt 

dépendant que des conditions géométriques des deux circuits. 

Ici se présente une hypothèse toute naturelle, il est vrai, 

mais qui a besoin d'être confirmée par l'expérience; soient A 



f'^MfJ^ 



i^G THEORIE DE L'INDUCTION 

le coefficient d'induction de C sur C; A -]- 6/A, celui de C" 
sur C. 

Supposons qu'à l'époque /, nous ayons en C^ un courant di' 
et en C^ un courant 0. Le courant di' se déplace en conservant 
son intensité et vient en C^' au temps t -^' dt : on a alors un 
courant en C, et un courant di^ en C\ 

On peut imaginer qu'on est passé du même état initial au 
même état final par une autre modification en faisant varier les 
intensités : Tintensité en C^ primitivement égale à di^ a décru 
jusqu'à s'annuler et pendant ce temps l'intensité en C^^ primi- 
tivement nulle est devenue dù\ Les circuits C^ et C^^sont d'ailleurs 
demeurés fixes. Il est naturel de supposer que l'efFet produit 
sur C est le même clans les deux cas. 

Dans le premier cas, la force électromotrice née en A est 

d'é —-- ; dans le second, elle est la difTérence entre — A —7-, et 

dt ' ' dt ' 

/. . ,,v di^ , , ,. dk.di' , 

(A + «A —r- , c est-a-dire ; ; donc, 

^ ^ di ■ dt ' 

dk=^dB, 

Si le courant se déplace et varie eu jiiôme temps, les deux 
forces électromotrices ont pour somme : 

dl' . , dk d{kl'] 



It dt dt 



Nous admettrons cette équation, cousé(|iieuce de l'égalilé 
^/A = dB^ comme un fait expéri/nentaL 

253. — L'application du principe de la conservation de 
l'énergie va nous permettre de déterminer les coefficients d'iu- 
duction définis comme précédemment. 

Soient A le coefficient d'induction de C par rapport à lui-même 
» B » C » C 

)) B' » a » c 

w D ):> c/ »j lui-même 



COKSEMVATION DE LÉXERGIK 25; 

La loi de Ohm, appliquée aux deux circuits, donne : 

dt di 

EcTiv-on*s épe TéHei^gie se conserve. L'éniergie voifcirïcpTe dé- 
pem^sée dasm^s le ife-mps et est 

Elle se retrouve sous trois formes : 
1° Chaleur de Joule ; 
^° Travail électrodynamique ; 

3*^ Accroissement d'énergie électrocînétique de l'éther. 
Si cette énergie de Féther est représentée par U, Téquation 
s'écrit : 

(a) Mi + Wi') di = WihU + Wi^'dt 

-+. _!. [ihiL-i-oAi'dM-+-rum)-+~dXi. 

Je ne connais rien sur la l'onction U ; j'écris seulement que 
d\} est une difïerentielle exacte. Remplaçons dans l'expression 
de d\\, E — Rf par sa valeur tirée de (i) : 

., 3) ^/U = Id (kl) + id {Bq + l'd (B'^j + î^d (Dr') 

^JL(Pdh + 2u'dM + /'VN). 

Supposons que les intensités varient seules. Le dernier terme 
disparaît et dU se réduit à : 

d\] =Aùli-+-Bidl' -+-B'î'dl-+-Di'dt -, 

du étant difïerentielle exacte, il faut qme 

d'où 

B==B'; 

PoiNCARÉ. Électricité et Optique. i; 



THÉORIE DK INDUCTION 



dH = kidi + M [li') -4- D/W, 



nt 



U==-Al + BÙ-'4-i^ 



-const. 



ite ne dépendant pas des intensités. Comme U est nul 
L n'y a pas de courant, quand i=zi'=o^ la constante 

le. 
^ '^^.la, quand les intensités sont constantes et que les 
•e déplacent, dV se réduit à : 

^U = J^{i^dA + 2ii'dB + i''dD), 

non qui doit être identique à la valeur du second membre 
^>j, quand on fait di = di^ = 0, c'est-à-dire à : 

f-^A -l-2/WB+i^'JD ^ {ihlL -h 2ii^dM + «''^N). 

En identifiant, il vient, 

— dA =^ rfA dL, 



dB = '2dB — dm 

- dD = dD ~ </N 

dK=^dL, 



ou encore, 
d'où 



car A et h s'annulent quand les conducteurs sont à une dis- 
tance infinie et de môme 

B = M 



et 



T = U. 



LOI DE OHM 259 

Le potentiel èlectroàijnamique représente donc V énergie électro- 
cinétique de VétheiK 

On peut écrire, d'après cela, la loi de Ohm : 

^. d(Li-+-lsli') d 



_ — 

dt dt' di 



E'_R'2/=4-. ^^ 



di ' di' 

Cette forme rappelle celle des équations de Lagrange. 

Maxwell a montré, — et c'est là une des parties les plus origi- 
nales de son œuvre — , que les lois des actions électrodyna- 
miques et de l'induction peuvent être mises sous la forme des 
équations de Lagrange ; les forces électromotrices d'induction 
seraient ainsi des forces d'inertie (^). 



(') Voir la première partie, n» i5i, p. i35 et suivre. 



wm 



t: 



CHAPITRE m 
THÉORIE DE WEBER (^ 



254. Explication des attractions èlectrodynamiques. — 
Weber a voulu rendre compte des attractions électrodynamiquesj 
en considérant les courants comme produits par des masses 
électriques se déplaçant dans les conducteurs, et supposant 
qu'entre deux masses électriques s'exerce une action qui dépend 
de leur mouvement et qui se réduit à Faction déterminée par la 
loi de Coulomb quand elles sont au repos. 

Soient deux masses e et e\ au repos : la l'orce répulsive qui 

s'exerce entre elles est égale ix~\ 5-, en unilés êlcclroslatlques, 

Weber admet que si elles sont en mouvcnuMit, la répulsion 
devient : 

À et B étant fonctions de ;• seul. 

Il s'agit de déterminer A et B de manière \\ retrouver la 
Ibrmule d Ampère, en vertu de laquelle la rcpiiislon entre deux 
cléments de courant est, en iinllès cleclrom(ii^néli(nics : 

, . il'dsds' ( d'r dr dr 

_ Les quantités d'électricité e et e' sont supposées parcourir les 



(') Eîectrodynaînisclie Maassbesiininiun^en, p. .'îo,"). 



I 



ArTRACriONS ÉLECTRODYNAdMIQUES a^iï 

deux circuits avec des vitesses constantes 9 et 9' , La distance r 
est fonction de s et de s' et on a : 

ds j ds' 

^'~'dt' ^ ^IT' 

dr dr dr , 

d^r i^r , d-r d^r .^ 



2 



(^/' \ ^ , ^'' dr (dry ,^ 



La répulsion électrodynamique [le second terme de l'expres- 
sion fi)l devient ainsi : 

t 

Xee'9^ -f- 2[j.e(?^rr^ + v^r/p^-, 
en posant, pour abréger : 

dn- ^, dr dr 



jj,3=:A -;-^4-B 



./ "*' 



dnds' ds ds 

, d^'r -. / dr \ - 

Supposons que ds conlienne e trélcctrieilé positive, e^ d'élec- 
U'icilé négative (^c\ est un noml)re osseirtiellement négalil"; quand 
le coi'ps est à TéLat neutre e -\- c^ ^^=0). La vitesse^ de e est r, de e^ 
est Tj. Dans ds' on a de mémo une ([uantité c' d'électricité posi- 
tive et une (prantltér^j d'éleetrieilé n('^gative animées rc^spectlve- 
meiit de vitesses 9' et 9\. 

La répulsion totale de ds sur ds' s'obtient en composant les 
répulsions des (puuiitités e et l\ d'électricité contenues dans ds 
sur les quantités e', et e\^ conteuMcs dans ds' . 

11 vient donc : 

R = A \ ce'9--\-'2^j. \ ee'99' + V \ ee^> " , 



2 62 THÉORIE DE WEBER 

en posant : 

De même 

yee'ç^' = \eç + ^,(>J [é^' + ^^^i) , 



VeeV^-: 



Le débit électrique du premier circuit est : 



e ei> 



pour l'électricité positive ; 

Il est égal h-j~^ pour l'électricité négative. Le débit total est 

donc j — i— ' ; 

as 

D'autre part l'intensité / est par définition le débit total 

exprimé en unités électromagnétiques. Le débit total exprimé 

en unités électrostatiques est donc ci\ c étant le rapport des 

unités, de sorte qu'on a : 

L — L^ = Cl. 

as 
Donc : 

\ ^a'ç^,' ,:^ c'-ii'dsds' . 

J^a répulsion électrodynaniique est nulle entre un conducteur 
chargé d'électricité, mais où ne passe pas de courant, et un 
autre parcouru par un courant sans (Hre charge. 

R doit être nul si le conducteur C n'est pas chargé mais est 
parcouru par un courant, c'est-à-dire si e-\-e^==-o, et si le con- 
ducteur C est chargé mais n'est parcouru par aucun courant, 



ATTRACTIONS ÉLECTRODYXAMIQUES 2 63 

Mais si ^^^=2/^ = les deux derniers termes de R s'annulent; 
le premier terme doit donc s'annuler également ; donc on a : 

X(e^+e;)(erï+c^,ri) = o. 

À n'est pas nul en général ; e -j- e\^o si le conducteur C est 
chargé ainsi c£ue nous l'avons supposé. 
Donc on a : 

er^ H- ^1^1 = 0, 

et de même : 

eV- ~]-e[i>'^'=z G. 

Voilà des conditions bien étranges et bien artificielles. En 
outre elles obligent d'admettre l'existence réelle des deux 
fluides. Il y a plus : Rowland a réalisé des actions électrodyna- 
miques avec un disque chargé d'électricité et animé d'un mou- 
vement rapide (voir plus loin, p. iiSa) ; alors 

{}= r^, d'où ev'-{-e^i>l ==(eH-eJ (-»-, 

et ni (Mii e+e^ n'est nul. Il esl. vrai qu'en faisant le calcul on 
reconnaît que ce facteur est absolument négligeable dans les 
expériences de Rowland. 

255. — On peut présenter la théorie de Wober sous un jour plus 
favorable. Rien n'est plus loin de ma pensée que de la défendre ; 
mais je veux montrer seulement en quoi on pourrait la rendre 
moins étrange. On peut supposer cet e^ séparément très grands, 
très supérieurs en valeur al)solue à leur sonnne algébrique e-\-e^ ; 
e et c\ seraient de l'ordre de grandeur d'une quantité très 
grande N, e-\-e^ de l'ordre de grandeur de Tunité et, au con- 
traire, r et ç^ de l'ordre de ~ . Ceci pouri'a paraître assez natu- 

rel d'après la vitesse que certains physiciens attribuent à l'élec- 
tricité dans les élcctr()lyt(^s, vitesse qui, Ji les en croire ne dé- 
passerait pas quelques millimètres par seconde; je ne veux dis- 
cuter ici en aucune façon leurs conclusions. Il n'est pas nécessaire 
d'ailleurs que c et p^ soient si petits pour pouvoir être regardés 
comme très petits. 11 sullit en effet que p soit petit par rapport 
à 6', qui est égal à la vitesse de la lumière. 



264 THÉORÎE BE WEBER 

ep~\-e^ç^ sera de l'ordre de grandeur de i; e<^- -\^ e^^'^^, de 

Tordre de— . Le produit (ev-~\-e^ç>^^ (^^+^'i) sera dès lors très 

petit, de Tordre de ^ ; et deux des termes de R, les termes 

en \ et en v sont complètement négligeables en présence du 
terme en \k. On n'a plus alors les mêmes difllcultés, et Ton rend 
compte des expériences de Rowland. 

256. — On trouve en somme, en ne tenant compte que du 
terme en fji et remplaçant 



y eeVf'^ 



par sa valeui', 



R = ^.c'iidsds' ( A --j—r-j + B —, — 

as as' ds ds 



' 1 ' 



en identifiant avec (sj, il vient, 

A = -^ , B : 



donc Texpression de la répulslou électrodynamiqne entre deux 
masses en mouvement est : 



ec r I d~r \ / dr \ ' | 



257. — Une question se pose : Tliypotlièse de Weber est-elle 
conforme au principe de la conservation de Téiiergie ? 
Le travail de la répulsion élrclrodynaninpie est : 



ee' r dr d-r dr f <^f'Y l 
7^1 /• lIF~lj^\dr) J* 



et doit être égal à — dl s'il existe un potentiel et qu\)n appelle 
4 ce potentiel. Mais on a : 

dr d-r i dr dr 

r ' 1iF~~~~dT' ' 1û' 



POTENTŒL ÉLECrRODYNAMiqiJE ^65 



d'où : 



ee 

c 



?' V i dr j dr dr i / dr \ - j 

li?\dr) 



ed J I / dr 



Le potentiel, total (obtenu en tenant compte à la fois de la 
répulsion électrostatique et de la répulsion électrodynamique) 
de deux masses e et e^ est donc, 

J' U 2c" \dl ) A 

Chei'îchons, d'après cela, le potentiel mutuel de deux élé- 
ments de courant (en nous bornant ici au potentiel électrod 
namique) ; c'est : 

__i_V„. (|:) 



Le premier et le dernier terme disparaissant, il i 

terme du milieu crui est ^crU'dsds' ~r • —rr ? ^^ potentiel éiecti 

^ as ((s 

dynamique est donc, 

— Li dscis —J- • —rr ■ 
as as 

258. — Nous avons ià une dlderencc avec la lli('*oric' d'Am- 
père, d'après laquelle l'action réciprocpie d<' deux circulls fei"- 
més admet Ijien un potentiel, mais non l'action réciproque tie 
deux (Uémenis, ni même l'acliou récipro([U(^ d'un coui'aul fermé 
et d'une portion de courant. Je dis ([ue dans la tliéorie d'Ain- 
pèr(i un élément de courant n'a pas de [)()tontie! par rapport à 
un courant fermé ; eu ellet, soit un élément AB cpii se déplace 
sous l'action d'un courant fermé et vient en A'IV; je puis choi- 
sir AA', tel qu<^ le travail edectué dans ce déplacement ne soit 
pas nul. Je pourrai toujours ramener l'élément en AB sans tra- 
vail, si la loi d'Ampère est vraie; en edet, je fais tourner A13' 
autour de A^^, jusqu'à ce que sa direction coïncide avec AA^ Le 
travail edectué dans cette relation est un infiniment petit d'ordre 
supérieur. Je fais ensuite mouvoir l'élément d^ms sa propre 



266 



THÉORIE DE WEBER 



iii^ 




direction : il vient en AB^^ : aucun travail, puisque Taction d'un 
courant fermé est normale à Télément ; une rotation autour de 

A le ramène ensuite en AB, et en 
n'effectuant encore qu'un travail infini- 
ment petit d'ordre supérieur. Il n'existe 
donc pas de potentiel, puisqu'on a pu 
ramener l'élément à sa position initiale 
sans que le travail total effectué soit nul ; 
ce travail total se réduit à celui qui a 
été effectué pour amener AB en A'B^ 
La contradiction avec la théorie de 
Weber n'est qu'apparente. On a sup- 
posé, dans cette théorie, les molécules 
électriques animées d'un mouvement 
uniforme ; cela n'est possible que pour 
un courant fermé, non pour un courant 
ouvert. A l'extrémité d'un courant 
ouvert en effet les molécules électriques s'arrêtent; leur accélé- 
ration n'est donc pas nulle. Les éléments voisins des extrémités 
n'obéiraient pas à hi loi d'Ampère, parce qu'il y aurait à tenir 
compte de l'accélération des molécules électriques qui y circu- 
lent, accélération qui n'est plus nulle. Il y aurait donc diver- 
gence entre les deux théories si on avait \\ 
l'aire, par exemple, à un courant fermé et à 
une portion de courant entièrement libre. 

Mais ce n'est pas le cas où Ton se place d'or- 
dinaire quand on examine expérimcMitalement 
l'action d'un courant Cermc sur un élémenl de 
courant. 

En effet, quand on étudie racLion d'un con- 
ducteur fermé sur un élément mobile AMB, cet 
élément mobile AMB fait partie lui-même d'un 
courant fermé et ses extrémités A et B soni 
mobiles le long de. conducteurs fixes. Il n'y a pas alors d'accéh'- 
ration pour la molécule qui arrive en A ou en A' ; et, dans ce 
cas, la théorie de Weber nous conduit à la loi d'Ampère. On 
trouve alors, en effet, que les forces qu'indiquent les deux lois 
admettent toutes deux un potentiel, et le même potentiel; seu- 




Fig-. 41. 



INDUCTION DANS LÀ THÉORIE DE WEBER 

lement dans la théorie d'Ampère, il n'y a un potentiel qu'en v 
des liaisons particulières imposées au système. Si, au contra 
on considérait des courants instantanés^ ouverts, la loi d'Ani] 
et l'hypothèse de Weber conduiraient à des résultats diffé: 
mais dans ce cas Texpérience ne semble guère possible. 

259. L'induction dans la théorie de Weher, — La ] 
Weber satisfait au principe de la conservation de l'eu 
Donc, d'après Maxwell, les lois de l'induction doivent s' 
duire. Dans l'espèce, ce raisonnement ne vaut rien : ^ 
trouverait les lois ordinaires de l'induction en partant de 1 
thèse de Weber, qu'en supposant qu'on n'a que des co 
fermés, et nullement si on suppose qu'on a des circuits o\ 
Maxwell a commis dans son calcul (^) des erreurs graves, lu». 
en a commis deux qui se compensent. 

Cherchons l'induction de C sur G^ Les deux circuits sont r 
biles, la distance r de deux éléments ds et ds^ est ici fonction 
seulement de s et de s\ mais encore du temps l ; on a donc 

ds .. . , 

— — = Pj ç lonction de s et L 
dt 

ds' 

—~— == /, {>' fonction de a' et l' . 
dt 

L'action électrodynamique est : 
. ee' r iVr i ( ^rV~\ 

; je représente par des ^ Jes dérivées totales, et par des d les 
dérivées partielles). 

— et — - ont pour valeur, 



dr 


dr dr . dr 
d.'^r ^ d^r . d'r ,, . d'r d'r 


(V- 


c/â •' ' '■ dsds' '■'' ' ds'-' ' 1 _- dsdt ' ' ^ ds'dt 

d^r dr dp dr di>' dr dv dr dv' 

"^ df ' ds dt. ' ds' di ' ds ds ' ' ds' ds' 



(') Maxwell, Klectr. et Magii., irad. ("rano., L \{, % S5()-8(3o, p. 5:Kr;")58, voir 
Comptes rendus, t. GX, p. 8'Ji5 ['xi avril 1890J. 



'iW THÉORIE DE WEBER 

Maxwell oublie les deux termes que nous avons mis entre 
parenthèses. 

Dans ds nous avons e crélectricité positive, animée de la vi- 
tesse p; et e^ de négative, animée de la vitesse {\ ; dans ^6"', on a 
des quantités d'électricité e^ et e\^ animées de vitesses r^ et p^ . 



Si R^estla répulsion de e sur e\ 
R, de e^ sur e^, 

R. de e sur e\, 

H 4 de e^ sur e\y 

\m répèilsîon totale, précédemment trc)«uvée, est 



La force électromotrice d'induction est évidemment propor- 
tiomnelle à la force qui tend à séparer Félectricité positive de 
réleetricité négative dans l'élément cLs' ; ce seralî^ + R^ — R.. 



d/' 



— R,; et il faudra multiplier par cosB'=— , pour avoir la 

composante delà force dans la direction du fil. La force électro- 
motrice clierchée est donc égale à 

(4; E -= /: cos 8^ (R^ + R, — R, — R,; , 

k étant un coeflicient constant qui dépend de l'unité à laquelle 
sont rapportées les forces électromoti'ices. 

Pour déterminer ce coelîicieut /• exauunons un cas |)arliculier, 
par exemple celui où les masses électri(|ues sout au repos et où 
les forces électromotrices se réduisent par conséquenl aux i'orcos 
électrostatiques. 

Dans ce cas, si Fou pose pour abréo-cr 



n 



11 r=3cos 0'(R, + 11, — R^^—R,; 



il vient : 

11 



Ir i , , ,, ^/'^ 



u/ 



:,;__-_l. -.,;-- 



en représentant par cp le potentiel électrostati([ue 



i e- 

c 



INDUCTION DANS LA THÉORIE DE WEBER 

La force électromotrice électrostatique est d'ailleurs 
E = r-7 ds^=- 



ds' e'~—e\ 

et, comme par définition E -=yi H, il vient : 

ds' 



.(5) k 



{e'-d,) ' 



Nous pourrons donc en général déduire la force électr >- 
trice E de la connaissance de 

II =:cos9^(R, + R,— R3— R,). 

260. — En se reposant aux expressions de ( ~j et -^--^ 

reconnaîtra que H contient des termes en ^-, i>'^, m>' ^ p, {>' , qui 

. d{> dç' dv ,d^>' 

tous connus ; et des termes en -r-, —7- , (^ -7- et (-» -7-7. 
* dt dt ' ds ds' 

Si on laisse de côté un coefficient dépendant sevilement d 

position et du mouvement relatifs des deux éléments ds t 

mais qui est indépendant de e, e^, v et i\ et de e' ^ e\^ i^' et p\ 

les termes en ç^ seront {e^' -\- e^ç^^) [e' — g\), 
en çi>' [eç'-^e^i^) [e'ç' — <^V'^j)j 

en r'- (^-+-^1) (eV- — e>7), 

en i> . (t^p_|_c>j:J ^e' — e',), 

en ç' {e-+-e^) {e'^>' — ^V'^)> 

connus : (e+e^) [e' — e\) ; 

• 1 . 11 ^<' (^^^' 

on aurait de même ce (rue donnent les termes en—;-, r -r , etc. 
^ dt ds 

Dans les courants vol laïques ordinaires, on a : 

Tous les termes disparaissent, sauf le terme en v et le terme 

dç I . <r/r, . . 1 . . 1 

en -7- ( le terme en v -y- disparaissant pour la même raison que le 

terme, en p"]. Les seuls termes qui importent dans Texpression 



ik^B- TIJEOIUE DE WEBER 

de ^--r sont donc le terme ^--7- et le terme a -7— r- ç. eiui est un de 
ceux que Maxwell a oubliés. 
Dans (-— ) qui a pour valeur, 



^', 



L'action électrodynamique (3) s'écrit donc, après l'avoir multi- 
pliée par 

dr 

COS (J = —77- 

da 

pour avoir la composante de la force dans la direction du fil, 

[e'--e\) V dr ( dç . dsr,\ , l d:-r ) 

c'r' L ds \ dt ' dt ) ^ { dsdt ^ ^ ' ^^) 

dr dr , xH <^'* 

Or, 



/dry / dr\\ , /dry „ , /dry , dr 
[dJ=[ds)''-^[ds')''Hdt)+'ds 


dr 
dt 


c 


dr dr , 
+ ^ ds ds' "'-^^ 


dr 
ds' 


dr 
dt 


. dr dr 
on aura a conserver 2 — - -^ f . 
ds dt 







11= 



: cl du 

dç di>, dt ^ 

c — 1_ e. —-^ = c —7- ds. 

dt ^ dt dt 

Donc, 

e, — e') , r dr di v drr . v dr dr ~\ di 



,.-2,.2 



^ r dr di i cr/' . ^ r/fr dr . j ar 
L ds dt 1/^^ dsdt^ ) ds dt A ds' 

D'où la valeur de la force électromotrice, 

L==/ili = 6'---; . C — :j-r-^ — ds\ r —z [-] iir , . [ 

[e'—e\) c'r^ [ ds dt ( dsdt ^ 

dr dr .Hj dr dsds' V dr di ^ . d'r ^ 

ds dt J ds' 7' L' ds lïT ^ ^^' dsdl ) 



. dr d/ 
-i 



dr dr 1 dr 
ds dt J ds' 



FORCE ELECTROMOTRICE 



/•^ L ds dt ds' ' ds dt 17 y-'^'"^' lîslûTt\T)- 

Donc, 

t/6' ^s^ dt\r )~ l r ds' dsdt \' 



Maxwell néglige le second terme et écrit le premier 

d / dr dr i 
lh\ds ~d7"7 



E = dsds^S(~ — ^\. 



ce qui n'est pas exact. Car, 

t 

dt I ds ds 



j j j d r dr dr i ~\ 

\_ ds ds' r J 



y , / df dr d i i 

ds ds' dt \ r 

idsds'r dr d'r dr d'-r 



/• [ ds ds'dt '^17 'JTlt} ' 



il oublie donc le second terme. 

En dernière analyse, la somme algébrique des termes négli- 
gés 

2idsds' dr d'r 



et 



s écrit 



/• <:/,s' dsdt 
idsds' \ dr d'r dr d'-r 



dr d.'r \ 
ds' dsdt J 



/• L ds ds'dt 
idsds' r dr d'-r dr d'-r 



hds' r dr d-i 
r L ds ds'a 



it ds' dsdt \ 

Ainsi donc, d'après Maxwell, la force électromotrice totale (i) 
pour valeur, en intégrant par rapport à 5 et s', 



-xyi TUÉmUE DE WEBER 

<'e qui n'est vrai que si Fintégrale des termes uégligés, 
iduâs' r dr d'-r dr d^r 



/ i idnJ.s' r dr à 

J J ^^^ ^ 



sd/ ds ds'dt 



est nulle. 

Or, cefte intégrale n'est nulle que si les Jeux circuits auxquels 
on étend Fintégration sont fermés. 

.Afontrons cela. Considérons à cet elïet rintém'ide. 



d>i' cPr dr 
"7" dsdl ds' 



<[ui, iutégiée par parties, donne, 



r ds' d'r dr r, (/-/• "I f\ d'r , . 

J ~iûdri7==r^''-i^\-j ^'''-'-■i;;d^'"- 

Le circuit considéré étant lérmé, le premier terme du second 
membre de cette expression est nul, sa valeur étant la même 
aux deux limites. 11 reste donc, 



ds' d'r dr / , d^r 

:=-- I loo- /'. -7 — r-r-T- d>< ■ 



r dsdt ds' 



dsds'dl 



Intégrons par rapport à s; il vIenL 



dads' dn' dr 



dsdl ds' 




d' 



dsds'df 



dsds' . 



Cela veut dire que le premier membre est (''gai à une expres- 
sion qui ne change pas quand on y permute ,s et ,s^ Par suite, 




dsds' d'^r dr 
r dsdt 17 




dsds' d-r dr 
~T~~'d7dî~d7 ' 



et c'est précisément ce que nous voulions montrer. 

Mais, je le répète, ceci n est vrai que pour deux courants fermes. 



CHAPITRE IV 



THÉORIE DE HELMHOLTZ 



261. — L'expérience nous fait connaître l'action mutuelle de 
deux courants fermés ; pour en déduire l'action de deux élé- 
ments de courants, Ampère a été obligé de faire une hypothèse : 
il suppose que cette action se réduit a une force dirigée suivant 
la droite qui joint ces deux éléments. Cette hypothèse n'est pas 
\ix seule qu'on puisse faire. Nous avons vu plus haut comment 
Weber, guidé par une théorie qui concorde avec celle d'Ampère 
dans le cas des courants fermés, a été conduit à admettre ([in) 
deux éléments ont un potentiel mutuel qui a pour expression : 

... dsds^ dr dr 

— Il' j-j> 

r ds ds 

D'un autre côté F. Neumann admet pour le potentiel mutuel 
de deux éléments l'expression : 

a dsds 



llelmholtz cherche une lorinule générale comprenanl celles de 
Weber et de Neumanu el il lait à cel: elfel les hypothèses suivantes : 

i" Il existe un potentiel mutuel de deux éléments de courants; 

pJ* Ce potentiel est inversemeiil;, proportionnel à /'. 

Comme, en vertu du prlnci[)e des courants sinueux, ce poten- 
tiel doit être linéaire en cos £ et cos cos G' (CC. n'' 240, p. 2.34 ) 
llelmholtz est conduit à lui donner pour expression : 

cos £ ^ cos 9 cos 0^ 



u'dsds'ik-—- h-B- 



où A et B sont des coefficients constants. 

PoiNGARÉ. Electricité et Optique. i8 



4 riIÉORIE DE HELMHOLTZ 

Cette expression peut s'écrire, en se rappelant que (n°240), 



cos 9 cos 6^ = cos £ + 7* 



dsds' ' 



Si Ton a deux courants fermés^ leur potentiel électrodyna- 
niique mutuel sera Tintégrale double 

.W4(A + B)^+B^]. 

econd terme est nul, l'intégrale étant prise le long d'un 
^^rcuic fermé ; donc, 





Le potentiel électrodynamique se réduit alors à, 




(A + B) I I liJsds 



cos £ 



I/expérience montre que Ton doit prendre (n^' 246 et 249) 

A+B = i. 

Mais tant que rexpérience porte sur des courants i'cj'niés, elle 

est impuissante à déterminer le coefficient B du terme- — —. ; c'est 

dsds 

pourquoi, dans diverses hypothèses, on a pu attriljuer a B dc^s 
valeurs différentes. 

En posant avec Ilelmhollz 

B=-i=:A, 



l'expression du potentiel élémentaire devient, 

' cos £ I — k d'r 



ii'dsds',- , - -^^^^, 

C/vO lA/O 



POTENTIEL ÉLECTRODYNAMiqUE 27* 

La formule de Weber est un cas particaller de celle de Helm- 
holtz ; on la rétro aye en donnant à k la valeur — i ; alors le 
potentiel a la forme : 

../, 7 //cos£ d'r \ ii'dsds' dr dr 

\ r dsds' J r ds ds' 

En faisant À- = i, on a Texpression du potentiel G[u'avait pro- 
posée Franz Neumann. En faisant k = o, dit Helmholtz, on 
retrouverait l'électrodynamique de Maxwell. Cette assertion de 
Melmholtz a été parfois- mal comprise ; nous y reviendrons plus 
loin (n^ 285). 

262. — La formule d'Ampère peut- elle être considérée comme 
nn cas particulier de celle de Helmholtz ? En aucune i'açon. Nous 
avons vu, en edct, que dans la théorie d'Ampère l'action mutuelle 
de deux éléments u'a pas de potentiel. La i'ormule d'Ampère est 
la seule qui explique les faits par une action entre deux éléments, 
l'éduite a une force dirigée suivant la droite qui les joint. Dès 
(ju'on admet que cette action dérive d'un potentiel, comme le 
potentiel dépend de l'orientation des éléments, ses dérivées par 
ra|)poi't aux angles qui définissent cette orientation ne sont pas 
l(]enti(|uemcnt nulles, et il en est de mémo du travail virtuel 
([u'enti'auie une vai/lalion infinitésimale cle ces angles ; c'est dire 
(juc, outre Ui foi'ce dirigée suivant la droile de jonction, existent 
(h's couph'.s (pii tendent à faii'e tourner les éléments et dont les 
moments sont de Tordi'i^ 'le grandeur de la l'orce. M. Bertrand a 
l'ail il c(^ sujet des <)l)jections à la ihéorie d<^ Jlelmholtz (^(■o/np/es 
rcndiiH, LXXIII, j). ()()5; IjXXV,p. 8()o ; LXXVli, p. io4(.)); selon 
lui, tous Cv'.; couples, agissant sur tous les ('léments d'un lil 
conducteur [parcouru par un courant et soumis à Faction d'un 
aulre courant ou de la terre, devraient immédiatement briser 
le lil et le réduire en poussière, llehulioltz répondait qu'une 
aiguille aimantée ne se brisait pas sous raction de la terre, 
(|uoi({ue sur clnujue élément de longueur agit un couple dont 
le moment est de l'ordre de grandeur de l'élément. M. Bertrand 
a réplujué que personne ne croyait plus aujourd'hui à Texis- 
lence réelle des fluides magnétiques de Coulomb et que la 
ré[)onse de Helmholtz n'avait pas de sens ; il semble que Ilelm- 



'■iZ^Jt 



276 



THÉORIE DE IIELMHOLTZ 



X 



Bx 



G, 



J- 



B. 



Fip:. 00. 



lioltz aurait pu dire qu'on ne croyait pas davantage à Texis- 
tence objective d'un courant matériel circulant dans un con- 
ducteur. 

Je ne veux pas m'immiscer dans cette polémique ; je veux 
toutefois montrer en quoi consiste le malentendu qui sépare ces 
deux savants éminents. 

Pour M. Bertrand, le courant se compose d'éléments extrê- 
mement petits, dont le nombre est extrêmement grand quoique 

fini ; à chacun d'eux est 

appliqué un couple dont 

les deux composantes ont 

iC une existence réelle et 

un point d'application 

parfaitement déterminé. 

Sur la figure, les éléments 

sont représentés par les 

quatre rectangles en trait 

plein et les couples qui leur sont appliqués sont A^F^, B^G^ ; 

A,F„ B,G, ; A3F,, B3G3 ; A,F„ B,G,. 

Dans ces conditions, il est clair que la rupture se produira 
suivant la ligne pointillée XY. 

Pour M. von Helmholtz au contraire le couple n'est qu'une 
sorte de tendance à tourner qui a une existence pioprc indépen- 
dante de ses deux composantes, qui peuvent ne pas avoir de 
point d'application déterminé. Le couple existe toutes les fois 
que la rotation produit un travail. 

En d'autres termes Helmholtz suppose que, si loin que Ton 
pousse la division de la matière, chaque partie restera toujours 
soumise à un couple. M. Bertrand croit au conti'airc qu'il 
arrivera un moment où les parties ultimes de la matière seront 
soumises à une force unique et qu'en adoptant une autre jua- 
nière de voir, on est dupe d'une fiction mathématique (|ui cache 
la réalité des faits. Il ne serait peut-être pas impossible, même 
en acceptant le point de vue de M. Bertrand, d'imaginer une 
distribution des forces qui n'entraînerait pas la rupture des 
conducteurs. Mais elle serait probablement compliquée et peu 
naturelle. 

Je me bornerai à rappeler que, dans la théorie de Weber, 



ÉQUATIONS FONDAMENTALES 

qui n'est qu'un cas particulier de celle de Helmholtz, on 
tout expliquer en supposant que l'action mutuelle de c 
cléments se réduit à une force unique dirigée suivant la d] 
qui les joint. J'ai dit au n^ 258 comment cela peut se conc 
avec le fait de l'existence d'un potentiel qui est en appar< 
contradictoire. 

263. Équations fondamentales^ — Nous avor 
tiel électrodynamique mutuel de deux circuits 
(n° 249). 

(i) T = iC(Fdx + Gdij + llch) 

dans le cas d'un circuit feimé. 

Ici, on a, pour deux circuits quelconques : 




iiUlsds'y — - 



s£ I — k d^r 

'" '2 dsds^ 



Or on a d'autre part, 

cos £ dsds' = da:du:^ + dijdi/ + dzdz\ 

d'^r , d'r , , d^V' , dv' 

——- ds -= -j~r-. d.v + -7—7-7 djj -h -j-JT ^ - • 
dsds' d:rds' dt/ds' d.zds' 

Kn substituant dans T cotte valeur de 7-7-7, que nous venons 

dsds' 

(le trouver, nous pouvons donner à T la rornie (i) déjà trouvée 

dans le cas d'un courant fermé, en posant, 



(:5) 




rilÉORIE DE HELMBOLTZ 

clinTOKs que F, G, H sont les composantes clii poieritiel 




égrale • étant étendue au contour C^ et étant nulle clans le 
i'un courant fermé ; en cliflFéreatiant par rapport à x, il vient, 



dx f dxds' 

j, H deviennent donc, 

i'dx' I — k di^ 




*ïr 



^ 



1 peut écrire aussi, 

i effet si on regarde x, y, .z comme des constantes ou a, 

, dr ^ , dr , , dr , , dr , , 

dr = -— ds'=: -— - d:jc' + -— - di/ + — -- dz' . 

ds' dx' ^ dy' -^ dz' ^f 

! 
4. — Donnons a ces équations une forme applicable aux j 

ucteurs à trois dimensions. i 

p est la densité de l'électricité libre, ^d-z est la quantité j 

ctricité contenue dans le volume dr: \ lultst est la quantité 



CONDUCTEURS A TROIS DIMEySIOXS 



^79 



d'électricité qui traverse dans runité de temps l'aire chy normale 
à 0.2:; de même, çdtù c'est la quantité d'électricité qui traverse 
l'aire rfo) normale à Oij; wchy^ celle qui traverse ch) normale à Oz^ 
On a : 

dw do 



du dç 

dx ■ dy 



d.z 



dt 



C'est l'équation dite de continuité (Cf. i^*^ partie, n° 29). 

Le fil conducteur peut être assimilé à un cylindre de f 
^0). L'élément de longueur étant ds^ l'élément de volume 
valeur dr: = dt^ds. 

La section par un plan perpendiculaire a dœ est -j-^ . 

Donc, 

dz 



d'où, 



et pour l'élément ds^ 



Donc, 



avec, 



(7) 




THEORIE DE HELMHOLTZ 



il 



.sforn.ons maintenant l'expression (6) ; nous avons, i 







SI nous cherchons le potentiel électrodynamique mutuel total 
ous avons à prendre Télément différentiel : 

(Fz^ + Gr + Hp^')iT 

F, G, H sont des Intégrales étendues à tous les éléments 

^^ns les conducteurs, dx excepté. En opérant de la sorte 

e deux fois dans Tintégrale double le potentiel mutuel 

)le d'éléments d^ tl di' . Donc il faut diviser par i l'inté- 

si calculée pour avoir T : 




(8) T=_L I (F^/. + G^^ + Hk')^/-:. 



On peut dire que l'intégrale est étendue à tout l'espace, car 
en dehors des conducteurs, u^ ç, h' sont nuls. 

On pourra, dès lors, appliquer le théorème de Green, relatif à 
l'Intégration par parties dans tout l'espace (^) ; cela nous donnera 




(^) Nous intégrons par partie par rapport à x entre les limites co et — ce cl, 
comme u' est supposé nul à rinfini, le terme tout connu disparaît. 



POTENTIEL ÉLECTROSTATIQUE 

A prend alors la forme 



(9) 




Ch'' 



dy' 




265. — Considérons deux quantités d'électricité e',e^ ; ell 

I 66^ 

repoussent avoc une force d'intensité - •— r , a étant une ( 

tante. Si l'on adopte les idées universellement reçues, ). est 
le système d'unités électrostatiques et est le carré de la 
de la lumière dans le système électromagnétique. Je consc 
parce que nous serons conduits à modifier un peu les idées re 
Le potentiel électrostatique cp est donné dès lors par, 




d'où, par diUercntialion, 



'^ ,u 




Or 



cl comim^ 



.4,., 



(Ir ,v — ,v' 



[.v—.v)- 



<L 



(Lv r 



il en résulte^ ([ue 

Donc, 

(ç) lus) 



\r 




riTEOmE DE IIELMFIOLTZ 



pliquons maintenant aux deux membres des équations (n) 
rateur A ; il vient pour les premiers"membres de ces équa- 
ons, d'après le théorème de Poisson, 




/\T4V. 



En ce qui concerne les seconds membres, nous avons, 



dx ci 



- A^p ; etc., 



et, en tenant compte de (9 his] 



A— L~=2A 



I dx 



dx ' dxdt ' 

dif dydt 

riz dzdl 



De 



AF==— 47c/.Hh(i— Z-))^ '^''^ 



(10) AG = -4i.r-+-(i -~~k)\. 

AI1 = — 47:^r + {i—k) A. 



dxdt ' 

d'Z) 

djjdt ' 



dzdl 

Calculons maintenant 

^F dG ^"^ _j 

c/.r ('Z// <:/.:: 



POTENTIEL ÉLECTROSTATiqVE 2%l 

Nous avons en clifFèrentiant la première équation 7 pai 
rapport a ;r, 

d¥ \ ,, /~ , I— A- iV-'l 

■ = f udr ' 



Oi 



Donc, 



ds I dx 2 dx- 



r r 



dx dx' 



d-L r ^ d^ 

dx J dx 

M, en appliquant le théorème de Green, 

/ -7 \ d-z- du' 

l<:ii edecluant des transformations analogues sur 

dG I ,r/^~ , I— -^^ Éï. 



Cl 



on li'ouvfv 



dW l __._,j^, '^ ' 



i_A- dM 



,„V;,. + -^, 



dF ___ [ d-z' _^ , _LZlii-L 
dC. ___ r dx' jh^ i—J' iX 

,/][ __ r d-j _^ , _Li=li!i. 

-U" - I -T" dz' "^ 2 ^c^ 



THEORIE DE HELMHOLTZ 



L'expression que nous nous sommes proposé de calculer s'écrit 
donc, 

^F clG cm / d^' fdu' . di>' . d^>'\ . I— A- , 




doo dy dz / '* ^^^^' ^V' ^' 

et en tenant compte de Téquatlon de continuité, 
d¥ dQ d\l 



dx dy dz 

encore, d'après (9 hk^^ 

d 

dt ' ^' ''^ " di 




-. dz> , , ... do 



On a donc finalement, 

d¥ dG ^__jr ^h 

dx dy dz ' dt 

On. voit que J serait nul en particulier si on faisait /i =0. 
266. Équations de la loi de Ohm, — La formule, 

diun 



m=:E 



dt 



s'applique aux courants fermes. Si on l'applique à une portion 
de courant, il faut tenir compte de la diiïerence de potentiel aux 
extrémités. Appelons cp^ — cp^ cette différence de potentiel; on a 
donc dans ce cas, 

d (m') 



R/==:,n _.o +E 



dt 



Si on a un élément rectilignc parallèle à 0.^', cp, — z>^ devient, 

do 



-~dx, 
dx 



On peut poser, 

E^Xdx 



ÉQUATIONS DE LA LOI DE OIJM 

et, ^j.^ 

Cttco 

C étant la conductibilité spéclficiue ; cVoù 

idx udx 

ï^'=crf^" C • 

Quant à la force électromotrice d'induction, on a ici : 



f[(m=d...^^' 



d'où 

d 

Les équations de la loi de Ohm s'écrivent donc 
c "~ dx dt 

(12) ) C "" ày dt 



0„ p.ut dire qu'il y a quatre forces électromotrices se faisant 

,'■ La force èleci roula liqae {-- j^ , ^y ' dz ) ' 

a" La force d'indiiclion (^ ^ > ^/^ ' dl ) ' 

;/,,., •,.,/!•/' M'oriffine chimique, 
;V ,/v/. /orr<! cleclronwtnce^ cxlericiuc (U ou^ 

(hcrmoélcclrique, cLc.) (X, \, '/■') ; ^ ^^ ^_ ^^, 

4" L« force ckclroinolrlce résisUinle (- -q '- TT ' " "C J ' 

,;hypo,h.se sur laquelle reposent les ^-^^;;^^ ^J::;^ 



THEORIE DE IIELMUOLTZ 

inslons une hypothèse qui paraît s'imposer [voir formule 

his)y n^ 270], les formules (12) s'accordent avec le principe 

la conservation de l'énergie. Il y a plus : on pourrait appli- 

r aux conducteurs à trois dimensions les équations de 

grange et de la théorie de l'induction de Maxwell (i^*^ partie, 

151) ; si je ne donne pas dans ces leçons ce calcul, c'est qu'on 

a ici un nombre infini de paramètres, et que je serais forcé 

d'employer le calcul des variations. 

Je me bornerai à dire que si Von admet la formule (18 his)^ 
calcul conduirait aux équations (12). 

Î67. Déïînitîon de la force magnétique. — Dans le cas où 

5 les courants sont fermés.^ la force magnétique est susceptible 

deux définitions équivalentes. 

i^ On peut dire que la force magnétique^ dont nous avons 
appelé les composantes a, [3, y, est la résultante de toutes les 
actions électromagnétiques appliquées à un pôle magnétique 
égal à I. C'est la définition que nous avons donnée plus haut 
au n""^ 147. Un pôle magnétique peut être assimilé à un solénoïde 
indéfini. En elFet l'action d'un courant fermé sur un solénoïde 
fermé est nulle ; son action sur un solénoïde limité ne dépend 
par conséquent que de la position de ses deux extrémités qui 
peuvent être assimilées à deux polos magnétiques égaux et (U' 
signe contraire ; son action sur un solénoïde indéfini est donc 
la même que sur un pôle magnétique unique situé à l'extrcMniti'' 
liljre du solénoïde (Cf. i^'*^^ partie, n" 124) ; 

2'^ Considérons un élément magnéti([ue et soient Kch^ Jlih^ 
Cch^ les composantes de son moment nuignétl(|ue. Les ac^tions 
subies par cet élément peuvent se réduire à une forc(i uni(|uc 
appliquée au centre de gravité de rélément et dont les compo- 
santes sont : 



/ (la 

['77 


A + 


dy. 
d;, 


B + 


da. 
dz 


c)./., 


\ / df. 

j\dx 


A + 


./fi 
du 


B + 


./fi 
dz 


C)r/T, 


• [dx 


A + 


dy 
dy 


B + 


dy 
dz 


Cjd-., 



FORCE MAGNÉTIQUE 287 

et à un couple dont le moment a pour composantes : 

(Cp — Bv) ch, 

(AY-Ca)rfT, 
(Ba — Aj3)rZT. 

En cFautres termes le moment de ce couple est normal au 
plan des deux vecteurs qui représentent le moment magnétique 
de Télément et la force magnétique et est égal au produit de c^ 
deux vecteurs par le sinus de leur angle. 

Si l'élément change de direction sans que son centre a 
gravité se déplace et sans que la grandeur de son moment varie, 
le travail de ce couple est égal à la variation du produit de ces 
deux mêmes vecteurs par le cosinus de leur angle, c'est-a-dire à 
la variation de l'expression suivante : 

(Aa + Bfd + Cv)rfT. 

Imaginons maintenant un circuit fermé infiniment petit, 
parcouru par un courant d'Intensité i; soit dtù l'aire de ce circuit ; 
/, /;<!, Ji les cosinus directeurs de son plan. Ce circuit sera équi- 
valent à un élément magnéti(jue dont le moment aura pour com- 
posantes : 

/ Adx = Ildo), 

' B(h^=im.d(o^ 

f Cd'z-=uuh^). 

Les actions sul)ies pîir ce circuit se réduiront donc à une i'orce 
nni([ne ap[)li([née au centre tic gravitt!' du circuit et à un couple 
dont le moment aura pour conq)osantes : 



(,./.«) 



' idb) (/y — f^y)-, 



Si le circuit cliange de direction sans (|ue son centre de 
gi'avité se (lé[)lace, sans se déformer et sans que l'intensité / 
varie, le travail de ce C()n[)le sera la variation de l'expression : 

( I A Icr) idio (/a + i)i 1^ + /ly) . 



288 TlIEOniE DE UELmiOLTZ 

D'où la définition suivante de la force inagnèilque : 
Cest un çecteur dont j'appellerai les composantes a, [S, y et 
fui est tel que V action exercée sur un circuit infiniment petit 
e réduise à une force appliquée au centre de gravité du circuit 
t à un couple dont le moment a pour composa7ites les expr es- 
dons (i2 lis) et dont le travail est égal à la çariation de V expres- 
sion (ï2 ter). 

Imaginons maintenant un système S contenant des courants 
non fermés, 

La première définition de la force magnétique na plus aucun sens. 
'^st en effet impossible de réaliser un pôle magnétique isolé 
le d'un solénoïde indéfini. Voici pourquoi : 
:îtion d\in courant non fermé sur un solénoïde fermé n'est 
ulle ; son action sur un solénoïde non fermé ne dépend 
lonc pas seulement de la position des deux extrémités mais de 
la forme du solénoïde ; et son action sur un solénoïde indéfini ne 
se réduit pas à une force unique appliquée a son extrémité libre. 
Nous sommes donc conduits à adopter la seconde définition. 
Chercbons Texpression du potentiel électrodynamique T d'un 
circuit fermé quelconque C par rapport au système S. 

Supposons d'al)oi'd que le circuit (1 soit infiniment petit, 
Taction du système S sur ce circuit se réduira à une force 
appliquée à son centre de gravité et à un couple. Si le circuit 
change de direction sans se déformer, sans (pie l'intensité varie 
et sans que son centre de gravité se déplace, le travail de la 
force sera nul ; celui du couple sera par défuiùon égal à la 
variation de l'expression (12 ter).^ c'est-ii-dlre a : 

idu) {a?jl-\- 9jrjni-\-Y^n). 

Si donc rintenslté / du courant, Faire c/to du circuit, les coor- 
données Xj //, z de son centre de gravité ne changent })as ; si par 
conséquent les cosinus directeurs /, m, n varient seuls, ou aura : 

oT = idh) [o.Zl-]- [jo/;/ + yo/z) . 
On en déduit : 

T = idw (aZ -|~ p/n + y/i) 

+ fonction arbitraire de zV/co, de x^ de jj et de z. 



POTENTIEL ELECTRODYNAMiqUE 

Cette fonction arbitraire qui ne contient pas les cosinus direc- 
teurs l, m et n est évidemment nulle; car T doit changer d( 
signe quand le courant change de sens, ou ce qui revient ai 
même, quand on fait tourner le circuit de 180'' autour d'un ax< 
situé dans son plan, ou ce qui revient encore au même, quand 01 
change ?, m, n en — l^ — m^ et — /z. 

On a donc finalement : 

T = idiù (a^-f- i^^ + y^O • 

Si le circuit C est fini, on le décomposera en une infinité de 
circuits infiniment petits ainsi qu'il a été dit au n^ 107 de 
hi première partie et on aura : 

( 1 3) T = I tcZo) (ai + |i/n + Y^O' 

l'intégration étant élenduc à tous les éléments cUù d'une aire A 
appartenant à une surface d'ailleurs quelconque passant par le 
circuit C et limitée par ce circuit. 

Quant à Z, m^ n, ce sont les cosinus directeurs de rélément 
ihù ou, ce qui revient au même, de la normale à hi surface à 
laquelle appartient Taire A. 

268. — On a I équation fi)| 

Transformons cette écpiation a raidc du théorème de Stokcs ; 
il vie ni 



'/"•■'['(f"S 



,„ .,,!,/ d\\ (K\\ i dV d\\\ / di\ d.V 



Comme on a par définition de (a, j3, y), 

(13) ï = i (\la + m fj -f- Jiy) dh), 



PoiNCAiiÉ. lileclriciLo et Optique. 



290 

il s'ensuit que 



(M) 



TBEORIE DE ilELMUOLTZ 



1 dy 



Calculons maintenant 



dll dCr 
dy dz ' 

' c/.c dij ' 






Nous avons, en différentiant la troisième des équations (i4) 
par rapport a xj et la seconde par rapport a z. 



dy 



d'G d'F 



• dj/ d.rdij dij' 

d'^ _ £F dm 
77 ~77"~~"d7d7' 



et en ajoutant ridentlté 

d'¥ dH' 



d.v' d.l 



o. 



il vient, 



dy (J^_ d fdV <K\ d\\ 

ITJ ~ dz "" 7/7 \(Lf ^ Tîy^ ~7h 



Or, nous savons déjà que | équations (lo) cl (ii^ 



M\ 



IV 



. d-^ 



d.vdf 
d-^ 
dJ^U' 

(/-'Si 
d^/l ' 



\G = — 4T.f' 4- [' I — /■ i ). 



Ail =-4-.,.+ ;. _/.■;>._; 



d.v ~^ dy ~^lh ""~ '\// 



,. '/? 



r 



ÉQUATION DE CONTINUITE 

Donc, 

dy dz dx " ^ dxdt ~^ ^''^^ ^^ ^ ^/.tY/. 



dxdt ' 
Un calcul analogue au précédent nous donnera — 

<i^j:: ri?/ ' 
On obtient ainsi finalement, 

i di/ dz ~""^'^'' 7^' 






dx ' ' dydl ' 

dy. , ^ d^^D 

A-T-™-. 



dx dy '' r/:;r/^ 

Dans Maxwell, les derniers termes n'existent pas. Nous veri 

en efFet que Maxwell suppose \ = o. 

Les équations (i5) se prêtent à la vérification suivante : 

En dilleren liant la première des équations (i3) par rapport l\x, 

la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à c, et ajoii- 

taivt il vient : 

[du dv d^v\ do 

V dx dy dz ) dt 

iJmi -effet, noiiâs -savons -que (n" 465), 



d'où, 



AA'^ ==:= — 47rp 



et en dillerentiant par rapport à /, 



THEORIE DE IIELMIIOLTZ 



^dx dy dz dt 



Nous retrouvons ainsi l'équation de continuité. 



CONSERVATION DE L ENERGIE Eï STABILITE DE L EQUILIBRE 

. Expression de F énergie èlectrocinètique T et de 
ie électrostatique U. — Je vais donner de T une expres- 
ivelle. Remplaçons dans l'équation (8) 



6) ^=7 / (F^' + Gr + n^v) dz, 



u, ç^ iv par leurs valeurs tirées de (iS). II vient alors, 



Su / 2j \dj/ 



[.6 1ns) T=.-^ I VÏ4l-§)F./. 



8t: I ^J <^/.rf/^ 



où le signe ^ indique une permutation circulaire à eirecLucr sur 

les lettres a, [j, y; ;r, ?/, z et F, G, 11. 

En intégrant par parties dans lout Vespcicc on a, 



$^'^^^=- / tIt'"^- 






CONSERVATION DE V ÉNERGIE 



è"'=- f«". 



(^Y I dG 



f "*=- / ^^^*. 






La première intégrale de (i6_^Z>/6') a donc pour valeur 



hf[' 



dR dG\ , ,, /rfF fm\ (dG dV\ . 

if-ir) + '-' \ih--dF) +'^' te— ÂT^ ''^^ 



= «^ (a^+fi^ + rV- 



811: 



d'après (i4). 

La seconde intégrale de (16 bis) se transforme de môme, et on 
obtient 

F -y-^- d- = — 



C; J^dz=.- 



dydi 



Il -7—7- <'^'^ ■ 
dzdt 



dV 
d.v 


dl 


dG 
d;, 


d'f 


d\{ 

dz 


pd.. 
dl 



THÉORIE BE HELMIIOLTZ 

finalement, 



J^'^ , A / d'D (dF , clG , dl\\ j 





dxdt St. f dl \ dx dy d.z 

en tenant compte cle (ii), 




16 bis) devient donc finalement, 

Fa- / /rf<c\2 




œ" 



+ ^+f)^+-^ [-t)'^'^- 



Si k est positif ou nnl, tous- les éléments, de rintégrailo sont 
positifs, et si T est nul, c'est que tous ses éléments sont nuls ; 
au contraire, si k est négatif, on ne peut atllrmcr cjuie du moment 
que T est nul, tous les éléments soient nuls et qu'il n'y ait pas- 
de courant. " 

T, éuergie électrocinétique, n'est qu'un des termes de rénergie. 
L'autre terme est l'énergie électrostatique 



U 
Or: 
Donc, 




V -» H'-j-^- 




Or, d'après le théorème de Gi'cen, 



-fiUM^'-m'} 



CONSERVATION DE IJ ÉNERGIE 2 9 5- 

L'expression U s'écrit alors, 

C^) "-è/[(l)"H-(^)*+(*)> 

U est donc essentiellement positif. 

L'énergie totale T + U est positive si. k '^ 0, Si ''■ " ' 
T + U peut être de signe quelconque. 

Supposons que F, G, H, soient tels que Ton ait, 

Y = ÈL, G = ^ 11 = ^, 

d:r ' djj ' d.z^ 

y étant une fonction quelconque de x, ?/, c; les trois binômes (i4) 
sont alors nuls, et le premier terme de (ï6 le?') disparaît. Le se- 
cond ne disparaît pas. 

Supposons maintenant que cp = à Torlgine des temps; T+ U 
sera négatif; comme ç = o à Torigine des temps, il n'y a pas 
d'électricité libre au délnrt, mais il y en a tout de suite après, 

do , , 

car ~- i"i est pas nul. 

dt ^ 

270. Conservation de Vènergie. ~ Vérifions que Fénergic se 
conserve, c'est-à-dire que la variation T ■\- U est égale au travail 
accompli par les forces électromotrices extérieures (chimiques, 
thermo-électriques, elc), diminuée de la chaleur dégagée dans les 
résistances en vertu de la loi de Joule : 

(18) r/(T+U)=— ^// I '''"^'^^"""'~'''" d-+di ^\\u-^\,>-\-'Lv)d-.. 

^^ 
lleporlons-Mous aux étprations (1 2) et multiplions la première 
par — lid-z, la seconde par — suh, la troisième par — (vc/t, puis 
intégrons dans tout l'espace et ajoutons ; il vient, 



ir-4- p--4- ir- 






/ / d':. d'^ d'^\ , / / dF , dG dÙ 



296 THEORIE DE UELMBOLTZ 

Nous allons démontrer que la première intégrale du second 

membre est -7-5 et la seconde —= — 
cli dt 

■ — p; chj c'est la chaleur de 

Joule. Montrons cela. Une ligne de courant est une ligne qui sa- 
tisfait aux équations différentielles ==~-:^==-^ c'est-à-dire 

qui a pour tangente en chaque point la vitesse de l'électricité. 

Un conducteur à trois dimensions peut être considéré comme 

formé d'une infinité de conducteurs linéaires élémentaires ayant 

la forme de cylindres infiniment petits, de hauteur ds^ de section 

droite 65f(jL), de volume d'^ = dsd(j^ et dont la hauteur est dirigée 

nt les lignes de courant. 

j-idmettons que la loi de Joule s'applique à ces conducteurs 
Linéaires élémentaires. 

Si l'on considère l'un d'eux, la chaleur dégagée par le passage 
du courant est R/V^ ; or 

P ds 



et 



donc 



Cr/co ' 

r z=r (/r -(- ç^ + iv-] du 



( 1 8 bis) Ri-dt = — ^ dsdiûdi = —~ di:. dt. 

C. Q. F. D. 

271. — Je me propose maintenant de démontrer que la pr 
mière intégrale du deuxième membre (de ï8^) est égale à -y-. 
Nous avons vu que, 



U 




CONSERVATION DE L'ÉNERGIE 



Je di 



Car, 



que, 



dt 



et, 



En effet. 



Nous tirons de là, 




(i8/e/') 




(h (hd'z' 



dp' dzdi' 




car la première intégrale ne change pas, si on permute p et p^ en 
même temps que dx et d-z' , puisque les deux intégrations par rap- 
port à di et d-z' s'étendent à tout respace. 
Donc, 




C.Q.F.D. 



D'autre pai't. 



di 



par conséquent, 

dl] I do 



dt 



dl 



ùd'z == ■ 



du dv div 

1 1_. 

d,v dfj d.z 



f du dv rfpi'\ 




THÉORIE DE UELMIIÙLTZ 

égraiit par parties dans tout Tespace il vient finalement, 

-St ce que nous voulions démontrer. 
272. — Passons maintenant à l'intégrale 

d¥ dO dE\ , 

is avons vu 




que, 



T=^ f (F/, 4- Gp + lLr)r/T, 



d'où 



dT 
dt 




le signe y- ayant la môme signification que précédemment. Je 
dis que ces deux intégrales sont égales. Pour le démontrer, po- 



2 dx 



avec, 




L'identité à démontrer devient alors, 




CONSERVATION DE L'ENERGJE 29^ 

Or^ on a, 

l^d.=J u — rh, 
car 



(t.^ 



les intégratibtis paai- rapport à ^fc eUrf^^ s'étendant à tout Fespace. 
En ce qui concerne les intégrales 

je dis que, 

V ^■^ '^'^ ^ / V ^^-'i , 



En elïet, en intégrant par parties clans tout l'espace, il vient 
pour la première intégrale, 

^^ I Il d~u 

dv r//~'^"~~ / ^ T^f ' 

et pour la seconde, 

^/''i> , / d'I du , 

d.vdt I d( d.r 

11 laut donc cléinoiUrer que 



Or on a, 

i"^ du 






^ d'n _ r/-p 
jiLldxdt IF ' 



THÉORIE DE HELMUOLTZ 

i part, 





par un artifice de calcul analogue à celui qui nous a servi à la 
iionstratlon de Tégalité (i8 ter-), on obtient l'égalité, 



^ ^ dxdt 1 Aj dt dx 

C. Q. F. D. 

En remplaçant les deux intégrales du second membre de (i8^) 
par les valeurs ainsi trouvées, on a: 

— 1— i== — I •- ci^^ j i^Xu-{-\^ -\- LiVjd'i:. 

Si on multipliait cette équation par rf/, le premier membre re- 
présenterait l'accroissement de l'énergie tant électrodynamique 
qu'électrostatique, la seconde intégrale du second mcmljre repré- 
senterait le travail des forces électromotrices extérieures (chi- 
miques, thermo-électriques, etc.); la première intégrale du second 
membre représenterait l'énergie perdue sous forme de chaleur 
de Joule. 

Cette équation exprime donc bien qu'il y a conservation de 
Ténergie. 

273. Stabilité de F équilibre. — Dans le cas où il n'y a aucune 
force électromotrice extérieure au système, 

~~~dT—=- I ^ ^'^' 



ÉrVDE DES MILIEUX MAGNÉTIQUES 

la dérivée de T + U par rapport au temps est donc essentielle- 
ment négative dans ce cas. 

Si la constante k de Helmholtz est ^ o, l'équilibre est stable. 
En effet, ï + U est essentiellement positif et ne s'annule que 
s'il n'y a ni électricité libre ni courants dans l'espace ; si T -|- l 
est très petit, c'est que les courants et la densité de l'électricité 
libre sont partout très petits. Partons de l'équilibre : T + U = o, 
et faisons subir une petite perturbation, T + U prendra une 
valeur positive très petite; mais si nous abandonnons le système 
il lui-même, T -(- U va aller en diminuant, tout en restant po- 
sitif ; T H- U restera donc très petit, ce qui ne peut avoir lieu 
que si les courants restent eux-mêmes très petits. Donc il y a 
stabilité. 

Au contraire, si k est négatif, nous pouvons encore partir de 
l'équilibre absolu et faire sul)ir au système une perturbation très 
petite ; mais nous pouvons toujours supposer cette perturbation 
telle que la valeur initiale très pclite que prend T -|- U soit néga- 
tive. A partir de la, T + U va diminuer; sa valeur absolue va 
aller en croissant, et on s'éloignera de plus en plus de l'équilibre 
primitif. L'équilibre est instable. 

Nous devons donc rejeter toute théorie ([ui donne à h une va- 
leur négative, en particulier la théorie de Weber, qui se déduit 
de celle de Ilclmboltz, en faisant/»: = — i. 



KT u !) i>: I ) i: s Mi u i: u x m a ( ; n i<: t i n u n s 

274. — (|uc dcvieiineirt, dans les milieux magné li([ues, les 
équations ( i 4) et (i 3) ? 

Définissons d'abord la force el l'induction magnétique (ur un 
point. 

La force magnéti([ue sera la somme géométrique de deux vec- 
teurs : 

i*' La force éleclro-magnétique, due aux courants fermés ou 
iu)n, et définie comme au n'^ 9.85 telle qu'elle serait au point con- 
sidéré si le milieu n'était pas magnétique : cette force pourra ne 
pas dériver d'un potentiel, cela aura lieu si au point considéré le 
courant électrique n'est pas nul. 



Î02 THÉORIE DE IIELMHOLTZ 

2° La force magnétique due aux armants permanents ou non ; 
elle pourra se réduire à l'action qu'exerce l'armantation induite 
par les courants dans la masse magnétique à l'intérieur de la- 
quelle est pris le point considéré. Cette force dérive toujou*rs 
d'un potentiel^ du potentiel magnétique : 

Donc, 

7 - 

dk! dW da \ r , 

dx' "^ dij ~^ dx/j dx 

Quant à Tinduction magnétique, elle est la somme géométriq^ue 
de la force magnétique et de l'aimantation au point considéré, 
multipliée par 4"^- 

275. — Je dis que dans un milieu magnétique, les équations [il\) 
doivent être remplacées par les équations : 


















i\\ 


dG 














\ 


a — 


dy 


dz 




('9) 










i = 


d\< 
dz 


d\\ 

dx 














\ 




dG 


rfF 
















.= 


dx 


'l'J 




•et que 


les 


éqii 


lations 


(' 


5) 


restent eaicore vi 


aies. 



276, — En effet, considérons un aimant; supposons qu'il n'y 
ait pas de courant extérieur. L'aimant peut être considéré comme 
'Constitué par un système de courants particulaires d'après les 
idées d'Ampère. 

La composante F du potentiel vecteur du à l'un de ces courants 
■est : 




ÉTUDE DES MILIEUX MAUMiTIQUES 

ci 
Tous les courants particulaires étant fermés, la dérivée -^^ 

disparaît^ et il reste 




En transformant cette intégrale de ligne an une inté. 
surface il vient 




(Uyy' étant 1 élément de Taire embrassée par le" courant ; cette aire 
est infiniment petite; donc l'intégrale se réduit au seul élément 



cl- d^ 

dz/ '' du' / 



i'dw'X m' -T-7 — Il 



Le courant est équivalent à un élément magnétique, dont le 
iuoment a pour composantes k-'âx' ^ BV/t', CVZt', 

^ Wd-J ^ i'nt'dw', 
[ Cd-J ■=. hiUU ; 

par suite la composante F du [)()teutiel vecteur du à cet élément 
est 

./i dl\ 

Pour avoir la composante due à l'aimant entier il faut intégrer 
par rapport aux éléments d'z^ du volume de l'aimant, ou, ce qui 



THÉORIE DE ÎÎELMUOLTZ 

it au même, intégrer dans tout l'espace, car, à l'extérieur, 
. B' = C^ = o. Il vient clone 



1 



F = 





^oici le point délicat du calcul : /• est la distance de deux élé- 
ats di et rfV et l'élément ch est à l'intérieur de la masse ; donc r 

I 

/• 



it être infiniment petit ; ~ est alors infiniment grand : s'il 



I 



infiniment grand du premier ordre, -y-^, l'est du second, 

et —r-rr du troisième; et ainsi de suite. 
dx-" 

J'ai à prendre des intégrales triples; si j'ai sous le signe I 
des termes en —, Fintégralc est finie et détermiiiée, de même pour 



r 



des termes en -7-7, mais il n'en est plus ainsi si l'on a des dérivées 
dx' 

secondes. Si on ne faisait j)as attention \\ celte i'emar(pie, on dé- 
montrerait aisément que A\' est nul même \\ l'intérieui' du cor[)s 
attirant, ce qui est faux. 

Je dois donc m'arranger pour ne pas introduire, comme aux 

n"147 et n" 148, les dérivées secondes de; — par rapport aux cor- 

r 

données. 

En intégrant par parties dinis tout fespcicc^ on a, 



""'lu''- 




ÉTVBE DES MILIEUX MAGNÉTIQUES 3o5 

L'expression de F que nous voulions transformer devient donc, 



/ 



F: 



dC dB'\i ,, , 

-j-T — -j^ j - «T , et de même : 



•^^/if-SH-. 



-/f§:-f)i- 



Calculons maintenant l'expression qui nous intéresse, 

^H dCr 

dy dz * 

Il vient en dill^rcntiant la troisième relation (20) par rapport 
à y et la deuxième par rapport à ;: : 



(...) 




Considérons encore l'idenlilé, 



d-J — 




dy d.v 




Transformons ces intégrales ; nous savons que, 






3o6 



riJÉOJRIE DE liELMIIOLTZ 



parce que r est fonction de .r — x' , y — y' et z — z/. On a 
clone en tenant compte de cette identité et intégrant par parties 
dans tout l'espace par rapport à y : 




T dz' 




dœ'dy' r "^^ ^ 



et, en intégrant de nouveau par parties par rapport à x' 



d'W I 
dx'dy' r ^'^ == ■ 



d — l ir^i d 



dy' dx^''^'^ = 



d^ 

dy' "cU^^^' 



Donc^ 




dy' dx '^^^ 



et de même, 




/ d-J dx '^''• 



?. 



D'autre part, si l'on pose 



V = 



k'd-J 



nous avons 



41= / A'l/:./.'= 

dx I dx 



I 



di- 



ETUDE DES MILIECX MACyÉTIQUES 

et, en iiitégraut par pai-ties dans tout l'espace, il vient 



dV 



chV I 
cl.v' r 



ck' 



'ioj 



d'où, en diDPérentiant par rapport à a:, 



d'Y I dA' '^ /•■ 



d:r 
el par un calcul analogue, 

d'Y 
df = 



dx' d.v 



/-', 



diV ^~7 



'■^'J !-h 



h\ 



d'Y 



d:r 



dz' d.z 



-éh'. 



Les o([uations (21) s'écrivent alor; 



t 



d\[ 

du 

dV, 



dz 



d\y '^ r d-\ 

dij d.v ' djf- ' 



dVJ ',■ -, , d'Y 

■ d- - 



dz' d.i 



dA. r 



dx' dx 



ih'- 



d-r ' 
d'Y 



dx' 



En additionnant membre ii membre ces écjualions on obtient, 
dll dC. 



dij dz 



7 ' 
diV ^B' da \ r 



dx' "*" dy' ' dz' J dx 



d^'—AY; 



)8 THÉORIE DE HELMHOLTZ 

l'autre part la relation de Poisson nous donne, 

AV = — 4^A. 

Il vient donc, 

dR dG , , . 



dij dz 

et, en tenant compte des relations (12) du n*^ 8, il vient finalement, 

^H ^G _ 
dy dz ' 

, par un calcul analogue au précédent, 

dF rfH 



dz dx 

dG d¥ 



-^ 



dx di/ 



C. Q. F. D. 



277. — Prenons maintenant un milieu magnétique parcouru 
par des courants finis ; if^ ç^ w sont les composantes du courant ; 
a^, ?i7 Yj sont les composantes de la force électro-magnétique 
due aux courants finis, F^, G^ 11^ les composantes de leur poten- 
tiel vecteur. De même, a,, [3.^, y^ seront les composantes de la lorce 
magnétique due aux courants particulaires ; a^^ i^, c^ les compo- 
santes de l'induction qui leur est due, et F^, G^, 11^ les compo- 
santes de leur potentiel vecteur. On a pour les composantes de 
la force magnétique totale, de l'induction totale et du potentiel 
vecteur total ; 

/ a = a^ + a„ 

f V == V -4- Y 
[ il 1^ i 21 

f c = C^ H- 6',, 

/F==F, + F„ 
^ G=G, + G„ 
( H = H. + 1L . 



ÉTUDE DES MILIEUX MAGNÉTIQUES 

Or, d'après le n° 268, on a, pour les courants finis, 

! "' ~ d?J d.Z ■ 



/ 






et 






rf.3 rf:r dydt ' 



dx dy dzdt 

Pour les courants particulaires, d'après le n^ 275, on a, 

i '''^"~ dy dz ' 

) _ dP, dli, 
j ' ~ d.z dx ' 

^'2 



et 



W: 



d.v d;j ' 

dy dz ~''' 



I d{i. 



ïz dx 

dy.. 



\ d.v dij 

\i\\ ajuutantces qualre séries cl'cujuations membre ;i membre il vient, 

' d\\ dC. 

/ "~ dij dz 

) _^ _ d\\ 



dz d.x- 

dC. dF 



c 



dx du ' 



3 1^0 THÉORIE DE fJELMHOJ.TZ 

et . 

da, dy , ^ «^'cp 



/: 



dz dx dydt ' 

<r/.'r r//y "^'"'^ ' dzdt' 



ce qui était à démontrer. 



CHAPITRE V 

PASSAGE DE LA THÉORIE DE HELMHOLTZ 
A CELLE DE MAXWELL . 



278. — Pour se rendre compte de la façon dont on peut pas- 
ser de la théorie de Helmhoilz à celle de Maxwell, qui n'en est 
qu'un cas particulier ou plus exach^nent qu'un cas limite, il faut 
connaître les diverses hypothèses faites au sujet du magn(3tisnie 
induit et de la polarisation diélectrique. Le présent chapitre est 
intimement lié ou chapitre III de la première partie où j'ai exposé 
des idées analogues à celles de Ilelmholtz sous une forme diffé- 
rente. 

Avant d'aljorder la question de la polarisation diélectriq-ue, rap- 
pelons les théoj-ies du magnétisme induit. Nous commencerons 
par celle de Poisson, la plus invportante au point de vue de ce qui 
va suivre. Mais comiiie les calculs ont été expos^'^s en détail dans 
la première jKirtie de ce volume (u"' 52 à BQj^nous nous hot'uerons 
à rappeler succinctement les r<''sultats. Je ch)îs avertir toutefois 
([ue la tliéoi'ie (^xp()sée dans les nunu'ros cil es, 52 à 59, se rap- 
portant pkis pai'liculièi'ement aux di(VhH'ti'i(pies, il faut, |)our eu 
déduire !a tliéorie du nuignétisme <|ui n'en dillere pas au point 
de vue mathématicpie, changer queI([U(^s-unes des notations. 

.; . , iii] , , 

i] <'st ainsi (|U(^ ce (pie j ai appeh^ ■" et /i dans ces para- 
fai? 

graphes s'appellera ici a et z. 1^'n elFet U r{q)résentait le poten- 
tiel électri<|ue ; il doit élre remplacé ici par le pot(MUiel magné- 
tique dont les dérivées changées de signe ne sont autre chose 
(|ue les composantes de la force magnétique. De même ce que 
nous appelions K s'appellera ici |jl. 

279. Induction magnétique. — Poisson attribue les phéno- 



în 



3 12 PASSAGE DE LA THÉORIE DE IIELMUOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

mènes magnétiques à deux fluides, austral et boréal. Un corps 
magnétique est constitué par de petites sphères conductrices du 
magnétisme, distribuées irrégulièrement dans un espace inter- 
médiaire isolant. Chaque sphère peut être regardée comme étant 
la superposition d'une sphère solide de fluide austral et d'une 
de fluide boréal : l'effet de l'aimantation est de faire glisser 
Tune de ces sphères par rapport à l'autre d'une quantité plus 
ou moins grande ; on a ainsi des couches de glissement (^). 

Poisson admet que les actions mutuelles de toutes les autres 
sphères sur Tune d'elles se neutralisent. Si m est la masse de 
chacune des sphères, australe et boréale, et si ^, ?], !^ sont les 
composantes du déplacement du centre de la sphère qui glisse, 
on a 

Kd-Zy B^/t, Cd'z étant les composantes du moment magnétique de 
cet élément sphérique. 

Pour pouvoir définir la force magnétique en un point inté- 
rieur, il faut supposer une cavité creusée autour du point, et la 
force dépend de la forme de cette cavité, contrairement à ce que 
croyait Poisson. Elle a pour composantes a, [3, y à l'intérieur 
d'un cylindre infiniment long par rapport à sa base et dont 
Taxe est dirigé suivant l'aimantation ; les composantes sont 
a-f-4'î^A, [3+4^:6, y + 4'^C à Fintérieur d'un cylindre infini- 
ment plat, parallèle aussi à l'aimantation ; eu fia, elles sont 

à l'intérieur d'une sphère. 

Décrivons autour du point une sphère cr de volume cZt, très 
petite d'une façon absolue, mais grande par rapport aux élé- 
ments sphériques ; écrivons qu'il y a équilibre à l'intérieur d'un 
de ces éléments, s. L'action des corps extérieurs à la sphère cr 



(') Voir pour cette théorie des couches de glissement, première partie, ch. m. 



INDUCTION MA GNÉTIQ UE 3 1 3 

a pour composante parallèle a 0^, a -j- tj- t^A. A, B, C sont les 
composantes de la magnétisation. Si s est le rapport du volume 
des petites sphères s au volume d'z de a-, l'aimantation de chacun 
de ces éléments s a pour composantes — , — , — . L'action sur un 

point intérieur à g- des éléments sphériques extérieurs à .9, mais 
intérieurs h o-, est supposée nulle (Cf., première partie, \\^ 55). 
L'action de l'élément s lui-même a pour composante parallèle 
«A 4 A 

£ 

L'équation de l'équilibre s'écrit ainsi 

I 4 , 4 A 

(l) a4--y7rA— yTU— =o, 

d'où, 



et, 



a 


= 


4 
3 


£ 


£ 




4^ 


-A= 


3£a 

.1 £ 


7 



donc 



et en posant 



il vient finalement 



: a H- 4t^ A = ^ ^ '''^ a , 



T + 2£ 



|j.a, 



-11—=: [jt. est ce qu'on appelle la pcnnèahUilê magnéliqifc. 



J'insiste sur la signification de l'équation (i). 

Une molécule magnétique située à l'intérieur de la sphère s 
qui est conduclrico du magnétisme doit être en équilibre sous 
l'action de toutes les forces qui agissent sur clic. Si l'on consi- 
dère seulement les composantes parallèles à l'axe des Xy la 
somme de ces composantes doit ôtrc nulle. On a donc : 



3i4 PASSAGE DE LA THÉORIE DE lŒLMHOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

A^ctioii des aimants extérieurs et des éléments magnétiques 
extérieurs à cr = a + — 'û:A] + (action des éléments magnétiques 



intérieurs a cr et autres que 5=:oj-j- (action de s 

4 A^ 



La théorie présente des difficultés ; c doit ètrc<~r, ce qui 

impose à [ji une limite supérieure qui est dépassée pour le 1er. 
On peut dire, il est vrai, que rien n'obligeait à considérer des 
éléments sphériques ; on peut, comme l'a fait M. Mathieu, 
prendre des éléments d'autres formes, et l'on échappe à cette 
difficulté. 

Une autre difficulté c'est que ix n'est pas une constante mais 
varie avec la force y a*-^ -]- [j' -1-^". 

Weljer suppose des éléments déjà polarisés, mais orientés 
d'une manière quelconque : la force magnétique, les ramène a 
une direction commune, ce qui se rapproche des idées d'Am- 
père. 

Quant au diamagnétisme, remarquons que pour s'en j'endre 
compte dans les idées de Poisson, il faut admettre que le vide 
est susceptible de polai'isation magnétique et ([ue h's corps dia- 
magnétiques sont seulement moins magnétiques que le vide. 
Alors le |x du vide n'est plus i : on nous aNait d(''iiul Tunité de 
magnétisme en admettant ([ue deux pob\s égaux à i s'attirent 
avec une force i à l'unité de dislance; si jj. ~- ï pour h* vide, 
l'attraction observée dans le vide est bi(ui rallraciion r('^ene. Il 
n'en est plus de même si [x> \. 

280. Polarisation diélectrique. — Mossotli est arrivé l\ 
rendre compte des phénomènes (|ue présentent les diélectri(|ues 
dans les idées de (^louloml), en transportant l(\s théories de 
Poisson à l'électricité, et ces théories, (|ui ne sont plus (|ue de 
l'archéologie en magnétisme, peuvent encore servir chms l'i^tude 
des diélectriques, sans pourtant correspondre pr()l;)ab[ement à 
aucune réalité objective. 

Les diélectriques seraieirt composés de sphères conductrices 
plongées dans un milieu isolant. Ce qui joue le rôle de Taiman- 



POLARISATION DTELECTRiqUE 

tation, c^'est la polarisation diélectrique^ que Maxwell appclit 
déplacement électrique : /", g", h. 
On a donc clans ce cas, 

. m'i^^fdx, 

\ ni^ = /uk. 

Un diélectrique constitué de la sorte est tout à fait assimi- 
lable à un aimant; je veux dire que le fluide électrique y est 
distribué absolument de la même façon que le fluide magnétique 
dans un aimant constitué comme le suppose Poisson. 

Le potentiel magnétique d'une masse magnétique m p; 

rapporta un point extérieur est — . i.e potentiel (4ectri(|ue cl une 
masse électrique /?i est de même, d'après les notations que nous 



1 , ni 
avons adoptées, ^; — 



Le potentiel d'une des sphères de Poisson par rapport à un 
point extérieur est, en appelant Adi, Bd-z, Cd-z les composantes 
du moment magnétique de cette sphère : 




]Je même le potentiel d'une des sphères de ^lossotii par rap- 
port à un point extérieur sera : 




De même donc (pie le potentiel d'un aimant est repi'ésenté 
par rintégrale : 



d-^ d^ 

0= / d,\ A'-^ + B'-^ 




3i6 PASSAGE DE LA THÉORIE DE HELMHOLTZ A CELLE DE 3TAXJVELL 

celui d'un diélectrique sera représenté par l'intégrale : 



o ■ 






La force magnétique (parallèle à l'axe de .r) due à un aimant 
est en un point extérieur a= j^', la force électrostatique 

due à un diélectrique sera de même — -j- . 

Si Ton veut calculer cette force en un point intérieur, ou 
retrouve l'analogie avec les aimants. Il faut pour la définir sup- 
poser une petite cavité creusée dans le diélectrique autour du 
point considéré ; on voit alors que la composante parallèle \\ 
l'axe des x est égale à : 

~- SI la cavrte est un cylindre très alionrrc : 

dx -^ ^ 

JL-\ !j- si elle est un cylindre très aplati ; 

dx 1 "^ ^ 

--L.-J — — £_ SI elle est sphérique. 

Ecrivons comme précédemment les équations de Téquilibre; 
il faut seulement ajouter ici les forces électrouiotriccs d'induc- 
tion, et d'autre part les forces électromotrices d'origine quel- 
conque, chimique par exemple ou thermoéleetrique, et dont 
j'appelle les composantes X, Y et Z. 

/ 

a doit être ici remplacé par y^ o étant le potentii^l élec- 

ax ' *■ 

trostatique. 

Une molécule électrique située à l'intérieur d\inc des sphères 
de Mossotti doit être en équilihre ; si donc on considèr(' h^s 
forces électromotrices d'origine diverse auxquelles celU^ inoh- 
cule est soumise et les composantes de ces forces suivanl Taxe 
des X, la somme de ces composantes doit être nulle, ce qui nous 
donne une équation tout à fait analogue à Féquation (i) ; iions 
supposerons comme plus haut que l'on a creusé dans le diélec- 



POLARISATION DIÉLECTRIQUE 3 1 7 

trique une cavité limitée par une sphère o- concentrique a^ ; on 



aura 



(action des conducteurs extérieurs et de la portion du dié- 
lectrique extérieure a «7 = — T^+'^^T) "^ (^^^^^^ ^^^ sphères 



de Mossotti intérieures a a- et autres que s =^ o) -j- (action 
s z=z — -ttI-J _[_ (forces d'induction =: — _.j ~j_ (^forces él 
tromotrices extérieures, d'origine diverse =X)==o, c'est-à-di: 

a:v ai /. £A 



d'où. 



et en posant, 



on a : 



4 f i — £ <:/'f <^F 

— — 7C -^ = ~ 1— a: 

o À £ dx dt 



I £ 

471/' _ d'jj ^/F 



K — À dx dt 



+ X. 



K est \e pouvoir Indue leur spèciliijue du milieu. 

Proposons-nous maintenant d'évaluer le courant de déplace- 
ment qui se produit dans un diélectrique (juand son étal de 
polarisation se modilie. Nous avous défini plus haut les com- 
posantes n, i> et n' du courant. C.ette délinition peut encore 
s'énoncer comme il suit : 

iid-z est la projeciion sur Vuxe des x de la. (jiianlilê de mou^^e- 
ment de toutes les nioUcules électriques contenues dans Vêlement 
de çolume d-z. 

Considérons un élément dx contenant une sphère de Mossotti. 
Quand cette sphère est polarisée on peut la regarder comme 
formée de deux sphères, l'une de lluide positil', l'autre de fluide 
négatif, dont les masses électriques sont égales et de signe 
contraire, qui ont même volume et dont les centres ne coïncident 



jj8 passage de la théorie de UELMîIOLTZ a celle de MAXWELL 

pas (voir première partie^ îi'^47). Soîeiit-|- ^^^ et — ;;z les masses 
des deux sphères ; soient a\, //^ .z^ les coordonnées du centre de 
la sphère positive ,; -^'â^^^'j — ^7 !/-2^^^l/i — '^i? -"i^"^^--'! — ^ celles du 
centre de la sphère négative. 

Alors ç, r^, Sj ^^it la même signification qu'au débul du 
paragraphe. 

On a pour la composante parallèle à Od' du courant du au • m 

déplacement relatif des deux sphères : 



or. 



r/.i", clv, (Iç 

dt de ^ 1T 






donc, 



et de même 



AL 

dt ' 



d^ 
di ' 
dh 
dt ' 



281. — Le potentiel électrostati([ue o esl du à l'éleclricité ré~ 
pandtie dans les conducteurs et à celle qui pohirlso les diélec- 
triques : ceux-ci se comportent comme des aiuuurts. 

On a donc 




en appelant cr la densité au point (.r, /y, z) du conducteur. Dans 
cette équation la première intégrale représente le potentiel du 
à l'électricité libre des conducteurs, la seconde le potentiel du 
à r électricité polarisée dans les diélectriques. 

D'ordinaire il n'y a d'électricité libre qu'à la surface des 



POLAIUSA riOX DIÉLECTRIQUE 3 1 9 

conducteurs. Appelons [cr] la densité superficielle de cette élec- 
tricité au point .2', //, z clc cette surface, [g-'J la densité superfi- 
cielle au point x\ y' ^ z' . S'il y a de l'clectricité non seulement 
à la surface, mais à l'intérieur des conducteurs j'appellerai de 
même c la densité de volume de réicctricité au point .r, y/, r- 
du conducteur. 

Nous avons alors : 





la première intégrale devant être étendue à tous les éléments de 
volume ch' des conducteurs, la troisième à tous les éléments ch' 
des diélectriques et la seconde à tous les éléments chù' de la sur- 
face qui sépare les conducteurs des diélectriques. 

La troisième intégrale peut se transformer par l'intégration 



I^=f^,'f-^.ni'o'^jr,h')d,,' 







chj' ' <(z' 



Dans Le second membre, la [)remièi'e intégi'ale doit être éten- 
due à tous l<;s éléments db)' de la sui'fac(^ (jui limite les dlélec- 
tri([ues et la seconde \\ tous les él(Mnents d(; volume des diélec- 
tri([ues. 

Pour abréger les écritures dans ré(pKvtion (3), j'ai supposé 
que les propriétés du diélectrique varient d'une manière conti- 
nue de telle soi'te que f\ g, h soient des fonctions continues; si 
donc on a plusieurs diélectriques différents je supposerai, qu'ils 
sont séparés les uns des autres par une couche de passage très 
mince. Au contraire, je regarderai les diélectriques comme 



320 PASSAGE DE LA THÉORIE DE UELMIIOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

séparés des conducteurs par une surface géométrique de telle 
façon que les propriétés du milieu varient hrasquement quand 
on traverse cette surface. 
Posons maintenant 

p=:cr 

dans les conducteurs ; 

df clg dit 
^ dx dy dz 

dans les diélectriques ; 

[p] = [^] + ^/+ '^i? H~ ^'^^ 

.. la surface de séparation des conducteurs et des diélectriques. 
Il viendra alors, 




En d'autres termes tout se passera comme si Ton avait de l'élec- 
tricité répandue dans tout l'espace avec une densité p et d'autre 
part de l'électricité répandue h la surface des conducteurs avec 
la densité superficielle [p|. 

Il est aisé de se rendre compte de ce résultat : 

Si l'on considère un aimant, on suit que tout se passe comme 

. , , . , , . ,,,... , . dA dB dC 

SI la densité map;netique a i intérieur était et 

a,v d ij dz 

la densité superficielle à la surface de l'aimant cg-ale à kl-\- 

B/;2 + C^. Les diélectriques étant assimilables à des aimants, 

tout se passe comme si on avait à l'intérieur des diélectriques 

, . , ,, . df di^ dit . , r 1 

une densité électrique ^ ~ r- et a la surlace une deii- 

d.v dij dz 

site égale a lf-\-mg-{- n/i. 

Si on considère donc la surface de séparation d'un conducteur 
et d'un diélectrique, qui sera par exemple extérieur à cette sur- 
face, nous aurons à l'intérieur de cette surface une couche élec- 
trique infiniment mince de densité [cj], provenant de l'électricité 
qui, libre de circuler dans le conducteur, s'est portée à sa sur- 
face ; et nous aurons d'autre part, à l'extérieur de cette surface, 



NON HOMOGÉNÉITÉ DU DIÉLECTRIQUE 



321 



une couche infiniment mince, de densité lf-\- mg'~\- nh^ prove- 
nant de la polarisation du diélectrique. 

Tout se passera en définitive comme si nous avions vine cou- 
che unique de densité [p]. 

Il importe de ne pas confondre ces deux densités superfi- 
cielles [p] et [(j] dont la définition est très différente. 

Dans un diélectrique, on a : 



df 



dx 



do' 

dy 



dh 
dz 



et en difFérentiant par rapport au temps, en tenant compte dt 

1 • df ,,.... 

relatujns u = -j-, etc., on retrouve 1 équation de continuité : 



du 
dx 



dç> 



d\v 



dy 



dz 



dt 



282. — ïl y *t une remarque à faire. Une molécule électrique 
situé à riutérieur d'une sphère de Mossotti est soumise à une 
force électrostatique dont la composante parallèle a 0.^' est : 



(4) 



X = - 



d-D 



K — a' 




On peut s'étonner de voir que sa force n'est pas la dérivée du 
potentiel, changée de signe. C'est 
([ue le dlèleclrique n'est prrs un mi- 
lieu homo<j;ène ; le polentiel vrai va- 
rie irrégulièi'cment ; à l'état sta- 
tique, par exemple, il est constant 
à riut(''rieur de chacune des sphères 
de Mossolli et variable au ch^hors. — ^ 
Un observateur traversant le diélec- 
trique en ligne droite verra h^ |)oten- 

tiel. varier suivant une courbe telle (|ue la courbe M^N^ de hi 
(igure 8 ; cette courl)e présente des sinuosités. 

La fonction 'j: définie par les é(|uations du n" 276 est au con- 
traire continue ainsi que tontes ses dérivées ; ce n'est qu'à cette 
condition qu'elle peut être introduite dans les calculs avec avan- 
tage ; cette fonction '^, qu'on pourrait appeler potentiel moyen ^ 

Poiis'CARÉ. Klectrjcité et Optique. ar 



Fin 



32a PASSAGE DE LA THÉORIE DE IlELMIIOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

n'est donc pas rigoureusement égale au potentiel vrai, mais la 
différence est très petite et du même ordre de grandeur cpie la 
distance qui sépare deux sphères de Mossotti (^). 

Ce potentiel vrai oscille autour d'une valeur moyenne qui est '^, 
les deux courbes représentant le potentiel vrai (MW) et le po- 
tentiel moyen (MN) sont extrêmement voisines, mais les tangentes 
sont très différentes^ et c'est pourquoi la force, qui est la dérivée 
du potentiel vrai (au signe près), est très différente de la déri- 
vée du potentiel moyen. 

283. Expression de F énergie électrostatique dans le cas 
de diélectriques. — Une force électromotrice (X, Y, Z) appli- 
quée a une masse d'électricité m placée en un point (.r, ij, r) 
produit dans le temps dt un travail. 

\ dt dl dt ] 

Pour toutes les masses de l'élément c/t, le travail rapporté à 
l'unité de temps est : 

■ ^ dt 



{^) Si on considère ])ar oxem])lo un point situé en dehors de cos sphères le polen- 
licl moyen est égal ù Vuitcgralc 

cL le potentiel vrai est éy^al à la Homme 

obtenue en décomposant le; volinue du diéleetricjue en éléments \-! <'()iitenant cha- 
cun une sphère de Mossotti et uuii setde et par ('onsé([uent finis (^uoicpie extrême- 
ment petits. 

On voit ainsi avec quel degré d'approximation h^ « potentiel moyen » représent(ï 
le « potentiel vrai y. Ces difierenecs n'ont aneune importance, puisque d'une part 
rien n'empêche de supposer les sphères aussi petites qu'on le veut, et que d'autre 
part les hypothèses de Mossotti ne doivent être considérées que comme une ma- 
nière comniodç de considérer les choses et n'ont probablement aucun rapport avec 
la réalité des faits. J'ai cru néanmoins devoir entrer dans tous ces détails afin de 
lever une apparente contradiction. 



ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE 3^3 

et pour le volume entier, ou a le travail : 
Or on a (4) n*^ 282. 



_ ^cp -47^/(1 -s) 


dv 


4t:/ 


dx 3 As 


dx 


K— }.' 




K-y? 




^'~ dz 


4^A 
K — A ■ 





Le travail cliangé de signe, est -^ (en appelant U Féncrgic 
électrosUitique) ; donc : 

r 



La prciiiii'iv inlégrale esL ôgale h (en inirgrani: par pai'lîes clans 
louL rcspae,':, 

d'^ dû d-^\ , 



(h( , ^/i' , d\v 
7z 



^\d,- "i- 7/-+-r)^^' 



cl (Ml (cnanl eoinpU^ de J'iMpialion de eonliiuiih', 



\ d.r dij dz 1 I ' ,// 



s \ ((•( (iij az j '' I -^ , i ^• 



Mais 






324 PASSAGE DE LA THÉORIE DE IIELMHOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

L'intégrale est donc, 

do ^ I / . ^A'j , ^^ / A ^'^ 7 

dt ^T. I ' dt 4- I ' dt 



f m 



! L_ _| } !_ _J ! L_ ] ^-^ 

4t: I V dx dxdt dij dydt d.z dzdt 



2lA 

8- dt 



[m'+m'+m"w 



dx) \dyj ^\dz 



La seconde intégrale est, en tenant compte des relations 
_df 



Il =-y-, etc. 
dt' 



K^^ / («/+.^-+..'/,).fc^j^^" 



Jf , d^- , , r//(\ ^ 



2- r/ 



K — A .// 



(/■H-^-H-/r)'/-. 



L'expression du travail devient ainsi, 

è4 im^m^-wh 



dt """8^ 



ç/ 

Nous supposerons qirà l'origine des temps tous les coiiductcMirs 
partent de l'état neutre et cpi'il n'y a ui électricité libre ni cou- 
rant. 

On a donc pour f:=:=zo: 



U = o 



ÉNERGIE ÉLECTROSTATIQUE 325 

et pour une époque ultérieure quelconque;, 



K- 



7î \ {r-+g' + h'')d-^. 



284. — Telle est l'expression générale de l'énergie électrostf 
tique. Quand on a affaire à des phénomènes purement électrc 
statiques, l'expression se simplifie; on a en effet: 

do K— X 
'~~' dx /\t. 

et deux autres équations analogues ; d'où : 

r>- _ K— À (d^ 



li — \i 8- \djc 

Il vient donc : 



le signe \ indicruant une permutation circulaire sur les lettres .r, 

/ l a. i. 7 

!h - 

On enfin, 

D'autre part, nous avons à rintéi'îeur des conducteurs : 

(6) '^rrrrCOnSt. 

A l'intérieur des diélectriques, l'équation de Poisson nous 
donne : 

df 



aA3= — 4^?' 



■■^^■li 



E DE LA THÉORIE DE EELMUOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

ayant la même signification cpie plus haut; d'où, en 
mplaçant /*par sa valeur n° 284, 

'•2*=-Ei["^-'-)i] 

:|ui peut encore s'écrire. 



VA 



dx 



Considérons maintenant un point de la surface de séparation 
des conducteurs et des diélectriques. Nous poserons, conformé- 
ment à une notation généralement adoptée : 

f^. d's> , d'^ do , dz) 

an dx dy dz 

Nous aurons alors (en nous rappelant que C2 est constant à Fin- 
téricLir des conducteurs) en un point situé dans le diélectrique 
mais infiniment voisin de la surface de séparation : 

Nous avons posé 

[?]■= H +//+/»é^ +«/',- 

nous supposions alors que Z, ni^ ii élaienl les cosinus direcleurs 
de la normale dirigée vers le conducleur ; si nous supposons 
comme dans la formule (8) que /, m, n sonL les cosinus de la 
normale dirigée vers le diéleelriqne, il faudra écrire : 

[?] = M — (^^4- ^^^A^'-h ^^/O 
d'où 

>^^ — 4t:l^JH~4^ [If-V-mg+nh), 

et en remplaçant f, g^ h par leurs valeurs 
^ d'z> K — À 



ENERGIE ÉLECTROSTATIQUE '^'l'] 

il vient, 



À4£=-4^M-(K->0f^'^'' 



4-W-(K->0K-7r+'«4r + « 



Z'i3 



dn L j V \ dx djj dz 



- d'^ , r- ^ /Tr ^ d'^ 



OU enfin 



(9) ^i — 4^W- 

J'observe encore que l'on a : 
( t o) charge à'm\ conducteui' quelconque = \ [cr] r/co, 

Fintégration étant étendue à tous les éléments di-o de la surface 
de ce conducteur. 

Les équations (6), (7), (9) et (10) suffisent pour nous faire con- 
naître la fonction '^ quand on connaît la charge de chaque con- 
ducteur. 

L'équation (5) nous fait connaître ensuite Ténergie U et comme 
nous savons que le travail virtuel des attractions électrostatiques 
est égal à Laccroissement virtuel de cette énergie, nous pouvons 
en déduii'e la valeur de ces attractions. 

Ainsi, si nous connaissons la charge et la position de chaque 
conducteui', les équations (f)), (6), (7), (()) et (10) nous feront 
connaître les attractions électrostaticpies. Mais dans ces é(|ualions 
la conslante A ne ligure pas ; nous n'y voyons figurer (jue le pou- 
voir inducteur K. 

Les atti'actions éhn'trostaticpies, |)()ur des cliai'ges et des posi- 
lions données des conducteurs, {jni so//i ffutifjfœ objet des ex- 
pèrlences élccn'os(ali(/in's, ne dépendent donc pas de A. Ces 
expériences ne peuvent donc pas nous (aire connaître )., mais 
seulement le pouvoir inducteur K qui est fonction à la fois de A 
et de £. 

Nous désignerons par K^ le pouvoir inducteur du vide et par £,, 
la valeur de s relative au vide. 

Dans les théories anciennes on suppose que le vide ne contient 



e 



PASSAGE DE LA THÉORIE DE IIELMIIOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

ie sphères de Mossotti, qu'il ne s'y produit pas de polarisa- 
î diélectrique, c'est-a-dire que s^ = o d'où : 

. pour un diélectrique quelconque : 

K-K. 



K + 2K. 



Mais rien n'oblige à supposer e^ = o. C'est ainsi que dans la 

du magnétisme induit, après avoir supposé que pour le 

= 0, pi = I on a été conduit, pour expliquer le diamagné- 

a supposer que le [jl du vide est plus grand que i, c'cst-à- 

ae le vide est faiblement magnétique (Cf. n° 274). On peut 

ci une hypothèse 'analogue. 

-omme les expériences électrostatiques ne nous font connaître 

que K et K^, les phénomènes électrostatiques pem^ent s'expliquer 

quelle que soit la ç aie ur plus petite que K^, attribuée à X pourvu 

que l'on suppose en même temps : 



et pour un diélectrique quelconque (^) 

K — A 



OÀ 



K est exprimé en tbnction de A et de s, mais ni A, ni s n'entrent 
séparément dans l'expression de l'énergie électrostati(|ue. Si on 
change X en môme temps que s de manière à laisser K invariable,, 



(') Ces formules su])poscnt que, comme Poisson eLMossolli, on allril)iie la forme 
sphériquc aux parties coiuluetrieos du diéleelriquc. Celle liypolhèse ne join^ dans 
la lliéorie aucun rôle cssenliel, elle scrl seulement à simplifier les (^ahuils. Si on 
supposait que la forme dos ])arlies eoiiduetrices est queh'onqne, on ai'riverait à nu 
résultat analogue et on trouverait : 

I + 2s . 

ç [t) étant une fonction qui se comporte comme , je veux dire qu'elle 



DIÉLECTRIQUES 32« 

on ne changera rien à l'expression de ce que nous pouvons con- 
naître expérimentalement. L'expérience ne nous fera donc pas 
connaître X si nous nous en tenons aux phénomènes électrosta- 
tiques. 

285. — Dans les idées de Mossotti^ ordinairement reçues, £=0 
Alors 

" I £ 

Deux unités d'électricité placées à l'unité de distan( 
poussent avec une force 

I I 

Mais on peut aussi expli(fuer les phénomènes en admettani 
que £y ne soit pas nul, même j)our Tair et pour le vide. Alors 

I\>A, et-:J->-j^. 

A XV y 

La répulsion réelle entre deux unités d'électricité est plus 

grande quejr-, mais la répulsion ohnerpée dans le vide est tou- 

I ' 

jours—: elle n'est pas modifiée. Elle est seulement plus petite 

(jue hi répulsion réelle à cause de raclion de sens coutraii'e due \\ 
la présence des sphères polarisées. La ihcorie de ÈLixwell con- 
sis/e à faire X = o. Pour ([ue K soll fini, il faut que s soîL égal à i . 
(yest-à-dire que les parties coiuhtclrices occupent la tolalilé du 
volume du dlélectri([ue. delà l'cvieirl à se r(q)réseul(vr les diélec- 
tricjues comme des cellules coiuluclrices séparées par des cloisons 
isolantes d'épaisseur inlininu^nl pelile par ]'ap[)()rt aux dimen- 
sions de ces cellules {^) (Cf. i'"'' partie, u" 61 ^qq.)- La répulsion 
réelle entre deux molécules unités serait infinijnent grande, X 



(') Ceci lïù doit joas èlre pris à la lollro, 11 serait diïïicilc d'admettre que le vide 
eût une semblable constitution. 11 ne faut voir là qu'une ('a(;on d'exprimer ce fait 
(jue, dans le diéleelriquc, l'éleetrieité ne circule pas, ne se déplace pas, il y a seu- 
lement polarisation. 



3o PASSAGE DE LA THÉORIE DE HELMÏÏOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

tant nul, mais la répulsion observée entre ces deux molécules , 

plongées clans le diélectrique, est finie. 

Les phénomènes électrodynamiques ordinaires ne dépendent 

pas non plus de la valeur de A et ne peuvent nous faire connaître 

d¥ 
'^-elte valeur, —-j— est nul pour des courants constants. L'équation 

i), n-' 280, s'écrit donc: 

K — >. dx 

*sque les forces électromotrices d'origine diverse que nous 

is représentées par X sont généralement nulles). 

n retombe donc sur les équations du n*^ 280. 

d¥ 
ans le cas des courants variables ordinaires, — - — est généra- 

,aent négligeable, il faudra avoir recours a des courants alter- 

.latifs très rapides, comme dans les expériences de Hertz si Ton 

d¥ 
veut que —7— soit assez grand pour que rinfluence du terme en \ 

se fasse sentir. 

Lathéorie de Maxwell n'est donc en définitive qu'un cas Unùîe 
plutôt qu'un cas particulier de la théorie de Ilelmholtz. 11 faut pour 
passer de l'une a l'autre attrilmer à A une valeur Infiniment peiile. 

Voyons ce que deviennent dans ce cas les diverses ([uantités 
que nous avons envisagées : 

1^* Le potentiel électrostatique cp, ainsi que les densités cr el 
[t| qui, d'après le n'' 280, ne dépondent pas de la valeur attribu('e 
à À. restent finis ; 

1^ Au contraire les densités que nous avons appelées p et \f\ 
sont des infiniment petits du môme ordre (jue "a. 

On peut s'étonner que le potentiel '^ et les attractions élec- 
trostatiques restent finis bien (pie les densités électriipies p et 
Ip] soient infiniment petites; mais je rappellerai : 

1" Que nous avons trouvé : 



W±^ i É^l^ 



Ir ' ; }.,/■ 



DIELECTRIQUES ^i 

d'oii il suit que cp est fini si o, [p] et \ sont des infiniment petits 
de même ordre ; 

2*^ Que le travail des forces électrostatiques qui est égal à la 
variation de la fonction U définie par l'équation (5) du n° 284 est 
également fini. 

On peut d'ailleurs s'expliquer la chose d'une autre ma- 
nière. 

Rappelons, ainsi que je l'ai exposé dans la ] 
que, d'après la manière de voir que nous avonj 
adopter, les diélectriques sont constitués par d 

ductrices séparées par des cloisons infiniment 

chacune de ces cloisons isolantes représente un condeubu . 
dont les deux cellules voisines sont les armatures. 

Ces deux armatures ont des charges égales et de signe con- 
traire <7 et — q\ comme la cloison est infiniment mince, l'ac- 
tion de ces deux charges sur un point extérieur est du même 
ordre de grandeur que l'épaisseur 5 de la cloison divisée 
par A et multipliée par q ; si donc, comme nous le supposons, 
h et X sont de même ordre, cette action sera de môme ordre 
que q. 

Il y a deux remarques a faire au sujet du calcul des actions 
électrostatiques : 

i" Nous avons fait ce calcul en partant de l'expression de U . 
On emploie souvent en électrostatique une autre méthode qui 
st aj)plicahle à un conducteur libre placé dans un diélectrique 
inipohu'isable ('c=:o). Ou considère les diverses molécules élec- 
tri([ucs répandues à la surface des conducteurs et les forces aux- 
quelles elles sont soumises et on les compose d'après les lois de 
la statique. (k;tte méthode appll([uéo à uu conducteur placé dans 
un diélectri([ue polarisahle constitué d'après les idées de j\Ios- 
sotti donnerait des résultats erronés et si on l'appliquait au cas 
d'un diélectrique constitué conlormément à la théorie de 
Maxwell et aux idées exposées dans le présent numéro, on trou- 
verait une attraction infinie. En eflet ce conducteur ne pourrait 
se déplacer sans déranger les sphères de Mossotti ou les cellules 
conductrices, ce qui produirait un travail électrostatique néga- 
tiC et par conséquent une résistance dont il y a lieu de tenir 
compte ; 



e 



332 PASSAGE DE LA THÉORIE DE HELMIIOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

2° Il ne faudrait pas non plus pour calculer U partir de la for- 
lule : 




qui donnerait U==o puisque p=o. 

ï^aU. efFet la fonction n'est pas continue puisqu'elle varie brus- 
q lement quand on passe d'une cellule à l'autre. Si nous révé- 
lons aux petits condensateurs dont je parlais tout à l'heure et si 
is appelons q et q' les charges des deux armatures, cp et o' 
^^'-Xiûol \ q ~{- q' sera de Tordre de X, mais ce n'est pas une 
•ur qu'il en soit de même de ^'f + '/^'f' puisque '^ — cp' 
un infiniment petit de l'ordre de \, 
.'ailleurs 






les intégrations étant étendues à un volume quelconque et les 
SQUimations à tous les petits condensateurs contenus dans ce 
volume. 

On conçoit donc comment la première intégrale peut être 
nulle sans que la seconde le soit. 

286. Vitesses de propagation des perturbations électro- 
magnétiques , — Cherchons comment se propagent, dans les 
diverses théories électromagnétiques en pi'ésenec, les pertur- 
bations électrodynamiques. Si les vitesses de propagation (jui 
sont fonctions des quantités A, /: et K sont acccssil)les à l'expé- 
riencc, ce sera un moyen de déterminer quelqu'une de ces (pian- 
tités. 

On a dix équations aux dérivées partielles définissant les dix 
quantités //, r, w, a, [3, y^ ^^j ^? ^^ ^^ 'f • 

Considérons en effet un diélectrique de pouvoir inducteur K. 

On a(n°280, éq. [2]), 

4-f rfy. ^F 

K — A d.r dt 



PERTURBATIONS ÉLECTROMAGNÉTIQUES B'i 

En différentiant par rapport à t, et en tenant compte des 



relations 11. = —- , etc., il vient 
(U 



I^T.u d''!} rf-F 



K— }. dxdt di" ' 

K—l^^'dydt'^'lF' 

^■K^\> d^o d^VL 

K — A ^^ dzdt dF' 



d'autre part on a les équations (i5) du n" 268 

1 ^'^^''^'dji~in'^^^'7h^' 

] , da. dr d'-^ 

^'''=17--I^'^^'~did7' 

d& doL ^ d'Z' 

47ÛK'=: -^ 7- + A- -'- 



dj' dy ^ ^ dzdt ' 
les équations (19) du n*^ 275 



cl 



d\\ d(.\ 
dV d\\ 

/^ = [-i^ = ^-77 



dV dG d\\ ,. d'^ 



dv dij dz dt 

Considérons maintenant une porturbalion élcclr()inagnéli(|ue 
dans le milieu diélcclri(|ue. Supposons qu'on ait une onde plane 
j)erpendiculaire a 0,v : les cpiantités qui ligurenl dans les équa- 
tions précédentes seront donc fonctions seulement de .r et 
de /. 



f'ASSAGE DE LA THÉORIE DE IlELMIIOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

^es équations deviennent par suite, 



I) 



(Vil) 



(VII 



(IX) 

fxi 



K — À 


dxdl 


^/f- 


4-0 


d'G 




K —À ~ 


df ' 




K— À 


dl- ' 




/ 1 '^''^ 


1 






7 




./[i 

^"'" =./!•' 







aa=o. 



1^?^ 






r/c; 



^y^— , 



<'/.2' ' ' di 



i" KlLulions crabord l'oxde i,o\f;iTui)L\.VLE. Supposons donc 



îl l'ostc F, '^, // et on n'a qu'à satisfaire aux trois (''(|ualions 
[]), (lY) et (X) : les autres sont satisfaites d'ellj^s-memes. 
C o m p a r o n s ( I ) e t ( l V) ; o n a , 



(IV) 



4^,,=_ K_A ^-_ (1V_A , 

^ ^ d.rdt dr ' ' 

. d-3 
dxdl 



ONDE TRANSVERSALE 3i5 

croù 



K — À clj'dt dxdt di^ 

cFoLi encore, 

cP¥ d'-D-f 1 \ d'^s K 



dr^ dxdt \ ' K — a; dxdt lï — i' 

crautre part en différentiant la relation (X) par rapport à a 
vient 

dx^ ' dxdt 

d"^ I d'¥ 



dxdt k\ dx'~ 

d'-F 

La relation précédente en ■ , devient ainsi 

^^F d'F K 



di^ dx' (K— à)/.'). 
La vitesse de propagation des ondes longitudinales est donc. 



Y " '^ 



(K— A)A7. 

'.>" ()m)î:s thansvi^rsales. — On peut satisfaire aux équations en 
posant 

lleslent G, y, t' et les trois é(pialious (II), . V) et (IX'' 
Comparons (II) et (V) ; on a 

d'où 

I dj^ _ £G_ ^ 
K — A f/.r dt" ' 



PASSAGE DE LA THÉORIE DE HELMHOLTZ A CELLE DE MAXWELL 

u uutre part en cUfïerentiaiit (IX) par rapport à ^, il vient, 

rfv I d'Qj 

dx [x dx' 

Il en résulte que, 

d^G _ I d'G 

dt- \j. (K — a) dx- ' 

La vitesse de propagation est donc, 



^^""V p.(K— a)' 

Î7. — Il y a des cas où Tonde longitudinale ne peut se pro- 
uger. Ce sont les cas où, 

/.• = o; 

A=:o; 

K :=:./. 

La vitesse de propagation est alors infinie. C/est Thypollièse 
de Maxwell j les vibrations sont alors transversales. 

Pour les ondes transversales, si A^K, la vitesse de propagation 
est infinie. C'est ce qui a lieu dans Taneienne théoi'Ie de Mos- 
sottip d'après laquelle a est égal à la valeur K^, du pouvoir in- 
ducteur du vide; |a^j=i. Dans cetle théorie, dans le vide (ou 
dans l'air), il n'y a pas propagation d'onde transversale, pas plus 
que d'onde longitudinale. 

Dans la théorie de MaxAvell, il n'y a que des vil)rati()ns trans- 
versales et leur vitessse de propagation Y,, est égale l\ la vitesse 
r de la lumière. Nous nous supposons placés dans le système 
électromagnétique, l'expérience nous apprend que K,, est l'in- 
verse du carré de la vitesse de la lumière ; a^j= i. Si on cU)nne ii 
A la valeur G, on a Y^ = ç^ Si on donne à A une valeui' positive 
différente de o, on a pour V^ une vitesse supérieure à celle de la 
lumière. ]ja théorie de Maxwell se déduit donc de la théorie de 
Helmholtz en Taisant A = o, 



ONDE TRANSVERSALE 

288. — Reprenons les équations du n''46 avec cette valeur de 
Nous avons, 

i K dx dt 

\ ^r.g _ ^y da 

i K '"" dîj '~dt' 

\ ^rdi ___ d<f dll 

\ K "~ dz dt' 

; . dy d^ 

' dof. dr 

j dz dx ^ 

' , dfj da, 

dx dxj 



I a = u.y.- 



■■[^P 



dll dG 

dij dz 

d¥ dli 

dz dx 

dG dF 

dx djj 

dx dij dz 

Didcrentions les équations du second groupe respcctivcnient 
par rapport à .r, ij , z ; il vient 

du dv d\v 

— \ :,™ (-_) 

dx dij dz 

c'est-à-dire — -= o. L'électricité est incompressible; tous les 

courants sont fermés. 

p ne varie pas avec le temps; si p ===: o à Torigine, la densité 
vvdle de l'électricité est toujours nulle. 

On voit en somme que si ). = o, le k d'IIelmholtz n'entre pas 
dans les équations. On passe donc à la théorie de Maxwell en 
faisant }s = o et en laissant k quelconque. 

PoixcARK. Elcc'li'icité et Opliqno. ^^^ 



338 PASSAGE DE LA THEORIE DE IIELMIJOLrZ A CELLE DE MAXWELL 

, Ilelinlioltz dit dans sa préface qu'on passe à la théorie de 
Maxwell en faisant k = o. Ce n'est pas exact; on obtient Lien, 
en faisant k = o, Téquation J -:= o (n° 26), mais pour déduire de 
la formule donnant Vg la vitesse des ondes transversales telle 
qu'elle est dans Maxwell, on est obligé d'introduire des lij^po- 
thèses complémentaires. C'est d'ailleurs ce qu'llclmholtz explique 
dans le courant de Touvrage en complétant ainsi l'assertion de 
sa préface qui a cependant trompé quelques personnes (^). 

Au contraire, en faisant A = o, cela suflît. Il n'est pas éton- 
nant qu'on n'ait pas à donner à k une valeur particulière pour 
faire rentrer la théorie de Maxwell dans celle de Ilelmholtz : 
Maxw^ell ne considère que des courants fermés, /: doit donc tou- 
jours disparaître des équations. 

Nous avons montré seulement jusqu'ici en quoi consisie la 
théorie de Maxwell et comment on peut la faire rentrer dans 
celle de Ilelmholtz. 11 restera à donner les raisons qui doivent la 
faire adopter de préférence à toutes les autres. 

289. — Revenons aux ondes transversales : le courant est di- 
rigé suivant Oij et la force magnétique suivant Oz ; ces deux per- 
turbations, électrique et magnétique, sont dans le plan de l'onde, 
mais perpendiculaires entre elles. 

La lumière, d'après Maxwell, est une perlurl)ation électro- 
magnétique; mais on peut supposer que le plan de polarisation 
de la lumière est perpendiculaire ii la vi]>ration électri(|ue et 
contient la vibration nnignétique, ou faire Tliypo thèse inverse. 
La question de la direction de la vibration par rapport an plan 
de polarisation paraît plus accessible à l'expérience cbuis le cas 
de l'électricité que dans le cas de la lumière; et Ton j)eut attendre 
des expériences élcctromagnéti(]_ues des arguinents en fav(uir de 



Cj llemlliûlt/ dit enoffcl ([ue pour ])asser do sa Uuk)i'i(' à ("die de Maxwell il ('(lu- 
vienl de (aire : 

A=o, E = co = 0), 

ce qui avec nos nulaliona revient à l'aire : 

k = o, À = 0, X = ce . 



ONDE TRANSVERSALE 33c 

Tune des deux hypothèses. Pour Maxwell, la vibration lominetisc 
est parallèle à la l'orce magnétique ; et celle-ci est dans le plan 
de polarisation, conformément à Thypothèse de Neumann et 
contrairement à celle de Fresnel ; le courant est perpendiculaire 
au plan de polarisation. 

Une remarque encore sur la vitesse de propagation des oi 
longitudinales. A étant dillerent de zéro, on pourrait se dé 
rasser de ces ondes en faisant /i == o ; mais on pourrait arrive 
même résultat en faisant k négatif. On aurait alors des raj 
évanescents et Ton retomberait sur les idées de Cauchy (^), i 
dans ce cas l'équilibre est instalde comme iioiis Vavons démo; 
(n"34). 

J'ai exposé d'ailleurs dans la T/fco/u'e f)i(Uhèi}iall([iie de la lu 
niière qu'avec les idées de Cauchy, L'éther serait en équililn*' 
insta])le. 



(') PoiMCARK, Thcoric mathcinatiquc de la laniïcrc, j). 5f>, ii" 4;. Ci. Carre ol 
C. Nnud, (kl i tours. 



TROISIEME PARTIE 



NOUVELLES 

THÉORIES ÉLEGTRODYNAMIOUES 

THÉORIE DE HERTZ ET THÉORIE DE LORENTZ 



CHAPITRE PREMIER 

THÉORIE DE HERTZ 
ÉLECTRODYNAMIOUE DES CORPS EN REP' 



290. — Avant d'entrer dans l'étnde détaillée de cette tli* 
commençons par indiquer en quelques lignes les idées que Lui .. 
avait sur le point de départ des autres théories électrodynami- 
ques proposées avant lui. 

Il constate d'abord qu'en allant de Vidée de la simple action à 
distance à Taction par Fintermédiaire d'un milieu, on peut se 
placer à plusieurs points de vue différents (^) : 

1° Avlion à dislance. — Pour que cette action puisse s'exercer 
il faut que les deux corps entre lesquels elle s'exerce existent en 
même temps ; s'il n'y en a qu'un seul, cette action électrique ne 
peut pas exister : c'est le point de vue astronomique de l'attrac- 
tion réciproque. 

2" Po'uil de vue de la ihéorlc du polenlkd. — On suppose 
([ue la force électrique existe même avec un seul corps électrisé, 
avant (pi'on introduise dans le champ un autre corps électrisé. 

3" Polarlsalion du diélectrique. — Ou siqrposc les diélecti'i- 
([ues constitués de cellules qui s'électi'isent par influence. Si on 
considèi'e un condensateur, Ic^s l'oi'ces (jul s'exei'cent entre les 
armatures seraient alors ducs non seul(Miient aux char<xes des 
deux armatures^ mais aussi aux chai'<^"<'s des cellules. , C'est le 
point de départ de la théorie de Poisson. 

Si on attril.)ue aux cellules le rôle principal, les forces à dis- 
tance ne jouent plus alors (pi'unrole mîirlme ; on ne peut cepen- 
dant les négliger faute de supprimer en même temps l'action par 
influence sur les cellules : c'est l'idée de Ilelmholtz. 



(') Hi'RTZ. UntcrfiKchangeii ilbcr Ansbreltung der elcctrischen Kraji, p. 'ïl 
(Leij)ziy', fjarlli, jSq';^). Voir aussi La Luniicrc électrique du î^i mai iSq^. 



344 THÉORIE DE HERTZ 

4*^ Suppression de toute action à distance. — Le champ con- 
siste alors en une certaine polarisation du diélectrique : c'est l'idée 
de Maxwell. Cependant le livre classique de Maxwell ne s'expli- 
que pas complètement en partant de là. Hertz attribue ce défaut 
de clarté à deux causes : 

a) Le mot « électricité )> n'a pas un sens précis dans ses rai- 
sonnements : il l'emploie pour désigner l'électricité dans le sens 
vulgaire, dans le sens fluide incompressible, etc. 

b) L'ouvrage de Maxwell ne forme pas un seul ensemble 
d'idées : il donne plusieurs théories se rapportant au même 
sujet, puis il les abandonne successivement, de sorte qu'on y 
trouve plutôt un mélange de théories qu'une théorie unique. 

En somme, Hertz n'admet que les équations établies par 
Maxwell, en laissant de côté le texte de son ouvrage classique 
comme étant obscur, et il essaie, en se posant ses équations 
finales d'avance, de faire une théorie y conduisant. 

C'est cette théorie de Hertz que nous nous proposons d'expo- 
ser et discuter en détail 

Toute la théorie de Hertz est contenue dans deux mémoires 
célèbres qu'il a publiés en 1890 et qui sont intitulés : Siw les 
équations fondame7itales de V electrodijnaniique des corps en 
repos (^) et l'autre Sur les équations fondamentales de V électro- 
dynamique des corps en mouvement ('). Il y aurait peut-(M.re 
des réserves à faire sur cette distinction peu justifiée, car les 
actions électriques étant mesurées au moyen de petits corps qui 
sont mis en mouvement, ces petits corps en mouvement modi- 
fient un peu le champ ; mais on peut supposer qu'ils le modi- 
fient peu. 

Nous diviserons donc l'étude de la théorie de Hertz en deux 
parties : l'électrodynamique des corps en repos et l'électrodyna- 
mique des corps en mouvement, et nous emploierons les nota- 



(^) Heutz. yacliriclUcti <>oa der Kœiilgl. Gcselischaft, inavs 1890, ùi La Lumière 
électrique du 19 juillet 1890 et numéros suivants. 

(-) Hertz. Wiecteman's Annalen, t. XLI, p. 3G9; ou. La Lumière électrique du 6 dé- 
cembre 1890 et numéro suivant. 



ELECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN REPOS 



345 



tions de Maxwell qu'on retrouvera aussi dans la théorie de 
Lorentz, 



ÉLECTRODYx\AMIQUE DES CORPS EN REPOS 

291. JPreiïiière loi fondamentale. — Considérons une sur- 
lace S, quelconque, limitée par une certaine courbe fermée C. 
Nous savons que si le champ varie et si le contour de la surface 
est constitué par un fil, il naît alors dans ce fil un courant d'in- 
duction et la force électromotrice d'induction est représentée 
par l'intégrale de ligne, 



CiJ>dx-JrQ_du~\-Rdz) 



que nous écrirons plus simplement 





le signe ^ s'étendant aux composantes du vecteur (P, Q, R) qui 

représente la force électrique, et aux coordonnées .r, ?/, .::. 

Ij' expérience nous apprend ([ue celte force clectromotrice qui 
prend naissance dans les circonstances énoncées plus haut, est 
égale à la dérivée par rapport au temps du flux d'induction ma- 
gnétique ({ui traverse la surface S limitée par le circuit en ques- 
tion. 

On a donc, 



(0 




[j. ( b. 4- tii P + n-^) dw , 



l'intégrale du premier membre étant étendue a toute la courbe C 
(|ui limite la surface S et l'intégrale du second membre s'éten- 
chuit à toute la surface S. 

(/, ni^ ji sont les cosinus directeurs de l'élément (li.ù.) 



346 ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EX REPOS 

292. Equations fondamentales de Hertz et de Maxwell, — 
Transformons le premier membre de la relation (i) à l'aide du 
théorème de Stokes ; il vient, 



^J \ (iz (UJ j 



'intégrale du second membre s'étendant à toute la surface S. 
La relation (i) devient donc, 




E 



Wo) ( ^ — ^~-r-\ =r.~^ I y\ adojh 




= y«„ 



ch 



(Il 



D'où, en identifiant les cociricients de Wco, rncho, /idto, 

(hjSJ. di) d\\ 



I (U. (A 

(,) ^ du.?-' " 



(Il dz dtj ' 

/R r/P 

ïz' 

__^ _^^ d(l 

di djj d.v 



I dt dj' 

' d'j.r dV 



Ce sont les premières èquatiojis fou dame ni. aie s de llerlz. 

Si, au lieu de considérer le Ikix d'indiictiou nKin'iiéLï(|uc 
d'après Hertz, on considère le flux d'inducliou magncHiquc 
d'après Maxwell qui désigne par a, /;, c les coniposaïUes de Tin- 
ductlon magnétique, on obtient 



' d 



da _^ dq d\\ 

ir'~'7h, df' 

dh _ d\\ d\' 

dt d.v dz ' 

c _ d? dO 

dt dy dx 



EQUATIONS FONDAMENTALES 3 

Introduisons maintenant le potentiel vecteur ; posons av 
Maxwell 



dt dx ' 

\ ^ da d'h 

^ dji dûj 

dt dz 

F, G, II étant les composantes an potentiel vecteiu^ 

. , , . ^/F dQr dll 

potentiel électrostatique , —r- , -7—^ — r représentent les c 
' ^ ' dt dt dt ^ 

santés de la force électromotrice d'induction d'origine magi 

d^h d^ d'I , , 1 1 ,> 

ticrue et V-, -7^, — représentent les composantes de la toi 
^ d.r dy dz ^ 

électromotrice d'induction d'origine électrostatique. 

Remplaçons dans (2) P, Q, R par leurs valeurs (3) ; il vient, 

■ da dm d'G 



] db 


dydt 


d-dl ' 


d:'¥ 


dm 


1'" 

' de 


dzdt 


dxdl ' 


d'G 


d-F 


dt 


d.vdl 


djjdl ' 


'dû, par inl:('gralioii, 







((Il ^K,r ^^. 

, df/ dz 

dz ri.r 

d.v df/ 

Mais on peut supposer uuUe la constante d'intégration; en 
efïetj nous avous la relation (n^l02) 

da db de , ,,|- ,.n 

_| . „| _. = (xMaxwell) 



d<r dif dz 



348 ÉLECTRODl'NAMIQVE DES CORPS EN REPOS 

et, d'autre part, nous ne savons définir le potentiel vecteur crue 
par^ses dérivées; il n'est donc déterminé qu'à une constante 

Il reste alors, 

I dR dG 

; t1 T-— 

dz ' 
(4) J/.=^___^ 




dz ' 


dx ' 


dG 

dx 


dF 

dy ' 



293 Coaz-az^^ to^«,. __ R,pp^l^^^ ^ 

courant de déplacen nt t • ' """"\'^ '^""'^"'^'^"'^ Pl- le 
électrique ?-'co;s^iXonsurT""'"" P"' ^^^Pl''— "t 
électrique ■ ce d'^Ieot L '^^''^'^'"'ï"^ P^"*^*^ dans ua champ 

^Sirr:::e:r;^-^,r^^^ 

;I -présente ses co.posanTes ;:/f /l^'ir;"" ^■^^^""'1-' = 
les composantes du courant de .onvl I-" ' '^"' "'" ""''■'' 

électrique dans leaueTse ,t ''""f "'^^^T P'^'V^, q, r. Si le chan.p 

déplacLentélectiler " r n ''^'^'^*'-'^I- -' -riable, 1. 
cette variation du tp ^ T'm """* ""''^''^ ^' '^ ''-"'^^ d« 

Maxwell appelle. J::r:;L:rrn Z^^^-^- 'i- 
santés par J "'■^emenl. H désigne ses comp,,- 



-^ dg_ dh 

^' dt ' H^ 



qui sont, comme on le vn,> i. r - • 



ces de 



COURANT TOTAL 349 

Ainsi donc, d'après Maxwell, le courant total est représenté par, 



/ , df 

ig 



u =■ p 
-7- 



dt 



dh 

294. — Voyons maintenant quelles sont les lois qui régissent 
les courants de conduction et de déplacement. 

Les courants de conduction sont régis par la loi d'Ohm, 

). étant un coefficient dépendant de la conductibilité du milieu 
Seulement, cette loi suppose que dans le milieu conducteur con 
sidéré, le courant n'a à vaincre que ce qu'on appelle la résis 
tance caractéristique de ce milieu qu'il traverse ; mais si dans c^ 
milieu il y avait aussi des forces électromotrices d'origine chi 
mique ou thermique, des effets l^eltier, etc., il faudrait alor; 
représenter dans notre formule ces forces par un terme complé- 
mentaire; appelons P^, Q^, R^^ ces termes complémentaires ; il 
viendrait alors daus ce cas, 

(^Quntau déplaceincnl élcctiM.([ue il est proportionnel à P, Q, R ; 
Maxwell représente ses composantes par 

/•..Ji-P, ....Ji-Q, ,=.J^R. 

'471 4~ 4^ 

K est ce qu'on appelle le pouvoir inducteur spécifique du dié- 
lectrique. Dans le vide, ce coellicient est égal à l'inverse du 
carré de la vitesse de la lumière. 

Maxwell démontre en outre la relation suivante (n*^ 87), 

. ,^ du dv d\v 

C.ette relation signifie que' si l'on tient compte des courants 
(le conduction et des courants de déplacement, il n'y a alors que 
des coiwanls fermés. 



J5o ÉLECTIWDYSAMIQUE DES CORPS EN REPOS 

Hertz, dans sa théorie, iiitrodnif: à la place du vecleiir (/;^^>', h) dv 
Maxwell un autre vecteur qu'il appelle inducùon eleclrifjKc et 
dont il représente les composantes par 

KP, KO, KR. 

On voit que ce nouveau vecteur de lïertz est égal au veeîrur 
'/, i>\ In de ^iaxwell au facteur 4 ~ prés. 

295. Seconde loi fondsimentale. — Reprenons la stirlace S 

précédemment considérée, limitée par la courhe (] (^t coiisich''- 

rons une masse magnétique décrivant cette courbe ; celte masse 

agnétiquc est soumise delapart du champ extérieur' l\ une loi'ce ; 

travail de cette force est représenté par rinlégrale de Ii«>-iH\ 

1 intégrale étant étendue au contour G. 

Ue.vpénence nous apprend que cette inlégrah' esl rtniU^ au 
produit, changé de signe, du facteur constajit 4k par In <juanlih' 
d'électricité qui traverse h\ surface S; on a donc. 



(Ifi -{-/// i>-~\- //sr" (,'(0. 



296. — Transformons la première inlégrale par !e lUrovnur 
de Stokes, comme nous l'avons fait précédenimenl pour Tinlé.. 
grale de ligne de la force électrique, larelallon (-) dcslrnï alors 





V 



/fnfio 



d^oii, en identifiant les coefficients de /cuo 



, DKkU), /l(,U)^ 



4t:,' 



relations de Maxwell. 



; 

d.v 



dz ' 

r/v 

i^ 

d'j. 



ÉQ VA TIONS FONDAMESTA LES 3 5 i 

Mais il importe de remarquer que rexpérience n'a jamais porté 
que sur des courauts fermés ; son extension au cas des courants 
non fermés (décharge d'un condensateur par exemple) a été faite 
par Maxwell, comme nous Tavons déjà dit plus haut, à condition 
de prendre pour courant total la valeur 

df 

297. — llomplaçons maintenant dans (9) //, f, ir, par leurs 
valeurs (5), il vient 

dfj dz '' dl 

[ r/3 da. , , dh 

._, 4^,. _|_ 4^. 

dx dij (IL 



',n\ 



Oi 



,. KP ,, , df 



r dKP 

47: dt 



elc 



les l'clations (lo) deviennent clone, 

dKP __r/v 
(// di/ 

\ dKQ d'j. 



7/7 -4-/^ 






Ix 
d% 



dz dx ' 



-4^/-. 



di 
dKW ___ ./-i 
'~'d/ ' ' d.v T/y 

C Civile deti.vicjjic ii/'()/(j)c des cqiidllons fondanienhilcs de /Icr/z. 

298. — La frlalion (y) peut se mellre sous une autre forme. 
Nous avons, 



dz di,) 




llldiù. 



352 ÉLFXTRODYNAMiqVE DES CORPS EN REPOS 

Or, d'après (ii) 
donc 



— 1 y^arf.'r = 47: / X^^'^^ 




dw-^/^T. 




Remarquons que si notre surface S se trouve placée daus un 
diélectrique, le courant de couduction est nul et la relation (12) 
devient, 

299- Définition de Vélectricitè et du no.agnètisme d'après 
Hertz. — Voici comment Ileii/ définit les ([iianlilés (r(''lc('li*i(*l!é 
et de maf^niétisme ([ui se IronvcMil l\ rinl(''i'ieur (Tuii xolunic T 
limité pai,' une surface S. 

Hertz (llstinu'uc (Tahord le mao-nétisme libre (M \r matiiiélisnu* 
vrai, puis ['(dectricité lihi'c cl r(d(H'Iri("il(' vt'aie. 

r.a quantité dr nias^nùlisiife libre ;i rinlc'rlcni- du volninc T est, 
par dèfaiiùon^ le (lux de foi'cc mao-nélicpic loUd îi Iravci's In 
surface S ([ui limile le volume T, divisf' par .\-. 

\.c mas^nèlisinc s^rdi i^{' (hWinit de la même manii're, seulement 
au lien (1(^ considérer le llux de loi'ce inann(»| {(jnc on eonsidèi'e 
le llux <rin(luclion ma^né(i(pi(\ On peni par cons(''(|nenl ('crii*e 
SYmi)oli(piem(Mil, 

(lux de (orce mannrj i(Mi(> 
m a li'n (' 1 1 s m e lin r (.' ~— , ~ , 



\ 

I . . llux d'induclion mae'nc'l itiue 
macrnétisme vrai • — 



« - 4t 



DEFINITION ANALYTIQUE DU MAGNETISME LIBRE 

h' électricité libre ^ c'est le fluK de force électrique divisé pa 
4tc ; seulement comme je prendrai les unités électromagnétiques 
il faut introduire en plus le facteur K^ (valeur de K dans 1 
vide). 

L'électricité craie, c'est le flux d'induction électrique clivis 
par 4'^. 

On a donc encore, 

,, ..,,., flux de force électrique ^^ 
électricité libre ==• ; ~ — X K., 

47U 

,, . . . flux d'induction électrique 
électricité vraie = — . 

47: 

Nous voyons donc que, pour Hertz, ce qu'on appelle électricité 
et magnétisme ce n'est pas un fluide, ce n'est pas quelque chose 
de matériel, mais bien une expression purement analytique : 
une intégrale ; ce qui existe effectivement c'est la force élec- 
trique et la force magnétique. Hertz suppose le champ électi'ique 
et le champ magnétique bien déterminés quand on se donne eu 
chaque point la valeur du vecteur appelé force électrique ou 
force magnétique (^). 

300- — Traduisons les définitions ])vécédcntQs analjj/i^jfœnient. 
Commençons par le magnétisme libre. 

MagnclisDie libre. — (Considérons un élément de voluin<' dz^ 
limité par une surface S. L(^. flux de (orce magnéti([ue \\ travers S 
a pour valeur : 

' (h. r/3 ^/r 



dx djj dz / 

Désignons par M la densilé du maginW/isr.ic libre; nous avons 
pour cette densité, par délinition, 



^ ^ dx du dz Zj dx 



(') Ilerlz indique doux cas où la coiinaissanco dos dcu^' vocLoiirs (P, Q, R) ; (a, [îi, 
y) wit sulVil pas [)Oiir détcnuiiiei' toulcs les propriéLés du champ magnéliqiie; e'esl 
le cas du niiignetisnie perniancni ot le cas de la dispersion. (Voir Poi^'CAKK, Oscilla- 
tions électriques^ P- 7- G. Carré, éditeur.) 

Poirs'CAKK. Eleclricitc et Opliqnc. '?.'] 



354 ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN REPOS 

Or, d'après Maxwell, 

\1 (h. 



et 



[ <r-t = a4-47:A, 



par conséquent, 






VI Aï VI da VI (lA 

^ da; Zj dx Z>J dx 



I \1 ^a \1 dA 

4tc Zu dx jLà dx 

est la densité du magnétisme libre. 

Magnétisme vrai, — On a, en appelant M^ la densité du ma- 
gnétisme vrai, 



(rr,) 



SI nous posons, 



4^M. 



d.r ' 



a = [j.a + 47:A,„ 
b ^ i^^i + 4^li.„ 
c = ay + 4-(;„ ; 

de sorte que A„, B,,, C„ soient les coinposanles de raiiiiiiiiUdioii 
permanente, on aura, 

yii^o^y^ + ^.Vi^. 



par conséquent, 

(t6) 



M. 






La densité du magnétisme vrai a clone* la même cxin'cssion 
que celle du magnétisme libre, à cela près (|ue Jes eoin|)(>sanleH 
de l'aimantation totale sont rempiaeées par Jes composantes de 
l'aimantation permanente . 



L 



ÉLECTRICITÉ VRAIE ET ÉLECTRICITÉ LIBRE 355 

Le magnétisme libre c'est donc le magnétisme total, tant 
permanent qu'induit ; le magnétisme vrai, c'est le magnétisme 
permanent. 

Electricité vi^aie. — C'est celle qui se porte par conduction ou 
convection sur la surface des conducteurs ; on a, en désignant 
par p sa densité, 

^"^^ ^ In^ ' 

or, 

-.- = f; etc., 
4,1. 

donc 

( 

relation de Maxwell. 

Electricité libre. — En appelant 0^ la densité de l'électricité 
libre, on a. 






d'où 

ficS) 



I 



,\ 



^ d\\V 



4- ^ (Li 



(hielle (riiïereiice y a-t-i! au point de vue |)liysi<[ue entre ces 
■([eux ([nantîtes d'ébx'lricité ? Pour nous rendre, cbniple (l(* cett(^ 
(liflerencr considérons un conduet(nir électrisé et un diélee- 
tri(|iu' séparé du conduelenr j)av une lame d'air, il y a de 
l'éleclricité vi'aie à la surface du conducteur ; mais il n'y en a 
pas à la surface du diél.ectri(pie. (]uaut a Félectricilé libre, elle 
existe à la surface du conducteui* et à même densité (jue l'élec- 
tricité vraie, mais il y a aussi de l'électricité libre à la surface 
du diélectri([ue. I^]lle est àna aux cliarges « apparentes )) pro- 
duites par la polarisation du diélectri({ue. 

Si maintenant Je conducteur est au contact du diélectri(|ue 
qui, par exemple, le recouvrira complètement, il y aura de 
l'électricité vraie h la surface du conducteur, mais il n'y en aura 



ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN REPOS 

irface extérieure du diélectrique ; il y aura électricité 
irface extérieure du diélectrique ; il y en aura 
I surface de séparation du conducteur et du diélec- 

_t densité de rélectrlcité libre et celle de l'électricité 
v.v.ae surface ne seront pas les mêmes. 

iQi, Remarque — Supposons que nous ayons une surface S 

niée et placée dans le vide ; supposons qu'à l'intérieur de 

e surface puissent se trouver des corps conducteurs, des 

ectriques ou des corps magnétiques. En tous les points de 

urface S on a 

[i. = I ; K = K, ; 

conséquent sur cette surface il y a égalité entre la force 
^nétique et Tinduction magnétique ; quant à la force élec- 
ui.xv|Ue et l'induction électrique, elles sont égales au facteur KjDrès. 
Les flux correspondants seront par suite égaux deux à deux : il 
en résulte que la quantité totale d'électricité vraie est égale à la 
quantité totale d'électricité libre et que la quantité totale de 
maguétisme libre est égale à la quantité totale de magnétisme 
vrai. Seulement à l'intérieur de la surface on pourrait avoir une 
répartition difierente. 



VERIFICATION DU PRINCIPE l) !•: LA CONSIUIVATION DU MACJNETISMR 
ET DU PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE u' ÉLECTR ICITE 



302. 



Ao)(:^ 




— Commençons par le principe d(^ la consei'vation du 
magnétisme et faisons cette vérification (mi 
partant du magnétisme vrai. 

Considérons une surlace S fermée. Il s'aa*it 
de démontrer que le (lux magnéti([u(^ à travers 
cette sui'face est constant. 

Détachons de S un élément de surface (h). 
La surface restante S^ sera ainsi ouverte. Le 
flux d'induction à travers la surface totale S 
dillere infiniment peu du flux d'induction à 

S^ Il s'agit donc de démontrer que le flux à travers S^ 



CONSERVATION DU MAGNÉTISME 357 

est constant et que par conséquent sa dérivée est nulle. 
Or nous avons 



Yi^'^'^^Tt / 2^^°"^"' 



la première intégrale étant étendue à la courbe C limitant 
l'élément de surface io) et la seconde à la surface S^; or, cette 
courbe est infiniment petite vu la petitesse de «nfco ; l'intégrale 
de ligne en question peut par conséquent être considérée comme 
nulle et il reste alors, 



I y ]j.laLdiù = o, 



et par suite 




303. — Pour V\'leclrlcllé,on démontrerait de la même manière 
que 

> y,d,r = O, 



Fintégrale étant étendne à la c(>url)e C. 



I^]t en tenant compte de (ri>) 



les intégrales étant étendues à la surface S^ ou a la surface 
fermée S qui en diffère infiniment peu. 

Or, la première intégrale représente la quantité d'électricité 
qui sort de la surface S par conduction; la seconde intégrale 



58 ÉLECTRODYNÂMIQUE DES CORPS EN REPOS 

eprésente le flux d'induction électrique à travers la surface S ; 
'est bien là le principe de la conservation de rélectriciié. 



VERIFICATION DU PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L ENERGIE 

304, — Les équations de Hertz sont-elles conformes au 
n'incipe de la conservation de l'énergie? 

Pour vérifier cela, voyons de quoi se compose cette énergie. 
z admet c[ue Ténergie totale se compose de l'énergie élec- 
e et de Ténergie magnétique. D'après Maxw^ell^ l'énergie 
rique a pour expression 






que nous écrirons pour abré<xei 



b^' ' 



('9) 



f^lr 



l'intégrale étant étendue à l'espace tout entier. 
D'après Hertz l'énergie électrique a pour valeur 



(20j 



fil- 



Ces deux expressions (19) et (oq) sont équivalentes; il sullit, en 
cflet, de nous rappeler que le vecteur (KP, KQ, KR) de Hertz 
est égal au vecteur (/; g, h) de Maxwell au facteur 4'^ pri's. 

Mais il n'en est plus do même pour l'énergie magnétique. 
Dans ce cas non seulement il n'y a plus accord entre la formule 
donnée par Maxwell et celle donnée par Hertz, mais encore 
les tomes I et H du Trnlîé classique de Maxwell ne sont pas 
d'accord entre eux sur ce point. 

Ainsi Maxwell dans le tome I de son traité, quand il s'occupe 



ÉNERGIE MAGNÉTIQUE 359 

des aimants sans parler de courants, donne pour expression de 
Ténergie électromagnétique 

(.1) - / (Aa + B,3+CT)^ = - / ^2^^"' 

l'intégration étant étendue à tous les éléments de volume cIt de 
l'espace. 

Quand il s'occupe des courants il donne l'expression si 
vante. 



22 



f'^'-+''?+-'>i-fi.l'"- 



Or, il est aise de voir que ces deux expressions de Maxwell 
ne sont pas compatibles entre elles. En elFet, s'il n'y a pas de 
courants mais seulement des aimants, la deuxième expression 
de Maxwell est nulle. Placous-nous dans ce cas. On a donc, 

Or, 

,/ =^- 7.+ 4 -A, etc. ; 

donc 




d'où 

(23j ~- I :iiyAa::=:: 





Or le premier membre de cette relation représente la pre- 
mière expression de Ténergie électromagnétique de Maxwell. 
On voit donc que ces deux expressions de Maxwell sont com- 
plètement inadmissibles. 



36o ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN REPOS 

Hertz donne comme expression de Ténergie magnétique la 
formule suivante, 

(^4) 




On remarque facilement que cette expression est identique à 
l'expression (22) de Maxwell quand il ny a pas de magnétisme 
permanent (A^ = B^ = C^, == 0). 

S'il n'y a que du magnétisme permanent et pas de magné- 
le induit (ui = i) alors Texpression de Hertz se réduit à 




axpression identique à l'expression (21) de Maxwell (d'après la 
relation (sS) que nous venons d'établir). 

305. — Adoptons l'expression de Hertz. Hertz donne comme 
expression d'énergie totale tant électrique que magnétique l'ex- 
pression suivante. 



J 



d'où, en différentiant par rapport à t, 




Itemplacons dans cette relation — - — et — V- par leurs valeurs 
^ " dt dt ^ 

tirées des équations (1) et [W] de Hertz (p. 346 et 'i^)i) il vient, 
f r\ '^^ l "^^ Vin f'h ^ii^\ /^Q ^RM 

\ppd.. 




CONSERVATION DE IJ ÉNERGIE 



Je dis que la première intégrale du second membre est nul] 
En effet, remarquons que cette intégrale peut s'écrire, 

l'intégration étant étendue à l'espace tout entier. 

D'autre part nous savons que, U étant une fonc 
conque, on a 

dx 



car toutes nos fonctions s'annulent à l'infini et nos intégra" 
sont étendues a l'espace entier. On a donc, 

«y — ûo «y — co 

il en résulte que l'intégrale (27) et par conséquent la première 
intégrale du second membre de (26) est nulle. 
La relation (26) devient donc 



.8) 



(Quelle est la signification de cette équation ? — Prenons l'axe 
des a: parallèle à la direction du courant dans l'élément dz et 
prenons pour élément de volume un petit cylindre de section drr 
et de longueur dS. 

On a, 

dz = di dS^ 

la relation (28) peut donc s'écrire^ 





■/ï' 



36'2 ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN REPOS 

Or P<:/S exprime la force électromotrice ; désignons-la par E ; 
Tautre facteur pd'j exprime Tintensité du courant ; désignons 
par i cette intensité; la relation (29) devient donc finalement, 

(U_ _ 



Or \ii représente la chaleur de Joule ; le principe de la con- 
irvation de l'énergie est donc vérifié par les équations de Hertz. 
^-^'^nression de V énergie magnétique de Hertz est donc la seule 
'Me. 




I 



CHAPITRE II 



ÉLEGTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 



Jusqu'à présent nous ne nous sommes occupé que des corps en 
repos : nos circuits ne se déplaçaient pas. Nous allons envisager 
maintenant le cas des circuits en mouvement. L'étude des phéno- 
mènes qui se présentent dans ce cas constitue l'électrodynamique 
des corps en mouvement. 



306. Dérivées par rapport au temps. — Désignons les 
composantes de la vitesse de la matière par ^^ tj, 'Ç et soit U lu 
valeur d'une fonction en un point M Çr, y, :;) ; cherchons la 
dérivée par rapport au temps de cette fonction. 

Deux cas peuvent se présenter : 

i'* Le point M (.r, ?/, c) est fixe. 

o/' Le point M (.r, //, .:•) est entraîné dans le jnouvcment de la 
matière. 

On aura pai* conséquent deux sortes 
de dérivées par rapport au temps : 

i" La dérivée de hi fonction U en sup- 
posant M (.r, jy, ~j fixe ; 

2'' \a{ dérivée de; hi fonction U eu sup- 
posant ([ue ^l (x, ij^ z\ est entrahié dans 
le mouvement d(^ la matière, 

Dans le premier cas, la valeur de U au temps l-\-cU sera 

dl]... . , ÙU , 

(Uj eu desi- 




iM^-. .](]. 



\] _[..- --^"f// qx, dans le second cas, elle sera U 
dt ' 



(V 



guantpar — (avec des ù ronds) les dérivés d'une fonction pi 



0/ 



rapport au temps quand le point (.r, //, z) est entraîné dans le 



mouvement de la matière: 



nous ferons usage de cette conven- 



364 ÉLECTRO.DYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

tion toutes les fois qu'on aura à considérer des dérivées par 
rapport au temps. 

Calculons maintenant cette dérivée — • 

Considérons donc un point M (.r, y, .:?), successivement a 
Tépoque t et à Tépoque t + dt. Ce point étant entraîné dans le 
mouvement de la matière, ses coordonnées .r, y, z subissent des 
iccroissements- 

dy = 'r4i, 
dz = l,dt, 

dent alors pour valeur de cette dérivée 

^_i£ _LpiH__j> iH-o-^— 

> U~~ dt '^^ dx "^ ''' dy '^^ dz' 

30T. Induction dans un circuit en mouvement. — Considé- 
rons un vecteur quelconque (a, j3, 'f), une surface S limitée par 
une courbe C et l'expression 




Proposons-nous d'évaluer la dérivée de cette expression par 
rapport au temps. 

Pour fixer les idées supposons que le vecteur considéré soit la 
force magnétique (a, [3, y) ; l'expression (a) représentera alors ce 
qu'on appelle le liux de force magnétique à travers la surface 
considérée. 

Il y a deux manières d'envisager la question. 

1° On peut supposer que la surface S reste fixe, et dans ce cas 

la dérivée en question s écrit — — (avec des d ordinaires) d après 

notre convention. 

2° On peut supposer, qu'au contraire, la surface S, au lieu de 
rester fixe, se déplace, entrai uée dans le mouvement de la matière, 

et vienne en S^ : dans ce cas c'est la dérivée -^favecdesô ronds) 

qu'il faut considérer. 



CIRCUIT EN MOUVEMENT 



365 



Je me propose crévaluer cette seconde dérivée -:- — . Quand t 

augmente et dt et qu'en même temps la surface S est entraînée 
dans le mouvement de la matière 
et vient en S^ <ï* subit alors un 
accroissement représenté par 






dt. 




Fig. 47. 



Cet accroissement peut être dé- 
composé en trois parties distinc- 
tes. Soit S''^ une surface annulaire qu'on peut faire passer pu. 

circuits CC, C'C^ qui limitent les Sui- 
"^>Qa faces S, S'. Les trois parties de Faccrois- 
semeiit sont : 

i'^ L'accroissement subi pendant le 
temps dt par le flux qui traverse la sur- 
*y^ face S. Cet accroissement a pour valeur 







dt. 



2° Le flux qui traverse la surface annu- 
laire S^^ Je désignerai par Zfi cet accrois- 
sement ; 

3'^ La dinereuce entre le flux qui tra- 
verse S+S'^ el le flux qui travei'se S'. 
J'appellerai o^<I> celle dilTérence. 
On a donc, 



Fig-. 4H. 



"^) 



(>I> 



dA^ 



i)t dt II'- 



Evaluons chaque ternie du second membre séparément. 
D'abord, pour — ~ , on a, en dlHerentiant <I> par rapport 



dt 



a/, 



(4) 



^^ / yid. 
fil I / j 



da. 

dt 



366 



ÉLECTRQdYNAMiqUE DES CORPS ES MOUVEMEXT' 



Calculons maintenant o^cp. 

Soit ce la courbe qui limite la surface S ; au bout du temps dt 
cette courbe vient en C^C'' et si nous considérons deux points PP, 
limitant un arc PP^ sur la courbe G, au bout du temps dl cet 
arc viendra en PT^^. 

Considérons le petit quadrilatère PP^P^^P^ formé par les deux 

arcs PP^ etP'P^, et les deux petites droites PF, P^P^^. Ce petit 

:juadrilatère est assimilable à un parallélogramme. Appelons dw 

ion aire et évaluons le flux de force magnétique k travers cette 

've. A cet effet menons par les sommets du petit parallélo- 

s droites PQ, P,Q^, P^Q', P^.QV représentant la force 

en grandeur et direction, et considérons le petit 

de ainsi formé. Je dis que le volume de ce parallé- 

résente le flux cherché. En effet 



voP du paraP = dio X hauteur 

et la hauteur c'est la composante normale de la force magnétique, 
par construction. 

Le calcul du flux cherché se ramène donc au calcul du volunn^ 
du parallélipède Pl\ V^?' , QQ^ (/Q^ 

Evaluons ce volume. 01)servons a cet eîFet que PI*' c'est ie 
chemin parcouru pendant le temps di par le point P ; les trois 
composantes de ce petit chemin sont, en désignant par ç, r^, u, 
les coniposaiîles de la vitesse du point P (([ui est la iném(^ que la 
vitesse de la mal! ère), ^d(^ r/it, 'idl. 

Le volume du [larallélipipède en question est donc 

dij d: 



dx 


du 


dz 




d.v 


d'.. 


Ut 


■f^dt 


■Çdl 


=j/ 


t 


■r\ 


a 


fi 


Y 




a 


fi 



Pour avoir le Ikix total il faut intégrer cette expression, il 
vient alors. 



dl- '■ 



d.v 


du 


dz 


"r 
^ 







CIRCUIT EN MOUVEMENT 



Développons le déterminant qui figure dans le second membre 
en désignant parX, Y, Z ses mineurs, il vient, 



donc 



o,4> 



dt 



x= 


-ri-?v 


Y = 


=<—tl. 


Z = 


= |3; — ar, ; 


dx 


dy dz 




% 


r, K 


= 


a 


? T 





== / 2jXdr, 



la dernière intégrale étant étendue au contour C. 

Transformons cette dernière intégrale par le théorème de 
Stokes, il vient, 






-fi"-a 



d\' dZ\ 



d'j> ' 



Calculons maintenant o^fI>. 

Nous avons désigné par ce symbole la diflerence des flux qui 
traversent S-)- S'^ et S'. Remar- 
quons d'aboi'd que ces surfaces 
sont limitées pai une même 
courbe VJ . 

Pour avoir o/!> considérons 
un éh'ment de siirl'acc r/o) de S 
et pat' les diderents poitrts de 

cet élément menons des lignes de force ; nous déterminerons 
ainsi des tul)es de iorce qui découperont sur S^ un élément cIm' . 
Quel est le ilux total qui traverse le petit cylindre ainsi formé ? 
Si nous désignons par th le volume de ce cylindre infiniment 
délié, ce ilux a pour valeur 




fo) 






dl 

dy 



EL 

dz 



d^ 



et il provient de l'excédent du Ilux qui traverse d<.o sur celui qui 
traverse dco' et du flux qui traverse les parois latérales du cylindre. 



368 ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

Mais remarquons que ce dernier est nul : à travers les parois 
d'un tube de force ne passe pas de flux. Le flux total (6) est 
donc la différence entre le flux qui traverse dto' et celui qui tra- 
verse d(D : c'est précisément la quantité que nous voulions cal- 
culer. 

Mais il nous reste encore à évaluer dz. Or nous avons sur la 

figure 

H étant la hauteur du petit cylindre dont les bases sont r/co et r/o/, 

c'est-à-dire la projection de AB sur 
la normale à S. 

Remarquons que le point A sur la 
surface S, à Fépoque /, appartient à la 
surface & à l'époque l -{~df : il vient 
en C, voisin de B. D'autre part, on a, 

proj. AB :==^ pï'<>j. AC + pi'oj. (^B, 

et comme CE est un arc situé sur S^ la projection de CU est 
un infiniment petit d'ordre supérieur. 

Reste donc à évaluer la projection AC. 

Or, les trois projections AC sur les axes sont 



A d(ù 



Idt^ -f.dl, tjU ; 



par conséquent 



proj. AB = (/ç- 



- /?i'r 



''s; ^i 



dt. 



Voilà donc la hauteur du cylindre (en sup[)osant ([ue l<\s deux 
surfaces S, S^ sont infiniment rapprochées Tune d(^ Tautre). 
La valeur du volume d-z est alors 

d", = [t\ + mr, -h /^sj didh) :^:^ dwd( y l\, 
et Texpression (6) devient, 

Â^ \dx dij 



d-.' 
'dz 



ou encore 



=""'"! «S^^^ 



CIRCUIT EN MOUVEMENT 3^9 

En intégrant cette expression il vient, 



La relation (3) peut maintenant s'écrire, 

ld<j) 



"- 2'-^. 



+/E-(f-f)- 



ou encore 






H en remplaçant X, Y, Z par leurs valeurs, 



ai f jLJ \ dt dz ^ 



s- 



Posons pour simplifier, 

PoiNCARK. lillccU'icité et Opliquc. v/, 



370 ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

la relation en -— - devient 






=/e^^k^-w 



C'est la lormiile que nous voulions établir. 

Les considérations qui précèdent s'appliquent h un vecteur 
quelconque : on n'aura qu'à remplacer dans (lo) le vecteur 
(a, p, v) par un vecteur quelconque ; on aura ainsi des expres- 
sions analogues a [a], [|3], [-)] qu'on déduira des relations (9) en 
remplaçant le vecteur a par le vecteur considéré. 

308. Théorème. — Nous nous proposons de démontrer encore 
le théorème suivant qui nous sera utile dans la suite. 

Prenons un vecteur quelconque — (a, [3, y) pour préciser les 
idées — et considérons la valeur al:)Solue de ce vecteur, valeur 
que je désignerai par N de sorte que 



dis que 



N- = a- + 3- 4- • 



^, (\\ \1 r/a \1 , ^ 



Pour démontrer cette relation, considérons un élément de 
surface diù quelconque et expi'imons le 
(lux qui traverse cet élément. 

Soit N^ la normale à cet él(''ment et 
désignons par l'angle que (ait 1<^ vecteur 
(et, [j, y) i^vec cette noi'niale. 

Le Hux en question a alors pour valeur, 

(J>:^.NcosOr/(M. 




ï^'jp:- 5i. .. , , M^ 



Calculons -— . Supposons pour cela 

que nous ayons affaire à un coï'ps solide ; dans ce cas si c, 7,, 
Ç sont les composantes de la vitesse de la matière, ces conqio- 
santes satisferont à une certaine relation qui exprimera (|ue le 



THÉORÈME 371 

corps solide se déplace sans se déformer, c'est-à-dire qu'on aura, 
dJi d't\ âX^ 



dx dij (Iz 



o. 



dy dx dz dij dx dz 

Formons — r — . Il vient 

-r— = -7- cos Ur/co — xS sin IJ -r 

Supposons qu'à l'instant i le vecteur N soit perpendiculaire à 
<ico ; on a alors 

0-.= o; cosO=î; sin = 0; 

et la relation précédente devient, 

m _ ÙN 
0^ 0/ 

Cette nouvelle expression de 04> doit être égale à celle trou- 
vée précédemment (10). En identifiant ces deux expressions il 
vient 






(ui miiltipliiiiil, ceLtc rcli>Lli)ii par N et eu l'cinai'quimt ([ue 

il vient finalement 

r>N \-l dy. 



... UN \1 r/a \1 „ . 



c'est la relation annoncée. Mais n'oublions pas que ceUe dé/nons- 
IraLLon suppose que Vêlement de surface dw appai' lient à un corps 
solide. 



ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOU'VEMENT 

^ 'Equations fondamentales de Hertz. — Ces prélimi- 

^blis voyons comment fait Hertz pour trouver les 

imentales cle rélectrodynamiqne des corps en 

pour cela les lois fondamentales que nous avons 
our les corps en repos, 
^^jjii^xv^vjrons une surface S limitée par une courbe C. 

Première loi. — L'intégrale de ligne de la force électrique, 
wi.,c. \ la courbe C, est égale à la dérivée par rapport au 
d'induction magnétique qui traverse la surface S 
mtour C, c'est-a-dire 




7 lu.'xdb. 

/ j ^ 



Comment cette loi doit-elle être interprétée pour les corps en 
mouvement ? Doit-on supposer la surface S fixe, ou bien entraî- 
née dans le mouvement de la matière ? — Cette question est 
tranchée par rexpérience : l'expérience jh'ouvc, en eirct, qu'on 
doit supposer la surface S comme étant entraînée dans le mou- 
vement de la matière. 

C'est ainsi qu'un circuit moljile dans un champ invariable est 
le siège de courants d'induction. Je n'insisterai pas sur ces faits 
expérimentaux : j'admettrai seulement la conclusion. (]'est donc 

la dérivée -— (avec des ronds) (pi'on doit considérer pour les 

corps en mouvement. 

JPremière loi fondamentale. — 11 résulte de ce qui précède que : 
IJ intégrale de ligne de la force êleclri(jiu% clendue a a con- 
tour C, es l égale à la dérivée par raj)j)()r{ au fe/nps du jlu.r d'in- 
duclion niagnéiiqae qui Iracerse lu s tir face S limitée par le con- 
tour C, cette surface étant sujj/josée co/)inie entraînée dans le 
mouvement de la matière. 

L'expression analyticpie de cette loi est la suivante. 



(i2) / \Vdj:=.-j l yUarko. 





• ÉQUATIONS FONDAMENTALES 3', 

Transformons cette expression. Le théorème de Stokes nous 
donne pour la première intégrale, 

,, .d(l dK 




d.z dy 



Quant au second membre transformons-le en lui appliquant 
théorème que nous avons 'démontré plus haut (formule ic 
qui, avons-nous dit, s'applique à un vecteur quelconque. 

Nous avions pour le vecteur (a, (3, y) 






-fi'Hi-i^^)-' 



pour le vecteur (|xa, ^[i, jjiy), qui nous intéresse en ce moment, 
nous aurons donc, 

La relation (12) peut alors s'écrire, 

et en identifiant les coefficients de-/<'/co, j)idw^ ndto des deux 
memlji'csde cette relation, il vient 

dij.y. d.{) d[{ , , , 

~ — ~- ™7 -,— + [J^y- , 

Y 3 c/// 



1 (If (< 

^ ^ l (il dx dz. '' ' ' 



ce sont les équations fondamentales de Hertz pour les corps en 
mouvement. 



3^4 ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

Rappelons que [[xa], [^^], [[xy] ont pour valeurs, 

.qiO. — Maxwell raisonne de la même manière, seulement au 
de considérer le vecteur (p., [xp, [xy), il considère le vecteur 
• c) qui représente l'induction magnétique suivant lui ; 
it ainsi, 

da dQ dR , . , 

\ db dR d? , rn 



r/c r/P rfQ , 



A f/y f/:^' 
[a], [/;], \e\ ayant poiii' valeurs 

[/^] = ^ ('"^^ — '^'0 — ^ (/^^ — ^'-v» ' 

car les derniers termes ç > —7-- , r, > --7 — , s 7 "1 — ^^^'"^^ ^^^^'^ 
si on lient compte de la relation de iMaxweli 

Ij-dJ-'- 

Dans ces équations (i3) de Maxwell, les deux premiers termes 
des seconds mcml^res expriment Tindaction niagnéli([ue due a 
la variation du champ et le troisième terme [a], [ù\^ [c\ exprime 
l'induction magnétique duc au mouvement du circuit. 



COMPARAISON ENTRE LES EQUATIONS DE HERTZ ET MAXWELL 875 



COMPAÏIAISON ENTRE LES RELATIONS FONDAMENTALES DE HeUTZ 
ET CELLES DE MaXWELL 

311. — Y a~t-il identité entre les équations (I) de Hertz et les 
équations (i3) de Maxwell? Remarquons que si les deux systèmes 
d'équations paraissent avoir une certaine analogie quant à leur 
forme, il n'en est plus de même des vecteurs c|ui y figurent : le 
vecteur de Hertz a pour composantes [j.a,- (jlJ3, [jLy, tandis que 
celui de Maxwell a pour composantes 

.. = Y + 4^C. 

Pour qu'il y ait identité outre ces deux vecteurs,- il faut 
que 

a 

c'est-à-dire qu'il n'y a identité entre ces deux vecteurs que dans 
les corps dépourvus de j)iagnctlsnie permanent ; n'ayant par con- 
séquent que du nia<^nèllsme Induit . 

Cependant les é([uati()ns (1) et (i!5) peuvent a certaines con- 
ditions se ramener Tune à l'autre. 

Posous en effet, 

a = |j.a + 4?: A,, 

h^.:^^ 4^B.p 
c ^^. .y.Y + 47i(:,3, 

A,p B,p (],, étant les coinposanlos de ralmantatlou permanente. 
On tire de ces relations 

[a] -^ \<j.y.\ + 44 A„; 

("4) |/.| = |;.pj + 44B»N 

[ [r]=[;.Y|+4<C„], 
car a, p, y entrent linéairement dans |aj, | |ï|, |r |. 



376 , ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

Cela posé, retranchons membre a membre les relations (r.3) des 
•elations (I) ; il vient 

d\x.aL da r -1 r -1 



t5) 



dt dl 



A deux autres équations symétriques de celles-là que je n'écris 
pas. 

Ces équations doivent être satisfaites pour qu'il y ait identité 
ntre ces équations de Hertz et celles de Maxwell. 
Tirons [^a] — [a] des relations (i4) et substituons sa valeur 
(i5), il vient, 

rfaa da /TA -; 

OU, en remplaçant a par sa valeur 

a = [i.a -+■ 4^Ay, 



I di 

(..6) f == [B„], 

f <r/C„ _ 

''. HT ~ ^^»J- 

les deux dernières de ces équations s'obtenant comme la pre- 
mière. 

Ainsi il y aura identité entre les é(piaLi<)ns de Hertz et celles 
de Maxwell si les équations (16) ont lieu. 

Supposons maintenant que les aimants [)ermanents soient des 
corps solides qui, en se déplaçant, (MitrahuMit n\'cc eux leur 
aimantation permanente. Je dis que, dans ce dei'uier cas, les 
relations (16) sont légitimes. Considérons, en efïet, dansun solide 
aimanté ({ui entraîne avec lui son aimantation [)ernianente, un(^ 
surface quelconque et évaluons le flux (<J>) ([ui travers(_» cette 
surface et qui correspond au vecteur (A^^, B^, C^^). L'aimantation 
permanente étant entraînée en bloc, on a alors 

lu 



COMPARAISON ENTRE LES ÉQUAriONS DE HERTZ ET MAXWELL 877 

Or nous avons, pour le vecteur (A^,, B^, Cj (p. 870), 






"" t§^ - [^. 



donc 



et par conséquent, 



dt 


= [Ao], 




di\ 

dt 


-[BJ, 




dC, 
di 


= [C„]- 






C. Q. 1 


^ D. 



Ce sont bien les relations (16) que nous obtenons. Il y a donc 
identité entre les relations (1) de Hertz et les relations (i3) de 
Maxwell, à condition que l'alniantation soit permanente et qu'elle 
ne soit pas modifiée par le déplacement de Taimant. Ces relations 
cesseraient d'être é([uivaleiites si les corps aimantés ne conser- 
vaient pas leur aimantation permanente, si par exemple ils étaient 
désaimantés par la chalenr. Si les corps aimantés ne sont pas 
des corps solides, mais s<^ dé[)lacent en se délormantj il n'y aura 
pas non pins écjnivalcmce (^Ure les deux systèmes cré(jnations, à 
moins qu'on ne lasse des liy[)otlièses particnlières sur rinlluence 
de ces déformations sur raimantalion. 

Donnons un exemple à\u\ cas on les deux systèmes d'équa- 
tions conduisent à des conclusions contradictoires. Considérons 
nn tore d'acier aimanté uniformément ; il n'a pas d'action sur 
un morceau de fer placé à l'extérieur, nuiis sa magnétisation 
n'est pas nulle : on peut, en eflct, la faire apparaître en coupant 
le tore en deux parties qui agiront comme deux aimants ; par 
contre* il n'y a pas de magnétisme vrai à l'intérieur du tore, 
— Modifions maintenant son aimantation en le chauffant 



378 ÊLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

après l'avoir entouré d'im fil conducteur enroulé en hélice. 
Que va-t-il s'y passer ? Les relations de Maxwell annoncent 
un courant d'induction dans le fd ; d'après les relations de 
Hertz, il ne doit pas y avoir de courants d'induction dans le 
lil. On obtient donc des conclusions contradictoires, — Peut- 
être d'ailleurs aucune des deux formules n^est-elle applicable à 
un cas de ce genre. 

3f2. Deuxième loi fondamentale. — Nous avons trouvé pour 
les corps en repos la relation suivante, 





y (j.dx = /\r^ I y lpdtô-\ — -7- I y IKPdio, 



où le premier membre représente Tintégrale de ligne de la 
force magnétique;, le premier terme du second mem])re exprime 
la quantité d'électricité qui traverse la surface S par conduction 
et le dei'nier terme du second membre représente le llux d'in- 
duction électrique qui traverse cette même surface. 

Cette relation est- elle encore valable pour les corps en mou- 
vement ? En d'autres termes, faut-il supposeî' la surface S flxc^ 
ou l:>ien entraînée dans le mouvement de la matière ? 

Pai' analogie avec le cas précédent, où on considérait le llux 
d'induction magriétique, Hertz (id/ïicl ([u'on doit c()nsid(''rer la 
surface S comme étant entraînée dans le uiouveinent de la tna- 
tière. 

C'est donc aux vérifications expéi'i mentales de confirmer ou 
d'infirmer cette hypothèse de Herlz. Nous verrons dans la suite 
que beaucoup d'expériences, confirment les c()ns<M[uences (ju'on 
tii'c des formules de Hertz bâties sur cette hypothèse. 

La relation (i^) devient donc peur h's corps en mouvement, 



iB) — I y a./.,r -..: 471 rV/y,,/o) + ^ I y/KP,/(,), 



et elle constitue la seconde loi fondamentale de rélectrt)dyna- 
mique des corps en mouvement. 



COMPARAISON ENTRE LES ÉQUATIONS DE HERTZ ET MAXWELL 37( 

313. Courant total de Hertz. — Transformons cette relation (i8) 
Le premier membre devient en lui appliquant le théorème d 
Stokes, 

D'autre part, le dernier terme du second membre a 
valeur, d'après un théorème précédemment démontré (p. 2 



.y2,KP.„=j2' 



^ y«P.„= y«„(i5ii-[K,,). 



La relation ( 1 8) devient donc, 



d'où l'on tire. 






r/a d^( , . r/KQ 



(.y) U7-7:: = 4-/ + -^-|lvQ|, 



(Lv dij (il 



Posons mainieiianl, 



4t:/; + ~^j I KP I = 4-71// , 



ELECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

., , w seront les composantes du courant total (courant sus- 
îe ible de se manifester par un champ). Les relations (19) de- 
nent ainsi, 



dy dz 

d% dy 

dz dx 

dx dij 






ations sont analogues aux équations (19) de Maxwell, 
:5orps en repos (n*^ 57), à cela près que u^ ç>, w ont des 
différentes de celles appartenant aux mêmes lettres des 
>ns (19). 
..oyons en quoi diffèrent ces valeurs. 
Des équations (20) on tire 





1 
u ~ 


, I dKP 


i^KP], 




\ 


I ^/KQ 

^'^+4- dt 


■ 41 t'^^J' 






4~ de 


-i^'- 


or 




KP . , 


> 


il vient donc 












df 


- 1/1^ 


(21) 




' , 'k 

i"-'^-^dc 


-\g\^ 



I ^^^^ [/ 1 



dt 



COMPARAISON ENTRE LES ÉQUATIONS DE HERTZ ET MAXWELL 38 1 

[/], [g\. [Il] ayant cU ailleurs pour valeur, 

k'l = ^('-.-é<)-^fe5-/--o)-,2i. 
['.l=^(A-''5)-^(M-ê<)-ç2f- 



Comparons ces relations (21) que nous venons d'obtenir avec 
les relations (5) de Maxwell (n° 293), on voit que dans le cas 
présent on a des termes complémentaires qui ne figurent pas 
dans les relations analogues de Maxwell. Ce sont les termes [/], 

tei, [/']■ 

314. — Quelle est la signification de ces termes? Pour le voir, 
explicitons d'abord ces termes. A cet effet, posons. 



d'antre part nous avons, 



p clant la densité de l'électricité. 
Les relations ('.>. i) deviennent alors 



X = //Y, 


-é<, 


Y = /"C 


-/'?, 


Z = gl . 


-A; 


V 'V 

Zj d.r. ' 


= ?, 



df I d\ dL ■ 

dg (d7. dX\ 



, dà ^ ^ , /dX dM 

Ces relations nous indiquent que le courant total se compose 
de quatre parties : 



382 ÉLECTRODYNAMIQVE DES CORPS EN MOUVEMENT 

i" Le courant de conductiou (jj, y, r), 

( df di> dh\ 
déplacement (^-^,-^,-^j, 

3^ » convection (oç, prj, pÇ), 

^ ^^ '^ t'Th 1?/' (Lx d.z' dij dx \' 



Indiquons sommairement comment l'expérience a pu déceler 
Texistence des deux derniers courants. 

M. Rowland (^) a reconnu que le transport mécanique d'une 
charge électrostatique équivaut à un courant dirigé dans le sens 
du mouvement : En employant un disque isolant électrisé, et en 
le faisant tourner avec une grande rapidité il a observé la 
création d'un champ magnétique. 

Supposons maintenant qu'un diélectrique se déplace dans un 
champ électrique constant mais non uniforme ; supposons, par 
exemple, un disque d'éljonite mobile autour d'un axe vertical et 
un système de quatre secteurs métalliques qui couvrent complè- 
tement le disque; en électrisant les secleurs en diagonale, comme 



•+•■*— ♦•++-♦--(--«-+ 



l'indique la figure, ou ol) tient deux champs de sens conti'aires : 
celui de gauche est dirigé de haut en l)as et celui de droite de 
bris en haut. Le champ en un point quelcoiupie de r<.'space sera 
invariable, mais le disque qui est animé d'un mouvcnient dr rota- 
tion traversera successivement des régions où le clnunp aura d(^s 
valeurs égales et de signes contraires : la polarisation du diélec- 
trique subira des variations rapides et on aura comme résultat un 



(*) Les cxpéi^'ences de M, Rowland oui clé connues d'abord par rin rapport iU\ 
Helmtiolz (Pog-g-. Ann., l. CLVIII, p. 487) et publiées ensuite dans V Amcrivaii 
Journal, 1878. A'oir aus.si Journal de Phi/sique, i'" série, t. VI, p. -ja) cl L, A'JII, 
p. '214. — RowL.VND et lIuTCiii>;sON. P/ûl. Mag., !)û série, t. XXVM, p. //lîi et Jour- 
nal de Phi/sif/ue, 2° série, t. VIÏ, p. î)']ù, 18S9, 



COMPARAISON ENTRE LES ÉQUATIONS DE HERTZ ET MAXWELL 383 

courant qui pourra être mis en évidence par un galvanomètre. 
C'est ce courant qui a été mis en évidence par Rôntgen ('). 

Seulement les conditions expérimentales sont très compliquées 
et les expériences excessivement délicates et d'ailleurs purement 
qualitatives, de sorte que les résultats obtenus par Rontgen ne 
peuvent ni confirmer ni infirmer l'exactitude de l'expression 
analyticjue de ce courant. 

315. — Interprétons ces résultats. ' — Considérons un diélec- 
trique et adoptons pour l'instant les idées de Mossotti sur les 
diélectriques sphères conductrices extrêmement petites, dissé- 
minées dans une substance non conductrice jouissant des 
mêmes propriétés que l'air, qui s'élcctrisent par influence et qui 
produisent ainsi la polarisation du diélectrique (-) . Plaçons eo 
diélectrique dans un champ électrique : deux cas peuvent se 
présenter. 

1° Le champ est çariahle açec le temps. — Dans ce cas on 
observera un courant dans les petites sphères conductrices ; \q, 
courant aura pour composantes 

K-K„ df 



K 


(W 


K-K„ 


dg 


K 


di' 


K-K„ 


dh 


K 


dt ' 



1 " 1 '' 

c'est le courant de cUplacemen/, de ^îaxwell au (acteur p — ~ près. 

Rappelons que K désigne 1(^ pouvoii' inducteur spécifique 
du diélectrique et K^^ le pouvoir inducteur spécifique de l'air. 

Remarquons que si le diélectrique élait de l'air, K deviendrait 
égal à Ky et le courant de déplacement disparaîtrait dans ce 
cas. 



(') Rontgen. SitzungsbcrLcJite dcr Bcrlincr Ahademie dcr Wisscnschafleii ; oA\ fé- 
vrier i885, cl PhlloiiopJiical Magazine, mai iSSj. 



384 ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

2^ Supposons maintenant le diélectrique mobile et le champ 
non uniforme, mais ne variant pas avec le temps. Les sphères de 
Mossotti seront alors le siège d'un courant de la forme, 

K — K, fdY dZ 







d/j\ 
K \d:. ~'dy)'' 

K — K„ f dZ dX' 



I. 



K V da: dz 1 ' 



K— K, ld\ dX 



K \dij dx 

le courant de Rontgeu au facteur r^^ — ^- près. 

_ courant est donc du à un changement d'orientation du 
diélectrique même sans que le champ électrique varie. Ainsi un 
observateur invariablement lié au diélectrique verra varier l'état 
de polarisation du diélectrique et il y aura par rapport à lui pro- 
duction de courants de déphiccment. 



Passons maintenant aux idées de ]\laxAvell sur les diélec- 
triques. 

D'après Maxwell, tous les diélectriques sont constitués de hi 
même manière : des petites sphères conductrices séparées par 
des interstices remplis d'un isolant dont le pouvoii' inducteur 
spécifique est extrêmement petit ; l'air, le vide, sont constitués 
de la même manière d'après Maxwell : c'est là la dillerence 
entre les idées de Mossotti et les idées de Maxwell sur les diélec- 
triques. Le rôle de diélectrique est ici joué par les intersiices, 
ou, pour être plus précis, par la maLicre qui remplit ces 
interstices et qui a, avons-nous dit, v\\\ pouvoir inducteur spé- 
cifique extrêmement petit. En faisant par conséquent KQ--=:ro dans 
les relations précédentes on doit trouver les expressions des 
mêmes courants d'après Maxwell et Hertz. On trouve^ eu eilèt, 
comme composantes du courant de déplacement 

éL ^ é!l 

dt ' dt ' d( ' 



VÉRIFICATION DU PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE VÉLECTRICITÉ 38. 

et comme composantes du courant de Rontgen 




C'est bien l'expression du courant de Rœntgen qui figure 
dans les seconds membres des relations (12). — On aurait donc 
là un moyen de décider sur la légitimité de l'hypothèse de 
Maxwell ou de l'hypothèse de Mossotti sur les diélectriques. 
Malheureusement les expériences que Rœntgen a instituées pour 
mettre en évidence l'existence de ce courant sont insudisantes 
et d'ailleurs purement qualitatives, comme nous l'avons déjà 
fait remarquer : elles ne peuvent nous fixer sur lu valeur exacte 
de ce courant. 

Quoi qu'il en soit on arrive à la conclusion suivante : Le cou- 
rant total se compose de quatre parties, 

i*^ Le courant de condiictloji. 



2" 



» de placement^ 



y )) llowland^ 



VHUiriCATION DIÎS PIUNCIPHS ÏW. lA CONSKil VATION DK I. KLKCTIUCITE 
HT l)I<: I-A CONSKIiVATION DU MACNKTÏSMK 

316. — Nous allons montrer ([uc^ la théorie de Hertz pour 
réleetrodynauriquc des coi'ps eu mouvement est conforme aux: 
principes de la conservation de Téleclricité et du magnétisme. 
Commençons par le principe de la conservation du magnétisme. 

PvuwlpQ (le la co/ise/'i>alion du Diagnélisme. — Considérons 
une surface S et supposons qu'elle soit presque complètement 
fermée et entraînée dans le mouvement de la matière. 

PojNCAiiÉ. ÉlecLricilé et OpLiquc. 2.5 



sas ÊLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

Nous avons la relation (') 



/ Zj '^ ()t j Zj 



(0 >,p^- = -^ > w- 



l'intégrale cla premier membre étant étendue à la courbe qui 
limite la surface S. Dans le cas particulier où nous nous 
sommes placés, cette intégrale de ligne est très petite, et à 
la limite, quand la surface S est complètement fermée elle est 
nulle. La relation iï) devient donc dans ce dernier ras 



ce qui signifie que 



I y l^sjÀw = o. 



lli'y.chù = O"" 




Or cette intégrale représente le flux d'induction magné ti{[uc 
qui traverse la surface S, et qui est, au facteur constant 4"^ pi'<-'s, 
la ' quantité de magnétisme vrai à l'intérieur de la surface 
en question (d'après la définition même du magnétisme vrai); 
c'est précisément le principe de la conservation du magné- 
tisme. 

Principe de la conser^'ation de V èleciricilè . — Nous avons 
trouvé 

l'intégrale de ligne du premier membre s'étenclant au contour 
qui limite la surface S. 



(*] Page 372, éq. (12). 



PRINCIPE DE LA CONSERVATION LE V ÉLECTRICITÉ 887 

Si cette surface est fermée, cette intégrale est nulle et il reste 

or —- I y ldo)KP exprime la quantité d'électricité vraie (par 

définition). La relation (2) montre donc que la variation de la 
quantité d'électricité vraie qui se trouve a l'intérieur de la 
surface fermée entraînée dans le mouvement de la matière 
est égale à la quantité d'électricité qui traverse la surface S 
par conduction : c'est le principe de la conservation de Félecr- 
tricité 

317, Première remarque. — Remarquons que les équations 
de .Hertz ne cessent pas d'être conformes au principe de la 
conservation de l'électricité si on y supprime les termes corres- 
pondant au courant de RotMvtgen. Pour montrer cela, il me suflitde 
l'aire voir que la quantité d'électricité qui traverse la surface S 
sous forme de courants do RdMilgen est nulle. Or cette quantité 
d'électricité a pour expression 



■E'(S 



dy 



Je dis ([ue cette intégrale esl nulle. Pour le voir il me sultit 
de d(Mn()nti'(M' <|ue, 

(ù: \ d.z du J ^ 7/7 \d7 ~~ ~7r) "^ dz \ du d,v 

Ov, cette dernière relation est une identité bien connue. 

Ainsi, donc, 

Le principe de la consei^'alioii de V eleclricllà esl ^'érifiê soiù 
avec les è(j{ialLons proprenienl dites de llerlz, soit avec ces ècjua- 
tions niodi fiées par la suppression des termes correspondant an 
courant de liœntL^e/i. 



388 ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

318. Deuxième remarque. — Je dis maintenant que, 

Les équations de Hertz conser^>eJit la même forme , soit qii on 
idopte des axes fixes ^ soit qu'on adopte des axes mobiles ; en 
Vautres termes, 

Les équations de Hertz gardent la même forme dans le mouve- 
ment relatif et dans le mouvement absolu. 

En elTet, les deux lois fondamentales d'où sont déduites ces 

'^'-nintions peuvent s'énoncer ainsi : une intégrale simple prise le 

l'une certaine courbe doit être égale à la dérivée par rap- 

'■• temps d'une intégrale double étendue à une surface 

par cette courbe, cette courbe et cette surface étant sup- 

jntraïnées dans le mouvement de la matière. Il est mani- 

.^...e qu'un pareil énoncé est indépendant du choix des axes et 

c[u'il reste le môme, que ces axes soient fixes ou mobiles. Les 

équations qu'on en déduit doivent donc être aussi les mêmes 

dans les deux cas. 

Prenons en particulier la première équation fondamentale de 
ïlertz, 

rZ^.a dq d.R 



dt d.z dïj 



H- [r^-] 



et plaçons-nous dans le cas le plus simple : supposons que toute 
la matière soit entraînée dans un mouvement de translation. Ceci 
revient à supposer que ç,/,, Ç sont des constantes. 

Considérons maintenant un système d'axes mobiles entraînés 
dans ce mouvement. Je dis que nous tomberons sur les mêmes 
équations que dans le cas d'un corps en repos. 

En effet, [a], dont la valeur est 

devient dans ce cas [où (ç, r,, ï) = C^'], 

r ^ ^ r/a da. dv. 



CONSÉQUENCES SSg 

et en remplaçant dans l'équation de Hertz ci-dessus [aa] par la 
valeur que nous venons de calculer , il vient, 

dl dx dy dz d.z dy 



a 



d\ya y. d'X da, ^ da ôiii 

di ^^ dx ^ ' dy ^^ dz ÔZ 

c'est la dérivée par rapport au temps du flux d'induction magr 
tique en supposant que la surface S est entraînée dans le mouv( 
ment de la matière ; il vient donc, 

DijL^ _ ^Q ^R 
^t dz dy 

relation analogue à celle que nous avons trouvée poar l'électro- 
dynamique des corps en repos (n^ 292). 

Il résulte donc de là que la dérivée -y" joue par rapport au 

mouvement relatif le même rôle que jouait la dérivée -:p par 

rapport au mouvement absolu. 

319. Conséquences. — Cette dernière remarque entraine deux 
conséquences : riinc heureuse, l'autre lâcheuse. La conséquence 
heureuse c'est que les équations de Hertz sont conformes au 
principe de l'égalité de l'action et delà réaction; la conséquence 
fâcheuse, c'est ({ue ces équations ne peuvent pas rendre compte 
de certains phénomènes optiques. 

(Considérons un milieu transpai'cnt animé d'un mouvement de 
translation et traversé par des ondes lumineuses et considérons 
un observateur situé en un point de ce milieu et entraîné par le 
mouvement de ce milieu. Pour cet o])servatcur tout va se passer 
comme si le milieu était en repos ; par conséquent la vitesse rela- 
tive, par rapport à des axes mobiles invariablement liés au milieu 
et à l'observateur j sera la même que si le milieu était en repos. 
Pour avoir la vitesse absolue il faut ajouter la vitesse de transla- 
tion des axes ; les ondes seront donc entraînées totalement dans 
le mouvement de la matière. 



390 ÉLECTRODYNAMiqUF. DES CORPS EN MOUVEMENT 

Or, Fizeau, dans une expérience célèbre qu'il fit pour confirmer 
des vues théoriques de Fresnel, montra que les ondes lumineuses 
ne sont pas entraînées par Tair en mouvement, mais si Ton rem- 
place l'air par de Teau il y a entraînementy^^^v^/eZ des ondes. Les 
équations de Hertz sont donc impuissantes pour expliquer ces 
phénomènes optiques. 

Pour expliquer cet entrainement partiel il faudrait modifier 
un peu les équations de Hertz. Or, rappelons-nous que les équa- 
tions de Hertz ne cessent pas d'être conformes au principe de la 
'^'^nservation de l'électricité si on y supprime les termes conte- 

'* le courant de Rœntgen; nous Tavons montré un peu plus 
Seulement en faisant cela, elles ne conservent plus la même 
c dans les deux mouvements : relatif et absolu ; on pour- 
o alors se demander si ces équations ainsi modifiées ne pour- 
i^aient pas expliquer l'entraînement partiel des ondes lumineuses 
et qui ne pouvait en aucune façon être expliqué par les équa- 
tions de Hertz non modifiées. C'est ce que nous allons tenter de 
voir. 

320. Entraînement partiel des ondes lumineuses. — Sup- 
posons donc cjue nous ayons affaire à un milieu transparent et 
écrivons les équations foudamentales de Hertz pour ce milicLi ; 
nous avons, 

] d^i^ d\\ d\^ 



dt ' ^ ' -^ d.v dz 

dt ^' '■' dy d.v 

dli? ,,_^, d.y ^/iJ 



dt ' ^ djj dz 

dt ' ^^~~~'~dz ILv 

— iKR — ' 



\ dt ' -' dx dij 

Modifions ces équations en affectant les termes en ( ua i 



ENTRAINEMENT PARTIEL DES ONDES LUMINEUSES Sgi 

[KPl, ...... par des coefTicients II, 11^ que nous ne déterminerons 

pas pour le moment; il viendra (i) 

) da'i „, ,, dR dP 

du.r T^r ^ dP dO 
dû ^' ^^ dy dx 

dt i L J ^ly ^1^ 

— II. K(H=.- J-, 

dt ^^- -^ ^- r/.r 

r/KR ,, ,,...-, ^i3 rZa 



■IUKR]=-;.L 



\ dt ^^ ■ dx dy 

Supposons maintenant que- nous ayons allaire à des ondes 
planes et prenons le plan de Fonde perpendiculaire à Taxe des .r ; 
cela fera que nos fonctions ne dépendront que de x et dô t. Sup- 
posons de plus que le plan de polarisation soit perpendiculaire à 
l'axe des .:: ; cela veut dire que toutes les quantités qui figuraient 
daus les (brmulcs précédentes sont nulles à présent, excepté 
[:j et il. Supposons enfin que [jl -== i, ce qui n'est pas loin de la 
vérité y car en g-énéral les milieux transparents ne sont pas magné- 
ti([ues, et écrivons la deuxième équation du groupe (i) et la troi- 
si(Mne du gi'oupe ['.>) dans ces hypothèses. 

D'ahord 



G^) 













-[y-?]- 


" d.r ' 














-1KU|==--. 


'^^ d.r 




Les 


rel 


ations 


en 


question deviennent d 


onc, 










\ 


f + "^ 


dx ~ 


d[\ 

dx ' 


1 








U 


n^-. 


'' dx)' 


d^^ 
~ dx 



^2 ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

Appelons Y la vitesse des ondes ; on a alors, 

R = cp(;r — VO 
Toù 

dx 

dK _^^, 
dx ' 

signant par cp^ et ^' les dérivées de cp (.r — V/) et de 
- V^). Calculons encore les dérivées de [j et de R par rap- 
,u temps ; il vient 

dt 

dl ^* 

Les équations (3) s'écrivent alors, 

_A'(V-m)=:C?', 

En éliminant cp^ et 'V entre ces deux équations on trouve fina- 
lement, 

(V-L?;(;V-I1,^)==^, 

qu'on peut encore écrire 

v_il±i,)-_(ilz^)V=i. 

Or \ c'est la vitesse de la matière, qui est tri^s petite i)ar rap- 
port à V ; le terme en ;" est donc uégligeal^le par rapport au 
premier et il reste simplement 



d'où enfui, 



' , " + H, r. 



V/K 



ENTRAINEMENT PARTIEL DES ONDES LUMINEUSES 898 

Cette relation nous montre que l'entraînement de l'onde n'est 

H— I— H 

pas total, à cause du terme en ^ j c'est en effet ce qu^on 

constate par l'expérience ; seulement pour que cette formule 
soit d'accord avec les expériences de Fizeaii il faut que le coef- 

H-l-H 

ficient (coefTicient d'entraînement des ondes) ait pou? 

valeur 

II + H, ^ K-K, 
2 K 

Concliisioji. — Pour que les équations de Hertz puissent rendre 
compte de certains phénomènes optiques, en particulier des 
expériences de Fizeau, nous avons été obligés d'affecter le terme 

en [[i.a] du coeflîcient __i. et outre que rien ne justifie l'in- 
troduction d'un pareil coefficient on pourrait encore se demander 
si on ne se trouvait pas en contradiction avec les expériences 
d'induction magnétique (qui dépendent directement du terme 
en [[-'.oc]); mais je n'insiste pas davantage sur cette question, du 
moins pour le moment; j'ai voulu seulement indiquer les diffi- 
cultés qu'on a à vaincre pour expliquer ces phénomènes optiques 
en parlant de la théorie de Ilerlz ; ce sont ces difficultés que la 
théorie de Lorentz avait pour hut de tourner. 

321. Remarque. — Dans le calcul que nous venons de faire, 
nous avons airccté le terme en |KP| et par conséquent le terme 
en l/'l d'un certain cocCficient JI^. Or ce terme en [/] représente 
les courants de Rowland et de RixMitgen. — l^'n ce (lui concerne 
le courant de RdMilgen, nous avons dit précédemment qu'on ne 
peut pas encore fixer sa valeur ; mais il n'en est plus de môme 
(Ui courant de Rowland; car on peut se faire une idée de sa 
valeur. 

Les coefficients II ou 11^ ne devraient donc pas aflecter les 
termes [KP] tout entiers, mais seulement la partie de ces termes 
(|ul se rapporte au courant de Rœntgen, celle qui se rapporte au 
courant de Rowland conservant le coefficient i. 11 n'y a rien à 
changer de ce fait à l'analyse qui précède et qui se rapporte aux 



3^1 ÉLECTRODYNÂMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

phénomènes optiques, car, clans les phénomènes optiques les 
;)ndes étant transversales, on a 



Or (n'^SOO), éq. (k 



Zjdx 



p étant hi densité de l'électricité vraie. Donc p rr=: o ; il n'y a 
onc pas d'électricité vraie, et par conséquent, 

■ ''' „ 

pr, = 
e courant de Rowland n'existe donc pas. 



VKHIFICATION DU PIUNCIPE DE LA COXSK HVATIOX DE L ENElUilK 

322. — Les é(j[uations de ïlcrtz |)()ur IVdectrodynamique des 
corps en mouvement sont-elles coniormes au princij)e de la con- 
servation de l'énergie ? Pour le voir, considérous rexpression de 
l'énergie totale, tant é]ectri(|ue ([ue mannéti(pic, donnée par Hertz, 




ÊLIr-'+S'^'"]' 



(k'tte énergie provient de plusieurs causes. 11 y a d'abord 
Ténergie fournie parla pile (moius IVuuM'gie dépensée sous forme 
de chaleur de Joule, eilet Peltier, etc.). Représentons par 

dl fUd-z 

raecroissenient de cette énergie pendant le temps df. 

Ensuite, si nous considérons un élément ri-r de la matière, cet 
élément subit de la part du champ extérieur des actions méca- 
niques ; soient, 



VERIFICATION DU PRINCIPE DE LA CONSERVATION DE L'ÉNERGIE 3g " 

les composantes crime force extérieure au système, qui compense 
ces actions du champ. L'élément d-z étant soumis à ces deux 
forces antagonistes n'acquerra pas de vitesse, ce qui permettra 
de négliger la force vive de la matière. 

Quel est, maintenant, le travail des forces extérieures qui ten- 
dent à accroître J ? En nous rappelant que nous avons désigné 
par 

Idt, r.dl, Ut 

les composantes du déplacement de Télément dz, ce travail 
alors représenté par 



fftJrfr(X? + Yr, + X:) 



et le principe de la conservation de l'énergie s'exprime par la 
relation suivante, 




d'autre part, nous avons en différentiant (i) par rapport a /?, 




di i d". r\^ d[j,v:- 

dl ~ I Ht. \ ^ di 



Or le second membre de cette relation étant une fonction 
linéaire de ;, •/•., 'C et leurs dérivées, nous pouvons écrire, 




<k (n„ + V,? + v.r. + \;^ + V,. -^ + • ■ •) ; 



où U„ représente renseinble des termes indépendants de 5, Vj, 'C. 
L'intégration par parties nous donnera, 




pnis(jne les intégrations sont étendues à tout l'espace et que 
toutes nos fonctions s'annulent à l'infini. 



396 ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

La relation (3) devient clone 

4=J^..[u„+?(v.-§-...)+.(v,-...)+ç(v.-...)] 



ou encore 




= / ^^(U„+X„? + Y„r, + Z„Ç). 



(4) 



'^'^ identifiant cette expression (4) à la précédente (2), on 

Y Y 

Y=Y„, 

ce qui signifie que la force qu'il faut appliquer à l'élément de 
volume d-z pour équilibrer l'action du champ sur cet élément, a 
pour composantes, 

X/t, 



\ 






et C[ue, par conséquent, l'action du champ est 






(]ela va nous permettre de calculer l'action chi cliamp sur 
l'élément d^. 



I 



■-''**# 



323. Energie éleetro-cinètique et énergie élastique d'un 
champ magnétique. — Mais avant de passer au calcul de cette 
action, indiquons une transformation utile pour les calculs qui 
vont suivre. 



ÉNERGIE ÉLECTRO-CINÉTIQUE D'UN CHAMP 3IAGNÉTIQUE 897 

L'énergie magnétique a pour expression, d'après Hertz, 



/-2. 



(0 /-i^>;f-- 

d'autre part nous avons 

/ a = CL ~\~ 4^A. == [jia + 4*3^^^, 

(A, B, C) étant le vecteur que nous avons appelé aimantatioi 
totale et (A^, B^, CJ étant le vecteur que nous avons appelé 
aimantation /;e/7;^<77^e/?ife ; nous tirons de là, 

(a-i)a = 4^(A-A„), 

(r--')T=4^(C-C„), 

(A — A„, B — By, c — CJ étant les composantes de l'aimanta- 
tion induite. On en déduit aisément, 

(l^ - i) ='•' = --~ (A — A„)^ ; etc. , 



d'où 



(A— A„)-; etc. 



I^]n sal)sli tuant ces valeurs de ixa', ix|i', jj.y^, dans la relation (i), 
cette relation devient, 

OÙ la seconde inté^^rale du second membre est, au facteur 

, . ... 1^~' 

près, le carré de Taimantation induite. 



P 



Quelle est la signification physique de cette relation ? 

Nous savons que, d'après Ampère, dans un aimant tout se 

passe comme s'il était parcouru par d'innombrables courants 



SgS ' ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

partlcLilaires. Dans les aimants permanents ces courants sont tous 
orientés de la même manière ; mais il n'en est plus de même 
dans les aimants induits. Pour expliquer, en effet, le fait que ces 
corps, susceptibles de s'aimanter par induction, s'aimantent dans 
un champ magnétique et qu'ils perdent leur aimantation dès que 
l'action du champ est supprimée ou est obligé de faire une hypo- 
thèse supplémentaire : il faut supposer que ces courants d'Am- 
père ont une direction variable. Tant que le corps à aimanter ne 
se trouve pas encore dans le champ magnétique ces courants 
particulaires sont orientés indifféremment dans tous les sens; le 
moment magnétique est par conséquent nul : l'aimantation résul- 
tante est nulle; mais dès que le corps en question se trouve placé 
dans un champ magnétique, les courants particulaires vont tendre 
à se rapprocher d'une orientation commune ; le moment magné- 
tique ne sera plus nul et l'aimantation induite apparaîtra. Le 
champ magnétique vient-il à être supprimé ? Les courants vont 
reprendre leur orientation primitive et le moment magnétique 
redeviendra nul. Tout se passe comme si le milieu nuignétique 
était déformé par l'action du champ (comme le serait par exemple 
un ressort bandé) et reprendrait sa position d'équilibre, en vertu 
de la force élastique mise en jeu par cette dél'ornuition, (h\s que 
le champ aurait cessé d'agir. Il en résulte que l'énergie lotale 
magnétique se composera de deux parties : 

1^ Uènergle cleclro-ci/iêliqiie des courants particulaires, et 
2'' Véne/'^ie due à la force èUisdqiie^ dont je viens de parler. 

Le premier terme de l'expression (2) est Ténergie électro-ciné- 
tique et le second terme, 



-A,)^ 



représente cette énergie élastique |)ai'ticulière. 

IMaxwell, dans son raisonueaient sur les aimants, a cahnflé 
seulement le travail des forces magnétiques proprement dites; 
il néglige le travail de la force élastique que nous venons d'In- 
voquer ; aussi son expression de l'énergie magnétique est en 
désaccord avec le principe de la conservation de l'énergie et 




ÉNERGIE ÉLASTIQUE D'UN CHAMP MAGNÉTIQUE 

môme avec les résultats qu'il a obtenus lui-même dans une autre 
partie de son Traité classique. 

Voyons maintenant la valeur de celle énergie élastique. Sup- 
posons que les courants particulaires soient écartés de leur 
position d'équilibre primitif par Faction d'un champ magné- 
tique ; l'énergie potentielle qui en résulte est proportionnelle à 
cet écart, si cet écart est petit ; par conséquent le mom'^»' 
magnétique résultant sera proportionnel à l'écart 



s/^(^- 






et par suite le carré de l'aimantation induite sera proportionnel 
au carré de l'écart. Il en résulte que le travail dos forces 
élastiques est proportionnel au carré de cette mémo quantité : 
c'est bien ce que la seconde intégrale de la relation ['.>.) in- 
dique. 

324. Calcul des actions mécaniques exercées par le champ 
électromagnétique sur la matière. — Nous avons vu précédem- 
ment que l'énergie totale se conq^osc de l'énergie magné li(|ue 
et de l'énergie électrique. Désignons la première par .1^ et la 
seconde par ,1^. Nous avons donc. 




Su: Zj 



domine nous l'avons déjii dit nous mettrons le principe de h 



* principe 



conservation de l'énergie sous la lornie, 




IV/^H- ^ (X„;+Y„r. f- /,,;) ./t. 



La première intégrale exprime l'énergie fournie par la pile 



^lOO ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMEN'I 

noins l'énergie dépensée sous foTme de chaleur de Joule, efFet 

^eltier, etc. Il suffit pour s'en convaincre de remarquer que ce 

est indépendant de la vitesse de la matière. Il a donc 

expression que dans le cas des milieux en repos, que nous 

examiné plus haut. La seconde intégrale représente le 

des forces extérieures que nous avons invoquées pour 

reries actions mécaniques produites par le champ. L'ac- 

champ aura donc pour composantes suivant les trois axes, 

' - Z„ ch. 

der ces composantes je supposerai que les différents 
. riels conservent le même ^ et le même K en se 
.cioant dans l'espace. Ceci revient a écrire que, 

or, 

0^ dt. dx dij dz 



ce qui peut s écrire, 
donc 

■^-_ 

dl j^ " (/.i 

—~ est donc fonction linéaire de ;, r^, Ç- — Prenons inainle- 
nant {[xy.] et développons cette ex])ression, il vient, 






\vM---i-v^{^--r:)-^ ^(.;:-^.^-l 



on voit que cette expression est également une fonction linéaire 

d 'j,y. 
de i, VijC et It'Urs dérivées et il en sera de même de — - — , etc. 



ACTION ÉLASTIQUE DU CHAMP MAGNÉTIQUE 4oi 

Eli effet, les équations fondamentales de Hertz s'écrivent, 



dt d.z 


- ,ly +[H, etc.; 


d^J^OL 

dt 


da, . du. 

■^ dt ^" dt' 


da. 
^ dt" 


_ d^% ^ d^x _ 

dt ' dt ' 



d'où 



1 
ijL —y- sera donc encore une fonction linéaire de ?,'/], Ç et leurs 

dérivées. 

Ceci étant établi, évaluons -~~ . Nous avons en diflercntiant 

dt 



par rapport à t l'expression de J^, 



d.}, I dz \^ / , da dy.\ 

-dr= I -s^liV-'ur-^^'-'^'-dr]' 

et nous voyons, d'après ce que nous venons d'étal>lir, que la 
{onction qui figure sous le signe 1 est linéaire par rapport à 
ç, Y,, Z, cl Icui's dérivées. Je puis donc écrire 




dr (U, + 11.) 



oii Uj est l'enscinl)l(^ (l(\s ternies no dépendant pas de ç, r^, 'C^ et de 
l(Mirs dérivées oi 11^ celui des ternu's dé^xuidant de ç, r,, î^ et de 
leurs déi'ivées; 11^ sera donc un p()lynf)nie homogène et du 
preini(U' degré par rap[)ort à $, vi, Ç et à leurs dérivées. 
On trouvera par un calcul analogue 




Pui.NCAiiK. ElecLricilc et OpLiqne. y.O 



40"4 



Kl.ECTRODYyAMiqVE DES COUPS E^• MOUVEMENT 

L'intégration par parties nous permettra de mettre j II//t 
et iWjh sous la forme suivante, 



H,rfT=: / ./c(X,i+Y.r, + Z,g 



= / ^^^. 



H, (k = I ckY X,i, 



urte que —j- acvient Imalcnicnt, 



777 



r/-(r, + U,;+ I (h 



yx,i+yx.=" 



Kn idciUiriaut cetlc relallou avec la rclallon (i) on Irouvc, 

Y„ .---= Y, + V,, 
/„ =.= /, -h z.,. 



I.a prcnnère relalion 



u - i\ + u., 



nous apprend (pu; U; + '^'3 (■i)rres[)()nd ii r('Herjj,-ic cn'éc iiar la 
iiile moins celle <[ni disparail sons lornie de (dialciii- de Joule. 
IjCS aulres relations nous niontrenl (pu; l('s pr'ojeclions de 
Taclion du cluuni) sur les ti'ois axes sonl 

- ix, + x;)./t, 

- iV, + Yj ./-, 

- (Z, 4- Z.,1 <h. 



ACTIONS MÉCANIQUES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 4o3 

Ces composantes comprennent, comme on le voit, deux 
parties. 



-X,^T, 


— X, dx. 


- Y, ./t, 


-Y,dx, 


- Z. iv, 


-Z,d.^ 



( — Xj^^T, — Yj^T, — Z^di) représentent les composantes de l'actior 
du champ magnétique sur la matière ; les autres composantes 
sont celles qui proviennent de Faction du champ électrique sur 
la matière. 

325. — Calculons chacune de ces actions en particulier. 



I. — Actions mécaniques nu champ magnétique 

,Ie commencerai par faire une hypothèse : je supposerai qu'il 
pourra y avoir des corps susceptil)les d'aimantation, c'est-à-dire 
des corps tels ([ue pour eux [a <^ i, et des diélectriques pour 
lesquels Iv ^ i ; mais je ferai une restriction : je supposerai (j[ue 
si le système considéré peut contenir des corps |)Our les<[uels 
[X -^ i et K ^ I, ces corps seront solides. On n'aura donc n! 
ci)r|)s ma^Miétiques (luides, ni diélectri(|ues fluides autres cpie 
l'air. — Va\ dehors de ces corps solides je supposerai toujours 

\L zr:^ I . 




d- V .. I / dz \S , 



la [)remlère intégrale du second m('ml>re sera étendue à 
l'espace tout entier; la seconde lu.' s'ôtendra (|u'aux aimants 
solides. 

Nous avons trouvé pi écédemment 

(a-r)a==4^(A-A„); 



4o4 ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

Posons maintenant, 

(.^_ i)a = 4^ (A— A,) = a^ \ 
et de même > (2) 

on en tire aisément 

: [Aa = a + a', 

( i^ï = T + r' ; 

et la relation (i) devient, 

Formons maintenant -~- . DifTérentions pour cela la rela- 
tion (3) sous le signe | . Seulejnent, pour avoir 1(^ droit dci dillo- 

rentier sous le signe | il faut que le champ crintô<»Talion soit le 
même au temps t et au temps t -f- dl. Pour la pi'cnilcr(^ inté- 
grale on n'a pas de difficulté, car elle s'étend \\ Pcspacc^ 
tout entier ; mais ce n'est pas ce qui arrive \)(n\v la seconde 
intégrale qui ne s'étend qu'aux solides aimantés. l^ltcMidons 
cette intégrale à un seul solide aimanté; ce solides s(^ ilépla- 
çant, le champ d'intégration sera variable au tern|)s / et au 
temps t + cti. Mais tournons la didlculté en considéi'ant un 
observateur lié à ce solide : pour c(it observateur le champ 
d'intégration sera le même à l'épcxpui / et à rép()(|uc / -4- d( ; 
seulement il nous faudra alors prendre la d('' rivées par l'apport 
au temps avec des ô ronds. On aura donc, 






k I ù \^ 



871: \x — I 0/ 



5 a, 
car -"Y" = ^ comme nous 1 avons supposé plus haut. 



V 



ACTIONS MECANIQUES DU CHAMP MAGNETIQUE. 

Mais comment obtenir cette dérivée-^— > a^^? 

Pour calculer cette dérivée utilisons le théorème que nouî 
avons démontré un peu plus haut (308) ; nous avions dé- 
montré que si N est la valeur absolue d'un vecteur (a, [3, y), on 
a alors, 

5N \1 di \^ , -, 



N 



ou bien, en remplaçant N par sa valeur, 

et souvenons-nous que la démonstration de ce théorème supposait 
que le point considéré appartenait à un corps solide : c'est 
précisément notre cas. Appliquons ce théorème au vecteur a^ ; 
il vient, 

En divisant les deux membres de cette relation par [x — i et 
en tenant compte des relations (2), on aura 



^ V - V '^^^' V r M 

r\/ / I / 1 /// / 1 I. -I ' 



'l[lX— l) ^t jLà' ' jLà ' (Il 



c'est précisément hi valeui' de la dérivée que nous voulions 
évaluei'. 

La rcdation (4) devient donc, 

/* 



hlviiluons 

(h. d'j! 

ll(Mnplar()ns \\ cet eUel dans les écpiatlons de Hertz: [i.a par sa 
valeur [•>. bîsj. (]ela nous donne, 

(h. (h! (Ul d\\ , , 

dl ^ <ll <lz d,j ^l^-H^I^J 



io6 ÉLECTRODYNAMiqVE DES COUPS EN MOUVEMENT 

d'où 

La relation (5) peut donc s'écrire, 
,.. di, fd^ s-r /dq dR 

(^) -dT-j 4^ L^'i'dr-ifi 

Remarquons maintenant que la quantité sous le signe j con- 

tient deux parties dinerentes : la première partie — = -— — est 

* d.z djj 

indépendante de ^jTj, l, et de leurs dérivées et l'autre partie en [aj 

qui dépend, au contraire, de ces quantités et leurs dérivées : 

elle est fonction linéaire de ces quantités. La relation (6) peut 

donc se mettre sous la forme, 

d'où, en identifiant avec (6) 

Tl =V-^ /^Q dK\ 
^' ^4^ \dz dy)' 

et 

(7) 4^:1.1, =2|"-W- 

Maintenant, une fois que nous avons 11^ nous allons en tirer 
Xj. Voici comment. 

Par intégration par parties, H^ peut se mettre sous la l'orme 




(7^6-) / 11//^= / ^x, + Y/o + Z,g./T, 

ou 5 en y faisant r^ 

(8) / iv/t= / ^U-, 



ACTIONS MÉCANIQUES DU CHAMP MAGNÉTIQUE 407 

d'autre part, en développant (7) et en y faisant r, =: '; = o, il 



vient 



' ' dy dz ^ ^ /j dx ' dx ' dx 



dy 
car, avec y] = ^ = o 

«Il a donc, 



' dx ^ dx r 



<'.\. Cl) intcgi'unt par parties 









ii-./T, 






d^^ / / >• ^^T / 

dx I ' dx 



4o8 ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

la relation (lo) peut donc s'écrire, 




*(?^S+^-'è+'^Zè 



en comparant cette dernière relation à la suivante (obtenue en 
multipliant les deux membres de (8) par 4^) 

il vient 

,_.. .. .^? , ..^^.Viî-^ 

df/ ' ^Z.- 



^ d?j dr \1 da ., dy. dy. 



Voyons maintenant la signification de cette équation. 
D'abord, nous avons vu précédemment (300) que, 

m étant la densité du magnétisme lil)re, c'est-à-dire la densité 
du magnétisme total en tenant compte du magnétisme permanent 
et du magnétisme induit. 
D'autre part nous savons que 

4^rS 

d^, dy ~ ^"^^'- 

En tenant compte de ces dernières relajtions et de la relation 
(12), la relation (11) devient, 

X^ = [B(i' — yp — a/??. 



^Y 


d{i 


dy 


dz 


(la 


dy 


dz. 


d.v 


d[i 


dx 



ACTIONS MECANIQUES DU CHAMP ELECTRIQUE 

L'action mécanique du champ magnétique sur l'élément d 
a clone pour projection suivant Taxe des x 

— X^c?T = [ajii + Yf> — ^w) dr:, 

et on aura par un calcul tout a fait analogue (en faisant succes- 
sivement dans (7) et (7 bis) ^ = Ç = et ? = 7] = 0) 

— X^d'z = ([3/;2 + cfW — ^u) 6?T, 

— Ij^di = [^;m -{- ^(c — ap) d'Z. 

Dans ces relations [oLmdz, fjind'Zy ^md^) représentent l'actio 
champ sur la masse magnétique mdi: et les deux derniers tei me. 
de chaque parenthèse reiDrésentent évidemmcntraction du champ 
magnétique sur le courant total [a, r, (iC') (^) ; cette action se 
calcule par la formule d'Ampère. 

Maxwell donne pour la première composante de cette force 

(a/;^ -)- c^> — h[v) di \ 

mais cette expression n'est pas conforme au principe de la con- 
servation de l'énergie. 

Remarque. — Tout ce que nous venons de dire s'applique 
seulement aux cas où les corps aimantés sont des solides qui se 
déplacent sans se déformer, en conservant leur pouvoir induc- 
leiir [JL (^t en entraînant avec eux leur aimantation permanente. 
S'il y avait des corps magnéticpies Ikiides ou déformahles, on ne 
[)()U riait fair(^ le calcul sans faire des hypolhi'ses au sujet de 
rinfluc^nce de la déformation sur le coelïicient a et sur la distri- 
l)ulion (lu magnélisnie ix^'uiancnt. I)'aul.r(^ j)art 1(^ [)i'inci[)e de 
la C()ns(M'vati{>n (1(^ rén{M'<ri<^ m- pourrait plus élre appli([ué sous 
la niéuK^ forme ; car c<^s défoi'niations et les variations qui en 
résullerai(Mit pour a el \^<>^^^' raiinantation |)ermanente pourraient 
(uiti'aîner des dén-atrements de chaleur. 

Le résultat (pie nous vmmious d'obtenir nous montre une (ois 
(l(^ plus (pie l'exiH'ession (pi'il convient d'adopter pour l'énergie 



(1) Courant loUil zz=z oour. de coiulucLioii -H cour. cl(i (l('j)hicomcnL -i- cour, do 
Ilowhind 4- cour, de Udcntgoii. 



4io ÉLECTRODYNAMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

magnétique est celle de Hertz et non aucune de celles de Max- 
well. 

II. — Actions mécaniques du champ électiuque 

326. — Calculons maintenant les expressions des ibrces 
lécaniques qui s'exercent entre les corps en mouvement dans 
n champ électrique. 

Prenons comme point de départ le deuxième groupe d'équa- 
ows fondamentalies de Hertz pour l'électrodynamique des corps 
i mouvement, 

r/KR r/,3 da. 



dt dx dij 



et posons, 

(K - K,) l> =. 1", 

(2) (K-KJQ = Q'. 

^(K-K„)R = 1V; 

l'induction électrique de Hertz devient alors, 

KP == K„P 4- P', 

KQ^K„QH-Q', 

' KR = K„R+R'; 

et pur suite le système d'équations (i) devient, 
fZK„P . rfP' ,h' d?j 



(il ~^ dt ' dij dz 



+ (K„PJ + [P'I - 4^/.. 






dW d& d-j. 



dt dl dx dij 



_+[K,R] + [R']-4-/-. 



ACTIONS MÉCANIQUES DU CHAMP ÉLECTRIQUE 

L'énergie électrique est, d'après Hertz, 

(4) ■'^=/^2^^" 

or, de (2) nous tirons, 

p/2 



KP2 == K„P2 + 



K-K„ ' 



la relation (4) devient donc 
J.. 



la première intégrale est étendue à l'espace tout entier ; h 
seconde ne s'étend qu'aux diélectriques solides dont le pouvoii 
inducteur spécifique K^ o et K^K^. 

Le reste du calcul est calqué sur le calcul précédent (chani 
magnétique). On obtient ainsi 



dl / 4^ Zj dl. j 871 



^4- y F- 



K. — K., ù/: Zj 



or, en appli(|uant le théorèmes cité plus Iiaut, en divisaiit par 
K — \\ ^ ('t en tenant compte des relations (:>>)y 



I \-^ r \^ .. d\" 



.Vi-^J\ 



[> 



SnnJ; 






ou eiicor<', en tenant c()nipt(^ de (,'i) 



r/.L 



/ ^^'^ V iJ' ^^Y ^A'^ / . ,^ ,.,1 



4ia ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

On déduit de là, en remarquant qwe\ [KqP] est fonction 
linéaire de ;, r^, K et leurs dérivées, 

:t 

3s deux quantités étant reliées par la relation 



dt 



d^{\],+ E,); 



)T rintégration par j)arties nous donne pour ( II ^ ch, après 
multiplication par 4^ 

Prenons la relation (5) et développons [P], il vient 
tQ]=.4(R.-Qg-A(Q^-P,)-,V4;i 

- Pour avoir X^ faisons r^ = ï^ = o dans ces relations ; il vient 
ainsi, 

' ^~ d>/ ~^ dz ~''Zj'd7' 



[R] = - 



d.v - 



ACTIONS MÉCANIQUES DU CHAMP ÉLECTRiqUE 

et par conséquent la relation (5) devient 



4i3 



Hs) -|L fii^d.^ id.\p i^ + P ^ _ Piy4 



et en intégrant par parti* 



P^.- 



:- I Rï4r'^^' 






«^-§"- 



r/.r 



cla: 



(.") A/.s*) devient alors, 



;) /^v' 



(Lv cil/ I \ dz dx 



-pvii: 






P'aisons niainlcMiant r, — !^ o, dans la relation ((i) et compa- 
rons la relation ([ni (\\\ résnltc avec la rcdation (5 /e/') ; on trouve 
ainsi, 



K„ ~'^\ds du) \dz. dx ) ±^dx 



Or «u a 



^ * (1 / / 



:4-(^, 



/ji4 ÉLECrkODYNÀMiqUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

e étant la densité de l'électricité libre, c'est-à-dire non seulement 
Télectricité qui se trouve a la surface (électricité vraie), mais 
aussi Télectricité apparente qui parait se porter a la surface des 
diélectriques placés dans un champ électrique. 
Il vient donc, 

i\ \ d.i' dy J \ dz dx j K^ 

Les deux premiers termes du second membre de cette relation 

tentent la force de Herlz. Le dernier terme qui dans 

ession de X ^ prendra la forme — Pe et qui, pi^r conséquent, 

ra Pedx pour l'action du champ sur la masse edz d'électri- 

eprésente la force électrostatique ordinaire s'exercant non 

^nt sur l'électricité vraie, mais sur ce qu'on a appelé 

ité libre. 

327. — La force de Hertz est trop petite pour que l'expérience 
paisse la mettre en évidence : elle est restée jusqu'ici inscnsiljle 
aux expériences. Cherchons néanmoins de nous%rendrc compte 
de la signilication de cette force ; pour bien la faire comprendre 
je suis forcé de faire une digression sur le parallélisme et la réci- 
[)rocité des phénomènes électriques et magnétiques et sur hi 
notion nouvelle du courant de déplacement magnétique. 

/Considérons un diélectrique et admettons pour le moment les 
idées de Mossotti sur les diélectriques (sphères conductrices extrê- 
mement petites disséminées dans une substance non conductrice 
jouissant des mêmes propriétés que l'air, qui s'électrisent par 
influence et qui produisent par suite la polarisation du diélectri- 
([ue). Supposons que ce diélectrique ait la forme d'une lame ii 
(aces planes et qu'il soit placé dans un champ magnéti([ue cons- 
tant. On aura une distribution d'électricité positive sur une des 
faces de la lame et de l'électricité nés'ative sur l'autre face. 

o 

La densité électri([ue de ces couches est, d'après les calculs de 
Mossotti, 

K — K, K — K, 

47Z K '' 

Lorsque le champ est variable on a alors des courants analo- 



ACTIONS MÉCANIQUES DU CHAMP ÉLECTRIQUE /n^î 

gnes aux courants de déplacement de Maxwell ; ces courants ont 
pour valeur, 

K — K, ^P ^ K— K, df • 

4?: dt K de ' 

Supposons maintenant que nous ayons deux diélectriques de 
pouvoirs inducteurs spécifiques K et K^, appliqués l'un contre 
l'autre ; on aura sur la face des premiers une couche électrique de 
densité 



47. 

sur l'autre diélectrique on aura 

ol. la couche de séparation résultante aura pour densité 

Généralisons maintenant ces idées de Mossotti en les combinant 
avec celles de Maxwell. On aura alors des petites sphères conduc- 
trices séparées par un milieu hypothétique de pouvoir inducteur 
spécifique K^ Il faut donc 
sotti Kq par K^ Il vient alors pour ja acnsicc superlicieile. 

Jiiziilp 

et pour le courant de déplacement 

K— K^ dP 

Si ou a deux diélcctri([acs appli([ué.s Wui contre l'autre dont 
Tun est constitué par Fair, on a alors 

Iv — K/ 
r' couche P ; 

4- 

:>/■ couche —- —^ P ; 

47: 

1 1 ^^ — 'v, .. 

couche résultante ~ P. 

47: 



4i6 HLECTRODrSAMiqVE DES CORPS EN MOUVEMENT 

On obtient donc le môme résultat clans les deux théories au 
point de vue électrostatique. Mais il n'en est plus de même au 
point de vue électrodynamique : les actions électrodynamiquès 
sont en elFet différentes dans les deux ordres d'idées. 

Passons maintenant aux corps magnétiques. On aura la même 
chose ; nous savons en effet que la théorie de Mossotti sur les 
diélectriques n'est que la traduction de la théorie de Poisson sur 
les milieux magnétiques ; on passe de Tune à l'autre en changeant 
le mot flux électrique en flux magnétique et réciproquement. 

Considérons donc une lame d'un corps magnétique placé dans 
un champ magnétique ; la lame magnétique va s'aimanter et nous 
aurons deux couches de magnétisme de densité 



en prenant [x = i pour le vide. 

Si on appelle a^ le coeiïîcient du vide, nous aurons alors 

a. 



4t. 

Si le champ n'est pas constant, tout va se passer comme si les 
charges magnétiques variaient, comme si le magnétisme passait 
d'une lace à l'autVe. On aura donc un véritable courant macrnéti- 
que de densité 

4- dl * 

Mais pour que le parallélisme soit complet, il laul modifier la 
définition de ce courant de déplacement magnétique en intro- 
duisant une théorie nouvelle qui sera pour ainsi dire à celle de 
Poisson ce que celle de Maxwell est à celle de Mossotti. 

Supposons maintenant que le vide soit comme les autres corps : 
magnétisable. Les sphères magnétiques seront alors séparées par 
un milieu de perméabilité magnétique a' et à la surface de ces 
sphères on aura 



fOilCE DE HEUrZ Î17 

t'I. le ciHiniîiî »îagiii»tii|iie srra 

'X — 'X fi 7. 



4^ ^// 

Si lUHîs rc»nsic!éroiis eiifiii la siiiiae*.* de sêpaniliiiii ties «Irux 
ïïûlieux : corps nuignétic|iie — vîtlc% iic>ii> aurons alors une clfiiilik» 
couche 



4- 

et la couche résiiltanle sera 



Les deux théories sont donc coiicordiiiiles au point de \iw des 
phénomènes statî(|ues. 

Dans cette manière de voir, les corps diaiiiagiiéti<|ues sont 
moins magnétiques que le milieu qui les entoure, par conséquent 
moins magnétiques que le vide. Cela s'accorde avec lliypothèse 
que nous venons de faire et d'après laquelle le vide serait magné- 
tique. Xous devons avoir pour un corps quelconque y, > u' ; 
mais si le vide est magnétique nous avons »i^ > u ; ii |ieuî donc 
y avoir des corps pour lesquels ^x < a, : ce sont les cc^rps diama- 
gnéti(pies. 

liepreiions Fexpression j" du courant de déplacement magné- 
tique et passons à la limite :^comme tait Maxwell pour les cou- 
rants de déplacement électrique en ptisant 'x' r:=u;: o ; ie courant 
magnétique sera alors 

;x .h 

ou encore 

I (i'xy. 

Or, d'après Hertz, 



dt dz dij 

Poi.NCAHÉ. Éleelricité et Oplit£ue. 



4i8 ÉLECTHODYNAMiqUE DES CORPS EX MOUVEMENT 

Posons alors, 



d[i 


d(l 


d'j.% 


'hi 


dz ■" 


dt 


rfP 


d\\ 


47:^- 


./-- 


d.v 


I\, ■■ 


(H) 


d\^ 


J\7:\\ 


d.v 


du 


K„ 






11 résulte, en comparant ces relations avec les relations, 

^1^-^ = 4-, 






^v 






= 4^., 






4'^r^ 



que îioiis avons (à des facteurs constants près" entre les courants 
niagnétiques et le champ électrique la même relation qu'entre les 
courants électriques et le champ magnétique. Par conséquent, 
un courant électrique produirait un champ magnétique et de 
même un courant magnétique produirait un champ électrique. 11 
y a donc réciprocité parfaite. Cette réciprocité mise en évidence 
par Hertz peuts'énoncer sous une forme indiquée par ]\I, Blondlot. 
Soit une niasse électrique cjui se déplace: les expériences de 
Rowland prouvent qu'un tel déplacement produit les ell'ets élec- 
trodynamiques d'un courant ; on crée donc un champ magné- 
tique. Considérons d'autre part un pôle magnétique mobile ; s'il 
sr déplace au voisinage de conducteurs il donne naissance à des 
eflefs d'induction. Dans la pensée de Maxwell le déplacement de 
c«.' pôle dans un diélectrique produit aussi dans le diélectricpie 
des forces électromotrices d'induction : la seule diderence est([ue 
dans le diélectrique ces forces électromotrices donnent lieu a un 
déplacement électrique au lieu de produire un courant de con- 
duction ; le mouvement du pôle magnétique crée donc un champ 
électri(|ue. 

On peut énoncer la réciprocité entre les phénomènes électri- 
ques et magnétiques, en disant que si deux pôles, l'un électrique, 



FORCE DE HERTZ jici 

rautre magnétlquej sublsseiU le nî«>mc' tlrplacemeriL ils tiiiniieiii 
naissance au même champ. 

xViusi donCj prenons un circuit C, le primnire. et un autre rir- 
cuit C, le secondaire ; rexpérience nous apprend t|iie si rinleii- 
sité du courant qui passe dans le primaire varie, îl îiaiî altirs un 
courant d'induction dans le secondaire. D'après îa iiiaîiii-re de 
voir de Hertz, cette action serait indirecte; le eoiiraiii c|iii passe 
dans le primaire produit un champ magnétique ; si riiiteositr de 
ce courant est variable, le champ magnétique sera lui-iiM^ine 
variable ; ses variations donneront naissance à un dèpîavemeni 
magnétique : à un courant magnétique ; ce courant !iiagîîétif|iie 
produira a son tour un champ éleclriqu.' (|ui se iiiaîiîlVsIrni dims 
le secondaire par un courant électrique. On aura donc par suite de 
la variation de Tintensité du courant primaire on courant dans le 
secondaire. Ainsi donc, des courants magnétiques produisent un 
champ électrique, de même que les courants électriques produi- 
sent un champ magnétique. D'autre part, une force magnétique 
exerce une action mécanique sur la nialière qui est traversée par 
un courant électrique. Par réciprocité une force électrique doit 
exercer une action mécanique sur la malière qui est traversée par 
un courant magnétique. C'est cette action mèainique qiiiivnsiiine 
La foj'ce de Hertz. 

328. — Reprenons maintenant le calcul de X.^. 
Nous avions, 

-rT ^^\Zr~ Hjr [l^ d.r } «- ./.<■ • 

Eu tenant compte des relations en U. Y, W et Je la n-lutiou 

K, ^^ da- 
il viendra finalement, 

X, = Q\V — HV — Pi'. 

Par conséquent le champ électrique exerce sur Félément de 
volume d' une action mécanique dont la projection sur 1 axe 

des .r est 

(Pe+RY— Q\V d^. 



420 ÉLECTRODYNAMIQUE DES CORPS EN MOUVEMENT 

Voyons la signification de cette relation. Qu'est-ce que Pech'^ 
Nous avons déjà dit que c'est l'action exercée par le cliamjD élec- 
trique sur la masse électrique eck ; cette action électrique est 
exercée par la force électrique ioUile P qui a pour expression 

d'après Maxwell, 

p _ d'L ■ d? 
dx dt . 

et qui comprend aussi bien la force d'origine électrostatique que 
la force électrique due à Tinduction magnétique. 

Qu'est-ce que (QW — RV) ? —C'est l'action du champ élec- 
trique sur le courant magnétique. Cette action est nécessaire pour 
que le principe de l'égalité de Faction et de la réaction soit 
vérifié. Si, en effet, un courant électrique variable produit des 
courants magnétiques, et par ces courants une force électrique 
d'induction, laquelle agit sur une charge électrique e, il faut qu'il 
y ait réaction de cette charge e soit sur la matière traversée par 
ces courants magnétiques, soit sur le circuit parcouru par le cou- 
rant électrique variable. D'après Hertz ce serait la première 
hypothèse qui serait réalisée. — L'expérience n'a pas encore 
vérifié ces prévisions. 

VÉRIFICATIOX DU PRIXCÏPE DE L'ÉCALrrÉ DE l'aCTIOX ET DE LA REACTION 

329. — Démontrons encore, pour finir avec la théorie de 
Hertz, que cette théorie est conforme au principe de l'éu'alité de 
Faction et de la réaction. 

Nous avons déjà montré que les équations de Hertz gardent la 
même forme dans le mouvement relatif et dans le mouvement 
absolu. Il est aisé de voir d'autre part que l'expression de l'éner- 
gie totale garde, elle aussi, la même forme dans ces (Jeux mou- 
vements. 

Nous savons que, 

_d] 

dt 

Or,J LV/t ne dépend pas de q, r,, l, ni de leurs dérivées 

par conséquent cette intégrale sera la même dans les deux mou- 
vements. 




ÉGALITÉ DE CACTIOX ET DE lA HÉACTiOX ,i,ii 

Quant au second terme 

X^p Yy. Zo ne changent pas non plus dans les deux iriciiiveiiH'îiH 
car toutes ces quantités ne contiennent pas ;, r,, I, ni hnir^^ 
dérivées. 

En appelant ^, -/;, t les composantes de la vitesse relative, 
ÇpYip v^ celles de la vitesse d'entraînement, alors ; + ;,,/, + 7,^, 
ï + sj représenteront les composantes de la vitesse diiiis le niim- 
vement absolu. 

Nous aurons donc dans le mouvement absolo, 

et dans le mouvement relatif 



iL=p,(r.+yx,). 



En retranchant ces deux relations membre à meniiire. il 
vient. 

Cette relation est vraie quels que soient ;,, Y,p !.. 
Supposons que le mouvement en question soit un mouvement 
de translation ; alors 

et l'intégrale précédente devient dans ce cas, 

La composante de translation totale est donc nulle : le pria- 
cipe de P égalité de r action et de la réaction est donc vérifié par les 
équations de Hertz, 



CHAPITRE III 

THÉORIE DE LORENTZ 
CONDUCTEURS 



330. — La théorie de Hertz est, comme nous l'civons vu, par- 
faitement cohérente ; mais si elle rend compte des phénomènes 
électriques elle ne rend pas compte de certains phénomènes opti- 
ques et en particulier des phénomènes optiques en mouvement 
(entraînement partiel des ondes lumineuses, aberration astrono- 
mique, etc.). En revanche, elle est parfaitement en accord avec 
le principe de la conservation de l'énergie, avec le principe de 
la conservation de Télectricité et du magnétisme, et avec le prin- 
cipe de Tégalité de l'action et de la réaction. 

Ncnis allons, maintenant, exposer une nouvelle théorie électro- 
dynamique qui explique assez bien les phénomènes optiques qui 
ne pouvaient pas être expliqués par la théorie de Hertz, mais 
qui, malheureusement, n'est pas conforme au principe de Tcgalité 
de l'action et de la réaction : c'est la Théorie de Lorcnlz. 

Avant d'entrer dans l'étude délaillée de cette théorie nous al- 
lons commencer par énumérer les hypothèses fondamentales de 
Lorentz. 

331. Hypothèses fondamentales. — D'apiès Lorentz : 

i*^ // ni/ a pas de magnétisme : les apparences de magnétisme 
sont dues aux courants particulaires d'Ampère. 

i"" Il ny a pas de courants de conduction : Lélectricité adhère 
a la matière. Les phénomènes électriques sont dus à certains pe- 
tits corps matériels, extrêmement tenus et chargés d'électricité, 
que Lorentz appelle ions ou électrons. Ces molécules matérielles 
sont des corps solides qui se déplacent sans se déformer ; les 
charges électriques sont portées par ces molécules dont elles 



COXDVCTErRS |al 

sont inséparables. La charge de eluirune de ces iiîtilerult^s »:•-! 
constante et la distribution en est invaruthli^ 

Conducteurs, — A rintérieur à\m iMM-ps cinîcliieleiir iit|iiiilr 
ou solide), ces molécules peuvent se nioiivcnr liljreiiic»ïil, vï n-s 
mouvements produisent les courants appelés voliait/nes. Seule- 
ment dans ce mouvement elles ont à surmonter une espèce êe 
frottement. (ou de résistance] de la part dit eoiicîiieleiir : un corps 
est d'autant meilleur conducteur cpf il oppose iimiîiîs de résis- 
tance au mouvement de ces particules. En d'autres termes, les 
courants qui traversent un conducteur métal licpie se propage- 
ront par le même mécanisme (|ue ceux «|ui Iraverseni un i'4ec'irit 
lyte ; les molécules ou particules a charge invariable si,- compor- 
teront donc de la même manière que les icins des éleclrt^îytes : 
cela justifie leur dénomination. 

Ces particules sont chargées les unes positivement, les autres 
négativement. Si un corps est chargé positivement^ c'est qui! 
contient plus de molécules chargées positivement <|ue de molé- 
cules charofées nésrativement. 



a 



Diélectriques, — La masse des diélectriques est parsémi'-c 
d'ions comme celle des conducteurs, seulement, chacun de c»'s 
ions, au lieu de pouvoir se déplacer librement ii l'intérieur du 
diélectrique, ne peut s'écarter que très peu de sa position d équi- 
libre : dès qu'il s'en éloigne, une force antagoniste due a î action 
des ions voisins tend a l'y ramener : cette force est proportion- 
nelle, à l'écart, si cet écart est petit. 

Quand le diélectrique est placé dans un champ électri«|oe 
force électrique extérieure tend a éUùgner Lion de sa position 
d'équilibre et il s'en écarte légèrement jusqu'à ce que cette force 
extérieure soit contre-balancée par l'attraction des ions voisins 
qui tend à ramener Lion à sa position d'équilibre primitive. 

En d'autres termes le diélectrique se polarise. 

Une analyse qui ne diiïere pas essentiellement de celle a la- 
quelle conduit l'hypothèse de Poisson et de Mossotti montre que 
h\ polarisation du diélectrique est proportionnelle à Fintensité du 
champ extérieur; on retombe donc sur les formules bien connues 
de la théorie des diélectriques. 



4-24 TIIÉOniE DE LORENTZ 

Voyons maintenant comment M. Lorentz a réduit ces hypo- 
thèses en équations. Commençons par les conducteurs. 

ï. — CONDUCTEURS 

332. — On peut étudier ce qui se passe dans les conducteurs 
en nous plaçant à deux points de vue différents. D'abord, consi- 
dérons un observateur ayant les sens très subtils, et voyons com- 
ment se présenteront à lui les phénomènes qu'on observe dans 
les conducteurs. — Grâce à ses sens très développés, très sub- 
tils, il sera en état d'apercevoir les courants particulaires d'Am- 
père ; il distinguera même les ions et les verra se mouvoir : pour 
lui, le magnétisme et les courants de conduction n'existei"ont 
pas. — Si, au contraire, nous considérions un observateur ayant 
les sens grossiers — comme les nôtres, — le mouvement des 
ions ne lui sera pas accessible ; il ne verra que des phénomènes 
moyens, des effets d'ensemble, et c'est ainsi qu'il sera conduit à 
admettre l'existence des courants de conduction et du magnétisme. 

Nous allons étudier les conducteurs en nous plaçant successive- 
ment à ces deux points de vue différents. 

A. PHÉNOMÈNES QUI SE PRESENTENT A UN OliSEIlVATEUll 

AYANT LES SENS TRIIS SUBTILS 

333. — Considérons le courant total ; d'après Lorentz, il se 
compose de deux parties : le courant de déplacement et le cou- 
rant de convection de Rowland. 

Désignons, comme précédemment, par u, c, i\> les composantes 
du courant total ; il vient alors 



dh 
Nous admettrons aussi la relation 



COyDLTTEVRS .|:4 

C'est là une liaison que nous imposons im tlr|îliii*eMii-iîl 'f.z:^ k - 
D'ivutre part, les particules- élaiil lifs stiliile> iiîVîiîiïiblrs ri 
emportant leurs charges avec elles on uiira : 



dl ~ dt ~^^ dx "^ '• dij "^ ^ 'iiz 



do V ^/o dz ,. r/p 



^/ ^ " d.v ' ' ^/// ' ' dz 



donc 

(3) 

et de plus 

/ <f ; <h, d: 

puisque la dilatation des particules est nulle. 

En additionnant les relations l'S) et î4} membre à membre ii 
vient, 

</? ^ </.r ^ </// ^ ./: 
«u encore, 

DilFérentions maintenant la première équation du système i 
par rapport à x, la seconde par rapport à//, la troisième par rap- 
port a z et ajoutons, il vient, 

~~ dt ^ d.v ^^ d.r ' 



ou, eu tenant compte des relations 'ji] et J>) 

sr\ du 

(6y 2j7/7 = °- 



U 



426 THEORIE DE LORENTZ 

Cette dernière relation exprime le principe de la conservation 
de réleetricité. 

334. — Introduisons maintenant le potentiel vecteur (F, G, H). 
On a d'après le théorème de Poisson 

^ AH= — 4w. 

En difïerentiant la première de ces relations par rapport à x^ 
la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à z et en 
ajoutant, il vient, 

et en vertu de la relation (6) 

\ydF . , . 

/ ~f7 c^pi'iïiie donc le potentiel de la masse attirante dont 

du dv dw 
et il vient alors. 



la densité [~-r-.-r-. ^\ est nulle. Ce potentiel est donc nul, 



Z^ dx' 



335. — Montrons maintenant qu'il n'y a pas de magnétisme 
permanent ou induit. Introduisons pour cela la force mao-nétiaiie 

on D 1 

a, ^j, -'). Posons, 



;9; 



rfll 

d'J 


dC. 

dz 


= a 


dz. 


dll 

dx 


= ? 


dG 


dF 





dx dij 
Différentions la première de ces équations par rapport à x, la 



COXOrCTEllLS la; 

seconde par rapport à //, la troisième par rapport à : ri kipuîmi^; 
il vient 

\1 ch 

G. Q. VAK 
336. — Formons maintenant les expressions, 

dtf dz ' 
f/o. __^ 

'77 "~ r/,r' 

que nous avons rencontrées dans la théorie de lleriz. 

En remplaçant dans ces expressions x, 3, ^^ par ieiirs valeurs 
tirées de (9), on obtient pour la première 

ÈL^ÉA <^'G- ^'F ^^'F f/-II 

ajoutons et retranchons au second membre -7-7, u vient, 

<:/y <:/3 dx- ' dxdif " d.r^iz 

ou encore, 

EL i^— _ AF-1- — V!(L. 
^/// dz ' d.v ..««^ f/.r 

et enfin, en tenant compte des relations 7 et 8 un olitieiit 
dij dz 



, , \ dv. d- , 

(10) __=,.., 

! ^3 



dx dij "■ 



337. — Pour aller plus loin je me servirai des éi|oalioiis de 



Lagrangc. 



j.^B THÉORIE DE LORENTZ 

Je supposerai que le système est composé d'un grand nombre 
de variables, et que les coordonnées des diverses particules char- 
gées de la matière, dépendent des paramètres q^, y;, «Zav '/n ; 
les déplacements dépendront aussi de ces quantités. 

Désignons par T la force vive totale du système ; elle se com- 
pose de la force vive de la matière, T', et de la force vive de 
Féther que je désignerai par T' . On aura donc 

T = T' + r^ 

Et si U désigne l'énergie totale du système, U' l'énergie due 
aux forces autres que les forces électriques, U^' l'énergie due aux 
forces électriques, on aura encore, 

Les équations de Lagrange peuvent alors s'écrire, 

d dl dT , dV. 
■ ^ H — — = 0. 



^ ' dl dq' dq dq 

Mais quelles sont les valeurs explicites de T^^ et U^^ ? 
Je suppose que P' soit représenté par l'énergie magnétique ; 
cela revient à écrire 



'-fi^"^ 



d'où, par un calcul bien connu, 
{i% his) T" = 



/ès--/^s-- 



U'' c'est Ténergie potentielle de l'éther; je suppose que c'est 
Ténergie électrique ; donc. 



(.3) 




COSnCCTEURS 

Calculons maintenant les dérivées -^-r-r-, ^~r-~ el 
Il vient y 



ii|i 



if/ ^ fi(j ffr| 



4) 






En ce qui concerne T^^, remarquons dans {12 k's) que F est le 
potentiel d'une masse attirante dont la deiisilé est a; et si jedoiint* 
alors un accroissement 0/^ à //, raccroissemeiit eorresptHidaal 
de F sera oF ; l'intégrale (12 bis'^ s'accroîtra par eiiîiséqiient ile 
(en ne considérant que le premier terme de ï 




or, en vertu d'un théorème bien connu, 

d^ F on = j (h iioF, 



donc 



— - [F ON -f- ^/oF° = I dzF 5w, 



et par suite, 



1 



l'O 



drj / ^ dq 



et de la même manière, 
dT 



(16) 



dq' 




11 nous reste encore à calculer -1^ et -^. Et ici nous sommes 

dq dq 

amenés à distinguer deux sortes de coordonnées q : 

i'' Les coordonnées du centre de gravité de la particule con- 
sidérée. Ces coordonnées suffisent pour déterminer complète- 



43o THEORIE DE LORESTZ 

menl la situation de la particule, si on suppose que la particule 
ne peut pas tourner sur elle-même. Lorentz a d'ailleurs démon- 
tré que les particules étant infiniment petites, le moment du 
couple qui tendrait à les faire tourner sur elles mêmes, est un 
infiniment peliurordre supérieur. Nous ne reproduirons pas cette 
démonstration, faute de temps ; nous nous Lornerous à admettre 
la conclusion. 

Les variables de la première sorte suffisent donc pour déter- 
miner la position de la matière et par suite la position de Télec- 
tricité qui, d'après Lorentz, est invariablement liée à la ma- 
tière. 

2° Les coordonnées qui définissent la position de Téther. La 
matière et par suite l'électricité ne seront pas affectées par la 
variation de ces coordonnées ; par contre, le déplacement (/J g^ li) 
subira des variations, car le vecteur (/J g^ li) est fonction de la 
position de Téther. 

Maintenant, quand les variables de la première sorte subiront 
des accroissements, ces variations affecteront en môme temps la 
matière et Tétiier : rélectricité et le déplacement électrique. 

338. a. Equations qui dèûnissent l'état de Fèther. — Cette 
distinction de coordonnées étant faite, revenons à notre question ; 

, T du du 

calculons — j— et-^— r. 
arj dq' 

Commençons par nous placer dans le cas des ^>ariahles de la 

deuxième sorte^ qui définissent la position de Véther. 

D'abord 

df , . 

il faut par conséquent dlfférentier cette relation par rapport a q. 
Or, z ne dépend pas de q (variable de la deuxième sorte), sa 
dérivée est par suite nulle, et il vient alors, 



s; 


(ht 


_ d df 
d(i dt 


Je dis f|iie 







J_ li_J df ___ d'f _ 
d(j dt ~ de dq dldq ' 



ÉQrATÎOys QUI BÉFIMSSE.XT VETaI' DE l'iriiEH 

Nous avons en efFetj 

et en diffère ntiant par rapport à q 

d d£_'S^ d'f , 
d(j dt Zmi d<j,dq '^ " 
donc 

^ '^' d(] (il dî d(J ,^d(f:dij ^" 

C. il. F. 13. 
L'équation (i8 devient alors, 

^^ . du _ d-f 

'^^ ' dq dldq ' 

Calculons encore -7-: . 
dq 

Nous avons, 

d df _ df 
dq i dt dq- 

donc, 

, , du _ df 

^ ' dq dq 



fh 



l^crivons maintenant les équations de Lagrange «'m ne consi- 
dérant ([ue les variables de la deuxième sorte. — Ces fqualit>iis 
se simpliiient si nous remarquons que T et U , se rrléranî a la 
matière, ont des dérivées nulles par rapport aux varialiîes de la 
deuxième sorte qui se réfèrent a rétlier. Lt*s équations i ï s écri- 
vent alors, en tenant compte des relations ï5 . 16), lio ri 
(21}, 

^ ' dt I jLà dq J j,u^ didq 




/jl-i THEORIE DE LORE^TZ 

Transformons ces équations. Prenons lu première intégrale et 
eirectuons la diflerenLiation par rapport à /; il vient, 



La relation [9.2) devient donc, 

Zj\dt chj,^K, ' dql 



df d? 
dq dt ' 



Or nous avons 



/J d.v 



et en difrérentiaut par rapport à q, 

Zmk dxd(j dq ' 

multiplions maintenant les deux membres de cette relation par, 
y (/t :;j étant une fonction quelconque, qui s'annule à l'infini) 
et intégrons dans tout l'espace ; on a, 



/^"=Zâ,-/^"^ 



dq 



niais remarquons que ne dépend pas de q (variable de la 
deuxième sorte) donc, 

)u encore en intégrant par parties dans tout Fespace, 
\ jLà dxdq J ' ^ dx' dq 



ÉqrArioys qui défi.xisse.\t vetat bi- VEruEH 411 

et en introduisant cette ibiictioii '!» dans It*s rc-|iîalîfiîif^ ■a,'!,, lir La- 
grange on obtient, 



N) -Ef(^-S-fn=«. 



Pour que cette relation soil salisfaite, il suffit que 



i 



dt dij Kfi ^ 

dW d'I 4^ , 
dt dz K 



On pourrait montrer cela en se servant du calcul des varia- 
tions qui nous montrerait de plus, qu'il n\v a que cette manière 
pour satisfaire à cette relation (24) [si entre p el / il nV a pas 
d'autre relation que la relation (2)]. 

JD'autre part il est évident que les équations de Lagraoge ne 
peuvent comporter qu'une seule solution. 

Cherchons donc une fonction y satisfaisant aux conditions -iS . 

Différentions à cet effet la première des relations 25 par 
rapport a .^' la seconde par rapport à //, la troisième par rapport 
à z et ajoutons ; il vient ainsi 

jLJ (Lv \ dt ^ dx ' K, ] 
ou encore, 

^ ^ dt ^^ dw ' \\,y .«^ dx 

mais, 

jLà dx jLd dx 

La relation (26) devient donc, 

il- 

K,. '^• 



(^7) ^'^ = - 



Cette équation nous montre que la fonction y satisiaisant aux 
PoiNCARÉ. Électricité et Optique. . '^^ 



4^4 THÉORIE DE LORENTZ 

eoiidiclions (25), jouit des propriétés d^un potentiel : cVst le poten- 
tiel d'une masse attirante de densité |t- . 
Posons maintenant, 



:>8) \h' = ^- 



I 



\ ^.=R, 



"■c 



et écrivons les relations (aS) avec ces notations ; il vient, 

^F d'il 
dt dx' 

I ^ ^G d'b 

i^9) )^=—ir-'di' 

f/II _ dé_ 

\ ^^— "TT dz ' 

relations qui présentent une grande analogie avec celles de 
Maxwell in" 292, p. 347). 

En différentiant la seconde de ces équations par rapport à z, 
la troisième par rapport à ij et en retranchant, on obtient 

dq, __dR_ d fdlï dG' 

dz- dy di \ dij dz 



«^ (9)' 



donc, 



rfH dG 



dÇj d\\ _ da^ 

1z dij dt 

dR _ ^/P _ d^ 

Ix dz "" dt 

(W d() d-{ 

7i 



!3ol 



dy dœ dt 

Les deux dernières équations s'obtenant eomme la première. 
Tels sont les équations qui définissent Tétat de Tétlier. 



COMPARAISOy AVEC LES HEIAIIOXS TjE HEUT/, 415 

339. Comparaison avec les relations de Hertz. ~ En cmii- 
parant les relations de Lorenlz avec eeiles île lirrlz, nri viiil 
immédiatement une diflerence 1res miirf|iiée : K rst lîm-rnti 
constant et égal à K^ et a a complètement dispani «lans li-*^ 
équations de Lorentz. Cela tient aux liypotlièses que îums îi%-<iîis 
laites au commencement: nous n'avons admis ni magiiétisnir, nî 
diélectrique autre que le vide. On remarque aussi la disparititm 
des termes contenant les courants de condactîcin. (>k ne 
doit pas nous étonner, car nous avons négligé, dans Fespres- 
sion du courant total, les courants de RcFntgen et les cou- 
rants de conduction [p^ q, r : celle difTé renée est visililr eii 
comparant les équations Ibndamentaies de Hertz en // faisant 
a== i) et les équations (3o' de Lorentz. 

Comparons en effet les premières équations de chaque groupe. 
On a, 



dt dz dy 

rZa ^Q d\\ 



[Hertz) 
'Lorentz; 



dt dz dij 

et c'est précisément le terme en a qui contient le courant de 
Rœntgen et que nous avons négligé. 

Et bien, je suppose qu'on ait repris ie calcul précédent en 
tenant compte des termes qui contiennent le courant deRienIgen 
qui a pour expression : 

dz ^' " '^^ dïj ' ^" ^^" ' 
en d'autres termes je suppose que u ait pour valeu 



r. 

dans cette hypothèse on aurait trouvé comme co^idilions à salis- 

l'aire 

^F di 4t: ,. , ,., 

dt ~^ di/^ K, ^^ + '"*'' ^"^ '"^ 

dll d'I i- . . 

'■+-Tr- f'- -r J.^ — ïA = o ' 



■dt ^ dz ' K 



l^. 



435 THÉORIE DE LORENTZ 

et en posant toujours 

i^ / = P 

Ko 

on aurait trouvé à la place des relations (29) les relations sui- 
vantes, 



dt 



et finalement 



dy. dO dR 



-M, 



+ 1 



dt d: dy 

) rf^ _ dR d? 

!dt dx dz 

dt ~ du d.v "^ ^^^ ' 

c'est précisément les équations de Hertz, 

Ainsi donc en tenant compte des courants de Rœntgen dans 
les équations de Lagrange on retrouve les équations fondamen- 
tales de Hertz. Ceci doit attirer notre attention. Rappelons-nous, 
en elTet, que nous avons été conduits à introduire les termes [a], 
13], yi en tenanf compte des expériences d'induction magnétique. 
11 sera donc intéressant d'expliquer comment les équations de 
Lorentz sont capables de rendre compte de Tinduction magné- 
tique ; nous verrons dans la suite qu'elles en rendent parfaite- 
ment compte. 

340. b. Variables de la première sorte. — Considérons une 
particule m et appelons // Tabscisse de son centre de gravité. 



VARIABLES DE LA Pli EM! ERE SOUTE ,|l7 

Calculons —5 — et —7--, • 
ctfj d(f 

D'abord, T'^ c'est la force" vive de la iiiatiêre ; par ciiiiséc|iïeîit, 

a 2 2 

q, <7i, q.>y"'> étant les abscisses des centres de gravité des cliUe- 
rentes particules. 

On voit que cette force vive dépend des variables de lu pre- 
mière sorte et elle ne dépend que de leurs dérivées ; il en résulte 
que 

dT __ 

dq ~'' 

et par suite, 

d lï' cH' 

T-, . 11.-. '^T ' (Tï , ,, , 

bn ce qui concerne les dérivées — r — et -r-^ , les lonnules 

(Ifj dij 

(10) et (16) nous donnent ces dérivées. Nous avons en ellel 



(4) 



= 1 </.Vf4^.: 



dq' ] --^ d,, 



, , , . du du 

il reste donc a calculer -^ — et -^—r . 

dq dq 

du 
341. — Commençons par calculer— 7-^ 
^ «^ 

Nous avons, 



438 THÉORIE DE LORENTZ 

diIFérentions cette relation par rapport a q et remarquons que p 
ne dépend que de la position actuelle de la matière ; il est par 
conséquent indépendant de q' ; on a alors, 

du ^/_! J±_ 

Or, à V intérieur de la particule m on a | = ^r^ donc 

dq'~^' 
en dehors de cette particule on a p = o et par suite, 

dX 

convenons alors d'appeler p^ une variable telle qu'à l'intérieur de 
la particule sa valeur devienne p^ = p et en dehors de cette par- 
ticule p^ = 0. 

La relation (5) s'écrit, avec ces notations 



^rç du^ J£^ 

^ '' dq' ~ dq "+" ^'' 

r. . di> ^ d\v _.,„ 

Un ce qui concerne -j~^ , et -— , on a, en dmerentiant par 

rapport a q' les relations qui nous donnent v et k', 

dv dg d'r\ 

lûf~^~^^~df' 

dw dh d'C, 

"d^^~d^ '^^^ 1^' 

Mais remarquons qu'à Tintérieur de la particule /n^ on a r, = q\, 
q^ étant Fordonnée du centre de gravité de cette particule ; il en 
résulte que 

dq' 
et par un raisonnement analocfue 

dZ 



VAIilABLES DE LA PiiE3IiÈME SOfiTE 4 k^ 

Les relations précédentes tievieiiiît'iil donr, 

fns dw dh 

dff dq ' 

342. — Calculons maintenant 

du dp dtv 
dq ' dq ' dq ' 

On a, en différentiant par rapporta q îe§ rekilîons (pii oiius 
donnent u^ p, tr, 

. ^<7 didq '~^^ dq ~^ '" dq ' 

I dq ~ dtdq ~^'''~t['^ ^^1^' 

^ — "^''^ ^ EL . '^^ 

dq dïdq " 'dq' " ~dq ' 

Qu'est-ce que 

dl dr, dZ, .^ 

' dq ' ' dq ' ' ^'7 * 

Nous avons vu qu'à Fintérieur de la particule wi on avait 
; = y' et par suite 

en dehors des particules on a p = o ; on a donc partout 

dl ' 



et de même 



?77=- 






440 • THÉORIE DE LORENTZ 

Les relations précédentes deviennent donc, 



^^9) j dq ~ dtdq "^ '"' dq ' 

\ dw d'-^/i ^ dp 

\ dq dtdq dq 

343. — Les relations (3) et (4) deviennent donc, 



Ces dérivées figurent dans les équations de Lagrange sous la 
forme 

d dV dV 



Il dq' dq 






du d'f y dp 

dq dtdq dq ' ^ 



î 



F Pc- I 



V 



Calculons cette expression en nous servant des relations (3 bis) 
et (4 bis). 
Il vient, 

d dJ" dT" r^xydF df r, dF 

Nous allons transformer cette expression. Considérons les deux f 

dernières intégrales. Dans la première, remplaçons --^ par sa '* 

dt ^ 

valeur | 

dt 2u dx ' \ 



VAmADLES DE LA PMEMiERE Si'JRTE 



il vient ainsi. 



Intégrons par parties ; cela nous dooiie, 





et l'intégrale en question devient. 



II 



/"-S*-/-.=.(^f 



(IF ^ dF 

dif dz 



12 



Transformons maintenant Fautre intégrale : 




drj 



Fi. 



ch 



Ou est-ce que --^ ? — A Fextérieur de la particule -y- = o ; 
^ dq "7 

cela veut dire qu'en déplaçant la particule m, la 
densité électrique ne varie qu'a son intérieur. 
Quelle est cette variation ? — }\>ur voir cela, 
considérons un point M à Fintérieur de la parti- 
cule en question et soit o la densité électrique 
en ce point. Si la coordonnée q du point M aug- 
mente de dq, le point M viendra en M' et on a 
^rsV = dq. D'autre part la densité au point M' sera différente de 
la densité en M. Elle aura pour valeur 

o+^dq. 




442 THÉORIE DE LORENTZ 

En un point IsV symétrique de M'^ par rapport à M, on aura 
MM'^ = dq et comme densité, 

d? 



^ dx 



ou 



(L 



On a donc, 

1° A l'intérieur de la particule, 









d? _ 

dq~ 


dp . 
dx ' 


2^ Al 


'extérieur de la 


particule 










d. 

dq 


= 0. 


Donc 


avec les 


conventions préc 


;édentes, 










^?0 

dx' 



et notre intégrale (12) devient 



-f'^'iti^i- 



En intégrant par parties, on obtient, 



■''*=■'--*»§, 



1^^K = - I ^.,.K§-. 



1 



VARIABLES DE LA PHEMIEBE SORTE ||1 

car le moiivemenl de la particule se réiliiisaîit h mu iiîriîi%'r'iiirîi| 
de translation, H, r, ", ne dépendt^iit pas âe j\ ^, r, à riiiît*rîfîîr 
de la particule; ce sont des eonslanles. 
L'intégrale (i!?^ peut alors s'écrire, 



, iiV dG ^ lilV', 



Revenons maintenant à la somme des deux dernières iiilégrales 
de (ïo) ; cette somme a pour valeur, en tenant compte des rela- 
tions (il) et (i3) que nous venons d"éial)lir. 



or. 



donc. 



m cIG _ 
dij dz 

I d: d.r 



^'^%-^4S^=-"^ ■=--'■•■■• 



l'.cnvons m 



alntenaiit la relation lO : elle devient. 



, , d dT' dT' _ r j Vil-iï- 

*■'" ^'"' Tt W — W ~ / ^ dt d<i 



H-/^^f>=«-^/'^ '="--'■■■ 



444 THÉORIE DE LORENTZ 

344. — Calculons encore -7 — . 
Aous avons vu que 

d'où, en clifTérentiant par rapport à q, 

345. — Prenons maintenant l'équation de liaison, 
et différentions-la par rapport a q ; il vient 

Y dY dp 

jLà dxdq dq 

Multiplions cette relation par i d-z, 'i étant une fonction quel- 
conque s'annulant à l'infini, et intégrons dans tout l'espace ; on 
obtient ainsi, 

/ * 

' \LJ dxdq dq j 



d 







dq dx ' 

(.5) [d-Ay,Jlî^+^ 

dxdq dx 



f-4li 



Intégrons par parties ; cela donne, 






i 






VJniABlES DE LA PilEJUERl' SfJilTE 

et rintégrale (i5) devient, 



[i5 l)is\ I d^ 



'^ dj' dq ^ I '^V. "^ 



346. — Nous avons maintenant tous les éléments iiéeessjiires 
pour écrire les équations de Lagninge : nous n'avons pliis cjhIi 
additionner membre à membre les relations {2}, (10 im;, (i|) et 
(i5 l/îs), que j'écris encore une fois pour faciliter le eiilcul. 



d dV 


dT 


dU 


.. , dU 


di dcf 


dq 


' '/'y 


-'"'l + dq 


d 


dT' 


dT' 


= fd-r^^i 



dt dq dq I "^ dt dq ^ I " " ' ■ f/, 



■j 



H J ^^ K àq 

C j V ^'i ^f 1 (\ ^^v 

' -f dx dq I ' ' d.r 

La somme des premiers membres de ces équations nous donne 
zéro ; et ce qui reste peut s'écrire sous la forme, 

■■^ 
,. dV l ,\^df ,' ,/F d-l 4- /i 

■ ' ' dq J ,_j </</ \ a/ </.r Kg 



f)-/--^>--- 



+ / ^^^?.(^+-^^+ / ^?-?.;r5— c'-o. 



or, 

f/r ^ rf.r ^ K„ ' ' 



^0 



.146 THÉORIE DE LOIîE.\rZ 

cFoù 

dt ^ dx ~ K/ ' 
et k relation (i6) devient alors, 

dans cette relation q" représente laprojection^ suivant Taxe des .r, 
de raceélération de la particule; mq" représente donc la projec- 
tion suivant Taxe des x de la force qui agit sur cette particule ; le 
terme en U, représente des forces, autres que les forces électri- 
ques, qui agissent sur la matière ; le terme en-p— , c'est la force 

électrostatique et enfin le troisième terme du second membre 
représente Faction électrodyuamique. 

Il en résulte donc, d'après Lorentz, qu'il y a une force due au 
champ électrique et une autre force due au champ magnétique. 

346. Comparaison avec la théorie de Hertz. — Comparons 
maintenant ces résultats de Lorentz avec ceux de Hertz. 

D'après Hertz, la matière doit subir quatre actions de la part 
du champ électromagnétique, et de ces quatre actions résultent : 

i^ La force magnétique ; 

2^" La force électrique ; 

3'^ La force électrô dynamique ; 

4"* La force de Hertz. 

Dans la théorie de Lorentz on ne retrouve pas la première 
force; cela ne doit pas nous étonner, car nous avons supposé qu'il 
n'y a pas de magnétisme. 

La force électrique proprement dite, c'est-à-dire la force élec- 
trique totale .due aux phénomènes d'induction magnétique et aux 
actions électrostatiques] subsiste dans les deux théories ; donc, 
accord avec la théorie de Hertz sur ce point. 

En ce qui concerne l'action électrodynamique, il y a une diffé- 
rence assez marquée entre les deux théories, et cela s'explique. 



VÉRIFICATION DES PRIXCIPES GÉNEilAUX BE LA .MEfAMQll- 4|; 

Rappelons-nous, en eflel, que dans la tiiécirie île ilerîz Ir eoiiniîi! 
total se composait de quatre parties : le eouraiil dt» ecuiduttiiiii, 
le courant de déplacement, le courant de Rmviaîid et le c«iiiraiîl 
de Rœnttren, tandis que dans la théorie de Loreiit/. le emiraîii tle 
conduction et le courant de Rtentgen n'entrent jki.s ni ligne de 
compte. 

De plus, dans la théorie de Hertz, la force éIeclrodvnïiiiiif|iie 
agit sur le courant total ; dans celle de Lorentz elle agit sur le 
courant de convection et n'agit pas sor le eotirant de dépliice- 
ment. 

Quant à la force de Hertz, elle ne peut pas exister imiîi plus 
dans la théorie de Lorentz, car cette force est inlimemenl liée à 
Texistence du courant de Ronit^en. 



& 



En résumé, d'après Lorentz, la force mécanique totale t|iii agit 
sur l'ion considéré a pour projection sur Taxe des x, 



?'¥+ / ?^:v 




r intégration étant étendue seiilenient à la particule considèrte ei 
non pas à fespace tout entier car nous avons vu qu'en dehors des 
particules c = o] 



VÉIUFICATIOX DES PRINCIPES GENERAUX DE LA >ÎECAM01"E 

347. — 11 nous reste encore à voir comment la théorie de 
Lorentz s'accorde avec les principes généraux de hi mécanique. 
i" Principe de la conservation du magnètisnae. — Il n y a 
pas de magnétisme dans la théorie de Lorentz. 

fi*" Principe de la conservation de rèlectricitè. — Ce prin- 
cipe est satisfait, car nous avons vu que 

Vdu 
jLÙ dx 

qui est précisément l'expression même du principe de la conser- 
vation de l'électricité. 



448 THEORIE DE LORESTZ 

3*" Principe de la conservation de F énergie. — Ce principe 
est satisfait également, car notre point de départ a été l'appli- 
cation des équations de Lagrange. 

4*" Principe de F égalité de F action et de la réaction.— Il n'est 
pas satisfait, et c'est là le point faible de la théorie de Lorentz. 

343, — Supposons, en effet, une particule chargée isolée et une 
perturbation électromagnétique venant de dehors et qui atteigne 
la particule. La force électrique due à cette perturbation, en agis- 
sant sur la particule chargée, ou plutôt sur la charge de cette par- 
ticule, donnera naissance à une force pondéromotrice agissant sur 
la particule en question. Or cette particule étant supposée isolée 
il n'y aura pas de réaction : la force pondéromotrice ne sera pas . 
contre-balancée. 

Mais insistons un peu plus sur ce point. Envisageons seule- 
ment la résultante de translation et projetons-la sur l'axe des x. 

Nous avons, 










Transformons cette expression. Commençons par la première 



intégrale 



■ #- / ?^-^ /•• 




Nous avons 

d.i- 



.=-s- 



ÉGALITÉ DE VACTiOJ ET IjE LA HÉAfTioX 449 

L'intégrale ^20) devient, 

riutêgrale étant étendue à tout Fespace. 

Intégrons par parties ; il vlentj en remarquant que 



1 a.v 



4~ 






K„ / V ^- dif ch 1 

ajoutons maintenant à cette intégrale, sous le signe j , les déri- 

n . <^^ 7 ^/' . ,,. . 

vées parraitcs ij^-~-Ql fi—r-^ car nous savons que si 1 inleffration 
^ ^ cLv a A' ^ ^ 

est étendue à tout l'espace, 

fi--- 



dh , 



Il vient ainsi, 



mais remarquons que, 

47: [ df '^/'\_ <1 



47: fdg àf _\ ih 



ï\ V^/.r dy J dt 
PoixcARÉ. Electricité et Optique. 



THÉORIE DE LORENTZ 



noire intégrale devient alors 






Je dis maintenant que la seconde intégrale de (19) est nulle, 
Xous savons, en effet, que 

(fa d"^ 

dz d:v 

d?j da 



dx dy 
rintégrale en question peut donc s'écrire 



En intégrant par parties dans tout l'espace et en ajoutant 



«^-. 



qui est nulle si l'intégrale s'étend à tout Tespacc, on obtient 



_i_ / ^^/^/^ . ^/3 . d- 



4*^ / \ dx dy d.z 

00 encore en tenant compte de la relation 

d 



4- / ^ dx 



C. Q. F. D, 



n 



l 



yd'j. 



ÉGALITÉ DE VACTÎtK\' ET ÎJE LA îlKAfliijS y,i 

L'expression (19) de vient alors, en It^iiinit €«iii|itr île »n iés . 



X 







ou encore 



X 



4r f'-- ■»' 



Voila la résultante de traiislatiou ; on voit (|irelle iTes! pas iiiillt». 
Le principe de T égalité de Faction et de la réaction n'est doue 
pas satisfait. 

350. — M. Liénardî^^'. croit atténoer ce désaccord en disant cjue : 
u ce résultat n'a rien qui doive surprendre : du iiioment i|iie ïmi 
« rejette la théorie des actions à dislance, el i|ue Fc»» adeiet au 
u contraire que les forces mettent un certain temps à se propa- 
u ger à travers Fétlier, il ne peut plus y avoir à ehat|iie insiaiit 
« égalité entre Faction et la réaction, Faeti«>n et la réaction ne se 
(( produisant pas au même moment. Tout ce f|u'un prit! deiiiaî 
u der, c'est que la résultante de t«)utes les forces soiî nu 
u movenne, et c'est ce qui a bien lieu pour îa tlii'orie de Lorentz. >' 

Ln eiiet, la valeur moyenne de X pendant Finie rvalle de temps 
/^ à î^ est donnée par 



en 







or l'intégrale du second membre restera toujours finie car la per- 
turbation électrique et magnétique ne peut pas croître au deia 
de toute limite : cette intégrale est donc inférieure limw certaine 



/) L'Édairage Électrique. Liéxard, La tlit-urie de LoreolZj t. XIV. p. 



45-1 THÉORIE DE LORENTZ 

quantité donnée M, de sorte que 

M 



X 











et cette valeur moyenne sera d'autant plus voisine de zéro que 
rintervallc de temps t^— î^ sera plus grand. Si au commencement 
et à la fin le champ est nul, ou a la même valeur, la valeur 
moyenne de la résultante X sera même rigoureusement nulle. 

351. — Mais il est facile de voir que cet argument de M. Lié- 
nard en faveur de la théorie de Lorentz n'est pas suffisant. 

Désignons, en effet, par A l'abscisse du centre de gravité de 
la particule et par M sa masse ; on a alors 

X i^ = M -^ 



et on voit que quand la perturbation sera teiminée le centre de 
gravité de la particule aura subi une impulsion finie ; la valeur 
de cette impulsion est représentée par Taccroissement de 

Rappelons-nous, d'autre part, le théorème de Poynting(^) : 
considérons une perturbation qui se produise en un point quel- 
conque ; ce point sera un centre d'émanation d'énergie dans tou- 
tes les directions, et évaluons la quantité d'énergie qui traverse 
une surface donnée. D'après le théorème de Poynting, cette 
énergie est représentée par le produit de la surface en question 
par le pecleiw radiant dont les composantes sont représentées par 
Cjh — Yé5*')î (y/ — ^^0' (p'-S' — h/): ^^ sorte que la quantité d'é- 
nergie qui traverse l'élément de surface chù perpendiculaire à l'axe 
des .r est représentée par, 

Voyons alors ce qui va se passer si on considère une perturba- 
tion se propageant de gauche à droite par exemple ; la perturba- 
is* H. PoiNGARÉ. Oscillations électriques, p. 27, Gr. Carré et G. Naud, éditeurs. 



EGALITE DE L'ACTIOX ET DE lA HÉAfTIoy i7l 

tion se produisant en et cessant après qiieîc|iirs îîist:îîil>, ii ne 
restera plus que des ondes se propacreaiil vers la droite «•! s'eliii- 
gnant de plus en plus du centre d'èbranlemeiil I). Xain' îfiit\^rfi' 
tion devra donc s*êtendre à celte partie de f espace tm in periarki- 

\ \ \ 



^ I I I j 
Fig. 54. 

tion subsiste encore. Pour avoir l'énergie totale il faiil foiisitlêrer 
une infinité de droites émanant d«' O, dans toiis les sens, et 
intégrer par rapport a tous les plans perpendiculaires a ces drtiîtes. 

Il résulte donc de là : 

i" Que cette énergie totale mesure Fimpulsion qui a produit 
la perturbation. 

2° Que si le système produisant de l'énergie électromagnétique 
n'envoyait cette énergie que dans une seule direction, il recule- 
rait comme le ferait une pièce d'artillerie. 

3** Que si le système envoie de Fénergie dans tous les sens îi 
y aura compensation entre ces impulsions partielles et par suite 
le centre de gravité du système restera au repos. 

Il ne suffit donc pas de dire que la valeur moyenne de la résul- 
tante est nulle. 

■Mais traduisons cela en chilTres pour taire voir que le recul 
prévu par la théorie de Lorentz n'est pas négligeable. Suppt»- 
sons un svstème qui envoie dans une direction (|ueiconque une 
quantité d'énergie représentée par trois millions de j<mles ; le 
calcul montre que le recul correspondant pourrait imprimer a 
une masse de i kilogramme une vitesse de i cm. par seconde. 

352. — On pourrait encore dire que si le principe de Fégaliîé 
de l'action et de la réaction semble violé, cela tient peut-être à 
ce qu'on n'a pas tenu compte du mouvement de Féther. Tenons 
donc compte de cette objection et voyons à quelle conclusion cela 
nous conduira. Pour que le principe en question ne soit pas violé 
il faut que la projection de la vitesse de Féther sur Faxe des x 
soit représentée par iph—^;^^ : c'est le vecteur radiant à une 
constante près ; cela nous amène à la conclusion suivante : si le 



454 THÉORIE DE LORENTZ 

champ vient à être doublé, la vitesse de l'éther sera quadruplée. 
Cela n'est évidemment pas satisfaisant. 

353. Intégration des équations de Lorentz, — Résumons les 
équations de Lorentz que nous avons établies précédemment. 
Nous avons trouvé, 

/ _ clE dQ 

"""^ ^U ^- ' 
^ _ d¥ dll 

^~'jr~~d7' 

dG ■ dF 
* dx dy 

d^_d^ 

dy d.z 



dy. dy 

d.z dx 

d^ rfa 

dx 

AF = — 4™, 



4,, = _____, 



dx dy 



UH = — 4-w'. 
Ai = -4^0. 

k/^ dt "^ dx ~"' 

K„ *+ dt '^lif ~°' 

4^ , , dll d'I 
K„ dt d.z 



^ d.v ~ 






^F 






LXTKGRATIO.X DES EQl'JTiÙXS DE /.ri/IE.YrZ i>/> 

Nous mms proposons criiitêgri'»!- ve^ «njîiiîliniis fii siippcissiiil 
ronnu le mouvement de toutes les |Kiîiiriile<, re ipii rin-imil a 
regarder p, c, y,, Z, comme connus, 

354. — La méthode que nous rdîons empîover va tire îiiniînf^iie 
à celle dont nous nous sommes servis dans les oscilliiîiiiiis iiert- 
zlennes (^). Rappelons à ce sujet la défiiiilion de ce qii'ttii appelle 
potentiel retardé. 

Considérons un certain nombre de points attîraïits M el sciit 
Mj, le point attiré ; soit encore m^ la masse du point attiré et i\ 
la distance des points attirants an point alîiré. Le p«îeiilif4 en 
Isl^ est par définition, 



Y 



V m. 



n 



^,Wis si les masses m^ dépendent du temps, à cause de la densité s 
qui est fonction de .i\ tj^ .z et t, le potentiel va alors dépendre, 
lui aussij du temps. En effet, la propagation d'une perturba lion 

(électrique ou magnétique) se faisant avec une vitesse finie y — ^, 

(qui est la vitesse de la lumière"^, le potentiel pour se propager de 
M en M,, mettra alors un temps i\\ K., ;- Faction eo M, se calcu- 
lera donc en donnant à la masse m.^ non la valeur qu'elle a a Fins- 
tant t.^ mais la valeur ni^ qu'elle avait à l'instant t — /\ \ K ; la 
valeur du potentiel sera alors représentée par, 



V: 



-V 



et c'est à cette nouvelle expression du potentiel qu'on donne le 
nom de potentiel retardé. 

On peut encore considérer les potentiels retardés dus â une 
matière attirante, qui au lieu d'être répartie en un certain 
nombre de points attirants, se constituerait en un volume attirant. 
Soit fU\ ij, z ; t) la densité de la matière attirante et soit d-z un 



(*) H. PoiNCARÉ. Oscillations élecinques, p. 74. G. Carré et C. Xaïuî, t-diteors. 




^56 THÉORIE DE LORENTZ 

élément de volume de coordonnées x', y', d . Le potentiel ordinaire 
de ce volume attirant sera 

V 

r étant donné par 

Si la propagation d'une perturbation se fait avec la vitesse de 
la lumière, lepotentiel retardé^ défini comme ci-dessus, aura alors 
pour valeur, 

En examinant ces deux dernières formules, on voit que dans 
le cas des potentiels ordinaires le numérateur (qui représente la 
masse attirante) ne dépend que de ,t', ?/, ,c^ Tandis que dans le 
cas des potentiels retardés il est fonction non seulement de .r^, /y', r/ 
mais il dépend aussi de .r, //, z, par l'intermédiaire de ;*. 

355. — Ces préliminaires étant rappelés, voyons ce que devient 
la relation de Poisson dans le cas des potentiels retardés. 
Dans le cas des potentiels ordinaires nous avions, 

AV = - 4<. 

Avec les potentiels retardés nous aurons 5 

Pour abréger Técriture nous allons introduire le symbole sui- 
vant, en posant, 

où U désigne une fonction quelconque. 



IXTÉGBAnOX DES EQV.iTiOXS DE LOfiSXTJ 
Avec cette notation l'«"n|iîiitioiî de P«issiiîi ilin'îi'îit. 



□V=_ i^r 



Celle équation si on y reganle f comme ilmïu**e el \ c^iiiiiiiir 
iuconnuej n'a pas d'autre solution, pourvu que l\m atlirirlît* f|iir 
Ton part du repos et que toutes les fonctions s'ariiiiilriil k 
rinfini. 

Il résulte de ce qui précède que la relation 

nU == dV • 

entraîne la suivante 

U = V. 

356. — Appliquons ces principes à la questicui qui nous «ceiipr. 

Introduisons une fonction analogue à •} c|iie j'appellerai «V cl 
qui va jouer le rôle du potentiel électrostatique : '1 sera le poten- 
tiel retardé du à la même matière que dans îe cas des potentiels 
ordinaires. 

On aura donc 

Faisons de même pour le potentiel vecteur ; iîitrotloisons un 
vecteur de composantes F', G', IF analogue au potentiel veeleur. 
Cette quantité sera définie par 






4-?; 



le 



et il convient de taire une petite remarque à ce sujet : dans 
cas du potentiel vecteur ordinaire nous avions, 

AF=-4:://=-4::sH-4r:^. 

F était donc le potentiel ordinaire du à une matière attirante dont 
la densité était le courant total 

" - - "^ dt ' 

dans le cas actuel, la tleiisité de la matière iictive est seulement 
le courant de convection. 



4)8 THÉORIE DE LORESTZ 

Ornons avons supposé que p, ;, y;, ^sont connus; il en résulte 
donc que F', G', II' seront également connus. 

357. — Je me propose maintenant de démontrer les relations 
suivantes, 

(IIV dC 



3= 



d¥' 



dll' 



dz 
dG 



4< 



dx 
d¥' 



dx ' 

di' 



K„ 



df '^^ — ''' 



4-g dG' dà' 
K„ "^ dt '^ d'y ~°' 



^0 

4-h 



dlV 



dt 



d^ 
'd7 



0. 



Ces relations nous domneront le champ tout entier et le pro- 
blème sera alors complètement résolu. 
Calculons d'abord czF. 
Nous avons, 



□p — \p T.- d-F d-F 



dt ^» dt' ' 

calculons alors — A- -"^ — K ~ 
Partons de Féquation, 

_4^ . , dF dà 

K„ '^1^-^17 = ° 

qui, différentiéc par rapport au temps, donne, 

,. d'-i 



4.i^ + Kiï. 



t 



dxdt 



LXTEGliATloy DES £C^/-JJIo.V5 M: lÙêiESn |jt| 

oii 
I.a relation en i:F devient clone. 



iF = dF + K, 



iLnii 
et on obtiendrait par un calcul analogue 



z:ïl = zi!l"4-K,' 






Différentions maintenant la troisième de ces équalitins par 

rapport h ij, la seconde par rapport à .::, et retranchons ; il vient 

ainsi, 

d ,, d ^ (M' dG\ 

d'où 

(/!I dG 





d!/ dz • 




et par un calcul analogue 









dF- dll 






dz d.v 
dG- d¥ 




* 


d.v dij 


C. (l. F. D 


Démontrons maintenant 1 


a relation, 




tf^ 


dF , d-l- 
dt ' d.r 


= 0. 


Calculons pour cela, 






° îr / = 


- dt 


- d.r • 



46o 



THÉORIE DE LORESTZ 



Nous avons, 






di' ' 



dV 



rfF' 



a 


di 


= 


D 


dt 


+-K 


n 


d'\ 
dx 


= 


a 


dV 
dx 


-K 



Cela nous permet d'écrire, 



rfF 



» dxdC- ' 
' dxdi- ' 



d'V 



dt ■ dx 



d'où la relntion cherchée 
K 



47: ^ dF' d'h' 



et de hi même manière, 



4-A'- dG' , ^/'V 



K 



rf/ ' df/ 



4tJi dïV d6' 



358. — Considérons encore la relation, 
dp , V^ dpq 

qui, multipliée par — 4". donne 

de, Y* '^?~- 



C.Q.F.D. 



Or 



d"où 



et puis 



□•V = - 









PHÉ.yOMÈSES POUR IW OBSEiîrATEL'ii DE SEXS f;Bi}S.sii:ils ;|tii 
d'où 



dx "^ i/.r 

la relation en question devient donc, 

d'où enfin, 

^ di Aj ilx 

Nous voyons donc que la solution est complète. J'ajoute qu'elle 
est unique si l'on suppose, comme nous ravims fait, qu'on part 
du repos et que nos fonctions s'annulent àî'hîfîiii. Cellr^ dernière 
hypothèse suppose qu'il n'y a pas de pcrlurhation Y«»îKiîit dr 
l'extérieur: les perturbations sont limitces. La perUiî-balioïi ttilalr 
sera donc la somme des perturbations partielles, et le champ 
total sera alors la somme des champs partiels diis îi chaque par- 
ticule, le champ de chaque particule étant calculé comme si la 
particule existait seule. 

B. — PnÉXOMi^XES QUI SE PRÉSENTENT A T N OBSERVATEtl 
AYANT LES SEXS GUOSSIEIÏS 

359. — Examinons maintenant les phénomènes tels qiilîs 
apparaissent h un observateur ayant les sens grossiers conime les 
nôtres. 

Considérons une particule chargée en niouvenienl e! cherchons 
les conditions d'équilibre de cette particule. Ecrivons que celle par- 
ticule, en vertu du principe de d'Alemliert, est en équiiilire soos 
l'action des forces agissant sur elle, y compris !a ftH'ce d'inertie. 

Evaluons ces dllFérentes forces. Nous avons : 

1° La force d'inertie delà particule; celte force est négligeable 
(du moins dans notre casi car nous avons supposé que la parti- 
cule a des dimensions très petites. 

2"* Action du champ électromagnétique sur la particule. Celte 
action est, comme nous l'avons vu, exprimée par 



Hi-'f+ ?./-,v.— : 




46i THEORIE DE LORENTZ 

Celle action peut être divisée elle-même, en deux parties : 

a'] Pi'emier champ partiel, du au mouvement de la particule 
elle-même, et 

//) Deuxième champ partiel du au mouvement de toutes les par- 
ticules intérieures et extérieures au conducteur fermé. 

La première de ces actions est négligeable. Elle serait rigou- 
reusement nulle si le principe de l'égalité de l'action et de la 
réaction était vérifié par la théorie de M. Lorentz. M. Lorentz a 
calculé cette action de la particule sur elle-même et d'après ses 
calculs sa valeur, proportionnelle d'ailleurs a la force d'inertie, 
serait tout h fait négligeable. 

En ce qui concerne le champ du a l'action de toutes les parti- 
cules sur la particule considérée, on peut le supposer uniforme, 
car cette particule étant très petite f,^{, a, y,, ï peuvent être 
regardés comme constants, de sorte que si nous posons 



/■ 



l 



d-:: 



e étant la charge de la particule en question, nous trouvons alors 
pour projection de cette action sur Taxe de .r, 

3*^* Le frottement de la particule contre le conducteur dans 
lequel elle se déplace ; cette force est proportionnelle à la vitesse 
relative de la particule par rapport à celle du conducteur. Si 
nous appelons ;, r,, Ha vitesse de la particule et ç^. r^^, Uj la 
vitesse du conducteur à travers lequel cette particule se déplace 
et si d\iutre part nous désignons par À le coefticlent de frottement, 
cette ibrce sera représentée par, 



de sorte que le principe de dWlembcrt est exprimé par la relation 
suivante. 



-4'- 



COyDITIOXS B'EqilIJBIiE U'tXE pjHJifi-if: J4I 

360. — Considérons iiiaiiitt'îiiiiil li» i'i«»îîifîi! îîr viiliiînr IIt. irr^ 
petit par rappini, à nos sens grossiers, iums siiliisaiiriiiieiit ^rniml 
cependant pour contenir nn assez grand muiilir,' ili- |i;iriîrîilt*s. 
Si nous appelons p, la densité mi^ijenne ûv r«d»nii'irîlt^ daîi. cet 
élément de volume, nous avons, 

D'autre part ces particules qiii se trouvent à riiitérieiir ciii 
volume Dt considéré, sont en mooveiïieiît : il y a di)rir îin eniirant, 
dont les composantes sont, 

V ,- V V - 



Dt ' Dt ' Dt 
or on a identiquement, 



^ ez ^^é»;: — ;^^ 








]3t Dt 


^ Dt 






^-««^ — «i 


, .««.d 


Dt Dt 


^ Dt 




V.:, 


-»— ^ — ^ 





Dt Dt ^ Dt 

Le premier terme des seconds meiiî!>re.'S de ct.^s ri'hiîiuiis qui 
est du. comme on le voit, au mouveîîîcîil relatif" de la particule. 
représente le courant de coiidiivlion . liésigiioîts ses ci^mposaiiles 
par y;, q, /■ : nous aurons ainsi 

^-^3- ^y>, etc. : 



V 



■ ç;>=/^dt 



;;; théorie de LORE?iTz 

et de même, 



yje(-/i — r,^) = yDr, 



I.e deuxième ternie du second membre des identités pré- 
cédentes représente le courant de correction \ il peut donc 
s'écrire. 



2 -^ '.=?.'. ° - 



de sorte que Fidentité en question devient, en .tenant compte de 
ces relations, 



yc>:=D.(.+ p,g. 



Ce sont les trois composantes du courant qui provient du mou- 
vement des particules qui se trouvent à l'intérieur du volume Dt 
considéré. 

361- Calcul de r action mécanique. — Quelle est la valeur 
de Taction mécanique qui s'exerce sur Télément de volume Dt 
considéré ? 

La particule, nous l'avons vu, frotte sur le conducteur dans 
lequel elle se déplace, et Faction exercée sur cette particule 
de la part du conducteur (la résistance opposée au mouvement 
de la particule) a pour projection sur l'axe des .r, 



CALCVL DE VaCTIOX 3!É€A.\lQr£ 
La réaction de la parlîcuîe sera cliiiif, 



et la somme de ces réactions sera. 






Ainsi donc pour avoir Faction mécanique qiii s'exerce sur Féîé- 
ment de volume Dt considéré, il faut faire la somme de tiiiiles 
les actions partielles exercées sur chaque particule (|iii fait par- 
tie de Télément Dt. 

Ici encore on peut décomposer le champ d'iiitégralion »'îi tl«'iîx 
parties : 

i^ Le champ du aux particules qui se trouvent à l'ietérieiir 
de Dt ; 

2^ Le champ dii aux particules qui se trouvent it Textérieur 
deDT. 

Remarquons que le premier champ serait nul si le principe 
de Légalité de Faction et de la réaction n'était pas violé |)îtr la 
théorie de Lorentz; mais si Lénergie est distribuée d'une ùiemi 
symétrique (*) le principe en question est à peu près vérifié. Or 
cette distribution symétrique de l'énergie sera en général réa- 
lisée : le champ d'intégration qui nous occupe peut par cunsé- 
quent être supposé nul. 

Le deuxième champ partiel peut être considéré comme cons- 
tant à lintérieur de Lélénient de volume Dt : cela revient a 
supposer que ç, r, , ^ sont constants. 

Il vient alors pour l'action mécaniipie cherchée. 

Le premier terme du second membre de celte relation repré- 
sente Faction du champ électrique, sur l'élément de volume Dt. 
Cette action est, comme on le voit, proportionnelle à îa charge 

électrique e de Félément Dt et à la force électrique -yt-/: cette 



[^) Voir précédemment, p. 45'i. 

Poi>'CARÉ. Electricité et Optique. 



466 THÉORIE DE LORENTZ 

force électrique est ici la force électrique totale ; ce n'est donc 
pas seulement la force électrique d'origine électrostatique 

/ — -^J mais aussi celle due à l'induction électromagnétique 
Il V a donc accord sur ce point avec la théorie de 



dt 
Hertz. 

Le terme que nous avons mis entre crochets représente l'action 
mécanique du champ magnétique. Dans la théorie de Hertz le 
courant qui subit cette action mécanique est le courant totale 
c'est-à-direlecoui*ant de conduction, plus le courant de déplace- 
ment, plus le courant de Rowland et plus le courant de Rontgen ; 
ici, le courant qui intervient c'est simplement le courant de con- 
duction plus le courant de convection. 

Le courant de déplacement ne subirait donc pas d'action jnéca-- 
nique d'après les idées de Lorentz. 

362. Calcul de la force èlectroxxxotrice. — Calculons mainte- 
nant la force électromotrice. Evaluons pour cela y;. Nous avons, 

''= — e; — 

e A 
Multiplions les équations (2) par — — et faisons la somme, il 

vient, 

et employons le même artifice de calcul que tout à l'heure : nous 
avons identiquement, 



CALCri UE LA FOHVE ELEl'rRmKJTHiff: 

La relation (3) peut donc s'écrire, 



16 : 



Yev. 



l4; 



13- 



[V ^ V 



Je puis supposer que 



V 



e- r 



v.-_ 



Dt 



i>T 



:0. 



A priori, cette hypothèse parait inadmissible ; en^ effet, 

2 G (ç — ii)i / ^ ("^ — >u)? / .^ l*^ — -Ci^ 'ï^ sont pas nuis et par 

conséquent il n y a pas de raison pour que > e" (; — ç^^, etc., 

le soient. Cela s'explique cependant par ki façon dont on conçoit 
le mécanisme par lequel se propage un courant. Il tant, en etiet, 
se représenter un courant commi' le moiivemenl de deux sortes 
de particules, les unes positives, les autres négatives, qui se 
meuvent en sens contraires. Si on ne considère que des parti- 
cules positives, ç — ç^, etc., auront aiors un signe bien déter- 
miné ; on aura la même chose pour les particules négatives, à 
cela près que le signe sera changé. (Jr cuinme il en est de même 

de e il en résulte que ^ e ; — Cj , etc., ne seront jamais nuls. 
Mais si on considère les produits > e- ; — ç, etc., ^^étant essen- 



tiellement positif, 2 '\ — Çj' , etc., pouvant être positifs et né- 
gatifs, il y aura donc neutralisation complète des termes sous le 
signe y . Et maintenant on conçoit bien la nullité des expres- 



sions y e' (i — Çj}, etc. 



468 THÉORIE DE LORE^TZ 

Cela étant établi, l'équation (4) peut s'écrire, 



2- 



Dt 



(^ /+■«-«). 



Le fiicteur ^^ — qui figure au second membre de cette rela- i 

tion, représente la conductibilité spécifique du milieu conduc- i 

teur ; on voit donc que le coefficient de conductibilité est propor- 'l 

tionnel au coefficient de frottement a. Le terme qui est entre f 

crochets représente la force électromotrice, ou plutôt sa projec- | 

tion sur l'axe des x, ! 

363. — Ce résultat m'inspire deux réflexions. 

1° D'abord, nous voyons que Taction mécanique dépend de la 
somme des actions mécaniques subies par les particules posi- 
tives et par les particules négatives à l'intérieur du conducteur. 
La force électromotrice, qui tend à écarter les particules posi- 
tives et les particules négatives, ne dépend, au contraire, que de 
la différence des actions qui s'exercent sur les particules posi- 
tives d'une part, et sur les particules négatives d'autre part. 

2^ Le terme -77—/" est ce que nous avons appelé la force élec- 

tricjue ; nous voyons alors cjue la force électrique diffère de la 
force électroniotrice : la force électromotrice contient en plus le 
terme (r^y — ^1 ?)• D^^iis la théorie de Hertz, il y avait, au con- 
traire, identité parfaite entre la force électrique et la force élec- 
tromotrice-: c'était la même force qui exerçait les actions méca- 
niques et produisait les courants de déplacement. 

Pourquoi n'y a-t-il pas égalité dans la théorie de Lorentz, en- 
tre ces deux forces ? C'est parce que les courants de convection 
sont dus au mouvement des particules qui subissent deux sortes 
d'actions mécaniques : 

i"^ L'action du champ éfectrique, parce que les particules por- 
tent une charge électrique ; 

1" L'action du champ magnétique, parce que les particules su- 
bissent des courants de convection. 



CAim DE LA fOHCE ÉlECTiMAHOTHIfE 1% 

Dans la tliéorie de Hcrlz nous avitaïs, 

Ky ' dt f/.r '■■^•^* ^^'^ 

de sorte que la force électrique était représentée par 

K, ^ ^^^ dx ^^*'^ ^'""^^ 

et la force électromotrice était représentée par la même for- 
mule. 

Il n'en est plus de même dans la théorie de Lorentz. Xoiis 
avons vu, en effet, que 

4^: ^ dF d'I 

K, ^~^ dt '^ d.r 



o? 



de sorte que la force électrique a pour expression, 

4- ._ dF dû 
K, '~ dt dx' 

alors que la force électromotrice, que je désignerai par P\ a pour 
expression, comme nous venons de le voir, 






c'est-à-dire 

^ — dt dx ' •'^' -''^^ 

L'expression de la force électromotrice est doncla même dans 
les deux théories. Par contre, la force électrique a des valeurs 
différentes. 

Pour mieux faire comprendre cette diOereiice, exprimons notre 
pensée sous une autre forme. 

Si je prends, dans la théorie de Hertz, un circuit fermé C qui 
limite une surface S, en désignant par P' la force électromotrice, 
Texpression suivante : 



470 



TEÉORIE DE LORENTZ 



qui représente rintégrale de ligne de la force électrique (inté- 
grale prise le long du contour C), est égale à la 
dérivée du flux d'induction magnétique qui tra- 
verse S, cette surface étant regardée comme en- 
/"^ traînée dans le mouvement de la matière. 

Dans la théorie de Lorentz nous avons pour 
rintégrale de ligne de la force électromoti^ice 




Fig. 55. 



^?'dx, 



par conséquent la même chose que dans la théorie de Hertz. 
Il n'en est plus de même pour l'intégrale de ligne de la force 
électrique. En effet, dans ce cas nous avons 




Qu'est-ce que cela veut dire ? Rappelons-nous que P dérive de 
P' en y faisant i^ = Tj^ == î^^ = o ; cette intégrale aura par con- 
séquent la même interprétation que dans la théorie de Hertz, mais 
en supposant la surface S non entraînée dans le mouvement de 
la matière. 

Voici alors ce que représentent P et P' dans la théorie de 
Lorentz. 

i^ En ce qui concerne la force électromotrice P', on a d'abord 

le terme — -—- : c est la lorce électromotrice d'origine électros- 



tatique : ensuite le terme 



dt 



: c'est la force électromotrice 



d'induction due à la variation du champ magnétique ; et enfin 
- ^j|B' : c'est la force électromotrice d'induction due au mou- 



vement du circuit. 



termes : 



Pour la force électrique P, on n'a que les deux premiers 
d^j . iF 



_i_ et — : elle sera donc produite par les ac- 
tions électrostatiques et par la variation du champ magnétique 
seulement. Le déplacement de la matière dans ce champ ne pro- 



(luira donc pas de force éleetrii|iii*, imûi^ une tiirre éltTlrciimi- 
trice. 

Ainsi donc, supposons un diéleclrii|iif', de Yulr p:ir i»xi^'îiiplt\ 
en mouvement dans un champ non unitornie ; d'après Li»r«'îitz ii 
ne se produira pas de courant de déplacement puisf|ull «"v aura 
pas de force électrique. La théorie de Hertz prévoit, an con- 
traire, la naissance d'un courant de déplacement. 

Considérons, pour bien nous rendre compte de îa Eature de 
cette action, un conducteur qui se déplace dans un champ ma- 
gnétique perpendiculaire à la fois à la vilesse du condiiclear et 
à la direction du fil conducteur et par conséqui'iit au plan an ta- 
bleau ; alors, en envisageant deux parllcules. une chargée ptisi- 
tivement, Tautre chargée négativement, les particiili's pusiîîves 
entraînées par le conducteur en mouvement pro- -, 

dulront un courant de convection ; les particules 
négatives produironj. un autre courant de convec- 
tion de sens contraire au précédent. — Quelle 
sera Faction du champ magnétique sur les deux 
particules considérées? — On aura pour la pre- 
mière particule une force dirigée dans un certain 
sens et pour l'autre particule, une force dirigée 
en sens contraire de la précédente : Faction mé- „, 

canique sur le conducteur est la somme algébrique 
de ces deux forces égales et de sens contraire ; elle est donc 
nulle. La force électromotrice qui tend à séparer les parliciiles 
est la différence de ces deux forces ; elle n'est pas nulle : c'est 
là rorio-ine de la force électromotrice d'induction. 

o 

364. rhènomène de Hall — Considérons un conducteur im- 
mobile. L'équation '2' devient dans ce cas, 

et de même (5) devient, 



y/'>-.. . E-'-'- 



-btI^^+tt- «■■■--?■ 



472 THÉORIE DE LORENTZ 

Je remarque d'abord que la particule étant très petite le pro- 
duit eX est très petit; donc, à une première approximation 

1 = 0, 

et de la même manière 

•/l = o, 
Ç=o. 

Cela veut dire que les vitesses des particules sont très petites 
par rapport à la vitesse de la lumière. 
En seconde approximation nous avons, 



et 



par conséquent, 



K 






Dt 

; =eAp- 



!-'■ 



et de 



même 






^'^v - — 1 

■ s- 



v» -V JL/T 



Remarquons que le facteur ^ ^ représente la conductibi- 
lité spécifique du corps, que je désignerai par C ; nous poserons 
donc 



PHEXOMEyE DE HALl I7I 

et les relations précédentes clevir'nclroîit. 









C 

En remplaçant/;, q, r; ;, r,, t par leurs valeurs, il vient fina- 
lement, 

'• = c -j^ + > — ^ {/. i — yz;, 



K„ Zj CD 



d'où 






force (dectromoVice = -^ = -— ^ }- > n — p- , 






Comme e est très petit et a également très petit, et comme il 
y a d'une part des particules positives et d'autre part des parti- 
cules négatives, N e'^A- est négligeable et il reste simplement, 

[4-/^ 47:"- IrJi 1 
—J~, S ^ — rz—'\= force êlecinque, 
K, K, Ko J ' 

Si, au contraire, \ e^ a- n'est pas négligeable, ce qui arrive pour 

irJ 4-dr irJi , 
certains corps, à la force électromotrice -p — , -j~-, -^-, vient 



f'> 



4;4 THÉORIE DE LORESTZ 

alors s'ajouter une force électromotrice supplémentaire, 

V ''^'■' < «.^ 






â^^T■:-'•% 



S-â^^''*-^'-) 



3-, 2 



e'K 



V 



(/^?-r-)- 



C'est le phénomène de Hall. 

C'est une force électromotrice perpendiculaire cFune part au 
conducteur et perpendiculaire d'autre part au champ, magné- 
tique - 

365. — Ce résultat m'inspire une réflexion. Il y a d'autant plus 
de chances que ^ e^ soit grand que ^ e sera lui-même plus 

grand, c'est-à-dire que le conducteur sera fortement chargé. 

On serait ainsi conduit à rechercher si le phénomène de Hall 
n'existe pas pour tous les métaux quand ils portent une forte 
charge et s'il ne change pas de signe avec cette charge, quand 
cette charge est forte. 

L^ expérience serait intéressante ; elle ne saurait toutefois être 
décisive ; si elle réussissait, en effet, le succès pourrait s'expli- 
quer d'une foule de manières, en dehors de la théorie de Lorentz. 
Si d'autre part elle échouait, ce ne serait pas un argument irré- 
futable contre cette théorie, puisque nous ne pouvons à priori 
nous faire aucune idée de l'ordre de grandeur du phénomène. 



CHAPITRE IV 
DIÉLECTRIQUES 



366. — Lorentz considère la masse des dit*ltHirii|iit*s iiai-si'- 
mée de particules chargées — d*i«>iis — cmnmv t'ellr ilrs rmi- 
ducteiirs. Mais tandis que dans ces derniers, dîncinîe d«^ ces par- 
ticules pouvait se déplacer librement en allant à toutes dislaiifes, 
dans les diélectriques^ au contraire, elies ne peuvent s'écarter 
que très peu de leur position d'équilibre, car dès qu'elles s'en 
éloignent, une force antagoniste due à Faclioa des particules 
voisines tend à les y ramener. Cette force est propcirtioimelle à 
l'écart si cet écart est petit. 

Dans la théorie de Lorentz, comme do reste dans !«iiiles les 
théories des diélectriques, Létal d'un diélectrique peut èire com- 
paré à l'état d'un aimant. Quand le dieleetrî(|ue es! placé daiis 
un champ électrique, les particules s'écarleni alors de leur posi- 
tion d'équilibre formant des petits couples de deux parlieules 
chargées d'électricité contraires : le diélectrii|oe est polarisé. 
Chaque couple de deux particules chargées d'électricités con- 
traires, ou plutôt chaque élément diélectrique pour abréger le 
langage, est assimilable à un petit aimant, et de même qu un 
aimant est un assemblage d'éléments magnétiques, un diélec- 
trique sera un assemblage d'éléments diélectriques. 

L'état d'un diélectrique polarisé est donc assiinilable à eekii 
d'un aimant. Les principes de la théorie des aimants seront donc 
applicables aux diélectriques. 

Rappelons en quelques mots ces principes. 

367. Potentiel magnétique. — Maxwell désigne les compo- 



4; 6 DIELECTRIQUES 

santés d'aimantation par A, B, C et il obtient comme expression 
du potentiel magnétique, 




i-L 



E^'^^- 



s' j ])\ z! étant les coordonnées du point attiré, x^ ?/, z les coor- 
données du point attirant, ;■ la distance qui les sépare, èz' un 
élément de volume, A^ B^ C les composantes d'aimantation au 
point (V ]i z!). 

Intégrons par parties cette expression du potentiel ; il vient, 

La première intégrale doit être étendue à tous les éléments cfco' 
de la surface qui limite Taimant, et la seconde au volume tout 
entier de l'aimant ; V ^ m' , n' désignent les cosinus directeurs de 
rfco' de telle façon que 

représente la composante normale d'aimantation. 

Le potentiel de l'aimant en question peut donc être considéré 
comme la somme de deux potentiels : 

i^ Le potentiel d'une surface attirante dont la densité serait 

y A' l\ et 

o!" Le potentiel d'un volume attirant dont la densité serait 

Remarquons que ce résultat subsiste non seulement avec la loi 
de l'inverse du carré de la distance mais aussi avec n'importe 
quelle loi d'attraction. 

Si par exemple le potentiel avait pour expression 



y 



m 



- ['■). 



FORCE MAGXEnqVE A L'iXTEiUEnî ETA L'EXTEiHErU iïi'S AIMAXT i": 

on obtiendrait encore, en rêpélant îe niisciiiîîeiiieiil |irrrrileîil, 
la même rorniule iînale. 

En particulier ce résultat reste encore vrîij si je sii|,i|}<»st» i|in' 
l'attraction au lieu de se propager instaiitîiîiénieïit. st' |irii|iiigf 
avec la vitesse de la lumière; ceci revient, coniiiie îîcris Ir sa- 
vons déjiij à introduire les potentiels relardés. 

368. Force magnétique à rextèrieur d'un aim&nt, — Les com- 
posantes de la force magnétique qui s'exerce sur ruiiité de masse 
magnétique positive placée en un point extérieur ii raiiiiaîil ont 

pour valeur, en les désignant avec .Maxwell par x, 'j, -;, 

JÙ , dû ^iiï 



369. Force magnétique à F intérieur d'un aimant — Four con- 
naître la force magnétique exercée sur Tunité de masse magné- 
tique positive placée à Tintérieur de raimant, il faut creuser 
dans cet aimant une petite cavité où on pourra mettre un petit 
aimant (fêprein'e. Mais le potentiel se trouve modifié par la pré- 
sence de cette cavité, c'est-a-dire que a, j, ^ dépeiuiront de la 
forme de la cavité. 

Maxwell considère deux formes particulières de cavités : 

1^ Cavité cvlindrique de section infiniment petite : haiiteii 
très grande par rapport a la section droite. Les génératrices de 
ce cvlindre sont parallèles à la direction de raimanîaîion. Dans 
ce cas le potentiel en un point intérieur de cette cavité sera la 
différence entre le potentiel primitif, quand la cavité n'existait 
pas, et le potentiel de la masse cylindrique qu'on a enlevée pcHir 
creuser la cavité. Ce dernier potentiel est, d'après ce que nous 
avons dit plus haut, la somme de ces deux autres potentiels : 

a). Le potentiel provenant de la surlace du petit cylindre con- 
sidérée comme surface attirante. Je dis que ce potentiel est nul. 
Remarquons, en effet, que cette surface se compose de deux 
bases de section infiniment petite et de la surface latérale. Le 
terme provenant des deux bases est négligeable, fjuant à celui 
provenant de la surface latérale, il est nul; car la normale à cette 
surface étant perpendiculaire à la direction de raimaulation tes 



r 



478 DIÉLECTRIQUES 

génératrices clu cyliiiclre lui étant parallèles) 



E 



Ml' = o. 



b). Le potentiel provenant du volume de la petite cavité. Ce 
potentiel est négligeable car le volume est un infiniment petit du 
troisième ordre. 

Le potentiel en un point intérieur à cette cavité est donc le 
même que si cette cavité n'existait pas. 

2^ Cavité cylindrique infiniment aplatie. Par des raisonnements 
tout à fait analogues aux précédents, les potentiels provenant du 
volume et de la surface latérale de la cavité sont nuls. 11 ne 
reste que le potentiel qui provient des deux bases de la cavité; 
il a pour valeur, 




chacune des intégrales étant étendue à la surface de chaque base 
du cylindre en question. 

Or ces deux bases ayant une très grande surface par rapport à 
leur distance, leur action sur un point intérieur est 4 "^A. On a 
donc en appelant a la force en un point de la cavité en question. 

et de même, 

C'est ce que Maxwell appelle composantes de l'induction ma- 
gnétique. 

3' Pour une cavité sphérique on trouve, 

4 
a = a + -TT-A, etc. 



Tous ces résultats subsisteront, comme nous Pavons déjà dit, 



1:LE€TR0STJIIQIE i;i, 

avec les potentiels reliirdés, eiir un |>c'iil regarder la ilriisilt- 
comme constante peuiliuit que lu |'ierîerli;iîii>ii travrrsf la rsivitr 
;en supposant bien entendu que les cliineiiskuis tir la r^iiiîi* siiit*»! 
très petites par rapport ti la longiieiir ci'oiîtii? riiiplint-e . 

370. — Indiquons maintenant pour finir avec res |irrliiiii- 
naires, les conditions d'équilibre d'un élément iiiagïietiqiie. 

Prenons pour cela cet élément comme centre iriine splirre S. 
Il doit être en équilibre sous Faction des forées <|iii agissent î^iir 
lui. 

Quelles sont ces forces ? — On a, 

i" Les actions dues au volume extérieur ii celle splierr S, 

2^ Les actions dues aux éléments intérieurs a la sphère. Ces 
actions sont nulles. 

3'^ La force qui tend a amener la particule à sa position d'équi- 
libre. Cette Torce est proportionnelle à l'écart si cet écart est 
petit, elle est donc proportionnelle à a et par consé€|neiit à A. 

Voilà les préliminaires que je voulais établir pour iaciliter 
l'étude des diélectriques d'après Lorentz. 

Nous passerons maintenant à la théorie de Loreiifz elle- 
même. 

.4. — Electrostatiqie 

371 . — Appliquons les principes de calcul que nous venons de 
rappeler aux diélectricpies. Considérons une particule ei elier- 
chons les conditions d'é([uilibre de cette particule sous 1 action 
des forces qui agissent sur elle. 

Décrivons autour de cette particule une sphère très petite d'une 
manière absolue, mais pourtant assez grande pour qu'elle con- 
tienne un assez grand nombre de particules. Ooelies sont les 
forces qui agissent sur cette particule ? Ce sont : 

i"* Les forces extérieures à la sphère que nous venons de amS' 
truire. Evaluons ces forces. Introduisons pour cela un vecteur 
qui joue le même rôle que l'aimantation. 




48o DIÉLECTRIQUES 

Soient, :r^ y^ z^ les coordonnées d'un point à Tétat d'équilibre 
et X, y, z les coordonnées de ce même point à 
Tétat actuel. Le moment électricj[ue aura pour 
composantes, en désignant par e la charge de 
r* la particule, 

e (.r — .r^), 

Fig. :>;. e (..- — ^o)- 

Soit D-: le volume de la sphère que nous avons décrite autour de 
la particule considérée et désignons par X, Y, Z la valeur 
moyenne de e (.r — x^), etc.; on aura 

\ e(^ — ^o) =XDt, 
^e {y — yo) = YDt, 

Le signe \ s'étendant à toutes les particules qui se trouvent 

à rintériear de la sphère S^. 

X, y, Z joueront donc le même rôle que A, B, C. 

Dans le cas du magnétisme, nous avons vu que la densité du 
mao-nétisme à l'intérieur de l'élément de volume d^ était 



2Sd^' 



Dans le cas d'un diélectrique nous aurons d'une manière ana- 
logue, en remplaçant le vecteur (A,B, C) par le vecteur (X, Y, Z) 



■/jl/7 



Donc, 



i^ jLj dx ' 

le signe y du premier membre indiquant que la sommation doit 
s'étendre à toutes les particules contenues dans le volume Dt, et 



t'LECrmsTJ TKjl'E .fil 

le signe > du seccuul nieMiiliiv iiiili<|ii;iîit une prriiiiiliitiiiii rîreii- 

laire entre les lettres X, Y, '/; j\ //, :. 

Dans le cas du niagniHisme, la relatiun de Fiiis>«iîi s'rrrivaiî, 



Ai 
nous aurons maintenant 



-^'Z^-. 



en désignant par y le potentiel f'deelro>taii«|îie et en divisa»! le 
second membre de cette relation par K.,. car, riiiuiin* nous Favons 
déjà dit, nous emploierons les unités é!«*c!niiiiagiîé!i(|»t*s. 

Si la cavité a la forme d'un cylindre infini ment délié et si eîie 
est orientée comme le vecteur i.X, Y, Z , la force élec!rîf|iie aura 
pour valeur 

iLv ' 

Si la cavité est cylindrique, mais infiniment applatie, la force 
électrique sera, 

7.' '- 

lLv ' K. " ^ 
Dans le cas d'une sphère on aura, 

'^'^ cLv^ -S K.. 

et c'est ce dernier cas qui nous intéresse pour le moment. 
L'expression (i) représente la force clectrii|ue due à la partie 
extérieure a la sphère S. 
Or nous savons que 

P-JîL/- '^'^ ''^' 

/ - 



m 

vecteur est nul. 

PoiNCARH, ÉlecU-icité et Optique. 



Ko ^ cLv dt 



/F 
lis dans le cas actuel (état d'équilibre -r— = o : le potentiel 



4 8 2 DIELECTRiq CES 

Il reste cloue 



L'expression (r) devient alors 



4- . , 4- X 



^0 



ou encore si la charge de la particule est (?, 

4^ /^ , X 



lâ! 



^0 



^4f+ 



kt^V"^ 3;- 



2^ Action des particules intérieures à la surface S''. Comme 
dans le cas des aimants cette action est nulle. 

3*^ La force qui ramène la particule a sa position d'équilibre. 
Cette force est proportionnelle à Fécart si cet écart est petit. On 
a donc pour cette force. 

,3: _^, (,._,, g. 

372. — La somme des deux projections (2) et (3) doit être nulle; 
ceci s'écrit 

I:'(/-+t)= !;:'(—■•!• 

d'où en multipliant par e les deux membres de cette relatiou. 

Pour avoir X, faisons la somme des relations pareilles pour 
toutes les particules qui sont a l'intérieur du volume Dt et divi- 
sons par Dt ; il vient ainsi, 

y^f^r — .rj 



Dt -jLi :^Dt l' ^ â 



£i£€Taosrj riQti: 
Posons oiaîiîtenanl, 






La relation (4} devienf. 






r=/-H 



d'où 

«•>■„,„<,„'„„,„„ j ; ' J; l"-"l;»«...n„»l,„-.. i,-„i.„,,i „,„„ 



d'autre part 



4" 4- '^• 



4^ . dû 



d.v 



irf— 



d'où 



donc. 



d'où 



4^ c/.r ' 



£±1 _ /■ 




Le Aicteur de proportionnalité a donc pour valeur Jîi- 

K — K 



484 DiELEcrmq ues 



B. Electrodynamique des corps en repos. 

313. — Il convient de remarquer que nos sens grossiers ne peu- 
vent atteindre que la valeur moyenne des phénomènes ; on aura 
besoin par conséquent^ dans la suite, de considérer la valeur 
moyenne de nos fonctions ; il s'agit alors de voir si les formules 
que nous avons trouvées précédemment subsisteront dans ce 
cas. 

D'abord, la valeur moyenne d'une fonction ii au point (;r, y, z) 
c'est 

^ fud. 
u=- 

3 ''^ 

rintégrale étant étendue à une petite sphère de rayon s ayant 
pour centre le point (.r, ?/, c). 
Il résulte de là que 

du du 

dx dx 

374. — Les relations que nous avons trouvées précédemment 
étant linéaires, subsisteront donc encore dans le cas présent. 
On aura par conséquent, 



I 






d 


d9. 


dy 


' dz ' 


da. 


d'.' 


dz 


7/7' 


d?. 


d:/. 



4^,v= i _ -, 

dx dy 

d\V dG 



V-^J 



dy dz 

dV dïV 



dz d.f 

dG' dV 
dx dy 



ELECTHODYXAMiQrE DES COUPS EX HEPOS |8*, 

F^, Cy, ir, étant les ccimposanles diî vecit»iîr cpii lait «iïirr lir 
potentiel vecteur et qui est le p«»leiitit4 rehinlr d'imt^ iiiasht* aîîi- 
ranle ayant pour densité les trois eDïiiposîiîiIrs dii eniîraiiî êe 
convection. 



On aura ensuite 



4- ,{¥' ^ di' 



I K^ ' dl d.r 

(3) 4!!.+ '^^'' . '^v 



K„ '^ dl dij 

4- , d\\ , d-l 






K„ "^ dl ■ d- 

df\ 



(4) ^aC/ = -4.(,.-^) 



(6- 






375. — Quant à la relation, 

(il ' '"'' 

elle ne garde pas la même ("orme. Pour voir ce qu'elle devient, 
cherchons la valeur moyenne de p;. 
Nous avons pour cette valeur moyenne, 

donc, 

df dX 

(:) ^^^-TF + lîT' 



486 DIÉLECTRIQUES 

376. Conditions d' équilibre d'une particule. — Considérons 
une petite cavité sphérique entourant la particule et évaluons 
les forces qui agissent sur cette particule. Nous avons : 

i*" La force d'inertie; cette force a été négligée pour les con- 
. ducteurs, mais on ne peut plus la négliger maintenant, car dans 
le cas des diélectriques on peut avoir des vibrations extrême- 
ment rapides. Cette force a pour valeur, 

m 



K. cli' ' 



2^ L'action du champ. Cette action peut être décomposée en 
trois parties, 

a) Le champ produit par la particule elle-même. Ce champ est 
négligeable. Lorentz Ta calculé mais nous ne reproduirons pas 
ici son calcul, faute de temps. 

h) L'action produite par les particules qui se trouvent à l'inté- 
rieur de la sphère entourant la particule en question. Cette action 
est nulle. 

c) L'action du champ extérieur. Cette action a pour valeur, 

Mais qu'est-ce que fl — Nous avons, 

d'où nous déduisons la valeur de f. Seulement, rappelons-nous 
que nous avons creusé une petite cavité sphérique dans l'élément 
D- autour du point (.r, ?/, z) et cette cavité modifie le champ. 

Quelle est cette modification? — D'abord, le terme en—-- n'est pas 

dt ^ 

modifié ; et cela se comprend, car le potentiel vecteur F^ pro- 
vient d\îne matière dont la densité est -^ , Mais il \\ei\ est 

di- 

plus de même du terme -r^ . xVyant affaire à une sphère ce 

dx "^ ^ 

terme est modifié par le changement de /"en /'+45- . (Voir précé- 
demment, n" 371). 



COXDITIfjys b'EQl'iLUlFli: l^'USE PJJiïlilU: 

On aura clone. 



t'i^^f)^ ■■:■■■-'-:■ 



3"' La loiTc élastique qui tend à raiîieîi*^' hi partiriilt- ,1 >,i 
position cFéquilibre. Cette forée est'représeiilée par, 

-rr- u (.r — .r,;. 
L'équation cFéquilibre de la partieiile e^nisïtlérée s'écrit cltiiie. 






]j. .r — .IV. , -f- -7^-/ii — ~-==---r— e /-t- ---■-— I' '/-' ■ — ^ii. 



377. — ^îultiplîons par e les deux membres de celte équatimi ; 
il vieutj 

eut (l'\i' e~ /,, X\ e~ . ^r ■ K, 

'■*' a al a V •> / î^ 4^ 

Faisons maintenant la sommation pour toutes les partieules 

qui se trouvent à Fintérieur de Dt et divisons par I)t : il vient, 

m . , . - 

en supposant que — est le même pour toutes les parliciiies. 



m \^ d\r 
e 






Dt L)t .«^:iD 

K 






Or. 



d"()ù 



D'autre part, 



% t> .r — .r 




jimmd ^ 


Y 


Dt 




V^ d\v 


d'X 


\y- 


~ di- ■ 


V '' 


= L. 



:8 DIÉLECTRiqrES 

L'équation de Téquilibre devient donc, 



378. — Si nous avons afliiire à des corps en repos, alors 

' dt' 



(h/ 
(ft 



et par conséquent, 

47: Zj Dt 4^ Zj Dt ~~ 47: ^ Zj "D^ 

4t: ('/Z 
On aura par un calcul analogue, 
K, dZ 

4- ^"TT- 

Ces relations ne sont vraies que si la charge e est la même 
pour toutes les particules mobiles. Si cette hypothèse n'est pas 
tout à fait rigoureuse, elle nous permettra au moins de voir le 
sens général du phénomène. 

On aura donc ainsi 

;x dt' \'^ ■ij^ 4r. ... [^ dt I" dl 

Posons maintenant 



m 



et 



4^ 'jlL 



L'équation précédente devient, 

L df- '^ ^ ' ^\' dt ''-JT 



mmmmmmm 



ELECTRODryAMlQrE DES COUPS EX MfM'fEMEXT |8f| 

OU encore. 

Mais remarquons que 

Vl :W k-k. ' 

cela nous donne finalement. 



379. — Si le champ n'est pas puissant le second terme do smnicl 
[lie ml 



embre est négligeable et on obtient une relation entre " , X 



Si, de plus, on est au repos, a ■ ^ est alors luil et on re- 
tombe sur réquation 



/=X 



K — K, 



A acquiert une importance très grande quand on a alîaire à des 
oscillations très rapides. 

Cette équation ■ 8 ^ n'est plus valable si les particules sul)is~ 

sent un frottement : il faudrait dans ce cas ajouter ao premier 

• 11- '- '^^ 

membre un ternie complémentaire de la iorme a — 7- . 

^ dl 



C. — Electrodyxamique des corps en mouvement 

380. — Nous allons étendre maintenant les résultats que nous 
avons trouvés pour les corps eu repos aux corps en mouve- 
ment. 

Il y a d'abord un certain nombre d'équations que nous avons 



4t|0 DIÉLECTRIQUES 

trouvées pour les corps en repos et qui n'ont pas de raison de 
chano-er pour les corps en mouvement. 
Ce sontj 



(0 



(^) 



^31 



4^« 


d" dp 
- dy d,' 


d-j. d-: 

~ d.z dx ' 


Jpj dci. _ 
"~ dx dy ' 


oF' = 


-4=(«-;r 


aG' = 


-^K'-ï 


Dlî' = 




P'y = 


4r. Y f/X 

~ K„ Zj' dx ' 








dt "^ f/.r ~ 


4-^- , 


fZG' d'I' 


Ko ' 


dt ' f/y ~ 


4-A , 


dW di' 


Ko ' 


dt ' rf- ~" 






D'autre part nous avons trouvé, quand il n'y a pas de champ 
magnétique intense ti pour les corps en repos, 

-^ ^ ir—ir- — A 



cit^ ' K_K 



Mais cette équation, comme nous Tavonsvu, peut perdre de sa 
sinq)licité quand on a affaire à un champ magnétique très intense ; 
dans ce cas il faut en efFet, compléter la relation que nous venons 
d'écrire par le terme complémentaire suivant, 

cIY ,^ cTL 
dt '" dt 



KLFxnoDYy.iMiQVE DES COUPS /:.v mrrrMi:\r „^, 

c'est le loi'me correspoïKlimi // l,i pal,!ris,iti„n ruialoire m.ii^/ie- 
////"<? i-'t in\ jihcnoini'nc (le 'Aecnuih. 



381. — Pour /(\s- corps en niouveinent. on ohli.Til ,!•■ hi uù-mr 
manière, 

,r-.v 

X 



m S^ d-.v 



et par des transformations analogues a exiles ijUi^ îiîhh :ivtiiisi.''îiî- 
ployées quand il s'agissait de ri"Ieeirod\iiaiiî!f|iii' des coijîn r» 
repos, 

^, 7j, ^ représentent ici les composantes de la vitesse de la ma- 
tière. En ejDTet, si le champ magnéti(|ue n'es! pas très intense, et 
en négligeant la vitesse relative de la particule par rapporî à 
celle de la matière, c, y,, IÇ représentent alors bien la vitesse de la 
matière elle-même. 

En divisant par L les deux membres de la relalinn t'M «m 
obtient, 



wJ 






dt- 



382. — En ce qui concerne la relalit>n en // j- elle va être 






iii 



peu modifiée pour les corps en mouvement. 
Nous avons j 

dt I ^^ dl - 



'8) 



le signe y indiquant que la sommation s'étend à toutes les par- 
ticules qui se trouvent à l'intérieur du volume Dt. 

Pour faire le calcul nous allons employer un artifice très utile 
toutes les ibis qu'on aura à calculer des valeurs moyeniies. 



ï m 






4t^'i DIÉLECTRIQUES 

Nous savons que 

Considérons une (onction cp quelconque ; nous n'assujettirons 
cette fonction qu'à une seule condition : qu'elle varie assez len- 
tement pour qu'à Fintérieur du volume Dt elle puisse être con- 
sidérée comme constante. Nous aurons alors, 



=XD^=2(p.(.r-.r„). 



Décomposons le volume Dt en éléments de volume d'z très 
petits (au sens ordinaire du mot) ; on peut alors écrire 

(9) / cpXr/T==^cp(^(.'r — ag, 

où le signe 1 comme le signe y s'étend au volume Dr tout 
entier. 

Plus généralement la valeur moyenne U d'une fonction U quel- 
conque sera donnée par la formule 



on aura ainsi 






chr 
dt 



383. — Quelle est la valeur de la densité moyenne? — Il faut 
pour cela calculer ^ ce. 
Posons 

?o i^eprésentant la valeur de la fonction cp quand la particule passe 



ELECTIiODiyJMIQUE DES COUPS ES MlM'rEMEST |«jl 

par sa position tlÏMjuilîhrf '.r,. //„, zj. Or, ;i r^hil tr«*fjiiiliiire. îa 
densité moyenne est nulle ; clcmc. 

(l l) > tS^/>= 11. 

D'autre part (^', y, z) étant voisin de u'^, f^,, r^^ , tin peiiî t*rrire, 

? = ?i+24 !^f — ^^;. ^^ 

et par conséquent 

le deuxième signe > du second membre s'élendaiil aux trois 

coordonnées. 

En tenant compte de la relation iiï) et de îa relation ''t|'; c|iii, 
différentiée par rapport à .r nous donne, 

X — — (h=^ C'A' — j\ ~T~-. 
ax t ' '' ilx 

la relation (12] devient 

et, en intégrant par parties. 



La formule 



,3) 



v..=_ 






î,|i DIÉLECTRIQVES 

nioiilrc que lu deasité moyenne est 

LJ du- ■ 

384. — Cliei-elious inainfenaiil la valeur du courant total a. 
Partons de rtMiuation {>.)] et dillerentions-lu par rapport à / ; il 
vient. 



'4 



i d\ j \y . s d-^ , V d.v 

^ ' dt 



Eu effet, z ne dépend pas direetenicnt de t : il est fonction 
tie.r,//, z seulement; mais dans le premier membre .i\ij,z repré- 
sentent les coordonnées de Télément de volume (h, tandis que 
dans le second membre .r. //, r réprésentent les coordonnées 
de c\ qui sont mobiles; qui sont par conséquent fonction de t. 
C'est pour cette raison que la fonction z> est traitée dans le 
second membre comme dépendante de t et dans le premier 
membre comme indépendante de cette variable. 

Or nous avons, 

le siorne > s'étendant aux trois coordonnées. 

j 

Le premier terme du second membre.de (i3) devient donc. 



n 




\ 



En intégrant par parties, on ol)tient, 



x./.y^ 



d.v 




EXPRESSIOy Dr COrBJNT TOTAL I/JPIiES iJMEXT^ 4sS 



J\..^^^j\.^. 



Xik: 



et par consêriuenf, 






Zik 



i/x: 

iiz 






(fi^ 



dz r 



Passons maiiîteuant au troisit'iiie ternit* île ï.| ; i|ii<4l«' fsl ki 

sigiiihcalKHi de ' . — L esl la vitesse ijii |.ioi!i! .i ... //... : . ee 

poiiiî «''tant eoîisidih'é eoiiinie eiilrauié dans le iimineiiiriiî de 
la matière : c'est doue ce (|iie nous avons appelé ;. C lu a alors 

dt 



:'\^il.- '.., 



et comme '.r,. //„, ;,' est très voisin de .r. //. ; on peut dttnc 
écrire 



Jt ■ ^- 

en posant^ 

dv 



Jz 

17 



Le calcul de > ze — r— revient donc maintenant au calcul 
.^' dl 

1 \n - 1 V^ -- 
de 7 zez et de > /^t'o;. 

Commençons par calculer ^ 'zez. 
Nous avons. 

Là' Ï ' Li dx 

J 

~ 1 'V dx^'- d,j • '■ dzj- 



(•(^, 



t/ 



496 



DIÉLECTRIQUES 



Pour 



Vsr 



nous avons, 



cil , 



dij 




d.z 



Ecrivons maintenant la relation (i4) en tenant compte des 
relations (i5), (i6) et (17) que nous venons d'établir; elle 
devient, 



r/X 
dl 



,d.[u-^ 



Nous n'avons plus maintenant qu'à identifier les coefficients de 
'Dih, car cette égalité doit subsister cjuelle que soit la fonc- 
tion cp. 

En faisant cette identification nous trouvons, 



dt 



«-f)+i!^--^-'J- 



d 



(xî; - VX), 



d'où enfin. 



^f . dX d , d ^ 



:.. ^ 



dg 



dt 



. d>/ 



Xy 



dt dt 
dh 



H-;^.(Yi-x.o--^(z-,-Yr: 



^y=z 



dl^ d 



d 



dt dt ' du ^ ' '' d,v ^ ^ ^ 



Cest Vexpression du courant total d'après Lorentz. 

385. Comparaison avec la théorie de Hertz. — Comparons 
cette expression à celle du courant total d'après Hertz. Nous 
avons vu que le courant total dans la théorie de Hertz est la 



COMPJRAISOy A V£C LA THÉomE DE HERTZ 



■is: 



somme de quatre courants : le eoiiraiil de ccinciiieliiiii, îe 
courant de déplacement, le courant de conveetion de Fiinvlaiid 
et le courant de RciMitgen. Nous n'avtms pas ici de coiiraiiî de 
convection analogue à celui de Rowland et cela se ciiiiipreiid, car 
la densité de rélectrîcité vraie est nulle, atleiidw cfiie licuis 
sommes dans un diélectrique. Eh ce qui concerne le couninî de 
déplacement, on le retrouve dans la théorie de Lorcntz, seule- 
ment il est dédoublé : il se compose du courant de Jéplaceinc^nt 



proprement dit, -^^ et du courant de poîarîsalîoE -^. Quant 



di 



au dernier terme de la relation :^i8; c'esl une expression ana- 
logue à celle qui représente le courant de lijentj^en à cela près 
que le vecteur 'f\ if, h] est remplacé par le vecteur fX, Y, Z 
dans la théorie de Lorentz. Nous avons, en eilei. dans la théorie 
de Lorentz 

dans la théorie de Hertz, nous avions trouvé 



(19) 



J-^ ^-•: ^^ .r^^ Z'. 



d.z 



Mais il importe de remarquer que Hertz désigne par /, g, k 
le déplacement îolal {déplacement -\- palarisaîiun que Lorentz 
représente par f -\- X, i,'- + Y, h -\- Z. Avec les notations de 
Lorentz il faudrait donc dans l'expression !i| remplacer /"l if. /i 
par /'+ X, if + Y, h + Z. 

Maintenant si nous prenons Téquation 



d'\ 
dt- 



X 



K — K., 



= /• 



que nous avons trouvée précédemment et si nous y négligeons 
la dérivée seconde —rr- nous trouvons que X est proportionnel 



di' 



— . Le courant 



à fet que le facteur de proportionnalité est p- 

de Rœntgen prévu par la théorie de Lorentz est donc à celui 
prévu par la théorie de Hertz comme X est à X -f-/, c est-a-dire 
comme K — 1\ est à K. 

PoiNGARÉ. Electricité et Optique. ^^ 



498 DIÉLECTRIQUES 

Ainsi dans le vide (K = Ky) il n'y a pas de courant de Rœnt- 
gen, d'après Lorentz, alors que d'après Hertz il doit y en avoir 
un. Mais comme nous l'avons déjà vu précédemment, quand 
nous nous sommes occupés de la théorie de Hertz, les expé- 
riences de Rœntgen sont tout à fait insuffisantes pour trancher la 
question. 

386. — Revenons maintenant à l'équation fondamentale, 

nous avons vu que le terme ). ., du premier membre de cette 

équation est négligeable (sauf le cas où on a des oscillations 
rapides) de sorte qu'on peut écrire^ 

La quantité que Hertz ou Maxwell appelle déplacement total 
est; comme nous venons de le remarquer, X + /1 Calculons cette 
quantité. Il vient, 

X + /■== -|- /■+ ^^^ (vr - ??), 

iYq 4"- 

ou encore 

\ + t = —Y~f+ — ^^— ivr- ..^)J. 

Cela veut dire que dans la théorie de Lorentz le déplacement 
de Maxwell est le produit de deux facteurs : l'un ■- — , l'autre la 

4- 

force électi'omotrice (d'après Lorentz). Or, dans les conductears, 
hi lorce électroniotrice a pour expression 

on voit donc que la diilerence est seulement dans Tintroduction 

du iacteur — r^ — -. 
K 



! 



CO.VPAÏLilSOX AVr.C LA niEOHIE IjE ilElfi/ i,^,, 

387. — Interprétons ces résultais. 

i*^ Supposons que nous ayons un corps inirHliitit'iir liieliilr 
placé clans un champ magnétique invarialilt*. iiiw vii-l-il >\ iim- 
duire d'après la théorie de Hertz? — Il cî*>it craljtiril s"v |irtitîiiiri» 
une ibrce électromotriee qui donnera naissanee à iiii eininiiit 
d'induction. 

D'après Lorentz, bien qu'il n'y ait pas de force éleclrit|iii» âimu 
le sens propre du mot, il y aura cepeïîdaiil iHie forée élerlrti- 
motrice qui aura la même expression que dans lîi iliéurie île 
Hertz, puisque nous retrouvons le terme t.-; — ZJj. Celle ftirre 
électromotrice donnera naissance au mrmt» coiiranî ilt* «in- 
duction que dans la théorie de Hertz. 

On voit donc que dans la théorie de Loreniz les lois «Je llii- 
duGtion magnétique ne se trouvent pas en déîaol. 

2^ Supposons maintenant que nous considérions ne diélec- 
trique mobile dans un champ magnétique. D'après Hertz, il 
doit s'y produire un déplacement électrique prûporticmïiel à la 
force électrique. D'après la théorie de Loreniz le déplaeeiiieiil 
électrique total;, X -{- f, existe toujours mais sa valeur est plus 
faible que dans la théorie de Hertz : il est diminué dans le 

rapport — ^ — ~, Par exemple si le diélectrique est ronslilué 

par de l'air, alors K — K,, = o : il n'y aura rien du tout. 

En résumé, le résultat obtenu par Lorogitz revient a alTeeter 
les termes laal et 'f de la théorie de Hertz do eoelli- 

cient -. . 

K 

(3r, rappelons-nous que les équations de Hertz nr pouvaient 

rendre compte des expériences de Fizeau ([ue si on k-s alit-elait 
du coedicient ^ ~ ^' : on peut donc prévoir que îa théorie 
de Lorentz est entièrement conforme aux faits expérîmeolaux 
cités. 



CHAPITRE V 

PHÉNOMÈNES LUMINEUX DANS LES DIÉLECTRIQUES 



DISPERSION 

388, — Nous allons maintenant aborder l'étude des phéno- 
mènes lumineux dans les diélectriques. Nous commencerons par 
le cas le plus simple : c'est le cas où il n'y a pas de champ ma- 
gnétique intense. Nous supposerons de plus, que le corps trans- 
parent considéré est en repos : cela nous débarrassera des termes 
complémentaires que nous avons été obligés d'introduire pour 
les corps en mouvement. Seulement, nous tiendrons compte du 
frottement que les particules pourraient subir : ceci revient à 
tenir compte de l'absorption . 

Nous aurons donc les équations suivantes 

1 ''" dl "^ di ' 



dt ' dl ' 
dk^ d7^ 
dt "^ dt ' 






en ^;,J^_^y^ -VQ ^;^_ 



a 


fv 


K„ 

1 


K 


Ko 


Ko 



dt" dt Iv — K, 

389. — Nous allons d'abord montrer que si on suppose la 
lumière îiionocliromatique les nhrations sont transçersales. 



UISPEIlsioX ^^, 



l)ifférentions à cet ellet la prenni-re .•..i.u.tiun . ,Mr ...pporl 
a X, la seconde par rapport à >j, la iun.iinm p«r nn.p..rî i, r • i! 
vient. 



A 



£_ '^X ,/ ,/x , K, ,/x ,// li 



L. 






, '^«^ dy dt dy '^ K—K, dff '-If' 

^/^ rf^ "^ ■ ,// dz ^ K-K, 77 "=-;??• {: 

En faisant la somme de ces trois t-quations on obtient II 

Or 






donc 



et, pour avoir une couleur déterminée, il i'aut que les exponen- 
tielles aient une période déterminée. On conclut donc que 

d\ 



(4) y 4^=.. 



11 n'y aurait exception que pour a' = o, et cela encore pour une 
couleur déterminée. 



f 
/ riTT ^^^^s^^'^^t donc à une équation différentielle linéaire /^ 

du second ordre : nous en concluons que cette fonciion est une i 

somme de deux exponentielles. Mais pour que la lumière soit ] 

monochromatique (car nous nous sommes placés dans ce cas. il 

faut que ces exponentielles soient à période réelle, e'est-à-dire 

qu'il faut que leurs exposants soient purement imajjinaires ; il faut 

donc que ^ 



502 PIIÉXOMÈNES LUMINEUX DANS LES DIÉLECTRIQUES 

Qj. \ __L- =z o siofnifîe crue les vibrations sont transversales : 
c'est précisément ce que nous cherchions à montrer. 

390. — Ceci étant établi voyons ce que deviennent les relations 
en D'^ et uf. 
Nous avions, 

4- y r/X 



o.y=^2' 



2^X 
' — - — =0, nous avons maintenant 
dx 

(5) n^y = o . 

D'autre part, 

4- . , ./F^ • , d^y 



d'où 



^ Ko d ^, K. fi? ,, 

'^ 4- rfif 47: ^/.r ' ' 



or 



nous venons de voir que □ '!;' =0 donc 



d'autre part 



^ K„ d T-,. 

^ 4- <:// 



oF'=^4=("-|). 



et d' 



après (ij 



donc 



df _ dX 

dt ~ir' 






la relation en □/'devient alors, 
(6> n/^K,^ 



^'X 



di' 



oisi'Kiisifjy 



391. — Supposons niainlenaiil .pie nous avons affaire a iks 
ondes planes : toutes nos fonctions lu- dépendroi.i que «k- : el 
de t, par conséquent 






et d'après (6] 
(6 his] 






ri-c- 



Or nous avons. 



(7) 



A — ^:r- -+- )! — — 



rf/^ 



Posons alors, 



K — K 



-X=:/. 






K; 

1 1 












«,. 






"a' 


= 


K 


■! 




K, 






/^ 


K 


— 


K, 




(ï 



L'équation (j) deviendra 



(7 /^'«) 



cPX dX . .,.. 



La lumière a été supposée nionoclironialique ; on peut donc 
appliquer l'artifice habituel des imaginaires : posons, 

X = X,/, 

/ = /:/■ 



avec 



P=ip nz\ i\ — i]' 



Comme les équations sont linéaires à coeiricieiils rix4>, imiiy 
pouvons écrire. 

X = partie réelle de X/^, 
f = partie réelle de f,/^. 



r- 



5o4 PIIÉNOMÈA'ES LUMINEUX DANS LES DIÉLECTRIQUES 

et ces nouvelles solutions qui sont réelles nous donneront les 
valeurs réelles de nos fonctions. 

Soit/; un nombre proportionnel au nombre des vibrations par 
seconde, de sorte que la période T est donnée par 

P 
n représente l'indice de réfraction j si ii est imaginaire alors 

n = ji! -\~ in!' ^ 
et dans ce cas 

partie réelle de 1./ = Xe'"""^'^^'- cos /; {n'z s/K^ — t), 

le coefficient d'absorption est alors proportionnel à iv' et l'indice 
de réfraction estn^ 

392. — Que deviennent nos équations {j bis) dans ce cas ? * 
Nous avons, 

cPX 

d^f _ 



dt^ - '^''f^ 

dX 

-dr=—'J'^' 

L'équation (7 bis) devient alors, 

et l'équation (6 bis) prend la forme 

-«V^K„/'+K.//'=-K„/;^X, 
OU encore 

d'où 

X 

n- = I -f- 



DISPERSIOX 
OU, en tenant compte de f j 1er) 



%m% 



(8) 



1 + 



pl — 1///;,, — // 



Discussion. — En général b^ est très petit, par criîisrtjiienl le 
terme iph^ est négligeable devant />/ — /r, el alors n^ lievieiit 
réel : 



(9) 



I + ■ 



Fi— r 



Il y a exception dans le cas où p/ — p' est très petit ; liaiis ce 
cas le terme en b^, n'est plus négligeable, le déiMnniïiîilear s€!ri 
très petit et par conséquent la fonction très grande ; n seratloiie 
imaginaire dans ce cas. Bref, quand p^^ est diflereiit de /i, iî n'y a 
pas d'absorption ; et^ au contraire, quand /i^ est viiisin de p il v a 
absorption (à cause du terme imaginaire ipb^^^. 

Cela explique l'existence de raies d'absorption très étroites dans 
le spectre. 

393. — Pour mieux voir la variation de /r, eoostmisons la 



Pl'-P' 




courbe représentant les variations de cette ibnetion. i^orlons /r 

en abscisses et n^ en ordonnées et représentons les droites 

/r = -^ , /i'^ = I et puis /v =/r et /r = o. 

Faisons ensuite p- =o dans la lormule 19 ; il vient ainsi 



Pô 



5o6 
or 

donc 



PIlÉXOMkSES LUMINEUX DANS LES DIÉLECTRIQUES 
K - K, 



11.- 
Pô 

1 + 



K - Ko 
K. 



K. 



Kn 



La courbe est donc tangente à la droite jr = -^. 

Maintenant si/; augmente, le second terme du second membre 

de (9) augmente avecp, et pour /y =P-> le terme en .> . cie- 

vient infini : il s'ensuit que n" devient infini : on a une asymptote. 

Si;) continue à augmenter, pour une valeur de p légèrement 
supérieure à p^ on aura ir = — 00 : on aura donc encore une 
asymptote. 

Si/;= ce, c'est-à-dire si on a affiiire h des ondes infiniment 



-pô=p- 



Fig-. ;)«j. 

courtes, alors ir = i : on a ainsi une brandie tangente à la droite 
jr == I . 

On voit d'ailleurs que la courbe ainsi obtenue est une hyper- 
bole. 

394. — 1''^ Observation. — La présence des asymptotes que 
nous venons de trouver, correspond-t-cUe à la réalité des choses ? 
Et d'abord comment avons-nous trouvé ces asymptotes? — Nous 
les avons trouvées en faisant y;/ = /;- dans la lormule (9), hypo- 
thèse qui ne correspond à aucune réalité puisque pour /;^ =/; nous 
n'avons plus le droit de négliger le terme en iph^. 



Tenons compte, au contraire, de ce terme H rfirrige«.iiii. imltt 
courbe en représentant en pointillé les portions c|iii m» peu%'-eiit 
pas manifester leur existence par rexpérieeeis par siiifi* ér i*al.i« 
sorption. On obtient alors une courbe tloiit Yiûlim etit inJiipîrr 
par la figure Sg. 

395. — 5'«« Ohserçation. — Que nous iiuliqiî*- la ^mwht i|îir 
nous venons de tracer ? Elle nous iiiclicitie la préstnice «I'îiïh» snih^ 
raie d'absorption : c'est la raie qui eorrespoml à // ==/i/. MiiUmi 
se trouve cette raie dans le spectre ? Piiiir voir eria, reiïîari|iiiiïi^ 
que dans la partie gauche de la ccnirlie on a /i > i, «lansln parlii» 
droite /z < i et enfin pour /> = x on a /i = i : »- = p,;* se Iriiav** 
donc dans une région très éloignée dii spectre einiiiiî. n- ipii 
signifie que la raie d'absorption sort du spectre cciîîïiiî. 

Comment faire alors pour expliquer la présence des raies d'ab- 
sorption que l'observation décèle dans le spectre ccieiiii? — Ûi 
est amené a faire une nouvelle hypothèse : il faut admelire qui! if 
a des particules de plusieurs sortes. 

Particules de plusieurs sortes. — Xous avons vu. en effet, 
que' ces particules sont caractérisées par leur masse /w, par leur 
charge e et enfin par leur coefficient dVlasticité «x, qui tend à les 
ramener à leur position d'équilibre, Nous avons supposé en mitre 

que le rapport était constant le même pour tuiites lesparti- 

cules) : c'est précisément à cause de cehi que nous iraviiiis uliteiiii 
comme résultat de notre analyse, qu'une seule raie d al»>i»rp!itiîi 
dans le spectre. C'était là une hypothèse resiriclive. Mais mndi- 
fions maintenant cette hypothèse en admettant l'existence de par- 
ticules de n sortes dilFérentes. 

Pour chaque sorte de ces particules X sera diiterent. Dési- 
gnons par Xi, X,, X3... X^ les polarisations de ehaciine de ces 
catégories de particules. La polarisation totale Xde ces particules 
sera alors la somme des polarisations partielles X^ X^,... X, ih 
chaque catégorie de particules. Xous pouvons donc cerne 

x=Vv 



5o8 PHÉNOMÈNES LUMINEUX DANS LES DIÉLECTHIQUES 

et d'autre part : 



^a) î 



le signe ^ étant étendu dans la lormule (lo bis) l\ toutes les 

particules de K'' sorte contenue dans Télément de volume Dt. 
Les équations 

. ^Z-X , X ^, X 
._ + _ = / + _ etc. 

que nous avons trouvées précédemment, et qui expriment la con- 
dition d'équilibre d'une particule deviennent donc en tenant 
compte de Thypothèse que nous venons de faire, 



A, 



rf-X., , X., ^ , X 



f+-^. 



(il) ' - di' ' L, 

d'X, . }L . . X 



A,, 



+Tr=^+-3 



l^.A^,... A„;L,, L,,,.. L,, étant des coefficients caractéristiques 
des particules de la première, deuxième,..., K^ sorte. 

396. — Transformons ces équations. 

Nous avons vu précédemment que si nous supposons les ondes 
planes, alors 

i!/_Kiï-Ki!l 

dz' '^o di' ~ '^0 dl' ' 
et si la lumière est monocliroma tique, 

(.3) #^-/X. 

Ecrivons cette dernière équation pour la particule de la 
K« sorte et substituons la valeur de ^]\; ainsi trouvée dans la 
dernière équation de (ri) ; il vient 



DIÉLECrmQi-ES jiH, 

Posons maintenant, 

X étant défini par la relation ,^io\ Cette expression île # est, 
comme on. le voit une forme quadratique homogène par rajipiirt 
àX,. 

Posons encore, 

(i6) $'=^V-^, 

c'est encore une forme quadrati(|ue iKHiiugt'iie. 

Cela posé, on remarque facilement que noire ëqualHin j4;peiil 
s'écrire en tenant compte de (i5) et [i6^. 

en d'autres termes cette équation se traduit par 

4) — p-C^' — fX ==: maximum. 

Or nous savons que quand nou> avons deux expressituis qua- 
dratiques quelconques, on peut les réduire toutes deux à des 
sommes de carrés, en faisant un changement linéaire de variables. 
Faisons ce changement et écrivons les relations i .1 et 16 dans 
cette hypothèse ; il vient, 

x' 



(r6H ^^'=Ei' 



D'autre part, X sera une fonction linéaire des X, eî je pm 
pposer que ses coefficients sont égaux h l'unité, de snrîe 



supposer qu 

X =yx.. 



is alors 
que 



s 10 rUÉyOMÈNES LUMINEUX DANS LES DIÉLECTRIQUES 

La condition (i j) devient alors 
d'où 



et par conséquent, 



pi— F 






d'où, en égalant cette valeur de X avec celle donnée par Téqua- 
tion (12) 



fio) 






397. — Représentons ce résultcit graphiquement en employant 




y 


\J 


\ 1 


\J 


1 "^l 










«-'= 1 










:./" 



Fi g. Go et Gi . 



un raisonnement analogue à celui que nous avons emplové dans 
la théorie simple. On obtient ainsi le graphique ci-contre (fig. 60). 

Ceci est vrai quand on néglige le frottement. Mais il n'en est 
plus de même quand on passe au voisinage des raies d'absorp- 
tion : au voisinage des asymptotes. 

En modifiant notre courbe pour ce cas, c'est-à-dire en tenant 
compte du frottement on obtient la forme qui est représentée par 
la figure (61). 



BISPEIiSmX ÉlECTiHQlT J.TOJ|j£f '„ , 

Les traits en pointillé correspiiiiilciit aux Imiuy^ ii\iL>»ii|ili»iii, 
qui ne sont pas visibles. 

398. Remarque. — En suivant sur le gra|î!iîi|iii* îr> irmu ni 
/>>/é?m on voit que /z" va en croissanl ; e'esî le eiiiilmirr ipii arrive 
pour les traits en pointillé. 

La" distance entre deux bandes d'alisorptiiiii €«iisrrtili%-cs, 
est plus courte que la montée entre ces deux raies rtinseriitives. 
Cependant pour/; suflisanmient grand /i doit aller en tMiiiiiiiiant. 
car si y;- croit indéfiniment, nous nous IrtMivciiis en desstias tie la 
droite /z'- == i . Il en résulte cpie pour ^r = x ciiides exIriHiierneiit 
courtes) /^- est très voisin de l'unilé, ee «|iîi sigriiiie qu'il ii\- a 
pas de réfraction pour ces ondes-là. f,^iiei(|ii»/s |i«-i'si»îiiirs sr mimI 
appuyées sur ce résultat pour assimiler les rayuns Uii-'iil|4*'îi à des 
rayons de très courte longueur d'onde. 

^L H. Becquerel a obtenu ces courbes parla plM»tiigrapiîie .''U 

Faisons observer en passant que la théorie de Ilelîîiîiolz cciiidiiit 

à une formule tout a fait analogue à celle que nous avons trciavee. 

DISPERSION ÉLECTRIQUE ANOMALE 

399. — La dispersion électrique a été étudiée tout rt^eeîiîîneiit 
par ]\L Barbillion [-'. pour des ondes lierziennes de grande lon- 
gueur d'onde. Pour la plupart des corps la dispersion est hîîi»- 
niale : au lieu que ?i croisse au commencement, il deerciit, dt* 
sorte qu'on obtient comme commencement de coiirlie de disper- 
sion, la portion indiquée en pointillé sur la ligure ri-jiiiiile. 



Fi-. «5^. 



On peut se rendre compte de cette anomalie de îa inaîiiére 
suivante : Supposons que jj soit très petit : le second terme de 



('j H. Becquerel, C.B., 1S9S; iSdq. 

(2) L. Barbillion, Thèse de doctorat, 24 janvier iSt^j. 



5i2 piiÉyoMkyES lumineux dans les diélectriques 

la relation (i5) se réduit alors à 

a 
Pl ' 

Le terme qui correspond \\ la première asymptote est 



qui complété par le terme du au frottement devient, 



pt—ipl^o — F 



mais nous avons supposé p très petit ; p^ est donc négligeable 
par rapport à p;, et il reste alors 



Pl — ^P'^ ' 



donc 
Posons 



pl — ipb. 



r/,= 2/?ar. 



La relation (i6) devient alors. 



îù -—n-Ji-^ :5- 



en y supposant c très petit et en extrayant la racine carrée, il 
vient, 

c 



n^uAi -\ 



pl — ipb. 



La partie réelle de n sera donc, 

partie réelle de n = n 



<^Pl 



pl-\-p'l>i 

Quand p augmente, le dénominateur de cette expression aug- 



DISPEIlSm.X iJA.XS LES fliiSTAl'I 'ni 

mente aussî, par conséquent n criiiiinue : ce iiui «^^|ilii|iM. i,. 
spectre anomal observé. 

AOO. Remarque,- y^oiis avons dit pri'reilrîiîïiirni f|ii,. It..^ 
équations 

pouvaient s'interpréter en disant que 

Nous pouvons représenter la ch:)Si.^ saîi> inie aiiln* loriiie. 

Ecrivons les équatiî>ns symélri(|ue> de ia precéilcnlr : on imm 
alors le système, 

\ Y. - ,,. ^ Y 

— -A, /;-\ = ..+_. 



r; 



posons maintenant, 

^_Y X;+V; + /; x^-4-y^-z^ 

nos équations ^i j' signifient alors que l'expression siiivanlr 
e_^;^H^_-_y'X — -Y — /fZ 

est maximum, c'est-à-dire que sa dérivée par rapport à X^ «^^1 
nulle. 

401. Dispersion dans les cristaux. — I.a remarque (pie non- 
venons de faire sert a passer ii la dispersion dans les cristaux. 

Supposons, en effet, que nous ayons affaire à un ct^rps aniso- 
tropCj un cristal ortliorhombique par exemple, qui a trois 

PoiNCARÉ. Electricité et Op'.iiiîîe. -^'^ 



5i4 PHÉxXOMÈNES LUMINEUX DANS LES DIÉLECTRIQUES 

plans de symétrie rectangulaires. Prenons ces trois plans de 
symétrie pour plans des coordonnées et considérons la force qui 
ramène une molécule à sa position d'équilibre. Cette force, nous 
le savons déjà, est proportionnelle a l'écart et dans un corps 
isotrope elle ne dépend pas de la direction de cet écart. 
On a donc pour les trois composantes de cette force, 

^[^(y — z/o/S 

Dans les milieux anisotropes, on a, au contraire, 

il résulte de là que nous trouverons les mêmes équations, 
excepté pour l'équation en -~ et celle en — qui seront remplacées 

par des équations en — et en .™ . 

En ce qui concerne B et (■)', 6' conservera la même forme, 
mais 6 prendra la forme suivante, 



«=S-f(i 



XI , Y^ , n \ X-^ + Y^ + Z^ 



[ I / ^ X II 

Les équations (i^) subsisteront et signifieront encore que 



( 1 8) e ~pK^' — fX— gY — KL = 



maximum. 



et le calcul sera poursuivi comme précédemment. 

Si le cristal n'est pas orthorhombique, nous serons, par un 
calcul analogue, amenés à poser 



e=;^0. 



x^+Y-^ + z-^ 



0^ étant une forme quadratique en X^, Y,„ Z^, il faudra écrire 
encore que le premier membre de (i8) est maximum. 

Pour les corps orthorhombiques, si Técart a lieu suivant les 



DisPKHsiay D.i.v.N' LES cmsrÂtx ^iS 

axes des coordonnées, la iorei^ sera, rlle aussi, dirigée sui%iiîit 
ces axes, seulement le coelTicienl de prcipfirlîoîïîiîiîiié sera ilif- 
terent suivant que récart sera dirigé {Miraîlêlenieiit îi j\ |iaraî- 
lëlement à y ou parallèlement à z. 

Si on a un écart oblique par rapport âox axes des eoerderinérsi 
la direction de la force ne coïncidera plus avec la direction êe 
l'écart. 

On a donc dans le cristal trois directiiHis principales |»iiiss«iit 
de cette propriété que si Técart est dirige^ siiivanl Fiine de ces 
directions, les forces qui tendront à ramener la ïîi(il*»caîe à sa 
position d'équilibre, seront dirigées suivant la même dirertioii 
que l'écart. 

Pour un cristal qui n'est pas orlhorliombiqiie, cm troiiverail 
encore pour chaque espèce de particule trois dirccticiiis princi- 
pales qui seraient les axes de Feilipsoïde B^== i ; seuîenient ces 
j directions ne sont pas les mêmes pour les particules des éîffé- 

I rentes sortes, et par conséquent on ne peut plus prendre ees 

"^ directions, comme axes des coordonnées ; et k symétrie dis- 

paraît. 
i On voit donc que les résultats sont à peu près les mêmes que 

dans la théorie de Helmholtz. 



CHAPITRE VI 

PHÉNOMÈTsîES OPTIQUES DANS UN CORPS EN MOUVEMENT 



402. — Le plus important de ces phénomènes c'est Vaherra- 
tioii astronomique. Ce phénomène met en évidence le mouve- 
ment i*elatlf de Téther et du milieu pondérable qu'il pénètre. 
Rappelons en quelques mots en quoi il consiste. 

Dirigeons une lunette vers un astre quelconque : on aura 
rimage de cet astre dans le plan focal de cette lunette ; seule- 
ment, comme la vitesse de la lumière n'est pas infinie et comme 
la terre se meut par rapport à cet astre, cette image et l'astre 
lui-même ne seront plus dans la direction de l'axe optique de 
rinstriimeiit : l'angle de la position réelle de l'astre et de son 
image dans h\ lunette (angle qui peut aller jusqu'à 20") est préci- 
sément ce qu'on appelle l'aberration astronomique. 

On voit que ce phénomène ne pourrait exister s'il n'y avait pas 
de vitesse relative de la terre par rapport aux ondes lumineuses. 

Fresnel a montré que le mouvement de la terre n'a pas d'in- 
fluence sur la réflexion et la réfraction (^i. Il imagina Thypothèsc 
suivante : il suppose que dans les milieux réfringents autres que 
Pair et le vide, il y a entraînement partiel des ondes. Pour voir 
la valeur du coelfiGient de cet entraînement, appelons d^^ la den- 
sité de Téther et soit cZ la densité d'un milieu réfringent quelcoiî- 
que ; la fraction d'éther entraînée est d'après Fresnel 



d'autre part 



d-d„ __ ^ 


<h 




d 


'^„ ^'' 




d \i 





Cj Voir pour pins (Je délails, H. Poixcark, Tlieorie mathématique de la lumière, 
t. 1, p. 385, Ji' -^S."). 



V et Vo étant les vitesses «le prcipîig.iliiiïi des miâes thus les 
deux milieux de densité d^ et // ; m\ 

\y /r ' 

/i étant rindice de réfraction du milieu eoiisicléré; donc 

d — (L I 



d 



n 



c'est la valeur du coefficient dVnIraiiiemeiit d'éiprès Fresiiel. 

Ces vues théoriques de Fresnel ont été eimfiriiiées |Mir les c^xpé- 
riences de Fizeau.-ll mettait en évidence cet eïiii'jiîneiîîeiil par- 
tiel des ondes au moyen du déplacement des iVanj^es cFiiilerfé- 
rence qui avaient traversé de l'eau en mouvement vilrsse de 
j mètres par seconde.') De plus le déplacement des franges itviiil 
lieu tantôt à droite, tantôt à gauche, suivant le sens du moiive- 
nient de Teau. La valeur de ce déplacement comcicîait sensible- 
ment avec le résultat théorique de Fresnel. Ces mêmes expérien- 
ces répétées avec de Tair ont donné un résultat négatif, conloriiie 
encore aux vues théoriques de Fresnel. 

Ces expériences de Fizeau ont été reprises dans des comli- 
tions plus favorables par ^NDI. Michelson et Morleyi/ . Le dépla- 
cement de la frange centrale dans leurs expériences alieignail 
presque une frange entière 0,899 frange exactement . Les mêmes 
expériences répétées avec de Tair (vitesse de :i^ mètres par 
seconde) ont donné un résultat néi^atif. 



D 



403. — Depuis de nombreuses expériences ont été laites pour 
mettre en évidence le mouvement de la terre au moyeu des phé- 
nomènes optiques. Dans ces expériences la source iumineuse et 
tous les appareils optiques étant sur la terre avaient même vitesse 
et n'étaient pas en mouvement relatif les uns par rapport aux 
autres. Toutes ces expériences ont donné des résultais iiégatiîs. 

Il y a cependant une exception : ^L Fizeau a cru observer une 
influence du mouvement de la terre sur la rotation du plan de 
polarisation dans la réflexion vitreuse de la lumière polarisée. 



{') American Journal of Science; vol, XXXt, mai iSmî. 



I 5i8 PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS UN CORPS EN MOUVEMENT 

/ Mais ces expériences sont excessivement délicates et M. Fizeau 

m'a fait connaître lui-même les cloutes qu'il conservait à l'égard 
du résultat que nous venons de citer. 
,' On reconnaît facilement que pour qu'il n y ait pas d'influence 

1 du mouvement de la terre sur les phénomènes optiques, il faut, 

|/ d'après Fresnel, que le coefficient d'entraînement ait pour valeur 

û , 

ll> Mais qu'est-ce que/z? Est-ce l'indice de réfraction corespondant 

f h chaque couleur ou bien VùicUce moijenl — > Pour Fresnel, n 

|. est l'indice de réfraction moyen : pour lui la vitesse d'entraîne- 

*l* ment de l'éther est indépendante de la longueur d'onde de la 

' lumièi^e. Or en réalité n n'est pas une constante ; il dépend de la 

couleur du rayon lumineux et n'est pas le même pour un rayon 

ordinaire et un rayon extraordinaire dans un milieu biréfringent. 

/i L'hypothèse de Fresnel demande donc à être modifiée. 

? 404. — Lathéorie de Lorentz, comme nous allons le voir, expli- 

que assez bien ces faits. Il faut cependant faire une hypothèse : 

l Si on (peut que les phénomènes optiques ne soient pas influencés 

par le mouç^ement de la terre il faut qu'on néglige dans les for^ 
mules les tenues de Tordre du carré de r aberration (c'est-à-dire 

de Tordre de — r 1 • 

10^ / 

Si l'on tient compte, au contraircf de ces termes, le mouvement 
delà terre exerce alors son infkience sur les phénomènes optiques. 

Dans presque toutes les expériences, ces termes sont en effet 
négligeables; il y a exception toutefois pour une expérience de 
Michelson, qui montre que le mouvement de la terre n'a pas d'in- 
fluence sur les phénomènes optiques qu'on observe à sa surface 
et où il se trouve que les termes de l'ordre du carré de ra])er- 
ration ne sont plus négligeables. 

Voyons maintenant comment la théorie de Lorentz expll(|ue ces 
phénomènes. 

405. Explication de ces phénomènes par la théorie de 
Lorentz. — Nous nous proposons de démontrer que si on néglige 



EXPUCATIOS DE CES PHKyOMÊXES PAU LA TiKùMH: iàF lùiif M/ Vi^i 
les termes de Tordre du carrp de raliernilitiii h nif^llirirïîl il'*-»- 
traînement des ondes est i . 

Supposons que nous rapportions le syst^oir k drs axi-s îiiolii- 
les, entraînés dans le mouvement de ht lerre; ariiîîif»;^ par rwisr- 
quent d'un mouvement de translation iinilornie dont, h» ciinî|Mi- 
santes sont ç, r,, Ç. 

Appelons j:, y, z les coordonnées d'un point, prises par rapport 
aux axes fixes et .r, y\ z les coordonnées de ce iiième jMiiiil. pri- 
ses par rapport aux axes mobiles. 

On a comme relation entre ces deux catégories de eocirdiiiiîîées, 

Xous continuerons à désigner par -y (avec des â ordinaires) les 

dérivées prises par rapport au temps en supposant le point (.r, 
?/, z) fixe, — ce seront les dérivées correspondant au moiiveinent 

absolu du point — , et par -^ (avec des d ronds) les dérivées pri- 
ses par rapport au temps, mais en supposant que le point x, f , 
.::) est entraîné dans le mouvemenî de la terre : ce seront les déri- 
vées correspondant au mouvement relatif do point en question. 
Rappelons-nous que dans ce dernier cas on a 

D cl ^ d d ^ d 



I - 



(\[ dt ^ d.v ■ ' dy ' ' dz 

Cela posé, supposons que nous ayons, comme précédemment. 
(a) x=X/^'-^^^-^ . 

En prenant comme variables j.\ y\ z\ nous aurons de même 
(//: X = X/^'' ."■^'^'^~^', 

et en identifiant les deux exposants il vient, 

p (nz \ %—l] =// ^n'z' \ K, — t\. ^ 



520 PHESOMÈNES OPTIQUES DANS UN CORPS EN MOUVEMENT 

d'où 

— représentera alors la période vibratoire du mouvement et 

— représentera la période relative d'une vibration telle qu'elle 

P' 

apparaîtrait à un observateur entraîné dans le mouvement de la 

terre. Le principe de Fizeau nous apprend, en effet, que quand 

un observateur vient au-devant de l'onde la période vibratoire lui 

semble raccourcie et ciu'elle lui semble augmentée au contraire, 

quand il marche dans le même sens que l'onde. 

Cela posé, des équations [a] et [h] on tire, 

H # = -"-^. 

M ^''<'"^- 

406. — Rappelons maintenant les équations que nous avons 

trouvées pour un corps en repos et pour les corps en mouvement. 

Pour les corps en repos nous avons trouvé (formules 1 1, p. 5o8) 



\. 



d-'^. . Y 






=/■+■ 


X 

"3 ' 


= é.'-+ 


Y 


==/' + 


z 

6 



- \ ■' df ^ L, 

Pour les corps en mouvement il convient d'ajoulei' un terme 
complémentaire aux seconds membres des équations précédentes, 

- t^"X„ , X, ^ X K„ , 

•l~T- y -\ 



i^^Y„ , Y„ , Y . K„ 



_^=_<.+ _- + _i :a 






CQ 



"^+Tr='' + T-^-4r^^'^ 



EXPLICATroy DE CES PHÊXOMÏiXEs PAR £„î î'ÏIIJCillII* BE iJJiîEXÏ'I tji 

T écris ici la dèriçèe par rapporî an iemps ^ret des è mnJg^ 
Rappelons-nous, eu efîet, cciîmiieiit «iius avtnis «liîmii ct'lti* 
équation. 

Nous sommes partis de réquation de rrt|iiiliîjre iriîiie |iartiriiît* 

^,^ + .,._., =4;-+ 4.- J^ ,,.;,,]. 

et nous avons fait la somme de ces éc.|iîalio!is par rapport aux 
particules de K" sorte, comprises dans le voliinie !)-:; nous uroiis 
ainsi trouvé, 

Si e est une constante et si le mouvement di' la pîtrliiHile est 
uniforme, nous avons vu que 



dt- 



> e —j-r = \ -7-7 ^ -t* -— '^'n = i^~ ~T7" 



Mais la dernière dérivée par rapport au temps est-elle prise 
par rapport au mouvement relatif ou bien par rapport au iîîou- 

vement absolu? Remarquons à cet eflel que le signe ^ s rteod 

toujours au même élément de volume Dt, et comme cette parti- 
cule Dt , est entraînée dans le mouvement de la matière, c est la 
dérivée avec des ù ronds qu'il faut considérer. 
C'est ce que nous voulions montrer. 

407. — Nous avons encore comme équations p. 41)6, èq. iH. 

, dt ^ dt dz ■ dij 

ds; dX . d ,,.. ^. , '/ 






YH-Xr- ^ Zr,-ï:. 



dt '^ dt ^ d.r - ^ " '• dz 



__ dh dZ . ji_ ■/. _ Y^ iL X" — '/'- 

'''^If^W^ d,j ■ ''' ~ dx ■' ^ 






5!2'i PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS UN CORPS EN MOUVEMENT 

Ici nous n avons plus de raison cFccrire les dérivées avec des 
(S ronds. 

Nous avons ensuite, 



(^} 



(4) 



dF' = 

h- 




~ dt)' 


-4^(»'- 


dt)' 


-4^(.v- 


dh\ 
dt )' 






fi* 


Ko 




■fi* 


4?: 


dt 


■ :i- i .- 



La première question qui se pose est celle de savoir si 

c'est-à-dire si les vibrations sont transversales. La réponse est 
négative : l'expression précédente n'est plus nulle dans le cas 
actuel (mouvement de translation) mais il est évident qu'étant 
nulle dans le cas des corps en repos, dans les corps en mouve- 
ment elle est très petite, de r ordre de V aberration. 

408. — Supposons maintenant que nous ayons alïaire à des 
ondes planes; nos formules vont se simplifier; et si on suppose 
de plus que le plan de Tonde est perpendiculaire à l'axe des c, 
nos fonctions ne dépendrons que de z et de t. 

La première relation (s») devient alors, 

,'. /. X df dX ^ dX . dZ 

^^'"^ "—ir+-dr-^--^-'77- 

La première relation (4) se simplifie aussi ; elle devient, 

(4 bis) □/■=_i.^ □];■/_ 

4^ dt 



EXPUCATION DE CES PliÉNOMÈyES P.iit LA TilÉOUm DE iJiÊEXTd ^il 

De plus, notre expression 



qui se réduit ici à 



Sî 






dz 



est de Tordre de laberration ; or ;, 7,, ^ étant, eux aussi, âe ftir- 
dre de Taberration, Texpression 



dl 

77 



sera de Tordre du carré de Taberralioii : nous iié<fTi«er«îis titiîir 
ce terme dans l'expression [ibis], conrorniémcnt h luitrc hvpo- 
fhèse. Cette relation devient alors, 



'2 ter) 



(If dX 



ili 



dt 



^ d\ 
■' dz 



D'autre part, développons l'expression 4 ^'■''' : <^1!*? """* donne 



^ -/'- '^ dl- 4- 



dz' 



di 



et en remplaçant uF' par sa valeur 3 



d-r 



dY _ 



dzr 



" ,/l' 



K.^i" 



dt 



ou encore, en tenant compte de (2 ter 

a'-X 






de 



'"^ dzdt 



409. — Evaluons séparément chaque terme de celte relaiion et 
pour simplifier supposons que la lumière soit monochronia!i<iui-. 
autrement dit supposons que toutes nos fonctions contiennent en 

facteur e'^!'"^'"^-". 



Il 5'2Î PÎIÉSOMEXES OPTIÛVES DAXS UX CORPS EX MOUVEMEXT 

i 

I Nous aurons alors 

I rv 

D'autre part (n" 393, p. 5o4) 

La relation (4 ter) devient donc, 

ou finalement, 

(5) (/z^— i)/=:X(i —^^nsJK;). 

410. — Transformons maintenant les équations (i). 
Dans le cas d'un corps en repos la première équation (e) nous 
donnait 






X: 

tPΗP' 



dans le cas d'un corps en mouvement elle doit être remplacée 
par l'équation (t) qui en diffère pour deux raisons; d'abord/' 
est remplacé par 

/'+|^(■^T-î;?)• 

Ensuite la dérivée — -^ est remplacée par ,' ' -■ . Il faut donc 

dans la formule précédente remplacer /^'par /'-j ['^r{ — ^?) 

et p par />' ce qui donne : 



KxrucAiîox DE CES iw^xoMEyEs pjn £j iwmm: de imui^m^ 5.; 
Evaluons la quantUé c|ii'î fi^mn. d;m<, h iKirniîIirse iliî t^wiiiiî 
membre en négligeant les termes île F.irtlre ilu r;,rrf* tir ralit^rni- 
lion. 

Pour les corps en repc^s nous avions - -= ik 
D'antre part 



47://, 



(il/ iiz 



qui devient en y faisant ^ = 



ou encore, 



(.roii 



4^.„ =. _ <1 






il 



or, pour les corps en repos, 

(/r-,7-=X, 

(\\m 

et par consé(|uent 

de sorte ([ue nous avons en définitive 

' \ K. 

ces équations ne sont vraies, je le répète, qu'en supposant qoll 
n'y a pas de mouvement ; elles sont donc vraies aux lermes près 
(le Tordre de Taberration. 
On a donc 

y^Y = O, 



^■26 PUKXOMKXES OPTIQUES DANS VN CORPS EX MOUYEMEXT 

qui sont vraies aux termes près de l'ordre du carré de l'nberr-, 
tion, que nous sommes convenus de négliger. 
11 vient donc pour un corps en moucement, 

ou enfin, 
En multipliant les relations (5) et (7) membre à membre, il 



vient, 



ou encore, 



de sorte que (8) peut s'écrire, 



n- — I 

ni 



ou encore 

(9) 'i' — n 



'<■ — ni 

U ;i;:ss?'d.:l:":;"T ""^' '^ ^°^'''^^^"* crentminement. 
.stione" ""'"' '•'^'""^-^^ «"'- q- le corps en 



question est 



I 



EXPUCATIOS DE CES PIlEXOMÈyES PAU Li TUmRiE BE lOMEXil rj; 
La vitesse dans le ecirps en nmiiveîiîeiîl ej;! 

I 



S'il n'y avait pas d'entraineinenl nous auriiiris, 
I I 

s'il y avait entraînement total des ondes, nous aiiriiMîs, 



^'V'ï^ii ^^A ^. 



et enfin s'il y a entraînement partiel des ondes, avec le enetlrit'îil 
£, nous avons 

I I . ^ 



Nous tirons de là, 

__!_ ___!__ ; _^^^^^ ^^ 

et comme la différence entre n et /?,, est de Tordre de Faberra- 
tion 

— = —;!+ Zm \ ''K: , 
n n.^ 

d'où, 

ou, en négligeant les termes de l'ordre de Z\ 

d'où 

/r — n'i ^ — 

^ = — 2^c/i\ k,, 

et enfin 



5iS PIIÉWOMÈyES OPTIQUES DAXS UX CORPS EN MOUVEMENT 

or cVaprès (i i) 



donc 



I r 

ni 71^ 



I ' ■ C. Q. F. D. 

I 

|. Ceci, en négligeant les termes de Tordre du carré de Taber- 

I ration, car, avons-nous dit, la différence entre n et n^ est de Tor- 

f * dre de l'aberration. 

f Nous voyons donc que la valeur de n qui figure dans l'cxpres- 

I sion du coefficient d'entraînement ne représente pas l'indice de 

I . réfraction moyen comme les vues primitives de Fresnel le feraient 

J prévoir, mais qu'il dépend de la couleur considérée et n'est pas 

)l le même pour un rayon ordinaire ou pour un rayon extraordi- 

I ' naire. 

I ' La théorie de Lorentz explique donc très bien ce fait paradoxal 

I que rexpérience nous avait conduits à admettre, mais qui sem- 

I blait d'abord difficilement conciliablc avec les idées de Fresnel. 

* Précisons davantao;e le sens de cette formule. 

I 

— ?:= représente la^ vitesse absolue de translation de Tonde; 



' 7=:- représente la vitesse avec laffuelle se propao-erait Tonde si 

^^oVX i i 1 O 

la terre était en repos et si la période du mouvement vibratoire 
était relative, en tenant compte du principe de Doppler-Fizeau. I.e 

dernier terme U i j- J représente le produit de la vitesse 

d'entraînement t par le facteur! i :;- j , /i se rapportant à la 

couleur considérée. 

412. — Nous allons maintenant démontrer un théorème plus 
général. 

Théorème, Le mouvement de la terre ninjl.ue pas sur les phé- 
nomènes optiques si on néglige les carrés de q, */i, t^. 

Démonstration. — Pour démontrer ce théorème rappelons les 



TIIEOIIKME Vj«, 



équations qui nous ont servi à expliquer les phénoniJ-nes opiiques. 
Ce sont. 



i^) 



(4) 



*:) 



X 


=Z 


X.; 




v.Vv. 


z=y/. 




1 




+ 


X. 


-z'-^- 




» 


' \ 




+ - 


Y. 


=.+^. 


4^ ^''='~^" 


» 


>.. 




+ - 




--4^ 


■4" 


: 




1 


dt 


==- 


4:: (dh 








dt 


= - 


4^ / df 

K \ dz 


d/t\ 

d.r)' 






\ 


d'.; 
de 


d" 


4- fdi,' 


df). 

dy) ' 








\ 


<'/ 


./; = ^^ 


//, 








dy. 


,/.. 










1 


dz- 


</.; =^"' 


'- 








<^ 


(/a 












d.v 


'/i. = ^^ 


r: 




f = 


'^' 1 


dl 


■ + 




^^^■^- 


Xv. . 


= 




</Y 


+ 


cLv 


-;:'- 


vr, 


v = 




dZ 
dl 


+ - 


dl/ ■ 




Z-: ; 



h-dl--'' 
PoiNCARt:. Électricité et Optique. 



53o PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS CN CORPS EN MOUVEMENT 

Faisons le changement de variable suivant, posons, 

K„ 



I . /w+^(v:'-^p: 



I ^ (8) ■h'-'=é'-+|r(^--?T). 

il ;.' 4"- 

I !! i *' = a — 4- (■>'yt — Ci,'') 7 

I r (9) ?'=p.-4^(ç/--?A), 

I ,, et prenons comme variables x' , y\ z\ //, définies par, 

I 

I (II) . ^^=:=^— K.y^^i. 

f 

1 Disons deux mots sur la nouvelle variable i' : c'est ce que 

] Lorentz appelle le temps local. En un point donné t et t' ne diiïè- 

reront que par une constante, t' représentera donc toujours le 

[ temps mais l'origine des temps étant différente aux diflerents 

points: cela justifie sa dénomination. 

Quelle est l'ordre de grandeur de ce temps local? Considérons 
à cet effet deux horloges situées a i kilomètre de distance l'une de 
Fiiutre et entraînées dans le mouvement de la terre. D'après la 
définition du temps local de Lorentz il y aurait une difierence 

dans les indications de ces horloges de-rr— r-secondes. 

Dans les calculs qui vont suivre je négligerai constamment les 
carrés de ç, r,, ^. 

Des relations (lo) et (ii) je tire, 



:^' + Iv 



o2j '^^' 






TëUPS WCM. UI: I.OHEM/. 



d'où 



dl 

Jl. 

dx 

A. 

dz. 






dl 
dx 



.V 



II.- : <^ 



1-1 = 
f dy 



d d 

'lî^-^^'^-dï- 



En faisant ce changement de variable, les équations fondamen- 
tales que nous avons transcrites ci-dessus (p. 329 devieiinenl, 



X 



=Yx. 



"Tï.; z=Y/... 






K 



dt" 

df- 
dl'' 



d^' 



dl' 

dV 



dl' 



Y. 



^1 = o'-U — 



3 ' 
Y 






z 

1" 



4- /^/A' du' 



[dit dg 

4- /^//' c//^ 



/_„^\ 

K. V dz dx' ) 



dt' K, V^^-i'" <y/' 



et en posant. 



,_ df _^ ^ 



dl_ 
dl' 



dl' ' 

il 
dl" 



dh'. d'L 
'' dt' "^ dl' ' 



f'' 



53a PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS UN CORPS EN MOUVEMENT 

il vient, 



dy' 
da! 



dr' 



dz' 
d^ 



dx' 
d^ 






dx' dij 
Z dx' ^Z dx' ~ ""' 

^ dx' 

On obtient donc les mêmes équations que dans le cas du repos 
à cela près que les lettres sont accentuées dans le cas actuel. 

Quelles conclusions pourrions-nous tirer de là? Que va voir 
un observateur entraîné dans le mouvement de la terre? D'abord^ 
nous savons que dans les expériences d'optique les mesures les 
plus précises sont celles de position: la position d'une frange 
d'interférence par rapport h une autre, etc. ; on constate par con- 
séquent qu'en certains points on a de la lumière et qu'en d'au- 
tres points on a de l'obscurité. Aux endroits oii il n'y a pas de 
lumière c'est que /, ^', A; a, [3, y, s'annulent à la fois; or ol', [3\ 
T^ fi é'^ ^^^ s'annulent en même temps que a, j3, v; f\ g, h : les 
phénomènes observés seront donc les mêmes, que le déplace- 
ment électrique soit f^ g, h ou f'^ g', h' , ou que la force magné- 
tique soit a, p, y, ou a', fJ, y'. Or x', y', z' , sont les coordonnées 
prises par rapport aux axes mobiles (qui suivent le mouvement 
de la terre) par conséquent la conclusion précédente revient à 
dire que les phénomènes optiques sont les mêmes que si les coor- 
données étaient .r, y, z : que si la terre était en repos. 

En ce qui concerne la différence de temps local, cette diffé- 
rence est trop faible 



TT- ^secondes par kilomètre de distance 

pour être appréciée. Les phénomènes optiques ne permettent 
donc pas de déceler le mouvement de la terre (en négligeant les 
carrés de ç, yj, 'Ç). On pourra combiner de toutes les manières 
possibles les phénomènes dé réflexion vitreuse, polarisation, etc. ; 



REMARQl'ES îîî 

on n'aura rien. C'est qu'en effet Jans nos équalicHis «crus n'iiTcins 
nullement supposé que nous avions iiilaire k iiii iiiiîicni lioiîici- 
gène. 

413. — On pourrait faire une objection a la etiBelusittii que 
nous venons de faire : on pourrait dire que si îa position des 
franges n'est pas modifiée, il ne résulte pas de là que leiir iateii- 
sité ne le soit pas ; et si Ton pouvait mesurer cette variât ioii crinteiî- 
site on aurait un moyen pour déceler le mouvenienl de îa terre 
par des phénomènes optiques. Mais nous allons voir qu'il n'en 
est rien : il y a impossibilité matérielle de mesurer «ne pareille 
variation d'intensité. 

Voyons eela. 

L'intensité lumineuse est proportionnelle a l'énergie électrique 
ou magnétique et l'énergie électrique localisée dans un élément 
de Dt, rapportée à l'unité de volume, a pour expression, 

K Zj^ * 
Eh bien, comparons cette expression à la suivante, 

En remplaçant /' par sa valeur et en négligeant les carrés de 
;,r., :, il vient, 

. »- V . 

■ C T w 

K /j / Iv Zj ' ' 

D\'iutre part, l'énergie magnétique rapportée à Tunîté de volume 
a pour expression, 



8.^" 



comparons 



-là h 



é \ 









î 



534 PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS UN CORPS EN MOUVEMENT 

. Cette dernière expression a pour valeur 



a p y 



/• 



Comparons doncles trois quantités suivantes, 



2- 

K„ 






ç '^i 


S 


a p 


r 


/■ è' 


// 



Si les ondes sont planes on trouve aisément que ces trois quan- 
tités sont entre elles comme, 



I 



COS CD 



lOOOO 



('^ étant l'angle de la vitesse de la matière et de la direction 
de propagation de l'onde). 

Qu'est-ce qu'il résulte de là? C'est que le terme complémen- 
taire. 



f 



h 



est très petit ; le rapport de ce terme à l'intensité totale sera une 
très faible fraction de l'intensité totale. Ce serait au plus ^ 



to 000 



de l'intensité totale. Or, on est absolument dans l'impossibilité 
de mesurer une intensité lumineuse à — 



000 



près ; si on photo- 
graphie les franges d'interférence, on ne peut pas apprécier sur 
la plaque photographique, d'un point à l'autre, une différence 

d'intensité de ; on voit par conséquent que cette variation 

d'intensité lumineuse prévue par les considérations précédentes, 
n'est pas abordable expérimentalement. 



414. — Remarquons cependant que les considérations précé- 



liEMAm^VES %i% 

dentés supposent que les (lUffes st»iit'|-ilaiirs. En griirral li^s ciiitir* 
employées en optique sont planes. Je iir r«iiiiais i|iir Feipr- 
rience cUOtto Wiener!./) où les ondi^s iie Simnil pas tuyt ;i iaiî 
planes. M. Wiener fait interférer deux «miles ii nm^y «irtiit; il 
obtient des franges excessivement fines ^'eiivirtm 4 p;ir iîiiiliriiie 
de millimètre). Dans ces conditions on n'a plus alairt* à des 

ondes planes et -j^ y ^p peut alors s'aniîuîer sans ipir le terwie 
complémentaire (le déterminant ci-dessiisj s'annule en niêitie 
temps, par conséquent sans (|ue -^ 7* f' s'aiiriiile; les fraiiges 
pourraient donc être déplacées par le jiKiiivement de la lierre il** 



I 



• de leur valeur.: un pareil déplacement est tout a fait inap- 
1000 ^ ^ * 

préciable ; on est déjà très content de pouvoir voir ces franges, 

mais on ne peut chercher à mesurer un déplacement c|iii ne 

dépasse pas de leur largeur (qui est elle-mt^nie cîe~7€ie 

millième de millimètre) ; ce serait peine perdue. 

415. — La différence provenant du temps local ne peut pas 
non plus être mise en évidence. Nous avons vu, en eiîeî, tjoe d'a- 
près Lorentz la différence entre le temps vrai et le temps local 

pour I kilomètre de distance est de-rj ~ secondes, i'e temps 

est sulîisamment long, il est vrai, par rapport à une période vibra- 
toire, et par conséquent il paraîtrait pouvoir être mis en évidence 
par les interférences, seulement il faut se rappeler c|ii*on ne peut 
pas observer directement les différences de phase entre deux 
vibrations se produisant en deux poinls lUjJèrenls. 

Les phénomènes optiques ne peuvent donc pas être aiiêrês par 
le mouç^enient de la terre. 

416. — Sous ce rapport, la théorie de Lorentz est parfaitement 
d^iccord avec Vexpérience. Mais M. Michelson a fait interférer 



(^;, Otto Wiener. Wieti. Ann., t. XL. 



t H 



'i i 

I " I 536 PHÉNOMÈNES OPTIQUES DANS UN CORPS EN MOUVEMENT 

\ I deux rayons lamineax dans les conditions suivantes : le premier 

l I subissait une réflexion sur une glace sans tain placée dans l'azi- 

l^ I mutli 45°, puis une réflexion sur un miroir dans l'azimuth 90°; et 

I I traversait ensuite la glace sans tain par transmission ; le second 

I l rayon traversait d'abord cette même glace et subissait ensuite 

une réflexion sur un miroir dans l'azimuth o^ puis une réflexion 
sur la glace sans tain. 

Dans les conditions de l'expérience, les termes de l'ordre du 
carré de l'aberration auraient du devenir sensibles et cependant 
le résultat a encore été négatif. La théorie de Lorentz comme 
1 , 1 toutes les autres théories optiques faisait prévoir un résultat posi- 

tif. ■ 
fi On a alors imaginé une hypothèse supplémentaire. Tous les 

I f corps subiraient dans le sens du mouvement de la terre un rac- 

7 ') I 

I : courcissement de 5- de leur longueur. 

I 'l 2x10^ ^ 

I l Cette étrange propriété semblerait un véritable « coup de 

J î, pouce » donné par la nature pour évltisr que le mouvement 

I \ absolu de la terre puisse être révélé par les phénomènes optiques. 

I I Cela ne saurait me satisfaire et je crois devoir dire ici mon sen- 

^ ' timent : je regarde comme très probable que les phénomènes 

\ optiques ne dépendent que des mouvements relatifs des corps 

; matériels en présence, sources lumineuses ou appareils optiques 

et cela non pas aux cpiantités près de V ordre du carré ou du cube 
de Vaherration^ mais rigoureusement, A mesure que les expérien- 
ces deviendront plus exactes, ce principe sera vérifié avec plus de 
précision. 

Faudra- 1- il un nouveau coup de pouce ^ une hypothèse nouvelle, 
a chaque approximation? Evidemment non: une théorie bien 
faite devrait permettre de démontrer le principe d'un seul coup 
dans toute sa rigueur. La théorie de Lorentz ne le fait pas encore. 
De toutes celles qui ont été proposées, c'est elle qui est le plus 
près de le faire. On peut donc espérer de la rendre parfaitement 
satisfaisante sous ce rapport sans la modifier trop profondément. 



CHAPITRE VII 

INFLUENCE DU MOUVEMENT DE LA TERRE SUR LES 
PHÉNOMÈNES ÉLECTRIQUES PROPREMENT DITS 



417. — Voyons maintenant ce qui concerne les phéiitiniriies 
électriques proprement dits qui ont pour siège les condiieieurs. 

Quelles sont les équations fondamentales de Lorentz dans ce 
cas ? Remarquons d'abord qu'avant affaire à des conducteurs ©a 
n'a plus de polarisation et que par conséquent Féqualion en !& 
doit être remplacée par l'équation qui exprime la loi d'Ohm, à 



^^î=-K c^+ .^^ — -;. 

4'*'' 7 , •*■ o 



X étant la résistance spéciiique. 
Quant aux autres équations, on a 



dt ~" K^ \ dij d 
d'^ 4^ idf dh 



&)■ 



(// K„ \ dz d.t 



^0 



d^ ^iiE_'If\ . 

dt^ K, U.r dij]' 



538 LWLUENCE DU MOUVEMENT DE LA TERRE 

) //a (fy 

f # f/a 

df 

Vl dy. 

2udF^°- 

I doI_ dy' 

f d^ __ do.' 
en posant ' ^^' ^==^™^'' 

I dt' +/'' 

dt'~^''^ 



, df^ (W ,w 

^" 7/7' 7/7"' "^/TT î^^Pî't'seiîteiil le eoiiveaii ciiiiraiil clr liéplae-r- 

ment et (;;, (j, r) le courant de cciiidiiciitui. 

Quant au frroupe (i; d'équations (muhmemiihs de Ltirrnu, 
il devient 



Posons encore 



ou 



S^' 



il vient alors 



r 






î/' ^ 


k r* 


K.V=,,, 


i> = i/' - 


- 'f// -T" >; 








= 0. 



418. — On trouve donc les mêmes équations que si îa terre 
était en repos; à cela près que les lettres non accentuées sont 
remplacées par les mêmes lettres accentuées. ÎI n'y a qu'un petit 
changement : en ce qui concerne p, qui est remplacé par 

Voyons alors si ce changement de la densité éleeîric|iie a init* 
influence sur les phénomènes électrostatiques. 

Remarquons d'abord que le principe de la conservaiion de l'élec- 
tricité n'est pas altéré par ce changement de z. Nous avons vu. en 
eflet que les équations fondamentales de Lorentz sont compatililes 
avec ce principe et comme les équations que nous venons d'obtenir, 
en supposant la terre en mouvement, gardent la même lornie que 
celles pour le cas où elle est en repos, il en résulte qu'elles sercmî 
encore compatibles avec le principe de la conservation de 1 élec- 
tricité. 

419. — ;\{ais on pourrait se demander si ce changement de 
p n'aurait pas d'influence au point de vue des effets mécaniques 
que l'on observe. 



J 



54o 



INFLUENCE DU MOUVEMENT DE LA TERRE 



Pour voir cela, considérons un conducteur parcourn 
courant pernaanent et évaluons les forces auxaue les Tl 1^'' "" 
mis en les rapportant à l'unité de volume. ' '""" 

Ce conducteur sera soumis : 

I" A la force électrostatique 



K 



■/; 



-thU^t.s::t:;rci^^^^ ^- ^ ^'-ion 

exerce son action sur le coumnt T j ^ '"''^°^%"e 

le courant de convecti on J; oiro^*"" P^' ^^' "^ " '"^• 
action électrodynamique ' ^' '"''' ''^"^ P^"^ ««^^te 

on aura donc en tout, 
4^ „ 

qui peut encore s'écrire 
4r. 



(0 






ceci si la terre était en repos. 
^»ns le cas du mouvement on a 



co.xDccirms 4|, 

(2) p ~—rr ^,-7. ~p- , 

Evaluons le surcroît d'effort, c'est-à-dire faîsciiis la dilTéreacc 
des deux efforts (i) et (a) ; il vient, en se rappelant c|ae 



\... 






or 
donc 



/,' = /, -4- -^ H'i — ï,a\ 
4~o / V-- + '' • * — ^^ — 1' .". — V • 



ou encore, en se rappelant qne 



. 4^; (//^ + ^'v + /"•: = 4^i^//'. 

4-r, (//; + -y -f- /ir = i~r, ^Jp, 
4-: (//; + i,vy + An = 4-^y//'- 



ê 



54-i INFLUENCE DU MOUVEMENT DE LA TERRE 

Or nous avons en désignant par P, Q, R les composantes de 
la force électrique 

K '' 






donC;, 



\ 4T.r^^fp=K-r,^Pp, 



Quelle est la signification de\Py;? Nous avons vu antérieure- 
ment (p. 36i) en parlant de la théorie de Hertz, que y Ppck re- 
présentait la chaleur de Joule produite dans l'élément de volume d-z 
pendant l'unité de temps si dans cet élément de volume il n'y a 
pas de cause produisant de Ténergie électrochimique ou thermo- 
électrique (efiFet Peltier, etc.) ('). 

Par conséquent si nous considérons un circuit parcouru par 
un courant permanent, la chaleur de Joule dépensée dans ce 
circuit est égale à l'énergie produite par la pile. Par conséquent 

rintégrale / P/; étendue à tout le circuit est nulle : l'intégrale de 

la force supplémentaire étendue à tout le conducteur, ou ce qui 
revient au même, à tout l'espace, est identiquement nulle. 

La force complémentaire ne donne donc pas de résultante de 
translation : elle se réduit au plus à un couple. 

M. Lorentz dans son mémoire de i895(-) arrive au contraire à 



(*) Dans ce dernier cas il faudrait défaquer de l'expression ci-dessus cette 
é;ierg-îe électrique due aux phénomènes thermo-électriques, etc. 

(-) LoREMTZ. Versuch einer Théorie in bewegten Korpern, Leiden, 1895. 



coyDrcTEiiis i|i 

dire que cette force compléaienlairf clii premier iiriire ii\*xi*»lt* 
pas. Nous avons vu pourtant que Faiialyse qui préeècle iî©iis fa 
montrée assez facilement. 

420. — Pour nous faire une idée claire de îa grandeur tit* 
cette force citons un exemple numérique de M. iiénard ,^^ \ 

M. Liénard considère une dynamo de loo poiicclets -^.= €1$ kilo- 
watts et il suppose que sa résistance extérieure est égale ii sa 
résistance intérieure. 

L'équivalent mécanique de la chaleur dégagée par ser©!ick 
dans le circuit extérieur sera, 

— loo X 100 kgiii. 

La force supplémentaire exercée sur le circuit extérieur, ci» 
les forces électromotrices sont nulles, aura pour valeur, 

Ki — loox loo; 

2 

or .-y j=_ _2_ _ 

^\'^ ~ yi ~~ V • V 

-i- le rapport de la vitesse de la terre â celle de la lumière est 

écral à I0-' et Y la vitesse de la lumière est égale ii 3X1^^"- eii 
prenant pour unité de longueur le mètre. 
On obtient donc 

l^o^ — i^^Xï^^— 3xio« 2 6Xîo^ ^ bov 

cVst-a-dlre une force tout a fait négligeable. 

En résumé on voit donc que dans le cas de phénomènes élec- 
trostatiques, bien qu'il y ait des termes du premier ordre, il n y a 
pas d^actionqui puisse être mise en évidence expérimentalement. 

La théorie de Lorentz reste donc compatible avec les faits 
expérimentaux. 



{') Eclairage électrique, t. XYI, p. 324. 



CHAPITRE VIII 

POLARISATION ROTATOIRE MAGNÉTIQUE ET PHÉNOMÈNE 

DE ZEEMAN 



421. — Rappelons en quelques mots en quoi consistent ces 
phénomènes. 

Faraday a montré que certains corps, lorsqu'ils sont placés 
dans un champ magnétique intense et qu'ils sont traveji'sés par 
un rayon de lumière polarisée, ontia profÇieté'dà'-faire'tourner 
le plan de polarisation de ce rayon de. lunmre quand le champ 
magnétique est parallèle au rayon p<^larisé considéré. Si le 
champ est perpendiculaire au rayon poliirisé on n'observe rien de 
particulier ; enfin si le champ est oblique on a une action qui est 
provoquée par la composante du champ parallèle au rayon, 
l'autre composante n'ayant pas d'influejice : on obtient donc le 
même résultat que si la composante du champ parallèle au rayon 
existait toute seule. 

L'explication cinématique de ce phénomène est la suivante : 
il faut et il suffit que la vitesse de propagation du rayon circu- 
laire droit soit différente de la vitesse de propagation du rayon 
circulaire gauche. 

M. Lorentz en appliquant sa théorie a cet ordre de phéno- 
mènes a prévu des résultats nouveaux qui ont été vérifiés expéri- 
mentalement par^I. Zeeman. Résumons ces résultats : 

i*^ Lorsque le champ magnétique est parallèle au rayon, chaque 
raie se dédouble en deux autres raies polarisées. La polarisation 
sera totale et circulaire droite pour une des raies et tolale et 
circulaire gauche pour l'autre raie. 

2^ Si le champ magnétique est perpendiculaire au rayon, ou 
obtient un triplel ; les trois raies sont polarisées mais cette fois-ci 
reciiligîieme7it; le plan de polarisation de la raie médiane est per- 



PHK.XOMEXE DE ZEEMAS Sli 

pendiculaire au champ; le plan de polarisîtlioii cl«,?s clt-iix aiilres 
raies symétriques de la raie mtkliaiie est parallèle nu rliarnî». 

Voilà les découvertes expérimeiitaîes de Zeemyii. 

]\Ials avant d'aller plus loin faisons remar(|iier ipie h^ pliénci- 
mène de Faraday et les phénomènes de Zeeiiiaii stiril riitirn-ineiit 
différents Tun de l'autre quant à Tactioii du cbanip ïii:igîiéli«|iie 
sur les ondes lumineuses. Dans le premier phéiioiiièiit» faeliiiiî 
du champ magnétique s'exerce, en efief, sur la vitesse de propa- 
gation des ondes lumineuses ayant déj-à acquis leur régiiiie per- 
manent ; dans le phénomène de Zeemaii Faclioii du eiiaiiip magné- 
tique sur la source de lumière, oii les ondes sciiit pmir îiinsi 
dire a Tétat naissant, s'exerce sur la pèritide vil.iraîi.iir«* de 
Tonde. 

422. — La découverte du triplet Zeeman [^) parut, un iiishoït 
une confirmation éclatante de la théorie de Lorentz. Mais liieiitèt 
après M. Cornu (-) décou-vrait que la plupart des raies ne se 
décomposent pas seulement en trois dans le champ niagnéliqiie 
mais bien en quatre composantes symétriques deux à deux par 
rapport à la raie primitive a ; les deux raies bb, les iiiiiins écar- 
tées de la raie primitive a, sont polarisées rectiiîgîiemeiit, seule- 
ment leur plan de polarisation est parallèle au champ. 

Pour d'autres corps on n'observe, à proprement parler, qu'un 
triplet, seulement la raie médiane apparaît très élargie, et on 
peut conclure qu'elle est, elle aussi, dédoublée, mais ces deux 
composantes ne sont pas suffisamment séparées. 

Enfin il v a certaines raies du fer pour lesquelles on a bien uo 
triplet, mais comnie M.M. Becquerel et Deslandres Font mon- 
tré, la polarisation des raies est renversée : c'est la raie médiane 
dont le plan de polarisation est parallèle au champ et les deux 
raies extrêmes qui sont polarisées perpendiculairement au champ. 



■iiii-e 



(1) Zeema>' (P.). L'intlucnce du magfiiétisme sur la iiaîore de la lami-n- r 
i)ar une substance. Eclair, electr,, t, XI, p. Sil. 

Lignes doubles et triples produites dans le spectre sous iliiflueiiee d uii riianip 
niag-nétique extérieur. Eclair, electr., t. XIII, p. a:'». 

(-) C0R>;u (A.). Sur quelques résultats nouveaux relatifs au phéiiomt-ue àv Zee- 
man. Eclair. élecir.,l. XIV, p. iS5. 

\,^j Eclair, electr., t. XV, p. i;!, 23 avril i8<,S. 

PoiNCARÉ. Électricité et Optique. ^ * 






il' ^ 



/)46 



PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 



D'après M. Michelson (^) ces phénomènes paraissent encore plus 
compliqués. 



CORNU BECQUEREL 



Primitivement. 



Phénomène de Zee- 
man transversal. 



Pas de polarisation. 



Polarisation perpen- 
diculaire aux li- 
gnes de force. 



Polarisation paral- 
lèle aux lignes de 
force. 



Phénomène de Zee- 
man longitudinal. 



Polarisation circu- 
laire droite. 



Polarisation circu- 
laire gauche. 



En somme on volt que ces phénomènes sont plus compliqués 
que Lorentz ne le supposait; aussi sa théorie, sous sa forme pri- 
mitive, paraissait incapable de rendre compte de tous ces faits. Il 
la modifia en y introduisant Thypothèse des ions complexes que 
nous examinerons un peu plus loin. La théorie perdait ainsi sa 
simplicité séduisante; il y a lieu cependant d'examiner dans 
quelle mesure elle est devenue conforme aux faits observés. C'est 
cet examen que je me propose de faire. 

i22- Champ magnétique intense, — Commençons par étu- 
dier l'action d'un champ magnétique intense. Les équations 



(1) Pkîl. niag., t. XLÏV, p. 109-116, juillet 1897, 



lîAYOX PAItALlElE Ai' C7liJfF 1|^ 

déduites des conditions d'équilibre des parllriiîc^s rliarffées en 
tenant compte de Faction mécanique du clianip îîîïîgïielic|ue sur 
ces particules sont, comme nous le savons déjà 

. d-\^ , X^ ^ X fi 



K ^-Y, , Y, Y 



1 ^•'' dl' 


n:-^+t+^- 




^l:-^'+4+^« 



,dt ' 




dl 




' d^. 


.A-. ^^ 



Deux cas intéressants peuvent se présenter : 

1^ Le champ est parallèle au rayon lumineux, 

2° Le champ est perpendiculaire au rayon lumineux. 

Commençons par étudier le premier cas. 

A2i. Rayon parallèle au champ. — Supposons d'abord îe 
champ parallèle au rayon, c'est-à-dire parallèle à Taxe des c, 
i Supposons en d'autres termes 



le champ se réduit alors à sa composante *;, et les équations i) 
deviennent, 



/ \ 


,, d^\^ , X, , , X , __, d\\ 


(2J 


' ''^ de + L, -^^+3 -< dt • 


et nous 


avons encore 



(3) \, \'. 

425. Rayon circulaire droit. — Examinons maintenant com- 
ment se propage un rayon circulaire droit. 
Nous savons que 

f= partie réelle de f/'' '•"= ^"^'*- ** . 
Ce qui caractérise le rayon circulaire droit c'est que i: es! îa 






548 PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

♦ partie imaginaire de cette même fonction /, de sorte que nous 

avons, _ 

De même les expressions de 

X + A^ 

*f \ et de 



1 



I 



sont proportionnelles à cette même exponentielle imaginaire. 
Posons alors 

(5) X„ + a; = U,„ 

(6) X + ïY = U=2u„ 
il vient, en tenant compte de (3). 

Nos équations (2) deviennent alors, 

. ^-U, U, U U . rZU.. 

(8) ^--77r^+T^=^;F-— + --r-^^.T 



D'autre part nous aurons encore, 

Nos équations (8) peuvent clone s'écrire, 

En éliminant U,, entre ces équations et en se rappelant que 

on trouvera une relation entre n,]) et y; cela nous permettra 
de construire la courbe de dispersion. 



RArox cimT'iAHiE BMmr 
Pour (aire cette élimination je pose. 



Ijf 












2 ' 



*-2^- 






Nos équations (lo) devieiiiienl alors, 

<ï> d'après sa forme c'est une forme quadratique îiomogène par 
rapport aux U^ ; nous avons donc en vertu du théorème des Ibïie- 
tions homogènes, 

et par conséquent, d'après [ii* 
(i3) H = o. 

Ces équations nous donnent d'abord les valeurs de L\ et elles 
nous donnent en outre la valeur de /i en fonctions de deux 
variables ; en fonction du champ magnétique *;*, et en fonction 
de p, c'est-à-dire en fonction de la couleur. 

Nous pouvons donc regarder les U^ et n comme des fonctions 
de deux variables indépendantes : p et y. 

En différentiant l'équation (i3^ par rapport à/; je trouve, 

^e de dn Y ^^^ f^ _ 

dp dn dp j^u dV^ dp 



I .F;, S6o ■ PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

I I ; ou, en tenant compte de (ii) 

t t f 

I W ( A\ ^e d% dn ^^ 

î I ; ^ ^ dp dn dp 

I I I ■ .^ . , ■ 

I i I Nous aurons de même en difiérentiant par rapport a la seconde 

I ^, f - variable y, 

\'% ^'^' ^~^ dn dr —'"' 






I 



1 

î 
.i ; 

I ï 

f I 
4 



L'équation (i4) nous donne -y- : c^est la dispersion chroma- 
tique ordinaire, c'est-à-dire la variation de l'indice avec la cou- 
leur. L'équation (i5) nous donne la valeur de -j~ dont dépend 

la polarisation rotatoire magnétique. 

En comparant ces deux expressions (i4) et (i5) nous voyons 

dn dn ^ ^ ^ ^> - , , ,, dS 

que -7— et — — sont entre eux comme les dérivées partielles — r— 

dp dy ^ dp 

et—-. 
dy 

Calculons ces deux dérivées partielles. Nous avons d'abord, 

mais Y<î>j est très petit par rapport au premier terme ; on peut 
donc le négliger et il vient alors 



(16) 


dp = ^^^*' 


et cVautre part 




('7) 


a., =-7^*3, 



dn dn 

_. et -—sont donc entre eux comme 2^^ et <ï>3. 

Et bien, si l'on suppose que les quantités c^ sont proportionnelles 

a \ (hypothèse qui n'est pas loin de la vérité) le rapport — ^ est 



B.iroy CIRCi-LAlRE GAVCHE 55, 

alors constant, par conséquent, 



(18) II. 

dn 



:C-; 



on pourra donc dire que -^ est sensîbkment pmporliôniieî 
, dn 

^ Cette loi, énoncée par M. Becquerel est vénfiée, taiitèt gros- 
sièrement, tantôt avec une certaine précision. 

426. Haies d'absorption, — Pour avoir les raies d'abscirptioo 
il faut chercher les asymptotes de la courbe de dispersion ; il 
faut donc faire dans Téquation de cette courbe ^ = x et reirarder 
/; comme une fonction de y. On trouve ainsi 

de_ dp^ dB _ 

dp 'd^~^lf~~^' 

d'où en tenant compte des relations lôl et îj), 



.^ Éi—^jti^— J!i 



d^; de 2<î>^ 

formule qui nous fait connaître le déplacement de la raie d'ab- 
sorption par Faction du champ magnétique en supposant la pola- 
risation circulaire droite. 

427. Rayon circulaire gauche. — Supposons maintenant que 
nous ayons affaire à un rayon circulaire gauche. Dans ce cas, ce 
n'est plus /"-h z^ et X +/¥ qui sont égaux* au produit d\me 
exponentielle parmi facteur constant, mais bien/' — igel X — z Y; 
c'est là la condition qui caractérise un rayon circulaire gauche. 
Nous devons donc poser, 

X, — A' = b'K5 



' I *' ij 552 PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

i "'' 

I / et, en répétant les calculs que nous avons faits plus haut, nous 

I - retomberons sur Téquation (8) avec cette seule différence que le 

I ; signe du terme en y sera changé. Nous obtiendrons donc les 

'' I 1 mêmes résultats que plus haut, à cela près que les signes de 

^ ; , •— — et de -T~ seront chansjes. 

La différence d'indice des deux rayons, droit et gauche, est 
donc 

I ^ ^'^ 

II ■ ''^"^' 

H . . . ,, . dn 

1 I par suite, la polarisation rotatoire est proportionnelle a p — — , 

f I OU encore en tenant compte de la relation (i8), elle sera sensible- 

I I , ment proportionnelle a 

l ^^ 

< \ dn 

II '^' 

I i 

I [ c'est la loi récemment énoncée par M. H. Becquerel (7- Mais 

^ cette formule de dispersion n'est pas la seule qui ait été propo- 

i I' sée. On a proposé également les formules suivantes, qui sont déjà 

moins heureuses que celle de M. Becquerel : 



ny 


(" 


+p 


dn\ 
dp)' 


p' 


('■ 


+p 


dn\ 
dp)' 




n 


+p 


dn 
dp- 



La raie d'absorption qui correspond au nombre p,^ se décom- 
posera donc en deux autres raies qui correspondront aux nombres 



^,v (I)' 



2$. 



^'P^ + -^' 



et qui seront polarisées circulairement, la première à droite, la 
seconde à gauche : c'est le doublet de Zeeman. 



n H. Becql'erel, g. R., 1898 et 1899. 



RAFOX PEMPEXDKTLAmE .!£' CilJMP m 

La théorie de Lorentz est donc mtkfuimmie dam le nm mi le 
raijon lumineux est parallèle au champ magnêiifpie : eiie remé 
bien compte des phénomènes obserws. 

428. Rayon perpendiculaire au champ. — Siippiisiins main- 
tenant que le rayon soit perpendiculaire au clianip, ee i|i,ii revient 
à faire 

,3 = Y = o. 
Nos équations (i) deviennent dans ce cais 



Al 4-^ — £,a- 



On aura d'ailleurs 

(-) lyiriïî; 

mais la relation entre // et Z sera ditrérente ; on n\!iif'a pas 
[ff- — i) h = Z. Nous avons en effet 

j^ ax ^^j_ dx 

si Tonde est plane, les dérivées prises par rapport à x et à y sont 
nulles et cette équation se réduit à 

, , ^7// dZ 

et comme h et Z doivent être des fonctions périodiques de r, 

// + Z = o, 

donc 

(^3) h=—'L. 

Que devrait-on donc observer d'après Lorentz ? D'abord, 






554 PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

pour la première équation (20), il n'y a pas de déplacement ; la 
raie qui est perpendiculaire au champ ne devrait donc pas bou- 
ger. Quant aux autres raies, voici ce qu'il devrait s'y passer : 
i^ Lorsqu'il n'y a pas de champ du tout (a = o), on a 

Z = A = Z, = o, 

c'est-à-dire que les vibrations des particules comme celles de 
l'éther sont transversales . 

2° Si le champ est du premier ordre (et un champ de 3o 000 uni- 
tés C. G. S. qui produit le dédoublement, mais un dédoublement 
très faible, peut encore, à ce compte, être regardé comme très 
petit) les quantités A, Z et Z^ seront très petites du premier 
ordre, le terme en s^ sera donc du second ordre et pourra être 
négligé, et on aura alors, 

. i^X. . X. .^ X 



. ^^Y, Y, . Y 

^ ^ di' ^ K ^ ^ 3 ' 

ce qui signifie que le champ n'aura aucune action sur les raies. 
Or, ce n'est pas du tout ce qu'on observe. L'expérience nous 
apprend que non seulement le champ a encore une action dans ce 
cas, mais encore que la polarisation des raies s'intervertit. 

A ce compte^ la théorie de Lorentz sous sa forme primitive ne 
serait donc pas plus capable d'expliquer le triplet de M. ZeeniaTi 
que le quadruplet de AI. Cornu, 

429. — Rappelons le raisonnement approché que l'on faisaitpour 
expliquer le triplet de Zeeman ; on faisait dans les formules (20) 

C'est qu'en effet on se croyait en droit d'envisager « les vibra- 
tions propres » d'un ion ou d'un système d'ions en laissant de 
côté l'action de l'éther ; par conséquent, pour avoir les raies 
d'absorption, on faisait dans l'équation de la courbe de dispersion 
n = c/D ; il en résultait 



THEORIE DES IONS COMPLEXES SSI 

et en faisant de plus h = o, on retrouvait le triple! île /.eeiiian. 
Mais a-t-on droit de faire h = o? — Xcm, car rrc|iîaticni 

/(=— Z. 

est une véritable équation de liaison entre les nitiuveiiieiit^ àt 
Téther et ceux des ions : h ne peut s'anniiier qu'en ni è me temps 
que Z. 

430. — Il s'agissait donc de modifier la tlîé#rie de L^renti, 
en imaginant des hypothèses supplémentaires. CVs! ce cpie 
Lorentz a fait lui-même en imaginant la théorie des iiins rc*»- 
plexes, qui n'est qu'une généralisation de sa premirre llîéiirie. 

Je dois ajouter que dans un travail récent, M. LorenlE a elierchr 
à rendre compte du triplet et a échapper aux ohjfclîriîis précé- 
dentes. Pour cela, il a fait des hypothèses parliciilières snr la 
grandeur des coefficients. Le raisonnement précédent subsiste 
et pour un champ infiniment petite le dédoublement de la raie 
est encore infiniment petit d'ordre supérieur ; mais le tripîet peut 
se produire pour un champ fini et on peut faire des hypothèses 
parfaitement admissibles et pour lesquelles un champ de 20 ooci 
à 3o 000 unités donnerait un triplet sensible. 

On n'a pas le droit de faire h = 0, puisqu'on a h = — Z; 
mais l'action de l'éther sur la matière, grâce aux hypolhèses 
faites, est assez faible pour être négligée en première approxi- 
mation, de sorte que tout se passe comme si Ton avait h = o. 

La théorie de Lorentz rendrait ainsi compte du triplet ; mais 
l'expérience nous ayant appris qu'il n'y a pas de triplet, mais un 
quadruplet, il n'en faut pas moins avoir recours aux ions com- 
plexes. 

Il n'y a donc pas lieu d'insister davantage sur ces hypothèses. 

Nous allons maintenant examiner cette théorie des ions com- 
plexes pour voir dans quelle mesure elle est conforme aux faits 
observés. 

THÉORIE DES lOXS COMPLEXES 

431. _ Les ions simples que nous avons considérés jusqu'il 
présent se comportaient comme des points matériels; nous 



î 



556 PIIÉNOMÈ.YE DE ZEEMAN 

n'avons envisagé que leur mouvement de translation. Supposons 
maintenant que ces ions, au lieu d'être simples, soient formés 
d'un système dynamique plus compliqué comprenant plusieurs 
points matériels qui pourront être assujettis a des mouvements 
quelconques. ^ 

Pour représenter l'état du système, je choisirai des coordon- 
nées généralisées quelconques que je désignerai par T^. 

Soit H la force vive des ions : ce sera une forme quadratique 

homogène par rapport aux —z — . 

Soit P^ Ténergie potentielle due aux actions mutuelles des 
ions : a cause de la petitesse des déplacements, ce sera encore 
une forme quadratique homogène par rapport aux T^. 

Soit — Pj l'énergie potentielle due à l'action électrostatique 
de l'éther sur les ions ; nous pourrons supposer 

P.-A+é'Y + AZ. 

X, Y, Z représentant toujours les composantes de la polarisa- 
tion électrique, ce seront des formes linéaires par rapport 
aux T^. 

Soit enfin 



2 



V.2T„ 



le travail virtuel des forces dues à l'action du champ magnétique 
sur les ions, quand ces ions subissent des déplacements vir- 
tuels oTj,. 

Les équations de Lagrange s'écrivent alors, 

dt 
et, comme nous avons toujours les équations 

(/r-.)/-=X, 

A= — Z 



' "Ml -Wl^PII^^^Uppippil 



THÉORIE DES /O.V.V COMPLEXES 

la valeur de dP^ peut s'écrire 

dl\ = fdX + -r/Y + /ii/Z, 
— . ^5 . — Zrî -, 

Notre équation (i) devient alors, 

^/ 
ou encore 



:+^(".-^&^-^)=v.. 



Pour avoir les raies d^absorption, il faut faire "dans cette éipia- 
tion n =: ce ^ ce qui nous donne 

Considérons alors deux formes quadratiques H et P.-- — 

et comme nous avons le choix des coordonnées T^, clioisissoiis- 
les de façon que ces deux formes quadratiques se réduisent à une 
somme de carrés, de sorte que 



^U 2 \ dt I 



Notre équation (3) prendra la forme. 



(4,' -in^^r^^ 



Il \ 558 PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

I i Mais qu'est-ce que V^? 

|,; Nous avons vu que V^ST^ représente le travail virtuel des forces 

V'it, dues a Faction du champ magnétique sur les ions quand ces 

I ''t\ ions subissent des déplacements virtuels oY^ ; or, les forces 

tJj magnétiques sont proportionnelles d'une part aux vitesses des 

I I ions et au champ magnétique d'autre part. Les quantités Vk sont 

I \\ ' donc hiluiéaires par rapport à a, [3, y et , "" . Mais ce n'est pas 

I p j tout; l'action d'un champ magnétique sur un courant est toujours 

\,r ; perpendiculaire à ce courant; dans le cas du mouvement des 

I I' ; ions, oii il s'agit d'un courant de convection, cette action du 

I h champ sera perpendiculaire à la vitesse de l'ion : son travail sera 

I |, . donc nul. On aura par conséquent identiquement, 



i:--^-«- 



432. Lumière mono chromatique, — Supposons maintenant 
que nous ayons affaire a une lumière monochromatique ; on aura 
dans ce cas, 

Voici la signification de la première de ces équations ; T,, est 
la partie réelle du produit d'un facteur constant par une expo- 
nentielle imaginaire.- Ce produit satisfiiira lui-même aux mômes 
équations que Tj,. Nos équations comportent ainsi une solution 
imaginaire plus aisée à traiter que la solution réelle et d'où il est 
facile de déduire cette solution réelle. 

Nous allons substituer par un artifice bien connu cette solution 
imaginaire à la solution réelle. 

Désignons par Wk ce que devient V,, quand on y remplace 

les quantités — par les T ; \\\ sera donc une forme hilinéaire 

d'une part par rapport a a, [5, v et par rapport a T., d'autre part. 
On aura donc 



DÉPIACEMEM DES MAIES 1% 

et puis 
d'où 

(7) (p2— r)T,=— /p\v,. 

433. Déplacement des raies. — Cherchons maîiitenaat le clé- 
placement des raies. Deux cas peuvent se présenter : 

i*" Le champ magnétique esi nul. — S'il n'y a pas de champ ma- 
gnétique, nous aurons une certaine éc|iiatîon do»! les racines 
seront 

et à chacune des racines p^ correspondra une raie du spectre ; 
mais par suite de la présence, dans le second membre, du terme 
en z, les raies pourront se doubler et même se tripler. 

Supposons que les équations qui nous donnent p- puissent avoir 
des racines multiples, on a alors 

(8) (/^î — r)T,=— ^/;Wk (K=i-2,3....«;, 
et si le champ est nul 

(9) {pl—p-)^K=o pourK^/î, 
et 

(10) {pl—jn Tk=o pour K>/i, 

ceci, je le répète, en supposant que parmi les /\ il y en ait n : 
7;^, p,^, 7^3,.... Pu <^Fi soient égaux entre eux, de sorte que 



P^ = Pi 



K^n 



Maintenant si p==p, (pour K^/z, l'équation 9; est satisfaite 
d'elle-même ; mais l'équation (10) exige pour p, ^ p, pour 
K > ?i) que 

Donc, quand il n'y a pas de champ magnétique, toutes les 
coordonnées T, s'annulent, h l'exception des n premières. 



56o PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

434. 2^ Champ magnétique faible, — Quand le champ magné- 
tique, sans être nul, est très faible, toutes les quantités Tj. sont 
alors très petites, sauf les 7i premières. Par conséquent, dans Wk, 
les termes qui contiennent T^, T^,.... T,^ seront du premier ordre, 
et les autres termes, k partir de T,^, c'est-a-dire T^^^ _i, T,^^ 2,... 
seront du second ordre. Négligeons ces termes du second ordre 
dans nos équations et appelons W^k ce que devient Wk quand on 
y néglige ces termes. 

Nos équations deviennent alors, 

{^Ins) {pl^p^-)T,= -ipW. (K=i,2,3,...n). 
Posons 

— ip 

Si je pose en outre 

comme op sera très petit, S sera très sensiblement 

c _ 2 S/; 

l 

et par conséquent 

i Q 
on = b . 

S nous fera donc connaître le déplacement de la raie. Pour que 
op soit réel, il faut que S soit purement imaginaire. 
Nos équations deviennent 

W^K satisfaisant à la condition 



. 12 



2wX = o (Iv=-,,2,3,... «). 



Ce sont là des équations linéaires et homogènes entre les n 
variables. 

T T T T • 

En égalant a zéro le déterminant de ces équations on aura une 



CHAMP MAGyÉTIQVE FAIBLE |<|, 

équation en S algébrique et du .f- ordre ; mxn racines tîe eetîc 
équation correspondront n raies qui proviendront âm âéimlàe^ 
ment de la raie p =^p^. 

Cette équation en S aura une forme tout à fait parliciilière, et 
€ela à cause de W/ qui satisfait à Tidentité 



i3) 



V WkT^ = o. 



435. — Pour le fiiire comprendre écrivons eomplèteniefit cette 
équation en supposant ;i = 4; on a : 



i3) 



S a 

— a S 

— h — cl 
~ c — e — f S 



h c 
d e 



Je dis que les racines de cette équation sont purement iiiia^n- 
naires ; considérons, en effet, le système d'équations différen- 
tielles linéaires a coefficients constants 



^T. 



:w:. 



'^''^ dt 

ce système s'intègre immédiatement et nous obtenons eomnie 
solution particulière 

Multiplions les équations [a) par T^ et faisons la somme, il 
vient : 

ou, en tenant compte de l'identité (12) 

dl. 



S'^-ï" 



:0, 



d'où : 



\ Tf= constante. 

PoiNCARÉ. Electricité et Optique. 



56'i PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

Supposons maintenant que S soît réel ou complexe^ mais non 
purement imaginaire ; supposons par exemple 

S^ n'étant pas nul. 

Si S est imaginaire, la solution particulière est elle-même 
imaginaire, seulement sa partie réelle satis(\iit à l'équation diffé- 
rentielle et alors cette partie réelle est une solution réelle de 
l'équation. 

Considérons cette solution réelle. 

Supposons d'abord que S^ soit positif; dans ce cas-là si on fait 
? = — 00 , alors 

lim. partie réelle de e^^ = o, 

par conséquente Ak e^' tendra vers zéro. Tous les Tk tendront 
donc vers zéro et par conséquent 



lim. y Tk^ =0. 



Comme \ Tk"' est une constante, cette constante est nulle, ce 

qui ne peut avoir lieu que si tous les Tk sont identiquement nuls. 
Maintenant si S^^ est négatif, on aura encore 

lim,YTJ=:o 
pour / = co et par conséquent encore 

La partie réelle de S ne peut donc être ni positive ni négative. 
Les n valeurs de S sont donc purement imaginaires; les n valeurs 
de op seront par suite réelles, de sorte que les n raies du dédou- 
blement existeront réellement. De plus, les racines de l'équation 
en S (étant imaginaires conjuguées deux à deux) devront être 
deux à deux égales et de signes contraire; c'est-à-dire que les 
raies dédoublées devront être deux à deux symétriques par rap- 
port à la raie primitive. ' Si /? est impair une des racines doit être 



-r le triplet de Zeeman et , l,! ^'^ '"-'^ « = ^^ P-r r.^ 
de Cornu. "-"^ P"»'' «trouver 1. .jua«Jra|.k.t 

436. Isotropie dans le plan de l'or,Ha o 
de tous les phénomènes observés il (Z ~ T' '''"*^''* ^^'»P«* 

donné.. T. de„x «égori.s difcls """ •■"■"" '" ""'- 

'' U, coorioméa reacridles qui .emnl !.. ™ 
v.c..„,s r,xe, dans l'espace, „.ai. 1. ;,„ e , o^r,"'" •■' 

varieront daDrès le»! UJc „ i- - ■P'"J'^"'""s !>ur les a.xes 

ucipies les lois ordinaires ouand on f»-.. » 
axes et : '■["■tua on lera tourner ces 

a° Zes coordonnées scalaires mi; „„ ,. ■ 
axes tourneront. ' ^ ' '""'™"' P=»^ *I"='«d '« 

Prenons le cas de « = 4 et supposons que l'on ait d.„v 
données vectorielle.; Y »t v M"'' i on ait deu.x coor- 

vectorielles X, et ^.composantes d'un même vecteur 
e deux coordonnées scalaires que je désignerai par T , ' 
Nos équations (ii) s'écriront : "P-"l.tti.. 



SX, ~\\-==o, 

'iiùh) Uy, — \y: = o, 

/ ST, - W' = o, 

' st; - ^^'^ = o. 



Quand les axes tournerontd'un angle .^, les quantités X, 4- /Y 
- + i, seront multipliées par e'> et les quantités conjuTaiéè; 
Z ''::;;^°7.^V/+n\V doit être également multiplié par e. ; 
W3 , VY/ ne doivent pas chancrer. 

J'en conclurai que l'on pe'î.t toujours choisir les deux coor- 



(j 3 bis 



— ay 

— ba 

-c3 



«y 

S 

b?> 

COL 



O. 



564 PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

données scalaires de telle sorte que notre équation en S soit de 
l,a forme : 

/>>a c 

b^ — 6'a 

S chi 

d^ S 

Si nous voulons donc satisfaire aux conditions d'isotropie du 
milieu, il faut que l'équation en S soit de cette forme. 

Mais ce n est pas tout; le milieu n'est pas seulement isotrope, 
il est encore symétrique. Nos équations ne doivent donc pas 
changer quand on remplace notre système d'axes par un système 
symétrique (le plan de symétrie étant le plan des xz par 
exemple), 

. Nous sommes ainsi amenés à distinguer, parmi les coordonnées 
vectorielles, celles de la première et de la deuxième sorte, selon 
que le vecteur correspondant conserve son signe ou change de 
signe quand on passe d'un système d'axes à son symétrique et 
nous distinguerons de même parmi les coordonnées scalaires celles 
de la première sorte, qui conservent leur signe et celles de la 
deuxième sorte qui en changent. 

Supposons donc que notre équation soit de la forme (i3 bis) : 
quand y change de signe, y^ ^-^ Y^ et T^ doivent changer de signe, 
c'est-a-dire que Xk et Y^ sont des coordonnées vectorielles de la 
première sorte, T^ une coordonnée scalaire de la première sorte, 
Tk: une coordonnée scalaire de la deuxième sorte. 

En développant le déterminant (i3 bis)^ on trouve : 

S'^+ S-^ {a'f + Pa} + P[6' + cV^ + r^' + (lY) 

+ {adf + Z;ca- + br[-!i'Y = o. 

Nous considérerons quatre cas remarquables : 

a =z b^ û? == 6', 
ou 

<2 = 6*, d = b^ 
ou 



POLARISATION DES RAIES Ȕ 



# 



dans chacun de ces cas les racines île réf|iialifMî en S tpie icias 
venons d'écrire ne dépendront qoe de la soiîîrîc* 



qui représente Tintensîté du champ. Ces niciiies ne d#|M»înlr«iiit 
donc pas de la direction de ce champ, et par coîîsf*f|iieïït Zp^ 
c'est-à-dire l'écartement des raies dédoublées, serait le nièiiie f|Be 
le champ soit parallèle ou perpendiculaire ait rayciri. En est-il 
effectivement ainsi ? 

L'expérience, en tout cas, ne paraît pas défavoralile à eelle 
hypothèse, mais à ma connaissance je ne crois pas c|ii'il existe <k*s 
mesures assez précises a ce sujet et qui puissent par etniséqueiil ■ 
trancher la question. 

437. Polarisation des raies. — Supposons maintenant 

.3=0, 

et étudions les conditions de la polarisation des raies. 

Il faut pour cela déterminer le rapport -^ pour les quatre 

valeurs de S. 

Pour que la polarisation soit rectiligne, le plan de polarisalioiî 
étant perpendiculaire à la composante du champ normal au rayon, 
il faut que Yk s'annule. En faisant, 

on trouve 



ce qui concorde avec [l'i bis) si Ton y tait 



a = c\ 
d = h. 



Pour que la polarisation soit rectiligne, le plan de polarisation 
étant parallèle à la composante du champ normal au rayon, il 
faut faire X^ = 0, d'où 



566 PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

ce qui concorde avec (i 3 bis) si l'on suppose 

a = Z>, 



d 



c. 



Dans les deux cas il y a deux raies {r-aies moyennes] dont la 
polarisation est toujours rectiligne, et qui disparaissent pour 
Q^__Q et Jeux raies [raies extrêmes) dont la polarisation est recti- 
ligne pour Y = 0, elliptique en général et circulaire pour 
a==o. 

Dans la première hypothèse (<^ = 6*, d=:^h) la polarisation des 
raies moyennes est perpendiculaire au champ; celle des raies 
extrêmes parallèle. 

Dans la seconde hypothèse [a = h, c = d) c'est le contraire qui 
doit se produire. 

C'est donc la première hypothèse que l'expérience semble 
confirmer. 

438. Isotropie dans F espace. — Nous n'avons considéré jus- 
qu'à présent que Tisotropie dans le plan de l'onde et cela ne 
remplit pas toutes les conditions imposées pour la symétrie du 
milieu. En effet, notre milieu étant isotrope, les équations précé- 
dentes doivent rester les mêmes quelle que soit l'orientation du 
plan de l'onde ; de plus, elles ne doivent pas changer quand on 
remplace le système des axes par un système symétrique par rap- 
port k Torigine, puisque le milieu n'est pas seulement isotrope 
sans symétrie (comme l'essence de térébenthine par exemple) 
mais il est isotrope et symétrique. 

Nous sommes ainsi conduits à distinguer deux sortes de coor- 
données : 

1° Les coordonnées sectorielles que j'appellerai X,, Y,, Z., et qui 
seront les composantes d'un vecteur; et, 

2^ Les coordonnées scalaires que j'appellerai T,, et qui seront 
tout à fait indépendantes du choix des axes. 

L'introduction de ces coordonnées scalaires ne doit pas nous 
étonner. Justifions, en effet, par une image mécanique, l'emploi 
dé ces coordonnées. Considérons une sphère puisante de Bjerknes, 
susceptible en outre d'un mouvement de translation; eh bien, 



ISOTROPIE DAXS L'ESPACE Igj 

pour définir lu situation du système on a besoin de .,„.i„ emr- 
données : le rayon de la sphère qui sera une coordonnée seabir. 
et es coordonnées cartésiennes du centre de la sphère, qui ser«nt 

des coordonnées Yectorielles. 

Cela posé, en vertu de la symétrie du milieu : 

i^ H sera une combinaison linéaire de diverses eipressîtit 
cl une des formes suivantes : 

dt dt 



dt dt 

dl, dl, 
dt dt 



di dt ' 



U peut èlre égtî a K) 

2" P, sera une combinaison linéaire d'expressions d^iiae des 
Ibrmes suivantes 

3' Pj qui a pour valeur 

P, = /x + ^<rY+AZ, 

sera une combinaison linéaire d'expressions de la forme 
/X,+^Y, +AZ,, 
4° L'expression de oJ, 

MÊmÊÀ 

sera une combinaison linéaire d'expressions de la forme_y 



oXi oXi oZ^ 



+ 



X, Y, Z, 
oX^ oYk oZs 



T, aX, +3Y. +vZ, 



On voit que dans P^ et H les termes qui dépendent des X, 









fi; 



"h 



568 PHENOMENE DE ZEEMAN 

ceux qui dépendent des Y, ceux" qui dépendent des Z, ceux qui 
dépendent des T, sont entièrement séparés les uns des autres. 
Soient 

H. H, H, H„ 

ces huit ensembles de termes où P^ représente Tensemble des 
termes de P^ qui dépendent des Xy etc. 

D'après le théorème des formes quadratiques nous pouvons choi- 
sir les Xk et les Tj^., de telle façon que 






et alors on verrait que H^ et P^ sont formés avec les Y et IL et P. 
avec les Z, comme H^ et P^ les sont avec les X. 

On obtiendra ainsi une série d'équations analogues aux équa- 
tions 

obtenues précédemment. 

Voici cette série d'équations. 

•^u 'îK' '^K! ^KJ "^K sont des quantités qni jouent par rapport à X„, Y^, 
Z^, T„ le même rôle que jouait — i/;W par rapport à T, dans 
les équations («). 

439. — Nous allons traiter les équations (/>) comme nous avons 
fan des équations (a). Les seconds membres des équations {ù) 



ISOTROPIE DAXS L'ESPACE It^uj 

comme ceux des équations [a] sont, très petits. Aiiiniît»iiî.-lfH •*« 
première approximation et faisons /i--=pj ; imm f»iilit'ïittr«ii** «»•* 
série d'équations linéaires entre les quantités X^. Y^. Z^, 'l\, Hîi 

vertu de ces équations un certain nombre de ces i|aaïililt** ^'ïpi- f^ 

nuleront. Par exemple X^ s'annulera si p^ nVst pas f*|ral iî|#^ h |]j 

Tk s'annulera également si </k n est pas égul îipj. Di* plii?^. rrlk^ ''ff 

de ces quantités qui ne s'annuleront pas, poiirroiit ne pa<* rrslt*i |îl 

indépendantes, mais il pourra y avoir entre elles eerlaine!; Ma- '\5^^ 

tions linéaires. % 

Pour mieux mettre le fait en évidence, je distinguerai paritii |fi 

les Zk deux catégories : ceux pour lesquels --p^ sera îiiîlîr ri ijiir |. 

j'appellerai les ZJ. ; ceux pour lesquels cette dérivée ne swi pa^ ,% 

nulle et que j'appellerai les Z^'. J'appellerai X^ et Y^ k*s X^ et l 

les Yk qui correspondent aux Z|. et X^' et Y^' ceux qui ccirresjMiïi- | 

dent aux Z' . Çi 

Je poserai «r 

Z=^ ^K^-Kn Jf' 

et je désignerai par />; et ^ les valeurs des coefîîcieîils p^ et I, <|iii * 

correspondent aux Zi, par p^ et Z;^ celles qui correspontlenî mm ; 

Zk' ; il résulte de cette définition et de celle des Z, q«e itms ^ 
les Z^ sont nuls. 

Nos équations [b] privées des seconds membres s'écriroiil iilors 

quand on y aura fait p=Pj^ 
W j^p-_p^)YL^=o, 






avec 



't'jll 
S. '-& * 



On peut toujours supposer qu'un au plus des j>. est égal a r, : 



570 PHÉNOMÈNE DE ZEEMÂN 

le cas où il y en aurait plus d'un se ramènerait immédiatement a 
celui où il n'y en a qu\in. 

Si aucun desy^^ n'est égal à p^, tous les X^^^ sont nuls. 

Si un des p'^ que j'appelerai par exemple p'- est égal a p^, 
l'équation (^U) relative a Zf , montre que Z est nul ; les équations 
relatives aux autres ZJ/ montrent ensuite que tous ces 7J-J, sont 

nuls ; l'équation Z =\ l'^Z[lmoniv(i enfin que Z-^=o. 

Il est donc impossible que Tun des X^^ et l'un des Z'^ soient en 
même temps différents de zéro. 

440. — Mais on peut généraliser l'hypothèse ; ne supposons plus 

V^^fX + gX+hZ', 

abandonnons cette hypothèse trop restrictive et supposons toujours 

mais au lieu d'avoir, 

on aura 

Z = > mj.^, 

les coelïicients /;?,. étant ditlerents des coefficients I^^. 
Nous pouvons supposer alors, 



l'/^o, 



et on pourra avoir \\ hi lois 



x;'>o, 



En vertu des équations (//) quel([ues-unes de nos coordonnées 
s'annuleront; les autres s'exprimeront linéairement à l'aide d'un 
certain nombre d'entre elles qui resteront indépendantes et qui 



ISOTROPIE DASS L'ESPACE 



joueront le rôle des -coordonnées T^, T,, T^ T, thm hs. «pa- 
rions (8 bis). Subsrituons les valeurs ainsi clédiiîtes ihs «%{iiaiiiiii< 
[h), ce que nous pouvons faire en négligeant les ternirs il« !4t*riiiîiî 
ordre ; nous obtiendrons des équations linéaires aiiaîninîr» wm\ 
équations (8 bis) et, en égalant à zéro le déterraiiiaiït ih te\ riji»- 
.tions linéaires^ nous obtiendrons une équation analiigue k rripi- 
tion (i3). 

-441. Discussion. — Si nous voulons rendre eiimpte àm nua- 
druplet il faut que cette équation soit du quatrième degré; pôtir 
cela il .faut que quatre et quatre seulement de nos ecwiriftiifiéf f 
ne s'annulent pas en vertu des équations 'h^). 

Supposons d'abord que les coeflkients appelés pliis liait w^ 
soient égaux aux coefficients h. Alors, les coordonnées qui ne 
s'annulentpas pourront être trois coordonnées vectorielles Xî,Ys/£J 
et une coordonnée scalaire T,.. 
L'expression, 



-V (i,ox. + v,,oY, + :,o4 + ^^:h 



qui joue le même rôle'que jouait Texpression 
par rapport aux équations (8) sera de la forme, 



? T 



V Y' 7' 

2x; sy; oz; 



T. 



ax; -4- JiY". ^ -;'''= 



iS'otre équation en S s'écrit alors, 

S — «-; "'"-' 
rtv s — aa 

a^ aa. • S 



_h^ -l'a - Ir. 



ia 
S 



= o, 



ce qui correspond a l'équation (i3 bis^ dans Thypothèse . = c. 
b^tl 



,4^ 



572 PHÉNOMÈNE DE ZEEMAN 

Le problème semble donc résolu d'une manière satisfaisante. 
Il n'en est rien encore cependant. Reprenons l'équation dont 
dépend Xî 

{Pi—p) \ = ^i' 

Elle a été tirée d'une équation dilTérentielle (que j'écris en sup- 
primant le second membre qui dépend du champ magnétique et 
est très petit). 

Mais d'après la définition même des Xj^ , le coefficient l[ doit 
être nul. Il reste donc, 



df- 



+ y4X; = o. 



On voit que dans cette équation différentielle le déplacement 
électrique n'entre pas. 

La coordonnée X^ pourra donc éprouver des oscillations, mais 
ces oscillations ne se conimiuiiquerojit pas à Véiher. La solution 
qui précède est donc illusoire. 



Nous sommes donc réduits à s 



uppos 



et 



k ^ i^K. 



Pi =Pv 

m'I == 0, 

;; >o. 



Soient alors, Xf, \7, l'J et T^ les coordonnées qui ne s'annu- 
lent pas ; l'expression de oJ sera de la forme, 



x;^ y;' z[' 



ï, aXr + ?Yr + yZ'/ 



ISOTROPIE DAys L'ESPACE 

et nous retombons sur Téquation 



i:i 



S - 


- «■- «.S 


/va 


ay 


S — aa 


//i 


-a? 


aa S 


b-; 


— ia - 


- i3 — Z-r 


S 



= 0, 



O^nalogue à l'équation (i3 bis) dans lliypoOièse « = t\ é = fi 
D'ailleurs l'équation différentielle, 



cPXl 



dt- 



-piXi=i-fl 



contient le déplacement électrique et nous sommes ii râl>ri lie 
l'objection que je faisais tout a Theure. 

On voit donc qu'il est a la rigueur possible de rendre oimpt** 
du quadruplet de M. Cornu par la théorie de Lorentz irihiéralisiV, 
Je laisse de côté les cas plus compliqués où l'on aurait des srxliî- 
plets ou des phénomènes encore plus complexes. 

Quoique le caractère artificiel de ces hypothèses soit Hiiiiiiesle 
il convient donc de conserver proçisoirementlti théorie de Loreiiti 
généralisée qui seule ^ jusqu à présent, permet de relier entre eux 
les faits obsen>és. 



QUATRIEME PARTIE 



A PROPOS 



THEORIE DE LARMOR 



A PROPOS 

DE LA 

THÉORIE DE LAHMOIl 



442. — Cette dernière partie de notre cours, ne peut être 
regardée ni comme un exposé ni comme une crilit|iie cîw îravail 
que M. Larmor a récemment présenté a la société nivale th Lmi- 
dres sous le titre suivant : A Dijnamical Theonj of ike eieiirir mmé 
huninifej'ous médium (^). Elle contiendra simpîemeiïl le rrsiiiiiéik'?i 
réflexions que m'a suggérées la lecture de cette importante coin inu- 
nication et qui m'entraîneront souvent bien loin de la théorie àe bir- 
mor. C'est ce qui justifie le titre que j'ai choisi pour ee chapîîri». 

THÉORIES OPTIQUES 

443. — Et d'abord je suis conduit, comme M. Larinur lui- 
même, a débuter par un résumé des diverses théories |iroposi*€s 
par les savants qui se sont occupés d'optique. Les expérii^iicessiir 
l'optique physique ont mis en évidence rimportaiice de ileiix 
vecteurs que j'introduirai ici sans faire aucune liypolht*se sur leur 
signification théorique. Dans les milieuxisotropes, auxquels je nie 
bornerai toujours, pour ne pas compliquer cette exposilitiii, h 
premier de ces vecteurs esL perpendiculaire au plan de polarisa- 
tion ; j'en désignerai les composantes par \\ Q, Fuel je rappel- 
lerai vecteur de Fresnel Le second vecteur est perpentiiculiiin- 
au rayon lumineux et parallèle au plan de polarisation. Je rap- 
pellerai vecteur de Neumann et je le désignerai par s. i. ;-!. 
11 v a entre ces deux vecteurs, dans un milieu isotrope r\lnm<' 



parent, des relations très simples. Si Ton désigne par -^ 



1-X\n. 



(^) Larmor, Proceedlngs of Royal Society, t. LIV, p. -JoS: : àtWtnuhw i^ 
La Lumière électrique, t. LU, J). 35i. 

PoiNCARK. Électricité et Optique. ' 



578 

verse 
le car 



A PROPOS DE LA THEORIE DE LARMOR 



du carré de la vitesse de la lumière dans le vide et par K 
ré de l'indice de réfraction, on aura, 



(0 



I 


da 


dR 


dÇi 


k; 


dt "" 


dy 


dz. 


I 


d(^ 


d? 


dR i 


Ko 


dt 


dz 


da- 1 


I 


dy _ 
dt 


dQ_ 

d.v 


d? 

dy . 


I 


,. dP 


d{i 


dy 


k; 


ï^ dt 


~ d.z 


dy 


I 

Ko 


^^ dt 


dy 
■~ dx 


da. 
dz 


I 


,r ^'R 


da. 


./p 



K, dl dy 



dx 



c'est-à-dire que la dérivée par rapport au temps de chacun des 
vecteurs est proportionnelle au (c ciui » de l'autre vecteur pour 
employer l'expression anglaise. 

11 est aisé de voir que les équations (i) résument, pour ainsi 
dire, les principaux faits expérimentaux relatifs à ropti(juc et 
cela indépendamment de toute théorie. 

C'est dans l'interprétation théorique que les dlvei'geiuM's com- 
mencent. Pour Fresnel la vitesse d'une molécule d'cther est re- 
présentée en grandeur, direction et sens, par le vecteur (1?, Q, H) ; 
pour Mac Gullagh et Neumann, elle est représentée par h^ vec- 
teur (a, j3, y). En d'autres termes, pour Fresnel, la vlhi'aliou est 
perpendiculaire au plan de polarisation, pour Xeumann eUe es! 
parallèle à ce plan. 

Dans toutes les théories mécaniques de la hiniière, h\s vihra- 
tions de Téther sont attrihuées à son élasticité ; maison peut faire 
sur cette élasticité plusieurs hypothèses; la plus siiiq)h' est de 
la supposer analogue à celle des solides qui tendent îi r(q)i'endi'e 
leur lornie primitive, quand une force extérieure les en a 
écartés. Pour forcer les molécules d'éthcr à s'éloio-ner de leur 
situation d'équilihre, il faut donc dépenser un certain travail (pii 
s'emmagasine dans le fluide et qu'il restitue, quand, rendu à lui- 



THÉORIES OPTiqi'ES ,|«.,. 

même, il revient à lY^quiiibre. C'est £mi i^ii mue, smi imt.h^r.i 
un réservoir d^énergie. Le travail ainsi enmré^^.i.lm^ |..| r,* .|ii'«ii 
appelle Ténergie crélasticiié de Félher. 

Dans rhypothèse de Fresnel, la torec^ vivt^ tir Frili.*! 4 tm. 
expression^ 



|»Wiit 



-^ / K(P+Q^+R-u/., 



et son énergie potentielle 



(3) 




- dz 



IL 



fW^ 



Les intégrations sont étendues à tous les éléiiieiils île viiliime ik 
de Tespace. Cela revient à dire que la densité de Téliier est |ir»- 
portionnelle à K; la masse de Télément (k est alors pr<i|M»rîi<iii» 
nelle à K(k ; comme la vitesse, dans Thypothèse de Fresnei» mî 
représentée par le vecteur (I\ Q, IV , la force vive dr riVleiiienl ik 
est proportionnelle à 

Kd^T ;F 4- Q- -t- R^ , 

D'autre part, tout se passera comme si î'êiîer|:,^ie poleriiielle 
localisée dans un élément ck très petit, était propurtioinie lie au 
volume de cet élément multiplié par le carré du vecîeor de \eii- 
mann. 

Dans riivpothèse de Xeumann, au contraire, c'est 1 expres- 
sion (2) qui représentera Ténergie potentielle et 1 expressiite J; 
qui représentera la force vive. 

Le carré de la vitesse est, dans cette hypothèse, 2" -4- j' 4" *." ^ 
l'expression de la force vive montre que la densité de Fetlier 
est supposée constante. 

Quant à Ténergie potentielle localisée dans un eleiiieiil !re^ 
petit de Tespace, elle est proportionnelle au carré du vecteur dr 
Fresnel multipliée par le facteur K qui représente alors 1 rLi>!i» 
cité de l'étlier. 

Dans l'hypothèse de Xeumann, relasiicilé est donc xmuthh 



58o A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

et la densité constante ; c'est l'inverse dans la théorie de Fresnel. 

Cette variabilité de l'élasticité donne lien à une difficulté qui 
est spéciale h la théorie de Neumann et de Mac-Cullagh. La pres- 
sion de l'éther dans l'état d'équilibre ne peut être nulle, ce que 
l'autre hypothèse aurait permis de supposer. Elle ne peut non 
plus être constante, elle doit dépendre de K, et, par conséquent, 
elle n'est pas la même dans deux milieux différents. Pour que 
l'équilibre se maintienne malgré cette différence de pression, il 
faut admettre qu'à la surface de séparation de deux milieux, 
l'éther est soumis à une force particulière qui rappellerait dans 
une certaine mesure la capillarité des liquides. C'est ce qu'on 
appelle la ce force de Kirchfio/f )) . 

On peut échapper à cette hypothèse supplémentaire, qui n'est 
d'ailleurs pas très gênante, en adoptant les idées de lord Kelvin 
sur l'élasticité. 

L'axe d'une toupie en rotation tend à rester dans la position 
verticale ; si on l'en écarte, il décrira un petit cône autour de la 
verticale, comme le fait le fil d'un pendule conique sous l'in- 
fluence de la pesanteur qui tend à le ramener à sa position d'équi- 
libre. Pour un observateur qui ignorerait son mouvement de 
rotation, la toupie semblerait obéir à luie sorte de force élastique. 
On peutimaguier des appareils plus compliqués qui repi'oduisent 
plus exactement encore les propriétés des corps élastiques et 
c'est ce qu'a fait Lord Kelvin. Supposons des systèmes articulés 
dont certaines pièces, jouant le rôle de gyrostats, sont animées 
d'une rotation rapide. Dans ces systèmes, aucune lorce n'est en 
jeu; et pourtant ils se comporteront comme s'ils élaieut doués 
d'élasticité. En apparence, on peut y emmagasiner de rénergie 
potentielle ; mais ils ne possèdent, en réalité, que de rénei'gie 
cinétique. On peut donc se demander si l'éther n'est pas cons- 
titué de la sorte ; si un observateur, disposant de moyens assez 
puissants pour pénétrer toutes les délicatesses de sa structure 
intime, ne découvrirait pas que toute son énergie est duc à la 
force vive des tourbillons infinitésimaux qui y sontrenCermés. Son 
élasticité, que la théorie ordinaire explique par des attractions à 
distance s'exerçant entre les molécules, serait due alors à de 
simples forces apparentes d'inertie, analogues dans une certaine 
mesure à la force centrifuge. 



niÉoiuEs opriQtEs ^^^^ 

11 y a toutefois une diflerence entre iVlustîrilruniiïi.iîi,. ,vl}r 
des solides, et Vèlasliciiê roiaihmnelie île Lcirti m,in. i I,,aîi4 um 
déforme un solide, son élasticité est mise eii jeu ; mdl Ay fw 
Test plus quand on le fait tourner en clKingeaïil s»» mlrnUtim 
dans respace, mais sans changer sa ftiriiM*: il ii^*» ,^>| p;,, mm 
des systèmes articulés de Lord Kelvin. 

On ne peut changer leur orienlatioii saas afiiir a i;iiîîrrr mtf 
sorte de résistance élastique. 

On peut donc, avec cette nouvelle manière cii* ii«r, mtfqmmf 
que les diverses parties de l'éther lendeiH à immsrrM^rlrm «rirB- 
tation, qu'on ne peut les en écarter sans ciepeii^rr liii tunéll 
et qu elles y reviennent quand la force extérieure rrî^^t^ irii|fîr. 

On peut grefîer Thypothése de Lord Kelviiu suit <iir l;i Ûwmlt 
de Fresnel, soit sur celle de Xeumaon. Dans Fuii un Tmilie tm 
Ténergie totale est représentée par la somme de> expri-îi^iim*, 'i i 
et (3) et elle est tout entière cinétique. 

Seulement, dans Thypothèse de Fresiiel, r^\^pïTî^hiiiîi j] 
représente la force vive des vihrations de Féllier qui simiI rrhiii-» 
vement des mouvements d'ensemble ; l'expression ",l rqir»'^eiilt» 
la force vive de mouvements tourbilloiiiKiires lieiiiinnip |*1îi§ 
intimes encore (ou plutôt la partie variable de €«^îte f«>re«* \h'r . 

Dans l'hypothèse de rseumann, c'est Finverse : mi uki pla»! 
d'ailleurs à supposer Fexistence de la force de Kirrhli^ff. 

Dans Fun et Fautre cas on peut appeler éeer^icie p<iteitîîi*lle 
apparente, la partie de Fénergie totale qiii est due aux ïiîiiiîve- 
ments tourbillonnaires intimes. 

On peut s'étonner qu'en partant de deux points de î,bqjarliiiissi 
diiférents. on arrive à la même expression de Feneri^^ie. Ihins la 
théorie ordinaire, une rotation sans déformation iFeiiiniîîie pas 
de résistance élastique, tandis que. dans îa thécirie ât Lcirti Kd- 
vin elle en fait naître. Comment Fénergie tctiale a-l-eîle iiiénie 
valeur dans les deux casPX'est ce qu^iu premier abiiril oïi a 
quelque difficulté à s'expliquer. 

On s'en rend compte en remarquant que Féther est on iiiilieu 
indéfini ; une perturbation ne peut atteindre cpFuiie partie iiîiie 
de ce milieu, les parties les plus éloignées restant en rrpi»>. 

Il est aisé de se rendre compte que dans un pareil îîiili«:^ii mw 
partie ne peut tourner sans se déformer, sans que d aiitrt-s par- 



: l 



582 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

ties subissent une déformation. Si Ton supposait par exemple un 
cylindre tournant autour de son axe tout d'une pièce pendant que 
le reste de l'éther demeure en repos, il y aurait là une disconti- 
nuité que Ton ne saurait admettre ; il faut supposer entre le 
cylindre qui tourne avec une vitesse angulaire uniforme et réther 
extérieur en repos, une couche de passage, qui pourra d'ailleurs 
être aussi mince qu'on le voudra, et où la vitesse ira en décrois- 
sant d'une manière continue quand on ira vers l'extérieur. Cette 
couche de passage serait dans tous les cas, le siège de déforma- 
tions. 

THÉORIES ÉLECTRIQUES 

444. — Les équations que résument les lois observées des phé- 
nomènes électriques présentent une remarquable analogie avec 
celles de Foptique. Maxwell a le premier remarqué cette analogie 
et ce sera son éternel titre de efloire. 

Dans un milieu non magnétique et diélectrique, ces quantités 
seront liées par des équations identiques aux équations (i), le 

coefficient — ayant même valeur numérique dans les équations 
électriques optiques. 

Dans un milieu magnétique et conducteur, les écpiations sont 
un peu plus compliquées et il faut y introduire deux autres para- 
mètres ; a savoir, le coefficient de perméabilité [x et le coefïicicnt 
de conductibilité A. Les équations (i) prennent alors la forme sui- 
vante, 

; _i__ , _^ __ d\\ dil 



'(4) 



_i__ cB _ r/P cm 
Ko ^^ dt ~ dz 77' 

_L EL __f^ _ i^ . 

K(, ' dt d.v dtj ' 

.K(, (Il dz du K„ ' ' 

_L K '^— tL _i^ _ in ; (> 
K„ ^ dt ~ d.v ' dz K" -^' 

_i_ „ c/R dy. dfj ^-K 

K, dt dij d.v K„ 



TlléORIES ÉlECTËiQl'ES 1^) 

^ Les équations (4) contieniienl les éi|iiîititiiîs :;i m'hiiiïm»* r^.|Mf^ 
ticuUer et on obtient ces dernières en iaisaîil 



Il nous sera permis clans ce qui va suivre de srîi|i|>.i*.-r -i „■„ t. 
Nous pouvons en effet adopter îliypotliHe crAinp,*î'i\ Alin* l^> 
milieux qui nous semblent magnéliq«esclevrjieiit,piiiïr mmh^^^f^ 
vateur dont les sens seraient assez subtils, ;i|îjKir.iitri» rmmm* 
dénués de magnétisme mais pareoiiriis parmi tiv^i^ro^^ îiiiiiîlir** 
de courants particulaires. 

L'identité de la lumière et de Féleclricilé seniMe lnns «1** 4iiiilr 
d'après ces considérations que des expériences cmiî riiîiiiriiit^tH ♦.*! 
on y a d'abord cherché une explication nouvelle dt»s pliriiiiiiii^iifi* 
optiques destinée a faire oublier les anciennes explicîiîi«iis an-rj- 
niques. 

Puis on a cherché une explication mécanique c«ïiii«!i!ie it la 
lumière et de l'électricité, et alors l'idée la plus iiîitiir^'lîe ^*tMl 
de revenir aux théories élastiques dont j'ai parlé plus iMiiiî et i|iî 
avaient si longtemps paru tout à fait satisfaisantes. Piiîsi|îi't*ik*i 
rendaient compte de la lumière, il s'agissait de lrssiiîiipt«*r ikïtx- 
plication de l'électricité. 

L'adaptation aurait été immédiate, si les éqiiaiitjns dt* l'rledri- 
cité n'étaient comme nous venons de le voir, plus geiirraîes ipe 
celles de l'optique. ]\Ialheureusement les éqiiaîicinà i ne sont 
que des eus particuliers des équations j . 

Cette circonstance ne doit pas toutefois nous déecïiînigt-r : pre- 
nons une quelconque des théories optiques, celle de Fresîieî 
par exemple ; dans cette théorie la vitesse de IViher es! repré- 
sentée par le vecteur (P,Q,R : supposons par consêf|iîeiil que h 
vitesse de l'éther soit représentée par la force électrique, Repre- 
nons les équations 14!, et 'interprétons-les en consécjiîeiiee, elles 
exprimeront certaines propriétés de Féther ; ce serein! les pro- 
priétés qu il faudra attribuer à ce lluide, si Ton veiit rcinserver 
la théorie de Fresnel. 

Au' Heu d'appliquer ce procédé d'adaptation à ht lliecirie de 
Fresnel, on peut l'appliquer à celle de Neumann et ^lac-Ciill^gîî 
et c'est ce qu'a fait M. Larmor. 

Dans l'un et l'autre cas, on est conduit à attribuer à Feîlier des 



I . 584 '^ PROPOS DE LA THEORIE DE LARMOR 

^ propriétés assez étranges et faites pour nous surprendre au pre- 

î mier abord. 11 convient en tout cas d'insister sur ces étrangetés, 

I soit qu'on veuille familiariser les esprits avec elles, soit qu^on les 

I reo*arde comme des obstacles insurmontables qui ne permettent 

I 

I pas d'adopter ces explications. 

j ADAPTATION DE LA THEORIE DE FRESNEL. 

I 

I 445. — La théorie électromagnétique de la lumière, aujour- 

|. d'hui confirmée par l'expérience, nous apprend que ce qu'on 

J appelle en optique le vecteur de Fresnel n'est autre chose que 

I la force électrique, et que le vecteur de Neumann est identique 

i' avec la force magnétique. Si donc nous voulons conserver la 

I théorie de Fresnel, il faut que nous admettions que la vitesse 

i de l'éther est représentée en grandeur, direction et sens, par la 

.| force électinque. 

: Mais cette hypothèse entraîne des conséquences singulières. 

Considérons une petite sphère électrisée ; la force électrique est 
partout dirigée suivant le rayon vecteur qui va au centre de la 
sphère ; telle devrait donc être aussi la direction de la vitesse de 
l'éther. 

11 en résulterait qu'une sphère électrisé.c positivenioiU, par 
exemple, absorberait constamment de l'éther et qu'une sphère 
électrisée négativement en émettrait constamment. 

Va cette absorption ou cette émission devrait durer tant que la 
sphère conserverait sa charge. 

En d'autres termes, les parties de l'espace où nous disons ([u'il 
y a de rélectricité positive ou négative seraient celles où h» den- 
sité de l'éther va constamment en augmentant, ou constamment 
en diminuant. 

Cela seml)le })ien dillicile à admettre ; comment hi densité ckî 
^ Téther pourrait-elle varier si longtemps toujours dans le mémo 

sens, sans que les propriétés de cet étlier en paraissent modifiées ? 
: Faudra-t-il donc supposer que la densité est très grande et sa 

vitesse dans un champ électrique très petite, de sorte cpie, mal- 
gré la durée de l'électrisation, les variations relatives de la den- 
sité soient peu sensibles ? 

Poursuivons néanmoins notre examen. Vovons si cette corn- 



ADAPTATIOX DE LA TilEOim: DE n£,\U:i llî 

pressibilité indéfinie de Féther n'est pas, sinon pliw intelligiliît, 
au moins plus conforme aux hypolliëses lialMlaelles ipll i^ 
semble au premier abord. 

Un gaz ne transmet pas les vibrations Iransver^îiles ; r**lalîi*nl 
à ce qu'un glissement intérieur entre les eoudies gimmim^^ ii'i* 
provoque pas de résistance élastique ; si iiièîiie le gm élail ir- 
pourvu de viscosité, un mouvement de glissc^iiienl, une f«iîîi€*«in- 
mencé se poursuivrait indéfiniment. 

De même Téther ne transmet pas les vilir*ili«>iii» liMigiliiili- 
nales, ce qui peut s'expliquer de deux niiiîiiêres : <iïï priît sii|i- 
poser qu'il est absolument incompressible ; cm peat iiiiagiin*r, 
et c'est là riiypotliése que Fresnel est. obligé tle faire |Miiir expli- 
quer la réflexion, qu'il est au contraire incapable île rt»sistt*r ii 11 
compression. 

La compression dans Tétber, de même ciiie le grisseiiiriit ilaiis 
les gaz, ne doit donc pas provoquer de résistance élaslî<|iit» ; et 
alors quand une particule d'éther a commencé à se eiiiitracler #a 
à se dilater, cette contraction ou cette dilatation se poiirs-tiirra 
indéfiniment. 

Les bvpotbèses anciennement admises eîilraiiiîiieiîî ilmir lîéja 
cette conséquence que nous jugeons invraisemblable ; wi 1rs ae- 
ceptalt pourtant parce qu on croyait qu'elles ifétaienl ipi'ap|irô- 
cbécs; pour adapter la tbéorie de Fresnel aux pliencimt^nes élec- 
triques, il faut au contraire les supposer 1res |,irrs tïrlre 
rigoureusement réalisées, et c'est de Ih que vient la cliiTiciillr. 

Je ne chercberai pas li la lever: mais je ne puis plisser s.hîs 
silçnce Lanalogie entre les considérations cpii prrr.HirnI ri 1rs 
sphères puisantes de Bjerknes, Pendant <pie l'une dr es spîieres 
se contracte, le mouvement dans le liquide environiianl esl toiit 
à fait pareil a celui que la théorie précédente allribiie a .Hier 
dans le voisinage d'une charge électrique positive, qmuà rrile 
sphère se dilate, elle est au contraire assimilable a une iiKisse 

électrique négative. 

Ou sait que la représentation des phénomènes ^.^ro,UU,pv. 
par les sphères de Bjerknes n'est q„-imparlaile et cela ,K.«r d.av 
raisons. La première sur laquelle on a surtout .ns.ste. . e., qu. 
le signe des phénomènes est change. ,;..„/,.• 

I.f seconde n'est pas moins importante. Bjerkno. .a,. a,n 



' f 586 i PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

r 

; t l'une sur l'autre deux sphères, dont les pulsations ont môme 

' \ période, de plus les pulsations ont toujours même phase, ou bien 

I phase opposée, de telle façon que la différence de phase est tou- 

J jours égale a o ou à ti. 

; \ En se restreignant ainsi, il représente les phénomènes élec- 

. j triques au signe près; il serait arrivé sans cela à des lois beau- 

; j coup plus compliquées; supposons, par exemple, trois sphères 

'' j , puisantes A, B et C ayant même période, mais ayant respective- 

^ r ment pour phase o, — et t:; A n'agirait pas sur B, ni B sur C ; 

; I mais A agirait sur C. On n'a plus du tout la reproduction des 

' I . lois de l'électrostatique. 

,/ Or si Ton admet que l'électricité est due à de semblables 

' I oscillations, on pourra supposer à la rigueur que ces oscillations 

: aient toujours même période ; mais il n'y a aucune raison pour 

i que la dillerence de phase soit toujours o ou t:. 

\ Bjerknes était bien forcé de donner à ses sphères un mouve- 

I ment alternatif, mais i'éther indéfiniment compressible de la 

\ théorie de Fresnel adaptée, nous donne l'image de sphères 

j puisantes dont la contraction ou la dilatation durerait indéh- 

i niment et pour ainsi dire de sphères puisantes de période 

5 infinie. 

I 

J Les attractions électrostatiques seraient donc immédiate- 

\, ment expliquées, s'il ne restait la difliculté du changeuient de 

; signe. Elle n'est pas insurmontable et nous y reviendrons. 

Voici maintenaut la siguification des é(piatious (4) ; adoptant 
l'hypothèse d'Ampère je suppose \x ^= i. D'où provI(Mit le terme 
en A qui s'introduit dans les milieux conducteurs ? L'interpréta- 
tion en est aisée; dans les conducteurs (pii sout ]e siège d'un 
courant voltaïque, il y a réellement un courant conliim d'éfher; 
il y en a un aussi à travers les diélectriques dans un champ éhnv 
trique ainsi que je l'ai dit plus haut ; mais tandis (pie TcMlier 
pourrait se déplacer à travers les diéU'ctricpies sans sifbir aucun 
frottement, il frotterait sur la matière des conducteurs, et ce 
serait la force vive détruite par ce frottement qui se ti'ansforme- 
rait en chaleur et qui échaufferait le circuit voltaïque. 

Parmi les mouvements dont I'éther peut être le siège, il y en 
a qui ne provoquent aucune résistance élastique ; ce sont des 



TIIÉOmE BE LAMMm "-#- 

mouvements de cette sorte qui se priMlîiÎM^iil ii«H i.^ Miî4!.4-r 
<run circuit parcouru par uu coiikhiI wi1|;iïi|iî4* fnmMWHt, 
Mais on ne peut directement passer «îii ri'|ifis à «p .»^iii|iiil4,= 
mouvenient ou inversement ; il y a niH-e.^sïiiri^iii,*»! «iî^ j.lm^,. 
transitoire où d'autres mouvements st* |iîiiiiiîisrii!, ijiii .^i^ 
sont transversaux et doivent mettre en jeu réliihlirifr ih W^ûtm . 
Ce serait cette réaction élastique qui priiiltiiraii h^ plii'wwim*»*** 
d'induction. 

Nous reviendrons plus loin en détail sur li>iis r»»^ |iiiiîil> 



THEORIE DE LÂÏIMOB 

446. — La théorie de Larmor n>st autre ehiise f|ue ratia|ila- 
tion de la théorie de jXeumann. La vitesse de rétine* est ailcirs re- 
présentée en grandeur, direction et sens par le veeletir tie Xt*ii- 
mann, c'est-à-dire par la force magnétique. 

Comme nous supposons çjl = i on a piirtoiit, 

ch. ^/3 ch 



dx (lij dz 

et Téther apparaît comme incompressible. 

Si Ton considère un fil rectiligne parcouru par iiii eciiiraiil vciî- 
taïque, dans le voisinage de ce fil Féther est en l'utalitiii : eîiai|iit' 
molécule décrivant une circonférence c|ui a pour axe 1 axi* riîthîîr 
du fil ; la vitesse angulaire de rotation est en raison iiiveî-se du 
carré du rayon de cette circonférence. 

Les phénomènes d'induction éleetromagnéîiqiie stm! tlik sim- 
plement à l'inertie de Téther. 

L'éther est doué de Télasticité rotationnelle teîlr que îa «mii- 
prend Lord Kelvin; on ne peut donc écarter une parlicuie iftHlier 
de son orientation primitive sans avoir à dépenser tîu tnivaiL 
Mais cette résistance n'est pas toujours de même miliire. 

Dans les diélectriques, cVst une résistance élastique, rî «ne 
particule d'éther, écartée de son orientation primitive, y revirtit 
dès qu'on l'abandonne à elle-même ; dans les comluflrtirs et^ 
une résistance analogue à la viscosité des liquides, relie parti- 
cule ne tend pas à revenir d'elle-même à son orieolaticiîi iiriiiii- 



588 A PROPOS DE LA THEORIE DE LARMOR 

tive, et tout le travail dépensé pour l'en écarter a été transformé 
en chaleur. 

Les choses malheureusement ne sont pas aussi simples que 
cela, et il y a une difficulté qui mérite quelque attention. Le 
couple, qui dans cette théorie, tend a ramener une particule 
d'éther à son orientation, est représenté en grandeur, direction 

i et sens, parle vecteur de Fresnel, c'est-à-dire par la force élec- 

trique (P, Q, R). 

I Si l'élasticité rotationnelle de Lord Kelvin demeurait inaltérée, 

I au moins dans les diélectriques, on devrait avoir à un facteur 

I constant près, 



f 



I 



Kl 



K, '^^ dz cly 



Ky dx dz 



^5 



Kq dfj dx 

r^, s désignant les composantes du déplacement d'une molé- 
cule d'éther à partir de sa position primitive. 

Il en résulterait que le ilux de force électrique qui traverse 
une surface fermée quelconque dans le diélectrique devrait être 
nul ; en d'autres termes la charge totale d'un conducteur isole 
devrait être nulle. 

Il est donc nécessaire d'introduire dans la théorie une modifi- 
cation profonde et cette nécessité n'a pas échappé à M. Larmor 
qui s'explique sur ce point en quelques lignes [Procecdin^j^s, 
7 déc. 1893, p. 44"? ligues -j \\ 1^). 

Pour voir quelle est la modification conveuable il n'y a 
qu'une chose à faire; reprenons les équations (4), interprétons- 
les dans le langage de la théorie de Larmor et vovons ce qu'elles 
signifient. 

Posons 

K, dz dy ' 

la seconde équation (4) deviendra, 

(5) ^KiL(£^ = „|L,P. 

K dt K, 



f 

I 



THÉORIE DE URMOM * |% 

Si ). était constamment nul, on aurait P =. P\ cVst-a-tlîrt qmt 
le couple développé par Télasticité de Fétlier lenilraîl a raiiiefM?r 
chaque particule d'éther à son orientaliori pririiilive. 

Supposons maintenant que A soit variable : ti"aln>rtî îimL r»' 
coefllcient prendrait une valeur positive peiidaiil i|iîrlt|îî»* t*nii|ï*^. 
puis redeviendrait nul. C'est à peu près ce qui mine iLiiis !♦* m* 
d'une décharge disruplive ; Fair d'ahord ist^laiit. rt**%*4r tir Y^m* 
pendant quelques instants au moment de la dèelîarg*» ri |M*rtl **ii- 
suite de nouveau ses propriétés conductrices. 

Quelle est alors la signification de l'équatitin 5-.' On aiiri 



=-*r 



Kïhii. 



Tintégrale 1 A P di devant être étendue a toute îa durée tie îa 

décharge, et étant par conséquent proportionnelle a îi i|iiaii- 

tité d'électricité qui a passé pendant cette décîiarg*- ; je puis d#iir 

écrire, 

P — P' = Avs, 

/i étant un coefficient constant et i- étant cette quanlilé il'elee- 

tricité. 

/Vprès la décharge, le couple élastique ne îeiid plus à rame- 
ner la particule d'éther a son orientation primîïive, c-'esl-a-cMre 
à une orientation telle que P = o, mais à une orienlyliwî lellr 

que P = ks. 

Pendant la décharge le diélectrique perd son clastirilé rtila- 
tionnelle ; après la dV^iarge il hi recouvre, mak iin^mdtmmt 
modifiée par le passage de T électricité. 

L'élasticité des solides nous olVre des phénomènes tout sem- 
blables. Une barre d'acier soumise à une traction s'alkirige, 
mais pour revenir à sa longueur primitive dès que la îrarîiciii 
cesse. Si on la chauffe au rouge, elle perd son êlasîirilr et ih- 
vient ductile ; sous la traction, après s'être aHongee, elle cmser- 
vera la loncrueur qu'elle aura ainsi acquise même quand eelîe Irai- 
tion aura cessé. Si ensuite on la refroidit, elle reccmvreni s.ni 
élasticité, mais cette élasticité sera modifiée, car elle ne teiidni 
pas à ramener la barre à la longueur qu'elle possédait .vaiiî 



590 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

toutes ces opérations, mais à la longueur qu'elle avait au moment 
où l'élasticité a été recouvrée. 

Que se passe-t-il alors dans l'étlier cj[ui entoure un corps élec- 
trisé ? 

Chaciue particule est soumise à un couple élastique qui tend à 
la ramener à une orientation donnée, différente (au moins pour 
celles qui ont été traversées par de l'électricité pendant la 
charge) de celle qu'elle possédait avant l'électrisation. Les par- 
ticules étant solidaires les unes des autres, les orientations 
qu'elles tendent à prendre sont en général incompatibles. Il se 
produit alors un équilibre où chacune de ces particules est com- 
parable à un petit ressort tendu. Le travail des forces élec- 
trostatiques n'est autre chose cjue l'énergie emmagasinée dans 
ces petits ressorts. 

Cette explication ne me satisfait pas encore complètement 
parce que nous n'avons envisagé que la décharge disruptive, 
et que nous avons laissé de côté le cas où, pour modifier les 
charges de deux conducteurs on les met en communication à 
Laide d'un fil métallique^ pour les isoler ensuite de nouveau en 
écartant le iil. 

INIais là on a affaire à des corps en mouvement, et la dilllcullé 
est plus grande. Au lieu des équations (4) qui sont celles de 
Hertz [Grundgleicliimgen cler Electroclijnaniik fur ruliende Kôr- 
per, Wiedemaniis Annalen, 4o, p. 377, et la Lumière éleclrique 
t. XXXYII,p. 187, 1885 23g) il i'aut considérer les équations 
beaucoup plus compliquées du second mémoire de Hertz sur les 
corps en mouvement [Grundgleicliungen der Eleclrodtjnunilk 
fur hewegte Kijrper, Wledemanns Ànnaleii, /ii ^ (^i la Lumière 
électrique, t. XXXVIII, p. 488 et 54:^). J'étudierai ces équations 
un peu plus loin et je chercherai quelle est leur signihcatioii 
quand ou les interprète soit dans le langage de la théorie de 
Fresnel achiplée, soit dans le langage de la théorie de Larmor. 

J'aurai ainsi, du même coup, l'explication dans l'une et dans 
1 autre théorie, des phénomènes mécaniques dont un champ élec- 
tro-magnétique est le siège, c'est-à-dire des attractions électros- 
tatiques et des actions mutuelles des courants. 

Pour achever de tracer le programme des questions que je 
veux traiter dans ce qui va suivre, j'attirerai encore Tattention 



11^ 



THEORIE BE lA!i3if)Ê «^lî 

sur deux autres diiïicultés que nous aiirwis a r.\aiïiiiîfr m i^^ljîL 
Généralement dans les recherches sur rêlei-lririlr ,m n4ui*4 nm* 
les déformations des corps élastiques sont lrr> |irtif*»% : iri mw 
semblable hypothèse n'est plus permise; clans mi rhainj* iiu^ttr. 
tique constant la vitesse de Féther est égaleiiit*iilriiîi>iiiiii*M|'a|ii*'% 
l'hypothèse de Larmor, et toujours dans le im'^îiit^ >»*iî^. Au i»i»iil 
d'un certain temps, les molécules cl'étliercî«*iv<fiil mmr r|irin«i* 
des déplacements sensibles, et cek' ittéiiie en HiipjMï^*iiil r«*llr li- 
tesse constante très petite ; car dans les tm'fs iiw;(iîf!isjîj«*^, iî 
faut supposer l'existence de courants partiriilain'» j*¥îîîiaiir'iit* 
qui doivent durer depuis Forigine du !iîi»iidi\ Im-u t|iî'iK îî«^ ^»* 
manifestent que quand le corps est a iièiii:ii('iiKL' .>. r"r^t-lî-llir#' 
quand tous ces petits courants sont ramenés par ii!ir r;iiiM* rxle- 
rieure à une orientation commune. Quelqui' pt4ilf qm* Mtii h 
vitesse de Féther, un mouvement qui se pruduil Itiiijiiuib tkiîis h- 
même sens depuis Forigine du monde, a néeessaireiiieiiî |iriiiliiil 
des déplacements considérables. 

En second lieu, dans un champ niagîiétîC|iît% Yèûwr e^î snfî- 
posé en mouvement et il devrait entraîner les tiiitl»'? îami- 
neuses. 

M. Larmor dit à ce sujet à la fin de son travail : 
(c Le professeur 0. Lodge a bien voulu exainiiier felFel cl'iiîi 
)) champ magnétique sur la vitesse delà hiiiîii*re : niais iFa pii 
)) en décéler\aucun, bien que les moyens qu'il empluyait fîisseiit 
» extrêmement délicats ; il en résuiterall. dans nuire lliniri*^ 
» que le mouvement dans un champ magnétique est ti'.-s h'uK 
» et par conséquent la densité du milieu très gnmûr. » 

Ainsi ce mouvement était si lent c|ue les experIeîIcr^ ih M. i*, 
Lodge, quoique très précises, ne Fêtaient pas eneure a>>ez |ii»iîr 
le mettre en évidence. Pour dire toute ma penst'-e, j'esiiiiie c|im% 
ces expériences eussent-elles été cent ou nulle fois plus prmses, 
le résultat aurait encore été négatif. 

Je n'ai à donner à Fappui de cette opinion qiie des nmmis de 
sentiment; si le résultat avait été positif, on aurait pu iii..iirer 
la densité de Féther et, si le lecteur veut bien me parcWmier .. 
vulgarité de cette expression, il me répugne de penser qm I rttiei 
soit si arrivé que cela. 



592 A PROPOS DE LA THEORIE DE LAIîMOR 



ÉLECTBODYXAMIQUE DES COUPS EN MOUVEMENT 

447. — Ainsi que je l'ai dit précédemment, je ne peux pour- 
suivre l'examen de la théorie de Larmor qu'en examinant ce qui 
se passe dans un champ électromagnétique où il y a des corps en 
mouvement. 

Le plus simple paraît être de prendre comme point de départ 
les équations de lïex^tz [Grujidgleichungeji der Electrodynamik 
fur hewegle KorpeVy Wiedemamis Aiuialen^ 40 '\^'ide supra 
p. 090) et de les traduire ensuite soit dans le langage de la 
théorie de Fresnel adaptée, soit dans celui de la théorie de Lar- 
mor. 

Mais une première question se pose. Ces équations , qui ne re- 
posent, en somme, que sur quelques inductions hardies, peuvent- 
elles être acceptées telles quelles ; cela est fort douteux. 

Nous avons vu plus haut en elFet (p. 389, n*^ Sig) que les ondes 
lumineuses devaient être entraînées totalement par un milieu 
diélectrique en mouvement. 

Cela est absolument contraire à l'expérience célèbre de Fizeau 
qui nous apprend que l'entraînement n'est que partiel ; on devrait 
avoir (p. 392) 

;,r,,î^ étant les composantes de la vitesse de la matière. 

Les équations de Hertz doivent donc être modifiées. Mais quelle 
modification faut~il y introduire ? On peut être un peu embar- 
rassé pour répondre à cette question. 



THEORIES ])E HELMIIOLTZ 

448. — Représentons-nous deux milieux qui se pénètrent, 
Téther et la matière ; soit p la densité de l'éther, p^ celle de la 
matière ; soient ç^, r^^, ^^ les composantes du déplacement de 
l'éther ; \,, r^,, î^^ celles du déplacement de la matière. 

Une particule d'éther est soumise à deux forces : Tune due à 
l'action de l'éther environnant et qui estla même que si la matière 



*r 



THÉ OR! ES DE MELWÎOLn Sfl 

n'existait pas ; soit L,M,X celle fiirce ; faiilre due h racliiifi dt 
la matière sur Téther et doiîl les ciimposaiilcî^ serein! 

B(l-H,l. Bj.-r,,, B:,-;. 

Une particule de matière es! également smiiiiisr y .î*-ii\ ïiiis ^'^ , 
Tune est la réaction de Tétlier sur la nialii^rr ri a |iiiiîi r^«"ii|ii*- 
santés, 

B (;.-;,% B(^,-V' B :,-;,■ 

L'autre est une sorte de froîlemeiil àmil licifiitwiîlz îi*»'i}*li#|iîr 
pas très bien Torlgine et qui a p«)iîr comptisaiites 

_cA _ci^ -c-^. 

(Il ' (ii " iii 

B et C sont des constantes qui dépendent de la iKiliireilii riir|is. 
Les équations du mouvement deviennent alors, 



:L4-B;;,-V, 



C'est à l'aide de ces éqîiations que Ileîmliîslt/ n^iicl €cini|ïlr tî«* h 
dispersion. Mais tel n'est pas notre IhiI ; omis \\mhm> im r«ii- 
traire nous en tenir au premier degré d*approxîiiKiti«ii cm tm 
néglige la dispersion et pour cela il tant siippost^r i|iie B «Haril 
très grand, on a sensiblement z^ = ;_^. 

En ajoutant les deux équations précédentes el iaisaiil ;^ = ;, 
il vient 

(5) ^^+?i 7/^-T-=^^"^^l?r* 

Il nous reste a voir ce qui arrive si on suppose Fetlier îiiiin.- 
bile (sauf son mouvement de vibration bien enleiulii el h iiirn 
tière en mouvement. ^ 

Nous désignerons par ;, t., : les composantes de la vIles^,' û. 

la matière. ^ .. 

Nous représenterons par ^ et par ^ la projection «» TaKo 

PoixcARÉ. Électricité et Optique. 



594 --i PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

des X de la vitesse et de l'accélération d'une molécule matérielle, 
de sorte que 

^t ~ dt "^^ dx '^ ' di/ ~^^ d.z ' 
et en négligeant les carrés et les dérivées de ?, v], ^ : 

H' ~ dt' ~^^^ dxdt '^^^' dydt ^ ^'^ dzdt ' 
L'équation (o) devient alors, 

Il est aisé de voir d'abord que cette formule (5 his) rend compte 
de l'expérience de M. Fizeau. Imaginons en effet que le milieu 
soit un diélectrique parfait (d'où C = o) et que les ondes lumi- 
neuses soient planes^ le plan de Tonde étant parallèle au plan 
des xij ; alors ç^ est fonction de z et de t seulement et Ton a : 



1^' 

X étant un coefficient constant. 

Supposons de plus que la vitesse de la matière soit constante et 
parallèle à Taxe des .c, de sorte que 



^^-7~7r4 



^e dt" ^- dzdt ~^^ dz'" 

On a d'ailleurs 

K(] étant la vitesse de la lumière dans le vide, et Téquation 
(5 Lis) devient ; 



-p. 



^^-^ =pK^ 



' di' ' '^\dt'' ^^^7hdF~^^'7J 

d'où, si l'on appelle pour un instant U la vitesse de propagation 
de Tonde : 



f^ 



P + p,)U^+aS:p,U + i;\o, = pK5; 



TIIÉOEIES DE HELMimiTZ 

d'où en négligeant le carré de :; 



*ft 



^==K\/^ 



Il est clair que, 
il vient donc finalement, 



V==K^\/^-^.{.-±). 



On voit donc que cette théorie rend bien eoeiple lîe rentral- 
nement partiel des ondes constaté par Fizeau p. 5i|!4 . 

Mais elle cessera de paraître satisfaisaiite si on veiîi rappliciier 
aux phénomènes électriques. 

Reprenons les équations (5 ùis) en supposant C == 0, il vîeal, 





' dt' ^" 


1-- 


et de même, 








' dt' ^ " 


0/- 




(P-:, 






c ^f. . ri 


cV^ 


Comme on a 






. 


dL f/M 

d.v ' dij 


, dS 

-+- ,/r. - "■ 


si Ton pose 








d.v 


'h: 'l~.: 




d,j ■ dz 


il viendra, 






^^ f6) 




0-^ 



L(?5 ^Z ordinaires représente?}! toujours les dérivées prî.ses par 
rapport à t en supposant le point x, //, z fi.re et les Promis, en sup- 
posant le point x, j/, z entraîné par la matière. 

Pour nous rendre compte de h signification de crile ri|iiîiti«^îi. 



596 A PROPOS, DE LA THÉORIE DE LARMOR 

reportons-nous à ce que nous avons dit plus haut de la théorie de 
Fresnel adaptée. Nous avons vu que, dans cette théorie, aux 
points 011 il y a de rélectricité positive, la densité de Téther va 
constamment en augmentant. 

Or, d'après une formule bien connue, 9 représente la conden- 
sation de Téther, c'est-à-dire l'excès de sa densité actuelle sur sa 
densité normale. Dans cette manière de voir, la densité de Télec- 

tricité libre serait donc proportionnelle a —7-. 

Il pourrait y avoir doute dans le cas où les corps chargés d'élec- 
tricité sont en mouvement. On peut se demander alors si la den- 

sité- de 1 électricité doit être représentée par — -- ou par -^ ; 

mais le résultat que j'ai en vue n'en sera pas changé. 

Supposons que ^ = rj = o, (^= constante; l'équUtion (6) devient 

D'ailleurs -— - et —7- satisferont comme a l'équation (6 his). 
&t de ^ ^ 

Cette équation est contredite par l'expérience, l'électricité 
devrait être entraînée avec la môme vitesse que la matière puis- 
qu'elle reste attachée aux corps qui en sont chargés et on dévorait 
avoir, 

d^ aô . ^ . 

—-et -TT satislaisant comme G aTéquadon (6 fc/-). 

Cette nouvelle théorie n'est donc pas plus satisfaisante que la 
première. 

Mais ce n'est pas là la forme à laquelle Ilelmholtz s'est arrêté; 
à la théorie de la dispersion que nous venons de discuter et qu'il 
avait développée avant le triomphe de la doctrine de Maxwell, il 
en a substitué une autre qu'il a exposée sur la fin de sa vie dans 
le lome XLVIII des An7iales de Wledeniann [Eleciromagneilsche 
Théorie der Farhenzerstreuung), A ce mémoire de Ilelmholtz se 
rattache un travail de Reif [Wled. Ann., t. L, Fortpflanzung des 
Llchles), qui examine les conséquences de la théorie de Ilelniholtz 



THEORIES DE HEiJmOlTI 1^^ 

précisément au point de vue qui lioiis «ceup, c'rst-ii-tlirf ai 
point de vue de renlraînemeiit partit*! âe^ miih*'^ |i*iâ* liii mllh-m 
en mouvement, llelmholtz syppostM|iie dim^ hs àh4$H-i^uiue>* h 
polarisation électrique se décompose ru tlmix parlî*^-. : li îmhm- 
sation de Téther dont nous désignerons h-> rfiîii|«*s,în!*'* jur 
X, Y, Z et la polarisation delà matière que mnn 4esipi^*um^ |i;ir 
/, g-, A, et que le savant allemand alirilme ii unr ntirîî* *|\'|*»cfr»i- 
lyse incomplète. 

Le courant de déplacement lolal a alors pour fiii!t|»»^jîilt''<: 

- ^x AL £L EL ÉL^Jl 
dt "^ dt ' di ^iF' ir ' 'iff' 

L'énergie électrostatique localisée dans le viiliiiin' cir thl iraiitre 
part la somme de trois termes, un terme en X" -^ ¥' -r- '/*% i» 
terme en f- -{- g' -\~ h' et un terme en X/'-f- \i! -t- ïJi» En flir- 
tant de ces hypothèses, Helmholtz rend compte des Inis tl«* la dis- 
persion ; mais Reif a voulu voir comment on pourrait ex|ilMnier 
dans le même ordre d'idées, Texpérieiice de Fizeaii rr|j€lée |iar 
Michelson et Morley. Il a reconnu qu'il faudrait siî|i|Miser ifiie la 
matière transporte avec elle rélectricité qui engeiiclre la secôfiie 
composante /, g, h de la polarisation, tandis «ftie Felher esl 
entraîné partiellement en transportant avec kiî releriricilé iiai 
engendre la première composante X, \ , Z. 

M. Reif a alors songé à modifier lliypollièse de Ilt4iiilitilli 
en supprimant dans l'énergie électrostatique le leriîie en 
Xf~^^g-^lh. Le résultat est alors beaucoup plus sim|il»». L\*ii- 
traînemcnt de l'éther est alors nul. 

Je transcris les équations de llelmholtz [Sîiziingskiirhie Je 
Berlin, 1892, LUI, p. 1098 éq. i'aK iiï, i-./. seiil.iiieiil jm 
désigné par X, Y, Z ; /', g. h ce que llelmholtz représente par les 
■ lettres gothiques X, Y, Z, .r, ^, . ; de phis je siippuserai 
^ ^ K = I ; je représenterai enfin par a, % 7 ce ipie llrlnikilti 
représente par les lettres gothiques L, M, X. Il vient aiiisi 

T dx d'L^h) d\ — g 

(7) T,~dt^ 'dJi dz 

i d r (i^^ ^^V 

avec les équations qu'on en aéduirait par synu-tri.-. 



il 

il 



598 A PROPOS DE LA TUÉ OUÏE DE LARMOR 

Avec l'hypothèse de Reif, il faut dans l'équation (7) et celles 
qu'on en déduit par symétrie remplacer F — f, G — g^ II — A 
par F, G, H. 

Malheureusement il y a un obstacle dont Reif ne se tire pas 
mieux que Helmholtz. 

Si le milieu est en mouvement, la composante f^ g^ h est en- 
traînée par la matière et l'équation (8) devient, 

__Li£ _^^_#_ ^ 

Ko dt Ky ô^ ~ dz ly" 

On déduit de là : 

d fdl. dX dZ\ ^ /df dg dh\ 
dt\dx~^ dy '^ dz l~^ U\dx ^ dy '^ dz )~'^' 

L'expression 

df dg dh 

dx dy dz 

est proportionnelle à la densité de Télectricité c-. 
D'autre part Helmholtz trouve, 

a% m et k étant des coefficients constants. 

Si les mouvements sont très lents, les deux derniers termes 
disparaissent et il reste, 

d'où 

^x , dX dZ 

dx dy dz 

d'où enfin 

, d^ Ocr 

dt dt 

Si q ~-'f^ = 0, c'est-à-dire si la vitesse de la matière est paral- 
lèle h l'axe des ;:, il vient 

/ 9 , \ (^'^ , dG 



THÉORIE DE LORENTZ |^ 

ce qui veut dire que les charges éleelricpies m mm\ lu^fmîmmH^. 
avec la matière comme Fexige îe principe Je k ^mis.tvMun i, 
1 électricité, mais qu^elle est eiilrainée avec «ne vili'..r pla. m fm^ 
égale a 



la théorie de Helmholtz conduisant soiis ce rappcirt au iiiéait 
résultat que celle de Reif, Fune et Fautre me paraissent immr 
être rejetées. 



THEORIE DE LOEENTZ 



449. — ]\I. Lorentz a imaginé une théorie éleclrtMl¥iiaiiiiï|iM^ 
des corps en mouvement fondée sur des principes eiiliereinent 
différents et à certains égards plus satisfaisante. Xons ravdit 
exposée plus haut (p. 422 à oj'i). 

Cette théorie rend compte, comme nous l'avons vu^ diipriacipe 
"de la conservation de Félectricité, puisque Fhypollièse fiMiclaintii- 
tale n'est autre chose, après tout, qu'une IraJuctiim de ce prin- 
cipe lui-même. 

Elle rend compte également de Fentraiiiemeiit parliel tles 
ondes. 

Malheureusement il reste une dillicullé grave: ii n'y a plus éga- 
lité entre Faction et la réaction. C'est ce que nous avons deinoîilre 
pages 448 ^^ 454- Pour s'en rendre compte, sans entrer Juns le détail 
des calculs, il nous sulfirait d'ailleurs d'un exemple simple. Cuesidé- 
rons un petit conducteur A chargé positivement et eiiloore J'ellier. 
Supposons que Féther soit parcouru par mie onde eleclrcimsigiie- 
tique et qu'à un certain moment cette onde atteigne A, là lbrc€* 
électrique due à la perturbation agira sur la charge de A eî pro- 
duira une force pondéromotrice agissant sur îe cûrps A. Celle 
force pondéromotrice ne sera contrebalancée ao point de vue du 
principe de Faction et de la réaction par aucune dnxe agis>atîil 
sur la matière pondérable. Car tous les autres corps prinderable^ 
peuvent être supposés très éloignés et en dehors de la reginii Je 
Féther qui est troublée. 

On s'en tirerait en disant qu'il y a réaction de corps A sur 



î 



'é 



eoo A IROPOS DE LA THEORIE DE LARMOJR 

Téther ; il n'en est pas moins vrai qu'on pourrait, sinon réaliser, 
au moins concevoir une expérience où le principe de réaction 
semblerait en défaut, puisque Texpérimentateur ne peut opérer 
que sur les corps pondérables et ne saurait atteindre Téther. 

Cette conclusion semblera difficile à admettre. 

La théorie de Hertz ne donnait pas lieu a cette difficulté et 
était parfaitement d'accord avec le principe de la réaction [inde 
supra^ p. 4^0). Dans cette théorie et dans l'exemple qui nous 
préoccupait plus haut il y aurait réaction du corps A non seule- 
ment sur l'éther, mais sur l'air où se trouve cet éther ; et quel- 
que raréfié que soit cet air, il y aurait égalité parfaite entre l'ac- 
tion subie par A et la réaction de A sur cet air. 

Cela tenait à ce que dans la théorie de Hertz, l'éther était 
entraîné totalement par la matière j dans la théorie de Lorentz, 
aa contraire, il n'en est pas de même, la réaction subie par l'air 
n'est qu'une très faible fraction de l'action subie par le corps A, 
et cette fraction est d'autant plus faible que l'air est plus raréfié. 

En réfléchissant il ce point, on voit que la difficulté n'est pas 
particulière à la théorie de Lorcntz et qu'on aura beaucoup de 
peine à expliquer l'entraînement partiel des ondes sans violer le 
principe de l'égalité de l'action et de la réaction. Nous verrons 
plus loin si la conciliation est possible. 



THEORIE J)K J.-.I. THOMSON 

450- — Dans ses « Récent liesearckes », J.-.l. Thomson consacre 
unparagraphe a la propagation de la lumière dans un diélecti'ique 
en mouvement (§ 44o, p. 543). Ce travail a été analysé en détail 
par M. Blondin dans la Lumière électrique, du 4 novemln'c 189^, 
p. 201, et je n'y reviendrai pas. 

Je me contenterai de rappeler les principaux résultats. 

Soit V la vitesse de propagation de la lumière dans le diélec- 
trique en repos ; soit 9 la vitesse de la matière du diélectrique, 
ou plutôt la projection de cette vitesse sur la direction de la pro- 
pagation des ondes; soit ^^^ la vitesse de l'éther dans le diélec- 
trique qui serait nulle s'il n'y avait pas d'entraînement, qui serait 
égale \ 9 û. l'entraînement était total et qui aurait des valeurs 



m KO RIE DE J.^J. TMOMSG.V fe, 

intermédiaires si rentraiiiemeîit él;iil partiel. I.a %lltm€ et h 
lumière dans le diélectrique en iiioiivemeiil srra 

Y 4_ ç^ _|_ ç^^ 

i\, ^2 pouvant avoir diverses valeurs suivant h'^ ln|i«ili,**...H 

Dans un conducteur en mouvement il pinil s»^ prinliiitr iïpn\ 
sortes de forces électramotrices dliidiielioii, h jiri'îïii**ii- |iî»t\^»- 
nant de la variation du champ magiiélit|iîi% lit seromît* jwmrnmi 
du déplacement du conducteur dans n.^ cliaiit|i. Il** inètm* $Lii|4 «« 
diélectrique en mouvement il doit se dtH'ij!ti|>|ier îiiiï* itirr*' rht- 
tromotrice d'induction due au déplacenit'iit de n» <ri»»l«*rt!ii|iii* ; 
elle dépendra évidemment de la vitesse de re iliélf'iiiitiiî*' ; iinii^ 
est-ce de la vitesse de la matière du diéleclriqwe eu ût h ilw^^** 
de l'éther qui y est contenu ? on peut faire les àvn\ liik|Millii'sF%, 

Dans le premier cas ç>, sera éoral à — , dans le secDiid y — , 

D'autre part, si un diélectrique se déplace dans iiii r!tJitt|i 
électrique, s'il passe dans une région où ilîiîeIi^itr du t"ii;iiii|* 
est plus grande ou plus petite, sa polarisation vaiiiT.î : «h |ii*iit 
se demander si cette variation de la poUirisaîi<»îi pruiJîiini mn 
courant de déplacement susceptible d'agir sur iim^ aii;iiilît* 
aimantée. On peut faire î\ cet égard plusieurs liypotlirst^s. 

On peut supposer que quand la polarisation é!erlrii.|iie en on 
J7iéme point de V espace demeure constante, iî n'y a pas «le ccia- 
rant de déplacement, quand même le dielectriqut* en sr tleplii- 
çant passerait dans une région où cette polarisalioîi e^l diilé- 
rente. 

En d'autres termes les. composantes du courant de dï^pLit-reieiit 

seraient, 

df diT dh_^ 

~dt' 17^ e// ' 

/", o^, h étant les composantes du déplacement eii iiii puiiiî cinîmé 
invariablement lié à la matière du diélectrique muliile. 

On peut supposer enfin que les composantes tlii rîHîraîît 
sont ^, ^^ —^ et que /; i,^ h sont les ctiîiiiiti>;iiitt.^^ du 
déplacement en un point donné invariablement lié ;i Frllier piir- 
tiellement entraîné par le diélectrique mobile. 



li 602 A PROPOS DE LA THÉOlilE DE LAIÎMOR 

P Dans le premier cas, ç,^ est égal à zéro, clans le second 

"'/ a -— , dans le troisième a --^ . 

k ^ . . ^ . 

I, La discussion de J.-J. Thomson laisse donc place à un grand 

i nombre d'hypothèses, mais aucune n'est satisfaisante ; la seule 

f . . , " . 1 • / ^' 

1; qui soit d'accord avec l'expérience de Fizeau ( (^^ = (^^ = — ^ 

I' ^ . ^ ^ ~^ 

f soulèverait les mêmes difficultés que les théories de Helmholtz- 

i; Reif et Lorentz. 

f On voit donc combien il est difficile de rendre compte par une 

i même théorie de tous les faits observés ; les contradictions aux- 

I quelles toutes les hypothèses peuvent se heurter paraissent tenir 

l à une cause profonde. Dans tous les cas un examen plus attentif 

I est nécessaire et j^^ reviendrai plus loin. 

à 

DISCUSSION DE LA THEORIE DE HERTZ 

l 451. — Nous avons vu dans ce qui précède les conditions 

'\ " auxquelles il semble que devrait satisfaire toute théorie élec- 

f trodynamique des corps en mouvement. 

i^ Elle deçraît rendre compte des expériences de Fizeaii^ c'est- 
à-dire de Ventramemejit partiel des ondes lumineuses, ou, ce qui 
revient au même^ des ondes électromagnétiques transç>ersales. 

2^* Elle doit être conforme au principe de la conservation de 
V électricité et du magnétisme. 

3' Elle devrait être compatible avec le principe de V égalité de 
t action et de la réaction. 

Nous avons vu qu'aucune des théories proposées jusqu'ici ne 
remplit simultanément ces trois conditions : la théorie de Hertz 
satisfait aux deux dernières, mais pas a la première ; celles de 
Helmholtz ne satisfont pas à la seconde; celle de Lorentz satis- 
fait bien aux deux premières mais pas à la dernière. 

On peut se demander si cela tient à ce que ces théories sont 
incomplètes ou si ces trois conditions ne sont réellement pas 
1 compatibles, ou ne le deviendraient que par une modification 

1 profonde des hypothèses admises. 



DlSCiSSmx DES AtTEES TiimUES feî 



DISCUSSION DES AUTRES TIliûllES 

452. — Ainsi la théorie de llerlz salisîail aux «l**ii\ ihnùru^-^ 
conditions ; il nous reste à voir qifelle est la M.*îi!e ijiii i *«j!i%- 
fasse. 

Quelles que soient les hypothèses qml ïioiis M^nifiHii rtiniiii^^ 
point de départ, nous arriverons toujours à deux gi«ii|iï*f* ilr tnii* 
équations aux dérivées partielles, aiialogoes à çAh* lî** li.'fti 
et auxquelles devront satisfaire les deux veetinirn i, ^'l, • et 
(P, Q, R). 

Remarquons que les équations de Hertz salistciiit um% tr«is 
conditions suivantes : 

i^ Elles sont linéaires et homogènes par r.ipptirî ii i, J^. 7 ; 
P, Q, R et a leurs dérivées; 

2" Elles sont linéaires mais non homogènes par rapport à ;. 7,, ^ 
et à leurs dérivées; 

3"^ Elles ne contiennent que des dérivées du premier circlre tant 
par rapport a t que par rapport à .r, ?/ et -. 

Je dis qu'on peut toujours supposer que les éqiîalîc»iis <|ii«» 
Ton doit substituer à celles de Hertz satisloiit à ces mêmes con- 
ditions : 

i^ On peut supposer qu'elles sont linéaires par nif-iport aux 
composantes de la force électrique et de la force îmigîitHic|iîe : si 
en effet elles ne Tétaient pas et si les perturlialinîis rlecirtniKi- 
gnétiques étaient très petites, les termes d'ordre siiinmem dis- 
paraîtraient devant les termes du premier ordn» ; si tUiie res 
équations étalent compatibles avec les principes de Y-M'lum et ie 
la réaction et de la conservation de rélectricil.^ eî du niagiif- 
tisme, elles ne cesseraient pas de Tètre quand oiijes reciiiirâit 
à leurs termes du premier ordre par rapport ii a, >, 7: i^ «i, i^- 
2^ On peut supposer qu elles sont linéaires par rapport ;iî« 
composantes de la vitesse l',, :; si, en effel, on siipp.s. qiir 
ces composantes sont très petites, les termes du seemul d.-r. et 
de de^ré supérieur en l r., r, seront négligeables: si d«iir rrs 
quantités étalent compatibles avec les principes, elies 11. e.sM- 
raient pas de l'être quand onjes réduirait it leurs termes d .r~ 
dre et i par rapport à ;, 7^, -; 



\ I 



6o4 'A PROPOS DE LA IHEORIE DE LARMOR 

3^ On peut supposer qu'elles ne contienneut que des dérivées 
du premier ordre ; si en effet on suppose que la perturbation 
varie très lentement, c'est-a-dire qu'elle est cl très grande Ion- 
gueur d'onde, les dérivées d'ordre supérieur seront négligeables : 
si donc les équations étaient compatibles avec les principes, 
elles ne cesseraient pas de Tètre quand on les réduirait à ceux de 
leurs termes qui dépendent des dérivées du premier ordre. 

Supposons donc remplies les trois conditions énoncées plus 
^haut. 

Pour former les équations nouvelles, nous reprendrons les 
équations de Hertz et nous ajouterons respectivement aux pre- 
miers membres des trois équations du premier groupe les termes 
complémentaires, 

* AR,, AR,, AR3; 

Nous ajouterons de même respectivement aux premiers mem- 
bres des trois équations clu second groupe les termes complé- 
mentaires. 

AS,, AS,, AS3. 

Nous avons obtenu le principe de la conservation du ma- 
gnétisme en opérant sur les équations du premier groupe, 
les différentiant respectivement par rapport à a\ y et z et ajou- 
tant. En opérant de cette manière on retrouvera Féquatlou de 
la conservation du mugnétisme, mais avec le terme complé- 
mentaire 

, /^/R, dix, d\\.: 



dy dz 

le principe de la conservation du magnétisme exige donc que 
d\\^ dK dTK^ 

Tr-^~dy-^-d7^''^ 

de même le principe de la conservation de Télectricité exige 
que 

dx '^ dy "^ dz ~ °' 



Disci'ssiox DES Aiims Timoums ■ ^1 

Ces équations niontreiU que Ton jieiil priser 






'/;, dy. 



' 


'/.'/ 


d-7 


R, = 


<il 


"^. 




dz 


d.v 


R,= 






S,=: 




iiz 


Si = 


dz 


ti.r 


s_ = 


dm, 


^^/, 



d,v f/i/ 

Si nous voulons, comme nous Favoos soppusé plus liaol, ^me 
les équations ne contiennent que des dérivées du premier ©rdre, 
il faut que les nouvelles fonctions aoxiliciires ;,,, 7,,, l,; 1, j»,, m.. 
dépendent seulement de a, % y; P, O. R ; ijr^^ttîmim pas i:^ 
leurs dérivées. 

Ces fonctions seront d ailleurs linéaires e! liomcigèiîes par rap- 
port a a, |ii, v; P, Q. R, puisque les équations ilnivent être 
linéaires et homogènes par rapport à ces composa et es et à leurs 
dérivées. 

Elles seront d'autre part linéaires et liomogêiies par rapport à 
H, 7,, V ; en effet les équations ne doivent contenir que drs lermes 
d'ordre o et d'ordre i par rapport à ces eomposanîes et u leurs 
dérivées ; il est évident d'ailleurs que ;„, */^,, Z,: /,. m^, /i^, qui doi- 
vent disparaître dans les équations relatives à ré!eclrii(îyiîaiiii<|iie 
des corps en repos, ne contiennent pas de fermes de degré ci 
en ;, r,, <. 

Il nous reste à voir si ces équations peuvent être eonipalililrs 
avec le principe de la réaction. Pour cela je rappelle coninieiil 
nous avions obtenu dans la théorie de Hertz îe principe tie la 
conservation de Ténergie i^çide supra^ 2** partie'. Xiiii> élimis arri- 
vés à une équation 
,., d} ^,-.. ,. 



«°6 ., PROPOS DE LA TIIEOmE DE LARMOR 

Où J représentait l'énergie électromagnétique ^let,. -, , 
forces extérieures, K la chaleur de Joule "'^ ^'' 

tiend"rot?"'^'"^"^^^"^-^^^-----^orn.ée3 .ous ob- 

'''^' f+^ + ^^. = K, 

■S" figure déjà dans l'équation /ni • I^ ^ 7 , 

plementaires R R c ^'^^^^^«t <^^es termes corn- 

On aura donc, 

Soient »,{,,._ les c„,„„„s,„,. 
« «.«orie de H„.u ; soie,,, a + .IT" '"""'"■""»"«"> <1."U- 

Comme la forr-P rî^ i .i . 

v:r/:;;:;:7j:;::rr:^^'-.cc..,,.,.„,e„,,,,,„,,^ 



DISCUSSION DES AlTiiES TMEùtiKS .. ,• 

Si donc nous donnons à l r,, :;, des valeur. rnn^Uuh^, *i.L 
conques, et que nous remplacions y., % y; l\ ti^ I| j^^^ ,i,., |"^^^^^,^ 
tions quelconques de .r, //, - s'aniiiikini i ïmimu ïmîe^nd*^ %^ 
devra s'annuler. ^ ' 

Mais 'IS^ peut encore sV^crire sous ia iciririe crtine mimm^ 4.» 
trois termes en posant : 

^, == U + V + w, 
et 




d-z /, d} rf; ./IJ ,/l| , 

4- \ dx - (/.,r ^ ,/,r * ^/i I 

'4^: V-^ dij -'^ d> 



'i. , . dïl ./F 



,,, I ^T / da ^ e|3 ifl> flQ.. 



Je dis que les trois termes L\ V, W doivent s aiiniiler tous les 
trois. 

En effet, remplaçons les sÏn: composantes a, }, --; P, f>, ft par 
six fonctions quelconques de ,t\ y, z: la soniine U -^ V -4- W 
devra s'annuler. 

Remplaçons maintenant ces mêmes eomposiioles par les siï 
mêmes fonctions de A^.r, A,?/, A.3; "a^, a,, A^èla!î! Irciis caeifirlriits 

constants arbitraires). U se chan«xera en -^:-i — , V en -~t-T — -, 
Wen -^^ — . Et comme T, reste touiours nul, cm devra îivtiir, 

A^A,, 

i: \ w 



A. A, 



et cela quels que soient les coellicienls a; on doit donc avilir st-pii- 

rément, 

U = Y = W = o. 

Dans U, la fonction sous le signe | est linéaire, d'iioe piiîl par 



$ X 



! * 
! ! 



608 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

rapport à a, [3, y ; P, Q, R, diantre part par rapportaux dérivées 
de ces six composantes prises par rapport à ^j 
Considérons une intégrale de la forme, 



Quelle est la condition pour que cette intégrale " s'annule, 
quelles que soient les fonctions o^ îp^ qui seront seulement assu- 
jetties à s'annuler à l'infini? 

Je dis que la condition nécessaire est suffisante, c'est que la 

quantité sous le signe /soit une dérivée exacte. En effet, d'après 

ce que nous avons dit plus haut, la condition est évidemment suf- 
fisante et on a en pai'ticulier, 




'■ /..il.-/.ii,.^/(,,^+,.^),.= o. 



L'intégrale proposée se réduit donc à 



(B-c) ; ,.-gf^. 



Comme ç., est une fonction arhilraire de .-r, y, z, le pro- 

duit '^., — 7^-^ sera aussi une fonction absolument arbitraire de ces 

*" dx 

variables et l'intégrale ne pourra s'annuler que si 

B = C, 

c'est-à-dire si, 

K'^. d'o, A- B'^, do, -I- C'j:, d'3, -\~ D'^, rf'^,, 

il il ' 1- i x ' il ii' i2 iâ' 

est une différentielle exacte. 

La condition est donc nécessaire. 

Considérons maintenant une inté^-rale où la fonction sous le 



DlbCiSSÎOy DES AITRES TliEiMims tkf^ 

signe j sera linéaire, d'une part par ni|i|M>rl a n fiiiirtînii* arliî- 



traires. 



d'autre part par rapport à leurs dérivées : 



^?i ^^ 



dx ' (Lr ''** i£r 



La condition nécessaire et sulïisaiile pour c|iie celle intégrilt 
s'annule toujours^ sera encore que la c|iiaiîtilé sous le signe | s#il 

une dérivée exacte. 

La condition est évidemment suiTisanle. Je dis c|ii'elle est éga- 
lement nécessaire. 

En effet les fonctions '^ étant arbitraires, ilntégrale tle%'ra être 
nulle, en particulier quand toutes ces fonctioiîs, seroat iJeîitîinit- 
ment nulles sauf deux ; si donc nous égalons a zéro toiit€*s les ioac- 

tions cp, sauf deux, la quantité sous le signe | doit être iiae ilérî%"é€ 



<h. 



d-^i 



exacte ; les termes 'j; -^V^ et s^ -^ doivent donc avoir nièiiic 

' dx ' dx 
coefficient: ce qui veut dire que les conditions d'intégraiiiîté 

doivent donc être remplies. 

Appliquons cette règle au cas qui nous occupe. Xuus verroBS 
que, 



et de même 






doivent être des différentielles exactes. 

La première de ces expressions, où ne figurent ni i% ni clF 
doit être la différentielle d'une fonction indêpeedanle de 2 el 



n^ ne dépendent ni de % ni de P ; et cîc 



de P. 

Donc, i,, 7;,, n^ et m, ^ , , - ,1 

même ?„ t h^ ^i ^^^ dépendent ni de P m de Q : t,. ;,. ^».el I, 
ne dépendent ni de y ni de R. 

PoiNCARÉ. Électricité et Optiqt:e. ^-^ 



6 10 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

Il résulte cle là que E^ et l^ peuvent dépendre seulement de a 
et de P; vi^ et w^ seulement de [3 et de Q ; Ç^ et n^, seulement 
de Y et de R. 

Les conditions d'intégrabllité nous donnent ensuite, 



dX,,__ 


dr,, dl_ 
dp ' rfa . 


d^, d-f\^ 
dy ' d^ ~ 




d'où 










dy. ~ d\i 


df 





On trouverait de même 

dL dm, dn, 



dP dq dR 



0. 



Ainsi ^^, 71^, ^p l^y m^, /z^, ne pourront dépendre respectivement 
que de a, [3, y; P, Q, R. 

Les conditions d'intégrabilité donnent enfin, 

d^, dr^^ d'Ç, dl^ dm.^ dn^ 

11^ ^ ISl^lK"^ ~~d^'^ df "^ J-f' 

c'est-à-dire que ç^i '^iai S^? A? ^^^v ^^ devront se réduire à un nié/ne 
facteur près à P, Q, R ; — a, — j3, — y. 

Ce facteur constant devra d'ailleurs être une fonction linéaire 
et homogène de ^, t], Ç. 

Mais si nous faisons intervenir une condition nouvelle, celle 
de Visotropie, nous verrons que ce facteur constant doit être nul; 
car si ce facteur s'écrivait par exemple. 

\a 4- /,rd + \., 

la direction dont les cosinus directeurs sont proportionnels à 
Ap\, A3 jouerait un rôle prépondérant. 

Il résulte de là que les termes complémentaires q^, 7,,, 'Ç,, l^, ni^, 
/ip doivent être nuls. 

Ainsi la théorie de Hertz est la seule qui soit compatible a<^^ec Le 
principe de la conservation de V électricité et du magnétisme et avec 
celui de P égalité de V action et' de la réaction. 



«^ 



f 



coycLusioxs PRonsmuEs 



CONXLL'SICINS PHOVlSClîlîES 



453- — Il résulte de tout ce (pi précède iiîî'auciiEt* lliéiirii* iit 
peut satisfaire à la fois aux trois condilioiis ♦hiciiici^es au tiéiml liii 
n° 451 ; car la théorie de Hertz est k seule c|ai satisla^M» aiii 
deux dernières et elle ne satisfait pas à îa première. 
• Nous ne pourrions par conséquent espérer cférliapper à ecllt 
difficulté qu'en modifiant profondément les îcléi*s géiiérilemfiit 
admises; on ne voit pas bien d'ailleurs, dans qui*! sens ceîU nic»- 
dification devrait se faire. 

Il faut donc renoncer à développer une tliéorie parfaite m eut 
satisfaisante et s'en tenir provisoirement lï la iiiciliis fléfeeliiciise 
qui paraît être celle de Lorentz. Cela me suilira pour fin»» tilijet 
qui est d'approfondir la discussion des idées de Larnior. 

Sous quelles formes pourrons-nous mettre celle théorie de 
Lorentz ? 

Ces formes sont diverses et on doit choisir Fiiiie ou failre 
^ selon le but qu'on se propose. 

• Dans cette théorie, on envisage une multiiiitîe de partieiiles 

chargées mobiles, qui circulent à travers un éther iiiiiiitilile en 
conservant une charge invariable. 

L'éther est d'ailleurs parcouru par des perlurkilions éleelr»- 
magnétiques. 

Nous pouvons alors conserver les équations de Hertz, mais en 
donnant aux quantités qui y entrent des valeurs îrés tlillV* rentes, 
: f selon que le point xt/z se trouvera dans une particule eiî;irgee m 

dans Téther. 

Dans l'éther on aura, 

r V 



puisque l'éther n^est pas supposé entraîné par le iiioiiveiiîeiit ât 
la matière. 

On aura d'autre part 

K = p, = I, p = 0- = 0, H = V == li' =0. 

Dans une particule chargée on aura, 

^ __ Qte 3- = 0, a = Ç = ^ï' = Oy 



'X .= !, 



k 



(5 12 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

puisque la charge demeure constante et que ces particules ne 
sont pas le siège de courants de conduction proprement dits. 

Dans cette manière de voir il n'y a nulle part de magnétisme 
proprement dit et le magnétisme apparent est dû seulement aux 
courants particulaires d'Ampère. 

Sous cette forme les phénomènes électromagnétiques sont vus 

pour ainsi dire au microscope et les apparences ayant disparu, 

on ne voit plus que la réalité ou plutôt ce que Lorentz regarde 

comme tel. On est ainsi en possession d'un instrument qui peut 

'être utile pour la discussion que nous avons en vue. 

Mais les équations sous cette forme se prêtent mal aux appli- 
cations où les apparences, c'est-à-dire en somme les phénomènes 
moyens, importent seuls. 

En se plaçant à ce point de vue, on peut écrire les équations 
de la façon suivante ; on conservera les équations de Hertz, seu- 
lement dans les équations (i) et (2), on affectera les termes : 

rfu, dT\, dn dm 

dij dz dij d.z 

de coefficients constants qui dépendront de la nature du milieu, 
qui seront égaux à o pour l'éther, à i pour les conducteurs par- 
faits et auront des valeurs intermédiaires pour les diélectriques 
autres que l'air. 

11 est à peine nécessaire d'ajouter que celte théorie, si clic 
peut nous rendre certains services pour iiotre ol)jet, en fixant un 
peu nos idées, ne peut nous satisfaire pleinement, ni être regar- 
dée comme définitive. 

11 me parait bien difficile d'admettre que le principe de réac- 
tion soit violé, même en apparence, et qu'il ne soit plus vrai si 
l'on envisage seulement les actions subies par la nialière pondé- 
rable et si on laisse de côté la réaction de cette nuitièrc sur l'éther. 

11 faudra donc un jour ou l'autre modifier nos idées en quel- 
que point important et briser le cadre où nous cherchons à faire 
rentrer à la fois les phénomènes optiques et les phénomènes 
électriques. 

Mais même en se bornant aux phénomènes optiques propre- 
ment dits, ce qu'on a dit jusqu'ici pour expliquer l'entraînement 
partiel des ondes n'est pas très satisfaisant. 



IMITA TIOXS MYDRODrXâMiQl'ES êî î 

L'expérience a révélé une foule de faits ipii piivriîl m^ riHii- 
mer dans la formule suivante : il est iniiiossilik* cii* umim* iiuiiî- 
leste le mouvement absolu de la matière, cm iiîic*iix It* ïiiiiairiiiriil 
relatif de la matière pondérable par rappurl iilVtl«»r: hmi r#* 
qu'on peut mettre en évidence, c'est ie œiiiiveim^îil ilt^ la iiKili»'fr 
pondérable par rapport à la matière pondérable. 

Les théories proposées rendent bien eoiiipte de cette lui. mmm i^ 

à une condition : 

Il faut négliger le carré de raberralioii ; 

Or cela ne suffit pas ; la loi semble être vraie iiiî^iiie fan* %:%'% 
restrictions, ainsi que Ta prouvé une récente exprileiir** à^ 
M. Michelson. 

Il y a donc la aussi une lacune qui peut ne pîis *4rt* hà^% 
quelque parenté avec celle que le présent paragniplie a piiiii lniî 
de signaler. 

Et en efiet, l'impossibilité de mettre en évidence «h iniiiive- 
ment relatif de la matière par rapport à Féther, eî IVgalîté tjtii 
a sans doute lieu entre Faction et la réaction sans tenir eiwiiplr 
de l'action de la matière sur Féther, sont deiiK laits àmil la €#»- 
nexité semble évidente. 

Peut-être les deux lacunes seront-elles comblées en mèmw 
temps. 

IMITATIONS HYDRODYNAMIQUES 

J'ai parlé précédemment des sphères puisantes de BjerLiies et 
de l'imitation par ces sphères des phénomènes électrostaliques. 
J'ai fait ressortir Fanalogie des mouvements qui se reprodaiseiil 
dans l'eau au voisinage des sphères pulsaiiles et de ceux qui m 
produiraient dans Féther au voisinage d'un corps eîeelrisé clans 
la théorie de Fresnel adaptée. 

Malheureusement, ainsi que j^ai dit plus haut, Faiialugie îi>st 
pas complète ; les mouvements des sphères puisantes et re«x 
qu'elles excitent dans les liquides sont alternatifs et prricHlHiiies. 
Avec la théorie de Fresnel adaptée, au contraire les nmmtmtiiU 
qui régnent dans Féther doivent être continus. 

Bjerknes a été amené à adopter des mouveiiieiiîs pt^iîii- 
diques par suite de nécessités mécaniques: mais il en rr5iîlt»% 



s 6i4 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

! comme je l'ai dit plus haut, que son imitation est imparfaite ; 

i deux sphères pulsaMes dont la phase est la même sont assimi- 

lables à deux conducteurs portant de l'électricité de même nom ; 
\^ deux sphères dont la phase diffère de tt sont assimilables a deux 

.; conducteurs portant de Vélectricité de nom contraire ; mais deux 

i sjJières dont la différence de phase nest ni o Jii tz ne sont assùni" 

]i labiés à rien. 

l L'imitation serait bien plus parfaite si le mouvement des 

I sphères était continu au lieu d'être alternatif ; si le rayon de 

; chaque sphère variait toujours dans le même sens avec une 

vitesse uniforme. Seulement il faudrait c[ue le rayon des sphères 
:! fut assez grand, la vitesse de pulsation assez lente, la durée de 

/ Texpérience assez courte pour que pendant cette durée, les varia- 

: tions du rayon fussent négligeables. Ces conditions sont difficile- 

;, ment réalisables si l'on veut que les actions mutuelles des sphères 

; soient sensibles. Si^'elles l'étaient cependant, on se rapprocherait 

1 des conditions de la théorie de Fresnel adaptée et on s'affranchi- 

rait de la difficulté relative de la phase que je viens de signaler. 
Une difficulté capitale subsisterait encore pourtant; les effets 
hydrodynamiques sont bien l'image des effets électrostatiques, 
mais ils en sont une image renversée. 

Deux sphères de même phase s'attirent, tandis que deux corps 
portant de l'électricité de même nom se repoussent. Il y a 
! inversion. 

Les phénomènes électrodyuamiques de même que les phéno- 
mènes électrostatiques, sont susceptibles d'une imitation hydro- 
dynamique. Lord Kelvin dans ses Popidar lectures parle d'un 
projet de modèle hydrokinétiquc dont je voudrais rappeler suc- 
cintement les principes. 

Imaginons que dans un liquide indéfini soient plongés deux 

corps solides C et C^ dont la forme sera annulaire ; chacun de 

ces corps sera formé d'un fil de faible section qui sera rccouil)é 

de façon que ses deux extrémités se rejoignent ; on obtient ainsi 

\ une sorte d'anneau fermé. 

Soient u^ r, \v les composantes de hi vitesse d'une molécule 
liquide et envisageons l'intégrale 



/ [udx + {>dy + ^vdz) , 



mir.iTioxs nrmoDrxAMiQVE^ $,i 

prise le long d'un contour fermé quelconque. Nous dkli«g«r«w 
trois sortes de contours fermés auxquels tous les autre, L„v.«t 

se ramener. 

Ceux de la première sorte seront ceux cpii «e s Viilreiar«t pat 
avec les corps annulaires C et C' ; o« peut les rédaire a ii,i jM^irt 
par déformation continue et sans qu'ils cessent ti>lre tiitit eiilieft 
dans le liquide, sans qu\n aucun moment ils toiiclieiil C ©ii C, 

Ceux de la seconde sorte s'entrelacent une fois mi*t C. Tfl 
serait par exemple le périmètre de la sectiiMi du il «piî fornir h 
corps C. 

Ceux de la troisième sorte s entrelacent une i«is n%w C.:'. 

Il est clair qu un contour (pielconque peu! être regardé «iiiîiiit 
la combinaison de divers contours appartenant kïmw àt tm 
trois sortes. 

Je suppose qu'a Torigine du temps on ait : 

/ [udx 4- vdy -f- wdz) = o, 

pour un contour de la première sorte, 

/ [udx + {^dfj + iiv/c. = JTiij 

pour un contour de la deuxième sorte, 

/ [udx -f- vdij -f- \vdz- = 4-1 î 

pour un contour de la troisième sorte. 

En vertu du théorème de Ilelmholîz sur les kHirliilkiiis, ees 
équations vraies à l'origine des temps, ne cesseront jainâîs de 
l'être. Les lettres i et î' désio:nent donc des constantes. 

Mais si l'on se rappelle les lois suivant lesquelles iiiî rlianifi 
magnétique est engendré par un courant, on apereevra iîiiriir- 
diatement la conséquence suivante, 

La vitesse u, r, iv du liquide représente en grandeur, clirerfuiii 
et sens, la force magnétique engendrée par deux coiîraiiîs, Fiiiî 
d'intensité i suivant le fil C, l'autre d'intensité i suivaiit le fil C . 

Ainsi dans le modèle de Lord Kelvin, la viti-sse du liqiiitlt.^ ri^t 



;1 



êi6 A PROPOS DE LA THÉ OUÏE DE LARMOR 

dirigée suivant la force magnétique, tandis que dans le modèle 
de Bjerknes elle est dirigée suivant la force électrique. En 
d'autres termes, dans le modèle de Lord Kelvin, la vitesse du 
liquide est la même que celle de l'éther dans la théorie de Lar- 
mor : dans le modèle de Bjerknes elle est la même que celle de 
la théorie de Fresnel adaptée. 

Lord Kelvin a montré que les deux corps C et C^ ainsi plongés 
dans un liquide en mouvement, exercent l'un sur l'autre des actions 
mécaniques apparentes, et que ces actions sont les mêmes, au 
sens près que celles qui s'exerceraient entre les deux courants que 
je viens de définir, et qui suivent l'un le fil C avec l'intensité /, 
l'autre le fil C avec l'intensité i' , 

Les actions mécaniques d'origine hydrodynamique suivent ab- 
solument les mêmes lois que les actions d'origine électrodyna- 
mique : seulement il y a ùiçersion ; si les premières sont des 
répulsions, les secondes seront des attractions et inversement. 

Il est manifeste que l'explication des actions électrostatiques 
dans la théorie de Fresnel adaptée doit se rattacher aux expé- 
riences de Bjerknes ; et que d'autre part l'explication des actions 
mutuelles des courants dans la théorie de Larmor doit se rattacher 
au modèle de Lord Kelvin. Mais la difficulté provient de l'inver- 
sion. Il nous faut avant tout pénétrer les raisons de cette in- 
version. 

CAUSES DE l'iNVEUSION 

454. — Pour cela il faut remonter aux principes généraux de 
Ta mécanique. Considérons un système dont la situation soit 
définie par un certain nombre de paramètres. 

que j'appellerai ses coordonnées. 

Soient y'^, q'.^,... (j\ les dérivées de ces quantités par rapport 
au temps ; c'est ce que j'appellerai les messes. 

Soit T l'énergie cinétique du système, U son énergie poten- 
tielle due aux forces intérieures. Soit enfin 



CAUSES DE rirmasim' §,* 

le travail virtuel des forces extérieures au m'%îrmw |iiiiir tîr* 
variations virtuelles or/, des coordonnées f ^. 
Les équations de Lagrange s'écrivent 

^'^ dt dq\ ^7^. +■% ~^*■^■^' 

A l'exemple de Helmhok dans sa théorie àt% s\%hmit^i^ mmtm* 
cycliques, nous distinguerons deux sortes ile eiM>rilf«iiiri**. 

Les coordonnées à variation lente que Jt? drsigiieiiiî pur *j^. 

Les coordonnées à variation rapide que je clr*iî;:!i»*nii par i^^tî 
qui se distinguent des premières par deux cciîicîiîiiiii* : 

T et U ne dépendent pas des (ji mais seiileiiieiil il** înir* ili^rî- 
vées. 

Les vitesses q^ sont beaucoup plus grandes que les %"ilî**.^iH y . 

Ainsi U dépend des y^ seulement; T dépend des |,,, ilt^s q , tï 
des q\, il est homogène et de degré deux par rappiirt a!ixy« ri 
aux q\. 

Les équations de Lagrange se réduisent alors, en ce qui riMi- 
cerne les qf„ à 

d c/ï 



Nous poserons. 



dl d<ii, 



dl 



et les quantités p^ s'appelleront les moments Au sy^lriiie. 

Il y a ainsi trois sortes de quantités à considérer en iiirciiiiiqur, 
les coordonnées, les vitesses et les moments. 

L'équation !2) devient 

^ = .1,. 

Je supposerai que Q^ est nul ce qui cloiiue 

(3) P,, = C-. 

si donc il n'y a pas de force extérieure tendant a i'^iire Mirwf la 
vitesse des coordonnées q, a variation rapide, les momeiit- cor- 
respondants sont des constantes. Je suppose malnU^nanl que 1rs 



Ijl 6i8 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

tf forces extérieures Q,, soient choisies de façon h maintenir cons- 






<> 



tants les </,,. Les r/„ sont alors nuls et les équations (3) dont les 

premiers membres dépendent des {/i,, des q,, qui sont constants 

il et des r/a qui sont nuls, ces équations, dis-je, dont le nombre est 

f j éaal à celui des </'^, montrent que les fj\ sont des constantes. 

1* Le système se trouve ainsi dans une sorte de mouvement sta- 

I* tionnaire, c'est-à-dire d'équilibre apparent et les Q,, nous font 

|l connaître les forces extérieures qu'il faut lui appliquer pour 

y . . , .1-1 /^ ^^T , - ^ 

maintenir cet équilibre apparent. Comme --7-7 ne dépend que des 

Çfj, des q'^ et des q\ qui sont nulles ou constantes, cette quantité 
est également une constante, de sorte que, 

d dT 

Si, de plus, on suppose qu'il n'y a pas de forces extérieures au 
système, c'est-à-dire que U = 0, l'équation de Lagrange relative 
à q^ se réduit à 
/ A\ dT 

Les q\^ étant nuls, T ne dépend plus que des q^, et des c/'/,, elle 
est homogène et du second ordre par rapport aux (f ,, de sorte 
qu'on a, 

Les /j^ étant des constantes, il paraîtra naturel de faire un chan- 
gement de variables et d'exprimer ï en fonctions des ry,, et desy;,, ; 
mais pour éviter toute confusion, nous écrirons avec des d ordi- 
naires les dérivées 

il ^ 

^^'la ^ dq[ ' 

prises par rapport aux variables anciennes et avec des ronds 
les dérivées 

l^rises par rapport aux variables nouvelles. 



On aura alors 



CAUSES BE iiNrmsim 



!#lf 



(3) 






^La comparaison de la première et de la drnii.^ie ilr. miimfmm 
(5) donne, 



^T 



.V 



. ffh (fpi, 



V 






^. 



La comparaison de Téquation ainsi obtenue avec la seeiiiiiit 
équation (f)} donne 

dT _ 



'Il 



OT 






de sorte que l'équation (i 

(6) 



\ devient 



t^'/.r 



= i). 



Ces équations sont vraies quand cm suppose le> f/_ci îrs i^ ,, 
constants; mais elles le sont encore a|îproxîiîîativeîiirïiî *ii mi 
suppose que les </^, varient d'une façon excessivemeii! l<eiile. Ali»rs 
les ^/, varieront d'une façon excessivement leiiîe, mais ils l'arii-'- 
ront ; tandis que les pi, seront rigoureusement cnïisiaiîls ri h% 
Qi, sont nuls. 

Supposons maintenant ([ue les i^^, ne soient pas niik, ratiis iiulk 
aient des valeurs telles que les q^, demeureiil rigi,»«ri;*iiseïiieiît 
constants, tandis que les pi, et les y,^ varieront d'une îîieiiii rxres- 
sivement lente. Il convient alors de prendre pour viirialiles, îicwî 
plus les pf, et les y,, mais les q), et les q., et de reveiiir a rrifiia- 

lion ;'4 ■ 

r/T 

dq. 



O . 



I 



620 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

Dans cet état de mouvement stationnaire ou quasi-stationnaire, 
dans cet état d'équilibre apparent, le système semble soumis à 
certaines forces apparentes, égales et contraires aux forces exté- 
rieures qu'on est obligé d'appliquer pour maintenir l'équilibre. 

Quand on donne aux q^ des accroissements virtuels S^^ le tra- 
vail virtuel de ces forces extérieures sera 



E«- 



Ô^a- 



C'est la définition même des Q^. Le travail virtuel des forces 
apparentes qui leur font équilibre sera donc 



-VQaS^^a, 



' Si les moinents pj^ sont maintenus constants, l'équation (6) nous 
donne pour ce travail virtuel 



V IL 



^; — '^qa = — oT. 



Cela signifie que ces forces apparentes tendent à diminuer 
l'énergie T du système (et d'ailleurs on ne saurait supposer le con- 
traire sans admettre le mouvement perpétuel). 

Si, au contraire, ce sont les vitesses q\, c[ui sont maintenues 
constantes, l'équation (4) nous donne pour ce travail virtuel, 



s 






Cela signifie que ces forces apparentes tendent a augmenter 
l'énergie T du système ; cela n'est pas contraire au principe de la 
conservation de l'énergie, et en effet, pour maintenir les q'j^ cons- 
tants, il faut que les Q/, ne soient pas nuls, il faut donc faire 
intervenir une force extérieure, ce qui peut entraîner une dépense 
de travail. 

Avant d'appliquer ces principes a Télectricité, il sera peut-être 
utile de les éclaircir par un exemple mécanique simple. Je choi- 
sirai le régulateur à force centrifuge. 

Nous aurons un paramètre a variation lente q,, qui sera l'écar- 



APPLICATION A V ÉLECTROSTATIQUE fiai 

tement des deux boules et un paramètre à variation rapide, dont 
la dérivée q'^ sera la vitesse de rotation du régulateur. 
L'énergie cinétique T sera (A étant un facteur constant) 



(7) 

et le moment sera 



T = -ÀMA 



p^ = kqlq\, 
ce sera le moment de rotation. On a donc, 



(8) 



^Mi 



La force apparente est ici la force centrifuge qui tend à écar- 
ter les deux boules ; elle est éojale a 



dl 



ôT 



dqa 



àq^ 



Elle tend à augmenter q^. Si donc il n'y a aucun couple exté- 
rieur tendant à maintenir constante la vitesse de rotation, le ro0- 
ment de rotation est constant et la force centrifuge tend à dimi- 
nuer T parce que dans Féquation [81 [oii Ton suppose /?è constant) 
q^ est au dénominateur. Si, au contraire, il y a un couple extérieur 
qui maintient constante la vitesse de rotation ^ la force centrifuge 
tend à augmente?' T^ parce que dans Féquation ij ou Fou sup- 
pose q'i constant] q^ est au numérateur. Seulement, quand les 
boules s'écartent, il faut dépenser du travail qui est emprunté au 
couple extérieur. 



APPLICATION A L ELECTROSTATIQUE 

455. — Dans la théorie de Larmor, on regarde Fénergie élec- 
trostatique comme de Fénergie potentielle ; dans un champ élec- 
trique constant, on a donc 

T = 0, 
ou, si l'on désigne par E Fénergie totale T -j- L\ 

E=:U. 



6i2 -1 PROPOS DE LA THÉO PIE DE LARMOR 

Si ce champ est engendré par deux petites sphères électrisées, 
cette énergie U dépend des charges des deux sphères qui sont 
des constantes et de leur distance, qui sera notre paramètre à 
variation lente et que j'appellerai q^. 

Ces deux sphères exerceront Tune sur Tautre une attraction ou 
une répulsion qu'il faudra contrebalancer par une force exté- 
rieure, si l'on veut maintenir l'équilibre. Cette force extérieure, 
je la désigne par Q«, conformément aux notations adoptées ; si 
|;; Q„ est positif, les deux sphères s'attirent et la force extérieure 

y qui doit contrebalancer cette attraction doit tendre a écarter les 

deux sphères l'une de l'autre. 

Comme Test seul, l'équation de Lagrange se réduit à 

^U Q 



>' : 



Mi 



àqa 



cm 

(9) -;^==Q. 

Passons à l'imitation hydrodynamique de Bjerknes, que je 
modifierai un peu, afin d'éviter la difficulté provenant des diffé- 
rences de phases. 

La distance des deux boules q„ sera notre paramètre à variation 
lente. 

Leurs rayons <y^ et q^ seront nos paramètres à variation rapide. 
Je supposerai que les vitesses q'j, et q'^ sont constantes, mais 
assez faibles pour que, pendant hi durée de l'expérience, q^, et 
Qç n'éprouvent pas de variation sensible. 

Si donc je regarde q^, et q, comme des paramètres « à variation 
rapide », ce n est pas que leurs dérivées q\ tXq\ sont très grandes 
d'une manière absolue (elles sont, au contraire^ très petites) 
c'est parce qu'elles sont beaucoup plus grandes que q',^. 

Comme dans l'imitation de Bjerknes, ce sont ces deux vitesses 
q\tl 7^, qui correspondent aux charges des sphères, elles doivent 
être maintenues constantes. 

L'équation (4) nous donne alors, 



APPLICATION A VÉLECTROSTATiqUE 



Sal 



et comme 

on peut écrire 
(lo) 



U==o, 



T = E, 



dE 



(iqa 



= Q.. 



La comparaison des équations (9) et (10) montre qulî v a mmr- 
sion. Observons de plus que si la vibration des fplières n'étiiil 
pas entretenue par une force extérieure, les vitesses (f^ et f V »^ 
resteraient pas constantes quand la distance cj^ varierait. P#îir 
maintenir ces vitesses constantes (ou en supposant des pîilsâtî#iis 
périodiques, comme dans Texpérience réalisée par Bjerknes, p#iir 
maintenir constante Tamplitude des vibrations), il faut une inter- 
vention extérieure, tandis qu'aucune intervention n'est nécessaire 
pour maintenir les charges de deux sphères électrîsées quaiié 
elles s'éloignent ou se rapprochent. C'est encore là une diflc- 
rence entre le phénomène électrique et son imitation hydrodyna- 
mique, différence qui, d'ailleurs, comme nous allons le voir^ est 
intimement liée à l'inversion. 

Supposons maintenant qu'on ait réalisé une autre iiiiîtatioa 
dynamique où intervient un système dépendant de 3 paramètres 
</«? </iî '/cî 1^ premier à variation lente, les deux autres à varialioii 
rapide. — Le premier serait la distance des deux corps ipii 
rempliraient le rôle des deux sphères électriques. 

Mais je suppose que les charges de ces deux sphères, au lieu 
d'être représentées par les {nlesses (f,, et q',., soient représentées 
par les moments correspondants/;/, et y;^- 

Je suppose en outre que la force vive T == E du système suit 
éo-ale à l'énergie électrostatique des deux sphères. 

Il arrivera d'abord que, sans aucune intervention exièrieitrêy 
ces moments demeureront constants, ainsi que font les charges 
électriques qu'ils représentent. 

De plus, comme ces moments sont constants^ Féqualion (6) 
nous donnera ; 



OR 



= Q,.- 



31 






624 A PROPOS DE LA THÉORIE LE LARMOR 

Il ny a donc plus d'inversion. 

J'ai dit plus haut que, parmi les quantités qu'on est amené à 
envisager en mécanique, il faut distinguer les coordonnées, les 
vitesses et les moments, et Ton peut résumer la discussion qui 
précède en disant que V inversion dans V expérience de Bjerknes 
provient de ce qu'on a représente les charges électriques par des 
vitesses^ tandis qu'il fallait les représenter par des moments. 



APPLICATION A L ELECTUODYNAMIQUE 

456. — Appliquons les mêmes principes à l'appareil de Lord 
Kelvin, et pour cela rappelons d'abord quelles doivent être les 
bases de toute théorie dynamique du champ électrodynamique. 
Nous n'avons qu'a nous reporter à un chapitre célèbre du grand 
traité d'électricité de Maxwell, 4*^pi^rtie, chapitre VI, article 568. 

Il convient de supposer que l'énergie électromagnétique du 
champ représente la force vive T de l'éther ; l'état du système 
est défini par un certain nombre de paramètres à variation lente 
q,, qui définissent la position relative des deux circuits, et par 
deux paramètres à variation rapide qi^ et q,.. 

L'hypothèse admise par Maxwell, c'est que les intensités des 
deux courants ne sont autre chose que les dérivées q'i, et q', de ces 
paramètres. Ce sont donc des vitesses. 

Nous exprimerons donc T en fonction des intensités et des 
//„, c'est-k-dire de </^/„ de q', et des q^^ ; l'équation (4) nous don- 
nera alors, 

(4, -^=.Q„. 

D'autre part, q'i^etq'c étant des vitesses et non dos moments, 
ne se conserveront pas constantes s'il n'y a pas d'intervention 
extérieure. Les intensités des courants ne peuvent donc demeurer 
constantes si une cause extérieure ne les maintient pas; et c'est 
en effet ce qui arrive ; cette cause extérieure nécessaire pour 
entretenir 1 mteusité du courant, c'est l'énergie fournie par lu 
pile. 

Je précise davantage ma pensée ; quand même la position rela- 
tive des deux circuits ne varierait pas, les courants ne pourraient 



APPLICATION A VÉLECTROBYNAMiqrE ,^ ftl 

se maintenir qu en: empruntant de l'énergie à la pîle. Cette éncr- 
gie destinée à surmonter la résistance des eirciiits se retr©wt 
sous forme de ch?.deur de Joule. 

Mais ce n'est pas seulement cela que je yciîx dire. St les cir- 
cuits étaient des conducteurs parfaits, Finteiisité des ri>araats 
pourrait se .maintenir constante sans rien emprunter à îa pile, 
pourvu que la position de ces circuits ne varie pas. 

Si, au contraire, la position des circuits varie (Weii ipc ii#tt* 
les supposions absolument dépourvus de résistance i rinîensîté »t 
pourra demeurer constante sans Tintervention de la piie. 

En effet, l'équation de Lagrange nous donne. 



d dT 



dt dfi 



r = Q. 



et ICI, 



qk 



■ Eè — R/i, 



Eô' étant la force électromotrice de la pile du premier cincuît, 
i,, = ql l'intensité correspondante, R^ la résistance du eireiiit. Si 
le circuit est un conducteur parlait et si la pile nlntervieiit pas, 
on aura 

d'où 



et par conséquent 






De même p, sera une constante. Les moments /j,. et /> dépendent 
de q'„ et (/; et des </„ ; si ces moments sont constants et si les f, 
varient, il' faut donc bien que les <jl et les //,: varient égalemenl. 

Dans le cas de la nature, les circuits ont une résistance fiiue, 
et il l\iut toujours emprunter de l'énergie à la pile, seulement « 
les circuits ne se meuvent pas l'énergie empruntée à la pile est 
égale à la chaleur de Joule ; s'ils se déplacent elle est plus grande 
ou plus petite parce que la force électromotrice d'induction v.enl 
s'ajouter à celle de la pile. 

Passons maintenant à l'appareil de Lord Kelvin. 

PoiNCAKK. Électricité et Optique. ■'"' 



'Il 



i 




6a6 A PROPOS DE LA THÉORIE DE LARMOR 

Les intensités sont représentées par des intégrales de la forme 



(^iid.T + vdy -\~ i'^'d.z). 



En vertu du théorème de llelmholtz, ces intégrales demeurent 
constantes sans l'intervention d'aucune force extérieure. 

Cela nous avertit déjà que les intégrales qui représentent les 
intensités sont des moments et non pas des vitesses. 

Avec nos notations, il convient donc de les désigner par/^^ et 
Pc de sorte que si l'énergie ï est exprimée en fonction des inten- 
sités et des rjai T sera une fonction de /:>,,, p^ et des rj^. 

L'équation [h) nous donne alors, 



(6) 



ôT 



^'Ja 



Q„. 



Ce résultat est d'ailleurs une simple conséquence du pi-incipe 
de la conservation de l'énergie. Soû, en effet, oy„ racoroissemenl 
virtuel de //^^, le travail virtuel des forces extérieures sera 






Oa devra donc avoir, 



Q,o.y. = ol =2j-ô;^ oy„ + — 0/.. + ^ 0/,,. 

Mais comme les intégrales y;^, ety;^ sont constantes en vertu du 
théorème de Helmholtz, opi, et op^ sont nuls et il reste 



y,Q»%„=2|-ô:^^^^" 



ou en identifiant 



Q. 



IL 

H. 



La comparaison des équations (4) et (6) montre qu'il y a inver- 
sion, d'où la conclusion suivante : 

S'il ij a im'ersion dans V appareil de lord Kelcin, c'eut parce 



FORME DÉFINITIVE DE L.i THÉORIE DE URitOM 



êâ7 



cjaoïi a représenté les intensités par des mmmnis, àmim iiuli 
fallait les représenter par des ntesses, 

^ Dans rexpérlence de Bjerknes et dans celle de lord Keliiii, li 
cause de rinversion est analogue, mais pour ainsi dire mmtm. 

FORME DÉFINITIVE DE LA THÉORIE DE LâRMOl 

Les lignes qui précèdent sont la reproduction prescjac texlitllt 
de quatre articles parus dans U Éclairage Ékctriqme fl. 11, 
n^^ i4 et 20; t. V, n^^ 4o et 48). On a seelenieal modifié les 
notations pour les mettre en harmonie avec celles qaî mm% 
employées dans ce volume ; et d'autre part on a sapprinié les 
passages qui pouvaient faire double emploi. 

Depuis l'époque où ces articles ont paru, M. Larmor a complété 
sa théorie et lui a donné sa forme définitive. 11 y est parvesa cii 
s' appropriant les hypothèses de M, Lorentz et en les c©nîMiitiit 
avec les siennes propres. 

Reprenons les équations de Lorentz, 






.m. 




{') 



qui expriment ce qui se passe a l'intérieur d'un ion et qui ditiisie 
vide (c'est-à-dire pour p = 0) se confondent avec celles de Maxwell. 

Dans ces équations représente la densité de Félectricité 
transportée par Fion ; q, rj, ^ la vitesse de Fion; a, 3. 7 la force 
magnétique (c'est-à-dire d'après Larmor la vitesse de féther) ; 
/; g, h le déplacement électrique (c'est-à-dire d après Larmor, le 
couple développé dans Féther par Félasticité rolationnelîe de 
Lord Kelvin). 

L'énergie magnétique, 



%\ 






m 



représente toujours 



la force vive de Féther. 



628 A PROPOS DE LA TIIKOBIE DE LARMOR 

Nous avons ensuite les trois équations de Lorentz, 



\ dz dij J ' dt ^ 



(3) 



^.V^//^^ 



\Jxdz)~~ dt ' 

EL; 
dt 



et l'équation qui définit l'énergie électrique, 

(4y ' u = 2^\'f(f+ /- + h') d-, 

laquelle n'est autre chose que l'énergie duc à l'élasticité rota- 
tionnelle. 

Soient, X, Y, Z les composantes du déplacement de l'éther de 
telle façon que 



fZY 

HT' 

d'L 



et posons, 



t/Z 
dxj 



dj 

dz 



-=-4^L, 



rfX dZ 



dx 



dX 



dxj 



:4-N 



L, M, N sont proportionnels à la rotation d'une petite niasse 
d'éther autour du point envisagé. 

Dans la théorie de l'éther gyrostatique de Lord Kelvin sous sa 
forme primitive, le couple /", g, h provoqué par la rotation était 
proportionnel à cette rotation, c'est-à-dire à L, M, N. 



FORME DÉFmriVE DE LA THÉORIE m USMOR 

Alors en faisant 



§»§ 



on trouve, 

il. 

dy 
et de même 



d'Z 






d.z ~ dijdt dzdi 






dx -^"W 



dx 

d.z 

d?^ &_ __^ ^ dh^ 

dx dy ^'^ dt ' 

c'est-a-cUre qu'on retrouve les équations (i) dam Félher 1ère. 

Mais considérons une surface fermée située tout entière iims 
Téther libre mais contenant à son intérieur des ions et parc#tt- 
séquent des charges électiiques dont la somme algébrique n'est 
pas nulle ; formons l'intégrale, 



(5) 



/ [lf-\-mg-\~nIijdo), 



et étendons-la à tous les éléments dd) de cette surface, /, m. et« 
étant les cosinus directeurs de Télément du). 

Cette intégrale devrait être nulle si Ton avait dans tout Féther 
libre 

'a = x. 

D'un autre côté elle ne peut être nulle, puisqu'elle est propor- 
tionnelle à la charge électrique totale contenue à son întêrieBr 
et que nous avons supposé cette charge différente de zéro. 

C'est cette difficulté, ainsi que nous Favons vu, qui oblige 
M. Larmor a modifier la théorie primitive de Lord Kelvin pour 
F adapter aux phénomènes électriques. 

Supposons alors, 

<. = M-M„, ■ 

A = N-X,„ 



Pi 



i- 



41 . 



'i 






'il| 



"ê 



î • 



-Mi 



63o A PROPOS DE LA TIIÉOPIS DE LARMOU 

OÙ L^, M(j, Nq sont des constantes ; alors le couple {f, s>', h) pj^o- 
çoquépar V élasticité rotationnelle ne tend plus à ramener la petite 
masse d'éther, sur laquelle il s'exerce^ à son oriejitation primi- 
tive (orientation qui serait définie par les équations L=z=o, M==:o, 
N == o) mais à une orientation différente que l'on peut appeler la 
nouvelle orientation d' écjuilibre (et qui est définie par les équations 

Ce couple n'est plus pi^oportionnel à l'angle dont cette masse 
s'écarte de son orientation primitive, mais à l'angle dont elle 
s'écarte de sa nouvelle orientation d'équilibre. 

L'énergie élastique conserve évidemment la même expression. 

On aura encore, 

; iy d^^ _ d^Z _ dh 

dy dz dijdt dt 



da. d-^ c^^X dW 

I \~dz dx dzdt dt 

I * \ d^ da, _ d'X _ d^ 

^ dx dy dxdt dt 

î^ , de sorte que les équations (i) deviennent, 

' / dh _ df 

•m di^- 



dH ^ . dh 



d'où, 



dt — '■'^■^ di ' 



p,___., 
'~ dt ' 



d'où cette conclusion : 

Dans Véther libre la a nouvelle orientation d'équilibre » ne varie 



FORME DÉFINITIVE DE LA rHÉORIE DE LARMOM 



ill 



V 

I 
! 
I 



pas ; elle ne ^arie pas non plus dans un ion en repm; mmiê elle 
carie dans les ions en mouvement. 

Je ii'iû pas à revenir sur les équations (3) qui expriment, àmm 
la manière de voir de Larmor, que raccélération de Fétlier est 
proportionnelle a la force produite par Faction des couples élas- 
tiques. 

Mais il faut revenir sur Tintégrale (5) ; cette intégrale est égab 
à 






elle varie donc quand L^, M^ et N^ varient, c'est-à-dire quiiiid tisi 
ion porteur d'électricité traverse la surface à laquelle rialéfrralt 
est étendue ; c'est-à-dire enfin quand on fait varier la cliarge 
électrique totale située à Tintérieur de la surface. On s explique 
ainsi comment cette intégrale peut être proportionnelle à celte 
charge. 

En résumé, d'après l'iiypotlièse de Larmor, le passage des îoiis 
à travers l'étlier modifie les conditions de l'élasticité rotationnelle 
de cet étlier. 

Cette action de l'ion sur l'éther doit être accompagnée d ane 
réaction de l'éther sur l'ion. C'est sans doute a cette réaction que 
sont dues les forces mécaniques subies par la matière dans ue 
champ électromagnétique. 

Il resterait à expliquer dans le détail le mécanisme de celle 
action et de cette réaction. 

C'est ici que la difficulté commence. Pas plus que Loreotz, 
Larmor ne respecte le principe de l'égalité de Faction et de k 
réaction. La difficulté s'est même accrue. Lorentz pouvait s ea 
tirer eii supposant que le principe, violé en apparence si Vm 
envisageait la matière seule, se trouverait rétabli si Fon ccmsi- 
dérait a la fois la matière et Féther. 

Cela pouvait aller, parce que Lorentz ne faisait aucune Ii}p0- 
thèse sur la vitesse de Féther. Mais Larmor en fait, puisque cette 
vitesse est d'après lui représentée en sens et en grandeur par îa 
force magnétique. Il est aisé de constater alors que la compeii- 
sation qui devrait se faire entre les actions et réactions mulueîles 
de la matière et de Féther ne se fait pas. 

Nous avons vu plus haut, dans les chapitres consacres a k 



' il' 

m 

m 



'M 






. m 



'■'M 

m 






g32 A PROPOS DE LA TI/ÉORIE DE LARMOR 

théorie de Lorentz, quelles valeurs devaient avoir les compo- 
santes de la vitesse de l'éther pour que cette compensation 
ait lieu et ces valeurs, loin d'être proportionnelles à a, [5, y, 
étaieixt proportionnelles à 

Un exemple simple fera d'ailleurs mieux comprendre la na- 
ture de la difficulté. Considérons un corps quelconque, par 
exemple un morceau de verre, il sera entraîné par le mouve- 
ment de la Terre; si Téther n'est pas entraîné, notre corps sera 
en mouvement relatif par rapport à l'éther. Tout devrait donc se 
passer comme s'il était traversé par un courant d'élher. Mais, 
d'après la théorie de Larmor, un courant d'éther, c'est un champ 
magnétique. Notre morceau de verre devrait donc se comporter 
comme dans un champ magnétique, il devrait par (^xeniph^ pré- 
senter les phénomènes de la polarisation rotatoire magnclicjue. 

Dira-t-on que l'effet ne se produit pas, parce ([ue hi vit(^ss(^ de 
Téther étant très grande dans un champ magnéti<[ue, une vll(^sse 
de 3o km : sec. correspond à un champ très lîul)h' ? ÎVhiis, d'apivs 
une expérience de Lodge citée plus haut (p. 5()i) la vlh^sse d(ï 
l'éther dans un champ magnétique devrait au conlralre Aire très 
faible. 



TABLE DES MATIÈRES 



PREMIÈRE PARTIE 

Avertissement de la seconde édition. , | 

Introduction , H à X 



CHAPITRE PREMIER 

FORMULES DE 'l ELECTROSTATIQUE 

Théorie des deux fluides I 

Théorie du fluide unique , , | 

Expression de la force électrique dans la théorie du fluide unique. . . | 

Unité électrostatique de quantité S 

Potentiel. — Composantes de la force électrique § 

Flux de force 7 

Théorème de Gauss 7 

Relation de Poisson - . 8 

Flux d'induction i 

Potentiel d'une sphère électrisée en un point extérieur § 

Remarques lO 

Extension de la relation de Poisson • • ** 



CHAPITRE II 

THÉORIE DU DÉPLACF.MENT ÉLECTRIQUE DE MAXWELL 



Fluide inducteur 

Déplacement électrique ■ • 

Incompressibilité du fluide inducteur et de l'électricité. 
Image de l'eflet de Pélasticité du fluide inducteur . . . 

Tout courant est un courant fermé 

Courants de conduction et courants de déplacement . . 

Energie potentielle d'un système électrisé 

Elasticité du fluide inducteur 

Distribution électrique 



2f 



i' 



634 TABLE DES MATIERES 

CHAPITRE III 

THÉORIE i)ES DIÉLECTRIQUES DE POISSON. COMMENT ELLE PEUT 

SE RATTACHER A CELLE DE HELMÏÏOLTZ 

Hypothèse de Poisson sur la constitution des diélectriques 35 

Sphère placée dans un champ uniforme 37 

Polarisation des diélectriques. 4o 

Modification de la théorie de Poisson. -- Cellules k) 

Propagation de la chaleur dans un milieu homogène 'îr 

Analogie avec le déplacement de rélcctricité dans les cellules V) 

'^Identité des expressions de l'énergie potentielle 60 

Remarque. ^'-^ 

Cas des corps anisotropes 03 

Discussion 0'> 

CHAPITRE IV 

DÉPLACEMENT DES CONDUCTEURS SOUS l'aCTION DES FORCES ÉLECTRIQUES 
THÉORIE PARTICULIKUE A MAXWELL 

Force s'exerçant entre conducteurs éleclrisés GG 

Théorie de Maxwell GH 

Discussion 7"-* 

CHAPITRE Y 

ÉLECTROKINÉTKiUE 

Conducteurs linéaires 77 

Nouvelle expression analytique de la loi de Ohm 78 

Conducteurs de forme quelconque. . .' 7() 

Différences entre les courants de conduction et les courants do (l(q>la- 

cement 80 

Loi de Joule 87. 

CHAPITRE M 

MAGNÉTISME 

Fluides magnétiques. Lois des actions magnétiques H.\ 

Constitution des aimants ^5 

Potentiel d'un élément d'aimant. Composantes de raimantation. ... S') 

Potentiel d'un aimant ^« 

Potentiel d'un feuillet magnétique 88 

Force magnétique en un point extérieur 8q 



TABLE ÙES MATIÈRES ^35 

Force magnétique dans l'intérieur d'un aimant 

Induction magnétique 

Magnétisme induit • . . . y 



CHAPITRE YII 

ÉLECTROMAGXÉTISME 

Lois fondamentales r 

Hypothèses ^c 

Théorème I ^g 

Théorème II q_ 

Théorème III qg 

Théorème IV qq 

Potentiel d'un courant ferme . . . . - iqq 

Cas d'un circuit inlîniment petit ^ iqj 

Equivalence d'un courant fermé et d'un feuillet magnétique loi 

Travail des forces électromagnétiques suivant une coui-]>e fermée enla- 
çant le circuit io3 

Cas de plusieurs courants lo^ 

Nouvelle expression du travail électromagnétique suivant une courbe 

fermée ^, ro6 

Transformation de l'intégrale curviligne io6 

Relations de Maxwell io8 

Action d'un pôle sur un élément de courant 109 



CHAPITRE YIII 



ELKCTRODYXAMiqUE 



l'ravail éloctrodynaïuiquc iri 

Solénoïdes H'-* 

vSolénoïdes et courants ii3 

Potentiel élcctr()dyiianii(iue d'un courant infiniment petit Jîj 

Pot(Mitiel électrodynaniiquc d'un courant fermé 116 

AuU*e expression du potentiel d'un courant 116 

<:as d'un courant se déplaçant dans un milieu magnétique 117 

Détermination des composantes du moment électromagnétique . ... 119 

Valeurs de F, Ci, II, pour un courant linéaire ï2.2 

Formules de Neuniann. . . ' ^^^ 

Nouvelle expression du potentiel électrodynamique d'un courant . . . ÏI4 

Potentiel électrodynamique d'un courant par rapport à lui-même . . . 124 
Expressions diverses du potentiel d'un système de courant par rapport 

à lui-môme 

Cas d'un système de conducteurs linéaires ^^^ 

Cas d'un système de deux courants linéaires ^'^^ 



636 



TABLE DES MATIÈRES 



m 



'é 



fi 



% 

■'4- I 
II 

'^j II 

.; .ri 



CHAPITRE IX 

INDUCTION 

Forces électromotrices d'induction. .^ \ ^^ 

Détermination des coefficients A, B, C ^^^^ 

Théorie de Maxwell . 

Application au cas de deux circuits • • • • ^ .^ 

Valeurs des forces électromotriccs d'induction ^^9> 

Travail des forces électrodynamiques ^'^^ 

Expression des forces électrodynamiques ,"'',"' ^ ^^ 

Cas d'un nombre quelconque de courants. -^ Forces clcctrodyna- 

i/|> 

miques * * ' ' / ' 

Forces électromotrices d'induction ^'^'* 

Signification de o *-' 

CHAPITRE X 

ÉQUATIONS DU CHAMP MAGN](^;TIQUK 

Equations du champ magnétique " jî> 

Equations des courants de conduction" ^'^^^> 

Equations des couinants de déplaccmonl, ^y 

Equations des courants dans un milieu imparfaitement isohuit .... in- 

CHAPITRE X[ 

THÉORIE ÉLlîGTROM.VGNKTKiUK DK KA I.U.MIKUK 

Conséquences des théories de Maxwell ' >> 

Equations de la propagation d'une perturbation magn(Hi(iu(' dans un 

diélectrique ^ >^*> 

Cas des ondes planes ï'><> 

Vitesse de propagation d'une onde plane périodique i'>i 

Valeur de cette vitesse dans le vide l'ji 

Relations entre Piadice de réfraction et le pouvoir inducteur (runc subs- 
tance isolante i<>1 

Direction du déplacement électrique i<)H 

Propagation dans un milieu anisotrope . — Double réfraction 170 

Propagation dans un milieu imparfaitement isolant. — Absorption do. 

la lumière 177 

Réflexion des ondes 181 

Energie de la radiation 182 

Tensions et pressions dans le milieu qui transmet la lumière iS/i 

Interprétation des pressions électrodynamiques 189 



TABLE DES MATIÈRES 



637 



CHAPITRE XII 

POLARISATION KOTATOIRE MAG^'ÉTIQuÈ 

Loi du phénomène. . jo..^ 

Essais d'explication de la polarisation rotaloire magnétique 194 

Théorie de Maxwell lo^ 

Interprétation du terme complémentaire de l'énergie kinétique .... 206 

Difficultés soulevées par la théorie de Maxwell 21a 

Théoine de M. Potier 217 

Théorie de M. Rowland 222 

Phénomène de Kerr 226 



DEUXIEME PARTIE 

THÉORIES ÉLECTRODYNAMIQUES d'aMpIîRE, AVEBER, HELMHOLTZ 



CHAPITRE PREMIER 



FORMULES D AMPERE 



Action do deux éléments de courant aSi 

Travail produit par un déplacement relatif de deux circuits 287 

Détermination de la fonction U ^Sq 

Relation entre la force électromagnétique et le potentiel vecteur. . . . 24^ 
Potentiel électrodynamique d'un système voltaïque constitué par deux 

circuits. . . . " 249 

CHAPITRE n 

TuÉOIUE DE l'induction '^^^ 



CHAPITRE ni 

THÉORIE DE WEBER 



l'explication des attractions électrodynamiques ^61 

L'induction dans la théorie de VVeber ^^7 



CHAPITRE IV 

THÉORIE DE HELMHOLTZ 



Equations fondamentales .... 
Définition de la force magnétique 



286 






ni 


M 


M 


m': 


i' 


4 ■ 


.4{i 


{M'; ' 


"'r^ 
é^ 


1 '•- 


HV 


a»- 


hr: 


iên 




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r^ 


'Û' 


'/f 


;■;! 


\\ 


ir 




?,.l • 




.il 



638 TABLE DES MATIÈRES 

Conservation de l'énergie et stabilité de l'équilibre 292 

Expression de l'énergie électrocinétique et de l'énergie électrosta- 
tique U ^9^ 

Conservation de l'énergie '-^9^ 

Stabilité de l'équilibre 3oo 

Ktude des milieux magnétique'^ . . 3oi 

CHAPITRE Y 

PASSAGE DE LA THÉORIE DE HELMIIOLTZ A CELLE DK MAXWELL 

Induction magnétique 3ii 

Polarisation diélectrique 3 14 

Expression de l'énergie électrostatique dans le cas des diélectriques . 3a2 

Vitesses de propagation des perturbations électromagnétiques. ... 332 



TROISIEME PARTIE 

NOUVELLES THEORIES ÉLECTRODYNAMIQUES 
THÉORIES DE HERTZ ET DE LORENTZ 



CHAPITRE PREMIER 

théorie de hertz 

Electrodynamïque des corps en repos :J.|^) 

Première loi fondamentale 3.'j"') 

Equations fondamentales de Hertz et Maxwell 'i,jG 

Courant total 3 jj^ 

Lois qui régissent les courants de conduction et déplacement .... ,'] 19 

Seconde loi fondamentale 350 

Deuxième groupe d'équations fondamentales de Hertz 'J5r 

Délinition de lélectricité et du magnétisme, d'après Hertz 'Vri 

Remarque 35(3 

■Vérilication du principe de la conservation du magnétisme et du prin- 
cipe de la conservation de l'électricité :\% 

Vérification du principe de la conservation de l'énergie 358 

CHAPITRE H 

electrodynamïque des corps en mouvement 

Dérivées par rapport au temps 3^3 

Induction dans un circuit en mouvement 354 



TABLE DES MATIEIŒS 689 

Théorème 3^^^ 

Equations fondamcuLalcs de llerlz 3^,^ 

Equations fondamentales de Maxwell 3„/ 

(Comparaison entre les relations fondamentales de Hertz et celles de 

Maxwell 3„5 

Deuxième loi fondamentale 3^g 

Courant total de Hertz 3^q 

Discussion du courant total 3g j 

Interprétation des résultats 333 

Vérilîcation du principe de la conservation du magnétisme et du prin- 
cipe de la conservation de l'électricité 335 

Première remarque 3g« 

Deuxième remarque 33^ 

Conséquences 3g^ 

Entraînement partiel des ondes lumineuses 3qo 

Remarque 3(^3 

Vérilîcation du principe de la conservation de Téner^ie 3c)4 

Energie électrociuéti(iue et énergie élasti(pie d'un cliamp uiagn(Uique . 39() 
('alcul des actions mécani<[ues (^xercu'es [)ar le champ électromagné- 
tique sur la matière 3Qq 

i) Actions mécaniques du chaujp maguéticjue /^ojj 

Remarque /j^jq 

2) Actions mécaniifues du (duunp éh'otr'i(jue ^lo 

V'orce de llei'lz 

Vérilicalion (hi principe d(^ l'égaliti' (h' l'action et de la réaction. 



414 

4 '2 



CHAIMTUE ni 

lUKOlUI-: 1)1'. I.OUIINTZ 

(Conducteurs /.^j 

A. Puî:n()mi:m.:s ()Ui sk imu';si.:.nti;.nt a un <)nsi;uvATi:im avant i.k.s skns tuks 
suiJTii.s r.i^/ 

Introduclion des ('(piatious de Lagrauge /['^n 

i\) Jù/iiado/is f/ui (lô/iinssail l'ôlal (le L'ctlicr fîo 

(Comparaison avec les relations de Hertz /J/i'^ 

h) Variables de l<( itreniière sorte 4^(3 

(Com[)ar"aiHon avec la théorie de lleriz /\/[(^ 

Véri/lralion des prinrip<\s générfaf.v de la niéca/nqae : 

j'* Prin('i[)(^ de la conservalion du njagn<'ti.sm<' 44-7 

■i" Princii>e de la conservation (!<' r<*le(H,ricité 447 

3" l'rincipe de la conservalion de r<'nergi(^ 448 

4'-» l'rincip(^ de l'égalité de Faction et de la réaction 448 

Intégration d;'s é<piati()ns de Eorenlz ,/[•)/[, 

Potentiel relai*<l(; ^55 

B. PuKNOMKNl'S <)UI SK PUKSIl.NTI-lNT à UN OIJSKU VATKUU AYANT r.KS SHNS 
GKOSSIKllS 4(3l 

(Calcul de l'action mécanii[U(î 464 

('alcul de la force éIectromotric(» 4G6 

Phénomène de Hall 4yi 






^/^Q TABLE DES MATIERES 



CHAPITRE lY 

DIÉUKCTRTQUES 



Potentiel magnétique . . . 4?^ 

Force magnétique à l'extérieur d'un aimant 477 

Force magnétique à l'intérieur d'un aimant 477 

A. Electrostatique. 479 

B. Electrodynamique des corps en repos 4B4 

Conditions d'équilibre d'une particule i^^ 

C. Elegtrodynamique des corps en mouvement 489 

Comparaison avec la théorie de Hertz 49^ 



CHAPITRE Y 
phénomènes lumineux dans les dielectriques 

Dispersion ^^^^ 

i^'û observation '^^^ 

2<3 observation >^->7 

Particules de plusieurs sortes ^^^7 

Remarque ^"^^ 

Dispersion électrique anomale ^ 

Remarque > 

Dispersion dans les cristaux 



5i3 



: i 

^ r CHAPITRE YI 



PHENOMENES OPTIQUES DANS LES CORPS EN M0UVE.MENT 



Explication de ces phénomènes parla théorie de Lorentz ^iB 

I \ Théorème. — Le mouvement de la terre n'influe pas sur les phénomènes 

' . optiques si on néglige les carrés de ^, r^, t, tyiS 

l ' Temps local 5,io 

\ Objections possibles 533 



CHAPITRE YII 

Influence du mouvement de la terre sur les phénomènes optiques 

proprement dits 537 



k 



r. i nijù DES M. i riEHF.s {\.\ i 



CHAÏUTUK Vin 

Polarisation r(>tal()n-i^ inagnt'li(iu(' <•( plu'iiiMuriu' (le Zrciaati . .... 'i 17 

Champ ina<?ri(Hique iiiLi'îisc' ')Î7 

Rayon parallèle au cfiamj) ''>i7 

a) Rayon circulairo droil ^lij 

Raies d'absorptio:i . ">h 

/>) Rayon cirrulairo j^aurhc . ■»')! 

Rayon perpendiculaire au c/iamp ................. ')')'i 

TiiKOun-: DHs IONS comim.kxks. ..........,,..,,... ">')'> 

Lumière monochronialicpic ......,,>.. YiH 

Déplacement des raies V>*j 

Isotropie dans le plan de l'oiidt* t'(r4 

Polarisation des raies Vï'i 

Isotropie dans l'espace '")(jf> 

DIsciLssion ... ">7.> 



(H'ATHIKMK PAirHK 



.\ i>iu)i»<)s ni: i.A ini'.otui: i>i: i.AUMon 



'riié()rie.s ()pli(jU('s . V"" 

Tlu'ories <'Ie('Lri(| ues * \}\ » 

Adaptation d(» la tlx'orie de I«'r'('sa(d ... . ^H J 

'rh(''()i'ie de liarnior , ^H"* 

l']le('tro(lynatni((iie des eoeps <Mi moiiNeiuent . , 

Tliéoi'ie de Ilehnlioll/. 

Théoi'ie de Loreul/, 



• '>ir^ 

>[)[> 

Tlu'oi'icMle J.-J. 'l'Iioinsori (',,>,> 

Discussion de la llK'oric d<» Ilr'ii/ Cxri 

Discussion des aulres lln'oricN , (> » i 

('oiudusions provisoires . lii i 

Iinilalioiis livdr'odyiianii(jues (">l^ 

(Causes de l'im ci'sion {',l('>. 

Application à r<'l('etroslali<pH' , . . , !> u 

A])pUcalion à riiydrodyuaiJiiipie . . . , iW^ 

Forme délniitive dv la lli('ort<' de hai-in >r , (ii.- 



PoixcAUi':. Kh^îtricili' et ()pli«pic, /, i