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Full text of "Elemens des mathematiques"

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I E LEMENS 

DES 

? MATHEMATIQUES. 






JVr M. Pierre Polynier, 

TioUeuren MecUciru. 



C**i\ 



A PARIS, 
JEAN DE LAULNEme dels 
Harpe , proche !e College d'Harco it, 

a l'lmagc S. Jcan-Baptiite. 
■ r 
JACQJJE QUILLAUjmpri- 
mmr-Jurc libra ire , me Galande , 
proche la me du Fonace , aux Arme* 
At I'Unirafirf, 



MDCCIV. 
4fT.C APPROBATION £T TRIPlZEGE. 



v. w 



i fiut contriiaeriUvantag i fin far 
a ij 



cefte admirable jufieffe dtefprit dont 

la Providence vous a fi liberalement 

partage , que t etude de ces Sciences > 

I' equivoque ni le doute n*y feuvent ja-^ 

mats trouver place. Elles prefentent 

tou jours k tefprit des vcritez^incontc- 

fiables & liees enfemble far un ordrc 

merveilleux v elles £ atcaututhent 2 pen- 

ferjufle fur toutes fortes de mat teres > k 

debrouiller ks chofeS les plus confttfes, 

& £ hlaircir les plus obf cures. Cfeft en 

effet cetfe exattitude fcrupuleufe &par± 

faite qui fait le merite des Mathe- 

matiques i & je croirois avoir reujji 

beureufement dans cet Ouvrage > /// 

itoit dime de votre efiime par cet en- 

droit 5 au mains aura-t-il fur torn les 

autre s qui poUrrontvtnts ttre pnfentez^ 

I'avantage dtetre le premier qui pa-> 

roiffe fous lesaufpices de votre iUufire 

2fom. 

S*il convenoit k un Geometre (£em- 
prunter le fecours de ? Eloquence pour 
exprimer les veritex^ qu y il connoit y 
quelle occafion riaurois-je pas de pu- 



blier ces grandes qualitetjt eftrit & de 
coeur qui briUent en vous , & qui vont 
nous retracer ces rares vertus qui font 
lemerite de votre FamiBe , & qui font 
le principe defon elevation ? 

Mais jene peuxm'empecherdevous 
feliciterfur tavantage que vous avez, 
MONSIEUR , detre nS avec les 
difpofetions necejfaires , pour etre timi- 
tat eur fi dele des Exemples de toutcs 
fortes de vertus politique s & morales 3 
que vous avez^devant les yeux dans 
la performe de ce grand Miniftre 
votre Illuftre Pere qui remplit ft 
aignement au gre du Monarque & de 
fes Sujets y les deux plus impor- 
tames Charges de l r Etat. Le Pu- 
blic a deja de votre part des gages 
dune capacite digne de votre Rang. 
Vous avez^ donne des preuves eclatan- 
tes de la force & de la penetration de 
votre efprit. On a ete furpris dans les 
epreuves pnbliques que vous avez^dort* 
nees de votre ftavoir y quk un age l fi 
feu avatue vous ayezjwt des progrH 



I 



fi conftderables dans les belles Lettre$^\ % 
& dans I Eloquence. Les experiences m ]t 
dePhyfique que vous ave^faites vous- $* 
tneme y & toutes celles que fai eu thon- *^ 
neur de faire devant Vous y dent vous *« « 
avex^ campris & explique les raifons hi J 
avec une clarte y une facilite >& un »,frn 
plaifir extraordinaire i les Thefes <U ujii 
Philofophie que vous aves^ [out ernes 
avec un applaudijfement general , ant 
fait voir I excellence de votre jugement, 
& un genie capable de penetrer dans 
les Sciences les plus fub limes. Mais on 
eft mains furpris de ces heureux fucces 
de vos etudes , quand m fcait , quelle . 
eft votre doc i lite , votre %ele vif& ar- 
dent pour la perfeBion des Sciences y & ) 
des beaux Arts y & pour la protection 
des Sfavans j cette joye fenfible que 
vous aves^touj ours eue de pouvoir vous 
inftruire avec eux dans des Conferences 
frequentes & nombreufes par leur 
toncours : enfin votre piete firicere > votre 
modeftie fans affeElation , & cette aver- 
fion corifiante & genereuje que vous 



toujour tovnteil 3 vice fnfjue infe- 
faraUe (tune h^tutre fortune. 
Voila, les difpofirions de caurfkrlef 
feles font fondex^ Feftime & f amour 
$* Us Sqaruans an* four vous , Us 
Itaanges quun ne pent ft difpenfer de 
vm dormer 9 £r ce qui anirnc U x^k 
week que I je Jitis * 



2tfO JSTSIJEVR, 



Yotre tres-bmnble & tcc*- 
obtiffant fenritcur , 

P. POITNIIIU 



PREFACE. 



BA mcthode que je donne ici , a 
eu pifques a prefent un- facet's fi 
heureux, que parmiunaflezbon 
' nombrc d'Etudians qui s'en font 
fervis deptiis quelqoes annees , it ne s'en 
eft trouve aucun qui n'ait temoigne en etre 
fort content : & les progres que pluHeurs 
ont faits par fon moyen dans les Mathe- 
matiques , m'ont fait efperer que la libertf 
que je prens de la donner au Public, ne 
lui deplairoit pas. 

Tous ceux qui commencent a s'appli- 
quer aux Mathemariques, nevoyent pas 
d'abord oil ces Elemens les peuvent con- 
dliire. Ceux meme qui les ignorent en- 
tierement , en font une efpece de mepris , 
les traitent de Sciences vaines & inn tiles, 
d'occupacions de gens oififs , qui palTent 
tout lent temps dans un cabinet a confi- 
derer des lignes & des furfaces , incapables 
de fonger.ades cho fes plusfolides& plus 
utiles.C'eft pout inilruire lc* uns , Sc 



PRZMj£CE, 

pout go£*ir, sfit eft poffible, la proven* 
riotf des autre*, que jai era deroircom* 
mtticer par les reflexions fuivaute* 

DM Z 9 V T I LIT Jf 

des Matbcmatiques. 

PiRemieremeat je confidererai la neceC 
(itc oil toutes fortes de perfbnnes fc 
uouvetit d'avoir lefftric exa£t , penetrant 9 
fitue dans toute la force, la vigueur SC 
l'&endue dont il eft capable. Pour etrc 
perfuade que les Mathematiques font des 
lciences qui produifent tous ces bons e£> 
fets v il fuifit de faire attention a la clar* a 
te de leurs principes , a la juftefle des 
raiibnnemens & a Tevidence 4es demon* 
ftrations qui s'y renconttent continueile* 
mem. Dans ces fciences i'efprit s'accoft- 
tume a sappliquer auxchofes qu'il fe pro- 
pose a examiner j il s'accoutume a connoi- 
tre la : veriti, a la mettre dans fon jour, 
a en 6tablir les principes d'une maniere 
fuivie. Cette habitude eft une chofe qu on 
ne peut aflez eftimer, c*eft un fruit dun 
prix infini & le plus precieuxde nos pre- 



Be tutiliti 
miercs etudes. Rien ne rend Tefpric plat 
penetrant * plus vif , & plus en ctat do 
percer lcs nuages de i'erreur , que l'exer- 
cice ou il fe trouve dans les Mathemati- 
ques pour tirer d'un fort petit nombre de 
principes connus , millc chofes qu'il ne 
connoi libit pas ; pour les deduire par or- 
drc a & pat un enchainement admirable* 
II eft Tare qu'un efprit geometrique pren- 
ne la vrai-femb lance pour la verite, Ceux 
qui ont yti plufieurs excellens ouvrages 
depeinture, par exemple, de graveure, 
de fculpture,l<javent beaucoup mieu* ju- 
ger d ? une eftampe , d'uhe ftatue, &<r. de 
tteme ceiix qui font accofitumez a des 
id6es claires, a des demonftrations exdftes, 
jiigenc bien mieux du defaut ou de la per- 
fection d'un raifonnement, lis ne font pad 
fi fujets a fe Jaifler tromper par quantite 
de niaximesr obfcures & incertaines qui 
fertf&nt de fondemens aux faux raiibnne- 
mens dont les dilcours des homines font 
remplis. Ce qui met Pefprit dans fa force 
& dans fon etendue, c'eft de Taccoutu- 
mer a cornprendre plufieurs chofes a la 
fois , ce font ces demonftrations qu'on ne 
peut entendre qa'en appercevant la verit6 
de cent autres demonftrations dont elles 
dependent 5 parce qu'alors l'efprit eft obli- 
ge de voir en meme terns & ce qui eclairs 



des Mathematiqites. 

& ce qui eft eclaire. En embraffant fcarit 
de chofes a la fois 9 il portefes vucs beau- 
coup plus loin que dans fes a&ions or- 
dinaires, De memequ'en s'accoutumantik 
porter des fardeaux pefans , il arrive qu'on 
ne Tent prefque plus le poids.de ceux qui 
font plus legers^-c'eft ainfi quen exer^atit 
notre efprit a des veritez abftraites dc 
difficiles , nous ltd rendons faciles toutes 
celles qui demandent moins duplication. 
Les exercices du corps font qu'il agit avec 
plus de /buplefle & d'agilitc, 1'endurcik 
font au travail , & le rendent enfin capa- 
ble de fupporter de grandes fatigues ; 
de meme auffi les travaux de l*efpric tels 
qu'ils fe rencontrent dans les Mathema- 
tiques , le fortifient & Paccofitument k 
concevoir les chofes difficiles ,ay don- 
ner toute i'attentionneceffaire, leprepa- 
rent a fuivre le fil d'un raifonnement quel- 
que long qu il loit , & emp£chent qu'il rie 
fe rebute de la multitude des chofes qu'il 
eft fouvent oblige d'examiner pour apper- 
Cevoir la verite t>u la fauflete dans des 
chofes importantes. Ces fciences ouvrent 
Vefpth & Thabituent a bannir tous les 
dou.es & toutes les probabilitez , &ane 
donner fon confentement qua ce qui eft 
evident & inconteftable •, parcequ'on ne 
veut y admettre que des veritez cemines 



b# t utility 

&tks<kmooftraoion$, Le &ki qu onade 
<dcfinir tous ks termes obfcur s , afin d tvi- * 
-tcr toutes Jes equivoques & les difp*tes 
jdetnots }t£tte adreffe don ton fe fere pour 
itircri dc xt qui -eftconaa des cbofes i\ ca- 
jchees & fi difficiles v font admirer & efti- 
sner ks Matheniauques. Cesfciences»&j&- 
:prennent 1-efprit & lui font agreaWes,} 
jpancequc naturellcment nous avons dc 
J'indination pour connoitre la verice , ^c 
:iei die parotc touce pure 9 &, fans aucure 
nuages $ ici routes chofes nous portent & 
Tainier ; on y apprend a la difcerner ; on 
:y trouve ce qui ibrtifie Ja ration , ce qui 
<etend Ja vtle de lefprit , & enfin ce qui 
donne lieu d'adnairer la grandeur de 1'amc 
ide l'homrae^ ce quifait connoitre qu-elfc 
lie pent; crre que :tome {pirituelle & iaw 
xnortelle* 

Gouixderons prefenterpencen parntau- 

Iter l'ufage des Mathematiques dans ce 

' qui regatde la fode te de$ hoqwnes , & fai- 

-ions attention a la neceffite qu'jl y a de fe 

-fervir des lumieres de- ces &ien<$s.> Com- 

-*nen§ons par kseEkoaens. 

UArithmetiqueeft xi'iUBe utility fi • um- 

JYerfelle jqu'iLfemMecqu'ilii'y a; perfonne 
:<jui » en» piii(Je:avoir befoin / cat fans par- 
kier des autres parties des Mathematiques 
-a&fqueiles elle ;eflL abfokioient - jtiect flairs: 

tout 



Des Mathtmattqtts. 

(MR le monde fjait que les Marcbamls, 
les Treforiers., Financiers , Banquiers, 
Caifliers *, en un mot cnix qui font char- 
gez de recettes de deniers,qui one des par* 
ages ou attributions a faire , foit en pair # 
ibic en guerre , foit Jans ie Bareau t foit 
dans lesfamiltes , ne peurent teuflir fans . 
des calculs precis , & fans des fuppo* 
tations exa&es , xfcBt a^dirc t £ans la fcience 
des norribres. 

L'Algebre eft la fcience generate des 
grandeurs. Si on confidere (on Vendue . fie < 
la feconditc de fes demonstrations, on troa- 
vera qu'elle conduit l'efprit pas a pas , & • 
tnfin lui facilke le moyen de decou vrir des 
veritcz les plus cachees, Apres avoir donn£ 
desnomsa des grandeurs, on treure par 
tm art admirable qu en faifant certaines 
additions , fouftra&ons , multiplications, 
&c. on apper^oit les fbndemens & les fui- 
tes des raifonnemens les plus fubtils, &on 
fe trouve en 4tat de refoudre facilemenc 
les'queftions les plus epineufes, Rien n'eft 
plus propreqoe 1 Algcbre pour menager la 
capacity tc I'etendue den&treefprit pour lc. 
fake atteindre aux veritra qu'il clierche „ 
quand meme elles fembleroient cere a* 
deffiis de fes forces. 11 y a une infinite d oc- 
casions oft rArithxnetique & U Geometric 

I 



BtiMtilife ~* 
qrdinaites ae pea vent dormer aucunes to- • 
ipieres^c'eftle feu lexical de rAlgebrequi 
reprefemant a nocrc cfprit plufieurs idies •, 
en meme terns fous des expreflions tres- 
purees, lui f 4a lite le moyen de penetrer ' 
inctimparabkmtat plus. loin. Les cxpref- t 
fions de l'Algcbre occupent. ft peu : tiqtse % 
efprit paries fens qa'cjlealelaiffe^tcpna-;. 
me toutentief aJui-raemefans lc difttairer 
a des chofes etrangeres,& Taidenc mer \*eU-; , 
leufement a parcourir avec beaucoup d/a~ 
drefle , de promptitude dc de faciltf e tpus 
les rapports & route* leiprqprietcz. des 
grandears qij'ii examine, je dirai meme : 
que dans les traitez des Mathematiques^ 
cru ces fciences (e trouvent fort approfon-f 
dies^on tronve un tres - grand, npmbre de, 
proportions demontices parlaQeojtneuiej; 
qnWn'auroit jamaisjofe tenwrpaj; cetrq. 
voie 5 fi on n'e» avoir aper^u la verite par le, 
rnoyendeTAlgebre qui pour ce etc raiion 
a merit£ d'etre appellee i'art d'inventer. 
Eteneffet apr£s que 1'Algebce a Condi le, 
gue, s J il m'eft pecmis de parfer aipfi , & 
qu'elle a decouvert & prefefttei i'efprit, 
vhe verite qo'ellc cheixhrok ; il eft fouventf 
important , poor une entierefatisfa&ion,» 
de la rendre fenfibie h. J'lmagination par 
les figures de La Geometric, & declarer 
ainfi iefprit autant qu'il le peutitre. 



des Math emati que s. 

Les belles decouvertes de ces cfcrniers 
terns fur la rcfolution des equations , fat 
leur conftru&ion, fur les propriecez ad- 
mirable* des lignes courbes , fur l'ufagede 
cette nouvelle Geometrie des Infinimeht- 
Petit s cjui eft tant a la mode parmi les f$a- 
vans, lont des preuves authenttques de 
l'excellence de TAlgebre. 

L a Geometrie eft dune uttfite fi connue, 
que les ouvriers memc tachent de fe la tea- 
dre f amiliere pour mefurer & toifer leurs 
ou vrages. S'il y a des partages k faire , foit 
a la ville , (bit & la campagne > s'il y a des 
terres £ vendre ou a achepter , c'eft une ne- 
Ceflit6 indifpenfable d avoir recourse cette 
partie des Mathematiques pour en connoi* 
tre exa&ement Tetendue, pour dlternu* 
net & limiter les pofleflions d'un chacun,& 
rneme fouvent pour decider plufieurs pro- 
cez. A peine pouvons-nous ouvrir les yepx 
fans app&cevoir des cercles , des triangles, 
3ts polygenes , des {pheres , 8c une infinite 
d'autres figures geometriqucs qui femblent 
nous inviter a chercher leurs proprietest. 
Jamais on n'auroit porie ia perfe&ion des 
Arts jufqu'au point oil hohs la voyons, s*il 
n'v avoiteu dans ces dernierstems cThabu 
les Geometres qui orit fait leurs effort^ 
pour les metcre ei^cet ctat. Est Geometric 



TtctutilitS 

ItlM generalemem approuvee de coot le 
inonde , Je n en dirai pas davantage , j*a«- 
jouterai teulement quil eftauffiimpoffible 
4c bien entendre le refte des Mathemati- 
ques fans fon fecours j qu'il eft impoffible 
de fa ire la le&ure d'un livre fans connoitre 
les lettres de 1'alphabet. 

L'Optiqueeft lafciencedespsepriete* 
de ta bmiere > c , cft cette partie des MatJhe- 
matiques qui nous appr end a rendre raifon 
des phenomenes de la vue , qui nous fait 
voir enquoi confifte plufieurs defauts de 
iceil , la maniere de les corriger , racme 
tfaugraenter la force de la vijGon.C'eft dans 
rOptkjuo qaoa examine les proprietes 
des refraftions & des reflexions de'lalu- 
nwere.On y apprend la conftrudion des lu^ 
nettes dapproche qui nous font decouvric 
& appercevoir diftin&ement dans le Ciel 8£ 
fur Jaxerre des objets que leur grand eloi- 
gnement nous rend infenfibles y qui nous 
facilitent les obfervations des corps cele* 
ftes , 8c peuvent fervir dans les armees 
pour observer les marches &ies campe- 
men&des troupes ennemies,fur lamer pour 
reconnoitre les vaifleaux des py rates , de* 
corfaires, &c. afin de fe precautionner con* 
tre leurs infultes. On y apprend la conftru- 
fiion des. microscopes qui leiYcn t a. nous 



des Matheyyttttiques. 
feife voir les Corps , que leurpetitefle de* 
robe a nos yeux , & a nous faire reveler 
plufieurs fecrets de la nature. On etablit 
dans TOptique des principes qui font con- 
Jioitre la caufe des diflFerentcs couleurs & 
des different es apparences que nous voyons 
en mille rencontres , des eflfets de toutes 
fortes de miroirs. Jamais onn'auroit biert 
connula caufede rArc-en-ciel,defamuk 
tiplication apparente des objets paT Jes lu- 
nettes a fecettes , des effets des laoterhes 8£ 
des tableaux magiques , de rimpreffioli 
des ob jets dans le fond de V ceil , G on ne le$ 
avoit iroitez par des chambres obfeurei 
des prifmes triangulaires , &c. fi on n'y 
"avoit enfin decouvert & demontri urt 
grand nombre de veritcz qui rendent l'Op* 
tique tres curieufe &d'une grande utility 
pour bien entendre la Phyuquc L'Opti* 
que nous donne les principes de la peripe- 
ftive , en nous apprenant a reprefenter les 
Corps en peinture, & a tromper agreable* 
tnent notre v&. 

Les Mechaniques font la fcienee Ai 
mouvement & des forces mouvantcs.Cette 
fcienee des Machines eft une des plus belles 
parties des Mathematiques, Y a-t-il fieri 
j>his admirable que de pouvoir par fe 

tnoyen des leviers , des poalies, des roue% 

" • •• 



j... 



D* tutiliti 
&c. augmenter une force cant que la reft 
fiance de la matiere qu'on employe a ce* 
machines le pourra fupporter tans fe bri- 
ber ; de pouvoir eleverdes mafles cnormes 
aufli haut , ou les tranfporter audi loin, 
qu on voudra I Les moulins , les prc(Toir5 > 
les horloges , les montrcs , les pompes fou- 
lantes & afpirante&,& les autres machines, 
hydrauliques ,. une infinite d'inftrumens Sc 
de machines dont les boutiques des oil- 
vriers£bntrcmplies,quoique fort ordinal 
naires . y font tres ingenieufes dans leur in<- 
▼ention & dans, leur s ufage's. Mais fans for- 
tirde nous- memes > nous trauveions que 
notre corps eft une. machine dont les oflc- 
mens font des Ieviers,il y a des points d'ap* 
pui , des cordages r des forces qui y font ap- 
pliqu£es, des hbr es paralleles,obliques,.cic~ 
culaires x fpirales > des mufcles tnangulaL 
res, pyt amidaux , orbiculaires,.& rhomboi- 
daux* Enfin nous trouverons que cette ma*- 
chine eft un affemblage de ce qu'il y a de 

!>lus beau dans laStatiqueJ'Hydraulique & 
a Pneumatique.* On ne peut fansune con* 
noiflance exa&e des Mechaniques determi- 
ner la force des mufcles ni leur conftruc- 
tion, raifomieravecjufteflefurUmanier* 
*de marcher des animaux , de voler desoi*. 
ifeaux & de nager des poiiTons^ ni mex»tfiur 



des Mathm*t%*«: 

Ie mouvement circulaire du fang , fur la 
ftru&ure du cctur , fucleseaufesdefa dila* 
tation & de fa contraction y fur ie mouve- 
ment & fur Tufage de la respiration , fur la 
generation, la nutrition, l'accroiffeaient 
des plantes & des animaux , Sec* 
L'Aftronomie enfeigne a obferver le cours 
des Aftres, C'cft par le moyen de cette 
partie desMathematiques qu'on connoit la 
durce de rannec % h caufe de la diveriite des 
climats , de la difference qui eft entre les 
jpurs , de celie qui eft entre lesfaifons. Le* 
observations Aftronomiques nous font con- 
aoitre le terns precis de la revolution de* 
corps celeftes y leurs dire&ions , retrogra- 
dations , conjon6tions y oppofitions & a£» 
pedh. On a le moyen de predire certaine- 
ment les Ecligfcs du Soleil, de la Lune„ 
celtes des fatellitcs de Jupiter & de Satur- 
ne, long- terns meme avant quel les arriu 
vent y ce qui eft d'une utilite merveilleufc; 
pour perfe&ionner la Geograpbie & l'Hy- 
drographie par la connoiffance des longi- 
tudes. II eft impoflible d'etre un Phyficie% 
parfait fans etre Aftronome , parcequ un 
grand nombre de phenomenes & d'effets 
partkuliers dependent du mouvement des 
Aftres qui font des caufes generates. On 
|jait,par exemglc x le rapport & la liaifoji 

iiiii 



~r> 



fietttilite 
Conftante& invariable qu'il y a entrc Ic flux 
& reflux de l'Ocean & les mouvemens de 
la Lune ; perfonne audi n'ignore les in- 
fluences du Soleil fur la terre que nous ha- 
bicon s. Oepuis qu'on a invente les lunettes 
d'approche on a decouvcrt dans les corps 
celeftes une infinite de chorestrescurieu- 
ks m On s'eft apper^u qu'il y avoit des ta- 
chesdansle Soleil; qu'il y avoit des mon- 
tagnes & des vallees dans la Lune ; que la 

{>lanete de Venus avoit des phafes comme 
a Lune ;que Jupiter ccoit environnc de 
Satellites, & Saturne d'un anneau, &cj 
Cetce d^cou verte des fatellites eft fort utile, 
Comme je 1c viens dedire, pour determiner 
la pofition des differens lieux de la terre fur 
mrglobe artificiel, pour determiner les lon- 
gitudes, afin de rendre la navigation plus 
parfaite & plus (ike. 

La Gnonaonique eft la fcience des ca- 
drans , elle enfeigne a mefurer le tems , k 
Je divifer enparties egales , a marquer fuir 
differcntes furfaces la proje&ion ou repre- 
sentation des ccrcles horaires/ 

La Geographic nous enfeigne la coit- 
no^flance de la terre que nous habitons * 
elle nous en decrides patticiilaritez. QuoU 
qui! nefoit pas neceffaire <«tre fort prow 
food dans, ies Mathnnafifli^ *~». fu 



des Mathcmatiques. 

f^avoir la Geographic, on peut dire neanS 
moins qu'cllc en depend dans fes points 
les plus eflcntiels, 

Ob doit dire la meme chofe dc la Chro- 
nologic , cette fcience fi neceflaire pour fi- 
xer lcsEpoqucs des anneesqui font en u(ag£ 
chez les diflerentes Nations de la terre, 
pour verifier 1'hiftoire & y placer les eve- 
nemens les plus remarquablesarriyez danp 
les Empires & dans les Etats du monde > 8c 
enfin pour determiner ces periodes de 
temps que ia Religion a conlacrees pour 
la celebration de fes Fetes, 

La navigation s'occupe principalemea 
an trafic des marchandifes 5 £ enrichir des 
Royaumes entiers-,a faire naitre l'abondasw 
ce dans les lieux les plus fteriles. Ceft par 
fon moyen que For , i'argem & la flupast 
des autres metaux nous font apportez.C'eft 
par elle que les Nations les plus doignees 
fe communiquent reciproquement ce qui 
leur eft neceflaire, C eft audi par cet art que 
les armees navales remportent des vidoi- 
res fur leurs ennemis. Or Ia navigation eft 
fondee fur la connoiflance de plufieors par- 
ties des Mathematiques»Elle a befoin de la 
Geographic & £ane defcription exa&c des 
xnersquon appclleHydrographie,pour tra* 
cer aux vaifleauxdes routes a flftrees, pour 
afermk le courage des Pilotes fur un clt « 



fhent fi ineonftant,pour Icar faire \t averfet 
l'Oceantout entier , & les £ aire arrivef )\\(- 
ques dans ces nou veaux Mondcs que Jdi 
-Empereurs Romains 8c les plus grands 
Conquerans de l'antiquitc n'ont jamais 
connus. Elie a bcfoin de la Geometric , de 
la connoiflance des ufages de la bouflble 
& de TAftronomie pour reconnoitre fim 
chemin. Elle a befoin des Mechaniquet 
pour la conftru&ion de fes vaiffeaux* 
pour la difpofition , la figure & les 12&* 
ges du gouvernail qui fert £ faire voguer 
le nayire de quel cot£ pn veuc , pour fes 
Voiles , fes mats, les poulies , &c. 

L* Archite&iire civile eft Tart de confirm* 
re des maifonsron y trouve les principes n6. 
ceflkires pour donner labeaute, la lolidic6 
& la perte&ion aux edifices tant des parti- 
culiers , qu'4 ceux qui font deftinez a Tufa* 
;e du public , aux Eglifes, par exemple f 
1 la conftru&ion des ponts , aux ccoles * 
aux Palais & lieux oi\ s aflcaiblent lesCours 
de Juftice , aux prifons , arfenaux > Hopi- 
taux , &c. 

L'Archite&ure militaire, ou l'Art des 
fortifications , enfeigne le moyen de difpo* 
fer & de mettre a couvert wn petit nombre 
de perfonnes pour faire remittance k un nom^ 
brebeaucoup plus grand. C'cft cette partie 
Mathenaariques que les plus vaillans 



des Mathcm*tiques. 
Guetriersfe fbntgloirede conful ter , lorf- 
cp'il sagit, pat exemple, dafidrer&de- 
iegfet la marche & les campemens d*une 
armee 9 de choifir dcs poftes avantageux # 
d atcaquer on de dcfendre des villes , de 
prcfcrire lordre dcs batailles : on y trouve 
les mbyens de renYeiftr & de reduire en 
cejjdte d£s viltef ^ntieres, Cette fcience fed: 
auffi aux divertiffemens des peuples , lorfl 
qu'on fe ptopofe de faire f des feux d'artifi- 
ces , & de celelt>rer des rfcjouiflances pu- 

bkques* . 

Jenefinirois jamais fi jevouloisrappoiv, 
tcricitoocelutilitc qu'on peut retirer dcs. 
Marhematiques, ainG j ajoAterai feulement 
que laPhyfiqucn a jamais tit plus parfaite 
quelorfque les plus grands Philofophes ont 
etc d'exceUeost M^heriidkicieni. Depuis.^ 
que la Phitefoftue : natu*elle a ei* joime> 
W Matheinatiques > & qu'ellcs fe fonr. 
pr6tez des fecour* teciproques on a fait d«\ 
dkouvertes agreabks/Bc dignes detr$ 
f^es , que les Aliens avoient ignor£es;&: 
Cms doute plus on cuUivsra ks.friences, 
plusonfctrouwrA<*Hg* & conYC»irqi» 
les Matfaetnatiques font dunombredecel- 
les qni meriteiu ^u'oa s> applique tre*. 
ferieufemeat. 



D< tutilite 




four fe fervir utilment de ce Zivre, 

i°.T L faut avoir la precaution de ne lire 
- X point l'Arithmetique ni ce qui regar- 
de T Algebre fains avoir la plume a ia main 
& du papier pour s'exercer fur tes exemples 
que je propofe , &r pour en invcnter enluitc 
de femblables. Dans la Geometrie il faut 
regarder les figures a mefure c u on lit , 8c 
ne point fe rebuter lorfqu'on ne compretid, 
quelquefois pas d'abord tout ce qui ie ren- 
contre. Parc£quecUn$ les Matheinatiques 
il faut de l'attenpon 8c de la perieverance ; 
& il eft rare que dans la premiere le&urc 
qu'on fait de quelques Clemens des Mathe- 
j&atiques que ce loit , on les poflede par- 
fcitement. Par cette premiere ledui;e on 
pi court le tout autant exa&ement qu on 
le peut , 8c enfuite on recommence a lire 
• teutde npuveau, 8c quelquefois une troi* 
fieme ie&ure n'eft pas encore inutile* 
a°. Tan* dans rAruhmctique , dans 1" Al- 
gebre, 



Avertiffmens. 

gebre , que dans la Geometric , i\ faut tou- 
jours examiner & verifier les citations, 
parcequ'elles leveronc une infinite de dif- 
ficulrez. C'eft la une veritable maniere de 
hire cet erode avec fruit. 

3°. La premiere fois que ceux qui feront 
moins ftudieux que les autres y liront ces 
Elemens, iis pourront eviter de lire ce qui 
eft depuis la page 105, jufqu'a la premiere 
proportion des proportions , & dans une 
ieconde lefture ils liront le tout exadfce* 
menr. 

4°. IP eft bon d'fctre auffi averti qtie les 
lignes pon&ri&es font marquees de cette 
forte , pour les diflferencier des autres , qui 
font attachees a la queftion. Ces lignes 
pon&uees font feuleipaent utiles pour la 
demonftration qu'on fe propofe de faire. 
Lacourburedes lignes pondtices des figu- 
res de la page 475, fervent feulement pour 
fignifier que la ligne entierc A R eft appel- 
lee c. Dans les plans & dans les folides fat 
audi reprefente par des lignes ponftu6es 
celles qu'on confidere com me fi on les 
voyoit au travers d'une furface ou dun 
corps. 

5 . U faut encore remarquer une chofc 
qui pourroit embarrafier ceux qui coniu 
jnenceiit i'ctude des Matbematiques ; ceft 



Avertijjhnens.. 

que Jans la reprefentation des plans & des 
folides on eft fouvenc oblig£ dy reprefen- 
ter des lignes perpendiculaires a d'autres 
lignes mences dans ces plans , par des li- 
gnes qui paroiflent leur cere obliques en 
les voyanc marquees fur le papier oil on lit* 
Mais il faut prendre garde que cette obli- 
quite eft un efFet de la reprefentation , de 
la perfpe&ive, & de la maniere de defliner j 
parcequ'autrement on ne peut pas expri- 
mer ces chofes diftin&ement. Dans la page 
201 on confidere la ligne CB commepei> 
pendiculaire a la ligne G E , qui eft l'inter- 
le&ion des plans D H & F E. On voit dans 
la page m des quarrez qu'on reprefente 
par des Rhombes j e'eft la maniere dont 
on fe iert pour reprefenter le cube fur le 
papier qui eft une furface plane , e'eft ce 
qu'on appelle proje&ion en termes d'Opti- 
que. Ainfi dans la page 501 on confidere 
la ligne A B comme perpendiculaire aux 
lignes Ep & CD, quoiquedanslarrepre r 
fentation elles paroiflent obliques : parcer 
qu on confidere le point A comme eleve 
en l'air au deflus de la furface plane G HL 
Dans les plans & dans les folides , cette 
maniere de reprefenter les lignes & les 
furfaces planes fe rencontre trcs fouvenc 
6\ Les Corollaires font fort neceflai* 



jfyettifjcmm. * 

res. II ne faut pas les negliger en aacoiic 
maniere. On connaitra dans la fuirc que 
leur utilit£ n'eft pas moindre que celle des 
Tropofitions generates d'ou clles viennenc 
Lorfque dans la Geomecrie il y aura phi- 
iieurs figures an me me endroic avec les 
memes Tetcres , il faudra lire la demon- 
ftration en regardant la premiere figure t 
relire encore cette meme demonstration 
& regarder la feconde figure : & ainfi de 
fuite autant de fois qu il y aura de ces 6* 
gures j parcequ'alors la meme demonftra- 
tion doit £tre appliquee a chacune de ces 
iigures. C'eft une voie qui abrege le di£ 
cours, &qui applique la proportion a tou- 
tes les circonftances neceflaires. Il y en * 
des exemples dans les pages 24c 14$. 
1*0. I91. 2?8.&c. Cet article merice at- 
tention. 

Apres avoir expofe quelques demon* 
Orations dans toute leur etendue , je les 
ai enfuite exprimees d'une maniere plus 
courte pour lies prefenter a refprtt dans une 
forme tres fimple. En les apercevant ainfi 
clans un fort petit efp ace, il y a beaucoup 
plus de facilite a les comprendre & a les 
xetenir. On en trouvera avec <ette redu- 
<&ion dans ltf* pages 130^ 159.161. 4^.474^ 
479. &c 
Dans les pages 66. 13*. & Hans les pr<* 

* & '4 



jivertijfement. 
poficions 49. fo. &c. de la Geomctrie , if 
taudra fe fouvenir de fexpreffion de la. 
multiplication explicjuee dans h page 40* 
Et dans les pages 46?. 4,71. 487. &c.if 
faudraauffife fouvenir de lexpreffion deft 
quarrel explicjuee dans la page iji. 

Dans ces Elemens je n'ai mis de TArith- 
mecique que ce que j'en ai cru etre U plus' 
neeeffaire j & je me fuis contente de ne 
traiter que les premiers 8c les principaux 
fbndemens de 1'Algebre , afiri de ne pas ire* 
butef d'abord ceux qui commencent, 8c 
de ne pals fatiguer leur zcle pac une plus 
longue fiiite de principes. 

J'ai doanc plus cTecendue a la Gebme- 
trie. Car cette partie elementaire , outre 
latheofie, contient la pratique qui fuiteri 
forme de Corollaires les propofitiolis ge- 
neralesdontelle depend* 

Si quelquefois j'ai prouvc des veritcz.^ 
que qufelques-uns voudroient faire paflec" 
pour de&axiomes i c'eftque les denionftra- 
tions m'en one paru tres faciles , 8c qu'en 
les propofam fans preuve , j'aurois cru pc- 
cher contre Tidee de perfe&km qu'on a 
dans 4es Mitheniatiques , 8c contre cecte 
grande exactitude qui rend ces. fcieaces it 
recommandabler. 

J'ai mis au commencement de chacutid 
des J Parties de cet Ouvrage les definitions 



Avertiffement 

toeceffaires , afirt qii'etant de hit 6 on let 
pnirte trouver plus promptement , & pour 
que les citations en foient plus faciles. 

Euclide etant un Aateur Ekmentaire 
fort ancien & It plus connu , fes Element 
de Geometric font ordinairement citez oil 
fuppofez dans pcefque tous les Traitez 
particuliers des Mathematiques. Pour reri. 
dre la ledure de ces Traitez plus intelli- 

E'blc, lorfqu'on y trouve des veritezdont 
demonftration eft renvoiee aux Elemera 
d' Euclide , j'ai mis a la fin de ces nouveaux 
Eltfpens une Table qui contient par ordre 
les Propositions d'Euclide que j'y ai de- 
montrees , e'eft tine circonftance 01} cec 
Ouvragc (era aufli utile que les Element 
<f Euclide ml me 4 Ceux qui voudront com- 
parer ces Eletnens avec ceux d'Euciide 
connoitront facilement ft la rfiethode que 
fai obfervie eft plus naturellc que celle 
de cet Auteur; ft les demonstrations que j'ai 
employees font plus faciles , fouvent plus 
diredes, plus evidences, & plus courted 



tauter a eorrlgeK 

Age 40. tig. ij. eft £lus grand,«/rii*f*,ou £gaF 
_ P. 70. tig. 24. •+• $. — * = yo, lif. ss o- 
P. lit. tig. antepenult, de 17. li[. de #» 
P. 107. /. 9. •+- n<« /. — *'*• 
P. ul. Ug. d$mm , faM&$** 



v 



*» ill. %• 17. numera*eur$ y Vf d&iemtnacest^r ; 

<P. 18 f. % ltf . 4 onces 4 /t/1 f. 

f>. 1S8. %. **. 700 liv. tif. 71%. 

# # 220./. 17. eft termi. ///; eft un cetcletf5» f , 1*4 f» 

u. (one terrrrinecs, tif. font deux ccrcks >• qui 

font des furfaces d'unc infinite* de c6rez. 
J». **s. /. if.anxjif. * tons ks. &Up* aux /# a too* 

les. 
P. iif. %. s. cette ligne : ajouttz, de Coac que Ift 

centre foit toujourjfclans k ligne fixe* 
*. 2f 1. /#. 4. <** CWS. 2. EG /*/". !FG. 
P. if7 .i^.«.BCBD./pC<Ba 
P. 28*. /. 17. concourir , ajeuteic* en un point. 1 
P. 308. If/- 27. B F obliquement, /1/. BE. J 
P* 309 /.ty. de part & d'autre^/i/lde part ou d'autttj 
iP. 312. %. 22. du , ft/ au.' 
#. 386. /. *v#>t fantepmdtiemy qai out le m£tn4 

circuit, qom^j Be qui font quadrilaterales* 
P« 396. %, i£. oh points, ///". pointes. 
:*• 3*7* %• i®. YA. /*/. Y*. 
P. 404* /. 3, laquelle fera, /</. de forte qu'elle faJ&j 
*. 441 %.itf. la lig. C H. /*/. G H. 
<P. 44f • %. 13. huit toifes,, /*/". fix toifes* 
?- 446. lig. 6, huh toifes, tif. fix. 
P. 482. lig. i 9 . F G H , lif. F KLG. 
tP. 5"o8. /. 2- on ne peat mener , ajoutez , dans te 

pian ABj <$• %. 10. afoutefj dans le plan CU. 
7. 738* /. f . l'une a Tautce,*/; & de meme hauteur* 

P« TJf. ****. 4? Cor. P ro P. 74- *'/. 7f- 
^,f o /*£. dernitre, par , /*/*. pour. 

P» Sty. 1. 3. *fo Cor. entre eux. En, efface x* I efoint* 

& ^£> entre eux en. 




fcLEMENS 



DES 



MATHEMATIQUES- 



PREM/EXS PR/NCIFES. 

NO u s appcllons Grandeur toaixz quipetK 
frreaugmente, ou diminuc\ 
On a donne le norrt de Matkemdtiques mas 
Sciences dans lefquelies cm confidexe lcs propric-- 
tfz des Grandeurs. 

Ces Sciences font fbndees for crois fortes de 
frincipes , fur des Definitions , des Axiomes, & 
4« Demandcs, 

DEFINITIONS GENERALES; 

i. Les Definitions dans les Mathematiqees font 
3es explications qui expofent la fignification des 
mots dont on fe fert. Par ces Definitions on ex- 
plique y par exemple , ce qu'on doit entendre par 
les mots de Triangle, de Poind, &c« 

a. Les Demandes font des fuppofitions fi fim- 
pies , que toute perfonne , pour peu de reflexion 
qu'il y fafle , les doit admettre , telle que Teroit 
celie-ci ; On demande, par exemple , pour par- 
▼enir a unc Demonftration , qjfilfrit fermis dc 

A 



r i Premiers Principes 

mener une Ugne d'un poinft a un autre point* A tit 

dtmtginer qtf elle y foit menee. 

5. Les Axiomes font des veritez £videntes $ 
toute perfonnc qui j fait attention 5 par exemple p 
un Tout efi.flu*> grand attune defes ' parties r, &t: * 

4. La Proposition eft une exprejflion d -une ve~ 
ritequ'on veutdecouvrir, oud'iinechofi : quW 
veut faire. 

f . La Demonftrition eft tine application des 
Definitions , Demandes , & Axiomes^ pour for* 
mcr une perluafidn invincible^ „'i . 

6. Un Theoreme eft une Proportion danjs 
laquelie il s'agit fculement de la denionftratiori 
d'une verite. 

7*. Un Probl&ne eft. une Proposition dansk* 
quelle il s'agit de faire quelque chofe ^ & dcd6-± 
jnontrer que la maniere qu'on propofe" pout 
faire cette chofe eft irrfailliMe , & un Veritabler 
ch«minpoury parvenir. 
. g. Corollaires , ou Consequents fbnt <Jes veri- 
tez qui deviennent neceflairernent connue s par 
les Propositions demontrees , ou par fcs Ddmi** 
tions exposes.. 

9. Cettc marque = fignifie Egal, at cette autre"' 
marque -h fignifie Plus , & cette trqifleme note 
ou marque -^-fignifie moins$ paT«xemple2*i* 
3 = ; , e'eft a dire deux plus,}, ou * ayec, txois fqnt 
Cgaux £;, &8 — i = rf, e'eftadiregmoinsa^ 
ou 8 dont on a retranche 2, font egaux a 6. 

10. Gette note ou marque ^> fignifie plus; 
Grand , & cet autre figne ou note <^ fignifie 
plus Petit 5. par exemple 7 — 2 ^ 4 , e'eft a dire' 
H moins deux Con\ plus grands que 4 3 & 4 ^ 
f "+" h c '^ * dire/4 plus, petits que 3 plus j f 



&cs Matbematiques. 3 

* 

: DEMANDES GENERALES. 

i. Lorfijuc plufieurs grandeurs font parfaite- • 
ment egales , qu'il foit permis dc prendre Tune 
aniieude l'autre. 

it Qu'il foit permis de nommer une grandeur 
da notn d'une,ou de plufieurs Iettres de l'Alphabet 
3. Que les grandeurs egales^u de meme nature 
fbient exprimees par des Iettres femblables , ii 
cela eft neceffaire pour une demonft ration $ par 
cxemple d & d iignifieront deux Nombres egaux, 
deux differences egales , &c, 

4, Les Grandeurs inegales , ou de diflerente 
nature , feront exprimees par des Iettres difFe- 
rentes ,• par exemple a & b , &c. 

AXIOMES GENERAUX. 

i. Une meme chofe ne peut etre , & ne pas 
fee en meme-temps. 

1. Un Tout eft plus grand qu'une de fes Par- . 
ties. 

3. Un Tout eft cgal a toutes fes Parties prife$ 
enfemblej par exemple files Grandeurs b-+-d 
font toutes les parties de x. , alors z = b H- d. 

4. Si a Grandeurs egales on ajoute Grandeurs 
cgales , les Touts qui en refulteront feront egaux; 
par exemple d les grandeurs 4h- d=^z y en ajou- 
tant / de part & d'autre , on aura b H- d -+-/ = 

f. Reciproquement , fi a des Grandeurs egales, 
d'autres Grandeurs etant ajoatces, ou plufieurs 
Grandeurs etant ajoutees fuccellivement a la m£- 
me , il refulte des Touts egaux 3 ces Grandeurs 
ajoutees feront egales $ par exemple fi une Gran- 

A ij 



I 



Premiers Principe* 

eur nominee x etant jointe a $• , forme one trow 
iieme Grandeur egale a 14 , & qu'une Grandeur 
nominee J ctant pareillerhent jointe a y, forme 
audi une troifi£me Grandeur Igale a 14 , les 
<3randeurs x 8cy feront egales entre elles $ car d 
elles n'ctoient pas egales entre elles , Tune jointe 
ayne feroit pas la meme fomme , ou grandeur 
que 1'autre jointe a ce meme nombre ;. 

6. Les Grandeurs qui font doubles , triples , 
quadruples , &c. d'une meme grandeur , ou de 
Grandeurs e'gales font egales entr'eUesj par exem- 
pie £1 a conticnt trois fois/, & fi c contient pareil- 
ment trois fois/, a & c font des Grandeurs egales. 

7. Si a Grandeurs egales on ajoure Grandeurs 
iiicgalcs , ou /I a la m£me Grandeur on ajoute 
fucceffivement Grandeurs inegales , les Touts 
qui en refulteront feront inegaux , & le plus 
grand. Tout fera celui dans lequel fe tfouvera. 
la plus grande des Grandeurs ajoutees ; par exem- 
ple , fi a £ & a c egales entr'elles , on ajoute d'une 
part d , & de Tautre part/, & fi d ]>/, les Tours 
4>-\-d y & c -4-/ feront inegaux, &£"-t-<j4 fera le 
plus grand. 

- 8. Si de Grandeurs ajoutees* a Grandeurs ega- 
les il refulte des Touts inegaux , les Grandeurs 
ajoutees feront inegales , & celle-la fera la plus 
grande qui fe trouvera dans le plus grand Tout* 
Par exemple &a=zt> y 8c quajoutanr /a la Gran- 
deur a , & g a la Grandeur b , il arrive que 
*H-/^>£+-£,les Grandeurs f&.g feront ine- 
gales, &/>£. 

9. Si de Grandeurs egales on Ate Grandeurs 

e'gales, les relies feront Igaux; par exemple & 

b-k- </-+•/==* -^/retranchant depart 8c d'autre 

les Grandeurs egales/, il reftera b •+• d = *. . 

jo, £t reciproquement aprcs avoir 6c<3 cescaft* 



lies Maihifnatiquisl J 

toes grandeurs de Grandeurs egales , 6 les reftes 
font egaux , les Grandeurs retranchces feront 
egales entr'elles. 

ii. Une moitic' d'une Grandeur plus grande ,* 
eft plus grande qu'une moine" d'une plus petite 5 
«n tiers d'une Grandeur plus grande , eft plus 
grand qu'un tiers d'une plus petite, pareillemenr 
on quart , &c. par exemple fi a ^> b , & que/ 
(ok on tiers de * , & que£ foit un tiers de h y on 
anraauffi/;>£. / 

• 11. Chaque moitic de Grandeurs egales font 
egales entr'elles, les tiers pareillement , &c. 
- 13. Reciproquement lorfqu'une moitic de Gran* 
4>eur eft egale a une moitic d'une autre , les Gran- 
deurs zwquelles ces moities apparriennent font 
Egales entr'elles. La meme verite fera conftante, 
nun tiers d'une Grandeur eft egal au tiers d'une 
autre , ou ii un quart eft egal au quart d'une 
autre, &c. 

' 14. Lorfqu'une moitic d'une grandeur eft 
plus grande qu'une moitic d'une autre $ la pre- 
miere Grandeur entiere eft plus grande que cet- 
te autre pareillement entiere. La mime cho^p 
eft eVidente , fi un tiers d'une grandeur eft plus 
grand que le tiers d'une autre , &c. 

if. Si de Grandeurs egales on 6te des Gran- 
deurs inegales , les reftes' feront inegaux , & 1c 
plus grand refte fera celui qui fera le refte que 
fcwHera la plus petite Grandeur retranchce $ par 
exemple foit a -+- b = c *+• d^ & b ^ r, en retran- 
chant d'une pan £.& de l'autre c , il reftera 

16. Reciproquement fi certaines Grandeurs 
xerranchees de Grandeurs egales , laiflent des 
reftes inegaux , ces Grandeurs retranchces feron* 
inegales , & celle la fera la plus grande qui laif- 

A iij 



£ jPrmiM PrimifMt 

leralc plus petit refte 5 par exemple Hfi+m* 
*-*-*, & qu'apris avoir retranche* d'une part b _ 
& dc l'autre n , il refte m <^ o , il eft evident! 
que la Grandeur , retranchee h , fera plus grande 
que l'autre Grandeur retranchee ». 

17, Si de Grandeurs inegales on 6te des Gran-* 
deurs egales, les reftes feront inegaux , & lo 
plus grand refte fera celui qui fera refte de lat 
grandeur qui etoit la plus grandc ; par exemple ^ 
fia-trb^c-lrb, aprcs avoir retranche* d'une 
part b , & avoir auifi retrancW de l'autre pareille 
Grandeur b , il reftera encore aT^c. 
. 18. Les Grandeurs egales a une trojijeme ^ 
{b;it egales entre elles $ par exemple £ 4 =z *# ^ 
# fi £ =i , on aura 4 = £. 

19. L,es Grandeurs qui furpaiTent une troafieV 
me d'un execs egal , font egales entre elles ; pajr 
exemple fi * — <?=/, & £ g— «=/, e'eft 4 
dire , fi /* &£ furpaflent / de la. meme gr^andem* 
cc, on aura # =g # 

. 10. Les Grandeurs qui font moindres qu'uaej 
troifieme d'une Grandeur egak , font pareili#-t 
»ient Cgales entre elles 3 par exemple £ * «-fo 
lfz=zm y &cb-1rh=i m> e'efta dire lia&b font 
moindres que *» de la grandeur & , on aura a = k+- 

11. Reciproquement les Grandeurs qui font 
egales entre elles , font egales a une troifieme ^ 
ou furpaflent une troifieme Grandeur d'un ex-» 
^cs egal > ou enfin font moin^jp <§ft'une trci-t 
ficme, d'une grandeur egale. W. ■ 

ai. Si detrois Grandeurs *,&,*, lapxsemierft 
« eft plus grande que la deuxieme b , 5c fi tat 
deuxieme £ eft plus grande que la troifieme r ^ 
la premiere * fera plus grande que la troifi&ng c* 



des Mathem*tiqHl£ f 



»fm 



AVERTISSEMENT. 

II faut obferuer que Us Definitions i 
Demandes, & Axiomes qn'tn vient d'ex* 
fofer 9 conviennent generalement a fates 
fes Parties des Mathematiques j cependdnt 
vhaque Fartie Element aire des Mathemar 
fifties aura encore fes Definitions , fes Dc^ 
&an des x &fes Axiomes f art i cullers. 

j 

DES PARTIE S, 

D E 

M ATKV "SL ATIQU E S. 

LEs Parties elementaires des Mathematique* 
fontl\Arithmeuque, rAlgebre , & la Geo* 
metrie. 

Les autres Parties des Mathematiqucs y pat 
cxemple rAftronooiie > les Mechaniques , 1'Opti- 
que, les Fortifications, la Navigation, &c.ne 
tontqu'une application des Parties Elementaires 
des Mathematiques ala Phyfique. 

Nous partagerons cet Ouvrage en trois Parties. 
Dans la premiere , nous ne parlerons que des 
operations d'Arithmetique , dont ltuage eft le 
plus frequent. 

Dans h fcconde , nous expoferons les princi* 

A iiij 



ft .Premiers Prmtfei 

paux fbndemens de l'AIgebre, pour trailer enuri teJ 
la'doftrine des Proponions avec route la brieVetd. 
& l'eja&itude qui nous feroii t ^oflibks. 

Dans la troifiemc Panic, nous ferons un choir,; 
& on arrangement des Proportions les plus ne-» 
cetiaires de la Geometric, qui y fcront demonti&jj 
d'Une maniere tres fimplc, 

Laclarte, lanouveautc, ' Be 1'ordre mwbodiqu* 
jqu'oLi a obi tr vc dans cet Ouvtjge&daais Ics De- 
monstrations desPropofinons qui s'y rencontrent, 
ne coutribuetont pas peu a en faciliter I'intelli— 
gence. On ofe meme dire qu'on y trouvera un 
grand (ecours pour entendre ce qu'il y a de pins , 
beau, de plusutile, &deplusielere danslaPhyfi- 
*jue. Enfinon ytrou vera One onvennre confidcr^j 
tie pour le icite des Mathernaiiques, 




ELEMENS 

D E S 

MATHEMATIQUES, 

PREMIERE PARTIE. 

DE 

L'ARITHMETIQOE. 

PEFINITIONS D'ARlTHMMTlQyE, 

1. 1" 1 N i t ?' eft one chofe coofideroe , fans 

vj faire attention aux Parties qui la compo- 
fetit , ou Cams faire attention a une autre chofe 
dont elle peut tee partie ; par exemple , un fol„ 
nn ecu , une toife , on pied , &c. 

t. Nombre eft une Collection d'uni^ez $ paf 
exemple , fix toifes. 

5. UArithmetique eft une Partie Elementaire 
des Mathematiqucs , dans laquelleoatraite feu-» 
Jeraent 4e$ Noaijbres, . 1 , 

II 7 ade 4ix fortes de flgnea, on tara&ere* 
3ont on fe fert pour exprimer toutes fortes dg 
Nombres, & on les appefle Chifres ; f^avoir , 

1. i. 3. 4. f . rf. 7* *• * «Ip 

IP^deuXjUoi^quaafjCinqjfii^tjluurjncttf^ercS 



£6 Premiere Tdrtle* 

DEMANDES 6'ARlTHMfiTIQJXEi 

i. Le dernier chifre o , qu'on appelle z.ero . 
ne fignifie rien feul $ mais fculement lorlqull 
eft mis aprcs les autres dont il augments la 
▼aleur. 

1. La valeur des chifres ne depend pis feulerftene 
de leur figure , mais auffi elle depend de leur ar- 
rangement. 

3. Lorfque plufieurs chifres font rangez d< 
Xuite > ceux qui font dans la premiere place , 
( commencant a compter de droit a gauche , ) 
ne vacant jamais plus qu'eux-memes $ ceiix qui 
font dans la feconde place , valent dix fois cc 
qu'ils vaudroient s'ils etoient dans la premiere y 
Sec. 1 y par exemple , dans la premiere place ne 
vaut qu'une fcule unite j dans la feconde place il 
vaut dix : dans latroifieme il vaut dix fois ce qu'U 
aurbit valu dans la feconde, fcavoir, dix dixaines, 
ou u'ne centaine j dans la quatrieme place , il vaut. 
-dix fois ce qu'il auroit valu dans latroifieme^ 
/cavoir , dix centaihes ou un mille > &c. 

■»■ " — — '" ". . ■ . 1 ■ 

g § a 'S * 



•S3 -S=2 JJ.2 3 a ? « :§ .2 -H •** 

CS- ^O •«■• ^^ *?J i - es "* 

•I g s .2 S 6 S^ 




4. Les zeros fervent pour augmenterla valeur 
||cs dufces qui les precedent , en fajfant yoif 



ArithmtHqut. i% 

jjte ces chifres font dans un rang plus recall + 
camme fi apres j il y a deux zeros , ces deux 
zeros font voir que f eft dans le troifiemc rang t 
8c qu'ainfi il vaut cinq cens , on foo. 

"Lorfqullil ya pluaeurs chifres de fiiite, oi> 
|es fepare de trois en trois par tranches , avcc 
^e pctkes virgules pour cviter la confufion - 3 la 

Jremiere tranche eft appellee Unicez j la feconda 
lilies, &c. 

On traitera feulement dans cette premiere Parw 
tie , de TAddirion , Souftraction , Multiplication^ 
$c Divifion des nombres enrjers , & on fera en-' 
fuite les memes, operations fur les Fractions ou> 
(►ombres rompus. 

{ AXIOAfES D'ARITHMETIQJTE. 

l. Si deux nombres font pazfaitemerc Igaflr/ 
lotiqu'on retran<?h«*:a. . <Vun dc ces nombres la 
valeur de Fautre*, ilne reftera rien. 
^ **^Apres avoir retranche un npmbre d'unaH-* 
. tre , sH refte guelque choie , pour connoitre S 
' ice qui refte eft le veritable refte qu'on cberc.be j 
\ ii faut lYjouter avec ce qu'on a retranche, & il doit 
i xtfulterde cette addition un nombre egal a celui 
i dont on a retranche , puifqu'il n'eft compoft que 
« deux chofes ; fcavoir dece qui refte , & de <p 
lui a&e* retranche, * \ 




■1 H ■ » I 



DE ^ADDITION 

E S N O M B R ES] 

PEF IN I T I O N.. 

L'AromoN eft un aflemblage de deux , o* 
dc plufieurs nombres eh un Teul ? qu'on aj* 
$dk Somrm ou Trtrt* 



ft Crimen Parti*. k 

Pour fake cette operation , il faut icrlre fe*# i» 
fcnifres qui expriment les nornbres qifon veucf isi 
afTembler : de forte que les unitez foient fbus lesr ia 
unitez , les dixaines fbus les dixaines , les cen- A 
faines (bus les centaiaes, &c. .. : i 

Apres avoir mene une ligne fbus <:es ndmbres^ 
iainu difpofez , il faut aflembler ceux qui font dd « 
meme eipece , c'eft a dire , qui (but les nns fur lesft r. 
autres $ &lorfque leur fomme eft au deflbus d& \ 
dix , en V&ctix lbtts chaque rangce •> mais fi dlle| 
excede neuf , alors parcequ'ilfaut plufieurs chifre 
pour rexprimer, on ecrk feulement lc dernier qu 
le trouve vers la main droite - 2 & on referve ce qu 
fe trouveroic vers la main gauche, pour ajoutej 
a la colomne dechifresfuivante, tc ainfi de Gajj& * 

Pour ajouter ces quatre nonv r^eTk^ * 

feres &8 , 9 o 7 , % u %%+ y apres 907 i 

les avoir difpofez l'un fur l'autre, « *f * 

commeonyientd ? enfeigner,on '* 8 4 <* 1 

commence vers la main droite. - ~" ft 

difant :>>-* j- fonty,& 7I font tot.io 19 A ■ 

*,& « font zo 5 fecris o fbus Ir " 



premiere rangee, & j e reaens deux dixaines, qui 
£ e .nXf m C V°J lc ^ ttcilcs deurdixaines doiJ 

?«*?r ( S™ • * * c le ze *° >) 1 font neuf s j'icris 2 
m?^ l t Cr ^ 6c > Mtedans ilSsA 

> j w* zero 6c j avance un t parceque? 

e'efl 






Ar'tthmttiifue. ij 

^rftout.On.troiiv^gacbfoxDmetotaJe, qui 
tc&dtc dc tous cesnombres eft 10390* c'tftadire 
dix rniile trois 1 c«n$ qnatre-vingt dix. « * 

Autre Ex bmpu, ; 

Pour ajouter cc* ^ 1. i * £ 

njmbres 9 livres iz iv 1 1 

bis*, 13 Li f C&8f. II £ 

faut. commencer pax ■■ 
fcsfels ^ifitnt- S Sc s • Total %$ 1, ij £ 
font 13 & 2, font xjj j'f- 

cris j & je retiens 1 qui vautune dixaine que je 
joins nvec les dixaines dcs fols, difanr r 1 que jay 
menu, &i four z & 1 font 5 dixaines iiefbls; mai* 
parceqiril fautdeux dixaines de fols pour fairer 
unc livtty je trouvequc ks trois dixaines de ifol* 
font 1 iivre<,_ re/te 10 fols que j'&ris a cott dt* 
j, &je retiens 1 liyxe que je joins, ayec Ics, li^res^ 
di/ant : x liyre provenue des fols' * & 3 font. 4 -, 
L & 9 font xj j j'ecris 3 & je retiens 1 h enfuite 
g dans le fecond rang, jedis: rquej'ajr retenv 
f & 1 font 1,5 j;ecris z-,8c partant je trowr^ que le to- 
I »1 ou la foxnme de ces trois nombres eft 2j J.i; £ 

! : &UTA.S KlWl^.,;',',.;, 

"tout ajouter ces- - r rv-lr *-*-£- -4 4* 
tioipbtes ii* J. n -C 2.41* < 17 3,— r— Jj 
4 d * 14291. 17 C 3<f> 8io w i o ' 1 <j " * ; 

&S*QlaaCio > d.{l --r-: — —; — — > 

£auccoix4npacejC.p« 4 $ 3.* 3 1. qf. ij Q 
les denicrs, difant:_ 

xo denicrs & 3 fortt *3 deriters vilaitt 1 fol & r 
ifcmef j j'ecrU la petite, ligne \, 7 pour nur- 
<peju jfol 4 & je retiens x denier que j'ajoute ahr«t 

I> - 



T4 Ttemitre Partie. 

4 y ce qui fait f que j'c^s fous les deniersy 
% Enfuite jc compte » - ' : ' * *• -~ 

combien il y a 4c ■■ vi vfc-i'x £ * 4 d.' - 

pctites ligncs mar- 1419 17 3 ^ 

quees a c&teV de* :: :&t o - i 6 '-1 o 

deniers } j'en trouve » — 

urie ,' cclafignific 3 3 £ 3 1. 6 f. f i. 
que** t'eft Un fol ' ; 

qu'il faut joindre avec les (dls,di&nt: idCf.{t\egli r 
geant le o, ) font"8*& z font jojj'etrt* djfcje *etiens 
I qiieje jointavec les dixaines des fois, dUant*: 2 
retenu &; j font z & 1 font- 3 8c i font! 4 divines 
3c .fols j & parce qu'il faat deto dixaiftes <fe fol* 
jiour faire tinelivre, je prensla moicie de ces 
4 dixaines de fbls , ceia fait 1 4. que je join* ave<£ 
fcs livres^difanr : % I. proteinics des fols^ fae-. 
Migattit le o J^foiit u&z foht^y ygcHs $ & jfc 
retieris 1 Bixttmc* que je j6ilW a tecptdftln* fe*-L 
▼aiWe, flifinf : 1 tetenti «tt£fa«t } fcTi'fewt ; & * 
fohrV 5 j , 6cris<Enf«itte|)iafl^ala'ttbj^6toe co- 
iomncje <fis:8 & -4 font n & r font 13 j j^crisj 8r 
jetctiens 1: Enfin ati quatrifetefang , je-'dis : x 
4ixaine : de cent .'que j'ay retenu avec i font 5 , j'tf- 
tfris*^ 1 r ^ f -* '• ' >i4 -• :; •- ~ - • -ii.iKi 'ii, v . .i 
Ec partant je trouve que la fomme ou le total 
des trois nonTDre$^o^<3e5£eft *%fy\ a f. ; d. 



1* 1 



■4«»# — ■ { |i |'< « J < I ' ■■ F ill I 



-•*. 



r> e t a ; s o u s t r a e no n 

J-T A SouflSacxiorf ciff urVe operation pswlo* 
v JLJquelle oivretraricte ou 6te am peek nonj- 
tic d'uu*"plus erand. 



de VArithmetiejiie. 15 

a # Lc nombre qui refte aprcs ce xcerancho* 
Bient eft appellee Difference de ccs deux noinbres; 
par exemplcayant 6te 8 de 14 , k refte qui r ft 
4 cftlaD^rwr^de 8 a 14. 

Pour faire cette operation , il faut placer lc 
nombre qu'on veur retxancher ou fouftraire, foufc 
Je plus grand nombre , duquel on vcur retraix- 
cier le plus petit 5 de. forte que les tf rytez foient 
fous les nnitcz, les dixaines ious le$ dixaines, &c. 

Enfuite il faut mettre une ligne au detfbus de 
ces chifires , au deffous de laquelle on ecrita k 
refie , oa refidu , ou difference* . « 

Enfin on fouftrait les nombres inf&ieurs des 
fiiperieurs Tun apres 1'autre , £c on ecrit de fuitp 
les reftesaudeilbus de la ligne. 

£ X E M P X. £• 

Pour fouftraire 234 de 4j8,apres de 45*8 

les avoir difpofez, comme il a ete ow»f z 5 4 
enfeigne, il faut corrunencer vers ■■ ■ ■ " 
la main droits a la premiere co- . refte . 2:4 
lomne , difant : de 8 j'ote 4 
refte 4 que j'ecris. Enfiute a la feconde colomne, 
je dis : de $ otant 3, refte % que j'ecris. Et a la 
troifieme colonine ou rangee, je dis: de 4 
&ant 2, refte z que j'ecris. Partant je trouve qu'a- 
pres avoir retranche 434 de 4; 8 > il refte 124. < 

• -• » 

P4ur retrancher <fe 4 & tf b.; L . r f C 

1071 1.-4 f. de 41605 fowtf 1071 4 * 

I if.C. apres avoir - — ^— ** 

ang6 ces deux nonv refte 40/£*L *•*£' 

Bij 



<M 



%d Premiere Partie. 

•ii faut commence* par les fols vers la maindrox-f 

xe > difant : dt f 

l&caiit^ceftei-que ' de 42603 1. rj fl 

jPecris ibusle 4. En- itmt 1071 4 

fuite aux dixaines a ~ " 

*e fols, jedisrde re P 4'<>M*1. « *• 

1 otant rieti , * efte 1 que j'e*cris; Des fols il faut 

poller aux liv'res , di&rit : de 3 je retranche r , 

xefte i , que j'ecris. Enfuite au deuxxeme rang ^ 

je dis : ae 6 retranchant 7 , cela ne peat £tre $ 

jfer le £ qui precede j'emprunte one unite , la.— 

quelle etant tranfportee en la place du zero van— 

4ra To , & partant , je dirai : de 10 retrancharic 

•7 , il refte 3 que j'ecris fbus le 7. Enfuite au troi— 

ieme rang, je dis : de j { parceqiie des 6 j*a— 

vois emprunte une unite , & pour m'en fbuveniir 

Vavois marque- «n point deflusle 6) otant o,refte 

• / que j'ecris. Au quatrieme rang , je dis : de x 

Retranchant 2 rcfte rien, partant j'ecris o, parce— 

qu'il ne faut point laifler de place vuide ea. pa-. 

reille rencontre. Et atr cinquicme rang , je Sis z 

ie 4 retranchant rieii , refte 4 que j'ecris : par-*-* 

lant je trotive qu'il refte 40*32 1. n £ 

AOTU EXEMPLE, 



.Pourfouf- de 2204*1. iz £ tf d* 
waire; . de ote^ 1*784 18 10 - 

no 46 1. 12 £ ' ' ' . 

*d.lenomH refte ' $ i O - 1.* 13 f. 8 d. 
ferede 16784 

V 1% £ tf> 4. Il faut commeneer par les deniers y 
difant : de & deniers je retranche 10 , cela n'eft 
gas poffibkjil faut emprunter fiir les fols une unit6 
Valant douze deniers j pour me fouvenir de cet 
emprunt , je laiile un p?im for k i <|tti eft dan? 



i_ 



frrarfgdesumtezde fol»ou foy ( empriwtc r & je, 
joins ccs fx oenierserogruhtez avecles 6 d?niersr, 
d*ou on propofoit de retrancher io,ccla fait 18 de-- 
niers 3 dont retranchant 10 , il reftc 8 deniers, qu2 
j*ecris fous k Xang des deaiers. Eruuite jc.pafii 
aax onii£z4*s &k >. 4ifa$t : de r je <reiranchc g t 
cda n'eft pas poflit>Je y j^mprunte k dixaine .qui. 
Je precede., fiir-laqweile je rnaapie to point* 
pour me fpuveair >fc ^lerapfuatr, &-Jedis £ 
de u j'oteS refte 3 qac jicriplbasrdes unkc4.de 
fols. Enfuke aux dixaines dcfi>ls,jcdi$: de o 
j'ote 1 ( car la dixaine des u fols a etc* c;n- 
pruruce , au lieu de laquelte il- n'y a plus rien \ 
eeia. ^eft.pas pofiSWe,, e'eft: penuquojr paffanr 
aux uaitez deiirre^, j'emprante furk 6 une Hvxe 
valant 10 /bis, e'eft a dire, deux dixaines de fols ^ 
& je dis; de deux dixaines de ibis en otatnt use , 
refte 1 , que j'ecris a cote, du 3 pour faire 15 ibis. 
Apres cela je pafle aux unitez de livres , & je 
dis : de ; j'ote 4 ( car puifque des 6 on avoir 
emprunte 1 pour porter aur fols , iln'en refts 
plus que j ) refte i qufc j'ecris; : Enfuire au deu4 
xieme rang, je dis : de 4 j'ote 8 , cela n'eft 
pas poiEble : partant je cherdhe 'fi on peut . tan- 
prunter des chifres precedens , je trouve que du 
zero precedent on ne peut rien emprunter jqu'on 
ne peut pareittement rien emprunter du 2, qui 
precede le zero, parceque cet lui-memt n'eft 
pas fuffifant pour , le 6 quieft au denous , & je 
crouve qu- on peut emprunter du dernier 2 3 j'em- 
prunte dpnc u« , & pour m'en fouvenir j'y muv 
<jue iin point. Cet 1 ainfi emprunte etant tranG- 
porte fur le penulticme x,yaut * 10 5 mais de ces 
10 je rcferve encore une unite -, partant au dcifiis 

- : • • 
* Demand* tf£ Atitknitiipn. .*-•-, . 1 

B iij 






du pc jmiufcn e > , jc marque tin point qfij Gift* 
fpuvenir des 9-que j'y ay^laifletf. Or cette onit£< ; 
jpefervee etant traniportee au-deffiis duzero , vaur 
dix en cette place ; mais de ces 10 je referve en- 
core une unite : partanfr il ne reftera que 9 aa< 
/ detfas da zero, 6s cetce unite ainfi rcfervee etanc 
mife deranx Id 4, fera 10: o£en la joignant avec* 
tfe 4 , cela fera 14 3 Dn dira done de 14 otaiic 
$ j sefte.tf que j'ecris foot kxieoxicfrie-rftng. 

An troifieme rangf , je dis : 'de : y , qu'ort vienr 
de tranfporter aadefTus duzero , dtant 7 , refte 
% qoe j'ecris fous le troifieme rang. 
, Auqaatrieme rang, je dis : neaf qu'on vienc 
de tranfporter an debus du % etant joints avec ce 
% , cela fait 11 5 or de 11 j'&e 6 refte f que j&* 
cris 'fous le quarrieme rang, 
, - Enfin aa ciriquierne ranf , je dis- : de 1 
Atant r , refte o ( car- on avoit emprunte und 
toiite du 2., cela fait qu'il ti'y a plus que 1 ) je n a e>» 
cris rien , parceque les zeros font inutiles lorf- 
Gu'ils ne font point preoedez d'aucun autre chi- 
«e : partant je trooTe qu-il refte fi6i J^iJ f. 8 d; 
r '. ■ . ? . ■ : ' f 

Ob fervttiens fttr f Addition & la Soufirdtfiim; 

Pour etre certain fi PAddition eft exa&er , it 
feut rettancber du total on de la fbmme de cetce 
operation , chacune des fommes- qu'on a ajou* 
tees 5 s'il ne refte rien ,' c*eft une preuve mani- 
fefte que Toleration eft tres exalte :- s'il reft* 
quelque chofe , il fauc la recomrnencer. \ 

- On peut faire ce rerranchement oa fbuftrac- 
tion , commc oil le vient d'enfeigner, ou bien dc 
cette maniere. 

Soit par exemple l'addition de 61, $ f , 8c 
x8 5 poor etre ailure que 14c. eft veritable-* 






.*Atifbmtfhftt& ' ftp 

vent 7 k total qu*on cjicr che^ Je femnchk da 
If j ks' dixaines <te ces trois nombfcs pets* fepa* 
lament, & enfitfte kurs unitez 5 (poiiqu'il n*y a 
dans ces trois nombres que des dixaines & 
& des unkez. Je commence par las jdixaines , 
& je dk : 6 & f font u & zfont; ij % dc 14 
^fe.auikfTous^teijy . :/.. ^ 
Jtftexque j'eemfous le--^. • - :. - . 
Cctiaveck r fuhfantfera\ .•_•» - - £ 

if.^Je pafle aux unitez, & je • , .' ._■ ; 

dis:x&jfoflt 7 &8ii>m fomm ^ 

}S > de if que je trouve ^ 2J 

au deffous, fote if ,qui eft la ^^g ^ * 
fonune des unitez^efte o.Et 
partant on a bien reiiffi , parcequc sll reftolf 
quelque ciiofe , 011 auroit trial compt£, & il fau* 
droit recommencex. ^operation* 

Soit par 
exempk * f « 1 x * C * <*• 

line autre 1 9 x 15 <> 

fommejxil,. 7 c 7 S .■ 

9 C 6 d.. oji r— - » - v / 

founaitefja- fomm* ;n 1. ij C * <*• 

▼oir fi e'eft — — ^ ,..,, J ■: . ■ ■— 

veritable- - jtoiw # * * *- 1 49 

ment&fans- 

erreur la fomme ou total des trois nombret 
153 l.iz,C 4 d. #c # on. retranefcera de ec total 
.511 1. ij f. 6 d ; ee qui fe rencontre ieparcment 
dans ces trois nombres 5 fcaveir ,• des centaines \ 
des dixaines , & des unitez de< livres , & enfiite 
des dixaines & unitez de ibis, & enfindes unitez 
de deniers - 3 on feroit la m^me chafe s'il y avoit 
des milks , &c # Qn commencera par ks cew- 
taines , difant : 1 & 1 font 3 5 de f qui eft aa 
deflbus, 6tez *,refte &;qu*oa ecriig. au deflinfc dc 

fi xiij 



[ 



$0 TrMmifre&kttit. 

f , & f cc I'fetfeivej: Ic i qui eft enfiate 1 dfc f > ? j 
fctwipafTe- •'••;••'• • •' <■ V-* 

ta aur ' <fc» a f 5 l. : it-C"4 n ^ L 

XSdncs*, di- ' .'• 1 j'» ■ 1 j: - " tf •' ' 
fant:j& 9 - "— 71 * 7 u '' & ~* 

font l* . 6c •t-n ■ — —• — r — *-= : — 

7 font 11 i /*mmm f xi i. 1 5 C- tf <!• 
5ci 11 qui » ■ . ' ". ■■ / ■'.■■ ? ■ ■ tL 
foritaudef- freuve XX *"''' X\ ' & } 

tons , j'6te ' - I •" : 

aigrette i^quitti ecrifrt&iis le tyce qui avecle r* 
fuivantferan.On pkilera'aur unite 1 ,difant : % 
§c 1 font f 6c s foiit ia , de 11 qui font aa 
deifous , 6tez 10 refte 1 qu'on ecriraibus le 1: of 
cette dermere unite* qui refte ,» eft une livre qui 
*autdeUK ( di}aines dfe fob , & en 7 poignant fct 
dixaine des 13 fol$d$ totalycfcla fait 3 drraines, 
dont retranchant 1 dixaines qui fe treuvent dans 
£1 colooine des .fols , refte 1 qu'on ecrit fous Ik 
dixaine des 1$ f. ce qui fera encore avec 16 3 > ij X 
On paiTera aux unites de fols > difanc : i & 3 font 
*j & 7 font us de 13 qui font au ddlbus , 6tez 
iz * efte 1 f. Or <e foi qui refte , joint avec les £ 
deniers qui font au deflbus des deniers > fait 1 f. 
6 i. qui &aat retranchez de 1 f. 6 d. qui fetrou- 
vent dans les deniers , il ne refte rien : ce qui 
fait voir * qu'on a bien reudi -, parce que s'il reC- 
toit quelque chofe , on feroit dans l'errefcr , & il 
f audcoit recottimencer entieremenr la : fiippuc*- 
tipn. On fera de meme a regard des aatres 
cxemples. 

La preuve de la fouftradHon fera fiiite en 
ajoutant le refte ou refidu , avec le nombre qui 
a h£ retranche -, & £ l'operation eft exa&e , la 






^J 



'Arithmttique : if 

fomme de ces deux nombres doit * &re egalc 
au nombrc dont on a retranche 5 fi cela n 'arrive) 
pas , ropcratlon n'eft pas exa&e , partant il faut 
la recommencer. Car la fomme de la grandeur 
retranchee & de la grancfeurreftante , doit ne-» 
ceuairement etre egale a la grandeur dont on a 
fait le retranche- de 1 609 

ment , puifque les fcutf 6zt> 

parties pri/es en- —— — - — 1 - 
fanble font' egiles refidtt ou refte 980 
an Tout dont elks r 

font parties, Done f reave 1 6 o ©. 

pDur etre affure 

qu'en retranchaiit dei£oo , cenombre £10, fc 
refte eft^foj e'eft a dire , que tfio & 980 font 
les parries du Tout i6oo,j'ajoute ces deux fbmtnes 
<2o &98o,&-fi elks font itfoo, jeconclus ^u'elle* 
font veritablement les parties de itfoo , 6c par 
confiquent <jae mon operation eft bien faite # 
Gn fuivra la n^me MetKode dans les autre* 
exemples. 



DE LA MULTIPLICATION, 

DES NOMBRES, 

DEFINITIONS,. 




autre nomjbre. Parexemple, multiplier < par 3 g 
• Zteii.jtArithmetiquL* 



. .*-•■» 



H Premiere Pdrtie. 

e'eftajouter le nombre 6 £ lui-nieme autant m 

fois qu'fl y a cTunitez en 3 , e'eft a dire, 3 Fois 
pour avoir 18 , qui eft le nombre qu'on chercfae. 
t uLc nombre cberche* par la Mukiplicaticm. , 
qui exprime le total oa la fomme de Fadditiox* 
^*un autre nombre ajoutc a lui-mcme autant <£c 
ois cpi'il y a d'unkez dam un troifieme , eft ap^. 
£elle Produit de la Multiplication j par exemple 9 
24 eft le produit de 3 multiplie par 8. 

|. Les deux nombres dont un eft ajoutc a lui— 
mfme autant de fois qu'ily a d'unitez dans Tau— 
fre , ibnr appellez Ratines du Produit de la Mul- 
"JfUcatibn s par exemple j & 7 font les racines dc 
tf , parceque / multiplie par 7, fait 3;. 

COROLLAIRE. I 

En aaultipliant un nombre par Tautre , indi£- 
Ftrcmment^eft a dire, le premier par le fecondj 
ou le fecond par le premier 5 il en refuke touV- 
|ours le men* prpduit, Cela eft fi evident , que 
ce feroit embrouitler & obfeureir cette verite,quc 
dela vouloir demontrer ; par exemple , z fois 3 
*« lam^me chofe que 3 fois 2 , fcavoir 6 : & dii 
W 8 fois $ , ou s fois 8 * on -tsouvera toujour* 
40 pour produit. Puifqiie cela eft ainfi , il fuif 
<ies definitions qu'on vienr d'expofer, que le.pro- 
duu de la AJultipJicatipn contient autant de.fois 
one de fes racines , que Pautre racine contient dc 
fois VuniU. Car , cemmeon yieni: de dire , ce 
produit n'eft rien autre chofe qu'une des racines 
afoutee a eJktm&^.autantrdc fois qu^ y/a <Tu^ 
nitez dan& ;rautre racing Par exemple le nom- 
W f 4 * qui c ft k produit de 9 • muk^Uc pari t ,> 
ccuit^nt aittant.de fois *,que * contient xfe-foi* 
M pareillenient le'm&ne nombre 74 contient 
mutant defois *,que 9 contkiir^c&is k,.C&Oh 



'uiriihmetiqu** . %\ 

affaire merite qu'on-y fane attention , paxce* 
js'on en tircra plufieurs avantages. 
Pout trouyer le nompre qu'on chcrche. par 1* 
multiplication, il faut placet lesdeox nomhrts 4 
multiplier Pan for l'mitre de k meme manierc 
que dans les operations precedences. Lcs cxem- 
I pics qu'on Terra dans la fake , feront mietuc 
i poanoxse comment il faot fake la mnjriplica* 
uon , que tons les preceptcs qu'on en peunoja 
donnei par avarice. . 

EXIMMI, 

> 

Pour multiplier 147 par 5 , c'eft i .. x 4. 3 

dire , pour trouper an nqmbre cgal 5 

a X47 repere $ ibis , oaa 247 fois $, — 

' eft la meme chofe } apres lesaroir 7 -4 1 

fez , comme il a etc enfeigne , j 

.it commencer vers la main droite , difanta 

I fois 7 7 ou7 fois 3* qui eft la meme chofe, Joint 

tf : j'ecris 1 feus le premier chifre; ,& je retiens 

<|arts ma memoire a oixaines poor le rang fiii* 

Wat ; je dis enfiiite, 3 fois 4 font i$ , & a quf 

j'avois retenus font 14 , j'ecris 4 & je retiens. ij, 

ehfia je dis, 5 fois a font £.& 1 que j'ayois retenftj 

foot 7 que j'pcris: partem je trouve que le jEDf 

iuit 4e cette nudi?plkation eift 741. 

Autrh Ex EM PCI, 

,\"Bour multiplier 27; pax a 7 f 

*4 , c'eft a dire , pour f 4 

tronyerqmettefommepro- , — -": 

t dait *4 &? ajy V il feat , . M. * 

dire 4 fois 5 font zo <, & : # f o r 

icrieeo /bus le 4 ^xetenir. .- - ? 

i toaines. Enfoitc 4 fois frmbtk 6 6 o». 
7 , oa 7 fois 4 font 18 1 & 




114 Primirrtmiel 

^•queJ'aToisfetenus font 30, ficm o& face** 
ticns 3 dixaines. 4/ fois a font S , & 5 que jj*a^ 
tois menus, font 11 , j'ecris 1 Com le a multipli£, 
fc j'avance 1 dixaine, parcequec'efttout^ . 
. Enfuite il faut multiplier iy V** les a dixai- 
nes de 14 en cette forte $ a fois $ font 10 , j'e- 
cris o fous les dixaines de 14, & jcretiens x $ 
enfirite a fois 7 font 14, & 1 que j'avois retcnu, 
font iy , f&ris $ & je retiens 1 $ a fois a font ^ 
& 1 que j'avois retenu font ;, j'&ris /. (pes deux 
produits partiaux ainf} arranges &ant par Tad- 
jdition reduits en une fomme , on trouve quip 
k produit total eft tftfoo , <jrtm cherchoit; 

O B S « R V A T I O N I* 

2 LOrfqu'il faut multiplier un nomfere par de* 
livr^s , fois *ou denier* • on commence toujour* 
fit les moihdres efpeces de monnoy«. Or 
pour multiplier par les deniers & avoir dans la 
m&ne operation uri produit reduit en fois , felon 
les deniers qui fe rencontrent depuis 1 jufqu-a 
ferize, il faut prendre de la fomme qu'on Yeitt 
multiplier ,- tes parties j feavoir , 

/ lorfqu'il y a 1 denier , paur avoir en fois la 
ivalcur du produit , on prendra une douaiefcie 
partie dunombre propol^pftrcequ'un denici eft 

june iac parfie^'un foC •: ' 

A a deniers, onjprendra une fixieme partie ^ 
)>arcfcque a deniers font la fixieme partie d , uhIol # . 
f A 5 deniers, on prendra un quart , parcequc 

3 deniers font le quart' d'un fol. u ' \ \ A 
*' A 4 deniers , on prendra une tierce: partie^ 
pirceSue 4 deniers font le tiers d'uh fol. * ^ ' 

A j deniers, on prendra un quart Stunefixie* 
die partie, parccque s deniers lonj: compofcz de 

3 dejiieisfc de a deniers. • * '• 

A 



Arithmeti<f*e. tj 

A i d. on prcndra la moitic du nombre pro- 
pose , paxceque 6 d. font la moitic d'un fol. 

A 7 d. on prendra lc tiers , & chfuitc 1c quart t 
parceque 7 d. font'eompbfez de 4 d. 6c de ) d. 

A S deniers , il faut prendre les dear tiers 
Ton aprlsl'aurxe, paxceque 8 deniers font com- 
pofez de deux fois 4 deniers. 

A 9 deniers , il faut prendre one moitie* Ac 

enfuite le quart, parceque 9 deniers font com-. 

pofez de 6 deniers & de 5 d. 

A 10 deniers , il faut prendre tine moitic 6c urn 

• tiers , parceque 10 deniers font compofcz de € 

deniers & de 4 deniers. 

A u deniers , il faut prendre a fois le tiert> 
& une fois le quart , pour avoir en fbls la raleur 
du prodoit des deniers , parceque n deniers four 
compofez de deux fois 4 & de 1 fois j. 

Les exemples fuirans rendront 1'inteiligehce 
& Implication de ces chofes claires 6c faciles-' 
pour peu d'attention qu*on 7 fafle. 

OBSERVATION IT. 
» Xorfqu'on prend quelque moitic,tiers x ou quart^ 
&c. d'un nombre,il faut toujours eommenccr rerr 
lamain gauche, afin que s'll refte quelques unites 
acaaque cnifre,elles foient jointes au iuirant ca 
qualit6de dixaines. 

OBSERVATION III. 
Lorfqu'on veut reduire en lirres un nombre <fe 
fois , par exemple pour reduire en livres 41s 
fob > 5 faut feparer le dernier . 

chifre 8, & prendre la moitie 4 a I 8 C 
des autres , difant : la moitic' - — * 

-de 4 eft a qu'il faut ccrire, la a 1 lir. 8 C 
moitie* de a eft 1 qu'il faut auffi 
ecfire , & le chifre S qu'on avoit fcparf figatfic 
f fok y partant 41$ fois font it lirres S .fois. 

C 



u 



l£ Premiers 

*]?qu£ reduire en livres ui?6 £ apris i*o{r &par€ 
le dernier fhifre 6 , on prend la rnoitil des au— 
trcs : on ne dira pas la .. 

xnoitie de i , mais on 1 1 i 9 ]- 6 C 
«^ira la moitic de ij, eft ■ 

6 qulLfautecrire. Onne 1 o 9 1 # 1 tf C 

dit point la moitic de j j 
cjeft poor cela qu'on cork a au defibus , par-* 
ceaii'il ne faut pas laifler de place vuide en paw 
reifle rencontre > mais cet j vaut 10 a regard 
<^i £ firivant, & y joignant ce 9., cela fera 19 $ 
on dira la moitic* de 19 eft 9 refte i r il faut ecrire 9 
loiis le o , & 1 qui refte eft une dixaine qu'il fauc 
Icrire devant le £pour fignificr x£ Cpartant 14196 
fols font £09 Uvres 16 iols. 

: Exim?m. 

Si on veut connpitre quelle ibmme produi-*. 
fcnt 48 Muids de vin a ration de jj livres it fols 
chaque Muid, c*eftcherchcr quelle fomme pro- 
duifent 48 fois y livres i* fols. 

II favc corrrmencer paries fols , difant \ % fois % 
font 16 5 pa*tant j'ecris £ fous le ; & je retiens r; 
* fois .4 fonts, 'ft an , ^^ 

queiavois retenu font * 1 .. p 

^ijeens 9r^nluite je • » > • • 
rnultiplie par la dixaine 
des u fols , difant : x 
fois 8 font 9 , j'ecris 8 
£)us le 9 , an rang des 
dixaines 5 1 fois 4 font 
4, j'eoas 4, Apr£s avoir 
additiontic ouafTemble* 
ces deux ptoduits de 
fols ainfi arrange2 , je 
trouve que le produit 
total des 48 fpis ufojs. * 7 o 8 1, 1 f % 



9 6 C 
4« 


$7 


6 C 


x 8 1. if C 

140 

1 44 
* 



Aritl3fnetiafue4 " 1^ 

eft ft 6 (. je reduits ces y}6 f.en lirres , comme 
il a etc enfeignc $ je trouve pour leur vaJcur 28 U 
16 f. due j'ecris atu deflous. 

Enfuite je jnnMjplie pax les Iivres , difant : 8 
fois f , ou f fois S font 40 s , j'ecris o fous le $ des 
limes provenue s des fois , & je retiens 4 : 4 fois 
/ (ot&to , & 4 que j'avois rctenus font 14 $ j'e- 
cris 4 & j'avance * fv Je multiflie enfuite par les 
dixaines de tf i difant : 3 fois 8 font 14 3 j'ecris 4 
an rang (les diraines fous le produit precedent & 
je retiens i : trois fois 4 font 1* , & t que j'avois 
retenns font 145 j'ecris 4 & j'avance 1. /umts avoir 
additionnc ces trois produirs , je trqjpi 1708 1. ' 
16 f, pour la Talevr toxale des 4$ Muidi do? vin # 

Aotxi EtKkpU' 

tod 8 #«»«,, v 7 
4 ..* x 6 7 1# to f* tf <U • 

n« c* + C * 



no* 



4 C- 



1 o f 4 1> 4 C 

1 4 o ■ f * 
40x60 



fw6#; 4x6 7 1 o 1. 4 £ 

, On demande quelle fomme d'argenr doivent" 
Coftter zoo8 amies de marchandife a raifon dc 
107 1. 10 f. 6 d. je commence par les deniers ,' 
k a caufe des 6 deniers , je- prends la moitie de 
W, en ccttc forte comniencant rers la main. 



$V Irtmiere Fartie. 



toot tunes* 
*,„io7 1. 10 C * &+ 



1004 C 
A 8 o 



11 o 8 ] 4 C 



J o f 4 1. 4 - C 
140^ 
4.0 Ida 



. * 

fndmt 41^710 1. 4 C 

ruche/Ufant: kmoiticdci eft 1, que j'ccris Cot* 
t j la. Bioiti^ de o eft o que j'ccris enfuite j la 
moitic dc o eft o V que j'ccris pareillement j 
enfin la moiti£de 8 eft 4 , que j'ecris fous le 8. 
Partant je trouve que 1008 &is 6 deiiiers produi- 
fent 1004 fols. 

Je multiplie enfuite par ks fols $ mais parce- 
que les o ne multiplient point-ou ne produifene 
lien , pour k zero des 10 fols , j'ecris o fous le 
4 du produic des deiuers. Enfuite je multiplie pax 
h. dixaine des 10 fols y difaiit : 1 fois 8 font 8 , 
j'ecris 8 au rang des dixaines : 1 fois 9 eft ©, j'£- 
cris o : ifois o eft o * j'ecris o : 1 fois z font a, j'c- 
cris ^J'aflemble apres cela ces deux produits,dont 
je trouve que la fomme eft 11084 fols,que je rednis 
en Hvres, comme il a et^ enfeign^ , &je trouve 
pour leur vakur 10^4 1. 4 f. 
- Enfuite je multiplie par les unitez de livres, 6.U 
fant:7 fo* s 8 fo nt $6$&™ & & je retiens f -,y fois of 
if 'eft rien, nuis ; que j'avois menus, font ji j'5-j 



Arithmttiqur> *+ 

cris y :7fbiso eft o ; j'ecris o: 7 foi$ t ou % fbi* , 
7 font 14 ; j'ecris 4 & j'avance 1. Eofuite parce- 
que les zeros ne produifent riea 7 pour le o qui 
f recede le 7 des 107 j j'ecris o an rang des dixal-* 
ties fous le j du produit precedeo^fc je multipli$ 
paries 2 centaines^difant-.i fois £ font x£$ j'lcris £ 
a« rang des centaines,&jeretiens i; * foiso (one. 
6 , mais" 1 que* j'avois recenu eft 1 3 j'ecris 1 &mj* 
le. 4: z fois o font o $. j'ecris o : enfin a, fois % foot 
4; j'ecris 4/* Apres avoir auemU6> ces trois 
prodtiits ainfi arrangez , je trouve que les *oq8, 
aanes de marchandues couteront 4x67x0 1, 4. £ 



147 



i. 14 £ 9 d # 



7* 

"f 8 8 

*47 



f. 



6 
% 



%l 6 



* f. 



108 
4 41 

7.3* 

*94 

* — — ~ ^^ 

J 7 i> 9 



»»■■»» 



On demande 

Selfc fomrnc il 
it pour payer - 
147 arpens , ou 
acres de terre , a 
tinfoil *de"if5" fc~ 
14 f. 9 cLchacun j£ 
commence par les 
icniers £ je prens 
pour 9 d, one moi- 
tie y & enfuite un 
quart de 147 , 1'ua 
apres l'aiitre, com- 
me il a £te enfei- 
gne. On ne prend 
pas la moitie de x , 
garceque m'eft pas 
en 1, mais on joint 
cet 1 avec le 4 fui- . ._ c ,, . ^ 

wit^c on dit,la moitiSde 14 eft 7^ faut barer 
&U* k 4 : U moitic de 7 eft 3 ? refte j.> d &» 



1. 8 C 5 <t 



V 8 C $ * 



rv £ - 


*'«£ 


r* 


> 


f 8 « 




1 4 7 


• 



jfb: Frimi ere Parti?. 

ccrife j fbtes lej, & cer i qui refte eft nncmoi^ 

tie* de Jtol Yalaht 6 d.j'ccris * d. Enfuite je prens 

k quart , commen^ant toftjours vers la main 

gauche 5 je trouve qa'il ne feut point chercher ei* 

1-combien de fois 

4', mak je joins' 147 

oet 1 avecle 4 fui- a..** 3 'l. 14 f» 9 <£ 

vant, & je dis : en 

tycombien de ibis 

4 ,c'eft a dire, le- 

qoart de 14 eft 5-, 

jeftc t y j'ecris 3 

fous fe 4 , & les % 

qui rcftent ftant xl * I g f " d# 

comparez avec lc 1 , 

7 ani (uit , Talent lo ,' L .. a £ ^ ^ 

* diiaineif partanc * ^ 

je dis : lc quart de 

»7 eft I , refte 3 , 

jVScrir £ 5 mais ces 

3 qui reftent font 

3 quarts de fol va- ' 3 7? z 9 .9 1, S f. 3 <£ 
JbntS9d.j ? ecris9d. 

: Aprcs cela je multiplie par les (bis, difant ": 4:" 
fois 7 font x8;j'ecris8 & jeretiens i: 4fbis 4 font 
14 & i retenjis font *8_ , j'ecris 8 & je retiens 1 j- 

4 fois 1 font 4 , & 1 que i*ay retenu font $• , j'e- 
cris j. Jemulti^lic par ladixaine des fols, difantr 
% Fo^s 7 font 7 j j'eoris 7, au rang- des dixaines' r 
X fois 4 font 4 3 Vecris 4 :|i fois i eft 1 5 j'ecris; 
i« Apr^s, avQir auemble eel produits , tant des 
deniers que des fols , je trouve que leur produie-. 
total eft urf8 £ J d, dont la valeut eh livres eft 
108 1- 8 C 3. d. que. j'ecris. au deflbus. 

Enfin jd mtdtiplie par les livfes > difant : j" 
foix 7 font a*i L j'ecris 1 ). fous le- & duprodgir 




ArkhmttlqueT $1 

iles Cols, & je retiens z : 3 fois 4 font U, & 2 que? 
favois retenus font 14 5 j'ecris 4.6c je reriens 1 : 
3 ibis I,- ou im&feis 3 font 3 , & r-que j'avois rc- 
tenu, (bnt ^j'ecris 4 Jsniuire je dis:f fois 7 font jf j 
^'kri&y fousle 4*u ranges draines,6g je retierw 
f 1 4 fois j ; oii f fois '4 font 20 £ & trdis que fa% 
vois retenus ? font 23 5 j'ecris 3 & je retiens 2:1 
ibis f font f , & 1 que j'avois retenufont 7 j j^eV- 
cris 7. Enfin je multiplie par les centaines , di- 
iant : 2; fois 7 font 14 5 j-'eeris 4 an rang* des ceo* 
taines , & je retiens 2 : z fois 4 font 8 , dc 1 que 
j'avqis retenu,font ^j'ecris 9:2 fois i,onune fois* 
font 14 fecris 1. Apres avoir anemble^comme il a 
hi enfeigne dans l'additiony ces 4 produirs ainft 
arrange? ; on trcravera que pour payer ks 147 
axpentsde terre , il faut lafomme de 37199 Ism* 
ft'lbl* 3 denieis* 

^ F E R T 1 S S E M E N T. 

Poor reduire un nombre de iivres en fois , if 
fait multiplier, ce nombre par 20 fois , puifque 
chaque livre Yautio fois j le produit de cette 
multiplication donnera en fois la valeur des li- 
tics : par exemple poor reduire 12 livres en fois , 
on mukiplieia 12 par 10 , pasceqne 12 i. font is 
fois 20 fois. • 

> Pour reduire un nombre de fois en denier* y " il 
&ut multiplier ce nombre par 12, puifque ckaque 
fcl vim tL denieis $ le produit de cette multipl** 
cation donnera la valeur des fois en denkrr. par 
ejemple pour reduire if fois en deniers, on muW 
tiplie if par 12 , paxceque if fois font if fois i* 
lieniexs. 



-/ 



Ittj 



ft' FremUre PtrHe. 



TtM 



-■ DE LA DIVISION 

PES N OMBRES, 

I DEFINITIONS, 

* 

&T A Bivifion eft one operation par laqueller 

: JLy on partake un nombre en autant de p&&* 

fies (gales , qu'tl y a d'unitez dans un autre, 

.- u Le non&re qui exprime une de ces parties^ 

Igaies , eft appelle' §tw>titnt. 

°* j. Le nombse qrfon vent parcager ,, eft appell4 

ffmhv # diviftt. 

4. Le nombre qui exprime en combien dd 
parties on veut divifer rautre r eft appeUc Z>*~ 
vifeur. ,' - . . - - . 

Pour divifer un nombre par un autre, on cher- 
the combien de fois le Divueur eft contenu dans 
le nombre a divifer y le nombre qui exprimerak 
combien de fois Ton fera contenu. dans 1'autre ^ 
fcra le writable Quotient de la divifiom cequ'on? 
fera voir eVidemment dansle premier des Co* 
sollaires, qui fuivxont ap»es qu'on aura expeie te 
maniere de faire cette operation. 
1 " Ii&ut&rirele nombre a divifer , enfukeme- 
net une lignc , entire le di vifeur deuous , com** 
mencant de gauche a droit, & au bout de la lign? 
qu'on vient de mener , on icrira le quotient- * 
«omme on verntdanskfuite. 

E x 1 »F t r. . - 

tour divifer us par 4, ({eft a dire , pour troir* 



ArithmetitjHC j| 

ver quel eft le 

quart dc 128,011' ' " e [o 

en* u8 combien nmb.k&vijer i X A £ 
dc ibis 4: aprfc »■ 3 3*f*fc 

avoir ccrit le * dhnfeur* # £ C 

nombre n& & * 1 

avoir mene la ligne au deflbus , j$ ne peuz pat 
Icrire le divifeur 4 au defTous de i , parceque 4 
ne font pas contenus en 1 , mais je Tecris foos le 
a , & je cherche en 12 combien de fois 4 , il y eft 

3 fbis , j'&ris j en un lieu particulicr oil je. veux 
placer le quotient. Enfuite je multiplie ce 5 da 
quotient par le divifeur 4 , ce qui fait 11 : or cci 
la etant retranchez dc u , qui font les deux pre- 
miers chiftes du nombre a divifer,il ne refte rien* 
Partant j'ccris o au deflus du a, &je retranche le 
<di?ifeur 4 & les deux premiers chifres u du nort* 
bre a divifer. Enfuite j'avance le divifeur 4 fou* 
% , & je dis en 8 combien de ibis 4? je txouve que 

4 7 font a fois -, j'ecris a au quotient. Enfuite je 
multiplie le divifeur 4 par ce a , ce aui produic 
8. Or retranchant ce produit 8 du cnifre 8 du 
nombre a divifer ? il ne refte rien : partant j'e- 
cris o au deflus de 8 avec une petite leparation , 
& je tranche le 4 & le 8. Cela fait , je trouve ja 
pour quotient de cette divifion 5 c'eft a dire que 
ji eft une quatrieme partie de 118 , ou que %% eft 
4 fbis en u8 , ou enfin que \%% contient autanft 
de fois 4 que 31 contient de fois l'linkc* • 

Autre Exempli. 

Pour divifer 804 en % parties egaks 5 apre$ 
avoir £crit le divifeur jfous I e 8, premier chifre 
du nombre a divifer, vers la main gauche ; jq 
& en ft combien y a fril de fbis j > U ycftw 



1 



l 



— — — <i 6 ct qwtimt* - 

fois , j'&ris i au quotient. Eniuitc ( multipliant 
tee que jeviehsd'ecrire aa quotient par le dfrvk^ 
|eur ) je dis i fois ffont f. Or f ctant retranchefc 
de 8 , il refte j que j'ecris fur 8 apres avoir tran^ 
che* le 8 Sc lc f avec une petke ligne pour mar-" 
quer que roperation eft finie a leur egard. Je r'e-* 
cris le divileur j (bus le o du nombre a dirifer v 
& confiderant le $ que je viens de trouver de xeftd 
4ur le chifre 9 , devant le o du nombre a dmfirry 
cela fait 30 ; je cherche en jocombien de fois le 
Hombre f ? jeTjrtiwve 4 fois que j'&ris auf quo- 
* dent, & je multiplie ce IT du quotient par le divi-- 
fcur f , cela fait 30. Or ce nombre 36 &ant re- 
tranche* du premier nombre 3a , il ne refte rien *. 
partant (ayant tranche »le divifeur f & le premier 
hombre 30 ) f ecris o* au deilus de o.Enfin confix 
derant ce dernier o comme place devant le 4 eta 
nombre a divider, cela ne fait que 4* je cherche en 
4 combien de fois f i ce nombre $ n'y £tant point 
contenu , j'ecris au quotient o , & je dis ; fois o 
froduifent o> lequel o ou rien ctant retranche de 
4, il refte 4 que je fepare avec une petite ligne 
i'avec les autres caifres tranchez. Ainfi je trouve? 
pour quotient de certc drvifion 160 & 4 qui ret 
ient,c'eft a dire que 160 eft une f c par tie de 804, 
exceptl 4 : «ou~bien quele nombre f eft content* 
ilo fois dans $04 morns 4,Ce nombre ^.reftejen- 
iore a di vifer . 

AOT&I EX BMP 1 1. 



« tJ 



dirifeHr 



jgaSeux* chifres,. il eft un peupkfc -difficile, 
dfapprendfe cette operation que les autres > c'efti, 
pour celaqu'il faut s'y appliquer un pea daraito 
tage > 6c s'f exerccr frequenv 
merit pax pluficurs exemplesj \p 
*pte$ celaony tro#veralaih£- * # ( ^ 
xw|fkcilit6 que dans les autres. & f # r 

jfour diyifer.^34 par zs 7 apr& — — J 5 £ * 

avoir exritiaj fous 93 , il faut Xf f V , 

chercher en ion efprit conv* X 

l»en de fois % fe rencontrent 

en ^. On trouve ▼entablement 4 fois % en 3 ?> 

mais il ne faut ccrire au quotient que \ foia> 

( fouvem on met au quotient moins qu'on nev 

trouve yeritaikmcnt, a caufe de quelques dixai-r 

nes qui reparent cda dans operation, ce qu'ofii 

connolcrafacikmentdans la tote, & par rufage) a 

Or mulripliant ce j du quotient par f du divifeur, 

cda fait if , j'imagine des dixaines prepofSes au ^ 

<pi eftiur le ; ,antant qu'il eft neccflaire pour for* 

inerunnombre dans lequel 1/ foitcontenu. Dan* 

cette occafion ici, ilfafct imagine* que le jqui.effc 

fur le ; foit precede de % dixaines, cela fera xy,8c 

dire, fi de %y on* retrancjie le jiombr?jr , dont on 

Tient de parler, il refte 9 que j'ecris defliis le $,& jc 

retiens les 1 dixaines que /avok imaginees, $ je 

tranche kjddey dcdejflbus. Enfiiitc je multiplid 

*k 2, de deffous le 9 par le 3 que j'ay 6crit au quo-» 

Tieitt , cela fait 6 avec les 1 dixaines que je vrens 

de retenir, cela fait 3. Qr cesg etant retranche* 

de y , il rcfte 1 que fecris fiir k ?>&je tranche 

le 9 & le 1 de dellbus. 

: Enfiriteje r'ecris-fedivifajr *c: de forte qu* 
k;fiiive le % precedent & foit fous le 4 y Be 
ie i fous le f precedent. Et je cherche en 18 com* 
Km de fojs eft content lei cjtti«ft «rbas fous if 



V 



\4 Pumiirt Tdrtie. 

colooute du ft. Je trouvc qu'il j eft content ^ 
fois j mak ( parceque j'aurai dans on moment 
0Gca£on de retcnir quelques 
dixaines qui contribueront a (• 
fiippleer le refte ) j'lcrirai au * % () 
quotient feiilement7«Ordifant $ % # { 
§ fois 7 font jj ( imaginant 4 •— < ) 4 

Epolez au 4 de defliis ) ces jf % % %\ 
at retrjanchez de 44 % il refte X 
9 que i'ecrisTur le 4, & je retiens 
ces 4 dixaines. Enfuite je mukiplie encore le 7 dm 
quotient par le 1 qui eft {bus le f , cela fait 14, 
auquel nombre joignant les 4 dixaines que je 
Viens de retenir , cela fait 18. Or ces 18 Ataxic 
tetranchez des 18 qui font au de/fiis de 93 , il ne 
refte lieu. Partant j*ecriso furies j &parcequ'il 
n'y a phis de chifre .du nombre a divifer fous le- 
quel jepuifle avancer ou r'ecrire le divifeur ay ^ 
je fepare avec une petke ligne le o & le 9 q uc Je 
▼iensd'&rire, pour marquer que e'eft ce qui refte 
i divifer par if. Enfin je trouve que le quotient 
de cctte divifion eft 37, refte 9. 

+ 

Aotrs Exempli, 

?our divifer i;8o8h *o* 5 

5ar jx>9 , a caufc que le tjf $ fl ft 5 4 r 
ivifeur jo? n'eft point — ■ s j v 

contenu dans if ft qui #ft# r 

<bnt les 3 premiers 
)chiftes du nQmbre -i divifer , f ccri* le pre-* 
mier chifre f du divifeur fbus le j deuxieme chi- 
fre du nombre a divifer ,&le reftV de fuite. Cela 
fait, je cherche en 1/ combien j font contenus 
Je fois , j'y trouve ce nombre % trois fois , j'ecris 
jau quotient, que je jnukiplie par lc 9 dernier 

chifre 



r j4rlthmetique. $7 

L ctifre da divifeur ; cela fait 27 ^ en imaginant 

' 3 dixaines appofees devant le o dc deffus le 9, cela 

fera 50. ) Or 17 produit du quotient & dc ce 9 du 

! divifeur etant rctranchez de ces $0 imagincz dans 

le nombre a divifer, ilrefte 3. Partant j'ecris 3 an 

deffus duo , & je retiens les 3 dixaines que j'avoif 

imaginees , & je tranche le 9 & le o de deffus, 

Enfuite je multiplie ce 3 du quotient par le o> 

du divifeur j cela ne produit que o ou rien , au- 

quelj'ajoute ces 3 dixaines que je viens de rete- 

hir , cela fait 3 que je retranche du 8 du nombre 

a divifer , ilrefte 5* que j'ecris au deffus de ce 8 1 

& je tranche le q & le 8 K qui font Tun fur l'au- 

tre. Enfuite je multiplie cerneme j du quotient 

parle / da divifeur, cela fait ij. Or. ces if etant re- 

trancitez de 1; qui font le commencement da 

jiombre £ divifer,il refte o .Partant j'ecris o fur lc §4 

Apres cela je r'ecris ♦ 

Je divifeur en pla^ant o 1 

{on dernier chifre 9 # % % 9 

ious le 8 dunombre a z %% tf % 9 4 

divifer apres le 9 pre- -^ r <j jc 

cedent , & le refte des % $ # $ (^ 

autres chifres de fui- %$ 

re vers la main gau- 
che. Le o qui eft lur le jr, & lc ; qui eft fur le 
S ne formant que le nombre de j , je cherche 
en j combien il y a de fois $•, je trouve que cc 
nombre j eft feulement contenu une fois en ; ? 
j'ecris 1 au quotient, ^e multiplie cet 1 par 9 qui 
eft Jc dernier chifre du divifeur , cela rie produit 
que 9. Or ce 9 ne peut etre retrancW du 8 qui 
eft deffus ; mais en imaginant 1 dixaine prepoi'ee 
a ce 8 , cela fera 18 , dont 9 etant retranchez^ 
il refte 9 que j'ecris fur le 8 > je tranche ce 9 & 
ce 8, & ie retiens. cette dixaine imaginee. En- 



it FremUre Partie. 

fiiite je multiplie cet i du quotient par o da di- 
vifeur , cela produtt o > y ajoutant cette dixaine 
que je vicns dexctenir , cela fait i qui extant re- 
tranche du 3 qui eft fur le o , rede t que j'ecris 
fur ce 3. Je multiplie le 1 du quotient par j- dcr- 
. t nier chifre du divifeur , cela ne fait que $ ( par- 
*cequc Tunite ne multiplie jamais ) qui £tant re- 
irancW du f qui eft deffus lc 8 , ilne refte rien ^ 
J'ccris o fur le 5- & je tranche le f du divifeur , 5c 
le ; & le o qui font fur le 2 & ley du nombre 1 
divifer. 

J'^crisune troific- ; 
Sac fois le divifeur t 

fous le nombre a dt- tf x 9 

▼ifer : de forte que # 9% 4 ? 
&n, dernier chifre 9 i %%$%$ 4 

{bit fous le 9 , & en- > ■ *^ 3 1 # 

fuite fes autres chi- #$ # j0 # 

fees fous les autres ^^^ 

de 4roit a gauche 5 .X 

& je dis- le o qui eft 

au 4elfus duj Sc le % qui eft enfuite au deflus da 

3 »e font que z ■: or en % cambien de fois j • ? fl 

n'y eft point , & partant f 6cris o au quotient, 

Enfuite je multiplie le 9 du divifeur par le o du 

quotient , & je dis ; 9 fois o e'eft o , de 9 qui eft 

au deffus *6tant o , refte 9 que j'ecris au deffia 

du 9 & jetranche les deux 9 precedcns^AprSs cela^ 

to multiple par o produit p , de 9 qui eft au de£ 

fus du % , 6tant , refte 9 , que j'ecris au deiTus 

du dernier % precedent , que je tranche avec le 

p du divifeur. Je dis encore : f fois o e'eft o 9 

de i qui eft au deffus du 3 otant o , refte 1 , que 

fecris au defTus du * , & je tranche lc 1 precedent 

& le f du divifeur. 

Enfin je x'ecris le divifeur , dc forte que &tt 



ArithmefujUc. j^ 

dtthier chifre 9 fort fous le 4 da nombre i di- 
ti£er,enfuitedes autres derniers chifres du rn^nc' 
divifeur, & que les autres chifres de ce mema' 
divifeur foient fous 
ies autres imm£- 2^(4 

diatement fuivans ft z ^(4 

vers la main gau~ ^ ^ ? ## (9 > 

chc.Je chercheerr *^#j*#£ #V 

29 combien il 7 a . s 3 1 o / 

&foisf,jetrouve Xt$4't.&l 

que ce nombre 7 JF&tfp 

ell f fois , j'ecris f $f 

au quotient. Par 

ce nombre 5 du quotient je multiplie 9y dernicf 
chifre dudiviCeur , ce qui prodiiit 4; $ j'imaginc 
auranr dedixaines prepofees au 4 qui eft fur ce 
9- ,. qu'ileft neceuaire pour que 41 7 foient coh- 
tenus 5 je dis : 45- etant retranchez de 5-4 , il refte . 
9 que j'ecrisfur le 4, je retiens $\ je tranche le* 
9. & le 4. qui eft au deuus. Enfuite je mult ip lie 
jrpar o, cclapioduit oauquel ajoutant j que jtf 
*iens de retenir , cela fak j-qui ttanrretranchez 
du 9v qui eft fur- le y, il refte 4*. quej ! £cris fur le 
9 , & je tranche ce 9 & le o du diviteut. Je mul- 
aplie le nombre jvdu quotient par le nombre j- 
du divifeur , cela fait if , lequel nombre etant 
retranche de ty , il refte 4 que j'ecris fur le 9 
apres avoir tranche les xy & le f du divifeuri 
cela fait je fepare avec une ligne ce refb 449.. 
Warrant je trouve que le quotient de cette diviiioa 
cftjioj , & qu'il refte 449, 

A V E R T I S £ t M E Ht T. 

1; Lorfqu'il arrive que le produit du chifre da 
quotient & du dernier chifre du divifeur vers la. 

D ij 



40 Premiere V Artie. > 

main gauche feul , ou joint avec quelques dixai— 
nes , n on en avoit menu , forme un nombre 
plus grand que celui qui eft au defliis du divifeur, 
dont on voudroit retrancher ce produit $ c'eft 
ttne marque que le chifre ecrrt au quotient ex- 
prime un nombre de fois trop grand. Partant il 
convient le diminuer de quelque unite. 

a,. Au contraire , apres avoir multiplic le chi— 
fee du quotient par le divifeur , comme il a 6t£ 
cnfeigne , s'il arrive que ce qui refte au deflus 
du divifeur ou avant qu'on Fait r'ecrit , ou lorC- 
qu'il eft en fa derniere place, eft plus grand que 
li meirie divifeur 5 c'eft une marque que le chifre 
icrit au quotient n'exprimepasun nombre aflez 

Stand : partant qu'il faut augmenter ce nombre 
e quelque unite. 

3. A chaque pofition ou promotion du divi- 
feur , on nc doit jamais poterau quotient aucun 
chifre qui exprime un nombre plus grand que ?. 

4. Lorfqu'on fe contente d'indiquer une multi- 
plication de deux ou pluiieurs grandeurs , on in- 
terpofe ce figue x 5 par exemple 2, x 3 == 6. Cela 
fignifie 2 multiphez par 3 produifent une gran- 
deur cgale a 6. 

f.Lorfqu'on veut leulemenr exprimer la divi- 
fion d'une grandeur par un autre , on interpoft 

ce figne — $ par exemple = 3 : cela fignifie 

que 6 divifez par x donnent pour quotient une 

grandeur egale a 3, Si on ecrit feulement — , ce- 

la fignifie $• unitez divides par 4 - 3 c'eftce qu'on 

appelle Fraction , comme on verra dans la fuite . 

f.Le terme ou mot qui eft particulierement 



I' 



Arrxhmtti^e: +t 

en ufage dans l'Addkion, c'eft ^ i par exemple 3 
($• j font 8. 

7. Le terme qui eft particulierement en ufage 
dans la ^oriftratt joa , c'eft/fei pat e*emple , fi 
lie 7 on retranche 4 , refte 3, 

8.LeteHafte qui eft partieulkrem^t en ufage 
dans h Multiplication , c'eft/w ; par exempk tf 
/to 8 few* 48. 

*. le terme qui eft parttcuSierement en ufege 
dans la Div&on , c'eft en $ .par exempk en u, . 
combien defois 2? 6 fois. 

RtfiexioHs tvndtimentaUt.. 

lia pparione de laDivifionfaifcnaitre Ies dnq 
Corolliires fuivans qu'il eft important debifcon 
temarquer. . 

COROLLA IRE I. 

Pour faire la Divifion , il feut chercher com* 
bien de fois le divifeur eft contenu dans le nom- 
bre a divifer , £ l'ayant trouv£ , ce nombre de 
fois eft le quotient qu'on cherche. Soit par exerri- 
plek nombre if a divifer- par j , je cherche en. 
if . combien il y a defois f, je Yy trouve 3 fois 5,, 
je (ks que jeft le quotient, c'eft a dire, une f e par- 
tie de in car nous venqns de voir que 3 fois ce 
divifeut- fproduitif , parceque f eft 3 fois en if. 
II eft certain que 7 fois 3 font aunl iy 5-. puuquc '• 
3, fois f , ou j. fois 3 font le m£me produit - y 9c . 
partant , puifque j* fois 3 font if , il eft evident 
que ce nombre 3 eft une je par tie de if ; car. il 
nut Tajouter j fois a lui-meme pour faire lc 
nombre if. Done le nombre qui exprime com- 
bien de . fois uivnombre efft concenu dans uriau-* 

a iijj 



42 Trtmiere Partiel 

*re , eft le quotient de ce dernier nombre diyifc 
yar Tautre. 

COROLLAIRE 1% 



, II fuit de ces chores que le nombre a divifer 
cc ntient autant de fois le divifeur , que le quo- 
tic nr contient de fois Tunite 3 car le divifeur eft 
ccntenu autant de fois daris le nombre a divi- 
ier , que Punke fe trouve exprimie de fois par & 
quotient.. 

COROLLAIRE III. 

Le produit du Quotient de la Diviiion muTti- 
trite par le divifeur , eft toujours egal au nombre* 
a divifer. Car puifque * le nombre a divi/er con»~ 
tient autant de fois le divifeur , que le quotient, 
contient de fois Punite j & j'ajoute-le divifeur i 
Jui-meme autant de fois qu'il y a d'unitez dans 
le quotient , c'eft a dire-, ** fi je multiplie le divi- 
feur par le quotient , le produit de cette multw 
plication {era £gal au nombre a divifen 

CORt)LLAIRE IV. 

La Multiplication & la Divinon fe fervent de- 
preuves Tune a- 1'autre. Car on eft certain xjue le 
ii ombre 8 , par exemple , mukiptie' par f produit 
40 , fi 8 etant ajout£ a lui-m^me j-fois, fait 40 -$,, 
c'eft a dire , fi 8 font contenus ^ fois dans 40 , ce 
qu*on peut fcavoir en divifant 40 par 8. Au con- 
traire on eft certain qu'ayant divifc 40 par 8 ^lfc- 

* Cor- %, precede 



Arithmet'tqHt* 4 j 

quotient eft j , fi $ eft 8 fois dans 40 5 ce qu'on con- 
uok en multipliant le quotient f par le divifeur t. ' 
De nci&me , fi 3489 eft le quotient de X36098 divi- 
fez par 39 , & 27 rcftans; pour cue aHure* que ceu* 
operation eft bien fake , 
iJ faut multiplier ce quo- X % ( 1 

rient 3489 par 39 , & au * § # i (7 
produit ajoutex le refte 2 $p ' fi jf %e - , 
17 .Alors u la fomnac qui *' ■ ■ ■ J J 4 * J 

en rcfultcra eft egale au J999 7' 
nombre a divi&r,on doit ^ ^ ^ 

cue certain que l'operation eft tres exa&e. S'il 
arrrvoit autrcment , Toperatiou ne feroit pas jufte, 
& il faudroit la recommence^ 

En£n pour connoitre fi 741000 eft 
le veritable produit de f 70 multipliex 570 • 
par 1590 , il faux divifer 741000 pax 1 3 o& 

$70 , 8c on doit trouver 1300 au quo- 

tient fans aucun refte ; ou bien il faut 17100* 
divifer 741000 par 1300 * &on trou- 5-70 
vera auffi fans aucan refte j 70 pour le 



quotient. S'il arrivoit autrement , l'«- 741009 
peration feroit vicieufe 8c faufle , 8c ■ 

2 feudroit la recommencer plus cxaclemem, 

COROLLAIRfi V. 

• La Divifion eft une Souftratrion abregee. Car 
afio qu'on puifie aflurer que le divifeur eft content 
un certain nombre de fols dans le nombre a^ivi- 
fer j il feur que du nombre a divifer on puitfe re- 
trencher le drvifeur autant de fois qu'on a rrouvl 
qu'il j croit contenu. Par exemple , fi on divift 
14 par 6 y on dira que le divifeur 4 eft 4 fois en 241 
& pour en ctre certain , on retranchera 4 fois 9 
in nombre 14 , cfeft a dire que de 14 on fetnuv 
ifcera le produit de 6 multiplifc par 4. 



44 Premiere P Artie. 

DES FRACTIONS. 

DEFINITIONS. 

i.T TNb Tra&ion eft la maniere d'exprimer 

Vj/uneou plufieurs parties d'un oude plufieurs 

tous , unitex, f ou entiers , divifez chacun en un 

certain nombre de parties 6gales. Par exemple , 

la ditpoficion de ces deux chifres \ fignifie trois 
des parties Egales d'un «tf/>r partage* en 4 , e'eft 
a dire trois quarts. Cette autre expre/fion -Z- fait 

connotti e que , piufieucs entiers , par exemple , 
pfafieurs £cus etaac divHez chacun. en trois parties 
egales , on vent marquee 7 de ces parties egales t 
cfeft a dire , 7 tiers. 

Je pepx encore dire qrfurse Fra&ion eft une 
dtrHfon ifldiqute feiriemen^c'eft a dire,dont onex* 
prime le quotient en 6cmant la grandeur adirifer 
aw detius d'unc pence ligne, enforce en ccnva«c ie 
divifeor au deifaus. Parcieniple, pour cxprimer 1(3 

quotient de/ unitez divifees par 8,on £crit |,cequi 
fignifie .cinq. huiti£mes, e'eft a dire,que, fi on con- 
fidere un Tout divift en hnir parties Egales , cette 

f ra&ion j? fignifiera ;. des parties Egales , qui font 
4es huiti£mes. 

Poux'bien entendre comment ; unitez pen- 
went £cre divifees. en & parties egales , & com- 
ment le quotient de cette divifion eft c huiticmes 
du Tout ou de l'Entier $ r il iaut confidercr 
chacune de ces f unitez cotnme partagee en % 
parties e'gale? , ce qui produira, <p nuiiiemes d'u- 
ni:6. Alors er* ^jpilaju ces 40 Lmitaet parties 

igalcs 



i 



Arithmetic/ ue. fa 

{gales d'unitc* par cc nombre 8 , c'eft Ja m^mc 

chofc que u* on divifoit ces f unitez par 8 j pur£- 

que cc nombre de ; unitez & les 40 huitiemes 

parties de chacune de ces unitez Com la meme 

chofe , & que le quotient de la divi/ion de 40 

huitiemes parties d'unitc par 8 , font ; huitiemes 

parties d'unite\ 

i. Ledenominateur d'une fraction eft la gran- 
deur inferieure a la petite ligne interpofee , par- 
ccque cette grandeur denomme ou exprime dans 
les nombres les cinquiemes, teptie^nes^dixieines, 
&c. parties de Tunite 5 comme dans cet exerrv- 

ple — ,le nombre 3 fait connoitre que ce font des 
3 

tiers d'unit6. 

3. Le numerateur. d'une fraction eft la gran- 
deur fiiperieure a la petite ligne interpofee , par- 
ceque cette grandeur exprime combien de par- 
ties de Tunite , qui font denommecs par lechifre 
inferieur , vaut la fraction. Par exemple dans 

4 

cette fraction — on tronve pour numerateur 4 ^ 

qui fait connote que la valeur de cette fraction 
eft 4 feptiemes parties d'unite\ 

On fait a l'egard des fractions les m^mesopo- 
lations qu'or/ yient de faire pour les nombres en* 
tiers ; mats-arant que d'en venir a la pratique ? 
ilfaut remarquer les 4 chofes iitivantes. 

Obfervations ejfmtielles pour Vufag* 
des, Tra&ions* 

1. Pour reduire une fraction a de moindrcJ 
tcrmes , e'eft a dire , pour exprimer une fraction 
par des termes plus fimples $, par exemple pout. 




Trtmlert TartUl 

trouver une fta&ion equivalents a — , & qo£ 

Ibit exprimee par des chifres moindres que tf 8C 
que 18 , il faut chercher on nombre pax lequel on; 
puiile divifer Igalement le nOmerateur & Ic dc- 
nominatcur fans aucun refte. Comme dans cer 

6 

exempli— , on trouve que %. peut divifcr 6 8c i% 

fans refte , on mettra le quotient de 6 divifE pait 
% pour numerateur de la nouvelle Fraction , & le 
quotient du d^nominateur divife par le m£me 

r. 

nombre z. , pour denominates , 8c on aura — 

9 

pour la nouvelle fraction , qui vaut autantque* 

€ 

— -*Mais on peut encore trouver un nombre* 

quidmfcrafgalement j;& 9 fans refte, fjavoirjjj, 

&partant on aura JLau lieu de — ,ou dc —y 

Pour trouyer facilement le divifeur camming 
S faut divifer le plus grand des deux nombre?; 
qui expriment la fraction par le plus petit j &: 
s'il refte quelque chofe r le nombre qui a fervi 
4e divifeur a» la divifion precedente ,,fera divifif 
£ar ce refte ^& fi apres cette diyifion il refte en* 
core quelque nombre,,, ce fera un nouveaudivi- 
feur pour le nombre qui a fervi de divifeur a la 
diviuon precedente. On continuera de meme 
j*fqu*a ce qu'oh ibit parvenu a quelque divifion 
oil il rre refte rien $ le dernier de ces drrifenrt 
£ra k divifeur cooimnn au numerateur 8c a* 



r Arit%mttique. 47 

42noimnate&r de la fradion propofee. 

Sok par exemple cette fraction IL , & qu'a* 

7* 
aiumentteur 4; , & au denorrrinateur 71 , il /bit 
tiece&iie de trouver on divifeur commun fans 
xe/fc. II faut divifer 71 par 4; , il reftera %j 5 en- 
fiiire on diyifera 4$ par le refte 17 , il reftcra 18 - 
on diyifera encore zy par 28 , il reftcra 9^ & en- 
fc on divifera 18 par 9 , & il ne reftera rien j 
ce qui fera connoitre que 9 (era le phis grand & 
common diyifcur du numerateur ^ & da acnomi- 

xiateut de 2a fra&ion— qui (era reduire par eg 

7* 
tnojen a £>n cqiwralente-L., Mais s^ilarrivoi* 

Hju'apres aaroir fait toutes ces diyifions , il y eat 
four refte 1, ce feroit une marque que la fra&k>& 
nepourroit fctre reduite a de moindres termes, 

S'il fe cencontroit un oa plufieurs o a la fili 
da numexateur & du, denominateur d'une frac- 
tionj on reduira facilement cetteira&km a moin- 
dres termes , en 6tant autant de zeros de la £a 
da numerateur ^ que de la fin du denominateur s 

par exemple., cette fra&ion — - fera reduite i 

ygo 

fon equivalente ou (gale — 9 en retranchantdd 

5 

fart 8c d'autre o o : puifque dans cet exemple 
<'eft la merne chofe que fi on diyifoit le nume- 
rateur 400 & le denominateur yoo , par knom- 
ire 100. Si on 6toit feulementun zero , ce feroit 
divifer par to , &c. 
4 I. BLcdoire deux fractions a metric dinom&r* 



X 



5|.8 Premiere P artie. 

nation, c'eft lcur chcrcher un denominateur 
commun (ans changer leur valcur , par exemple, 

pour reduire — & — a une meme denomina- 

3 4 
tion , il faut multiplier les denominateurs $ Sc 4. 
l'unpar l'au- 
cre , on aura g 
Xi qui (era 
le dcnomi- z 
jaatcur com- — 
mun.Enfuite 3 

on multiplie- — • — 

£a. le nume- 1 x ~ • 

rateund'une 

-de ces fra&ionsparle denominateur 4 de l'autre, 
8c on aura 8 qu'on 6crira audeflus dux. EnBn on 
jnultipliera le denominateur 3 par le numera- 
tes 3 , on aura 9 qu'on ccrka fur le 3, Et partanc 

x 8 

on aura au lieu de — fon egale — 5 & aii lieu 

At— on aura fon egale— , Or JL&~?-fbnt en 
4 ** ii it 

meme denomination , ce qu'il fallok chercher. 
Lorfqu'il y a plus de deux fractions 9 par exem- 

2. " 2 Am 

pic • — , — , -r- , il faut multiplier tous les deno-« 

. ■ 3 4 S 
minateurs de fuite Tun par 1'autf e , comme dans 

•Cet exemple 5 3 fois 4 font u , & j fois 12. fi> nt 6° 
qui fera le denominateur commun - 9 & pour 
avoir les numerateurs, on prendra pour le nu- 
merateur de la premiere fraction les deux tiers 
de 60 , f^avoir 40 5 pour le numcrateur de la 
Jfeconde , on prendra les trois quarts de 60 , fi?a- 

"voir, 



Jirithmiti<fwt % *± 

prcndra les qua*c*inqui&nes de 60 : on fera de 
m£m£ Utc&fA'il j auca ua plus grand nomine dc 

femakw-Ofl trou Rt& 12, li, ±!, au lieu dc — , 

00 60 60 i * 

^-, &~} 1* ai&n de cela eft facile a cMh 

prendre > parcequ'en cet exemple on eonfidere le 
Tout ou TEnticr diviff en 60 parties egales. Ainfi 
lodqu'oa pceodra les deux tiers de *o, on aura 
ksdeu does d'an Etitier * ce qui eft la. m£me 
Aofe <goe la ptesueic firadaaa : on dua la m£o\c 
chofe des autres. 

5. Pour connoitre la Taleur d*ane fraction par 
rapport »f£ntier , dontelle exprime une ou pi*- 
£eurs parties j par example pour connottrc la ra- 

leur dci-^'uneUitre^fantmiilriplierxofbljL 

4 

▼akurde lalivrc par teunjamrwiri dela frac- 
tion , & divifer le produit lo par le denomina/- 
tetu^delafradion, lequotienrdecettediyi£oft 
fera if Cols , qui eft la yaleur cherchee ; parcequc 
tettrok quarts thine liraeeft la m£mc ckofe 
que le quart de trois livres , comme on a obferre 
Jans la definition de fra&ian qui eft lapreaaiere 
des precedences 

.4. Pour reduire des £ntter& ou unitez en frac- 
tion , ii faut multiplier le nombre de ces unites 
par le d£nomiaateur de la fra&ion, dans laquelle 
*n les.veut reduire $ par exemple pour reduirc 
4 en cinquilmeg, ilfaut multiplier 4 par 5- , cut 
ftuaao , auquel on mettra ; pour denominateur, 

fcoa aura — . Cela eft trtisat, fui/queckaquc 

* St 



5© Premiere Ptrtiel 

unite raise f cinquiemes, quatre quarts, dix dixi£** 
mes,&c. 

Reciproquement enfin pour reduire des frac-*' 
tions en Entiers , lorfque cela eft poflible , il fane 
divifer le numerateur pax 1c denominateur , & le 

Quotient de cette diviuon exprimera combien kt 
action vaut d'Entiers j par exemple , poux f^a.— - 

■ 

voir combien cette fra&on^yautd'JBntiers, ci*. 

s 

divifant i; par j , on trouvcra que cette fra&iora 
Taut 3 Entiers j putfqu'il taut j cinquilmes pour 
rake un entier, ou trois tiers, ou ij treizi6nes,3cc. 



DE ^ADDITION 

des fractions: 

QI les fractions qu'on reut aflembler font en 

meme denomination $ par exemple — & ~ , il 

faut aflcmbler les nurnerateurs, & foufcrire a leur 

fomme le denominateur commun, & on aura -2- ; 

S 
Si lesfradtions nefont pas en m&me deno* 
mination , il faut les y reduire * , & enfuite at 
fembkr les nurnerateurs , comme on vient d'en- 

irigncr 5 par exemple pour aflcmbler— & ~ * 
• * a« Ohftrvttim fruidente^ ' 



•n ttoureraleurs fauivalentes — Sc -^en mime 

it IX 

denomination : on fera f addition de 8 & de*9 

x 7 
&onaora — pour la fommedes deuxfra&ions 

■ — &— j ce qui eft la m£me chofe que x entice 
xx 



DE LA SOUSTRACTIOiv 

DES FRACTIONS. 

ON peut foufhairc 051 retrancher unc fra&ipf* 
d'une autre fra&ion, ou d'un ou de pluficurs 
cuticis. 
: Pour fbuftraire one fraftionv, par exempt* 

•— . d'une autre fra&ion-Lde m£me denomina- 

tion ; il faut fbufbaire le rnimerateut. ; de Fautre 

immerateurf > & on aura pour refte — . 

7 

, Si fcs Fractions: ne font pay en rn£me deno- 
mination , il faut les y reduiro* & fouftrairc en~ 
fwck numeratenr de Tune , du humexateur de 

V 

I'autrc j par exemple. pour ftter la fraction — - da 

*r ,aprfcs les aToir reduites a m&ne dtoomim- 

* . E ij 



v 



j % " Premiere Partie. 

lion, on aara law cqamknces — *£ — » & 
apris arok feaftnut if de 3;, ontxouYcra pour 
*eitc— # • 

font ictiuidier one fiadion «ftm oh plvfierirs 

cntiers, il faut reduire ces entiers en fra&ion de 
m£me denomination que la fra&ion qu'oh Ycat 
retrancher, En&ite on ibuftrait le numerateur 
de Tone , da nameratrar de Tautre , comme on 
▼ient d'enfeigner ; par exemple pour fouftraice 

• — de 5 entiers , aprSs ayoir reduir les trois eii— 

tiers en cinquienaes, on aura — , dont *~^.&arit 

4tez, xeOe — , & am6 des aorres. 
i 

On peat Yoir facilement par ce 010701 feu 
quelle de deux ira&oro in£gaks eft la plus gran- 
ge , & de combien Tune ezcede l'autre. Oft 

ucoavera , pat exemple que -*- crcede ■ — de 1* 

valcur de — » 

Si on Tent faire la prcuve de faddition de 
fra&ions , il faut retrancher du total chaque 
fra&ion qui a &4 aflemblce ; & apres cda, s'ii 
ne refte rien , on a bien r cii/E , s'il arrive autre* 
ment , on s'eft trompl. 

Poor faire k preuye de la fouftra&iort des 
fradions, il faut ajouter cequ'on trouve qui reftp 
avec ce qu*on a rctranche' , & k total doit jtr& 



Jtrithmettcjuel ^ 

ifgai a la fra&ion dont on a rerranche. Ces preu- 
?cs ont le meme fbndement que dans ks nonv* 
brcs entiers. 



DE LA MULTIPLICATION 

DES FRACTIONS. 

ON peat multiplier des fra&ions par ds * 
fractions , oa des entiers par des fradionr; 
ou enfin des entiers & fractions par des entiers 6c 
fea£tion$. 

Pour multiplier des fractions Tune par Pautrc, 
*i faat multiplier leurs numerateurs Tim par l'air- 
tre ; le produit qui en refultera fcra 1c numera- 
tear de la fraction- qu'on cherche pour produir • 
ll feut eniuite multiplier les denominateurs 1'un 
par l'autre, & le produit (era le dcnomioateur de 
la fraction qu'on cherche. Par exemple,pour mul- 
tiplier — par — , on aura pour produit — 9 
f - 8 4° 

♦ 

& aprcs Favoir reduit a moindres termes ,. on, 

aura~„ 

10 

Pour multiplier un nomSre parune fraction r 
•n reduira ce nombre en fraction,- ce qu'on peat 
ilire en deux manieres , ou en mettant a ce 
nombre pour denocninateur 1 , ou en le multi- 
pliant par le denominateur de la fractton,comme 
on a enfeigne. Enfiiite on fera k multiplication, 
de ces deux fractions. Parexemple, pour mntti- 

£ iii. 



f 4 Premiere fdrtUl 

fl>C 4pai — ,ilfaudra multiplier — pAT— ^ 

Commeon yicnt d'enfeigncr, & on aura poufir 

produit— •* 

Pour multiplies des en tiers & fractions pat dc«. 
'cntiejs & iradions ; par cxemple , poor mult**** 

pliery — par $ — > il faut reduise $* — dans: 

x f * 

line fcule fradion , flavour — . II &uc paictUe*- 

ment reduire j — en une feule fjcadion — JEiW 

r II IT * 

fuitc on multiplies* — par— , cequieulaind^ 
joe choieque de multiplier ;, &<— pat $& — • ^ 
on aurapQur produit — \ 



*-*■ 



DE LA DIVISION 

DES FRACTIONS 

ON pcut divifer une fradion pat one autre- 
rradion, oudes entiers pat une fradion *. 
ou enfin des entiers & fra&ons. pat descender*. 
& fradions. 

Jpjur diviier one fradion par une autig, il faut: 
multiplier k numerateur de la fradion a divifc^- 
jar k rifoominatrntdc k fta&ion qui tfcntlie§i 



*» 
\ 



k&ii&at , & ce produit fira k nwtantttr de 
h fraction qui eftkquoticjttctcrcfac^ Enfuite xi 
£uit mulcipliec le numeratear de la fraction qui 
rient lien de djvrfturriar k 4&»eaMnateur de la 
fra&oa i.divifer , & cc produit (era le denomiV 
aatem ^ quotient chesene* y par exempk poor 

Jivifer — pat — y il faut multiplier le j u a u c aa * 

• * * * 

feur^de k fraction — park d/hominatour r 

& Ja fea&ian — , an aura 10 poor knmneaK 

$ 

•ear Au quotient^ & on multipliera k denoraina*- 

teur ; de k fra&on i divilir —^park una** 

tcur^dadirifeur — ,&onauia g, pour deno* 

ininateur du quotient chercW,^ui«eft — # 

9 
Pour divifcr un entier par one fractioa > Oft 
xednira cct entiex^cn fraflion,en mertant i pour 
ainominatenr :.par exempk ».{XKur di*ifer 5 par. 

^,c'eitk4tt&n£cba£que &ondmfc— par 

•^- , ce qu'on fera,, commc on rient d'enfagnerj. 

& on aura pour quotient ~ ^ ■ 

4 

Poor divifer des entiefs & des fractions pan 

te enriers &4ksff*ctions , on>teduita rentier 6c 

k fraction a dm&r , en use feuk fraction. On 

aedoka feaxeilfernent. FfcntittL & la fraction qui 



. * • 

>fS Jhremiere P drtie. 

tient lien de divifeur, en unc fcule fra£Hon,& onf 
fera cnfuite la divifion , comme on vient d'en— 

feigner. Par exemple poor divifer ^ — par f — -> 

x - y 

t'tft divifer ~par — - , & on aura ~ pour 

quotient. 

On fait la preuve de la multiplication des'frac- 
tions comme dans les nombres entiers , en divp- 
£int le produit par une des fractions .quj a .£(£< 
multiplied; 5c on doit trouver pour quotient l'ao> 
tre fra&ion qui a kxk multiplied , fi on a bien 
fiiiffit 

On fa.it auffi la preuve de la divifion des frac- 
tions comme dans les nombres entiers , en muE- 
tipliant la fra&ion qui eft le quotient cherche , 
par la fraction qui eitle divifeur j fi on a bien 
reuffi , le produit de cette multiplication eft 6gal 
a la fra&ion a divifer; 

Le produit d'une multiplication de . fra&ionfft 
eft plus petit que chacurre des deux fractions, qui 
&nt &6 multiplies Tune par Tautre 5 & le quo* 
tient d'une divifion de fractions eft plus grand 
que la fraction a divifer Xe contraire de ces deux 
ehofes arrive dans la multiplication &r dans la 
divifion des nombres entiers. On rendra raifon 
de cela dans la fuite,, 

S*il fe rencontre des fractions de fra&ions* 

par exemple , — de Jl s pour les reduire a uner 

ffadtion* fimple $ cleft a dire ,. pour eonnoitre 
quelle eft la fradion , qui vaut les deux tiers de 
quatre cinquicmes5.il faut multiplier fcparfcr 
merit k numerateur *&. le dfoominateur dc: 



"Jtritbmetiijs*; fj 

r J, 

ipaxle<Wji«nw»atCttr$de — ,a!ors en aura 

ii qw eft k rnfene chofe que *£ , puifyr'en rp- 

dni&itt — ameiadies apnnes, on trouTC-i.. 

Or prenant 2. fois Ie tiers de — , on trouvc — - 
r if *5 

qui eft la valear cherchle desdeux tiers <k—. 

Apres avoir mnkiplil le d^nominateur j de la 

fraction • — par * denominateftr de la fraction 

— >on potivouiccontemerdemultiplictJentt- 

neraienr 4 de la &a&km -t par Je mtmera- 

z ' 8 

lenrade l»fiafiif»t — , ana«foitaoflke4 — , 
. 3 xr 

paroeqoece numeraeeuf 4, marque dem parties 
defcn dfaoronatrwr $, Ah lieu que jQrfqu'on 

pwltipiiejpar^ena — ,dottt<»ijK.4krrguide 

que % de fts ttOB parties egaks, qu'bii tsoroe en 
mukipliaat fatkmcnt a. par 4. 

On con&lerera done comme «ne xegle gene- 
rale que pour reduce des fc&rons de fntdtons a 
des fra&ions fimple$ , il faut multiplier les nu- 
mcrateors de fixite l*un pax Taatre j. ee pro~ 
duit ferale numerateur de la fraction fim- 
pie cherchle. On multipliera auffi de iiu- 
* l^s djfcnominateurs Tim pat l'aitfrje ,«cci; 



jX Trtmitrt Partie. 

produir fcra Ic dcnominatenr commun dg 1st i 
. Jraiftion Ample qu'on cherche : par (temple , \ 
pour connoiue la vakur ou la fradioa (i topic J 

■ ies — de — de -— . Je dirai : j,fois j font 6 - r J 

& f fois < font 30. Enfuite 3 fois 4 font i» j & £ 

•fois u font 71, Et parcant la fra&ion ample chcr- 

cheeeit.i_=< — .On aeira dc la mfane ma- 

7* 1* 
nitre a regard dcs antics fta&ions de fractions. 



h L JiMtNS 

D E S 

M ATHEMATIQUE5. 

SECONDE P ARTIE. 

D E 

L'ALGEBR E. 

$ET I N IT I NS D'ALGZBRZ. 

I 'A t r, k b * b eft line partie foiida-s, 
mentale det Mathemariqaes , dans 
laquelle en traite dcs grandeurs 
confute rees generalement, 

__ La difference de deux gran- 
deurs incgales eft ce qui rcfte apres avoir retran- r 
cbe de la plus giandc line grandeur cgale a If ' 
plus petite, ' 

COROLLAIRE. 

tto&s lorfqa'on <Ut qu'uae grandeur , jkk 



£© , Sccendc Panic, 
exempt? eft contenue dans une autre £, 
jpeut-ctre parrie de cette grandeur b $ e'eft a dixre^ 
qu'on confidere dans la grandeur b une parrie 
c= *, & qtfau lieu de * on prend * c parcie de 
$, ou qui eft contcnue dans b. Enfuite ce qu'oix 
dit de c doit tare entendu de 4. , puifou'on peur 
prendre Tune pour fautre, 

3. Rapport ou raifbn eft one cpmparaifbn d'ix~ 
lie grandeur a une autre grandeur $ & dans cetce 
camparaifon on fiut attention a la manicre #£-» 
jrc d'une de ces grandeurs au regard de 1'autre* 

A V E R T I $ S E M E N>T, 

On peut comparer deux grandeurs entre ell« 
Cn deux manwics. 1^ En fcu&nr feukment ac-* 
centiona leurs differences - 9 e'eft a dire y en exa~ 
jaihant de combien Tune furpaife Fautrc , ou 
l'excez de Tune & le d£faut de Tautre. z°, En 
confiderant combien de fois , ou de quelle ma- 
niere une grandeur en contient Une autre } d*oi 
il eft Evident qu'ily a deux lortes de rapports. 

4. Rapport Atithmetique eft une comparaifon. 
taite entre des grandeurs , dans laqueJie^ on n'f 
£gard qu'aux deferences, 

COROLLA IRE, 

% Done il n'y a aucun rapport An thmrnqur en- 
tre deux grandeurs de<h>erfbs efpeces - 7 mais feu- 
iement entre deux grandeurs de menae efpece,, 
comme entre un nombre & un nombre^un temps 
fc un temps , un fon & un (on , une diftance de 
chemin & one diftance dechemjnj. &il n'y % 

t- D c mn tdt pttmcrtiencrdu 



i 






Atgeire. 



fct 



* . ^ ti -• " - — — ~p~ j BMmm CTXCH1D1C „ 

JEOtte on fitttts & one licne- , puifiuAn mots n'e/t 
pcontcnu dans itne Itue', tine grandeur ne 

«e ntcoic expecife* 

j^ftoportiow Axithiaedque eft ane cijalte £ 
^^"^ *» ^ cmrc deux grandeuS , & de 
faM«taae«u cftmtredcte aura grandeur, ; 
*ft i due ; & lfcrcez Htoe graiidea! *« deX? 
d one autre eftteal i r«ce 2 d'une troifieme 
grandeur an drifts i'meatunhhe j oo bien fi 
kpre^re grarjdeureft iurpaflec par lafeconde 

- ^.^ ^ ark * ' *« "t ^ae cw doatti 
g^naeBr»flnr en rtfoparada ibritfiineuque ^ «,, 

««ffl3«, /» *> *& n; dec. on tes fcrit ainfi * i I 

0* h» h grandeur ,T«rpaft? i , «fc fci **«# 
maniere que 14- uvpauc w. ^^ 

fctoempp^ottiotiiieMv outermeser- 

22? -V* - lIe * *! ^* wdeu ' s *»* proper- 
miaaauataspei Scies. moraines proportion- 
■fflesf du termer mojrens font fe jrfc j e ^ / 



totfipe- dem grandeurs, mpjrenuB* praaoii 
ttonwanfimt cgatet „<mr«dait J* pn»p«t»n 
trois termes , celuida.rmlieitaBant liJLe de 
•** raajenu^ptnpiMriinwietbs. Par ekem~ 
f», ft^*yf.*.<m.l'6crir a«nfi-T« * « cs 
<p» fi^tu^e ooarhe <ko» ii ~* 
•eft a * , comme 4<ft at. 



Jtfettf 



V 



jff t Secmde frtrtie. 

■ 7, Proportion xxmtinue eft cette, qui eft 
*e a troistermes , a caiife de regalite* des tertnes 
fnoyens y oomme — r K c . d, ' 
♦*£; Prqgreflion Aritnmetique eft one fuite de 
plus de trois grandeurs rangees de telle maniere 
^utiles foicnt toujours en augmentant, oil tou- 
fDurs en diminaant 4 de forte que router ies differ 
fences- foient egales entrcelles : par exemple , 

H5" J. 7- 9- **• **• & c » «* tien "V J 4. *<*• *.'*. &c. 






C OR ail A I R E. 



v 



vf Puifip'il f i'tme difference egale entre was 
ie&termes d'ttne 'progreifion j il eft evident qu'en 
^ofxno^Tant^lep«fertt«rterme zwee la difference 
qui tejfrexitre les. twmes.firivans de cette progreC- 
frori yOiinccmiroitxafaTrilememchacun de?cennes 
Jr certe: jprogreffiorit^af exemple dans cette pro^ 
greffion, -7- *. b. c d: el fr.gi frc. 

.-•/§rla difference qui eftciitre , *& : b*& arssr*' 
celle qui eft entre £ & c eft encore m , & ainfi 
|ier fiiit^ £)rt ptufque le fecond tcx me £ n'eft que 
le premier a augntent6.de la -difference qui 
regne dans cette progreflion -, connouTant le 
premier,1ferrhe** fcvec k diflfcfertec?^ c^tte pro- 
greffion,on connoitra b $ parceque a -+- jw = b. 
Orconnoiflant b , on connoitra f yparceque * T HH 
«9 H-« v ou '-***rt w=f.0ilconfloltrade cette 

maniere tous lesautres ccrntes. ^ 

."Si laprbgrenion etoit en diminuant , utt lieu 
deprepoferrl-auxdiffercrices ,orimettrdit-^* \ 
parexemple,^^:^ 4 eft la difference; on aura 
h. b—g.b—ig.b-*1gV&*;'; ' "" * 

jS. 14. 10. *. &C 

? ajtartf »n peux factfeiafcnt ^xprinierto^ 



JHieredes deuiprogreffionsprecedentesy d'urfS • 
maniere qu'on verra dons tons fes termes 1 cV 
*}u'ils ontde comiriuh, & en qiioi ils different 

i* 4* ?. 10. &C. 

9. Rapport Geometriquc eft tme coriipataifort 
fitter eritre deur grandeurs'& dans cette comparai- 
fbn on confidere de quelle maniere une grandeur* 
en contien* 'one autre j on de'qmelle maniere une 
grandeur eft contenue dans une autre. Par exem- 
ple , fi oxt compare ij a ] j &qu'onfafle attention 

Sue fcnombre if contient trois fois lenombre ^ 
u que f eft contenu trois fois dans ry j cette con- 
sideration , on maniere de contenir eft ce qu'oH 
appelle rapport on raifoniSeonieiri^fie^ ' ' ' 

COROLLAIRE. ' ";! 

Done il ne- peut y avoir un rapport GeometrS* 
que qu'entre deux grandeurs ^demfcme efpecej 
puifque * une grandeur ne peut contenir qu'une 

Jrandeur de m£meefp6ce , ou £tre contenue que 
ans une grandeur de m^me efpeee. Par exem-r 
pkf il n*Y a aucun rappdrt entrela diftance de 
Nofcl a Paque ^ & 4a diftancede Paris a Rouen. • < 
ro.L'antecedent d'un rapport eft la grandeur 
qu'on compare a une autre 3 & le confequent de 
ce rapport eft la grandeur a laquelle une autre eft 
compare^ •> * ■ . » 

u> Les termes d\m rapport font Tantecedent & 
le confequent. - # - l ■ 

C'eft un ufage dans les Mathematiques , lork 
qu'on parle du rapport d'une grandeur a> une aut 
tre , fans determiner s'll eft Arithmetique o a 

J y 



{4 Second* Ptrtie. 

Gcotnetrique , qu'on doit toujours emen4* , e 
c v eft du rapport Geometrique dont on parte, 

11. 1/expofant d'nn rapport eft le quotient de 
t antecedent divife par fe consequent. Pax cxcuh 
pk , l'expofant du tagpbrt de \p a 10 eft $ ipar- 
ceque ce Quotient 3 expodte -quotth, , c'eft a aire , 
«omi>Ien de ibis le.nombre xo contient le diwin 
leux io. 

COROLLA IAS h 

B fait de cette definition que les rapports Cont 

cmreeux comme leurs expo/ants 3 ou que tel elt 

k quotient de la divifion de I'antecedent par le 

confequent , tel eft le rapport de cet antecedent 3 

ce confequent. C'eft a dire, quefi ce quotient eft 

grand , ce rapport {era grand 5 & le quotient eft 

petit , le rapport, fera petit - } enfinfi le quotient 

A r,antecedent diyift par le consequent. e$. egal 

au quotient d'un autre antecedent, divife par un 

autre confequent : le rapport, du pjernjet- antcce-r, 

^ient au premier confequent , fefa^gal t ai| rap^ 

port du Second antecedent au fecpnd con^quentf. 

ces rapports feront ies*memes j.ces rapports £fc-. 

xont lemblabks.. Puifque * rapp^n^ilt autic 

cbofe q«f la maniere de contenir ou ci'etre eon- 

tenu s ce qui eft exprime par 4e quotient d'un 

terme' de rapport divife par Tautie terme* Par; 

exemple , le rapport de 16 a 2 eft plus grand 

one le rapport de 10 a j , parqaque le . quotient 

de 16 d^jifez par % eft plus grand q«c W 

quotient ae 10 divife par j : i4 jcontenant & 

fois 2 , fir jo contenant feulerrient t fois f. Soit 

^eiHeraent -^ sss ~. j . cek . exprime que k^ 



''Afocbri. '* § . <?i 

fippbxt de 9 a * eft ?gal au rapport cfe S a 4 j 
poitque le quotient de 9 divift par 6 eft £gal a« 
quotient de 6 diviffi par 4! Ce qui fait yoir que 
rantecedent de Tun de ces rapports contienc au- 
tanr de ibis ou de la meme maniere (on confe- 
quent j< que rantecedent de Taultre rapport corn 
Dent ron confequent, 

COROLLAIREII. 

"* fteciproqaement tel eft le rapport d*un ante- 
cedent a Con confequenr 5 tel eft audi le quotient 
Jecet antecedent diviffc par fon confequeip, 

COROLLAIRE III. 

t)onc deux rapports egaux a tin 3? font egaux 
entfeux. Soit , par exempk , le rapport de b a e 
£gal au rapport ded a/, & le rapport de g a h 
*gaf au itieme rapport de d a / : je dis que le 
rapport de b a * eft egafatf rappon de £ a h\ 
Carja] puifque le rapport de £ a* *r eft egal au rap- 

pottde rf i/, on aura [b] le quotient-^- ~ --r , 

. .c ■ j 

ptdfoue [»] le rapport degzh eft^galau rapport 
de a a / , on 'aura pareillement le quotient 

£ d b v £ 

*T- ==t -5- JDonc [c] — = -?^i &partant [d] ori 

i»*. ^ c h * j - 

wira le rapport de £ a c egal au rapport de g a fc, 

13. Proportion ou analogic, e'eft la (imilitu- 

de ou egalitc de deux rapports. On £crit une 

{*] Suffofit. {K\C*r-xdef.frr[. 

F iij 



£8 Second* , Tdrtiel 

f roportion de cetce maniere , 24.^ : : 1^ 4* 01* 

^=^;cequifigilifie, xAjfontatf, comme 

i* i 4. 

itf. Les termes extremes d*une proportion^ 

font le premier antecedent & le dernier cohjfo- 
quent j lcs termcs moyens d'une proportion* 
font le premier confequent & le fecond antece- 
dent. Par exemple , fi *. £ :: c. ii. les termes ex- 
tremes de cette proportion (but 4 & d t Seles &er> 
mes moyens font ^ & c. .».**»... 

* iy. XJne grandeur moyenne prcportionnelle 
eft celle qui ctant reperee deux fois , tient Beit 
de termes moyens dans une proportion. Bar 
exemple, £5. 6ii%. U. le nombre e ferala 
moyenne-proportionnelk.On abrege cette Am*- 
logie de cette forte -77- j. 6. ul ce qu'on agpeller 
proportion continue". 

\6. Prbgreffion Geornttrique eft nine fuitc &c 
Wus de. trois grandeurs rangecsde telle forte que* 
fc rapport de la premiere ala feconde T eft ega£ t 
a* rapport de la 1? ala $« 5 tic que le rapfeort der 
la 2* a la 3% eftegal au rapport de kjeaJa.+f^ 
&.'ainTTdu ; refte, ceqii'on ccrit de cette maiiiercV 
•rf-jz* 16 . 8 # 4,2»c'efta dke, jx font jij^ cooir 
pie r$ -a *, &c. oil ~ f ; 1^ +j. itf ? &<V 

* 17. Tlappbrt compofe eft celui dont ltxpolanr 
eft egal au juroduit des expofants de 'plufieuvfr 
rapports. Par 4 exemple \ ie rapport de irfTa a 
eft compofe du rapport du nombre 16 aunom- 
bre 8, deg ft 4, ftde^a aj tar I'expb&nt S\i 
rapport du hombre if a a!, qui eft ft ,. eft £gal att 
pfoduit des expofants du rapport de 16 a 8 ,3c & 
a 4 , & de 4 n >4 qui font aK ax l=-&. 
La compo£tion d» rapport de 16 > a a jeu* 



t^ide <opnfi4ctee m plrfmramato ma*_ 
akies^Oa pair dit* , par tsxempic,, qpccexap* 
pan; eilcoaipuftdiMappait^c itf i xr; dmi <*. 
del*. 6^4c ae ****,: paiscat'an trotraem cn^ 
«^ie leptod** <fej^*&*s de <*s affw . 
inoitjgtitez de Ityte l'«n pat Tanus eft egad aa ; 
Mmbce fe<e4qpo&*£ dpi. tappoct de xtf.iLa, -Oxt> 

ItafWW d* *app« de *£ «<***.$*€&£*-—* 

Ipn* jiwfciglftg par r«po(ant 4n wpport^r n i 

1, quie&i — j, &lc produitrde cesdeux ex- 

pofanrs 6ant encore multiplied pan 



*yli£ j*tvce dexnief pradutf 



vpue paj,-ce sacwiKT praam* a^ 

i 



toa ua demkr pioduit * ^gal a reifG&nt ^ 
Jaflwde^a^ 

J** Rapport double' ,orr jatfui doublce y c'fft : 
«o iajgKuct cotxroiie de deux .rqppartt 4gw *., 
ngport, tnpl£ett ua ttappart coaapofc de ckm* , 
tagports egaua: j quadruple r de quaae ra^pertf . 
feaux , ta^Pan exejxqpfe ,^ le rapport deaj 44 ; { 
C«: Rouble r ^ctanr coaapofe da rapport de t 
« VM*****-** font* des rapports ?gaux 

x^ Les ^grandeur? jsripsoqneiaent; psopor-^ 
tionneilci „ ou en raifort ou rapport xecipcoqa** 
iftu cettes ^ai&PKnt de termer im^aoalqgje,, 






-„ _ TT-^*^*" 



t$ Scctn&c Tattle. 

ic qui: Cant ranges de telle forte qae le premier 
antecedent d'un rapport , & le confequent de 
J'autre rapport fe trourent eniemble; e'eft & disc, 
dans un m£me produit , ou dans une m&me 
fraction , ou qui appartiennent a une m^me 
grandeur } ou enfin , ce qui eft la m£me chofe % 
quand l'analogie commence dans une grandeur, 
& finit dans la m£me. Par exemple, lesracines de 
f es deux produitfi a t Seed font en raifon ted.* 
proque, ou reciproquement proportionnelles , 
u a. c:: d. b. ou fi a. dn c, b* ParejUement les nu- 
mcratcurs & denominateurs de ces deux fractions 

>— & — - font en raifon reciproque % &f x :: 
£ * . , « 

x,, g. Pour entendre encore mieux ceci , il faut 
ieulement remarquer qu'on. commence 1? xai- 
fonnement dans une grandeur , qu'on le con- 
tinue dans la feconde , $c que de la feconde* or! 
revient a la premiere dans laquelle on finit, 

' to. Proportion converfe ou reciproque d'lirie 
Mitre proposition, eft celle dans laquelle on fup- 
pdCe oomine cdnftantr& certain ce qui &oitcn 
queition , ou ce qu'on cherchoit dans l'autre 
proportion ' y & dans laquelle - on pr&end con- 
dure & d^montrer ce qui £tok fuppofc comrn€ 
certain & conftant dans cctte autre proportion. 
Par exemple , foit cette proportion : Si une 
grandeur eft egale a une autre ; la moittf de la pre* 
mierefer* egak a lamoitiide Is feconde. Sa coa- 
verfefera telle., Si la trtoitie dune, grandeur eft 4ga± 
lek l»moitii de V autre grandeur \ la premiere gran- 
deur far* Sgale a la feconde. < 
v ^ Nombre 'pair eft celui qu'on peut diyifef 
en deux parties cgales fans, fraction ou fan$ reftej 
& le nornbre impair eft celui qu'on tit p£ut pax- 



t^^<teta fatties, egales £af M|ftft,etf&w 
feS^op, 5 par exempk , { eft an noofoe pai* , 7 
eft impair. ^ ^ 

^Equation ou cgal*e eft one double e*preflk» 
4'uP£ gcaijdeu*, ou, uge grandeur expeimfc c* 
deux manieres , sm^ deux expreffion*;de dew 
grandeur* cgaks. Par exe^pfe 4 * ;«f 24 ?= 44, 
c<efc une equation. , e'eft a dire;, une double* e*~ 
preflion i car 4 * *tH 24 eft une expreffioji, & 44 
en eft un autre. Ccpcn&am 4 x -k-i+eftkinihnc 
cipfe qui 44 v <iaAsUru^p^uoa<j4i'oo^tit(^ue 
4*-4r M ==44- Oa appeUe membres ou, parae* 
A'une equation cecp^ eftde part fie d'autre 4u 
iigne d'cgalite= 5 pat exenaple 4.x -4~ 14 & 44 
Tone les jxiemoift de<*w, ^fuaupA 4.* ^44 

i. On a de coutume d'employer de petites 
lettrcs de IJaJpfaa^etk jour Ies expreflions done 
on fe fere en Algebre. Les grandeurs connue's 
%t<^dinairernent e*prin»ees par Ies pmnieres 
Jfittres ; deXalphabetb y & ies goindeQi* incait* 
*p& , par ies dernie«s Iptorjes de Talphabedu 

i> $ an wut ewim«; u^gnndcrir pri£e 
*n certain nombre de fois , on met devant 1*. 
tasequi ejepotneceete grandeur ., un cJufrequi 
exptipae combien de £a& oetre grandeur doit etrc. 
priTe. Par eienaple ^4 fignine h, grandeur;* 
pifedeux fois jide meme^^^ou >?ftgmfiele: 
quadruple, ou Je fextuple de ^ * & ainu du tefte, . 

4. Une kttre qui ne-p&roit point£trepcecede$: 
« aucun figne eft toujours fuppofee ctre .preceded 
4c ce figne-4-, parcpqu*«do«s <xinex&BL<pit f&£ 
Jtielle loir retranchee, Ainfida^s-cette expreflKUt, 



7& Secfnie Pxrtie. 

>♦-£-♦- if, *ce qui fera k meme chofe qa«r£ 

\ 4. Quand il y a un fignc interpoft entre de* 

grandeurs 5 par exemple/-+-£ , ce fignc eft tofr^ 

yours attribuc' a la grandeur qu'il precede. X>*n* 

cet exemple -4- eft attribu6 a £, & cela xignifie/ 

plus £j de m&me s*il y avoir «— . 

. , f ; Une grandeur exprimee par une lettrc* qui 

n'eft precedee d'aueun chifre , eft cenfte ecre pre- 

cedce par x * par exempt * eft la mime cnofe 

wei*, 

* tf. Le changement de position dans les chifre* 

Ccrks de fuite , caufe une dive* (iti dans les nom<- 

bres ; par exemple it eft different de 21, quoique 

ce ne foient que les mimes chifres tranfpoiez* 

|«es^grandeurs pcuvent etre fences Time devajit 

Fautre indifferemment , & fans que la valeux <k 

l'expte/fioo change? par eaer»pfe t 4 c -+~ £ ssr 

4 -ft- 4 *• ab — ba % & ain£ des autxes* 

A XI KT1 f *'A L G I*'* **• •£ 

c* :sJ" >.»•• -'-ii l t v:r; > •.• < : , «>— ,i,.», .1.. ,.. »v 

< Y* TTftegrandcnjpreeedie du figne*4- v & une 
jjareillegrandeor precedee diriigne'— *font en^ 
iemble egajes a zero, ou rien , par exemple -H f 
*— I r» j- o ye'eft a dke , plus f 8c moins y ne font 
sen, - . 

S'il le trouve dans one expreflion deux gratf-* 
deurs precedes des fignes contraires , on reduira 
cetce expreflion a une plus fimple , ou plus cour- 
se 3 fujvant ce premier Axiome. Par exempte 
**»4**6 — -nh—ecfetz. reduite icelle-ciqui 
kri eft equivalent^ as —ec 3 puifque a t — 
*£ = *. 

1. La plus grande de deux grandeurs moins k 
difference eft egale a la plus petite $ & la plus 
petite plus la dirccrciiec«eft egale a list plus gem* 



<hf^ar example, ft* ]>^, &<jaelidiifercnce 
Koir^ ^©naura*— *f = £ ,oubien *-!-£ = * 
Donc,s'il eft neceflatre pour on* otasooifaatiei^ 
pajtiHit o& on trouvera * , on pourra fubfti- 
cner*6-+-c $ & par tout ou on trouvera 6, on 
zWBaac * — €. 



^ 11 ■ ,1 1 K t » IN t j f j 



D'E L'ADDITION»' •> 

DES GRANDEURS * 

fa&RIME f E$. GENERALEMESf'r. ' ' ' 



• ». . 3 



T Otfp'om vest ajouter enJemHc ier grfn-J 
^doirs/bWirchaciuie ^cxpttm^c par one 
©npkficur* lcteres , il feffit de tes eerkc <te fuite 
fens txa changer a kurs figacs rc'cft une regie 

Eaafe pour F Addition. Par exemple ,- pour afir 
bier *avec a* fc avc« 4*, on £c«ra *«#« 
**■+• 4 * j pour a&mbjcr ** — -1 £ -+• ? ave§ 
i*^x £ ^4 i/onlcjeira fakement *~i,+*j 
•+■ * * -4- z^ •*#- 4 ^ 5 & pour a&eger $es expreu 
&x» Jorfijue ccla eft poulble , il faut &4re ce$ 
pindates Func au deflous <k Vautre > Scptaervcr 
trois coofes.- * ^ ■ • .-> «' , 

•x°.% ks grandeurs expdm^es pardes lew 
tres &mbbbVes, A<pu ontjes monies fignesf 
teiveni fae* ajout&p enfemble , & que >k«r 
Xomme foit precedee du ugne qui pr^ceooitcLa* 
***' en particular. Par *xemple v fi on vew; 

* j •'•.••, , , - ^ 

' J Prmins jkgmtde twrtl^ -,„•,..,;... : .,y 



yt Sennit Partie. 

ttjOMer eet gtafcteur* )*+* file***!** 

*£.*. <*»¥«: ***-£* Onfettr* $*-«-*£-*^ 



A tf rait ExiMPtH, 



1* 




* 4 ' 1 

X 


I'M' 1 
4<* 

. m 




f| i i. 1 «-hMre | uM-x | 8o-»-^i-» 


MtM^rvX'^ ixx. 



•"*•"« St ks graftdettts tate <W e*t*imksFaf 
3e* tetdre* fettfthbte* to* praeedtes £*r del 
fignes deferents , tfefc a dire i par ±|* 6*-^ j a& 
lieu (fa^nftier ces j^arid«u* , ces fignes font 
ctmnefefe qu'efteS dotveiie tae Ktrwch&s Ywvi 
dr Faatre. Q* daft* cette cixsonftance , *pr£i 
*vok rttranchc la valeur dtt plus petit chifre; qfer 
precede nne de ces grandeurs afofc e xp rim ed, de 
iavateor in ciafrequi precede FaOtre 5 cm cort* 
jfenre iceqm refte le figne , qui appartenok & I* 
grandeur pgrecedie du pte grand chifte. Pint 
exemple pour aflembler 8 £ avec — • $ h ; 6t &%tv6 
*-• marque qu*H he rauc p&f£40frnblef £4 arec 
«p» j '*, mass plfe& retrancher f h dtf nombre f* r J 
&au Iieu<fc la femmc qu'oitaurok cue? , <n» 
a*^jfrpou* refte; 

- 3*. Lerfijue dfctft Ptxpreflfcti d'unc grandeua 
on trouve une letcre precede du figne -4- , & une 
autre femblable pfettdtt dt* figne —joes deux 

Jeorcf 



letoes doirent toe effaces ; Cok par aremple m 
*—b ^tttifrfQtttscxpteffionYci&nne — £ & 
•4- £. Or *plus & mqins iimbc grandeur n'eft 
xien. Ainu* apr& aroir efra&c — » &-f- £ p oa 
aura. *•*-; y qui eft la meme ckofc que #— f 

COROLLAIRE. 

II fuk de^es oMecrations que ,£ on wnr 
tjotttcx enienuVleplufieurs grandeurs i_par exem- 
f le/-7 ^«i- fe avefc %f-*rg — & 3 fuivaipla re- 
gie generate ajjres les avoir ecritesdefiiite ai£p 
Jems iigne& on au&f~-g -t-jfr.-t- a/-t-/ — * 5 
& que s*i/ fe trouve des grandeurs egales oa fern- 
Uablei preqedces de chores egaux, & de figne* 
contraires^omme dans.cet cxemple od on ctoure 
— £&■+•£,. H*j&&— k 9 oneffijpera deux t> 
4mx ces grandeurs fcmblables , & on aura 3/ 
pour lafomme de cesnxfimes grandeurs, 
^. lor {que les grandeurs exprimce&par les ia£- 
mes lettres ieront precedes de chiftes incgafux 
arec des fignes contraires, on retranchera, cona. 
me on a dir , la valeur du plus pe#t de ces chifres 
dcla yaleur de i'autre , & on mettra au refte lc 
jGgne qui appartenoit au plus grand de ces dufrec. 
Par exempk f fi on teur ajouter *-!-£—$ avec 
a* — \b^r% , on aura *■+•£— $-irx*—^f 
.*+-* i on effacera «4- b , & * dans la grandeur 
— 3 £ .on retranchera & eiFacera «— b \ ilreftera 
fncore^-r-J-l-t*— a*-i-B; on efFacera.en- 
sore— j 1 & dans le nombre -|- 8 , on efia^eJ» 

5 Ax. 1. £ Aigebrc , f*ge 79, 

:<? • 



7 i 

&ili:cfle- 

aflemble- 
ra « aveq 

on aura 



StwndtfsrHe; 



*«+• *-r- : l 



» • * 



# — ^-fc-i* — a,*** 



fcllll'l 



^• f £6\ir • &*»* j***-* W*t« 

•Jaforhine .i ' ' *•" ''""'"V.w, 



ritaata 



I* 



. ^ i^_ f v^-^A 



ftXTTRB * fix IMP IBS. 



u a * - ' ' — -^^-^— *— 



Pour abreger la regie generate qu on a ^feu 
toe 'poor l'addition on ecrira rune fous Tau r 
tre les grarideiirs qu'on Veut affemMeravecleur* 
ffenesde **dn de — '. On mettfa chlcjue gtaif^ 
<kur litterale Fous celle qui lm eft femblablc , 

•r. ' '•* 

* Savant lafremi ere des obferv*pKcdcnte,f t 7* 



• Algehri. *jf 

mmm& it a &ti enfcign6 dans, ^addition de* 
iiombres. On ajoutera enfemble tons les nom- 
bres qui precedent les grandeurs femfelables qui 
ent k mcme figne -+» , & qu'on a ecrite l'une 
for Fautre. Oniftra la. m£me chofe dqs nombres* 
qui precedent les grandeurs fernblafrles quionr 
It, mflmr figne ~ , s'il j en a*Enfin sil n'y a point 
de grandeurs ifernblaldes , qui ayent diiferents 
Ignes -, enfuite de la ibmme des chifres , qui 
ont precede cejles qui atoient les mimes fignes^ 
on ecrira la fettfe qui etoit precede de cha~i 
cue chifre en particulier. Et s'ily a des gran- 
deurs femblables qtiiayent diiferents fignes , on 
Ibuftraxra la plus petite fomme de la plus gran* 
de , & on &rira le reftc aroc le figne qui pre- 
cedoit la pins grande, 

DE LA SOUSTRACTION 

DES GRANDEURS 

EXPRIME'ES GENERALEMENT. 

LOrsq.cj'qn vrat fouftraire unc grandeur 
d'vne autre , il fuffit de changer tous les 
%ncs de la grandeur qu'on veut fouftraire , &; 
f ajouter erudite cette grandeur a celle dom oa 
▼ouloit faire cette fouftraclrion , de la maniere 
qu'oa lenient d'enfeigner ; la fomme qui eolre- 
fultc eft lerefte qu'on cher- 
d* par cette fouftradion. E * i * » *•«. 
^w exemplepput;fouftraij:e & ja-*-&b 

4*--f*d07,«Hr-*fr, en fa 4 *_ 3* 
^decant les fignes de 4 * — ■ ■ 

**■"$>, je trouye — . 4* -+• tefts j^-H^, 



7* Seandt PAxtifr 

Jc troor* ja-'f-^yquieftle reftt que je eke*- 

chc par cette operation. . 

Aotii EllMIXI, 
rf# 24 — 4b •*•• * — 31J 



) 






Pour tec periuade* qu'eh changeant les fignes de 
la grandeur a retrancher , & faifant enfuite une 
addition ,il relulteune fouftra&ion 5 il feat con- 
fiderer que dans le premier exemple r aulicu de. 
H- 4 ^ on met — 4 4 , ce qui marque clairc- 
ment une fbuftraction ; au lieu de — * 3 5 on met 
»t» 3 £, cela fait encore voir une fbuftracHon ou 
negation de ta negation — - 3$, ce qui fair h 
grandeur affirmative ou pofrave -+■ 3 £. La m^mc 
chofc paroitra ividemmcnt a regard des autre* 
?mp!es» 



DE LA MULTIPLICATION 

DES GRANDEURS 

EX PRIMERS GENER.ALEMENT. 

IL y a deux fuppofitions ou deirundes partial* 
lieres pour la Multiplication. 
1. Pour exprimer le produit de grandeurs 
multiplies Tune par l'autre 5 par exemple de la 
grandeur a multiplied par. la grandeur b , on 
tail €es grandeurs Tone aupr^s dc iaucrc , c'cft 



Algebr. n 

\ dire 9 ab ouba, qui eft Texpte/Con in produit 
ic * multiple par £. Si je vcux multiplier ces 
grandeurs b y d t t % Tune par 1* autre 5 ie mukiplie. 
d*abord £ par #tce qui fait bd , & en mire je muL 
tiplie bd par c , Ac je trouvc fafc qui exprime la 
produit que je chcrche. Je pourrois auui multi- 
plier c par d > oa 4 par <? , & multiplier k produic 
a/ par £ pour avoir ?d& qui eft le miole produit 

Jue Mt ,ou bed, Quoiqu'il lojt indifferent d'&rire 
a y on «£,pour exprimer le produit dc * multiplied 
par &| ccpendant l'ufage eft qu'on arrange ces 
lettres de telle maniere que les premieres da 
FAlphabeth foient pronoocees ou icritcs les pre- 
mieres ; ainfi je mettrai plutfcii , $ dc mhsm 
4cs autres prodtuts, 

% m Lortqu'il fe rencontre un produit de pjp> 
Xeors grandeurs igales oti exprimoes par let 
mdrries lettres, par excmplc ***i on abrege 
certc ejpreffion en cette maniere «*» qui figniSd 
la mcoie cho£b que saa. De mime au lieu da 
bbbb, on peut mettre £♦ $ & ainfi des autre? » 
en ccrirant on peo plus lump 1c ckifte qui fuic 
felettre. 

II eft done evident que ces deux expreffion* 
0^rb ic 0b ne fignifienr pas la m&ne chofe i 
fmifque *-+- i iignifie feulement que a eft ajoute} 
* b- $ & que sb fignifie que s eft multiplii par b 
Si je veux que a yaille tf & que £ vaille r j \% 
premiere exprefGon s-k*b vaudra j •+ / 3= 1 1 » 
Ic la fecpndc *£ raudra rfx; ssj f • 

Ji faut oien prendre garde au/fi d ne pas pren- 
dre cerre expre&on $d pour celle-cj d*. Car j<i 
a'eft qqe )a fomme de |. grandeurs cgales don& 
fhacune eft appellee d, on $ fois la meme gran* 
fair d, &.d* £gni&c que Je f r^duit de d rnulti* 

h G iij " 



}* Stcmdt Tdrtie. 

pfi£ par d , qui eft 4/4/, eft encore multiple par- 
la meme grandeur d. Si je veux que d vaillc f > 
jd vaudront j .4- j -+- f= 1/ , & d* yaudra xzy # - 

: r. Lorfqu'on multiplie Pane par 1'autre , de* 
grandeurs qui ont des fignes femblablcs , e'eft 4 
♦lire -+• & -t- , ou — & — 5 leur pf oduit doic 
toujours avoir le figne -*-,&£ elles ont des fi- 
gnes different , leur produit doit avoir le £•» 

- Pour bien entendre cela, il raut premieremen? 
Jtemarquer que multiplier une grandeur par une 
autre, <?c(k l % ] rcpetcrou prendre certe grandeur 
autant de foisqifil y a d'unitez dans 1'autre, 
Or on peut prendre une grandeur plufieurs fois 
tfa deux manieres , fcavoir pour lajouterplu- 
fieurs fois & en fairc un total poficif & affirmatif; 
©u pour la retrancfaex pluficurs fois & en fairc 
Un total negatir\ 

-Soient parexetnpk «+cs=4&+fef ; fi* 
je multiplie -|-c par -t-4, le produit de ces deux 
grandeurs (era ci=±: i© , qui aura le figne ■+% 
Parceque les fignes qui precedent * & d ctanc 
tous deux affirmatifs , par cette multiplication 
jajouterai e autant de fois a lui meme qu'il y 3. 
i'unkez dans la grandeur d-[ % ] ; ou bien j'ajou- 
tcrai d a hri meme autant de fois qu'ily a d'uni r 
tez dans c , cc 1 *jui revknt a fa' meme chofe/ II 
lie -doit 'done paroftre dans cettc circonftarice 
IWcun^igne de negation; Donc*f* muftiplie pa| 
fr- donne au produit *K x 

i^ *> $oieiit 



- Soient pr cjfentcmcnt deux grandeurs ml ayenc 
ics fignes n£gatifs * par exemple, — •/& — j j 
fi je multiplie — /par — g, lcur produit fera y£ 
qui aura le figne -4-. Parceque lcs fignes qui 
precedent/ & ^ctant tous deux ncgatirs, Tun 
montrequ'au lieud'ajouter l'autre grandeur plu- 
ficors fois , il faut la rcrrancher plufieurs fois. 
Baas cet exemple — g exprime qu'il faut retran- 
cfcer — /autaht de "fois que — g exprime ou 
ddntient d'ltnitez ; or rerrancher ou njer — / 
plufieurs fois , e'eft affiemer on mettre plufienrr 
fois -*- /; cette negation de negation eft une* 
affirmation. Ge qui eft cfeir , puifque pour ex-* 
primer la fouftra&ion d'arie grandeur qui a dijz 
le* figne — , fc dots lui donntr le figne -KCar 
fcifigne— exprime que cette grandeur doit tat' 
retranfcfeeV Or enfuite 4 fl je ne reux pas- hi re-* 
mrH*ncrV je dicjrslui 6rer Ue figne *— , & la lait* 1 
ferdans ion etat reel , affirmatif & 'poficif. Afirr 
d'exprimer ce dernier 6tat , il faut done en don- 
ner une marque qui eft le figne *thi Quand je 
multiplie — r 3 par -— 7 , je cnerche conabien de 
fois je dois rerrancjierlk fbuftra&ion , ou nega- 
tion que je m'ltois '-prppbS de faire de 7. Je 
rroave que je preris la resolution ,~ou que je me 
propofe y de ne point &et line fois 7 , encore 
une fois 7 , & encore «ne fois 7. C'eft a dire que 
je veux laifler 7 trois fois , ce qui doir enfin pro- 
duire »+*<tt: Donc(^^^rr!u4tip)^ *p ar *— donne 

pouf<produit— 1-« - 

r 2. Lorfque 4e deux grandeurs a multiplier, il > 
eri a\unc precedSe du figne -4- & Tautre du n- 
gne r— ; le produit doit toujours &re precede do;' 
figne — . Parexerriple, (oit -*-e a multiplier 
jar — tp , ou ~ m par -h# , ce qui eft la mfiflie' 



jl Seconde tdrtit. 

«ho(e ; U produit de ccs deux grandcntt lent 
m—$im. parceque la grandeur ptecedce da figpe 
•»., exprime qa'il faut rerrancher plufieurs toss 
lelle qui eft precede* da figae -t- * comme dans 
oct exemple, — m exprime qa'il taut xetranchcr 
«t» $ auunt de fbis que j* exprime d'«nitC2» I.C 
produit qui a'eft que l'addition de tous ces re- 
eranchemens doic done fctre precedi da figne 
ncgatif on de fouftra&ion — . Suppofons qisei 
»+»r:==<4-f, & que — m as — a. Quand je 
mukiplie »— a pax *•♦• f t je cberchc combiex* il 
<auc que je xecranche pour recranchcr xnoins 
deux Ibis u |e trouYC quttiaot rerrandber •*» j » 
3c encore -4-n e'eft a dire qu'jlxwtretranchc* 
ie, & pour rcxptimer i'^cxif — 1#, Je peux d* 
mftme dire que la grandeur precede da fignc -+v 
Cypriote corobien de fois il raut repeter 0*affir*» 
mer la negation dc la grandeur qui (ft precedfe 
i(ii <gnc *•* • 

IXIMPLII. 

Jit 4— -f *4 



«•» 



JPwf. )*4 — ij mI ~t- n 44, 



-Ui 



Soient ccs deux grandeurs * _ ; J & 3 * — 44^ 
£ multiplier Tune par I'autre, il faut les ecrire 
Tune au deflbus de 1'autre. II eft indifferent de 
commencer a multiplier de gauche a droit t 

pu de drpir 



«•* 



tftde cfedit a gauche* Si on oanupav^de 4^ 
i gauche , cettc multiplication aura plus dci 
reflemblance a la multiplication, ordinaire pa* 
chifres : mais parccquc lorfqu'on commence de 
gauche a droit % on arrange phis racilcment lee 
produits* e'eft pour cela que nous commence* 
ions de gauche Adroit par la grandeur a, duanr * 
i* multiplie par $a prpduk 30** car jon mill* 
tiplie d'abord Uun par l'autre teat chifres qui pre-, 
cedent chaque lettre ; comme dan* cct exemple 
on multiplie f par 3,ce?quiprQduit \ $ & enfiiitc df 
ce j- on ecrit * &*pcoclie i'unde l'autre, Aprtv 
cela multipliant— * \ d par -I* y* , cela * produic 
.•— 9 * d , qu'on ccrit avec fon Hgne aprfs 3 4 *, 
11 fear /wife enfiiite a la feconde partie de Ifc 
grandeur^ 4 — 4 d \ qui eft — 4 d , difant : -4- m 
multiple par-— 4 d. produic — 4*4, que j'ecris 
fous —<) a d- y parceque -—9*4 eft d£ja une grarw 
deur fcmblable, S'il n'jr en avoit point de fenv 
Mables, on pourroit ecrire ce dernier produic 
— \*d fous 3** on aitteurs ihdifferemmenr. 
Enfirire il faur dire — yd multiplies par— ~+i 
produifent-*- ltd d qu'il rant ecrire apres le pnv 
TOur-^-4*ji. -Enfln felon ce qu'on a enfeigne* 
dans l'addition. apres avtur ajoutfi ces produits', 
ontrouverapourleproduit total qu'on cherche^ 
$ *s~ if +d~+ rt dd y cjm reftdte de la gran- 
deur * — 3 d multiplied par, j * — 4*/. 

Etiup lb if,. . ^ j : 

Pour multiplie* * f -4- 4 £ c — -/i par £ -4- 1 10$ 
S iaut dire « b multiplie par h\ pipduit *bh qu'it. 
feut ecrire. -f»4.£t multiplie par & produix 

J z^Pajftt dt.fayerttj[emeht precedent, fagejt. 



£• SeofaA* Ptrtiel ' 

Hr 4*« h qtrti fan* bum onfuke de*lf , — /V 
muitipW par -4» h produk— /*£ fc , il faut auifi 
ferire cc dernier produir , ciiwiteieft attic*. 



t* bm+ tkm—vfgm. 



frodm tMHr+ hih y u *m~f^&cm-*tfgm. 



■■^PM^Maw^PW^MWWvaVa 



Apr&cefa. it (am multiplier * £ ~h 4 * c — /jr 
par tm y diCuit i*b multiplie pax x m produit 
*abm t qu'on ecrirax?4 on voudra -, parceqqe 
dans le rangdes autres produits il n'y en a pcurrt 
de femblabks ace dernier. On jcontinuera,difaat: 
Hh 4** multiple par +i», ftodwtibcml 
qu'on £crira enfuite du produit precedent. Enfin 



le produit qu'on chercheeft obb*+> tbch^ittn* 
•~f&h'4ribcm—2fgm. 

Aur&ift ExiN^xi^ 
far .*-+• >— • * 



ab^bb-^rbc 
**-*- zab+bb —*.cc. 



-* . 




♦ . % 



H 






fm dd—> gn^rmm 
*tdd-t-dJzh-**ddfirr 



i, i 



— i r— - — « ^ * 




££ LA DIVISION* 



* / . < 



> 



DES CRANDEUR^ 

EXP RIMERS GENERALEMENT. ' 



*.' 



< 

^T> A n » la Multiplication on eft conYefl*. 
.L* que pour exprimer le produxt de plu&curt 
gtandenrs mukiplices entr'eiles , on les 6criroic 
ftuie auprfs de l'autre t la Dinfion ctant entierev 
»«it oppose a la Multiplication „on eft pareiW 
teicnt convenu que pour divifcr une gr^nffeu*. 
par une autre , on eftkeeroit dans la grandeur 
* diyifer les lettres qui s'jr pourroient trouper 
fanblables axelles du divileur > fie qu'on. pren- 
Voit pojir; quotient, le* lettres qui. reftcroienr. 
P« ezemple , pour $yi&t, efpu c* to a -.pons 



♦f ' Secenile EdfiUl 

quotient/; pom diyifer *<* e par 4 en ? ftVOf 

quotient**. 






fHpiUmi Mwfer *f 



t 



tivifem f t\ 



ff&tb* 



1. 



jrmukm iHvifer tie C 



Mvifi 



1. Effete! ft gm<fe*£ <i^ifir &, Jegtiicrtr 
/bnt precedes des m&nes ugnes , lew quotient 
4»itto^oar^^ticpit^dW» fene-*-. 

Sbft une grarideu* **• *fc afivifer pai -*• * , ftr 

eft [*] precedSe dtt fignc-+- * i*Te <h>ifeiir/ 

▼ifeur & le quotient font [*] les deux racines qui 
ont prodifii kgt^ldEPt4irif«^j!Lfixit done 

neceflairement que le quotient (bit auffi precede 
J* tfgae 4*. Carfi le (^UtHieftt; &>« p uece^dii 
ignc^ 5 :piii£qtte la gaadeu* » tlivifejm'eft que 
It product dttdjivaTcor par ic quotient > ce pro* 
Aut i^fei^ precede dii%i»-^/ccyn feroji 
lafuppojkiaiijqui eft que .kj eft precede 



Rfjr btfnftefitim frefinte. 
CordL f. (Ul*Drvjff<mdet nmtres m Artm* 
htetique, pap 4*, &fyt*-* * I* MtttHfi. fa 



y 



, ***** % 

Soic encore la grandeur — mm i\diri£r par 
— » , le quotientlera-t-.OT.par la m&axe raiiaa 
ip'op -vianc de dire k <Cai; x°. 1c ^Uwfeir » eft 
{') precede* du £grie— . *°* I* grandeur idi- 
Vifer w» eft ( z ) precede, da figne — ^\ JLc d£- 
▼ifeur & le quotient font deux grandeurs qui frqn f 
.jaokiplices J'unepar Irauut , P roduiienr *~'m *. 
•C'eft done une iiecexCt£ que le quotient m fat 
precedcrdu-figne >4- jjpajceqye : s'ii etoit c prcced^ 
dufignc-^! leprodttk-de cs-quptienr pares d^ 
*ifetir ^avoirw»jfcroit.H preceded* $gne-^ 
#qiu fooit contrela^ppctftion» , 

$ # Lot&pie la grandeur* dirtier & le divi&ur 
font precede*, desfignesdifie^ens, ieux quottatt 
fera precede dtttfgHc—. 

Soitipat exemplc *d& diviicr par -~ * ,. lp 
^quotient &ra *— 4, ^°. Le dmfeur .eft precede d« 
iigne— •$ c'eftdimpttfte^iocejta^quele quotient 
foit ad)Lpreced£ 4u %ne-^, ,afin que le pro* 
4oit dadmfeur^^^a*ie>qiiptient {bitlaia&. 
•me ehd& que lag^and«nr-adiyifer *W r Onferoie 
4ia pareil faifoaaemcBt VU ftJJoit divider ~»#J> 
jf** 1 *?. > fc«ii a**ok ppar-guptienr — ^ . 



• r ~\ 



• -1 $rna -jc* a *, 

* ■ - \ • 

Soit k grandeur .df *4- £/-H db^rfhd 
imkt par id »+*'/. II faut -ictire xe divi-. 
Xcur d-*-»/ddfoiis lagraadeOr a divifer. Oapeur 
iommenc^rdegaucheadroit, &dire, lengne 
•4^ qui precede 4? , divitfg par le figne -H quf 
pfeeede-^dans le dtvifeur , donne au quotient 
^;en&ttc^^<livifc par^vdonnc pour qiio- 

i 
f ) P*rfupp+. 

fj fur*. KM<mfri£d*l* muMfrliti'tH* I7i 



if Sennit Vmiel 

ttent£,on ecrira o o 



f au quotient, — dg—gf 

Enfcire rnuki- dg^rgf^dbi^rfh 



pliant le quo- 
tient «4->£ par la . <*«■*•/ 
Jrandeur *h f 
u dmfeur,ceia f^oduit ^/,qu'ilcottvicnt retran-' 
* chf r , at partantori hii prepofe le figne—, & tn 
cherchc s*il y a dans la 'grandeur 4 divife 
quelque grandeur de meme genre , 4c dans 
cet exempie on trouve «+•£/$ an defibs de 
cctte grandeur on ferit— j/ , qui eft le produk 
precedent retr&nch£. En&ite ces dear grandeurs 
femblaMcs euhr ptecede'es de chifres Igaux & 
4e Agnes differens 9 felon ce qu'on a enfeigni 
Sans raddicioh , elles fe d&ruifeht , on lis tran- 
che , & il ne reft* rieh , on CCrit O ail detitif, 

^Snfuite le quotient -f-g etant multiplied par l'au- 
tre partie «4- ^ du dhrifcjir , prodiiit «+• dg qu'il 
taut retrancher , & pour cela on'prepofe le figne 
— , & on icrit — - dg au defTus de la grandeur 
tiemblable-*-^. Ces deux grandeurs & d&rui* 
font icaufe de fcurs fignes dsflerens , on Jes e0*> 
ice & au defTus on Icrit o, 

II refte encore ^rdh-trfft'li divifer f on dira 
»4- qui precede ^^ , dirif£ par Hp . qui precede 
W-*-/, dbnne au quotient *4». Enfuite j/fe diyifi 
'par d t dbiine pour quotient b , il faut ecrire -4*6 
au quotient. *f»^qu'on vient *d*£crird au quo- 
tient multiplil par H-/ du divifeur, produk 
>*-/£ au*il feut retrancher , & pour cela 
lui prepofer le figne — . Et apr&s cela il filot 
examiner dans la grandeur a divifer s'il'A 
troure quelque grandeur femblable a fh , on J 
trouve ^rfhy au deffas on earit — /&% 3e firte 
que ces deux grandeurs par l'addioon fe d&rui- 

fenf, 



sflgtfa: g» 



M 9 o m 



*■** 



J«, «L fa d&oe], &aMd&son &rit<» E»_ 
^W/JT-S* j— /• -^ *" *" Rodent uar: 

rT x -y»» . ccs dear grandeur* 6 AA~ 

r 

fc>nr iiyifcc k ^^yp 
gtwdear *,-*;**/ ^«,_ # i 
•+/ par .<;+-/, r ^/ 

apres aroir cent 1c - 

drrifeur *Hr/ air €«+»/ 

deffons,ilfautidM* ' * 

+cc »jdiYif£ par 

•£« , donn* pou*quotient •*• e. Eafirite .4- * qui 

^^ga^^mttkiplk: par ^-/qw cftaa difL 

^!jPy™^/V*6« Rancher j &; pout 

r-€jTaa defliis de-*.**/. Eofuic par TaddW 
tion de ccs dear grandeurs il refter* -*- c/qu»on 
•erija au dd&s de — <rf t & «a tranco$ra -L e f 
k ■*■ * */r enfiite on^ultipliera *+• ; qui eft. 

ft 





II rtfftora encore 
a divifer -*- cf-k-f * 
©ndira-f^/diyifii 
par M- * dpnne an 
quotient -4-/> or 
*+•/ du quotient 
inultiphe par •+•/ 
du divifeur prbduit 
^jf qu'on retraii- 
cherade la grandeur 

a divife* en ecrivant — jf au deflus de **» jf 5 ce* 
detir grandeurs fe dferuifahton les ef&$era > & oa 
ferira ©'ail defliw, Enfin i-K/du quotient mut- 
tiplie* par -H c du divifeur, prodait -4- *//quW 
retranchera de «4» */» en icrrvant au deffus — cf % 
ces deux grandeurs fe d&ruifant on. le? effaceja, 
# on e*crira o au deflii*. Et partant la grandeur 
€ c •*• i ff-t-f ctant r divifte pat c *+• jaonner*' 
au. duotiftit c vtrfi * * t ! ' 

AUTk^K 'EX B»iP L JU \ 

Pour divifer la grandeur 
Jd—-ee par #/-*-* > U 
feut dire -t- i d divKS par 
«$»-jT donne pour quotient 
«4- rf. Or **H qu'ori vierit 
d*e*crire au quotient multi- 
jfli6 : par p*- * qui eft au di- 
vifeur produit •*• d e qu'il taut retrancher , & 
jour cet "effet lui prepofer le figne — 3 mais 
tfrtnotet dans la grandeur rf 4 — ## on n« WfQ 




. Wgehre* tf 

ftrintde grandeur femblable ace nroduit — dt y 
onTccrira crpptdftrtt irtcart waieSh de — * #. 
l&ifaite -*-^ qui eft au quotient 6tant multiplil 
£ar-Wquieftau dmfeu% psosj ni t »f- i d qu'on 
xetranchera de la grandeur a dmfer,en ccrivanc 
— ^Waudeflusde la grandeur-*-^ qui *Y ren- 
contre. Ces deux dernieres grandeurs fe d£trui- 
iint, on le$ cfracttfa Acdin&fira 9 audcflus. 

II refte encore i 
Jififer —*de 8c — li* 
On dira, — 4« divifi 
par -*• d donne pour 

£>tienr— ,f. Or — # 
t\tindlnpli*pir*W 
produit — 'sqo'ii iaut 
lerrancfaer 3 pour ic^ 
ttancher— r* II faur . 
{crire-W* , comme 
on a en&ignl dans la 
ibuftra&ion. On ccrira 
done -W # au defius de la grandeur -*~ e $ qtf£ 
fcjeocontre dans ia grandeur a divifer • mmii 
commeces deux grandeurs **»#*& •+■« rffed&J 
ttuifent , on let effacera Sc 6n Ccrira a aif 
deffus. Enfin — * qui- eft au quotient 9 muU 
liplic par -4- ^ qui* eft au dzVifeur jtroduit 
—de qu'il faur retrancher en lui pr6pdfam l£ 
%e -tr% & comme il s'en rencontre une de 
«W efpece dans la grandeur a divifcr , f$a- 
yoir — . 4 f y on ©erica au deffifs ce produit -i+de{ 
ws deux .grandeurs fe derruifant on les efface* 
& > & on rnettra a au deflus pour marquer qu'il 
ne rcftc tien. JEt partam la grandeur 4d—ee; 
kntdivifee par*tf*4~#, k quotient eft d— -r j 
k Unc refte nen. 




L 



A U TAB Ell Ht t tl 



Soir k^randcor 8** — «*W» i » ' " ■-** 4 d&ri* 

. *■ 

for par * * -4r *. H faut Icrire le divifetor » *.«4-f 
{bus la grandeur £ divifer* Apris ccla ilfautdi* 
iifer le nombre 2 qui precede ** pat le nombre 
x qui precede la grandeur 4 dans le divtfeurj. toti& 
me on l'a enfeignc dans la divifiondcs nombrer, 
on aura 4 qu'on pcrira pour quotient $ enfuke ** 
&ant divife par a donne pour quotient ** qu'on 
&rira au quotient Imniaiiatcmcnt apres 1*4. Or 
•4-4*4 qu'on vient d'ecxire an quotient mul& 
plie par ^4- b , produit «+* 4 **> qu'il faut re* 
tranchcr,& pour eel* lui prepbferle figne — jmah 
parceque dans la grandeur admfer on ne trouve 
point de 4 a b , on e'erira^ 1'ecart fort au loin 
— 4**£dont on vienpAe parler. Enfiute ilfaut 
multiplier 4 a a du quotient par 10 da diriieur, 
eclafait 8* J qu'ilfautjretrancher; c*eftpourcela 
qu'on luiprepofe le figne _#• en reoivant! audefc 
fus de la grandeur de meme genre. Ces deui 
grandeurs — *** & -H 8 ** fe detruifant, on 
les tranche, & on ccrit o au ddTus pour marque* 
qu'il ne refte ricn. 



- t 

• *+*bb ^ 

— 9*'-¥>zsH f ; 

' W 4^-1** 

U cefte crwore a dm£r -^-4***— i£* 
•4--^^. On din,— qui precede 444* dWi£ 



par -4- qui precede x #•+• £,donne an qoorient — 
qn'on lefira •nfuite de 4 4 4. Apres cela on djra, 
4 qui precede if 4 £dfrift pari qui pre ce de 4 dins 
k dmfcur, donne poor quotient 1 qu'on ecrir* 
an quotient. 4 * b Amfik pat 4 donne poor quo* 
tkn *£ qu'on ecrira an quotient. Or — * 4& 
qu'on Tient d'ccrire an quotient rnuitipfic' par 
•+• b qui. eft an divifeur , produit -— xahb qu'il 
to rerrancfecr, & pour cela on rui prepofera Id 
fignc-fr- , & cooime on trouve dans la grandeur 
idmfer une grandeur fcmWable a ce dernier pro^- 
duit,,.on ecrira au deflus +t4^,& apres eii 
avoir fait I'addttion arec — - s b b , tt rciulte 
•+• 4 £ J qu'oa ecrit au defliis , & on effac . le$ 
dew precedentes grandeurs, firinnte — x* * da 

Saotfent multiplie par -t-i 4 du dirifeur , : vo- 
uir — 4 */*£ou'il ftur retrancher , 8c pottrceli 
<m ccri- . ^4- 4 it b au defliis de — 4 # * £ oyj ? hi 
eft isxolJA? 5 ctrs deux grandeurs ie cieV jiiaiit 

H lij 



par Paddition a caufe de leurs fignestontraire^ 
on les efface, & on ccrit au deffu* o pour mar* 
querqu'ilnerefterien. ,j » 



o 

*— 4**6 
o 



C— *** t ~*r 






11 reftccncoreadmKtHr^J^-^ — -£ J: s on* 

«tira/i»i4f f dm$par i*,4onnc pour quotktaft 

« • i- . ' 

•+» — >6 & „ qu'on ecrit air quotient ^ pacceque* 

comme on a avecti ci-derant y Ioriqu'il ne pa-* 
roit point qu'une grandeur loir precedee de cm- 
fees , on y fous-entend toujpurs r* Qr i divif£ 

par z donne poor quotient -r? qu'on prepofei b k 

x. 

au quotient avec te fijgne ■+• . Enfuite •+■ — b k 
qu'on yknr d'ecrke au quotient etant multiplied 
par £ quiefi; au divifiur x produit ■+• — t*qu'it 

2l 



I 

fiatif^njir* , &p«BCcek«n£crit— i-*| 
IB drifts deia groadcur icmiiahlc (pii & ttoi* 
it dans***— *r$fc*h — r **, ccs deux gran* 

deus & dctmi£aht par Faclikioit i caoie tie Jem 
%nes contxaires ,.on les eflace ^ & on 6crit o an 

Jeffiis. Enfin-V — ^ ^ qui eft au quotient muL* 

tiplie pas v# du dhifeur , produit -fc> x *& & cju'it 
£uit rctcancher^&on cctira— #^ * au dc&sda 
k grandeur fembhbk qui reftoit encore a divifer*. 
des den* gtendeu^rfe <J$trnifanf, <m lea ef&owii 
& on ecrira a audeflus. Et parxant 8 4' —»• * £ ir 

*¥ • — fcdivifepar %A^pb dotme pour quotient 

^9 — *btf 



X 



tflHtril? 



four divifer T*egh*—%l$g h^rj^ef^^f 
4^»i par )gh-frzAf y apr& avoir 6crit lediyifeur 
andcflous de la grandeur a diyi&r, on dira^-i- 7 

EL uljt 




}1 Settnde f*#it. 

Imff par-4* ) A*** jitmtpntit»x^ t, — i * 
^aiviftpltf^donncpoarq^tient #». On 

fcrira an quotient *«— ##,Or-*-a — *«** 

^oodcnt mukipli* par -+•* */du dkifcttr p*** 

4ttt*+*4 — ***/ quHm icttanclie en luiprt- 

. . . I '. - "• 

poknt le figne— , & on l*ecrit au dcffiis de h 
graadeur qm 1m eft fcmblable i4##*/ <J« » 
trottYOir a dmf<* , par I'additioh il lefuke <fc ce* 



icargnuvkutt -+•*— **fffltfi» teitattdet 

fiis, Eafaite -4- % — *e do quotient mult iplic' par 

3 f i do divifciKjptoduit 74# j: * qu'on retranche 

dc partille grandeur a dirifer, aprts Tafoir £crkd 

au deflus avecle figne — -, il nc refte ricn, ©nles 

tranche Scorn &fk'*n deflus b. z 

U refte encore a diviftr — j^*j:^-4- 9— ' 

J 

* **/_ ***/-*- «* 5 on dir, — j^^^frdiviflE 
par -*-5£ £ donne pour quotknt -~rbb <ju'on 
y ccrit. -Or — bb du quotient multiplie par 
~*-ib/da dmfeur , pfbduk — i^/qu'il&ut 
retnmcher , 8c pour cela mettre H-i^/ qu'oa 
ecrira au deifus de la grandeur — 6 £ f /qui lui 
eftfemblabh, &par Taddition de cesdeux gran- 
deurs il r.-fulcera — 4 b* f<\n'oi\ Ecrira au drifts, 
& on'trxichera les detrr prccedentes. Enffiite 
— b b muVipliiS prjrJb. oroduit — ^ghbb 
qu'd:. c tiu. -.ch.Pi* # r»i lui prtpolint le figne -+*> 



- f 



*kfmm+**»* 



*l*>+i.tf 




^•rie»^ *JL**— # * = : 

It r&rmn* an; dfcflus dela gfclndcur de m&x* 
dpece -*j 6 *$ fc pes deux grand wi ft d&nuoi 
row par Taddition a, caufe de leurs fignes coin-* 
tiaiies, on les tranchera&oi* £cxira*au deflbs* 

II reftera encore -J* 9 — *$ #/— 4&* / 'Hw* 

qn'on ne peat divifcr par igh-+%bf a caufe 
fie dans cette grandeur reflantc il ne & trottvq 
point de lettres iemblaolcs a £ fc du dmfeur ; e'effc 
poqr cela qu'on ecrira cc rcfte enfuite du quotient 
qu'on vicnt de trouver , 8c au deflbusde cc rcfte 
on ccrira lediviicor , & on mcttfa cette marqu* 
— entre ces deux grandeurs , ce qui fera une 
knS&otii & paxtantk quotient de cette divtfon 

tknt—Ae-* F&4* — — x — - 



' \ 



• •k 







Zr**vrt\ ;*\* \ .,. : ; % ;..:-. . x ,-. 



* 



!«• 



La preuye de ces dmfion* fe fkitiomme Jam 
fArithmetique , 8i multipliant le quotient par k 
divifenr $ & s'il y a tin idle, on l'ajoute an pro** 
4tfif de cetre muhiplidatton , 6t on trosrrt &i&l 
k grandeur qui etoita dirifcr , Am a bica sciidfe 

le* grandeurs qn'onnepefet dmfer fans r&te 
fcnt le plus fouvcnt Scrites au clefTus de leur divi- 
Ifetfr en formed fta&ion. On fait toujours 1* 
fttimedbofea l'lgaid des grandeurs, qui necon» 
ttenneht point de Icttres (emblables a celles da 
diyjleur. Par exemple poor divifercd par c -4» 4 

•n ecrit ^ f ce qui en e^pricne le quotient. 



ftttr divifer *h—ed pat £•+"* on tek 

^h-Ld. * * our *"***** * * P ar /> on * cnt "7" * 
* alorice* dirifion* indiqiita fit* dcs &adj6tt4# 



yijpfa\ . >j 



*w*i 



D E t*E XT R A C T I ON 

» • » «.* 

DES R A C I N E jfc 

: ; F : DEFINITIONS. • 

tT> Ac;n i eft unc grandeur ^ui&ammultiw 
jA^pliee pax elk meme ou parang autre* 
pioduk one autre grandeur ; par exegipk * etc 
ratine du produit at, ou du produit #41 , 0% 
f'.-Xa grandeur & eft audi racine damfimcpitH 
attic * * ou du prpdwt *£./,*,£, feat fct ra* 
cine* du produit /^ h. 6 8c) Font les racinetde 
leur prodak ift , 3cc. - - - • - • ■ 

a. Puiuance ou degre* 4 r nne grandeur eft le 
pndait.de cette meme grandeur makiptice uqe 
oapiufieurs fois par elkrmiime 3 par exempk £fr 
• l ,/*, Ac. font les puii&nces de } y c ,/, &c. ; 
U y a plofieur* (brtes de puiijances ou degrez, 
3. La preraieie puiflance ou le premier degr£ 
Atone gcandesr eft le produit d'une grandeur 
■takip&e pai 1 * par ezemple x*,ou * eft la 
ptoniere pinflance de la grandeur a - 9 d eft la pre- 
miere puiflaade de la grandeur d, &c. 
^ 4«Laie puiflance, oule x*deg6 y oukquarre* 
d'urie grandeur eft k produit de cette grandeur* 
Wttlnpliee nne fois par elk-meme $ par exem- 
pk la xc puiuance de c eft c c ou * * „ k quarrc ir 
J*'* 1 eft *j* 5 £*. Le quarr6 ou %- puiuance dc 

feftjtf.deseft £4, &c. ", 

f . La jepujfTance pu le je degre, ou le cube d'u- 

^paadcur eft k produit 4e.COtc * « 




tipliSe pa- fon quarrf t ou par fa a« puiflanee/ 
par exemplrle robe ,ou je pmffiutcede/eft/^r/ 
capi lecube de zddfdki 4 € f* h ]c cube dc 
4 db. l*t deleft ,uf r &c. 

I. La A e puiflance, ou le 4* degr£> ou le quaj> 

Jrfyquat re •> jtu fe fiidolide d'uno grandeur eitJe 
>rodttit de cette grandeur {Kur^ftn cuke ou par 
a 5 C puidance : par exemple la 4" puiflauce de 

d eft d*} la,j^p6iflaacede,dftcx4L«tf ou c f i«c 
ftinfi des autres grandeurs. 

7 # 'Xftttyie pour abreger rcxpoefQon d^jne 
puiflance, on ectit ua cktfre fupertcura c£t6de 
fa ncine de cecte puiflauce 9 ce ckifre eft appctt£ 
txpoiantde eette paiflance ; parexempleauliaa 
4'ecrire e *#* % £ on^&att 4* p on appeftc ce 4 
fcxpoiftnrde lapuitfttl0*»*«*» 



iAr e a x r,^ k : a# Eir t. 

^ne -grandeur eft reconnuc^ pour quartce, farC* 
4pV>n peut parcager en deux* parties. cgales fee 
femes qui <eap#ime*tt aeeee grandeur, dc teJle 
gianiere que-les m&me^icttxe* Jetenctaitrentde 

5 art & d'autre:parexemple ffg-ihh eft le quarr6 
tf%b % parceque- eette grandeur /# fc multi-* 
phce pardle-meme produit//|^fci;. Ondira 
tfoffi qu^une < grandeur eft cube loriqu'on pent 

Fartager en trois parties egales les kttres . qui 
exphment y & tmfi des autres. 
8. Extraction de racine , ou resolution d'une 
puhTance > t'eft trouver la grandeur qui ctane 
mnhipli£e par elk-meme un certain nombre de 
fcis produife, cette puiflance 5 par exemple cter- 
cher uix nombre qui etant multiplic' par lui~m4me 
produife le nombre quarrc 144 , e'eft extraif e Id 

focnte de r44 ^ui^ft u% 

toriqug 



Lorfque la puiflance, dont eft queftion,eft on 
quarr£, fa racine qu'on cherche eft appellee ra- 
cine quarrle $ fi cette puiflance eft un cube , fa 
racine eft appellee racine cubique j fi cette puiC 
lance eft du 4 e degre , fa racine eft appellfc ra- 
tine quatriemc , de mcrac des autres. Enfin la 
tidne tire fon nom de la puiflance dont clle eft 
racine. 

Lorfque les grandeurs font fimples, on qu'elle* 
s'expriment avec peu de lettres , commc a a oil 
cc c , il eft trcs-facile de voir lews racines. On 
conrioit par exemple e>idemment que la racine 
quarrce de dd eft d ; que la racine cubique de /« 
eft/-, & ainfi des autres. 

Pour cxtrstijx ks racines des grands nombres, 
il eft necei&ire 4e fcavoir }cs quarrez , les cubes, 
Ice. de ciiaquie cara&ere , depuj.$ i jufqu'a 9 j 
principalemcnt les quarrez , parcequ'jjs fpnt plus 
tillage que, les autres puiflances. 

ttcmes 1. i. 3. 4. j-. *. 7. |. 9. 10, 

£jMf»£K, 4 J. I*, z;. J*. 47. ^4. 8i. ipa. 

Cubes x. 8, 17, *4« u;. aif . 345. ju, 71? . xoo*. 

Lorfqu'on fouhaite trouver la racine de quelque 
grand nombre 5 par exemple , fi on cherche la 
racine quarree de i$6f , il taut feparer ces chifres 
de deux en deux , & commencer de droit a gau- 
che , enfuite faire une ligne au deiTous , & a Con 
extremis on e*crira les racines cherchces , dans 
ia m&fne forme qu'on 6crit le quotient 4*3$ U 
di?i$on , cpmme on verra dans la fuite. 

Pour rendre ration de ce partage de chifres t v 
il faut obferver que fi un nombre eft exprime' par 
|lus de icmx chifres , & raciiic eft exprimee pax 



j$ Se conic Tartie. 

plus d'un chifre j parccque ioo eft le plus petit 
nombre de ceuz qui font exprimez par trois chi- 
fres , & fa racine quarrel qui eft) 10 eft le plas 
petit nombre de ceux qui font cxprimez par deux 
chifres. Tous les nombres qui font au defliis de 
xoo , ont done pour racine un nombre exprimi 
par plus d'un chifre $ & tous les nombres qui 
font au deflbus de ioo , e'eft a dire , qui font 
cxprimez par moins que trois chifres , one unc 
racine quarree moindre que 10 , & ont done une 
racine exprimcc par un feul chifre. Or quand 
tl faut extraire la racine d'un nombre , il fauc par- 
tager ce nombre en certaines parties , ou tran- 
ches , tclles qu'on y puifle trouvcr la plus grands 
quarrez dont les racines foicnt exprim^es chacu- 
ne par un feul chifre. Pour fatisfaire a ce deffein, 
on commence de droit a gauche , & on fepare ces 
chifres de deux en deux -, parccque la racine d'un 
nombre quarrl cxprime' par deux chifres , eft 
toujours exprimee par un feul chifre. 

On cherchc Tun apr£s l'autre les chifres qui ex- 
priment cette racine. On commence par le pre- 
mier chifre de cette m&me racine qui eft vers la 
main gauche , & qui eft de plus grande valeur 
que les autres ; on continue de gauche 4 droit* 
Ce premier chifre £tant trouvc* , on s'en fere pour 
trouver le fecond $ les deux premiers Itant en* 
fuite confide rez comme un feul nombre fervent 
a trouver lc rroifieme chifre de la racine qu'on 
cherche $ les trois premiers &ant confidcrez 
c omme un feul nombre fervent a trouver le 4* 
c hifre , & ainfi de fuite , jufqu'a ce qu'il nc 
re fte plus de Chifre a trouver. 

C'eft pour cela <ju'on nc cpnfidcre jamais It 



^ te qu*ojt cliercli? que comme iine grandcuf 

eompofee de deux-j*arties *-+•£♦ * repreiehtele 
chifre oules chifres trouvez * & b reprefente le 
chifre qu'on cherche, te quarr£'de cette gran-* 
deur *<«*-£ qui eft aa^z^b^b J fert'de ri- 
ile dans les exiracYioris des ratines quarrees* ; ' 



*•% 



E x < m p i *; 




. Soit cenombre nto* dantilfeuf ejcrjaire k 
Racine quarrce , c'eft a dire, trouverle noififcre 
.qui etant multiplie one fois pax liu-mferhe pro- 
.iduife 1369. 

\ On fepafera lcs chi- _ <;* 

fres de deux en deux i & 

. comme ii a &£ enfci-» 

fnc j emuite il faut con-* 
derer qu'il y aura au- 
.tanr de chifres pour ex-* . 
primer la racine qu'ort 
cherche ^ qu'il y a de - * = 5* 

-tranches dans le ndnibr* b = 7. 

^369. i & partant comme 
"U s'y trouvc deux tranches* de chifres' , fcav<&? 
jx & 69, cela marque qu'il n'y. aiita que deujf 
Aifrespctoexprimer cette raciiie cherchee, do** 
Je premier ehifre eft appetie a $c le fec&nd £. . 
*, Mais parceque Je, quarre de a «**- £ qui re-* 
jprefente le irombre ixfy , conrient le quarrede *, 
& deux fois ie^roduit de a multiplie par b y ou f 
fip qui eft la, m£me chofe, le produit du 4°^Jf 
4e a mulr^plil pari & encore le quarre b j <?elf 
J^ur- cela qifce nous ferons l'extraction des rati- 
pes de ces trois produits 1'une ipres Tautre. # 
i°. Cell dans la premiere tranche vers li 
fjainjjw^ie qu'oa cxouTe-toiyouts \e <juarr4 3k 



loo Setonde Pdrtle. 

ft emief ehifre de la racine chercjiee , comme 
on le verra dans la fuite 5 a caufe de cela , je 
cherche la racine du quarre , qui approche le 
plus prcs de 13 , & je trouve que c'eft 3 racine de 
9 5 j^cris 3 au rang des racines. Ce ehifre j eft 
reprcfente par a ; je retranche enfuite de 13 k 
quarre a* , c'eft a dire le quarri de la racine*; , 
qu'on vient de trouver, qui eft $ , il refte 4 , que 
j'ecris fur k 3, 

a . Dans les produits x* h^rbb outre la ra- 
cine * = 3 qui vient d'etre connuc , il refte err- 
•ore a trouver la valeur de l'autre racine b m Cetre 
a c racine fe trouve dans ce qui peut refter dans 
la premiere tranche , apres qu'on en a retranche* 
le quarre' de la premiere racine , 8c dans le pre- 
mier ehifre vers la/nain gauche de la deuxieme 
tranche , ce qu'on fera voir par la fuite 5 mais 
lorfqu'on connofe un produit avec une de fes 
racines , il eft facile de trouver l'antre racine de 
ce produit , en divifant ce meme produit par la 
racine connuc 5 k quotient de cette divHion don- 
nera Pautre racine qu'on cherche. Dans cet 
ezemple , le 4 qui refte ccrit au deiTus de 13 , 8C 
le 6 , premier ehifre de la t c tranche font 46 , 
dans kquel nombre eft le produit dont le doa- 
ble de a , e'eft a dire le double de 3 eft une des 
racines qui vient d'etre connue ; 8c partant 6 
on divife ce produit par 6 qui eft le double de 3, 
on trouvera pour quotient 7 , fecond ehifre de La 
racine cherchie qui eft reprefente par b $ & par- 
tant fi on multiplie ce dernier ehifre trouve par 
ce double du premier ehifre trouv£ , on aura 4*, 
c'eft a dire 1 * £ , on retranchera ces 41 des 4* 
4ont on vient de parler , il refte 4 qu'on ecrira 
fur le 6. 

j°. gnSn des 49 qui rcftent, on mrancJieri 



/' r Mg*rr. « & 

itQpntti decent Aauuere racine 7 , cpii eft 4t> 

ll nereftera jien^tm tcrira o attdefliis, & ^at 
cpncfeeri-qisc ia ratine 37 eft esa&e.$ e'eft a dire 
que le nornbre 13*9 eft 11a aombue quarri done 
Uttcwceit pr6afcment,37. 
•' Ilrefte paretencemenc a. faice roir quelequarrc' 
ffa premier chifbe de ia racine Gkercaec fe troove 
foujours dans la. premiere tranche du noinbre 
dbatoa reut ertraire la racine j que leproduir 
du doubfedu premier chifre de la racine cherche* 
pwhiplic par k deoxtone chifre de cette racing 
eft dans ce qui pent refter dela premiere tron-* 
tke > & dans le premier chifre de la deuxi£af£ 
tranche Tenia main gauche 3 Enfin que lequafiitV 
dtt * c cAifrede.laxacine fhesch^e eftdans ce qui. 
refte,. & dans le dernier chifre.de la dnn si c wi r : 
"tranche en comtnencant de gauche a. droit.. 

Pour conaoitfiece^c^pfes. ;; 
CYidemment , il n'y a qu'a- **+•£ = 37* 
fairc lc quarre* de la racine* #•+■ b "37* 
eherchee' 37 , c*eA a dire , , ■ ■ < » * 

multiplier 37 .par 37 , & re- • $ &r=e 

yasquer quandWdit 7 fois 7 r 

ioni 49,que c'-eft lequar*£ du^ r *-£ v 
fecond chifre de la racine qui - *4 x 

fe trouve indubitablement 
dans ta&conde tranche en *«sr9 

fcfcmptkritde gauche a droit. 
Enfttite quand on dit ^ fois 1 "" 

•f dixaines fornix ; on ecrir *$ 1 *V 

i*u rang* des dixakics , & le • ' 

ldan« on ring* j>l«s atfance-, , ' • l 

fc«s fes centimes. Qgand 
*n ttmkipliepbr 3 qui font les dkainesTd^^en* 
didnt encore : 3 fois 7 , oU 7 fois 3 dijaines foot 
k«€»ft4cfk au dcfloun^des « 4«au»«s peace- 

A . ▼ ' • • 



t 
I , 



ict ' Seconde Pdrtie. 

denies s on voir evidemment <jue ces deuxu fenfc 
deux fois le produit da demier chifre 5 de 1* 
racine cherchee multiplie* par le fecond chifre 7 * 
ce qui eft la mfene chofe que le produit du doa- 
ble du premier chifre par le fecond , parceque 
Tun & l'autre font 41. Enfin 3 etant multiplied 
par % , qui font des centaines > on trouve 9 pour 
produit qu'on ecrit dans fan rang : on trouve 
que ce 9 eft le quarre* du premier chifre $ de la. 
racine cherchee. De (one qn*en commencant dc 
droit a gauche^fi on partage maintenant de deux 
en deux ces produits ecrits de cette maniere fans 
les changer de fituation , on trouvera le quarr£ 
du premier chifre de la racine dans la premiere 
tranche, & lesautres produits defuite, comma 
•nvicntdedirc. 

Autub Exiunt, 

Pour connoitre la ra-> 1 

cine quarrle du nombre 2 #}| 
I48; 7, oudu nombre fi ##'f7f 
quarre* qui en approche ■ ■ hi \ x % 
le plus pre* , il faut &- ^ » A 

i>arer de deux en deux % 

es chifres qui expriment 

ce nombre en commencant de droit a gauche, 
II fc trouvera trois tranches ; enfuite il faut 
rommencer de gauche a droit a la premiere 
-tranche, difant : la racine du nombre quarre* qui 
approche le plus pies de 6 e'eft % , qu'il fauc 
lecrire an rang des chifres de la racine ou'oa 
chejrche, Apr is cela on retranche du nombre 4, 
le quarre de ce chifre 1 qui eft 4 , il refte x qu'on 
icnt fur le 6 , & on tranche ce 6, 
le premier chifre * de la racine cherchee vien$ 



jilgehre. 10) 

if fare connu , il eft reprefentl par M ; mils parr» 
ceque dans /»*+i«Wi qui eft k quarre* de m 
H* h outre la ratine du quarrl a m > il taut encore 
connoitre en chifrela valeur de l'autre ratine qui 
*ft dans le produit i* b. Pour y rciiflk on confi* 
derera que le a qui eft au deuus du 6 & le 4 
qui eft dans^la deuzieme cranciie fera 24 , & , 
comme on a enfeigne* dans l'ezemple precedent, 
on divifera 14 par le double de la racme qu'oa 
tient de trouver y qui eft le double de a cgal a 
4 = z4 j & pour cela on ecrira ce nornbre 4 
ious le 4 de la deuzieme tranche. Si le double 
de cette ratine etoit cxprime par deux chifres. ,' 
on ectiroit toujours le dernier fous le premier de 
la deuzieme tranche , & l'autre fous les autres 
chifres vers, h main gauche. On dira en 24 coax- 
bienyac-ilde fois 4? on Vy trouve veritable- 
ment e fois j mais il faut obferyer que fi je l'e% 
crivois 6 fois t il ne me refteroit que & dans la 
deuzieme tranche , d'oil je ne pourrois plus fouC- 
tiaire le quarre* de ce nombre 6 y $c partant 
i'ecris au rang dies ratines feulement le cnifre $. 
Biluite je multiplie ce fecond chifre $ = b de 
la ratine chercbee par 4 > ce qui fait ao = a.* &»» 

Jue je retranche de 14, il refte 4 que j'ecris fur 
J 4de la deuzieme tranche. Enfuite je tranche 
le iqui eft fur le 6 , & ce 4 de la deuxieme tran*. 
che comme inutiles $ aprcs cela il refte encore le 
4 qui eft au delSis du 4 de la deuxieme tranche 
& le 8 fuivant , ce qui fait 48 dont on retran- 
chera k quarre du chifire % qui eft aj = * b , il 
reftera 13 qu'on ecrira au deflus de ces 483 & Q4 
tranchera enfuite ces 48. 

Apr& cela , il faut confiderer que l.es deux 
chifres ^ de la ratine cherchee font exprimes 
J« 4, Qr puifijuc dans le quarre* ** <+K*b 



^#4 StcfmkcT*rtlt* 

Tibiflbns Ityi la raci<- - * ft (* 

ne da qnarrS 4* qui * | # £ 1 £ T£ ' 
Wft if ;il nous refte '*M 5* * I # t C * 
-ehcorc i connotrrc , *C S 

*n chifres la valeur # 7 P P ** \ 

«de rautre racine qui- * # * ^ 

& trouve dans les; * 

otoduirs *jr6-tr> £ * 5 mais ce ptodtti* 1 * * *? 
*mmve dans les ^rrifres qui vtennent de* refteY 
•Hans la detrxiftne ttahche „ & dans <k i dc ^ 
isoifi&ne.Je doubferai done la racine d£ tuzszyf: 
«me je viens dc trouver , ce qui fera jo*, ddnt 
ffcris le dernier chifre o.fous le premier de \%. 



tbis le^fous la $*colomne qui pfecederoit , 5C 
■jriutfi desatitres. Apres cela j? fais mitfdivifionv 
*& Je dis : eh ^ combien y a t-il' de fois ce detract 
f qui fe trouve au deffous dtt 3 ? }e* troure qu'il 
jeut 7 *tre 4 ibis, j'eeffs 4 au rang' dci iaciftes.lfc 
•partant ce 4 feta le je/chifre de la racine chei> 
cb&. Je multiplie enfufte ce 4 parks ;o^t^ 
Ife produit eft *fco, je le rethraiiche des £3? qui font 
^an deffus en cette forte : 4 fois o e'eft o , xjri 
&ant retranche de j , il refte f que j'tois au def- 
lUs du >. Enfuite 4 fois y font-ia qui feint re- 
tranchez des 13 qui font au deffits, il refte 3 qde 
Vfcris all deffus dtt 3* • 

•Enfin des 357 , qui ireftent , je retranche 1ft 
•quarrf de ce dernier cjiifre 4 , qui eft 16 =i fr 
& pour, cela j'ecris 16 enpofant 6 foiisle dernier, 
thifire 7 , & la dixaine r fous la cblomne Jprece r 
; dente. Je dis enfuite de 7 6tez£, refte i-qu6 
^crisfurle.7. De j/6tez iqU'on ttettt dteii* 



Atgtkrf. Wf 

aft Aetibus , reftc 4 que j'ccris an defus da r. £1 
jartant il reftc encore 341 , que je /epare apres 
aVoir tranche le reftc j & jc cpnclus que le nom- 
bre 6+%i7 n'eft pas un nombre quarre ; mais que 
154 eft la racine du nombre quarre qui approche 
le plus pres de ce nombre 648/7 , ce qu'on cher*- 
choir , c'eft a dire que & de 6485-7 on retrancite 
541 , on aura un nombre quarre* 64^14 > dont J* 
ratine eftij4 # 

II faut remarquer que s'il 7 aroit une4 e tran- 
che, ondeubkroit la racine trouyee,& on ope- 
reroit , comme on a fait en paflant de la i e a 1* 
3? tranche j de meme s'il 7 avoit une j e tran- 
cfae , &c. 



A tr t x 1 Exempli* 

• o © 
i—iU-Ho * * —if * h 

* s— zo a Ml * * -*-aj* *— flHrce 



14 a/** 



H 



Pour tirer la racine quarrfe de **•— io*£ 
+4-i**-*-if ££— io£*-W*, je dis : la raci- 
ne qtiarreede 4 *eft * que j'ecrisaurang desr&~ 
tines, Enfuite dans la grandeur propofee je re- 
tranche ou j 'efface le quarre * a de cette racing 

a°. Je double cette racine a , & j'ccris a * pour 
divifeur ,difant : — io*£ divide par ■+» i* don- 
ne pour quotient — f b , je multiplie — j £ par 
■^ 1 a , ce qui prodoit — 10 * b que je retranche; 
6& partille grandeur en l'effacantdans l'exemplc 
propoC , il ne refte rien , j'ecris o au defiiis. En, 
flute je retranche le quarre de cette dernierera- 
aactrouv£e — j* qui eftH-*fii a de parejJA; 



flRJS Setonfo fnrfie. 

igrahdrtr qtfi fetrouve dans l'erfempieplftq$©&* 
•5 ne td&t wen , )e ks efface Ynm & 1 -awcfe * « 
f &ris a au <teflks. 



~^Jta^imb- i -'i}K~ifbb*1rt*bc-**c 

j. ,, ,j, .| „ ,, , ,,,> — i — ■ ■ * «? *«— y £-W 

a,* »5*W a*— 10J **£ 

•' j , Je c-anfidete k tackle tnoteWc * ****ft 
J^ornrne dans les nombres^ & fe k doable pouf 
•mt'&nrh de <liiafettt, je iranrc a 4— 10 * ^qitf 
j'ecris au deflbus de la. grandeur propo(ce. Jeditf 
H- *** divife par •+*% * * dortne pout quotient 
•4- c ,, qurj'ecris pow: jaciac^FckescWe. Enfuite 
je multiplie cette derniere racine; par — 10 b di* 
dernier divifeur , cek'iprodiiit — iok>c que jt re- 
tranche de — : 10 b * qui fc-troove imrifatmfk 
yropoTe ; ft ite tfrfte- rien jpattarti £ «le#eff»c* U 
yfcris a aa deflus, . Ap*£s cek je multiple ce«e? 
derniere racine chercMe -W par «♦•** du der- 
nier divifeur' ,cequi fait -4- .2,* * qa'on retranchtf 
8e ^afeiffe-grantleirrqtri'Te Micfcn^ *di*sTe-> 
temple propofe ,.fl ne irefte rieft y on 3e& efed^ 
St on fcrit a an deffus, finfin on 1 easnche 4% 
Sjuarre de *4* * , Aerniere racine trowee^ depa> 
tcUlt grandeur qui fe rencdntre dans I'exemfl* 
propoft , & i\ ne refte rren. Fartant je conclus; 
<que la* racine quarree dt ** — ie> *«£-*•*•** 
•+■ *r * £— ia> r»4- * * eft pr&if&nent **~f * 
ip^r. - 

: II faut retnarquer que dans cet exempt k ra* 
fcme cherchee peut auffi £tre — a*+*fb — ct* 
fchangeant tous les fignes de k racine precedencr 
^trchfe ; parcoque fi on^aakiptie cette gjAtf* 



far par elle-meme , on trouvera j>our Con quar- 
4>Ja grandeur <cui'oa yient de propo&r pout, 
eiemple. Pour faixe rextra&ion 2c ccttc racinc- 
avec oes demierslignes , on pcut conunencer en 
diknt : kxaiaae qimstete 0A&~*i&3inii 
duxefte. 

•r-?£*c«4-8i ££-l- ai£ ^-+-144 «* , om 
^qftmyncfra ccmitttc c^stfcwnple precedent ^ 
ecrire au rang des racines^a qui eft la racine dc 
jfc**, & oil continue** l'roe&cion comrrre dam; 
reiempk precedent. En&n pn trouvera |>our 

»cine4A^ 9 ^^.i*^ -j 

Ann de miemx s'eicrcer dans les corrimence- 
fciens qtfon ^Wirces- cbofes , on pent prendre 
its raque* ayeloafle fie Icsquarref.s & enfuite, 
4*<pai*e en extraire la wane * cospjaepn rient 
dTeiueignef. 

: Pour prewre que rextja&ion qu'oit a faite dc 
)a racine quarpoe eft telle qtfon la fouhaite , il 
km multiplier la jaane txpnyee par elk-rn&me , 
It au produk decenr mttkiptecacion, on ajoutera 
fe refte s'il s'en eft rrojwc apres fexuadion.Cetce 
foonae fera on nombre egal a celui done on % 
f& Ja racine ,/Ipaa hiear&fc Si ceja n'arrive, 
pas , l'operation fera mal faitc ', £c il faudra la 
recommencer. Poor molitrej: qu'oia a bien reliffi 
dans l'extraclion de la racine qnarree du nom- 
fere 6485 7 qufan a propoft dans «a des exemfles 
precedents, il fane multapikr la J$acine uouvee 
ij4 par elle-m£me , fie au prpduit de cette 
multiplication ajooter le refte 541 , on trou* 
Tera enfin le meme nombre. dome on a tiU lara* 
cine, 

~ S'il fe rencontroit une firadion dont on vout 
lit ewer la faring qnarrje.^ £ cekjbox&>f$bkj 



5a! / Secthde Pdrtiel 

i. 

parcxemple — > on prendra la racine quarrfic 

f du numerateur $*, ftcenuute on prendra la ra* 
cine quarrk 9 du denominatcur Si , & on aura 

■— s=s — > pour la racine cherchfe $ parcequc 

cettefraftion — multiplile par elle-m£me pro* 

duit^— , Par UmSmcraifonon t^uvera quela 

81 ff f 

racine quarr&de cette fradion ~ eft ~ » 

IS g 
Apr is avoir fait les extra&ions des xacinc* ; 
comme on vient d'cnfeigner $ s'il refte quelqtie 
chofc , c'eft line marque qu'on ne peut en croc- 
ver qu'une racine approcnie , ou feulement la 
racine du nombre quarrl qui approche le plus 
pr^s du nombre propofS. S'il refte quelque cnole 
apres avoir tent£ rcxtra&ion de la racine d'une 
grandeur litterale on £vfce cette extra&ion , qui 
a caufc de ce refte n'«ft point exa&e. On verra 
dans la fiiite de quelle maniere ondoitexprimer 
ces racines a regard des quarjrez , des cubes , Sec, 

Autre Exxmplx, 

Pour connoftre la racine cubique du nombre 
tofif 40^7 , ou du nombre cujbe qui en approche. 
le plus pres , il faut feparer de trois en trois les 
chifres qui expriment ce nombre , en commen- 
$ant comme dans I'extra&ion de la racine quar- 
r£e de droit a gauche. On rendra ration de cela, 
comme on a fait pour la racine quarr£e * parce- 
que iQoo eft le plus petit des uombres cubes ex- 

primc? 



jrjme* par plus 4c $ cit§res,don*la racine euhique 
«i eft jo eft aura la. plus petite dc ccfles qui 
bat exprimees par plufieurs chjfres. Done tout 
fttmbreatt decerns 4c 1000 , c*cft a dire, qui eft 
txwiine pat moins que a cnifres aura fa racine 
ciiiqacexprimee par un leal dufreXorfqu'on fair 
Peitraetion de la rapine cuhjque d'un nombre > 
en eherche les racines des plus grands cubes qui 
{put dans cenon^bre , expritnles chacune par un 
chirre ftulexrjenr. Qn eft ailure* de erouver ces ra- 
cines en feparant les chifres de ce nombre de j ea 
5, Si on vouloit extraire la racine de la ^pinf. 
fence , on fcpaterok les dufres de 4, en 4 5 pour 
h f puH&nce , dc f en r , Zp. Qn feroit toft- 
jours un rai/bnncment (einblahle.au precedent, 
- H km encore fe reflbuvenir dc la regie gene- 
TaSrpouf les extractions de toutes fortes de raci- 
nes , qui eft qu'on reprefente to&jours la racine 
^ , on chercne commeune grandeur compose 
deux parties »*+b ,a reprefente le ckifre o* 
les driftes trourez , 8c b reprefente le chirre qu'om 
eherche. le cube de cette grandeur *-+*b qui eft 
***4-3***-sH$*£*««if»#fertde regie danslc* 
extractions des racines cdbiqucs, 

Hfaut con>- 
fnencer rers la 7 . - 

main gauche 4 * | r I 

i la premiere ^^Mf+'o^t 

tranche, dHatit; — 9 ■ < ** 

la racine da ## X C 

nontbire cube » ^ 
qm approche le 

f lus mfc dc rqf c*eft 4 q tt ' a *« &cire ** fan £ 
Ses cfcifres de la racine qu'on chercne. Aprcj 
cek on retranche du nomfcre 10; le cube 6+ de 
ft nomine 4 , n,reftc xi qu'Qii fcrit au defltt* 

15 



% ii0 Scconie Ptrtie. 

*de iof , Sc on efface ees iof. 

Le premier chifre 43?* de la racine cherch^c 
vient d'fitre connu j mais en fuivant notre sefrle 
generale , il refte encore a cormoitre, en chides 
la valeur de l'autre racine b qui eft dans le 



qui 

duit 3 * * b % La yaleur de ce fecond chifre fc trou- 
ve dans les 41 reftancs de la premiere tranche , 
& dans le 1 de la i e tranche, e'eft a dire dans 411. 
On triplera done le quarre de la racine qu'on 
vient de trouver,& on aura 4$ = 3 a s qui fervira 
"de divifeur. II faudra l'ecrire au deflous , de forte 
que 'fon dernier chifre" S fc trouve fous le pre- 
mier 1 de la t c tranche* Enfuite on dira comme 
dans l'eztradtion de la racine quarree , en 41 qui 
jefte fur o; combicn 7 a t-ij defois 4 qu'on vient 
'd'ecrire au deflous } on Yy trouve 10 fois ; niaift 
parcequ'on n'^crit jamais au quotient d'une dit- 
vifion plus de 9 a chaque poiition y & que m&me 
dans la circonftance preiente , apr£s avoir rente, 
on ne peut ni ecrire 9 fois , nj g fois $ parceque 
les reftes qui fe trouveroient dans les premieres 
& fecondes tranches ne feroienjt pas fuffifants 
pour qu'on en put encore retranchcr la.valeur 
de 3 abb ■+• b* , e'eft pour cela qu'on n'ecrira 
que 7 au rang des racines. II faut enfuite multi- 
plier ce fecond chifre 7 «= b de la racine par 8 , 
cela fait ?6 qu'on retranche de 61 , en ixnaginant 
4 dixaines avec le 1 de la premiere tranche, 
cqmme dans la division , il refte j .qu'on ecrii 
fur 1 ,,& on retient 6. Apr£s cela on dit 4 fois 7 
font 2$ y & 6 qu'on vient de retcnir font 34 qu'on 
xetranche de 41 , il refte 7 qu'on £crit au deftis 
4e i* Ce qu'on vient de faire eft la m&me chofe 
que fi de 411 on retranchoit 336;= 3 * * £ produit. 
re 48 multiplic par 7 , & qu'on ccrivit au deffiis, 
h refte 7;- Enfuite pour fatisfaire au troi^flie 



Algehre. \\\ 

Mkhiit $abb y on multipliera 49=^^ , qui eft 
Jequarre de 7 pax le triple de 4 qui eft u = 3 * , 



1 

i 



6 

¥7' 









X 




on aura pour pro- 
duit <>%%= 1 a b b 
qu'on ecrira , de 
forte que ibnder- 
Jiier chifre 8 4e 
rrouye (bus le chi- 
fre jdelai c tran- 
che. Enfuite on 
ibuftraira ce nom- 
bre fS8^ ce qui 
refte au denus, comme on a cnfeigne dans la 
fouftr action, & on eerira encore le refteau deflus,' 
aprcs avoir traiKncleschifres precedents commie 



* # ? I * y * <»^7 

_ e 



4r 



» 4 

motile*. Enfln *m ecrira Encore an detfbw 
345 — ^qui eft le cubede 7 , qu'onlretrarichcfa' 
a la maniere ordinate de ce qui refte audeflite. 
Cek ctant finndans ces :deux premiere* tran- 
dux , on patfera ila ttoififcne; 
: II faiit prefouemem remarquer que les deiir • 
dufrcs 47 de laracineqa^nrchercke -font ex-* 
primezpar .* 5 & que dans le cube * J •+• $ *+b 
+\abb *+■? &• , qui repreiente le nonibre pro-" 
po& dbnr on vent ^deer - la Jacke -cube •, 'noujr 
Kaoas dtf conqjaitxc la r^cine ducube f <titf 

K ij 



m. 



Setonfo Pdrtie. 
4* 




47* 



eft 47 , il refte encore a connote k vale** 
en ckfres tie faiitre rarinc qui & trotrre dans k 
a* produk $**£. la vakor de cc produk fe ttmntc 
dans cc qui rient dc refter dc ki e tranche , It 
dans Jc premier chifre de k 3*. On triplera dont 
1c quai^e* de 47 qui eft ttij ess j s * , qn'on 
4cma pour divifeor , de forte que ton dernier 
chifrc 7 fe trouve {oos le premier dufre o de k 
3 C tranche. An lien qpSl fagt paller dc la V a k 
j* tranche $ s'i^ fallokpafler dc k j e a k 4*, on 
raivroit toujour* k meme methode, Apres ccla 
on fait one divifion , difant t en 15 combien 7 
a t-il de fois I , on l'&rira % fob aqt rang de* 
jracine*, Enfitite on multipiicra 6617 =5** 
#ar tebombre t«^ , toitoniex>tt Vfelit de&fei 
lorfqu'on atrarve' tecJUfie 7 , & on aura pooc 
pvmir T$zf4 3=)^«i 9 qu'on rccrancliera dc 
i^ifoqui font lea ckifres reftants de k x c tranche 
dc le premier dek }*. On aura poor rr#c & 

£bh ctrit aa dtfttf de so «juiiant la d«tti 
akffi" cirifees de de nmbbie' k^ro * aplfc 
aVok tfancal Jet precedents^ Bnfinte ort triril- 
riplkra k triple de 47 =>* par 4 quarre* d* 
a =s=$ dernier chifrc ttaarl de la cackle , o* 
aara pour prodoit 7*4 &=}»**. On teio* 



* jflgefo. yij 

fc wtrtbrt an. deffous der autre* ,"de forte que 
An dernier chifre. 4 &it (bus le i e de la $ p 
tranche. Apres ccla on retranchera a la maniere 
wfataii c as sombre J4J4 de<f$£*qtoi fe trouvent 
madeuus , il reftera a qu'on Merita fur k dernier 
4 dace nombre apres avoir effac£ les precedent*. 
Jsuin des *7 qui reftent > on retranchera S = fa 
<nfac da dernier-chifre de la racine*, ft il teftert 
encore 19 qu'on -feparer* apres avoir tranche k$ 
aorrescomrne inut^es; « " • 

fie partant on coAciuera que la racine cher* 
che* 471 n'eft pas pfiifeftrnent la racine cobkjue 
du fmnbre propofo ; mais que fi de ce nombre 
,propo&on remnchoit les 19 qui reftent, on au- 
-»it pour rcfte on nombre cube,dont la racine eft 
Lpckmment +ji 9 qui eft ce qu'on cherchoit par 
^en operation. * 

Pbur.tirer h, racine cubiqiie d£W* «+»9**£ 

-■+■ f$b bc-+-$6b cc+%c } i on iuEvra la mo- 
J&c methode &lc- meme raifonnement qu-'on 
orient de mettre en ufage 'pour les uombres , -exr- 
-cepce feukmenc qtfil n'eft 'point "neceilaire de 
manager par : tranches- de 3 en 3 les parties litte- 
rales de cette grandeur , comme on a fait dans 
les chifres ; ft on trouvera que la racine cherchce 

Vexemple precedent de la grandeur litterde, 
dont on a fait l'extraction de la racine quarree , 
Jk ics autfes eet^rflpks propofefc en nombres , 
-donncnt nne ouverture fuffi&nte pour l'extrac- 
tion jdes ratines de toutes fortes de puiifances. 
.Par txeinpie pour titer la racine d'uhe 4* pui£- 
iance^tme* grandeur pjppoiee en nombres , on 
-partageiailes. ehifresnfi* 4 en 4 , commencanil de 
mm i gaqcho,.* ,4* prejkdxa: poor .regie fe 



M# Se$$x'dc Tdrtie. 

4 e pntflanCe de * -4- £ qui eft *♦ •»H<2|na*# 

*t- 4 ** *£ •** 4**' «t* it ; 4c ainfi d*a aucxes 

puiffanccf. 

Pour fcire la prcuTC dcr^wra^ktftde Ja. aariat 
«iibique,il £tot multiplier p ar elk-mcnjeJa mcinc 
uontce^ec qniiprodniraie qw«r*<lMeite-xa«infc 
fl fiwenfuite Multiplier feqnan&partttic nhtt 
farina ctoav6c,k : pmtik4r€medaiisttexnHk»» 
plication ftp* Jc cube 4c aette raaine , qm tarn, 
pr&iftmtnt cgal an notpbre propofe j £ anafc 
«etife e^tftipnil ntaur ikn itfte^, dcsHlitoit 
^cft^^idqwe-choii , enl'ajeutant a ce cube 4* 
4#it DficilkYr^iu , . 6 on a Um reuili, ttorar 
line &rnme agalc an QPtahredant on a Tenia 
Aire r«xtra&on <Uk*acineaifeK|«cj £ ceia a*» 
*ive autretnent , l'opemioa eft Nescafe Sc md 
faice. Poor tore certain fi 471 eft TerinMi imii 
4a racing 4* nombre iof 1^40(7 propoife dam 
<nn d^s^smnples precedents, ou <ln nombre qui 
*n appr>che le plus pria, il rant caber cree at- 
««i* #$a?*e 47* , & a Ton cube a jouter te oeAe 
.19 , fi on a bien rcuffi , on- trouvera '*n£a It 
•aonibre 4ont on Vemc.psQ^cdVxttaijs Ja » 
*mc. On agira <k uvtoae a l'cgard dea amp 
"«xartpl«s. 

Xfn Nombre n'eft point on nombre quarrf* 
Jorfqu'on ne pent trOQTCf an autre jjonaore «*- 
ritr , leqael want multjpii^pat lui^mr>me^ <Lor* 
fee un pfoduu egal axe premier nombrd. On en 
JHgcra de rotate <tu nombre qui n'eft point cote, 
4c ainfi taawrc^puifianoea : teb fiaitlernoxrf- 



•£- •" ** r **l 




fUk noon* pkiShnatm woe ladnequawot 
An nenalxt qui n'cft point quawf, on fences* 
fondant teeurer *we caring > qui approcbefa £ 

point quarrl , que Tcxcc* de ccttc racine chex- 
cbccpar ddfiis la. racing tfouvoc, &ra mAindft 
i^ valeur de telle fraction qu'on *#udra 
Ainfi <m -a un tmeye* dragpmaer i 
de lacacine quarroe do n*mbrc qui u'cft 

Sim qnarrc. Enfia qaoi^ue Je nombic enae* 
nt on ne fcnt newer la racine,, neftk m* 
an n ombre qnaasc* <» un sombre cube* 4tc. dH*- 
at xacinc connue 6c detemunee par diet non* 
fcm^ntiaa, oupatdcsentiersJt fraftiojtt j on 
fe cmfidezexejHiaWojHnincA^ 
x£, cube, &c. de la racine inconnuc qu'on ne 
yew aaim^fc c'eftecneconfidccauonqotecMK 
dim uTextra&oad'ime racine qui approcheli 
f^dclaxacmecnerdb^qu^ilne t'ea iaudra pa* 
telle fia&on qu'on voudra determiner, qu'on 
&UL*cnaonat an jufte 4a racine de ceiioiubsfe 
- J^arcgk generak pour parvenu ax^ttt apt 
proiimatkm eft de>multiplier le nombre propo- 
« qu'on coafidere comme kyitnanre done oa 
>cut exoraire la racine, par lapuuTance fembla- 
bkdu nombre qu'on tent Cere k denominateur 
de la fira&ion , qui fcf a jointe a 'la racine da 
quanc qui approchcra le plus pr£$ do nombre 
propofc. Par exempk fi on veut trouver la raci- 
ne apptocEce de 39 , on fait d'abord reftxion 
que la racine du nombre quarnt, qui approche k 
plus pris de 39 y e'eft 6. Mais k quart* de $ 
n'eft que j*s il faut done daranuge que 6- pour 
ftire la racine quarr£e de 59 ; il faut moins qup 
.7^ parceque le quarr^ de 7 eft 49 , qui eft plut 
grand que ^.wfin H Faut done ajouter i dune 



\t4 SeC0*Jf Tdrtie. • * /> 

tra&ion, <te forte que le quarrl do :*,• * <***• ■ 
fra&ion ij^rochedes 39, autant qu'on votidca* . > 
Je *eu* par exemple <ju'a oette racing ,* oa 
joigne dct treiziemes, & quil nc «'en failfe 
- » . . ■ ...» »,••-'..•»• 

1*9 •— qtrtm -ne ffachc ; preti&neiu-J* raciac 

^39. II firnt confiderer 39~comme unquarrc^ 
dont dn chercbe la racine-, ft a cade des. trei* . 
lieines qu'on veut avoir ,- ii faut multiplier cf si 
hombre 39 par 1*9 qui eft le quarr£ de 13 v 3c o& , 
aura, pour produit ^91 , dorit on aura pour ra* . < 
cine quarree 81 tefte 30% Oft ncgligcra ce refte • 
$o , & on fera feulement attention a cex» racine , { 
f 1 , qu'on ditifera par 13 , qui eft la. racine da 

qaawc 1*9; aeon aura pour quotient 6 -£- .fit 

partant on concluera que tf ~ approche £ pre* 

de la racine cherchcc,quc Ji on ajoutoitnuirei* 
tttme , on auroit une racine trop grander pax* 

•*' - • - •• * 4 ' £714 ■' txx ,T - 

lieu que le quarte* de d — eft — = %*— / 
^ ^ ' i j ^9 ' 1*9 

On doit operer de la meme maniere A regard 
des autres nombres dbnt on veut extrairc les ra- 
tines approcWcs , & ce q&*on dit a regard des 
.trciziemes'i on Je peut dire de m&me de toute 
autre fra&ion qu'on fe'veut propofer. 

Mais i came que dans ^approximation des 
racines quarr&s , cubes ,.6u toute autre que ce 
frit, U eft bcaucoup plu$ facile de fe fervir dej 



r ; 



*.'i 



fes&net, aaVon apptNefeaflsons donaaaks > w 
unutmes , on mUncincs parries . Ac. poor aiou-» 
ret a la tarine an nombre qnatreqai appfocne lc 
fins pots de celm qo'on fc propose. C'cft pour 
ccUquefionTCUtiaire fexrradionaelataane 
qnarr&d'on nombre qui n'eft point qaairi, ost 
apoateace noenbreo o,paicequ'ilfcrrovYepar 
oe mo^mdiriplkt pat 100 9 qoarrl de ro> Si 
on &rit enfnitc a ce nomine ptopoS quae mk 
ms , ii fc uomer* nmkipiir pat 10000 , qui 
•ft kqoah£deioo,6?alorsona*iai povm^ 
lion ocs psurifanes, Rnlin qnand on aiouac oca 
xros, ilTrattoajaarslesajoaacraeux a denxi 
canfie nes qnamt otio, too , 1000, te, O* 
▼oit par cc mofen qoe pins on aj oAma 4c «e* 
ios, pJasla rjuanerjooarorapprochcra. decclle 
qn'on chercbe. On eft pat cxempfc pins affivn 




- Parnrmpfo pour avoir k ratine appcocko* 
4ei4, i'tfonte en&iieik^denxtcim v &pat 
ccsooftni4 fc tromrer* rtjnhiplil pat rooqnl 
oftfc qmi irf ulr io , ce qui proatnmijfoo dan* 
an aura poor xariac 4a, reftc $i qnfan argii* 

j», &on dmfcra.48 par 10 , on am* 4-^ 

P=4^- t qnifcra lacacane qoancs apptoch£*< 

f .1 * . » 

: SI 4n*o*lofe fitfse oar. oftpaosmasioii Teit 
tn^onacJaxadrieaibicpe4'tt|i«ott^rc qniM 
feroit pssoube, on lot ajooteroit 5 xcros , ou* 



lit Second* PtnUl 

poft font confided comme cube de- la racing; 
eherchle , ie trouveroit multiple par iooo , qui* 
eft le cube dc 10 $ on par icooooo , qui eft le, 
cube dc 100. Enfuitc on tireroit la racine cuhrique; 
de ce produit , & on diviferoit cette racine trou*-*. 
tcc par 10 , fion avoit a]out£ $ zeros * par xoo»» : 
fi on en atoit ajoutl I j toi on auroit au 
quotient de cette .division la racine clique 
approchie qd*on chercheroit. . . t . 

Si on votdoit faife par approximation Iter-' 
traction de la racine 4* d'ttn nombre qui ne &* 
xoit pas precif&ncnt une 4c puulance , on lui • 
ajouteroh 4 . zeros , ou 8 zeros , &c. enfoirc . 
•n feroit l'extraftion de la racine 4c , fuivant les> 
regies generales qu'on a pratiques pour les ex- • 
tra&ons de racines quarries , &c^ enfin on ope* 
itroit , comme on vient d'enfeigner. 

J^a certitude de cette pratique eft.facile a com-* 
prendre. Soit le nombre 39 qu'on vient deprow . 
pofifr dans un des ezemples. precedents $ puifqu'il- 
eft confided comme an quarr£ dont on cherche: 
la racine , on aura $»"*= a a. Soit l'autre norrlbre 
pris a volenti 13. = b , dont lc quarre* 1I9 ^.k b ? : 
X on jnultiplie *a par b b y on aura **bb $ *k>no 
la racine qnaxrec eft Mb , puifque * b mulripli6 . 
par lui-mcme, produit a*bb. Or cette xacinff 
*1 Itant divilie par b= i« , donne pour quo- - 
tient * qui eft - k racine de s* =ae $9. Soit par 
fcxemple j* dont on cherche la racine cu|>ique : . 
puilqu'on confidere ce nombre comrne cijbe , 
on aura j6=a*, Soit un autre nombre , par : 
cxemple 1000 =** , dont la racine cubiqut eft 
to =f j fi on multiplie #* par b* , on auratpour : 
produit «* hi = ; £000 , dont la racine cubique . 
c&4 £. Or cette racine £tant<divi(2e par xqss£ % 



Algebre. H^ 

*©n fera an pareil raifonnement £ 1'egard dc 
Tcxtradion de la racine des autres pmtfances 
Jorfqu'on veut avoir des racines approchees. 
On voit evidemment que la fra&ion jointc ail 
nombre entier qui eft la racine exa&e de la 
puiflance qui approche le plus pres du nombre 
propo& feroit precifement la racine cherchec 
•*il ne reftoit rien apr£s ces dcrnieres extra- 
ctions. Mais acaufe de ce refte qu'on eft ob;ig£ 
de negliger, on ne peut avoir que des raeinct 
approchees. 







.«3£^.2ft2i&.<ttj 



DES RACINES 

dont m ne put faire tcxtraftim 
exactement. 

*• T TNe puiflance parfaite eft celle done oa 
\^J peut extraire la racine fans refte. Par 
exemple ** eft une puiflance parfaite ; parcc- 
c|ue fa racine exade eft *. Le nombre zj eft 
line puifiance parfaite : mais a b n'eft pas une 
puuTance parfaite , ni n , &c 

«.. Lorfqu'on ne peut faire 1'extrac^ion de la 
racine d'un nombre propofe fans qu'il refte 
quelque chofe , fouvent on fe contente d'expri- 
mer cettc racine par ce figne V , appell£ Sign* 
radical. On ecrit ce figne devant le nombre pro- 
po(e\ & Cue ce m&me figne on 6crit encore un 
chifre qui eft l'expofant de la racine dontii s*a- 
git } on l'appelle aufli Pexpofitnt du fign# radi- 
**J. Par exemple,pour expnmer ia racine quar- 



t%6 Secondi Ptrtie. 

rfe , on fcrit V 5 la racine cubiquc , an £crit V * 

4 
la racine de la 4 C puifTance , on ecrit V a &c. 

Lorfqu'on tent feulcment ce figne V devant 

quelquc grandeur , cela fignific racine quarree. 

z 

Par exemple cettc expreffion V 1 s 8, oaVi;8, 

lignifie la racine quarric dc i; * 5 V* * , e'eft 
a dire , racine cubique de a b. Si la grandeur 
dont on veut exprimer la racine,a plufieurs par- 
ties s on ecrit le fignc radical devant cettc 
grandeur , & depuis lc figne on mene une ligne 
au deflus de la grandeur , pour marquer qu elle 
eft toute ious ce m?me figne. Par exemple 

y * k ~+-b c , ccla fignifie la racjne 4 e de ab 
++b ;& ainfi desautres. Pour exprimer la ra- 
cine dont il s'agit , on fc contente d'ecrire le 
figne radical devant les grandeurs litterales 
dont on ne peut extraire cette racine fans qu'ii 

y ait un refte. 

3. Les racines fourdes, ou irrationnelles, font 
celles qu'on ne peut exprimer que par le moveii 
de ce figne V » ^ ur lw l ac i on ^ ccrit 1 , $ , ou 4 , 
&c. pour expofant de ces racines. 

4 . Les racines imaginaires ou imppffibles 
font celles des grandeurs entierement negati- 
ves & lorfque les expofans de ces racines font 
des nombres pairs. Par exemple V — *$8, ou 

y u,ouV — fi + y ouV — dd>8cc. font 

des racines imaginaires ou imppffibles. Paree- 
qu'on ne peut trouver aucunc grandeur telle 
qu'elle puifTe £tre , foit negative ou pofitive , 
dont le quarre ou la 4? puiflance , Quia ? , &c # 



Algtbri. lit 

fecnc negatives j puifque , comme on 4 tu [*] 
dans la mukiplication , -i- par -*- , ou — pax 
— , produit toujours -+• . 

Quand on veut aprofondir FAlgebre , les rac- 
emes foardes font fort.frequentes. Parceque l'ejf- 
tradion des racines , principalement de celles 
qui font quarries y ou qui font cubiques , eft une 
operation fort ordinaire. Outre celail eft certain 
qu'il y aplusde nombres qui ne font ni quarrez 
ni cubiques , que de nombres quarrez ou cubi- 
ques. Par exemple, depuis i jufqu'a 30 il n'y * 
que 4 , 9 * 16 , & if qui foient quarrez exa&e- 
ment , & les autres nombres a , j , r , tf , 7 , &c. 
ne font point des puiflances parfaites. Ainu il 
eft evident qu'on doit trouver fouvent des 
racines /burdes. Or on peat ajourer une racine 
fourde avec une autre racine fourde , ou Ten 
fouftraire, les multiplier , ott les divifer Tune pat 
Tautrc , quoiqu'on ne connoifle pas preci(e- 
ment la valeur de chacune , & ces operations , 
entr'autres la multiplication , font d'un grand 
tfage dans la pratique de l'Algebre ; e'eft powr- 
quor il eft fort neceflaire de ifcavoir comment on 
les peut faire fur ces Tones de grandeurs. Pour 
faire ces operations , il faut premierement fca- 
voir preparer les racines fourde s , i°. en les re- 
duifant a un m^mc nom , ou a un m£me figne; 
i°. En les reduifanc a leurs ezprei&ons les plus 
fimples , quand ccla eft poflible. 

Rcduftion des grandeurs nrtttionelles k un mime 
nom , oh mime figne. 

Certc preparation eft fond& fur un principe 
p] Avtrtiff, t*S- 77. 



J xi Seconde ? Artie 

dont tout le monde convient , qui eft qu'une ra- 
cine eft tou jours la m&me , c'eft a dire quelle n$ 
dtvient ni plus grande ni plus petite , lorfque de ra- 
tine quarrie quelle etoit y on fait quelle eft racine 
fubique , oh ratine 4 C , racine ; c , &e. Par exenv 
pic ,/eft la racine dc toutes ces puiffances/* , 
f* , /*, /* . Ce qui montre .clairemenc que 
les racines de ces puiflances ne font pas plus 
grandes Tune que l'autre. 

Pour reduire differentes grandeurs irration- 
nelles fous gn meme figne fans changer leur va- 
leur j il faut chercher le plus petit nombre qui 
puifle £tre divifefans refte par les expofans des 
Sgnes radicaux fous lefquels font ces grandeurs 
irrationnelles. Enfuite il faut 6levex chacunc de 
ces deux grandeurs a une puiflance qui air pour 
expofant le nouveau nombre, lequel fera auiE 
J'cxpofant du nouveau figne radical, 

Soient pes racines fpurdes Y he & Yfg i 
require (bus un mesne figne radical. I/expofant 

lie V eft x, & rexpofanf dc Y eft 5. Pour trouver 
iin nombre qui puifle ctredivife fans refte par a, 
3c enfuite par j , jc peux multiplier i par $ pour 
avoir 6 .Mais parceque cette vovc eft quelquefois 
trop longue,j'aime mieux chercher ce nombre en 
y reflechiilant. Ce nombre 6 me fait done con- 

noitre qu'il faut clever Y he & Yfg a la 6 e 
$ uiflance , cc qui fe fait en prenant le cube de 

6 
I c devant lequel j'ecrirai ce figne Y , 8c en pre- 
nant le quarre de// devant lequel j'ecrirai aufli 

y, & j'aurai V** = y*c , & Yffgg — 



Algtbrc. ix j 

V fg . Car cette grandeur ^eft confiderle 
comme un quarrc , & Y b c en ciprime la raci- 
nc. Or le quarre* dc b c qui eft bbec eft la 4° 
puiflance de y£c, puifqu'en multipliant un 
quarrc par lui-m cm e,cela forme une 4* puiflan- 
cc-j & on multiplie encore cecre 4 s puiflance 
b be e par b e qui eft le quarrc de fa raciae , cela 
former* la 6 C puiflance cherchce. On fcra 1c 

meme rauonnement-pour connoitrc que Vffg % 

Soient les grandeurs irrationelles Ytd Sc 

4 
Yfb a reduire a un meme nom , ou ious un 

meme figne. Je fais reflexion que le nombre 4 

peut ctre divife exa&ement par le nombre 4 qui 

■ 4 

eft Teipofant dc Yfh y & que ce meme nom- 
bre 4 peuc auffi &tre divife* exa&ement par 1 qui 
eft Texpofant de Vcd. Cela fait done connoi~ 
tre que les puiflances de ces deux racines doi- 
*cnt devenix des quatrremes puiilances , & pouc 
cela il faut prendre le quarrc dc Y c d , & on 

4 4 

aura Yc c dd=Yc d, & V/& ne changcra 

point, 

Reduftim des grandeurs irrstienneltes a lews 
exprejfions les flusfimplts. 

Si la grandeur enfermee fous un figne radi- 
cal £toit une puiflance parfaite , e'eft a dire ^ 
dont on put tirer une racine exa£te 3 & fi l*ex»- 
pofant de cette puiflance parfaite £toit egali, 
l'expofant du figne radical 5 pour rendre Vc&- 
preffion plus fimple , il faudroit fculement ex- 



114 Second i Partie 

traire la racine exprimc'e. Soil , par exempted 
cctte expreffion Ycc- 9 le figne radical exprixwe 
une racine quarrel , & * * eft un quarr*. II 
faut reduire Ycc a ; qui eft la racine de 
rr.de rn^rne il faut reduire cette exprefGon 



^££—- i hc+rtc a celle-ci , £ — *. 

Mais fi la grandeur contenue fous le figne ra- 
dical n 'eft pas une puiffance parfaitc , ou fi fb» 
cxpofant n'eft pas audi l'expofant da figne radi— 
pat > il faudra reduire l'expreflion a fes plus iim- 
pies cermes , lorfque cela eft poffible , en cette 
forte. 

II fautdiyifer la grandeur propofee, par un 
divifeur qui la puifTe divifer exaclement , e'eft a 
dhe y fans refte , & de forte que ce quotient 
ibit une puiffance parfaite. Si cette grandeur eft 
un nombre , il faut chercher ce divifeur dans 
les nombres premiers 1,5,7,7, &c. de forte 
<jue , s'il eft poflibk , il foit tel que le quotient 
de la divifionfoit un nombre quarre* , s'il s'agic 
d'une racine quarree , ou cuoique 5 s'il s'agit 
d'une racine cubique , &c. & s'il fe rencontro it 
plufieuxs divifeurs teis qu'on les fouhaite , il fau- 
iroit toujour* preferer le plus grand. Si entre 
ces quotients , on n en peut trouyer qui foient 
<juarrez , cubes ,&c ; on ne peut faire la redu- 
ction. 11 fauc prendre la racine de cette puiilan- 
ce parfaite , e'eft a dire , de ce nombre quarrl, 
ou cubique, Sec , l'&rire devant le figne- radical, 
& ecrire le divifeur aprfs le figne radical. 

Soit propefte Y * * b pour £tre reduite a l'ex- 
preflion la plus fimple. Entre tous les divifeurs 
qui peuvent divifer exaclement a* b y je trou- 
ve * b qui le divife de telle maniere que le quo- 
tient * * eft un quarre* dont je prends la racine a 
ijucj'icris devaatle figne radical, apriscem^. 



r Mgibrt 9 H] 

fK fignc y&cris le diyifeur * b 5 & je crouvc 

*K* * au lieu de V * b. J'ai choitt on div»- 
ibr telqu'il me donnqit un quarr£ pour quo* 
tient. Parceqne y fignifie r*a># qfttrrte, S'il jr 

avoir eu y* * A , il auroit fallu prendre J pout 
dirifeur , afin d'avoir pour quotient «n cube Gpc 

Toir 4 5 , & j'aurois &ris « y b. On trouvera de 
xneme quey^l^/= dYf\ puifquerf;=y^\ 
Car multiplier y/par d y dont kprpduiteft 
^y/\ ou multiplier V d » parVf, dont Is 
produit c&Yddfi c'eft la meme chofe. 

Soit encore cette autre grandeur Ybb c % a 
reduire a une expreffion la plus /imple. Encrc 
tousles dirifeurs de * £ c » il en faut choifir ur* 
qui donne pour quotient un quarre*. Je trouve 
flue c'eft $ qui donne pour quotient Ie quarri 
ibcc dont j'exris Ja f acine b c deraitt le fign* 
radical , j'Scris le dmfeur c apr£s cefigne radi- 
cal ,&je trouve* cYc. Demimey**^ fera 
rtduite a a * b Y b. 

Soitenfin cette racine fourde Yto , je la re* 
duirai a cette exweffion plus fimple & equira-i- 
lente +Ys , c'eft a dire que la racine quarree 
de 80 eft la meme chofe que le produit da nom* 
bre 4 multiplie* par la racine quarree de f . Car 
j'aydiyife 8* par;, & j*ai trouv* pour quo- 
tient le nombre quarre* 16. Si je multiplie pre-* 
fentement 16 par ; , j'aurai [*]%o. En multipliant 
ifpar ;, je multiplie [^aufli la racine de 1* par 
la racine de f ,& le produit de ces deux racines 
eft cgal a la racine de 80. La racine de 16 eft 4, 

[ l ]'Ctr. 3. de U divifimfag. 41. 



\iC Seconde Ttrtie 

c'cft pour celaqu'on e*crit 4 Y f au lieu de Vs&; 
Ccla eft facile a comprendre , puifquc 4=Vu 
& que multiplier Y 16 par V j ,ou 4 par V f > c'eft 
la mime chofe. On reduira de m&me Y11* * h 
a cette expreffion equivalente 14X34^. Car 
ie plus grand divifeur de n *' b qui puiffe don- 
ner au quotient des quarrez , fcavoir 4 6c * * , 
c*eft$&** # 

Si la grandeur propofee (bus le figne radical 
feoit une fra&ion 5 & s'il&oit poffiblc de la. re- 
duire a une expreffion plus fimple : il feroit au- 
tant facile d'y rcuffir qu'a 1'egard des autres . 

Srandeurs . Car pour cela il ny auroir qu'a re- * 
uire le Numerateur a Ton expreffion la plus 
fimple , & le dlnominateur pareillement a foil 
expreffion la plus fimple 3 & alors ce numera- 
teur Sc ce denominates ainfi reduits , feroient 
le numerateur & le denominaceur d'unc nouveiie 
fraction cgak a la propofee r 

b *c 
Soit , par exemple , Y a reduire a fon 

d df 

eipreffion le plus fimple. Le numerateur fera 
reduit a b Yk c y ic le denominates fera reduit a 

d Yfi dont on formera la fraction * qui fera 

dYf H 

b*c 

. Si on propofeV-1?*'*, mY—^- ,* 

i7 2.7 

reduire a l'expreffion la plus fimple , on trouve 

4 tY/sab 



*y\ 



• Mais le numerateur de cette £t*~ 



Algtbrc. ' irf 

dfon — fc txouyant multiplie* par y t ,ft 

3^3 
etant en meme temps divife par V 3 3 puifque 
la Divi£on d£truit cc que fait la Multiplica- 
tion ; on aura, done encore cette fraction 

reduitc a fbn equivalente ■ ■ c 

3^3 ^ 3 

REMAR QVM. 

Si ©nelevece qui eft etritdevant le figne ra.- 
dical , a la puifiance ex primee par 1'expolant de 
ce meme figne , & fi on multiplie ce qui eft; 
fous le figne radical par cette nouvclle puiflan- 
CC} an lieu d'one expreffion plus fimple , ce pro- 
duit en donnera une plus compofee , & on pour* 
xa mettre le tout (bus le meme fjgne radical, 
pour avoir la meme cxpreflSon qui ctpit aupa- 
rarant la reduction. 

Soit , par exernple, 5 £ y * * /. Si j'&eve 3 b jl 
lapuulance e?prjm£e parV, je trouYerai )bk 
four le quarri4e 3 b • Si je multiplie 9 b b par 
**/, je trouverai tfbbaf, & remettant lp 
figne radical V 4 e v*ot cc produit , j'aurai 
yitbb/tf^*}bYz*f. Ceci fert pours'aflti- 
tet fi on a bien fait la reduction de la grandeur 
irrationnelle , a fa plus fimple expreflibn. 

Par ce meme moyen il eft tres-facile de met- 
tre une grandeur propose fous un tel figne ra- 
dical qu'on voudra , en relevant a la puiffance 
du figne radical fous leqnel on veut mettre cette 
grandeur. Par cxemple , fi on reut mettre b c 

ibus y , il faut fcrire Y b* c * . 
Lorfqu'on reut reduirc des grandeurs tftt* 



1x8 Secondc t Artie 

tionoelles a unm£mcnom , fi clles avoient dej£ 
Iti re'duite* a leurs expreifions les plus Ample* * 
il faut les remettre dans lcur premier ctat , en 
mertant le rout fous leurs figncs radicaux , 
comme )t viens d'enfeigner. 

De V Addition des grandeurs irrttimnelles. 

La mechode generale pour aflcmbler plufieurs 
lacines fourdes eft de les ecfirc de fuite , en mer- 
tant dcrant chacunc le fignc radical avec Fcx- 
, pofant de la racine qu'on veut exptimer , ien 
mterpofant le figne-*-. Par exemple cetre 
grandeur Ybc £era ajout£c a Yfg en cettema- 
niercy b c<+>Yfg . Pour ajouter la racine ctf- 
bique de 7 avec la racine j e dc 14 , il faat ecrire 

Y 7 +Vi 4 . % 

Les grandeurs irrationnelles etant feduites a 
desexpreflions fimples , & etant dc meme nom, 
ou reduitcs aux memes fignes $ fi les grandeurs 
qui font fous lefigne radical font egales , il faut 
ajouter ce qui eft devant le figne radical , & 
laiffer fous ce m£me fignc ce qu on y a trouvc, 
Soit par exemple 4 Y % a ajouter avec 3 Y 1 % 
il faut dire 4 & 3 font 7 , & ecrire 7 Yx pour I* 
fcmmc qu'on cherche 5 ce qui eft Evident. Car 
foit Y t = a . On aura done 4 Yx = 4 * i & 
^Yz=z} * * Done 7 yz=7/» . , 

La fbrnme des racines de 19 & de 13 eft plu* 
grande que la racine de 41 qui eft la fbmme de 
19 & de 13 : de meme que la fomme des racines 
de 4 & de 9 eft plus grande que la racine de 15 



Algtbrfl x% * 

tapieft la fomme de 4 & de 9 . Car la fbmine 
des racines de 4 * de 9 eft;, & la racinc deit 
jfeit pas 4. * 

D« USoHflrs&im des grandeurs irratunvelles. 

Pour retrancher unc racinc fourde d'une au* 
trc , il faut ecrire celje dont on veA retrancher 
& enfuite ecrire l'autre precedee du jfigne ' 

Pour rctfanchej Yf?e de Yk il f aut foije 

Les grandeurs irrationnelles e*tant reduites i 
dcs expreffions firnples , # etant de mime 
nom 1 ; d les grandeurs qui font fous le figne ra- 
dical &nt egales , il faut fouftrairc l'unc dc l'au- 
tre celles qui font devant lc figne radical. Pa* 
exemple pour retrancher y V 7 de $ Y 7 pa 
ccrira pour refte 5 y 7 , 

9* /* Multiplication des grandeurs irratiwnclles, 

II raut les rcduire, au moins , a meme nom 
©a fous des fignes femblables. Enfuite il faut 
multiplier les grandeurs dpnjp les racines fonp 
proposes , Tune par l'autre , & devant le pro- 
duit ecrire Je figne radical avec Ton expqfant \ 
cpmme iletoit a chacune de ces grandeurs aranj 
yi'cilcs fuflent multiplies. 

SoitYdf a multiplier par Vg&j le produis 
fera Ydfg h . Pour multiplier V ? par Y 6 , ii 
faut ecrire Y f 4 qui fera le produit. 

Pourrendrc raifon de cette maniere demulti-r 
pjier les racines fourdes , il faut remarquer que 
la racine du produit de deux puiilances de nueinc 



tjfc' Seconde ? Artie 

nom multiplies Tune par Fautre eft egale &tf 
produit des racines de ces deux puiilanccs. Car 
fbit le quarre** multiple $*tyy* on aura 
xxyy dont laracine quarree eft xjr qui eft le 
produit des racines # &^ des deux quarrez x x 
& yy- De meme , fi on multiplie le cube/ 1 , 
par k* , on aura le produit fffhh b dont la 
jcacine cubique fh eft egale au produit des ra- 
cines cubiques / & h dc ces deux puiffances $ ce 
2ui eft auflj Evident pour les autres puiilanccs, 
)t a regard de ces grandeurs , par cxemple Yy 
&Y6 y j'ai confiderc 9 & 6 comme des quarrez 
dont les racines fonr inconnues. Soit Y 9 = x % 
&Y6=z,i j*aurai9 = ##j& 6—z, z, . Au 
lieu de multiplier 9 par 6 , on peut done multi- 
plier ce qui leur eft egal , fcavoir x x par *. z 9 
Sc on aura x x z. x. = j 4 , dont la racing 

XZ"=zYs^* 

Si les racines fourdes qu'on veut multiplier 
l'une par L*autrc,etant de meme nom , ont au/G 
etc rcduitesades expreflions plus fimp les $ il 
faudra multiplier les grandeurs qui precedent les 
fignes radicaux , Tune par l'autre , & ecrire le 
produit devant un de ces fignes, II faudra audi 
multiplier les grandeurs qui font fous les fignes 
radicaux, & ecrire le procuit fous ce numc fi- 
gne j alors on aura le produit qu'on cherchoit. 

Soit b Yc a multiplier par fYg , je multipli- 
rai b par/, & j'ecrirai le produit £/*cevant le 
figne radical. Je multiplierai auflirparj:, 8c 
j'ecrirai le produit fous le figne radical Y pour 
avoir ce produit bfY eg. 

De meme fYt ctant multiple par }Yf 
donne pour produit if Y 14, 

Pour faciliter davantagc la multiplication de 
ces fortes dc grandeurs dans toures les circon- 

ftance* 



Algthre. 131. 

ftances.il faut remarquer qu'on peat ccrire 1 
dcrmt oa apres le figne radical , quand meme 
x/nts'yferoit pas trouve auparaYant. Parceque 

fsaUBxtfs^s^Vi , Ccft a dire 

J 1 

que de?ant a on [*] fbuflentend 1 - 9 on confidere 

comme unc premiere puiflance [*] dont Pex- 
poftnt eft 1 j on confidere a comme une fra- 
ction p] dont le divifeur eft 1 $ enfin on confi- 
dere * comme multiplie par Vi> puifque Yi = r, 
•a qac 1 eft la racine de toutes les puiflanceg 
de 1. Ilfautdire la meme chofe de toute autre 
grandeur firnple , par exemple *b , ggh , &c, 

C'eft fur ce principe que , pour multiplier 
cetce grandeur dfYg par Y h m y au lieu de Yh m 
fecrirai 1 y £ w . Et , comme je viens d'enfei-. 

fner , je multiplierai^/pari , ce qui ne pro- 
uira que df y enfuite je multiplierai g par hm % 
pour avoir ghm y &clc produit que je cnerchoi* 
itxzdpfghm. 

Le produit de W*/par cV*/eft bcYa aff. Or 
dans ce produit b cY* aff y on trouve a a ff qui 
eft unquarre dont la racine eft a /qui mukiplie 
b c. On trouvera done que bcY* *ff~ k c *f 9 
en multipliant b c par Y fi*ff. Cela fait Toir 
que,quand on multiplie des racines fourdes Tune 
par l'autre , fi les memes grandeurs fe trouvent 
feus les fignes radicaux de la t c puii!ance,lepro- 

1 duit des grandeurs qui precedent les fignes radi- 
caux 6tint multiplie par la grandeur qui fe trou- 
ve fous uji de ccs fignes , donne le produic qu'oa 
chcrche. 

Enfin fi on multiplie *fYb d par j V b d , le 

\ l ]T>emande ;. d'Algeb. fag. 79. 
I) ?*g- 9U & ?*• & e f- y & 7- 



lit Seconde Pdrtie 

Joduit fe» **/". De mime cette grantor 
\f. h multiplied parV/i*. ou ce qmcft 1* 
mime ehofc t iYfth fit xYfgh, fait «/* * 

*S11 y'a des fraaions dmnt le figne radical, 
•u fous k figne radical , mcme devant & apre« 
ce memcfigne $ la multipUcation deces racinei 
fourdes nen ftra pas plus difficile. Soxt la 

grandeur LZjL i multiplier par/VO ou, 
ee qui eft lameme chofc,i_y JLp«— y Lj 
le produitferai/y^, qu'on rcduira i ; 

j£ y*i Parceqtfen diyifanp ?** par fc , on t 
ft ^ 

jour quotient lequarrf — ,dontla wcine~ 

it */ 

aaultipbe — ♦ 

Si on xnultiplie — V-£-par y h , ou par 



£ 
6 



»4- V — qui eft la mcmc chofc que V* , °& 

aura •— *V ^7- P our * c p r °duit qui eft igal i 
c h 

*—Yf. Parceque ~- as/. On dira la mime 

$hofe des autres. 

Aprfs ce qu'on a tu jufqu'ici , on ne trouvera 
aucune difficult^ dans la multiplication i « 
grandeuxs iuacionnelles complexes , e'eft a dire, 



Ahihre; 13; 

ibnsla multiplication des grandeurs irration- 
aeilcs compolees de plufieurs parties. Car il faut 
hist la multiplication de ces fortes de grandeurs 
a la maniere ordinaire , en multipliant chacune 
des parties de la grandeur a multiplier , par 
chacune 'des parties du multiplicateur , & la 
ibmme de tous leurs produits former* le pro- 
fit total. 

S^itf^rgYm a multiplier patf^gYm . 
Aptis les avoir ccrites Tune fbus Tautre 5 je dis 
/ multipli£e par / fait //, j'^cris //. Enfuite je 
dis gYm mukipliie par /, Fait fgYm que ]i- 
cris. Je dis encore , 
/ multipliee par# Ym f-*- g Ym 
fait fgYmcpt j'e- f+gYm 
cris. Enfin g Ym mul- —————. 
tiplice par g Ym, fait //-*" ft Ym 
%gYmm=zggm que fgYm^irggm 

troure pour le pro- lJ w r**Tl'"HrW*. 
duit total //•*• tfg Ym ■+• ggm. 

Je trourerai par la m&me Methodeque cette 
grandeur f /•*• 5 h Yd multiple par if—mYu y 
&itioff+6fhYd— S mfY*—)mhYd». 



Si on fe pro ppfc mYnu^rxy & multiplies 
par Ynu-trxyi on trouvera mnw+mxy pour 
produit,Car nu&xy Goat con£dcr6es comme une 
feule grandeur qui eft fous le mime fignc radical. 



Or nu + xy c&lequzircfey nu-lrxy. Pour 
multiplier ces deux grandeurs Tune parfautre il 
fuffit done d'dterle ugne radical^ de multiplier 
num+mxy par m qui precede. De meme , fi on 



multipUc * Y b f+ ce par *V*/«+*f, lc 



134 Seconde Tdrtie 



produitfcra b'f*t~bbcc. Mais bybf^cc 



multiple par bYbf—c c , fait bbVbbff—c*. 



Parceque bVbf*4rcc , & bYbf—$c ne 
font pas la nicmc grandeur. 



Si on avoit m Yn u-tr xy a multiplier par j 
fgm—hm )i\ faudroit mettre fg — h m fous lc | 
iigne radical comme j'ai enfeigne ['] j & alors j 



on auroit tnVnu •+■ x y a multiplier par 



Yffgg — ifghm'+rhhmm . 



Enfin fi on mnltifU.tVbc^rYmm — ux 



par V£r — Ymm — ux , lc produit fera 
I, c — mm—u x , Pour entendre cela, il fuf- 
fit prefentement de faire attention a l'opexa- 
tion. 



Mult. ybc^Vmm — ux 



Par Ybc—Vmm — ux 



bcw+*V bemm—beux 



-~Ybcmm~~bcux-mmfn+uM 



Pr$duit be — mm^ru x . 

On trouvera par la mktaC mcthode que 
p] Pages 117. & lit. 



/ 



Jtlgibrt: lj$ 

b^Yu x+y z, ctanc multiplicc par /» — 

Vux^ryz fait mm-~Hx — yz. 

La multiplication des racines fourdes £tant 
aflez importante pour qu'on tachc de prevcnir 
toatesfcs difficultes aucantcju'il fcrapollible , je 

r - r ~ erai encore un exemple. Soit V*£h* 



y * a _ . * h a multiplier par V* b -—Yta—bb; 
afin de rendre cette operation plus fimple , (bit 
*b = m y & *•* — hbzszn . J'aurai done i 



multiplier Vr» ^Yn^tVm^Yn dont le 



prodait eft Y mm Hrm Y n*— otV»— »=: 



Ymm— ;» rrr:)^**^* — *4t+.^ , en re- 
mcttant au lieu de jw & de » ce qui leur eft 

Pour exprimer le produit de deux racines 
fburdes multiplies Pune par l'autre t on fc con- 
tents quelquefois de les teire Tone apres l'au- 
tre, & on interpofe lc figne de multiplica*. 

tion x . Par exemple pour multiplier Y ab + bc 

S 5 ^ f 

par V bd , on £crit Y ab«+>b c x Ybd . 

* £ M A K'9JV E. 

Ic produit de deux racines fourdes eft connu 
lorfque lc produit des grandeurs dont on a ex- 
primc ces racines eft un quarre. Par exemple , 
on connoit que le produit. de Y u multiplicc 
parVjcft^=yj^ 



% jC Second* Partie 

De U divlfim des grandeurs irrttmneUei; 

II faut les reduire au moinsa mftme nom , 
m (bus des fignes fcmblables , comme dans la 
Multiplication. Enfuite il faut 6crire la gran- 
deur aont on exprime la racine a divifer , 8c aa 
deflbas il faut 6crirc la grandeur dont la racine 
eiprimcc eft le divifcur. Enfin il faut interpo- 
fer le figne de division — , & devant le coat 
mettre le figne radical. 

Soit V a b a divifer par Vcd y \\ faut cerire 

*b 
V— ; * Pour divifer / par Yg , il faut fcrire 
cd 

f y* 

Zr m Pour divifer Y i parro.il faut cerire — ; 
Yg r 10 

Pour demontrer cette operation 3 foit Vigssj^ 

x% y 
et Yy =# : Je dis que V — s=r — • Car,; 

7 x 
puifqu'on confidere i$ comme un quarrc" done 

la racine eft y , on aura il=yy y de meme 

7=**. Doncy— =y^.= ~W»^ 

7 #* x 

qtf'tl falloit demontrer. 

Si les racincs Gourdes qu'on veut divifer Ynne 
par Tautre c*tant de mfcme nom , ont 6t& redui- 
tes a des expreflions plus fimples ; il faudra di« 
▼ifer les grandeurs qpi precedent les fignes ra- 
dicaux, Tune par Tautre, &£crire le quotient 
devant un de ees fignes radicaux. Il faudra auffi 
divifer les grandeurs qui font fous les fignes ra- 
dicaux , Tune par l'autre y & fcrirc le quotient 



Algcbre* xj7 

fas un de res mSmes fignes ; & alors on aur* 
k quotient qu'on cherchoit, 
Soit dh Y m a divifer par fh Yn , ' j'^cri^ 

par jV4 , jc trourc iLyJL sssJLVisa 

7 « 7 
I 

f 

S'il 7 a des fractions dans ces grandeurs ir«# 

rationnelles » la divifion de ces racines fourdes 

b 
n'enfera pas plus difficile. Soiv^Ygn i di« 

d 
vife par yVhx% il hat divifer la fra&io* 

-^par _, $c le quotient {era -—.que j'ecri- 
tn f dm 

rai devant le figne radical , * fous ce meme 
figne j'ecrirai les gtandeurs gn & ^* en fra- 

fiion , decette maniere -£ Y *— CC qui CH 

dm h x 

primcra le quotient que jc chcrchois. 

Pour divifer — y — par mYn x , ou pa* 

n n 

m ^.nx . m „mx 

■ — V — -, je trouverai — . y — peur quo- 

tient qui eft teal ar^y — * 

Pour erprimer le quotient d'une racine 
fcurde divifee par une autre , fouyent on ne fait 
qu'ecrire la grandeur a divifer avec fon figne 
radical , & au deflbus on ccrit l'autre grandeur 






u8 Second* Ttrtie 

suiffiarec fon figne radical , & on incerpofe fe, 

figne de dirifion — . Par excmple , pour di- 

- — , * j x • y^^f 

yi[etYsb + i>f?*tyc d , on tetf 

Ycd 
$ 

f * Y\X 

Poir dixifcr V58 par V», on ecrit • DC 

Via 
mcme dcs autres* 

Z>ES COMBINAISONS 

& dcs changemens ctordre. 

UN nombre dc chofcs £tant d&ermihe , fi 
on les veuc toutcs prendre deux a deux , 
crois a trois , &c. & trouver toutes kurs difpofi- 
tions ou conjon&ions -, I' artifice dont 011 fe 
fen pour 7 reuffir exa&ement eft appelle Com* 
bty/ttfon. Si je veux , par cxemple, combiner cei 
quatrc grandeurs , ou ces quatre lettres de l'Al- 
phabeth , * , e , i , . & trouver toutes leurs di£ 
portions en les prenant trois a- trois j j'obferve 
un ordre , en commeric^ant par * $ & je combine 
a avec lui-m£me , & arec tous les autres e , 1 , 
&c. en cette forte > a* . a e. at . ao. Enfuite 
je combine e avcc a , ayec e > &c. en cette forte 



r Algt%r£. Ijj' 

**.€€ . ei.e* , Je fais la mfcme cho/e 4 regard 
de i$ dc mtme enfin a regard dc # . Et je troure 
.queers quatre lettres *,e.,t , # 4 peirrcnt toe 
jcombirrees en ferze jnanieres diSerentcs en let 
prenant % a a. Pour les prendre.) a 5 , je com- 
mence a combiner * arcc **,**„ Jcc. 4c j*ob- 
ferve le meme ordre que dans la premiere com* 
4>inai(bn., en combinant enfuite 1 avec 4 s 9 at, 
Zee. Je trourc que ces 4 lectres peurent ctne 
.combiners en 64 manieres en lei prenant 3 a j # 
Ge qui me fait appcrcevoir que , ft je multipUe 
J64 par 4 qui eft le nombre de ces 4 lettres $ jt 
jTrouyerai qu'on peut encore combiner ces 4 
lectres en tf6 manieres , en les prenant 4^4, 

f'epeux fuivre la meme merhode poor les nonv- 
res qui feront plus grands. les Logiciens con* 
noifTent Kutilire de ceci pour rrouvcr loirs 4+ 
modes. Jeme fuis aufi-fem de cette methodc 
pour trouver trois parties differences dans la 
prop. 14. de la Geometrie , & pour ea trouver 4 
aans la prop. 14. Dans cette derniere octafion 
je neglige les combinaifons dans Wquelles la 
mSmc grandeur fe rencontre deux (ois, 8c celles 
qui ne font diffcrentes que par la tranfoofitioa 
des grandeurs. Parcequ'entre quatre diffcrentes 
tholes proposes , j'ai intention d'en - fuppofer 
deux & de prouver les deux autres,. L'art det 
combinaifons eft fouTcnt fort utile. 

Leschangemens d'ordre ont audi leur .merite 
particulier. Ce n'eft autre chofe que la methodo 
,de trouver en combien de manieres plufieurs 
choCcs proposes peuvent etre plac6es -differem- 
menr. Je yeux fcavoir , par exemple , en com- 
bien de manieres differefttcs ces quatre gran- 
deurs , ou ces quatre lcttres *,/>|>^> peu- 
rrznt ttre placees. La premiere e prifc feule nc 



140 Sccondc P Artie , 

peut £tr£placce qu'en une maniere, Mais fl om 
lui joint la * c ,/ y on trouye qu'on la pent pi** 
ccr en deux manieres. Car on peut mcttrc/ de- 
cant ou apris t y ce qui fcra jccs deux change- 
mens de place fe 9 ef. Si on 7 ajoute .une $° 
qui eftg : il eft Evident qu'on peut mettre^ en 
trois places de fe , fjavoir au commencement % 
& cela fera^/e 5 au milieu & cela fera/^ * $ £ \ 
i la fin , & cela fera fe g. On peut auifi faire U 
jBieme chofe <Lans rf , Ce qui fait voir qu'on 
peut placer xrois chofes en fix manieres different 
tes. Si j'ajoute une 4? lettre , je confidere que 
cette 4 e lettre peut fe trouver en quatre places 
dans chacun des fix changemens dont on a trou- 
ye* que trois lettres ctoicnt capables. D'ou je 
connois que quatre chofes pcuvent ctre piacees 
en fix fois quatre differentes manieres > e'eft a 
dire en yingt^quatre. Ce qui fait encore voir que 
ii j 'ajoute une f lettre en fuivantle mime ordre 
qu'on yient de pratiquer $ ,elle peut faire yingt- 
quatrc fois cinq changemens : & ainfi defuite, 
Cette methode peut fenrir , entr'autres ufages, 
pour trouTcr tous les changemens pofllbles des 
lettres d'un nom , afin de choifir celui qu'on 
▼oudra.C'eft par ccmojen qu'en nefaifanr que 
changer de place , les lettres du nom | d'un 
fcavant Philofophe de l'Uniyexfit£ de Caen f 
nomme* Petrus Csli , on a trouyc Pater Lucts, 
Eft tranfpofant les kttres du mot Logic* , pa 
wouve C4*g°. 



AVERT.ISSEMENT 



A 



- Dans les dimonftrations fuivantcs des propor- 
tions des grandeurs , j'employerai les expreffionf 
gcnerales d'Algebrc , croyant pv ce moyej| 



taftieox fatisfaire aax applications preiqu'infi- 
i&squ'on peut faire des veritez que j'y etablirai. 
Je prefere cette voye univerfeile , l'eftiinant 
davantage que la maniere dont on a coutume de 
fe fervkdans la Geometric .dans laquelk , pour 
demontrer ces memes Veritez', on employe ordi- 
nairement des lignes _$ & aprps cela. on pretend, 
qfie ce. qu'on.a dejiiontre par .ces lignes , &il'fc. 
gaxd de ces memes lignes , doit avoir la meme 
certitude poor les furfates , lesfolides, lesxiom- 
bres, & pour toute autre efpece de grandeur. II 
arrive meme afiez fbuvent qu'on fe coutente. 
dans ces circonftances de s'exprimer par des 
cliif/es. II eft yrai queles chifres font utile's pour . 
rendre plufiears veritez plus fenfibles ; mais ils nc 
peuvent jpalfer que pour dps exemples. qui nc. 
peuvent fervir de preuve,folide pour une demon- 
(tration generale. 

Ceuxxpi commencent a s'appliquer a Tetude 
des Mathematiques , trouvent fouvent de la dif- 
fipulte a croire que les demonftrations des pro- 1 
portions faites par ces deux dernieres methodes, 
ayentautant d'etendue* que. leurs Auteurs leur en 
attnbuent h c'eft pour cela que j'ai mieux aimc . 
deuiontrer ces veritgz oar dps expr,eiEons d'Alge- 
bfe , qui conviehnent & toutes fortes de 'gran- , 
dears ;,-afin de pefuvoir me fervir de ces memes* 
veritez Comme de, principes inconteftables y . 
tint dans ,1a Geonletrie , que dans le refte des ,. . 
Marnemariquesv Je ferai en forte ,que la maniere : 
dont ces veritez y ^eront demontrees diminuera . 
le nomfore des .proportions y fans en diminuer l'£- ;; 
tendue'j que la/riouveaute des d^monftratiqri%»c., 
ptrtera aucttn pi&udi#La lep$ fimpjicite ><&> 
confervera \sl verite dans fa force , daiis fa pu- 
ree t & dan's fon'sv^^ qui ea.eft 1& caratipje 
infeparabte. " * ' 1 "j 



i\f Second* PaMe. 

wmwmmmwwmmmmm 

DES PROPORTIONS 

DES GRANDEURS 

EN GENERAL. 



PREMIERE PROPOSITION. 

Zn fofttM iUs tfttnts txtrttttts ttufft fyopoftitfl 
Ar'ttknutujut , tft 4g*le % I* form* drs term* 
moyens. 

DEMONSTRATION. 

SOient <n proportion ArithmetiqHe,ces qHacte 
grandeurs d .fig. £5011 z. 7:7.10,116* 
dtmomrcr que l'additien de d ayec £ , forme «st 
fopime 06 total egatea ceIlede/& de j $ c'efti 
dire , qae 4-|- A B/-t*£ f on qne i -t-10 «cf 

Qae la difference de 4i/fok jnomme«£,fe 
la difference de jr a Ar fem done f ) iraffi *. Done 
fi ^</ &f <* , U eft fcpidem {>) <auc *** 
=*/*, & que* -^6 =fc fie pactant ks quatft 
tetones decette proportion pewvent ^trc reduits 
icette c*pre(fion W. d-*>$v.g. %•*>*. H 6« 
<tef*t dementrer que k premier eermc 4& k 
dfcnkr qmeft£^*£ris*n&mfek, feat ega«* 



atotane *«♦•*,* **-fmme tfA eft g ,pt*» 

cafaable , c'eft a dire, que W-+-;~«-*k4 
■f^*t-£.<3e<|tii eft Evident > pa&Mie de pan & 
denize da fignc d^galkc ii y -a des grandeur 
egales entr'elles , <?* qu'ilfidhit Mmmttrtr. 

$U>/& g^> h y hi demonstration ferafiu- 
te comnae la precedences an lien dtt premier ter- 
nei, -on (*) prendra * »♦-/$ att fiett 4c ^ on 
prendra b-±-h $ on bien an lieu da fecond terme 
/, on prendra rf— *j ftauliea deJ^-on pre** 

Cette proportion 1 . f t 7 .lo.^tam 1a m&ne 
que ceUe-ci, x.a-4-j : 7 . 7-1-3 , il^ftividciie 
one Icstctmcsjnoycns 4*4-3*4-7 C»tiam^mo 
chofe que Ja ibmme des extremes 1 -+- 7 -4- ) j ft 
panant qa^y* ogato6«de pott 4c d'attofc, 

COKOL1AIRE 1. 

©one ftam une progrdfion Ardrfameriquela 
fenune dc dcax termes igakment Hoignez det* 
deux extremes > eft fgale a celle des extremes. 
Swc une progrelfion prife a volonte* $ par exem- 
pt , -J- d. e. f. g. b. Ces termes *&£ foot iga- 
Ifenrnt Uoignez des extremes i & * 5 il fane de- 
ihontrer que *-*•£=<*•»*■£. H y a (*) mfcme 
difference enne d&*, qu'eawe^-fic*. Done ces 
4 grandeurs d. e. g. h. font en proportion Arith- 
wetHjnc 5 & p) panant 4 -f» &==*-+-£, 

COfcOLLAIRE II. 

* t)ans one proportion continue, on dans and 

(* ) Ax. 1. *AXg&. (') Dif. 8. J*, fc. 

Liu; 



nS Second* ? Artie. 

pfOgreffion dpnt.lenpmbjre des* termes eft Im- 
pair , le double du terme du milieu # eft egal i , 
Momoie des termes extremes. Soit cette progte£~ 
£pn Arithmetique ~ *: b. c . d* e >' dont le terme . 
du milieu eft c k Qc termc c tient ( ! ) lieu de dear 
termes y fcavoir de. con&quent a b , & d'antece- 
dent a ^., Ce. feul terme cunt repete .peut done ' 
tenir liett de deux termes moyens , & avec fr&d. 
fake cette proportion b, c : e. d. Et ( 2 ) .partanc^ 
icz=b+-d 5 raai* on fcaitf'Jquei'Hr'J — *-*-'• 
Done auffi ic=/» -+» *. On dira par la meme 
raifbti que la fotnme des deux extremes des trois 
grandeurs qui font en proportion continue 
Arithmetique^ft double de la grandeur moyemie, 

COROJL^,A,IRE. III. 

Done pour trouver'a trois grandeurs donnees 
line 4 C prSportiohnefle'Aritnmetique , il faut 
fretrancher la premiere de la fomme ties deux 
amres. Puifque cette fomme eft egaiea cellede^ 
la premiere & de la 4 r , ice qui reftera fera la 
4 e proportionnelle cterche'e. Parexemple fi on 
a ces trois grandeurs f,g , h , on aiira pour 4° , 
proportionnelle g «+• h — / j e'eft a (lire, qj»C 4 

CO ROLL A IRE IV. 

Pour trouver a deux grandeurs donnees unc^ 
f continufcmeriV proportionnelle Aritnnietique / 
il faut retra.ncher la premiere du double de la z e j 
par exempfe i. b 5c xx } 6n4rouVer'a poor j* pro-* 
pprtionnelle xc — b ■> e'eft a dire quer-r^* 

(') Def. 7 . £A\g%b. (*) Pro}.j>ri{entt< 



\ATge$re. Uft 

GOROLLAIRE V. 

Pour trouver entrc deux grandeurs donriees line 
moyenne proportion nelle arithmetique, il faut prcn- * 
dre la mokic de la fomme die ces deux grandeurs ' 
donnces ; cette moiti£ Cera, la moyenne proportion- 
nelle cherchee. Par exemple, entrc 1 8c £ je trouterai* 
5 pour moyenne proporrionnelle. Car fok. appel- 
lee x, cetce moyenne proportionnelle cheichee 5 
j'aurai done i. z : «. S. Alors ['] 1* sss to- Done' 



»'. 



PROPOSItlON II. 

£* froduit des termes extremes tfune prapertim 
gtomttrique eH toujour $ Jrsl ou froduit 
des termes .moy ens, 

DEMONSTRATION- 

Soient quatre grandeurs qui torment une propor- 
tion geometriquc a , b :: c . d. Je dis que. 1c pro- 
duic des termes extremes qui eft a d, eft cgal aupro- 
duit des termes moyens qui eft bt* 

"Je nommerai x l'expofanr da rapport dc * a b ,, 
e'eft-a-dice que £■ sss ** le produit kx <to quotient; 
x multiplic par k divifeur* fcra ['] egai a> gwk 
dear adi?ifcr/». 

•■ - .1 '■ 

['] ?w/. prefmte* 

[*] Cor. 5. <fe k 'inqf. Ai #*»*• /*/• 4* . 



» • , , ..... . .. . j, » 



fJG 1 Sectndt Pdrtie. 

Le rapport de c a d eft [«] egal a celui de 4 a £ -, 
J'aurai [*] done anffi £ =r* 5 & [*] <** = *. 
, Jc viensde d^montrcrqueranteccdent .*==£# & 
que rantcccdcnt e = dx •. prefentement je demontre 
que lc rapport de bx a b , eft egal au rapport de 4 a 
f i & que lc rapport de <f* a d , eft egal a celui de * 
4 ^. J'ai nomine* x l'expofant du rapport de * a £ $ 

bx.b : : a . 4. 

dx . d : : r . <*. 

D *«^ , b ndx.d. 

Done bdx = bdx. 



Pone bxz=za. Done dx=x 



deft cVident [♦] que l'expofant du rapport debxib, 
eft auffi*. Done (•] bx .b : i*. b. Je trouvedem*- 
me que l'cxfofant du rapport de c a **cft abpell**, & 

Jue l'expofant du rapport de 4r a W eft f+ 1 auffi *. 
>oncdx,d::c.d. LJ : 

En Ja place de la grandeur * je peux done p] fob- 
frituer bx y & enla place de * je peux aufli lui fobftf- 
tuer dx Enfin an lieu de cette proportion s.b.\e.d % 
I aurai fon &juivaleme, fcatoir ,b*.b :: dx.d. 
. Nparoitevidemmentquc le produit des termes 
extremes de cette demiere proportion eft egaFau 
produit des termes mo/ens ; e'eft-a-chre qt* bdx 
~*dx i puifque de part & d'autre du figne d'ega- 
Jitc on appcrpit les memes grandeurs. Or multi- 
plier Tun par f autre les deux termes extremes , 
* i un par i'atitre les deux termes moyens de cette 
lecwjvtepeopQrtipn kx* b-.xdx.. d. Celt [/] k meme 



ftrfufpofit. 

Cor. i, def, iu fAlgob. fug* fy. 
Cor. ydcl* divif. des Nomb. png. 4U 
Cor:*. ZUfr iu d'Algob.fsge 6+ 
[•J Demsndo i # &ner*h,pag, j. 

diofe 



i 

41 



. Algebrr. »jt 

chafe que multiplier l'un par Pautre let deux ter- 
mes extremes , & 1'un par i'autre les deux termes 
moyens dc la premiere j puifqu'on vienc de voir que 
ces deux proportions font Igales en routes manieres. 
Done ad s=zbc , ce quilfalloittttmontrer. 

En appliquant cette proportion general* a til 
exemple particulier qu'on voudra , comme a cette 
proportion 6 . t : : if . j . on trauvera toujoors que 
txf =xx i;=3o. 

De la meme maniere que je viens de faire vo?f 
l'Egalit.6 ou Equivalence des deox analogies 3 e'eft 
ainii que dans le Corollaire de la proportion f fui- 
vante , &c il eft facile de faire voir que les deux 
rapports de cette proportion dx . d \:gx ,g . fonc 
cgaux aux deux de cette autre analogic c . d ue % g* 
pour conclure enfuite que ce qui (era dlmontrt, 
de Tune de ces deux analogies fcra aufli d6mon««* 
trc de l'autre 5 parcequ'elles font cgales en route* 
manieres, Prefque routes les demonltrations des tfc 
Proportions fuivantes fans en excepter meme la pre** 
mierepartie <ie la proportion 8 e dependent de cctsd 

feconde propofition & de la j e . 

« 

CO ROLL AIRE I. 

Dans une progreflion geometrique , le produie 
des deux termes egalement eloigncz des deux ex- 
tremes , eft e'gai au produit des termes extremes* 
Par exemple dans cette progreflion -77* .b .c ,d.t * 
1 )f$ termes b tc 4 font egalement Eloigncz del 
j extremes a & e , je ms que bd = ae, Car puif- 
que [«] la progreflion eft une fuite dc rapoxts egaux 

['] *>ef. if. tAlgeb. fag. tf. 



nu Seconde Parfie. 

critr'eux ;'on a * . b : : d . f . Done [*] W == 4*. Orl 

d^montrera dc mfcme que rt = W. " 

> 

COROLLAIRB II. 

•Pour trftuver a trois grandeurs donnfes une 4 
grandeur proptortiohoelle geometiique , llfauc mul- 
tiplier ia ,V- par- la i e ; 4c dfcifer le produit par 2i 

^Ce 1 Corollairc eft le fondement de la Regie dc 
proportion,, fes lifages font en tris grand nombre* 
Soient par exempleces 3 grandeurs 11 . 8 . 50. . auf- 
- - Q *\ quelles je cherche une 4 

u . 8^30 . x. J proportionnelle geomem- 
U* _ 240 • ( ^ uc . cVft.a-dirc, que ces ) 
x _-. 10. 1 nombres m'etant propo- 

_ I>^ u . . I :: 3. . *•• 3 fcz ^ jc vcux kur c & rchrt 

tin 4 C nombre auquel le 3* qui eft 30 , foit comme it 
fCt a 8. Je nommerai x cette 4 e proportionnelle } & 
mtthipHant 30 par 8 , Je trouterai [■] iix = 240. Or 
fe n e partie de u* eft [*] £gale a l*ii e parne dc 
**© 5 cVft-a- dire que * = io. Je connoitrai done 
que .lataleut de x , ou dii 4* terme, qui eft'le*lom- 
b*e que je chcrchois , «ft 16. ' 

En general pour trouver a ces 3 grandeurs/, £ *» 
one 4 C proportionnelle, je multiplier par h ; enfuitc 
je divifele prcduic;* par/' & fai pour 4 e propor- 
ttonnellc S J 5 parceque [ x ] le produir des mojenncs 
gh eft £gal au produit de la premiere grandeur mul* 
tipHle par cette 4 C propottiortnelie inconnue. Prefen- 
temenr je pair prendre[ »] le produit^ pour y celui qui 
fcroit Tenu de la grandeur/, & <fc i*quatn&iie qui 

PI * r "!?« prefente. 

P] Dsmmde x # f «w, to**, n 
■■ ■ cftinconnnc 



r Algehre. \y% 

«ft iaconnuc , multipjiecs J'unc par l'aipre 5 & 
paitant cn.3ivifant ceprbduit^A par/, lc quo- 
tient. (*) fera necejfairement la 4* grandeur pro- 
poxtionnelle incoiinic qu'bn chercioit • c*cft £ 

• ■ r h 
4ixe ? que/. g:\h . — . 

T' » 

C6"R.ptLA*R.B HI. 



». ! 



Done lorfau'on trouve une fraction Jont, 1^ 
namerateur eft un produic , il eft facile d'y trot**' 
rer 4 grandeurs proportionnelles. Soit par exemh 

pic — : : on trouvera ces 4 proportionrtejlef 

c * : : P P — , 011 1, * • : *. - — , Puiiqu-on voitf 

ivideminent que — ■ eft unc 4 e proportionneiic 

au divifeur * & aux deux racines * Sc b du pfQ- 
4uit /* * # 

COROLLAIRE I Y. 

Dons jioujr trouver a deiix grandeurs dpnnceaf 
«ne 3 e cbntinuement frqportionnelle geometri- 
que , il faut divifcr le quarre xle la i* fir lit 
premiere , & le quotient fera la j e proportion-* 
nelle cherchee. Par exemple ioient les deux 
grandeurs* 8c &, je dis que leur j e continue? 

ihenr prpportipnnellc fera — $ c*eft 1 dire que 

b b * - * 

*jf *. £. — , Puifijuc cette pilpgie eft [*] tyh. 

1 



outr Second* Ttrtiel 

latente* criXtrd *. b \i h. — ce qui review I 

^ aui^cft foaw£ dan* le Corollaixc * precedent., 
£nfin entrc deux grandeurs donn£es ,' on aura 
ra. pour moyenne progprtjoiuieUc la*, racing 
quarrie du produit de ces deux grandeurs, 
par exeirjflf entf er ft & i$ , on. ajira pour 

Hioyenne progortionnelle iT^i > c'$ft 4 dir^ 

rtxe-^J.r^.x*,, ,V : 

ft * 

PKQ POSITION II R 

jtiktftdwtdttferm* extrSmfs detyttonfffindemt 

* 'j* £g*l*»fr<fduil Ms tfrtMs mytns , us (juAtn 

DEMONSTRATION. 

Cette propofition eft la converfe ©u reeiprdy 
que de la nrccedsmp.. Soit, 4 4^=^^ ^ jje dis que 

* * b : ; c . d . Car fi** n'&oit pas a. * comme 
*.*M Ufeudroiiuque la, grandeur * fut qpp 
jyande. ou, trpp. petite .$.&. parcant pour, avoil 
* u £ : : e , d . U faudroit,auj;aienter on dimi- 
nu£r.*de<psqu'il ferpjt njecefliire poureela.Sap-' 
pofpns. , paj.exenipfe^ au'il faflle ajouter a a, la 
grandeurs. On aura apnc * -*r »i . f : : c . d • 
& partant [*] ad~fdm ferateal'a *"«: mai* 
|f] aju& #fte=* * , Ufwfepit done [*] que 4^ 
Jt*dm=a rfjC'eft sfcdire que le tout fut^gal a una 
^,ftsfpt|^ic$^ c&qui cft^IW?^^'^ ayoi - 
faUu ictrancher m de * , on aurpifc done c| 

p] *<*• %. P3 *i«^*. 



m-m % b :: t >d. Et partant ( l ) nd—dm 
szhy mais (*) Ad.=bci done (*) *d — dm 
aaroitcte cgal a *4, c'eftftdireque ad~-dm, 
qui n'cft qn'unepartie de i^ausoit etc egale au 
tout * 4 ,ce qui eft t 4 ] encore impoifible. Done 
fin fuppofant tf ^= £* i fi* n'etoitpas a 4 com.- 
ine 12 j/, il faudtoit que le tout rut ejjal a une 
de fcptxties $ done ae meme qu'H eft impofli- 
Jhle qu'un tout (bit egal a une de &s parties,il eft 
pardlkment impoffible que * ae (bit pas k& 
comme f * d. Done a . J : : <r • 4 •. lorfque 
fkdzzzb c y ce quilfsllok demon frer. 

Ces fortes de demonftrations font appellees 
indirc&es , qur font roxr qu'il eft impoffole que 
la chofe fbir autrement que comme oh la pro-* 
pofe j pareeque fi elle etoit antaement , on fe- 
^oit obligt a'accoxder une chofe evidemmeqc 
faufle , contraixe a un axiome. La demonftra- 
<tion uuvante eft dire&e , parcequ'on y fait vojr 
que par une fuite neceflaif e des principe? qu'on 
a etablis * la chofe doit ctre telle <Ju'oa la pi^ 

Soit *d=zeb 9 je d*s que s m b :: c .4. cat 

(bit -p =/; aonc (*J kfz^*-, & partant dan* 

le produit *</ en fubftituanc (/ au lieu de # ; 
on aura £/i =?c J , & divifant le tout par £ ;< 
oa aura fd=zc $ parceque deux grandeurs 
jEgales etant diyifees par deux grandeurs egales f 

{*) Fr<f. i. (*) Parfiiftof. ['] Ax.i%.gmerxl. 
[*] 4*. *♦ £*»• (*) Cw*. }. A /* dkrif. fag. 4$. 

At 



* 



^ \ 4 Seconde Ttrtle. 

donncnt des quotients egaux entr'eurjCelaeft PJ 

Evident. Or au lieu de c troifipme* de ces 4 

frandeurs a . b . e . d . fi on fubftituc la gran- 
ear fd qui lui eft egale , on aura * . b 9 fd; 

fd 
d -, on treuvera encore ~ =?/ # Mais [ a ] 

4- =/. Partant (*) * . J : : fd . d . 6c rc- 

mettant au lieu de la grandeur fJL (on cgafe : 
* , on aura * • 6 : : ; • 4 , u quu falhit de* ] 

COROLLAIRE. ! 

On tire immldiatement de cette propofitiorf ! 
entr'autrcs confequences cinq manieres de fai- 
fbnner , tres celebres dans les Mathematiques , 
& qui tiennent un des premiers* rangs entre les 
principes de ces fciences. 

Pour demontrer la certitude de ces rauonne- 

mens , je prendrai cette analogie c % d :: e . g, 

v qui me fervira d'exemple pou/ toutes les autres 

imaginables qu'on pourra fairc a regard des 

autres grandeurs. Que l'expofant du rapport de 

c\d foit appclle x 5 e'eft a dire , que ~ = yj 

il eft conftant que dx , =ze y Pexpofant du rap- 
port de ekg fera auffi egal ix , puitque [ 2 ] les 
rapports font egaux $ & on aura i 4 J g x=e : & 
partant au lieu cette analogie c . d : : r # g \ 
enaura fon equivalence dx .d :: gx ,g. Cek> 

[*] Ax. 11. gen. [*] Suff ofit. (') Cor. 1. def, iu 
Algeb. (+)C*r,}.Mfrdel*dhifi.f.4t, *' 



Van* bien concu , il fera fres facile d'apper-* 
cevoii i'cyidence dcs concluiions fuivames. 

d x • ^ :: gx • ' g i 
i. 

Done J . il at i: g . gx , e'eft a dire , lc 
con/equent eft a l'antecedent , comme le con- 
fiquent a Tantecedent; Dans les Mathemati--- 
aues on appelle cette manicrc de conclmc , 2Uh 
[m inverje. 

1. 

Done dx ,gx : : <4 . g . e'eft a dire , Pante- 
cedent eft a f antecedent , comme le confequent 
an confequent. On appelle cette ccnclulion , 
'iiaifon alter ne 

I)onc dx -*• d . d : : gx^rg . g .e'eft a dire, 
l'antecedent plus le confequent eft au confe- 
quem,comme rantccedent plus le confequent eft 
au confequent.' On appelle cette conclusion , 
empofition de raifon. 


« 

.4" 

Done dx — d ,d :: gr — g.g . e'eftidi- 
k y l'anrecedent moins le confequent eft au con- 
fequent, comme rantecedentmoinsle confequent 
cfkiu confequent. On appelle cette conclufcoa , 
twfim 4c BAtfon. 

M ij 



Jjff Scctndc PartkZ 



Bone d**dxm-d :tg*i jj#«— *g » c'eft-J" 
dire , ^antecedent eft a l'antecedent moins le 
. confeqaent , commc l'antecedent eft a l'antece- 
dent mains le confequent. Onappellc.cette con- 
chifion , converfion de Rmifcn, 
' Dans chactme de tes cinq dernieres analogies, 
le prodait des termes extremes eft egal an produit 
<tes termes moyenx P*t exemple dans la pre- 
miere on trouve le produit des termes extrteief 
dgx—dgX) c'eft a dire, egal aBJproduit des ter- 
mes movens , puifque depart &d'auti«e du figne 
d'egalit/, on trouve les memcs grandeurs. Dan* 
Its autres,on trouverapareilleegalite' de prodaits? 
& partant tians tous ces cinq changemens les qua- 
tres grandeurs qui y font inenc&s font toujour? 
{'; proportionnelles. 

An lieu de cette analogie dx ,d : : gx . gi 
reprehant Con equivalente c *, d :: e . g . ontn 
concluera la m&me choie. 

fi c . d : : € # g ; 



Cinverf d . c :: g • e < 

\ alter. c . e : : d . g , 

DencKcoMpofit. c+d.d ::**+»£•£; 

I divif. c—d.dx: $—g .g. 

i^fonverf. c.t — d :: * . *— gi 



Atgebrt. i\j 

PROPOSITION IV, 

i°, Lefreduit £une multiflicMtim eft a une det 
grtndeurs mtdtifliees % x&tnme I' tutu p indent 
mtdtifliet eft -a t unite. 

a . Vne grandeur a divifereft au dkufeur , corrnne 
Uqmienteft + f unite. 

DEMONSTRATION 

DI 1A niMIERl PXRTII. 

Soit la. grandeur * multipliee par b : je dis que 
lc produit mb # b t : * • x • ou que a b # a : : b . i . 
£ar p) i * b z=#*b . Done £*] ab .b : : * . i # 
Grq£ilf*Uritdem*ntrer. 

Cettcveritc ctoit deja connue [*].; puifque 
[♦] ie produit de la multiplication contient au- 
tantdefbis unedes grandeurs raultipliees, que 
l'autre grandeur multipliee contient l'unite. 
Soitknombrey multiplie par u, il eft Evident 
quele produit 60 . n : : ; . 1 . & que *o 4 f : : 

DEMONSTRATION 

BI LA SECONDS P A * X I 5. 

Soit la grandeur c dirifee par d y Scle quo- 
tient fok * : je dis que c . if : : x . 1 . Car * J 
r=:*x,c'cfta dire [ l ] 9 i*=dx. Done [ a ] 
< . d : : x . 1 . C« qutlfallpit demontrer. 

L' evidence de cette feconde partie a deja para, 
4orfqu*on aremarqul [ 6 ] que la grandeur a dL- 

['iDemsndeftAlgeb. 

'*] Cor. 1. Drf 1*. jI (p*- Mf • **• 
♦] Cw. <fe* ite/. de U Mulfif. fag. iv> 
' 5 ] Cor. $.de la Divifion.pag. +t. 
{*] Car. i. de I* Vivifi**. fag. 4 *. 



1 1% Sicmit Partt e. 

viCcr contiem aueant de fois le divifeur <jac le 
quotient conrient FunitS. Soit le nooibre 40 
4xviCe par ; , done le quotient eft a j on twuyt- 
SSique40 v# f : : I. 1 . 

COROLLA! H£ L 

Loifqu'il fe rencontre un pcotiuu de gran? 
deurs litterales , & que dans ce,pr©duit on apcr- 
foit les racines de ce mime profit 5 s i\ eft far 
cife d'y trouver les termes d*une^proportion gex** 
naetriqjue&de Jcs arranger. Spit, par example, 
* h , on y trouTera cette proportion a I . b : : a # 
1 .ou bien* £ . * : : £ . * . 

' CO R O L L A 1 R E II. 

L^rfqu'il fe ienodntre une fe*#ioisi ou din- 
Con indiqu 6e , il eft pareillemem facile d?y crou- 
▼*r les termes d'une proportion geometrique, 

Soitpax exeraple •-— 3 je dis que a % b : :— , r, 



a 



£** -r- exprime le .quotient .de * divifepar 
*. Soic 1- , je dis [*] que- 7 . 9 : : — •*. pui£ 

que _ eft le quotient de 7 divife par 9* 

9 

CO.RO LI A I RE III. 
La valour du produit de deux fractions multi- 
pliees Tune par 1'autre , doit £tre plus petite qae 
fa valcur de chacune de cesdeux fractions multi- 
pliees,rune ouTautre £tant plus petite qu'un en- 
tier. Parceqne [*] le produit deces deux frac- 
tions eft a tine des fra&ions multipliers , commc 
1'autre fraction multiplied eft a l'unite. Or,fi 
xrette autre fra&ion multiple eft plus petite 
qu'un entier^le produit de ces deux fra&ions fera 
audi plus petit que Tune xju 1'autre prife a volonte* 

[' j Part, x.frof. pref. [ a ] Part. i. frof^ref. 



r Algehri. I33 

.* le quotient d\me fra&ion divifce parrautrcj 
«ft toujours plus grand que la fraction diviiee^ 
lor fcjue la fra&ion a diviier eft plus petite xju'up 

cntier. Soit pat cxcmple la ftadHon •— cUriES* 

|>ar — ; on aura pout quotient 7— $ jc dis que 

n^T* w - * *t •• *** . - 

> re * *! 

quotient — eftplusgtand que la fiaflaQn dirii^ 

*^% On *voit dejaremarqui la veritd du Co* 
b 

-joikke pre&nt Jans lapage y*» 

PROPOSITION V. 

£*i granUems qui font igalement multifile*** mu 
nent des froduits yui font mtr'eux , crnnme us 
mimes grandeurs font tntfelks want qttitn 
fount multifile* $** 

BEM6N5 THA TIO K* « 

v <Soie*t les grandeurs ctti', & qu'on mu&> 

* Part. 1. frof . />r*/. 

*? Cor J*<*. 3* **; *» i*)^°fi f \:... ' ' 



* 40 Seconde Partie. 

pue Tone & rautre par one aurre grandeur /• 
je dis que c .d :: cf m df. Cela eft Evident 
fraifque * le produit des termes extremes c df eft 
•cgal an produit des termes moyens def , Sc 
fartant c 9 di: cf . df. ce qtiilfdloitdcmamrtr, 

COROLLAIR? I. - 

, Done les racines fourdes de m&me nom , 
reduites aaz expreffions les plus fimples, font 
entreelles comme les grandeurs qui precedent 
k figne radical,*! dans Tune & dans Tautre des ra- 
cines comparers il fe troure des grandeurs Aga- 
tes precedces du figne radical* Par ezemple , on 

: to>uycraquA#y*./1^:: *.f. puifque * 

& f font egalement multipliees par VT. de 

; mime jV7 .9V7 -3.9. 

COROLLAIRE II. 

II fuit de cette propofition qu'on ne changt 
foiht la Takor des fractions qu'on reduit a nie- 
me denomination. Par ezemple , fi on reduit a 

b d 
■acme denomination les fractions • — • & — , qn 

b bf d cd c * : 

aura — =—3., « -7- = — >• car on voit clai- 
c cf f cf 

rement que dans cette reduction bScc font mul- 
tiples egalement far /; & panant.f 1 ] que le 

b bf 
9 ^pioticntde b divift par* , cVft a dire, — ==— > 



* Prof. 1. [•] 2r*Mre[& On. *. def> TZiAlt A > 



r Mgebre. iff 

t d * 
ftutiUemem <kns la fraction — -on yoit que A 

x f ^ 

«:/ font multiplies cgalemeitj par c, ftpar^ 

d c d 
rant que ■-=- = — « Car*./;: ri. r/. c'eff 

' C ' d $d 

1 dire * que ks quotients •— & -— font tpaxt, 

entrtxix. La mfcme chofc paroitra £yidemmeiu? 

jEn. reduifant — & — a m&me d&oininatiofu 

COROLLAIRE IIL 

Bone lorfqtte les ratines <tei quarrtz font 
(gales, les quarrez qui en proviennfnt foot 
£gaux. Parexcmple ftaz=zb, on aura ** = ££, 
Car p] * . b : : ** . b b # puifque oe n'eft rien 
autre chofe que s & b multiplicz -Igaleraent , la 
fuppofition etant que *=zb # & partant de infe-i 
meque{ 3 ) a^xzb; ainfiw*3X W» 

COROLLAIRE IV; 

Reciproquement les quarrez &ant £gaur a 
feurs racines feront Igales. Par— cxemple u 
aa,z=bb y jedisque* = £; car fi i.n'etoitpa* 
tgal a b , on pourroic ajouter i cette grandeur J 
ou en retranche? ce qui fcroit neceuaire pour 
former une grandeur Sgale i b. On pousrotf 
par exemple ajouter m pour faire cette fommG 

* Cor. ). <#/. xx. JtAlget**. 

[*J P«>f . f refinte. I 1 ) ZVw J*# <$& 



143 Second* P*rtie. 

i«4»j»=:f : or £* -4**0 = 6, on vietit dede-» 
piontrer que le quarre* de *-+-w feroit egai 
au quarre dei , c'eft a dire qac 14-t-i/ini 
r+mm — b b i mais (') on avoit aufE** = i &« 
fe partarit as-^rza m^rmm feroit (*) ^gal au 
feul quarre ** > c'eft a dire le toot £ une de fe$ 
parties 5 ce qui eft ( J )virnpouible« 
. Done ennn £ les racines font inegales y led 

Quarrez feront inegattz ; car fi les quarrez etoient 
.gaux , les racines feroient egales $ ce qui eft 
contre la fuppofition. 

Et au contraire fi les quarrez font inegaux ^ 
les racines feront inegaies par un raifonnement 
fcmblablc au precedent. 



PROPOSITION VI. 

Xts quotients des grandeurs Igttlement divifies font 
\ entreux „ eamme ces mimes grandeurs aufarOH 
want quelle* fount divifies. 

Demonstration. 

Soient pax exernple les deux grandeurs d & f y 
& que l'urie 6c l'autf e foit diviice par b 5 je dis 

d f 
tpc d ./ 3 ; -7-* v- . Celacft evident:car, puifc 

. . df 

ijuc ie produit des termes extremes -r* eft egal 

pi produit des termes moyens — , c'eft a dire ^ 

V 

PJPsrfHfpofi,. (») Ax. if, gen** , 
V) Ax.t-gnHT* ., 



fifil fa&oit demontrer, 

COROLLAIKE I. 

Done onpeut reduire one fradion £ one tfJ 
pre/Eon plus fimple , ou a momdre denomihx-i 
tion ? fans changer la valear de cette fraction; 

t i 
Par exemple pnnr re duire — a une expreflior* 

plus fimple , je cherche un divifcur common 
pour ii & if , jc trouTC que c*eft 3 , qui drnfe 
xz 8c 1/ cgalemcnt fans reite. Apres avoir divif6 
xl pair 3 , on a poor quotient 4 , qui {era le na- 
-merateur de la nouyelle fraction 5 &apres ayok 
diyife 1/ par la m6me grandeur 3 ,. lo quotient; 

eft/, qui feraledenominateur. Or — 5=-^3 

.puifque [*] ix font a if , comme le quotient dfc 
ia. diyife par 3 , eft au quotient dc ir &vi£6 pa* 

5 , e'eft a dire , que n , ij :: — = 4 . — a-^ 

on tjpnyera par le meme raifonnement gud 

c if c 

~ = -7"> «* diyi£ant le nuiacrateurrjJ; &H 

Atnominazaufd par ^ f 
J ?r*p* 3. [*] P/w/* Prop.fref* 



$jf$ Second* Ttrticl 

-COlOtLAUfi ir. 

s • 

bone lorfqu'il y a quattc grandeurs tel f es qiu 
fa. premiere ait plus grand rapport a la feconde, 
que la j e a la 4* , le produit des serines extreme* 
eft plus grand que le produit des termes moyens, 
Sgit par exemple * .d^>b ,c , je dis que 
+ c~^>Ab'> car rezpofant dt} rapport de^ai 

jfbit nommi/, e'eft a dire —- =/j au lieu cfa 
k grandeur * , en aura Ton [ x ] egale */. Sou 

•— a= j, on aura aaffi *j=s* . & p] /> j, 

it 

Jsnfin au Ilea des quaere grandeurs procedente* 
* . 4»fr.;,<H* aura leurs equivdentes 4/j 
id^cg * c . Le produit des termes ettr&nes, 
%Toir rf/c eft plus grand quedeg, qui eft le 
f rodmt des termes moyens 5 car en divi&w 
dfc & deg par rf<r # on aura [*] i/V . deg :; 
f.g.Ot [*J /^i j done pareillement dfc^ic^ 
e'eft a dire le produit des termes extremes ** 
teft plus grand que. le produit des tames mojeaf 

£] Cor. 4*1* $*£&.& [*]«#»/* 

l'] fry •(*"{*»(*• 




PROPOSITION 



uttgtbre. , 14-5 



PROPOSITION VII. 

Si en dhift des p-tudtHrt i ga Ut , ,» U mhm 
flujleurs fou, far d autm grandeurs s Us oho- 

\ "r*!*** mtr ' e »* rtdfr^utmn* ttmmi Us 
dtvijeurs. 

■ 

D EMON 5TRATION, 

Sok la % Woden d diwff c par /, Sait encore 
k m*aic grandeur 4 divide par h : j e dis que 

-7 • -r» ***•/. Car le predufc ^ des terw 
mes extremes de ces quatre grandeurs, «ft egal 
a« produir --^ des termes moyens , parceque ['J 

canckra done enfin [*] que ^, • -!* ;V h , /^. 

f h ' 
CtqvilfiUUitdJmomref.- .» 

['] P*rf . 1. ^ VAvmijf. fa£. %u^ 
[*] -^* ifc. Gw» 



146 Scconde V Artie 



/ 



PROPOS ITION VIII. 

I*. Les grandeurs egales ont mime rapport auntf 
grandeur ouades grandeurs egales, 

1°. Reciproquement les grandeurs qui on* mem 
rtppert a une f grandeur y ou a des grandeurs 
egales , font egales entr'clles, 

DEMONSTRATION 

DB LA HINIUI Hlxil, 

Soit* = p, je disquc a.e iib.c. carp] 

JL . — ::*.*.mois[ a ]*==*.Dc>nc — = L* 
* * c r 

& partant [*] a . f :: b , c . « £*'i/ /*//*/> #- 
montreti. . 

D .EUOKiTR a T I O N 



\. 



© I L A 1ICOND1 P A JL T 1 1* 

Soit 4.\*: : /. d v £ di* q UC 4=/. Ctf 



b =5/. re epiil falloit demontref. 



\ 



PROPOSITION IX, 

i°. tW mime grandeur mime rapport* des gran- 
deurs egales enrfelles, 

%°. keeiproqueptent ft, un$ x mime grandeur a- mfas 
rapport i tautres grandeurs", ces dernieres gran z 
deur's fermrt egales entireties, 

- 1 

DEMONSTRATION 

£2 U PREMIERE P ARTIE. 

Soit par exempfe k grandeur r, & i =/S jtf 
dis que t . 4 : : * • / • cela fera i J J Evident fi 

4 -V=JL # Orc'eftunc chofc ccmftante j car (♦) 
d f 

& partant c .d :: c.f . ce quil falloit demontrer, 

DEMONSTRATION 

DI LA S E C O N D E. P4.ATIB* 

Srit£ ,b v.g.m.. je. d» que b &t m. c|f 

{') Ptrfutbofit. & Cor. 1. #/. tt. -<fe. (?) "* '» 
(') Cor. 1. <fc/. 11, Alieb. (♦) *«*• 7- ; 



H& Stttnit fmit, 

f] i =-£. or [*]-f .— ::*.*. Amc 4e 
b m km 

ifitmc qae ^^^.^m^ktseftilfsl- 
loitdemontrer. * m 



F R O P O S IT I p N X 

■K I* f /*; /rW* de dime grandeurs flis 
grand rapport Xune f grandeur on grandeurs 
dgaies , &I0 plus petit* plus petit rappm a 
eette f grandeur. 

a*. Reriproquement fi de deux grandeurs U pre* 
mere a plus grand rapport une f , &fi U 
feconde un motndre rapport eeite f ; la pre- 
miere grandeur ftr a plus grand* ape la feconde* 

DEM O-N-S T R A T I O N 

»I LA fXBMlBKl PAHTIf, 

Soit la grandeur * > * , je dis que * . * ]> K 

j.c'efta dire, que — > — . car [*]lesqitt* 

ice » 

tients de — & de — feront entr'eox comme i 

€ ' b 

* i mai$[ 1 ]^>* i donc~>— , cVfUdire; 

c $ 

I 4 ] * • 'x* * • c . « quil f allot tdemontrtr. 

f 1 ] PdrfuppoJSt. & Cor. x.dif. tt. d\<ffe#f. 
♦J Cm 1. dif. u. tApbtl* 



jllgtbre. t+j 

DEMONSt R AT ION 

©B LA SICONfil PAKTII* 

Soit * . # ^ £ » c . c'cft a dire , que 

^-> — .jedisqiic/»>^;car[ x ]-l. -£. . ; 
c c c c 

ah 

rf.J.mais [ 2 ] . — ^>-— • done pareillcment 

€ C 

•n area *^£ . r* $*'*/ falloit dimontrer. 

PROPOSITION XI. 

1°. Xfo* if grandeur a unplus petit rapport a la 
plus grande de deux grandeurs inegales , <3» A 
plus grand raffert a la plus petite grandeur. 

\*.Rettprefuement >fi unef grandeur a ten pirns 
petit rapport a une dee deux grandeurs, & mm 
plus grand rapport a t autre; la premiere do ce$ 
grandeurs fer a plus grande que la feconde^ 

DEMONSTRATION 

SI LA PKlMZlKt PAKTII. 

Soit d^f y 8c foic une j e grandeur par exem- 
plc h , je dis'que h .d^h.f. e'eft a dire que 

Done ~<-i. • Done [*l*.rf<* ./.«*«*** 
fdU'tt dimmtrer. 



M Par fuftofiu 

[♦J C*f. z, dtf. to, ^/x**» 

NiiJ 



ij^ Second € Tartie 

PEMONST R A HON 

4 d . 

je disque j ^ £. ear [*] - — . — -. : :£ • g • Ot 

g * 

d i 

f *] ■ — <^ - . D»nc pareillement &<^$ , ou j 

ce qui eft la m£fl»e chofc , $ > h , w epfilfdhit 
demmirer. 

PROPOSITION XII. 

## des grandeurs poforttonnellcs font multifliitf 

far fautres grandeur* froptrtionnelks de mem& 

trdre; Urns fteduits fcrmt fro]f$Yti*nnels m* 

tr*€ttx* 

UIHONSTRATIOK 

Soient pki&urs ran gees de grandeurs- pro* 

£ortionnclles , par exemple * ,h w c.d , & e. 

f ixg'i'h. ecrites Tune fous 1'autre, deferteque 

ks antecedens # & £ d'une rangee {pient (bus Jet 

antecedens a &*de raurre y & les confequens/ 

& A de Tune feus les confequens b &d&t 1'att- 

ue, & toujour* dans ce meme ordre >. quelquc 

nombre qu'il y ait de ces mngees j fi on mult** 

plie par ctrdrejes antecedens * & « , c$cg l'ua 

parr autre, 5r fionmukiplieaufltpar ordre les 

confecjuens b 6c f> d 8c h Tun par 1'aqtce: un 

produit a e des antecedens (eraauproduit bfdc 

leurs confequenSjComme un autre pspduitif des 

autres antecedens fera au prodijit^i de karjwn- 

iequens 3 & ainfi de fuite. Pour le d&npnuer, 



Algthrtl Ijt 

'Jans la premiere analogic £>it l'expo&nt da 

. ttpport de ^ a fr noourc * , c'eft a dire , 

h ' e . / :: g . h # 

! Bone b x ' *""" " 

J tea,- mais Les mttmsC - 

patfijue [*] lc five fa \ **•*:: a*. a ; 

import de* grandeurs J f f .. , -.. 
arf eft egal frecedentesj 1 * *' " *** *' 
an rapport de ^V • 

ra* f^auffi *"* bxft.bfy.dxhx..4h. 

./ x fr dmemfin se . bfn eg . dk. 

d~*>* • 

partant dx±=c. Dans la fecondc analogic foit 

*jr =*, on aura/* sss# i par la merne raifoo 

que dans Tanalogie precedente , on trotivera 

atiffi 4-==* , & lc produit **=j. Dans la 

premiere proportion , au lieu de Fantecedent a 
on ptendra ce qui lui eft egal , fyyroiz b x 5 & a* 
lieade c oh prendra dx, Dans la ftconde pro- 
portion , au lien dc Fantecedent * on prendre, ce 
qui lui eft egal , f^avoir/* 5 & au lieu de g on 
prendra bt. De forte qu'en la place Ae* 
deux analogies proposes, on aura leurs equi- 
▼alentes, bx ;b :: ^# ; d\ & /* ./ :: k& . Jr. 
l Ot il eft conftant que le produit bxfz. des 
premiers antecedents eft au produit bf de* 

['] Sttfttfit. [*] C#. *. Mf. ii. <^*f«*. 

N iiii 



•f $i- Second* P*rtie. 

{rentiers confidents , comme lc f roduk 4* 
x, des fcconds antecedents eft au produic d h 
des feconds consequents j e'eft i dire , que 
bxfk .bf :: 4*&« .if A. Car le produk des 
tomes extremes bxfjcdh =bfdxbz prodftk 
des termes moyens : ce qui paroitcMdeixunenr, 
puhque de part & d'autre <iu figne d'cgalitc on 
apercoit les m&nes grandeurs * & partara £ ao 
lieu du prodoit des antecedents bxttfx. y on 
prend le prodiiit a e des antecedents *6ce qui leur 
font (gaux j & au lieu du produk des ante- 
cedents dx & J>£, £ on prend le produk de 
kurs cgaux , ffaroir eg $ on aura *# , 6/ 1: 
t g • 4^4 . t# quilfalloit dementrer, 

S*il 7 avoir plus de deux rangees de propot- 
tionnelks ; par exemple , s'il j en avoit j , 4, j , 
&c. on fe ferriroit pout la demonftrarion do mc« 
me raifonncment qu'on rient de mettre ca 
*6ge, 

COROLLAIRE I. 

La propofititp prefente & la I* font le ion* 
dement de deux antxes mankres -de compaier 
ks grandeurs proportionnelles , qui font enco- 
xetnm grand ufage dans ks Mathemahques. 
£t on pent dire que ks cinq maniacs facmce<» 
j»r le CoroUaire de la propofit. j. avee ks 
deux iurcantes , font £ nerrflaircs pour aTancer 
^ans ks Matbemadques , qu'il fast avoucr que 
«eux qui veudroient 7 praendre fans k kcoua 
-de cettc Abrik diak&que , feroient dcs effiotts 
inutiks, Cependant quedque d'aboxd il s'en 
enure qui out qudquc peine a $*j accouamer, tl 
atefaut pas pour cdaj xenoncer 5 paiceqae la 
xVequcnte application qu'on ca ftx* dins la &OK 
ks rendra tirv&milmrcy 



'Alphrt. i£ 

t. 

Soient deax rangers de onatre grandeur* j 
exempie * . b . c ^d.te t .f. d. b . tclles 
que « ■ . h ; : * . d . & * . / : : d . b . je ks ar- 
range en ecrivant le 

fecand antecedent « * . b # / # 

-* le fecond confe- t * d\ h % 

qwiu 4 de la premiere . — -■ - -. 

analogic fous le pre- Vmc s ♦/ :j t » it t 
•mier antecedent*, & 

feus le premier <x>nfeqtient K Enfiute le premier 
ic le fccond confequent de la premiere analogic , 
l^ayoir b Zc d ierviront d'antccedents a la fo- 
conde \ & j'ecrirai feulement enfuite Tan far 
Paatre ks consequents/ Uh t cela formers deux 
aouvellcs rangees chacane de 3 grandeurs, Je dig 
que Ja premiere grandeur * de la premiere ran~ 
gee eft a la dexniere / de la meme tangle ; 
comme laptemiere * dela deuxieme rangee eft 
a la derniere b de la meme rangee , e'eft a dire 
que * » / :: e .h . , 

Pour fe convaincre de cette Terit6 , il fam 
ecrire les deux rangees de proportionnellct 
* . b : : c » d . & 

' ./. 4 . A . Tune * . J :: * , 4 . 

fur rautre , on trou- b m f \\ d • b . 

fera [ x ] que ces pro- ■ 

doits feront t>repor- *b . bfy.td .44; 

noruiels sl.bfr. « * 

f <rf . 4*. Mais au jtot. * .. f w e .b . 

lieu da rapport de 

*bibf, on peat prendre le rapport de * &/qn) 



■•a 



K4' SaofiAet+rtie. 

luieft ['] cgal;& au lien du rapport it tdi. db t 
on peut prendre (on £gal qui eft celoi de e a b t 
mais puuque le rapport de *b a bfeA (*) 6gA 
an rapport de ;d . d&' : on aura* •/ :s t % T& . 

Cecte maniere de conclore eft appellee frtfrn- 
timbMvrdtomh. 

S'ily avoit plus de deux ranges degrandeun 
psoportionntues telles que les consequents de k 
premiere anad^giefuiTenregauxaux antecedent! 
de la&conde,& que les coniequents de la feconde 
ftiflent egaux aux antecedents de la f $ 5t ainfi 
de fuite , on les difpoferoit en deux rangees 
comme les proportionnclles precedences , 6c at 
conclue'roit que la premiere du premier rang &* 
roit a laquantieme du'meme rang : comme k 
premiere du fecond rang eft a une pareille craao- 
tieme du meme rang. Par cxemplc foient I % m\\ 
m.oi 8cm ,f :: 

•/, fcr.r::' ».* .f ./".*. ** 

f •*. to , je * — — * 

dis que J . r :: dm* / . r ; : j» . /* . 

» ./^que/.f:: . dww /.f :: ». * ^ 

* • n . &c. la dwte &c, 

demonstration 

en eft entiercment femblable a laprccedente. 



; 



S'iT y a deux rangees ehacune de qoatie 
Grandeurs proportionnclles;par exemple* . d :: 
f»g *&: d .msi &.A de forte que le premier 
consequent de la premiere analogie (oat egal 
op premier ancecederirdela x e j & que le a e au* 



Algebrel ijtj 

teeedent de la premiere analogic foic egal au a* 
cbnfequent de k i c } > 

jecris les antecedents *. d~m. 

fciescoofequent^de la *•/•£• 

premiere analogic Tun- " 

fbus raurre , de forte *»* **m\\b-.g. 
one k fecond antece- 

dent f [ok foot le premier consequent d 5 enfiute 
j'ecris :1c premier confeqnent m de la feconde 
analogic dans le premier rang. Enfin fecris le 
fecond antecedent h de la c analogic fous le 
premier antecedents de la premiere j & le fe- 
cond confeqnent / devient le mime que le i c 
antecedent de la premiere proportion ; ccla for- 
me encore deux nouvelles tangles , chacune de 
trois grandeurs. Je dis, commc dans, le premier, 
article de ce Corollaire : done * .m: : b .g . • 
Four cpnnoitre la vcrite" de cette conclusion „ 
il faur ecrke les deux rangees de proportionnel- 
ks * . d : : /. / . & d . w : : b . f. Tunc 
fous Tautre ,on. 

trouvcra qu'en * . d r :* f . $ + 

tipliant par . d * m ;: .h , f* 



fcrdi 

Wtm m 



dre, [ *•] on au- 
la *4.. dm 1: *d . d.m,iz.fb 9 gfc 

fh. gf . mais * 

p] *4. ^m : :. Done * . m : : b * g 9. 

« . m . & /Jr. 

!/::*■• J . done* , m ::*.£. 

Cette manicK de conclure eft appellee jr** 
jp#rf*<?» troubtte. 

COROLLAIRE IT. 

1. Les quarrez de quatre grandeurs propor- 

Ci **.**: 



ijg Secokde psrtieJ* 

tionnclles font audi prapimionaels e&tr*ew; 
de meme les cubes, &c Jfar cxemplc, £ * , 4 n 
c.d.oci [ l ]a*i***.bh z:c € .dd. paoccqft 
e'eft la mfcmc chofc que fi on avok ranltiplil 
Tone par* l'autrc ces deux rangees de pxopor* 
tiormelles *,£:: £.<*;&*.£ - c -d .On aim 
parcillement ** . *» : : c* . i* • parccque of 
font lesproduics deces deux rangte de propor* 
tionnclles **.bb xia.dd.9t s.k i: c . d, 
ftmkipliees pax ordre. 

a. Rcdproquement larfqtie qnatre quarrel 
font proportionnels , leurt racmes font atiffi 
propertionneliej. S9atetnff:zgg hb m Je cBs 
qac e.fixg* h. Car, fi * n'ctoit pas i/comotf 
gab, on pQnrrcit aagmencer l'un ou rautseit 
ces antecedent, jnfqn'a ce que la proportion fig 
parfaite. S'il etoit necefiaue d'augmentcr le 
premier antecedent * , pat ctemple , jufi]u'* ce 
qu'il derat ifv.g.h. Suppofons que e &ant 
a»gment6 d*un* grandeur que jappelkrai m f . 
onait e-**m.f::g.h ; II eft conftant [*] quta 

auroif **-4-a,«* +»»•//:: gg.hh. am 

on amir 
quarr£ 'Ifl 

■4-t*»-4-fi**tf fetoirdonc [*]%ali** jfieqii*^ 

eft [*] impoffible- 



[*] <* -ff-gg * hb^Sc partaiK [*} on ai 



[*] Part. i. Car- jke/I 

Cor.'), def. it. d'Mgeh 
Prop. t. x* f*rfi0 m 

Ax* u gtneraL 



i 



PROPOSITION 



PROPOSITION XIII. 

riynieuxfngie, de grandeur, profortiennelUs 
&fi en Avfip*. ordre Us grmde^s de U»L 
"r*™g« t*r Us grander correffondanZ, 

ferent troprtwmeh tntreux. ' 

DEMONSTRATION. 

Soit la premiere rangfc de grandeurs hu 
pomonnelle* * .b i: c . d? Soit en?o« 
unc fcconde rang*e/ . g : . h . m . , e dis que 

"T ' y ''~h ' "^"*. CeI * eft conftant *file 

produk du qaotient-1 multipli* pari, eft egal 

b m 

an produk de — & de -t. mu ltipUez run p ac 

fautre. Or cela eft * . b •■ c d 

indent puifque / . g .'.' h * m 

**»=*f, &que .. b 

fm=gh. Carle * * , ^ 

numerateur de la x,#,w — r * - — : : 

{ration — , feant 



h 



igal au numera- #r— —r 

iateur de l'autre T»>—g» 



b c 
fraction — y & ie denominates de Tune 
gh 

feant £gal au denominatcur de l'autre j — 

fm 



re 8 Seconde Tdrtie 

be 

fcra la mteie chofc que — . Le produit des ter- 

mes extremes (era done egal au produit des ter- 

r^ + * * c d 

mes moyens. Done * -— — ; : -7- • - — ■ • 

f • g h m 

ce qn'H falloit demontrer. 



PROPOSITIO N XIV. 

lor [quit y a fix grandeurs telles que la premiere 
foit ala i c , comme la $ c a la 4 C ; & la f e a U 
z e , comme la 6 e a la 4* .* la femme de la pre- 
miere & de la f e [era a lax e , comme lafomm 
de laf & de la tf a la + e . 

DEMONSTRATION. 

Soient les fix grandeurs a . b . c . d . /. g . 
tejles que 4 foit a £ comme ;£*{,& que la f* 
/ foit a la i c £ , comme la 6 c g eft a la 4c i ; 
je dis que /»•+•/. £ : : c-4-£ • d . Pour le de- 
montrer , foit appejl£ x l'expofant du rapport 

de * a b , e'eft a dire que — . = x j 1'expofanc 

du rapport de t a d (era [ a J auffi x , puifque 
I *] ccs rapports font egaux. On aura done [♦] 
Jbx—a y ficdx=:c, foit appeile y Fexpofanc 



* Trop. %. 
""] Cor. z. Def. n, Algeb % 

[♦J C*r. 3, <fe /* dhifion, pag. 41, 



I 



Al&thft. *5> 

f . * :: * . * • 






-Dmbxzzz* .dx=ac. by—f.dyz&g 

bx . b d x . d. 

by .b : : d y . d. 



IDwc bx-lrby.b ; :dxH*d y .d. J 

l.\Dflft * + f. b :: c+g . d. J 

du rapporc de / a £ , c'eft a dire que ^L. -= y j 

rezpo&ne du rapport dc g k d fera ['] aunty , 
ces rapports etant [*] cgaux. Dans ces deux 
analogies a . b :: c. d 8c f*b : : g . d .en fub- 
ftituant au lieu dc a , c ,/, & g , les grandeurs 
egales bx y dx 9 by y 8c dy > au lieu des deux 
analogies prccedcnteSjOn aura[ J ]ces deux cqui- 
valemes bx . b : : dx m d ,6c by. b +.\dy . //, 
Or[*]il eft evident que £ *-*- £y . £ : : d x *+• dy m 
d. Car le prodnit bdx-+-b dy des termes 
extr ernes eft egal au produit bdx-l-bdy des 
moyens. Au lieu de bx-*~dy, & au lieu dc 
J#-*-^ , remcttanc [ J ] les grandeurs qui leur 
font egales * ,/ 5 c , g y on trouvera que *•+•£ 
b: : c^hg .d.Ce qutlfalloit damntrer, 

'] Cor. z. Vef. ix. Alg'K 

'*] Suffofit. 

»] Demsnd. x # Gm, 

[ 4 ] * f< t' h ° ^ 



i<f o Seconde far tic 

Sionavokces * grandeurs h .m.e.p .u.tj 
telles que h . m : : .f . 8c que h . u : : . x f 
on conclueroit, done £ . iw •+• u : : # . />-*• £ 
Car ['] en changeant la premiere analogic en 
celle-ci m . h up . * , & en changeant la fe- 
conde en celle-ci u . b : : * , . on trouyen 
par la d&nonftration qu'oa vient de faire , que 
iw-fr- h . h : : p+z . . & enfin ['] que 






PROPOS ITION XV. 

S'ily a une fmte de rapperts igaux entreux ; U 
fomme des antecedents [era a la fomme des con- 
fequents , cemtne un des antecedents eft a fm 
tmfeepunt. 

DEMONSTRATION. 

Soient ces rapports egaux entreux, * . b :i 
e . d : : e . /. &c. je dis que la fomme des an- 
tecedents a *)-c -f- e eft a la fomme des confe- 
quents b -*- d ■+•/" comme a eft a & , ou f a ^ , 
ou *i/. Pour le demontrer, foit nommc* 
l'expofant du rapport de * a £ , e'eft a dire que 

— =ar , on aura [*] auiE — = #, & — 
b d f 

z=x 5 puifque [«] ces rapports font egaux. 

H Part. 1. Cw. Pro/>- 3. 



jilgtbrc. *6i 

f •*»/.:: c • d \ : € ./.. 1 fo 4 £.: : dx ,d : : /# • /A 
, c e \ bx-4-dx-t-fx.b-k-d+fi; 1 

nchx^a > dx^=zc y fx^=z€ % J bdx**-bfx. | 

Done £ at = a y d # = c , /# = <. &aulieu des 
grandeurs a , c & * , en fubftimant leurs egales,, , 
on aura bx m b : i dx,d i ; fx. f. Or. il eft . 
evident [*] que bx-*r&x -4-/jc . & -t- <* -4- / : * 
bx . b . Car le produic ££#-*-£ 4* *-H £ fx 

.destermes extremes eft egal au produit b b #•+* 
bdx~*r bfx des termes moyens. Au lieu de b x 
*t-d x -+■/# , reprenant cc qui y eft £gal a -+• c 
*\r e i on concluera que a ■+• c *4- * , J -4- d*-*^ 
/ : : 4 . b. Or[ l ] le rapport de c i. d eft egal a 

! celui de a a £ , qui eft audi egal a celui de e £ 
/* Done la fomme des anteccdens a -f- c -4- * 
eft a la fomme des confequens £-4- d-+-f > 
commc un antecedent a fon coufequent > cc 
j* il /*//«> demontm* , - 

PRO POSITION XVI. 

I. La J lus grande de deux grandeurs inegales eft 

igale a la moltie de la fomme faite de ces deuxt. 

grandeurs & de la moitie de leur difference. 
lt la plus petite de ces deux grandeur* eft egale & 

la moitie de la fomme de ces memts grandeur* 

moins la moitiide la difference ♦ 
» - *' 

['] *r«p. %. 



lii Second* Pdrtie* 

DEMONSTRATION 

91 lA F1.IMI1JLI PARTH, 

Solent les deux grandeurs * & £, telles qt£ 
a ^ i 3 & que leur difference foit c : Je dis que 
la grandeur* «ft £gale a la rookie* dc a*+b 
& de * . Car alors ['] on aura * — c = b m 

Mais on chercke la fomme des grandeurs * 

& b- il fast done ajouter * avec ce qu'on vienc 

de trouvcr e* gal a * • On aura done a-*~* — c 

== 4 -4- * , e'eft a dire [■] z 4 — c = *-*-*. Si 

on divife 1c tout par a, on trouvcra [*] * — 

JL J-- • Si a ces deux derniercs gran* 

deurs on ajoute de part & d'autre « — ^ on aura 

_ — . iH- — 
a * 

* - » 

DEMONSTRATION 

D E . I A SECONDS PA&TIi, 

PuiGjue['] a p> £, & que la difference eft c : je, 

dis que la grandeur $ eft egale a -* — — . • 

a 



[4] * s *J*l! 4. JL • * qu'ilfidUit dtmtth 



, £ J 4AM. des grandeurs pag. 71. rf/irv. X* 
>] X*. 4. gen] &*#. x. <rf\rf /f* i« 



N 



Algtiril \&\ 

Car on aura [ x ] b-+-c=a # Pour avoir 
one grandeur Igale a la fbmme des grandeurs 
*Scb , il fant done ajouter la grandeur b a 
i+c, & on aura £-l-c -4-6 = * -t-£, e'eft 
a dire que 1 £-+-£ — *-*-£ . Siondiyife pas 
a ces grandeurs *£-t-f,&«-h£i on troayera 

I*J *•*•-— ss • Si on retranche depart 

a a 

ftd'autre — ; on aura PI £s=* , ■ ~ JL* 

, a a 

C* fi^'i/ faUoit ditnmtm* 

PROPOSITION XVII. 

pans ces deuxfrodmts ab^cd^ fc* W*/ tvw 
«»« b ^ d >fi on fubftUue £ Mitres grandew* 
g&h y & fi b A :: r . h ; on sur* demx 
ntuvetux produits a g & c h £«i /* rmt tt*~ 
tT4ux , comme a b #jf * c d , * # #Jfc * W*r* f**. 
a b /iwf * cd .• : a g . c h . 

DEMONSTRATION. 

Ie produit de$ ternies extremes abch ef£ 
*gal an produit dcs ternies movens cdag. Car 
en divilam ces deux produits absh & c dag. 
par * c qui s 'y trouve commun ; on aura [*} 
*bch . cda$ :: bh.dg. Mais^jjpuifque &# 
* '•'> g»h 9 on aura [ 5 ] £ h = ^£ . Done pareil- 
Icmcnt abch=zcdag, Done ['].**• -frf •* 
*g + th ^u qud falloit dimntnr . 

[*]P/*f.tf. [ J ]P"/>.i. 



jr&f Seconde Pdrtie 



PROPOSITION XVIII. 

te rapport du produit de plufieurs antecedents au 
produit de plufieurs confequents , eft compefe du 
rapport du premier antecedent au premier confe- 
quent; du rapper t du t e antecedent au 2* confe- 
quent $ du rapport du $e antecedent oh $ c con'fc- 

• quent y & ainfi defuite. 

DEMONSTRATION. 

Soit rantecedem a 8c le confequent h ; fok 
fcncore i'antecedent c & le consequent <J. Si on. 
malciplie {'antecedent a par rantccedcrit c , on 
aura pour produit a c. Si*on multiplie le confe- 
quent £ par le confequent d ,. on aura pour pro- 
duit b d $ je dis que le rapport de ac a W eft 
compote du rapport de * a fc , & du rapport de 
fid. Pour en fairc la demonstration , * il fuffit 
de fairc voir que 1'exppfant du rapport du pro* 
duit a e Abd eft £gal au produit des expo- 
rts de,s rapports de a a b & de c a d. . 

Son f expofant du rapport de a a b appelle 

/, e'eft a dire que— . =/$ done £/=#; 

b 

Soit ~ = g 5 done W / = c . Au lieu des ante- 

4 ■ 
•edems ate ton aura done Icurs Equivalents bf 
& dg ; & au lieu du produit 4 c des antecedents 
a &c c , on aura fon equivalent bfdg. Or divi- 
ftmfc'prbluir fy^jr des ajcuceeifen'ts par £i 



jOgebri. i<i 

t.d T ' 7 * 



*t. bd XUnc bf=* D"* *&—c 



lf ' h bfd, 
■ id 



bfdg . bd 



produit des consequents , on aura pour quotient 
fg qui fera Fexpofant du rapport de aci bd; 
mais fg eft le produit dc l'cxpofant du rapport 
de m a b & de eclui dc c a d. Done [ x ] le rapporc 
du produit des antecedents an produit des con-* 
fequents , eft compote* du rapport de chaque an- 
tecedent a chaque confequcnt , ce qu'il ftlhit 
dimtntrer. ' 

S'il y aroit un troifiemc antecedent e & unt 
twifieme confequcnt h , le rapport da produit 
* c t au produit b d h feroit 
compo£ du rapport de * a ** * • * 

du rapport de £ a d - % du rap- * • * 

portdc^a*5 & ainfi des au- * • " 

tres, s'il y en avoit davantage. ■' 

Lademonftration en eft tres- ace . i W b 
facile ,& entierementfembla- 
ble a celle qu'on vient de faire pour * etc id, • 

COROLLAIRE I. 

Les quarrez font entr'eux en raifon double 
de celle de leurs racincs. Far cxcnipk f c fc 4 4 



i66 Seconde V Artie. 

font deux quarrez qui font Tun a l'autre en rat- 
ion compofec de cellc dc c a d , dc encore d< 
ccllc dec id. Or ces deux rapports font egaux< 
Done le rapport de c r a d d eft: * double de celt J 
de c a if. On peut aufli demontrer facilemei 
par un raifbnnement femblable a celui qu or 
▼ient de faire , que les cubes font entr'eux 
raifon triple de Ccllc de leurs racines ; pai 
excmple , que le rapport dc d* a p eft triple dt 
rapport de dif-,Sc ainfi des autrcs puiflanccs, 

COROLLAIRE II. 



le produit de deux fractions multipliees Tun 
far l'autre eft une $ e fraction dont le numera- 
teur eft le produit des numerateurs de ces deux 
fractions , & dont le denominateur eft le pr 
duit des numerateurs de ces deux memes fra- 

h f 

&ions. Soient les fractions — & -^L a multi- 

c g 

plier Tune par l'autre : Jc dis que leur produit 

b f 

eft exprimc' par _ • Car ['] le rapport de bf 

eg 
a c g eft compofe* du rapport de h a c , 8c du rap- 
port de / a g. Le quotient du produit b f divife 
par c g eft done [*] £gal au produit des quo- 
tients dc b divift par c , & de /divifee par^. 

La methode doat on fe lert pour diviler une 
%ra&ion par une autre , peut e'tre facilcment de- 

montree. Soit -I-adivifer par — -.Jedisque 

* / 

* Vif. if. Algeb. 
l 1 ] *>ef. 17. Gw. 



( 



Algebre. i£j 

3c quotient qtf on che^cjie, eftexprimjparcette 

faflion — . Car fi on reduit ['J ccs deux h& 

[ &ons a m&nedenomination.Mon aura -i =3 

[ ' " * tut -rW ^* * 

^r , ■ — = — . Mais m -i- • — . : : c f, 

d'df f lj df d f ' 

c f dh 
; dl , au Hcu des fradions — & — „ en fubfti- 
I df df 

tuant leurs £gales — & -~j p,n aura •— • 

d f d 

h e 

^ : : cf.db.Le quotient de la fra&ion — « 

#Yifce par — fera done [♦] £gal a -i 
/ ^** 

On peut tres-facilement d£montrer Taddi^ 
tion , la fouftradion , la multiplication & la 
i divifion des fra&ions , en faifant attention a la 
mcthode done on fe fert dans ces operations. 

, Si on veut ajoutcr -£. a -— 3 je dis que 

h m 

\gm-yhf g ^ f r> y j ' 

I- — f — : = -£-•+■ ~ • Car le quotient d* 

4- &>it appelle #, e'eft a dire , -f- = at 3 & foic 

Pag. 47. Obfervation i f 
Cor. i. prop, f . 

t + ] De/. 13. Algeb, & Cor. i. def. if 



Seconde Parti e I 

jf ^ M ©npjaura g tszhx, Zcf^ f»J • *U 1ft 



iw 



z- f , 



dcs fra&ions i- & — je prendrai done lew 

feales — & S f * Men les riduifiuit a mS- 
b h m 

me denomination je trouycrai —r— & -— 

qui feront igales i ~ & ~ • Or en affem* 

Want les numerateurs hxm & hmy & en ap- 
pliquant a leur fomme le denominator com- 

„ , , , hxm*Arhm) 
mm km, il eft Evident [*] que — — • 

= x -¥*y qui eft la fommc dc$ quotients dectt 1 
deux fractions. 

f Jf 

Si on veut fouftrairc — de -£- . il eft eti 

m h 

hmy f i 
cere trident qu'en fouftrayant — *- = — <W 

— — ~ — f e'eft a dire , en fouftrarant le nw 

hm h 
mcrateur hmy de hxrn, & appliquant le «e- 

hxm—hm) 
nominateur commun h m , on ai*ra — 

Si on v€ut multiplier -~ P*r — ; en mnfe 

'*] Cw, $. P*£* 41. <te /* divifim, 

*] P*£* ti.ff. i. * I'avmif. tipUant 



Jilgtbre- iff* 

tipliant Tune par l'aatce leurs fquiyalentei ■— 

My * 

ft — , c'eft i dice , en multiplier le numeta- 

tmt fc * par my , & 1c denominatewt h patm, 

! en aura . r*? !Z.= arj qui eft lc ptftduit de la, 

fhftion — - multiplies pat .£_ . Puifque [*] 

4 =*,&qneZ. = = > 

i Si «n Teut diYifet — pat — j- en iaifant 

attention a Jews cgalcs -£&? -Z-, on mulct- 

plicra le nometatent h x pat le denoniiuateut 
■ > & le dcuominati uc £ pat ot^ pout ayoif 

1 t — =.- — ■ quifcta le quotient de U fraction 

•£• drifts pat L. • 

■ m 



170 Scconde Parti e , 



PROPOSITION XIX. 

S'ily a une fuite de grandeurs 1 U rapport dt la 

premiere a la derniere (era tompofi des rapport* 

des grandeurs interpeftes* 

DEMONSTRATION. 



xappon ac a a a , ae cenw ac e » c y ec au **f 
port de c idy pour ]c de* montcer , il fuffic M 
de faire voir que Tcxpofant du rapport 6c a ±* 
eft egal au product des expo&ns de ces autre* 
rapports, 

r a. k t* i+ 



b c • d s 

L'expofaitt do rapport ittid&it appelll J» 
e'eft a dirt ,. [•] -i- s=£. Done [»] ^ s^fib 



F 



Def.U.jtlgek. * 

[qCir.^ladwif.pag. 4u 



Algthre. 171 

CDcoiel'eipofant du rappon de * £ * appeltt * t 

c'cftadire, — =jt$ done cx=t>, rnajs aa 

lieu de « en lui {iibftituant ce qui lui eft egal f 
! fcavoir df , on aura dpx=b, Soic en£n l'ex- 
1 pofant dujappon de * a £ appell£ y, e'eft a 

dire . — =v. Done ky=,a- f mats an Jieu de J> 

:.i b 

, en lui iubftituant ce qui lui eft egal , fcayoir 
W/x, on aura dfxy=,*. Or preTentement 
pourconnoxtre l'expoiant du rapport de la gran- 
deur * a la. grandeur d 5 il fauc divifer * ou Ton 
cgale dpxy par d y on aura pour quotient on 
expofant/xyqui eft £gal au produie des rap- 
ports de * a * , de £ a ; , Scdee i d multiplies 
Tun par 1'autre. Le rappon de * a d eft done f '] 
compote des rapport* die* grandeurs jacerpofles. 
enrre * 3c d > ce qttit fdUtt detmntrer. 
COROLLAIKE 
Dans toacc progref&on geometrique . les 
quarrcz de deux termes qui font immediate- 
mentdefuite , font entr'eux comme le premier 
tcime au trodfieme. Sok k progreffian -^ f „ 
d-f.gi jedisque**.*^ :: *./• Car [*] lr 
rappon de bb kdd eft double du rappon de 
ia<*. Or [*] le rappon de * a /eft pareilk- 
ment double* da rappon de b a d , polfque le 
rappon de b a/ eft compofi decelni de £ £ 4 
& de celuideii* a /"qui fbm.[ 4 ] egaux. 11 J* 

[*] Cer. 1. ?r<>p. it. 

[*] Prtf, pref. &d*f.i%. lAlfK 



1 7 1 Secondc P Artie. 

done mfeme rapport entre bb & dd qu'entte 
b &/. Done bb .dd:: b ,f. Oivfera un paxcil 
raifonnement pour dlmontrer que les cubes de 
deux termes qui font immediatement de fuite «j 
dans line progreifion glometrique, font entr'eur 
comme le premier tcrmc au quatrieme , e'eft 
a dire , en raifon triple 3 par exemple que & eft 
a d* comme big. On connoitra auffi les rap- 
ports des autres puiflances , en y faifant l'appli- 
iationdu Corollaire prefent. 



PROPOSITION XX. 

t* froduit d$ deux grandeurs eft une grandm 
mcyenne frefcrtiennelle entre la qusrrex, 
de ces grandeurs. * 

D EM ONSTRATIOR 

Soient les grandeurs a 8t b 9 dont le proiituC 
fcft ab: Je dis que ~ aa.ab.bb. Car le 
prdduit des termes extremes s a b b eft 6gal as 
produit * ba b ou [ f j a abb des termes mojens. , 
Done [ a ] ** . ab : : *b . bb . C# atiiifaUt \ 
dementrer. 

DE LA REGLE DE PROPORTION* 

La regie de Proportion eft une operation 
#Arithmetiquefondee for 1a principale propriety 
des proportions qui eft que le produit des termes 
extremes de quatre grandeurs proportionnelles 
eft 6gal au produit des termes mojens, comme 
•n vcrra pax la fuite. Cctte operation eft aaffi 

['] Demand. 4. Algtb. 

appellee 



r Algebrel t6<> 

jftellee Kegle de trtk , parceque crok grandeurs 
rant connaes , on fe fen de cette pratique pour 
troirver unc 4 e proportionnelle. £nfin on Tap-* 
pelle KegU for , a caufe de fes ufages infini* 
& de fori utiliti tres-grande dans lets Mathe- 
rnanqnes. 

En general ii j a de deux fortes de regies de 
Proportion , la firnple , & Ja compose ou com- 
pfere. La ample eft ccllc qui ne contiencque-; 
tennes connus , & la compofce eft celle qui en 
contient plus de 3. II faut premierement exa- 
miner la regie de Proportion ample & la ma- 
mere de s'ea fervir $ eruhite onpaf&ra a la com- 
pose. 

La regie de Proportion firnple eft encore -de 
deux fortes , /{avoir la direde, & I'indirede. 

La regie de Proportion direde eft celle dans 
laquelle le premier terme eft an fecond, comme 
le f eft au a c qu'on cherche j ou, ce qui eft la 
meme chofe , lorfque le rapport du premier 
terme an $ c eft igal au rapport du fecond Sc du 
4* qu'on cherche ^ e'eft a dire , £ le f terme eft 
plus grand qua le premier , le 4* terme qu'on 
encrche doit £tre dans la meme Proportion plus 
grand que le fecond ; & fi le j c terme eft plus 
petit que le premier , le 4° terme qu'on cherche 
<bk etre pareillement plus petit a proportion 
que le fecond ; ou enfin, ce qui revient aux mi- 
mes chofes , e'eft a dire , lorfque la Proportion 
*i du plus au plus , ou du moins au moins. Par 
ttemple , £ - a aunes de marchandife coutent 
ftliy. il eft evident que 7* aunes de la meme 
marchandife doiyent eouter dayantage , fcayqir 
2ftS liy # qui eft le 4 C terme qu'on cherche par 
cette operation. Si if hommes ont gagni par 
teir travail 48 liv. f des mimes hommes ne 

P 



I7<5 " Scidtsdc I> turtle, 

gagneronten mfcme-temps que it lin q&i d|. 
encore le 4* terme qu'on cherchpit > ce qui y%\ 
da moins au mpins $ e'eft a dire , que mains il 
v a d'hommes , moins ii ya de gain* & partaat 
ces exemples convienneiu; a la. regie direcle. 

JLa regie de Proportion indirec/fcc eft cellc dam 
Jaquelle le rapport du premier terinc au f eft 
i6gal au rapport du 4* qu*on<:befche:,au fecoadi 
e'eft a dire , fi le premier terme elj: plus ^ran4 
que le f 5 le + terme qu'on cherehe (era a, pro- 
portion plus grand que le »f ; fi le pi emier eft 
plus petit que le f >' le 4? fera au/fi plus petit que 
le 1 . Cequi eft la m£me-4i0&. que de dire* 
Ja regie de proportion eft indirecte , fi ,1$ y 
terme etant plus grand que le premier , l$4 e 
qu'on cherehe doit £tre pW petit que le. & .5. ty 
h le j c terme £tant plus r^tit que le premier , le 
4 C qu'on cherehe eft plus grand que* lcx e ; En&j 
on cormoit la regie de Proportion induede, &' 
pn la diftingue d'avec la regie dire&e , lorjque- 
le fens de la dueftion va d» plus au moins, ott 
du moins au plus ,- cequ'il -eft important de bien 
remarquer pour nes'y point tamper, far exem- 
ple, fi ic pexfonnes ont- d^pentt une certainc* 
fomme Sargent en 6 mois 5 en comhka de 
temps 40 performes depenftmnt^its une pareilie; 
fomme ? il eft eYidenf^uS ptas k $ fe terme c& 
grand, moins il faudra.de temps pourdcpai&x* 
la fomme d'argent ^ontil -s'agk , cpquimdu 
plus au mpins. Si 6 ouvrkrs fpnt un certain- 
nqmbre de toifes de mauonnttie en $ jours j en 
eombien de jours 4 ouvriers fccont-ils k.mfrn^ 
ouvragc ? il eft encore evident qjie moins H J\ 
aura d'cimiers j il faudra plus ae. temps poui 
faire cet ouvrage 5 & partajtt que le fens de la 
qucftipn eft du moins au plus, ce .qiji feitcoa*- 



^ . Algtbri. I s ) t 

ittftre qiie ces exemplcs appartknnent a la regis 
indire&e, 

Lorfqu'on rencontre une queftion qui appar- 
ticnt st la regie de Proponion fimple , ioit qu'elle 
ibit dire&e ou indire&e , afin de f^avoir quel 
doit toe le premier v leV &. le. j e terme , il les 
taut difpofer de telle maniere que le premier & 
je f fbient de memenom , -& que kfecond hit 
mis au milieu auquel le jf qu'on cKerche fer* 
.fcinblable* 

Exemfles de la tegU de Propdriicn dirt&e. 

- $i 14 perfonnes depenfent $t liv, en tin certain 
.temp& 3 combien depenfent *o perfbancs en au~ 
iantde temps? > 

- Pour refoudie cette queftion i ilfkutexami- 
tier fi elle appartient a la. regie de Proportion 
direde ou a rindire&e fc Le but de la queftion fait 
-connoitre qtTil s'agit d'une regie de Proportion 
diredte s on arrange left termes.de cette Tnaniere, 

Si 14 ferfm. tefen. $3 /w # cembim 10 fetfoimesi 

- II taut observer que dans cet exemple & dans 
4ous ks antres femblables , il tie faut que troa*- 
-▼er an 4 s terme ou nombre ptoportionnel aur 
trois atftres qui font connus. J'appelle ice 4? 
terme qti'on cherche , ttinfi Tanalogie eft telle 
14 . 98 : : 10 . fc • II eft feulement queftion d« 
trotxvtir Uk talent de z, 5 & ppur y reoflir on muk 
tiplie le f qui eft 20 , par le r e qui eft 98 , on a 
pour produk i9$o=»i4** . Of en divifaht ces 
deux grandeurs egales par 14 , qui eft la racine 
4pi nous, eft <H>hnttc dam U produit *4*V : oA 
aura d'unepart 140 , & de Tautxe * - ? & partant 



ijz Seetnde Tdrti?. 

L 1 ] on aura 140=* , c'eft a dire que le 4 e tern* 
qu'on cherchoit eft 140 5 &partant que 14 .. 9S :: 
ix> . 146 , d'ou on conclucra qui £ X4,per£bnnes 
depenfent 98 liv. 10 perfonncs depenferont en 
aucant de temps 140 liv. Cette pratique eft cn- 
t&rement fondle iurle Coroll. i c de la Prop a, 

AOTXI EXIMP tE. 

Si 34 aunes de marchandife coutcnt,8o lit* 
14 f. 6 d. combien couteront a proportion ij au* 
nes de la m£me marchandife. 

On rcfoudra cette queftion comme la prece- 
dente en multipliant le j c terme par le a c qui eft 
So liy. 14 f. 6 d. 8c on aura pour produit 1110 liM. 
27 f, 6 d.on divifera uiol. park pretaier ternfe 
34 , on aura pour quotient de k premiere divi- 
fion 3^ liv. rcftc 10 liy. qu'on reduira en (bis en 
ies multipliant par io, on aura 400 fols, au(quels 
on ajoutera 17 f. qui fe font, trouvez dans le pro- 
duit 1110 liv. 17 1. 6 d. & on aura 417 f. qu'on 
divifera encore par 34 y on trouvera n f. pour 
Quotient de cette a e divifion > refte 9 f. qu'on re- 
duira en deniers en les multipliant par 11 , oa 
aura 108 d. aufquels on ajoutera 4 d. qui fe trou- 
vent feparement dans k produit du j e terme 
xnultiplie par le fecond , & on aura 114 d. pa 
divifera enfin ce nombre 114 par 34 , & on trou- 
vera pour quotient 3 d. refte u qu'on mettr* 

avcc le divifcur 34 en cette forme de fradion — - t 

ft en la, reduifant a moia&es fcnge? , on auia 

- .s 

['3 Pny. *, 



Atgehri. *i7j 

--qtt'on&rira cnfiiite des 6 d. d'od on con- 
*7 . 

clueraque fi 74 aunes de marchandife cofitent 
*o fo. f^f. e d. */ aunes Ar pareitie tmrchwdtk 

cmeront au m&ne jrix jj: liv. & C $ d. & -— 

efe denier. - 17 

£ 011 vcut ($avoir combiencoare chaqite pkite 

derm lodquele nsuid coute tfo liy. & contient 

zjo pintes 5 on diipofe les termes de k> quefttoa 

de cette fbrre. « 

Si ij© pinte$ content lo liv. combnen t pintej 
& fiiivarft k methode qa'on vienc d*enfetgner v 
on trotrrcra <Joe la Taleor de chaque pmce eft 

fC*d. il. 

Be m&nte fi as aunes de marchandfte con* 
tmeftt 300 livres- , on croavexoit lavaleur d* 
cha^Be aanow 

Autre Eikmh^ : 

Mfe rencontroit une queftkm propose <te 
Ceil* nianiere. Si %fU pefant one cowc rS 1. cdm- 
Wen de 1. pefant coutcront 60 1. En fkifiunt refle- 
lionfnr ^arrangement de:if ,!*&#*, il eft 6vu 
dene qi» c*eft un j e terme qu'on cherdbe , qo'U 
eft feeile de trourer en malripliant k premier 
xf& le dernier fo Fan par Taiiwe 5 & divifant 
\m produit if 00 pat le i= tertne qui eft connu-, 
m a au quotient de cette dirifcon gj litres peiant, 

■"•■_•» ,-.».- . • 

& — pour f tetme ^ d'oii on concloi <juc fi tj 



t74 Seednde TmU: 

livres pefant coutcnt i% livres, il feudra lu mfmff 

prix 8j livres pcfant > & — pour avoir de k 

marchandife fuffifamment pour 60 liv. Cetttf 
pratique eft encore fondle fur les Cor. a & 4 de 
• la Prop. 1. On pourroit auifi (') arranger les te*< 

mes de cette queftion de cette forte 5 18 livres pe* 
fant , if /row :: $0 /ww £*/«»? • x. Et alors on 
trouveroit le 4* terme comme dans les exemples 
precedents. 

S'il fe rencontre une queftion pareille a celle- 
ci $ 3 liv. de canelle coutenc if liv. 11 f. combien 
couteront g livres ; onces ? II fautreduire le pre- 
mier terme 3 livres en onces y & le jc $ livres pa^ 
reillement en onces , & y ajouter les j onces 
qui en dependent , afin que ces termes foient dt 
meme efpece 5 & on change la queftion en celle- 
ci qui lui eft equivalente : fi 4ft onces de canelle 
coutent if liv. n.f, combien i# onces ? & oa 
$cuevera l'operation comme on a enfeigni, 

Zxtmfks do Is regie do Proportion 

indite Be* 
» 

Suppofbns qu'il: y ait dans une Ville Uo* 
liommes en garnifon , & que le Gouverncur ait 
*ntre les mains. une certaine femme d'argent, 
f dont ilra ordre de donner 13 f. par jour stchacua 

jufqu'a un certain temos j le nombre des foidats 
a etc augment^ juiqu'a i; 00, on demande com- 
bien k Gouverneur doit donner a ckacun , afin 
que la fomme qu'il a entre les mains fuflife jut 
qu'au temps limite* ? II eft evident que le non^jS 

f } Cor* tref, Jf m> * " 



. 1 



r Algeln: vfi 

lies foldats etant augmentc,il doit dome! mains 
8 diacun. On diipoie lcs termes de cettc forte. 
. Si 1800 hommes recoivent chacun 13 fols^ 
tombien 25-00 hommes reccvront-ils chacun > 

Poutrefoudre cctte queftion & touces lcs au- 
tres femblables ou de meme genie , on multiplic 
le premier terme 1800 parle fccond, & on di- 
*ue ie produit 41400 f. par le je terme 1/00 , on 

trouve 16 1. 6 d. & ■ — .== — pour ley term* 

i;oo xj 

cherche • s'eft a dire que le Gouverneur dote 
donner a chaque foldat 16 £ 6 d. — pour ktis* 

faire a la queftion. 

Pour connoitre la certitude de cette pratique? 
tant pour la queftion propofee que pour les au- 
tres femblables , il taut confideter cette regie 
indire&e comme reduite a une dire&e ; e'eft a 
dire , que puifque la queftion eft telle que le 
premier terme eft au 3* , comme le 4 c qu'on 
cherche eft au fecondj j'appelle z ce 4* terme 
qu'on cherche , & j'arrange tous les termes de 
cette forte en Proportion dire&e. 

1800 hommes , iyoo hommes : : * . 23 f. 

De forte que dans la difpofition precedence 
lorfqu'on a multiplie* le premier terme par le fc- 
cond y & qu'on a divife* le produit de cette mul- 
plication par le 3c > c 'eft la meme chofe que ft 
glans «ette derniere difpofition des termes , on. 
multiplioit le premier terme par le dernier > & 
qu'on divisat le produit par le i c terme : ce qui 
montre que les Corollaires % & 4 de la Prop, % 
fcnt le fondement de cette pratique ? & que 
i&& Ic temps qu'ou rjaultiplie le premier terjftg 



Vf6 Second* Pdriiei 

par k fecond , & qu'on dmfc 1c pfoduit pari* 
troifieine , cela fbppofe taoeenucne qu'on a hfc 
f w* k qucftion proprfte one Mduofcfti de k 
regie de Proportion jndire£tei one diie&e. On 
pent done racifcraens seoiaaqucr que fc fa, regie 
eft dire&e , oa conaofc k product des dear 
scones moyens , & aft des extremes $ * fi & 
regie eft indiie&e y on connok ie podnit de*cx> 
rxemes >& {cukment undes tcrmesmoyens, 

Aufis Eximpu, 

Suppofbits qifil 7 ait dans one Place aftlegee 
$60* firidats poutla dtfenfe, &q«'iin'y ait def 
▼ivres que poor 8 mois ; que le Gouverneur ait 
etc averti qu'on ne peut lui donner do fecOK* 
poor faire kte* k siege que dans io fttois , on 
demand? q*ei nootbrc de fbldatt h doit mettle 
hors de la plate , afin de fcutenir k fiege pen- 
dant ces lomoisfans rkn dknin«ei; de gc qu'on 
dortfioit ehaoue jour a chaque foldat. Le but de 
k queflaon hut cormoitre que plusil y aura de 
tempi , xnoins il faudra de fbldat* pour pouvoir 
coneinunr de la nieme maniefe Volage des pro-» 
Tifions ; e'eft pour cela qu'on arranger* ks ter- 
mes der cefte lorce. 

Si % mete f*$f*nt * 400® foldsts , > tcmHen 

Qm. troaver* en operant comme dana l'eiem-* 
pie precedent , que k Gouverneur dak feuknienC 
tfonOtva ^oo ibldics , *e rentoyer ks afiSK*. 
ft* foldats. 

Auric** ExrBinn 
S^ Jtammc. n/ajaitt qu'ane fefftiii* foriftftt 



^ 



\A{gebri2 -vrf 

. ifaigent a dep&nfer pour donner da pain aojc 

pWres , voir fcavoir combien il aura de pain 

pour la mcme fomme , lorfquc le bled deviendra 

plus ou moins cher $ par exemple , lorfque la, 

mefure du bled valoit 18 liv. pout une certaine 

fomme d argent il a,voit 8 onces de pain ; conv 

brien d'onces en aura t-il pom* la mime fbmme\ 

lorfquc h m&me mefure de bled ne vaudra que 

ii liv. On arrangera les termes de la qucftion de 

cette forte. 

«fri8 livres donnent % onces , combien ulivr est 

On connoit facilement par la feule expofitiori 

, de la queftion , que cette mefure de bled yalant 

, moins, on aura davantage de pain pour la mime 

k fomme d'argent$ & on trouvera apres Foperatfcft, 

■• qu'on en aura n onces. 

Dans une armee il faut chaque jour ;{ muids 
de vin , dont chacun contient go pintes 5 on de* 
mande combien il faudra de muids lorfque cha- 
cun necontiendra que iif pintes i On fait rede-* 
lion que moins chaque muid contiendra de pin*-* 
tes , plus il faudra de muids. On arrange les ter-r 
mes de la queftion de cette force 330. $6 & zif , 
& on trouve par la fupputation y comme on 3 

* * ■ > * 

cofeigne , qu'il faudra par jour j % muids & -?* 
de muid. t 

Une perfbnne fe propose de faire faire un 
Jttanteau de 5 aunes d'une/ etofe dont la largeut; 

* ■ > 

eftde -2^ d'aune 3 on demande combien il fauv 

dra d'aunes pour le doubler avec une e*tofe d'une 
dcmie aune de largeur? On fait reflexion que; 
moins cette ftofe aura de largeur , plus il en fan? 
4ft d' fflWSI ffl i°flgueui dous fe doubluxe> parse* 



*tft , Stank Pdrtiti. , . . 

tju'il fan* que la doublure ait autant i*(ttnluti! 
<jue le refte de fhabit ,• on arrangera les termes 

i 
Ac cette ihanicrc ,*£- de largettr f f alines de lon- 

t , 4 
"gutfuf j — de largeur , & on trouye par la rap 

x 

•ptttation qu'il faudra 7 aunes 8c • — -de doublure; 

r La regie de Proportion compose eft de dcflfc 
femes , la dire&e & rindire&e. 

La regie de Proportion compose dire&e eft 
Telle qu'on reduit a une regie de Proportion fim- 
ple dire&e, & la compolce indiifecTre eft celif 
tju'on redoit a une regie fimple indire&e. 

txemphs de ta regie de Proportion 
cempofee* 

St t hoitirrie* gagnent en i jours 7^ livrcs y 
tombien gagneront 4 hommes en ij jours. 

Pout refoudre cette queftion , fl faut la reduirfc 
a tjne regie de Proportion fimple -, & afin d'f 
*eilflir , 2 faiir obterver cjue dans ces fortes d6 
tjueftions il y a toujpurs trois chofes principals 
<& cdhftue's , fes autres etant feukment acceffoi- 
jres & commeappartenantes .a ces trois chofes. ' 

Ceux qui fe fouvienhent desfrincipes de la Gram" 
fnaire , en pewvent faire iei ufage four diftinguet 
facilement ces chofes principales ou princ'tpaux tor- 
fhes vpmeque le premier eft toujour* nominaHf fo 
yerb,e qui eft en ufage dans la queftion ; le fecond M 
ies principaux tertnes eft regime it te yerbe ; & ft 
j e de ces principaux tefmes eft encore tin nbminatif 
He ce mime verbe. 

Dans h egtxeftton pteferitc »< les hommes &le* 



*7*4rvres tknt les principals chofcs, Pour faire 
npitcduAioa de cctte queftion k unc queftioi> 
de regie de proportion £mple , il {ant confideret 
que u i hommes gagncnt en 8 jours 7$ livres $ 
jfeft la nxcrac chole que. $ un homme gagnoit 
kf memes j6 livres en 48 jours -, puifque fuivanc 
.cette qncftjon on fuppofe que chacun des £ 
homines ttavaUle pendant 8 jours pour gagnec 
les ji Iiv. ce qui eft equivalent au trayail d'un 
foil iornme pendanr 6 fois 8 jours* JJe menW 
lautre partie de la queftion , od on demand^ 
cpmbien gagneront 4 hommes en 1; jours, eft, la 
mime choleque fi on demandpit combien doic 
gagner un trayail de 6q, jours $ parceque danf • 
cetre partie on fuppofe que chacun des- 4 hommes 
travaillp 1; jpurs 4 palace, mpyen on reduira, 1* 
queftipii prcped^nte i cclle-ci : 

Si ^Z jours de travail Amfehfytlivrps , fmtiett 
fojwrs d$ travttt / 

On peur encore regarder cette reduction d'un6 
autre maniere fans en changer layaleur des terw 
mesj fi ^8 hommes gagnent 7$ livres ^ combien> 
(So hommes ? .Car lbrique* ^hommes tfavaillenir 
pendant 8 jours _, e'eft le trayail Ac 6 hommes 
repeti $ fois ? ce qui eft equivalent au travail de 
4J liommes pendant un jour, De merne dans^ la 
aemiere pajtiede la queftion, on cherche apro- 
poruqn.le pixdu, travail de 4 hommes repeto 
ij fois pedant les i $ jours , ce qui eft Equivalent 
au travail ie £0 hommes pendant un jour $ S^cti 
operaraxojnme pr* a enteign£ dans la\regie Ae 
Proportion umple , on trouyera que 4 hommejL 
pendant x/ jours jgagneront ^f'liyres aoroportiprt 
dc ce que 6 hommes one gagnS 7 <f Iiyres en $ 
joors. 



\%6 Secwic Tartie. 

pouyoir cnfuitc facilement reduitt routes ,JeJ 
^pteftions femblables ou de m&me efpsce que la 

Srecedente, a des regies de Proportion fimplcs, 
jiyant cette methode generale qui eft de mul- 
tiplier entr'cux tous fcs termes qui dependent 
l'.un de l'autre, e'eft a dire , qui coimennentrtut 
$ Pautre, Apres cela le fcul 4i&ernement fer* 
connoftre lVtrrangement qu'il faudra dormer i 
pes termes. 

* On multifile flufieurs grandeurs entr'ettes, Urf r 
iftion en multifile deux tune fur Puutre, fr que* 
multifile encore leur froduitfur une f i fruinfk 
fmte. 

AttT&B EZIHPU. 

Si XX maflbns ont fait pendant Hours 10 toilet 
H'onvrage, comjbien 8 maflbns en feront-ils peiw 
<4ant 5 jours. 

Qn reduira cette queftion a cette regie de Pro* 
£prtipnfimple. 

Si f p muffopsfont 10 toifes , cembien 14 m*Jfon% 
$t on trouyera pour 4 e termc cherche* $ tpifcs* 

[ ©n pouvpit prppofer la queftion de Pexempl* 
precedent de cette maniere : 
. Si u maiTons pendant j jours ont fait a« toifef 
tTouvrage; en cornbien de jours g maflpns feronfr 
#s 8 toiles , a proportion. 

II faut reduire cette queftion & une regie ie 

proportion fimple , commeles precedentes. Poor 

r^la je nomine k le nornbre des jours que je cher* 

die , & je trouverai. 

. £p tnapons . ^otoifes :: %z majfons . $ toifes* 

" On fjait que e'eft un des termes moyens de 1% 

Proportion, 



Algthre. i%\ 

JPropoftion ', f^ayoir le fecond antecedent 8 x. qui 
eft inconnti. On fc trouve * en maltipliant le pre- 
mier *o pat le dernier 8 , & en divifant le pro- 
tftut 4S0 par leterme moyen connu 20 , & on a 
pu quotient de cette diyifion 14 pour le jc terme 
de la Proportion - 9 mais par la maniere de reduire 
ces gne/Sons a des regies fimples , qu'on yient 
dVnieigner, on connoirque ce j c terme 14 eft 
im produit dont le nombre fr qui fe trouve dans 
cctte derniere queftion eft une des racines 5 en 
diyi&nt 14 par 8 , le quotient de cette divifion 
fait eonnoitre Fautrc racine 3=*. , ce qui fait 
otfon r&ablit la queftion de cette maniere. 

Si ii maflbns pendant r jours ont fait 20 toi- 
fes : S maflons en \ jours feront les 8 toifes pro- 
poftes. 

On pouyoit encore dire [ X J que le produit des 
extremes 480 = 110* qui eft le produit de$ 
termes moyens y & que dmfant Tun dc Pautre de 
ccs termes par 160 , on trouvera [*} 3 = z pour 
quotient , ft partant 3 eft le nombre des jours 
(p'on cherchoit. . 

Si \% ouyciers- font un foffi de 74 toi&* en t 
jOttrs , on demande en combien de jours 60 ou* 
vrica en ferontf o toi£es ? Aupas avaat que de *e* 
luire cette queftion i une queftion fimpie y 01) 
mettra les tesmes. dans cet owe , 

# tuvrim . ijtun . jxfifa* «: G*omtr'ut*i 
l jours . fofcwjfc. 

On rcduiia cette queftion 4 ua£ regie de pf«H 
Jortion iunplequi u^a telle* 

* Car. %. e§» 4. Pr#. *. [*J *>*#. t, 
[ l ]Praf. c. 



* 



jSx Seeonde PdrtU. 

304. owners . ji toifes : : 60 z fuvriert. j>q flfa 
On VQU clairement , comme dans l'exempic 
precedent , que e'eft ua des termes rnojens , 
Icavoir la valeur du z e antecedent qu'011 cker- 
cne. On a mis 304 ouvriers pour le premier ter^ 
me , parceque le travail de ces 33 ouvriers eij; 
repete fucceffivement autant de fois qu'il y a dc 
jours , ce qui eft la meme chofe que s'il avoij 
Fallu a chaque jour employer 38 ouvriers non- 
veaux , ce qui Fait que pet ouvragc de .7$ toifes; 
peut etre cpnfidere cornme I'ouroge de 304 oa. 
yricrs, I}e mSme on peut coh/iderer le ) c terme 
com me un puvrage de 60 & ouvriers , en prp- 
nant £ pour le nombre des jours. On refoudrar 
cette qiieftion comine la precedente,& on troupe* 
fa pour la valeur de & qui eft le nombre des jours, 

[jours&^ f 

Anns E x c m )p 1 5; 

Si i ouvriers qui ont fait chacun r aunes d'&« 
tofe par jour. ,~ onr gashi tf o~ hV. Ax 18 jours j 
combien auront gagne 16 ouvriers qui aurpnt 
Aft'chatiih 4~auhes' par jour pendant 30 jours? , 
► - L ? etaf de cette queftionTait cohrtoitre que le* 
j .aunes detofe& les 18 jours appartiennent aur 
1 ouvriers , & partant qu'on peut multiplier le 
nombre de ces deux ouvriers par r8 , & le pro- 
dtiit 3* paries j aunes pour avoir 180 qui fcra 
le premier terme d'une regie de Prbriortion fim- 
pfc4 laqaelle {era reduite la queftion j parceque 
5 t ouvriers ont travaifle" pendant 18 jours , c'efl 
la meme chofe que fi $6. ouvriers avpient tra- 
vaill^ pendfuit an jour j puifijue c'eftle tra?aij 



Algtttre. i$$ 

kt dtOx ouvriers rcperf 18 fois. Or puifque paf 
la fappofition chacun faifoit f -aunes d'&ofe , 
le travail de tous ces ouvriers feroit 180 aunes 
d'etofe qui avoient produit jfo" liv. de gain. De 
la meme maniere qu'on vient de trouver le pre* 
mier terme , on trouvera le f de la regie; de 
Proportion Ample qu'on vient de former 3 car le 
travail de 16 ouvriers pendant 30 jours eft le 
income que le travail de 480 ouvriers pendant urt 
jour. Or puifque par la fuppofition chacun fait 
4- aunes d'etofe , le travail iEera 1910 tranes : de 
forte qu'on aura la queftion propofee reduite a 
cctte regie de Proportion iimpk. 

Si 180 tunes donnenttfo liv. $ombien 2910 **#**? 

On trouvera pour 4 e terme 3733 liv, 6 f. ft d. * 

AtrT r t £ * t M >"l "1. 

Si 14 livres pefant appbrtees de 30 lieues en 
ir*jours coutenr pour le port 13 liv.combien cou-J 
tera le port de tf liv. pour 18 lieues en j jours. 

On reduira cette queftion a une regie de 
Proportion fimple , commeon a enfeigne dim 
l'exemple precedent. - 

Si f 040 coutent 23 liv. cotnh'ten 314 ? 

Pour bien entendre cela , il faut confiderer 
que fi on tranfporte 14 livres pefant pendant \% 
jours ;. e'eft repeter 14 livres pefant 11 fois ; ce 
qui eft equivalent a \€% livres pefant portees 
pendant un jour ; Ghaque nombre de 14 livres 
pefant etant confiderc comme porte pendant un 
jour 1 ainfi il eft facile -de connoitre qu'on peut 
rcgarder le total qui eft \6% , comms tranfport6 
pendant on jour. Or (') ces 1*8 liv. pefant out 



xS4 Second* fmUl 

hi parties pendant jo lieue's , *hacane 4t c*i 
Imes a done etc portee jo licucsj & portante'eft 
la meme chofe que £ une livre pefknt a#oit ecc 
portce pendant 5040 lieucs 1 poiique e'eft la 
raeme chofe que fi on confiderpit one deccsrtfi 
livres pefant repetee 168 fois a chacune des 90 
lieue's. Or 30 fois 16% produit 7040 fieuesp&fcou- 
iues pax cctte livre pefant. On fera kmenaerai-* 
fcnnement poor le $e terme 514 de la regie £m- 
pk •, & on trouvera pour reponfe a la queftifiit 
que .le port des 4 fcves pefant pour 18 lieucs en 

3 jours , coutexa x lir. 9 ibis < 4. & £!?£ de de* 

«4ejqs = — • * 
1 

Sugpofons qu'ily ait dans une Ville jUfiegee* 
3£oo foldats 9 & que pendant ',4 mods chaeun re- 
ceive par jour 16 onces depain j s'il ne refteen* 
iuite dans cette place que l$oo fbldats pendant 
3 mois , on demande couabien ckacun recevraptf 
jour feulement , afin que ces provinons puiflcnf 
fuffire pendant ce temps. 
. II faut reduire cette queftion a one regie de 
Proportion fimple, en multipliant le nombre 
ifoo par 4 mois , & le produit qui eft 10000 
fera le premier terme de la regie ample, & 16 
onces de pain {era le fecond ,. & en multipliant 
1800 foldats par $ mois y on aura 5400 pour 
produit , qui fera k j c terme de cette regie de 
Proportion fimple. 

Pour rendre raifondu premier terme 1000 0, 
il faut obferver , commedans les exemples pre- 
cedents , que i;oo ibtfats pendant 4 mois eft la 



'jilgehre. \%% 

mcme chofe que rooob foidats pendant i mois £ 
ppifque ce n'eft autre chofe que z;o<a repete une 
fois chaque mois , e'eft a dire , 4 fois pendant* 
les 4 mois. Oa dira la meme chofe pour le f, 
terme J400 foidats j&on fcra cet arrangement. 

Si 10000 foidats refoivent 16 onces , combien. 
5*400 ? 

II eft facile de remarquer que moins il y aura 
de /bldats , plus ils recevront chaque jour , Sc 
partant que cette regie fimple eft indire&e. E6 
faifant le calcul , par la regie fimple indirecle , 
comme on a enfeigne 7 on trouvera que enact 4 

■> it 

des 1S000 recevra 19 onces & —^ d'once 3 mai$ 
puifejue la livfe vaut i£ onces , cela eft equiTa* 

* - ~ I ' ~ it *" 

valenta 1 livre &— 4 onces &-^. 

On fait la preuve d'une regie de Proportion 
par une autre regie de Proportion , dans laquellc 
on, met pour un des termes connus celui qu'on a . 
trouve par la' premiere regie , & on fuppofe pour 
inconnu un des termes connus de cette premiere 
rc § Ic » P* 1 exemple , {\ iy livres de marchandife 
coutent 18 francs , combien 10 livres de la meme 
marchandife ? On trouve pour 4 C terme n francs; 
qui eft la fomme qu'on vouloit connoitre. Pour 
preuve que cette operation eftexa&e , ondit, fi 
10 livres de marchandife. coutent ix francs, conv , 
me on vient de trouver , combien ij livres de la . 
m£rne marchandife ? Si on a rcliffi dans la pre- 
miere queftion , on trouvera dans cette feebnde 
•pour 4* terme le fecond de la premiere queftion 
qui &oit connu. On fera de meme pour les atH 
jiet regie? de Proportion firoples ou composes** 



i8tf Sectnde PdrtU} 

par exemple , fi une pcrfonne pendant t mck 
s'eft ferri de Sao livres appartenantes a un au- 
tre , on demande quelle fommc ce premier doit 
preter a cet autre pour ; mois , afin d'egalcr la 
recompenfe $ comme il £e propoie de lui pr&er 
pour moins de temps , il faut qn'il lui prete une 
plus grande fommc , & partant c'eft une regie 
jnyerfe , on trouve park cakul que ce fecond 

doit preter au premier 133 j litres — . Poor 

preuve de cela on fait cette autre queftion : £ $ 

Alois donnent i$j j lines — , combien $ mois I 

£t on trouve par la regie inYerfe les 800 liyres 
de la queftion precedence , ce qui fait voir qu'on 
abienx£difi # 



2>£ LA %£GLE DE COMPAGNlZ. 

La regie de Compagnie on de ibcieti eft une 
operation par laquelle on partage un nombre en 
parties proportionnelles- a des nombres donnez, 

II y a deux fortes de regie de Compagnie , 
ifavoir la fimple & la compoffie. La. regie de 
Compagnie fimplc eft celle oil on na point 
tgattd au temps , & la compoftc eft celle os on 
* e*gard a divers temps, 

Exemfles de I* regie de Cemftgnie fimfh, 

1 Troisperfbnnes out fait une bourie comvumt 
7 our acheterouiairefaire-desmarchandifcs} k 
cpwmier amis 4*3 litres , lc fecond 130 liYies t 



Algehri. 18} 

& le troifieine 70 livres $ & apris leurs negotia- 
tions , ils one gagne tous enfemble 300 livres, lis 
demandent a parcager ce profit entr'eux a pro-, 
portion dc Taxgenc que chacun a mis. 



410 tiv. mi ft du premier, 
gam fOO tivw, ^zjo tiv. tntfe dufscond. 



ft**/ des mifes 7 i *e Uvfts* 

Poor refoudre cetce queftion Sc touccs ie* on* 
tres (emblables , il faut fairc autant dc regies <te 
Proportion qu'il y a de miles j^c mettre pour prq- 
jaoier terrne la fomme de toutes les mtfes, & 
pour x c terme on mettra le gaia ou profit , tic 
pour chaque f terme , on mettra la fomme que 
cnaque perfonne a payee. 

Dans la queftion prefente , pour trouver fe 
«gain de la premiere perfpjane qui a axis 410 liv. 
oiidira : 

£* 710 /ft>, 4 at /*»/ /* mife mats , ant donm 
400 livres de £**»> ccmbien donnetwt 41Q livres 
.qui fmt la mife d# premier f 

Par le moyen de xptte regie de Proportion t 
_oa trouuera 17/ livres pour 4* .tocapte , ojamsunP 
on ae^ifcigni. 

Pour trouver ce qui ajppartient a la fecondp 
rperibnne qui a misa$o liv. on dka : 

Si 710 tiv, *fr*»«»*\$oo /i*vtw, Aombien%Y>Uvre^ 

On trouvera par cette regie de Proportion,, 
^il appartient # Ji*. *tf f. * d. ic«toi qui a najs 
ja© livf es» > 



lit Secoqde P Artie. 

Pour trouvet ce qui appartient a k^troifiomc 

perfonne qui a mis 70 livres , on dira : 
Si yto Ui) t doHntnt 306 livres, e&mhien 76 livrtsf' , 
On trouvef a que celui qui a contribue de la 

fomme de 70 livres , doit recevoir 19 livres 3 f, 

4 d, du profit, Au lieu de 3 perfonnes , s'il y en, 
avoit 4 , r , 6 , &c. on fuivroit toujours la raeme 
methode. 

Pour preuve de la juftefle dc cette operation f - 
on ajoutera enfcmble cequi revient a chacun du 
gain , & fi le total qui en refiiltera eft precifc-* 
ment egal au gain, Toper ation eft tres-bien faitf^ 
s'il arrivoit autrement il y auroit erreur , & il 
faudroit la recommencer. Dans l'exemple qu'on . 
▼ientdc propofer, on trouvera que 175- liv. 97 
liv. 1$ f. 8 d. & 19 liv. 5 f, 4 d. font 300 liv. ce qui 
montre qu'on a bien r^iiffi. 

On pouvoit encore refoudre cette queftioA 
d'une autre maniere, en cherchant combien cha- 
cune des 700 livres qui font le total des rhifes,<loit 
emporter des 300 livres de profit , par cette regk 
4c proportion : 

Si 720 liv. donnent 300 livres , combien 1 livrel 

Lorfque par cette operation on a connu ce . 
qu'une livre des 700 liv, erhporte de profit,qui ell \ 

5 f. 4 d. on mukiplie enfuite les 410 1. que le prt- 
mier a payees par 8 f. 4 d , & on trouve au pro- 
line 17; livres , qui eft le meme nombre qu'on a 
trouv£ par Tautre methode qu'on vient d'enfei- 
gner ; on multiplie auffi 230 livres par 8 f. 4 d, 

6 70 liv. par 8 f. 4 d , & on trouve au produit 
de ces multiplications ce qu'on cherche. Au lieg 
des 300 liv. de profit , fi e'etoit 300 liv. de perte, 
on partageroit a ces 3 perfonnes cette perte de 
la meme maniere a proportion de l'argent que 
chacua a mis , e'eft a dire , que celui qui ami* 



r AUe%re. \%$ 

Isvani&ge {^rfwit ^vantage $ & akfi des 
as&cs* 

Adta* Exempli* 

TJn 4iemtne cede aies creanciers (on bien qui 
eft %foo livres 5 au premier de ces creanciers il 
doit otto livres , au fccond 271 , au troifieme 
£48 , 3c au quatr&me &o livres j mais comme 
le bkn de eetlcbiteur tfeft point fuffifant pour 
fatisfaifc entierement ces creanciers . il eft quef- 
•ion de lear en faireune repartition a proportion 
de ce qui leur eft dfi. 

hen i pemget if 00 Uvtts. ^ * 7 a 

^20 



^»- 



«• 



r<**/ #*« <^^« 3000 /ii»w* 

On fera ces (upputations cortimc on a -eniei-» 
gnc dans Pexemple precedent , 8c on trouvera 
que lc premier a qui il eft du 1260 livres , doit 
recevoir 10 jo livres dcs 2700 liv. le fecond a qui 
il eft du 271 livres , recevra u6 livres 13 tols 
4 d. le troifi&ne a qui il eft dfi 848 livres , re- 
cevra 706 livres 13 f. 4 d. & le quatrieme a qui 
il eft du 610 liv. recevra $ 16 liv, 13 f. 4 d. 

II faut remarquer que s'il fe rencontre outre 
les livres, des fols & des deniers dans les mifes dfe 
chaque perfbnnc , oil dans le gain ou perte com- 
mune , avant que de mettre en ufage les regies 
de trois , il fatft require toutes les Tomrnes aufc 
inoindres cfpeces de raonnoye } par cxemplecA 



i^o Sectndt Ptrtiel 

deniers s*il s*7 rencontre des deniers , on en fob 
fi outre les livres il'ne s'y rencontre que de$ fols j 
ou bicn on ne reduira en (bis ou en deniers que le* 
premier & le je terme de chaque regie de trois j 
&enfin on achevera comrhe on vient d'enfeigner. 
Pour entendrccela plus facilement , il faUt faire 
attention a l'exemple fuivant, 

Trois perfbnnes ont if o 1. 1; £ a payer , de 
forte que chacun contribuera a ce pavement a 
proportion de Con bien. Le premier a 300 1. 11 f. 
derevenuj lea c £1301.7 f. &le$ c ayo 1. isf.On 
demande combien chacun payera de la foranle 
propoffe. 



%J6 h Ij'fi 



\)0 liv.it f. = 6 011 f, 

=s>0*//. « 1 J o Iw. 7f. = 4*°7£ 

/ jOlw. 18/. ssrioiSJi 

|*i/iv # i7/ # = n>3 7/. 

\\ faut reduire en fols k total du bien de ce$ 
Irois perfonnes , & on trouvera 11*37 £ ^ kut 
audi reduire en fols 300 1. qui font le bien du pre* 
mier , on y ajoutera les 11 f. & on trouvera 6oix 
f.Il faut faire la mime chofe a Fcgarddes deux 
autres -, Enfuite il faut Faire une regie de Pro- 
portion , & au lieu de f 81 1. 17 f. qu'on mettroir 
pour lc premier terme , on J mcttra fa valeur en 
Ibis , cequi eft equivalent, ifo 1. if f, feront le t c 
terme , & le f fera 6on f. qui font la valeur de 
300 1. u C & on dira : 

Si 11*37/1 donnent afo /. if f. combien 6011 fols .* 

Apres avoir cherche combien produifent 6011 

fois ifo 1. if f, on trouve if07fO^ 1, & apres les 

jwoir divifces par 1x6)7 oa trouve pour quotient 



r uilgehre. xpt 

n9i.r0 1. 10 a. - ■ que doir payer le premier 

de ees trois perfbnnes qui a 300 1, jif. decevenu. 
On auroit trouve la meme chofe fi on avoir 

auffi redoit en fols les ijo 1, ij C & fi on aVoif 

forml cette regie de Proportion. 

Si i\6yi f.donrient yoi; f. combien 6qiifol^ t ' 
Et apres avoir multiplie ie f terme par le *•. 

on auroit trouv6 3orj"Oi8o fols j & apris les avoir 

divifez par n6yj > on .auroit trouve pour quotient 

1790 C 10 d. ■ ■ = 110 1. iO I. jo d.-i-i- j 
n*37 ntyy * 

corfime on avoit d£ja trouv£. 

En continuant ^operation , on rrouyera qui? 

h* z c perlbnne qui a 130 1. 7 f. de revenu , payer* 

f. 8 d. 

* Exemple de la regie de Comptgnle eompofU, * 

Trois perfonnes fe font aflbciez & ont pris^ 
resolution de negotier: le premier a employ^ 
U06 livres , & apr£s que 4 mois ont ktb finis it 
a retire fon argent 5 le fecond a employe* $fO 
livres pour 6 mois 5 & le troifieme a employfi 4 
too livres pour id mois 5 ils ont gagn£ 1400 liv.* 
On demahde combien il en doit appartenir a 
chacun a proportion de 1'argcnt qu'il a employ^ 
&du temps.quHl Fa laifle^en commerce, s 

Pour reibudr'e cette qii^lion, il faut mufripliej' 
U rnife du premier par k temps qu'& fcrvi forr 



l£l Se conic P Arts el 

Yitoo/nv pot# f nmf\^ool^ 

jpAn X400 Uv» J- 9S o f*u* 6 mois'fy 09 * 1 

- J 600 four to mau Goqq ;\ 

i6$oo 

urgent ,. & on aura 4800 livres j il fautmultiplier 
Ja mife du a? par fon temps , le produk eft 
^700 livres ^enfin la mifirduje par le iien, ceh 
fait 6000 lines : de forte qu'on confiderera ces 
'3 fommes 48bo liv. f 700 liv. dc $000 liv. comme 
fburnies par ces trois gerXbnnes ^ & que lew 
fcmrne totale qui eft i6fOo lir; aproduit le gain 
des 1400 liv. ce qui fc reduit a one regie de Com-* 
pagruelunrUe r dans laquelleon operera, conunc 
on a enfeigii£dans leprcouerdesexemplcs pw 
cedents. 

* * 

D y a plufieurs autres queftions qu'on troifc 
dans les traitez particuliers d'Arkhmetique fait* 
par differens Auteurs $. imisparco^u'on peut rc- 
ibtfttae facilement ees queftions par ies principes 
qu'on viem d'6taMir , jt a'aipas era qu'rifut 
neceflaire de s'y arrfctcr plus Long-temps. Les re- 
gies qu'ils appellent d'Allkge & de faufles po£* 
tions , m£me plufieurs queftions ou on employe 
ordinairement un cakul d'Arithmetiqu* am 
faborieuz, font pxatiquces & reiolues beaucoup 
plus fadlement & plus clakement par les equa- 
tions qui mentent aflez qu'on <m fafie uatraitc 
^articulier. Ainfi de peur d'etre ennujenx a ceu* 
qui commencent a s'appli^jaer a l'enide des Ma-» 
wmatiques , je finirai iql cette feconde Panic, 

ElEMENS 



«w 



EtIMENS 

DES 

MATHEMATIQ^yES* 
TXOisrij«& tawtie. 



PE £A GEOMETR.IE. 1 






'A" Ge\sWeTrfc eft tare panic fondu 
**~«*ie dec MatbemuiqiKi , danr 



laqftelle on rraire des lirae* . in 
aAca^daloli**! 
- „ w, ~ Ct * u '? Pani* fa* penagec err 
tans CnijJkres.' Dans le premier on criitew dee 
ligntt ; (Uns feM^cc-nd, des fiirfaces ; ft danj le 
3V 1 " &U,Ic! . »pKT«pir eepcrfe let definition, 
am lenr conviennent, EC qui fonc nectuairei pour 
fimeliigeuce de leurs jfroprieecz, 

ft 



/ 



ifpp Trotftme Tartle: 

2. tin point Matheoutjqiic *ft ce quVuxatf.. 
tf cere comme n'ajrant aucune partie $ c'eft a dire, 
fins y faire attention a aucune longueur, largeor^ 
ni profondeur. ^ 

5. Une ligne eft une grandeur con£der& «i 
com me etendupen longueur fans largeur & (anj ■ 
profondeur -, par exerhple la diftance de j?ajgLs i 

C ORO LLA I fc*E 1/ - 

$i on confidere qp'uxi point puifle etre tranfr 
porte d'une ftation a one afctre , la trace ou k 
vofti^e par (^c^pokitaurpif pa^6/<w:^aejigac| 
puifqtte ce £«t wie4ongueur Uns kigeur & ]fn4 
profondeur. f 

,.D.onc ks deux cxtt^mitez , c^ft adire>k 
6ommencement.& la. iiftd/unfc.ljgne.font. dejjl 
points i puifque c*eft le point qui commen- 
ce, jf ftre ; h>u ^ qui ' en T fajt Je\ ctauneiflfe- 
ment , & que c'eft ce mime poinYqui ceffed'5* 
tffiniijquienfaitlaito* .__ ^ 

CQ(9£LAI&R I-J2, 

.Done lor&ue detox- ligncs fc;coupem , feifc 
commune fection eft un point. Soient les deujt 
%nej AB & CD 
qui Ce coupent en E, 
j« dis one leur tom« 
ramie icdtipn eft ua 
point : car fi elk 
^toit ecux , t>u plu* 
ijeurs points % il fau- 
droit que la lignc 




ABri'cn £ n^.ifiteJwgw,^ qtetfft contra 

la definition prefente* r 

.11 y a des lignes de deux, fortes, de droitss , &» 

de cburbes. * ! ■ 

4. Une ligne droite eft cellequi eft la. plus 

couxte de K>utj&j£i-iiS lie ^ • i 

qg^npeutHlfcnerd'un^int . A ■ ■ Bi 

a an autre point j par fifem-. : , 

pie A B. ' • ' . • , > 

^UneUgnftCeurbe eft .cellequt &ant meaec 

d'un point a un iX x . ft ' 



pas la plus courte a 
de edits qtrf^pun-'* 
fent tee termi- 
ncts'parcrsdjrtfx 
points. , ou te 




^ 



quelle cant me- F I . ^y^^s. (^ 
nee . d'un point n***^ ^S^vJ 

xevient au m^tne 
point j parexeinple 14 ligne ABC on E F G. 

Les lignes droites confidere^s a Fegard l'u le 
& lteutrc fontdetrQis fortes ,- perpendicukires, 
obliques, &. paralitica* ■ : 
* & Une iigne pacpotdiaiilaixe a une autre ligne 
droite- eft: ceiie; qui' rtneoatre cette autre lig.ie j 
& qui ne pehchc ou 
incline d'unc part y\ 

Hi d'autre 5 par 
•temple la .. ligne 
A<B eft perpendicttrr 
kitt-ala^ignc&oir. . 
teCD, fi cette li- ~C J» 

gne A B ne penche 
ou n'incline de part ni d'autjft, 

7. Vne lignc droite oblique a une autre ligne 

R i) 



S> 




U# Troifi(m TtrtU. 

iioitc^ eft eeQequi reneoottant cette a^tirCA* 

Senche on incline plus *v» 

'on cdtc* que dta* 
autre } par czcmpfc 1* 
lignefiD, qui wn- 
conuc la ligne A C 
& qui incline plus tot* 
1c jx>int Cque vers A, 
eft oblique £ la ligne AC. 
• *. Les-ligiref paralleles^6At €etf«rcpi font ip*- 
Jcment diltances entr'eiles r» 

Jans toute Jen* longueur's Ai ' m . m B 

parexempk ksUaneiAft • . - ^ 

*CDfc . *• C - ■ "D 

9. Uixcfitface offing gratikfen* cDnAderfc 
coo&ne Vendue* en Ions' St e»Jarge fenspio-* 
fondcur j telle *ft.la furface A*Wie Cainpigut 
<P* 04 ajpfiire par arpentf , ou par wafes, to, 

CQROLXAIKE It 

Si on xofi&tese^Qne ligne pni& fctte ttanA 
ported de trayers ou traiu^cxfalemcnf djune Aa* 
tion a one autre ftaubn , an qu'uaeiigne aw*e 
fafle one revolution an toot de fes deust extrfc- 
mitez , la trace ou le veftige par oA cette ligne 
aura palK feca jjne fufface 5 pui£)ttexe icrauoe 
grandeur Vendue en longueur a caafedc la lon- 
gueur de la lagne , en largeufc £cau6 dsjnflH 
vement tran&erfal de cette ligne , &£um pto* 
fomteor parcequTOmriigneiaftcf »> 01 aoaM 
»• ^roibndewr, Q 



. Geimttrie. 197 

I C OR OL L A I R i II. 

bonclesdeui eitremitex.c'eftadirele com-i 
(nencement & la fin tl'une uurface font deux 
lignej , puiftjue L*tft la> mime ligne qui com- 
nience aetre mue,quien fait Je commencement; 
que i&ft cette jBelnTHgne qui ceile d'etre mie! 
en fait la fin, ft "q o e .les points qui tcrminent cette 
ligne mife en mouYcment , d cement ('} chacuii 
one4igne, - 

II j adedeux fortei de furfaces, des plan:s& 
ties combes. 

10. Une furfice plane ou feulemenr plan , eft 
pelle dans laquelk on pent mener a volontc une, 
ou plnfieOM ligne* dr cites ; e'eftidire, qu'iaie 
iigiic dtoite touchc ■ 

dans toasTes points a 

flans quelque litua- ' 
tion tranfveriale 
ou de xp«n» qujon 
k p^ffe appliqoer 
farifxSc furfacc. 
Telle, peut etrc la 'A 
fivfice A*. " 

COROLLAIRE. 

Si nac ligne droits, par exetnple C E, eft dans 
nn plan A B , ou ft cette ligne j a qnelqu'une dc 
fa parties , cette ligne dtoite etant prolongec, 
par exempken D , la partie ED feraauflidans 
ie mfane plan AB , & quelque loii qa'on la 
ptolonge , elk Jirttoujours dais 1c m«n? pun - a 

C)C«r< i.dif.i,Gtm t , ' ' 




*9 fr Trtiftm Pdrtttr 

car fi cctte lienc dxoite C£ ttant ^rdongcc' 
n'ctoit pas toujour* dans le racnae plan A B pro- 
long* auffi s'il eft ncccflaiic r ii stouwjoit cjue 
cetteligne droi- 
tc ne fc confon- 
droit pas avec 
cette furface , ou 
nela toucheroic 
pas dans toutefk 
longueur ; 8e 

partant * cctte furface ne feroit pas plane , ceqrf. 
«ft contrc la fippofition. Done une ligne droite* 
menee dans unplan , ne peut fere felon une de- 
les parties C E dans im plan quelconque AB, & 
fierce am deffus de cc pbn felon unede fcs par* 
ties EF. 

ir. Une furface court* eft ceUe fur laquelk m 
nt pevtmaxx jduficnjs jign C , 3^^ i TO tomei 
e'eft idire , _ 

dans, toutes ** N 

(bnesdepo- 

fitions tranf- 

Terfales> on? 

queces li- 

gnes droites 

ne peuvent . 

Boucher dans 

route leur 

longueur > tcifr e/fcla furface C D TO Sff ; 

Son confides rinterieur de iaxaujfeure i8r 
*ette ferface telle qu ? cllc eft en X , ou en 1, ** 
Tappelle furface concave y & £on confident tar 
t^ncar de cettc courbure telle qutile eft en J, qf 
en N-, on 1'appclJ* &&& c*im*F* 





, Tt fior ptdCeHtcmcnt fane attention m d&i 
fefions fluixoownncitt spec pmoriewr des lignc* 
*i«n£efrwr lesiurfatts puix K&finkionsqni can* 
vicspentafix fexfec^con&klte t*une i regard 
«te rautrc y & enfin aux ligjae* <ra* fervent dc teo* 
jnes, detacnes ,oude Unices a. dcsfitf&ccs* 

n. UiTaAgle eft W* 
cartement qaoavertHref 
comprife entoe deux dtf~ 
fcrentes kgnes , A* 
concoutem £ pas £«a** 

*le ABC* ' 

- fl>* en geaex^trok 
Jbrtes <fii»gi® compii* 
jar des lign» T flavour 
angfcre&tfigne, curvi* 
♦Irene, ^mixte^ ". , 

13. Wn angle *&iligne eft nn tcartement o« 
•UTCitiife form& par deux ltgnes droites j par 
•vxttnpk Vangk A&C. lc curriligne eftTou- 
▼ertuK cpmpriie pas deux ligpes couAet } & 1* 
mixte, p«tttne combe & uac lime droite.Danf 
k fiiite oni traker a. t ulcmctnt det aagjes tott* 

figne?. ,. ^. - " V « — 

II fant ©bferter qtffen ie femn* <k lettw* 
pour expri**er uaangfe form£par des lignc*, It 
fatre 4u miMeii & rexpicuam marqwra tafijours 
4» pointe 00 le fbmmet dei'iuigteqmcftlejpoinz 
ie concerns } par exempted dans Ifcxpteflion de 
Can^fc AB.C cm € ft A qui eftk nwcUci 
]fciwitet ou poiaiede cct angle eft le poiat% 




CO It O* I. £ A * R R 

ftiukde cette definition que tel eft I&awi. 

pot 4c deux Ugwsq^^w^^^^r^*^ 




*tn> TrttpSme Pdrtie. 

Tangle qtfelles ferment , c'cft a dire, que jfas 

cet ccartcmcnt fera grand , plus auffi cet angle 

fera grand 5 & que phis cet ecartement fera peat, 

Tangle fera petit : & cju'enfia on n'a point cgaid 

& la longueur des 

iigacs qui torment un 

angle pour d&ermi- ft 

ner la gotndeur de ** 

cet angle J par exem- 

Jle , Tangle AFG 
ft^plqs gran4 que 
Tangle BFD , qui 
jVen eft qu'une partie, 
quoique les cdtez BF 
&^DF de Hangle 
Iff D foient plus 
longs que les c6tez A F & F G de Tangle A FQ, 
y Xes angles' re&flignes font de trois fortes , 
droits, obcus , & aigus. 

. j 4 . Un angle droit eft cehuquieft comprise* 
ft>rm£ par une ligne 
perpendicalaire a one 
Wttc ligne, Tel eft 
Tangle ABD,fiAB 
eft peipendicuiaire a 
BD. 

if, Un angle obttw 
eft celui qui eft pins q 
grand ott plus outett 
qu'un augle droit -, par exemple , Tangle EB D. f 
fltticftplus grand que Tangle droit AB D. . 

*€. Un angle aigu eft celui qui eft plus petit 
qu'un angle droit 5 par exemple ,- Tangle E B C 
gui eft plus petit que Tangle droit ABC. 
- En general ies angles aigus Ott obtttS fof# ty* 
pcliez Mgfef Miiput ... . „ . J 




Ife ttngles *affignes, fcfeqrik /okfttdioinr, 
4&M&* oa -ftjgus , peuvent encore receyoir dine* 
jeas^nea* : **n Jcs pt«t appellcr arigles plans,' 
tngleede plans , & angles altefiies* 

17. Xnjlc plan eft celui qui eft Aefigni fifl? 
toe furfafce plane, coaime JaiigleABC de Is 

ift. Un angle de plans on de dear plans dt 




par un mcmc 
point, cnacime 
de ces dent, 
pcrpendiculai-* 
ses ftant me- 
nee ckr» elf a- 
<pe;planjpar 
cxeiriple SU. ' 
ligueA&me~ 
sfe dan* fe 
plan DE eft: 
peipendkulato 
fe a & confc- 
mune fe&iob 



» " 




•\ 



G«, & tfialigncJCB menfe Am tepfcn*» 
eft auffi perpendiculaire a cette rommune ac- 
tion XiE par le mteie point* > rfcartemeiit » 
ccsdettxlignes AB ficvCBeft l'angle cejnpr* 
par lc* dear piaiw *DE & FE * K»ge de* 
plans FB & <J« doit* fcrc dmfiderf conatte kl 
precedent ; & ainfi des autre*. 

1* Angle* atomies-fen* wir q*i.on*tet©t^ 
net dai»diftientefcKgnW,.&^ p *** 
de part & d'autre d'une ligne dsoitc , qui coup* 
cts inemes ligncs, on fcs apodfe alomes ^ 
•ctacs lorfijrtls fonc cntsc ccs ligncs <pun« 




autre ligne- coupe 5 & akernes cztttats - ktrf~ 

fcu'ils ne font pas entre ces tofemeg lignes % daA* 

lefquelks km fommet eft pof6. ABI&»TG| 

IfB & tBC font D ^ 

lies angles alter-' 

pes internes \ «« 

fiBC & EFHj A ^ ft 

ABD &HFG- 

font dies .angles m j . . £&. 

altemes extcr-» £ ^^ ^ 

fcesj * - * 

Les 1 Angles po-> 
fez d'uif nftti&c , . , , . . 

c6t£ de lLfigne DH fen* auffi inteneurs & exu 
xkieurs ^Sf^ ^ FB font int^rieurs du nifime 
c6t£* ie nX^naedes angles AB F & EFB : les 
angfetfJX&C & G F Hfe a t exteneurs du m6nie 
c*& r on dasa la m*me «kofe des >ri|;le$ 4 B I* 

|*§. La ligne' iitofr perpendiculaie* a un plan, 
eft ceUe qufeft per* -\ 
pendiculaire a touw* C- 

Us lignes droitVs 

Ju'on piut mener 
ftr^s ccf mtroc Man, 
par l'cxjrfyaite de 
cftte ligne, ; par 
exemplt CD eft 
perpendiculaire au 

plan.AB,fielle.cft 

perpendiculaire aux ; . ' ■ - : . : 

lignes FE,;e,H ,/^c. qurfeme men&s dans 
#e plan yar L'extr&nfc* D de cette ligne droite 

- U* les plans paralleled font ccux qui font 

M. t 





iof 




• ** * *• 

Vemeiriejf 

tg&ement diftans 
fan de Pautre dans 
<oute lear etenduc ^ 
fax exempfe AB & 

»e a caofe de fes 
Jimic^rou-wimes cflrde *rhis fortes ; U farraat 
plane xe&iiigiie , la c^rviHghe , £c la mixte.j 
4*. Lafetfacc a||ne - D 

re&iligne eft tfue qui - 
eft tennia4^par des : 
Jignes drpites 5 par A 



« • * 

>ty. la Tarfice plana 
<a«ri$gne-d| celle qui 
eft terminee par une,ou 
flufieors iignes cburbes, 
*>mme let furfaces 4 > 








*4. "La fixface plane 
ftiixte eft eelk qui eft 
$rminee par &i Ii- 
gnes droices & des B- . 
jnes courbes ; corturip 

Mais parcequ'i! y a une infinite de fortes de 
.fofaces curvilienes & de filrfaces mixtes } Sc 
^a;re les furtaces plants > le«^ujcs reftiiignei 





$04 Treifihu. P trite 7 . 

fc carrilignes cijcal aires ^'t ptnf riffffttl 
test vrma uJta qui font d*iuv pju* frequcm 
^ve-danries'Ms^eaifaiqacs | e'eft pour cd* 
eu&i djaitera feukmeni deecs deu* dccaierea 
potteL * " ' "*""" 
*jt . Vh ee wlg a ft one fiirfacr pUg» tfcanxak 

pax one ligne couxbe <ttat 
y>u* tes . point* font igak~ 
merit diltans d'un- point 
pro danscette fuffece-} telle 
eft la furiace B*P termi- 
nfc par ir 'ugiA courbc 

ifcj* circonfereiiCe*fin - 

cerde ^unejfgne circulaire , eft tme lignf 
courbe, qui termine Jc cerde de tontes parts j 
telle eft la ligne courbc BEDFB. 

17 . Un arc de cerde eftitfte parrie decirc*^ 
ference telle quVlk foit^pax cXcmpk la paxo* 
BE on ED, * 

18. Le^centre d'un cerde eft on point pdi 
dans ce cerck, cui eft &akmcnt diftant de 
tootles points ae la cir conference; paxcxOBfiJi 
lc point C. 

COROLLAHI1 

Dime pourtWcrire un cerde , il rant eonffJ 
voir quf une ligne droite; pax ezemple BC foic 
miff an i tour d'une de fes extremitez fixes C 
danft un mSrae plah $ car la ligne courbe 
B ED FB tjuc cctte ligne B C aura. d*ccritepaf 
le mouvement du point B , lorfipiVIk fcra re- 
venuc dins 1st stifaae firuation dtal elk ayoir 
comment a Ce mou voir , (era une circonferencft 

de ccxdc * putfjuc chifua des points de cette 

iign* 



Geometiie. ioj 

^ c*ufbe fexa egalement dillant de fautre 
:exjr£mite fixe C de cette ligne droite mobile. 

I/eipace ou furface plane qui fera terminee 

j>ar cette ligne courbe {era k cercle , & 1'ex- 

trfemiti fixe de cette ligne mobile fera. le centre, 

&9. Un rayon de cercle eft one ligne droite 

<menee da centre a laxkeonference; par exempli 

COiOLIAUE L 

Done les rayons (Tun meme cercle (one 
egaux entr'eox j puifqu'ils font tons menez da 
centre i quelque point de la circonference , 6c 
me (*) le centre d'un cercle eft egalement diftarjg 
CCXQUS les points de la circonference. 

COROUAIRE I L 

Done les iignes dtoites menses du centre dc 
Cercle , pins courtes qu*un rayon fe termineront 
dans le cercle fans panrenir a la circonference 5 
jk les Iignes menees du centre phis longues 
cu'un rayon outrepaflcront la circonference , & 
{e terminer ont hors le cercle : car elles fe termi-* 
neront plus loin du centre, <juc chaque point de 
la circonference , e'eft a dire , qu'elles outre* 
paflcront les bernes da cercle. 

30. Une corde ou foutcn- 
dante d'un arc de cercle eft one 
ngne droite mence d'une des 
extrcnaitez de cet arc a fon 
intrc extrcmite; par exemple 
GH. Une corde apparticnt en 
mtme-remps ideux arcs^donj 




» > 

106 




Troijt/me Vmlel 

clle eftfoutendante; par exemple G'H appartienf 
£ G L H , elle appartient auffi a Tare G M H, 

ji. \Jn diamctre eft unc 
ligne menec d'un point a 
Un autre point dc la circon- 
jference , & qui pafle par lc 
centre , commc la lignc 

fORQlUlRE. 

Chaque diarnfetre eft double <Fuii rayon, 
Dane tous les diamitres font igaux entr'eux j 
parceque [*) les grandeurs qui font doubles d'unc 
meme grandeur , font egales entr'eiles. 

5*. Un fegment de cerclc efturft partie da 
cercie , termin£e par une corde ou lignc fouten- 
rfame, & par Tare foutenupar cette corde 5 par 
exemple la panic G L H C qu G ty 12 Q du cer- 
cie de la definition jo. 
; 33. JJn fecteur de cercie eft 
line partie du cerclc terminee 
par ,deux rayons qui fprrnent 
jtn angle > & par Tare inter- 
ccptje enrre ces deux rayons $ 
par exemple Tefpace AMNA. 
34. Une ligne touchante /a 
f irconference,d'un cercie, « 
eft une lignc droite mc- 

3sc d*ns le plan flu cer- 
e , qui rencontre la cir- 
conference de ce ; cerclc 
fans U couper aucunei 
pen* , e'eft a dirc/qu'eile 





Geometric. . 107 

Centre on aucunc maniere dans le cerclc > y pat 
cxemplc la Jigne S T. 

$$■. XJn degre eft la trois-cens loixantiemc 
partic d'une circonference de Cerclc $ e'eft a 
dire , fi on divife unc circonference de " cerclc 
en 360 parties egales , chaque partie (era appel- 
lee un degre. 

$6. Une minute eft unc ibixantieme panic 
d'un degre , e'eft a dire que , & on divife un de- 
gre en 60 parties egales T une de ces parties eft 
une minute ou prime. 

37. Une feconde eft une fbixanticme partic 
d'une minute , e'eft a dire que , fi on divife une 
minute en 60 parties egales , une de ce» par- 
ties eft une feconde $ en fubdivifant de cette ma- 
niere par 60 , on trouvera des tierces , des quar- 
ts y &c. a rinfini. 

Nous commencerons les definitions qui con* 
viennent aux furfaces planes redtilignes par eel- 
les du triangle re&iligne ; parcequ'on peut re-* 
duire toutes ces furfaces en triangles , en me- 
nam des lignes droites a tous les angles de ces 
furfaces , d'un point pris a volontc dans ces m^ 
Hies furfaces. 

38. un triangle recliligne B 
eft une furface plane termi- 
nee par tf ois lignes droites , 
commc ABC. ~ ~~ 

II 7 ade trols fortes de trian- 
gles fi on confidcre feulement 
leurs corez $ fcavoir , Equila- ^ 
teral , Ifofcele & Scalene : 8c fi 
on confidere feulement kurs 
angles , on en trouvera encore 
<fe trois fortes ; fcavoir Qxigqne ou Acutangle ; 
icttangle , & Amjbligone ou Obtufangls. 

Sij 




jtf8 Troipme fdrtkl 

3#. tTn triangle Equilateral 
eft celui qui a fes trois c&ez 
Igaux entr'cux ; par exemple 
DEI. 





'40. TTn triangle Ifofcelc 
eft celui qui a feulemcnt' 
dfcux c&tez egaux ; par 
exemple le triangle ABC 
qui a deux c6tez A B & 
B C egaux entr'cux. 

41. Tin triangle /ca^- 
lene eft celui qui a fes 
trois cotez inegaux en- 
ir'eux; parexempklc 
triangle G H L, 

41, TTn triangle acutangle ou oxigone eft cc* 
lui dont rous les angles font aigusj par exem- 
ple le triangle AB C ou D E F. 

43. Un triangle rec- 
tangle eft celui dont un 
des angles eft droit > 
par exemple le triangle 
MNO, dont Tangle 
M O N eft :droit. 

44. Un. triangle ambligone ou obtufangle eft 
celui dont un des angles eft obtus j par exem- 
ple le triangle GLH dont Tangle GHL eft 
obtus. / 

4;. L'hypotenuii d'un triangle rectangle eft 
Je cote oppofiS a Tangle droit \ pax exempt 




Geometrie. **>9 

U N eft Thypotenufe du^ triangle re&angle 
MNO de la definition 43, 

46. La bafe d'uii triangle eft le troifieme c6t£ 
qui refte lorfqu'ona parl£ des. deux autresj par 
cxemple fi on a parlc des deux c6tez A B & AC, 
du triangle ABC , le troifieme c6te BC fera. 
appelle bafc. La bafe des autres furfaces / ou des 
folides, eft ordinairement le c6te inferieur. 

les furfaces reftilignes quadrilaterales ou qua- 
drilateres , outerminees par quatre lignes droi- 
tes , en general font de trois fortes , trapefes , 
trapefbides , & paraUelogrammes. 

47. Un trapeie eft 

une furface terminee . D 

par quatre lignes 

droites , dont aucune 

n'eft parallele a l'au- 

tre ; par exemple la 

fiirfac© ABCD. 



4*. Un trapefoide 
eft une furface ter- . E H 

mineepar quaere li- A" *"""! 

enes droites dont f-\' 

3cux font paralleles f 1 

emr'elies 3 par exem- p r 1 ■ G 

pie-, la furface EFGH , - 

dont les deux c6tez ou lignes EH & TG iont 
paralleles entr'elies. 

49 . Un parallelogramme eft une furface ter- 
minee par des lignes T 
droiteSjdont les cotez 
Ou lignes oppofees 
font paralleles en- 
tr'elies 3 pax exem** K 

S iij 






iio Secondc V Artie. 

pie la furface K M , dont Ies cStez Yi'L 8c 
I M oppofez font paralleles Tun a Tautre , 8c 
dont les cotez I K & L M font auffi paralleles 
1'on a l'autre. 

II y a quatre fortes de paraUdogranruhes 
quadrilateraux , fcavoir le Quarre , le Rbombe , 
k Parallelogramme Oblong ou Rectangle , & lc 
Rhomboide, 

jo. un quarre eft ttn parallelogramme dont 
deux des cotez comprennent 
mn angle droit , & font egaux 
cntr'eux j par exemple le pa- 
rallelogramme N P dont ks 
cotez NO&N'R compren- 
nent Tangle droit O N R , & 
font egaux entr'ettx. - 

fi. Un rhombe eft un parallelogramme dont 
deux cotez comprennent uri 
angle oblique , e'eft a. dire , 
4kwi»ou obrixs r & ces deux 
cotez font egaux entr'eux >. 
par exemple le parallelo- 
gramme B F , dont les cotez 
B C firB-€* fait egaux en- 
tr'euy , & comprennent par leur ccartement Tan-i 
gle oblique CBS. 

St. Un parallelogramme oblong , ov fen* 
plement rectangle > eft un 
parallelogramme dont les 
deux cdtez comprennent un 
angle droit , & font inegaux 
entr'eux $ par exemple le pa- 
rallelogramme EG , dont P « 
lesc6tezEF& fi D font * • 
inegaux, & comprennent Tangle droit DEF, 





Geometric in 

n . TTn rhomboide eft un paralleJogramme, 
iont deux cdtez com- 

prennent un angle « q 

oblique , e'eft a dire, . -, 

aigu ou obtus , & ces jt y^ 



deux cotez font in£- 



B 



gaux entr'eux j par /^ 

cxemple le parallelo- 

gramme AC dont l*s cfitez AB 5c AE fbfie 

lacgaux , & comprennent Tangle oblique B A E. 

CORO I/LAI RE I. 

Done en general , fi deux Iignes men &s dan$ 
to meme plan concourent en un point , & 
fion luppofe qu'une de ces deux Iignes foitmue 
tranfverfalement felon la longueur de l'autre f 
ic toujours parallelement a clle-mfcme lork 
qu'elle etoit dans fa premiere fituation 5 cunt 
arrivce a rextrfcmite' de l'autre , un parallelo- 
granime fera decrit : par exemple d la ligne A C 
eft mue tranfverfalement , felon la longueur: 
deCD, ou CD felon 



H M 



B 



Ar" 



E 
C 



I 



:.-....:. 



If 



•• •• ■•••I 9wm 



■ 1 ••••« • 



z 



;i 
j 



la longueur de C A & 
toujours parallelement 
a leur premiere fitua- 
tion jlorfque A C fera 
parvenue a reitremite 
de CD en BD , ou 
que C D fera parvenue 
a l'extremite' de AC 
en A B , la furface C B qui fera decrite fera 
ttn paralklogramme - 9 puifque les c6tez A O 
& B D font paralleles , & que les c6tez AB & 

fip fcront auftl pajraJIeles par la fappofitioa 

S iiij 



G L 



& 



K 



iii Seconde Partiel 

qu'on a faite que ces cotez etoicnr toojours pe- 
ndicles pendant leur mouvement. 

COROLLAIRE II. 

Done la furface d'un quarre" ou d'un paralfe- 
logramfne re&angle eft dkrite par un des cottt 
jerpendiculaires a l'autre , mu tranfyerfalement 
iclon la longueur de cet autre , e'eft a dire , re- 
fete' autant dp fois qu'il j a de points dans cec 
autre c6ti 5 ce qui eft la m&me chofe que de 
multiplier 'un cote par l'autre : & parrant pout 
avoir la furface du rectangle C B , dont un des 
c6tez A C eft de 3 toifes , & l'autre C D dc j 
toifes , il faut multiplier A C par CD, ou C D 
ar A C , on trouVera pour cettc iurface if toi- 
es quarries. Parceque chaque toife lineaire dc 
la ligne AC, par exemple C E dans la pro- 
motion tranfverfale qui en fcra faite de la fitua- 
tion C E en F G dforira une toife quarree C F: 
de forte que la ligne A C contenant 3 toifes li- 
neaires &ant parvenue en G H aura d£crit 3 toi- 
fes quarrels j & on en fait encore une promotion 
jufqu'en L M,elle de'erira encore 3 toifes quarrees, 
& ainfi de liiite jufqu'a ce qu'elle foit parvenue 
en B D. Et partant fi le c6te d'un quarre* eft mul- 
tiplie par l'autre , on connoitra au produit de 
cette multiplication la raleur de la furface de 
ce quarrl. Pareillement ii on multiplic le cote 
d'un rectangle par un autre, on aura pour prodirir 
la furface dece rectangle. X)n ne doit pas con- 
clurc la memc chofe du rhombe & du rhora- 
boide , comme il fera demontrc dans la fuite. 

COROLLAIRE III. 
Done les cote2 oppofez des parallelogram- 




B 



Gedmetrie. iij 

font egaux entr'eux j par example les cfiter 
A B & D C font egaux entr'eux 5 puiique * Jc 
paralldogramme B D eft decrit par la ligne A B 
tranfportee tranfyerfalcment * r> 

en. 13 C i par le meme rai- 
iomiemcnt AD=B C. On 
dira la meme chofe des autres 
paraUelogrammes. 

/4 # Une ligne diagonale 
eft une ligne menee du 
fommet d'un des angles par le fommet de i'an-» 
gle oppofc d'un parallclogramme j par exemple 
la. ligne. AC qui eft menee du fommet de Tan- 
gle A , au fommet de Tangle oppofc C du p** 
t allelogramme B D. 

.ft, Une furface regulie- 
Jte eft celle dont tous les cfitez 
font egaux entr'eux , & dont 
pareillement tous les angles 
font egaux ente'eux , cdmrtte 
la furface M , & la furface 
N P de la definition f o. 

S *. \Jn polygone eft une 
furface terminee par un nom- 
bre de cotez plus grand que 4 ; par exemple M. 

COROLLAIRE. 

Puifqu'on peut ( l ) confiderer une ligne com- 
me une trace ou veftige d'un point mu d'une 
ftation a une autre ftation ; & que le plus court 
chemin qu'on puifle imaginer dans la courfe 
d'un point qui eft eh mouvement, #eftle che- 
min que ce point parcourt en paflant d'une fta- 







5 C*r. 1. def.frefmt9 9 {*) Cw. I, Mf, y G00. 



±14 Troipeme Tattle. 

tion & tine autre qui lui eft infiniment pxochej 
$c le chemin le plus court dc tous ceux qu'oa 
pan imaginer d'un point a un autre point erane 
(5) une ligne droite $ la ligne menee d'un 
point a un autre point qui eft infiniment procbe y 
eft une ligne droite j & partant toute ligne 
droiteou course peut etre confideree commcunc 
infinitl de petites lignes droites infiniment peti- 
tes. Done enfin une ligne courbe , par exemple 
rihe circonference de cercle , eft * un pofygone 
d'une infinite" de cotez infiniment petits. 

Lcs polygones font diftinguez entr'euz par k 
Hombre de Teurs angles ou de leurs c6tez , e'efti 
dire , qu'une fiirface de ; cotez eft appellee pen- 
cagone $ une de 6 edeez , fixagone $ une de 7 co- 
tez , Eptagone ; une de 8 cArez , O&ogone j.une 
de 9 corez»Enneagone; une de 10, Decagone,&c, 
$7. Une^ fiirface plane circonferite a 112* 
cercle f eft celle dont tous 
les c6tez touchent k cir- 
conference de ce cercle -; par 
exemple la fiirface GHIKL , 
dont chacun des cAtez GH y 
H I, &c. touchent une me- 
me circonference de cer- 
cle. 

f8. Une furface plane 
inferite dans un cercle , eft 
celle par tous les fommets 
des angles de laquelle une 
circonference de cercle paf- 
fe ; par exemple k furfa- 
ce A. 

( l ) Dif. 4. Get. 
5 Vif. S*'t r 'f € »*'' 






Gemarie. \i$ 

49. Dans les fur/aces re&iKgnes Be equian~ 
gkt. Tune a l'autre , an edec eft homologuc 
aim autre, Ipifque ie premier fe termine aux 
iommets des angles d'une furfacc , qui font 
£gaux aux angles de l'autre furfacc , au fommc; 
defquels fe termine le fecond cdte homologuc. 
On dira la mew chofedes duties cotez hompr 
fogues i par exemple fi ^ C 

Jes furfaces ABCD & 
EF G M font cquianeles 
Tune a l'autre , c'elt k 
dire , (i Tangle ABC 
d'iwe de ces mrfaces eft 
*gal a r angle E F G de 
l'autre , & fi Pangle 
BCP=f(JH,& 
CDA = ,G HE , fc 
D A B =? H E F j le co- 
t€ A.B£lec6te EF &- 
ront homologues 5 par- 
xeque , fuivant ce qu!on .vient de dire , /LB 
Jfc termine aux fbmmets des angles A & fi qui 
font * egaux aux angles E & F , chacun a cha- 
cun. Par la m&me raifbn BC& FG font ho- 
moJogues , de meme AD & EH, &c. 

Dans le* triangles ?quiangles hm aj'autre, let 
c6tez homologues font ceux qui font qppofez a 
angles egaux. 





comprennent des angles egaux dans une de cey 
furfaces, font proportionnels aux c6tez homolo- 
gues qui comprennent paretts angles egaux dgnjj 



%\6 - Tmj$/m* Jdrtie* 

fautre fiirface } par exemple - 
k furfacc B D eft femblable 
aEG.fi Tangle DAB 
= GHE jfiABC=HEF* 
£BCD = EFGifiCDA 
ss F G H s & fi le c6ti 




DA . AB :: GH .HE; u r ,,, ,fi 
&UB.BC:: HE. F\. I 

EFifiBC CD :: EF . T* I 2Zd « 

iFG i & enfin fi CD, ^ * 

DA :: FG .GH. 

On fera libre auffide comparer chaque c6ti 
4'une de ccs furfaces a chaque c6t€ qui lui cor- 
xefpond dans 1'autre ; par exemplc A D . H G :; 
AB . H^-kvBG. EF . &c. la fimilkudede cej 
furfaces fubfiftera toujour*. Car s*il fe trouve une 
furface done les cScez feient cntr'cux felon la 
premiere maniere de comparer qu*on vient d'ex* 
pofer, ces mtmes cfitez feront auffi * entr'eux fc« 
loo la feconde* 

On fe fert indifFeremment de ces deux manie* 
res de comparer les cStez des farfaces fcgibla* 
bles , parcequ'une de ces manieres ne peuc tare 
rrzyc fans que Fautre le fbir. 

II faut fculetnent remarquer que^orfque feloA 
la feconde de ces deux manieres on compare les 
c6tcz homologues (fun triangle oil autre fiirface 
aux cfitez homologues d'un autre triangle fembla- 
ble ou de quclqtfautre fiirface femblable, les ante* 
cedens d'une mime analogic fe doivent rencon- 
trer dans le mime triangle ou dans la mtaxc fur- 
face, 

COROLLAIRE. 

* ■ 

Done les quarrezfbnt deux furfaces femblablcf 
* Cw. tref. 3, Art* 2. dlf tb, 



Gtmetne. tty 

A. Let corps, on let folides font des gr«ndeun 
Vendue's en long , enlarge, &en proton dj pat 
iicmple une picric , une piece de bois , &c, 

COROILSHE L 

Done 6 on confiderc qu'une ratface piiifle fcrfT 
tranfportee de travers ou tranfver&lement d'urtc 
Auion a one antte ftation.ou qu'utu: furr'ace raJTe 




une rerolmion autour de deux points d'ane Act 
ttgiics qui la tcrminent ; irn corps ou folide fen 
decrit par la trace ou le veftige par oil cette 
ffirfacc aura paflE. Car ce lera une gran- 
deur e'eendue en - longueur & en laigeur 4 
canTc de la longueur & largeui de la iiirftce 



ai8 Troifieme Tattle. 

mue , & cette grandeur outre la longueur 8c 
large ur fera auili etendue en profondeur , £ 
cau.e du mouvement tranfverfal. Par exemple 
fi h furfaee A C eft tranfporte*e de fa lunation. 
A C en EG , l'efpace AB CDE!GH qui 
fera decrit par ce mouvement , fera un fblide. 
I^reillemeiit fi quelque furfaee , par exemple y 
I L M f*i: unc revolution au tour des deux: 
points I 6c L ^e la ligne 1 1 , qui eft un de fe$ 
termes ou limites , ILMN fera un folide. 

COROLLAIRE II. 

Done Ids extremitez d'un corps font <fes Sur- 
faces ; pafceque li on confidcre gue ce corps 
foit decrit par une furfaee tramport^e d'unc 
ftatioa a une autre ftation , la furfaee qui com- 
mencera a fc mouvoir , & cette meme furfaee 
qui ceffera de fe mouvoir , feryira a terminer ce 
corps ; les autres extremitez font decrites par 
le mouvement tranfverfal de chaque ligne , qui 
terminera cette furfaee en mouvement. Si on. 
confidere que ce corps foic decrit par la revolu- 
tion $unc furfaee au tour d'un ou plufieurs 
points ,- le mouvement tranfverfal des lignes qui 
feront mues avec la furfaee dont elks ferone 
termes , decriront des furfaces. 

II y a plufieurs fortes de folides , mais dans 
ces Elemens on traitera feulement des Pyramid 
des, des Cones, des Prifmes,des Cylindres Sc des 
Spheres^ parceque ce font les efpeces des folides, 
qui font le plus en ufage \ & dont Ja connoi£- 
lance eft tres-neceflaire. 

61. Une Pyramide eft un fblide", qui a pour 
terme une furfaee quelconque rec"tiligne , & qui 
3. enfuite pour autres terme$ plufieurs triangles ; 



\» 



de lortc qu'un des angles de 
chacun fe t ermine a un fom- 
met commun , Sc que cha- 
cun de ces mcmes trian- 
gles a poor bale un c&e de 
certe furface tectiligne ; tel 
eftlc corps /ICO. 

tfi. Un angle folide eft M- 
cartoment ou ouvermre de c. j 

plus de deux plans qui fe rcn- 
contrent l'uu Taurre,& qui fe ""* 

finiflent en pointe dans un lommet commun, en 
terminant d'une paicun efpace concave. Dans la 
pyramide ABCD,les plans ADC, CDB, ic BDA 
qui fe rencomrent dans les ligne* AD , DC & 
DB , torment un angle folide dont lc lommet 
eft D. Dans une chambre, let deux murailles & le 
planchcrqui fe lencontient foiment un angle 
folide. 

II y a des pyramides droires & des pyramide* 
obliques. 

6 + , Une pyramide droiteeft celle du fommer 
de laquelle on peur mener une ligne perpendi- 
culaire fitr la bale , fans qu'il foit pour cela ne- 
ccuajrcdc prolonget cettebafe joubiendu fom- 
met de laquelle une ligne etant menee perpen- 
diculairemcnt alabafe,fettouve au dedans de 
cettc pyramide. 




gie eft une pyramide droite, 
<;. Une pyramide oblique eft celle & 



tio Treijlfme f Artie: 

de laquelle une lignc ne peut fctre menee per-; 
pendiculairement que fur la bafe prolongee. Par 
exemple , la pyramidc F G H I da fommet I de 
laquelle la lignc IK eft menee perpendiculai- 
rement fur la furFace Gift prolongce , eft une 
pyr^mide oblique. 

66. Une pyramide polygone eft celle dont la 
bafe a plus que quatre cotes. En particulier,ces pjr- 
xamides font diftinguees entr'elles par la yariet6 
de leurs bafes 5 e'eft a dire qu'une pyramide fera 
nominee triangulaire , & fa bafe eft un triangle^ 
Quadrangulaire , fi fa bafe eft un Quadrilatere 5 
Pentagone , fi fa bafe eft un Pentagone , Exa- 
gone , &c. 

47. Un cone eft unc pyra- 
mide dont la bafe eft termi-* 
n£e par une infinite dc cote's; 
e'eft a dire , dont la bafe eft 
un cercle , par exemple lc 
folide LMN OP. 

II y a des Cones qui font 
droits , & d'autres qui font 
©bliques. 

*8. Un Cone droit eft celui du fommet du- 
quel une ligne etant menee perpendiculairement 
a la bafe , pafle par le centre du cercle qtii en fait 
la bafe. Par exemple le Cone IM NOP du 
lemmet P duquel la ligne P R etant merie'e 
^perpendiculairement a la bafe LMN O 
par le centre R de cctte bafe. 

69, Un Cone oblique 
eft eclui du fommet du- 
quel une ligne menee 
perpendiculairement a la 
bafe , ne pafle point par 
le centre du cercle qui en 
fait la bafe. Par exemple 
le Co ne RS TVX du 
fomm et X , duquel Ja ligne X X menee perpen- 




paflc 




Geometric. ui 

dknlair ement a la bafe , ne parte point par le 
centre Z de cette bafe , mais par un autre point 
de cette bafe ptolongee s'ileft neccfiaire, 

70, L'Axe d'un Cone eft la ligne menfc de 
fori fommet au milieu ou centre de fa bafe. Par 
exemple la UgJie V R eft 1'aie du cone LMNOP, 
& la ligne X Z eft l'aic du cone R. V T S X. 

71. On prifme eA un folide termine par des 
furfaces planes reit I gnes , dont deux font pa- 
rallels entr'elles , eg 1 Its , & dcf- 

cjuclles deux furfaces chaque c6- 

te de l'une eft egal a chaque cfitc' 

de l'autre , 8c lesautres furfaces 

font des paralleiogrammes. Par 

exemple A L M N O P , dont les 

deux furfaces ALM & NO P 

lone paralleles & egales , & les 

autres , fcavair a P , A O , L P , 

font des parallelogrammes,eft un ^ 

prifme. 

II y a des piifmes droits & des prifmes obli- 
ques. 

71. Un prifme droit eft celui dont les furfaces 
paralleles font perpendkulaires aux parallelo- 
grammes , qui le terminent ou qui en font le 
contours ; par exemple le piifine LAMNPO, 

7j. Un prifme obli- 
que eft celui dont les 
furfaces paralleles ne 
font point perpendi- 
culaires aux paralklo- 
grammes qui le ter- 
ininent ; par exemple, 
le prifme MN. 

11 y a des prifmes 
qu'on appelle parti- 
culierenwnt Par allele pipedes, 




tii Troijitmt Tartie; 

74. XTn parallelepipede eft an prifme termini 

par fix parallelogrammes , dont ceux qui font 

oppofcz font egaux & paralleles entr'etix $ pat 

cxemplc le folide MN,ouAB. 

II y a des paraUelepipedes qu'on appcllc cubes. 

7;. Un cube eft 
un . parallelepipede j* 

termini par fix ** 

quarrez egaux en- 
tr'eux ; par excnv- 
ple le folide A B. 




COHOLLAIRE I. 

Done fi on fnppofequ*une furface plane xe&i- 
ligne quekonque foit mue tranfverfalement fe- 
lon la longueur d'sne figne droke fixe , & que 
les. c&tez qui la terminent foient toujours per*- 
dant ce mouvement paralleles a eux marries 
confiderez dans la premiere pofition 5 lorfque 
certe furface ceflera de fe mouvoir , Tefpacc 
qu*elie aura parcoimi fera un prifme. Car x°. H 
y aura deux des furfaces qui rerrnineront ce 
folide, qui feront paralleles entr'elles. z°. Les 
autres furfaces feront des fcrfaces parallel©*- 
grammes ; puifqu'elles feront decrites par fe 
mouvement tranl verfal fes lignes droites , qui 
termineront cette furfac. 1 plane en mouvement., 
& ptiifque ce mouvement tranrverfai fera fait 
parafielement & felon la longueur d'one Ugnc 
droite , fans varier de part m d'atttre; 



G com e trie. n* 

COROLLAIRE IL 
I>onc la foliditc d'un prifme redangle eft d£- 
crite & exprimee par une des furfaces paralleled 
xnue traniverfalement felon la longueur d'une 
ligne droite qui lui eft perpendiculaire ; c'eft 2 
dire,par une des furfaces parallelcs } repetee aucanc 
de fois qu'il y a de points dans la longueur de 
ccttc ligne* ce qui eft la meme chofe que de mul- 
tiplier une des furfaces paralleles d'un prifme rec- 
tangle par fa hauteur. Par exemple, pour connoi- 
rxe la foliditc' duprifrae re&angle ABCDEPGH , 




t.Jf. , s ...yJ> «•••«■• 



dont la largeur eft de deux pieds Irneaires, & h 
longueur de 3 pieds , & la hauteur de 4 ; it fetrf 
connoitre la bafe AC; I! cette bafe A C eft 
un rectangle , on multipliera 1 par 3 , & ort 
aura £ pieds quarrez pour la furface AC, la-» 
quelle £tant multipfiee par la hauteur , fca-» 
voir 6 pieds quarrez pax 4 pieds Uneaires ; cat 
aura 14 pieds cubes pour la foliditc de ce prifmd 
cutier* Paxceque chaqoe pied- quarre* de la fur* 



il4 TroiS/me Pdrtie. 

face AC etant ma tranfverfalemem felon la 
hauteur d'un pied lineaiic en I K , dccrira un pied 
Cube. Or dans la fin-face A C il y a 6 piedi 
quarrez j done lorique cette fur face A C fcra 
mue parallelement a elle-meme de la hauteur I 
d'un pied lineaiic, qu'elle lcra, par exemple, en 
I K , ellc aura decnt 6 pieds cubes. Done cent 
fur face de 6 pieds quarrez leant mue dc la hail- i 
teur de 4 pieds lineaires , elle aura decrit i+ 
pieds cubes, fo!idit£ du prifme entier propofe. 

76. Un cylindre eft un prifme , dont deux fur- 
faces qui font paralleles , font terrninees chacunc 

rir une infinite dc c6tez, e'eft 
dire , dont deux furfaces pa- — 

ralleles font deux cercles -, par 1 

exemple A B. 

77. L'axe d'un cylindre eft 
une ligne droite menee du 
centre d'un des cercles paral- 
lels au centre de l'autre , par 
exemple la ligne C D. 

11 y a de deux fortes de cy- 
lindres , de droits Sc d'obliqucs, ■« 

78. Un cylindre droit eft 

celui dent l'axe eft perpendiculaire a la bale, 
Par exemple le cylindre A B , dont l'axe C D eft 
perpendiculaire a la bafc A£,elt un cylindre droit, 
79,Un cylindre obli- 



que eft celui , dont 
l'axe n'eft pas per- 
pendiculaire a la ba- 
le } par exemple le 
cylindre FG , dont 
1'axe IL n'eft point 
perpendiculaire a la I 
bafc F H, eft un cy;-, 
jjrtdie oblique, 



Q 



Geomttnf. 115 

COROLLAIRE I. 

Done poor decrire un cylindre , il faut fiip* 
£o£er one ligne droite fixe par une dc fcs exrrc- 
xxiitez dans le centre d'un cercle, & immobile 
felon (sl longueur j enfuite que ce cercle foit mA 
toujours parallelcment a lui-meme julqu'a l'au^- 
tre extremity de cette ligne : ce cercle apres avoir 
cefle de fe moutoir aora decrk on cyluidre par 
ion mouvement , & cette ligne felon la lon- 
gueur de laquelle il aura ete mu en (era l'axe. 
Car le folide de*crit par ie mouvement tranfver- 
fal de ce cercle, fera termini par deux cerclet 
£gaux , & les c6tez infiniment pctits de la cir- 
conference de ce cercle , aurdnt decrk par leur 
mouvement tranfverfal une infinite de parallel 
logrammes d'une largeur infiniment petite , 1c 
de la longueur du cylindre , qui termineront 
"tons ce .meme cylindre. 

COROLLAIRE 11." 

Done pour connoitte la folidite* d'un cylindte 
redtangle , il fuffit de multiplier la fiirface qui eft 
le cercle de la bafe , par la hauteur de ce cylindrej 
&le produitde cette multiplication exprimera la 
valeur du cylindre. Parceque ce cylindre n'eftque 
fa bafe circulaire , rcpetee autant de Ibis qu'il j a 
de points dans fa hauteur, 

80. Une fpherejglobe, 
ou bouie eft un corps ou 
folide termine par une 
fiirface courbe , dont 
tous les points poffibles 
font egalement diftans 
d'un feul point pris d<utt 




a*tf Trtlfime ? Artie. 

tc folide.. Par cxemple le corps ADBftCqtzi 
eft termini par la furface ABCDE , & dins 
lequel le point G eft egalement diftant de toas 
Ies points de cette fur&ce , eft une fphere, , 

81. Le centre d'une fphere eft le point pris 
dans ce folide , qui eft egalement diftant de teas 
les points de la furfacede ce mime corps 3 pat 
cxemple le point C. 

Si- Un rayon de fphere eft nne Iigne droite 
menee du centre a fa furface ; &un diametrede 
fphere eft la ligne droite qui eft menee d'un. 
point a un autre point de falurface , & qui pane 
par le centre. C B par exemple eft urn rayon , & 
AB eft un diametre. 

COROLLAIRE I. 

Cone les rayons d'une fphere font egaux en- 
tr'eux. Car puifque le centre d'une fphere eft 
egalement diftant de tous les points de fa furfa- 
ce , & que les rayons font des lignes droites me- 
nees du centre a la furface - 9 il faut neceffairement 
qu'ils foient tous egaux entr'eux. Pareillement 
tous les diametres delameme fphere font egaux 
entr'eux y puifqu'ils font chacun doubles de 
Rayons qui font egaux entr'eux. 

COROLLAIRE II. 

Done fi on fuppofe 
qu'un demi cercle, par 
exemple DBCD (bit 
mu ou fafle une revo- 
lution au tour de fon . 
axe ou diamfctre B D , 
lorfque ce demi cercle . 
fera revqnu dans la . 




- GemrtrU; 217 

m&me fituation , d'ou il etoit parti j par cc mou- ! 
vement il aura d£crit une fphere , puifque 1'arc 
BCD de circonference qui tcrmine d'une part* 
ce demi ccrclc DBCD, decrira une ferfa-*! 
ce courbe dont tous les points feront Igale-' 
merit diftans du point A , qui en fera le cen- 
tre : eufin cet efpace ainfi dterit & termini 
par cette furface courbe (era un fblide $ puifque 
outre la longueur & largeur qui font dans le de- 
mi cercle , il 7 aura profondeqr a caufe du mou- 
Tement tranfverfal qui fe trouve dans la eircon-* 
volution de ce demi cercle. 

83- L'axe d'une fphere eft un de fes diam&tres ^ 
au tour duquel la fphere tourne ou fait quelque 
revolution $ par exemple B D. 

'" 84. Les poles d'tine fphere font les deur points 
qui font les extremitez de l'axe -> par exemple le' 
point B & le point D. 

f y. Un grand cercle d'une fphere eft celui , dont 

le plan pafTe par le centre de cette fphere , 8c 

dont la circonference eft decrite fiir la furface 

de cette meme fphere. 

U. Un petit cerele d'une fphere eft delui, dont 

le plan ne paffe pojni^ar le centre de cette fphe-* • 

re , fc, rfont la circonference eft decrite fur 1* 
furface de cette m&me fphere, 
$j.l,es poles d'un 

arc de cercle ou d'un - 

cercle de la fpher* 

font deux poiiits-pris 

fur la furface de la 

Hietne Cpheie , cha* *" 

con egalement eloi- 

gnez de la circonfe* 

jence ae ce cercle 1 

P|J ( ce <jui eftja rafc* 




**f . Trolfiimt Turtiel . 

Qie chofe ) xe Jkntles extrfimitez dutUamteei* 
k. fphere, qui eft pcrpendiculaire au plan de cc 
ceicle par le centre. Pax exempk ks poks du 
grandi cercleCP, & da petit cercie JgF quiki 
eft paralkk > font ks deux points A&B- 

8$. Un ppiyfcdre eft un folide de plufieot* 
sgigks # <te pluueurs furiaces plants. 

En pamcufcer W* diftiague ks polycMrcs par 
1$. nomfere de leurs futfaces. Par exempk unfi 
pyramide triangulaire {era appellee un corps de 
quatje ISMafes ou Tetraedrejuu cube fera appells 
un corps de fix furfaces ou Bxaedre , &c. 

« 

C QI OUAIRE, 

■ Daafr une^gh*** d^it &ie confideree comutt 
un ppty edge d'une- infinjj£ ue furfaces , qui fa* 
quadrilaterales &infmimenf peotfes. Caxpukqi* 
une fphere eft * d&rite par 1« inpuwaent de 
convolution d*u& deoii cejsck par exwpfe 

ACQ A: au, t(m 

de fbn diamfcere L A 

A D.'i &qu:une cir- 

oonferen&e de cer- 

ckeft**con^4ejce>. 

commcun polyeo- , 

nc d'une infinite de 

c6tez j fi on cbn£. 

dere un grand cer~ 

cle , par exemple 

C G y dont le plan 

foit perpendiculaire au <Uam£txo AD d|i dead 

cercle A C D A -qu'une petite ligne par exempk 

B C foit un infinitieme c6te* de la. ckmjetircon* 

ftrengc 




M D 



Gemttrie. iijt 

ftxehoe dft -Cercle A C D , 6c que CF foit 
4a infink&ne o6t£ dc la circonference da cer- 
ck CG t Lorfque lc demi ccrclc A C D 
en faifent fa revolution aura aranc£de la diftan- 
cede la ligne CF infiniment petite qui eftuit 
d6t£ de la circonference du cercle C G , lafigu- 
se qiudr ilaterak C £ infiniment petite , fera one 
de cdies qui teront dccrites pendant ce moiure- 
tnent. La ligne infiniment petite C H dccrinc 
aufG par fon mouvement des figures quadrila* 
cerales C N , &c. & ainfi des autres infinitiemes. 
A T^gard dechacune des deux iignes infiniment 
petite* AL &DM, qui ont une de leurs extr&- 
mitez dans les extrtaiitex du diameore A D, ellet? 
dccriroitf pendant ce mouyement deux cercle* 
kifiniment petits $ car chacune de ces deux in- 
finitilmes eft perpendiculaire a tin diamttrc* 
Parcequ'on demontrera dans la fuke qu'une 
ligne qUl touche unecixxionference de cercle 9 
eft perpendiculaire au diam&re qui fc termirie 
au point d'attouchement , & une de ces ligne* 
infiniment petite £ tant proloagee eft la too* 
chantc. 

C O ROLL A IRE H 

Bone fi du cdntre de la fphcie on mene let 
lignes attx angles de ces quadrilareres infini-»< 
ment petits » cela determines une infinite de 
petites pjramides qui anient routes leur fom-t 
met dans le centre dela (jphere , & feur bafe in. 
Arimenc petke dans la feface de cette fphere. 
0a aura auifi deux cones, dont cfaacun aura pour 
axe la moit&d* diamfctre du demi cercle , qui 
aura fak la revolution , & done la bafe infiiHment 
ptite fera auiE dam Ja &rra£e de la. fphere. 

w 



a* o Treifiimt fdnie. 

8*. Drur folides femblablw font ceQx , Aoat 
lc premier eft termini par des plans icmblables 
i ceux qui tenmnent lc fecond , chacun i cW> 
tun , & en parcil nombre dc part & d'autre, 
- jo, Une figure eft une grandeur ecendue en 
long & en large fenkmenc , on en long , ert 
large , & en profbnd , termincc de toutes pans, 
Un triangle , par cxemple , eft une figure ; une 
pyramids eft un figure , &c. 

JVERTISSEMENT. 

t", De mime que les figures rcitilignes pen-, 
vent etre redukes en triangles , >in£ If? corpq 
ou fetides peuvent fere divuez 6c reduiis enpjra- 
mides triangulares. Par exemple., le folide 
ABCDEFGHIK fera rcduit picmieiement 

triangulaires 
ABC FGH, 
ACDFHI, _ 

ADEFIK, * 
en ftippofant 
des plans me- 
nez d'un des 
angles &i : 
plans qui 
titmmoir ce fi 
fel.de , aux 
angles .des aOv 
tres plans qui , j> ; 
le terminent, ^ 
_ t°. Chaque prifmc ttiangulaiic ABCDEF 
fera reduit dans ces trois pvr amides A B .C V , 
DEIB&ABDF,enle fiippolanj coupe;, pit 
let deux plans ABF & BFD. 
i, A&n de pouyojr facilernent dijfcingucr let 




Geometric * zji 

pyr&mides triangulares done il eft queftion dans 
1c iolide reprefente par la feconde des deux dcr- 
riieres figures , il faut premierement confiderer 
nn triangle comme bafe de la pyramide qu'on f 
cKcrche , 3t obferrer enfdite (') les trois trian- 
gles qui auront chacun. pour bafe on des rro is 
cotez de ce premier triangle , & qui auront en 
Outre un fommet commiin, Cette remarque eft 
fort utile lorfque dans des {elides on eft oblige 
d'examiner des pyrajrudes , ou de les comparer 
1'iine a l'autre. 

4*. Une grandeur exprimee par une feule pe- 
tite lettre de l'alphabeth eft ordinaifement ap- 
pellee une ligne. Parceque dans l'Algebre on 
rVexprime une ligne droite que par une petite 
lettre de ralphabeth. 

Un produit de deux grandeurs difterentes ex*- 
primees generalement comme a b eft appeII6 
un plan ou re&angle compris fous a & b. Par- 
cequ'un rectangle dont un c6te feroit * & l'au* 
tre b , auroit * a b pour Texpreffion de fafiirfacej 
tin rectangle n'etant hen autre chofe qu'un de 
fes c&ez multipliez par Tautre, 

XJn produit forme par deux grandeurs egalctf 
camrhe 4 A eft appelle lc quarr£ de a . Parc'tf- 
qu'en multipliant par hii-merrie le cote* appelle 
* d'un quarre , on a la furface a * de ce quarr£ # 

En Geometric on exprimc le quarrl d'une 
ligne , par exemple , de AB en cette manierc 
AB*,ouAB* , ouABxAB. 

Un produit de trois grandeurs exprimees jge- 
nfraJement , comme sbc 9 eft appelle un foli- 
3e 5 parceque ces trois grandeurs expriment let 

( T ) Def. 6t. Geo. 
* Cor. a,, def, ;u 

y i) 



aji Trplfiim$ Partie. 

ttoit dinaenfions qui fc rencontrent dans un a 

eu folide, 

Un produit de trois grandeurs {gales , ^u \c 
produit d'une grandeur multiplice deux fois par 
elle-m£me, commc b b b , eft un folide appelli 
Cube , dont une i acine eft b. 

DEMANDES 

D E GEOMETRIE. 

O N fuppofe dans la Geometrie que ce qui 
eft tnonci dans ces trois articles eft po/Hble , 
& qu'on ne refufera point de l'accorder lorfquc 
tela /era ncceflaire pour une demonftration* 
i. Qu'il foit permis de mener une ligne d'tm 
point a un autre point , ou du moin& de firpr- 
pofcr qu'elle foit mence. 

2. Qu'il fpit permis de prolonger ou conti- 
nuer une ligne oroite fi loin qu'on youdra. 

3. Qu'enSn on accorde qu'au tour d'un point 
on decrive une circonference de cercle , a teller 
ouverture de cornpas qu'on voudxa. 

AXIOMES 

P E GEOMETRIE. 

1. L b s lignes appliquees Tune fur l*aut*e ; 
qui nc Ce fiirpaflent point Tone l'aotrc , font 
•gales cwx'elles & fcmblablec , de m&nc de* 



Getmetrie, *$j> 

tflgles. Pareillement Ies furfaces appliquees l'u- 
ne fur 1'autre % lefquelles ne fe furpailent oa ex- 
cedent aucunement 1'ime l'autre , c'eft ad*re , qui 
cpnviennent entre elles en toutcs mameres , f«ac 
aufli egales entr'elles. • 

a. II eft imponible au'entre plufieurs grandeurs 

Strifes a volont4 * , b , c , d , &c, il v en ait 
eux , pat exempie * 6c b qui /bient tclles que 
s foit plus grande ou plus petite que toutcs les 
autres reftantes b , c , 5, & qu'en meme-temps 
£ foit aufli plus grande ou plus petite que tomes 
les autres * , r , * , &c. 

Pour rendre cet axiome encore plus evident - 
fiippofons entre plufieurs grandeurs que a & h 
foient chacune plus petftes que fes autres j. a eft 
* plus" petite que chacune des autres. Done cetta 

frandeur a fera plus petite que h> Pareillement 
eft * plus petite que chacune des autres. Done 
b fera plus petite que * , e'eft \ dire que * £erx 
plus grande que p. Done a fcroit en memc- 
temps plus petite que b , & en meme-temps r/lus 
grande que ta meme grandeur £.11 faudroit done 
que * fur plus grande & ne Ie futpas en memc-* 
temps , ce qui el^ ^J^vidernment impoifible. 

« » 

C O'R QLLAIRB I. 

H eft impoflible qu'entre plufieurs grandeurs 
il 7 en ait uneplus petite que la- plus petite „ 

COHOLLAIRE II. 

Done pour afler d*un terme a un autre , il n r f 
fcqu'on foil chemin,qui foit le plus court de tous # 

y. *t 



j» 4 Treljieme TartU: 

COROLLAIRE III. 

Done dlin point 1 tin autre point, on ne pent 
tnener qu'uneTeule ligne droite } puifijue ('J la 
ligne droite occupe le plus court cheirun qd'il j 
a d'nn point a un autre point , & que I*) ce ches 
■tin en unique. 

COROLLAIRE IV. 

Done la mefure de la diftance d"un point 1 
«n autre point eft une ligne droite menee dnn 
de ces points a l'autre. Carcette .ligne droite eft 
une mefure conftante , unique & immuabfc : 
miilqu'on n'en peuc mener qu'une Jeulc d'un J« 
ccs points a 1'autre, 

ft B# 4.6m. 

[*) Cw.i..Ax.fre[int. 




CHAPITRE I. 

DES LIGNES: 

*— P— — — M^— — ■ I I . — — t— — — ^ 

PROPOSITION I. 

fides txtremitel^cftme ligne droite on tnene deux 
autres lignes queleonques contour antes du mimr 
cote % lafomme de ces lignes concout antes [era flue 
grande que la feulc ligne droite des extrimiteT 
de laquelle eU$s font monies* 

DEMONSTRATION. 

SOit la ligne droite AC , & que par fes ex-* 
trfanitez A & C , on mfline deux autres lignes 
AB 8c C B qui concourcnt du mtaie cfttc: je 
dis que la fomme de ces lignes concouraiite? 
AB-t-BC eft plus 
grande que k fettle. 3 

jjigne -4 C, Car h ligacr 
droite -4 C occupeMe 
plus court chcnain qm 
tft du point A an point 
C : mais les lignes A B 
8c BC n'occupene pas 
fef cheoiia ^ C qui eft le plus court. DoaceUei 





l$6 TrtifitmB Parti f. 

occupent un chcmin .plus long que la feule ligntf " 
A C. Done la fomme des lignes ^B+BCcll 
plus grande que AC y cequiifdUoitdemmtrer, 

COROLLAIRE. 

II fuit de cctte pro- 
portion que" la ligne 
Ooarbe ABC eft plus 
grande que la fcule - 
ligne droite AC , fi A. 
Tune & Paupre font 
tcrminccs par les mimes points. 



PROPOSITION It 

is de deux points on tnene deux figws qui corn-- 
rent dans un f point, frfi de ces deux men** 
points on tnene encore duns le mime flan deux 

. lignes drtites qui concourent vers (§* entre le* 
deux precedences ; la fomme des> deux premieres 

■ [era plus grande que la fomme des deux dernier eu 

DEMONSTRATION. 

SOient les deux points A ScB done on men? 
les lignes AC 8c B C conconrantes au point 
C , & dont on mene encore les lignes AT} & 
BD concourantes au point D vers C , & entrc 
les. premieres lignes AC & BC. Je dis que 
AC*+CB~^ AD-+DB. Pourle demontre* 
il faut * prolongcr A D jufqu'a la rencontre de 
hlignc B£ en £. Or (•) A C -*- C E> AE+ 

* Demand, t. Geo. £) Brop. Xr <?% 



Gctmttrie. xj7 

T)o&CCn ajofitant de pan 8c d'autre EB , on 

aura *iC-+-CE4'E*> ( 4f£»tiEfi. Mak 

(") C £ «*• E B = C B. 

Done ( y<C4'CB> 

AB -t-EB. Enfin BE-+. 

ED^>JD, Done en 

ajoutant de pan & d'atz- 

tre D-*tf,on aura * B E «H 

D -rf. Ce qui eft la mi- 

me chofe que de dire 

^E + fiB^^D -*- 

2>B i puifque AD ^r 

DE = AE. Mais on vient de trouTcr que 

^C-+-CB>^E-HEB. DoncAC*+-CB 

> AE +£B> AD + D B. Done enfia, 

(*) AC^CB^>AD^rpB.ee^ilfaUmd^ 




montrer. 



PROPOSITION II r f 

Chaque fowt a*une ligne draff e ferpendiculaire am 

• milieu ttune autre ligne dreite , eft igalement 

diftant des deux extrtmttefjde la ligne, , ah mi* 

lieu de laquelk c^tte premiere ligne eft ferpe*-. 

dtculaire. 

DEMONSTRATION* 

SOitla ligne A B pcrpeadiculairc a la ligne 
C D par le point E qui en eft le milieu : je 
dis que chaque point de la ligne A B > pa* 



* Ax. 7. gener. («| A*, j, fo^ 



A 
• F 




i}8 Troiji/mePdrttcl 

exemple T? , eft egalement diftant des points 6 

& D extremitez de la ligne C D, Car pour que 

ks points F & C fuflenc' 

phis proches Tun de Fautre, 

que le meme point F l'eft 

du point D $ il faudroir que 

la ligne A B rut plus iricii- 

nee vers C que vers D , ou* 

que la ligne AB ne fut 

pas perpendiculaire a la H- 

gne C D par Ton point du 

milieu £. Mais Tun & Fau- 

trc eft contre la fuppofi- 

tion. Done le point F fera 

igakment diftant du point C & du pdint D 

cxtrfemitez de la ligne CD au milieu de k- 

Soelle AB eft perpendiculaire i ce quilfalloit 
emontrer. 
On dira la meme chofe de tous les amies 
points de la ligne AB. 



B 



4*i 



,« 1 



PROPOSITION IV. 

Vne ligne perpendiculaire a une autre ligne droits 
far le point du milieu de Cette derniere , pajfe 
far tous les points qui font igaUment diftansdes 
extremite^de la ligne au milieu de laqueUs tb 
eft perpendiculaire. 

DEMONSTRATION. 

SOit la Hgne A B perpendiculaire i h ligne 
C E par le point D , milieu de cette ligi 
C £ : jc dis que la ligne A B paiTera par tous 1 



Gtimttric. IJ5 

Joints qui font egalement diftans des extremi- 

tez C & E dt la ligne ..CZ. Car la ligne A B 

prolonged fi loin qu'on voudra ayant [*J chacun 

dc fes points egalement diftans des cxtrcmite* 

C & I de la ligne C £ y il fkirk pour Id propofi- 

fition pretente de de- 

jj&qntrer qaH n'y a A 

aucun point pris hors 

de la ligne ^ B qui 

fpit Igalemfnt di- 

ftantde* cxtfremitcz 

C & E. S4it par 

cxemple le point F 

pris a vol0iit6 hots 

la ligne AM : je dis 

que ce point F stifk 

pas egalement dw- 

ftant des extremitez 

C&£, e'eft a die 
qu'ayant mencf les ligiies y C & FE t on airr* 
FC^>FE,Dtt point GoupafJeFC , au point 
E y foit mentfe la ligne G X. On fcait [*] que 
C G ass Q F . en ajoutant de part & d'autre G F, 
oaaara [*] CG-fOJjasi^^GF, Mais 
f*} IG^.6F>I F. Done aaffi [♦] C G-*» 
GF>EF,c*eftadirequeFC>FF. Done 
le point F n'eft point egalement diftant de C & 
de£. DonccnEnAB paffe parous les points 
egalement diftans de C £ de E 9 a quit falloit 
demontrer, - 

On fer* fe merne raifonnement pour tous le* 
autres points pris Hors la ligne A B. 




f: 



Pi 



Prop, j. <^* # 
^. 4. Gen. 
Prtp, I. Ge* 



V 



[ 4 J Drw, i. Gam 



t+& 



Troifiim Panic. 



COROLLAIRE* 

Far on m&me point , par eiemple , par le 
point B de la ligne CD,on ne pcut mencr dans 
le memc plan C AED plufieurs ligncs perpen- 
diculaires a la m&me ligne. Soit ia ligne AB 
perpendiculaire a la li- 
gne C 2) pat le point B- y 
& {bit menee par le xnfc- 
jne point B une autre 
liepe BE : , je dis <ju'il 
eft impoffible que cette 
ligne B E fojr perpendi- 
culaire a la hicme ligne 
C D par le ta&me point »— 
£. Car ayanj pris de part C 
& d'autre ou point B les 
lignes egales £ C & B D , il faudroit [ s ] que 
cette ligne MEc&t chacun de tous fes points £g*» 
lement diftans du point C & du point D. Ox on 
vient de d£montrer qu'il n'jr -a que les paints de 
la perpendiculaire AB qui foicnt 6galemcnt 
diftans des extrfcmitez C & D de la ligne C D. 
Done la ligne EB nc pent tec perpendiculaire 
a C Z>. 

PJ Pf, #* 3» c '*' 




B 




« < .* « 



PROPOSITION 



Geometric. 144 



PROPOSITION V. 

Vm Ugne droite qui fajfe far deux points, ou quia 
deux de fes faints , dint chacun eft egalement 
diftant (des deux extremitex. tune autre ligne 
droite, eft perpendiculaire a cette autre ligne droit* 
far U point qui en effile milieu. 

DEMONSTRATION, 

SOient les deux points A 8c B , chacun ega- 
lement diftant des extr£mitez C 8c D de la 
ligne CD : je dis que la. ligne droite qui paflera 
par ccs deux points A 8c B (era perpendicu- 
laire a la ligne C Z> par ie point E , qui en eft 
le milieu. Car la ligne A. 

droite qui paflera par ces 

deux points A8cB, paf- q £ jjj 

fcra par lemcme chemin 

par oil pafleroit la ligne j^ 4 

qui leroit perpendiculaire 

a C D par (on milieu £; x • 

puifque cette ligne qui fe- g # 

roit perpendiculaire a CD 

par le milieu E , pafleroit B 

D P** ^ points A &B. G J> 

Done (*) ellefc confori- v 
droit avec cette ligne droite men£e par let 
points A Sc B. Ex partant la ligne menee par 
les points A 8c B , feroit la meme que la ligne 
perpendiculaire a C P par le milieu £ t ceqtiilfaL 
Uit demontret* 




*4* Trifrm f&ie. 

COROLIAIRE I. 

Si nne ligne , par cxemple , £ F eft perpen^ 
diculaire a une 
autre ligne .4 D- 9 
reciproquement 
ccrtc autre AD 
jfcraaufliperpen- 
Aiculaire a EF, 
Car fur, U ligne 
AD it part & 
d'autredeEFpr^ 
iions les parties 
C J&CDfa- 
lescntr'elles. Do. 
point J* commc 

Centre, &'del , ineerralle > BF prife. a yolpnttpluf 
longue que 2* C foit deciix, 1'aic dc cercle F Gft 
Poifque p) t » eft pcrpeniiciilaire a %p ,'9^ 

fa DE=rHB(J)=2=FFC l .)=^FP. Dqftftg 
==BF,&I)E = FD ; £ pvtant cEacun dq 
points 2? & & font £galexnenr di#ans dps pointy 
£ & F. Done (♦} B Don AD fcrapei^^digulairc 

i£F, ' ^ 

CO lOLI<AI^£ II, 

- Cette propofitioij fert 4e fondernen/ a <k* 
methodes qu'on pratique fcuyent pour- men^ 
une ligne perpendi^ruljiire a une autre, ligne pa* 
un point dpnne. Ce point peut, 6re donnc h<^r& 
la ligne i^S^S^'^^^d^l^]^ 
dpnne^. 

(') Par fufpopt. (*) Trop. 3. Geo. 




* 

Geometric. 245 

Soii par exemple le point A dohhe* hors la 
ligne i C y 6c que par cc point A il faille nicncf 
line ligne per- 
pendiculaire a 
cettfc ligne 
BC. 11 faut 
po/er un pied 
3u compas 
dans le point 
donne* A , & 
oavrir ce coin- 
pas fuffifatn- 
mcnt poar det- 
ente tin arc 
MHD quifoir 
coupe* par la 
ligne donrice 

B C en deux points Af & D. Ehfuite de$ points 
M &D comme centres 9 on d6crira deux arcs 
B FDG U tit ML d'une outerture de compas 
luffifantg pour qu'ils fe coupent par example 
en T. Enfin par U point donni A , & par ce 
poult d'interfe &ion F on menera la iign6 -4F; 
je dis qu£ cette ligne A IB eft la pefpendiculaife 
cu'on cherche. Car i°. le poirit A eft cgalement 
diftant des points M & D. Parce^ue' AM 8c AD 
font raybns du meme arc de cercle MHD. 
a 6 . Lt point F eft ^gakment diftant des points 
M & Z>. Car les lignes Af F & 2>F font des 
rayons d'airs de cycles EF.6 G & AT F Af £ dem- 
erits de la miitte otrvefture d£ compas. Done la 
la ligne A F palSuti pat les <feux points A & F 
Cgalement diftans des extremite* Af & D de la 
ligne M 2>,fera ( x ) perpendiculaire a k ligne MD. 



C) Prop- fref. 



Xij 




»4* Troifitme Tartly 

Sort par cxcmple le point C donnd dans la 
ligne A B y & que par cc point il faille mencc 
«ne ligne perpendiculaire a cette ligne A B 5 il 
feat mettre un pied du compas dans ce point 

donni C , & prendre fu * •» ^S^ •* * <* P* 1 * 

& d*antre de ce . 

point C les Kgnes 

cgaks CF & CE. 

Enftrite des points 

$&F , on decrira 

deux arcs d r une rrrf- 

jne ouverture de 

•ompas prife a 1 vo- 

lonte , & aflez gran- 

de pour qu'ils fe 

coupent > par exenv- 

ple dans le point 2>» 

Enfuite il taut me- 

ncr par cc point dlntej&Aion D, & pare* 
point donne* C la ligne D G : je dis que cette 
ligne D G fira la perpendiculaire qu'on che*- 
che* Car i°Je point C eft (') egalemenr N diftant 
de E & de F. i°. Le point T> eft auffi egalemenr 
diftant de E & de F , puifque les lignes ED & 
TD font rayons egaux , etant ( 4 ) meiurez par 
la mfime ouverture de compas.Donc (*) la ligne 
D C pafle par les points I> & C egalement 
diftans de E & F. Done l*] D G eft perpendicu- 
laire a AB, 

Si le point donne" eft a l'extrfmit^ d'uitf 
ligne droite , on trouvera dans laiuite one autre 
methode pour raener pax ce joint une perpenr 
diculaire a cette ligne donnfe* 

(') Par conflruBion. W Par [ufpfi^ 



» _ 

Geometric. 1 45 

COROLLAIRE III. 

On tire encore de e'ette proposition une me- 
thode pour coupcr geometriquement , e'eft a 
dire , par regies mailables , une ligne en deux 
patties egales. Soft la ligne A B qu'il faille 
confer en deux 
parties egales. II ' : q 

faut des extttttiittz •%. \ ..... 

A 8c B de cettc li- /f *.. 

gne A B decrire les jf j V 

arcs DFG&DCG // | V\ 

d'une meme ou- aSc! jg IfM . 

verture dc compas \\ I // 

prife i volantc* , & \J /^ 

affcz grande pour >4s 

que ccs deux arcs !r I©**'' 

ie coupent dans les 
points G & 2>. Je 

mene enfuite par ces deux points d'interfection 
6 8fD la ligne droite GD : je dis que le point 
£ par oil cette ligne GD coupe la ligne AB 
eft le milieu de AB. Parceque les points G 8c 
D font £galement diftans de A 8c de B , a caufe 
que les rayons AD y DB, AG,BG font L x j me- 
iurez par la meme ouverturc de compas. £t 
partant C*j la ligne GD eft perptfndiculaire a 
AB pax le ; milieu. Done enfin ^£=22 3. 

[* Pdrfufttf. 
^1* Fr<$. fref.* 




X ii j 



x+6 Trcift/me Pmfc 



PROPOSITION VI. 

*. La ligne menee £un point pru hers ttune lipu 
droit e perpendiculairement * cette menu ligne t e$ 
I* plus courte de teutestes lignes qn on pettt me- 
tier de ce point a cette meme ligne droit** 

*. Recrproquement. la ligne qui eft la plus courte de 
toutes celles qu'on pent mener dun point pr'u 
km dune ligne droite a cette. meme ligne Jui eft 
perpendiculaires. 

DEMONSTRATION 

D E LA PREMIER* PARTIS. 

SOit le- point A pris a volontc* hots la ligne 
B C , & que de ce point A on mene la ligne 
A E perpendiculairement a la ligne B C. Je dis 
que- cette ligne AE eft. 
la plus courte de toutes 
hs lignes qu'oa peut me- 
ner du point A a cette / 
ligne BC $ qu'elk fera ,. / 
par exempte , pks courte- / 
que kt ligne A IX menee ^ f 
i voiontt du point A a B & \ |*» w 
cette ligne BC. Pour lc \ I 
demontrer foit LM pro- \ i 
Jongfc la perpendiculai- vL 
re AE juTqu'en F, die > *™ 
forte que EF devienne 
Ijgak i AE -> qu*bn mene enfijite la ligne Dt„ 

M Dtmatfde *. Geox 



Geometric. 24 7 

Puhque A F eft perpendiculaire alTC, reci- 
proquement C*J BC eft perpendiculaire i^Fj 
6c acaufequel*].^E=EF, BC eft perpendi*- 
culaiie au milieu de -rfF. Done C*3 DA =2 
Z>F. Or [*3 -*F<^-4D-+-I>F. Done L 5 3 la 
inoiti^dc -4F; e'eft a dire la perpendiculairc 
3E fera plus petite que la moiti£ de A I>-h D F 
qui eft^D,« quilfalloit demontrer. 

DEMON ST R AT ION 

OB LA SECONDS PaRTIE. 

Si dit point if p*is a rolonte 1 hors la ligne 
M G , on mene la ligne HLz cette ligne Af G , 
de forte que la ligne H L foit la plus courte de 
toutes celks qu'on peut mener de ce point H £ 
cette meme Hgne Af G , je dis que cette ligns 
H L fera perpeiv* 
dicalairc a M G 9 a{J 

Car H H L n*toit A 

pas pcrpendiculaire / 

a MX?. , & que ce * 

fut , par exernple, la 
ligne H N qui fut 
perpendiculaire a: JJ _ 
Af G , la Hgne per- M JM L G 

pendiculaire H .tf 

menee da point H a Af G ne feroit pas la plus 
courte de toutes 5 car on en auroir une qui feroit 
encore plus courte , fcayoir cette ligne H L qu'ont 
fuppofe la plus courte de toutes * mais la ligne 
menee du point H perpendiculairement a 1* 

[tl Cor- 1. Prof, p Geo* [*' Tar conftrHftirt^ 
1*1 Prop* j> Geo. l*j JVo/. I. Giw. 






*4* Tnifiime Turtle. 

ligne M G eft [ z ] la plus comte de celles <Jtf <m 
pcut mencr du point H a la ligne Af G , & T'Jii 
eft cyidemment impoifible qu'il y ait One ligne 
plus coorte que la plus comte. Done la ligne 
if £ cunt la plus courtc dc touted ceUes qtfoa 
pcut mener d'un point R a une autr* ligne 
AfG, eft perpendiculairc a cette ligne MG % 
ce qUUfallm tUmtntrtr. 

COKOLLAIRE I. 

Done d'un meme point 9 par cxcmple da 
point ^pris hors d'ant ligae droits CD&bs 
an meme plan , 
on ne peut me- A 

iter a cette ligne 
C D que la fcule 
ligne perpendicu- 



lake AB. Parce- C ft D 

que in la perpen- ^ 
diculaire ^ £ eft la plus conrte de tomes cclks 
qu'on peut mener du point A a k lign* C J>. 
Done L J J elle eft unique, 

COROLLAIfcE It 

Si par un point egalement diftant des extrt- 
mkez d'une ligne droite on hrimene une a«« 
ligne droite perpendiculairement , cette demiert 
fcra perpendiculaire au milieu de la pxeini»e. 

Soil le point A egakment diftant de* c** 

rt Premier* partie de U trop. fref. 
W a e . lUrrit i* l*-2roMre£ 
**} Ax. t. G#*. 




Geometric. 245 

trtmitez B8c C de la ligne £C; pare* point A 
Ibit menee ane ligne , par exemple , XZJ per- 
petidiculaire a £ C : jc dis que ^D doir ncceC- 
iairement fctrc perpendiculaire a BC par k 
point da milieu. Car fi ce 
n'etoit pas par le point du 
milieu , ce leroit par an au- 
tre point y par 1c point £ 
milieu de la ligne BC foit 
menee la ligne.. E^perpea- . 
diculaire a cette ligne BC , _ 

la ligne E A pauera L s J par B D E C 
le point A 5 & partant da 
point A on ptwrroit mener 
deux lignes perpendicuiaires a la meme ligne 
B C dans le xnemc plan , ce qui eft l*J impof- 
fible. 

COROLLAIRE HI, 

Done la diftance d'un point a one ligne droite* 
doit ctre mefuree par une perpendiculaire mc- 
nee de ce point a cette ligne. Puifque 1*1 cetcfc 
perpendiculaire eft la plus courte dulance , unir- 
<J*e & immuable. 



°} 



OLLAIRE IV. 



Done £ la ligne AB eft parallele a la EgnS 
C D , toutes les lignes me- 
nees perpendiculairement de • A B 

Vune a'Tautre, ferontega- C— — — D 
lcsentjt*elles. Car , puifcjuc 

1**1 Prop. 4. Geo. [*] Cor. 1. Brof.fref. 
Li] Bremimftrt. trof»fre[ r 




t$p TroJfijme Pdrtiel 

i\ la ligne A B eft egalement diftante dans ?<Hft* 
a longueur de la ligne CD, ckaque point de 
cettc ligne ^B fera audi £galement diftant de la 
ligne CD. Or la diftance de chaque point de 
la ligne A B a la ligne C D eft C 2 J melurce pat 
la ligne qui en eft menee pcrpendiculairement a 
la ligne C D. Done toutes les perpendiculdires 
menees d'une parallele a l'autre font cgaJes en* 
ti'clies. 

COROILAUE y. 

Si les lignes AB 8c AD font menees d? 
point A pris dans la per- 
pendiculaire AC a des 
points de la ligne BD cgale- 
ment diftans de la perperi&i-* 
culaire A C , ces lignes obli- 
ques ^B& ^Z> feroht igalcs 
cntr'elles. Puifque [*3 la ligne 
A C perpendiculaire au milieu 
de BD a le point A egale- 
rnent diftant des points £ & D. 

COROLLAIRfi VI. 

Reciproquementfi. les obliques AB & AD 
menees d'un point A de la perpendiculaire fur 
ja ligne B D font egalesentr'elles » les diftances 
BC & CD de la perpendiculaire ieront „*J aufi 
igales entr'eHes. 

t"3 D# 8. Geo. M Cor. a. Mr of. frtfr 
CO Pr*p. 5. Geo. 



Oftmitrit, *& 



PRO POSITION VII. 

Satrt lu Upuf drviut-tumits Mm fomtfris hori 
funs itgfe. droitt it cetti ligut , celttt qui fot\t 
Jim eloigned it la ftrftntlicuUirt fmttlus ten- 
ptet , d* edits qui tn font flut poth'ifontfylni 
ceurtcs. 

DEMONSTRATION. 

A Cole qienix If Jigpft 




■ ?*•■ 

pendiculaire A B pto- 

lonetefuffiCurunpfttlbit prifi lajsutieJjC^vflV. 
(c foicnt ineneqlea, lignes. diodes -C E ici>, 
Puifqueji Cettl 1 ] perpend iniUire iD G ;DG 
feral 1 ] au/E pegicndiciilaire * -^ c • m£me aw 
milieu deAC.DoncW jii? — DC & -iEs?, 
Jf C. Maij ii]^-0,-*rD,C. > *f +-5 C, Dffi^ 




*ti Troifi/me Vmie; 

Ci A D > A. E , * qu'u f*Mt dmcntm. . 

»- • 

CO ROLL AIRE I. 

Done d'on meme point A pris a volonte* hors 
U'unc ligne droite ED , on ric petit meacr a 
cetce meme ligne a 

plus de deux lignes 
droitcs Igales cn- 
tr*elles. Soientpa* 
exemple les lignes 
AB & AD ega- 
lement diftantes 
de la perpendicu- 

laire .4C , elks *T n ~ - - _ 

feront [»] egales fi B C D 

entr'elles. Si on en menoit une f du meme point 
^f a Ja meme ligne ED , ilfandroit neceffaire- 
ment la mener plus proche de AC que A Boa. 
A D , on il iaudroit la mener plus eioignee de 
cette meme perpendiculaire AC. Done cetce 
5 e ligne oblique ferpit plus pecke ou plus grande 
qucchacune de ces deux AB pu AD. 

COROLLA IRE lh 

Si du point F on 
mene les lignes F G 
6cF£ , de Tone que 
EG jfe termine au 
point* G plus eloigne* 
de la ligne perpendi- 
culaire F £ , que le 
print $ auquelfc t ermine la ligne F E : je dif 

W vt*Mi.#w, i % l Cvr. ifr*}. $.j*tc. Get. 

que 




£ L HO M 




- que la ligne FG eft pin* grandc njwr Tk Car pre- 

• n$ns 1c point H autarit eloign* du point £ que lc 
. point E, alorsftnous.aaronsFtf =s=FE. Or[*]F<S. 

*> IH . Done FG p> FE, • . , 

COROLLA IRE IU. ► 

Une ligoe droite nc peat couper unc circonference 
de cerclc qu'en deux points. Car fi ia lignc AE , par 

• exemple , pouvoit cooper la eirconfeeence BFDCeft 
crois points B , C , 2>j du centre ff on pourroit mencc 
uois lignes droites [*] cgales * 
entrfcllesa ces j points B y C y D, A 

-qui feroient [♦] communs & a 
la lignc dioitc AE & a la cir- 
conference $ & il eft ('J' im- 
poflible quedu centre G on puik 
fe mener 5 lignes droites %AE F . 

qui fbient egales encrc eljes. La ligne AM ne pe«e 
rencontrer cctte circofiferente.cn 4 points, pui£q*e 
lc nombre 4 fuppofe 1* npmbre j. ^ ., 

COR OLL AIRE IV. 
Unc ligne droite qui rencontre une circonference 

•dc cerclc en deux points , coupe cette circonference. 

jSp^t la ligne. BE qui rencontre la circonference <?<?Z> 
dans les points C & t> : je dis C >^-^D 
que cette ligne BE coupe la " - /\V\ w 
circonference CGI). Pour le . / - Nk** 
dlmontrer , il. faut rnener du \ • A 

'centre -4 aux points C&D les 

rayons u*C, AD y & la perpen- ^q' 

diculaire >*F. II *ft evident que , !or<qu'une ligne 

prolonged , s'i] eft neceuaire , fe troave de part Sc 

d'autre d*une autre Hgne, cette premiere lignc cou- 

:pera la feconde. Or la ligne BE rencontranr [*]la 

•circonference CGD dans les points C 8c D , fc trou-* 

-vede part & d'autrede la circonference CGD, 

Prcmierement , BE fe trourc d'un c6tc* de la cjft 



!'] Cor. f* Prop. 6- Geo. 






Pr<p>pref., \ 



if4 Trtifiime Vartii. 

-fciftifer£ncttX7£ $ canccKc cirtfcrffctenee tie tre«v{ 
^Artfe )* <*rtft$ tf A tes parties J*Cv&iB£de la ljgnc 

C«s parties BC & DE Cont^>]<h*omc .phis knigaci 
qqe les t&ydvk MdSctAD^ hdnt jpto ijdignds dc Ja 

^rpenHicol*kc **F coe ic$ f ayons <tfC & v£Pt« 

SecdndeftttAt ^ QD qaicift parrie de3£;, Xe «nm1* 

^oh-atfrte'dtet de&tttrtimfevenc*; csrCBie tie*. 

W^ritte te ^ntre ft in ctoconftrdnce C<31* , <pei£ 
4gne [*j.toutas le$ttgites>qpfan poornninencrdu cent* 

iKaJaiigntipa ftrontdkacuffc pios oouues tftc lei 
xayahs ^C &y*D,d« forte quehuperpendigoteirc AS 
fcraf[ J }ittplus courte. Toufeslcsiigrjcsxjki'ontpOM- 
ra nVener dp cfentre a* a la Hgnc£z5* ft terminefont 
done pj^atft le ccn»c1c'lat?irconfcrencc. Or rou- 
tes les cxtremirez de cct bgiftrs^fflrpnt Bans la ligne 

*n£raeGZ). Oeeie4%nr$2> *ftra*donc cmrc lc cent* 

Atacirceiifctente. La Hgne JHExjoupeta done lc<«rr 
ale. CORXDL^AIKfi Vu 

Siune lignk difciteWhcheiine Scfcccmference de 
%flf«C'/t?nc la toudltfAacmcen1ihfcWj>oitit. «Caf 
*Hfflfe% «»cb«t en a^it^^lela <*>tfper<>k{?]. Eflfr 
^'ftWit^enc pas roucbartte s xe qtfi*fh»ft«»frc« 




+^««^- 



/ >bio\POsiTro(N via, 

t>tux%^h)iroilksnefeuventavdhuH^ 

tUfi-k*4i*e , 0* ftuvtnt tvYtr une'pjrtii c<frhM$m*. 

z ; DEMONSTRATION. 
C&kntffc^acs BJMc *C : je*Ki<^ex3*rxfeux&- 
ljtgntt*l>»fc$€ nc fwUTcncvtokaincprfiKk^iona- 
priMfe, par-earcrople i» s ^eft-a&ifo/ipietf uCfiC -eft 
mnefigfae <bojie;#B&tt€ p4ut#r£*c)(S ttn c lig ngdroa- 
te. Poorfc^montitE, finr mejt&tpat lapoint£ fati- 
gue SF^e^itdiottlaaic« laOigrie ^©C^ukm fep^ofc 




Geomttrle. 1J5 

tine ligne droite. RceiproquementC , 3 tonte c?tte 
ligne ABC fera 
perpendiculaire a jg j 

EF. Pareillement ] 

-4 B panic de AC 
*fera perpendiculaire 
aEF.Or fi A B dc 
B D 6toient auffi one 
mime ligne droite , 
la ligne AB 6tant __ 

prolonged paffcroit t y 

par BD • ; & aprcs avoir pris BF cgale a 
BE , cette ligne ABJ> paflerottlM par totu 
ies peiats «gakment diftans des poims E & 
F & parta«t . * . BX> ferok a*m perpendicu- 
laire a E F. Done les deux lignes BCtSc BD 
•feroient perpcmlkulaiies a la meme UgncEiF 
par lc irrfme point B dans un meme plan , « 
qui eft l 4 J impoffibk. £t partant deux lignes 
drokes^ par exemple BD, BC , ne peuyent 
avoir une partie commune AB 9 cequtlfrUo** 
demontrer* 

* 

. Done la pofnion on utuation d'une lig-.^ 
drpice eft dctemn- 

nce par la pofition *jj 

dc deux de . fes ***—• ••" ' 

points. Soient les ' ' J " ^ ' <% 

points. A 8c 8 r $e A> fi w 

dis aue la pofition „ - -,- 

dc la ligne qui patfe p* <** deux points eft de- 

^ C«r.i.Br*p.S-G«>' l % l*rop. + Geo. 
IV fro*, f. Geo] 1*1 COT. frof. ^. Geo. 

g ' y ij 



156* Troifiime T Artie. 

terminie. i°. Du point A au point J? on ne pem 
L'J mcner qu'une feule ligne droite. x°. Si 
en prolonge cette ligne AB 7 la pofition de 
toute la -ligne ABC eft determined , c'eft 
a dire qu'elle ne peut pafler indifTeremment 
par le point C ou par le point JD dans di£- 
ferentes positions 5 mais qu'elle doit pafler ne- 
ceffairement , par exemple y pax le point C dans 
cette feule pofition ABC, Car fuppofbns qu'elle 
paflc par le point C j fuppofons pareillement 
qu'elle put paifer par le point Z>, il faudroit done 
que ABD & ABC fuflent deux lignes droi- 
tes , ce qui eft 1*1 impoflible. 

PROPOSITION IX. 

i. Si on prend un point hors le centre & la cireon- 
fstence Hun cerde ; la ligne droite menee de ce 
point a cette cir conference , UqueUe etant pro- 
kngee paffe far le centre, fera la pine Courte de 
tomes .cetles quon pent mener de ce point a cette 
circonference. 

1. Kectproquement fi une ligne droite menee d*un 
point pris hors le centre , & la cir conference d*u» 
cerde a* cette cir conference , eft la plus courte de 
toutes celles qu'on peut mener de ce point a cette 
ter conference \ fi on la prolonge , elk paffera par 
le centre. 

PEMONSTiATION 

>r DE LA PREMIERE PARTIS. 

N point peut Stre pris hors le-centre&la 
circonference d'un cercle en deuxmaniercfj 



u 



IK Cor. 3. Ax. 1. Geo, L 1 ] frep.pref. 




' Geomttrie. 155 

ime ligne droitc. ReeiproquementC 1 ] toute c?tte 
I "ligne *ABC fera 
> perpendiculaire a p » 

*• EF. Pareillement * { 

-A B partic dc A C 
' "fera perpendiculaire 
aEF.Or H AB 9c 
H £> 6toient auffi one 
m£me ligne droke , 
la ligne AB ccant a 
prolonged paneroit 
par B I> j & aprcs avoir pris BF cgale a 
BE , cette ligne ABJ> pafleroit t\;j par tous 
ies potats «gakment -diftaus des points £ & 
F , & partaot t 3 .* BD fexoit auffi perpendicu- 
laire a E F, Done les deux Iignes BC & B2> 
-ferment pefpentikulaires a la meme ligne. E : F 
par ie rn£me point B dans un mfoie plan , c- 
<sui eft t 4 J impoffible. Et partaat deux Iignes 
drokes ^ par exemple B D , B C , ne peuvent 
avoir anc partie commune AB 7 cequ'il ftUoit 
demon trer* 

COHOiLAUE. 

Done la position on fituation d'une ligie 
drpitc eft dctensti- . 

nee par la pofition ^ 

-de deux de fes ** 



.*....— — — 



A B * 



•points. Soient les 
points -rf ac ©^ je 
«i* que la portion 
de la ljgnc qui pafle par ces deux points eft de- 
li* ^ Cot. 1. Brop. f. Geo. 1*1 Prof. 4 -Geo. 

ty J**/. ; . c*#; l^j cor. jv*/>. 4. g*v 

Y ij 



1 




JiS Trtlfiemt Pdrtie. 

circonfcrence.Car * B E 
m^EA^BA y c'efta 
dire, que B B+EA 
^BC^hCA. Done 
en retranchant de pare 
& d'autrc les rayons 
E A & ^ C , on aura 

/k/foif demontrer. 

On demontrera la 
m^rne chofe a regard 
dc la ligne BD 8c 6c 
toutes ks autres. 

D E MO NSTRATION 

X>B LA SB CONDI Pi&TII. 

Soit la ligne £ C menee da point B pris hois 
le centre & la circonference du cercle C DETG 
a cette rn&me circonference j £ cette ligne BC 
eft la plus courte de toutes celles qu'onpcutme- 
ner de ce point B a cette circonference : je dis 
que fi on la prolonge , elle doit pafler par le 
centred. Parccque ( 2 ) la ligne menee d'un point 
pris hors le centre & la circonference d'un cer- 
cle a cette circonference , qui ctant prolonged 
<paffe par le centre , eft la plus courte de toutes. 
Or une ligne menee d*un point pris hors k 
centre & la circonference d'un cercle , leant h 
plus courte de celles qifon peut mener de ce 
point a cette circonference , fi elle ne paffoit pas 
par le centre ctant prolonged $ la ligne mence 
du point oris hors le centre & la circonference 
du cercle a cette circonference , qui £tan| pjo-; 

* Prop. x. Geo. (*) Ax, 17, germ, 
C) Part, i. Prof, frof. 



Geometric*. xyj 

longce paileroit par le centre ne fcroit pas la 
plus courte ic toutcs celles qu!on peat mener 
4e ce point a cctte circonference. Car fi cette 
ligne B C qui fcroit (') la plus courte de routes 
ne paHbit par le centre , elle paileroit par 
aillcurs 8c fcroit plus courte que celle qui etane 
prolongee pancroit par le centre $ puiiqu'on la 
liippoferoit la plus courte de toutes , ce qui eft 
contraire a la premiere partie de la Proportion 
prefente. Or {*) il ne peuty avoir une ligne BC 
plus courte que la plus courte. Done la ligne qui 
eft la plus courte de toutes celles qu'on peut me- 
ner d'un point pris hors le centre & la circon- 
ference, etant prolonged pafTera par le centre, 
ce quilfalloit demontrer. 

PROPOSITION X. 

t. Entre toutes les lignes qu*m pent mener tun 
point pris hors le centre stun cercle a la circonfe- 
rence de ce cercle , celle qui pajfera pur le centre 
eft la plus tongue tie toutes. 

t.. La ligne menie tun point prk hers le centre tun 
cercle a Is cit conference du memo eercle , & qui 
fe terrmne iun point de la cir conference plus 
proche du point ou fe terming celle qui pajfe par 
le centre, eft plus tongue que celle qui fe termine 
du rneme cote de celle qui pajfe par le centre, a un 
point plus eloigne, 

DEMONSTRATION 

OS LA PREMIER! PARTI B. 

Oit le point B pris hors le centre da cercle 
DE TGC , e'eu a dire , ou entre le centre & 

Y i5| 



s 



2*0 



TriiJiSmt Fdrtie. 




la circonference, ou fur la circonference, ouhozs 
le ccrclc : je dis que la ligne B P qui pafle par 
lc centre A eft la plus longue de toutes , par 
exemple, qu'elle eft plus longue que BE 7 B D , 
"&c. Soient menez les rayons AE> AD y &c. 
AV = AE* , Done en ajofitant de part & d'au- 
itxe AB, da aura ;*) $A*4-AF — BA-*rA$. 
Mais.C) B*Mt^£>B E.Donc (*) £-*+^F, 
c*eft a. dire, BF^>BE,« £»'*/ /dtfoif demontrer. 

* Car. i. <#£ 19. £#*• (*) -rf#. 4. £«*. 
I*) Prof • x. <?#*. <9 btmmsU 1. £fl* . 



Geometrie. \ii 

*Ptx k mftme raifonnement on demontrera iz 
m&me chofc a l'egard de BD & de toutes les 
autres. 

D EM ON STRATI ON 

t>E X.A S1CONDE P ART II. 



s 



Oicnt les lignes BE & BD mences du poinf # 
B pris hors le centre du cercle CDEFGala 
circonference de ce cercle*. jedisqucla ligne 
B E qui fc termine au point E plus proche du 
point F ou fe termine cclle qui pane par le ce»- 
tre,eft plus longue que la ligne B D qui fe ter- 
mine a un point D plus eloign e & du meme 
cote de cclle qui pafle par le centre. Pour le d£~ 
montrer,foient mene*s du centred aux points 
2> 5c E , les rayons AD 8c A E. II eft conftant 
* que HD<[HE, puifquc le point H eft pris 
hors le centre & la circonference du cercle 
CDEFG. Done en ajoutant de part & d'autre 
B H , on aura [ x ]£HHhHB> DH^rHB* 
Mais [^DH^HB^BD. Done ['JBE fera 
plus grande que B V , a $» ij jW/wt dimontrtr* 

* P^iff. i. ifc U Vt$p }, Geo. 
[■] ^at # 7. general* 
{*] i»r^. i. Geo. 
[* J ^ ai, general. 




*& Tnijiitne TdttU. 

PROPOSITION XI. 

£ntr$ Us ures du mime cercU, m des units 
tguux , qui n y ex$edent feint une demit circonft* 
fence; 

i # Ceux qui font eguux font foAtenus fur des 
€$rdes e gules ; 

i. Let plus grunds font foutenus fur des cet~ 
des fins grundes , <$• Us plus fetits , far des tor- 
des flus fetites. ' 

DEMONST RATION 

»I LA F1IMIIH1 FAXTII. 

Oient let arcs egaux ABD & G ET <ic , 
_ cercles egaux : je dis que lcs cordes ADk. 
GFiontaum cgales cntr'ellcs. Car fuppofoos 



s 




que Tare G£F Coit applique* for Tare ABD 9 
de Tone que le point G (bit pofc fur le point J, 
& le point F iur le point D •, ces deux arcs 
ABD y & G E F fe confondront en un feul arc 
ABD ; puifque Tun & Fautre font * decrits a 
m&me diftance des centres C 8c H. Les cordes 
AD & GF ayant done par cette applica- 
tion les points A 8c & communs , cette ligne 

* fur [uffofit. 



F ??, 

Gttmtrit. i6j 

[«FrfftOBnfofl45a.*wc MltgacrfD. C«r[«]dans 
[ «ac (iiuation I'ane 6c 1'autK no peorcntctre de« 
Ijgnes dieiies diffcren tes . Los arcs 6gaui font done 
fruwww pwdes cwdci <6gaJc* ,-rt ft'fl.ftllmt di- 



D£ MO NSTRATION 

JPd .11 IKflRP.I PjISXIL 

Soirl"ai.c f«{C plus.grasdqiic L'arc DGE ( je 
Jis que la corde jfC cA plus gtande que la corde 
#£. Pohc 1c d&wwmer . i" ur Je 
plus gr,**vd arc 4HC,jc preiM 
«n,acc.-<Hi qui foU^gal a I'arc 
' propoft DGf. , & je raene la 
corde >«. < Al«$«wei:orde.rffl 
fera £*j egale a la corde DE. Or 
la corde AC eft [■ ] plus grande 
^ne la cordeXB.Cette cotde .rfC 
ell [*] done plus grandc que la 
<ordc DE', « ipitl ftlltit Unworn, 

j COKOtLAIILE J. 

Reciproquement les plus grandes cordes Ibit- 
tknnent des arcs plus grands, & les plus petites 
eordes fouriennen: des arcs plus pciics. Soi: la 
eorde AC plus giande que la corde ED -, je dis que 
1'arc AUG eft plus grand que l'arc EGD, Car i'arc 

P] -&W. J. -<*. i. Cw. J*£* ij4- 

1'] P*rt, i.Prep-trcf. 
* I P*r*. i. P«f - io. Gee, f*g$ id, 
♦] Dtmmit I- G«>. 



t6± Triijieme Partit. 

AHC pent feuiement &trc plus grand ou pfus petft 
que EG0 , ou egal a EGJD. Or dans la CuppofirioQ 
prefente Tare >4HC nc pent 6cre pliis petit que Tare 
ZGD. Car [■ ] la corde AG fereit plus petite que la 
corde ED , ce qui eft contre la Fuppoutknt. 
L'arc AHC ne pcut 6tre cgal a Tare EGD. Car 
[*.] la corde -rfu feroit cgale a la corde ED y*c 

2ui eft encore contre la luppofition. II refte 
one que VzicAHC t(t plus grandque Talk: EGD« 

CORCiLUUE II. 

Les cordes egales feutiennent des axes jgaar. 
Car £ ces arcs n'ltoient igaur y celui qui feroit 
plus grand icroit [*] (butenu par une plus grand* 
corde , &; le plus petit par une plus petite cordo, 
Ces cordes ne feroienc done pas egales, ec qui fe- 
row contre U fuppofition. 



PROPOSITION XII. 

j. Vne Ugne perpendiculaife a ten rayon Mr le point 
qui eft comrnun i ce rayon > & ata ctr conference , 
eft touchante. ^ 

a. Si une Ugne droite touche une cir conference de cet* 
cle ; une autre iigne droite it ant menee far le centre 
au point a^attouchtment , [era perfendiculaire acet-. 
te touchante. 

x, Vne Ugne menie perpendiculalrement a une tou- 
chante par le point £ attouchement , fajfe far, 1$ 
centre. . , 

i 

[»] Part. x. Prop. pref. 

[>] Part. x. Prop. pref. ■ 




Georneirhk %(,* 

D JL M ONSTRATI-ON 
x>i km .pi mi jricr PARTrii 

SOit la fignc CD perpendiculaire au rayon ^ 
par Con exttcmk6 * : Je dis que cme ligne C& 
E F B G touche-la circonference BHLAf . 
C « v iv. - D CarCPcWpJocrpehdiculai- 

/v- 1 ♦* \* rc * ^ B ' «ciptoquemcnt {* J A& 

eftperpendiculaire'a CO.Toutes 
les ligncs AE , AF % AP 9 &c. qui 
im- ^ - (cram menses- du point A a tous 
L ks points poffibles de la ligne 

CD feront [*] chacune plus longues que le rayon 
JAB , ou que fes egaux AH , -rfM , &c. Les extre- 
mitez dc ces lignes AE y AF> AG , &c. qui feront 
dans la ligne rneme CD , feront done [♦] hors de 
fit ckcontcrencc BH£Af. La ligne -CD perpendi* 
culairep] au rayon ^B, a donctous fes points hors 
-de la circonference BHLM , ercepxe le point J*;. 
Cctte ligne CD rouche done [*] la circonference 
*KLM , r; qu'tlfaMtdknontror^ r 

! : TTne ligne droitepeut toucher tone circonferen- 
; ee de cerclc , & perfonne ne doit le nier : cela eft 
I cVidentpat cctte premiere partic. 

A. 

L } Tar fuppofition. 
'*] Cor. i. Pr<?/>. f. Geo. fag. 143. 
*] P/irf. 1. Frbf. *. f?f*. jf^. 14$* 
4 ] Cor. 1. def. r*. Geo. fag. 10?. 



%s& 



TmfUmt Fdtti*. 



/ 



D EfcfO'NSTR ATI ONI 

SOit k touchahte CD , dc foA pomrd'attoircto 
meat fok 4 1 je dir qpe le rayon <4£rincfel d» 

centre A zw point. dfattouche*. 
mem*', cftpergenrfirnlairr a lr 
lD tobdume Glfc Ca#UtDUch*mt 
i CD'renetntiaw [']/ia ckconf* 
hji, renec 4£F pacle pcfltnt 4Fqui eft 
restrcouti da» tzyofrdB % orftc 
reucbaate CO ne rencontrera 1* 
eirconference £&$[*] qae dans ee fcoi point^ 
Tons let autre* paints it 1* Ixgnc CZ> icsoac [4 
done plus £loigpfe» dir centre X que la point S» la> 
ltgne -40&iadone U pluscouite de. c«Ue*qy'«it 
petit merer <kc centre ^ a 1* totxehame CD. Le 
sayon -rfB fe» done J*] petpandiculaia a* la-tou^ 
dunte y c*. 




DJMONSTRATIQ- H 

SOfe 1* ltgne toaejhimt* jffi v Sc par ion. point 
d'attegeJtemctit G* (bit menes la Kgne C£ pet* 
pendiculaire a cetfc touchame >B : jc dis que U 
£Crpendicalaire C£ paflera par le centre da cer- 



Par Sttppogtjfth 

Cor. f. Prjp, Xi Geom+ftg, % f ^ 




, (?tittoetvft% . tfft 

tic Pour lc dlmontrer il fuffit de faire Toit 
qtffl eft knpoffiBte qn<* lefccewtr du ocicie puifTc 

fctre ailkurs auc dans certe ligne 

CM ftrikmrna. *. s'il< cft> mctf- 

6iw A Cat-ikhi oewere dm cecete 

&»ifl aillfcurs que dan* la ligne 

pefrjttndifiulaire CJ?"* s*JMfoit t 

f ^^'if^ nj,rrr ei^8^ple,en*,alo« du point 

C XI* a* 0qin(K,<fattoui:&einent'C 

*r*nhmcnt l*)im* Pff,ceteir|gne JDC feroit I'f 

Eiendteukiit. *1* Wtfhante 4B. Mfcis [»]^E 
oauffi perpendicpktts aMi&Pa^e m^mcf oint. 
CHjt airroit done den* ligpes perpendicelaires £ 
Wmbm<3ligp*A8 d*n*lem£znei$Uj* y cc qjii eft 
[ r ]impoffible # Heft dbnc pareillement impoffi&Ic 
que la ligirerperjendianlaire a^Ustoitf hawavlB pal 
le point d'attouchement , ne pafle par lc cea- 

U ligp* tondwutf* mcn£t ptt rcxtreroitl d'aj* 
*y<afr , c(t ger^endiculaire £ *e rajwv Car ccrut 
♦wwmk* de tajpa eft [♦Jie ieutgoihc q f ut fcir: 
<**nanun « U cir con&reoce fc a, k tpu«hantc # Cc 
«Aw myaaeft doncJ'lpflypctrfifuJaite ila toiir 
*kaw» ; & «ri jpro^ctueos la. toudUm* Uii eft 
E*J p«p«nd$cttla«re* Ce Ceuwliaice eft.fccojmrjfc; 
4el*pceaiietft p^wdcUpxopqiiuuoa^cfcaj^ 

['] P*rftV i. Prof. ffef. 

f^Parlafuppofitim. 
'] Cor. Prtp. 4. Gewn.t** **fr 
I*] Cor. f . Pr*. 7. fag. %**> 




rit Tnifimt Ptrfit. 

COHOLLAUE lU . / : 

Sotc le point O donnl dans U circonference da 

#ercle, par excmple ADCB >.&que pat cc points 

B il faille mcnerunetoucnair 

te. Pour y itv&u il foot me* 

ntr da centre Gicc po'm\ 

Itl \ft \C *Uin6DlerajronGD&f*j 

enftme rneher la ligne EM 

perpendiculaire au rayon 

tt ^V^J_^X j <3& par ce point D 5 cette 

D: lignc £F fera [*] touchanrc 

Je la circonference UDCB par le point donne IH 

GOUOLLAIRE IlU 

line lighe menee par le-centre d'urt cercle per4 
pendiculairement a_une touchante , pafTera par le 
point d'atrouchetnenr. Cette rcrirf eft ^yidente,, 
puiiqu'il eft impoffibleque cette. perpendicalaire 
ne parte par le point d'attouchement. Car € cette 
gtrpendiculaire paflbit par un autre point de la? 
touchante , que par celui d*atrouchement , ak>r? 
ay ant men£ du centre au point d'attouehement uir 
rayon , fl fcroit p] auffi pcrpendieulaire a la cou^ 
cfaante. II y auroit done deux perpendiculairesr 
rhenles du centre £ latouchante,ce qui eft [♦] im- 
poftlble, Ce Corollaire cftrinYerfeoureciproque* 
de latroifi&ne partie de la proposition prefente^ 



[*] Cor.z* Prtf. f. Page 14^ 

{*] Part. i. Phfr; &$%•' 

{*] Part. %. Prof- frefi 

f»j Cer . Pr$fi 4. Geem. fag, 140* 



» * 



GetmnrU. 



M* 




COROLiAUE IY. 

Tar le memc point d'une circonference dc ccr- 
*le on ne peut mener qu'une touchance a cette 
circonference. Soic par exemple le point D d'nne 
crirconfcrcncedecercle, £on pouvoit mener par 
ce point D les deux li- 

> -.grits AB & EF , de forte . . 

. que Tunc & l'autre fuf- 
lent touchantes , Tune 

.^Sc l'autre feroicnt [«] 

: pcrpendiculaircs a la 
m$mc ligne ou au m£~ 

* «iic rayon C D par le g 
xn£me point, & dans le 

„ xnfime plan., ce qui eft.[*] impoflible. Toute li- 

' gnc mencepar Textremitc d'un rayon , & qui jfbr- 
me avec ce rayon quelqae angle* oblique nc peut 
-done toucher la circonferencedu ccrcje. Car autre- 

, xnent il pourroit y avoir deux touchantes par le 

<, xnfime point , fcayoir la perpendiculaire ['] & pi 
$ette oblique. . • s,j 

C O R O L L A I R E V. 

Si on mene par quelque point d'une circonfe- 
rence dc cercle une ligne droite touchante , & *fi 

.par le mfcme point on mene encore une autre I4- 
gne droite, certe derniere ligne droite coupcra la 

! circonference car ou clle coupera,ou elle toucher* 

{*] Cor. 1. Prep. pref. ' 

I 2 ] Cor. Prep. 4. Geo. pag< 14P. 
l*]Parfyppofitien. 



-vf o Trdtfffme ^rnrth. 

cette circonfcrencc. Or elk nefepeut toucher 
caril rauroit parfeti^e^omtfdeux'lignes to* 
dianre$,ce qui eft ['] impoffiblc.Ccttcdcmi«c k 
coupcra done la circoflference. 



<4W*^M" 



PROPOSITION 'Z-Il-T. 

mnt * mm wd* , /«* tt^€»dkmlmr0*fmr ***• 

. *• A*ciproq**ment ,' &» fc|** «**** ftrdm$dicmUm 
mmt* u»* end* d* e* cml*ym i Up*mtJ*<mttm 
-mttttttnd* % -trftr*t*r**<**tr'^*****. 

*%> L* Ufnrmmk* dm ctttr* dm ttrtlrftr Jer**** 
turn mdt+ fer*p$ f tt f>di e*i»ir r m**H.*#**. 

J) E M O N S T RAT I O N 

SOU la lignc DB merifc du centre 2> da ceide 
perpendiculairement a Ja cordc AC : je dis que 
fc ccttc iigncDB eft perpertdiculaircf au milieu dc cet* 
corde. Car £' j la Hgne mence d'an point £gafe- 

jncnt-diftant dcs. exttemitez d 

&*Cde lacordcifC, peipen- 

diculairement a ccctc ligne,ftf* 

perpendiculaire au milieu decefr 

te mfcme ligne AC. Or la lignc 

^ DB menee perpendiculairement 

a la ligne AC par le centre D , 

eft menee par un point igalement diftant dc« 

/xtremitcz A * C de la. lignc ^C,puifcpic [J] fc* 

f «] C*r. 4. P^ rf fref. 

| »] Cor. a- Pr#. *. Geo,t*g. ztf. 

£*] Cer. i.D*/. *$• G##, P*j« ioj, 

rayon* 





Gemeirlt. vj% 

laydns VA&cDC font egaux entr'eux. Done 
la ligne JD B menec pcrpcndiculaircmcnt du cen- 
tre I> a la corde A C icra perpendiculaire par le 
milieu de cette corde, c$ ^Htl falbtt dtrnontrer. 

DEMONSTRATION 

JXI JtA SI CO KOI PAATI*. 

Soit la ligne 22 e perpendiculaire a la corde 
AB pax le milieu de cette corde \ je dis que la> 
l^ne EC ctant prolon- 
gs paflera par le point 
y centre du cercle. Car la 
Kgne EC etanr perpendi- 
-culaire au milieu d r une 
autre AB paflera {*) par 
*»s les points tqui font 
%lemcnt diftans des ex- 
trtmitc* A tcB. Or le centre F eft ( gatemenr 
«Utant des extremitez A 8c B. Puifque les rayon* 
*A y FB font egaux entx'cux. Done la Dgne E C 
perpendicuWrc a la torde A B par le wiilieu y 
Jaffera par le cattrc F & elle eft prolonged y 
• u 9**1 falloit demontrer^ 

JD EM ONSTRATION 

** LA rROlSIEME FAR TLB, 

Soit la ligne D J menee du centre 2> dtt 

•*** au milieu B del* corde AC: je di* 

que cette ligie Z>B {era perpendiculaire & 

**tte corde ^*C, Car cette ligne VB aura. 

L deax de fit points cgakment diftans des c*- 

i 



%1 a Trcijieme Tmiel 

doivcnt toft egalemcnt diftans d'un mfene point; 
qui eft 1c centre , fi ces trois points etoient en 
2me droite , on n*y pourroit faire paflef de 
* ckconference ie cercle ; putfqtfoji n^pourroir 
trouvcr un quatrieme point dont on put mencr 
£ ces trois points trois lignes droites cgaies en- 
cr'elles* 

COROLtAUS III. 

H fuit de la troificme partie de cette propo- 
rtion y que deux des cordes du meme cercle 
qui fe* coupent dans un point qui n'eft point le 
centre , nc fe couperont jamais par le milieu 
f une l'autre. Soient ks deux cordes A B & 
CJO prifes a volonti 
qui fe cdupent dans 
un point Fnprs le cen- 
tre : je dis que ce point 
F ne pew ctre. le mi- 
Ben de l'une & de l>u- 
tr© de ces cor/les A B 
&CD. Car ft ce point 
F fftpit le milieu de ces deux cordes r (bit mc- 
jieV \ ligrle EF du centre E au point d'inter- 
feAion F, ; cette lignc E F feroit [ X J perpendicu- 
Jairc aux cordes A B & CD , & reciproquement 
I?] ces cordes A B &c$D feroient perpendicu- 
laires 4 la meme ligne E F par le meme point, 
4ans le meme plan , ce qui eft L J ] impo/fible. 
tJonc il eft pareillement impoffible que les cor- 
ses 4B & CD ie puiffent couper Tune TautrC 
par le milieu. 

- * Cor. 1. Trap. 7. Geo. [ l ] f *a&. Prof, fnf- 
[*] Cor. 1. fr<J. /. Goo. . M Cor. Prof. 4. Gt* 




.V '. 



Geontotrie* . ij$ 

' \ ■ - ■ ■ . , ■. ■■'.'. 

* i-|jii**r-* -- "-"^r *■ i - -• • -■* - -^ ^- Bui ' 

./PTCT>$ O S I * I O If- tTT; ;, 

*. 'La liffi droite\menieJar le milieu tun ate tU 

terete 9 &'p*rile milieu de la Cordefoutertdant* 
i_4e cet arc r Jba+peifendicuiaire £ cette corde; 

i£y*fftorf*rle centre ducercle. ' ,.'".." 
*,. La lignkktroite rneneeperpendiculdiffme'nrpdr k 

milieu de la corde de tercle, faffira'trar tecenttie 
5 " yto'Wie&e'S'&plr le milieu de fate foatcttk 

Jtar-'iefte Vorde. 
^JZurfignefaehtepaY U'tUVfe dm cefcte , &p& 
• ' . * temMtode f+ewde , 'ftrttfeYpentiuulxire a cm* 

corde, & $*£&* p*r. le milieu fe tare foutenv 
7 Z. fa) cehe torde* ' • '' - - 

4. La UgmermeHh ptt^MiUtot dfrfrare , fy per- 
pendiculavrement a la. corde aui en efi.fo%tendan~ 
4e yWufetit cetie corde par le milieu , &paj}er* 
fdr'4i OeWte'du ttrtU. 
J. ~Z*4%tte ■##*& par le milieu & fate tune n*» 
conferejp* de cercle & par le centre , fera per- 
pendicutake a la corde foutendante de cet are , 
& couphracette corde par le milieu. 
j£. Enfijr'Urligne menee par le centre du oerele per- 
pettdiculairemmta une corde , confer* cert* corde 
pdr le milieu , & coupera pareitlement en deux 
parties egalesV arc fobtenu par tette corde, 

DCE .MONH.RATION 

Z> £ 2. A P & B *C X E R fi P A R T I f^ 

« 

SOic la lighe droke D £ menee par le milieu 
. D de Faw *iD Ik,.tc papie milieu <£- dn la 
jgorde w*£ &{fcep4tnip de ccr y&vil)<$; jcdis 



« 1 




*lj6 Tnijitmi Pfrt* 

"que ecttc lignc 2) E eft pcrpcndiaikirc a b 

code ^B, & qu'eUc pafea farle centre^ 

du cerde. Car i\ la ligne 

D E anrart'J 1c joint E \ 

Igalement diftant des 

,extttixuxcz A&B de U 

^ne A*. %°. Puifque 

l ft w ^I> eft l x ] *«1 

*i Tare DE , les cordct 

jdj> 9c J> B feront C*]&. 

igales entr'clles. Done la 

jn&ooe ligne D £ aura auflile point 2> egolemorf 

diftant des cxtrfemitez A & B. Done la ligne 

JDE fcra 1*3 perpendiculairc a la coide ^CB,&W 

paflerapar le centre C a c$ fi'tlfaU»tdmmtr^ 

1DEMONSTR A-TLON 

DI LA SICOKBS PAITII. 

Soit la ligne E F menle perpendiciilairement 
a la corde .^B par fon point du milieu : jeiit 
que ccttc ligncpAflerapwic centre duccrclc* 




B « 







A 



GtometrU. tjj 

*£ prle milieu de race foutenu par cetce corde. 
Oar *°. cette ligne £ F paflera £■] par lc centre 
C du cercle. i°. Cette meme Ijgne aura [*] Com. 
point D egalement diftant des cxtremitez A 8c 
V. Done les cor des -rfB &DB feront l*]«gale* 
ehtr'dles ; & partant W les arcs ADdcDB foil- 
genus* par ces cordes feront aufC egaux entr'eux« 
Xtanc le point 2> par o3 pafle la ligne F£ eft 
lc milieu de Tare <**Z>£ ibutcau par la corde 
<d£+& qt£ilf*Q*it dmtntrer. 

DEMONSTRATION 

Dl LA T&OlflE'Ml IAITII, 

Soit la ligne •€ £ men£e par le centre C de 
circle, & par le milieu 
£ de la corde AB. Je db 
<Jue certe ligne C £ eft 
perpendimlaire a la corde 
4*>& que £©n lapxe- 
longe eUe paflera par le 
milieu de 1'arc ^Z>£ 
fcutenu par ccttc corde, 
i°. La ligne C E (?, fcra 
perpeiidicukirc a la corde AM. *•, Cette lime 
C E paflera par lc milieu de Tare A D B foutena 
par cette corde A B. Car puifque C £ eft _* per- 
pendiculaire au milieu de fe corde AB y cette 
*£mc ligne C £ aura L* j k point B egalement 
dUtanrdcs extremitez A & 3 de cette corde ^f Bj 
& partant les cordes «<f Z> * p B feront eVaks 
cntr'ellcs. Done les arcs AD dc DB &oat 

t'3 Trop. 4. G**. C 1 ] Prop, j. Gw, 

t i. Ctfr * ^ Ax * *> G *°* C4] C*r. *. Prf< «. <?«•• 
H j e FM+ <U I* Fr<f- 1 j. ft* 




i-j% Troijifme f Artie. 

£ x ] auffi egaux cntr'eux. Done la ligne C E 6tsxtt 
"proloiigcepartagera V arc AD B en deux parties 
\egales •, co qu'ilfo&eit demontrer. 

DEMON STR AT' 1- 



N 



OB U QJCJATEIe'MB PARTIS, 




Soit la ligne D E menee par lc milieu Z> de 
Fare ADB perpendiculairement a la corde A B : ' 
je dis que cetce ligne D E cOupera la -corde -*f B 
,cn deux parties ,cgales f 
'& qu'elle paffcra par le 
centre G du cercle. Car 
i°. puifqne Tare A D eft 
cgal a Tare D B y les cordes 
AD 8c DB feront l»] ega- 
les entr'elles'j-^c partant le . 
point D fera \egalement ' 
diitant des extrcmitez A 
8c B de la ligne AB. Pone O. la perpendiq*- 
hire D £ paffera par le milieu E de la ligne A B % 
i 6 '. Cette ligne D E [ 4 ] paffera par le centre C du 
cercle, eoquilfrlloii stemontrer, 

•D E M O N S T R,A TIQN 

OI U CZNQJCTIS'.MX PA&TII. 

Soit la ligne p C menle par le milieu D de 
Tare ADB , & par le centre C du cercle : jc dis 
.que cette ligne DCeft perpendiculaire a la corde 
A B , & que le point £ par od paffe cette ligne 
tC eft le milieu de la corde AB. Car i°. te 
point D fera egalemen; diftant des points ji 8c 

i* Cor.i. Prop. ii. Goo* E*] Prop.tt. Geo : 
If ' Cor. a. frof.** Goo. W Prof. 4. Geo f 




Geometric. 
$ , commc on Fa fait 
voir dans les demonftra- 
tions precedcntes. i°. Le 
centre C eft aufli ega- 
lement diftant des mc- 
mes points A Sc B. Done 
cette ligne C JD fera per- 
pendiculaire au milieu 
de la cOrde A B , ce qutlfalkit demmtrer. 

DEMON ST R A TION 

Dfi LA 'sIXIB'mS FARTU. 

Soit la ligne C £ menee par le centre C d'ua 
cexcle , perpendiculairement a one corde AB : 
je dis que la ligne C £ coupera cette corde A B 
par le milieu E , &- coupera pareillcment Pare- 
ADB en deux parties egales au point D. Car 
i°. la ligne C E fera (') perpendiculaire au mi- 
tyeudc la corde AB^ done elle la coupera en 
deux parties egales. i°. Cette ligne C£ etant 
perpendiculaire au milieu E de la corde A JB, au- 
ra (*) chacun de fes points egalement diftans des 
crtrcmitez A & B; &partant (*) les lignes >tf i> 
& D3 feront egales entr'ellcs. Done (+) les 
arcs i(D &DB feront igaux entr'eux , e'eft A 
dire que Tare ifDB fera partage en deux par- 
ties egales par la ligne droite C £ prolongcc , ce 
ffUfattait demmtrer. 

COROLIAIRE I. 

D'un point pris hors le centre d'un cercle ; 
e'eft a dire , pris entre le centre & la cir- 
conference % ou fur la circonference , on 

(') Part, i. Prof. i). Geo. (*) Prof, y Gee. 
V] Cor. 4. Ax. t.Gce. . ft Cor. t. rrof. ir. 

A* ij 




if o Troifitntt Tdrtli. 

liors lc cercle , par cxempk du pomr A le* 

Kgnes menees a des points de la circonfcw 

jence , par exemple B & C , e'galemcnt 

diftans de paft & d'autrc da point 2> oi £c tcx- 

«iine la ligne menee de cc 

point A qui pafle par lc 

centre r font egaks entr'el- 

kf. Car /) la ligne qui 

pafle par k centre & par 

ce point U eft perpendi- 

culaire a la fourendantc de 

Tare Bi>C aux deux ex- 

tremitez duquel ces ligne* 

A B Be AC font menee** 

Done k points eft L*.e*ga- _^ 

anent dmant de *&deC. DoncrfB=jf Ci 

COROLIAIRE IL 

Done Mciproquement fi ks lign*s. uf B & uf <? 
font egaks entr'elks , fes points B 6c C~ fonr 
cgakment diftaas de part & d'autre de l'extrfc- 
mit£ D de la ligne menee da point A , &• qiif 
paffe par k centre. Parccqu'alors ks points A 
Sc E feront (*) c*gakment diftam des points B 
& C 5 & parta*t (♦} la ligne AD {era perpendi- 
culaire air milieu de kcorde B C> Done [r, fbix 
cxtremite* ou point Z> fera cgakment diftantc de 

COROtlAITCE III* 

Done d'un^ point A pris hors le cemtre eturt 
cercle , e'eft a dire , ou entrc le centre & la, cir- 
conference , ou fiirla circonference ou hors le 

O Prop. f. Geo. [*J Prop, y Geo. 

(*) Suppof. & Cor. i. def. %9J & Cor. iJb. x>G**+ 

W Prof, y Geo. 



. Geo we trie . z8i 

ctrcle , on ne peut mener a cette circonference 
que deux lignes cgales entr'elles j car & on en. 
menoitunej 6 , on la meneroic depart & d'autrc 
des lignes AB ou A C : & partant certe 3° ligne 
ferbit * plus Jongue ou plus courteJDonc on n'en 
peut pas mener trois egales. 

COROLLAUE IV. 

Done fi on prend un point , par exemple T , 
hois ie centre d'un ceicle LF M NH, la ligne 
F L qu'on menera dc ce point F a la circon- 
ference , qui fe terminera d'un c6t£ de la ligae 
FH qui pane par le 
centre , a un point plus 
pres du point H ou fe 
termine cette m£me 
ligne FH , {era plus 
Jongue que la ligne 
FM qui fe terminera 
.dc 1 autre cote a un 
point Af plus eloignc. 

Cat foit pris le point 

AT autant eloigne* du 

point H que le point Z , oft aura ** V X ==s 

FI 5 maisL K ]FAf<FN.DoncFM<FL. 

COROLLAIRE V. 

Done le diamfitre d'un cercle partage la cir- 
conference en deux parties cgales. Pour le de- 
montrer /bit menee a volontt la corde D B , &c 
J>ar fon milieu (bit menee la ligne A C perpen- 
^iculairemertt a cette meme corde j la ligne 




* i e Part- d* U Prof. 10. G*o, 
** Cor. 1. Prof.pref. 
VI 2? Part, Prof. x© # 



A a iij 




iSt Tfifiimc Vtrtle. 

A C paflera* pat lc centre E, & 
nee de pan 8c d'autie 
par la. circon&rcnce 
die (era an diami- 
ne. Or ** les points 
D 8c B fcront au- 
tant Tun qae Tao* 
tre elotgnez des 
points A 8c C i 8c 
partant la corde DA 
= B^f. Done Tate 
DGA—AHB. Pa- 

teillement poifqoe la corde CD = CB 9 on 
aara Tare CLD = CMB* Done [■] les axes 
CLD-+-DGA = CAfB+BHA, e'eft a di- 
re % que toot Tare CLDGA = CMBHA. 

COROLLAIRE VL 

Done deux circonferences de ceicles ne peir- 
Tent fe couper 
qn'en deux points* n 

Car fi les deux cir- *~- 

conferences ABCD 
8c ABCG repoQw 
▼oient conpet en 
trois points A y B r 
8cC , il iaadiak que 
da point £ , ceo^ 
tre da cercle ABCD r 
on pat mones tiois, 
iignes droitet a cesuois points A^ £> & C,q 

* £ Tart. Prtfc jf. Gee. 

** Pr<#.}> Ge*. 

IM Part* i. Pro/, ix. G** s<$» .4*. ^ . jw„ 



I 




Geometric. iffj 

Siflcnt * fgales emr'clles , ce qui «ft pi inv 
po/Bblc j puifque de cc point £ qui eft pris hois 
Jc centre F du cerclc ABC G on nepeut menet 
a la cixconfeience ABCG plus de deux lignes 
dxoites egales entr'cUes* 



PROPOSIT ION XV, 

Jr. Vrte ligne perpendieuUire i une de deux f*~ 

r alleles , eft aujp perpendiculain a V autre pa* 
r allele. 

*• Reriprcxjuement fi deux lignes foritferpendiculai- 
res a une menu ligne droit* , ces deux lignes font 
par alleles enireUeu 

DEMONSTRATION 

BE LA JPltSMXI&S *AftTX*. 

SOient les lignes AB 8c CJ> paralleled enfc 
tr*ellcs , 8c que la ligne B F fok perpend*** 
culaire & la hgncAB : je die que cetre ligne 
E F eft aufit perpendiculaire a l'autre parallel? 
C D. Pour le demontier da point G 8c d'une 
ouyerture de compas GJt prift a volenti plus 
grande que G T foit decrite la circonfercnce de 
cerclc JffSVFML. Du point L foit menee 
la ligne LO peipendiculaireimnt a* CD, 8c 
prolongle juiqu'au point N rencontre de cetee 
ciiconfcxencc. Pateillemcnt du point S fefc 
menfe la ligne S R perpendiculairement a C X>, 
8c prolong$\jufqu*a la renconue F de la cir- 

* Cor. i. deft 

LMCoiv*. F« 

A a uij 



284 TroifUm Vmie. 

conference -, enfuitc du point H aux pomp V & 
H foient mences les cordes HV&.HM. 



A S 



H 



!.»' 



' ,•? 



♦ 



L B 



» ♦ 









P 






jO/Ko 



^-*'H 



/F 



Puifque IN eft perpendiculaire a GM, 
recipjbquement L x ] Ghd eft perpendiculaire a 
ZN ,8c partant l a ] Z O = tf. On aura par le 
meme raifonnement^R = ^P , puifoue in S P 
eft perpendiculaire a G C. Or a caufe des p*« 
xallcles ^ £ & C 2> , la moitic S R de la ligne 
SP eft [♦] egale a la moitie* LO de la ligne 
IN. Done p} route la corde SP = LN 5 & 
partant lei arcs S V P & Z M N font [*] egaux 
entr'eux , & [73 la moide* SV de Tare SV? 
fcra aufli %ale a la moitic Z M de 1'aTc Z Af N. 
Or la ligne EG etant L 8 ] perpendiculaire a la 

L 1 ] Cw. 1. Pr*f. c .*<?«■ [*-] P*ru 1. Prop.iy Geo. 
[*3 Prfr conftruBton. C 4 3 C<w. 4. Pr<p. 6. Gw. 
f '3 Ax. 13. G*o. [ f ] P/Wf. 1. Prop, u. <?«. 



Geometric. ^*8j 

miit JI , otiattrartrarc &L±=:&3 9 fionc 
en ajoutant Fare HL a Fare IM , 8c Tare 
#$'a I'arcSr, onauraC 2 } HZAf=jr^P* 
& partant les cordes [Kl HM 8c HV feront 
tgales. Pafeillement C 4 1 GV=GM. Done la lignc 
£ F aura, deux de fes points , fcavoir H 8c G 
tgalemcnt diftans des points V 8c At. Done 
enfin i *3 EF {era auffi perpendiculaire a la fecon- 
de ligne paxallelc C D y ce qu'il falloit demontrcr* 

DEMONSTRATI ON 

2>I IA »E CONDI PAXT1Z. 

Sbient leslignes^fB 8c CD perpendiculai- 
tes a la rn^mc ligne E F : jc dis que ces deux 
fighes font paralleles fentr'elles. Pour le demons 
trer foit decrke da, point Gk circonference 
HSVPNM'LH y 8c foient menees les mfemes 
%ncs poix&uees- , & de la rnffcme maniere que 
dans la premiere paitie de la proposition pre-* 
fenre, froiique t 6 J les Jignes A B 8c CD lbnt 
pcrpendiculajres a £F, reciproquement FF 
iera perpendiculaire £ SL 8c a FJlf $ & par^ 
tant on aura M TarCj p<? £f =H LM. On aura 
pareillementE'll'arc SH=zHL. Done L*3 Tare 
.SV fera cgal a X Af •, mais puifque «$* P & L N 
font [>3 perpendkulakes aCD, Tare ^ P=rP 
I 1 ] 8cLM = M JST.Donc [*J la coidcS P—LKT, 
Done [°] enfin la ligne perpendiculaire S R fcra 

VI Tart, 6. Prof. 14. Geo. E*] Ax. 4. gener. 

£J] P*r?.i. Prof. 11. Geo. [*JC«r^ i#f. a#. <?**• 

[*j Prof. r. Cm. [•} Suffopt. 

VI Prof. 3, £&» C*r. i. Pf#. n. G«n 

[*3 ,**#. 9. general. r/ j P*r conftruBfonr* 

l°1Ax. zx. general. & Part, i.Prof. iyG*** 



i%4 Troljtfmi Pdtfiel 

tgaie a la perpendiculaire L O j & partant * 
punque* la portion d'une ligne droite (uit ne- 
ceffairemeht celle de deux de fes points , on 
tfauvera que les deux points «S"& L de la "ligne 
A B itant L'3 egalerrient diftans de la ligne C D f 
la ligne -<<B iera pareillement egalement dif- 
tante Ac CD. Done [*]<:esdeux lignes AB & 
C D feront paralleles entr'elleg , ce quil failed 
demoritrer> 

C O R O LLAUE I, 

Done deux lignes perpendiculaires a itatf mft. 
me ligne droite , ou deux lignes parallcles ca- 

t^elles 6tant 
£r6loiig£esne A 

peuvent ja* 
mais conceu- 
iir nulle part. 
Soient les 

deux lignes 

EF & GH — \q 
perpendicu- ** . 

laires aJfP, 1 

ou paralleles D I 

entr'elles , & 



B_B 




que a4 D leur fcic perpendiculaire 5 s'il itok 
' poflible que ces lignes EF 8c GH etant pro- 
longates puffent concourir en quelque lieu du 
itaoqde , par exemple en L , il faudroit que dc ce 
point I il j eut 4eux lignes LB &IC menees • 
perpendiculairement a la mfcrnc ligne A D darts 
on meme plan , ce qui eft tO impoflible. Done 

* Cor. Pr^. 8. Geo. t s J Cor. 5. P*?p- tf.Gto. 
C 2 3 D*/, g r G«i # , I» 3 Cor. 1. Pr*p. f. Geo, 




Geometric. %%j 

ees Kgnffs Ef & G# nc peuvem done fc rencontres 
nulle part. 

cqiL«)LtyviHe ?*. 

Les arcs fD & CE compris cntrc les cordes paral- 
lels $C & ^B/fontcgauxentr'eux. Car frit menf 

F F 

k diametre FO perpenflicujairement a one del 
deux cordes BC on DE. Alois [*) ce diametre F6 
iera aufli perpend iculaire a Taurrc corde , & 
o6me [ J ] fera pcrp^ndipikire a Tune & a Pan- 
ire par leux milieu. Outre cela [*J ce memc die*! 
inerre FGcouperales era MC & ©G1 chacun en 
deux parties £gaics v e'eft^-dire que MP = Fc 6c 
-que DG as= OE, Si a i'aw: 0F on ajpute E>G tftrrie 
part ,*& ii a i'arc CF on ajoutc GEd'uue aurrc-parti 
On aura BF ft- Z>G a^CF -*-££,& [♦] j» arc tnt ^ f 

0TO<3 = F£C? f ^ertanobotts d^une part £F *+r>G 
*c -de l-aucre parr CF*f-FG 5 les arcs^ZVft CE com> 
^ris emrc les cordeypajaliefci BC & Vf , refteiori* 
4^]-%auxentr^px t 

a ] PiirA i. Prof, ij, Gton. 
f ] Part.V. Pfif. 114. *<*#«*, 
4 ] Cw. f. Prop. 14, <?<w. 




1 9 1 Tfifitm f Artie, 

COROtLAIRE III. 

Unc ligne touchante paraliele a one corde <k 

'ccrcle, divifc en deux parties eg ales par lc point 

i'aapuchepient Tare foutenu pax ccttc corde. Soit 




"ja ligne touchante AB paraliele a la corde. CD : je 
. dis que Tare CFD foutenu par certe corde eft Sdiviw 
en deux jparties egales par le point d'artouchemetfc 
F. Car loic men6 le rayon £F du centre £ a ce 
point d*attouchement ?. Alors le rayon EFiera [*] 
perpendkulaire a Ja touchante AB - t ce mfcne tajon 
f JET , (era done [*] auffi perpcndiculaire a la corde 
£!>,& parragera[*]en deux parties egales , Tare 
CFD au point d'attouchement F , qui eft audi. on 
point de la touchante AB. 

COROLLA IRE IY. 

* 

€)n peat tirer de cette proportion line Bie 

[*] Part. %. Prof. u. Geo. - 
M Part. j. Prof. frif. 
?, j Prof. i 4 . Geo. Part. 4- . 

thode 



f 



%5i*mttrie m 289 

thode ptfur metier par un point donnc hors 
d'une ttgrte donnle , une ligne parallele i cctcc 
ligne doiuicc. Ex on pcmt s'en fcrvir fore com* 



< 




»od6mertt ; ptincipalemcnt daiwles Seffein* 
d'Archite&vure civile , ok railitaiie , forfqn'il 
tfagit de mener uae ligne parallele i, unc au- 
tre ligne par un point 3onne\ Soit par exem-* 
pie le point *C donnc* hors la ligne AB , par 
lequel point G on veut mener unc ligne pa- 
rallele a uf B. II faut prendre unc regie de bois 
X> E avec unc equerre LH M d'une affez bonne 
£paiiTeur , parcequ'on s'en fcrt avec plus de 
juftefle pour mener les lignes nepefiaires j on 
applique d'abord le c6tc* H L de cctcc Iquerre 
fur la ligne AB y par exemple deF enG,& 
onpofc la regie DE le long du c6te HM dc 
cette 6querre. Enfuite retenant avec une main 
b regie Z>£ toujour* dans la m^mc fituation* 

Bb 



ljj£ Trtijttmt Pjtrtie. 

mrcc I'iOtre main on fait glider 1'jquerre Je 
long dc cetre regie DE jutqu'a ce que le point 
C paroifle ; cofin on rnene la lignc H C , qui 
eft * U ligue paralklc qu'on cterclioit, 

t tsrt. t. Prf- Tnf. 



Geometric. 191 



PROPOSITION XVI. 

». Les caries de cercle igalemenf eloignees du centre 

font e* gates entr elles. 
r %, Reciproqu&ment lerfque les cordis de cercle font 

igales entr elles', elks font Sgalement eloignees du 

centre . 
3. Le diametre a*w% cercle eft flue grand que chi- 

cunt dec autre* cordes apt on feut mener dans ce 

cercle, 

DEMO NSTRATl'ON 

De la premiers partis, 

SOient ks cordes AB & CD ^galemenc 
eloignees du centre E du cercle ACDB : 
je dis que ces cordes font igales cnrr*elles. Pour 
1 le demontrer- foit mene* pax le centre £ le dia- 
metre FG parallele a la corde AB; par lemg- 
me centre E fbit encore mene le diametre H L 
parallele a 1'autre corde CD. Du centre £ fbienc 
menses les lignes EM 6c EN perpendiculaires 
aux cordes AB & CD - t ces perpendiculaires 
feront [*] les mefiires des diftances du centre 
ices cordes. D'une des extremitez d'une des. 
cordes AB ouCD, par ezemple da point A 
foit men£e la ligne AS perpendiculairement ai 
diamfctre FG 7 & cctte ligne AS foit prolonged 
jufqu'a la rencontre de la circonfercnce en P, 
Hnnn d'une extremite de 1'autre corde foit 

• 

Bb 1, 



iji Tftifiifou Vmit. | 

mxatt la ligne DR perpcndictilaire fir fc «Hj. ! 
metre HI, & ccrtc ligne J>fl foit prolonged 
jofqn an point o rencontre <Je la circonference. 




Fuifqnef*] In distances EAT & E JTJaceni- 
we a ccs ccrdes lout cgales , les perpendiculas- 
res A S & Z> R ieront [*] aufli cgales , e'eft a di- 
ie , [•] que les cordes entities A P ftDO 'fc 
ront egales.Donc [♦] les arcs AFP & DXO feronr 
(gam : & enfin [ ! ] leurs moitiez -ff & Z>£ Ie- 
ront cgales encr'elles.Or puiique A t eft perpen- 
diculaire au ifiaroeire FG , reciproquemenc CT 
fera [*] perpendkulaire iAP,Sc rneme[*]par- 
tagera Tare ATP en dem parries egales a» 
point F; par lc meine raiConnemcnt le diame- 
tre HL partagcra l'arc DIO en deux parties 
cgales au point X. Puifquc nous venons de 
dourer one les moitiez de ces arcs qui font AT 
Sc DZ font cgales encr'eHes , il eft conftanc 

f '] Suppcjit. ['] Cur, 4.-Pref-£. & Dem. j. ga, 
['I Part, 1. Prof. ij. Geo.& Ax. ij. gen, 
[*] Cor. t, Prof. ii.Gn, [*] Ax, u.gtn, 
[*J Cor. r. Prey, f, G». 
I r J P*rt . <, Prvf. 14. G*r, 



Geo me trie. 29 j 

qa'en ajoutant a AF Con cgal [ x ] BG., & en. 

ajoutant a D L fon cgal if C , on aura [*] la 

iomme des arcs AF-+-BG=DL-t-H C. 

: Mais Tare FTG eft | *] one moitie dc la cir- 

* conference , qui eft egale. a l'autre moitic U7L. 

: Done en 6tanr AF-t~BG dc Tare FTG y & otant 

i D L-+H C de Tare HVL, il reftera l'aro [ 4 J 

^r5=CK£>. Done [*] les cordes A B 6c CD 

(eront egales entr'clles, c« quilfattoit demon trer. 

DE MONST RATION 

BE LA SECONDE PAKTIE* 

Soient les cordes A B 8c CD c*gales en'r'd- 
ks : je dis qu'elles font egalement e*loignces du 
centre E > e'effc a dire [ 6 ] que les perpendiculai- 
rcs E Af & E N font egales entr'elles. Pour le 
demontrer , apres avoir men£ les perpendieu- 
laires EM & EN , foient mences les autres 
lignes FG,HXi-4P,DO comme dans la pre- 
miere partie de la propofition prefente. 

Puitaue [ 7 J AB = CD , les arcs ATB & 
CVD teront [ 8 ] £gaux entr'eux$ mais pj Tare 
F T G = H V L. Done otant d'une part 
Tare ATB 8c otant de l'autre part Tare CVD y 
il reftera [ 4 ] la fomme des arcs AF-+-BG=HC 
■4- L D 5 mais [*] les m®itiez de chacune de ces 
deux fonimes d'arcs , fcavoir AF 8c DL ieront 
egales entr'elles. Done [°J deux fois A F , e'eft a 

[ x ] Cor. 2. Prop. is. Geo. [*] Ax. 4. gen. 
*\}"\ Cor.$.Prop.x^. Geo. [♦] Ax. $.gen. 
[* J P*rf. 1. Prop. 11. G*o. [*] Cor. 3. Pfvf . tf. G*7. 
t?] Suppofii. C 8 ] Cur. a. Pr*p. 11. G*<?> 

[ 9 3 Cor. z. Prop. if. d» Ax+ ii.gewr. 
(°) -rf*. 13, gen. & Part. 6. Prop. 14. Geo, 



194 Troifi/me Ttrtie* 

dire > 1'aic ASP icra egali deux fols 2> E qui 
eft Tare DIO: or puifque les arcs AFP & 
DIO (one egaux entr'eux , les cordes A P & 
J> O feront (') £gales entr'clles. Done les ligne? 
GF 8c H L rnenees par le centre E T & par le 
milieu de ces arcs AFP & DLOi*) ferontpcr- 
pendiculaires par le milieu de ces cordes -> & 
parcant (*) les perpendiculaires AS 8c D R fcroni 
egales entr'ellcs. Or. (♦) la perpendiculaire AS 
=EM , & la perpendiculaire RD=EN. Done 
l*> la perpendiculaire E Af =E N j done les cor- 
des egales A B 8c CD feront ( 5 > egalement cloir 
gnees du centre E y ce quilfalloit demmtrer. 

DEMONSTRATION 

DI LA TROISIl'lil PARTII. 

Son k diametteTr > jedis que ce diamtt* 
eft plus grand que 
•ourc autre ligne 
TZ meneedansle 
cercle , it terminee 
departdc d'aucrei 
la circonference, 
Four le demonrrer 
foient menez les 
rayonsXr&XZ; 
fi eft conftant *3 

que rx=rx , 

&que VX = ZX*D<mcl*]TX + XV=:rX 

( l )P*rt. !• P^ ii. Gee. (*} Part. f. Ptof. i+G** 
(*) Part, i, Pre^ jv e£» Ax..iz*f/aK 
{♦) Car.. 4. Pnp. *. Geo. (*) Demande x. jwr. 
(*) Cor. ?.Pr<p» 6* <5i«* L*. C*r> *. JSfr*) 9 G*i 

l^AXi + gm. 




Geometric. 19} 

+ XZ. Or F x ] TX+X2> XZ. Doric [>] le dia- 
metrc TXV ^> XZ , ce qutl falloit demvntnr. 



PR O POSITION XVII. 

I. Les corde s de cerele lesplus proches du centre font f las 

grundes que celles qui en font plus iloignees* 
%. Reciproquement lerfqu'une corde de cerele eft pins 
grande qu*uhe sutre , telle qui eft plus grande eft 
* flusjprocbe du centre que cetle qui eft flus petite. 

D E M O N S T R A T ION 

DI LA PR£MIUE PAR T I 1. 

Soit la corde BF plus prochedu centre A , quel*' 
corde CE : je disque'cetre corde BF eft plus grart- % 

de que la corde CE* pour le-de*- 
moncrer', ]t rnene du centred la li- 
gne AG perpendiculaite.a la corde " 

^U BF > & * a ^g nc ^ L perpendicu- 
J - larre alacordeC£;cesperpendicu- 
E> hires AG& AL fcrortt [*] lesdifc 

ranees des cordes BF & CE. La diftance At fcant- 
M plus longue que AG , 'fen retranckcrai la parrie> 
tftt egale a -rfC , & par le point H je menecai la* 
corde MN perpendiculaire a ./*£. Alors lescordes BF 
& AfN (eronc.[ 5 J egales entr'elles. Or la corde MS 
itsLtit fotiteadante de Tare MDN y fcra [*] plus gran- 
de que la corde CE qui eft foutendante de Tare plus 
petit CVE. Aii 4ieu dc h&k prei^ant fon £gale iF , 
je trouverai done que la corde BF qui eft plus proche 
du centre A , eft plus grande que Ja corde CE qui en 
t& plus cloignee , ce quil falloit demons er\ 




Demsnde i, gen. 



, fi 



Snppofition. 
5 T P*rf. i. prop. 1 6. Get! 



Cor. x.irop. *. 6*. % ['] ***• t-F'f- u .6*. 

Bb m j 




a$S Trot fie 'm Ttrtie* 

DEMONSTRATIO N - 

BS LA SECONDS Pa*«I*. 

Soit la corde AB plus grande que CD : je dis qoe 
^B eft plus proche du centre E que U 
cordc CD. Car AB ne peut fore qu'eu 
ces troisfituations, fcaroir 9 plus F*°nl 
eke du centre £ que la corde CD , otr 1 
autant lloignee que la corde CD , o^ 
enfin plus cloiguce que la corde CD. 
Or AB nc peut fare autant eloigned du centre £ que 
CD. Car -4B fcroit ['J cgale a CD , ce qui eft conrre 
la (oppofition. AB ne peut cue plus Aoigule du cen- 
tre E que CD * car cctre corde AB feroit f*] plus pe- 
tite que CD, ce qui eft encore concre la (apportion. 
La colder AB qui eft la plus grande , (era done plus 
proche du centre £, que CD, re q* 9 Uf*lbit Uvrntrtr^ 

PHOtOSlTION XVIII. 
Deux circonfertnees de cmlet %u*pt coujjent, pa qtuft 
Uucbent interieurement x nout fas IflpSme ttntn. . 

. DEMONSTRATION. 

SOient les eUconferenfes dec ccrcles ~£EC $c BFD 
qui fe coupent , ou q«i fe touchem an point B * fi 
dis qtr*aucua point, paresempie le point A ,ne pent * 
lire an cent** cowumn a ces deux cerclcs, Four ki 
» B 




Hemontrer, de ce point A (bit iriehfe au point <fe 
rencontre li ligne at otte j£B , & du nttnie point- (oit 
encore menee une autre ligne 4QD qju-fe m- 

mine # 



1 



Gemelrie. w 

nine a la derniere circonference. $*U e*toit po£ 
fibk que ce point A ffit un centre commun a ccs 
kux eercles, les rayons ducercle BFD feroient 
Sgaux aux rayons du cercle *EC , & partant I '] 
pn auroit AJ> = AB. Pareillement [*] AC fetoxi 
teal a AB. Doncp] il faudroitque kligne ^D 
fur cgale a AC^cc qui eft [*] impoflible. Done le* 
Qercles .dont les circonferences fe eoupent ou 
ferouchent inteueurement ne pcuvent avoir it* 
centre commun , ce epta f allots demontrer. 

COROLLAIRE. 

. Done deux ,circonferences de cercle* qui one 
le meme centre , ne peuvent fe couper ni Je tou- 
cher, ^ar fi cllcs pouvoient fe couper ou fe tou- 
cher, ces ccrcles [♦] n'auroient pas lem&necen. 
*re , ce qui eft cqntre la fuppofition. 



PROPOSITION XIX. 

• * • 

ZtJjgne droise menee far les centres de deux «r- 

cles dons les circonferences fetouchent, paffepar 

? attouchetnent on rencontre de ces cir conferences. 

| DEMONSTRAT ION. 

■ fcOit la ligne AB menee par les deur centres 4 
;,T &C des deuxcercles BDF & GBHD u ** 
;. «» que cette ligne A B J>r6iortg& 9 s'il eft ncT 

lf]Gor.i.def. i 9 . G«>. 
r] «<**. i%. general. 
l/]4x.i.gen. [*]Fref,trf . . 



|«# Trnficmrfdrtlf. 

cedaire, paf&ra par rattop d aanenc 2> des dfU 
conference* de ce* .cercks* Car £ on confideie 
k centre Rename on pointpm tattle cenee 
C da cccdc HO G ff, k ligae,*J> qui paTfc pv 
k centre Ceft[ l ]k plas coarse ic touts cdies 
ca*on pent raener da point iih effcaafe* 
senee da ooelc *Z>6 J; Bone cette Mgtie & 
temvne a rendroit de cette circooterencr 
jS^^^»9* eftJcphi*pmkedecc.ccjttrc..A 




©r rendroit de cette conference fwxcnantf 
GJFK&qut eft le plu* ptoefce da centre A eft 
i'anoacheinieBr &,.Puifi]ae ks^uconferances qui 
£ taachent r fe remcoatreBt dc tette forte <pie 
rune n'entre point dans le cock dc Vaunt. 
Done k Ugne AM qui patfepar les centres <k$ 
circonferences FDE & HBGD qui £c tonchenl 
jafib parttutoadiciosnt, t*f»it f*Um*4mmh. 

XORaHLAUE 

pone Fattouchemenr de dew circ^mrcrenceJ 



['] ftrt.i. mt*9.<frt* 



Gcomttrie. * jot 

Ttk ccrcfes it*cft qu'un fcul point.Car fil'attouche- 

jtncnt D,par exemnk,conniroit en pluiieur? points 

qui nkfent xommuns aux deux circonferences 

FED&c HDGB y on pourroit rnener de ce points 

a la circonference.H DGB plufieucs ttgnes qui fe 

termineroicnt a ces points cpmmuns. Done 

['J ccs lignqs ,(croient egales a la lignc AD qui 

clt partie-de vf 5 laquelle paflant par le centre , 

paue [*] par ratcouchement. £>onc cecte lignc 

AD nc icroit pas la pkis r comstc de touces , 

puifque ces autres lignes menees Ju point ^ a 

40cs points cooEimuns lui feroicnt .egales. Or 

cette lignc ^D eft (*J la plus qourte de toutes 

relies qn*on peut mener da centre ^f a la circon- 

/erepce &DGB. Pone raaoucbement p n'eifc 

qu'un feul point* 



;q*j 



PES ANGLES 

r 

RECTI LIGNES. 



V ROP OSJTION XX. 

jjs mefure stun angle re&Uigne eft fare decrit 40 
fonfommet& comfrk enttefes citefc 

P El/LO ^ STRATION. 

SOit Tangle rectiligne GCD: je dis que & 
mefure eft Tare G D compris entre fe$ c6iec 

. [»] Cor. x. dif. 19. Geo. [»3. Prof. fref. 
LKt*rt< x. f top. * Gto. 




jpl Troifiimt fdttU^ 

CG6z CD y Sc decrit dc fonfonamet C pri* p*9t 

centre, Carconfideronsla lignc CQ -— <■«—**• 

fur CD, & qu'en- 

fiiite cettc lignc C G 

foit muc ycrs £ , oa 

bien CX> ws F au- 

tourdc kur extremist 

£xtC y afinquecette 

lignc parvienne dant 

la fixation CG, k 

mint G en s'ecarta** 

an point D , Ott k point D «n s'ecaxtajit d* 

point G decrite Parc£> Q qu en Oj fcraoommt 

ja trace oa k **ftige. Done fare D G /era b 

jinefiire de Foumnweott ccartfcgaem 4e l'angle 

fa C D >ce stpfilfdUitiemwttrir* 

jCpKPLL A I * E I. 

pone chaque angk droit a pour meiare 99 
quart de circonferex^ce -de cexcle. Spit U lignc 
JC perpen- 
diculaire a la 
lignc .^£5 da 
point C fi>k 
decrit Tare 
de cercle 
3BGFHDqpi 
eft[ a ]unedc- 
mie circonfe- 

xence, II eft :*] cdnftant qne k point f eft 
Igakment diftant des points & & 2) 1 & partaur 
ks cordes B F & FX> fan* ( 4 ) igaks , les arcs 

PI iC^r. 1, 4if. 3. G#^» ?*] C*r. $. Pttf. 14. G** 
[ '] >/ tf .' 3. G". (♦) Cor. 4. ^. v ?ff* 




Gc&metrie. joj 

! f Gt & JHD feront (*) airfli eVaux entr'eux. 
f Or (*) BG F eft la mefiire de Tangle droit BCF< 
Pareillement Fare FHDeftla mefure de Tan- 
gle FCI> , & les arcs BGF Be FH Detail 
: egaux, font cbacun la moitic de la moitie d'une 
circonferencc. Done les angles droits B C F & 
2CD onr chacun pour mfefuie uh quart dc cir- 
conierence de cercie. 

CQROLU1U II. 

Cone on connoicra Tegalit* ou inSgalite des 

togles seAilignc* par Tegalite ou megalith des 

arcs compris entre lews cotez decrits de lews 

fiointes on fommets a la 

ineme ouverture de conv- 

pas prife a volontc. On 

eonrioitra pax excrnple , 

que Tangle ABC c& plus 

petk que I>E F , £ -Tajc 

AC eft plus petit que 

I>F , l*un & Tautre arc 

cunt diaries a meme «u- 

Tenure de compas 5 & fi 

Tare A C etoit cgal a larc 

D F , Tangle ABC feroic 

egala&SF, 

Reciproquementlorfqu'un angle eftegal a uri 
autre,rarc qui en eft la mefure eft £g a l a Tare qui 
eft la mefure de Tautre,lor(que ces deux arcs font 




legaux • enfin Tangle qui 
grand a le plus grand arc pour mefure. 

C) C«.x. Pref- "rG#*. C) Prop.fref. 

Cc i) 



jo 4 Troijleme Paiifc 

COROLLAIR.E lit 

Ptiifque les Mathematifelens font convenor 
emr'eux que la divifion ordinaire de la cjjrcon- r 
fcfence d'un cercle feroit de 360 parties egaks 
qtrils one appellees degtez 5 il fait du Cocollaiie 
premier de la Propoiition pretence qu'un angle: 
droit a poor melure un arc de 90 degrez. 
Done {Out te% angles droit* font 6ga«x en- 
tz'cux, parcequ'ils ontckacun la menie mefure, 
Puilqu'un angle obtus eft * plus grand qu'un an- 
gle droit , il aura pour melure an arc de cercle 
pits grand qu'un quart de circonference , c'efl 
a dire , plus grand qu'un arc de 90 degrez. 
Enfin puifqu'un angle aigu eft plus petit qu'un 
angle droit , il aura pour mefure ux% arc (ta* 
petit qu!un arcde 90 degrez, 

COHOLLAUE rv. 

m 

0onc ileft facile de faire un angle re&ilighl 
^gal a un autre. Soit par exemple Tangle 
ABC , & que fcr la liene F G r on fe propofe 
de faire un angle egal a, Tangle A BC\ & dont 




* Z>ef. xj. Get* 



Geometric* joj 

lr Conumt fin* an point if. On dccrira des points 

3& H des axes DNE&XOAfa rn£me ou- 

Torture de c©n*pas*enfiiiteon ouvrira le coropas 

.dp point £ au point I> , & on tranfportera cettc 

ouverturc fur Tare MOL de M en £, & enfin on 

, menera par les points H & £ la ligne H X : je 

,di» que I'angle LHG=zABC m Car apre* 

avoir mene les cordes ED &ML T on troupe 

ou'elks font egales entr'elles r 1'unc & l'autre 

ctant mefuree par la merne ouverture de com- 

pas. Done * les arcs DNE &X OM font audi 

fgaux emz'etix -, & pawant [*1 A& C = £H £*„ 

COROLLA I RE V. 

Chi pent titer de certe proposition une ro?~ 
diode pour partager'ou couper geometrique- 
ment an angle en deux parties Igales. Soit l'an- 
'e utf B C j, pour 



t 




partager en 
deux parties 
egales on deeri^ 
radufbmmetl?; 
d'une intervale 
(Mi ouTerture de 
compas *pri£e a; 
tolonte Tare 
AFC. On me- 
nera la corde 

AC , eiuujte on 

couperai/icette 

corde en deux parties egales au point Ej & da 

point ft par 4c point £ milieu de ce te corde , 



* C&r* z. Vrcf* n. Geo* 
\?l Cor. \- fro}. *>.<*** 



Cc iji 



jo* Trcifi/me Tdrtit. 

cm menera la ligne BD : je dis que l^.ngfe 
ABD=DBC -, &partant que la queftion eft 
refotae. Car 1'arc u* F qui eft I 1 ] la mefure de 
cct angle XBDeft L»] egal a i'axc 6 W mdfiu^ 
deTangle D^C 

COROLLA1U Yt 

On troupe par le moyen dn Cerollaire /« Jc 
la Proposition prefente , une methode poor di— 
vifer un angle geometriquement en parties cga— 
le» 4 , *, itf, &c. en continuant a divifer endeoac 
parties egales chaque panic de cet angle. 

jtrBRTISSEMENT. 

Parcequ*bn; n'a pas encore trouve one c«- 
flfode pour divifcr on angle afec la regie & lc 
compas en un nombre de parties Igaks- pris it 
volonte ; par cxemplc en $ , j , 7 f 9 , &c. ^eft. 
pour cela qu'on fe contentew dlndiquer la di- 
vision unvante en forme d'obferratien j car oro 
n*y reufCra pas par des voyes geoaietriqaes v 
joais ftulement en cheichant ou. tatennanr*. 

REiiARQ^Ut 

Pour di vifer la circonference d'un cerde $* 
jtfo parties Egales ou degrez 5 

i°. II faut divifer la circonference du cercle- 
donnc* en deux parties egales entr'elles par le 
imoyen d'un diam&re 5 chacune de ces moiriez 
yaudra i«o degrei , ptufque lc coat en yaut 360^ 



Geometric* jo^ 

&V II taut divifer chacune de ces moitiez e» 
deux parties e* gales : chacune de ces parties ega- 
les vaudra out contiendra 90 degrez, ce qui eft 1*. 
4 C paxtie de la circonference/ 

$? m I\ faut divifer ce quart de cercle en troiff 
parties egales : chacune de ces parties raudra oir 
contiendra 30 degrez, on t ranfportera enfuite ces 
3. parties fur chacun des 3 autres quarts de cercle^ 
4 . II faut di viler une de ces dernieres paf- 
ties en trois autres parties Igales , dont chacune 
contiendra io degrez , & tranfporter ces rheme* 
parties fur le refte de la circonference avant 
que de changer rouverture du compass 

j°.Il faut divifer chacune de ces dernieres parties 
est deux autres dont chacune comprendra $ de- 
grez. 

«°. Enfin il faut divifer chacune de ces* der- 
nieres parties en cinq autres parties , dont. una 
ftant tranfport£e 360- fois fur la circonfereace / 
determinera ces 360 degrez ou parties egales. 

Un cercle ou une circonference de cercle di-* 
•v-iSc de cette forte , fervira dlnftrumenr pour 
connoitre non feufement chaque partie de toute* 
autre circonference , mais aufli pour conxioitre la, 
grandeur des angles- 




C c fy 



jo» Troiftime TtrtU. 



ta»«b 



PROPOSITION XXI. 

J, Vne UpH droite rencontrant une autre Ugntr 
droite, forme de fart & d autre deux angles $* 
font, pit enfemble Jgaux a deux droits, 

2, Recifroquementfi deux lignes droites rencotttrent 
une autre ligne , & forwent avu etle deux an- 
gles r qui >fr'u enfemble +foient egaux * deux 
droits , ces deux lignes droites qui feront particu- 
lieres a chaquo angle ne former ont qpfune fetde 
ligne droite* 

DEMONSTRATION 

UN« ligne droite en peut rcncontrer mc 
autre en deux maniexes > ou perpendicular- 
jrement on oUiquernent. 

Si une ligne droite en rencontre une *urre pep 
pendiculairement > il eft conftant au'elle form* 
avec elle deux angles pris enfemble egaux a dcur 
droits ,, puifque 
chacun eft [U 
droir. 

Mais fi une 

Jigne, par exem- 
pleufi>en ren- 
contre une autre 
BFoMiquement 

dans le point Ai Fp 

jc dis que la •* 

fcmrne des angles BAD & DAE eft egale £ 
deux angles droits. Pour le demomrer fiwt wCr 

L*3 Z>//„ 14. Geo* 




Giifmetrii. 3©jr> 

fc& £*rtemcme point A la ligne C J? perpen- 
dicillairement a B E j il eft evident que la fonv- 
m e des angles BAD & DAE a la meine ou- 
ye*ture que les deux angles droits BAC ScCAE 
pris enfemble. Done * les angles B^X> & D A K . 
oris enfemble font egaux aux deux angles droits 
B u€ C & C A2 , ce qu'it fidkit dembntrer. 

D £ M O N S T R A f 1 O ft^ 

Saient les lignes droites ^ B & D B qui ren- 
contrent la ligne C B au point B , de forte que ' 
les angles ABC&C&D pris enfemble foient 
egaiix a deux droits : je dis que ces lignes AB 
& Z>B ne feront qu'une feule ligne droite, e'efli, 
a dire que la ligne droite A B ctant prolonged 
paflera par B D , ne pouvant pafler par atlleurs. 
Car fi cette ligne droite pouvoit pafler par ail- 
leurs , ce feroit de part & d*autre de &D , par 
exemple par B E oupar B F. Si cette ligne AB 6- 
writ prolongee paflbir par BE„la ligne ABE feroit 
une ligne droite* ^ 

& partant C*3 Tan- 
gle CBE- ' zrec 
C i} -^ feroit la va- 
leur de deux an- 
gles droits. Mai*, a tj ....^ *Q 
[*] pareillement *^ .F 
i'angle C B D avec le meme angle CBA fair 
aufli larm£me valeur de deux angles droits. Done* 
l J ] Tangle CBD feroit egal a Tangle CBE,ce 
q*i cftfL+3 impoflible. Done la ligne AB &anr 
protorngee ne peut pafler par BE. On derrtpnr* 

* C<jt. i. Pr<#. io. (7^. 
1 in P*rf. i. Pr<^ ^h?/". _[*T SMfpofit. 
\ ^3 -<**• j, gmerd. I*} Ax. i, #*„ 




tarti 



B 



*tb Tnlfiimi Pdrfit. 

oera it la mtfnt nunicie que A B £tant p nw 
longee nc pent pafler par B F. Done cette ligne 
Jt B pafTera par BD , c* atil fiUUit demmHrtfi 
U luit tiois Cotollaiies de la premiere paitie 
4e la Proposition prefente. 

CQRQLLAIRB I. 

Si one ligne droicc ,. par cxcmple AS , je** 
centre one atftre 
ligne dioitc C2>, 
dc {one qu'elle for-*" 
me d'ane part on 
angle ABC qui- 
loit droit; 1'autre 
angle ABD fern 
aofii droit. Car 

fes dear pris enfemble font egaux £ deux droits, 
&on enconnoit dljaanL* qui eft ABC. 

CO-RO'ILArlfcE II. 

/tousles angles EFG,GF£T, HFM.MFN 
pofez du mime cote d'unc ligne droite , par 
exemple £ N ,,dan» 
tin m£me plan , 
& qui ont tous k 
mime fommet F, 
font Igaux i deux 
droits. . Piufque «.*] 
les angles &FE& 
HIN font egaux i 
la fomme des an- 
gles t*G y GTH\ HTM, MTX j & qqeles 
angles HFE&pFN fontLaenfemWe cgaux 
a deux droits. 




4Sc*mttri<, 
CO HOlI, A I H. B 



W 



HI. 



1 

: 'Done cnfin ^>wl4cs angles pofGbies tutooc 

,du m^tnc point P & dans^un income planiba^ 

<pris ej^Cembl^egayr 

^a qaatre angle? 

droits, £arceque 

la. fbmme des an- . . 

^lcs £oCsz d'jm 

mime ' cj6t£ de la 

^ignc OR eft cgale 

A deux droits \ & 

la (otntac des au- 

'tzes angles pofet de l'attce d>t£ de cctte lkne 

d*pioe eft aufli^gaie a deux droits ; ce qui!** 

jour la foaime totale, quaere angles cfcoits. 




j> k O S # S I T I p tf ;jcx u. 

4*. !>*** £g»#* te; ^wi fe coupent ferment k$ 
angle* tfpofefywfimmtf.tgaux ent/eux. 

\p\ mtctfrofftement fi fu*trs kgttes droit** fe rm~ 
centrtnt dsns un point > de fort* que Us angU$ 
epppfep tufommetfoiem igtmx entr'tux, ces git** 
trt tiffM* m faontyutdtflx ligtus droit*. 

DEMON S-TRA TlOS 

* * » • - ... 

SOient les deux ligncs dtoites y*,B $ CjD qtyi 
& coupen? lime rautre dans ie point £•: je 
dis que les angles AED & CMB qui font 
^ppofez au fpmmet fontte^px cntt'eux> $ <jjie 




i*i Tnifiime Turtle. 

parcUktncnt les angles AEC&DEP aoffijy 

pofe* par lc fommet 

font cgaux cntr'eux. C 

Car Tangle A£B5c ^ 
•fangle ,4 EG font 

[ l 3 egaux i deux 

droits i pareillement 

r angfe C£B & le 

rncme angle AEC 
• oris cnfemblc font 

egaux a deux droits. Done £*} Tangle AED dk 

egal a Tangle C£ E. Or ces deux angles foot 

oppofcz par Je fotnmet , & x>n pent demontisr 

la memc chofe de la meme maniere a Tcgafd 
'des angles u*££ & DE£. Done les angle* 
. oppofcz an fommecfoncigaoxeacr'ettx , cc f*'jl 
fdUit demmtrtr. 

DEMONSTRATION 

PI LA SJCONDE PA|TI|. 

Soient les lignes AE 9 D£. CE, BE qui 

' fe rencontrent.du point E , de forte que Tangle 

AE C foit teal a Tangle D££ qui jui eft op- 

pofc parle tommct, & que Tangle, if £D &ic 

egal a Tangle CJEB : je dis que les lignes <4£ 

6c EB t CE6cED ne font que deux lignes ckoi- 

tes. Car puifque C*3 Tangle 4fEC = DEE, fi 

on ajoute d'une pan Tangle AED & de Tautrc 

Tangle CEB, on aura L*l AEC*+AED*z 

D E JM-.C EE« Mais **] laibmme de tjes.quatre 

angles qui pnt leur fommet dans le point £ vaut 

l x 1 Psrt. r. Prtf. ai. <**#. [*] ^x. /. $**. 

{'JCtr.j.JVjp.ax.G*. 

quaere 



(Stometrit. jij 

"qtfatre angles droits. Done AE C-+-A E I) en 
■va-udr* la moitie , e'eft a dire deux droits. 
Done * les ligr.es C E icED nc fcront qa'une 
firule ligue droite. On trouvera par un railbn- 
nement fcmMable aii precedent que A E D -+» 
I> EB=iEC + C'CSiS; parranr que ^ED 
— 1— DEB Com la moitie du total , e'eft a dire 
que i<ID+B£l font egaux a deux droits : 
Sc que * les lignei A E & E B font une fciilc 
ligne droite. Done enfin ces quatre Itgnes nc 
font que deux lignes droites, ce %n'il falloit di- 



* TSrt, %, tup. xi, Gta. 



3»4 



Tmfiimt Twttiel 



■■■ ^i 



PROPOSITION XXIII. 

i°. Si d*ux lignes f*f*llcl4sf*nt couftes fsr mne 
tfifieme lips* dreite , Us nnghs *l$*rnts intern** 
frnt igsmx tnWtux. 

x°. Recsfr*quem*ntJ! deux lignes dniter fmt ***. 
feesfsrun* tr*ifiem* , &fi Us angles alternss in- 
tern** font ipmxtntrmxi us deux Ugnes dr*i-r 
Us fermt fartlleles entr'elUs, 

D E M OK STRATION 

01 la FxiM^ti Partis. 

DEux lignes paralkles pcuvent £tre couple* 
par une troificmc ou perpendiculaiiement 






sxft>6 











^O 



y 



ou obliquement. Sidles font couples perpendi- 
culairement , il eft conftant * rioa fculcmcjit 

* P*r/ # x. trof. jf. Gee, 



Gctmtrii. $i} 

que Its angle* altemes internes font igtvtx en- 
tr'cux , mais auffii que let kuic angles qui (one 
fbrmez par ccttc interfe&ion font cgaux cn-» 
tr'eux , chacun a chacun $ Car tous les angles 
droits fontf'] j£gotrx'Cntr'eux. 

Mais £ de* lignes droitcs , par ezemple let 
lignes A Bite CJX paralleled enu'ellcs , font 
couples-obliquement par la iignc E H ; je dis 
que les angles A.G F & GFD altcrncs internes 
font egaux . emr'eux. Pour le dcrriontrej , des 
points F ^ £ j>ris pour centres & de l'inter- 
Vale FG foient decrites les cicconierences de 
ccrcles egales G sy OR & f4.*P T. Enfuite da 
point Fioit menec'F £' perpendiculaire a AB t 
£c prolongce . jufques en H-\ & du point G foic 
rnence GN perpendiculaire a C D , Jc prolon- 
gee jufques en O, 

Puifque F Af eft [*] perpendiculaire a G P, re- 
ciproquement [*] GP eft perpendiculaire aFAf # 
Done CrP coupe FM en deux parties egales, 
& . [♦] coupe pareillement 1'arc Af P F loute- 
nu par cette corde F M en deux parties egales 
au foint P. On dira la meme chofe £ 1'egard 
de la ligne F R , de la corde G O , & de Tare 
GRO. Mais a caufe des paralleles AB & 
CD y les perpendiculaires F Z cgale a la aioi- 
tie de F Af , & 6N egale a la moitie de GO 9 
font [*] Egales entr'elles s. & [ 6 ] les corde* 



V 



Cor. j.Prof. to. 'Get, 
Par conftruftion. 
Cor. i. Prof. j. Gw, 
[♦] P*rf. I. Prof. i 4 . Ge# # 
"«] C#r. 4.'Prof. <. Gto, 



f 



3*4 



Trtifiimt fstrtii. 



PROPOSITION XXIII. 

x°. Si deux lignes psrtlUles fent coupees far erne 
treifieme ligne dreite , les tngles tkernes internes 
fent Sgaux entr'eux. 

i°. Recsprequementji deux lignes dreites fmi U&t*. 
pees pur une treifieme , &fi let angles ulttmes in- 
terne* font eguux entr'eux ; ees deux lignes dr*i-r 
Us ferent poralUles entr$lle$. 

D E M ON S T R A T I O N 



D 



X> 1 LA PXlMJtltl PiRTII, 

Eux lignes paralleles pcuvcnt £tre couple* 
par one tioiHiaxc ou pcrpcndiculaixcmcnt 



7Ksl v 








.♦♦ 



^ O 



ou obliquement. Sidles font couples perpendi- 
culairement , il eft conftant * noa feulcmejtf 



que ltt angles akernes internes font igauxen* 
tr'etu, mais auffi que let kttic angles qui font 
fbrmez par ccttc interfedion font cgaux en? 
tr'eui , chacun a chacun ; Car tous les angkf 
<£roits font ['] igavex cntr'cux. 

Xiais fi <ks lignes liroites , par ezemple lea 
ligrtes AB;& CD paralleks. cnflr'ellcs , font 
coupc*es-obiique.menr par la lignc E H : je dis 
que les angles AG I & GFD altcincs internes 
font cgaux cmr'eux. Pour le dtmontrc/, dea 
points F ty G.pris pour centres & de l'inter- 
vslIc FG foicnt dccrites les chxonierences de 
cerdes egales GSyOR & f4'F T. Enfuite da 
point Fioit menec'F L* perpendiculaire a <*flf, 
& pjrolongce -jufques en M, & du point G foic 
mcnee GN perpendiculaire i CD t ic prolon* 
. gee jufques en O. 

Puifque F Af eft [*] perpendiculaire a G P, re-' 
ciproquement [ J ] GP eft perpendiculaire aFAf« 
Done GP coupe FM en deux parties egales, 
& . [♦] coupe pareillement l'ajc Af P F ioute- 
nu par cette corde F Af en deux parties egales 
au point P. On dira la mime chofe a 1'egard 
de la ligne JFR, de la corde G O , & de Tare 
G K O. Mais a caufe des paralleles AB & 
\ C Z> , les perpendiculaires F £ egale a la oioi- 
tie de F Af , & G N egale a la moiti£ de GO 9 
font ['] egales entr'elles j, & [ 6 ] les corde* 

| [*] Ctr.i.Pr&p.to.'Get. 

[*] P*r etnftru&ion. 
I [*] Cor. i. Prof. j. Gw, 

(♦] Part. I. Prof. i 4 . Gw, 

(»] C#r, 4/Pnp. 4. G*9, 
$ ] Ax, u, fenfrd. 



Ji* Trdifi/me Parti e. 

entities G O & FJSi font aufG egales 
elles. Done les arcs FPAf 8c ORG de ccr- 
cks egatuc fofitenus par ces cordes Igaks 



f 

c--4 







font [■] £gaox. Done les moitiez FP 8c G Ate 
ces arcs font egales entr'elles , e'eft a dire que 
les mefures des angles altewies internes AGV 
j& GFD font egales. Done ces angles feront 
PJ egaux entr'eux. Pareillement paifque [*] 
rare VS GX=PfTB ; retranchant d'une 
part rare GR 8c de 1'autre Tare PF, il re- 
ftera [♦} l'arc VSG — FTB. Tangle obtus 
VFG fera done f»] egal a fon alteme FGS. 
Done en general fes angles alternes internes 
feront egaux entr'eux r ce qutl faltoit demow- 
trcr* 



I 1 ] Cor. n Prof. rr. Get, 
[] Cor. u Prof. to. Geo. 
VI Cor. S . Prof. i 4 , Q„, 
[ 4 J Ax. ). gencr. 



Gcomttrie. 317 

* • " • •/ 

D E M O N S T R A T f Q N 

t> B LA IBCONBl NUTIfi. 

• ■» Si «nc j c 'ligne drbitc en coupe deux autres^ 
Ac 'forte que les angles akernes internes qu'ori 

iuppofe egaux foient droits, * il eft deja confront 

que ces kgnes fercMtyaraHelesj mars £ ces angles 

font obliques^ elles feront au/fi paralleles ; ce 

<^a*on demontre de cette imniere. Soient les 

lignes A B 8c CD couples par une f ligne 

droite E H , & que Tangle A G F foit egal a ion 

alter ne GFJ) : je dis que ces lignes AB 8c CD 

ipnt paralleles -emr'elles. Des points G & F pris 

pour centres , s & de i'intervale GF foienr decri- 

tGs des circonferences de cercles , & menses des 

lignes perpendiculaires de la m^me mahiere que 

dans la premiere partie de la Proportion pre- 

lente. 

JL'angle AG* irant t 1 ] £gal i GFR, Tare 
PF mefuxe de Tangle A G F , fera egal a G R 
mefare de l'arigle G FT. Done SI le double de 
3'arc F P , e'efi a dire , l'arc F P M fera egal a 
C RO double de Tare GR. Done [*j tat corde 
FAf fera egale a G O j mais la ligne FR etant 
\+ j menee perpendiculairement a G O partage 
cgaleaaent cette corde G0 y 8c Tare GRO j on dira 
la mime chofe a Tegard de la ligne GP,de la cor- 
de AfF &de Tare MPF. Done la perpendiculaire 
. Otf qui eft une moitie dc GC^fera *- egalc a la pcr- 
"pe judiculaire IF qui eft une moitie .de M ^. Done 

* Part. t. Prop, ij. Geo. Z x ) Sxppofit. ^ 
[*] Part. 6* Prop. 14. €eo.& Ax* 6\gtner. 
[*] Part. 1. Prop. 11. G*o. ' 

[♦3 P*f conftruftion, & Cor u **°t- f* <&W 
\?.Ax.vL 9 $m, Dd iij 



jx* Troififm* Pdrtie. 

puifque les points L & G de la ligne Jl B font 
cgalernent diftans dc la lignc C I>, leur diitancfc 
£tant * mefurec par les perpendiculaires egales 
L F & GN , la position de la ligne A B iuivra 
ficelle de fes deux points L & G, c'eft a dke 
que AB fera [ a j parallele a C Z> , & ^u'ilfalhU 
demontrcr. 

CO HOLLA IRE. 

On peut tiret dc cette feconde partie one mev; 

diode pour me- 

ner une ligne 

parallele a une 

autre par un 

point donnc. 

Soit le point 

donnl A , & 

que par ce point 

al" faille mener 
.une ligne pa- 
rallele a une ligne danne'e SC. II Gut mener par 

ce point A la ligne droitc D £ qui. coupe la 
ligne droite donn£e BCau point L. Eh/uite da 
point L pris pour centre , & de l'intervale L A 
on decnra Tare A Af . Du point A & du meme 
intervaTe A L on decrira encore fcarc L N fur 
lequel' on prendra avec mi compas de I en H 
Tare XJf egal $AM • & pa r l e point H & le 
point -* on menera la ligne FG : je dis que cette 
ligne F G ell la ligne parallele clierchce. Car les 
angles alternes internes FAL & ALC font 
cgairxentr'euxs puifque k& arcs cgaut ff* * 

* Cor, j, Pr<$. * Get* 
l* f Car. >rop^ 8, Ge* 
L*3 £«/.*. ©,* 




/ 



"AM to E'yfont la mefttre. Done [*1 les li* 
gnes F G & BC font paraiieJcs. > 



FROPOSITiaN XXIV. 



«• 



«S# on** %jw droite T E <w*£* <&*# lignes parallel 

Us , far exempt* A B d 1 CD. 
X°. UarigU exterieur F G B e§» V angle inter ten? 

GH.D du meme cote font egaux entr'eux. 
a?. Les angles alternes externes FGB d? CHE/00I 

< ^«/P t£*j»x entr'fiux*- 
3°. £* fomme des angles interieurs BGH d» 

G H D- <fo ot*0* r&e «/fc *#•/* ideux angles 

droits. 
'4 . £4 fomme des angles exterieur s £ G B d* 

DHE </« Wot# f fa' */f egale a deux anglh 

droits. 

DE M; O'N STRATI OS 

L 'Angle [J] TGB=AGH. Or [♦] Tangier 
GHD=zAG#. Done [*] 1'angle FGJI 
= GHD. F 

Or ccs. 
deux an- 
gles fbnt 
rexterieur 

& l'iate- 
rieur du 
memc c6- E , ... * 

tf.Donc Tangle cxtedour & Hinterieor. dit mfe 

W Pr<^ 10. Geo. , [*] j> r *£ pref. i* Part.\ ' 
LM P*rf.i. Prvp. 11# £„, [42 p art ^ ? r <*.ziX:eo> 
V\ Ax. i*. gen. * r 

D d iiij 




Tangle 



I 




?*> . Tr$tji/me TmU. 

mime oBt£ font cgaux cnafeiar f « j»*tf /*fl* 
mcmontrtTt 

1) E M O N S T R A TION 

»» VA »JfCDKDj MKTII- 

L'anglc* FGM—GHD. Ox f 1 ! 
C#D, Done [*] • 

1'angle f GBza 
CHE. Orcesdeux 
angles font ^ker- 
nes externes.Donc 
fcs angles altcrncs 
externes font e*~ 
gnux cntr'eux , et 
m*'ilfatl*it demon- 
Tret. E 

D E MO NS-T.-R A T 1 ON 

i f 1 ]**^ 11 * 1 *^* angles JF.C* & BGHdk 
£gak a deux angles droits, *u lieu de Tangle 
*<?*, prenant ft fen egal * dHD , on ii- 
ra encore les angJe* IGH^GHD eeaux a 
*wx angles droits. Or ces angles BGH & 
<? #D torn mterieurs & du meme cot*. Done 
lesangles interieors & du meme c6te^ pris en. 

**/<?. fref. Part. i. 

1*3 .**. it.general. 
1*1 Part.i, Prop. #. Get, 
* 1^ £*«wiufe j. £#** 



./ > 



s.. 



Getmttrih jif 

fif'E M O N S T R A T I O N 

1> f L A QJJATRIE'mb PARTII, - 

V angle DHE Sc Tangle DH G , pris enfem* 
He , font ['] egaux a deux angles droits ; atk 
Meu de Tangle DHG , prenant f *] fon egaf 
[JjFGB r on aura les angles F GB & DHB^ 
pris enfemble , egaux a deux droits. Or ces an* 
gles FGB &DHE font exterieurs & du mem* 
c6t£. Done la fomme des angles exterieurs 8t 
du m^me c6t6 , eft egale a deux angles droits ^ 
te quil fallen d$montrer. 

JtVE&TISSEMENT, 

Ce qu'on yient de demontrer dans la Propo-s 
fition precedence , & ce qu'on demoncrera dan^ 
la iuivance , coucnanc les angles AGH & GHD j 
FGB & CHE j BGH & GHD 5 FGB & 
C HE i on le demoncrera tres-facilement , fie: 
on concluera la m6me chafe par le meme rai- 
fonnement a 1'egard des angles CHG j HGJ?j 
AGF y EHD i AGH y CHG V 4GF % 
tHE. 



p] Part. i. P%op. a. GtK 
>J Demande i. gm^ 
'*] Prof. fref. Part, u 



*&«* 



p 



fi* 



Trtifi/me fartie. 



«■■ 



P.R9JOSITION XXV. 

St deux lignes droites , par exemflt A 6 {$• C t> , 
font eoupees far une troifihae ligne droite E F, 

de forte q&U arrive r 
*°. Ou que les angles eXterieur & inttneur da 

mime cite FGB & GHD foient eganx entr'enx; 
**. On epte ies angles alternes externes I GBrf 1 

C H 6 foient egaux entr*enx ; 
j p . On qne lafommedes angles interieurs d» men* 

cote BGE & GHD foitegalea Atnx angler 

droits* 
4°. Ouenfin <fae la fomme des angles exterkms da* 

meme cote tGB & D HE foit egale a deux 

angles droits : 
tes lignes Ah & CD feront far alleles feme i 

V autre. 

DEMONSTRATION 

DE LAPRBMI1RS PARTI I. 

r i'ari£le GHJ> eft* egal i Tangle FGB; 
ftuis Tangle ^ 

AGHcftf*] * 

audi egal aii 

Aieme angle 

FGB. Done 

[•] Tangle 

AG H lent 

£gal a Tangle 

OffD, Done 

*Suppofit. [ l ] Part. x. &* v, &,.. 
I J Ax. ifc general. 




GTetmitrie: 3*1 

iigncJ A B 8c CD ferorit pHalkks c&tfel- 
ics , ** quil f*Uoit denwnmr* 

D E MO N ST R A T ! O M 

DB LA SECOND I PARTIB. 

L'angle WGBSc Tangle C U E font « j £gaur 

^ntr'cux. Done au lieyt dc Tangle F G $ en pr«- 

nant [* J fan C»] 6gal AGH y&cm lieu de Tangfc 

C H E prenant ton G*J egal G # D : on trouyem 

ics angles akernes internes AGH & Gfl'D Igaft? 

..emr'eux. Done * les Ugnes ABScCU feront pa* 

^alleles cntr'elles , ce $aH faiUit demontrer. 

DEMONSTRATION 

Dl LA fSCOHPl JARTIH. 

. » ' * 

I/angle Z> H GT joint a*ec Tangle BGH fiuf 
[*] la vaJeur dcjieux angles droits, Or Tangle 
jA G H joint avec.le m6rn& angle B Q H fait au/fi 
la m^mc valeur de dsux angles droits. Done [*] 
Tangle AGH fera Igal a Tangle D H G. Done 
* les lignes AB 8c CD font parallels , a qn% 
ftlloit demontrer. 

P E M O N S T RATION 

DB LA 3JJATRIE*MB PARTIE. 

L'angle FGB joint avec Tangle DHjB fitfe 
[ l ] la valeur de deur angles droits. Au lieu de 
Tangle F G B , fi [*] on prend fqn Uj egal -4G1T, 
,on trouveira auffi qu* Tangle -4 G If joint a Tan- 
gle EHD fera la valeur <J« den* angles droits. 
Mais [♦] Tangle GHD jojnt avoc Eanglc £ H i> 

* P*rf. i. Prof- 15. G**. ['J P*r fupp ofit. 

[»] Dem*». x.ge». PI ?*r*. i. Pwy. u. G«V 

^.Pjm*. jr. Frflf v f i, G*o. [* J ^*> ;. £*». 




PROPOSITION XXVI. 

Lts Ugnt s f*r alleles a une ffontfar*!leUse»tr'dUsi 
D EM ONSTRATIO N, 

SOicnt ies lignes AB 3c EF paralleles a use 
one tioifi&nc lignc CD: jedisque AB 9c 

G 




i 



>JEF font paralleles 

entr v elles. Car puif- 

que AB eft [*] pa- 

'rallele i CJ> , on 

aura [ 4 ] Tangle-GIEB 

, cgal a Tangle GID. 

* Pareillementpuifque 

. [* la lignc £* eft 

4 paraHcle a C D , 







£*T Part. isPrtp.*}, Gu. 



Tangle 



GetmttrU. 




f*iU*f deimmtrtr 



$f$ M*% *w%U*h fmmttfofi dam lawnmferem* 

; of mm cmh % fjt iil eft ctmfrk far dtux Ugne$ 

qui coufent ten* circmfitrence , 03$ far une Ugna 

?ui la coufe & f autre qui la Umm ; il a four 
a mcfurt U nmtii dt fan f***fi cmfm e*tr$ 
ft* cite,, L 

JI> £ M O N $ T RATI <>>#. 

P % I M I « % I CIRC O K * T A* 01.. •' 



SI un angle , par exempje -rfUC, a fen 
fommct £ poff dams la cjreonfefence d # un 
j cerclc , & eft form* par deox ligtiet<4B8c 
' BC qui coupent cettc cirtonference , dc fojftc 
, ^ue le centre fe trouve far une de ces lignes, 
I . ou entre ces memes lignes , la Demonstration, 
de la Propofuion prefer^ eft telle, Soltnt me- 
rices les lignes DM & F G par le centre pa- 
ralleleoienc aux deux autres Ugncs AB UlfC 
1 hui comprennent pet angle, 

f*j J/angle DHG—VH E.Ponc W Tare IX? 

C«] Prfff . t- P«^ $4. Gtp. J*3 .<£*. i%.£mtr, 
t*l P*fT. i.Pr#. i;. G** 

Iff * 



i2$ Troifibneftrtli* 

* ■feF'^V mattPl-rarc F**CC , fci'af€.22ifa 
' AD, Doncaii lie*deFB, c't&kApe de £J 

* *»ftE, & an ' pent preftdte *e quijeftcgal, & 
yc*^D-t-GC. Done Tare OGtorafO H*^«i 



• t 




ifefe AiITque' A» *GC«» C , • f afe W 
Cerate moitife fc,^.<^J^*«*jff« rf a« 



\ 



Ann «u -« -Jgle B f « * PJW 

..wrfure ceurc- Z>,G: ce meme angk Dff <?== 
..VlCzzJBC J»J. Done Tangle ^BCquia Ipa 
" fonititt. d*»s la, <a*anfereoc* ,.smra *.*?«* 
I oKfurc t ,fycvagDG t c-cftadirc U »»"£* 

il'arc 4 C fijr lesjttel U eft agpujre * e« %» UfitUttt 



dtmontrtr. 



" SECONDS CIRCONSTANCI* 

TTn angle ptut aYoir foii fotnmct danS la 

^eonfcrej!*,'* tapWF,*"^ 
^ui conpent cette ciwwjfereMe .de tell* dm* 



(Stmctnt: $17, 

piste qtle le centre . da accede n'eft 6k 4mc de$. ; 




laut mencr par le point S oil le cdte le plus 
prochc dtt centre JL coupe la drcoaferepf e , une ,, 
ligne parallele a Fautre c6t£ §R de l'anglej&par ; 
1'autre point T oi cettederniere parajl?le cou- 
pera. U circonferencc , il faiitYsSl eft ncceflaire ) 
nttner encorte une ligne JT r pa*allde an, c6t4 . 
* 5* de Tangle le plus proche 4u centre ^. I^.£^J» * 
continuer ainfi altcrnatiYement jufqu'a ce que le 
centre fe j»^v« entre.jieu^ de ce^ demieres lip 
gncs parallcjcs ou far une 4e ces mfernes ligncs. 



..'? r 




~I1 eft Evident Y] qt»e l'Jujglfc''?, VX , ,par| 

qtemple , a pour fa mefure — -TX. Mais lcs> 

x 

[»] arcs TX , £P , RT , g^?,, &C font £gaux 
entr'eux , & [O tons les angles TFX , S T V , 
TSR' 9 .$JCS y &c. font £gaux entr'eux, par- 
cequ'ils font alternes & entre pixalleies. Or ces 



[*] On le vient de demontrer. 
[*3 Cor t i. Prof. is. G$* % 
t J ] fyrp. 1. ?*£♦ i}. Geo. 



Ec % 



pY Trrfftim Ttrtit. 

angle* £ga*x *nt 4cs mcfiues {galls . PmSqac 

t*n$k TVk a pout f a mefiire — TX,ftu*- 



gfc &/t J qui tai eft egal, aura auifi pour (a 

fine — Treat — fljf. Done 1'angk fiat 
a a ^ 

aura poor mefiuc — g/ , t» f*'i/ /«U«r <A- 

vmtrtt. x 

TROISIE'ME CIRCONSTANCft 

Sinn angle, par exemple ££F, a ion fawner 
poft dans la circon- 
tcrence* & eft form£ 
par tine toucKante 
2>E & une autre 
ligne £F qui pafle 
par le centre j xl eft 
evident que la me- 
fure de cet angle 
Z>EF eft [•;!*. moi- 
tie* de Tare oa de 
k demie circonfcrence EGf comprife eH^ 
we fes c6tez , puifque Tangle [*j 2>EF eft 
droit. 

Mais & uh angle , par exemple R$T,dk 
forme par une ligne RS qui $ouche , ft pat 
une autre S T qui coupe la circonfcrence , de 
forte que le eentre du cercle ne foit pas entre 
J$s c6tez de cet angle , ni fur un de ces cAtez 5 il 
faut mener par le point T la ligne TV pantile- 

[»] Cor* 1. Prop. to« Gtt, 
L*3 Pr<J>. u. Gf*. 




Geometrie. 1*9 

le 1 la touchante RS. On vient de de*nontrer que 

Fanglc STV a pow mefiuc — SV=.*— ST * 

Or CI Tangle RST. y 

= S T V. Done P^ t ^ 

Tangle RST aura y^y^^^Z """- 

poor fa tnefure la fs \ : 

moiti£ dc Tare 5* T T/K~-- — "AV^ 

coirrpris entre fes I # J 

cotez , cequilfal- V I 

te> demontrer. ^^ ^^ 

Si le centre du ^^ , ^^ 

ccrclc fe rencontroit entre les c6tes de Tangle , 
comme il arrive a Tcgard de Tangle TSX 
4ont le fommet ^ eft pofc fur la circonference , 
& qui eft forme* par line rouchante 8c une ligne 
qui coupe la circonference , fa mefure.icra 

— TVS. Car les angles TSX & TSR, pris 

eniemMe , font [ 2 3 egaux a deux droits. Done 
ils oat C'j pour mefiire la' moitie* de la circon- 
ference STV > e'eft a dire [+3 la moitie* dc ST 
9+-T+VS imais Tangle RtfT a dejapour fa me- 

furc — TS. Done l'angle TSX aura pour fi 

tnefiire la moitie 1 du refte qui eft Tare TV* 
compris entre fes c*tei, ce q*ilf#lUh dmontrtr. 

COROLUUE. I* : 

Donctous les angles A$C , AT>C y AEC 9 

* Ctr. y Prof. if. Get. ['] Part. \. Prop. x). Get* 
flPtrt.i, Profv.Gt* [i] Qn. 1, pr*p.xo> <?** 
l*J Ax. j. gaural. r Ec iij i 



jjo Trtijtfme fdrtie. 

fcc. ( quelque nombre qu'il y en ait ) qui 

kur pointe ou fommet 

dans line m&ne cir- 

confcrence de eercle, 

& % qui font appuyez 

fur tin m£me txcAC 

font I s ] tons Igaux en- 

t t'eux \ parcequ'ils ont 

I 1 tons kmbe mc- 

fiire , fcavoir la moiti£ 

4u m£m* arc A C, 

COROLLAIRB I I. 




Non-fculcment les angles qui font appu/eai 
£ir le m£me arc , & qui ont leur fommct dans 
U m&me circonferencc font cgaux eutr'cux* 
mais auffi les an- 
gles qui font ap- 
Suycz fur des arcs 
gauz y & qui ont 
leur fommet dans 
la naftme circonfe- 
rence, font pared- 
Istnent (gauz en- 
tr'eux. Si Tare ^ C, 

Sar exempk>eft egai 
Tare D F 5 Tangle 
«f *£ ajant t»J pour fa mefure 1* moiti* <te 
cct arc AC , & Tangle X> £ F ayant pour mefure 

la moitifde Tare D F ; & puifijue [»] -i- A C = 

'—- D Fs ees deux angles -rfJfC «c 2>£F auront t 1 ! 

P ] C*r. a f Fnf . 10. G*. C*3 **£• ^ 





Geomttrie. 331 

pour mefure des ares *gaux. Done ilsfa*ntpar. 
rcillcmcnt cgaux cntr'cux. 

COROLLAIRE III. 

\Jn angle, par cxcmple ABC , clootie fbm- 
met 3 eft dans la circonference d'un ccrde , * 
qui eft appuyc fur la moitie* de la circonference 
de ce cercle , eft im 
angle droit. Parccque 
cet angle a LM pour fa 
mefure la moitie de 
Varc fur lequel il eft 
appuyc , ou qui eft 
compris entrc fes cd- 
tez , c'eft a dire la moi- 
tie de la demie circon- 
ference AZQ+ Or la 
moiti£ d'une demie circonference eft tm quart 
de circonference , mefure [*] d'un angle droit. 
Done Tangle ABC (era droit* 

C O R O L L A 1 R E I Y. 

L'angle BBC qui a (on fontmet dant 
la circonference^ & qui eft aprmyt fur un arc 
plus grand qu'une demie circonference de cercle 
eft obtus. Parceque cet angle comprenant entre 
Jcs edtez vnaxcDAEC plus grand qu'une de- 
mie circonference de cercle, aura pour fa mcfiirtf 

U moitie* de cet aic DAMC. Or^j—D AMC 

a 

p> -L AE C , c*cft a dire que cet angle 

\*]Ax,u.g€»*. Sc iiij 



jjt TreUSfme Turtle. 

Z>3Caara pour (a mefure un arc phis gcaricf 
qu'un quart de ccrcle. Done cc meme angle 
DBC fera [' j un angle obcus. 

COROLLAIRE V. 

Done Tangle B A C qui a aufli fon fommet 
pofi dans la circonference du cercle , & qui 
compr end entre fes c&tez Fare B C plus perit 
qu'une demie circonference de cerele, fera un. 
angle aigu. Parceque cet angle BAG aura, 
pour ft mefure un arc plus petit qu'un quart de 
circonference de cercle. 

COROLLAIRE YL 

Enfin fi deux angles, p" exemple AB C Sc 
ADC y font appuyez fur le 
meme arc , par exem- 
ple AC , &£lefom- 
met B d'un y fcavoir 
deTangle ABC, eft 
dans le centre d'un 
cercle, & le fommer 
Z> ou pointe de 1'autre ^ ,^ 

** D C eft dans la cir- ^ r "TO 

conference du mime ^ 

cercle j il fuit neceuairement que celui qui fera 
poft dans le centre du cercle , (era double de ce- 
lui dont le fommet fera dans la circonference. 
Pirccque Tangle du centre aura £* J pour fa me- 
fure tout Tare fur lequel il eft appuje , & Tan- 
gle dont le ftnnmet eft dans la circonference , a 
* pour fa mefure feulement la xnoitid dace m&* 
me arc fur lequel il eft appuyl. 




C*3 .Cor. 3. Ptyp t r ao* <»##. 
* Prof. fr*f v 



[*}**#***. Or\ 



Geimetrie. 3J| 

COROLLA I KB VII. 

On pent tirer de la proposition prcfente not 
jnethode pour mcncr une ligne perpendicular* 
lement a une autre ligne par on point prisdant 
autre ligne. 



5k S J> 



E) 




Soit par eicmple 

lc point A , extrfc- 

mit£ de la ligne 

Ji F , par kqueiiT 

faille mcncr une 

ligne perpendicu- 

laire a ccttc ligne 

jiT. II fautmettre 

on pied da compas 

dans ce point don- 

n6 A , & rautre 

pied du compas 

dans un autre point pris a yolonte hctrs la ligne 

donnec ^F, par ezemple en C. Enftute- de 

Tintervale C A x>n decrira one circonfcicncede 

♦cerclc AB DE, de forte qu'elle coupe la ligne 
dbrmle AT dans les points A &B. Par ce point 
B & par le centre C*n menera la ligne drake 
B C qui coupera la circonference au point E. 
par ce point E & par le point donnc" A on me* 
nera la ligne AE : je dis que eette AE eft la 
perpendiculaire qu'on cherchoit. 

Car la ligne B E paflant par le centre C eft. 
nn diametrc du ccrcle, & partant Tangle B^E 
fifra * appuj6 (ur une demie circonference , dont 
1*3 il aura la moire* pour mefure. Done ccr 
angle B^fE fera (*) droit. Done'.'] la ligne 

* Ccf. f.Prop. i+.Ge*. M Ccr. y Pffff.fnf 



Jj4 Troifi/me Pdrtie. 

AE fax ocrpciidkukire a AE. Ceftdu Cord* 
' ' prefent dont j'ai fait mention a la fin da 
lairc a de 1st Proportion ; c dc cctte Geo- 



Qorollaiie 



COROLLAIRB VIII. 

On a enfeigni L'J une methode pour mener one 
toachante a one 
circontcren- 
cc de ecrele 
par an point 
donnl dans 
cette ciccon- 
ference.Mais 
file point 
donheV eft 
Jbors dn cex- 
ck, ontirera 
de la Propo- 
rtion pre- 
fente une 

raeroode pour mener one touckante a lacircon-' 
feence de ce cerclc. Soit par exemple le point 
donnc D hots la circonference A B C , & c^ue 
par ce point il faille mener one touchante a la. 
circonference ABC. Du point donne" D on mc- 
nera au centre £ du cercle donnc la ligne droite 
X> E. En&ite on prendra cette ligne D E pour un * 
diam&re , en decrivant de Ion milieu F , & dc t 
rintervale F E ou F D la circonfercnce B E f IV 
Bnfin du point D au point fi ou C ou cefte der-- 
niere circonference coupe la premiere, on.me- 
nera la ligne DB ou Z> C ; je dis qu'au lieu 

• t*3 C*r.„&Pr*l>,ii< G##, _ 




Geometric. $)j 

8*axie tbtfcEantc menee du point donne* Dal* 
ch'co iifer c n cc donn£e A€B t on en a deux, f^*~ 
▼oir DB & DC. Car aprcs avoir pien^ aux points 
&8cC les fayoriTEB & EC , on connottra [■] que 
lies angles DBE 8c DCE foutdes angles droits * 
puifque cnaom de ces angles eft appgyc for une 
<lemie circofiferenceJECJDoHEBD. Ces ljgncsDB 
«u DC font dorir[*J*les toachatttes chorclices.. 

• . » - - • » • ^-- • • » 

»- j i i-y-— — _ « r , r . ^ _ | t . | ■«. m ', , ^ 1 

L ' • ' - 

*TJ» angle dont le fommet eft pofe entre h centre *$*- 

3d tirtdnfermi* dun xercle , * >peur fa mefure I* 
' inoHiifa r l*fommrfatHJe Varc fur lequel H eft-, 
: *tP*y* > '&><ieJ'atc fur Uqutl eft <#}{*%* U»gl* 
" -4ffcfe farAe fsrAmet* •- > : 

I* EBON' S T. RATI O Jfc 

^Oh ftmgle J-4BC iietJt fc fomn^et B (air .poffe 
& entre lc centre & (la circonference du ce*clc 
AC BE : jedis que cer angle ABC a pour fat 
mefbre la uridine de la: (bonne £aite d©s atcs wfCl 
fiir lequei il eft appdye, & ED fur.lequei eft ap-> 
puy6 celui qui lui eft oppofc ail fenimct. Poun 
le demon crerfoient pro Jon gees les ligties AB to 
CB qoi comprcnnent.cetangle^ jafqu'a la ren- 
«wimc;Je la» citconfcreajceen && en E, Enfuito 
■«ftin de ces points D ou E foit menee une ligne 
3EF qui coupe la circonference , & qui foit paral- 
Jele a un des c6cez £A j ouBC id'anglc, Ala** 

I*] Cor* j. Fr#. prefc page ^r. 

£3 *#rf. J. dA»*t»f; xz. Geo, $age if^ 



«v 



$*f Tnifttm Parti** 

Tangle FECi ('} pour fa mefurc la moiricYjit 




JbrMett de TA , fi je pens B2> , je trottwai tp* 

Tangle tEC aura poor (a mefare la moitilde* 
AC -*»!£, tangle KEC a»-«C [*}, Lingle 
^fBC aura done auffi pour (a mefurc lamoitic* de 



L'ang le ABE cm [*}ibaegal C8*** ma a«/£ 
pour la mefbre la tnoitie* de la fonorae des arcs 
JpE+CDz Carf'jle* aft gks*f3C&4lf£ font 
4gaux a deux angles droits. la naefure de ces 
deux- angles jpris enfemblc v eft done la moitit 
de la cjftoorerence de cerde ACD&X. Qt H I* 
Moitif dc cette circonfercnce eft la mokie dcs. 
ZiciAC, CJ>, BB; ic Elf A qui la compofenti 
v je viens de rtotirer que Tangle u4££adeja pour 
ia mefare la moiti£ de la famine des*r^s*#C Hfe 
JBtt>, fcfangfe CO' a done poar fa nacfittc 1* 
noirii dti rcfte, e'eft aVdirc la moir&de CD fufc 
lequeJ it eft appuy£ , & de Tare EF^ fur kqvefc 
eft appuje* Tangle xjai eft appofe* par le fbmmew 

En general toot *ttgle, pareaempk <4J£C 
<bat le fomenet 2teftjpa& *mre k eBtffce* fab 

*] Cor. t. Prof. ij, Gc*. f . 187* ^ 

" **j P*rK i. >Wf . 14. Gee. p. ji^ 
f ♦] Psrt. i. Pnpiit. ftp. p jji % . 



M 

t 



* 4 



\ 



Geontitritp \ U? 

^c&ntcrcTtcc <t*im ccrcje ,, foir que ee centre &m 
centre les cScez ou mm ,. a done pour fa incfire 
fa. moitil de la fommc faite de l'atc **C for lecjttel 
It eft appuyi & dc F*rc Efc fur lecjuel eft appuyi 
Fkngle ZBDoppote au precedent par k fbmaKt» 
€Z# guMftMt demmtrer % 

QtoanJl les c6tez d'un angle rediligne rencofr' 
■~ «ne carconference dc cercle \ it fomixm 



4e cct angle pcut tore eh 4 principals pofltionil 
Ifcras Tenons de *a&r «juel arc dc cet citconfe^ 
ftence on doir prendre > premierement pour ttti} 
la mefure de Tangle qui a fon fomuict po(? dajut 
le centre dttcercle ("jj t%con4eifcent r pour &!* 
J* mefure de eclui qui a fon fommer pofe* dani 
1b cteconference J*£ troifiteemejit*., pqur tire Ji 
«eitxre de cefoi cjura fon fort'met poft emre id 
Centre & k circonferencc {*J. "tl tefte encore £ 
.'i^onrrercmclle eft Ja mefure, dc cct angle Jorfr 

26*il a fon fororoet -pole hots d*un cercle ^ cc cjufc 
« dcreimini e>ideaijneiu ,dans U raopotftioa* 



' *" ' ' ' 'i . 1 ! ■ ■ . ■ 1 



4 



WO POS *¥ * b tt ^XJX- 



fti #t b fmami pHnangUtft ftfikors *m *r$Dj 

, ' d* 'ۤ cm!t- 9 fa fHfutt fer* la mdtie de tixfte 
c dim* Pml cemprh entre fes dn*.& fins tioign& 
de fon fmmtt, finf*jfkr*re comfrH mm *# 
mimes cotex.&fl»5 pit de pm fmmet. 
** J^^ilydf^emtm^i *fffyz fur U mtm* 
***> celm qni a fmfemmfcftfe tn*m~lt cart** 

•t] Ttvft to. <?<*.' f*gt jor.^. . : 

-.1-**- ' •'£& 




* u 



^m ft * 

13^ . . ' .Trot feme Tartie^ 

. £> U cir conference iff plus- grand que celul qui M 
• fon fommet pofe fur U cit conference i & celui qui 
'. sfon fommet fofe fur I* cmonference , jtft plus 

jrknd que celui qui *. pn fommet fofe hors k 

€ercle m . 

DEMON&TRAT I OH 

Di ia pUbmhre partus^ 

SOit Tanglc>*BP' done Ic fommet B eft pofi 
hors le ccrclc AGD CO >. &. done ies deux, 
c6cez touchenr, ou coupent Ta (^conference de 
ce cerclejoa enfin dont un cStc" la touchc & Tautre 
la coupe : je dis que la mefure de Tangle ABB 
eft la moitic* de 1'exces done Tare JbSHDxampiit 
entre les efitez BA Sc frfi futpafle Tare OC 
iompris entre ces m&mes c6tez > & qui eft le 
plus proche du fommet £. Poor le demontrer* 
u faut mener par un^des points ou les c&tez de 
f angle Alii) rencontrent cette citconierence r 
par exemple pat- le point C , la ligne € G pa-f 
rallek a Tautre c&t£ BA. Si de Tare AGHJ> 
Je retrahche fare AG "= DC p], je trouverai 
ty^jnc Tare GHD eflTexcis dont c« arc AGH& 
lurpafle T*rc*OC» Mai* la moitie de CQt arc 
<j H jft* eft ['] la mefure de Tangle G C D , ou de 
<?CP fi *D eft.touchansc, & [♦} Tangle 6 CII 
aszABD. L'angle AB& a dime au/fi poop fa 
Hiefure la moicii de Tare G&D 9 e'eftadire la 
pQOf&t de Texcis dont Tare AGD furpaffe Tare: 
&C +& %&lfyU°M*mo**ref . \\ 

. £*] Cor* a. on*}, Pr#. if. Gw. />. atff*. 
F J J P"/>- 17. Geo.p.w. 



1 



DEldONStRATIt!^ 



« » 



Geometric. 



*5> 




G4 
DEMONSTRATION 

J) E LA SECONDE PARTI B. 

Soient les angles A S D , ,^F2> & -<4 E 2* 
appuyez fur le meme arc A G £> ; lc fommec - 
B de Tangle A ED foit pofe entre le centre tit 
&; la circonference AGDF •> le fommet F cb 
Wangle *AFD pofe fur la circonftrence meme, 
& le fommet £ de Tangle A B£> pod hors le 

Ff ij 



34* Trrijttm ?*rtit. 

•ercle : je lis i° que Tangle A ED eft pJw 
grand que AID} a que cct angle /FDcft 
plus grand que ABD. Pour le demontrer foicnt 
prolongez ks c6cez A £ & D £ de Tangle ** £ D 
julqu'aux points X & Af oi ils rencontrent h 
circonrerence. L'angle A £ D a * pour & mc- 
fiireia moitic de rare AGHD & encore k 
moitie de Tare XAf. L'angle ^FDal'j pour 
& mefure feukment la moiti£ de l'arc AGHD. 
Done L *, l'angle -^ ED eft plus grand que Tan- 
gle ATD. Or Tangle AFD qui a pour & 
mefure la moitic* de Tare AGHD eft plus 
grand que Tangle ABD , qui a feulement pour 
la mefure * la moitie de Tare GHD partie de 
Tare AGHD, Be partant Tangle ATD^>ABQ. 
Done [♦] enfin Tangle AED^AFXy^? 
ABD y te quil fsUoit demontrer* 

, COROLLAIRE L 

D'un point pris hors d'un cerele- on ne pent* 1 
mener que deux touchantes a ce cercle. Car du 
point B , par exemple , pris hors k cerck 
TDCE apres avoir mene* ks deux touchantes 
BC & BE , fi on en pouvoit mener une 3 e , il 
faudroit la mener d'une part ou d'autre de la 
ligne A fl, ou vers F ou vers C : fi on la pou- 
voit mener vers C , il faudroit encore ncceflai- 
rement la mener de part ou d'autre , par exem- 
ple en £ ou cnD % Or la ligne BE ne peut tttc 
touchante , ni la ligne B D. Car apres avoir me- 
ne* ks rayons AE&. AD , cctte ligne BE hit 

* Prop. iS. Geo. [ f ] Prof. 17. Geo. 

t a ] Cor. x. Prof. ao. Goo. W Part* hProf.frof. 

[+]Ax.Ur£€# m 



Ge&mttrie* 341 

♦arec It tscftm AE Tangle aigu BE^ , <jui 
eft appuy£ fur Fare AFB , & la Jigne BD rait t 
arec lc rayon A D Taaglc BDA obrus , etant , 
plus grand que Tangle droit BCA. Or & 
ces lignes Itoient touchantes , elles feroienr 
[* J arec le rayon menc* du centre a leurs points ; 
d'attouchement , des angles droits. Done ces 




lignes ne font point touchantes. On fera Jc mi- 
me raifonnement a Tegard de toutes les autres- 
lignes droites menses <5i point JB a la circonfe- 
rence FDCE, Ne pouvant done meher de 
ce point B trois touchantes a edtte circonferen- 
ce , a plus fone raifon on n*en pourra pas me- 
ner 4 ou f , puifque ces nombxes renferment le 
nombre 1. 

COROLLAIREI 1/ 

D'un m&me point pris hors d'un ceircle , Ics 
deux touchantes qu'on peut VI mener de cq 

+ Prop.pref.&def.i$.Ge* . ■ . ■ 

{ l l Prop. u. Geo. 
l*\Cor.i.Prop.fref. 



v§ 4 1 Troifi/mi PdHie. 

point a cc cercle fcront egales entr'clks. Soienf 
ks deux touchantes HI & HM menses da 
point H a la circonference PML : jc dis cm'el- 
ks font egales cntr'ciks. La lignc menee de ce 
point H au centre G de la circonfcrence PMZ 
eft perpendiculaixe an milieu de la lignc LM> 




Car les rayons S L 8c N Af, egaux cntftux,lbitf 

menez du point N centre de la circoniercnct 
*t H I au* extremitez Z & Af de la ligne £ if , 
qui font aufli extrfcmitez des touchantes **?•* 
H M. Pareillement les rayons Gidc G Af font 
c*gaux cntr*eux , cunt menez du centre G d« 
la circonference M LP aux memes extremi- 
tez L 8c M de la ligne LM. La ligne HG aura 
done le point N & le point G igakment diftanf 
des extremitez L 8c M de la ligne LM. D«nc 
H G fera * perpendiculaire au milieu de LM, 
Done le point H fcra ( l ) aufli egalement diftant 
de$ memes points L 8c Af. <Donc les touckantcs 
HL8c HM feront egales. entr'cUes # 

* Prop, f . Gw. 



Gctmttric 34} 

COROLLAUE III. 

XTne ligne menee par le fommet &un angle 
•ompris entre deux lignes qui touchent la cir- 
confcrcnce d'un cercle , & par lc centre de ce 
ceircle , paxtage cet angle en deux parties ega- 
lcs # Soic Tangle compris entre ks deux too- 
chances BA & BC : 
je dis que la ligne BG 
mence par le lomtnec 
2 de cet angle > & par 
k centre 2> du cercle 
iGCI partajrera Tan- 
gle ABC en deux par- 
ties £gaks , e'eft a dire 
que Tangle ABGssa 
G£C. Car les tou- 
chantes BA & BC font 
* cgales entr'elles. Les 
lignes DA 8c PC font 
{*) aufli Cgales entr'el- 
ks. Done la ligne BG 
% deux de fes points B 6c D qui font cgalement. 
diftans des points extremes A Ql C de la ligne 
A C. Done I') cette ligne B G eft pcrpcndicu-! 




parties 

Tangle A 9 G a (♦) pour fa mefure a moitil de 
Texccs dont Tare AB G furpafle Tare ^Ej«t 
Tangle GBC a pour £a mefure la moiti^dc. 

* On. a- Prip.prif. (•) C*r. i. A/. »?• Ge$, 
(*) JPr<p. j- Gw. (J) jUrf. 4f pr<£. 14, <?#* 
{♦) P**, 1. Pn*. Prtf. 

Ffiiij 



344 Troijifme Tdrtie. 

Texces dom Tare GHC furpaffe Tare £(?. 
Puifqac -iE = EC,&quc ^TFG = Gfl'C > ccs 
deux exc& font * egaux ^entr'eux. Done les mc- 
fures des angies ABG & GBG font egales 
entr*elles. Doric (*) Tangle ABC eft partage en 
deux parties egales par k ligne B G qui pafle 
par le fommet B & par lc centre B. 

On potirrbit encore demdntrer lam^me cho* 
Cc d'une autre maniere. 'Car aprfe avoir menf 
Its rayons GL & G M airx points d'attouche- 
ment (*) , on trouve que les arcs GRL & 
GO if de la circonfererice MHLG font fou- 
tenus par des cordes egales G L & GAf. Done 
les angles LHG & GHM ayant leur fommet 
H dans la circonference , & etant appuyez fur 
des arcs cgaux de la m&me circonfetence 9 font 

Segaux entr'eiix. Done enfin Tangle LHM 
partage* en deux parties egales par la li- 
gne H G. 

COROUAIRE IV. 

fteciproquement fi une ligne menee par le 
fcmmet d'un angle cornpris entre deux tou- 
charttes de circonrcrjcnce de cercle partage cer 
angle en deux parties £gales , elle paffera paf 
le centre de ce cercle. Soit Tangle ABC com- 
jfris entre les deux touchanres BAScBCz je 
<hs que £ la ligne B G partage ert deux parried 
cgalcs cer angle A BC , elle parfefa par le centre 
<£ cercle A G C E. Car puifquc (♦) Tangle ABG 
&GB C y les mefures de ces deux angles feront 

* Ax. u. general, { % YCor. %. Prop. 10. Geo. 
i f f Tig, da Cofdl. *. de I* Prof. fref. 
i») Car. ttProp. vj* Geo'. £)$*$$#• 



..••* Get metric. $44 

dgaks cntr'elks. E£ alors fi , d'une ouYcrture 

Ap cotppas egalc a B A & du fommet * writ 

pour pentre , on deem un arc dc cerclc % puii<ju$ 

X*] ks touchantes BA 

jpcBC font ^galcs en- 

rr'elles , cet *rc dc cer- 

jclc paflcra' [*] par lc 

point C extrtynite* dc 

la toucliantc B CL'arc 

u& Z? fera done [ * J "c*gal 

a PC- La lignc *2>, 

©H#G /fera done [♦] 

perpendicul'aire a la 

corded C foutendan-. 

ie d.c Tare ADC te 

de Fate. -rf EC, (>6nc 

{^ J ceae Jigoe j» d pah. 
era par le* centre du ccrclc 4GCE. 

C O R O £ £ JV I * E V f 

Si de deux points, par exeihple >f & B, on 
xnene deux lijjnes qui concourent en irn point 
C , & ii dc ces deux m&mcs points A ic B 01* 
menc encore dans lc mtoncplan plufieurs lignet 
droites^D,BDj AE, BE y A.F y BF,&c. 
qui concourent en differens points D , E, F, verf 




f 



% ] Cor. %.?rq % ?rtf. 

[*]Fart. t,ftu Cor.%. Prop,t$. G$$a 
M P*r*. ; # Prop. i 4 . Geo. ,- 

f*J Fsrt. %. fry, 13, <to* j 



i±k Tnifime P&ti*; . 

5! ™ r eiemple XT B . dom Is fommer fe« 

{L^dTiTligne droits qtfmifWfflfflCl 

5u point Am to** 

S, few plus S™ ni C 

q u C r a ngk-JEBqu. 

CT eft pin* ejoignt: 

ca r fi par ' k* OOU 

points**, E.&* P n 

gt fl p»<T« 1» «£ 

conference oe «ercle 

AH1SI-, ontrouTera. 

p| mm Tangle 4 FB 

poffitntre le cenn* & 

^ cirCMfeieace eft 

plus gtaod (pe l*an- 

eleXEBsStquel'an- 

|le XEB eft pb« 

grand que 1'anjle XpB. .On tronrera debt 

mime maniere que ran tie AbfeB! pins grand 

uuc tyngle -* c * > en.faifant paffer packs trout 

points X , D , B one autre circonference ; ft: 

»infi des autre* angles quelquc nombrc qu'il ^ 

■a ait. 



'B 



>jp*rr. a.fny.>r#/*. 



Geomtnt. "'■: j#r 



C H A P I T R E I I. 

DES SURFACES. 

Ei . T 

N t it ■* les^t proprietez des furfaces , je 
confidereiai d'abord celies des furfaces gli- 
nes , & je ne feraj attention qu'a ce qui 
j'y rencontre de plus neceflaire pour s'inftruire 
des principles progo/itions des premiers £le- 
uteris de Geometric. Eafuite dans'- le chapitre 
troi/ieme j'enfeign^rai lamaniere done on peur 
conndfcre la grapdeur de* furfaces cylindriquft 
& fpheriqoes. : 

Mais puifqu'on rcdnir c» mangles one fur- 
face plane terminee par plus de trois lignes 
droites , en y prenant un point a volontc, 5c 4* 
ce point xnenant des lignes droices a tous leH 
angles de cette furfece j i\ eft evident que ie 
triangle eft la furface plane rediligne la plus 
iimple de. coutes. C'eft pour eel* que dans la 
-recherche de ce qu'il y a de plus elementaire 
dans Fetude des proprietez qui conviennene aux 
furfaces planes , nous eommencerons par lcj 
tr^glcs, f :: 



1. 
1 

i . 



m** 



)4* Tr$lfiim$ ?drtit< 



PROPOSITION XXX. 

#f ** frdrnp mi cW Aw triangle teBiUpu, 
t**gU extsrumr far* i#U smx deux mterimt 
fCfe^frktnfcmtU. 

DEMONSTRATION. 
Ok le triangle re&iligne ABC dont o* 




SOit le triangle rettiligne ABC dont o» 
prolongcra un c6t£, par exemple ^C ; je 
disqnelan- 

gle cite- _ B 

fieurlCO tf jT 

eft <gal aux 
deux inter 

■ 

rieursoppo- 

fa ^ & JT, 

pri$ enfem- 

blct Pour le 
icmoarxer, par le point C foit * menfe la ligne 
C£ parallelc a 4 B. H eft /trident ** que 1-an- 
rk iBC = BCE, & [ f J que Tangle ECD 
±=%AC. Or Tangle BCD=BCE-f-ECDj 
anljetide BC E-t-ECZ), on pent prendre cfl 
quiy eftcgal, ffavoir ABC^hAC. Done 
fangk exterieur hCD=A&C + BAQ '* + 
f* P ilf*llott Jtmentrer. f 

* Cm. 4. Pr#. if. ou Cor. Trtf. t).Cr#. 
** Piirf. i. Prof. a{. <»«*. 



CpROLLAIJ* 



Geometric. . 5 4* 

COROLLAIRE.. 

Ajant prolong^ an c6t6 pris a volontc d*oa 
triangle , Tangle cxterieur , par exemple BCD, 
forme par ce moyen , fera * plus gran< <aa u- 
cun des interieurs A & 2 .pppofcz , puuqu'il 
fera [*3 cgal a la fomme des angles ^ & B qui 
cn ferpnt les parties. 



PROPOSITION XXXI. 

Jto frw angles de chaque triangle re&iligne f frU 
tnfemble , JW igaux a deux angles droits* 

DEMONSTRATION. 

SOit unr triangle re&iligne pris a volonte 1 , par 
exemple A C B : je dis que fes trois angles 

pris eniemble AVC + BAC *+BCA lone 

igaux a dear 

angles droits. B 

pourle demon- ^ 

trer foil prolon- 
i §e un cdt£ pris 

! a volont£ ? , par f ■ >^ w .«— .- 

! exemple ^C. A. V U 

| I/angle exterieur BCD =ABC+BA C [ 2 J* 

Done en ajoiitant de part & d'autre Tangle 

ACB y on aura[*J BCD+ACB ~ABC-** 
* 2AC-+ACB. Or ^J les angles BCD Qc 

\ s * Ax. x. gen. L T )Prop.fref. 

\ [*] Prop, \o.Geo. [ l ; Ax* 4. gem. 

I M Anr.i, Prof. %i. Geo. 




rttfM 



jjo Troijieme ? Artie. 

ACB pris cnfcmble font cgaux £ deux droits. 
Done * la fomme des trois angles ABC, 
BAC , & ACB du triangle ABC eft egilea 
deux angles droits, *qutlf*U*it dmmtnr. 

COROLLAIRE I. 

Si un des angles d'un triangle eft droit , let 
deux autres angles pris cnfcinble fcront egaux 
a un droit. Car tous ces trois angles pris en- 
fcmble ne font [ X J egaux prcrifement qu'a deux 

droits. . "^ 

Et reciproquement fi un des angles d'an 

triangle eft egal aux deux autres , cet angle eft 

droit j parcequ'alors il fera egal a la moitic in 

total de ces trois angles , lequel total ou fommc 

tft ['] la valeur de deux angles droits. 

COROLLAIRE II. 

Chacun des trois angles A , B , C du trian- 
gle ABC peut cere aigu j rnais il ne peiir j 
en avoir qu'un droit ou un obtus. Parcequ'3 
ne peut y en avoir dcax droits ou deux obtus , on 
un droit & un obtus. Car (i deux angles drois 
ou deux obtus , ou un droit & un obtus poa- 
voient ctre dans un m£me triangle , ils feroicnt 
ave$ lc j° angle une grandeur plus grange 
que deux angles droits, ce qui eft contre 1* 
Veritc de la Propofition pretente/ Et partanl 
lorfque dans un triangle re&ilignc il fe rencon- 
tre un angle droit,oUun angle obtus > chacttnda 
imx autres doit etre aigu, 

* Demand* i. g en, 
{'JProf.tref. 



Gcemctrie. 351 

COROLLAIRE III. 

La. fomme des trois angles d'un triangle rec- 
tiligne pris a yolont£ , eft cgale a laibmmc des 
trois angles d'un autre triangle rt&iligne. PuiC 
que la fomme des trois angles d'un de cestrian- 

?;les eft * egale a deux angles droits , & que la 
emme des trois .angles de l'autre triangle eft 
audi cgale a la meme grandeur qui eft deux 
angles droits, 

COROLLAIRE IV, 

Si deux angles , par exemple A 8c C d'un 

triangle ABC ( pris cntemble ou fepare- 

ment ) font egaux aux deux angles D 8c F d'un 

autre triangle DEF, 

pris enfemble ou 

iepar£mcnt $ le j c 

angle reftant B d'un 

de ces triangles 

ABC fera egal au 

f angle reftant E 

de l'autre triangle 

DBF. Parceque 
[*-] la fomme del 
1 trois angles A x B y C 
d'un triangle ABC ctant teale a la fomme des 
trois angles B , E , & F de l'autre s fi on ote 
d'une part la fomme A -4- C faite des angles 
A & C , & fi on 6te de l'autre part la fomme 
9«+-F faite des autres angles D & Fjon 





* ?nf . f ref. 



M Cor. 5. Pr< f*/I 



1 * 



J 54 Trotftime Partie. 

N EA eft egale a quaere angles droits ; parce- 
que les angles interieurs avee les angles cxte- 
tieurs valent * autant de fois deux angles droits 
qu'il 7 a d'angies ou de cotez a cette furface 
rediligne. Or ** la fonfme des angles interieurs 
eft egale a autant de fois deux angles droits 
moins quatre qu'il y a d 'angles ou de cotez a 
cette m£me furface. Done la fomme des angles 
exterieurs G^B-fr- H BC ^ &c. eft egale a ces 
quatre angles droits. 

COROLLAIRE I. 

II fuitde la premiere partie de la Propofitiort 
prefente que toutes les furfa ces planes redilignes 
qui auront un parcil nombrc de cotez y auront 
le m&ihe nombre d'angies droits pour la Yalcm: 
de la iomme de ieurs angles interieurs. 

COROLLAIRE II. 

II fuitde lafecondc partie de la Propofition 
prefente que toutes les furfaces re&iJignes de 
quelque dTpfce qu'elles foient , e'eft a dire y quel 
nombre de c6tez qu'elles ayent chacune , auront 
les fomtnes des angles exterieurs egales entr'el- 
les j puilque la fomme des angles exterieurs <k 
dtacune eft Igale a quatxe angles droits* 

* Psrt. i. Prop. u . Ge* 
**tsrtj.Pr*p.fnf. 



J 



Geometric. 



35* 



PROPOSITION XXXIII. 

2. Dedeux cbtez,ou detroU cote^Jnegaux entreux 

stun triangle , le flus grand cote eft oppofe au 

-pins grand angle. 
&. Rectproquement de deux, m de trots angles me* 

gaux entreux fun triangle , le flus grand angle 

eft offofe au flue grand cote. 

DEM ON STRATION 

D I LA PRIMIIRS PARTIS. 

S.Oit lc triangle BCD dont le c6te* BZ> eft 
plus grand que le cot6 BC : je dis que Tangle 
B C JE> > B DC. Car fuppoiant * une circonfc-. 
rence de cercle de- 



„«•«•• "•■"»»*>». 



crite par les fommets 

des trois angles B, 

C, D } Tare B-4D 

fcra [*j plus grand 

que Tare fi£C. 

Done [*.] la moitii 

de cet 21c BAD qui 

eft [ 5 ] lamefure de 

Tangle C eft plus 

grande que la moi- 

ttt de Tare BE C\ qui eft lamefurede Tangle 

2>. Done Tangle C oppofe au plus grand cote* 

BD fera plus grand que Tangle D oppofe" att 

plus petit c6te BC, « qttilfattoit demontrer. 

* Cw.t. Prop. ij. G<?0, [*] Cor. i. Prof . n. <?{* f 
' [*J **#« a, gen; i*l Prof. ij. Geo. 

Gg iiij 




jftf Troijp/me Turtle; 

DEMONSTRATION 

PI LA SECONDS PARTIS. 

Si Tangle C du mfcmc triangle BCD eft plat 
grand que Tangle D : je dis que le c6t£ B D fera. 
plus grand que le cote B C. Car * Tangle C 
ctant plus grand que Tangle D , la moitic del'arc 
BAD qui eft la mefure de cet angle C, fera <'*]'. 
plus grande que la moiril de Tare B£C qui eft 
la mefure de Tangle D. Done Tare BAD double 
de fa moitic fera *j plus grand que Tare B£C 
pareillement double de la moiti£. Done [}1 le 
cdtc B D fera plus grand que le c6ce BC y it quil 
faUoit demontrtr. 



HIOPOSITION XXXIV. 

I. Lis co tez, fun triangle qui font egaux entr'ettx, 

font offofez, a des angles fareiUement egaux en- 

treux. 
%, Reeiproquement Us angles d'un triangle qui font 

egaux entr'eux , font ofpofex, a des cote^Jgaux 

entr'eux. 

D EM ON S T RATION 

D£ LA PRSMIBRE PARTI 2. 

SOit le trktnglc F HL > dont les c6tez IH & 
F L foient egaux entr'eux : j e dis que les an- 
gles H & L oppofez a ces cdtez egaux , font 

* Suffofit. i x ]Ax* u.gener, 

[■] Ax* 14. gener % [ *] Fart. ». Pref. n. Get 




Getmetrie. ^ 7 

I egaux entr'eux* Pour lc demontrer fuppo- 
ions une circonferencc dc cercle HLMFG Ai- 
crite * par le fonv- 
met des trois an- 
gles H,L,F.Ileft 
conftantu 1 ] que les 
surcs FGH8cFML 
ieronc audi egaux 
cntr'cux 5 & que l c $ 
angles H8cL font 
E*3 mefiirez par la 
moitic dc ces arcs 
VAiL 8c F6H # 

Done les angles H 8c L fcront egaux cntr'cor , 
te qHtlfalloit demontrer. 

DEMONSTRATION 

DS U SICOHOI PARTII. 

- Sok le triangle HIF dont les angles H & Z 
ioient egaux entr'eux : je dis que les c6tez F L 
8c F H oppofez a ces angles egaux , font audi 
egaux entr'eux. Aprds avoir ment la circonfe- 
rence HLMFG par les fommets des 3 angles 
dc ce triangle j on trouye que pui(que les an- 

fles H 8c L lont CM egaux entr'eux > les moitiez 
es arcs * M L K & F G H , qui en font »] la me- 
fure , font audi ♦ j egales entr'elles 5 & partant les 
arcs FMZ & FGH qui font doubles de ces 
moitiez , fontt*. audi egaux entr'eux. Done 
If A les c6tez FL 8c FH , qui font des cordes ou 
*outendantes de ces arcs , font egaux entr'eux. 

j * C*r- 1, Prof. i). Get. ['] Cor. t. Prop. ll.QiO. 
I !3H»7.^. [*]Sutpofit. 

' *- 6 l C0r '*- Prop. 10. Geo. VlAx.t-$en. 



358 Trcifieme V Artie. 

Or*cet c&tez TL & F/ffont oppofez aur angle* 
cgaux H Sc L. Done les angles d'un triangle 
egaux entr'eux font oppofez a c6cez egaux , ct 
yfilfA&oit demmtrer. 

COROLLAIRE I. 

II fine de la Demonftration de la premiere 
panic de la Proportion prefente , qu'un triangle 
equilateral a tous fes angles egaux entr'eux , 
e'eft a dire qu'il eft cquiangie. Car ft on fuppofe 
une circonference de cercle menee par les fom- 
mets des trois angles d'un triangle equilateral, 
les c6tez de ce triangle feront foutendantes 
iTarcs egaux entr'eux , dont les moitiez feront 
* inclines des angles oppofez. 

COROLLAIRE II. 

U fuit encore de la Demonftration de cette pre- 
miere partie, qu'un triangle Ifofcele , e'eft a di- 
re *+ , qui a deux cotez cgaux cntr'enx , a la ' 
angles oppofez a ces c6tez Igaux entr'eux. 

COROLLAIRE III. 

II fuit pareillement de la Demonftration de j 
la i c partie de la Proportion prefente , que 
lorfque les 3 angles d'un triangle font egam 
entr'eux , e'eft a dire , que lorfqu'un triangle eft 
Cquiangle , il eft equilateral , ou que ce triangle 
a tous ces ofitez egaux entr'eux. Puifqu'ayanc 
p| decrit une circonference de cercle par les 
fommets de ces trois > angles , ies c6tez de ce 
triangle feront cordes ou foutendantes d'arcs 
cgaux. 

* Prof. 17. Geo. ** Def. 40. GfiO, 

[•] Cor. x. Prof. 13. Geo, 



Geometric *$* 

C O R O L L A I KE I V. 

II fuit enfin de la Demonftration de la a* 
patrie de la Proposition prefente ,'■ que lorfque 
fculement deux angles d'un triangle to nt egaux 
^ntf'eux , ce triangle eft ifofcefc^ c'eft a dire > 
1 * qu'il ales deux cdtez oppofet a ces deux aiv- 
gles , egaux entr'eux. 

COROLLAIRE V. 

^*. -" ,-' - • - - .1. ' 

- -* £ntie les ufages dcla.nropo£rion prefentc, j'ea 
propoferai un pour memrer irne diftance acceffi- 
blc feulement par une- de fes extremite's, Mais 
auparavant , il eft neeefTaire de' faire attention a 

'• la maniere de determiner une ligne droite fur ie 
terrain. 

Pour tracer dans la Campagne une ligne droite 
du point B au point C , a chacune des deux ex- 
tremites B & C , il faut ficher dans la terre un 
picquet ou baton 5 cnfuite il faut fe mettre un peu 
cloignc d'une des extrcmites de cette ligne , par 
cxernple en A , & regarder le baton plante en B t 
de telle forte que ce m£me baton couvre a la vuc 

• & empeche d'appercevoir le baton CD. Alois 
on fera planter ou ficher en terre , d'elpace ea 
eipace , d'autres batons £ , F &c. de forte que 
•regardant le baton B en fe tburnant vers C D , 
il arrive que ce m$me bacon B couvre a la vug 
ies autres batons E, F Sec. La ligne BEFC 
fera une ligne droite $ parceque nous jugeons a 
la vile qu'une ligne eft droite , lorfqu'eii la re- 
gardant par un bout felon fa longueur, on 
n'appercpit aucun de fes points s'ecarter a 

* J?'f* 40* Get. 



Geometric. j £t 

£c fbn cot£ N O ctant dirigl felon la longueur 
de la ligne droiteGAf , en regardant le long 
du c6te OP, on puifTe apperccvoir le point!, 
Alors on connoitra la diftance G O qui fera la 
|nemc que G I ; & lorfqu'on mcforera G O, c'eft 
x jneme chofe que fi on mefuroic GI. Parceque 
arts le triangle Ifofcele PON Tangle PNO 
tant * droit, Tangle NOP fera [ X J un demi 
gle droit. Et dans le triangle GOI Tangle 
G O eft droit , & Tangle GOI etant egal a la 
oitie d'un droit 9 on aura [*] GIO auui egal 
un demi droit. Done [»] GO = GI. 
On peut fur le meme principe connoitre la 
mefure de la hauteur d'une tour RS y ou d'un 
arbre fans y monter. Pour cela il fauc eonftruire 
un triangle rectangle Ifofcele TVX , & attacher 
fon cote* T V fur un baton pour le fupporter. Au 
point X il faut attacher un filer , & a fon ex- 
. tr£rnite un plomb. On eloignera ce triangle , ou 
on Papprochera de la tour &£,jufqu'a ce qu'ayant 
fiche en tcrre le bacon qui le fupporte , & regar- 
dant le long du cfite* T X , on puiffe appercevoir 
Textremite S. Alors fans remuer le triangle TVX 9 
on. regardera par le point X le long de ce c6te , 
X T , & on marquera le point T od fe termine 
le rayon vifuel X T X : Je dis que la longueur 
X R eft egale a la hauteur R S qu'on cherche. Car 
la lig ne a pl°tnb X Z eft perpendiculaire a la ll« 
gne horizontale TR qui eft fur la furface de la ter- 
rcReciproquement cette ligne rneft[ 4 ] perpen- 
diculaire a XZ i rnais la ligne TV eft * aufli per-. 

* Par conftruftion. 

t*3 Cor. i. Prop, fref & Prof. 31. Geo. 

[*] Prof. 31. Goo. in Part.z. Prof. fref. 

VI Cor, i* Prop.;, Goo, 

Hh 



I St Troijieme ftrtie. 

pendiculaire a XZ. Done TV & TZ font * pa- 
jalleles. Or Tangle xr^cftH egal a la moi- 
tic (Tun droit & [ a ] Tangle X T V= S X R. Dans 
le triangle XRS > Tangle JTR fera done egal 
a la moine* d'un droit. Done auffi Tangle X SR 
fera 1*3 aufli egal a la moitie d'un droit -, car oa 
fuppofe que Tangle S RX eft droit. Done V] la 
ibauteur RS eft egale a la diftance X R qu'oi ] 
peut mefiirejr facilement. 

PROPOSITION XXXV, 

j*. D*m* tftezfris fefaremmt tun triangle itant 
igaux aux deux cote* aujpfr'u fefarementtn 
Autre triangle , fi langle.comfris far deux de ces 
«te£ stun de ces triangles eft egal a Pangk , 
xomfrie far deux de jces mimes cptez. de tame 
triangle* la bafe de tun fera /egale a la iafe/k 

V autre. 
a°. Peux cptez, frjs fefariment #4tn triangle ha* 

Jgaux aux deux cejUz, auffi fm fefaremeut £ra 
Autre triangle , fi tangle comfris far deux de 
xes cite^jtun de ces triangles eft flue grand fa 
tangle cemfris far deux de ces mimes eite^ it 
$ autre ; le triangle qui aura ce flus grtni 
angle aura une baft flus graade que telle k 

V autre triangle. 

DEMONSTRATION 

DE U PREMlEJtE PARTII, 

SOiem les deux triangles ABC & DET t& 
que ie cote* £F du triangle DEF (ok igaj 

* Tart.i.. Trof. if. Geo. 

1«] Vrcf. 51. Geo. & Cor. 2. Pref.fref. . 

£*:#«&.!. Irof. x+.Gso. W Fart. ^ Pref.fref 



Gdtwfttrie* * ;£; 

att c&a&AC du triangle ABC , & que le cote 

£>JEF 



foit egal au cote A B , enfin que Tangle 
? foitegal i-iv'angleC^jS :Jedisque k 




cote? F 2? oppofit a ce£ a'ngfe D E P erf egal 
au cote CB oppofe a /angle CAB. Pour le dc- 
moxvxer, cormderohs le triangle DEE applique' 
en H AC y dc forte que le c6te* EF foit pofe 
for le pofe AC s< eri appliquant lc point E 
fur le point A , le point F tombera fur le point C 
£caufe de T£galit« fuppofce. he c6tc AH fera le' 
mfeme que le cote* ED. Du poinr A cofnme cen- 
tre, & de la diftanee deAHj on decrira une.cir- 
conference de cercle RGB y qui pailera par Tex- 
ttemite B-du e6te de A B ; car P3 ^ H±=iAB. 

Puifque [*] Tangle DBF, ou fonegal H * A C r 

eft egal a Tangle CAB y leurs mefures qui fonr 

[ l ] les arcs HL8c'BL r leront egaleS entr'elies. 

OrC 1 ! Tare* ZHG=LBG. Done orant d'ons 

I pure Tare LK, & it Fautre Tare ££', il refteri' 

[*] Tare H & — BG ; «C partant ies lignes CIt 

\ & C,B leant menses du point C pris hors le 

4 centre A du terete, a la circonference, fc ter- 

P} £«#*/&; ['itrtf.io-Geo. 

\*] Cor. $* Prog. i^iSc^ [♦) Ax. $, gen, 

Hh ij 



^^ 




364 Troijlime PdrtU. 

mineiont aux points H & B egalement diftan* 
da point G oil le termine la ligne C G , qui paffr 
par le centre -<#. Done [*] C H = C B. Dans les!* 
triangles DEF &CAB> les c6tcz HC onDT' 
&C B oppofez a angles egaux feront done tfganr 
cntr'eux , ce qu'ilfalloit demontrwr. 

DEMONSTRATI ON 

Dl LA SECOND! PA&TIE* 

Soit le triangle DEF dont le cote E I eft 
tgal au c6t6 AC d'un autre triangle CAB: 
& le c6tc 
ED = AB, 
& Tangle 
DEF eft 
plus grand 
que Tangle 
CAB : je 
dis que le 
c6te ID op- 

rt \ 

pole a ce 

plus grand 

angle DEF 

eft plus 

grand que 

le c6te CB 

oppofe au plus petit angle. Pour le demontrer 

foient appliquez ces deux triangles , comme dans 

la premiere partie de la Proportion prefente, 

&foitdecrite la circonference HGBL. 

PuifqueC'J Tangle DEFou HACy>CAB\ 
& mefure :*] LH eft plus grande que Tare 1 1, 



VI Cor. 1. Prop. 14. Geo. 
I*} Cor. z* Prof* zo, Gn, 



PJ SuffofiP. 



% Ghmirie: . 5^5 

mcfure de Tangle CAB. Or C x j fare LUG—LBG. 
IDonc en 6&nE d'ttoe part Tare IB i 6c 6tant de 
T^iutre Tare L B , il rcftera C 4 J Tare ff G<[G £ $ 
3c partant le. point C etant prishorsle cercle , 
on aura L*D la ltgnc C H plus grande qpe C£;. 
e'eft a* dire., que dans ma de ces triangles le c6te 
2D F qui eft oppofe au plus grand angle DEF ,.. 
eft plus grand que le c'&te C 2? , oppose au plus 
petit angle dans Tautreitriangfe , u qu'tlfolloit 
dtmontrer. 

e or oi i ai r e r;. 

/ 1 

Fjrciproquement/lorfdue deux triangles ont 



_ — _w — , o ri 

la bale de Tun , eft egal a 
a Tangle oppofe a la bafe 
de Tautre. Sbient par e- 
xemple les dear mangles 
A"BC 6c DBF\ teteque 
lc c6te AB foit egal 
auc6teZ>£, & lc cote 
BC = BF 9 & enfin la 
bafe AC=Df : je dis 
que Tangle ABCz=.DET. 
Car fi Tangle ABC &oit 
plus grancT, on plus petit 
qtfc Tangle DBF, on ad- 
roit [♦] la bafe A C phis grande ou plus petite que 
D*£\ ce qui eft cbntre la fuppoficion prefente* 
Dione Tangled BC= DBF. 

(* ) Cor. f , Prof- 14. Geo j [* ] Akt*i* getttrfill 
( 1 ) ;Cw. 4* Prof. 14* <?w*« 




/ 





5 66 Trtijttmt Pmlil 

COROLLAIRB I I. 

Done en general deux triangles Iquilateraor 
1'un a Tantre - y lone cquiangles 1'un a Tautre de 
telle forte que les angles oppofez a cotez £gaux, 
font cgaux entre 
cux. Soient les 
deux triangles ABC 
&C DEF equilate- 
raux Tun a 1'autre , 
e'eft a dire que Ie 
cfitc AB=DE y 
que JBC=EF r 
que AC=DF : 
je dis que les an. 
gles A 8c D , par 

exemple , qui font oppofez aux c6tez £g*ux 
BC&EF^ font egaux entr'eux. Car C« J les c6- 
tez A B 8c AC ctant cgaux aux c6t£sD£& 
X) F a chacun a chacun , u les angles A 8c B n% 
toienr pas e*gaux r le plus grand de ces an- 
gles feroit [ 2 J oppofe auplus grand c6te". Le cote 
BC ne feroit- done pas egal au cote £F, cc 
qui eft contre la fuppofition. On trourera par 
Ic mfcme raifbnnement que Tangle B^=£, & 
que Tangle C~*F. Parccqu'on trouve toujour* 
que ces deux triangles oat deux cotez £gaux,cha- 
cun- a chacun , 8c des bafes cgales. entr*elles. En- 
fin deux triangles cquilareraux Tun a Tautre font 
[']_ cgaux. Car en les appliquant Tun fur Tautre^ 
de forte qu'on pofe les cotez cgaux fur les co~ 
tcz egaux $ ces triangles conviendront en wore 

■ 

I 1 ] S*tt°fit. M Brcf\ frefatrt. x+ 



Getmetrie. %€j 

gnaniere ; c*eft a dire, qu'ils nfe sVxcederont 
point Tun Tautre. Parceque autrement les cecez 
dc Tun ne feroient pas cgaux aux cote's de l'au- 
tre , chacun a chacun , ce qui eft contre la fup- 
pofition, 

COROJLLA1RE III. 

Reciproqucment dc deux triangles qui ont 
deux cotez egaux Tun a Tautre , celui qui aura 
la plus grande bafe, aura Tangle compris par ccs 
deux cotez plus grand que celui qui aura la plus 
pe%e bafe. Soient par cxemple les -triangle* 
TGH ScLMS tels que le cote TG=LM , dc 
le cote* FH=IN , & que la bafe GH foit plus 
grande que la bafe MN ; je dis que Tangle 




GTH^MLN. Car cet angle GtH ne j>eut 
ttic que plus grand que Tangle M LN , ou eg at 
a cet angle AifIN, ou plus petit que ce meme 
angle M L S. Or Tangle GTH ne peut cere %aT 
a M L H j car it faudroit * qae la bafe GH fur 
igalc a la bafe M N , ce qui eft contre la fup- 
pofition. Pareiltement Tangle GTH ne peut 
toe plus petit que Tangle M I N j car t x 3 la bafe 
Cff feroit plus petite que la bafe Af N * ce qui 

*?art-u?rop.pref. 



3*8* Troififwt Fdftik^ 

eft encore conn* la fappofitioo. Donc ; i'arigie- 
GFH quieftoppoiealaplus.grandcbaiie , ten 
plus grand que Tangle MLN , qui cit oppo& i, 
la plus petite bafc... 

CQROLIAIRE IV. 

Pour decrire un triangle qui (bit equilateral, 
equiangle & egal a on autre triangle donne 
ABC* Avec un compas on prendra la lxgne 2> E 
cgale iAB.D^ _ 

point D conune J% — -*m£- 

centre, & del in- A ^ h >.^ 

tervalle Z>F ega- 
le a-rfC, ondc- 
crira un arc de 
cercle. Du point. 
E, & de rimer- 
vale EF egale a 
BC on decrira 
encore un arc de 
ccrcle,qui coupe- 

ra le premier au point F, Enfuite du point D a«* 
point F on menera 2)F, & du point £ au me- 
sne point F on menera £F : jc dis que le trian- 
gle DEF fera equilateral an triangle ABC ^ 
comme il eft evident [* J ; ce triangle D £ F (era 
t*l aufli equiangle atr triangle A B C j enfin [ } ] 
ces deux triangles feront egaux entre eux.. 

Oh Ce ferviroit de cctte mcthode & on vouloit 
decrire un triangle qui cut fes cotez eganx a trois 
ligncs donnccs,, ekacun a caacu**; pourvu. que 

P] Pat cmftru#i(m t 
l x ] Car. u Praf.fref, 




Gtimetrtt. $6f 

deux de ces lignes prifes cnfemMe £ volonre 
rultent * plus grandes que U tioiHimc. Car ail- 
trcmetii les arcs decrirs des deux ettremirez 
d'une de ces lignes , & d'ouvertura de compat_ 
(gales a chacune desdem autfes ,ne pourroiene 
pas ie coDper , par exemple , aii point F, 

C'eft ainfi qu'on peur Aicriie an triangle 
equilateral fur unc ligne , en decrirant des deux 
excrenutei 4e la ligne propofee deax arcs d'une 
ouvertur* de compas- egak a cctte ligne ; ca 
deux extrerriitt* ieroient les fommets de dear 
angles , !c le point d'interfeciion de ces deux 
arcs feroit le fbrrimet du rroifieme, 
■ On fepent lervirdc ce Corolla i re , poor iS- 
crirc une figure fgak , cquilaiterale , & equiart- 
glc i une autre figure prepofee , en divifant en 
triangles cctte figure propofee, & en faifant 
d'autres triangles 3ont les cotez feroienr egaux 
aux cotez-des triangles de la figure propofec. 



J70 Tr$ifiim ?£rti$. 



^t^+B^—mmmmtmrnlm 



PROPOSITION XXXVI 

lis lignes parallels* <$• egales cmprtfmtnt fmtr 
leurs ixtremiux, d* mim* cotS , des lignes 
far alleles & igales. 

DEMONSTRATION. 

SOientles HgnesAB 8c CD paralleles, & 
egales cntr'elks c J« dis que les lignes A C 

& B D feront auffi paralleled 3c egales : poor 

le de*montrcr , foit mence la diagonale wfZ). 

Les angles alterocs internes BAD 8c ADC 

font * Igaux entr'eux. 

Puifque [ l ]AB=CD 

Jfcqucle c6ti AD eft 

commun aux deux 

triaiiglesXft) 8c ADC y 

le triangle 2MD aura 

les deux c6tez Br A 8c 

AD egaux au* c&e2 

C D & Z> ^ du triangle A D<1 , chacun a cha- 

cun , & les angles*-* Z> Sc ADC fcttlht auffi 
cgaux entr'eux. Et partant [*] i° Jcs bafes AC 
Be BD feront egales enttfellcs. *° tes angles 
BDA & DAC oppofet *ux y c6tez cgaux 
AB 8c CD, feront [*] auffi egaux entr'cui. 
Ccs lignes -rf C & B D feront -done [♦] paral- 

* Fart. i. Prop. iyGee* t 
[ x ] Suppofit. • . 

[*] P*rf. i. Pr<^ # jj-.G**. 
[0 Cor. i # Pro/. } f . Gw. 
[♦] P*rf # z. Prop, tj, (?** 




Ju4tfHCtttt0 



f* 



letc& enrr'ellea. Done les lignes parallele* & 
egales ^B & CD cocnpreanent , par lew* 
eaetrenoitez , des ligncs AG 8c BD egales ft 
pqjcallcks y cc quil ftdltit Aemontrtr. 

LA demonftration qu'on vient de faire eft 
feulementpour les lignes menses aux-extre- 
mites A ScC y B & D du meme c6rc. Car let 
lignes menses par lcs extremites 4 $c D ,, C« 3c 
B de ccs parallcles , de difFereus cotes, ne ie- 
roient jamais paralleles , parcequ'elles fe -cda- 
peroient toujours , 8c ne feroient egales que 
£qxc raremenr. 



COROLLAIRE. f 

Si on rait conftruire uft qnarri fur la 
'AB •, paries deux extremites A 2c B • il 
mener deux lignes A D 8c 
B C perpendiculaires & ^ga- 
les a cette lignc A B , & par "** 
leurs extremites :D & C. II 
fauc mener la ligne DC. 
Alors la figure AC {era le 
quarre qu'on fouhaittoif. 

Car i° la ligne AD lira 
[*] parallele a£C, 

x°. La ligne DC fera [»] 
parallele & egale a AB. 



ligne 
Uur 



A 



[' 



P*r*. x. Frep, ij, G#*. 
Frf.fref 



J7* Trgijt/mt Pdrtit. 

U figure AC (en done ['] Un parallcIogrittnW, 
j°. Lei angles B^B & ADC Sant fj 
fgatu » deux droits , & 1'anglc A ewnt M 
dtoif ; l'angle D fed droit. On trouvera pit 
lcmemeranonnementqaerangle C eft droit; 
enfinPangleBeftaaffil'^droit. Done AC eft 
[♦] Hn quawrc. 

f*l Drf. 4 ,, CM. 

[']?<«. (,Prep.t4. Gto. 
'1 »*/. 14. 0«, 



fSczmettit* 



37* 



-PROPOSITION XXXVII. 

%.Les cote^<$p*fc^JunJ>*rall4'ir*mmefontegaHX 

enrfeux* 
*,. Recifroquement unjuadrUatere* $» furfaceqv*^ 
drUaterale , dent Us cote^offofe^ [mt*&*ux «*- 
tt'euxs eft unfaralUlogrtmme. 

DEMONSTRATION 

«*n ... • . ' 

SI un parallelogramme eft tedangle^ par 
caccraplc KM\ il eft eonitett <jue ies cote* 

©ppofez J 1C & I . _ M 

Z Af font 6gaax 
£ntr*eux. Parce- 
qne ce font pec- 
jpendiculaires en- 
ure paralieles,qw 
* font egalcs en- 
tr'cUcs. Par le 
mfcme raifonne- 
^nent!C.Z=JMw 
On dira la. m6- 
me chofe da 

quarr£ N P. 

Si le paralle- 
logramme eft 
>obliquangle, par 

exemplc C B : je 

tdis que • CA 

=D JB , «c que 

^B^CD.^Pouc 




*£fir.ptr9f.£*G**' 




j7t Tr$lfi/mt f Artie. 

tfdfcnonurer : par lc 
milieu d'un dcs co- 
tez , par cxemple* 
par lc milieu H dc 
A B foit mene*e 
TE perpendiculaire- 
ment a cc corf A B. 
£nfuite foit pro- 
longS le cote* C A , 
jufqu'i la rencon- 
tre G dc la perpen- 
diculaire E F , & dc 
cc point G fok me- 
nee par le point B la ligne G M qui rencoc- 
trera en Af le cotl C D prolonge. 

Puifque * EF eft perpendiculaire au mi- 
lieu dc AB, on aura [ l ] GA=GB. Et partant 
lc triangle AGB eft C*]Ifofoclc. Done [^Tan- 
gle GAB =zGBA. Mais puifque * les lignes 
ABBc CM font paralleles entr'elles, Tangle 

ff\ GAB=zGCM y 8c GBA=±GMCDonc 
*] le triangle C G Af eft auffi Ifofcele : & par- 
tant CG=MG. Done retranchant d'unepait 
GA , & de Tautre B G , il reftera L*J AC=BM. 
Or C + 3 Tangle B D Af =G C Af , on yient auffi 
dc dire que Tangle GMCzzzGCM. Done M 
fangle BDAf =BAf D , & partant L 5 3 2>B=BA6 
Mais on vient auffi de faire voir que AC=BM> 
Done L ? ] le cote* Ad=BD $ done les lignes 
AC 8cBD etant paralleles & egales , compren- 

** Suppofit. [ x ] Prop. 3. G**. 

[*3 D<r/. 40. Ge*. ['] Cor z. Prop. 34. Gtf. 
1+lPart. 1. Pr*f. 14. Gw. L*] Cor^Prop^fia* 
l*\Ax. }.gm* L 7 J Ax. i%,$en. 

dront 




• Gtimttrie. ;^. 

*«pnt par lews extrcmicez ic$ lignes chafes A % 
Gcxmrtc pittance*! general fes cdtez oppoCci 
d un parallejogramme, bat exemple de c/ font 
*gatix entr'ejix , *e qu-itflfoxdmmrb>. : *. ■ '• 

&E M~0' N S T RATIO N 

»« W S.8CONOJJ. PAXXI1. 

Soit le quadrilatete. D Q dont les cotez DH 
**Peq&rVf« <r&nt egaux'Weux :Vdis 
que ce quadnlatcre eft un paraiiclogratomc/pou* 
lfflcmontrer (bit m«i6c la diagonal* VU. Lei 
trian gle s Bra & i -' J . - « ' 

G?M(Q*t *quilate.\ D ! „ 

raux Tun x-llautre. \ 
CarN le c6te* F« 
eft c^mmw -a~te*$ 

fes deux , & * __ 

DHzrzFG f Df P • 'i..Gi 

sfcrJTG." Done fl ' * ; ' " * -V 'ii~*i Av 
Its angles eppofe* a cotetf egaui font eVatt* " 
entr'eux , e'eft a dire que D V H s=t F H G ; &' 
DHF»»F(?, Done [»1 B'F * fir G font 
paralleled -entr'elies- pareiUemene Dfi & F& 
font auffi paralleles entr'elles. Done enfla la? 

£ OH O Lt AIRE £' t 

Ufa quarre eft tvv^rallclogramm* Horn loi 

-* . > * 

J '*l &#ty!& '- -- ->• ' • O ^ r t -: 

S" 3 C<w. x. Pr #. tf \ Geo. 
Li] Def. +). Gee, ,.'w i .» 



^ 





74 Troififm* Pdrtiti 

q tatte cote* font igaax en- 
j.-'eux, Soirlequaxre XF; jc B. « i ■ > m v r 

AN. Car *#0.*sa*|-*.., 

L «. NR=OP , enfia PR 

CbROLLAtHE- It 5 '' 

! II fuit^.^Proppfitioii p^fenjCfjiStolciiw 

gOHaled'un parak-: . 

klogranync, » P*fW .,& > '■ - • H ; 

exemple la diago- j < i ^ > "* f 

nale F If du patai- ,.- f .- i ^** 

lelogramme DXx. t - ' "* 

divite cc parallclo- 

gramrae ctt.dcu.Xf 

parties igales > c'clt F 

a dire que letriaij- . . 

elc DflfF eft teal au triangle F^^ Carole 

j»rf.3H:?s*GrM^*<S-* &*ff eft u» 

eot£ commun «ux deux truces I) H F & 

F#iG 

t^levi*. O 

toRdttAlil E^ ..lit. 




commun *ux deux trunks dh* * 

G. Donf cesdeux triangles £rpiH eqailate- 

\ : wt i.ljawB« t Oonctf 3.il» feront,cgaux en- 



* i 



La feconde paf tif dc la Pwpofitwn prefente 
eft le fondenient d'une methode dont on Ic 
<•*< WW »icner par^un point donne une ligne 
paralleic a une figne donnfc. Soit paf exem- 
ple la ligne donnfe AB , & lc point G J** 



' 4 * v 







l£gj»Hi ilfaillf mener une. ligne parallelc a cettc 
ligne -rf B. II faut mener a Yoionte' par ce point 

c utfe 4 ttg^<fvCJX >: ; r " : ; . .. : 

3ui coupe la ligne <y^ 

onnte AB an +'"&'&•'* /„.- 

point Z>. Enfmte 'V LZzjJL^+J&Jfr 

onouTtppncomr z&^O / > 

pas du point* 2) , : /^ ^ / 

de past on d'-an- £ ^ ■'. j^r 

tre , par exemple ^ . • • V 

en JE , & de cette * 

ouvcrture BE ©n decrit du point C Tare IFM, 
De Touvernire D C on dicritdu point E Tare 
NFO qui coupe le precedent au point r F -> par 
ce point F & par le point C on mene la ligne 
QH : je -dis-qoKr cetre ligne GH «ft la ligiie 
parallelc cherchee* Car dons ie quadrilatere EC 
les cocez oppefez foot * cgavx entr'eux. Don^ 
[ x 3 ce quadrilatere eft un paralleiogramme ; Sc 
partant [*] les corcz oppoiez font paralleled 
Done FC ou G H eft parallelc a AB. 

% . 

* Pur c«nfiruSim.\\. ■ > 

VI fart.i. Prop, pre/. 
I'lDef. ■ Geo. 



$8? 

^S 5 



Ii ij 



37* TrnJUm Imh. 



FRO POSITION XXXVIII. 

i. Les mmgUs fffez. turn tmrmMogramme fmt 

' Igamx cmtfemx. 
x.Lts^MnfUs ism fudriUtere. frk tnftmhU, 

ftmtigmuxm 4 inks. 
j. tnJinU fomrm desmngUs fpfe^ tun <pubi- 
Imfrt imfcris dams mm urch valemt deux angUt 

OTHtS* 

DEMONSTRATION 

©1 LA PIIHIIXI P1RTII, 

SOit k pardldogtamme BE : jc dis qw 
Tangle >f=C, qoeB=£ # Car les angk? 
B & C pris enieiftbk fine X 1 ] egaux a deux 
droits , pareillemcnt 
ks angles E 9b C pris — 

enfcmbk font egaox a ■* _ 

la m«me grJkeur, 
qui eft deux angles _ 
droits. Done £*] la A R 

ibmme des angles 
B-HC = E-HC. Done en otant de partft 
d'autre Tangle C , il reftera M Tangle B=E. 
Par un raifonnement fcmblable on troavea 
que if-HB=:C-h>j &part*ntque -<f = C. 
Or A & C ; B & E font des angles oppofei de 
parallelogramme. Done les angles oppofez d'un 
parallelogramme font egaux entr'eux , ee «rtl 
fallott demontrer, 

VI Part. h Prof. 24. a*. M Ax. x%. gmt t 
^3 Ax. ?• general. 



Z~~7 




Geometric. 377 

E MONSTRATION 

X>B XA SKONDI » A R T I B< 

Soit par exemple le quadrilatere A BCD $ 
il fauc mener aux 
fommets de deux an- 
gles oppofez A8c C 
la ligne AC. II eft 
conltant [*] que la 
fommc des 5 angles 
du triangle -4 DC eft 
igale a deux droits; 
pareillcment que la 
fomme des angles du 
triangle ABC eft au/5 
egale a deux angles 
droits. Or la iomme des angles <fe tin* 
drilatere ABCDe&l* mfcine que la fomme 
dcccuxdcs deux triangles ADC 8c ABC* 
Done la fomme des angles du quadrilatere 
ABCD t\ egale a 4, angles droits > ct qutlfaU 
Uit dqnontrc\ 

D Elf P.V HRATION 

DE t A til 01 s ie'jSib paetib. 

La fomme de deux angles oppofez , par 
exemple A 8c C • B Sc D d'un quadrilatere 
^ BCD intent dans un cerde eft egalc a deux 
angles droits. Car ces deux angles A & C , pris 
ciUemble, ont[»] pour mefure la mokic* dW 
cireonferejice de cerde, e'eft a dire en , la moitie* 
de fes deux parties BCD 8c BAD. les deux 

[*] Pr#. 51. G#* M 2V<jf . 17. Gtf , 
VlAx-ygmtr. 

1 uj 



-% 




57* Tnifiimt Tartie. 

angles B & Z> oat * pareiUcmenr poor mefurc 

la moitic des arcs 

ADC & ^TSC for D 

kfquels ils font ap- 

pnrez , cc qui eft [ 4 J la 

mane ckofe que la 

jnoitic de teate la cir- 

conrcrencc ^# J5 C DJa- 

quelle ntoitiexeft [ s 3 la 

mefuse de deux angles 

droits. Done la lhrrime 

des angles oppofez da 

cmadriiatere ABCD infertt darts le ecrele eff 

egale a deux droits , a quilfalloit dtmontrer. 

COROLLAUE t. 

La canterfe de la premiere panic de la Pro* 
fofition prefente eft telle ; 
un quadhlatere dont les 
angles oppofez font cgaux 
cntr'eux, eft un parailelo- 
gramme. Soit le quadrila- 
tere AC dont. les angles, 
oppofez A 8c C font egaux 
entr'eax , Sc dont les angles 
£ & £ font auffi egaux cn- 
tr'eux : je dis que fes cotez E C & A B font 
paralleles cntr'eux j dememe des cotez Alb 
BC. Car fi a Tangle A on ajoute Tangle £, & 
fi a Tangle C d'une autre part on ajoute Tangle 
?, on aura l^A^Ez^C^B. Or ces angles 

* Propi 17. Geo. . V] Ax, 5. <**#. 
f* J Cor. i. Prof, zou G*. 
I 1 ] AX. 4.gm. • ' " " , 




. ■ Getmetrie. 57) 

*£-4-S«4-C-t*B font [*] e*gaiix a quatre 
droits. Done les angles A -*- E fcront cgaux a 
deux droits. Done [ l ] les ligncs tC 8c AM font 
paralleles entr'clle*. De meme fi on ajoutc Tan- 
gle * a Tangle A , & Tangle E a Tangle C , on 
aura Ji -*- B «= C -4- E. Et enfin on trouvera que 
les anglet A -4-B fcront egaux a deux droits. 
Pone les lignes AM 8c BC fcront auffi paraV 

Jkks. 

COROLLAIRH II. 

Si nn paraHelogramme , pat exemple AC f 

A deuxde fes cotez A3 & AM qui compren- 

aent un angle , cgaux aux deux c6tez HE* 

£ F d'un autre parallelogramme EGj&fi Tanr 

vie DAB compris paries deux c&tez de Tun 




eft egalaTangle HEF eompris pat les dctw 
cStez de Tautre ; un de ces parallelogrammes 
A C fera cgal a Tatitre E G , en toutes manicres. 
Car i° \es cdtez Z> C & C B cwnt [*] cgaux aux 
cfttez A B & At> y ces mtonestfitez D C & C B 
fcront aufli £gaux aux cfitez E F & E H , & enfin 
[11 aux cotez GH 8c GF , chacun a cnaeuh. i° 
Iks angles ^ & B font tgaux [♦] a deux droit*. 
!Pareillement ElcT font [*] cgaux a la meme 
■'1 i c fyt. del* Prep. pref. . C*3 P*rt.y Propif-Ge*. 

ri*Mt*u*f* 9 sr. &** W ***** »• £#****■ 

II Ulj 



i' 1 



1 



386 Treijitme fsrtie* 

grandeur qui eft deux droits. Done* 
£-f-F. Mils U]A=E. Done rettanchant d'o* 
ne part Ji , & de Tautre £ , il reftera [*] l'angle 
?=F- Or (.*] Tangle C =^f, &G=E. Done 
* Tangle C = G. Pareillentent [»] D — £ , ft 
Jf =:F. Done * Tangle D = H. f Enfin kf 
<6tez d'une de ces {Surfaces leant Iganx aux co» 
tez de l'autre , cfaaenn a chactin , de m&me da 
anglesjune de ces fiufaces fera [♦] cgale a 1'avrc, 

COROLLAIRE III. 

JLorique la fomme des angles oppoftz d'tra 

Siadrilatere n'eft point egale ^ deux angles 
oits , ce quadrilatere ne peut tore inferic da** 
nn ceicle. Car £ ce quadrilatere pouroit taf 
infcrit dans nn cercle , ces angles oppo&z fe- 
xoient [*] egaux a deux angles droits , ce qui eft 
contrc lafuppofition. 



PROPOSITION XXXIX; 

JUt fMrstUUgrsmmes .ftftx, fur U mime ba/i& 
tntri les mimes lipses farslleles font egaux cw 
treux. 



s 



DEMONSTRATION. 

Oient les paraUelogramme* AT) & ED 
pofez fur la mime bafe CD , & entre ks 

*1Ax. $.ge», {*] Part.u Pref. faf. 






■»•*••••••• 



• •' 




GeotHttrif. 584 

**emes parallclcs A F & C D : je dis que la fur* 
face da parallclogramme ACDB ett egak i 
k ftxr£ace da paxallelograavae £C DF. r 
< Car les triangles 
^fGE 8cBl>F6nt 
* les angles* CiiE 
9cJ>BT egaux cn- 
tr'eux > &ontpa- 
rcillement les an- 
gles ^EC & 5FD 
audi 6gaux en- 
tr'eux. Done Tan- 
gle JL C E' fera 
L f T 6gal a Tangle BDT. T)r C*J fc cote ^fC== 

B 2> , parceque ce font cotez oppolez de paral- 

lelogrammes, dc meme le corf CE = DF. 

Dans le triangle AEC on z done les cotes 
. i*C '&CE egaux 

aux cotez VB & A EB F 

DF , 

w* C E cgal 

.gle BDF. Done 

Jes bafes A E $c 

•8F feront [Re- 
gales entr'elles,, 

«&c les triangles 

*AQE & BDF feront [♦] aufli egaux entr'eux. . 
Mais les parallelogram mes AD & CFpett- 
vent etre pofez fur la m£rne bafe CD tnj 
manieres^ 

i* Le points ou F fe peut renebntrer entrc 
ks points A 8tB : alors on ajoitera an trian-. 

* Part. 1. Prep. 14. Geo. [«] Car. 4. Pr<tf. ji. <&* 
" ' Part. i. Pr^.37. <?w. [«] P*rt.*Jr<f.y.<**** 
Ax.i.G$9* 



& Tangle 
egal a Tan- 




}8i , Tnifteme Partit. 

vie ACE la furface CD BE-, & an triangfe. 
Joj on ajoutera la tncme iurface CDBf)| 
on * anra CiB4-CD8B = lTDF + 
CDBE , c'eft a dire, It parallelogramme AD 
fcra egal a£D, 

a Le point £ fepent rencontrer fur le point 
B, ouFfiir A: alors au triangle ^fC£ oo 
ajoutera le triangle C BD ; & au triangle BD? 
on ajoutera le memc triangle CB& , & * on 
aur*^CB-*-C£I>=BDF-**CBI> , c'eft 
a dire , le pa- 
rallelogram- k 
me AD = A 
CP. 

^° Enfin Ies 
points E & F 
ie peurent 
rencontrer 
cntierement 
tors la liene 

^B , de tone que CE couperaBD en G. Alors 
du triangle Jf C £ & du triangle B Z> F on re- 
cranchera le triangle B GE qui four eft commun, 
Jrilreftera[ , J laiurraee A C GB=EGDF. Ec 
en ajoutant de pan & d'autre le triangle C G I>, 
on aura* AC GB H-CGD=E 6DF4* 
CGD, c'eft a dire, le parallelogramme AD 
sszCF,ce qttil f*UoH demontrer. 

COROLLAIRB I. 

Les parallelogrammes pofez fur des bafts 
(gales & entre les mimes lignes parallclcs ou 

* Ax. 4. pntrd. 
£' J A*. }. gmerd. 




Gametrie* j»j 

■f*4 c £ a & nc . hauteur font aufli cgaux eotr'eux* 
Soient les - 

bafes CJDSc A BE F 

4S H Q6fi- — ~""*""~1 j " » **-' 

grammes / ^f Jr. \ 

OB «t^F / .••; /,^ \ \ 

clc rocnae— ■ «** — *— <pA«««— -m...« i . ■ ■ ■— ^ 

hauteur , c- V ;C ** OK 

gales en- "-**—**—*.-* % * 

tr'elles : jc dfc que le paraftelogsamme C£=4 
C£, Pour le deriiontrec foment menses kftfi-.. 
gnes. C B ic 2>> , la furface CW fera wi para£-» 
lelogramme. Car % puifijue [*] EF=:GH 9 8& 
que in CD=GH y on aura CZ> = £JFj ce* 
deux lignes CD ^EF, &ant «gales & paralle- 
ls* , comprenAront.fJjpar'leursextrfimitez les 
lignes C JB & X>F paralleled & cgalcs. Or [♦] le 
parallelogramme GBz=zCIf t & GF = CJfJ( 

D©nc.'lCJB==GF.. " ' . * 

f . • j. 

COROLLAIRE II. 

Xes fixrfaces des, parallclogrammes demimff 
circuit r dont Jes angles font droits , on ap-, 
grocfcnt ; k jlus des angles droits > .font plus* 
g^ndes' que les furfaces des autres parallclo- 
grammes dont les angles approcfaent moins des 
^g. 1 ??. 4rcdt s - S.° ic 1* p^ralklpjtaoamc ^if J 

* Qt>r, 4t Prop. t. Geo. '. , . \ 

I'lSttfpofit. 

VlK'P'&S"'- .- ; * 

£♦] tnf. pref. ........ .', . 




Troififme Pdrtit. 
ceftangle, 6c DH obliquangic , & (blent ce* 
deux parallelo- 
grammes cqui- * A 
laterau* entre 
cuXjC'eftadire; 
* que G A = 
GD i HB = 
tffr , on a («J 
AB = GH 7 $c 
DF = GH,& 
p] rnfin ^1B 

==DFj le cdte '<; IT ctk commun : je dis <jne 
te paraUetogramme'uf ff^GTlCar £*3 le paral- 
lefogramme DH=CH) mais CH^AH, 
9c AH eft redangle , & 2> H obliquangic * Tun 
& 1'autre d'cgal circuit. Done les parallelogram- 
mes rectangles font plus grands que le* oMi- 
quangles auoique equilateraux entr'eux.Qn <ui» 
kmSne chbfedes aiahglcV. 

Ceft pour celaque j'ay'ttcji remarqu£a3- 
leurs 1*1 que pour avoir en pieds quarrez , on en 
toifes quarries, &c. la furiace d'un parallelo- 
gramme dont les angles font obliques ^ il pc 
ralloit pas multiplier Tun par Tautre les c6tt? 

Sfui comprennent un de ces angles. Parcequ'eii 
aifant cette multiplication oti trouve feuletfieiit 
pour produit le nombre des patallelpgrarnm* 
dbUques qui compofent le paraljfclogranime t^ 
tal & qui'toHonrequtengles j mais* on ne trouve 
pas le nombre des parallelograrnme* d'une toifc 
quarrle ou d'unpied quari£ , &c. que'ie"paral- 
lelogramme contient. li'quartd on Veuc connol- 

* Supfofit. [«! Part. T.*?rfi£tf, Gt* J 

[*] Ax. ig. genet. mProfi.pef?)'* 
1*1 fin du Cor. i. def % ;j. fkge m] Geo m 

m 




Gwtmtfte. 385 

-fiftfattr&r , ie terrain o» wileiirs^ttfage eft 
•de.eherdicr dc* oeifes^uacrses , percl*es quar- 
ries 9 6cc. r{ Par exemple fi on multiplie Tun par 
l'autre lc$c6tez ^C &^i' du paraUclogrammc 
redfcangle 

wfB, &4 c B 

eft dc 1 rx] / 1 ^ 

toifes , 8C 

lcc6teAJt* 

de 4 toi(es t 

on aura ia 

toifes quar- F" 

r£espourla *• 

furface du 

parallclqgramme AB. S! le cfoc. <4E in pi- 
raltelogramme obliquangle ^ Z) eft audi lie \ 
toifes , en multipliant ee c6ci ^t£ par -^ F de 
4 toifef , to aura u toifes ohJiqiMHgtef , e'eft 
a dire it petics paralfelogrammes obliques 
<5«i (Wai 4a vakwi du pacfilelogramme totH 
if & , maisquin'expfiment point la valetar dee 
toUc* quafim mVm cheiche. C r onvicntdtt 
faire f^k qukm rhornbe dont chique cdi6 eft dW 
lfc«t*^4* longueur, eft pizs pcric qu'unc tptfc 
quar*e>. 

Ail lieu quton rient d'examine* let far*. 

face* de dene parallelogram*** dc meme 

circuit , lorfque les cficez de Funiorit egaux aux 

cArcs de frtftre , & que chaque angle de l*aa 

dtflercde chaque angle de iiautre ) donexami* 

»ne prefentemene Its &rfaces de deux dc .ecu 

parallclogfammes > lorfque les angles de Pun 

lone egaux aut angles de Pautre , ehacun a 

tfbacun f 8c «uc ckaqoe ch6 de Tun diiber do 

ciaque c6tt de l'aucre f Qn tiouvcra encore ^u* 

les p*ialklograaync$ 4c nieirte cirotft qui ap* 



3$ 6 Trtijitnie Tdrtli. 

piochent ft plus du quarrl , feront plus giandi 
cue les autres qui en approchent moins. 

8 B 




i z 



* 4 





i 



mm^mm 



*«P 



I X 



Soit par exemple le parallelogramme rcdanglc 
.** B, dont un cote eft dc 8 toifes , & Tautrc de 
* 5 foic un autre parallelogramme rcdinglc 
C D done un c6t£ (oit de i tones & Faurre dc 
it : on trouve. * que la {utfa,cti.du parallelogram- 
me A B eft de 48 toifes quarries , & que la fur- 
lace du pacallelograkime QD- eft feulement it 
14 toifes , quoique chacunfoit tie 18 • toifes It- 
nf aires de circuit. " 

Enfin de ce Corollaire on concluera que 
les quarrez font les furfaces planes les pta 
grandes detoutes ceilesqui ant k meaie circuit 

COROIL A I R E I I I. 
La furface d'tfn parallelogumme obliquing!* 





> • ■ .7 


■ 
• 


1 > 


s 


- ^^^ 


1 




1 


V^l 


a 




\S 


\S 



eft^gale auproduitdcfa bafe mukipHctl jfer ia 
hauteur. Soit pat : ■* r • . . i 

exemple le paral* E F Aj . B 

jelogramme obli- 
quangle CB, lorf- 
qu'on mukipliela 
bafr CX> par la 
hauteur CE ou 
2> F , on a * pour ' v "~ u 
produjt le paral- 

lefogramme C F. Or [ x l le parallelogramme 
CF eft -e*gal au parallelogrammc C B. Done en 
multiplian; la baft C D par la hauteur du pa- 
rallelogramme C B , on aura pour produir 1* 
raieur de ce mime parallelogramme C 5. 

COROLLAIRE IV. 

Les paraUelogrammes font doubles des trian- 
gles de mfc- 

mebafe&de A BE F 

mime hau- 
teur. Soient 
le parallelo- 
grammc CB, 
par exemple, 
& le triangle 

CDE , pofez fur la meme bafe CD & cn- 
tre les mfcmes lignes parailcles A F & C G : jc 
dis que ce parallelogramme C B eft double du 
triangle CDE. Pour le demontrer , (bit men£e 
par le point D la ligne D F parallele a la ligne 
CE,on aura [*] le parallelogramme CF=CB. 







Kr ij 



Or * k triangle C J>£ eft k mamt ixt f& 

zalklogiamme CF , od de fen *gal C* 
Done ce paralltlograminc CI fe» doable de 
CDB, pdqu'im coot eft douMe d'une 4e As 



i^i« 



PROPOSITION XL 



t°. In triangles pfet far U mime baft m fist dts 
bnfesigaUs, &entre Us mimes ligpes p*r*1U- 
Us » font igame entreux. 

& Rgeifreqmememt Us triangks qui font fur U 
mime ksf* y oufm das bsfesagaUs , en Ugns 
droite , du mime cote, & qui font egaux entrt 
enx , fan/ entre Us tntmes ti&es pnraUeUs. 

j*. Ree'froquement enfin Us triangles qui font entre 
Us mimes paralUUs & ogam* entr'essx, fmsfi* 
U mime bafe , oh fur des bafes egaUs,. 

DEMONSTRATION 

SOicnt les triangles ABC ic BET fur k mime 
bafe AC , ou fur let b&fts Igaks A C & 
D.F , & entre les mimes paralleles AF&GH: 
je dis que le triangle -4 B C eft Igal au triangle 
DFE. Poor le demontxer , foit mence par le 
point -4 du triangle ABC une ligne parallel* 
aCfj puiique GB eft L l J par allele a AC y on aura 
le parallclogramme C G : la mime chole ieroic 
arrivce , £ par le point C on aroit men£ one 

<• 

* Cw. a. Pr*p # 37. G#*. , 



G come trie. 



*•* 



#9 




«y«tMHwa4«i 



AD CF 




*. A 



ligne parallcle si ./*£. Soit encore mence par 
le: point Fia ligne FH parallelement au cote I>£. 
Le parallelogrammc D H fera * egal au paral- 
lelogramme GC^ puifquc la bafe AC = D F , 
& que ces deux parallelogrammes Coi\t entre les 
m&mes lignes parallcles. Or puifque C G= 
DH, on au-rai^ie triangle ABC=DEF, 
$e quilfalloit demontrer. 

D EMONSTR ATION 

21 LA SECOND! PARTIB, 

Soient les deux triangles ABC & T>EF egaux: 
cntr'eux, pofcz fur la m&me bafe AC ,.ou fur, 
des bafes egales AC & X) F , en ligne droite & 
4umeme cote* : jeidis que ces deux triangles 

* Pro P» 39» cJ» Cor. 1. Prop. 3?. Gf*. 
VI Ax, n % general. 

K K II] 




a«o Trtifiinu PsrtU. 

fontcntrclcsmfemcs lignes parallel* cV/J i 
dire , que la Hgac BE mencc par les fommm 

la fuppofition prefente , xl eft impoffible qu on 

mene par 
le fommct 
B unc autre 
lignc que 
BE qui (bit 
parallele a. 
AF. Si BE 
n'itoic pas 
parallelc i 
AF , on 
en pQoxrok 
mcner*une 
par ce point 
S ? qui 
pofieroit 
de pan ou 
d'aurre du 
point E , 
f^avoir BH 

o* BG. Si c^toif par exemple BH qui fib pa- 
rallele a^F } on auroit L*3 fc triangle DHFzs 
ABC i mais[*3 DEFs=zABC. Done le trian- 
gle I> HF (eroit [ij egal aD£F, e'eft a dire, k 
partie fooit cgale au tout , cc qui eft ( 4 > impoffi- 
blc Par la m&me raifon B G ne peut etrc parallelc 
a -rfFl Ceft done lafeulc ligne BE quieftpa- 
rallek a AB , « tpiilfMoH dmonfnr. 




* Car* Prep. 15, <?** 
[ a ] Suffofit'. 



VSlFm> *.&+#$ 




AN C MP 



Gem*M&. j>? 

I> EMONST RATION. 

Dl U liOUIl'Ml P1HTII* 

Soitlc triangle ABM = NOP y fcaiiei'un, 
& l'autre 

(bit entre B O 

les m£mes 
ligncs pa- 
ralleles: je 
dis que les 
bales AM 

font la 
m&ixte, ou 
lone ^ga- 
les entre 
dies. Car 
fi rune de 
ces deux 
bales n'6- 
toicpas 6~ 

J (ale a 
'autre , & 
que NP , 
par exem- 
ple , fut 

plus grande que A M , retrauchant Con exch 
OF y on auroit la bafe NC du triangle tf O C 
teale Um bafe du triangle A BJd . Le * trian- 
gle NOC fecit done <gal I ABM 5 mais [«] NOP 
=siABM, Done le tout- NOP feroit [*3 £gal 
. a fa partic N O C, ce qui eft L J 3 impoffible. Done 




nwiiiiUMiaf 



B 




* Psrt. 1. Pnp.pref, 
[»] ^x. 18. p. 



[*] Sufpofit. 
1*1 Ax. a, pm 



k bafe AM fcra cgale a N P , *# yiilfMoii Je~ 

HUtttTiT* 

Cc qui a etc* demontr&dans la t* & } c paxtie 
de la Proposition prefente a l'cgard des triangles, 
pcut ctre demontre de la mime maniere a l'c- 
gard des parallclogrammes. J'ai cru qu'il fuifi- 
roitde faire ces difTerentes demonftrations feu- 
lcment a l'cgard des trianelesrCar , loi(quc des 
parallelogrammcs pofez iur la memc bafe , di 
meme c6t6 , font egaux entr'eux •, aprcs avoir 
mene des diagonales , on y, trouve aufE des 
triangles qui en font les moitiez , qui font 
egaux entr'eux , pofez fur la meme bale ■, & 
partant cntre les memes lienes parallcles. II eft 
evident * que les moitiez des parallelogrammcs 
nt pcurcnt ^tre cntrc les memes lignes parallc- 
les fans que ces parallelogrammes foient auffi 
cntrc jfes memes hgnes parallcles. 

C O.R OLLAIRE I. 

La furiace d*un triangle eft cgale a la moi- 
tiWu produit de fa bafe multiplied par fa hauteur, 
ou ( ce qui eft la meme chofe ) au produit de la 
moitic de la bafe multiplied par fa hauteur $ ou 
en&vau produit de la bafe multiplier par la moi- 
tic de la hauteur. 

Soit le triangle 
rectangle ABC. Si 
on multiplie Tun par 
l'autre les cAtez qui 
comprennent Tan- 



gle droit , e'eft a di- ""TL r\ , ' if 
re-, fi on multiplie ^ ** ° 

la bafe A B par la hauteur A C , on a pour pro- 

« 

? Cos i. Pre}, if. Ge$. 



*■*«■■• 





. Gemetrii. . ^j 

duit 1c parallelogramme re&angle -*F; & eri 
prenant la uaoitie de ce produit , on aura la for-? 
fecc du triangle ACB, qui eft * la moide* de A F # 
Si on multiplic lc coti AC $zx AD mowed* 
c6t£ <AB y on a le parallelo- 
gram me rectangle AM 
qui eft la moiticdupa- 
raUelogramme AT j 
pui£que ['J AE = DF. 
Mais le triangle ABC 
c&Sl <gal alamoitiG 
du parallelogramme AV. 
Done le triangle ABC 
eft £gal au produir de fa baureor multiple pa* 
la, moitif de /a feafe, ou au produit de fa bai# 
multiplied par la moitif de 4a Hauteur, 

On dira la meme choie des triangles, obU^ 

quangles , e'eft 

a dire, oxigones 

ou obtufangies. 

Par excmple le 

triangle DEF 

ouDEH cft£- 

gal a un triangle 

re&angle DEG 

de meme bafe * * 

& de meme hauteur ; -&,partant ce qu'on vieht 

de dire du triangle redbtngle D E G convien* 

audi aux triangles obliquangles DEE , JDEtf, &e« 

COROLLA IRE II. 

II eft done facile de connoJtre combien de 

■ 

* Cor. %. Prof. }7 # Geo. *{*) Cor. i, Pr<£. & Gut* 
1*1 Cor. 4, Prof. 59, Gio, 




•H"1M^ 



j^4 .Trtifieme P artle. 

toifes quarrees , oil combicn de perches, &c. c6n- 
tiendra une furface plane re&iligne* propofee, 

rmtvu qu'on la puiile parcourir a volont£. Car 
fuffira de reduire cette furface en triangles rec- 
tangles , ou en parallelogrammes rcdtangles , & 
de connoltre la furface de chaque triangle , oo 
de chaquc parallelogrammc re&angle. La fom- 
mc de toates ces furfaces particulieres (era * h 
▼aleur de la furface totale propose. Mais anpa- 
rarant que de voir un cxemplc de cette prati- 
que , il eft neceflairc de faixc attention i° aux 
efpeces de mefures les plus en ufage ■> z° aar,- 
rrunieres de mefurer une longueur ou diftance 
fiir le terrain $ $° parnn point domic* dstns one 
ligne droite , ou nors de cette ligne comment 
•n lui mene une autre ligne perpendiculaire 
dans une plaine ou campagne, 

x° II faut remarquer qu'il y a des toifes lineai- 
re*, toifes quarrle*, 3c toifes cubes ;de memedes 
pieds , des pouces , & des autres mefures* 

Une perche lineaire contient 18 pieds , 19 

!>ieds , ou 11 , meme 14 pieds de longueur , 
elon le pais ou on veut mefurer ou arpenter j 
une toife lineaire contient 6 pieds ; un pied li- 
neaire contient 11 pouces $ un pouce contient u 
lignes. 

Une toife quarree contient t,6 pieds ; unpiei 
quarre* contient 144 pouces. On connoirra de 
la mime maniere les autres mefures , en quar- 
rant leur longueur. La toife cube contient zif 
pieds cubes , &c # II eft encore facile deconnoitre 
le cube des autres mefures. . 

%° On mefure la longueur d'une ligne droite 
fiir la terre avec une perche,ou une toife de hois. 
£t alors un homme fcul peut appliquer cette per- 

* •**• 3. gen. 



. Geametrie. .j$j 

phe enpartie , ou entierement ; one ou plufieurs 
fois fiicceflivement fiir la ligne qu'il vcut mefu- 
rer. Cec homme commence a appliquer un bout 
A de fa perche au bout de la ligne , en mettantf 
un de Ccs pieds au point A pour empfccher cettd 
perche de differ 5 enfin il Fa couche fucccflive- 1 
rncnt en abauTant le point B cnC , & flevanif 
•nfuite le point A , il Gemote combjen il l's 
wienie de fois. 




On me&re auffi une diilance fur la tcrre a*ee.. 
une perche , une chaine, ou une corde qufne 
«-alonge ou ne racourcit aucunemeftt 5 on ft Cett 
de picquets D , E , F , &c. Al'ors il faut deux 
pertonnes , qui s'aider ont Tun 1'autre* Soit la 
diftanee du point G au point H >, fi on ft pro- 
pofe de la mefurcr , le premier mefureur fc met* 
tra arextrcmit6 G, & Tautre mefureur en /, 
qui fera averti par la pcrfonne qui eft en G de 
ite dctourner de pan ou d'autre iufqu'a ce qu'il 
fiche fon picquet^en ligne droite de Gen H. Apres 
que le* mefureur / a fichc fon picqttet en J , 
il marchc yefs H jufiju'i ccque le mefureur Q 



|9f Troijifme V Artie. 

tbic parTenu en J * & alors le mefureur G prend 
le picquet qui £toic en / , 8c ils conrinuent ainfi 
juiqu'en H. Etant parvenus en if , le mefureur G 
compte combienil 7 a.dc picquets. Enfin £ 
Iaderniere perchenc fe terrrrinc pas en if cxac- 
tenaent, le mcfureur G compte encore combien 
il j a de pieds 8c de ponces degrais le demicr 
piccjuet juiqu'au point H , ft Icritle tout far 04 
papier jhoui s'en foureJur, 




• $• Par un peine donnc dans tine ligne drortf 
«m hors dtane Ugne droice donncc dans U 
campagne pottr mener vne ligne perpendkulaife 
a cette ligne djonn£t> on fc fert d'un bacon ££* 
cut d'un fupporri $ pieds QR ST y 8c i l'cxtrf- 
«mt£ £ o« r il jr a 4 pinnules , ou points M, K % 
O , P imntobiles , plicees chacune a chaque ti- 
fremiti des ligncs Af2f & O f mcnfcs perpendi- 
culairemtfnt rune a l'auae for «ne p Unci*, Lorf- 
aqu'on nepcoc ficher en terre l'exticmitl du bi» 
jtonJC I, on^Ge ferrdtt fcppoxr a ; pied* £jLST* 
i° Soicle point r donn£ dans lalignc K X> ajaai 
place le baton IC X fur la ligne donnie VX ao 

ppjn| 



• 



J 



t , 

..-, .• •• GeometrU, .. T 

point; r, Jfayant dirigfl«' p i„ nu i es MN vers 
1« patters V*'& *£ }Cn regardant fnfui* 
par les deux aiwres pinnules O . * . fi 1 "T 
ne de ficher un picket en .% de* W Si 

P' nn «** ° • *,,<>" aura.k!erpenS u U r rr2 
cherche^ *• S. le point 2 eft j£ is hors^ W 

; * vers if de forte qne leVpi Bnn les id kN foieS 
Junc ; & lW iirigfcs rers c & vc „ f 'JZ 
cdntmuera de tran(port?r ce baton iu&u* ce 
qu en regardant par les pi.i„iil es twverfantS 
O & P , on appercpive leigne ou pfeSg 

place* dan«tepoinf r ce ferapar od p4«S " 
i .^F«idicBlaire men.^e du poj,£ dcW | ?£ " 

f"!7 e 'ff ^ Jperpendiculaire an .plan Vc . 
car 1 angle dro.t cK * eft • le memc L e ^ 

4e ccs olans. Done la lignerzquieft f «j „?* 
Fp. 9pnc .ty fr Hgne **.#. pq&rf^ 

fouhaite meiwi on arpenter , p„ examinera fi 
cette furfape, Iprfqu'il n y a q Ue quat* angl« eft 
nn parallelogramme reclangle ,*« q ui e f faci £ 
a eonnoitre en applupant a chacu * 4« angles 
decenefutfagele baton *£ avec fes pinnuW J 
M< * , 0, P. $i cette' fiirface eft F «n pLE? 
gr^c jangle jl eft facile yi de coo- 
ttoure le -nombre des* petche* ,' bti toifes " & c ' 

1*3 £</. to- Ge* ['J Cor. *, D//> 5 . G e§ 



k 




j 9 8 Trrififme Turtle. 

qu'on cberche. S'il n'j. a que deux angks^troitj^ 
commc il arrive dans la furface ABQX> y donr 
les angles -4 & D 

font droits > on me- ^ i» ** 

nera du point £ la 
per jtndiculairc BE, 
& on aura le paral- 
lelogramme rec- 
tangle AE > 8c le 
triangle re&angle 
B E C. Aprcs avoir 

mcfure' les c6tez du re&angle «4£ , on mefurer* 
enfuite les c&tez BE &c EC da triangle re&an- 
gle BE C. Onconnoitra * enfuite la furfacc do 
rectangle , [ f J celle du triangle redan gle BEC % 
& [*] enfin. on coanoitra la. rurface entiexe 
ABCD. 

Spit une autre furface , par exemple VGHIM % 
c?ont aucun des angles n'eft droit. On diyiiera 
cette furface an triangles , en menant du fonv 
met d*un de fes angles , par ezemple du point 
H , dc& lignes auz fommets de chacun des au- 
tres angles. Enfuite du point G on menera la 
ligne GO perpendiculaire a FH. Du point Af 
on menera la ligne M N perpendiculaire a la 
mime ligne F H, Enfin du point L on menera 
la ligne L P perpendiculaire a Af H j fi quclqu un 
de ces angles , par exemple k&LH , avoit iti 
droit , on n'auroit pas eubefoin d'autre perpen- 
dculaireque £H. 

On meiurera chacune de ccs perpendiculaires, , 
/$ avoir L P que jc fuppofe par exemple de 8 toi- 
fes ,'ifc la bafe At H que je fuppofe de 19 toifes, 

* Cor. i. ^f. jj. Gep f [*] C*r. x« JPny.^Cfy 



^rf^mrfurtfra la baft Ph que je fuppofe fcrre de 
48 'toifes 1 pi&U ,'& la petpendiculaire Af N de 
*%t toifes $ eiifin la perpcnoiculaire G , que jc 
-ifcppofe <de ir toifes 4 pieds. 




Pour connoltre combien It triangle Mix 

concienc de toifes , il faut multiplier la bafe 

-A£ /f s=s 19 toifes paf 4 rbifes qui font la moiti£ 

de li'perpendiculaire L P , lc produit qui eft 11$ 

- tGifes eft * la furfece du triangle M LH. 

Pour connoitre la furface du triangle FM H , 
'on multipliera la baft FH=48 toifes 1 picas 
par la perpendiculaire M N qui eft de 11 toifes $ 
le produit de 21 fois * pieds fera 41 pieds =. 7 
'- toifes , & le produit de 2,1 muldplie par 48 fera 
1 008 toifes : de forte que le produit total de n 
toifes mukipliees par 48 toifes z pieds, fera 101; 
toifes quarrees,doht la moitie f 07 toifes & demie 
eft la furface du triangle' F M H. 

Enfin pout connoitre la furface du triangle 
TG& , on prendra la moitie du produit de la 
fcafc FH = 48 toifes z£ieds mukipliees par la 

*Cor. 1. Prof* 40' <?**• 

LI ij 



4*e Troifi/mc Pdrtte. 

perpendiculakc G O = n toifes 4 pieds. Poor 
faire cette multiplication , on reduira les 4S 
toifes en pieds , & on ajoutcra les a pieds 5 ccU 
"fera z?o pieds ( s'il y avoit eu dcs ponces , on au- 
roit reduit le toot en polices.) On reduira pa- 
rcillcmcnt les it toifes en pieds, on 7 ajouten 
les 4 pieds , & on aura 70 pieds qui etant mul- 
tipliez par les 190 , cela fera 20300 pieds qoar- 
rez , dont la moitic eft ioiyo pour la iurface da 
triangle F G J$ I meis puifqu*il y a $6 pieds quar- 
rez dans une toife quauee , en divifant 10 150 
pieds quarrez par 3$, oh aura ill toifes quar- 
ries avec — de toifc quarrce , & 7 pieds quarrez 

4 
pour la furface du triangle FGH. 

Oil fera une addition de 116 toifes , furface do 1 
triangle M LH avec /07 toifes & demie, furface 

du triangle F M H , & avee 181 Joifes — & 7 

.4 

pieds , furface du triangle F GH, On aura poor 

total ^oj- to ifes — & 7 pieds quarrez pour * la 

4 
furface entiere FGHLM. 

Pour toifer une couverture de maifon , telle 
que feroit, par exemplc 
ABCD y dontle fete E P 

eft E F , il faudroit me- S\ /\ 

furer le c6te C D & la / \ Jg/ \ 

fomme des cotez C£ A~ v^-^ ^ 

& ZA. On confidere- " . C D 

roit le toutcomme.fi e'etoit un parallelogram- 

*AX'),gener. 



Game trie. /a* 1 

*tat reftangle GH , les iiirfaces CM & LH 



M H 



(Ju'on fuppofe £tre 

les m&mes que A F 

"& C F y ctent'eonfi- 

dcrccs cftmme une 

fcule. Alors * il fe- 

ra facile de conrioi- 

trc cefte furface. 

On peat par cette methode mefiirer la furfa:e 

<Fune chambrc , d*un jardin , d'uh enclos, &c. 



PROPOSITION XL I. 

Dans un parallelogramme fi on mene une diagona- 
le >\&fi on tnene enfuite dans ce parallelogram- 
tne une ligne parallel* a un de fes cotez; &par 
le point ou cette derniere ligne coupe I* diagonal* 
fi on men* encore une autre ligne par allele a un 
Autre tote : i ° les parallelogrammes par ou la 
diagonale ne paftera point , feront egaux entre 

. eux. i° Si le parallelogramme propofe eft un 
quarri , les parallelogrammes par ok pajfera la 
diagonale feront aujfi des quarrez, 

DEMONSTRATION 

II LA PREMIER.! PARTIS. 

SOit le parallelogramme BD dont une dia- 
gonale eft A C ; foit menee la ligne £ F pa- 
rallele au c&te* BC •, & par le point L ou cette 

* Cttvii de£ f *• Gee, 



H 



\ 


L 

\ 



D 



401 Troijicme Partie* 

ligne E F coupe la diagonale A C fbit menee 

la lignc G H parallcle au c6tc CD : je dis "que 

BL=LD. Car i° B L eft * un paralleiogrammc, 

puifque E L eft * parallele a B G : & B A. ctant 

parallcle a C D , de m£- 

me que GH , on aura 

B E parallele a G L. LD A 

eft aufG un parallelo- 

gramme , puffque LH 

eft* parallele a ED , E F £ 

&ant * parallele a £ C , 

& iiD etant C'3 paral- fi 

lele a BC , on aura [*] v> 

AD parallele a E F. 

Done HD fcra parallele a ZF # Par le meme 

raifonnement EH & GF font des paralklo- 

grammes. i° [ J j Le triangle ABC=ADC. 

Mais a caufc des parallelegrarnmes E ff & G F , 

le triangle -4EZ=-rftfZ , &IGC=IFC. 

Done L*] AEL~*~LGCz=zAHL-+LFC. 

Done fi da triangle i(J)C on rctranchc </f E£ 

p4-XGC d'une part , & fi du triangk ADC 

on retranche AHL-t-LEC d'une autre part 5 les 

parallelogrammes BLSc LD par oi la diago- 

uale nepafTe point , refteront L 5 je*gaux enu'eux, 

ce quilfalloitdemontrer. 

* Par exmftruBion. 

VI Prop. z6 Geo. 

[ « j Cor. 1. Prof. 37. Geo. . . 

[♦] .i##. 4. £**. 



Geometric 40} 

D EMONSTRATI ON 

J> B LA S1CONDB PARTI B* 

Si le parallelogramme BDefton quarre* , ies 
c6tez BAScBC feront L 1 ] cgaux entr'euz , & 
lc triangle ABC fera [»] Ifofcele. Done [*] Tan- 
gle B^C=BC-<f$ mais auffi [ 4 ] Tangle E£ ^ 
= BCA. Done [ J J Tangle E^Z = EZ<<* # 
Done [* ] le triangle A E X e{fc Ifofcele. L'angle 
^Eleft [♦] egal a Tangle droit ABC, Done le 
parallelogramme E H eft [7] un quarre. On dc- 
rnontrera par le memc raifonncment que GF 
eft un quarre. Done fi le parallelogramme total 
B J> eft un quarre , fes parallelogrammes par 
*>u paflera la diagonals ? feront des quarrez , f« 
quilfalloit demontnr* 

COROLLA I RE. 

Entre les ufages de la premiere partie de la 
Proposition prefente , elk contribue a la de- 
monftration de la maniere dont on peut fe fer- 
vir pour fairc un parallelogramme cgal a un 
triangle , par exemple , au triangle C D E j &; 
meme , ix on yeut , ce parallelogramme aura un 
de fescotcz cgal a la ligne A K & un de fts angles 
cgal a un angle donne* B. 

i° Ayant mene par le fbmmet V du triangle 
CDE la ligne FO parallele a la bafe CE, & 
ayant pris la moitie de cette bafe pour celle d'un 

V ] Dif. so. Geo. I 1 3 Dif. 40. Geo. 

[*\ Ctr.x-Prop.14.Geo. 
[+] Part. i,. Prop. Z4.. Geo, 1*1 Ax. M.gen. 
I 6 ] Cor. 4. Prop. 34, Goo. V] Def. ;©. Geo* 

LI iiij 



■404 Troift/me ?Mrtit. 




B M 




H T 

Krallelogramme. Da milieu M Ac tcttc mhrae 
CcCEoh mencra la ligne M N , x laquelle fcra 
avec ME Tangle NME=B, Enfuite on ache- 
vera le patallelogramme MO qui eft * double | 
da triangle M DE, dont ic triangle 'CDE eft 1 
[«J audi double. Done V) le parallelogramme | 
MO eft *gal au triangle CDE. 

2 Sur la ligne F O on prendfa N E=A. En- 
fuite du point F on menera par le point M la ; 
ligne indefinie EI , & on prolongera k cote 
OE jufques en / , rencontre de F/ # On achc- 
yera le parallelogramme GO , & on pro- 
longera EC ci\? ,8c NM cnH, pour avoir 
le parallelogramme qu'on cherchoit qui eft GM 
egal [OaAfOj & enfin egal au triangle Jon- 
ne CDE. Ce parallelogramme GM a f M le 
cote GH — EN — A [*]. Tangle PATHOS 
NAfEtf=B. 

* Cw. 4. **•#. #. G**. 

t * l Parf. 1. Pr*p. 40. G** #• <<*#• J • £«*• 

[ l ] «<**. *. general. [ * ] Pa*? . 1. Pwp. f ref. 

C 4 J P^rr. i. Fr<>f . yj. Qt: [*] Par xmftru&m. 



Geometric, 



4?S 



PROPOSITION XL II. 

K 

m 

Ze quarre iune ligne dfoifee en deux parties a ye- 
lonte , eft egal aux quarrez de chackne de fes 
deux parties & a deux reftangles cempm fun 
ces memes parties* 



s 



D EMONSTRATION. 

Oit la ligne C D coirpce en deux parties au 
point H : je dis que le quarre de cettc lignc 
cil cgal aux quarrez de cnacune des parties 
C H & HD , & a 
deux re&angles com* 
pris {bus ces m£mes * 
parties CH&HD. 
Pour le demontrer, foit 
. C £ quarr£ de la ligne 
.CD. Par le point de £ 
divifion H foit mence 
HL paralleleau c6t£ 
Z>£. Solt menie la e 
ligne- diagonale AD. 

£nfin par le point F ou la diagonale coupe la 
ligne LH (bit mence E G parallele au c6te C D, 
i° Le paraHeloeramme EL eft * lequarrc' de 
C H , puifqu'ii eft le quarre de E F = C H. Le 
parallelogramme H G eft le quarre de la ligne 
H D. z° Le parallelogramme C F eft cornpris 
fous CH 8c HD ,puifque [*] TH=zHD 5 & le 
parallelogramme F B eft audi cornpris fous C H 
&HD; car IF=;EF = C J tf, d© mcmeFG 

* Part.z. Prop. 41, Geo. & Fart* 1. Prop* 57. Ge$ % 




<4$* Trotptmt Pkrtie. 

-c=jff0."Donc lc quarrc CE eft *~egal aui^fhx 
quarrez E L & H. G des deu* parties C ff & 
H D ; fic'eifcore * deuxlre€l2ngles C F" & F* 
compris foas ces memes parties CH 6c HV , 

*€t qti'il faileit demohtter. 



>•*•■ 



PROPOSITION XLIII. 

. ' . ... 
Si^tne Hgne droits eftcoupee en deux forties ig*hs y 
& enftdte en deux ptrtier ifiegfiles ; U re flange 
cmfris feu* let fatties inigdes Mvec U qusm 
- d$ I* ftrtie inter ceptee entre Us deux feints de 
feBton, eft igul Me epmrl eie I* nxntU detem 
Is ligne. 

DEMONS T R A TIO% 

,r>Oit la ligne droite AB divifee en deux par- 

Ottics egales au point C , * en deux inejpki 

an point D : 

jc dis que 
<jc re&afcgle 

compris fous 
jles parties inc- 
/gaks AD ~6c 
. ^B-aycc le 
- quarrc de ta 
-particCDeft 
^igalaaquar- 
cre-deCBmoi- 

ttic de AB. Pour le demontiar , ll feut taireTe 
<4jM»e de C B , ^^cner ia diagonale IB,'* 



K L 




Geimctrie. '407. 

par le point 2> mener DK parallele an c6t6 
B L. Enfin par le point dc fcdion G on menera 
EH paralWoau cbttAB > dc on feta ,i*£ pa- 
rallel* a *H. 

Puifque * D G eft parallcle a ?H , & que AE 
eft aum parallele a B H , on aura C'jAE paraU 
lele a DG* maisf 1 ] DG = Z>B. Done le pa- 
rallelogramme A G eft compris (bus les parties 
incgzks AD 6c DB. Lc parallclogramaic A F 
= C #[*] } mais [♦ J CG=GL. Done en ajoiU 
tant dc part & d'aHtre 2> H , on aura C G -h 
DHsGi + DffjC'cft adire,DL = CH. n 
Done [' ] A F = D X. Done en ajoutant de part 
&*d*autreCG-4-FlC , on aura uf F -+■ C G -H 
FJC = DZ>t-CG-fr-FK,cequicft[*J lamft- 
me chofe que _A G ■+• F JC = C £ , e'eft a dire 
que la foname du, re&angle A G compris {bus 
les parties ineVaks AD Sc D B y &c du quarr£ 
FJC <fc la parpie C D ^eft cgale au quarrc C £ 
de 2a moittf .C A dc la ligncLi B , r * j«'i//*tf#i# 
demontrer. 1 

'*] Prop. x6. Gev. 

1 j P*rf. %. Pr#. 41.. (?#*.<$><<# JO,<?"« 

*]Pr0p. J9..G**. 
.[♦ i P^ir^ i. Pr^. 41. Gee. 
[*] -<i*. iS- general.. 
. l f l A*, y general. 



&& 



^e\6S Tritpttnt Ptrtie. 

e=tf?0.Donc lc quarrc CE eft 'legaraTurdelr* 
quarrrz EL & H G des deux; parties C H & 
HD; &r«fc©re * deux're€tengle* CF^ F* 
compris foas ces memes parties CH & HD t 

' €t qtfil failoit demontrer. 



»-«*i 



PROPOSIT ION XLIII. 

Si mne Ugne droiti eft cotsfee en deux parties eg&, 
{$> enfmte en deux fifties inegales i UreHttjj* 
temfris fern Us fatties inigdes Mvec le quern 
de Uftrtie mtercefte* entre Us deux ferns ee 
feBim* eft eg*l me epemri de I* moitii detm 
laligne. 

DEMONS TR A T I O <N. 

-COitlaligne droite AB divifec en deux par- 
ities egales au point C , 4c en dettz incgato , 
an point D : 

J*e dis que 
e re&afigle 
compris fous 
j les parties inc- 
. gaks AD Sc 
: ^B~ ayee le 
• quarrc de la 
-particCDeft 
'igalauquar- 
-re4eC£moi- 

itic de AB. Pour le'tfemontiar, ll faut feireTe 
^•aK^deCB/^c^wnerla-diasonale II,* 

*>&x> ygtn* 



K L 




Kelt* It quarrtde PG=€B. DancFJC eft 1« 
qqarxe' da CB mokil de AB. Le paraUelo- 
gramme AF = CG [«] , 4c C»3 LG=CG. 
Done LI} AFz=z GL. Done en ajo&tant CH de 
pact & d'autre , on aural*} AF^rCH^zGL 
*+>CH , e'eft i dire A&=G L+C H. Done 
ajoutam encore de pan & d'antre le qoarrc* F JT, 
on am AH-lrFK = GL*+-CH +>TK , ce 
qui eft la mime chofe [* ] que XK4-FI3 
C £ $ e'eft a dire que le re-dangle compris (bus 
la ligne AD compose dft ta diri&e .rfB & de 
fa/outee BD & (bus I'ajo&tee B D , avec k 

2uarr£ FJC de la ligne CB mokii de la diY&e, 
>nt,pris enfemble , 6gaux au quarrl CL de la 
ligne C D compofic de la moitie* C J de la di- 
*2£e,& de l'ajoutce&D, « ftilfdtatjjkmmrtHrm 



PROPOSITION XIV. 

{J» fMymd* cmt* t/Ugsl iht&rde £u» sre 4) 
$%dep*^4'i* dn*vfirmc$ du mhm u*k% .'■ 

I>EM&N«tlATiOM, 

SOit le cercle ^ j* $ da centre C (bit men£ te 
rayon CD : jedis que ce rayon CD eft £gal 
4 une corde dc f o degeez pas dam la ck coo* 

* P*f*. i. *wp. 57. <?*#. 
[»] Cw. 1. Fr#f . J9. G€0 m 
[*]P*rt.i;Tr*p.4J.G*0 i 
V\Ax.i%.g***r*l. . 
[♦] Ax. ±. general. 
\}\Ax.yi**trd ¥ 

Mm 



40? 



Troijtfme Pdrtfc. 



PROPOSITION XLIV. 

Si en ajeute one ligne droite a ttne autre divifee en 
' deux epdements le re&angle compris fotts tout* 
la ligne eomfofee de la divifee , & de tajeutetb 
fom Vajoutee , avec le quarre de la mejtti de It 
divifee, eft egnlau quarre de la ligne eomfofee de 
Umeitiede la divifee o* de Vajomtee. 

* DEMONSTRATION. 

SOit U ligne droite A B divifee en deux cga- 
lement au point C - 9 i laqneUc fok ajoutee la 
ligne £Z> : je 

disquelerec- I K L 

tangle com- 
pris foas 1* 
ligne entiere 
At) , & fous 
la li^ne BD 
avec 1: quarre 
de la partie 
C B moitic de 
la ligne AB y 

eft 6gai au quarre de la ligne CD compoftedela 
moiue B C & de Pajoutee B D. Pour le demon- 
vcter , il faut faire le quarre de C D , §£ mentr 
la diagonale 1 D ; par le point B y mener BK p*r 
jrallcle au c6te DIj par le point de fc&ion G, 
il faut mener E H pay allele au c6te* A 2> , & A E 
paralkle a D H. 

Le parallelogramrae ^H eft compris fous 
AD & DH-, mais* t>H'=bB. Done le pa- 
rallelogramme AH ef$ compris fibi^s A D & B D, 



c T 


\ 


G 






\ 



H 



B 



* Tart. %. Pre}. 41. Gw. {$• def.}Q,Ge* 



WK& 



*r*ft * lc quatrede PG=€B. Bene to eft Is 
qqatr6 d& CB mokic de A B, Lc paraUefo* 

framme AI=CG [ l ] , 4c C* 3 LG=CG. 
tone [LI] A¥s=zGL. Done en ajo&tant CH de 
par* & d'autre , on aural*} AF+CH=G& 
*4rCH 9 c f c(i k dire A&=G L+C H. Done 
ajoutant encore de pare & d'antre le quarre F JT, 
on aura AH-+FK = GL*+*CH -*-TK , ct 
qui eft la mime chofe ['] que AH+*FK=s 
C £ i e'eft a dire que le t e&angle compris (but 
la ligne «<d(D compose dfe la divifte ^fj & de 
Tajoutee BD 6c fous I'ajoftfee BD , avec k 

Siarrc F JC de la ligne C £ moiti£ de la diyifce, 
nc , pris cnfemble , egaux au quarre CL de la 

• ligne C D compofic de la moitie CB de la di~ 

• nfte^c dc l'ajoutce BD,ce pilftlUittcmmtrtr. 



PROPOSITION xiv. 

*)» rsyende cercle eptgel 4 horde Jtm* sre 4) 
*• depti^itl* drcepfneme dumb** eenU% • 

SOit le cercle <rf 2? * da centre C foit merrf te 
rayon CD : je dis que ce rayon CD eft egal 
4 une corde de to degrez pas dam la circaaw 

* ***** i, Pwf . 57. G*#. 

£*] Cw. I. Pref. J9. Ge#. 

[»] P*rM.*wp.4X.<jWk ' ' k 

T&1 Ax.\\. &**4* . 

[♦] Ax. 4. general. 

\*lAx.ygi*tr*l* 

Mat 



'41* Troifiim Tar tie. 

Ics carriers y par exemple qnelcjM* Hof Iogenft, 
fent dans 1'crreor , lorfqtrtls croyent que la cir- 
confcrence des roifes d'tine horlofce eft prgcift- 
jnent triple da diamttre de cc$ . nKdies roses. 



PROPOSITION XLVI. 

£j /4f le milieu dun cM dun polygene regular m 
mum* une ligne perpendiculsire * ee cote ; &f 
far le milieu dun sum cM qui forme ten angle 
svec h precedent 9 ontue mem encore une autrt 
lipu perpendicular* : le concours de ces deux 
fefpendiculaires fer* le centre dune circemferenm 

. de emit qui }*J[er* par ttu4 hs J emmets da au- 
tre* uncles de ce poh/gom* 

DEMONSTRATION 

t ' < . . . 

SOk le polygene regulier .4SC2>EF s park 
milieu H du c6t<6 Af feat mencc la ligoc 
jrapendkuktire 
JSLipzx lefoi* 
Jieo G dtt c6t£ 
pfochamFffoifc 
encore men&e la 
Jigne pcrpendi- 
xulaire G£ : jc 
dis que le. f>oint 
Z qtii eft le con- 
covrsdecesdeuf 
perpendiculairef, 
eft le centre de la 
circonference qu'on cherche 5 cVft a dire x tm 
fi du point L & d'nnc puverturc de compas tede 
a U pn decrit une* circonference de cercle , elk 
pallera par Ic* points B 9 C,D, *c. Pour k 




. • • G&metrie. , -.-♦ 4, 

Lontrer % iLfumt de deoapntre* que les.ligne* 
JL s£ y LBjLC r LD % &c # ibat cgafcs entr'ellesi 
JPiiiixjue le pointZappartient a I4 ligne ff Z & 
A la ligne 6i, il eft * cgalement diftaut des 
points £ , F & A. Done [ x ] la ligne Z E =: 
JLjF=LA. Done les triangles EZF fc F£^f 
ibnc equilateraux Tun a Fautre $ Jes cfitez EF & 




igi 

ligne LA— LB. Les deux triangles ZF.4 

'fit £-423 etant equilateraux ^ on aura L*] 

Xaogle lAL^ABL. Done ,C* l'angle £^B 

reftcj^a egai a Z£C , # outre cela on aura ert*« 

'core L 7 . X A & ^ £ egaux aux c6tci LB'Sc BC. 

JDohc } laba£ LR.z=zlC. 0\ demontrera de 

Ja> rn£me rnankri que. Z| C — LD , &c. Done 

toutes les lignes droites rnehees du point Z aux 

fomrnecs des angles. A y B , C y &c. font ega(fc$ 

entr'eiles , c* qu'ilfalloit demontrer. - ' 

COR O j L L A I R E. 

Quand pn- dit .[*. qa'un. polyjpue e/t jn(cric 

dans un ccrcte , en m^mt-temps ce tercle' eft 

jappellc cir,CQnf(srit a cc polygons ; & lorfaue 

I 9 j le polygoiieeft circonferit, en m^me-terhpt 

le cercle ell appelle iiifcrit au m£me polygene. 

II eft done evident que la Proportion prefciite 

enfeigne la maniere de circorucrire un cercle i 

• *.?rop* 3. Geo* j 1 ] Coir. ^..Ax. 1. Geo. ' 

[ 2 ] Def. ft. Geo. [*-j Cor. 1. Prop* jf*. Geo. 
[ 4 ] -4a:. 9. gen* C 1 ] P/irf." i^Frof. 3f. C?<?i f 

.^Ipif.^.Geo.^ Ax^.gen.' ' 
' '[7] ^ rf . x/pttf. Jf . #. #/. f f. Geol • 
[»] Vef.faGco. VuVk.v.Geo. ' 

• c Mm;, flj - c J 



414 Trrijtfme Tmfc 

tin polygone rcgulicr donnl , en failant paflefr 
one circonference pax lcs fbmmets de tons lei 
angles. On a encore one manierc facile pour 
infcrire un cerclc a un polygene donnl. Car 
apris avoir txour£ * ie point X centre de la cir- 
conference qui pafle par tous les fbmmets dtt 
angles A , B , C , &c. Si dc ce point £ & d'one 
euverture de compas ££ale a la perpendiculaiie 
L G y on d£cnt "ffne circonference de cercle , elk 
touchera les aurres c6tez JA > AB y BC , &c 
pour cela fl fiiffit [*] qufc toutes les perpendktf- 
laires men£es de ce point Z £ ces c£tez FA\ 
AB, &c foitnt £gales entr'clles. Or cela eft 
Evident , parceque les tdttz dc ce polygene &ant 
X*3 Igaux cntr'eux, (eronr cordes Igales dc h dr- 
conference circonicrite.Donc ellesfcront C*- £ga- 
Icmcnt diftantes du centre X 5 mais ces diftane& 
font L*JmeftrfcJ bar desperpendiculaires menfc 
dip point £ a ces cotez VA,AB y BC, &c. Done too^- 
tes Ces perpendfculairts feront *gales emr'elks. 



I 1 '■ 



PHOPbsitlON XL VI I. 



&es quarreQ& getier dement tout let polygbxes n _ 
tiersJunptreifnombre de cotez, , font dts fiptrt* 
ftmbltbles. 

1 DEMONSTRATION. 

Qicnt les deux quanrez AC & EG. i° ckaque 
angle de ttm *ftt**<Jgal a chaque angfc del"a* 

*ParUPr*}.}re[. 

I'3 Def. 34. G«#. eJ. Cor. 5. Pnp. n. Car. 

l z ] °# tf .^«*. £ JJ Pirf. a. ?rtf . xfc«# t 

I 4 ] C*r. i;Pra*i 4. Geo. 

l 5 1C0r,iftr#.iQ,Gi0 § 



s 



* <7 . GH &c. Done t'J lcs qnaocz ACXc E« 



*-*. v % 



•^ ^ 



^MJi 



A 



H 



ilu_ 



liwil! 




fcoient , par exetnple , dtrtr pentagone* rtgji-; 

tiers ABCDX fc VGHIK. j°C»] -rfB . J&{? :; 
PG w Gli . &J5C . C2> ::GH.ffj. &c. 
i° La fomme des angles intfcrieurs da pentagone 
jiBCDZcA [*] c*gale a lafbmme des angles in- 
tSrfefrfs <la pentaigbne T Grff 2 JC„ Do«fc .[*] u^ 
'angle* d* l'tih fera £goi£ wangle de lVutrc»> 
Done f ♦] diKjue angle dc Tim far* 4g*l 4-chaqiia - 
angle dc riUtre. Done deetipentagone* regulicxs , 

Mm iiy 



«H 6 Trtffilm*' Fkrtie. 

fonrdctitr figvrci fjbinWafelus T « f */i / Jbibi* 4* 

Jtontrerj , ' : 

On fcra le meme raifonnewnt poor Waimar 
pol/goncs rcgulicrs qui feront d'un cgal nomboe 

lie cotez, 

.. » * 

C.ORO L L A IJfc E. 

« 

' Solent le* polygoncs rcgulicrs AB CDE & 
T'GHIK d'un pareil nombrejde c6tcz j &a 
ctucun de ces deux polygones (oient inferies & 
circonferits des ccrcles. Plus chftcun de ces deux 
polygenes aura de c6tcz , il rencontrera en un 
plus grand nombre de points les circonferenccs 
des ccrcles inferies & circonferits : de forte que 
£ ces polygones devjennent infinitilateres , e'eft 
4 dire , s'ils ont chacun une infinite de c6tez j 





fc icrcle dreonferk^rinferie au mime poly- 
gene fe confondrontren un feulcercle, Parceque 
le p olyeone qui fctroutfe comme comprimc' en* 
two efjdcux cercles.dxtouj$w$(plus grargf quele 
cere le inferit , & plus petit que le ecrele circ6n- 
fcrit , jufqu'a ce qutenfin ces polygenes ayant *ne 
nfi nite de cotez , & le cercle inicrir & le cir- 
|on feat au meme polygp&e fe coafpn^nt etiiui 



Gcomttrit. 417 

iettl cercfe j le mcmc circuit & k mfcirieftrfacf 
deviennent communes a ces cercles inherits &; 
circonfcritsv Done ces cercles leant devenus 1* 
mime chafe que des polygones reguiiers d'une 
infinite de cotez , il feat conelure * que ks ce&» 
des font des figures femblables. 



M^ft 



PROPOSITION XLVIII. 

, > . . ..... „ 

£» un triangle eft de mime hauteur que ptufteun 

autre; triangles , 'tjpfi la baft dece triangle eft 

4%*le a lafemme des bafes de ces triangles , la 

furface de ce mime triangle (era egale h la fetor. 

§ne des far faces de torn ces triangles* 

DEMONSTRATION. 

SOit par exempt k triangle ABC dc mimer, 
hauteur, e'eft a dire, entre les memes paralle- 
les, que les trian- 
gles ADE , EFG, 
GHB 5 & foitla 
bale AB du trian- 
gle ABC egale 
a la fomme des 
bafes AE y EG & 
G B des triangles 

ADE y EFG y dcc. je dis que le triangle ABC=A£1> 
-f-EGF-4-Gi**. Car [«] k triangle ABC— ACE 
«*rECG-*-GCB. Or .M le triangk ^CE=^DE j 
ECG=EFGjGCB=GJf B.Donc au lieu des trian- 
gles ACE-+*ECG*4*GGB , -fi 03 on prend ce qui 
kur eft cgal/cavoir ADE+EXG+GHMiOn trofe 

* ?r*t- 1"£ . W Ax. 3. gen. 




r 4i8 Troijtfme Tartiel I 

¥rra que le triangle A B C eft egal a la fbmftie 
des triangles -rfD E,iFG,6flB, dont fci 
kales prifes enfcmblc font cgales iAB y Sc doit 
les hauteurs font Igales a celle da triangle 
ABC j &ant tous entre les m&mes lignes pi- 
rallcles , c # qtttt falloit denumtrer. 

COROLLAIRE I. 

Si on multiplie le circuit d'un polygone re- 
gulier par la moine* de la perpendiculairc fat- 
ne'e du centre du cercle quilui eft inferit ou cir- 
conferit , a un des c6tez dece polygone ; le pro- 
duit de cette multiplication (era la furface de ce 
polygone regulicr; Soit par eiemplc le polygone 



i B c d e FA 

♦ife^ulier ^BC 2> BF ! )e dls que le produit do 
"comotirt ou circuit ABC DEW multiple par 
la moitie de la perpendiculaire G H eft la Air- 
free miffjc de ce polygone. Car apres ayoir me- 



Geomefrlel 419 

*£ du point G qui eft * egalcment diftant de* 
points A , B\ C , &c. lcs lignes G^€, GB f 
GCjGDjGE, &c. on <Hvilera ce ooljgpnc 
en triangles qui font tous de ni£me naureur ^ 
puifque L X T toutes les perpendiculaires menses d? 
point G a ces c6tez ^B , BC , CZ>, font egale* 
entr'elles. Suppofbns que la fomtne des Dale? 
de tous ces triangles , qui eft le circuit du po- 
lygon e , foit la ligne AA 9 6{ <jue h kgne A lj, 
perpendiculaire a j(A foit cgale a la Jiauteujc 
commune de tons ces memes triangles. II e(l 
cVident L a ] que le produitde la bafe A A multi- 
pliee par la moitie de la hauteur A L du trian- 
gle jiI*A eft egal au triangle A LA= VIA GB 
-t-BGC + CGD-t-pGE-t-EFG + FGA 

COROLLAIRE U 

~ Xa fiitface d'un cercle eft done cgale aapcD*. 

dujt de la circonfercnce 
de ce cercle multiplice 
par la -moitie de ion 
rayon. 'Soft le cercle * 
ABC D : je dis que £} 
furface eft egale au pro- 
duit de la circonference 
A BCD A mukipliee par 
.la moide* du rayon AE. 
Car ce cercle eft [*. un 
. poly gone regulier d'une infinite de cotez inSni^ 
*nent P^tits. Supppfons qu'un de ces. c&ez inlj- 
niment petits foit A B , ks lignes e'j# 5c Efi 

* Suffofit. oh Prof. 46. Goo* [* n Cor. Prof. ^f . G*#, 
£*] Cor. 1. Prop. 40. G^. [ J ] Prof. fref. - 
Ax. 3. gen C 5 2 Cor. */. J*. <**•• 




<fl* Treifiime Fsrtlf. 

qtu fonj cdtex da triangle ^fJ^B fcront infinA 
tnenc proches Tune de l'autre $ & partant la Jua- 
tcur de ee triangle ZAB (era confider£e com* 
me <pi rayon de ce cercle All CD. Si onmul- 
fiplic la Ipmme 4c routes les bales infiniineac 
petites de ces pctits .triangles done le fommct eft 
flans le centre £ , par k mpitie* de leur bautev 
Commune , e'eft £ dire , ii on multiplier lx rir- 
Conference da cercle par la moitie du rayon , on 
aura C'-i done pour produir la. fiirfacc die ce co- 
de. 

Pans, la pratique il eft facile de counoitre la 
longueur de Ja.cjrcpnfcrencc d'un cercle , il 6dk 
pour cela d'appliquer le bout d'lm cordcau daas 
fe point X, par exemple , & de cpuchcr enfuite 
}c rcfte de ce cordcau fiir la circoaference 
ABC D.4. Apr&s jceja, on &<mdr* <cc oordeau en 
ligne droite ,, & on mefurera combien il contxent 
*de pieds , de pouces , &c. ce qui fera connoiqg 
ll grandeur de la circonfcrence doncil s'agk* 

COROLLAIRB III. 

pour connoitrelafiix&ced'un feclturdeeer* 
de , il faut multiplier ion arc par la moki£ de 
fon rayon , # le produk de cette multiplicatioji 
ezprimera la furface de xt fe&eur. Car le fedeor 
d'un cercle eft la fonurte d'une infinite* de trian- 
gles infiniment petits ., dont lafommedes bafts 
-eft Tare de ce fe&eur , & done la hauteur conv 
triune eft undes rayons qui tcrmjaent ce mtofc 
fc&cur. 



V] w-rt 



COKOUMKB 



Gcomttrit, 4U 

- COR OLLAIREIV. 

Si on fc propofe de mcfiirer la furface du trape~ 
Ibide ^f B C D , il faut multiplier la moitie de la 
fomme des c6tez ABtc&C par la hauteur de 
tette figure qui eft ia perpendkulaire £ £ , & le 
fMioduit cxprinae- 

ra la valeur de i% C P 

la furface qu'on ^* . N " \ T*"s 

chcrche. Carbon sX*^**** \ 1 

mene la diagona- ^r 1 ** # v.\^ 

leDB,ileft«^vi- /T I » "'* 

dent que lestrian- jW £ B 

gles ALBD &DB C 

*fbnt de mfime hauteur &ane entr* Ies mimes fca- 
xaMeles 4* & D (7. Or f « } h moitii de la fom- 
me des bafes AB&DC multiple par la hau- 
teur commune D B exprime la valeur des deux 
triangles ABD dcDBC. Done le produit de la 
mortil de la fomme des cAtez Ah 8c DC multi- 
plied par la perpendiculairt eft la fiirface de la 
bgaxcABC D. 

- Si on ne pouvoit parcourir cette furface pour 
Ihefurer la pcrpendiculaire D £i il fuffiroit de 
profongtt le cot* D C , enfurte du point B , par 
excftiple , on mencroit k perpendiculaire B€ 
qui feroit corinottre (on * egale ED. 

S'& fe rencontre un pofygone irr^gulier , pat 
ttenhple , GHLMNO dont on Te propofe 
de mcfurer la furface 5 il faut mener une li- 
gne du fommet G de Tangle O G H au fom- 
met £ de Tangle M L H qui paroit le plus cloi^ 

* Cor. 4. Prop. 6. Get. 
[ l l Prif-fref. & Car. i $ Prof. 40. Gee. 

Nil 




H 



4 1 & Trvficme Tdrtie. 

enc. Enfuite da fommet de chacun des aoties 
angles dc la figure on menera fur ccttc ligne 
G L les per- ~ 

pendicuhi- 
res OP, NR, 
Hy,MT.On 
[*] mefure- 
ra le trian- 
gle GPOy 

le trapefoi- 

deOPKtf, 

& les autrcs 

crepefo'ides 

& trianglfs , pour 1*1 connoitre enfin la fiirfacc 

emiere GHLAfNO. 

5i on veut mefiirer une fiirface Jirreguliere 
qu'on ne peut parcourir librementen ligae dxoir. 

te,par eiem- 

pie cclle U JSt 

d'un etang 

du terrain oA 
cftconftruite 
une maifon , 
d'un bois 
taillis , &c. 
loriqu'iln'ya 
aucun obfta- 
de y on pro- 

longera le c6te A B, ou wfF, &c. Sur le cote -<flr 
prolonge on menera la perpendiculaire D G que 
Ton prolongera vers H. A cette ligne G H on 
menera perpendiculairement la ligne H L par le 
point E, quifera * parallele a M G.Par le point J 
[*] Cor. i. Prof. 40. Gw. 0» Cor. fref 9 

* P*it; 1, Pref. 1;. G«, 




Giometrie* 4*} 

•ft m£ri«?a la ligne L Af perpendiculaire a H L , 
cctte ligne Af I fera * aufli parallele a HG. On 
mefiirera le parallelogramme Af H. Enfuite on 
meiurera les furfaces des triangles CND , DHE, 
BLJF , F Af -<f , & du trapefe BGNC, Enfin de 
la valeur du parallelogramme Af H on retran- 
chera la fomme de ces triangles & trapefe , le 
reftc fera connoitre combien de toiles ou de per- 
ches contient la fiirface ABCDEF. 



PROPOSITION XLIX. 

Les parsllelogrammes dont les hauteurs font igales , 
font entre euxcomme leurs bafes ; & fi les bafes 
font egalesjls font entreux comme leurs hauteurs. 

DEMONSTRATION. 

SOient Its paxallelogrammes AC &.EG done 
les hauteurs BC & JL foknt egalescntr'elkj: 




je dis que AC .EG :: AB . EF. Car [»] le 
parallelogramme A C =A B x B C , & C a ] le pa- 
rallelogramme E G =E F x F L. Or en divifane 
ces deux produits par les hauteurs cgales hC 5c 
JFL y onauraP] -4BxBC.. EFxFL :: AB > 
EF . e'eft a dire [♦] que le parallelpgramme 
JL C . E G :: A B . E F , ce qu'ilfalloit demmtrer. 

* P/»rf. i. Pro/, if # Geo. [ l J C*t% i. ^/. ;y Geo. 
[ J ] Cor. 3. Prop. jj. G** C'l Pr^. 6. Algtb. 
[ 4 J Z>*w. I. j«i. Nn ij 



414 Troljttmt V&tie; 

Si ks bafis atoient ttt fuppofees Igales , 6* 
auroit dhrift ces deux jfroduits par >tf B & parEF* 
fconaurok euXBxBC . EFxFL z: EC . F£> 

COROLLAUE. 

Les triangles done les hauteurs font cgaks 
Jbnr auua cntr'eux comme kurs bales, f oieni 




X Ho 



K 



les triangles LAM? &OPS y dont ks hautentf 
TN & RS font egales : jc dis que le triangle 
iMNcftau triangle OPS , comme la bafe IM 
eft i la bafe OP. Car * k triangle LMN=z 

— Ttf xl Af,&k triangle OP,y=:JLa,? x 
OP.Donc C*l en diviknt ces deux produitspar les 

J^andeurs[ a ] Cgales — TK 7 8c^RS, on aura 

i * 

— TNxLM . — llJxOP ;: LM .. Of t 
a x 

e'eft a dire le triangle ZMN . OP£ :iLM ,0?. 

* Or. i. J»np. 40 . Get. f«J J>**. * . 4b* 
( a J*4ftfir.d>4r.ii.jft, <■ •' 



Geometric 4*5 

Si lcsbafes LM & OP avoicnt ili fuppofees 
^galcs, on auroit divife ks deux premiers termes 
de l'analogie par LM & par OP , & on auroit *. 

trouv£ —TNXLM.—RSXOP :: — TN. 

i x * 

JL.RS ::TN.R$[ 1 ]. 



PROPOSITION L. 

i° si un farallelogramme a un de/es angles igal a 
un angle dun autre farallelogramme ; eesparal- 
lelogrammes fcront entre eux comme les froduits 
des cotez, qui comfrennent ces angles egaux. 

,1.° Si un triangle a un defes angles igal a un angle 
&un autre ; ces triangles font aujji entreux com- 

• me lesfroduiis des cote^ qui comfrennent ces an- 
gles egaux, 

DEMONSTRATION 

SI LA rilHIIltl HKTII. 

SOit le parallclogramme A C dont Tan- 
gle A*C foit igal a 1'angle HEF du 
parallelogramme EG : je dis que AC . E G : : 
w€BxBC.EFxEH Pour lc dentiontrcr , U 



* Prof, f- Mgek. 
L l ] Prcf. j. Algeb. 



W» iij 




Trtifiimt tmUl • 

**„.. prolonger let cAtez Ah & C B jniquef 

*ux points N & I, dtfortcqac BN = £fl, 

& que BL 

=E f . En- D C O 

-fiute park \ V \ 

point K on 

meneraNAf 

parallek & 

fiX, &par 

k point L 

on mencra 

LAd paral- 

kle a BN : 

4c on aura 

[*] le paral- 

klogranv 

me LN=EG. Enfin on prolongera le c6ti 

2>C , &on prolongera k cote M N poor avoir 

k paxalklogramrne B O. 

[ l j Le parallelogramme ^C . BG :: <rfB .BJT. 

[*] Le parallelogramme B O . 2LN :: CB . BI. 

DoncUJ-rfCxBO.BOxZN :: <4BxC£. 
BNxBX, Or £ on divifc ks deux premiers ter- 
mes de cette derniere analogic par B O , on aura 
[♦] AC - INaEG :: ^BxCB . BtfxBXas 
£ H x £ F [ J J , ce qu'il fallrit demontrtr. 

DEMONSTRATION 

»I LA (ICONDE FAKTIi, 

Soit le triangle OP* dont l'angle RtOfok 
egal a Tangle VS T du triangle S T J> : je dis que 
le triangle OP* . STV :: OPxPR .SVxST . 
Pour le demontrer , il faut prolonged le cdte* Of 



C 1 ] Cor. i. Prop.}*. G##. 
vjP*r$9nft nftion. 



f *3 *"£. 49. G*. 




€t$mtmc* 5*2 

Infcpies en ¥ , de for- 
te qoc py=sv 9 

£cprolonger HP juf- 
ques en X, 3c for- 
te que PX=ST y ic 
meacr la lignc X T. 
Alors * le triangle 
PX2* fera cgal au 
triangle SVT , ** 
ayant Tangle XPT 
egal a Tangle VST 
da triangle S T V. 
Enfuite en menerala 
lignc &T. 
f«3 Le triangle OJPR . RPY :: OP . PT. 
*1 Le triangleAPr . PXT :; *P . PX. 
Done [*j OPRxRPT . RPYxPXY :? 
OPxRP. PTxPX^ & en divifant les deux 
premiers termes de cette derniere analogic par 
la grandeur RPT qur fe trouve multiplied dans 
Tun & dansTautrc, on aura ['J le triangle 
OPR .PXT = STV :: OPxPR.PY*PX 
zatSVxST) eequilfallokdemontrtr. 

COROLLAIRfi U 

• 

Les parallelogtammes rectangles font M enw 
tr*cux cpmme les produits de leurs cotes qui 
comprennent un angle droit , puifque [*1 tous les 
angles droits font egaux : ce qui eft la inerne 
shofc que de conclure en general que les parallel 

* Part. 1: Prof .-$. Geo. 

* * Suffofit. & Part, i. Pre}* n. Geo, 

[*] Cor. Prof. 4$.Geo. 1*1 Prof. n. Alg. ' 
[ * ] Prof. 6. Alg. M FmUpi. Prof. frtf. 

I s ] Got. j. Prof* xo, do. 

Nn iiij 



f 4lt Trtiftmt Tdrtim. 

fogrammes , foit re&angles , foit obliquangtes; 
font entr'eux commc les produits dc leurs Dales 
par lcurs hauteurs. Car les parallelogrammei 
obliques font L*3 egaux auz parallelogrammes 
rectangles de meme bafe & dc m£mc hauteur. 
On dira la meme chofe des triangles rectangles, 

COROLLAUE II. 

Si denx parallelogrammes font egaux, & i 
tin de ces parallelogrammes a un de fes an- 
gles cgal a un angle de Tautre; les cotcz de 
ct* parallelogrammes qui comprendront 
ces angles 6gaux , feront entre euz rccipro- 
qucment proportionels. ^oit lc parallelo- 
grammes C:*=EG ,&Tangle2>.rfB=#£F: 





Y disqne -rfB . EF : : EH . AD. Car WAC 
EG v.ADxAB .EH*E¥.OtWAC=tG t 
Done ADxAB = EHxEF. Done WAl\ 
EF.itH .AD. 

CORQ1LAUE III. 

Si un parallelogramme , par exemple , A C i 
Tangle DAB egal a Tangle HMF d'un autre 

[' Suffofit. I 4 ] *'tf • 3. 4t* 



Geometric, 415 

JfcLtallelogramme EG, & fi les c6tct qui com-* 
prennent ces angles egaux, font reciproquemeat 
proportionels * ces parallelogrammes AC 8c EG 
leront egaux entr'eux. Car paifquc * AB m EV 
:: EH . -rfD 3 on aura ** AB*AD = EFx 
EH. Or [ x ]AC.EG::ABxAB.EFxEB m 
Done AC=EG. 

COROLLAIRE IV. 
Si deux triangles font egaux entr'eux , & & 
tin angle d'un de ces 
triangles eft egal a un A 
angle d'un autre 5 les 
c6tez qui compren- 
dront ces angles fe- 
ront reciproquement 

i>roportionels, Soit 
e triangle ABC=z 
JD E F ; foit Tangle 
CAB egal a Tangle 
FDE : je dis que 
**.B .DE :: DF.^C, Car [*] le triangle 
ABC .DEF ::ABxAC .DExDF. Or* 
le triangle ABC=:DEF. Done .^B xACsa 
DExDF.Doncf*]^* # de . : DF . AC. 

COROLLAIRE V. 

Si un triangle , par exemple ABC y z Tangle 
CAB egal a Tangle FDE d'un autre triangle 
2>£F , & fi les c6tez qui comprennent ces angles 
egaux font reciproquement proportionels ; cef 
triangles ABC & DEF feront egaux entr'eux. 
Car h A B . Z> E : : DF . AC. On aura ** A B 
X^C~££x&;F ; rnais [»] k triangle.^ BC.4 




* Sufpofit. 






•456 Trtifemt TdrtiC 

DEE :: ABxAC .BExl>F. Done 
szDEF. 



JlSC 




R E Af A R $L V E. 

Les Corollaires 4 & f de la Propofition ffte* 
foite pouvoient 
encore &tre de- 
fnontrez d'une 
Autre maiticre 
fort fimple. 

i°Soitle trian- 
gle ACB±DEF , 
& Tangle ABC 
= EDF •, jcpro- 
longe les lignes 
AaeiCB, &je 
£ais * le triangltf 
BGH £gal &£- 
quilatcral a EDFj 

enfin je mene la ligne C #. Le triangle -^B C ; 
€BH :: BGH . Clfcf **. Or [M-rfBC . CBR :: 
AB .BH . & BGH, CBff. GB .BC. Aa 
lieu des rapports Igaux qui font entre ABC & 
& CBH,& entrc BGHScCBH , ftbftitoant 
leurs egaux , on aura ^B , BH :: GB .BC. 

l°Si ^B .BH ::GB.BC , on aura lc 
triangle ^BC = BGH. Car -rfBC.CBH;: 
^B . BH y 6cGBH .CBH :r GB. BC Done 
^BC ,CB^ ::BGH. C B H. Done [ a ] -rfBC 
==BGH=2)5F I J], Les Corollaires i e & fie la 
Propofition pfefcnte pewent encore &rc dc- 
montrez par le mime raifonnement. 

* Part.i.Prap. 3j, Ge% +* P*rt.i.Prof.t> Alg. 
[ l ]Brop.4 9 .Geo. [*] Part. i.Bref.t. Get* 
[*] Par Mitfiruttion. 



Geometric 



43* 



PROPOSITION LI. 



t* Si urn ligne droits mcnie faraUelemmt k la haft 
stun triangle , cottfe les deux autres x&ttx, d$ «# 
triangle; elle.Us confer a en quatre fatties fra- 

^ forteeneUes entYelles. 

x* Recifroquement fi une ligne droite cottfe d$m§ 
cotez. dun triangle en quatre forties frofortioneU 
■ Us entr tiles j eUe [era farallele a la iafe de a 
triamgle. 

PEMONSTRATIOH 

DI LA P1BMIBJI* PARTIS. 

SOit le triangle ABC dent le« cdtcz AC Sc 
B C ibienc coupefc par la 
ligne D £ parallele a la ba(e 
AB: je dis que AD , DC :: 
B£ . EC. Pour le demon- 
trer , paries points \D 8c E 
ibienc snenc^s aux angles B 
6c Ales lignes DB Sc EA, 
Puifque * £--$ eft parallele 
sl A B , le triangle /DE 
fera C 1 ] £gal au triangle 
BDE, Done C*3 le triangle 
kEZ> . DEC : : BDE . DEC. 

Or le triangle A ED eft [*] 

au triangle DEC, comme & - 

feafe^Da la bafc DC du XV 

tiiangle DEC , puifqu'ils ont mime -hauteur ~ 

* ftftp^ft. [ f ] P*rf. i. Prep. 4o.Ge§. 

{*] Part. i. Prof. 8. ^ I J ] Prof. 4$. do. 




4 J 4- Troijifote Pkrtiel 

me propottktafteile chercM*; Car daft* le '*&&'. 
gle EX tf la ligne H Af eft * pajfrllele a la baft 
ZN.DoncEH .H L :>. EM .MJST. Mftis*' 
^S = £tf, * CD =±jrZb=£ Af 4 donrfM^ft 
CDi; CD .MX: 

COROLLAIRB I L 

On tronvera faeilcmtn* k rrois tignes 4o*- 
nees uiic quatfi^me^pJtopdnioAiicflc.'Soitni Ja 

lighe* .**', CJ> r £F ao%0«lto.U feiite fc*i- 

i ..... ^ . $ - i 

X— r B 

C t> VI. 




» - r * » • • 

rerfcne quatricme proportionnelle. Tit le point 
G pris a yfclomd , on rrienera les lignes indefi*- 
nies fcH & GAT.. 5ur laligne CH, on pfcn- 
Jra GNt=^Bi&NO = Cl> 5 fur laligne 
C M on prcndra (?P==J F. Enfin par les points 
ST & P, tin menera tf P • & par k point 
on menera O R parailele atf P : j£ dis que h. 
ligne PR eft la qtaatf^mepropoJtionneUecJier- 
c&ee. Car dani le triangle G ft la ligne 8 P 

* Par cofiftruftim. 

[*] Part.** Prtp.prtf 9 fj> TXtmsknfci. Gf+ M 



as Upwau^e analogic an *« & fiJ^ 
dclabafcyf*) a J> C fi on fubftitue Je «{,po* 
qui lui eft egal, fjayoir celni du triangle if 
au triangle X)£C ; & au lieu du rapport dc la bafe 
* E a E C . fion fufeftitue fon cgal qui eft lc rao- 
jort du triangle *X>E au triangle E O C : on aura 
4ED.DEC : t BDE. IDC. "done * letriamrle 
-M>E = BZ>E. f J Done la ligne DE eft paralldc 

'CO. ROLL AIRE. I. 

X* premiere, partie de la propofition nrefenw 
«tt le principe d'une mctode dont on fc peue 
fervir pour ~ 

B 



A 
C 




trouTer une 3" 

ligne propor- 

tionneUe a 

deux lignet 

'donees. Soient 

ks lignes AS 

4c CD at»A 

-quelles. on fe 

propofe de 

crouver une 

troifieme ligne proportionnelle , e'eft * dire de 

SET en ^- C f 1 , foit teUe S uc le r *P°" de • 

ligne cherchee II taut mener les Bgnes indefi- 

rues ET 8c EG qui forment Tangle GEF 

S* \ *? Z = C1> , & fur k liine EG 

ilfaut prendre EM encore cgale a CZ> £ n fin 
par les jouw H & M , il fiut mener la ligne 

^ „\*v mCn * P" le P bint £ l a ligne fir 
paraUele a H Af .- je di$ que At N eft £ troific- 

* fm. t. JVtf, 8. -%*. ['J rmjt.rnp^jG* 

Oo 



4j£ Troijifme Fdrtie* 

Par le point A, on menera la ligne ind£E- 
tac AD 9 qui fera arcc la lignc don rice u#f 
«n angle BABi voiontc". Par l'aatre cxtit- 

^ X; Of K^.-" '» 

* i • »* 

miti B , on menera * la Egne B C , parallele 1 
ta lignc ^ D. Sur cctte lignc ^f D An prendra, 
d'unc ouTCrture de compas a volonte*, les parties- 
AE y EF> FG , GD &c. egales enerc elics 9 
ou tcUes.qu'clles foient eritre elks dais an re- 
port donne*. Enfuitc fur la ligne BC on pren- 
dxa B H , egale a la quatrieme parcie GI> T on 
prendra HL = GF y LM^TE^ec AfC = 
AE % En fin par les points correlpondants D & 
By GScH y F & I , E & Af , &c, on menera 
Ics lignes DB, G H , FX &c : je dis que h 
ligne ^Bcft divifce dans les quatre parties 
Igales propofecs ,c'eft a dire, que AN — 
N O = OP = PB.Car [ s ] les lignes -rfC, EJtf, 

* Cor. 4. Pnf. ij. *m C*r, Pnj. ij, <?«. 



Gtometrit, > 437 

JE T+ yG& y DB, &ant aaenees par des cxtrc- 
-jpic^ez fe.lignes parajkles & cgales qui font 

parties des lignf s„droites AD & £Ci ccs m&me; 

lignes -4 C , E Af y &c. feront * paralleles en- 
tire dies. Done [*\ AN . N O : : ^^ . E F. Or 

[*] -4 E = £ f. Done auffi ^ N — N 0. Pareil- 

lement ayant/mene' N£ parillele a £G;on 
au** [?] Nli:IF, RS =zTG : & partanc 

Oj> parallels 
fbitnerAent T =?= TV : & partaht [ x ] OP~ 
P*. Dofcc Jaligne dradte .4B eft divifee dans 
le nornbrfc <ks parties egalcs cherchtes, 



PROPOSITION til. 

,i°. Les triangles qui font iquiangles Fun a t autre, 

oni teurs cote^JhcmoUgues troportlonnels* 
a*. Keciproquement Us triangles dont Us cote^ font 
fraportiomels ,font equiangUs tun a t autre. 

JD E M O N S T R A T I O ;N 

■■ % . r 

DE LA PRI Mil RB P ARTIE. 

« • 

SOit te triangle 4BC dent Tangle CABefk 
egal a Tangle F D E d'nn autre triangle DEP, 
ft Tangle ABC = DZI y enfin Tangle BC^ 

* Prep. tf. Geo* •' ' " 

[ l ] Part. j. Prop, pre f. [ x ]?ar y CfoftrH3'w, 
[ J ] P*rf. 1. Prop. 57. Gf*. t * , •. 

[♦] Demand* i 9 Geo* . ' 

-Oa iq 



u « 




4jS Troificme Pdrtie. 

= E F D: je dis que ces deux triangles font fiat. 
blablcs j c'eft a dire * qu'outre que ces <£eux 
triangles font iquiangles Tun a l'autre , lews 
c6cez homologues font proportionneb, que CA , 
AB::FD.DE % 
que AB . BC : ; 
DE.EF, enfin 
que B C .C A :: 
£F . F I>. Pour 
le demontreri fur 
le plus grand des 
deux c6tei ho- 
mologues , par 
exetnple fur A C y 
fqit prife la par- 
tie A G egale an 
cotlDF aui lui 
correfpond, tcCwAB Coit prife -4 H egale a DF; 
& (bit mencc la ligne G H. Le triangle A GH 
kjant les c6tex AQ & ^H ,. £gaux * * aux cotet 
JFD &DE, & Tangle G AH etant H egal a 
Tangle FOEj la hale GH fera [*] egale a 1* 
bafiFF. Ces deux triangles G AH 8c F DE 
tent Iquilaseraux , & par confequent cgaux en- 
tre eux, ce qu r on diira des cfitez de Tun , fera 
la meme chofc que fi on le difoit 4cs cfitci de 
Tautre. 

Fuifque p] Tangle ^ C R =s 2> FE , & [»] <pe 
Tangle AGK zsz OFF * Tangle AGH lira [ 4 ] <p» 

* Def. *>. G* #. 

* * P*r conflruftim^ 
[*] Psr Suppofit. 

BP*rt.i'.Prop.tf m Ge*^ 
Cor. a, Fnp. } j. Q& % 



Geometric. ~ 4$0 

.t\ ACB. La ligne GH fera done * parallele a 

jCS. Done ** CG . G A n BH . H A. k [•] 

CG-t-GA .GA::BH-+HA.HA,Q'e&i 

dire,CA. GA=^ED i.B A .H A = DE[ l ] 

& £ a ]enfin C A . AB : : ED . DE. 

Pour demontrcr que AB . BC : : DE . EFj 
par le point H, il faut mener la lignc HI pa- 
ralleleau c6t£ AC. Alois il eft evident [ 8 ] que 
Ji H . HB::CL.LB y [*] que BH . HA : z 
BL.CL, &[i]queBH+-HA.HA ::*£-*« 
LC .LC} enfint 1 ] que BH -f- HA . BI-+-IC : : 
HA = DE.LC = [<] GH= EF. Ceft a 
dire [*] que B-4.BC :,:Z>E.EF. 

Si par le point G on mene une ligne parallele 
au c6t6-4.fr, ontrouveraqueBC «C<<i ;:EF, 
FJD, ce qui (era facilement d?montr6, de la 
m&me manierc qu'on a demontrc que AB . BC 
::I>E.EF. 

Les triangles iquiangles ^BC &DIF ont 
doncleurs cotez homologues proportionnels , u 
. fu'il fattoit demontrer. 

DEMONSTRATION 

BI LA I^CONDB PAKTI»» 

Si les triangles ABC 6c DEE % par exenv» 

* Part. i. JV<p. a r# GV*. * * Prop. ;i. G** 
'[°] Part. ^ Cor. Prof. j. Algtb. 
| f j Suffofit. [*] p*r*. a. Cor. Pr<$. j. •<*/#*• 
F J ] P/»rf. i. Prof. fi. <Ge*. 



440 Trtififmi Ttrtie. 

pie , font tels que BC ^ C A : : Z>E . JB F., k 

A* .AC :;FD.FE>ouama [ J j encore BC, 



? 




SB :? CA.EF.ScAB .FD::AC . FE.Donc 
[*] BC . DEixAB ,¥D 5 «t enfin ("] BC - 
4* B : : DE , FD. Cela ctant : je disque ccs deux 
triangles font equiangles 5 e'eft a aire <jac les 
^angles BAC& E¥Z> qui font oppofez am an- 
tccedens &C.&JE2>de la premiere analogic, 
font Igaux entr'eux 5 que les angles ABC (l 
FDB qui font oppofez aux confequens C A 8c 
£ F , font aaf£ £gaux entt'eux ; enfin qae Jun- 
gle BAC =EFD, Pour le demontrer, ilfauc 
tor un desc6rez du triangle F E IX , par exem- 
j>le &r lc c6te FE, conftruire un triangle eauian- 
"gleau triangle ABC y & poitr oela on-»sra{ J J Tan- 
gle GFE = BAC > on fera encore Tangle 
<?•£ F = -4 C B • Ie troifi e*me angle F <? E fe trou- 
Tcra .[♦] cVal an troifiemc A%C m ' 

[*] Fart. *. Cor. Pr#.>j. Algfa 
[ z ]'C0r. 3. ifc/. ii. Atgcb* 
[*} Cor. 4. Prijf. io. <?**„ 
I ♦] Cw. 4. Pnp. 31/GM, 



GedmeMe* 44# 

b XI eft [*jconftant que GE .EP::CB» CA+ 
Ox [*]DE.EF;: CB.CA. Done [i] G E . 
32 F : : DE . EF. Done [*] GE = DE. Pareilie- 
merir[ , ]GF.FE::B^.C^. Mais [»] auffi 
2>F.FE :: B^.^C. Done [*] GF.FE;* 
2>F.FE. Done [♦] G F = D F. LecAtSFE 
eft commun $ ce» deux triangles F E © & E F Z> 
(one done equilateraux.entr'eux. Done ['] Fan- 
gle FED = FE G. Mais auffi j '] l'angle ACM 
= F E G. Done [7] l'angle ACB = FED.Dt 
mbmc EFD = EFG ['J; 8c BAC ssEFG [ $ J m 
Done L 7 ] Tangje BAG = E F D t Done , •] l'art- 

fle FDE = .if BC.Les triangks ^CB&FDE 
>nt done Iquiangks Ton a l'autie ,, u quilf id- 
lest dtmontrer. 

COROLLAIRB I. 

Si an triangle, par exempte ABC , a un? 
cle fes angles A C B £gal a an angle D F £ d'lin 
autre triangle DEF , 8c files c6tez C A 8c CB 
qui comprennent cet angle ACB, font propofi- 
wonnels aux deux c6ter FD 8c FE qui comprcn- 



[*] F*rf. r, Pr*p. ffef. 

"»] Sttfpfit. 

/| Cor. j. 4£ n. -rf/gf*. 

*] Cw, i. Prff. 3;. GtK 
['] Par coujlru&iom. 
7 Ax.i%. gener> 
[*] C*r. 4. P*#, 31. Gem, 



>v 




t|4* Tmjteme turtle. 

,pentim ptrcil angle dans Tantre triangle ; c T «fii 

dire, fi^C.CP; : 

J>F .FE i jedisque 
ces dc»x triangles 6- 
rontcquiangles entre 
eux , de telle ipaniere 

2ue les angles oppo- 
;z aux anteccdens de 
cettc analogic feront 
igauz entre eux > de 
jneme que ceuxqui 
Jferont oppofez, aux 
jcaafeqoens. Pour le 
^Jemontrer , fur le plus grand des amecedens <kf 
ceree analogic , par exemple fur le c6t€ CA,im 
prendraCG=FD, &(urCB on prendraCH 
c= F £. Ce qui eft po/fible $ car fi rantecedent 
AC^TD , on aura auifi le confequent CB ^KEj 
paifqw*^C . Z)F*r: CS.FE. Enfinonmc- 
nera la Hgne GH , & on attra [*] le triangle CGff i 
equilateral ,• & cquiangle au triangle T DE. 

Puifque *AC.€BiiDF=GC m TE = CI(i 
-on anra[ l ] ACGC.zCB.HC •>&['] AC 
+—GC .GC ::CB — HC .HC> cWt adire* 
/6.GC::BH.HC, La ligne C H fcra 
[ 4 ] done parallele a^B. L'angle C-4B fen 
£*] doncegal a CGH. Mais auffi [•] Tangle 
FDJE = CGH. Done [*] Tangle C -rfB =FJM. 
Pareillement [*] Tangle CBi«=C^G, &[*] 
WED =zCHG. Done l->]CBA=AfE D. Ces 

• 

* Safpofit. & Part. t. Car. Pwp . 3. -rf/^. 

[ l lP*rf.j.Pr4>. 3; k Gw. [ x ]?*rta.C*rfr*p.^Alt. 

Pj Parr. 4. Cor. Pnf . 5: .*/£«*. . 

i 4 J P0rt.z.Pnp.fi..Gio. [*]P*rt,i.Prep.z+Ge$ t 

['j C*r. a. Prcf. 3;. Gr*. [7] <<*#, ig. gm. 



Getmitrit. 44jk 

Atm triangles ABC 6c DE? feront done [°] 

femblablc?. > . > 

C OROt i-AI'l E I I. A 

* 

Si tm triangle a un dc fes edeez <gal an c&6* 
4'jui autre triangle * & fi deux des angles qui pnt 
Ictus fommets dans ks enceautes dc ce c6tfe 
dm premier triangle , 6uu £gaux a deux angl*!' 

2ui ont auffi leurs 
>mmets dans les C 7< B 

cxrremitez depe c6- 
tMc 1* autre trian- 
gle # chacvui acha- 
iun: ces.4eux trian- 
gles fiiont egaiix 
enjtr* eux en tou*> 
tet naanifirfis. .Sfliir 
Ife triangle ^JBC 
■doht le cfite* AC foic 






_ *gai * l'angle . . 

^lttcjuektroifiinie angle <<*£C = Z>EFj3onc 
[*]AC . DF : : 4B . DS.Mais [*]AC = DF, 
j3onc auffi ^j5=?DE, Enfin [*] comme AB~ 
<eft a D E , ainfi £ C eft a k F. Or on vient de" 
▼oir qne A B =? D ?. Done audi * C = E F*_ 
<Ces detix triangles ^C&D£F font done 
.fejtnlateraux ^ ils font dpnc egaux 1'uni rautre f[ 

,ch foiitfcs manferes*. 

. < '• * 

*C^. 4. Ptty. 31. Gfe 
[*] Pw£. frefente 9 -<& taxt-t. C*r- frof. \*4ig&* 
t * J Stytofition, ■ '[t^Cor* «• *«£ . 37. Gffc 



'444 Tniftime Turtle. 

COROLLAIRE III. 

On pest titer de la Proportion prefeate one 
jBunicrc de decrire one figure re&ligne qui ak 
poor c6t£ one lignc donnee, 3c qui loit (emUa* 
(le a one autre termincc par plus de trois cow, 
Soit one figure donnee ABC D } i laquelle on 
ft propose de decrire one figure frmhlahlr qqj 




ait poor un de fes cotez la ligne donnee It 
Da fommet d*un des angles de cette figure on 
menera des lignes auz autres angles qui 2a <fi- 
viferoot en triangles. On menera done da point 
P , par exemple, la ligne D £ , qui partagen 
cette figure en deux triangles. JEnfuke ayantfcit 
* Tangle E — A , il faut encore Faire Tangle EFfl 
sszABD , & mener les lignes VH Sc JE H jot 
qucs aa point de leur concours H. On fcra enifo 
?HG = BDC&HFG= 2> £ C : je dis que 
la figure EFGH fera femblable zABC J).Cai 
x c , ii eft conftant [ »,] que les angles d'ane <ieces 
figure* font egaux aux angles de raurrc , ckcon 

* Opt. 4 . ?*£. I0# G««. [*] far conjtntim. 



Gttrnetrle. * 4 41 

1 chacun. 1*. Chaque triangle d'unc de cesdcur 
figures 6tant [ s ] Iquiangic a chaque triangle de 
Tautre , on aura [ 2 ] E H . E F : : AD . ^5. On 
aura [*] enfuite EF,FH::/B,BD.&HF. 
F G : : D B . SC . Done [»]• EF . FG : : -rf B . *C , 
On aura [* | encore FG .GH ::BC . CD. Enfin 
l*]G H .HFi.CD.DB.ScHF.HE :: DB . 
3D k. Done [*] GH .HE : .CD .DA . Chaquj 
cAtc" d'une de ces Figures eft done propprtionnel 
£ chaque c6te de l'autre, Ces, deux Figures feroitt 
done [♦] femblables. 

II y a encore d'autres manieres de decrire une 
figure femblable a une autre. Je prendrai pour 
cxemple la figure triangulairc dont on peut Ce fer- 
vir pour decrire iiir le papier un angle cgal a un 
autre angle propofS fur le terrain. 

Pour decrire fiir le papier un angle egal 2 
Tangle r'entrant ABC , Be un h gal a Tangle &&* 
lant BCD ; far les lignes BA & BC il faut prendre 
les parties B E & B F , chacune de quatre toifes 9 
par exemple t Be mefurer la diftance du point B 
au point F , que je fuppofe de huit toifes. Enfuite 
fiir la lignc droite'DC prolongee on prendraaufli 
CG de quatre toifes , &. CH de quatre toifes , oa 
mefurera la diftance du picquet G au picquet H- t 
$c on £crira ces mefuxes fur un papier pour s'ea 
fouvenir. Sur un autre papier il faut mener a vo- 
Jpnt6 , une ligne JKqu'on dinfera , par exenv 
pie, en douze parties egales , qui fervira d'uru* 



\ 



*] Par eanftmftton. 
Prof. prrf. 

I*] Part. i.Ctr. Pref.u,4l&b* 
*]Def.4o,Gy* 



P£ 



44-6 ^rolji/mi Partie. 




w 

fchel!e it dome corfes. On menera la ligne LM* 
& fur j cchellc / JC t on prendra cmarre parties 
egales cui r/Cf refentent qaatre toiurs , Scon let 
cranfporrera da point Af en O . On prendra 
Iiutr toifes fiir la meme echelle / JC 5c encore 
quatrc toifes dont avec la ligne Af O on fert 
f 1 ] le triangle O N M . J? dis que l'angle L hit 
9=1 ABC- Car le triangle O N Af a [» J fes cfccf 
proportion nels aux c6res du triangle £ TB; paif- 
que le c£te O N' contient autant des parties ega- 
les du c6t6 N M , que le c6tc* E F contient dt 
belles du ccVc* F fi j & que le c6te J* /tf contient 
auwnt dc celles du c6te M O , que le c6te F B en 
contient du cote 3 E : on dira la mjeme chofe i 
regard des ccVcs Ai O , ON; & BE, EF.Le 
flrfangle O N M eft done [*~| equiawgle au trian- 
gle E F B. L'jngle E £F eft dime egal a OMN, 
Tun & i'autre erant oppofts aux cotes correfpoiv 
dants E F & ON. On trtavera par le menic 
jaifonnement que le triangle? Qjl eft eqoiiO* 



.»f 



Gtemitrie. 4+7 

gle au triangle CGff j & [■] Tangle RP§^ 
eftantegalaGCH,onau«['J WPi'rsxBCD. 
On petit done decrire , ou deffiner exactement le 
plan it' line mailbn , d'un jaidin , d'uu cnclOf , 
&c. en ie fervant d'niie echcllc , comme on Ttent 
de voir , aiin de transferer leurs angles fur le pa- 
pier ; de mener enfuite des lignes qui lervironc i 
reprcientcr les cores de cettx- Maiibn , Jardin , 
&c, dans la mime proportion qu'on les a trou- 
t£s fiir le terrain, 

S"il eft neceii'aire de reprefenter un mur 
ABCDEF cemftruit en parcie fur un plan 
horizontal, & le rcftefiu une petite montagne 
BC DE, tel qu'eft quelquefois 1'enceinte d'tin 



r 



Pare } outre la longueur du mur confiderce lui- 
vant la pance de la Montagne, ll faut en com 
avoir egard a la longueur de la bafe de cette 
Montague , Ot pour la connoitre en toife , le 
mur toujour* a niveau , e'eft a dire parallele- 
ment a la ligne horizon tale A F. Dans cette cir- 
conftance il faut fefemrd'une toiieGH a la- 
quelle on a ajuftc une equerre ou triangle rectan- 
gle G/ K ,deforte qu'au point G il y ait un fi. 
ei attache , & a fon autre eitremire un plomb 
X , & que ce filet touche librement le cote G I >ie 
cc triangle. Suppofons pour cxeraple , qu il tailla 

[^Part.i.Prtp.Prtf. 

['J Pro/. xi.Qt«.& **■ 9-ftn. 



E 



4*S Troiftmt Ttrtte, 



connoicre la longueur de la bafe M N <lc la Mon- 
tague M Z W j il faut pofer i Niveau la toife 
O P ,8c alow oh cennoit ['] Ij. longusurMS, 
les lig.ies OM 8c P S e cant perpendicu la ires ill 
ligne horizontal MW. On dira la meme cfiofc 
<le §tfi 7 S r I & c - ^'oii oa connoitra la Jigac 
enriereoufaale.MN. 

Si JJ_K etoit la largeur fupcrieure d'une ma- 
xaille , & & At T en etoit la bafe , on connoi- 
troitl'exces donrtabafeW T furpafle la largeur 
fuperieure §^ S , en apptiquant horizontal;- 
ment la toife OF, Been ajuftant aquelque point 
de eerte toife le filet OM , de forte que IE 
plomb attache a Ion eitrcmiic mferieure toucfie 
legerement le point M , alors la diftance Ol 
feroit ['] connoitrc l'exces M * , 

Onpeut encore connoitre la hauteur VZit 
la Montagne , en mcfurant routes les hauteurs 
pertiaks M O =i VX [" I , P fi=X I", &c. dooi 
Iafommeeftf]egaleaCZ, 

Pour reprcfentcr proportionnellement la fitui- 
tion d'une muraille A C E G qui forme pte- 
fieurs angle*, oulecoursd'uneRmereGXBN, 
ou enfin one prairie , on autre terrain femuli- 
ble A C GB N : on peut [*] mener fur le terrain 

£*] Part. i. Prtf, J7 . Geo, [■] Ax. j. £ entr, 

£'] Pan, i. Cvr. f. Prty. 54, Gte, 



Hue ligne droite .4 E du Com met A d'un angle, 
a un autre £ , Sc mener ['] de chaque angle a 
cette ligne A B des perpendiculaires CD, £ F, 
G if, Jfec. Aprcs avoir mefure les parties AD,DF, 
&c, tie la Ugne A B , & chacune <ks aurres per- 
pendiculaires , D C , F E , &c. il eft facile de lej 
decrire fur le papier, proport ion ncllement acelles 

3ui font fur 1c terrain , en fe {errant d'une ligne 
ivifceen parties egal«,quc les DelEnatcuK ap~ 
pcllent tthdtr, Enfuire on meneia darn le def- 
fein le* lignes AC ,CE ,EG t &c. Les trian- 
elcsADC , LM B , B N O du deflein ftrour 
f'] iemblablcta ceux qui leur correfpondronc 
hii le terrain. Et li on mene des Diagonalet 
dam let Tupelbides , on ttouverc encore [>\ 



['] P*ft- )■ Ctr. x. Prof, 40. Gtt. 

!*] Cit, )• Pwf. to. G», ($• Car- 1, Prop-Prcf. 
>\ Cir.-j. FriiJ. 10. G». «#, ?. jr*. 6- G«-» 1. 




4Jo Troijtfme Tdrtii. 

d'autres triangles femblables. On decrira. done 
jar cc moyen des figures entieres , qui Cabot 
femblables a celles qui font proposes. 

La Figure ACG BH pouvoit encore eftre di- 
vifceen triangles^ C tf, N C£, N EG % &c. 
Alors, apres a- 
▼oir mcfure 
fur le terrain 
la longueur 
des Iignes AC % 
CN, NA, CE, 
£ N i &c. on 
auroit facile-* 
xnent * d6- 
crit fur le pa- 
pier une figure 

iemblable a celle qui eft fur le terrain , en fe f«- 
Tant d'une e'chelle comme on a vu dans les 
operations precedences. Cettc mankre eft fort 
exa&e. 

La defcription des figures femblables eft trer- 
utile pour bien reuf&r dans le deflein , & poor 
faire enfuite des onvrages considerables, let 
Archite&es , Ma/Tons , Cbarpcntien, Menui- 
fiers , Scrruriers , Sculpteurs , Fondeurs ^ &c, 
ne peuvent eviter de s'en (ervir , pour perfe&ion- 
xicrdes barimens , ou pour en conftruire de noo- 
veaux fur le terrain dont on fait la reprefenca- 
tion j & generaletnent pour executer des ouyra- 
ges confbrmement aux defleins qu'on leur pro- 
pofe. Enfin cette pratique eft fort neceffci- 
re aux Geographei, aux Ingenieurs memes, 
qui font fourent obliges de reprefenter une Vilk 
avec fes avenues ,les Marefts , Rmerei , ouao- 

* Cor. 4. trip* jp Ge0j>tf. rj, A IpK & Part. 
a. trf.trtfi 



Ceemttrie. "^p 

treslieuxqui en font voifins. II eft done encore 
avantageux de roir les methodes fizivantes, 
pour oecrire des Canes Geographiques , pour 
reprefenter fur le papier un lieu parciculier , une 
contrcc , un pais , &e. 

On fe lervira d'une planche de bois A B , done 
cJbaquc c6t£ (era environ de if pouces. On appli- 

H 




A G 

quera un papier blanc fur cette planche en A B 9 
qui j (era recenu par un quadre ou cha/lis G H , 
qu'on emboetera au tour de l'efpace C DEI. En- 
fuiteonajuftera cette planche horizon talement 
ou a niveau , fur un fupport a trois pieds , fem- 
blable a celui qui eft reprefent£ dans la page ^6. 
L*s £pingles L , Af &c. ferviront de pinnules 8c 
de petks piquets ; il faut que ces Singles fbient 
fort menues , afin qu*eiles ne faflent que de pe- 
tits trous. Cetinftrument eft connu fous le nont 
de Planchette. 

Pour reprefenter for le papier plufieurs Villa- 
ges , par exemple C , D , B , il faut prendre une 
diftance A B connue , de 4*0 toifes , d'une de. 
mie lieue , &c. en forte que de fes extremitcs-4 8c 
f on ikowne ces Villages C ,D,E.U faut ap- 



r 45* 



Trcijieme Tdrtle. 




E 



pliquer la planchette vers Fextremite* A , & fi- 
cher unc cp ingle en A perpcndiculairemcnt a la 
furfacedecerte planchette. II faut en fichcr en- 
core une en F , dc Tone qu'en la regardant 
nir le bas elle foit en merne ligne droite ['J que 
es extremitcs A &£.Cette ligne A F ferrira at* 
chelle , qu'on divifara en autant de parties qu'on 
fcait que la ligne A B contient de toifes ou de 
lieues , &c t II faut enfuiee fichcr les epingle* 
H , L, M , de forte qu'en regardant Tcpingledtt 
point A , ces autres cpingles H , X , &c. & les 
Clochers , ou autres lieux remarquables de ces 
Villages £ ,D,C, ioicnt auili en ligne droite : 
9c on menera les lignes droites A H , AL , Abi t 
fur lefquelles il faut ecrire le nom des Villages 
oil elles font dirigces , afin de s*en fouvenir. 

£n£n il faut tranfporterla planchette vers Tatt* 
tte extremitt £ de la diftance AB-, dc forte que 

t'J P40T. x. Or. x- P^.M-^** 



J 



Cemitrle. 45 j 

Ic point F fe trouvc en B , & que les epingles fi- 
ch£es en B & crt G, & lc point A fe trouvent en 
ligne droitc. Alors par le point B , on men era 
Yers ces memes Villages E ,D , C les lignes droi* 
tes JT E , B Z> , &BC,en fichant les epingles 
Jl , S y T, Les points N , O , P , oi ces dernkres 
lignes couperontles premieres , feront ccux ouil 
Faut reprefenter ces Viliages E , D , C. II eft evi- 
dent ['] que ces trianglesG B P, & -rf^C font 
femblables j puifque Toperation meme les rend 
cquiangles. Done AB ,BC : ;GB . B P . & en 
connoiifant le nombre des toifes, des lieues , &c. 
<Le Fechelle G B , on connoitra le nombre de 
celles du cote B P , en cherchant avec un compas 
combien B P contient dzs parties egales de G B 
Ces parties feront au/fi connoitre celles de B C+ 
On dira la memechofe a i'egard des autres trian^ 
gles GBO, G BN y &c. 

II peut arriver que la planchctte eft quelque- 
fois trop petite , & que les points de concoun 
>* , 0,P , &c. ne pcuvent fe rencontrer fur fa, 
furface > alors on fe fervixa de la metode fui-« 
vante. 

Apres avoir pris une diftance connue A B j 
commc dans la pratique precedente 5 au lieu de 
la planchette , il faut pofer horizontalement au 
point A un demi cercle NOP divifc en degres, 
de forte que par les pinnules N,&c O a juftees aux 
extremites de Con. diametre > on puifle apperce- 
voir quelque marque au point B. Ce demi cer- 
cle deaieurant fixe en cette fituation , il faut di- 
nger les pinnules R & P de la regie mobile" R JP 
attachce au €mtke du demi cercle , vers chacun 
de ces Villages dont eft queftion $ obfervei de 

[ J ] Part. i. Prep, fref. 



454 Tr$ifiime Partie. 

combiea it degrcs eft Tangle C AB y par exem- 
pie , de combien eft Tangle D A B , &c„ & ecri- 
rele nombre dcs degrcs , qui font ['J la meiuct 
ie chacun de ces angles , pour s""en fourenfc. Oa 
cran/portera cec inftiumeiu a 1 autre ftatioa B 




• 

& on obfeirera auflr le nombre des degrcs qn 1 
conviennenc auz angles CBA y DBA y &c* 
Enfin on menera fur lc papier la ligne F G fur 
laquclle on fera [*] les triangles M GF ,TLG 
&F(?fl fquiangles aax triangles ABC, ABD, 
A B E qui font fur le terrain , & qui leor (eronc 

[«] Trap. 10. Get. 

[*] C<?r. 4. Pr<y. xo. <$• Cff. 4. Pr<#. 31. Geo. 



■ 



• fjeemttrie* 45I 

[*] femblables. Les Villages C, D , 8c E feront 
reprelent£s dans les points H , L 8c M. On di-* 
triiera la ligne F G dans un nombrc dc -parties 
£gal a celui qui eft cpnnu dans la ligne ^ £pour 
fervir d'Echelle. On trouvera ['] enfin queF G. 
G H : 1 A B . 3 E . &c. 

Au lieo des Villages E,D, C , fi on avoit 
fait attention aux Ibmmetsdes angles d'ua pare 
ou enclos , d'une prairie , &c. on auroit aufli 
pu £c fenrir de ces deux dcrnieres rac'todes^ 
pour decrire une figure femblable a celle de ce 
terrain $ & pour en aroir les c6tes , on auroit 
mene des lignes du point E au point D , & d« 
point D au point C. 

La Bouifole qu on a ajoitie dans le plan da 
demi cercle , eft utile a faire connoitre le Nord 
£c le Midi du terrain dont eft queftion , par ie * 
rnoyen d'une aiguille aymantee pofie en equili* 
fcre iur un piyot , 5c dont une des extremitcs fc 
lourne yers le Nord , & 1* autre vers le Midi. 

On peut encore fe fervir de l'inftrument A B 9 
uin'eft qu'une planche de bois , taill£e en forme 
e cercle, de douze ouquinze pouces de diame- 
*re , £ dc trois quarts de pouce d'epaifleur , o«. 
.environ. 11 faut placet dansle centre E un pivot 
ou aiguille fine & deli6e , & ajufter i ce pivot 
Une regie mobile febriquee de lorte que la li* 
gne droire C V patfe par le centre E. II faut en- 
pore ajufter a cette regie deux pinnules de telle 
maniere que leurs c6tes CF Zc DG ayent leurs 
extremitcs dans la ligne droitc <?£, ft fpjeni; 



3 



&ftf 



Tr*iji/me tmti< 




perpendiculaires au ^>lan de la regie Le trov <fa 
pivot doit ctre petit ^ afinquefon centre fetrou* 
Ye exa&ement dans la ligne C D. On applique 
cet inftrument a Fexrremite' d'un baton ma /ef- 
fort p. II faur mertre fous cette regie CDun 
papier blanc , auquel on aura coll£ par le deflbus 
Ay milieu un autre petit papier „ pour empecber 
que le trou du pivot ne foit augmente , & que 
rien n'y foit dechire" pendant Toperation. II rant 
enfuite avoir la precaution de coller ce papiet 
tlanc a la planrhe de bo is en trois ou cjuatre ffr 
jits endroits , par rextremitc* feulemenx. 

Pour fe fervir de cet inftrument , 11 faut le po- 
fcr , par exemple , en / , dirigeant les c6tes C ? , 
& D G des pinnules en ligne droire vers un au* 
ere point K , d'une diftance connue "& un pel 
^rande a proportion que lc$ Ueux qu'on ▼«* 

xeprefcuK* 



Ge$metri*. 4 f - 

tfcprcfcnter fiirlepapier , font floigncY tareele 
*obUe demeurant fimfc de maniere que <k 
ligne droice C D foic fa U ligne / jc il 
faut fur lc papier blanc dc deffous deW 
une ligne avec dji crayon, ou del'encre , fa lac- 
quer!* on 6crit, Ligne de ftations. On fait la m*. 
jne chofe a regard dcs Villages tf , Af , X , Mou- 
litis : , Hameaux , &c. en toivantles noms fur 
Jes Irenes qui leur appartiennent. Apr& cela il 
Jaut oter le papier fur lequel on vicnt de mener 
tes kgnes , & tranfporter rinftnunent en jc. 
Aprcs y avoir appUque* un nouvcau papier 
bldnc, on dirteera la regie mobile vers le pre- 
mier point deflation I„ & enfuite vers les ViU 
lages N , Af & £ , comme dans Iteration pre- 
^edente , & on menera dcs Iignes fur le nouveaa 
papier qui exprimeront les angles IKN , IKM 
&c i & fur ces Iignes on *crira encore le nom 
dcs lieux oieljes feront dirig^es. II Taut enfuite 
prendre ces deux- papiers , & pofcr leurs centra 
fiir un autre papier O P en gj, & en R , obfer, 
Yarn que deux de leurs Iignes qui avoient 6U di- 
ngers vers / & k faflent la ligne drpite §)r 
ce qui fera facility par uhe" ligne droite men£e 
fur le papier p P. Enfuite avec la pointe d'une 
-epmgle il faut marquer fur le papier OP les 
pointsg^K ^.jr^.X^.Z.poury mener 
ties Iignes jufqu'a l CU rs autres points de rencon- 
tre , & decrire la figure iklmn, dont chaque 
triangle eft [*] fejhbkble a chacun de ceux de la 
figure I K r L M N. Enfin on decrira les Villages 
fcix points 7 , m , & ■% , avec leurs noms a c6t& 

> » 

R.1 



'45* 



Tmjteme Parti tl 



PROPOSITION till. 

Bans un trumgtere&tngle p I* Ugnt mtnit d* 
fommet de t sngU droit ferfendicseldirement au cots 
qpilui eft oppose, dkv'ife ce ttitmgUtn deux Mftm 
f*t M fem femUsiUf. 

b E MO.yST RATION 

SOfr le triangle J.B £ .dont Tangle JiCBti 
droit ; du (omaiet C 3e cet angle foit mence 
faligncCX> perpendiculairemenr au c6i£ AB; 
jo dis aueles triangles 4X>C # cbi ha} 
femblables au 
triangle ABC* 
Car Tangle droit 
A t> C du triirb. 
gle^C2>e(l[;J 
|gal a Tangle 
droit BC A ; & 
J'angleD^Ceft 
comniun ail* 
deux triangles Xb C & AT) C -, Ic ttqififcne au- 
»'e4CD eft {*] done egalau troifieme ABC 
5h triangle A C B. U triangle CAD eft \j] 
llonc femplable au triangle ApQ. 

Pareillement Tangle C DB = ACB, & Tan- 
gle C B A eft comniun aux deux triangles CEJ, 
& A C £ f le troifieme angle BCD eft done [*] 
$gal au troifieme 0AB' dy triangle AB£.$i 

{«.] C#. |. Pr*f.+9*X2eb . 

f a ] C#r. 4. Frof . 31. (ft* 




GeometrUl 45 j 

triangle RCDcft done femblable aunt an trian- 
gle ABC #t qHtlfallpit demontrn. 

COROLLAIRB I. 

On vient de voir dans la demonftration de la 
proportion prefente/jae Tangle ACD =DBC 9 
que Tangle C AD = DCB y on fcait audi ['] 
que Tangle droit AD Csss CD B. Les trian- 

{jles^DC &CI?Bfont doncf 1 ] femblables 
*un a Taucre , & decotment cvidemment lcs Ve- 
ritas fuivantes. 

x c . La ligne perpendiculaire CD eft une 
moyenne proportionnelle entre les parties A H 
BcD B du cote* oppofe a Tangle droit AC B, 
<Car p] le c$tc -«f Z> du triangle 4?Ceftau cd- 
te D C du triangle D BC , comme le e6te D C 
'<du ttfangle A DC eft au cirf DB du triangle 
Z? B C 1 e'eft a dire P] que-ff- -^B . J> C . D B. 

a°. Le c6tiAC eft une ligne moyenne propor- 
tionnelle entre le c6tc entier w4B & fa partie ^fD # 
Car [*] le c6t£ entier A B du triangle ABC eft 
au c6te* ^C du triangle A DC; comme le c6t$ 
A C du triangle u* B C eft au c6t& ADdvL trian- 
gle AD C 5 e'eft a dire que -£- ^ B . ^ C . -rf D* 

3 . Le c6td B C eft une Ugne moyenne pro- 
portionnelle entre le c6t£ A # & la p^rtic b B, 
Car [ a ] lecfite A B du triangle AB C eft au c6tts 
C B du triangle C D B , comme le cote C B du 
triangle C.4 B eft au <6te D£ 4a triangle C D B, 

* ■ * * 

'*] Cor.}. Prop. zo. Get. 

'*] P*t*. 1. Prop. $u& 2*rf. U 4*/L *9. G&t 

i]Difii 5% jlgtb. 



.* ... \ 



PCqij 




4^0 Troififme V Artie* 

COROLLAIRE II. 
Lc Corollairc precedent eft lc fondement d'ane 
m&ode 4ont on pcut fc fervir , pour trouvcr anc 
moyenrte proportionnelie entre deux lignes doa- 

nies. Soient 

les lignes /^ B 

AB&cCDt c D 

n on le pro- 

pofe d'en 

chercher 

encore tine, 

qui foit telle 

que-^^foit 

a cette li- 
gne cher- 

chee, comme cette ligne cherchee eflaCZ>;il 
faut mener une ligne inde'finie E F , 8c for cette 
ligne prendre les parties EG 6c G li cgales aox 
lignes donnces ABScC D, Enfuite y prenant la 
ligne totale £ H pour un diametre , ou fa moi- 
ticE L pour un rayon, il faut de'erire la demie 
circonfercnce EM H y 6c par Pcxtremitc* G de 
la ligne EG=AB il faut [ l ] mener Hneper- 
pendiculaire a EH, & la.prolonger jafqui ce 
qu'elle fctermine dans la demie circontercnce 
au point Ai : Je dis que cette perpendiculaire 
G Af eft une mojenne proportionnelie entre E G 
& GH. Car Tangle EAT H eft [«] dr#it 5 Gi* 
eft [■] perpendiculaire a EH. Done [♦] G M eft 
tine moyenne proportionnelie entre AB &. CD 9 
e'eft a dire que ~ E G= -rfB. GAf . GJa*=< 



'*] Parr, i. Cor. i. Pwp. j ; G** t 
Cw. 7. Pr*/. X7 # G#*. * 
far conftru&ion. 

(♦] P^/M. Cor. i. Frpf.frtf. 



r,-i 



Geometric. 



4** 



" 1 u . i 



PROPOSITIO N LIV. 

Sidettx cordes feeoupentdarls un eercle , les par- 
ti fs ie I'une font reciprocjUfiment proportion miles ajux 
parties de l' autre* ' "' 

P. E M O JST S T R ATI.QN 

SOientlcs cordis A3 8c CD qui fe coupeiu 
mutuellemcnt au point E pris dans le eercle 
ADBC : Je dis que les parties dc ces cordes 
font entr'elles en ra- * 
port recigroquej c'eft CL*f ""■ N sJ? 

a dire- , par excmple^ J 
queC E.EB ::AE, 
JE & . Potirle dernon- 
tr«r j d'une dxtremi- ' 
ti C d'une dc ces cor- 
des , je mene une li- 
Sne a rextremite A. 
'une ^autre corde • 
&par le$ autres ex- 
tremity B & D , je merie encore une autre ligna *- 

Les triangles AC Etc EBD font iquianglesV 
Cvl'Kangle CE^ = JBEZ)., & [*] jangle, 
*fGE sa= EBB ; enfin ['j l'angie C ^ E =*= EDB^ 
Ccs-tr jangles on y [t] done leur $£$ tfs honiQ^ 




i\ 



{^Part.i. Tropin: Geo. 
I*] Prop- ij,Geo. premiere circonfianjee. 
*] Trof. 17. o«Cw, 4. Pr<£. 31, G<?<v 



..1 



1 



•m. » 



r 4#t Troifi/me Vtrtlel 

gues proportionnels. Done C E . £ B : • jtJL, 
ED y ouAE .EC:;ED .E B,cc quU falUit 
dimontrer. 

CQROLLAUE I # 

Le rectangle compris fous les parties C £ ft 
X D d'unede ces cordes eft done egal au rectan- 
gle compris /bus les parties A £ fc £ i* de f au- 
tre. Car , puifque [*]C E m EB ;:A E . ED , on 
[»] aura CEx£D=£Bx^E, e'eft a dire, 
[J le rectangle compris fous C £ & £ D /egal 
au rectangle compris fous EB Sc AE» 



i 



PROPOSITION LV. 

£# ^*» point pr is hers fun cercte on men* deux 
lignes dreites , ^tfi,, etant terminees a fa eirconfe- 
rente* la coup entices lignes en tier es & leurs par- 
ties qui feront hors du cercle , feront entrelles reel* 
froquement propoftionnejles^ 

Siune-deces lignes coupe la c'tr conference , & fi 
T autre la touche ; la touch Ante menee ie ce point 
Jris hers le cercle au point d 'attouchemmt , fera 
une moyenne proportionnelle entre V autre ligne to* 
piere , ©• fapartie qui fe trouvera htrs le cercle. 

DEMONSTRATE ON 

Oit le point £ pris hors le Cercle ADCB\ 
de ee point £ foient menccs le$ lignes £4 

'•] trtf. Prif. 
»] Prtf. i. Algeh, 



S 



*<i 





& E D qui font terminees a k circonference , 8i 
qui lacoupent , ou dont une touche cette circon- 
xerence , & l'autre la coupe : Je dis que ED ^ 
BAnEB. EC .car ["] Tangle BDE = EAC % 
Tun & l'autre ayant pour mefure la moitic dif 
mSmc arc BC % L'angle A E D eft commun aox 
deux triangles AE C 8c BE D. Le troifieme an-* 
gle EBD eft *] done egal au troifieme A CE. 
J*cs c6t&s homologues des triangles EBD -6c 
JE AC font [ J ] done proportionncls entr*eux„ 
Done le c6te£ D du triangle EBD eft au cot£ 
£ A du triangle EC/, comme le c&te £ £ da 
triangle E D B eft au c6te £ C du triangle EAC+ 
ce m*il f*Uoit demonirer, 

ll eft Evident que, fi la ligne EA r par exenW 
pie , eft touchante , cette ligne £ A deyicnt egar. 
le a£ B . done -^r £ JD .£/ . EC^ 

[*}Prof. 17. Get. 

~ l J Car. 4. Pr^p. 3 1. G**w 



f * J Cor. 4. Prof. 3 1. G**w 
J J J *srt. 1. fro}. i%. G*o\ 



4^4 Troifieme Tdrtie. 

COROLLAI RE 
Le rc&angle compris fous la ligne entiere ED 
& fa partie £ C qui eft hors le cercle eft Igal ai 
re&angle compris fous l'autre ligne entiere £ A % 
& fous fa partie £ B audi ezterieure au cerck, 
Cslx[ 1 ]ED .EA : : E B. £C. Done EDx 
EC=E-^xEB. II eft encore evident que k 
rectangle compris fous la ligne entiere £ D , 
terming a la circonference en coupant k 
cercle, 5c fous la partie E C , eft cgal aa quani 
de la touchante £ <4 .menee du meme point £. 
Car, puifque H- E D . E -** # £ C, on auraEDx 
EC=E/xEi(, Enfin fi du meme point £ oq 
mene plufieurs lignes qui fe terminent a la cir- 
conference en coupant le cercle ; les reclangkt 
compris fous ces lignes entieres & fbas leurs par- 
ties exterieures au cercle feront egaux cntr'eui : 
puifque chacun eft egal au quarrc de la touchante. 



PROPOSITION LVI. 

Les partllelogrummes femblMes font entreu* 
tpmme les quarres de leurs cotis homdogues. 

Les triangles femblMes font aufft entreux comrot 
tes quarres de leurs eotes homologues. 

» 

, DEMONSTRATION 

SOient les , twirajlelogrammei fcmbla Wes EG 
& L N , & foit nomme * le cote* E H \ & b lc 
cdte £7 du parallclogramme%£ G, £oit enfin 



f»] Prop. Tref. 
V] Prof, u Mplr 9 



Gsomctrie* 



4*1 





F L d JMC 



nomine c lc cSte L O , & ^ lc c&te* L Af du pa-' 
rallelogramme Z N : Je disque E'G.IN:: **; 
c c 3 que EG . L N : : b'b .dd* &c. Car les pa-, 
ralleiogrammcs EG 6c LN erant [*] fembla- 
bles , on,a [ 2 J a.c : : £. <tf. Done f 3 ] * d=cb, 
Mais [ 4 J lc parallclogramme EGcftalJT;: 
•* 1r . c d.Eti multipliant les deux derniers tcr- 
mes de cette derniere analogie par * 4 & t £ , one 
aura ['J *b . e d :: aabd . ccbd . & en 
divifant ces deux derniers termes par ce qu'il* 
onr de common qui eft b d , on aun ['] *a bd 
c e b d : : 4* , cc . ces quatre raports feront 
done egaux entr'eux, E G m L N :: a,b . c dj z 
#abd. c c bd ; : a** cc> Done EG, IN:; 

MM. CC 

Au lieu de multiplier * b par 4 d , 8c c d par 
r b , A" on avoit multiplie a b par if , & c ** par 
d d , & continue' le refte comme on vient de 
voir ; on auroit aufli trouvc que EG, IN :: 
h b.dd :: FGxFG # AfNxAfN*::GifX 
GH .N OxNO. 

Pour de'montrer que le triangle £ F H eft as 



["] Stfppofit. p] Fr#f. f . ^£'*. 

{ *] Fart. a. Be/. *•. Gf*. [*) Prof. 6. ^/^. 

*] Prof, a. -*/£*£. * P*rf. i. frtf. 37. G<& 

4 J Psrt.i. Pr*f, $9. Gcp. 



f 



^gt Trtiftime Tdrtle. 

triangle £ AT O : : **.**::**. dd\z Tit* 
F H . Af O X Af O j dans lc raiionncment qu'oa 
▼ient de faire pour les paralklograrames , aa 
licadcE Gon iubftituera [ f ] ic triangle EFff f 




& au lieu de t N on fubftituera L MO. Alotf 
la rente* de la proportion prefentc lera evidence 
dans toutes fes circdnftantes. 

Les parallekgrammes femfclables JE G & I IT , 
cm les triangles femblables EFHScLM 0, font 
done entx'eux comme les quarres dc ictus c66 
feomologues , ce quit ftUloit demontret \ 

COROLLAIRE. 

' Si on parallelogramme , par cxemple AC , 
& Tangle I> <«< B cgal a Tangle H EF cf'iin autre 
parallelogramme £ G : Jc dis que lc ia^ott de cc 
parallelogtarame A C au parallelogramme £<? 
lera «ompofe des raports des cotes qui com- 
prenncntces angles egaux. Car[*3 le parallel 
gramme AC. EG :: ABxAD . EFxEH. 
Or [ J ] le raport de Ah x A D au produit E Fx 
5 HeftcompofS du raport deAB a EF y & & 
^IDaEHiOude^Ba EH&dc XDaEF.fc 



I 1 ] P*rf. i. Pr*p. jo. G*o. 
* Part. x. Prop. 5-0. G**, 



Gimttrli, i^ 




E F 

*£ ces deux parallelogram mes font femblables , il# 
<eront [«] ehtr'eux en raifon doublcc de celle d'ua 
ic6t£ du premier , au c6t£ horhologue du fccond, 
Car ils font [ a ] entr'eux commrles quarr6s da 
teuxs c6t6s komologues 5 & ces quarrfe font [*] 
entr'eux en raifon double d'un de ces c6t£s a ui* 
Mere c6t£ homologue. 

On demontrera de la mime maniere que £ uj) 
juigled'an triangle eft egal a an angle d'un au*. 
«re , le *apo*t d'un de ces triangles a rautre , eft 
J+j compote des raportsdes cites qui comprenv 
^ieHt ees angles 6gaux # Et 6 ces triangles font 
lemblabies, lc raport de Tun a Tautre [ f j eft dou- 
Jble de celoi da c&tc d'un 4e ces triangles au c6t$ 
homologue de 1'auttc. 



PROPOSITION tVII. 

1°. Le quarre du coti oppafe a Tangle droit d*M 
triangle re&iligne eft egal k lafomme des quarris 
fles cotes qui corrrprentitrit cet angle droit. 

a 4 . Reciproquemenffi le quarrel an des cotis iufk 
"triangle eft egal a la fomtne des qaarris des deux afa 

p$s cotis , Van%le ofpofii tt cpti eft droit, 

. ■ - . * *• • * 

p] Vef. \%..AlgeK& Gor,Prof. i|. Afah 



V] Prof. Pref. 



i]Cor.Prop.ii, Algeb. 

\*l fyrt* *• fry. p. Git* £ Jty if Atyh 



Trbipime Vdrtie. 
DEMONSTRATION 

DE tA f&IKIUK PARTI I. 

SOit le triangle if B C re&angle cn'C : Je& 
que Ic quarrc de Thypotcnufc /Bed cgalau 
fluarre dc -rf C & au quart* de B C , pris enfcm- 

ble. Car du fommec 
C de Tangle drok 
>(CB, ajant- p] 
xnenela ligneCD 
perpendiculaire- 
meat fur la ba£ 
^ B , le triangle 
^BCferadiviftca 
deux autres triangles ADC & Z> B C , qui loi 
feront [ a J femblables. Or [*] le triangle ^FC 
fftau triangle ADO coinme le quarrc dcAl 
.au quarrc* de A C $ & le memc triangle A$C 
eft au triangle C I> B : : A Bq . B C?. Donc[ 4 ] 
^TBC. -4DC-*-C2>B :: ^Bj.^fCy + 
C B f . Mais [* 1 le triangle ^ B C eft egal a 1» 
fbmmc des triangles ADC -*- C D B ; Je cjoarrf 
de -4 B eft done pareillement egal a fa ibmme 
des qaarrcs des c6tes/iC &BC ? « gtfsl fall* 
dimontrer. 




C ABCADCuAB*. A C •'. ) 
C -iB C . C D B : : A fi \ CB l , ) 

.2>o»* 4BC . /DC ~fr- CM : : ^B*. AC* »f C8| 

&f*i*,rfBC = -rfI>C ■+• CD& 

Dmc AB * == -4 C »'-*- C B \ 

*] P*rf. iiCor. i. Pr#. f. Ga*. 
[*] Prep, f 5. G*o. [J] Pr*p..f*. <3e*; 
I 4 ! Pr*p, 14. 4fe#i. [ 5 J -rl* 5. **». 

PfiMONSTJUTlO* 



Gtowmrit. ^^ 

O E; M O N ST R AT I O M 

SOit lc triangle ABC dont lc c6t£ A B ct 
tel /juc fon quarre* eft.'egal a k fomme de» 
4eux quarxls du coti A C & du cote B C • ie dig 
que 1'angfc uf C B ." * 

oppofc a cc c£t{ 
*f B eft.dxoit^Pour 
le dtmontrer j par 
Jc point C fommcc 
*le Tangle A'C B 
jfbit men6e la ligna 
C Z> perpen&cu- 
laircment a la ligne 
rffC,& foit faite 
C JD = C £ # On 
pura. -["] ADq — 

A Cq + CDq.M*is[*]CDs=zB C* 5 puiC 
que [*] C D = S C.Dahs ccttf cgalitc A /*=* 
ACq<+>CDq y au lieu dc C D q , fubftituanc 
CBj- [♦] j on aura ADq = ACq^ C Bq. 
Mais ['] y*J?$ =3,iC^ CJ?^ Done lh 
4 8 q= AD ft Done pj ^ B =A D. Ccs deii* 
wangles -rf C J>&uf:* C fetont done feuiW 

«*« r , un a r f utrc » & [*] 1»- aisles oppoies 1 
c6tcs cgauxdans fun^ dan? Tautrc triangle. 
foont egaux Done l'angie A€h=ACD. Done 
tangle ^C* few, droit , * qu'il f*ll<nt dtmmtrtf* 

»] Cw. $. JPr#. f . ^/^ 
*] OK 4 . Pr^. u A l g * % 




r 



< - 



[♦] M'JJ C7«g; 



«• * 



&i 




m -to T*ifi **» ****** 

*' COROLUIU L . 

V\ Si on connofc la l^«r dcs cAtcW* 

Jongueur de Fhjpote- 
liufc^B. &»*?**• 
cres c6tfe t par/eiem- 
ple <4 C , on oonncjtra 
auffi rawc cotc B C. 

t\ SLun triangle rcclanglea km ftypoteMitt 
fcalc A rbypotenufc <Tun autre triangle; reGan* 
#lc i & fi un dcs c6t& qui cdmjircmrcnt Tangle 
3ro« d*u«-4e *c*tria«gjcs , eft egal : a tuvdcscJ- 
§is qui 'comprennent l'angle droit dans PaTO< 
triangle > le troifieme cfit* d'4m de ces tmnglcl 
fera fgai an troiitfaie c6t* de tone. Parceqoe 
Jeqnan* d'une dc ce* hfpotftwfea eft [i*}egal 
*u quarne 4* Tautte. Or reapanqhantr dr part $ 
# auroe ks quarri* des autre* c6te« cgaux , let 
teftesferont [*] egaitx. tea- reftcs font Jfc qoar± 
si du troi&knc cStA d'un dc ces triangles v fit It 
«w*rt du troificme cAti de i*autre , tantltt n> 

CO^OLLAlRK II. 
. Ifcur dccike ua quajxc igal a an nomty 
Jjettttres>quarws ptopp^s^ volontc > par txtw 
fie , a trois quarris dont les c6tc*s foient A f % 
fCj&CD, ilfaut mene* pat rtrtrcmitc |d| 

•- . ■ '• . ' 



47* 




perpendiculaireoicnt a 
ccttcligtie AB,8t ega- 
le au coftc BCdu le- 
cond quarre propofc*. 
Menez la ligiie ^ c. 
Alors [*J le quarre de 
Jic = «4B* ^> Be 1 . 
Enfuitepar le pointy , 
ou par lc pwnt * extrev 
mitez de h. lignc >* c , 
mencz la ligne c d per- 
pendkulaifement a 
ccttc ligne ^ c , & ^ga- 
le au coftc CD dvtaoi&ist^ qoarre pwrpofiff 
enfin menez la ligrre Ad. Lc quarre dc ccttc li- 
giie Ad =A c * -+CD \ [*] Mais le quairfde 
A c eft deja cgalaux quarris dc-4JB flede 1? C. 
Done [*] le quarre de ^d eft egai a la fomrrue 
ties troisqaartcs dont les coftez (omAB y BC g 
C 3. 

Si en aroit chercM tut quarre" triple da 
quarre dont le coftc eft AB-, il auroit fallu faire 
ks perpendicalaires Be 8cc d > cgales chacune z 
la lignc ,4 B, Alors lc quair* dt A e falanff deur 
fois le quatrc de A JB,& le quarre deed ralant ['} 
une fois le quarre dc A B * on auroit troute que 
le quarre* dcAd qui Yattt [ 4 ] les quarrez dc A e 8c 
iecd y auroit eftc triple du quarre de AB. On 
continueroit dc meme , pour trouver un quarrfi 
quadruple. 

C'cft ainfi qu'on peut faire I'addrtion & 1* 
multiplication des quarrez. A l'cgard de la fou- 

[«] Psrt.i. Vrof.Tff. [ f ]G*r.i.Pr*}.s.Altft4 
M Dwmwk i. Qa>. j. 4 ] tort. i. frQ.fref, 




Wfi T***fifme Pdrtle. 

ftra&ion des quarrex , on la. peut faire par h 

Hicthcxla fuivante. 

Soient les lignes in*g*les >* B & BC. Si on 

fc propofe de connoftre lc quarrc done lc quarr* 
icU plus grandc AS furpaife le quarrc de la 
plus petite B C ; 
apr6s avoir, menc 
la ligne. A D d'nne 
longueur fuffiiint^ 
on prendre fur 
cette ligne A D les 
parties A B = AB f 
& h=BC, Du 
point b commc 
centre, & d'une ouverture e*gale a A h on deciin 
la demie circonfercnce -<(ED, &par le point* 
on mener&une perpendiculaire c E qui fe termi- 
ner* a certe demie circonfcrence en E. Enfin on 
menera leraron b JE. Alors [*] bEq =ib c x + 
cE ». Or f ■] *Ej = A Bf . Done -rfBSfl = B Cj+ 
*Ef , e'eft a dire que le quarrc dcA B furpauck 
qoarrl de B C de la raleur du quarrf de c E» 



PROPOSITION LVIII* 

I*. 2> qusrre du cote ofpefe * V angle obtus tu% 
tri Angle re&iligne fur faff e U fontme faite des qu*r- 
rez des deux uutres cote^, dun execs egrt I 
deux rectangles dent cbacun eft comfrisfout units 
cote^, & fous Is far tie de ce cote prolong* , ter» 
miueepsrle fommet de V Angle obtus > & fur um 

[•] Part i. Prop. Pre f. 
. [■] Cor. r. Def. % 9 , Geo. Cef. ]*?tt£, f, AlgeK 
& demande z. Ge». 



ferpfuRaddm imnie dmfommtdr tangt$offofe y 
^ ce c&$e prolonge. 

z°. U qutrxi du ckeeffefi h V**gfe mg» eft 
moindre que lafommefaite des qnarre^des deux 
**tres cite^> de la *deur dt demx re&angles dont 
*k*cun l eft corttfrh feus un de* eet cete^& feus I* 
%*rtier de ee tote , Wimme f*r U femmet de I'an^ 
gle Aign , fr far me ptrfrndhtdmre mrUe d* ♦ 
tangle effefe >ic$ vmme rite* • 

DEMONSTRATION 

de u premiere Partis, 

SOic k triangle obto&ngle A B C 5 fok prtM 
longt an dcs cotez qui cotnp scnato* Ta^e 
cfctus. C A B , par 

in point C fom- j^^ 

met de Tangle ^x^S^ j> 

A C B (bit mencc j Y^s/ 

Upsrpendicriaife I \& >l 

CJfracecofteB^f [# \_f__S^ 
pxolonge~ : je d* jj J - 

que le <pun£ dt* . 4 *' J* 

c&g C B oppoffi 

a l'angle obw , excedefc (omme<ter q&atre* 
dettottez JfC ft wf B, de la raleur de <feW 
ictt&nglet oompm (bus -rf B & XI*. Four Ic 
demomrer , foit nfcmatf & le cofte* A B $ /, le- 
coftf BCj£>lecoftc^C 5 &*,la ligne^I>; 
Si du quarr^dtt coft< C^qiri eft £jf , on ri- 
tranche lequari* du coft£ I* <rf qui eftx^i oti 
*»» J 1 ! II—* *= C Z> ». Ex fi du^tmj^^ 

f ] fttof. *, O. j # fro), pj. G& 9 



•v 



j|74 Traijt/me Tdrtfc 

C B qui eft // * n retranche lc quarre* de 2> B =a 
* -t- x , qui ell * e -*• x ** -h**jOn aua £*J 
// — e* — if*— *#=CD\ 

gg — x*=CZ> * 
yy — e e — i e*— ♦* * = C 2> * 
Done gg—xx —ff— e* — x,ex — x*. 
gg^zff —ee — zex; 

gg + "—ff-<-*'x 
gg*4r'"4ri<x = ff. 

Done [*] gg->xx=ff— *«— • itx<m* 

x x* 

Si on ajoute * x de part & cFautrc du fi gne 
d'egalite" decette derniere Equation , [ J ] on aura 
ggz=zff—e e— %e x. 

Si o!i ajoute enfuite e e de part & d'autre dtt 
figne d'egalite* de la derniere Equation , onaui* 

Etifin fi on ajoutc %ex encore de partSc d'attf 
ire de la derniere equation gg -*- e e =-//-* 
xe x -, on aura££ -t-e#-*f a **=//• Cefta 
dire que ie quarre du c6tc ;C B , qui eft /£ e/l 
£gai a la fomrrV? des quarrcz ££-*-*# des deux 
autres c6tez, & a deux re&mgles **, cora\>ris 
(bus ilfi-e& fous ^D=v. Doac le quxrrf 
// du c&te C B furpaiTe la ibmme des quarrez 
gg ~t* e e des deux autres cocez A C 3c A B <te 
la, raleur de deux ce&angle* cpmpris fou$ .<£$ 
&A D^OKptU f allot tdementrer. 

£'},<£*. 4« Gta*. 



&e$mtrie. %y\ 

DEMONSTRATION] 

< 

x> * la ticoNDB Faith. 

SOit le triangle ACB dont le cote* A C eft op* 
poft a 1' angle aigu,4 fl C * & du fooioact Q 




ffun. autre angle XCB foit menfc la lign# 
C D perpendiculairement au cote oppofc A B t 
jc dis que le quarre* du cote A C eft moindre que 
la fommede*quarrez des deur autres coftez><lP 
ScC B , de la raleur de deux rectangles dont cha«* 
can eft compris fous le c6te A B 8c /bus la li-* 
gne l> B terminle par le fbrnmet B de I'angie 
aigu & par la perpendicirlaire C D. 

Si 4u <juarre* de £ C , qui eft ff y on rctranche 
le quirre AeD>B qui eft * # , on aura ['] / /— 
xx = C D*.8c U du quarrc de A C , qui eft 
retranche # * — z e x -*■ xx qui eft le 



1* 



on 



quarre de e — * = ^ D partie du cote" A Bj. 
on aura [»] encore^— .* tt-j-atx — *x 

CD'. 



%-f Tt*lfitm$ Pdrth; 

gg — **-*-* ex<—» xx=Cn* 
Ttomff— xx = f f— r *•*-*«* — -xx. 
ff= f g—e*+*,ex 

Si on a jofite * r de pan & d'autre du figne 
d'cgalit* dc ccttc derniere equations [»] on aura 

Si on a jouce encore # e de part & d'autre dv 
£gnc d'egalne* de cette equation//==g j— e * ■+- 
*#* ;onaura//'-+"<*=££Hr i,«*r, c'efti 
dire que le quarrc* du c&6 -rf C , qui eft £g, eft. 
moindre que la fomme dcs quarrez //-+• t * 
its deux autres ofeez A B & C B , de la valcat 
dcs deux rectangles * x , dont chacun eftcon*- 
|ris fous le cote ^f B=* & foas la lijpne Z> B =c 
ar , tf tpiU /*//«* demwner. 

COROLLAIRE I. 

Si de la derniere equation gg -4»#^^ x # x ~s 
// de la demonftration de la premiere Paitie dc | 
& proportion, prefente on retranche ££•*•** 
dc part & d'autre du figne d'cgalitc* r il reften 
a x =ff— gg — * *. Enfin fi on dmfc cha- 
euiiedes dem parties de cette derniere equation 
par te y on aura pour quotkns [*] egauxx = 

Ce qui donnc one method* 






pour connoitxe la longueur de la ligne > oa pai- 



fcfe utD\ lotfqtfon connolt la longtfeUr it cha* 
cun des c6tcz d'un triangle obtufangle -, & coiw 
ixbitiant la; ligne A D & ic c6re ^ C , on con- 
noitra [*] la perpendiculaire C D , &enfin [*] 
on connoitra la (iirface du triangle obtufanglc 
**£. B C j ce qui eft fort commode lorique cette 
furface triangulaire eft , par exemple , un Ma- 
xell: , un Etang , un Bois , un Village , &c. 
qu'on ne pcutparcourir en ligne droite pour It 
«Li viferen triangles rectangles cooune on a en* 
feignc* [»]» - 

COROLLAIRE IT. 

Dans la demonftration de la ieconde Partit 

Ac la. proportion prefente , & a chacune des deu* 

parties dc la penuiti&ne Equation //-= gg—* 

e. c «4~ % e x on ajofitc e #, & fi de chacune de cc* 

d«ux m&mes parties en rctiznchcg g -, on atrr* 

ff~*r ee — gg^=z%e x. En&n £ oil diYife Tune 

& l'autre des deux parries de cette derniere cqua«* 

tion par % e , on aura [♦ j lcs quotients egaux x =* 

ff^r t e — gg, 
__ — lorfqu'oa connote la longneu* 

Ac etiacun des trois coftez d'un triangle reclili- 
gne ABC , cette derniere equation enfeigne 1* 
maniere de connoitre la longueur de k partie 
D B = a: j & enfuitc ii eft ['J facile de connoi- 
tre la hauteur de ce triangle qui eft la perpendi- 

[ l ]Parf. u Cor.i. Prop. ^7, Gto+ 

[* ' Cor. i. Prof. 40. Geo. 

[*] Cbr. a. Pr<3^. 4« # (?r#. 

[*) Prof. 4. AlgeK ' . 1 



StT* Trtijfemi 

*olaireC2>. fitcnfinf 1 ] oa coonoftrt fetolaif 
de la (nrface. 

La metode qtfon Yient d'enfeigner dans fcr 
Corollaires precedens pour trouver la mefizre <k 
la fiirface, oude l*aire d'un triangle te<5hligz* 
dont on connoit ieukment chacun des trois cA- 
tez , (atisfaic k un probletoe fort utile dans la 
(geometric pratique. Car quand on petit me- 
furcr les coftez d'ttn triangle , on pent too* 
Jours connoitre (a furface pint facilement , plus 
cxa&ement & ayec plus de brievete par eerie me» 
todetres-fimple,quepartoute autre? puifque pour 
celailn'eftpas neccflaire de (e fervir d'inftnh 
ment dirift en degrez , ni de connoitre aocunc 
medire d'angle ,ni de I'trfage des tables de Si- 
bus ; une feule toife on cbaiac ctant fefljfamt 
four route 1'opesatUHW 



proportion trx 

Les circuits de deux figures femhUhUf fa 
fr*eux cemme un dude Tun* sfissm c&ti home- 
UgHt de ttmtre* 

DEMONSTRATION. 

SOient les figures femblables A BC DE , & 
F G H I K • je dis que le circuit de la pre- 
miere eft au circuit de la feconde , comme no 
cote de cette premiere , par ezemple AB 9 e& 
a un cote 1 ttomologue F G de la feconde. Car , 

[*] Cor. t. Pre}. 4*. Gee\ 



Gtmttritj 



$1$ 




fttifque f] ccs figures fohr femblables , [* J otf 
*ura AB+FG ::&G. GH.&ZQ .GHi% 

JLXtz EA.K F.J& fommq dc cops les anfecc* 

, » 

f 4$. WGl: BC.GR s: C2> fitz 

\ DB.IKizEA.KF. 

< l>*nc AB~k-BC**-CD+D2 -+- E<* . 

/ GH*+>HI+>IK «+• KJF: :-rf*. F G # 

V. **4BCDp m FGHIK; :AB.FG. 

<cdcns ^4-BC^iCZ)«fD£^£^ eft 
,ck>nc [*] a. la fomme de to us les confequents 
FG+GH-H HZ-H/JCH-lCF.commc oil 
antecedents B eft a un confequent FG. Ceft i 
dire f le contours ou circuit A B C D E S eft att 
circuit F GH IK commc le c6t£ A Bed au c6- 



\ 






H*6 



Tmfiimt TsrtU. 



PROPOSITION IX» 



t* le circuit en contour dune figure eireonferkt 
ft un cercle, eft AH circuit dupe Autre figure fern* 
UsUe circenfetite a un ^utre cercle, centme le di+ 
metre de ce premier cercle eft au diumetre du fa 

*•." U circuit ou contour dune figure inferite* 
un cercle , eft au circuit dune Autre figure fembU* 
hie inferite a un Autre cercle y cemme le diametre 4 
jfe fremier cercle eft au dinmetre du fecond. 

P E MO NST RATION 

9|, Li fllMIIll PAITII. 

«. 

SOicnt lec figure* femblables Jl B C I>E 8t 
F G H I K circonfcrites a des circles : jedi} 




ijneles circuits AiCT* E&T G Itl K font OU 
*r'eux cormne les diametrcs Af NjSc P R des cer- 
des aufqucis ccs figures font jcirconferires. P f ouf 
le demdlnrer ,aux poins d'attouchemens NicR 

& dtiu $6#s tomologucs iQi«ntxutn^s les-di*- 



Kietres M N & P R j & des centres Z & O par lei 
points E6c D, K$I extremes de ces cote* 
lomologues , foient menees les lignes ££ & 

X-es angles £ D £* K I O font pj fc, moiticz 
In angles £ *c & KI ff egaux p] entr'eux; 
Done p 1'angle EDZ^KIO. On denW 
:xera.delameme maniere^jue i'angle DEl^s 
TKO. Les triangles D.£X * IKO (bin done 
[♦J ecjwangles entr'eux. Done p] £ z> . £ £ . * 
K Z .K O. Mais les touchantes£ D & & j avcc 
lejs rayons X N Jk O R forment [•} dcs angles 
droits £ Jtf I, & K R O ., qui font p] egaux en. 
tt^ux ; & puifqu'on vient de voir que ks angles 
KfML&RKQ font egaux entr'eux, les trian- 
gles £ £2* & XOR feront pj jangles en- 
tr'eux. On aura done encore £ £ .£# f ; ^ q 
OR.de ces deux analogies on conduera f * 1 one 
EI> .Xtf : : K7. OH, J>onc p] £ D m XI'- M 
Z# .OH. Or p°] lc contours ABCDE+ 
WGHIKu EB.KI. DansTanalogie prece«. 
4ente au lieu du raport qui eft entre £ D & k A 
fubftituant fon egal , on aura A$CZ>E 
TGHIX : • ZN . OR:; t £^_ M N r tl { 
* O R =p? R. Done enfin ABODE. EGH1K £ 
3* N . P & [»] , c* &U fill* demmtnr. 



';) 



p] Cor. j. Pw/. t9 . Geo. pj D,/ *>. <7«r 
™ ^*. u. Ge*. pj Cor. 4 . Pr^., u <y*. 
P*rf. i. Prop. S t. Geo. pj p r ^. u# ^ 
j Cw. j. Prof. zo. G*#. 
«] Part. i. Cor. Prof. a. -«%A 
'] Part. x.Cor. Prof. yAlgcK, 

i 10 ] Prof, j 9 , Geo. 
"1 C*r. D#/. ji. Goo. 



4% I Troffieme fdrtie. 

DEMON ST R-ATIOJ 

. . . j . *i 

delasecondeParti-e. 

SOietH les figures .{etriblables A B C DE & 
FG HJK inlcrites a des cercljes : je dis qw 
&s circuits il-BCP£ Mc F G JJ i JC £bnt at 

D 




*£*eux commeles fliametres ^ M & F O des eer- 
xles aufqueis c«s figures font intakes. Pour k 
Jcmontrer , parlesextrtmitcz /i&:fde deux 
£otez -homologues foicju menez les -diacnetre* 
A> A2T & F O , & pa* 'les gum^s excremirez de ce* 
jn&itts cote^foierftirieftre ks rayons &E&: £N*. 
£ nfuipar-une des exufemieez £ ou ^ d\ui de ces 
xotez.iK>molGgues foir friedee-nue ligRe-X C icr- 
.jriin^e au fommet d'un des aurres angles pro- 
xhains ; Sc par fc point F e*t*emit£ <fom autre 
%6ii Lcmjolpgue on menera &ne pareille ligne 

Les triangles A B C-tSr F-^-H" font p] fcmbla-* 
ties ,de forte/iqfce>ks^nglcs -rfClBSfc'F GJ?(jui 
,ont kurs fommeis;da*is l<s circorifereiVces de fer- 
ries, fbht^gaux entr'eux. Les angles A LB # 
,iF;N G dout les fommet* font dans k« cenrrej 4f? 



Gcotnetrie* 485* 

ttthmcs cercles , font done f 1 ] audi egaux en- 
tr'eux , ckaouivcoaiit [*] -d«KiWe des auti?es angler 
egaux ACBScY H G. Or a caufe de l'egalite: 
ales rayons A i L Sc &L d'tfri memecercle, & des 
rayons F N'&c tf G ;' on aura AL.LB : :? N; 
>N G; & [■*] ks triangles -4 BZ & F G N feront 
frmblables. Done [*] AB.FCf :: A t . F K. 
M.ais[*} i^'I>E .FGHIK ::AB . F (?. 
Z>on.Ci[*J^BCD£ » F&fflK: < A L . f N fh 
i^ALL z=AlM> . x FN- =s± F CT[f] m Enfih wtfBCD-P- 
F C£ H I K : : ul Af H F ; Cfrfrtf fallokdetnon^ 
trer. 

C OR OI LAI RE. 

. P^ifque [*] ies cercles font 4es figure fembfa* 

bies , infinitilateres , circonfcrites ou inferites & 

eux-mepes, ibrft [*] evident cjue lercirconfe- 

recces. des^ercles font enar'elles comhie leur* 



■ * 



PROPOSITION LXL 

* • . * 

«.&# *kf fophmets'de deux angles egaux &. torref- 
fondans days Itrpplpgones fembUblts , on mtne des 
Ugnes droitks aux "fommets des autres' angles oppo- 
fe%j chacun de ces polygones fera> Jivife dans hi* 
nombre egal de triangles [entfrtaHts, . 

(*]Ax*6. den. 
' [*i Cor. 6. Prop. 17. Geo. 

[*] Cor. r. Prop. ft. Geo. ou Cor. f. tfop. j6 
$or. i. Prop. .34. & Ax. 11. Gen. 

'' * Parr. \..def. 60.. Algeb. 
"^Prop. s4- Geo. 
*yCot. 3. def.ii. Atgeb, 
■" '7] Prop. f.'Algeh 
f ] Cor. Prop. 47 . Geo. 



4*4 Tniflime Tdrtir.. 

t> E MO N ST K ATI O N; 

SOientles pelygones feroblables ACEG * 
HUM O r fi des fommets F 8c N dcs angle* 
tgaux EFG&MNOon mene des lignes ^ci- 
tes F -<f , F£ dec. N.H-J N 1 &c. aux fommm 
'•des autre* angles opppfts ; Je di* i*. qu'un de 
ces polygenes -contiendra autanr de triangles,. 
.que rautre 5 .^°. que lei triangles d*nri deces po- 
fygones feiont femblables au* triangles de Tao- 
tre , chacun a chacun.. 

Lorfque du fomraet F on mene des lignes- 
dxoites aax fommets de* angles oppoics , Je* 




deux prochains E & <> en ftaiit excepted on par* 
tage le polygoneen auf ant de triangles qu'ily a 
de c6tcs moins deux de ces cotes > quelque nom- 
fere qu'il y en air. C'e'AY a dire que s'il y a cincf 
c6tes on lbpartage en trois triangles 5 s'ilyen a 
huit , on le partaga en Ax\ <&c. Ee nomBre Acs 
cotes furpafle de deux celui dcs triangles' qui en 
font partie : parceqja'ft eft' neceuaire que Its 
deux cote's I G 8c F £ qui comprennent cct an- 
gle F , foicnt joints avec les. cfites fuivans D E 
8c^A Gp ohb former des triangles avec les lignes 



Geometric* 4.85 

F jt.&TfD qu'an a menees .; parceque I D Sc 
& E 9 on F A &> A> G, 7 nc peqvent feules termi- 
ner un efpace. £t pes' deux cotes F G & F E Scant 
retranchfsdunombre des cotes du poly gone , le 
i efte eft egal au nombre des triangles. Car alors 
chacun de ces triangles a pour bale un cote du 
polygene. Dans les poiygones feinblables il y x 
unpareilnojnhre de rotes $ puifque ['] chaque 
c6tc*d^runeftproportfonnd adtac>ue>c6tfe de 
Pa litre. Retrahchant 1 du nombre de ces cotes, 
tfc part&T d'autre*. teg teftes £gaux '[*], exprime- 
ront le nombre des triangles , £gal dans chaque 
polygon^, , 

Puifqiie l<is figures Coht [f] fembfebles , [*] oh 
a> W G .G A :.: N Q . O H i & outre cela l'aiigle 
* G A = N.'O "^ Les triangles GF A^8c O Hft 
font doiic.^l femblables emrVux' -, partant F V. 
m G A\ \'N k\0 H , ^fanglc GA F = OHit. 
Mais [ l ] G A\ A B : : O H . HI , & Tangle 
GA B=zO HI. On concluera doncde ces deux- 

C . FA.GAsAB- -V> 

- H / NH .0,H \M I. • 5 

LDthcF A\AB 11NH .Ht .&>C. J* 
\ t 

derniSres analogies. [*] qu^F-£ . ^B : :#rf . H/ f *. 
or [' Jfanglc F^A >B = N H I. L« triangles ^F# ; 
Si H N I font [♦ J done fernblables. On demon- 
trcra de la meme maniere que les triangles ; 
&CF k> licyr, F'CD 8t tflCl\ 6lc. font 
ttinbUbles? Les -polygon** -fcmb&bies* ^CB F/ 

[ l ] Def m to. Geo, - .'■ ■pjwte *; G*i*. - 
; '- <H Suffofn) c ". * [♦] Car. x. Prof; St; G**.*- 
Pj P*r*. 1. C^w; trof*ii Y Algtb v . . 



4 8* Trosjt/m Parts e. 

& H K hi O jferont done dirifS* chacmr etr m 
parcil nombre de triangles, 8c chaque triangle 
d'un de ces polygones , fera femblable a chaque 
triangle correfpondant de Vzuuc polygone,, 
u quilfaltoit demmtrer. 



PROP OS IT I O N LXII. 

Les fdygones femblattes font entr*et$x> 7 emmt 
lis qutrrcs dt. lcurs catei ' bomobgues. 

DEMONSTRATION 

SOient les pofygones {embiables A &C DE & 
W GHIK : je dis que ASdDJE eft a FGHIE,. 
'flpoune le ojiarrd de B C , par exemple, eft aa. 




ijuarrfde TV: Pour le demontrer ; des {bonnet* 
JX 8c I des angles egaux £ D C & £/ J* foienr 
menees aux fomrnets des autres angles les li~ 
gnesZ>>*% DB S JF,IG. 

. Les triangles DE^&JKTj-rfJBU&FG/, 
.» EC & 2 GH .; feront ['] fimbJUblc*. 



GePmetrir. jfa 

Orf'jDE^.iKF: : D Aq . 2 Tq 5 pareille- 

Jnent ABD.FGlnDAq.IFq. Done DE^ 

ZKFt^BDJGI. 

Enfin-4 BD.FGJ: :I>Bj.JGf .& DBC; 
1 G H : : D Bq . 1 Gq. Donc[»] ABD .TGI ::. 
I> BC .IGH. 

On trouvc done cette faire de raports egaux* 
Z>E-rf>JKF::u£BI> . Fff/ : ;D BC . JGtf # . 
lia. Comme des triangles antecedens, dont eft 
compoffe la furface /BCD£,eft ['] doncsu 
Ik fomme des con fequens, dont eft compose la- 
fiirface F G H I K , comme le triangle D B C 
eft au triangle IGH. Mais [•] le triangle D B C 
eft a fon fembhble 7GH * comme le qaarre 1 de 
Z> C eft au quarre* de I tit; Les furfaces des po*» 
lvgones femblables ABCt)B 8c FGHI& 
K>nt done auflj entr'elles comme les quarry's des* 
cotes homologucs DC & 7 H 7 « 31*7/ /a//*// ti+ 
mentrer, 

r DEA.IKF:: ADf.IF^ V 

J ABD.FGI:: ADf.Ify. I 

't 2>*kD-BA.IKF::ABD-.FG1» I 

I ABO.FGI.::D-Bf . IGf. II 

1 DBC.IGH:: UBq.lGq. \ 

J D^ABD.FGI::DB C.IGH. > 
^ Dane D E A . I KF : : ABD . FGI : : DBC . j 

i-g h, I; 

!>*»*. D EA -4-A B D -h D$ C.IK F-+Hj 
1 FGI -KIGH:: £>3C IGH:: DCqJHq . H 

\Jtaff A B C D E . FG H I K : : DCq , IHf . j* J 

, •• 

On trouvera auffi par un raforwement £•*- 

f J ] Fsrt. a. JV#. j 6. Ge*: 
■ if] C". }• *>*/• "•• ^jefc. 
***• Hf M &+- 



. / 



J$& Troifiemt Vartie. 

reil aii precedent , que les- trapefoides &* trrpe- 
Ccs femblables , font entr'eux comnw les quanes 
de lcurs cores homologues $ & ce qui eft >dit dans 
les Gorollaires fuivans kur cpnvient commc 
aux polygenes. 

COROLLAIRE £■ 

• * • 

Ce rapport d'impolygone aiui autre polygon* 
femblable , eft double du rapport d'uti cotedece 
premier a un cote homo logue du fecond. Car [ l ] 
les polygonesiemblables iont entt-'eux , commc 
les quartes de leurs c6re$ homologues - 3 & [*] les 
.quarres de ces cotes homologues ibnt entr'ccx, 
en raifon doublee de celle qui eft entre ces me- 
me$ cotes. * 

b O R O L L A I It E It 

Si de deux figures fcmblables , la premiere % 
chacun defes coteY double de chacun de ceux 
de la (econde* * la furfa.ee de cette premiere fi- 
gure fera quadruple de la Surface de la fecoede, 
Jarceque la premiere, fera [* a> k feconde ,". 
com me lequarre d'un des cotes de cette premie- 
jre eft at* quarre d'un cote homo-logae aeW fe- 
conde ; & le quarr&du cote de cette premiere 
fera quadruple du quart 6* homologue de la fc- 
conde. Soientpourexenaple^deuxfigures fcm- 
biablesr^-& B j j'appellerai c uh cote de la pre- 
miere figure A , A: W un cote homologue dela 
iiconde figure B. Done '[ x Jwf . B' : ; f t '• jU.'Qt- 



■ * 



I*] Prop. Pnf; 

[1] Cor. Pro/, 18. Jl&k* 



Gttinttrft* 4$f 

T*] le quar^6 de c eft au quarr£ de d, ctJmme Ifc 
premiere de trois lignes concinuement propor- 
iioiineltes -^r * . * */. eft a une troificme/j 1c 





c&c f eftant la premiere , 8c la (econde eftanr 
fe c6te^.Ceftadire que cc s dd: : c ./. Mai? 
puifque [*] >eft double de ^ r on. aura pareilic- 
jnent <£ double de /* Done * fera double du dou- 
ble e!e/\ e'eft. i Jirc quadruple de /. Done c £ 
fera quadruple de d d. Done enfin la figure A C&* 
Sa f *} aufli quadruple de B. 
, Si chaque c6te chine de ces deux figures fen** 
fclables eft triple de chacun de la feconde 5 lar 
premiere (era noncuple.de la {econde , Ac DC 
xe -qiTon vienr de demon trer on peut encore 
cbnclure que Ies figures- (emblables ne font pas 
entr'elles commc leurs cotes ; r puifque chaque 
cote de. Tune eftant double de chaque cote de 
1'autre j. Tune eft quadruple de l'autre ,. &c. 

COROHiHE III. 

tTne figure qui aura pour cote PhypotenuS 
d'un triangle re&angje, eft £gale aux deux figu- 
res *qui lui feronr femblables , & qui aurontle* 

[*] Cor. Prof, i^ AlgeK 
[ 2 ] Suffofit. 
P] Pr<#. Pre£, 



49* TroifiVme Tdrtie. 

fieux autres c6t£s de cc triangle ppur c6tes 
jaologuesi. cc cote de la premiere. 
. Soit lethargic rettangle ABC , & les figu- 
res femblables E , F, l> , d^crites fur les cotes de 
ce triangle , de maniere que £ foit fur l'hypote- 
nufe : Jedisquc la ,, 
figore E eft £gale a: 
ia fommc des figu- • 
rcsF& D.Car [ l ] '. 
E.F::AAxAB. 
BCyRC&E.Di: ^ 
ABx AB . A Cx 
A C. Done [*] E . 
F -+■ D : : iffix 

AC* AC. pr[*} 5 

^BXifBrr'C^xCB + ^C X A C. Done' 

E . F : : A Bq . B Gq, 
E.r>:rA'B^.AC^. ' 

JDaw E = D -*- F- 

COROLLA I RE IV- 

Pour d&crire une figure £gale & femblabre aux 
deux figures A BC D , & E FGH qui font fem- 
blables anfll cnitr'eiles : it faut [*] faire uh angle 
droit lLK % 8ccn fairc les cdtes / L & £ K egaax 




{ l ]Pr 9 f.Tref. 

>]Pf0f;i 4 .Algefi: 

.'J P*rf. i. Prof. f7« G*#, 







<arur cotes homologies -4 -B & £F 5 cnfuite me- 
ne^in%uc v J*iQ,Si [*] (giv-ii^w^ae 'figure 
jfemolabie aux deui s figures pce^dentes , qui ait 
^>ourrc6te 1 K hooiologuc aijx auws c6tes AB 
Zc E F des autres "figures , ccfctc dernicrc figure 
fei'a.[*^ egale aux<dtfjix jftecedentes. Ont^ut 
faire paVip-jntyeii Tadditioa 3cs figures iem- 
Jblables. 



r r= : ' " * • 



^•RO'PO'SITIO N LXIII.; 

Les figttrts.ou ftpftces femUMes circonferites^ 
<4>u mfefites 'if des ttrcles , font entt-elUs comm* Us 
quarres des ditmttres de ces mimes cercles. 

•£> ' E A M €> -tf- S T & A T 1 O *T 

jjO , 3 ^ 1". - j . 

X Eg figures femblables fontfsJentr'cHescomnae 
t fes cjuarrcs - -de teurs e6 tes homologues. 
JEtles aiiarris tei qoc& hotnblogutes des figurds 
^ijCcdrtrcritcs^oairifcTites a des cercles' , font eri- 
jSlirVnaaacoTlan^ lfes*ijiairi$ des diwrictre*. Gax 1$ 






C0r.v#yty.Exef^ 



;M 



491 Troififme JMfk. 

cot6shomologu.es font ['] entr'eax commete 
diametres de ces memes cercles 4 <donc [ 2 ] la 
quarrfe de ces c6c6s homologues , font entr'euz 
commc lesquarr£s de ces dia metres. En fin ea 
fiibftituant le rapport des furfaces au Heu da rap- 
port des qumes de leurs cotes homologues , oa 
crourera que les fiirfaces ou polygenes (embl*- 
bles , inferirs dans les cercles ou circonfcrks, 
Cpnt entr dies comme les quarrfs des diameter* 




#e ces memes cerdes, Soi&nt Jes %u*s £*&]*- 
*>les^*Ci>JE & FGHIK circonfcrites, <* 
infcrices a des cercles dont les diametres Tost 
£ N & OK : Je dis que ABC BE . FGHIK 1: 
■ZN\ QR\ C*t AB C D£\,F G H I K t z£D\ 
JC I*. Mais pu&jue £» , K J 2 s £.ir . O a 1 ic 
ISZlouyp P/ie £ I>». Ki * zz LU \ Q & \ J}ans Jft 

1*] Demonft. de l*tr*t.** m Ge*. fr *»* t .AM s 



Gttwetrie* 44^ 

premiere analogic , au lien du raport qui eft ecu 
tre ED' & K /* , en fubfticuam le rapport d« 
t^iOR*, qui luieft £gal; il eft 6y idem que 
ABCDE.FGHIK ::£Jtf\ 0#\ ** ji/il 
fttfUit demmtrtr. 

On peuc faire un raifonnement pared ao, 
precedent , pour d£montrer que les figures fem- 
blables inferites, ou circon&rites a des cercles, 
font entr'elles en m6mc rapport que les quarres 
des rayons de ces m&mes cercles ; puifque leurs 
c6tes homologues font entr'eux comme les 
rayons des cercles aufquels elles font inferkes on 
circonferites. 

COROLLAUE I. 

Les figures (emblables inferites ou circonlcri- 
tes a des cercles , font entr'elles en xaifon dow 
b&e de celle de leurs diametres. * Car ces figures 
femblables font [*] entr'elles comme les quarres 
des diametres des cercles aulquels elles font inC- 
crites ou circonforites , 8c ces quarres font [ 2 ] 
entr'eux en raifon doublie de celle de ces m£*> 
me$ diametres qui en font racinest 

COROLLAIRE II. 

Les iurfaces des cercles font entr'elles comme 
les -quarres des diametres deces mimes cercles* 
Car les cercles font ['] des figures (emblables. 
4'une infinite" dec6tes, inferites & circonferites 
a eux-m&mes $ & ces£gures (emblables font ['] 
entr'elles comme les quarres de leurs diametres, 

[*] Prof. Pref. 

[•] Cor. Prof. it. Algek* 

\*]Cor. Prof. 47. G«>* 



4 ^4 Troipmt Pdrtie. 

Onconduendonc aufli [*] que les ccrclcs fom 
entfVuxen raifon doublet de cclic dc leurs dia~ 

metres. 

COROLLA IRE III. 

Poar decrire an cercle cgal a deux autres cer- 

cles^paccxemple,* AhCJ) & FGHLifV 




rertremite*Hd*ttndcs diametres dp ces ecrdej 
il faut mener la perpendieulaire H N egalc iq 
diametre ^ C de l'autre cercle , & enfuite me- 
ner la ligne F N : Je dis que le cerclc qui aura 
pour diametre la ligne FN, (era egal aux cer- 
Clcs ABC D & F GH L , pris cnfemble. Car 
I*J le cercle dont le diametre eft F If , /en aux 
cercles ABfD ^c T G 3 L comme le quarr* 
de ce diametre TN aux quarts des diametres 
FH &m ; £c [»] lcquarrc du diametre F N = 

• Au lieu de faire H N" =AC M on poavoit fai- 
re if O = F C , & alors la ligne meaee Am. point 
Af au point O auroit 6te le rayon du cercle cgal 
£ 4 ]aux deux cerdes AB CD $ FGHL. 

C*\ x, Pnp. Pr#/". 

C*r. i> Prep. Vref. . 

L Part. i. Pwp. 57. <**#. 



Gt6t»ttrie4 



49 



w* 



PRO POSITION LXIV. 

i<*. Si quatre figures femblables ont fur cotis 
homologues chactme de quatre lignes proportionntl- 
les ; ces quatre figures feront auffi froportiennelles 
etotrelles. 

2,». Reeifrequement ft quatre figures [ont Jem- 
blables & frofortionnelles entrelles'Jes quatre li- 
gnes qui en font cotes homologuis , font auji fro- 
fertionnelles enWelles. 

DEMONSTRATION 

HI. LA PilXllll f AUTII, 

Oient les quatre lignes prdportionnelte* 

e. f : :g. h , dont la premiere e eft c6te" dc 

la figure -4, &la dcuxiemc/eft c6tc homolo- 



s 





g h 

gue de la figure B femblable ,a la premiere j la 
troiiieme g eft c6te ie la figure C , & cnfin 
la quatricme h eft c6ce komologue de la fi- 
gure D qui eft femblable a la figure C : Je 
Sis que.4 . B : ; C .D. Car les quarres de ces U» 
* Ttij 



49* Trtijtimf fdftU* 

gnes ferant ['] proportionals entr r eux 5. paiiqat 
fc quarre d'une Jigne eft [ a ] cctte ligne multi- 
plice parelle-mcme. Mais lcs figures femblables 
qui auront ces lignes pour cotes homologues, 
ftront ! *] entr'elks comme les quarrcs de ces 
memes lignes e y f,g ,h. Ces figures femblables 
ftront done aui& proportionneUes ,. ce qu'il fd* 
hit dementrtr. 

DEMONSTRATION 

OI LA IICOR0I PilTII, 

SOient let quatre figures femblables & propor- 
tionneUes. A y B,C &. D , e'eft a. dire que 
jl.B :: C . D. Jedis que leurs cote's homolo- 
gues font proportionnels y par exemple , que 
§*fi:<g.h* Ca^puifque [+]A. B :: C.P. 
& que [*] les quaeres <ks cotes bom©lognes <k 
ces figures font entr eux , comme ces memes 
figures j les qu*rr& de ces cfit& homdlogaes Y 
feront aujE pstfportiwiriels t . c*eft a dire que 
9 # . // ::*£/. A A. Or , puifijuc les quarre* 
font proportioned* , leurs racines ierotft [*J 
auAl proporti«nneUes. Done # ./ :. •„ % • b* C« 
j/**i/ falloit detmntrer. 

[♦] Suffofiu 

[*] P*r* # x. C«r. i. P«£. u. ^^ 



Geomttrie. 



4?7 



T> E LA SITV AT ION 

des lignes droites comparee k celle 
des plans j & de la [ituation des 
flans comparee k celle £ autre $ 
flans. 

LE S proportions fuivtntes font d'un grand 
ufage pour bicn entendre la Trigonometric 
Spherique , qui eft un des prmcipaux fonder 
«aens de T Airronomie * pour la tbeorie & la 
pratique de la Gnomonique ou de la fcience 
des Cadrans folaires } pour la Perfpeclive , e'eft 
£ dire Tart de reprcfenter les objets tels que nos 
yeux les appercoivent , & qui Utisfait a l'explw 
cation phyfique depluficurs beaux Phenomena* 
de la vifion $ gcneralement pour rintelligefr- 
ce de tout ce qui fe trouve dans les Mathemati- 
ques , ou il eft: neceilaire de con/idcrer les pro-* 
prietes des lignes droites qui rencontrenc dei 
lurfaces planes , & les pro prietes des plans qui erft 
rencontrenr d'autres > ©ii qui leur font par alleles, 
Cetrx qui ne font pas encore accouturncs a la; 
representation des plans; qui fe rencontrent oil 
qui fe coupent , ont quelqtiefois de la peine i 
decouvrir les vcrites cju'on y propole. Mais lor£ 
qtt'ils y font un peu d'attention , & qu'ils per- 
{cverent , la difficult^ (e diflipe peu a peu, 
& ils ne trouvent plus qu'evidencc. De fort* 
que pour acheyer heureuicment l'etude de ccs 

T« iij 



49* Tfifimt Fdrtie. 

Clemens , & en cirer un fruit avantageax, St ne 

s'agk que d'avoir un pea de fcrmete $ de faiie 

«ne kotmre frequente de ce qui d'abord peat pa~ 

roitrc obfcw: $ de former hi resolution de vaincre 

courageufement tout obftacle, £e aloes on coa* 

noitra pas fa p^opre experience le bon facets de 

fon travail. On pent aflarer qull n*y a rien dans 

toutc la fuitc capable d'arr£ter un efprit an pea 

laborieux ; de forte qu*apres avoir fini ces Elc- 

soens • en continuant areola m&me vigueur a 

s'appiiquer a d*autres trak£s de Mathematiques, 

il aura le plaifir, non feulement d'apprendxe ce 

que les auties parent ^ouis mfiaie iife trouTC- 

m en feat d'inventer. 



PROPOSITION LXY. 

Deux lipus qui fi coufent, font dsns It mh* 
j/tan* 

DEMONSTRATION. 

SOient Its deux lignes A B 8c C ZX qui & cow- 
pent au point £ : je dis que ces desx lignes* 
font dans le m&me plan. Car on peut coi&de- 
fer une ligne droite , ^ 
*nen£e du point A au 
point C , qui fbit en- 
fuite mue vers E tranfc 
terfalement fur les li- 

rnes A E & C E. Alors 

r ] on aura decrit 
le plan triangulaire 
^C£ dans lequel font les lignes partiales .4 £ 




Gttmttrie. 49f 

Sc CE. Done ['] les ligncs entieres AB dc C& 
Icront toujours dans le meme plan , e'eft a dire 
que fi on prolongc le plan ACE il pailcra par 
le plan £ B D dan* kqucl fe trt>u*ent fcs autre* 
parties E B & E JD des ligncs AB tc CD ,c* 
£m*4l falkit demmPnr. 



PROPOSITION LXVh 
Si deux flsns fe amftnt , hut commune /#• 

DEMONSTRATION 

SI lm riiifiixi Faktii. 

SOient ksdeux plans jtfB & C2> qui fe co& 
pent en E F : Je dis que leur commune &- 
dtion E F eft une ligne. Car £ cette commune 
fc&ion EF n'ctok q 
pas une ligne feule- 
Jnent, &que cefut, 

ijar exempk , une 
surface y il faudroir 
que quelquNin des 
Jtoax plans AB 8c 
C D cut de repaif- 
feur ou proftmdeur, 

ee qui eft [».] contfe 

la definition de k * ** 

ferfacc. Done la commune fcction E F des deuc 
plans A fl & C ^ eft one ligne r ## tfilfalV* 
dimntrer* 




l t lC*r,d*f.z*.G#. 



[*lD9ff>Gm 



50Q Trosjitmt Tdrtie. 

DEMONSTRATION 

»S U flCOMDl FAKTUr 

V 

SOit la ligne £ F commune (c&ion des doit 
plans >* B & C 2> : je dis aue cette ligne £ ? 
eitune ligne droire. Car des deux mcmes points 
£ & F de cecce ligne £ F fi on mene dans le 
plan C 2> une ligne droite EGF , & Jans le 
plan -rf JB encore une ligne droite E H.F, ii eft 
conftant[ K i que ces deux lig: es droices fecon- 
ifo ldronr en une (eule , Iaquelle (e tronvera en 
memc temps dans les deux plans. Or il n'y aquc 
la ligne qui eft la commune fe&ion de deux 
plans , qui fe trotivc en mime temps dans les 
deux plans. Done cetre commune £<£tion eft une 
ligne droire > ce quil fiUUit demontrer. 



PROPOSITION LXVIL 

Si une ligne droite eft perpendicuJtire * deux 
ligne s qui fe coupent , elle lefera- uuffi mm flsm d+ 
ces mimes lignes. 

DEMON ST-R A T I O N 

SOic la ligne AB perpendiculairc a chacune 
des deux lignes dioites CD & £ F : Je dis 
que cene ligne AB fern aufll perpend ieulaire 
au plan GK , e'eft a dire [* J > a routes les lignes 
menees dans ce plan par le point- B * pat exem- 

[ l ] Cer. ).Ax. uGeffr 
\'}Dif.U>*Gi** 



fie. 3 Ja ligne I BM, Pour Ic dem«ntrer foient 

ptifes a volenti ksligncs egalesBC, JJ, iD ? 

X E ; & par ienrs 

extremities foient * 

Bicn&s lei lignes 

droiKsECfc F-I>. »i 

Du point A aux 

points E , 1 , C , 

F , Af , & D , il 

rani mener autant 

dc lignes drones, 
Puif^ue lei li- 

jnes S£ & IC 

font ['] igales aux G 

KgnesBF &BD„8cl« anglesEBC & DJI 
ctant I *1 egaax entt'eox » les bafe EC St D F 
fcront [> egaks. Lei angles ECB & BDB~ 

fcront [*] 4gaux enarVn. 

Les .angles I.BC & DIMfcnt ["] tgaK 
entr'eus. Les deuxanglesl CB & LBCferor* 
done egtuz am angle* X D M & DBM. Oo- 
fWceralescfiieVCBScBD font ['] cgaux. Lc* 
ligws C I.k U D , J I & BMfiiontp] done 
eg ales. 

Mais le? quatre triangles rectangles .rfBE., 
A B C , A BF ,AB9, ayanr 1c edit B *f com> 
mun, Seles awres cotes BE, BC,B F, St BO 
cgaux ['] , Sc encore [*]les angles tiioits ABE, 
ABC, Atr, tt .rfBDegaux, lesbafcs-rfE, 
•f C, A F , A D feront ?♦_, audi egaks cntr'elle*, 

I' 1 Par confiruilioTs, 
' Psrt. i. frtf. at. <?«>. 
1 P*rf. i. Pnp.je.Gtai 
* Cw. a. Prtf^. )f . Geo, 
*]C«-.4. Pr<y.jr.6*C»r.».i , r«5>,|t.,fllf, 
n&w.j.fr^.a*. ft*. 



jpi Troijt/mt Fdrtle. 

8c puhqu'on vient de voir que C E = F 2> , le* 
angles ADF & ACE, c'eftadire, les angles 
A DM 8c ifCX fefont ['] 6gaux entr'eux. 

Les c6tes AC 8c C L ttznt done £gaux aw 
c6t&-rfl> & £> Af ,& Tangle A C L = A D M-, 
on aura [*) les bafes A L 8c A M £gales en- 
tr'elles. 

Enfin puifque les c6tes A B 8c B L font egaux 
aux cot6s A B 8c BM , & que les bafes A L k 
A M font auffi £gales entr'elles , les angles ABL 
& ABM feront ['] egaux entr'eux. Cbacun fen 
done [*] droit. AB lera done perpendiculaire a 
Z.M 8c\ par le meme raifonnement , a tout* 
autre ligne xnence dans le plan G H y ce quii 
falloit demontrer. 

COHOLLAIRE I. 

Dans un des plans A B 8c CD perpendicu- 
laires l'un a l'autre , £ on menc la perpendica- 
laire G F a leur com- 
mune fedtion CE} 
cette ligne GI fera 
perpendiculaire a 
I'aatre plan A B. Car 
£ dans ce plan A B 
par le point F on 
xnene la ligne FH 
perpendiculaire a 
C £ , on aura Tangle 

H F G qui fera [ l ] Tangle des plans AB 8c CD. 
JEtpuuque ces plans font [ ? J perpendiculairei 




i 



Cw. *. Prof, jf . Gf* r 
P*rf. i. Prop. 3 . G*a. 
P*rr. i. Prof. xi m G$o. 
Def. 18. Geo, 



Gcpmttfte. jo$ 

Fan a l'autre , & que des plans perpendlculaires 
Tim a l'autre , foot ceux gui fbrment des angles 
droits 5 cec angle HI Gefx done droit. La ligne 
C F fera done perpendiculaire aux deux ligne* 
*H [ x ]8c FC [*] , qui font dans le meme 
plan A B. La ligne G F fera done ['] perpendicu- 
laire auplan AB }c'cftz dire [♦] a toutes les 
lign\es droitcs menses dans ce plan par le point 

y. 

COJOHAIREII. 
Si une ligne eft perpendiculaire a un plan , 
tous les plans dans lefquels elle fc -trouvera fc- 
ront perpendiculaires au m£me plan. Soit , pat 
exemple y la ligne F G perpendiculaire au plan 
-rf B : je dis que le plan C D dans lequel fe trou-" 
Ve cette perpendiculaire FC,cft auili perpend** 
Gulaire au plan AB, 
Car fi on menc par le 
point F la ligne F# 
perpendiculaire a la 
commune fe&ion C £, 
Tangle HFG fera p J 
droit. Done le plan 
CD fera perpendicu- 
laire au plan -4 B, puif- 
qu'ils formeront ['] 
Tangle droit HFG. 

COROLLAIRE III. 
La proposition prefente donne une maniere 
de mener une ligne perpendiculaire a un plan, 
par un point . donne dans ce . plan. Soit , par. 




{*] Def. 14. Geo* 
f *]SH t pfit 

A Prof, f re f. . 

'»] Z>*/. .20. f>. Def. 14. Gee. 



[ 4 ] T>tf. 10. 6«#, 





["J conftnriic k triaa- 
pat 1c point CUhm 
IcpLinJim laligneCG 
t^ac-a CD^ mm iC£. Enfii on ioclinera k 
par I>£F« ?ZanAB j*f|*'* ce qnck poiac 

hJ^rCF **knnt {galea DF.oniH. 

FC: ??«ascpecR&e l^ncFC eft la pexpendi- 
atirt ArerWrs. Car ks uiigl c s DFC, FEC, 
ItFoCc^rcoecCFcooww, Airraid 

t Fon a rjmar. Jh 
£ ysii4 » L> [i 1 aa£ taafanc I/aa- 
^ir FCi) ofr oooc egal a FC£. Ces angkf 
FCD& FCE Ktotoooc [♦) aVs angles dtoits. 
Dooc FCGo^ai lew eft[*^ cgalcft anffi droit, 
la le^ar C Fcft '» ] perpendicature aoxli- 
Dikccte^dle eft pcrpcndKa- 



zr*r ji« 7* 1 



c 






G*. [*] Fsrcmfirmam, 



Pkoposixiox 



Gcomrtrfc 



501 



'. > ROP OS IT ION IJtVIII 
.**»« Ugtut f Mt dans im mSrnefl^, , m 

1 * 

X> EM O NSTR AT I ON 

2£ZT dernicre$ Wfe SiSfi 

plan. Soicnt lcs lignes L J "«**« 

<x H $ alors puifqtte la 

Hgne -rf* eft [»] per- 

penrfkukire am Kgnes 

3SC«cSD,ellefcra[*] 

perpendiculairaa ce 

plan G if . S'il Stoic po£ 

iible qae la* rroifienieli- 

£ne BE nc nit pas dans 

Jc plan 6H-j ptiifque 

<fcne ligne S E rencontre la W ^ fl ,,, pofnt 

JS , confiderens ['] un autre pLi A E qui p a fl£ 

fi- eft eVident cue ce plan AS * le plJe »& 
*encontrw»xRja an poim B , fi on prolon^-le* 
jplan A E , iJ coupera neoeflairemem le plan 




Pr<£. if. Get. 
Suffofit. -■ 
' Prof. 4j. Gt*, 



Yr 



*5<>(? Troijitme Pdrtie. 

C H. SokBF leur commune {e&ton. -La ligne 
A B fcra ( * J . perpendiculaire a }a commune fc- 
tkioti BF , parceqifeHc *eft % perpendkulaiie 
au plan G H 5 & la litne^jB F Cera f * J perpendicu- 
!aire a A B. Mais [J j la ligne BE eft aufli per- 
pemliculaire a la ligne AB. II j auroit done 
ieux lignes BE & BF perpendiculaires a une 
meme ligne A$ dan*un,jmeme ,plan AF, & 
par *m meme point B ,'cc qui' eft [♦] hrrpoflibfc. 
Done la ligne BE nepeut £t,rc dans un autre 
jplan que <£ # # pone ,1a ligne fi£ ell dans Jc 
meme plan que ks lignes JB C $c Bp ? ce $»# 
falloit demontret. 



»»»■- . 



» ■ ■*■ 






it. 



^PROPOSITION JLXIX. 

0» »* ^e*f Jwfjwr pAr A *fl x meme point deux 
Okie's dro im ftijtem diculairis a> tmmemc pU». 

DEMONSTRATION 

SOi\ lfc point C phi daps le plan oa hors It 
plan A B : Je dif qn'il eft impx>/£6ie qu'on 
puiife mener plufieurs perpendicukkes ^ oar 
cxeipple, Cf> % C3E,a ; xc plan-. Car [ 5 j fi oa 
fbppofe ^u'il paflc un autre plan iPF par ces 
deux -lignes CD, & £|E. .> # que la commune 
ie&ion de ce dernier plan pF ayec lc plan -4* 
(pit «P £ dans la prcpiieic figure , & CF .4m 



[ l ]Def. zo. Gto. 

* j Sufpofit. & Cor. i. Prop.';. Get, 
+] Cor. Prep, 4. Ge.0, 



C F 



D E 



Gcatnttrie. 507 

lafeconde. ; les Iigjies CD & f CE &roicnt [ T J 
p erpendicuhires a cetre con&ihunc /e&ion D £ 
aa ns la premiere 
figure j 8c dans 
la feconde C D 
& CE fcroient 
auffi perpendicu- 
laires a la com- 
mune fection 
C F , lc rout 

6.301$ le mcrne . . 

plan DFpuifquc 

les communes fe&ions2>E & CF font en meme 
temps dans le planUF & dans le plan A B. Ce 
qui eft[ s ]impofliblc. Car il faudtoit que dans 
ijxi incme plan on put mener deux Irgnes ^par 
ixn m&me point perpcndiculatrerrtent a une au- 
tre ligne. Done auflT il eft impolfible qu'ont 
puiflfe mener d'un meme point plufieurs lignes 

J?erpendiculaire$ a un mime plan , ce $h'U fat- 
Qtt dimontrer. 




CO, ROLL' AIRE I, 

Si deux plans qui & conpent font perpendf- 
culaires a un autre plan , feur commune ledrioii 
lui fera audi perpendiculaite. Soient les plans' 
A B & CD dont chacun eft perpendiculaire ais 
plan E F j & foit GH la commune Ce&ion dc 
ces deux plans A B 8c C D : Tc dis que cette 
commune fir&ioa G H fera auffi perpendiculaire 



E 



*] Def. ao. Geo, 
* J Cor. Prof, 4. Gee. 



Vt 1} 




fdt Troifeme Pdrth. 

au plan E F. Pour le demontrer il fuffit <le fake 

*oir que par le point G on nc peat mencr one 

ligne diffcuente de G JBf , qui foit perpendiculai- 

jpe i la commune 

ie&ion -4G du plan ]> 

.^E a^ec le plan 

EF 5 & que par lc 

memc point G on 

no peat moner *nc 

aukre ligne que GH 

qui foil perpendi- 

culaire a la com- . 
fnune lection CG 
du plan D C arte 
fc plaa E F, Car 
s'il eftoit poffible q«e & L tnenee dans le plan 
A £ fuc pcrpendiculaire a la commune fe&ion? 
i* G des plans -£ E* & E F $. & $ue X2 M mencr 
dans le plan C D nit aiifli perpcndiculaire a k 
Obmmune le&ibn € G des plans C I> & E J r 
chacune de ces deux ligne* feroit [*] perpcndi- 
culaire au plan EF-par le m^me point G. Ce qui 
eft [*] iniporiibl'e. Dohclalighe^Gtt qui eft la: 
commune fec^ion. .dcs„j>kns A B .& CD per- 

fcndiculaires au^laii t F ", eft aulfi f erpendictt> 
lire a ce plan E #. 

C CHOI LAIR E r I. 

Du point -tf pris hors le plan B C fi on ft pro* 
pofe de merier torie ligne pcrpendiculaire a cc 
plan EC } il fiut iheiier i vOtbnt£ tes ligne* 
Z> E & G H fur ce plan B C , de forte qu'elks 
faitent un angle etant prolongees. tnfiite dis 

E 1 J Or. r. Pr<#. f 7; Gra 




Gfmttrie. 53* 

[ pcrfnt A il faut mener [*] les lignes AT 8c A L 
: perpencjicukirement d ces lignes Z> E &. G ff , 
j qui les rencontreront aux points F & L 9 Enfia 
pax k pdinc F & 
taut mener la lignc 
I? N perpendiciriai- 
rement a la ligne 
" I> E v & par lc 
i point L- iiiaut en- 
; core njener la lr- : /t > .. .„ ; * 

gne X attfli fer- / \ //'M\ \ H \ 

. pcndicUlaireaGH: / t?« x Hf 

Je dis que la lignc / r \E G/^ 

• A Af menee da g 
point donnc -4 au 
point dTnterfe&ion U des- perpendiculaires F .NT 
&IO,eftla perpendiculaire cherchee. Car les 
lignes <<4£ 3c Oi etaiit (*] perpendiculaires a 
la ligne G H , reciproqucment [*J G H cA per- 
pendiculaire a ces Hgncs A L & O JL. Done [♦} 
G H eft perpendiculaire au plan OLA. Done 
[*] le plan B C eft perpendiculaire au plan OLA v 
8c reciproquenieiu le plan OLA eft perpendi- 
culaire au plan £ C. De rn£me a caufe que lc» 
lignes AF St FNrfont perpendiculaires a la 
ligne D E , le plan A F N fera [♦] perpendicu~ 
laireau plan BC. Done la commune fe&iott 
JL Af de ces plans ifFN & ALO , qui font 
perpendiculaires a £ C y few, [*J auffi pcrpendi* 
eulaice au plan B C r 



P] P^irf. 1. C#f . *, Prof. f. <2e*. 

[ x ] Par confbruftlo*. \}\ C«r. 1. Prtf, f. 

M Pr*/>. * 7 . Gf*. • . . 

f *] Cor* t. ?r^ # t7+G*o r 

|*J Cor. i. Pr<f . fr*/. 



£**, 



joq Troijitmt Tdrtie. 

DEMONSTRATION 

»S U • I C O M D 1 PAHTIIr 

SOit la ligne £ F commune fc&ion des deux 
plans XB & C 2> : je dis aue cctte ligne £ t 
eft une ligne droire. Car des deux memes points 
£ & F de cecte ligne £ F £ on mene dans Ie 
plan CD une ligne droitc IGF , & dans le 
plan A B encore une ligne droire E H F , il eft 
conftant [*] que ces deux ligies droitc s fecon- 
ifo ldront en une (cule , laquelle (c trouvera en 
m&me temps dans les deux plans. Or il n'y aquc 
la ligne qui eft la commune lection de deux 
plans , qui fe trouvc en mime temps dans les 
deux plans. Done cctte commune ie&ion eft une 
ligne droire > ce qutl falUit demontrer. 



PROPOSITION LXVH r 

Si une ligne droite eft perpendiculuire * deux, 
ligne s qui fe coupent , elle lefera- uuffi su pUtm d+ 
us mimes lignes. 

DEMON ST-R A T I O N 

SOit la ligne AB perpendiculaire a chacune 
des deux lignes dioites CD & E F : Je dis. 
que cette ligne AB fesa a ufli perpend iculaire 
au plan GH , e'eft a dire [ l J , a routes les lignes 
menees dans ce plan par. le point B % pat exejxb» 



[■] Cor. ;. Ax. uGeffr 

l 2 }Dif.ia.Gt*. 



Geimetrif. jo, 

He i raligne ZBM. Pour lc Afmaatttt foienc 
wifesaw>]»irt*les]ignMcg»lejBC,.»F ) BD, 
I £ I & par lews 
;xtrcmit£s fbtent * 

zien£es lei lignes 

droitts E C ft F-i>, -L 

Du point A aux 
points E , L, C , 

r , at , & z> , ii 

feat menet auttnc 
de ligncs droit es. 

PuiCjue lei li- 
gncs BE & BC 
font ['] egalei aux G 

lignesBF <c£0 t &let angletEBC Si VET 
i rant i " ] cgaux cntr'tni ) les bales EC& DF 
fcxont [' cgaJcs. Les angles E C B ft BDF 
ftiont I *] &mix entr*«ix, 

Lcs .angles 7.BC & OJMSnit ["] egawt 
entr'eaB. I.es deui angles Z.CB St LBCferotft 
done eg»u t a« angles B D it ft VSM. Ou- 
■KCEta leic6rcsCB &BD font {'] egaux. les 
Iigaes C />& if Z> , S L Sc B M fcronr ['] done 
(gales. 

Mais lcs qnatrc triangles reftangtes /M, 
AaC,A&F t A Btt, ayanr lc edie" fl A com. 
mun, ft'Ies awres cotes BE, EC ,B F, icJD 
tganxf] , ft encote[*]les angles droits ABE, 
ABC ,ABf,8c ^BOegaux, lesbafes-rfE, 
*IC, AF ,jtD Cerent [*j aafll tgaks cnit'ciles, 

^ ['lP«f tenftrutlion. 



rrop, %x. ii», 
[»>, i, Prop. )f. G«. 
Car, x,Prof. jf.Gee, 

Cat • Prat >r A r 



Car, x,Prof. jf.Gee. 

Cor.4. Trtf. ti,d* Cor,t.?nf, fi. .Aft, 

Ctr. j. Pf »/.i». C*«. 



jfl Trerfiime Pdrtie* 

COROLLAIRE. 

La diftancc d'un point a un plan , eft meft* 
fie par h. fciiguear de la perpendiculaice me- 
nee dc ce point a cc plan ; puifque {_*] il n'j ca 
a pas de plus course que cette ptrpendrculaire, 
II eft done evident [ a ] que tomes les perpends 
culaires menees d'un plan a un autve qui lui eft 
parallele , font egales entr'elles,, Et enfin oa, 
concluera [*] que lorfque toutes les pcrpendicu- 
laires menees d'un plan. a un autre font egalcs r 
ccs deux plans font M paralleles cntr'eux. 



PROPOSITION LXXI. 

Deux lignes droites cjui fmt perpendiculaires a 
unmtrm flan, font dans un me me flan- 

4 

DEMONSTRATION. 

i 

SOienc les deux lignes droites AB & C D" 
dont chacune eft perpendicukice au plan EF: 
Je dis que ces deux lignes AB 8c C D font 
dans un m£me plan. 
Pour lc demontrer , dv A G 

point B au point D Cok 
JnenSe lalrgneBD. 

Les lignes A B & &D 
fcnt[*J dans le meme 
plan que fappcllerai 
XG> qui eft, [t] perpen> 
diculaire au plan E F. 
la ligne C D doit aafli 



• — BiC 




Geometric. , t i 

fc rfouver daris le mime plan £ G, Car fi die 

' n'y^tokpasi par le point Dfoit(']men*edani 

ce plan B,G .U liepe IXH.. perpendicuJairemcnt 

a la commune fc&bu ED du plan B G arcc lc 
: plan IF. Aiots [^J cette lignc HD fcra pet- 
: Wendicnlaire ati plan F.F. Mai* [»] la lignc CD 
fcroit agfli perpendiciilaire.au pi&nc plan EF 
par letneme point D. Il/auroit done par le 
jncioc point D deax Ugaqi HD Sc CD-ptr- 
peniliculaires au mc'mcplan EF. cequicftf*] 
impoflible. La lignep'etpfnjjculaire CD eft : 
done dans k nifime plan" ejue 1'auirc perpendi- 
Clllairc AS, ce ^u'ilfttlioit dementrtr. 

['] P*rt. z. Cor, ». Prof . %, Gto. f, 1+l , 

!■] Cer.t. Prep. 6j. Gto. f, foi. 
'Utttf*.. 
*J Pfff, 6$' Qu.f, j9S. 



514 Trtijt/m Parti*. 



11 m ■ 4' * 



t>* 6 POSITION IX&lt ' 

Xfc** tybu p*r*Mes font dans h mimjs ffag* 

D E MONSTRAT ION. 

PO xj r dAnontrer qae tar Bgrres paraflele* 
cmrc eltes'font ildttfo^'ltbtns le mcoae plan 
il fafit dc fairc yok qut , £ doact Kgnes nc K>ni 



It * * IK 



C H N D 

pas dan? lc mfime plan , dies fie feront point 
paralleles. Soient les lignes AB & CD dans dct 
plans differens : jedis qaeAB n'eft point paral- 
lels a CZ> # .Hour Je d6mQntcer % con£derons le 
plan C£ mene* parla ligne CD patallelement 
a la ligne AB , c*eft a dire , de relic forte que la 
ligne^Tjren foit egalement diftame dans toutc fa 
longueur. Par cettememe lfgne CD confiderons 
encore an sptre plan FD qui foit mcnc perpendU 
culairemenc aa precedent CE-,c6 dernier plan ID 
ne paflera point par ^a tigne AB, car AB & CD 
feroient dans le m&me plan , ce qui eft contre ia 
fuppofition prefente , FZ> coupera done A B par 
ezemple au point G. Alors du point G foit ['] 

[ l ] Cor. a. Prof. f. Geo, f. 145, 



t Q& rperpensiicukttc a laconimandteAuiti 
,«k^. C*tte c ligne &H fcttu^'J fcipawiiailake 
au pun C£, Enfuite dtt point Af pris a volonti 
dans la ligne A3 foit [*] mente JSiL perpendi- 
, culairement au plan Cfe. fuifque la ligne AB 
danstoute ta longueur eft£']£gaiementdiftante 
da plan CE, les perpendiculaires GH 8c ML 
feront [*J igales enure elks, finfin du point Af 
foit ['] menee Af iff p c rp c iidiml aircmcnt a la li- 
gne C 2? | & du point £ «*u point N foit mencc 

Puifquc M t' eft {*] pexpendicqlaire au plan 

E, l'angl6J^i^iera{ tf j^xoit^ia A perpcndicu- 

lake Af N eft done plus grande que -Af I [?] , ou 

que fon{+] feale C#. Us/lignes Af 2* & Gif 

„anen£es dc laTigrne*f£ payendiculaircmeoe a CX> 

n'&ant done point Igales, ^fj? n'anra pas ['J 

tous fe$ points igalenient diftans de C V. Lcs 

' deux lignes >f £ &GD ne feront done pojat £J 

j>aralklcs > ire tpiil f*Uok iimntrtr. 

COH1UUI I. 
" Xes lignes dmces qui Coot petpendiculaiccs 1 



♦ 4 

-\ 

"'] Cdr. i. tap. 6^ t O$c.f^ot. 
'*] Cw. z. Prop, j-j. Getf. p. joS. 
9 } Tar conjtru&um. 
♦] Cor. Trip. 7 o. G*o. f . ju> . 
5 ] Cor. i # Prof. <r. Goo. J. 143* 
'] Vef.xo. &o.fa£ tL zoa. 
7] p*rf. 1. Prep. 6: K Gto. p. 145. 
8 ] Cor. 5. P*#. tf. Gw, p. 14$, 



5 tf TrtijHme Pdrtie. 

on mesne plan font paralleles entr'elles. SoiemJ 

kt ligacs CD, EF % GH, LM, XQ t ScaA 







£ef pendicnlaires an plan AB i Je dis qn*elles fodf 
parallclcs entr'elles. Pour le d£montrer, foiciic 
menses les ligncs droitcs Df y DH, &rc. dans 1c 
£lan A & par leurs cxtrcmirts. Alors les Iignes 
CD 6c GH y par excrtiple , font [*] dans le m&ne 
plan , ce qui eft [*] une condition requife pow 
le parallclifme. Outre cela ces deux Iignes per- 
pendiculaires font [*] perpcndiculaires a la ligne 
J>H. Ces iignes CD & GH font [♦] done pa- 
■talfelcs i'nne a Tautre. On Fcra le meme raifon- 
aemem pour les Iignes CD , LM , EF, ftcc. 

CO ROLL AIRE II. 

<i les Iignes -rfB & CD font paralleles, 
la ligne droite £ t men£e da point £ d'ane dt 






Prop. Pref. 

Def. xQ.Gto. p. ioi« 



Of 



Ge$metrU. C17 

jpci paralleles au point F de i'autre , &ra dans 
le plan de ces deux parallptes. Car, puilque ['} 
Ja ligne £F eft droite & 

![u'ellc a d<£ja deux de A E B 

es points E 8c F dans la «*MNMMMiqp 
furface plane qui [•] pafle Jr 

par les paralleles A B 9c * T 

CD. II faut neccfTaire- C F D 

ment[*] que cette ligne 
droite /bit cntieremenc dans le plan de ces pa- 

^clCf, 

PRO POSITION L XX I II. 

£j jfc deux lignes droites paralleles entr*elle{ 9 
Vune eft ferpendieulaire s un plan , V autre [era 
*ujfi perpendiculaire au meme plan. 

DEMONSTRATION 

SOjientles lignes A B 6c CD paralleles en. 
tr'ellps , & loit la ligne A B perpendiculai- 
re ail plan E F ': Je dis Sat Fautre ligne C D eft 
anifi pcrpendiculaire au 
mime plan E f. Pour le 
dtmontrer, (bit'menee 
dans le plan E F la ligne 
$ D par les extremites 
de ces lignes A B 9c CD. 
Etpar leurs autfes ex- 
tremites (bit mence la 
ligne AC. E 

Puifque ['] la ligne A B eft perpendiculaire 
au plan E F , cette ligne A B fera [♦] pcrpendi- 
culaire aBD}& reciproquement B D fera [*] 

l*]Sufp0fit. [*]Pr0f.Pref. [*]Def. 10. Gea, 
\+] Def % iO. Gt9. [»] for. 1, Prep. f . <?#*, 




ji8 Trtlfitme fdrtie, 

{>erpendiculaire iAB.Le plan A D (era done 
1 1 perpendiculaire auplan£F. Mais C D foot 
[*] parallele a ,4 S, eft [*] dans (on m6me plan 
A D. El la ligne 3D fctant perpendiculaire i 
^f J , eft [ 4 ] auffi perpendiculaire a C D. Done 
reciproquement C D (era [*] perpendiculaire i 
3D, Ec enfin [*] C X> (era perpendiculaire aa 
plan EF y ce quit falloit demtntrer* 

PRO POSITION LXSIV. 

i° . Z,* commune fe&ion de deux flans q*i fa/fat 
far deux lignes f at alleles f eft farmllcle a us mi* 
mes lignes. 

a° # Les lignes dreites far alleles * une menu. lip$ 
font far alleles entr elles , qseaique elles <$» o$ 
meme ligne droite feient dans its flam diferm, 

DEMONSTRATION 



s 



©1 LA PRIMIIKE PAHTIE. 

Oient les lignes AB & C D paralleles 
r 'elles : Jedis que Ja commune fc&ion 



en- 
GB 



des plans B £ & DF 
qui patient par ces 
paralleles A B & 
CD y eft -parallele 
a ces memes lignes 
AB & CD. Pour 
le d^mpntrer , con- 
(idcrons un plan 
ZM qui coupe la 
Jigne AB dc font £ 




v 



Car.t.frtp.t^cio. T'lSHptJit. 

Prf. 7 u Geo. {4j Psrt . ,. p^.Tg* 



- Getmetrie. 51 j 

ipi'eile Itti {bit perpendiculaire. Alors l'autre pa- 
rallele C D fcra ['] auffi perpendiculaire au mfc- 
me plan X Af j 5c lcs plans BE8c DF qui patient 
|>ar ceslignes iiB&CD, feront [ a ] perpendi- 
culaires au plan L M. Leur commune ie&ion 
t» ff {era done [*] perpendiculaire au plan IAfj 
elle fera done [ 4 ] parallele auz ligne* AB 8c 
C 2> , tt qu'il fdloit dtmontrcr. 

DEMONSTRATION 

I>M LA SECONDS Piitl!, 

* » 

SOit la liene A B parallele a E F , & la ligne 
C D aum parallele a EF. Soic le plan des li- 
gnes paralleled AB 8c EF different du plan 
des lignes CD 8c £F, e'eft a dire que £F {bit 
la commune fe&ion de deux plans dont un paife 
par la ligne AB 8C 1'autre par C D 5 car u cet 
trois lignes AB y EF 8c C D etoient dans la 
xneme plan , la proportion prcfentc feroit la 
meme que la vingt-fixieme : Je dis que la ligne 
A Bed parallele a C D, 
Pour le demontrer i par A H B 

un point de la ligne . * , 

E F , par excmple G , c \g 

ic dans le plan des deux /' F 

?>aralleles -4 B 3c E F , 

bit mence G H per- CI D 

pendiculaire a E F. Par 

le meme point G 8c dans le plan des deux pa- 
rallels C D 8c EF foit mencc G I perpendi- 
culaire a la m&me ligne £ F. 

[ l j Prep. ji-'Ge*. 
[ a ] Cor. 1. Prep. 6j. Geo. 
I* ] Cor. 1. Prop. 6$. Geo. 
[♦] Cor. i. Prop. 71. Geo. 

Xxij 



Pui/que t F eft ['] perpendkulaiie aux ligne* 
61 Be GH > ccttc ligne E F fera. (*] perpen- 
diculaire an plan qui pafle par ces demx ligne* 
GH Be G/. Les lignes ><B& CD qui font 
[*] paralleles a la ligne £ F , fcront [+] anffi 
perpendiculaires an meirte plan des deux ligne* 
GH Be Gl. Done ['] les lignes A B Be CD 
fcront paralleles encr'elles , *# jw*«l failed* M* 
montrer. 

PROPOSITION LXXV. 

$i deux flans partible* font coufes far «* 
froifnme flan , b*rx communes feZHons feront 
aujft far alleles. 

DEMONS T RATIO N. 

SOient les plans paralleles AB 6c C D coupes 
par un troificme plan E H : Je dis que lenis 
communes fedions EV Be GH fcront paral- 
leles entr*elles. Car cses lignes E F Be G H 6m 
dans un meme 

plan EH, ce qui Av V 

eft ['] one con- iTls. ' \^ 

dition requite "^ — ^' 

pour le paralle- 

lifme. Outre cela, 

ces lignes EF & 

GH etant dans 

les plans AB Be 

C D qui font [»] paralleles , e'eft a dire ['] eg* 

lement diftans l'un de l'autre dans toute leur 

p] tar conftrucHen & Cor. x. Prof. $. Geo. 
M Prof. * 7 . Geo. [i] Suffofit. 

M Prof. 73. 6w. [f ] Cor. i. Prof. 7 z. Gee. 

l*J p "/. 7*« G '* [ 7 J *>#/, ii. G##. 




Getmttrie. 511 

erendue' ; cm lignes feront auffi egilemem di- 
Jiantcs Tunc de l'autre dans tome kiir lon- 
. gucur. Done ['] elles feront paralleles entr'elles, 
c e qu'il fitlUit diimntrir. 

COROI, LAIR.E I. 
Les ligne* dioites coupees par des plans pa- 
' ialleles , feront coupces proportionnellemem. 
F H K 



Solent les lignes droitet AS tc CD, paralle- 
les 1 011 non ; dans le meme plan , on dans 
ditferens plans. Soient encore les plans, pa- 
ralleles EF , G H" , JK qui coupeat ces lignes 
aux points X , M ; N , O ( P , S : Je dis que 
ces ligncs AB & CD feront couples pro- 
ponionnellement , e'eft i dire que IJf.MP ;: 
MO. OS, Pout le demontrer , du premier 
point de feition L d'unc de ces ligncs droites 
A B an denxicme point de fedion S da It 
"feconde ligne C D foit nienec la ligne L S. Er 
du point I au point ii ; de 8 a T , & de r i Oj 
['] D*/. I. Gt*. 

X* iij 



j,-. j rnjtemc fartie. 

enfin de P a S , oil ces trois lignes AB y CD 

tc LS font coupces , foient mcnces dcs lignes 

droites. 

Let lignes LP Sc LS feront [*] dans lc me- 
me plan $ les lignes LS &c S M feront audi 
dans le mime plan. Or les communes fe&ions 
T N & S P da plan triangulaire LS P & dcs 
plans paralleles GH 8c IK, font [*] paralleiei 
entr'elles. Done [»] Z tf . NP : : £T . Tf. 
Mais les communes fections L M Be T O da 
plan triangulaire LS M & des deux plans pa- 
ralleles EF & 6H, font paralleles entf ellcs. 
On aura done encore -MO.O.?:: IT.Tf, 
Done [+]LN.NP::A£O.OS. 

REM AR SJ) E. 

IL eft facile de fairc tin raifonnement fembla- 
ble a celui du Cbrollaire precedent pomr de- 
mon trer que dcs lignes droites A & , CD, £ F, 
&c* menees dans un meme plan font coupces 

A C A C E 




proportionhellement par les lignes paralleles 
AEfiL , H M , B F, &c. Car du point C an 
point H ayant.mene* CHjOn troure [♦] que 
AG.GH :: Ctf.NH :: CJ.JJC. Done 






P*rf. i. Prop. $i m Ge$ u 
Cor. y Dtf. U. .<*/£«* 



Geometric. jij 

p] AG.GH : : CI .IK. On prourcra de 
mfimc que CI. IK : : E I, . £ Af , &c. Enfuite 
£ on mene la ligne I £ , on trouvera encore 
de la m&me maniere que G H . H B : : IK. 
JC D . &c. 

PROPOSITION LXXYI. 

1°. v?i plufieurs plans font paralleles ; m»* otIj»# 
ligne droit* etant perpendicnlairc a un , /era f *r- 
fendicsdaire aux outfit. 

- a*. «Ti Mie merne /igiw dwf* f/f perpendictt- 
tsire a fUfiems plans , #/* /*f *»f par alleles. 

DEMONSTRATIO N 

£ 1 la primieri Parti k, 

SOient les plans A B 8c CD paralleles etf- 
cr'cux j foit la ligne GH pcrpcndiculaire an 
plan A B : Je dis que certe ligne G H eft aufli 
perpendiculaire au plan 
C D. Pour lcrd£montreri 
confiderons un plan G N 
qui pane par la perpendi- 
culaire G Hjdont les com- 
munes fe&ions ayec les 
plans A B & • D foient * 
CM 6c IN. Paifons en- 
core pafler un autre plan 
GS par cette perpendi- 
culaire G H y dont les 
communes fedions arec , 
les plans AB 6c CD 
foient GP 8c IS. 

Puifque les plans AB 
& CD font paralleles , A 

[»] Cir.) 9 t)ef.u.Mpt^ 




Ji4 Tnifiimt Tdrtit. 

les communes fediens GM & 1 N feront f f ] 
paralleles $ par la mime raifon G P & / S &- 
xont audi paralleles eatr'elks. Mais [*] la ligne 
C H turn perpendiculaire iAB 9 Tangle IGM 
fcra [ij droit ; Jc Tangle GIN (era audi [♦] 
droit, GJ (era done perpendiculaire a / N . Par 
la meme raifon IGP erant [*) droit , GU 
fcra auffi droit, GI (era done perpendiculaire 
a is. Done ['J la ligne G / fera perpendiculaire 
au planC D , *# qttilfalloit iUmmtrer. 

Et fi le plan CD eft encore parallele aH, 
on demontrera que la ligne G H eft encore per- 
pendiculaire a ce plan £F par un raifbnnesaent 
xernblable a celui qu'on vicnt de faire. 

DEMONSTRATION 

91 LA I1CONDI PllTII. 

SOient les plans AB & CD, aufquels la li- 
gne £F foit perpendiculaire : Je disqueces 
plans font paralleles entr'eux. Pour en connof- 
txt Tevidence il 

fuffit de demon- B D 

trer que routes < 
les perpendicu- 
laires mences 
d'undeces plans 
a Tautre leronr 
£galesentr'elles. 
Et pour cela, foit . 
mence G if pa- - 
rallcle a cettc li- 'A 
gne£F;&dans 

V] s»tt*fit. 




M V*f. a#. <J»Z># i 4 , on; 



[♦] Part, j. Prof. *4. Ge§. 
PJ Prtf. 47. G*. 



Geomttm. ]xf 

1<r plan AB d'un point de rencontre E de la li-* 
gnc E F a un autre G de la ligne G H foit mence 
2B G i dc mfcme foit men& F H dans lc plan CD. 

fuifquc [ ! ]GHcft parallele a la perpendicu- 
laire E F, cettc ligne G H (era attffi [*] perpendi- 
culaire aur plans AB & CD. Or [*] les angles 
TEG ,GffF,EGH & HFE font droits. La 
figure E H lira done [ 4 ] un parallelogramme. 
Done [*] la perpendiculaire G // fera cgale a 
JB F. On dlmontrera de la mfcme maniere que 
les autres perpcndiculaires 1 1 , M N , &c. me- 
nses d'un de ces plans a Tautrf, font egales en- 
tr'elles , chacune fctant egale a E F. Ces plans 
ieront done ['] egalement diftans l'un de Tautrtf 
dans toufe leur etendue. Done ['] ils fcront pa- 
rallels entr'eux , ce quit fallcit dimmtrtr. 
COROLLAIRB, 

Si chacun des trois points E , F & G ionr 
tgalcmcnt diftans du plan CD > lc plan AS 
{era parallele au plan 
C B. Car puifque les 
diftances de ces points 
font [*] meiur^es par 
des perpendiculaires , 
les lignes EH, FZ 9 
3c G M menses de ces 
points perpendicular 
rement au plan C D 
fcront egales entr'el- 
les. Or [•] elles-fbnt 





$it Troijttmt tame. 

paralleles entr'ellcs , & prifes deux a ieax elks 
ibnt[ x ] dans le meme plan. Les lignes LM & 
FG i HL & EF; HM & EG feront [*j 
{gales entr'elles. Le$ figures £M 4 £L & FAf 
feront done [ s ] des parallelogrammes. Or fan- 

Sle E H L ctant [♦] droit , Tangle EFI fera p] 
roit.On trourera encore par un raifonnement 
fanblable que Tangle LFG eft droit. Dench 
ligneLF (era {'] perpendiculaire aa plan des 
lignes E F6c*G, c'elta dire [7] a A B. Done 
Z F fera perpendicalaire aux plans AB & C D. 
Cc« plans feront done ['} paralleles entt'eux. 



PROPOSITION LXXVII. 

i°. Si dans un flan les cites stun angle re* 
Stligne font far 'alleles aux cotes stun autre om 
oft dans un autre flan ; & fi les plans de cei 
paralleles fe terminent mutuellement stune fart) 
ieur commune feBioni ce dernier angle fera t£«i 
aa premier. 

a*. Si deux, lignes tun angle font paralleles 
mux deux lignes dun autre dent le plan eft dif- 
ferent , les flam de its angles feront t*r*Ucies 
tntfeux. 

*] **f. 7*. G#*. 
x ] Prof, $4. Geo. 

'*] Def. 49 . Geo. 

♦1 Dt/.i*. &Def.i4. Geo* 

p J Part. i. Prof. $8. Goo. 

"^ Prof. i-j. Geo. 

Bef. to* Geo. 

Part, a. Prof. Pref, 



i 



5*7 

DEMONSTRATION 

»I U HIMIllI PAR XXI. 

SOit 1'angle BAC dont les c6t£s ABU AC 
font parallels aux c6tc« DE tc DF d'ua 
autre angle EDI dont le plan n'cft pas le 
xn£me que celui du premier angle B AC -,cc$ 
Jignes paralleles A B fr DE , AC % D¥ 
ccant aifpo/ces de maniere que kurs plans (c 
terminent a leur comrnune 
ft&ion ^1 1) ; Je dis que cet 
angle BAC — EDT. Pour 
le demontrcr ? furla ligneDE 
il faut prendre D G==AB 9 
& fur Z>F il faut prendre 
£>& =AG; enfuitemenez 
9G , 4D , C#* *C Sc 
GH. 

JPaifque les deux lignes k$ 
& 2> G font [«] paralleles & 
£*] ^gak* , les deux lignes 
BG Zc AD feront [*] Igales 
& paralleles; 4c par la «i6me 
raifba les deux lignes C H $c AD feront aunt 
cgalet & paralleles. Les deux lignes B G & C H 
feront done Sgales [♦] & [«] paralleles entr ? ellesj 
& enfin [*] les lignes BC 6c GH feront egak* 
Tune a Tautre. Les deux triangles BAC Zc 
49 DH itant done Ajuilaterajix , -ils ftront [ 6 ] 
£quiangles. Done ['] Tangle BAC = EDF> 
c$ quit fMoit demmtrcr. 




*»#'A. 

[*] Bar conftru&ion. 



[+] Ax. if. Gen- 

['] Bart.z.Prof. 74. G$a^ 



5*t Tnifiimt fdrtie. 

BE hi a & §L V '• 

Let plans ties paralleles-d B &DE, jf C & 
D F fir cecminenr Ton & Taune a leer com- 
mune fe&kra AD i an autremcnt la. premiere 
paitie de la proportion prefcnte de trouvei u ir 
nolle , parcequ'eUe fcroit crop generate. Pnifipe 
les oites de Tangle BA C penvent etrc di^o/Zr 
de maniete que le plan des paxalleles AC k 
WD ne fc tennine pas a la. commune Jc&zoq 
^fD ol ileft ren- 
contr£ par le plan B A 

£2>quieftcriuides 
paiaUcles B A 9c 
SD. JSr alors Tan* 
fie B AC etantob- 
cos, ED F feraanru* 
9c pins BAC fexa. 
obtus , phis £2>F 
£era aigu pour con- 

fejjer ic paralklifme 4es lignes A C 8c FD. An 
contraiie , O^C eft aigu E2> f fera oorns 
Cela yicnt encore de ce que les lignes AD Sc 
HC fe coapant , on nepeut pas Pi cendnte 
certalnemenc que .4 D = H C. 

pEMONSTRATlON 

pi LA HCOMDI MITII. 

SOient les deux lignes droites A B & A C <rai 
fe jencontrcnt au point A t paralkles aox 

deux 




J 



« 

Geometric f t9 

4Lcux lignes DE & D F qui fe rencontrent 
au point p dans un autre plan que celui des 




lignes AB 6c AC i Je dis que leurs plant 
BC & EF qui patient par ces lignes, font 
paralleles entr'eux. Poor le demontrer , du peine 
jL foit menie la lignc^fG pcrpendiculaire*. 
ment au plan £ F. Par le point G oil elle 
rencontre ce plan JEF , fbient menees dans, 
le plan MF les lignes GH 6c Gl paralleles 
aux lignes propofces DE 6c *>F. 

Puilque k$ lignes 6H 6c PI font p] pa- 
ralleles aux lignes DE 6c DF 9 6c que [*] 
A B 6c AC lont paralleles aufli aux lignes 
Z>E *c DF i la ligne -43 (era f 1 ] parallele 
a G H , Ac -4 C fcra paralkle a G /. Or le* 
paralleles AB 6c Gif faant [♦] jjans le m&- 




f *] P*r conftru&ion. 

M Prof. 71. G#*. 
l']P*rt.yPr0f.z+G$*. 



*r 



\ 



cio Troijitme V Artie. 

[■] droit j Tangle GAB (era done droit. Cn 
tr^UYera encore par un raifonnement fembla- 
tfc , que Tangle GAG eft droit dans Tunc 
& dans r autre figure. Enfin [ x ] dans la fecon- 
de figure AGH = GAM. Laligne AG etant 
done jperpendiculaire aux lignes AB ScAC, 
elle (era [ J ] perpendicuiaire a leur plan HC, 
Cette ligne A G eft [♦] auffi perpendicu- 
iaire au plan E F. Les plan* BC & E F ipnr 
done [*] paralleles entr'eux.w qu'tifaUritii- 
rnontur. 



PROPOSITION LXXYHI, 

i°. Si un flan rencontre un autre flan , fa 
angles formes de fart & d* autre d'un it tti 
flans feront droits ou egaux £ deux droits. 

x°» Si deux flans, ft coufent , /#w; *tffo 
,#><>/& /»4r It fmmet feront egaux e^treux, 

DEMONSTRATION 

OI IX PRIMIIRI PAILTIB, 

SOit le plan D F qui rencontre le plan Alt 
Je dis qae les angles qui font formes de 
part & d'aurrc dc ce plan D F , pris cnfcmile, 

. [*] Defi;i9.& Def. l^Geet. 
[ 3 J Part. i.Pref.iy Geo. 
[J J Prof, 6 j. Geo. 
[♦] Par confiruBion. 
[ 5 ] Part, a. Prof. 7 f . Gto; 




Ctedmetrle. 551 

font £gaux a deux droits. Pour le d^monttcr, 
par un point dc la commune fe&ion EF, par 
exempl c O > foic ~ 

menee dans le 
plan AB la H- 

Jne G H perpen- 
iculairement a 
cette commune 
ieclrion E F i 8c 
par le meriie 
point O fbit en- 
core menee dans 

le plan <D £ la ligrie I Af perpendiculaire a 
cette ' commune fe&ion ET, Alors les angles 
GO id & AfOff font ['] les angles des 
plans T> F & A B. Et pafceque la ligne G H 
eft drdite, ces angles G OM &c M O H (pnz 
[ m J dans le m&me- plan. Enfin ces angles 
GOM & WOff font ['] droits ou egauk a 
deux 'droits , « qtfil fttlloit dimmtrtr* 

DEMONSTRATION 

D£ LA SECONDE PiRTII. 



SOient les plans AB & CD qui (e cou- 
pent j je dis que les angles de ces plans 
qui font oppof£s par le fommet , font cgaux 
entr'eux. Car les angles GO L & MO H 

[*] Def. 18. Get. 

[ a ] Prop. 6f. & Cor* Def, 10, Geo, 

[*] Part. 1. Prof. *x. Geo. 



Y Ji) 



«1 Trtifiimt VdrtU. I 

font [■] la angles dc ees pianj , & ces «- ! 
gks font oppofe par 1c fommer , & [*] dam | 
lc mime plan ; ils font done [>] cgaui en- ■ 
tr'cnx, « f*'i/ fatitit demtmtrtr. 

['\Vef. ll.Gm 

l'}rrSf. it.&C*r.T)*f. to. Gw, 

['J Fsrt, i. *»■#. 11. G». 



GeOHttritl 



CHAPITRE III. 

DES CORPS 

o u 
S O L I D E S. 

It eft impcHible de faire rm grand progres 
dans la Phyfique nouvclle , tans lcavoir la 
maniere Ac connoitre combien de inilie 
out certains corps , & combien de iurface. 
Parceque leur repos , lenrs difterens degrt s de 
motivement , lent £ruation , figure & volume, 
font ordinairement Forigine des Phenomencs 
let plus conliderables, . 

La c on noi (lance des folides - eft fort avanta- 
geufe dans les Mechaniquej pour la conftrn- 
ction des Machines , pour determiner let 
Centres de gravitc , pour treuver les Equili- 
kres , &c. Dans la Navigation pour la con- 
struction des Vaiflcaux , pour comparer 1* 
Sefanteur dc leur volume a an pareil volume 
'eau , pour connoitre leur plus grande char- 
ge , Sec. 
On fe trouvc fotirent dans la ntceSSti de 
Yyiij 



5J4 Troijt/mi Tdttii. . 

jnefiirerdes murailles felon leur trois dimen- 
sions , pour fipvoir combien de toifes cubes 
elies contiennent , combien de pieds , &c. II 
j a tant d'ouyrages qui fe rcncontrent conti- 
nuellemeat dans 1' Architecture , dont la per- 
fection depend de la coupe des pierres 9 8c d'u- 
ne Theorie exa&e des corps » s/il eft ncce&i- 
re d'eftimer des ouvrages de Fortifications, 
par cxemple , des excavations de foflcs , la 
/blidite* des remparts , &c , on n'y pent reu/Er 
fans la connouTance des fblides. Enfin ies H/a- 
ges de cecte panic de la Geomethe font tres- 
frequens & d'une grande utilitc dans le rcfte 
des Mathematiques ; & quand m&me cette uti- 
lite* ne paroicroit que dans ies exemples qu'oa 
vient d'apporter •, cela feroit fuffifant pour en 
rendre rltude recommandable , & pour ani- 
sner le ze*le de ceux qui commencent a s'ap- 
pliquer a ces fciences. - 

PROPOSITION LXXIX. 

Si trtis angles flans fent un angle fdide ; 
ieux , pris enfemble , ferent fins grinds que U 
trot/seme. 



s 



DEMONSTRATION. 

Oient Ies angles plan* BAC , CAD & 
DAB qui torment un angle fotidc dont 
le fbmmct eft A: Je dis que deux de ces an- 
gles plans pris a Tolorrte* , par exemple BAC 
dt CAD font plus grands que le troilicme 
DAB. 
Si un de ces deux angles BAC , CAD , eft 



Geometric cjj 

plus grind que Tangle BAB , on s'il eft egal 
a Tangle DAB; il eft Evident que ces deux 
angles BAC & CAD y 
pris enfemble , font plus /^ 

grands que Tangle BAB. 
Car c'eft ajoucer quelque 
chofc a Hne de deux 
grandeurs egales , ou a 



la plus grande , ic ricn 
si Tautre egale ou plus 




petite. 

Mais R chacun des an- 
gles BAC & CAD eft 
plus petit que le troiiieme 
angle D A B } par les points E Be G floignfe 
du point A , & pris a rolonte* dans les lignes 
JLB & AD y foit menic EG. De cet angle 
DAB retranchons une parrie HAS qui foit 
egale a Tangle CAB. Sur k ligne A C pre- 
nons la partie A F egale a A L. Enfin du point 
£ au point F , & du point F au poiat G loicnt 
menses les lignes E F & F G. 

Les triangles LAE & EAE out le e6te* 
ufE commun , & [ l J AL=zAE. Outre cela 
['] Tangle £ 4 E = FA E. Les bafes E L * 
EF fcront[»] done £gales. Mais [*}EF -H 
FG>EG. Done [♦] FG>£G. Le cftte" 
^G eft commun aux deux triangles TAG ic 
LAG, & [■] AF = AL. Vomgle TAG eft 

ajou- 
'autre 



«^^w >V b|j#xA' — a^ l *ngic riiu 
done [ J J plus grand que Tangle LAG. En aj< 
tant d'une part Tangle EAE , & de Tau 



[*] P*r cmftrnBum. 

{*] Fart. x. Prop. 3;. Gee. 

[*] Prop. 1. Geo. [♦] Ax. rj. Geo, 

l*]Cor.). Prop. )j. Geo. 



$}6 Trsiftfmt Ttrtie. 

part Tangle LAE cgal [*] an precedent ; Oil 
trouvera f] que la fomme det angles B A C -+■ 
C AD y> BAD , « j»'tf f*ll*it iimtntret. 

On nuvra cette mime methods , pour dS- 
montret que B^C <;B-< J>-*-C AD , ft 
queC.** B J^BAD^ C A D. 

C OR OL-LAI R E, 

Tous les angles plans qui font un angle folide 
font , enfemble , moindres que quatre drain. 
Soit un angle folidc dont le fommet eft A : Je 
dU que la fomme des angle* plans SAC, 
CAD, DAE, ZAT, TAB, qui k foment, 
quelque nombre qn'il 
J en ait , eft plus pe- A 

lite que quatre angles 
droits. Poor le de- 
montrer,confiderons 
on plan , par 



plans de ces angles 

qui campofenc Tan- B 

gle iblide dent le I 

Fommet eft A. Alors 

Its communes fe- 

ftions de ccs plans & du plan G H formttont Is 

figure refliligne UMNO; & H J aura des 

angles folides done les fommets fcront les point) 

J , L , it , N , SCC. 

La fomme des angles de tous les triangle* 
1AL, ZMA, M N A , AN O ,AtO , q« 
ont chacun pour bale un cote du polygon* 

[■] Par ConfiruHint, 
l']Ax. 7 .l»». 



„ Geemetriu jj7 

ILM N O , eft [*] egale a autant de fois deux 
angles droits -, qu'il 7 a de cMs a ce polygene 
ILMNO. 

La fbmme des angles intcrieurs da palygone 
JLMN O & de quaere angles droits , eft auffi 
£gale [*] a autant de f6is deux angles dfdits 
qu'il y a de cote's a ce meme polygone ILMNO. 

La fomme des angles des triangles I A t f 
ZAM y M N A , &c. eft done m egale a la 
fomme faitc des angles interieurs du polygone 
I L MNO & de quatre droits. 

Mais [♦] la fomme des angles AIO & AiL y 
eft plus grande que Tangle O J t da meme po- 
ly gone. De meme ALl^rALM^ ILM . 
&: AML-+-AM N^LM N.Qc plusANM 
*+AN 0^>MNO. En6n AON +>AOiy» 
NO I. Celt a dire que la fomme des angles quT 
font a la bafe des triangles IAL , LMA y 
AM N y &c. eft plus grande que la fomme des 
angles interieurs du polygene ILM NO. 

Si de la fomme des angles des triangles 
JAL, ALM , AMN, ice. on retranche la 
fbmme des angles plans qui font a leur bafe , 
<tont les fommets font / , L , M , & O $ & fi de 
la fomme faife des angles interieurs du polygo- 
n6 1 LM NO Sc dc quatre droits , on retranche 
la fomme de ces angles interieurs ; on trouver* 
[ 5 ] que le rcfte des angles des triangles A I L~ 
AMLy ice. e'eft a dire , que la fomme des an- 
gles plans qui fbrment Tangle folide dorit le 
fbmmet eft A , fera plus petite que quatre an- 
gles droits , ce quil faXUit dimontrtr. 

[«J Prof, jr. Ge: 

[*] Putt. 1. Prof. $*. Get. [♦] Pff* frtf. 
J ] Ax. it. g$n. [ 5 J Ax. 1;. gtn. 



U* 



Troijttmt t trite. 



■S»*fh~ 



PROPOSITION LXX4 

Lis fyrsmidet trisngmUires pofics fur I* me- 
*# f */e , oh fur des ttfes tqHtl*tcr*Us turn i 
tsmrc , fimt igtUs entrelUs. 

demonstration: 

SOicnt ks deux pyramides A B C Z> & VtGft 
fin la mime bafc if BC,ou for des bafes 




A BE F 

cquilarerales ABC 8cElG,8cde mime ia«* 
tcur , c*cft a dire [*] cntre ks mimes plans pa- 
tsJlelcsl K 6cATGC : Je dis que ces deiu pj- 



Gcomttrie, 09 

ramides font cgales cntr'clles. Pour le demon- 
trer , confiderons ccs deux pyramides comma 
divifees en fcuillct*. , lames , ou plans triangu- 
lares paralleles aux bafes ABC & EFG y % 
d'une cpaiffeur indefiniment petite. II eft con- 
ftaht que dans Tunc dc ces pyramides il j aura 
autant de ccs plans ? lames , ou feuillets , que 
dans 1'autre $ puifqu'on (uppofe ccs merries py- 
ramides etre de m^me hauteur. II refte done a 
demontrer que chaque cqupe , lame , fcuiile , 
ou plan d'une de ces pyramides , fera (gale a 
chaque coupe f fcuiile , 611 lame , qui fera a mfc? 
me hauteur dans Pautre pyramide. 

Soitle plan £PS N qui coupe ces deux py^ 
ramides parallelemenc au plan APGC. Le$ 
communes fedions LM & AB du plan DAB 
fr des plans LPS N & AT G C feront [ l ] pa^. 
rallelcs entr'elles. {.es triangles ABD Sc DLAf 
* feront [* J done femblables 5 on dira la meme 
chofe des triangles HEF & HOP -,DAC Sc 
INDiEGH & HOSi t>C$ & DN H j 
fiGF & HSP. 

bonc[*]AB.LM:iAH,LD.&EW. 
OP: : EH. OH. 

M&it[+]AL.ID ;:EO. QH.& ['] AL 
rJhLD .LD::EO+>01f.OH , e'eft a dire,, 
4D .LD nEH.OH. 

Done ['] AB. XAf : : E F . OP. Or [t] ^ fl 
c=£F.Donc[']iAf = Q?. 

[»] Far*. 1. Pr# . 14. & part. i.pr*f. (U G*4 

[I] Part, u Prof . ji. Geo. 

[+ j Cor. Prof. 74. Geo. 

p] P^r^. ). Cor. Prof, y Algtb. 

[«] Cor. 5. Z>*/. u-rf/^. [*] «&^fc 



j 40 7V§iJtime FdrtU, 

On tr oc re r a par un rai&nnetnent temblable a 
cdni qn*on Tienr dc £uce 9 qae CB . Nif;: 
BD.MDzzFH .PH :; WG.PS.1c de as 
/rapponsegaiix^oncondiieraqiieCJi . NM:: 
FG. f^&fJCI.FG:: KM. P£. Mais 
p]CB=FG. DoncNJf =FS- 

Qn dcmonrxera de la. meme maniere <pe 

Une dc ces lames triangulaires LM N d'm 
dc ces pjxamidcseft done equilacerale a one au- 
tre lame rrianrnlaire OPS conrfpoadauce i 
meme hantcor dans I'antre pjramidey Ces <knjr 
triangles £JfN 1c OPS Iqnt doncegvaen^ 



Ce qu'on ademontre' a regard desfeoilksqi 
lames LM N & OPS peut eftre demontrc £ 
la meme maniere At par les memes raiftosie 
cootcs les autres lames oa fenilles cmmpvtts 
cntr"clles a meme hauteur , c eft a dire dans ks 
memes plans paralleles anx bales. 

Les pjramides triangnlairts utBCD fc 
£FGH de meme namenr & polices Gu Acs 
-bafts eqailatcrales ^f£C It EF(J fbnr do$ 
cgales entr*elles , a jmil fidbii dimmlrtr. 

PROPOSITION LXXXL ' 



-fte* fytAmtdt trUngftUire tfi U triifitme f*> 
t$$ £** frifme d* mbmbtft & de mtcmt bsMtm. 



s 



DEMONSTRATION. 

Okie prifinc triangulaue AS CDEFtp 
dis qu'onc pyramide qui aunt pax bafi: on <fe 

•J P«rr # i. CmPtf. i. Agik. 

dem 



Sitmttrie. < ?+l 

flbngtet -< SO , 2» ft? , qui (ant tcfc 4eu 
ImTci pttiileke > feirtbkWe*, &r egiles du priT-. 
Ott trrugulaire ^JCbif, & cfii tenia 
m*«e lumcnr que te pri&rw ; p*r exempts ,r» 
pj-tMiitde IDTS, fir* I» troifi&at partie <t» 
(e mime prifine. Poor le 44moecrrr s ftp aw- 
Mime -piiiit, par example ff , foia* ftuafat 
lei diagwnalei i! D & 18 ■'' 7 - '- '■• 

forle* ietafice* cWfc'* '-:«"■'■ B>- ' : 
AT, & fori* troifitme - ■' 
face C E ftjit encore trie- _ 

See la Aiagonak /S, 
<jui fercmt fix triangle* 
* pj wpteftnierwit ce. 
prifine dirifc par lei deux 
fKant EDS ft -1* I?, ' 
en uoii pjramiiei ElflF* , 

2 ABB , *r illCb. 

II run Jemonrrer qu'elks 
fortr e"g*le» , & poor ]? 
teuflir Gsnfiieroru-ks [*] 
fitns le prifine ABCWEF.:' 







J p*rr, j- dtFtvtrtiJf.fsg, tje. Zs 



j 41 Trqfifm* PMrtie. 

i». £a pjcunide, *£«,*, pn:*EFB 
eft Umtoc t cff^tk.i.U JjfMUidc^E^i?, 
Carl* Safe *£F &<Jfcrjjrajnidc *£?? eft 
(■] *g*k a la bafc <rf£ $ de la pyramid 
AEBD. Or cesdeux pyomidef ont wne inl- 
ine fcauteur , poifqu'ejta optic m&aae fomma 

AEBD. aa :.."V.' 

*•. La/*yrami<k *M<** *<* £%*\c a la pf- 
ramide .4 E 5 £ , ou ^EI>J? qujeft Ix^neme. 
Car la&fe t>A C de la py samidc O ArCftfk. 
[*' egale a la bifc y(£D (ic la pynmide 
AEDB. Or cc;$ deux pyramides bat [ J ) one 



mtine inigetf , ipuityi'cllcfjm te infancfou^ 
met icoiniriun £•[ 7 . 

Lff^ra«nidc b^C^cft^lddAC^gate aia 
pyratn dc -4£ 0jB, ou^fi^i*, ... 

Les trpis pyrfcmidesrf pfl , : AEJBD & 
ACBV font done [+] egates entr'elies. Chi- 
cane *frdpne la troiu^ncparticdaprifinc pro- 

Or la pyramide E Z> FJB : ? fe ir^mf Wc ,^ 
la m^mc hauteur quelle priime ^ £ CZ>£ F. 
Un prifme^ tqangulair<j eft done tx$lc d'anc 
pyramiie de mtmjc hafc & de memf piiateur , 
$$f**d'f*ll0hdtfmntr4n\ 

/ miu;4* S.t>£ V" ; 

lafdcinojiltratioQ qtfon'trient « £pfte ^ c^n* 
Tient^rflin/fettkmttic aq> prifmc; tfiannldiie 

fM/Pr^. fo. Gfl». . 

[*]C9r.fr$f. 70. C#*. 



'• %• 



"ito'tt , mail ailfli Mix oblique* ttiarj«lak«. 
J Ceft pouiqma on la pent appliqner »u» uu»- 
res fuivantes , & on n'y rrouvera anemic diffi- 
colte" parciculierc. Lcs ifferentes poiitions fc 
c*tipw des pnfmes oui^T ftat Kpicfcnteci , 

fiviront i~ c£ercer> r «-.• . ' * 

. £ .-' i I$C ." ' A " 'C 




Pour Fadltfer encore " Javan tage Intelligence 
2e lapropoJkion preftnre , on peur tailkr un 
prifine triangulaire de bois ou de die, & en fare 
le-couper fuivant les plans E * D & Ann. 



reconnoitre dins le jgrifmc. "re&angle , on les 
diftingue avec lamcmc £ejjft£ dans le priGne . 
oblique, Aprci nv°* rmen * .* ^olontg. la ligne 
' ■'"'■ '" Z x ij 



<W4 Tmfitm Tirtie. 

jlB , » frtt ['] conftrujre fi» *ctte figa* t* 
triangle £quibiml 4*C. 11 feit ['Jmcaerla 




-JigncBD pcx|*ndiculairementa^l* icActtk 
Jonguevx qu'en youdxa-, cette longueur (era J* 
m ime q ue cellc fkfprifmc. II faut metier lali- 
gne A X> pour former le triangle re&angk 
ABV. £t JLur le cttiBD on formera. encore 

SO le triangle rectangle 2>^£=>f B2>. Ea- 
uitc fur Phypotenufe A D , il faut [*] conftnint 
un triangle Kbfcele , & fake le cftt* AF=A3- 
U faut encore [♦) conftrmreiirieftcaiide figure 
CLMK equilateral a la precedent? ; eMer- 
Vane feulement de faircjc triangle ifofede IL M 
fur rhypotentrfe it ▼ers la mam droite. Bnfuitt 
fur la ligne O P ±± Bp JJ fiut dicxire den 
triangles redjaiigles eganx chacim an triangle 
ABD , pour former le parallelogramme N & 
fur une des hypotenufes NPoa O gK il to 
former 1c triangle ifofceic N f R , fatfant k 



• pi Cw+ 7. Pr<^ a7. Gf*. 4 ' 



* IjecmHrit. "~ 54 j ! 

noifittnetore RT=P$j -tC.Suit.eUi R K 
en fenencoic «n 3 at re triangle iiofixle J JJ=, 
JttO. Il?fiuit :ic, fcxvir «e cifeaui pour .wiper, 
hcastoi»tuj:.ifqu«!ona 1 (iecm ces trois figure* , - 
ti Jccflnperren- fuivaJKle* ligne* DT4CBEP,; 
*C.&iycc wjW«W?W:onle cpupeia a moitic, 
fuivant toutes les lignes tranfyerJale* P Q t .f N r 
X R, ADt, BL, fee, Enfinilfaut flier la pre- 
miere figure de Tone que let points F * E fe 
JWCotWdtf fiir le point G,,.* que les point* 
<?. & M in. trfflrtefit. Jiit le point K. -II iaut «p T 
pliquer U, poiiit-S- fur le point O, & lo- point 
g_fur-k point fi., Alois on aura trois pyrami-, 
(Ics.^^ritjOJi ^11 applique ra une , dc maniere 
que Ton triangle ifolcclc ie troave Cut 1'itokcle 
RSIt , & que 1'ifofccle de lautre le trouve *p- 
f liquc contre I'jtblcelcf? Jt P ( cc qui formers 
nn veritable prifinc triangnlaire , tel qu'oa I'« 
Hifttaaoa.de la prop, 
feront oppofeet A B C 
r* ft Jcmblables , «c. j,es 
le teimineiont ferone 

aire les trois parallelo- 



let , & la hauteur R z ■ n - ,„.» . ,., * 

s«^galeia.B.AtflEs Ryi,, RK iTCKT 







-l,.i 





I E*JC»r.f.fr#p.i7 ' ~ 



I 

'■"'-■ ■■ - • ■■■■>. 

6- C*f,(, fWf- Jf. G**h 



54' TWi/JVW fdrtie. 

ctU il faut couper le anon, fuivant le cira^ 
da parallelognunme total IX, b enfaite It 
cMprr* moitie fnivant lea deor lignesKStt 
X r i ft en£n appliqaer b ligne g 2 fori* ligw 
FX poor &wmer 1« contoBK d'un prifinc tho* 
Jtinid feront ajnrte>£ 1m trois pyrtinides <ju'*» 
went dc con ftraire. 

COROLLAUB X. 
Non feulemem In pjramide triangnkire , 
mail aufli route autre pyramids eft li no&itat 
partie-da prifinfrqai aaitmfrbifeft mtnie&iu- 
renr que eette pyramids. Tont prifine , e'eft 4 
dire iriahgiilaJre on antic , eft done triple A'oae 
pyntmrde qui a mtnrc bate & meme kuutm 
qoece prifine, 

Soit le prifme ASCDETGBI K, ft h 
Pyramids pentagone ABCDEF , demeoc 
4»fe ft' de nrfmc F '■ 

■ Jjanifcur que ce prifc ' 
ilie : Je dis que la 
'pyramids ^fiCDEf' 
: eft fat troificiih; par- 
lie da prifine ^ B- 
-C D E F G H 1 K. 
: Ponr- le dcmbnrferj- - 
' An fb rmnei J par 
remote's . , 8W" 
*"ndeibafe 
4 BCjpE, qti eft 




ViD « -*C anx. 
femmetsde aotrei 
angles poor dmfcr 
•wte fiafe en trianv ■.'" 



G*$mtri£ ■ * 547 

jfcsi ft del'aatre txxxtmxtkG AcU. meme ligne 
>G feient encase meases ks tignes GK dc 
GI am fanuactt des autre* angles, 

Le prifoe AMCDZFGHIK faa dirift 1 
par ie$ plan* GCJSc QJ> cn.ttoic prifmes 
triangulaires ABCGKI y ACDGIK + dc 
ADEGKF. Pareilkmenr la pyramide u<JJCDEF 
fera diyifte en jro* pyjantidrs >fJCF > *iCVF y 
& ADEF. Mais chaque pyramide A BCF , 
AC DF , Sec. qui fait panic dc la pyramidc 
mate 4 B CBS F , *ft£] 4* *K>i(&t)e panic 
de ckaquc pci&ne, maagjulakc AJIGGH 1 r 
4CJ>GIKj Mcjqmfut panic ^u j>rifmc to-. 
tal XBC2>£FGHIJC. Putique urates ccs 
pyramides qui font panies de la pyramidc 
AECPEF , ft tons ces prifwes qui font panics 
da &ifme'~A9C&E&G-HIK-f &Aienaelet 
m*dics flailsnaniilckt ^B CJD £,& GHIK* * . 
les pyramide* ^^Cl*;, -^CDF^ac ^Z)EF, 
prjfcs eafenAble , e'eft a 4kc la J*yrafni4c\en- 
lidre \Ap CD E F ' eft. done la troi&me panic 
dci ft'Amts ABCGUJ , ACX>GIK y & 
ADEGKF , pris cnftmblc , c*eft a dire da 
ytUxnt Rentier ABC 9$ t<*** * K. Enrra fc 
prifme A'hCfyKT'G Ht K eft done tripk de 
la pyramid* poly gone A&CDEF de m^C 1 
bale dc de meme hauteur. 

Puifque [»}Jes cones pcttyem eftrc •cenii&gex 
*ommedes pyramides ii'une infinite dc cofcz > 
^t>que[i] ies cyhhdrcs peavcitf >ctoc : rqp*4ca 



]Fr4p. }r*f. . .:■■.< ?. ■' '\ ?- :. 



54$ Yrtiftinii fahii* 

comme Jes prifmes aulfi d'ime infinite de cfttezj 
it Act de 1* prop. pref. qu'nh cane eft la troiGf-. 
IDC partie d'un crlindre qui a. mime bafe ft inc- 
ok hauteur ; on que I« cylindtes font triplet 
«ki cones de mime We & de mfnw kameur, - 



COR OL LA I ft I 



Les prifines nfengulakti de mime toft ft <te 
meme haureiir , oft qidfcnefu* dec bafei bpi- 
lateralcs , & cntte les nfattt plans ''panttekt, 



G 



B:H 



font egin* eritrSur. Sofeni Its prifiiiet.rfBC- 
DEF (c GH1LM8 fur la mccne bafe 
ABC, on fur les b*fet cgales.4 1C & GffJ, 
ft entre let mimes plans paralkles ^f B fl - / ft 

E-FNi- :-Je dii que_ aiimx prifaaes loot 
tgaux emr*eoT. Car da point E , par exempls, 
aux point* Bft C spres avoir inejie'.Ies fig « 
SB ft EC; ftdupoint I aw points G 6c H 



GamttrtS* 94$ 

tpris vroir menl ks ligncs LG & LH , tick 
V] c>ilcnt que k*pyxamides .<< *£ E & GStf* 
fouc'cgaJes enfrVJk*. Or trais /oil cette Tfft^ 
fnifle /1C S , Ic trois foil kk pyramided H 2 £ 



.C.OfeOXL-Al&E IV. 



*. i 



^on "fculcmcnt les'prifmes triangulaire? ^ " 
mais aufE tons les prifmes polygenes qui ftront 

E>fez for la mime baft , ou fur des bafts £qui- 
terales & £quiangles f unci rautre , ft qui Ce- 
rent de meme hauteur > <ra entre ks memcp 
plans paralleled, (bnt egaux cntfeux. Soienr ks 

JjriGnes ABCDETGHIK & XMNOPfiRyTTl 
brlamejne baft AB CJDB $ oil fer les baft; 
ABCDE & I M. N O f Iquilatcrales & cquian- 
glcs i'tine a f autre , & pofcz entre les mimes 
plans paralleles ABC M NOPE & GBl$Xv$Tz 
Jtdjs que ces deux prifmes font cgaox entfeur. 
Pour 1c ^montrer f <k$fonunc«G&wf^ Jt Sc 
t d'angies egaux dte ces bafts , foienr meaets 
des lignesdroitesaur fbmmets de* autfei an- 

Ijles , pour divifer ces bafts en triangles, Alon 
estrianglcs <t*une de ces bafts feront cgaux aw 
triangles de rautre , chacun a chacun. 



B ] Ax. 4. ouAx.f.gtru 



\ 



1 > 




jj« TnlJUmt Tirtit. 



Car, paifi]ne[']r»ngle-<ED = £J 0, t 

P] qneE -rf = PL, *ID=?0 jonPJuti 
**D =sLO. Ainfi ['] le triangle AE D=si OP. 
fanglc EDC = Pb.W ['] i & f*] l'«Bgfc 
EDX=rO£, Done p] Tangle .4i>C:=£0ir, 
On vient de voir que le cite -4»=Z0;tf 
{•] Iccotc'D C=o,N. Done[*JlecW^Ca= 
J. if. Done le triangle A C li r:- L N Q. Pule 
nerue raiibnnement on trouveia que Je trian- 
gle ABC=LJflf. 

le prifme trianguUire j*DEF*r eft [*1 
egaT itt prifcne iOPg.*^-. & \e piSne 
ACliXGl =*' IJnO'y'zT , & le 'prime 
i*B.C/ C*=i JtfNTR*, e'eft' i dire ['/ 
que le prifimr total ABCDtTGH IK ettigb 
in pritaK enticr IMNOf g_R 5" T r. 



•JP***. i. Prtp. jj ,(?», ' 

< | .Ac, i. Cm, 

♦1 C#r. i- Pr#^. jf, Gwt, 

*1 Cmt. j. Pwf. P«£ 
[*] Ax, j. G«. 



v /'* .CO 1LO LLA I v Ri#* r. '- » 
-Ilfuk du Cgto<llairt4v dc la prop, pref 4 que 
les cylindres qui ont mcmc bale & mime hau- 
teur font eg*ftx entr'eux. /) 
Outre celailfuir encore que les cylindres qui 
, font fir de's bates egales & entrc les mimes 
plans parallel*?* ou de meme hauteur ,: font aufi 
*gaux eritt'eux; Car Jes c>Undres font; ['J conn- 
,<ierez confine ._dcs prifmes equiangies [*] Sc 
i d'une iniufircSde^tcz, Ox les bafes de cescylin- 
dres fltmcmc hataeury&anc cgaks 9 feront auffi 
&juilJKer*les. Parcequc^ces bafes qui feront [«] 
'des oercl^s T^gaux > auront des circonferences 
Igales. & ft y aura aatant de c6te* dans ufle 
de cob circonferences que dans l'autre , puifquc 
4c pan & a autre 11 y en a une ingnite. -ffinfin 
chaque c6t£ d'une de ces bafes fera egal £ cha- 

?u« c6^c de i^uit^, puifquo [♦] chaque infini? 
ime panic de la circonference d'une de ces ba- 
fes cgales , eft c*gale a chaque infinitilme panic 
4c 1?l circonference 4e, l'autre. bale. Kon Feule- 

S^nt;^^ ft dc memc 

auifcuV; n\ais aiiilf .",ficux qui auront dec bales 
£gales ^ *~qui feront 'auffi 4c pifcmc hauteur a 
ferorit done egaux entr'eux. 

; CQVOJLLAUB VI. 

* TXri prifme oblique eft egal au produit de fi 
bafe multiplied pax fa hauteur* £oit , par exem* 
Vkyk.pfifiki . ©htfque AB$piVGHim • 
Jc dis que fi.en, t jpfoj glt(pU^ ;la. fcafe ABQJ>$ : 
jar Jfe hauteur JC ij , .bu. 4 Jf £ ; 9W eft unclignft 



f 



C*r. Pw>. 47. <$» I>*£ io« <*##• 

']Sup}of$t . .. . .- ,~ 






mi TmfiAm tmie. 

aienfe ftc^emiifoUiatatra £aH poBrt font 



parallel*, * fimblcUe 09IXV ptrntaaf^i 
fc pn»tut de ccttc mnlriplicMion urprimmla 
grandeur de la majft , in Yolnme , ou ijchfo- 
fida* de ce prifine. Or cc prodoit eft ft Is 
prifirK redangte jt$CDE$ji WOP.fp 
*** [*1 4gal an prifine oblique propoCE 
jfMCVEFGHlK. Pour connolrrc camWen 
de picdt dibiqac* , de toi&f nbkuiet , fcc, 
concknt un prifine oblique , il Jn& 4aoc As 
Multiplier & oafe par & hautcar. 

COROLLAIRE Til. 



- TJn cyllndre flWiqirc eft igii a« proVmt de & 
"'■ " ■'■' '" ' : ■" " """" ; Ca * '' ' 

, imlre oblique 
bauceur , en a pov prodoit on cr liackre 



bife mokjplier bit & hanrear. Car lwtfqri 



inakiplic ia bafrcfe CC cyEnire oblique par & 
bauceur , en a pov prodnk on crliadtc ie£o* 
gle igal au cylindre obliifie dent il s'agit. 






Gcemetrie. <<$ 

COROLLAIRE VIII. 

TTne pyramide eft done e*gale au tiers du 
produit de fa bafc multiplied par fa hauteur. 
Car fi on mulriplie la bafe d'une pyramide 
droite , ou oblique, par la hauteur de cette py- 
ramide, le produit eft un prifme de menie hau- 
teur , dont cette pyramide eft [ x ] la troifi^me 
partie. Si on multiplie la bafe d'une, pyramide 
par la troifieme partie de fa hauteur, ou fa hau- 
teur par la troifieme partie de fa bafe ; le pro- 
jduit eiprimera auffi la foliditi de cette pyra- 
xnide. Parceque la moitie du produit de deux 

f;randeurs multipliers Tune par l'autre , eft 
gal au produit d'une de ces grandeurs multi- 
pliee par la moitie" de l'autre, 

COROLLAIRE IX. 

XJti cone eft £gal au tiers du produit dc 4 
4>afe multipliee par fa hauteur $ ou au produit 
de fa bafe multipliee par la troifieme partie de 
fa hauteur 5 ou enfin au produit de fa hauteur 
multiplied par le tiers de fa bafe. Car lorfqu'on. 
multiplie la bafe d'un cone par fa hauteur , le 
produit eft un cyUndre dont ce c6ne eft [*] la 
.troifieme partie. 

COROLLAIRE X. 

Pour connoitre la folidite des autreS" corps 
jerminez par des furfaces planes , il fauj los 

*] Cor. i. Prof. fref 9 

A a a 



'jJ4- Tfifiimt Ttrti*. 

confiderer comne dirifcz en pyramides 5 J* 
mtme que les furfaccs planes irrcguliercs am 
{d [ f ] canfiderccs commc divilees en trian- 
gles. Enfuitc il faut [»] chercher la folidite k 
chaque pyramide , dclafommedes fbliditefz dc 
ces pyramides fexa la made ott foliditc du cotpc 
jropofo 




Soit le corps ^BCD F(7i7 que je fiip- 
pofe eftreune groffe piece de marbre termini 
par fepe furfaccs , fcavoir A $ CD E , F<?H» 
ABF , BCGT , CDHG , EZ)fiF,«t 
wf £ F 5 fi on mene les ligncs FC & FD , ce 
coros fera divife en cc«^ deux pyramides AB C- 
D E F & G CD HF. S* on pent menct [*] du 
point F une ligne perpendiculaire a. la \>afe 
ABCDE prolonged , cette perpendicnlaiic 
fera la hauteur de la pyramide ABC DEI. 
Si on ne pent mener cette perpendiculaire & 
point F, apresaroir prolong^ certc bafe-rfBCDl 
vers L , par exemple $ il faut lui ajufter p«* 
pendicalairemcnt deux batons M N & OP, 
de maniere que ces deux batons 6c le point F fc 
trouvent jdans le.meme plan , cc qui fc fera 






Cor, i. Pr*p. 4©, Geo. page 39 g # 
C*r. 8- Prep, pref. 
C#r. 2. Prop. 69. 



Geemetrle. 555 

['] en regardant le baton M N & le point F, 
& en pofant lc baton OP dc forte que le 
baton M N le couvre a la vue. Enfuise en 
bprneiant t il faut chercher le point M ju& 
qu'a ce qu'en regardant par le point M Sc 
par le point F , on rencontre ie point O de 
igxte que la longueur OP (bit cgale a M N. 
Alors M N fera egale a la hauteur de la pyra- 
mide ABCDEF. Parceque la ligne M F 
ayant [*] firs deux points M Sc O egalement [*] 
djitans du plan LBCDEL y cllc fera [ 4 ] parallels 
au plan LBCDEL. On pourra de meme trou- 
ver la hauteur de la pyraaiide G C D H F , en 
prolongeant la bafe GC D H par le rnoyen de 
quelque planche ou ais aplani qu'on apliquera a 
cttttebafe. Enfin la (bliditi de ces deux pyrami- 
des fera ['] connoitre la foliditc* total* du corps 
jpropofe. 

REAtAR&VE. 

II y ades corps iiregulicrs, par exemple unc 
Statue y un Vaiffca4* dont la fijrface eft en par- 
tie plane & en partie courbe , felon l'ornemenc 
qui s'p rencontre , &c. Alors on ne peat pas 
fecijeqientdivifer cc$ corps endes pyramides , 
ou en d'autres corps regulicrs , peur en connoi- 
tre la f&idite, Majs on pourra fc fervir de cettc 
ipethode qui eft afez exa&e , quoiqu'ellc ne 
ibit pas cntierement geometrique, 

II faut conftruire une caifTe ou cofFre de bois, 
dont la figure foit un parallelcpipcde reftangle, 

'*] Part. 1. Cor. p Prof. 34. Geo. 

>] Par conftru&lon. 

[*] Cor. Prof. 70. Geo* 

♦] Cor. Prof. 8. & J>ef. $, Goto 



5j6 Troijiimt Tittle. 

9l d'ane grandeur futf fante pour que le corps 
dont on veut connoitre la foliditc* puhTe y core 
centenu & 7 toe couvcxt d'eau. II taut exaSc- 
ment enduire le dedans de cette caifTe avee de la 
poix , afin que l'eau qu'on y mettra j (bit rete- 
iiuc fans quelle s'eeoule aucunement. 

Ayant pofc le fond dc cette caiflc parallek- 
mcut a 1'horizon , par le moyen d'un'niveaH ■> 
il faur mettre dans cette caiiie le corps irregu- 
lier , & y Yerfer enfuite de l'eau poor Ja rem- 
plir , de forte que le corps irregulier Coit con- 
vert entierement de cette eau. Apres cela il faur 
marquer fiir les c6tez de la caisTe , rendroit 
oiife termine kfurfaccfoperieure de l'eau dans 
htquellc eft plonge le corps irregulier. 

£n£n il taut retirer ce corps hors de l'eau, & 
aprcs qu'clle fera tranquille , il faudra encore 
marquer fur les c6tez de la caifle Tendrok oa 
fe termine la furface fuperieure de l'eau , 9c mc- 
furer [*] la foliditc des deux parallelepipeds, 
dont la bafe commune eft lefbnd de cette ciiffe, 
& les hauteurs particulieres de chacan font les 
lignes droices menses depuis chacune de ces 
deux marques perpendiculairement axerre Dale 
commune. Enfuite il faut (ouftraire le plus petit 
parallelepipede du plus grand , ce qtfon. tioo- 
Tcra pour refte exprimcra U ibliditc du corp* 
irregulier propofc* 

['3 C*r* i. Def. 7/. C##. 




G**mtr*e« #7 



«•■ 



PROPOSITION LXXXU 

• i<\ Lesfrifmes & Us cylindres dont Us hauteurs 
font I gales , font entreux comme lews bafts $ £$• 
fi Us bafts font egtUs , ils font entreux comme 
fours hauteurs,. 

a, . Les fyramides & Us cones dont Us hauteurs 
font e gales , font aujfi entreux comme Uurs bafes i 
€$• fi Uurs bafes font ega\es ,. its font entreux* 
comme Uurs hauteurs. 



EMONSIUTIOH 

»S LA PlrlMIIlI PARTZIr 

Oiene les prifmes , ou les cylindres, IK tit 
L M done les haugsurs I G. 8c MO font eg** 

M M 



$ 




fcs : Jc dis qu*ils fonr entr'eu* <omme fcurr 
brifis. Pour le d&nontm , (oit nominee * Ix 
bafe du prifme / JC , & & hauteur G I foit noin- 
m£e *. Soit enfuit^netttoile b la bafe du pr^C- 
meXM } ^^ Wear KO, 



r 



15 1 Triifitmt P Artie. 

S] Le prifine ou lecylindre IK = * t ,& U 
nc I Af =* d. Done [»] /K.*; : : IAf. 
>d. *[*]IK . LM i: sc.td. Mais pu& 
que {♦] la hauteur* = <Jj on [*Jaura sc.bd:: 
0.1. on aura, done cette mite de rapports 
6g*ux IK. LM : : sc .bd: \s.b m Boncf] 
?K .LM: : s .b.C* fn'il fsXUit demmtrer. 

Si les bafes s Sc b &toient £gales , puifquc 
IK.LM :: sc.bd , en dirhant les dear der- 
nier s termes de cette analogie par s 1c b $ on 
trouyeroit que * c .b d ::.c .d. Done IK . 
LM use. id i:t .d. Done IK fcroit aL Af 
CQmme la hauteur * a la hauteur d. 

DEMONSTRATION 

da la (icondi Part 1 1. 

SOient les pyratnides ou les cones A BCD 2 
ScGHIKL dont les hauteurs EFScl* 




foient 6gales : Je dis que ces pyramides font 
ftttt 'elles commc leurs bales. Pour le d£montrei a 

tJ Cf. i. Def. 7f . C*r. C. & 7 . JW %u q, ^ 

\*] Cor.i.IXrf.ii.& Def. ij, Alfek. 
A Psrfi. t. Ctr. Pr<$, j. Algeb* 

f\SHftofit. 

V\ tr§f x tf. Algtb. 



Getmeirit. jjjr 

fippdfcnl n la bafe A C de h pyramide 
AJB CDE y & j'appellerai o fa kauteur E F * 
je nommcrai f la bafe dc la pyramide GHIKlr 
& q fa hauteur IM, 

['] La" pyramide on le cone A B C 2) E =► 

■ — ■ & 1* pyramide oule cone G Hi K Lz=zt£ 
Donc['],**C2>2. ~::GH2KI. £?• 

5 3 , 

Of[ 4 Jl! • IX : : »# . p f t $c • [ J J en diyi- ' 

iant noScp q put leg hauteurs [*] egales *. & ^ r 
on aura »*.f iiin.p. On trourera done 
cette fuite de rapports egaux ABCDE. 

GH XKLi : JL* tlrii'm&itjn n.p. Done V 

les pyramidcs ABCDE & GHIKL font 
emr'clles cornnac lems bafes » & / , fr *« # 
jfctfaV demontrer. 

Si ks bafe* » & f &oient | gales , il feroit ' 
facile de demontrer que ces pyramidcs fefoient 
cntrelles comme leurs hauteors , endivifant »r* 
&pq par ces bafes cgaks n 9c p. 

c 

COR OL LAIRE h 
s Lcs prifinea ou ks. pyramidcs dc a$me b«%' 
rn Cor. g. <$.. j. Prop. Si. G*>. 



Part. %. Cor. Prop. 5, AlgtK 
Prop.f. Algob. 



<\ 



f$a Tnifi/me Twit. 

tent & de mime bafe , nu doiw let ba/es font 

cgales , qiund m6me ees bafes tie iercuciu ni 

fquilaterales , ni equi*Dgl«,fonc ['] cg^u* , ok. 

cgalcs entr'elles. 

COS.OLiAIB.EII. 
Si deux piifmes de meme hauteur , par e^em- 

ple ACFH Jc/IOgj ontdes bafes fem- 

blables ABCD & IKIJtf ^ de lone 1^ 

chaque c&re" 

de cctte bafe T E 

A* CD foit 

double de j> 

cinque cfice 

de la bale 

JSZM , le 

prilhic AC- ^ 

tsftacgaj 

aqwatre fcii 

fcprifineJX 
& St C a * V 

lctrt la bafe ^TC &i» [*]. quadruple de la bale 
I L, Le piifine ACFH fcra ['.] done quadru- 
ple du plilute uog. 

De meme , ii le. diamette de la bale JC dv 
eylindte A C F H eft double du dUowite de lac 
bafe i £ do cy lindrc Z £ O *J^ de mime hjiitcur^ 
le quar-re' de ce diametre de la bafe ^4 C feta ['] 
quadruple dpjquarrc du diametre de la bafe I L. 
tx puilquc les cerclej font ['Jentr'eui comme Id 
«ju*Kts de Icon diuneuei , lc ccrcltt ,<£ C tea 

f 1 C»r. i, Prop, ft, 0W-, 
t']P«r#. i. Pro£ frtf, 
t*J Cw, i, PnJ. <i* Gms- 




Geometriel $(t 

atiifi quadruple du cercle/X. Enfin [*] le cy-r 
lindre^GFH 

fera done qua- jg ^ 

druplc du cy- 
lindre 2 X Q g£. 
On peut (*] 
dire k meme 
ehofe des pyra- 
mides , ou des 
cones, ABCDE 
& /1CL MN 
dc meme hau- 
teur. 

COROLLAIRE III. 

Si deux prifmes, ou pyramides, ont des bafe* 
femblablcs, ic £ chaque c6t£ de la bafe du pre- 
mier de ces corps , eft double de chaque cote* de 
la bafe du fecond , & fi la hauteur du premier* 
eft doable decclle du fecond de meme genre $• 
le premier vaudra huit fois autant que le fecond. 
Soitle prifme ACTH dont la bafe AC eft 
femblable a la bafe L N du prifme L N §& , & 
chaque cdte de cette bafe A C foit double dc 
chaque c6tedc la bafe LN- 9 foit le diametrc de 
la bafe A C du cylindrc AC F H double du dia- 
metre de la bafe L N du eylindre L N gj?. Enfii* 
la hauteur GB de ce premier prifme ou eylindre 
foit double de la hauteur N S du fecond : ce 
premier prifme fera oduple du fecond. 

Car dans le prifme , ou eylindre AH & nout 
confiderons un autre prifme ou eylindre ACVT 
de meme hauteur que lc prifme ou cylindrc 



P] 



Psrt. i. Prop, fref. 



i % ]**rt.%.*rl.trt[ % 



j*i Tnifi4m fdrtie. 

(N $_$ , ceprifine ACVXltn['] qaxin, , 

plcdu pritmc /. N Si*. Maic le prifinc cnaa I 

EH Hi 



B t H Q a m 

XU done U hauteur eft ['] double dc cells it 

Srifineii 1 , ©ud« prifinc^* T , fcnp] double 
npriiine^l'ipiiUqB'ilsfonteiirr'eux coma* 
Iron hauteurs , etant l'un tc l'autre fox la mime 
bafe AC. Le piifme ^f H fera done double dii 
quadruple' dn priime L s. Ox cc double duqua- 
drunk eft octuple ; parceque le prifme KB lea 
buIu quadruple du prifme LS. Lc prilme on la 
cylindre A a [eta. done octuple du piifine on 
du cjrlindre £ J . 

La meme chofe eft cridente par le mime rai- 
lonnetnent a 1'cgard dec pyramides At CUES 
IMSOF, OU dct cones ..4S C D£& tMNOP. 
On ttouTCra auiE par un laiibnneraem fen*, 
blable que , £ dear de ces corps de meaia gemt 
out leurs bafes femMables , & n chaquc cot c d' 
ne de ces bales eft triple de chaquc co re de la t 
fc de l'autre , la hauteur de l'un cant double 
Ja Iwuteur de 1' autre ; un de cei corps Tend! 

] Cor. t, frof . Vrtf. 

'}?*rt,l.Trtt. frtf. 



- #<$ 

libit fois attffi grind que 1'autrc. f nfin , £ 1« 
hauteur de Fun eft triple de la hauteur de l'autre, 
Tun feravingt-fept fois audi grand que 1' autre. 

Si on divife an corps en phiueurs parties $ 1* 
-forhrrie des furfaces detotttes ces parties fcra plus 
grande que la furface de ce mime cor£s avaht 
qu'il rut divife. 

Soitle corps ^BCDFF 5 il eft Evident que 
£ on le coupe nuvant le plan GH I , les particf 
JtCIGH # 

ICTHFDE fe- f* n fg 

ront termin^es 



par les mimes Al / \ H/ \ F/ V 

furfaces qui ter- *^ "'4. *SJ 

mirtoientle corps B I II 

entier , & feront 

encore en outre terminles par deux nouvellet 
futfaces XGH & IGH. 

Si on continue a divifer a volonte" ces parties; 
on trouvera encore que , y ayant de nouvelles 
parties plus petites , la fbmme de leurs furface? 
deviendra encore plus grande que la furface qui 
appartenoit au tout avant la diyifion. Enfin la 
multitude des coupes multiplie les furfaces fans 
augmenter la made totale > qui eft toujours la 
meme. 

II eft done evident que le rapport <le la mate 
d'un grand corps a celle d'un petit de figure 
femblable, eft plus grand que celui de la furface 
de ce grand corps a celle du petit. Car ce grand 
corps contient plus de fois le petit, que la furfa- 
ce de ce grand corps ne contient celle du petit. 

Soic le corps A qui contiennc le corps B , par 



tf4 Triijitm* fdrtie. 

cxemple fix fois. Le corps A fera d«nc cgal 1 
4 *. Mais la furface du carps A nc contiendra 
pas fix fois la furfacc du corpi B ; puifcpc, 
comme on yient de voir , fix fois la furfacc 4a 
corps B, oudc 4 *, eft plus grandc que la fir« 

fcccdu corpse. 

Soitlc cube^Bdont chacunc dcstroisdimcn- 
^ons eft de deux pieds , & le cube CDioM 
chacunc del 

rxois dimen- B 

lions eft d'un 
jtied. Le pre- 
mier cube f 1 ] 
conticnt huit 
fois k fe- 
cond : & la 
furface de cc 
premier con- 
ticnt fcule- 
jnent quatre fois cellc <k focond * c*eft a dird 
que lc corps A B . C D : : S. I. & la furfacc de 
.4 3 eft a la furface de C D , comme 24 a f . ce 
qui fait voir que les petits corps out pJus de fur- 
facc par rapport a leurs marTes , que les grands 
dont la figure eft fcmblable a cellc des petits. 

On pourtoit encore dire que plus la figure des * 
corps approche de la cubiquc , ou dc la fphcri- 
que , moins ils ont de furface par rapport i 
leur mafie. 

Enfin , comme les quarrez ou les cercks 
pnt plus de furface par raport a leur circuit , qoc 
touce autre figure plane $ de mfcaie les cubcSi 
,, x>u les Spheres, font les corps qui ont lc plus de 
matte par raport a leurs . furface s. La brieverf 
que jexne fuispropojTee , dans ces cetnens m'ern- 
.piche de le demontrCr plus axnp} ement, 

[*] Cor. y Prop. Pref, fRO- 





Gfcmetricl 5^5 



PROPOSITION LXXXIII. 

Si une fyramide eft de meme hauteur 
que flufieurs autre s fyramide s j & fi 
la bafe de cette fyramide eft egale k 
lafomme des baps de ces fyramide s , 
cette fremiere fyramide fera egale 
k ces autre s fyramide s frifes enfem- 
ble. 

DEMONSTRATION. 

Soit la pyramide ABC D E de meme hau- 
teur que lcs pyramides AFDG , DFHI , FBCHL} 
& foit la bale A BC D de la pyramide ABCDE 
Igale a la fomme des bafes AFD y D F H , & 
HFB C de ces autres pyramides : je dis que la 
pyramide ABCDE fera egale a- la foinme des 
pyramides AFDG , DFHI , & FBCHL . Pour 
le dcmontrer , foient menees lcs lignes E F 8c 

La pyramide ABCDE eft ['] egale aux pyra- 
mides AFDE , FHDE, & FBCHE^ prifesen- 
fcmblc. Or [*] la pyramide AFDE eft egale a 

[■] Ax. 3. (?#». 
M Fret. So. G##. 

Bbb 



}(6 Tnififme Ttrti*. 




sTTDG -, la pyramide FHDE = FHDI j & i 
pyi amide FSC ME eft cgale a la pyran>& 
flic HI.. An lien des pyramides ^* FDE+ 
FHD ■ H- FBCHE ,6 '] on prend ce qui inr 
eftegal f^iYoir^FDG-HFHDJ •+-TBCM, 
on trouvcra done que la pyramid* jIBCDE fc» 
cgale a la fomme des py t amides jtFDG , FHDI, 
TBCHL , don: lei bales pnks enfembie font 
ega ies a la bale A BCD , & donr 1« hatttecjs Jam 
£g iles a celle de la pyramrde ABCDE-, ces py- 
raai ' cram entire Ies mfmes plans pimYidtS ■ 
^£CO & GJtf . Cl qtt'U f*ll*it ditnontrtr. 

COROLLAIR.E. 

On »ientd- voir [']quela pyramidc AJLCVl j 
eft I gale a la fomme d« pyramides jfFDG, j 
FHD1,FBCHL, qui font ['] de meme hautnt j 
que cette pyiamide ABcbg, Of la pyramid I 

f'] Dcmandt i. gen; 



Gemttrle. $67 

ABCD % eft [* ] egale au produit de fa bafe 
ABCD multiplicc par le tiers dc la hauteur , & 
cette bafe ABCDM eft ['j la fomme des bafes 
dc ces pyramides AFDG , Ftf£>£ , & FBCHL , 
II eft done eVidentf'Jque la fomme des pyr ami- 
des AFDG , FHt>l , FBCHL qui font de mime 
hauteur , eft egale au produk de la fomme de 
leurs bafes^ultiplice par le tiers de leur bauteui 
ctmmunc, 



PROPOS ITI ON LXXXIV, 

Le rspfertqui eft entre Us fyrtmides trisngtttairet 
femblMes j entre Us frifmes trianguUires fem- 
bUbUs ; entre Us ptrallelepipedes fembUbUs > 
eft triftt de celui qui eft entre deux des cbteK, 
homologues des furfsces fembUbUs qui Us nr- 
mmcBt. 

DEMONSTRATION. 

Soient deux de ces fblides femblables ABCD 
ic BEFG . Soient AB 8c BF ; CB & BE ; DB 
8c BG , c&tez homologues des furfaces fembla- 
bles ABC , BEF i CBD & BGE : e'eft a dire 
que AB foit a BF : : CB . BE : : DB . BG 9 
Je dis que le rapport du folide ABCD au fo- 
lide BEFG , eft double du rapport dc AB a BF. 
Pour le demontrer je confidererai le folide 
BEFG applique* pr£s le folide ABCD , de forte 
que les trois lignes BE , BF , & BG qui com- 
prennent les angles plans d'un angle folide 

[ l ] Cer. %. Prof. %t.Ge<r. 
['] Suffofitjon. f '] Dem. x. genet. 

Bbbij 



j<!8 Traifieme Tdrtit. 



G 

du corpi J.EWO , ic I" trois Itgnes AM , EC , * 
BD,quicomprennent des angles plans ejpm 
p] aui prectdens dans 1c folide ABCD , toitm 
trois lignes droites -*BF , CUE , & DBG. Ce 
qui eft ['] p»0a>le , en faifant Tangle A£E=z 
CBF, & en faifant Tangle D B E = C B C. 
Enfuite foient prolongecs les furface* is 
ces deur folides ^BCD & BEFtT , pour deenre 
les deui nouveaux folides CBFD , & BEFD. 

[J] Le folide ABCD eft ati folide CBFD ;: 
j4BC . CBF : ) AM . BF . [♦] . 

[i] Ls folide CBFD eft au folide BEFD :: 
ChS . BET r: CB . BE . [♦] 

Etinn [1 ] lc folide BEFD , ou DBEF , eft an 
folide BEFG , oil BGEF , commc la baft DBE 
eft a la bafc BGE : : DB - BG. 

Puif -ue l(-s furfaces ABC , BEF ; CBD It 
EGE Com r L ']fcmbi,bl« ) nous avons AB . BF;: 
C B . £E : : DB . BG . C'eft a dire que now 
avons ces "trois rapports egaux entr'eux. 

[•] Snppof.& Titf. tfo. Get. 
['] Part- i- Prtf. ii, Gto. 
[t] Prtp, %i.Gto. 



Geometric. $69 

CABCD . CBFD : : ABC . CBF : : AB . BF r 

I CBFD . BEFD : : CBF , BEF : : CB , BE . 

BEFD . BEFG : : DBE . BGE : ; DB . BG . 



-rfB . BF :: CB . BE :: D5 . BG , 
ABCD. CBFD : t CBFD . BEFD : : BEFD . BEFG. 



> 



Done ~ ABCD . CBFD . BEFD . BEFG „ > 

' On. vient de demontrer que le fapport du (bo- 
lide ABCD au folide CBFD eft egal a celui de 
AB a BF i que le rapport du folide CBFZJ) au fo- 
lide BEFD eft £gal a celui de CB a BE 5 enfin 
que le rapporr du folide BEFD au folide BEFG 
eft egal * celui de DB a BG. 

On trouvcra done cette progreffion geome- 
trique —. ABCD . CBFD . BEFD . BEFG. 

Le rapport du folide ABCD a BEFG fer* 
done ['] triple du rapport de ABCD a CBFD. 

Au lieu du rapport de ABCD a CBFD ,pre- 
nons [ a ] le rapport des deux cotez homologuer 
>*B & BF des furfaces femblables t qui lui eft 
fcgal. Nous trouverons le rapport du folide 
ABCD au folide femblable BEFG , triple dc 
celui des cotez homologues AB & BF des. fur- 
faces qui les terminent , ce quil falUit dime** 
trer. 

COROLLA IRE. 

Les pyramides triangulares femblables ; let 

prifmes triangulaires femblables 5 & les paialle- 

lepiped'es femblables £tant , J ] entr'eur. En rap- 

- pore ou en raifon triplee des cdtez homologues 

[*] Prep. 19. Algeb. & dtf.\%. £ Algth . 
[*] Dtmtnde u Gen. ['} Prep.frtf. 

Bbb iij 



< 7 9 Trtifhu fgrtlt. 

Act furfaew fcmblibles qui terminent ces foli- 
Ati -tee* cubes de cm c6t« homologues eiam 
F'l auffi entt'eui en raifon iriplec de CCS mimes 
c&« homologues i ileft evident '] <l uc « 
jeftjw icmbUble* font entr'eiut coiomc Its ti- 
b« des cot« homologues des furface* l«nH»- 
blet qui let tcimincnt, 

PROPOSITION LXXXV. 

DEMONSTRATION. 
^ paral!elog»mme rcftw^ *£ *- 

[i |<£bk »u dem. ecrele XBCD.K 




rayon DB erant mene" du centre Z> au p°irc 
d'attouchement B ; enfin lei lignes DE & DF 
qui feront lei diaganalej des [+] qaarrei BA 

'] Cor. i. f«f. il- -*^f*' 
'»] Cor. ydif.it.Algtb, 
<] Cor. 4. fr tip. u. G«». 



Geometric. j j\ 

& BC , £tant menses du meme centre D aux 
points E & F : fi on confidere que ce paralle- 
logramme EC tonrne , ou fade une revolu- 
tion au tour du diametre AC j il eft evident 
[ X J qu'il y aura des corps de trois forces qui fe- 
xont de'erits par ce mouvement , 

i°. Le cylindre droit EH , par le mouyement 
du parallelogramme rectangle EC , 

x°. Une Sphere ABCI , par le mouvement 
du, demi cerclc ABCD ," 

j®. Deur cones droits ESHD & ERGD , par 
le mouvement des triangles rectangles EDA 
& FDC. 

Alors la [*] perpendiculaire DB ayant dem- 
erit le grand cercle BPI de la Sphere parallele- 
ment a la bafe FRG y le cylindre EI fera [*) 
la moitic du cylindre EH, 

Je de'montrerai premierement que Texces 
dont le cylindre II circonferit a l'hemifphere 
ou demie boulc 

BC/, furpafle P.. 

cette demie fphe- B s^~~ T% "*""**'*n^I 
re BCI , eft egal 
au cone FRGD. 
Confidcrons 
ces trois corps ' 
coupez par des 
plans 4o:it -le 
. nombrc eft indc- 
fini,&qui foient 

' tous parallels a la bafe BPI , ou TRG ; Be fa?- 
fons enfiiite attention a un de ces plans , par 
cxemple IW ou IT, 

Le cercle qui aura pour rayon ND fera 

[■J Car. i. def r Ci. Geo. 

[*] Prof. u. Geo* ' [»] Part. i- frof . fi. G*K 




57 * 

[*] £g*l aux 
clcs dont an aura 



Tr+iJiSme turtle 



B 




B 



D 




poor rayon HM , 
Ac Paotrc aura poor 
rayon if D. Parce- L 
que LM foam pa- 
rallel a la bafe 
FC , Tangle NMD * 
eft [ a ] droit : or 
puifqoe [*]FC .Cz).. 
OM.MD, fc ^ ^ j 
FC=CZ>, on aura 
done auffi OMs=zAiD. 
Au-fceu du cerclc qui a 
pour rayon if i> > prc - 
nonr done (on igrf 
^aroir celui qui aura 
pourrayonOif . Now 
trourerons que Ie cercle qui aura pour raron 
^I>, (eracgal aux deux cercles dont un atf* 
pour rayon NM tc l'autre aura pour rayon 0&. 

** Iigne ND eft [*] egale a hD = LM ft 
Le cercle qui auraZif pour rayon fera donccgil 
*ux cercles qui auront pour rayons NM & OAf. 

Ce m&me cerclc qui aura LM pout t^ott 

f era [*] au (fi £ga.l au cercle qui aura pour rayon 

KM & a Fanneau qui aura LN pour largeur, 

£crit par la revolution de la ligne droitc IK 

au tour de CD. 

Lesdeux cercles qui auront pour rayons NM 
.& OM , (ciont done [•] egaux au cercle qui aura 

Cot. x.pof. 6y &part. r. frfy 57. G$*. 
^ P*rt. i. prop. 14. Geo. 
r * ' P*r 1. 1. frip. ;t.G*#. [*] P4rfv1.frvp.37.GK. 
[+] Cor. 1. f rap. 37. G«\ [ 7 *M*. 5. gin. 
[*l Car. i„ /fc/. 19 .. Gw. £*] ^*. i*. £#»* 




<Se$metrie» J75 

pour rayon KM ,& a Fanneau qui aura LN pour 
largeur. 

Retranchons de part fr d'autre le cercle qui 
aura pour rayon NM > l'anneau qui aura pour 
largeur IN reftera ['] cgal aucercie qui aura 
pour rayon OM . On peuc 
d^montrer cettc verite de 
la mfcme manierc a 1*6- 

fard de chaque anneau & 
c chaque cercle corref- 
pondant a meme hauteur 
dans le c6nc FRGD pour 
chaque coupe ou fe&ion 
poflible dc ce cylindre, 
faite parallelement a fa 
bafe dans toutes les hauteurs poflibles. 

Or la fomme de tous ces anneaux decrits dan* 
la- revolution de la figure BC autour de CD , 
par LN & par toutes les autres lignes qui com- 
pofent le triangle mixte BFC , (era egale a la 
fomme des cercles decrits pendant cette m£me 
revolution par le rayon OAtf , & par toutes le* 
autres lignes qui compofent le triangle re&ili- 
gnc FCD. 

Puifque l'exces dont le cylindre decrit par la 
revolution du quarrc WCD au tour de CD y 
furpafle. l'hemifpherc audi decrit par la revolu- 
tion faite en m£me temps du quart de cercle 
BNCD , eft compofe de la fomme de tous ces 
anneaux ; & puilque le c6ne decrit par la revo- 
lution du triangle FCD faite audi au tour de C2>, 
eft compofe de la fomme des cercles decrits par le 
rayon O M , & par toutes les autres lignes qui 
compofent ce mime triangle rectangle FCD : 
II fuit que cet execs dont le cylindre furpaflc 
1'hemifphere , fera egal a ce cone. 
[*] Ax. f, gen. 



574 Yfifiim Vdrtie. 

Or ce c&ie FRGD &ant de meme bafc & < 
meme hauteur que le cjlindre FI , il Xcra. [ x ] i 
croifilme panic de ce meme cylindre. L'exces 
dont ce cjlindre F I furpafle rhemifphere 
DBCIP, fera done egal a la troifieme panic de 
ce memc cjlindre Fi. Lhemifphere reftera done 
egal aux deux tiers du cjlindre FI qui Jui eft 
circonferit. 

On dlmontrera de la memc maniere qnc 
l'exces dont le cylindre BJf furpafle rhemi/phere 
DhAIP eft cgah au c6ne £S>H2> qui eft audi 
egal au tiers de ce memc cylindre BH. 

Le cjlindre entierFJf forpafle done la Sphere 
entiere ^#BCJ de la Taleur des deux c6nes [*} 
cgaux FRGD & £^HD. 

Mais le cdne FAG^ ctant [*] double da 
cone FRGD eft egal a ces deux c6nes egaux 
FRGD * ESHD y & ce m^me cone FRGA eft 
[•] le tiers du cjlindre entier FH. 

L'exces dont ce cjlindre FH furpafte la Spht* 
re ABC J qui lui eft inferite , eft done e'gal aa 
tiers de ce meme cjlindre. La Sphere -4BC1 
refte done egale aux deux tiers du cjlindre FI 
qui lui eft circonferit , ce quilfalUit demotttrer* 

COROLLAI RE L 



TTne Sphere , ou hemifphere , eft double da 
«6ne qui a meme bafe & meme haureur. Parce- 

circonf- 

&cette 



wnc qui a meme oaie x meme naureur 
que ce c6neeft (*] le tiers du cjlindre 
crit a la Sphere , ou a rhemifphere , 



['] Cor. x. prop. Si. Geo. 
[*] Cor. i. prop. gr. 
[*]P*rt.ufrcp 8k 



dome trie. j7j 

Sphere , ou henaifphere eft ['J leg deux tiers de 
jcc xntaie cylindre. 

COROLUIRE II. 

II eft done indent que , puifqu'un cylindre 
eft [*] egal au produit de fa bafe multipliee par 
fa hauteur , la Sphere , on l'hcmifphere , tera, 
egale auz deux tiers du produit d'un de fes 
grands cercles multiplic par Ton diametre $ ou 
au produit d'un de fes grands cercles multipli6 
par les deux tiers du diametre. Car un des 
grands cercles de cette Sphere , ou la bafe de 
1'hemifphere , eft [*j egal a ia bafe du cylindre 
auquel elle eft circonferite ; & la hauteur de ce 
cylindre eft £gale a un des dia metres de la Sphe- 
re , ou au rayon de 1'hemifphere. Ce qui eft un 
moyen tres- facile pour connoitxe la fpliditl 
d'unc Sphere . 

COROLLAIRE III. 

» 

Puifque Themifphere eft [ 4 J egal au produit 
de la bafe multipii£e par les deux tiers de fa 
hauteur , ou de fon rayon ; le double de 1'he- 
mifphere , ou la Sphere entiere , fera egale au 
produit d'un de fes grands cercles par les ruatre 
tiers du rayon , e'eft a dire S J , par les deiix 
tiers du diametre, 

Pr le produit des quatre tiers d'un rayon muL- 

;•] Prof. fref. 

*) Cor. i. def. 79. Ceo. 

'*] Def. 7*. Gee. 

♦] Cor.i. frop. fref. 

h *«• /*• k*fr*&\ do fr*ft> 



37* Trtifiimi Psrtie. 

tipliez pax un grand ccrcle y eft cgal au produlr 
de quatre grands cercles multipliez par un tieis 
de rayon. Car appellons cc rayon * -, & appel- 
Ions b cc grand ccrcle ; les quatre tiers du 

rayon P] feront done — • Or — x b = -£_*, 

& il eft trident que 1-=- = 4 £ X — , • 

} , * 

Une Sphere eft done cgale au produit dc 1a 

fomme de quatre grands cercles multipliez par 

la f partie de leur rayon. Cc qui peut encere 

faire connoitre la folidite d'une Sphere y & cc 

qui fervira pour tn connoitre la furfjace . 



PROPOSITION LXXXVT. 

Les Cylmdres dont les hauteurs font e gales mux 
diametres de leur 5 bafes , oh qui font tirconf- 
crits a des Spheres , font entr'eux comme lit 
Cu bes de xes mimes diametres % 

DEMONSTRATION. 

- Soit lc cylindre AC done la hauteur DE fok 
igale au diametre AB de fa bafe ; fok encore 
le cylindre HK dont la hauteur LM foit cgale 
au diametre HI de fa bofc : je dis que ces 
deux cylmdres font entr'eux comme les cubes 
4es diametres AB & HI de ces bafes. 

Pour le demontrer , foit nominee / la cir- 
conference de la bafe du cylindre AC ,8c p fon 

t 1 ] **g* 44. def. i t desfraB. 

diametre 



6e*metrie. 577 

Ahmttte A& ; (bit nommfe r la cireonference 
4e h bt& da (jlindrc HK ft n Cera diime t r e Hit 




K 



foit enfin appdlc' x l'etpefanr 4k rapport de 
U cireonference / a £>a dkmstre f , e'eft 1 

4i« ^ae J_ es « , aba [•] **.==/" * L ! «po» 

fant du rapport dc la cireonference ri&ii dia- 

merre » , fcra audi * , C.eft a Hire —.=*■, 

[*] Cat /• r ::».«. Done [*J/. * ::*.*. 
On aura done encore [■]#* = r . 
£♦] La flw&ce do kWe du eyUndce AC fir* 

Jt-.ff*, ou — *#, Et fi on multiple 



cettt 



fiirface parlahaunrar J, on aura */' psur 

U foliditf ducylindie jf C , [*] . De mime ('] 

■J Ctr. j. ib U dhif.pag. +i . 
*] Ctr.frtf. Co. <?w. p*£. + 8j. 
' 1 Tim. z, du Mrjri/i,\. Algtb. 
*1 Gtr.t.frtf. + B.G». 
, ]C«-.*,A'/ 1 .7j. wnr#r.-7./f»p.lr.C». 
* j Cw. t. »r«p +1 , t> e». *.*f. 7?- <?«•• 



j 78 Trttfleme Pdrtie. 

lccjlindretf* (era — xn\ Ox [*] Gondi, 

4 

«ifc ces deux produirs 'par ~~x y on ana 

4 

demontrer. v 

COROtLAr lt*-*f .— 
Les deuxtien dfi cylindre <A££? ou ifej^ ral« 

leur i *p« , qui [*] font -i- *>*- , font pj 

4 *. 

£gaux a laSphere GEFD inferite au cjlindreAC 

dont [♦] la hauteur D£ eft un des diametres de 
cptte n?£me Sphere. De m£me les -^- ducjitB* 



5 

1 



1 
die HK , qui font — a:^* , font [*] cganx a It 

Sphere O M N t quilui eft inferite , & dont on 
6c? diametres eft la hauteur L M de ct cyliadic. 

Or ['J — xp* # —*.*** :;* f .** .Aulienfc 

•m t 

J- *f * & de JL # *♦ fobtefuaut £*\ tt <pl y 

eft <gal, fpvoir les Sphere? GEFD /& OMK4 
on aura la Sphere GEFI> . OMIfZ : : l>* . •* . 
les Spheres Jfont done entrttles coxnme les cq- 
bes de leurs diametres. 

J«l TrQ.l.iAlgeb. 

"»] ?sgt tt,desfir*a, dtfrtft. 

*] Prop. Zf . Get. 

*]Suppofit. 
\*\Pttm*dt r, Gen* 



Gt9mttrie* yj$, 

COROLLAIRE II- 

Les Spheres font done entr'elles en raifon tri- 
pice du rapport qui eft encre leurs diametres* 
puifiju'elles font [' J entr'elles comtne les cubes 
de leurs diametres , & .que les cubes de ces 
diametres font [*] entr'eux en raifim triples 4e 
celle de ces mdmes diametres. 

C OR OLLAUE. III*' 

• Si tm globe a fon diametre to fois audi grand 
qde celui d'un autre 5 la made de ce premier 

flobe fera Seoo fois aufli grande que la made 
ecet autre. Car [ 5 ] ce premier globe fera au 
fecond , comme fon diametre fera a une 4° de 
quaere grandeurs continuement proportionneU 
les dont la premiere & la fcconde feront entre- 
elles comme les diametres de ces deux globes; 
4c ainfi.de fuite. Soit appellee * la derniere de 
ces quatre grandeurs continuement propor- 
tkmnelles , la f grandeur [♦] fera 20* 5 la 
x* (era 400^ 5 & la premiere 80004 . Ce qui 
fera cette progreffion -~- 80000 • 400* . 10* » 
a . dans laquelle il paroit evidemment que la. 
premiere de ces quatre grandeurs eft So 00 fois 
aufli grande que la derniere, 

K E M A R g_1> £. 

De la meme maniere que dans la demonftr. 

de la prop, pref. j'ai employe les expofants des 

rapports qui font entre les circonferences des 

cercles& leurs diametres, j'aurois peu les cm- 



[ x ] Cor .t. prop. pref. 
[*] Cor .pop. 18. Algtb. , 

<] Cor. uprop. 19. #Mg*b, 

*]Def.i6.Algeb, Ccc ij 



{ 



5?o Tr*ifiime Pa* It. 

ployer poor d£montrer que les cerdes , en fet 
ie&eurs de ccjcIcs , font entr'eux camtne to 
quarrez de leurs diametrcs, Soit tin ccrclc dent 





la circonference foit appellee a , & Ton dfo- 
metre foit . Soit encore on autre ccrck d«* 
la circonference eft b 9 dt fon, diam£tre eft d 

Soit enfin — =/> °n appclkra doncf'Jauffi/ 

le quotient de la circonference i drrifSepar d v 
£t on aura cf= a > Sc dfz=z t . Le premier 

ccxele fcra [*] done — />* • & le » e £u* 

4 

JL/i /. Done -Lft€ .±Jd i:\tc. dd.[^ 
4 4 + 



; PROPOSITION LXXXYII. 

La fttrfaa fun* Sfbers sft igak s quttre da 
grand* cerclts dt cettt mime Sfhers, 

DEMONSTRATION. 

Soit la Sphere A&CD done le centre foit E. 
Jc la confidercrai comme un folide compofc 



[^Cor.frcf. 6o.Gtfi. 
[ a ] Cor. %. prof. 4*,' 



I'lfrof.f.Jlgek 




* % Geometric. 58* 

£•] (Ftfne infinite de pyrainides dont lc fbmmec 
commun (era le centre £ , & done lei bafes pii- 
fes enfemble for men t la 
fiirface de ce rneme fo- 
lide. Alors chacune de 
ces pyramides aura pour 
hauteur un des rayons de A] 
ia. Sphere* 

Car , fok GICH unc 
de ces pyramides dont la 
bafe GFCU ell infini- 
ment petite _; la per pen - 
diculaire menee du centre £ a cette furface 
GFCH infiniment petite , fcra un des rayons de 
la Sphere , par exemple £ G. Parceque les li- 
gnes GF & GH infiniment petites terminees 
pur les rayons EF 8c "EH , £tant proloi\gces dc- 
vienncnt [ 2 ] touchantes des circonferences .des 
cercles qui ont pour rayon EG , & dont les plans 
paflcnt par £F & EH. 

Or les hauteurs de toutes ces pyramides font 
[ J ] egales. La fommc de ces pyramides fera 
done [♦] egale au produit de la iomme de leurs 
bafes , multiplier par la j e partie de leur hauteur 
commune. La fomme de ces pyramides eft la 
Sphere metne A BCD 5 la fomme de leurs bafes 
eft la furface de la Sphere ABCX> , & leur hau- 
teur commune eft un rayon de cette Sphere. 

Le produit de la furface de la Sphere ABCD y 
multiplied par jan tiers d'un de fes rayons , eft 
done cgal a cette Sphere, ■, , 



Cor.i.dtf.M. Geo* 

Fin da cor. i.def. 88. & prof. u. Gto. 

Cor. i.def. gi. G^ 
[♦] Cor.frop.iyGeo, 
m . ' . Ccciij 



5$* Troifi/mt Tdrtie. 

Or le prodait de quatre de* grands ccrcfcs Jtf 
k Sphere ABCD , mulfiplicz aaffi par ua tiers 
d'an de fes rayons , eft ['J encore cgal a ccttc 
merac Sphere. 

Le prodait dc lafarface de la Sphere ABCD T 

multipliee par un tiers d'un de fes rayons , eft 

• done [*] cgal au produit de quatre des grands 

cercles de cetre Sphere multipliez auffi par k 

meme tiers d'un de fes rajons. 

Endmfant ces denx produks egaux , par on 
tiers dece rayon de la Sphere - t «n des quotient* 
fera , d'une part , la firrface de la Sphere ABCV+ 
kquelle furfacefera [*j e'gale a i'autre quotient 
qni (era quatre grands mercies de cette Sphere, 
u quil fdloit dewootrer. 



PROPOSITION LXXXVin. 

ta furface d'un cylindre dr&it, ftskafes exteptrer* 
eft Sgsle aufrodmtdn ctntours ots arc&nfertnu 
dtt* bafe vudtiptiee far la hauteur. 

DEMONSTRATION 

Soit le cylindre droit AB $ fen axe FF (era [*f 
pcrpcndicelaire a la bafe AB. Si des centrri 
F & J£ , on coiifidere un nombre ind££ni dt 
rayons FC ? EA ; FJ, E£ ; FH , EG 5 FH , BDj 
&c qui .foient rnenez paralleles eatr'enx : on 
trouyera que routes Ies *ligne* CA , IL y HG y 
$D , &c„ menses par les extremrtez xle ces 
rajons, fcront [♦] paralleles a l'axe EF, 4c 



R 



Cor.}.prop.Zs.G*9< 
Ax. it.gener. 



GtsvHtrit; j^j 



A 

*-G 

£■] paralkles entr'ellej, C« lignes Crf , ZI, 
UG, ftc. fercmr. done [*] perpendicolaiiei aur 
bafes paralleles AGDM ft CJ7BK!. Elles feionr 
done ['] tontet egales erttr'elles. Or toutei ceS 
Bgnes polfiblcs CA , LI , HG , Sec. confidences 
ind£finimcnc proches Tunc de 1'intre , font le* 
cfitez des faces infinitiemes do cjlindre droie 
■rffl, qui ferotit [♦] del parallelogrammes re- 
ctangles de meme bantem ft dont les bafes fe- 
nnt les lignes droites infiniment petites qui [*J 
ferment les circmfeiences AGOhl ft CHBK. 
Si on confidere que ceice futface conrbe foio 
dtroul£c , deforce que 1st circonfeicncc AGDAt 
- deviennelaligne droite NR, ft que la etrion- 
ference CHBK derienne la ligne dioite FO * 
alors le parallelogramme total NO fee* egal & 
teas les parallelogrammes de meme hauteur 
qui ferment le contours du cjdindie ^5, Le 



["]**. n- G «- ■ 

J*]Pre»,7o. G«. 

[*] mp. % f.& Af.#, Cm 

t'J Cor, d*/. j<- G«f. 



Cce iiij 



5S4 Tnifl/m* P*rtii. 

produit de la bafe NA multiplier par la. hauteur 
RO , fera [ l ] egal a ce parallelogramme N O. 
Le produit de la circonference AGDM multi- 
pliee par la hauteur DB fera done cgal a la fur- 
face du cylindre A B , les bafes exceptces , cc 
quilfalloit dimontrcr. 

CQROLLAIRE I. 

Si on confidere un diametre d'une Sphere 
qui foic perpcndiculaire a la bafe d'uri cylindre 
qui lui eft circonferit j ce diametre fera la hau- 
teur du cylindre. Et fi on confidcre un grand 
cercle de cette meme Sphere qui (bit paralleled 
la bafedu cylindre droit circonferie > \k circon- 
ference fera [*] cgale a cellede la bafede ce cy- 
lindre , & Con diametre fera cgal a celui de cerre 
bafe : puifque la circonference de ce grand, cer-» 
clede la Sphere fe trouve dans lafurrace du cy- 
lindre circonferit. Un diametre de la Sphere 
eft ['] le meme qu'un diametre d'nn de fes 
grands cercles. Le diametre de la bafe de ce cy- 
lindre fera done egal a la hauteur de ce meme 
cylindre. 

£n multiplianc la circonference de la ba/e da 
cylindre circonferit a une Sphere , pat fon dia- 
metre , on aura [ 4 ] la furfacc de ce cylindre, 
les ba&sexcepties. 

Le produit d'une circonference de cercle mul- 
tipliec par ion diametre. eft [*] Igale a quatre 
fois cc rneme cercle. 



r 

"'] Cor. t. def. r J. G$*. 
'•] Ctr. i.def.jZ. geo. 
X C&r. i.'def. 9*. get. 
'♦] Prop. fref. 
t ']C#.i.:tr<Q. 4*. Gea, 



Cawafffe. ftf 

£a finface du qflindre circonfcrka ftne Sphe- 
re y eft done 6gale a quatre des grand* cexclcs de 
cette mgrne Sphere. 

La furrace d'une Sphere inferite a on eylindre 
eft done ('J egalc a la furface de ce cjlindre , k*> 
bafes exceptecs. 

It E M j* R§iV E S. 

t. la furface d'ua c$ne re&angje eft [*] e*gu 
Je au produit de la circonference de fa ba(e muL-i 
tipliee par la rnokie" de la ligne droite , mence 
da fommet de ce. cone a la circonference de £* > 
bafe. Car le fommet de ce cone frant itn peine 
de l'axe qui eft [*} perpeadkukire au milieu 
de tous les diametftft de cette bafe y ce meme 
Ibrnmct fcra cgaknaent iloigne de tons less 
points de laciiconfeftncede la bafc> routes les* 
iigncs menses dii (ocnoKt a cette circonference^ 
feront [*] egales entr'elies. Outre eela v lav 
fooratc de tons lea angles qui out pour faamct 
celuide ce c6ne , & qui font apuyez fur chaque 
c6te infinirnenr petit de cette circonference , eft 

S'J moindre que la ibmme de quatre angles 
roits. La femcedu c&ne drok cxant deroulee 
{era done un fe&eur de cercle. 

t. II y a des corps qu'on appelle Rigutitrs w 
parcequ'ils font terminez par des Surfaces regu- 
lieres. Entre ceux dont les furfaces de chacur* 
font egales entr'eiks, on en compte cinq. 



i 

Tz 

3 

4 

V 

L J 



Ax* rt. gen. 



jix. re, gen. 
Cor. j. prof. 4* Geo. 
Def. 6%. & def. 10. Get* 
Cor. 4. ax, t.Geo m 
Cor.frof' 7?«G#* 



}t6 Trtijtime TdrtU. 

Le premier eft termini par quaere triangle* 
£gaax & cquilateraux , ce qui fair qu'on l'ap- 
pelle , Tetr*edr$. 

Le ftcoitdeft termini par fir quarrez igaor, 
cequi fiw qu'on Tappelle , Exmedre. On 1'ap- 
pclieauffi C**e[M. 

Le troifiime eft termini par bait triangle* 
igaux & iquilateraux« On l'appelle , OBaedre. 

Le quatriime eft termini par douze penta- 
gones regulieft & igaux. On l'appelle , 2ta&. 
cdedfi. 

Le cinquiime enfin eft termini par yingr 
triangles igaux Ac iquilateraux-r On Tappelk , 
Jstfttdre. 

Si on rent reprefirnter facilement ces cinq 
corps reguiiers , il faur fe femr de carton , &f 
ttacerdes triangles iquilateraux , ics quarrez, 
dc des pentagones reguiiers , en les difpofanr 
conune dans chacunc de ces cinq figures* 

Tetrstdre OHstdrs Icoftedre. 
C 




Dtdecaedr* 



Enfuite il faut , ayec des cifcaux , coupei k 



Geemetrie* 58^ 

iarton fuivantles lignes droites qui terntiacnt 
zees figures compofcjcs de, triangles , de quar- 
xcz , $cc # $c avec mi coiireau bien aiguifl, 
il faut couper & mpitie ce meme carton fuivanc 
"jes lignes tranfverfales de ces memes figures* > 

Enfin il fajit plicr le carton de maniere que 
les plans qui reprefenteront Jes furfaces de 
chacun de ces corps reguliers fe joignent Tun 
rautro Les points A & $ y par exemple , fe- 
xont appliquez for ie point C, & on rctien- 
dra le tofet en cettc fituation ayec de la colle, 
ou du fil , pour former le Tetraedre, La ligne. 
H I fera appjiqucc fur V N , E F fur G H f 
& MX fur KI, pour former l'Exaedre. L'a- 
juftement des trois autres figures eft auffi fa.- 
cile quecelui de ces deux premieres. 

J'ai cru qu'il faffifoit de faire ces deux dcr- 
nieres remarques pour ceux qui commencent i 
Vappliquer a l'etudc des Mathematiques -, par- 
.ccqu'une- plus longtfe Theorie fur ce fujet & 
fur les autres folides pourroit rebuter les moins 
Au4ieux , & ne feroit pcuc-^rre pas d'une uti- 
lity afldzponfiderable , pour meriter une p.'jjj 
longue attention de jeeui qui feroicnt plus zc- 
lez 3c plus laborieux. 

Je finirai done ici ces Eiemens , ou j'ai 
6 de rercferrner ce que j'ai cr£ £tre d'abord 
le plus neceflaire a ' csux qui veulent appren- 
4re les Mathematiques. Outre les premiers 
fondemens de PArit&metique & de l'Algcbre, 
j'ai expof^ le plus ciairement qu'il m'a hi 
poflible la Theorie & la Pratique de la Geo- 
metric ordinaire. L'utilite* particuliere de cha- 
cune de ces trois parties elementaires eft fort 
etendue. On y trouve beaucoup de lumieres 
jtpijr entendre 1« ouyrages qui fuppofent 



5« rrmfihu tmlel 

<!■'•» %adhc m premiers Element, t'n- 
ft"-" tut commie con lee jama . cp'S 
fkm aWokmea avoir pwffi dans eci preuuca 
Aua «b veotex <jw (one £ h mqttt ma, 
que fast eUn on lb mare priW J 'tint infr 
ttkc 4'imnn) tm-c«n64cr*t>ks , (jo'ai par 



f IN. 



TABLE 




r <<* * L E 

VES PRINCIPALIS CHOSES 
cmmm dans ,„ Elm™ ™ 5 

' A 

....A 41 ""**" Prions, ' ***« 

Addition des Grander l„; crales *• 

Addition des Racine, fo^fe, ' 7< 

Algebre , ce que e'eft * u * 

Analogie , definition « '» 

Angle obliqae , dtf. ?/ ' f * I+> x *'*'. "4 

Angles pofas dc fuite * *°* 

Angles oppofez an fonimet ,o8 

Ang es oppof« «„ f om V ju 

Angle plan. Dtf. I7 . ga0X » J" 

Angle de plans. DeY. u. *•« 

Angles alteraes. DeT. i«. * 01 

Angles alternes egaux to1 

" A. 



Ddd W 



j. jo Table 

Angle dont le fommct eftentre le centre &la 
c i rconferc nee # fii m efure , ^ 

Anfflc done Ic fommct eft tors le cercle , (k n*- 
fore, 537 &tf 

Angle appwyc fur une demie circonferencc^rofy 
far un arc plus grand , obtus 5 fur un arc pinr 

petit v aigu, * ' * J)itf»$5* 

Angle folide. Dtf. *j. uj 

Angle folide, fes propriijtez,, % „ , .jj 4 6 ft 
approximation des .ftac{.ncs- , *ir| 

Arithmetigue,ce qu'on emend pat ce mot,pg? ? 
Arc de cercle. Def. 17, 104 

Attouchemene d'une Ijgne droite & d'une cir- 

conference , n'eft qu'un point , i6( 

Attouchement de deur circonfcrences, n'eft qu'on 

point , 501 

^xe d'un c6ne. • Dcf, 7 9. 221 

Axe d'un cyliftdre. Dpf, 77. . uf ■ 

Axe d'une Sphere. Dcf. 8$;. «f 

Axiome , ce qu'on emend par ce mot , * 

Axiomes generaux, \ 

Axiomes d'Arithmetique f it 

Axiomes d'Algebre , *a- 

Aijomes dc Gcoaietrie, "tji 

B 

BA s 1 d'un triangle. Dcf. 46, 4 oj- 

Bale d'un corps. Def. 4*. z oj 

Bafe d'un c6ne. DeX 67 1 aio- 

Jtefe d'un cylindre. Dcf. 7*. ^4 

Bopieier , jjf 

C. 

COroll aire, ceque e'eft , . t 

Connoirre laquejlc de de**.£ra.<ftioiis cA li 
* . plus grande , ,._"/* 



Je$' Element. , . ^ 
Conffqacnt d'une raifon ou raport. Def. 10 . «. 
<;ompofinor| tie raiion , x , 

Conversion de raifon „ A 

Combinaifons , ^ 

Changemens d'ordre , - % ' , ! 

Chapitre premier de Geometric Des lignes, « J 
Chapitre II. Des Surfaces, * ' J' 

Chapitre 1 1 1. Des Solidcs . 7' 

Cercle. DeX 2T . • 5> ™ 

<?irconfererice de cercle. Dtf. ift 10 * 

Centre d'un ccrcte. De?. rf. "^ 20 T 

Centre d'une Sphere. Dtf. gr. z ,£ 

Cercle circonferit a line figure reftiligne.Cor a U 
Cercle inferit. Cor. 



Cone. Dtf. V 7 . '"■• "• •' £}: 

Cone rectangle. Dtf. 62. ■ 110 

Cone oblique, Dtf. *j. 



zio 



eontour - v 47«&4&0 



. • 1 , * 47° <* 40Q 

Circuits dePblygones femblables.feur rapport 17. 

Cordedccerdc "" rjr ,+7? 

Corps. Dtf. 61; 

Cube. Dtf, 7f . 

Cubes font entr'eu* en raifon rripleV. x ig 

Cyliridre droit. Def. 78. • 

Cjlindre oblique. Dtf. 79. * 



Cordedc cerde. Dtf. 50. 

Cvps.Dtt.6u *?f 

Cube. Dtf, 7f . ■ « . £ 



Cylindre droit. Def. 78. 2 , 

Cjlindre oblique. Dtf. 79. ' «" 2 [* 

Cvlindres circonferits a des Spheres, font eiurt- 



eux cornrne ies cubes des diametres de leur* 
bafes. 

D " 

DE f 1 n 1 t ro n , ce que e'eft. 
Demande , ce que e'eft. 
Definitions generates. 
D^monftution , ce que e'eft. 
Demandes ou fuppoutions generales, 
Demandes d'Arithmetique. 
Ptmandcs d'Algtfwe. £ 

v» I>dd f; 



z 

1 

X 

a 

5 

10 



59* Tdtlt 

Demandes de Geometric. ip 

Dlmonftr. des oper. des rra&. tltf ,1*7,1*1, {$» if* 
piyifion des nombres. p 

Dnrifeur. 31 

Dmfion des fractions. /4 

Diri£on des grandeurs litteraks. tr 

Phrifion des Racines fourdes. 13C 

Divifion de raifon. ijr 

Denominates d'une fraction. . 47 

Degr£. Dcf. jy.- 107 

Diametre d'un Cercle> Dff. )*. iot 

>iagonale. Dtf. 74. 11 j 

tiametre d'une Sphere. Dif. Si* 11* 

Jodecacdre , 5!* 

De ces trois chofes , urn* lign* droit* Strt touch*** 
u ttun cercle, une autre ligm* droit* itr* f*rpen~ 
dicfulaire * cette touchante far I* feint datm* 
thementffr dans teflon du CercU, un* lign* drib* 
f offer far I* centre & far Ufo'm £ atUmchemat; 
deux ctant prifes a vo!oiuc > la troi££meio- 
vra neeeuairemenc.Cor.Prop. it, x*4 y aftf.it 
De ces quatre chofes , une lignedreit* menieim 
Uflan *Tun cerol* , faff er far I* milt** ***** cm- 
de d* c* cercU $ cette lign* ttre ferf*ndti*l*m * 
$*tte cord* 1 Tate [outenu far cette cord* etre ten- 
fien deux farties igal*s% cette lign* f offer far 
le centre 1 deux ctanj prifes a yoloati, lesdeax 
aucrcs fuivront neceuairement. Prop. 14* 175 
De ces trois chofes , triangles itr* *gaux y ttre fa 
la mime kafeotrfvr bafes *gaj*s , itr* de nina 
hauteur oh entre mfmes faraUeles t deux ctaat 
prifes ou (iippoftes a volont£ > les deux autre* 
fuivront ncceffaircuaeat. Prop. 40* $1* 
pes Angles , 30c 

E 

EX p o s ant d'un rapport ^ 44 

Equation, Dtf # *u fj 



de* EUmens. 5.9$ 

Extremes proportionnelles , £x. ^ 

Extraction de la racine ^juarree , ^ 

Extraction de la racine Cubiqiie r ' • i j* 

Exaedre , f8tf 

Exagone , 2I4 

Extrcmitcz d'une ligne font des points , i 9+ 

Extremitez d'une furfaw font desligncs , i 9T 

Extremitez d'un corps font des liirfaces , u$ 
» 

F 

FRACTION, 44t 

Fra&ions de Fractions , j£ 

Figure. Def. 90. j;j a 

Figure rectilignc , curviligne , & mixtc , 3-05 

Figure reguliere. Def. si • . zi£ 
Figure infcrite r ou circonfcrite auncejsle , 114; 

Figures (emblables. Deft 60. 21^ 



GRandiuk, ce qu'on eatead par ce 
mor , * 1, 

Geometric > ce que e'eft , i 9 ^ 

Geometriquernent ,. ce que e'eft t z ^ 

Grand cercle d'une Sphere. Dcf. 8jv &j 

H 

HYpothinctsi , ce que e'eft. Def, 4j # , &>& 
Hypothenufe , fesj proprietez , ^ T 

Homologue* Dtf. j?.. n^r 

INyersion de jcaifon ; rjy 

Inftrumens pour lever des plans-, 4jrd» 4T4*. 
Jcofaedre > ; • $& 

D?Td iij. 



L 



V 

I G N I. Dcf. 3. I54 

Ligne , droite , courbe , x# 

Ligne perpendiculaire , i# 

Ligne patalkk , ijf 

Ligne circulaire, Dtf. if. 204 

Lignc touckante. Dtf. 94* lof 

Lignes Igalement on inegalement lloignees da 

cenuc d'an cercle , leurs proprietez, i)i&itf 
lignc perpendiculaire a un plan. Dcf. ie. 104 
Ligne perpendicalaire a ttne mtme ligne , oa a 

un meme plan par un m^mc point , unkpe, 

140. 141.0* 5 of 
Ligne touchaote unique par mn mime point <Je 

rirconfcccnce, itf? 

M 

MA t H 1 m a t 1 Q_tri s , ce que c'cft , 1 

Multiplication dcs nombres , tf 

Multiplication des fractions , ft 

Multiplication dcs grandeurs litterales, 74 

Multiplication des rackies fourdes , u$ 
Merhode generale pour touteslcs cxtratons de 
xacines , ^i.&uj 

Moycnne proporr. Arithmetique. DcT. 6. H 

Sojenne propor. Geometr. Dif. ir a tf 

elurcd'un angle , 301 

Minute. Dif. j*. 107 

N 

NOmbki , 9 

Nombre pair , ©u impair , Dcf. H. i% 

Numerateur d'une fraction , 4f 

O 

OOTdoOifi, 114 

Oftaedr^ /« 



d^s Element. 595 

P 

P& os 11 11 1 , ce que c'eft. D#. 7. * 
Parties 1. 1. 3, de ecs Elemens , 9, C9, 19) 
Preures d'Add.fc de Sooftra&.des nomb. iS <H» 
Prcuves de Mukip. Ic de la Divif. des nomb. 41 

Preuvede la regie de trois, - iff 

Preuve de la regie de keiete' , ill 

Produit d'une Multiplication , it 

Proportion Arithmetiq«e , De*f. 5-. . 4\ 

Proportion G^ometrique , D6f. ij # 4$ 

Proportion continue. Dtf. 7. 4» 

Proportion ordonnee, * 2^4 

Proportion troublee , *$$ 

Progre/fion Arithmetique. Def. f. 4z 

Progreflion G^ometrique. Dtf. 16. 44 

Propoiition converfe. Def. to. 4% 

PunTance , ce que c'eft. DeT. &• }f 

Parallelogramme. Dtf. 49. to* 
Parallelogr. rectangle, ou oblong. Def. f z. no 
Parallclogr. entre merries parall. leurs propri.380 

P^ntagone , 214 

Pi^d lin£aire , quarrc* , cube , §94 

Plan. Def. 10. 197 

Plan perpendiculaire a un autre , 505 

Plans parallcles. Def. u # lex 

Plan d'an Edifice , &c. 449 

Point mathernatique. DeT. x, 194 

Point d'attouchement , iff 

Point c ou fomm?t d'un angle , 199 

Polygone, Def, j4. iij 

Polygone regulier. D&t. re. aij 

Prifme droit, ou oblique , 111 

Pyramide , droite , oblique , 119 

Pyramides egales , fi dies font de m*me bafc fc 

de uitaie hauteur , /)• 



5*4 Ttble 

Fjramide qui eft la troifieme partie d'on prifme 
de mime bafe & de mime hauteur , 541 

Pjramidc d'unc infiaitddc cttez. Def # 47., 11* 
Poles d'un cercle, Dcf. 87. 117 

Poles d'unc Sphere. Dcf. $4. 217 

Paralklcpipcdesfemblablcs,lcurs proprietez, ft 
PoJ/cdre. Dcf. 8ft. ul 

QUOTIENT, J* 

Quotient mulriplie par le divifeur r hitua 

produit cgal a la grandeur a divifcr. Cot. 3. 41 
Quadrilatere j combien de fortes r io^ 

Quadrilatere infer it dans un ccrclc $ proprietcz 

de fes angles , 37V 

Quadnl. dont les cotez oppofcz font egaux. 371 
Qiadrilatere^donx les angles oppofcz font egaux, 

eft un Parallclogramme x y% 

Quarrc\ Dcf. f o. u* 

Quart de circonference y 301 



REdoctiok des (bis en livres r if 

Redact, de fract. a de moindrcs termtf, +r 
Redu&. de fractal meme denomin. 4764* 
Redu&ion d'entiers en fractions , 49 

Reduction des grandeurs irratioruielles a on me- 

me nom y ur 

Reduction des grandeurs irrationneUes auz ex- 

preffions les plus fimple;^, ^ 

Raifon ou rapport , Dcf. 3. { 9 

Raifon Arithmetiquc , Dcf 4. $ 

Raifon Geometrique. Dcf. 3. ^ 

Rai foas ou rapports egaux. Cor-, r, ^ 

Raifon compose > Dcf. 17* & 

Raifon deubicc, triple ,. &c Dcf. zg._ q 



des Element. oj 

Ration in^erfe, jjf 

Raifon alcerne , x ^ 

Racine -quarrie , • «* 

Racine cubique , 97 
Racine fourde , ou irrationnelle. Dtf. j. no 

Racine imaginaire, , DeT. 4. iijj 

Regie detrok , j*g 

Regie de ttoi* *re#e , i 7 i 

Regie dc trois indire&e , on irnrerfe ; 174 

Regie detrois compofee, i 7 f 

Regie dc Societe 1 , ou de Compagnie > iU 

Rayon d'lin ecrcle. Dtf. 2^ 10$ 

Rayon d'une Sphere. Def. tz. 11* 

Re&angie. D6f.£x, 410 

Rhombe. D#. rx. no 

Rhomboide, De£ ;j # % n 

S 

SO mm* ou total, II 

Soufbra&ion des nombres ,' 14 

Sottftra&ion des fractions , )% 

^ufba&ion <dcsgrancfeurs litteralej, 7$ 

Souftraclion des raeines fourdes , 119 

Surface. Dcf.9. i 9 * 
Surface plane , courbe , concave , convexe p 

*97, 198 

Surface curviligne , re&iligne , mixte, to} 

Sedcurdecerclc. Def. 3$. id 

"Segment de ecrcle. Def. jz. aof 

Secondes , tierces , &c, . 107. 
Sofvunec d'un angle , Dtf. 15. 199 <j» 119 

Soounet d'une pyramide , xu^ 

Solide. Dcf. 4i. X iy 

Sphere , ce que e'eft. Dtf. So* aif 
Sphere infaite a un Cyliodrc en eft Jtes deui 

iters, - /70 



598 Tdbie des Element. 

Surface <k Sphere cgale a quatre grands Cer* 
cles , ffo 

£es Spheres font entr'elles comme les cubes de 
leurs diametres , fli 

T 

THiorimi, ceque e'eft. Def. I. i 

Termes d'une raifon , ou d'un rapport. Dc£ 

jr. «* 

Termes extremes d'une proportion. De£ 14- ftf 
Termes moyens d'une proportion. Dtf. 14. 66 
Trouver & trois grandeurs donnces one quatric- 
me proportionnelle Arithmetique y &c 11S 
.Trouver une mojenne proportionnelle geomet. 

£ deux grandeurs donnees. Cor. 4. prop. 1. 152 
.Trouver one 3* continuement proportionclle a 
^ deux grandeurs donnces.Cor. 4. 151 

A Trois grandeurs donnees , trouver une qua- 
.^triime proportionnelle geomctrique $ foude- 

ment dc la regie de Trois , tp 

Tierces , quartes , &c. 107 

Toife lineairc , quarree ,» cubique f #4 

Touchante'd'unccrcle. Dcf. 34, 106 

Trapefc. Dcf. 47. 20? 

Tropefo'ide. Def. 4*. 109 

Triangle.' 'Dcf. 38. 107 

Triangle Equilateral , Ifofcele , Scalene , 108 
Triangle Re&angle, AmbligonCjAcutangle, 108 
Triangles entre les m^mes parallcles , leurs pio- 
. prietez . j88 

Triangle ^quilatexal inicrit dans un cerck y Cor, 

u_ 1# 4 11 

Tetraedre, ' } ■ ^ 

Valeur des Chifres , w 



u 








^Mfr-fr* «9-fr<H>- &&&&'&&. 




••:- T A BL E 

OE LA GEOMETRIE PRATIQUE, 

j. "T) Ar «» point donne hors Anne ligne droite # 
1 mow une . perpendiculaire * cette Ugne 9 

■^ Par un point donne dans une Ugne droite , mener 

* «»e perpendiculaire a cette ligne , 144 

3. Par un point donne, menu t i Vextremiti d"unt 

Ugne , mener une ligne f erf end. a cette ligne y 33$ 
"4. Par un point donne hors d* une ligne droite, me* 

jner une.ligne parallelle a cette Ugne , 28 j 

«j. Autre Methode, .31 g 

tf. Autre Mefhode > 37 j 

7. Pkr'tm point donne dans une circonference , *»*. 

her une touch ante a* cette circonference, xtj 

i* Par unpomt donne hors4'nnp circonference * lui 

ftenerune touch ante , ' 334 

'9. Par trots points donne^, faire pafer une circon~ 

ference de cercle, pouryu que ces trots points ne 

foientfas en ligne droite , iyi 

16. Trouver le centre £un cercle , 174 

ir. r Divjfer une circonf de cercle m degr. 307 
i il'Ifivifet un arc & un angle qui eft mefmepat 
'' cet 'arc , en deux parties egales > . ^ 2 q f 

13. Vivifer une Uine donnee felon une raifon dm* 



**» Tahh ' 

14. VivifiT mm ligne demnee am mutant da fanns 
igaksmtm vemdra. Car. $. ^ 

tj. Dnufer una ligne demnee am dasex forties tydes 



I* A deux lignes daumies, tramver una treifkn 
&P* fr*t*rtiennelle , . ^ 

Tj.Ati+t* lignas danmiar 9 tramver mmameatrime 
frefeftkmneUe , m 

it. Emtrademx lignes danmats , tr immune meyem 

prefertumueua v ^^| 

i*. Menerfm le terrain une ligna droito , jfe 

1». irf«w /i» Li frm mm &/*# ferfenikeUkaa 

une autre, far un feint denmi tears cette lignt, #j 
It. if ***r /*r Li ttrre une ligne ferfendicdem I 

une autre t far un pint fris dams cette lipu, $6 
ti. *** urn faint fris dans mm flam , mtntr mt 

ferfendicutaire a ce flan , ; 4 

ij. P*r un feint fru hers tun flam, mtntr mt 

ferfendiculaire a ce flan f p) 

14. Canneitre VegaUte on inigaUta sit deux **• 

£ l "> & 

t;» Take un angleigalaun antra angle Mop, 

1*. Decrirefur une ligne donnie sen triangle eed* 
lateral, .^ 

tji Taire un triangle igat i un autre frafoje ; «*, 

ce qm eft la mbne chefe , fahre un triangle dent 

Us cetex. feient egaux a trots ligne: denneu: 

feurvu que deux de ess lignes frifes en/emUefuOt 

fbstgrandes que latreifieme , «{{ 

»|. Decrire une figure reBiligne eg ale a une am 
tnp°f"> ft 

i^. Eecrrre un cercle egala flufieurs certles, 494 

30. THcrhre une figure reBiligne [emblable * m 
autre figure reBiligne dennee , ^ 

ji. Decrire fur une ligne demnia urn auarri Cm k 

bfref.fr * * m 



it U Gttmetrit Trstiaue. So 1 

ft, Plcrire un TaraUel*grammt igal a m triangle 
*?**> \Vf *"»» *Hk igtUa un angUtropeff, 
&unMtiegalaunelignefrefofie, J,. 

1 j. Infcrir* un txagetu dans un ctn U, Cer. t. frof, 

34. Infcrir* un triangle trilateral dans un C«l! 
Cor.ufrep. 4y . 

ft. Infcrir* un cerclt i un Polygene rtgulier. Co? 
4* la fref. 4*. * 

5r . Dicrire un quarri igal a un nombre ****** 
auarr*^r,sa vdonti , 4 - 0< & 

jt. Cnnottr* U quarri & eft tcxcis Zcelui Pu- 
nt ngne far dtfus etlui tune autre , , ,. 

». Demr* une figure femblabU & 4gale a d " uic 
Autre* figures femttaUes & igaks pop* fie t. 
490 & 491 * rj * 

4©, Lever ie flan tune place accetftble . j. u 

ax. Autre Methode four lever Uflan tune 1>VL 
ne , tun Pare , fyc, 

41. Voir* det Cartes Tefografhiques . tt! 

4}. Autre Methede . ' * 4; * 

44. Autre Methode encore plus commode aue^Ut 
precedentes > 7 * 

4f- Cenndtre la hauteur *ufrof*ndeur tun* tdon. 
ttgnt , 

4(. Conneitr* la baft tune Umtagne , t*f 
47. Let deux tSte^ tun triangle reitangle itant 

connus , connoitre le treifiimt , 
4I. Les trois citex. tun triangle •bliquangle t%Zt 

dennez, connottre la hauteur de c* trianrte, *u 

tun defes angles fur le citi offofe frolongi HI 
eftneeejlatre, * 

49. Let trots cit*l tun triangle rettiligne itaZ 
dmuz, tmneitrt la fur/ace , fans aucuns im- 

E c e 



6tyt Table 

ft rumens divifez. en degree M 47*. 477 ic 47S 
-f o» Conftruire trois pyr amides avec du carton, Uf- 

auelles jointes enfemble fotmerpnt un frifme 

triangulaire , 5-44 

ji, Conftruire ou repreftnter Us cinq corps regulicrs 

avec du carton , fU 

$1. Mefurer sine diftance aceejftble par wu de fee 

extremite^ feulement , ' $6* 

53, Mefurer en ligne droits une longueur fropofee 
dans la Campagne , Jar 

54, Mefurer la furface fun triangle, 593 
jy. Mefurer la furface d'un ParaUelogramme ^ 

$f . Mefurer la furface iun Trafefoide, 411 

yjt Mefurer la furface d?un terrain irregulier, 399 
ji. Autre Methode , 42.1. & 414 

|j. Mefurer la furface #un terrain irregtdUr fans 
entrtr dedans , .40 brfquon ne peut le parcou- 

fir , 41*. & 4*5 

4o« Mefurer un Polygene regtdier , 418 

«i. Mefurer la furface fun circle ^ 41$ 

j6u Mefurer un fefaur de.cercle. C«r. 5. 4x9 
#3. Mefurer la furface dun cove drpit, fZ$ 

44. Mefurer \a furface d'u&cylmdte droit, Prep, 

<f, Mtfum la fmface #me Sphere. Prop. %j. $ S$ 

f 6. Mefurer la hauteur £une pyramid? dent on 

•voit feulement It fommet <$* la bafe ; cette pf- 

r amide etant mime enclavtedans la mafie d'un 

jterps irregulier , $> + & SSS 

Ay. Mefurer une pyramide, #$ 

*8. M-efurer plufieurs pyramid de mf me hauteur, f6y 

£9, Mefurer un Cone, j5j 

79. Mefuret un Prdfme , %x^ $Sh & jfi 

71. Mefurer un Cylindre , ^ 

7i. Mefurer les Corps irreguliers, yf 4. & jjj 

73. Autre Methode, ffjVJfc tf* 

V 4. Mefurer une Sphere ', ^ 



(of 



<fr -jj« -0- vj. •$• •$• $r -fy •$• •£ •$• -g* ^ Jfr •$• «$• «$• ^ •jj* •$• 4£ ^ 



r ^ ^ £ £ 

J) £ 5 T JtO P O S I T IONS 
- rffor Element de Geometrie d'Euclide , 
qui font demon trees dans ces nfuvean* 
Element* 

J*Ajoitfc la Table fuivante jjbur rtndre l'&ude 
de ces Eiemens encofe plus utile dans la le- 
cture des Traitez des At&thematiques , oil on cite 
Eaclide. £es proportions qui font dans les fir 
premiers Livres, dansTbnzilme & dans le dou- 
2i£m* des Eiemens de Geometrie de cet an- 
cien Autheur font celles qui font ordinairemenc 
cities. On ne cite prefque jamais les propositions 
de fes autres Livres. Er entre celles de ces huir 
livres , il f en a encore plufieut s qui font inuti- 
les , ou qui ne fervenr que pour en demontrer 
d'autres que j x ai d£montr6es fans leurs fecours. 
P-our monrrer que mes Eiemens font pour le 
moins cquiralcns a ces huit Livres d'Euclide 
qu'on a cotztume d'apprendre* dans la place de 
ces proportions que j'ai cru inutile**, j'ai fait 
mention de celles que j'y pouvois fubftitucr tres* 
tttilementr-- 

Euclide tivr* x; Element det M*th, 

PRop. i, Penultiime art. du Cor. 4. prop. jf . 

Rrop. 1 c$* J. Je kur fubftitue les prop, y 4. f . 6. 

7* & «.avcc leurs Coxoll. f.i)? 



f<>4 Ttllt 



'BmeHtU Siemens der 

IJvrt u MlttbemMtiques* 

Prop. 4, Prop; 3;. f *{# 3*2?. 

Prop, j . Cor. 1. prop. 34. psge 3^ 

Prop. tf» Cor. 4. prop. 54. f*je jjj. 

Prop. 7. Je Iai fubfrirue la prop. ^ 

Prop. t. . Cor. 1. prop. 37. page 3*1. 

Prop. % Cor. f . prop, 10 .page 30J. 

Prop, io* Cor. 3. prop. ;.?*£* 147. 

Prop. 11. Pan. i.4a cor. 1 prop. f. £*|*M£ 

Prop. ii. Part. 1. cor. prop, r .page 145-. 

Prop. 15. Part. 1* prop, u, page jog. 

Prop. 14. Pair. 1. prop. 11. page 309. 

Prop. if. Part. i. prop, n. fJg'^u. 

Prop. if. Prop. 30. ft;* 548. 

Prop. 17. EUc fyit de la prop. 31. psgi 34$ 

Prop. it. Part. 1. prop. 33. j*j # tff* 

Prop. 1^ Pan. 1, prop. 33^4^ 3c*. 

Prop. 10. Prop- 1. page 137. 

Prop. xi. Prop. 1. lc cor. j . pr. ij>/, 13*. 34*. 

Prop. it. Cor. 4. prop. tf t f*g* 3ft. 

Prop. *3> Cor. 4. Prop. 10. page 304. 

Prop. 14, Part. 1. prop, 3 j. j*£* 3*4. 

Prop. is. Cor. 3. prop. } y. fige 3*7.. 

Prop. if. Cor. i. prop, jupage 443^ 

Prop, 17. Part. 1. prop. 13. page 314. 

Prop. iSt Part. l. & 3. prop. if. f *£* 31*. 

Prop. 19. Part. 1. pr. 13. & part. 1, z. j. prop* 

*4-ftf"3U.4»* z 9- 
Prop. 30. Prop. if. page 314, 

Prop. 31. Cor. prop. 13. & co». 3. prop* j> 
Prop. 31. Prop. 30, at 31. £*j;« 34!,. & 54* 



digs Frtp'ojiiiow' its Elemtns , &c. <?oj 

Prop. 55. Prop. )t t pagetfm. 

Prop. 54. Pare. 1. prop. 37. & cor. x. dc k mfc- 

mc prop. & part. 1, prop. jf. 

pages i7 i. tf4>& 37*. 

Prop. 3*. Cor. r. prop. 39. (*&$%%: 
Prop. $* Part. i # prop. 40. page 38*. 

Prop. 31. Parr. 1. prop. 40. J*£*3**. 

Prop. 39, Part. a,, prop. 40. p age 3SS* 

Prop. 40. Part. i. prop. 4 o. p*ge\%%. 

Pirop. 41. Cor. 4. prop. 39. page fy. 

Prop.. 41. Cor. prop. 41. page 403. 

Prop. 43. Part, i.prop. 41. page 40U 

Prop. 44. Cor. pr6p. 41. page 404* 

Prop. 45V M£me cor. de la prop, precede 

Prop. 4*. Cor. prop. 3*. page 371. 

Prop. 47. Part. 1. prop. S7*p*g* 4*7* 

Prop. 4*, Part. 1. prop, f 7. page 4*7* 



&vft u Mathematiqtta* 

pjtop. ii t. Je leur fubftitue la pr#pi 1/. aw fc* 

& 3, quatrc Corollaircs, 

Prop. 4. Prop. 4». page 4 0f. 

Prop, f . Prop. 43. /*;# 40^ 

fcrop. ' $. Prop. 44>p*g* 4©*> 

Pr. 7.S; 5* Je leur fubftitue les prop. 1*. if, Ut • 

io.&n. & 19. arec leurs corollaircs* 

Prop. . iu Part.i. prop. 5S. ^« 47J- 

Prop. i}. Part. 1. prop, j a. f age 47 $« 

Prop* 14* Jclw fcbftituc la prop. ^ 

Bet ii| 



4o6 T*bU 



MmluU MUmem de* 

**"$ j. MMtkemMtifMes, 

Prop. ». Cor. r. 8c part. x. frof. q. ftps rj± 

8c coroi. fjy. 17 o. 

Prop. x. JeJui iubftituela pr. j t. * f« cor, 

Prop. 3. part. j. & part. r. prop. rj./*/f 17a, 

Prop. 4* Cor. 5. prop. 13. ftfc 274. 

Prop. 5-.* . prop. it. page 29*. 

Prop. 7. prop. ,. & 10. & cor, i. prop. 1^ 

& t. p*j« if 4. xr?. 6* X79. 

*">p. *• Cor. dcf. it. Geo. & cor. 3. prcf* 

14. J4j* 104* C$» iSo- 

Prop, ro> Cor. 6. prop. *4'/*fr2*x- 

Pr. ir. tt. Prop. i).f*ge 299. 

Prop, ifw Cor. prop. 19. p*g* 300. 

Prop. 14. part. *. & 2. prop. i*. p*ge xji. 

Prop. if. part. 3. prop. if. p*gex$x. 

Prop. K. p r op. ii, & fon cor. 7. f *f« 2*4* 6> 

«ccor. tfj. 

Prop. 17. Cor, 9. prop. 17. J*j* 334, 

Prop. it. Cor. 1, prop. 11. page x*f» 

?top* Xj*. Cor. j. prop, Z2.<p*ge.x6%.. 

rop. xo. Cor. f» prop. 17. /wj* } ix. 

Prop, xft Cor. 1. prop. X7. page* 319^ 

Prop, xx; Parti 3* j>rop. i%.p*ge 376. 

Prop. 15. Jcleur iubititue kt.cor. 2. & 3. deb 

* & 14. prop. 39. ■*► 

Prop, xjw Cor. 1. prop, lyipagtxyi.. 

Pr. xf.i7*. £or. x* prop. io.pagA$ey^ 

Prop. 2t- pj.op.ii. page 161^ 

Prop. x*. u Q*. *. F°p» M •**/«** 4*. 

•rop.jo^ Cor. ;. prop. 20. p*j* 3©/, % 

&°p- }h Coj: # j.grop.x7.^MJ 1 *- 



JesFrofofititntdes Element, &K <*r 

Prop; 3U 



Prop. 3;. 
Prop, 3*. 
Prop* 37* 



Pj. r.t. $• 
4. y.^.7. 

Br.8-9.14* 

Prop. 10. 
11. 11.13 • 

Prop, if. 



'Euclid* 
Livre fi. 

Frop.M; 

Prop. 7. 

Brop> fc. 

Prop* *.. 

Brop. 10. 

Prop. ir. 
Prop;/!**. 



Art, %, f circonft, & Cor. 1. proj^ 

17, pages 3zl. & 3*9* 
Je kuriubftituelcs cow.ac t.pr^o*. 

Prop. f+*9cff.t!*& 4**» ^* 4* *• 
Cor. piop. f f . page 4*4 • 
Jc lui fubftituc la prop. 4^ & fe* 
corollaires.. 



Euclid* 
Zwre 4* , 



Element dis 
teathtmatiques. 



Jc Icur fubftitue la prop. 4*. f<w 
corolla & la prop, 49. &fcs4- cor.* 

Cor. prop. -4*. f *x« 4*3* 

Jc lcur fubftituc la prop. ;o- fee 
trois premiers coroll. & fi>n jf- 

Cor„x, prop,. 47. page 410* 



tltmens des 
Mathematiques.. 

Jc lour fubftituc les prop. x. t. 3. 4* 

f ; & tf . d'Algeb. & kurs coroll. 
Bart. 1. prop. 8. fie part. 1. prop. %. 

d'Algeb. pages 14*. & 147- 
Part. 1. prop. 10-& part. 1, prop, ixi 

d'Algeb. /*g* 148. &t*g*H*. 
Bart.i. prop. S.& part.i. prop.*. 

d'Algeb. f*£w 146- & 147- 
Part. 1. prop. 10. & part. 1. prop;. 

H. d'Algeb. pages 148. C$* 14* 
Cor. 3. Dcf. u. d'Algeb. p*l**s>. 
Piftp.if , d'AlgeU. J^f* *to»- 



to* TMbTe 

Br. t)*4* Je few fobftirae fes prop. 77 d*J5$> 

Prop. 1;. Prop. r . d'Algeb. p*£* ijj. 

Br. if. 17, Pan. 1. j. 4, & t . cor. prop. a. fAW 

it. I* geb. page i-r. 

Ptop. to* Je lui (abtticne la prop. 15. d'Algeb* 

J%. ti. *a, part. 1. cor. prop. ia. d* Algeb> /. if j. 

Prop, ij. part. a. cor. prop* u. Algeb. p. if 4, 

&i f j. 

Prop, 14. prop. 14- Algeb. pMge iff, 

Frop. tf t je leu* iiibftitue lcs pr. if. i£. 17. it? 

&c. ij, & 10. d'Algeb. a ycc lews «u 



F*;/;4r Efc«*»* des 

ZJvrt 6. ALatbematiques.' . 

Prop. i. Cot ; prop. 49. page 414* 

Prop. 1. Prop, f 1. f#£* 4M" 

JSrop. j. Je lui fubftirae la a c part, d&cof.^ 

de la prop. fi. 

Prop. 4. Part, r. prop. ri. J*je 457.' 

Prop. r. Part, a^ prop. fi. page 457. 

Prop. tf. Cor. 1. prop, ft, page 441. 

Prop. t. Prop. c$. page 4 jS. 

Prop. 9, Je lui fubftimele cor. x^Ier laprof.fj* 

Prop. 10. Cor, 5. prop, fi.page 43c, 

Prop. 11. Cor. 1. prop. $upage 437. 

Prop. tt. Cor. a, prop. p. ^« 4 j4. 

Prop. 13. Cor. a. prop. f 3. page 4*0. 

Prop. 14. Cor. *,.& $. prop. so. page 4a*;: 

Prop, if* Cor. 4. & f . prop, f o. pjf • 4x9*- 

Prop. 16. Prop. 1. & 5. Algeb.. 

Prop. 17/ Cor. 1* prop. a. Algeb/ 

Prop. it. Cor. 3. prog. fa. page 444* 

Prop f i 9m Part* u cor* prop, j*. page 4C75:- 



,s* 



afes Prof options dos Element , efrc. 4of 

Prop. to* Prop. 6i. & cor. i. prop, f i. pago* 

Prop. n, Je ]ui fubftitue le cor. j, de la pr. f$« 

Prop. 12, Prop. 6+ page 495. 

Prop. 13. Cor. prop, tt.ftge +66. 

Prop. 14, Je lear fubftitue les coroll. x. 8c u 
*y. &c. de la prop. j*. les prop, ;$. io* 

6z, & leurs coroll. 

Prop* ji. Cor.j. prop, tz.pagc 4S9, 



Euclid* Element des 

Livre iu Mathematianes* 

Prop. ». Cor. D£ f. io\ Ge*. page 197* 

Prop. i. prop. tf.page 498. 

Prop. |. prop. 6^page 4J9.. 

Prop. 4. prep* ^7, f *£* ;oo. 

Prop. f. prop, tf S. J*je j ©;. 

Prop. <• Cor, 1. prop. 71. J*£e p*. 

Prop. 7. Cor. 1. psop. 71. {ages ptf. ($• pj. 

Prop. 8. prop. 7}.page fij. 

Prop. 9. part. z. prop. 74. £*£# fit. 

Prop. 10. part. 1. prop. 77. page f%6. 

Prop. «• Cor. *. prop. 6$, page y of. 

Prop. i». Cor.3. prop. 4y* page £04- 

Prop. 13. prop. 69. f *j* jo*. 

Prop. 14. pan. 2,. prop. 76. page ty. 

Prop. if. part, ft. prop, 77 +pages%6* 

Prop, itf .. prop. 7 j.. j*£* /ft©. 

Prop. 17. Cor. prop. 7^ f *£* jftr. 

Prop. 18. Gor.i. prop. 67. page ^\v 

Prop. i*. Cor. x. prop. *9*J*X« J.Ofv 

Prop. zo. prop, 79, paje $34. 

Prop, ftv Cor, prop. 79, |#X« tt*^ 



4w TJtUr 

flop, u. Jefabftirac \t% cor. r. &i. &j& 

13, 14, prop. #7. la prop. 70. foncor& 

tf.&Cr le cor. 1. de la prop. 71, & a 
part. 1. de la prop. 74* 

Prop. tr. pan. 1. prop. Si. p*gc nj. 

Prop. 19. Cor. j, & 4. prop. %uf. j 4 S. £ 549, 
50.&31. 

Prop, 5a. part. x. prop. fa. J#j* jr 7 . 

**•?• \Y P*°P. *4- ***' f*7- 

Prop. )4* Jc lcur fobftiniela pait,x, pt.<7<.£ 

f/« dccy ion coroll. la prop. 78- les cor.*. 

7. 8.9.10. n. dc la prop. li. i» 

trots coroll. dc la prop, St. 



«VMM*^M«aM^hMMr 



Euclid* "BUntens des 

ZJvr* ii» M*tkem*Ufms* 

Prop. x. prop. *j. f*±v 4> i: 

Prop. a. Cor. a- prop, f $. p*g$ 49;. 

Prop. j. Jc bi fobftirae le cor. u prop; & 

/**' f 47. 

Prop/ 4. Jc lui lubftitue la prop. S3. 

Pr. y . tf . pan. a. prop. Si. page tfj. 

»rop. 7. prop. St. p*ge J40. 

rrop. Si prop. 84.)*** 5*7. 

prop. 9, pr.3. &i. d'Algeb. & cor. t^pr. Ifc 

prop. 10. Cor. 1. prop. 8f. page 547. 

prop. ir. part. 1. prop. Si. p*ge 75-7; 

prop. xa. Jc lear fubftirne la prop. 8j. & fa 

& 13; trois corollaires. 

J^p. J 4» P art - *' P ro P- •*• 1*1* SS7» 

prop. ir. pr. y. & i.d'AIgeb. cor. 7. & 9.pr.ft, 

Prop, **i Jc l cur fnbftittic les prop. 81. S7. & 

& 17. 88- avec lcurs Coro lkircs» 

nop. 1 8» Cox. a. prop. U< psg* $7^ 



6n 







DEMONSTRATIONS NOUVELLES, 
particulieres fcces Elemens. 

DANS VAZGIZBRE. 

P&ef. «j. avetfm Coroll- pop. 4. s • £• 7- S« *.i«* 
it. ii. 13. 14* *£• xf • 17* *•• & *o. *j/« kwJ 

DANS 1A GEOJMETRIE.- 

,C*r. i..d» 3. rf* Uprop. f. C*r. r. 4.3. 4. y. <$• C 

*de la prcf. 6. Cor. %. 3, <$• 4. de la frop. 7. Prop. ft. 

.<£• fon cor, Tart. x* ^ la prop. $. Part- z. do Is 

frtp. ip.'Prep.ji. & fes cor. Prop. ix. & fes cor. u 

&4* le cor-x. de la prop. i$. & la Combwaifon des 

^chofesde la prop. 14. les cor. %. x. 3. 4. f. & 4. 

1 ,de laprqp. 14. Pr*p. 1$. Part. x t .{$•*, W* Uprop. 

j6. Prop. 17. /r#. 19. e$»/*» o^ C'f. j. 3. 0» j. We 

la prop. XO' Prop. %i. xj. 44. xy. x£. X7. xft. 19. 

I >U* cor. x. x. 3. 4. dv;« *k /* prop. t$. Prop. 3;. d> 

J /*/ «>r. i. x. 3.^ 4, Pr#. 37. Par*, x. de la frop. 3$. 

e£»/# cor. 1. x. d» 3. Us cor. x. <$» 3. de I* prop. 39. 

Cor. %.de la prop. +o.Prop. 4.6. & fen cor. Prop. 47. 

&fon cor. Prop.$Q. & (is cor A Prop. tf. & (on tor. 

las propyl, <£• 4i. font en fartie nom>. Cor. 1. %. & 

4. de la prep. 6x. Qor. x. <$» 3. de la prop. *$. Prop. 

4^. Cor. \. x. 3. de la frop- ^7. Cor. x. de la prep* 

4$. Prop. 7P ; <$• fon cor. Prop. 71. Prop. y% 5 d» 

fes cor. 1. $>z. prop. 73. Part, i.prop. 74. prop. 

7j*» & fa ^orjejeor* dp la prop. 79. (f la demon- 



first, de U fref. So. fat frefouentUremcnt 
let tee. i.Vff. 4. &ۥ de Ufref. %i m Lt S cer. ^ 
&^.meUfref. U. pf. fj. Xtefmue temteUfrf. 
S4 , fm Cmrill. &c. 

liy * enter* flufienrs nutres frepefitieni , {$» C#- 
rdUsrts , mime dans tent Teuvr*ge une mnnierede 
freftfn , dtxpHqntr & de dementrer, dent ceux 
qni ent IA flufienrs Livres elementmkres _, return* 
querent fuxilement U neuveuute^ 



AT P R Q B A T 1 ON. 

J*Aj 1& par ordre de Monfeigneor le Chance- 
lierces Siemens des Muthemutiques t & ny aj 
rien trouve* qui en doivc cmpccKer Fimpreulofl. 
lait i Paris cc 24 Novembre 1 /ex* 



TRIVILZGE GENERAL. 

LOUIS par la grace de Dieu R07 de F«a- 
ce & de Navarre > a nos Amcz & leanx 
Confeillers , les Gens tenans nos CoursdePar- 
jement , Maitres des Requeues ordkiakes (k 
ji6tre Grand Confeil , Prevofib de Paris y Bail- 
lifs , Senechaux , leurs Lieucenans Civils & 
autres nos Jufticiers qu'il apparriendra j Saict. 
X* Sieur Polyniei, Do&eur en Aiedecmt, 
nous ajaut fait rcmontrer , qu'il defireroit fake 
,part au public d'un ouvrage de fa compofitktt 
intitule , Elemins dms MArHEMATioras, 
j&l nous plaifoit ki en permettre rimpreflton, 
& lui accoxder nos Lcttxes de Privilege fur cc 



T 

V 



icccflaires * Nous lui avons permis & accord*, 
acrmcttons *c accordons par ccs preterites , dc 
kire imprimer par tel Imprimeur ou Libraire 
au'il vo*dra choifir ledit Line, en telle forme, 
marge , cara<aere, & autant de fois que bon lui 
femblera , pendant le temps dc hint annces 
confecutives , * compter du jour de U dm des 
freftntes, & de le faire vendre & diftribuer pa* 
tout n6tre Royaumei Faifanc defen.e a tou* 
Libraircs , Imprimeurs & autres d'imprimer « 
fairc imprimer , vendre & diftribuer ledit Livre 
fous quelque pretcxte que ce foic , meme d'im- 
prcflion etrangcre & autrcment , fans le con fen- 
cement de l'Expofant , ou de Ccs ayans caufe , 
Cur peine de confifcation des Exemplaires con- 
trefaits , de quinze cens lines d'amande co atre 
chacun des Contrevenans , applicable un tiers a 
Nous , un tiers a l'H6tel-Dicu de Paris , Tautre 
ciers audit Expofant , & de tous dipens f dom~ • 
mages & interefts j a la charge d'en mettre 
avant de l'expofer en vente deux Exemplaires 
en notre Bibliotheque publique;, un autre dans 
le Cabinet des Livres de n6tre Chateau du Lou- 
vre , & un en celle dc notre tres-cher & Feat 
Chevalier , Chancelier de France le Sieur Phe- 
lippeaux die Pontchartrain Commandeur de nos 
Ordres , de faire imprimer ledit Livre dans ni- 
tre SLeyaume fr nen aillettrs , & en beau cara- 
dere& papier, fuivantce qui eftporte pal Us 
Reglemens des annees Uig. & itM. & de faire 
enregiftrer les prefentes is Regiftm de U C*mmu- 
nattte des Ubrmres de notredite bonne Vide de 
Taru , le tout a peine de nullitc d'icelles , du 
| contenu dcfquclles Nous vous mandons & en- 
joignons de faire jouir l'Expofant ou fes ayans 
1 caufe , pleinement & paifiblement , ceflant , & 



faifant ceffcr tous troubles $c empechetnens con- 
traires. Vouloni que la copic dcfdites pre- 
ientcs qui fcra imprimce au commencement ou 
a la £n dudit Livre , (bit tenuepour due men t fi- 

fnifiee , & qu'aux Copies coliationnees par l'uu 
e nos Amez & Feaux Con fei Hers & Secretai- 
res y £oj foit ajoutee comme a rOriginal. Com- 
mandons au premier notre Huiilier ou Sergeant, 
4c taire pour Tcxecution des pretences roures 
fignifications , defenfes , failles , St autres a&es 
requis & neccflaires , fans demander autre per- 
million , & nonobftant clameur de Haro , Char- 
tre Normande & Lettrcs a ce contraircsj Cat 
tel eft nfitre plaifir. Donne a VerfaiUes le (i- 
xiemc jour dc Decembre Tan de grace millc 
fept cens deux, & de n6tre Regne le foixaa« 
ticme j par le Hoy en fon Confeil. 

J,E COMTE, 

Kegtfire fur le Livre de la Communaute Aes 
Zibr aires & lmfrimeurs , conformement aux Re- 
glemens. A Tarts ce i* de Decembre 1701, Sipii 
?. Trabooillet, f jf*fc , 



A PARIS, 
De rimprimerie dc J a cqo 1 Qj; illai^ 
Imprimeur Jure Libraire de rUniverfirc , 
xoe Calande,.pr^cke kfcjue d*Fouarc # 



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