Elementos de Geometria, con notas

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ELEMENTOS
DE GEOMETRÍA,

- CON NOTAS,

POR A. M. LEGENDBE , MIEMBRO DEl INSTITUTO

NACIONAL DE FRANCIA , Y DE LA SOCIEDAD

BEAL DE L0HDBE9..

TRADUCIDOS AL CA8IB1XAN0

POR

P

DON ANTONIO GILMÁN.

MADRID:

IMPSEHTÁ D£ B£FULL£9

1807^

THE IIEW YORK
POBLIC LIBEIARY

708^65 A

A6TOR, LENOX AND
TIU3EN FOUNOATION9
R 1934

AL SEÑOR DON JOSEE ANTONIO DE OJEA,

SECRETARIO D£ Í.A DIRECCIÓN GENERAL DEI,

REAL SEMINARIO DE NOBLES DE VERO ARA 9 SXJ

/
PROFESOR DE MATEMÁTICAS, ETC.

MI VENERADO MAESTRO T SEÑOR:

Jo altaría d todas las estrechas obligaciones que
debo á vmd. si no le diese un testimonio público
de mi gratitud dedicándole mi traducción de los
Elementos de Geometría de Legendre. Dígnese vmd.
admitir este obsequio p que es todo lo que anhela

su reconocido discípulo

ANTONIO GIZMAN.

ELEMENTOS

DE GEOMETRÍA.

LIBRO PRIMERO.

PRINCIPIOS.

' BBVIKICIOMXS.

T

L jLJsl Geometría es una ciencia que tiene por o\>^
jeto la medida de la extensión.

La extensión tiene tres dimensiones , longitud , lati^
tud , y altura ó profundidad.

II. La línea es una longitud sin latitud.

Lok extremos de una línea se llaman puntos : luego .
el punto no tiene extensión.

III. La línea recta es el camino mas corto entre dos
puntos.

IV. Toda línea , que no es recta , ni compuesta de
líneas rectas , es una línea curva.

Así AB es una Unea recta , ACDB una línea que-" Fig. x.
bradaj ó compuesta de líneas rectas , y AEB es una lí-*
nea curva.

V. Superficie es una longitud y latitud. sin profun- .
didad ó altura.

>

2 GEOMETRÍA.

VI. Plano es una superficie , cuyos puntos están to-
dos á una misma elevacioo.

Vn. Toda superficie , que no es plana , ni ciMnpue^-
ta de superficies planas , es una. superficie curva.

VIU. Sólido ó cuerpo es el que reúne las tres di-
mensiones.
Hk. 1. IX. Llámase ángulo la mayor ó ment»' inclinacioa
que hay entre dos rectas qualesquiera AB y AC , que
se cortan en im ponto A , llamado el vériice del ánguilo,
y AB y AC se llaman sus lados.

Algunas veces para nombrar un ángulo se emplea
solamente la letra del vértice A , y otras se hace con
tres , como BAC ó CAB , teniendo cuidado de poner
enmedio la letra del vértice. Se usa el primer modo,
regularmente quando en un punto dado no hay mas
que un ángulo , y no esti expuesto á equivocarse con
otros al nombrarlo con una sola letra.

Los ángulos son , OHno toda cantidad , susceptibles
de adición , sustracción, multiplicación y división.
Fif, so. Así el ángulo DCE es la suma de los dos DCB y
BCE, y el áiógulo DCB es la diferencia de los dos

ix:e,bce.

Fig. 3. X. Quando una recta AB encuentra á otra CD de
modo que los ángulos adyacemes BAC y BAD sean
iguales , cada uno de ellos se llama un ángulo recto, y la
linea recta AB se dice perpendicular á la CD.

Fig. 4. XI. Todo ángulo &AC , menor que el recto, es un
ángulo agudo ; y todo ángulo D£F , maytMr que el rec-
to > es un ángulo obtuso.

Fia. i. XII. De dos lineas se dice que son paralelas quai>-
do , situadas en un niisroo plano , no pueden encontrar^
se aunque se las prolongue.

XIII. FiguTfi plana es un plano terminado por to-
todas partes de líneas. S estas son rectas , el espacio que
encierran se llama figura rectUítiea ó polígono , y las li-
neas todas juntas forman el cootoroo ó perímetro de I3
figura.

Fig.

LIBRO I. 3

XIV. El polígono de tres lados es el mas simple de
fódos 9 y se llama triángulo : el de quatro lados se de-
nomina quadrilátero : el de cinco pentágono : el de seis
exágono^ istc.

XV. Se llama trianguló equilátero aquel cuyos la- * ^*
dos son todos*, iguales ; triángulo isósceles aquel que solo ^ig- ^•
tiene dos lados iguales ; y triángulo escaleno aquel cuyos Fig. 9.
tres lados son todos desiguales.

XVI. £i triángulo rectángulo es el que tiene un án«

guio recto , y el lado opuesto á este ángulo se llama hf'^ p|g^ ,q^
fotenusa ; así ABC es un triángulo rectángulo en Ay
cuya hypotenusa es el lado BC.

XVn. Entre los quadriláteros se distinguen:

El quadrado que tiene sus lados iguales y sus ángu- Fig. 1 1 .
los rectos. ( Véase la prop. 2 1 , //&. i . )

El rectángulo que tiene los ángulos rectos , sin tener Fig. 19.
los lados iguales. {Véase la misma prop,)

El paralelógramo ó rombo que tiene los lados opues- p- ^
tos paralelos.

El losango , cuyos lados son iguales, sin que los án-* Fig. 14.
galos sean rectos.

En fin el trapecio ^ que solo tiene paralelos dos Fig. id.
lados.

XVni. Se llama diagonal toda recta que iu\e los
vértices de dos ángulos no contiguos y como AC. Fig. 4%.

XIX« Polígono equilátero es ^uel , cuyos lados son
todos iguales ; y polígono equiángulo es .el que tiene'
iguales todos los ángulos..

XX. Dos polígonos son equiláteros entre. sí, quando
tienen sus lados iguales y colocados en un mismo orden;
esto es , quaodo recorriendo sus contornos en un mis-^
1190 sentido, él primer lado del uno es igual al primero
del otro >, el segundo al seguido , y así de los demás.
Con la misma facilidad se entiende lo que son poligo-*
nos equiángulos entre sí.

£^ uno y otro caso los lados ó los ángulos iguales
se llaman lados ó ángulos homólogos.

• •

4 GBOMETRÍA.

MOTA En los quatro primeros libros solo se tratará de las figu-
ras planas , ó trazadas en una superficie plana.

Explicación de los términos y signos.

Axioma es una verdad tan evidente por si misma^
que no necesita de prueba.

Teorema es una verdad , cuya evidencia se hace pa-
tente por medio de un razonamiento llamado demos^
tracion.

Problema es una qiiestion propuesta , que exige re-
solucion.

Lema es una verdad empleada subsidiariamente pa-
ra demostrar un teorema 9 6 resolver un problema.

£1 nombre común de proposición se aplica indistin-^
lamente á los teoremas , problemas y lemas.

Corolario es la conseqüencia que se saca de una ó
muchas proposiciones.

Escolio es una advertencia sobre una 6 muchas pro-
posiciones anteriores , dirigida á manifestar su conexión^
su extensión y su utilidad.

Hypótesis es una suposición que se hace ya en la
cabeza de la proposición ^ ya en el cuerpo de la de-
mostración.

El signo = es el de la igualdad ; asi A:=:B agnifi-
ca que A es igual á B.

Para manifestar que A es menor que B , se escri-
be A < B ; y para expresar que A es mayor que B,
asíA>B.

.El signo r^ se pronuncia mas^ é Indica la adición.
El signo — se pronuncia menos , y denota la sustrae^
cion: asi A-<4-B representa la suma de las cantida-
des A 9 B ; A -^ B su diferencia , ó lo que queda restan-^
do B de A. Del mismo modo A— B-hC ó Ah-C — B
denota que se deben sumar A y C ^ y de la suma res-
tar B.

. LIBRO I, 5

El signo X se lee multiplicado por: así AxB re-
presenta el product6 de A multiplicado por B. En vez de
estQ signo se emplea algunas veces un punto ; así 3.^
es lo mismo que 3x5, A.B es igual á A x B.

La expresión Ax(Bh-C — D) representa el pro-
ducto de A para la cantidad B h- C — D. Si se hubiese
de multiplicar A h- B por A — B -h C, se indicará el pro-
ducto así (Ah-B)x(A — B-hC), considerando cada
paréntesis cómo una sola cantidad.

Un número puesto delante de una línea ó cantidad
sirte dé multiplicador á esta líuea ó. cantidad. Asi para
expresar que hemos de tomar tires veces la línea AB^
se escribe 3AB ; para señalar la mitad del ángulo A, se
nota I A.

El quadrado de la línea AB se. escribe (AB)* su
cubo (AB).^ Se explicará en su lugar lo que significa ca-
balmente el quadrado. ;Q' una potencia qualquiera de
una línea.

El signo V indica una raíz por extraer ; así y ^ es

la raizquadrada de x ;:v (AxB,) la miz quadrada del
producto AxB. Pero siem.pre( que. |la raiz fMropuesta pa-
ra extraer es Ja quadrada , se Qmite el 2 entre las.
dos piernas del, signo radical^, y- se escribe solo \/^,
V (AxB). El número que se haÚa al lado derecho de
un paréntesis , lun poco encima .4e la cantidad que sé:
quiere elevar á. i;tna potencia qualquiera , se llama el ex-
ppnente. ie la potencia : 2 es el exponente del quadrado
ó de la segunda potencia ; 3 del cubo ó de la tercera
potencia, y así en los demás. Y el número que se es-
cribe CQtre las dos piernas de un signo radical , se lla-«
ma el expmente de la raiz ; 2 es el exponente de la raiz
quadrada o segunda ; 3 de la raiz tercera ó cúbica , y
así de los dema^. ,.

•' » .»,

X

é GEOMETRÍA.

Axiomas.

I. Dos cantidades iguales á una tercera son iguales
entre sí.

II. £1 todo es mayor que su parte.

IIL £1 todo es igual á la suma de las partes en que
está dividido.

IV. De un punto á otro no se puede tirar mas que
una línea recta.

V. Dos líneas , superficies ó sólidos , son iguales,
quando sobrepuestas la una á la otra coinciden perfec-^
tamente.

PROPOSICIÓN PRIMERA.

T£OR£MtA.

Todos, los ángulos rectos son iguales.

Fig. i6. Sea la línea recta CD perpendicular á AB , y GH
á EF : digo que! Ibs ángulos ACD y EGH serán iguales.
Si se toman las <^uatro distancias iguales CA , CB;
GE, QF , la distancia AB será igual á la distanda EF,
y se podrá sobreponer la recta EF á la AB, de modo
que el punto E caiga en A, y F en B. Estas dos líneas,
así colocadas , coincidirán e^stáctametite ^una con otra;
porque á no ser así , hábria dos linas rectas de A á B,
*ax. 4. '^ m^^ es imposible^: luego el punto G, mitad de EF,
caerá' sobre el punto C , mitad de AB. Una vez sobre-
puesto así el lado GE al lado CA , digo que el lado GH
coincidirá con CD. Porque supongamos , si es posible,
que caiga sobre una recta CK distinta de CD ; ya que

Dcf. 10. que por hypótesis ^ , el ángulo EGH = HGF , seria me-
nester que tuviésemos ACK=KCB. Pero el ángulo ACK >-
ACD , el ángulo KCB < BCD , y además , por suposi-«
cion, ACD = BCD: luego ACK es mayor que KCB:
luego la linea GH no puede caer sobre otra CK , distin^

LIBRO I. 7

ta de CD : luego el ángulo EGH sé ajusta con ACD:
luego finalmente todos los ángulos rectos son iguales.

PROPOSICIÓN IL

TEOREMA.

Toda recta CD , que encuentra á otra AB , hace cm Fig. 17.
ella dos ángulos adyacentes ACD y BCD , que valen jufh-
tos dos rectos. . ,

En el punto C levántese á la AB la perpendicular CE.

£1 ángulo ACD es la suma de los dos ACE , ECD:
luego ACDh-JBCD será la suma de los tres ángulos
ACE, ECD, BCD. El primero de estos es recto ,• los
otros dos forman juntos el ángulo recto BCE: luego, la
suma de los dos ángulos ACD y BCD vale dos rectos.

Corolario i. Si uno de los ángulos ACD y BCD es
recto , el otro también lo será.

Corolario 2. Si la recta DE es perpendicular á Fig* 18.
la AB , recíprocamente AB lo será á DE. Porque, de
ser DE perpendicular á AB ,..$e infiere que los ^ án-
gulos adyacentes ACD y DCB son iguales , y que am-
bos son rectos; Pero si ACD es un ángulo recto , ^tam-
bien 5u adyacente ACE lo será : luego ACE= ACD , y
AB es perpendicular á DE. \ ^

Coroiario s. Todos los. ánjgwlos BAC^ ^ CAB, DAE, Fig. 34.
EAF ,; &c. , fbrmadfcís de:^uiií mismo- ladp de .la feo-
ta BF, valen ¡juntos dos xíectos.; porque su -suma es
igual á la de los dos ángulo» BAC y CAF.

PROPOSICIÓN IIL

j 1

TEOREMA.

•■' ' i 1 ' f ; • ' • '» ;i f '

Dos rectas , que tienen dos puntos comunes , coinciden
una con otra en toda su extensión , y forman una sola y
misma recta.

8 GEOMETRÍA.

Fíg* ip* Sean A y B los dos puntos comunes.

Desde luego las dos lineas no deben formar mas que
una entre A y B ; porque á no ser así , habría de uno

• Ax, 4. de estos puntos al otro dos rectas , lo que es imposible ^.
Supongamos ahora que estas rectas prolongadas empie-
zan á separarse en el punto C , que la una se convier-
te en CD , y la otra en CE, Tírese al punto C la CF,
que forme con la CA el ángulo rectx) ACF. Ya que la
« Prop. a. ACD es una línea recta , FCD será un ángulo recto *;

Cor. j. y por ser ACE también una línea recta , FCE será un
ángulo recto. Pero la parte FCE no puede ser igual al
todo FCD : luego dos rectas , que tienen dos puntos co-
munes A y B , no pueden separarse en punto alguno de
su prolongación , y forman por lo tanto una sola y mis*
ma recta.

PROPOSICIÓN IV.

TEOREMA.

p. Si dos ángulos adyacentes ACD y DCB valen juntos

^^' *^* dos rectos y sus lados exteriores AC y C& estarán en li-
nea recta.

Porque sí CB no es la prolongación de AC , séalo
CE. Entonces , siendo ACE una linea recta j la suma
* Prop, a. de los ángulos ACD , DCE valdrá dos rectos ^. Pero,
* por suposición , taríibien la suma de los ángulos ACD,
DCB vale dos rectos: luego ACD -4^ DCB seria igual
á ACD -h DCE ; si de ambas partes quitamos elángu-
lo ACD , quedaría la parte DCB igual al todo DCE,
lo que es imposible : luego CB es la prolongación de AC.

• ^ . ' '' - * .

PROPOSICIÓN V.

TEOREMA.

, Siempre que dos rectas AB , DE se cortan^ los ángí^
''g- *^7oJ opuestos en el vértice son iguales. -

LIBRO I. Q

Porque ya que DE es una línea recta , la suma de
los ángulos ACD , ACE vale dos rectos ; y por ser AB
tanibien una linea recta ,. la suma de los ángulos ACE,
BCE es igual á dos rectos : luego la suma ACD -h ACE
es igual á la suma ACE -+• BCE. Quitando de una y
otra parte el ángulo común ACE ,. nos queda el ángu-
lo ACD igual á su opuesto BCE.

Del misólo modo podría demostrarse , que el ángu-*
lo ACE es igual á su opuesto BCD.

Escolio. Los quatro áogulos , formados en un mi»-
mo punto por la intersección de dos rectas , valen jim-
tos quatro rectos. Porque los ángulos ACE , BCE to-
mados juntos valen dos rtctos , y los otros dos ACD,
SCP tienen también el mismo valor.

En general todos los ángulos ACB , BCD , DCE, Fig. «a.
ECF, &c., forosiados en un punto por la intersección de
varias rectas , sea el que fuere su número , valdrán
juntos quatro ángulos rectos. Porque si en dicho punto
formamos quatro ángulos rectos por medio de dos per*^
pendiculares, el mismo espacio ocuparán estos que los
varios ángulos ACB , BCD y &c.

PROPOSICIÓN VI.

TEOREMA.

Dos tríáfigiUos son. igucdes quando tienen un ángido
igual comprehendido entre lados respectivamente iguales.

Sea el ángulo A igual á D , el lado AB igual á DE, ^íg- n*
el lado AC igual á DÍ : digo que los triángulos ABC
y DEF son iguales.

Con efecto estos triángulos pueden sobreponerse uoa
á otro , de modo que coincidan perfectamente. Y des-
de luego , si sobreponemos el lado DE á su igual AB,
el punto D caerá en A , y el punto E en B. Pero ya
que los ángulos A,D son iguales , si colocamos el lado
DE sobre AB , el lado DF tomará la dirección AC. A

10 GSOMETRÍA.

mas de esto FD es igual á AC : luego el punto F coin-
cidirá con C , y los terceros lados £F y BC se ajustarán
perfectamente : luego los dos triángulos DEF y ABC son
♦ Ax. j. iguales.*

Corolario. Sentada ya la igualdad de tres cosas en
tm triángulo 9 esto es A=:D , el lado AB igual á DE,
y AC =: DF ; se puede deducir la de las otras tres , esto
es, que B=E,C=F,y el lado BC=:EF.

PROPOSICIÓN VIL

TEOREMA.

Dos triángulos son igtjutles quando tienen un lado
igual adyacente á dos ángulos iguales.
Fig. «3- Sea el lado BC=::EF , el ángulo B igual á E , y
C = F : digo que el triángulo DEF será ^ual al trián*^
guio ABC.

Sobrepóngase el lado EF á su igual BC ; el punto
E caerá en B , y F en C. Por ser iguales los dos án-
gulos £ y B , el lado £D tomará la dirección BA ^ y
así el punto D caerá sobre alguno de la recta BA. Igual-
mente 9 ya que son iguales los ángulos F y C , la recta
FD tomará la dirección CA , y el punto D coincidirá
con alguno de la CA : luego el punto D ^ que debe
hallarse á un tiempo en las dos rectas BA , CA , cae*
rá sobre su intersección A : luego los dos triángulos
ABC y DEF coinciden uno con otro, y son perfec-
tamente iguales.

Corolario. Sentada la igualdad de tres cosas en un
triángulo , esto es , BC = EF , B = E , C=:F , se pue-
de inferir la de las otras tres, á saber AB=:D£^
AC = DF;y A = D.

fc>

LIBRO I. II

PROPOSICIÓN VIIL

TEOHEKA.

En un triangulo qualqmera , un lado , sea el que fue-
re y siempre es menor que la suma de los otros dos.

Porque la linea recta BC , por exemplo , es mas Fig. ag.
corta que BA-hAC, por ser el camino mas breve
deBáC-ít ♦Def. 3,

PROPOSICIÓN IX.

TEOREMA.

Si desde un punto O , tomado dentro de un triángulú Fig. «4.
ABC y se tiran á los extremos de un lado BC , las rec^
tas OB , OC y la suma de dichas rectas será menor que
la de los otros dos lados AB y AC.

Prolongúese BO hasta que encuentre á AC en D.
La rfecta OC es mas corta que OD-4-DC* ; si afiadi- *Prop. 8.
mos á ambas partes BO, resultará BO-t-OC<BO-H
OD-hDC, ó BO-4-OC<BD-+.r)C.

Tenemos también BD<BA-hADj añadiendo por
ambas partes DC , saldrá BD-4-r)C<BAH-AC. Pero
acabamos de hallar BO-4-OC<BD-hIXI; : luego con
mayor razón BO-í-OC<AB-hAC , que era lo que
Íbamos á demostrar.

PROPOSICIÓN X.

TEOREMA. i

li- t

Si los dos lados AB, AC del triángido ABC son Fig. 1$.
iguales á los dos D£ , DF del triángulo DEF y cada uno'
al suyo y y si al mismo tiempo el ángulo BAC y compre*^
hendido, entre ¡os primeria y, ef maygr. qm J¡£ÍS ^ QPmpr^r;:

• • •

12 GEOMETRÍA,

hetidido entre los segundos ; digo que el tercer lado BC

del primer triángulo será mayor que el tercero FE del

segundo.

H^ase el ángulo CAG = D , tómese AG = D£ , y
tírese la CG.

Los dos triángulos GAC y DEF son iguales , por-
que tienen por construcción igual el ángulo comprehen-

« Fi. C. dido entre lados iguales* , y tendremos por lo mismo
CG = £F. Pueden aquí suceder tres casos, según el
punto G caiga fuera del triangulo ABC , sobre el la-
do BC , ó dentro del triángulo.

tig. i¡. Ca¡o primero. La. línea recta GC es mas corta que
GI -f- IC ; la AB es también menor que AI -i- IB : lue-
go GC-f-AB son menores que GI-f-ICn-AI-i-IB;
ó lo que es lo propio , GC -t- AB < AG ■+- BC. Si quita-
mos de una parte AB , y de la otra su igual AG , que-
dará GC<BC; peroGC=EF: luego EF<BC.

Fio. a(f. ^"^^ ¡sgiitiáo. Si el punto G cae sobre el lado BQ
es manifiesto que GC , ó su igual EF , será menor
que BC.

Tía ST ^"'"^ ^^^^"^^ Finalmente , ú el punto G cae dentro
del triángulo- ABC , tendremos , por el teorema ante-
rior , AG -I- GC < AB -t- BC. Quitando de una parte AG,
y de la otra su igual AB , queda GC<BC, óEF<BC.

PROPOSICIÓN XI.

Doi triángulos son igualeí qacmdo tienen sus tres la-
dos respectivamente ¡guales.
Fig. «3. Sea el lado AB=DE, AC = DF, BC = EF: digo
que tendremos el ángulo A = D , B = E , C = F.

' Porque sí. el ángulo A fuese mayor que D, como
loi lados AB y AC son respectivamente iguales á DE,
DF , deduciríamos , por el teorema anterior , que el
lado, BC es mayor que .EF;-y ñd ángulo A iWese me-

L](BRO r. 13

ñor que D , sacaríamos qu^ el lado BC era menor que
EF ; pero BC es igual á EF : luego el ángulo A , no
pudiendo ser mayor ni menor que el ángulo D , ha de
ser por precisión igual. Del mismo modo se demostra-
ría que ios ángiüos B y £ son iguales, como tam-
bién C y F.

Escolio. Se puede advertir desde luego que los án-
gulos iguales están opuestos á lados iguales ; así es que
los ángulos iguales A, D están opuestos á los lados igua-*
les BC , EF.

PROPOSICIÓN XII.

TEOREMA.

En un triángulo isósceles , los ángulos opuestos á I(H
dos iguales son iguales.

Sea el lado BA =: AC : digo que tendremos el ángu- Fig. aS.

loC=:B.

Del vértice A al pimto D , medio de la base BQ
tírese la AD.

Los dos triángulos ABD , ADC tendrán sus tres
lados respectivamente iguales , esto es , AD común
AB = AC por suposición , y BD = DC por construc-
ción: luego sacamos, en virtud del teorema anteceden-*
te , que los ángulos B y C son iguales.

Corolario. Un triángulo equilátero es equiángulo al
mismo tiempo , es decir , que tiene sus ángulos iguales.

Escolio. La igualdad de los triángulos ABD , ACD
prueba al mismo tiempo que los ángulos BAD y DAC
son ¡guales , y que el ángulo BDA = ADC : luego e^tos ^
dos últimüs son rectos : luego toda linea , tirada d^sde
el vértice de un triángulo isósceles al medio de su base^
€s perpendicular á esta y y divide al ángulo del vértice
en dos partes iguales. . ,

En un triángulo que no sea isósceles se toma indis-
tintamente por base un lado qualquiera ^ y entonces su

14 GEOMETRÍA.

vértice es el del ángulo opuesto. Pero en los triángulos
isósceles se toman particularmente por bases los lados
que no son ninguno de los iguales.

PROPOSICIÓN XIII.

TEOREMA.

Reciprocamente y si son iguales dos ángtdos en un
triángulo , los lados opuestos lo serán también , y el trian'
guio será isósceles.
pjg jp Sea el ángulo ABC = ACB : digo que los lados AC
y AB serán iguales.

Porque si estos lados no son iguales , sea AB el ma-«
yor de los dos. Tómese BD = AC , y tírese la DC. Los
dos ángulos DBC , ACB son iguales por suposición ; los
dos lados DB y BC lo son también á los otros dos AC
y CB : luego el triángulo DBC * seria igual al triáis-
guio ACB. Pero es asi que la parte no puede ser igual
ál todo : luego no puede haber desigu^dad entre los
lados AB , AC , y por consiguiente el triángulo ABC es
isósceles.

PROPOSICIÓN XIV.

TEOREMA.

De dos lados de un triángulo aquel es mayor que se
opone á mayor ángulo , y recíprocamente de dos ángulos
de un triángulo es mayor el que se opone á mayor lado.

Fíg. 30. I .° Sea el ángulo C > B : digo que el lado AB
opuesto al ángulo C , será mayor que el lado AC opue&«
to al ángulo B.

Si hacemos el ángulo BCD = B , tendremos en el

*Pr. 13- triángulo BDC* BD = DC. Pero la linea recta AC es
mas corta que AD-HDC,y AD-hDC = AD-hDB:
luego AB es mayor que AC

♦ Pr. 6.

LIBRÓ r. 15

2.® Sea el lado AB>AC: digo que el ángulo C,
opuesto ai lado AB, será mayor que B, opuesto al
lado AC.

Porque de ser C<B se seguiría, según lo que acar*
bamos de demostrar , que AB < AC , y esto repugna
contra lo supuesto. Si fuese C=B deduciríamos^ AB= ♦Pr. 13.
AC , lo que es también contra lo supuesto : luego no
pudiendo el ángulo C ser menor que B , ni igual á él
tampoco , ha de ser indispensablemente mayor.

PROPOSICIÓN XV.

TEOREMA.

Desde un punto A , dado fuera de una recta DE , no -p^^ ^ j
se puede tirar mas que una perpendicular á dicha recta.

Supongamos que se puedan tirar dos AB , AC.

Prolonguemos una de ellas AB la cantidad FB=:ABy
y tiremos la FC.

Los dos triángulos CBF , ABC son iguales , porque
el ángulo CBF es recto igualmente que CBA , el lado
CB es común , y BFifcAB; y de esta igualdad ^ de los #pf^ ^^
triángulos BCF , BAC , se deduce que los ángulos BCF,
BCA lo son también. Y siendo BCA un ángulo recto
por suposición , también BCF lo es. Pero si los ángulos
^yacentes BCA , BCF valen jxmtos dos rectos , es me-
nester que la línea ACF sea recta ^ ; de donde resulta . ♦ Pr. 4.
que entre los dos mismos puntos A , F se podrían tirar
dos líneas rectas ABF y ACF ; pero esto es un absur^
do^: luego lo es también que desde un punto dado fuera * Ax. 4.
de una recta, se puedan baxa^ á esta dos perpendiculares.

Escolio. Desde im punto C , dado en una recta AB, j¡..
es igualmente imposible levantarla dos perpendiculares
hacia un mismo lado. Porque si CD , CE fuesen estas
dos perpendiculares, 'los dos ángulos DCB , BCE serian
rectos , y la parte setia igual al todo , lo quai es uá
absurdo manifiesto.

l6 GEOMETRÍA.

PROPOSICIÓN XVI.

TEOREMA.

Fi2 SI. ^^ desde un punto A , dado fuera de una recta , se
tira á ella la perpendicular AB ^^ y á diferentes puntos
de dicha recta las obliquas A£ , AC , AD, , &c.

i.° La perpendicular AB será mas corta que qual^
quiera obliqua.

2.® Las dos obliquas AC , AE , tiradas equidistante^
mente á uno y otro lado de la perpendicular , serán iguales.

3.** De dos obliquas AC , AD , ó AE , AD tiradas
á discreción y aquella será mas larga ^ que mas se aparte
de la perpendicidar.

Prolongúese la perpendicular AB la cantidad
BF AB , y tírense las rectas FC , CD.

i.^ Los triángulos CBF BCA son iguales , porque
tienen iguales por rectos los dos ángulos CBF , CBA,
*Pr. 6. ^^ ^^^ ^^ ^^ común , y el lado BF?=BA : luego * los
terceros CA , CF son iguales. Pero ABF , línea recta , es
mas corta que la quebrada ACF lluego AB, mitad de
ABF, es mas corta que AC, mitad de AC. Luego i.^ la
perpendicular es mas corta que qualquiera obliqua.

2.° Si suponemos BE = BC , como tenemos ya el
lado BC común , y el ángulo ABE = ABC , sacaremos
de aquí que el triángulo ABE = ACB : luego los la^
dos AE , AC son iguales. Luego 2.^ dos obliquas equi-^
distantes de la perpendicular s¡on iguales.

3.^ En el trú'mgulo DFA la suma de las líneas AC,

♦ Pr- 9- CF es menor ^ que la de los lados ADy FD : luego AC,

mitad de la linea ACF , es mas corta que AD , mitad

de ADF. Luego 3.^ las obliquas mas distantes de la

perpendicular son las mas largas.

Corolario i. La perpendicular es la verdadera me-
dida de la distancia de un punto á una línea , pues es
mas corta que qualquiera obliqua.

LIBRO I. 17

2* Desde un mismo punto no se pueden tirar i
una misma recta tres rectas iguales ; porque de ser esto
asi ) habria á un mismo lado de la perpendicular dos
oblíqiias iguales , lo que es imposible.

PROPOSICIÓN XVIL

TEOKBMA.

Si en el punto C 9 mitad de la recta AB , se levanta ^íg- 3**
la perpendicular EF : i .® cada punto de la perpendicular
equidistará de los dos extremos de la recta AB : 2.® todo
punto que no esté en la perpendicular , no equidistará de
dichos extremos. '

Porque i.^ , ya que se supone AC=CB, las dos
obliquas DA , BD se apartan igu^mente de la perpen-^
dicular : luego son iguales. Lo mismo se verifica con las
dos obligüas AE y £B , AF y FB , &c. I^^ego i .^ todos
los puntos de la perpendicular equidistan de los eztre-*
mos A , B. ! ,

2.® Sea I un punto fuera de la perpendicular^ Si se
tiran la lA é IB , ima de estas líneas cortará á la per-
pendicular en el punto D y y tirando la DB j resulta
DB = DA. Pero la recta IB es menor que la línea que-
brada ID-HDB,é ID-HDB=ID-f-.DA=IA: luego
sacamos IB<IA. Luego 2.^ todo punto fuera de la per-
pendicular no equidistará de los extremos A ^ B.

PROPOSICIÓN XVIIL

TEOREMA.

<

Dos triángulos rectángulos son iguales quando tienen
iguales la hypotenusa y un lado.

Sea la hypotenusa AC=DF , y el lado AB = DE:
digo que los dos, triángulos rectángutes ABC y DEF son '^' ^^
iguale^.

tS GEOMETRÍA.

Seria manifiesta esta igualdad , si los terceros lados
fuesen iguales. Supongamos , si es posible , que estos la-^
dos no sean iguales , y que BC sea el mayor. SI toma-»
mos BG=EF , y tiramos la AG , el triángulo ABG se-
rá igual al triángulo DEF ; porque el ángulo recto B es
igual al otro recto E , el lado AB=:DE , y BG=EF:

# Pr 6 ^u^go ^s^os triángulos son iguales ^ , y tenemos por lo

' tanto AG=DF. Pero por suposición DF=AC: luego
AG = AC. Pero la obiiqua AC no puede ser igual á
♦ Pr. i6. AG * , porque dista mas de la perpendicular AB : luego
es imposible que BC difiera de EF : luego los dos trián-
gulos ABC y DEF son iguales.

PROPOSICIÓN XIX.

t£MA.

La suma de los tres ángulos de un triángulo no pue^
de valer mas que doS rectos^

Fig. 35- ^^^ 9 ^^ ^* posible f ABC im triángulo , cuyos tres
ángulos valgan mas que dos rectos.

Sobre la prolongación de AC , tómese CE = AC;
hágase el ángulo ECD=CAB , el lado CBísAB , y tí-
rense las DE , BD.

El triángulo CDE será igual al triángulo BAC , pues
ambos tienen un ángulo igual comprehendido entre la-

# Pj (J. dos respectivamente iguales * : luego tendremos el án-

* guio CED = ACB , el ángulo CDE= ACB , y el tercer
lado ED igual á su correspondiente BC.

Ya que ACE es una línea recta , la suma de los án-

# Pr. 4. gulos ACB 5 BCD , DCE es igual á dos rectos ^ ; pero
Cor. 3. suponemos la suma de los ángulos del triángulo ABC

mayor que dos rectos: luego tendremos CAÍB-+-ABC
-f- ACB> ACB -h- BCD -hECD; quitando de ambas par-
tes ACB cómun , y CAB=ECD , quedará ABC> BCD;
y por ser los lados AB^ BC del triángulo ABC iguales. á*
los CD 9 CB del triángulo BCD , se deduce que el ter-»

LIBRO t. 19

cer lado AC del uno es mayor que el tercero BD del

otro ^. . ♦ Pr. xo.

Imaginemos ahora que se prolonga indefinidamente
la AC , y también la serie de los triánguios iguales y
semejantemente dispuestos ABC , CDE, EFG, GHI, &c. .
Si se unen los vértices inmediatos con las rectas BD,
DF y FH y HK , &c. , se formará al mismo tiempo otra
serie de triángulos intermedios BCD, D£F, FGH, &c.,
que serán todos iguales unos con otros, pues tendrán un .
ángulo igual comprehendido entre lados respectivamente
¡guales : luego tendremos BD=DF=::FH=:HK, &c. . i

Esto sentado , ya que tenemos AC > BD , sea la di-*
ferencia AC — BD=D* Es claro que 2D será la dife-
rencia entre la línea recta ACE = 2 AC, y la recta 6 que-
brada BDF = 2BD ; de modo que sacamos AE •— BF =3
2D. También saldrá AG— flH=3D , AI— BK=:4D, y
así de los demás. Pero por pequeña que sea la diferencia D,
es evidente que, repetido un numero suficiente de veces^
llegará á ser mayor que una longitud dada. Podremos,
pues, suponer la serie de los triángulas continuada lo bas-
tante para que resulte AP — BQ>2AB, y así tendremos
AP > BQ -H 2 AB. Pero al contrario , la línea recta AP
es mas corta que la angulosa ABQP , que une los mis^
mos extremos A , P ; de modo que -será ¿empre AP <
AB-4-BQ-4-QP^ó AP<BQ-HaAB5 luego Ja suposi^
cion era un absurdo : duego la suma «de los trds ángulos
de im triangulo.no puede valer mas de dos rectos.

PROPOSICIÓN XX.

TEOREMA.

En todo triángulo la suma de sus tres ángulos vale
dos rectos.

Habiendo ya probado que la suma de los tres augur-
ios de un triángulo np puede ser mayor que dos rectos,
res£a por demostrar que tampoco pucuie ^r menor. ,

• «

lO GEOMETRÍA.

F¡& 33* ^ . Sea ABC el triángulo propuesto , y sea , si es posi-
ble, la suma de sus ángulos = iP — Z , representando P
un ángulo recto , y Z la cantidad qualquiera que se su«^
pone Falta á la suma de los ángulos para valer dos reo-
tos. Sea A el ángulo menor del triángulo ABC.

Sobre el lado opuesto BC hágase el ángulo BCD=
ABC , y CBD = ACB ; y resultan iguales los triángulos
BCD y ACB , por tener un lado BC igual , adyacente á

• Pr. 7. dos ángulos reipactivamente iguales ^. Por el punto D tí-

rese una línea recta qualquiera £F , que encuentre en £,
F á loi dos lados del ángulo A prolongados (i).

Ya que la suma de los ángulos de cada uno de los
triángulos ABC, BCD es 2P — Z , y que la de cada uno

♦ Pr. ip^e los triángulos EBD, DCF no puede pasar de iP-ít*^

se sigue que la suma de los ángulos de los quatro trian*
guloi ABC , BCD, EBD, DCF no pasa de 4P— iZh-
4P 9 ú 8P -^ 2Z. Si de esta suma se resta la de los in-^
gubs B , C , D , que es 6P , porque la suma de los án«-
nt pf 2 gulos formados en cada uno de estos puQtos es iF^ ^ el
Cor. 3. residuo será igual á la suma de los ángulos del triángu-
lo A£F : luego esta suma^no pasa de 8P -^ iZr— óP , ó
iP— iZ.

Así es, que siendo preciso añadir Z á la suma de los
^gulos del triángulo ABC para que componga el valor
de dos rectos , es indlspenséible añadir á lo menos 2Z á la
suma de los ángulos del triángulo AEF para que llegue
á dicho valor, ..♦. i • ,; ,

Por medio del triángulo AEF se construirá semejan-
. temente otro tercero tai , que será preciso añadir á lo
menos 4Z á la suma de sus tres ángulos , para que el
todo valga dos rectos ; y valiéndDse de este tercer trián-
gulo , se construirá del mismo n^do otro quarto , en el

(i) Se supone qne A es el ángulo menor del tr]áng4i]o ABC,
y que por ]o cantp es menor, ó á lo menos no mayor que dos ter-
cios 'del recto, á fin dé hacer ma^ patente la posibilidad de que una
recta tirada por q1 punto D ,' encuentre -Ü -ua tiempo los 4os lados
AB , AC prolangRctas*/ .v >^jí ;' ,¿j j .v .* - . - ;

/

LIBRO I. 21

qual será pceeisó añadir quando menos 8Z á la suma de
sus tres ángulos para que el todo comporta el valor de
dos rectos , y asi de los demás. .

Por lo tanto , por pequeño que sea el valor de Z,
respecto al ángulo recto P, la serie Z^ iZ^ 4Z, 8Z, &c.,
cuyos términos crecen en razón dupla, conducirá, á
poco que se continúe , á im término igual á 2P ó ma*-
yor. Daremos entonces con un triángulo tal , que será
preciso añadir á la suma de ios ángulos una cantidad
. Jgual ó mayor que 2P , para que la suma total valga 2P^
Bien se echa de ver que esta conseqüencia es qn absur-
do: luego tampoco puede admitirse la suposición de don-
de se deriva , esto es , que es imposible que la suma de
ios tres ángulos de un triángulo valga menos de dos
rectos. En la proposición próxima pagada demostramos
que esta suma tampoco podia ser mayor que dicha canr
tidad : luego queda probado que la suma de los tres án-
gulos de un triángulo vale justamente dos rectos.

Corolario I. Dados dos ángulos de un triángulo , ó
solo su suma , conoceremos el tercero restando esta sub-
illa de la de dos rectos.

II. Si dos ángulos de un triángulo son respectiva-
mente iguales á otros dos de otro triángulo , los terceros
lo serán también ; y los triángulos , cuyos sean ^ seráki
equiángulos entre sL

III. £n un triángulo no puede haber mas que un
ángulo recto , porque si hubiera dos , el tercer ángulo
no tendría valor alguno. Con mayor ra^ñ no podrá ha»
ber mas que un ángulo obtuso.

IV. En un triangulo rectángulo la suma de los dos
ángulos yagudos>e.s igual á un recto. \ . . '

V. . ]^n un triái^ulo. equilátero cada ángulo, es igu(^
á los dos. tercios de un erecto , ó al tercio de dos rectos^
de modo , que si I expresa el valor de un ángulo recto^
el ángulo del triángulo equilátero será expresado por |,

VI. En todo triángulo BAC , si se prolonga .el JadQ ^^fr 4»-
CA hacia D ^ el ángulo exterior BAD será igual á la syir

12 GEOMETRÍA.

ma de los dos Internos opuestos B , C ; porque, añadí eli-
diendo por ambas partes BAC , las dos sumas son igua-
les á dos ángulos rectos.

PROPOSICIÓN XXL

TEOREMA.

La suma de todos los ángidos interiores de un polígo-
no es igual á tantas veces dos rectos como lados tiene, mé^
nos dos.

Sea ABCDEF , fice, , el polígono propuesto.
* 42' Desde el vértice de un mismo ángulo A tírense á
todos los demás opuestos las diagonales AC, AD, A£, &c.

Se echa de ver desde luego que el polígono quedará
dividido en cinco triángulos , si tiene siete lados : en seis
triángulos , si tiene ocho lados : y en general en tantos
triángulos menos dos, como lados tenga el polígono;
porque se pueden considerar dichos triángulos como que
tienen por vértice común él punto A, y por bases los di-
ferentes lados del polígono , excepto los dos que forman
el ángulo A. Se ve al mismo tiempo que la suma de los
ángulos de estos triángulos en nada difiere de la de los
ángulos del polígono t luego esta última suma es igual á
tantas veces dos ángulos rectos como triángulos hay , e^
to es , tantas menos dos como lados tiene el polígono.

Corolario I. La suma de los ángulos de un quadrílá-
tero es igual á dos rectos multiplicados por 4— «2 , que
compone quatro ángulos rectos : luego si todos los ángu*-
los de un quadrilátero son iguales , cada uno será recto;
lo qual comprueba la definición xvii , donde se ha su-
puesto que los quatro ángulos son iguales en un quadri-
látero y Sí este es rectángulo ó quadrado.

n. La suma de los ángulos de un pentágono es dos
rectos multiplicados por 5 — 2 , que compone seis ángulos
rectos : luego quando un pentágono es equiángulo , esto
es y quando tiene iguales todos sus ángulos , cada uno de

LIBRO L 23

estos vale un quinto de seis rectos , ó f de un recto.

III. La suma de los ángulos de un exágono es 2 x
(6 — 2) ú 8 ángulos rectos : luego en el exágono equián-
gulo , cada ángulo vale la sexta parte de ocho rectos y 6
los |. =1 de un recto , y asi de los demás.

Escolio. Si se quisiese aplicar esta proposición á un Fig. 43.
polígono que tuviese uno ó muchos ángulos entrantesj
seria menester considerar cada uno de dichos ángulos
como mayor que dos rectos. Para excusar tropiezos ^ solo
consideraremos de aquí en adelante los polígonos de án-
gulos salientes y que también se pueden llamar polígonos
convexos. Todo polígono convexo es tal , que una recta,^
tirada como se quiera , no puede encontrar á su contor-
no mas que en dos puntos.

PROPOSICIÓN XXII.

TEOREMA.

Si dos lineas rectas AC , ED son perpendiculares 6 *'^8' ^^*
una tercera AE , estas dos rectas^ serán paralelas , es de^
cir , que no podrán encontrarse por mas que se las pro^
hngue.

Porque si se encontrasen en un punto O , habría
dos perpendiculares OA, 0£ basadas de un mismo
punto O á una misma recta AE , lo que es imposible.^ ^ Pr. 1$.

PROPOSICIÓN XXIII.

TBOREMA.

Si dos rectas AC , BD forman con otra tercera AB
dos ángulos internos CAB , ABD , cuya suma sea igual 4 . '^* ^ *
dos rectos , las rectas AC , DB serán paralelas.

Si los ángulos CAB , ABD fuesen iguales , serian
ambos rectos , y daríamos en el caso de la proposición .
anterior.

24 GEOMETRÍA.

Supongamos, pues , que estos ángulos no son iguales.
Por el punto A tírese la A£ perpendicular á BD.

* Pr. 10. £n el triángulo rectángulo ABE la sama de los dos
Cor. 4. ángulos agudos ABE y BAE es igual á un recto ^. Si qui-
tamos esta suma de la de los dos ángulos ABE , BAQ
que por suposición es igual á dos rectos ^ quedará el án-
gulo CAE igual á un recto: luego las dos rectas AC , BD
son perpendiculares á una misnm línea A£ : luego son

* Pr. aa. paralelas. *

PROPOSICIÓN XXIV.

TEORBMA.

p. ^ 5/ dos rectas AF , BD forman con una tercera AB

dos ángulos internos FAB , ABD , cuya suma sea menor o
mayor que dos rectos : digo que estas dos rectas AF , BD
prolongadas suficientemetue se encontrarán.

Tírese AC de modo que la suma de los ángulos
GABh- ABD sea igual á dos rectos*

Pueden suceder dos casos , según el Yugulo BAF sea
menor ó mayor que BAC , esto es, según la suma da'-
da FAB -H ABD sea menor ó mayor que dos ángulos

rectos.

I .<> Sea el ángulo BAF < BAC.

Tírese por el punto A una obliqua qualquiera AM,
que encuentre á la BD en el punto M.

Los dos ángulos AMB y MAC serán iguales , por-
que si añadimos á una y otra parte una misma cantidad
MA6 -4- ABM , las dos sumas son iguales cada una á dos
ángulos rectos. Si tomamos ahora MN = AM , y tiramos
la recta AN , el ángulo AMB , externo del triángulo
« MAN y es igual á la suma de los dos internos opuestos

* Pr. fto. MAN y ANM*^. Estos son iguales entre sí por ser

AM = AN : luego el ángulo AMB , ó su igual MAC es
duplo de MAN.: luego también la recta AN divide efl
dos partes iguales el ángulo CAM, y encuentra á 1^

LIBRO L 25

BD en un punto N situado á la distancia MN=:AM.
De la misma demostración se deduce que , si sobre la Iv^
nea recta BD se toma del mismo modo NP = AN , ha-
llaremos el punto P , donde debe ir á dar la recta que
divida en dos partes iguales al ángulo CAN. Se puede
por lo tanto tomar así succesivamente la mitad , la quar-
ta,, la octava parte , &c. , del ángulo CAM, y las rec-
tas que verifiquen estas divisiones encontrarán á la BD
en puntos cada vez mas distantes , pero fáciles dé deter-^^ ^
minar , pues tendremos succesivamente MN=AM,
NP = AN , PQ=AP , &c. Se puede notar también que
cada distancia del punto de intersección al pimto A no
es cabalmente dupla de la distancia de la intersección
anterior ; porque AN , por exemplo ,. es menor que la
suma AM -4- MN , ó que el duplo de AM. Tenemos igual-
mente AP<2AN , AQ<2AP , y asi de los demás. Pero
si continuamos subdiviendo el ái^lo CAM en razón du-*
pía , daremos en breve con un ángulo CA2 menor que
el dado CAF , y será también cierto que AZ prolongada
encuentra á la BD en un punto determinado : luego con
mayor razón la recta AF , situada en el ángulo BAZ,
encontrará á la BD : luego si los dos ángulos BAF y ABD
componen juntos una suma, cuyo valor sea menor que
el de dos rectos , las rectas AF , BD prolongadas sufi-
cientemente se encontrarán.

2.® Supongamos que los dos ángulos FAB, ABDFig.jtf.b.
valen juntos mai que dos rectos.

Prolongúese FA hacia G , y DB hacia E.

La stuna de los quatro ángulos FAB , BAG , ABD,
ABE será igual á quatro rectos •* j y si quitamos FABh- ♦ Pr. %.
ABD mayor que dos rectos , el residuo BAG-t-ABE se-
rá menor que dichos dos áx^ulos rectos : luego las rectas
AG y BE , prolongadas suficientemente , se encontrarán.

Corolario. Por uii punto dado A no se puede tirar Fígs^^-a-
mas que una paralela á la linea recta BD ; porque no
hay mas oue.una recta AC, que haga la suma dé los
ángulos BAC -H ABD igual al valor de dos .rectos,^ e$«

4

ft6 GEOMETRÍA.

ta es la paralela qué se desea ; pues qualquiera otra rec-
ta AF haría la suma de estos ángulos mayor ó menor
que dos rectos : luego encontraría á la BD.

PROPOSICIÓN XXV.

TEOREMA.

Si dos paralelas AB , CD están cortadas por tma se^
'^* ^^* cante EF , la suma de los dos ángulos interiores AGO
y GOC será igual á dos rectos.

Porque sí esta suma fuese mayor ó menor , las dos
* Pr. 44. ,.g^|.^ AB ^ QQ ^ encontrarían de un lado ú otro ^ , y

no serán paralelas.

Corolario I. Sí el ángulo GOC es recto , AGO debe
serlo también : luego toda recta , perpendicular á una de
dos paralelas , lo es también á la otra.

Corolario IL Una vez que AGO-+-GOC vale dos án-
gulos rectos, y GOD-+-GOC tiene también el mismo
valor , sí quitamos de ambas partes GOC , tendremos el
ángulo AGO igual á GO.D. Por consiguiente los quatro
ángulos agudos EGB , AGO , GOI> , COF son iguales
entre sí ; lo mismo sucede con los quatro obtusos AGE,
OGB , COG , DOF ; y al mismo tiempo sí á los quatro
ángulos obtusos se añade á cada uno de ellos un ángulo
agudo , la suma compondrá siempre dos rectos.

Escolio. Ordinariamente se dan nombres particulares
á algunos de estos ángulos comparados de dos en dos.
Ya hemos llamado á ips ángulos AGO , GOC internos
de un mismo lado : los BGO , GOD tienen el mismo
nombre : los ángulos AGO ^ GOD se llaman altemos-in--
temos j 6 simplemente alternos ; y la misma denomina*-
cíon se da á los BGO , GOC. Los ángulos EGB y GOD
se denominan internos-externos , y en fin EGB y COF
toman el nombre de altemos-extemos. Se pueden por
consiguiente mirar como ya demostradas las proposición
nes siguientes: ^ .

LIBRO I. tj

i.^ Los ángulos internos de un mismo lado valen
juntos dos rectos.

2/ Los ángulos alternos-^intemos son iguales.

3 .* . Los internos^xternos lo son también.

4.^ Los ángulos alterno^-externos son iguales.
Recíprocamente, si qualesquiera de estos ángulos son
iguales , se puede deducir que las líneas á que pertene-
cen son paralelas. Sea , por exemplo , el ángulo AGO =:
GOD. Ya queGOC-+-GOP valen dos rectos , tendre-
mos también^ AGO-4-COG iguales á dichos dos rectost
luego * las rectas AG 1 CO son paralelas. * P'* *3*

PROPOSICIÓN XXVÍ.

TEOREMA^

"Dos rectas AB , CD , paralelas á una tercera , son Fig. %%,
paralelas entre si.

Tírese la secante PQR perpendicular á EF. .

Ya que AB y EF son .paralelas , PR será perpendi-
cular á AB^; igualmente , por ser CD paralela. á EF, «Pr. sj.
la secante PR será perpendicular á CD : luego son pa- Cor. i.
ralelas.^ . «Pr. tt.

PROPOSICIÓN XXVit

TEPREMA. ,

k •

Dos paralelas siempre equidistan erare s(^ ^ t

Entre las dos paralelas AC, BÍ) tírense á discreción ^* 39*

las dos perp^diculare^ A^ -y CD rv^g;^ que estas dos

perpendiculares serán iguales.

Las rectas AB , CD , perpéfndiculares á una de las

paralelas , lo son también á la otra -^ ; y si se levanta en ♦ Pr. 3 j.

U mitad de AC la perpendicular EF ,' también la- EF

«era perpendicular á BD j de modo que todos los án^ü'

• • •

l8 GEOMETRÍA.

los en A , E , C , B , F , D serán rectos. Esto sentado,
digo que el quadrilátero AEFB puede sobreponerse y
coincidir con el' otro quadrilátero CEFD , porgue el la-
do EF es común , el ¿igulo AEF es igual á FfiC , y los
lados EA , £C son iguales por construcción! lluego el
punto A coincidirá con C. Pero el ángulo EAB^ es igual
á ECD : luego AB y CD estarán en una misma direo^
cion. Por otra, par^ el ángub EFB es también igual á
EFD : luego BF y DF siguen la- misma dirección : luego
los dos quadriláteros coincidirán perfectamcate tino con
otro , y tendremos por último A£|=:CD.

PROPOSICIÓN xxyiii.

• • ■ • -

TEOREMA.

Fig. 40. Si dos ángulos BAC , DEF tíenen sus lados paralelos
. cada uno al suyo , y en una misma dirección , (dichos mgik^
los serán iguales.

Prolongúese , si es necesario , DE hasta que encuen-
tre á AC en G.

-Los dos ángulos DÉF , DGC son iguales, porque

• Pnag; EF* y GC sbn paralelas ^ ; el ángulo JXXJ^ BAC, por-

. qué JXj es patólela á AB : luego el -ángulo DEF = BAC.

Escolio. Se exceptúa esta proposición quando EF

y AC estén en unajotiisi^a dirección , y Ep en el mismo

sentido que Afe'; jxjrque si se prolonga FE hacia H , el

ángulo DEH tendrá sus lados paralelos á los de BAC;

pero estos ángulos no serán iguales , porque EH y AC

están en dirección contraria : en este caso Iqs dos ángulos

. HED y CAB^vaidrian ju¿tos dos rectos. ; :

' pRDPóslclON xxrx - '

TEOREMA.

»1». ■,!-.■'.■

\ Ifis ,ífl|dof qpwéiíojr de ^n faraklógr0mo son iguaks. , y
hmi^rnq s^f 4vgH^9^ • lo -j..

» 1. i 1 i '', I

LIBRO I. ' 29

Tírese la diagonal BD. Fíg. 44»

Los dos triángulos ADB , DBC tienen el lado BD
común ; ademas , á causa de las paralelas AD , BC , el
ángulo ADB = DBC ^ ; y por motivo también de las pa- ♦ Pr. 1 $•
ralelas AB , CD , el ángulo ABD=: BDC : luego los dos
triángulos BDA y BDC son Iguales ^ : luego el lado AB * Pr- 7-
opuesto al ángulo ADB , es igual al lado DC , opuesto
al ángulo igual DBC , y también son iguales los terceros
AD , BC : luego los lados opuestos de un paralelógramo,
son iguales.

£n segundo li^at;, de la igualdad de los mismos
triángulos se deduce que los ángulos A , C son iguales;
y también que el ángulo ADC , compuesto de los dos
ADB , BDC es igual á ABC , compuesto de los otros
dos DBC y ABD : luego los ángulos opuestos de un par^
ralelógramo son iguales.

Corolario. Luego dos paralelas BA y CD , compre-
hendidas entre otras dos AD y BC , son iguales.

PROPOSICIÓN XXX.

. .í

TEOREMA.

iSi^fi un quadrilátero ABCD los lados opuestos son ^^g- 44-
iguala '<f esto es \ AB =CD, y AD=BCj ¡os lados igua-^
kf- serán paralelos , y la figura será unr paralelógramo.
Tírese la diagonal BD. ^

Los dos triángulos ABD , BDC tendrán sus tres la-
dos respectivamente iguales : luego serán iguales : luegtf
el< iángíáa ADB j opuesto al lado AB , es 'i^ual á DBQ
opuesteá CD ; y por lo tanto» AD y BC son paráléfe^.^ * P^- «S-
R>r, una razón semejante AB efrí paralela "á GDr-hiego
el quadrilátero ABCD es uñ paralelógramo.

]0 GEOMETKÍA.

PROPOSICIÓN XXXL

TEOREBtA.

* ^ Si dos lados opuestos AB , CD de un quadrllátero son
iguales y partüelos , también los otros dos ¡o serán ,y lafi- •
gara ABCD será un parolelógramo.
Tírese la diagonal BD.

Por ser AB y CD paralelas, los ángulos alternos

•''■•5- ABD, BDC son ¡guales*, ademas, el ladoAB = DC,

y DB común; luego los dos triángulos ABD y DBC son

•Pr.tf. iguales *: luego el lado AD:=BC , el ángulo ADB =

DBC , y por consiguiente AD es paralela á BC : luego

la figura ABCD es un paralelógramo.

PROPOSICIÓN XXXII.

'"'í* 4S* Las dos diagonales AC , DB de un paralelógramo se
cortan mutuamente en dos partes iguales en el pun-
to O.

Porque si comparamos el triángulo ADO con et
triángulo COB , tendremos el lado AD=CB , el ángu-

•Pr «S- lo ADO = CBO * , y el ángulo DAO=OCB i Juego e*-
'' '^' tos dos triángulos son iguales * : luego AO, lado opuesto
al ángulo ADO , es igual á OC , opuesto á OfiC : luego
también DO=OB.

Escolio. En el losango son iguales los lados AB y BC,
y por eso los triángulos AOB , OBC , cuyos tres lados
son eespectívamente ^ales , son también ^ales ; de
donde se deduce que el ángulo AOB = BOC , y que así
las dot diagonales del lo&ango se cortan mutuamente en
ángulos rectos.

31

LIBRO IL

EL CÍRCULO Y LA MEDIDA DE LOS ÁNGULOS.

DEFINICIONES.

L JL/í

ra circunferencia del círculo es una línea curva, Fig. 45.
cuyos puntos equidistan todos de otro interior , llama-^
do centro.
Llámase circulo el espacio que abraza esta línea curva.

N. B. Algunas veces confundimos el ciiculo con su circunfe-
reúcia ; pere es muy fácil dar á cada una de estas voces su valor,
acordándose que el circulo es una superficie , que tiene longitud y
latitud , y la circunferencia es una linea.

• II. Toda recta CA , CE , CD , &c. , tirada del cen-
tro á la circunferencia « se llama radio ó semidiámetro^
y toda recta , que pasa , como AB , por el centro , ter-
minándose por ambas partes en la circunferencia , se Ua^
ma diámetro.

Según la definición del círculo todos tos radios son
iguales , y lo son también todos los diámetros , siendo
duplos de los radios.

III. Se llama arco una porción de circunferencia
qualquiera como FHG.

La cuerda ó subtensa del arco , es la recta FG , que
une sus extremos.

32 GEOMETRÍA.

IV. Segmento es la superficie ó porción de círculo
comprehendida entre el arco y la cuerda.

K. B. A una misma cuerda F6 corresponden siempre dos ar-
cos FHG , FEG , y por consiguiente cambien dos segmentos ^ pe-
ro siempre se supone que se traca del mas pequefio , á menos que
no se advlerca lo concrarlo.

V. Sector es la parte del círculo comprehendida en-
tre un arco D£ y los dos radios CD , CE tirados á sus
extremos.
Fig. 47. VI. Se llama línea inscrita en el circulo aquella^ cu-
yos extremos están en la circunferencia , como AB j An*
guio inscrito , todo el que , como BAC , tiene su vértice
en la circunferencia, y cuyos lados son dos cuerdas.

Triángulo inscrito , un triángulo como ABC , cuyos
tres ángulos tienen sus vértices en la circunferencia.

Y en general , figura inscrita toda la que tiene, los
vértices de sus ángulos en la circunferencia j y en este
caso se dice que el círculo está circunscrito á esta figura.
Fig, 48. VII. Se denomina secante toda, recta que encuentra
á la circunferencia en dos puntos , teniendo parte fuera
de ella, tal es AB.

VIII. Tangente es toda recta que solo toca á la cir-
cunferencia en un punto , como CD. El punto coniun M
se denomina punto de contacto.

IX. Igualmente son tangentes dos circunferencias,
quando no tienen mas, que un solo punto de contacto.

X. Ün polígono está circunscrito á un círculo , quan-
do todos sus lados son tangentes á la circunferencia , y
en este caso se dice también que el círculo está inscrito
en el polígono. , .

, LIBRO IT. 33

PROPOSICIÓN PRI^ÍERA.

TEOREMA.

Todo diámetro AB divide al ckculoy á su cireunfe-- pig. 49.
rencia en dos partes iguales.

Porque si sobreponemos la figura AEB á la AFB,
conservai^do la base AB , será menester quQ la línea cur-
va AEB caiga ei^áctameme. sobre la otra curva AFB;
pues de no ser así , habría en una ú otra puntos que no
'equidistarían del centro , lo qual repugna contra la de-
finición del circulo.

PROPOSICIÓN IL

.. TEOREMA.

Toda cuerda es menor que el diámetro.
i Á los^ extre^ios de la cuerda AD tírease los radios p| ^
AC,CD. ^•^'

.. , Tendremos Ifi línea jrecta AD<:ACh-CD,q AD
menor que AB. '

Corolario. Luego el diámetro es la recta mayor que '
se puede inscribir en un círculo, ó el diáiiietro es la ^ ^
mayor de tpd^s las cuerdas.
' • . . - . - ' . ' * • ' ,

PROPOSICIÓN III.

TEOREMA.

Una recta qualquiera no puede encontrón á la circurn
ferencia mas que en dos puntos.

Porque si la encontrara en . tres , estos tres puntos
equidistarían del centro , y seria entonces posible tirar
desde un mismo punto á una recta otras tres iguales , lo
qual es un absurdo. ^ Pr. x&

S

}4 geometría.

PROPOSICIÓN rv.

TEOREMA.

— I

En un misnu) circula , o en círcuhí í fundes , tm cuer-^
das iguales subtenden arcos iguales , y recíprocamente á
arcos iguales corresponden cuerdas iguales.
Kg- jo. Siendo los dos radios AC , EO ¡guales , y también
los arcos AMD'y'ENG : digo que la cuerda AD será
igual á EG. '.

Porque siendo ¡guales los dos diámetros AB , EF, el
semicírculo AMDB podrá sobreponerse ^' -coincidir con
el otro semicírculo ENGF, y la línea curva AMDB
ajustará perfectamente con la línea curva ENGF. Pero
suponemos la porción AMD igual á la porción ENG:
luego el punto D cointldirá con G , y las dos cuerdas
AD , EG serán iguales.

Recíprocarlfiénte', suponiendo siempre el radio AC =
EO 5 si la cuerda AD=:EG : digo que el arco AMD se-
rá igual al arco ENG.

Porgue una veí tirados lo.^ radios CD, OG, los dos
triángulos ACD y EOG tendrán sus tres lados respecti-
vamente iguales , ésto es^, AG±=EO , €D=:OG, AD=:
♦ Pr. II. £Q. . luego estos triángulos son iguales * ; y por cortói-
guíente el ángulo ACD = EOG. Pero sobreponiendo el
semicírculo ADB á su igual EGF , ya que los ángulos
ACD y EOG son iguales-, es claro que el radio CD
caerá sobre OG, y el punto D sobre G: luego los arcos
AMD y ENG son iguales.

PROPOSICIÓN V.

- TEOREMA.

En un mismo circulo , ó en circuios iguales , al mor^
yor arco corresponde mayor cuerda-^ y recíprocamente

.'LIBRO II. 35

( sieii^pre que los. aireos sean mejores que una semicir-*
C^nfví^eI;cia ).._., _ ; ,. .

Sea el arco AH mayor que AD.
.. . TíjTiíasé fe.v<:«etáa<i AD y AH) y los:5adios,CD,CH.'

.p)S'do$.k^ AC , CH del. triái^gulo>ACH son igu98 Fíg* $o.
les á los otrois.dos AC , CD.d^Ji triángwlp ACD ; eLán-»
gulp ACH,e§ mayouíque ACJ?: kiegp, ^ el terccer la^o, # p^ j^
AH es mayor .que, su. correspondipní^, AJ): Juego á marf Lib. i.
yor arcQ cprresp0ade mpyoi; cyqrd<^ , . . r, . ^ ;

Recíprotsainente , ^ sjijpon^p:bQ^.;lax:)ie^4^i4H^iwyor
que A£),. se. deducirá.'^ las mismos' trigngulosr que el
ingulo ACH es ni^yorqi^e.ACD ,.y por, lo ipí&mo tam-.

bien el arco AIí maypi?^ que. AD^ . * ^^ (

. ; J&|cq6"o. ¡5upw0fíiQ^ .qjue. ítos: í^ríjp. íe ^que^ .{retamos
spri íPtpnore* qw? uaa^i^^^Í9r<íyitfereflciiL..^í*orqji^ sifuftí,
ran mayores , se verifícaria la propiedad. j^pntr^rja; a^m
mentando el arco disminuirá la cuerda , y al revés. Así,
como el arco AKBD es mayor que AKBH , la cuerda AD
del primero es menor que la cuerda Ati del segundo.

PROPOSICIÓN VI. .

1 ('

TEOl^EMA.

El radio CG , perpendicular ,4 una cn^r^4 AB » d/vín^.pig, j,^
de agesta ^ü^rMíX ^ 9rcoAQ^ qw -íw^Jf^Wg e^, 4^i par-

,..; 'TírW.tos.^a4ios,C;^.,,CB. .^^ . j j -, , \ . >
Estos radios son , respecto á la perpendlculiy ^ dos;
obliquas iguales: luego ^quidiíitan de Jíi, perpendicular ^: * Pr. j6.

luegolADi^PR -H '•' ' •-■ •..'^^•>• . •^'^•'•

, . ^En segiíMido lligai?.^ ppr ser. AD=DB^,GC es una-

perpendicular le^ánífid^ en la^ mitad de Aj^: hiego ^ to- * 17.. u

dos s^s :punl;QS d^ben , equidistar d^ ios eá^tremos A , B.

El punto G es uno de ^llos : luego la disfsnpi^. AG =;.GB.

Pero si las dos cuerdas AG ,< GB s<;>a jgua^les , sus arco^;

respectivüs^jAG.i QB^. debe^ ajerio, t¿imbien -^r: luego el. ;

• . •

36 GEOMETRÍA.

radio CG , perpendicular á la cuerda AB , divide al ar-
co que dicha cuerda subtende en dos partes iguales en el
punto G.

' ^Escolio. "El i^entro: C , el punto D mkad de la cuer-
da AB , y G mitad del arco que subtende , son tres |>un-
tos situados en una misma recta perpendicular á la cuer-'
da. Pero es así que bastan dos puntos para determinar
la posicio^^ de uha recta : luego toda recta , ^ue pase por
dos de los mencionados* "puntos , pasará indefectiblemen-
te por el tercero^ y será perpendicuíar á la- cuerda.

Dedúcese dé' aquí que la perpefidicúlar levantada en
la mitad de una cuerda , pasa por el centró , y por el
medio del arco que dicha cuerda subtende.

Porqué QSta 'perpendicular és la misrrín que se podría
tir^r del ceiit^ á la (:uerda, pae& ambas. pasan por el
medio de esta.--

> . I

PROPOSICIÓN vii:

'' teoríema.

Fjg. ga. ^^ ^^^^ puntos dados A , B , C , como no estén en li-
nea recta , se puede hacer pasar siempre una circuuferen-
. ■'• ría ; pero solo puede pasar una.

Tírense las tectas AB , BC, y divídanse- eii dos par-
tes iguales' con las perpendiculares DE , FGrdigo des^
de luego que estas perpeiidi¿ulares se encóhtraráñ en un
pimto O.

Porque las rectas DE, FG se cortarán por preci-
sión si no son paralelas. Pero supongamos que lo son:
la recta Afi ,* perpendicular á DE , lo será también i
♦ ac X. FG"* , y ef ángulo K seria «recto ; pero BK , prolonga-
ción de BD , es diferente de BF , ' pues tes tres puntos
A , B , C no están en una misma línea recta : luego ha-
*Pr i< ^^^^ ^^ perpendiculanes á una misma línea tiradas
Lib. X. desde: un mismo punto •, lo que es impc^ible ''^ : luego

LIBRO II. Í7

las dos perpendiculares DE , FG se cortarán siempre en
im punto O.

Este punto , como perteneciente á 1^ perpendicular
DE , está á igual distancia de los dos A , B ^ ; el mismo «pr. i^;
jHfnto f como parte de la -perpendicular FG , equidista Lib. i.*
de los dos B, C : luego las tres distancias OA , OB, OC
son iguales : luego la circunferencia descrípta desde el
centro O , y con el radio OB , pasará pi» los tres pun-*
tos dados A , B^ C

Ya está probado que se puede hacer pasar , siempre
que se quiera , una circunferencia por tres pantos , que
no estén en linea recta : digo ademas que solo se puede
hacer pasar una.

Porque si hubiera otra segunda circunferencia , que
pasase por los tres puntos dados A , B , C , su centro no
podria estar fuera de la recta DE ^, pues entonces no *Pr. 18.
equidistaría de los puntos A , B ; tampoco podria estar ^^^' *•
fuera de la recta FG , por una razón semejante : luego
estarla á un tiempo en las dos rectas DE , FG. Pero es
así que dos líneas rectas solo pueden cortarse en un pun- •
to : luego por tres puntos dados solo puede pasar una
circunferencia.

Corolarior Dos circunferencias no pueden encontrar-
se en mas de dos puntos ; porque si tuvieran tres pun-
tos comunes , tendrían un mismo centro y y ambas se
confundirían en una sola. . / ' '

r

4 . -i •■

PROPOSICIÓN VIII.

TEOREMA.

■ Dos cuerdas iguales 'dhtan igualmeiít^ del centro , y
de dos éuerdas desiguales' ^ aquella^ dista rhas del centro^
^e es; metitíry ' ^ ' ' ' v ' -

i.^ Sea la cuerda AB = DE. . ' ^^2- 53-

Divídanse e^tas cuerdas en dos partes iguales con las
perpendiculares CF, CG, y tíreme los radios CA, CD.

38 GEOMETRÍA.

Los triángulos rectángiiilos CAF^ DCXj tienen las hi-
potenusas CA , CD iguales ; ademas , el lado AF , mi-
tad de AB, es igual á IXr j mitad de .D!^ i, luego estos
* Pr, tS, triángulos son iguales * , y el tercer lado CF dei uno es
Lii>. I. igual al tercero CG del otro : luego i.** las dos cuerdas
iguales AB , DE equidistan del centro. :

2.** Sea- la cuerda AH mayor que. DE, ^1 arco AKH

*Pf- S- será también mayor que el arco DME*. Sobre. el arco

AKH tómese la parte ANB = DME , tires^e la cuerda

AB , y tíresele á esta la perpendicuMr CF , y á la AH

la Cl. Es claro que CF es mayor que CO , y CO ma-

*i^k ^^' y^'^ ^^^ CI^: luego con mucha razón será CF>CL

Pero CF es igual á CG , pues las cuerdas AB , DE son

guales: luego tenemos CG>CI. Luego finalmente de

dos cuerdas iguales es la menor la que di:>ta mas dei

* centro.

Lib. X.

é ^ t

PROPOSICIÓN IX.

TE0R5MA.

• . ' .

Fig. S4- Toda recta BD , perpendicular en el extremo de un
radio. CA , es tangente á la circunferencia,
. Porque. toda obliqüa CE es mas larga que la perpen-

* Pr. 1 5. dicukr CA ^ : luego el punto E está fuera del círculo,
Lib, I. y la línea BD no tiene mas que el punto A . común con

* I^ef. 8 la circunferencia : luego BD es una tangente. ^

Escolio. Por' un punto dado A no se puede tirar mas
que una tangente á la circunferencia ; porque si pudiése-
mos tirar otra , esta no seria peírpendicular al radio CA:
luego con relación á esta nueva tangente , dicho radio
seria, una obliqüa, y la perpendicular ,7tirada.desde el
centro á. esta tangente , seria .m^;pprta qm CA : luego
esta pretendida tangente entraría en el cír^^lo , y seria

secante.

- > ■ > - ' 1 « ^<i . . i .* *

PROPOSICIÓN X.

TEOREMA. *■■<■.

• ■ -' ■ . . ■ : : í . í

Dos arcos de la ctramferencia cortiú MN , PQ, inter^
ceptados por dos paralelas AB , DE ^ son iguales.

Pueden suceder tres casos,
• I.® Si las píaralelas son secantes^, tírese ^1 radio GH
perpendicular á la cuerda MP,

Este radio* será ai miimo tiemjnv perpendicular á la
NQ paralela á la MP ^: luego el punto H será á un tiem- « p^. ^^
po medio del arco MHP, y del arco NHQ ^. Tendremos, Lib. i. *
pues , el arco MH=HP , y el árco.NH=HQ ; de don- * P^- ^«
de resulta MH — NH=:HP--HQ , esw^¿^vMN=PQ.
2.^ Sí de lasaos paralelas AB, DE la una es secano-
te , y la otra tafigente , tírfese af pumo dé contacto H el»
radio CH. ^ c

. Este radio será perpendicular á la tangente DE^, «p^, ^
y también á su parálela WP. Pero pdr ser (2M perpendi^ .. .. /
cular'á la^ cuerda MP, el puátóH-^s imitad del are»
MHÍP i luego los arcos MH , HP ^ comprehendidos eiiL*-
t^e las paraielás AB, DE , son iguales, - ; -

$.^ En fin , si las tíos paralelas DE, LI son tangen*^
tes , la una en H , y la otra ení K , tírele la secante pa^
ralela AB.

Según lo que acábahioá de ' demostrar , tendremos
MH=HP , y MKrrKP : luego el arco entero H]VjK=:
HPK , y se ve ademas- qué cada uno de estos arcos es
una semicircunferencia,

P«iOP08ICION XI* » ' ^^

St dos ciramferenciasi se cortan en dos puntos , lárei^a
que pase por sus ceHif(^ sé¥épe¥pendiculUi' ó la"-€uerdé^^

40 GEOMETRÍA.

une los puntos de intersección , y la dmdirá en dos partes
iguales.

F*g- S7- Porque la recta AB , que une los puntos de ¡nter-

y i^* sección , es una cuerda común á ambos círculos , y si en

el medio de esta cuerda se levanta una perpendicular,

• Pr. 6. debe posar esta por los dos centros C y D *. Pero por
dos puntos dados no se puede tirar mas que una línea
recta : luego la que pasa por ios centros será perpendi-
cular á la cuerda común, dividiéndola en dos partes
iguales.

PROPOSICIÓN XIL

TEOREMA-

5; la distancia entre dos centros es mas corta que h

suma de los radios ^y^il mismo tiempo el radio mayor

es menor que. la suma 4^1 mas pequeño y de l<i distancia

^íg- 17- entre los centros , los dos círculos se cortarán.

^ ^ * Porque para que se verifique la iaterseccion ^ es pre-

Fijr. <7>^^ V^' ^®^^ posible el triángulo CAD, Es menester,

pues, no solo queiCD sea <AC-t-AD , sino también

que el radio mfyor. AD se^ < AC-4-CD* Pero es cviden-

^^' ^ ' te, que siempre que se pueda construir el triángulo CAD,

las dos circunferencias descritas desde los centros C,

D ^ 5ie cortarán en A y B. . . .

, PROFOSICIpN XIIL: .

; ., \ . TEOREMA.

Fíg. sp. Si la distancia CD entre los centros de dos circuios es
igual á la sumcfid^ sus radios ^Qy^JiX>y§stos dos círculos
serán tangentes exteriorment^

Es claro que tendr.án jél planto A tíomun ; pero ten-
drán solo este punto , porque para que tuyiesen dos pun-
to*, {comunes j ^eria n^enester q^ la distaacía entre los
Mientras fu^eseí pie^tior que la suraat ^ los radios.

. LIBRO II. 41

PROPOSICIÓN XIV.

TEOREMA.

Si la distancia CD entre los centros de dos cfreuhs es f ¡g. (Jq,
igual á la diferencia de sus radios CA ^ AD , estos dos
círculos serán tangentes interiormente.,

£s claro desde luego que rienen el punto A comu%
y que no pueden tener otro ; porque para esto seria
menester que. el ra^dio mayot AD fuese menor que la
suma del radio AC y de la distancia CD de los centros^, •Prop.i a.
lo que es imposible.

Corolario. Luego si dos círculos son tangentes ezte^
riQr ó iñt^iormente , los centros \y el punto de cohtao , - ;. ^
co están en una misma línea recta*

Escolio. Todos los círculos , cuyos centros están en la pj^ ^^
recta CD , y que pasan por el punto A , son tangente» y 60.
unos á otros y y solo . tienen comim dicho punto A. Y si
por este punto se tira la AE perpepdicular á CD , la
irecta ^C sei?á una tangieQte común á todos estos circuios

' ' '• ' •

PROPOSICIÓN XV.

. TEOREMA.

En un mismo dtculo y lo en círculos iguales , los ángu^ pig. 6u
los iguales ACB^ DC£ , cuyos vértices están en el centro^
interceptan en la . circuf^erencia arcos iguales AB , DE.

Reciprocamente , si los arcos AB y DE son iguales^
los ángi^os ACB y DCE lo serán también^

Porque i.'' Si el ángulo ACB es igual á DCE y estos
dos ángulos podrán sobreponerse uno á otro y y como sus
lados son iguales y es claro que el punto A caerá en D,
y B en £. Pero en este caso también el arco AB debe
coincidir con el arco DE ; porque si estos dos arcos no
se confundiesen en imo solo y habría en uno ó en .otra

6

\

42 GEOMETRÍA.

puntos que no equidistasen del centro , lo que es impo-
sible : luego el arco AB es igual al arco DE.

2.° Si suponemos AB=D£ : digo que los dos ángu-
los ACB y DC£ serán iguales. Porque si no lo son , sea
ACB el mayor , y tómese ACI = DCE. Tendremos , se-
gún lo que se acaba de demostrar , AI = DE ; pero
por suposición el arco AB = DE : luego AI == AB ^ ó la
parte igual al todo , lo que es un absurdo : luego el án-
gulo ACB=:DCE.

PROPOSICIÓN XVI.

TEOREMA*

Fig. 6%. En un mismo chrculo ^6 en círculos iguales , si dos án*
galos del centro ACB , DCE estím entre si en razón de
dos números enteros j los arcos interceptados estarán en la
misma razón , y tendremos esta proporción.'

Ángulo ACB : áng. DCE : : arco AB : are. DB.

Supongamos , por exemplo ^ que los ángulos ACB^
DCE siguen la razón 'de 7 á 4 ; ó lo que es lo propio^
supongamos que el ángulo M , que hace veces de co-
mún divisor ) es siete veces menor que el ángulo ACB,
y quatro veces menor que el ángulo DCE. Siendo iguales
entre si los ángulos parciales ACm, mCn, nCp, &c., DCx,
xCy , &c. , los arcos parciales Am , mn , np , &c. ^ Dx^
'^* xy , &c. lo serán' también^: luego el arco total AB será
al arco total DE , como 7 á 4. Pero es evidente que lo
mismo se verificaria poniendo en lugar de 7 y 4 otros
números qualesquier^ : luego si se puede expresar en
números enteros la razón de los ángulos ACB^ DCE,
los arcos AB, DE estarán en la misma razón que di-
chos ángulos.

Escolio. Reciproclunente y si los arcos AB , DE si**
guen la razón de dos números enteros , los ángulos ACB,
DCE estarán en la misma razón , y siempre se verifica-^
rá ACB : DCE :: AB : DE ; porque los arcos parciales

LIBRO II, 45

Am , mn , &c. , Dx , xy , &c. son iguales , y deben ser*
lo por consiguiente los ángulos parciales ACm, mCn , &c.
DCx , xCy , &c;

PROPOSICIÓN XVIL

TEOREMA*

Sea qual fuere la razón entre dos ángulos ACB^ pig. ^3.
ACD , sieimpre será la misma que la de sus arcos AB^
AD , interceptados entre sus lados , y descritos desde sus
vértices como centros con radios iguales.

Supongamos el ángulo menor puesto en el mayor.
Si no se verifica la proporción mencionada^ el ángulo
ACB será al angula ACD como el arco AB es. á xm afeo
mayor ó menor que AD. Supongamos que sea mayor, y
representémosle por AO ; tendremos

Ang. ACB : áng. ACD r : are, AB : are. AO.

Imaginemos dividido el arco AB en partes iguales,
cada una de las quales sea menor que DO ; habrá á la
menos un punto de división entre D y O» Sea I este pan-
to , y tírese CL Los arcos AB , AI seguirán la razón dé
dos números enteros ^ y tendremos en virtud del teorema
anterior:

Ang. ACB : áng. ACI : : are. AB : are. AI.

Nótese que en «stas dos proporciones $on los mismos
los antecedentes , y por consiguiente: tos consecuentes
serán proporcionales y y así :

Ang. ACD r áng. ACI : : are* AO : are» AI.

Pero el arco AO es mayor que el arco AI : luego se-^
ria menester , para. que sul¿istiese la proporción , que e\
ángulo ACD fuese mayor que el ángulo ACI j pero es
así que es menor: haego^es'imposíhle que «I angula ACB
sea el ángulo ACD, como el arco AB es á un arco mayor
que AD.

Por un método enteramente parecido se demostra*^
ria que el quarto término 4e la projporcíonno puede ser*

44 GEOMETltÍA.

menor que AD : luego es el mismo AD ^ y tenemos la
proporción.

Áng. ACB : áng. ACD : : are. AB : are. AD.

Corolario. Ya que el ángulo formado en el centro del
círculo, y clareo interceptado por sus lados tienen tal
conexión entre sí , que quando uno de ellos aumenta ó
disminuye en una razón qualquiera , también el otro au-
menta ó disminuye en la misma razón , podemos esta-
blecer una de estas cantidades "pam medida de la otra;
asi tomaremos en adelante el arco AB para medida del
ángulo ACB. Lo único que hay que observar al compa-*
>ar ios ángulos entre sí es , que los arcos que les sirven
de medida estén descritos con radios iguales; porque
en este supuesto hemos tratado todas las proposiciones
anteriores.

Escolio L Parece mas natural medir una cantidad por
otra de su misma especie , y baxo este principio conven-
drá comparar todos los ángulos al recto. De este modo,
f iendo él ángulo recto la unidad de medida , un ángulo
agudo se expresaría por un número comprehendido entre
o y I , y un obtuso por otro comprehendido entre i y 2.
Pero este modo de expresar los angulas no seria muy có->
modo para el uso ; se ha visto que es mas sencillo me-
dirlos con arcos de círculo , por lo fácil que es hacer ar-
cos iguales á arcos dados , y por otras muchas razones.
Por U> demás , si la medida de los ángulos por arcos de
círculo es en cierto modo indirecta , es sumamente fácil
sacar por este medio la medida directa y absoluta ; porque
comparando el arco que mide á un ángulo con el qua-
drante de la circunferencia 9 tendremos la razón del án^
guio dado al recto, que es la medida, absoluta;

• Esf olio li. Quanto se ha demostrado en las. tres pro-
posidones antecedentes para la comparacioa de los án-
gulos con 1q3 arcos , se verifíca igualmente 'Cn la de los
sectores con los arcos ; porque los sectores son iguales
quando lo son los ángulos -f y gejaeralmentie son propor-
cionales a estos : luego dos sectoñs AC& ^ ACD > tom0-^

LIBRO ir. 45

dos en un mismo errado ó en circuios iguales , están entre
sí como los arcos AB, AD, bases de estos mismos sectores.
Aquí se ve que los arcos de círculo , que sirven pa-
ra medir los ángulos y pueden servir también para me^-
dida de los diferentes sectores de un mismo circulo ó
de círculos iguales.

PROPOSICIÓN XVIIL

TEOREMA.

El ángulo inscrito BAD tiene por medida la nútad pj» ^^
del arco BD comprehendido entre sus lados^

Supongamos desde luego que el centro del circulo
esté situado en el ángulo BAD.

Tírese el diámetro AE , y los radios CB , CD.
£1 ángulo BCE , externo del triángulo ABC , es
igual á la suma de los internos CAB , ABC ^ ; pero ♦ ao. i.
siendo isósceles el triángulo BAC, el ángulo CAB = ABC:
fasego el ánguk) BCE es duplo de BAC El ángulo BCE,
como ángulo del centro , tiene por medida el arco BE:
luego la medida del ángulo BAC^ será la mitad de BE.
Por una razón semejante , el ángulo CAD tendrá por
medida la mitad de ED: luego BAt-f-CAD, ó BAD
tendrá por medida la mitad de BE-4-ED , ó la mitad
de BD.

Siqsongamos en is^ondo lugar que el centro C está
fuera del ángulo BAD.

Tirando en tal caso el diámetro AE, el ángulo Fig. 6^.
BAE tendrá por medida la mitad de BE , el ángulo
DAE la mitad de DE : luego su diferencia BAD ten-
drá por medida la mitad de Jb£ menos la mitad de ED,
ó la mitad de BD.

lluego la medida de qualquiera ángulo inscrito es . /^
la mitad del arco que abrazan sus dos lados.

Corolario I. Todos los ángulos BAC , BDC , &c. , Fig. 66.
inscritos en el mismo segmento , son iguales , porque

46 GEOMETRÍA.

tienen por medida la mitad del arco BOC.
Fig. 61. n. Todo ángulo BAD^ inscrito en el semicírculo^
es un ángulo recto , porque tiene por medida la mitad
de la semicircunferencia fiOD , ó la quarta parte de to-
da la circunferencia.

Para demostrar esto mismo de otro modo , tírese el
radio AC Por ser isósceles el triángulo BAC , el ángu-
lo BAC=:::ABC ; también es isósceles el triángulo CAD,
luego el ángulo CAD = ADC : luega BACh^CAD , ó
BAD=ABD-hADB; pero si los dos ángulos B y D del
triángulo ABD valen juntos el tercero BAD , ios tres
valdrán dos veces el ángulo BAD ; valen ademas dos
rectos ; luego el ángulo BAD es un ángulo recto.

Fig. 66, in. Todo ángulo BAC j inscrito en un segmento
mayor que el semicírculo , es agudo y porque su medida
es la mitad del arco BOC menor que una semicircunr-
ferencía.

Y todo ángulo BOC , Inscrito en un segmento me^
ñor que el semicírculo , es un ángulo obtuso , porque
tiene por medida la mitad del arco BAC mayor que
una semicircunferencia*

Fig. 68. iv^^ Lo^ ángulos opuestos A y C de un quadriiátero
inscrito ABCD valen juntos dos rectos , porque la me-
dida del ángulo BAD es la mitad del arco BCD , la
del ángulo BCD es la mitad del arcST BAD : luego los
dos ángulos BAD, BCD tienen juntos por medida la
mitad de la circunferencia : luego su suma vale dos
rectos.

PROPOSICIÓN XIX.

TEOREMA.

Fig. 6p. El ángulo BAC, formado por una tangente y una
cuerda , tiene por medida la mitad del arco ADC com^
prehendido entre sus lados.

Al punto de contacto A tírese el diámetro AD*

\

LIBRO íl. 47

El ángulo B AD es recto ^ , y tiene por medida la 4» p^
mitad de la semicircunferencia AMD ; la medida del
ángulo verdadero DAC es la mitad de DC : luego la
medida de BAD-4-DAC, ó de BAC es la mitad de
AMD mas la mitad de DC , ó la mitad del arco ente-.
ro ADC-

Igualmente' se demostraría que la medida del ángu-
lo CAE es la mitad del arco AC ^ qúíe- sus lados
abrazan.

Problemas relativos á los dos primeros libros.

PROBLEMA I.

«

Dividir la recta dada AB en dos partes iguales. Fig. 70.

Desde los puntos A y B , como centros , con un ra-
dio may^r que la mitad -de AB, descríbanse dos arcos
que se corten «n D-, cuyo punto equidistará de A y B;
señálese ademas encima ó debaxo de la linea AB un se-
gundo punto E igualmente distante de A y B , y tírese
por los dos puntos' D , E la recta DE : digo que DE
cortará á la línea AB en dos partes iguales en el punto C

Porque equidistando «cada uno de los puntos D y E
de los extremos A y B , deben hallarse ambos en la
perpendicular levanmda en la mitad' de AB. Pero por
dos puntos dados solo puede pasar una linea recta : lue-
go la línea DE será esta misma perpendicular , que cor^
ta á la AB ea dos partes iguales en el* punto^C.

PROBLEMA ir.

'} ^ • t f *

Por un punto A , dado en la linea AB, levantar uña Fig. 71,
perpendicular á dicha linea.

Tómense los puntos R y G á Jguatl dtstáílciá de A; ^ í ^
desde ellos , como ceitfros , y con un -rlkdio mayor que

48 GEOMETRÍA.

BA , trácense dos arcos que se corten en D , y tírese
fmalmente AD , que será la perpendicular que se pide.

Porque el punto D , por estar á igual distancia de
B y de C , pertenece á la perpcndicolar levantada en
la mitad de BC : luego AD es efSta perpendicular.

Escolio, Esta misma construcción sirve para hacer
un ángulo recto BAD en un punto dado A en una lí-
nea determinada BC.

PROBLEMA III,

Fig. 7». Tirar una perpendicular á una recta dada BD desde
ün punto A , fuera de ella.

Desde el punto A , como centro , y con un radio
suficiente , trácese up arco que corte á la linea BD en
dos puntos B y D ; señálese luego un punto £ , equi-
distante de B y D , y tírese AE , que será la perpen-
dicular pedida.

Porque los dos puntos /A y £ están c^idft uno á
igual distancia de B y D: luego la rcQta AE.e^ per-
pendicular en la mitad de BD.

PROBLEMA IV.

^i& 73- En el punto A de la linea AB formar un ánguh igual
al dado K. .

Desde. ^1 vértice- K, como centro ^ y con un radio
arbitrario , descríbase el arco IL , terminado en los dos
Jados del ángulo ; desde el punto A y como centro , y
con ün r^dio ^A^spKI^ trácese el c^rco JndeGnido BO.
Tómese luego im radio igual á la cuerda LI , y desde
el punto B , como e^ntro^ (rácese, cQ^n este radio un ar-
co que corte en D al arco indefinido BO ; tírese final-
mente AD 9 y el ái^lo DAB ^erá igual al dado K.

Porque los dos arcos BD^ IL tienen radíos y. cuerdas

♦ 4- a- W^^^^ ' ^^!^^ sc^ igt»ates f ,\y por fjonsigwente el án-
gulo BAD =xíKL.

JLIBRO II. ^ 49

PROBLEMA V. :

Dividir un ángulo ú arco dado en dt>$ partes iguales. ^'8* 74»
i.^ Si se trata de dividir el arco AB en dos par*^
tes iguales , desde los puntos A y B^ como centros , y
con un mismo radio , trácense dos arcos que se corten
en D ; por el punto D y el centro. C tírese CD , qu^
cortará Á arcp AB en dos partes iguales en el punto E.

Porque los dos puntos C y D están cada uño igual-
mente distantes 4e los extremos A y B de la cuerda
AB : luego la linea CD es perpendicular en la mitad de
esta cuerda : luego divide al arco AB en dos partes
iguales en el punto E. -^ * <5. a* -

2.** Para dividir el ángulo ACB en dos parteába-
les , empezaremos trazando desde el vértice C , comQ
centro , ,el arco AB , y lo demás , como acabamos de
decir. Claro está que la línea CD dividirá al ángulo ACB
en dos partes iguales.

Escolio. Esta misma construcción puede servir para
dividir cada una de las mitades A£ , £B en dos partes
iguales i de este modo se dividirá un arco ó ángulo por
subdivisiones succesívas en quatro^ ocho, diez y seis,.&c.
partes iguales.

PROBLEMA VI.

/* Ptxr un punto dado A tirar una paralela á la linea da^ «.

da BC * '^*

Desde el punto A , como centro , y con un radio su-
ficiente , trácese el arco indefinido EÓ. Desde el punto
E , como centro , descríbase con el mismo radio el arca
AF , tómese ED= AF , y tírese AD , que será la para-
lela pedida. ,

Porque tirando AE , vemos que los ángulos alter-
nos AEF , EAD son iguales : luego las rectas AD , EF
son parálenlas. * ' »#as.i.

7

50 GEOMETRÍA.

PROBLEMA VIL

Fig. i6. Dados dos ángulos A y B en un triángulo , hallar el
tercero.

Tírese la línea indefinida DEF ; hágase en el punr*
' to E el ángulo DEC=A, y el ángulo CEH=iB : digo
que el ángulo restante HEF será el tercero pedido.
Porque estos tres ángulos valen juntos dos rectos.

PROBLEMA VIIL

Trazar un triángulo , dados sus dos lados B yC y y
^'^Z' 77- el ángulo comprehendido A.

Habiendo tirado la linea indefinida DE , hágase en
el punto D el ángulo EDF = A , tómese después DG=2
B, DH=C, y tírese GH ; DGH será el triángulo
pedido.

PROBLEMA IX.

Describir un triángulo dado un lado y dos ángulos.
Los dos ángulos dados serán , ó ambos adyacentes
al lado dado , ó adyacente el uno , y opuesto el otro. En
este último caso búsquese el tercero , y tendremos de
este modo los dos ángulos adyacentes. Esto sentado , tí-
^^' * ' resé la recta DE igual al lado dado ; hágase en el pun-
to D el ángulo EDF igual á uno de los adyacentes , y
en el punto E el ángulo DEG igual al otro ; las dos lí-
neas DF , EG se cortarán en H , y DEH será el trian*
guio pedido.

PROBLEMA X. ^

Trazar un triángulo dados sus tres lados A , B , C.
Pig. ^p. Tírese DE igual al lado A ; desde el punto E , co-
mo centro > y con un radio igual al segundo lado B,
descríbase un arco. Desde el punto D , como centro , y
/' con un radio igual al tercer lado C , describase otro

tIBRO II. 51

arco , que corte al primero en F ; tírese DF , EF , y
I>£F será el triángulo pedido.

Escolio. Si uno de los lados fuese mayor que la
suma de los otros dos i no se cortanaa los ar¿os ; pe-
ro siempre será posible la resolución ^ con tal que la
suma de dos lados qualesquiera sea mayor que el
tercero.

PROBLEMA. XI* . .

Trazar un triángulo dados dos lados AfB^yel
ángulo opuesto C. ^* *^-

Hay dos casos : i.^ , si el ángulo C es recto ú ob-
tuso 9 hágase igual á él el ángulo £DF ; tómese DE =:
A ^ desde el punto E , como centra, y con un radio •'
igual al lado dado B : trácese im arco , que corfie en F
á: la línea DF ; tírese EF , y DEF será el triángulo
pedido.

En este primer caso es menester que el lado B sea
mayor que A , p<»*que siendo recto á obtuso el ángulo
C , es el mayor de los ángulos del triángulo : luego el
lado opíiesto debe ser taimbien. el ifaayor.

2.^ Sid ángulo C es agudo, y B es mayor que A, Fig. 81.
se verifica la misma construcción , y es DEF el triángu^
lo pedido;.

; Pero $i , siendo agudo el ángulo Cy el lado B es me- Fig. 8ft.
nor* qué A -^ entonces el arco descrito ' desde , el centro
E con el radio EF=B, cortará al lado DF en dos pun«-
•tos F y G , situados al' mismo lado de D : luego habrá
dos triángulos DEF , DEG , que satisfarán igualmente
el problema.

Escolio. Seria, imposible el problema en. todos casos^
si el lado B fuese menor que la perpendicular tirada á
la línea DF desde el punto £.

» ••

5^ GEOMETRÍA.

PROBLEMA XII.

Fig. 83. Hados los lados adyacentes Ay B de un paralelógra^
mo j y el ángulo C que comprehenden , formar el para^
lelógramo.

Tírese la linea D£= A , hágase en el punto D ^
ángulo FDE=C, tómese DF=B; descríbanse dos ar--
eos , uno desde el punto F como ce&tro , y con el radio
FG=DE 9 y el otro desde el punto £ como centro , y
con un radío £G=:DF. Tírense al punto G^ común
intersección de estos dos arcos, las rectas FG, £G;
y DEGF será el paralelógramo pedido.

Porque según la construcción , los lados opuestos son
* 19* <• iguales : luego la figura descrita es un paralelógramo ^^
ijue está formado con las lineas y el ángulo dado.

Corolario. Si el ángulo dado es recto , la figura será
un rectángulo ; y si además son iguales los lados , será
un quadrado.

PROBLEMA XIII.

pi 84* Hallar el centro d^ sm círculo ó de un arca dado.

Tómense en la circunferencia ó en el aico tres pun-
tos qualesquiera A , B, C ; tírense ó imagínense tiradas
loB rectas AB y BC , divídanse estas dos lineas en dos
partes iguales con las perpendiculares D£') • FG ; el
punto O, donde se encuentran estas perpendiculares,
será el centro que buscamos.

Escolio. La misma construcción sirve para hacer pa-
sar una circunferencia por los t^s puntos dados A . B,
C ; y también para trazar una circunferencia en que
quede inscrito el triángulo dado ABC.
. , . ^' -

PROBLEMA XIV.

Por un punto determinado tirar una tangente á un
circulo dado.

LIBRO ir. 53

Si el punto dado A está en la circunferencia , tírese F^- S¿.
el radio CA , y á este la perpendicular AD , que será
la tangente pedida.^ p. «.

Si el punto A está fuera del círculo , tírese por el Fig. 8tf.
punto A , y el centro la línea recta CA ; divídase CA
en dos partes iguales en el punto O , desde el punto O,
como centro , y con el radio OC , descríbase una cir-
cunferencia que corte á. la dada en el punto B ; tírese
la recta AB , y esta será la tangente pedida.

Porque tirando la línea CB , el ángulo CBA , ins-
crito en el semicírculo, es recto ^ : luego AB es per-* i8. a.
pen'dicular en la extremidad del radio CB: luego es
tangente.

Escolio, Quando el punto A está fuera del circulo,
^se ve que siempre hay dos tangentes iguales AB , AD
que pasan por este punto. Son iguales porque los trián-
gulos rectángulos CBA , CDA tienen comim la hypote*
nusa CA , y el lado CB = CD : luego son iguales^: lue^ * i8. i.
go AD = AB , y también el ángulo CAD = CAB.

PROBLEMA XV.

Inscribir un circulo en un triángulo dado ABC.

Divídanse los ángulos A y B en dos partes iguales
con las líneas AO y BO , que se encontrarán en O ; dtsr
de este punto tírense á los tres lados del triángulo las
perpendiculares OD , OE , OF : digo que estas perpen^
diculares serán ¡guales entre sí.

Porque, por construcción, el ángulo DAO= O AF,
el ángulo recto ADO=AFO : luego los terceros AOD
y AOF son iguales. Además el lado AO es común á los
dos triángulos AOD ; AOF , y los ángulos adyacentes al
lado igual son iguales, y por te mismo DO=:^OF« Del
mismo modo se probará que son iguales, los dos triángu-
los BOD, BOE ; luego OD=:OE : luego las tres per-
pendiculares son iguales entre sí. .

Ahora, 'si desde el punto O, como centro 9. y con

54 GEOHETRfA.

el radío OD, trazamos una circunferencia, claro está
que dicha circunferencia estará inscrita en el triángulo
ABC. Porque el lado AB , perpeudicukr en el extremo
del radio OD , es una tangente , y lo mtano sucede con
los lados BC , AC.

Escolio. Las tres rectas , que dividen en dos partes
iguales á los tres ángulos, concurren ea un mismo punb),

PROBLEMA XVI.

^¡S- 88. Sobre tma recta dada AB deicríbir un segmento capot

y ^' del ángulo dado C , esto es , un segmento tal , que todos

los ángulos inscritos en el sean iguales al ángulo dado C.

Prolongúese AB hacia D , hágase en el punto B el
ángulo DBE=C ; tírese BO perpendicular á BE y GO
perpendicular ea la mitad de AB ; desde el punto de en-
cuentro O , como centro , y con el radío OB, trácese uo
circulo , y AMB será el segmento pedido.

Porque BF , siendo perpendicular en la extremidad
del radio OB , es una tangente , y el ángulo ABF tiene
por medida la mitad del arco AKB *. Ademas el ángulo |
• 15. i. AMB , como ángulo inscrito , tiene taraWen por medi-
da la mitad del arco AKB : luego el ángulo AMfisABF
=: EBD =: C : luego todos los ángulos inscritos ea el seg-
mente AMB son iguales al dado C.

Escolio. Si el ángulo dado fuese recto , el s^;meaco
que buscamos sería el semicírculo trazado sobre el diá-
metro AB.

PROBLEMA XVII.

Fig. 90. Hallar la razón numérica de dos lineas rectas dadas
AB , CD , siempre que tengan entre si un común divisor.

Llévese la menor CD sobre la mayor AB tantas ve-
ces, como quepa ; dos veces , por exemplo , con el
residuo BE.
' Llévese el residuo B£ sobre la linea CD tantas v^-

LIBRO II. 55

ees como quepa; una vez, por exemplo, con la resta DF.

Llévese la segunda resta DF sobre la primera BE
tantas veces como quepa ; una vez , por exemplo , con
el residuo BG.

Llévese el tercer residuo BG sobre el segundo DF
tantas veces como quepa.

Continúese asi hasta que resulte un residuo que que»
pa en su anterior im número cabal de veces.

Entonces este último residuo será el común divisor
de las líneas propuestas , y considerándole como la uni-«
dad , se hallarán fácilmente los valores de las rectas an*
tecedentes ; y finalmente los de las líneas propuestas , de
donde se deducirá su razón en números.

Por exemplo, si hallamos que GB cabe dos veces
cabales en FD , BG sierá el común divisor de las dos lí-
neas propuestas. Sea BG==:i , tendremos FD^a } pero
EB contiene una vez á FD mas GB : luego EB= 3 ; CD
contiene una vez á EB mas FD: luego CD=s5 j y fi-
nalmente AB contiene dos veces á CD mas EB : luego
AB= 1 3 : luego la razón entre las dos líneas AB y CD
es la de 1 3 á 5 . Si tomásemos la linea CD por unidad^
la línea AB seria ^j ; y si AB fuese la unidad , seria

Escolio. El método que acabamos de explicar es el
mismo que enseña la aritmética para hallar el máximo
común divisor de dos números, y asi no necesita demos»-*
tracion algima.

Es muy posible que , por mas que se continúe la
operación , jamas se halle un residuo que quepa un nú-
mero cabal de veces en su antecedente. Entonces las dos
líneas no tienen común divisor , y son lo que llamamos
incomensurables j en breve veremos un exemplo de esto
en la razón de la diagonal al lado del quadrado. En tal
caso no se puede hallar exactamente la razón en núme»
ros ; pero despreciando el último residuo , daremos con
una razón mas ó menos aproximada , según se haya con
tinuado mas ó menos la operación*

j6 GEOMETRÍA.

PROBLEMA XVIII.

.. Dados dos ángulos A v B halíar su común divisor, si

Fií. oí. f - I - •

" ' /e tienen , y luego su razón numertca.

Descríbanse ojn radios iguales los arcos CD y EF,
gue miden estos ángulos ; comparemos luego estos arcos
como en el problema anterior , porque podemos sobrepo-
ner un arco ¿ otro del mismo radio como una linea rec-
ta á otra línea recta. Daremos de este modo con el común
divisor de los arcos CD y £F , si le tienen , y con su ra^
zon numérica. Esta razón será la misma que la de los án-
* 17. s. gulos dados ^ ; y si DO es el común divisor de los arcos
DAO será el de I0S ángulos.

Escolio. Así podemos haltaí el valor absoluto de un
ángulo , comparando el arco que le sirve de medida con
toda la circunferencia ; por exemplo , si el arco CD es á
la circunferencia como 3 es á 25 ^ el ángulo A será
los 5*y de quatro ángulos rectos, ó ^J de un recto.

Puede suceder también que los arcos que compara-
mos no tengan común divisor ; eq tal caso solo tendré- 1
tnos para los ángulos razones numéricas inas 6 menos
aproximadas , según se haya continuado mas ó meaos la
üperaóoo.

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LIBRO III.

PROPORCIONALIDAD DE LAS FIGURAS.

DEFINICIONES.

I. JLrlamaré figuras equivalentes á las que son
iguales en superficie.

Dos figuras pueden ser equivalentes , aunque sean
muy desemejantes ; un círculo , por exemplo , puede ser
equivalente á un quadrado ; un triángulo á un rectánn
guio , 8cc.

Conservaremos la denominación de figuras iguales
para las que , sobrepuestas una á otra , coinciden en to-
dos sus puntos : tales son dos circuios ^ cuyos radios sean
iguales ; dos triángulos , cuyos tres lados sean respecti-*
vamente iguales , &c.

II. Dos figuras son semejantes , quando tienen sus
ángulos iguales cada uno al suyo , y los lados homólogos
proporcionales. Por lados homólogos entendemos los que
están situados de un mismo modo en ambas figuras, 6
que están adyacentes á ángulos iguales. Estos mismos
ángulos se llaman también ángulos homólogos.

Dos figuras iguales siempre son semejantes ; pero
dos figuras semejantes pueden ser muy desiguales.

in. En dos círculos diferentes llamamos arcos seme^*
jantes ^ sectores semejantes , segmentos semejantes á los

. 8

5$ GEOMETRÍA.

que corresponden á ángulos del centro ¡guales.

Fig. pa. Así siendo el ángulo A igual al ángulo O ^ el arco
BC es semejante al arco DE , el sector ABC al sector
ODE , &c.
Fig. 93. IV. La altura de un paralelógramo es la perpendi-
cular EF , que mide» la distancia de los dos lados ó ba^
ses opuestas AB , CD.

Fig. 94. V. La altura de un triángulo es la perpendicular
AD tirada desde el vértice de un ángulo A al lado
opuesto BC , que llamamos la base.

fig. 9í' VI. La altura del trapecio es la perpendicular EF
tirada entre sus doá bases paralelas AB , CD.

VII. El área ó la superficie de una figura son tér-
minos casi sinónimos. El área denota mas particular--
mente la cantidad superficial de la figura , en tanto que
está medida ó comparada con otras superficies..

N. B. Para la inteligencia de este libro y de Jos siguientes es
preciso tener presente la teoría de las proporciones , para lo qual
se puede recurrir á los tratados ordinarios de aritmética y álgebra.
Solo haremos una observación , que es muy importante para deter-
minar el verdadero sentido de las proposiciones^^ y disipar coda la
obscuridad ya en la cabeza de la proposición , ya en la demostrar
cion.

Si tenemos la proporción A: B:: C: D, sabemos
qtie el producto de los extremos AxD es igual al de
los medios B x C

Esta verdad es incontestable con números ^ y lo es
también con dos cantidades qualesquiera , con tal que
se expresen ó imaginen expresadas en números, y esto
siempre se puede suponer. Si A , B , C , D , por exem-
pío , son lineas , podemos imaginar que una de estas
quatro líneas ^^ ó una quinta , si queremos , sirve á todasi
de común divisor, y hace veces de unidad; entonces
A , B , C , D representan cada una un cierto número
de unidades , entero ó quebrado , comensurable ó inco-«
mensurable y y la proporción entre las lineas A , B , C,

LIBRO iir. 59

D se convierte en una proporción numérica.

'Ei producto de las líneas A y D ^ que también se
llama su rectángulo , no es pues otra cosa que el núme-
ro de unidades lineales contenidas en A multiplicado
por el número de unidades lineales contenidas en D ; y
se concibe fácilmente que este producto puede y debe
ser igual ál que de un modo semejante resulta de las
líneas B y C.

Las cantidades A y B pueden ser de una especie,
lineas , por exemplo ; y las cantidades G y D de otra
especie , superficies , por exemplo^ En tal caso es preci-
so mirar siempre estas cantidades como números : A y
B se expresarán en unidades lineales , C y D en uni-^
dades superficiales , y el producto A x D será un nóme^
ro como el producto BxC.

En general , en todas las operaciones que hagamos
en las proporciones , debemos mirar siempre sus térmi-
nos como otros tantos números , cada qual de la espe-
cie que le conviene , y no nos costará trabajo alguno
comprehender estas operaciones, y las consecuencias
que de ellas resulten.

Debemos advertir también que muchas de nuestras
denominaciones están fundadas en varias de las reglas
mas sencillas del álgebra , que estriban también en axio-
mas conocidos. Así, si tenemos A = B-+-C, y multi-
plicados cada miembro por una misma cantidad M,
sacaremos A xM=BxM-+-CxM, Del mismo modo^ si
tenemos A=B-hC , y D=E — C , y sumamos las can-
tidades iguales., .borrando -f-C y — C , que se destru-
yen, sacaremos A-4-D=B-hE ; y así en los demás To-
do esto es evidente de suyo ; pero en caso de duda, *
bueno será consultar los libros de álgebra, y combinar

i asi ei estudio de las dos ciencias.

í

*'• ,

« •«

»*

6o GEOMETltÍA.

PROPOSICIÓN PRIMERA.

TEOREMA.

Los paralelogramos , que tienen bases y alturas igua^
teSj son equivalentes.
^^g* 9^- Sea AB la base común de los dos paralelogramos
ABCD , ABEF.

Ya que hemos supuesta que estos paralelogramos
son de una misma altura , las bases superiores DC , FE
estarán situadas en una misma línea paralela á AB. Pe^
ro tenemos por la naturaleza de los paralelogramos
AD=BC, y AF = BE; por la misma razón es DC= AB,
y FE =: AB : luego DC =:FE : luego quitando DC y FE
de la misma linea DE , las rectas CE y DF serán igua-

• X I X ^^*' S^K^^^^ ^^ ^4"^ ^^^ ^^^ triángulos ÜAV , CBE son

equiláteros entre sí , y por consiguiente iguales. *

Pero si del quadrilátero ABDE restamos el triángu-
lo ADF , queda el paralelógramo ABEF ; y si del mis-
mo quadrilátero ABED quitamos el triángulo CBE , que-
da el paralelógramo ABCD : luego los dos paralelogra-
mos ABCD y ABEF , que tienen la misma base y al-
tura son equivalentes,
Fig. 97. Corolario. Todo paralelógramo ABCD es equivalen-
te al rectángulo ABEF de igual base y altura.

PROPOSICIÓN 11.

TEOREMA.

Fig. p8- Todo triángulo ABC es la mitad del paralelégramo
ABCD , que tiene la misma base y altura.

♦ 31, I. Porque los triángulos ABC , ACD son iguales. *

Corolario I. Luego un triángulo ABC es la mitad del
rectángulo BCEF^ que tiene la misma base BC, é igual

t

y

LIBRO III. 6l

altura AO ; porque el rectángulo BCEF es equivalente
sd paralelógramo ABCD.

Corolario II. Todos los triángulos, que tienen bases
y alturas iguales y son equivalentes.

PROPOSICIÓN III.

TEOREMAb

Do; rectángulos de una misma altura siguen entre si
la razón de sus bases.

Sean ABCD , AEFD dos rectángulos , cuya altura ^^8- 99^
común es AD : digo que están entre sí como sus bases
AB , AE.

Supongamos primeramente que las bases AB, AE
sean comensurables entre si, y que estén , por exemplo,
en la razón de los números 7 y 4. Si dividimos AB en
siete partes iguales , AE contendrá quatro de ellas ; le-
vántese en cada punto de división una perpendicular á
la base, y se formarán así siete rectángulos parciales,
que serán iguales entre sí por tener la ¿nisma base y al-
tura. El rectángulo ABCD contendrá siete rectángulos
parciales , mientras que en AEFD habrá quatro : luego
el rectángulo ABCD es al rectángulo AEFD como 7 es
á 4 , ó como AB á AE. Esto mismo se puede aplicar á
otra razón qualquiera , que no sea la de 7 á 4 : luego,
sea qual fuere esta razón , siempre tendremos, con tal
que sea comensurable,

ABCD : AEFD : : AB : AE.

Supongamos , en segundo lugar , que las bases AB, Fig. 100.
AE sean incomensurables entre si : digo que también se
verificará :

ABCD : AEFD : : AB : AE.

Porque si esta proposición es incierta, permane* .
ciendo los mismos los tres primeros términos , el quarto
será mayor ó menor que AE. Supongamos que sea ma-
yor , y que sea

L

62 geometr/a.

ABCD: AEFD:: AB : AO.

Divídase la línea AB en partes iguales menores qoe
£0 y y habrá á io menos un punto de división I entre
£ y O : en este punto levántese la perpendicular IK;
las bases AB y AI serán comensurables entre sí , y ten-
dremos por lo que acabamos de demostrar
ABCD : AIKD : : AB : AI.

Fero tenemos por hypótesis -

ABCD : AEFD : : AB : AO. I

En estas dos proporciones los antecedentes son igua- ¡
les : luego los consecuentes son proporcionales, y resulta i
AIKD : AEFD : ; Al : AO.

Fero AO es mayor que AI : luego , para que subsis-
tiese esta proporción , seria menester que el rectángulo
AEFD fuese mayor que AIKD ; pero , todo al contra-
río , AEFD es menor : luego la proporción es imposi- |
ble : luego ABCD no puede ser ú AEFD , como AB es '
á uiu linea mayor que AE.

Por un razonamiento , enteramente parecido ^ se
probaria que el quarto término de la proporción 00 pue-
de ser menor que AE : luego es igual á dicho A£. |

Luego y sea qual se fuere la razón de las bases , dos
rectángulos ABCD, AEFD de una misma altura, siguen I
la razón de sus bases AB, AE. 1

PROPOSICIÓN IV. I

Flg. 101. Doí rectángulos qualesqmera ABCD , AEGF están
entre sí como los productos de bases y alturas , de modo
que tenemos ABCD: AEGF:: ABxAD: AExAF.

Habiendo dispuesto los dos rectángulos de modo que
los ángulos en A estén opuestos por el vértice ,■ prolon-
gúense los lados GE , CD hasta que se encuentren en H.
Los dos rectángulos ABCD ,. AEHD tienen una mis-
ma altura DA, y están entre sí como, sus bases AB,

-^

LIBRO IIÍ. 63

AE.^ Igualmente los rectángulos AEHD , AEGF tienen
una misma altura AE , y están por consiguiente como
sus bases AD y AF. Asi tendremos estas dos propor-
ciones

ABCD : AEHD : : AB : AE.
AEHD : AEGF : : AD : AF.

Multiplicándolas ordenadamente , y observando que
el término medio AEHD puede omitirse como multipli-
cador común al antecedente y al consecuente y ten-
dremos

ABCD: AEGF:: ABxAD: AExAF.

Escolio. Luego podemos tomar por medida de un
rectángulo el producto de su base por su altura , con
tal que se entienda por este producto el de dos núme-
ros , que son el número de unidades lineales contenidas
en la bas^ , y el número de unidades lineales contenió
das en la altura.

Ademas esta medida no es absoluta , si no solamen-
te relativa ; supone que se valúa otro rectángulo de un
modo semejante , midiendo sus lados por la misma uni-
dad lineal. Sacamos asi.ün segundo producto , y la ra-
zón de estos dos productos es igual á la de los rectán-
gulos , según la proposición que acabamos de demostrar.

Por exemplo , si la base del rectángulo A es de tres
unidades , y su altura de diez , el rectángulo estará re*-*
presentando por el número 3 x 10, ó 30 ; número que,
así aislado ^ nada significa. Pero si tenemos otro rectán-
gulo B, cuya base sea de 1 2 unidades , y su altura de 7,
este nuevo rectángulo estará representado por el núme-
ro 7x12,0 84. De aquí concluiremos que los dos
rectángulos A y -B están en^re sí. como jo es á 84:'
luego conviniendo en tomar, el rectángulo A por unidad
de medida en las superficies , el rectángulo B tendría
entonces por medida absoluta |4 9 esto es , que seria
igual |¿ de unidades superficiales.

Es mas común y mas sencillo tomar el quadrado
por unidad de superñcie > y se escoge el quadrado , cu-

64 GEOMETRÍA.

yo lado es la unidad en longitud ; entonces la medida

que hemos considerado simplemente como relativa j se

^ muda en absoluta. Por exemplo , el número 30 , que

Fig. 10a. nos ha servido para medida del rectángulo A , repre^
senta 30 unidades superficiales ^ ó 30 de estos quadra-
dos 9 cuyo lado es igual á la unidad. Esto se ve palpa-
blemente en la figura 102.

Comunmente se usa indistintamente en la Geome^
tría el producto de dos líneas por su rectángulo , y aun
ha pasado esta expresión á la aritmética para señalar el
producto de dos números desiguales y asi como se em-
plea la de quadrado para expresar el producto de un
número multiplicado por si mismo.

Los quadrados de los números, i ^ 2,3, &c. son
X 9 4 9 9 , &c. Asi vemos que el quadrado formado so-
bre una linea dupla es quadruplo ; sobre una linea tri**

Fig. X03. pie quatro veces mayor , y así sucesivamente^

PROPOSICIÓN V.

TEOREMA.

El área de un paralelógramo qualquiera es igual al
producto de su base por su altura,
-glg, 97. Porque el paralelógramo ABCD es equivalente al
rectángulo ABEF , que tiene la misma base AB é igual

* Pr. I. altura BE * j pero este tiene por medida AB x BE "*^:

* Pf- 4* luego AB X BE es igual al área del paralelógramo ABCD.

Corolario. Los paralelógramos de una misma base
están entre si como sus alturas , y los de una misma al*
tura como sus bases ; porque siendo A , B , C tres can-*
tidades qualesquiera ^ tenemos generalmente AxC:
BxC::A:B,

XIBRO III. 65

1 • • •

PROPOSICIÓN VL

• %

TEOREMA.

El área de un triángido es igual al producto de m
hase por la mitad de su altura.

Porque el triángulo ABC es la mitad del paraleló- Fig. 104.
gramo ABCE » que tieae la mbma BC y la misma al-
tura AD ^ ; pero la superficie del paralelógramo es ^ p
BCxAD^: luego la del triángulo es fECx AD^ ó BC #p/; J.'
KfAD, óf (BCxAD).

Corolario. Dos triángulos de una misma altura siguen
la razón de sus bases , y dos triángulos de una misma
base siguen la de sus alturas*

PROPOSICIÓN VIL

TEOREMA.

E/ área del trapecio ABCD es igual á su altura EF p|- ^^ .
multiplicada por la semisuma de las bases pararelas
AB , CD.

Por el punto I , medio del lado CB , tírese KL pa^
r alela al lado opuesto AD y y prolongúese DC hasta que
encuentre á KL.

En los triángulos IBL , ICK tenemas el lado IB=
IC por construcion ^ el ángulo LIB = CIK , y el ángu--
lo IBL==IKC, por ser CK y BL paralelas^: luego ♦ ag. 1.
estos triángulos son iguales ^ : luego el trapecio ABCD * 7- <*
^s equivalente al paralelógramo ADKL > y su medida
es EFxAL.

Pero tenemos AL=DK, y por ser los triángulos
IBL y KCI iguales el lado BL=CK : luego AB-4-CD =
AL-^DK= 2AL , y asi AL es la semisuma de las bases
AB y CD. Luego finalmente el área del trapecio ABCD
es igual á la altura £F ^ multiplicada por la semisuma

I

\

66 GEOMETRÍA.

de las bases AB y CD ; esto es, ABCD=£Fx

/ AB4-CD \

Escolio. Si por el punto I , medio de BC , tiramos á
la base AB la paralela IH , el punto H será también el
medio de AD; porque la figura AHIL es un páralelógra*
mo, lo misino que DHIK, pues los lados opuestos son pa-
ralelos. Tenemos por consiguiente AH=IL, y DH=IK;
pero IL=IK , por ser igu^es los tríái^los BIL y CIB:
luegoAH=DH.

Se puede reparar que la línea HI=AL= *

a

hiego el área del trapecio puede expresarse también por
£F X HI : luego es igual á la altura del trapecio , muí*
tiplicada por la linea tirada á distancias iguales de las
' bases paralelas.

PROPOSICIÓN VIH

TEOREMA.

t

Rg. 106. 5i dividimos la linea AC en dos partes AB y BC , el
qaadrado de la línea entera AC es igual al quadrado de
la una parte AB , mas el quadrado de la otra parte BC,
. mas dos veces el rectángulo de estas mismas partes AB
y BC^ ó lo que es todo tifio, (AC)» ó (AB-hBC)*=:
(AB)»H-(BC)*^2(ABxBC).

Construyase el quadrado ACDE , tómese AF= ABj
' tírese á AC la paralela FG , y á AE la paralela BH.

El quadrado ACDE está dividido en quatro partes;
la primera ABIF es el quadrado formado sobre AB,
pues hemos tomado AF=:AB ; la segunda IGDH es el
quadrado formado sobre BC, pues por ser AC=:AE,
y AB=AF , la diferencia AC— AB es igual á la dife-
rencia BE — AF , lo que da BC = EF ; pero por las pa-*
tálelas tenemos IG=AG , y DG=EF : luego HIGD
es igual al quadrado formado sobre BC. Quitando estas

LIBRO III. 67

dos partes clel quadrado, quedan los dos rectángulos
BCGI , EFIH , que tienen cada uno por medida AB x
BC. Luego el quadrado formado sobre AC , ^c.

Escolio. E^ta proposición coincide con la que se de^
muestra en el álgebra para la formación del quadrado
de un binomio^ y se expresa asi: (aH-b)*=: '-t-iab
H-b».

PROPOSICIÓN IX.

TEOREMA.

Sí la línea AC es la diferencia de las otras dos ABFig. 107.
BC , el quadrado formado sobre AC será igual al quadra^
do de AB , mas el quadrado de BC , menos dos veces el
rectángulo de AB por BC ; esto eí , ( AC)* ó (AB— BC)*
= (AB)«H-(BC)*H-2(ABxBC).

Construyase el quadrado ABIF, tómese AE=AC;
tírese CF pararela á BI , HK paralela á AB , y concia^
yase el quadrado EFLK.

Cada uno de los rectángulos CBIG , GLKD tiene
por medida AB x BC ; si los quitamos de la figura ente-
ra ABILKEA, cuyo valor es (AB)*-f-(BC)*, claro
está que quedará el quadrado ACDE : luego &c.

Eíco/ío. Esta proposición concuerda con la fórmula
de álgebra (a— b)«í=:a'-f-b* — zab.

PROPOSICIÓN X.

TEOREMA.

£/ rectángulo formado por la sutna y la diferencia det
dos lineas , es igual á la diferencia de los quadrados- de -
dichas líneas ; asi tenemos ( AB-hBC ) x ( AB — BG ) =: Pig. 108.
(AB)* — (BC)*.

Construyanse: ^hre AB y AC los quadrados ABIF^

6S GEOMETRÍA.

ACDE ; prolongúese AB la cantidad BK == BC , y con-
cluyase el rectángulo AKLE.

La base AK del rectángulo es la suma de las dos
lineas AB , BC ; su altura es la diferencia de estas mis-
mas líneas ; luego el rectángulo AKLE=(AB-í-BC)x
(AB — BC). Pero este mismo rectángulo se compone de
las dos partes ABHE-+-BHLK, y la parte BHLK es
igual al rectángulo EDGF , por ser BH = DE, BK=:
EF: luego AKLE=ABHE-f-EDGF. Pero estas dos par-
tes forman el quadrado ABIF menos el quadrado formado
DHIG, que es el quadrado sobre BC : luego finalmente
(AB-hBC) X (AB — BC) = ( AB)^ — (BC)\

Escolio. Esta proposición coincide con la fórmula de
álgebra (an-b) (a— b)=a*—b*,

PROPOSICIÓN XL

TEOREMA.

El quadrado formado sobre la hypotenusa de un trián-
gulo rectángulo es igual á la suma de los quadrados for'*
mados sobre los otros dos lados.
Fig. lop. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Después de
haber formado los quadrados sobre los tres lados , báxe-
se desde el ángulo ^ecto,á la hypotenusa la perpendicu-
lar AD , qué se prolongará hasta E ; tírense finalmente
las diagonales AF , CH.

El ángulo ABF se compone del ángulo ABC y del
recto CBF ; el ángulo CBH se compone del mismo ABC
y del recto ABH : luego el ángulo ABF=HBC Pero
AB=BH por ser lados de un mismo quadrado, y BF=
BC por igual motivo : luego los triángulos ABF , HBC
tienen un ángulo igual compirehendidó entre lados igua-

• tf. I. les : luego son iguales.-^ .

/ El triángulo ABF es la mitad del rectángulo BDEF,

♦ Pí. ». q^g tiene \^ misma base BF , y la misma altura BiD^.

£1 tJciángulo HBC es igualmente la mitad del quadra-*

^fBRO I ti. 69

do AH (i) , porque siendo rectos los ángulos BAC y
BAL , AC y AL solo forman una sola y misma línea
recta paralela á HB : luego el triángulo HBC , y el qua-
drado AH , que tienen coinun la base BH , tienen igual-
mente una misma altura AB t luego el triángulo es la
mitad del quadradof.

Ya se ha probado que el triángulo A6F es igual al
triángulo HBC , y por consiguiente el rectángulo BDEF,
duplo del triángulo ABF , es equivalente al quadrado
AH, duplo del triángulo HBC. Se demostrará igualmen-
te que el rectángulo CD£G es equivalente al quadra-*
do AI j pero los dos rectángulos BDEF , CDEF com-
ponen juntos el quadrado BG : luego el quadrado BG,
formado sobre la hypotenusa, es igual á la suma de
los quadrados BL , CK , formados sobre los otras dos
lados , ó en otros tentónos (BC )^=(AB)•H-(AC)^

Corolario I. Luego el quadrado de luio de los lados .
del ángulo recto es igual al quadrado de la hypotenu-
sa menos el quadrado del otro lado ; ó , lo que es lo
mismo , (AB)» =(BC)* — (AC)^

Corolario II. Sea ABCD un quadrado, AC su dia- Fig. xx8.
gonal ; siendo el triángulo ABC rectángulo é isósceles,
tendremos (AC)«=(AB)?-h(BC)* = 2 (AB)* : luego el
quadrado formado sobre la diagonal AC de un triángulo
rectángulo isósceles es duplo del formado sobre un la^
do AB.

Se puede demostrar esta propiedad , tirando por los
puntos A y C paralelas á BD, y por los juntos B y D
otras paralelas á AC ; se formará de este modo un nue-
vo quadrado EFGH que será el formado sobre AC. Pe-
ro vemos que EFGH se compone de ocho triángulos
iguales á ABE , y que ABCD se compone de quatro:
luego el quadrado EFGH es duplo de ABCD.

•

(i) Este modo de nombrar un quadrílátero con solo las dos
letras de su diagonal , es muy usado en casi todos los Autores , y
nosotros también nos serviremos de él en varias ocasiones , á catt^
sa de su mayor brevedad. ( HQtt^ del Traductor).

70 gsometría.

Una vez que (AC)* ; ( AB)' : : 2:1, tenemos, sa-
cando la raíz quadrada ^ AC : AB : : V^, : i : luego la
diagonal de un quadrado es incomensurable con su lado.
Fig. 109. Esto lo aclararemos mas en otra ocasión.

Corolario III. Se ha demostrado que el quadrado AH
es equivalente al rectángulo BDEF ; pero.á causa de U
altura común BF , el quadrado BCGF es al rectángulo
BDEF como la base BC es á la base BD : luego (BC)*:
(AB)* : ; BC : BD.

Luego el quadrado de la hyfotenusa zs^al quadrado
de uno de los lados del ángulo recto como Iq hypotenusa
es al segmento adyacente á dicho lado. Llámase aquí seg"
mentó la parte de la hypotenusa determinada por la
perpendicular basada desde el ángulo recto ; así BD es
el segmento adyacente al lado AB , y DC el segmento
adyacente al lado AC. Tendremos de un modo seme-
jante

(BC)*: (AC)*:: BCrCD.

Corolario IV. Los rectángulos BDEF , DCEG tie-
nen también la misma altura , y por consiguiente siguen
la razón de sus bases BD , CD. Pero estos rectángulos
son equivalentes á los quadrados (AB)* , (AC)* : luego

(AB)*: (AC)*::BD:DC,
Luego los quadrados de los dos lados del ángulo recto es*
tan entre si contó los segmentos de la. hyfoíenusa adyc^
' centes á dichos lados.

PROPOSICIÓN XÍL

TEOREMA.

Fig. 1 10. En un triángulo ABC : siendo agudo el ángulo C , ei
quadrado del lado opuesto será menor que la suma de los
quadrados de los lados que comprehenden dicho ángulo Q
y si baxamos sobre BC^ la perpendicular AD , la dife*
retida será igual al duplo del rectángulo BCxCD ; de
modo que tetulremos.

tlBUO III, 71

(AB)* =(AC)* H- (BC)*— 2BC X Cb.
Aquí hay dos casos. i.° Si la perpendicular cae den-
tro del triángulo ABC, tendremos BD = BC— CD, y
por consiguiente ^ (BD)«=(BC)* h-(CD)* — 2BC x CD. ♦ Pr. 9.
Añadiendo á una y otra parte (AD)* , y observando que
los triángulos rectángulos ABD , ADC dan (AD)* -f-
(BD)«=(BA)% y (AD)«-h(DC)*=(AC)*, resulta (AB)*
= (BC)» -H (AC)* — 2BC X CD.

2.^ Si la perpendicular AD cae fuera del triángu-'
lo ABC , tendremos BD = CD — BC , y por consiguien-
te ^ (BD)* = (CD)»H-(BC)* — 2CDxBC. Añadiendo á ♦ p-
una y otra parte (AD)^ , sacamos igualmente
(AB)«=(BC)«H-(AC)« — 2BCxCI>.

PROPOSICIÓN xin.

TEOREMA.

En fifi triangulo ABC , siendo obtuso el ángulo C , ^^ p¡g , j ,
quadrado del lado opuesto AB será mayor que la suma de
los quadrados dé los lados qué comprehenden el ángulo C,
y si baxamos sobre BC la perpendicular AD , la diferen^
da será igual al duplo del rectángulo BCxCD, de nuH
do que tendremos

(AB)*= (ACy H- (BC)» -f-2BC X CD.

La perpendicular no puede caer dentro del triángu*
lo , porque si cayese, por exempld , en E , el triángulo
AGE tendría á un tiempo un ángulo recto E y otro ob-
tuso C , lO' que es imposible •* : luego cae por precisión ^
fuera , y tenemos BD=BC-t-GD; De aquí resulta^ ^p
(BD)* = (BC)«-h.(CD)»H-2BCxCD. Añadiendo á una- '•
y otra parte (AD)» , y haciendo Jas reduciones como en
el teorema anterior > deduciremos (AB)« =(BC)»-f-(AC)»
-H2BCxCD.

Escolio. El triángulo rectáogulo es el único en qué se
verifica que la suma de los quadrados de los catetos es
igual al quadrado de la hypotenusa ; porque si el ángulo

*ji GEOMETRÍA.

comprehendido por dichos es agudo ^ la suma de sus
qüadrados será mayor que el quadrado del lado opue»*
to ; y si es obtuso , esta suma será menor | cuyos dos
casos acabamos de demostrar.

PROPOSICIÓN XIV.

TEOREMA.

Fig. XI a. Sí en un triángulo ^qualquiera 4BC tiramos desde el
vértice al medio de la base la recta A£ , digo que tendré-^
mos (AB)* -H (AC)» = 2 (AE)* -h 2 (BE)*.

Báxese á la base BC la perpendicular AD.

£1 triángulo AEC dará , según el teorema xii^

(AC)«í=(AE)»-k(EC)«— aECxED.
£1 triángulo ABE dará , según el teorema xiii^

(AB)* =(AE)* -4. (EB)* ^ 2EB X ED.
Luego j sumando estas dos equaciones ^ y observan*
do EB=EC, resulta

(AB)*-4.(AC)» = 2 (AE)»H^ 2(EB)^,
Corolario.'^ Luego en todo paralelog/ramo Ja suma dt
los qüadrados de los lados es igual á la suma, de los qua*
drados de las diagonales.
Fig. 113. Porque las diagonales AC y BD se cortan mútua-
♦ 34. 1, mente en dos partes iguales en el punto E * , y asi el
triángulo ABC da ; ,

(AB)* -h(BC)» = 2 (AE,y ^ 2 (BE)*.
También el triángulo ADC da

(AD)* H-(DC)* = 2 (AE)»H- 2 (DE)».
Sumando ordexiadaínente> observando que B£=D£|
Cendremos . ' 1 •

(AD)« -f-(AB)» ^(DC)^-H (BC)» =4<AE)»^-4(DE)».
' Pero 3(AE)» es el quadrado de 2AE y ó de AC , y
4(DE)» es el quadrado de BD : luego la suma de los
qüadrados de los lados es igual á la suma de los quadra^
dos de las diagonales.

LIBRO IIL 7)

PROPOSICIÓN XV.

TEOREMA.

La linea DE , tirada paralelamente á la base Ve un Fíg. u^,
triángulo ABC , ¿2¿x;/ííe a ¡os lados AB ^ AC en partes
proporcionales ; cié modo que tenemos

AD: DB:: AE:EC
Tírense BE y DC.

Los dos triángulos BDE , DEC tienen una misma
base DE , y también la misma altura ^ por estar situa-
dos los vértices B y C en una misma recta paralela á
la base : luego dichos triángulos son equivalentes. ^ • Pr. ••

Los triángulos ADE y BDE y cuyo vértice común
es E I tienen una misma altura , y están entre si como
sus bases AD , DB ^ ; tenemos pues . • Pr tf

ADE : BDE : : AD : DB.
Los triángulos ADE y DEC , cuyo vértice común
es D , tienen también una misma altura y y siguen la ra«
zon de sus bases AE y EC : luego

ADE: DEC:: AE:EC
Pero el triángulo BDE = DEC : luego deduciremos
á causa de la razoñ común en estáis dos proporciones,

que AD:DB:: AE: EC
Corolario I. De aquí resulta compúnendo AD-4-DF:
AD:: AE-hEC: AE , ó AB : AD:: AC: AE, y

también AB : BD : : AC : CE.
Corolario II. Si entre dos rectas AB, CD se tiran Flg. iij.
quantas paralelas se quiera AC , EF , GH , BD , &c.:
estas rectas quedarán cortadas proporcionalmente , y teth^
dremos AE: CF : : EG: FH: : GB:HD.

Sea p el punto. deiVoncuráo de l^.réctasAB,^CD.^ii ;ií

JBn .el trianguló OEF , en qué hemos»' tirado la línea

-AC pacalela á la ba$e. EF , tendremos OE : AE : i QFs

CF , ú ,QE; OF : : AE j CF. En el triángulo OGH im^

dremos también Ó£: EG:: OF: FH , uOEtQB;::

10

74 GBOMETRÍA.

£G : FH ; luego 'á causa de la razón común 0£ : OF,
dan estas dos proporciones AE : CF : : £G : FH. Del
mismo modo se demostrará que EG ; FH : : GB : HD,
y así sucesivamente : luego las líneas AB , CD« estaa
cortadas proporcionalmente por las paralelas EF, GH, &c.

ÍROPOSICION XVI.

. TEOREMA.

te

Fig. 1 1 5. Reciprocamente , si los lados AB , AC están cortados
proporcionalmente por la recta DE, de modo que sea
AD : DB : í AE : EC ; digo que la recta DE será para-^
lela á la base BC.

Porque si DE no es paralela á BC , supongamos que
lo sea DO« En tal caso tendremos , según el teorema
anterior AD : BD : : AO: OC. Pero, por hipótesis AD:
DB: : AE: EC: luego tendríamos AO : OC:: AE: EC;
proporción imposible , pues por una parte el anteceden-
te AE es mayor que AO , y de la otra el consecuente
EC es menor que OC : luego h paralela á BC tirada
por el punto D np puede ser otra que DE«

Escolio» La misma conclasion se veriñcaria , s¡ supié-
semos , la proporción AB : AD : : AC V * AE. Porque es-
ta proporción daría AB— AD: AD: : AC — AE: AE,
ÓBD: AD::CE:ÁE. / ' ^ '

* ;

PROPOSICIÓN XVII..

) i'w 1*. rjy

f A

-i / '.

^111 ' V ) • • I— I • y.^- ' ' -r

Fig. 117/j ^liot-i^ííneu J^^l que tdividB' m^tíos parth 'guales al
¡ángulo' BAC de' att trípili», dróídiráá la bkseiBC en
i2bf' segmentos SD y DCpropopchnmbs á l^Jados^adym^
tente i AB y^AQ i denwdo q^U se- verificará BD : DC : :

ABiÜACO í; \ 1 : 'iU ; ; u^ll ; Jl'.' \:..¿u:.z ,o'.

C

LIBRO IIL 75-

Por el punto C tírese á AD la paralela CE ha^ta
que encuentre á BA prolongado.

En el triángulo BCE ^ la línea AQ es pan^elA.>á lái
base CE.y y tenemos la proporción * . .♦?!. ij.

BD:DC:5 AB:AE. :

Pero el triángulo AEC es : isósceles ^ porque las pa-^
ralelas AD y CE nos dan el ángulo ACG=I>AC y y el
ángulo AEC = BAD *., . y ademas , por suposición , DAC * *S'
=:BAD : luego, el. ángulo ACEi^AECjíy AE=:AC *: ♦ 13. i.
luego : substituyendo AC. en lug^r de A£ en la propoiv
eion anterior , tendremos

BD : JDC : : AB : AC.

PROPOSICIÓN XVIII.

«

• . . ••■ . . ' " 'i

TEOREMA.

■ * *

Dos triángulos equiángulos tienen los lados hontóto^
gos proporcionales , y son semejantes.

Sean ABC, CDE dos triángulos cuyos ángulos soniFig.i 19.
respectivimente iguales , esto es ^ BAC5;:CDE , ABCsi
DCE j y ACB =^ DÉC : digo que los lados homótogos o
adyacentes á los ángulos igusdes serán proporcionales,
de modo que tendremos BC : CE: : ABí CD ; : AC: DE.

Coloqúense los lados homólogos BC , CE en una
misma direcciotí , y prolongúense loá lados BA , ED
hasta que se encuentren en F.

Por ser BCE una linea: recta , y el ángulo BCA=
CED , se sigue que AC es paralela á DE ^. Igualmen- t ^^ ^^
te , por ser el ángulo ABC s= DCE , la línea AJB es pa-
ralela á DC : luego la figura' ACDF es wi paraleló^

gramo. ..: '^- ,..';-•. . ^ < .: • v i

; En el. triángulo BFB la linea AC és ^,para)elii ¿iá
base FE , y así teñemés BC : CE: > «BA :; AF .*. Poníen- ♦ Pr. i j.
do en lugar de,AE su igual CD ,, ten4remQSj .

BC: CE::BA:CD..í: . .,

En elmismo triángulo ^BFE , co^Íde«»QdO:4 BP co^

» .

^6 GEOMETRÍA.

mo la base , CD es una paralela á ella , y tenemos la
proporción BC : CE : : FD : DE. Poniendo en lugar de
Ft> sü igual AC , resulta BC : CE : : AC : DE. Final-
mente ; ya que en estas dos proporciones hay la razón
común BC : CE , podemos deducir

AC : DE : : BA : CD.

Luego los triángulos equiángulos BAC , CDE tienen
los lados homólogos proporcionales. Pero husmos sentado
en lá deñnkion ÍI , que dos figuras son semejantes quan*
do tienen sus ángulos respectivamente iguales ^ y al mis«
mo tiempo los lados homólogos prc^rcionales : luego
los triángulos equiángulos BAC , CDE son semejantes.

Corolario. Para que dos triángulos sean semejantes
basta que tengan dos ángulos igu^es cada .uno al suyo;
porque en este caso los terceros serán también iguales , y
los triángulos serán equiángulos.

Escolio. Nótese que en los triángulos semejantes los
lados homólogos están opuestos á ángulos iguales ; así
siendo iguales los ángulos ACB y DEC y el lado AB es
. ^ homólogo á DC. Del mismo modo AC y DE .son ho-
mólogos por estar opuestos á los ángulos iguales ABC,
DCE. Conocidos los lados homólogos , se forman al ins«
tante las proporciones

AB: DC : : AC : DE 2 : BC : CE.

» <

PROPOSIGION XIX.

TEOREMA.

Doi triángidos que tienen los lados homólogos propor^
dónales son equiángulos y s&nejanies. •
Fig. ifto. Supongamos que sea BC : EF : : AB : DE : : AC:
DF; digo que los triángulos- ABC y DEF tendrán los
T . : ■ ángulos iguales; ¿stb es , As:D, Bt=E, C=F.

Hágase en el punto E el ángulo FEG s: B , y en el
punto F el ángulo EFG=C.
' £os iercetios G y 'A serán iguales , y los dos triáor

I.IBRP iir* jj

gulos BAC , EFG serán equiángulos : luego tendremos,
según el teorema pasado , BC : £F : : AB : £G. Pero,
por hypótesis , BC : EF : : AB : DE : luego GE =DE.
£1 mismo teorema nos da también BC : EF: : AC : FG,
y sabemos que , por suposición ^^ BC : EF : : AC : DF;
luego FG=:DF: luego los triángulos EGF, DEF tie-
nen sus tres lados respectivamente iguales , y por consi-
guiente son iguales^. Pero, por construcción, el triángu- • n. k
lo EGF es equiángulo al triángulo ABC : luego también
los triángulos DEF , AI^C son equiángulos y semejantes.

Escolio I. Estas do& últimas proposiciones nos hacen
ver que en los triángidos la igualdad de los ángulos es
consiguiente á la proporcionalidad de los lados , y reci--
procamente ; de modo , que es suficiente una de estas
condiciones para que sea cierta la semejanza de los trián-
gulos. No sucede así con las figuras de mas de tres lado$;
porque aun en los quadriláteros vemos que se pueden
variar los ángulos sin alterar la proporción de los lados,
y variar los lados sin alterarlos ángulos ; así que , la pro-
porcionalidad de los lados no puede ser conseqüencia de
la igualdad de los ángulos , ni vice versa. Vemos , por pj^^ ^^^^
exemplo , que tirando á BC la paralela EF , los ángulos
del quadrilátero AEFD son iguales á los del quadriláte-
ro ABCD ; pero la proporción de los lados es distinta.,
Del m^mo modo , sin variar los quatro lados AB , BC, .
CD , AD podemos separar ó aproximar el pimto B del
punto D , lo qual ¿dterará los ángulos. .

EscoUo IL L&S dos proposiciones anteriores ^ que en
realidad no forman mas que una , juntas con la del qua^
drado de la hypotenusa , sotí las proposiciones mas im<«
portantes y fecundas de la. Geometría ; bastan casi ellas
sdas pa,ra todas Jas. aplicaciones y resolución de todos
tos problemas , y la razón es , porque todas las figuras
pueden dividirse en triángulos , y un triángulo qualquie-
ra en dos triángulos rectángulos. Asi en las propieda-^
des generales de los triángulos están contenidas implici*
tament-e las : de tddas las figuras» ... .

jS OEOMETRS:^

PROPOSICIÓN XX

• . . . ! '. . » -

• . . .. .' ■ ■ . ' ;

TEOREMA. . . i ., c^r . ';í ,- "

DóJ triángulos son semejantes quanda títnen un ángik^
lo igual comprehendiúo entre lados proporcionales.

Fíg. iaa. Sea el ángulo Ar:D, y supongamos que. es- JbS^
D£::AG:DF} dtgo.quelos triá^^os ABC y D£F>
sonrsemejantes. i; \t. . : : . ;<:• -c/'

.. . Tómese ÁG = 1>E , y tírese GH paralela á ÍKli

* aj. X. El ángulo AGH será igual á ABC * , y los dos. tviáiH
gulos GAH y BAC serán equiángulos. Tendremos y jiuesy
AB : AG : : AC : AH ; pero, por suposición ^ AB^iDE:;
ACi: DF j y por conítruccion AG = DE c Jue^AH:^
X>F. Los idos triángulos AGH^ DEF tiei^n^ tusí áogub
igual oomprehendido entre alados; iguales <: (luego sov
iguales. Pero el triángulo AGH[ es semej¿vite á ABC:
luego también DEF -es semejante á ABC. ^

,'.<\ PROPOSICIÓN XXI, h . c,

TEOREMA; !• , , I., ,

Doj triángulos que tienen sus lados homólogos farále^

los ó perpendiculares cada uno al suyo y son semejántes.'^^ ^

Fig. 113. Porque i.° , si el lado AB es paralelo. á<D^ ^ yíEC

♦ ¿8. 1, á EF , el ángulo ABC será igual á DEF ^ 5 íá-ademas

AC es parálela á DF , el ángulo ACB será igual á DFE^
y también BAC á EDF: luego los triángulos ABC y
DEF son equiángulos , y por consiguiente semejantes: >
Fig. la^. 2."* Sea el lado DE perpendicular á ;AB^ y .JM?
4- AC. ":.- -■•.:: « :

En>^l qua4rilátero AI£^ los dos ángulos ly H sbrán

♦ a5. 1, rectos; Iqs quatro ángulos valen juntos quatro rectos ^t

luego los dos restantes lAH , IDH valen otros dos reptos.
Pero los dos ángulos £DF^;{IDH valen) también ^dotf

LiBKo in. 79*

rectos: luego el ángulo £DF es igual i lAH ó BAC
Del mismo modo, si él tercer lado £F es perpenáicu'-
laral.tevcero BG ^ ^ demostrará que el ángolp DFEs^
C , y DEF=B : luego los dos triángulos ABC , FEI>,
cuycfs lados son irespectivamente perpendiculares , son.
equiángulos y semejantes. '-* \

. Escolio. En; el caso de los lados paralelos^ estos son
los lados homólogos : y en el caso de los perpendicula-
res 9 estos mi^moá sbn también homólogos. Así , en este
último caso y DE es homólogo á AB , DF á AC , y EF
á BC.

£1 caso de los lados perpendiculares podria presen-»
tar una aituaoon Ié^BÚwa^ de los dos triángulos distinta de
la que supdneiiios kn b figí «la^f^ro siempre dexpos-i»
tf aoani^s la igualdad de loa áogulos nespelrtivos y ya va-
liéndonos de UoA quadriláterós coma AIDH , dos4e cu-?
yos ángulos son rectos , ya comparando dos triángulos
que y con ángulos, opuestos en el ' tíértíce , tuviesen cada
uno un ángulo recto. Ademas , siempre se podria ^ipo»
ner .{^'dentro del triángulo ABC. sé ha< eonscrtiido . ptro
DEF, cuyos lados serian'páratelos;(á;lo«:4el(tciángulo
4{ue::se. comj^aíia con^ ABC ^ y 'entónces:la. d^oosti^icioa
entrarla ^íiel caso de la fig. .124.

• ' ■ ■ . • . • . . 1 ■ : • :

, .-: - .mPK^BOSICIOU XXIL . .^

> » ^^

Las limas AF, AG , &c. , tiradas Ájarb¡tm:.pot..d^^Z' **S«
vértka dé \in4fi^^uh'^ :^v¡dmf^n,pqrt&s, pnoporcionales
4 Ih baiéiSlSL'^(yié''S¡u^paraie¡táJ¡&íi ds^MÍodOiqu9 tsru¡¡ai9S

'.)/ fPerqus/imáixt|ít&que'DI(f9 paapalelaqáBFveltriáQ*^
^ItiL-iáDI les^dquiángub á ABE.,: y / tenemos la propor*^
donDIi>'ffi$49 AI ^JlF; Del misnio Jíioda siendo IK.pa»
jralela átFG ^ tenemos<AI^ AF: yJK : EG: luego^ á c^ur
»i4e:ÍBL^r^»a«,'jeoi&ux¿^::^^AF ^ .tetíÜreniós ID iflB m

8o GEOMETRÍA.

KI : FG. Hallaremos dt un modo parecido IK : FG : :

KL : GH , &c. : luego b línea DE está dividida en los

puntos L, K 9 L ^ como la base BC lo está en los puntos

F,G,H.

ít' Corolario. Luego si JBC esti dividida en partes iguar*

les en los puntos F , G , H , su paralela DE estará divi-*

dida también en partes iguales en los puntos I , K ^ L.

PROPOSICIÓN XXIIL

TEOREMA.

Fíz 126 ^ desde el ángulo recto K de un triángulo rectángth
lo baxamos á la hypatenusa la perpendicular AD.

i.^ Los dos triángidos parciales ABD^ ADC serán
semejantes entre si ^ y al triángulo mal ABC. •

1.^ Cada lado AB ó AC será medio proporcional en-
tre la hypotenusa BC y y el segmento adyacente BD
ó DC

3.^ La perpendicular AD. serámedia propoixional eth
tre tos di[)sseginentos<BD y JXl.

P<kK}ue<i.^'los dos triángulos BAD^ BjAiC tienen co-
mún el ángulo B ; ademas el ángulo recto BDA es igual
al otro recto BAC : luego el tercero BAD del uno es
igual al tercero C del OÚ6 '^ .y por^ consiguiente estos dos
triángulos son equiángulos y semejantes» Igualmente se
demostrará que el triángulo^ DAC es semejante al trian*
guio BAC : luego los tres triángulos son equiángulos y
o semejantes eatce sL , * , .: . , . / ^ '

1.^ Una vez que los. triáogulos, BAD y^ >BAC son se^
Alejantes ; -susiados bómótogosson pitqBK>i:cidúales.« Peio
el lado BD en el triángiilo pbqueoa es .faalnólogo á BA
-en el ¿rande ^ >poc estar opuestos ^ ángulos ¿guales BAD
y BCA ; y la hypotenu^. BA. del peqüeño^eB homologa
á la «hypotenusa BC^del grande ; luego podemos fi>nnar
la proporción :BD : BA : : BA : BC. Del mbmo modo
tendríamos IX;^ ikC: : AC: JBG:.liiBgQ!(KP cada uno

LIBRO IIT. 81

de los lados AB , AC es medio proporcional entre la fay**
potenusa y el segmento adyacente á dicho lado.

3.® Finalment^e la semejanza de los triángulos ABD,
ADC da , comparando los lados homólogos BD : AD ; :
A£> : DC : luego 3*^ la perpendicular AD es media pro*
porcíonal entre los segmentos BD, DC de la hypotenusa.

Escolio. La proporción BD : AB : : AB : BC da
igualando el producto de extremos y medios (AB)^ =
hD X BC. Iguahnente ( AC)^ = DC x BC : hiego

(AB)^ -ir (AC)^= BD X DC-+T DC X BC . . ^

El segundo miembro es lo mismo que . (BD h-* DC)
X BC , y se reduce á BC x BC = (BC)* : luego tenemo*
(AB)*-h(AC)* = (BC)* : luego el quadrado formado so-
bre la hypotenusa BC es igual á la suma de los qua»
drados formados sobre los otros dos lado» AB , AC. -De
este modo recaemos sobre la proposición del quadrado
de la hypotenusa por un camino enteramente distinto
del que hemos seguido anteriormente , y esto nos hace
ver , que en rigor la proposición del quadrado de la hy-
potenusa i es una ponseqüencia de la proporcionalidad de
los lados en los triángulos equiángulos. Así las proposir
clones fundaine^tales. de Uw Geometría se reducen , por
decirlo así , á solo esta , que los triángulos equiángulos
tienen sus lados homólogos proporcionales.

Muchas veces sucede , como acabamos de verlo en
un exemplo , que sacando conseqüencias de una ó mu-
chas proposiciones, recaemos sobre otras ya demostrar*
das. En general , lo que caracteriza particularmente los
teoremas de Geometría , y es una prueba incontestable
de su certidumbre , es que combinándolos juntos de
qualquiera modo que sea , con tal que sea exacto el ra**-
clocinip 9 sieqipre se da con resultados ciertos. No suc&r
deria asi si alguna proposición fuese falsa , ó no fuese
enteramente cierta; sucedería lauchas veces que la
combinación de las proposiciones aumentarla y haría mas
patente el error. De esto vemos exemplos en todas las
demostraciones . en que empleamos la reducción tor ab^

\ 81 GEOMETRÍA.

surdo. E^ta^ demostraciones , cuyo 6n es probar que dos
[ cantidades Non iguales , consisten en hacer ver que si

hubiese entre eila^ la menor desigualdad , iríamos á pa-
rar 'por la serie de los raciocinios á un absurdo maní*
^ fie>to y palpable , viéndonos obligados de este modo á

í deducir que estas dos cantidades son ¡guales.

Fig. la?. Corolario. Si de:>de un punto A de la circunferencia

tiramos á los extremos del diámetro BC las dos cuerdas

I • 18. a. AB y AC , el triángulo BAC será rectángulo en A ■*:

f luego i.° la perpendicular AD es ntedia proporcional er^

tre los dos segmentos BD , DC del diámetro ; ó , lo que
es lo propio , el Cuadrado (AD)^ es igual al rectángulo
BDxDC.

2.^ La cuerda AB es media proporcional entre el

diámetro BC y el segmento adyacente BD ; 6 (AB)* =

. BDxBC. Tenemos igualmente (AC)*=:CDxBC: lúe-

f go (AB)* : (AC)« : : BD : DC; y si comparamos (AB)*

con (BC)* , tendremos (AB)* : (BC)*:: BD : BC ; tam-
bién tendríamos (AC)* : (BC)* : : DC : BC. Estas razo-
nes de los quadrádos de los lados , ya entre si , ya con
^1 quadrado de la hypotenusa , se han puesto anterior-
miente en los corolarios 3 y 4 de la prop. xi;

PROPOSICIÓN XXIV.

TEOREMA.

Fjg. laS. ^0^ triángulos qué tienen un ángulo igual ^ están ern
tre si como los rectángulos de los lados que comprehenden
dicho ángulo. Así el triángulo ABC es al triángulo ADE
como el rectánguio ABx AC es al rectángulo AD x AE.
Tírese BE

Los dos triángulos ABE , ADE , cuyo vértice co-
mún es E 9 tienen una misma altura y y siguen la razón
• Prop. 6. de sus bases AB , AD * : luego

ABE : ADE : : AB : AD.

Tenemos también

, ABC : ABE : : AC : A^. '1
Multiplicando ordenadamente estas dos proporcio-
nes , y quitando el término común ABE , tendremos
ABC : ADE : : ABx AC : ADxAE.
Corolario. Luego los dos triángulos $erian equivalen-
tes^ si el rectángulo ABxAC fuese igus^l al rectángu^.
ADxAE, ó si tuviésemos AB : AD:; AE: AC^lSr
qual se verificarla si la lÍQeaDC fuese paralela á BE. ^^ -l^^^

. i

PROPOSICIÓN XrV.

TEOREMA.

.á.i

Dos triángulos semejante^ están entre si como lajf.qua*
arados de los lados homólogos.
.,.. Sea el ángulo A;=D , y ^1 ángulo B=E. ; Fig. ,4^

De^e iuegp j por ser .iguales los ángulos A y D^
ten4remof s^giui la proposición anterior . - r „ .« >

i i ABgr.PEF:: A]Bx AC : jDExDF- .

, Ppr otra.pac$e la seliie^nza, de los triángulos i|0$>
da AB : DE : : AC : DF. Y si multiplicaíPQs prdena?
damente esta proporción por la idéntica AC : DF : :
AC: DF, resultará . . . . r 4.

, ; íABxAC: DExDF::(AC)*: (DF)%

,. Luego ...,...■-.. .i,i ,,. ^ ■■ . ■ ".

_ ABG: DEF : : (AQ* : (DF)». .
Luego dos triángi|lo3. s^rnejantes ABC , DEF estan^

entre si como los quadr^dos dejos Jados. ];iQmplogosAP:
y DF,^ o.jcomoilos quadüados.d^ otros dos Ji^Qshomói»>
logos qiudesquíer^, . ^1 ^ _ . \

'' ' • , • - . f . . ,

• . > . ' . . • * . . , ■ 1.1

■ ' ' -...,.■..

I . t ' ' ■■-■'•1 ,.

••■ ' * • > • . :- -

S4 GBOMBTRÍA.

PROPOSICIÓN XXVI.

TEOREMA.

Dos polígonos semejantes están compuestos de igual
número de triángulos semejantes cada uno al suyo , y se^
fHejantemente colocados.
Fig. lap. £^ ^1 polígcmo ABCDE tírense desde un mismo án-
gulo A á los demás ángulos las diagonales AC , AD. £n
el otro poligOQO FGHIK tírense del mismo modo desde
el ángulo F homólogo a A las diagonales FH , FI á los
demás ángulos.

Por ser los polígonos semejantes , el ángulo ABC es

• Def. a. igual á su homólogo FGH * , y ademas los lados AB y

BC son proporcionales á los lados FG y GH ; de modo

que tenemos AB : FG : : BC : GH. De aquí sacamos que

' los triángulos ABC , FGH tienen un ángulo igual con>*

prehéndido entre lados proporcionales : lUego son seme^

• Pr. ao. j^^^^s ^ : luego el ángulo BC A es igual á GHF; Si res-

tamos estos ángulos iguales de tos otros iguales BCD,
Gtíl , los residuos ACD y FHI serán iguales. Pero por
ser semejantes los triángulos ABC y FGH , teneriios AC:
FH í : BC: GH. Por otra parte, la semejanza de los
« Def. a. polígonos * nos da BC : GH : : CD's'HIj luego AC:
FH : : CD ; HI j peix) hemos visto ya' que tí ángulo
ACD = FHI : luego los triángulos ACD y FHI tienen
igual un ángulo comprébendldo entre lados proporciona-
les i tuego son semejantes. Del mismo modo se conti-
nuarla demostrando la' semejanza de los triángulos si-
guientes 5 sea qual fuere ehímúier^ de lados de los po-
lígonos propuestos : luego dos polígonos s^«iéjai^tes es-
tan compuestos de un mismo numero de triángulos se^
mejantes , y semejantemente colocados.

Escolio. Igualmente es cierta la proposición inversa:
si dos polígonos están compuestos de igual número de trian-'
galos semejantes ^ y semejantemente colocados ^ estos dos

LIBRO III. 85

polígonos serán semejantes.

Porque la semejanza de los triángulos respectivos
dará el ángulo ABC=FGH, BCA=GHF, ACD=FHI:
luego BCD=GHI, y CDE = HIK, &c. Tendremos
ademas AB : FG:: BC: GH:: AC : FH : CD: HI, &c.:
luego los dos polígonos tienen ios ángulos iguales y los
lados proporcionales , y por consiguiente son semejantes.

PROPOSICIÓN XXVII.

TEOREMA.

Los contomos ó perímetros de los polígonos semejantes
Sígnenla razotí de sus lados homólogos , y sus superficies
la de los quadrados de estos mismos lados.

Porque i.° ya que tenemos por la naturaleza de las Fig, xap.
figuras semejantes AB : FG : : BC : GH : : CD: HI , &c.,
podemos deducir de esta serie de razones iguales : la su-
ma de los antecedentes AB-h-BC-f-CD , &c. , períme-
tro de la priméia figura es á la suma de los consecuen-
tes FG-+-GH-4-HI , &c. , perímetro de la segunda, co-
iHo un .antecedente es á su consecuente , ó como el lado
AB es á su homólogo FG.

2.° Por ser semejantes los triángulos ABC , FGH,
tenemos f ABC : FGH : : (AC)* : (FH)*. Del mismo • Pr. aj,
modo , los triángulos semejantes ACD , FHI dan ACDs
FHI : ; (AC)* : (FH)* ; luego á causa de I4 razoh común
(AC)*:(FH)*, tenemos

ABC : FGH : : ACD : FHI.

Por un raciocinio semejante hallaríamos
ACD : FHI : : ADE : FIK.

Y asi succesivamente , sí hubiese mayor número de
triángulos. De esta serie de razones iguales sacamos : la
suma de los antecedentes ABC-f-ACD-f-ADE , ó el
polígono ABCDE , es á la suma de los consecuentes
FGriH-FHI-f-FIK, ó al polígono FGHIK , como un
antecedente ABC es á ^ $u cousecuente FGIjl ^ ó como

86. GEOMETRÍA.

(AB)* es á (FG)* : luego los poligonos semejantes siguea
la razón de los quadrados de sus lados homólogos.

Corolario. Si construyé$emo$ tres figuras semejantes,
cuyos lados homólogos fuesen iguales á los tres lados de
un triángulo rectángulo , la figura formada sobre el lado
mayor seria igual á la siuna de las otras dos ; porque
estas tres figuras son proporcionales á los quadrados de
sus lados homólogos i pero el quadrado de la hypote-
nusa es igual á la suma de los quadrados de los otros
dos lados : luego &c.

PROPOSICIÓN XXVIII.

TEOREMA.

• «

Fig. 130. Las partes de dos cuerdas AB, CD, (jue se cortan en
un círculo , son recíprocamente proporcionales i esto es^ que
tenemos AO : DO : : CO : OB.

Tírease AC y BD.

En los triángulos ACÓ , BOD los ángulos en O son
• 8 ft iguales por opuestos al vértice ; el ángulo A es igual al
ángulo D , por estar inscritos en un mismo segmento ^;
y por la misma razón el ángulo C = B : luego estos
triángulos son semejantes , y sus lados homólogos dan
la proporción AO : DO : : CO : OB.

Corolario. De aquí sacamos AOxOB=DOxCO:
luego el rectángulo de las dos partes de una de las cuer-
das , es igual al rectángulo de las dos partes de la otra.

PROPOSICIÓN XXIX.

TEOREMA.

Fig. 131. . 5/ desde un mismo punto O , tomado fuera del circu-^
h , tiramos las secantes OB , OC^ terminadas en el arco

LIBRO *III. 87

cóncavo BC , las secantes enteras serán reciprocametae
proporcionales con sus partes externas ; esto es , que terh-
aremos OB : OC : : OD : OA.

Porque si tiramos AC y BD , los triángulos OAC,
OBD tienen común el ángulo O ; ademas el ángulo
B=C ^ : luego estos triángulos son semejantes , y los ♦ x8. ••
lados homólogos nos dan la proporción

OB : OC : : OD : OA.

Corolario. Luego el rectángulo OA x OB es igual al
rectángulo OCxOD.

Escolio. Adviértase que esta proposición tiene mucha
analogía con la anterior , y que solo se diferencia en
que en vez de cortarse las dos cuerdas AB , CD dentro
del círculo , se cortan fuera. También la proposición si-
guiente puede mirarse como un case particular de esta.

PROPOSICIÓN XXX.

TEOREMA.

Si desde un mismo punto O , tomado fuera del c/rcii-^*8* '5**
lo y tiramos una tangente OA y una secante OC , la tanr^
gente será media proporcional entre la secante y su parte
externa j de modo que será OC : AO : : AO : OD , ó^lo
que es lo mismo ,• (OA)^=OC x OD.

Porque tirando AD y AC , los triángulos OAD,
OAC tienen un ángulo común. Ademas el ángulo OAD,
formado por una tangente y una cuerda * , tiene por « ,p, ^.
medida la mitad del arco AD , y el ángulo C tiene la
misma medida : luego el ángulo OAD = C , y asi dos
triángulos son semejantes , y tenemos la proporción

OC : O A : ; O A : OD,
que da (OA)« = OC x OD.

8S GEOMETRÍA.

PROPOSICIÓN XXXL

TEOREMA.

Pig- 133- En un triángulo ABC , si dividimos el ángulo A en
dos partes iguales con la linea CD , el rectángulo de loi
lados AB , AC será igual al rectángulo de los segmentos
BD y DC ,' mas el quadrado de la secante AD.

Hágase pasar una circunferencia por los tres pun-
tos A , B , C ; prolongúese AD hasta que encuentre á
la circunferencia , y tírese C£.

£1 triángulo BAD es semejante al triángulo EAC;
porque , por hypótesis , el ángulo BAD = EAC ; ade-
mas el ángulo B=:£ , por tener árnbo^ por medida la
mitad del arco AC : luego estos triángulos son semejai-
tes , y sus lados homólogos dan la proporción BA : A£: :
AD : AC; de aquí resulta BAxAC=A£xAD ; pero
AE = AD -f- DE , y multiplicando de ambas partes por
AD, tenemos AExAD = (AD)*-hADxDE.; por otra

•Pr. a8. parte AD x DE =BDxDC * : luego finalmente

BAxAC=:(AD)*-i-BDxDC

PROPOSICIÓN XXXII.

TEOREMA.

Fíg. 114. . En todo triangulo ABC , el rectángulo de los dos lados
AB , AC , es igual al rectángulo del diámetro CE del ch-*
culo circunscrito por la perpendicular AD , baxada sobre
el tercer lado ^C.

Porque sí tiramos AE , los triángulos ABD y AEC
son rectángulos , uno en D ^ y el otro en A ; ademas el
ángulo B=E : luego estos triángulos son semejantes , y
dan la proporción AB : CE : : AD : AC , de donde sa-
camos ABxAC=:CExAD.

LIBRÓ iir. 89

Corolario. SI multiplicamos estas cantidades iguales
por una misma cantidad BC, tendremos AB x AC xBC =
CE X AD X BC. Pero ADxBC es el duplo de la superfi-
cie del triángulo * : kiego el producto de los tres lados • Pr. 6.
de un triángulo es igual á su superficie multiplicada por
el duplo del diámetro del circulo circunscrito.

£1 producto de tres lineas se llama algunas- veces
un sólido 9 por la razón que se verá luego. Su valor es
fácil de concebir , imaginando que las líneas están redu-
cidas á números , y multiplicando dichos números.

Escolio. También se puede demostrar que la supera
ficié de un triángulo es igual á su perímetro multiplicado
por la mitad del radio del circulo inscrito.

Porque los triángulos AOB , BOC , AOC ; cuyo vér¿- Fig. 87.
tice oomun es O ^ tienen por altura común el radio del
círculo inscrito : luego la suma de estos triángulos será
igual á la suma de las bases AB , BC , AC multiplicada
poF la mitad del ra;dio OD : luego el triángulo ABC
es igual á su perímetro multiplicado por U mitad del
radio del circulo inscrito.

PROPOSICIÓN XXXIIL

Teorema.

Efi todo' quadrtláterb inscrito ABCD, el rectángulo Fig^izi^
de las dos diagonales AC , BD ^ e; igual á la suma de
los réctárigulos de los lados opuestos ^ de modo que tenemos
ACxBD=í:ABxCD^AI)xBC

Tómese el arco CO = AD.

Tírese BO que encuentre á la diagonal AC en I.

Los ángulos ABD y CBI son iguales , pues el uno
tiene por medida la mitad de AD , y el otro la mitad
de CO igual á AD. El ángulo ADB = BCI , por estar
inscritos ambos en un mismo segmento AOB : luego el
triángulo ABD es semejante al triángulo IBC , y tene-
mos la proporción AD : CI : : BD : BC ; de donde re*

Z2 <

90 geometría,

suira AD}<BC:=:CIxBD. Digo ahora que el triángulo
ABI es semejante al triando BDC ; porque siendo el
arco AD=CO ; si por am^ partes añadimos OD, ten-
dremos el arco AO=DC : luego el:áiigulo A6I=DBC.
Ademas los ángulos BAI , BDC &on iguales por estar
inscritos en un mismo segmento : luego los triángulos
ABI y D6C son semejantes , y sus lados homólogos dan
la proporción AB : BD : : AI : CD ; de donde deducH
mos finalmente ABxCD=AIxBD.

Sumando los dos resultados hallados y y. observando
que AIxBD-HCIxBD=(AI-j-a)xBD=ACxBD,
resultará ADxBC-i-ABxCD=ACxBD.

Escolio. Del mismo modo se puede demostrar otro
teorema sobre el quadrUátero inscrito.

£1 triángulo ABD, semejante á BIC» dala propor-
<úon BD: BC : : AB : BI ; de donde resulta BI xBD=:
^x AB. Si añadimos CO , el triángulo ICO , semejante
á ABI , será semejante á BDC , y dará la proporcioa
BD: CO:: DC : 01 ; y de aquí dedi^imos 01 x fiD=:
COxDC, ó por ser CO=AD, QIxBD=ADxDC
Sumando los dos resultados , y reparando que BIxfiD '
H-OIxBD se reduce á {EOxBD;^ sacárdargs BO xBD
= ABxBCh-ADxDC

Si hubiésemos tomado M'=AD, y tirado CKP,
habríamos hallado por un camino parecido
CPxCA/=ABxAD-i-BCxCD.

Pero siendo el arco BP.= CO , sí añadimos por ait-
bas partes BC, tendremos el arco CBP==BCO : luego
la cuerda CF es igual á la cuerda BO , y por consi-
guiente los rectángulos BOxBD, y CíxCA siguen
entre si la razón de BD : CA : luego
BD:CA;: ABxBCh-ADxDC: ADxAB-i-BCxCD.
Luego las dos 4'ogonales de un quadrilátero inscrito si-
guen íota con otra la tozoh de loi rectát^uhs de los lados
que terminan en sus extremos.

Ebtos dos teoremas pueden servir para hallar las
diagonales conocidos los lados.

LIBRO III. 91

PROPOSICIÓN XXXVI. : í

I

a^EQKBMA. í

i. .».v ; TKOKKMA. í-x.

&tf P un punto dado dentro del círculo sobre el radió Fíg. 13$.
AC^y tómese afuera un ptmto Q sobre la prolongación y
del rrüsmo radio , de modo <¡úLe tendamos CP : GA:s,CA:
£Q ; sí desde uH punto qMnüiéra M de la ciifcunfer^fkna
tiramos ó hs Üos^ puntos P y Q* hs r0cihs MP ,. MQ ;'&-
go que estas recias seguirán ^na razón constante j y, qub '
tendremos ?M : MQ, T : AP z ÁQ, .)

Porque f por^ mpbsiofeá» ,' tenemos CP : CA-rt^-jQás
CQ ; pomendo CSÜt eii%ga!? de CA ,• sacanaos jCP : 'CM: :
CM: CQ : kiegoí los; tíf4áóguI<M CPM y CQ^ ti^neá
igualan 'áñgttlo (:<»tipre1ienaida emte lad<3is proporción
nales ^ : luego son semejantes ^ y el-t^cer lado MP es ♦ ao. 3»
al tercero MQ como CP es á CM ó CA, Pero la pro^*
porción CP : CA :4 CA t GQ da dividendo , CP : CA : :
CA— CP : CQ-^CA , ó CP : CA : : AP : AQ : luego
MP: MQ;: AP: AQ. ;. -

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. > Pr()blemas réláti^os^aL Libro IIL ^ - « . f

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t ' . *. ) » '■ ! ■ , ■ »

Dividir una linea recta dada en tantas partes iguales
quantas se cpúera ^ ó en partes proporcionales á líneas dadas.

li? Propongámonos dividir la línek AB en cinco Fig. 137.
paiftes igualen, ror el estremo A tírese la recta indefini-
da AG , y tomando AC* de un tamaño qualquiera, llé«
vesela cinco veces sobre AG, Tírese por el último pun-t
to de división G , y el extremo B la línea GB*, y lue-
go se tirará CI paralela á GB : digo que AI será la
quinta parte de la linea AB^ y que asi ^ llevando AI

000

p2 geometría.

cinco veces sobre AB ^ esta quedará dividida en cinco
partes iguales. ,

Porque una vez que CI es paralela á GB , los lar«
dos AG y AB están cortados proporcionalmente en C
é I. Pero AC es la quinta parte de AG : luego AI es
también la quinta parte de AB.
Fj 1^8 ^'^ Propongámonos dividir la línea AB en parte»-
proporcionales con las lineas dadas P , Q 9 R. Por el
extremo A tírese la indefinida AG^ tómese AC=P,
CD==Q y DE=R ; únanse los extremos E y B , y por
ios puntos C 9 D tírense CI , X>K paraldas á £B : digo
que la tínea^ AB-^stará dividida en partes AI , IK , KB
¡Proporcionales á las líneas dadas. P , Q., R.

Porque por razón def. las^ paralekts. CI , DK ^ EB,
las partes AJ , IK , KB son.<prpporc¡pnales á las partes

« P i< ^^ ' ^^ ' ^ ' y ^^ ^^ coostoiccion son iguales
á las lineas dadas P 9 Q » R-

PRO'BLEMA.II.

' ' ' ' 1 '

1-'. . . l't'lk... * ."■■- ,

Hallar una quarta proporctonfll á tres linfas dadas
A 9 B 9 C.
Fiff 130. ' Tírense • indefimdMaente las dos-reetas DE y DF,
* qué formen un ángulo qualquiera. Sobre DE tómese
DA = A ,.y DBséB y,$abré DF témcísé DC;=C , tírese
AC , y por el punto B tírese también BX paralela á AC:
digo que DX será la quarta proporcional pedida.

Porque por ser BX paralela á AC , tenemos la pro-
porción DA : DB: : DC: DX; pero los tres pmneros
términos de esta proporción son iguales á las tres rectas
dadas r luego DX es la quarta pr<^rctonal. pedida.

Corolario. Por el .mismo método se hallairá una ter-«
cera proporcional á dos rectas dadas A y B, porque se-
rá la misma que la quarta proporcional á las tres
A ^ B ,.C. - ; .: f

» . /: í.

• *

XIBRO IIJ,» 93

PROBLEMA III.

Hallar una inedia proporcional entre dos líneas dadas Fig. 140.
AyR

Sobre la línea indefinida DF tómese D£=:;A^ y
£F=B; sobre la linea entera jDF como diámetro tráce-
se la semicircunferencia DGF ; en el punto E levántese
al diámetro la perpendicular £G , que encuentre á la
circunferencia en G : digo que £G será la media pro-
porcional que buscamos.

Porque la perpendicular GE, baxada desde un pun-
to de la circunferencia al diámetro , es media propor-
cional entre los dos segmentos DE y EF del diámetro ^j*Prop.a3.
pero estos segmentos son iguales á las lineas dadas A^
B: luego» &c. :

PROBLEMA IV.

Dividir la linea dada AB en dos partes , de modo Y]g. 141,
que la mayor sea media proporcional entre la línea entera
y la otra parte.

En el extremo B de la línea AB levántese la per-*
pendicular BC igual á la mitad de AB ; desde el punto
C , como centro , y con el radio CB , descríbase una
circunferencia; tírese AC, que cortará á la drcunferen-
cia en D., y tóoiese AF=AD : diga' que la linea AB - ^
quedará dividida; en el punto F del modo que se pide;
esto es , que tendremos AB ; AF : : AF : FB.

Porque siendo AB perpendicular en el extremo del
radio CB esiMua tangente ; y ai . prepongamos AC hasta
queeneiienti?^ de nuevo á Vsl circun^rencia ¿n £ ^ tei^
dremos * AE : AB : : AB : AD : luego dividendo ÁE^*^ ^p
AB : AB i : AB— AD ; AD. Pero por iser el líadio BC . *^*
la mitad de AB , el diámetro DE es igual á AB , y por
consiguiente AE-— AB = ADpAF; igualmente por ser
AF=;:AD^ tenemos AB—AD,:=;FB: luego. AFj AB::

N

GEOMETRÍA.

FB ; AD=: AF : luego imertendo AB : AF : : AF : FR
Escolio. Este modo de dividir la línea AB , se lla«
tna dividirla en inedia y extrema razón , cuyo uso se
verá mas adelante* Se puede advertir que la secante
AB está dividida en media y extrema razón en el punto
Dy porque de ser AB=D£^ sacamos AE: D£ : : DE:
AD.

PROBLEMA V.

Fig. 143. Por un punto dado A en el ángulo conocido BCD tirat
la linea BD , de modo que las partes AB y AD , compre^
hendidas entre el punto A y los dos lados del ángulof
. sean iguales.

Por el punto A tírese ^ paralela á CD ; tómese
BE=CE , y por los puntos B y A tírese BAD ^ que
será la línea pedida.

Porque siendo AE paralela á CD^ tenemos BE:
£C : : BA : AD } pero BE=:EC : luego BA:=AD.

PROBLEMA VI.

Formar un quadrado equivalente á un paralelógramOf
ó á un triángulo dado.

Fig. X43- I-"" Sea ABCD el paralelógramp dado ^ AB su base

DE su altura. . < . >
• Pr. 3* , Entre AB y DE busquese una media proporcionsá
XY ^ : digo que el quadrada formado sobre XY será
equivalente al paralelógramo ABCD.

Porque por construcción AB : XY : : XY : DE :
luego (XY)«=ABkDE j pero ABxDE fes la medida
del paralelógramo , y (XY)* la del quadrado : luego son
. equivalentes.

jKg. 144. ' i-** Sea ABC el triángulo dado , BC su base , AD
su altura.

Tómese una media proporcional entre BC, y la
mitad dd AD , y séalo XY : digo que el quadrado for-

LIBKO IIX. 95

mado sobre XY será equivalente al triángulo ABC.

Porque por serBC: XY: XY; íAD, resulta (XY)«
r= BC X í AD : luego el quadrado íoraiadQ sobre X Y es
equivalente al triangulo ABC.

PROBLEMA VIL

< » • - '

Formar sobre la linea dada AD tm rectángulo ADEX F%- >4$'
equivalerae al rectángulo dado ABFC. r

Busquese una quarta proporcional á las tres lineas
AD^ AB 9 AC9 y séalo AX : digo que el reoángulo
formado sobre AD y AX será equivaleate al rectángula
ABFC

Porque ya que AD : AB ; : AC; AX ^ será AD.x
AX =AlB X AC : luego el rectángulo ADEX es equiva*
lente al rectáisgido ABFC

PROBLEMA VIIL

^ Expresar en líneas la razón entre el rectángulo for- Fig. 148.
mado de las rectas Ay Bj y el formado de las C y D.

Sea X una quarta proporcional á las tres líneas B,

C ^ D ; digo que la razón entre: estas dos líneas A y X

será la misma que la de los dos rectángulos AxB y CxD*

Porque una vez que B ; C : : D : X, será CxD

=BxX: luego AxB: CxD:: AxB: BxX:: A: X.

Corolario: Luego para hallar la razón de los quadra-
^s forma4os sobre las líneas dada^ A y C^. se debe
buscar una tercera proporcional X á las líneas A y
C 9 de modo que tengamos A : C : : C ; X ^ y sacare^
flios A*:C*:: A: X.

96 GBOMETRÍA.

PROBLEMA IX.

7^- 149- Hallar en lineas la ratón del producto de tres recroi
dadas A , ByC cm el producto de otras tres P ^ Q, R,
dadas tanúñen.

A las tres líneas dadas I^ , A , B búsquese utia quar*

ta proporciona! X , á las otras tres dadas C , Q , R bus-

'< ' quese ignalmente ana qtiarta proporcional Y. Las dos

rectas X, Y estarán entre sí cómo los productos

AxBxC,PxQxR.

Porque de ser P : A : : B : X ^ sacamos AxB=
JPxX ; y multiplicando >ambos miembros por C, AxB
xC = CxPxX. Igualmente, por ser C : Q r-': R: Y,
resulta QxR=:CxY;y multiplicando los dos térmi-^
nos por P, tenemos PxQxR=PxCxY : luego el pro-
ducto AxBxC es al producto PxQxR como CxPxX
esa PxCxY, ó como X es á Y.

PROBLEMA X.

Formar un triángulo equivalente á un polígono dado.

Sea ABCDE el polígono dado.
Fig. 146; Tírese desde luego CE , que corta el tríángulcí CDE
del polígono entero ; por el punto D tírese DF para-
lela á CE hasta que encuentre á la prolongación de AE;
tírese CF, y el polígono ABCDE será equivalente al
polígono ABCF que tiene un lado menos.

Porque los triángulos CDE y CFE tienen común
la base CE ; tienen también una misma altura , por es-
tar situados sus vértices D y F en una misma recta DF
paralela á la base : luego estos triángulos son isquivalenr-
tes. Añadiendo por ambas partes la figura ABC£ , ten-
dremos por un lado el polígono ABCDE , y por el otro
el polígono ABCF , que serán equivalentes.

Del mismo modo podemos restar el ángulo B sub^v-
tituyendo al triángulo ABC el triángulo equivalente

JLIBRO Uh 97

AGC , y asi él pentágono ABCDE quedará transforma-
do en un triángulo equivalente GCF.

Del mismo método nos serviremos en qualquiera
otra figura.} parque disminuyendo uno por uno sus la-
dos 9 vendremos á dar al cabo con el triángulo equiva-
lente.

Escolia. Ya hemos visto que qualquiem tríácígiuílo se
puede transformar en un quadrado equivalente * > y
así podremos hallar siempre un quadrado equivalente á
una figura rectilínea dada ; e$*o es lo que llamamos qua-^
drar la tal figura rectilínea , ó hallar su quadr atura.

£1 problema de la quadratura del círctdo consiste
en hallar un quadrado equivalente á un pirculo , cuyo
diámetro es dado»

PROBLEMA XI.

Formar un quadrado que sea igual á la suma y i á
la diferencia de dos quadrados dados..

Sean A y B los lados de los quadrados dados. Flg. 147*

i.^ Si nos proponemos hallar un quadrado igual á
la suma de estos quadrados , tírense las dos rectas inde*
jSnidas ED y EF que formen un ángulo recto. Tómese
£D=A y y EG=:B , tírese DG, y este será el lado del r

quadrado que. buscamos.

Porque siendo rectángulo el triángulo DEG 9 el qua*
drado. formado sobre DG es igual á la suma de. los
formados sobre £D y £G. ^

2.^ Si queremos hallar un quadrado igual á la dife-
rencia de los quadrados dados ^ fórmese igualmente el
ángulo recto FEH , tómese GE igual al menor de los
ládo$ lA y & Desde el punto G , como centro, y con un.
radio GH igual al otro lado , tiiácese un arco que corte
á la recta i^H en H : . digo que el quadrado formado
sobre EH será igual á la diferencia de los formados so^
bre las lincas. A y B.

f orqU^ siendo rectángulo el triángulo. GjEIE | la by^

y

L

nS GEOMETRÍA.

poteausa GH es igual á A, y'el lado GE=B: luego
el quadrado formado sobre EH , &c

Escolio. De este modo podemos encontrar un qua-
drado igual á la siuna de quantos quadrados se quiera
porque la construcción que reduce dos á uno solo , ser-
virá para reducir tres á dos , estos dos á uno , y asi de
los demás. Lo mismo sucederia si hubieseoios de restar
algunos quadrados de la suma de uros.

PROBLEMA XIL

Fig. ISO- Construir un quadrado que esté con otro quadrado
dado ABCD , como la linea M. con la línea N.

Sobre la recta indeterminada EG , tómese EF=M,
y FG=N ; sobre EG , como diámetro , trácese una se-
micircunferencia , y en el punto F levántese al diáme-
tro la perpendicular FH. Desde el punto H tírense las
cuerdas HG, HE, prolongándolas indefinidamente 9 so-
bre la primera lómese HK igual al kdo AB del qua-
drado , y por el punto K tírese KI paralela á EG : di- 1
go que HI será el lado del quadrado qne bascamos. '
Porque tas paralelas Kl y GE nos dan HI : HK : : !
HE : HG : luego (HI)« 1 (HK)« : : (HE)* : (HG)« ; pe-

Pr. «3. ro en el triángulo rectángulo EHG * , el quadrado de
EH es al quadrado de HG como el segmento EF es al I
segmento FG, ó coraXi M es á K : luego (HI)» ; (HK)*: :
M : N. Pero HK=AB ; luego el quadrado formado so-
bre HI es al formado sobre AB como M es á N .

PROBLEMA Xllt.

r¡g. lap-ii Sebre el lado FG /wñiíí/o^o de AB, trazar im poli-
gono semejante al dado ABCDE.

En el polígono dado tírense las diagonales AC y
AD ; en el punto F hágase el ángulo GFH=BAC , y
en el punto G el ángulo FGH=ABC. Las rectas FH y
GH se cortarán en H , y FGH será un triángulo seme-

/ LIBRO rrr. ^9

jante á ABC ; construyase igualmente sobre FH , homó<
logo de AC , el triángulo FIH semejante á ADC , y
sobre FI , homólogo de AD , construyase el triángulo
FIK semejante á ADE. El polígono FGHIK será el po-
4igono que buscamos j sanejante á ABGDE.

Porque estos dos polígonos están compuestos de un
mismo número dé triángulos semejantes y semejantemen*

t& dispuestos. * ♦ Pr iff

« ' • - . . ' . .

PROBLEMA Xir.

Dadas dos figuras semejantes, construir otra figura se^
mejante á ellas, que sea igual á su suma 6 á su diferencia.

Sean A y fi dos lados homólogos de ias' figuras dkdaá;
búsquese un. quadrado igual á la suma ó diferencia de
•los quadrados formados sobre A y B ; sea X el lado
de este quadrado 9 que será en la figura que buscamos el
lado homólogo á los A y B de las figuras dadas ; y luegp
construyase la figura según el problema aaterion ^ - .

Porque las figuras semejantes siguen la razón de los
quadrados de sus lados homólogos; pero el quadrado
del lado X es igual á lá suma ó á lá diferencia de los
quadrados formados sobre los lados homólogos A y B:
luego la figura formada sobre el lado X es igual á la su^
msi ó dí&rencia de las figuras semejantes formadas so*
bre los lados A y B.

PROBLEMA XV.

Construir una figura semejante á otra , y que esté con
ella en la razón dada deMáii^

Sea A un lado de la figura dada , X el lado homólo-*
go en la figura que buscaihos ; será preciso que el qua-^
drado de X sea al quadrado de A , como M es á N ^. ^ Pr. «7.
Hallaremos , pues , X por el .problema xii ; y lo demás
se concluirá según el problema xiii.

• * »

70S965A

XOP GEOMETRÍA.

PROBLEMA XYI.

^V* x$<* Construir una figura sen^ejante á ¡a figura ^ 9 y equi^
valente á la figura Q.

Bdsquese el lado M de un quadrado equivalente á la
figura P) y el lado N de un quadrado equivalente á la fi-
gura Q. Sea ademas X una quarta proporcional á las tres
líneas dadas M , N , AB. Sobre el lado X j homólogo de
AB y trácese una fígura semejante á P : y digo que esta
sera al mismo tiempo equivalente á la figura Q.

Porque llamando Y la fígura formada ^bre el lado
X , tendremos P : Y : : (AB)* : X* ; ppro ^ por construc-
ción, AB : X : : M : N , ó (AB)' : X« : : M» : N^-
luego P : Y : : M^ : N*. Pero tenemos también por cons-
trucción M*=P, y N*=:=Q : luego P : Y :: P ; Q: lue-
go Y=:Q : luego la figura Y es semejante á la figura P,
y equivalente á la figura Q.

PROBLEMA XVIL

j>u ié%. Construir un rectánguio equivalente ó un quadrado da*
do C ^ y cuyos ladoé adyacentes compongan una suma
determinada AB.

Sobre AB 4 como diámetro • trácese una semicircuo-
ferencia ; tírese paralelamente al diámetro la linea DE
á una distancia AD igual al lado del quadrado dado C
Desde el punto £ , en que la parálela encuentra á la
circunferencia ) báxese al diámetro la perpendicular £F;
digo que AF y FB son los lados del rectángulo pedido.
Fbrque su suma es igual á AB > y su rectángulo
• Pr* 43. AF X FB es igual al quadrado de EF ^ , ó al quadrado
de AD : luego este rectángulo es equivalente al., ijua-
drado dado C

Escolio. Para que sea posible el problema , es preci-

', 1,

V

lilBKO IIZ. : ZOI

so que la distanda AD no sea mayor que el radio ; esto
es y que el lado del quadrado C no sea mayor que la
mitad de la recta AB.

PROBLEMA XVIIt

Construir un rectángulo equivalente á un quadrado Q f |« ^^^
y cuyos lados adyacentes tengan entre si la diferencia da^
da ABw .

Sobre la línea dada AB^ como diámetro ^ trácese una
circunferencia ; por el extremo del diámetro tírese la
tangente AD igiial al lado. del .^adrado. C ^ por el pui»*
td D y el centi^ tírese Já secante I2E : ¡diga que D£
y DF serán los lados , adyacentes Aii rectángulo pe^
dido. /

Porque i.^ la diferencia de estos lados es igual al diá*
metro EF ó AB ; 2.° el rectángulo D£ xI>F es igual á
(AD)^ ^ : luego este rectángulo será equivalente al qua- * Pr. 30^
drado dado C

PROBLEMA XIX.

Hallar él común divisor , si le hay ^ entre la diago^
nal y eLlado del quadrado.

Sea AfiCG un quadrado qualquiera , y AC su dia- Fig. i$4.
gonal.

Es menester primeramente sobreponer CB á CA
quantas veces quepa ^ , y .para, esto describase 4lesde * f^- '7-
cl centro C , y con el radio. CB , el semicírculo DBE ; y ^^' *'
vemos que CB cabe en AC una vez , y queda el. residuo
AD. Resulta , pues , de la primera operación el cocien-»
te I con la re&ta AD , que es preciso comparar con BQ
ó su igual AB.

Podemos tomar AF = AD , y sobreponer realmente

>

tOt GEOBISTRÍA.

AF á AB ; hallaríamos que cabe dos veces y algo mas;
pero como este residuo y los que sigan yan disminu-
yendo 9 y que en breve serian despreciables por su pe^
queñez , esta operación solo seria un medio mecánico
imperfecto , por el qual nos seria imposible saber si las
líneas AC y CB'tieneti ó no tienen entre sí un común
divisor ; pero hay un medio sencillísimo de evitar las
líneas decrecientes , teniendo solo que trak^r con lí*
, . • . 0eas constantes, 6 cuya magnitud es siempre una
GÜsma*

En efecto , siendo recto el ángulo ABC , AB es una
tangente , y A£ una secante tirada del mismo jiunto;
• Pr. 30. ¿g moAo que tenemos * AD: AB : : AB : AE. Así en
la segunda (^ración., en que se trata de comparar AD
con Ap , podemos poner en lugar de la raeon de AI>
AB la de AB : AE } pero AB , 6. su igual CD , cabe
dos veces en AE , con el residuo AD : luego el resul-
tado de la segunda operación es el cociente 3 con la
resta AD j que hemos de comparar á AB.
. . ' La tercera operación , que consiste en comparar AD

con AB , se reducirá también á comparar AB , ó su
igual CD con AE , y tendremos de nuevo el mismo co«
cíente 2 , y el residuo AD.

Inferiremos , pues , que jamas se acabará la oper2-«
cion , y que por consiguiente no hay común divisor en^
tre la diagonal y elUado del quadrado : verdad conocí**
da ya en la aritmética , (pues estas dos líneas siguen
f Pr. 1 1, hi razón de y ^ « t) ^ ; pero que adquiere mayor fíier-«
zo y claridad con la resolución geométrica.

Escolio. Aquí vemos que tampoco es posible hallar
en números la razón exacta de la diagonal con el lado
del quadrado ; pero podemos aproximarnos quanto que-
ramos por medio de la fracción continua, que es igual
á dicha razón. La primera operación ha dado de cocien-
te i ; la segunda , y todas las demás al infinito , dan 2;
y así la fracción de que tratamos es

LIBROr 111/ 103

"^•4-} , &c. ^ al infinito.

Por exemplo , si calculamos est^ fracción hasta el
quarto término inclusive ^hail^tnos^e su valor es i||
ó II ; de modo que la razón aproximada de la diago-
nal al lado del quadrado es la de 41 : 29. Hallaríamos
una razón mas aproximada y calculando mayor número
de términos*

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104 GXOMSTRÍiu

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LIBRO IV.

LOS POLÍGONOS REGULARES, Y LA MEDIDA

DEL CÍRCUI^.

u,

DEFINICIÓN.

n polígono , que es equiángulo , y equilátero al
mismo tiempo , se llama polígono regular.

£1 polígono regular no tiene numero determinado
de lados. £1 triángulo equilátero es un polígono regu- i
lar de tres lados ; el quadrado lo es de quatro > y asi
sucesivamente.

PROPOSICIÓN PRIMERA.

TEOREMA.

Dos polígonos regulares de un mismo número de ladoi
son dos figuras semejantes.
Fig. x$$. Sean 9 por exemplo, los dos exágonos regulares
ABCD£F y ahcdef y la suma de los ángulos es una nú»-
• »i. I. ma en ambas figuras , y vale ocho ángulos rectos. *

£1 ángulo A es la sexta parte de esta suma , iguala
mente que el ángulo a : luego estos dos ángulos Aya
son iguales, y lo mismo sucede por consiguiente con los
ángulos Byé^Cyc, &c. Ademas , ya que por la

LIBRO IV. X05

naturaleza ie los polígonos son iguales los ladds AB,
BC y CD 9 &c. , del mismo modo que ab^ cb ^ cd^ ^c^
es claro que tenemos las proporciones AB i ab: i BC:
he : : CD : cd , &c. : luego estas dos figuras tienen los
ángulos iguales y los lados bomólc^os proporcionales , y
por consiguiente son semejantes. ^ # D^f ^^

Corolario. Los perímetros de dos polígonos regulares Lib. 3.
de un mismo numero de lados están entre si como los
lados homólogos , y sus superficies como los quadrados
de estos mismos lados. ^ . * 27. j.

Escolio. El ángulo de un polígono regular se deter*
mina por el número de sus lados , como el de un polí*^
gono equiángulo. Véase la prop. XXI y lib. L

PROPOSICIÓN IL

TEOREMA.

Qualqm&ra poligono regular puede estar imcritoy c¡r^
cunscrito á un círculo.

Sea ABCDE el polígono de que tratamos. Fig. i(5.

Im^inese que hacemos pasar una circunferencia
por los tres puntos A , B , C ; sea O su centro , y QP
la perpendicular baxada al medio del lado BC. Tírense
AO y OD.

Los dos quadriláteros OPCD y OPBA pueden so-
breponerse uno á otro ; pues en efecto , el lado OP es
común , el ángulo OPC = OPB , por ser ambos rectos:
luego el lado PC se sobrepondrá á su igual^'B » y el
punto C caerá en B. Ademas , por la naturaleza del po«
.lígono , el ángulo PCD=PBA :. luego CD tomará la di-
reccion BA , y por ser CD = B A , el punto D coincidí-*
rá con A , y los dos quadriláteros. se ajustarán perfectar
mente uno con otro. Es ^ pues, , la distancia OD igual
á AO , y por consiguiente la circunferencia que pasa
por los tres puntos A , B , C , pasará también por el
punto D i pero por un raciocinio semejante y probare^

Io6 GEOMETRÍA.

mos que la circunferencia que pasa por los tres vértices
B , C , D , pasará por el inmediato E , y así sucesiva-
mente : luego la misma circunferencia que pasa por los
puntos A , B , C , pasa por todos los vértices de los án-
gulos del polígono , y dicho polígono queda inscrito en
esta circunferencia.

En segundo lugar , con respecto á esta circunferen-
cia j todos los lados AB , BC , CD , &c. , son cuerdas
iguales, y por 16 mismo están equidi:>tantes del centro^:
luego si desde el punto O , como centro , y con el ra-
dio OP : trazamos una circunferencia , dicha circunfe^
rencia será tangente en la mitad del lado BC , y de ro'
dos los demás del polígono , y la circunferencia queda-
rá inscrita en el polígono , ó el polígono circunscrito á
la circunferencia.

Escolio I. El punto O, centro común del círculo
inscrito y del circunscrito , puede considerarle también
como centro del polígono , y por esta razón se llama
ángulo del centro el ángulo AOi5 , formado por los dos
radios tirados á los extremos de un mismo lado AB.

Una vez que todas las cuerdas AB , £C , &c. , son
iguales , claro está que todos los ángulos del centro lo
son también ; y que asi el valor de cada uno se halla
dividiendo quatro ángulos rectos por el número de los
lados del polígono.

Escolio 2. Para inscribir un polígono regular de
cierto número de lados en xma circunferencia dada, ba»-
ta dividirla en tantas partes iguales como lados debe te**
ner el polígono ; porque , siendo iguales los arcos , lo
serán también las cuerdas AB , BC , CD , &c. j los
triángulos ABO, BCC, COD, &c., serán iguales tam-
bién , porque soaa equiángulos entre sí: luego todos los
ángulos ABC, BCD, CDE, &c., serán iguales, y la
figura ABCDE, &g. , será un polígono regular.

LIBRO IV. 107

PROPOSICIÓN IIL

PROBLEMA.

Inscribir un quadrado en una circunferencia dada.

Tírense dos diámetros AC ^ BD que se corten en
ángulos rectos ; únanse los extremos A , B , C , D ^ y
la figura ABCD será el quadrado inscrito.

Porque siendo iguales los ángulos AOB , BOC y Stc,
también lo son las cuerdas AB , BC , &c.

"Escolio. Por ser el triángulo BOC rectángulo é isós-« ,,
celes , tenemos ^ BC : BO : : y ^ : i : luego el lado del
quadrado inscrito es al radio como la raiz quadrada de 2
es á la unidad.

PROPOSICIÓN IV;

PROBLEMA.

Inscribir un exágono regular y un triangulo equilátero
en una circunferencia dada. y¡g, , jj.

Supongamos resuelto ya el problema , y sea AB un
lado del exágono inscritq; tirando los radios AO, OB^
digo que el triángulo AOB será equilátero.

Porque el ángulo AOB es la sexta parte de quatro
ángulos rectos ; y así , tomando el ái^ulo recto por
unidad, tendremos AOB = I =|. Los otros dos ángulos
ABO y BAO del mismo triángulo valen juntos 2 — | ó |,
y como son iguales , cada una vale | : luego el triángu-
lo ABO es equilátero, y el lado del exágono inscrito es
igual al radio.

Dedúcese de aquí que para inscribil: un exágono re*
guiar en una circunferencia dada , es preciso llevar e(
radio seis veces sobre la circunferencia ^ y se concluirá
asi en el mismo punto en que se empezó.

Inscrito ya el exágono ABCDEF : formaremos el

• • •

I08 GEOMETRÍA.

triángulo equilátero ACE y uniendo los vértices ele los
ángulos uno si y otro no.

• 14. 3. Escolio. La figura ABCO es un paralelógramo , y

aun un losango , pues AB=BC=:CO = AO: luego ^ la
suma de los quadrados de las diagonales (AC)*-4-(BO)'
es igual á la de los quadrados de los lados, que es 4(AB)^
ó 4(fiO)' i quitando de ambas partes (BO)* , quedará
(AC)»=3(BO)* : luego (AC) » : (B3)* : : 3 : i , ó AC:
BO : : V 8 : i : luego el lado del triángulo equilátero ins^
críto es al radio y como la raiz quadrada de ^ es á la
unidad.

PROPOSICIÓN V,

PROBLEMA.

Inscribir en tiñ circulo dado un decágono regular , lue^
go un pentágono y un pentedecágono,
« p 'k ^ Divídase el radio OA en media y extrema razón en

Lib!^3. ^^^ punto M^^, tómese la cuerda AB igual al segmento
mayor OM , y AB será el lado del decágono que debe-
mos llevar diez veces sobre la circunferencia.

Porque tirando MB , tenemos por construcción AO:
OM:: OM: AM;,ó, por ser AB = OM, AO: AB::
AB : AM : luego los triángulos ABO y AMB tienen co-
mún un ángulo A comprehendido entre lados proporcio-

• *o- 3- nales ; luego son semejantes ^. El triángulo OAB es isós-

celes , y por consiguiente el triángulo AMB lo es tam«
bien, y tenemos AB=BM ; ademas AB=OM: luego
también BM == OM : luego el triángulo BMO es isósceles.
£1 ángulo AMB , externo del triángulo isósceles
BMO , es duplo del interno O * ; pero el ángulo AMB=
MAB : luego el triángulo OAB es tal , que cada uno de
los ángulos de la base OAB ó OBA es duplo del ángu-
lo del vértice O : luego los tres 4ngulos del triángulo va-
len cinco veces el ángulo O, y así este es la quinta
parte de do$ ángulos rectos, ó la décima de quatro:

• «o. I.

N

XIBRO IV/' 109

luego el arco AB es la décima part« dé la circunferencia, *
y la cuerda AB es el lado del decágono regular.

Corolario L Si unimos de dos en dos los ángulos del
decágono regular y formaremois el pentágoao regular
ACEGI.

Corolario H. Siendo siempre AB el lado del decágo^
no y sea AL el del exágono ; entonces el arco BL será,/
respecto á la circiuiferencia , | — ^ , ó —• : luego la
cuerda BL será el lado del pentedecágono , 6 polígono
regular de 1 5 lados. Vemos al mismo tiempo que el ar*^
co CL es la tercera parte de CflL

Escolio. Habiendo inscrito un polígono regular , si
dividimos por mitad los ^rcos que sus lados subtenden,
y tiramos las cuerdas de los medios^arcos , estas forma-
rán un nuevo polígono regular de un número duplo de
lados ; asi vemos que el quadrado puede servir para
inscribir sucesivamente los polígonosi regulares do- 8,16,
3 2 , &c. 9 lados. Igualmente el exágono servirá para ins^
cribir los polígonos regulares de 12 , 24 , 48 , &c , la-
dos; el decágono, para los polígonos de 20^40, 80, &c.,
lados ; el. pentedecágono para los de 30^ 60 , 127 , &c.,
lados (i). ; .T

■ 1

PROPOSICIÓN. VL

PROBLEMA.

^Vado jd polígono: regular inscrito .ABCD , tov. ^ ffr- *"* ^^^'
funscribir á la misma circunferencia un polígono semejante*

< • .

(i) Hasta ahora se ha creído que solo podiaa Ipscribirse estos
polígonos por la Geometría superior , ó lo que es todo uno , por
la resolución de las equadones de primero y segundo grado ^ pero
UB Geómetra de Brunsvik, llamado Ch. Fred. Gauss, acai>a de
probar ^ en una obra intitulada Disquisitumes ^fitbmeticte ^ Lip^
site , 1 80 1 , que por el mismo método se puede inscribir el pbli*
gono r^ulár de 17 lados, y en general el de ao -f i lados, con
tal que ao 4 i sea un númeio primo.

XIQ GEOMETRÍA.

• lo. 9. . £n el punta F , medio del arco AB , tírese la tan
gente GH , que será paralela á AB * ; hágase lo misim
en cada uno de las demás arcos BC , CD , &c. 9 y es-
tas tangentes formarán por. sus intersecciones el polígo*
no regular circunscrito GHIK , &c. , semejante al poli*
gono inscrito.

£$ fácil de ver desde luego que los tres puntos 0^
B , H están en linea recta , porque los triángulos rec«
tángulos OTH , OHN tienen común la hypotenusa OI^

• x8. 1. y gi ^¿Q OT=:ON: luego son iguales-^, y d ángulo

LOH=:HON , y por consiguiente ia Unea OH pasa poc
el punto B y mitad del arco TN. Por ia misma razón el
punto I está en la prolongación de OC , &c. Pero , por
ser GH paralela á AB , y HI á BC , el ángulo GHI=

• a8. 1. ^Bc ^ . también HIK=BCD , &c. : luego los ángulos

del polígono circunscrito son iguales á los del inscrito.
Ademas , estas mismas paralelas nos dan GH : AB : :
OHrOB, y HI : BC : : OH^ OB: luego GH:AB;:
HI : BC. Pero AB=:BC : luego GH=:HI. Por la misma
razón HI=IK , &c. : luego los lados del polígono cir-
cunscrito son iguales, entre sí : lu^o este polígono &
regular y semejante al inscrito.

Corolario I. Recíprocamente , si nos diesen el poln
gono circunscrito. GHIK y &c. , y huMésemoi de trazar
por medio de él el polígono inscrito ABC , &c. , se echa
de ver que bastaría tirar á los vértices G , H , I , &c.,
del polígono dado las líneas OG , GH , 8cc. y que en-
coatrarian i la circunferencia en los puntos A , B,
C y &c. ; se tirarían luego por ellos las cuerdas AB^
BC y &c. , que formarían el polígono inscrito. También
se podría en este caso tirar solamente por los puntos de
contacto T , N , P , &c. , las cuerdas TN, NP, &c.,
que formarían igualmente un polígono inscrito semejan-
te al circunscrito.

Corolario II. Luego podemos circunscribir á un cir-
culó dado todos los polígonos regulares que sabemoi
inscribir en dicho círculo y recíprocamente.

LIBRO IV. tri

PROPOSICIÓN VIL ,

■-..•■• r .:'•? ■;. "■ > .

TEOREMA. >

>

El área de un polígono regtdar es iguaf á suferíme^
tro multiplicado \pofr la*mitad del radio del circula in^
crito. ■ ■ . •• • '- ■ • -'"^"^ ■' ■ ' ■ ' — 'i; v'T

Sea , par exempld , el 'polígono reguiái- GHIK^ &c. Fig. 160.

El triángulo GOH tiene por medida GH x }OT , y
^1 triángulo OHI tiene por medida HIx|ON; pero
ON=OT: luego los dos triángulos juntos tienen p<^
medida (GH-t^HI)xiOT. Continuando así éon los de-
mas triáñgiílos, veremos ipe Ix í^uma dtf' todos elftw-, ó
el polígono entero 5 tiélie por medida 4a' su^iá de las
bases GH , HI , IK , &c. , ó el perímetro del polígono,
multiplicado por |0T, mitad del xSdio del círculo
inscrito.

Escolio. El radio OT del círculo inscrito no es otra
cosa que la perpendicular tirada desde el centro á uno
de los lados ; algunas veces le 'llamamos opor^nfa del - ' ^
polígono.; 4

1:

PROPOSICIÓN ( vnL

TECHIEMA.' - 1 5' li.i . .

^:iiJ .:'

Los perímetros de tos polígonos regulares de unmsmo
número de lados siguen la razan de los radios de los chi^
euhs inscritos y circunscritos ^ y sus^-svperficm lade^ls^
quadrados de estos misníós radios:^ ' ^; ' ^

Sea AB tm' lado de imo de iO!^ polígonos de que trá^ Flg. 161.
tamos, O su dentro, y por -consiguiente OA el radio
del círculo circunscrito , y OD perpendicular á AB , el
radio del círi^ülo in&crito. Sea íjguakéeúte af) el lado de
otto polígond semejante v o ^ ü^UXr^^ oa yod los ra^
dios de los^írciüoscircúmci^itos^é'^iatóritds» .; >

í

XI2 GEOMETRÍA. .

Los perímetros de estos dos polígonos están entre s
como los lados AB y abi pero los ángulos A y a sof
iguales por ser cada uno la mitad del ángulo del poli-
gono y y lo mismo se verifica con los ángulos By b: lue-
go los triángulos ABO , abo son semejantes , lo mtsmc
que los triángulos rectángulos ADO , ado : luego AB :
4ib : : AO : ao: : DO : do : luego los perímetros de los
polígonos están entre sí como los radios AO , oo de los
círculos circunscritos ^ y como los radíos DO y do de los
círculos inscritos.

Las superficies de estos mismos polígonos están ezi*
tre sí como los quadrados de las lados homólogos Afi^
aby y también como los quadrados de los radios de los
círculos circunscritos , ó como los quadrados de los ra-
dios OD y od de los círculos inscritos

PROPOSICIÓN IX.

LEMA.

Fig. xtfd. Toda linea curva 6 polígona que cubre de un exfr^ i
mo ó otro la linea convexa AMB es mas larga que la li-
nea cubierta AMB.

Ya hemos dicho que por línea convexa entendemos
una línea curva ó polígona , ó en parte curva , y en pa^
te polígoiu , tal que una recta solo puede cortarla en
dos puntos. Si la línea AMB tuviese partes entrantes ó
sinuosidades, dexaría de ser convexa, porque bien se eck
4e ver que una línea recta puede cortarla en mas de dos
puntos. Los arcos de círculo son por precisión convexos;
pero la proposición de que tratamos se extiende á una
línea qualquiera qtie cumple la condición que se exige.
Ésto sentado , si la línea AMB no es menor que
todas las que las cubren , habrá entre estas alguna línea
mas corta que todas las demás , que ^rá menor qu(
AMB , ó á lo ma$ igyal á ella. Sea ACDEB esta líaei
que cubre ; eatre las.di>s líneas tírese por donde se quie*

LIBRO IV. irj

ra la recta PQ , que no encuentre á la línea AMB^ ó á
lo menos que no haga mas que pasarla rasando ; la reo«
ta PQ es mas corta que PCDEQ : luego si á la parte
PCDEQ substituimos la linea recta PQ , tendremos la
linea APBQ mas corta que APDQB, Pero , por hipóte-
sis , esta debe ser la mas corta de todas : luego será ab-« .
surdo este supuesto , y todas las líneas que cubren serán
mas largas que AMB.

PROPOSICIÓN X.

LEMA.

Dadas dos circunferencias concéntricas , podemos ins^^
cribir siempre en la mayor un polígono regular , cuyos lor*
dos no encuentren á la menor , y podemos igualmente cir^
cunscribir á la menor un polígono regular , cuyos lados no
encuentren á la mayor ; de modo que en anAos casos los
lados del polígono descrito quedarán encerrados entre las
dos circunferencias.

Sean CA y CB los radios de las dos circunferencias ^V* '^4^
dadas.

Por el punto A tírese la tangente DE y que termine
en la circunferencia grande en D y E; inscríbase en esta \
circunferencia uno de los polígonos que se pueden ins-
cribir por los problemas anteriores , divídanse luego por
mitad los arcos que los lados subtenden , y tírense las
cuerdas de estos arcos pequeños ; resultará un polígono
regular de un numero duplo de lados. Continúese la bi«-
seccion de los arcos , hasta que demos con un arco me-«
ñor que DBE. Sea MBN este arco , cuya mitad ó pun^^
to medio suponemos en B , claro está que la cuerda MN
áistará mas del centro que DE , y que asi el polígono
regular , cuyo lado es MN no puede encontrar á, la cir-
cunferencia , cuyo radio es CA;

Sentadas las mismas cosas , tírense CM y CN , que
encuentren á Ja tiente DE en P y. Q j PQ será el lar*

^5

114 GEOMETRÍA.

do de un polígono circunscribí á la circunferencia pe-
.que5a, semejante al polígono inscrito en la grande , cu-
yo lado es MN Claro está también que el polígono cír-
cumcrito , que tiene por lado PQ , no podrá encontrar
á la circunferencia grande , pues CP es menor que CM

Luego por la misma construcción podemos trazar un
polígono regular inscrito en la circimferencia grande , )
un polígono semejante circunscrito á la pequeña , loi
quales tendrán sus Lados comprebendidos entre ambas
circunferencias.

Escolio. Si tenemos dos sectores concéntricos FCG
y ICH f también podremos inscribir en el mayor uoa
porción de polígono regular , 6 circunscribir al menor
una porción de polígono semejante , de modo que los
contomos de los dos polígonos estén ceñidos á su cir-
.cunferencia : bastará dividir sucesivamente el arco F6G
en 2 , 4 , 8 , i6 , &c. , partes iguales , basta dar con
una parte menor que DBE.

Llamamos aquí porción de polígono regular la fip
ra terminada por una serie de cuerdas iguales , inscnti'
«n el arco FG de un extremo á otro. Esta porción tient
las principales ' propiedades de tos polígonos regulare^
tiene los ángulos y lados iguales , y es al misino tiempo
posible de inscribir y circunscribir á un círculo. Sin ein-
.bargo , no seria parte de un polígono llamado con pro-
piedad regular , sino quando el arco que uno de sus la-
dos subteude fuese parte alícuota de la cbcunferencia.

PROPOSICIÓN XL

Las circunferencias de los círculos están entre sí comí
los radios , y sus superficies como los quadrados de dichas
radios.

Señalemos , para mayor brevedad , por cir. CA la
drcunferencia , cuyo radio es CA : digo qup tendremos

n

¿IBRO IV. irj

circ. CA : circ. OB : : CA : OB.

Porque si esta propq>icion rio fuese cierta , CA se-
ria á OB como circ. CA es á un quarto término ma- ^^
yor ó menor que circ. OB. Supongámosle menor , y sea,
si es posible , CA : OB : : circ. CA : circ. OD.

lascríbase en la circunferencia , cuyo radio es OB
un polígono regular EFGKLE , cuyos lados no encuen-
tren á la circunferencia trazada con el radio OD * ; ins- ^'* *^*
críbase un polígono semejante MNPSTM en la circun-
ferencia , cuyo radio es CA.

Esto sentado, por ser estos polígonos semejantes,
sus perímetros MNPSM y EFGKE son entre sí como
los radios CA y OB de los círculos circunscritos * ; y ♦ Pr. 8.
tendremos MNPSM : EFGKE : : CA : OB ; pero , por
hipótesis , CA : OB : : circ. CA : circ. OD : luego
MNPSM : EFGKE : : circ. CA : circ. OD. Pero esta
proporción es imposible , porque el contorno MNPSM
es. menor que circ. CA*, y al contrario EFGKE es
mayor que circ. OD : luego es imposible que sea CA á
OB como circ. CA á una circunferencia menor que circ.
OB ; ó , en términos mas generales , es imposible que
un radio sea á otro radio como la circunferencia trazar-
da con el primer radio es á una circunferencia menor
que la del segundo radio.

De aquí deduzco que tampoco puede ser que sea
CA á OB como circ. CA es á una circunferencia mayor
que circ. ; porque si esto fuera , saldría , mudando las
razones , OB es á CA como una circunferencia mayor
que circ: OB es á circ. CA , ó lo que es todo uno , como
circ. OB es á una circunferencia menor que circ. CA:
luego un radio seria á otro radio como la circunferencia
del primero es á una circunferencia menor que la del
segundo , lo qual ya se ha demostrado que es impo*
sible.

Valiéndonos de un raciocinio y de una construcción
enteramente parecidas , demostraríamos que las super-
ficies de los circuios son como los quadrados de sus ra-*

• •

i

Il6 GEOMETRÍA.

dios. No entraremos en mas por menores sobre esta pro^
posición , que ademas es un corolario de la siguiente.
Flg. i66. Corolario. Los arcos semejantes AB y D£ siguen la
razón de sus radios AC y DO , y sus sectores semejan--
tes ACB y DOE la de los quadrados de estos mismos
radios.

Porque por ser semejantes los arcos , el ángulo C es
« Def. 3. igual al ángulo O * ; pero el ángulo C es á quatro án-
Lib. a. gyios rectos como el arco AB es á la circunferencia en-
tera descrita con el radio AC * , y el ángulo O es á
' *■ ** quatro ángulos rectos como el arco DE es á la circunfe^
rencia descrita con el radio OD : luego los arcos AB y
DE son eptre si como las circunferencias de que son
parte y y estas circunferencias son como los radios AC,
DO : luego arco AB ; arco DE : : AC: DO.

Por la misma razón los sectores ACB y DOE son
como los círculos enteros , y estos son como los quadra-
dos de los radios: luego sect. ACB: sect. DOE: : (AC)*
(DO)*.

PROPOSICIÓN XIL

TSOREMA.

La superficie del circulo es igual al producto de su
circunferencia por la mitad de su radio.
Fig* 167. Llamemos sup. CA la superficie del círculo , cuyo
radio es CA ; digo que tendremos sup. CA = fCA x circ.
CA.

Porque si jCAx circ. CA no fuese el área del cír-
culo trazado con el radio CA , esta cantidad será la me-
dida mayor ó menor. Supongamos primeramente que es
la medida de un círculo mayor , y sea y sí es posible,
}CAx circ. CA= sup. CB.

Al círculo , cuyo radio es CA , circunscríbasele un

polígono regular DEFG , &c. , cuyos lados no encuen-

* Pr. 10. tren á la circunferencia descrita con el radio CB ^ ;

LIBRO IV, 117

! la superficie de este poKgono será igual á su contorno '
! DE -H EF -H FG -4-, &c., multiplicado por J AC ^; pero el ♦ Pr. 7.
! perímetro del polígono es mayor que la circunferencia
! inscrita j pues la rodea por todos lados : luego la super-
i ficie del polígono DEFG, &c. , es mayor que |ACx
circ. AC , que es la medida del círculo , cuyo radío es *
CB ; y por lo mismo el polígono seria mayor que el cír-
culo. Pero al contrario es menor , pues está dentro del
él : luego es imposible que iCAx circ. CA sea mayor
que snp. CA ; ó en otros términos^ es imposible que la
circunferencia de un círculo multiplicada por la mitad
de su radio sea medida de un circulo mayor.

Digo en segundo lugar que dicho producto tampoco
puede ser la medida de un circukf menor ; y para no
mudar figura , supondré que este circulo es el trazado
con el radio Cfi. Es, pues, preciso probar que |CBx
circ. CB no puede ser medida de un circulo mas peque-
ño , V. gr. que el que tiene por radio á CA. Con efec- ^
to , sea , si es posible ,^|CBx circ. CB =sup. CA.

Hecha la misma construcción que en el caso ante-
rior , la superficie del poligoúo DEFG ,'&c., tendrá por
medida ( DE -4- EF h- FG -^ , &c.) x ^CA ; pero el con-
torno DEh-EFh-FGh-, &c. , es menor que circ. CB
que le rodea por todas partes : luego el área del polígo-
no es menor que fCAx circ. CB , y con mayor razón
menor que iCB x circ. CB. Esta última cantidad es , por
suposición , la m^kia del círculo trs^ado con el radio
CA : laego el polígono seria menor que el círculo ins-
;:rito , lo qual es un absurdo : luego es imposible que la
zircuiaferencia de un círculo multiplicada por la mitad
le su radio sea la medida de. un circulo menor ; y final-
Tiente la medida de la superficie de un circulo es su cir^-
;uiiferencia multiplicada por la mitad de su radio.

Corolario L La superficie de un sector es igual á su p;^ .^o
uxo multiplicado por la mitad de su radio.

Porque el rector ACB es al círculo entero como el
ixco A^iB es i la circunferencia entera ABD -^ , ó co-

IlS GEOMETRÍA.

mo AMB X íAC es á ABDx JAC. Pero el círculo entero
es=ABDx {AC : luego la medida del sector es AMBx
jAC.

Corolario ü. Llamemos t la circunferencia , cuyo
diámetro es la unidad. Una vez que las circunfereD-
cías siguen la razón de sus radios ó diámetros, podre*
moi formar esta proporción : el diámetro i es á su cir-
cunferencia 7 como el diámetro 2CA es á la circunfe-
rencia , cuyo radio es CA j de modo que será 1:^1:
iCA: circ. CA : luego rírc. CA=í2t xCA. multiplican-
do ambos términos por fCA , tendremos -(CA x cin.
CA = a- X (C A)* , ó sup. C A = 5r (CA)' : luego la super-
ficie di un circulo es igual al producto del quadrado de
su ratüo por el número constante t , que representa la cít-
cunferencia , cuyo diámetro es i ^ 6 la razón de la cít'
cvnferencia al diámetro.

Del mismo modo la superficie del circulo que tiene
por radio OB será igual á «• x (OB)' ; pero ir (CA)':
» x(OB)" : : (AC)' ; (OB)» : luego las superficies de ¡oí
círculos son como las quadtados de sus radios , lo cpt
concuerda con lo demostrado en el teorema aaterior.

Escolio, Ya hemos dicho que el problema de la qua<
dratura del circulo consiste en hallar un quadrado igual
en superficie á un círculo de radio conocido ; pero aca^
bamos de probar que el círculo es equivalente al rec-
tángulo formado con la circunferencia y la mitad del ra-
dio , y este rectángulo se transforma en quadrado , to-
fp' g mando una media proporcional entre sus dos dimensio-
Ijb. 3. oes * : luego eí problema de la quadratura del círculo
se reduce á hallar la circunferencia conocido el radio,
y para esto basta conocer la razón de la circunferencia
al radio ó al diámetro.

Hasta ahora solo se ha podido determinar esta ra-
zón por aproximarnos ; pero se han continuado esta'
tanto , que nada adelantaríamos en realidad con sabe:
la razón exacta. Así esta qüestion , en que se han ocu-
pado mucho los Geómetras quando eran menos conocí'

■^

. LIBRO IV. ^ 11^

dos los métodos de aproximación , está ahora desprecia^*
da entre las qüestiones inútiles , en que solo deben ocu-^
parse los que empiezan á adquirir las primeras nociones
de Geometría.

Archímedes ha hallado ^ que la tazqn de la circun*-
ferencia al diámetro está comprehendida entre 3 1§ , ^
3 If; ^1 3 7 9 ó y es un valor muy aproximado ya al ni>
mero que hemos representado por^, y^esta primera apro-
ximación es la mas usada á causa de su sencillez. Meció
iia hallado por el mismo número el valor mucho mas
aproximado , y es |4|. En fin , el valor de ^r 9 aproxíí-
mado hasta cierto número de decimales, ha sido hallado
por otros calculadores, y es 3, 1415926535 89793 2 , &Ci,
y ha habido quien ha tenido la paciencia de continuar
estas decimales hasta ciento veinte y siete , y aun basta
ciento y cincuenta. Bien se conoce que. una aproxima^-
cion semejante equivale á la razón exacta , y que no se
conocen mejor las raices de las potencias imperfectas. *

£n los prablemas siguientes se explicarán los dos
métodos elementales mas sencillos para sacar estas
aproximaciones.

PROPOSICIÓN XIII.

PROBLEMA.

• • ' ' ' • .

Dadas las superficies de un polfgono regular inscrito
y de un polígono semejante circunscrito' y hallar las de los
polígonos regulares inscrito y circunscrito de un número du^
pío de lados.

Sea AB el lado del polígono dado instrcito , EF pa^ píg. 16^,
ralela á AB , el del poligano semejante circunscrito, Cy
el centro del círculo. ; .'

Si tiramos la cuerda ÁM y las tangentes AP , BQ,
la cuerda AM será el lado-idel polifoao inscrito de un
numero duplo de lados , y PQ , duplo de PM , será el
del polígono semejante circunscrito ^. Esto sentado , co- « Pr. 6.

120 ' GEOMETRÍA.

mo siempre se verificaría esta tmsma construccioa en los
diferentes ángulos iguales á ACM , basta considerar el
ángulo ACM solo , y los triángulos contenidos serán en-
tre sí como los polcónos enteros.

Sea A la superficie del polígono inscrito y cuyo lado
es AB , B la superficie del polígono semejante círcuns^
crito , A^ la superficie ^ cuyo lado es AM , B^ la del po-
lígono semejante circunscrito ; A y B son conocidos , y
se trata de hallar A^ y B^.

I .^ Los triángulos ACD y ACM j cuyo vértice co-
mún es A , están entre sí como sus bases CD y CM;
por otra parte estos triángulos son como los polígonos
A y A' , de que son parte : luego A : A^ : : CD : CM.
Los triángulos CAM y CME , cuyo vértice común es M,
siguen la razón de sus bases CA y CE ; estos mismos
triángulos son ademas como los polígonos A^ ^ y B^ , de
que son parte : luego A^ : B : : CA : CE. Pero las para-
lelas AD y ME nos dan CD : CM : : CA : CE : luego
A : A^ : : A^ : B : luego el polígono A^ , que es uno de
los .que buscamos , es medio proporcional entre los ám
polígonos conocidos A y B , y tenemos por consiguieo- 1
te A^=>/(AxB).

2.^ Por ser común la altura CM, el triángulo CPM
es al triángulo CPE como PM es á PE ; pero por divi- 1
dir la linea CP en dos partes iguales el ángulo MCE,
xy. 3. tenemos * PM: PE : : CM : CE : : CD : CA : : A : A:
Juego CPM : CPE: : A y A% y sumando CPM : CPM-f
CPE , ó CME : : A : A-h A^ Pero CMPA , ó 2CMP y
CME están entre sí como sus re^)ectivos polígonos B^ y
B : luego B'' : B : : 2 A : A -+- A^ Ya hemos, determinado
el valor.de A^; e&ta nueva ^oporcíon determinara el

. ^ /L \f ^

de B , y tendremos B' = lluego por medio de los

A + A' ^

polígonos A y B. es fácil hallar los polígonos A^ yW
que tienen duplo numero de lados.

LIBRO IV. Í21

PROPOSICIÓN XIV.

PROBLEMA.

Hallar la razón aproximada de la circunferencia al
diámetro.

Sea el radio del círculo =.i , el lado del quadrado
inscrito será V^^ * > ^^ ^^^ quadrado circunscrito es igual ^* *
al diámetro 2 : luego la superficie del quadrado inscri-
to es = 2 , y la- del quadrado circunscrito = 4. Ahora si
hacemos A = 2 y 6=4 , hallaremos por el problema

anterior el octógono inscrito A^=\/g= 2,8284271 , y

16
el octógono circunscrito B^= ZT^^ 3>3 ^ 37^^ 5 • ^^

nocidos así el octógono inscrito y circunscrito y hallare-*
mos por medio de ellos los polígonos de un número du-
plo de lados ; será preciso suponer de nuevo A = 2,
8284271 , B=c 3,3137085 , y tendremos A'=:V^(AxB)

1 A. 5í V

= 3,0614674 , y B'= ^ 3,1825979. Después

A 4 A'

estos polígonos de 1 6 lados nos servirán para conocer los
de 3 2 , y continuaremos asi hasta que el cálculo no dos
dé diferencia alguna entre el polígono inscrito y, el cir-«
cunscrito. Eti llegando á este, punto inferiremos que el
último resultado es el valor del circulo , porque este
siempre debe est^ cómprehendido entre el polígono ins-^
crito y circunscrito : luego si estos no se diferencian eth^
tre si hasta cierto número de decimales, tampoco el
círculo diferirá en este número.

Véase aquí el cálculo de estos polígonos continuado
hasta que no discrepan en la séptima decimal.

x6

122 GEOMETRÍA,

Número de los lados. Polígono inscrito* Polig. cir.

4 2,0000000 4,0000000.

8. ...... . 2,Sf28427i. . . . . 3j3I37o8$.

16 3,0614674 3>^825979.

3^ - 4>i^H4$i 3>Mi7H9-

64- 35I365485 3jI44"84.

I2Í- 3,1403311 3,1422236.

256, ;..... 3,1412772. • • • ^ . 3,1417504.

5" i 3>i4Mi38 3>i4i632i.

1024.' . i • . • • 3,1415729, » • . . 391416025.

2048 3,1415877 3ri4M95i-

4096 3,1415914- • • — 3>Hi5933-

,8192 .3,1415923 3,14159^8.

¿6384, . . . . . c 4,1415925. . . . . 3,1415927.

32768. • ^ . • • . 4,1415926. • . . . 3>í4i5926.

De aquí deduzca que la superficie del círculo es =
3,141592o. Podría haber duda sobre la última decimal
á causa de los errores que provienen de las partes des-
jpréciadas ; pero se ha hecho el cálculo con uña decimal
mas y para asegurarse del resultado que acabamos de
hallar hasta la última cifra decimal.

Ya que la superficie del círculo es igual á la semicir-
cunferencia multiplicada por el radio , siendo el radio
== I , la semicircunferencia es 3,1415926 ; ó siendo el
diámetro i , la circunferencia es 3,.i4i5926 : luego la
razón de la circunferencia al diámetro hallada arriba
por a- =3,1415926.

PROPOSICIÓN XV.

LEMA,

'* »?<>• El triángulo CAB es equivalente al triángulo isósceles
DCE , que tiene el mismo ángulo C , y cuyo lado CE ó
CD es medio proporcional entre CA y CB. Ademas , si eS"

rrBRo IV. 123

recto el ángulo CAB , la perpendicular CF , baxada ó la
' hase del triángulo isósceles , será media proporcional entre
el lado ' C A y la seimsuma^ de loi lados CA y CB.

Porque i .^ , por ser común el ángulo C , el tri^tigu-
lo ABC es al triángulo DCE como ACxCB es Á DCx •
CE, ó (DC)^ *: luego estos triángulos serán equivalen- * *4- 3«
tes , si (DC)^ ^ AC X CB , 6 si DC es media proporcio-
nal entre AG y CB. -.

2/^ Ya que iaperp^ndíewlar.CGF corta en dos par^
tes iguales al á;igulo ACB , tenemos A,G : GB : : AC: * x7« 3»
CB, de donde sacamos ^ compohendo ÁG : AG-hGB ó
AB : : AC ; AB H- CB j pero AG es á AB como el triái>.
guio ACG es al triángulo ACB ó 2CDF ; ademas ^ si el
ángulo A es recto 9 los triángulos rectángulos ACG y
CMF son semejantes, y dan ACG: CDF : : (AC)^ : :
(CF)*: luego (AC)^ : i(CF)« : : AC : AC-4-CB. Multí^
pilcando la segunda razón por AC , los antecedentes se-
rán iguales , y tendremos por consiguiente 2(CF)* =5

ACx(AC-f.CB) , ó (rv)i'^Arv / ach-cb \ ^^^^ .

2.^, si el ángulo A es recto , la perpendicular CF será
media proporcional entre el lado AC^ y la isenúsúma
de los lados AC-f-CB.

PROPOSICIÓN XIV.

PROBtBMA.

• *

Hallar un circulo que difiera tan poco como se quiera
de un polígono regular dado,

Propongáixionós^ por exemplo, el qüadrado BMNP.

Desde e^ centro C bástese al lado M3 la perpendi**
cular CB:

El círculo descrito con el radio CA está inscrito en
el qüadrado, y el descrito con el radio BC está circuns-
crito á dicho qüadrado j el primero será menor que el

• •

124 GEOMETRfA.

quadtado , y tí segundo mayor : se trata de aproximar

estos limites.

Tómense CD y CE iguales cada una á la media
proporcional entre CA y CB , tírese ¥D , y el triángu-
• Pr. 1$. lo isósceles CDE será equivalente M triángulo CAB *.
Hágase lo mismo en cada uno de los ocho triángulos que
componen el quadrado , y formaremos así un octógono
regular equivalente al quadrado BMNPy El círculo des-
crito con el radio CF , medio propoporcional entre CA

'[ : ' CAH-CB :^ quedará inscrito en el octógono , y el cír-

2

culo descrito con sX radio CD quedará circunscrito. M
^ue, el primero será menor que el quadrado dado , y el
segundo mayor. -

. • Si ' transformamos del mismo modo el rectán-
•guio 'CDF en. un triángnto isósceles equivalente, for-
maremos un polígono, regular de i6 lados equivaléis
te al quadrado propuesto. El círculo inscrito en este
polígono será menor que el quadrado , y el circunscri»
será mayor. '

r Podemos continuar &si hasta qué la razón entre d
íTadio del círculp inscrito , y el del circunscrito difieran
tan poco , como se quiera , de la igualdad ; en cuyo ca-
so ambos círcidos podrán considerarse como equivaleur*
tes al quadrado propue,sto. ,

Escolio. A ésío se reduce la investigación de los ra-
dios sucesivos. Sea a el radio del círculo inscrito en uno
de los polígonos hallados , b el radio del circulo circuns-
crito á este mismo polígono ; sean af y V los radios se-
mejantes para el polígono siguiente , qiie tiene duplo nú-
mero de lados. Según lo que hemos demostrado , i^ e$
uiia ffeedía- J^íOporcíoüM efttre ti: j h^y üí es también

*^una itiectíá ' proporcional eíitire a y - ^ de modo que

2

tendremos V^\j{a'>dS) , y af=.^(ax j : luego co-

no<;idos los radios ü y. ¿ de un polígono , deducirenaos

LIBRO IV. > :i25

fácilmente los radios af y V del polígono siguiente , y
continuaremos asi hasta que sea insensible la diferencia
entre los dos radios , entonces uno de ellos será el ra-*
dio del .circulo equivalente, al quadrado ó polígono pro-
puesto. . ; :^ , ( >

Este método es fácil de. practicar por lineas , pues
se reduce á hallan sucesivamente medias proporcionales
entre líxieas conoeidaa ; . pero, es mucho mejon por nú-^
meros 9 y es uno de los mas cómodos que puede simii-
nistrarnos la Geoh^etrja elemental cpara hallar con pron-
titud la razGín aproximada de la circunferencia al diib-
metro. Sea el lado del quadrado = 2 , el primer radio
inscrito CA será= i , y el primer radio circunscrito CB
será =V^ft ó 1,414^136; Haciendo, pues, a^x^bj^
1,41421 36, hallaremos 2/=j,i 892071, yy=i,098684r.
Estas cantidades servLrón para calcular ús siguientes^ se^
gun la ley de continuación.

Véase aqüi el resultado del cálculo hecha hasta sie^
te ú ocho curas por las tablas comunes de logaritmos

.. Radios. 4e. los .circ-drcuns.. Radio&.de.Jfis.drc inscr..

1,4142136 . 1,0000000.

. 1,189207!; • . .. , . > .. • 1,0986841.

1,1430500 1,1210863.

1,1320149. . . . , . . .,.,1,1265639.

1,1392862 1,1279257.

1,1286663. . , . • . • ^ y l^\%,^%(>^y. :

■ ( • ■ ^ .. ; - I .

.Ahora que la prixnera mitad ;, de las cifras es una
misma por ambos kdos , podrei^ios tom^tr e|i l^gar de
los jnedios geométricos k^^.medÍQSiaritiftéíiíz^ ique soJo
dis<:i:«pan de los ptrps .^^n Jas ^.<#r^{ uíj:ei39res,j Asi se
abrevia mucho la operación , y los res^|tii4<)^ ^^ i

•. . . • • -. • ..n • •- ''--'■

136 ' GEOMETRÍA.

Radios de loi cStc circuni. Radios de los clrc ínter.

1,1283360 l,ia83;o8.

1,1283934. . . 1,1283721.

1,1283827 1,1283774.

1,1283801 1,1283787.

1,1283794, 1,1283791,

1,1283792 1,1383792.

Ljuego 1,1283792 es coa corta dUerencU el radis
del círculo igual en superficie al quadrado» cuyo háa
es 2. De aquí es fácil sacar la razón de la circunferea-
cia al dtácnetro , pues hemos demostrado que la supei-
£cie del círculo es igual ai quadrado de 5u radio muí-
tiplicado por el número r '. luego si dívl^Umos la so-
.perficie 4 por el quadrado de 1,1283792, tendrema
el valor de t , que se halla por este cálculo k
3,i4i;96, &c. , como lo hemos hallado por tan
métoda

APÉNDICE AL LIBRO IV.

DEFINICIONES.

I. Se llama máximo la- cantidad mayor entre todas
las de su especie ; trúnimo la menor.

Así el diámetro del círculo es un máximo entre todaí
las líneas tiradas en él , y que rematan por ambas par
■ tes en la circunferencia , y la perpendicular es un mfni.
ma entre todas Jai rectas tiradas desdé un pumo dad
á una línea dada. -','-■.■

2.° Se llaman figuras jso^imetras i las que tiene
iguales sus perímetros.

LIBRO' ÍV. . 127

PROPOSICIÓN PRIMERA.

TEOREMA.

Entre todos los triángulos de igual base y perímetro^
el triángulo máximo es aquel en que los dos lados , que
no están determinados , son iguales.

Sea AC = CB, y AM -+- MB =: AC -h CB : digo que Fig. i7t.
.; el triángulo isósceles ACB es mayor qne el triángulo
: AMB , que tiene la misma base y perímetro.
i Desde el punto C , como centro 9 y con el radio
1 CA =:CB j descríbase una circunferencia que encuentre
s en D á la prolongación de CA ; tírese DB , y el ángu-
6 lo DBA , inscrito en este círculo, será recto *. Protón- * j^ ^
i guese DB háda.N, hágase MNs^iMB, y tírese AN. ^'
¿ En fin , desde los puntos M y C báxense MP y CG,
) perpendiculares á DN.

Ya que CB = CD y MN = MB , tenemos AC-+.CB
= AD,y AM-HBM = AM-h.MR Pero ACh-CB =
, AM-f-MB : luego AD=MA-f-NM : luego AD> AN;
pero si la obliqüa AD es mayor que la obliqüa AN,
f distará mas de la perpendicular AB : luego DB > BN,
y BG y que es mitad de BD*^ , será mayor que BP, ♦ x^. x.
mitad de . BN. Pero los triángulos* ABC y ABM , que
tienen una misma base AB , están entre sí como sus. ai-
turar BG y BP : ^ luego por ser BG > BP , el triángulo
isósceles AfiC es mayor que ABM , que tiene la misxxui
base y perímetro , y que no es isósceles.

PROPOSICIÓN II.

TEOREMA.

Entre todos los polígonos isoperimetros de igual nume--
ro de lados , el máximo tiene sus lados iguales.

Porque sea ABCDEF el polígono máximo. Si el la- F^g* ^73-

y

128 CSOMSTRÍA.

do BC no es igual á CD j fórmese sobre la base BD un
triángulo isósceles BOD que sea isoperimetro á BCD , y
• Pr. I. que será mayor que BCD *. Por consiguiente el polí-
gono ABOD£F será también mayor que ABCDEF:
luego este último no seria el máximo entre todos los
que tienen igual perímetro , y un mismo número de la-
dos , lo que repugna con lo supuesto : luego debe ser
BC =CD. Por la misma razón tendremos CD= DE , DE
=: BF , &c. : luego todos los lados del polígono máxitm
son iguales entre sí.

PROPOSICIÓN III.

TEOREMA.

De todoí las triángulos formados con dos lados dadosj
que formen entre si un ángulo qualquiera , el máximo es
aquel en que los dos lados dados forman un ángulo recto.
Fig. 174* Sean los dos triángulos BAC y BAD, que tienen e{
lado AB común , y • el lado AC = AD. Siendo recto ¿
ángulo BAC, digo que el triángulo BAC será mayor
que el triángulo BAD, que tiene el ángulo A obtuso ó
agudo.

Porque siendo una misma la base AB , los dos trián-
gulos BAC y BAD siguen la razón de sus alturas AC
y DE ; pero la perpendicular DE es mas corta que la
obliqüa AD ó su igual AC: luego el triángulo BAD es
menor que BAC.

PROPOSICIÓN IV.

TEOREMA.

De todos los polígonos formados con lados dados mf-
nos el último , que será arbitrario , el máximo dd)é ser tal
que todos sus ángulos estén, inscritos en una semícircunfe^
renda , cuyo lado desconocido será el diámetro.

. LIBRO rIV;> ,«9

Sea íABCDEF el mayor ipoligcmo fomiaiio con ió^ Flg. 17^
Jados dados AB, BC , CD, DE, EF , &c, y tm.úki'^
mo AF arbitrjftrio. ,

; {: Tiritóse U$ diagonales! AD y DF.
y ',iSi íHO' fuese recto leí ángulo A£)Fy podríanos, ^io
alterar eo. náda^ las partes ABCI>, D£F,> hacer mayot
el triángulo ADF^.yj^l^r consiguiente todo el polígono^
haciendo recto al ángulo ADF , según la proposición an*?
tejrioT; * PeGO:^^ . polígono -es incapaz de ijQi^íreitiento,
pues hemQ9js^puíésto haber llegado á .$u méxifno ; Jiue-^
gp el áAgulOí.ADF^es ya recto. LomistiK) sucede con
los ángulps.'AfflF , ACS , AEF : luego todos los ángulos
A , B 9 C , D 9 E> F del polígono máximo están ,ins;^
critos eiK mu senúclro^erenoia'^ cvtyo lado indetepiii-*
nadp 4F es el 4¡4metfc0i mjjm l.íj i.;(, .: r«b

. EscQÜp. Edta preposición 4* 1^3;r á una qUesdoos^^y
es: si hay muchas maqieura$.d^.formar/.iU9».poijgo$LQjooB
lados dados, y el último incógnito, que será el diá«
metro de la stñ;iidrcy]:ifetfeDi:iit^jei) qjleí están inscritos
los demás. Antes de decidir esta qiiestion , es preciso ob-
servar que si una misn^a i^eic4^AB subtende arcos des- pjg ,1^5,
critos con radios diferentes AC y AD , el ángulo del
centro , quedesoaosa^^b^e^st^ cuer^ i:^á osieiHii]^ en
el círculo , cuyOi radio es ^nuay^r.; Así. ACB,< AJU^ , pprr
)^ue >d áogulo. :AÍ>Q ^CD< r^-j,

Aí)0>, y, 4up^ia4o;rpoy ami^aíi.; parte$.ír wiéfítm^

PROPOSICIÓN V.

TEOREMA.

. ' ' '•/•..:. '■:■. ■ . ^"/ • '• •::.■ '. - ■; '»■'.'■

Solo hay un modo de formar el poligono ABCDEF

4mi lados dados , y uno incógmto , que sea el diámetro de

la semicircunferencia en que están inscritos^ los demás. "^

^Porque supongamos que hemos hallado un círculo

que satis&gala qüestíon^ Si ^ tomamos! ^tui círculo onayor^

17

X30 GlOMfiTRÍA.

Fig. 17$. las cuerdas AB , BC , CD , &c. corresponderáa á áfH
gulos del centro menores. Las sumas de estos ángulos
del centro valdrá menos por coasiguiente que dos rec«
tos, y así los extremos de los lados dados no irán á
dar á los estremos del diámetro. SI tomáramos un circu*
lo menor , tropezaríamos con el inconveniente contra-
rio : luego el polígono de que tratamos solo puede ins-«
cribirse en un circula

Escolh. Se puede alterar según se quiera el orden de
los lados AB , BC , CD , &c. , y el diámetro del círcu-
lo circunscrito permanecerá siempre el mismo 9 igual-
mente que la superficie del polígono , porque , sea qual
fuere el órdén de los arcos AB , BC ,. fice, basta que
su suma valga la semicircunferencia^, y el polígono teii<-
drá siempre una misma superficie ^ 'pues será igual al
semicírculo , menos; lo» segmentos A¿B., BC , &c. ^ cuya
suma es la misma en todos casos»

PROPOSICIÓN VI.

. : ^ - TEOHEMA.

De tochslo3 poligonos formados con lados dados ^ el
máximo es el que se puede inscribir en un círculo.
Tig. 177. Sea ABCDEFG el polígono inscrito , y abcdefg el
que no sé puede inscribir , formado con íados iguales,
de modo que sea AB=: ah^ BC = he , &c. : digo que el
polígono inscrito es mayor que el otro.

Tírese el diámetro ÉM , y las líneas AM y MB ; so-
bre a¿= AB — hágase el triángulo abm igual á ABM, y
tírese em.

Según la proposición IV, el polígono EFGAM es ma-
yor que efgam ^ á nó ser que también este último pudie-
ra inscribirse en una semicircunferencia, cuyo diámetro
fuese el lado em^ y en Qstt caso los dos polígonos se-
rian iguales ppr la proposición W. Por la misma razón
el. polígono^EiXIBM es mayor a^ edcbm 9 exceptuando

I i

LIBRO IV. 1-3^

este caso ^' que ^an iguales. Luego el polígono enter-
ro EFQAMBCDE es ¿mayor que efgcmbcji^í á menos que
ño sean t^alméite igualas ; pero ¿ó lo son , pues ^el uno
fstá Jl)sck?itO:áatelt:m3uJo9 yü otifd ;heÍEQ9^ jpp^e;^
que no se :r puede inscribir : luego el polígono inscrito es
hsiyór. Q{litando de ambas pairees loi'trián^Iós iguá-¿
les ABM , ahm f, quedará: el' polígono JnscritQ .AS<^JS]^Q
mayor que el ildnscribible abcd^/j^.

Escolio. Se demostrará , como en la proposición V^
que solo pued^jliibeii'I (Mc^tid4);^l8>]}li:C¿isiguiente solú
un polígono máximo qué satisfaga la qüestion ; y este
polígono seria todavía de una ini^ma superficie, aunque
se mudara como se quisiera el orden de sus lados.

, >

y I

ligoríos ü^sapmmstrols j> d^mrmmo im(net9^ ie laá^
\ . Porque togun^ltesojr^ma' II 9L el polígono. ^^^;rir?|o ^t^^
Cbe tod^s stiS'Tlddos^i^uales; y>.$egun; el teoi;em$i a^ter^
rior y es ininscribibi^^eá'el cír(>uk>; luegQ ^ste ppligom;

es regular. : -f , , f ',

jboi ángulos ¿él ceiitro^ que tienen por medida dos
crcos distintos^ si^fJ^m í i?. x^zorí 4e hs arcos ■■. comprehen^i--^.
dos divididos por sus radios.

Así el ángulo Gves al ángulo Q c<Mrio ' la ^azon — i e$. pj ^ ^^

Til» "^^ ^ *

la razón — . .

, ■ -DO ■■■'-■ '1 • • '.' ■■ . j _

. Con un radío OF ¡gual á AC d^cr^baje el arco ^G
compreiienáíáo' eáír¿' los ísidás ÓD y OEjseoixfí^údd:

;w-. -■.•■•■ ..._^^ .U

• •

tj2 Geometría.

Por §er' iguales los radios AC, OF, teindremos desde

* '^' *• iueeoC; Ó:: AB:: ÍG^, ó::l? : ff. Pero por los ar-

♦pr. II. ^^ ^ AC BO

eos semejantes FG y DE sacamoB-* FG:.DE ::.FO:

DO ; lueeQ la razojí .^ es igual á la razón , y te-

J ' • ""^ n AB DE ~

memos- pbr' cooísiguieme' C^ : O-:: ^^ : .l_.

. • TEOftÍMA; • '

.ij í:- ::<.> ^ -' JcRj'* -

De dos polígonos reblares insoperírnetros y aquel es
mayor que tietk' mayér'^iff^fodeiades.'^
*"* *7P. Sea DE la mitad del lado de uno de los polígo^
nos, O su centro, OE iaüpotémsi. Sea AB el medio-
lado del otro polígono , C su centro , y CB su apotema.

Siijipnfeiiios lí^'bentWií'O y C áttiáddrtá^t^

quakiüWa^»OC,y *4oi^ 'á^^teitias ©©>5/iíJBíeíi>.iá .direc-
clúh <5C í ^'ás4 ' T30EI y > AJCft sét^áni <(¿ se^^go^io» del
cetitró de-tefJ pO^MgOfíasí ; Y ííoiiJO' eptds){árigtA6s no • son
i^Uál^s ,1a^ ^ linead CAvyiOD prolongadas ^ rácontrarán
en un punto F. .',.

Debde estje^ptMito rp^^x^se, A €119^— perpendícu-
iar FG; desde los puntos O y C , como "centros , des-*
trríbanse los arcos GI v .GK, terminados en los la-
dos OF , CF.
.^ ^ . Est^ senti^do y . tendremos , ^ .s^gun • ej lema anterior Ch

G í:i£i : SS pero DE «es al p6ríiBí¿t«) 4¿i pí^imér ¡polígo-

no cqpcio el ángulo O es á qüatfo ángulos J^ectós, y AB es

. ai-' períiTiétrb^ Üel «e^^d^ poÍi^ndtiaJbfiÍ2el^dBi^ul<y C es

á qüátro ángulos rectos : luego , ya que tf)fl iguales los

perímetros de los polígonos, DE : AB ::'tX¡: C\ í> DE:

Ap :: : : -^- Muluplicanao los. antecedentes por OG

LIBRO IV. 133

y los consecuentes por CG , tendremos DE x OG : AB x
CG ;: GI : GH. Pero los triángulos semejantes ODE , OFG,
dan OE: OO :: DE: FG, de donde resulta DE x 0G=
OExFG. T«n4ráHios: también ABx CG=:CBxFO: luego
OE xFG : CB x¥G lúGl^: GH , 6 OE í CB :: GI : GH.
X^ego s! hacemos v^r qué el arco GI es^ má^r que él ar-^^
co GH , deducirémosr^^ue el apotema OF es mayor que CB.
Al otro lado de CF hágale la figura CKx totalmente
igual á largara CGx^^de modo que: tengamos GK^^tCG,
el ángulo HCK=:HCG, y.^t-arcQÍCx=2:OíQ ; la; íaír—
ba KaG cubrirá al arco KHG, y será mayor que él^. * P'* 9*
Luego Gxy mitad de la curva, es mayor que GH, mi-
tad del arco: luego, con mayor razón, será GI mayor
que GH,

De aquí resulta que el apotema OE es mayor que CB;
pero ya que los dos poligonos tienen un mismo períme-
metro , son entre sí como sus apotemas^: luego el polir- « pr. 7.
geno que tiene por medio-lado DE es mayor que el
que tiene por medio-lado AB ; el primero tiene mas la-
dos por ser menor su ángulo del centro : luego de dos
polígonos regulares isoperimetros , aquel es mayor que
tiene mas lados.

PROPOSICIÓN X.

TEOREMA.

El circulo es mayor que qualquíera polígono isope^
rímetro.

Ya queda probado que de todos los polígonos iso-
perimetros, y de un mismo número. de lados, ei polígono
regular es el mayor , y asi ahora solo tratamos de com-
parar el circulo á \m polígono regular qualquiera iso-
perímetro. Sea AI el medio-lado de este polígono , C su
centra Sea en el circulo isoperiraetro el ángulo DOE =
ACI , y por consiguiente el arco DE igual al medio-lado
AI. £1 polígono P es al círculo C como el triángulo ACI

134 geombtr/a.

es ai sector OD£ ; asi tendremos P : C :: ^AI x CI :
|D£ X OE :: CI : 0£. Tírese al punto £ la tangente £G,
que encuentre en G á la prolongación de.OD; los trián-
gulos semejantes ACI^ G0£ darán la proporción CI:
0£ :: AI ó D£ : G£; luego T : C :: D£ : GE , ó co^
mo DE X iO£ , que es la medida del sector DOE , es
i GE X |0£ , que es la medida del triángulo GO£ ; pero
el sector es menor que el triángulo : luego P es menor
que Cy y por Iq mismo el círculo es mayor que qual-
quiera polígono isoperimetro. , .

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LIBRO V.

LOS PLANOS Y LOS ÁNGULOS SÓLIDO&

DEFINICIONES.

I. V^na línea recta e^ perpendictdar á un planOj
quando es perpendicular á todas las rectas que pasan

por su pie en el plano*. Reciprocamente , el plano es * P'*^
perpendicular á la línea.

£1 pie de la perpendicular es el punto en que esta
linea encuentra al plano.

II. Una línea es paralela á un plano ^ quando no
puede encontrarle por mucho que se prolonguen ambos.
Recíprocamente , el plano es paralelo á la linea.

III. Dos planos son paralelos entre sí , quando por
xnucho que uno y otro se prolonguen , januis pueden
encontrarse.

IV. Se demostrará* que lainter^ecoion común de dos ^^' ^
planos que.se encuentran, es imá linea, recta;: y sentado
esto, el ángulo 6 la incliriacion mutua de dos pílanos es

la mayor ó menor cantidad que pueden estai* separados
uno de otro ; esta cantidad se mide:* por el ángulp que ^'* ^'^'
forman entre sí las dos perpendiculares tiradas ea caii^
plano á un mismo puato deJa comuá interseccion.(
Este ángulo puede ser agudo , recto ú obtuso. . .

V. Si es recto y los dos planos son perpendiculares en*^
tre sL ^

VI. Ángulo sólido es el espacio. anclar compreberh
elido entre mudios planos que concurren en un mismo .
piuita

136 GEOMETRÍA.

Así el ángulo sólido S está formado por la reunión
de los planos ASB , BSC , CSD , DSA. -

Se necesitan tres planos á lo menos para formar ua
ángulo sólido.

PROPOSICIÓN PRIMERA.

TEOREMA.

Una lima recta no puede estar parte en un plano , j
parte en otro. '

Porque , según la definición del plano , ai una recta
tiene dos puntos comunes en ua plano, está toda ente»
en él.

Escolio. Para conocer si una superficie es plana se
aplicará sobre ella una línea recta en diversos sentidos^
y se verá si toca á; la superficie en toda su extensión.

PROPOSICIÓN IL

TEOREMA,

Dos lineas rectas que fe cortan^ están en un tnism
plano, y determinan su posición.

Fg. 181. ^^^ AByAC dos i lincas, rectas que se' cortan en A;
podemos^ imaginar nni plano en que se halle la línea rec-
ata AB; d luego hacemos girar e^e plano al rededor
de AB, hasta qué pase por el punto C, entonces la
linea AC , que tiene dos de sus puntos A , C en este
iplano f estará toda entera efn: él : • luego la posición de
este plano queda* determinada <tí>n soto lá condición de
que estén en él: las .dos i^ectas* AB^ AC .

Corolario I. Luego un triángidoi ABC ^ 6 tres pan-
tos A, B, C, que no estén en una misma línea recta,
determinan la posición de.un plano.

Fig. i8a. ' Corolario li. \Luego tÍMnbimi-dos paralelas AB, CI
determinan la posición de un plano; porque ^ si tiranKK

LIBRO V, 137

la secante EF , el plano de las dos rectas AE , £F será
el de las paralelas AB, CD.

PROPOSICIÓN III.

TEOREMA.

Si dos planos se cortan ^ su común sección será una
línea recta.

Porque si en los puntos comunes á ambos planos hu*
biese tres que no estuviesen en linea recta, estos pla-
nos, pasando cada uno por estos tres puntos, formarla^
un solo y mismo plano ^ , lo que repugna contra lo * Er. i.
supuesto.

PROPOSICIÓN IV.

TEOREMA.

Si una linea recta AP es perpendicular a otras dosVB^ PQ Fig. 183.
que se cruzan id pie de ella en el plano MN, será perpen-
dicular á una recta qualquiera PQ tirada por su pie. en
el mismo plano , y así será perpendicular al plano MNí
Por un punto Q , tomado á arbitrio sobre PQ , tírese
la recta BC en el ángulo BPC, de modo que BQssQC^^,
y tírense AB, AQ , AC. # Prob. ^

Estando dividida la ' base BC eñ 4os partes iguales Lib.3.
en el punto Q, el triángulo BPC dará* ♦ '4» 3.

(BP)«-h(PC)« = 2(PQ)^ + 2(QC)?
El triángulo ABC dará también

(AC)*H- (AB)* ^ 2(AQ)» + 2<QC)*
Restando la primera equacion de la segunda , y obser*^
vando que los triángulos APC , APB , rectángulos anifos
en P, dan (AC)» — (PC)» = (AP)% y (AB)^— (PB)» = : ^
(AP)* , tendremos.

: (AP)» -h (AP)* ^, 2{AQ)* — 2(PQ)?

Xtuego^ tomando las mitades de ambas-, partes^ tene^

18

^

.^8 GEOMETRÍA.

mos (AP)»=(AQ)« -(PQ)% ó (AQ)«=(AP)»+(PQ)«:
13, 3. l^eg^ ^^ triángulo APQ es rectángulo en P^^, y AP es
perpendicular á PQ.

Escolio. Aquí vemos no solo que es posible que una ü-
nea recta sea perpendicular á todos las que pasan por su
pie en un plano , sino que esto se verifica siempre que
esta linea es perpendicular á dos rectas tiradas en el pla-
iio , en lo qual queda demostrada ya la exactitud de la

definición I.

Corolario I. La perpendicular AP es mas corta que

una oblíqiía qualquiera AQ : luego mide la verdadera

distancia del punto A al plano PQ.

Corolario IL Por un punto P , dado en un plano,
solo se le puede levantar una perpendicular. Porque si
pudiésemos levantar dos perpendiculares en el mismo
punto P , llevando en la dirección de ^stas dos perpen-
diculares un plano , cuya intersección con el plano MN
sea PQ , entonces dichas dos perpendiculares serian
perpendiculares á la línea PQ , en el mismo punto y
en el mismo plano, lo que es imposible.

Es igualmente imposible baxar dos perpendiculares
á un plano desde uü punto dado fuera de él. Porque , si
suponemos que son AP y AQ estas dos perpendiculares,
el triángulo QPA tendría dos ángulos rectos APQ , AQP,
lo qual es un absurdo.

.^. '

PROPOSICIÓN V.

TEOREMA.

Las obliqüas equidistantes de la perpendicular sm
iguales } y ^ de dos obliqüaí que no- equidisten de la per-
pendicular , aquella es mas larga que dista mas.
Fig. 184. Porque siendo rectos los ángulo:> APB, APC, APD
si suponemos las distancias PB, PC , PO iguates entre
sí, los triángülpi APB , APC, APD tendrán un ángulo
iguala compreíiendido eotrelaáoB iguales:. luego serán

LIBRO V. 139 .

Iguales , y también las hipotenusas ó las obliqiias AB^
AC 9 AD serán iguales entre sí. Del mismo modo , si
la distancia P£ es mayor que PD , ó su igual PB , claro
está que la obliqüa A£ será mayor que AB, ó su igual AD.

Corolario. Todas, las obliqiias iguales AB , AC,
AD y &c. van á parar á la circunferencia BCD , tra-
zada desde el pie P de la perpendicular como centro:
luego , dado un punto A fuera de un plano ^ si queremos
hallar en este plano el punto P donde caerla la perpen--
dicular basada desde A j debemos señalar en el plano
tres puntos B , C , D, equidistantes del punto A, y
buscar luego el centro del circulo que pasa por ellos,
y este centro será el punto P que buscamos.

Escolio. £1 ángulo ABP es lo que llamamos la incK'^
fiacion de la obliqüa AB sobre el plano MN ; vemos que
esta inclinación es igual para todas las obliqiias AB, AC,
AD , &C. , que equidistan de* la perpendicular ; porque
todos los: triángulos ABP, ACP , ADP, &c. son igua^
les entre sí.

PROPOSICIÓN VI.

TEOREMA.

Sea AP ma perpendicular al plano MN, y BC una Fíg. i8s.
linea situada en él ; si desde el pie P de la perpend&cu*^
lar tiramos PD perpendicular á BC , y luego AD : digo
que también AD será perpendicular á BC.

Tómese DB = DC , y tírense PB, AB, PC,AC

Por ser DB=DC, la obliqüa PBt=PC; y respecto
á la perpendicula» lAP , ya qué PB^PC^^.la.obliqüa AB
es igual AC*: kiego la línea AD tiene dos. de sus pun* «pr. 5-
tos A y D equidii>taiites de los extremos B y C: Iucm
go AD es perpendicular en el media de BC.

Corolario. Vemos al mismo tiempo que BC es peiv
pendicular al plano APD , pues lo es á un tieinp^ á laf
dos rectas AD, PD; c - - ^ .. .1 ív./j

• • •

140 GEOMETRÍA.

Escolio. Las dos líneas AE , BC presentan el exem-
plo de dos lineas que no se encuentran, porque no es-
tan en un mismo plano. La mas corta distancia entre es-
tas líneas es la recta PD , que es á un tiempo perpen-
dicular á la línea AP y á la BC. La distancia PD es
la menor que hay entre elstas dos líneas , porque si ti-
ramos una recta por otros dos puntos qualesquiera A,
B, tendremos AB> AD, AD>PD: luego, con mayor
razón, AB>PD.

Aunque las dos rectas AE , CB no están situadas en
un mismo plano, las consideramos no obstante como que
forman entre si un ángulo recto ; porque AEy la paralela
tirada por uno de sus puntos á la linea BC formarian en-
tce sí un ángulo recto. Del mismo modo, las. líneas AB
y PD, que representan dos rectas qualesquiera, no si-^
tuadas en un mismo plano , nos imaginamos que forman
entre sí el mismo ángulo que formarla con AB la para*
lela á PD ^ tirada por uno de los puntos de AB.

PROPOSICIÓN VIL

TEOREMA.

Fig. I. S6. Si la linea AP es perpendicular al plano MN , toda
' línea DE , paroMa á AP, será perpendicular al mismo
plano. . •

Llévese en la dirección de las paralelas AP y DE
un plano , cuya intersección con el plano MN será PD;
tú el plano MN tírese la BC perpendicular á PD , y
tírese también . AD.

* / 5egun)eltcprJDlario. del tpoarema anterior, BC es per-
.^^ ' pendicuiac' al plano APDE : luego él ángulo BDE es rec-
to. Pero el ángulo EDP es recto también , por ser AP
perpendicular á PD, y DE paralela á AP : luego la lí-
-nea DE.es perpendicular á las dos rectas DP, DB : lue-
go es perpendicular á 6u. plano MR .

Corolario L Recíprocamente ^ si las rectíis AP y D£

tiBRO V. 141

son perpendiculares al mismo plano MN , serán parale*
las. Porque si no lo fuesen tírese por el pnnto D una
paralela á AP , que será perpendicular al plano MN :
luego podríamos desde un mismo punto D de un plano
levantarle dos perpendiculares , lo que es imposible. ^ ♦ . ^

Corolario IL Dos lineas A y B , paralelas á una ter-
ca raC, son paralelas entre. sL Porque imaginemos un
plano perpendicular á la linea C, en cuyo caso las rec*«
tas A y B, paralelas á esta. perpendicular, serán per-
pendiculares al mismo plano : luego , según el corolario
anterior , sei*án paralelad entre si. Hemos de entender
que las tres lineas no están en un mismo plañe , porque
á no ser así , la proposición nos seria ya conocida..')^ « 26 i.

PiR OPOSICIÓN VIII.

TEOREMA.

Si la linea JiS es paralela auna recta CD tirada pj^ jg^
en el plano MN , sera paralela á este plano.

Porque si la línea AB, que.está en el plano ABCD,
encontrase al plano MN , esto solo podría verificarse en
algún punto de la línea CD , común sección de los dos
planos ; pero AB no puede encontar á CD^ por ser
ambas parálenlas uína á .otra : luego tampoco encontrará
al plano MN, y será peálela á él: -* ^ j^^ ^

PROPOSICIÓN IX. .

TEOREMA.

' » • • • .

■•••'••, '

Dos planas Í([N y PQ , p^penditiüar'es á una misma, r¡g. 188.
recta AB , son paralelos entre sí.

Porque, suponiendo que se encontrasen, sea O uno
de sus puntos comunes , y tírense OA , OB.

La linea AB , perpendicular al plano MN , es per*
pendicular á la recta OA tirada al pie de ella en este

141 GEOMETRÍA.

plaao. Por la misma razoa AB es perpendicular á BO
luego OA y OB serian dos perpendiculares baxadas i
una misma recta desde un ml%mo pumo O, lo que es
imposible : luego los planos MN , PQ no pueden en*
concrar^y y por consiguiente son paralelos.

PROPOSICIÓN X.

TEOREMA.

Las intersecciones EF, GH de dos planos parale*
Fig* líP- i0j ]yiN ^ PQ ^ cortados por un tercero FG , son pa-
ralelas.-

Porque si las liaeas EF, GH , situadas en un mismo
plano, no son paralelos, se eacontrarian si las prolon-
gásemos: luego los plano» MN, PQ, en que están,
se encontrarían también : luego no serian paralelos.

PROPOSICIÓN XI.

TEOREMA.

La linea AB , perpendicular al plano MN , es per^
Fig. 1 88. pendicular al plano PQ paralelo á MN.

Habiendo tirado arbitrariameme la línea BC en et
plano PQ , llévese en la dirección de AB'. y BC un pla-
no ABC , cuya intersección con el plano MN sea AD,
• pr. lo. y 1^ qual será paralela á BC^. Pero la línea AB , per-
pendicular al plano MN, es perpendicular á la recta AD:
luego también seria perpendicular á su paralela BC ; y
por ser la línea AB perpendicular á qualquiera linea BC
tirada al pie de ella en el plaño PQ ^ se sigue que es
perpendicular á dicho plana '

LIBRO V. I4J

PROPOSICIÓN XIL

TEOREMA.

Las paralelas EG , FH, comprehendidas entre dos Fig.i8p.
planos MN , PQ paralelos , son iguales.

Por las paralelas £G , FH hágase pasar el pla*^
no EGHF , que encontrará á los planos paralelos en la
dirección EF y GH. La$ intersecciones EF y GH son
paralelas entre sí, del mismo modo que.EG y FH: luego
la figura EGHF es un paralelógramo : luego EG = FH.

Corolario. Sigúese de aquí que doj planos paralelos
equidistan por todas partes ; porque si EG, y FH son per^
pendiculares á . lo5 dos planos MN , PQ ,. serán parale-
las entre sí^: luego son iguales. ^pr. 7.

PROPOSICIÓN xni-

, TEOJ^EMA.

Si dos ^gulos CAE , DBF , situados én distintos plor- j..
nos , tienen sus lados paralelos y en una misma direc-*
don , estos ángulos serán iguales y sus planas serán pa-*
ralelos.

Tómese AC = BD , AE 5sBF;> y tírense CE , DF,
AB, CD, EF. ' •

Poc.ser AC paralela á BD, k figura ABDC e^ un
paralelógramo* : luego CD es igual y paralela á AB. ^ ^
Por una razón semejante , EF es igual y paralela á AB:
luego también CD es igüaí y^jíaiífeiá.áiEF, y la figu-
ra CEFD es un paralelógramo : luego el lado CE es
igual y paralelo á DF ,/y/ por iconsiguiente los triángu-
los CAE , y DBF son equiláteros entre sí : luego el án-
gulo CAE = DBF.

En segundo lugar , digo que el plaoQ ACE es para^
lelo al plano D£sF.; porque, supongamos^ .im pimío pa-

144 GCOMCTRÍA.

ralelo á BDF, que pase por el punto A , el qual encuentR
á las lineas CD y £F en otros puntos que no sean C y £
por exemplo y en G y H. En e^te caso , según la pro-
posición XII , las tres líneas AB , GD , FH serán igua-
les i pero las tres AB , CD , £F lo son ya : luegc
tendremos CD = GD , y FH=EF , lo quaf es un ab-
surdo : luego el plano AC£ es paralelo á BDF.

Corolario. Si dos planos paralelos MN, PQ están

cortados por otros dos CABD, EABF, los ángulos

CAE , DBF , formados por las intersecciones de los

planos paralelos , serán iguales ; porque la interseccioo

* Px. lo. AC es paralela á BD ^ , y AE lo es á BF : luego el

ángulo CAE=DBF.

> •

PROPOSICIÓN XIV.

TEOREMA.

Fig. ipo. Sí tres rectas AB , CD , EF , situadas en distintos
planos y son iguales , y paralelad , los triángulos AC£;
BDF , formados de ambas partes por los extrentos de ei-
. tas rectas , sefárt iguales , y sus planos paralelos^

Porque una vez que AB es igual y paralela á O),
la figura ABDC es un paralelógramo : luego el lado AC
es igual y paralelo á BD. Por una razón semejante , los
'Jados AE y W son iguales y paralelos ^ así como CE,
DF : luego los dos triángulos CAE y BDF son iguales.
Se probará también, comb en la proposición anterior,
que sus planos son paralelos.

PROPOSICIÓN XV.

TEOKfMA.

Fig. ipi. Dos rectas , comprehendidas entre planas paralelos^
están cortadas en partes propCTcknudes.
^ Supongamos que, la^linea ^ ^n^uentra á 1q3 planos

LIBRO V. I4J

paralelos MN, PQ , RS en A, E, B, y que la lí-
nea CD encuentra á estos mismos planos en C, F, D:
digo que tendremos AE : EB i: CF : FD.

Tírese AD, que encuentre al plano PQ en G^ y tí-^
rense también las AC, EG, GF, BD.

Las intersecciones EG, BD de los planos parale-
los PQ , RS con el plano ABD , son paralelas* : lúe- •Pf, ro.
go AE : EB :: AG : GF. Del mismo modo, las inter-
secciones AC, GF, siendo paralelas, nos dan AG: GD::
CF : FD : luego , quitando la razón común AG : GD :
tendremos AE : EB :: CF : FD. ' :

PROPOSICIÓN XVI.

'.I

TEOREMA.

Sea ABCD un quadrtlátero situado ó no situado en ^ j„ jp^,
un mismo platto , si cortamos próporcionalmente los lados
opuestos con dos rectas EF , GH , de modo que sea AE:
'EB::DF:FC, 3^ BG :GC:: AH: HD ; digo que las
rectas EF y. GH se cortarán en un ptínto M, y tendré'--
mos HM : MG :: AE : EB, jy EM : MF :: AH : HD.

Llévese en la dirección AD'un plano qualquiera
•A6HcD, que no pase en la dirección GH. Por los. pun-
tos E, B, C, F, tírense á GH las paralelas Ee, Bft, Cr, v • ^^ '
F/, que encuentren- á este platio en e, 6, c, /.Las pah
ralelasBb, GH, Ce nos dan* 6B : He :: BG:GC :: AHx ♦ iS- 3-
HD; luego los triángulos AHfe, cHD son semejantes*. ♦ ao, 3.
Tendremos luego Ae : eb :: AE : EB, y D/ : fe :: DF:
FC; luego Ae : eb :: D/ : /c, ó componendo, Ae : D/:;
Ai : De. Pero lo^ triángulos semejantes AH6 , ¿HD dan
A& : De :: AH: HD ; luego Ae : D/:: AH : HD. Ade-^
mas los triángulos AH6, cHD , siendo semejantes, el án-
gulo HAe = HD/ ; luego los triángulos HAe , DH/ son
semejantes*, y el ángulo AHe = DH/. Dedúcese desde ♦ ao. 3.
luego ique eHf es una línea recta, y que así las tres pa^ . '^ ^
raleks Ee, GH^ Ff están en un. mismo plana, en el

^9

146 GSOMETRÍA.

qual estarán también las dos rectas EF , GH : luego ej-
tas deben cortarse en un punto M. Las paralelas Ee , MH|
Ff nos darán EM : MF :: eH : H/:: AH : HD. Por una
construcción parecida , haciendo pasar un plano por AB,
demostraríamos que HM : MG : : AE : EB.

PROPOSICIÓN XVII.

TEOREMA.

Fíg. ip3- El ángulo comprehendido entre los dos planos MAN,
MAP puede medirse^ según la defimcion^ por el ángu-
lo NAP, que forman entre sí las dos perpendiculares AN,
AP , tiradas en cada uno de estos planos á la común sec^
don AM.

Para demostrar la exactitud de esta medida , es pre-
ciso probar, i.^ que es constante , y que seria la misma,
sea qual fuese el punto de la común sección al qual
se tirasen las dos perpendiculares.

En efecto, si tomamos otro pimto M, y tiramos MC
•«n el plano MN, y MB en el plano MP, perpendi-
culares á la común sección AM , por ser MB y AY
perpendiculares á una misma linea AM, serán paralelas
entre sí. Por la misma razón MC es paralela á AN:
• Pr. 13. luego el ángulo BMC = PAN ^; luego es indiferente ti-
rar las perpendiculares al punto M ó al punto A^ porque
el ángulo comprehendido será siempre el mismo.

2»^ Es menester probar, que^si el ángulo de dos
planos aumenta ó disminuye en una cierta razón , el án-
gulo PAN aumentará ó disminuirá en la misma razón.
En el plano PAN descríbase desde el centro A , y con
un radio arbitrario el arco NDP ; desde el centro M,
y con im radio igual describase el arcaCEB j tirese AD
arbitrariamente.

Siendo perpendiculares á una misma recta MA los
*Pn 9. dos planos PAN, BMC, serán paralelos^: luego las in-
tersecciones AD, ME de estos dos planos con un terce^

LIBRO V, 147

ro AMD serán paralelas : luego el ángulo BME será igu<d

á PAD> •Pr.13.

Demos por un momento el nombre de esquina al án«
guio formado por dos planos MP , MN. Esto sentado,
si el ángulo DAP fuese igual á DAN , claro está que la_
esquina DAMP seria igual á la esquina DAMN ; por-
que la base PAD se ajustaría perfectamente con su igual
DAN , y la altura AM seria siempre la misma : luego
las dos esquinas coincidirian una con otra. Vemos tam-
bién que si el ángulo DAP cupiese un cierto número
cabal de veces en el ángulo PAN^ la esquina DAMP
cabria igual número de veces en la esquina PAMN.
Ademas de la razón en números enteros á una razón
qualquiera, la- conclusión es legitima^ y queda demostrada
eñ un caso de todo punto semejante^: luego sea la que * 17. «•
se fuere la razón del ángulo DAP al ángulo PAN^ la es*
quina DAMP conservará esta misma razón con la esqui--
na PAMN : luego el ángulo NAP puede tomarse por
medida de la esquina PAMN, ó del ángulo que forr«
man entre sí los dos planos MAP , MAN. .

Escolio. Quando dos planos se cortan mutuamente ,
los ángulos opuestos al vértice son iguales , y los ángu-
los adyacentes valen juntos dos rectos ; luego si un plana
es perpendicular á otro, este lo es también al primero.
Del mismo modo^ quando dos planos están cortados por
otro tercero , se verifican las mismas igualdades de án**
gulos , y las mismas propiedades que quando dos Iw
neas paralelas están cortadas por una tercera

PROPOSICIÓN XVIIL

TEOREMA.

Siendo la Urna AP perpendicular al plano MN , qual^ F¡g. 194.
quiera plano APB , en la dirección AP , será perpendículo
lar al plano MN.

Sea AB la intersección de los planos AB , MN.

• • •

148 GEOMETRÍA.

Si en el plano MN tiramos á BP la perpendicular
' DE , siendo la línea AP perpendicular al plano MN,
será perpendicular á cada una de las dos rectas BC , DE.
Pero el ángulo APD , formado en la común sec-
ción BP por las dos perpendiculares PA , PD , es la me-
dida del ángulo que forman los dos planos AB , MN:
luego, una vez que este ángulo es recto, los dos planos

• Def. $. son perpendiculares entre sí. ^

Escolio. Quando tres rectas , como AP , BP , DP,
son perpendiculares entre si , cada una de ellas es per-«
pendicular al plano de las otras dos , y los tres planos
son perpendiculares entre sí.

PROPOSICIÓN XIX.

TEOREMA.

Fig, i4p. Si el plano AB es perpendicular al plano MN, y ti-
ramos en el plano AB la línea PA perpendicular á la oh
mun sección PB , digo que PA será perpendicular d
plano MN.

Porque si en el plano MN tiramos- PD perpendicu-
lar á PB , el ángulo ^ APD será recto , por ser les pla-
nos perpendiculares entre sí : luego la línea AP es per-
pendicular á las dos rectas PB y PD , y lo es también
a su plano MN»

Corolario. Sí el plano AB es perpendicular al pla-
no MN , y á este último le levantamos una perpendicih
lar en un punto P de la común sección; digo que
esta perpendicular estará en. el plano AB. Porque si no
estuviese , podriamos tirar en el plano AB una perpen^
dicular AP á la común seocion BP , la qual seria al
mismo tiempo perpendicular al plano MN : luego en el
punto P habría dos perpendiculares al plano MN , lo

♦ Pr. 4. que es imposible.^

LIBRO V, 149

PROPOSICIÓN XX:

TEOREMA.

Si dos planos AB, AD son perpendiculares a un ter-^ Fig. 149.
cero MN, su común sección AP también será perpendicun
lar á dicho plano.

Porque si en el pimto P levantamos una perpendi-
crular al plano MN , esta .perpendicular debe hallarse á
un tiempo en los dos planos AB y AD^; lucjgo es su ♦?!. ly.
común sección AP,

PROPOSICIÓN XXX

• ' ...

TEOREMA.

Si un ángulo sólido está formado por tres ángulos pla^*
nos , la suma de dos qualesquiera de estos ángulos será
mayor que el tercero.

Solo se puede demostrar la proposición,; quando el
ángulo plano 9 con el qual comparamos la suma de los
otros dos , es mayor que cada uno de estos. Sea pues S el Fig. 195.
ángulo sólido formado por tres ángulos planos ASB, ASC,
BSC, y supongamos que el ángulo, ASB sea el mayor,
de los tres-; digo que tendremos ASB<ASC-hBSC. ;

En el plano ASB. hágase el. ángulo BSD == BSC, tí-
rese arbitrariamente la recta AI^B ; y habiendo toma**
do SC = SD , tírense AC y LC.

Los dos lados BS , SD .son respectivamente ¡guales
á los otros d^s BS, SC ; el ángulo BSD = BSC: luego los
triángulos BSD y BSC son iguales , y por , consiguiente
BD = BC. Pero tenemos AB < AC -+- BC ; quitando de
«ñaparte BD, y de la otra su igual BC, quedará AD<AC,
Los dos lados AS, SD son iguales á los otros dos AS, SC,
y el tercero AD es menor que el tercero AC • luego ^ el ♦ lo, i.

150 GBOMETRfA.

ÚDWilo ASD<ASC. Añadiendo BSD = BSC, tendrema
ASD-H BSD ó ASB < ASCh- BSC.

PROPOSICIÓN XXII.

TEOREMA.

La suma de los ángulos planos que forman un ánguk
sólido es siempre menor que quatro ángulos rectos,

«.. ^ Córtese el ángulo sólido S con un plano qualquie-
ra ABCDE ; desde el punto O, tomado en este pla-
no, tírense á todos los ángulos las líneas OA, 0£,
OC, OD, OE.

La si^ma de los ángulos de los triángulos ASB,
BSC , &c. ^ formados al rededor del vértice S , equiva-
le á la suttia de un número igual de triángulos AOB,
BOC, &c. formados al rededor del vértice O. Pero en el
punto B los ángulos ABO , OBC valen juntos el ángu-

• Pr. ftx. ^^ ABC menor que la suma de los ángulos ABS , SBC^.
Del mismo modo, en el punto C tenemos BCO-f- OCR
BCS -f- SCD 9 y así sucesivamente en todos los angula
del polígono ABCDE. Sácase de aquí que en los triáiH
gulos cuyo vértice es O , la suma de los ángulos de la
base es menor que la de sus correspondientes en ios tríáa-
gulos cuyo vértice es S: luego, por compensación, la su-
ma de los ángulos formados al rededor del punto O es
mayor que la de los formados al rededor del punto S.
Mas la suma de los primeros , esto es , de los formados
^ j al rededor del punto O, vale quatro ángulos rectos*:
luego la suma de los ángulos planos que forman el áiH
guio sólido S es menor que quatro ángulos rectos.

Escolio. Esta demostración supone que el ángulo só^
lido es convexo , ó que el plano de una cara prolongado
jamas puede cortar al ángulo sólido ; pues á no ser así,
la suma de los ángulos planos seria indeterminada, y p(h
diria tener un valor qualquiera.

LIBRO V. 151

PROPOSICIÓN XXIII.

TEOHEMA.

Si dos ángulos sólidos je componen de tres ángulos pla^
nos respectivamente iguales , los planos en que están los
ángulos iguales , estarán igualmente inclinados entre sL

Sea el ángulo ASC=DTF , d ángulo ASB= DTE, pig. ipy.
y el ángulo BSC=£TF; digo que los dos planos ASC,
AS6 tendrán entre sí la misma inclinación que los pla*«
nosDTF,DTE.

Habiendo tomado SB arbitrariamente y, tírese BO per-
pendicular al plano ASC; desde el pumo O, en que es-
ta perpendicular encuentra al plano, tírense á SA, SC
las perpendiculares O A , OC ; tírense también AB , BC.
Tómese luego T£ = SB , tírese £P perpendicular al pla«
no DTF 4 desde el punto P tírense á TD y TF. las per-»
pendiculares PD y PF ; finalmente , tírense DE , EF.

El triángulo SAB es rectángulo en A, y el triángu*-
lo TDE en D^ j y por ser el ángulo ASB = DTE, te- ♦ Pr. (S.
nemos también SBA = TED. Por otra parte SB =: TE:
luego el triángulo SAB es igual al triángulo TDE, y por
el mismo SA = TD , y AB = DE, Del mismo nnxio se
demostrará que SC = TF , y BC =? EF. Esto sentado^ el
quadrilátero SAOC es igual al quadrilatero TDPF ; por-
que sobreponiendo el ángulo ASC á su igual DTF, por
ser SA = TD y se =TF, el punto A caerá en D y el
punto C en F, Al mismo tiempo, AO perpendicular á SA
caerá sobre DP perpendicular á TD, y del mismo modo
OC sobre PF: luego el punto O caerá sobre él punto P,
y tendremos AO = DP. Pero los triángulos AOB, DPE
son rectángulos en O y P, la hipotenusa AB =:DE , y
el lado AO = DP : luego estos triáogulos son iguales^^ * 18. x.
y el ángulo OAB=: PDE. El ángulo OAB es la inclina-
ción de los dos planos ASB , ASC j el ángulo PDE es la

152 GEOMETRÍA.

de los dos planos DTE, DTF : luego estas dos indim-
clones son ¡guales entre sí.

Debemos observar sin embargo que ei ángulo A de!
triángulo rectángulo OAB no es en rigor la inclinacioa
de los dos planos ASB , ASC , sino quando la perpendi-
cular BO cae , respecto á SA , del mismo lado que SC. Si
<:áyese al otro lado, entonce^ el ángulo de los planos se-
ria obtuso, y unido al ángulo A del triángulo OAB, val-
drían dos rectos. Pero en este caso también el ángulo de
los planos TDE, TDF seria obtuso, y sumado con el
ángulo D del triángulo DPE, valdría dos rectos: luego,
como el ángulo A seria siempre igual á D, deduciriamoi
que la inclinación de los dos planos ASB, ASC es igual
á la de los otros TDE , TDF.

Escolio.' Si dos ápgulos sólidos se componen de tres
ángulos planos respectivaiiiente iguales, y al mismo tiem-
po los ángulos iguales ú hotnótogos están colocados del mis-
mo modo en los dos ángulos sólidos , en tal caso estos áii*
gulos serán iguales, y, sobrepuestos uno á otro colacídí-
rán. Ea efecto, ya hemos visto que el quádrilátero SAOC
puede sobreponerse á su igual TDPFjasí colocando Si '
sobre TD, SC cae sobre TF, y el punto O sobre el púa-
to P- Pero , i)or ser iguales los triángulos AOB , DPE,
la perpendicular OB al plano ASC es igual á la per-*
pendicular PE al plano TDF ; ademas estas perpendicu-
lares^ están ^n una misma dirección :Muego el punto B
•caerá sobre el* punto E, la línea. SB sobre TE; y los dos
ángulos solos coincidirán enteramente uno con otro.

Sin embargo, esta coincidencia solo se efectúa supo-
niendo que los ángulos planos iguales están colocados del
^mismo modo - en ios dos ángulos sqtidos ; porque si lo!
ángulos planos estuviesen colocados en un orden inverso
esto es, si en lugar de seguir laá^ perpendiculares BO
EP una misma dirección respecto á los planos ASC
DTF , estuviesen ^n direociones contrarias , entonces s^
ría imposible hacer coincidir los dos ángulos bólidos un
con otro. Seria tgUaloieaté :QÍerto> según lo demostrad

N

LIBRO V. 1J3

en el teorema , que los planos en que están los ángulos
iguales tendrían una misma indicación entre sí ; de mo**
do que los dos ángulos sólidos serian iguales en todas sus
partes constituyentes y pero siendo imposible no obstante
el sobreponerlos uno á otro. Este género de igualdad,
que no es absoluta ó de superposición , merece distinguir-*
se con una denominación particular 9 y la llamaremos
igualdad por simetría. Así los dos ángulos sólidos de que
tratamos, que están formados por tres ángulos planos res-
pectivamente iguales , pero colocados en un orden inver*
so, se llamarán ángulos iguales por simetría ^ ó simples-
mente ángulos simétricos.

Esta misma observación se aplica á los ángulos sól^
dos formados por mas de tres ángulos planos. Así un án-<
guio sólido formado por los ángulos planos A, B, C,
JD y E, y otro ángulo sólido formado por los mismos án*
gulo> planos en un orden inverso A, E, D, C, B pue-
den ser tales , que los planos en que están los ángulos^
iguale > tengan una misma inclinación entre si. Estos dos
ángulos sólidas, que serian iguales, aunque fuese impcv*
sible la superposición , se llamarán ángulos iguales por
simetría , ó ángulos simétricos.

En las figuras planas no hay en rigor igualdad por
simetría , y todas las que designásemos con este nombre
serian absolutas ó de. superposición ; la razón es , por-
que podemos trastornar una figura plana , y tomar in-
diferentemente la parte superior por la inferior. No su-
cede así con los sólidos , donde la tercera dimensión pue-
de tomarse en dos sentidos distintos.

PROPOSICIÓN XXIV.

PROBLEMA.

Dados hs tres Aigulos planos que forman un ángulo
solido , hallar, por una construcción plana el éngulo que
forman dos de estos planos entre sL

20

1J4 GEOMETRÍA.

Fig. ip8. . Sea S el ángulo solido propuesto , ea el qual cono-
cemos los tres ángulos planos ASB , ASC , BSC , se desea
saber el ángulo que forman entre si dos de estos planos,
por exemplo , los planos ASB, ASC.

Si imaginamos haber hecho la misma construcción
que en el teorema anterior, el ángulo OAB seria el
¿igulo que buscamos. Se trata pues de hallar el mismo
ángulo por una construcción plana ó trazada sobre un
plano.

Para esto háganse sobre un plano los ángulos B^SA,
ASC , B^^SC iguales á los ángulos BSA , ASC , BSC en
la figura sólida ; tómense B^S y B'^S iguales ambos á 6S
en la figura sólida. Desde los puntos B^ y W^ héxense
ú SA y se las perpendiculares B^'A y B^^C , que se en-
contrarán en un punto O. Desde el punto A, como
centro , y con el radio AB^ , describase la semicircunfe-
rencia B'6E ; en el punto O levántese á B^E la perpen-
dicular Oby que encuentre á la circunferencia en b; tí-
rese Afr y el ángulo EAb será la inclinación que buscamos
de los dos planos ASC, ASB en el ángulo sólido*

Todo se reduce á hacer ver que el triángulo AOi
de la figura plana es igual al triángulo AOB de la figu-
ra sólida. Siendo los dos triángulos B'SA, BSA rectán-
gulos en A , los ángulos en S son iguales : luego los án-
gulos en B y 3^ lo son también. Pero la hipotenusa SB^
es igual á la hipotenusa SB : luego estos triángulos son
iguales, y SA de la figura plana es igual á SA de la figura
sólida, y también AB', ó su igual Afeen la figura plana, es
igual á AB en la figura sólida. Del mismo modo se demos-
trará que se es igual en ambas partes ; de donde se infie-
re que el quadrilátero SAOC es igual en las dos figuras,
y que así AO de la figura plana es igual á AO de la figura
sólida: luego en ambas figuras- los triángulos rectángu-
los AOb y AOB tienen iguales la hipotenusa y un lado:
luego son iguales, y el ángulo EAZr, hallado por la cons-
trucción |>lana, es igual á la inciinactoa de los dos pla-
nos SAB , SAC en el ángulo sóiidow

LIBRO V. IJJ.

Quando el punto O cae entre A y B^ en la figura
plana, el ángwlo EA& es obtuso, y mide siempre la ver-
dadera inclinación de los planos ; por esta razón hemos
señalado por AE&, y no OAb, la inclinación que bus-
cábamos , con el fin de que esta misma resolución con-
venga á todos los casos.

Escolio, Se preguntará tal vez, si con tres ángulos
planos , tomados arbitrariamente , se podrá formar un
ángulo sólido.

Es menester desde luego que la suma de los tres án--^
gulos dados sea menor que quatro rectos , pues de lo
contrarío seria imposible formar el ángulo solido. Es pre-
ciso ademas que después de haber tomado arbitraria-
mente, dos de los áhgulos B''SA, ASC, el tercero CSB^'
sea tal , que la perpendicular B^^C al lado SC ^ encuen-»
tre al diámetro B^E entre sus extremos B^ y E. Así los
límites del tamaño del ángulo CSB^^ son los que hacen
que la perpejidicular B^^C vaya á dar á los puntos B^ y E.
Desde estos puntos básense á SC las perpendiculares B%
£K , que encuentran en I y K á la circunferencia descrí- .
ta con el radio SB^^ 9 y los límites del ángulo CSB^^ se<- •
rán CSI y CSK.

Pero en el triángulo isósceles B^SI, siendo la línea
es prolongada perpendicular á la base B^I, tenemos et
ángulo CSI == CSB^ = ASC H- ASB'. Y en el triángulo
isósceles ESK , siendo la línea SC perpendicular á EK,
tenemos el ángulo CSK = CSE. Ademas , por ser igua-»
les los triángulos ASE, ASB', tenemos el'ángulo ASE=:
ASB^ : luego CSE ?= CSK = ASC — ASB^.

Sácase de aquí que será posible el problema , siem-
pre que el tercer ángulo CSB, sea menor que la suma
de los otros dos ASC y ASB% y mayor que su dife-
rencia : condición que conviene con el teorema xxi ; por-
que, en virtud de este teorema, es preciso que sea CSB^'
<ASC-hASBS y que ASC < CSB^^ -H ASB^ ÓCSB^^>
ASC — ASB^ .

i

• • «

Itf6 GEOMETRÍA.

PROPOSICIÓN XXV.

I

PROBLEMA.

Dados dos de los tres ángidos planos que forman un
ángulo sólido , y el ángulo que forman sus planos entre
sí , hallar el tercer ángulo plano.
Fig. ip8. Sean ASC , BSfi^ los dos ángulos planos dados , y
supongamos por un momento que CSB^^ sea el tercer án-
gulo que buscamos ; en este caso , haciendo la misma cons-
trucción que en el problema anterior , el ángulo com-
prehendido entre los planos de los dos primeros sería £^¿.
Pero así como determinamos el ángulo £A¿ por medio
de CSfi^^ , dados ios otros dos, asi también podemos de-
terminar CSB^^ por medio de £A¿, y resolveremos de
este modo el problema propuesto.

Habiendo tomado SB^ arbitrariamente , báxese á SA
la perpendicular indefinida B^£; hágase el ángulo EAb
igual al de los dos pianos dados ; desde el punto b , en
que el lado Ab encuexitra á la circunferencia descria
desde el centro A y con el radio AB^ , báxese á A£ ia
perpendicular bO , y desde el punto O básese á SC la
perpendicular indefinida OCB^^ , que se terminará en fi^^
de modo que SB^^ = SB^ ; el ángulp CSB^^ será el tercer
ángulo plano pedido.

Porque si formamos un ángulo sólido con los tres án-
gulos planos B'^SA, ASC, CSB^^, la inclinación de los
planos en que están los dos ángulos dados ASB'' , ASQ
será igual al ángulo dado £A¿.

Escolio. Si un ángulo sólido es quadruplo^ 6 formado
Fig. j^g. porquatro ángulos planos ASB, BSC, CSD, DSA, no
basta conocer estos ángulos para determinar las mutuas
inclinaciones de sus planos ; porque con los mismos án-
gulos planos se podrían formar una infinidad de ángulos
sólidos. Pero si añadimos una condición, por exeitiplo,
si se da la inclinación de los dos pianos ASB, BSC, en-^

LIBRO VI/ 159

Para construir este sólido , sea ABCDE un polígo-; ^íg» *oo.
10 qualquiera. Si en un plano paralelo á AfeC tira-^'
nos las líneas FG , GH, HI, &c. iguales y parale-
as á los lados AB, BC, CD , &c: , quedará fórma-
lo el polígono FGHIK = ABCDE. Si después tiramos
)or los vértices de los ángulos homólogos de los dos pía-
los, las rectas AF, BG, CH, &c.^ las caras ABGF,
5CKG, &c. serán paralelógramos, y el sólido así Tor-
nado ABCDEFGHIK será un prisma;

V. Los polígonos iguales y paralelos ABCDE,
FGHIK se llaman las bases del prisma ; los otros pía-
los paralelógramos tomados juntos constituyen lo que
llamamos superficie /óíern/ á convexa del prisma. ' '

VI. La áltwa del priirha es la distandiá entre tsus
ios bases, ó la' perpendicular tirada desdé ün^puíító' de
a base superior ál plano de la base inferior.

VII. \¡n prisma es recto quando'lós lados AF, BG, &c.
yon perpeadiqulares á lo» -planos d« las^ bases, y entón-
ZQS cada uno de ellos es igual á la altura á&i priisrtiii] Eit
^[aalquieí'a otro cajso'el prisma t^' dbit'cjíHf^ "^ la-áhura es ' -2
menor que' eMado. ' . ' • '.;*•' ' '' ^.^^

• VIH. Un prisma- ts triangular , quadfúngulár.y pen-^
^agonal \y exagonal'^'Síc. según e&' la base un triángulo,
un quadrilátero , un pentág<^no, uir exagoiiq^ 8fd' ^
, IX.. *'E1 prisma, liúya 'base ésW#jráí!41eló^amO',^'tíéne ^ig- ««^•
todas ^us^caras pá!ialelógratóia§i»yéé^»afh¿ p^Mlép^dóí
. ; El paralelepido eS rectángulo ,- ^ndiíy tédfe sus ca4
ras M)n rectángulos. • r/ '^ "=' *-* " '*'• ? • -* t**-

X. Entreí los paralelepípedos reiítángulos se distingue el
?uho 6 exáedi-aregiiiar formado t8/'séí¥iA!ft(fi^ád6s'i¿uafé^J
' .XI. La ^^'^rtímítíe^ és' e! s41íáó«féribkdér jpbi: Aárfiíiósf Fig. aoi.
planos triangulares, que salen de un misrisS^^ilttóW^S^' ^y
se terminan^ e¿ un> mlsmo^plaíftd<^otíg5ñiy^ÁbCDE.- -
f . El polígoao. ABCDE se «ama lú *áii?'Mí^>Ua'^'lgráU
snidej el punto S é$, el véftiey^iyi^eícóñ^ñVd'^Hbsi
triángulos^ ASB , BSC , iftc/ fonna^ iú jíf^^ficte ccMóexS
ó lateml ,d^ la.piráBMde; ♦ ^^ »'^' ■ ^i -^^ *i '* •' ^* ^^'-

l6o GEOMETRÍA.

Xn. La edtura de la pirámide es la perpendicol
hazada desde el vértice al plano de la base> prolongaif
si es necesario.

XIII. La pirámide es triangular y quadrangular j &
según es la base un triángulo^ un quadriiátero, &a

XrV. Una picámide es regular quando la base es q
polígono regular y y que al mismo tiempo la perpendi
cular basada desde el vértice al plano de la base pasi
por su centro , y esta linea se llama entonces el exe á
la pirámide.

XV. Diagonal de un poliedro es la línea tirada pa
los vértices de dos ángulos sólidos no adyacentes.

XVI. Llamaré poliedros, simétricos á dos poliedros,
que teniendo una base oomua, están construidos seme-
jantemente el uno encima y el otro debaxo del plaoo
de esta base , con la condición de que los vértices is
los ángulos sólidos homólogos estén equidistantes del pb-
no d^ la base en una mi>ma linea recta perpendicular
á 4icho plano. i

Fig. aoft. Por ezémplo, ú la recta ST es perpendicular al {ib-
no ABC, y en el punto O, en que encuentra i «ic
plano , está dividida en dos partes iguales , las piráni*
• des S ABC , TABC y que tienen común la base ABC,
serán dos poliedros simétricos.

. XVU. Pos firéfmdes triangulares son semejantes,
quapdo tienen dos. airas ri^spectívatnente semejantes, co-
locadas seinejantemente,é igualmente inclinadas entres!,
loj. Así , suponiendo los ángulos ABC ;:= DEF y BAC=
^F, AB^;== DET, 9AS = EDT, si ademas la indi-
Aacion de lo¡i),p|LaAOsi^B$, 'ABC es. igual-tálii de susbo-
. .ruólogós jC)TEi,Í)EF,.las pirales SABC, TDEF s^
i^án ^i|iejanees4 : . .<:. ., .1..;-,.^ ."; ^

XVlll. Habiendo formai^.wiliríángulo con losvfr
tices de los tre^ ángulos tomados en una misma, cara (
base de un poUQdri>,, podemos imaginai* que los vértice
de los diferentes áiiguk^s ,$ólidj>s. del p^Uedro, situaiilo
fuera del plano de esta base^ soo^jQtnis.taAtas .pirámide

LIBRO VI. l6|

triangulares , cuya base común es el triángulo señalado^
y cada una de estas pirámides determinará la situación de
cada ángulo sólido del poliedro con respecto á la base.
Esto sentado:

Dos poliedros son semejantes , quando siéndolo sus
bases , los vértices de los ángulos sólidos homólogos , si-
tuados fuera de estas bases, están determinados por pirá-
mides triangulares iguales cada una á su correspondiente.

XIX. Llamaré vértices de un poliedro los puntos si-
tuados en los vértices de sus diferentes ángulos sólidos.

N. B. Todos los poliedros que consideramos son po-«
liedros de ángulos salientes , ó poliedros convexos. Da-
mos este nombre á aquellos , cuya superficie no puede
estar cortada por una linea recta en mas de dos puntos.
£n esta especie de poliedros el plano de una cara pro-:
longado no puede cortar al sólido : luego es imposible
que el poliedro tenga partes sobre el plano de una ca-
ra y partes debaxo , y por consiguiente está todo él en-
tero de un mismo lado de este plano.

PROPOSICIÓN PRIMERA.

TEOREMA.

Dos poliedros no pueden tener los misinos vértices^ y
en un mismo número , sin coincidir uno con otro.

Porque supongamos construido uno de los poliedros.
Si queremos construir otro que tenga los mismos vérti-
ces y en un mismo numero , será preciso que los pla-
nos de este no pasen todos por los mismos puntos que
en el primero , pues de lo contrario no se diferencia-
rían uno de otro ; pero entonces se echa de ver que al-
gunos de los nuevos planos cortarían al primer polie-
dro ; habría ángulos sólidos encima ^ y otros debaxo de
estos planos , lo qual no puede verificarse en un poli^^
dro convexo : luego sí dos poliedros tienen los mismos
vértices, y ^n igual numero , deben coincidir forzosa-
mente uno con. otj:o.

l6l GEOMETRÍA.

F ig. 204. Escolio. Dada la situación de los puntos A ^ B , Q
K , &c. , que deben servir de vértices á un poliedro , es
fácil formar el poliedro.

Elíjanse desde luego tres puntos inmediatos D» E,
H , tales, que el plano DEH pase , si es posible , por
otros nuevos puntos K , C ; pero dejando á todos los
demás á un mismo lado , ó todos encima del plano , ó
todos debaxo ; y el plano DEH ó DEHKC , así deter-
minado , será una cara del sólido. Llévese por uno de
sus lados EH un plano que haremos girar hasta que en-
cuentre á un nuevo vértice F, ó á muchos al mismo
tiempo F , I ; y tendremos una segunda cara , que se-
rá FEH ó FEEiL Continúese de este modo haciendo
pasar planos por los lados hallados hasta que el sólido
esté concluido por todas partes; este sólido será el poUe-^
dro pedido , porque no hay dos que puedan tener los
mismos vértices.

PROPOSICIÓN IL

TEOREMA.

En dos poliedros simétricos las caras homologas son
respectivamente iguales , y la inclinación de dos caras ad-
yacentes en un sólido es igual a la inclinación de las caras
.homologas en el otro.
Fig. 20$. Sea ABCDE la base común de ambos poliedros;
sean M y N los vértices de dos ángulos sólidos quales-
quiera de uno de los poliedros , M' y N' los vértices ho-
mólogos del otro poliedro ; será menester , según la de^
finicion , que las rectas MM^ , NN^ sean perpendicula-
res al plano ABC , y estén divididas en dos partes igua-
les en los puntos m y fi , en que encuentran á este pla-
no. Esto sentado , digo que la distancia MN es igual
á M^N^

Porque si hacemos girar el trapecio mM'N^fi alrede-
dor de mn , hasta que su plano quede sobrepuesto al

LIBRO VX. 163

plano mMNf) , por ser rectos los ángulos en m y en n,
el lado mM/ caerá sobre su igual mM , y «N^ sobre nN:
luego los dos trapecios coincidirán y y tendremos MN

Sea P un tercer vértice del poliedro superior , y P'
su homólogo en el otro; tendremos también MP=:MT',
y NP = NT^ : luego d triángulo MNP , que une tres
vértices qualesquiera del poliedro superior , es igual al
triángulo M^NT^ , que une los tres vértices homólogos del
otro poliedro.

Si entre estos triángulos consideramos únicamente
los que están formados en la superficie de los poliedros,
podemos deducir ya que las superficies de los dos polie-
dros están compuestas de igual número de triángulos res*
pectivamente iguales*

Digo ahora que si dos triángulos están en un mismo
plano sobre una superficie , y forman una misma cara
polígona , los triángulos homólogos estarán en un mbmo
plano sobre la otra superficie , y formarían una cara
polígona igual.

En efecto , sean MPN , NPQ dos triángulos adya-
centes que suponemos en un mismo plano, y sean
MT^N% NT^Q'' sus homólogos. Tenemos el ángulo
MNP=M^NT% el ángulo PNQ=P^^Q^ ; y si tiráse-
mos MQ y N/Qf y el triángulo MNQ seria igual á
M'N'Q' , y por lo mismo el ángulo MNQ=M'N^Q^
Pero por estar MPNQ en un solo plano , tenemos el án-
gulo MNQ=MNP-f.PNQ: luego también M^N^Q^=:
M^N'P'-4-P^N^Q^ Pero si los tres planos M^NT^, P^N^Q',
M^N'Q'' no estuviesen confundidos en uno solo , forma-
rían un ángulo sólido, y tendríamos ^ el ángulo M'^N^Q^ * ao. j.
<M''N'P''-4-PN^Q^: luego no verificándose esta condi-
ción , los dos triángulos M^NT^ , P^N^Q-^ están en un
mismo plano.

Sigúese de aquí que cada cara , sea triangular , sea
polígona , en un poliedro , corresponde á otra cara igual
en el otro , y que asi los dos poliedros están formados

164 GEOMETRÍA.

por un mismo numero de planos respectivamente iguales.

Nos resta que probar , que la inclinación de dos ca<^
ras qualesquiera adyacentes en uno de los poliedros es
igual á la inclinación de las dos caras homologas en d
otro.

Sean MPN , NPQ dos triángtdos formados sobre la
común arista NP en los planos de las dos caras adya^
centes ; sean M'P'N^ , N'P^Q^ sus homólogos. ^Podemos
imaginar en N un ángulo sólido formado por los tres
ángulos planos MNQ , MNP , PNQ , y en N otro án-
gulo sólido formado también por los tres ángulos planos
M^'Qf, M^N^P^ P^N'Q^ Pero hemos probado ya que
estos ángulos son iguales unos con otros: luego la kíi-
nacton de los dos planos MNP ^ PNQ es igual i b k
♦ aa. s. sus homólogos WN'P' , P^N'Q^ *

Luego en los poliedros simétricos las caras son ¡guar
les unas con otras , y los dos planos de dos caras qua«
lesquiera adyacentes de uno de los sólidos tienen entre
si la misma inclinación que los planos de las dos caías
homologas del otro sólido.

Corolario. Una vez que las partes constituyentes i*
tin sólido , ángulos , lados , inclinaciones de caras son
iguales á las partes constituyentes del otro, podemos de-
ducir que dos poliedros simétricos son iguales , am¡üs 1»
puedan sobreponerse uno á otro ; ])orque no hay otra fr
ferencia en los dos sólidos que la de la situación de \^
partes , que no es esencia para su magnitud. Vé^ ^
nota VIL

Escolio. Puede repararse que los ángulos sólidos ¿
un poliedro son simétricos de los ángulos sólidos del oíro
poliedro. Porque si el ángiilo sólido N está formado («f
los planos MNP , PNQ , QNR, &c. , su homólogo S'
está formado por los planos M'NT^ , P^N^Q^, Q'ü% ^^
Estos parecen dispuestas en el mismo orden que los de-
mas ; pero como los dos ángulos sólidos están en ^
situiacion inversa uno respecto de otro , sigúese que ^
disposición real de los pianos que forman el ángulo ^

LIBRO Vi. 165

íido N^ es inversa de la del ángulo homólogo N, Ade-
imas las inclinaciones de los planos consecutivos son igua-
^s en los dos ^ángulos sólidos : luego estos ángulos sóli^
^los son simétricos i;no á otro. Véase el escolio de la pro^
Posición XXIII , libro V.

\i Esta observadon prueba que un poliedro qucdquiera
^iolo puede tener un poliedro simétrico^ Porque si cons*
^.ruyesemos sobre otra base un nuevo poliedro simétrico
il poliedro dado , los ángulos sólidos de este serán siem*^ •
pre simétricos á los del poliedro dado : luego ferian
^.guales á los del poliedro' simétrico , construido sobre la '
^primera base. Por otra parte , las caras homologas se-
,rian siempre iguales : luego los poliedros simétricos,
¿construidos sobre una ú otra base , tendrían las caras y
Los ángulos sólidos iguales : luego coincidirían por super-
posición , y' no harían mas que un solo y un mismO'
.poliedro.

: PROPOSICIÓN IIL

TEOREMA.

Dos prismas son iguales quando tienen un ángulo' só^
Udo comprehendido entre planos respectivamente iguales
y semejantemente colocados.

Sea la base ABCDE igual á la base abcde^ el p^< Flg. 200.
ralelógramo ABGF igual al paralelógramo abgf , y el
'paralelógramo BCHG igual al paralelógramo bchg: di-^
go que- el prisma ABCI será igual al prisma abci. . - .

Porque , si sobreponemos la base ABCDE á su igual
[abcde 9 estas dos bases coincidirán ; pero los tres ángu-
los planos que forman el ángulo sólido B son iguaíes á
los otros tres que forman el ángulo sólido '2?, cada uno
'al suyo , esto es^, ABC = afcc, híóG:=zábg , y GBC=íf6c;
\ ademas , estos ángulos están semejantemente colocados^
\ luego los ángulos sólidos B y ¿ son iguales , y por con-*
' siguióme el lado BG caerá . sobre su igiial* hg. Vemo&

l66 GEOMETRÍA.

también que por ser iguales los paralelógramos ABGT,
abgfj el lado GF caerá sobre su igual ^/, y del mismo
modo GH sobre gh: luego la base superior FGHIK coin-
oidirá enteramente con su igual fghik , y los dos sólidos
se confundirán en uno solo , pues tendrán los mismos
• Pr. I. ^éí^ces ^. Luego dos prismas san iguales i3>c.

Escolio. Un prisma está determinado del todo , quan-^
do se conoce la base ABCDE 9 y la magnitud y posición
de la arista BG. Porque si por el punto G tiramos GF
igual y paralela á AB , GH igual y paralela á BC 9 y ea

* x3* S* ¿ plano FGH paralelo á ABC ^ y trazamos el polígono

FGHIK igual á ABCDE , claro está que quedarán de-
terminados todos los vértices del prisma. Luego dos pris-
mas construidos con los mismos datos no pueden ser des-
iguales, lo que confirma la proposición que acabamos
de demostrar.

PROPOSICIÓN IV.

TEOREMA.

En todo paralelepípedo los planos opuestos son igiur
les y paralelos.
Fie. fto5. Según la definición de este sólido , las bases ABCD,
EFGH son paralelógramos iguales , y sus lados son pa-
ralelos Nos queda, pu^, que amostrar , que lo mis^
ÍDO se verifica ea las ca^És laterales opuestas, como
AEHD y BFGC. Pero AD es igual y paralela á BC,
por ser la figura ABCD un pacalelógramo ; por una ra-
:&on semejante , AE es igual y paralela á ÉF : luego el

* '3- S* ángulo DAE es igual al ángulo CBF ^, y el plano DAE

paralelo á CBF.: luego también el paralelógramo DAEI^
es igual al paralelógramo CBGF« Det mismo modo se
demostrará que los paralelógramos opuestos ABF£
DCGH son iguales y paralelos.

Corolario. Una vez que el paralelepípedo es un só-
lido formado .por seis planos , de ios quales los opue»

i

LIBRO IV. 167

tos son iguales y paralelos , sigúese que una cara qual-
quiera y su opuesta pueden tomarse por las bases del
paralelepípedo.

Escolio. Dadas tres rectas AB , AE , 'AD , que no
estén situadas en un mismo plano , y formando con
ellas ángulos dados , podemos construir sobre dichas tres
rectas un paralelepípedo. Para esto debemos hacer pa-
sar por el extremo de cada recta un plano paralelo al
de los otros dos ; esto es , por el punto B un plano pa*^
ralelo á DAE , por el punto D uñ plano parálelo á - .
BAE , y el punto E otro paralelo á BAD. Las intersec-»
clones de estos planos formarían el paralelepípedo que
buscamos. >

PROPOSICIÓN V.

TEOREMA.

En todo paralelepípedo los ángulos solidos opuestos son
simétricos uno á otro y y las diagcnales tiradas por los
vértices de estos ángulos se cortan mutuamente en dos
partes ií^uales.

Comparemos , por exemplo , el ángulo sólido A con ^^%' *®^-
5U opuesto G. El ánguIo**EAB , igual á EFB ; lo es tan>-
bien á HGC , el ángulo DAE =DHE=CGF , y el án-
gulo DAB = DCB = HGF : lúé^o los tres ángulos pla-
ntos que forman el ángulo sálido< A son iguales á los tres
jue forman el ánguío sólido G , cada uno al suyo ; ade-
xias su disposición es diferente en uno y en otro : luc-
ro i.° los dos ángulos sólidos A y G son simétricos uno
I otro. ^

En segundo lugar , imaginemos dos diagonales qua- * ^3- i'
lesquiera EC, AC tiradas por vértices opuestos. Una
vez que AE es igual y paralela á CG , la figura AEGC
>s un paralelógramo : luego las diagonales EC , AG se
:ortan mutuamente en dos partes iguales. Del mismo
nodo demostraremos que la diagonal EC y otra DF s»

»

l68 GEOMETRÍA,

cortarán tunlMeti en dos partes iguales : fuego 2." 1
^uatro diagonales se cortarán mátuamente en dos pa
tes iguales en un mismo pumo , que podemos considen
como centro del paralelepípedo.

PROPOSICIÓN VL

TEOREMA.

F%. «07. JE/ plano BDHF , que pasa por dos aristas pardea
opuestas BF , DH , divide al paralelepipedo BG en dn
prismas triangulares ABDHEF , y GHFBCD simétrico
uno á otro.

Desde luego estos dos sólidos son prismas , porqm
los triángulos ABD , EFH , por tener sos lados iguale-
y paralelos , son iguales * y al mismo tiempo las caras
laterales ABFE, ADHE, BDHF son paralelógramos:
luego el sólido ABDHEF e$ un prisma > y lo mismo stt-
cede con el sólido GHFBCD. Digo ahora que estos éx
prismas son simétricos uno i otro.

Sobre la base ABD hágase el prisma ABDETf ,
que sea simétrico al prisma ABDFH. Según lo qui

• ^r- »■ hemos demostrado *, el plano ABF'E' es igual á ABFE,,

y el plano ADH'E' igual á ADHE ; pero si compara-l
mos el prisma GHFBCD con el prisma ABDH'E'F', li
base GHF es igual á ABD , el paralelógramo GHDC
que es igual á ABFE , lo es también á ABF'E' , y el p
ralelógramo GFBC , que es igual á ADHE , es tambiei
igual á ADH'E' ; luego los tres planos que forman el
ángulo sólido G en el prisma GHFBCD , son ¡gyales i
los tres planos que forman el ángulo sólido A en el pris-
■ ■ ma ABDH'E'F' , y ademas están colocados semejante-

• Pr. 3. mente : luego estos dos prismas son iguales * , y podrái

sobreponerse uno á otra Pero uno de ellos ABDH'E'F
es simétrico al prisma ABDHEF : luego el otit
GHFBCD es también simétrico á ABDHEF,

Corolario. Una Tez que dos prismas ámétrtcos stf

LIBRO VI. 169

iguales en solidez ^ , sigúese que un prisma triangular * ^- ^
quali^uiera ABDHEF es la mitad del paralelepípedo *
construido sobre Jas tres aristas AB , AD , A£ , que se
terminan en un mismo ángulo A ; y seria también la n¿«
tad del paralelepípedo construido sobre otras tres ari»«
tasBA,BD,BF.

PROPOSICIÓN VII.

TEOREMA.

Si dos paralelepípedos AG , AL tienen una base co^
tnun ABCD , jr sus bases superiores EFGH , IKLM ex-
tan en un mismo plano y entre unas mismas paralelas
£K , HL , estos dos paralelepípedos serán equivalentes
entre sí.

Pueden suceder tres casos , dos de los quales están
representados en las figuras 208 y 209 9 y el tercero
sucedería si FG se confundiese con IM ; pero la demos-
tración es la misma para todos ^ y digo desde luego que
el prisma triangular AEIDHM es igual á BFKCGL.

En efecto y una vez que AE es paralela á BF, y HE
i GF9 el ángulo AEI=GFB. De estos seis ángulos los
tres primeros forman el ángulo sólido £ , los otros tres
forman el ángulo sólido F : luego , ya que los ángulos
planos son respectivamente iguales , y e&tan colocados
semejantemente , sigúese que los ángulos sólidos £ y F
son iguales. Ahora , si sobreponemos el prisma AEM
al prisma BFL , y. también la base AEI á la base BFK,
estas dos bases coincidirán siendo iguales ; y una vez
que el ángulo sólido E es igual al ángulo sólido F , el
lado EH caerá sbbre sa igual FG. Basta esto para pro-*
bar que los dos prismas coincidirán en toda su extensión;
porque la base AEI 9 y la arista EH determinan el prís-*
ma AEM , como la base BFK 9 y la arista FG deter*^
miiían el prisma BFL ^ : luego estos prismas son iguales. ♦ Pr. 3,

Pero si del sólido AEL quitamos el prisma AEM,

22

170 GEOMETRÍA.

quedará el paralelepípedo AIL ; y si del mismo sólido
AEL restamos el prisma BFL , quedará el paralelepí*
pedo AEG : luego ios dos paralelepípedos AIL , AEG
son equivalentes entre sí.

PROPOSICIÓN VIIL

TEOREMA.

Dos paralelepípedos de una misma base y altura son
equivalentes entre si.
F¡g. a 10. Sea ABCD lá base común de los dos paralelepípe-
dos AG , AL.

Puesto que tienen una misma altura y sus bases su-r
periores EPGH, IKLM ^tarán en un mismo plano. Ade-
mas y los lados EF y AB son iguales y paralelos , y
sucede lo mismo con IK y AB : luego EF es igual y
paralela á LK.

Prolongúense los lados EF , HG , LK , IM hasta
que unos y otros formen por sus intersecciones proba-
gadas el paralelógramo NOPQ.

Claro está que este paralelógramo será igual á cada
una de las bases EFGH , IKLM. Pero si imaginamos
un tercer paralelepípedo que , con la misma base infe-
rior ABCD , tenga por base superior NOPQ , este ter-
cer paralelepípedo será equivalente al paralelepípedo
*^'- 7- AG^ , piles teniendo una misma base inferior, las ba-
ses superiores están en un mismo plano , y comprehen-
didas entre las paralelas GQ , FN. Por la misma ra-
zón este tercer paralelepípedo será equivalente al para-
lelepipedo AL : luego los dos paralelepípedos AG y AL,
que tienen una misma base y altura , son equivalentes
entre sí. ,

I.IBRO VI.

171

PROPOSICIÓN IX.

TEOREMA.

Todo paralelepípedo puede transformarse en otro par
ralele^pedo rectángulo equwdUnte déla misma áltuta que
él y y de una base equivalente.

Sea AG el paralelepípedo propuesto. p¡g no.

Desde los pumos A , B , C , D tírense al plano de
la base las perpendiculares AI ^ BK , CL , DM , y que-
dará formado el paralelepípedo AL, equivalente al para-
lelepípedo AG , y cuyas caras laterales AK , BL , &c.^
serán rectángulos. Luego si la base ABCD es xui rec^
tángulo 9 AL será el paralelepípedo rectángulo equiva*
lente al propuesto AG. Pero si ABCD no es un rectán- Fig. tii.
guio , tírense AO y BN perpendiculares á CD , y OQ
y NP perpendiculares á la base , y tendremos el sólido
ABNOIKPQ, que será un paralelepípedo rectángulo.
En efecto , por construcción , la base ABON , y su
opuei^a IKPQ son rectángulos; las caras laterales lo son
también , por ser las aristas AI , OQ , &c. , perpendi-^
culares al plano de la base : luego el solido AP es ua
paralelepípedo rectángulo; Pero podemos juzgar que los
dos pi^raielepípedos AP, AL tienen la misma base
ABLI , y la misma altura AO : luego son equivalentes:
luego el paralelepípedo AG , que habíamos transforma*
do primeramente en otro equivalente AL , se halla transi «n .
formado de nuevo en un - paratelepíp^do reptángutó van.
equiviütentd AP ,• quie tiene la misma altura AI , y cu-^
ya base ABNO es equivalente á lámbase ABCD.

• • •

X73 GEOMETRÍA.

PROPOSICIÓN X.

LEMA.

Fig. ftoo. Toda seccitm NOPQR^ hecha en un prisma par un

plano paralelo á la base ABCDE ^ es igual á dicha base.

Pon^e las paralelas AJi ^ BO, CP j Scc. y compre*

hendidas entre los planos paralelos ABC , NOP , son

y iguales ^ ; y asi todas las figuras ABON ^ BCPO, &c^

' son paralelógramos. Sigúese de aquí que el lado ON es

igual á AB, OP á BC , QP á CD , &c. ; ademas los

* 13- S- lados iguales son paralelos : luego * el ángulo ABC =
ííOP , el ángulo BCD = OPQ, &c. : luego los dos po-
ligónos ABCOE , NOPQR tienen su3 lados y ángulos
respectivamente iguales : luego son iguales.

PROPOSICIÓN XL

TEOREMA*

Dos paralelepípedos rectángulos AG, AL , que tiem
yig- •"*i4fia misma base ABCD, siguen la razón de sus alturoi
AEjM. I

Supongamos primeramente que las alturas A£ , M
están entre si como dos números enteros ^ v. gr. oh
mo 15:8.

Dividiremos AE en 1 5 partes iguales , 8 de los qua-
les contendrá AI; y por los puntos de división Xy y y Zy &Cy
tírense planos paralelos á la base.

Estos planos dividirán el sólido AG en 1 5 parale/e»
pipedos. parciales y que serán todos iguales entre si, pues
tienen bases y alturas iguales : bases iguales y porque
toda sección como MIKL y hecha en un prisma parale*
• Pr. so. lamente á la base y es igual á esta base ^ ; y alturas
iguales , porque sus alturas son las divisiones mismas
Ax yvy ^yzy &c. Pero de estos 1 5 paralelepípedos ígua-

LIBRO VI. I73L

les, 8 están contenidos en AL : luego el sóGdo AG es
al sólido AL como 15 es á8, ó, en general , como ia
altura A£ es á la altura AI.

En segundo 4ugar ^ si la razón de AE á AI no puede
expresarse en números., digo que lo misiiio se verifica**
rá sólid. AG :- salid. AL.: : AE : AL .

Porque supongamos que sea falsa esta prc^sicion^ y
que sea en realidad sol. AG : s(ü. AL : : AE : AO.

Divídase AE en partes iguales menores todas que
01 , y habrá á lo menos un punto de división m entre
O é I. Sea P el paralelepípedo que tiene por base ABCD
y por altura Am.

Puesto que las alturas AE y Am son entre sí como
dos números enteros, tendremos sol. AG: P:: AE: Am.
Pero , por suposición , sol. AG : sol. AL : : AE : AO;
de aquí resulta sol. AL : Pi: : AO*: Am. Pero AO es
mayor que Am , y seria preciso , para que subsistiese
la proporción , que el sólido P fuese menor que AL ; lo
que no se verifica : luego es imposible que el quarto tér-«
mino de la proporción sólid. AG: sólid. AL:: AE: x, sea
una línea mayor que AI. Por un raciocinio semejante
demostrariaiños que: el (Quarto término' nó |uiede ser. me-
nor que AI : luego liá de ser por precisión igual; y
por consiguiente sacamos por ultimo que los paralelepí*^
pedos rectángulos de una misnaa. baíse siguen la razón
de sus alturas. :

)
I

PROPOSICIÓN Xlt

TEOREMA.

Dos paralelepípedos rectángidos AGy AK, que tienen Tig. 913.
ta misma altura AEf están entre sí como sus bases
ABCD , AMNO.

Habiendo colocado los dos sólidos uno al lado de otrQ>
como los representa la figura 9 prolongúese el plano
XXÁKL Jhasta que encuentre al plano DCGH en la di->

1.74 GEOMETRÍA.

ireccion FQ ^ y tendremos un tercer paralelepípedo AQ,
que podremos comparar con cada uno de los paralele-
pípedos AG, AK.

.Losados sólidos- AG, AQ , que tienen una misma
base AEHD , están entre sí como sus alturas AB , AO;
igualmente los dos sólidoi AQ:, AK, que tienen la mis-
ma basé AOLE , están entre sí como sus alturas AD,
AM. Así tendremos las dos proporciones

soL AG : soL AQ : : AB : AO.
. j sol. AQria/. AK: : AD: AM.

Multiplicándolas or4enadamentb', y omitiendo en
el resultado el factor común sol. AQ , tendremos
sol. AG : sol AK : : AB x AD. : AO x AM.
Pero ABxAD representa la base ABCD , y AOxAM
|a ^¿ase . AMNQ.: luego dos paralelepíjpedos rectángulos
dtt tuxa misñia alfcura' sigisen la:ra2on de sus bases.

I' • PROPOSICIÓN XIIL

TEOREMA.

t

I *

Dos paralelepípedos rectángulos qwAesqmra están ev
pre sí "Como Üs' pró^tíce^s de sus bases por sus alturas^ i
comohs productos de sus tres ¡dinf^ensiones.
Fig. ai3. Porque habiendo colocadolos dos sólidos AG , AZ,
de modo qee sus caras tengan el ángulo- común BAE,
prolongúense los planos necesarios para formar el ter-
cer paralelepípédb AK de la^ hdsma altura que el para-
lelepípedo AG. Tendremos , según la proposición ante-
rior, 1 . . •

sol. AG : sol. AK : : ABCD : AMNO.
Pero los dos p^iralelepípjedos . AK , AZ^^ que tietíen \a
^misma base AMNO;, siguen 1^ . ra^on wie sus alturas
AE , AX ; así tenemos

. , 5o/. AK : sóI. AZ : ::>A2 : AX;
Multiplicando ordenadanKente estas dos proporciones , y
omitiendo en . el prodjiíato ^el^ íaótor opmun sal. AÚK,
tendremos

LIBRO VI.^ 175

sol AG. :\sól, AZ: : ABCDx AE : AMNOxAX. .
En lugax>de» las bases ABCD y AMNO potleinos • subs^
titittr ABxAD y AOxAM, la.quedar^ .=
jol. AC: sqL>AZ: : ABkAD.xAE,: AOxAMxAX.
Luego dos paralelepípedos rectángulos quales^iera*
siguen la razón , &c.

Escolio. Sigúese de aquí : que podemos tomar por me*
dída de ' un paralelef»pedo rectán^o eli producto de* su
jpCase por: su altura 9. 6 el' producto xie súb tres dimelislo-
De$. Valiéndono&;de este principio iratuaremos todos los
demás : sólidos. !

Para entender en qué consiste esta medida , debe-*
mo5 acordarnos rque por ^producto- de doerró. mas líneas
entendemos el producto üe los néméros ^e^Ias Tepre^
sentan , y estos números penden^ de la unidad líáeal;
que tomamos por lo común arbitrariamente. Esto senta-
do , el producto de las tres dimensiones. de un paralele-
pípedo es un número que nada significa en: si , y^que
seria distinto si hubiésemos tomado otra unidad lineal.
Pero si multiplicamos también la» trfes dimeiisiones . dé
otro paralelepípedo , valuándolas por la misma unidad
lineal , los dos productos estarán entre sí como los sóli-
dos , y darán la idea de su valor relativo.

La magnitud de un sólido , su volumen ó su
extensión constituyen lo que . llamamos su solidez , y
empleamos particularmente' esta voz para'i denotar la
niedida de un sólido ; así decimos que la solidez de un
paralelepípedo rectángulo es igual al producto de su bar
se por su altura , ó al producto de sus tres dimen-
siones.: -:. < . ; -■.; .''...

•Siendo iguales entre sí las tres dimensiones, del cu- '
bo y si el lado es x ^^ lar-solidez será.ixixi , ó i ; si el
lado es 2 , la solidez será 2x2x2 , ó 8 ; si el lado es 3,
la solidez será 3x3x3, ó 27, y así sucesivamente; asi
siendo los lados de los cubos .como los números i^ 2,
j , &c» y los HMsmos cubas ó éus ^lideces están como
los jwmieros i , 8 , 27 ,. &c. De agüi viene* que en la

176 GEOMSTRIA.

arítmécica se llama cubo de un aúmero al producto qi

resulta de tres factores iguales á dicho aúmero.

Si nos propusiesen «)nstruír un. cubo duplo de OR
dado , seria meneüter' que el lado del cubo que buscí
mos fuese al lado del cubo dado como la raiz cúbic
de 2 es á la unidad. Se halla fácilmente , por medio i
una coanruccton geométrica , la raíz quadrada de 2
pero no podemos hallar así su riüz cúbica ^ al méno
por las simples operaciones de la Geometría eletneiud
esto es , no empleando mas que líneas rectas , cuya
puntos DOS son conocidos ^ y círculos f cuyos centros ]
railios estén determinados.

Fbr estarazoa ha sido tan celebrado entre los ana-
tiguos geometral el problema de' /d dupUcacion del cubo^
} el de la triieCctM del ángulo , que es casi del misma
orden. Pero conocemos , ya hace mucho tiempo , bs
resoluciones que admite esta especie de problemas, Is
quales , aunque no tan sencillas comolas constniccionei
de ia Geometría elemental , son sin embargo íguaLaeD-
te exactas y rigorosas.

PROPOSICIÓN XIV.

La ¡olidez' ^e un paralelepípedo, y en general, U
solidez de m prisma ipulesquiera es igual al producto ¿t
su base por su altura.

Porque i.° un paralelepípedo qualquiera es equira-
lente á un paralelepípedo rectángulo de la misma alto-
' fa y -de- base ' equivalente *. Pero la solidez de este es
^;ual á su base nuütlplica<ia por su altura : luego tam-
bién la solidez del primero es igual al producto de »
base por su altura.

2." Todo prisma triangular é& la mitad de un pan-

'' lelepípedo de la misma base , y dupla altura*. Pero I>

solidez d^ este. es igual i su base multiplicada por ss

XIBRO VI. 177

altura : luego la del prisma triangular es igual al pro*
ducto de su base ^ que es mitad de la del paralelepipe-*
do , multiplicada por su altura.

3.^ Un prisma qualquíera puede dividirse en tantos
prismas triangulares de la misma altura , como triángu-^
los podemos formar en el polígono que le sirve de ba«
se. Pero la solidez de cada prisma triangular es igual á
su base multiplicada por su altura , y de ser una misma
la altura para todos, se sigue que la suma de todos los
prismas parciales es igual á la de todos los triángulos
que les sirven de base multiplicada por la altura común.
Luego la solidez de un prisma polígono qualquiera es
igual al producto de su base por su altura.

Qoralarip. Si comparamos dos prismas que tienen una
misma altura, los productos de sus bases por sus alturas
seguirán la razón de sus bases: luego dos prismas de una
misma altura siguen la razón de sus bases ^ por ima ra^
zon semejante, dos prismas de una misma base están en*
tre sí como sus alturas (^).

(* ) Todo lo que se acaba de demostrar en las proposiciones 1 1,
la, 13, 14 de este libro acerca de los paralelepípedos , queda
demostrado ya en el libro III acerca de los paralelógramos. Se
dixo allí : que un paraielógramo es igual al producto de su base-
por su altura , y hemos demostrado aquí : que un paralelepípedo''
es igual al producto de su tase por su altura. Podría esto indu-
cirnos á error, si no considerásemos la diferencia que hay entre
ambas expreslonek La base de un paralelógramo es una linea , que .
mukiplicada |>or su altura, que también es una lineal, da una jsuper-i
ficie ^ pero la base de un paralelepípedo es una superficie., que muU^
tiplicada ppr su altura, que siempre es una linea, da una solidez.,
£n general, téngase presente que para formar un sólido son prcci*;
sds tres lineas , y para formar una superficie' solo se necesitan dos)
todo esto está comprobado desde la aritmética en la; formaciones
de, los quadrados y cubos de las cantidades. No$a del Traductor^

t "

*5

X78 GEOMETRÍA.

PROPOSICIÓN XV.
LEMA.

Fig. 414. Sí cortamos una pirámide SABCDE por un plano abd
paralelo á la base ^

I.® Los lados SA, SB , SC, y la altura SO ep^

taran divididas proporcionalmente ensL, b, Cj.... y o;

2»^ La sección abcde será un polígono semejante á
la base ABCDE.

Porque i .^ los planos ABD ^ abd son paralelos , y
sus intersecciones AB , ab^ formadas por un tercer pía**
* 10. $. no SAB , serán también paralelas * : luego los triángu-«
los SAB , Sáb son semejantes , y tenemos la proporcioa
SA : Sa : : SB : S6 ; tendríamos también SB : S¿ : : SC :
Se , y así sucesivamente. Luego todos los lados SA , S^
SC, &c. están cortados proporcionalmente en ¿1, ¿, c^&c.
La altura SO esta cortada en la misma proporción en e/
ptmto o ; porque BO y bo son paralelas , y tenemos SO:
So::SB:S&.

2.^ Por ser db paralela á AB, éc á BC , cdk CD, &c
el ángulo abc.^ ABC , el ángulo bcd =: BCD , y así de
los demás. Ademas, siendo semejantes los triángulos
SAB, Sa6, tenemos AB : ¿zfr :: SB : St; y por ser seme-
jantes también los triángulos SBC., S¿c:, tenemos igual-
mente SB : S¿ : : BC : ¿7C : luego AB * ab :: BC* : ¿c; teih
dfiamos también BC :bc :*. CD > cd^ y así sucesivamen-
te. Luego los polígonos abcde , ABCDE tienen' los ángu-
los respectivatneate iguales, y los lados homólogos pro*
porcíonales , y por consiguiente son semejantes.
• Corolario. Sean SABCDE, SXYZ dos pirámides cuyo
vértice es común, y cuyas bases están en un mismo pla-
no , de modo que ambas tienen la misma altura ; si las
cortamos con un plano paralelo al de las bases, sea abcde
la sección hecha en la una pirámide , xyz la sección he-
cha en la otra : digo 4ue las secciones abcde , jcyz y es-*

LIBRO VI, 179

taran entre si como las bases ABCDE, XYZ.

Porque los polígonos ABCDE y abcde , por ser semet
jantes^ siguen la razón de los <)uadrados de los lados ho-^ <
mólogos AB 9 ah ; pero AB : a& : : SA : Sa ; luego ABCDE:
abcde : : (SA)' : (Sa).* Por la misma razón , XYZ ; xyz : :
(SX)* : (Sx).* Pero puesto qué abcxyz es un solo plano^
tenemos también SA ; Sa ; ; SX ; Sx ; luego ABCDEs
abcde : : XYZ : xyz : luego las secciones abcde ^ xyz siguen
la ra^n de las bases ABCDE , XYZ.

PROPOSICIÓN XVL

LEMA.

Sea SABC unai piráffáde triangidar cuyo vértice es S ^^g*'S*
y ABC la base ^, si dividimos los lados SA , SB , SC , AB,
AC , BC en dos partes iguales en los pnntós D , E , F,
G , H , I , y por estos puntos tiramos las lineas DE , EF,
DFjEGj.FH, El, GH: digo que podremos conside'*
rar la pirámide SABC como compuesta de dos prismas
AGHFDE , EGIGFH equivalen^ s entre sí 9 y de dos pi-
rámides iguales SDEF , EGBL

Según la construcción , ED es paralela á AB y GE
á AS: luego la figura ADEG es un paralel<^ramo. La
figura ADFH.lo es también por la misma razón: luego
las tres rectas AD^ GE, HF son iguales y paralelas, y
el sólido. AGHFDE es un prisma** * ^4? í-

Del mismo modo probaremos que las dos figuras EFCI,
CIGH son paralelógramos, y que por consiguiente las
tres rectas EF , CI , GH son iguales y paralelas : luego
también el sólido EGICFH es un prisma. Ahora digo
que estos dos prismas triangulares son equivalentes en->
tre sí.

En efecto , si sobre las aristas GI , GE , GH forma-*
mos el paralelepípedo GX, el prisma triangular GEIÍ^FH
será la mitad de este paralelepído*. Por otro lado , • el ♦ pj. (j,
prisma AGHFDE es también igual á la mitad del para-

• • •

iSo GEOMBTRÍA.

*Pr. 19. lelepípedo GX*, por tener una misma altura y y ser el
triangulo AGH, base del prisma, la mitad del parale-
* a 3. 1^1*311)0 GICH * , base del paralelepípedo. Lu^;o los
dos prismas EGICFH , AGHFDE soa equivalentes en-
tre sL

Quitando estos dos pñsma« de la pirámide SABQ
solo quedan las dos pirámides SDEF , EGBI , digo pues
que estas dos pirámides son igu^es.

£a efecto , á causa de la igualdad de los lados , eslo
es, por ser BE=SE, BG = AG = DE , EG = AD =
SD , el triángulo BEG es igual al triángulo ESD. Por
una razón semejante el triángulo BEI es igual al trián-
gulo SEF ; ademas la inclinación mutua de los dos pla-
nos BEG y BEI es la misma que la de los otros dos ESD
y SEF , pues BEG y ESD sob fotman un plano, lo
mismo que BEI con SEF. Luego si -gam sobreponer
las dos pirámides SDEF, EGBI, cobcatnos el triángu-
lo FBG sobre su igual SD£, será menester que el pla-
no BEI coincida con SEF; y ya que los triángulos EBl,
SEF son iguales y están colocados semejantemente , e\
punto I caerá en F , y las dos pirámides SD£F, SGS ■
coincidirán en una sola.

Luego la plnimide entera SABC está compaesta ile ,
dos prismas triangulares AGF, GLE equivalentes entre
sí, y de dos pirámides iguales SDEF, EGBL

Corolario I Desde el vértice Siiáxese al plano ABC
la perpendicular SO , y sea P el putuo en que e^ta per-
pendicular encuentra al plano DEF paralelo á ABC
• Pr. la. Puesto que SD=4SA, tendremos SP.=: JSO*, y eí
triángulo DEF = J ABC : luego la solidez del prisma
AGHFDE = ■JABC x íSO, y la de losdos prismas reu-
nidos AGHFDE y EGICFH = JABC x SO. Estos dos
prismas son menores que la pirámide SABC , que los con-
tiene: luego la solidez de una pirámide triangular es
mayor que la qaarta parte del producto de su base por
íU altura.

Corolario.il. ^ tiramos las rectas IXi> IM, tendré-

LIBRO VI.' Í8l

[nos una nueva pirámide , que será igual á la pirámide
SDEF; porque podemos sobreponer la base DEF á sir
igual AGH , y entonces los ángulos SD£ , SDF serán
iguales á los ángulos DAG, DAH , y se echa de ver que
DS caerá sobre AD^, y el vértice S sobre el vértice JD. •aj, g.
Pero la pirámide ADGH es menor que el prisma AGHDEF ^^^^
yd'e la contiene : luego cada una de las pirámides SDEF,
EGBI es menor que el prisma AGHDEF : luego la pi-
rámide SABC, que está compuesta de dos pirámides y
ie dos prismas , es menor que quatro de estos prismas.
Pero la solidez de uno de ellos =|ABC x SO, y su qua-^
iruplo = I ABC X SO : luego la solidez de qualquiera pi^
rámide triangular es menor que la mitad del producto de
:u base por su altura.

PROPOSICIÓN xvn.

TEOREMA.

I

La solidez de un pirámide triangular es igual á la rer-Tig. laj.
:eTa parte dei producto de su base por su altura.

Sea SASC una pirámide triangular qualquiera , ABC
»u base, SO su altura: digo que la solidez de esta pira-
nide será igual á la tercera parte del producto de la su**
jcrficie ABC por la altura SO , de modo qué tendremos
íABC = fABCk SO, ó SO X = I ABC.

P(Nrque si se niega está proposición , és forzoso que
a solidez SABC sea igual al producto de SO por una
:antidad mayor ó menor que |ABC.

Sea I.® esta cantidad mayor, de suerte que tenga-
nos SABC= SO. (|.ABC-f-M). Haciendo la misma cons-
ruccionque en la proposición anterior, la pirámide SABC
juedará dividida en dos prismas equivalentes entre si
\GHFDE, EGICFH , y en dos pirámides iguales SDEF,
SGBI. Pero la solidez del prisma AGHFDE es DFE x
?0 , y la de los dos prismas es por consiguiente DFEx
iPO, ó DFE X SO* Quitando los dos prismas de la pi-

x82 GEOMETRÍA.

rámide entera^ el resto será igual al duplo de la pirátnidí

SDEF , de modo que tendremos iSDEF = SO x ( f AB^

-H M — r DFJE)« Pero, por ser SA duplo de SD , la su^

• Pr. ij-perficie ABC es quadrupla de DFF*, y asi ¿ABC — DF^

z^±DFE -^ DEF = |DFp : luego

aSDEF = SO X (I DEF -H M).

Y así, sacando de ambas partes la mitad, tendrenio^
SDEF = SP X (|DEF ^ M).
Donde vemos que para sacar la solidez de la pirámidel
SX)EF , debemos añadir á la tercera parte de su base k
misma superficie M que hablamos añadido á la tercera
parte de la base de la pirámide grande, y multiplicar la
suma por la altura SP de la pirámide pequeña.

Si dividimos SD en dos partes iguales en el punto JK,
y por este punto hacemos pasar el plano KLM paralelo
á DEF , que encuentra en Q á ja perpendicular SP , la
misma demostración prueba que la solidez de la pirámi-
de SKLM será igual á SQ x (|KLM h- M).-

Continuando asi en formar una serte de pirám/Je^
cuyos lados vayan decreciendo en razqn dupla , y \a&W
ses en razón quadrupla, daremos en breve coa una, pís- |
mide Sabe y cuya base abe sea m^nor qu^^óM. Sea So ^
altura de esta última pirámide ; y su solidez , deducida
de las de las pirámides anteriores , seta Sax (faZ^r-f-M).
Pero tenemos M > |SaZv , y por consiguiente ^abc -4-M>
iabe : luego seria menester qn^ la s<didez á& la pirámide
Sabe fuese mayor que Soxia¿<?; resultado absurdo, pues
hemos probado en el corolario II de la proposición ante-
rior que la solidez de uiu pirámide triangular es siem-
pre menor que la mitad del producto de su base por su
altura : luego i .^ es imposible que la solidez de la pirá-
mide SABC sea mayor que. 30 x |ABC.

Sea 2.^ SABC =.S0 x (|ABC-^M), y probaremos
como en el caso primero que la solidez de la pirámide
SDEF , cuyas dimensiones son dos veces menores, eí
igual á SP X ( jDEF — M } , y continuando la serie de
pirámides cuyos jados decrecen en r^^on: dupla hasta un

LIBRO VI. 183

término qualquierá Sabe , tendremos también la solidez
de lá última pirámide Sabe =Sox(|flfcc -i— M ). Pero co-
tíK) las bases sABC, DEF, LKM..; A' abe forman una se-
tle aecréciente en que cada término' es lá 'quarta parte
d'e su átítérior, Uegarémos^ en breve á un término abe
igual 12M, ó que estará entre 12M y 13M; en tal caso
siendo M igual ó mayor que -^abe , la cantidad |a¿?c—
M será igual ó menor que ^abe; de suerte que la solidez
de la pirámide iSflfec será == So x ^abe ,- ó < So x ^ábc, Ré*^*
salta támbieti absurdo , pues ^guní el ^^orolário I dé la
ptopo^icioíi antecedente, la solidez de una pirámide trian-
gular siempre es mayor que la quarta parte del pro-
ducto, de su base por su altura: luego 2.^ la solidez de
la pirámide :SABC no puede ser menor que SO x| ABC.
• Luego finalmente la solidez de la pirámide SABC =:
SOíx|ABCy óáz |ABC x SO, según la cabeza de la prt)-
jibsicitó; ■'

¡Goiro/ano I. Toda pirámide triangular es la tercera
pisirte del prisma triangular de la misma base y* altura ;que
ella ; porque ABC x SO es la solidez del prisma cuyába-^'
se es ABC y SO la altura.

Corolario 11. Dos pirámides triangulares de una mis-
ma altura siguen la razón de sus bases , y dos pirámi-
des triangulares de una misma base siguen la razón de

sus alturas.

« . > >» ■. < . .' •■ ' .

PROPOSICIÓN XVIIL

* \
■ • I

TEOREMA.'

Toda pirámide SABCpEikné for^medidd In tercera Fig. 414.
péirtfé del ptóducfo de Ú base por m altiirái •

- Potqüfe haciendo pasar *^l6s planos SEB-^ SEG por
tas dtágonries» ES, EGy quedarla dividida la pirámide
SABCDE en muchas pirámides triangulares*, qué ten-
Aríai todas la misma altura SO. Peró-]^r. d teoi^ma^ an-
terior ^á^ tmá' 4e h^^ ^hmiMetf ífe^iiiide'muit^^

1S4 GEOMETRÍA.

do cada una de estas bases ABE, BCE, CDE por el tei
cío de la altura SO : luego la suma de las pirámides trian
guiares, ó la pirámide polígona SABCDE , tendrá poi
medida la suma de los triángulos ABE, BCE, CDE, (
el polígono ABCDE , multiplicado por |S0 : luego h
medida de toda la pirámide es la tercera parte del pro^
ducto de su base por su altura.

Corolario L Toda pirámide es la tercera parte del
prisma de la misma base y altura que ella.

Corolario 11. Dos pirámides de una misma altura sh
guen la razón de sus bases , y dos pirámides de una mis-
ma base están entre si como sus alturas.

Escolio. Podemos valuar la solidez de qualquiera
poliedro descomponiéndolo en pirámides , y esta des-
composición puede ser de muchos modos : uno de los
mas sencillos es hacer pas^r los planos det división por
el vértice de un mismo ángulo sólido ; en este caso
tendremos tantas pirámides parciales como caras tiene
el poliedro , excepto las que forman el ángulo sólido
de donde salen los planos de división.

PROPOSICIÓN XIX.

TEOREMA.

Si cortamos una pirámide con un plano paralelo á itf
hase , el troncji qué queda y quitando 'ta pirámide peque'
ña y es igual á la suma de las tres pirámides que ten-
drían por altura común la del tronco ; y cuyas bases se-
rian la base inferior del tronco , su base superior ^ y wa
media proporcional ^^ntre est^s dos bases.
Fig*AZ7* Sea SABCDE una pirápiide cortjada por el placo
abd paralelo á la base ; seta TFGH una. pirámide trian-
gular , cuya base y altura «ean iguale) ó . equivalentes
á las de la pirámide SABCDE.

Podemos suponer l^s dos bases situadas en un misf
mo..pUino , , y. empxices. jgl, plftno , abii .protongado , de-

LIBRO vr. 185

terminará en la pirámide triangular una sección fgh^

situada á la misma altura sobre el plano común de las

bases ; de donde resulta que la sección fgh es á la sec-^

cton ahd como la base FGH es á la base ABD ^ ; y ya * ^f* '$•

que las bases son equivalentes , I21S secciones lo serán

también. Por consiguiente , las pirámides Sabcde y

Tfgh son equivalentes , pues tienen una misma altura

y las bases equivalentes. Las pirámides enteras SABCDE,

TFGH son equivalentes por la misma cazón : luego los

troncos ABDdab , FGHhfg son equivalentes , y por

consiguiente bastará demostrar la proposición solamente

en el caso del tronco de pirámide triangular.

Sea YGñhfg un tronco de pirámide triangular de
bases paralelas. Por los tres puntos F , ^ , H llévese el
plano F^H : que rebaxará del tronco la pirámide trian-
gular ¿FGH. .Esta pirámide tiene por base la base in-«
terior FGH del tronco ; tiene también por altura la
iltura del tronco ; pues el vértice g está en el plano de
la base superior ^/t.

Después de haber rebasado esta pirámide , queda
a pirámide qoadrangular gfhJSF , cuyo vértice es
f , y la base fhlSF. Por los tres puntos f j gjH hága«
se pasar el plano fgñ , que dividirá la pirámide qua-
irangular en dos triangulares ¿F/H , gfhU. Esta ultí-
na tiene por base la base superior gfh del tronco , pues
(u vértice H pertenece á la base inferior : asi tenemos
fa, dos de las tres pirámides que deben coinponer el
xonco.

Nos resta que considerar la tercera ¿F/H. Si tira-
nos gK paralela á /F , é imaginamos una nueva pira-
nide /FHK , cuyo vértice es K , y la base F/H , estas
los pirámides tendrán Ja misma base F/H; tambieu
c adran la misma altura, pues los vértices ¿, K están sit-
uados en una linea gK paralela á F/, y por consi^
;uiente paralela al plano de la base : luego estas pira-*
mides son equivalentes ; pero la pirámide /FKH puede
onsiderarse como^ que tieue su vértice en /, y asi ten-«

^86 GEOMETRÍA.

drá la misma altura que el tronco. En quanto á su ba-^
se FKH , digo que es media proporcional entre las ba-
ses FGH , fgh. En efecto , los triángulos; FHK , fgh
tienen los ángulos en F y/ ¡guales j y un lado igual
* *4. 3- FK -fg : luego ^ FHK: fgh : : FH : fh. Tenemos tam-
bién FGH : FHK : : FG : FK ó fg. Pero los triángulos
semejantes FGH y fgh dan FG ^ fg: : FH : fh ; luego
FGH : FHK : : FHK : fgh ; y así la base FHK es me-
dia proporcional entre las dos bases FGH , fgh. Luego
un tronco de pirámide triangular de bases paralelas
equivale á tres pirámides , cuya altura comim es la del
tronco , y cuyas bases son la base inferior del tronco , su
base superior^ y una media proporcional entre estas
dos bases.

PROPOSICIÓN XX.

TEOREMA.

Fíg, ai(J. Si cortamos un prisma triangular^ cuya base es
ABC , con un plano DEF inclinado á esta base , el sóli^
do ABCDEF que resulta de esta sección y será igual á la
suma de las tres pirámides y cuyos vértices son D , E, F,
y la base común ABC.

Por los tres puntos F , A , C hágase pasar el plana
FAC , que íebaxará del prisma truncado ABCDEF la
pirámide triangular FABC ^ que tiene ABC por base y
por vértice el punto F.

Después de haber quitado esta pirámide , quedará
la pirámide quadrangular FACDE , cuyo vértice es F
y ACDE la -base. Por los tres puntos F , E , C hágase
pasar. también un plano FEC, que dividirá á la pirá-
mide quadrangular en dos pirámides triangulares FACE,
FCDE.

La pirámide FAEC 5 que tiene por base el triángu-
lo AEC , y por vértice el punto F , es equivalente á
otra pirámide EAfiC , que tuviese por base A£C^ y

LIBRO vr. 187

por vértice el punto B. Porque estas dos pirámides tie-
nen una misma base ; también tienen la misma altura,
porque siendo BF paralela á cada una de las lineas A£,
CD lo es igualmente i su plano ACE : luego la pirá^
mide FAEC es equivalente á la pirámide EABC , que
podemos considerarla como que tiene por base ABC y
por vértice el punto E.

La tercera pirámide FCDE puede transformarse
primeramente en AFCD ; porque teniendo estas dos pi-
rámides la misma base FCD , tienen también una mis-
ma altura , pues AE es paralela al plano FCD : luego
la pirámide FCDE es equivalente á AFCD. Después la
pirámide AFCD puede transformarse en ABCD , por-
que estas dos pirámides tienen común la base ACD; tie^
nen también la misma altura , por estar sus vértices F
y B en una paralela al plano de la base. Luego la pi-
rámide FCDE , equivalente á AFCD , lo es también á
^LBCD ; y esta la podemos considerar como que tiene
por base ABC , y por vértice el punto D.

Luego finalmente el prisma truncado ABCDEF e$
igual á la suma de las tres pirámides que tienen por
base comim ABC , y cuyos vértices son respectivamente
los puntos D , £ , F.

Corolario. Si las aristas AE , BF , CD ^on perpendi--
mulares al plano de la base , serán al mismo tiempo las
ilturas de las tres pirámide$ que componen el prisma
rruncado ; de modo que la solidez de este prisma trun-
jado será |ABC x AE h-|ABC x BF -h |ABC x CD, can-
idad que se reduce |ABC(AE-hBF-*-CD).

• t«

i88 geometría.

PROPOSICIÓN XXL

TEOREMA.

Dos pirámides triangulares semejantes tienen las ca-
ras homologas semejantes , y los ángulos sólidos homólo-
igos iguales.
Fig. ao3. Según la definición , las dos pirámides triangulares
SABC y TDEF son semejantes si los dos triángulos SAB,
ABC son semejantes á los otros dos TDE , D£F , y es-
tán semejantemente colocados , esto es , si tenemos d
ángulo ABS=DET, BAS=:EDT, ABC=DEF, BAC
= EDF , y si ademas la inclinación de los planos TDE^
DEF es igual á la de SAB , ABC : esto supuesto , digo
que todas estas pirámides tienen todas sus caras respec-
tivamente semejantes , y los ángulos sólidos homólogos
iguales.

Tómese BG:s=ED , BH=:EF, BI=;ET , y úvm
GH , GI , IH.

La pirámide TDEF es igual á la pirámide IGK
porque habiendo tomado los lados GB y BH iguales áCt
y EF , y siendo por suposición iguales los ángulos GBí \
y DEF , el triángulo HGB es igual á FDE. lluego pa-
ra verificar la superposición de las dos pirámides , poje-
mos primero sobreponer la base DEF á su igual GBH.
Después , ya que la inclinación de los planos DTE y
DEF es la misma que la de SAB y ABC , claro tía
que la inclinación del plano DET sobre BAS será in-
definida. Pero , por hipótesis , el ángulo DET = GBl
luego ET caerá sobre su igual BI , y puesto que los qua-
tro puntos D , E , F , T coinciden con los otros quam
• pr. I. G , B , H , I , sigúese * que la pirámide TDEF coinch
de con la pirámide IGBH.

Por ser iguales los triángulos DEF y GBH y ten»'

mos el ángulo BGH=EDF=BAC : luego GH es pan^

•i3) i' lela á AS , y el plano IGH es paralelo á SAC ^. Ihii^

riBRo VL 189

cese de aquí que el triángulo IGH , ó su igual TDF , es
semejante á SAC ^ , y que el triángulo IBH, ó su igual ♦ pr- ig-
T£F , es semejante á SBC : luego las dos pirámides
triangulares semejantes SABC , TDEF tienen las qua*-
tro caras ^respectivamente, semejantes , y ademas tienen
los ángulos sólidos homólogos iguales.

Porque ya hemos sobrepuesto el ángulo sólido E á
su homólogo B , y podríamos hacer lo mismo con otro$
dos ángulos sólidos homólogos qualesquiera ; . pero ve->
mos inmiediatamexite que dos ángulos sólidos homólogos»
son ¡guales 5. v« gr. los ángulos T y S , porque están for*
mados por tres ángulos planos iguales cada uno al suyo,
y semejantemente dispuestos.

Luego dos pirániides triangulares semejantes tienen
las caras homologa^ semejantes , ;é iguales los ángulos
sólidos ho£nólog3s. -.- . • ; . »

Corolario I. Los triángulos semejantes en las dos
pirámides nos dan las proporciones AB : D£ : : BC:
EF : : AC: DF : : AS : DT : : SB : TE : : SC ; TF;
luego. en las pirámides triangulares semejantes los lados
homólogos son froporcionales. ¡

11. Y siendo iguales los ángulos sólidos homólogos,
sigúese que la inclinación de dos caras qualesquiera de
una pirámide es igual á la inclinación de las dos caras
homologas de la pirámide semejante. " , .

m. Si cortamos la pirámide SABC con un plano
GHI paralelo á una de las caras» SAC , la pirámide par-
cial BGIH será semejante á la pirámide total BASC;
porque los triángulos BGI , BGH son respectivamente
semejantes á los triángulos BAS , BAC , y están coloca-
dos semejantemente ; la* inclinación de sus planos;^ es la
misma por a^bas partes : luego las dos pirámides squ
lemejantes.

IV. En general , si cortamos una pirámide qualquie-* Fíg. 2x4.
a SABCDE con un plano abcde paralelo á la base , la
7Írámide parcial Sabcde será semejante á la pirámide en^
era SABCDE. Porque las bases ABCDE, abcde son

Ipd GEOMETRÍA.

semejantes , y si tiramos AC y ac acabamos de probax
que la pirámide triangular SABC es semejante á la pin
rámíde Síéc : luego el punto S está determinado respec-
to á la base ABC , como el puato S lo está respecto i
^*^- '• !a base abe * : luego las dos pirámides SABCDE,
Sabcde son semejantes.

Escolio. En vez de los cinco datos que son necesa^
ríos según la deSnicion para que dos pirámides triangir-
lares sean semejantes , podríamos substituir otros cinco
según diversas combinaciones , y resultarían otros tan-
tantos teoremas , entre los quales podemos distinguir es-
Fig. 403. ^ • ¿Qj pirámides triangulares son semejantes quando tU-
nen sus lados homólogos proporcionales.

Porque si tenemos las proporciones AB : DE:: BG
EF:: AC: DF : : AS: DT:': SB : TE : : SC : TF,
que encierra cinco condiciones , los triángulos ABS y
ABC serán semejantes á los triángulos DET y DEF, y
estarán semejantemenre dispuestos. Tendremos también
el triángulo SBC semejante á TEF t luego los tres án-
gulos planos que' forman el ángulo sólido B serán igua-
les respectivamente á los que forman el ángulo sólido >
de donde se deduce que la inclinación de los planos
SAB, ABC es igual á la de sus homólogos TDE, DEF,
y que por consiguiente las dos pirámides son seme-

jantes.

• • • *

PROPOSICIÓN xxn.

TEOREMA.

Fig ixp. Dox poliedros semejantes tienen tas caras homóhl^
semejantes , é iguales los ángulos sólidos homólogos.

Sea ABCDE I4 base de un poliedro ; sean M y K
tos vértices de dos ángulos sólidos , fuera de dicha hast,
determinados por las pirámides triangulares MABC,
NABC, cuya base común es ABC Sea en el otro polie-
dro 9' abcde la base homologa ó semejante á ABCD^

LIBRO VI. 191

my n los vértices homólogos á M y N , determinado
por las pirámídeí> mabc , nabc semejantes á las pirámi-
des MABC , NABC : digo desde luego que las distait-
cías MN , mn son proporcionales i los lados homólogos
AB^ab.

£n efecto ^ siendo semejantes las pirámides MABC^
mabc 9 la inclinación de los planos MAC 9 BAC es igual
á la de los planos mac f bac ; igualmente , por. ser se--
mejantes las pirámides NABC , nabc , la inclinación de
los planos NAC , BAC es igual á la de los planos nac^
bací luego restando las primeras inclinaciones de las
últimas , quedará la inclinación de los planos NAC,
MAC igual á la de nac , mac. Pero por ser semejantes
estas mismas pirámides , el triángulo MAC es semejante
á mac ^ y el triátígulo NAC lo es á nac: luego las dos
pirámides, triangulares MNAC , mnac tienen dos caras
respectivamente semejantes , semejantemente dispuestas
é igualmente inclinadas entre sí : luego estas pirámides
son semejantes ^ , y sus lados homólogos dan la propor- ^ p^ ^^
cien MN : mn: : AM : am. Por otra parte AM : am::
AB : ab'5 luego MN : mn:: AB r ab.

Sean P y p otros dos vértices homólogos de los mis-
mos poliedros , y tendremos también PN : pn:: AB : ai,
PM : pm: : AB : ab. Luego MN :mn :: PN : pn:: PM:
c?m. Luego el triángulo PNM , que une tres vértices qua-^
^esquiera de un poliedro , es semejante al triángulo pnm,
lue une los tres vértices homólogos del otro poliedro.

Sean todavía Q y q dos vértices homólogos, y el trián-
gulo PNQ será semejante á pnq. Digo ademas que la in-
iinacion de los planos PQN , PMN. es igual á la de los
>lanos pqn , pmn. . .

Porque sí tiramos QM y gm , tendremos siempre el
rlángulo QNM semejante á qum\ y por consiguiente el
ngulo QNM igual á qnm. Concíbase en N un ángulo
í^lido formado por los tres ángulos pianos QNM, QNP,
'NM, y en fi otro ángulo sólido formado por los. tres
aguloi planos, qnm^ q^^py pnmi, siendo estos ángulos

tgi OfiOMETltÍA.

iguales y agüese que los ángulos suidos lo son tambtei
Luego la inclinacioa de los dos planos PNQ, PNM í
igual á la de sus homólogos pnqy pnm } luego si los dd
triángulos PNQ , PNM e^toviesen en un mismo plaoG
en cuyo caso seria el ángulo QNM =r QNP-t-PNM: tea
driamos también el ángulo qnm = qnp -^pnmy los da
triángulos qnp^ pnm estarían también en un mismo plaon

Todo lo que acabamos de demostrar se verifica, seai
los que fueren los ángulos M, N, P, Q,oomparaios
con sus homólogos m, n , />, q^

Supongamos ahora que la superficie de uno de los ]»
liedros esté dividida en triángulos ABC, ACD, MN?*
NQP, &c., y vemos que la superficie del otro tendri
igual numero de triángulos abe , acd j mfl^ , nfq,h
Semejantes y semejante dispuestt)s ; y si muchos triángu-
los y como MNP y NPQ y &c. , pertenecen á una múnu
cara , y están en un mismo plano y también sus homo'
logos mpn y npq estarán en un mismo plano. Luego to^
cara polígona en un poliedro correspoaderá á otra can
polígona semejante en el otro poliedro : lu^ los dosp»^
liedros estarán compuesto» de un mismo niñero de ¡i" |
nos semejantes y semejantemente dispuestos. DigotaO'
bien que los ángulos sólidos homólogos serán igiski

Porque si el ángulo sólido N , v. gr. , está fonnai»
por los ángulos planos QNP , PNM, MNR , (l%¿
ángulo sólido n estará formado por los ángulos planos (pp)
pnm y mnry qnr. Pero esto$ ángulos planos son respecta
vamente iguales unos á otros , y la inclinación de dos pi^
nos adyacentes es la misma que la de sus homólog^^'
luego los dos ángulos sólidos pueden sobreponerse, y F
lo mismo son iguales.

Luego finalmente dos poliedros semejantes tienen li>^
caras homologas semejantes y los ángulos sólidos \0^
logos ¡guales.

Corolario. Dedúcese de la demostración anterior, (f
si formamos una pirámide triangular coa qtiatro vértii^
de qn poliedro y y formamos otra también coa cp^

LIBRO V. 193

vértices homólogos de otro poliedro semejante , serán se-
mejantes estas dos pirámides ; porque tendrán los lados
homólogos proporcionales.^ * Pr. 4 1.

Vemos al mismo tiempo que dos diagonales homóló-* Bscoi.
gas^, V. gr. , AN , an ^ siguen la razón de dos lados ho* * 17. st
mólogos AB, ab.

PROPOSICIÓN XXIIL

TEOREMA.

Dos poliedros semejantes pueden dividirse en un mis^
mo número de pirámides triangulares respectivamente se^
mej antes j y semejantemente colocadas. ^

Porque ya hemos visto que las superficies de dos po-«
Kedros pueden dividirse en un ncusmo numero de trián-
gulos semejantes cada uno al suyo : y dispuesto semejan-
temente. Considérense todos los triángulos de un polie-
dro, excepto los que forman el ángulo sólido A , como
las bases de otras tantas pirámides triangulares que tier
nen su vértice en A; e^as pirámides juntas compondrán
el poliedro. Divídase igualmente el otro poliedro en pi-
rámides que tengan por vértice común el punto a y homó-
logo á A ; claro está que la pirámide que une quatro
vértices de un poliedro será semejante á la que une qua**
tro vértices homólogos del otro poliedro, l^go dos po-
liedros semejantes , &c.

PROPOSICIÓN XXIV,

TEOREMA.

Dos pirámides semejantes están entre si como los cu*
has de sus lados homólogos^

Porque siendo semejantes estas dos pirámides , la Fig. 214.
rnenor podrá colocarse en la mayor y de modo que ten-
gan común el ángulo sólido S. Entonces las bases ABCDE,

X94 GEOMETRÍA.

abcde sttin paralelas; porque, siendo semejantes las ca-

* Fr. 12. ras homologas^, el ángulo Sab ts igual á SAB , lo mi!r

mo que Sbc á SBC : luego el plano abe es paralelo al

♦ 13. d. plano ABC*

Esto sentado , sea SO la perpendicular baxada desde
el vértice S al plano ABC , y sea o el punto en que esta
perpendicular encuentra al piano abe ; tendremos, seguQ

* Fr. x<. lo qu^ hemos demostrado en otra parte*, SO : So :: SA:

Sa : : AB r aft , y por consiguiente , |SO : |So :: AB: á
Pero siendo las bases ABCD£, abcde figuras semejantes,
tenemos ABCDE : abcde : : AB' : a¿.* Multiplicando or-
denadamente estas dos proporciones , resultará
ABCDE X |SO : abcde |So : ; (AB)' : (ab).'

♦ Fr. xj. Pero ABCDE x|SO es la solidez de la pirámide S ABCDE*

y abcde x |So es la pirámide Sabcde : luego dos pirámí*
des semejante» siguen la razón de los cubos de sus la-
dos homólogos*

PROPOSICIÓN XXV-

TEOREMA. I

Dos poliedros semejantes están entre sí como los cé¡
de los lados homólogos.
Fig. sip. Porque dos pdliedK^s semejantes pueden dividiiseeff
un mismo número de pirámides triangulares respectivar

♦ Pr. 13. mente semejantes*. Pero las dos pirámides semejantes

APNM , apnm están entre sí como los cubos de los laios
homólogos AM, am, ó como los cubos de los. lados homo'
logos AB , ab. La misma razón se verificaría entre otraJ
dos pirámides homologas qualesquiera: luego la sumaii¿
todas ia:> pirámides que componen un poliedro, ó el mis-
mo poliedrQ, es al otro poliedro como el cubo de unlaá^
qualquiera del primero es al cubo del lado hofflólo{('
del segundo. . ^

f

LIBRO VT*

m

Escolio general.

. Se puede presentar en términos algebraicos, esto es,
del modo ma3 sucinto , la recapitulación de las princi-
jiales proposiciones de este libro relativas á las solideces
de los poliedros.

Sea B la base de un prisma, H su altura; la solidez
del prisma será Bx H, ó BH.

Sea B la base He una pirámide , H su.altura ; la so-
lidez de la pirámide será B x |H , ó H x ^B , ó |BH.

Sea H la altura de am tronco de pirámide de ¿ases
paralelas y sean estas A y B ; y AB será la media pro-
porcional entre ellas , y la solidez del tronco será |H x
(A-hB-h\/AB). .

Sea B la base de un tronco de prisma triangular; H, H^,
H^^ las alturas de sus tres vértices superiores; la solidez
del prisma truncado será |.B ( H-+- H^ -+- W^. ) % •

Sean, igualmente P y p las solideces de dos poliedros
semejantes. Aya dos lados homólogos de estos poliedros;
tendreincfe P : p'^^ A^. : aK

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J96 GEOMETRÍA.

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LIBRO VIL

LA ESFERA.

DEFINICIONES.

L I v a esfertí es un sólido terminado por una so-
perüeie curva , cuyos puntos equidistan todos de otro ii>
terior llamado centro.

Podemos imaginar que la eafeta está producida ji
ji. la revolución del semicírculo DAE al rededor del imt-

tro DE ; porque la superficie descrita en este movimieo-
to por la curba DAE tendrá todos sus puntos equidistan-
tes del centro C.

II. El radio de la esfera es una linea recta tirada
desde el centro á un punto de la superficie ; el dikn^
ó exe es una recta que pasa por el centro y se t^^
por ambas partes en la superficie.

Todos los radios de la esfera son iguales ; todos k
diámetros son iguales y duplos de los radios.
• Pr. X. lU. Se demostrará ^ que toda sección hecha en latí*
fera por un plano es un circulo ; esto sentado, se il2io>
circulo máximo la sección que |>asa por el centro , y cir»
lo menor la que no pasa por el centro.

IV. Un plano es tangente á la esfera, quando solo tr
ne un punto comuo con su superficie.

LiBno vir.^ ipy

V. El polo de un circulo de la esfera es un punto de
ü superficie equidistante de todos los puntos de la cir*«
:unferencia de este circulo. Ya haremos ver ^ mas ade- • Pf. (^.
ante que todo circulo máximo ó menor tiene siempre

ios polos..

VI. Triángulo, esférico es una parte de la superficie
le la esfera terminada por tres arcos de circuios má-
ximos.

Estos arcos, ^que se llaman los. lados del triángulo , los
uponemos siempre menores qué la semicircunferencia.
1.0S ángulos que forman sus planos son los ángulos del
riángulo.

VII. Un triángulo esférico se dice rectángulo , isós^
eles , equilátero en los mismos casos que un triángulo
ectilíneo.

VIII. Polígono esférico es una parte de la superficie
le la esfera terminada por muchos aróos dé círculos ma-
linos.

IX. Huso esférico es la parte de la superficie de la e»
bra ccmjpirehendida entre dos semicírculos máximos que
e terminan. en un diámetro comun.\' .

X. Llamaré ei^tfiria. .....ej/érica la. parte del sólido

Le la esfera comptehendida entre los mismos semicircu-
[>s máximos, y á la qual sirve de base 'el huso esférico. '

XI. Pirámide eff erica es la parte del sólido de la es« ^^
era comprehejgúdida por los |rianos de: un ángulo solidó,

uyo vértice está ^n el centro* La base dé la pirámide es
1 polígono lísférico. interceptado por jos mismos planos.

XIL Se llama zima la parte de la superficie de la es-
era comprehendida entre dos planos paralelos , que son
US base^.ia^DoM eci^ planos puede ser tangente á la es-
era, y «ntóíK^es la 2opa ao tiene mas que una base.

XIII. .Segmet^o esférico és la porción del sólido de la
sfera comprejíendida entre dos planos, paralelos que son
US bases. Uno de. estos planos puede ser tangente á la
sfera , en. cuyo caso el segmento esférico no tiene mas
l^ue una base.

^9^ GXOMSTUÍA.

XIV. £1 exe ó altura de una zona y de un segmei
mentó es la distancia de los dos planos paralelos que s(
las bases, de la zona ó del segmento.
Fif. 120. . XV. Mientras el semicírculo DAE, girando al red
dor del diámetro DE, describe la esfera, todo.sector ci
Cülar, como DCF ó FCH, describe uñ sólido que lia
ipamos iecror esférico^

PROPOSICIÓN PRIMERA.

. r ^ ,

TEpREMA*

Toda sección de la esfera j hecha por unplam^i
un circulo. . v
F¡g. lai. Sea AMB la sección hecha por un plano en laeí
rá cu3^ centro es A.

Desde el panto C tírese al plano AMB la perpesl
cular CO, y diferentes líneas CM, CM á diversos pm
tos de la curba AMB, que termina la sección.

Las obliquai CM, CM, CB^son iguales, porseri^

dios de la esfera, y por consiguiente equidistan ¿«

• $. $. perpendicular. CO^: luego. tod¿ las líneas OM,^!^

OB son iguales t luego la^eccion AMB íes un circulo, cS

yo centro es el punto O. .

. Corolario L Si la sección pasa p^K* el centro de b e^
fera^su radio secá^el radio misnSQ db la esfera Ho^t
todos los círculoís tnázimossotí iguales.

. II. Dos cítcdas Hiá^uxKXs. se cdrcui siempre en ¡^
partes iguales ; porque su intersección común , pa^
por el centro , será un diámetro.

UL Todo círculo, máximo- divide^' á la esfera y ^ *
superficie en lios partes iguales ; porque si despaestlel^
ber separado los dos hemisferios ,. se les áj^ sobreí
hase común volviendo su coovendad hacia un misiso'^
do, las dos superfides coincidirán una e(m otra, p^
no ser asi habría puntos mas inmediatos unos qnc ^
del centro.

j^tBRO vir. 199

IV. El centro de ua círculo menor y el de la esfera í'íg* **«•
stán en una .misma 'recta perpendiculai:. al plano del
írculo menor.

y. Los circuios meuopes 'son anas pequeños ápropor-
ion que distan mas del centro de la esfera; porque
uanto mayor es la distancia CO , tanto m^nor es la iuer*
a AB diámetro del círculo menor AMB,.

VI. Por. dos puntos dados en la <$uperfiai& !de la'.es- ^ . .. >
^ra , pod^qios {hacer; pas¿(r un arco de cífculo .máxifrí
10; porque estos dos puntos y el ceíntcojde 1^ esfera som
es puntos que determinan ]a postcióñ de^un plask^J Sin
nbargo, si los dos pimtos dados estuviesen en los. exr*
emos de un diáipetro. ,: ^eiitónce» el centrio estauria: en
na misma línea r^cta coa ellos., y seríaii /infinito» los.
f culos máxinoos qtie pjodriafl pasar |K>r los jdos puntos
idos. . .. ' ,- • . . , «-í "' •/

PROPOSICIÓN il. .

. TEOREMA. . : . ' r.

En todo, triánguilo esférico ABC y un lado qaálquiera^H^ »»»•
menor, que la suma de lús.íOros dos^

Sea O el centro de la esfera. .

Tírense los. radios QA, OB, OG;. ;../.'

Si imaginanqos los planos AGB^ AOC^ COB, efttos
anos formarán en el punto O un ángulo sólido; y los'
igulos AOB, AOC, COB tendean > por medida los la-
)s AB , AC, CB del triángulo esférico ABC. Pero ca-
. uno de los tres ángulos planos que componen el án-
lo sólido es menor que la. suma de los otros dos^: lúe- * ^i* 3*
I un lado qualquiera del triángulo ABC es menor que
suma de los otros dosá . .1

GBOHETRÍA.

PROPOSICIÓN ni.

L

La distancia mas corta entre dos panttu en la míe-

ficie de la esfera , es el arco de círctdo máximo que ¡oí w

7ig. 9*3. Sea ANB el arco de círculo máxtmo que uoe lo>p

tos A y B ; y üea , si es posible , M un punto de la lina

mas corta de A á B.

Por el punto M háganse pasar los arcos de órciii
máximo MA , MB , y tómese SN=MB.

Según el teorema anterbr , el arco ANB es mi
corto que AM-^MB , quitando- de ambas partes BN:
BM , quedará AN>AD. Pero la distancia de B i N
confúndase ó no con el arco BM, es igual á la de iú
porque haciendo girar el plano del círculo múbo^
al rededor del diámetro que pasa por B , podemffiliH>
coincidir el punto M en N ; y en este caso la Imüi^
corta de M á B , sea la que fuere , se confundirá ax'
de N á B : luego las dos distancias de A á B , |»saiii'|
una por M y la otra por N, tienen una parte ignúit^
d B y de N á B. La primera distancia es , por hipóle^
la mas corta : luego la distancia de A á M es mas on
que la de A á N } ló qúal seria un absucdo , pues A'^*
AM es mlyoi; t^é AS: luego nii^n punto debí lii^
más corta entre A 'y B puede estar . fuera del arco AÜIi
luego este arco es la dütaacia ma£ corta entre as c
tremos,

PROPOSICIÓN IV.

La suma de los tres lados de un triángulo esffíif^
menor que la circunferencia de un círculo máximo.
Fig, «24. Sea ABC un tciiinguto esférico cualquiera.

"1

LIBRO VII. aoi

Prolongúense los lados AB , AC basta que se vuel-
van á encontrar en 'D..

Los arcos ABD y ACD serán semicircunferencias,
una vez que dos círculos niá:nmos se cortan siempre
en dos partes iguales ^ ; pero en el triángulo BCD te- ^ p
nemos el lado .tiC<BD-4-CD ^ ; añadiendo por ambas «p^[ ^]
partes AB r4- AC , tendremos AB -4- AC -h BC < ABD ^
ACD , esto es y menor que una circunferencia.

" . ■ '

PROPOSICIÓN V.

TEOREMA.

V

La suma de los lados de qualquiera poligono esférico
es menor que la circunferencia de un circulo máximo.

Sea , V- gr. ^ el pent^ono ABCDE. p. ^

Prolongúense los lados AB , DC hasta que se en- \ . "'
cuentren en F.

Ya que BC es menor que BF -+-CF , el contorno
del pentágono ABCDE es también menor que el del
quadrilátero AEDF. Prolongúense otra vez los lados
AF , FD hasta que se encuentren en G. Tendremos
ED < EG -4* GD : luego el perímetro del qu^idrilátero
AEDF es menor que el del triángulo AFG ; este es me-
nor que la circunferencia de un círculo .májúmo: luego
con mayor razón el perímetro del polígono ABCDE es
menor que dicha circunferencia* * • .

Eseolio, Esta prbposicion es en rigor la misma que
U XXII. del libro V ; porque si O es el centro de ia
esfera 9 podemos imaginar en el punto O un ángulo só^
lido formado por los ángulos planos AQB, BOC,
COD y &c. y la sun^a de estos . ángulos debe ser menor
que quiltro rectos ; lo qual en nada diSere de la pro^ ? ^
posición presente. La demostración que acabamos de
hacer es diferente de la del libro v ; en una y otra se
supone que> el polígono ABCDE es convexo , ó que nía*
gun lado prolongado püed^ cortar áia figura.

26

202 GEOMETRÍA.

»

PROPOSICIÓN VI.

«

TEOREMA. .

Fig, x4p. Si tíranws el diámetro DE perpendiadar al plm
circulo máximo AMB , loí extremos de este diámetro ;í-
rán los polos^ del circula AMJ^ , y de todos los ckcik
menoreí coma FNG , que son paralelos á éL

Porque siendo t)É perpendicular' aí plano AM^k
es también á todas las rectas CA f CM y CB y &c., tira-
das en este plano al pie de ella r luego todos los arcos
DA , DM , DB , &c. , son quartos de circunferencial
lo mismo sucede con los arcos EA^ EM^EB^&c;
luego los puntas D y E equidistan ambos de todos los
de la circunferencia AMB , y por consiguiente son siii

♦ Dcf. j. polos. *

En segundo lugar , eí radío DC , perpeuáicular ai
plano AMB , lo es también á su paralelo FNG : luego

♦ Pr. I. pasa por. el centro O det círeulo' FNG ^* Luego si ¿ta-

mos la» obliqíías DF y DN , DG ,. estas obliqüas equij
distarán -de la perpendicular DO , y serán iguales. Per»
siendo iguales las cuerdas ,. los arcos lo son también;
luego todos los arcos DF , DN ^ DG , &c. y son iguab
entre sí x luego los dos puntos D y E son los dos poii^
del círculo menor FNG ^'

Corolario L Todo añO' DM ^ tirado: de un punto ^
afea iiél*tcíiiculo;imáxini0 a su pola , ^es un quarto(if
circunferencia y ó ló que es todo uno f un quadramw
este (^adrante hace al mismo tiempo un . ángulo rea
con el aréd^ AM. Poi^que siendo la línei^ DC^> perpeniü*
üular ^t plana' AMC 5 iqualquiera plana DMC , que ^

♦ 18. g. sa por la línea* DC, es peifpendícuiar á AMC*: lueffl

el ángulo AMD es recto^

'II. Para hallar el polo de un arca dado AM 9 tírese
el arco indefinido MD ^ perpendicular á AM ^ tómese
MD igual á tm qfiadrante ^ y el punto D será uno ía\^

LIBRO vn. ' íoj

polos del arco AM ; ó bien háganse pasar por los dos
puntos A y M los arcos AM , MD perpendiculares á
AM 9 el punto de contorno D de estos dos arcos ^rá el
polo que buscamos. : /. ^

III. Recíprocamente , si la distancia del punto D á
cada uno de los puntos A y M es igual á uh quádran-
te , digo que el punto D será polo del arco AM ^ y que
al ' mkmo* tiempo* los ángaios .DAM , AMD serán rectos.
Porque sea C el centro de la esfera , y tírense ilds
Radios: CA^CD , CM. Ya que ilos ángplos ACD^ MCD
son rectos ^ la linea CD €s perpendicular á las dos rec^
tas GA , CM: luego, es perpendicular á su plano : lue-
go el punto O es polo de arco AM. ; y por consiguien^
te los ángulos DAM j, AMD^son tecCo&

; Escolio. Las ptqpiedade^ á¿ló% polos yeimiten tra^
zar en la supérftde de la esfera arcoft^ de ' círculo' coil
igual facilidad que en una superñcie plana. V^emos por '
templo , que haciendo , girar el arco DF ^ ú otra linea
qualquiera del mismo intervalo , al rededor del punto
D , el extreitá) JF trazará el <:írculo menor FNG ^ y si
tiacemos girar «1 quadrante' DFA al rededor del punto
D, eíl extrema A trazará el arco de círculo máximo AM/
Si hay necesidad Áe prolongar el arco AM , 6 sino
5e dan los puntos A y M por donde debe pasar este ar-
co , determinaremos desde luego el polo D por la inter-
jección de dos arcos trazados desde los puntos A y M,
como centros , y con un intervalo igual al quadrante.
El polo D una vez hallado y describiremos desde este
punto , como centro , y con el mismo radio ;, el arco AM
y su prolongación*

Finalmente v si tratamos de baxar desde el punto
P una perpendicular, al arco, dado AM> prolongare-
mos este arco hacías S , : hasta que^^sL intervalp FS sea
igual á un quadrante ; después desde el ' polo S , y
con el miáBo: ^radío trazaremos jel arco PM 9 que será
la perpendicular pedida.

' K.

• 99

204 G1Q4MI£THÍA.

PROPOSICIÓN VIL

TBORBMA.

Todo plano , perpendicular en el extremo de un rdi^
es tangente á la esfera.
Fig. ai5. Sea FAG ua plano perpendicular en et extren»
del radio OA.

Tómese un punto qualquíer^ M en este plano , ]
tírense OM y AM.

El ángulo OAM será recto ^ y así la distancia OM
será niayor que OA. Luego el punto M no es de la esf^
ra ; y como lo mismo se veriñca con otro punto qual-
quiera del plana FAG.^ sigúele que este plano solo
tiene común el punco A con la superficie de la esfera:
• Dcf. 4. ^^ggQ gs tangente á diclia superficie. ^

Escolio. Del mismo, modo podemos hallar que
esferas solo tienen un punto común , y $on por om
guiente tangentes una á otra, quando la distancia de
«US centros es igual á la suma. 6 á la diferencia ¿
'$us radios ; entonces ios centros y el punto de contadt
«stan en línea recta.

PROPOSICIÓN VIII.

TEOIIEMA.

Fi fta5 ^^ ángulo BAC , que forman entre si dos arcos áeéf
' culos máximos AB , AC, es igual al ángulo FjAG,^'
tnado por las tangentes de estos arcos en el pumto A ; ^^
ne también par medida el arco DE, descrito desdti
punto A y comú'poh^^ntre los Ibdos AB 3^ AC- prol(m¡a^
si es necesarios - '. : 1 ,

,.- Porque la. tangente AF^. lirada en «I plano del ar-
co AB , es perpendicular al radió AO^ la tangente h^)
tirada en el plano del arco AC y es perpendicular ¿

isúsmo radio AO. Luego el ángulo FAG es igual al de

los planos OAB , OAC* , que es el de los arcos AB, ♦ 17. g.

AC y y que designamos por BAC.

Del mismo. uiodo, si el ár<:0/Ai> es jgual á un qua-
drante , lo mismo que A£ , las líneas OD , 0£ serán
perpendiculares á AO , y así el ; ángulo DOE será iguaj
al de los planos AOD , AOE : luego el arco DE es la
medida del ángulo de dichos planos, ó la medida del -
ángulo BAC.

c \_Corohrio.\ X-os ángulos .de. lof triángulos esféricos
pueden medirse por los arcos de los círculos ii(iáx|ma^
^iBftcrifpf desde sus vértices como polos., y comprehaidi-
dos entre sus lados : asi es fácil hacer un ángulo igual
^.o^jO;d^p. ,

^.^ iEícQlÍQ^:El ángulo ACÓ es igual á sU; opifesto e0 el pig. 438.
l^érticei^E^íi;; uno ú otro- es siempre 1191 ángulo fprma-;
do por los. dc¿ planos ACB , QCN, .: ^ 1

Vemos, también qtje quando dos ai'cos se cortan^
cexpo ACB , OCN , los dos ángulos adyacentes ACO^
OCB vale4 siempre juntos dos rectos.

t ' - „ ♦

PROPOSICIÓN IX.

i
• -i

: TEOREMA-

Dado el triangulo ABC, jí de los puntos A , B , C, pjg. 4^»
como polos , trazamos los arcqs EF , FD , DE , que for-*
^nan el triángulo DEF , reciprocamente los tres puntos
D , E , F serán los polos de los lados BC , AC , AB.

Porque siendo el punto A polo del arco EF , la dis-
4:aiicia AE es un quadrante ; > siendo el punto C polo
del arco DE , la distancia CE es igualmente un qua-
drante : luego el punto E dista un quadrante de cada
xuao de los puntos A y C : luego es polo del arco AC *. « p,. ^
Se demostrará también que D es polo del arco BC , y Cor. 3.
F4e AB, ..

206 GBOMSTRÍA.

Corolario. Luego el triángnlo A^ puede trazan
por medió de D£F ^ como D£F por medio de ABC

. PROPOSICIÓN X.

TEOREMA*

Fig. 117. Sentadas las mismas cosas que en el teorema antm
cada ángulo de uno de los triángulos ABC , DEF íeé
por medida la semicircunferencia^ menos el lado ofüct
en el otro triángulo^

Prolongúense y si es necesario , los lados AB , M
basta que encuentren á £F en G y H.

Ya que el punto A es polo del arco GH ^ el ángii
A tendrá por medida el arco GIL Pero el arco EH e
un quadrante , lo mismo que*GF, por ser E el pol
de AH , y F el de AG : luego EH-4- GF vale unaJ^
micircun£erencia. Pero EH-4-GF=EF-h-GH : luego J
arco GH , que mide el ángulo A , es igual á una seni'
circunferencia menos el lado £F ; tambien-el áogubl
tendrá por medida J circ. — DF ^ y el ángulo C , í¿l
— DE.

Esta propiedad debe ser recíproca en los dos m
gulos , pues se trazan del mismo modo uno por
de otro. Asi hallaremos que los ángulos D , £ , F ,
triángulo DEF , tienen respectivamente por msB
} circ. — BC , i circ. — AC^ i circ. -^ AB: En efeca^
el ángulo D , v. gr. tiene por medida el arco MI ; p
MI-hBC=:MC-4-BI = f rirc: luego el arco MI,i»
dida del ángulo D, z=:fcirc. — BC, y así i^^
demás.

Fíg.aa8r Escolio. Es del caso observar que ademas del trun
guio DEF , podríamos formar otros tres por medio í
la intersección de los tres arcos DE , EF , DF. Pero'
proposición actual solo* se verifica en el triángulo cei
tral , que diferencia de los otros tres en que los dos ii

Fig. 117. gulos A y D están situados á un mismo lado de Cl

'L r*ftiO V I r. 207

39 das B y IB á un mismo Mdp.de AC 1 y los dos C

Se 4aní; ^(^Tm ^vmikr^^ á ; los dos triángulos ABC,
)EF; í , nomro^i tos^ ^ Uamaremo^ , triángulos polares,

- . PROPOSICIÓN XL

' 1 ' 1

LEMA.

Dado el t'ti ángulo ' ñSC , si desde él 'polo A\ y con e/Fíg. aap.
itervalo AC , trazamos el arco de circulo menor DEC
i dejde e/ polo B , y con el intervalo BC trazamos iguala
tente el arco DFC , y desde el punto D y e« qwe je cor-
ath lo^aH^s D^Qt^ J>KCv^ ágscrihipios ía^.^fw rf^ íc/rcu- .
J f??ax;fnoif.4I>i ^. DB ; .ái^o ^que el triángulo ADB y for-^ '
mdodexeste,inQ4af\tfituirá sus partes igualas á las del
iángulo ACB*

Porque ^pe^:(on^rtícx¿o¡í , $^ fado AD=p. AC , DB
:1BC , AB es común : luego estos dos triácgulos tieíneft
is lados Jf^specti^^mente iguales raigo, ahora que los án*
uÍQ$ opúe^ijs -á: lo» .Í4dps iguaíest .son /iguales^ . /.

En i^f^ecto ,^ ist}pOíiemo$:en..O el centro de la eí-
;rar, .IV>deJtiost:í:onclebir uní r^ijgulo' sólido focipado eji
5te puntg, g<jr;:Jo^ trqs.^gulo^.plapos AQ^yAQQ^
OQ, ; ppdámos: copgcibír .t-^i^ljfeft'otrft .segjündcf; ánguto
)Uda {<>xmsída¡p0íidoA_tm»éj^{(^iS¿^^ AQJD,

OD. Y. «na «^.qxleJosjtedos'^^tjttiíngíil^/ABC son
¡uales á los del triángulo ADB ] sigúese que los ángu-
s planos que.ferman udo dj^ esto^ ángulos sólidos, son
juales á los ángulos planos que forman eí otro ángulo
>lido , cada uno al suyo j pero en este caso se ha de-
lostrado ^ que los plaiiósr ¿n que están los ángulos ígua- ♦ 23* 5.
s , están igualmente inclinados entre sí r luego los án--
ilos del triángulo esférico DAB $pn iguales á los del
iánguÍQ CAB , esto es , DAB=BAC , DBA=: ABC , y
PB=ACB : luego los dos triángulos ADB y ACB tie-
m sus lados respectivamente iguales.

ao8 GISOMSTRÍA.

Escolio. La igualdad de estos triái^os no es q
igualdad absoluta por superposícicm , porque seria imp
sible sobreponer uno & otro etáctafneilte , 4 no ser (|i
fuesen isósceles. La igualdad de que tratattios es b f
hemos llamado anteriormente igualdad por simstria^
por esta razoá llamaremoá triáhgidos simétricos í 1
triángulos ACB y ADB.

•

PROPOSICIÓN XH

TEOREMA.

Fig. «30.' Doí triángulos situados en úná ndsmh esfera ^i^
esferas tóales j son iguaks en^^tédas sas'-^ partes , (¡id
tienen un ángulo igual com^ehendida entre lados uf
tivamente iguales.

: Sea el lado AB=áEF = el lado^ ACssEG , el áf
loBACaiFEG. !•

" Él triángulo BFG podrá -sobreponerse al rxúsf
ABC , ó á' su simétrico ABD , del míéfrno modo <¡^*\
breponemos uno ár oti*o' dos tvlángUlds reotilineos qu^^
'nen tgusíl un ángulo cottí^nétiendído entre lados \^
-LrU^ toldas las partes de^ triángulo EFG serán igui'
á las del triángulo ABC ; esto es , ^e ademas deb
^tres- parbs' supMstas'^ teÁdrenios el4á^d BC=FGi<
ángulo'ABGteEFG j y et-áhgúlo ACB=EGF.

PROPOSfcroN-xiii.

TWREMA.

Dos triángulos situados en una misma esfera , ó » <
feras iguales , son iguales en todas sus partes , (f^
tienen un lado igual adyacente á dos ángulos reJp¿^
mente iguales.

LIBRO vrr. 209

Porque podremos sobrepouer uno á otro estos dos
triángulos , como lo hemos explicado en el caso seme-
jante de los triángulos rectilineos. Véase prop. Vil , lib. L

PROPOSICIÓN XIV.

PROBLEMA.

5¿ dos triángulos situados en una misma esfera j.6 en
esferas iguales , son equiláteros entre sí , serán también
equiángulos , y los ángulos iguales estarán opuestos á la^
dos iguales.

Esto se comprehende evidentemente por la proposi-- Fíg. aap.
:ion XI , donde hemos visto que con tres lados dados
^B , AC , BC no se pueden formar mas que dos trián-
gulos ACB , ÁBD , cuyas partes sean diferentes en si*
:uacion , pero iguales en magnitud. Luego . dos triángul-
os equiláteros entre si son , ó absolutamente iguales , 6
I lo menos iguales por simetría : en ambos casos son
equiángulos , y los ángulos iguales están opuestos á la^
Los iguales,

PROPOSICIÓN XV.

TEOREMA.

r

En todo triángulo esférico isósceles tos ángulos opues^ - (
os á lados iguales son iguales ; y reciprocamente , si dos
ngulós de un triángulo esférico son iguales , el triángudo
era isjósceles^

1.^ Sea el lado AB=:AC; digo que será el ángu- Fíg. «31.
3C = B.

Porque si desde el vértice A. tiramos si . punto D ,
ledio de 1$ tase ,' el arco AD , los dos triángulos ABD,
LDC tendráA s|is tres,la4os respectivamente iguales ;^efr-.
3 es , AD común, BD=:DC.^ y A9 =:AC -lluego, /ge-

27

L

ItO GEOMETRÍA.

gun el teorema anterior ; estos triángulos tendrán h

ái^tos iguales » y será B=C

2." Sea el ángulo fi=:C : á^Q que tendtan
AC=AB.

Porque si el lado AB no es igual á AC , sea AB d
mayor de los dos. Tómese BO=AC , y tírese OC.

Los dos lados BO , BC son iguales á AC, BC;el
ángulo OBC ; comprehendído por los primeros, es ¡gd
al ángulo ACB , comprehendído por los segundos. Li-
go los dos triángulos BOC, ACB tíeoen las demás ;«-
• Pr. i«. *ss iguales * , y tenemos el áogulo OCB=:ABC¡ per^
por hipótesis el ángulo ABC = ACB : luego sería OCB:
ACB ) lo que es imposible : luego es absurdo el s-
puesto de ser AB desigual á AC : luego los lados Al
y AC , Opuestos á los ángulos iguales B y C, m
iguales.

Escolio, La misma demostración prueba que el ii-
gulo BAD = DAC, y que el ángulo BDA = ADC: lut^
go estos dos últimos son rectos. Luego el arco tiié
desde el vértice de un triángulo isósceles á la hasttif-
j>endicular á ella , y divide al ángulo del vértice ea ia
fortes iguales.

PROPOSICIÓN XVI.

Fig. Í31. - 5i m 00 triángulo esférico ABC el ángulo A íi jw
que el ángulo- B , el lado BC , opuesto al ángulo h i"
mayor que el lado AC , opuesto al ángulo B ; recf/xi^
mente , si el lado BC es mayor que AC , el ángulo A -''

•C - mayor que el ánguie B..

I." Sea el ángulo A>B.
Hágase el ángulo BAO=:B.

•PmS- Tendremos AÍ) = DB*; pero AIX+-DC eíi»!*
que AC : lu^o , substituyendo DB por AD , teo^
mosDíB-^DG ó BG>AC ' -

^

LIBRO VII. 2IX

2.® Sí suponemos BC> AC , digo que el ángulo BAG
será mayor que ABC.

Porque ^ si BAC fuese igual á ABC , tendríamos
BC=AC; y sí fuese BAC < ABC, se seguiría délo
que acabamos de demostrar que BC < AC , lo que re-«
pugna con lo supuesto* Luego el ángulo BAC es ma-«
yor que ABC-

PROPOSICIÓN XVII.

i

TEOREMA.

Si los dos lados AB j AC del triángulo esférico ABC pjg ^^,
son iguales á los otros dos DE , DF del triangulo DEF
trazado en una esfera. igual ^ y si al mismo tiempo el án^
pdo A es mayor que el ángudo D: digo que el ter^
:er lado BC del primer triángulo será mayor que el tercero
EF del segundo.

La demostración es absolutamente semejante á 1^
le la prop. x , lib. l.

PROPOSICIÓN XVIIL

TEOREMA.

Si dos triángulos trazados en una misma esfera y o en
esferas iguales ^ son equiángulos entre j/, serán también
equiláteros^

Sean A y B los dos triángulos dados , y Q sus
triángulos polares.

Ya que los triángulos A y B tienen sus ángulos
iguales j los polares P y Q tendrán ¡guales los lados ^ ; ♦ Pr. xo.
pero siendo los triángulos P y Q equiláteros entre si,
sigúese ^ que también son equiángulos; finalmente , de « p^ , .
ser iguales los ángulos en los triángulos P y Q^ deduci-
mos ^ que serán igualas ipsi lados en ios polares A y Q. « Pr. xo.
Luego los triángulos A y B son también, equiláteras. ,

• • •

1

212 GEOMETRÍA.

Podemos demostrar también esta proposicioa sin el
socorro de los triángulos polares.
Píg- ^34* ' ^^^ ^^^ 9 ^^^ ^^ triángulos equiángulos entre
sí, de modo que sea A=:I>, B=:E, C=F: digo que
tendremos el lado AB = DE , AC = DF , BC=EF.

Sobre la prolongación de los lados AB , AC , iim>
se AG = DE , y AH = DF. Tírese GH , y prolongúen-
se los arcos BC , GH hasta que se encuentren en I y K.

Los dos lados AG , AH son por construcción ¡gua-
les á los otros dos DE , DF ; el ángulo compreheodido
• Pr. 12. GAH = BAC = EDF : luego * los triángulos AGH,
DEF son iguales en todas sus partes , y tenemos el án-
gulo AGH = DEF=ABC, y el ángulo AHG=DFE=
ACB.

En los triángulos IBG , KBG y el lado BG es commi,

el ángulo IGB=GBK ; y una vez que IGBh-BGR y¿

dos rectos, lo mismo que GBK-+-IBG , sigúese que BGk

^ Px. 13. IBG. Luego los triángulos IBG , GBK son iguales^,;

tenemos IG=BK , y GK = IB,

Igualmente , por ser el ángulo AHG = ACB , i^
ciremos que los triángulos ICH , HCK tienen un \á
igual adyacente á dos ángulos iguales : luego son iguaifi,
y por consiguiente IH = CK, y HK=IC.

Ahora , si de las cantidades iguales BK, IG restamos
las iguales CK , IH , los residuos BC , GH serán igu**
les; Adextias y el ángub BCA=AHG, y el ángulo iK
=xAGH. Luego los triángulos ABC , AHG tienen unla^
do igual adyacente á dos ángulos iguales : luego son igu»
les. Pero el triángulo DEF es igual en todas sus patts
al triángulo AHG, luego lo es también al triángulo ABC
y tendremos AB=:iDE, AC=;DF, BC=íEF : luegiá
dos triángulos esféricos son equiángulos entre si , loa ^
• dos opue&tos á los ángulos iguales, son iguales.

Escolio^ Esta proposición* no se veri6ca en los triáis
gulos rectilíneos , en los quales de la igualdad de lo;> '^
gubs solo podemos' inferir la proporcionalidad de los it
dos.. Pero.es £icil conocer la diferencia que hay en e^i

« < *

« •

|,IBRO Vllr 21J

entre los triángulos rectilíneos y los esfériciosi. En la pro-*
poñcion actual , igualmente que en las xii , xm , xiv
XVII y donde hemos tratado de la comparación de los
triángulos ^ se ha dicho expresamente que estos-triángu-
los están trazados en una misma esfera ó en esferas igua- -
les. Pero los arcos semejantes son proporcionales á los
radios : luego , en esferas iguales , no pueden dos trián-
gulos ser semejantes sin ser iguales. No es pues de ad-
mirar que á la igualdad de los ángulos sea cOAsíguiente
la igualdad de los lados.

No sucederia asi si los triángulos estuviesen trazados
en esferas desiguales; en tal caso, siendo. iguales los án-
gulos 9 los triángulos serian semejantes , y los lados ho~
mólogos estarían en razón de los radios de las esferas.

PROPOSICIÓN XIX.

TEOREMA.

La suma de los ángulos de qualquier triángulo esférico
es menor que seis rectos , y mayor que dos.

Porque i.® cada ángulo de un triángulo esférico es
menor que dos rectos (véase el escolio siguiente) : luego
la suma de los tres ángulos es menor que seis rectos.

2.® La medida de cada ángulo de un triángulo esfé-
rico es igual á la semicircunferencia menos el lado cor^
.respondiente del triángulo polar ^ : luego la suma de los « p
tres ángulos tiene por medida tres semicircunferencias
menos la suma de los lados del triángulo polar. Pero es-
ta última suma es menor que una circunferencia ^ : lúe- * Pr. 4.
go y restándola de tres semicircunferencias , el residuo
. será mayor que una semicircunferencia , que es el valor
.de dos ángulQ$! rectos : luego 2.^ la suma de los tres án-
gulos de un .triángulo esférico es mayor que dos rectos.

Corolario I. La suma de los ángulos de un triángulo
esüérico no es constante cpmo la de los triángulos rectUí-^
neo^ yaria desdp d^^pgulos rectos^ ha^.seis^ sin po-

114 GEOMETRÍA.

der igualar ninguno de los dos limites. Asi es que, am
que conoaKcamos dos ángulos , no podemos bailar el n
lor del tercero.

Corolarío II. Un triángulo esférico puede tener dos i

tres ángulos rectos , y dos 6 tres ángulos obtusos.

*'* *3S- Si el triángulo ABC es bi^-rectángulo , esto es , ¿ tk<

ne doi ángulos rectos B y C , el vértice A será el po!i

• Pr. 6. de la base BC ^ ; y los lados AB , AC serán quadraots

Si también el ángulo A es recto , el triángulo AK
será tri-^ectángulo , sus ángulos serán todos rectos , y su
lados quadrantes. El triángulo tri-rectángulo , cabe ock
veces en la superficie de la esfera , como se ve ea I
figura 236 , suponiendo el arco MN igual á unqii»
drante.

Escolio. En todo lo que hemos dicho se ha supoeflif
según la definición vi, que los lados de los triángulos»
feríeos son siempre menores que la semicircunferendn
y en este caso , es consiguiente que los ángulos son siei»
pre menores que dos rectos. Porque si el lado AB es iz-
ñor que la semicircunferencia , lo mismo que AC , en
dos arcos deben prolongarse para encontrarse en D. Fí^
Fig. «14. ro loi dos ángulos ABC , CBD valen juntos dos áifl)
rectos : luego el ángulo ABC solo es menor que k
rectos.

Adviértase sin embargo que hay triángulos esféri<s
en los quales ciertos lados son mayores que la má
cunferencia , y ciertos ángulos mayores que dos rectc
Porque-, -si prolongamos el lado AC en una circunfeiQ
cia entera ACE , quitando de la semiesfera el trián^
ABC , el residuo , es un nuevo triángulo , que poáf^
señalar también por ABC , y cuyos lados son AB , i^
AEC. VeiTíOs pues que el lado AEC es mayor que Ií«
•micircunferencia AED ; pero al mismo tiempo el fc;
lo opuesto en B excede á dos rectos en la canridadQ^

Por lo demás , si hemos excluido de la definicio:ii^
triángulos cuyos lados y ángulos son tan grandes, tf
•que su resolución 6 la -determipacíón -de sus partes se ri

JLlBRO Vllr 21$

éuot síempce ala de los triángulos expresadas en lá defi^
Ilición* En. efecto» se echa de ver que si conocemos los
ángulos y lados del triángulo ABC , se conocerán sobre
la marcha los ángulos y lados del triángulo que es el
Ksto de l^r semiesfera»

PROPOSICIÓN XX.

TEOREMA»

• Él USO AMBNA es á la superficie de la esfera como el Fig. 135.
ángulo MAN de este uso es á quatro ángulos rectos , ó co-
tilo el a;rco MN , que mide este ángulo , es á la circun^
Jer encía. ,^

Supongamos que el arco MN esté con la circunfe-
rencia en una razón comensurable , por ezemplo en la
de $ á 48 ; dividiremos la circunferencia MNPQ en 48
partes iguales ; 5 de las quales contendrá MN ; ti-
rando luego por el polo A, y los puntos de división otros
tantos quartos de circunferencia, tendremos 48 trián-
iplos en la semiesfera AMNPQ , que serán todos igua-
les entre si , pues tendrán iguales todas sus partes,
^uego la esfera entera tendrá 96. de estos triángulos
parciales 9 y el uso AMBNA contendrá 10: luego el
uso es á la esfera, como 10 á 96^. ó como $ á 48, es-
to es , como el arco MN á la circunfereada^ ; ;, ,
^c Si el arco MN no es comknsurablis ¿on la. circimfe-
rencia, probaríamos por el mismo > raciocinio , de que
)f¿mos visto ya muchos exemplos^,- que el uso es siem-
pre á la esfera como el arco MN es á Ja circunferencia»
Corolario I. Doá^ üsoá están entre sí cdmojsus áor
galos respectivos; ,. ;.i. ^ i, - ^ r - - ^ ■ '

Corolario II. Ya hemos visto que la superficie total
de- la esfera és igual a ocho^ triái^los tri-rectángulos ^: * Pr. jp.
luego, si tómambá él área dfe uno de estos triángufóá
ppc unid^,4?i<p€4i4a;<J4 wpet^cíé)/íetjl^ esfifr^ >gstiará
representada por 8..^&tt^8eniadOi;^ iaisupetfieie'iM um

2l6 GEOMETRÍA.

cuyo ángulo es A , se expresará por 2 A (siempte
se haya valuado el ángulo A tomando el ángulo re^
to por unidad); porque tenemos lA: 8:: A: 4. Hay
pues aquí dos unidades distintas ; una para los án^
los , y es el ángulo recto ; otra para las superficies, ¡f
es el triángulo esférico tri-rectángolo y ó el que tii
todos sus ángulos rectos y y sus lados son quartos
circunferencia.

Escolio. La esquina esférica comprehendida por k
planos AMB , ANB es al sólido entero de la esfera con»
el ángulo A es á quatro ángulos rectos. Porque sieé
iguales los usos , las esquinas esféricas lo seráa también:
kiego dos esquinas esféricas están entre $i como los áü*
gulos formados por los planos que tos comprehendei |

PROPOSICIOl^ XXL

i

TEOREMA.

Dos triánguhs esféricos simétricos son iguales en it-
perficie.
Flg. a37. Sean ABC, DEF dos triángulos simétricos, estoe^
dos triángulos que tienen sus lados iguales , AB = D^j
AC = DF, BC = EF } pero que sin embargo, no podrái
sobreponerse : digo que la superficie ABC es igual i ^
superficie DEF.

Sea P el poto deL«circub menor que pasaria por b|
tres puntos A , B , C (i).
• Pr. 6. Tírense desde este punto los arcos iguales^ PA^I^t
PC; en el punto F hágase el ángulo DFQ = ACP,f
«rcO'FQscCP^ y tírense DQ^ £Q. •

Los lados DF, FQ son iguales á AC, CP, elio-

» ... , ■ ■ / • .

(i) El circulo que pw por Ips tres puntos A, B, C,óf
está circunscrito al triángulo ABC, no puede ser inas que unce
lo menor de la esfera; porque si' fuese un circulo máximO;'^
tres lados A'B, BC,- AC estarían én un hiismo plano, y el ^
guio ABC 'jfte4bciqalria.¿ ^iM^.ik shs'ükIos..

LIBRO vir. %17

guio DFQ = ACP : luego los dos triángulos DFQ y
ACP son iguales en todas sus partes*: luego el lado DQ= f Pf. m,
AP, y el ángulo DQF = APC.

En los triángulos propuestos DFE, ABC los ángu-
los DFE y ACB , opuestos á ios ladas iguales DE y AB^
son ¡guales*; si quitamos lo» ángulos DFQ, ACP, igua- #Pr. ix^
les por construcción , quedará el ángulo QFE = PCB:
iden>as , los lados QF y FE son iguales á PC y CB : lue-
go los dos triángulos FQE , CPB son iguales en todas sus
partes, y por consiguiente el lado QE=:PB, y el ángu-
lo FQE = CPB.

Si observamos ahora que los triángulos DFQ , ACP,
¡jue tienen sus lados respectivamente iguales, son al mis-
no tiempo isósceles, veremos que pueden sobreponerse
ino á otro. Porque , sobreponiendo PA á su igual QF,
ú lado PC caerá sobre su igual QD, y así los dos trián-
gulos quedarán confundidos en uno solo ; luego son igua-
es , y la superficie DQF = APC. Por una razón seme-
jante , la superficie FQE = CPB , y la superficie DQE =
APB : luego tenemos DQF -h FQE — DQE = APC -+-
CPB — APB , ó DFE = ABC : luego los dos triángulo*
simétricos ABC , DEF son iguales en superficie.

Escolio» Los polos P y Q podrían estar dentro de los
triángulos ABC, DEF; entonces tendríamos que sumar
los tres triángufos DQF , FQE , DQE para componer
el triángulo DEF ; y del mismo modo , seria preciso su-
mar, los tres triángulos APC , CPB, APB para componer
el triángulo ABC ; por lo demás , la demostración y la
conclusión serian siempre las mismas,

PROPOSICIÓN XXII,

TEOREMA.

Si dos circuios máximos AOB , COD se cortan arU'^ ip¡g. ^ jg^
tr ariamente en el hemisferio AQCBD, la suma de los trián^

2S

L

ll8 GEOMETRÍA.

gulos Opuestos AOC , BOD será igual al uio cayo m.

guio es BOD.

Porque, prolongando los arcos OB, OD en clono
betnisferio hasta que se encuentren en N, OBN será mu
semicircunferencia , lo mi&mo que AOfi; quitando de ant
bas partes OB , tendremos BN = AO. Por una raion ^
mejante es DN =C0 , y BD = AC : luego los dos trián-
gulos AOC , BDN tienen los tres lados iguales. Ademai,
por su posición son simétricos uno á otro: luego son ¡mu-
> Pr. ai. les en superficie *, y la suma de los triángulos AOC, bOB
es equivalente al uso OBNDO, cuyo ángulo es BOD.
Escolio. Se echa de ver también que las dos pirámi-
des esféricas , cuyas bases son los triángulos AOC, fiOI^
equivalen juntas á la esquina esférica , cuyo ánié
es BOD.

PROPOSICIÓN XXIIL

La superficie de un triángulo esférico qualquiero nh
diferencia que va del valor de sus tres ángulos « (¡cj #■
gídos rectos.
Vip agp. Sea ABC el triángulo propuesto.

'Prolongúense sus lados hasta que encuentren al dr-
culo máximo DEFG, tirado arbitrariamente fuera id
triángulo:

Según el teorema anterior, los dos triángulos AK
AGH equivalen juntos al uso, cuyo ángulo es A, yp
• Pr. ao. tiene por medida lA*; así tendremos ADE -h AGIi=
aAjpor una razón semejante, EGFh-BID = 23,011
-I- CFE = iC. Fero la suma de estos seis triángulos ei-
cede á la semiesfera en dos veces el triángulo ABC,!
el valor de la Eemiesfera es 4 : luego el duplo del m-
.^/ , guio ABC es igual á lA -t- 2B -t- iC — 4, y por coi-
siguiente ABC = A-t-B-t-C— a: luego un triánguli

V

LIBRO VIL 219

esférico tiene por medida la suma de sus ángulos menos
dos rectos.

Corolario I. Según sea el número de ángulos rectos
q«ie haya en esta medida, así habrá en el triángulo pro^
puesta triángulos tri-rectángulos , ú octavas partes de es^
fera que son la unidad de superficie^. Por exemplo, si* Pr. ao.
cada uno de los ángulos vale | de un recto, los tres án-
gulos valdrán entonces 4 ángulos rectos , y el triángulo
propuesto estará representado por 4— r 2 ó 2: luego será
^al á dos triángulos tri-rectángulos, ó á la (juarta par-
te de la superficie de la esfera.

Corolario II. El triángulo esférico ABC es equivalen*

te al uso , cuyo ángulo es _.___, — i í ¿el mismd

2

modo, la pirámide esférica, cuya base es ABC, equi«^

vale la esquina esférica , cuyo ángulo es .^i.

2

Escolio. Al tiempo que se compara el triángulo esféri-
co ABC con el triángulo tri-rectángulo , la pirámide es-
férica, que tiene por base ABC, se compara co{i la pi-
rámide tri-rectángula, y resulta la misma proporción. El
ángulo sólido del vértice de la pirámide se compara tam-
bién con el ángulo sólido del vértice ¿e la pirámide tri^
rectángula; en efecto, la comparación se establece por
la coincidencia de las partes. Pero , coincidiendo las ba-
^es de las pirámides, es evidente que tanibi^n las pirá-
mides coincidirán, igualmente que los ángulos de su vér-
tice. De aquí resultan muchas conseqü^ncias.

I .^ I>os> pirámides triangulares esféricas están entre
ú como sus bases ; y , pueato que una pirámide polígona
puede dividirse en muchas pirámides triangulares, sir
guese quedos pirlámides esféricas qualesquiera están en-
tre si como los polígonos que les sirven de bases^

2.a Los ángulos sólidos del vértice de las mismas
pirámides están igualmente en la proporción de las ba-^
ses: luego, para comparar dos ángulos sólidos quales-
quiera , es preciso colocar su& vértices en el centro de

• • •

220 G£OM£TRÍA.

dos esferas iguales , y estos ángulos sólidos están entre
si como los polígonos esféricos interceptados entre sus
planos ó caras.

El ángulo del vértice de la pirámide tri-rectángula
está formado por tres planos perpendiculares entre si;
este ángulo, que podemos llamar ángulo sólido recto, ^
muy á propósito para servir de unidad de medida á los
demás ángulos sólidas. Esto sentado , el mismo numen)
que expresa el área del poligpno esférico , expresará la
medida del ángulo sólido correspondiente. Por exemplo,
si el área del polígono e^^férico es | , esto es, si es los | del
triángulo tri-rectángulo , el ángulo sólido correspondieO'
te será también ^ del ángulo sólido recto.

I

^ PROPOSICIÓN XXIV.

TEOREMA.

Fia 140 ^ superficie de un poligono esférico tiene por md
la suma de sus ángulos 5 menos el producto de dos ón^é
rectos por el número de los lados del polígono menos doi

Desde un mismo vértice A tírense á todos los demás
las diagonales AC , AD.

El polígono ABCDE quedará dividido en tantoi
triángulos menos dos como lados tiene. Pero la supér-
ele de cada triángulo es la suma de sus ángulos menos
dos rectos , y es evidente qtie la suma de todos los án-
gulos de ios triángulos es igual á la suma de los ánguloi
del polígono : luego la superficie del polígono es 'ij^
'* á la suma de sus ángulos menos tantas veces dos recti^

como lados tiene menos dos.

Escolio. Sea s la suma de los ángulos de un polígono
esférico > n el numero de sus lados , suponiendo eláif
lo recto = I ) la superficie del polígono tendrá por m^
ásí s — 2 (n — 2), ó i— 2nH-'4.

LIBRO VH. I2f

PROPOSICIÓN XXV.

TEOREMA.

Sea S el numero de ángulos sólidos de un poliedro , H
el número de sus caras , A el de sus aristas : digo que ten^
aremos siempre S -h H = A-»- 2.

Tómese dentro del poliedro un punto, desde el qual
tiraremos líneas rectas á los vértices de todos sus ángu-
los. Imaginemos después trazada desde el mismo punto,
como centro, una superficie esférica, que esté cortada
por tudas estas lineas en otros tantos puntos. Únanse es-
tos puntos con arcos de círculos máximos de modo que
formen en la superficie de la esfera polígonos correspon-
dientes é iguales en numero á las caras del poliedro.

Sea ABCDE imo de estos polígonos , y sea fi el mí- Fig. «40.
mero de sus lados j su superficie será s — 2 fi -f- 4 , sien-
do s la suma de los ángulos A , B, C, D, £. Si valuamos
de este modo la superficie de cada uno de los demás po^
ligónos • esféricos ^ y los sumamos todos juntos , deducire-
mos que la suma', ó la superficie de la esfera represen-
tada por 8, es igual á la suma de todos los ángulos de
los polígonos menos el duplo del número de sus lados
mas 4, tomado tantas veces quantas caras hay. Pero como
todos lo» ángulos formados en un mismo punto A valen
quatro rectos , la suma de todos los ángulos de los polí-
gonos es igual á 4 tomado tantas veces quantos ángulos
sólidos hay : luego es igual á 4S. Ademas el duplo del
número de los lados AB, BC , CD , &c. es igual al qua-
iruplo del número de las aristas, ó = 4A , pues la misma
arista sirve de lado á dos caras : luego tendremos 8 = 4$
— 4A-4- 4H ; ó, sacando la quarta parte de ambos miem-
bros, 2 = S — A -+- H: luego S-+- H = A -k 2.

Corolario. Sigúese de aquí que la suma de los ángulos
•danos , que fortvian los ungidos sólidos de un poliedro , es
gual á tantas veces quatro ángulos rectos como unidades

222 GEOMETRÍA.

hay en S — 2 9 siendo S el numero de ángvlos solidos ái
poliedro.

Porque , si consideramos una cara cuyo número de
lados es fi, la suma de sus ángulos será in — 4 ángulo;
• *i. 1. rectos*. Pero la suma de todos los 2», ó el duplo dd
número de los lados de todas las caras, = 4A , y 4 to-
mado tantas veces como caras hay = 4H : luego la suna
de los ángulos de todas las caras = 4A — 4H. Pero, $^
gun el teorema que acabamos de demostrar , tenetnoi
A — H = S — 2,y por consiguiente 4 A — 4H=: 4 (S-i)
luego la suma de los ángulos planos , &c.

PROPOSICIÓN XXVI.

TEOREMA.

Lám. 13. • Entre todos los triángulos esféricos formados con

^* 'S- lados dados CB y CA , y un tercero arbitrario^ aqéü

mayor ABC , cuyo ángulo C , comprehendido por los lé>

•dados ^ es igual á la suma de los otros dos ángulos A j i'

Prolongúense los dos lados AC , AB kasta que se en-
cuentren en D.

Tendremos un triángulo esférico BCD, en el cpi
el ángulo DBC será también igual á la suma de los otros
dos BDC, BCD; porque siendo BCD -h BCA iguales á
dos rectos, lo mismo qué CBA ^t- CBD , tenemos BCD^
.BCA == CBA -f- CBD; Añadiendo á ambas partes BDfc
B AC , tendremos BCD ^ BCA ^ BDC = CBA -f- Oí
H- BAC. Pero , por suposición , BCA = CBA -*- tó
luego CBD = BCD h- BDC.

Tírese BI que haga «l'»ángulo CBI = BCD, y ¡w
consiguiente IBD = BDC. Los dos triángulos IBC , IBI
serán isósceles , y tendremos IC = IB = ID. Luego «
punto 1 9 medio de BC , equidista de los tres puntos B
C, D; por una razón semejante, el punto O, medio d
ABy equidistará de los tres puntos A y B, C.

LIBRO VII. 215

Sea ahora GA^ = CA , y el ángulo BCA^> BCA, Si
tiramos A^B , y prolongamos los arcos A^C , A'B hasta
que se encuentren en D' , el arco DíGA^ será *> una se-
micircunferencia lo mismo que DCA : luego, una vez
que CA'í=CA^ tendremos también Ciy=iCD. Pero en el ^
triángulo CID' , tenemos CI -h Iiy > CD' : luego ID' >
CD — Cl , ó Iiy > ID.

Bn el triángulo isósceles CIB, diyídase el ángulo del
vértice en dos partes iguales con el arco EIF , que será
perpendicular en el medio de BC. Si tomamos un punto>
L entre I y £, la distancia BL , igual á LC, será me-
nor que BI ; porque se puede demostrar , como en la
prop. XIX, lib. I, que £L -4- LC < BI -4- IC : luego to-
mando la mitad de ambas partes tendremos EL<BL Pe-
ro en el triángulo lyLC tenemos D'L > D'C — CL , y
con mayor razón D'L > DC — CI , 6 D'L > DI , ó DL >
BI , ó D'L >BL. Luego si buscamos en el arco EIF un
punto que equidiste de los tres B, C, D', e^te punto de-<
beria estar; precisamente en la prolongación de El hacia
F. SeaP el punto buscado, de modo que tengamos DI' ==
Br = CI'. Los triángulos FCB^, FCD', FBD' son isós-,
celes , y por consiguiente tienen sus ángulos iguales. FBC
=3 FCB , FBD' = FD'B , FCD' = I'D'C Pero los. ángulos
P'BC -t- CBA' valen dos rectos , lo mismo que D'CB -h
BCA luego .; : i

D'BIl-h FBC -H CBA' =: 2 , í
BCF — FCD' r4. BCA' n= 1: -^ m
Sumando éstas dos- equaciónes, y obsérvandi* que FBC =5
BCF , y U'BF'-. I'CD' = BD1' — FD^O =:: CD'B =
CA'B , tendremos. 2l'BC h- CA^B -í- GBA' -f- ECA' = 4. , '

Luego CA'B ^ CBA' -f-BGA/*^ Í7(medida[ del área
del triángulo A'BC) =;/a:-^ 2l'BG;*.de modo '4ue tene-
mos áreiir A'BG = j; --^ .2 ángul/i .VhCji del misnK> modo
en el trianguló ABC, tendríamos ::^r¿fl ABC == 2 — 2 ^n-
gtUe IBC. Pero se ha demostrado que el ángulo FBC es
mayor qué IBCcluego el área.A'BG es menor quieA^BC. • ,
■.i 'La núsnia demofitracbn y cbnclusloii^e verifícari^ pig. j.;*

224 GEOMETRÍA.

^ si 9 tomando siempre el arco CA^=:CA, hicie^^emos el

án^o BCA' < BCA : luego ABC es el triángulo mayor
entre todos los que tienen dos lados dados y el tercero

^ arbitrario.

Vig. 041. Es€olio I. Ei triángiilo ABC , el mayor entre todos

' los que tienen dos lados dados CA , CB , puede ioscri-

^ birse en un semicírculo , cuya cuerda del tercer lado

AB será el diámetro $ porque siendo O el medio de AB^

, hemos visto que las distancias OC y OB son iguales : bt-

go la circunferencia del circulo menor , descrita de^de
el punto O , como polo , y con el intervalo OB , pasará
por los tres puntos A , B , C. Ademas , la línea rects

r BA es un diámetro del círculo menor ; porque ei centro,

que debe estar al mismo tiempo en d plano del circulo

• Pr I. ™^QOi^ y en el del arco del circulo iifiáxtmo * BOA , es-
Cor. 4. tara indispensablemente en la intersección de estos dos

planos , que es la recta BA ^ y asi BA será un diá-
metro.

n. En el triángulo ABC , siendo el ángulo C \^

á la suma de los otros dos A y B , sigúese que la suioa

de estos tres ángulos es dupla del ángulo C. Pero esta

• Pr 10. ^^^^ ^^ siemípre mayor que dos rectos ^ : luego el ángií-

lo C es mayor que un recto.

III. Si prolongamos los lados CB , CA hasta que «
encuentren en £, el triángulo BAE será igual á laqu^'
ta parte de la superficie de la esfera. Porque ei ángulo E
= C = ABC-hCAB : luego los tres ángulos del triángulo
BAE equivalen á los quatro ABC , ABE , CAB , BM
cuya suma vale quatro rectos :^ luego la superficie <^

# Pr. a j. triángulo BAE * =4— 2 =: a , que es la quarta paí^

de la superficie de la esfera.

IV. No se verificaña que foesc el máximo si la sm
de los dos lados dados CAy CB fuese igual ó mayor quel^
semicircunferencia de un círculo máximo. Porque ya f
el triángulo ABC debe ea^r inscrito en un semicírcjlo
de la esfera, es preciso que la suma de losólos lados C^i

I C6.j$ea.me0orjque.la.sea(]t£ircun£ereacia de un círculo di

ili^ ' I I ItillH" III ■ I

•LIBRO vir. 225

la'esfera , y por con-iiguiente menor que la semicircun-
ferencia de un circulo máximo.

La razón de no haber máximo quando la suma de
los dos hdas dados^ és mayor que la semicircunferencia
de un círculo máximo, 'Cs porque entonces el triángulo
aumenta cada vez mas á medida que es mayor el án-*
guio comprehendido por los lados dados. Finalmente,
quando este ángulo ^ea igual á dos rectos , los tres lai-
dos estarán en un mismo plano , y formarán una cir-
cunferencia' eniei?a ; el triángulo esférico será pues igual
í la semiesfera , pero dexará entonces de. ser triángula

PROPOSICIÓN XXVII. '

TEOREMA.

' »

De todos los triángulos esféricos formados con tm lado Fig. 142.
y perímetro dados , aquel es mayqr que tiene iguales sus
dos lados arbitrarios.

Sea AB el lado dado coman á los dos triángulos ACB
y ADB , y sea AC+CB = AI>-f-DB : digo que el trián-
gulo isósceles ACB , en el qual AC = CB , es mayor que
el no — isó^oele^ ADB. • ^

Porque teniendo estos triángulos la parte común AOB,
basta demostrar que el triángulo BOD es menor que
AOC El ángulo CB A) igual *á CAB; es mayor qué
OAB ; así el lado AO es mayor que OB * ; tóniese Oí ♦ Pr. 16.
= OB, hágk«e OK»OD> y tiiese. KI ; fel triáiigulo
OKI será igu^. á DOB *. Si se niega ahora que el * ^^* **•
triángulo DOB, ó su igual KOL, es me^or.que OAC,
será preciso que sea igual ó mayor. En ambos casos , ya
que el punto I está entre A y O , el punto K deberá
caer .sobre la prolongación de OC , porque á no ser así
el triángulo OKI estarla dentro del triángulo CAO , y
seria por consiguiente menor. Esto sentado , siendo CA
la menor distancia de C á A , te'nemos CK-f-KI-f-IA>
CA. Pero CK=OD— CO, AI=AO— OB, W = BD:

29

aló GEOMETRÍA.

luego OD—CO-hAO — OBh-BD>CA, yreducien.
do, AD— CB^BD>CA , ó ADh-.BD>AC4-CB.
Pero esta desigualdad' repugna con la suposición AD+
BD=AC-4*CB : luego el punto K no puede caer sobre
la prolongación de OC , luego cae entre O y C ^ y poc
consiguiente el triángulo KOI , ó su igual ODB , es ut
ñor que ACÓ : luego el triángulo isósceles ACB es la^
yor que ADB de la mismfi base y perímetro , pero ^k
no es isósceles.

Escolio. Ehtas últimas proposiciones son. análogas á i
y III del apéndice del libro iv ; asi podemos sacar res-
pecto á los polígonos e2>f¿ricos las conseqiiencias que «
verifican en los rectilíneos. Las principales son :

I.® De todos los polígonos esféricos isoperímetros )¿
un mismo número de lados , el equilátero es el mayor.

2.® De todos los polígonos esféricos formados cmléi
dados y um arbitrario , el mayor es el que puede inscrikin
en un semicírculo , cuyo diámetro sea la cuerda del lá
no determinado. Para que sea posible la resolución , q
preciso que la suma de los lados dados sea menor qis
una semicircunferencia de circulo má^dmo.

3.** Entre los polígonos esféricos formados con lak
dados , el mayor es el que puede inscribirse en un árté
de la esfera.

4.® El mayor polígono esférico entre los que tiem»
mismo perirvhetro é igual número de lados , es el que tim
I sus lados y ángulos iguales.

Todas las proposiciones de máximo pertenecientes i
los polígonos esféricos se aplican á los ángulos sólidos i
que estos polígonos son medida.

IIBKO Vil. 227

■■íT m )ii

APÉNDICE Á LOS LIBROS VÍ y VII.

LOS POLIEDROS REGULARE;^

PROPOSICIÓN PRIMERA»

TEOREMA.

LJolo hay cinco poliedros regulares» « '

Porque* hemos, dado la difinícion de poliedros regu^

lares á aquellos, cuyas caras son polígonos regulares

,^uales , y cuyos ángulos sólidos son iguales entre sí.

%stas condiciones solo pueden verificarse en un corto

número de casos«

1° Si las caras son triángulos equiláteros , pode-*
mos formar cada ángulo • sólido del poliedro con tres, ^ . ;
quatro ó cinco ángulos de estos triángulos ; de aquí sé
originan tres cuerpos regulares, que son el tetraedro,
el octaedro y el icosaedro. No se pueden formar mas
con triángulos equiláteros , porque seis ángulos de es^
tos triángulos valen quatro rectos , y no pueden formar
ángulo sólido. ^ , ♦ ai. j.

2.^ Si las caras son quadrados, podemos juntar sus
ángulos de tres en tres ^ y resulta el cubo ó exáedro.

Quatro ángulos de quadrado valen quatro rectos , y
no pueden formar ángulo solido.

3.^ Finalmente, si las caras son pentágonos regula-*

228 GZOMETRÍA.

res , podremos tambieo unir sus ángulos de tres en ttíi,
y resultará el dodecaedro regular.

No se puede pasar adelante , porque tres ángéi
de exágonos regulares valen quatro rectos ^ y tees ¡t
optágonos mas todavía.

Luego solo puede haber cinco poliedros regulara
tres formados con triángulos equiláteros , uno con qiu-
drados, y uno con pentágonos.

Escolio. Vamos á probar en la proposición sigmeE
que estos cinco poliedros ejíistea realmente, y ijue^i
pueden determinar todas sus dúnenslones couocleá
una de sus caras.

PROPOSICIÓN n.

Dada una de las caras de un poliedro regular, i é
íu lado , construir el poliedrv.

£ste problema nos presenta otros doce que Tanni
resolver sucesivamente;

Construcción del tetraedro.

Fig. 343. , Sea ABC el triángula equilátero , que debe seriu
de las caras del tetraedro.

En el punto O, centro de este triángulo, levánteí
al plano ABC la perpendicular OS ; termínese esUp"
peadicular en el punto S ; de modo que AS = AB;»-
rense SB,SC, y la pirámide SABC sera el tetraJ»
que buscamos.

Parque , una vez que las distancias OA , OB, ^
soa iguales , las obliquas SA , SB , SC equidistan df i"
perpendicular SO , y son iguales. Una de ellas SA;
AB: luego las quatro caras de la pirámide SABC«
triángulos iguales id dado ABC. Ademas los kogi»

•v

LIBItO'VII.- 219

sólidos de esta pirámide son iguales entre si., pues ca-
da uno está formado por tres ángulos planos iguales: lue-
go esta pirámide es* uja tetraedro jregular.

, ^,s Construcción dd exoQdfo.. ..

Sea ABCD un quadrado dado.

Sobre la.base..ABCD comtrúyase un prisma recto, cut Fig. 144*
ya altuca AE.sea igual al lado AB. ' .

Claro está que 1^ caras del prisma soh quadrado&*
iguales , y que„sus ángulos sólidos son ¡guales entre sí,
como que están formados cada uno por tres ángulos rec-
tos : luego este pri^n^a .es un exáedro regular ó cubo. .

C(Wf f wteíb« dd Qctaedra, ')

Sea AMB un triángulo equilátero «dada. 9\^.'i^i:

Sobre el lado AB trácese el quadrado ABCD en el
punto O , centro de este quadrado i levántese á f^ix pla-
no la perpendicular TS, teamnadg pea: una y otra píij*-.
te en Ty S , de .modoi^c OT=:íOS¿=:AQ 5 tírense
luego SA, SB, TA y &c.-, tendremos iiñ sólido /SABCDT
compuesto de áon pirámides quadrangülares SABCD,
rABCD , sobrepuestas , una á otra por su base común
ABCD, yigfete sólido será el octaedro regular que pedimos^

En efecta, el triángulo AOS, es rejctángulo en O,
lo mi^no que el triángulo AOD ; los lados AO, OS,«
OD son iguales : luego los triángulos lo son también , yi
tenemos AS = AD. Del mismo modo se demostrará que
todos los triángulos rectángulos AOT, BOS, COT, &c.
ion iguales al triángulo AOD : luego todos los lados AB,.
AS, AT , &c. son iguales entre sí , y por consiguiente
el sólido SABCDT está* formado por ocho triángulos igua*:
les al equilátero dado ABM. Digo ademas qub los ángu^*
los sólidos del poliedro son iguales unos á otros , y. - gn
ú ángulo S=B. \

Porque se echa de ver que Iqí triángulos SAC y.

SjO GSOHBTRÍA.

DAC soa iguales , y que por consiguiente el ángulo ASC
es recto : luego la figura SATC es un quadi^o igual
á ABCD. Pero sí comparamos la pirámide BASCT á la
pirámide SABCD , la base ASCT de la primera puede
sobreponerse á la base ABCD de la segunda ; entonces
siendo el punto O un centro común , la altura OB de la
primara coincidirá con la altura OS de la segunda , y Lu
dos [Ñrámides se contundirán en una sola : luego el án-
gulo sólido S es igual al ángulo sondo B: luego el sóU-
do SAfiCDT es un octaedro regular.

Esc(^h. Si tres rectas iguales AC , BD , ST son per-
pendiculares entre si y se cortan por mitad , sus eztre»
mos serán los vértices de un octaedro regular.

Construcción del dodecaedro.

Ftf. S4& Sea ABCDE un pentágono regular dado; sean ABP,
CBP dos ángulos planos iguales al ángulo ABC

Con estos ángulos planos fórmese el ángi^o sólido
B , y determínese por la -preposición xxrv , lib. v , la
mutua inclinación de dos de'qstos f^anoí^ á la qual llama-
ré K. Fórmense del mismo modo ea toí pan»>s C , D, i
£, A ángulos sólidos-iguales al ángulo sólido B, y sitúa-
dos semejamemetue. £1 plano CBP será el mismo que
BCG , pues ambos tienen una misma cantidad K de
inclinación sf^re el plano Affií^. X^tego podemos trazar
en el plano PBCG el pentágono BCGFP igual al pen-
tágono ABCDE. Si hacemos igual operación en cada uno
de los otros planos CDI , D£L , &c. , tendremos uoi
superficie convexa PFGH j &c. compuesta de seis peO'
tágonos regulares iguales , »enda una misma la cauíH
dad de inclinación K de cada uno sobre su adyacente.
Sea pfgh, &C. otra superficie igual á PFGH, &c ^ digo
que se pueden unir estas dos superficies de modo que m
formen mas que una sola superficie convela cootimu.
£n efecto, el ángulo of/, por exemplo, puede for-
mar, unido á los otros dos OPB, BPF, un ángulo

I^IBRO VII. 231

sólido P igual' á B; sin que en esta unión se altere
la inclinación d^ los planos BPF , BPO , pues esta in-
clinación es cabalmente la precisa para la formación del
ángub sólido. Pero . al mismo tiempo que se forma el
íiígufo sólido, P , . el lado pf se sobrepondrá á su igual
PF , y en el pirnto F estarán reunidos . tres ángulos pla^
aos PFG , pfe , efg , que formarán un ángulo sólido
igual á cada uno de los ya formados. Esta uoion se yeri^
icará sin alterar el estado del ángulo P , ni el de la
íuperficie efgh , ^« ; ponqué los planos PFG, efp^ reu-
lidos ya en P ^ tienen entré si la inclioacion necesar-
ia K , igualmente que. los planos efg^ tfp. Contitiuan-
lo así sucesivamente vemos que las dos superficies se
ijustarán mútpameate icoa ^on otra : para no formar
Has que- una sola superficie continua y reentrante ea
i mÍ!»ma r esta ' superficie será la de un dodecaedro
egular , pues estará compuesta de doce pentágonos re-
blares iguales > y todos sus ángulos sólidos son iguales
utre si. L

I
* * \

Construcción del icosaedro, • -

Sea: ABC una de sus caras. Es preciso desde luego Flg. 447.
irmar im ángulo sólido con cinco planos iguales á ABC,
que cada uno esté. igualmente inclinado sob^e su ad<*
acente. Para e^to, sobréis! ladoBfC^, igual á BC , fór^
lese el pentágono regular WQ^Wl^jy-^ en el centro de
icho pentágono levántese á su plano una perpendicu-
ir , que terminará en' A', de modo que WN = B^C^;
rense A'C^, A^H', K% A^D^, y el ángulo sólido A^,
>rmado por los cinco planos' ft'A^C^, C'^A^H'', &c. , se-
í el ángulo sólido que buscamos. Porque las obliquas
\ÍW^ > Aí€<^ &^.>$on iguale^ y una de ellas A''B'' es igual
I lado WOi luego todos los triángulos WAfO, OA'W^ &c.
^a iguales entres! y al dado ABC.

Se echa rde.v^r {K)r olira parte que los ^anos B^'A^'C^,
^Afü^ Sa:^ estáa igLialment<tvincli{iado5:'C9daí «no sobre

232 GEOMETRÍA.

SU adyacente ; porque los ángulos sélidos B^, y O^ 8rc,
son iguales entre si',, por estar f<>rinados cada uoa de
tí\os con dos ángulos de triángulos eqúitáte ros , y uoo
de pentágono regulan Llamemos' K la 'inclinación de los
dos planos en que están los ángulos , . I'á quái podemos
determinar por Ja proposición xxiv, Ub. v; el ángulo
K será al mismo tiempo la inclinación de cada uno de
los planos que componen el ángulo sólido A^ sobre $u
adyacente. . ' <-• 1 i.

£<ito sentado y si ea Ibs puntas . A-^ B) C formamos
ángulos sólidos ' iguales k A^ j tendceitíos una superficie
convexa DEFG, && eomptjiesta de diet >tríángulos equi-
láteros y cada uno de los quales estará inclinado sobre sa
adyacente la cantidad K ; y tos ác^^sdos D ^ £ , F , &c.
de su* perímetro reunirán alternativamente tres y dos án*
gulos.de triángulos equiláteros. Imaginemos otra superfi-
cie igual á DEFG , &c ; estas dos superficies podrán
adaptarse mutuamente, uniendo cada- ángulo triple déla
una con un ángulo duplo de la otra; y como los planos
de estos ángulos tienen ya entre sí una inclinación K ne-
cesaria para formar im ángulo sólido quintuplo igual al
ángulo A , esta unión no alterará en cosa al^na el esta^
do d^ cada superficie en particular , y las dos juntas for-
marán una sola superficie continua compuesta de veinte
triáqgulQs^quiláteros.'Esta superficie seca la .deL icosae-
dro regular > piies.'adeniás tódos<las ángulos olidos son
iguales.* * ' \.\ ,í • :o' ' .t :

):.'• •' . i •.(•i

RROPOSICION IIL

* i .* • * i

. \J • P&OBCEÍf^.>: r . ;ot .

i Hallar la inclinación de dos /caras ^adyacentes de un
poliedro regular^ .: j' . •'^' . .:;;: -.

Esta inolinacion se deduce ibmediatanEietite de la coa&«
truccion q^e/acabamos jdei4ar de los ciaco:poUedros re-
g^lar^s^ á bi.qual ¿i\pfecisaiiiudÍ£'l^i^cbposídoa xxi^^

LIBRO VII. 233

libro V , por la quai , dados los tres ángulos planos que
forman un ángulo solidó, se determina el ángulo que
forman estos dos planos entre sí.

En el tetraedro. Cada ángulo sólido está formado F¡g. a43-
por tres ángulos de triángulos equiláteros : luego es pre-
ciso buscar por el problema citado el ángulo que dos de
estos planoi forman entre sí , que será la inclinación de
dos caras adyacentes del tetraedro.

En el exáedro. £1 ángulo de dos caras adyacentes es Fíg. 144.
un ángulo recto.

En el octaedro. Fórmese un ángulo sólido con dos án- ^^- *4<-
gulos de triángulos equiláteros y un ángulo recto ; la in^
clinacion de los dos planos en que están los ángulos de los
triángulos será la de dos caras adyacentes del octaedro.

En el dodecaedro. Cada ángulo sólido está formado Fíg. «46.
con tres ángulos de pentágonos regulares ; así la inclina-
ción de los planos de dos de estos ángulos será la de dos
caras adyacentes del dodecaedro.

En el icosaedro. Fórmese un ángulo sólido con dos Fig. 147.
ángulos de triángulos equiláteros y uno de pentágono re-
gular; la inclinación de los dos planos en que están los
ángulos de los triángulos será la de dos caras adyacentes
del icosaedro.

PROPOSICIÓN IV.

PROBLEMA.

Dado el lado de un poliedro regular , hallar el radio
de la esfera inscrita y el de la esfera circunscrita al po-
liedro.

Es preciso demostrar primeramente que todo polie-»
dro regular puede inscribirse y circunscribirse á la esfera.

Sea AB el lado común á las dos caras adyacentes, pi» 24%.
sean C y E los centros de estas dos caras , y CD , ED
la^ perpendiculares baxadas desde estos centros al lado
común AB, las.quales caerían en el punto. D, mitad de

dicho lado. ■■'.'-.

30 ^

334 GEOMETRÍA.

Las dos perpendiculares CD, DE forman entre si
un ángulo conocido , que es igual á la ioclioacion de dos
caras adyacentes determinada por el problema anterior.
Si en el plano CDE, perpendicular á AB, tiramos sobre
CD y ED las perpendiculares índefioidas CO y £0 , que
se encuentran en O: digo que el punto O será el centro
de la esfera inscrita y el de la circunscrita, siendo el ra-
dio de la primera OC , y OA el de la segunda.

En efecto , ya que los apotemas CD , DE son igua-
les , y la hipotenusa DO común , el triángulo rectángu-
* i8. t. lo ODE *, y las perpendiculares OC y OE son iguales.
Pero siendo AB perpendicular al plano CDE , el plano

• 17,5. ABC es perpendicular á CDE*, ó CDE á ABC; por

otra parte CO, en el plano CDE, es perpendicular á
CD , común intersección de los planos CDE , ABC:

• 18, 5. luego CO* es perpendicular al plano ABC. Por la mis-

ma razón £0 es perpendicular al plano ABE : luego las
dos perpendiculares CO, EO, tiradas á los planos de dos
caras adyacentes por los centros de dichas caras , se en-
cuentran en un mismo pumo O, y son ¡guales. Supou-
gamos ahora que ABC y ABE representan otras dos ca-
ras adyacentes qualesquiera , el apotema CD permane-
cerá siempre de la misma magnitud , igualmente que el
ángulo CDO , mitad de CDE : luego el triángulo rectán-
gulo CDO y su lado CO serán iguales en todas Jas ca-
ras del poliedro : luego, si desde el punto O, como cea-
tro , y con el radio OC, trazamos una esfera, esta esfe-
ra pasará por todos los centros de las caras del poliedro
( porque los planos ABC, ABE serán perpendiculares ea
el extremo del radio ) , y la esfera estará inscrita eu el
poliedro, ó el poliedro circunscrito á la esfera.

Tírense OA y OBj por ser CA = CB, lasaos oHi-
quas OA, OB , equidistando de la perpendicular, serán
iguales } lo mismo se veriñcará con otras dos líneas qua-
lesquiera , tiradas desde el centro O á los extremos de
an mismo lado: luego todas estas líneas son. iguales entre
sí. Luego si desde el punto O, coíno centro, y con el

LIBRO vir. ÍJ5

radio OA , describimos una superficie esférica , dicha su-*
perñcie pasará por los vértices de todos los ángulos só-«
lidos del poliedro 9 y la esfera estará circunscrita al .po-
liedro , ó el poliedro inscrito en la esfera.

Esto sentado 9 la resolución del problema propuesto
no presenta dificultad alguna , y puede verificarse así :

Dado el lado de una cara del poliedro , descríbase Flg. 149.
esta cara, y sea CX> su apotema. Búsquese por el proble-
ma anterior la inclinación de dos caras adyacentes del
poliedro , y hágase el ángulo CDE igual á esta inclina-
ción. Tómese DE = CD ; tírense CO y EO perpendicu-
lares á CD y ED, las quales se encontrarán en un pun-
to O , y CO será el radio de la esfera inscrita en el po<»
líedro.

Sobre la prolongación de DC tómese CA igual al ra-*
dio del circulo circunscrito á una cara del poliedro , y
será OA el radio de la esfera circunscrita á este mismo
poliedro.

Porque los triángulos rectángulos CDO , CAO de la
figura 249 , son iguales á los del mismo nombre en la
figura 248 , así CD y CA soa los radios de los círculos
inscritos y circunscritos á una cara del poliedro, mientras
que OC y OA lo son de las esferas inscrita y circunscri-
ta á un mismo poliedro.

Escolio. De las proposiciones anteriores podemos de-*
ducir varias conseqiiencias.

I . a Todo poliedro regular puede dividirse en tantas
pirámides regulares como garas tiene el poliedro j el ver**
tice comuii de estas pirámides será el ceatro de la esfe-*
ra , que es al mismo tiempo el de las esferas inscrita y
circunscrita,

2.^ La soliden de un poliedro regular es igual á su
superficie multiplicada por el tercio del radio de la esfe-»
ra inscrita,

3.^ Dos poliedros regulares del mismo nombre son
dos sólidos semejantes, y sus dimensiones homologas son
proporcionales: luego los radios de las esferas inscritas ó

• • •

136 GEOMETRÍA.

circunscritas siguen la razoa de los lados de estos po-
liedros.

4.* Si inscribimos un poliedro r^ular en una esfera,
los planos que estén desde el centro en la dirección de
los diferentes lados , dividirán la superfície de la esfera
en tantos polígonos iguales y semejantes como caras tie-
ne el poliedro.

k

>«

' ,•)

237

LIBRO VIIL

DE LOS CUERPOS JIEDONDOS.

i\

> ^

DEFINICIONES.

jLj\

I. JLilamamos cilindro el soHdo producido por la Fig. age.
revolución de un rectángulo ABGD^ que inagihamos gi-
ra sobre el lado imóbil AB.

En este movimiento, los lados AD , BC, que per-
manecen siempre perpendiculares á AB , describen pla-
nos circularas iguales DHP, CGQ , que llamamos las
hases del cilindro^ y el lado: CD describe su superficie
convexa.

La linea imóbil AB se llama exe del cilindro.

Toda sección KLM, hecha en el cilindro perpendi-
cularmente al exe , es un circulo igual á cada una de las
bases ; porque mientras el rectángulo ABCD gira al re-
dedor de AB, la linea IK, perpendicular á AB, descri-
be un plano circular igual á la base , el qual no es otra
cosa que la sección hecha perpendicularmenre al exe en
el punto I.

Toda sección PQGH, hecha en la dirección del exe,
es un rectángulo duplo del rectángulo generador ABCD.

II. Dase el nombre de cono al sólido producido por Fig. ají.
la revolución del triángulo rectángulo SAB , que imagi-
namos gir^ al rededor áél lado imóbil 5A.

23S GEOMETRÍA.

En este movimiento el lado AB describe un plano
circular BDCE, que llamamos la base del conOy y la h¡«
potenusa SB describe su superficie convexa.

£1 punto S se llama el vértice del cotto , SA el exe 6
la altura ^ y SB el lado óapotema.

Toda sección HKFI , hecha perpendicularmente al
eie , es un circulo ; toda sección SD£ , hecha en la í\r
reccion del exe y es un triángulo isósceles duplo del
triángulo generador SAB.

III. Si del cono SCDB quitamos, con unaseccioa
paralela á la base y el cono SFKH , el sólido restante
CBHF se llama cono truncado 6 tronco de cono. Pode*
mos suponer que está formado por la revolucioii del
trapecio ABHG, cuyos ángulos A y G son rectos, al
rededor del lado AG, La linea imóbil AG se llama á
exe 6 la altura del tronco j los circuios BDC, HKF m
sus bases\ y BH el lado.

IV. Dos cilindros ó dos conos son semejantes quan-
do sus ezes están entre si como los diámetros de sos
bases.

r¡g. aja. V. Si en el círculo ACD, que sirve de base á un
cilindro, inscribimos un polígono ABCDE , y sobre ^
base ABCDE levantamos un prisma^ recto igual en al-
tura al cilindro , se dice en tal caso que el prisma está
inscrito en el cilindro ; ó e/ cilindro circunscrito al pristuíf'
Claro está que siendo las aristas AF, BG, CH,&&
del prisma perpendiculares al plano de la base , están
CQmprehéndidas en la superficie conveza del cílifldio:
luego el prisma y el cilindro son tangentes en la di^e^
cion de sus aristas.

PJ- a<3. ^^* ^^ mismo modo, si ABCD es un polígono¿-
cunscrito á la base de un cilindro , y construimos sobte
la base ABCD un prisma recto, igual en altura al cilii^'
dro , decimos que el prisma está circunscritq al cilini^
6 el cilindro inscrito en el prisma.

Sean M, N , &c. los puntos de contacto de los lados
AB, BC &c. y levántense en los puntos M, N, &>

LIBRO VIII. 135^

perpendiculares MX, NY, &c. al plano de la base. Se
echa de ver que estas perpendiculares estarán al mismo
tiempo en la superficie del cilindro y en la del prisma
circunscrito: luego serán sus líneas de contacto.

N. B. £1 cUindro, el cono, y la esfera son los tres
cuerpos redondos de que se trata en los elementos.

Lemas prelirmnares sobre las superficies.

I.

Una superficie plana OABCD es menor que qualquteraFlg. 113.
tara superficie VABCD y terminada por el mismo con-*
tomo ABCD.

Esta proposición es tan evidente que se puede co-
locar en el número de los aidomas ; porque podemos su-
poner que el plano es entre las superficies lo que la lí-
nea recta entre las líneas : la línea recta es la mas cor«>
ta entre dos puntos dados, igualmente el plano és la
menor superficie entre todas las de un mismo períme-^
tro- Sin embargo , como es muy del caso reducir d nu-*
mero de axiomas al menor posible y pondremos un ra-
ciocinio que no dexará duda alguna sobre esta propo-
sicion«

Siendo una superficie tina extensión que consta de
longitud y latitud, .para ' que aaóti ^spperficie sea mayor
que otra, es preciso ^ue las dimensiones de la primera
sean en algún sentido mayores que las de la segunda; y
si sucede que las dimensiones de una superficie son ea
todos sentidos menores que las^ de otra superficie, es evi-
dente que la primera superficie será la menoi'-dé las dos.
Pera, sea qual fuere el sentido en que se haga ^pasar el
plano BPD, que cortará á la superficie plaiiá en la di-
rección BD, y á la otra superficie en la dirección BPD,
la línea recta BD siempre será menor que BPD : luegá
la superficie OACED es menor que la superficie PABGD,
que la rodea. ■■i ' ' ^

.t

1

240 GEOMETRÍA.

IL

Fig. ajs. . Toda superficie convexa OABCD es menor (fie ^ol-
quiera otra que rodease á la primera^ descansando tné
mismo perímetro ABCD.

Repetiremos aquí que entendemos por supeifick m
vexa una superficie que solo puede estar cortada en k
puntos por una linea recta , y sin embargo es posible que
una linea recta se aplique exactamente en cierto sentido
sobre una superficie convexa, de lo qual vemos exein*
píos en las superficies del cono y del cilindro. Obser*
varemos también que la denominación de superficie mr
vexa no es solo para las superficies curbas , sino tsav-
bien comprehende las superficies poHédricas ó compue^
tas de muchos planos , y también las superficies en par*
te curvas y en parte poliédricas.

Esto sentado, si la superficie OABCD no es menof
que todas las que la rodean , sea PABCD la menor en-
tre estas , que será á lo mas igual á OABCD. Por uJi
punto qualquiera O , hágase pasar un plano tangente i
la superficie OABCD, el qual encontrará á la superficie
PABCD , y la parte que corte de ella será mayor que el
plano terminado en dicha superficie : luego, conserraníío
lo restante dé la superficie PABCD;, podríamos sukíítuíf
el plano á la parte rebaxada, y tendríamos una nuevi
superficie, que rodearía siempre á la superficie OABCI}
y que seria menor ,que PABCD. •

Pero esta es, pov hipótesis', la menor de todas: kjf
esta suposición seria falsa : luego ' la superficie codíiíí
OABCD es menor que qualquiera otra que la rode^)
terminándose en el mismo perímetro ABCD.

Escolio, Por un raciocinio de todo punto semejante «

probará.

Fig. 2^6. ' ^'^ Q^^ si "'^ superficie convexa terminada por i»
contornos ABC, DEF está rodeada por otra superfcií

LIBRO VIII. 241

qualquiera termiDada en los mismos perímetros , la su-
perficie rodeada será la menor.

2.^ Que si una superficie convexa AB está rodeada Flg. «¿7.
por todas partes por otra MN, ora tengan puntos y lí-
neas ó planos comunes, ora no los tengan, la superficie
rodeada será siempre menor que la superficie exterior.

Porque entre estas no puede haber ninguna que sea
la menor de todas, pues en todos casos podríamos tirar
siempre el plano CD tangente á la superficie convexa,
cuyo plano seria menor que la superficie CMD ; y así
la superficie CND seria menor que MN, lo que repug.-
na con el supuesto de ser MN la menor de todas. Lue-
go la superficie convexa AB es menor que todas las que
las rodean.

PROPOSICIÓN PRIMERA.

TEOREMA.

La solidez de un cilindro es igual al producto de su
base por su altuta.

Sea CA el radio de la base del cilindro dado, H su; Fig. i$8.
altura. Representemos por sup^ CA la superficie del
círculo cuyo radio es CA : digo que la solidez del cilin**
dro será sup. CA x H*

Porque si sup. CA x H no es la medida del cilindra
dado , este producto expresará un cilindro mayor 6 me-*
nor. Supongamos primero que sea la medida de un cilin-
dro menor , v. gr. , del cilindro en que CD es el radia
de la base y H la ¿dtura.

Circunscríbase al círculo cuyo radio es CD un po-
lígono regular GHIP , cuyos lados no encuentren á la
circunferencia cuyo radio es CA *. Imaginemos un pris- • 10. 4.
ina recto que tenga por base el polígono GHIP , y por-
altura H , el qual estará circunscito al cilindro en que
CD es el radio de la base. Esto sentado , la solidez del
prisma* es igual á su base GHIP multiplicada por la al- * P»"- 14.

q j lib. ó.

242 GEOMETRÍA.

tura H ; la base GHIP es menor que el circulo cuyo ra-
dio es CA : luego la solidez del prisma es menor (¡ue
ittp. CA X H- Pero sup. CA x H es, según la suposición,
la solidez del cilindro inscrito en el prisma: luego el
prisma seria menor que el cilindro ; pero al contrario,
el cilindro es mepor que el prisma, pues está dentro de él:
luego es imposible que sup. CA x H sea la medida del
cilindro en que CD es el radio de la base y H la altura;
ó, en términos mas generales, el producto de la baséis
un cilindro por su altura no puede ser medida de un ¿h
lindro menor.

Digo en segundo lugar que este producto no puede
expresar un cilindro menor , porque , para no mulriplicar
figuras, sea CD el radio de la base del cilindro dado^
y sea, si es posible , sup. CD x H la medida de un ch
lindro mayor , v. gr. , del cilindro en que CA es el ra-
dio de la base y H la altura.

Si hacemos la misma construcción que en elcasoprv
mero , el prisma circunscrito al cilindro dado tendripr
medida GHIP x H ; pero el área GHIP es mayor que
sup. CD: luego la solidez del prisma de que traíamos
es mayor que sup. CD x H : luego el prisma seria ma-
yor que el cilindro de la misma altura, y cuya base es
sup. CA. Pero al contrario , el prisma es menor que el
cilindro, pues está contenido en él: luego es imfoíHk
que la base de un cilittdro multiplicada por su altura ^
medida de un cilindro mayor.

Luego finalmente , la solidez de un cilindro es vgÁ
al producto de su base por su altura.

Corolario 1. Los cilindros de una misma altura e^-
tan entre sí como sus bases, y los cilindros de unan^*
ma base están como sus alturas.

Corolario II. Los cilindros semejantes están como te

cubos de las alturas, ó como los cubos de los diámerro»

de las bases. Porque las bases siguen la razón de los f^

drados de sus diámetros , y siendo semejantes los cér

^ Def. 4. dros , los diámetros de las bases son como l^s alturas *•

LIBRO VIII. 143

íuego las bases sod como los quadrados de las alturas:
luego las bases multiplicadas por las alturas , ó los qUíh-
dros mismos , son como los cubos de las altura?.

Escolio. Sea R el radio de la base de un cilindro,
H su altura; la superficie * de la base será » R* , y la • "■ 4.
solidez del cilindro = ^ R' x H , ó « R'H.

PROPOSICIÓN II.

La superficie convexa de un priima recto es igual al
perímetro de su base multiplicado por su altura.

Porque esta superficie es igual á la suma de los reo- p;. ^¿^
tángulos AFGB, BGHC , CHLD, &c. de que está com-
puesta j pero tas alturas AF, BG, CH, &c. de estos Tec-
tángulos son iguales á la altura del prisma, y sus bases
AB , BC , CD juntas formao el perímetro de su base:
luego la suma de estos rectángulos, ó la superficie con-
vexa del prisma , es igual al perímetro de su base muí*
tipiicado por su altiu*?.

Corolíirio. Dos prismas rectos de una misma altura,
tienen sus superficies convexas en razón de los períme-
tros de sus b^s.

PROPOSICIÓN IIL

Im superficie corroexá del cilindro es mayor que la lu-
perficie convexa de todo prisma inscrito , y menor que la
superficie convexa de qualquier prisma circunscrito.

Porque la superficie convexa dtl cilindro y la del p¡
prisma inscrito ABCDEF pueden considerarse como de
una misma longitud , pues toda sección hecha en una
y en otra paralela á AF es igual á AF ; y si para saber
la, latitud de es^ superficies las cortamos coa planos pa-

r

244 GEOMETRÍA.

ralelos á la base ó perpendiculares á la arista AF , las
secciones serán iguales j una á la circunferencia de la
base , y la otra al perímetro del polígono ABCDE me-
nor que esta circunferencia : luego , ya que , siendo de
una misma longitud y la latitud de la superficie cilindrica
es mayor que la de la superficie prismática, sigúese
que la primera superñcie es mayor que la segunda.
Fig* ^iZ' Por un raciocinio enteramente semejante se probará
que la superficie convexa del cilindro es menor que la de
todo prisma circunscrito fiCDKLM.

PROPOSICIÓN IV.

TEOREMA.

La superficie convexa de un cilindro -es igual á la cir*
tunferencia de su base multiplicada por su altura.

Sea CA el radio de la base del cilindro dado, H su
altura ; si representamos por circ. CA la circunfereiiá
cuyo radio es CA: digo que circ. CAxH será la super-
ficie convexa de este cilindro.

Porque si se niega esta proposición ^ será preciso que
circ* CA X H sea la superficie de otro cilindro mayor ó
menor. Supongamos desde luego que sea la superficie de
un cilindro menor, v. gr. , del cilindro en que CDes
el radio de la base y H la altura.

Circunscríbase al círculo cuyo radio es CD un poli'
gono regular GHIP , cuyos lados no encuentren á la cir-
cunferencia cuyo radio es CA ; imaginemos luego un
prisma recto que tenga por altura H , y por base el po-
lígono GHIP. La superficie convexa de este prisma ^
igual al perímetro del polígono GHIP multiplicado pot
^Vt. 2. ^ altura H ^; este perímetro es menor que la circunfe-
rencia cuyo radio es CA: luego la superficie convexa del
prisma es menor que circ. CA x H. Pero circ. CAxH
es 9 según lo supuesto , la superficie convexa del cíliiui^
en que CD es el radio de la base^ y el qual «stá inscrito

LIBRa VIII. 245

en el prisma : luego la superficie convexa del prisma se-
ria menor que la del cilindro inscrito. Pero al contrario,
debe ser mayor ^: luego es falsa la suposición: luego i.® • Pr. 3.
la circunferencia de la base de un cilindro multiplicada por
su altura no puede expresar la superficie convexa de un ci'-
lindro menor.

' Digo en segundo lugar que este producto tampoco
puede expresar la superficie de un cilindro mayor. Por-
que , para no mudar figura , sea CD el radio de la base
del cilindro dado, y sea, si es posible, circ. CDxH 1^
superficie convexa de un cilindro que , siendo de la mis-
ma altura , tuviese por base un circulo mayor , v. gr. ,
el círculo cuyo radio es CA. Se hará la misma construc-
ción que en la hipótesis primera y la superficie convexa
del prisma será siempre igual al perímetro del polígo-
no GHIP multiplicado por la altura H. Pero este perí-
netro es mayor que circ. CD :- luego la superficie del
prisma seria mayor que circ. CD x H , que, según lo su-
puesto, es la superficie del cilindro de la misma altura de ^
:uya base es CA el radio. Luego la superficie del pris-
na seria mayor que la derxilindro. Pero aun quando el
prisma estuviese inscrito en el cilindro, su superficie se-
ria menor que la del cilindro^ : luego con mayor razón * Pr. 3.
era menor quando el prisma no llega á tocar al cilin-
Iro. Luego es falsea la segunda hipótesis , y por consi-
guiente 2.® la circunferencia de la base de un cilindro muí-*
iplicada por su altura no puede ser medida de la su^
^erficie de otro cilindro mayor.

Luego finalmente , la superficie convexa de un ciün-
Iro es igual á la circunferencia de su base multiplicada
>or su altura.

246 GEOMETRÍA.

PROPOSICIÓN V.

TEOREMA.

La solidez de un cono es igual al producto desüh&si
multiplicada por el tercio de su altura.

Fiff. 2<Q ^^ ^^ ^^ altura del cono dado, AO el radio de i
' base. Llamemos sup. AO la superficie de la base : íf
que la solidez de este cono será igual á sup. AOxjSC.
En efecto , supongamos i .^ que sup. AO x |S0 n
la solidez de un cono mayor , v. gr. , del cono cuya al*
tura es siempre SO, pero cuya base tiene por radio i
OB mayor que AO.

Al circulo cuyo radio es AO circunscríbase un poli*
gono regular MNPT, que no encuentre á la circuIlí^

# so. 4. rencia cuyo radio es OB^ , imaginemos ademas una f

rámide cuya base sea el polígono y el vértice ú punto

♦ ip. (S.S. La solidez de esta pirámide^ es igual al área ádp'

lígono MNPT multiplicada por el tercio de la altura SO.
Pero el polígono es mayor que el círculo inscrito repr^
sentado por sup. AO : luego la pirámide es mayor f
sup. AO X |SO que, según hemos supuesto, expresa i
cono cuyo vértice es S y OB el radio de base. Pero e;
asi que la pirámide es menor que el cono, pues^^^
dentro de él: luego i.® es imposible que la base de ufl
cono multiplicada por el tercio de su altura sea la ^
dida de un cono mayor.

Digo 2.** que este producto tampoco puede eiprísf
un cono menor. Porque, para no mudar figura, seaOJ
el radio de la base del cono dado, y sea, si es
ble , sup. OB X |SO la solidez del cono que tiene .
altura SO y por base el círculo cuyo radio es AO. i
hará la misma construcción que anteriormente , y 1»
pirámide SMNP, &c. tendrá por medida el área V0
multiplicada por |SO, Pero el área MNPT es menorf
sup.- OB : luego la pirámide tendría una medida

LIBRO VIII. 247 1

que sup. OB x fSO , y por coasígulente seria menor
que el cono que tiene á AO por radio de la base y SO
por altura. Pero es así que la pirámide es mayor que el
cono, pues el cono está dentro de ella: luego 2.° es im-
posible que la base de un cono multiplicada por el tercio
de su altura sea medida de un cono menor.

Luego finalmente la solidez de un cono es igual al
producto de su base por el tercio de su altura.

Corolario. Un cono es la tercera parte de un cilindro
de la misma base y altura que él ; de donde se deduce
i.^ Que los conos de alturas iguales están entre sí
como sus bases.

2.^ Que los conos de bases iguales están entre sí como
sus alturas.

3.^ Que los conos semejantes siguen la razón de los
cubos de los diámetros de sus bases , ó de los cubos de
sus alturas.

Escolio. Sea R el radio de la base de un cono, H
su altura; su solidez será ^ R* x |H , ó |^R*H.

PROPOSICIÓN VI.

TEOREMA.

El cono truncado ADEB , cuyos radios de las bases ¥ig. atfo.
son OA y DP , y PO la altura , tiem por medida | ^
OP. ((AO)* -+- (DP)»-+- AO X DP).

Sea TFGH una pirámide triangular de la misma al-
tura que el cono SAB, y cuya base FGH sea equivalen-
te á la del cono. Podemos suponer que estas dos bases
están en un mismoi. plano , en cuyo caso los vértices S
y T equidistarán del plano de las bases , y el plano
EPD prolongado hará en la pirámide la sección IKL.
Digo , pues , que esta sección IKL es equivalente á la
base DE.

Porque las bases AB , DE están entre sí como los
quadrados de los radios AO , DP ^ , ó cómo los qua- « ii, 4.
Irados de las alturas SO , SP ; los triángulos FGH,

24S GEOMETRÍA.

IKL son entre sí como los quadrados de estas mbm^
^ <$• ^* alturas ^ : luego los circuios AB ^ DE están en la razoi
de los triángulos FGH, IKL. Pero, por su posicioQ^
el triángulo FGH es equivalente al circulo AB : iueg(
el triángulo IKL lo es también al circulo DE.

I^ base AB multiplicada por |> SO es la solidez de
cono SAB , y la base FGH multiplicada por |- SO es la
de la pirámide CFGH : luego por ser las bases equiva*
lentes , la solidez de la pirámide es igual á la del cono.
Por una razón semejante , la pirámide TIKL es eqi¿
valente al cono SDÉ : luego el tronco de cono ADEl
es equivalente al tronco de pirámide FGHIKL. Pero k
base FGH , equivalente al círculo y cuyo radio es AQ
tiene por medida t x (AO)^ ; del mismo modo la base
IKL = flr X (DP)* , y la media proporcional entre r x
(AO)* y ^ x(DP)* es ^ X AOxDP : luego la sdido
del tronco de pirámide , ó la del tronco de cono , tiene
por medida |OPx(^ x (AO)*h- t x(DP)*-h ^ xAO
• ao. 6. xDP) *, que es lo mismo que |t xOP x((OA)^-h
(DP)»^AOxDP).

PROPOSICIÓN vn.

TEOREMA.

La superficie convexa de un cono es igual á la circun-
ferencia de su base multiplicada por la mitad de su kda
Fig. H9' Sea AO el radio de la base del cono dado , S ít
vértice , y SA su lado : digo que su superficie será or:
AO X íSA.

Porque sea , si es posible , circ. AO x í SA la supe/*

* cié de un cono , cuyo vértice fuese el punto S^ y poi la

base el circulo trazado con el radio OB mayor* que Aü

Circunscríbase al circulo menor de los dos un ]xh
ligono regular MNPT , cuyos lados no encuentren á ia
circunferencia que tiene á OB por radio ; y sea SMNPT
la pirámide regular que tendría por base el poligom

riBRO VIII. 249

y por vértice el punto S. £1 triángulo SMN , que es uno
de los que componen la superficie convexa de la pirá-
mide , tiene por medida su base MN multiplicada por
la mitad de su altura SA , que es al mismo tiempo el
lado del cono dado ; siendo igual esta altura en todos
los triángulos SNP , SFQ , &c. , sigúese que la superfí-* >
cié convexa de la pirámide es igual al i)erímetro
MNPQR, &c. , multiplicado por iSA. Pero el perí-»
metro MNPQR , &c. , es mayor que circ. AO : Uiego
la superficie convexa de la pirámide es mayor que circ.
AO X |SA , y mayor por consiguiente que la superficie
convexa del cono , que teíiíiendo el mismo vértice S , tU"*
viese por base el circulo descrito con el radio OB. Pe*«
ro al contrario y la superficie convexa del cono es mayor
que la de la pirámide ; porque si sobreponemos por las
bases una á otra las pirámides iguales , y lo mismo l(^
conos iguales ^ la superficie de los dos conos cubrirá por
codas partes á la de las dos pirámides : luego la prime-
ra superficie será mayor que la segunda ^ : luego la su-*I'CQi» ^
perfície del cono es mayor que la de la pirámide com^
prehendída en él. Hubiéramos deducido una conse-«
quexifia contraria de nuestra suposición; luego i.*' la
circunferencia de la base de un cono multiplicada por
la mitad de su lado no puede ser medida de la super^^
Ocie de un cono mayor,

Digo en segundo lugar que este producto tampoco
puede expresar la superficie de un cono menor.

Porque sea BO el radio de la base 9 y sea , si es
posible , c/rc. BOx^SB la superficie del cono, cuyo
vértice es S , y AO , menor que OB , el radio de h

biase.

Habiendo hecho la misma construcción que en los
:asos anteriores ^ la superficie de la pirámide SMNPT
ierá siempre igual al perímetro MNPT multiplicado
jor i SA. Pero el perímetro MNPT es menor que circ,
yo y SA es menor que SB : luego por estas dos raTO-*
íes la superficie convexa de la pirámide es meaor quo

3^

2$0 GEOMETRÍA.

circ. BO X }SB ^ que » según lo supuesto , es la superfi-
cie del cono en que AO es el radio de la base : luego
la superficie de la pirámide seria menor que la del co-
no inscrito. Pero es asi que es mayor ; porque sobre-
poniendo por las bases la pirámide á otra su igual , y
el cono á otro cono » la superficie de las dos pirámides
cubrirá á la de los dos conos ^ y será por consiguiente
mayor. Luego 2.^ es imposible que la circunferencia de
la base de im cono dado multiplicada la mitad de su
lado exprese la superficie de un cono menor.

Luego finalmente la superficie convexa de un coqo
es igual á la circunferencia de su base multiplicada por
la mitad de su lado.

Escolio. Sea L el lado de un cono ^ R el radio de
su base , la circunferencia de esta base será 2 ^r R ^ y
la superficie del cono i^Rx^L^ótt RL.

PROPOSICIÓN VIIL

TEOREMA.

Fig. i5i. í'^ superficie convexa del tronco de cono ADEB e$
¡gud á su lado AD multiplicado por la semisuma de los
circunferencias de sus dos bases AB ^ DE.

En el plano SAB ^ que pasa por el exe SO ^ tírese
ia linea AF ^ perpendicular á SA ^ cuya línea será igual
á la circunferencia ^ cuyo radio es AO ; tírese SF ^ y
tírese también DH paralela á AP.

Por ser semejantes los triángulos SAO ^ SDC , ten-
dremos AO : DC : : SA i SD j y por serlo también los
triángulos SAF ^ SDH tendremos AF t DH : ; SA : SD;
•xi,4 luegóAFíDH:: AOí DC> ó , : í rírc* AO: rírc. DC*
fiero por construcción AF =±circ. AO; luego DH=arc
DG Esto sentado ^ el triángulo SAF ^ cuya medida es
AF y f SA ^ es igual á la superficie del cono SAB , que
tiene por medida circ. AOxfSA* Por una razón seme-
jante el triángulo SDH es igual á la superficie, del cono

LIBRO VIII. 251

SDE. Luego la superficie del tronco ADEB es igual á

la del trapecio ADHF, Esta tiene por medida ^ AD ^ * 7. 3.

í j : luego la superficie del tronco de cono

ADEB es igual á su lado AD multiplicado por la semi-
suma dé las circunferencias de sus dos bases.

Corolario. Por el punto I, medio de ED, tírese IKL
paralela á AB ^ é IM paralela á AF ; se demostrará
como antes que IM = are. IK. Pero el trapecio ADHF
=ADxIM=ADxcírc. IK. Luego podemos decir tam-
bién que la superficie de un tronco de cono es igual á su
lado multiplicado por la circunferencia de una sección he^
cha á iguales distancias de las dos bases.

Escolio. Si una linea AD, situada toda hacia un

mismo lado de la línea OC , y en el mismo plano que

ella , gira al rededor de OC , la superficie trazada por

# circ AO "+" circ DC \
AD tendrá por medida AD x í ' ' j

ó AD X circ. IK ; siendo las líneas AO , DC , IK perpen-
diculares tiradas al exe OC desde los extremos , y desde
el medio de la línea AD.

Porque si prolongamos AD y OC hasta que se en-
cuentren en S , claro está que la superficie trazada por
AD es la de un cono truncado , en el qual son AO y
DC los radios de las bases , siendo el pujito S el vérti-
:e del cono entero. Luego esta superficie tendrá la medi««
la arriba dicha.

Siempre se verificarla esta medida aun quando el
punto D cayese en S , lo que daria un cono entero , y
amblen en caso de ser la línea AD paralela al exe , de
londe se originaria un cilindro. En el primer caso DC
;eria nula , y en el segundo DC seria igual á AO

r á IK,

»•»

a52 GEOMETRÍA,

PROPOSICIÓN IX.

LEMA.

'íg* ^^3- Sean AB , BC , CD muchos lados sucesivos de un fo-
Ugono regular j O su centro ^ y Oí el radio del circe
inscrita , jí suponemos que la porción de polígono ABCD,
que cae á un lado del diámetro FG , da una revolmm d
rededor de él , la superficie trazada por ABCD tendrá fOf
medida MQ x circ. Oí , siendo MQ la altura de esta su-
perficie^ ó la parte del exe comprehendida entre k
perpendiciélares extremas AM , DQ.

Siendo el punto I medio de AB , é IK una perpen-
dicular al exe baxada desde el punto I , la superficie tra-
• Px, g. zada por AB tendrá por medida AB xc/rf. IK*. Tirest
AX paralela al exe ; los triángulos ABX , OIK teodrin
sus lados respectivamente perpendiculares , esto es, 01
á AB , IK á AX , y OK á BX : luego estos triángulos
sott semejantes , y dan la proporción AB : AX=MÍ5::
Oí : IK , ó : : circ. 01 : circ. IK : luego AB x circ. IK=
MN X circ. OL Donde vemos que la superficie trazada
por AB es igusíl á su altura MN multiplicada por la cir-
cunferencia del circulo inscrito. Igualmente la suptá-
cié trazada por BC es igual á NP x circ. Oí , la trazada
por CD , := PQ X che. 01 Luego la superficie trazada por
la porción de polígono ABCD tiene por medida (MÜ
-hNP-hPQ) xcirc. Oí, ó MQ xc/rc. Oí: luego esifi
á su altura multiplicada por la circunferencia del ára-
lo inscrito.

Corolario. Si el polígono entero tiene un niimeropr
de lados, y el exe FG pasa por dos vértices opuestos ^
y G , la superficie entera trazada por la revolución á;'
semipolígono FACG será igual á su exe FG multipüci
por la circunferencia del círculo inscrito. Este exe fO
será al mismo tiempo el diámetro del círculo inscrita

LIBRO VIII. 253

PROPOSICIÓN X,

TEOREMA.

La superficie de la esfera es igual á su diámetro muí"
tiplicado por la circunferencia de un circulo máximo.

Digo i.° que el diámetro de una esfera multiplica-^
do por la circunferencia de su circulo máxiino no pue4e
ser medida de una esfera mayor. Porque sea , si es po^
sible , A6 xcirc. AC la superficie de la esfera , cuyo ra- Fig.atf4.
dio es CD.

Circunscríbase al círculo , cuyo radío es CA , un po-
lígono regular de un número par de lados que no en-
cuentre á la circunferencia , cuyo radio es CD. >Sean M
y S dos ángulos opuestos de este polígono , y hagamos
girar el semipolígono MPS al rededor del diámetro MS.

La superficie trazada por este polígono tendrá por
medida MS x circ, AC ^ ; pero MS es mayor que AB: « p^^ q,
luego la superficie trazada por el polígono es mayor que
AB X circ. AC , y por consiguiente mayor que la super-
ficie de la esfera , cuyo radio es CD. Pero es así que
la superficie de la esfera es mayor que la trazada por
el polígono , pues la primera rodea enteramente á la se-
gunda : luego I.** el diámetro de una esfera multipli-
cado por la circunferencia de su círculo máximo no
puede ser medida de la superficie de otra esfera mayor.

Digo 2.** que este mismo producto no puede expre-
sar la superficie de una esfera menor. Porque sea , si es
posible , DE x circ. CD la superficie de la esfera , cuyo
radio es CA. Se hará la misma construcción que en el
carío primero, y la superficie del sólido engendrado por
el polígono será siempre igual á MS x circ. AC. Pero
MS es menor que DE , y circ. AC menor que circ. CD:
luego por estas dos razones la superficie del sólido for-«
mado por el polígono seria menor que DE xcirc. CD, y
menor por . consiguiente que la superficie de la esfera,
cuyo radio es AC. P^to al contrario la superficie traz*-

254 GEOMETRÍA.

da por este polígono es mayor que la superficie de la
esfera | cuyo radio es AC , pues la primera cubre ente-
ramente á la segunda : luego 2.^ el diámetro de una es-
fera multiplicado por la circunferencia de su circulo
máximo no puede expresar la superficie de una esfera
menor.

Luego la superficie de la esfera es igual á su diá-
metro multiplicado por la circunferencia de un circe

máximo.

Corolario. La superficie del círculo mánmo se miile
multiplicando su circunferencia por la mitad del radk
ó la quarta parte del diámetro : luego la superficie di k
esfera es quadrupla de la de uno de sus circuios máxm

Escolio. Habiendo medido y comparado ya la su-
perficie de la esfera con superficies planas , será fací!
hallar el valor absoluto de los usos y triángulos esféri-
cos , cuya relación con la superficie total de la esfera
queda ya determinada.

Primeramente y el uso esférico y cuyo ángulo es 4
es á la superficie de la esfera como el ángulo A es á
• *o» 7» quatro ángulos rectos ^ , ó como el arco de círculo má-
ximo que mide el ángulo A es á la circunferencia de di-
cho círculo. Pero la superficie de la esfera es igual i
esta circunferencia multi{^icada por el diámetro : kg^
h. del uso esférico es igual al arco que mide su áo^o
multiplicado por el diámetro,

£a segundo lugar todo triángulo esférico es eqÁ
lente á un uso esférico , cuyo ángulo es igual á la d
tad de la diferencia entre la suma de sus ' tres ánguM
♦ a 3. 7, y dos rectos ^. Sean P , Q , R los arcos de círculo (¡^
xímo que miden los tres ángulos del triángulo ; sea C
la circunferencia de un círculo máxima , y D su áiist
tro. £1 triángulo esférico será equivalente al uso esféñ'

co , cuyo ángulo tiene por medida jYP

• • ^ c- ' TN / P-4-Q-4-R — íC

consiguiente su superficie sera D x í ^ l^

LIBRO VIII. 255

Asi , en el caso del triángulo tri-rectángülo y cada
ino de los arcos P , Q , R es igual á | C , su suma es
I C , el exceso de esta suma á j C es | C , y su mitad
=1 C : luego la superficie del triángulo tri-rectángula
^^CxD y que es la octava parte de la superficie total
le la esfera»

La medida de los polígonos esféricos se deduce in*
aediatamente de la de los triángulos , y está ademas
meramente determinada por la prop. xxiv , lib. vn,
(ues la unidad de medida ^ que es el triángulo tri-rec*^
ingulo , acaba de valuarse en superficie plana.

PROPOSICIÓN XI

X£MA.

Supuestas las mismas cosas que en la proposición ix, Fig. a(íp.
ademas el punto F ^ extremo del exe , es uno de los
értices del polígono , y tenemos FK<FO ; digo que la
iperficie engendrada por la porción del polígono FAI,
)mpuesta de muchos lados enteros FA y ia mitad de otro
I , es menor que FK x circ. OL

Porque la superficie trazada por la parte FA tiene
>r medida ^ FM x circ. Oí , y la superficie trazada por * Pr. 9.

semilado AI tiene por medida Alx(^£irc. AM-4-f
re. IK ) *. AM es menor que IK^ por ser. FK menor ♦?!. 8.
Je FO : luego la superficie trazada por AI es menor
xe AI X circ. IK , ó su igual MK xc/rc. OL: luego la su-
írficie entera trazada por FAI es menor que FMx
re. 01 -rf- MK X circ. Oí, q FKxnVc. OL

\*

PROPOSICIÓN XII.

T£OaEMA.

Im superficie de una izona esférica qualquiera es igual
producto de sa qltum por ¡a circunferencia de un círcih.
máximo.

256 gsomstr/a.

Kg* A7I* Sea desde luego AB un arco menor, 6 á lo menos no
mayor que la quarta parte de la circunferencia, y tíre-
se al radio AC la perpendicular BD: digo que la im
descrita por la revolución del arco AB al rededor de
AC tiene por medida AD x tírc AC

Porque supongamos primeramente que esta zona teo'
ga una medida mayor, y sea, si es posible , esta medi-
da = D£ X ctrc. AC. Circunscríbase al arco AB una por-
ción de polígono regular Bxyzu , que no encuentre i
arco descrito con el radio CE , y que esté compuesto ii
muchos lados enteros uzyx, y de un medio-lado Bx (1)
Esto sentado, la superScie trazada por el polígono Bxjz!;

^ Pr. SI. girando al rededor de Du, es menor que Du x circ. AC*,
y con mayor razón menor que DE x circ. AC, que, f^
hipótesis y es la medida de la zona trazada por AB. Lie'
go la superficie descrita por el polígono seria menor ^^
la descrita por el arco inscrito; pero es al contrarío^ii
primera superficie es mayor que la segunda , pues íi
cubre por todas partes : luego seria absurda la sujv^í-
cion : luego i.^ la medida de una zona esférica nop^e*
de ser mayor que el producto de su altura por la circus*
ferencia del círculo máximo.

Digo en segundo lugar que la medida de una zom
esférica no puede ser menor que el producto de su^l*
tura por la circunferencia del círculo máximo, por^
supongamos que se trata de la zona trazada por el arcG
FE^.y sea;, si es posible, la medida de esta zooa^
GE X circ. AC menor que GE x circ. CE. Inserte ei
ei arco EF una porcbn de polígono regular £MMi
cuyos lados no encuentran al arco descrito con el té
CA , y báxese al lado EM la perpendicular CI. h^
perfície trazada por el pdígóno EOF tendrá por ís^

• Pr. 9. da EG x circ. CI *, mayor que EG x circ. CA que,I«
suposición 9 es la medida de la zona descrita por el 21^

(i) Estas dos condiciones se cumplen dividiendo el arco AJfl
UD número impar de partes iguales, una de las quales Amsea^
Aor que AT, determioada por la tao^ente £T tirada ái^^^

i

• %

LIBRO viri. aj7

FE. Luego la superficie trazada por el polígono FOE
seria mayor que la zona descrita por el arco circuns-*
crito FE ; pero , al contrario , la segunda superfi-
cie es mayor que la primera , pues la cubre por todas
partes: luego 2.° la medida de una zona esférica no pue-
de ser menor que el producto de su altura multiplicada
por la circunferencia de un círculo máximo.

Sigúese de aquí que la zona descrita por el arco DF -pig, aio.
tiene por medida OD x circ. DC , á lo menos en tanto
que el arco DF no exceda á la quarta parte de la cir-
cunferencia. Pero la esfera entera, compuesta de dos zo-
nas descritas por los arcos DF y FE , tiene por medi-
da DExcirc. DC, ó OD x c*c. DC-hOE x circ. DC:
luego una vez que OD x circ, DC es igual á la zona des-
crita por el arco DF , será menester que OE x circ» DC
>ea igual á la zona descrita por el arco FE , mayor que
[a quarta parte de la circunferencia : luego toda zona d&
ma base tiene por medida su altura multiplicada por la
:¡rcunferencia de un circulo máximo.

Consideremos finalmente una zona qualquiera descri-
:a por la revolución del arco FH al rededor del exe DE,
f báxense al exe las dos perpendiculares FO, HQ. La
tona descrita por el arco DF tiene por medida DO x circ.
[>C : la descrita por el arco DH = DQ x circ. DC : luc-
ro la diferencia entre estas dos zonas, ó la zona descrita
3or el arco FH , tiene por medida ( DQ — DO ) x circ.
DC , u OQ X circ. DC. Luego toda zona esférica de una
> dos bases tiene por medida el producto de su altura
>or la circunferencia de un círculo máximo.

Corolario. Dos zonas están entre sí como sus alturas,
f una zpna qualquiera es á la superficie de la esfera co«
uo la altura de la zona es al diámetro.

3J

a{8 GEOMETRÍA.

PROPOSICIÓN XIIL

TEOREMA^

Fig. %66. Si el triángulo BAC y el rectángulo BCEF , de m

7 ^<^7* msma base y altura f giran simultáneamente al rededores

la base común BC^ el solida descrito por la revolución di

tríánguiú será la tercera parte del cilindra trazado fot k

revolución del rectángulo^

F¡g. ^66. Bájese al exe la peipendicular AÜ.

El cond trazado por el triángula ABD es ía tercera

^ P r. ^ parte del cilindro formado» por el rectángulo AFBD*;
igualmente el cono descrito por el triángulo ADC es I2
tercera parte det cilindro formado por el rectángulo
ADCE i luego la suma de los dos conos ^ ó el sólido des-
crito por* ABC, es la tercera parte de la sumat de tos
dos cilindros , ó del cilindro descrito por el rectángulo
BCEF.

Fi|j* ^6f* Sí cayese ía perpendicular AD fuera del triángulo,
É^ntónces el sólido descrito por ABC seria la diferencia
de losr conos descritos por ABD y ACD ; pero al mis-
mo tiempo ef cilindro deiscrito por BCEF seria la di-
ferencia de Itís cilindros descritos por AFBD y AECB.
Luego el sólido trazado por la revolución del triángulo
será siempre la tercera parte del cilindra forimadoíot
la revolución det rectángulo de la misma base y altun
Escolio. El circulo cuyo radio es AD tiene por su-
perficie T X ( AD )• : luego * x (AD)^ x BC es la meí-
da del cilindro descrito por BCEF, y | ^x(A])f>
BC es la del sólido descrito por el triángulo ABC

LIBRO VIII. 259

PROPOSICIÓN XIV.

PROBLEMA,

Suponiendo que el triángulo CAB da una revolución al Fig. itfS.
rededor de la línea CD , tirada arbitrariamente fuera del
triangulo por su vértice C ^ hallar la medida del sólido así
engendrado.

Prolongúese el lado AB hasta que encuentre al exe
CD en D, Desde los puntos A y B báxense al eK las
perpendiculares AM , BN,

£1 sóiido trazado por el triángulo ADC tiene por
nied¡da*|Tx(AM)* xCD, El sólido descrito por el «Pr. 13.
triángulo CBD, = | ^ x (BN)« x CD ; luego la dife-
rencia de estos sólidos , ó el sólido formado por ABC,
tendrá por medida | ^. ( ( AM )* — (BN )» ) x CD.

Podemos dar otra forma á esta expresión. Desde el
punto I , medio de AB , tírese IK perpendicular i CD , y
por el punto B, BO paralela á CDj tendremos^ AM -+- * í- 3*
BN = 2IK, y AM ^ BN = AO; luego ( AM^ BN) x
(AM — BN), ó (AM)* — (BN)^ = 2IK x AO*. Por ,0. j.
consiguiente el jsólido de que se trata está expresado por
I íT X IK X AO X CD, Pero si baxamos á AB la perpen-
dicular CP, los triánjgulos ABO^ DCP 5erán semejantes,
y darán la proporción AO5 CP : ; AB ; CD ; de^ donde
resulta AO x CD = CP x AB; por otra parte CP x AB
es duplo del área del triángulo ABC , y asi tenemos AO x
CD = 2 ABC: luego la solidez descrita por el triángulo
ABC tiene también por medida | ^r x ABC x KI , ó ,
lo que es todo uno, ABC x | circ. KI j (porque circ. IK
= 2 cr IK). Luego W sólido, formado por la revolución
del triángulo ABC tiene por medida el área de este trián^
^ulo multiplicada por los dos tercios de la circunferencia
jfu^ describe el punto I , rrhedio de la base.

Corolario. Si el lado AC = CB^ la línea CI será per^ pig. a5p.
Radicular á AB el área ABC será igual á ABx | CI, y

• • •

26o GEOMETRÍA.

la solidez 1^ xABC x IK se traasformará en |t x ABx
IK X CL Pero los triángulos ABO , CIK son semejantes,
y dan la proporción AB: liO=:MN :: CI : IK; luego
AB X IK =MN X CI ; luego el sólido trazado por el trián-
gulo isósceles ABC tendrá por medida |t x MN x (CI).'
Escolio. En la demostración anterior suponemos que
la línea AB prolongada encuentra al exe ; pero no de-
xarian de ser los resultados igualmente ciertos , siendo la
linea AB paralela al exe.
Fig. 470. Con efecto , la medida del cilindro descrito pot
AMNB es ^. ( AM)* xMN , el cono trazado por ACM
= ixx (AM)« xCMj-y el formado por BCN=Ít)(
(AM ) ' X CN. Sumando los dos primeros sólidos y res-
tando el tercero ^ tendremos para valor del sólido des-
crito por ABC , ^ X (AM)« x (MN ^ | CM — iCN)
y ya que CN — CM = MN , se reduce esta expresión
' á^x(AM)»x|MN, Ó|^(CP)* xMN, loqueooiib
cide con los resultados ya hallados.

PROPOSICIÓN XV.

TBOREMA.

yjg j^2 Sean AB , BC, CD, muchos lados sucesivos deanfo-
' ifgono regular , O su centro ^y Oí el radio del círah iní-
crito ; si imaginamos que el sector poligonal AOD , sirtiaát
á un mismo lado' del diámetro FG , da una revolución i
rededor de é/, el sólido descrito tendrá por medida 2.t x(OP
X MQ 5 siendo MQ la porción del exe temñnada pOT ¿
perpendiculares extremas AM ^ DQ.

Con efecto > una vez que es regular el polígono, ta-
dos l5s triángulos AOB, BÜC, &c. son iguales é isóscete
Según ti corolario anterior , . el sólido producido por t
triángulo isósceles OAB tiene por medida ¿t x (01)')
MN, el sólido descrito por el triánguloBOC = | ^ x (Orj
X NP^y.el sólido formado por el triángulo GOD= | ^

fi

LIBRO VIH. 261

(OI)*xPQ ; luego la suma de estos sólidos, ó el sólido en-
tero descrito por el sector poligonal AOD, tendrá por me^
dida|^(OI)^x(MN-HNP-i-PQ)=|^x(OI)«xMQ.

PROPOSICIÓN XVL

TEOREMA.

Todo sector esférico tiene por medida la zona que U
sirve de base multiplicada por el tercio del radio ^ y la es"
jera entera es igud al producto de su superficie por el ter^
cío del radio.

Sea ABC el sector circular que , girando al rededor Fíg. 271.
de AC , traza el sector esférico ; siendo AD x circ. AC
= 2 ^ X AC X AD el valor de la zona descrita por AB^, * ^'' '••
digo que el sector esférico tendrá por medida el produc-
to de esta zona por | AC, ó I ^ x (AC) * x AD.

En efecto, i.® Supongamos, si es posible, que| w x
( AC y X AD sea la medida de un sector esférico mayor,
por exemplo, del sector esférico descrito por el sector cir-
cular ECF semejante á ACB.

Inscríbase en el arco EF la porción de polígono re-
gular EMNF , cuyos lados no encuentren al arco AB;
imaginemos luego que el sector poligonal ENFC gira al
rededor de EC al mismo tiempo que el sector circular
ECF. Sea CI el radío del circulo inscrito en el polígono,
y báxese á EC la perpendicular FG. El sólido descrito
por el sector poligonal tendrá por medida ^| 'tx(CI)* 41 p^ ,-
X EG; pero Cl es mayor que AC por construcción, y
.EG>AD, porque, tirando AB, EF, los triángulos EFG
y ABD, que son semejantes, dan la proporción EG: AD::
EF ; AB :: CF : CB; luego EG > AD.

Por estas dos razones *x x (CI)' x EG es mayor
que I TT X (CA)' x AD : la primera expresión es la me-
cida del sólido trazado por el sector poligonal; la segun-
da es, por hipótesis, la del sector esférico descrito por
«1 sector circular ECF : luego el sólido formado por el
jsecíor poligonal seria mayor que el sector esférico des*-»

202 GfiOMSTRÍA.

crito por el sector circular £CF. Pero , al contrario, i
sólido de que tratamos es menor que el sector esféríd
que le coatiene: lue¿o es absurda la suposicioa: luego i/
la zona ó base de un sector esférico multiplicada por ¿
tercio del radío no puede ser medida de un sector esfe
rico niayoc

Digo 2.^ que este producto no puede expresar un sec
tor esférico mayor. Porque sea C£F el sector circular,
que ha producido con su revolución el sector esféncod;^
do, y supongamos, si es posible, que j^ x (C£)^ M
sea la medida de im sector esférico menor , y. gr. ^
engendrado por el sector circular ACB«

Permaneciendo la misma la construcción anterio/)
el sólido producido por el sector poligonal , tendrá m
pre por medida -J «• x { CI )* x EG. Pero CI es mei
ñor que CE; luego el sólido es menor que | t x(C£)|
X EG, que , según lo supuesto, es la medida del sm
esférico descrito por el sector circular ACB. Laejj
el sólido descrito por «1 sector poUgonal seria mi
ñor que el sector esférico producido por ACB; peroej
así que el sólido de que tratamos es mayor que el sectoj
esférico , pues este está contenido en el otro^ Luego 2.° ^
impasible que la zona de un sector esférico multiplicaiii
por la tercera parte del radio sea medida de un sect(^
iesférico menor.

Luego todo sector esférico tiene por medida lazon^
que le sirve de base multiplicada por la tercera put<
ilel radio^

Un sector circular ACB puede Ir ¿redendo b^d
llegar á ser igual al semicírculo , en cuyo caso el sectil
esférico producido por su revolución es la ^fera en^
Luego la solidez de la esfera ,es igual al producto a ^
superficie por la tercera parte del radio.

Corolario^ .Estando Jas superficies de las esferas e¡H
tre sí jcomo los quadrados de sus radios , sus superficití
multiplicadas por los jradios son como los cubos de tl>
fhos cadios. L^iego las solideces de dos esferas están

LIBRO VIII. 263

' como los cubos de sus radios ^ 6 como los cubos de sus
iámetros.

Escolio. Sea R el radía de una esfera j su superft*
e será 4 t R* , y su solide2& 4 ^ R* x |R == |írR.» Si
amamos D el diámetro , tendremos R = }D , y R«
: |D^ : luego la expresión de la solidez será también

PROPOSICIÓN xvir.

TEOREMA.

La superficie de la esfera es á la superficie total det
íindro circunscrito ( comprehendiendo sus bases ) cómo 2:
, Las solideces de estos dos cuerpos están entre sí en la
isma razón*

Sea MPNQ eí cífcuío máximo de la esfera, ABCD Fíg. 471.

qUadrado circunscrito* Si hacemos girar al misma

empo el semicírculo PMQ y el semí-quadrado PADQ

rededói:; del diámetro PQ , el semicírculo trazará la

fera , y e^semí-quadrado producirá el cilindro circuns-*

rito á ella.

La altura AD de este cilindro es igual ai díámetra
Q , la base del cilindro es igual al círculo máximo y pues
ene por diámetro AB =^ MN í luego la superficie con-
exa del cilindro ^ es igual á la circunferencia: del círcu- • pf 4
> máxima multiplicada por su diámetro. Esta medida es
: misma que la de la superficie de la esfera ^ ; de don*-
2 se deduce que la superficie de la esfera es igual á la '^'
iperficie convexa del cilindró circunscrito^

Pero la superficie de la esfera es igual á U de quatra
rcxilos máximos : luego la superficie convexa del cilin^
ro es igual también á la de quatro círculos máximos;
añadimos las dos bases que valen dos círculos máxí-
los, la superficie total del cilindro circunscrífo será igual
seis círculds máximos : luego la superficie dé la esfera
i á la superficie total del ciUndca circunscrita como 4 e$

n

L

264 GEOMETRÍA.

á 6, Ó como dos es á tres. Esta es la primera parte que
nos propusimos demostrar.

Ea segundo lugar ^ una vez que la base del clliáro
circunscrito es igual á un círculo máximo, y su altura al
diámetro, la solidez del cilindro será igual al circulo mi-
• Pr. I* ximo multiplicado por el diámetro*^. Pero la solidez 4
la esfera es igual al producro de quatro círculos máxi-
•Pr. 6. mos por la tercera parte del radio*, ó, lo que es té
uno, al producto de un circulo máximo pOr :| íAu*
dio , ó I del diámetro : luego la esfera es al ciUndro cir-
cunscrito como 2 es á 3 , y por consiguiente las solidecei
de estos dos cuerpos están entre sí como sus superficie!

Escolio: Si imaginamos un poliedro cuyas caras ti^
quen todas á la esfera, podremos considerarle comopi"
rámides cuyo vértice común es el centro de la esfera, f
cuyas bases son las diferentes caras del poliedro. Cb
está que la altura coman de todas estas pirámides ser|
el radio d§ la esfera , de modo que cada pirámide sen
igual á la cara del poliedro que la sirve de base miiltí'
plicada por la tercera parte del radio : luego el poliedn
entero será igual á su superficie multiplicada por el ter<
CIO del radio de la esfera inscrita.

Vemos pues que las solideces de los poliedros cir-
cunscritos á la esfera están entre sí como las superficie
de estos mismos poliedros. Así la propiedad que kM
demostrado para el cilindro circunscrito es comuna otra
infinitos cuerpos.

Se pudiera haber notado igualmente que las supeii
fieles de los polígonos circunscritos ai circulo estáa eost
sí como sus perímetros,

PROPOSICIÓN XVIIL

PROBLEMA.

Fig. 273. Suponiendo que el segmento circular BMD da um tí
volucm id rededor dei diámetro AG^ exurior á^^^^^i

9

LIBRO VIII. 26$

mentó , hallar el valor del sólido engendrado.

Báxense al exe las perpendiculares BE , DF ; tírese
CI perpendicular á la cuerda BD, y tírense los radios
CB, CD.

El sólido descrito por el sector BCA = ^^ x (CB) *
X AE ^ ; el sólido descrito por el sector DCA = | t x ♦ p^. ,(j^
(CB)^ X AF : luego la diferencia de estos dos sólidos, ó
ú sólido producido por el sector DCB = | ^ x (CB)«x
;AF — AE)= I :r x(CB)» X EF. Pero el sólido trazado
por el triángulo DCB tiene por medida |^ x(CI)* x
EF ^ : luego el sólido descrito por el segmento BMD = • Pr. 14^
t ^ X EF X ((CB)» — (CI)*). Pero en el triángulo rec-
ángulo CBI tenemos (CB )»— ( CI)J= (BI ) • = KBD)«: ^
uego el sólido descrito por el segmento BMD tendrá por
nedída|^xEFx|(BD)% ó|tx(BD)» x EF.

PROPOSICIÓN XIX.

TEOREMA.

Todo segmento de esfera comprekendido erare dos pla^
os paralelos tkne por medida la semisuma de sus bases
y^ultiplicí^a por su altura , mas la solidez de la esfera
le que es diámetro esta misma altura.

Sean BE , DF los radios de las bases del segmento, ^^8- *73»
2F su altura , de modo que el segmento esté producido
K)r la revolución del espacio circular BMDFE al rededor
[el exe FE. El sólido descrito por el segmento BMD ^ ♦ Pr. x8.
s igual á I X X ( BD )* x EF , el tronco de cono trazado
K)r el trapecio^ BDFE =f ^ x EFx ((BE )» -h (DF)« -h * Pr. 6.
JE X DB ) : luego el segmento de esfera , que es la suma
le estos dos sólidos , = | ^ x EF x ( 2 ( BE)* -+- 2.(DF)*
+- 2BE X DF -+- (BD) * ). Pero tirando BO paralela á
SF , tendremos DO = DF — BE ,. ( DO ) « = (DF )'—
iDF X BE -+- (BE) *^, y por consiguiente (BD)«:;= tp. 3.
BO)?H-.(.DO)»=.(EF)*^(DF)« ~ ^DF x BE ^
BE).* Substituyendo este valor en lugar de (BD)« en

34

L

266 GFOM'eTRÍ A.

la expresión del segmento , y borrando lo que se des-
truye, tendremos para solidez del segmento j^'kEFx
( 3 ( BE )' -t- 3( DF)* -*- (EF)') > expresión que se Ja-
compone en dos partes, la una Jx xEFx(3 (BE)' +

3(DFn, 6 EF X ( "■'")'^"- '"')' ) =s la »»

ma de las bases multiplicada por la altura; la ocni|Tx
•Pr. 14. (EF)' representa la esfera cuyo diámetro es EF*;lue-
Bícol. gQ tQ¿o segmento de la '(esfera &c.

Corolario. Si es nula una de las bases , el segraeati) ^
que se trata se transforma en un segmento esférico dt
una sola base : luego todo segmetito esférico de <ou k
tiene por valor la mitad del cilindro de la misma kx]
altura , mas la esfera de que es diámetro esta aitwa-

Escolio general.

Sea R el radio de la base de un cilindro, H n it-
tliraí la solidez del cilindro será «-R ■ x H,ó'R'íí

Sea R el radio de la base de un cono , H su altoni
iu solidez será"^ x R' x iH , ó|R *H.

Sean A y B los radios de las lases de un cono m-
cado , H su altura ; la solidez del tronco de cono ^
I'tHCA'-hB'-i- AB).

Sea R el radío de una esfera, su solidez será j^i<'

Sea R el radio de un sector esférico, H la ahun^^
la zona que le sirve de base; la solidez del sector lO)
|tR'H.

Sea P y Q las dos bases de un segmento esfí^"*

fl i t\

H su altura; la solidez de este segmento serál — I

X H H- J * H.>

Si el segmento esférico no tiene mas que unaba«'i
riendo nula la otra , su solidez será jPH-t- 1 » H.'

' FIN SB LOS ELEMENTOS DE GEOMETRÍA.

267

•»••«>••«««•»«>«><» #»#'#»»#»#'#*#'#'»#l^#»^ •«#'#'

NOTAS

A LOá ELEMENTOS DE GEOMEVTRÍA.

NOTA I.

Sobre algunos nombres y definiciones.

Oe han iotrodacido en esta obra algunas expresiones y
defíniciones nuevas » con el íin de dar al lenguage geomé-
trico mas ex&ctitud y precisión. Vamos á manifestar estas
mudanzas , y proponer otras varias , que podrían desempe-
ñar mas completamense el mismo objeto.

En la deáiiicion ordinaria del paralelógranío rectángu^
lo y del quadrado 9 se dice que los ángulos de estas figu-
ras son rectos^ seria mas ex&cto decir que sus ángulos son
Iguales. Porque suponer que los quatro ángulos de un qua-
drilátero pueden ser rectos, y aunque los ángulos rectos son
iguales entre si , es suponer proposiciones que necesitan de-
mostrarse. Se evitaría eáte y otros muchos inconvenientes del
mismo género 9 si , en vez de poner las definiciones , como
se acostumbra al principio de un libro , se distribuyesen en
el cuerpo del libro » cada una donde está la demostración
que ya supone.

La palabra paralelSgramo 1 iegun su etimología , sigi>i-
fica líneas paralelas ^ y conviene igualmente á la figura de
quatro lados que k la de seis , de ocho , &c. , cuyos lado!;
opuestos sean paralelos. La voz paralelepípedo significa tam-
bién planas parálelos f y lo mismos aplica al sólido de seis
caras , que al de ocho , diei^i &c.»,coAtal que.l^; opuestas

• • •

l68 NOTA I.

sean paralelas. Parece, pues, que las denominaciones de pa-
ralelógramo y de paralelepípedo, que tienen ademas el in-
conveniente de ser demasiado largas, deberian excluirse de
la Geometría. Podrian substituirse en su lugar las de roen
y romboide , que son mucho mas cómodas , y conservar el
nombre de losango al quadrilátero , cuyos lados son iguales.
La palabra inclinación debe entenderse en el mismo sen-
tido que la de ángulo ) una y otra indican la posición de
dos líneas ó de dos planos que se encuentran, o que, si se
prolongasen , se encontrarían. La inclinación de dos líneas
es nula quando el ángulo es nulo; esto es , quando coinci-
den ó son paralelas. La inclinación es mayor quando lo es
el ángulo , ó quando forman un ángulo muy obtuso, b
propiedad de ladearse está tomada en un sentido distinto;
una línea se ladea tanto mas sobre otra, quanto mas»
aparta de la perpendicular.

Euclides y otros Autores llaman freqüentemente trlk'
gulos iguales á los triángulos que solo lo son en supericie,
y solíaos iguales á los que solo tienen solideces iguales.
rfos ha parecido mejor llamar á estos triángulos ó á estos
solidos , triángulos 6 sólidos equivalentes , y reservar I2

' denominación de triángulos iguales ^ sólidas iguales ^ik

que pueden coincidir por superposición.

Es ademas necesario distinguir en los sólidos y en las
superficies curvas dos especias de igualdad , que son distin-
tas una de otra. Con efecto, dos sólidos, dos ángulos só-
lidos , dos triángulos ó polígonos esféricos , puedea ^
Iguales en todas las varias partes que los constituyenoslo
que por eso coincidan por superposición. No parece qoe se
ha hecho esta observación en los libros elementales ; y ^ÍQ
embargo, por falta de poner cuidado en ella, ciertas demov

^ traciones, fundadas en la coincidencia de las figuras, care-

cen'de exactitud. Tales son las demostraciones conqueraO'
chos autores pretenden probar la igualdad de los triángulos
esféricos en los mismos casos, y del mismo modo queladí
^os triángulos rectilíneos ; y hay de ello sobre todo un exeffl-

{)lo maniriesto, quando Roberto Simson (i), innpugnanio
a demostración de la proposición XXVIII , lib. XI de Ea-
elides , comete él mismo la falta de fundar su demostración
en una coincidencia que no existe. Hemos creido por cofl-
I

(O Véase la obra de este autor intitulada EucHdis Elemif^^'
^ fum ¡Uri ifix^ itc. GlasqHíe , 175^. '

NOTA I. 269

siguiente deber dar un nombre particular á esta igualdad, que
no estriva en la coincidencia 9 y la hemos llamado igualdad
f$r simetría y y las figuras que se hallan en este caso f las
denominamos figuras simétricas.

Así que las denominaciones de figuras iguales ^ figuras
sdmétricas 9 figuras equivalentes y se refieren á cosas distin-i-
tas y y no deben confundirse en una sola denominación.

£n las proposiciones concernientes á los polígonos, án-
gulos sólidos y poliedros , hemos excluido absolutamente
todos los que tuviesen ángulos entrantes. Porque ademas que
conviene limitarse en los elementos á las figuras mas senci»
Has y Sí no se verificase esta, exclusión , ó no serian verdade-
ras ciertas proposiciones , ó seria preciso modificarlas. Nos
bemos 9 pues , ceñido á considerar las líneas y superficies
que llamamos convexas y y que son tales, que una línea
recta no puede cortarlas en dos puntos.

Hemos empleado con freqiiencia la expresión , producto
de dos 6 mas líneas , por la qual entendemos el producto
de los números á que son iguales estas líneas , valuándolas
según una unidad lineal tomada á discreción. Una vez ñxa-
do el sentido de esta expresión , no hay dificultad alguna
en usarla quando sea del caso. Lo mismo se entendería lo
que significa el producto de una superficie por una línea,
de una superficie por un sólido , &c. : basta haber dicho,
de una vez para siempre , que estos productos se consideran
fí deben considerarse como productos numéricos, cada uno
'de la especie que le conviene. Así el producto de una su-
perficie pof un , sólido no es otra cosa que el producto de
un número de unidades sólidas por un número de unidades
superficiales.

Regularmente en el lenguage ó en los escritos se usa la
palabra ángido para denotar el punto de intersección de las
líneas que le forman : esta expresión es viciosa. Seria mas
claro y mas exacto expresar por un nombre particular , como
el de vértices , v. gr. , los puntos situados en los extremos
de los ángulos de un polígono ó de un poliedro. De este
modo se debe entender la denominación de vértices de un
poliedro , de que hemos usado. •

Hemos seguido la definición ordinaria de figuras recti-
líneas semejantes^ pero haremos ver que encierra condiciones
superfluas. Porque para construir un polígono , cuyo núme-
ro de lados sea n , es preciso desde luego conocer un lado,
y saber ademas la posición de los vértices de los ángulos

y

27© NOTA I.

situados fberi de este lado. Pero el número de estos ángn
ios es ü'^tf y la posición de cada ▼¿rtice exige dos daroi
de donde se deduce que el número total de datos necesario
para construir un polígono de n lados es i + in — 4, i
tii^-j. Pero en el polígono semejante hay un lado arbitra
rio ; así el número de condiciones que se requieren para qo
un polígono sea^ semejante á otro dado, es in — 4. Pero I
definición ordinaria extge 9 i.^ que los ángulos sean iguale
cada uno al suyo , y esio causa n condiciones ; 2.^ que io
lados homólogos sean proporcionales , lo que causa n — ;
condiciones. Hay 9 pues, en todo 2it *— i condiciones, yes
to hace que haya tres de mas. Para evitar este inconveoieo'
te, se podria descomponer la definición en otras dos, asi:
I. o Dos triángulos son semejantes quando tient%
dos ángulos iguales cada uno al suyo.

a. o Dos {polígonos son semejantes quando en uno)
en otro se pueden formar igual número de triángulos se-
mejantes y semejantemente dispuestos.

Pero para que esta última definición esté ex&ota de con-
diciones superfinas , es menester que el número de triáogoloi
sea igual al número de lados del poliedro menos dos, j
esto puede suceder de dos maneras. Se pueden tirar diago-
nales desde dos ángulos homólogos á los ángulos opoestost
y entonces todos los triángulos formados en cada poUgone
tendrá un vértice común > y su suma será igual al polígo-
no. O también se puede suponer que todos los triángula*
fornudos en un. polígono tienen por base coman un hia
de dicho polígono , y por vértices los de los diferentes án<
gulos opuestos á esta base. Siendo en uno y en otro C2U
M-^ 2 el número de triángulos formados de ambas partea,
el numero de las condiciones de su semejanza será an — di
y la definición nada tendrá de superflua. Sentada ya est:
nueva definición , la otra seri un teorema, que se podrá át
mostrar inmediatamente.

Si la definición de las figuras rectilíneas semejantes e
imperfecta en los libros elementales, la de los sólidos plú-
dros semejantes , lo es mucho mas todavía. £n Escluies
pende esta definición de un teorema que no está demostra*
do ; y en otros autores tiene el inconveniente de ser demí'
siado redundante. Hemos desechado , pues , estas definicio-
nes de los sólidos semejantes, y hemos substituido 0^1
fundada en los principios que acabamos de exponer. Pero
como bay otras muchas observaciones j^oe hacer sobre c$0

NOTA I. 271

particular , las reseryamos para^ una nota particular , que se
pondrá luego.

La definición de la perpendicular d un plano puede
considerarse como un teorema ; la de la inclinación de dos
fíanos necesita también comprobarse con algún razonamiien-
to» y otras muchas se hallan también en igual caso. Por
esta razón , conservando las definiciones según el uso anti«
guo j hemos cuidado de citar las proposiciones en que han
sido ya demostradas ; y á veces nos hemos contentado coa
añadir una sucinta aclaración, que nos ha parecido su«
áciente.

El ángulo formado por el encuentro de dos planos^ y
el ángulo sólido formado por muchos planos que concurren
en un mismo punto , son cantidades , cada una de su espe«
cié t á las quaíes seria tal vez muy del c;iso dar nombres y

{>articulares. De otro modo es difícil evitar la obscuridad
as circunlocuciones quando se habla de la colocación de los
Elanos que componen ia superficie de un poliedro ; y como
asta ahora se ha cultivado poco la teórica de estos soli-
dos , hay menos inconveniente en introducir expresiones
huevas y si las reclama la naturaleza de las cosas.

Por mi voto se llamaría esquina el ángulo formado por *
dos planos; la arista de la esquina seria la común interseca-
cien de los dos planos. Se señalaría la esquina con quatro
letras 9 de las quales las dos medias corresponderían á la
arista; y entonces una esquina recta strh el ángulo for-
mado por dos planos perpendiculares entre sí. Quatro esqui-
nas rectas ocuparían todo el espacio angular sólido alrede-
dor de una línea dada. Esta denominación nueva no impedi-
rla que la medida de la esquina fuese siempre el ángulo for-
mado por las dos jperpendiculares tiradas en cada plano i
un mismo punto de la arista ó intersección común.

Finalmente » se podría llamar angloide el espacio anga«
lar compreheudido entre muchos planos, que concurren
en un mismo punto. £i angloide se señalaría por la letra del
vértice acompañada de tantas 9 como aristas reunidas hay
cu el vértice ; el angloide recto estaria> formado por tres pia-
nos* i^erpendicu lares entre si ; ocho angloides recltos ocupar
rian todo el espacio angular esférico alrededor de un punto,
y dos angloides rectos , unidos por una cara común , for-
marían una esquina recta. . . . ^

Basta uu dato p^a deterjninar la esquina , y se necesi-
tan muchos para detejf minar el aogtoíde. £n geoeraLy todo

172 NOTA r.

angloide intercepta» en la superñcie denna esfera descrli
desde su vértice como centro, un polígono esférico; y
llamamos n el número de lados de este polígono , el m
ro de datos necesarios para determinar el polígono y el aa
gloide será in -•3. Por lo que mira al espacio angular, qc
es el grandor efectivo de cada angloide 9 es proporciooal;
arta del polígono esférico interceptado.

NOTA II.

Acerca áe un modo de demostrar anaUíicamenti í
frop. XX del libro primero , y los demás tmim
• fundamentales de la Geometría.

Se demuestra inmediatamente por la superposición, y si
ninguna proposición preliminar , que ¿los triángulos sm
iguales quando tienen un lado igual adyacente í ii
ángulos iguales cada uno al suyo. Llamemos f el lado I
que se trata » A y B los dos ángulos adyacentes , C el ter
cer lade>« £s preciso , pues , que el ángulo C esté entera
mente determinado, quando se conocen los ángulos A jl
con el lado p ; porqué si pudiesen corresponder mactoi<i
gnlos C á los tres datos A , B , /r , habría otros uoto
triángulos diferentes , que tendrían igual un ladoadyacen
te á dos ángulos iguales, lo que es imposible: laegoelin
guío C debe ser una función determinada de las tres can
tidades A , B , /^ ; esto se expresa así Css^ : (A, B ,/)•

Sea el ángulo recto igual á la unidad , entonces los ifl
^utos A , B, C , serán números comprehendidosentreofi
y ya que Ce=(p: (A , B , /;) , digo que la línea/» no to
entrar en la función p. En efecto , se ha visto qoe Ctó
quedar enteramente determinada con solo los datos A,B,j
i\tí mas' ángulo ni Imea alguna; pero -la linea /'es hetereo
genea con los números A , B , C ; y si tuviésemos una e(]Qi
ciod> qualquiei^a -entrei A , B , C , ^, se podría sacar el rain
>d*/7 en A jB^ C'-dc donde^ resultaría que/r esigualí"'
irófnero, Icf que ^es un «absurdo: luego p. ho paedeeotn
tú \x ívLtíAtíú ^ y j tenemos. siinpiemete C ss^ • (A, B).l'

' (i) Se^ha objetado contra esta demostración que, si ^^P
se al pie de la letra á los triángulos esféricos , resultaría que*"
an^ukxs oenocuios bastan para dátersndoarf el'tercero , \o queo^
<yi5dfi<^:eft fiifcys ír.lángtaQsL^Ar e»o te ríjspoide i qae en Ioí ^

r

NOTA II. 273

Esta fórmnla prneba ya, que si dos ángulos de an trian*
galo son iguales á otros dos de otro triángulo » los terceros
deben ser iguales : y sentado ya esto 9 es fácil llegar al teo-
rema de que tratamos.

Sea ABC un triangulo rectángulo en A ; desde el punto
A tirese á la hypotenusa la perpendicular AD. Los ángulos
B y D del triángulo ABD son iguales á los ángulos B y A
del triángulo BAC: luego , según lo que acabamos de de*
mostrar , los terceros BAD y C son iguales. Por la misma
razón el ángulo DAC = B : luego BAD + DAC ó BACr:
B 4. D ; pero el ángulo BAC es recto : luego los dos ángu-
los aguaos de un triangulo rectángulo valen juntos un
recto. *

Sea ahora BAC nn triángulo qualqoiera , y BC un lado Fíg. $.
que no sea menor que cada uno de los otros dos. Si desde
el ángulo opuesto A se tira á BC la perpendicular AD»
esta perpendicular caerá dentro del triángulo ABC» y lo
dividirá en .dos triángulos rectángulos BAD» DAC; pero
en el triángulo rectángulo BAD los dos ángulos BAD»
ABD Talen juntos un recto; y en el triángulo rectángulo
DAC los dos ángulos DAC» ACD valen también un rec-*
to. Luego los quatro reunidos » ó solo los tres BAC » ABC»
ACB valen juntos dos ángulos rectos : luego en todo trianr
guio la suma dz sus tres ángulos es igual d dos rectos.

Por aquí se vé que este teorema » considerado dfriori^ Flg.fl.
no depende de una serie de proposiciones» y que se dedu-
ce inmediatamente del principio de la homogeneidad » prin-
cipio que debe verificarse en toda relación entre qualesquie*
ra cantidades. Pero sigamos y hagamos ver que se puede
sacar del mismo origen los dfemas teoremas fundamentales
de la Geometría.

Conservemos las mismas denominaciones que en el caso

\
gulos esféricos hay un elemento mas que en los triángulos planos^

y este elemento es el radio de la esfera de que no se debe hacer

abstracción. Sea , pues , r el radio , entonces en vez de tener C =

f (A, B,p), tendremos C=^(A, B,p, r), ó solamente

íC=:^ (A, B» — )t en virtud de la ley de los homogéneos.

Pero una vez que la razón — es un número, igualmente que A»

B , C , no hay inconveniente en que •— no se halle en la fuiw
clon 9, y entonces np se puede dediicir(C.=:=^(A'Y PX <. ^ .

3Í

1

^7+ NOTA IL

anterior , y ademas llamemos m el lado opuesto al ingnlo A'
j if el lado opuesto al ángulo B. La cautidad m Jcbeqoe^
dar enteramente determinada solo con las cantidades A»
Bff: luego m es una función de A » B , /; ^ j lo es un-

bien — ; de modo que podemos hacer — = *: (A,B,f).

Pero — es un número lo mismo que A y B: luego la fúa-

p

cton "i" no debe contener la linea f , y tenemos solo — =

** : ( A , B ) , ó i9f &=9/ "^ s {Af B). Del mismo modo tene-
mos n=sf •*•: (B , A).

Sea ahora otro tri^íngulo formado con los mismos ángu-
los A , B, C, & los quales están respectivamente opuestos
los lados m ' 9 n% f\ Una vez que A y B son constantes,
tendremos en este nuevo triángulo m'=i/;'4 { A, B), y*
=/r' 4 •• ( B , A ). Luego w : f»^ 2 : « : n' : : / : /. Luego m
los triángulos equiángulos , los lados opuestos í los dnp'
las iguales son proporcionales.

La proposición del cuadrado de la hypotenusaySabeooi
qne es una serie de triángulos equiángulos. He aqui trei
proposiciones fundamentales de la Geometría , la de lostre;
ángulos de on triángulo , la de los triángulos eqoián^^
y la del qnadrado de la hypotenusa , que se deducen in-
mediatamente y con mucha facilidad de la consideración de
las funciones. Por el mismo caminóse pueden demostrar oid|
sucintamente las proposiciones pertenecientes i las iigorss}
sólidos semejantes.

Sea ABCD un polígono qualquiera ; sobre el ladoM
como base » fórmense tantos triángulos ABC y A6D,!íc.i
como ángulos C , D , E , &c. , hay hacia fuera. Sea lab*
se AB =r/ ; sean A y B los dos ángulos del triangulo A6Q
adyacentes al lado AB ; sean A^ y B' los dos ángulos (ic
tri.íngulo ABD adyacentes al mismo lado AB , y asi succ
sivamente. La figura ABCDB quedará enteramente deteroij
nada , si se conoce el lado p con los ángulos A , B, AS 5<
A'' , B^S &c. , y el número de los datos será en toíí
a» --3 f siendo n el número de los lados del poligonal
sentado, un lado ó una linea qualquiera x , tirada a diseñe
cion en el polígono, será una función de estos datos J(<

mo — debe ser un Damero, se podrá suponer — ■ ^^

(A, B,ASB',&c.),cSAr=/?^: (A, B, A,BStoi

NOTA 11/ 27$

|r en la fancion "F no se hallará p. S¡ se forma un segundo
polígono con los mismos ángulos A , 6 , AS B' , &c. , y
)tro iado/7% tendremos para la linea x' , correspondiente á
u homologa x , el valor x^=^f' ^ : (A , B , A' , B' , &c.):
uego x\ x'w f^f^ Las figuras a?! conjtrridas se pueden
Jefinir figuras s^mej antes : luego en ¡as figuras semejantes
^as líneas homologas son frojforcionales. Así , no solo los
ildos homólogos , las diagonales homologas 9 sino también
as líneas terminadas de un mismo modo en ambas figuras»
istan entre si como otras dos lineas homologas quaiesquiera.
LlamemDS S la superficie del primer polígono : esta su-
>erficie es homogénea ai quadrado f^ ; luego es menester

jue — sea un número que solo contenga los ángulos A , B,

V f B^ y &c. ; de modo que tendremos S'=f'^ ^ : (A , B,

V fB^ &c.). Luego S : S' : : ^* : jp'* : luego las superfi-
Íes de las figuras semejantes siguen la razón de los qua^
irados de sus lados homólogos.

Tratemos ahora de los poliedros. Se puede suponer que
t determina una cara por medro de un lado conocido^ y
le muchos ángulos A » B 1 C 9 &c. Ahora los vértices Je
3S ángulos sólidos» fuera de ésta base » estarán determinados
ada uno por medio de tres datos, que se pueden mirar co-
no otros tantos ángulos ; de modo que la determinación en-
era del poliedro depende de un lado/ 9 7 de muchos án-
ulos A 9 B , C 9 &c. ) cuyo numero varía según la natura-
IZ2L del poliedro. Esto sentado 9 una línea que une dos ver-
ices 9 ó 9 mas generalmente 9 toda línea x tirada determina-
iamente en el poliedro 9 será una función de los datos p^

L9B9C; y como--^ — debe ser un número 9 la función

íual á solo contendrá los ángulos A , B 9 C 9 Scj. ,

7 podremos suponer xinp^^x (A 9 B, C , &c. ) La supér-
ele del sólido, es homogénea á /?• 9 y así puede rapresen-
irse por /?«•*•: (A, B, C, &c ) ; su solidez es homoge-
ea á /?* 9 y puede representarse por />* n : (A , B , C , &o.)9
endo indeoendientcs de./> las funciones señaladas por f y íl-
Constrúyase un segundo sólido con los mismos ángu.
3S A 9 B , C 9 ice. 9 y un lado p' diferente de p ; 4 los s¿-
dos construidos de este modo llamaremos sóUuos semejan-
ís ; y sentado ya esto 9 la línea que era /; ^: (A, B, C, &c.)9
simplemente /r 9 en 110 sólido 9 será/' (P en el otro ; y asi la

• • •

' 276 NOTA If.

superficie qae era /?* '^ en el uno , será //• en el otro ; la
solidez , que en uno era /?' 11, será f'^ n en el otro. Lue-
go I.** los solidos semejantes tienen los lados 6 líneas ho^
filólogas proporcionales \ 2.® tus superficies son como Us
a u adrados de los lados homólogos ; 3.** sus solideces como
los cubos de estos mismos lados.

Estos mismos principios se aplican con facilidad al circu-
lo. Sea c la circunferencia , y j la superficie del círculo , cu-
yo radio es r. Ya que no puede haber dos círculos desigua*

c f

les trazados con un mismo radio , las cantidades — y —

deben ser funciones determinadas de r; pero como esta$
cantidades son números , no debe hallarse en sa expresión la

línea r ; y así tendremos — =z «t ; y — z=C, siendo ctyC

número? constantes. Sea c' la circunferencia , y sMa supcrfi-
ficie de otro círculo , cuyo radio es r' , y tendremos tam-

bien et , y — — zz C. Luego c : c* : : r : r' : : si s* : :

r* : r'» ; luego las circunfetentias de los círculos .w*
tomólos radios y y sus superficies como los quadrados de
los radios.

Consideremos un sector , cuyo radio sea r , y A el án*
guio del centro; sea x el arco que termina el sectpr,^ la
superficie de. drcho sector. Una vez que' el sector está ente-
ramente determinado , conociendo r y A ^ es menester que x

éy sean funciones determinadas de r y A: luego — é —
son semejantes funciones.' Pero — es un número , igualmei?-

'y •••■'•'• .

te que — — : luego en estas cantidades no debe entrar fj

y son simplemente funciones de A , de modo que tendré*

mos — =(p A, é — T^ = f : A. Sean x* é y' ti arco, y h

superficie de otro sector , cuyo ángulo es A , y el radio rS
á estos dos sectores llamaremos sectores semejantes ; y ya
que el ángulo A es el mismo en ambas partes, tendré-^

mos— — =(p: A, é ^^ ='i^ : A : luego x : ^r*: : r: r';

iy \ y'xx r^ : r'* ; luego los arcos semejantes ^ 6 los arcos
de sectores semejantes ^ son proporcionales á los radios ^f
los jec lores miamos son proporcionales 4 los quadradgs de
los radios. . .

•»

. NOTA 11. 3t77

Es claro que del mismo modo se probaría , que las esfe-
ras son como los cubos de sus radios.

En todo lo que hemos tratado hasta ahora se supone,
que las superficies se miden por el producto de dos líneas;
y las solideces por el producto de tres , cosa muy fácil de
demostrar también por medio del arialísis. Conúdcremós uq
rectángulo , cuyas dimensiones son f y.q, y representemos
su superficie , qué es una función de/; y f, por (p-. (/;, q}.
Si se considera otro rectángulo , cuyas dimensiones soa
p xi/ y qy es claro que este rectángulo está compuesto de
otros dps, uno que tiene por dimensiones/? y q, y otro
que tiene'por dimensiones p' y q; de modo que tendrc-
¿ioÍ9r(>+//,9l±:^: (/?, i) +^:(/.'^). Sea /^'=Sí^
rcsultV ip (2/;,»= 2 9 (P y ?)• Sea /? = 2/? , tendremos
cpiip, q) = <pif,q) +tp{2/;,í) = 3M/,í). Sea/;=3/;,
sale (p Uf, q)=ip(pjq) +^(3í»í) = 49 {jp^qh Luego,
en general,- si fe es uo número entejro qnajquiera, tendre-

De aquí resulta que ... es una función de /, que no

se altera poniendo en lugardífe/? un múltiplo qualquiera fe/;:
luego esta función no depende de/, y solo debe conte-

ndír '^. Pfero póir ^áa razoii semejante • ^^*^^ debe ser

í . ' t - ' q

ipdependiente,de/-^,IuegOj — m . í ^ ^ocqniíeneni/iii q,

y así esta cantidad debe reducirse á una constante <t* Luego
tendreimos 9 (/? , q)z=. ttpq ; y como no hay inconveniente
filgunpieo^ hacer cer: i , resulta 9 (/? , ^)=f/;^ ; así la super-
ficie dis un rectíkiigulo es igual al producto de sus dos di-
jHensiones. :..-!

Se demostraría , de un modo enteramente semejante^
que la solidez de un paralelepípedo rectángulo , cuyas di-
mensiones son / , ^ , r , es igual al producto pqr de sus tres
dimensiones.

Concluimos observando, que la consideración de las
funciones, que suministra de este mpdo una demostración
sencillísima de las proposiciones fundamentales de Geometrí;ii
ha sido empleada ya con muy buen éxito para la demostra-
ción de los principios fundamentales de la Mecánica. Véase
las Memorias de Turín , tomo IL

278 NOTA III.

NOTA III.
Sobre la aproximación de la proposición XVI^libAl,

Dado el caso de haber hallado un radio excedente y
on deficiente y que coinciden en las primeras cifras, se pue<
de acabar muy pronto el c&lculo por medio de una fórioub
algebraica.

Sea a el radio deficiente , y ¿ el excedente , coya dife*
rencia es corta ; sean a' y b* los radíos siguientes qoe se de-
ducen por las fórmulas V=z\/áby a'—\J [a,t_\,

Lo que buscamos es el último término de la sirles, ^',
áif'^ &c.y que es al mismo tiempo el de la serie ¿, b\ t\ h
Llamemos á este último término jr, y 9ck b-:za(i \9\
podremos suponer xzna {i ^P» -j. Q»*,;j. &c.y, sicDdoP
y Q coeficientes indeterminados. Pero los valores de i
y a! dan |

Z/ = a(.i+|/^ — }•• + &€.)
7 si hacemos igualmente y;=iaf ( i ^ «' )| teodreaot

^/ X $ S j?rp

4 "' sa

Pero el valor x debe ser el mismo, aunque (a serie
ñ%p/ ^ a** i &c. ♦ emoiece por a 6 por a'\ luego mki
(i+P«+Q«« +&c.) = ^'(i + P«' + Q«'« &c.i
Substituyendo en esta equacion los valores de it'y de^^i^
ay t»^ Y comparando los iiérminos semejantes , deduciré*

mosP=|, Q=— ¿: luego

«

Si los radíos a y b coinciden en la primera mitad desiv
cifras y se podrá desechar el término »* y y el yaloraotenot

se reduciri á x= a ( i+| ») =a-h Así haciendoJ

3
=: 1,1282657, y ¿=:i|i28$o63y se deducirá inmcdiio*

mente a;=: 1,1283792.

Si los radios a y b no coinciden sino en la primera te|'

cera parte de sus cifras , será preciso tomar los tres téí^'

NOTA nr. 270

os de lafármoU antecedente; así haciendo ^=1,1265619
' bz=L 1,1120149 , resalta xz=. r,i28379i.

Se podría suponer ofi^ay b están todavía menos cecea *
no de otro ; pero en tal caso seria preciso calcular el valor
c X con mayor número de término.

La aproximación de la prop. XIV, que es de Santiago
^r^gpry , «s susceptible de semejantes abreviaciones; Cíta-
los la obra de este autor , i que se guedc acudir , intitula-
ziVíra circuli et hyferbolae quadratura\ obra ¿e gran
lérito para el tiempo en que ha saHdo á luz.

NOTA IV.

"N

» 1 »

"ionde se demuestra aue la razón de la circunferencia al
diámetro y su quadrado son números irracionales.

• ^1

Considefemos Jaserie infinita

a a^ 1 a^

1 H +}. 1 f ^ 4- Sto

± - 2.Z-+ I 2.3 2. % + !.» + 2 ^V^*"

supongamos que <p : 2: representa su suma. Si ponemot
+ I en lugar de 2: , 9 ( z + i) será igualmente la suma de
serie. ^ . • -

a a^ X ya^ 1

T- ; hf. — ; ; — H — >^.' — ^ .' 1, ju &c

* + I 2 + í>2 + 2 , 2.3 2 + I.Z + 2.2 + 3

eternos estas dos series , término por término , una de
;ra , y tendremos 9 ; z - 9 : ( z + i) para suma del residuo,
le será

. 2 + I . 2. 2 -f i,i +i a :a '2.2 4.:!: i 4: 3. * + 3

sro esta resta puede e$cr¡}>¡rse eo esta forma.

a / a ' i a^ \
r^-^'l í "í h— .^ .i— .4. &c • 1

. */? + ':L- •* + ». * .^..+^.2 + 3 ^^^-'y

entonces se-.r¿duce á /" I f-^U-f.^): Luego tendré-

*.2 -f- I ^

OS generalmente ..... ^

^ • ^— ^ ••(z-Hi)=: (p.\(í? + 2).

i vi damos esta cqüacion por 9 : (ar + i), y , para simplificar

a8o HOTA IV.

d resultado » sea 4 : ^ uoa aueva función de z tal qw 4::

C2 JL.?lil+JÍ Enf<$n€es podrimos poner —^ ea tcí

de , ^^^ , y ^'-^'^^^^^-^'^ en lugar de?^^Í
Hecha la substitución resulta

• a ^

Pero poniendo sucesivamente en esta eqüacioo <r j^ i» 4I1
&c. , en lugar de z saldrá

4: (Z+2)=-^- ■-- -,80.

Luego el ralor dtlrz puede expresarse así eo fncdoiicoi
tíaoa:

I 2H a

z^\

2? 4-2-4- &a

Recíprocamentei esta fraocion continua: prolongada il'<^''

to /tiene por suna H' : ,2, ó su igual — , T ., ' ^ -iy«

% 9:2

ta soma t descifrada en series comunes ^ es

\ i+v.-í \ -^\. : fe

^ I + -1 + f _f + &c.

z ar.+z+i

Sea ahora z: i fh fracción continua ser^

* t . .

• % «

K o T A xv: i£t

— 4^
I + — 4a

. 5+&C.

íti la qaal los numeraclores , excepto el primero , son to-
dos iguales á 4^1 , y los denominadores forman la serie
3e los números impares 1,3, j , 7 , &c. Tambifen se
puede expresar el valor de esta fracción continua de, es-
le modo

4a i6a* 64a*. '

I +— + — + — +&C.

2.3 2.3.4. 5 ^-S-'Z

2a.-

4.a 16a* 64a'

1 + h -—''+ +&C.

2 2.3.4 2. 3. ..6

?ero estas series §e.. refieren á series conocidas, y sabemof
jue si^ representamos por ^ el número cuyo logaritmo hi-
perbólica es. I, la expresión anterior se reduce í

' - ' . . - . ■

. V^; de modo que en general penemos *

.^ y. _ 4^ .

3+4»

• - > » » . r ' ' * ■».

De ^9^^ resultan dos fórmulas, principales según sea a po-
citivo ó negativo. Sea 4^= ^* , tendremos

36

2Sl: NOTA IV.

5 +&C
Sea abora 4 4 = — jt* » y en virtud de la fórmob coDocids

^ j ■! — =;\/— I* tang. X , tendremos

tang. X =2—

X — x«

5— *«

7 — &C.

Esta es la fórmula que servirá de base á nuestra
tracion. Pero antes de todo, es preciso demostrar los dos
lemas siguientes*

LEMA I. Sea una fracción continua

m

mf

n^ + — ^^

»'' + &c.,

prolongada al infinito j en la qual todos los uámem^
ni m , n', &c. son enteros fositivos 6 negativos •<! ji'^

supone que las fracciones componentes JL Jíl , Se.

n ' n' ' n"

sean todas menores que la unidad: digo que cln^^^
total de la fracción continua sera necesariamente un nir
mero irracional.

Digo desde luego que este valor será menor que la od"'
dad. Con afecto , sin disminuir la generalidad de la fa'
cion continua | se pueden suponer positivos todos los Je*

NOTA IV. 28j

3m¡nadores »> n'^ n'\. &c. ; si tomamos nn solo t¿rmi«
) de la serie propuesta , tendremos por hipótesis ^<x. Si

m'

tomaa los dos primeros i por ser — y<i ^ es claro que

m'

-^ — ^es mayor que n-— i í pero m <n i y por ser am-

ni
>s enteros i m sera también menor qae » •}- — ^ : laego el

ilor que resulta de los términos

Z. ni

« + —

rá menor que la nnidad.

Calculemos tres términos de b fracción continua pro«
esta ; y desde luego i según lo que acabamos de ver^

iralor de la parte

m

/

m

//*

fi'

i menor que la unidad* Llamemos á este yalor « i y es

m

ro que será todavía menor que la unidad ; luego el

!or qu^ resulta de los tres términos

m ' ,

fi + — m^'

menor que la unidad. Continuando el mismo razonamien*
se verá que, sea qual fuere el ntíqierp de términos que se
::ulan de la fracción continua propuesta , el valor que re*
ta siempre es menor que la unidad : luego el valor total
la fracción continuada al infinito » es igualmente menp^
i la unidad. Solo podriaser igi^al á la uuidjadjenei caso de
5 la fracción propuesta tuvifsc esta fofn^. , _

• • •

^^8^ NOTA IV.

* * «

m

■ .': -^ — tn/ .■ • ,,

. mf+ i

en qualquiera otro caso siempre será menor.
' í Esto sentado-, si se niega que el valor de la fraccloncon-
tinua propuesta sea igual á un námero irracional , supooga*

mos que es igual a un número racional, y sea este oúmero-,

siendo B y A enteros qualesquiera; tendremos pues

B ^ m -^
~ m'^ i

Sean C; D, E, &c.*cafiltidades indeterpiihadas tabq»
ttngamojí

C if/ "^'

i'r.

m'"

JJ «' -f •,

» 'H

y así al infinito. Conío estas diversas fracciones tienen
sus términos menores que la unidad, sus valores ósüidí

•t:^>'^*Tr>Tr>" ^^''*^^** támbicnmenoires cjué la unidiM

A, i> Ci i:) í :i -

•r

,i; :1i;."J

¿un lo que acabamos de. deímosfrar ; y así tendremos "'
A , C <'B ,' D <, C , &c. ,* de mbdó. qué' la serie A , ^r
D^j E r • &c.- es 'decreciente -álnniinitb. ; Pero cT encadeoaoiií
to de las fraccioná^^cbntfiiiias' dfe' ^^e' Ve Iráta- dá

• •

NOTA IV. 285

A w -f . — : de donde resulta C ca «i A — « B, ,
B

C _m'

B «' + — . de donde resolta D =sot' B — «' C,
C

D:_ m"

C «'' +—; de donde resulta Es «i"C-«"D,

D

&c. &c.

T una vez que los dos primeros ndmeros A y B son enteros
por suposición , se sigue que todos los demás C , D , E , &c. ,
que hasta ahora eran indeterminados, son támltien números
enteros. Pero es una contradicion manifiesta que una serie in-
finita A,B,C,D,D,E, &c, sea á un tiempo decrecien-
te y compuesta de números enteros ; porque ademas ninguno
de los números A, B , C, D , E , &c. puede ser cero, pueí
la fracción continua propuesta se extiende al infinito, y así

B C D

las sumas representadas por — , — , — -, &c. deben siempre

valer algo. Luego es absurdo suponer que la fracción continua

B
propuesta es igual á una cantidad racional — : luego esta su*

xna es por precisión un número, irracional.

XEMA II. Sentadas las mismas cosas y si I As fracciones

m m^ m'^ ' , , 7 .

componentes — , — , — , &c» son de un valor qualqutera
^ n p' n''

al principio de la serie ^ pero después de un cierto inier'»
vulo son constantemente menores que la unidad ; di¿o que
la fracción continua propuesta , suponiendo siempre que sg
extiende al infinito , tenard un valor irracional.

Porque y si contando desde — por exemplo ^ todas lat

a 84

m

KOTA IV.

' ;; m + i ; ^'' ■

. m^ + I ^

eo qnalquiera otro caso siempre será menor.
• í Esto untado-, sí sé niega que el valor de la fraccloncofl-
tinua propuesta sea igual á un námero irracional , suponga*

mos que es igual a un nunaero racional, y sea este oúmero-,

siendo B y A enteros qualesquiera ; tendremos pses

B m •'

A H+ ^ w''

n' + — 7. o

Sé'an'C; D, E, &c.-cáltidades indeter'pirnadas éaf
ttngamojí

i ^ ,. •

. » ^ • <■ ' i'

'I • . •• I I V

C ¿^^4-^'

.-. .: '. W'V+&C.

j.. miv

y asi al infinito. Conío estas diversas fracciones tienen
sus términos menores que la unidad, sus valores o

B'-<SDÉ :' ■ '■■■■■ ■•■' •,'"■•:■,':; "'■• .■ ,,

•,&€i'sferáh támbicn'meftores ^ue la unidi^j»

A, B -C £> í ._jo .(. iií.v-j

¿un 16 que acabamos de. demostrar; y así tendremos
A , C <BV D < C • &c. V de mbáo que'la serie A, B.^

A, C<'BV D <.C, &c., de mb<lo que' la serie
D*,. E r &:c.-''es'íiecrecrente -álHafinito. ' Pero eT er
to de las fraccionad ^cbntfniias''db'4'^e''íí tratada

KOTA IV, 287

m m
tangente — :=: — m«

n n— — w*

3fj— — m*

5n

yn— &c.

Pero esta fracción continua está en el caso del lema 11; por«
que es claro que los denominadores 3» » 5n, 'jfif &c. van
continuamente en aumento, mientras el numerador iti* per-
manece siempre el mismo , y así las fracciones componentes
scr&n muy pronto menores que la unidad : luego el valor de

tang. — es irracional : luego si el arco es conmensurable
n

con el radio , su tangente será inconmensurable.

De aquí resulta , como consecuencia inmediata , la pro-
posición que da motivo á esta nota. Sea ^ la semicircunfe^»

rencia ^ cuyo radio es i ; si x fuese racional , el arco -— ^
^lo seria también, y por consiguiente so tangente debería ser ir-

racional; pero sabemos, al contrario, que la tangente del arco —

4

es igual al radio : luego t no puede ser irracional. Luego la

razón de la circunferencia al diámetro es un número ir»
racional [i),

£s probable que el número w no está comprehendido en-
tre las cantidades irracionales algebraicas, esto es, que no
puede ser la raíz de una eqüacíon algebraica de un número
finito de términos, cuyos coeficientes son racionales; pe-
ro parece muy dificil de demostrar rigurosamente esta propo-
sición : lo que haremos será probar que el quadrado de 7t es
todavia un número irracional.

Con efecto, si en la fracción continua que expresa
tang. X , hacemos ^ =: tt , á causa de ser tang. sr == o, debe-
,inos tener

(i) Lambert fué el que demostró esta proposición por la prime-
ra vez, en las memorias de Berlín, año 17^1,

j^$8 NOTA IV,

w*

5 »•

&c.

f7»

Pero si íT fuese racional y tavicscmos t« = — , siendo «

I»
y « enteros, resultaría

m
3=— m

5« m

7 m

9w

II — &c.

Pero se ve claramente qtie esta fracción contínna estífiT'
davia en el caso del lema n : lo^go ia valor es irraclo&il
y no puede ser igual al numere 3. Luego el quadraio dt^
razón de la circunferencia al diámetro es un nimtro if'
racional,

NÓTÁ V.

I
I

Donde se da la resolución analítica de diversos ff^X^^"^
pertenecientes al triángulo , al quadrildtero % dp^^^'
le^ífedo y á la pirámide triangular.

i

FROBI.BMA I.

Toados los tres lados de un triángulo , hallar su íif "j

ficie , el radio del círculo inscrito , y el radio del cm

circunscrito.

Fig. 3. , Sean los lados BC,= /? , AC ea ¿ , AB = c. Si desJe'

vértice A se tira á su lado opuesto BG la perpendicular ll

• Pr. I a. tendremos * ( AC )» = ( AB)* + (BC)* 2BC x l^'^

go BD s : . Este valor da ( A B )* — ( BP

ai

/ ¿»« + f * b \

NOTA v; 289

; ^ : luego A Dzz

—*= ^ : i-J - Sea S la ár^a del triángu-
lo , tendremos S ea I BC x AD: luego

Esta formula puede reducirse todavia á otra forma mas có-
moda para el cálculo logarítmico ; y para esto es preciso ob-
servar que la cantidad 4^1* f« — {a^ + c* —¿a)* es el pro--»
docto de los dos factores 2ac + (a^ + c^ — ¿*; y lac-^
(^ « + c* — /;») el primero igual á (¿» + rj* — b^ =í(a -h c + 6)
(a ^ r-^i-í), y ct segundo igual á ¿«r^^ (a -7— ^)» !=s(¿ + ^ — c)
(b. — a-^c): luego tendremos
S=i\/[:{a + l^ + c) {a'\-b—c){a'{-c^b) {b -^^ c -^ a)].

a -i- b + c
En fin , Si hacemos ■ ■ ■ = p , que da a +/ 4- r = 2^,

2 -

i^b^^c'=z2p — 2c^a^c — b-=z ip — ib^ b -{■ C'-r^az:^
2/?.—* 2a, tendremos mas simplemente todavía
S-rzy/ {p, p — a. p — b.p—rc).

Por donde se ve quje para hallar la superficie de un triángii*
lo cuyos tres lados son dados , se debe tomar la semisuma
4c estos tres lados , de esta semisuma restar succesivamente
cada uno de los lados , lo que dará tres residuos 6 restas^
multiplicar estas tres restas entre sí y por la semisuma de los
lados y y finalmente extraer la raiz quadrada del producto*
cuya raiz será la superficie ó área del triángulo.

Sean ahora u el radio del círculo inscrito al triángulo , y
^ ^I radip del círculo circpnscrito ; tendremos , segua la prp-
posicion xxxii > Ub. iii ,

z = , u = ^— « — ^ -^ 2 luego substituyendp et

S aJ^bA^c p

*

valor hallado de S, será

z 5=B-T ^'"' , . ^.u=\/ fp-a.p-b.p.c\

\/<P- / — w. i> — ¿. / — c.) í J,

37

290 KOTA V.

PaOBLBMA II.

Dados los quatro lados de un quadrildUro inscrib,
hallar el radio del círculo » la superficie del quadrilátt'
ro y sus ángulos.

Jlg,A, S^^Q ^os '^^os dados AB a4 , BC s b, CDsr, DI

s:df y las diagonales incógnitas ACs x^ BD z:;". Tendré'

moS) seguo el teorema 331 lib. iii^ xy zzac \.bd^)-^

ad JL be

— -^— ,; de donde se saca

áíb j^cd

, nac ^ b Jijad ^ bc) \ J{ac J^bijiab \tá

pero, según el problema anterior, el radio del círculo cit*
canscruo al triángulo ABC» cuyos lados son a^b^x^p

abx
de expresarse por lafomola z=i

Substituyendo en lugar de ir el valor que acabamos de iullaf)
y descomponiendo el resultado en factores j saldrá

(ac + bd) fad + be) (ab + cd) \

{aj^b^ C'd)[a \^b j^d c)(a + c + d'b)\,b 4. c^i'4

iabx .
Esto sentado 9 la íirea del triángulo ABC = f u de

z

i cdx
triángulo ADC =: i luego la área del qaadrilto

z

ABCD = |,(f*+ifff) : y esto «s igual á

z

iy/\k^ -h * + C'dy^a 4 b \d'C){a + c + d'b){b^ + d-a]]
Y si hacemos para abreviar f zn i (a •\- b ^ c ^ d) ^ tendfí
anos la área ABCD =: \/[p — a.p — ¿. p — c. P — i).Eníí

para tener uno de los ángulos 9 por exemplo, el ángulo A

/?» i. ¿í-í'
se observará que el triángulo ABC dá eos, A= ; —

foVstituyendo el valor de x y reduciendo ^ tendremos cos<i

NOTA V. 291

af + bf^c*—d* , I — COS. A

r= . üe aquí se sac a » ■ ■ o tang.a

2 ab ^ 2 cd I -f COS. A

Luego tang, i A =: %/ p^— ^; ^~ \

PROBLBMA III.

JEn el quadrildíiero ABDC , cuyos dngnlos opuestos B Fig. ^
y C Ja» rectos y dados que sean los dos lados AB , AC con
el ángulo comprehendiao B AC > hallar los otros dos lados,
y la diagonal AD.

Sea AC = t, AB =: c , y el ángulo BAO = A. SI
se prolongan BD y AC hasta que se encuentren en Ej^
el triángulo BAE 9 rectángulo en B > y en el qual se co-
noce el ángulo BAE y el lado ABD, darí AE =--1^:

COS. A'

c

luego CE =;: . . ' . — ^ b. El triángulo DCE , rectángulo

COS. A

én C f y ea el q^al se conocen el lado QE y el angula

^•■^v^ A m ^^ ^^ A r-^fr COS. A

CDE = A, dará CD :=: CE cot. A = r , Ten-

sen. ix

b — reos. A
dremos pues semejantenaente BD = ■ Estos son

sen. A

los valores de los dos lados del quadrüátero que se bus-*
caban.

De aquí resulta la diagonal AD = y/((AC)a + (DC)^)r5
. / /c — b eos. A\«\ \/(b' + ra — ibc eos. A) _

for el triángulo BAC, tendríamos BC=V{''* + í^*-2bccos.A)*
,uego la diagonal AD y que une los dos ángulos obli*
quos, está pon la diagonal BC y que une los dos ánga«
los rectos ; : i : sen. A«

• f

2^2 NOTA V.

Escollo. Ld diagonal A D es al mismo tiempo düme-
tro del circulo en que estaría inscrito el qaadilitero ABDC.

En este círculo tendríamos el ángulo ABC =: AD£:
luego baxando á AB la perpendicular CF , los tríángolot
BFC , ADC son semejantes y dan AD : BC : : AC; FC*.;
I : sea. A \ y esto concuerda con el resultado anterior.

PROBLEMA IV.

Hadas las tres aristas de un paralelepípedo con kt
ángulos que forman entre sí y hallar la solidez del ^if^
ralelepipedo*
'* ^- Sean las aristas SA s / , SB = ^ , SC = ^ , y los ái'¡

gulos comprehendidos ASBrrety ASC= C, BSCsj'. Sida-j
de el punto C se tira al plano ASB la perpendicular CO,
ci triángulo rectángulo CSO dará CO = CS sen. CSO:
b sen. CSO. Ademas la superficie del paralelógratno ASBi^^
fg sen. A. Luego si llamamos S la solidez del paralíe-
pípedo ST| tendremos S ^ f¿h sen. a sen. CSO. No»
queda por hallar sen. CSO.

Para esto « desde el punto S» como centro y con un ni'

dioss i , describase una superficie esférica que encDcotrc eo

? D , E , F , G á ías rectas SA , SB , SC , SO ; resübiüfl

I" triángulo D¿F, en el qual el arco FG es perpcAolit

á ED, por ser el plano CSO perpendicular á ASB. íí'
ro el triángulo DEF , donde se conocen los tres ladosDÍ!

Cos. C — COS. « eos, y -

«, DF eC, EF ff>, di eos* E = -, yscQ.í¡

sen. ce sen. y

, \/{ \ — cos.*fle^>— COS.* t — co^^ > -t- ^ gQS. ce cos.Ccos.>V

sen. « sen. y

Ademas el triángulo rectángulo EFG da sen. GF ó «
CSO=: sen. E sen. EF =i sen. y sen. E. Luego S s/¿*5^
ce sen. y sen. £ y 6

Szz/¿/t^{i — .cos.«fle-— cos.'C— .cos.«>' ^ 2COS.<ecos.CcoW

En esta expresión la cantidad que está debaxo del r^^'
cal es el producto de los dos factores sen. «e sen. > 4;°
^**^ COS. « eos. y^ y seo. cesen. ^— *cos. ^ ^ eos. a eos. ^* ^!

r V > + ^ + >« + y — ^
nerd rr eos. f— eos (ee + >)= 2 sen.-— i — i — sen— i-i^ j

2 2

ú segundo =: eos, («— )^)— co$. C s= 2 sen —

-Jl-1 • Laego la solidez bascada es

(en.

2

a^/VU n ^ ^ scn^lJ: ^sen—í sen-I \

2 2 2 2/

PROBLEMA T.

liadas las misnt-is cosas que en el problema anteriéry
\allar la expresión de la diagonal tirada entre dos ver*
fices opuestos.

Sea la diagonal de la base SP = x, y la diagonal
|ue se busca Sr = «. El triángulo ASP, en el quafcos.
JAP=2 — COS. «c. dará z* =/^ ^ g' ^ ifg eos. «t. Del
nísmo modo el triángulo TS? , en el qual eos. TPS — =55
:os, CSP , darán* r: ^' ^ A^ ^ ihz eos. CSP. Solo se tra-
a de hallar el coseno del ángulo CSP ó del arco FH ; pero en
íl triángulo esférico EFH tenemos eos. í H=2 eos. EF eos. EH
+ sen.EF sen. EH eos. E. Substituyendo los valores EF=>,
f COS. E ==

;os. C — COS. «t*cos. y

— ^ , será COS. FH =: eos. y eos. EH 4.

sen. «t sen. y ' . ^ -r

en. EH
sen. «

(eos. C — COS. fit. COS. y\=z

ín.BHcos.tf sen.(<K ^EH).cos.> sen.EHcos.g -f sen.PHcos.n

sen. « sen. « sen. tt

«uego 2hz COS. FH , ó ihz eos. CSP =

rsen.EH , j2r sen. DH ^
A COS. C + ihcos.y— . Pero en el tnaa-

sen. *. SCO. tt

294 NOTA V*

guio BSP tenemos BP=ÍIiíí!li5L, y BS=: SP^»>SBP

*^ seo. SBP ' ^ sen. SBP '

, , , , * sen. EH . 2^ sen. DH ^

de donde resulta =/ , y = g. Luego

sen. flc sen. «

aA2r cosi CSP = 2/4 COS. ^ ^. ijfA eos. y. lluego finalmente el
quadrado de la diagonal que se busca es

«f =/í -{^ ¿^ +^'' ■{- 2fg eos; et 4, 2/4 COS. C+2gA^ COS. >.

Corolario» £1 ángulo sólido A está formado por las
aristas fygyhy haciendo entre ellas de dos en dos los
ángulos 2oo«> — ec, 20G<> — ^, <sj ; así basta mudar los sig-
nos de COS. ft y eos. ^ en la expresión de (SE)* para te-
ner la de (AM)*. Haciendo lo mismo para las otras dos
diagonales» tendrémosles valores de sus .quadrados como
sigue :

(STj« =/* + ^« + A« + 2/^ COS. flc + 2/4 COS. ^ + %gh eos. >.
(AM)' =/• +^» + h^—^ifg COS. rt— 2/4 COS. ^ 4. ajA cos.>.

(BN)^ =/• +á^* + h^—^lfg COS. flC + 2/A COS. C 2^>l COS. >.

(BP)« 2=3/ -^¿^« + Aa 4. 2^ COS. a — 2/4 COS. ^ — tgh COS. ^

Deaquí sesaca(ST)« + (AM)» + (BN)« 4. (CP)«4/=« + 4f « + 4^*.
Luego ^» todo 4)aralelefipedo la suma de los quadrados
de las quatro diagonales es igual d la suma de los quadra^
das de las doce aristas. Este teorema notable y análogo al
• Pr. 14. que se verifica en el paralelógramo ♦, podría deducirse inme-
3. Cor. diat^mente de este último; porque por medio do los pa-
ralelógramos SCTP , ABMN , tenemos

(ST)* + (CP)'= 2(SC)» + 2(SP)«
(AM)« + (BN)« = 2(BM)« + 2(AB)a.

PltOBLBMA VI.

Toadas las tres aristas que terminan en un mismo vír^
tice de unapirdmide triangular , y los tres intuios que fot'
man estas aristas entre stj hallar la solidez cíela pirdmide»

Sea SABC la pirádime triangular propuesta , en la qaal
se conocen las aristas SA=:/> S&izg ^ SQ=:/i; y los

ingnlos comprchendiclos ASB = « , ASC e f , BCS sy. S¡
sobre las aristas SA, SB, SC , cuya magnitud y posi-
ción está dada , describimos el paralelepípedo TS , la pi-
rámide que es la tercera parte delprisma triangular BSANMC
será la sexta del paralelepípedo ST. Luego llamando P
la solidez de la pirádime , tendremos según el probl. 4 ,

I^— f^-^V (I— C0S.*<*— COS.«^— COS.^J' 4. 2COS.tfCOS.CcOS. «).

^ *^ = f fS^ V (sen- ^ — sen. sen«

• 2 a 2

sen. >■*■ — * ,

2 PROBLEMA TU.

Dados los seis lados 6 aristas de un firddime irían*
¿ular , hallar su solidez.

Si conservamos las misabas denominaciones que en el Fi¿. 7.
problema anterior, y hacemos ademas BC=/', CAs=^.

f^ + ^ — h'^
B A S3 A' , tendremos eos. « = — -, eos. í ss

¡r-^-i eos. y = -—7 ^

a/A 2jA

Substituyendo estos valores en la fórmula bailada , y ba«
cicndo para abreviar F ;= jf« VA» — /'» , G =5/* + A — s
¿'* , Hn:/*+^* — A'a, tendremos la solidez pedida

P « ^ V^ (4/^ ^* Aa— /•« F«— ^» G^— /ía H« + JGH).

£n la aplicación de estas formulas se observará que/''^
^% h'f denotan los lados de una misma cara ó base, y
/f S f ^f las otras tres ^iristas que van á dair al vértice,
siendo tal su disposición que / es opuesto á /' , <? á ¿',
h á h*.

Escolio. Sea A la suma de los quatro triángulos que
componen la superficie de la pirámide ^^ sea r el radio de
la esfera inscrita, es fácil de ver que tenemos P e= A x 3^;
porque podemos imaginar la pirámide descompuesta en otras
quatro , -que tendrian por vétiice - coraüh' el centro d©
la esfera , y por bases las diferentes caras de la pirámide;

Xuego sacamos el radio de la esfera inscrita , r :=: — —

296 NOTA V.

Dadas las mismas cosas que en el problema vi , ha*
llar el radio de la esfera circunscrita á la pirámide.
Fig. 8» Sea M el centro del círculo circunscrito 2I triangulo

SAB 9 MO la perpendicular tirada por el punto M al pla-
no SAB. Sea igualmente N el centro del círculo circuns«
crito al triángulo SAC , NO la perpendicular levantada al
plano SAC en el punto N. Estas dos perpendiculares ^ si-
tuadas en un mismo plano MDN perpendicular á SA , se
encontrarán en un punto O ^ que será el centro de la es-
fera circunscrita. Porque el punto O » como perteneciente
á la perpendicular MO , está equidistante de los tres pun-
tos S , A , B ; y este mismo punto , como perteneciente
á la perpendicular NO , está á igual distancia de los tres
puntos S , A , C : luego equidista dp los quatro puntos
S , A , B , C.

Se puede imaginar que el punto M está determinado en
el plano SAB en medio del quadrilátero SDMH , cuyos
dos ángulos D y H son rectos /y donde tenemos SD sa
} /, SH = J^ , y ASB = flt. Luego tendremos (según el

^^— jycos. flt

pr.ob. iii), PM = . . ; del mismo modo ten^

s$?n. pL

j T^xT i*— i/cos.C

aremos DN =: ?-.

sen. Q

Llamemos D el ángulo MDN que mide b inclina*
cion de los dos planos SAB» SAC. En el triángulo esf¿«
rico , cuyos lados son « » ^ 9 > 9 D será el ángulo opués-

, , j ' . j T\ ^^^' > — '^^*« * eos. C
to al lado > , y asi tendremos eos. D = ,.

sen. ct sen. C

de modo que el ángulo D puede suponerse conocido.

Esto sentado , en el quadrilátero OMDN , cuyos Aot
ángulos M y N son rectos , y del qual se conocen los
dos lados MD y DN y el ángulo comprenendido MDN=: D|
tendremos I según el problema ni> el quadrgdo de la dia«
gpnal

NOTA V. 297

^x^T^x nDM> + (DN)«_2DMxDNcos.D .^

(OD)a ::: ' " ■ ■ ; ' — ^— ' — ^ ■ ■ ^ .Aflcmascncl

Sen*

trláagulo rectángalo OSD tendremos CSO)'=» x (OD)^ ^<SD)s
y este es «1 valor del quadrado del radfo de la esfera circunscrita^
Si hacemos la substitocion de los valores de DM » DN^
y después la de {os valores de eos. D y de sen^ D ^ pa-
ta tener inmediatamente la expresión del radio SO 9 por
medio de lo$ 4atos 4el problema vi^ Jiati^eusios par» rjs-
si^ltado :

f /«scn.^y +¿rjSen.*^ 4- A*sén.*fl£-2^(fcos,tf-cos.fcós.>A /

SOs¿\/s "-^^fhlcOS, g-COS.tfCOS. y) 2¿'¿(C0S.><-— COSleg CpS.

X'^-^0S.?fl6-*-*C0S.* C-^C0S.>' 4. ?C0.S. C6 COS. .? COS.^

NOTA VL

Sc^u la memr distancia de dos rectas que no esiati
^ situadas en un mismo f laño. ^

Sean AB, CD dos rectas dadas, que no están sitúa» Lám. 13^
das en un mismo plano 9 y cuya menor distancia tratamos fig. i«
de bailar. :i

Háganse pasar en la dirección AB dos {)Ianos perpeo-».
diculares entre sf ^ que encuentren á CD el uno en C, y
el otro en D. Desde los puntos C , D tírense á AB las
perpendiculares C A , DB ; en el plano ABD tírese DE pa-
ralela y^AE perpendicular á AB, y quedará formado ei
rectángulo ABDE; en el plano CAE tírese CE , y á es-
ta la perpendicular AI; en ñn, en el plano CDE tírese IK'
paralela á DE basta que encuentre i .CD en K, haga-
se AL = IK y tírese KL: digo i.« que la recta KL es
perpendicular á un tiempo á las dos dadas AB, CD; 2.0 que
esta misma recta LK es mas corta que qualquiera otra que
se tirase entre dos puntos de las iíneas AB 9 CD » y que
así KL j ó su igual AI » es la menor distan^cia pedida.

En efecto,'!.*' las tres rectas AB, AC, AE son por
construcción perpendiculares entre sí , y por con^'guiente
una de ellas AB es perpendicular al plano de las /otras dos
AGE : luego AB es perpendicular á AI. Adenias KI es
paralela i DE^ y D£ á AB: luego es paralela á AB; y

38

198 NOTA VI.

ya que hemos hecho AL = KI, se sigue que la figura
AIKL es un rectángulo. Esto sentado, el (ingulo AlK es
recto lo mismo que AlC : luego la recta AI es perpendi-
cular al plano KIC ó CDE: luego su paralela KL es tam*
bien perpendicular al mismo plano CuE , y por consi*
guíente á CD. Luego i.^ la recta KLes perpendicular á uo
tiempo á las dos rectas AB , CD.

2.® Sea M un punto qualquiera de la recta CD , sí
tiramos por «este punto la MN paralela á DE ó AB , Ja
distancia del punto M á la recta AB será igual á AN,

{>or ser recto el ángulo BAN. Pero tenemos AN > AI:
uejo Al es la distancia menpr de las líneas dadas AB , CD.
Sean las perpendiculares CA = ^ , y DB ^=1 AEcz í;
tendremos CE = y/(a* 4. ¿') ; y porque la expresión de
la superficie del triángulo ACE es i AC x AE , y tam-

AC X EA ab
bien i CE x AI , tendremos AI = ;; :=— ,

CE \^{a^ + b^)

$^U es la expresión de la menor distancia de las lineas
dadas.

Si hacemos al mismo tiempo la distancia AB = r ; y
llamamos A el ángulo comprehendido entre las dos l/neas
dadas , esto es, el ángulo CDE comprehendido emre la lí-
aea CD y tina paralela DE á la línea AB , el triángulo

DE

CDE, rectángulo eij E , dará eos. CDE == , ó eos. A^

— CD

(/(a-+b- + c'i ' P""^"* ''"'™°' ^^^^'= ^^^' -*• í^í*'^

a^ ^b^ ^ c^. De aqui sacaríamos taaibien sen; A^ =5^

: }/(a2^b^) .;:. . . c .

"n ; > y COL A =—777 — rr).

líOTA VIL

Sotre los poliedros jimétrlcou

Para mayor sencillez y claridad hemos supuesto en la
def. 16, lib. 6 , que el plano al qual se refieren los poliedros
fimétricos es el plano de una cara : se podria suponer que

NOTA V I r. 299

este plano es un plano qualquiera , y entonces seria mas ge-
neral la definición , sin que hubiese nada que alterar en la
prop. I í f por la qual hemos estableeido las mátuas relacio-
nes de los dos poliedros. También se puede formar una
idea bastante cabal de estos dos solidos , consldeíando al uno
de ellos como la imagen del otro formada en 'un espejo

Elano , que hará las veces del plano de que acabamos de
ablar;^
Aunque generalmente dos poliedros simétricos no pueden
estar sobrepuestos , se puede no obstaute probar por medio
de algunas descomposiciones | que se pueden sobreponer por
partes » y que así sus soUdecesi son iguales. He aquí la de-
mostración de esta proposición , una de las mas importantes
de la teórica de los solidos,

S^a AOS un triángula is6seile$ j donde tenem^ AO := Fig, ^
3S ; si por el punto O tiramos la recta BOD perpendicu\
^ar al plano AOS , y tomamos de ambas partes las distan^
*ias iguales OD =;=: OB , digo que las pirámides DAOS,
3AOS , que tienen por base eomim AOS 9 y por vértices
os puntos D y B , son no solo simétricas uno d otro , co^^
no resulta de la construcción , sino que pueden sobrepon
terse 4 causa de la base isósceles , y son perfectamente
guales^

£q efecto, se echa de ver que la pirámide AOSB, 6
para distinguirla mejor) A^OS'B' puede colocarse exacta-
nente sobre la pirámide AOSD ; y desde luego se puede
obreponer el triángulo isósceles S'OA' i^ su igual AOS , de
nodo qUQ el punto S' coincida con A i y A' con S. En esta
itnacion la perpendicular OB cubrirá exactamente á sa
jual OD , y así el punto B caerá en D : luego las dos pt**
áxnides se confundirán en una sota , y serán iguales»

K^EMA ir.

Sea ahora ABC un triángulo qualquiera j O el centro ^i^ ¡^
^el círculo circunscrito á este triángulo ^ de modo que
fngatnos OA zz OB ::= OC ; si par el punto O levantamos
I f laño del triángulo la perpendicular TOS ^ y tomamos
7r ambas partes del plano las distancias iguales OS, OT:

300 NOTA VII.

dho que las dos pirámides simétricas SABC y TABC se^^
ran iguales en solidez.

Porque , sega n él lema anterior , tas pkránndes AOBTf
BOCT , AOCT son respectivamente iguales á las pirámides
AOBSy BpCS, AOCS : luego la pirámide ABCT , cpxt es
la suma xfe- las tres pirámides , es igual en solidez á la pira*
mide AftCS , que es la soma de las otras^ tres;

Escolio, Aunque el punto O, centro del círculo circirn9«
erito, estuviese fuera del triángulo ABC, se echa de ver que
lá^ coQcItisioa seria siempre la> misma-

SrBMA II r^

Qtialquiera firdmidc triangular puede inscribirse en
una esfera.

Fig. IX. Sea ABC la base de h pirámide propuesta , S so vérti-
ce , SP su altura í sea O el centro del círculo circunscrito al
friíngulo' ABC. Si por el pumo O levantamos al plano ABC
k perpendicutar indefinida OX, todos los puntos de OX
equidistarán de ios puntos A , B ^ C. Solo se trata pues de
jbállar en Olír un punto Z que esté igualmente distante de
A y S ; y este punto Z , que equidiste de los quatro pun-
tos A, B , C» S, será ei centro de la esfera circunscrita i
la pirámide. La sc4ucion de este problema es £k:¡l de execa^**
tif en un plano.

Fig. X». Hágase un ángulo recto con las líneas SP , OP , siendo
estas iguales á la del mismo nombre en la figura solida ; pro-
longúese PO la cantidad OD igual al radio AO del círculo
circunscrito , tírese DS , y en la mitad de DS levántese la
.^rpendícular indefinida YZ t digo que YZ encontVará á ia
i]>erp6ndicular OX en el punto buscado Z , de modo que ZD
6 ZS será el* radio de la esfera circunscrita , y ZO la di^
ttncia de su centro al plano ABC.^

En efecto , tenemos por construcción ZD =: ZS ? pe-
ro por ser OD = OA , resulta ZD = ZAn ZB = ZC : lue-
jo tas quatro distancias ZA , Z8 , ZC ^ ZS son iguales:
luego Z es el centro de la esfera circunscrita.

Corolario i. La recta YZ perpendícúlaír 4 DS , y la
recta OX perpendicular á DP se encontrarán siempre , pues
forman enti^ sí un ángulo igual á SDP, y solo pueden
cortarse en un puuto : hiego es siempre posible circunscri'-
bir uoa. esfera á «na pirádime ttiangular dada ^ y solase

lu

NOTA VII. jor

puede circnnscribir una.

Corolario ii. La misma constrnccion , por la qual se
determina el radio y el centro de la esfera circunscrita á
la pirámide SABC, servirá para bailar el radio y el cen-
tro de la esfera circunscrita á la pirádinie TA6C simétri«
ca á SABC; porque los valores de SP, OP , DO son los ^
mismos en ambas partes. Luego las esferas circunscritas á
las dos pirádimes son iguales, y sus centros equidistan de
los planos d e las caras iguales.

TEOREMA.

Dos pirádimes triangulares simétricas son iguales m
iolidez.

Sean las pirámides SABC, TABC ; sea Z el centro de Fig. 13.
la esfera circunscrita á la pirámide SABC, y X' el cen-
tro de ia circunscrita á la pirámide TABC» Supongamos
desde luego que el punto Z está situado dentro de la pi-»
rámide SABC r y en este caso también el punto X' es-
tará dentro de la pirámide TABC.

Sentado esto, se puede considerar la pirámide SABC
compuesta de otras quatro ZABC, ZABS, ZBCS, ZACS^
cuyo vértice común es Z, y cuyas bases son las quatro
car¿s de la pirámide. Podemos considerar igualmente la
pirámide TABC como compuesta de las quatro Z'ABCi
Z'ABT, Z'BCT,Z'ACT.Pero, en virtud del lema 11, las
pirámides ZA^BC, Z'ABC, son iguales en solidez ; las
pirámides ZABS, Z'ABT están en el mismo caso, porque
se podrian sobreponer una á otra las bases iguales ABS|
ABT, y entonces los vértices Z, Z', centros de las es-
feras circunscritas f serian los -extremos de dos perpendi-
culares iguales tiradas al plano de la base común por el
centro del círculo circunscrito a dicha base. Luego ta so-
lidez ZABS=:Z'ABT; y del mismo modo ZBCSzr:
Z'BCT , ZACS =: Z'ACT : luego la pirámide SABC , que
es la suma de los quatro ZABC, ZABS, ZBCS, ZACS,
es equivalente á la pirámide TABC, suma de los qua*
tro ZA'BC , Z'ABT , Z'BCT , Z'ACT. \

Si los centros Z y Z^ estuviesen situados fuera de

las pirámides , en tal caso , en vez de sumar los quatro

ZABC , ZABS , ZBCS, ZACS^ seria preciso restar una

.0 dos de la suma de las demás ^ para tener la pirámide

JOI NOTA vir,

SABC ; pero como la pirámide TABC se compondría dd
mismo modo de Us otras quatro Z'ABC, Z'ABT , Z'BCT,
Z^ACT 9 se deducirla siempre que las dos pirámides SABCi
TABC son iguales en solidez.

TEOREMA.

Dos poliedros simétricos qual es quiera son equivalen*
tes 6 iguales en solidez.

Porque 9 suponiendo ta misma construcción que en la
prop. II. 9 podemos figurarnos.uno de los poliedros como com-
Fig ao< P^^^^o ^^ tantas pirámides triangulares AMPN, APNQ, &c.,
cuyo vértice común es A, como triángulos MPN , PNQ9 &c.
hay en las diferentes caras del poliedro 9 excepto las qae
forman el ángulo A- £1 poliedro simétrico contendrá igual
número de pirámides triangulares AMT' AP'N',N'Q', &c.,
las quales son simétricas á las pirámides AMPN9 APNQ 9 &c.
cada una á la suya. Luego» ya que las pirámides triin-

f;ulares simétricas son equivalentes 9 se sigue que los po«
ledros, compuestos de un mismo número de pirámidei
iguales > son también ¡guales eo solidez.

NOTA VIIL

Sobre la jproposicion XXV j UB. VIL

Este teorema 9 demostrado la primera vez por EoIe«
roen las Memorias de Petersburg0 9 año 17589 presenta
muchas consecuencias que merecen aclararse.

i.<> Sea a el número de los triángulos , t el número de
los quadriláteros I c el de los pentágonos 9 &c. que compo-
nen la superficie de un poliedro; el número total de las
caras será aj^lf Ji^c^d ^ &c. 9 y d número total de sus la-
dos será ^a ^^ ^ ^c ^6d ^&cc. Este último número es
duplo del de las aristas , pues una mism^^ arista pertenece
á dos caras; y asi tendremos

H == ^ + ¿ + ^ + rf+ &c.
2 A 2= 3/í + 4¿ ^. jr 4- 6d^ &c.
y ya que , según el teorema de que tratamos , S -f. H 9
A 4. 2 9 deducimos

2S:=44.tf-|.2*4.3¿"4. 4^+ &c.

Vna de las consecuencias que estos valores hacen ¡o-

NOTA VIH, 303

ferir , es que el número de las caras impares a ^c + e ^ &c.
es siempre par.

Poderaosliacer para mayor brevedadfi)=5Í + 2¿^4- 3¿/+ &c.,
y en este caso tendremos

Ac3|H + ifi).
S rs 2 -}- 1 H -I- í ».
* Así en qiialquíera poliedro tenemos siempre A > f H,
y S>2+|H; y aquí es preciso observar que el sig-
no > no excluye la igualdad , en atención á que podría-
mos tener a» =: Or

El número de todos ios ángulos planos del poliedro es
aA t el de los ángulos sólidos S ; de manera que el nú-
mero medio de los ángulos planos -que forman cada án«

guio sólido es .

S

Este número no puede ser menor que 3 f pues son ne-
cesarios á Jo menos tres ángulos planos para formar ua.
¿ngulo sólido ; así debemos tener 2A > 3S , sin que el sig-
no > excluya la igualdad. Si substituimos á A y S sus va-
lores en H y ¿», tendremos jH ^eo> 6 ^^H ^^ a^ ó¡H>
124-Í». Volviendo i poner los valores de H y « en af
b 9 c i &c. resultará

•3^ + 2* q- c > 12 4 if + 2/ + 3^" +*8cc. ' ^
donde se ve que a , i^y c pcTpueden ser cero aun tienv-
ipo , y que 2sí no existe poliedro alguno, cuyas caras
tengan todas mas de cinco lados.

Ya que H > 4 4 f a» , la substitución en los valores
de A y S dará S>4+f«, yA>6 4.<9. Pero al mis-
mo tiempo tfenemos » > 3H — 12, y de aquí resulta S <
*H— .4, y A < 3H — - 6 , donde debemos acordarnos
que los signos > y < no excluyen la igualdad. Estos lí*
mítes ;e verifícan generalmente en todos ios poliedros.

2.** Supongamos 2A> 4S, lo que conviene á una in-
finidad de poliedros, y particularmente á los que tienen to-.
dos sus ángulos sólidofr'*^íbrmádos -por quatro ó mas pla^*'
nos; en este caso tendremos H > 8 -f-w, ó, haciendo la
substitución, i5 - -

/í > 8 +c ^ id 4- 3^ 4. &c.
luego debe tener el sólido á lo menos ocho caras tríanw-
gulares. El límite H>84.fi)dáS>6 + ®, yA>i2^'
X «. Pero tenemos al mismo tiempo « < H —♦8 5 y oé

/

304 NOTA vrrr.

aquí resulta S < H — 2 , A < 2H — 4,.

3.® Supongamos 2A > 5S; y esto conviene entre otrof
poliedros á los que tienen sus ángulos sólidos á lo menos
quintuplos, y resultará H > 20 +3», ó

a > 20 + 2t J^, ^c ^ Sal ^ &c.
Y tendremos al mismo tiempo S>i2 -f2a,yA>30J. 50»;
finalmente de ser a> < f (H-^^ia), se sacan los límites

S < I (H~2) , A < 4 (H_2}.

No podemos poner 2 A =68, porque tenemos en ge»
neral 2A ^ 20)4. 12 s 6S : luego no hay poliedro algu-
no que tenga todos sus ángulos sólidos formados por seis
ó mas ángulos planos; y en efecto 1 el menor Talor que
tendría cada ángulo plano seria el del ángulo de un trián«
guio equilátero , y seis de estos ángulos compondrían qua«
tro rectos , que es demasiado para un ángulo sólido.
. 4.0 Consideremos un poliedro, cuya» caras sean todas

triangulares , tendremos a> a o , lo que dará A ' rr | H|

y S =: 2 4. i H. Supongamos ademas que todos los án-*
gules sólidos del poliearo sean unos quintuplos, y otros s¿x«
tupios; sea f el número de los ángulos sólidos quíntu-
plos , ^ el de los séxtuplos; y tendremos $ ^ f ^q^ y
2 A e 5/7 4. 6 j , de donde resulta ^S-^aA » /. Pero te*

•

nemos por otra parte A = i H, S al -h f H : laego f a

6S -— «- 2 A a 12. Luego si un folie dr o tiene triangula^
res todas sus caras , y sus ángulos sólidos unos son quin^
tupios y otros séxtuplos , los ángulos solidos quintuplos siem*
pre serdtk 12. X^os séxtuplos pueden tener un numero qoal«
quiera, asi , dexando .q indeterminada , tendremos en to*
q^ estos sólidos S =: 12 ^ ^ ^ H a ao ^ 2^ , A s: 30

Daríos fin á estas aplicaciones , averiguando el nú«
mero de condiciones ó datos njeci^sarios para determinar un
poliedro: qü^stion interesante » jjue^ parege no haberse re-
suelto todavía;. - ^^

Supónganlos desde luego qee sea el poliedro de una
especie determinpkda , esto es , que conozcamos el núme-
ro de sus caras, el de sqs lados individualmente, y su dis*
posición qnos respecto á otros. Se conocen pues los oá«
IH?ioj5 H^S^ A, igualmente que «; ^ > f > /# &c. s solo

NOTAVIir. 30 J

se trata dé hallar el número de datos efectivos » líneas 6 án-
gulos , por medio de ios quales puede construirse y deter-
minarse el poliedro.

Consideremos una de las caras del poliedro f que toma*
remos por su base. Sea n el número de sus lados ; serán
precisos 2n — - 3 datos para .determinar estábase. El número
de los ángulos sólidos fuera de ia base son S — .- n ; son
necesarios tres datos para determinar el vértice de cada án-
gulo, así la posición de S *-^ n vértices exigiria 3S —p- 3»
datos I y añadidos los zn — 3 de. la base^ tendríamos ea
todo 3S — - n — 3. Pero este ntímero es en general dema-
liado grande » y deben qniurse de ¿1 las condiciones nece-
sarias para que los vértices que corresponden á una misma
:ara ,'estén en un mismo plano. Hemos llamado n el nú-
ñero de lo$ lados de la base, llamemos también »', »^^, &c. los
lúmeros de lados de las otras caras. Tres puntos de-
ermlnan un plano ; así lo que se halle de mas que 3 en cada
ino de los números n^ , n'\ &c« dará otras tantas condiciones
>ara que los diferentes vértices estén situados en los planos
ie las caras á que pertenecen , y el número total de estas con-
liciones será igual á la serie («' — 3).+ («" — 3) + («--"^^30
-f &c. Perecí número délos términos de esta serie es H -r— i,
r ademas n-i-n' ^ ti' \ &c. c 2 A : luego la suma de la serie
era 2A — n — 3 (H — i). Kostando esta suma de 3S -^
i ^^ '¡ j queda 3S — 2A 4. 3H ...-. 6 , cuya cantidad , por
>or ser S + H = A + 2 , se reduce á A. Luego el número
le datos necesarios fara determinar un foliedro , entre ^o-
ios los de la misma especie , es igual ai dt sus aristas.

Obsérvese sin embargo que estos datos de que hablamos
10 deben tomarse indeliberadamente entre las líneas y ánga-
os qne constituyen ios elementos del poliedro ; pues aunque
lubiese tantas equaciones como incógnitas, podría haber
iertas relaciones entre las cantidades: conocidas que hiciesen
ideterminado el problema. Así parece desde luego , por el
sorema que acabamos de hallar, que basta en general co-
ocer las aristas para determinar un poliedro ; pero hay casos
n qae no es suficiente este conocimiento. Por exemplo , da-
o un prisma qualquiera que no sea triangular, se podrán for«
lar otros infinitos prismas que tendrán aristas iguales, y colo«
idas de un mismo modo; porque en teniendo la base mas de
es lados , se pueden conservar los lados , y alterar los án«
ulos 9 y dar 9$í á esta base una infinidad d;? formas diferen*

39

3o6 NOTA VIII.

tes. También se paede mudar la posición de la arista longi-
tudinal del prisma , respecto al plano de la base ; y en ñn,
se pueden combinar estas dos mudanzas una con otra » y re«
sulcará siempre un prisma , cuyas aristas ó lados no se ha-
brán alterado en nada. Aquí se ve pues que las aristas solas
no bastan para determinar el sólido.

J^os datos que conviene tomar para determinar un sóli-
do , son los que no dexan cosa alguna indeterminada , y so«
Fig. 14. lo dan una solución. Y desde luego ^ la base ABCDE será
determinada ^ entre otras maneras , conociendo el lado AB»
con ios ángulos adyacentes BAC y ABC y para el punto C;
los ángulos BAD , ABD , para el punto D, y asi de los de«
mas. Sea ahora M un punto , cuya situación fuera del pla-
no de la base tratamos de determinar t este punto quedará
determinado si, imaginando la pirámide MABC, 6 solo el
plano MAB , conocemos los ángulos MAB , ABM , y la in-
clinación del plano MAB á la base ABC. Si determinamos
por medio de tres datos semejantes la posición de cada vérti«
ce del poliedro fuera del plano de la base , es claro que el
poliedro quedará determinado absolutamente y de un modo
¿nico ; de modo > que dos poliedros construidos con lof
mismos datos , serán por precisión iguales. Serian sin embar-
go simétricos uno á otro si estuviesen construidos á dife«
rentes lados del plano de U base.

No siempre son necesarios tres datos para determinar ca-
¿^ ángulo sólido de un poliedro ; porque si el punto M de-
be estar en un platio ya determinado » cuya ir^terseccion con
la base sea FG^ bastará, después de tomar FG á arbitrio, co-
nocer los ángulos MGF , y MFG : y así será preciso no da-
to menos. Si el punto M debe hallarse en dos planos ya de-
terminados, y en su común intersección MK que encuentra
al plano ABC en K , conoceremos ya el lado AK , el ángu-
lo AKM, y la inclinación del plano AKM á la base; basta-
rá pues tener por nuevo dato el ángulo MAK. Así es que el
número de datos necesarios para determinar un poliedro ab-
solutamente , y de un modo único , se reducirá siempre al
de sus aristas A.

El lado AB y un numero A — i de Sngulos dados de-
terminan un poliedro ; otro lado qualqu ¡era, y los mismos
ángulos determinarán un poliedro semejante. De aquí se de-
duce que el número de condiciones dieces arias para que
4ean semejantes dos poliedros de la misma especie ^ esiiual

NOTA vni. 307

al de sus aristas menos una.

Seria mucho mas sencilla la qüestion que acabamos de re<*
solver , si no se conociese la espacie del poliedro , y si única*
mente el níi(pero d^ sus ángulos sólidos S. Determínense en-^
tóaQ^s tres vértices qualesqui^ra por medio de un triángulo
donde h^hrá tres datos ; este triángulo se considerará como
bas^ del sóljdo , y luego tos vértices fuera de esta base se-
rán Sr-r— 3; y como se necesitan tres datos para determinar
cada uno de ellos , es claro que el número total de datos ne-
cesarios para determinar el poliedro será 3 ^3 (S —3)» <S
3S_6, /

Serán pues precisos 3S -*— 7 condiciones para quie- seaa
semejantes dos poiiedrp^ de igual n^merp de ángulos sólidos.

NOTA ix;

T Sobre los poliedros regulares, idéase el apHdicc \

al libro VIL)

En la proposición 11 de este apéndice nos hemos aplica*
do á demostrar la existencia de cinpo poliedros regulares , es*
to es , la posibilidad de disponer cierto número de planos
iguales de modp que resulte uq sólido qniforine en toda sa
extensión. J^^os parece que en otras obras se supone exísten-v
te esta coloc9<:ÍQ.n de planos ^ sin dar bien la razón; ó no se
demuestra , como }o ha hecho Euclides , sino con figuras com«
pilcadas y difíciles de entender.

£1 problema de determinar 1.;^ inclinación de dos caras
adyacentes del pp|iedrOj y el de hallar lósracjipsde las es<^
feras inscritas y .circunscritas, est;an reducidos en los proble-
mas III y IV á constrqcciopes sumamente sencillas; pero n¿
será -inúdl aplicar estos muimos problemas a) cálculo trigono-
métrico, que nos d;;irá adeVnis nuevas proposiciones; . -

Sean ^, ¿, r, los tres ángulos planos que componen etFIg. ais.
ángulo sólido O ^ y nos proponemos hallar la inclinación de
los planos en que están los ángulos a y /^r Trazarlos des-^
de el centro O el triángulo esfiínco ABC? , en elqu^l se co-
tiocen los tres lados BC== <í', Ap r= fr, ABr^ r'¿ y será
preciso hallar el ángulo C coñiprehendido entre los lados /i
y b. Por las fórmulas sabidas 1 tenemos eos. C s=s

co^. c — eos, a eos, b j . 1 .

r '. Esta formula aplicada á los cinco po-

&en. a sen. o r r

• . •

JoS NOTA IX.

liedros regulares ^ ya á hacernos conocer la inclinación de dos
caras adyacentes en cada sólida.
Fig. d43. • En el tetraedo , los tres ángulos planos que conipcoen el
ángulo sólido S , son ángulos de triángulos equiláteros. Sea
pues la semicircunferencia ó el arco de i8o^ = -tt ; tendre-

_ , ' COS. a — COS.* a

flK>s a'=ib'=i f =tx! luego eos. C = =

^ sen.* a

eos. ^ (i — coi. d) COS. a -

, — ^ — . '' ■■ ; pero sabemos que eos. I t

I — COS.» a I + COS. a^ '^ ^ *

2= I ; luego c'o^. C =s f .
Flg. 144. £n el cubo 6 ex&edro, los tres ángulos planos que for*

man el ángulo sólido A 9 son rectos; y así tenemos ^ = 6=1

es) ^ 9 y COS. aso: luego eos C s o. Luego el ángalc I

de dos caras adyacentes es recto.
Fig. «4$. En t\ octaedro, si hacérnosos DAS ss f 7, ¿ es DAT^

I íT, r = TAS = I íT , tendremos

COS. \'3r — COS.* ♦•»■-.

COS. C =3 •— n • Pero COS. f sr == o , eos. } t

sen. • t ^ » 3

Si i y sen. § ir ci i V}} luego eos C = -*- f . Aquí se re
bien á hs claras que la inclinación de las caras del octaedro
y. la inelinacbft de las del tetraedo son suplementos una
de otra.
Fig. 246. ^^ ^1 dodecaedro 1 un áAgulo sólido está formado pot
tres ángulos planos iguales cada uno al ángulo de un pea*

tágono regular. Así , haciendo <«=íb=r¿r=:| sr, tendremoj

eos. a ,

COS. C t=,, : pero eos. • t = — ^,sen. J^tt z=i

■; luego COS. C tz — > — --,■ a , sen. C =^ —

y .tang. C a — • 2»

íig. M7- ■ "^^ ^^ icosaedro , es* precisó . hacer c == C'B'D' ss | x.
tf =: ¿ :r C'B'A' e f ít , y tendremos

.^. ^_ CQS.|.X^COS .«f^ |(l_^j)*_^ .^;
COS. w -i— ■ 1. =j , ^— — ^5

\ ' sen.» f T. "^ I -^ j

1

MletmiaüJ- cÜtí^eí^metrúi Z amina, 2.

a.

B £

JS

B

R

F

C

Q

^

A

p

B

• .o> »..

. ,»- . Íii

JIO NOTA ZX.

AB = ^1 tenemos CA es , y por consiguiente R« a

len.—
n

r* + — £$us dos eqaacioncs dztin para cada pe-

•en,»—
n

liedro los Talores de los radios K , r de las esferas circoi»«
crita é inscrita. X^nibien cenemos , suponiendo C coaocido»

rzziacou — ung. i C , y R = | ^ tang. — tang. i C.

R
En el dodecaedro i icosaedro , remos que la razón -^

r

tiene el mismo valor tang. «^-^ tang. — ^. Laego si R es ¿

mismo para ambos , también f conservara on mismo valor;
esto eS| qae si estos dos sólidos esun inscritos en ana misma esfe-
ra» también estarán circunscritos á la misma esfera , y recípro-
camente. La misma propiedad se verifica entre el exáedro y

^1 octaedro 9 pues el yalor fie — es tang. — tang. -l-|taa-

r 3 4

to para uno como para otro^

Obsérvese que no son solo los poliedros regalares los
sólidos comprehendidos por polígonos regulares iguales; por-
que si sobreponemos por una cara común dos tetraedos re*
guiares iguales ^ resultará un sólido forn^ado por seis tniív-
gulos iguales y equiláteros.. Podríamos también formar otrc
^sólido con diez triángi^los equiláteros jguales , pero solo los
poliedros regulares son los que jtienpn al mismo tiempo lol
ángulos sólidos igualeSf

NOTA X.

Sobre la 4f<0 fiel tridngulo eiférico.

Sea I el radío de la esfera , t la semicircunferencia ¿
un círculo máximo} sean a^ kf f los tres ladoi de ua imo<

^-^9

^^

•%

£lemeníiz< ák ^é^me^^^aXaffJ

.• »j. •*.

. ■^♦k

íi>¿ •^*. *>••'

3*12 NOTA X.

es mayor» cayo ángulo C » comprehendido por los ladoi

dados 9 es igual á la suma de los otros dos ángulos A y B.

Fie. i8. ^^^ ^' radio OZ s i tráctese la semicircunferencia VMZ|

' hágase el arco XZ =: C 9 y del otro lado del centro tómc«

•se OP = cot. i a cot. ib; finalmente tírese PX» y báxe-

se XY perpendicular á PZ.

PY

En el triángulo rectángulo PXY tenemos cot. P s

cot. I a cot, i ^ + COS. C. , ^ ,

üs ¡ÍÍTC ; lacgo P = iS: luego lasu-

perficie S será un mdxímo , si lo es el ángulo P. Pero a
eTidente que si tiramos PM tanzente á la circunferencia , el
ángulo MPO será el máximo ¿íe los ángulos P f y tendré-
mos entonces MPO a MOZ — •§ t. Luego el triángulo cí-
fírico , formado con dos lados dados ^ será un ntáxtm si
tenemos iSzrC — i tt ^ óCsaA^-B» lo que concnei-
da con la proposición citada.

Esta construcción nos manifiesta al mismo tiempo que no
se verificarla el mdxímo si el punto P estuviese dentro del
círculo 9 esto es, si tuviésemos cot. i a cot. f ¿ < i. De cu-
ya condición sacamos snccesivamente cot. i a < tang. ^ ^|
tang. (i :r — i a) < tang. ib^\^ — \a<i^ ¿,y 6nal-
mente ^ < ^ 4. ¿ , cuyos resultados convienen todavía coa d
escolio de la misma proposición.

PROBLEMA I. Hallar la, superficie de un iriAnguh
esférico por medio de sus tres lados.

Para esto es preciso en la formula

, _, cot. I a cot. i ^ -f COS. C

cot. í S = — ~

sen. C.

substituir los valores de sen. C y eos C expresados en ^t , i^

_ ^ COS. c — COS. a COS. b

fi. Pero tenemos eos. C = 7 • v cot. i i

sen. ^ sen. ¿^ ' ^ ^w*. ^«

I j. COS. a 1 X COS. b

•ot 4 ^ = — !_-..., —. . de aquí resulta

sen. a - sen. b ^

^ ^ , . , I + COf. a JL eos, b + COS. c

coi. C 4. cot. i a cot. i í» = — ' r^

^ * sen. a sen. ir

Ademas el talor de C da

NOTA X^ 3^3

a ± B ^e a ^ b — c
2 sen. «i t sen*'

2 2

^cos.f— cos.í<a ^ b)^ ^— _^ —

+ ^^^' ^ - sen. seo. ¿ ^«n- ^ «^o- ^

¿f j. f — b b + r— ^^

% sen.' sen.'! -^

% %

co^Aa — b) — cos.r

S. C == ^ 7 ^'

"^^*- ^ - sen. a sen. * ^^ ^en. /í sen. *

íaltipli^ando estas dos cantidades entre sí , y sacando la .

üz del producto s tendremos

y fl+^j-c /? + b'^c » 4- o — b b + f — (\

2 t/l «en.---^ — ■A'-i^en. ■■ — sen.— sen. — » 1

»ii r^-j ^ -T ■ ■ > ' ' ^

'"•^ $en. a son. b

lego finalmente

14- COS. a + COS. 5 j- COS. r

^*'** y axbxc aj^b — £• aj^c — b b + c-ij\

i\/f sen. — ! -»-sen. sen.-. sen.- 1

^^\ % % % ^ /

ista fórmula resuelve el problema propuesto , pero podemos
ar con otro resultado mas sencrllo todavía.
Para esto volvamos á la fórmnla

cot. i a cot. \h ^ COS. C

cot.iS= ;^jj7c- —i

catemos desde laejgo i + cot.^ J S , ó

cot.af^cot. ^\b ^ 2C0t. f ¿icot. {ícos.C 4. t

°-'*^ = seii.'.C.

zro el valor de eos. C da 2 cot. \ a cot. f b eos. C =

►s- c — COS. a COS. ¿ , . , , j ,

" — zn TT—; substituyendo en el numerador en la*

:2 sen.2 Jasen.^i^ «^

ir de COS. r, eos. a^ eos. í, sus valores i — 2 sen.^fc, i — 2
n«' f ^ 9 1-^2 sen.^ JA, y haclend© la reducción, tendremos

sen.a I ^ 4. sen.* ií' — sen. «-fe \
:;ot.i4cot.i¿cos.C=: — -—-i — ■ ■ 3./, ^•

40

5,4 NOTA X.

I — ^en.» I a
Tenemos ademiicot.»i«cot.s |i = - ^^^ , |^- -

l^seti.*}*
sen.* i If

.—«n.i.
sen.» 4 «

sen.
sen.»

+ 1

Liltgo»U>.

yendo estos valores tendremos ~

1

I _ sen." i C
scn.j 4 *i sen.» \ b sen.* C

lo que da

íeo.}S= —

í^scn.í¿
COS. 4 c

in. C

» y

poniendo otriTeid

valor de sen

C rcsuUa

v/fsen-

+*+'■»•'

+ *-

-£■

«+'— »,.„*í"^

<-

, J

2 COS. 4 í* COS. 4 ¿' COS. 4 C

fórmula camoda para el cUcuto logarítmico; y líhmtóifí'
camos por el valor de cot. 4 S, resultará

I + cos.rf .f cos.b + cos.ir_ cos.'}.> + Cos^Ht+^^'

4COS.4iíCO!,41'COS.4c ~ 2C0S. 4 íICOS.JÍCll!!'

nueva fórmula que tiene la ventaja de estar compDeti<lt

términos racionales.

T^ ' J ■ I — COS. 4 S ,
De aquí tacamos todavía j-j — , o

l-cos. «Jií-COS.* JÍ-COS.' 4^+1 COS.J.íCOS.Í*»^)'

'"S- í'= ,/ ., + i + c ^s^i-c a + r-k ÍT3

VI sen ! sen — I sen sen. — --,

\ a i. 2 'I

Pero el namerador de esta expresión puede poner» ii^"'
ta otra forma ^

(i_cos.» 4^)Ci — COS.» 4 ¿} — (cos.í «cos,4¿— cos.}0
la qual se descompone en dos factores, k saber
sen. 4 a sen. 4 ^ + '^°^- 4 '^ '^'"- i ^ —- eos. 4 ^ • y
sen. 4"» sen. 4 ¿ — COS. 4-* coi- 4^ + '^<'^- 4 *■■ También ^
tienen otra reducción i el primero se muda es

NOTA X. 315

a j^ c — h h \ c — a
COS. (I a^^i ¿) — COS. } £:== 2 sen. sea i

y el segando en eos. }¿; - eos. (¡a ^i h):zi2 sen.

4
a ^b ^ c

a ^ b ±.c ^
Sen, — -, Loego

aA,bA.c a^b' c a ^ c--b b \ c — a

4 sen --^ sen. r* — sen. — sen.

^ 4 4^ 4 4

tang.^S» ,j a 4. ^ + r a jl. b^c ^ + c-b bj^c-a\

V í sen.— -í^ — -^ sen. — sen. sen 1

\ % % 2 2 /

sen. \P // sen.- \ p \ ,

Inego finalmente

:aDg.íS=v/ (tang.-+_+-«ng, ^tang._±__taDg. J__j.

Se debe esta excelente fórmula á Simen Lhuiller.

PROBLEMA II. Dados los tres lados BC z=: a^ AC r^Fíg. 19.
h j AB = r , determinar el funto I , /^¿? <^^/. círculo'
:ircnnscrito al triangulo ABC.

Sea el ángulo ACl = ^ , y el arco AI = CI = BI == ^
En tos triángulos CAI , CBl, tendremos por las formulas
:onocidas

cos.<p-cos.¿cos.^ i-cos.^ sen. b

:os.a: = ^ — . — -— =:= — cot. (p^ • -. cot. ip, .,

• sen. ¿fsen. ?/ .scn.¿^. • i^cos./^

I — eos. a COS. fC — x\

:os. (C-^¿r) = cot. <|). L.uegp i \ 6

^ sen. a ... coá. o? .

_ (i -J.C0S. W (i — cos.4^
COS. C + sen. C tang. ^ =; -^ : ^ Subst!-

tuyendo en esta equacíon los valores de eos. C y sen. C ex*
oresados fiXia^h^Cy y.haciejado^ cpara^jnaypr bicvcdad
\jíz=.\/ (i — cos.« a — cos.^ ¿ — -COS.* c \ 2 cq.s. a eos. b co«; €^

I. 4- eos. /^— -COS.- C-r^OS. i» . s, ' ■

Jeducirémos tang. x'=£ '—^ — ¡r? — ; — , fórmula

3X6 NOTA X.

I j- COS. b — COS. if— COS. e
tang. \ (A + C— B)» -«^ jj ;

I 4. eos» 4— COS. ¿.-xos. e
tang. |{B + C— A)= jj

I + cos.r— co$.áf— COS.
tang. 4 (A + B--C) e

M '

Íl las quales podemos afradir la que da cot. Í S 5 y que pne* '
de ponerse en esta forma

— 1— cos.^— k:ós.6— •-cos.c
tang.KA + B + Qrr ^^ ,

£t valor de tang. x que acabamos de hallar , da i ^ tang.* j
I a (i + COS. b) íl — coSrf c) (1— ^os. a\

16 COS.* i'k sen.* | r sen.» } /í

M»

■•i^aM— M

«^ ^ i .^4 eos* Irfcsen. frscn. 1 ^ t» -. j r
I.iíegó ^_ ~ ^— ' — 2 ;^^ 2_ . Pero de (a equa*

eos. X M

cíion Cos. X ¿^ — < — ¡- — cot. f =^ tang. t a cot. ^ , sacamos

sen. o

tang. í fe^üElU:; luego tang. * ^4 «n. } ^ sen, j ¿ sen, fr

€0^. ;^ M

2 sen. f 4 seit. I ii sen- 4 c

jf a^bjf^c a ^ b-^^c a 4. c — h b 4. c a\

VI sen. -sen* sent-^-^ — ' — "scn. — *-— L

"' \ 2 a 2 * /

^iLoBrtSMA líl. Determinar én lu superficie de la /x-
j{ifr# >/*« línea en qke esfdn * situados - todos los vértices dt
ios triangulo^ de una misma base y^ superficie,
Fls* jw ' Sea ABC u/10 de los triángulos esféricos, cuya base
común es AB iz r, y la superficie dada A «j. B4. C— ^s
S. Sea IPK una perpendicular indefinida levantada en k
n^itad de^Bf tomaiKlo' IP, Igual' ^l.quadrante , será Pd
polo del arco All/y el arco .PCD ^ tirado por los pun-
ios P V 'tí /íerá'^crpé'udicular á AB. 'Sea ID ¿íf.,.CD^= f;

NOTA X. 317

los triángulos rectángulos ACD , BCD» en los qnales te-
nemos AC = b , BC = ^ , AD = /> + i r , BD =:f — i r,
darán eos. a z=i eos. q eos. {p — | c) , eos. b = eos. ^ eos*
[/' -f i O* ^^^^ hemos hallado antes

^ _ c . I -»• COS. a 4. COS. b x eos. c

cot. J S — ^ • 1 X

s^n. a sen. b sen. C

Substltnyendo en esta formula los valores eos. a + eos. b ::;s
2 eos. q COS. /; eos. | r, i— «eos. r s= 2 eos.* i r, sen. b sen»
C = sen. c sen. B r: 2 sen. f r eos. i r sen. B» tendremos

, _ eos. i c ± eos. í; eos. </

cot. i 5 = -^^= X — ^ J

sen. ^ sen. ^ ¿r sen. B

Ademas ^ en el triángulo rectángulo BCD , tenemos también
sen. a sen. B = sen. q ; luego

eos. i c 4. COS. p eos. a

cot. i S a ^— =í^^ ^ ^

* sen* t c sen. j

6 eos. ^ eos. ^ ^ cot. ) S sen. f r sen. ^ -eos. ) r; esta es la
razón entre f y q 9 qne debe determinar la línea en qué es-
tan situados todos los puntos C. -

Habiendo prolongado la IP la cantidad PK =r ^, tírese
KC, y seaKC =:/; en el triangulo PKC, donde tenemos PC=:
KC4 T — ^r, y el ángulo KPCi:: :r — /;, el lado KC se ha-
llará por la fórmula eos. KC = eos. KPC sen. PK sen. PC -(.

DOS. PK COS. PC , o

'jcos. ^nsefi. q eos. ^-sdn. x eos. q eos, p;
substituyendo en ella en lugar de eos. q eos. p su valor cot.
I S sen. i c sen. q - eos. \ c ^ resulta
cos.^ rr sen. x eos.f c ^ sen. q (eos* ^^^.^^en. x cot.i S sen. \ c\

Aquí vemos que si hacemos eos. ;i?-^sen. x cot. \ S sen.
i r = o , ó cot. X z=z cot. i S sen. J c , tendremos eos. y sz
¡en. X cos.;4r, y de este modo será constante el valor de/.

Luego si después de haber tirado el arco IP perpendicu-
lar á la mhad de. la base AB 9 tomamos mas allá del polo
a parte PK, tal que cot. PKzií cot i S sen. i c , todos
os vértices de los triángulos que tienen la misma base c 6
gual superficie S, estarán situados en el circulo menor descrito
lesde el punto K , gomo polo, á U distancia KC, ul que KC 2:
«n. PK COS. ic*,. , ; .

3iS NOTA X.

Debemos i Lexell esce hermoio teoreini. (Víase el tam.r,
pan. 1 , tíe nova acU pe/rofoülana.)

NOTA XI.

Stbre la prop. III, ¡ib. VIL

Podemos demnsrrar esta proposición mas rigorosa menií,
recurriendo á los lemas preÜminares , de! modo siguíenie.
Fig- aíi, Dig" desde luego que la superlicie convelí lermifiiái
por Us aristas AF , BG , y por los ateos A;íB , FiG , ao
putde ser menor que el rectángulo ABGF , pane cotrü-
pondiente de la superficie del prisma inscrito. I

En efecto , sea S U superlicie con vexi de que tratania!,
yscí, si es posible, el rectángulo ABGF ó AB xAF=!
.j. M 1 siendo M una cantidad positiva.

Prolóngocí^e la altura AF del prisma y del cilinJro lia- j
ti una distancia AF' igual i n veces AF , reptesentindaí
un número cutero qualquiera.Si prolongamos al mismo iieii'|
po el cilindro y el prisma , claro es que la supcttó "*•
vex3 S', coraprehendida entre las aristas AF' , BG'i cd-
tendrá n veces á la superficie S ; de modo que wndrenia
S' = »S , y por ser n x AF — AF' , resultará AB x Af'=
•hS + kM = S' i hM. Pero siendo n un número emito oijl-
quiera \ y M una superficie dada , podemos tomar » díW
do que se¿ »M mayor que el duplo del segmento m

pues basta para esto hacer u

. Luego eDtóncíii

rectángulo AB x AF', ó la superficie plana ABG'F' stni
mayor que la superficie exterior, compuesta de la supe*'
convexa S' , y de dos segmentos circulares Igoalei AíH
f'ar'G'. Pero, al contrario , la segunda superficie es mijii
que la primera, según el lema preliminar: luego l.° nofS
de ser S<ABGF.

Digo en segundo lugar , que esta miíma snpetfiat W
texá S no puede ser igual á la del rectángulo ABGF.F»'
que supongamos, i¡ es posible, que haciendo AE = ^5■
superficie convexa AMK sea igual al rectángulo ífí
Por un punto qualquitra M de! arco AME , tíreníc Uk«
das AM, M£ , y levánieíe al plano de la ba<e la perfSK
cular MN. Los tres rectángulos AMNF , WEKN , AEÍ
por ser de una misma aliura , esiao entre si como»''''

NOTA XI. 319

ses AM , ME , AE. Pero tenemos AM ^ ME> AE : luego
la suma de los rectángulos AMNF , MEKN es mayor que
el rectángulo AFKE. Este es equivalente por suposición á
la superficie convexa AMK y compuesta de las dos super-
ficies parciales AN 9 MK : luego la suma de los rectángulos
AMNF , MEKN es mayor que la de las superficies conve*
xas correspondientes AN » MK : luego será preciso que á lo
menos uno de los rectángulos AMNF » MEKN sea mayor
que la superficie convexa correspondiente. Esta conseqüencia
es contraria á la primera parre ya demostrada : luego 2.® la
superficie convexa S no puede ser igual á la del rectángulo
correspondiente ABGF.

De aquí se sigue que tenemos S > ABGF , y que así la
supe''ficie convexi del cilindro es mayor que la de qualquie*
ra prisma inscrito.

Por un razonamiento de todo punto semejante se pro-
bará que la superficie convelía del cilindro es menor que
la de quaJquiera prisma circunscrito.

NOTA XII.

Solare la igualdad y semejanza de los poliedros,

Al principio del libro II de Euclides se ven las definí-*
Clones 9 y lo puestas en estos términos :

„ 9. Dos sólidos son semejantes quando están compre-'
íiendidos por igual numero de planos respectivamente se-
mejantes.^,

jy i o. Dos sólidos son iguales y semejantes quando estait
comprehendidos por igual número de planos respectivamen-*
te igualen y semejantes.}, .

Siendo el objeto de estasí definiciones uno de los puntos
mas difíciles de los elementos de Geometría, las examinare-
mos muy por menor , observando al mismo tiempo las re-
flexiones hechas á tste, asunto por Roberto Simson en su edi«
*:íon de los elementos pág. 388 y sig... ^

Observaremos desde luego con Roberto Simson , que la
definición X no es propiamente una definición, sino mas bien
jn teorema que sería preciso demostrar ; porque el qué dos
t. olidos tengan. sus caras ¡guales, no prueba que sean ellos
iguales ; y , si esta proposición es cierta , es preciso démos-
la)! arla por la .superposición ^ ó de otro modo qualquiera*

1

\

310 KOTA XII.

Vemos loego que el defecto de la definición 10 es comno
i la definición 9. Porque si no está demostrada la defini-
ción 10 9 podremos creer que existen dos sólidos desiguales y
desemejantes , coyas caras son iguales ; pero en este caso,
9egnn la definición 9 , un tercer sólido que tuviese las ca-
ras semejantes á las de los dos primeros, seria semejante i
cada uno de ellos 9 7 de este modo seria semejante i dos
cuerpos de diferente forma ; cuya conclusión implica con-
tradición , ó i lo menos no conviene con la idea que pres-
tamos naturalmente á la palabra temejante.

Muchas proposiciones de los libros XI y XII de EncII-
des se fundan en las deñoiciones 9 y 10 , entre otras la.

f>rop. XXVIII 9 lib. XI , de la quai pende la medida de
os prismas y pirámides. Parece pues que podeoaos tachar
á los elementos de Euciidesei contener bastantes propoúcío-
nes que no están demostradas rigurosamente. Pero hay una
ctr(:unsuocia que debilita esta imputación, y no debemos
omitirla.

Las figuras , cuya igualdad ó semejanza demuestra £a*
elides» fundándose en las definiciones 9 y 10 , son talesi
que sus ángulos sólidos no se componen de ñus que tres án-
gulos planos ; pero se ha demostrado con bastante claridad
en muchas partes de Euclides que dos ángulos sólidos^
compuestos de tres ángulos planos respectivamente iguales»
son iguales. Por otra parte » si dos poliedros .tienen sus caras
iguales ó semejantes cada una á la suya , los ángulos sólidos
homólogos se 'compondrán de un mismo número de ángii«
los planos respectivamente ¡guales. Luego mientras los áoga-
Ids planos no pasan de tres en cada ángulo sólido » es claro
que los ángulos sólidos homólogos son iguales. Pero si loa
iguales las caras homólocas , y los ángulos homólogos ^ no
cabe dodá én que los solidos lo son también ; porque po-
dríamos sobreponerlos , ó á lo m^nos serán simétricos uno í
otro. Aquí se V(¿, pues, que fas definiciones 9 y xo son
ciertas y admisibles , al menos en el caso de los ángulos tri-
pies , que es el único que ha usado Euclides. Asi la falta de
exácdtod , qup podríanlos tachar á este autor y ó á sus co-
mentadores, pierde de su fuerza» y solo recae sobre res*
tricciones y explicaciones que él no ha hecho.

Nos queda por examinar si la definición xo 1 que es cíe/*
ta en el caso de los ángulos sólidos triples» lo es tarn*
bien ^n genetal. Hobertii' Simson asegura que no » y que se

NOTA XII. 321

leien construir dos sólidos desiguales 9 que estén compre-
sndidos por un mismo número de caras respectivamente
nales. ^' Imagínese 9 dice este Autor , que í un poliedro
cualquiera se le añade una pirámide, dándola por base una
Je las caras del poliedro. Imagínese también , que en vez
ie añadir la pirámide | se quita , formando en el poliedro
m vacío igual í la pirámide ; tendremos así dos nuevos
¡olidos, cuyas caras serán respectivamente iguales, y í
pesar de esto ellos serán desiguales.''

Así quiere probar su aserción Roberto Simson ; pero ob«
rvese que uno de los mencionados sólidos tiene ángulos
lidos entrantes. Es pues mas probable que Euclides ha
lerido excluir los cuerpos irregulares que tienen vacíos ó
gulos sólidos entrantes , ciñéndose á los poliedros conve-
»s. Si admitimos esta restricción , sin la qual ademas de*
rian de. ser ciertas otras proposiciones, el exemplo de Ro-
rro Simson nada prueba contra la definición ó el teorema
'Euclides; antes bien creemos, después de haberlo pen-
lo muy despacio , que este teorema es cierto, aunque no
rece fácil demostrarlo.

Sea como fuere , resulta de estas observaciones que las
ñniciones 9 y 10 de Euclides no pueden dexarse como
an. Roberto Simson suprime la definición de los sólidos
lales , que en efecto solo debe hallarse entre los teore-
15 ; y da la definición de solibios semejantes á los que es*
1 coiñpreheDdidos por un mismo número de planos se-
l/antes , y que tienen los ángulos sólidos respectivamen^
iguales. Esta definición es cierta , pero tiene el inconve-
nte de contener muchas condiciones superfluas. Si suprí-
ésemos la condición de los ángulos sólidos iguales , da-
mos en la definición de Euclides , que es defectuosa por
)oner la demostración de) teorema sobre los poliedros
tales. Para evitar tropiezos , hemos juzgado del caso d¡-
lír la definición de los sólidos semejantes en dos partes;
mero hemos definido las pirámides tringulares semejantes,
go los solidos semejantes , diciendo que son los que tie-
1 bases semejantes , y cuyos "vértices homólogos , fuera

estas bases , están determinados por pirámides triangula-
respectivamente semejantes^

Esta definición necesita para las bases , suponiéndolas
mgulares, dos condiciones, y para cada vértice fuera de

bases tres condiciones ; de modo que si S es el numero

41

322 KOTA Xtf.

de Singólos sólidos de cada poliedro » la semejanza de ^
dos poliedros exigirá a ^3(8-3) íingulos iguales deán
bas partes i ó 3S * 7 condiciooes 1 y ninguna de ellas está i
mas , ni comprebendida en las otras. Porque considérame
aquí dos poliedros como que tienen simplemente el mm
número de vértices ó ángulos sólidos ; entonces son precis
las 3S- 7 condiciones ^ sin exceptuar ninguna , para que li
dos sólidos sean semejantes ; pero si &ntes de todo supiéx
mos que ambos son ¿If la misma especie » esto es , que ti
nen igual número de caras 9 y que estas caras , comparai
respectivamente , tienen igual número de lados , esta supos
cion tendría tres condiciones en el caso de haber caras (
mas de tres lados f y estas condiciones disminuirían umo
número 3S - 7 ; de modo que en lugar de 3S-6 condiá
nes 9 bastarían A- x ; sobre lo qual véase la nota vii.

Aquí se ve en qué estriva la dificultad de dar unabod
definición de los solidos semejantes » y es , que se paed(
considerar como que son de la misma especie , ó coma(|i
solo tienen jgnal número de ángulos sólidos. No haj dil
cuitad alguna en este último caso ^ y es preciso que se vei
fiquen las 3S-7 condiciones contenidas en la definición, pi
ra que sean semejantes los sólidos , y entonces se dedud
con mayor fundamento que son de la misma especie. Por
demás 9 siendo completa nuestra definición , hemos deduci
de ella como teorema la de Roberto Simson.

Se ye 9 pues 9 que se puede prescindir en los elemeoj
del teorema perteneciente á la igualdad de los poliedit
pero como dicho teorema es interesante de suyo , seria
desear que se hallase una demostración general de éL

FIN DE LAS NOTAS.

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